àk

*4

iKà

-ma

|v9[

À- *

^àM/é

Ww.\

|mp

^pmiP⁸'

5* V* •    ££

►ri-*

V«8>%

»■

■:

iiw

fc-tt "S-5SWÇ ®SHS

gj? _j, ^ •    . V j ***■    &

dgj|\> ' *** %    ifcpf '* .' ^

ÜL> JÊÈ0****    : PT A

0*17^1

^    CT-4.vr

PI

fe*.

*r

Ül

Tr#

ggg&

»..:4

ar i #/

ïr

mm

mm

■.

Ct^ :jf

jL a & _

^pJfeiRafc ♦

V&B

£gi ***

F-P⁵®

1!Jg

«r

SËÊ*J

i'i-

ai«,f &4 b

fm'i

«j^f

gr;

**>■

J|f

V5

%Qfe -

l>*t*ktJ

m ^Ll •'•"••?» ,$|3||P    ' ■■^ÊÊ. ^ÈàÊÊ^-'i,

1% -S* .^c

Î-Plc ■

Pflgfë,.,

IR

«ES

S»*,

ISf®

mm

?3fc

:5*v.

, v,

il

gj«f

-i

BJF

^Si

*•>

'•*-

-V. •“c*

,* >*

;P

p«fc- . ¹ '

*■&#

^ TE

if

4.;

wm*-

IJ»

• i,

l%;'%

'‘/ï-¹ J

s'

#n

S '>*'■

.wm

Æt

!, .-r

f.? J

:V-;-

Sifc.

#,

■*

St-A'

*sm<

•.f

«V*s

,

Pv

;(

■ "IgrilW

•v «y ^ ■ '* __

Cm

. j -% m

SSIm£:    '

f£*;:

.ALÆ

r, r K

*«%

h"*

r

j§

.

'

\ >

yp%*

*

; c *

wm a

mm

>

f

f

/

M

X

X

N

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

*

#r

100000293387

$

Jjfc

yr

TRAITÉ

D’ANALYSE.

D’ANALYSE.

Aa, ..., d*,

= »(K,0,

= A2 (x, r,, ..7„t),

u' — a log p — 130 -1-..., u" = p log p -+- a0 -+-. ..

(6)

Jo(“)

3£=o

!£=/(*, r).

fi ( t, x^, a?®, . . ., XJJ, o ).

y 1 = Cs

y' — -+- 5y;

(^) [(I + ?2)s— pq*]

IG, 1*1, • • •, IG,

CHAPITRE XI.

n— ri

* = PfO),

I » — Tl.

x =/(*).

CHAPITRE XIV.

/O) = ».

(0

= J” ùi(z)dz J'J <bm{z)dz, 4*i, 4s? • • -5 4m étant des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

/O, Ri, R2, • • •) = o

49°

[/(*)» z]

x■= x -+- t -| (x, y) -t- —- A, ( £, ) + t-

«RO?» y»> • • r® )-+- S(Y,, Y,, ..., Y„)

dry

X-i if), x2(/), ..., Xt+h-i (/).

D’ANALYSE.

TOME III.

f.

K

; • ; ’ -

P A Kl S.

IM P R I M E RIE GAU J’H I E R -V l L L A R S .

40176

Quai des Grauds-Augustins, 55

\

l

COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS.

TRAITÉ

D’ANALYSE

PAR

Emile PICARD,

MEMBRE DE L’INSTITUT,

PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.

DEUXIÈME ÉDITION

REVUE ET AUGMENTÉE.

TOME III.

DES SINGULARITÉS DES INTÉGRALES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. ÉTUDE DU CAS OU LA VARIABLE RESTE RÉELLE; DES COURBES DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

ÉQUATIONS LINÉAIRES; ANALOGIES ENTRE LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ET LES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

G®

'Ç

KATEDRA I ZAKtAD M ATF M AT V K I WYDZIALU IN Z Y NIE R11 W K R

PARIS,

GÀUTHIER-V1LLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE Quai des Grands-Auguslins, 55

1908

tosrir^J Otera

™TECmiIQÂTF^TYKI

Sa. law .....^OVKSKnj

<x

K/?/%

•i'

22

C?

Tous droits de traduction et de reproduction réservés.

INTRODUCTION

DE LA PREMIÈRE ÉDITION.

Ce troisième Volume contient les Leçons que j’ai faites à la Faculté des Sciences dans ces trois dernières années. Il est, comme je l’avais annoncé, à peu près entièrement consacré à l’étude des équations différentielles. On ne trouvera pas cependant, dans ce Volume et dans ceux qui suivront, un Ouvrage didactique sur ce sujet qui est immense ; bien des points classiques ont été laissés de côté, et, à cet égard, le titre de Traité d’Analyse, s'il n’était consacré parla tradition, serait assez mal choisi. Le temps des encyclopédies semble passé ; j’ai eu surtout pour but d’exposer dans mes Leçons, avec les préliminaires nécessaires, quelques-unes des questions qui intéressent particulièrement aujourd’hui les analystes, et dont l’étude peut être utilement poursuivie.

Il suffira d’indiquer succinctement les principales subdivisions. L’étude des singularités des intégrales des équations différentielles ordinaires, qui trouve son origine dans le Mémoire classique de Briot et Bouquet, forme le sujet des premiers Chapitres. Cette partie importante de la Théorie a fait récemment l’objet de divers travaux sur lesquels je m’étends assez longuement, en donnant quelques applications.

Le brillant développement de la théorie des fonctions d’une variable complexe avait fait un peu trop laisser de côté l’examen du cas où tous les éléments figurant dans les équations différentielles sont réels. Sous l’intluence des travaux de M. Poincaré sur les courbes définies par des équations différentielles, ces questions, depuis quelques années, ont été reprises. Je reviens d’abord sur mes recherches relatives à diverses méthodes d’ap-

proximalions successives équations différentielles ordinaires, et je passe ensuite aux tra

en me bornant pour le moment aux

vaux de M. Poincaré sur les solutions périodiques et asymptotiques. Dans le même ordre d’idées, les profondes recherches de l’éminent géomètre, sur la forme des courbes satisfaisant à une équation différentielle du premier ordre et du premier degré et, en particulier, sa belle théorie des cycles limites trouvent ici leur place.

Le reste du Volume est consacré à la théorie des équations différentielles linéaires; c’est un sujet qui a fait depuis trente ans l’objet d’un nombre considérable de travaux. Je dirai seulement ici un mot sur une digression qui pourra, au premier abord, étonner. Voulant étudier les analogies entre la théorie des équations différentielles linéaires et celle des équations algébriques, il m’a paru indispensable de reprendre les théories algébriques pour faciliter au lecteur la comparaison ; c’est ainsi que j’ai consacré un long Chapitre à la théorie des substitutions et aux idées fondamentales introduites dans la Science par Galois. On pourra suivre ainsi, j’espère, avec la plus grande facilité, le parallélisme entre le groupe de Galois pour une équation algébrique et ce que j’ai appelé le groupe de transformations d’une équation différentielle linéaire, étude qui fait le principal objet du dernier Chapitre.

J’adresse encore à M. Simart mes affectueux remercîments pour les conseils qu’il m’a donnés en corrigeant les épreuves, et qui m’ont permis d’apporter d’heureuses modifications à ma rédaction primitive

Émile PICARD.

Paris, le 25 mars 1896.

«

■

PREFACE

DK LA DEUXIÈME ÉDIT 1(3N.

Le plan de cette deuxième édition ne diffère pas de la première. J’ai fait diverses additions, particulièrement dans la discussion des singularités des équations différentielles ordinaires, et dans l’étude de leurs solutions au point de vue de la stabilité, telle que l’entend M. Liapounoff. L’étude des représentations asymptotiques des intégrales des équations linéaires a reçu aussi divers compléments, et j’ai pu consacrer quelques pages à des travaux récents de M. Landau sur la théorie des fonctions.

Je remercie M. d’Adhémar, qui a bien voulu corriger les épreuves de ce Volume.

Émile PICARD.

Paris, le 20 novembre 1908.

TRAITÉ

D’ANALYSE.

TOME III.

CHAPITRE I.

GÉNÉRALITÉS SUR LES SINGULARITÉS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

I. — Intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles dans le voisinage d’un système de valeurs singulières.

1. On peut, comme nous l’avons vu précédemment (t. II, p. 356), rattacher la recherche des intégrales d’un système d’équations différentielles ordinaires à l’étude d’une équation linéaire aux dérivées partielles. Reprenons l’équation

(0

Xÿ+Xl^₊...₊ X„f =

âx    àx₁    dxn

o,

.., sont fonctions des n -h i variables x, x,,

où X, X

Nous avons démontré que, si les coefficients de cette équation sont holomorphes dans le voisinage de x°, x°t, ..., x°u et si

xn•

X(a?°, x\, ...,x%)

n’est pas nul, il existe une fonction J(x, xt, x-₂, .. P. — III.

x,i) satisfaisant

2    CHAPITRE 1.

à l’équation (i), holomorphe dans le voisinage de x°, x\ se réduisant pour x = x₀ à une fonction donnée à l’avance

?(*1, X₂, . . .,Xfl),

elle-même holomorphe dans le voisinage de x°, x?₂, ..., x\.

Nous avons déduit ce théorème (voir t. II, p. 36o) d’une proposition plus générale. Si l’on a seulement en vue le théorème lui-même, on peut, tout en restant dans le même ordre d’idées, le démontrer plus rapidement comme il suit. Ecrivons l’équation sous la forme

(E)

df v df Y àf    v àf

-r— — X) --h X₂ -r--h...-+-X/t——-•

OX    OX1    OX 2    OX,J

Soit, pour abréger,

x° = x\ = x\ = . . . = X?t = O.

Supposons, de plus, la fonction z> nulle pour xK =.. .= x„ = o, ce qui revient à remplacer f par f a mentée d’une constante convenable.

Si la fonction satisfaisant . x conditions de l’énoncé existe, on pourra, à l’aide de l’équation (E), effectuer son développement suivant les puissances de x, xK, ..., x„. On aura, en effet, les valeurs de toutes les dérivées partielles de /pour

x = Xi =... = xu = o ;

c’est d’ailleurs ce que nous avons montrer que le développement ainsi obtenu est convergent tant que les modules des x sont suffisamment petits.

déjà dit (t. II, p. 36i ). Il faut

La démonstration de la convergence va encore résulter d’une comparaison avec un système convenable. Soit M le module maximum des X quand x reste dans son plan à l’intérieur d’un cercle de rayon a ayant l’origine pour centre, et que xt, x₂, ..xn restent respectivement dans leur plan à l’intérieur d’un cercle de rayon b. Nous pouvons prendre comme fonction de comparaison

or j —f- x •>    . . . -f- x n

au

au

au

dx

dxx

dxn ) ’

et nous prendrons comme valeur initiale de U pour x — o

xx . .. -4- xn

-N,

en désignant par N le module maximum de cp. Or l’existence de la fonction U se démontre immédiatement. On peut présumer de suite qu’elle se réduira à une fonction de x et de z en posant

Z = x, -t- x₂ -I-... -t- x„.

On a donc à étudier l’équation

au

au

* (-0feD*

et l’intégration de cette dernière équation est immédiate. On peut, si l’on veut, la ramener à une équation à coefficients constants, en faisant sur x et sur z les changements de variable indiqués par les relations

dx

— dx\

dz — dz'.

x'= o, z'= o correspondant à x = o, z = o. On a alors l’équation

au

au

—.    -r—7>

dz

dx'

dont l’intégrale est visiblement

U = o(z'-h nMx’).

L’intégrale qui nous intéresse s’obtiendra donc immédiatement.

2. Nous allons maintenant étudier le cas où le théorème général qui précède ne trouverait pas son application. Prenons l’équation à

n variables indépendantes

(2)

X ÊL + x    M- =

¹ éa?i ² dx₂ "    ” da?,t

O,

où X

x, = x₂ =

indépendantes, le théorème précédent l’existence des intégrales de l’équation (2) dans le voisinage des valeurs zéro des variables.

X₂, Xrt sont des fonctions des n variables x,, #₂, • • xn. Si les X, holomorphes par hypothèse dans le voisinage de = xn = o, s’annulent tous pour ces valeurs des variables

ne nous apprend rien sur

Xi, •

Nous remarquerons d’abord qu’on peut, en général, supposer que les termes du premier degré dans les développements des coefficients .., X„ se réduisent respectivement à

Ai#], A₂a?₂, •••) A n X n-

Soient, en effet,

X, — <X\ 1 a?, o! 12 a?₂ -H • . • -H a \n x n -+-. . X₂ = flt₂i X1 flt₂₂ X% -+- . . . -f- &2>l xn    .

X,J — Ctn 1 a7j + a«2 3?2 “t⁻ • • • H- annXU

Faisons le changement de variables linéaire

y 1 = «u Xi-h al₂x₂-h..aj„ a?„, y2 = a2i X\ -f- a₂₂ a~₂ -+-. • • -+- a₂« a^„,

= «Bl^ + ««₂a?2 + . • •-+- <*nnXn-

Pour que, dans l’équation transformée enjp-, les termes du premier degré, dans les coefficients de

àf

df_ àf_    _

ày \ dy₂    ’ dyn ’

soient respectivement

Ai ,    A₂y2,    • ••» A nyni

on devra avoir identiquement

(fllll X\ -4- al2x₂ -f- . . . -I- Cl\nXn)v.i\ -+-. . . -4- ( an\ Xy -4- . . . -h (^nnXn)^in

= Aj( an Xi -t- a i₂a?₂ -h.. .-t- a,„ a?„ ).

«ira

«2 ra

Nous plaçant dans le cas général, nous supposons distinctes les racines de cette équation, et nous pourrons alors déterminer le changement de variables donnant à l’équation la forme indiquée.

3. Partons donc de l’équation

o,

an — X «12

«21

«rai

«ra 2

= O.

(3)    (X^iH-...)^    =

les termes non écrits dans chacune des parenthèses étant de degré supérieur au premier en x,, a?₂, • • - , xn.

Nous allons chercher à trouver une fonction satisfaisant à cette équation. On ne pourra pas, en général, trouver de fonction holo-morplie au voisinage de X\—...= xn—o.

Laissant, pour un moment, de côté l’équation (3), nous envisagerons l’équation suivante :

àf

àf

( X j X\ -4-. . -)^T    'kn.Xn -h. .    /•

Peut-on obtenir une intégrale de cette dernière équation, holo-morphe au voisinage de x{ — x₂ =• • • = xn = o, intégrale qui devra nécessairement s’annuler pour ces valeurs? En dérivant successivement l’équation />, fois par rapport à x,, p₂ fois par rapport à x-₂, .. pn fois par rapport à x,n et faisant xt = x₂ = ... = xn = o, on obtiendra la valeur de

(pour    = ... = xn= o),

(4)

C)/,1+Pa+-■ ■+Pnj!

dxPyl...dxP?

exprimée à l’aide des valeurs des dérivées partielles de / d’ordre inférieur à pt + p₂ + • • • + Pm correspondant aux mêmes valeurs des

àf

variables. Seule la dérivée (pour xK = ...= xn = o) ne se trouve

pas déterminée par l’équation différentielle, tandis que les autres dérivées partielles du premier ordre ont une valeur nulle.

Ce que nous venons de dire suppose que le coefficient de l’expression (4) n’est pas nul; or ce coefficient se calcule immédiatement : il est égal à

Xi (Pl — 0 + ^2 Pî~I⁻ • • •+ X,;Pn■

Nous devons donc supposer que la somme précédente ne s'annule pour aucune valeur positive et entière de pt, p₂,    à l’excep

tion, bien entendu, de

p% —... — pn — o.

Pi = i,

Dans ces conditions, ayant pris arbitrairement le coefficient de x, dans le développement, tous les autres coefficients sont déterminés. Il s’agit de savoir si ce développement est convergent, les x ayant des modules suffisamment petits.

4. Nous ferons, en premier lieu, une observation d’un caractère géométrique. Considérons le quotient

(5)

Xi ( P\ — I ) + ^2 P2 + • • • + X/t Pn

P1 — I + P2 + • • • -H pn

un cas dans lequel il en sera certainement plan les points X|, Xa, ..., X„, et supposons contour convexe C comprenant à son intérieur mais ne comprenant point l’origine. On est

Nous aurons besoin, pour la démonstration de la convergence, de supposer que le module de ce quotient reste supérieur à un nombre fixe différent de zéro (les p étant des entiers positifs quelconques, en excluant seulement la combinaison pK = i, p₂ = p$ = . • • = p,t = o). On aperçoit facilement ainsi. Marquons sur un qu’on puisse tracer un les points précédents, alors assuré que

reste supérieur à un nombre fixe, car le quotient entre crochets est l’affixe du centre de gravité de masses pf, p₂, ..., pn respectivement placées aux points \₂, ..., Xrt, et ce centre de gravité est certainement à l’intérieur de C. Ecrivons maintenant l'expression (5) sous la forme

X,

Pl ~+~ p-i -I- • . . -+- Pn

Pl •+" Pî + • • • ■+" Pn

Or les seconds termes du numérateur el du dénominateur deviennent de plus en plus petits à mesure que les p augmentent. Donc, quand P\ +/?2 + • • • +/>» est supérieure à un certain nombre assignable, l’expression (5) n’est certainement pas nulle. D’autre part, quand la somme des p reste inférieure à un nombre déterminé, le module du numérateur de (5) doit nécessairement avoir un minimum, et ce minimum ne peut pas être nul d’après la supposition du numéro précédent. Nous sommes donc assuré, sous la condition des deux hypothèses faites, que le module de Pexpression (5) reste supérieur à un nombre fixe que nous désignerons par e.

5. Nous allons démontrer que le développement obtenu est convergent en adoptant les hypothèses indiquées ci-dessus. Posons

f= A a?, -+- r,

e commençant par des termes du second degré et A étant une constante arbitraire. Nous aurons

(6)

•k    ôv

• • • “t~ A n X n

àxn

-X, V

ôv

ôv

les développements de <p₍, ç>₂, ..., cp„ et commençant par des termes du second degré.

Désignons par M le module maximum de Ç5₍, ®₂, ..., et <I> quand les variables sont respectivement dans leur plan à l’intérieur d’un cercle de rayon a. Nous considérons l’équation

dV

ô\

ÔV

àxn

(7)

X\

.. .-h xn

ÔV ôY àxi ôx%

ôY

àxn

Nous allons voir dans un moment qu’il existe une intégrale V de cette équation s’annulant, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, pour xt — x₂ = • • • = xn = o. Or la comparaison des équa-

CHAPITRE I.

dons (6) et (7) est immédiate; le coefficient de

(pour x₁ —    Xn — o),

dPd~-“~JrPn V

dx?¹.. . dx?”

dans le calcul des dérivées successives à l’aide de l’équation (6), est, comme nous l’avons vu, égal à

h(pi — I) + Y P 2 + ...+ b, Prit

tandis que, pour l’équation (7), le coefficient correspondant est £(P 1 — I P% "P* • • ■ P n )*

Il est donc clair, d’après la définition même de e, et en remarquant que <pl5 cp₂> • • • , cpn et ont été remplacées par des fonctions de comparaison jouissant des propriétés que l’on sait relativement aux valeurs de leurs dérivées partielles, que la série e tirée de (6) convergera quand la série V tirée de (7) sera elle-même convergente. Nous n’avons donc plus qu’à étudier l’équation (7).

Nous pouvons présumer que Y est une fonction de w, en posant

u = x, x<> -h .. .    x„.

L’équation (7) devient alors

dV

du

que nous pouvons écrire

d\

U -y---V =

du

M 'u*

M' étant une constante. Il faut voir si cette équation admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de u = o, et s’annulant pour cette valeur ainsi que sa dérivée première. Or l’équation précédente est une équation linéaire du premier ordre que nous mettons sous la forme

ttM'u²

dV

a — u du

Une intégrale de l’équation sans second membre est

SINGULARITÉS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

cp(w) représentant une fonction holomorphe autour de l’origine o]. Posant alors V = Cuv(u), nous trouvons pour ^ une

fonction holomorphe; G sera complètement déterminé par la condition de s’annuler pour u — o, et nous aurons bien pour V une fonction holomorphe dont le développement commence par un terme en u~. Notre démonstration est donc complète.

§ 3. Il a été

6. Nous pouvons élargir un peu l’hypothèse faite au admis dans ce numéro que l’expression

(/>1 — l) + ^2 P% ~~• • • +

ne s’annulait pour aucune valeur positive ou] nulle des p, autre que — 1 } p₂ = ... =pu = o. Cette somme pourrait s’annuler pour des valeurs positives des p correspondant à

Pi +/*2 -+■ • • • -+- Pn = ¹1

sans que notre démonstration subît de modification importante. Ceci revient à dire qu'une des quantités ~k₂, ..., \n pourrait être égale à . Qu’arriverait-il, en effet, dans ce cas?

Si l’on a, par exemple,    2), la dérivée partielle du

premier ordre pour les valeurs nulles des variables ne sera pas

déterminée par l’équation différentielle, elle restera donc arbitraire; à ce point près, rien ne sera changé dans la démonstration. On posera seulement

f — A    B Xi -t- V,

A et B étant des constantes arbitraires, et la démonstration se poursuivra comme au § 5.

En résumé, Véquation

(«)

àf

-t-..    . .

n àf_ =x . ' ^ àxn

admettra une intégrale holomorphe dépendant au moins d'une constante arbitraire, si les conditions suivantes sont remplies :

i° La relation

n’est vérifiée pour aucune valeur entière et positive des entiers p satisfaisant à l’inégalité

P\ ■+■ Ps-H* • «-t⁻ Pn= 2 ;

2° Si l’on marque sur un plan les points correspondant aux affixes Xt, X₂, .Xrt, on peut tracer un contour convexe comprenant ces points à son intérieur, mais ne comprenant pas l’origine.

On peut évidemment substituera la seconde condition la suivante : Une certaine droite passant par l’origine laisse tous les points d’un même côté.

7. En supposant remplies les conditions indiquées, cherchons maintenant ce que nous pourrons tirer du théorème précédent pour l'étude de l’équation proposée

àf

àf

àf

...+anxn+...)^

— o.

Désignons par fK une intégrale holomorphe de l’équation (a), par f2 une intégrale holomorphe de l’équation analogue à (a), mais où X₍ a été remplacé par X₂. Nous avons

(*!-,+...)!£    +    = X,/,,

Xî/î»

ce qui peut s’écrire

à log./T¹

d.é|

par suite, en retranchant ces deux équations, on voit que

/F

et par suite

fb

f\'

satisfont à l’équation (j3).

Il n’est pas inutile de remarquer que cette intégrale ne devient pas illusoire quand X, = X₂. En effet, dans ce cas, les termes du premier degré en x, et x₂ sont arbitraires dans fK et dans f₂ (voir § 6); donc

on a

fi — A x ] -+- B x₂ H-. . .,

/* — A X\-+- B'x₂-h. .

en n’écrivant que les termes du premier degré; les A et les B étant

arbitraires, le quotient j^ ne se réduit certainement pas à

une con-

s tante.

En mettant successivement dans le second membre de l’équation (a), à la place de les autres valeurs des À, on obtiendra n fonctions holomorphes

savoir :

et, d’après ce que nous venons de dire, on aura n — i intégrales de l’équation ([3), à

Ces n — i intégrales sont distinctes, c’est-à-dire qu’il n’existe pas entre elles de relations. Dans le cas contraire, on aurait une relation entre fiifi, .    et, par suite, le déterminant fonctionnel

DOi, x₂, . ..,xn)

serait identiquement nul. Pour démontrer qu’il n’en est pas ainsi, prenons d’abord le cas où tous les X sont distincts; on aura alors

fi = AiX\ -+-..

fi — A₂ x₂ -t-...,

•)

fn = A nxn-h..

en n’écrivant que les termes du premier degré. Les A étant arbitraires, le déterminant fonctionnel de ces fonctions ne peut être identiquement nul.

Si l’on suppose que deux ou plusieurs des quantités X sont égales entre elles, il n’j a pas plus de difficultés, puisqu’on peut encore donner cette même forme aux f.

En résumé, on pourra obtenir, dans le voisinage de

Xi — X<L =

= Xtl = O,

un système de n

intégrales distinctes de Véquation

àf

àf

(Xia7l+---⁾S7+(X2Æ?2“t_-"⁾£

n.

quand les conditions du § 3 seront vérifiées ('). Il faut ajouter, bien entendu, qu’à la première condition mentionnée dans ce numéro doivent s’ajouter celles qui en dérivent par permutation des nombres i, 2

II. — Applications aux équations différentielles.

8. Nous pouvons déduire des théorèmes précédents des résultats intéressants concernant les équations différentielles ordinaires. Envisageons le système d’équations différentielles ordinaires du premier ordre

(8)

dxy    dx₂

x7 ⁼ x7

dx J,

⁼ x7’

x,n satisfaisant aux

les X s’annulant pour x, — x₂ = . • • = xn = o ; nous allons indiquer un cas étendu où nous aurons des courbes intégrales passant par l’origine. Il ne sera pas inutile de préciser cette expression de courbes intégrales. Tout système de quantités X\, x équations différentielles précédentes, forme une multiplicité à une dimension (c’est-à-dire dépendant d’un paramètre), et l’on peut, si l’on veut, considérer cette multiplicité comme une courbe dans l’espace à n dimensions. C’est dans ce sens que nous parlons d’une

(¹ ) Ce théorème, sous sa forme générale, a été démontré par M. Poincaré dans sa Thèse Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences p rtielles (Paris, 1879). La forme géométrique donnée aux conditions est particulièrement intéressante.

courbe intégrale : nous ne faisons qu’étendre à n quelconque une expression dont le sens est immédiat dans le cas de deux et trois dimensions. Le système (8) étant l’équivalent de l’équation aux dérivées partielles

àf

X.f^+X

àf

dx

² dx..

àf_ ₌

dxn

o,

nous sommes assuré de pouvoir, en général, par un changement linéaire de variables, réduire les équations à d’autres, dans lesquelles on aura

X// — X/j x n -t- .. .,

en nous bornant à écrire les termes du premier degré. Plaçons-nous donc dans cette hypothèse. Je considérerai alors le système suivant :

dxx dx-,

*x7 ⁼ "xT

dxn dt

■xT ⁼ T’

t étant une variable en fonction de laquelle nous voulons exprimer xK, x₂, ..., xn. Nous avons un système de même forme. On a à considérer ici les n -f- 1 équations

X,

oa?!

dfi

UX₂

• ••-+- X,t -—

dxn

= hfi

(i = 1,2, ..n),

X,

dfi+l

dx 1

OX 2

x„

àfn

-ht

àxn

"t~¹ _ f

dt

on

pourra prendre pour les fi des fonctions indépendantes de t et qui seront précisément celles que nous avons étudiées dans la Section précédente, dans l’hypothèse où les \ satisfont aux conditions indiquées. La fonction f contient simplement un terme en xt comme terme du premier degré; nous regarderons les fonctions fi comme parfaitement déterminées, en donnant aux constantes désignées précisément par Ai (§7) des valeurs numériques.

Nous pouvons ensuite prendre pour n -f- ileme fonction

fn+\ ⁼ t.

CHAPITRE I.

Nous avons donc les n intégrales

= C,

fx(xuXî, . . ., xn)

A.

Xn)

Aï

— C₃,

A»

= c„.

9. Des équations précédentes o/t /?ew£ tirer des développements de xt, #₂, ..suivant 'les puissances entières et positives de A», A>, ..., A», puisque le déterminant fonctionnel des f ne s’annule pas pour les valeurs nulles des x. Le développement sera convergent si les modules de

Gj Ai, C₂ Aa, .Cn A™

sont suffisamment petits. Des circonstances très diverses pourront à cet égard se présenter. Un cas très favorable serait celui où les parties réelles de tous les A seraient positives. Dans ce cas, t tendant vers zéro dans une direction quelconque, les modules précédents tendraient vers zéro, et x,, x₂, ..., xu tendraient eux-mêmes vers zéro.

Nous avons donc alors un ensemble de courbes intégrales passant à l’origine et dépendant de n — i constantes arbitraires (1-élimination de t ne laissant manifestement que n — i constantes).

Le cas où les parties réelles des \ seraient toutes négatives n’est pas

différent du précédent, puisqu’il suffit de changer t en y pour y être ramené.

Supposons maintenant que les parties réelles soient seulement positives pour

X₂,

lp (/></*)•

On fera C

p+i —

..= C„=o, et l’on aura des développements de Xt, Xo, ..., xn suivant les puissances de Ai, As, ..., Ap, ce qui donne un ensemble de courbes intégrales passant à l’origine et dé-

pendant de p — i constantes arbitraires. En changeant t en et

faisant alors C, = C₂ =. • .=    = o, on aura un autre ensemble de

courbes intégrales passant à l’origine et dépendant de n — p arbitraires.

Nous nous sommes placé dans les cas les plus simples, de manière à pouvoir faire tendre t vers zéro dans une direction quelconque (l'argument seulement restant fini).

On pourra avoir d’autres intégrales qui correspondent à t tendant vers zéro suivant une certaine Loi. Ainsi, soit X, = i, ce qui ne diminue en rien la généralité, puisqu’on peut diviser les X par X et soit

X₂ = a -t- bi,

a étant négatif. Pour ne pas m’occuper des autres valeurs des X, je fais

C₃ =... = C„ = o.

Supposons, pour fixer les idées, b >> o. En posant

t = re^\

on a

I fa | = ealogr-60.

Faisons suivre au point (/', 9) la spirale

r = e~~

( tn > o),

9 tendant vers l’infini positif. On aura

a logr — b 0 = — (am -t- 6)9.

Si donc m a été choisi de telle sorte que l’on ait

am + 5>o

(et il suffit pour cela de le prendre assez petit), on est assuré que 111 et | di | tendent vers zéro.

Si l’on avait eu b < o, on aurait pris une spirale

( m > o),

9 tendant vers l’infini négatif.

On obtient donc ainsi, dans tous les cas, un ensemble de courbes intégrales dépendant d’une constante arbitraire, qui ne rentrera pas, en général, dans les ensembles de courbes intégrales considérés plus haut.

10. Nous pouvons facilement généraliser les résultats précédents

en considérant le système

# fcl.fr

= 'fi (xu ^2) • • - , Xn, t),

= f 2 (371, 37₂, . . ., 37 n, t ),

dxn

t ^    = f n ( 37j , 37₂, . . ., 37n, £ ),

les <p étant des fonctions holomorphes dans le voisinage de

OC ^ —• OC 2 — • • • — OC —— / - - O

et s’annulant pour ces valeurs. On voit bien aisément, comme plus haut, qu’en général (j) les termes du premier degré en xK, x₂, ■■ xn, t peuvent être supposés respectivement réduits dans f,, ..., on àl,x,, ^2^2, • ••, ~^n % n •' c’est ce à quoi l’on parvient, en gardant la variable t et en effectuant sur les x un changement de la forme

37j — Cl\ \ X\-\-    <X\u Xn-\- b \t,

37 ₂ = a₂1 37[ -|- . . . -4- <^2/î37/j-h b^t.,

37 n — Ctn \ 37]    <XnnXn -+- b nt.

Nous considérons donc le système

dx\ t —0 dt

dx<.

(It

dxn .

t~dt ~    ⁺

mais où les termes du second degré ou de degré supérieur peuvent renfermer f; c’est ce qui distingue le cas actuel de celui que nous avons examiné dans les deux numéros précédents. Si les n -f- i quantités

(') Il y a des cas particuliers où cette réduction est impossible, mais nous ne nous y arrêtons pas pour n quelconque. Nous en ferons l’étude approfondie pour n — 2.

satisfont aux conditions requises pour l’application de la théorie développée ci-dessus (première Section de ce Chapitre), nous aurons le système d’intégrales

A.

= Ci

(i = i, -2, . .    n),

les/'étant des fonctions holomorphes en t, ,r₍, 3?₂,    et le dé

veloppement de fi ne renfermant que Xi comme terme du premier degré. On peut étendre à ce système les remarques du numéro précédent : les x se présenteront sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances entières de

t, Ai, A».

et l’on doit ici supprimer ce qui était relatif au changement de < en --qui n’aurait plus aucune application, puisque les f dépendent de t.

III. — Étude directe de la forme des intégrales des équations différentielles ordinaires.

11. Les développements de xt, x₂, •••, ocu suivant les puissances de A», As, ..., A«, d’où nous venons de tirer (nos 8 et 9) des conséquences importantes relativement aux intégrales du système

dxn

dx i    dx=i

"x/ ⁼ le ⁼ '

n’ont été établis que si tes A satisfont aux conditions indiquées dans La première Section de ce Chapitre. Dans le cas contraire, rien ne subsiste de nos résultats. Tl y a là une lacune que nous allons, autant que possible, chercher à combler.

Reprenons donc les équations du n° 8:

dx i

t—C-

(9)

dt

= X,

Æ =x₂

dt

= x„,

xn et ayant respectivement .«■4,/oXo, ..., A,xn. Supposons que

les X ne dépendant que de x pour termes du premier degré A, parmi les quantités \ on puisse en trouver v,

A S n),

H?

i8

i° On peut tracer une droite passant par l’origine et laissant d’un même côté les points du plan ayant pour affixes )M, A₂, ..Xv-

2° Aucune des équations

Xj (P\ l) -I⁻ X₂Pi    Xv/?v — O,

X l/?l “H X₂ (/?2 — I ) "I⁻ • • • "+~ XV/>V — O,

ne peut être vérifiée pour des valeurs des p entières et positives satisfaisant à l’inégalité

Pi -t-/>2 -H - •    = 2.

3° Nous supposons enfin que pour aucune valeur des entiers positifs p on n’ait

(i = v -h i, ..n),

Xi/?i-H X₂/>2Xv/?v — Xj les p satisfaisant à la même inégalité.

12. Nous allons démontrer qu’o/i peut trouver pour x{, x₂, ..., xn des développements procédant suivant les puissances de

Aa, ..., d¹,

et convergents si les modules de ces quantités sont suffisamment petits.

Soient

y¹ =

jTv = Av.

On va considérer pour un moment les x comme fondions des variables indépendantes y ('). En écrivant que les équations (y) sont vérifiées, nous obtenons le système d’équations aux dérivées

partielles

X'iJKi

f l fil

°y 2

■v    <Xr₂    .

-t- A2<y₂ —    Avjv

fil fil

— X₂ 3?₂ -4— . . .,

dx ,i    dxn    .    àx n    .

Ai^i T- 1- A₂_72 T—--(-...-H Xv^v-r— = A„ar„4-. • • •

®JKi    472    àyy

Montrons qu’on peut satisfaire à ces équations en prenant pour les x des fonctions holomorphes des y. La démonstration présente une grande analogie avec celle qui nous a occupé au § o.

Les équations précédentes permettent de calculer de proche en proche les dérivées partielles des x pour les valeurs zéro des variables^- Seules les valeurs des dérivées du premier ordre

dx\ àx.f

àyi ’ àyt ’

restent arbitraires (').

Le coefficient d’une dérivée d’une quelconque des fonctions x.

( h = i, i.

est de la forme

X fl

d7Pi dypJ... dyP'

(pour h £ v)

X i/o -t- X₂/>2 -+-... -i- X/j ( p/i — i ) -i-... -t- Xv/^v

et de la forme

( pour h > v).

Xi /?t —+— X₂/?2 -t- • • • -+- Xv/?v — X/j

D’après les hypothèses faites au numéro précédent, les modules de ces coefficients sont supérieurs à

&(pi ■+■ Pi -+-••• -+- Pv — i),

£ étant un nombre fixe. On le voit en raisonnant absolument comme au § 4 de ce Chapitre.

Il est facile maintenant de trouver des équations de comparaison permettant d’établir la convergence des développements que nous

(‘) En disant ceci, je suppose tous les A différents; mais le cas où deux ou plusieurs A sont égaux ne présente pas ici plus de difficultés que dans la Section I.

venons de former. Ecrivons d’abord les équations sous la forme

,    , dx\

AiJi ■+■ Â2^2 t—

À ] X\ - '-pi ( Xy , X-l, . . . ) xn )r

dxi

• • • ■+■ Cyv —,-

àxn

àyi

-+■•••-+- AV^V T-² —    = *n(x y, x₂, ...,xn),

°JKv

les cp ne renfermant pas de termes du premier degré. Nous formons alors le système

= + l,y,

ày i

èV;

ciV,-

év,

£ ri— -^^2— +•••+.— V,-— M — M

éy₂

.. . -t- \

Par raison de symétrie, tous les V sont égaux, et nous avons seulement une seule équation, qui se réduit à une équation à une seule variable V, ne dépendant manifestement que de

u = y, -+-y₂ -4-. . . -i- y,;.

On a finalement une équation de la forme

dV

U du

M'V*

n V’

et cette équation admet une intégrale holomorphe s’annulant pour u = o, et dont la dérivée première prend, pour cette valeur de u, une valeur arbitrairement donnée.

Nous avons donc, pour#), #₂, ..., xn, des fonctions holomorphes-de y,, y-₂, ..., yv dans le voisinage de

y, =y₂ = ...=yv= o.

En remplaçant y,, y₂, ...,yv respectivement par Ai, A», ..., Av,

on obtient , s’il est possible de faire tendre t vers zéro, de manière que les modules de toutes ces puissances de t tendent en même temps vers zéro, des intégrales du système (g) tendant vers zéro avec la variable t. Ces intégrales dépendent de v constantes arbitraires.

On voit que le résultat que nous venons d’établir est plus étendur

tout en étant de même forme, que celui de la Section précédente. Les hypothèses essentielles portent seulement sur v des constantes au lieu de porter sur toutes ces quantités.

13. La généralisation est immédiate pour le cas où les X contiendraient t, et où nous aurions, comme au § 10, le système

= <pl Ol, #2, . . ., xn, t),

dx i t—r1 dt

dx ₂

t~dt ⁼ ¥* Oi> • • •

Xn, t).

Nous pouvons, comme au paragraphe cilé, supposer que les termes ■du premier degré en    x₂, ..., xn et t se réduisent respectivement,

dans f,, ..., <p„, à 1, xK, .. \n xn.

Nous cherchons ici un développement ordonné suivant les puissances de

(v £ n).

t, Ai, Aa, ..., Av

Nous aurons les mêmes hypothèses à faire que plus haut, sauf que nous avons ici v H- i quantités

O11 devra donc pouvoir mener par l’origine une droite laissant d’un même côté les v 1 points ayant ces affixes. De plus, on supposera qu’il n’existe aucune relation de la forme

(pour h^ v ),

Pi Àj -t- /?2 A2 —t—. • .-I- {ph — 1 ) X/j -t-.. . -+- /*vXv -t- /?v+: ⁼ °

les p étant des entiers positifs dont la somme est au moins égale à deux.

Enfin on n’a pas de relation de la forme

(i = v -+- 1,    n),

P\ X[ -4- p2X2 -+-... -t- P'i Xv -+- P't-1-1 ⁼ X/

les p étant assujettis aux mêmes conditions.

Il n’est pas besoin de recommencer un nouveau raisonnement.

Nous sommes ramené au cas précédent en considérant le système dx\

= «PlOl, ^2, • . - , xn+l),

t—r±

dt

dxn

dt

t dx„+.i

— ’frc ( x\ i . . . , Xni Xn+i ),

dt '

et en prenant la constante qui ligure dans x„₊i, de manière que celle-ci se réduise à t.

Nous trouvons ainsi des séries ordonnées suivant les puissances

de

t, tt i, N, ..., N,

et qui dépendent de v constantes arbitraires.

On pourra toujours tirer parti du théorème précédent, ne fut-ce qu’en se bornant à v = o. On aura alors pour les x des fonctions holomorphes, qui ne dépendront d’ailleurs d’aucune arbitraire.

CHAPITRE II.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES DU PREMIER ORDRE A DEUX VARIABLES.

I. — Examen du cas général.

1. Nous allons appliquer à l’équation

dx

dy

les résultats généraux qui viennent d’être établis dans le Chapitre précédent.

On suppose que X et Y s’annulent pour x=y = o et sont des fonctions holomorphes de x et y dans le voisinage de ces valeurs. Soient

X = ax -1- b y -4-...

Y = a' x -f- b'y -4- . ...

D’après ce que nous avons dit (Chap. 1, § 2), on pourra faire un changement linéaire de variables sur x et y, si l’équation du second degré

(O

a'

b'—k

a ses deux racines distinctes, de telle sorte que l’équation devienne

dx !

dx ₂

Xi^! -4“ ...    X2 .T"2 “l⁻ . • .

les termes non écrits dans les dénominateurs étant au moins du second degré; les deux coefficients À, et À₂ sont les racines de l’équation (i). On peut évidemment supposer que l’une d’elles se réduit à l’unité. Nous écrirons alors, comme précédemment, le système d’équations

— X *2 “H . .

et nous n’avons qu’à appliquer, dans ce cas particulier, nos conclusions générales.

Reportons-nous au Chapitre précédent; nous avons à considérer les deux points

et À

(on suppose X go).

Si \ n’est pas une quantité réelle négative, on pourra évidemment mener par l’origine une droite laissant les points d’un même côté. Supposons de plus que \ ne soit pas un entier positif ou l’inverse d’un entier positif. Dans ces hypothèses, aucune des égalités

X( p\ — i ) -t- Pi — o, X/>i -+- P i —

ne peut se trouver vérifiée, les p étant des entiers positifs dont la somme est supérieure ou égale à deux. Nous aurons donc des développements de xt et x-> suivant les puissances de

Cf et C'd

(G et C' constantes arbitraires),

développements convergents si C t et G d sont de modules suffisamment petits.

Une distinction est manifestement à faire, suivant que la partie réelle de À est positive ou négative. On pourra, dans le premier cas, faire tendre L vers zéro d’une manière quelconque (son argument restant fini). Dans le second cas, il faut, au contraire, faire tendre t vers zéro d’une manière convenable. Soit

(a < o),

À = a -t- bi

et supposons b >► o. En posant t = re^¹. on a

I fX | ₌ gX"Hr—bb ;

faisons suivre au point (/•, 0) la spirale

(/n> o),

P — g—///O

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES.

G tendant vers l’infini positif. On aura

a Iog/• — b(i — — (am -h b)6.

Si donc ni a été choisi (il suffit de le prendre assez petit) pour que

am -+- b > o,

| 0' | et | t j tendront tous deux vers zéro.

Si l’on avait eu b o, on aurait pris une spirale

/• =

( ni > o),

G tendant vers l’infini négatif.

Ainsi, avec les hypothèses faites plus haut, nous pouvons dire que l’équation

dx    d y

T ⁼ T

a une infinité de courbes intégrales, dépendant d’une constante arbitraire, passant par /’origine ou s'en rapprochant indéfiniment, suivant que la partie réelle de A est positive ou négative.

Je rappelle, comme je l’ai expliqué (Chap. I, § 8), que j’entends par courbe intégrale la multiplicité réelle ou imaginaire à une dimension, satisfaisant à l’équation différentielle.

Ajoutons la remarque très importante qu’«V té existe pas d'autres courbes intégrales passant par l’origine ou s’en rapprochant indéfiniment que celles que nous venons d’obtenir. Pour le démontrer, il suffit de généraliser le raisonnement lait au Tome II (p. 356) pour établir, en dehors des points singuliers, l’existence unique d’un système d’intégrales par les valeurs initiales. Reportons-nous à la forme de l’intégrale générale (Chap. I, § 7)

g,

f\ et f₂ étant holomorphes dans le voisinage de x = o, y — o et s’annulant pour ces valeurs. La première fonction j\ renferme seulement un terme en y comme terme du premier degré, et f-, un terme en x.

Or on peut poser

on aura alors nécessairement

/i(*,r)= G*x-

Pour une courbe intégrale passant à l’origine, ou s’en rapprochant indéfiniment, t et fi tendront nécessairement vers zéro, et les développements précédents donnent, par suite, toutes les courbes intégrales (').

2. Briot et Bouquet ont, les premiers, entrepris l’étude des courbes intégrales de l’équation

dx _ dy

sur

passant par x — o, y = o, dans le cas où X et Y s’annulent pour ces valeurs des variables. Dans leur mémorable Mémoire (-), lequel nous reviendrons bientôt, ces éminents géomètres montrent que, en général, cette étude peut se ramener à celle de l’équation

dy

tlx

x —

les termes non écrits étant de degré supérieur à un.

Les racines A sont égales à un et b. On peut ici prendre t = x, et, d’après le § 1, nous aurons, pourjp, un développement ordonné suivant les puissances de

x et Cxb,

la constante que nous avons désignée par C étant égale à l’unité. Cette conclusion suppose que b n’est ni un entier positif, ni l'inverse d un entier positif, ni une quantité réelle négative, comme on le voit en se reportant au § 1. Sauf quand b est un entier positif, l’équation admettra toujours une intégrale lio/omorplie, qu’on obtiendra en faisant a — o.

Sans se servir de développements en séries, Briot et Bouquet ob-

(’) Outre les Notes citées (p. 18), je mentionnerai encore sur celle question un article de M. Poincaré [ Sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles ( Journal de l’École Polytechnique, Cahier XLV; 1878)] et une Note que j’ai publiée dans le Bulletin de la Société mathématique en 1884 (Sur la forme des équations différentielles du premier ordre dans le voisinage de certains points critiques).

(*) Briot et Bouquet, Becherches su/- les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles (Journal de l’École Polytechnique, t. XXI; 1856).

tiennent les résultats que nous venons d’indiquer. Je veux seulement faire une remarque sur une contradiction apparente entre un résultat du Mémoire que nous citons et un des résultats du § 1. Ainsi on trouve dans le Mémoire de Briot et Bouquet le théorème suivant :

Quand dans Véquation

dy

dx

x -é- —

la partie réelle de b est négative, l’équation n’admet pas d’autre intégrale s’annulant pour x = o que Vintégrale holomorphe.

Ce résultat suppose implicitement que x tende vers zéro en décrivant un chemin de longueur finie et correspondant à un argument restant fini. ÎNous avons vu, au contraire (§ 1), qu’il y a (b étant complexe) une infinité de courbes intégrales se rapprochant indéfiniment de l’origine. Mais, et c’est ce qui explique l’apparente contradiction, elles correspondent à x tendant vers zéro en tournant une infinité de fois autour de l’origine.

Briot et Bouquet démontrent de la manière suivante (loc. cité) leur théorème. Ils ont établi précédemment l’existence d’une intégrale holomorphe y,. En posant

y =jk.-+- z,

l’équation prend la forme

dz

X -j- =2(é + ï3-l- &»+...),

dx

que l’on peut encore écrire

dz

x = bz{ i -+- x'z ■+■ fi'z²-h...) -+- zx tp(Æ, x),

et, par suite,

dz

— -+- \(z,x) dx,

s(i -+- a.'z . .)

(jt(z,x) étant, comme f(z,x), holomorphe dans le voisinage de o. En intégrant le long d’un arc de courbe aboutissant à l’origine et désignant par 5₀ la valeur de z en un point x₀ de cette

x ) <3Ùr,

|ogi+₉⁽S) = |og(|;)‘+/ +(•»,

Jo

ç(s) étant holomorphe dans le voisinage de 5 = 0. Puisque l’arc a, par hypothèse, une longueur finie, l’intégrale qui figure dans le second membre restera inférieure à une limite fixe; d’autre part, l’argument de x restant fini, la partie réelle de

!<*(!)*

grandit indéfiniment en étant positive. Dans le premier membre, au contraire, la partie réelle grandit indéfiniment en étant négative; il y a donc une contradiction qui établit l’impossibilité que nous voulions mettre en évidence. La même conclusion serait encore applicable si la partie réelle de b était nulle.

3. Nous avons exclu, au

cas où \ était une constante réelle négative. Nous 11e pourrons plus faire usage des mêmes développements si \ est réel et négatif, ou du moins iis ne peuvent être, en général, convergents que si C ou G' est nul.

En faisant d’abord Ci = o, on aura pour x et y des développements suivant les puissances de t, convergents pour t assez petit et qui tendront vers zéro en même temps que t. Nous avons ainsi une première courbe intégrale ne renfermant aucun arbitraire.

Une seconde intégrale nous sera fournie en posant les développements sont alors convergents pour 111 suffisamment grand, et x et y tendent vers zéro en même temps que ÿ*

Nous obtenons donc ici deux courbes intégrales passant à l’origine.

Il est facile de voir que, dans l’hypothèse où nous sommes placé, il n’y a pas d’autre courbe intégrale de l’équation

dy _ a!x -t- b'y -t-...

dx

courbe, ou a

passant à l’origine, avec une tangente déterminée, c’est-à-dire avec une limite finie et déterminée pour^quand le point .(x, y) se rap-

y = tx\

l’équation devient

(E)

dt

(«'-+- b' t ) — t(a -h bt ) -+- x cf (x, t) a +- bt -h x <^(x, t)

t tendant, par hypothèse, vers une limite quand x tend vers zéro; cette limite ne peut être que l’une ou l’autre racine de l’équation du second degré

a!-1- b’t — l(a •+ bt) = o.

En effet, si la limite était une quantité t₀ différente d’une racine de cette équation, l’équation précédente pourrait s’écrire

dx

-r, =**''■*>■

'/(t, x) étant holomorphe dans le voisinage de t = t₀, x — o. Pour cette équation, on aurait une intégrale x tendant vers zéro quand t tend vers t₀ ; mais ceci est impossible, car l’intégrale de cette équation s’annulant pour t = t₀ est nécessairement x = o identiquement.

nous avons

L’équation (E) aura la forme de celle que nous avons considérée au § 2 avec Briot et Bouquet. En désignant par t{ une racine de l’équation du second degré et posant t — tx + 0

dÜt .    .. ₀

x — = Ai x -t-dx

et, pour la seconde racine t.>, nous avons une équation analogue

d0₂

Xd.X

— A. o CC H⁻* H 0 0 2 -f⁻ ....

Or l’équation en X,

ci — X

a!

b' —

a, comme nous l’avons supposé très facile montre alors que

au § 1, pour racines i et X. Un calcul

Bi = -

B, = X - i,

B, et B₂ étant négatifs : les conclusions du § 2 sont alors applicables, et nous n’avons pas d’autres intégrales pour les deux équations en 0 que les intégrales holomorphes, ce qui montre que l’équation

dy a'x-\-b'y. dx ax-hby-y...

n’a pas d’autres intégrales satisfaisant aux hypothèses faites que les deux intégrales signalées plus haut.

On a longtemps présumé que ces deux intégrales sont, en dehors de toute hypothèse, les seules qui passent à Vorigine ou qui s'en rapprochent indéfmirnent.

Dans un excellent travail sur les points singuliers des équations différentielles (' ), M. Dulac a montré que la question était très complexe. Prenons, par exemple, l’équation

dy .    .

xTx+r^⁺---) = 0'

où v est positif, équation à laquelle peut toujours se ramener le cas où X est négatif.

M. Dulac examine particulièrement le cas où v est un nombre rationnel — , et montre qu'il y a alors, en général, une infinité

d'intégrales pour lesquelles x et y tendent vers zéro. Citons, comme exemple, l’équation

x dy -+-y(i — xy) dx = o,

dont l’intégrale générale est

G xy = i -+- xy \ogx,

C étant la constante arbitraire.

II. — Étude d’un cas particulier remarquable.

4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que l’équation ( î) en À avait ses deux racines distinctes. Reprenons donc l’équation

(‘) H. Dulac, Recherches sur les points singuliers des équations différentielles (Journal de l'École Polytechnique, IX“ Cahier, 1904). Voir aussi la suite des recherches de cet auteur dans les Annales de l’Université de Grenoble, t. XVII, .igo5 et Journal de Mathématiques de M. Jordan, 1906.

en supposant que l’équation en \

a — X b a' b' - X

ait une racine double. On peut alors effectuer sur x et y une substitution linéaire de telle sorte que les équations prennent la forme

dy

diiï'érenti elle

dx

dy

ax -t- by -t-. .. a!x -t- b'y 4-. .. ’

dx

Xx 4-.. . [lx -F- Xy -+-.. . Considérons, en effet, l’équation

àf

( ax 4- b y    ^ (a'x -4- b' y 4-. .

•>g-

Faisons le changement de variables

xt = olx 4- fiy,

y\ = t&-+- sr;

nous avons

àyi

(a*+by+    x + b‘y+... )(f —

On détermine a et [3 par la condition que

z(ax 4- b y) -|- P (a' x 4- b' y) = X(a.x -+- fiju),

ce qui donne pour X la racine de l’équation du second degré écrite plus haut. Posons ensuite

y(ax-hb y)-+-8( a'x-+- b'y) = \x(ax 4- fiy) + ^(p + S y),

c’est-à-dire

Y (a — X) 4- ôa' = fjux, y b 4- 8(b' — X) = fxp,

et ces deux équations se réduisent à une seule, comme on le vérifie aisément, en s’appuyant sur ce que l’équation du second degré a une racine double.

On a, par suite, à considérer les deux équations (en divisant les

CHAPITRE II.

dénominateurs par A, ce qui revient à faire X== i)

dx

(2)

= ixx -t- y-h....

o. Nous allons chercher si l’on peut obtenir des intégrales de celte équation ordonnées suivant les puissances fie

v = t log t.

Nous formons ainsi le système d’équations aux dérivées partielles

dx

ôx

dx

U du

~dl>~UTv dv dv

en substituant dans les équations, pour x et y, des fonctions de u et p, que nous allons pour un moment considérer comme des variables indépendantes.

Les équations (3) admettent-elles un système d’intégrales holo-morphes dans le voisinage de u= o, p = o ? Nous remarquons d’abord qu’elles permettent de calculer les dérivées partielles successives de x et y pour u = o, p = o.

En différentiant, en effet, p fois par rapport à u et n fois par rapport à p, la première équation nous donne l’expression

(3)

= p. x -h y -h . .

du P-¹ dv'l+i

( pour u — o, v — o),

ôn+i> x

duP dv'¹

dn+P x

exprimée en fonction des dérivées partielles de x et y d’ordre inférieur à n -f- p. Donc, on pourra calculer toutes les dérivées partielles de x d'un ordre déterminé en fonction des dérivées d’ordre inférieur de x et y; la seconde équation donnera alors les dérivées partielles du même ordre de y en fonction des mêmes dérivées. La seule dérivée partielle restant arbitraire est la dérivée —•

Nous pourrons donc former des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de u et p, et il reste à démontrer que ces séries convergent pour des valeurs suffisamment petites de u et p. Nous nous trouvons ici dans des circonstances assez différentes de celles que nous avons précédemment rencontrées.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES.

6. Considérons, au lieu du système (2), le système

dx

(4)

= |xx -h Xy

qui ne diffère de (2) qu’en ce que, dans le second membre, le coefficient de y est X au lieu de un ; X désigne une constante positive inférieure à un.

nous

Avec le système (4), nous rentrons dans le cas général, et avons des intégrales développées suivant les puissances de

t et A.

Nous pouvons aussi considérer ces intégrales comme développées suivant les puissances de

— t et

En posant

U —- t,

*X_ t

T^T’

on est conduit à former le système d’équations aux dérivées partielles

^ dx u -t- Xu —-du

(5)

SIS *sl S

l^> V hs

dy

+ ÀP —— - U

dv

dx

et, ce système correspondant au cas général, nous sommes assuré qu’on peut y satisfaire par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de u et v.

Or la comparaison des systèmes (3) et (5) est très facile; le coefficient de la dérivée

d"~h/⁾ x

dup àvn

est, pour le premier système, p -f- n — second,

tandis qu’il est, pour le

p —f- X n — 1.

KATEDRA I ZAKtAD MATE M AT V K I W Y D ZIA h U INZYNIERII W KRAKOWIE

Donc, dans le développement tiré de (5), les coefficients auront des dénominateurs numériques plus petits (X << 1) que dans le déve-P. — III.

Joppement tiré de (3). La convergence des développements que nous avons déduits des équations (3) est donc assurée.

Les intégrales du système (2) se présentent donc sous forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

t et t\ogt\

elles dépendent d'une constante arbitraire.

7. Dans les conclusions générales du paragraphe 1 de ce Chapitre, a été exclu le cas où X est un entier positif ou l’inverse d’un entier positif. Ces cas se ramènent au cas particulier que nous venons d’étudier. Pour le faire voir, considérons le système

dx

t7t=x + --"

= my -t- aa? -I-..

A

dt

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier, et m étant un entier positif. En posant, on ramène ce système au suivant,

dx

c est un système de la même forme où m est remplacé par m — 1. On pourra donc, en opérant de proche en proche, être ramené au cas où m = 1, que nous venons d’étudier.

III. — Réduction de l’équation à des formes simples.

8. Nous avons dit (§ 2) que Briot et Bouquet (') réduisent, en général, l’équation à une forme plus simple, moyennant, il est vrai, ²

mais on a

(a'-t- i) ji 4- P'= a fi 4- P 4-

ou

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES.

quelques hypothèses complémentaires. Reprenons l’équation

dx

dy

que nous écrirons

(Ay³' x?' 4-... ) ^    ...

Les quantités x et y s’annulent en même temps. Supposons que y

dy

soit d’un degré déterminé p. par rapport à x, et de telle sorte que ^

soit de degré p. — i. 11 devra, dans ces conditions, y avoir dans les deux membres de l’équation précédente des termes de même degré, à savoir les termes de moindre degré. On aura alors une relation de la forme

ce qui donne

a'p -H ^-4- p. — i = ï[i+P

Le degré p. est donc alors un nombre commensurable (³).

Soit p = posons

x = ti, y — vtP

il viendra

( A' p³' ÊPa'-t-yP' -+-... )    v

dv

dt

^ — (Ara    = o;

p( a'4- l) 4- q P' = p³ 4- q{ j3 4- l).

La variable t entre donc au même degré dans tous les termes du premier groupe, et à un degré plus élevé dans les autres termes.

Après division par la puissance de t en facteur dans chaque terme, on aura

(A'

— q( Ara + ...) = o.

Considérons alors l’équation

= O.

f(v) = /?(A'ra'-H-...)r — <7(Ara-i-...) Soit c₀ une racine de cette équation; en posant

v = co-i- u,

nous avons

pour u l’équation

du

o étant holomorphe dans le voisinage de u = o, t = o et s’annulant pour ces valeurs. Ceci suppose que c₀ n’annule pas séparément les deux polynômes

9. Pour trouver l’ensemble des termes correspondant au moindre degré, Briot et Bouquet procèdent comme dans l’étude des fonctions algébriques. Dans un plan, traçons deux axes rectangulaires Ox et O y, et marquons les points qui ont pour coordonnées (a, (3+ i), (a' + i, (3'), .... Nous voyons d’abord qu’à des termes de même degré infinitésimal correspondent des points placés en ligne droite; et, en effet, la valeur de p. trouvée précédemment montre que la droite qui joint les points correspondant à deux termes de même degré a une direction constante; celle droite fait avec l’axe des x un angle obtus dont la tangente en valeur absolue est égale à p. Si, par un point quelconque, (a"+i, 3") ou (a", 3"+i), on fait passer une droite parallèle à la direction constante, cette droite ayant pour équation

y — P" = — n(a? — a'— I)

ou

y — I =— f*(^ — a").

son ordonnée à l’origine    p(a" + i) ou + i + p" surpasse

d’une unité le degré du terme correspondant. Il en résulte que les droites parallèles sur lesquelles sont placés les points qui correspondent aux divers groupes de termes s’éloignent de l’origine à mesure que le degré de ces termes augmente; par conséquent, la droite qui passe par des points d’un groupe de moindre degré laisse à sa droite tous les autres.

Nous sommes donc conduits, comme dans l’étude des courbes algébriques, à former une ligne polygonale, aux différents côtés de laquelle correspondront des termes de même degré. Que l’on imagine une droite coïncidant d’abord avec O y et se mouvant parallèlement à elle-même jusqu’à ce qu’elle rencontre un premier point; qu’on la fasse alors tourner autour de ce premier point en diminuant son ordonnée à l’origine jusqu’à ce qu’elle rencontre un deuxième point; qu’on la fasse tourner autour de ce deuxième point dans le même sens jusqu’à ce qu’elle en rencontre un troisième, et ainsi de suite jusqu’à ce que la droite devienne parallèle à Ox. On formera ainsi une ligne polygonale dont chaque côté passe par deux ou plusieurs points et laisse tous les autres à sa droite. Chacun des côtés de cette ligne convexe donnera une manière d’établir un groupe de termes permettant de faire la transformation du paragraphe précédent, et l’on aura ainsi les diverses intégrales répondant aux conditions initiales.

10. Revenons à l’équation

¹

J’ai, pour la première fois, appliqué cette idée de substituer, pour l’étude de leurs intégrales, à des équations différentielles ordinaires des équations aux dérivées partielles convenables, dans deux Notes Sur la forme des équations différentielles du second ordre dans le voisinage de certains points critiques ( Comptes rendus, t. LXXXYII, 1878). L’analyse qui suit n’est que le développement de cette idée.

²

Journal de l’École Polytechnique, t. XXI, p. 161.

³

Nous supposons que l’équation donnant p. ne se réduise pas à une identité. Cette circonstance peut se présenter; c’est ce qui arrive, par exemple, pour l’équation

dx t ''

où k représente une constante. Le degré de y par rapport à x, qui est k, n’est pas, en général, commensurable.

du

?(o, o) = o.

= »(K,0,

Son étude complète se trouve faite dans les deux Sections précédentes, pour le cas général où, posant

cp ( w, t ) = cct —H bu -t-...,

le coefficient b n’est pas nul.

em

Nos théories générales ne s’appliquent pas à ce cas particulier. Nous savons seulement qu’il y a, dans ce cas, une intégrale holo-morphe dans le voisinage de t — o et s’annulant pour t = o; son existence se trouve établie par la même analyse que celle qui a été ployée dans l’étude des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de t et tb, au cas où b n’était pas nul (on ne considère ici qu’un développement suivant les puissances de t). En désignant par «o l’intégrale holomorphe, et posant

U = Uq —t— V

on aura une équation de Ja forme

dv

= p(Ae'«-f- B

le terme    étant le terme de moindre degré en ç se rencon

trant dans la parenthèse. Pour avoir quelque renseignement sur les intégrales de cette équation, posons

t = A :

on aura une

équation de la forme

d'h

v’n+l dv

<^(X, v) étant holomorphe dans le voisinage de X = o, v = o, et étant différente de zéro pour ces valeurs de X et v. Ecrivons l’équation précédente

d\

p,n+1 — =à[A + Bv + ...+ Hp"!+ Kp^+'s-. .A/(A, p)],

et considérons d’abord l'équation

dl

vm+l — - )i(A + Bp+...+ H vm ).

L’intégration est immédiate. Nous aurons

en posant

mvm

ni—1

( m — i ) r

Si l’on fait tendre v vers zéro, dans une direction convenable, X tendra vers zéro. Prenons alors

h = IV vH

l’équation à laquelle satisfera w sera

dw

—— = crTR -t- Lp -h...-+- ppph m * e-VM f(w, p)j. dv

On aura pour cette équation une intégrale tendant vers une valeur arbitraire w₀, quand ç tend vers zéro dans une direction telle que e~^v)

tende vers zéro en même temps que e, ce qui est évidemment possible. Mais on a

Donc t tendra aussi vers zéro, en tournant d’ailleurs, en général, une infinité de fois autour de l’origine. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

L’équation

[cp(o, o) = o],

<ïï(m, t) étant holomorphe dans le voisinage de u = o, t = o et ne renfermant pas de terme du premier degré en u, admet une infinité de courbes intégrales se rapprochant indéfiniment de l’origine.

11. En faisant la réduction du § 8, nous avons supposé que e0 n’annulait pas à la fois deux polynômes en ç. S’il en était ainsi, l’équation entre u et t prendrait, en général, la forme

du

_ au h- bt -h. .. dt    a' u -t- b' t ..

au bt = wt,

En posant elle devient

(6)

dw

— = a w —t— (3/ -I- . . ..

C’est là un type d’équations pour lequel se présentent des circonstances toutes différentes de celles que nous avons rencontrées jusqu’ici. Le point t = o est ici, en général, une singularité essentielle, comme le montre l’exemple simple de l’équation

dw

= txw.

—r dt

L’équation (6) n’admettra pas, en général, d’intégrale holomorphe; c’est une circonstance qui mérite d’être signalée, car le calcul des coefficients du développement peut se faire de proche en proche, et cependant le développement n’est pas convergent. Il

suffira, pour prouver cette assertion, de considérer l’équation

„ dw

t² —jj = a w    p t.

Soit

w = At t -4- A₂1² -+-...-i- A„ ta-t-..

on aura

Ao a = Aj,

A„a = ( n — i)A„_ ,,

donc

A^a"-¹ = 1.2... (n — i)Aj ; on a donc la série de terme général

x'¹,

1.2.. .(n — i)

an-\

qui ne converge manifestement que pour x — o.

12. Dans les réductions faites dans cette Section, nous avons supposé, avec Briot et Bouquet, que certaine variable était de degré déterminé par rapport à certaine autre. Pour une étude plus approfondie, nous renverrons aux Mémoires de M. H. Dulac, que nous avons cités à la fin de la première Section de ce Chapitre.

En étudiant plus loin le cas où x et y restent réelles, nous reviendrons sur les équations différentielles de la forme

dy

dx

x,n -z- =

F (x, y) étant holomorphe autour de x — o, y = o^ et s’annulant pour ces valeurs

IV. — Équations différentielles du premier ordre non résolues par rapport au coefficient différentiel.

13. Nous avons considéré jusqu’ici des équations dillérentielles pour lesquelles la dérivée jj était une fonction uniforme de x et y,

tout au moins dans le voisinage d’un certain système de valeurs de x et y. Considérons maintenant une équation non résolue

(K) polynôme en Soit un système de valeurs {x0: y₀)

f désignant un de (x, y). Si 1 équation

Ax, y, Y) = O

admet

pour x=x₀, y=y₀, une racine simple Y₀, on pourra regarder Y comme une fonction uniforme àe x et y dans le voisinage de x = x₀, y = y₀, et nous nous trouverons, pour l’étude de l’équation

dy

dx Y’

dans un cas simple : l’intégrale y devenant égale à y₀ pour x = x0 sera une fonction holomorphe de x dans le voisinage de x₀ (si Y0 est fini); si Y₀ est infini (simple) pour x = x0l y =y₀, l’intégrale devenant égale à y₀ pour x = x₀ a, en ce point, un point critique algébrique.

Supposons, au contraire, que Y₀ soit une racine multiple d’ordre m de l’équation

f(x0, JKO, Y) = o;

-p-.

les circonstances seront tout autres. Soit

Y = Y₀-t- Y'.

X = X₀ ~h x',

y =yo-hy' ;

nous avons d’une manière générale, en développant,

àx₀

ày o

i j ' df    d"l~lf

toutes les denvees -r^-> • ••>

éY₀    C'Y"¹

-t

étant nulles.

Posons

/=Y₀x' + y".

ce

qui conduit à la relation

Y"+r=y»+i?

ou

dy"

dx'

Y'.

Nous avons alors

\ dx 0    dy 0 /

équation différentielle entre x¹, y" et Y' = Nous poserons enfin

x' = x""¹

y" =,tx\

et, par conséquent, en supposant

àf

àf

on aura

x" = — mt -f- x" <p (x", t ),

y{x", t) étant holomorphe dans le voisinage de x" = o, t = o. Or nous savons que cette équation en t admet une intégrale holomorphe s’annulant pour x" — o.

Donc, Vintégrale de Véquation (E), prenant pour x₀ la valeur ysera, en général, une fonction ayant ni valeurs autour du point x₀.

14. Dans le cas où l’on aurait

dx₀    dy o

en même temps que

(mi 2),

des circonstances différentes pourraient se présenter. On aurait alors à chercher l’ordre infinitésimal de Y' par rapport à x'; il faudrait pour cela employer des considérations analogues, quoique dans des cas plus compliqués, à celles dont nous nous sommes servi au commencement de la Section précédente. Mais nous renverrons, pour ce point, au Mémoire déjà cité de Briot et Bouquet, et nous terminerons ce Chapitre par quelques remarques sur les singularités des intégrales des équations différentielles du premier ordre, ayanL pour objet de compléter ce que nous avons déjà dit à ce sujet (t. II, 2e édition, p. 367 et suiv.).

Ajoutons seulement que la racine multiple Y₀ a été supposée finie ; mais, en regardant x comme fonction de y, la discussion précédente trouvera son application.

sont, sauf des cas très particuliers ('), en nombre limité, et les valeurs de (x) pour lesquelles il peut en être ainsi sont déterminées.

va-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES.

15. Supposons que le premier membre de (E) soit

un polynôme

en ^ ’ ~ctc et m®me en x (cette dernière hypothèse ne serait pas indispensable). Cherchons quelles circonstances pourraient nous arrêter quand nous

Tant que \ ne cesse pas d’être une valeur (finie ou de x et y, il n’y a aucune de x qui ne présentera que des pôles briques. Dans le cas où Y cesse d’être une fonction uniforme de x et y pour un certain système de valeurs de ces grandeurs, il en est encore de même en général, comme nous venons de le voir au paragraphe précédent. Ceci peut cesser d’être vrai dans des cas particuliers, mais alors les systèmes de valeurs de x et y devant satisfaire aux trois équations

dy

ellectuons le prolongement analytique d’une intégrale.

une fonction bien déterminée ayant infinie) pour le système correspondant de valeurs difficulté; l’intégrale y sera une fonction

ou

des points critiques algé-

/(^. y, Y) = o,

à/

dy °’

dx

dy

Changeons, dans (E), y en il y aura certains systèmes de

leurs de (x, y) où y sera nul, et présentant le caractère singulier de satisfaire à la fois à un système de trois équations : nous serons ainsi conduit à considérer un certain nombre de valeurs parfaitement déterminées de x.

Si maintenant nous écartons les diverses valeurs de x sur lesquelles nous venons d’appeler l’attention et que nous pouvons appeler valeurs singulières, nous sommes assuré que toute intégrale prenant en un point X différent de ces points singuliers une valeur déterminée aura en X un point ordinaire, un pôle ou un point critique algébrique.

On est donc conduit à cet énoncé que, en dehors de certains points qu’on peut marquer à l’avance, toute intégrale d’une équation algébrique du premier ordre ne peut avoir comme singularités que des pôles ou des points critiques algébriques.

(') Nous y reviendrons dans le Chapitre suivant, où nous traiterons des solutions singulières.

Ce théorème est fondamental, et l’on s’est souvent borné, pour l’établir, à des raisonnements équivalents à ceux que nous venons de faire. La démonstration manque cependant de rigueur; car on pourrait se demander si un point X, différent des valeurs singulières que nous avons réservées, ne pourrait pas être pour une intégrale un point d’indétermination où cette intégrale ne prendrait pas une valeur déterminée.

Nous avons déjà examiné cette question dans le cas où l’équation est du premier degré en ^• Comme je l’ai dit alors (t. Il, loc. cit.),

c’est M. Painlevé qui a, le premier, approfondi la difficulté qui subsistait. La marche suivie pour établir le théorème de M. Painlevé peut se transporter ici sans modification, comme on le voit immédiatement.

Au point X correspondent certaines valeurs de Y Y,, Y₂,    Y [j.

(parmi lesquelles peut se trouver l’infini) telles que l’intégrale y, prenant pour x = X une de ces valeurs, ait en X un pôle ou un point critique algébrique; nous avons vu plus haut comment on pourrait obtenir ces valeurs. 11 n’y a qu’à répéter alors ce que nous avons dit (t. Il, p. 368 et suiv.).

CHAPITRE III.

DES SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.

I. — Équations du premier ordre (*).

1. Considérons, pour plus de netteté, une équation différentielle algébrique entre #, y et y',

(0

/O, y, y') = o.

On envisage une fonction y de x satisfaisant à cette équation. Si, pour une valeur de x et la valeur correspondante de y, y' est une fonction uniforme et continue de x et y dans le voisinage de ces valeurs, la solution qui nous occupe pourra, dans le voisinage au moins de la valeur considérée de x, être obtenue par l’application du théorème fondamental relatif à l’existence des intégrales. Mais si, pour l’ensemble des valeurs de x et y correspondant à une solution, y' n’est jamais une fonction uniforme et continue de x et y, nous ne pourrons, en appliquant le théorème fondamental, faire dans le voisinage d’aucune valeur de x le développement en série de cette solution. Si une telle solution existe, on la dira une solution singulière .

Ces solutions s’obtiendront en écrivant que l’équation (i), considérée comme équation eny\ a une racine multiple. On aura donc à

(l) Cette Seclion n’est que la reproduction d’une Leçon faite en 1886 sur ce sujet et reproduite dans mon Cours lithographié (Cours d’Analyse de la Faculté des Sciences, 1886-1887).

CHAPITHE III.

46

éliminer y' entre les deux équations

à

ày

-r—, — O.

On est ainsi conduit à la relation

Q(^, y) = o,

qui peut se décomposer en plusieurs courbes. Les solutions singulières doivent satisfaire à cette équation. Mais celle-ci ne donnera pas nécessairement des fonctions jy de x satisfaisant à l’équation différentielle; il suffit, pour s’en assurer, de prendre le cas particulier de l’équation

(2)

y' ²= QO> y),

où Q(x, y) est un polynôme arbitraire en x et y ; la fonction définie par l’équation Q(x, y) = o ne satisfait pas, en général, à l’équation (2).

Nous pouvons donc affirmer que L'équation (1) n’a pas, en général, de solution singulière.

2. On pourrait en rester là et se borner à dire qu’il n’y a qu’une vérification à faire; mais la question mérite d’être approfondie, même dans le cas où il n’y a pas de solution singulière.

Reprenons l’équation (1) et l’équation

Q(®, y) =

obtenue par l’élimination indiquée, et supposons que la courbe Q = o ne corresponde pas à une intégrale de l’équation différentielle, ce qui, nous l’avons dit, est le cas général.

Soit x — a, y = un point arbitraire de la courbe Q = o. Nous allons chercher les intégrales de (1) qui pour x = a deviennent égales à (3, et telles que la dérivée correspondante y' soit précisément la racine multiple de l’équation en y' pour x = a, y = [3.

En restant dans la généralité, nous supposons que cette racine multiple est double. L’équation

A*, y, y') = o

a alors, pour x = a, y = [3, une racine double, et deux racines de cette équation se permutent autour de x — a, y = (3.

La somme et le produit de ces deux racines seront des fonctions uniformes de x et y dans le voisinage de (a, P); y' pourra donc être considéré comme racine d’une équation du second degré dont les coefficients sont holomorphes dans le voisinage de (a, (3). Nous pouvons, par suite, écrire

y'= A (a?, y) -I- G (a?, y) /B (x,y),

A, C et B étant des séries ordonnées suivant les puissances de x — a et y — (3. De plus, la fonction y de x définie par Q(x, y) = o et prenant pour x = a la valeur [3 annulera identiquement B(x,y), puisque, pour les points de la courbe Q, les deux valeurs de y1 doivent être égales.

Nous pouvons, pour abréger l’écriture, supposer a = [3 = o ; on aura alors

B (a?, y) = ax-h by-^. ..,

À(a?, y) = A -+- at x -+- bxv -H. . ..

Pour x = y = o, on a y' — A. Cette valeur doit être distincte du coefficient angulaire de la courbe Q = o à l’origine; car, autrement, comme cette origine est un point arbitraire de la courbe Q, celle-ci satisferait à l’équation différentielle, ce qui est contre l’hypothèse.

Mais nous avons dit qu’on avait B(^c, y) = o pour tout point de la courbe Q; donc le coefficient angulaire de la tangente à l’origine est

donné par — nous devons donc supposer

a + èA^o.

x = x'² ;

Ceci étant bien compris, posons y = \x'²,

on aura

<7à

— 2i + 2A ix'²    b {\) -ï-.. .

-t- C(x'², \x'²)‘2x' a -i- b \ -+- x'(...).

On peut trouver une intégrale de cette équation différentielle qui, pour x' — o, prend la valeur A; car le second membre est une fonction holomorphe de x' et A dans le voisinage de x'—o, 1 = A (puisque a + b A ^ o) ; de plus, il s’annule pour ces tion (3) rentre donc dans le type de celles que

(3)

x dx'

valeurs. L’équa-

nous avons étudiées

(Chap. II, § 2); le coefficient b, qui jouait le rôle essentiel, est ici égal à — 2. Nous avons donc une intégrale liolomorphe de cette équation prenant pour x' = o la valeur A, soit

X — A -f- p x —f— q x ^ “j—....

Donc on aura

y — \.x p x '¹ -‘r....

En employant le langage géométrique, on voit que le point x = o, y — o est un point de rebroussement pour celte intégrale; d’où cet important théorème :

La courbe Q = o (qui est supposée ne pas satisfaire à l’équation différentielle) est, en général, le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales (’).

3. Attachons-nous maintenant au cas où il y aurait des solutions singulières. Ces solutions proviennent de l’élimination de y' entre les équations

àf

-d-r = O.

à/

y, /) = o,

Lagrange a remarqué qu’à ces deux équations on doit en adjoindre une troisième, obtenue en différentiant la première et tenant compte de la seconde :

àf àf ,

Ainsi, la solution singulière devra satisfaire aux trois équations

àf ₌

ày

o,

àf

àf

, -t- -f- y' = °-

àx ày

Ces trois équations, considérées comme équations en y', ne pourront pas, en général, être vérifiées pour une succession de valeurs de x et y correspondant à une courbe. Une condition nécessaire pour l'existence des solutions singulières est donc qu’il y ait une succes-

(‘) On trouvera une démonsti’ation géométrique de ce théorème dans un Mémoire fondamental de M. Darboux sur cette théorie des solutions singulières des équations dillerentielles du premier ordre (Bulletin des Sciences mathématiques, 1873).

sion de valeurs de x et y correspondant à une courbe P(.r, y) = o, pour lesquelles les trois équations aient une solution commune. Cette courbe pourra constituer une partie de la courbe Q(.r, y) = o précédemment considérée. D’ailleurs, /’équation P(a?, y) = o donnera

certainement une solution singulière, si ^ n’est pas identiquement

nul pour la valeur y de x tirée de l’équation P = o. Soient, en effet, les trois équations

o,

dl =

qui ont une solution commune en X, si P(.r, y) = o. Cette solution commune peut être considérée comme fonction de x ; en différentiant la première, on aura

M. + à±

ôx dy dx

et, par suite,

àf

dy

dy

dx

= o.

à/_

On a donc, si et X par leur valeur en fonction de x,

dy

n’est pas nul identiquement quand on remplace y*

dy

^ dx ’

ce qui montre que la fonction^ de x tirée de l’équation P(x, y) — o satisfait à l’équation différentielle

s(*’ r-dü) ⁼°-

4. Nous avons tout à l’heure cherché les solutions de (i) qui, pour x — a, devenaient égales à [3 quand (a, ,3) était sur la courbe Q, cette courbe n’étant pas une courbe intégrale.

un

Proposons-nous maintenant la même question en supposant, au contraire, qu’il existe une solution singulière P(x, y) = o. Soit (or, [3) point arbitraire de cette courbe. Nous allons chercher les intégrales de l’équation différentielle proposée qui, pour x — a, prennent la valeur [3.

Parmi ces intégrales, il y a, bien entendu, la fonction algébrique yt, P. - III.

definie par l’équation

P(a?» y\) = »,

et pouvant être développée suivant les puissances de x— a. Nous allons voir qu’outre cette solution il y a une seconde solution. Reprenons, à cet effet, l’équation différentielle sous la forme

^ = k(x,y)-k- C(a7, jK)v/B(a?, y).

on

Comme nous supposons que est une solution singulière, aura à la fois

B (a?, y\) = °,

dyx

-î* =A(*’

Posons

l’équation deviendra

dz

— = ^ fi(x) -+- z² «ps(a?) -i-.. ,-t- C(a?, yx -h z) \Jz    H- 2² ^(a?) -K .. :

les fonctions <p et ^ sont des séries ordonnées suivant les puissances de x — a, et ^(.r), en général, ne s’annule [pas [pour x = oc. Nous avons à étudier les intégrales de celte équation en s, s’annulant pour x = a. 11 y a évidemment la solution z = o. Posant alors

z = z'²,

on aura

l’équation

dz'    ,

2 ~ = z¹ (fi (x) -i- z’³(f.₂(x    G(a;,    -+- z'²)^<\ii (x) -+- z'* ^₂(a:) -4-. . ..

Dans le voisinage de x=cx, z'= o, le second membre est liolo-morplie, puisque J/,(a)^zéo; on fixera d’ailleurs arbitrairement le signe du radical. Cette équation donnera, d’après le théorème fondamental, z' en série ordonnée suivant les puissances de x — a, et l’on aura

z — a(x—a)²-l-b(x—a)* -4-....

Il est clair que les deux déterminations du radical donnent, pour z¹, des valeurs égales et de signes contraires, par suite, une même valeur pour z. Nous avons donc la solution non singulière

j- = jl-\-a(x— a)²-t-è x — aj³-t-...

el il est évident que la courbe [>(Kx,y) = o est tangente au point (a, [3) à la courbe représentée par la dernière équation; d’où ce théorème :

Quand il existe une solution singulière, elle est tangente en chacun de ses points à une solution non singulière.

Ce théorème peut encore s’énoncer, sous forme géométrique, de la manière suivante :

La solution singulière, quand elle existe, est l’enveloppe des courbes intégrales.

o. Dans cette question des solutions singulières, on s’est longtemps placé, a priori, au point de vue de la théorie des enveloppes. Partant de la conception de l’intégrale générale

F (a?, y,C) = o,

Lagrange remarque que cette famille de courbes, dépendant d’un paramètre arbitraire, a une-enveloppe et, puisque l’enveloppe est tangente à chacune des enveloppées, cette enveloppe satisfera, comme les enveloppées, à l’équation différentielle

O.

=

Il semblerait donc, à ce point de vue, et c’était l’opinion de Lagrange, que les équations du premier ordre ont, en général, des solutions singulières; ce résultat est tout à fait opposé à ce que nous avons dit plus haut.

L’explication de cette contradiction est facile. A une équation différentielle arbitraire f(x, y, y¹) = o ne correspond pas, comme intégrale générale, une famille de courbes

F (a?, y, G) = o

à laquelle on puisse appliquer la théorie des enveloppes; je veux dire que l’enveloppe donnée par la théorie classique ne sera pas en chacun de ses points tangente à une enveloppée, mais sera un lieu de points singuliers. Il peut paraître étrange au premier abord qu’à une équation différentielle arbitraire corresponde une famille de courbes jouissant, au point de vue de la théorie des enveloppes, de propriétés

spéciales, tandis qu’à une famille arbitraire de courbes pour laquelle on pourra appliquer la théorie des enveloppes correspondra une équation différentielle spéciale, qui aura une solution singulière. Mais, comme le remarque Clebsch, ceci n’est pas plus étonnant que le fait auquel nous sommes si habitués relativement aux coordonnées ponctuelles et tangentielles. Nous savons en effet qu’une courbe générale en coordonnées ponctuelles a des singularités tangentielles, et inversement une courbe générale en coordonnées tangentielles a des singularités ponctuelles.

6. Indiquons un exemple des théorèmes généraux démontrés plus haut. Soit l’équation

y — 2 xy'— y¹'¹ = o :

x -hy' = o,

y'= o.

les trois équations du § 3 sont ici y — ixy’ — y’² — o,

Ces trois équations n’ont de solution commune en y' que pour x =y = o. Il n’y a donc pas de solution singulière.

En éliminant y¹ entre les deux premières, il vient

Q{x, y) = y -h x² = o.

La théorie générale (§ 12) nous apprend que la courbe

y -f- x² = o

est le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales. Dans le cas actuel, l’intégration complète est facile à effectuer, l’équation étant de celles qui s’intégrent par différentiation. On trouve ainsi pour intégrale générale

(3xy -+- ‘2X³-+- C)j— 4(y -+■ x²)³ = o,

et l’on voit bien que y-\-x²= o est le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales.

II. — Systèmes d’équations simultanées.

7. L’analyse développée dans la Section précédente s’étend d’elle-même à un système d équations simultanées du premier ordre. Con-

SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 53 sidérons le système de m équations

= o,

fi (x, yi,y*, ..ym,

(4)

; A (*, y u

= o,

fm [xy y il

dyi

sont des fonçai    dx

les f étant des polynômes. Les dérivées

tions algébriques de x, y,, y₂, ..., ym\ elles peuvent donc, d’après un théorème élémentaire d’Algèbre, se mettre sous la forme

(5)

= R, (x,yu ...,yin, s),

dym

\ dx

ym, Z),

les R étant rationnelles en x, y{, ..., ym et z. Quant à z, il représente une irrationnelle, fonction algébrique de x, y,, y₂, ...,ymj définie par une équation algébrique

/O, yu jk₂, . ..,ym,*) = o.

(6)

8. Envisageons ce que nous avons appelé précédemment une courbe intégrale, c’est-à-dire un ensemble de valeurs de x, yK, y.2, ..., y m satisfaisant aux équations différentielles. Si pour tout point (x, yt, y.₂, ..., ym) de cette courbe intégrale la valeur correspondante de z tirée de l’équation (6) est une racine multiple de cette équation, de telle sorte que z cesse d’être une fonction uniforme des m -f- i lettres, dont il est fonction algébrique, dans le voisinage de ce point, la solution considérée ne pourra pas être obtenue par l’application du théorème fondamental relatif à l’existence des intégrales; nous la dirons une solution singulière.

Il est clair qu’ici, comme dans le cas d une seule équation, il n’y aura pas en général de solution singulière. Pour avoir une solution singulière, on devra d’abord évidemment éliminer z entre les

on obtient ainsi une relation

(7)

deux écjualions

/=°.

àf

— = o :

Q(*ô yu y*, • ..i/«) = o.

C’est une certaine surface sur laquelle doit se trouver la courbe intégrale singulière. On aura alors à chercher si l’on peut satisfaire simultanément aux équations (4) et (-). Plusieurs circonstances pourront se présenter. L’élimination d’une des fonctions, ym par exemple, entre (4) et (7) conduira à un système de ru équations à m— 1 fonctions y,,..., ym~\ ,

(    dy !

<pi (*,yi, • • •,y>n i’ * •••

dy

ni—1

(tx

= o,

dy1

dx ’

dy m-\

dx

et ces m équations seront en général incompatibles. De simples dérivations et éliminations permettront de reconnaître si ces équations sont ou non compatibles et quel est le degré de généralité des solutions communes. Celles-ci pourront, suivant les cas, être complètement déterminées ou dépendre d’une, deux, ... ou m — 1 constantes arbitraires. Si les solutions ne sont pas complètement déterminées, elles seront données par un système d’équations différentielles.

9. Examinons d’abord le cas où il n’y aurait pas de solution singulière ; nous prenons un point arbitraire (a, a,, ..., a,„) sur la surface

Q(x, yu • • • 1 ym) — o,

et nous allons chercher les courbes intégrales passant par ce point. Nous n’avons qu’à raisonner comme dans la Section précédente. En supposant, pour rester dans la généralité, que la racine correspondante z soit une racine double, nous aurons pour g une expression de la forme

A x yt, y m ) -h G (a?, y u    y,„ ) \/B(x, yu ..., ym),

SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 55 et nous aurons par suite

£ s"?

= Ai (x,y,, ..., y ,n) -h Gy (x, yu    ym) y/B {x, yx, ...,ym),

= A₂ (», jKi, . • -, y m) -+- C₂ (a?,    ym) /B(a?, ./i, ..

^7 = Xm(x, y,, . ..,y,„) -h C/n(x, yu . .j/n) t/B(a?,    . ..,ym),

les 4, G et B étant des fonctions holomorphes de x, yt, ym dans le voisinage de a, aJ? a/w. De plus, on a nécessairement B(x,yi7 ...,ym) = o pour tout point de la surface Q = o voisin de (a, a,, ..., am). Nous pouvons, pour simplifier l’écriture, supposer a = at — ... = a/w= o ; on aura alors

Ai(x, yu ..ym) — Xi-h hLx -+- auy\-+- aaiya-h.. • -+- amiym-h...

( i = i j i • • • > ni ) i

B(a\jy,, ..ym) — kx -+- k \ y \-h. ..-h kmy,n-h.. .

Pour x — y, = . .. = ym = o, on a

£-'=A, dx

(i = 1,2, ni).

On devra avoir

k h- A] —}— A'o A2 • • • “H A//^ ^ o 5

dans Je cas contraire, en effet, le point considéré étant un point arbitraire de Q =0, on aurait l’identité

(8)

àx

éB . .    ₄    <>B

-H -j—X\(x, y 1,    y m) -h> Xm^x, yh ..., y ,n ) — o,

ce qui revient au même, à I équation B = o.

vérifiée pour tout système de valeurs de x, jyt, ..., satisfaisant à l’équation Q = o ou Les équations différentielles

£ frf

= A₂ (x, r,, ..7„t),

-jry = X..t(x, y y, ..., ym),

en prenant pour système de valeurs initiales un point de la surface Q donneraient alors une courbe intégrale située sur cette surface; pour le voir bien nettement, il suffit de prendre les m équations

dy\

dx

= At (x, yu ..., ym),

dy

ni—1

= A,,,-!(x, yu    ym)i

B (a;, yu ...,y,n) = o.

Une intégrale est complètement déterminée par le système indiqué de valeurs initiales, et l’identité (8) montre que l’on aura

dx

— Am(x, J'u

10. Nous n’avons plus maintenant qu’à poser x = x'²,    yl=\lx'²,    yi=l₂x'²,

Le système d’équations différentielles devient

, dX(

— 2 X * -+- 2 A -f-. . .

-4- Ci ( X ², Xj X *, . . ., X>„ X * ) 2 X if h -i- k\ X i —f- . . . •+- k m X/,j -+- X ( )

(t = i, 2, ..m).

Il y aura un système d’intégrales holomorphes prenant respectivement les valeurs A₍, A₂. ..., Am. 11 en résulte les intégrales

yi = A, x +-pi x -h..

3

y2 ~ A9 x —t— p-2 X~ -f- ..., y,n = A„, X -t- pm X² -I- . . . .

On voit donc que Von obtient une courbe intégrale présentant un rebroussement au point considéré de la surface Q. C’est le résultat que nous avions obtenu dans le cas d une seule équation.

11. Supposons maintenant qu’il y ait une solution singulière. Nous transformerons d’abord les équations en posant

yuyn • • 0 y»,) = z.

d’où l’on tirera ym en fonction holomorphe de x,    •

et z, dans le voisinage des valeurs zéro. Les équations deviennent

(9) '

| lïè = Df    yu •••> ym-u *) -+- E/ (a;, 71, ..., ym-u z)\/z

I fa. = Dm(x,yu ...,ym-t,z)-+-E/lt(x, yu ym-i,z)/z,

(i= i, 2, m — i),

les D et E étant des fonctions holomorphes de x, y,, y₂, ■ •y/»-!, -S dans le voisinage des valeurs zéro de ces grandeurs.

Différents cas peuvent se présenter.

Supposons d’abord que la fonction Dm s’annule identiquement pour z = o; on voit que l’on pourra satisfaire aux équations en faisant z — o et en prenant pour les y des intégrales du système

I» •

• • i ym — \i o)

(i = 1,2, ..., m — i).

Nous sommes alors dans le cas où l’intégrale singulière dépend de rn — i constantes arbitraires. Considérons une de ces intégrales singulières, celle, par exemple, qui correspond pour x — o à

y , = ...= ym-i = z = o.

Nous allons chercher s’il y a une autre intégrale de (9) prenant pour x = o ces mêmes valeurs. Ecrivons de nouveau les équations

yqy = Di(x, y 1, . .., ym- !, z) -4- E,- (a?, y„ ..., ym-\, O \Jz,

<-yy.= ? (xi yi’ • • -7 ym-1, z)z —i— Em(a?, jki, .. .,ym-u z)>Jz.

Or, il suffit de poser z — z'² pour avoir un système qui se présente sous la forme ordinaire. Nous obtenons donc un système d’intégrales autre que le système considéré d’intégrales singulières, prenant les mêmes valeurs initiales, et il est manifeste que, pour l’un et l’autre de ces systèmes, les dérivées de premier ordre ont les mêmes valeurs initiales : nous pouvons donc dire que l'on a une courbe intégrale tangente à la solution singulière.

12. Nous avons supposé, dans le paragraphe précédent, que D m ( & > y 1 j • • • 1 y m—1 j O )

CHAPITRE III.

58

était identiquement nul. S’il n’en esl pas ainsi, nous poserons

D/n(a?, yi, ..., y„,-t, o) = u.

On pourra tirer de là, en général, ym-\ en fonction lioloinorphe de x, y,, ..., ym-ii u, et le système prendra la forme

(i = i, 2, . ... m — i),

lu • • -, ym-’i, 2)-+- z,(x, y 1, ..., ym-2, m, z)\/z

^ = A,,,-! (x, yu . .jk,«-2, M, -8) -H    /h-.., y m—ti u,z)\/z

~~ ='|/^H-^tt+...-i-s/n(a?,7i, ..., y ,*-2,    *) Z²,

les d» étant hoJomorphes en æ-, y,, ..., ym-2- Supposons que l’on ait

^/n—1 (•^'j .X 1 ) ••• i y ni—2» O )

identiquement nul. Les deux dernières équations seront vérifiées pour u = o, z = o ; quant aux jy, ils seront déterminés par le système

dyj

A/(a;, y,, . .., y,„_₂, o, o)

( l = 1, 2,

, m — 2),

et l’on aura, dans ce cas, des solutions singulières dépendant de m — 2 constantes arbitraires. Prenons l’une de ces solutions; on peut toujours supposer que c’est la solution correspondant aux valeurs initiales zéro. Posons

2 = z'²,

Il — fxz',

et considérons x, yt, ..., y u comme fonctions de a'; on aura

1    dx _

2    dz’ ij/j    .. ., (Ji z¹. z'²) ’

rfp _ 2g'[. . .] - ppL g'+    ->-• • • +    -s'²)] ₅

dz'    tyxz’ fJL -4-. .    £,„(#, .. • , P -s', -s'²) dyi

les -fj étant holomorphes dans le voisinage de

X —y, — .. . = yrn—i = \L = z' — o.

Nous supposons, pour prendre le cas le plus général, que tm ne s’an-

système d’intégrales x, p, y{, y₂, ..., ffm-2, fonctions holomorphes de z' et s’annulant pour z'=o. En revenant aux équations primitives, nous aurons donc une intégrale tangente à la solution singulière. Le contact des deux solutions est évident, puisque les dérivées du premier ordre ont les mêmes valeurs initiales pour l’une et pour l’autre.

nule pas pour les valeurs zéro des lettres dont il dépend. L’étude des équations précédentes ne présente alors aucune difficulté; le coefficient de p. dans la seconde équation, étant égal à —i, est négatif; nous aurons un

13. On peut continuer de la même façon dans le cas où les solutions singulières dépendraient de m — 2, m— 3, ... ou zéro constantes arbitraires. La conclusion est toujours la même :

Si l’on prend un point arbitraire sur une courbe intégrale singulière, on pourra, en général, faire passer par ce point une seconde courbe intégrale non singulière et tangente à la première.

Le cas extrême où il y aurait une seule solution singulière ne dépendant pas d’une constante arbitraire serait celui des équations (en nous bornant à deux équations)

clx

^U = a u-1- p r -+-... -+- £1 (x, u, 0) fv,

'11- = a.'u -+- P'e -h. ..-+-    u,v) fï>,

les a, [3, a', {3\ ... étant des fonctions de x ; la seule solution singulière est ici donnée par

U — O,

V = O.

14. Nous avons vu que, dans le cas du plan, la théorie des solutions singulières se rattache à la théorie des enveloppes. 11 en est de même pour un espace à un nombre quelconque de dimensions. Nous nous contenterons de considérer le cas de trois dimensions. M. Gour-sat (⁽)a montré, comme il suit, comment la théorie des solutions singulières se rattachait à la théorie des congruences de courbes. Pre-

(') E. Goursat, Sur la théorie des solutions singulières des équations différentielles simultanées (American Journal of Mathematics, t. XI).

nons la famille de courbes

(G)

1 y- z> «• ⁶) = »,

/ <?0, JK. -3, «, 6) = o,

dépendant des deux constantes arbitraires a et b. En considérant^ et s comme des fonctions de x, on définit ainsi un système de fonctions y et z de x satisfaisant à deux équations différentielles

dz

dx

= o,

dz

dx

= o.

Rappelons les points fondamentaux de la théorie des congruences de courbes. On cherche d’abord à déterminer b en fonction de a, soit

b = X(a),

de façon que la famille de courbes

(io)

) /l>, y, z- «1 X(a)j = o, I o[a\ y, z, a, X(a)] = o

ait une enveloppe. O11 sait qu’il faut et suffit pour cela que les quatre équations (io) et (i i)

('*)

<5-1 «a.

ol-6

X'(a) = o,

y (a)

aient une solution commune en x, y et z, quel que soit a. L’élimination de x, y, z entre ces quatre équations conduit à une relation

X|>, X(a), X'O)] = o;

la fonction X(a) est donc donnée par une équation différentielle du premier ordre. Chaque courbe de la congruence appartient donc à une ou plusieurs familles de courbes de cette même congruence qui dépendent d’un paramètre arbitraire et ont une enveloppe. Désignons, d’une manière générale, par T ces courbes enveloppes. Celles-ci seront nécessairement situées sur la surface définie par les

SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 6l

trois équations

/O, y, a, b) = o, ?0, jk, z, a, 6) = o,

o,

.Z Ë? _    £? _

éa éô éê éa

comme on le voit en éliminant \'(a) entre les équations (i i). Cette surface s’appelle la surface focale de la congruence, et toute courbe de la congruence est tangente aux différentes nappes de cette surface focale.

L’ensemble des courbes T est évidemment donné par une équation différentielle du premier ordre, puisque ces courbes sont données parles équations (io) et (11), et l’équation y^ = o. Or, considérons une courbe T et un point arbitraire sur cette courbe; par ce point, passe une courbe de la congruence C tangente à T. En considérant doncjp et s comme fonctions de x₁ pour l’une et l’autre de ces deux courbes, on peut dire que pour elles

dx

dy dz *'*>*' ~dx’ —

ont les mêmes valeurs aux points considérés. Nous en concluons que les courbes T satisfont aux équations différentielles E.

En général, les courbes T n’appartiendront pas à la congruence ; elles seront les solutions singulières du système (E).

CHAPITRE IV.

SUR CERTAINES CLASSES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

I. — Équations de Briot et Bouquet.

I . Dans un de leurs Mémoires sur les équations différentielles ('), Briot et Bouquet ont considéré les équations de la forme

5ï) = °'

/ étant un polynôme, et ont cherché dans quels cas l’intégrale de cette équation est une fonction uniforme de z.

Nous allons suivre une tout autre voie que Briot et Bouquet et nous allons démontrer a priori le théorème suivant, déduit par M. Hermite (-) des recherches de Briot et Bouquet :

Quand l’intégrale de l’équation précédente est uniforme, le genre de la courbe

f(u, u') = O

est nécessairement égal à zéro ou à l’unité.

J’ai déjà indiqué la méthode que je vais suivre, dans mon Mémoire : Sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes (³), en l’appliquant aux équations différentielles du second ordre qui ne renferment pas explicitement la variable indépendante.

(¹ ) Briot et Bouquet, Intégrations des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques (Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXI).

(²)    Hermite, Cours lithographié de l’Ecole Polytechnique, 1873.

(³)    Journal de Mathématiques, 1889.

Nous allons nous appuyer sur les théorèmes généraux relatifs aux courbes algébriques démontrés dans le Tome 11 ; j’ai seulement une remarque à ajouter.

2. Nous avons étudié les transformations birationnelles d’une courbe en une autre ou d’une courbe en elle-même. Soient deux courbes algébriques

F(X, Y) = o.

/O, y) = o,

On peut concevoir qu’il existe, entre les points (x,y) et (X, Y) de ces deux courbes ou des surfaces de Riemann correspondantes, une transformation biuniforme, c’est-à-dire telle qu’à un point arbitraire (x, y) de la première ne corresponde qu’un point (X, Y) de la seconde et inversement. On suppose que cette transformation biuniforme n’ait d’autres singularités possibles que des points essentiels isolés. Il est facile de voir que, dans ces conditions, la transformation biuniforme sera nécessairement birationnelle.

Supposons, en effet, que la transformation ait un point singulièrement essentiel ; soit x = a,y — b un tel point, qu’on peut toujours supposer un point ordinaire de la surface de Riemann. Alors X et Y seront des fonctions uniformes de x dans le voisinage de x = a, ce point étant un point singulier essentiel pour ces fonctions : soient

X = <p(a?),

A une valeur arbitraire de X correspond, dans le voisinage de x~a, une infinité de racines de l’équation

X = <p(x),

d’après un théorème que nous avons énoncé (t. Il, p. 127) ; pour ces racines la fonction <l(x) ne pourra avoir qu’un nombre limité de valeurs, celles qui correspondent à l’équation

F(X, Y) = o.

Donc, à un point arbitraire (X, Y) de la 'courbe F se trouve correspondre une infinité de points (x, y) de la première dans le voisinage de x = a, y = b] la substitution ne serait donc pas biuniforme, et le théorème est par suite démontré.

Nous pouvons remarquer que le théorème précédent ne subsiste pas

pour deux surf aces algébriques. Entre les points de deux surfaces on peut avoir une correspondance biuniforme qui ne soit pas bira-tionnelle. Il suffit pour s’en assurer de prendre la correspondance entre deux plans qui est biuniforme, mais non birationnelle.

3. Reprenons maintenant l’équation

f(u, iï) = O,

du

dz

= u,y

dont l’intégrale, par hypothèse, est une fonction uniforme de z. Désignons par U et {]' ce que deviennent u et u' quand on remplace z par s + A, h étant une constante quelconque.

Il est facile de voir qu’à une valeur (m, u') ne correspond qu’une valeur de (U, U') et inversement. En effet, une intégrale est complètement déterminée si l’on se donne sa valeur et celle de sa dérivée en un point z, valeurs liées nécessairement par la relation f =. o ; cette intégrale sera donc déterminée au point z -f- A, et il est manifeste, d’après la formule de Taylor, que U et U' ne dépendent que de </, u' et A et nullement de z. Nous pouvons donc dire que la courbe

/(“. u') = O

admet une transformation biuniforme en elle-même, dépendant d’un paramètre arbitraire A. Les seuls couples (u, u') auxquels pourraient correspondre plus d’un point (U, U') sont les valeurs de («, u') qui donnent les points de ramification ou les points singuliers de ce sont des points isolés qui pourraient être des singularités essentielles pour la transformation biuniforme ; mais nous venons de voir au paragraphe précédent que cette circonstance ne peut se présenter. Nous arrivons donc à la conclusion suivante : la courbe f adr it une transformation birationnelle en elle-même, dépendant d’un paramètre arbitraire A. 11 en résulte, d’après le théorème de M. Schwarz ( t. II, p. 480), que la courbe f est du genre zéro ou du genre un.

4. Le résultat que nous venons d’établir a priori permet de se

rendre compte bien facilement de la nature des fonctions uniformes de s satisfaisant à l’équation différentielle

Supposons d’abord que cette relation algébrique soit de genre zéro. Nous pourrons poser

u = R (0),

R et R, étant rationnelles, et de telle sorte que 9 soit une fonction rationnelle de « et ^ (t. II, p. 547), et> par suite, fonction uniforme de z.

En dérivant la valeur de u et l’égalant à la valeur donnée par la seconde ligne, nous sommes amené à l’équation

d% / « \

n ⁼ 'p(e)’

<p(9) étant une fonction rationnelle de 9, et nous avons à chercher dans quel cas une telle équation peut donner pour 9 une fonction uniforme de z.

Il est d’abord évident que cp(9) devra être un polynôme ; ou sinon

dO

deviendrait infinie pour une certaine valeur a et l’intégrale de

l équation devenant, pour une valeur arbitraire d’ailleurs s₀, égale à a, aurait en z₀ un point critique algébrique (t. II, p. 367) et, par suite, ne serait pas uniforme. Pour la même raison, en changeant 9

en (p

sinon, dans l’équation en 9', l’intégrale devenant nulle pour z₀ aurait

, on voit que le degré du polynôme <p(9) ne peut surpasser deux ;

en ce point un point critique algébrique. On a donc

A *

de

dz

= CL

e*-t- bo + c,

ce qui donne immédiatement pour 9, soit une fonction linéaire de ekz, k étant une constante, soit une fonction linéaire de s. Nous arrivons donc à la conclusion suivante : quand la courbe f est du genre P. — III.

zéro, la fonction u supposée uniforme ne peut être qié une fonction rationnelle de z ou une fonction rationnelle de ekz.

5. Examinons maintenant le cas où la courbe

f( u, u! ) = o

est de genre un. Soit

I" H ( u, u' ) du

l’intégrale de première espèce relative à cette courbe. Nous avons dit qu’une certaine transformation birationnelle contenant un paramètre arbitraire h transforme en elle-même la courbe f. On a ainsi la transformation

U =    («, u', h),

U'= «M»,    h),

U et U' étant ce que deviennent u et u' quand on remplace z par z -f- h. On aura nécessairement

R( u, u' )du = A . R ( U, \]')d\J,

la transformation birationnelle devant nécessairement transformer une intégrale de première espèce en elle-même à yn facteur près. A priori A peut dépendre de h ; mais, comme nous l’avons vu d’une manière plus générale (t. II, p. 482), il 11’en dépend pas, et, puisque,, pour h = o, l’on a

U - u,

U'= u,

A est nécessairement égal à un. Nous avons donc R(m, u')du = R( U, U')dV,

et, par suite,

du

R(u, u ) -j- — R( U, U')

dV

d(z -1- h)

11 résulte de cette égalité que la fonction de z

du

R'“, “ >3Ï

ne change pas quand on change 0 en z + /«, h étant une constante arbitraire ; il faut donc qu’elle ne dépende pas de z et nous avons

du

R ( «, U') ^ = Cl,

SUR CERTAINES CLASSES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

a étant une constante. Ainsi

j R(«, u')du — az.

La fonction u s’obtient donc par l’inversion d’une intégrale de première espèce relative à une courbe de genre un. lé lie est une fonction doublement périodique de z.

6. En résumé, nous avons étudié tous les cas cjui peuvent se présenter pour l’équation de Briot et Bouquet

e [ du\

dz)=°-

Quand l’intégrale de cette équation est uniforme, cette fonction uniforme ne peut être qu une fonction doublement périodique de z, ou une fonction rationnelle de ekz (k étant une constante), ou une fonction rationnelle de z.

II. — Généralisation des équations de Briot et Bouquet.

7. Le problème de Briot et Bouquet peut se poser sous une autre forme qui va nous conduire à une généralisation intéressante. Si nous reprenons l’équation

/( ié) = o,

nous aurons

du

u'

= z.

Le premier membre est une intégrale abélienne relative à la courbe /’, et l’on a à considérer les cas où l’inversion précédente donne pour u et u' des fonctions uniformes de z. On peut donc d’une manière plus générale prendre une courbe algébrique

f(x,y) = ».

et se demander si l’on peut trouver une intégrale abélienne convenable

( jc,y )

R (x. y) dx,

telle que Véquation

(¹,y)

R(a?, y) dx = u

(•ï-o.Jo)

donne pour x et y des fonctions uniformes de u.

8. C’est la question qui vient d’être posée que nous allons généraliser. Envisageons, à cet efî’et, les expressions de la forme

(■)

“=/

U',r)

/    /. ( x, y ) dx

eJ

dx,

\(x,y) étant une fonction rationnelle des variables x et y liées par la relation

A¹, y) = °>

et en supposant de plus que La fonction u n'ait sur la surface de Biemann que des pôles ou des infinis logarithmiques, de telle sorte que les singularités de u soient absolument de même nature que celles des intégrales abéliennes attachées à la courbe f (').

Nous allons chercher (²) dans quels cas L’inversion de L'expression (i) donne, quelles que soient les constantes initiales, pour x et y des fonctions uniformes de u et quelle sera La nature de ces fonctions uniformes. La conclusion de notre recherche va être que La courbe f doit être nécessairement de genre zéro ou un, et les fonctions uniformes de u se ramènent aux fonctions doublement périodiques ou à leurs dégénérescences.

Je liens à rappeler que M. Appell faisait, en même temps que moi, une étude approfondie des expressions (i) dans son grand Mémoire sur les fonctions à multiplicateurs [Acta mathematica, t. XJ11) sans toutefois se poser le problème qui nous occupe ici.

9. Commençons par faire l’étude des expressions u définies plus haut, en la réduisant à ce qui sera indispensable pour notre démonstration. Nous supposerons, comme d’habitude, que la courbe f n’a que des points doubles et a ses directions asymptotiques distinctes; m désignera son degré.

U expression a peut avoir des pôles et des infinis logarithmiques. Il est évidemment permis de supposer que ces points ne se trouvent ni à l’infini, ni en un point de ramification de la surface de Riemann correspondant à la fonction algébrique y de x, car il est possible d’effectuer préalablement une transformation birationnelle convenable pour éviter ces circonstances.

Cela dit, envisageons les infinis de \(x,y). Soit d’abord («, b) un infini qui ne soit pas un point de ramification. Le point a sera un pôle de À(x,y), et son résidu devra être un entier positif ou négatif, pour que le point a soit un point ordinaire, un pôle ou un infini logarithmique de la fonction u. Ce pôle ne pourra d’ailleurs être qu’un pôle simple, sinon la fonction u aurait en ce point une singularité essentielle. Désignons par k le nombre des points (a, b) et appelons

(Xfc

ai, a,

les résidus (entiers positifs ou négatifs) correspondant à ces différents points.

Considérons maintenant un point de ramification (.r,, jq) de la surface de Riemann, rendant X infini. On a

y— yi = H fx-vi-h...

±

Donc A(x, y) se développera suivant les puissances de (x— xt)².

et, pour que le point (x,, y{ ) de la surface de Riemann soit un point ordinaire pour u, on doit avoir pour X(#, y) le développement

Ai

— Xi

( X - Xy )²

A) étant de la forme —> p, étant un entier au moins égal à — i (t. II, p. 427).

Il nous reste à parler des points à l’infini qui sont, par hypothèse, comme les précédents, des points ordinaires pour u. Sur un quelconque des m feuillets, nous devrons avoir, pour x très grand, un développement de la forme

R R'

M*,r>= - + -x

CHAPITRE IV.

7°

R étant un entier au />lus égal à —2. Pour chaque feuillet, on aura un nombre R.

Ainsi nous avons trois catégories d’entiers

a, [x, R.

Comme il est bien connu, on a entre eux la relation

(2)

2 a -+- 2 (x = X R,

en écrivant

o,

C X(x, y) dx =

l’intégrale étant prise le long du contour fermé rendant la surface simplement connexe, contour classique dans la théorie des surfaces de Riemann(t. Il, p. 429).

10. Les expressions w, que nous étudions, se partagent naturellement en fonctions de première espèce, de seconde espèce et de troisième espèce. Les fonctions de première espèce restent toujours finies, celles de seconde espèce n’ont sur la surface de Riemann d’autres infinis que des pôles, enfin il y a des infinis logarithmiques pour les fonctions de troisième espèce.

On voit immédiatement à quelles conditions l’expression (1) sera une fonction de première espèce. Tous les entiers a doivent être positifs, afin que le point a, b) ne soit pas un pôle ou un infini logarithmique.

11. Nous pouvons maintenant aborder la démonstration du théorème énoncé. On va donc supposer que l’inversion de l’expression (1) donne pour x et y des fonctions uniformes de u, et l’on veut démontrer que la courbe sera du genre zéro ou du genre un.

12. Ecrivons de nouveau la relation

dx u.

Supposons d’abord que le premier membre soit une fonction de première espèce. 11 est immédiat qu’il ne peut y avoir pour

~k(x, y) de pôles (a, b), car le développement de il suivant les puissances croissantes (x — a) est de la forme

u — uo —J— O ( x — ci    —j— . ..,

et l’inversion ne peut conduire à une fonction uniforme que si a = o. Tous les nombres a sont donc nuis, et l’on a alors, d’après la relation (2),

(3)

Sf* = SR.

Passons maintenant aux points (xt, y, ). Comme/—y, et x — x{ doivent être des fonctions uniformes de w, il en sera de même de \Jx — xK, et il en résulte de suite que tous les p. doivent être égaux à — 1. A insi le nombre p. correspondant à chacun des points de ramification doit être égal à — 1.

Il ne nous reste plus qu’à considérer les points à l’infini. On voit •encore immédiatement que tous les R doivent avoir la valeur — 2.

Ainsi nous avons

S (x — — [ ni (ni — r ) — 2 d j,

en désignant par d le nombre des points doubles de./’, et de plus

2 R = — 2 m.

La relation (3) donne donc

La courbe sera par suite du genre un, comme nous voulions l’établir.

Allons plus loin, en cherchant quelle sera la forme de l’expression u. Soient X(x, y) et À, (x, y) deux fonctions rationnelles, conduisant à une expression uy qui satisfassent aux conditions que nous venons de trouver. La différence

P U'.7>

J    [ X (x, y) — Xj (x, y)] dx

sera une intégrale abélienne n’ayant pas d’infinis; elle se réduira donc à une intégrale de première espèce. Ainsi, quand on aura une fonction ~k(x, y) satisfaisant aux conditions requises, on les obtiendra

toutes bien facilement. Or, appelons v l’intégrale de première espèce de la courbe f de genre un ; l’intégrale v est une expression u, car on peut poser

v"= ^

dx^

Une forme particulière de X(#, jk) sera donc sera, par suite,

v"

et sa forme générale

v"

a étant une constante, et l’on a, comme forme générale de u,

11 en résulte cpie u se réduit, soit à l’intégrale de première espèce (pour a= o), soit à

<?«⁷,

abstraction faite d’un facteur constant sans intérêt. Les fonctions inverses sont donc, soit des fonctions doublemen t périodiques de u, soit des fonctions doublement périodiques de la combinaison linéaire

A log u -4- B,

A et B étant des constantes.

13. Nous avons supposé que u était de première espèce. Suppo-sons-la maintenant de seconde espèce. Nous allons montrer d’abord qu’elle ne peut avoir qu’un seul pôle. Supposons, en effet, que u ait sur la surface de Riemann deux pôles A et A\ Quand (x,y) s’approche de A, u augmente indéfiniment et inversement; aux valeurs de u, d’un module suffisamment grand, correspond uniformément un certain domaine autour de A. Allons de A en A' par un chemin déterminé, d’ailleurs quelconque; u augmentera indéfiniment quand (,x, y) se rapprochera de A', et aux valeurs de u d’un module suffisamment grand correspondra uniformément un certain domaine autour de A'. A une même valeur de u suffisamment grande correspondront ainsi deux valeurs de (x, y), l’une dans le voisinage de A, l’autre dans le voisinage de A', et il est clair qu’on pourra passer de l’une à

l’autre en faisant décrire à u un chemin convenable dans son plan, chemin qui correspondra au déplacement de (x, y) depuis la première valeur jusqu’à la seconde sans s’éloigner du chemin déterminé tracé plus haut entre A. et A'. L’inversion ne donnera donc pas, pour x et jk, des fonctions uniformes de u si l’expression (i) a plus d’un pôle.

Le pôle unique est nécessairement compris parmi les points (ut, 6), et l’inversion ne peut être uniforme que si la valeur de a correspondante est égale à — 2. L’inversion uniforme exige aussi qu’il n’j ait pas d’autres points (a, ô), pour la raison donnée au paragraphe précédent. Pareillement, tous les nombres u. sont égaux à — 1 et les nombres R à — 2. La relation (2) nous donne alors

— 2 — [ m ( m — 1 ) — 2 d ] = — irn,

d’où l’on conclut

( m — 1 )( m — 2 )

c’est-à-dire que la courbe est unicurscile ( ¹ ).

Puisqu’il n’j a pas de cycles, la fonction de w, qui est de seconde espèce, est une fonction rationnelle de x et y et, par suite, du paramètre 0 en fonction rationnelle duquel on peut exprimer x et y. 11 est donc évident que x et y seront des fonctions rationnelles de u.

14. Supposons enfin que u soit une fonction de troisième espèce. Tout d’abord, dans le voisinage d’un point <2, la partie de u devenant infinie ne peut avoir une partie polaire et une partie logarithmique, car l’inversion ne pourrait, dans ce cas, être uniforme.

Supposons, en effet, que l’on ait une partie polaire et une partie

(') On pourrait arriver à ce résultat, d’une manière plus rapide, sans commencer par établir qu’il n’y a qu’un seul pôle. Supposons, en efl'et, qu’il y ait X pôles; on a urait

— 2 X — [ m ( m. — 1) — 2 cT\= — 2 m,

c’est-à-dire

+ X.

X, s’il n’est pas nul, ne peut donc être égal qu’à l’unité, puisque d ne peut surpasser m(m — 3)

logarithmique. On aurait

Acp(o:) + A]og(a7 — a) . — u,

A,

(x — ai )«•'

la partie f(x) étant une somme de termes de la forme Cette équation peut s’écrire

(x — a)ef(x)~h— — eA.

Le premier membre aura en a un point singulier essentiel isolé.

U

Donc, pour une valeur arbitraire de e*, nous aurons une infinité de racines de cette équation dans le voisinage de a (t. Il, p. 127). Donc, pour une infinité de valeurs de x autour de a, l’expression

A y(x) -4- A \og(x — a) +. ..

a la même valeur, à des multiples près de 2tzîA. On peut faire disparaître ce multiple de 2iziA en faisant tourner x autour de a, et nous pouvons, par conséquent, dire qu’à une valeur de u correspond un nombre infini de valeurs de x. Dans l’hypothèse faite, l’inversion ne se ferait donc pas d’une manière uniforme.

Donc, dans le voisinage d’un point (a, b), nous aurons

(4)

A log(a? —    u,

la partie non écrite étant holomorplie en x — a.

Posons

u = u i u!\

a ■= p(cos0 -t- i sin 0).

011 aura

¹

Nous nous placerons, au § 16, dans un cas un peu plus général.

(J) J’ai fait pour la première fois cette recherche dans le Chapitre VI (§ 1, 2, 3, 5, 6) de mon Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables; je suis revenu sur ce sujet dans VAmerican Journal of Mathematics (Vol. XVI, n° 1).

u' — a log p — 130 -1-..., u" = p log p -+- a0 -+-. ..

les parties non écrites tendant vers des valeurs finies déterminées quand x tend vers a. On lire des deux égalités précédentes

zu'-r- [i u" = (a² + P²)    -H.. ..

Donc, quand x est suffisamment voisin de a, on a

au! -1- 3 u” < o.

Reprenons alors l’équation

que nous écrirons

(x — a) = ex,

<]>(#) étant holomorphe dans le voisinage de a. La partie réelle de est

a u' -+- p u" a*-+-(32

Par suite, en désignant par y une quantité positive suffisamment grande, on voit qu’il y a, par la relation précédente, une correspondance uniforme entre un cercle d’un rayon suffisamment petit décrit autour de a et le demi-plan défini dans le plan de u par l’inégalité

(5)

a u' ■+■ |ïu" + y < o.

Ceci posé, on voit d’abord, en raisonnant comme au paragraphe précédent, que u ne peut avoir à la fois un pôle et un infini logarithmique, car au voisinage de ce dernier correspond un certain demi-plan, tandis qu’au voisinage du pôle correspond tout le domaine du plan u où le module est suffisamment grand ; ces deux régions ont une partie commune et, par suite, à une même valeur de u correspondraient deux valeurs de (#, y).

Nous devons donc seulement examiner le cas où u aurait un ou plusieurs infinis logarithmiques; ces infinis seront des points (a, b) et la valeur correspondante de a sera égale à — i. D’ailleurs il n’y aura pas d’autres points («, b), car, si un point (ut, b) était un point ordinaire pour u, l’inversion ne se ferait pas d’une manière uniforme (déjà dit plus haut). On voit d’abord qu’il ne peut y avoir un seul point logarithmique : on devrait avoir en effet, d’après la relation (2),

— \ m(m — 1 ) — 2 d\ = — 2 ni,

égalité impossible, puisqu’elle donne pour d un nombre qui n’est pas entier.

Peut-il y avoir pour u deux infinis logarithmiques? En désignant par des lettres accentuées les constantes se rapportant au second infini, on fera correspondre, comme il a été dit plus haut, au voisinage de ce second point un certain demi-plan

(6)

S'a" H- y'< o.

Pour que l’inversion se fasse d’une manière uniforme, les demi-plans (5) et (6) ne doivent pas avoir de partie commune. Cette circonstance se présentera si l’on a c’est-à-dire si les deux droites limitant les demi-plans sont parallèles, et si de plus a et [3 sont respectivement de signes contraires à a' et [3', les constantes positives y et y' étant d’ailleurs suffisamment grandes. Rien ne s’oppose donc à ce qu’il y ait deux infinis logarithmiques, mais notre raisonnement va nous montrer qu'il ne peut y en avoir trois. En effet, le demi-plan correspondant à ce troisième point aurait nécessairement une partie commune avec l’un ou l’autre des demi-plans précédents, et, par suite, l’inversion ne se ferait pas d’une manière uniforme. Pour abréger, nous ne montrons pas, comme plus haut, que les diverses valeurs de (x, y) se permuteraient bien entre elles, car il n’y a rien à changer à cette partie du raisonnement.

11 y a donc deux a égaux à — 1, et nous avons donc

— 1 — 1 — [ m ( m — 1 ) — 2. d ] = — 2 m,

d’où l’on conclut encore que la courbe est unicursate (').

Si l’on exprime x et y en fonctions rationnelles d’un paramètre 8, l’expression (1) sera alors ici une fonction de 8, holomorphe dans le voisinage de tout point du plan, sauf de deux points 8₀ et 8, qui sont des infinis logarithmiques; on aura donc

-Oo

Alog|

et, par suite, x et y seront des fonctions rationnelles de <?aM, a étant

(]) On pourrait encore ici se dispenser de prouver a priori que le nombre des nfinis logarithmiques est deux. En le désignant par X, on aura

— \ — [m(m — i ) — 2 d] = — 2 m

ou

r< cm

Si donc. X n’est pas nul, on a

Cette démonstration est beaucoup plus rapide que celle du texte.

une constante. La démonstration est achevée. La courbe f est du genre zéro ou du genre un, et nous avons indiqué les formes très simples des fonctions x et y de u (').

15. Comme nous l’avons remarqué au début, l’étude du cas où l’inversion d une intégrale abélienne

d.y)

R(x, y) dx — u

[/(^> y) = o]

donne pour x et y des fonctions uniformes de u est un cas particulier de la proposition que nous venons d’établir. Mais ici la démonstration est encore plus simple, et l’on arrive ainsi de la manière la plus rapide et la plus rigoureuse aux résultats obtenus par Briot et Bouquet dans leur Mémoire classique sur les équations de la forme

dx

= O.

Aussi ne sera-t-il pas inutile de reprendre dans ce cas particulier la démonstration.

Si l’intégrale (7) est de première espèce, la courbe f est nécessairement de genre un, si x et y sont fonctions uniformes de u. C’est le cas le plus facile, où la démonstration ne présente aucune difficulté, puisqu’on a alors

Q(&, y)

-rr’

y) =

Q(x, y) désignant un polynôme adjoint d’ordre m— 3. En dehors des points doubles, il y aurait des points de rencontre de Q = o avec f si le genre de f dépassait l’unité, et, par suite, x cesserait d’être fonction uniforme de u. Le genre de f est donc égal à un. Les deux fonctions x et y sont doublement périodiques.

Si l’intégrale (7) est de seconde espèce, on peut supposer (§1) que

cycle sur la surface de Riemann. On vient

un

(') Le résultat général que nous venons d’obtenir est en définitive un résultat négatif. En considérant les expressions (1), mon but avait été d’obtenir des transcendantes uniformes ne changeant pas quand on y remplace la variable u par certaines expressions de la forme au -+- b (les a et b étant des constantes, et les expressions formant nécessairement un groupe). On voit en effet immédiatement que u se change en au -+- b quand {x, y) décrit

de voir que les fonctions cherchées se ramènent à des fonctions connues.

ses pôles sont à distance finie et sont distincts des points de ramification. Raisonnant alors comme au § 5, nous montrons que u ne peut avoir qu'un seul pôle. Ce pôle simple de u sera pour Tk(x,y) un pôle double. A l’infini, sur chacun des feuillets, on doit avoir un développement de la forme

h'

(h ^ o).

R(<r’ y)= ^

Ensuite R(.r, y) deviendra infinie aux points de ramification et en ces points seulement, de telle sorte que, pour un point de ramification (.r, y), on aura

-hk'-h...

(k O).

\f X — X \

Dans toute autre hypothèse, en effet, x et y ne pourraient être fonctions uniformes de u. Enfin R(x:y) ne s’annulera que pour les points à l’infini.

Ceci posé, considérons l’intégrale

(8)

f «flogR,

étendue à un contour rendant la surface simplement connexe. Cette intégrale est nulle, et, comme on connaît les racines et les pôles de R, elle se calcule immédiatement, ce qui donne

— 2 — [ m(m — i ) — 2 d J = — 2 ni.

C’est la relation du § o; on en conclut que La courbe est unicursale.

Il ne reste plus à examiner que le cas où u serait de troisième espèce. Le raisonnement du §6 montre que u a deux infinis logarithmiques; pour les points à l’infini et pour les points de ramification, la forme de R(.r, y/⁻) est la même que ci-dessus. En prenant encore l’intégrale (8) le long du même contour, on a

i — \m(m — î) — id\ = — 2/n,

d’où se tire encore la même conclusion.

Quant à la forme des valeurs de x et y, elle s’obtient non moins facilement. Dans le cas où u est de seconde espèce, x et y sont fonctions rationnelles de u, et, dans le cas où u est de troisième espèce, x et y sont fonctions rationnelles de eau.

16. Nous allons compléter, pour terminer, le théorème général démontré plus haut. Nous avons supposé que l’expression considérée

u=f

A*,y).

I M.r,y) cix

eJ    ax n’avait sur la surface de Riemann que des pôles ou des infinis logarithmiques, de telle sorte que les singularités de u étaient absolument de même nature que celles des intégrales abéliennes attachées à la courbe J. Si l’on prend a priori une expression de cette forme, en supposant seulement qu elle n’ait pas de singularités essentielles, on pourra avoir certains points (a, b) pour lesquels le résidu correspondant a (voir § 1) n’est pas un entier. La fonction u n’est pas alors uniforme dans le voisinage de (a, b) et la singularité n’est pas de nature logarithmique. Dans quels cas l’inversion pourra-t-elle conduire pour x et y à des fonctions uniformes? Il faut évidemment que h étant un entier positif ou négatif.

Si nous voulons faire la discussion, nous distinguerons le cas où la fonction u reste toujours finie et celui où elle devient infinie.

Dans le premier cas, les nombres h seront positifs et finis (/t= i étant évidemment exclu). Toutes les autres conditions restant les mêmes, nous obtiendrons, en écrivant l’égalité

‘u R’

la relation suivante:

2(

j^J — \ m(m — i) — 2 d\ = — 2 m.

Ceci nous conduit à

3)

m(m — 3 )

On voit que d surpasse unicursale. Il faudra de plus que l'on ait

et, par suite, la courbe sera

2.

CHAPITRE IV.

8o

Désignons par X le nombre des termes de la somme; on aura

2 = 7--t- -,--H ... H- -r- >

h\ h-2    h\

les h étant des entiers supérieurs à un. On a manifestement

¹    i    i

⁺    /rA= ’

donc X — ² = ^ ’ c’est-à-dire X < 4 •

On doit par suite avoir soit X = 3, soit X = 4-Pour X = 3, on a la relation

T--7—

"2    "3

Pour X = 4; on a

Les solutions de ces équations en entiers positifs sont en nombre très limité; il est sans intérêt de les transcrire, car nous verrons dans un moment que leur discussion a été faite sous une autre forme par Briot et Bouquet.

Passons au cas où u deviendrait infini. Nous avons toujours

S-l “

h est un entier qui peut être négatif. Le cas de h = oo correspond à l’infini logarithmique, le cas de h = — i au pôle, de telle sorte que tous les cas sont compris dans la formule précédente. Nous aurons encore

m( m — 3 )

•y

2 —à

3H -

La courbe sera donc encore unicursale.

Quant à la nature de x et y, nous l’obtiendrons de suite, en remarquant que, la courbe étant unicursale, on a, pour

R,(0)d0,

r /'iwôidô

U=J ⁶

R et R, étant rationnelles en 0. Comme il n’y a pas de singularités essentielles, nous aurons nécessairement

u = j'(0— 0,)«i(G — 0₂)«3. . .(0 — 0x)a> d0

et nous avons donc à chercher les cas où cette relation donne pour 6 une fonction uniforme de w, problème traité par Briot et Bouquet dans le Mémoire cité plus haut et auquel nous renverrons. On en déduit encore que x et y seront des fonctions doublement périodiques, des fonctions rationnelles de u ou des fonctions rationnelles de eau.

Des équations différentielles algébriques du premier ordre à points critiques fixes.

17. Considérons une équation différentielle du premier ordre

o,

(8)

f étant un polynôme irréductible en y et les coefficients étant

des fonctions quelconques de la variable x. Nous savons (Chap. Il, Section IV) que les pôles et les points critiques algébriques sont les seules singularités mobiles, c’est-à-dire variables d’une intégrale à l’autre. Laissons de côté les pôles et proposons-nous l’étude des cas où les points critiques algébriques sont fixes, c’est-à-dire indépendants de la constante d’intégration.

C’est M. Fuchs (') qui a le premier appelé l’attention sur les équations algébriques du premier ordre à points critiques fixes, et il a donné les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une équation jouisse de cette propriété; il a aussi fait l’étude de deux cas particuliers très intéressants. M. Poincaré a repris ensuite la question (²), et la conclusion bien inattendue de ses recherches est que cette classe d’équations est fort limitée, je veux dire que les équations jouissant

(¹ ) Fuchs, Ueber Dijjjerentialgleichungen deren Intégrale f este Verzweigungs-punkte besitzen ( Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin, juin 1884).

(²) H. Poincaré, Sur un théorème de M. Fuchs (Acta mathematica, t. VII).

de la propriété indiquée se ramènent à des équations déjà étudiées ou peuvent être intégrées par des calculs purement algébriques.

Déjà, dans le Tome II de cet Ouvrage (p. 3^>é), nous avons examiné un cas particulier du problème précédent, celui où l’équation (8) est

du premier degré en <~- Les théorèmes généraux démontrés sur les

courbes algébriques nous permettent maintenant d’aborder le cas général.

18. Considérons un point .r„ et un point x distinct des points singuliers, qui, par hypothèse, sont fixes; joignons-les par un arc de courbe déterminé ne passant pas par les points critiques. Désignons par y₀ et y'₀ les valeurs initiales de y et y' pour x — x₀ : on a, bien entendu, la relation

= O.

y'₀)

Quand la variable suit le chemin tracé de x₀ à x, l’intégrale se trouve déterminée de proche en proche, et, quand on arrive en x, on a pour l’intégrale et sa dérivée les valeurs y et y’. On peut donc considérer y et y¹ comme des fonctions de y₀ et y'u, et si, écrivant les deux relations algébriques

(9)

(io)

/( J-o, yo, yo ) —

/(*» y, y ) = o,

nous les considérons comme des relations algébriques, respectivement entre y₀ et y'₀ pour la première et entre y et y' pour la seconde, nous voyons qu’à un point arbitraire (.Vo, y'₀) de la première courbe ne correspond qu’un point (y, y') de la seconde, et inversement, puisqu’on peut faire en sens inverse le raisonnement précédent. 11 y a donc une correspondance biuniforme entre les points des courbes (g) et (io). Pour certains couples de valeurs (yoiy„)i une intégrale de l’équation différentielle peut n’être pas complètement déterminée par les valeurs initiales (jKo?T₀)» niais ces couples de valeurs sont néces sairement en nombre limité, puisqu’ils correspondent aux valeurs de ) ₀ pour lesquelles l’équation (g), regardée comme une équation en y#, a des racines multiples. Donc, d’après une remarque générale faite précédemment, la transformation étant biuniforme entre les courbes (g) et (io) est nécessairement biralionnelle. On a ainsi

les relations

00

J y = B (yo, y'o'*, *o), r y = R1 (yo, y’o, x, a?o),

R et R, étant rationnelles en y₀ et y'Q et cette transformation est réversible.

19. Il peut sembler au premier abord que nous ne nous sommes pas servi, dans le paragraphe précédent, de l’hypothèse que les points critiques sont fixes, et qu’alors les conclusions précédentes peuvent s’appliquer à toute équation algébrique du premier ordre. Si les points critiques de l’équation étaient mobiles, nous ne pourrions pas regarder y et y' comme fonctions de {yo,y'₀)] en effet, en faisant varier (jKojJKo)? il arriverait un moment où les points critiques variables avec les valeurs initiales (r₀₎ /'J se trouveraient sur l’arc tracé au début de x₀ à x, et, à ce moment, y et y' cesseraient d’être des fonctions bien définies de (yo-, y'₀)-

20. Du théorème démontré au paragraphe 18 se tirent d’importantes conséquences. Les courbes (9) et (10) se correspondant point par point sont du même genre. Désignons ce genre par p ; sa valeur joue un rôle essentiel dans la discussion qui va suivre.

Soit d’abord p >» 1. II ne peut y avoir alors qu'un nombre limité de transformations birationnelles transformant les deux courbes l’une dans l’autre, car, dans le cas contraire, il y aurait nécessairement une infinité de transformations birationnelles transformant chacune de ces courbes en elle-même, et ceci est impossible, puisque le genre est supérieur à l’unité (t. II, p. 483).

On pourra, par des calculs purement algébriques, déterminer toute transformation birationnelle transformant les courbes (9) et (10) l’une dans l’autre. Considérons, en effet, les p intégrales distinctes de première espèce

, j \p(x, y, y')dy,

Jli(x,y,y')dy,- j l₂(x, y, y') dy,

relatives à la courbe (10); x figure comme simple paramètre dans les On aura

./o, y'o)dy₀,

B/j \p(x₀, y₀, y'₀ ) dy₀.

0 O, y, y') dy = AjXj(a7₀, jk₀, jKo) + - • • ^aO, r, y) dy — B, Xi(a7o, y₀, y'^dy^-^...

Jes A et les B dépendant seulement du paramètre x. On aura donc en divisant,

jKo, y'₀ ) -4-,..-f- Xplp(xa, y₀, y'„ ) Mv,y,y)    y», y'o)    Bplp(x₀, y₀, y'₉ )

à rechercher si l’on peut déter-

aura

Telle est la forme nécessaire de la correspondance entre les deux points (y, y') et (y₀,y'₀). On miner les A et B de manière que cette correspondance soit Irrationnelle; ceci entraînera un certain nombre de relations entre les A, les B et x, relations qui, en général, seront trop nombreuses pour être compatibles, mais qui, dans tous les cas, ne pourront déterminer qu’un nombre fini de systèmes des A et B en fonction de x.

En définitive, les relations (i i), quand elles existent, se déterminent par des calculs algébriques (pour //>»i); on aura de plus encore à vérifier si y est la dérivée de y par rapport à x. Quand toutes ces conditions sont remplies, on a une équation à points critiques fixes dont l’intégrale générale est donnée par la première des équations (i i). On voit que cette intégrale se détermine algébriquement. U intégrale générale est une fonction algébrique des coefficients de y et y' dans Véquation différentielle proposée. En particulier, si x entre algébriquement dans f, l’intégrale sera une fonction algébrique de x.

21. Nous venons d’examiner le cas où p est supérieur à l’unité. Soit maintenant p — o ; on peut alors exprimer y et y' rationnellement en fonction d’un paramètre 9 ; on a ainsi

y = R (9. ®), y'= Ri (G, a?),

R et R, étant rationnelles en 9, et inversement 9 est une fonction rationnelle de y et y'. La fonction 9 de x dépend d’une constante arbitraire connue y, et, comme cette dernière fonction, ses points critiques seront fixes. En écrivant que y' est la dérivée de y, nous aurons une équation f étant rationnelle en 9; nous sommes donc ramené au problème

proposé, mais dans le cas où la dérivée entre au premier degré. Il est inutile de répéter ici ce que nous avons déjà dit (t. II, p. 3^3); l’équation précédente a nécessairement la forme

= P₆,+ Qe + R,

P, Q, R ne dépendant que de x. Nous sommes donc ramené à l’équation de Riccati.

22. Le cas où p = i est plus délicat, nous le traiterons de la manière suivante.

La courbe

(12)

/( r. y ) = o

correspond point par point à une certaine courbe normale de genre un

03)

le module k étant indépendant de x, puisque la courbe (12) correspond point par point à la courbe f(x₀, y₀, d o) indépendante de x. Ecrivons la substitution birationnelle, que nous pouvons regarder comme connue, entre ces deux courbes :

y = S (X, [a, a?), y' — Si(X, |a, x).

Nous aurons nécessairement, par cette transformation,

(Y, Y')

04)

PO ,y,y')dy,

rlL'U)dk _ r

«OX.ia) P    J (y, y’)

(X, p.) et (L, M) étant, pour le moment, deux points arbitraires de la courbe (13), et (/, /) et (Y, Y') étant les points correspondants de (12). L’intégrale qui figure dans le second membre est manifestement une intégrale de première espèce relative à (12); ses deux périodes ne dépendent pas de x, puisque les périodes de l’intégrale du premier membre n’en dépendent pas.

D’autre part, nous avons entre la courbe (12) et la courbe

/(^o, ro.ro) = °

une certaine correspondance birationnelle inconnue : la correspondance (i i). Cette correspondance nous donnera

/-» i ■ > * )    /» ( Vo» V'o)'

POo, y0, y’o) dy₀.

/ v(x,y,y')dy — a j

^ iy, y’)    *Xj₀./oi

()•

A. pourrait, a priori, dépendre de x, mais il n’en dépend pas; sinon, la période de la première intégrale dépendrait de x, ce qui n’a pas lieu, d’après ce que nous avons vu plus haut. On voit alors de suite que A = i en faisant x = x

On conclut de là que, si l’on prend deux intégrales, y et Y, de l’équation différentielle, correspondant respectivement aux valeurs initiales (y₀, y\£) et (Y₀, Y'₀), et qu’on désigne par (X, p) et (L, M) les valeurs correspondantes données par la substitution biration-nelle (i4), on aura

— = a,

,L,M) d\ (X, IX) H-

a étant une constante indépendante de x. Soit maintenant (a, [3) un point arbitraire de la courbe (i3) qui va rester fixe, et considérons l’intégrale

J.

ta. P) P

(X, p) correspondant toujours à l’intégrale (y, y'). Cette intégrale est une fonction de x que nous désignerons par^(a?). Posons donc

(i5)

(X, f-l rrt

— =g{x). ta. P) P

Si, à la place de l’intégrale (y, y'), nous considérons une autre intégrale (Y, Y'), nous aurons

(L, M) correspondant à (Y, Y'), comme (X, p) coi’respond à (y, yr). La dépendance entre les fonctions G(x) et g(x) est facile à trouver; on aura

GO) — g(x) = a,

a étant une constante indépendante de x, d’après ce que nous avons

dit plus haut. Ainsi ici fonction g(x) est déterminée à une constante près. On a

g\x) = ~

i de

[Jt. dx

Or X et [jl sont des fonctions connues de y, y' et x, d’après (i4)-La fonction g{x) étant déterminée à une constante près, il faudra que g'{x) se réduise à une fonction de x en tenant compte de y(.r, y, y') = o. Lorsque cette condition se trouvera réalisée, on déterminera g(x) par une quadrature, et l’on aura, d’après la relation ( 15 ),

X = sn [£•(#) -F- a],

sn désignant la fonction elliptique ; p. sera aussi une fonction doublement périodique de g(x)-\- a, et l’on a alors la forme de l’intégrale qui s’exprime à l’aide de fonctions doublement périodiques. La constante arbitraire est a, et les points critiques de l’intégrale ne peuvent être autres que ceux de la fonction g(x), qui, comme nous l’avons dit, s’obtient par une quadrature.

23. La discussion de la nature des intégrales d’une équation différentielle du premier ordre, algébrique en y ety': à points critiques fixes, est complète.

Suivant la nature du genre p de la relation algébrique entre y et y\

fi*, y, f) =

pour une valeur arbitraire de x, Vintégrale s'obtiendra par des calculs algébriques (/; >» i), ou elle s obtiendra par une quadrature {p = i), ou enfin on sera ramené ci une équation de Riccati (yp = o).

CHAPITRE V.

SUR CERTAINES MÉTHODES D’APPROXIMATIONS SUCCESSIVES.

I. — Un théorème général sur les équations différentielles linéaires renfermant un paramètre arbitraire.

1. Nous avons, au Tome II de cet Ouvrage (2e édit., p. 34o), étudié une méthode d’approximations successives qui nous a conduit à quelques théorèmes fondamentaux sur l’existence des intégrales des équations différentielles. Nous allons, dans ce Chapitre, faire diverses applications de cette idée générale d’approximations successives, en variant les conditions des problèmes.

Remarquons d’abord, comme complément aux observations faites (ioc. cit., p. 345), que pour une équation linéaire quelconque

d"¹ y

-+■ P1

dx"¹

dm~x y dxm -1

où les P sont dans un certain intervalle 1 des fonctions continues de la variable réelle x: la méthode indiquée conduit à un développement en série valable pour toute valeur de la variable dans le champ I où les P sont continues.

2. J'emploierai encore la méthode des approximations successives à la démonstration d’un théorème important surles équations linéaires. Soit une équation linéaire

(0

dm y

dx'n

-4- Pi (x. /c)

dm~x y

dx"‘-¹

-t-. • •■+- P/hO, k)y — o,

dont les coefficients dépendent d’un paramètre k et sont des fonctions entières de ce paramètre k. Les fonctions P sont continues en x dans un certain intervalle I.

Il est utile de savoir quelle sera la nature d’une intégrale quelconque par rapporta k\ nous allons voir immédiatement que, pour x compris dans l’intervalle I, il J a un système fondamental d’intégrales, fonctions entières de k, c’est-à-dire liolomorphes dans tout Le plan de la variable k. Si, en effet, on représente, comme nous l’avons fait (loc. cit.), l’intégrale par une série

Xo+ (jKl— JKo ) "+"•••■+■ (Jn—Y n-1)    .

chaque terme de cette série est une fonction entière de k, en supposant que les valeurs initiales soient numériques, c’est-à-dire indépendantes de k. Restons dans le plan de la variable k à l’intérieur d’un cercle C d’ailleurs arbitraire; nous savons que, pour x quelconque dans I et pour k quelconque dans ce cercle, on peut trouver un nombre fixe ~k tel que

l'¹

I.2...n

Nous avons donc, en définitive, une série

Uo -+- li\ -1-. . . -t- Un —1-. . .

ln

dont chaque terme est une fonction holomorphe de k dans le cercle C et où l’on a de plus

I .2 ... 71

I un | <

r un(z) dz m 'c z~k ‘

11 est bien facile de voir que la série des u sera elle-même une fonction holomorphe de k dans C. C’est ce que montre la formule de Cauchy,

la série de terme général utl(z) étant uniformément convergente sur C, on aura

uo (k) -+- . . . -H Un(k) -H. . . —

H-. • •-H U„(z) -h. .

— dz,

d’où se déduit de suite que la série des u est une fonction holomorphe de k dans G, et par suite dans tout le plan.

Nous concluons donc que Y intégrale générale de (i) peut se

mettre sous la forme

Aj ux (x, k) -+- A₂u₂(x, k) . .-+- Anun(x. k),

les u étant des fonctions entières de k.

Nous appliquerons prochainement ce théorème à l’équation

+ kA(x)y = o.

II. — Cas d’un système d’équations différentielles du second ordre (*)•

3. Prenons d’abord l’unique équation

~Ax'y'-£)’

Nous voulons trouver Vintégrale de cette équation, qui prend pour x = a la valeur A et pour x = b la valeur B. On suppose que la fonction

/(*. y, y')

est définie et continue quand x varie dans un certain intervalle de longueur h comprenant a. et b, et que \y\ et | y' | varient respectivement entre —L et + L d’une part, et —L/ et -f- U d’autre part; nous désignerons par M le module maximum de f dans ces conditions. On admet, de plus, que l’on a :

l/O.jn, y\) — f^,y, y) < *\y — yi 1 -+- $\y' — y\ h

a et P étant deux constantes positives fixes, les y et y' restant entre les limites indiquées.

On part d’une fonction quelconque y₀ satisfaisant aux conditions précédentes, et l’on forme les équations successives

±yi = f(

dx * J \

dy o\

1 dlZl

{ dx²

d\r

dx-

-=/(

x, yn—u

dy

n—i

dx j

(') Pour ce qui concerne les approximations successives, on pourra consulter, dans le Journal de Mathématiques, mes Mémoires de 1890 (Chap. V) et de i8g3, ainsi que la Note I insérée dans les Leçons sur la théorie des surfaces, de M. Darboux, t. IV.

On intègre chaque fois par la condition que y,, y₂, ..., y„ prennent les valeurs initiale et finale données.

Pour simplifier l’écriture, nous supposerons, comme il est évidemment permis, que

et

b > o.

Il s’agit d’abord de savoir si les y successifs restent, ainsi que leurs dérivées premières, entre les limites indiquées.

4. Nous avons donc à considérer l’équation

(3)

d'-y ' \ d^=fyx)’

on aura l’intégrale s’annulant pour x = o,

r\(

0

Choisissons la constante P de telle sorte que cette expression prenne la valeur B pour x = b ; on a ainsi

— / ?('*)(* do

f ?(*)(*

• 0

— z) dz

qui représente l’intégrale de (3) s’annulant pour x = o et prenant la valeur B pour x = b. On peut trouver une limite supérieure de

\y\ et||;|quand

x varie entre o et b. Écrivons y sous la forme

f z?(z) (f — ï) dz

c-

9-

&■

ea

La valeur absolue de la première intégrale, en désignant par M la valeur absolue maxima de <p(.r), est moindre que

Ma?*

La valeur absolue de la seconde est moindre que

x M (b — x )*

On a donc

M#² x M{b — x)²

+ |B| =

Ma? (b — x)

d’où, enfin,

M b*

\y\< —^bi

passons maintenant à on a

dy _

dj-

I cp ( z ) dz -+-*/»

f ?(*)(&

«'O

— z) dz.

égalité qu’on peut écrire sous la forme dy

d.r

X T<s,(

bTr)dz-zfr

z) (b — z) dz -+-

on aura, par suite

dy

M x'-

M (b — xy

dx

c-| 53

et, par suite

AI h

dx

■>

• ô. Revenons maintenant au système (2). Nous devons évidemment supposer

| B | < L.

Nous admettrons, de plus, que l’on a

Mù²    R. .

-g-    I B | < L,

ce qui a lieu si b est assez petit. De plus, pour que ^ soit certainement compris entre — L' et -+- L', nous faisons l’hypothèse

y <L'.

(4)

(5)

Moyennant les inégalités (4) et (5)

nous sommes assuré que les fonctions yt, y», ..., yu sont toutes comprises entre — L et H- L. On doit remarquer que ces inégalités seront certainement vérifiées si 6,

g

B et r sont suffisamment petits.

Il nous faut maintenant montrer que yn tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. On a

d² {y 2 y \ )

dx²

dyo\

Or, soit M le maximum de

nous aurons

d après ce qiu précède, puisque y₂— yt s annule

pour x = b

<--

dx dx

La relation

d² ( y-,\ y% ) _ ,/ dx*

dy 2

’ dx

dv i

y'> dï

nous montre que

/ 6²

I jks—y->. | < m ycc

dy 3

dy<i

dx dx

et, de proche en proche, on arrive aux inégalités

/ 6²    „ 6 \ «-2 62

| yn — yn-l I < M (a Y “*■ P 2 /

n—1

dx dx

Si donc on a

(6)

la série

sera manifestement convergente, et, par suite, aura une limite y pour n — ce. Cette fonction y de x aura certainement une dérivée première représentée par la série

dy-i

dy>

dx

dx

dy\ \    / dyn

~dx)⁺--^\dï~

dy,i-\

dx

CHAPITRE V.

94

Il est aisé de vérifier que y satisfait à l’équation (i); on a, en effet,

yn

-SA

zi y n—\i

dy

n—\

dz

J (x — z) dz

2, y*-i, d>^z '\(b — z)dz,

en remplaçant, sous les signes d’intégration, dans yn-<, la lettre x par la lettre s. Puisque yn et convergent uniformément

leurs limites respectives y et ^ » on aura et, par suite, en différentiant deux fois,

±Z. = fl

dx1    J 1

- ff

*' 0 '

iff

dy

vers

Z,y'iïz l(ô — z)dz

dy

X' y'~cLx)’

II est évident, d’ailleurs, que y = o pour x = o, et y = B pour x = b.

La recherche de l}intégrale est donc complètement effectuée ; on ne doit pas oublier que les inégalités (4), (5) et (6) sont supposées vérifiées.

6. L’analyse précédente peut s’étendre à un nombre quelconque d’équations de la forme

dy\

dy,n

dx¹

d* y 2

dx¹

=/. Uy„y,,...,y.,%, •••> d£),

d* y m _ dx'¹

*,yi,yî, ■■

dy i

dy,„

y,n' dx ’    ’ dx )

Notre méthode d’approximations successives permettra de déterminer les intégrales jy,, y>, • • -, J'/>< de ce système, telles qu’on ait

(pour x = o), y m ⁼ B„,

yt = B|,

yi=y-i = . ..= y 2 = Bj,

(pour x = b).

\M* i /li • • • i Y mi y i ; • • • > y ni ) fi{xi z O ■ i z ni i z 1 > • • • i z m ) |

<C al [ y y — S1 I ■+• • • . ■+" a//i I y ni — zm I -+- pl | y'i — -si I -h. . .H- p/n | y ni — z'm |*

on

En gardant, pour le reste, les mêmes notations que plus haut devra avoir

—---h J B, | < L,

B,

Mb

et enfin

6²

• -+" a/n) -g- -t- ( Pl -4- p2 “H . • • Pn; ) — <C I •

7. Je dis maintenant que /’intégrale déterminée par la méthode précédente est unique, c’est-à-dire qu’il n’existe qu’un seul système d’intégrales y,, y2l ..., ym prenant les valeurs données au commencement et à la fin de l’intervalle (o, b). Bien enLendu, nous ne pouvons considérer que des systèmes d’intégrales telles que

\ yi \ < B>    I//ICIA

puisque c’est seulement dans un tel intervalle que nous supposons les /'définies.

Pour abréger, je supposerai que les fonctions f ont des dérivées partielles du premier ordre par rapport aux y, de telle sorte que a* sera le maximum de

àfi

dyu

(i = 1,2, . .., ni);

et pareillement (3* sera le maximum de

àft dÿk

quand x varie entre o et b, les y entre — L et + L, et les y' entre — U et + L'.

Supposons maintenant que nous ayons deux systèmes d’intégrales satisfaisant aux mêmes conditions aux limites

Yi, Y„    Y m.

et

y 11 ÿt, •••, y m

On aura, en retranchant les équations différentielles, puis posant

yi — Y i — Uj,

CHAPITRE V.

9⁶

et appliquant le théorème des accroissements finis

d² ui

du

dx-

— au Ui-+-a₁₂    u₂-h...-r-ai!m u m-\- bn —j—

,/n

du /n dx ’

(E)

rf² um dx²

Nous pouvons considérer les a et b comme des fonctions de x, et nous avons alors un système d’équations linéaires et homogènes, pour lesquelles un système d’intégrales

— U/n, 1 ui ■+" am,2 U₂ ■+■••••+" am,m um H- bm,\

du

dx

K. b

ux

u ₂,

11,11

s’annule pour x = o et pour x = b.

Nous allons voir que les u doivent être identiquement milles. De ce que

(ï = 1,2,    m),

I aitk | < a* et | 6/,/, | < ,3/,

on conclut que, pour le système (E) d’équations linéaires, la méthode des approximations successives est applicable. Il en résulte que l’on peut trouver 2m systèmes d’intégrales prenant pour x — o et x = b des valeurs arbitrairement données. Avec ces 2 m systèmes d’intégrales, nous pouvons former l’intégrale générale de(E)et déterminer les constantes de façon à avoir les intégrales s’annulant toutes pour x = o et pour x = b. Or, ces constantes seront toutes nulles, puisqu’elles sont données par des équations homogènes du premier degré, dont le déterminant n’est pas nul, toutes les lettres qui forment le déterminant ayant des valeurs arbitraires. Les u sont donc identiquement nulles, et Von a bien

comme nous voulions Vétablir.

III. — Quelques cas particuliers.

8. Nous avons vu que l’intégrale déterminée par la méthode des approximations successives, quand les conditions nécessaires pour l’application de la méthode sont vérifiées, est unique.

Étudions en elle-même, autant qu’il est possible, cette question de la détermination unique d’une intégrale d’une équation du second ordre par des valeurs initiale et finale.

A + B v dx* ~ a dx ⁺

A. et B ne dépendant que dé x. Supposons qu’il y ait une intégrale y, s’annulant pour x = a et pour x = 6, et continue de a 'a b. On a évidemment la relation

SA

l*-Bs)dT =

",

qui se transforme de suite, en intégrant par partie, et devient

(«)

dy

= o.

Si donc on a, pour toute valeur de .zr comprise entre a et b,

B > A²,

on est assuré que l’intégrale considérée y ne peut qu’être identiquement nulle.

On peut aller plus loin en employant un artifice dont je me suis servi déjà antérieurement pour certaines équations aux dérivées partielles (t. II, p. 24)- Si À désigne une fonction continue quelconque de x entre a et 6, on aura

(?)

’’ dÇhyî)

dx

dx = o.

En additionnant (a) et ((3), il vient

dy

(B+s)H‘4r=0‘

Si donc X est tel que

cü,

₍Xh-A,»+B>o,

y devra être identiquement nul. Nous verrons dans un instant une application de cette transformation du problème.

9. Si nous reprenons maintenant l’équation non linéaire

fl¹ y dx²

il est facile de signaler un cas où cette équation ne pourra avoir deux intégrales prenant les mêmes valeurs pour x = a et x = b: et continues de a à b. Soient, en effet, r₍ et y₂ deux telles intégrales; on a

dx²

dy₁\.

dx )

Si nous supposons maintenant que /ail des dérivées partielles du premier ordre, elles-mêmes continues, nous pourrons écrire, en posant

J 2 ~ y i — ,

la relation précédente sous la forme

. du — A

d² u ~dx«

dx

H— B

où l’on a

A =fz

-h 0'

B= /r(a?₁/i +

-+■ 0'

I I- 6-lê-

Je désigne, pour marquer les dérivations, la fonction /par/(.r, jp, s). A et B peuvent être regardées comme des fonctions de x. Or si l’on a, quels que soient y et s, pour x compris entre a et b,

i/yO> Yiz)> [fz(xi y, -OIS

il est manifeste que Véquation

— =/( dx *    J [

ri aura cj ri une seule intégrale prenant des valeurs données pour x~a et x = b, et continue dans cet intervalle. En particulier, l’équation

où f croît en même temps que y, rentre dans la catégorie précédente.

10. L équation linéaire

vy

dl y

dx²

mérite une étude spéciale. D’après ce que nous venons de voir au paragraphe précédent, si B est positif de a à b: il existera une seule intégrale continue de a à b et prenant pour ces valeurs de x des valeurs données.

Le cas où B est négatif de a à b est beaucoup plus difficile à étudier ; nous l’approfondirons dans le Chapitre suivant. L’analyse du paragraphe 8 va nous conduire à un premier résultat. Soit

I B | < h

h étant une constante positive. Nous serons assuré de l’existence unique d’une intégrale, déterminée par ses valeurs pour x — a et pour x—b^ si l’on peut trouver A, fonction continue de x dans cet intervalle, et telle que I on ait

(x variant de a à b),

d\

---À² B > o.

dx

Or, si l’on peut déterminer À de telle sorte que

d\

cette dernière inégalité entraînera la première. Soit h\~g> h, l’équation

dA dx

donne

X = \Jlix tang(a7 <f h\ —t— G),

on

■C étant une constante. Si l’intervalle (a, b) est inférieur à —ÏL >

V

pourra choisir évidemment la constante C de manière que À soit continue dans l’intervalle. Comme, d’autre part, h{ est aussi rapproché que l’on veut de h, on peut dire que, si Vintervalle (a, b) a une longueur inférieure à -—■> il existera une seule intégrale de Véqua-V h

lion

p. = Ky, dx2 J '

prenant pour a. et b des valeurs données.

Nous allons maintenant faire une étude plus approfondie de cette ■équation et de quelques équations qui s’y rapportent.

CHAPITRE VI.

SUR CERTAINES ÉQUATIONS LINÉAIRES I)U SECOND ORDRE.

I. — Définition d’une constante fondamentale dans l’étude de certaines équations linéaires. Étude progressive de l’intégrale.

d² y

-É- + K(x)y = o,

1. Nous allons faire dans ce Chapitre une étude approfondie de l’équation

la fonction A(a?) étant positive de a à b. Quoique cette équation soit de forme bien particulière, nous allons trouver dans son étude un type de problèmes, qui se poseront d’une manière analogue dans des équations plus générales, et que nous pourrons ici approfondir complètement.

Nous démontrerons d’abord le théorème suivant :

S’il existe une intégrale y. de Véquation précédente, toujours positive et différente de zéro de a à b, et continue ainsi que sa dérivée première, cette intégrale pourra être obtenue par la méthode des approximations successives.

Faisons d’abord une remarque préliminaire.

L’intégrale de l’équation

d'y

;jjr+»<*) = O,

s'annulant pour x — a et x — b, est donnée par la formule

=f

a

f(z)

(b — x) (z — a)

— z) dz.

On voit que, si <p(a?) est positif de a à b, la fonction y sera positive, et croîtra, si l’on remplace cp(0) par une fonction plus grande.

Au lieu de la forme élémentaire classique de l'intégrale y de l’équation

d² y

-7Sr + T(*)= O,

qui s’annule en a et b, on peut avec M. Burkhardt (Bulletin de la Société mathématique, i8p4) écrire

y(x)

= f GO, 0 <p ($)«*£,

(t

où la fonction G(0, £) est définie par les égalités

GO, 0 =

(b — x) (£ — a)

pour

pour

Ceci posé, nous partirons, pour les approximations successives, de la fonction y₀ vérifiant l’équation

d\y o

dx²

= o,

et prenant les mêmes valeurs que y aux deux extrémités de l’intervalle (a, b). On aura ensuite la succession des équations

d-yi

dx²

-H A O)jko

= o,

d-.Yn

dx²

y,, y₂, ...,    prenant les mêmes valeurs initiale et finale que y, et

étant positives, .commey, dans l’intervalle (a, b). De l’équation

g + A(^)r = o,

On conclut que

d*{y —y*)

or y — y₀ a des valeurs initiale et finale nulles, par suite, y — y o est

CHAPITRE VI.

102

positif, d’après la remarque faite plus haut. Écrivons donc

y >ro.

Il résulte aussi de la même remarque que

yo < yi < ■. ■ < yn <... < y-

Nous voulons établir que y„ a y pour limite. A cet effet, considérons le quotient

y—y » .

il restera moindre, dans l'intervalle («, />), qu’un nombre fixe q inférieur ci L’unité. Les deux équations

Æiy—yo >

dCL7²

— O,

dl(y — y, )

dx¹

montrent de suite que

y—y-

y—y «

< <7-

En continuant ainsi, on a, d’une manière générale,

y—yn

y - yn-1

<7

et, par conséquent, en multipliant toutes ces inégalités membre à membre,

y —yn< y-qn+l-

11 est donc établi que y„ converge uniformément vers y. On voit, de plus, qu'il ne peut y avoir deux intégrales positives prenant les mêmes valeurs en a et b.

2. En supposant, comme au paragraphe précédent, qu7/ existe une intégrale y de l’équation, toujours positive et différente de zéro dans Vintervalle («, b), on peut montrer qu’il n’existe pas d'autre intégrale, s’annulant en a et b, que y— o. Supposons, en effet, qu'il existe une telle intégrale; nous pouvons supposer qu’elle garde un signe invariable dans l’intervalle, sinon elle s’annulerait au

moins une fois enlre a et b₎ et l’on raisonnerait sur un intervalle compris dans («, b). Soit donc une intégrale Y s’annulant en a et b et positive toujours dans 1 intervalle. On peut choisir la constante k de manière que les deux intégrales

ky et Y

seconde valeur de x pour

une

soient égales en un point choisi arbitrairement entre a et b. Puisque Y s’annule en a et b, il faudra qu’il y ait laquelle on ait encore

ky = Y,

et nous aurions un intervalle moindre que (a, b) pour lequel il existerait deux intégrales positives et répondant aux mêmes valeurs initiale et finale, ce qui est impossible. Il faut donc que Y soit identiquement nul.

On conclut de là qu'une intégrale est nécessairement déterminée d’une manière unique par ses valeurs initiale et finale dans l’intervalle (a, b) ou dans tout intervalle compris dans celui-ci.

3. Introduisons maintenant une succession de constantes qui vont jouer dans la suite un rôle très important. Nous reprenons les approximations successives en faisant

y o — [ •

On aura une suite de fonctions

prenant pour x = a et x = i) la valeur un. Posons

y₀—uo=i

y\ —y o =

}'n Y n— l — Un,

les «, sauf u₀, s’annulent aux deux extrémités de (a, b). J’envisage les deux séries de constantes (')

W,n,„ — I    A (X) U,n Un dx,

a

V,

-f

fl

h du,,, du a

—-,---,— dr.

ax ax

(') Ces deux séries de constantes ont été considérées par M. Schwarz dans une question analogue relative à certaines équations aux dérivées partielles (Matlxema-tische Abhandlungen, t. I, p. x40-

v-r

Ces deux expressions ne changent pas si l’on remplace um et un par d’autres lettres m, la somme m -f- n restant constante.

On a, en effet,

dx²

un dx

du,,

dx dx

d² un

dx²

dx

= 4- Ç A (x)u„

y a

i-H

un~\ dx :

par conséquent, Wffi n ne dépend que de m n. Si nous posons

dx,

Ww+„

— j \(x)un

a

nous aurons

n,n

U-m

d²un

dr¹

dx

-/*

•w*

k(x)umun-\ dx,

V„,,n = W

et, par suite,

A. Parlons de l'inégalité

f A(ar)[aH„+j3tt„₊₁]srfj'>o,

'■a

a et désignant deux constantes arbitraires. Cette inégalité peut s’écrire

!«+ 2 a(3 W 2«4-i -+- 3⁻² AV 2«-t-î > o.

On aura, par suite

( VV2/H-I )²- W₂„ W 2/H-2 <1 °

ou

Wî)l+,

VN ««j-»

NV₂„

Wîw+,

On a, de la meme manière,

ou

Ç b |~ d(a. u„ 3 «n-*-1 )

]‘

dx > o

«*VYîfI

-1

■+• 2aâVV ;j+ 3² VV s/i+t t>,

d’où l’on conclut

W₂„

W₂„_!

„ Wls+1

' w,„

Les inégalités précédentes montrent que l’on a

<

W₀ W

W„

w„_,

w

Je dis que le quotient ■■ ■    ? croissant avec n. tend vers une limite

” H— 1

pour n = oo. Soit, en effet, g la plus grande valeur que prend la fonction ut dans l’intervalle (a, b). Les différences

Ut—gui, .

Un— gUn-i, .

seront toutes négatives dans l’intervalle («, b). Or on a

= f A(sp)un(un

— gun-1 ) dx ;

donc

W,.,, — gWj„-i < o;

par suite,

^ in ne dépasse pas g. Ainsi, en posant

W„

W„-i

nous

sommes assuré que les quantités croissantes

Cl,

Ci,

cm

tendent vers une limite quand n augmente indéfiniment. Nous désignerons cette limite par c.    •

D’après un théorème élémentaire sur les suites, on peut encore définir c comme la limite de

V'W

et nous pouvons de suite faire la remarque, qui nous sera plus tard utile, que, pour une équation correspondant à une fonction A'(x) plus grande que A(#), on aura une limite c' qui sera plus grande que c.

<K,

w₂„_.

W,„

5. Cherchons à comparer un(x) à ^/W2w. On a

d² ua

-+■ A (x)Un-l = O

et, par suite

Unix)

A( z) u,t— i (z) (x — z) dz

A(z)u,t-i(z) (b — z) dz.

On en conclut

I Un(x) I < f A(z)un

(z) (b — z) dz.

Or de l’inégalité

a A(z)u„-i(z)

/W,„

~ 2

-+-[3(b — z) dz o,

a et ₍S étant deux constantes quelconques, on déduit

’’ A ( z ) «„-! ( z ) ( b — z ) d_

CW^

[l

'</

a

b A² (z)u²._x (z) dz

f%

(l

— z)² dz

et, par suite,

m,îO)1²

W₂„_₂

Cw2/i _

W₂„

H,

H étant un nombre fixe. Or On peut donc écrire

a ^ pour limite (pour /?. = oo).

/W^

K étant un nombre fixe.

0. Nous allons, des résultats précédents, déduire des conséquences extrêmement importantes. D’après l’inégalité du paragraphe précédent, la série

Uq -+- U i -f- . . . -1- lln “i⁻ • • •

convergera uniformément dans l’intervalle (a, b), si la série de terme général

v/WTn

est convergente. Or, dans cette série, le rapport d’un terme au précédent a pour limite c; par conséquent, si c<< t, les approximations successives convergeront, et il y aura dans l’intervalle («, b) des intégrales de l’équation restant toujours positives.

Si c est supérieur à l’unité, la série

Uq -+- U i -t~ . . . -t- Un -t- . . .

ne peut converger uniformément dans l’intervalle («, b). Car autrement, puisque

W,.= fb

*■ a

A (x) Unix) dx,

la série

W, + ...+

serait convergente, ce limite.

qui n’est pas, puisque le rapport

a c pour

7. Chacun des quotients

étant plus petit que un, le produit

C/l

décroît avec n et tend, par suite, vers une limite pour n=.cc. Cette limite sera différente de zéro; on a, en effet,

2 n — j* A ( x j ttfi ( x ) dx,

ce

que l'on peut écrire

et comme

on conclut

A(^)

Un(x) U„{X)

/ W 2,₍ /W 2,i

dx = i,

Unix)

v/w^

rb

f A ix)

Ugjx)

v/w^T

dx >

108

W„

/w2n

Or W„ = c ! c-2... c,i W₀ ; donc

Zi-w„-£L

w₂„ - Wo

ou

c\

Ci C-2 C$C\

W*

W₂„ >

1T*

cl

cm— 1 c2 n

W 2

par conséquent, le quotient décroît avec n ; il a donc, puisqu’il est supérieur à une limite différente de zéro. Il en résulte encore que le produit

(«)

Cl Ci

c-i c₄

c2 n

a une limite différente de zéro, puisque

Cm—1

<< i. Or on a

«b? « u?

Cl C₂ Cj

c₂ et, c₈

£3 Ce c6 c12

cio

Cio c₂₀ et, par suite, le produit

«s

Cl

a pour limite la limite de l’expression (a), c’est-à-dire une expression différente de zéro. 11 en sera alors évidemment de même de et, par suite, de A„, comme nous voulions l’établir.

8. Nous allons montrer que

Un_

cn

Soit

»!.= ??

C'I

et posons on aura évidemment

w;,=    - w₀^.

c"

Par suite, d’après le paragraphe précédent, on est assuré que WJ, a M/ze Limite pour n = 00.

On a

/" Li(x)(u'n

a

Puisque WJ, tend vers une limite, il est certain que le second membre est inférieur à toute quantité donnée à l’avance, si /? est suffisamment grand. Or on a

b    /» b

/ A (Xy ( u'n — u'„+k y dx < M / A (x ) (

a

— u'n+kY dx,

M désignant le maximum de A.(a?); par suite, l’intégrale du premier membre est aussi très petite, pour n suffisamment grand. Enfin, de l’inégalité analogue à celle que nous avons déjà considérée

f [a \{x)(u'n — ii'n+k) Q(b    x)]² dx > o,

(l

on conclut

/ aO )(U„

I J a

— u\l+k){b — x)dx

< f A2(x)(u'u—u’n+ky dx I (b

Ja    *■' a

— x y dx.

Or le premier membre de cette inégalité est supérieur (§ 5) à la valeur absolue de

c[M/M-l(a') un+k+1 (**0]²

pour toute valeur de x comprise entre a et b. Par suite, on peut

CHAPITRE VI.

J IO

trouver une valeur de n telle qu’à partir de cette valeur, on ait

I k»+i (<*) — l*'n+k+1 (a?) I < e,

e étant une quantité donnée à Pavance aussi petite que l’on voudra. L’existence de la limite de un (x) est ainsi établie.

La fonction u'n(x) converge, d’après ce qui précède, uniformément vers sa limite a¹. Il est essentiel de remarquer que u'(x) n’est pas identiquement nulle. On a, en effet,

rb

'n— I A (x)undx.

^ a

Or nous avons vu que la limite de la constante W', était différente de zéro; donc la limite de ua ne peut être nulle. La limite u'[x) satisfait à l’équation différentielle

d² u \

— + -K(x)u=o,

et elle s’annule aux deux extrémités de [a, b).

9. Une remarque importante est à faire sur la quantité c, qui a joué un rôle si important dans ce qui précède. Considérons les expressions

rb

J ₀(m)= f A (x)u²dcr,

a

dx,

du

dans

où u désigne une fonction quelconque continue, ainsi que ^

l’intervalle (a, b), et s’annulant aux deux extrémités de l’intervalle. Soit, d’autre part, la série

Uq —f- U[ k —}— U-i Jd -f- . . . -f- Un b¹¹ —}— , .

ordonnée suivant les puissances de la constante k. Puisque ^ a une

limite déterminée différente de zéro, le rapport d’un terme au précédent a pour limite

CÀ,

et la série précédente sera convergente tant que

k<-

et, par conséquent,

J,— X Ju> o.

Désignons par U la limite de cette série; c’est une fonction de x prenant pour x — a et pour x=.b les valeurs un, et qui satisfait à l’équation

dl U

-j—, H-*AO)U = o.

Or, partant de l’identité

du u d\J \2 U dx )

dx

( u- d\J \ v. TJ 7îx)

— k A (x) iP,

on aura de suite

/ [{%y~kK(x)u'\cb:=f (

ts rf L-    /    -J    a \

du    u d\j \ ²

dx    IJ dx )

dx

Ji ( u)

est donc, quelle que soit la fonction u satisfai-

Le quotient

sant aux conditions indiquées, supérieure à toute quantité k infé-

Jo( u)

peut donc prendre une valeur plus

ne

rieure à -• Ce quotient

petite que Cherchons la valeur de

Ji ( »')

J 0 ( w ) ’

d² u i . ,    . ,

—--(— A (x)u = o.

dx'² c

u' étant la fonction du paragraphe 8, qui s’annule pour a et b et satisfait à l’équation

L’identité

du'y A (a?)

dx

«'²

d t , du \    , f d² u! i    ,

= *(“ dï)-u [-d^ ⁺ -cXix)u

donne immédiatement

J i ( u' ) — — J u ( u' ) = o ;

le minimum du quotient

J 1 (u) Jo(«)

est donc atteint pour u = u!.

CHAPITRE VI.

112

10. On pourrait se poser, au point de vue du calcul des variations, le problème de rechercher la fonction a s’annulant en a et b et rendant minima le quotient

Jo(“)

Quand on applique la méthode des variations, du moins si on laisse de côté des travaux tout récents, on suppose que le minimum est atteint, les questions d’existence de fonctions réalisant effectivement le minimum étant laissées de côté. Soit donc une fonction u, s’annulant en a et b et rendant minimum le quotient précédent. Soit ni ce minimum.

Nous avons à écrire que la variation du quotient est nulle, ce qui nous donne

ou

S.I j ( u ) — m 8J₀ ( u ) — o.

Or

= 2 / A(x)uoudx,

a

ÔJ ! ( U)

dx = 2

Ja dx \ dx j

r du dou ,

= 2 /    —r-    -dx =-

. / dx dx

^ Il

diu ^

-z— o u dx. dx*

On a donc

O,

/ f —r~.r -I- m A(x) al 8m dx =

J a ldX    J

d’où il résulte que la fonction u, satisfaisant aux conditions indiquées, vérifie l’équation

d* u

+mA(x)« = o.

Ce résultat est bien d’accord avec ce que nous avons obtenu plus haut.

11. Nous avons, dans ce qui précède, considéré un intervalle fixe (a, b). Supposons maintenant que, a restant fixe, on fasse varier b(b^>a). La fonction A(x) restera, bien entendu, positive pour toute valeur de x à partir de a, pour laquelle nous aurons à la considérer.

Un premier point à peu près évident est que la limite c croit avec l’intervalle (a, b). On peut, en effet, définir c comme la limite de

v'w:,

d’après un théorème élémentaire sur les suites. Or

Soit bt^> b’, on aura

rb

W u =z / A (x)undx.

J a

wj

/%

-J.

A(x)u,[ dx.

Or, de a à b, on a nécessairement commê on le voit de proche en proche à partir de = u₀= i. La limite c₍, correspondant à l’intervalle (a, b,), est donc supérieure à la limite c, correspondant à l’intervalle (a, b).

Or pour b, très voisin de a, on a évidemment c très voisin de zéro. Quand b s’éloigne de a, la limite c grandit. Tant que

c < i,

les approximations successives convergent (§ 6), et une intégrale s’annulant pour a et b est identiquement nulle.

Quand, b continuant à s’éloigner de a, on a

c = i,

nous arrivons au cas limite extrêmement intéressant. Nous avons alors une fonction u\ non identiquement nulle, s'annulant aux deux extrémités de V intervalle (a, b) et satisfaisant à C équation différentielle proposée

d² u! dx‘z

-+- A (x)u' = o.

Quand, b continuant à croître, c devient plus grand que un, nous sommes assuré que les approximations successives ne convergent plus, et qu’il n’j a plus d’intégrales restant toujours positives dans (a, b).

CHAPITRE VI.

Dans le cas particulier très simple où A(tv) se réduit à une constante A, on trouve immédiatement la longueur de l’intervalle minimum correspondant à une intégrale s’annulant aux deux extrémités. Soit l’équation

d y k

—— -t- Av — o

dx¹ J

(A >o) :

1 intégrale générale étant l’intervalle cherché sera

v/Â’

et nous avons l’intégrale sin(#y/A ), restant positive de o à et

/A

s annulant pour ces deux valeurs.

12. Considérons une intégrale s’annulant pour x = et cherchons à la suivre quand x grandit à partir de a. Elle s’annulera la première fois pour la valeur x — b dont nous venons de parler (pour laquelle c = i). Arrivé à x = 6, nous nous trouvons dans les mêmes conditions qu’au point de départ. L’origine des intervalles étant maintenant 6, à ce point b correspondra un intervalle bb', pour lequel la limite c' sera égale à l’unité (il pourra, d’ailleurs, arriver que b' n'existe pas, la limite c'étant toujours inférieure à un, si grand qu’on prenne l’intervalle à partir de b). Notre intégrale aura donc la nouvelle racine à x — b', et l’on continuera ainsi indéfiniment, si la fonction A.(x) est définie pour toute valeur de x. On voit donc comment on pourra, de proche en proche, faire l’étude de l’intégrale.

II. — Introduction d’une constante arbitraire dans l’équation différentielle (¹)•

13. Nous allons considérer maintenant une équation différentielle linéaire du second ordre dépendant d’un paramètre arbitraire, et.

pour nous rapprocher du cas étudié dans la Section précédente, prenons l’équation

(D

2jg+k\(x)y = <,,

où A(x) est une fonction positive dans l’intervalle (a, b) et k une constante. Nous pouvons former une intégrale de cette équation, prenant pour x = «, ainsi que sa dérivée des valeurs numériques arbitrairement données. Soit

Y\(x, k)

cette solution, qui dépend manifestement aussi de /r, et qui, d’après un théorème général précédemment établi (Chap. V, § 2), est une fonction de k holomorphe pour toute valeur de k.

Envisageons de même une seconde solution

J2(a7, k),

qui correspond à un second système de valeurs numériques initiales de y et ^ • On suppose seulement que les systèmes de valeurs numériques ne soient pas, dans les deux cas, proportionnels, de manière que les deux solutions soient distinctes.

Une solution quelconque sera de la forme

ajKiO,,() -t- (0'₂O, k),

a et |3 étant des constantes arbitraires. Nous pouvons choisir a et (3 de manière que cette solution prenne, pour x = a et x—b, des valeurs déterminées d’ailleurs arbitraires. Il n’y aura d’exception que si le déterminant des deux équations du premier degré est nul, c’est-à-dire si l’on a

(2)

pi(a, k)y₂(b, k) — yi(b, k)y₂(a, k) = o.

Si k satisfait à cette relation, on pourra choisir a et ,3 de telle sorte que la solution

ajKiO, k) -+■    k)

s’annule en a et è. On aura donc, pour les valeurs de k satisfaisant à l’équation (2), une intégrale de réquation (i) s'annulant en a et b, et qui 11 est pas nulle identiquement.

CHAPITRE VI.

116

14. Le premier membre de l’équation (2) étant une fonction de k, bolomorphe dans tout le plan, les racines ne pourront former qu’une suite discontinue.

Montrons que les racines de l’équation (2) ne peuvent être que des quantités positives. Nous allons voir en effet que, pour une valeur imaginaire ou négative de k, il ne peut y avoir d’intégrale s’annulant aux deux extrémités sans être nulle identiquement. La chose nous est connue pour les valeurs négatives (Chap. V, § 10). Quant à ce qui concerne les valeurs imaginaires, nous aurions, en posant

y = «i -H iu₂,

k = k'-+- ik",

d^ ( li\ —f- lit2 )

dx²

-4- ( k'-t- ik") A (x) ( Mj -+- lut ) = o

et, par suite, on aurait

dx²

-t- k' A (a?) Ui — k" A (37) m₂ = o,

- U~ -t- k' A (x)u₂-{- k" \(x)ui = o, dx²

la solution (w₍, u₂) s’annulant en a et b. Ceci est impossible; car des deux équations précédentes on tire

^ k" A (x) ( u\ -1- u\) dx = o;

et u₂ seraient donc identiquement nuis, si k"o.

15. L’existence d’une suite indéfinie de quantités positives

i 1 >    ^2j    • • • î km • • •

(ku augmentant indéfiniment avec /i), pour lesquelles l’équation

y

d&+kiA(x)y = o

a une intégrale nulle aux deux extrémités de (a, b), sans être identiquement nulle, constitue un théorème important que nous allons démontrer.

16. Commençons par établir une proposition due à Sturm ( Jour-

SUR CERTAINES ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE.

nal de Liouville, t. 1). Soient les deux équations

(P-y    .

*r⁺«<*) = 0’

dïz

où cp(a?) et 'b (oc) sont deux fonctions continues dans un certain intervalle. Soit dans cet intervalle

?(*)â J'O),

et supposons que x₀ et x{ soient deux racines consécutives d’une intégrale y(x) dans l’intervalle considéré. Nous allons voir, d’après Sturm, qu'il y a au moins une racine de toute intégrale z(x) de la seconde équation entre x₀ et xK.

Supposons, en effet, qu’il n’y en ait pas, et alors nous pouvons admettre que, entre x₀ et xt, les deux fonctions y et z soient positives. On a

P y    P z    .

zdp~ydp =

et, par suite, en intégrant,

\ dx ^ dx

dzYl= fXlyz^(x)

/ x₀ «yj,.

— <ç{x)] dx.

Le second membre est positif; on a donc

Zl

> O.

Or,    ne peut être négatif, tandis que (jq^J

ne peut être

positif, et comme d’ailleurs zt et z₀ ne sont pas négatifs, il est impossible que l’inégalité précédente soit vérifiée.

Nous avons supposé que f(x) n’était pas identique à <p(x). La même conclusion subsiste quand z>(x) =    c’est-à-dire que pour

/’ équation

Py dx²

les racines d’une intégrale séparent les racines de toute autre intégrale de la même équation différentielle.

Ajoutons encore, pour le cas où o(x) n’est pas constamment égale à b(x), que si x₀ est une racine commune aux intégrales y

118

CHAPITRE VI.

et s, z aura au moins une racine entre x₀ et xt, à Vexclusion de x car autrement z aurait toujours le même signe entre x₀ et x, (soit le signe plus comme t ), et l’on aurait l’inégalité

(égalité exclue),

n’est

résultat inadmissible, puisque zt n’est pas négatif, et que pas positif.

17. Du théorème de Sturm, on peut déduire de nombreuses conséquences. Envisageons l’équation

(E)

d*y dx²

en supposant cjue, à partir d’une certaine valeur de x, soit x = o, la fonction A(.r) soit continue pour toute valeur finie de x, et que l’on ait pour toute valeur positive de x

A («?)>•«,

a étant une constante positive. Je dis que dans ce cas l’équation

y(x) = o,

y(x) étant une intégrale quelconque de (E), a une infinité de racines positives. Comparons, en effet, l’équation (E) à l’équation

d¹ z

——    az o.

dx²

Cette dernière équation admet l’intégrale générale

A cos(v/â.x) -+- B sin( fia.x).

Donc, l’équation z — o a une infinité de racines, et il en est, par suite, de même de l’équation y — o, d’après le théorème de Sturm.

18. Revenons maintenant au théorème énoncé au paragraphe lo. Tout d’abord, le premier terme de la suite que nous désignons par kt a été déjà considéré dans la Section précédente; il est l’inverse de la quantité c, qui a joué dans cette Section un rôle si important. En

effet, tant que l’on a

k<-,

les approximations successives convergent dans l’intervalle (a, b) pour l’équation

d'i y

^ />' A (x)y — o,

et il n’y a pas d’intégrale nulle aux deux extrémités de l’intervalle (sauf zéro). Nous savons, au contraire, que pour

*i= é

il y aura une telle intégrale.

Faisons maintenant croître k à partir de k s ( Jîg. 1); nous aurons

Fig. 1.

b'

a a.'

C'

une intégrale telle que aOb' s’annulant, en a et b\ ce dernier point étant à gauche de 6, et une intégrale bQci' s’annulant en b et en a', comme il résulte de la remarque faite à la lin du paragraphe 16. Comme ces intégrales ne sont déterminées qu’à un facteur près, je puis figurer l’une au-dessus de Oa?, l’autre au-dessous. Continuons à faire croître k; a' marche vers la droite et b' vers la gauche, toujours d’après la même remarque. A un certain moment ils coïncideront en un point a, et, comme les intégrales dessinées ne sont déterminées qu’à un facteur près, on peut les choisir de telle sorte qu elles se raccordent en leur point commun; on voit bien nettement qu'il doit y avoir coïncidence de a! et b' pour une certaine valeur finie de A⁻, car, s’il en était autrement, il y aurait, quelque grand que soit k, un intervalle fini I ayant toujours a' à sa gauche et b' à sa droite. O11 aurait alors une intégrale de l’équation proposée positive dans l’intervalle I, quel que soit k. Or, cela est impossible; en effet, si grand que soit le nombre M, on peut choisir k de manière que

/>- A ( x ) > M.

Mais l?équation

d²y

a pour intégrale particulière

y sin(;r y/M),

et cette intégrale, pour M assez grand, a plusieurs racines dans l’intervalle 1. Donc, d’après le théorème de Sturm, toute intégrale de notre équation initiale aurait des racines dans 1, ce qui est contradictoire. On aura alors la figure 2, et les deux courbes dessinées cor-

Fig. 2.

OL

eu

respondent à une même intégrale. Nous concevons donc ainsi l’existence de la seconde valeur de Â₂ pour laquelle il y aura une intégrale nulle en a et b; cette intégrale s’annule une fois entre a et b.

On continuera à raisonner de la sorte, se reportant toujours au théorème de Sturm. On aura, k étant un peu supérieur à k₂, le dessin suivant d’intégrales (Jig. 3) : le point y marchera vers la

Fig. 3.

<5

a/

droite et ô vers la gauche à mesure que k grandira, et pour une certaine valeur de À⁻, soit À:t, on aura la figure 4» et l’on peut choisir

Fig. 4.

CL

1)

la constante dans l’intégrale partant de b (de b en î) et dans l’intégrale partant de a (de a en s) de manière à avoir, par 1 ensemble des deux, une seule intégrale. Nous arrivons donc ainsi à une valeur À'3 pour laquelle il y a une intégrale nulle en a et b\ cette intégrale s’annule deux fois entre a et b. On continuera ainsi indéfiniment, et l’on démontre ainsi l’existence d’une suite

(2)

k i > b 2,    ..., k n

de nombres grandissant indéfiniment, et correspondant aux valeurs de k pour lesquelles l’équation

^2 y

+ *A<*X>' = o

a une intégrale nulle en a et b. Il est clair que kn augmente indéfiniment avec n, car les intervalles «a, as, ... vont en diminuant indéfiniment. D’ailleurs, ces nombres étant les racines de l’équation transcendante (2) dont le premier membre est une fonction entière de k ne peuvent avoir pour point limite un point à distance finie. Du raisonnement ci-dessus, il résulte que l’équation

-+- knk(x)y o

d-y dx²

admet une intégrale Cyn s’annulant en a et b, et n — 1 fois entre a et b.

19. Faisons une remarque importante relative à la rapidité de la croissance des quantités kn. Soit

A(:r) << M.

Si l’on considère l’équation

sr ⁺ *'M^ ⁼ o,

on a

k'n =

n2,TT²

M (b — a)²

Or, considérons les deux équations

(E')

= o,

d²y dx²

(E)

d\Yn

dx²

-t- kn A.(x)yn = o.

Je dis que l’on ne peut avoir

k, , < /d„,

car alors on aurait

kn A ( x ) < k'n M.

L’équation (E) admet une inLégrale ayant n i racines entre a et b (y compris a et 6), ce qui donne n intervalles. Donc, toute intégrale de (E') aura au moins n racines entre a et b (à l'exclusion des valeurs extrêmes), ce qui n’est pas puisqu’il y en a une qui en a seulement n — i. Il en résulte que Von a nécessairement

kn>

n étant un nombre fixe indépendant de n.

20. Ceci posé, envisageons l’intégrale u de l’équation (i) prenant en a et b des valeurs numériques A et B données d’ailleurs arbitrairement. Nous regarderons l intégrale u comme fonction de k\ cette fonction de k sera évidemment uniforme dans le plan de la variable complexe k et elle aura pour pôles les termes de la suite (S).

Nous allons montrer que ces pôles sont des pôles simples.

Écrivons l’équation

-+- k, A (x)y = o.

d\y dx²

Elle admet une intégrale y„ s’annulant en a et 6, et soit Y₀ une seconde intégrale distincte de la première et, par suite, ne s’annulant pas pour x = a. Soit maintenant l’équation

(3)

dly dx²

Cette équation admet deux intégrales y et Y prenant respectivement, pour x = a, ainsi que leurs dérivées premières, les mêmes valeurs que y₀ et Y₀, et leurs dérivées premières. D’après le théorème général, déjà plusieurs fois appliqué, ces intégrales seront des fonctions entières de u,, et l’on aura le développement

(4)

y =yo+yi j*-h..

Y = Y₀ + Yl|x+...,

y,, y₂, ..., \ ₍, ^₂, ... s’annulant nécessairement pour x — a.

Une intégrale u de (3) est de la forme

u = ay + $Y.

Cherchons à déterminer les constantes a et (3 de manière que celte intégrale prenne pour a et b les valeurs A et B. On a les deux, équations

pY₀(a) = A,

On voit donc que [3 est une constante par rapport à u. et que a admet le pôle p. = o. Ce pôle sera simple si l’on a

y\(b)?i o.

Nous allons établir qu'il en est bien ainsi. On a les deux équations

= o,

¹ + ki\(x)yx-+- \(x)yQ = o,

obtenues en substituant dans (3) les développements (4)- Or. des deux équations précédentes, ou conclut

d-y»

dx²

— JKo

d-y\

dx'¹

\    rb

)dx=s„

A.(v)y$ dx.

La première intégrale s’efifectue immédiatement; elle serait nulle si l’on avait r₍ (b) = o, et l’on serait alors conduit à une absurdité. Nous arrivons donc à la conclusion que ki est un pôle simple de u.

21. Nous arrivons maintenant au calcul des quantités ki. Tant que k sera inférieur à k{, on aura pour u le développement

il = ii\) —t— iti k —i—... —H u ii k/l H—... y

u o prenant en a et i les valeurs A et B et les autres u s’annulant aux deux extrémités de l’intervalle. Ces divers coefficients sont des fonctions de x déterminés de proche en proche par les équations

dï u₀

dx¹

= o,

d- u,

dx²

—1— A.(x) iio — o,

d* ult

dx-

-t- A(x)un-i = o,

Formons les constantes

Un = /    u₀{x) un(x) A O) dx,

d a

qui présentent la plus grande analogie avec les quantités W« considérées au paragraphe 3 de ce Chapitre. Dans ce cas, u₀ se réduisait à l’unité, tandis qu’ici uQ dépend de x et peut être de signe variable. Quoique u₀ et un ne soient pas nécessairement d’un signe invariable dans (a, b), toutes les constantes U« sont positives; on le voit de suite en remarquant que

dx,

rb

u₂

n— I A (x)ufldx    et

J a

et l’on a aussi

_ rb

U m+n —    /

da

umun A.(x) dx

-l

dit/n dun+.\ dx dx

dx,

la dernière égalité supposant m o.

On établira, comme au paragraphe 4 de ce Chapitre, les inégalités

U, U₂    U„

U„ ^ Ut    U»-,

mais, arrivé à ce point, nous devons modifier un peu les raisonne-

doit tendre vers une limite; sinon ce

U„

que V

quotient grandirait indéfiniment avec n, et la série

ments. Il est clair

ne

serait convergente pour aucune valeur de k; or, cette série est

égale à

Uq ( Uq -+- «i k h- .,. -+- un kn -i-... ) A ( x ) dx,

qui a un sens déterminé pour k «< k{. La limite de    est donc au

U n—1

plus égale à ~ •

D’autre part, nous pouvons, comme au paragraphe o, comparer

I “n I à y/U₂„.

La relation

donne pour un une somme de deux intégrales et, si l’on écrit l’équa-

on aura

I Un | <C k,

les conditions aux limites étant zéro pour À. 11 en résulte, d’après le paragraphe o, que

— z ) dz.

\un{x)\< f A(z) I un-i(z) I (b

Le reste de l’analyse de ce paragraphe est alors applicable, et l’on aura

| Un(x) I < K Vu*,,,

K étant un nombre fixe. 11 résulte de là et de ce qui précède, que les deux séries

Uq -I- U y k -+- . . . —1- U/l k¹¹ -+- . .

U₀

tion

fai + aO) I Un-y I = o,

Ui k H-. . . H- U,1 kn -1-...

ont même cercle de convergence; donc

lim

Un

(pour n = <x).

22. Nous allons maintenant calculer k₂. Puisque /c, est un pôle simple de a, nous pouvons écrire

u'

■M

-I- e₀ -+- Vyk-\-...-srVnk,l-sr..

la série du second membre étant convergente jusqu’à k = X*₂* l a comparaison de ce développement avec

. . . —1— ua k'¹ —f-. . .

w = Wq ~^r~ U\ k

donne

u'

Un — V„ ~h jpi

et, par suite,

u' = üm ( unk'{),

car

lim (vnk1l{) est nécessairement nulle. Nous pouvons donc regarder

CHAPITRE VI.

I 20

u' comme connu et, par suite, les c. Ces dernières fonctions satisfont au système d’équations, résultant immédiatement du système auquel satisfont les u, et de l’équation

A(a?)«'=o,

à savoir :

rf² Co , . , . ,

-^7 + Ai A(a?)« = o,

= o,

a²Ci . .    .

d² c„ dx'¹

A (a?) c7î

= o.

Tous les c, sauf c₀, sont nuis en a et A>, et c₀ prend en a et b les valeurs .4 et B.

Nous formerons alors la suite des quantités

V„= /    c₀(a?) c„(a?) A (a?) dx,

a

et, sans rien changer à l’ensemble des raisonnements, on démontre que

Tl—1

1,m V

n — Qo >

Nous calculons donc ainsi la seconde valeur singulière Ar₂.

23. On peut continuer ainsi indéfiniment. On aura

c'

Co -H Ci A" . . . —1— Vn kn —(— ... —

-4- W₀ -+- (Vi k H-... -i- iv n k'¹ -+-..

la série du second membre étant convergente jusqu’à k = k₃. On obtiendra v' par la formule

et les constantes

c' = lim (c„ A:','),

n— »

rb

»= / (VoO) «'«(.-r) A(a?) dx

conduiront à la troisième valeur À*;i, et ainsi de suite.

Nous avons donc obtenu le résultat que nous avions en vue. Les valeurs singulières ki peuvent être obtenues de proche en proche par un calcul régulier, ainsi que les intégrales milles aux deux extrémités de (a, b) correspondant à ces valeurs singulières.

24. Nous avons, au paragraphe 10, montré comment des questions de minimum pouvaient s’introduire dans les problèmes que nous traitons. D’après ce qui précède, nous avons pour l’équation

-+- kn A(x)y = o,

d'-y

dx'¹

une intégrale Cy„ (C étant une constante arbitraire) s’annulant en a et b.

11 a été vu 10) que, pour toutes les fonctions continues entre a et b, ainsi que ^ et s’annulant pour a et b, le quotient

(«)

rh /du\2 Ja

dx

r

“a

A ( x ) a² dx

a pour minimum Aq, qu’il atteint pour u = jq .

D’une manière plus générale, pour toutes les fonctions u(x) s’annulant en a et b, et satisfaisant aux relations

/"

(l

A.(x) u(x)gi(x) dx = o

(t = 1, 2, ..m),

le minimum de (a) a lieu pour

Nous énoncerons seulement ce résultat.

2o. Nous nous sommes borné, dans ce Chapitre, à une équation particulière pour avoir des résultats très simples. On pourrait, d’une manière plus générale, considérer

^ + [*A(a?)+Auaf)l^ + [AB(a?)+ B, (x)\y = o, les A et B étant continues dans un intervalle (a, b).

une

équation

(5)

dy

J1 n’y a, pour cette équation, d’intégrale s’annulant aux deux extrémités de l’intervalle, sans être identiquement nulle, que pour une suite discontinue de valeurs de A*, racines d’une équation

(6)

G( A) = o,

G (A) désignant une fonction entière.

L’intégrale de l’équation (5), prenant en a et b des valeurs données, est une fonction uni/orme de k dans tout le plan de cette variable et ayant pour pôles les racines de l'équation (6). La démonstration de cette proposition peut se faire par la même voie que pour l’équation spéciale sur laquelle nous venons de nous arrêter. Nous aurons d’ailleurs à revenir sur des questions de cette nature, qui se rencontrent fréquemment en Physique mathématique.

4L*’*

CHAPITRE VII.

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

I. — Discussion des intégrales passant par deux points pour une classe d’équations du second ordre.

I. Les conditions d’application de la méthode des approximations successives sont très diverses suivant les classes particulières d’équations qu'on étudie. Considérons ici l’équation

(0

±L+f(X,y) = o

certain intervalle, la fonction

un

et supposons que, x étant dans f[x, y), définie pour toute valeur de y, croisse constamment avec y et que l’on ait identiquement

/O- o) = O.

Il est clair que, dans ces conditions, f(x, y) sera positif quand y sera lui-même positif. Nous allons supposer, de plus, que la dérivée toujours positive décroît quand y augmente.

Ces hypothèses faites, admettons qu’il existe une intégrale y de l’équation (1), restant toujours positive (et non nulle) lorsque x varie entre o et b, et ne s’annulant pas pour les valeurs extrêmes. Nous allons montrer que cette intégrale peut certainement être obtenue par la méthode des approximations successives.

P. — III.

CHAPITRE VII.

i3o

Partons à cet effet de la fonctionne satisfaisant à l’équation

¹

J'ai résumé ce Chapitre dans une Note des Comptes rendus : Sur les équations différentielles du second ordre renfermant un paramètre arbitraire (iq février 1894 )•

3£=o

et prenant aux limites les mêmes valeurs que y. Les équations successives

d\Y\

dx²

yo) = o,

d-y-2

dx²

-*-Ax>y O = °>

d-y„

dx²

y n-1) = O

{y„ prenant les mêmes valeurs quej' aux deux limites) montrent que

yo<yi <---<yn-

11 faut montrer que yn a y pour limite. Or considérons le quotient

y—y Q

D;après l’équation

dHy — y {))

dx²

+-/0,7) = o,

y est plus grand que y₀ et, par suite, le rapport précédent est plus petit que l’unité et n’atteint pas ce nombre : soit q son maximum; on a

<1< '•

Ceci posé, l’équation

d²(y—y 1)

dx²

+/0>7)— /O. yo) = «

donne

O)

y y y — f M/0,7)-/U>7o)][' -

■+■ f [A*,y)

•J X

C~l ‘S

—/O,7o )](b — z)dz,

en remplaçant, sous les signes d'intégration, dans y et y₀, x par z. Mais nous pouvons écrire l’inégalité

/O, 7) — /O, y\ ) _ fy(s, U )(y — 7i) ^ y —7i

Az,y)—Aziy<>).....A(z,to)(y—yo) y—y»

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

car ç, >» £₀. Or, de l’égalité

y—y «

dz —{—

f Az,y)(b

Jx

— z) dz,

rapprochée de l’égalité (2) et de l’inégalité

y—y o

/(*. y) — O yp) ₌ fy(z> KO (y—y») f(z>y)    fAz,KOy

on conclut

<?•

y —y 1

.r-.ro

On aura de la même manière

et ainsi indéfiniment

y—y 2 r—.ri

< ?»

<7-

r — y»

r — r«-i

De ces inégalités on déduit

y — yu < y q'l+l■

Cette inégalité établit bien que yn converge uniformément vers y. C’est ce que nous voulions établir.

2. Nous avons maintenant à rechercher les intervalles dans lesquels on peut être assuré d’avoir une intégrale toujours positive, et chercher en particulier s’il est possible d’avoir une intégrale s’annulant aux extrémités d’un intervalle, sans être identiquement nulle. Nous avons dit que la dérivée toujours positive

/y O, y)

va constamment en décroissant quand y augmente, lorsque x a une valeur fixe quelconque dans un certain intervalle. Pourj/ = oc, cette fonction aura une valeur déterminée; posons

f'y(X, O) = PO),

/y O: <») = QO),

on aura donc

PO) > QO),

QO) pouvant être identiquement nulle.

3. Avant d’aller plus loin, rappelons un théorème, obtenu au Chapitre précédent, sur les équations différentielles linéaires.

Etant donnée l’équation linéaire

(3)

*Z + -P(x)y = 0,

où la fonction P(.r) est positive et définie pour un champ suffisamment grand de valeurs de x, il existe une quantité a, telle (pie, dans tout intervalle (o, a') où a'< a, une intégrale nulle aux deux extrémités est identiquement nulle. Pour l’intervalle (o, a), au contraire, il existe une intégrale s’annulant aux deux extrémités et qui n’est pas nulle identiquement. Dans l’intervalle (o, a'), la méthode des approximations successives conduit à une série convergente.

Si l’on considère une seconde équation de même forme

<i>

g+Q (x)y = o,

à cette équation correspondra un intervalle (o, {3). Si l’on a

PO) > QO)>

on aura nécessairement

a < P-

i. Ceci posé, revenons à l’équation d'y

dxi

Proposons-nous de montrer qu’tY existe une intégrale (ne s'annulant pas identiquement') s’annulant

et pour

(K)

pour x = o

+-/0, y) = o-

x = a,

a étant compris entre a et fl.

Cette intégrale va nous être fournie par la méthode des approximations successives. Nous partons d’une fonction arbitraire, toujours positive, s’annulant pour o et pour a; nous allons montrer d’abord que la série des approximations successives est convergente. Considérons, à cet effet, une quantité positive s assez grande pour qu’en posant

fy(x, t) = R (a:),

là quantité, analogue à la lettre a du numéro précédent et relative à l’équation

d2 y

-h R(x)y = o,

soit supérieure à a\ ceci est possible puisque pour s = oo la fonction R(.r) se réduit à Q(.r).

Ceci posé, cherchons l'intégrale de l’équation (E) prenant pour x — o et pour x = a la valeur s. La méthode des approximations successives nous fournira une suite de fonctions croissantes

Yo = e,

Yu y2,    yn, •

Il est aisé de voir que cette suite a une limite. On a, en effet,

dHy_n—y_n-1)

dx'¹

— /O, Y'i-z) = o.

Or puisque yn~\ etyn-z sont supérieurs à s. Or la série des approximations successives converge pour l’équation linéaire

-t-    — o.

d-y

dx²

Il en est donc a fortiori de même pour l’équation (E).

Nous venons de trouver l’intégrale de l’équation (E) prenant pour x — o et x = a la valeur s, s étant une constante suffisamment grande. Nous voulons avoir l’intégrale de l’équation prenant la valeur zéro aux deux extrémités. Or partons d’une fonction s’annulant aux deux extrémités et inférieure à s; puisque les approximations convergent dans le cas qui vient d’être examiné ci-dessus, elles convergent nécessairement encore dans le cas actuel.

/Vous obtenons donc, par la méthode des approximations successives, une intégrale s’annulant pour x — o et pour x = a.

Une objection importante se présente toutefois immédiatement: l’intégrale que nous venons de trouver n’est-elle pas identiquement nulle?

Nous allons établir qu’il n’en est pas ainsi.

Montrons d’abord qu’on peut trouver une fonction continue y0 de x, s’annulant pour x — o et pour x = a, et telle que dans l’inter-

Soit 7| une quantité positive et posons

corres-

Nous pouvons prendre 7) de telle sorte que la quantité a pondant à l’équation linéaire

g H- R, (x)y = o,

soit égale à a. Désignons alors par y₀ la fonction continue satisfaisant à cette dernière équation entre o et a et s’annulant pour ces deux valeurs; de plus, comme elle n’est déterminée qu’à un facteur près, nous la prenons telle qu elle ne dépasse pas 7). Nous avons ainsi une fonction continue parfaitement définie, telle que

dx²

nous allons la prendre pour commencer les approximations successives. La seconde fonction y, est déterminée par l’équation et par la condition de s’annuler pour x — o et pour x — a. 11 est facile de voir que

y i > ro-

valie (o, a)

dly*

dx²

Si nous écrivons, en effet, yt =y₀-(-À, nous aurons

d*\

dx²

d²y₀

dx²

La somme des deux derniers termes est positive; X s’annulant aux deux extrémités de l'intervalle (o, a) sera donc positif dans cet intervalle. Nous aurons donc bien l’inégalité annoncée. Du moment que >yo, on aura

y2 >yi,

et ainsi de suite. L'intégrale cherchée y sera donc supérieure à y₀, elle ne sera pas identiquement nulle.

En définitive, nous avons démontré dans ce paragraphe qu'il existait une intégrale de Véquation

jjy

dx-

s’annulant pour x = o et pour x — a, et toujours positive dans cet intervalle.

5. L'intégrale dont il vient d'être question est unique. Ceci est une conséquence de l’analyse du n° J. A la vérité, l’intégrale toujours positive^, que nous avons considérée dans ce numéro, ne s’annulait pas aux deux extrémités; le raisonnement subsiste sans modification si l’intégrale s’annule seulement à une des extrémités, soit

pour x = o, et si l’on suppose, de plus, que “ ne soit pas infinie pour x = o. Il est évident d’ailleurs que ne sera pas nulle pour

x = o, car autrement y serait identiquement nulle. Si nous prenons alors le rapport

y—y o

du n° 1, ce rapport sera plus petit que l’unité, même pour x = o, car

lim

x = 0 V y

\ tangG'

) ⁼ tâng 0" ’

Ô et G' désignant deux angles aigus différents de zéro et de et l’on a

0'< e.

Si l’intégrale toujours positive y s annule aux deux extrémités de l’intervalle, le raisonnement doit être modifié, car on ne peut faire les approximations successives en partant de la fonction y₀ satisfaisant à l’équation

d² y

-,    = o.

dx²

On suppose que l’on parte de la fonction y₀ considérée à la fin du numéro précédent, pour laquelle

d*yo

dx²

yo)>v.

On peut, de plus, supposer quey₀ <<y n’étant déterminé qu’à un facteur près).

Nous pouvons affirmer alors que l’expression reste moindre qu’un nombre cj plus petit que l’unité, puisque, pour x — o et x — «, la limite de y ne peut être nulle. Il n’y a plus alors

qu’à raisonner comme au n° 1 pour voir que y„ a nécessairement une limite, et cette limite est y. Celte intégrale y est donc unique.

6. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que a était distinct des valeurs extrêmes a et [3. Montrons que l’intégrale tend vers zéro quand a tend vers a. Nous allons raisonner comme au n° 4, quoique dans des circonstances un peu différentes. Nous pouvons prendre la constante £ assez petite pour que, ayant posé

/y O, e) = RO),

l’intervalle a' dans lequel s’applique, pour l’équation

g + R(*)r = o,

la méthode des approximations successives, soit aussi peu supérieur que l’on voudra à a. Choisissons alors a entre a et a'. D’après le n" 4, l’intégrale y de notre équation

d¹y dx-

est moindre que l’intégrale, prenant pour x = o et x = a la valeur s, et obtenue comme limite des approximations convergentes

d%y\

dx²

+-/0, e) = o,

d'ty*

dx²

Or on voit que chacun de ces y est de l’ordre de e, c’est-à-dire peut se mettre sous la forme du produit de s par une fonction restant finie; notre intégrale y est donc elle-même de l’ordre de s; comme

on peut faire tendre s vers zéro à mesure que a se rapproche de plus en plus de a, il en résulte que l’intégrale y tend vers zéro, comme nous l’avons annoncé.

Supposons maintenant que a tende vers (3. Nous aurons recours alors à la seconde partie du raisonnement du n° 4. Puisque a est très voisin de [3, nous pouvons prendre la quantité 7) extrêmement grande. Supposons de plus que le maximum de la fonction y₀ soit précisément 7], ce que nous pouvons toujours réaliser, puisque y₀ n’est déterminé qu’à un facteur près. Dans ces conditions, notre intégrale atteindra certainement une valeur supérieure à 7;. Gomme 7) est aussi grand que l'on veut, si a est suffisamment rapproché de j3, on voit qu’il n’j a pas d intégrale continue (sauf y = o) s’annulant pour x = o et pour x — (3. Pour une valeur fixe quelconque de x (distincte de o et ci) la valeur de l’intégrale y de l’équation

d-y

dx'¹

s’annnulant pour o et pour a, augmente indéfiniment quand a tend vers [3. 11 résulte encore de ces considérations que, pour l’intégrale y

correspondant à «, la valeur de la dérivée pour x

= o varie d’une

manière continue de zéro à l’infini quand a varie de a à (3.

7. Dans tout ce qui précède nous n’avons étudié que les intégrales restant toujours positives (ou nulles). Pour étudier d’autres intégrales, il est évidemment nécessaire de faire des hypothèses sur la nature de la fonction f\x, y) et de ses dérivées pour y négatif. Supposons encore que cette fonction, qui s’annule pourjy=o, croisse toujours en même temps que r, et que la dérivée

/rO, y),

toujours positive, ait un maximum pour y = o et n’ait ni minimum ni autre maximum. On pourra alors étudier toutes les intégrales de l’équation. Faisons seulement, pour le moment, la remarque que l’intégrale étudiée aux n"s 4 et o, et qui s’annule pour x = o et pour x — ci, ne sera pas nécessairement unique si 1 on ne la suppose pas toujours positive dans l’intervalle (o, a). D’une manière plus générale, une intégrale n'est pas nécessairement déterminée d'une

manière unique dans Vintervalle (o, a) par ses valeurs initiale et finale; nous allons toutefois montrer qu’il en sera nécessairement ainsi dans le cas où

« < 3t.

Soient, en effet, y et z deux intégrales supposées distinctes satisfaisant aux mêmes conditions. On aura

d²(y — z)

dx²

OU

d*(y — z)

dx²

¹ -+- (y — s)fÿ(x, >0 = o,

X étant compris entre y et z. Or, on a

fy(x, X) <fÿ(r, o) = P(x).

11 en résulte que lintervalle, partant de zéro, dans lequel une intégrale s’annulant aux deux extrémités est identiquement nulle, est plus grand pour l’équation

-+-/yO, X)W = O

d² u dx'¹

que pour l’équation

d- u

— + P(x)u = o.

Il est dès lors évident que les deux intégrales coïncident (■).

II. — Quelques cas particuliers. Exemples de solutions périodiques.

8. Reprenons l’équation

(I!)

d^+/(T,r) = o,

en faisant les mêmes hypothèses que dans la Section précédente. Ces hypothèses étaient relatives à y positif. Si nous voulons étudier des

(') Pour l’extension à un nombre quelconque d’équations des résultats de cette Section, on pourra consulter mon Mémoire de 1893 dans le Journal de Mathématiques.

intégrales devenant négatives, il est indispensable de compléter ces hypothèses. Supposons donc que l’équation obtenue en changeant jy en —y, c’est-à-dire l’équation rentre dans le même type que l’équation (E), pour y positif.

Toutes ces conditions étant remplies, nous sommes assuré de pouvoir suivre une intégrale quelconque pour toute valeur de x, si, bien entendu, nous supposons f(x, y) définie et continue pour toute valeur réelle de x. L’équation (E) appartient, en elfet, au type d’équations au sujet desquelles nous avons démontré (§ 3) un théorème général.

Toule intégrale de Véquation (E) devra nécessairement s'annuler. Supposons, en effet, qu’une intégrale ne s’annule pas à partir de x = o. Désignons encore par a et (3 (n° 4) les deux nombres qui ont joué un rôle fondamental dans toute la théorie de la Section précédente. Si l’intégrale considérée ne s’annule pas à partir de x — o, nous aurons une intégrale restant toujours positive et différente de zéro dans un intervalle (o, h\ h étant supérieur à (3. On pourra alors obtenir une intégrale, non identiquement nulle, s’annulantpour x = o et pour x = h et restant toujours positive dans cet intervalle, ce qui est en contradiction avec les résultats précédemment obtenus, puisque c’est seulement dans l’intervalle (o, a), où

a < a < J3,

que l’on peut déterminer une intégrale s’annulant aux deux extrémités et toujours positive dans l’intervalle.

On peut encore démontrer de la manière suivante le théorème précédent, en remarquant que, si a est inférieur à {3, mais en est très voisin, l’intégrale qui s’annule pour x = o et pour x = a devient très grande (n°6); la courbe intégrale que nous étudions et cette seconde courbe intégrale auront donc au moins deux points communs et, par suite, nous aurions deux intégrales positives prenant les mêmes valeurs pour deux valeurs de x, ce qui est impossible.

L’intégrale s’annulant une fois devra s’annuler une infinité de fois et, comme nous l’avons dit d’une manière générale, on pourra suivre sa valeur de proche en proche.

La courbe représentée par toute intégrale aura donc la forme d’une sinusoïde, et l’on peut dire que le problème de l’intégration pour l’écjuation (E) est résolu, si l’on entend par là qu’on peut suivre avec précision les valeurs de la fonction quand x augmente indéfiniment.

9. Soient deux valeurs x₀ et x, de x (x₀ < x, ). A un intervalle commençant en x₀ correspondent pour l’équation (E) une longueur [3 et une longueur a, en gardant toujours la même notation générale. Considérons ensuite l’écjuation transformée de (E)

(E';

^7    -ÿ) = o.

Pour cette équation en x', nous aurons, pour un intervalle commençant à x'—o, une longueur et une longuenr «/. Supposons maintenant que les quantités

■r₀,    x\—    j₀+?, a?i

soient rangées par ordre croissant de grandeur et que, de plus,

— a' > a?₀-+- a.

Nous allons montrer qu’c/ existe au moins une intégrale de l’équation s’annulant pour x = xt) et pour x = x{.

Désignons par X une arbitraire comprise entre

x\—,3' et iPo-t-JL

Il y aura une intégrale toujours positive de l’équation (E) s’annulant pour x₀ et X; de même l’équation (E;) admettra une intégrale toujours positive s’annulant pour x' — o et x' = x, — À et, par suite, l’équation (E) admettra une intégrale toujours négative s’annulant pour x — x, et x = X. Les deux intégrales que nous venons de trouver peuvent-elles être la continuation l’une de l’autre? 11 faut et il suffit (pie leur dérivée première ait la même valeur pour x — X. Désignons par 0 et Q' les angles compris entre o et ^ que font les tangentes aux deux courbes au point x = ï>, y—° avec Taxe des x. L’équation

0 — 6'= o

est une équation en X, puisque 0 et Vdépendent de X. Il faut montrer

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

i4i

au

que cette équation a une racine entre x, — fi' et x₀ -¹- j3. Or, quand x est très voisin de x, — fi', 8⁷ est voisin de -> tandis que 9 a une valeur différente de donc 8 — 8' est négatif pour cette valeur de x\ contraire, pour x voisin de x₀-\- (3, 9 est voisin de ^ tandis que 9' a une valeur différente de : la différence 8 — 9' sera alors positive.

L’équation écrite ci-dessus aura donc au moins une racine correspondant à une valeur À, telle que

<C. Xq-h P*

Est-on assuré que l’intégrale correspondante ne sera pas nulle identiquement? Oui, puisque autrement il faudrait que l’on eût à la fois

À, > x, — a',

ce qui est incompatible avec nos hypothèses. Nous avons donc bien une intégrale non nulle identiquement et s’annulant pour x = x₀ et x = xi; cette intégrale ne garde pas un signe invariable entre les deux valeurs extrêmes.

10. Occupons-nous maintenant d’un cas particulièrement intéressant : celui où la fonction f(x, y) serait périodique par rapport à x et de période to. Considérons un intervalle (^r₀) x₀ -f- w). En supposant remplies les hypothèses du n" 9, nous avons une intégrale s’annulant pour x₀ et x₀ + to. Cette intégrale ne sera pas en général périodique, car pour x₀ et xb -h m les dérivées n’auront pas la même valeur. En écrivant cette condition, on aura une équation en x₀

FOoï =o.

A chaque racine réelle de cette équation correspondra une solu

tion périodique.

pourra l’équation

L’étude des racines de cette équation sera, en général, extrêmement difficile. Je veux indiquer cependant un cas simple où l’on établir l’existence d’une solution périodique. Reprenons

0+/<*,r) = »

satisfaisant aux conditions des paragraphes précédents. La fonction f(x, y) est périodique par rapport à .r et de période w. Supposons que

f(v,y) =/(w — x,y)

et que, de plus

/O, y) =— /(#, —y).

Partons de xQ = o. Si, comme nous l’admettons, les nombres a et t3 relatifs à 1 origine comprennent entre eux

aura

Fig. 5.

une intégrale de l’équation s’annulant pour x = o et a? = ^ et qui ne

sera pas identiquement nulle. Je dis que cette solution sera une solution périodique.

Prenons, en effet, la courbe symétrique par rapport à x—~>

y = o, de la branche de courbe dont nous venons de parler. Tl est aisé de voir qu’elle satisfera à l’équation différentielle.

En désignant par y — 'f(x) l’équation de la première branche, on aura pour équation de la symétrique

y = — •(«*>"— *)•

Donc

et nous devons montrer que l’équation

—    — x)    — <?(ü> — x)] = o

est vérifiée. Or elle pourra s’écrire

<p"(u> — x) -4-/0, <p(w — a?)] = o, et enfin, puisque f{x,y)=f(ui — x, y)}

tp"(ü) — x) -t~y[ tu — x, cpftu — x)] = o,

qui est manifestement vérifiée.

l43

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

H. Indiquons un exemple. Soit l’équation

+ +

i H--cos²#

= O.

v/i+JK²

Nous regardons la fonction f{x,y) correspondante comme admettant la période 2—, c’est-à-dire que oj = 2 — ; on a bien en plus

f(&, y) =/( 271 — 37, y).

L’équation rentre d’ailleurs dans la classe qui nous occupe actuellement. 11 nous faut chercher les deux nombres a et [3 pour reconnaître si l’on a

a < tc < (3.

Or a est le nombre relatif à l’équation linéaire

~dx*    ⁰) ⁼ °>

et correspond à l’équation linéaire

o.

£+r/;(^. ») =

Nous aurons donc ici, pour la première équation,

d'y 3

dP- + -S=-°

et, pour la seconde,

(Py 1    .

—r— H— r sin²;r = o. dx¹ 2y

Pour la première équation, nous avons de suite a = tc y/|; dans

un intervalle moindre que ⁷¹ y une intégrale s’annulant aux deux

extrémités est identiquement nulle. Pour la seconde équation nous ne pouvons trouver la valeur exacte de [3 (si ce n’est sous forme de série), mais nous pouvons avoir une limite inférieure de [3 et cela nous suffira. Si, en effet, au lieu de la seconde équation, on envisage l’équation

d- y 1

plus grand que celui qui correspond à cette dernière équation. Par suite

p > TZ \J'X.

Puisque a = et [3 >> ~ y/2,

nous sommes assuré que les iné

galités a << — <; p sont vérifiées.

Il existe donc une intégrale de période 2tï pour l}équation proposée, et nous pouvons l’obtenir sous forme de série convergente, par notre méthode d’approximations successives.

III. — Sur une classe d’équations à laquelle s’appliquent les procédés alternés.

12. Considérons maintenant des équations différentielles d’un type différent au point de vue des hypothèses relatives aux fonctions qui y figurent. Soit l’équation

d'y _

dx¹

où nous supposons la fonction f(x,y) toujours positive et croissant en même temps que y. On est assuré (Chap. V) qu’il ne peut exister qu’une seule intégrale de cette équation prenant des valeurs données pour x = a et pour x = b.

On peut supposer que ces valeurs données sont milles, ce qui revient à remplacer y par y -f- ’xx H- [3 en désignant par a et jü des constantes convenables.

Appliquons alors les approximations successives, en partant de y₀ ⁼ o; on aura ainsi

d-y i _ dx²

d'y 2 _ dx²

/(*, o),

/(*> y O*

d*yn

dx¹

= /(*, y h- i),

tous les y s’annulant pour x = a et pour x — b. On voit d'abord immédiatement que tous les y sont négatifs; on aura de plus

o > y t> y

yi<y*<yv> y>> y+> y 3,

et ainsi de suite, le sens des inégalités entre trois y consécutifs variant d’une ligne à la suivante. Les y à indices impairs forment donc une suite croissante et les^p à indices pairs une suite décroissante; d’autre part, tout terme de la première suite est inférieur à un terme quelconque de la seconde. Les y à indices impairs auront donc une limite u, et il en sera de même des y à indices pairs qui auront une limite v. Ces deux limites sont des fonctions de x: s’annulant en a et b, et l’on aura

u f. e,

et comme on a

d-y„ _

dx'¹

/O, yn-1),

d-y

n-hl

dx'¹

—y Oi yn)i

on aura

d* v

il² u

13. Pour établir cette convergence uniforme (*), reportons-nous à la fonction G(x, £) envisagée au paragraphe 1 du Chapitre VI. Il est facile de voir que, si a désigne un nombre positif fixe entre a et 6, on peut trouver un nombre positif p. dépendant uniquement de a, b et a [non de f(x) et de x\ tel que l’on ait

GO, £) < f* G(a. \).

Pour l’établir, il suffit d’examiner successivement les diverses dispositions de a, x et £ dans l’intervalle («, b). Ainsi soit

ot < x < b,

on aura

GO, D =

(b — jj) (x — g)

G(a, Ç) =

(b — p (% — g)

(‘) Voir sur toutes ces questions mes articles ( Comptes rendus, 14 février 1898, et Bulletin de la Société malhématique, 1900).

10

P. — III.

L’inégalité précédente devient

^ — a < (a(a — a).

Elle sera vériiiée si p. est supérieur à ^^• Avec toute autre disposition de a, J?, £, on trouve de même un nombre u. convenable; le plus grand de ces différents nombres convient à notre objet. Il dépend seulement de a, b, or.

Ceci posé, si l’on revient à l’équation où <p(.r) a un signe constant, en appelant y (oc) l’intégrale du paragraphe 1 (Chap. VI) s’annulant en a et b, on aura

\y(x} | < fx\y(x) |.

14. Revenons maintenant aux équations du paragraphe 12 donnant yK, y.,, ..., yn: .... Pour une valeur, quelconque d’ailleurs, donnée à x.

yd*), ys(æ),    72«+iO)

tendent vers une limite par valeurs croissantes; d’autre part,

yd*), .n(^b

tendent vers une limite par valeurs décroissantes, et tout terme de la première suite est inférieur à un terme quelconque de la seconde. On a

ri-(y,,— .Yn~ï)

dx'i

=f(*, yn-1 ) —    y,i-₃ ),

et par conséquent, d’après la remarque précédente,

I yn(x) —y>,-i(x) | < <x | y„(z)—y,l-₂(<z) |.

Ceci montre clairement que, pour une même parité de /i, la fonction y,i(x) tend uniformément dans U intervalle (a, b) vers sa limite, puisque la série de terme général

Yn(x) —yn-₂(x)

converge comme la série

r«(a)— yn-d.*)-

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

i/^7

11 est donc Lien établi que les approximations successives nous conduisent à deux (¹ ) fonctions a et e satisfaisant aux deux équations écrites à la (in du paragraphe \Ql

cV-v

cl'¹ u

ihi =/'-*’ ■’>-

dï--=f{r'¹ '>•

et s’annulant en a et b.

lo. C’est une question intéressante de savoir si u = v. La réponse est certainement affirmative d’après un théorème général étudié au Chapitre V (Section II), si /’intervalle (a, b) est suffisamment petit. Mais en est-il ainsi en général? Pour répondre à cette question prenons l’équation très simple

d¹ y

dx-

qui rentre dans le type précédent. Considérons une intégrale s’annulant pour x = o et négative pour x positif et assez rapproché de l’origine. On aura

dx)

a étant une quantité positive inférieure à un. L’intégrale y ira en décroissant depuis y = o jusqu’à la valeur loga qui sera son minimum ; cette valeur minima sera atteinte pour

*-/ •^Iüs a

dy

f ey— a

La seconde racine de l’intégrale y (après l'origine) correspondra donc à

« =, f°

d\og a

dy

\/ey — a

ou, en

posant loga = [j << o,

dy

* = >/,_

\ ey — eP

(¹ ) La question de l’identité u — v sera discutée au paragraphe suivant.

Si I on suppose queyu converge uniformément vers y, il arrivera,

à partir d'une certaine valeur de /t, que    différera très peu de

- ey et sera, par suite, supérieure à

ou

L intégrale considérée y s’annule donc pour x — o et x == b \ elle est négative et son minimum est loga.

Reprenons les équations relatives aux approximations successives

d'¹ Vo    T

(5)

dx'¹

LC | -

dx'¹ -i

— elü» a

en désignant par s une quantité posiLive fixe aussi petite qu'on voudra.

Considérons alors les équations

>0,4-1 )

dHyn+«

dx¹

= - (e.Vn+l _ ei n ),

d“ IL if _p o

i/.T²

= 7₂(' — 0 “'M-

en prenant = rn+l—; et les autres i/ étant déterminés par la condition de s’annuler en o et b. On aura

(p = -i, ..95)

I Un+p I i JK/,-)-/, y n+p— 1 [

et la série de terme général

(y 11+P    yn+p-l )

est, par hypothèse, convergente.

Or prenons la suite îles équations

d- vn+i

i/.r²

a ~    >

-( i — s)P,i+i = 2

les c s’annulant connue les u aux deux limites, et en avant c//+, = u„+l. Les v seront tous de meme signe, tandis que les u sont alternativement positifs et négatifs; les u et c de même indice ont même valeur absolue. Par suite, nous pouvons écrire

la série de terme général

vn+l,k'‘⁺i’

sera donc convergente tant que | k | < 1, puisque la série de terme général    —yn+P-t )kn+P est convergente dans ces conditions,

étant convergente pour k = 1. Ceci revient à dire que la série des approximations successives converge pour l’équation

d'y d.ï*

Z) y — o

dans tout intervalle (o, 6'), b' étant inférieur à b, mais en étant aussi rapproché que l’on veut.

Or le champ correspondant à cetle dernière équation est

T, y/à I

TT

y/1 — £

18 fl

OU

Si donc cetle expression esl inférieure à b, il en résultera que les approximations ne pourront converger vers y. JNous devons donc, par suite, voir si l’inégalité

TT l/2

—< 2

(6)

r ,

*-'p y e?—e'è

dv

( p = loga < o)

y/ i — e y/a

peut être vérifiée. Nous allons montrer que l’inégalité est I)ien vérifiée si a esl assez rapproché de zéro. Ecrivons en effet

l*-

r,_

«/p yey—e$

et dans le développement du binôme qui est sous le signe d’intégration, bornons-nous aux deux premiers termes, les termes négligés étant positifs comme les termes conservés; on a alors, dans le second membre,

dy

dv,

J dy

— 2 Ve

ou, en remplaçant [3 par loga,

WN

v/«    ²

a.

Si donc l'inégalité

CS ICO

est vérifiée, il en sera de même de l’inégalité (6), puisque s peut être pris aussi petit qu’on veut. Or, en prenant a assez petit, nous n’avons

à comparer que les termes en ce qui nous conduit à

V*

Tt v/Ü <C

inégalité qui est exacte.

Donc, pour a assez petit et, par suite, pour b assez grand, les approximations successives ne convergent pas vers Vintégrale y.

Les deux limites u et v du paragraphe précédent ne coïncident donc pas, en général, comme nous le voyons par le cas particulier qui précède (¹ ).

16. Nous avons dit que les approximations successives convergent quand l'inLervalle est suffisamment petit. N’ayant à considérer que des valeurs négatives dey, supposons que la dérivée toujours positive

fy(*,y)

reste, pour y négatif, quel que soit x dans un certain intervalle, inférieure à un nombre fixe M. Il est facile alors de fixer une limite pour la longueur de l’intervalle dans lequel les approximations successives convergeront. Nous allons comparer les approximations successives pour l’équation

d2y

et pour l’équation

un

On a, d’une manière générale, en appliquant les équations à

(*) Je m’étais borné, dans mon Mémoire de 1890 (Chap. YT), à l’assertion que u était, en général, différent de v, j’ai donné l’exemple précédent dans les Comptes rendus (avril 1894).

intervalle (a, (3),

d'²(y„ — rn—\)

dx'-

= /( x, y.i-i ) — /(x, r/,-2 ),

et Ton peut écrire

ZO> yn-\)—f(oc, y„-2) = ( y a-\— y „_₂ ) fÿ ( x, Y),

Y étant compris entreyn~\    Or considérons les équations

dx-

= f(x, o),

d'¹ u ₂

— M K/, —j,

les « s’annulant aux extrémités de l'intervalle. On aura évidemment

\y,i—y„-i I < | if-.i 1-

Or la série des valeurs

est convergente certainement, si l’intervalle (a, ₍3) est inférieur au champ fondamental (Ghap. V, § 13) relatif à l’équation

—— h- M u = o

dx²

et ce champ est égal à

7T

/M

Ainsi, dans toit intervalle infêriew au nombre précédent, le approximations couvergent pour l'équation proposée.

17. Reprenant l’équation

g =/<■*•, r),

nous devons maintenant chercher comment nous trouverons I intégrale s’annulant pour x — a et x = b si l’intervalle («, b) est trop grand pour que les approximations successives y convergent.

Nous allons ici faire usage d’un procédé alterné analogue à celui dont nous avons fait usage avec M. Schwarz pour l’étude de l’équation de Laplace.

Nous commencerons par démontrer deux lemmes :

i°

Soient deux fonctions u et v satisfaisant à l’équation

d*y _ dx-

on a

continues, bien entendu, ainsi que leurs dérivées premières de a à b. Si, en a et en b

je dis qu’il en sera de même à l’intérieur. Si, en effet, u — v devient négatif entre a et b, il y aura entre a et b deux valeurs a et [3 pour lesquelles on aura

u — v.

Entre a et (3, on devra donc avoir u = v et, par suite, dans tout l’intervalle («, b); par conséquent, on a toujours, soit u = t’, soit u >> v\ c’est ce que nous voulions montrer.

2° Considérant toujours la même équation

¹

V«4-/j | <L | yn+p yn+p- 1 |?

!£=/(*, r).

l’intégrale u de cette équation s’annulant en a et b sera évidemment négative de « à b ; on envisage de plus la fonction v s’annulant en a et b et vérifiant la relation

dU'

-y-z =j(&i °).

on aura manifestement

Si donc M désigne la valeur absolue maxima de c, on aura

| u ( < M.

Ceci posé, prenons une intégrale de l’équation

qui s’annule en b et prenne en a une valeur négative dont la valeur absolue ne dépasse pas N; nous voulons trouver une limite de la valeur absolue de u en un point a compris entre a et b. Soit h l’intégrale de

(b h _ dcc² °’

qui prend en a et b les valeurs données; on voit de suite que

\h\<Nq,

q étant un nombre compris entre zéro et un. Posons alors n = U -b h, nous aurons l’équation

(P U

et nous devons considérer l’intégrale U de cette équation s’annulant en a et b. U sera négatif et, comme h est négatif, on aura a fortiori

| U | < M.

Nous en concluons, et c’est là notre second leinme,

| u | < M -|- N q, inégalité qui va jouer le rôle essentiel.

18. J’arrive maintenant à la solution du problème proposé. Nous voulons montrer que l’on pourra trouver la solution de l’équation

cl - u

prenant des valeurs données en b et [3 ( fig. (5) si l’on sait résoudre cette question pour les intervalles [3a et ab.

Fig. 6.

Soit uK la solution déterminée dans (a, b) et s’annulant en a et b. Nous formons alors la solution ç, s’annulant en [3 et prenant en a la même valeur que u{. Revenant maintenant au premier intervalle, formons la fonction u₂ déterminée dans («, b), s’annulant en b et prenant en a la même valeur queu,, et continuons ainsi indéfiniment en passant successivement d’un segment à l’autre. Nous obtiendrons de cette manière deux suites

Un

M|,    U*,

Vu

e-2,

est négatif dans («, b), donc c, est négatif en a et, par suite, en a. Donc, si nous revenons à on aura, d’après le premier lemme,

«1> «2,

et, en continuant ainsi, il vient de suite

O > «1 > «s > • • . > Un > ■ • ,

O > C, > Vi >.. .> vn >. . ..

Il faut montrer que un et vn tendent vers une limite; il suffira de faire voir que j un | et | vu J restent inférieurs à un nombre fixe. C'est ce que va nous donner le second lemme.

Désignons toujours par M la valeur absolue maxima des intégrales de l'équation

<!- u

a*

s’annulant respectivement en a et 6, puis en a et [i. On a

I «i | < M,

| Pj | < Mq M,

| U-2 | <C ç ( M q H- M ) -t- M = M ( (j~ -+- (j -+-1 ),

I ^2 | < <7lM(^² 4- q -t- i) -H M = M(<7³-i- <7²h- q -+-1)

(pour x — a )

(pour x = a)

(pour x = a)

(pour x = a)

et, d’une manière générale

| utl | < M(<7²'‘-²-+- <72,i-³-H. . .-4-1), | vn | < M(ÿ²"-¹H- q

( pour x = a )

2/1—2

(pour x — a)

Dans ces inégalités, </, qui est moindre que un, désigne le plus grand des deux nombres de même nom correspondant aux intervalles («, b) et (a, |S) du second lemme.

Les inégalités précédentes montrent que u„ (pour x = a) et vu (pour x = a) tendent vers deux limites. Les fonctions un et v„ tendent donc respectivement vers des limites u et c; la fonction u est définie dans l’intervalle (a, 6), et la fonction e dans l’intervalle (a, ₍3). Je dis que u et c prennent respectivement les mêmes valeurs en a et en a; en effet,

<’/i = Un

(pour x = a ),

= Un+l

(pour x — a).

Donc, à la limite, v prend les mêmes valeurs que u pour x — x, et il en est de même pour x = a. Il en résulte que, dans l’intervalle («, a), on a

U — V.

Nous avons donc L’intégrale de /’équation s annulant en b et en (3; elle est représentée par u dans l’intervalle (a, b), et par v dans l’intervalle (a, [3).

19. L’intégrale y de l’équation

fN, y)

d\y ₌

dx'¹

s’annulant en a et b ( /’remplissant toujours les conditions indiquées¹) doit être rapprochée des deux fonctions u et v s’annulant en a et b et satisfaisant aux équations

d- v

u)

= /(*> v).

d² u dx-

dont il a été question au paragraphe 1 i. Nous allons montrer que l’on a (pour toute valeur de x entre a et b)

n < y < v

ou, en d’autres termes, que l’intégrale y est intermédiaire entre u et v.

Pour le démontrer, il suffit d’examiner les differentes circonstances (pii pourraient se présenter s’il en était autrement. Supposons, par exemple, que l’on ait la disposition de la figure ", où y rencontre u en un point a. Entre a et b, on a

(y, u, v sont négatifs).

v > u > y

Or on a

d {ydN ~    -/0>x)-

Le second membre est négatif dans (a, b). Donc y— u qui s'annule en a et b devra être positif d’après cette équation; nous arrivons ainsi à une contradiction. On verra tout aussi aisément que l’on arrive dans tous les cas à une absurdité, sauf si l’on a la figure 8 où y est constamment entre u et v.

Fig. 8.

Fig. 7•

(L

o_

u,

et

20. C’est dans le cas particulier de l’équation

= - eï

• dîy

■>

d,CL7 ²

que nous avons vu (§ lo de ce Chapitre) que les deux limites u et v étaient distinctes pour un intervalle (a, b) assez grand. On peut évidemment donner une autre forme à ce résultat. Laissons l’intervalle (a, b) fixe et envisageons l'équation avec le paramètre positif k

= key.

d-v dx-

Si l’on fait croître k à partir de zéro, on a d’abord

y = u = v.

A partir d’une certaine valeur k₀ de k, u cesse d’être égale à e, et y est intermédiaire entre ces deux fonctions. Il y a là quelque chose d’assez curieux. La fonction y (a?, k) regardée comme fonction de k est certainement une fonction analytique de k pour toute valeur positive de k, comme on le voit en ramenant l’intégration de l’équation à une quadrature. Tant que u et v coïncident, elles sont identiques à y et sont, par suite, des fonctions analytiques de k ; mais, au delà de k₀, on peut se demander quelle sera la nature de u et de v regardées comme fonction de k\ elles ne seront certainement pas le prolongement analytique de la fonction y, car alors elles coïncideraient. Représentent-elles au delà de k₀ des fonctions analytiques de k qui ne seraient pas susceptibles de se prolonger analytiquement en deçà de /r₀, ou bien encore sont-ce des fonctions non analytiques de A'? Ces questions présenteraient peut-être quelque intérêt.

-1. Nous avons considéré, dans ce qui précède, une seule équation. On pourrait chercher à traiter des problèmes analogues en prenant un système d’équations de la forme

dly\

dx-

d'-y-i

dx²

= A    yi,y*, • : ym)i

d-y„i

dx'¹

= yt, y 2, • y m),

les j étant des fonctions toujours positives et croissant avec les y.

Je ne dirai que quelques mots sur cette extension, en me bornant à renvoyer au travail que j’ai déjà cité. Les résultats précédents ne s’étendent pas d eux-mêmes à un tel système. Ainsi soient, en se bornant à m = 2, les deux équations

y,*).

d- z .

f et cp étant positifs et croissant avec y et 5. On ne doit pas chercher à établir qu’il n’existe qu’un seul système d’intégrales continues prenant pour x — a et x = b des valeurs données : le fait n’est pas nécessairement exact. Considérons, par exemple, l’équation f étant positif et croissant avec y. 11 y a une intégrale Y s’annulant aux deux extrémités de l’intervalle («, b). D’autre part, les approximations successives donnent, en général, deux limites y, et différentes, s’annulant en a et &, et satisfaisant aux deux équations

158

CHAPITRE VII. — ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

Si donc on envisage ce système, il admet, avec les mêmes conditions aux limites, les deux systèmes de solutions

r = Y )

~ — Y )

Ils ne coïncident que si l’intervalle est assez petit.

et

Z = Zj.

CHAPITRE VIII.

DES SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET DES SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

I. — Remarques générales sur la continuité des intégrales des équations dépendant d’un paramètre arbitraire.

1. Considérons une équation différentielle dépendant d’un paramètre u. Soit

(0

dx

-jr =/0, {*, O-

Envisageons la solution

a? = B(t, p),

qui s’annule pour t — o. Soit, pour jjl = o, la solution

x — 0(/, o),

que nous allons supposer être continue de / = oà t = t₀. De plus on admet que

/(x, fl, t)

peut, pour t compris entre o et t₀, se développer suivant les puissances de

a--0( f, o),

[jl et

les coefficients du développement étant des fonctions d’ailleurs quelconques de t. Nous nous proposons de montrer que Y intégrale

0(t, p)

peut se développer suivant les puissances de p, pourvu que p soit suffisamment petit, pour toute valeur de t comprise entre o et t₀.

Tout d’abord, on ne restreint pas la généralité du théorème, en supposant que 0(T, o) est identiquement nul, ce qui revienL à faire un changement de fonction de la fortne x'— x— 9(f, o). Nous plaçant donc dans cette hypothèse, la fonction

/O, F» 0

sera ordonnée suivant les puissances de x et de p pour \x\ et |pj suffisamment petits, quel que soit L compris entre o et /c, et s’annulera pour x — p = o. Écrivons

les coefficients étant des fonctions de t. Posons

/A'"

jj. a -h x'e

u désignant la fonction de t satisfaisant à la relation

du

~dt

= Ait+ 15

et s’annulant pour t = o.

L’équation proposée se transforme en la suivante,

= Aj x'- -+-1 B, x jj C, jJ¹

qui est de même forme, mais où il n’y a pas de terme du premier degré en x' et p. Les coefficients du second membre sont des fonctions de t continues de / = o à t = /₀, et ce développement peut être regardé comme absolument convergent pour toute valeur de .x' et p telle que

l^'l = ?,

p et r étant deux constantes fixes, la variable réelle t ayant d’ailleurs une valeur quelconque entre o et t„.

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

petite des deux quantités

tu et

en désignant par M la valeur absolue maxima de

pour

et

Aj X h '1 JI j X p i Cl [JL² —H ... j |*'|£p.

Or nous pouvons prendre comme nombre M le maximum de la série I A, |.psH- 2| B| |.pr -t- | C, |/*² +...,

pour t compris entre o et t₀. Si donc nous considérons le quotient

I A, |p--+- a| B, | /• p —l— | Gj J/'²-+-.. . ’

nous pouvons donner à r et p des valeurs indépendantes suffisamment petites pour que ce quotient soit supérieur à t₀.

La convergence de la série donnée par les approximations successives sera clone assurée depuis t = o jusqu’à t= sous la condition | p | < r.

Nous avons donc l’intégrale de l’équation

dx

[/(O, O, t) = o]

s’annulant pour t = o, représentée par Ja série

Xy -i- (x₂ —    ) -H . . . H- ( X„ — Xn-i

que donnent les approximations successives, et, d’après la théorie générale, on a

| Xh xn—\ |    X,;,

\ étant un nombre fixe inférieur à l'unité. Chaque terme de la série précédente est une fonction bolomorphe de p pour | p | << r ; il est aisé d’en conclure que la série est une fonction bolomorphe de p dans les mêmes conditions. C’est ce que montre immédiatement la formule de Cauchy,

dz,

prise le long du cercle de rayon r. P. — III.

Nous avons donc établi que l’intégrale de l’équation (1), s’annulant pour t = o, est une fonction analytique de [4, et peut être déve

loppée en série ordonnée suivant les puissances de p., tant que r. Ce développement est convergent depuis t = o jusqu’à

t = t₀.

3. Nous avons supposé que nous avions une seule équation et un seul paramètre. Le théorème est absolument général : si l’on avait, par exemple, les deux équations

dx

— - Aj 4- By 4-Cp. 4-..., -yq = A i x -h Bi y -+- G, [x -t-. . .,

les coefficients étant des fonctions continues de t, de t — o à t — t₍₎. Nous avons là un système d’équations ayant, pour p. = o, la solution x =■ o, y = o, correspondant à x et y nuis pour t = o.

Nous poserons

x = \lu 4- P x' -t- Qy,

y —    4- P1 #'4- Qty,

et nous allons choisir u, e, ainsi que les P et Q, de façon que les équations différentielles donnant x' et y' ne contiennent plus de terme du premier degré en xr, y' et u. On s’arrangera de façon que u et e s’annulent pour t = o. I! suffit pour cela de déterminer u et v par les équations

= A u 4- Br 4- G,

— A1 u 4— B1 v 4- C1,

et I on a, pour P et P₍, les deux équations

dt

= AP 4-BP,,

=A,P + B,P,

auxquelles satisferont aussi Q et Q,. O11 prendra donc, pour P et P,, puis pour Q et Q,, deux systèmes de solutions distinctes, et il est clair que le déterminant

PQ.-PiQ,

qui s’exprime par une exponentielle, ne s’annulera pas de t = o à t=t₀.

Les équations donnant x' et y seront alors de même forme que celles qui donnent x et y, sauf que les seconds membres ne renferment pas de termes du premier degré dans leur développement. On peut alors raisonner comme au paragraphe précédent.

Il est évident aussi qu’on pourrait avoir un nombre quelconque de paramètres; Vintégrale sera une fonction holomorphe de ces paramètres, dans te voisinage des valeurs zéro de ces paramètres (¹ ).

4. La démonstration que nous avons donnée du théorème précédent peut être encore simplifiée en restant dans le même ordre d’idées, comme l’a montré M. Lindelôf (²), en utilisant une seconde limite de convergence indiquée par lui dans l’emploi de la méthode des approximations successives et que nous avons étudiée dans le Tome II de ce Traité (p. 344•> 2e édition). On évite ainsi la transformation faite à la lin du paragraphe 1. Cette seconde limite était (loc. cit., p. 340) désignée par 0, qui représentait la pli\s petite des quantités

“ et    Su)’

Avec les notations actuelles, correspondant à la fonction /(^r, a, t) du paragraphe l de ce Chapitre, les deux quantités précédentes deviennent

•(a)

log(l+s;)'

K étant un nombre lixe. Quant à M₀, il représente le maximum de la valeur absolue de

/( o, P, O

quand t varie entre o et t₀. La quantité M₀ dépend de p, et il est

(') Le théorème précédent a été indiqué pour la première fois par M, Poincaré (Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste, p. 48 et suiv.). M. Poincaré le démontre en se servant des considérations habituelles au Calcul des limites de Cauchy. J’ai donné la démonstration du texte (Comptes rendus, 9 avril 189j).

(²) Lindelôf, Sur l’application des méthodes d’approximations successives à l’étude des intégrales réelles des équations dijférentielles (Journal de Math,, l8g4, p. 125).

clair qu’elle tend vers zéro quand u tend vers zéro. Donc, quand [J. est assez petit, la plus petite des quantités (a) est manifestement ce qui donne la démonstration du théorème.

o. Nous avons considéré, dans ce qui précède, l’intégrale de l’équation

dx

St =f{x' <*■*>

s annulant pour t = o. Conservant l’hypothèse /(o, o, t) = o qui. comme nous l’avons dit, ne diminue en rien la généralité, nous allons envisager l’intégrale de celte équation prenant pour t = o la valeur x₀. Or posons x = x₀-\- x'\ nous aurons l’équation

(3)

~    "+"    X 1 [A) 0>

l’équation

on a

avec les deux paramètres x₀ et p. Pour x₀ = p = o

dx'    ,

— =f(x, o, t),

et, d’après l’hypothèse faite, l’intégrale de cette dernière équation,, s’annulant pour t = o, sera identiquement nulle. Elle sera donc déterminée et continue depuis t — o jusqu'à l — t₀ (t₀ étant arbitraire, mais restant fixe une fois choisi).

D’après le théorème précédent, l’intégrale de l’équation (3), s’annulant pour t = o, sera continue de t — o à t = t0: pourvu que | x₀ | et |n| soient suffisamment petits, et elle pourra être développée suivant les puissances de xu et p.

Nous avons donc le théorème suivant, que j’énonce dans sa généralité.

Soit le système d’équations

(i = », 2, .. ., n).

(S)

dxi

⁼    X-2, • • • •    ? t-) H*)

On suppose que, pour p = o, on ait l'intégrale *1= ?i(0»

continue de t = o à t = t₀. De plus, les X sont supposées développables en séries ordonnées suivant les puissances de

{jl et Xi—Vi(t)

pour toute valeur de t entre o et t₀, les coefficients de ces développe ments étant, bien entendu, des fonctions continues de t.

Dans ces conditions, les intégrales de (S) prenant respectivement, pour t = o, les valeurs

<P«(o)

<pi(o)<p₂(o)-l-a?»,    ..

seront continues de o à t,₀, et développables suivant les puissances

de

et

/y*0    rp 0    /p 0

^ 1 ’    ^ 2 1    • • * t u n

pourvu que ces grandeurs aient des modules suffisamment petits.

6. Cherchons si l’on peut obtenir des résultats analogues avec d’autres déterminations initiales des intégrales ('). Prenons d’abord l’équation

dy

(4)

où f est supposée une fonction analytique de r, ^ et ut.

Nous avons, pour u = o, l’équation

dy

=f(

d*y

dx-

Soit une intégrale de cette équation continue de a à ù, prenant pour x — a la valeur A, et pour x — b la valeur B.

Existe-t-il une intégrale de l’équation (4) prenant les mêmes valeurs initiale et finale, et très peu différente de la précédente, si p. est lui-même très voisin de zéro?

Au lieu de (4), nous considérons le système de deux équations du premier ordre

(5)

i — = y-

! dx J

Pour u. = o, ce système admet une intégrale (y, y¹) continue de a à b, et prenant pour x — a les valeurs

y= A'

y = A,

(¹ ) E. Picahd. Sur les équations différentielles renfermant un paramètre arbitraire (Comptes rendus, t. CXVIII, 1894).

en désignant par A' la valeur initiale de y'. Pour p. voisin de zéroy nous aurons une intégrale de (5) continue de a à b telle que l’on aity pour x = a,

y=y<>,

pourvu que y'₀ soit suffisamment voisin de A'. Cette intégrale y sera une fonction

y(x, ^ Ao)>

développable suivant les puissances de p. et y'₀— A'. L’équation

(6)

y (b, n, yô ) — b = °

s’annule pour p. = o, y'₀=A'. Diverses circonstances pourront se présenter. Il arrivera, en général, que cette relation sera vérifiée pour une suite continue de valeurs de y'₀ et de p. voisines respectivement de A' et de zéro, et que y'₍₎ sera une fonction holomorphe de pi dans le voisinage de p. = o : l’équation (4) aura alors une intégrale prenant en a et b les valeurs A et B, et qui sera une fonction holo-morphe de p. dans le voisinage de p. = o.

Les conclusions précédentes peuvent cesser d’étre exactes. 11 peut arriver que la relation (6), considérée comme représentant une courbe lieu de points (p., y'₀), ait le point p. = o, y'₀ = A' comme point isolé, auquel cas il n’j aurait pas d’intégrale réelle satisfaisant aux conditions initiale et finale pour p. yé o.

Il peut encore arriver que le premier membre de l’équation (6) contienne p. en facteur, le second facteur ne s’annulant pas dans le voisinage de p. = o, y₀ = A'. Dans ce cas, l’équation

— =f(

dx * J \

dy \

x'r'dï’°)

cfi y

— +k,V(x)y = o

sera telle que toute intégrale passant par le point (a, A) passera par le point (b, B). Cette circonstance peut se présenter. Les équations linéaires dont nous avons fait l’étude dans un Chapitre précédent nous en offrent un exemple. Soit ki une constante telle que l’équation

ait une intégrale, non nulle identiquement, s’annulant pour x = a et

pour x — b. Toute intégrale de cette équation, s’annulant pour x

= <*y

s’annule pour x = b \ c’est la circonstance dont nous parlions ci-dessus. L’équation

d'¹ y

__ +(/fH- p)P(a?)jr = o

n’admet pas, pour u. suffisamment petit mais différent de zéro, d’intégrale s’annulant pour x — a et pour x = b.

7. Les cas d’exception que nous venons d’indiquer ne se rencontreront pas, si la méthode des approximations successives (Chap. V, § 8) est applicable, pour l’équation

±z

dx-

à l’intégrale qui nous occupe.

Nous supposons que, p étant dans le voisinage de zéro, les diverses hypothèses nécessaires pour l’application de la méthode des approximations successives soient vérifiées (Loc. cit.). On aura alors l’intégrale cherchée sous forme de série dont chaque terme est une fonction analytique de p, et, en raisonnant comme plus haut, on voit que l’intégrale elle-même est une fonction holomorphe de u. dans le voisinage de p = o.

II. — Des solutions périodiques des équations différentielles ordinaires dépendant d’un paramètre arbitraire, d’après M. Poincaré (*).

8. Considérons un système d’équations différentielles ordinaires

(t = 1, 2, ..., n),

Xn, t)

dxt Y !

~jj — X,-(xj, X2, ..

et supposons que les X soient des fonctions périodiques du temps t avec la période eu. Si l’on a, pour une telle équation, une solution

X\ = ?l(0,

continue de t = o à t = eu, et telle que

X,i = <p«(0»

^2 = ?2(0,

(') H. Poincaré, Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste, (t. I, p. 79 et suiv.).

cette solution sera manifestement périodique, car on se retrouvera identiquement dans les mêmes conditions à l’époque o) qu’à l’époque o.

Nous allons supposer que dans les équations précédentes ligure un certain paramètre p. Supposons que, pour p = o, on ait reconnu l’existence d’une solution périodique; nous voulons chercher si le système aura des solutions périodiques pour les petites valeurs de p. Ecrivons donc les équations

dxi    .    .

— fLi\X i,    , OC ni ti l* )

avec le paramètre p, où les X sont périodiques par rapport à t. Pour p = o, nous avons, par hypothèse, la solution périodique

Xi=

et les conditions admises dans la démonstration du théorème général du § o sont supposées vérifiées.

Ceci posé, d’après le théorème du § 5, les intégrales du système, prenant respectivement, pour / = o, les valeurs

?/( o)-t-ar?

sont continues de t = o à t = to, si | x" | et |p| sont suffisamment petits, et ces intégrales peuvent être développées en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

et écrivons les n équations //(“» x<{,

Ces équations sont vérifiées pour

(7)

(81

X% et [X.

(i = I, 2, ..., n),

,X?„ fx)—fi(o, X<>, ..., x°, ii) = o.

= x\ =... = x% = p = o,

, puisque alors les équations (8) se réduisent à

o,(m) — Oi( o) = o,

relation vérifiée, puisque 'fi(t) admet la période to.

en général, les équations (8) auront, solution où les x" seront voisins de zéro.

Nous concluons de là que pour p. assez petit, une

Il y aura donc, en général, une solution périodique pour [t. suf

fisamment petit.

9. Nous sommes resté, au paragraphe précédent, dans les généra

lités. Diverses circonstances particulières peuvent se présenter poulies équations (8). Le cas général, où l’existence de la solution périodique cherchée sera certaine, est celui où le déterminant fonctionnel par rapport à des premiers membres des équations (8) sera différent de zéro pour x°t = x\ = ... — x® — p. = o. Sera-t-il possible de faire cette constatation? Pour abréger l’écriture, supposons pour un moment, comme il est permis au moyen d’un changement linéaire de fonctions, que Oi(t) soit identiquement nul. Notre système (7) prendrait alors la forme

(i = 1, 2, .. ., n),

dx,-    ,

-jj- = an X\ -+- a/2 x-i -+- • • • -+- din x„ -+- bi -4- . . .

les a et b étant des fonctions périodiques de t à la période w. Les intégrales de cette équation, prenant les valeurs x® pour t = o, sont développables, comme nous le savons, suivant les puissances de x", ..., et u; nous pouvons écrire

x i — A (j x1 —F-.. . —t—    x ,1 1 ja I • *. )

B/(o) = o.

les A et B étant des fonctions de t, et l’on a évidemment Aù-(o) = r,

En substituant les Xi dans les équations ci-dessus, 011 aura, en égalant dans les deux membres les coefficients de x®, ..., x°, un système d’équations différentielles linéaires à coefficients périodiques déterminant, avec les conditions initiales ci-dessus, les fonctions A.

Si l’on peut intégrer ce système d’équations donnant les A, on obtiendra immédiatement les coefficients de x°t, ..., x\ dans les premiers membres des équations (8), et il sera possible alors de formelle déterminant de ces coefficients. S’il n’est pas nul, on sera assuré de l’existence de solutions périodiques.

10.    Nous avons seulement supposé, au paragraphe précédent, que l’on connaissait, pour p. = o, une solution périodique du système d’équations proposées (cette solution était x{ = x₂ = .. • = x„ = o). Nous venons de voir que la formation du déterminant jouant un rôle important dans la discussion des équations (8) exigeait une intégration préalable d’équations linéaires.

On se trouvera dans des circonstances plus favorables, si l’on suppose que Von sache intégrer complètement le système des équations (7) pour p. = o. On pourra alors reconnaître immédiatement si le déterminant fonctionnel qui nous occupe est différent de zéro. On aura, en effet, explicitement par hypothèse, les fonctions

¹

Nous avons à chercher l’intégrale de l’équation (2) s’annulant pour t = o. Représentons l’intégrale par la série que donne la méthode des approximations successives : celte série converge certainement depuis t = o jusqu’à la valeur de /, correspondant à la plus

fi ( t, x^, a?®, . . ., XJJ, o ).

Donc, dans les premiers membres des équations (8) développées suivant les puissances de x°t, x®, ..., x{]t et u, on aura les coefficients des premières puissances de xüt, ^!>⁾, .

11.    Quelques remarques importantes sont à faire sur le système des équations (8). Supposons que les équations (7) admettent une intégrale première

F(x,, x₂, ..., x,„ f, ja) = const.,

dont le premier membre soit une fonction périodique de t, admettant la période to. Nous désignerons la fonction F par F [a?/, <], sans mettre y. en évidence, et en n’écrivant qu’une des lettres x; nous écrirons aussi, à la place de fi( £, x°t, ...,    a), simplement//(Q.

Nous allons voir que, dans ce cas, les équations (8) 11e sont pas, en général, distinctes. On aura, en effet,

Considérons donc l’équation

(9)

F[//(o)îo]-Ff/i((o),ol = n.

Le premier membre de cette équation est développable suivant les puissances de

/<(<*>) —//(o .

Supposons que l’on ait

dF

pour u = o, t = o, xi— 'fi(o); le coefficient de ,/«(«) —,/«(°) dans le développement du premier membre de (9) ne sera pas nul pour u., X¹}, ..., x° suffisamment petits, et il est clair alors que les n— 1 équations

/iO, x\, . . ., a?%, fx) —/*(o, x\, ..    x", |x) = o (i = 1,2, ..n — 1),

qui sont les «— !lèmes premières équations du système (8), entraînent, d’après la relation (9), la nH'mc équation

/■„(w, X°, . ..,x°, fx) —fn( O, . • .. X%, [a) = O.

Les n équations (8) ne sont donc pas distinctes, comme nous voulions l’établir.

Nous avons supposé que n’était pas nul; si cette dérivée était

nulle, on prendrait une autre des dérivées du premier ordre, et il n’y aurait que dans le cas où l’on aurait

éF

àF _ (?F

oxn

àXy Ô.J\

pour [a = o, t — o, Xi= cpt-(o), que la conclusion précédente deviendrait douteuse.

éF    .

Soit, comme tout à l’heure, -— ^o; il y aura alors une infinité

ooc 1

de solutions périodiques de période eu pour chaque valeur de jx (suffisamment petite). On supprimera la dernière des équations (8) et l’on pourra la remplacer par

F Oj, 07₂, . . ., Xn, t, |X) = C,

C étant une constante arbitraire que l’on prendra peu differente de F[cp,(o), . .., <p„(o), o, oj.

Pour une valeur donnée à C, il n’y aura plus, en général, qu’une solution périodique correspondante; elle sera déterminée par les n — 1 premières des équations (8) et l’équation F = C, où l’on remplacera t par zéro, et qui alors s’écrira

F[//(o), o, (x] = C.

Si on laisse C arbitraire, on aura une infinité de solutions périodiques dépendant d’une constante arbitraire.

CHAPITRE VIII.

172

Si, au lieu d’une intégrale première, on en avait deux,

xn, t.) = const.,

F(xt, x^i ..., xn, t) — const.,

***(#], Xo, ..

on voit immédiatement,

par des raisonnements analogues, que les n équations (8) se réduisent à n — 2, si tous les déterminants fonctionnels

(k h)

D(F, 4»)

D(a?a-, xu)

ne

s’annulent pas pour p. = o, l — o, Xi — ©/(o).

12. On a supposé, dans ce qui précède, que les fonctions X X₂, ..., X„ dépendent du temps t. Il est important d’examiner le cas où t n’entre pas dans les équations. Tout à l’heure, la période était nécessairement déterminée : c’était la période w de < dans les X. Maintenant, au contraire, la période pourra être quelconque. D’autre part, si les équations admettent une solution périodique, elles en admettront une infinité; d’une solution on en déduit, en effet, une autre en changeant t en t -f- h, h étant une constante arbitraire. Il ne peut donc pas arriver, dans le cas actuel, que les équations (8) déterminent une seule solution périodique.

Ces remarques faites, écrivons le système d’équations

(ro)

d.rj

~~yj~ — **i\X 1) X2, . .

et supposons qu’on ait, pour u = o, la solution périodique de période w

x₂— <p₂(0>

xn = on{t).

Ici les f seront des fonctions analytiques de t\ si donc, pour le système (10), nous désignons, comme plus haut, par

<p,-(o) -^x⁰i

la valeur de Xi pour t = o, nous sommes assuré que la valeur //(w + t, x\,    (x)

de Xi pour J = w + t sera une fonction holomorphe de

x'\,    x\,    .... arg, jjt et x

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

pour des petites valeurs de ces grandeurs. Si nous écrivons alors les équations

((' = r, 2, .

(ii) fi ( w -4- t, x J, • . ., •? , [A ) fi (o.a"i, . • • j ■Z’Jï) p) ⁼ o

nous aurons n équations analogues aux équations (8), et ces équations seront vérifiées pour

X\ — X%    X% — [A = t = o,

puisque alors les équations (1 1) se réduisent à

©;(<*>) — fi(o) = o.

Les équations (1 1) renferment n -f- 1 inconnues x⁰o x®, .

/y» ^ pt <-

• • ? n w?

tandis que les équations (8) ne renfermaient que n inconnues et correspondaient à x = o. Or ici, si Ton faisait t = o, on aurait des équations dont le déterminant fonctionnel par rapport à .r',’, ..., x{]t serait certainement nul, d’après ce que nous avons dit plus haut sur la multiplicité nécessaire des solutions périodiques, quand elles existent. Au contraire, en se donnant arbitrairement un des x, soit par exemple x"l= o, les équations (1 1) détermineront, en général,

OC j oc ^

en fonction holomorphe de u.

Nous pouvons encore faire une remarque relativement au cas où il y aurait, pour le système (10), une intégrale première

, xu, [A ) = const.

Xn~i et x

F ( x 1, x..

On verra, en raisonnant comme au § 11, que les équations (11) ne

oF

sont pas distinctes, et l’on peut, si n’est pas nulle pour u. = o, Xi— cpi(o), considérer le système

F = G, //(w-t-T,.rO,    |a) — //(o, arj,    f*) = o (» = 1,2,    — 1),

G étant une constante peu différente de

F[c?,(o), <p*(o), .?»(o), o].

Dans l’équation F = G, on a remplacé X[ par

fi (    ^ i 1 x 21 •••; F )•

Au lieu de remplacer les équations (i i) par le système qui vient d’être indiqué, on peut encore les remplacer par le suivant, en faisant toujours    o et en faisant, de plus, t == o,

(t'= 1,2,..., n — i),

//O, ai, • • - , fO —fi(o, #?, a?®, .. .,x%, p) = o

qui déterminera x°t, x®, ...,    D’où se tire la conséquence

importante que, dans le cas oit il y a une intégrale première, on pourra trouver généralement, pour p petit, une solution périodique ayant la période to, ce qui n’a pas lieu, en général, quand les équations ne renferment pas le temps.

13. Nous avons établi, dans des cas généraux, sous la condition qu’un certain déterminant fonctionnel ne soit pas nul, l’existence d’une solution périodique. Terminons ces généralités en montrant quelles opérations on devra faire pour calculer ces intégrales. C’est une question à laquelle nous avons indirectement touché au § 9. Reprenons le système tel que nous l’avions écrit dans ce paragraphe

• + ain xn -+• b, [1 -4- . . .,

dxi

~df ~ an *1-+-■

les coefficients de ces développements étant des fonctions de t de période co.

Nous avons, pour p = o, la solution périodique Xy — x₂ =... = xn — o.

D’après ce que nous avons dit, il y aura

en général, une solution périodique pour p suffisamment petit. Cette solution peut être développée suivant les puissances de p. Écrivons donc

xi = x{1 p -+- xn p² -+-... ;

les coefficients des diverses puissances de p doivent être des fonctions périodiques de t avec la période to. Nous aurons d’abord, pour déterminer les Xi{, les équations

dru

~-yj~ — o-i\Xii -t- ai2^21 + ...-t- a-inxni -t- Oj.

Peut-on satisfaire à ces équations en prenant pour

des fonctions périodiques de O? On voit qu’il en sera certainement ainsi en général, et précisément quand un déterminant, qui n’est autre que celui que nous avions à considérer au § 8, ne sera pas nul. Les coefficients des diverses puissances de p. dans les Xi se calculent de proche en proche sans qu’on soit jamais arrêté, si on ne l’a pas été au début, et l’on aura ainsi la solution périodique cherchée dont l’existence a été antérieurement démontrée.

14. Remarquons, en terminant, que les considérations précédentes trouveront leur application dans un cas un peu plus compliqué. Écri vons les p q équations

~ ^-i(xO x^i • • • >xvi y\i y-2.i • • • i y<?)

= Y/(a?„ Xi, . .., xp, yu JÉ2? • • -, yq)

<I2)

(i — i,2,    g),

i-

où nous supposons que les X et Y soient des fonctions périodiques des y admettant la période 2tt, c’est-à-dire ne changeant pas quand on change yL en jy-H 2tt. On pourra appeler solution périodique de ce système d’équations avec la période ta une solution

Xi= fi( 0

n = 'MO

<x. o.

JO JO

satisfaisant aux conditions

<?i(t H- w) = cp/(/),

M t -+- U)) = <L'(0 + 2Â77T,

les ki étant des entiers, fl est clair, d’après la forme des équations différentielles (12), qu’une solution sera périodique, si l’on a

Mw) — M°) + 2X771.

encore

diques. On formera les équations analogues dernières d’entre elles auront seulement, dans le second membre 2/7-71,

La théorie développée dans les paragraphes précédents pourra s’appliquer aux équations (12) et à leurs solutions pério-

aux équations (11); les q

les entiers ki correspondant à la solution périodique initiale des équations pour u = o.

III. — Application au problème des trois corps.

lo. Une des plus importantes applications (pie M. Poincaré ait faites des généralités qui précèdent est relative au problème des trois corps. Prenons trois points, M₀, M,, Mo, déniasses m₀, m,, m₂‘, nous allons considérer les deux dernières comme petites, et nous poserons

ni n — *2 Pi

et ou étant des constantes fixes. Concevons que l’on ail écrit les équations différentielles du mouvement de ces trois points s’attirant suivant la loi de Newton. Que deviendra ce système, si l’on y fait p == o? Si (ç₀, 7)₀, Ç₀) désignent les coordonnées du point M„ par rapport à des axes fixes, les équations du mouvement du point M₀ se réduiront évidemment à

dîirj<»

~dF⁼°'

d*Ç «

⁼⁰'

d^n

dt²    °’

nia gi — $q

(c, = M₀ Mj)

et l'on aura, pour le point M, (H,, r],, Ç| ), d*\ ,

dt-

et les deux équations analogues, /désignant le coefficient d’attraction. On aura de même, pour le point M₂,

( r₂ — M₀ AI*).

d-\o _    /.mo — sO

dt- ~~ J r \ r.

Une solution du problème des trois corps, pour p = o, sera donc obtenue en prenant le point M„ fixe, les deux autres points se mouvant séparément autour de M₀ suivant les lois de Képler. Ce cas particulier se ramène donc au problème des deux corps. Si les temps de révolution de M, et de Mo autour de M₀ sont commensurables entre eux, il est clair qu’au bout d’un certain temps tout le système se retrouvera dans sa situation initiale.

Le problème des trois corps, pour p = o, admettra donc des solutions périodiques.

En restant toujours dans le même cas (p = o), le problème des

trois corps admet d’autres solutions que l’on doit aussi regarder comme périodiques. Bornons-nous au cas où les trois points resteraient dans un même plan. I,e point M₀ restant toujours fixe, rapportons le mouvement des deux autres points à deux axes tournant d’un mouvement uniforme autour de M₀. Nous allons voir immédiatement qu’il peut arriver que les mouvements de M, et M₂ par rapport à ces axes soient périodiques. Au bout d’un temps égal à la période, les trois corps se trouveront dans la même position relative, c’est-à-dire que leurs distances respectives auront repris la même valeur. Nous devons regarder un tel mouvement comme périodique. Imaginons par exemple que, pour t — o, les trois points soient sur une ligne droite D ; on peut donner à M, et M₂ des vitesses initiales telles que M, et M2 décrivent des circonférences autour de M„, et désignons par n et n' le5 vitesses angulaires des droites M₀M, et M₀M₂. Soit, pour fixer les idées, n'^> n\ au bout du temps

1 TC n‘ — n

les angles faits par M₀M, et M₀M₂ avec la droite initiale D sont respectivement

■>. — n'

IL — Il

1 7t II

n' — n’ et leur différence est égale à 27:, c’est-à-dire qu’au bout du temps —7-——

les trois corps se trouvent de nouveau en ligne droite, ayant repris la même position relative les uns à l’égard des autres. Si donc on rapporte le système à des axes mobiles tournant d’un mouvement uniforme avec la vitesse angulaire /?, les coordonnées de M, et Mo par rapport à ces axes mobiles seront des fonctions périodiques du temps de période

9. 71

n'— n

16. Nous voulons maintenant rechercher s’il y a une solution périodique pour de petites valeurs de p. Nous allons d’abord écrire les équations du mouvement, telles qu’elles sont classiques en Mécanique céleste, des points M, et M₂ autour de M₀. Faisons donc d’abord passer par ce point deux axes rectangulaires de directions fixes (nous nous bornons au plan), nous aurons, en désignant par (x\,y{) et (#,, y₂) les coordonnées de M₍ et M₂ par rapport à ces axes, les équa-P. — III.

lions différentielles où nous faisons le coefficient d’attraclion y égal à l’unité

(S)

d² T\

— +m₀— +m,

Xi

X,

x₂

ri

/•*

nii

'lL£+m,zi + m,zi+m,yi

r\

'1

rn{

d¹x ₂

-+- ni₀ — + ,ni — *+- nli —

d².r-i \ dt²

X-2

X-i

>■ i

r\

m₂

.r-2

r*

'1

r\

'1

ni-₂

Dans ces équations, que j’emprunte au Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand (t. 1, p. 72), /•, et r-, désignent les distances de M, et M₂ à M₀, et l’on a

U' =

ni\ m<2

en appelant /’<2 la distance M, M₂.

Je rappelle encore que le système (S) admet deux intégrales premières, celle des aires et celle des forces vives. J’écris ces deux intégrales

I ! dyx    dx{

| '"'(** sû-y'-w

m. [<** — *•*) y étant la constante arbitraire,

dx\ dt²

(13)

nif m 2

fil !

\    / dy.₂    dx₂\

d (y, — v.,.)

dt

d(x\ — .^0)

-Cr.-r*)—si—

= T»

dy\

dx\ dy |

dt²

dt²

dl²

<14 )

— 2 1 -+

m₀

)[-(?

m-.

r-2

/n₀    [ ( dt

mx m -2

dx 1

dx₂\²

dyi

dt

dt

MoS, M₀Y),

17. Les équations différentielles classiques que nous venons d écrire ne sont pas celles dont nous devons nous servir. Il faut les transformer en rapportant le mouvement à des axes animés d’un mouvement de rotation uniforme autour de M₀ avec la vitesse angulaire n. On pourrait se servir des formules de transfor-

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

mation de coordonnées

x — £ cos nt — r sin nt, y — \ sin nt -h t] cos nt

pour transformer le système S. On arrivera bien plus rapidement au système d’équations différentielles relatif à c, et y\ en appliquant la théorie des mouvements relatifs. Les équations cherchées seront les équations (S), où nous vement par ( ç,,

remplacerons (x,, yt ) et (.r₂, j₂) respecti-'ç, ) et (£₂, r\i)i coordonnées de Mt et M₂ par rapport aux axes mobiles M„lj, M₀7), pourvu que nous ajoutions aux seconds membres les projections de l’accélération centrifuge et de l’accélération centrifuge composée. Ces projections seront, d’une manière générale, pour la première,

•et, pour la seconde,

a.

tv

s'

s:

aj a,

«/W

Nous aurons donc un système (S) qui ne sera pas autre chose que le système (S) où l'on aura remplacé les (x, y) par (£, y) et où l’on aura ajouté respectivement dans les seconds membres des deux premières

n- -+- 2« -jb-dt

n²-/] ₍ — 2 n

d\

dt ’

•et de même pour la troisième et la quatrième, l indice deux remplaçant l’indice un. Le système (2) admettra deux intégrales premières. En substituant à la place de x et y leurs valeurs en (£) et (71) dans les équations (i3)et ( 14)? on obtiendra ces deux intégrales premières et il est à remarquer que le temps n’y figurera pas explicitement. De plus, en remplaçant ni, et ni₂ par a, ;jl et a₂p., la quantité p. se trouvera en facteur dans le premier membre des intégrales ; on pourra la supprimer en modifiant les constantes h et y.

Nous aurons donc le système (2) avec ses deux intégrales premières.

On a, en définitive, huit équations du premier ordre, en

Ç-2> t(2) Ç1 ) 1) 1 >    Ti 21

en posant

dt

È'n

drt

dU

dt).₂

dt

dt

dt

v*-

L’application de la théorie générale exposée dans la Section précédente, pour le cas où la période serait    ? nous conduira à huit

équations que nous aurions maintenant à discuter. Ces équations se réduisent à six puisqu’il j a deux intégrales premières. Ecrivons les premiers membres de ces intégrales premières en y faisant p = o (on a préalablement divisé par p, comme nous l’avons dit plus haut) ; on aura

J -t- /î*₂( \ \ -t- Y)1 )r

"t_,îa,($‘+Tiî)+a20*^⁻⁷¹²

J<ÊÏ

¹ \dt*

dr\ \ dt*

d\

j-+-^²ai($î + Tlî)+ ²«*i    —*ii

-1- /i² au(\\ -t- 7) £ ) -t- 2 na₂ ^

dt]

d\, '

wy

dt*

dri 1

dt²

*~ch

~"dt

— 2 m₀

*i

Prenons le déterminant fonctionnel de ces deux expressions par rapport à yq et y/,. 11 se réduit à

Wi riï

2*1 ^(5,7/,— Çj»!',).

Or, nous prenons comme positions initiales, dans le mouvement correspondant à p = o, deux positions de M, et sur l’axe des ç qui, pour 1 = o, coïncide, comme nous pouvons le supposer, avec Ox~ Les vitesses initiales sont perpendiculaires à M₀£, eL l'on a évidemment au temps t = o

rÿ = («'—/»)$,.

On a, par suite, pour l’expression ci-dessus,

2*1 *2^1 n — n).

Quant à n et /*', ils sont déterminés en fonction de ç, et IL par les relations qui se tirent de suite de la comparaison des deux expressions de la forme

«*$1 = m o,

Les valeurs initiales de M₀M, et M₀M» étant arbitraires, on n’a pas n = n'. Le déterminant fonctionnel des deux intégrales premières par rapport à r/₍ et t/., n’est donc pas nul. Nous pouvons donc, des huit équations que nous avons à écrire, supprimer celles qui sont obtenues en écrivant que les valeurs de r\\ et r/₀ sont égales

lJTJl (§ 11). Il resterait donc six équations à

pour t =: o et pour L —

discuter; c’est une étude qui ne présente pas, après ce qui précède, de véritable difficulté. Nous 11e la ferons pas ici, car nous serions ainsi entraîné à d’assez longs calculs. Énonçons seulement le résultat : On est assuré de pouvoir toujours résoudre les six équations dont nous venons de parler par rapport à six des huit inconnues

<H)

tO    y-0    ÏO    yO    fc'O    y'O    t'o    yfO

Ç 1 y    rl 1 f    S 2 >    ri 2 5    S 1 >    *i 1 î    S 2 9    ') 2

qui y figurent et qui, conformément à nos notations précédentes, représentent les accroissements que l’on doit donner aux valeurs des lettres correspondantes, relatives à L == o et à la solution périodique choisie pour u. = o, pour avoir les valeurs initiales relatives à < = o de la solution que l’on cherche. Il faut toutefois que l’on n’ait pas n — — n! et que n ne soit pas multiple de n'— n.

Il existe donc, pour le problème des trois corps, p. étant petit, une infinité de solutions périodiques. Cette infinité dépendra de quatre arbitraires, car deux des inconnues de la suite ( H) ont des valeurs arbitraires (petites) et les distances initiales de M, et de M2 à M₀ peuvent être prises arbitrairement Ç ).

IV. — Sur une autre catégorie de solutions périodiques.

18. Nous allons nous occuper maintenant d une question présentant une grande analogie avec celle qui a été étudiée dans la Section II, mais où, toutefois, des circonstances assez différentes vont se présenter.

Prenons le système d’équations différentielles

dx-i v —rr = -^2 ■

<i5 )

dx,

—rr — Ai ?

dt

dt

dxn

~df “ X"’

(i) On trouvera dans l’Ouvrage de M. Poincaré {Les nouvelles méthodes de Mécanique céleste, t. I, p. 95 et suiv. ) une étude de diverses solutions périodiques du problème des trois corps.

où les X dépendent de x₍, x₂, • • ., xu et d’un paramètre p; de plus, les X s’annulent pour x, = x₂ = . . . = x„ = o, quel que soit p.

Le système admet alors, pour solution particulière, la solution où tous les x sont identiquement nuis. Nous allons chercher s’il existe des solutions ayant une période to, différant fort peu de zéro quand p est très petit, et se réduisant à zéro pour p = o.

Nous désignons toujours par x°, x", . .., x„ les valeurs initiales de x{, x₂, ..., xn. Nous aurons

(i = 1,2, ■

xi— fi(t-) x% x°,, • • -, p)

les fi sont des fonctions holomorphes de x'!, xn,, .. ., x°n et s’annulent, quels que soient p et t, pour x\ =■ x!l . .= xnu — o.

Il faut discuter les équations

(16) /«O, x\, ..., xl, p) — //(o, x’’, . ,.,x?n p) = o si l’on veut chercher les intégrales ayant la période w. On voit immédiatement que nous sommes dans des circonstances différentes de celles que nous avions précédemment, car les équations précédentes sont vérifiées, quel que soit p, pour x°{=.. .= x"= o.

ons le déterminant fonctionnel des premiers membres des équations (16) par rapport à x°{, ..., x*u et calculons sa valeur pour

Éludi

X^ = X^ = . . . = X?, = fl = o.

Cherchons, à cet effet, ce que deviennent les équations (j6) quand on fait, dans les équations (15), p = o et que l’on réduit les Xà leurs termes du premier degré en x,, x₂, ..., xw.Dans ces conditions, les équations (i5) se réduisent aux équations linéaires

dxi

,    ~ d/\ X\ -f- (1/2 X-±-\- . . . -f- Cl/n X ,L

at

07)

(i —1,2.

, «);

les équations (16) deviennent alors des équations exprimant que la solution de (17) répondant aux valeurs initiales x°{, x%, ..., x\ est périodique et de période <0. Or, considérons l’équation

«i/t

a n — X

= O.

«21

On sait que les racines de cette équation en X font connaître les intégrales du système (17); supposons-les distinctes et désignons-les par X|, X₂, Xw. En écrivant que (17) admet une solution périodique, nous aurons un système de n équations linéaires et homogènes en x°t,    et leur déterminant est le déterminant que nous

cherchons. Or (17) ne peut admettre de solutions périodiques que si l’on a pour un des X, soit X/,

(k entier),

À/od = 2 Art

car une expression de la forme

al'e^iï -1- x-2    -4-...-+-

où les a sont des constantes, 11e peut admettre la période oj que si l’un de ces termes admet cette période. Le déterminant cherché ne

s’annulera donc que si un des X est de la forme égal à

; il est donc

‘îk'Tzi

10

).. .(e1),

A = (    — 1)

comme on le verrait encore, par un calcul facile, en réduisant par un changement linéaire de variables les équations (17) à une forme canonique où la première équation ne dépendrait que de x{, la seconde de x₂, et ainsi de suite.

Ceci posé, si A est différent de zéro, les équations (16) qui sont vérifiées pour x\ —.. .= x% = o, quel que soit p., admettront cette solution comme solution simple, et, par suite, nous ne trouvons pas de solution périodique voisine de zéro si ce n’est la solution évidente où tous les x sont identiquement nuis. En d’autres termes, pour avoir une solution nouvelle, il faut nécessairement que 10 soit de la forme

2 k ~i

TT’

X,- étant une des racines de l’équation en X. Comme to doit être réel, on remarquera que X/ ne doit pas contenir de partie réelle, et, comme les racines de l’équation en X sont deux à deux conjuguées, il en résulte que deux facteurs de A seront nuis quand A sera nul.

19. Nous allons donc supposer que w soit de la forme qui vient d’être indiquée; cherchons alors s’il y aura des solutions périodiques de période o_>. Prenons d’abord le cas de deux équations où la discus-plus simple. Les équations (17) se réduisent alors à

sion sera

dx

(.8)

j dy _

' dl

ex-4- dy.

L’équation en À est ici

X²— (a d)~k ■+■ ad — bc = o,

et, pour pouvoir trouver une période réelle (0, il faut que

a -4- d = o,

ad — bc > o.

Désignons par ai et — ai les racines de l’équation précédente nous pouvons prendre

CO =

2 TC

Les équations (18) auront alors toutes leurs solutions périodiques, et, par suite, les équations en x₀ et y₀, obtenues en écrivant que les solutions prenant pour / = o les valeurs a ₀ etjKo sont périodiques, seront identiquement vérifiées. C’est là un point très important, car, si nous prenons maintenant les équations

fi( w, »o, JKO, p) — //(o, x₀,y₀, fl) = o

('9)

ces

équations ne renferment pas de

nous voyons que, pour p = o termes du premier degré en x₀ et y₀. Les équations précédentes pourront donc s’écrire

p(* æ₀-h p y ₀) -t-.. .= o, fi(a'a?o -1- P'„Ko) + • • • = o,

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier en x₀ et jv Les coefficients a, a', [3, [3' sont des fonctions de a et, en général, a|3'— j3a' ne s’annulera pas pour a == o.

On aura à discuter les solutions communes aux équations (20) en et yu. Celles-ci, en y regardant x₀ elyu comme des coordonnées courantes, peuvent être considérées comme représentant deux courbes. Pour p différent de zéro, ces deux courbes ont un point simple de rencontre à l’origine; pour p nul, les deux courbes ont

(20)

plus d'un point commun à l’origine. Il en résulte que, pour p. très petit, les deux courbes auront au moins un point commun très voisin de l’origine. Mais ici une remarque très importante est à faire : si les équations (20) ont une solution différente de zéro, elles auront une infinité de solutions formant une suite continue, car, les équations différentielles ne renfermant pas t explicitement, il y aura une infinité de solutions périodiques s’il y en a une (en dehors de x = y — o). Il en résulte que, en réalité, les courbes (20) ont, pour p petit, une petite courbe fermée commune restant dans le voisinage de l’origine et représentant la solution périodique sur le plan (#₀, y»); cette petite courbe diminue de plus en plus à mesure que p tend vers zéro. Il est clair qu’il faudrait une discussion plus approfondie pour décider la question de la réalité; il n’y a là toutefois aucune difficulté essentielle, car on peut calculer, comme nous l’avons vu, autant de termes que l’on veut dans les équations (20) et, par suite, la discussion complète pourra toujours être faite dans chaque cas particulier.

20. Après avoir étudié le cas de deux équations, il est aisé de se rendre compte de ce qui arrivera dans le cas général. En écrivant que les équations (17) ont une solution périodique de période tu

(ti) étant égal à    > on devra obtenir non pas seulement, une,

mais deux solutions périodiques indépendantes, qui seront en cos et sin^-^; ces deux équations se réduiront donc à n

CO    CO    ¹

équations et, par suite, quand on fait p = o dans les premiers membres des équations

(ï = 1, 2.....n),

fi( O», X% . . . , x'f fi.) — fil O, X ; , . . . , T%, JA) = O

les termes du premier degré en x⁽f, ..., x" se réduisent à n — 2 expressions linéaires distinctes. Les équations pourront donc être ramenées à la forme

n — 2),

(i — 1, 2, . (* = 1, 2),

les a et les (3 ne s’annulant pas, en général, pour p. = o. En tirant des n — 2 premières équations n — 2 des quantités x”, x{f . en fonction des deux qui restent et substituant dans les deux dernières équations, on sera ramené au cas de n = 2, que nous avons étudié dans le paragraphe précédent.

21. On peut appliquer le même genre de considérations à un système d’équations dans lequel ne figurent plus de paramètres arbitraires u.. Soit

(* = 1, 2, ..n),

les X/ s’annulant pour xt — x₂ = .. .= xn = o. Nous voulons chercher les solutions périodiques s’éloignant peu de zéro. Nous commencerons par répéter ce que nous avons dit au § 18.

En désignant par

(1 = 1,2, . .., n )

= x% x\, ..., a?®)

.., x°, nous

la solution correspondant aux valeurs initiales x,]{, x(>,, . avons les équations

/Kw> x% x\, ..., a?®) —/Ko, x% x\, ..., xl) = o

pour les intégrales ayant la période (o. Si l’on considère encore l’équation en du § 18, on voit que, si (o ne satisfait pas aux conditions indiquées dans ce paragraphe, la solution

sera une solution simple des équations précédentes. En désignant par gj une quantité satisfaisant à ces conditions, nous allons chercher s’il y a une solution périodique de période to -f- t, t étant une quantité petite. Nous avons alors les équations

/(“ -+-T, a?g, .. •, xl) —//o, a?ï, x%, ...,x%) = o (i = 1, 2, .. ., n).

\

Raisonnant comme au § 20, nous voyons que, dans ces équations, les termes du premier degré en x°, x. . . , x°a se réduisent à 11 — 2 expressions linéaires distinctes; la quantité t joue ici le même rôle que jouait ci-dessus la quantité y.

V. — Des solutions asymptotiques de certaines équations différentielles.

22. Considérons Je système d’équations différentielles

(i = i, 'A, . . ., rt),

dxi

dt

—TT = V

les X-i s'annulant pour æ{ = x-, = .. .= xn = o et 11e contenant pas t explicitement. On peut supposer, comme nous l’avons vu précédemment, que dans les X les termes du premier degré se réduisent respectivement à À|#i, /Ux-2, . . \nxn.

Il y a des cas étendus où l’on peut trouver certaines solutions intéressantes de ce système. Faisons d’abord un changement de variable, en posant

6 — el ;

nous aurons alors le système

( / = 1, a, .... n).

Pieportons-nous maintenant aux § 11 et 12 du Chapitre I. Sous les conditions indiquées dans ces paragraphes, nous pourrons, en posant

ï\ = GXl»

développer les x en séries ordonnées suivant les puissances croissantes dey₍, y₂, ..., yv. Les valeurs des dérivées du premier ordre

àx.j

àyv ’

pouryi =y₂=.. .= yv= o, restent arbitraires. En désignant par A .., Av les valeurs initiales de ces dérivées, les développements précédents procèdent, en réalité, suivant les puissances croissantes de

A-ij'i, A₂y₂,    ..., A vy

Ils sont convergents, tant que ces quantités ont des modules suffisamment petits. Si nous revenons aux équations (21), nous aurons des développements des x procédant suivant les puissances de

Aj , A₂ ...,

ex

Jv =

ôx

dy

dxo

V-

Ces développements seront convergents, tant que ces quantités auront des modules assez petits. Si l’on veut faire croître t indéfiniment, il faudra égaler à zéro les A qui correspondent à des X dont la partie réelle est positive. En prenant les autres constantes A assez petites, on est assuré d’avoir des développements valables de t = o à t = ce. Il est clair d’ailleurs que, si l’on prend seulement des X ayant leurs parties réelles négatives, les points correspondant à ces X sont du même côté d une même droite passant à l’origine, et, par suite, la condition i° delà page i8 est remplie.

Les solutions précédentes tendent vers zéro quand t augmenLe indéfiniment : elles sont asymptotiques à la solution

CO i — • . • — 00 n — O.

23. Nous allons généraliser le théorème qui précède. Au lieu du système (21), prenons le système

(i = 1, 2, ..n),

dxi ^ ,

-yy = Xt(xu x₂, ..., xn, t)

les X dépendant de l. On suppose toujours que les X s’annulent pour x, — x₂ = .. .= xn— o, quelque soit £, et, déplus, les coefficients des diverses puissances des x dans les développements sont des fonctions analytiques périodiques de t et de période 27:. En réduisant les X à leurs parties linéaires, on aura un système d’équations linéaires

dxi

—— = a, y Xy -H . . . -4- ain xn

dt

(i= I» 2, •• -, «);

les a étant des fonctions périodiques de t. L’intégrale générale de ce système est de la forme

xy — A, fw -4-..A„ é,’d fxri,

n = Aj é^d fn    4- A „ e^t/nn.

les f étant des fonctions périodiques ('). Remarquons que le déter-

(') Nous nous appuyons sur ce résultat, aujourd’hui bien classique dans la théorie des équations linéaires, comme nous l’avons d’ailleurs déjà fait dans ce Chapitre. Nous reviendrons plus tard sur la théorie des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques.

minant des coefficients de A

Art dans ces expressions est une fonction de t essentiellement différente de zéro. En faisant maintenant le changement de variable

x\ — Çl/ll "+■ fe/l* • • • ■+" X'i fini

nous avons, pour les £, des équations de même forme, mais où les termes du premier degré se réduisent respectivement à

A1    • • • - ^nXn,

puisque étant de la forme At elit, est l’intégrale générale de l’éq tion

ua-

dt

et de même pour les autres.

24. Nous pouvons donc partir des équations

dx fc *,

—TT — À k x k -t⁻ • ■ •

dt

les À étant des constantes, et les coefficients des termes de degré supérieur au premier dans les seconds membres étant des fonctions périodiques de t. Posons toujours 8 — ef, nous aurons le système

0 —rJr = X* #*-+-• • •

(•22)

f/0

( k = 1,2, ..., n).

Les coefficients, sauf les A, sont des fonctions périodiques de t ayant 27c pour période; ils peuvent donc être développés en séries trigonomé triques

n— »

H—QO

^ A„ enti-+- ^ B„ e~Hti

(* = /— 0-

Si l’on pose eci= u et e~ü— v, les deux séries

( 28 )

et V B/;

seront convergentes dans le plan des variables u et v à l’intérieur de

cercles de rayons supérieurs à l’unité; ceci est une conséquence immédiate de ce que nous supposons analytiques les fonctions périodiques de t et, par suite, holomorphes dans le plan de la variable t à l’intérieur d’une bande parallèle à l’axe réel et comprenant cet axe à son intérieur. Désignons par R le rayon supérieur à l’unité d’un cercle à l’intérieur duquel convergent les séries (2.3).

Cherchons si nous pouvons trouver des solutions a? du système (22) mises sous forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

J'y = 0‘S

y 2 = o'S

U = Oè

v = 0-‘

y 1 = Cs

Nous aurons alors le système d’équations aux dérivées partielles, en dissolvant pour un moment, comme nous l’avons déjà fait dans des occasions semblables, toute relation entre jq, ..., rv, a et c,

s

f|f

■f

.a

Ç*

-G

.a

■à

9-

àxn

àx„

du

dxn . dxn    ,

x,JKl^7    • + Xv-rv

les cp commençant par des termes du second degré en x{, x₂, ■ •

On peut, à l’aide de ces écpiations, calculer des développements des x suivant les puissances de yi,    y^i w, c, en supposant

qu’ils s’annulent pour y, —y., — .. .=yv = o, et que les coefficients des termes du premier degré en y\,y-2, .yy sont des constantes indépendantes de u et ç.

Seules les valeurs des dérivées du premier ordre

dxx dx2 àyi ’ dy₂ ’    ’ dy,, ’

pour jy, = y> = . . .= ) ., = o, restent arbitraires. Le coefficient d’une dérivée d’une quelconque des fonctions x, soit d’une manière générale

àyv

t- iu

dx^

àyPC dyP'... dpÇ* du* àv<

variables, est égal à

X|Pi H- Ao />₂ 4-Xvp., 4- ki — li — X/t.

D’ailleurs, d’après la forme admise pour le développement, on n’a à considérer dans ces calculs cpie des dérivées pour lesquelles P\ +• • • + /'v= 2 •

iNous allons faire maintenant des hypothèses parallèles à celles que nous avons faites (Chap. I de ce V olume). Nous aurons seulement ici à considérer les v 2 points

— i.

r i ? X ï i • • •, X , i,

On suppose d’abord que /c’a expressions

Xi i -f-    y>2 -+-... 4- X,, />v -+- y t — X/t

ne peuvent s'annuler, les p étant des entiers positifs dont la somme est égale ou supérieure à deux, et y étant un entier positif ou négatif.

Nous avons encore besoin, pour la suite de la démonstration, que l’expression

<25)

| X i p i +- Xj /?2 -+-... -+- Xvp*j -t- y * — X/j | reste supérieure à un nombre fixe. Or considérons le quotient

X i pi 4— . . . 4- Xy py 4— y i />!•+•.. .4-/>v 4- | Y I

11 représente l’affixe du centre de gravité des masses ptlp-₂, •••,/è, points X,, ..., Xv et au point + i ou au point — i, que y est positif ou négatif. Si donc

•et | y | placées aux

on

peut entourer les

suivant

points >H, X₂, • • -, Xv et + i d’une part et, d’autre part, les points A X₂, •Xv et — i par des polygones convexes ne comprenant pas Vorigine, le quotient précédent restera supérieur à un nombre fixe.

Or on a

X [ /? i 4— ■ . . 4— X y p.j 4 Y i — X /, x 1 p ) 4- ■ ■. 4- X v /Jy -t- Y i

Pl 4-. . .4-yDy4- | Y |

et, comme le second terme du second membre tend vers zéro, il est clair que

.s’annuler, resteront supérieures à

pi 4- . . . 4-/>y 4- | Y I

X.

pi 4- . • .4-/>y 4- | y I

les expressions (25), qui par hypothèse ne peuvent

un nombre fixe, puisqu’elles

sont supérieures au produit d’un nombre fixe par la somme p\ -h. . . + /?v+ | y |. Nous désignerons par s un nombre inférieur aux expressions (25).

2o. Il faut maintenant démontrer la convergence des séries que nous avons déduites des équations (24). Ca méthode suivie dans le cas où u et v ne figurent pas dans les équations, c’est-à-dire la démonstration du § 12 (Chap. I), 11e serait pas applicable ici sans quelques longueurs. Celle dont nous allons faire usage, beaucoup plus rapide, pourrait d’ailleurs être employée aussi avec avantage dans le cas particulier que nous venons de citer.

Les fonctions cp qui figurent dans les seconds membres des équations (24) sont des fonctions liolomorphes de xt, xa, ..., xu autour des origines dans les plans respectifs de ces variables, et de u et v dans des cercles de rayon R(R>> 1). Nous pouvons prendre comme fonction de comparaison pour l’objet que nous avons en vue

*3, • • •, &n, u, v)

xl s

Ceci posé, en supposant que dans les équations (24) nous prenions Y unité comme valeurs initiales de

dx\ dx-2

dx-t

àyi ’ dyf * àyw ’

nous remplacerons le système (24) par le système d’équations finies / eXj = ejKi-I- ^(Xj, X*, ..X„, u, v),

(26)

eXv eXv+j ; -

= erv-i- <KX„ Xj, ..    X«, U, v),

’■!> ( Xj, X,, ..., X„, u, v),

»KX|, X₂, ..X„, u, v)

qui définissent les X s’annulant pour y', = Vo — - • -=y^⁼ °i comme fonctions liolomorphes de y,, ..yv et de u et e. On voit immédiatement que les coefficients dans les développements des X donnés par ces équations sont des quantités positives supérieures aux modules des termes correspondants dans les développements des x donnés par

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

les équations (24). Ceci résulte de l’inégalité

£    | O Pi -H ^2pî ■+■ • ■ • -t- Àvpy y i — \h |.

Une seule chose reste à considérer. Quel est le champ de convergence des X définis par les équations (26) dans le plan des variables a et e? 11 est essentiel que ce champ corresponde à un cercle d’un rayon supérieur à l’unité pour pouvoir faire t réel quand nous reviendrons à la variable t. Pour répondre à cette question, il suffira de considérer l’unique équation

M'X²

a. ICC

y h_x

en prenant pour les y,, . .yv leur plus grand module y et faisant tous les X égaux entre eux; M⁷ et H désignant deux constantes positives. La discussion de cette équation du second degré est immédiate ; elle peut s’écrire

la quantité sous le radical se réduit à

a 'OC

Sol S

4M'y H (H -y)\

pourra prendre pour

Si donc on prend y suffisamment petit, champ des variables u et e deux cercles peu différents du cercle de séquent de rayon supérieur à l’unité.

on

rayon Pi et par con

26. Revenons maintenant à la variable réelle t. Nous avons tiré des équations (24) des développements ordonnés suivant les puissances de

A, O*-, A₂0S •••, AV6L,

les coefficients étant eux-mêmes des fonctions holomorphes de u etc, et les A. représentant des constantes arbitraires. Or on a

0 = e‘\

nous avons, par P. — Lit.

suite, des intégrales se présentant sous la forme

de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de A, e'M,    •••, Av e^¹,

(²7)

/es coefficients étant des fonctions périodiques de t.

Quant à la convergence, elle est assurée tant que les modules des quantités (27) sont suffisamment petits. On peut faire à ce sujet les mêmes remarques qu'au § 22 et, en se bornant aux X dont la partie réelle est négative, on obtient des solutions asymptotiques à zéro quand t tend vers -t- oc.

Si, au lieu de supposer, comme au § 23, que, dans les équations

7^    — Xj(a?i, #2, . .., xn, t)

les X s’annulent pour xt =.. ,~x„ — o, on supposait que ces équations admettent une solution périodique Xi— 'fi(t), on serait ramené au cas étudié en remplaçante, par e,--)- »,-(/), et Von obtiendrait alors des solutions asymptotiques à la solution périodique considérée (¹ ).

27. On peut étendre la démonstration que nous venons de donner à un cas plus étendu et qui se rencontre assez fréquemment, ce qui va nous permettre de généraliser le théorème de M. Poincaré relatif aux solutions asymptotiques. Reprenons les équations du § 24

(A- = 1, 2, .. ., ri),

dxk

~dt -lkX,‘ ⁺ --‘

les X étant toujours des constantes, mais les coefficients des puissances supérieures des x étant développés suivant les cosinus et sinus des multiples de t arguments

de telle sorte que l'on sera dans le cas étudié plus haut si cr = 1.

(¹ ) La démonstration de l’existence de ces solutions est due à M. Poincaré (Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste, t. I, p. 335). On comparera sa démonstration avec celle que nous donnons dans le texte, qui en est assez différente.

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

*95

Posant toujours 9 = et, nous aurons le système

⁰^T

Admettons que ces coefficients, dans les termes de degré supérieur au premier, puissent se développer en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

i>G = rM‘,

v \ = e-tv*',

ces séries étant convergentes à l’intérieur de cercles, d’un rayon supérieur à un.

Nous chercherons alors, imitant ce qui a été fait plus haut, à satisfaire aux équations par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

Jy — 6^1,    <yv='0^vj M₁ = 0(A>i, U] = 0_tM,    Uq =    U(T = 0-tM'.

On formera, comme au § 24, un système d’équations aux dérivées partielles; il est inutile de l’écrire. Les quantités qui seronL les coefficients des dérivées dans les calculs successifs seront ici les expressions

Xj p\ -t-. • • -+- Xv p.j -h Yi f^i i -i- y2 [a₂ i -f-. . • -+- '{a    — X/₍,

les p étant des entiers positifs et les y des entiers positifs ou négatifs.

On suppose que les développements des x ne renferment pas de termes indépendants desjK et que les valeurs des dérivées

dx\

ày\ ’ ày*

<28)

àx%

ÙXsj

ày^

pour y, = y., = . . .= Y'i— ° se réduisent à des constantes, d’ailleurs arbitraires, indépendantes des u et des c. Nous n’aurons donc ici, précédemment, à considérer dans le calcul que des dérivées

égale à

comme

pour lesquelles la somme p\ +• • •-+- /'v es* supérieure

ou

deux.

Pour la démonstration de la convergence, nous n’aurons rien à

changer à la marche des raisonnements. Notre attention doit se porter seulement sur les expressions (28); la démonstration ne peut réussir que si les modules des expressions (28) pour pt    /?v = 2 restent

toujours supérieurs à

un

nombre fixe.

CHAPITRE VIII.

ig6

Xv = Xv H- i Xv ;

Or les u. sont des nombres réels, et posons X = X' 4- iX'i

la partie réelle, dans les expressions (28), se réduit alors à M fil + ••••+■ Pv — ^'/f

Si donc cette expression ne peut s’annuler, les p étant les entiers positifs remplissant la condition indiquée, et si les V sont tons de même signe, nous sommes assuré que les modules des expressions (28) restent supérieurs à un nombre fixe.

Nous avons alors, dans ce cas, des intégrales se présentant sous forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

(²9)

A] ebq    A v gXvq

les coefficients étant des jonctions de t développables suivant les cosinus et sinus des multiples des arguments p.t t, . .., aal.

Ainsi se trouve généralisé le théorème de M. Poincaré relatif aux solutions asymptotiques.

La convergence de ces séries exige naturellement que les modules des quantités (29) soient suffisamment petits. Si les k' sont négatifs, on aura, en prenant les constantes arbitraires A assez petites, des développements valables de t = o, t = -4- oc.

28. En particulier, si y = n et que tous les V soient négatifs, nous aurons une intégrale dépendant de 11 constantes arbitraires. OrT pour t = o, on a

x\ = A/,4-...

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier en A A₂, ..., A,,. Si donc 011 prend les valeurs initiales x°k suffisamment petites, il en sera de même des A et, par suite, les séries convergeront. Nous avons donc, avec nos développements, toutes les intégrales répondant à des valeurs initiales suffisamment petites.

Ces intégrales tendront vers zéro quand t augmentera indéfiniment, puisque alors les exponentielles

eX,q g/.,/f ...,    gX,,*

tendent vers zéro. Ce résultat, qui se déduit de la forme analytique

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

>97

des intégrales, peut être facilement établi, a priori, et non pas seulement pour les équations précédentes où les termes sont de forme trigonométrique, mais dans une infinité d’autres cas; c’est ce que nous allons montrer en terminant.

29. Pour donner au théorème toute sa généralité, reprenons un système d’équations du premier ordre

(3o)

⁼⁼ N / (fl?i. x«, .. ., xn, t )

. .

des x, et chacun de leurs coefficients est une fonction de t dont la

où les X sont des séries ordonnées suivant les puissances de X\, xn\ ces séries ne renferment pas de termes indépendants

valeur absolue ne dépasse pas une limite fixe quand t varie entre o et -+- oo. Elles sont d’ailleurs convergentes quand les modules des x restent, quel que soit t dans l’intervalle précédent, inférieurs à un certain nombre.

Si nous prenons seulement dans les X les termes de premier degré nous aurons un système d’équations linéaires

<2)

dxi

—— — an xi H-. .. -+- ainxn

dt

(i = i, 2, .... n).

Nous nous plaçons maintenant dans l’hypothèse où l’intégrale générale du système (2) serait de la forme

Xi — Ci fi\ ( t ) -t⁻. . .-H C n fini 0>

les a étant des constantes dont les parties réelles sont positives, et les f des fonctions dont le module est inférieur à un nombre fixe. Supposons, de plus, que l’on ait

( Cl 11 —t— i*22 “H • • • —'I⁻ &nn') dt —    ( GC i -t- ... i V-n ) t -f- F ( t ),

j F(£) | restant, quel que soit /, moindre qu’une quantité déterminée.

On voit alors immédiatement que, si l’on fait le changement de fonctions

Xi= Ç1 filit) -t-. . .4- finit),

CHAPITRE VIII.

I₉S

second membre comme terme du premier degré

— *i$i,

les coefficients des puissances supérieures avant des modules moindres qu’un nombre fixe.

Imaginons donc que nous partions des équations

(.1 = 1,2. . . ., n)

dxj

dt

les a étant des constantes positives, et les coefficients des puissances de degré supérieur étant des fonctions de t, qui restent en valeur absolue inférieures à un nombre fixe.

Soient ta une valeur positive arbitraire de /, et

x i )    2 ) • • • i

les valeurs des x pour t — ta. On aura

Xi — (fi ( x,, a? .J ) • • • i i t)i

les csi étant des fonctions analytiques de x°{, x⁰,, ..., x{}t et s’annulant pour x°t =.. .= x^ = o. Les termes du premier degré dans ©/ s’obtiennent en réduisant les équations à la partie linéaire, et, par suite,

(» = 1,2, . . ., n),

Xi = ,r? g—a,-u—<₀) _f....

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier. Si h désigne une quantité positive qui va rester fixe, on aura, en désignant par xhL la valeur de Xi pour t — t₀ h,

xff = xQt e~a>h

Ces séries seront convergentes pour | x⁽- | assez petits; quel que soit /₀, ces séries en x\ convergeront dans un même champ, et l’on peut obtenir des développements de même forme dont les coefficients indépendants de t₀ soient des nombres positifs supérieurs aux modules des coefficients correspondants dans les développements précédents.

Si l'on suppose maintenant que l’on parte de t = o, on aura la substitution permettant de passer de la valeur des x pour t = o à la valeur de x pour t = h. De t = h on passera à t — ili, et ainsi de suite. D’après ce que je viens de dire, il suffît de démontrer qu’une

J99

peut se borner au cas de la seule

on

(o < X < i).

où les y./ sont des nombres positifs inférieurs à un, répétée un nombre infini de fois, donne pour limites zéro, si les valeurs initiales des x sont assez petites. La démonstration est immédiate. Soit \ le module maximum des équation

x' — \x -t-. . .

Pour x suffisamment petit, on a évidemment

x' < h x,

h étant compris entre X et un. Donc, au bout de x transformations successives, la valeur de x sera inférieure à

hn x,

et tendra, par suite, vers zéro quand n augmentera indéfiniment.

Ainsi, sous les hypothèses faites, toute solution du système (3o) correspondant ci des valeurs initiales assez petites tendra vers zéro quand t augmentera indéfiniment. Nous établissons ainsi, dans des cas très étendus, l’existence de solutions asymptotiques à xt ==.. .= xu = o pour un système d’équations de la forme indiquée.

VI. — De la stabilité et de l’instabilité des intégrales de certaines équations différentielles ; théorème de M. Liapounoff sur l’instabilité de l’équilibre.

30. Faisons une application des résultats généraux qui précèdent. Reprenons le système d’équations

dxn __ dt

dx\ dt

au

où les X sont holomorphes dans le voisinage de x { = x₂=... = xn=o et s’annulent pour ces valeurs des variables, comme nous l’avons fait § 22. Nous conserverons les mêmes dénominations relativement a At, Xo, ..., A/<•

Nous avons évidemment la solution xs = x* =.. .= x„ = o. Nous

dirons avec M. Liapounoff (¹ ) que c'est une solution stable si, pour tout nombre positif f, quelque petit qu’il soit, on peut assigner un autre nombre positif s, tel que l’on ait

\xn\ < l

| x, | < l, I x₂ | < l,

pour toutes les valeurs positives de t, dès que l’on prend pour les valeurs initiales (correspondant à t = o) a,, a₂, ..., an de xt, a?₂, ..., xn des valeurs réelles quelconques satisfaisant aux inégalités

I I < e.

I «i | < e, | a₂ | < e,

Si, au contraire, on peut assigner un nombre fixe / différent de zéro tel que, si petit que soit le nombre positif s, on puisse toujours trouver des valeurs réelles de a,, a₂,    an inférieures à e en

valeurs absolues, et conduisant, pour une valeur positive de t, à une au moins des égalités de la forme la solution considérée sera dite instable.

31. Cette définition donnée, nous pouvons démontrer un théorème intéressant de M. Liapounoff :

Si parmi les nombres

X(,    ^2,    • • * î

x, — x₂ =

il y en a dont les parties réelles soient positives, la solution = x„ = o sera instable.

Supposons d’abord que parmi les nombres )M, ).₂, ..., Xn se trouvent des nombres réels positifs; désignons par X le plus grand d’entre eux. En se reportant aux § 11 et 12 du Chapitre I, on voit de suite que l’on aura une solution où x{,x₂, ..., xn seront holomorphes en ae^, a étant une constante arbitraire, soient

xn =/#.(a«x,)i

les coefficients des f étant indépendants de a. Ces séries toutes

*ï = /î(*ex'b

x\ = /i(acxOi

(') A. Liapounoff, Sur l’instabilité de l’équilibre dans certains cas où la fonction des forces n’est pas un maximum ( Journal de Jordan, 5* série, t. III, 1897).

| a | e>'¹ S. h,

h étant un nombre déterminé pris assez petit. Pour cette solution, la valeur initiale de Xi est

/*(«)•

petit, ces valeurs initiales seront moindres en

réelles sont

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

convergentes tant que

201

Si l’on prend a assez valeur absolue qu'un nombre t. Prenons maintenant a positif. Au bout du temps correspondant à

a e',J = A,

c’est-à-dire du temps positif

i , h ‘=\l0-a

(a pouvant être pris plus petit que à), les x auront les valeurs

Tous ces fi(h) ne sont pas nuis quel que soit h (*). L’un d’eux a une valeur absolue non nulle i. Les nombres le l t peuvent être pris pour ceux de la définition du paragraphe précédent. U équilibre est donc instable.

Le cas que nous venons d’examiner, où il y a parmi les À une quantité réelle positive, est seul intéressant pour l’application à la Mécanique que nous nous proposons de faire.

Cependant le théorème énoncé est exact dans tous les cas. Il suffira d’indiquer succinctement la démonstration que M. LiapounofT laisse au lecteur le soin de faire. Partons donc des équations réelles

dz

(') Puisque, dans le cas contraire, les fonctions /, seraient toutes identiquement nulles.

202

CHAPITRE VIII.

et supposons qu’en faisant la réduction canonique à la forme

dxi .

~dt

il y ait des \ imaginaires. Soient, par exemple, À, et À₂ imaginaires conjuguées à parties réelles positives; dans ce cas, x, et x-₂ seront imaginaires conjuguées. Il faut prendre alors xt et x₂ ordonnées suivant les puissances de

et A₂c^,

A, et A2 étant imaginaires conjuguées. A| eV et    jouent le rôle

de y, et y.₂ au § 2o. Regardons alors xt et x-₂ comme fonctions des variables complexes y, et y-₂. Soit p une cjuantité assez petite, mais c[ui va rester fixe. Quand y, et y.₂ restent sur la circonférence de rayon p, xt et x₂ ont un certain module minimum M.

Or prenons

(quantité réelle positive)

et soient

(a > o).

X i — a -|- t p,

Au bout d’un temps t correspondant à

Ae*l= p,

yt et y₂ seront sur la circonférence de rayon p, et, par suite, les modules de xt et x-₂, et conséquemment celui d’au moins un des z, dépasseront une certaine limite (facile à exprimer avec M). D’autre part, si l’on prend A très petit, on aura, pour t = o, des valeurs initiales aussi voisines que Von voudra de Vorigine. H y a donc instabilité.

une

32. Du théorème de M. Liapounoff, nous allons conclure avec lui proposition remarquable relative à l’équilibre d'un système.

On sait que, quand il y a une fonction des forces, on peut choisir les paramètres y,, q₂, ..., q,n fixant la position du système et s’annulant pour l’équilibre, de telle sorte que les termes du second degré

SOLUTIONS DK CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

dans la fonction des forces deviennent

O 9 i    ^2 <7 I "+■ • • • ■+" Çn

et que les équations du mouvement soient de la forme

d- q

Ut'¹

(S)

| d²q 2

/ ~dF~

— ^2 qi -+■ •. •,

d~q a l ~dtT “

les termes non écrits étant du second degré par rapport aux q et aux ?'=§•

M. LiapounofF a montré que, si parmi les À il y en a au moins un qui soit positif, l’équilibre est instable. On peut encore dire qu’t/ y a instabilité si la non-existence du maximum de la fonction des forces est fournie par les termes du second degré.

Cette proposition se déduit immédiatement du théorème précédent. Si l'on pose, en effet,

dqi

( i = i, 2, .... n ),

on a un système de i n équations du premier ordre en qt et q\, et les in constantes jouant le rôle des quantités A au § 31 sont

±V%'-

S’il y a des À positifs, désignons par A le plus grand d’entre eux. On raisonne alors sur les fonctions

fi(cce^)

comme nous l’avons fait au § 31 (sauf que À est remplacé par \/À), et l’on arrive à la conclusion énoncée.

lité pour une

des forces; on démontre, par chlet, ce théorème de Lagrange. Mais il n’y a malheureusement rien

33. On sait que, dans le cas d'une fonction des forces, il y a stabi-position correspondant à un maximum de la fonction un raisonnement classique dû à Diri-

à tirer des méthodes de ce Chapitre pour avoir un développement des intégrales. En posant

ki = y/— X£-

(X/< o), (i = i, 2, ..., n),

le radical étant pris avec le signe plus, on pourrait bien obtenir des développements suivant les puissances de

ekiu.

..., eknit,

correspondent pas à des solutions

ne

mais ces développements réelles.

Au reste, ce serait une erreur de croire que, s’il n’y a pas de fonction des forces, le fait que tous les \ sont négatifs dans le système S entraîne la stabilité. On pourrait le croire d’après le raisonnement insuffisant de Lagrange, mais il n’en est rien. Il suffit, pour s’en convaincre, de considérer le système

dix

di<

~dtï⁼~X-

d²y _

P(zr) étant un polynôme arbitraire en x commençant par un terme en x-. La position x= o, y = o est une position d’équilibre instable.

En fait, on peut dire que, en général, l’instabilité est la règle et la stabilité est l’exception. Il semble que ce soient des conditions d’inégalité qui suffisent à entraîner Vinstabilité, tandis qu’il faut des conditions d’égalité pour entraîner la stabilité.

34. D’après ce cpie nous avons vu au § 29, on \ passe, pour un système d’équations différentielles, des valeurs de x pour t= t₀ aux valeurs pour t = t₀-\- h au moyen d’une certaine substitution. On est ainsi conduit à parler de la stabilité et de Y instabilité d'une substitution. Écrivons la substitution

= <?(*,y, ••-,<)» yi = Wx' Y•    O»

h = /O,y, •••,<)i

les seconds membres étant holomorphes et s’annulant pour

x — y =...= t = o.

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

■20 5

nombre quelconque de fois la substitution, les

au

Soit donné l aussi petit que l’on voudra. Si l’on peut déterminer e tel que les x, y, ..., t restent plus petits que l en valeur absolue, quand on répète un valeurs initiales x°, v°, . .., t° étant inférieures à s, il y aura stabilité. Si au contraire, l étant donné, on peut, si petit que soit s, trouver des x°, ..., t° initiales inférieures à e telles que l’un moins des \ x j, \y\, . . ., j /1 devienne égal à /, la substitution sera instable.

Si la substitution est réduite à sa forme canonique

Xy — \i.X -t- . .

y i = '•y -+■...

et que les | p |, | y J, .. ., J tc J soient plus petits que un, la substitution est stable, comme nous l’avons vu au § 29.

Un cas encore assez simple est celui où un au moins des |u|, | v J, ..., J tc | est supérieur à un; on peut démontrer que, dans ce cas, la substitution est instable. Le cas spécialement intéressant, mais extrêmement difficile, est celui où

TC = I .

I v-1 = h I

M. Levi Civita ('), dans un intéressant Mémoire, a examiné des cas assez étendus. Nous renverrons à son Mémoire, énonçant seulement ce résultat que, pour la substitution

Xy = X    ,

où les termes non écrits sont de degrés supérieurs au premier, il y a, en général, instabilité (²).

(¹)    Levi Civita, Sopra alcuni criteri cli instabilità (Annali di Matematica, 3° série, t. V).

(²)    On pourra consulter encore, relativement à l’instabilité de l’équilibre, les Mémoires de M. Hadamard ( Journal de Math., 5e série, t. III, 1897) et de M- Painlevé (Comptes rendus, t. CXXV, 1897).

CHAPITRE IX.

POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES DES ÉQUATIONS I)U PREMIER ORDRE.

I. — Des points singuliers généraux des équations du premier ordre et du premier degré.

1. Commençons par étudier les points singuliers des courbes définies par une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, c’est-à-dire par une équation de la forme

dx dy

AT ⁼ ’Ÿ’

où X et Y sont des polynômes en x et y'; ces polynômes ont leurs coefficients réels et nous ne nous occupons maintenant que des parties réelles des courbes définies par l’équation précédente.

Par tout point (x, y) dn plan à distance finie passe une courbe intégrale et une seule, si l’on n’a pas à la fois en ce point

XO, y) = o,

YO, y) = o.

Les points (x, y), satisfaisant à ces deux équations, sont les points singuliers de l’équation différentielle, et nous allons d’abord chercher ce que deviennent les courbes intégrales dans le voisinage d’un point singulier.

2. En supposant le point singulier à l'origine, l’équation aura la forme

dy

dx

on pourra faire un changement

(0

a — X b b’— X

a ses racines distinctes, de telle sorte que l’équation devienne

dy'

dx'

X i x —...    X 2 y ~. . .

les deux racines de l’équation (i) étant X, et).₂.

Différents cas vont se présenter, suivant la nature des racines de cette équation (i), qui s’écrit

o.

X² — (a -y b') \ -+- ab' — a' b —

3. Supposons d’abord que les racines de (1) soient réelles et de même signe; on peut alors supposer, en changeant, au besoin, les signes des coefficients <7, b: a', b\ que

U > o? G> o.

D’après un théorème général, établi au Chapitre 1 (voir aussi Ghap. II, Section I, et notamment la remarque faite à la fin du § 1 de ce Chapitre), l’intégrale générale est de la forme

(2)

= C u\',

u{ et u₂ étant des fonctions holomorphes de x et y dans le voisinage de x = o, y = o, et s’annulant pour ces valeurs; C représente la constante arbitraire.

Il résulte immédiatement de ce qui précède que toutes les courbes intégrales se rapprochant suffisamment de l’origine passent à l’origine. Il est visible, en effet, que la courbe (2) passe à l’origine, quelle que soit la constante C.

dv

dx

Nous désignerons sous le nom de nœuds les points singuliers de la catégorie précédente. Un exemple très simple d’un nœud sera fourni par l’équation

dont l’intégrale générale est y = Cx; l’origine, ici, est bien un nœud.

Dans les généralités qui précèdent, nous supposons que

nous ne

sommes pas

entier positif. Pour ce cas de le dire, de se borner à m = i, et de considérer les équations de la

dans le cas où X est un entier positif ou l’inverse d’un particulier, il suffit, comme nous venons

fin du § 4 (Chap. Il)

dx

t-r-

dt dv

Nous avons vu qu’on peut développer x etj^ suivant les puissances de t et tlogt. Les équations (3) en a et e (loc. cit.) ne changeant pas quand on remplace u et o par au et ae, a étant une constante arbitraire, nous pouvons considérer que x et y sont développées suivant les puissances de

oc t et atlogt,

et l’on aura

«*=/(«■» yh

«t\ogt =fi(x,y),

f et f{ étant holomorphes en x et y et s’annulant pour x = y — o. On en déduit

/O, y) ’

logt

et, par suite, l’intégrale générale prend la forme

r )

ae/u'JI =f{x,y).

On discutera immédiatement cette courbe en posant

=    y) = y'\

on a

a ex' — x' ;

ces courbes passent à l’origine, quel que soit a, et y ont pour tangente Taxe des y’.

4. Les racines de l’équation (i) restant toujours réelles, suppo-sons-les maintenant de signes contraires. Les théorèmes généraux ne nous donnent plus l’intégrale générale. Nous connaissons seulement (Chap. II, p. 28) deux courbes intégrales passant à l’origine, et les coefficients angulaires (voir loc. cit.) des tangentes à l’origine pour ces deux courbes sont données par l’équation du second degré en t

(3)

a'H- b' t — t(a -4- bt) =0,

dont les racines sont réelles en même temps que celles de l’équation (1).

Ces deux courbes intégrâtes sont les seules qui passent à l’origine ou qui s’en rapprochent indéfiniment ('). Nous ne pouvons, pour la démonstration de ce théorème, renvoyer au Chapitre II, car il y a là nn point délicat quand les courbes peuvent être com-

plexes (voir § 3, Chap. II). 11

sera aisé de suppléer à cette lacune, en considérant seulement, comme nous devons le faire ici, les courbes réelles. Il suffira d’ailleurs de montrer, d’après un théorème établi (Chap. II, loc. cit.), que la courbe a une tangente déterminée.

Remarquons d’abord que, les deux courbes intégrales ayant leurs tangentes distinctes et des points simples à l’origine, on peut faire un changement de variables tel que les axes des x et des y soient les intégrales dont nous venons de parler. L’équation différentielle aura nécessairement alors la forme

dx

dy

a?( Xj 4-...)    iy(X₂H-..0

les termes non écrits, qui sont des séries entières en x et en y, étant au moins du premier degré en x et y.

Il est évident d’abord que, dans la région autour de l’origine, où les séries qui sont aux grale ne peut rencontrer l’axe des x ou l’axe desjp. Si, en effet, une intégrale rencontre l’axe des y au point (x = o, y yé o), elle sera tangente en ce point à l’axe des y et devra, par suite, coïncider avec lui. Ceci posé, envisageons gine ou s’en rapprochant indéfiniment, et distincte de Ox et Oy. Nous pouvons supposer que, depuis un

dénominateurs convergent, une courbe inté-

une

courbe intégrale passant à l’ori-

certain point P₀, elle est dans

(l) Ce point a, je crois, toujours été admis par ceux qui se sont occupés de ces problèmes avant la première édition de ce Traité, où nous avons donné la démonstration du texte.

*4

P. — III.

le premier quadrant (angle xOy). Suivons la courbe depuis le point P₀ jusqu’à l’origine; si P désigne le point mobile de la courbe, le rayon vecteur OP tourne toujours dans le même sens autour de l’origine O, car, autrement, pour la position du point P correspondant à ce changement de sens, la droite OP serait tangente en P à la

courbe, et l’on aurait pour les coordonnées de ce point    et,

par suite,

A 2 -+- . . •

égalité impossible, puisque À, est différent de À₂.

Supposons, pour fixer les idées, que OP marche dans le sens de Ox vers Oy’,. quand P tendra vers l’origine, OP aura nécessairement une limite, puisque la direction OP marche toujours dans le même sens et ne peut dépasser Oy, d’après ce que nous avons dit plus haut. Il est donc établi cpie la courbe intégrale considérée a une tangente ci l’origine et nous sommes alors assuré qu’il n’y a que deux courbes intégrales passant par le point singulier considéré.

Nous désignerons sous le nom de cols les points singuliers qui viennent d’être étudiés, par lesquels passent seulement deux courbes intégrales.

L’exemple suivant va nous donner, suivant les cas, des cols ou des nœuds. Soit la surface d’un terrain représentée par l’équation

« = /0>.r)>

le plan des xy étant horizontal. L’équation différentielle des lignes de plus grande pente, c’est-à-dire des lignes dont la tangente est en chaque point perpendiculaire à la tangente de la ligne de niveau (:■ = const.) passant par ce point, est évidemment

II

les points singuliers de celte équation sont donnés par les valeurs de x ely, pour lesquelles

dZ ₌ dl = ₀.

dx dy ’

POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES.

est horizontal. En prenant

un lel point pour origine, nous avons ^ -- a x- -j- 2 b xy -+- cy--t-. .. et, par suite, l’équation différentielle devient

dy

dx

L’équation en X est ici

X² — (a H- c)X -+- ac — b% = o.

Les racines sont réelles; leur rapport sera positif si b-— ac o, et alors l’origine est un fond ou un sommet de la surface, et toutes les lignes de plus grande pente passent par ce point, qui est un nœud pour l’équation différentielle. Si, au contraire, b'¹—ac > o, le rapport des racines est négatif et alors l’origine est un col pour la surface, au point de vue topographique; cette dénomination correspond à celle que nous adoptons pour le même point relativement à l’équation différentielle. Il n’j a que deux lignes de plus grande pente passant par un col, d’après le théorème général établi ci-dessus.j

O. Supposons maintenant que l’équation (i) ait ses racines imaginaires : X, et X₂ sont alors imaginaires. Il ne peut y avoir une courbe intégrale passant à l’origine avec une tangente déterminée, puisque

l’équation (3) en £, donnant les limites de ~

a ses racines imaginaires, mais la considération de l’intégrale va nous conduire à un résultat plus important.

Pour passer de l’équation proposée à la forme canonique, il faut faire un changement de variables imaginaires

x' —    + $y,

y' —    -+- 5y;

a et y d’une part, (3 et ô d'autre part, sont imaginaires conjuguées.

nous servir

X₂

Nous pouvons ici, à moins que f ne soit réel ou négatif de l’intégrale générale (2)

u\-

—y - const. ;

u\l

les fonctions holomorphes ut et u₂ en x et y sont imaginaires conjuguées, et nous pouvons poser

«2 = /— ïtp,

y et cp étant des séries réelles en x et y s’annulant pour x = o, y = , et le déterminant fonctionnel de /‘et cp ne s’annulant pas pour 57 =    ,

y = o. En posant de plus

X₂ — p -T- qi,

const.

nous aurons l’intégrale générale sous la forme (/■+-

if— io)P-H ~

ou encore

(P + qi) log(/+ io) — (p — qi)\og(f — t» = const.;

en prenant pour les deux logarithmes des déterminations imaginaires conjuguées, la constante sera de la forme Cf, C étant réel, et la courbe précédente sera réelle et sera une spirale se rapprochant indéfiniment de Vorigine. Pour nous en rendre bien compte, éLudions la transformée de cette courbe par le changement de variables

/O, y) = L

qui donne pour x et y des fonctions holomorphes de ç et tj dans le voisinage de i* = o, t\ = o. On aura, si £ = p cos 0, r\ = p sin 6,

(P H- ÇÎ)Oogp -hid) — (p — qi) (l°gp — *0) = Ci

2q logp -+- ip 0 = G,

et, par suite,

et enfin

P = Ce ,

C' étant une autre constante. La transformée est donc une spirale logarithmique, et, par suite, les courbes intégrales que nous étudions sont des spirales tournant indéfiniment autour de l’origine, qui est pour elles un point asymptote. INous avons donc une infinité d’intégrales ayant à l’origine un point asymptote; ce point singulier sera dit un foyer. Il résulte de ce qui précède que les courbes intégrales

se rapprochant suffisamment de Vorigine, auront ce point pour asymptote.

Je rappelle que nous avons supposé que — n’est pas réel et négatif,

Ài

ce qui ne peut avoir lieu que si p = o et alors = — i, cas particulier que nous étudierons à la Section II.

Prenons comme exemple l’équation différentielle

dx

x—y

_ dy

x^-y

En faisant la réduction à la forme canonique, on trouve que l’on doit poser

y’ = x — iy ;

x' — x -+- ty,

l’équation différentielle devient

/ -x dy'    . dx'

(h-O-tt- - O- O—r

ou

(i -i- i) log^'— (î — i) ]ogx' = const.

et, par suite, si l’on pose

x — r cos6,

y = r sinô,

l’intégrale générale est la spirale logarithmique

Ce®.

6. Nous venons d’étudier les points singuliers d’une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, que l'on peut appeler généraux, c’est-à-dire les points singuliers qui ne supposent aucune relation particulière légalité entre les coefficients de l'équation.

Ces points singuliers sont les nœuds, les cols et les foyers. Bien d’autres points singuliers peuvent se présenter, mais ils correspondent à des relations particulières; nous allons en voir un exemple dans la Section II de ce Chapitre.

nous

On remarquera que

peuvent

de x et y, convergentes pour variables.

n’avons supposé en rien dans les paragraphes précédents que X et Y fussent des polynômes en x et y; ils être des séries ordonnées suivant les puissances ci'oissantes

des valeurs absolues suffisamment

petites de ces

Les dénominations de nœud, coi et foyer sont empruntées Mémoires (•) de M. Poincaré Sur les courbes définies par les équations différentielles. Nous avons complété un point qui, malgré son importance, était resté sans démonstration, à savoir que par ne passent que deux courbes intégrales (§ 4).

aux

un col

II. — Étude d’un point singulier spécial; des centres.

7. Dans la première Section de ce Chapitre, nous avons étudié les points singuliers généraux des équations du premier ordre et du premier degré. Ces cas généraux sont en même temps les plus simplesr mais il peut se présenter des cas particuliers correspondant à des relations particulières entre les coefficients des polynômes X et Y. Nous allons étudier avec quelques détails un cas particulier très intéressant (²) ne présentant pas un caractère trop spécial.

Reprenons l’équation

dx dv

-x ⁼ y ’

X et Y s’annulant pour x = o, y = o.

XÎ₊YÏ=,, dx dy

A l’équation précédente on peut associer l’équation aux dérivées partielles

et il est tout naturel de rechercher si l’on peut satisfaire à cette équation en prenant pour F une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x et y. Si nous désignons par

a x-+-fiy et yx-i- 8y

les termes du premier degré en x et en y dans X et Y. on voit immédiatement que le développement de F ne pourra pas commencer par des termes du premier degré, si l’on a

ao — {3y ^ o.

(') H. Poincaré, Sur les courbes définies par les équations différentielles ( Journal de Liouville, 1881 et 1882).

(J) Consulter, pour l’étude des centres, le Mémoire de M. Poincaré (Journal de Mathématiques, 4* série, t. I, p. 172).

col. Si A| et X₂ sont imaginaires, on se trou-

ax² + xy -+- cy²

et Ton devra avoir

d’où

(ax -h fty) (ax b y) -+- {yx -t- Sy) (bx -h cy) = o,

|    «a -+- b y = o,

< a^ + i(a + 8) + cy = o,

(    b p -i- c 8 == o ;

ces équations ne seront compatibles que si l’on a

(4)

iS cO. o

= o.

Quand cette condition est remplie, on peut obtenir les valeurs de a, b. c. Nous discuterons aisément la condition précédente, en supposant que l’équation a été réduite à la forme canonique employée dans la Section précédente, c’est-à-dire que l’on a

a — A

i)

Y = o-

P = o, 3 = X,

b, et X₂ étant les deux racines d’une équation en A déjà bien des fois considérée. La condition revient alors à

A] + X2    - O.

Si X( et À₂ sont réels, le rapport ^

sera

alors égal à — i, et, par

suite, le point sera un vera dans un cas nouveau laissé de côté au § o de ce Chapitre : c’est

ce que nous allons étudier.

Le changement de variable à effectuer sur x et y, pour passer de l’équation primitive à la forme canonique, remplace alors x et y par deux expressions imaginaires conjuguées. Or, dans l’hypothèse a = A,, [3 =: o, y = o, S = A₂ Je polynôme

ax--\- ibxy -+- c y-

en revenant aux variables réelles initiales, une forme définie, qu’on peut d’ailleurs supposer positive. Ainsi nous pouvons, dans le cas que nous étudions, admettre que les termes du second degré dans F se réduisent à

a?² -t- y~

et l’on a alors, d’après les équations (4) a —.8 = o,

? -+- T = o.

Ainsi, sans diminuer la généralité du cas spécial que nous éludions, nous supposons que

y -t- x₂ -t-... -+- x„,

X =

et soit

Y = — x -+- Y₂ -t-... -+- Yn

F = is+7! + F₃+Ft + ...,

F, comme Xz- et Y, désignant un polynôme homogène de degré i en x et y. Il faut continuer le calcul de proche en proche des polynômes F;i, F₄, .... On voit que, si l’on a déterminé les F jusqu’au rang i—i, le polynôme F/ sera déterminé par une équation de la forme    •

(5)

H/ désignant une expression dépendant de X et Y et des polynômes F déjà déterminés.

JNous sommes donc amené à nous poser la question suivante : en désignant par H/ un polynôme homogène et de degré i en x et y, déterminer un polynôme F/ satisfaisant à l’équation (5).

Four résoudre cette équation, posons

x = p costo, jK = psinw.

On a alors, en désignant par F une fonction quelconque de x et y,

àF

éF

dF

d(j)

Soient F, = p/4p(o>), H/= p''|(a)), on a

<p( io ) = E A/,- cos À* a) -+- sinÂ'w,

(1/ ( ü> ) = Z G/.- cos A (o -t- D^- sin A io,

les entiers k étant au plus égaux à i, et de même parité que i.

do

Pour qu'on puisse y satisfaire, il faut et il suffit que '}(«) ne contienne pas de terme indépendant de ta, c’est-à-dire que l’on ait

Go — o.

Cette condition est remplie d’elle-même quand i est impair, et il y a alors une manière et une seule de déterminer »(w). Quand i est pair, le terme C₀ existera en général, et il n’y aura pas alors possibilité de trouver pour cp(to) une expression de la forme indiquée. Quand C„ est nul, cetle détermination sera possible, et il restera évidemment une arbitraire dans l’expression de cp.

Revenons sur le cas où i est pair et C₀ différent de zéro. On pourra alors déterminer une expression », de manière que

— G₀;

dy

doù

ce qui revient à déterminer un polynôme homogène F;(.r, y) de degré /, tel que

èF/

dy

8. Ceci posé, dans le calcul successif des polynômes F, on pourra

se trouver arrêté dès le calcul de F

et on le sera même en général. Pour plus de généralité, supposons que ce soit au rang 1 (de degré pair) que l’on soit arrêté pour la première fois, c’est-à-dire que la quantité C₀ ne soit pas nulle. Posons

F = a7²-t-jK²-+-F₃-+-F₄-(-...-t-F,-,

le dernier polynôme F/ étant calculé, comme nous l’avons dit plus haut, et l’on suppose que restant arbitraires dans F

l’on a fixé arbitrairement les constantes

F/.

41 •

11 est clair que chacune des courbes de la famille

F = t,

d’après la manière même dont ont été calculés F;î, ..., F/, ne renferme pas de terme de degré inférieur à i et ses termes de degré i se réduisent à

nage de l’origine, d’une petite courbe fermée entourant ce point. Pour e = o, cette courbe se réduit à un point.

L’expression

dF

Donc, si p =    —(-y- reste moindre qu’un nombre suffisamment

petit p₀, cette expression aura un signe invariable, le signe opposé à celui de C₀. Supposons, pour fixer les idées, C₀ positif. Considérons maintenant, au lieu de l’équation donnée du premier ordre, le système équivalent

dx

dy

Si =X(<r>^' -ai = ï(27’-r)'

Suivons une trajectoire dans le voisinage de l’origine. Si, dans le polynôme F(.r, y), on substitue les valeurs de x et y en fonction de £, l’expression F deviendra une fonction de l, et l’on aura

ôx

dF

dF

dt

Par suite, si le point (x, y) est à l’intérieur du cercle décrit de l’origine avec le rayon p₀, on aura

dF

dt <0'

F ira donc en diminuant quand l augmentera, tant que (x, y) ne sortira pas du cercle p₀. Revenons aux courbes

F = «,

en faisant varier e de zéro à une valeur £₀ telle que ces courbes (ou du moins la partie fermée autour de l’origine qui nous intéresse seule) ne sortent pas du cercle p₀. Quand £ varie de zéro à £₀, ces courbes grandissent et deux quelconques d’entre elles n’ont pas de point commun. Si une trajectoire rencontre une courbe F = £, ie

point (x, y) ne sortira pas de cette courbe, car, d’après ce qui précède, on aura à l’intérieur de la courbe

cl F

~dt

rr < O.

F ira donc en diminuant, et le point ne pourra pas revenir à la courbe F — s. Quand t augmentera indéfiniment, F diminuera indéfiniment. La limite de F sera donc une quantité positive ou zéro (¹ ). Si la limite de F est une quantité positive a différente de zéro, notre trajectoire se rapprochera indéfiniment de la courbe

F = à

qui sera pour elle F = a sera aussi une courbe intégrale. Tout d’abord, en remplaçant dans l’équation différentielle

une

courbe asymptote. Montrons que la courbe

dx

dy

les coordonnées rectangulaires par les coordonnées polaires (p, ta) nous avons une équation de la forme

dp

-y- = Ap²+Bp³ + ...,

les coefficients A, B, ... étant des polynômes en cosw et sinto. U en résulte que to pourra croître indéfiniment et que notre trajectoire sera asymptote à la courbe F = d’elle. Nous pourrons représenter la courbe F = a (dans le voisinage de l’origine) par l’équation

a en tournant indéfiniment autour

Pi = /(<*> b

/(to) étant une posant

fonction analytique de to ayant 27: pour période. En

p =/(w) -+- C.

(') M. Poincaré suppose immédiatement dans son Mémoire (voir Journal de Liouville, 1885, p. 179) que la limite est zéro. Le fait est exact si l’on est suffisamment reuse.

près de l’origine; mais il est nécessaire de donner une démonstration rigou-

l’équation différentielle devient

dC,

-jê-p+qç+rçm-...

les coefficients P, Q, R, ... étant des fonctions de to admettant la période 27i. Par hypothèse, celte équation admet pour intégrale une fonction Ç qui tend vers zéro en étant toujours positive quand la variable réelle w augmente indéfiniment. Or je dis que ceci est impossible si P n’est pas identiquement nul. Soit en effet u>₀ une valeur n’annulant pas P, pour o)₀-|- ik~ (k étant assez grand); la fonction Ç sera aussi voisine que l’on voudra de zéro. L’équation

diO

dX,

P + QÏ + RÇ² + ...

donnera pour une fonction de pour une valeur initiale de Ç inférieure à tel nombre que l’on voudra et pour w = to₀ + 2/ttc, le champ de convergence de to, développée suivant les puissances de Ç, atteindra l’origine, et l’on aura donc Ç = o pour une certaine valeur de u>, ce c|ui est contre notre hypothèse. Par suite, P est identiquement nul et Ç = o satisfait à l’équation différentielle, ce qui revient à dire que la courbe F = a est une courbe intégrale.

Or, si l’on cherche les courbes intégrales de la forme précédente, on ne pourra trouver qu’un nombre limité de valeurs de a. En prenant donc, comme fonction initiale pour notre trajectoire, un point à l’intérieur de la courbe F = a, qui correspond à la plus petite valeur de a, on aura la certitude que la trajectoire considérée aura l'origine pour point asymptote.

Nous avons, dans ce qui précède, supposé que C₀ était positif. Dans le cas où C₀ serait négatif, on changerait ; en — t et la conclusion à laquelle nous venons d’arriver subsiste encore. Nous pouvons donc énoncer que, dans le cas où l'on rencontre une quantité C0 différente de zéro, le point singulier considéré est un point asymptote et peut, par suite, être regardé comme un foyer.

9. Comme nous l’avons dit, il arrivera en général qu’on rencontrera une quantité C₀ différente de zéro, et nous pouvons regarder la discussion du point singulier comme faite dans le cas général; mais le cas particulier, où tous les C₀ seraient nuis et où par conséquent

F =    -hF₃ + ...-i-F,l + ...

est convergente pour des valeurs suffisamment petites de x et y. Il en résulte alors que l’équation

F = C,

G étant une constante suffisamment petite, représente dans le voisinage de l’origine une petite courbe fermée, et, par suite, les courbes intégrales dans le voisinage de l’origine sont des courbes fermées s’enveloppant les unes les autres.

La démonstration de M. Poincaré nous entraînerait trop loin. Je vais donner une démonstration différente en me plaçant à un autre point de vue où nous allons retrouver des solutions périodiques. Prenons l’équation en coordonnées polaires que nous pouvons mettre sous la forme

dé

A p² -f- B p³ -i- . . ..

Les coefficients des diverses puissances de p sont des polynômes en cos9 et sin9 ; le premier est homogène et du troisième degré.

Considérons l’intégrale de l’équation précédente prenant pour 9 = o

la valeur p₀. D’après un pourra la développer suivant les puissances de pu, et ce développement sera convergent dans un à 2 7i si p₀ est suffisamment petit. On

on ne

serait jamais arrêté dans le calcul des polynômes successifs F,,

qui examine ce cas 81 du Mémoire cité), démontre directement

appelle nécessairement l’attention. M. Poincaré

dans son Mémoire (p. que la série

théorème général (Chap. VIII, § 4), on

intervalle que nous prenons ici de o

aura ainsi

p = at po —t- a2Pu ■+" a3Po+* • •»

pouvons calculer de proche

les a étant des fonctions de 9, que en proche, a, prend la valeur un et tous les autres a la valeur zéro pour 9 = o.

Dans le cas où il y aura tions a devront avoir la période 2tt, et, inversement, si les fonctions a ont la période 27t, toutes les solutions autour de l'origine sont pério-

nous

une

intégrale de la forme F = C, les fonc-

diques.

Si nous cherchons les coefficients a, nous voyons qu’en général ils

CHAPITRE IX.

222

ne sont pas périodiques; on a d’abord de suite

puis

dz.2 _

~do ~ A;

nous

a₂ sera encore une fonction périodique; on déterminera la constante de manière que ou s’annule pour 8 = o. Pour déterminer a3 aurons une équation de la forme

dcc:t

~dM = ?•>

o₃ étant périodique. Pour que y.;, soit périodique, il faudra que le terme constant dans ç₃ soit nul; s’il n’en est pas ainsi, a₃ ne sera pas périodique, mais on pourra néanmoins le déterminer et l’on choisira la constante arbitraire de manière que a₃ s’annule pour 8 = o. On continuera ainsi la détermination des fonctions a de proche en proche, les prenant telles qu’elles s’annulent pour 8 = o.

Donc, dans tous les cas, nous déterminerons la solution p prenant pour 8 = o la valeur p₀, et elle sera déterminée de o à 2tt, si p„ est suffisamment petit. Un cas très intéressant est celui où tous les a, calculés comme il Aient d’être dit, sont périodiques; il faudra pour cela qu’une suite indéfinie de constantes, successivement rencontrées dans le calcul, soit nulle. Le développement qui représente p étant convergent de o à 271 sera alors évidemment convergent pour toute valeur de 8, et nous aurons comme intégrales autour de l’origine une succession de courbes fermées enveloppant ce point.

10. 11 sera intéressant de considérer maintenant le système des deux équations

(6) en nous plaçant dans le cas où les conditions que nous venons de dire sont remplies. Nous devons chercher comment l’angle polaire 8 est relié à t. En rem

Sr-S- &I-S-

cos 0

p sin6 -t-. .

• ad()

— p s i n 0 —— —

' dt

si n U p cos 0 — = — p cos 6 + . .

que nous pouvons écrire, en remplaçant^ par ^ ~ ou par

dO ,

^[_sinÔ + p( )] =

^- I cosÜ-+-p( )] = — cos 0 -+- p (    );

d’où l'on déduit les parenthèses représentant des séries ordonnées suivant les puissances de p dont les coefficients sont des fonctions périodiques de 0 avec la période 2 7r. On a donc

dt = y/1 -4- p (    ) dQ.

petites]; mais la période varie

assez

Pour une intégrale, p sera, par hypothèse, une fonction périodique de G avec la période 2t:, et nous ne considérons que les intégrales pour lesquelles p est suffisamment petit. Il en résulte que t est une fonction périodique de 8, t augmentant d’une certaine constante quand 9 augmente de Les solutions du système (6) sont donc des fonctions périodiques de t, et nous avons ainsi un exemple d’un système ayant toutes ses solutions périodiques [pourvu que les valeurs initiales (x₀, y₀) soient d’une intégrale à l’autre, dépendant de la position initiale (x₀,y₀); ce dernier point est évident, car la période de t, considérée comme fonction de B, dépend de p₀.

III. — Equations du premier ordre et de degré supérieur. Application à la recherche des lignes de courbure passant par un ombilic.

11. Des questions analogues à celles que nous avons traitées dans les deux Sections précédentes se posent pour les équations du premier ordre et de degré supérieur. Soit une telle équation

Nous devons considérer les points (#, y) pour lesquels une ou plusieurs valeurs de ^ sont indéterminées. Supposons cpie l’origine soit un tel point; la recherche des courbes intégrales passant en ce point et ayant une tangente déterminée se ramènera à des questions déjà traitées. Tout d’abord, l’équation donnant les coefficients angulaires de ces tangentes se forme immédiatement, puisque ~ et

ont, dans ce cas, la même limite. Posant alors y — tx, on a une équation différentielle en t

o,

et il faut chercher les intégrales de cette équation, prenant, pour x = o, les valeurs trouvées pour les coefficients angulaires. On sera donc ramené en général à des problèmes de la nature de ceux qui ont été traités au Chapitre II et dans la première Section de ce Chapitre.

Prenons, comme exemple ('), l’équation du second degré

dry

dy

dx

-+- i(axx -t- b,y    -j- (ct^x -h b₁y + ...) = o,

où les termes non écrits dans les parenthèses sont de degrés supérieurs au premier. L’équation aux coefficients angulaires des tangentes aux courbes intégrales passant à l’origine est ici

(7)

( Ct —i— bt) t¹ —f— 2 ( Ct i —{- b[t)t —f- Ct 2 -j— b 2 t    o.

Des circonstances differentes se présenteront suivant la nature des racines de cette équation du troisième degré; les racines réelles seules seront ici intéressantes, et à une racine réelle t₀ correspondront, pour l’équation, une seule intégrale ou une infinité d’intégrales suivant que l’équation différentielle en t, transformée de la proposée en posant y = tx, aura une intégrale ou une infinité d’intégrales prenant pour x = o la valeur t₀.

(') J’ai indiqué, dans les Comptes rendus (n mars 1895), le résultat de cette discussion qui n’avait, je crois, jamais été faite auparavant.

L’équation (7) se retrouve en faisant dans l’équation y=tx. Résolvant d’abord, on a

dy    —(ciyx

b, y -h. ■ . ) zt \/(a 1 x -h bt y -t-... )² — (ax -4- b y -+-.. .)(a₂x -4- b* y -+-...)

dx

ax -t- b y -y...

et, par suite,

X dx

dt    -— t (a -4— b t ) — (a 1 —f— b \ t) -4— x ( ) -.1- ^ iyt \ H— b \ t)^ — la —t— bt ) (a 2 —t⁻ b 21) —t— x ( )

a -H bt -+- x( )

en marquant par les parenthèses des séries entières en x et t. Pour x = o, le second membre se réduit à

— t la —f- bt ) — ( a\ —}— b\ t) _i_ \/ {a\ -4— b \ t g — ( a -4— b t ) ( a 2 -4- b^t*) a H- ht

En égalant cette expression à zéro, on retrouve l’équation (7) du

troisième degré, après suppression de la racine t = —

c>i »

On pourrait avoir à craindre, pour l’équation différentielle en t, quelque difficulté à cause de cette racine t =—    ? distincte, nous le

supposons, des racines de I équation (7). Le second membre de cette équation se présente, en effet, sous forme indéterminée pour

ch »

X = O,

du moins pour une des déterminations du radical. Ne pourrait-il pas y avoir alors une intégrale t de l’équation tendant tend vers zéro? Pour voir que la chose est impossible, il suffira de considérer, dans l’équation différentielle proposée, x comme fonction de y et, posant x = t'y, on aura une équation différentielle entre y et t', et cette équation ne pourra

_ quand y tend vers zéro, car il n’y a plus ici aucune difficulté,

puisque cib₂ — a.₂b o.

Les courbes d’intégrales que

sées avoir une tangente a 1 origine. Pent~il existe? cl ant?*es mte^

g raies? Telle est la question qui doit maintenant nous occuper. 11

est d’ailleurs entendu que

nous ne supposons

entre les divers coefficients.

P. — Ht.

vers

— ^ quand x

avoir une intégrale t' tendant vers

nous

venons d’étudier étaient suppo-

rem

nous restons dans le cas général et que plie aucune condition particulière d’égalité

i5

CHAPITRE IX.

22Ô

(8)

Outre l’équation (7), nous aurons encore à considérer l’équation (et\ —f- bi t)² — (ci -4— bt)(et2 —f— bzt') = o,

correspondant aux directions qui donnent une racine double pour ^ •

12. Supposons d’abord que l’équation (8) ait ses racines imaginaires. En se servant des coordonnées polaires, l’équation de la courbe devient

sin 0    —l— p cos9 <i0

cos9 dp — p sin 9 d§

— (a₁cos9-f-6, sin 9)-{-p( )± y/ (a, cos 9 -+- è, sin 9 )² — (a cos 9 -t- b sin 9 )(a₂ cos 9 -t- è₂sin 9) -|-p()

a cos9 -j- b sin9 -+- p (    )

que nous écrirons sous la forme

(9) en posant

/(9) = — sin9(a cos9 -4- b sin 9) — cos9(a, cos9 -+- b\ sin9)

± cos9 y/aj cos9    bi sin9)²— (a cos9 -+- b sin 9)(a₂ cos9 + b₂ sin 9) ;

les coefficients de p, qui sont marqués dans l’équation (9) par des parenthèses, sont des séries ordonnées suivant les puissances de p et convergentes quel que soit G; nous nous appuyons pour ce dernier point sur ce que l’équation (8) a ses racines imaginaires, d’où il résulte que l’expression

(a 1 cos9 -t- b y sin9)²— (a cos 9 -+- b sin9)(«₂ cos 9 sin 9)

ne peut s’annuler. Les racines de l’équation (7) correspondent aux racines de l’équation

/(⁰) = o,

une

et il est entendu, une fois pour toutes, que, parmi ces racines, nous ne comptons pas la racine, sans intérêt pour nous d’après remarque du paragraphe précédent, répondant à

a cos 9 -4- b sin 9 = o.

11 résulte de la forme de l’équation (9) que, partant d’une valeur initiale (p₀, 9₀) avec une détermination fixée pour le radical qui figure dans /(G), nous pourrons toujours faire varier G dans le même

sens (⁴), les seules valeurs de 9 appelant l’attention étant les racines de J(9) = o. Si, 6 arrivant à une telle racine 8₀, p prend la valeur zéro, nous serons dans le cas étudié d’une courbe ayant une tangente déterminée à l’origine.

Si p ne prend pas la valeur zéro, le point ne présente rien de particulier pour nous. On pourrait encore a priori faire l’hypothèse que, 9 tendant vers G₀, p ne tend vers aucune limite, mais oscille entre zéro et une autre valeur, mais on voit de suite que cela est impossible.

Nous venons de voir que l'on pourra toujours suivre une courbe

(’) Si l’on veut développer davantage ce point, on peut raisonner de la manière suivante. Il pourrait se faire que le rayon vecteur changeât de sens de rotation, si l’on arrivait à un point (x, y) de la courbe intégrale telle que la tangente en ce point passe à l’origine. Or, le lieu des points des courbes intégrales pour lesquels la tangente passe à l’origine est la courbe que l'on obtient en remplaçant dans l’équa-

tion différentielle <^~

, par—* Cette courbe a un point triple à l’origine, les tangentes dx x

correspondant aux directions données par l’équation (7). En coordonnées polaires, cette courbe a pour équation le coefficient de dp dans (9), c’est-à-dire

(L)

une

nous pouvons supposer, en effectuant préalablement cette courbe intégrale est l’axe des x. Pour une détermination convenable du radical, /(0) s’annulera pour 0 = o, et l'équation différentielle devant être satisfaite pour 0 = o, quel que soit p, le second terme dans (L) s’annulera pour 0 = o, quel que soit p. Il en résulte que, dans le voisinage de 0 = o, l’équation différentielle peut

On pourrait craindre qu’une intégrale eût, sur une branche de la courbe précédente, une infinité de points dans le voisinage de l’origine, pour lesquels la tangente à l’intégrale passerait à l’origine. Dans ce cas, il ne serait plus permis d’affirmer que, si près de l’origine qu’on considère l’intégrale, le rayon vecteur marche toujours dans le même sens. Pour démontrer qu’il n’en peut êlre ainsi, remarquons qu’il y a courbe intégrale tangente à l’origine à la branche considérée de la courbe (L);

un changement de variable, que

prendre la forme

0 [ 1 —I— (    )] dp = p[<p(0) + p(

la quantité représentée dans le premier membre par une parenthèse s’annulant pour p _ 0 _ o. Si maintenant on suit une intégrale à partir d’une détermination initiale ( 0O, p₀ ), 0O et p₀ désignant des quantités positives très petites, et que 0 commence par décroître, il continuera nécessairement à décroître jusqu’à 0 = 0, car le multiplicateur de dp ne s’annule que pour 0 = o. Ce sera pour celte dernière valeur que p s’annulera'si la courbe se rapproche indéfiniment de l'origine; il est clair que <p(o) sera alors nécessairement positif.

peu développées permettraient même d’éviter la faisons ensuite dans le texte, mais l’étude directe fait pénétrer

un

Les considérations précédentes discussion que nous davantage dans la question.

intégrale en faisant varier 9 dans le même sens, tant que l’on n’aura pas atteint l’origine. On peut donc penser qu’il est possible d’avoir une intégrale ayant la forme d’une spirale; nous allons voir qu’il n’en est rien.

L’équation (7) ayant au moins une racine réelle, il y aura toujours une courbe intégrale correspondant à l’intégrale holomorphe de l’équation différentielle, qui passera par l’origine. (Nous nous plaçons toujours dans le cas général où il n’y a aucune relation particulière d’égalité entre les coefficients.)

Soit G cette courbe; concevons une autre courbe intégrale T, rencontrant en m la première et passant à l’origine ou s’en rapprochant indéfiniment. En suivant T, nous pourrons arriver au point O, 9 marchant toujours dans le même sens. Cherchons si T peut rencontrer C en un second point m! qui sera nécessairement (') situé sur C de l’autre côté que m par rapport à O. En m l’équation différentielle

donne pour ^ deux valeurs; l’une convient à G, l’autre à T.

Sous le radical qui figure dans l’expression de ^ se trouve une

*ùg. 9-m.

m's

expression toujours positive. Les points m et m' sont de part et d’autre de O et très voisins. Supposons qu’en m ce soit la détermination positive du radical qui convienne à T, le coefficient angulaire de la tangente à F en m est

(E)

tandis que, pour C, il faudra mettre le signe moins devant le radical. Suivons maintenant (x, y) sur F de m en m' ; le radical gardera toujours le même signe, en m' et m les coordonnées x et y sont respec-

(’) Dans le cas contraire, 6 aurait dù rétrograder à un certain moment.

tivement de signes contraires, les rapports — ayant, à très peu près, la même valeur. Il en résulte qu’en suivant F nous trouvons en m' une valeur de E très voisine de la valeur de en m pour la courbe C

et, par suite, très voisine de celle de ^ en m' pour la même courbe C. Mais, en m', l’équation différentielle donne deux valeurs différentes Pour ÿé les deux valeurs, que nous avons trouvées peu différentes, sont donc rigoureusement égales, et, par suite, la tangente en m' à la courbe C coïncide avec la tangente à F : les deux courbes C et T coïncideraient donc, ce qui est absurde. La courbe T ne peut donc rencontrer C en aucun autre point que O (en dehors de m), et elle arrive par suite en O avec une tangente déterminée, rentrant ainsi dans la classe d’intégrales dont nous avons fait l’étude. Notre conclusion est donc que toutes les courbes intégrales cherchées ont à l’origine une tangente déterminée.

13. Examinons maintenant le cas où l’équation (8) a ses racines réelles. En écrivant que les deux valeurs de ~ données par l’équation différentielle sont égales, on obtient une courbe ayant un point double à l’origine avec tangentes distinctes. On peut faire un changement de variables tel que les deux brandies de la courbe coïncident avec Ox et Qy, nous allons nous placer dans cette hypothèse. Les axes de coordonnées sont alors (Chap. III, § 2) le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales, et celles-ci, avant d’atteindre l’origine, resteront dans un même quadrant que nous pouvons supposer être le premier. Quand on suit une courbe intégrale, le rayon vecteur marche toujours dans le même sens, sauf pour les positions Ox et Oj où change le sens du mouvement; c’est ce qui résulte de ce que la seule irrationnelle figurant dans l’équation est le radical

P ( 0 ) = /(a, cosO -I- b, sin 0 )-— (a cosO -t- b sinO)(a₂cos0 -+- è₂ sinO),

hypothèses. Le

nos

qui d’ailleurs ici se réduit à y/cos8sin 8 d’après signe de ce radical sera à changer quand 8 arrivera à zéro ou à é • Remarquons encore que toute racine réelle t de l’équation (7) satisfait à l’inégalité

(a₁ + è₁^)²-(a + ^)(«₂+èîT)>o,

comme on le conclut de suite de l’équation

(a    f- 2 ( (21 b xi)*: -+- «2+ ^2^ = o.

11 en résulte qu’il y aura, au moins dans le premier quadrant, une courbe intégrale avec une tangente déterminée.

Fig. 10.

R"

Nous pouvons maintenant chercher à suivre une courbe intégrale qui tendrait vers l’origine. Soit C {Jig- 10) une intégrale ayant une tangente déterminée à l’origine; suivons une autre intégrale Y et supposons que, en suivant la courbe en allant vers l’origine, G aille d’abord en croissant. II pourra arriver que p tende vers zéro pour

une valeur de G moindre

que â-

courbe avec une tangente déterminée. Dans le cas contraire 0 pourra

-, et alors nous aurons une branche de

croître jusqu’à et la courbe Y aura un point de rebroussement a

sur l’axe des y. Il faut alors faire décroître G. Deux cas pourront alors se rencontrer : ou bien p prendra la valeur zéro pour une certaine

valeur de G comprise entre - et o, et alors nous aurons une courbe

intégrale avec une tangente déterminée; ou bien G pourra atteindre la valeur zéro et l’on aura en b sur Ox un second point de rebroussement. Dans ce cas, il y aura certainement un point m de rencontre de C et de Y, et pour la branche ah de T le radical y/P(G) aura un certain signe. Continuons à décrire T; ou bien la courbe intégrale arrivera à l’origine avec une tangente déterminée, ou bien G pourra

un second point de rencontre m!

de F avec C. Pour la branche b ni', le radical y/P(G) a dans l’équation différentielle un autre signe que pour la branche bm. Or, en m,

aller jusqu’à mais alors il y aurait

deux courbes intégrales passant en m ; ces valeurs correspondent aux deux signes du radical. L’une correspond à G, l’autre à T, mais en m et m'les coefficients angulaires de la tangente à C sont très peu différents. Il s’ensuit que le coefficient angulaire de la tangente en m' à f coïncide avec le coefficient angulaire de la tangente à C (puisqu’enm ils étaient distincts, et que le signe du radical a changé en b). Nous arrivons donc à une contradiction qui établit l’impossibilité du second point de rencontre m', à moins que ce dernier ne coïncide avec l’origine. Nous avons donc dans tous les cas la conclusion suivante :

Toutes les courbes intégrales passant à Vorigine ou s’en rapprochant indéfiniment arrivent nécessairement en ce point avec une tangente déterminée.

L’étude de ces courbes se fera donc sans difficulté, pour le cas général, en appliquant les considérations développées dans la Section I.

14. Nous allons appliquer les généralités précédentes à un problème intéressant de Géométrie, celui des lignes de courbure passant par un ombilic (¹ ).

Supposons que l’ombilic soit à l’origine, et prenons le développement de z sous la forme

z — \k(xï-h y^) -I- s (ax*-1- 3bx^y -+- 3cxy²-h dy³)

nous aurons

Cl O

= k x -+-2 b xy -t- cy²) -4-. . = ky -+-\(bx²-\- i cxy -+-dy*)

b x H- cy c x H- cly

L’équation différentielle de la projection des lignes de courbure est,

un

(l) M. Cayley a fait le premier l’étude des lignes de courbure passant par ombilic, sans la rattacher d’ailleurs à aucune théorie générale (voir Cayley, Mathe-matical Papers, t. V, p. u5).

comme on sait,

(^) [(I + ?²)s— pq*]

-f- ^ [( i H- q*)r — (i p* )t] — [(i + /?*)« — pqr] = o.

En substituant les valeurs précédentes, on a

dy

(bx+cy+...)(±y

en posant

2 g — b — d.

₂/= a — c,

L’équation (n) aux coefficients angulaires des tangentes aux courbes intégrales est ici

(l> -4-cO(*² — i) + ï(/+^)< = o,

et elle aura évidemment, suivant les cas, une ou trois racines réelles. Quant à l’équation (8) du second degré en t: elle se réduit à

(f ■+■    (b-*-cty = o,

et a, par suite, ses racines imaginaires. En posantjk = tx, nous avons l’équation en £, où nous n’écrivons pas dans le second membre les termes en x inutiles pour la discussion

x dt_ _ — t(b -t- et) — (f -v- gt) ± y/(,/ -i- gt)'¹ -+- (b -+- cQ²

dx    b -h et

Nous savons que le second membre s’annule pour trois valeurs de t qui sont les racines de l’équation du troisième degré écrite ci-dessus. Soit a une racine de cette équation, il faut trouver le signe de la dérivée du second membre de l’équation précédente pour t = a. Il suffit de prendre la dérivée du numérateur et de la diviser par b -+- et et, comme on a

±/(/-i-^a)²-t-(è-l-ca)²=a(6-4-ca)-H/-I-^a.

on trouve d’abord, après avoir ainsi fait disparaître le radical,

— 2a(ca + ^) + c(ii!-fi)

■2[ot(6 + ca)+/+^a]

• POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES.

du troisième degré que vérifie a,

— 2ca³— (ig b)cl'¹ — b (a²-!- i)(b -t- ca)

Si cette expression est positive, il y a une infinité d’intégrales tangentes à la droite y = ax ; il n’y en a qu’une, si elle est négative. Les deux circonstances sont possibles, car cette expression ne contient pas ./qui figure dans l’équation du troisième degré.

Il y a donc, suivant Les cas, une seule ligne de courbure ou une infinité de lignes de courbure passant par un ombilic et ayant pour tangente une des directions données par Véquation du troisième degré.

15. Un cas particulier très simple est celui où l’on aurait

b — o.

L’équation du troisième degré est alors

ct\t²— i) -+- a(/-+- gt)t = o.

Nous avons donc la racine a = o, et l’expression correspondante, dont le signe est à rechercher, se réduit à

2/

Supposons, par exemple, que

2/

Nous aurons une seule intégrale tangente à la droite y — o; si, de plus

comme

il est possible, l’équation

c(£² — I) -+- -A— o

a ses racines imaginaires,

nous aurons un exemple d’un ombilic par

seule ligne de courbure.

lequel passe une

Ces conditions se trouvent vérifiées pour une surface du second degré. On reconnaît aisément que, en prenant pour plan des zx le plan principal passant par 1 ombilic, 1 équation de la surface peut s’écrire

A (x² -h y-) -t- A",z² -+- a B "zx — o,

POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES.

et l’on a, par suite, un développement de la forme

On a donc

b = d — o,

et, par suite,

« |ro

g = o.

aux

On a bien << i et l’équation gentes se réduit à

coefficients angulaires des tan-

Il ne passe donc par un ombilic d’une quadrique qu’une seule ligne de courbure réelle, résultat d’ailleurs bien connu.

CHAPITRE X.

SUR LA FORME DES COURRES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE I)U PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ (»).

I. — Étude des points à l’infini; relation entre les nombres des divers points singuliers.

dx dv

~X ⁼ T’

1. Après avoir fait l’élude des points singuliers d’une courbe définie par une équation différentielle du premier ordre et du premier degré (Sect. I, Chap. XI), cherchons à nous rendre compte de la forme des courbes définies par une telle équation. Reprenons donc l’équation

où X et Y sont des polynômes en x et y. Nous désignerons d’une manière générale, sous le nom de caractéristiques, les courbes que nous avons appelées jusqu’ici courbes intégrales de cette équation différentielle.

Nous n’avons jusqu’ici considéré que les points à distance finie. Pour discuter plus facilement les formes des caractéristiques à l’in-

fini, nous projetterons ces point de vue au

plan au

plan (or, y), l’un de ces points sera

courbes sur une sphère, en plaçant le centre de la sphère. Enjoignant le point (x,y) du point de vue, on a une droite qui rencontre la sphère en deux points. En supposant la sphère partagée en deux hémisphères par un plan diamétral P, parallèle au

(‘) Nous suivons dans ce Chapitre le beau Mémoire de M. Poincaré [5m/⁻ les courbes définies par les équations différentielles ( Journal de Liouville, 1881 et 1882)], en cherchant surtout à mettre en évidence les points les plus intéressants relatifs au côté qualitatif de la question.

situé dans le premier hémisphère, l’autre dans le second. Les points à l’infini du plan (x, y) correspondront à la circonférence E, intersection de la sphère et du plan P; nous appellerons E l’équateur.

Nous appellerons cycle sur la sphère une courbe telle qu’on revienne au point de départ après en avoir parcouru un arc fini. Nous ne considérerons que les cycles analytiques; nous entendons par là des cycles formés d’arcs réguliers de lignes analytiques (voir t. II, p. 298, 2e édition, pour la définition des arcs analytiques).

Une spirale sur la sphère sera une courbe qui coupe un cycle en un seul point; telle est, par exemple, la loxodromie qui coupe les parallèles en un seul point.

Si l’on considère les deux portions d’une même caractéristique qui se trouvent de part et d’autre d’un de ses points, on aura divisé cette caractéristique (à moins qu’elle ne soit un cycle) en deux demi-caractéristiques distinctes.

2. Dans l’équation

dx _ dy

X — TT'

nous supposerons X et Y de même degré m et, de plus, aucune circonstance spéciale ne se présente relativement aux points singuliers, c’est-à-dire que ceux-ci se réduisent à des foyers, des nœuds et des cols.

Pour étudier les points à l’infini, on pose, s’il s’agit d’un point non situé sur le grand cercle qui correspond à x = o,

y — -,

J Z

et l’on a ainsi, pour le point considéré, 5 = 0, t étant égale à une quantité finie.

Si 1 on veut considérer le point à l’infini situé sur le grand cercle x = o, on posera

x — -,

y=!'

3. Nous avons fait précédemment l’étude des points singuliers, qui sont à l’intersection des deux courbes

X = o, Y = o.

j\ous n avons considéré que les points d’intersection à distance finie. Si les deux courbes précédentes se coupent en un point situé l’équateur, soit, par exemple, en un point non situé sur x == o, l’équateur devient, en posant

sur

(z = o, £

= a correspondant au point considéré à l’infini),

z clt — t dz

— dz

Xi -,

ou

dz(tXt— Yj) = dtzX j,

en posant X(^>

Xi ( t, z)

Y, (t, z)

• On aura,

d’après l’hypothèse que z — o, t = y. correspond à un point de rencontre,

Xj(a, o) = o,

Y i ( a, o) = o.

4. Je dis d’abord que tout système de caractéristiques admet des points singuliers. Le seul cas, où l’affirmation précédente est douteuse, est celui où les courbes X = o, Y = o ne se rencontreraient qu’à l’infini ou ne se couperaient en aucun point. Dans le premier cas, il résulte immédiatement de ce que nous avons dit au paragraphe précédent qu’un point de rencontre (t = a, z = o) est un point singulier, car pour ce point

tXi — Y, = o,

3X1 = o,

et, par suite, les dénominateurs de l’équation

dz

dt

zX, tXi — Y

o.

s’annulent pour t = a, z —

Considérons donc le cas où les deux courbes X = o, ^ =0 n’auraient aucun point commun; le degré m de X et X est alors pair évidemment.

En désignant par X₂ et Y₂ les termes du degré le plus élevé en x et y dans X et Y, nous devons supposer que l’on n'a pas identi-

xYo — /X₂ = o :

quement

cette identité est, en effet, incompatible avec nos hypothèses. Car, si l’on avait

xY₂=jsX₂,

Y₂=yY₃,

X₂ serait divisible par x et Y₂ par y. Soit X₂ = a?X₃,

on déduit de l’identité ci-dessus

x₃ = y₃.

X₃ est une fonction homogène et de degré impair; donc elle s’annule, soit pour x = o, soit pour une certaine valeur ~ — a. On aurait donc

X₂ Y₂ = o,

= a, c’est-à-dire que les courbes X= o,

soit pour x — o, soit pour

Y = o se couperaient en un point de l’équateur.

L’équation yX₂ — #Y₂ = o, étant de degré impair, a nécessairement une racine réelle, que nous désignerons par a. Or, en posant, comme plus haut,

y-y

on voit que les équations

zXt = o,

s’annuleront pour z — o, t — a, car £X, — Y, pour z = o se réduit à £X₂(i, t) —Y₂(i, t).    ,

5. Nous plaçant toujours dans le cas général, nous pouvons supposer que les courbes

X = o,

n’ont que des points simples de rencontre, et que ces points sont à distance finie. De plus, nous supposons que l’équation

x Y₂—,7X2 = o

n’a que des racines simples. De cette façon, t — a, z = o (au para-

COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

graphe précédent) est une solution simple des deux équations

tX, — Y₁ = o.

= o,

Dans ces conditions, tous les points singuliers (en dehors de l’équateur ou sur

l’équateur) sont des points singuliers ordinaires du type de ceux que nous avons rencontrés dans la discussion du Chapitre précédent : foyers, cols ou nœuds, et exceptionnellement des centres (ceux-ci correspondant à'des relations d’égalité).

J’ajoute encore que Véquateur sera une caractéristique, comme il résulte de l’équation

dz

dt

-F- z Xj

tx

Tf

qui est vérifiée pour z = o. Il en résulte que tout point singulier situé sur Véquateur sera un nœud ou un col, car toutes les caractéristiques, passant par un foyer, ont ce point comme point asymptote.

Enfin, le nombre des points singuliers sur la sphère est évidemment pair, puisque tout est symétrique par rapport au centre de la sphère.

6. Considérons maintenant une courbe fermée tracée dans un hémisphère; il lui correspond une courbe fermée C .dans le plan (x,y). Formons l’intégrale

3 = — f

■2TlJc

X dY — YdX

X*-h Y*

que l’on prendra le long du contour C dans le sens positif. Comme nous l’avons vu (t. I, ie éd., p. 99), l’intégrale J représente la différence entre le nombre des racines communes aux équations

X = o,

Y = o,

contenues dans C, pour lesquelles le déterminant fonctionnel

dX dY

<*X dY _ dx ày dy ôx

est positif, et celles pour lesquelles il est négatif.

Si à l’intérieur de C il n’y a pas de point singulier, c’est-à-dire de point pour lequel X = Y = o, on aura évidemment J = o. Supposons

qu’il y ait un point singulier à l’intérieur de C, et cherchons la valeur de J. Si ce point est à l’origine, on aura

Si l’on a

ab'— bd > o,

on aura, d’après ce qui précède, J = i. Au contraire, si l’on a

ab'— bd < o,

il viendra J = — i.

Or, dans le premier cas [ab'—ba'y> o\ les deux racines de l’équation en X

X²— (a -+- b')}\

ab'— bd — o

seront de même signe ou imaginaires, et, par suite, le point singulier sera un nœud ou un foyer. Si, au contraire, ab'— ba' <L o, les deux racines seront réelles et de signes contraires, et nous aurons un col. En désignant donc respectivement par N, F, C les nombres des nœuds, des foyers et des cols contenus dans un contour F, on aura

J = N 4- F — C.

On peut appeler J Y indice du cycle ; il peut être encore défini de la manière suivante. En appelant p le nombre de fois que le quotient passe de oo à — oo quand le point (x, y) décrit T dans le sens positif, et par n le nombre de fois que ce quotient passe de — oo à + oo dans les mêmes conditions, on aura

7. En adoptant cette dernière définition, on peut parler de l’indice de Véquateur. Cet indice est le nombre précédent pour la fraction

Yo

x7

COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQI ATION DIFFÉRENTIELLE.

à 2tt; ce sera donc l’indice de la fraction rationnelle

⁺j“ Y Y₂(i, 01

-« Lx2(i> *)Y

pour t variant de—oo à H-oc, puisque tout est symétrique par rapport au centre de la sphère (voit', pour l’indice des fractions rationnelles, t. II, 2e éd., p. icp), et l'on peut évidemment aussi considérer l’indice de l’équateur comme la limite de l’intégrale

27r X d\ — Y dX

2 TC

X*-+- Y²

quand on pose x — r costo, y = /-sinto, r étant une constante qu’on fait grandir indéfiniment.

Reprenons l’équation du § o

dt

— Y,-4- tx

Z dz

Les valeurs de t, intéressantes pour nous, sont les racines de l’équation

X,

(O

mais, puisqu’on a

Yi (£, o) — t'S.iit, o) = o,

Y!(*, o) = Y₂(!, 0,

X ) ( t, o) = X -2 ( I , t ),

on

peut écrire l’équation

sous la forme

dt

Z dz

— Y₂ C i , t y —f-1X o ( i, t )

X₂(i, t)

et les racines de l’équation

(2)

correspondent à des nœuds

Y,(i, t) — itX₂(i, t) = o

ou des cols. Or, considérons l’expression

Y₂(i, 0

X₂(I, t)

positif, quand t varie de — oo à H- oo. Celte au négatif, soit quand t rencontre

et désignons par oc et j3 le nombre de fois cju elle pusse du positif au négatif et du négatif au expression peut passer du positif P. — III.

une racine de (2), et alors nous avons un nœud, soit quand elle devient infinie en passant de -f- ce à —co; de même elle peut passer du négatif au positif, soit quand t rencontre une racine de (2) correspondant à un col, soit quand elle devient infinie en passant de —00 à 00. D’ailleurs, puisque pour t — 4- ce l’expression est négative, et positive pour t =— oc, on aura

CHAPITRE X.

a —p = 1,

et, par suite, si nous désignons par 2N' et 2G' le nombre évidemment pair (puisqu’il y a symétrie par rapport au centre de la sphère des nœuds et des cols sur l’équateur, nous aurons

N' —

= 1.

L’indice de Véquateur est donc égal à

n_G'— N'.

8. En égalant les deux expressions trouvées dans les deux paragraphes précédents pour l’indice d’une courbe du premier hémisphère très voisine de l’équateur, nous aurons une relation entre les cols, les foyers et les nœuds sur la sphère. Nous appelons, comme ci-dessus, 2C' et 2 N' les nombres des cols et des nœuds situés sur l’équateur. Désignons de même comme ci-dessus par 2G, 2N, 2F les nombres évidemment pairs des cols, nœuds et foyers sur le reste de la sphère. Sur un hémisphère, les cols, nœuds et foyers sont en nombres respectivement égaux à C, N, F. On aura donc

1 -4- G'— N'= N 4- F — C,

que nous écrirons

2(N + N') + 2F = î(C + C')4-2.

On peut donc dire que, sur toute la sphère, le nombre des nœuds plus le nombre des foyers est égal au nombre des cols plus deux *

II. — Remarques générales sur la forme des caractéristiques.

9. Faisons d’abord une première remarque relative à la continuation des intégrales. Quand on suit à partir d'un point une carac-

térislique, divers cas peuvent se présenter; il peut arriver que l’on arrive à un col ou un nœud (nous ne parlons pas des foyers auxquels on n’arrive pas puisque ce sont des points asymptotes). Quand on arrive à un col, on peut, soit suivre l’arc de couibe situé de l’autre côté du col et ayant la même tangente, soit prendre l’arc à droite ou l’arc à gauche, et nous ferons bientôt une hypothèse particulière à ce sujet. Pour les nœuds, les choses se présentent différemment et il faut nécessairement arrêter la caractéristique à un nœud. Nous savons en effet que, moyennant une transformation convenable des variables, on peut mettre l’équation des caractéristiques sous la forme

y =

C étant la constante arbitraire, et X une constante réelle positive. Considérons une caractéristique arrivant à l’origine ; soit, par exemple, pour une valeur donnée de C, la branche parfaitement définie correspondant aux valeurs positives de x obtenue en donnant à sa valeur arithmétique. Une fois arrivé à l’origine, nous n’avons plus aucune raison en général de suivre une courbe intégrale plutôt qu’une autre (sauf dans le cas particulier où X serait commensurable), et nous arrêtons alors Vintégrale à un nœud.

passer par un

si cette demi-caractéristique ne coupe tout cycle analytique nombre fini de points, elle se réduit nécessairement

Ceci posé, voici un premier théorème à peu près évident, mais fort important pour la suite. Je considère une demi-caractéristique C passant par un point singulier A. Nous supposons qu’elle n aille pas nœud, et nous allons montrer dans ces conditions que,

qu’en un

cl un cycle.

Partageons la sphère, d’abord en deux calottes sphériques S, et S2 cycle analytique. Comme la caractéristique étudiée ne ren-

par un

contre ce cycle qu’en un nombre fini de points, il arrivera un moment où elle restera toujours dans l’une des deux calottes sphériques, soit S,. Celle-ci devra contenir A; sinon, nous la partagerions en un certain nombre de parties par des cycles, et il y en aurait nécessaire-dans laquelle la ligne resterait toujours, cela pour la même que plus haut; finalement, on arriverait à avoir des cycles de plus en plus petits, à l’intérieur desquels resterait toujours la caractéristique, cycles qu’on pourrait faire tendre vers zéro, et alors le point limite serait

ment une

raison

un

foyer, ce qui est incompatible avec l’hypo-

thèse que tout cycle ne coupe la courbe qu’en un nombre fini de points. Revenons donc à la calotLe St ; on la décomposera encore en deux parties, et la caractéristique finira par rester dans l’une d’elles, celle qui confient A, comme le montre toujours le même raisonnement. Finalement nous aurons une série de cycles de plus en plus petits contenant A, à l’intérieur desquels restera la courbe; celle-ci va donc repasser par le point A, et nous avons bien un cycle, comme nous voulions l’établir.

10. Une considération d’une grande importance est celle du nombre des points où un arc de courbe donné sur la sphère touche une caractéristique, c’est-à-dire le nombre des contacts de cet arc. Pour un arc analytique régulier ou formé d’un nombre fini d’arcs réguliers, le nombre des contacts sera nécessairement fini. Soit donné dans le plan un arc pris entre deux points A et B de la courbe représentée par l’équation

y) = °;

on cherchera les contacts de cet arc en écrivant qu’en un point (x,y) de cette courbe, le coefficient angulaire de la tangente est égal à la valeur de ^ donnée par l’équation différentielle, d’où l’on conclut

= O.

ôy

x°-l

àx

Les intersections des deux courbes précédentes comprises entre A et B donnent les contacts cherchés. Si les deux courbes étaient tangentes en un point, il y aurait plusieurs contacts confondus, et alors la caractéristique en ce point aurait un contact d’ordre supérieur avec l’arc donné. En tenant compte du degré de multiplicité, on voit que les nombres des contacts (l’un cycle sans point anguleux et ne passant pas par un point singulier est toujours un nombre pair ; c’est une conséquence immédiate de ce (pie deux courbes fermées de la sphère ont un nombre pair de points de rencontre.

Si le cycle a un point anguleux, le résultat précédent ne subsiste pas sans modification, car le point anguleux figure parmi les contacts. Nous supposons que le point anguleux est un point ordinaire pour l’équation. Deux cas peuvent se présenter : la caractéristique passant par le point anguleux traverse ou non le cycle. Dans le premier cas,

cycle peu difïérent du cycle donné, mais sans point anguleux, n’aura pas de contact voisin du point anguleux, et, par suite, pour le cycle donné, nous avons un contact de plus que pour le cycle auxiliaire ; la parité sera donc différente pour les deux cycles, et nous pouvons dire alors que le point anguleux change la parité du nombre des contacts. Dans le second cas, il y aura pour le cycle auxiliaire un contact voisin du point anguleux, et le point anguleux ne change pas la parité cia nombre des contacts.

un

11. Si l’on joint deux points A et B d’une caractéristique par un arc de courbe qui n’ait avec la caractéristique d’autre point commun que ses deux extrémités A et B, l’arc de courbe et l’arc de caractéristique compris entre les deux points formeront par leur ensemble un cycle sphérique. Mais deux cas peuvent se présenter, et cette distinction est d’une grande importance. En premier lieu, les deux branches de courbes formées par la caractéristique prolongée au delà de A et B sont toutes deux intérieures ou toutes deux extérieures au cycle formé par les deux arcs. Nous dirons dans ce cas que l’arc de courbe sous-tend l’arc de caractéristique. En second lieu, les deux branches prolongées au delà de A et B sont 1 une intérieure, l’autre extérieure au cycle formé par les deux arcs; nous dirons alors que l’arc de courbe sur-tend l’arc de caractéristique.

Ces définitions posées, considérons un arc de caractéristique ne passant par aucun point singulier et sous-tendu par un arc de courbe AB.

Nous allons montrer que le nombre des contacts de cet arc de courbe est impair. Supposons que l’arc de courbe AB, supposé analytique, soit représenté par l’équation

F (a?, y) = °-

On pourra définir l’arc de caractéristique par les deux équations

dy_

dx

—TT = X,

dt

dt

Y,

aucun point singulier, on peut admettre

et, puisqu’il ne passe par qu’on va de A en B sur la caractéristique, en faisant varier t de à tt(t₀<; t{). Puisque l’arc AB de la courbe F sous-tend la caracté

ristique, la fonction

2/J6

chapitre x.

quand on substitue les expressions des coordonnées x et y de la caractéristique, passera d’un signe à un autre, par exemple du positif au négatif, quand t passera par et du négatif au positif quand t passera par /, ; la dérivée de Y(x, y) par rapport à t, c’est-à-dire

ÔV

ày’

xï + Y^-

OX

sera donc négative au point A et positive au point 11. Faisons maintenant décrire à (x, y) l’arc AB de F; l'expression précédente s’annulera un nombre impair de fois, et, par suite, Le nombre des contacts de /’arc est impair.

12. Dans le théorème précédent, l’arc de caractéristique ne passait par aucun point singulier, car un point singulier ne peut être atteint que pour t — oo, et nous n’avons plus alors de démonstration. On peut présenter autrement la démonstration du théorème précédent, en supposant alors que la fonction F(#, y) n’est pas seulement définie dans Je voisinage de l’arc sous-tendant AB, mais pour tous les points à l’intérieur du cycle formé par cet arc et la caractéristique. Il résulte, en effet, de ce que nous avons dit plus haut, que la fonction

F(r, y)

s’annulant en A et B, et passant, quand (x, y) décrit la caractéristique, du positif au négatif en A et du négatif au positif en B, passera sur l’arc de caractéristique par un nombre impair de maxima ou de minima. Or, pour ces maxima ou minima, on a

(3)

xdF y^F àx ⁺ dy

= o,

c’est-à-dire que cette dernière courbe coupe l’arc de caractéristique en un nombre impair de points. Or cette courbe est analytique; elle coupe donc le cycle formé par la caractéristique et l’arc sous-tendant, lui-même analytique, en un nombre pair de points. 11 faut donc que les contacts sur l'arc sous-tendant soient en nombre impair; c’est le théorème du paragraphe précédent. Dans le raisonnement précédent, on a supposé que les points de rencontre de la courbe (3) avec le cycle étaient des points simples correspondant à des contacts. Le cas oti la caractéristique passerait par un col demande un examen parti-•culier, car la courbe (3) passe en ce point. Si la caractéristique, arrivée en un col, continue par la courbe ayant même tangente, la courbe (3) traversera au col la caractéristique; la courbe F (a?, y) — F(.r₀, jKo)₅ en désignant par (a?₀, y₀) les coordonnées du col, traversera aussi en général la caractéristique, et la fonction F n'aura au col ni maximum, ni minimum; un point est donc à défalquer dans l’énumération des contacts, et nous avons alors un nombre pair pour tes contacts de Varc sous-tendant.

Supposons, au contraire, que la caractéristique arrivée à un col soit considérée comme se continuant par un arc n’ayant pas même tangente. Etudions la disposition de la courbe (3), de la courbe F = F₀ et du cycle dans le voisinage du col (x₀, ya)\ nous pouvons supposer (x₀ = o, y₀= o), et que, de plus,

Y = Xy + ...,

\ étant négatif. Le cycle est formé d’une courbe tangente à 0.r et d’une courbe tangente à Oy. La courbe F = F₀ a pour tangente la droite

ax h- $y == o

en posant F = F(l + ax jüjK-F • • •, et la courbe (3) a pour tangente

eux -t-    = o.

Ces deux dernières droites ne sont pas dans le même quadrant. Si la

au col, la courbe (3) ne le traversera

ou minimum

un

courbe F = F₀ traverse le cycle pas; nous aurons alors au col deux points de rencontre de (3) avec le cycle, et il n’y aura ni maximum ni minimum pour F. Au contraire, si (3) traverse Je cycle, nous ne devons plus compter le col que pour point de rencontre; mais il y a alors maximum pour F, puisque alors la courbe F = F₀ ne traverse pas le cycle. Dans les deux cas, la conclusion est la même pour ce qui concerne la parité du nombre des contacts; ici, comme au paragraphe précédent, le nombre des contacts de l'arc sous-tendant sera un nombre

impair.

13. Dorénavant, quand

nous suivrons une caractéristique, nous prendrons pour son prolongement, si nous rencontrons un col, un

a/’c t/e caractéristique n'ayant pas même tangente au col. Ce prolongement pourra nécessairement alors se faire de deux manières différentes, car on peut prendre l’arc de droite ou l’are de gauche par rapport à celui que l’on suivait d’abord. Cette façon de procéder peut paraître au premier abord singulière; il pourrait sembler plus naturel de suivre l’arc ayant même tangente, ce qui ne donnerait lieu d’ailleurs à aucune indétermination; mais alors nous n’aurions plus un nombre impair de contacts pour un arc sous-tendant, et l'on ne peut arriver à quelques résultats généraux que moyennant cette condition.

On peut démontrer, pour les arcs qui sur-tendent un arc de caractéristique, un théorème analogue à celui des §§ 11 et 12. Seulement, le nombre des contacts sera pair.

14. Parmi les arcs analytiques tracés sur la sphère, les arcs sans contact présentent un intérêt particulier. Considérons un arc sans contact ADB, et soit M₀ un point de cet arc; par ce point passe une caractéristique que nous suivons dans un certain sens, et supposons qu’en la suivant ainsi nous rencontrions une nouvelle fois l’arc ADB au point M,. On remarquera d’abord que l’arc M₀M, sur-lcnd l’arc de caractéristique M₀CM₍, car, s’il le sous-tendait, il y aurait un nombre impair de contacts sur l'arc M₀DM,, un au moins, par con-

Fig. n.

c\>

M,

V>M₀

N₀

séquent; ce qui est impossible, puisqu’il est sans contact. Ensuite, si l’on continue à suivre l’arc M₀CM,, de caractéristique, je dis qu’on ne rencontrera plus l’arc M₀DM, ; car, si l'on avait l’arc M, EVE», il serait nécessairement sous-tendu par M|M₂, ce qui ne se peut.

Ceci posé, soit iN₀ un point voisin de M„ et à gauche de M₀M, sur l’arc AB {fig. 9); par le point N₀ passe un arc de caractéristique

en un point N, à gauche car, dans le cas contraire, il devrait rencontrer M₀CM,. Si donc nous considérons le cycle N₀C'N, DM₀N₀, ce cycle ne rencontre la caractéristique M₀CM, qu’en nitions du début, la caractéristique considérée est

voisin du premier. Il viendra rencontrer AB de M

un seul point M„. D’après nos défi-une spirale.

lo. De ce résultat nous allons déduire une proposition extrêmement intéressante relativement à la nature des caractéristiques. Envisageons une caractéristique de la nature de celle que nous étudions, c’est-à-dire qui, prolongée indéfiniment, n’aboutisse pas à un nœud. Cette caractéristique pourra être un cycle. Dans le cas contraire, elle rencontrera au moins un cycle analytique en une infinité de points, d’après le théorème du § 9. Un tel cycle se composera d’un nombre fini d’arcs sans contact. Un de ces arcs AB au moins est rencontré une infinité de fois par notre caractéristique; en suivant la caractéristique à partir d’un premier point de rencontre M₀ avec AB, on en rencontre nécessairement un second M, et les conclusions du paragraphe précédent sont applicables. La caractéristique est donc une spirale. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Toute caractéristique n aboutissant pas ci un nœud est un cycle ou une spirale.

renseignement précis sur la

revenons

Cette proposition nous donne déjà un forme des courbes caractéristiques. Avant de continuer cette étude, à l’équation différentielle et rappelons comment on peut obtenir quelque représentation analytique de 1 intégrale.

16. Les remarques qui vont suivre s’appliquent à nombre quelconque d’équations; prenons

dx ₂

dx

dx i _

Xl X-2    Xy,

un système d’un un système de p équations

ZP

en X\, .

nomes n’ont pas de facteur M. Poincaré a indiqué équations. Nous considérerons le système

où nous supposons que les X sont des polynômes de degré m xp \ de plus, les termes du plus haut degré dans ces poly-commun.

un développement des intégrales de ces

dxt

X,

(i = i, 2,

et nous allons chercher à obtenir un développement des x considérés comme fonction de t. Quand les x sont réels, les modules des seconds membres des équations précédentes sont moindres

que -

• Soit

un système quelconque de valeurs réelles des x\ on peut, autour de ces points, dans les plans respectifs des variables complexes xl:

x₂, .

on ait

xp, décrire des cercles de rayon p tels que dans ces cercles

<X-

I+XJ+...+ X2

Ce rayon p a un minimum qui a’est pas nul, quelles que puissent être les quantités réelles x*}. La difficulté pourrait provenir du cas où un ou plusieurs des x\ serait très grand. Soit, par exemple, x\ la plus grande des quantités xf nous poserons

yP-».

x' ’

x₂ —

Xp =

x' ’

x' sera très petit, et les y de modules moindres que un. Or, en substituant ces valeurs dans l’inégalité ci-dessus, on voit qu’elle sera certainement vérifiée pour x' suffisamment petit, quels que soient les y entre — 1 et + i (en tenant compte de l’hypothèse faite sur les termes du plus haut degré des X) et, par suite, nous pourrons toujours tracer dans le plan des x les cercles de rayon fixe p, de façon à avoir l’inégalité indiquée.

Ceci posé, nous allons montrer que les x, intégrales de l’équation différentielle, sont des fonctions hoiomorphes de la variable complexe t dans une bande parallèle à Vaxe réel, ayant cet axe comme médiane et une épaisseur 2p. Il suffit pour cela de nous reporter au théorème général relatif à l’existence des intégrales; en employant les notations du Tome II (p. 822), le rayon de convergence assurée est la plus petite des deux quantités

a,

Nous n avons pas ici à considérer le nombre a, puisque les seconds membres ne dépendent pas de t. Nous avons, d’autre part, 6 = p,

M— i, et par suite les développements s’effectueront de proche en proche, en partant d’un système de valeurs initiales réelles et en faisant

décrire à t 1 axe réel, à l’aide de cercles de rayon p; ceci revient

cjue les intégrales sont holo-

à dire, comme nous l’avons énoncé

bande d’épaisseur 2p.

morphes dans une

Il est alors facile d’obtenir des développements en séries. 11 suffit de faire la représentation conforme de la bande sur un cercle de rayon un; on l’obtiendra en posant

71t

e²P —

7Z t

C-10

qui revient à

I -4- Z

2 P i

t = ~ >°g

TC

et il est immédiat cjue la bande et le cercle de rayon un se correspondent uniformément. Toute intégrale se trouve alors holomorphe par rapport à z dans ce cercle, et elle peut être développée en série suivant les puissances de z.

17. On pourrait obtenir bien d’autres représentations analytiques des intégrales : je proposerai la suivante. Prenons les équations

X;

dxi

dt

/I+XÎ+... + X»

et reportons-nous à la méthode des approximations successives, et notamment au Chapitre V de ce Volume. Nous aurons bien ici des équations rentrant dans la classe signalée, car les dérivées partielles du premier ordre des seconds membres des équations précédentes restent moindres qu’un nombre fixe pour toutes les valeurs réelles des x. Les approximations successives nous conduiront donc à des développements convergents pour toute valeur réelle de t.

Il est clair que bien d’autres formes pourraient être adoptées, et l’on se trouverait dans les mêmes conditions pour une infinité de fonctions \(x,, ..., xp) qui conduiraient à des équations

~ = X/X(a?i, x-î, . du type que nous venons de considérer.

18. Les développements précédents, qui paraissent au premier abord intéressants pour la discussion des intégrales, sont en réalité de peu d’importance pratique. On ne peut savoir, en général, par eux, ce que deviennent les x quand t augmente indéfiniment. 11 pourra arriver que les x ne tendent vers aucune limite, ou bien les x tendront vers des limites déterminées. Nous pouvons supposer, en transformant préalablement les équations, s’il est nécessaire, que ces limites sont finies; soit donc

ax,

ap

«2, •

le système limite des x pour t — oo. Nous allons voir facilement que les a doivent satisfaire aux p équations

X/(a?i, Xz, .xp) = o (i = i, 2, .p).

Remarquons d’abord que l’intégrale du système

dx p

X ⁼ X

répondant aux conditions initiales a{, ..., ap, se comporte régulièrement en ce point si, pour ces valeurs, tous les X ne s’annulent pas, c’est-à-dire que la courbe intégrale aura en ce point une tangente déterminée. Or soit X/^zé o pour ..., ap\ nous avons

Jt = d*p±

dx |

X.Ï+...+ X*

—T- ?

X/

et par suite t ne peut augmenter indéfiniment quand les x tendent vers les a.

19. Considérons en particulier l'équation différentielle

dy

dx

dont l’étude fait l’objet de ce Chapitre. Nous pourrons former le système

dx

de

dy

y/i + X!+ Y*

Lorsque t augmentera indéfiniment, ou bien x et y ne tendront vers aucune limite, ou bien le point {x, y) tendra vers un point sin-

dt

nœud, les inté-

gulier. Nous arrêtons, comme nous l’avons dit, à grales qui passent par un nœud, et il n’y a pas à parler des foyers qui sont des points asymptotiques. Quant à col,

un

nous

une intégrale passant par un la prolongeons, comme il a été convenu, par la courbe à droite ou la courbe à gauche (§ 13). Après avoir rencontré une première lois un col, une caractéristique peut rencontrer une seconde fois un col; mais, en continuant à suivre la caractéristique, il est clair qu’à partir d’un certain moment elle ne rencontrera plus de nouveau un col, à moins qu’elle ne soit une intégrale très particulière se réduisant à un cycle contenant un certain nombre de cols. Nous pouvons donc nous poser le problème cl’approfondir Vétude des caractéristiques qui, à partir d’un certain, moment, ne rencontrent plus de points singuliers, et dont nous savons déjà (§ 15) qu’elles sont des spirales; c’est ce que nous ferons dans la Section suivante.

(p. 333). Elle

20. Dans les paragraphes précédents nous n’avons pas utilisé une propriété fondamentale de la méthode de Cauchy-Lipsehitz, que nous avons indiquée dans la seconde édition du Tome II de cet Ouvrage sera particulièrement intéressante dans les problèmes où une variable indépendante, le temps par exemple, sera spécifiée.

Nous avons donné un exemple intéressant (t. 11, 2e édition, p. 33Q, relatif au mouvement d'un corps solide pesant mobile autour d’un point fixe. Les trois composantes de la rotation instantanée etles trois cosinus des angles des axes d’inertie avec la verticale ont été exprimés par des séries de polynômes valables pour toute valeur du

temps.

Nous avons aussi considéré (t. Il, p. 33q) le mouvement de p points

de la u,emc puissance de la distance

se repoussant en raison inverse (u >» i). La méthode de Cauchy-Lipschilz peut aussi s’appliquer dans le cas de l’attraction, mais alors la distance de deux points ne reste

pas nécessairement supérieure à en application de la méthode, ne restent convergentes que jusqu’à l’instant d’un choc, si toutefois il s’en produit.

un nombre fixe, et les séries obtenues,

III. — Des cycles limites.

21. Comme nous l’avons expliqué au § 19, nous allons considérer les caractéristiques, qui ne sont pas des cycles, qui à partir d’un certain moment ne rencontrent plus de points singuliers et n’ont pas un foyer comme point asymptotique. Nous savons déjà (§ 15) qu’elles sont des spirales. Il va être facile, en complétant les théorèmes de la Section II, d’approfondir davantage la nature de ces caractéristiques. Une demi-caractéristique, comme celle que nous suivons à partir d’un certain point, rencontrera certains cycles analytiques en une infinité de points. Un tel cycle se composera d’un nombre fini d'arcs sans contact. Un de ces arcs AB au moins est rencontré une infinité de fois par la caractéristique. Ainsi, si l’on considère la caractéristique passant par le point M₀ de l'arc sans contact AB, elle rencontre d’abord, au point M|, le même arc AB. Il résulte des explications des § 14 et 15, que le point suivant M₂ de rencontre ne sera pas

Fig. 13.

51

m₂/

M₀

entre M₀ et M₍ ; il sera à droite de M,, c’est-à-dire entre M| et B. Or, nous avons une infinité de points de rencontre de AB avec la caractéristique, et, par suite, une infinité de points

M», •

M₀, M i,    M₂,

chacun étant sur l’arc A B, dans la figure, à la droite du précédent. II en résulte que aura une limite C. Par ce point, qui n’est pas un point singulier, passera une caractéristique; si C ne coïncide pas avec l’extrémité B de l’arc sans contact AB, la caractéristique passant par C ne sera pas tangente à l’arc.

Il pourrait arriver que C coïncidât avec B et que, en B, la caractéristique fût tangente à 13A. Quoique ce ne soit là la source d’aucune difficulté, nous pouvons toujours supposer qu’il n’en est pas ainsi, car, dans cette hypothèse, on mènera, par B, un arc non tangent à AB, qui sera sans contact si on le prend assez petit, et sur lequel nous pourrons raisonner.

Soit donc CC' la caractéristique passant par le point limite C. On voit immédiatement que celte caractéristique est un cycle. En effet, la caractéristique, passant par M„, passe par un point M//+(, compris entre M„ et G; or, pour n très grand, M„ est aussi rapproché que l’on veut de G. Il en résulte que la caractéristique, passant par G, revient passer en ce point, c’est-à-dire qu’elle est un cycle.

Soit maintenant D un

point sur CG’, et menons par D un arc analytique DD\ En prenant n suffisamment grand, il est clair que la caractéristique, passant par M„, ira rencontrer DD', et l’on aura sur cet arc une suite de points

IG, 1*1,    • • •, IG,

(si la rencontre a lieu depuis n — o) qui se comporteront sur DJ)', comme se comportaient les points M sur À13. La limite de P„ sera le point D.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

La demi-caractéristique considérée a un cycle limite.

Nous donnons le nom de cycle limite à la caractéristique CG', qui est une courbe asymptote autour de laquelle s’enroule la demi-caractéristique étudiée.

l'I. D une manière plus générale, toutes les demi-caractéristiques,

comme cycle limite le point de l’arc Ail ne correspond un col, et qu’au seul point G de

passant par un point de l’arc AB, auront cycle GG', si l'on suppose qu’à aucun

une

caractéristique passant par

l’arc AB correspond un mière caractéristique passant par M₀

cycle limite. En effet, nous avons une pre-avec le cycle limite CCh Si nous

nous aurons une caractéristique voisine de

prenons N₀ voisin de M

la précédente et définie sans ambiguïté dans d’après les remarques des § 14 et 15, on aura des points de rencontre ., M„, et tous à gauche de ces points, si N„ est

(O.

son

prolongement,

voisins de M

à gauche de M₀. En prenant N₀ suffisamment voisin de M₀, le point N, sera compris entre M₀ et M,, et, de même, N/# entre M et M„ ; la caractéristique passant parN„ cycle limite. En allant ainsi de proche en proche, on voit que toutes les demi-caractéristiques correspondant a le même cycle limite GG'.

n— \

aura donc encore CG' comme

un

point de l’arc AG auront

Envisageons maintenant les points de l’arc CB qui sont de l’autre côté de la caractéristique.

La caractéristique passant par le point C revient au point C, puisqu’elle est un cycle. Par un point très voisin de C, sur CB passera, par conséquent, une caractéristique, cpii coupera certainement, une seconde fois, l’arc CB; on se trouve alors pour l’arc CB dans les mêmes conditions que pour l’arc CA et il en résulte que CC' est aussi un cycle limite pour les caractéristiques passant par un point de CB.

Le cycle CC7 est donc cycle limite pour deux séries de caractéristiques , qui sont les unes à Vintérieur du cycle, les autres à V extérieur.

Autour de CC' se trouve une région annulaire, telle cpie toute demi-caractéristique correspondant à un point de cette région est asymptote au cycle limite. #

De plus, on peut, dans cette région, tracer une infinité de cycles sans contact. Considérons, en effet, une certaine caractéristique; on peut tracer dans l’anneau un cycle L ne rencontrant la caractéristique qu’en un seul point. Il est aisé de voir que P sera un cycle sans contact, car, autrement, on aurait une demi-caractéristique rencontrant F en deux points et alors toute demi-caractéristique, passant par un point de T, rencontrerait au moins cette courbe en deux points, et il en serait ainsi de la caractéristique dont nous sommes parti.

23. Les deux paragraphes précédents, joints aux considérations développées dans la Section II, nous donnent des renseignements précis sur la nature des caractéristiques. L’existence des cycles limites est un point capital dans la théorie de M. Poincaré. Pour résumer l’élude précédente, nous pouvons dire que les caractéristiques, dont la continuation ne se trouve pas arrêtée par un nœud, sont ou bien des cycles, ou bien des courbes asymptotes à un cycle limite. Le cas du cycle limite, se réduisant à un point, correspond aux caractéristiques qui s’enroulent autour d’un foyer.

Si nous voulions continuer celte étude el passer de la partie qualitative à la partie quantitative de la recherche des caractéristiques, il faudrait montrer comment on peut arriver à fixer approximativement la position des cycles limites. Nous renverrons pour cette suite aux Mémoires cités de M. Poincaré, où l’on verra que, sinon dans le cas général, du moins dans bien des cas, la question peut être poussée jusqu’à son terme.

20J

24. Terminons par une remarque relative aux équations algébriques du premier ordre, mais de degré supérieur en Un exemple

simple va nous montrer que dans ce cas la nature des caractéristiques peut être très différente de celle que nous venons de trouver pour les équations du premier ordre et du premier degré. Prenons,, en effet, l’équation différentielle en coordonnées polaires

(A<è),

a)

“OA-pmp-

a étant une constante.

Si des coordonnées polaires on passe aux coordonnées rectilignes, on aura une équation algébrique en x, y, • De l’équation

r/p

duj —

il résulte que nous aurons des caractéristiques comprises entre les deux circonférences

p = b.

p = a,

et qui d’ailleurs s’en éloignera

tout et p — b.

Cet exemple montre bien l’intérêt de l’étude résumée au paragraphe précédent.

Les solutions seront périodiques, si a est coinmensurable. Mais, si a est incommensurable, nous aurons une courbe qui, à un certain moment, pourra se rapprocher, autant qu’on voudra, d’un point arbitrairement choisi dans la couronne ensuite. On a là une circonstance toute différente de celle qui se présentait pour les équations du premier degré; le prolongement d’une caractéristique se trouve couvrir, en quelque sorte, l’aire entière de la couronne comprise entre les cercles p = a

IV. — Étude de quelques cas singuliers.

2o. Nous avons examiné plus haut pour 1 équation

dx dy

X= Y ...

les cas généraux, c’est-à-dire ceux où aucune relation particulière P. — lit.

n’existail entre les coefficients; seul Je cas des centres pouvait être regardé comme un cas particulier.

Dans un Mémoire très important (Acta mathemalica, t. XXIV), M. Bendixson a étudié dans toute sa généralité l’équation précédente dans le voisinage d’un point singulier O pour lequel s’annulent les polynômes X et Y. Il a établi en particulier que, s’il existe pour cette équation une courbe intégrale allant au point O avec une tangente déterminée, toutes les courbes intégrales allant à l’origine y parviendront avec des tangentes déterminées.

Dans les travaux de M. Bendixson, une équation de forme particulière joue un rôle important. C’est l’équation

FO, y\

dv

x»¹ -f- = dx

la fonction holomorphe F(O, y) autour de x = o, y = o s’annulant pour ces valeurs; nous allons l’étudier.

Prenons d’abord le cas de m = 2.

Le coefficient de y dans F(;t,jk) joue un rôle important. Posons

FO,y)=by    —/O, y),

/O, y) = xv O) -+-7X.O, 7),

X("> °) = o.

avec l’hypothèse

En supposant b = 1, ce qui est évidemment légitime puisqu’il suffit de remplacer x par bx: nous avons l’équation

(0

dy

=y— /O, y)-

Soit un point x₀, y₀, d'abscisse x₀ positive. Nous allons démontrer que, si xa et \y₀ | sont suffisamment petits, l’intégrale passant par ce point passe aussi à l’origine.

Procédons par approximations successives; formons les équations

= 7» — /O. °)>

O)

= 72 — /O, y 1),

' x⁹-    = yn — f(x, yw_, ) ;

tous les doivent prendre, pour x = x₀, la valeur y₀. Nous allons •démontrer que les yi convergent uniformément vers une limite.

Soit h une quantité donnée, on peut prendre x₀ assez petit pour •que l’on ait quand x << x₀ et | y | < //, et pour qu’en même temps soit remplie la •condition

(£•<!)•

I/O, y')—A*,y) I <g\y — y' I

Si,

au moyen des équations (2), on calcule successivement y y₂, .. ., y,i~\i la dernière donne, par une intégration immédiate,

<3)

\x xo/ e

n—1

) dx.

Considérons d’abord y

yi=yoe

V x x₀} 1 e

1 r*o y x

J x

0) dx.

Je dis que, x tendant vers o par valeurs positives, y, tend vers o et s’annule pour x = o.

11 suffit pour cela de démontrer que

e-hf

y X

— erty(x) dx

tend vers o, quand x tend vers o comme il vient d’être dit, sous la condition <j;(o) = o.

Soit i une quantité positive fixe, qu’on prendra aussi petite que l’on veut, mais fixe une fois choisie; l’expression précédente peut s’écrire

i r ⁰1

y,

si-

fy(x) dx.

— e vty(x) dx -h e

La seconde partie s’annule pour x = o; la première partie peut s’écrire, en désignant par ç

une

quantité comprise entre L et x,

CHAPITRE X.

2ÔO

Quand x tend vers o par valeurs positives, cette expression tend vers '}(£); d’après les hjpothèses faites sur £, l et ']/, cette limite ne peut être autre que zéro. On a donc

y i (°) = o.

Il en résulte que tous les yn s’annulent de même pour x = o.

Il faut, avant tout, s’assurer que lesjp« sont en module inférieurs à h. Prenons

,    , h

\yo\ < -»

nous aurons

OU

,    , h

\yx | < - -t-c

,    . h h

.V

..'o

¹ - h ,

— ex — dx

I -e\.r₀ x/

En allant de proche en proche on aura de même

|jVn | < h.

Formons maintenant la différence yn — yn~\ i 011 a

•*o

r* — J'n-i

-~ï e ' [ /( yn-\ ) - /( a?, V« - 2 ) l'te,

d’où il résulte

ir i

r;

x

t-1

—yn-ï !

donc

\y-2—yi I < «

V

*• J

.•'o

— e'ghdx<gh,

et ensuite

i yt — yt I <

\ym— y,n-\ | <gm-'h.

Puisque g < i, il résulte de là que la série

ca/ uniformément convergente.

Dans les équations (2) le passage à la limite maintenant légitime

donne

y =y<>e

i /»J'« i

" f —e~

J,

f(x, y) dx;

et il faut vérifier que la fonction y que l’on vient de définir vérifie bien l’équation différentielle proposée; on a

y ex — y ₀ e-"'° -+-

I —

/    ,y)dx,

X

et en differentiant

dx

d’où

(0

dy

x'd^ =a—

En résumé nous avons établi que l’intégrale de cette équation, passant par un point suffisamment voisin de l'origine d’abscisse positive, va passer par l’origine.

26. Nous devons maintenant nous demander si les courbes trouvées ont une tangente à l’origine. Si y représente une intégrale déterminée de l’équation (i), on peut écrire celte équation sous la forme la fonction continue fy(x') s’annule pour x = o et il en est de même pour la série entière enr, <p(.r); ainsi

'l(o) = o,

Appliquons la méthode classique d’intégration à l’équation linéaire précédente; nous obtenons la formule

xl-t-4'(.r)

y =y »e

j,,    ■’

.«•*

dx

/* r 1 -H 'p ( .»• >

-Jx X* dx

e ⁰

x-

dx.

Cherchons si —

a une

limite pour x = o. Le premier terme

/•* H-tl; (a⁻)

/ —

y T»

yo

CHAPITRE X.

262

a zéro pour limite, car, pour des valeurs suffisamment petites de xr '    ¹ — - est compris entre ~ et ^> P et Q étant deux nombres

positifs donnés; l’intégrale e ,0

14-d; fjr )

/, dx

est alors comprise entre

. Considérons donc maintenant le second terme; après division par x, il faut chercher la limite de

et e

p(--— )

\ JL' J'O /

14- 'tM x ) -T,-d.r

J-O

37²

Hx

-f.

xe ⁰

Prenons le rapport des dérivées

/*¹14-']/(.»•)

e ⁰

?(x)

? (-r )

<?(x)

X'²

x'²

/* "* 1 4-    ( X )

e ⁰

1 -+- 4* (3?)    .

— 37--—-—- e

x-

* I 4-<lM.» ')

-—- ilx

X*

I —f— Ip (x)    -1-4-37-<j/(37)

Or

j-

La limite cherchée sera donc —a. Ainsi pour nos intégrales on a

Jim — —

x=o x

— a.

Elles ont une tangente à l’origine, la même pour toutes; cette tangente est celle de la courbe

y—f(x,y) = «•

27. On aurait pu démontrer directement l’existence de ces intégrales. Reprenons l’équation

dy

⁼ y—f(xi y)>

en posant

f(x, r) =x<o(x) -hy(*x-h fis ..).

COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

Considérons la courbe T

y—Ax>y) = °;

elle est tangente à la droite

si

çp(x) = aj -I- <xzx 4-....

Pour fixer les idées et tracer une figure ( fi g.

Fig. i3.

i) supposons »|>• o.

+e

ô iX

z⁷"

f(x, y) étant de la forme

Ÿ(x) -t- Q(.r)y -f- R(^r)^²-i-...

avec

P(o) = O,

Q(°) = o

il est évident qu’on peut trouver deux valeurs + e et — £ telles que, si x est

moindre qu’un nombre suffisamment petit X, la fonction y — f(x, y) soit positive pour y = -+-e, négative pour y = — £ et

que l’équation

y—A °> y) = ⁰

ait la seule racine y = o entre 4- e et — s. Cela suppose naturellement que le rayon de convergence de /(.r, y) par rapport à y est supérieur à e quand | x \ < X. La fonction y—• f{^-,y) est positive au-dessus de F, négative au-dessous.

Suivons alors une intégrale IjFolO)- Si le point (x, y) est au-dessous de T, la fonction y

augmente quand x diminue, puisque^ < o. Si le point (x, y) est

au-dessus de T, la fonction y diminue courbe intégrale rencontre F, sa tangente parallèle à O x. Cette courbe ne peut donc atteindre en aucun cas les droites y — + s et y = — £.11 résulte de tout cela que y tend vers une valeur déterminée entre — e et -f- £ quand x tend vers zéro.

en

parlant d’un point x₀, y₀ (x₀«<X,

avec r. Si, d’autre part, la au point de rencontre sera

D’ailleurs cette valeur déterminée doit être nulle, car, si cette valeur •était k yé o, l’équation

dx

x'¹

dy y—f(x,y)

aurait une intégrale x, fonction de y, qui pour y = k serait nulle. Mais, comme k — k) yé. o, cette équation n’admet pas d’autre .intégrale passant par le point (o, k) que x = o.

28. Nous ne nous sommes occupé jusqu’à présent que de la région du plan située à droiLe de l’axe O y puisque nous avons essentiellement supposé ,r₀>>o. Montrons maintenant que du côté gauche de cet axe il n’y a pour l’équation

=y—A*,y)

qu'une seule intégrale arrivant à Vorigine. Tout d’abord il ne peut y avoir de ce côté deux intégrales s’annulant pour x = o. On aurait, en effet, en désignant par y, et y₂ ces deux intégrales,

yi—f(v,yt), =72 —/(*» y*)*

dx

donc

^ d(yt-yi)

dx

= (yt — yO/rC*),

g(x) prenant pour x = o la valeur un. On en conclut

d(yt-yi) _ g(x) dr yt—yi **    ’’

donc, en posant

u = u₀e''

y 2 y t⁼⁼ o.

*o

(x₀<o).

Or, l’expression

grandit indéfiniment quand x tend vers zéro par valeurs négatives. Comme u devrait tendre vers zéro, il y a contradiction.

L intégrale unique peut être obtenue par approximations sives, dans le même ordre d’idées que précédemment. On forme jours les équations

succes-

tou-

=yn—f(x, yn-i),

et l’on prend

yn =

-1 r° i -

⁶ * I ~ieXf(xiyn-\)dx,

qui satisfait bien à la relation entre y„ et y,i~\- On voit de suite queyn s’annule pour x — o, car, en posant

/O, y>i-1) — ^(x),

on peut écrire

0< £ <o).

Or <]/(£) s'annule pour £ = o.

En suivant la même marche qu’aux paragraphes 25 et 26, on démontrera la convergence uniforme de y„ vers sa limite et l’existence d’une tangente.

29. Tout ce que nous venons de dire pour Véquation = *>y— f(x,y)

(b ^ o)

s’applique à Véquation

Xim = b y —f(x, y).

D'un côté de Taxe des y (à droite si b > o) une infinité d’intégrales arrivent à Vorigine ; de Vautre côté une seule (,).

(•) I. Bendixson, Acta mathematica, t. XXIV.

CHAPITRE X.

266

30. Les circonstances sont très différentes pour l’équation

dy

xim+l ÿg = h' —/O, y)-

Le signe de b va prendre ici une grande importance. En effet :

i° Si bg> o, Vintégrale passant par un point (xa,yn) suffisamment près de l'origine va passer par l'origine;

2⁰ Si b <C o, il passe seulement à l'origine trois courbes intégrales, l'une à droite de Oy, l'autre à gauche, la troisième étant l'axe des y.

D’après ce qui précède, ces résultats sont faciles à établir. En changeant x en—x, l’équation conserve la même forme; tous les raisonnements subsistent donc à gauche comme à droite de O y. Par suite, si b~g> o, on pourra prendre b= 1, et l’intégrale passant par (x₀1 y₀) suffisamment voisin de l’origine passe toujours par l’origine. Si b <g o, nous sommes dans les circonstances que nous avons rencontrées plus haut, à gauche de O y. Il y aura une seule intégrale à gauche de O y arrivant à l’origine, une seule à droite. Le théorème se trouve donc établi.

31. Le calcul des dérivées successives va nous donner un résultat intéressant pour la représentation asymptotique des intégrales. Nous avons montré plus haut que les intégrales avaient des dérivées premières pour x = o. Elles ont aussi des dérivées de tout ordre.

Reprenons en effet l’équation

F ( x, y ) = b y -t- a x -t-...

x'nyg ⁼

On a vu que y avait une dérivée égale à — ^ pour x = o. Soit

et posons

z, aura zéro pour limite et l’on a

dz,\

x'" fai -+- zi

x-yg J = b(a{ x -t- ztx) -h ax ...

OU

dZi ^ ,

*'dï = F'(z”x)’

avec

Fj(o, o) = o.

Celte équation est de meme forme que la première; le coefficient de z, dans F₍ est également b.

11 en résulte que existera pour x = o et aura pour valeur a-±‘r en posant

= a₂x x,

on continuera de même. Finalement on obtiendra ainsi y — ct\X -f- ct%x^.. .-l- anxn-4- zrlxn;

les coefficients «,• étant des constantes déterminées de proche en proche au moyen de l’équation seule. z„ s’annule d’ailleurs pour o et satisfait à l’équation

x ==

F«(o, o) = o;

de plus a pour x — o une valeur déterminée.

De cette remarque résultent plusieurs faits importants. D’abord toutes les intégrales (quand il y en a une infinité d’un coté de O y) . ont un contact d’ordre infini.

Ensuite on peut calculer yp~p' ce d¹¹* donne

dçy dxt’

yfzm x) étant une

supposer n pm. On a donc, pour x = o,

1.2... pa,,,

1.2

/>«,, + .. .-h n(n — 1).. .(n —p -\-\)an xn~P -+- x^-pm i(zn, x),

fonction entière de zn et de x. On peut d’ailleurs

(d>’y\ ₌

\ clxP )

de sorte que toutes les dérivées de y sont déterminées pour x

On a donc la même représentation asymptotique pour toutes les intégrales. Ceci veut dire que, pour une valeur donnée de p, on a, pour toute intégrale,

= o.

y = a y x -4-a p-t- £/, )xP,

zp tendant vers zéro avec x.

Si la série a{ x + a₂x² +... -|- anxn ... est convergente, elle donne une intégrale holomorphe. Mais, en général, cette série n’est pas convergente. U suffit, pour en donner un exemple, de considérer l'équation

dZ =

X'~dx

On a

a,i = —

i .2.. .(n — i)

a,

et la série diverge. Dans l’équation

dy

xm -j- = ci x b y -+■...,

nous avons supposé b o. La question devient difficile si b est nul. Nous allons nous y arrêter un moment, mais seulement en supposant m = i.

Faisons auparavant une remarque sur l’équation

dx

.étudiée par Briot et Bouquet. Elle admet une intégrale liolomorplie passant par l’origine (du moins si b n’est pas un entier positif). On le démontre en faisant le calcul des coefficients d’une série qui vérifie d’une manière littérale l’équation précédente et en établissant la convergence de cette série. A cet ellet, écrivons l’équation sous la forme

dv ,

x    — by = ax -1-..

et prenons la dérivée d’ordre n des deux membres; en faisant ensuite dans le premier membre x — o, on obtient

(n —

<i£):

Si donc n — b n’est pas nul (« = i) on pourra calculer les coefficients du développement cherché. Pour démontrer la convergence, prenons pour le second membre

ax + Qi(x, y) -h...

fonction majorante n’ayant pas de terme constant et pas de

une

du premier degré en y, ce sera

ternie

(- )(

« I O-

— M — M — • /•

Si w est le minimum de \n — b |,

obtenu pour y, à la fonction algébrique y définie par l’équation

— M — M — > r

on

compare le développement

s’annulant bien entendu pour x = o, et l’on constate immédiatement que cette fonction algébrique est une majorante pour l’intégrale. Revenons au cas où, dans l’équation

x ^ = ax -4- »j(a7, y) -f-. . .,

le second membre ne contient pas de terme eny(b = o). Cette équation possède, on vient de le voir, une intégrale bolomorphe Y passant par l’origine. Remplaçons r par Y H-JK, on aura l’équation

x ^ = y( A y"¹1- Ba? + ...),

le terme Aym(m>i) étant le terme de moindre degré en y seul, dans

la parenthèse.

La parité de m et le signe de A vont jouer

un rôle important dans la discussion des courbes intégrales passant par l’origine. On a, bien entendu, dans tous les cas, les deux axes de coordonnées comme inté

grales.

Supposons A > o, et construisons la courbe I ,

y( Aym-+- Bar + ...) = o.

Elle se compose de l’axe des x et, suivant la parité de m et la valeur de B, de zéro, une ou plusieurs courbes passant par l’origine. Si B ^o, il n’y aura qu’une seule branche. Dans la figure 12, le tracé puisque la courbe T n’est pas tangente à Or;

suppose qup m = i, mais cela est sans importance. Le point important est qu’au-dessus de Ox il y a une région positive et

une

région négative pour la fonc-

lion y(\ym-\- Bx -+-...); ces régions sont marquées sur la figure. Si le point (^₀,^₀), au-dessus de Ox, est dans la région négative,

^ étant négative, y augmentera quand x diminuera; si la courbe intégrale rencontre T, y alors diminuera et arrivera à l’origine ou à

Fig. i4-

(xo )₀)

un point d’ordonnée a sur l’axe des y quand x deviendra nulle. Mais ce point a ne peut être que l’origine, sans quoi l’on aurait x = o pour y = a o ; donc x serait identiquement nulle, ce qui est absurde.

Par conséquent, si Je point (x₀,yo), au-dessus de O^(y₀>o), est suffisamment rapproché de l’origine, l’intégrale passant, par ce point, passe aussi par l’origine.

Qu’arrive-t-il maintenant, A étant toujours positif, quand y₀ est négatif?

Si m est pair, on peut changer dans l’équation y en —y, les conclusions précédentes s’appliquent donc alors au-dessous de Ox, de sorte que, si A est positij et m pair, l'intégrale passant par un point (x₀, y₀) suffisamment voisin de l origine passe aussi par l’origine.

Si, A étant positif, m est impair, il en est autrement. Il n’y a plus alors d’intégrale au-dessous de Ox et passant par O. Supposons en effet qu’une telle intégrale existe. Ecrivons alors l’équation

1 X ( 0 ) = <>].

dx

Posons

Y = —/i

y> o,

nous aurons

dx =y

'/«+1

[ A -H X( y')] — xy-/(x,—y').

COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

G est une équation d’un type élémentaire 5 écrivons-la

dy'

~xlfc=r

®(®) — xy' «K a?)

[?(“) = A > o].

On aura, en posant

—;— = u,

' m    ’

x du

⁺ m Ui + *«+(0 = ?(*)•

En intégrant cette équation linéaire du premier ordre, on obtient

G —H ni

r"îMe

J x

•l ty(.r)dx

** J’o

dx

k f —j h étant une

•4. *

Quand x tend vers zéro, d’après l’hypothèse faite, u tend vers 4-oc; or le second membre devient infini comme

constante positive, et comme vers — co; il y a donc contradiction.

x\<^\Xq\, ce second membre tend

Ainsi donc, si A est positif et ni impair, il n’y a pas d’intégrale passant par l’origine au-dessous de Ox.

L’étude du cas où A est négatif se fait de la même manière. Si m est impair, en changeant y en —y on est ramené au cas précédent; au-dessous de Ox l’intégrale passant par (x₀,y₀) suffisamment près de l’origine passe par l’origine; au-dessus de Ox aucune intégrale ne passe par l’origine. Le seul cas nouveau est donc celui où A est négatif et ni pair. Dans ce cas il n’y a comme intégrales que les deux droites Ox et Oy. On le voit par un calcul analogue à celui qui a déjà été fait. L’équation

m-t-I

dx

[A -+- A(y)J -+- xy xO,y)

ou

dy

m-h I

o(x) -+- xy fy(x)

(ici 0(0) < 0)

■donne

yt"

■ fX»f\M

x ) dx

L y?

r %(x)

ni /    --- e

J x

Uxt

I m <]/ ( jp ) dx

J x°    dx

Comme ni est pair, y,n est toujours positif quel que soit le signe

de y. Quand x tend vers zéro, le premier membre tendrait vers + 00 s’il existait une intégrale y passant par l’origine; or le second membre tend vers — 00. La contradiction est manifeste.

32. La question est donc traitée dans tous les cas. Il reste à étudier la forme analytique des intégrales. On peut y parvenir en se servant d’une transformation déjà employée par Briot et Bouquet. Faisons auparavant la remarque que, si l’on suit jusqu’à l’origine une intégrale autre que Ox, le quotient

u+1

tend vers zéro quand x tend vers zéro. En effet, en se reportant aux formules précédentes et en supposant x positif, ce qui est permis puisqu’on ne change rien d’essentiel à l’équation en changeant x en — x, on a

y,"

= k(x)logx -hO(x),

k(x) et 9(#) tendant vers des valeurs finies quand x tend vers zéro, la limite de k(x) étant de plus différente de zéro. On a donc

ym+¹

“ï = x(k loga? -I- 0 ) '« .

Or le second membre tend vers zéro quand x tend vers zéro.

Si l’on fait alors le changement de variable

x — \ym+i,

l’équation

x ^ = y ( Xy,n -+- B x    )

devient

dy

m+l — = *    -+- <?(L r)],

oÇk,y) étant une fonction holomorphe de et de y dans le \oisinage de l’origine et s’annulant pour X = o, y = o. On est donc ramené au cas précédemment examiné.

CHAPITRE XI.

GÉNÉRALITÉS SUR LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES (*).

I. — Théorèmes fondamentaux.

1. Abordons maintenant l’étude d’une classe particulière d’équations différentielles, qui a fait, depuis /\o ans, l’objet d’un nombre considérable de travaux; ce sont les équations différentielles linéaires et homogènes. On entend par là des équations de la forme

dxm~¹

(0

d'n y

dx'n

où les coefficients p sont des fonctions de la seule variable x, que supposerons uniformes dans une certaine région du plan à contour simple et n’ayant d’autres points singuliers que des pèles.

Pour une certaine valeur x₀ de x, qui n’est pas des />, on peut se donner arbitrairement la valeur d’une intégrale et de ses dérivées jusqu’à l’ordre m c ulières

nous

un

point singulier

. Soient donc m intégrales parti -

yu y2>

déterminées chacune par leurs valeurs initiales pour x = x₀ et par celles de leurs dérivées jusqu’à l’ordre m — 1. On peut supposer que le Tableau de ces valeurs initiales, c’est-à-dire le déterminant sui-

vant, pris pour x = xa,

«Xi

dy*

y ni

d-y m

O)

dx

dx

dx

d,n~¹ym

dx"‘~l

dm~lyi dm~lyi dx'n—¹ dx"l~[

ait une valeur différente de zéro. De plus, ces solutions particulières sont toutes holomorphes à l’intérieur d’un certain cercle I' décrit de x{) comme centre.

Ceci posé, considérons une intégrale quelconque y ; elle sera déterminée par la valeur qu’elle prend en x0l ainsi que ses m — i premières dérivées. Or, formons la combinaison

ni*

CiJPi ■+■ Ctys ■+■•••■+■ C,/,y

On peut choisir les constantes C de manière que cette expression, premières dérivées, soient égales respectivement premières dérivées pour.r = .r₀. On aura, pour

ainsi que ses m — à y et à ses m — cette détermination, à résoudre un système d’équations du premier degré pour lesquelles le déterminant ne sera pas nul d’après l’hypo-tlièse faite ci-dessus. Or il n’y a qu’une seule intégrale qui prenne, ainsi que ses m — i premières dérivées, des valeurs données pour un point non singulier x₀ ; on a, par suite,

On peut donc avec m intégrales quelconques (sauf la restriction d'inégalité mentionnée') former Vintégrale générale.

Une autre conséquence très importante à tirer de ce qui précède est qu'une intégrale quelconque y est holomorphe à l'intérieur du cercle T. Ainsi, considérons une aire A, à contour simple, ne comprenant aucun point singulier des coefficients p de l’équation différentielle. Pour chaque point de cette aire, nous pouvons tracer, autour de ce point comme centre, un cercle à l’intérieur duquel toute intégrale est holomorphe. Le rayon de ce cercle peut varier avec la position du point, quand celui-ci varie dans A, mais son minimum n’est certainement pas nul.

Par suite, l'extension analytique dans la région A peut se faire de

avec un cercle de rayon fixe (le cercle de rayon avons cette proposition capitale :

proche en proche minimum) et nous

Toute intégrale de (1) est holornorphe dans une région du plan à contour simple ne comprenant aucun des points singuliers des coefficients de Véquation différentielle.

Il résulte encore des considérations précédentes que les intégrales de (1) ne peuvent avoir d'autres points singuliers que ceux des coefficients p. Nous appellerons ces derniers les points singuliers de T équation différentielle.

2. On donne à tout système d’intégrales y,, y₂, ..., y„₂, pour lequel le déterminant (2) n’est pas identiquement nul, le nom de système fondamental d’intégrales. On doit remarquer qu’entre les intégrales d’un système fondamental n’existe pas de relation homogène et linéaire à coefficients constants telle que

21y 1 -+- a₂y2 -I- ...-+- amyrn — O,

car, en différentiant m —

fois cette relation et éliminant les a, on

voit que le déterminant (2) serait nul.

Réciproquement, si pour m fonctions yt, y₂, ...,ym de x, le déterminant (2) formé avec

entre les y une relation de la forme précédente, les a étant des

ces fonctions est identiquement nul, il y

aura

on

constantes. Pour le montrer, nous pouvons supposer que le déterminant d’ordre m — 1, obtenu en supprimant dans (2) la dernière ligne et la dernière colonne, n’est pas identiquement nul, car autrement serait ramené du cas de m au cas de m 1. Dans ces condi-

tions, nous pouvons former l’équation linéaire E d ordre m 1 ayant pour système fondamental d’intégrales

y 2> • • • î y m—i*

y 1»

Le déterminant (2) étant nul, y m satisfera à l’équation E, et, par suite, on aura, d’après le premier théorème du paragraphe précédent,

ym — aijKi -+- a₂j, -4-... -4- <xm—\ym—\,

les a étant des constantes.

3. Revenons à la région A du plan à contour simple, où les p sont des fonctions holomorphes de la variable complexe x. La méthode des approximations successives, déjà étudiée à diverses reprises (voir notamment p. 88 de ce Volume), permet d’obtenir pour toute intégrale un développement convergent dans cette région; c’est ce que nous avons déjà dit. A la vérité, nous supposions que la variable restait réelle, mais l’extension à la variable complexe se fait d’elle-même, comme nous avons déjà eu l’occasion de le voir (¹). Nous avons donc le théorème suivant (-) :

Toute intégrale de Véquation (i) peut être représentée par une même série dans une région quelconque du plan à contour simple ne comprenant aucun point singulier de Véquation différentielle.

4. Abordons maintenant l'étude des points singuliers. Nous allons supposer que, dans une certaine région du plan, les coefficients p aient comme points singuliers des pôles. Soit a un de ces points; il pourra être un point singulier pour les intégrales de 1 équation différentielle.

Partons d’un système fondamental

• • • i y ni !

défini dans une certaine aire voisine de a et ne contenant pas ce point. Si, parlant d’un point de cette aire, nous faisons décrire à la variable x un contour fermé autour du point «, il arrivera, en général, que nous ne retrouverons plus le système initial. Mais, comme l’équation différentielle n’a pas changé, nous retrouverons un autre système d’intégrales de la même équation

Y,, Y,,    ...,    Y„,,

et l’on aura

Yi — «ii y i -f- a.\i y 2 —• • • —a\m y mi Y •> — ax\ y i ■+■ an y± •+*• • • •+■ a2m y un

(’) Tome II de ce Traité, 2' édition, p. 351.

(²) Pour les applications de la méthode des approximations successives aux équations linéaires, on pourra consulter une Note que j’ai publiée dans le Bulletin de la Société mathématique (1894).

les a étant des constantes. Nous allons chercher si l’on peut trouver une intégrale

a1 y\ -+~ a2jK-2    dmyni ,

qui se reproduirait, à un facteur constant près, par la circulation précédente. Après avoir tourné autour de «, nous avons, pour w, une valeur U, et l’on a

Écrivons donc

que

!tl(alljl + ' • ‘“I⁻ «I ni y ni ) H- a2 ( «2! }'\ -t- . • . -+- 0>\my ni ) "+" • • •

a/n ( «/Ml y \ “P • • • -+- U ni ni}' ni )— {-*■ ( x 1JKI H⁻ . • • —l- rJ-m}' ni )•

Or, il ne peut pas exister de relation linéaire et homogène à coefficients constants entre les y; sinon, le déterminant (2) serait identiquement nul. On aura donc

P) + *2«21

«1«12 ■+- a2 ( ^22- [T ) -1- ... -h Cl,lt a„,2

= O,

= O,

« 1 «1/m ~P *2 «2/m

■+■ • • . ■+"    ( Cl ni ni    p) —

et l’on en conclut

«11 — P

«21

Cl ni I

(3)

«21

«22- [JL

Cl mi

== O.

Cl 1 ni

« 2 ni

Cl ni ni p

facteur u. près, correspond au même facteur p. Les équa-

une

Il est facile de voir que les racines de cette équation de degré m en [jl. sont des invariants, c’est-à-dire sont indépendantes du système fondamental dont on est parti. En ellet, toute combinaison linéaire des y est une combinaison linéaire des éléments z d’un autre système fondamental et inversement; par suite, à toute combinaison linéaire des y, se reproduisant au combinaison des s, se reproduisant lions de la forme (3), correspondant à l’un et l’autre système, ont donc mêmes racines.

Remarquons encore

que l’équation (3) ne peut avoir de racine nulle, car le déterminant j an, | devrait être nul, et alors les Y et, par

suite, les y ne formeraient pas

un système fondamental.

5. Supposons que l’équalion (3) ait ses racines distinctes. Aux m racines

f*l, V-2

correspondront m intégrales

Uni ;

lt\

U 2,    .

ces intégrales seront linéairement indépendantes, car, si l’on avait entre elles une relation à coefficients constants,

kj lt\ —j—    Mg • • • “T* k ni ll/tj ⁼⁼ O.

En faisant faire un tour à x autour de <7, on aurait k\ [j-i u, -+- X"₂ {J-2 u₂ -+-.. . km [xm u,a = o,

et donc, d’une manière générale,

ki |*ï «i -+- k₂ u₂ 4-... -4- km um = o

(i = o, 1,2,

m — 1).

Ces m relations sont impossibles, car on en déduirait que le déterminant de Vandermonde relatif aux p est égal à zéro.

W₂, .

constantes p,, p₂, ..., p,„, quand x tourne autour de a.

On peut aisément donner la forme analytique générale de ces intégrales. La fonction

Ainsi donc, pour le cas général où l’écpiation (3) n’a pas de racines égales, on a un système fondamental d'intégrales u um, se reproduisant respectivement multipliées par les

(x — a)r 1

se reproduit multipliée par e27zr>¹, quand x tourne autour de a; si donc on a

e2nrti ₌

OU

—•'“SR

on

voit que l’on a

«1 — (x — a)ri<pi(ar),l

ofx) étant uniforme dans le voisinage de a. O11 a, d’une manière générale, les m intégrales

( i — i,2, . •. ) m ),

Ui = ( x — a )r> o i(x)

les <p étant uniformes autour de a.

6. Supposons maintenant que l’équation (3) ait des racines multiples. Nous allons montrer que, s’il y a des racines multiples d’ordre a, |3, ..., on peut s’arranger de manière que les intégrales se partagent en groupes de a, [3, ... lettres, de telle sorte que, u., désignant la racine d’ordre a, on ait pour les a intégrales que nous désignerons par a?,, x₂, ..., xa la substitution linéaire suivante, correspondant à une circulation autour de a,

X 2 [JL j X₂ —t— X ] [ X j ,

(4)

Xÿ -j- Xj 2 X₂ -J- À22 X\,

Xfx fi.) Xa-h Xja_ 1 ^ra-i -+-... -+- Xa—ij0t—1 X\,

et des substitutions analogues pour les autres groupes de lettres.

Pour démontrer ce théorème, nous le supposerons vrai pour m — 1 lettres et nous montrerons qu’il est vrai pour m. Nous partons donc de

on eor-

on peut toujours supposer que l’on remplace ce système par un autre système y, xt, x2l ..., xm_K, pour lequel la substituti respondant à la circulation autour de a sera exprimée par le Tableau

y 91/,

x,

Xo

X,

x.

x,„-, X/n_ 1^,

les X étant des fonctions linéaires en x,, x₂, ..., xm_,. Les racines de l’équation en u relative aux y, que nous savons être des invariants, se composent de u, et des racines de l’équation de degré m — 1 relative aux formes linéaires X,, X de degré a, elle sera, pour cette dernière équation, de degré a — 1. D’après l’hypothèse admise que le théorème est vrai pour m — 1 lettres, nous pouvons faire sur xt, x.,, ..., xm_{ une substitution telle que nous ayons pour elles les substitutions de la forme indiquée; nous n’aurons cependant pas encore la forme voulue, sauf pour le premier groupe de a lettres correspondant à la racine p,, à cause des termes eny, qui ne doivent pas figurer dans les groupes suivants. Mais il suffit

X ni—1

■ii •

..,x

m—l

. Si u., est une racine

280

CHAPITRE XI.

alors de remplacer

( i'à * ),

xt par Xi—k-y

Ai élant une constante convenable, pour que la substitution ait la forme indiquée. Ainsi, par exemple, si la substitution relative à Xi

est

X{, [A iXi-hAijr,

nous substituerons à la variable Xi la variable

xi — ky ;

elle se transforme alors en

c’est-à-dire

V-ii xt— ky) 4- k( iX/-- u„ )y 4- X,y.

Si donc on choisit k de manière à avoir k{ [Xi— [x, ) 4- X/= o,

ce qui est possible, puisque p/^zép,, on aura effectué la transformation cherchée.

7. Nous pourrions nous servir de la forme de la substitution (4) pour trouver une expression analytique de xK, x₂, . . ., xa. Nous procéderons autrement, en considérant une équation auxiliaire qui reviendra souvent par la suite. Soit une première intégrale

y\ = O —

fi(x) étant uniforme dans le voisinage de a. Posons

z dx ;

z satisfera à une équation différentielle d’ordre m — i de même forme que la proposée

dm~ U

dxm~x

4- q 1

dm~* z

dx"¹-*

4-... 4- qm—î z — o.

A cette équation d’ordre m — i correspond une équation en p analogue à (3) et de degré m — i ; ses racines seront les racines de (3), prises à l’exclusion de p,, divisées par p,. Dans le cas actuel, si rt

nous aurons pour l’équa-racine multiple d’ordre a — i égal à un. L’équation en z a donc au moins une intégrale uniforme autour de a. On opérera sur l’équation en s comme on a opéré sur l’équation en y, et finalement on obtient un groupe de a intégrales

correspond à la racine multiple u., d’ordre a, tion en z une

y \ — <> — «)r» ©01,

= yi J zdx,

y*

= y\ f Z dx C

u dx,

= y\ J'z dx j'u dx j'. .. j'w dx,

les a

fonctions z, u, w étant, comme cp,, uniformes dans le voisinage de a. Les intégrations successives montrent que yi est delà forme

yi = (x — ay-r j <p₀i(x) -F- cpi/(x) log(x — a)-h..    cpi-_,,,-(a:)[log(a7 — a)]⁴'-¹ } les cp étant uniformes.

Il est à remarquer, d’une manière générale, que les fonctions

*Poi, ©12,    <p23,

coefficients des puissances les plus élevées des logarithmes, sont dans un rapport constant, comme il résulte de suite du calcul successif des intégrales.

8. Nous avons donc maintenant la forme analytique générale des intégrales dans le voisinage d’un point singulier, forme où figurent des fonctions uniformes autour de a, ayant, en général, ce point comme point singulier essentiel.

Supposons que l’équation proposée ait une intégrale pour laquelle toutes les fonctions uniformes, qui figurent dans son expression comme coefficients des logarithmes, aient le point a comme pôle ; nous allons montrer que l’équation aura au moins une intégrale de la forme o(x) ayant a pour pôle.

Désignons, en effet, par

y = (x — a)r ) A -+- B log(a? — a    -f- L[\og(x — «;]a J

cette intégrale; les coefficients A, ..., L sont des fonctions de x ayant au plus a pour pôle, et L n’est pas identiquement nul. Si l’on fait tourner x autour de <2, l’intégrale y se transformera en Y, et, si l’on forme la combinaison

Y — p. y ( jj. = e^n ^

on aura une nouvelle intégrale qui sera de la forme

(x — a )r j Aj-t- B[ \og(x — a) -h. . .-f- Lj [log(a? — a )]“-* J,

où L) n’est pas identiquement nul et où les At, ..., L, ont au plus a pour pôle. En continuant ainsi, on arrive à une intégrale de la forme

(x — a)'-a(x),

<f>(x) ayant au plus a pour pôle et ®(x) n’étant pas identiquement nul : c’est ce que nous voulions établir.

En augmentant, s’il est nécessaire, r d’un entier convenable, on peut admettre que 'f(x) est holomorphe autour de a et ne s’annule pas pour x = a.

Considérons maintenant le cas où l’équation admettrait s intégrales linéairement indépendantes, pour lesquelles les coefficients des diverses puissances des logarithmes auraient seulement des pôles en a; nous aurons d’abord une intégrale y, de la forme

yi= (x — aYf(x),

'f(x) étant holomorphe en a, et ~>(a) étant différent de zéro. Je pose

z dx ;

la fonction z satisfera à une équation d’ordre m — 1,

d"l~l z

d"l~l z

dxm~l

dxm~-

Çm—lz — °5

où les q ont, comme les p, le point a pour pôle. Je dis que cette équation aura s —• 1 intégrales linéairement indépendantes de Vespèce indiquée.

Soient en effet y,, y₂,    • ys les s intégrales de l’équation en y

dont nous avons supposé l’existence; l’équation en 2 admettra

dx

’ dx

y*

qui seront linéairement indépendantes et de la nature voulue. Elles sont linéairement indépendantes, car, si l’on avait

„ d [ y-y

Cî dx

dx

y*

= o,

on en conclurait

c 1 y 1 -+- c₂y₂    -f- csys = o,

ce qui n'a pas lieu.

II, — Équations dont toutes les intégrales sont régulières en un poin⁺ singulier.

9. Un cas très simple, particulièrement étudié par M. Fuchs, est celui où, pour toutes les intégrales, les cp ri¹ ont que des pôles. On dit alors que toutes les intégrales sont régulières en a. Nous allons d’abord trouver une forme nécessaire pour les coefficients p de l’équation différentielle, et nous montrerons ensuite qu’elle est suffisante.

D’après ce que nous avons dit, nous aurons certainement une intégrale

y 1 = O — aY ?(&)

Posons alors, comme ci-dessus

z dx\

nous avons l’équation

q\

q,n-\Z = O,

d"¹-¹ z

dxm~i

d™-* z

dxm~-

et l'on trouve immédiatement

et d’une manière générale

„=r

y\ L

m(m — i ). . .( m — i -+• i ) dly\ dxi

1.2.. .i

{m—    di~iy\

dxî~¹

L’équation en z a, comme l’équation proposée, toutes ses intégrales régulières.

Soit d’abord m — i. Nous avons l’équation

dy

dï⁺i,'r = °'

il faudra nécessairement que pK soit de la forme    f(x) étant

holomorphe, pour que les intégrales soient régulières, comme le montre la formule

y = Ce

A&) .

il en sera donc de même

Faisons maintenant m = 2 ; l’équation en z sera alors du premier degré et par suite q{ sera de la forme ^ de pK d’après l’expression de qK. D’autre part, on a

— Pi-

I (d\y _,Dd.r\-

y\d^^Pld~x) ~

En substituant y — [x— a)r ©(#), on voit que p-₂ est de la • Ainsi donc, l’équation du second ordre, dont les inté-

forme

/(^)

(x — a)²

grales sont toutes régulières, est nécessairement de la forme

y = o,

dpy ₊ /iQ) dy f,{x) dx² (x — a) dx (x — a)²

f\ et f₂ étant holomorphes autour de a.

Admettons maintenant que, pour une équation d’ordre m— i, la forme nécessaire pour que toutes les intégrales soient régulières soit

f\(&) d"'~²y x — a dxm~²

dm-ly

dx’"-'

fm—i (

.fi(x) dm~³ y (x — a)² dxm—³ .....(x — a)m

— y = o,

les / étant holomorphes autour de a; nous allons montrer sans peine que la même condition subsiste pour les équations d'ordre m.

Nous partons donc d’une équation d’ordre m à intégrales toutes régulières autour du point a. L’équation correspondante en z aura aussi, comme nous l’avons vu, ses intégrales régulières; elle sera donc de la forme écrite ci-dessus. En prenant

y\ — (# — a)r<s(x) on déduit de l’expression générale de cp que pi est de la forme

//O)

-: 1

{x — a)¹

trouver que la forme de pm; c’est à quoi l’on parvient à l’aide de la relation tirée de l’équation dilférentielle elle-même

J_ / d"' y,

y\ \ dxm

[?(«) 5^ °]>

fi(x) étant liolomorphe autour de a. Il ne reste plus à

-Y P i

dm~1 yi

dx"l~l

dY\\ _ dx )

Pmi

qui montre que pm est de la forme suite établi.

fm(x)

( x — a)"¹

et le théorème est par

10. Traitons maintenant la question inverse, et démontrons qu’une équation de la forme

(5)

d"¹ y

dxm

j\(x) d*n~iy x — a dx"¹—*

/ü(> >    d"¹-"¹ y    fm (x)

(x — a)² dx"‘~²    (x — a)"¹

y = o,

où les f sont holomorphes dans le voisinage de a, a toutes ses intégrales régulières au voisinage de ce point.

Pour abréger l’écriture, nous pouvons faire a= o. Au lieu de considérer une équation linéaire d’ordre m₁ nous allons, pour un moment, envisager un système d’équations linéaires du premier ordre.

Si l’on pose

dx

dx

y 2,

dx

on reconnaît immédiatement que y polynôme à coefficients numériques en

dy

X -J— •>

dx

se met sous la forme d’un

dx²

d"l~ly dx"¹-¹ *

en y, yy-ïi • • •, Vm-\ ■ L’équation (5) devient alors dym-1

dx

X-:-

les a étant holomorphes dans le voisinage de x = o. Au lieu du système précédent, nous pouvons prendre d’une manière plus générale le système de m équations homogènes et linéaires du premier ordre

— Aii y\ -t- Aj2 y2 -+-... -h Alm ym,

dx

dx

— A₂1 y i A₂2 y* -+-... -H A2/w yrn,

dy ni

x — =

dx

A/Niy'i -t- A//i2yr2_t~- • .-+■ Ammy

les A étant holomorphes dans le voisinage de x — o. Cherchons s’il existe un système d’intégrales de la forme

y i = x'u j,

y % xru2,

y,n — Xr U ,n,

/• étant une constante convenablement choisie, et les a étant holomorphes autour de l’origine.

En désignant par ct, c₂, ..., cm les valeurs des u pour x = o, valeurs qu’on peut supposer, en prenant r convenablement, n’être pas toutes nulles, on a, en substituant dans l’équation différentielle,

= o, = o,

(«Il - r)ci -H «12 C2 -t-. . . -+- Ct\mCm

«21 C i —f— ( «22— I')Ci + ..,+ aj mC/n

«/Hl ci ■+■ «/h2 c2

r ) c m — o,

les a désignant les valeurs des A pour x — o. 11 résulte de ces équations que l’on a

«il —

«12

«l/«

(6)

«21

«22— r

«2 m

= o;

«//( 1

«/H 2

« ni ni    r

les m racines de l’équation (6). Ecrivons alors le système sous la forme

dx

par

n,

>'il

• • -I

r,n

— <²11 y \ -+- «12 y2 -+-• • • + «i«i    1 yi -K. .-t- B1/n ym),

(TT \

am\y l -T- ci mi y 2 + • •    a mm y ni -+" x{ m\ y \ +•. •+■ ^mmy m)i

les 18 étant holomorphes autour de l’origine. Cherchons à simplifier la forme de ces équations en effectuant sur les y une substitution linéaire convenable. Faisons abstraction des termes en x dans les

seconds membres de (7). Posons x ^ = Dy et considérons la substitution

D yt —«11 jKi -1- «12 y² -+■ • • • -+- a\m y m,

PjK2 ⁼ JKl -t- «22 yi H- ... -H «2//1 y nu

D y m — am\y\ + «/7!2jK2 ■+■ • • • ■+■ a mm y mi

qui consiste à substituer à y{, y₂, ...,ym les expressions linéaires placées dans les seconds membres.

Mais reportons-nous à ce que nous venons de dire (§ 4 et 5) sur la réduction des substitutions linéaires. Nous avons donné une forme canonique à laquelle on peut ramener une telle substitution; c’est précisément l’équation (6) qui joue le rôle essentiel dans cette réduction. Si cette équation a ses racines distinctes, nous pourrons donc supposer que dans les seconds membres de (7) les termes indépendants de x se réduisent ( ¹ ) à

Dans le cas où il y aura des racines multiples, ces termes se partageront en groupes correspondant à la même racine. Ainsi, pour une racine /■, multiple d’ordre a, les a premières équations auront pour

seconds membres (aux termes en x près), d’après ce qui a été dit

(§3)

r\y U

r\yi Xhjki,

r\y<x -+■ b.a-i/ci-i -H • • . -+- ^a-i ,a—1 y h

et l'on aura des groupes de même forme pour les équations restantes.

11. Supposons donc que les équations (7) aient la forme indiquée. Nous avons, après la réduction qui vient d’être effectuée, les équations

If If

dx

— r\Ya-+- h,a-i7«--i ■+"...■+■ ^a—i.a-ij'i ■+■ K( )>

dytx+t J dx

-r-iy a+i + ^(    ),

Nous allons porter notre attention sur la racine /•, ; son ordre de multiplicité a (qui peut, bien entendu, être égal à un) ne figurera d’ailleurs pas dans le résultat auquel nous voulons parvenir.

Cherchons si le système précédent admet des intégrales de la forme

y i — xri ii\,

y ni — x¹ < u /h .

Nous aurons, en substituant, les nouvelles équations

f llf

X dx

— X11 U\ -h x( ),

du a, x —— dx

— ^i.a— i ux— i    -HXa_ i,a—i ¹¹1 -+-x( ),

les parenthèses étant holomorphes en x. On va montrer qu’on peut satisfaire à ces équations en prenant pour les u des fonctions holomorphes de x, si toutefois certaines conditions, que nous indiquerons, ne sont pas remplies.

Les équations différentielles permettent de calculer de proche en proche les coefficients des développements. Pour x = o, les u seront nuis en général, sauf ua dont la valeur initiale restera arbitraire. Pour qu’on ne soit pas arrêté dans le calcul des dérivées successives, il faut qu’aucune des différences

¹

On consultera surtout pour ces généralités les deux Mémoires classiques de M. Fuchs ( Journal de Crelle, t. 66 et 68), et deux Mémoires de M. Thomé ( Journal de Crelle, t. 74 et 75). Voir aussi la Thèse de M. Jules Tannery (Annales de l’École Normale, 1876).

²

Comparer les considérations précédentes à la question analogue étudiée à la page 4 de ce Volume.

n— ri

ne soit égale à un entier positif.

11 ne reste plus qu’à voir que les développements ainsi obtenus sont convergents. Nous emploierons à cet effet les méthodes de comparaison dont nous nous sommes déjà tant de fois servi. Les valeurs initiales des u sont toutes nulles, sauf celle de t/a, dont nous désignerons le module par Soit, d’autre part, X le module maximum des quantités X et de leurs analogues dans les équations différentielles, et soit enfin e le module minimum de la différence

m— (r 2— r,),

où m est un entier positif quelconque, et de ses analogues pour les differentes racines r₂ de l’équation en r. Nous considérons le système d’équations

“1 = x( )>

Uï —    \- x( ),

(9)

ua.— uol ~ X Ma—1 ■+* • • • ■+■ X U\ -F- #( ), e wa-4_i — x( ),

Dans les parenthèses, les coefficients de u,, u₂, ..., un ont été remplacés par des fonctions majorantes (ou fonctions de comparaison) pour un certain cercle autour de l’origine.

Pour x = o, les équations (g) donnent les n égaux à zéro, sauf ua qui est égal à «J. Les valeurs de «, définies par les équations (g), sont holomorphes autour de x = o. Nous avons à comparer maintenant les développements tirés des équations (8) et (g). De ces dernières on tire des développements où les coefficients sont tous positifs, P. — III.

el qui sont certainement convergents dans un certain domaine, autour de l’origine.

On voit immédiatement que les coefficients des développements tirés de (8) ont un module moindre que les coefficients correspondants tirés de (9), d’après la signification de £ et de X, et le fait que dans les parenthèses les coefficients de u ont été remplacés par des fonctions majorantes. On aura donc certainement pour (8) des développements convergents.

Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant :

Le système (7) admettra un système d’intégrales de la jorme

y\ — xr' «1

les u étant holomorphes dans le voisinage de x = o, en désignant par r, une racine de Céquation (6) telle qu’aucune différence

>' 2— ru

ne soit un entier positif différent de zéro.

On voit que cet énoncé n’exclut pas le cas où il y aurait, parmi les racines r-₂, • • ., /'/«, une ou plusieurs racines égales à /•,.

L’équation (6) s’appelle l’équation fondamentale déterminante relative au point singulier x == o. Dans le cas qu’on peut appeler général, les racines

y.2 = x'\ U=2

Ym = Um,

'■3 — f 1,

r„i — /’i

Cl, /J,

r,n

sont distinctes, et aucune des différences

ri — rk

n’est égale à un entier positif ou négatif. On a alors, pour (j), m systèmes d’intégrales

yu= xr‘<?u(x),

y.2i = x'-iQ,i(x),

(i = 1,2,

les cp étant holomorphes autour de l’origine.

y mi — xr‘fmi(x)

li2. Revenons maintenant à l’équation différentielle (5) d’ordre m, c’est-à-dire à l’équation

d"ly dx'n

fi (x) d"t~iy (x — a) dx"¹-¹

fm(x)

{x — a )'n

y = o.

En appliquant le théorème du paragraphe précédent, on voit que cette équation admettra au moins une intégrale de la forme

y = (x — ay<f(x),

f(tc) étant holomorphe dans le voisinage de a. Pour trouver l’équation donnant r, il n’est pas besoin de former le système d’équations linéaires équivalent à l’équation d’ordre ni. Il suffit d’écrire que l’expression précédente [©(a) étant différent de zéro] satisfait à l’équation. On obtient ainsi, en égalant à zéro les termes de moindre degré,

(10)

r(r — !)...(/• — m -+- 1 )

-+-/1O) r< r — 0- • •(/' — m y- 2) +.    r -+-/,«(a) = o.

Si /’(, /-₂, ..., rm sont les m racines égales ou inégales de cette

équation, l’équation différentielle admettra une intégrale de la forme

yi = O — «)r‘?0),

©(a?) étant holomorphe autour de a, et o(a) étant différent de zéro, si aucune des différences

r₃— ri.

r-2 — r 1,

n’est un entier positif différent de zéro.

L’équation (io) a été appelée par M. Fuchs l’équation fondamentale déterminante relative au point singulier a. Un rapprochement très important est à faire entre l’équation (io) et l’équation (3) en p. (§ 4). Il résulte de ce que nous avons dit à la fin du paragraphe précédent, que, si les différences des racines de l’équation (10) ne sont pas des entiers positifs ou négatifs, on aura les intégrales régulières

y m — (x-a)fm ym(x),

y\ — O — «F’fiO’), JK2= (a? — «Fa?2(», et, par suite, les m racines de l équation (3) seront égales à

Telle est, pour le cas général, la dépendance entre les équations (3) et (io). Cette dépendance subsistera évidemment dans tous les cas, puisque le théorème, étant vrai pour des valeurs arbitraires des coeffi-

cients fK (a), ..., fm(a) de (10), ne peut cesser d’être exact pour des valeurs particulières de ces coefficients.

13. Pour faire la recherche des intégrales, on partagera les racines

rm

de l’équation (10) en groupes tels que, dans chacun d’eux, la différence de deux racines soit un entier positif ou négatif, et que, d’un . groupe à l’autre, la différence de deux racines de ces groupes ne soit pas entière. Soient

r 1, rt,

les racines d’un premier groupe, ces racines pouvant être égales ou inégales. Supposons-les rangées par ordre décroissant de grandeur et posons

z dx.

— 7i J

On a pour z une équation déjà considérée d’ordre m—1, dont toutes les intégrales sont régulières autour de a. Puisque

âs(£)’

les racines de l’équation fondamentale déterminante pour l’équation en z seront

, f'm — ri — 1,

r* — r, — 1,    z'₃ — cj — 1

et, parmi celles-ci, nous avons le groupe des a-— 1 racines entières et négatives

r-j — r{ — 1

r₂ — r, — 1

les autres n’étant pas des entiers.

L’équation en z aura une intégrale de la forme

z = (x — a)r2-o-i

étant holomorphe dans le voisinage de a, et <|/(a) étant différent de zéro. En substituant dans l’expression de y, on a alors une seconde intégrale

POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

A et B étant holomorplies, le produit

(x — a)r>B(x)'

se réduisant d’ailleurs, à un facteur constant près, à y,.

En opérant sur l’équation en z comme on a opéré sur l’équation en y, et continuant ainsi de proche en proche, on aura finalement les intégrales

Ai

et ya est de la forme

Aa= (® — a)r°.\\.x(x')->r A₂<» log(ar — a) -+■.. .-F- Aa_i(a?)[ logO — a)]*-¹ j,

les A étant hoiomorphes. Nous avons donc ainsi formé un ensemble de a intégrales correspondant au groupe des a racines de (10) différant d’un entier.

14. Appliquons ces généralités à une équation différentielle du second ordre, sur laquelle nous aurons d’ailleurs à revenir; c’est l’équation différentielle de la série hjpergéoinétrique

a, (3 et y désignant trois constantes. Les trois points singuliers des intégrales sont x — o, x — i et x — ce. Pour ce dernier point, il

faudra faire, pour l’étudier, x — dans l’équation différentielle, et

considérer le point x' — o dans la transformée.

Pour former l’équation fondamentale déterminante relative au point o, nous écrivons l’équation sous la forme

ccfix

dx x²(i — x)

d²y dx²

y — (a + p + i)a? dy

X(l — x)

y = °,

et l'équation (io) devient ici

qui a les deux racines

r = o,

r — i — y.

Si donc y n’est pas un entier, l’équation a, dans le voisinage de a, les deux intégrales

?iO)

#¹⁻ï<?*(*•),

o, et cp₂ étant holomorphes dans le cercle de rayon un, cp, (o) et <p₂(o) n’étant pas nuis. La forme des coefficients du développement de o, (x) est remarquable. En posant

«pi (x) — 1 -4- ctx -t- c₂a?²-4-. . CpXP-h. .

on trouve, en substituant dans l’équation différentielle

[— P(P ~ O ~ O -+- P + !)/• — aP]Cp-f- [p(p -4- 1) -t- *((p -(- i)]cp+1 = o,

par suite

cp+i —

(p-ha)(p-+- p)

(p-hl)(p -H Y)

cf),

et l’on a, pour o, (x), le développement célèbre

gfg -+- 1).. .(a -+- p — 1) ft((3 -4- 1).. .( -+- p — 1) T(T-+-!)••-(T -t-p — i)

«P

1 .'i.. .p

xi’ -4-..

série convergente dans le cercle de rayon un, et que nous avons déjà rencontrée (t. Il, p. 229).

Nous avons supposé plus haut que 1 — y n’était pas un entier. Si 1 — y est un entier négatif, nous aurons toujours une intégrale holo-morphe cp, (a?), puisque des deux racines

o, 1 — y

zéro est la plus grande. La série hypergéométrique subsiste dans ce cas. Les conclusions sont autres si 1 —y est un entier positif. On a, dans ce cas, une intégrale de la forme

^‘-y Jd.r),

<l(x) étant holomorphe et '^(0)7^0; la seconde intégrale renferme un terme logarithmique.

Conformément aux généralités du paragraphe 13, elle est de la forme

A(x) -4- kxx~'t'^(x) loga?,

k étant une constante, et A(ar) étant holomorphe dans le cercle de rayon un [ A(o) ?£ o J.

III. — Théorèmes généraux sur les équations à intégrales irrégulières (*).

lo. Les équations dont toutes les intégrales sont régulières en un point singulier forment, comme on vient de le voir, une classe remarquable; on peut obtenir pour elles la forme analytique des intégrales au moyen de développements dont les coefficients se déterminent de proche en proche par voie de récurrence. L’étude des équations ayant des intégrales irrégulières est beaucoup plus difficile.

Dans celte étude, il y a d’abord une suite de nombres entiers qui joue un rôle très important. Reprenons l’équation

dm y

dx>"

-+-P*

d"l-ly

dx"l~l

Soient respectivement tc,, tt₂, ..., iz,n les degrés de multiplicité de a comme pôle de p₂, ..., pm- Considérons la suite des entiers

K ni’

CO

Elle

nous

va être de grande importance pour la suite. Si le plus grand de ces nombres ne dépasse pas m, nous sommes dans la classe des équations différentielles étudiées dans la Section précédente; allons donc supposer que le maximum g de ces nombres dépasse ni.

16. Supposons que l’équation différentielle ait une intégrale régulière. Nous avons le lemme préliminaire suivant :

Soit g > m Le plus grand des nombres

TCj —(- m — 1,    7t₂ -4- m — 2,

le coefficient pm admettra le point a comme pôle avec un degré de multiplicité ne dépassant pas g.

[?(«)?* °1

La démonstration est immédiate, car nous n’avons qu’à substituer y = (x — a)ro(x)

(') Pour les généralités sur les intégrales irrégulières, voir les Mémoires de M. Thomé ( Journal de Crelle, t. 74, 75 et 76).

2₉6

CHAPITRE xi.

dans l’équation

d"ly d"'~ly ^PlTx^

dx'n

— Pm

pour voir que Tzm satisfait à l’inégalité indiquée.

17. Nous allons généraliser le lemine précédent, en supposant que l’équation différentielle possède au moins m — h intégrales régulières linéairement indépendantes. Admettons alors que les h premiers nombres de la suite (i i)

•jcj-+- m— i, -m — 2,

aient pour maximum g m] nous allons montrer que tous les nombres

itA-M -+- rn — h — i,

seront inférieurs ou égaux à g.

Dans le paragraphe précédent, nous avons démontré cette proposition pour h — m — i. Nous allons supposer maintenant qu’elle est vraie pour une équation différentielle d’ordre m — i et montrer qu elle est vraie pour une équation différentielle d’ordre m. En posant

= yi fz dx,

oùy{ est l’intégrale régulière (x — a)rz>(x) [<?(«) 7^ o], nous aurons pour 3 une équation d’ordre m — 1, qui aura au moins m — h — 1 intégrales régulières linéairement indépendantes. Soient

⁷¹1 >    • • • » TC'/>

les nombres relatifs aux coefficients q dans l’équation en z. On a désigné par g le plus grand des nombres

~i -4- ni — 1,    ~₂ -f- ni — 2,    ..., 7T/J-I-m — h.

Il résulte de l'expression des coefficients q, à l’aide des p, donnée au paragraphe 1), à savoir :

m( ni — 1 )... ( m — i -4- 1 ) d‘y 1    .    dy.

-1777777    + (m - * +    ~ +Piyv

POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

que le terme maximum dans la suite

7T2 —I- {m — i) — ‘2,

iz\ -h (/n — i) — i,

sera au

plus égal à

g — ••

ni — i

Oïl déduit donc, du théorème admis pour les équations d’ordre que les nombres

n-1

Tt’h+i -*-(m — i) — h — i,

reportant à l’expres-

en se

sont au plus égaux à g — i, et, par suite sion de />, en fonction de qi et des p d’indices inférieurs à f, les nombres

TC/n-l I

sont au plus égaux à g, et il en est de même aussi (paragraphe précédent) pour TC,,,.

18. Du lemme précédent se déduit une proposition intéressante. Supposons que, pour une équation différentielle, le plus grand des termes de la suite

(")

7T \-Y- m — I, TC 9 -+- m -

soit un nombre g~ff m; désignons par

7C/, -+- m — h

le premier terme de cette suite égal à g (pour le cas où il j en aurait plusieurs); l}équation ne pourra avoir plus de m — h intégrales régulières linéairement indépendantes. Si, en effet, l’équation avait m — h! intégrales régulières distinctes (h¹ -< h), comme les termes de la suite

7C!-(-/n — i, Tc 2 -H m — ■i₁    tc/,'-i- m — h'

sont inférieurs à g, il résulterait du paragraphe précédent que tous les termes de la suite (2) sont inférieurs à g] ce qui n’a pas lieu puisque tc^ + m — h = g.

19. Le théorème qui vient d’être établi donne seulement une limite supérieure pour le nombre des intégrales régulières distinctes,

y = (x—a)ru,

u étant holomorphe, et u(a) étant différent de zéro, on aura en divisant par (x — a)r le résultat de la substitution et le multipliant par (x — a)#⁻, puis faisant x — ci,

r(r —    —    — h) y-1]f/t(a)

(12)

c=a~r~ • •

-+- r(r — i)...[r — (m — h) y- 2] \f/l+i (x) (x — a )«*-*/*+

*+• \ fm ( x) (x — a )nh-n„ym-h] r=a D.

On obtient donc ainsi une équation du degré ni — h à laquelle doit satisfaire r pour que l’on ait une solution de la forme indiquée. Cette équation d’ordre m — h est l’analogue de l’équation fondamentale déterminante dans le cas où l’équation a toutes ses intégrales régulières; elle se confond avec elle, si h — o.

20. On peut, avec cette équation en r, commencer une étude analogue à celle que nous avons faite avec l’équation fondamentale déterminante dans le cas des équations de M. Fuchs; mais,, avant d’indiquer ces généralités, prenons un cas particulier qui nous mettra sur la voie d’une circonstance générale. J’envisage l’équation du second ordre

(a₀ ^ o).

mais, malheureusement, cette limite peut ne pas être atteinte. Nous en verrons un exemple dans un moment. Cherchons à obtenir les intégrales régulières qui pourraient exister, en attribuant à A, dans les calculs qui vont suivre, la même signification que ci-dessus.

Écrivons l’équation différentielle sous la forme

fiix) d"'~²y a)™* dx'"~‘l

les f étant holomorphes et différents de zéro pour x — a.

En faisant dans cette équation

d"ly /iO)

dxm

d"l~x y (x — a)⁷¹! dxm~l

f,n(x)

{x

{x — a)nm

y = °₅

v    ci y

('3) x- y- (a₀y- axx y-..    {b₀y- bxx y = o

Les intégrales ne peuvent être toutes régulières pour x = o. On

a ici

"1 = 2,

■ji₂ = 2.

On a donc la suite

7T! y- m — i = 3,

■K,yrn — 2 = 2.

Ainsi g = 3, h = i, et il y a par conséquent au plus une intégrale régulière, et l’équation (12) en r se réduit à

r — o.

L'intégrale régulière, si elle existe^ sera donc de la forme

(A₀    o).

y — A-o A1 x -(-.... -|- Am x'n ...

Or la substitution montre qu’on peut calculer les coefficients de proche en proche. On obtient les équations

a₀ Aj + èa A₀ — o, ci] A, —i— 1 <Zq A 2 —t— bÿ A] -+- b\ Aq = o,

m(m — 1)A,„-4- (m -f- 1 )<Zo A,n+\ •+■ ^oLi+ b\ A/n_ 1    — o,

qui donnent successivement A,, A₂, ..., Aw+I, .... 11 est donc possible de déterminer le développement, mais il se présente maintenant une circonstance bien remarquable qui différencie complètement ce cas de celui où toutes les intégrales sont régulières : Le développement obtenu n'est pas convergent en général, quelque petit que soit le domaine pris autour de a.

Pour le montrer, il suffira de prendre le cas particulier de l’équa

tion

d^y    dy

*' dïi +“.S+Vv = o.

Les équations successives

ao Ai -+- b₀ Aq — o, 2 Uq A 9 ~4— bo A1 = o,

( ni -f- i)«₀ A

-l- [6₀H- m(m — 1)] Am

donnent les coefficients en fonction de A„, et il est visible que le rap-augmente indéfiniment avec m et que par suite la série

A₀ —(- A1 x —t-... —t- A./n x,n -+-...

ne converge pour aucune valeur de x (sauf x = o).

11 résulte de ce qui précède que l'équation (i3) n’a pas d’intégrale régulière à l’origine, et nous avons là un exemple où le maximum (ici égal à un) du nombre des intégrales régulières donné par le théorème du paragraphe 18 n'est pas atteint.

port -

A„i-m

A,„

m-hl

21. La circonstance relative à la divergence du développement obtenu, qui vient de se présenter dans l’exemple particulier du paragraphe précédent, est générale. Reprenons l’équation différentielle d’ordre ni du paragraphe 19, et l’équation (12) de degré m — h en /•, que nous désignerons par

cp(r) = o.

Si l’on pose

y = (ce — <2)r’[c₀-4- C\(x — a) -+-...-+- c/^x — a)⁴⁻-!-...],

on pourra déterminer de proche en proche les coefficients c en fonction du premier, en prenant pour r{ une racine de l’équation z>(r) — o. On reconnaît bien aisément que, les coefficients jusqu’à Ck_< ayant été déterminés, le coefficient de Ck dans l’équation du premier degré qui le détermine est

?(n -h k),

et, par conséquent, si l’équation v(r) = o n’a pas de racine de la forme /•, + A⁻, en désignant par k un entier positif, on pourra déterminer un développement de ta forme indiquée.

Le théorème précédent comprend évidemment, comme cas particulier, le théorème relatif à l’équation fondamentale déterminante pour le cas où toutes les intégrales sont régulières, en ce qui concerne du moins la formation des développements. Mais, pour ce qui regarde la convergence des développements, nous sommes dans des conditions bien différentes. Il est clair, d’après le cas particulier du paragraphe précédent, que les développements ainsi obtenus sont en général divergents et que nous n’obtenons ainsi que des séries satisfaisant formellement à l’équation différentielle sans représenter une intégrale. Si les racines de <p(r) = o sont telles que la différence de deux quelconques d’entre elles n’est pas un entier, on obtiendra m —■ h développements.

22. Les développements que nous venons d’obtenir ne sont pas les seuls que l'on puisse tirer d’une équation différentielle linéaire dans le voisinage d’un point singulier. Nous énoncerons plus loin un théorème général à ce sujet, mais considérons d’abord un point singulier d une nature spéciale. Pour plus de simplicité, nous plaçons le point

POINTS SINGULIERS DES ÉQEATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

singulier à l’infini, et, l’équation étant

(¹ 3)

d"¹ y

d^ ⁺Pl

d>n-l y

dx"l—l

nous supposons que tous les coefficientsp soient continus pour x — ce, c’est-à-dire que les p soient des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de -• Nous aurons donc

,r

a,

pt =a.+

i ^ b, — O 0 -I- —

.Z’

F* ⁺"

Pm — ^--"+■

Posons

y = e^x u.

L’équation en u sera de même forme, et Je terme indépendant àe x dans le coefficient de u sera

En égalant ce polynôme à zéro, nous avons une équation d’ordre dont nous supposerons les racines différentes, soit X₄, X₂, ..., Am. En posant donc y = elixu, nous avons une équation

dmu

dxm

\ dm~l u

’ ‘ / dxm~l *

-h (

du

«J»'*

u — O.

Cherchons maintenant à obtenir un développement de la forme \ A-i

AoH_ v

Le terme de degré maximum sera le terme de degré pj — i, et l'on aura comme coefficient de ce terme

AoC^’ü Pi ■+* ^i ) —

U = X? I

S—)

(A₀ ^ o).

On doit par suite prendre

pi = -

p étant ainsi choisi, les coefficients A,, A₂, ... se déterminent de proche en proche, et l’on obtiendra finalement, pour l’équation (i3), le développement

A₂ x-

et m— i développements analogues correspondant aux racines).

Am. Mais ces développements ne sont pas en général convergents ; ils satisfont formellement à l’équation différentielle, mais 11e représentent pas une intégrale.

Une remarque importante est à faire relativement aux nombres 0. D’après la théorie générale des points singuliers, il j a en général m intégrales se reproduisant multipliées par des facteurs constants

Wi, ÜJ₂,

quand x tourne autour d’un point singulier, c’est-à-dire ici, puisqu’il s’agit du point à l’infini, quand x décrit une circonférence de très grand rajon. Si les développements que nous venons de trouver étaient convergents, nous aurions facilement les nombres tu, car on aurait évidemment

u)/t = e27U’P'*

(h = i, 2, ..., m).

Mais, quand les développements sont divergents, les nombres p lé ont aucune relation simple avec les nombres to. Nous reviem drons plus loin sur les points singuliers de la nature de ceux que nous venons de rencontrer dans ce paragraphe.

23. Dans tous les cas, on pourra toujours trouver des développements plus ou moins analogues à ceux qui ont été obtenus dans le cas particulier précédent. Enonçons seulement ici une proposition due à M. Tliomé (Mémoires cités). Nous reprenons une équation ayant comme point singulier le point a, celui-ci étant un pôle pour les coefficients p. On pourra, en général, trouver m expressions de la forme

/(Th)

(X.— a)P[A₀+Ai(ar —a)+...J,

degré convenablement choisi en —ï—

⁰    x — a

étant un polynôme d’un p désignant une constante. Il est essentiel d’ajouter que la série

entière

11e converge pas en général, et que nous avons là, par conséquent, comme plus haut, une expression satisfaisant formellement à l’équation différentielle, mais ne représentant pas une intégrale.

La démonstration du théorème précédent ne présente aucune difficulté; mais, comme il J a malheureusement peu de parti à tirer de ce résultat plutôt négatif, nous ne nous y arrêterons pas. J’ajoute seulement que, dans certains cas spéciaux, les formes précédentes peuvent se trouver en défaut; il est peut-être nécessaire d’ajouter des termes contenant des logarithmes et même, dans certains cas, de

considérer des développements où (x—a) est remplacé par (a?

(p étant un entier). Je renverrai, pour ces cas particuliers, à la thèse de M. Fabry ( ' ).

af

IV. — Calcul des intégrales irrégulières et de la substitution relative à un contour fermé. — Groupe d’une équation linéaire.

2L Les développements que nous venons d’obtenir n’étant pas en général convergents, nous n’avons jusqu’ici aucun moyen, dans le cas des intégrales irrégulières, d’obtenir effectivement les coefficients des développements de ces intégrales dont nous connaissons seulement la forme analytique.

Supposons que l’origine soit, dans le plan de la variable complexe 2, un point singulier de notre équation différentielle. A l’intérieur d’un cercle C, ayant l’origine pour centre, et un rayon moindre que la distance de l’origine au point singulier le plus voisin, toute intégrale est une fonction analytique f(z), n’ayant d’autre point singulier que l’origine. Supposons le rayon r du cercle C moindre que l’unité; nous allons montrer qu’on peut trouver un développement en série de la fonction, valable pour tous les points du cercle, quel que soit le chemin suivi par la variable. Faisons, en effet, la transformation

X l°oz

(•) E. Fabry, Sur les intégrales des équations différentielles linéaires à coeffi ■ cients rationnels (Paris, Gauthier-Villars, i885).

Au cercle C du plan des z correspond dans le plan des cercle G' passant par l’origine et ayant pour centre le point

x un

2 lr ’

comme

en désignant par lr le logarithme arithmétique de r; et si nous le supposons, r est moindre que l’unité, aux points à l’intérieur du cercle C correspondent des points à l’intérieur du cercle Ch Par la transformation

x = ex\

la fonction f(z) devient donc une fonction de x, qui est holomorphe à l’intérieur du cercle Ch On peut la développer suivant les puissances de

2 Lr ’

et l’on a par conséquent, pour f(z), le développement

Tl— oo

(O)

71 — 0

où les Art sont des constantes, et ce développement est valable à l’intérieur du cercle C. Aux déterminations multiples de log\z correspondent les déterminations multiples de la fonction.

Ce développement peut être utilisé dans diverses circonstances (*). Pour les équations linéaires, qui nous intéressent ici, on peut tirer des développements précédents le calcul des coefficients de la substitution correspondant à une circulation de la variable autour de l’origine. Considérons, en effet, un système fondamental d’intégrales

fl(z)i fn(z)i •••) fm(z)

données par des développements analogues au développement (i4) et en donnant à log,z une de ses déterminations. Quand on tourne une fois autour de l’origine, on aura, en revenant au point de départ,

(J) E. Picard, Sur une classe de fonctions non uniformes (Comptes rendus, t. LXXXVIII, 1879).

POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

d’autres déterminations

FiO), F,(z),    F<Jt(a),

qui se déduiront des premières en remplaçant logs par log\3auf. On devra avoir

Ft(.s) —an/i(z) -Jr-a\₂f₂(z)    ci\m

F,(*) =a₂₁fl(z) -+- a₂2 fï (z )    -t- a2 mfm( z),

F,„ (z) = a,n 1 f\ ( z) H- a,ni f₂(z    .-H a,nm fin ( z),

et ce sont les coefficients de cette substitution que nous nous proposons de déterminer. E11 représentant f\ (z) par la série

logz

IM

71 = 0

■xlrî ’

on aura

n=z 0o

logS 2TTi “ü/r/

Or la fonction

Fi(^⁾⁼⁼2aH

TL — 0

log-S 2 TI i

est une fonction de la nature de celles que nous venons d’étudier, c’est-à-dire qu’elle a le seul point singulier O dans le cercle C. On peut donc développer l’expression précédente en série suivant les puissances de

log 3

En substituant dans F, (s) ce développement, on aura le développement de F,(.z) suivant les puissances de cette différence, et la comparaison des coefficients nous fera connaître par des équations du premier degré les quantités

au, a 12,

et l’on aura de même les autres quantités a. La substitution correspondante à la circulation autour de l’origine se trouvera donc ainsi déterminée; il est clair que les coefficients de cette substitution se présentent sous forme de séries indéfinies, mais on ne peut songer à les exprimer en général à l’aide de fonctions simples des coefficients de l’équation proposée.

P. — III.

25. Je proposerai substitution relative à une circulation de la variable autour d’un

encore une autre méthode pour calculer la

point singulier. Cette méthode va même nous permettre de considérer un contour fermé comprenant non pas seulement un point singulier, mais un nombre quelconque de singularités. On peut supposer que le contour fermé est défini par l’équation

* = PfO),

P(G) étant une fonction analytique de la variable réelle G, admettant la période 2îc, de sorte que le point z revient au point de départ quand G a augmenté de au. En substituant, dans l’équation différentielle, cette valeur de z, on a une équation différentielle linéaire à coefficients périodiques et continus pour toute valeur réelle de G. D’après ce que nous avons dit (p. 88 de ce Tome et § 3 de ce Chapitre), toute intégrale peut être représentée par une série convergente pour toute valeur réelle de G. Représentons donc m intégrales formant un système fondamental par

/RO), /,(0),    ..., fm(6),

ces intégrales étant représentées par les séries que donne la méthode des approximations successives, et que nous pouvons regarder comme connues. Si l’on tourne une fois le long du circuit, on obtiendra

fi ( 6 -i- a ic), /RO -+•■ait), .... /,„( 6 +au).

On doit avoir

/i(0-+-27r) —«11/1(6) -4-«u/ï(0)    a\m //«(0),

/₂(0-i-2u) *= «21 /i(0) +«22/2(6) -+-.. . + aim f m( 0),

fm ( 0 + '> U ) — «//il /l (6 ) + «///2 /l(6)+...+ fl

ni m

fm(6)j

et nous voulons calculer les coefficients a. Pour obtenir

«11)    «12i

nous considérerons les m équations

— *n/i(0)

= «m/5(û)

/, (6 H- UK)

/; (0‘+2it)

+ «12/2(0) + «12/2(0)

+...+ « lm f,„ ( 0 ),

+ • • •+ at/n f/n ( 6 )>

Pour une valeur particulière, d’ailleurs arbitraire, donnée à 0, nous aurons un système d’équations du premier degré déterminant ai2, ..., a[rn. Le déterminant de ces inconnues ne sera d’ailleurs pas nul, puisque nous sommes parti de m solutions formant un système fondamental. On aura donc ainsi tous les coefficients de la substitution, en calculant de la même manière les autres lignes formées par les a.

26. La méthode précédente nous permet de faire une importante remarque sur la nature analytique des coefficients de la substitution que nous venons de calculer. Supposons que les coefficients de l’équation

d"’ y

d,n~ly

dxm~l

-4-... -H p ni y — o

soient des fractions rationnelles de x, et, après avoir décomposé ces

considérons comme des

fractions en éléments simples ^

(x — ai)k *

paramètres les coefficients des différents termes. Il résulte immé

diatement de ce que nous avons vu (p. 88 de ce Volume) que les intégrales

/i(H /.(G), .... //«(A)

du paragraphe précédent, considérées comme fonctions des paramètres A, sont des fonctions entières de ces quantités. 11 en résulte que les coefficients de la substitution correspondant à un chemin fermé quelconque sont des fonctions méromorphes des A pour toutes les valeurs de ces paramètres (⁽).

27. Définissons, pour terminer ce Chapitre, ce qu’on entend par

(l) M. Poincaré démontre le même théorème dans son Mémoire Sur les groupes des équations linéaires {Acta mathematica, t. IV, p. 212) en s’appuyant sur les théorèmes généraux relatifs aux équations aux dérivées partielles. La méthode de calcul que nous avons suivie fait connaître immédiatement, comme on vient de voir, la nature analytique des coefficients de la substitution; on verrait d’ailleurs très facilement que la marche suivie au paragraphe 24 conduit au même résultat. On trouvera d’autres méthodes pour la recherche qui vient de nous occuper dans les Mémoires de M. Hamburger ( Journal de Crelle, t. 81) et de M. Mittag-Leffler {Acta mathematica, t. XV). Voir aussi le Traité d’Analyse de M. Jordan (t. III, p. 187), mon article cité page 276 et deux Mémoires de M. von Koch {Acta mathematica, t. XV et XVI).

groupe d’une équation linéaire. Soit une équation linéaire à coefficients uniformes ayant dans tout le plan un nombre limité de points singuliers. Considérons un système fondamental d’intégrales

yi, jk₂,    y,n

définies dans une certaine région du plan à contour simple, ne comprenant aucun point singulier. Quand le point z, partant d’un point de cette région, y revient après avoir décrit un contour quelconque, on a, au lieu de y{, y₂, ..., ym, m autres intégrales de la forme

(S)

anyï -t- «12JK2 -+-...-t-«i mym, ai\y\ a22y2 -+- ■ • • -+- a2my/m

am\ 'y\ -t- umiy2 -t-. • .-t- ummym,

les a étant des constantes. L’ensemble des substitutions (S) à effectuer sur y,, y.₂, •••> Ym pour trouver toutes les valeurs prises par ces intégrales en un point 2, quel que soit le chemin suivi, s’appelle le groupe de l’équation différentielle. Toutes ces substitutions forment bien un groupe; car, si l’on prend deux quelconques d’entre elles, la substitution obtenue en effectuant sur les y d’abord la première, puis la seconde, appartient encore au groupe, puisqu’elle correspond au chemin total formé par les deux chemins, répondant aux deux substitutions initiales, parcourus successivement dans l’ordre indiqué. On désigne sous le nom de produit de deux substitutions la substitution résultant de la composition des deux substitutions, effectuée comme il vient d’être dit.

Si nous désignons par S et S' les deux substitutions, nous désignerons leur produit par

SS',

en entendant qu’on fait d’abord la substitution S et ensuite la substitution S'. L’ordre des facteurs du produit 11’est pas indifférent, et le produit précédent ne sera pas, en général, égal au produit

S'S,

qui correspondrait à la substitution S', effectuée d’abord, suivie de la substitution S.

Puisque les points singuliers sont en nombre fini, tout chemin

3 09

partant d'un point et y revenant se ramènera à une succession de chemins tournant autour des divers points singuliers, et, par suite, toute substitution du groupe pourra s’obtenir à l’aide d’un certain nombre de substitutions

s,, s„ s*.

Elle sera donc de la forme

. . sÇ*Sg*.

qui correspond à la substitution S, effectuée a, fois, suivie de la substitution S₂ effectuée a₂ fois, et ainsi de suite, pour revenir à la substitution S, effectuée [3, fois, etc.

Remarquons que le groupe d’une équation différentielle n’est pas absolument déterminé. Nous venons de partir d’un certain système fondamental, ce qui nous a donné un groupe. En partant d’un autre système fondamental, on aurait obtenu un autre groupe; mais il est clair que ces deux groupes sont étroitement liés l’un à l’autre. Chaque substitution du second groupe se déduit, en effet, aisément d’une substitution du premier. Soit S la substitution permettant de passer du premier système fondamental au second; toute substitution du second groupe sera de la forme

S S s-¹,

S désignant une substitution du premier groupe, et S⁻¹ étant la sub-titution inverse de 2.

Nous avons déjà, d’ailleurs, donné au Tome II quelques indications au sujet des groupes des substitutions linéaires.

CHAPITRE XII.

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES.

I. — Le problème de Riemann et le groupe de la fonction correspondante (¹).

1. En reprenant, après Euler et Gauss, l’étude des séries hyper-géométriques, Riemann se pose un problème qui est étroitement lié à la théorie des équations différentielles linéaires, et qui sera pour nous une application des théories générales exposées dans le Chapitre précédent.

on a

Nous allons nous proposer de trouver une fonction jouissant des propriétés suivantes : elle est uniforme et continue dans le voisinage de tout point du plan, y compris le point à l’infini, à l’exception de trois points singuliers «, b, c; de plus, entre trois déterminations de la fonction en un même point, existe une relation homogène et linéaire à coefficients constants; enfin, la nature de deux déterminations linéairement indépendantes est donnée comme il suit dans le voisinage de chaque point singulier. Dans le voisinage de a deux déterminations linéairement indépendantes de la forme

y, et /"₂ étant holomorphes dans le voisinage de a, et ne s’annulant pas pour x — a. On a de même, pour le voisinage de 6, deux déterminations analogues en remplaçant seulement les exposants a et a' par ^ et {3', et enfin, pour le point singulier c, on aura les exposants

T et Y‘

(‘) B. Riemann. Beitràge zut Théorie der durch die Gaussische Reihe F (a, jï, 7, x) darstellbaren Funclionen \\Verke, ou traduction française, p. 61 (Gauthier-Villars)]

Considérons le produit

(0

DUS FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES.

Nous allons voir dans un moment que la somme a + a'+P + ^'+y + 'f

ne peut être arbitraire, et qu’elle doit se réduire nécessairement à un entier. Nous achèverons de fixer l’énoncé du problème en ajoutant que cette somme se réduit a Vunité.

Nous pouvons, sans nuire à la généralité, supposer a — o, b — i

oo (on doit remplacer seulement x

-cpar- •

2. Désignons alors par yy et y₂ deux déterminations linéairement indépendantes de la fonction cherchée y. Celle-ci satisfait évidemment à l’équation linéaire du second ordre

dx2 ddy\ dx²

d-y.i I dx -

que nous écrirons sous la forme

d² y

d& ^pÆ + qy = °-

Ht Ht Ht

y-2

= o,

dy

Nous allons étudier la nature des coefficients p et q. Nous avons

d²y, _ d’-y-i dx²

d.yi v dy-i

y ‘ dx

r2

dx²

—ri

dy2 dlri _ dy\ d'¹ y

dx dx²

dx dx<L

(?* —:Kl «&) ;r"a_a'+l (¹ ~ x)-P-P'⁺¹

et étudions-le dans le voisinage des trois points singuliers. Puisque le premier facteur se reproduit à un facteur constant près, quand on met à la place de y, et y-, une combinaison linéaire de ces mêmes fonctions, nous pouvons supposer que y, et y-, représentent les deux déterminations dont la forme analytique est connue dans le voisinage de chaque point singulier. Or, soit d’abord le point singulier x = o\

prendra

on

ya — or^fz(x)

y\ = ^a/iO)>

Il résulte de là que l’expression (i) sera holomorphe dans le voisinage de x = o. 11 en est de même pour x — \. Passons au point à l'infini; on peut prendre pour x très grand

Si

=(ï)rF<<*>’

r’~ ( )

F₂0),

et F₂ étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de -• En substituant dans l’expression (i), celle-ci se présente sous

la forme

#i-z-x-p-p -Y-r'<p(x),

$(x) étant holomorphe dans le voisinage du point à l’infini. La fonction (i), étant holomorphe pour tout point à distance finie, sera uniforme autour du point à l’infini et, par suite, la somme

a + a'+^-f p'+y + y'

se réduit nécessairement à un entier positif ou négatif.

Il n’est pas possible d’admettre que la somme précédente soit un entier supérieure un, car l’expression (i), étant alors holomorphe dans tout le plan, même à I infini, serait une constante, et, comme elle serait nulle pour x = oc, elle serait identiquement nulle et nous aurions, par suite,

dy

dx

v dy 2 - O

->ld£ -°’

ce qui entraîne —=const., conclusion contradictoire avec nos hypothèses.

Nous adopterons, comme nous l’avons dit, l’hypothèse

a -f- a'h- p -+- P'-t- y -f- y'= i.

L’expression (i), étant holomorphe dans tout le plan, même à l’infini, se réduit encore à une constante, et celle-ci n’est pas nulle pour la raison que nous venons de dire.

3. iNous pouvons étudier de la même manière l’expression

/ d² y \    diyi \

V ² dx * yi dx² /

Elle a pour pôles simples les poinls x = o et x = 1 et n’a pas d’autre singularité à distance finie.

Dans le voisinage de x = oo, elle est de la forme

’/(x) étant une série entière en -• Elle se réduit donc à une fraction /j    x

rationnelle ayant pour pôles simples x = o et x — i à distance finie et s’annulant pour x — ce : elle est, par suite, de la forme

Ax + B

x(x — i) ’

A et B étant des constantes.

En étudiant de la même manière le produit

dy-1 d'² yi _ dyy d²y^ dx dx'¹ dx dx²

dans le voisinage des poinls o, i et oo, on reconnaît qu’il se réduit à une fraction rationnelle de la forme

G x'² -f- Da? + E x²(x — i)²

De là, nous concluons que la fonction cherchée y satisfait à une équation de la forme

O)

d²y Ax -H B dy C x² -!- D x -+- E dx'² x{x — 1 ) dx

x²(x-j)²

y = o,

A, B, C, D, E étant des constantes qu’il reste à déterminer. Cette détermination sera facile en écrivant qu’il y a, dans le voisinage des points singuliers, des intégrales de la forme indiquée. Nous simplifierons le calcul en supposant

“'=£'= o,

ce qui ne diminue en rien la généralité du problème, puisque ceci revient à envisager, au lieu de la fonction y, la fonction

yx-a'( i — x)~$'.

Nous supposons donc a'= S'= o, et il nous reste quatre constantes

a, [3, y et y' liées par la relation

L’équation fondamentale déterminante relative au point x — o est, pour l’équation (a) qui a ses intégrales régulières en ce point,

r( r — i) — Br+K = o.

Elles doivent être égales à zéro et à a. On a donc

E = o,

B == a — i.

Pareillement, l’équation fondamentale déterminante relative au point x = i est

Elle a pour racines zéro et (3. On a donc

C -t- D = o,

A = 2 — a — (3.

nous avons

Il ne nous reste plus que la constante C à déterminer; l’équation

dy

flî y

X{X~X)d^    +    = 0‘

Posons y = xr<li(x),    étant une série ordonnée suivant les

puissances croissantes de et substituons dans l’équation différentielle. En égalant à zéro le coefficient du terme de degré le plus élevé en x, nous avons de suite l’équation en r

/•(/• — i) A /• H- G == o.

Cette équation doit avoir pour racines —y el — Y’ aura donc

G = TY',

et il faut vérifier que l’on a

ce qui a bien lieu, car cette relation, en remplaçant A par sa valeur trouvée plus haut, revient à

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES.

dy

x(x — I )

Nous avons donc finalement V équation

d\r

dx-

C’est, avec un changement seulement dans les notations, /’équation différentielle à laquelle satisfait la série hyper géométrique (Ghap. XI, § 14).

Si, au lieu de supposer ^=^=0, nous les avions laissés arbitraires, nous aurions obtenu par un calcul tout semblable l’équation du second ordre correspondant au cas général, qu’il est inutile d’écrire. Remarquons seulement que cette équation n’aura d’intégrales de la forme voulue que si aucune des différences

a — a',    £ - P', y — Y'

n’est un nombre entier. C’est d’ailleurs une hypothèse que Riemann fait explicitement dans son Mémoire. Nous savons, d’après les généralités du Chapitre précédent, que des logarithmes s’introduiraient dans la forme des intégrales si quelqu’une de ces différences était entière.

4. Reprenant, pour plus de symétrie, les six exposants a, a', {3,    ,

y, f correspondant aux points singuliers «, 6, c, désignons par

P a et P»'

les deux solutions de la forme indiquée dans le voisinage de x = a\ chacune d’elles est déterminée seulement à un facteur près. Soient pareillement

Pp et Pp' puis    P y et Py-

Fig. i5.

les solutions correspondant aux points b et c. Traçons dans le plan un contour fermé F (un cercle, par exemple), passant par les trois points a, 6, c (fig. i5). Les six fonctions

P«, P x * Pp, Pp-, Py, Pr

sont holomorphes à l’intérieur de T et à l’extérieur de cette courbe, puisque dans tout le plan, y compris le point à l’infini, elles ont seulement pour points singuliers les trois points a, b₁ c.

Considérons les fonctions précédentes à l’intérieur de F. On doit avoir enti-e elles des relations de la forme

P(X = <2(3 PfH- «P' Pp',

(3)

P a' — «pPs+ «p'Pp'î

PQL — CL ■' Py “1” CL’ y' Py'j P = CL-y, P y —{— CLy/ P y'j

les coefficients a étant des constantes. Considérons les quotients de deux coefficients de même indice inférieur; de ces quatre quotients

(4)

«h

at

CL y

a'*

a,

«y'’

trois doivent être déterminés en fonction du quatrième, puisque les six fonctions P sont déterminées chacune à un facteur constant près. C’est cette détermination que nous allons effectuer avec Riemann.

Quelle que soit la détermination considérée, on a deux chemins équivalents en tournant une fois autour du point c dans le sens positif, et en tournant successivement autour de a et b dans le sens négatif. Prenons par exemple Pa; quand la variable tourne une fois dans le sens positif autour de c, Pa se change en

ar e2niY Pr h- ar-e*n*Y Py',

comme le montre de suite l’expression de Pa en fonction de Py et Pyq quand la variable tourne successivement autour de a et b dans le sens négatif, Pa se change en

e-2a7h ( ap g-ifini Pp _|_ ap,g-2fi'iti p^, ).

On a, par suite, la relation

<Zy e²Yni Py -p a y' e²Y'nt' Py = e—²ani\ape~sPni’Pp-+- ap'e-²P'niPp’), à laquelle nous adjoignons l’égalité

ayPy-t- a,y Py'= apPp-4- ap'Pp'.

On a deux relations analogues en remplaçant a par a! et les coefficients a par les coefficients a'. En éliminant Py et Py' entre ces quatre relations, on aura deux relations homogènes et linéaires entre Pp et Pp', et, par suite, dans ces dernières, les coefficients de Pp et Pp' seront nuis, ce qui va nous donner quatre équations entre les a.

Un calcul très facile donne ainsi les quatre équations

ar    ap    aitJ'sin (a-i-p-l-y')tt _ a,$>    g-aw sjn (a -+- fi'-h y')-tc

(5)

a p    g-a'TO sin(a'-+- (3 -+- Y )’K    ap'    e~a'TO sin(a'-f- j3'+ y' )tt ’

ay    ap    si n ( a + P-f-y)71    a3'    e ~aiu’sin(a-|-(3'-t-y)⁷⁷

a'<

ap    e-a'TCiSin(a'_|_ y)tt    ap»    e-a'⁷» sin(a'-{-{3'h-y)⁷⁷

Ces quatre relations se réduisent à trois, comme ce doit être, d’après ce que nous avons dit plus haut. On trouve, en effet, deux fois la valeur du quotient

a p # op' ap ‘ a p'

La comparaison de ces valeurs donne

sin (a. -h y' ) K sin ( a'H- fi -i-    gin (a -1- |3'-t- y)it sin(«'-t- P -+- y)ir

sin (a -t- [3 -t- y* sin(a' -4- p' -+- y') k sin(a'-t- (3'h- y)77 s‘u(a [3 -4- Y )~’

équation qui est bien vérifiée, à cause de l’égalité

oc -+- (x' —h [3 ' —h y = ¹ *

O. La recherche précédente conduit à La détermination du groupe de l’équation. Remarquons d’abord que, si l’on a un système de nombres a satisfaisant aux relations- (5), il y aura certainement six déterminations

(6)

p«, Por, Pp, Pp-, py> py

de la fonction, ayant la forme indiquée autour des points singuliers et satisfaisant aux relations (3). En effet, en multipliant les six déterminations précédentes par six constantes arbitraires, on peut faire que les coefficients, remplaçant les «, aient telles valeurs que l’on veut, pourvu que les rapports des quotients (4), correspondant aux nouveaux coefficients, aient les mêmes valeurs que pour les anciens. Nous pouvons donc considérer que nous avons un système de déterminations (6) répondant aux relations (3), où les coefficients a sont arbitraires, sauf qu’ils satisfont aux relations (5). Si alors nous nous attachons aux deux solutions

P a,    P*',

qui forment un système fondamental, il est facile de trouver les substitutions correspondant à une rotation de la variable autour des points a et b. Pour le point a, nous avons immédiatement la substitution, puisque Pa et Pa' deviennent respectivement

e²™«Pa et e27Tia' Pa-,

Quant à la seconde rotation, nous trouverons la substitution correspondante en prenant Pa et Pa- sous la forme donnée par les deux premières des formules (3). Alors, nous voyons que Pa et Pa’ deviennent respectivement, pour une rotation positive autour du point 6,

(6)'

Pp-f- ap'C2TO'P' Pp-, ap e2niP Pp -t- àp, <?2TO’P' Pp\

Remplaçons alors Pp et Pp- par leurs valeurs en Pa et Pa', nous aurons la substitution cherchée. Pour faire ce calcul le plus rapidement, écrivons

P a = «pPp-t- «P'Pp', P<x' =    X'ap'Pp-,

en posant

al

P'.

X' =

ap

«fi'"

pour les expressions (6),

D X"e2Tt/P

* a    “

n XX'(Vro'P—e27t'P’)

«

Le rapport y est donné par les formules (5) en fonction des a, (3, y. 11 reste donc seulement, dans cette substitution, une constante arbitraire. 11 devait bien en être ainsi, puisque Pa et Pa- sont déterminés seulement à un facteur constant près. Pour avoir des substitutions entièrement déterminées, posons

on aura

— Xe²™P’

X' —X

+ Pa'

X'— X

XV rn'3' — Xe²««'P

X'- X

(X'-X)Pa = «,

Pa = e.

La rotation autour du point a donnera la substitution

(Si)

u' =

v' = e2TOa'e.

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTHIQUES.

La rotation autour du point b donnera la substitution

(2t)

X'-X

v’ =

X'e2TOP'_ Xe²WfJ

(X'-X)²

X'—X

V.

Nous n’avons plus maintenant, dans les substitutions (2,) et (S₂),

X'

aucune indéterminée, puisque é- est connu et égal à

sin ( a. -+- P'-H y’ l'Jt sin (a'-+- (3 -t- y' )ir sin(a'-t- jü'-+- y')tt sin(a -+- p -H y')n

Par suite, nous pouvons regarder les deux substitutions S, et comme les deux substitutions fondamentales du groupe de l’équation différentielle hyper géométrique prise sous sa forme la plus générale.

Nous voyons donc comment les considérations développées par Riemann permettent de trouver facilement le groupe de l’équation différentielle hypergéométrique. Après avoir étudié l’expression des fonctions P sous forme d’intégrales définies, nous aurons à revenir, dans la Section suivante, sur ce groupe, en le donnant sous une forme plus simple que celle que nous venons d’obtenir.

La méthode suivie par Riemann n’en reste pas moins la plus intéressante, puisque les principales propriétés de la fonction sont déduites uniquement de sa nature au voisinage des points singuliers, sans recourir à aucune représentation effective de cette fonction.

On retrouve, dans les quelques pages du petit Mémoire de l’illustre auteur, l’esprit original et profond, excellant à prendre les questions de haut, que nous avons déjà eu l’occasion d’admirer dans la théorie des intégrales abéliennes.

II. — Intégrales hypergéométriques.

6. Appelons intégrale hypergéométrique une intégrale de la forme

-/*

s

( u — ax )bi~l ( u — a-₂ )*a~‘ ( u —    du

dont les limites g et k sont deux des quantités a,, a₂ et ce. On suppose, bien entendu, que l’intégrale a un sens. Si donc, par exemple, on prend l’infini pour une des limites, c’est que l’on a

bi -+- b2 -+- X •< 2.

L’intégrale considérée est une fonction de x et satisfait à une équation différentielle, que nous allons former. Posons

U = ( u —    )b\~¹ ( « — a₂)b*~l.

Nous aurons, en appliquant la règle de différentiation sous le signe d’intégration,

dy

dx

-(X-i

>/*

dïy _

dx²

U ( u — xg~² du, 2) f U (a

— x)X—* du.

Cela étant, considérons la fonction

G (u) — (u — at)bt(u — a₂)b*(u — x)^~² ;

elle s’annule pour les limites g et h que l’on a choisies, du moment que, pour ces limites, l’intégrale a un sens. Calculons la différentielle de G(m) : si l’on pose, pour abréger,

/O) = (a — ai) (a — a,), cp(«) = bx(u — a₂) -h b₂(u — a,).

il vient

dG(u) = U <p(a)(a — xjX-ï du ■4- (X — 2) U f(u)(u — a?)X-3

D’autre part,

On a alors

/(“) = f(x) + (u — x)f(») -r

<?(“) = ?(aO-*-(“ —*)?'(*)•

(u — .r)²

(X — i) dG(u) = (\ — i) (X — •2)f(x)\J(u — x)X—3 du

[a

f(*)]

-+- (X —.i)U[o(a7) -4- (X — -i)f'(x)](u — a;)X—² du (X —1)( X — i)

En intégrant les deux membres de cette identité entre g et h, et se

reportant aux

valeurs de et

dx

on trouve

[a

— i) v'(x) -F-

(X — i) (X — %)

dy

= O.

Telle est donc l’équation linéaire de second ordre à laquelle satisfont les fonctions y.

Dans le cas où l’on fait

a, = o,

et de plus

X = i — a,

on a l’équation différentielle

bi — r a — y,

b-i — y — P,

qui est l’équation hypergéométrique, sous la forme considérée par Gauss.

7. Nous avons supposé dans ce qui précède les constantes 6,, b₂, X telles qu’une intégrale de la forme indiquée ait une valeur déterminée. On aura dans tous les cas une intégrale de l’équation diffé-

Fig. 16.

-$_2

/■dl

rentielle en procédant de la manière suivante : Partons du point a (distinct de a₍, a₂ et oo), en donnant à l'expression

( u — «i )h'~l(u — ai)bi~l(u — xjk~l

une de ses déterminations, et prenons 1 intégrale

(7)

J (u — «I j⁶!-¹ ( u — at)b>-i(u — x)b~l du,

P. — III.

21

en décrivant dans un certain sens un contour C| autour de at, puis un contour C₂ autour de «₂, ensuite le contour C inverse, et enfin le contour C₂ également en sens inverse La fonction G(w), considérée ci-dessus, reprendra évidemment la même valeur quand u reviendra en u₀ après avoir décrit le contour complexe qui précède, et, par suite, nous aurons une solution de [ équation différentielle en prenant l’intégrale le long de ce contour. Si l’on suppose que l’intégrale (7) reste finie pour u = a{ et u = a₂, on retrouvera bien ainsi l’intégrale du paragraphe 6. Soient, en effet,

mais en sens

{fig- ¹ 2 3 4 5 6 7 8 9)*

U m et U„,

les intégrales (7), prises de m₀ en a, et de u₀ en a₂, avec la valeur initiale choisie pour Ja fonction sous le signe d’intégration. L’intégrale correspondant au contour complexe sera

Uai(i — g2mV)    )

-t- Ua, einibi+b*u(1 — g—inbti ) -f- U„₃

c’est-à-dire

(ü«t— U„a)(i -

et la différence Ufli—- U(l représente précisément l’intégrale (7) prise de a-, en a{.

u₀a,,

les valeurs de l’intégrale (7) prise de u₀ en a,, x, a₂ et oo avec une même valeur initiale pour la fonction sous le signe d’intégration, nous aurons, comme à la page 226 (t. Il),

( , _ eib,m ) [J,,, -f- (    e2(6,-hX)m ) U*

-4- (g2(6,    — g2(/»,4-6a+X)TO j U(<₂-4- (g2(bt-hdJ-h'X>7Zi I ) X J ^ = O.

Fig. 17.

ce-

00

Cette formule montre immédiatement que

U.c — Urt,

s’exprime par une combinaison linéaire et homogène de

V„— U„„ U^-U,, U,- U«t

et est, par suite, une intégrale de l’équation différentielle. 11 en est de même de Ux—Urtj et Ux—UM.

9. Nous avons, dans la Section I, trouvé, d’après Riemann, le groupe correspondant à l’équation dilférenlielle du second ordre dont l'étude fait l’objet de ce Chapitre. On peut nécessairement donner au groupe différentes formes. La considération des solutions de l’équation sous forme d’intégrales conduit à une forme très simple des deux substitutions fondamentales du groupe pour deux solutions particulières bien précisées. C’est ce que nous avons montré dans le Tome II (p. 224 et suiv.). Il nous suffira donc de nous reporter à ce passage, en remplaçant seulement a et b par b{ et 6₂, et les points o et 1 para, et a₂. Nous avons considéré les deux intégrales

u), = U x Urt,)

W-2 = U.c — U

Les deux substitutions fondamentales S, et S₂ du groupe correspondant respectivement à uive circulation dans le sens négatif autour deaK et à une circulation dans le sens positif autour de a2 sont

(Si)

(S,)

co j = e~

cui, = co₂-t- (e~2(6,-+-)>)n/— g-î^Tte^coj,

COj = CO] -f- ( g2(6₁+Xl7t/- g2A7Ci )co₂₎

Co" = g2(6,+)j7UWj.

10. Si l’on pose

CO,

co₂

— = -,

on pourra faire correspondre au groupe précédent un groupe linéaire relatif à z dont les substitutions fondamentales sont

(2,)

g—2(6]-l-X)7U' 3

|_ ’ i -|-(e~2(6,-t-X)iu—g—

(2.)

[æ, g— 2(6,+X)7t4£ _(_ (j - g 26,7ti ^ j #

Nous allons montrer, en supposant réels A, b< et b₂, qu'on peut trouver un cercle qui est transformé en lui-même par les substitutions (S, ) et (S₂ ).

Remarquons d’abord que, z désignant x -)- iy, l’équation d’un cercle peut se meltre sous la forme

Azz₀-+- Hz —h H^Zy—t- G    o,

A et C étant des constantes réelles, B et B₀ étant des constantes imaginaires conjuguées, et z₀ désignant x—iy.

En écrivant que le cercle est transformé en lui-même par la substitution (2,), on obtient les deux équations

B(l g-26,714 ) -+- B₀( I g-t-26,1t i)    C( «26,714 I)(g-2^7C4— i) = O,

B(g*(6,+X)7l4_ I) ₌ G(l — «26,714 )f

et l’on voit facilement que la première est une conséquence de la seconde.

Pareillement la substitution (S₂) conduit aux deux équations

B(l — g-2*.7rt) -+- B₀(i — «-*-26,714) -+- A(l -«-26,114 )(i- e26,7K) ₌ q,

B(«2(6,+X)7t4_ ,) = A(I —

qui se réduisent aussi à la seconde.

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTUIQUES.

On a donc seulement les deux équations

B ( e2(6a-4-X)iu— i) ₌ A.(i — eîftjTti ^

B(e2(6,+X)TO__ g = C(i — e²⁴iro')-

Il faut qu’on puisse satisfaire à ces équations en prenant A et C réels. On voit de suite qu’il en est ainsi, car on peut remplacer la seconde équation par la suivante :

( e2!tt>,i— ,)(e27t(Vt-X)J i)

G (g2TtV⁻-i)(e27l(Al+X)i—

et l’on s’assure que le second membre est réel, en remarquant qu’il ne change pas quand on change i en — i.

La circonférence que nous venons de trouver peut être réelle ou imaginaire. Elle sera réelle si l’on a

BB₀— AG > o,

comme il résulte de l’équation du cercle, mise sous la forme (Aa + By) (A.Sq —t— B ) —t— AG — BB₀ = o.

En substituant les valeurs trouvées pour A, B, G, cette inégalité devient

(g2TlXi- ₁)(g27lb₂i- e-2n(6,-l-X)i)(I _ e2TtOp) (! - e-2n6lJ) >

Suivant la valeur numérique de X, b\ et b₂, le premier membre peut être tantôt positif et tantôt négatif (¹⁰ ).

H. Faisons encore une remarque relative aux substitutions de la forme

a z -H b

cz -4- d /

a, b, c, d étant des constantes. Une telle substitution transforme une circonférence en une circonférence; c’est ce que l’on voit de suite en mettant l’équation de la circonférence sous la forme dont nous

nous sommes servi plus haut

\zzq—|— Bz —G — o.

En mettant forme.

cz -t- d

à la place de z, on a une équation de même

III. — Représentation conforme au moyen du rapport de deux solutions de l’équation hypergéométrique.

12. Reprenons l’équation différentielle du second ordre

et désignons par y, ety₂ deux solutions linéairement indépendantes de cette équation. Posons

(8)

Zi ₌

■*>

et regardons cette équation comme établissant une relation entre x et z. Pour une valeur déterminée xu de x, distincte de o, i et oc, supposons que z prenne la valeur z₍₎ (celle-ci pouvant être infinie). L’équation (8) donnera pour# une fonction de z liolomorphe dans le voisinage de z₀ et prenant pour z — z₀ la valeur x₀. Pour le démontrer, supposons d’abord z₀ fini; l’énoncé précédent ne serait

inexact que si la dérivée de — et par suite

dy%

dyi

dx    dxt

s’annulait pour x — x₀. Or ceci est impossible, car il est évident que, si y\ et y₂ désignent deux solutions distinctes de l’équation linéaire du second ordre

d* y    dy

on a

dy i

dyt

~fpd\

C étant une constante différente de zéro, et par suite le premier

membre de l’identité précédente est différent de zéro pour une valeur de x distincte des points singuliers.

Si z₀ était infini, c’est-à-dire si y₂ s’annulait pour x = x₀, cette racine x₀ serait simple, l’autre intégrale y, ne s’annulerait pas pour cette valeur de x, et l’on aurait alors dans le voisinage de x₀

x — x₀

(A^o)

les termes non écrits étant holomorphes : il est clair que l’inversion se fera d’une manière uniforme dans le voisinage de z = oo.

Il résulte de la remarque précédente que, si l’on a dans le plan de la variable x une aire limitée par un contour simple et ne contenant aucun des points singuliers o, i et oo, Véquation fera correspondre à cette aire dans le plan de la variable z une aire également limitée par un seul contour, et à Vintérieur de laquelle ne se trouvera pas de point critique de la fonction x de z. Il n’en faudrait pas conclure que l’on aura nécessairement ainsi deux aires se correspondant point par point; il peut arriver qu’à un point z correspondent plusieurs valeurs de x, et que par suite l’aire dïfns le plan z se recouvre partiellement elle-même. Il est aisé de donner un exemple simple d’une telle circonstance; prenons la relation et dans le plan x une aire simple ne comprenant pas l’origine et telle que la symétrique par rapport à l’origine de certaines parties de l’aire soit contenue dans celle-ci. On aura comme figure correspondante dans le plan z une aire limitée par un seul contour, ne comprenant pas l’origine à son intérieur, mais qui se recouvrira partiellement elle-même, de façon qu’à certaines valeurs de z correspondront deux valeurs de x.

13. Nous allons supposer maintenant que dans l’équation différentielle a, [3 et y sont réelles, et nous voulons chercher quelle est dans le plan z la figure correspondant au demi-plan P de la variable x

situé au-dessus de Taxe des quantités réelles (’). Dans le demi-plan P, 5 est une fonction uniforme de x, puisque yt et y₂ n’ont comme points singuliers que les points o, 1 et oc.

Partageons, dans le plan x, l’axe des quantités réelles en trois segments

— OC, o; o, i; I

-4- ce.

Considérons l’un de ces segments; soit, pour fixer les idées, le segment o, i. Je suppose d’abord qu’en un point réel x₀, compris entre o et i, on se donne des conditions initiales réelles pour les deux intégrales y, et y₂; celles-ci seront réelles pour x réel et compris entre o et i et il en sera de même du rapport

et, par suite, le point z décrira un segment de l’axe des quantités réelles dans son plan quand x variera entre zéro et un. Comme on a

dz

dx

y\

y\

il en résulte que, suivant le signe de C, ^ ira constamment en croissant ou en décroissant quand x croîtra. 11 y aura donc une correspondance bien déterminée entre le segment (o, i) du plan x et un segment (qui pourra contenir le point à l'infini) de l’axe réel du plan s.

Si,

au lieu des intégrales que nous avons considérées et qui sont réelles pour x entre zéro et un, nous avions pris deux intégrales quelconques, cherchons quelle eut été la courbe correspondant au segment (o, i). La recherche est facile; au lieu de y, et y₂, nous aurions les deux intégrales

l>yi Q72,

P, Q, R, S étant des constantes, et, par suite, au lieu du rapport z ¹¹ considéré plus haut, le rapport

P^ + Q

Or, quand le point z décrit un segment de l’axe réel, le point

Kz + S

décrit un arc de la circonférence correspondant à l’axe réel.

11 en résulte qu’aw segment (o, 1) correspond uniformément un arc de cercle.

Reprenons donc notre question. Ayant fait choix de deux intégrales distinctes, d’ailleurs quelconques, nous posons

— = z,

et nous considérons le demi-plan P. A chacun des segments de l’axe des quantités réelles correspondent dans le plan z trois arcs de cercle. Quand x parcourt l’axe réel de —00 à +00 (en évitant seulement par des petites courbes situées au-dessus de l’axe réel les points o et 1), le points décrit, en marchant toujours dans le même sens, les côtés d’un triangle curviligne formé d’arcs de cercle. Les trois sommets de ce triangle correspondent respectivement aux points o, 1 et 00.

Cherchons les angles de ce triangle. Nous désignerons par a, ô, c les trois constantes réelles positives

¹

Nous avons, au paragraphe 6, donné aux limites g et h les va

²

leurs a₍, a-i et 00; on peut aussi donner à ces limites la valeurs.

³

Démontrons-le en supposant que les différentes intégrales obtenues

⁴

en donnant à g et h deux des valeurs

⁵

at, a₂, x,    00

⁶

aient un sens; la proposition sera évidemment générale. 11 faudra seulement recourir, dans le cas contraire, aux intégrales considérées dans le paragraphe précédent. Prenons encore un point arbitraire u0 et traçons les lignes

⁷

«0#,    u₀a₂, Mpoo,

⁸

ces lignes se suivant autour de u₀ dans l’ordre qui vient d’être indiqué (fig. 17). En désignant par

⁹

Ua„ U*, U„„ Ux

¹⁰

J’ai développé les calculs que je ne fais qu’indiquer ici dans mon Mémoire Sur les fonctions hyperfuchsiennes provenant des séries hyper géométriques de deux variables ( Annales de l'École Normale supérieure, 1885). Dans le domaine de deux variables complexes indépendantes, le cercle précédent est remplacé par une hypersphère.

¹¹

Cette étude a été faite pour la première fois par M. Sclnvarz dans son célèbre Mémoire : Ueber dienigen Fàlle, in welchen die Ganssische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function Unes vierten Elementes darstellt ( Journal de Crelle, t. 75).

I » — Tl.

I«-N,

PI-

lT

Dans le voisinage du point x — o, 1 équation différentielle a deux solutions de la forme

= a?‘-r/,(ar),

ft et f₂ étant holomorphes et différents de zéro pour x = o. Il en résulte que, pour ce choix particulier d intégrales, et par suite pour toutes (pour que I on passe d’une détermination z à une autre par une substitution n’altérant pas les angles), l’angle des deux côtés du triangle au sommet qui correspond à x = o, compté dans /’intérieur de U aire, sera égal à

an.

puisque l’argument de x'~Y varie de (i — f)Tz quand x est à gauche et à droite du point o sur l’axe réel. Si l’angle arc est supérieur à 27c, l’aire du plan des £ se recouvrira elle-même.

On verra de la même manière que l’angle compté dans l’intérieur de l’aire est égal à

C TC

pour le sommet qui correspond à x = i, ce qui résulte de l’existence de deux intégrales de la forme

y₂= (a?-i)Y-«-P/*(*).

Enfin, pour le sommet correspondant à x = oo, on aura l’angle

b Tl,

car on a les deux solutions, pour x très grand,

yi = X-Zfyix),    ■Vi=X-Vfl{x),

oo, et l’on

fi et fï étant holomorphes et différents de zéro pour x voit alors que, dans le quotient — > s’introduit le facteur x*^.

aire à contour simple, limitée par trois

une

Ainsi nous arrivons à cette conclusion qu’««z demi-plan correspond, dans le plan z arcs de cercle; cette aire peut se recouvrir partiellement elle-même et aussi contenir le point à l’infini.

Nous avons supposé implicitement qu’aucune des constantes a, b, c n’était égale à un entier. Prenons par exemple a et supposons que y = i. D’après la théorie générale des points singuliers réguliers, nous aurons dans le voisinage de x = o les deux intégrales

y% = Mx) -Hloga; fy(x).

Le rapport ~ est alors de la forme

logx-^o(x),

'f(x) étant holomorphe dans le voisinage de x = o et à coefficients réels. Quand x s’approche de zéro sur le segment (i, o), z s’approche de —oo sur l'axe réel, et ensuite quand x, décrivant un demi-cercle infiniment petit pour éviter le point o, suit le segment (o, —oc), le point z décrit une parallèle à l’axe réel, d'ordonnée tc, et en venant également de —oo. L'angle sera donc égal à zéro.

On vérifiera de même que, si a — i, l’angle des deux côtés du triangle sera égal à tz, de sorte que le résultat énoncé plus haut est général.

14. Abordons maintenant un cas particulièrement intéressant où l’on aura une correspondance uniforme entre le demi-plan P et l’aire correspondante du plan z. Ce cas est celui où l’on a à la fois

C < 2.

a < 2,

b < 2,

Nous allons voir que l’on a alors d’une manière uniforme une représentation conforme du demi-plan sur un triangle d’arcs de cercle. Nous le montrerons bien nettement en suivant par continuité à partir d’un cas pour lequel la question ne présente aucune difficulté.

Si l’on prend, pour les trois constantes de la série hypergéoiné-trique,

a0 = O,

Poi Yo>

on a, pour une des intégrales, une constante, et pour l’autre

Y«( u — i)Yo-Po-i du,

et cette expression peut servir à effectuer la représentation conforme du demi-plan P sur un espace limité par trois droites.

Posons, comme plus haut,

co — | Yo —    !•

«o= 11 — Yo I,

Nous supposons

ao < 2,

bo < a,

c₀< 2,

de façon que les sommets ne soient pas des points de ramification. Le contour ne pourra se couper lui-même, car alors les trois droites ne limiteraient plus une aire {voir, pour ces questions déjà étudiées au Tome II, le Chapitre de ce Tome relatif aux représentations conformes, p. 297 et suiv.).

Si l’on a en particulier

Yo < 1 > Yo — Po> o,

on obtiendra, en égalant l’intégrale ci-dessus à z, un triangle rectiligne tout entier, à distance finie, avec les angles

a₀TZ, bÿTZ, Cqtc,

en posant alors

«0 = 1 — Yo>

c₀ = Yo— Po,

et la somme de ces angles est bien égale à tc.

Imaginons maintenant que l’on parte de ces dernières valeurs de a₀, [3₀,y₀; l’équation hypergéomé trique correspondante nous donne la représentation du demi-plan sur un certain triangle rectiligne. Faisons alors varier les coefficients a, '3, y à partir de ces valeurs de a0v Q₀, y₀ ; la représentation se fera sur un triangle d’arcs de cercle, et l’on peut supposer que les sommets restent les mêmes, puisqu’on dispose de trois constantes dans le rapport des deux intégrales. On suppose d’ailleurs que a, [3, y varient de manière que l’on ait toujours

b < 2,

a < 2,

c < 2.

Le triangle d’arcs de cercle est d’abord peu différent du triangle rectiligne initial. 11 ne peut pas arriver que, pendant la déformation, deux côtés du triangle se coupent entre eux, car cette circonstance ne peut se présenter que si, à un certain moment, les côtés ont fait entre eux un angle égal à zéro ou à 2Tt; or nous pouvons faire varier a, [3, y de manière que

a, b, c

varient depuis leur valeur initiale «₀, ô„, c₀ jusqu’à leur valeur finale sans passer par zéro ou par deux dans l’intervalle.

11 résulte de ce qui précède que, pendant la variation continue des paramètres, nous ne cessons pas d’avoir dans ie plan z une aire simplement connexe, ne se recouvrant pas partiellement elle-même, et donnant une représentation conforme du demi-plan P; cette aire est un triangle curviligne dont les côtés sont des arcs de cercle. Les angles intérieurs de ce triangle sont respectivement égaux à a", Ô7retcir, chacun de ces angles étant par hypothèse inférieur

à 2TC.

io. La question de la représentation conforme des triangles d’arcs de cercle sur un demi-plan (ou sur un cercle, ce qui revient au

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉT1UQUES.

même) peut être posée a priori, et, en analysant ce problème, on retrouve l’équation différentielle de la série hypergéométrique. Nous ne nous placerons pas à ce point de vue, qui a fait l’objet d’un Mémoire de M. Schwarz ( ' ) ; nous allons seulement former, en partant de l’équation linéaire du second ordre qui vient d’être étudiée, l’équation différentielle du troisième ordre, à laquelle satisfait le rapport ^ = — •

Soit, d’une manière générale, l’équation linéaire d² y    dy

dont yK et y-, représentent deux intégrales distinctes. Le rapport dépend manifestement de trois constantes arbitraires, puisqu’on peut remplacer jy, et _y₂ Par des combinaisons linéaires. 11 satisfait donc à une équation du troisième ordre que nous allons former. Le calcul est immédiat; si l’on forme

dz d"¹ z d³ z dx ’ dx'¹ ’ dx³ ’

si l’on différence —

> on aura, en se servant de l’équation différentielle, les expressions de ces trois dérivées au moyen de

yi, y*,

dy i dy 2 dx’ ~

dx

En y joignant z = — > on a quatre relations homogènes en , y.j,

• L’élimination de ces quatre quantités donne alors l’équa-

dy\ dyi dx ’ dx

lion cherchée. On trouve ainsi

dz d,³ z

dp

____y

² dx dx³ \ dx'¹1

=    '-as-

(¹ ) H.-A. Schwarz, Ueber einige Abbildungsau/gaben ( Journal de Crelle, t. 75). M. Darboux a consacré un très intéressant Chapitre à ces questions dans le Tonie I de ses Leçons sur la Théorie des surfaces, p, 170.

16. Nous avons obtenu (§ 14) la représentation conforme du demi-plan sur un triangle formé par trois arcs de cercle, au mojen du quotient de deux intégrales de l’équation hypergéométrique. Nous allons passer de là facilement à une représentation du plan tout entier sur lequel sont tracées deux coupures.

Supposons d’abord que la représentation du demi-plan P ait été faite au moyen du rapport de deux intégrales réelles sur le segment (o, i). Traçons sur le plan la coupure (—oo, o) et la coupure (i, -f-oo) que le point x ne va pas franchir. Dans ces conditions, le rapport z est une fonction uniforme de x dans tout le plan. A la partie supérieure du plan des^, c’est-à-dire au plan P, correspond dans le plan s, d’après les paragraphes précédents, un triangle T d’arcs de cercle; un des côtés de ce triangle est rectiligne ici : c’est celui qui correspond au segment (o, i). Puisque la fonction z est réelle sur le segment (o, i), elle prendra des valeurs imaginaires conjuguées pour deux valeurs de x imaginaires conjuguées, c’est-à-dire pour deux points symétriques par rapport à l’axe réel. Par suite, au demi-plan

Fiy. 18.

\P

- OO

Dans le cas de l’équation hypergéométrique, le second membre se réduit à

i — c²

d¹— bi -+- c² — i

2X(l —; X)

en posant, comme nous l’avons fait précédemment,

à²= (i —y)²,

Ceci nous explique pourquoi les quantités qu’on peut supposer positives a, ô, c jouent seules un rôle dans les questions relatives au

rapport comme nous l’avons constaté plus haut.

•2X²

‘2 ( 1 — X )²

6» = (a-P)*,

c² = ( y — a — P )².

ri

+ OO

inférieur correspondra un triangle d’arcs de cercle symétrique du triangle T par rapport à son côté rectiligne. L’ensemble du triangle T et de son symétrique correspondra donc au plan x tout entier dans lequel on a tracé les deux coupures (— oo, o) et (i, +oo). On aura, par exemple, les figures suivantes où l’on représente le plan x et le plan z.

Soit d’abord le triangle ABC avec le côté rectiligne AB, qui correspond au segment (o, i); nous figurons le triangle ABC'symétrique

F‘g- ¹9-

,P

M'

*P'

C'

de ABC par rapport à AB. Le quadrilatère ABC/donne une représentation conforme du plan x où sont tracées les coupures (—oo, o) et (i, -f-oo). Le côté AC correspond au bord supérieur de la coupure (o, —oo) et le côté AC' au bord inférieur de cette même coupure. Ainsi à deux points m et m', considérés comme appartenant respectivement aux bords supérieur et inférieur de la coupure (—oo, o), correspondent deux points M et M' situés sur AC et sur AC'. En désignant par z et z' les affixes de ces deux points, on aura

z' =

a z -+- b cz -+- cl’

et la substitution

az -h b

c z —i— d

correspond précisément à la rotation mpm' effectuée par x autour de O dans le sens négatif.

11 y aurait de même une seconde substitution

\ y-s -t- 8 /

transformant BC en BC'. Les côtés du quadrilatère ACBC' se correspondent donc deux à deux par une substitution linéaire.

Dans la figure que nous avons dessinée, nous avons supposé que le triangle ACB était tout entier au-dessus de AB; il pourrait en être autrement, et alors le quadrilatère total pourrait se recouvrir partiellement lui-même.

Si, au lieu de prendre le rapport z de deux intégrales réelles sur le segment (o, i), nous avions pris le rapport de deux intégrales quelconques, le triangle ABC n’aurait plus eu de côté rectiligne. La figure obtenue aurait été la transformée du quadrilatère ACBC' par une substitution quelconque de la forme

Or, une telle substitution transforme le segment de droite AB en une circonférence; il s’agit de savoir ce que deviennent deux points P et V symétriques par rapport à AB. Désignons par ajâ le segment d’un cercle F correspondant à AB, et soient tz et tz' les transformées de P et Pb Tout cercle passant par P et P' est orthogonal à AB; donc tout cercle passant par tt et tz' est orthogonal à T (la transformation transformant les cercles en cercles et conservant les angles).

En particulier, la droite tztz' sera normale au cercle T et, par suite, passe par son centre E. Or, on sait que les deux points tz et tz', situés

Fig. 20.

yr

/'KK

/3

7'

'E

sur le diamètre d’un cercle et tels qu’un cercle distinct de ce diamètre et passant par ces points soit orthogonal au cercle, sont conjugués par rapport à celui-ci, c’est-à-dire que

Et: Ett' = R-,

%

R désignant le rayon du cercle. Les deux points et tz' se correspondent donc dans la transformation par rayons vecteurs réciproques, qui laisse invariables les points de T. Les deux triangles ay[3 et ay'[3 correspondant respectivement à AG B et AC⁷ B sont donc transformés l’un de l’autre par une inversion relative au cercle T; on peut dire encore qu’ils sont l'image V un de L'autre par rapport à ce cercle (*), comme on le dit pour le cas où aj3 se réduit à un segment rectiligne.

(') Cette notion de l’image d’une figure par rapport à un cercle avait été déjà posée par Riemann dans ses Travaux Sur les surfaces minima. Elle a été particulièrement développée par M. Schwarz dans les Mémoires que nous avons déjà cités.

IV. — Remarques générales sur les substitutions linéaires transformant un cercle en lui-mème.

17. Nous aurons à considérer, dans le Chapitre suivant, des substitutions linéaires transformant un cercle en lui-même. Telles sont les substitutions du groupe de l’équation hypergéométrique, dans le cas où le cercle obtenu au paragraphe 10 est réel. On peut toujours supposer que le cercle se réduit à une droite, et que cette droite est l’axe des quantités réelles.

Une substitution linéaire transformant la droite en elle-même est alors de la forme

az -+- b \ cz -t- d / ’

a, b, c, d étant réels, et l’on supposera, comme il est évidemment permis,

ad — bc = i.

Ceci posé, cherchons les points que la substitution laisse invariables. Ils correspondent à l’équation

a z -h b

cz -t- d’

c’est-à-dire à l’équation du second degré

(8)

es²H- (d — a)z — b — o.

La quantité sous le radical

(d — a)²-t- kbc

se réduit (en tenant compte de la relation ad — bc = i) à

(a -+- d)² — 4*

Nous avons donc différents cas à examiner suivant le signe de cette différence. Remarquons auparavant que, conformément à la théorie générale de la réduction des substitutions linéaires, on peut, par un changement linéaire de variables, ramener la substitution à la forme

23

P. — III.

p. élanl le rapport des racines, supposées distinctes, de l’équation en A

= o.

(9)

Si cette équation a ses racines égales, la substitution se ramènera à la forme

On doit remarquer que la quantité sous le radical est la même pour les deux équations du second degré (8) et (9).

18. Soit d’abord

(a -+■ </)²> 4-

La réduction à la forme canonique se fera par une substitution réelle, et l'on aura

a et [3 étant deux racines réelles de l’équation (8), et la substitution pourra se mettre sous la forme

z'— a

le multiplicateur p. étant aussi réel et positif, puisque l’équation (9) a ses racines de même signe.

Les deux points que la substitution laisse invariables sont dits les points doubles de la substitution. Dans le cas actuel ces points sont situés sur l'axe réel. La substitution est dite alors hyperbolique (⁽).

19. Supposons maintenant

(a -h d)² < 4*

Nous pouvons encore donner à la substitution la même forme, mais alors a et (3 sont imaginaires conjuguées, et p. est une quantité imaginaire dont le module est égal à 1. Les deux points doubles sont

(') La classification des substitutions linéaires à une variable a été faite par M. Klein dans ses travaux Sur la transformation des fonctions elliptiques.

imaginaires et il n’y en a, par conséquent, qu’un dans le demi-pla supérieur.

Soit 0 étant réel. La substitution

Z'= ixZ

transforme une courbe passant par Z = o en une autre courbe passant par le même point, et les deux courbes font visiblement entre elles, en ce point, l’angle 9. Par suite, à une courbe, passant par le point z — a, correspondra une courbe passant par le même point et faisant avec elle l’angle G. On dit ici que la substitution est elliptique.

20. Passons au cas particulier où

(a -1- d)~ — 4-

Soit a la racine double de l’équation (8) ; on peut prendre ici et la substitution a alors la forme

“H /ij

z'— a

k étant une constante différente de zéro.

La substitution est dite alors parabolique ; il n’y a qu’un point que la substitution laisse invariable : c’est le point z == a, situé sur l’axe réel. Une courbe passant par le point double a pour transformée une courbe passant par ce point et qui lui est tangente, ce qui se déduit de suite du cas précédent, en regardant la substitution parabolique comme la limite d’une substitution elliptique.

CHAPITRE XIII.

CO

CHAPITRE XIII.

SUR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES DÉDUITES DE L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE HYPERGÉOMÉTR1QUE.

I. — Les fonctions de M. Schwarz.

1. Nous allons maintenant étudier des cas étendus, signalés par M. Schwarz, où l’inversion du quotient de deux intégrales de l’équation différentielle hypergéom étriqué conduit aune fonction uniforme. Nous voulons donc que, y\ et y₂ désignant deux intégrales distinctes de cette équation, la relation

■Ti(g) _ „

donne pour x une fonction uniforme de z.

Revenons d’abord aux constantes X, ù₂, comme nous l’avons fait dans l’étude des intégrales hypergéomélriques (Chap. XII, § 0). Nous savons que l’on peut trouver deux intégrales, dont le rapport dans le voisinage de l’origine x = o peut se mettre sous la forme

aA+6,-1 P(a»)}

P(a?) étant holomorphe et différent de zéro pour x — o. II suffit, pour s’en assurer, de prendre les deux intégrales correspondant aux deux racines de l’équation déterminante.

De même, pour x = i, on aura deux intégrales, dont le quotient se mettra sous la forme

(X — j)A+6j-1 Q (x),

Nous nous imposons de plus la condition que l'intégrale hypergéo-métrique (loc. cit.) ait un sens quand g et h sont deux quelconques des quantités o, i, x et oo, c’est-à-dire que

b₂ > o,

bi > o,

34i

x'b^bj-x R )

x' = -

R(V) étant holomorphe et différent de zéro pour x' = o.

Pour que l’inversion se fasse d’une manière uniforme, il faudra que les trois nombres

X —H b j — i, X —b 2 — x,    b i —i— b 2 — i

soient les inverses de nombres entiers. Soient donc

by £>2 — I ⁼⁼

— •>

m. n, p étant trois entiers que nous pouvons supposer positifs, car nous verrons dans un moment que

m- ’

■Xi’

a, b, c ayant la signification que nous leur avons donnée au Chapitre précédent.

Nous aurons donc

>>

O» C*

u>    —

« | - LO | —

si- 21- 21-■f +

I « ^ | N, S | "

X > o,

Les trois premières conditions sont remplies, quels que soient les

CHAPITRE XIII.

342

entiers positifs m, «,/>; et la dernière revient à l’inégalité

Nous la supposerons vérifiée.

2. Les quantités désignées par a, b, c dans le Chapitre précédent (§ 13) sont ici, puisque

i — a,

bl

i h- a — y,

b 2 = T— p,

Le quotient de deux solutions nous donne donc la représentation conforme du demi-plan sur un triangle d’arcs de cercle (voir le Chapitre précédent). Les angles aux sommets de ce triangle sont

On peut supposer que ces trois sommets sont à distance finie, et, puisque «, b, c sont plus petits que deux, nous sommes dans le cas où il y a une correspondance uniforme entre le demi-plan et le triangle ABC.

Or, étant donnés trois cercles, il existe un cercle réel ou imaginaire les coupant orthogonalement. Soit F le cercle relatif aux trois cercles formant le triangle ABC, et soit AC;B l’image de ACB par rapport à AB; T coupera aussi orthogonalement AC' et BC'. On le verra de suite en supposant que AB se réduit à une ligne droite (ce qui ne diminue pas la généi'alité, comme il résulte du paragraphe 16 du Chapitre précédent), car alors AC; B est symétrique de ACB et le cercle a lui-même AB pour axe de symétrie.

Je dis maintenant que le cercle T est réel; c’est là un point très important qui résulte de ce que les angles de notre triangle d’arcs de

cercle sont égaux à ^ et - et à ce que, de plus,

SI-

Pour le voir, nous pouvons supposer que deux des côtés du

triangle sont rectilignes, car on peut transformer deux circonférences en droite par une substitution linéaire. Nous aurions donc la disposition suivante de la figure 17.

Fig. 17.

■r

L’angle rectiligne AGB est égal à^ ; quant à l’arc de cercle AB,

il doit tourner sa convexité vers le point C, car autrement la somme des angles du triangle formé par les deux droites CA., CB et l’arc de cercle AB dépasserait la somme des angles du triangle rectiligne A BC, c’est-à-dire 7t. Du point C comme centre, on peut donc décrire un cercle réel T orthogonal au cercle AB, et l’on doit remarquer que le cercle T ne rencontrera pas le triangle CAB.

Nous avons supposé implicitement, dans cette figure, qu’aucun des angles n’était nul, c’est-à-dire qu’aucun des entiers m,n,p n’était infini. Supposons, par exemple, m = oc; on aura alors la figure 18. Ici le cercle T ne traverse pas le triangle ACB, mais ipasse par le sommet A où l’angle est nul. Ceci est général; s’il y a, dans le

Fig. 18.

triangle, deux sommets, ou même les trois, pour lesquels l’angle soit nul, le cercle orthogonal passera par ces sommets.

3. Réduisons maintenant le cercle T à être l’axe des quantités réelles ; le triangle ABC sera dans un des demi-plans, soit, par exemple, le demi-plan supérieur.

Nous avons donc, dans le demi-plan, un triangle d’arcs de cercle ACB, dont les côtés sont orthogonaux à l’axe réel, et il en sera de

Fig- >9-

C'

C"

B'

même alors des côtés du triangle AC'B, image du triangle ACB par rapport à AB (fig. 19).

Si les sommets A et B correspondent aux points o et 1, la substitution linéaire transformant AC en AC' est la substitution 2, relative à une rotation dans le sens négatif autour de o. ( Voir la figure \\ du Chapitre précédent.)

Le quadrilatère ACBC' correspond au plan de la variable x, dans lequel on a tracé les coupures (—x, o) et (i,H-x>). Si x, venant du demi-plan inférieur, traverse la coupure ( — x, o), nous aurons, comme correspondant au demi-plan supérieur, un triangle d’arcs de cercle, qui sera l’image du triangle BC'B par rapport à AC'; soit AB'C' ce triangle. 11 est clair que le triangle AC'B' se déduira du triangle ACB au moyen de la substitution et le triangle AC"B', image de AC'B' par rapport à AB', se déduira du triangle AC'B par la même substitution. On peut donc dire que le quadrilatère AC"B'C' est la transformée du quadrilatère ACBC'par la substitution-,. Cette substitution est évidemment à coefficients réels, puisqu'elle a le point A comme point double et qu elle transforme le cercle AC dans le cercle AC', le cercle AB dans le cercle AB', ces divers cercles étant orthogonaux à l’axe réel ££'.

La substitution S₂, relative à une rotation dans le sens positif autour de 1 et qui transforme BC en BC',' est pareillement à coeffî-cients réels (*), et l'on peut appliquer de la même manière cette substitution au quadrilatère ACBCV. Nous sommes donc ainsi conduit à transformer le quadrilatère précédent au moyen des substitutions en nombre infini, résultant de la composition des deux substitutions Sj et S₂. Ceci revient, d’après les explications ci-dessus, à partir du triangle ACB et à former la suite indéfinie des triangles, qui s'en déduisent, par symétrie en prenant les images de ce triangle par rapport ci ses côtés, et faisant de même pour les nouveaux triangles obtenus et ainsi de suite. Nous dirons que deux quadrilatères avant un côté commun AG', tels que ACBC' et AC'B'C", sont limitrophes.

Tous les triangles seront dans le même demi-plan, puisque les substitutions S, et S₂ sont à coefficients réels. Il est, de plus, évident, d’après leur génération géométrique, qu’ils ne se recouvriront pas les uns les autres, puisque leurs angles sont respectivement égaux à

t-1 S

ce qui l'ait que les triangles ayant pour sommet le point A. sont au nombre de 2m, la rotation autour de A ramenant le triangle initial, et que, par suite, les quadrilatères sont en nombre ni autour de A. En prenant toujours de nouveaux triangles, on étend indéfiniment, sans sortir du demi-plan, le domaine occupé par les triangles, et il est b en vraisemblable que cet ensemble de triangles couvrira le demi-plan tout entier (²) ; pour le démontrer en toute rigueur, quelques explications préliminaires sont nécessaires.

i. Reprenons la substitution

a z -1- b

c z -H ci

(ad — bc — 1),

a, b, c et d étant réels. Soient z = x -f- iy et Z = X-b z’Y ; on

(‘) Le cercle que laissent invariable les substitutions S, et comme nous l’avons vu d’une manière générale (Chap. XII, § 10), est ici l’axe réel. On peut vérifier directement qu’avec les valeurs actuelles de X, è, et b„ ce cercle doit bien être réel, en se servant de l’inégalité donnée (toc. cit.).

(²) M. Schwarz, dans son Mémoire déjà cité ( Journal de Crelle, t. 75, p. 318), admet ce point sans démonstration. Nous suivons, pour la démonstration rigoureuse, la méthode employée par M. Poincaré pour établir le théorème général d’existence des groupes fuchsiens (Acta mathematica, t. I).

Y =---— i

on en déduit

(cz -+- d)(cz₀H- d) dX² dY²    dx² -t- dy²

Y2

y'¹

Par suite, pour un élément de courbe ds et pour l’arc transformé dS, on a

as

aura

et, en désignant par s₀ la quantité conjuguée de z,

dz₀ = dx — i dy,

d’où l’on conclut

Or

dx"¹ -t- dy- = dz dz₀.

dZ dZ₀ =

dz₀dz

(cz -h d)²(cz o -h d y-’

et, comme

et l’on peut dire que l’élément — est un invariant pour la substitution linéaire.

b. Revenons au quadrilatère zYCBC' et à tous ceux qui s’en déduisent par les substitutions du groupe dont S, et S₂ sont les deux substitutions fondamentales. Joignons un point quelconque M à l’intérieur du quadrilatère ACBC' par un arc de courbe situé dans le demi-plan, à un point quelconque P de ce demi-plan, non situé sur l’axe réel. Suivons l’arc MP en considérant les différents quadrilatères correspondant au quadrilatère initial par une substitution du groupe, et cherchons à montrer qu’on arrivera au point P après avoir traversé un nombre fini de quadrilatères.

L’arc de courbe MP sort du premier quadrilatère (que nous désignerons par R₀) par un certain côté. Il entre alors dans un second quadrilatère limitrophe de R₀, le long de ce côté. Si l’arc MP sort de ce quadrilatère, il entrera dans un troisième quadrilatère R₂, limitrophe de R,, le long du côté par lequel est sorti MP, et ainsi de suite. On aura, de cette manière, une suite de quadrilatères

Ro, Ri>    • • ■ ) R/ii ... •

347

Il faut démontrer que ces quadrilatères sont en nombre fini. Or, quand un arc de courbe traverse un polygone R, deux circonstances peuvent se présenter: ou bien cet arc va d’un côté à un côté opposé, ou bien il entre par un côté et sort par un côté adjacent.

Prenons d’abord la première circonstance et considérons la substitution linéaire transformant R„ en R₀. Elle transformera aussi l’arc rn de MP, qui traversait R„, en un arc traversant R₀. Or, pour un arc de courbe compris entre deux côtés opposés de Rn, l’intégrale

►J

est une quantité positive ne descendant pas au-dessous d’une certaine limite, que nous désignerons par K. Or, L étant un invariant au sens du paragraphe précédent, nous concluons de là que l’intégrale L étendue à r„ sera supérieure à K. Comme l’intégrale L, étendue à l’arc MP tout entier, est nécessairement finie, il en résulte que le nombre des polygones R, pour lesquels se présente la première circonstance, est nécessairement fini.

Si donc les R sont supposés en nombre infini, il arrivera un moment où la seconde circonstance se présentera toujours. Celle-ci se partage elle-même en deux cas différents. Considérons un polygone R/ et le polygone suivant R/+, ; par hypothèse, l’arc traverse les deux polygones en entrant et sortant par des côtés adjacents ; mais il peut arriver que les côtés adjacents correspondent au même sommet ou à deux sommets différents dans les deux quadrilatères. Dans le second cas, en effectuant la transformation qui ramènera respectivement les deux quadrilatères à R₀ et à R,, il est clair que l’intégrale L, étendue à l’arc compris dans R/ et R/₊₎, sera supérieure à K, et nous sommes dans le même cas que ci-dessus. Le second cas de la seconde circonstance ne peut donc se présenter qu’un nombre fini de fois. 11 ne nous reste plus que le premier cas de la seconde circonstance, qui se présenterait constamment à partir d’un certain moment; mais ici il n’y a plus aucune difficulté, puisque autour d’un sommet il y a seulement soit /n, soit n, soit p quadrilatères. Nous trouvons donc toujours un nombre fini dans tous les cas possibles, et nous arrivons à la conclusion que le réseau de quadrilatères couvre le demi-plan tout entier, puisqu'un point quelconque du demi-plan se trouve dans un certain quadrilatère.

CHAPITRE XIII.

348

6. Je reprends maintenant le rapport

= -,

.TiO)

qui nous a d’abord donné la représentation conforme du demi-plan supérieur sur le triangle ACB. A chaque valeur de x correspondent une infinité de valeurs de s, qui se déduisent de l’une d’entre elles z, et sont de la forme

a z -f- b

a, b, c et d étant réels (ad— bc — i). Cherchons inversement combien de valeurs de x correspondent à une valeur de z. Le point z se trouve dans un certain quadrilatère R du réseau que nous venons d’étudier. Or, à chaque quadrilatère correspond uniformément le plan de la variable x où l’on a tracé les deux coupures (— oo , o) et ( i —f- oo) ; à chaque valeur de z ne correspondra donc qu'une valeur de x.

L’inversion de l’équation

.Y\(x)

donne donc pour x une fonction uniforme de z. Cetté fonction f (z) n’est définie que dans le demi-plan supérieur de la variables, et Von ne peut la prolonger analytiquement au-dessous de Vaxe réel. En désignant par

/ az b \ \ ’ cz -+- d)

une substitution quelconque du groupe dont S, et S₂ sont les deux substitutions fondamentales, on a égalité qui exprime simplement qu’aux points correspondants de deux polygones R la fonction a la même valeur. Nous avons donc là une transcendante extrêmement intéressante, qui généralise d’une manière bien remarquable les fonctions doublement périodiques, en ce sens que le parallélogramme des périodes s’y trouve remplacé par un quadrilatère d’arcs de cercle, et que le réseau des parallélogrammes

349

de périodes est remplacé par le réseau des quadrilatères curvilignes couvrant le demi-plan (').

7. Nous avons supposé dans les dessins faits plus haut que les angles

Cl TT, b TT, CTT

du triangle curviligne étaient différents de zéro.

Les raisonnements faits ne supposent en rien que parmi ces angles il ne s’en trouve pas d’égal à zéro. Si l’on a a = o, le sommet a sera sur l’axe réel, car on a alors un logarithme dans l’expression d’un système fondamental d’intégrales et la substitution fondamentale correspondante sera alors parabolique. Il peut même arriver que les trois angles du triangle d’arcs de cercle soient nuis, ce qui corres-

Fig. 20.

ta

ir*x

pond à l=m — n = co , et ce cas particulier présente un grand intérêt. On aura alors un triangle comme celui de la ligure 20, où les trois angles A, C, B sont nuis.

8. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que l’on avait entre les entiers positifs m, n,p l’inégalité

SI-

>1 -

(') Les fonctions de M. Schwarz ont donné, après la fonction modulaire qui s’était présentée dans la théorie des fonctions elliptiques et qu’elles comprennent comme cas particulier, des exemples de fonctions uniformes n’étant pas susceptibles d’être prolongées analytiquement au delà d’une droite ou d’un cercle, et se reproduisant quand on effectue sur la variable un groupe de substitutions linéaires. Ce sont les types les plus simples de ces fonctions que M. Poincaré appelle fonctions fuchsiennes, et qui sont désignées en Allemagne sous le nom de fonctions automorphes. Un point capital dans cette théorie est la loi générale de formation des groupes fuchsiens, c’est-à-dire des réseaux de polygones limités par des arcs de cercle normaux à l’axe réel, se déduisant les uns des autres par une substitution linéaire et couvrant une seule fois le demi-plan [voir, sur ce sujet, Poincaré, Théorie des groupes fuchsiens (Acta mathematica, t. I)]. L’étude du cas particulier très simple, correspondant aux fonctions de Schwarz que nous venons de traiter, facilitera l’étude du cas général.

CIUPITRE XIII.

3.5o

Arrêtons-nous un moment sur le cas de l’égalité

51-

-i---h

*^3 I -

D’après les valeurs de y, b{ et bo (§ 1 de ce Chapitre), nous trouvons alors

X —}— l) \ —î— b 2 —

et par suite, en revenant aux constantes a, J3, y de Gauss, on aura

o _„

H — o-

L’équation hypergéométrique se réduit à

dy

= o.

Une des solutions est donc jy=:const., et une autre intégrale est fournie oar la quadrature

<0

i — ;r)y_0£— 1 dx.

■r0

La question se réduit donc à l'inversion d’une intégrale. Mais ici, d’après ce que nous avons déjà dit au Chapitre précédent, le triangle curviligne se réduit à un triangle rectiligne ; ses angles sont égaux à

51 n

I- S

et leur somme est bien égaie à tc, d’après la relation

Les cas où un des angles serait nul, c’est-à-dire où une des /«, n, p serait infinie, ne présentent aucun intérêt, et l’on ne trouve que des transcendantes élémentaires. La seule circonstance à examiner est celle où nous avons un véritable triangle rectiligne. Ce que nous avons dit plus haut du triangle curviligne peut nécessairement se répéter pour le triangle rectiligne. On déduira du triangle rectiligne par symétrie une infinité de triangles qui recouvriront le plan. Mais le triangle initial n’est pas quelconque. La relation

- I si

ni

ou enfin

nous donne, soit

m — 3,

n — 3,

soit

P — 3,

m = i,

n = 4,

P = 4.

n = 3,

On a, dans le premier cas, un triangle équilatéral, dans le second un triangle rectangle isoscèle et dans le troisième un triangle rectangle dont les angles aigus sont égaux respectivement à 3o° et 6o°. Dans les trois cas, on obtient par Vinversion de l’intégrale (i) une fonction doublement périodique. On le vérifierait par l’étude de l’intégrale elle-même en donnant à a et y les valeurs particulières correspondant à chacun de ces cas, et il n’y aurait qu’à vérifier que l'intégrale abélienne dont on veut faire l’inversion est une intégrale de première espèce correspondant à une courbe de genre un. On peut aussi le voir par une voie qui se rapproche plus des considérations développées dans les paragraphes précédents, car la double périodicité doit apparaître sur le réseau des triangles. Prenons, par exemple, le triangle équilatéral.

Soient le triangle équilatéral ACB et son symétrique AC'B (fig. 21).

Fig. 11.

C'

A'

Les substitutions fondamentales du groupe sont la substitution linéaire (ici de la forme P.S-t-Q) transformant AC en AC⁷, et la substitution linéaire transformant BC en BC'. Figurons maintenant le quadrilatère limitrophe AC'B'A⁷, et considérons la substitution linéaire transformant C'A en C'A⁷. En faisant à la suite les deux substitutions correspondant respectivement au changement de AC en AC' et de C'A en C'A', on transforme Cx4 en C'A'; cette substitution sera nécessairement de la forme

(z, z -+- io),

0) représentant la grandeur géométrique CC'. Voici donc une première période; une seconde période correspondra à la grandeur géométrique BB'; une troisième période correspondrait à la troisième hauteur, mais il est clair qu’elle est la somme géométrique des deux premières. Un parallélogramme de périodes comprend l’équivalent de trois parallélogrammes fondamentaux tels que ACBC'; je veux dire par là que sa surface peut se partager en plusieurs aires dont chacune est congruente à un parallélogramme fondamental, ou à une partie d’un tel parallélogramme, de manière à correspondre dans son ensemble à trois de ces parallélogrammes.

Je laisse au lecteur le soin d’examiner de la même manière les deux autres réseaux de triangles dont les angles sont indiqués ci-dessus (').

II. — Problème inverse.

9. Nous sommes parti, dans la Section précédente, de l’équation différentielle hypergéométrique, et, en donnant aux constantes certaines valeurs particulières, nous avons été conduit à diviser le demi-plan de la variable z en un réseau de quadrilatères formés par des arcs de cercle. On peut se poser la question d’une manière inverse, en considérant a priori dans le demi-plan de la variable z un triangle formé par trois arcs de cercle normaux à l’axe réel, et

(’) Je n’examine pas ici les cas, en nombre limité, où l’on a

et je renvoie pour ces cas au Mémoire de M. Schwarz et au beau Livre de M. Klein ( Vorlesungen iiber das lkosaeder and die Aujlôsung der Gleichungen vom fünften Grade; Leipzig, 1884 ). L’inversion du quotient donne encoi’e des fonctions uniformes, mais ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont très intéressantes, car elles se rattachent intimement aux divers polyèdres réguliers.

ayant pour angle ( ' )

PIS

On prend l’image de ce triangle ABC par rapport à AB, et, en désignant ce triangle par ABC', on a le quadrilatère ACBC'. Il existe une substitution elliptique à coefficients réels ayant pour points doubles A et son symétrique, par rapport à l’axe réel, transformant le cercle AC en le cercle AC', ces deux cercles étant pris dans leur entier ; ce sera la substitution

z¹— a

2 77 2

A— a₀

in

* — «o

a étant l’affixe de A et a₀ la conjuguée de a ; l’angle est l’angle

des deux cercles, et nous mettons le signe moins dans l’exponentielle (si le cas de figure est celui de la page 335). Il faut montrer

(') On aura certainement

dx* -h dy²

comme te montre le théorème célèbre de Gauss sur la courbure totale d’une portion de surface, limitée par des lignes géodésiques. On sait en effet qu’on peut mettre le carré de l’élément de l’arc sur une surface S, dont la courbure totale est constante et égale à — i sous la forme

y-

et, si l’on établit alors une correspondance entre les points de S et le demi-plan (x, y), les lignes géodésiques de la surface correspondront dans Je demi-plan aux cercles orthogonaux à l’axe des x. Cette représentation donnant une carte géographique de S sur le demi-plan, il y a conservation des angles; or, d’après le théorème de Gauss, si i’on prend sur une surface un triangle formé par trois lignes géodésiques, en désignant par A, B, C les angles de ce triangle, on a

A-f-B -t-C -

-ff-r

RR’’

dz étant l’élément de surface, et RR' la courbure totale de la surface en chaque point. Or ici RR' = — i ; il en résulte que

A -f- B -t- C x,

et il en est, par suite, de même du triangle formé dans le demi-plan par trois cercles orthogonaux à l’axe des x. On pourra consulter sur ce sujet le Chapitre XI du Tome III des Leçons de M. Darboux (p. 3g4).

CHAPITRE XIII.

co

que cette substitution transforme le point G en le point G'. Il suffit pour cela de faire voir que l’intégrale

C ds

J y’

que nous savons être un invariant pour une substitution linéaire, est la même que pour l’arc AC et pour l’arc AC'. Or il en est bien ainsi, car deux arcs sont transformés l’un de l’autre par rayons vecteurs réciproques et l’on aura alors, en désignant par O le point où GC rencontre l’axe réel et en appelant MP etM'P' deux arcs élémentaires correspondants,

MP _ M'P' ÔM ~ TW’

ce qui revient à

ds ds

y ⁼ v;

les deux intégrales sont donc égales.

Ainsi nous avons une substitution 2, transformant AC en AC', et pareillement une substitution 2b transformant BC en BC'. Ces deux substitutions sont les substitutions fondamentales d’un groupe, et nous obtenons ainsi, en transformant le quadrilatère primitif par toutes les substitutions de ce groupe, un nombre infini de quadrilatères couvrant une fois le demi-plan. (On répéterait ici les raisonnements de la Section précédente.)

Passons maintenant à la démonstration a priori de Vexistence d’une fonction que laissent invariable les substitutions de ce groupe. On y parviendra en s’appuyant sur le théorème général de Riemann, relatif à la représentation d’une aire simplement connexe sur un demi-plan, théorème sur lequel nous nous sommes longuement arrêté dans le Tome II de cet Ouvrage. Prenons le triangle ABC ; nous pouvons le représenter d’une manière conforme sur le demi-plan supérieur du plan x, et cette représentation est entièrement déterminée si nous faisons correspondre le point A au point x — i et le point C à x = oo. Soit

x =A*)

la fonction f (z) pour le moment définie seulement dans le triangle ABC, qui permet de faire cette représentation conforme. L’arc AB étant analytique, on peut, d’après la théorie de la représentation conforme (t. Il, p. 298), prolonger analytiquement la fonction f{z) au delà de l’arc AB. A deux valeurs de 2, ayant pour affîxes deux points conjugués par rapport au cercle AB, correspondent alors deux valeurs de x imaginaires conjuguées. On l’établit de suite en supposant pour un moment, comme il est permis, qu’une transformation linéaire ait transformé l’arc AB en un segment de l’axe réel dans son plan, et alors la remarque devient évidente. Par suite, la fonction f(z) sera certainement définie d’une manière uniforme dans le triangle AC'B image de ACB, et les valeurs de la fonction correspondront, dans ce triangle, au demi-plan inférieur. On passera de même du triangle AC/B à un triangle limitrophe, et l’on étendra ainsi, de proche en proche, la fonction d’une manière uniforme dans tout le demi-plan. En deux points homologues de deux quadrilatères, la valeur de x sera évidemment la même, et, par suite, on a bien une fonction uniforme f (z) invariable par les substitutions du groupe correspondant au réseau de quadrilatères.

10. Considérons la fonction inverse z de x définie par l’équation

x =/(«)•

D’après la définition de f(z), la fonction inverse z àe x sera une fonction de x définie dans tout le plan de la variable x et holomorphe dans le voisinage de tout point de ce plan, sauf les points o, 1 et 00. Quand x tourne autour d’un de ces points singuliers, z se change en

az -f- b cz d’

cette substitution appartenant au groupe dont S, et S₂ sont les deux substitutions fondamentales.

Il nous faut chercher la forme analytique d’une des déterminations de la fonction dans le voisinage d’un point singulier. Supposons d’abord que le sommet A ne soit pas sur l’axe réel, c’est-à-dire que l’entier /?«, correspondant à x = o, ne soit pas infini.

Pour une détermination convenable de la fonction z, l’expression

2 71 i

se reproduit, multipliée par e dans le sens négatif, et l’on a par suite

m , quand x tourne autour de J origine

Z — a₀

= xmy(x),

© (x) étant uniforme dans le voisinage de x = o. Comme pour x = o on a z = oc, la fonction v(x) est holomorphe dans le voisinage de x = o, et enfin ©(o) o, puisque x est fonction uniforme de z.

Si le sommet A est sur l’axe réel, la substitutions, est parabolique, et nous savons (Chap. XII) qu’on peut l’écrire

h étant une constante réelle. Donc la fonction de x

est uniforme dans le voisinage de x = o. Désignons cette expression par <p(a?); je dis que 'f(x) est holomorphe dans le voisinage de x = o. On a en effet

2 7t i

Si f(x) admet x = o comme pôle ou comme point singulier essentiel, le second membre, d’après une proposition élémentaire sur les points singuliers essentiels (t. II, p. 125), s’approche autant qu’on veut dans le voisinage de l’origine de toute grandeur donnée ; mais le premier membre, en posant

* = \ -+- ”1»

a pour module

27T

e h (Ç — aC-i-Yi²

et, comme r\ >> o, ce module sera supérieur ou inférieur à un, suivant le signe de h, et, par conséquent, le premier membre ne peut s’approcher autant qu’on veut de toute grandeur donnée. Nous au-

SUR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

rons donc pour une des déterminations s de la fonction z

cp (x) étant holomorphe dans le voisinage de x = o.

11. Nous pouvons maintenant former une équation du troisième ordre, à laquelle satisfait la fonction a de x. Prenons, à cet effet, le quotient

dz d³ z dx dx³

3( — ) \ dx ² )

’(£)■

déjà rencontré (Chap. XII, § 15) ; il reste invariable, comme nous

az -f- b

l’avons dit, quand on remplace z par

tion uniforme dans tout le plan, et les seuls points singuliers seront les points o, 1 et 00. Pour toute autre valeur de x, ce quotient est

holomorphe, puisque ^ est différent de zéro pour x distinct des trois

valeurs singulières. Nous n’avons plus qu’à déterminer la nature de ces singularités. Cette détermination sera facile, puisque nous connaissons la forme analytique de z dans le voisinage de x = o, x — 1 et x = oc. On reconnaît ainsi que le quotient ci-dessus est complètement déterminé, en posant, comme précédemment,

ez d

• Il sera donc une fonc

ni

-s 1 -

des calculs faciles, mais un peu longs, que j’omets ici, font retomber sur l’expression déjà obtenue

i — c²

2X²

2(1 — x)²

2x(i — x)

et ce résultat s’applique encore au cas où a, 6, c ne seraient pas différents de zéro.

Il résulte de là que la fonction f(z)< qui nous occupe, peut être obtenue par l’inversion du quotient de deux intégrales d’une équation hypergéométrique, puisque l’expression précédente est celle qui se présente dans l’équation différentielle du troisième ordre relative à une telle équation.

III. — Quelques cas particuliers remarquables : groupe modulaire et groupe arithmétique.

12. Nous allons étudier quelques cas particuliers. Un cas intéressant est celui où

a = b = c — o,

ou, ce qui revient au même,

m — n = p — oo.

f"

J s

On a alors X = b{ — b₂ = ï2: et l’on a, par suite, l’intégrale hyper-géométrique

du

g et h désignant deux quelconques des quantités o, i, x et oc. On peut, moyennant une substitution linéaire convenable, choisir pour triangle fondamental un triangle quelconque d’arcs de cercle normaux à l’axe réel, comme celui que nous avons représenté (p. 344)-Le cas où l’on prend, comme intégrales de l’équation linéaire, deux demi-périodes distinctes de l’intégrale elliptique

du s/u(u — \)(u — x)

conduit à la fonction modulaire, c’est-à-dire au module considéré comme fonction du rapport des périodes, qui a fait, à un autre point de vue, l’objet des travaux mémorables d’Hermite. Nous avons donné (t. II, p. 2Ùo) les substitutions fondamentales du groupe correspondant. Au lieu de prendre les substitutions fondamentales (S)) et (S₂) données (toc. cit.), prenons les deux substitutions inverses, c’est-à-dire les substitutions donnant les w en fonction des to⁷ ; on aura ainsi, pour le rapport z, les deux substitutions

(2,)

(2*)

— iz

(z, z — a).

Dessinons le quadrilatère fondamental correspondant rapporté aux deux axes (0£, Or|) (fig. 22) en posant

Z = $ ■+■ i7).

SCR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

Le quadrilatère est symétrique par rapport à O7). Les deux demi-cercles OA et OB, de diamètre égal à l’unité, se correspondent par

Fig. 22.

A'

B'

CD

la substitution Sl5 et les deux côtés BB' et AA⁷ parallèles à Otj se correspondent par la substitution S₂. Le quatrième sommet du quadrilatère est à l’infini dans la direction de l’axe O 7).

Le groupe que nous venons d’étudier est souvent désigné sous le nom de groupe modulaire. C’est un groupe de congruence; il représente l’ensemble des substitutions

az -h b

où a, b, c, d sont quatre entiers satisfaisant à la relation

ad — bc — i

et aux congruences

SL Si

(mod. 2).

c =o

13. Prenons un autre cas non moins remarquable et se rapportant également à la théorie des fonctions elliptiques. Nous donnerons à m, n, p les valeurs

n = 2,

p = 00.

m = 3,

On peut prendre, pour triangle fondamental correspondant à ces angles, le triangle suivant : Décrivons de l’origine, comme centre, un cercle de rayon un et traçons la droite £ = — ^ représentée sur la figure 23 par AC. Le triangle fondamental est le triangle formé jpar

36o l’angle B à ^ et l’angle C est nul.

Fig. 23.

C⁻

A'

Le triangle BA'C', symétrique de BAC par rapport à l’axe Or\, donnera avec BAC le quadrilatère fondamental.

On a immédiatement les substitutions fondamentales du groupe correspondant ; ce sont

(0

( (S)    (z, z -h i),

<T) (

-,

la première transforme AC en A'C' et la seconde l’arc BA en l’arc B A'.

Nous avons déjà étudié ce groupe (t. I, p. 4y3), et nous avons vu que toutes les substitutions de la forme

a z -t- b

c z -f- d J ’

a, 6, c, d étant des entiers réels (ad — bc = i), résultent de la composition des deux substitutions précédentes (*). Reprenons ce théorème en ne nous appuyant que sur les considérations relatives aux polygones limités par des arcs de cercle. Prenons un point z, que je suppose à Vintérieur du quadrilatère CABA'C', et soit le point

az cz d

(') Outre le Mémoire déjà cité de M. Dedekind (Borchardt’s Journal, Bd. 83), je mentionnerai encore sur le groupe précédent et les fonctions qui s’y rapportent un travail de M. Hurwitz [Grundlagen einer independenten Théorie der elliptischen Modulfunctionen (Mathematische Annalen, Bd. XVIII, 1881)], et un autre Mémoire du même auteur [Ueber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen (Math. Annalen, Bd. LVIII, 1904)].

Le point Z est à l’intérieur d’un certain quadrilatère déduit du quadrilatère fondamental par une substitution 2 du groupe (i) ou sur son périmètre. En effectuant sur Z la substitution S⁻¹, on obtient ainsi un point z' dans le quadrilatère fondamental ou sur son périmètre. Si z = s', le théorème est établi. Puisqu’on peut passer de z et de z' à Z par une substitution à coefficients entiers, on pourra certainement passer de z à z' par la substitution

Y z -4-

a, (3, y, ô étant des entiers. Nous allons montrer que deux points z et z', à l’intérieur du quadrilatère fondamental, ne peuvent se correspondre par une substitution de cette forme, autre que la substitution identique z'=z. 11 est clair d’abord que y n’est pas nul, car alors z et z' ne pourraient être dans le quadrilatère, à moins que (3 ne soit nul. Excluons le cas de y = o, [3 = o, qui donnerait z — z'.

Soit z — ç -f- l'v] ; nous avons par hypothèse

£²-t- V>

ï<«<ï-

en excluant les égalités; de même z' =    -+- it\', avec les inégalités

analogues, mais les égalités n’étant pas exclues. On a or

(Y£ -I- 0)²-t- y²r,²> y² — Y® *+■    =¹ >

en prenant le signe si yo est négatif, et le signe — si yS est positif. 11 s’ensuit que

V<*1>

l’égalité étant exclue ; en prenant z en fonction de z', on arrive de même à l’inégalité analogue

Ces deux inégalités sont contradictoires; nous sommes donc nécessairement dans le cas exclu, c’est-à-dire que

Y — °)

,8 = 0

a = 8 = ± i ;

et, par suite,

ce qui donne la substitution identique. Par suite, on obtient toutes les substitutions à coefficients entiers au moyen des deux substitutions (i) combinées de toutes les manières possibles. Le groupe précédent est souvent désigné sous le nom de groupe arithmétique.

Nous avons vu que S et T étaient les substitutions fondamentales du groupe arithmétique. Ajoutons que ces substitutions sont, comme on le vérifie aisément, liées par la relation

STSTST =i.

Cette remarque n’est peut-être pas inutile, car on est tout naturellement porté à croire que les substitutions fondamentales d’un groupe ne sont liées par aucune relation ; on voit qu’il n’en est rien.

Le groupe modulaire est nécessairement compris dans le groupe arithmétique; je laisserai au lecteur le soin de vérifier que, à un point arbitraire du demi-plan correspondent six points, au moyen des substitutions du groupe arithmétique, dans le domaine fondamental du groupe modulaire.

14. La fonction    correspondant au groupe arithmétique, joue

un rôle très important dans la théorie des fonctions elliptiques. C’est un sujet qui nous entraînerait trop loin ; je veux cependant montrer comment la considération de cette fonction conduit à une classe intéressante d’équations algébriques. E nvisageant les deux fonctions

x =/(*).

Y =f{mz),

où m désigne un entier, nous allons établir qu’il existe entre x et y une relation algébrique.

On voit immédiatement que y, considérée comme fonction de x% ne pourra avoir comme points singuliers que les points o, i et oo, et ces points sont des points critiques algébriques. Ainsi, pour x — o, l’équation

X=f(z)

a une infinité de racines en 5, qui sont des racines triples, puisque, autour de chaque sommet correspondant à x — o, il y a trois quadri-

iatères. Soit z — a l’une d’elles, qui n’est pas située sur Ox. Nous pouvons écrire (§10)

z — a. 4 / \ 7—— = x*v{x) z — a₀

f(mz) se développe donc en série suivant les puissances de x:t.

Pour x = co, considérons la racine z = oo correspondant au sommet à l’infini du quadrilatère fondamental.

On a, dans le voisinage de x — oo, pour la racine z devenant infinie,

logx

2 TT i

= ?0)

'f(x) étant holomorphe dans le voisinage de x = oo, c’est-à-dire que - peut se mettre sous la forme d’une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de e⁺-uzi. Il est évident alors que ÿ se

mettra, pour x très grand, sous la forme d’une série entière en •

11 faut montrer maintenant que j, pour une valeur de x, n’a qu’un nombre limité de valeurs. Or, pour une valeur de x, les valeurs correspondantes de z s’expriment à l’aide de l’une d’elles par la formule

<xz -h fl

y z -i- 8

(aS— (3y = i).

Nous avons donc à chercher si les valeurs de la fonction

ocz -h fl

-4- S

Y-³

sont en nombre fini, a, [3, y, o désignant quatre entiers quelconques avec ao — [By = i.

Prenons à cet effet les deux valeurs

CLZ -h S

m-£ et

y -z -b S

et cherchons à quelle condition elles sont équivalentes au moven d’une substitution

(2)

a z -+- P

m —;-

y' z-h 8

(a'o'-PY=i)

-,

a z —i⁻ b

(ad — bc = i).

az ■+- ^ _ am( a' z -t- (3') -4- b( f z -+- S' ) m y-³ -+- S cm(a'z -t- (3') -+• d(fz -t- 8')’

il en sera ainsi, si l’on a

ma = ama' -t- b y', m = am ^    6 8',

y = cm a' -t- o?y > 8 = cm (3' -+- <^8'.

De ces équations, on déduit

a — aS'— 3y', b = m( j3a'— a{3'),

Ç.₌ II'-.⁸/, d = a’S — yp#.

On a bien ad— Z>c = i, et la seule condition est que c soit entier. La condition est donc

( inod. ni ).

En particulier, désignons par 8' et y' les restes compris entre o et m des divisions de 8 et y par m, ou ces restes divisés par leur plus grand commun diviseur s’ils ne sont pas premiers entre eux; les deux expressions (2) seront équivalentes, pourvu seulement qu’on prenne a! et tels que

a'8'- P'y' =

On en conclut immédiatement que la fonction

/ az -+- p

Y- -4- o/’

On devra avoir

/("•

donne à a, ,3, y, 8 toutes les valeurs entières possibles

quand

(y. 8 — |3y = 1), n’a qu’un nombre limité de valeurs distinctes ; ce

on

qui démontre le résultat énoncé plus haut (').

(') On trouvera une étude approfondie des fonctions modulaires dans les deux Volumes de M. Klein : Sur les fonctions elliptiques modulaires.

IV. — Théorème général sur les valeurs d’une fonction uniforme dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé.

15. Nous nous sommes déjà servi (t. II, p. 251) de la fonction modulaire, correspondant au cas du paragraphe 12, pour démontrer un théorème sur les fonctions entières et sur les fonctions ayant un seul point singulier essentiel à l’infini (¹). La fonction modulaire du paragraphe 13 va nous servir à démontrer un théorème déjà énoncé (t. II, p. 127), mais que nous n’avions pu alors établir.

Désignons par F(s) une fonction uniforme dans le voisinage d’un point «, qui est pour elle un point singulier essentiel isolé. La fonction F(.z) pourra d’ailleurs avoir ou non une infinité de pôles dans le voisinage de ce point essentiel. Nous considérons l’équation

F(z) = A,

A étant une constante. Nous voulons démontrer le théorème suivant :

U équation précédente a, en général, une infinité de racines dans le voisinage de a. Il peut arriver cependant qu’il n en soit pas ainsi pour certain es valeurs exceptionnelles de la constante A, mais il ne peut exister plus de deux valeurs exceptionnelles (-).

Nous allons procéder en montrant qu’il est impossible que l’équation précédente n’ait pas de racine dans un certain domaine autour

(') Faisons seulement remarquer à ce px-opos que l’analyse de la page 253 (t. II, 2e édition) est inutile; le théorème qui y est démontré se déduit immédiatement du théorème de la page 25i (même Tome). On peut dire d’une manière générale qu’une fonction /(s), uniforme dans tout le plan et avec un seul point singulier essentiel à l’infini, et qui ne pourrait prendre les valeurs

A, B, C,

ces

trois constantes étant distinctes (une constante infinie n’étant pas exclue), se

réduirait nécessairement à une constante. Ou peut en effet substituer à f(z) la fonction

«/(■s) + P

y/(z) + 8

en choisissant a, p, y, 8 de manière que A, B, C deviennent 0, 1, 00, et nous sommes alors dans le cas d’une fonction entière.

(²) E. Picard, Sur les fonctions analytiques uniformes dans le voisinage d’un point singulier essentiel ( Comptes rendus, t. LXXXIX, 1879), et Mémoire sur les fonctions entières ( Annales de l’École Normale, 1880).

de «, pour trois valeurs de A. On peut évidemment supposer, en effectuant sur F (.s) une substitution linéaire, que ces trois valeurs sont telles valeurs qu’on voudra. Nous prendrons

A = o,

A = oc.

Nous avons donc par hypothèse une fonction F(s) uniforme dans le voisinage de a, qui est pour elle un point singulier essentiel. La fonction n’a point de pôles dans le voisinage de ce point et, de plus, les équations

F(*) = o,

F(*) = i

n’ont pas de racine autour de a.

16. Désignons par

x =/(“)

la fonction uniforme correspondant au cas du paragraphe 13 et définie dans le demi-plan de la variable u (cette variable a été jusqu’ici désignée par z)\ soit

u — o(x)

la fonction inverse ayant dans le plan x les trois points singuliers o, i et oo. Dans cette fonction, je remplace x par F(^r), et je vais étudier la fonction s

u(z) = <p[F(z)]

dans le voisinage de a, c’est-à-dire à l’intérieur d’un cercle T de centre a et assez petit pour qu’à l’intérieur de ce cercle la fonction F(z) ne soit (en dehors de a pour lequel elle est indéterminée) jamais égale à o, i et oo.

A l'intérieur de T, la fonction u(z) a, comme seul point singulier, le point a. Lorsque z tourne une fois autour de a dans le sens positif, le point x décrit dans son plan un contour fermé, et par suite u se change en

OUI

Y u 4- 8 ,

a, j3, y, o étant quatre entiers (aû — j3y = i).

Plusieurs cas peuvent se présenter relativement à la substitution

(3)

clu ■+- p

’ y« -t- 8/

Elle peut être hyperbolique, elliptique, parabolique ou se réduire à la substitution unité. Nous allons examiner successivement ces différents cas.

17. Supposons d’abord la substitution hyperbolique, c’est-à-dire que

(a-f- 8)*> 4-

En désignant par p et q les points doubles (qui sont réels et distincts) de la substitution, nous avons vu à la fin du Chapitre précédent que l’expression se reproduit à un facteur positif près u, différent de un, quand on effectue sur elle la substitution (3).

11 en résulte qu’on peut mettre ce quotient sous la forme

(b o),

?'Q)

peut se développer par la for-

k désignant le logarithme arithmétique de p, et la fonction 0(2) étant uniforme dans le cercle F. Cette fonction n’aura dans ce cercle d’autre point singulier que a, car, pour qu elle ait un pôle, il faudrait que u devint égal à la quantité réelle q. Or, ceci est impossible, car, dans u(x), le coefficient de i est positif et différent de zéro pour x distinct de o, 1 et 00. De plus <p (2), pour la même raison, ne s’annulera pas. Par suite, le quotient mule de Laurent, et nous avons

co(z)

(z-ay

_Ai--h A -i- B (z —

z — a

Puisque 'f (2) est uniforme autour de «, il faut que le coefficient A( soit un entier ni positif ou négatif, et nous aurons alors

cp (z) = (z — a)mepW,

P(2) étant uniforme dans T, et continu sauf en a. Finalement nous obtenons

Or, dans le premier membre, le coefficient de i a un signe invariable. Nous allons voir qu'il ne peut en être de même dans le second cas. On peut, en effet, écrire ce second membre

Si, dans le premier membre, le coefficient de i a un signe invariable, le coefficient de i dans

— a) 4- P(^)

devra rester compris entre deux multiples consécutifs de 71, c’est-à-dire entre deux limites fixes. Posons

= ü + i\.

(—■ + mj log(z — a) -+- P(z)

Il est tout d’abord évident que, si m n’est pas nul, V ne peut rester compris entre deux limites fixes, car une rotation de z autour de a augmente V de mm. Supposons donc m = o; la relation précédente pourra s’écrire

1 7T V 1 7T i U

ou encore

2 7tV 2 7It U

k e k

T-”'

(z — a)e

Mais le second membre a un module restant compris entre deux limites déterminées différentes de zéro, et il n’en est pas de même du premier qui s’approche autant qu’on veut de zéro, que P(s) soit régulier en a ou qu’il ait en ce point un pôle ou un point singylier essentiel.

Nous arrivons donc à la conclusion que la substitution (3) ne peut être hyperbolique.

18. Supposons maintenant cette substitution elliptique. On a

alors

(a-t-8)* <4.

Deux cas peuvent se présenter; le point double de la substitution (3) situé dans le demi-plan supérieur peut, au moyen d’une

substitution du groupe arithmétique, être ramené à coïncider avec le point B ou le point A (Jîg. 23, § 13).

i° Plaçons-nous d’abord dans le premier cas. En ayant donc ell'eclué sur u une substitution convenable du groupe arithmétique, la substitution correspondant à (3) devient la substitution laissant B invariable, et par suite, en désignant encore par la même lettre u la valeur primitive transformée, l’expression

it — i— i

se reproduit (§9) multipliée par e effectue cette substitution.

On aurardonc

2 TCi

² , c’est-à-dire — i, quand on

IL —h* l

= y/z-acf(z),

car

o(z) étant uniforme dans le voisinage de a. D’ailleurs, f(z) n’aura pas de pôle autour de a, car, le coefficient de i dans u étant positif, on ne peut avoir u-j- i= o. Pour la même raison z(z) ne peut avoir le point a lui-même comme pôle ou point singulier essentiel alors la fonction

(z — a)<p²U)

pourrait devenir aussi grande qu’on voudra dans le voisinage de a: et alors u s’approcherait autant qu’on voudrait de — i.

Il en résulte que <?(s) est holomorphe dans le voisinage de a. Par suite, quand z tend vers a d\ine manière quelconque, la fonction u(z) tend vers i; mais on‘a

x =/(«),

d’où se déduit

f (*)=/(«);

quand u tend vers i, la fonction f(u) tend vers un. On en conclurait que F(s) tend vers un quand z se rapproche de a d’une manière quelconque; Le point a ne serait pas alors un point singulier essentiel.

2° Le même raisonnement s’applique au second cas. Nous avons seulement alors

u — p₀

(en désignant par p la quantité complexe représentant A et p₀ sa conjuguée), qui se reproduira multiplié par e ³ . Nous aurons donc

_±

= (* — «) ³?(*b

et les mêmes raisonnements montrent que 'f(z) doit être holomorphe dans le voisinage de a et s’annuler pour z — a. Mais alors, quand z tend vers a d’une manière quelconque, u tend vers p, et l’on en conclut que la fonction

F(-s)

tend vers zéro, de quelque manière que z se rapproche de a, ce qui est contradictoire avec le fait que a est un point essentiel.

19. Il ne nous reste plus à examiner que le cas où la substitution (3) serait la substitution unité et celui où elle serait parabolique.

Examinons d’abord le cas de la substitution unité. La fonction w(z) serait uniforme dans le voisinage de a. Le point a ne pourrait être pour elle un point singulier essentiel, car la fonction u(z) s’approcherait alors autant qu’on veut de toute grandeur donnée, ce qui est impossible, puisque le coefficient de i dans u est positif.

Le point a ne peut non plus être un pôle, car le signe du coefficient de i, dans une fonction ayant un pôle en «, ne peut être invariable pour toute position de z autour de ce point. Il faut donc que u(z) soit holomorphe dans le voisinage d e a; or a (a) ne peut être réelle, car alors u(z) aurait dans le voisinage de a, pour certaines valeurs de z, sa partie imaginaire négative. La valeur de u(a) est donc une valeur complexe dans laquelle le coefficient de i est positif et différent de zéro. La relation

fO) =/(«)

montre que F(z) tend vers une valeur déterminée, à savoir /[«(a)], quand z tend vers a d’une manière quelconque. Nous arrivons toujours à la même contradiction.

Considérons enfin le cas de la substitution parabolique. Les points doubles des substitutions paraboliques du groupe arithmétique se déduisent tous, par une substitution de ce groupe, du point

à l’infini dans la direction de l’axe imaginaire. En effectuant donc préalablement sur u une substitution convenable, on peut supposer que la substitution (3) est de la forme

(U, K + l).

Donc nous avons la fonction u(z) se transformant en quand z tourne une fois autour de a dans le sens positif, et, par suite,

©(z) étant uniforme. On en tire

e2mu(z) — (z — a)c2

Or, le module du premier membre ne dépasse pas l’unité ; il en résulte que ©(.z) aura en a un point ordinaire, car, dans le cas contraire, le second membre aurait en a un point essentiel, et, par suite, son module pourrait certainement dépasser un.

La forme de u{z) montre que le coefficient de / est positif et devient infiniment grand, quand z se rapproche indéfiniment d’une manière quelconque de a. Or, pour toute valeur de

U = Ç -+- 17),

pour laquelle

T) > M

M étant une quantité positive très grande, la fonction f(u) est elle-même très grande. On le voit de suite, en ramenant le point dans le quadrilatère fondamental du groupe arithmétique par une substitution

F0) =f(u),

m étant un entier positif ou négatif, et nous savons que f{u) devient infinie pour le point à l’infini dans ce quadrilatère. Revenant donc à l’égalité

nous en concluons que, quelle que soit la manière dont z se rapproche de a, la fonction F (z) augmente indéfiniment. Le point a serait donc un pôle pour F(z) et la même impossibilité est encore mise en évidence.

20. Les contradictions qui viennent d’être successivement signalées montrent que l’hypothèse faite sur les racines des trois équations considérées est inadmissible, si a est un point singulier essentiel ; nous avons donc démontré le théorème énoncé au paragraphe 15, auquel on peut encore donner la forme suivante :

SiF(z) désigne une fonction uniforme de z dans le voisinage de a, qui est pour elle un point singulier essentiel isolé, il ne peut pas arriver que les trois équations

F (z) = A₂,

F(*) = A₃

F (z) = A,,

n'aient pas simultanément une infinité de racines autour de a, en désignant par A₍, A₂, A₃ trois constantes distinctes (la constante infinie n'étant pas exclue').

Nous pouvons encore dire que :

Si les trois équations précédentes n'ont pas une infinité de racines autour de a, F(.s) étant une fonction uniforme qui, dans un cercle T, décrit autour de a, pourrait avoir ce seul point comme point essentiel, on peut affirmer que a sera un pôle ou un point ordinaire de F(.s).

21. De ce théorème général se déduisent immédiatement les deux

propositions suivantes. Soit G(.z) une fonction entière : si les deux équations

G (z) = a,

G (z) = b,

a et b étant deux constantes finies distinctes, ont seulement un nombre limité de racines, la fonction entière G (z) sera un polynôme.

Le point à l’infini ne pourra être, en effet, pour la fonction, point essentiel, car nous avons les trois équations

G (z) = b,

un

G( z ) = a,

G(z) = 00,

qui n ont pas de racine dans le voisinage de ce point.

On a encore l’énoncé suivant, qui n’est qu’en apparence plus général : Soit f(z) une fonction uniforme pouvant avoir des pôles en nombre quelconque et un seul point singulier essentiel à l’in-

SUR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

fini. Si les trois équations

A, B, G étant trois constantes distinctes (l’infini non exclu), n'ont qu'un nombre fini de racines, la fonction f(z) sera une fonction rationnelle.

22. Les théorèmes précédents s’étendent immédiatement aux fonctions uniformes sur une surface de Riemann. Représentons par A(z) une telle fonction, qu’on supposera n’avoir sur la surface que des points singuliers essentiels isolés. Si les équations

A(*) = 0, A(z) = y

A(s) = a,

n'ont qu'un nombre limité de racines, la fonction A(z) n'aura pas de singularités essentielles et elle sera, par suite, une fonction algébrique de z, ramifiée comme la fonction algébrique définissant la surface de Riemann (¹ ).

V. — Sur quelques généralisations des théorèmes précédents; théorème de M. Landau.

23. Les théorèmes étudiés dans la Section précédente ont fait, dans ces dix dernières années, l’objet de nombreuses recherches. On s'est, tout d’abord efforcé d’en donner des démonstrations indépendantes de la théorie des fonctions modulaires.

M. Borel, le premier, est parvenu, en ce qui concerne les fonctions entières, à donner une démonstration indépendante des fonctions modulaires, et il a même fait connaître des généralisations étendues. Dans son travail (-) sur les zéros des fonctions entières, il a eu surtout pour objet la démonstration de l’impossibilité de certaines identités ; nous indiquerons son énoncé fondamental. Soit p.(r) une fonction positive croissant indéfiniment avec /•; désignons par

Gif z)

(*) E. Picard, Sur une propriété de certaines fonctions analogues aux fonctions algébriques ( Comptes rendus, t. LXXXIX, 1879).

(²) E. Borel, Sur les zéros des fonctions entières (Acta mathematica, t. XX).

CHAPITRE XIII.

■P'*

une fonction entière dont le module maximum sur le cercle de rayon r est inférieur à

gix(r)

et par H,(z) une fonction entière dont le module maximum est supérieur à

[fVO]

i+a

(a > o).

M. Bore! établit alors que Videntité

G₀(z) -+- Gj (z)eH»(z)-+-...-+- Gn(z)= o

ne peut avoir lieu que si tous les G sont identiquement nuis.

En particulier, pour n=z 2, une pareille identité ne peut exister, G₀ étant une constante, G, et G₂ des polynômes : c’est le théorème énoncé plus haut sur les fonctions entières (§ 21).

Plus tard, M. Schottky (*) a donné une démonstration de mon théorème général sur les valeurs d’une fonction uniforme dans le voisinage d’un point singulier essentiel isolé, étudié dans la Section précédente, sans faire intervenir les fonctions modulaires; et il est revenu sur le meme sujet dans un Mémoire récent (²). Je ne puis songer à indiquer la bibliographie des nombreux travaux se rapportant à ces questions. On la trouvera dans les Livres de la collection de M. Borel traitant de la théorie des fonctions et dans un Mémoire de M. Landau (³).

24. J’indiquerai seulement ici une généralisation extrêmement remarquable d’un des théorèmes précédents faite par M. Landau dans un ordre d’idées different, et tout à fait inattendue ; elle a été publiée pour la première fois, dans les Sitzungsberichte de l’Académie de Berlin, en 1904. Voici l’énoncé de ce théorème :

Soit une fonction transcendante entière

F (a?) = a₀-t- aj.r-h a₂tc²-h... -+- anxn

(¹ ) Schottky, Ueber den Picard’schen Satz und die Borel’schen Ungleichungen (Sitzungsberichte der K. Preussischen Akademie der Wissenschafften, octobre 1904).

(²)    Schottky, Ueber zwei Beweise der Allgerneinen Picard’schen Satzes (même Recueil, novembre 1907).

(³)    E. Landau, Ueber den Picard’schen Satz ( Vierteljahrsschrift der natur-forschenden Gesellscha/t in Zurich), Bd. LI, 1906.

SUR UNE CLASSE UE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

dans laquelle a{ réest pas nul; on peut trouver un nombre

R(«₀, ai)

dépendant seulement de a₀ et de a1? tel que, dans le cercle

M < R,

une au moins des deux équations

F (a?) = o,    F (x) — t

possède une racine.

Après l’avoir trouvé par une autre voie, M. Landau a donné une démonstration très simple de son théorème, utilisant les fonctions modulaires. Nous allons reproduire cette démonstration.

25. Reportons-nous, à cet effet, à la fonction modulaire

'(y)

envisagée au Tome II (p. 25o), qui est le rapport de tdeux périodes convenables de l’intégrale elliptique

du \/ u(u — i)(u —y)

Cette fonction multiforme y (y) a les seuls points singuliers

o,

et oo,

et le coefficient de i dans y {y) est toujours positif; de plus, la fonction inverse v(^), c’est-à-dire la fonction y de v définie par

y(y) = ^

est holomorphe dans le demi-plan au-dessus de l’axe réel, au delà duquel elle ne peut être prolongée.

Ceci dit, reprenons la fonction

F (a?) = a₀-h ayx -+-.. .-h anx'l-\-,.

où a,, par hypothèse, n’est pas nulle. Admettons que, dans un certain cercle de rayon r ayant l'origine pour centre et sur la circonférence qui le limite, les deux équations

F(x) = o, F(x) = i

3t 6

CHAPITRE XIII.

n’aient, ni l’une ni l’autre, de racine. Il est clair qu’on aura

«o^i.

Soit, dans le voisinage de éz₀, le développement d’une branche de la fonction v(y)

et

et formons

G(#) = v[F(a?)].

D’après l’hypothèse faite sur F, la fonction G(x) est une fonction holomorphe dans le cercle de rayon /•; si on la développe suivant les puissances de x, on a

G(x) — c„-t- cx axx -+- (c! a₂+ c₂a$ )x².

Posons maintenant

H(æt) sera ainsi holomorphe dans le cercle de rayon /•, et l’on aura dans ce cercle et sur la circonférence

(égalité exclue).

D’ailleurs, on a

H (x) = ecd-+- ec°iC[ a₁ ix -t-. ...

Or, si l’on a une fonction cp(.r) holomorphe autour de l’origine dans un cercle de rayon p, on a, d’après la formule de Cauchy

•mi

?(*)

(z — x)²

dz,

l’inégalité

maximum de | tp(s ) | pour z = p

Appliquons ce résultat à la fonction H(x), et prenons p = /• ; nous obtenons

ec°ic\ aj i | < -

( égalité exclue).

Or, c, n’est pas nul, d’après la propriété de la fonction inverse

SUR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

rappelée plus haut. Nous avons donc

r<

| ecoicl ax

et le second membre représente une certaine fonction dépendant de a₀ et at. C’est la fonction que nous pouvons prendre comme fonction

R(«o, ai)

de Vénoncé ; nous sommes assuré que dans le cercle de rayon

r = R(«<>> at),

en y comprenant sa circonférence, la fonction entière deviendra égale à zéro ou à un.

26. Il est clair que le théorème de M. Landau généralise mon premier théorème sur les fonctions entières, tel qu’il a été énoncé Tome II (p. -25i). On peut, en effet, supposer que pour une fonction entière F(#), les coefficients ci₀ et a, ne sont pas nuis; il suffit pour cela de changer d’origine, à moins que F, bien entendu, ne soit une constante. On détermine alors le cercle de rayon R(«₀, a\) à l’intérieur duquel (et sur le pourtour) il y a certainement au moins un point pour lequel F(#) est égal à un ou zéro. Le théorème est donc établi.

R(«o> ai )

27. L’expression

trouvée plus haut est une fonction qui dépend d’une manière transcendante de a₀ et a,. M. Hurwitz (*) a donné d’autres expressions. Ainsi, si l’on pose

P = 16    : Vl «o|² /l «0—• |,

al I

il y aura certainement des points cherchés dans un cercle de rayon

p 4- £,

e étant une quantité positive prise aussi petite qu’on voudra.

(¹ ) Hurwitz, Ueber die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen Satz der Allgemeinen Funktionentheorie ( Vierteljahrsschrift der natur/orschen-den Gesellschaft in Zurich, Bd. XLI\, 1904).

V~ t

Ne pouvant développer davantage ici cette intéressante théorie, j’énonce seulement une dernière remarque : c’est que, si le théorème de M. Landau que nous venons d’étudier était démontré pour un polynôme de degré quelconque, il serait par là même établi pour une fonction entière quelconque. Malheureusement, comme le dit M. Landau, il semble que le théorème soit aussi caché pour un polynôme que pour une fonction transcendante.

VI. — Sur les transcendantes uniformes satisfaisant à une équation du premier ordre et du premier degré.

ï28. Les théorèmes démontrés dans la quatrième Section de ce Chapitre permettent de faire quelques remarques intéressantes sur transcendantes uniformes satisfaisant à une équation du premier ordre et du premier degré

dy _ P(x, y) dx Q(x,y)J

P et Q désignant deux polynômes en 1: et y premiers entre eux. Je les emprunterai à la thèse de M. Petrovitch (').

On peut tout d’abord, par une transformation liomographique préalable, supposer que le degré de P par rapport à y surpasse de deux unités le degré de Q par rapport à cette même lettre.

Nous nous placerons donc dans cette hypothèse. De cette manière, la valeur y = 00 est une valeur ordinaire, c’est-à-dire que l’intégrale qui, pour une valeur arbitraire x₀ de x, prend la valeur infinie, a un pôle au point xQ.

D’après les généralités étudiées au Tome II, nous pouvons marquer à l’avance sur le plan les points qui ne seraient pas pour une intégrale des points ordinaires, des pôles ou des points critiques algébriques. Une intégrale uniforme ne pourra donc avoir dans le plan qu’un nombre limité de points essentiels.

Nous allons maintenant distinguer quatre cas :

(') Michel Petrovitch, Sur les zéros et les infinis des intégrales des équations différentielles algébriques ( Comptes rendus, 1894, et Thèse de doctorat, Paris, Gauthier-Villars).

SUR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

i° Je suppose d’abord que l’équation

QO> X) = o,

considérée comme équation en X, admette, pour x arbitraire, plus de deux racines distinctes. Désignons par

?lO), ?îO), ?jO)

trois de ces racines ; ce seront des fonctions algébriques de x, qui seront ou non des branches d’une même fonction algébrique.

Pour une intégrale uniforme y de l’équation différentielle, \Qm ne peut avoir

QO, y) — o

que pour un nombre limité de points x, car, lorsque cette relation est remplie pour un certain système (y₀, x₀), il faut que l’on ait en même temps

POo, y o) = o.

Sans cela, l’intégrale qui pour x = x₀ prend la valeur y₀ ne serait pas uniforme dans le voisinage de x₀ (t. Il, p. 36y). Par suite, pour l’intégrale uniforme y que nous étudions, les équations

(4)

y = <p iO), y = (?î(v), y = <?3(*)

ne pourront avoir qu’un nombre limité de racines. Ceci posé, envisageons le quotient

AO)

C’est une fonction de x n’ayant qu’un nombre limité de valeurs, et ne pouvant avoir qu’un nombre fini de singularités essentielles. Or les trois équations

A(a?) = o,

A(ar) = i, A(a?)

A >-«

n’ont qu’un nombre limité de racines, comme il résulte immédiatement de ce que nous venons de dire sur les équations (4). Ï1 résulte de là (§ 2i2) que A(.r) est une fonction algébrique et, par suite, y (qui est uniforme) est rationnelle. Ainsi, si l’équation Q(:r, X) = o a au moins trois racines distinctes, toute intégrale uniforme est rationnelle.

= 00

2° Supposons en second lieu que l’équation Q(#, X) = o ait seulement deux racines distinctes

?*(&),

et, en désignant par y une intégrale uniforme de l’équation dérons le quotient

consi-

y — ?■

Soit Y une seconde intégrale uniforme, et formons aussi le quo

tient

Y-cpi

Y —«p*

En divisant ces deux quotients, nous obtenons l’expression

(5)

(y — ? i ) (Y — cp₂ )

Elle n’a qu’un nombre limité de valeurs et ne prend les valeurs o, i et oo que pour un nombre limité de valeurs de x. Ceci résulte des propriétés, étudiées plus haut, des équations y — ^ == o, et de ce que, en dehors d’un nombre limité de points spéciaux, on ne peut avoir y = Y, ce qui entraînerait l’identité des intégrales. L’expression (5) est donc une fonction algébrique de x, et, par suite, il ne peut y avoir deux intégrales uniformes qui soient des transcendantes distinctes, en entendant par là que toute intégrale uniforme s’exprime algébriquement à l’aide d’une première intégrale de même nature.

3° Examinons ensuite l’hypothèse où l’équation Q(#, à) = o n’a qu’une racine distincte; soit 'Z\(x) qui est alors nécessairement rationnelle. En posant

l’équation différentielle proposée devient

dz

s = S(*,₃)

S étant un polynôme en z et dépendant rationnellement de x. Si nous désignons par c,, sa, z₃ trois intégrales uniformes, le quo-

SUR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES.

381

tient

Z\ — z₂ zi — z3

ne pourra devenir égal à o, i et oo que pour un nombre limité de valeurs de x, et par suite l’expression précédente sera une fonction rationnelle de x. Il ne peut donc y avoir plus de deux intégrales uniformes qui soient des transcendantes distinctes.

4° Il ne reste plus à examiner que le cas où le dénominateur Q(x,y) ne dépendrait pas de y. On a alors une équation de Riccati

dx

<ly

P étant un polynôme du second degré en y, et il ne peut alors exister plus de trois intégrales uniformes transcendantes distinctes, toute intégrale de l’équation s’exprimant à l’aide de trois d’entre elles.

Ainsi nous arrivons à la conclusion générale que, pour une équation diff érentielle du premier ordre et du premier degré, il ne peut y avoir plus de trois intégrales uniformes qui soient des transcendantes distinctes. Nous renverrons, pour une étude plus approfondie, au Mémoire cité plus haut de M. Petrovitch.

CHAPITRE XIV.

382

CHAPITRE XIV.

SUR CERTAINES CLASSES Ü’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES IRRÉGULIÈRES A L’INFINI.

I. — Généralités sur les valeurs des intégrales à l’infini dans une direction déterminée.

I. Désignons par f(t) une fonction réelle de la variable réelle t, définie depuis une certaine valeur t₀ de t jusqu’à t = -\-cc. Nous dirons, d’une manière générale, qu’une telle fonction est limitée si, à partir de t₀, elle reste en valeur absolue moindre qu’un certain nombre fixe qu’on puisse assigner; elle sera illimitée dans le cas contraire. Ceci po6é, soient X, et X₂ deux nombres réels (X,^>X₂), et admettons que le produit

soit illimité quand t varie de t₀ à oo, tandis qu’au contraire le produit

f( t )

tende vers zéro pour t—-\-cc. Je dis qu’il existe un nombre X₀ compris entre X, et X₂ tel que le produit

g(X₀-t-E)f

est illimité, tandis que le produit

<?lX₀-SU

a, pour t = oo, la limite zéro, en désignant par e une quantité positive aussi petite qu’on voudra. On le démontrera en partageant l’intervalle (X<,X₂) en un certain nombre d intervalles ; il y aura

parmi ceux-ci un intervalle tel que, pour la limite supérieure, le produit correspondant sera illimité ou ne tendra pas vers zéro pour t = oo, tandis que le produit correspondant à la limite inférieure aura zéro pour limite. On partagera de nouveau cet intervalle en un certain nombre d’autres, et l’on a ainsi une suite d’intervalles compris les uns dans les autres et tendant vers zéro. Ces intervalles auront donc une limite X₀ et pour un intervalle

(X₀— *), À₀-+- e),

e et Y) étant des quantités positives aussi petites que l’on voudra, le produit

e&o-rft xf(t)

aura zéro pour limite, tandis que le produit

e(\₀-i-E)t X f(l)

sera illimité. Ce produit ne peut pas être limité, car alors le produit

e(Vt-eu f(t)    (o < s' < e)

aurait pour limite zéro pour t = go, et nous aurions donc mal choisi les intervalles.

Le nombre parfaitement déterminé A₀, nous l’appellerons le nombre caractéristique correspondant à la fonction.

La notion de caractéristique se généralise pour un système de fonctions définies de t₀ à -f- oo. Si les produits ne tendent pas tous vers zéro pour t = oo, mais qu’il en soit ainsi pour les produits

eV-'Mt),    ..., eVfn(t),

il existera entre 1 et p. un nombre A₀ (qui peut être égal à X), tel que les produits

En multipliant ces équations respectivement par y.₂, ..., yn et ajoutant, nous aurons

(«n— X)yfH-(a2î - X)y*-t-.. .

■+* ( ann — X )y -+•. . .,

(2)

tendent vers zéro, tandis que, parmi les produits

e(X₀ ■+*>*/„(*),

e⁽⁾-o+eU/i(«),    ..

il v en a au moins un qui est illimité.

i2. J’envisage maintenant un système d’équations linéaires du premier ordre

(0

/ dx\

I —j— = a\\ xt -+- «i2    a^n xn,

1 dx^

J "Uj~ ~ ®21 x\ "4- ®22 X1 “H • • • ■+■ Ct-in xni

dxn

—77“ = an \ x\ “1“ am X1 ■+■ . . . -f- UnnXn,

dt

les a étant des fonctions réelles de la variable réelle t. Je suppose que tous les a soient limités, c’est-à-dire moindres qu’un nombre fixe M pour t compris entre tü et oo. Posons

xi — yi e^¹

). étant une constante pour le moment arbitraire.

Le système devient

d'y a

-j— = (au—^)JKi -t- «12JK2

dy2 ~dF =

auiYn,

•+•(«22—X )yo-I- O-mYnt

dyn

dt

anlY 1

"t" G/mYi

(<*«» — X )yn.

1 d(.r*-+-yî-+-' •    _

dt

le second membre étant une forme quadratique en y,, y₂ •••? y h-Si nous prenons pour A une constante a suffisamment grande, le second membre sera une forme quadratique définie et négative, et

SUR CERTAINES CLASSES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES, nous aurons par suite

d(y\•+-. . .-hy?,)

dt

< o.

Par suite, quand t augmentera de t₀ à oc, la fonction

y\+y\ ■+■• • •-‘r-yl

ira en diminuant. Il en résulte que yK, y₂, ..., y,, restent en valeur absolue moindre qu’un nombre fixe, et, par suite, les produits

xn e~xt

Xi e~xt, Xi e~ a/,

seront limités.

Nous pouvons prendre pareillement pour À une constante [3 suffisamment petite en valeur relative pour que la forme définie dans le second membre de (2) soit positive, et alors nous aurons, de t₀

dt

> O,

et, par suite, la fonction

y\-*-y\ ’-yyh

ira constamment en croissant. 11 en résulte que les produits Xy e~Pl, Xi e~Pl, ..., xn e~?‘

ne peuvent tendre tous vers zéro.

En se reportant au paragraphe précédent, on peut alors énoncer le théorème suivant :

Tout système (Tintégrales xt, xi: ..., xn du système (1) {en excluant seulement xK = x« = .. • = xn — o) admet un nombre caractéristique \₀ (<).

Une des conséquences pratiques les plus intéressantes de ce théorème est que, étant donné un système tel que (1), à coefficients

(‘) Cet intéressant théorème est dû à M. Liapounoff, qui l’a fait connaître dans un Mémoire important publié en langue russe ( KharkofT, 1892 ) dans le Bulletin de la Société mathématique de Kliarkoff. Ce Mémoire très étendu vient d’être traduit en français dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2* série, t. IX,

1908.

2Ô

P. — lit.

CHAPITRE XIY.

386

ektxn

limités, on peut trouver un nombre réel /r, tel que les produits ektxu ektx₂, .

tendent vers zéro pour t = -\-<x>.

11 en sera évidemment de même, d’après les équations différentielles, de

dt

ekt    ekt

dt ’ dt ’

On conclut de là aussi que, si dans Véquation différentielle

dm y

~dF^"rPl

dt"'-¹

-t-,    = o,

les coefficients p sont des fonctions limitées quand la variable réelle t varie de t₀ à -f-oc, on peut trouver un nombre k tel que

dy

cIfZekt dt"¹

tendent vers zéro pour t = -{- ce.

3. Nous avons supposé que, dans les équations différentielles, les coefficients étaient réels. Si ces coefficients étaient des fonctions complexes de la variable réelle £, on pourrait employer les mêmes considérations. En posant, en effet,

x,t= x'n+ ix"n,

X\ = x\ -t- ix'f

et de même pour les coefficients, nous aurions un système de 2n équations auxquelles s’appliquent les résultats précédents. 11 y a dans tous les cas un nombre caractéristique, la variable t restant toujours réelle t₀ et -h ce.

On peut aussi considérer le cas où la variable t prend des valeurs complexes, mais en la faisant grandir indéfiniment avec un argument déterminé, et en supposant que dans ces conditions les coefficients a aient des modules limités. On posera en effet

t — reiU),

et l’on aura une équation où la variable sera la quantité réelle r que l'on fera augmenter indéfiniment, pendant que u> reste constant. Il y a alors un nombre caractéristique pour un argument déterminé.

D’après le paragraphe 2, on pourra trouver un nombre k tel que

les produits

ekr xn

ekrxx, .

tendent vers zéro pour /’ = +oo. Donc les produits

n)

tendront vers zéro et, par conséquent, on pourra trouver une constante k' telle que les produits

g/t£(cosu>'—tsino)) xm

• • •)

(m = i

pk't qr*

tendent vers zéro quand t s’éloignera à l’infini avec l’argument to. Ce résultat nous sera plus tard très utile.

4. Dans le cas où les coefficients a ont une valeur déterminée pour t = oo, on pourra trouver une limite inférieure du nombre k dont nous avons parlé à la fin du paragraphe 2, en prenant

k = — X,

X étant telle que la forme quadratique, qui figure dans le second membre de (2) en y faisant t — o0, soit définie et négative.

Ainsi, prenons par exemple l’équation linéaire du second ordre

cl- y    fl Y

où p et q sont continues de X₍₎ à 00, et prennent les valeurs et q₀ pour t=-\-o0. Nous considérerons le système

dy r

%=p/+<iy,

et, en posant

nous avons

le système

dz

dx

dz'

CHAPITRE XIV.

388

Nous devons prendre A de telle sorte que la forme quadratique — X^²+ (p — X)s,2-4-(^r-t-l) zz'

soit définie et négative; ce qui nous conduit à considérer l’équation

(tfo■+■¹ )²    4 À (Po — X) = o;

les racines de celte équation sont réelles, l’une est positive et 1 autre négative. Soit a une quantité supérieure à la racine positive de cette équation; nous sommes assuré que

y é*—eue

tend vers zéro, quand x augmente indéfiniment.

5. Voici encore, dans un ordre d’idées analogue, quelques remarques sur la façon dont se comporte l’intégrale pour x très grand, mais c’est le rapport

dy dx

que nous allons considérer. Reprenons l'équation ci-dessus d² y    dy

En posant

nous avons

l’équation de Riccali

(3)

dz

— = — (z'--¥pz + q).

[/*o — p(-y =»)) (jo — ^⁰⁰)J

Considérons d’abord le cas où l’équation .s² -+- />„ s -+- </₀ = O

a ses racines réelles, que nous désignerons par a et (3 (a> {3). Nous appellerons a et b les deux racines de l’équation

~²-+- p z —i— q — o,

qui sont des fonctions de x tendant vers a et 3 pour x = cc. Diverses

circonstances peuvent se présenter relativement à a et 6, suivant que chacun d’eux se rapproche de sa limite, en croissant ou décroissant; supposons que nous ayons

a > x

et considérons une intégrale de (3), supérieure à a pour la valeur initiale x₀, intégrale que nous désignerons par Nous faisons croître x de x₀ à -f- oo, et nous voulons voir ce que devient l’intégrale 5. Celle-ci va cl’aborcl décroître, et elle décroîtra tant qu’elle sera supérieure à a. Or, elle ne peut atteindre «, car, aussitôt qu’elle

serait descendue au-dessous de a, elle devrait croître, ^r~ se,, trou-

air

vant alors positif. Il en résulte que ^ ira constamment en décroissant en restant toujours supérieure à a; il y aura donc une limite pour l’intégrale z, quand x augmentera indéfiniment. Cette limite ne pourra être que a, car, si z tendait vers un nombre v! supérieur à a, l’équation

(4)

x — x₀ — —

dz

conduirait à une contradiction, le second membre restant fini quand z tend vers a\ Noire intégrale z a donc a pour limite.

Supposons maintenant et prenons toujours une intégrale dont la valeur initiale pour x — x0 soit supérieure à a. L’intégrale ; ira encore en diminuant, tant qu’elle ne deviendra pas égale à a. Si celte circonstance se réalise, z ira ensuite en croissant, mais sans pouvoir atteindre de nouveau a, car elle ne pourrait alors dépasser «, devant à la fois, à ce moment, croître et décroître. Dans tous les cas ^ aura, par conséquent, une limite, et l’on voit comme plus haut que cette limite est a.

Nous venons de voir que toutes les intégrales, qui deviennent à un certain moment supérieures à a, ont a pour limite. La même conclusion s’applique aux intégrales (pii deviennent, à un certain moment, égales à une valeur comprise entre a et b, car elles vont alors en croissant et se rapprochent indéfiniment de a.

Le seul cas qui reste à examiner est celui où l’on aurait constam-z <6.

Quand b est supérieur à (3, il peut arriver, si la valeur initiale de z est entre [3 et b, que z ait pour x = cc la limite [3. Si la limite de z n’est pas (3 (ce qui arrivera, en général), s continuera indéfiniment à décroître jusqu’à —oo, et la relation (4) montré que z deviendra égale à — oo pour une valeur finie de x. 11 y aura ensuite pour z passage de — oo à +oo, et nous nous trouverons dans le cas précédemment examiné, c’est-à-dire que la limite pour x — ce de notre intégrale est encore a.

i\ous arrivons donc à la conclusion suivante :

La limite de y- pour x — cc existe toujours; elle est, en général, égale à cl et peut exceptionnellement être égale à j3.

6. Tout ceci suppose que l’équation

-3² -h /?o z H- <70 ⁼ o

ait ses racines réelles. Les conclusions sont tout autres, si l’équation a ses racines imaginaires. Dans ce cas, ^ sera toujours négatif et,

par suite, z ira toujours en diminuant, à partir d’une valeur suffisamment grande de x.

Je dis que, pour une valeur finie de x, l’intégrale z deviendra égale à —oo. Car d’abord il n'est pas possible que, pour # = + 00, z ait une limite finie déterminée; c’est ce qu’on verra en refaisant le raisonnement du paragraphe précédent. Ensuite, il n'est pas possible que z atteigne seulement la valeur —00, pour # = +00, comme le montre encore la relation (4), dont le premier membre augmenterait indéfiniment, tandis que le second resterait fini.

Foute intégrale oscillera alors une infinité de fois entre + 00 et — oc, avec passage brusque de — 00 à + 00. Telle est l’équation

dz

ment

dx

dont l’intégrale est

z = tang(a?₀ — x).

7. En revenant au cas des racines réelles a et j3, il est facile d’établir un lien entre le résultat du paragraphe O et les théorèmes démontrés plus haut. Puisque

lim ‘— = a,

on peut écrire

la fonction 'f(x) ayant zéro pour limite pour x = cc. Il en résulte que

y — yo e

Si donc on prend le produit

(a > a),

y x e~ax

il en résultera que ce produit tend vers zéro, quand x augmente indéfiniment. Nous retrouvons donc bien le résultat obtenu plus haut.

8. Nous allons considérer maintenant le cas où les coefficients de l’équation linéaire

d² y    dy

sont des fonctions complexes de la variable réelle x, ces coefficients tendant vers p₀ et q₀ quand x tend vers -j- oo. En posant

— = u,

nous avons l’équation

du

Supposons que l’équation

u² -+- po u qo — o

ait pour racines a et (3, la partie réelle de a étant plus grande que celle de 3.

Soient J u — a | = /• et j u —    | = o. Nous désignerons par e une

quantité positive fixe, mais aussi petite qu’on voudra. Dans le plan de la variable complexe u, les deux équations

- ! tu

Soit

on aura

(5)

dV

pu q

u^-hpo u H- q o

,0^ =

représentent deux petits cercles C et G', comprenant respectivement à leur intérieur les points a et 3. Si u est tel que

! r    i

log- < - ,

P    £

la partie réelle du second membre de l’équation (5) sera négative, si x est suffisamment grand ; en effet, le dénominateur restera fini, et pour x — oo le numérateur devient égal au dénominateur et, par suite, comme la partie réelle de ,3 — a est négative, l’assertion est évidente. Nous aurons ainsi, en posant

V = c + iV'.

dç

conclut donc que,

négatif dans les conditions indiquées. On pour x très grand, la fonction réelle c va en diminuant du moment

en

qu’elle est comprise entre — - et -f-

Supposons que pour la valeur initiale x₀, prise assez grande, v soit compris dans cet intervalle; il ira en diminuant, et, s’il descend au-dessous de —-, il lui restera toujours inférieur. Dans ce

dernier cas, v aura nécessairement — oo pour limite, puisque e est aussi petit que l’on veut, et u aura alors a pour limite.

par

On pourrait craindre que v n’atteignît jamais — -, et eût,

suite, allant toujours en décroissant, une certaine limite linie /; u resterait toujours dans ces conditions à l’extérieur des courbes C

SUR CERTAINES CLASSES « ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

et C'. L’équation (5) nous donne

dv

u--t- pu -+- </ “I U- -h po U. “i⁻ (Jo J

en désignant par la lettre .‘R {a) la partie réelle de la quantité a ; d’où nous concluons

dx

= *[<?

[c

— «)

t

X- Xq = I -

/ &

dv

ui-4- pu -+- q 1 ’ u² H- p₀ u 4- q₀ J

le dénominateur ne s’annulerait pas à partir d’une valeur suffisamment grande de x, et il serait très voisin de<SR.((3 — a). Donc, u tendant vers l, le second membre resterait fini, tandis que le premier devrait augmenter indéfiniment.

Le seul cas où u pourrait ne pas avoir a pour limite serait celui où, e étant donné, il arriverait qu’à partir de la valeur de x, pour

laquelle ^ est négatif quand v est compris entre — et -f-    , cette

fonction v fût toujours supérieure à ~• Mais alors la limite de v serait

nécessairement -f- co et, par conséquent, u aurait (3 pour limite.

Nous arrivons donc à la même conclusion qu’au paragraphes, mais dans un cas plus général : la limite de u est en général a, et elle peut cependant exceptionnellement, être égale à ,3 (').

On tirerait de ce résultat la môme conclusion relative à l’existence d’un nombre a tel que

y e~ax

ait zéro pour limite, quand x augmente indéfiniment; mais on doit remarquer qu’avec ce mode de raisonnement le cas où les parties réelles de a et j3 sont égales se trouve ici exclu : nous savons alors,

yf

d’après le paragraphe 6, que peut ne pas avoir de limite.

M. Poincaré a étendu le théorème que nous venons d’établir pour une équation du second ordre à une équation d'ordre quelconque.

(:) Ce théorème est dù à M. Poincaré, qui l’a établi dans son Mémoire de VAmerican Journal of Mathematics (Vol. VII, n° 3), Sur les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies. Comparer sa démonstration avec celle que nous donnons dans le texte.

et il a démontré le théorème suivant, que nous nous bornerons à énoncer.

Considérons l’équation linéaire d’ordre n

-H. ..-hpny = o,

d'i y    d'l~¹ Y

d:F"-l

les valeurs de /?,, ..., p„ pour x = ce. En sup-

et soient /?”, . posant que les racines de l’équation

zn-f-p\zn~x    p% = o

aient leurs parties réelles distinctes, le quotient ~ a toujours une

limite qui est, en général, la racine dont la partie réelle est la plus grande, mais qui peut exceptionnellement, pour certaines intégrales, être égale à une des autres racines.

II. — Sur une classe particulière d’équations linéaires auxquelles s’applique une transformation de Laplace. Équations à coefficients du premier degré et équations à coefficients constants.

9. Les équations dont nous voulons parler sont les équations de la forme

Po

dmv

dxm

H- P,

d"¹-¹ v

dx"l~l

où les coefficients P sont des polynômes de degré p. Nous traiterons dans cette Section le cas le plus simple de p — i, qui est d’ailleurs celui où la méthode réussit d’une manière complète.

Cherchons, avec Laplace, à exprimer y à l’aide d'une intégrale

=/

v(z) ezx dz,

dans laquelle les limites a et [3 sont des quantités indépendantes de x, que l’on déterminera ultérieurement, et v(z) représente une fonction inconnue de z. On aura

dy

dx

v(z)z ezx dz,

z"¹ ezx dz.

dmy

dx"¹

SCR CERTAINES CLASSES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

Calculons les produits

dy

X -j—y dx

En intégrant par parties, il vient

xy,

• • •>

d"‘ y

dx"¹

xy

=/

,ya

vx ezx dz

dm y

X —:—¹—

dx"‘

=f

•'a

v(z)zmx ezx dz

= (vzm ezx)% — I -—

¹ «4    dz

^ d(vzm)

ezx dz.

Supposons la fonction v et les constantes a et [3 telles que

(vzm ez*)\ — o.

En posant

P ni — & m X -4- b ,n,

P<> = a₀x -f- b₀, Pj r= ayx -H b\, l'équation différentielle devient

jCp[—

d(v zr")

dz

-4- b₀vzm —

-]

ezx dz = o.

L/expression entre crochets ne dépend pas de x. Nous égalerons donc tout naturellement à zéro cette expression pour déterminer e, qui se trouvera alors satisfaire à une équation de la forme

dv

-P(2)-pQ(5)=0,

P(c) et Q(z) étant des polynômes de degré m en

En nous plaçant donc dans le cas général où les a et b sont des constantes quelconques, on aura

dv

dz

X,

X ni

z — a,„

et l’on prendra

v = e\lz(z — ai )Xi (z — a₂)Aa.. . (z — a/M)Xm.

11 s agit maintenant de déterminer a et [3; c'est ce qui peut se faire de manières variées.

10. Quand X,, X₂, ..., Am ont leurs parties réelles positives, on pourra prendre

a = a,,

(3 = a i

et intégrer en prenant un chemin quelconque de a, à a/. Les conditions

(vz,c ezxŸ

(k = i,2, . ..,m)

te

sont bien vérifiées, puisque v s’annule alors pour 5 = aetpour^= . On obtiendra ainsi m — i intégrales visiblement holomorphes dans tout le plan; il résultera de ce que nous allons dire plus bas qu elles sont linéairement indépendantes.

On peut obtenir ces m — i intégrales d’une manière un peu dilïé-rente qui conviendra, quels que soient les signes des parties réelles des X. Nous procéderons comme nous l’avons fait plus haut dans le cas des intégrales hypergéométriques (p. 32 i). Soit a un point quelconque. Nous considérons un chemin fermé C, partant de a et y revenant, après avoir tourné autour de a,, et pareillement un chemin fermé C₂ partant de a et y revenant après avoir tourné autour de a₂. Nous allons prendre

a. = [3 = a,

le chemin total d’intégration étant formé des parties suivantes : Ct parcouru dans Je sens positif, puis C₂ parcouru dans le sens positif, ensuite C| parcouru dans le sens négatif, et enfin C₂ parcouru aussi dans le sens négatif. Dans ces conditions, la fonction r retrouve à la fin sa valeur initiale, et les conditions voulues sont bien vérifiées. Chaque combinaison (a,, a,-) nous donne ainsi une intégrale holomorphe.

11. On peut adopter bien d’autres chemins d’intégration; les chemins suivants vont nous conduire à ni intégrales, dont il sera intéressant d’étudier les valeurs pour x réel positif et très grand. Nous nous plaçons dans le cas tout à fait général où aucune relation spéciale d'égalité n'existe entre les coefficients de l’équation différentielle.

Prenons un des points a, soit a,. Par ce point je mène, du côté des £ négatifs, une parallèle P à l’axe £ des quantités réelles, en ayant

posé

z = $ -+- i r,.

Nous allons prendre, comme chemin d’intégration, une sorte de lacet ayant son origine à l'infini négatif sur cette droite P. Le point a

Fig. 24.

CL

fi

/tQ

représente dans la figure le point à l’infini sur P; le lacet se compose de la portion ap, d’un cercle C de rayon /’, et de la portion />(3, le point ^ coïncidant à l’infini avec a sur la droite P.

En supposant que la partie réelle de x soit supérieure à celle de — p., l’intégrale correspondante

( z — ixm ezx dz

r ^

I e\lz(z — aj )L ... *■a

aura un sens, et les conditions complémentaires seront vérifiées. Nous obtenons donc ainsi m intégrales de l’équation différentielle. Nous allons chercher comment se comportent ces intégrales pour x positif et très grand.

Nous ne diminuerons pas la généralité en supposant a, = o et remplaçant x par x— p., ce qui revient à supposer p = o. Nous avons alors l’intégrale

J z'i ( z

Prenons d’abord l’intégrale

f z*'i(z — x.₂ )}• j ... (z — x,n )'-m ezx dz.

J —r

zéro, quand x augmente indéfiniment en

Je dis qu’elle tend étant positif. On a, en effet, pour z négatif et inférieur à — r,

vers

( z — xa )L ... ( z — x,„ )>-m | < e~zz,

s étant une quantité positive convenable. L’intégrale sera donc en valeur absolue moindre que la valeur absolue de l’intégrale

ez{x-z) dz,

c’est-à-dire

g—r{x-£)

et tendra, par conséquent, vers zéro pour x — cc. Pareillement, le produit de l’intégrale par xk, k étant une constante quelconque, tend vers zéro pour x infini.

Il faut maintenant étudier l’intégrale le long du cercle C, en partant dep et y revenant. Nous commencerons par envisager l’intégrale

! z^ ezx dz

A

le long de ce cercle, et par chercher la limite du produit

j z>- ezx dz

A

pour x — -(- oo. Posons xz = — y; nous aurons, à un facteur numérique près, l’intégrale

/y¹ e-y dy,

prise le long d’un cercle T de rayon rx, et en partant du point rx dans le plan de la variable complexe y. Cette intégrale est une fonction bien déterminée de X; quand X a sa partie réelle supérieure à — i, on voit de suite que l’intégrale a pour valeur

fi

r°

I yk e~y dy

*'4- V X el par suite, pour x = ce, nous avons la imite

(e2X7ti— !) r(X    1),

r(X 1) désignant la fonction eulérienne de deuxième espèce.

Ce résultat sera général, quelle que soit la valeur de la partie réelle de X. On remarquera que ce produit est différent de zéro, sauf quand X est un entier positif ou nul. Quand X est un entier négatif, la fonction T devenant infinie, le produit n’est pas nul.

Si nous revenons maintenant à l’intégrale proposée, nous développerons, z ayant un module suffisamment petit,

z*t(z — ajp* . . . (Z — a„,)>m

en série de la forme

Ao-s^'-l- A,    A₂z^i⁺²-h. .

399

et, en appliquant alors le résultat que nous venons de trouver, il apparaît que le premier terme de ce développement donne seul une limite différente de zéro, quand, multipliant l’intégrale par    on

fait # = 4-00 (on exclut, bien entendu, le cas où )M serait un entier positif). Quelques explications sont cependant nécessaires pour êlre complètement rigoureux.

Reprenons, en supposant, comme il est permis, le rayon r du cercle G suffisamment petit, le produit

î"¹⁻¹

-f- Aj    ezx dz.

Désignons par Rw le reste de la série

Ao-f- Aiz -4-...

quand on s’arrête après le terme Anz'¹. On sait que, étant donnée une série entière, on peut trouver deux nombres p et p, tels que

I A*l <

et l’on aura alors

\*

R»|<

Nous avons à étudier la somme

f A₀z^ Je

(S)

I Anz'^+n ezx dz JC

f R„zb ezx dz. Je

On voit de suite, en posant zx =—y, que la dernière intégrale est égale à

f R„ e-rdy, JA

en désignant par A un lacet dans le plan de la variable y partant du point rx et y revenant, après avoir tourné autour de l’origine. Son module est donc, à un facteur numérique près ne dépendant que de X,, moindre que le module de

Donc, quel que soit x, on peut prendre n assez grand pour que le reste de la somme S soit inférieur à tel nombre qu’on voudra, car on peut supposer rp < r. On fera maintenant croître x indéfiniment, et pour les autres termes de (S), qui sont en nombre fini, on n’a qu’à appliquer ce que nous avons dit plus haut. Le premier seul donne une limite différente de zéro.

Nous pouvons donc conclure en disant que, sauf le cas exclu, le produit de l’intégrale par    a une limite finie et différente de zéro

pour x — -f- oo.

On a supposé a, = o. En donnant à a, une valeur quelconque et rétablissant Je terme dépendant de p, nous reviendrons à l’intégrale

= j'eV-: (z — a, )L ... ( z — am j^m ezx dz,

relative au lacet qui correspond à cl,. Pour être ramené au cas de cl, —o, il suffit de remplacer z par a,-j-z, et c’est par suite au produit

y, e⁻®^

que nous avons à appliquer le résultat qui vient d’être établi. Nous avons donc le théorème suivant, qui résume cette discussion :

En désignant par y, V intégrale correspondant à a,, le produit

y, e~ai:t^i+l

a une limite finie et différente de zéro pour x — -+- oc.

12. Les m points singuliers a nous donnent ainsi m intégrales

Le théorème précédent va nous permettre aisément de démontrer qu’elles sont linéairement indépendantes. Supposons, en effet, que nous ayons la relation

G, y, h- C<>y₂Gmy,„ — o.

Rangeons les a dans l’ordre

a///>

®1> *2,

en supposant qu’ils soient ainsi rangés par ordre décroissant de gran-

Ci e~aix.r^i⁺¹ -t- G^y?.    Gmy,n e—“î^aAr*-¹

= o.

4oi

Faisons tendre x vers l’infini; tous les termes, sauf le premier, ont zéro pour limite, puisqu’on a

y₂ g—a?X,-i-i — Uy2 e-a.ixx'k.jr\-\j ^ (eta*—Xa)

et le premier facteur a une limite finie, tandis que le second tend vers zéro. Nous aurons donc

Ci = o

et, en continuant ainsi, nous trouverions

C 2 — ... ¹ C /fi - ~ o.

Le théorème est, par suite, établi.

13. Nous avons supposé que nous étions dans le cas général. Bien des cas particuliers peuvent se présenter; leur étude ne présente pas de difficultés sérieuses. Contentons-nous de considérer le cas où il y aurait deux racines égales pour le polynôme P(z) (§ 9). Nous aurions alors, en supposant at = ou,

dv

dz

X2

Ai

O — *i)²

z — a|

-H. .

et, par suite,

>.*

v = eV-z e z a,(-— ai )^i(^ — a₃)>- 3....

On pourra toujours considérer un lacet analogue à celui que nous avons formé tout à l’heure, qui nous donnera une première intégrale. On voit moins immédiatement comment on pourra avoir une seconde intégrale, celle qui correspond à un chemin joignant a, à ou quand ces deux points sont distincts. 11 est possible d’approcher du point a, de telle sorte que v tende vers zéro. Soit

z — at = p(cosO i sin 6)

et soit

X₂

z — ai

= ^ -pj- [cos(0 -+- a) — i sin (0 -1- a) J.

Il faudra que cos(ô H-a) soit négatif. 11 y aura donc une certaine direction a,.r, et d’un certain côté de celle-ci (à droite par exemple dans la figure a5) on aura les directions pour lesquelles

tend vers zéro, quand 5 se rapproche de a,. Si l'on prend alors un chemin partant de a, dans une de ces directions et revenant en a,

Fig. 25.

également à droite de a₍.r, mais après être passé à sa gauche, l’intégrale correspondante ne sera pas nulle en général et donnera une seconde solution de l’équation linéaire correspondant à la racine a,.

14. Indiquons, comme exemple, une équation rencontrée par Bessel dans des recherches de Mécanique céleste :

xdiy

dx-

dy

-+- 2 m -y--1- XV — O.

dx

En appliquant les résultats précédents, on a

dv

-y ( 1 -+- z'¹ ) = ->,vz( ni — 1 ) dz

et, par suite, On a ici

v = (1-+- z²)"¹-¹.

CL y — i,

En particulier, l’intégrale holomorphe sera donnée par l’intégrale définie

r+i

f    (14- z²)m~l eZJC dz,

qui n’a de sens d’ailleurs que si la partie réelle de ni est positive. En changeant z en zi, on ramènera immédiatement l'intégrale précédente

à la forme

+1

(i — z²/"-* cosza? dz,

dont le développement en série entière est bien facile. Citons encore l’équation, très voisine de la précédente

dl u dr²

qui se déduit de l’équation aux dérivées partielles

ô'² u d² u dx~

i du r dr

— u = o,

(«)

ày²

quand on suppose que u ne dépend que de la distance

r — \Jx² y- y'².

L’application de la méthode de Laplace conduit à l’intégrale

-/

t/_oo

ezr dz

sJZ² — I

qui donne la solution du problème de l’équilibre calorifique d’une plaque indéfinie rayonnant au dehors, avec une source à l’origine, problème correspondant à l’équation (a).

L’intégrale u est nulle pour r=cc, et l’on démontre aisément que, pour /• = o, u devient infini comme

l°g-,

o r

ce qui correspond à la source calorifique placée à l’origine.

lo. Cherchons encore ce que donne la méthode de Laplace pour une équation à coefficients constants

dm y

Un —,——

dxm

-4- Cl\

d"i~² y

dxnl—¹

-t-... -t- am y = o.

En posant

-jC

v ezx dz

rentielle, il vient, comme résultat de la substitution,

rP

I v/( z ) ezx dz,

en posant

f(z) = a₀ zm -f- a, zm~x    am.

Nous ne pouvons pas ici former l’équation différentielle donnant v. L’application immédiate de la méthode ne donnerait donc que c = o. Mais l’intégrale précédente sera encore nulle si nous prenons a= |3, et si nous intégrons le long d’un contour fermé à l'intérieur duquel le produit

p/(3)

soit holomorphe. Ainsi, l’équation proposée sera vérifiée si l’on prend

Pù) /(*) ’

P(^) étant holomorphe dans une aire limitée par un contour le long duquel on prendra l’intégrale qui donne y. La méthode de Laplace conduit donc tout naturellement à la méthode d’intégration des équations à coefficients constants développée par Cauchy dans un Chapitre de ses anciens Exercices.

On retrouve facilement de cette manière la forme élémentaire des intégrales des équations à coefficients constants. Soit a une racine multiple d’ordrep de l’équation caractéristique

/O) = ».

et considérons un contour C n’enveloppant que cette racine. Nous pouvons prendre

i> =

( z — a)P~

A,,— ]

( z — a. )

G (z) étant holomorphe dans G et les constantes A étant arbitraires. Nous avons à calculer

f v ezx dz.

Pour avoir le résidu de vezx, on pose z = y.-\-h", il faut prendre

le coefficient de ^ dans Je développement. On trouve ainsi immédiatement

ea-x ( Co ■+* G i x -t- . . . -+- Gp—i xp * ),

expression dans laquelle les G sont, comme les A, des constantes arbitraires. On obtient donc ainsi les p intégrales correspondant à la racine multiple d’ordre p.

Faisons encore une remarque intéressante relative aux équations à coefficients constants. Je prends l’intégrale

S,

P (z)

/(*)

ezx dz

le long d’un cercle G, ayant l’origine pour centre et comprenant à son intérieur toutes les racines de f(z). Montrons qu'on peut déterminer le polynôme P(æ) d’ordre ni — i de telle sorte que

dx

dy

dx

d'»-\y

aient des valeurs données à Vavance pour x = o. On a

zP(z)

Az)

dz,

(dm~ly\ f

’ \dx>*-')o~Jc

Z'"-¹ P (z)

dz.

Or soit, pour 5 très grand,

A ,,i

~rn

P (z) ₌ A, _ f(z) z ' z*

V₄, ..., Am seront arbitraires si P (z) est un polynôme arbitraire d’ordre ni — i. Les valeurs des A se trouveront déterminées de proche en proche en fonction des valeurs initiales de y et de ses dérivées jusqu’à l’ordre m — î. On peut remarquer qu’il résulte de là que Vensemble des intégrales correspondant à chacune des racines de réquation caractéristique forme bien un système fondamental.

III. — Application générale de la transformation de Laplace au cas des équations linéaires dont les coefficients sont des polynômes; représentations asymptotiques de M. Poincaré.

16. Nous n’avons étudié dans la Section précédente que le cas où les polynômes P (§ 9) sont du premier degré. Arrivons à l’équation

générale

Po

dm y dxm

-4- P

dm~ly

dx"l~¹

où les coefficients P sont des polynômes de degré p en x. Nous reprenons l’intégrale

— / v{z) ezx dz

'a.

Nous avons plus haut transformé, au moyen de l’intégration par parties, les produits

xy,

Æ ■

dx

dm y x ' •

dxm

Considérons maintenant les produits

dy

xp

dm y

r,'y,    .

Nous nous servirons à cet effet de la formule d’intégration par parties généralisée, à savoir

dx"¹

dP\

dz = U

dzP

dP~¹V

dzP-¹

dU dP~* V dz dzP—²

J)P~'

di’V

dzP

dz.

On a ici

xp y

vxP ezx dz.

Nous poserons donc

U = v,

V = ezx,

et l’on aura alors

= {vxp-' ^ZX)\ — (V

Semblablement, pour réduire

xp y

— xP-"¹ ezx

dz

)C.

! a

dPç , ezx —,— dz. dzP

xp

d"‘ y

dxm

S.

v zmxP ezx dz,

on posera

et l’on a ainsi

U = vz’n.

V = ezx.

dm y xp —;——

dxm

= (vzmxPezx)P —... — (— i )r-i

r':‘

/ ezx

dP(vzm)

dzP

dz.

SUU CERTAINES CLASSES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

Soit maintenant

l’o — Go xp -t-.. P, — Ci xP-\-..

et considérons dans l’équation différentielle transformée l’intégrale définie qui y figure. Celte intégrale est

?r

C₀

di'( v z ni )

dzv

-t- G,

dr>(v z m ~¹ )

dz

-H. . . ezx dz.

La quantité entre crochets ne dépend pas de x. En l’égalant à zéro, nous obtiendrons une équation linéaire et homogène en v d’ordre p, dont les coefficients sont des polynômes de degré m en z. Ce sera l’équation

(6)

( Go zm Ci zm 1 -t-... -t- C/,i )

dp v

dzP

Si l’on peut choisir une fonction v satisfaisant à 1 équation précédente, et si l'on peut, par un choix convenable de « et [3, s’arranger de manière que les termes intégrés soient nuis, on aura une solution de l’équation proposée. Les termes intégrés sont de la forme

(7)

d!l ( v z,c)

dzh

ezx

]~ (

i,

On voit donc que Ici transformation de La place ramène l intégration de /’équation proposée d'ordre m à celle à une équation d'ordre p.

17. M. Poincaré, dans le Mémoire déjà cité, a montré comment on

diminuer la généralité, être la direction positive de

sans

pourrait réaliser toutes les conditions exigées pour l’application de la méthode, et comment, de plus, on peut ainsi étudier les valeurs des intégrales de l’équation proposée pour x très grand el s’en allant à l’infini dans une direction déterminée, que nous pouvons supposer d’ailleurs

l’axe réel.

Nous supposons aussi que C₀ n’est pas nul, c’est-à-dire que les degrés de P,, ..., P/M ne surpassent pas celui de P₀. Enfin, il n’existe aucune relation particulière d’égalité entre les coefficients des polynômes P.

CHAPITRE XIV.

4o8

Désignons par a₍, ou, .

am les racines de l’équation Co stn —i— Cj[ zr,l~x -f-. . • —|— G//;⁼⁼ o.

Ce sont les points singuliers de l’équation linéaire (()) donnant v. L’équation (6) a, dans le voisinage de chacun de ces points singuliers, m — i intégrales holomorphes ('), et l’on a une mu'we intégrale de la forme

(z — a,)>. cd₁(z),

'fi(z) étant holomorphe dans le voisinage de a,.

menons

Comme nous l’avons fait dans la Section précédente par le point a, une parallèle D à l’axe réel du côté des £ négatifs (z = ç H- /’-/)). Nous allons prendre pour v l’intégrale non liolo-morphe dans le voisinage de a,. Quand ; s’en va à l’infini dans cette direction, nous savons (§ 2 de ce Chapitre) que l’on peut trouver un nombre u. tel que

v et*-¹

dv

Tze[,z’

d"lv

....    —;—eV-z

dz"<

tendent vers zéro, quand r s’éloigne ainsi à l’infini, et, en augmentant p s’il est nécessaire, il en sera de même des produits

dv

esve!^, —    .

cl Z

dm v

--sv e\>-z,

dz'"

quel que soit l’exposant v.

En désignant, comme précédemment, par a et p le point à l’infini sur la droite D, les conditions (rj) seront vérifiées si x est positif et suffisamment grand. On formera encore le lacet considéré au paragraphe 10, et nous obtiendrons ainsi un système de ni intégrales

y,n

ru y-i

(') Nous nous appuyons sur ce que l’équation d"> y    d"l~x y

X d^' + /;> d.ü”'y - °’

où les p sont holomorphes dans le voisinage de x = o, admet m — i intégrales holomorphes autour de ce point. On voit, en effet, de suite, en substituant une série entière dans le premier membre de l’équation, que les m — i premiers coefficients peuvent être pris arbitrairement, les autres se déterminant de proche en proche. Quant à la convergence, elle se démontre par les procédés de comparaison dont nous avons fait tant de fois usage.

correspondant respectivement aux points a,, a₂, . n’avons maintenant rien à changer aux raisonnements développés dans le paragraphe 11, et nous avons donc encore la conclusion suivante :

409

Nous

• • 5    a//z*

Les produits

4-1

.. . , y m e-v-m*

tendent vers des limites finies et différentes de zéro (sauf le cas d’un \ entier et. positif ) quand x tend vers -f- 00.

18. Dans un second Mémoire sur les intégrales irrégulières des équations différentielles linéaires ('), M. Poincaré a complété le résultat précédent en montrant qu’on pouvait en déduire certaines

expressions asymptotiques. Nous avons trouvé au paragraphe 11 que le produit

peut se mettre sous la forme

arL-e*

(S)

/ A₀.s*i ezx dz -h. . .

d\.

f An ezx dz -l- aAr*⁻¹

•A

( R„^i ezx dz\ • 1.

les intégrales correspondent au lacet L, donl les deux extrémités sont à l’infini dans la direction indiquée et qui tourne autour de z = o.

L’intégrale le long de L se compose d’une partie rectiligne et d’une partie circulaire le long de G. Pour la partie rectiligne, nous savons que le produit de l’intégrale par une puissance quelconque de x tend vers zéro quand x augmente indéfiniment. Bornons-nous donc à considérer

aAi+i

f Ao^i

Je

ezx dz -f-. . . -t-

.+« ezx dz

a^i⁺¹

f Rnz^i eZJC dz.

de

Rappelons-nous, d’autre part, que

a?L-+-i

f A/i- 3^i+A' ezx dz

de

(¹ ) H. Poincaré, Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires (Acta mathematica, t. VIII).

( gîÀjTO— i ) I r ( X j H- h —i) — Ç y\+k e~y dy .

• r x

Or, le produit de l’intégrale par une puissance quelconque de x a pour limite zéro pour x infini. De même le produit du dernier terme de (S) par x¹¹ a zéro pour limite quand x augmente indéfiniment. Pour le voir, reportons-nous encore au paragraphe il et au dernier terme de la somme S

j Rnz^\etxdz. Je

Le nombre n est maintenant déterminé. D’après l’expression de R«, on voit de suite que le module du produit de

! Rnzh ezx dz

Je

est, à un facteur numérique près indépendant de x, moindre que celui de l’expression

+1

4i o

peut s’écrire

CHAPITRE XIV.

I fJLp"

x i — r p

Le produit étudié tend donc bien vers zéro pour x = co. Tl en résulte que, si l’on pose

Atr(X,-h2)

A « T ( X i —i— n )

X"

le produit

xn( 2 —yx e~xtxx^i~ht)

tend vers zéro pour x = oc. C’est ce que l’on exprimera en disant que le produit

est représenté asymptotiquement par la suite 2.

4ix

-r

v ezx dz.

• i.

Il résulte du paragraphe précédent que

yx = exi-vx—^t-1 (eïX,TO— r) r(Xj -+- i) ARX, -4- i)

T Aq -r-

A „Ck

X"

£n H

+ T*Y

£o tendant vers zéro avec nous avons remplacé T(X| +2), ..

TÇkt -\-n) par leurs valeurs en fonction de F(X, 4- 1). Ecrivons ce développement sous la forme

—    — -t-,

\ x

X"

En étudiant de la même manière l’intégrale dy\

dx

s.

z v ezx dz,

£l>

X"

on

trouve immédiatement le développement

dy\

dx

—    A,-i ( R₀ _)--1

V X

J\n

xn

£i

xn

s, tendant vers zéro et les termes, à l'exception de ^e^^x ^ ⁴,

néglige On a

provenant de la différentiation de yt, quand on finalement, en allant jusqu’à la dérivée d’ordre m,

= eïi-⁽a?A,-i    —I- -1-.

d,n y 1

dx"¹

T„

xn

X"

et les termes, à l’exception de celui qui contient ew, provenant de la dérivation mième de , quand on néglige —•

o o gçtl

em tendant vers zéro avec

Substituons ces valeurs deyK et de ses dérivées dans le premier membre

dm y

dx"¹

(\\X>Jdm~ly G₀.r/>dx"¹-¹

■y

de l’équation différentielle; les coefficients des puissances successives de ^ dans le résultat de cette substitution doivent s’annuler, puisque n

est un entier qui peut être aussi grand 'qu’on veut. Les constantes a,, et les coefficients P sont donc ceux qu’on obtient, quand on cherche à écrire que l’équation est vérifiée par une série de la forme

e³ix x~L—¹

Or, c’est là un problème que nous avons déjà cherché à résoudre (Chapitre XI, § 22) ; nous avons trouvé m valeurs de at, et à chacune de ces valeurs a correspondu un développement de la forme précédente. L’expression que nous jvenons de trouver pour y', coïncide donc avec un de ces développements, et nous avons vu que ceux-ci sont en générai divergents. Nous arrivons donc au théorème suivant, dû à M. Poincaré (loc. cit.) :

Les m développements divergents de la forme représentent asymptotiquement m intégrales de Véquation différentielle, quand x grandit indéfiniment en étant positif.

Nous avons, dans tout ce qui précède, supposé que x augmentait indéfiniment en étant réel et positif. D’après ce qui a été dit au paragraphe 3, il est possible d’étendre cette théorie au cas où x s’éloigne à l’infini avec un argument déterminé quelconque; mais il est important de remarquer que les m développements divergents de la forme précédente ne représenteront pas asymptotiquement, pour tout argument, les mêmes intégrales. Pour certaines valeurs de cet argument, il y aura passage brusque d’une intégrale à une autre, du moins en général.

IV. — Applications des méthodes d’approximations successives à la recherche des valeurs asymptotiques.

obtenus avec M. Poincaré dans

20. Les résultats que nous avons la Section précédente pourraient être établis et même étendus en

équation avec un

posons

variant un peu les procédés d’approximation successive dont nous avons déjà fait usage en plusieurs endroits de cet Ouvrage. Sans approfondir complètement la question à ce nouveau point de vue, envisageons une équation linéaire de second ordre

d² y    dy

dâ

où, dans le voisinage de x = cc>, les coefficients pK et p₂ sont susceptibles d’être mis sous la forme

(«)

b\

Pî — b₀-\---+-

séries convergentes pour \x\ suffisamment grand. Posons

= Y.

On voit de suite que, si l’on prend pour la constante A une racine de l’équation du second degré

(8)

—f— Ctÿ A    — O,

on a une équation de la même forme (a), mais où le coefficient remplaçant b₀ sera nul.

Posons ensuite

Y = e^z-

on a, en prenant o. de telle sorte que

a₀ [a .4- ù, = o,

de même forme, mais dans laquelle le coefficient

une équation encore de z n’aura pas de terme en - •

Finalement, nous pouvons, sans diminuer la généralité, envisager l’équation

(9)

d-y

dx²

dy

' ' ’ 7 dx

x³

En faisant les réductions précédentes, on obtiendra d’ailleurs une a₀ positif, et une avec un a₀ négatif, si nous sup-réelles les racines de l’équation (8).

21. Nous allons étudier l’équation (9), en supposant a₀ négatif, et il est clair qu’on peut le supposer égal à — 1, en remplaçant x par kx (.k convenable et positif).

Nous envisageons donc l’équation

d\y

dx-

(10)

dy

b,

b,

x-

x:i

et nous nous proposons, afin d’étudier ses intégrales pour x positif et très grand, de procéder par approximations successives.

tio)

22. Commençons par une remarque préliminaire. Soit l’équation d-y

dx¹

dy

dï = J(x''

où f (x) est une fonction continue, s’annulant pour x = -j- 00, et telle que l’intégrale

/ f(x) dx

ait un sens. O11 voit alors bien aisément que l’expression

y — ex

Ifu>

e~x dx —

J /(x) dx —h h

(h étant une, constante)

satisfait à l’équation (10), et que l’on a y — h pour

23. Ceci posé, formons les approximations d\y\ _ dy\

dx-    dx

d²y2 _ dy-, dx-    dx

x = -l- oc.

= o,

dy

b-i

dtyn

dx-

dy,i

dx

\ dy,,-! _ / bj, J dx \ x'¹

■■■)y

!l—\ 1

tous les y prenant la valeur h pour x = + cc.

En appliquant la formule du paragraphe précédent, on aura de

mais on peut la simplifier,

dyn-1

; on trouve

suite 1 expression de yn à l’aide de y

H— ) ,

en intégrant par parties les termes tjui renferment

4i5

a₂

—jf~(2

les a et les ₍3 s’exprimant de suite à l’aide des a eL des b.

La démonstration de la convergence uniforme de_y« vers une limite (à partir d’une valeur suffisamment grande de x) se fait de la manière suivante. On a

.7* —yn-l = e+JC

P.

a?²

-*-•••) (yn-l— yn-l) dx •    (yn-i — y n-i) dx.

«2

Or, soit M„ le maximum de |yn-\ —Yn-'i | depuis une valeur suffisamment grande a de x jusqu’à -j- ce. On a manifestement

-n

iVI n<q M«

q étant un nombre fixe inférieur à u/y si a esl assez grand. De là résulte la convergence de la série

y — yi -+• (y 2—yi )-+-••• -+- {y n y»—t )-*-•••,

à la manière d’une progression géométrique décroissante. On démontre enfin que la limite de cette série satisfait à l’équation différentielle proposée, en reprenant un raisonnement déjà fait bien des fois.

Nous avons donc obtenu une intégrale y de l’équation (io), tendant vers h, lorsque x tend vers l’infini positif.

Relativement à la quantité q considérée plus haut, on voit aisément que l’on a

(]<—■> s x

K étant une constante fixe; cette remarque nous sera utile dans un moment.

une valeur asymptotique de y. nombre entier fixe supérieur à n. Reprenons chaque ternie

24. Il va être possible d’obtenir Soit p un de la série y.

Nous avons d’abord y, = h ; pourra —y* nous avons

J'2 —/l

=e\L

H "05

FS «A-

. . . jh dx,

n— I

Nous avons donc poury„, qui est la somme

y\■+(y*—y i ) -k .. + (r« — r«-i ).

une expression de la forme

/i + üi H*

./•

XP—>

Tjjt, étant nul pour = oo. Quant au reste

(7«+i —jKn- ,

il est moindre que

K'¹ h k ¹⁺¹ /< xn

2,/n-l

Il en résulte que l’on a

H₂

h„-₂

-4- X/,

-î

o?²

x"-'i

X"-¹

(/> > n).

CHAPITRE XIV.

et, en intégrant par parties, on met cette expression sous la forme

A;,-!

XP~l

£p étant nul pour x — oo. En prenant ensuite y:f —y₂, on trouve sans peine le développement

A) . A₂

X'¹

xP

®/>-l    1

xP

( lim £j)—i — o pour x = oo).

On aura pour ^4 —y₃ la forme Cp-J-f- tp—₂

C) G,

x³

X*

XP

(lim t/,-% = o pour x = oo),

et allons ainsi jusqu’à y„

Lj    I j₂

gçll—1 _/p/l

y„_t, qui pourra s’écrire

B/j—2) -t- Zp-(n-î)

.r/'

les H étant des constantes que les calculs précédents déterminent, et tendant vers zéro pour x = oo.

Finalement, si nous revenons à l’équation initiale (a), nous aurons une intégrale avec la représentation asymptotique

Hn + £« \

pour une valeur donnée (quelconque) de l’entier /i, les coefficients H étant des constantes fournies par l’analyse précédente, et tendant vers zéro pour x = oo.

C’est la représentation asymptotique analogue à celle que nous avons obtenue dans la Section précédente ; le développement indéfini

ll₂

/ ¹¹ '

h H--

sera en général divergent.

2o. Dans les calculs qui précèdent, nous avons pris (§21) linté-grale correspondant à a₀ négatif. Pour l’intégrale correspondant à ci₀ positif, une analyse analogue peut être développée, un peu plus compliquée toutefois en ce qui concerne la freprésentation asymptotique; mais je laisse au lecteur le soin d’étudier cette seconde intégrale.

J’aime mieux dire un mot du cas où les racines de l’équation

X² —}” &o X -t- b\) = o

du paragraphe 20, que nous avons supposées réelles, sont imaginaires; on suppose toujours que tous les coefficients a, b sont réels. Dans ces conditions on reconnaît que, après avoir fait les réductions du paragraphe 20, les nouvelles quantités a₍₎ et a, sont purement imaginaires (de la forme ou).

On aura donc à partir d’une équation

(2)

d²y / a\

dà^\a^ *

cly

‘ ‘ / dx

a₀ et at étant purement imaginaires.

J’indiquerai la façon dont les approximations successives doivent ici être dirigées. Envisageons l’équation linéaire du second ordre ayant les deux solutions

elle est de la forme

d² y y-— -H- I

dx- \ x

Désignons par P (a?) le coefficient de ⁽-~ dans cette équation.

et e~aox~ai‘,

d₃

x²

dv

-r- = o.

CHAPITRE XIV.

Notre équation (S) pourra alors s’écrire

dy

-F-

dx

x-

dx2 K ' dx

On commence par rechercher l’intégrale de l’équation

se réduisant à h pour x = -f- oo, en supposant comme plus haut que

f .f(x) dx

ait un sens. Cette recherche simple étant laite, les approximations sont indiquées d’une manière générale par la relation

dy n— i

d²yn

der²

x-

dx

x-

II n’y a aucune difficulté pour la convergence, les fonctions e~(,*x et x~ai restant de module fini pour x très grand. On arrive ainsi à deux intégrales représentées asymptotiquement.

26. On pourra faire une application immédiate de ces derniers résultats à l’équation de Bessel

d² Jv i dh, dx- x dx

L’équation en X est ici

L’équation en

u. (§ 20) est

On a donc deux représentations asymptotiques

erix

• el -j=

V x

[>'-A

les H' étant conjugués des H. En revenant à des intégrales réelles on a l’intégrale

Jx

(?»

. .J sina?J,

où a₀ et sont arbitraires. Il est clair d’ailleurs que les séries entre parenthèses sont divergentes, et donnent seulement des représentations asymptotiques, au sens où nous l’avons entendu dans tout ce qui précède. On voit que toutes les intégrales tendent vers zéro pour x — y-ce.

Cette forme asymptotique est très propre à étudier les très grandes racines de l’équation

JvO) =

O.

On voit aisément que toutes ces racines sont réelles, et l’équation peut s’écrire

xu

ta ri g x

C’est donc, à peu près, pour les grandes racines, l’équation

tanga? — 1<₀,

et l’on établira, comme conséquence de ces indications, que,

x,, et x/)+l

étant deux très grandes racines consécutives, la différence

X j) y-1    X p

se rapproche indéfiniment de -, quand p grandit sans limites.

V. — Étude d’une équation récurrente; théorème de M. Poincaré.

27. Nous terminerons en disant quelques mots d’une question présentant une grande analogie avec quelques-uns des problèmes étudiés au cours de ce Chapitre.

m occuper

On a des relations récurrentes entre un certain nombre de coefficients des développements en séries entières des intégrales d’une équation linéaire ayant pour coefficients des polynômes. Aussi est-ce d’un problème très important concernant ces suites que je vais . Nous allons nous borner à une relation récurrente entre

et un,

soit

où je suppose que les P sont, des polynômes en n de degré p₁ soit

P₀ = anv -+-..

Pj bni>

P₂ = cnP

et l’on suppose que P₂ ne s’annule pour aucune valeur entière et positive de n. En fixant les valeurs de u₀ et ut, on calculera de proche en proche tous les u.

Nous allons chercher la limite de

/O;-1-1

Un

(pour n — oo).

C’est un problème que s’est posé M. Poincaré ( ' ), dans le cas général d’une relation entre un, u„+l, ..., un+p. Exposons son analyse, en la précisant et lui donnant plus de rigueur, dans le cas particulier indiqué.

S'il y a une limite, celle-ci est manifestement racine de l’équation

Po

pour n = oo, c’est-à-dire de l’équation

c z-->r b z + a — o.

(A)

Supposons que l’équation (A) ait ses racines a et j3 de modules distincts, et soit

Nous allons montrer que ta limite (pour n = oo) de

U/i-+ 1

Un

sera en général a, et exceptionnellement [3. Si nous écrivons

Un-i-i

Un

= P»,

nous avons

Po

P2 P//4-1 P1 H--— O.

Posons

X„ =

ce qui nous donne

n-f-1 —

- + P1+P«

X;(-.

"X ri

En résolvant par rapport à X„a,, on trouve

£X„-a

= o.

c*X! «

les £ et les r, étant très petits avec — •

Soit M un nombre positif fixe, pris aussi grand qu’on voudra ; on peut prendre n assez grand pour avoir

z( I -f- s)

z'

—t— VJ -4— T\' Z

|z| étant plus petit que M, et h étant un nombre donné plus grand que un, mais tel que

la limite du premier membre est en effet |^| pour n = oo.

Donc M étant choisi, et n étant pris assez grand, conformément à la condition précédente, s’il arrive que, à partir de cette valeur de n,

I |

soit moindre que M, on aura

i <Ü X„ h <7 |X„ ,

Alors, à cause de cette inégalité, X„ tendra évidemment vers zéro; par suite, vn tendra vers a.

On n’échapperait à cette conclusion que si M étant choisi, et la valeur correspondante de n en résultant, il arrivait que |X„| fût toujours supérieur à M ; mais alors dans ce cas X„ devrait grandir indéfiniment. On aurait donc

lim X/? ■= x,

28. Un cas très simple est celui où les P sont des constanles (p = o) ; le résultat est alors intuitif, car l’équation entre X„ et Xw+f est alors

(S

"CC

CD

en

H- .

CD

en

Cl-

CD

CQ.: ÎS

a = o.

cs!+ b z

Gomme

zéro.

cCLI K

< i, ou bien Xw esl tou jours infini, ou bien il tend vers

On voit en outre, sur cet ensemble particulier, que le cas où

Q3L! «

esl de tout autre nature. Ainsi, soit

« -ce

on aura

X,,+i =

Donc, quand n augmentera indéfiniment, il n’y aura pas de limite, si le rapport

est incommensurable.

29. M. Poincaré a fait une application remarquable de son théorème à l’étude des développements en séries de polynômes. Soient

Uo,

«1, •

Un,

des polynômes en x, liés par une relation de récurrence

un+2 + U un+\ "+" F*o un —

les P étant des polynômes en n et x. On considère une série de la forme

(0

u„

racine d’une certaine équation, racine appelée plus liant a. Envisageons alors la série de puissances

(2)

Ao —A ] t —i—... —t— A/; t'¹ —(—....

Elle a

un rayon p de convergence. La condition de convergence pour ( i ) sera en général

a I < P-

Si, en effet, cette condition est remplie, la série (i) convergera; car, à partir d’une certaine valeur de /*, on aura

— <p'<p,

u„

Un-1-1

p' étant compris entre a et o, puisque luxer les idées, ceci commence à n = o, on déduira des inégalités

M,j

a pour limite a. Si, pour

un

l’inégalité

Un-1

<P'

Donc la série (i) aura ses termes de modules moindres que ceux de la série

’n \ ■

| «O A„ p

par suite, elle convergera. Si, au contraire, on a

; 2 ; > p,

un raisonnement analogue montrera la divergence. La courbe Limitant la région de convergence sera ainsi

| a | = p.

30. Prenons, comme application, le polynôme

u„ — (a? -H V/M’²— i )" -F- (a? — \/a?²— i )". On établit facilement la relation récurrente

L’équation donnant a est donc 424 CHAPITRE XIV. — SUR CERTAINES CLASSES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Pour x complexe, on prend la racine

i,

y/.r² —

de plus grand module. Or on a

a H--= ix.

Nous avons déjà rencontré (t. Il, p. 3 f 4) cette transformation entre a et x. A la circonférence de rajon /• dans le plan de la variable a correspond une ellipse, ayant les foyers — i et H- i dans le plan de la variable x.

La courbe | aj = p est donc une ellipse dans le plan de la variable x.

Les polynômes de Legendre se traitent aussi bien aisément. Le polynôme u„ est donné par

u-n =

2" i.2...n

d," (x²—i )«

dxn

On a la récurrence

nu„ — (2n — i)xun-\ -+- (n —i)un-₂ =

L’équation donnant a est encore

a²— 2 a a: -f-1 = o,

et les courbes correspondant à la limitation de la convergence d'une série de polynômes de Legendre

Ao -4- Ai ii\    A„ ufi

sont encore des ellipses homofocales.

CHAPITRE XV.

SUR QUELQUES CLASSES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES INTÉGRA R LES.

I. — Équations à coefficients constants.

1. Nous allons indiquer dans ce Chapitre quelques classes d’équations intégrables. Déjà nous avons trouvé, en appliquant la méthode de Laplace (Chap. XIV, § 15), la forme des intégrales des équations différentielles à coefficients constants ; ce type est le premier dont Euler ait donné l’intégrale générale.

Reprenons cette question pour la traiter d’une manière plus élémentaire. Soit l’équation à coefficients constants

d'"~xy

-h a |

d'»y

dx'n~x

a,> dx'n

En posant y — ezx et faisant la substitution dans le premier membre de cette équation, il vient, comme résultat de la substitution,

ez*f{z),

oùf(z) désigne le polynôme

f(z) — ao z"¹ -i- ai zm~l

On voit donc que, pour avoir une solution ezx de l’équation proposée, il suffit que z soit racine de l’équation caractéristique

/fs) = O.

Supposons d’abord que cetle équation algébrique de degré m ait toutes ses racines distinctes : on obtiendra tri solutions distinctes de

l’équation proposée en prenant pour z les ni racines de l’équation caractéristique, soit a,, a₂, ..., a/w. Pour s’en assurer, il suffit de considérer le déterminant formé par ces ni solutions et leurs m — i premières dérivées. Ce déterminant, en désignant par s la somme des racines de l’équation caractéristique, peut s’écrire

esx

a*

al

— esx II ( a,-— (Xk).

“S

"’S

Il n’est pas nul, puisque toutes les racines sont distinctes, et, dans ce cas, la solution du problème est complète.

2. Supposons maintenant que l’équation /(s) = o ait une racine multiple a d’ordre p ; nous aurons bien encore la solution <MT, mais les [considérations précédentes ne nous donnent que cette solution. Cherchons à exprimer y à l’aide d’une fonction de la forme

y = v ,

où v désigne une fonction inconnue de x. On trouve immédiatement que le résultat de la substitution dans l’équation proposée est

/'6') ( oc ) dPv

1.2.../» dx!‘

exx

["

dv

a)P + /.,a)_

-]

et, comme

puisque la racine a est d’ordre p, on voit qu’on satisfera à l’équation proposée en prenant pour e un poljnome arbitraire de degré p — i,

-i

v = 0*o •+■ Cj x —f-... -+- Gju— i xi’

où les C sont des constantes arbitraires. V la racine multiple d’ordre p correspondent donc p intégrales particulières, et, dans tous les cas, que l’équation caractéristique ait des racines simples ou des racines multiples, on trouve ainsi m solutions particulières de l’équation linéaire. Mais, pour que la solution du problème soit complète, il importe de montrer que ces m solutions forment bien un système

fondamental, c’est-à-dire qu’il ne peut exister de relation linéaire et homogène entre ces m

solutions ( ' ).

d. Considérons donc les racines distinctes a,, a₂, ..., a;i ayant des degrés de multiplicité quelconques; nous aurons prouvé que les m solutions précédentes sont distinctes, si nous démontrons qu’il ne peut pas exister une relation identique de la forme

(A)

P,    P₂ -4-... Pn e*nx — G,

ou Pf, IÇ, ..., P„ désignent des poljnomes entiers en x, sans que les P soient identiquement nuis. La démonstration est immédiate dans le cas n — 1 et n — a.

a une racine

Si n = 1, c’est-à-dire si l’équation caractéristique multiple d’ordre m, la relation linéaire et homogène précédente prend la forme

C1 r ( —|— G] X -4- . . . —|—    Xln 1 ) = O,

= o.

ce qui exige C„ = Cf = ... = Cm_

Si n = 2, on devrait avoir ce qui est impossible, car on aurait alors

⁻pT

e(aa-a,)x ₌

Or une fonction rationnelle ne peut être égale à une exponentielle qui est une fonction périodique et admettant un point essentiel à I infini.

Il nous suffît maintenant de démontrer que, si une identité de la forme (A) est impossible pour n — 1 exponentielles, elle est aussi impossible pour n exponentielles.

En posant

a* — aj = (3*-

légalité

Pt    . .-h P„ e«nx— o

(*) Ce point a déjà été établi d’une manière indirecte à propos de la méthode de Laplace; la démonstration du paragraphe suivant est plus élémentaire et plus directe.

Pt -H P₂ eP>x    P„ ePn-i* = o,

devient

et, dans cette identité, toutes les lettres ,3 sont différentes de zéro et différentes entre elles. Si p.— i est le degré de P,, différentions u. fois cette identité; le terme P, disparaîtra, et nous devrons avoir identiquement

«Pi

dp-1 p₂

dxP

dxP-¹

■K

Dans cette identité, le nombre des [3 est égal à n — i, les coefficients des exponentielles sont des poljnomes en x, qui devront être identiquement nuis, puisque le théorème est supposé établi pour n — i exponentielles. Donc P₂ est un polynôme qui doit satisfaire à l’équation différentielle à coefficients constants

dxP

dp-¹ P₂

dxp-¹

— o,

dont l’équation caractéristique est visiblement

La solution générale de cette équation est

€ Go —H Gjx    Gu.—ixP ¹ ).

Elle ne peut se réduire à un polynôme, puisque (3, est différent de zéro, que si tous les C sonL nuis. Donc P₂ est identiquement nul. Il en est de même des autres polynômes, et le théorème est démontré.

4. Au lieu d’une seule équation, considérons un système d’équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre à coefficients constants

dy

—awy\ ai2y-2 -+-... -h &\mymi

ci y 2

dx ~    ~P ■ • •-P aî/nym, dy ni _

429

C’est le cas qui se présente en Mécanique lorsqu’on étudie les petits mouvements au moyen des équations de Lagrange et en se bornant aux termes du premier ordre.

On a un système de solutions en posant

y₂= A₂éA*,

où les A désignent des constantes et \ un nombre convenablement choisi.

En elïet, en substituant dans les équations proposées et supprimant il vient

A1 (1 — X ) -t- A₂ci 12

Aj a₂1

Hh . . . —{— A tu CL\ni

-+■ A-₂(<Z₂₂— X) . • -+- Amaïm

= O,

A1 Cl ni j

+ A ₂ a„,2

-t-. . Am(a,

il m

— X) = O,

ce qui exige que A satisfasse à l’équation caractéristique de degré ni

Cl un

Cl 2 m

= O.

Cl /ni

ci/112

-X

Si les ni racines de cette équation sont distinctes, à chacune d’elles correspondra un système de valeurs pour A,, A₂, ..., Aw et, par suite, un système de solutions poury,,y₂, . • •,ym- Aux m racines distinctes correspondent donc m systèmes de solutions particulières.

5. Supposons maintenant que l’équation/(À) = o ait des racines multiples. Pour traiter ce cas de la manière la plus rapide, nous reviendrons aux expressions de y, ,jy₂, ..., ym par des intégrales de la forme

Ap

= Ç Vi{z)ezxdz

prises le long d’un contour fermé, et dans lesquelles les v sont des fonctions à déterminer.

Substituons dans les équations différentielles ; nous aurons /// inté-

43o

CHAI’ITRK XV.

grales qui devront être nu lies :

y 0i(«i

-+• . . • -+• Vm Cl\ fn j ezx dz = O,

“H Vo ( «22- 2 ) -+-. . . V0-2111 ] 6zx dz — O,

y [fiami

H-    amq

t/«

— z)]ezx dz = o.

Ces équations seront satisfaites si l’on prend pour e,,^, v,n des fonctions telles que les multiplicateurs de ezx se réduisent à des fonctions holomorphes de z à l’intérieur du contour le long duquel on intègre. Nous pourrons, par exemple, déterminer les fonctions v à l’aide des ni équations linéaires non homogènes

v >na\m

-T- Vï( «22 — Z ) -t- . . . -i- V «2//1

r,(«n — z) -t-1>2«12 «21

= **(*),

= »,

VyOnn

V/n ( omm-Z ) — O,

où P (s) désigne une fonction holomorphe arbitraire.

Le déterminant des coefficients de ces équations est précisément f(z), et, si l’on désigne paréo (z), ..., ùm(z) les mineurs du premier ordre, correspondant à la première ligne, on tirera des équations précédentes

tym(z) PQ) _ /(*)

P(*)

/(*)

11 reste à fixer le contour d intégration. Soit a une racine multiple d’ordre p de l’équation caractéristique

ViO) =

f{z) - o :

nous considérons un contour C n’enveloppant que cette racine. Nous avons alors à calculer, pour obtenir les y, les résidus des onctions v. On trouve ainsi immédiatement, pour la fonction e, par exemple, que ce résidu est de la forme

gax [ a i Ri (a?) -t- Aï R j (a? ) -f-... -+- Ay, Hya (*r )Ji

où les R désignent des polynômes déterminés en x de degré p — 1. On pourra donc poser

et Ion aura pour    ym des expressions semblables, avec les

mais avec d’autres polynômes R. une racine multiple d’ordre p du poly-caractéristique correspondent p systèmes de solutions.

mêmes constantes arbitraires A.

O11 voit donc ainsi qu’à nome

II. — Sur une classe d’équations à coefficients rationnels et à intégrale générale uniforme.

6. Nous allons considérer maintenant une équation à coefficients entiers,

(I)

Po

d"¹ y

dx"‘

Pl

d'H—Xy

dxm~¹

■+" • • • •+“ Pmy — °)

où les P sont des polynômes en x, dont le degré est au plus égal à celui du premier d’entre eux, P₀.

On suppose que l’intégrale générale est uniforme, et que tous les points singuliers à distance finie appartiennent à la classe particulière étudiée par M. Fuchs (Cbap. XI, § 9). Seul, le point à l’infini peut présenter une singularité essentielle.

Halphen a donné, au sujet des équations précédentes, une proposition très intéressante, que nous allons faire connaître ('). Remarquons de suite que si l’on pose

fonction rationnelle, l’équation différentielle en z

R(.r) étant une

restera de même forme, c’est-à-dire que ses coefficients seront encore des polynômes, le premier étant de degré supérieur ou égal à celui des autres. Cela, étant, on peut fixer a priori les pôles xt, x2: ■■ . de toute intégrale, et leurs ordres maxima de multiplicité, que nous désignerons par p.,, ut₂, .... Si l’on fait alors la transformée

(x — Xi )!Ai(x — x₂)V-i...

(!) Ces équations ont été considérées par Halphen dans une Note des Comptes 238); il les avait regardées d’abord comme un cas limite des

rendus (t. CI, i885, p. équations à coefficients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme, et les a ensuite étudiées à un point de vue plus élémentaire.

nous aurons une

équation

(2)

cl"¹ Z

Qo^ + Ql

dxm -¹

Qmz — o,

dont l’intégrale générale sera une fonction holomorphe dans tout le plan. En posant maintenant z = Zeax, où a est une constante, on aura encore une équation de meme forme, dans laquelle le coefficient de Z est

a"lQü+ «w_1Qi -h. . .-h Q,«.

On peut clioisir a de manière que,£dans ce coefficient, le terme de degré le plus élevé en x disparaisse.

Écrivons alors l’équation en Z

(3)

Ho clxm    R/M Z — O.

Le polynôme R₍₎ est alors d'un certain degré p ; les autres polynômes R sont au plus de degré /?, sauf R,„, qui est au plus de degré p — i. On aura

R.

'J-i

— «/)

en désignant par les diverses racines de R₍>. L’équation fondamentale déterminante relative à «,■ est

r(r — i)...(/* — rn -i- i) -+- xt-/• ( r — !)...(/• — m + 2)    . .. = o.

Ro

(X

La somme de ses racines est

*/•

m (ni — i )

Puisque l’intégrale générale est holomorphe autour de x — a/, ces racines sont nécessairement entières, non négatives et inégales (sans quoi il y aurait des logarithmes dans les développements). Leur somme est donc au moins égale à

ni ( ni — i)

ou

o + i + 2+..^-(m — i)

Donc a/ est un entier négatif ou nul et, par suite,

£ *i= o,

la sommation s’étendant aux différents points singuliers at.

Ceci posé, supposons que Rw ne soit pas nul identiquement. En posant ^ = Z', on a

H₀

A?"*-> Z'

dxm~l

-+• • • • ■+■ R/«—1 Z' -t- R/k Z — o,

et, en difïerentiant,

Ho

a?"* Z'

dx

-t- (R'o-t- Ri)

a?"*- ¹ Z'

dxm~-x

-+-... -l- R',„ Z — o.

L’élimination de Z entre ces deux équations donne

(4)

Ro R/

a?"« Z' n dx"’

-+- [( Rq -+- Ri ) R/« — R₀ R/«]

dm-'7J

dxm~l

et cette équation est toujours du même type. Le rapport des deux premiers coefficients est dans cette équation :

R. ,

Ro Ro R/n

i    R'

Le coefficient de — dans le développement de ^ est égal à /?, et R'

dans il est au plus égal à p — î, puisque est au plus de de-

R ni

gré p — i. Donc, pour l’équation (4) en Z', si l’on forme la somme analogue à Sa/, on trouvera une somme supérieure à celle que l’on a trouvée pour l’équation (3) en Z.

On pourra raisonner sur l’équation (4) comme on a raisonné sur l’équation (3), pourvu que le dernier coefficient ne soit pas nul, et l’on continuera ainsi tant que l’on ne sera pas arrêté.

ua-

Or, on ne peut continuer indéfiniment ces transformations, car la somme désignée d’une manière générale par Sa est un entier négatif, qui augmente à chaque transformation, il arrivera donc un moment où l’on aura une équation dont le dernier coefficient sera identiquement nul ; par suite,' comme ces équations correspondent aux dérivées successives de Z, il y aura une intégrale de l’équation (3) dont la dérivée d’un certain ordre se réduira à une constante. L’éq tion (3) admettra donc un polynôme comme intégrale partculière, et, par suite, en revenant à l’équation (2), en tenant compte du facteur exponentiel, on aura une intégrale de la forme

eax G(#),

G(sc) étant un polynôme. P. — III.

Et nous avons enfin, pour l’équation donnée (i), une intégrale de la forme

eaxS(x),

S(x) étant une fonction rationnelle.

7. Nous pouvons maintenant démontrer facilement le théorème d’Halphen, d’après lequel un système fondamental d’intégrales de Véquation (i) est, sous les conditions indiquées, formé par les fonctions

eaix Sl(x), ea2xS₂(x),    eamxS„t(x),

les S étant des fonctions rationnelles et les a étant des constantes qui ne sont pas nécessairement distinctes.

Admettons que le théorème soit établi pour une équation d’ordre m — i ; nous allons le démontrer pour une équation d’ordre m. Cette équation admet, d’après ce qui précède, une intégrale de la forme

yl — eaix Si(x);

si l’on pose

= Y\ J a dx,

l’équation en u sera d’ordre m — i, elle appartiendra au même type, et son intégrale générale sera uniforme, puisque

dx

te)-

Soit donc une intégrale de l’équation en u, de la forme

èKX S (a;),

S (a?) étant rationnelle ; il correspondra, pourjy, une intégrale

x.

y — jKi j'e>x S (x) d,

Cette fonction y doit être uniforme ; or, en faisant la réduction d’une intégrale

J'e^x S(x) dx,

on sait qu’on est conduit à une fonction de la forme

SUR QUELQUES CLASSES D ÉQUATIONS LINÉAIRES INTÉGRABLES.

o;

cm

S étant rationnelle, et à une somme de termes de la forme

• •)

^ r é^x dx g Ç e>'x dr

J x — a J x

les coefficients A, B, ... étant des constantes; si tous ces coefficients ne sont pas nuis, nous aurons des termes logarithmiques dans les développements et, par suite, l’intégrale ne sera pas uniforme. Aux m — i intégrales de l’équation en u, formant par hypothèse un système fondamental, correspondent par conséquent m — i intégrales de l’équation en y qui, avec y,, forment un système fondamental de cette dernière équation, et le théorème est démontré.

8. On peut adjoindre bien aisément au théorème d’Halphen une réciproque. Considérons une équation linéaire dont un système fondamental serait formé par les m fonctions

ea.*S,(>), ea*xS₂(x), ..., ea»,x S/n(x),

les S étant des fonctions rationnelles et les a des constantes qui ne sont pas nécessairement distinctes. Il est évident que ces fonctions, supposées linéairement indépendantes, satisfont à une équation linéaire d’ordre m, dont les coefficients sont rationnels. En mettant les coefficients sous forme entière, ces coefficients deviennent des polynômes, et l’on a alors une équation de la forme

Po

d"‘Y

dm~x y

dx"¹

dx"l~l

-h ... -4- Pmy — o,

les P étant des polynômes. Il faut prouver, et ce sera la réciproque du théorème d’Halphen, que le degré de P₀ est supérieur ou égal aux degrés de Pt, . •., P

Le théorème est immédiat pour m= i, car, si

y = ea'x Si (x),

on aura

dy

dx

- — Cl i -f-

S' (x)

Si (a?)

U S' (x)

Or, si S, (x) représente la fonction rationnelle y,    est égal à

L.V

1 n’y a pas de terme en z pour z — const. Or, si l’on pose

puisque l’équation doit être vérifiée

dz

et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur.

Si l’on suppose maintenant le théorème établi pour m — i fonctions de la forme indiquée, nous allons l’établir pour m fonctions de même sorte. Considérons les m fonctions

ea*xS₂(x) ea3x S₃(x)

eatxS₁(x)’ euixS₁(x) ’    eaixSi(x)

obtenues en divisant par eaixSh(x) les termes de la suite donnée. Ces m fonctions satisfont à une équation à coefficients entiers

dm z ⁰ dx"¹

(à;

HH Qi

dm i z

dx'n~¹

e“n,xSm(x)

dz

dï = U'

on aura l’équation d’ordre m — î ^ dm~l u

H" Q

d’n-^u

dx'"-‘z

H⁻... -+- Q,n-1 U — O,

qui admet pour intégrales

MW

— ( e(a₅-a,)x    V

dx \    ] et ces expressions sont de la forme indiquée. Le lliéorème étant vrai pour m — i expressions, le degré de Q₀ n’est inférieur à celui d’aucun des autres polynômes Q,, Q„t

Si maintenant dans l’équation (5), qui est du type cherché, nous posons

e“>x<àdx)'

l’équation transformée en y reste du même type, comme nous 1 avons déjà dit plus haut, et nous avons finalement l’équation cherchée en y, où le premier coefficient est d’un degré au moins égal à celui d’un quelconque des autres.

III. — Des équations différentielles à intégrale générale uniforme pour tout point d’une surface de Riemann.

Cas de p = i; équations à coefficients doublement périodiques.

9. Considérons une équation dont l’intégrale générale u serait uniforme et régulière dans le voisinage de tout point (x, y) d’une surface de Riemann définie par une équation algébrique f(x, y) = o. Les coefficients d’une telle équation, quand le premier d’entre eux est supposé égal à un, sont des fonctions du point analytique (a?, y), restant non seulement uniformes et régulières dans le voisinage de tout point de la surface, mais restant de plus uniformes sur la surface entière ; ce sont donc des fonctions rationnelles de x et y. Nous avons donc une équation de la forme

d,n u

dx"¹

+ I’i

dxm~¹

4-. . . 4— P ni M — O,

où les P sont des fonctions rationnelles de x et y. Cette équation n’est pas quelconque, puisque nous supposons que, dans le voisinage d’un point quelconque de la surface, l’intégrale générale est uniforme. L’intégrale générale n’est d’ailleurs pas uniforme sur la surface tout entière, c’est-à-dire que, si l’on part d’un point et qu’on y revienne après avoir décrit un contour fermé, l’intégrale pourra ne pas reprendre la même valeur. Il n’en serait nécessairement ainsi que si le genre p de f(x, y) = o était égal à zéro, auquel cas la surface de Riemann se réduit à un plan simple.

Traçons sur la surface de Riemann les p rétrosections (t. II, 2e éd., p. 4 ¹² et suiv.) et le contour total K, rendant la surface simplement connexe, formé par les p rétrosections et certaines lignes les joignant deux à deux à la manière d’une chaîne. La surface étant rendue simplement connexe, toute intégrale de l’équation différentielle devient uniforme si Je point (x, y) ne traverse pas le contour K. Si nous prenons deux points a et b sur une rétrosection, de part et d’autre de la coupure C, par exemple (se reporter à la figure de la page 4i5, t. Il), et que

passera de a en &, sans traverser K, se retrouveront avec d’autres valeurs, qui seront nécessairement de la forme

ciiiUi    <X\„i u„j,

#21^1 -+-«22^2    ■+- ct%m utni aml u\ -+- ann m2 H⁻ • • • + d/n/n dm.

les a étant des constantes. Une certaine substitution linéaire correspond donc à la coupure C ; il en sera de même, pour chacune des parties des rétrosections, et l’on a ainsi 2 p substitutions linéaires. Quant aux lignes joignant deux à deux les rétrosections, il ne leur correspond pas de substitutions nouvelles, c’est-à-dire que les substitutions correspondantes sont des produits des substitutions précédentes et de leurs inverses. Ainsi, par exemple, supposons, comme dans la figure de la page 435 (t. Il), que la rétrosection (CD) soit la dernière de la chaîne ; prenons deux points sur pq, dont l’un est sur un bord de cette coupure et l’autre sur l’autre bord. Désignons par S et S les substitutions linéaires correspondant respectivement aux coupures C et D, sur lesquelles on aurait marqué un bord positif et un bord négatif, ces substitutions correspondant au passage du bord positif au bord négatif; la substitution correspondant à pq s’obtiendra en faisant le produit des substitutions

S-¹,

S, S, S-s

qui correspond à la rétrosection (C, D) tout entière. Nous avons donc, pour tout chemin tracé dans le plan, à combiner les 2p substitutions correspondant aux p rétrosections. 11 y a, entre ces 2p, substitutions

Si,

(6)

"1j    S2, i-2i •••> S/j, ii pi

une relation facile à obtenir. Si l’on décrit le chemin K tout entier, la substitution correspondante doit être la substitution unité, puisque ce contour rend la surface simplement connexe.

Soit d’abord p = 2 ; en partant d’un point de la coupure pq et en y revenant après avoir décrit le contour K, nous aurons, en choisissant convenablement les sens positif et négatif sur les rétrosections,

La relation a une forme moins simple, si p est supérieur à deux ;

prenons p — 3, et supposons que les rétroseclions se suivent en chaîne dans l’ordre i, 2, 3. On aura, en dénommant convenablement les rétrosections et choisissant convenablement les sens positif et négatif,

Si Si S7¹ 27¹ S2S3S3 S3¹ S3¹22 S2¹ 27¹ = 1,

et il n’j aura aucune difficulté à obtenir la relation analogue pour p quelconque ( ' ).

Les substitutions (6) ne sont pas, en général, échangeables, c’est-à-dire que le produit de deux quelconques d’entre elles dépend de l’ordre des facteurs. C’est cette circonstance qui fait toute la difficulté de la théorie des équations précédentes et ne permet pas d’en faire une théorie simple ; aussi nous nous bornerons au seul cas où, en général, les substitutions sont échangeables, je veux dire le cas p — 1.

10. Soit donc maintenant p — 1. 11 n’y a qu’une seule rétrosection et deux substitutions

Elles sont échangeables ; c’est ce qui résulte de ce que la substitution correspondant à la rétrosection est la substitution unité.

On a ainsi

SjSiSy¹^¹ = 1,

d’où l’on déduit immédiatement

Si Si = Si Sj,

c’est-à-dire que le produit des deux substitutions et S| est indépendant de l’ordre des facteurs.

Nous pouvons donner une autre forme à 1 équation différentielle qui nous occupe 5 exprimons à cet ellet les coordonnées x et y à 1 aide de fonctions doublement périodiques d’un paramètre z. Si u désigné l’intégrale générale de l’équation, la fonction u de z sera uniforme dans tout le plan de la variable complexes, puisqu’elle était uniforme dans le voisinage de tout point (3?, y') de la surface de Riemann. Nous

( 1 ) A la fin de son Mémoire Sur les fonctions à muliplicateurs (Acta mathe~ matica, t. XIII), M. Appell consacre quelques pages aux équations qui nous occupent et indique quelques exemples.

CHAPITRE XV.

avons donc une équation de la forme

(E)

dm u

dz"¹

-vpi(z)

dz'"~l

. .-hpm(z)U — O,

les p (z) étant des fonctions doublement périodiques de z aux périodes tu et to', et l’intégrale générale étant une fonction uniforme n’ayant, à distance finie, d’autres points singuliers que des pôles.

Les deux substitutions S₍ et 2,, considérées plus haut, correspondent respectivement au changement de z ens + uets + u'; et dire que ces substitutions sont échangeables revient à dire que toute intégrale reprend la même valeur quand on change z en z u>, puis dans le résultat z en 5 + w' ou bien quand on change z en z -+• ta', puis dans le résultat z en z w, ce qui est évident puisque l’intégrale est uniforme.

11. Dans ses mémorables recherches sur quelques applications des fonctions elliptiques (¹), M. Henni te avait considéré une intégrale particulière du type (E) : c’est l’équation de Lamé

^77 = [/i(w-(-i)^²sn²^-t-AJ<y,

où sns désigne la fonction elliptique de module A", 11 un entier positif et 11 une constante quelconque. M. Hermite avait montré, par un calcul direct, que l’intégrale de cette équation pouvait être obtenue à l’aide des transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques. Le résultat qui se présente pour 1 équation de Lamé n’est pas fortuit; des circonstances analogues se présentent pour toute équation différentielle du type (E), c’est-à-dire pour toutes les équations linéaires à coefficients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme (²).

Partons donc d’une équation (E) à intégrale générale uniforme, et désignons par

/i4i

cpjO-l-w), <p,(z-Hto),    ..., cp/n(z-hw)

seront aussi des intégrales, puisque l’équation linéaire ne change pas quand on change z en _s + u>.

On aura donc

Ç>l(-S-t-lü) — Cl\ j cpi (.3) -1- a₁₂ ⁽p2('³) +• • •*+• <^lm f/n(z)i

fm(z),

m ni

fm \z “+" w    ®1 (•*» ) -+-    <p2 (<3 ) “H • • . “H Cl

les a étant des constantes. D’après le théorème fondamental relatif à la réduction des substitutions linéaires (voir p. 277 de ce Volume), on peut trouver une combinaison des cp à coefficients constants

f\(z) — *1 fi (z) -+-. . .-+- a,„ cp ,„(*),

qui se reproduise à un facteur constant près, quand on change z en z —(o. En général, on aura m combinaisons de cette forme; mais, dans tous les cas possibles, on en aura au moins une. Soit fK une telle combinaison ; j’envisage la suite des fonctions

/iO),    /lO-ï-w'), /i(z -h aco'), ..

qui sont toutes des intégrales de l’équation. Entre les n -|- 1 premières de ces fonctions, n étant inférieur ou égal à m, existera une relation homogène et linéaire à coefficients constants, puisque l’équation ne peut avoir plus de m intégrales linéairement indépendantes. En prenant pour n le plus petit nombre possible, nous aurons

fi (-S -t- n 10') = bi fi{z) -t- b 2 f\ (z -+- to') -H. . .H- bn f\\z -H (n — i)ü/],

bt étant différent de zéro, puisque autrement on aurait une relation linéaire entre les n premières fonctions de la suite. Posons

fi(z~+-M>) ⁼fï(z)i ,fi(z •+■ w ) ⁼fz(Z)l

fn— 1 (* + u') —fn{z)i

(b 1    o).

fn{z-t-w')    = b\ fi (z) -+-...-H bnfn(z)

En appliquant encore le même théorème sur les substitutions

linéaires, on voit qu’il existera une combinaison linéaire

yn(z) = [b f\(z) “H (b ./2 (-3) "+■• • •+ fn(z)i

se reproduisant à un facteur constant près, quand on change z en z-t-co'; cette combinaison linéaire ne sera certainement pas identiquement nulle, d’après la façon dont on a choisi le nombre n. D’autre part, la fonction o(z) se reproduit aussi comme /j, à un facteur constant près, quand on change z en z-j-to. Nous avons donc pour intégrale une fonction f(z), jouissant de la propriété suivante :

?(* “t" W ) = (A <s(z), f(z-hoj') = p'ï(3),

de première

ou

p. et p' étant deux constantes. M. Hermite, qui, dans le travail cité, a fait une étude approfondie des fonctions uniformes à discontinuités polaires jouissant de la propriété précédente, les appelle des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, en réservant le nom de fonctions doublement périodiques ordinaires espèce aux fonctions de cette nature correspondant à p = p' = i. Avec cette terminologie, nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui est fondamental dans cette théorie :

Toute équation E admet toujours pour intégrale une fonction doublement périodique de seconde espèce.

Le théorème précédent ne souffre aucune exception ; si l’on se borne au cas général, on pourra aller plus loin. Nous avons trouvé une fonction de seconde espèce comme intégrale de l’équation différentielle; or la méthode qui nous y a conduit donnera en général m intégrales de cette nature, et l’on peut dire par suite que les équations E ont en général un système fondamental d’intégrales qui sont des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

12. On peut obtenir facilement, dans tous les cas, la forme des autres intégrales de l’équation donnée. Soit    l'intégrale double

ment périodique de seconde espèce qu’admet toujours l’équation ; en posant

y = 'W(*) J Y dz,

SUR QUELQUES CLASSES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES INTÉGRABLES.

grale générale sera aussi uniforme, puisque

Elle admettra donc

une intégrale 'j/₂ (z) doublement périodique de seconde espèce, et l’on continuera ainsi de proche en proche, de telle sorte qu’on obtient le système fondamental

Y\

= <W(*) J tyt{z)dz,

y»

=    f tyi(z)dz I~<\ia(z)dz,

..............................?

¹

Cu. Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques ( Comptes rendus, années 1877 et suiv. ).

(²) E. Picard, Comptes rendus, 21 juillet 1879, 19 janvier et 16 février 1880, et Journal de Crelle, t. 90. Voir aussi le Tome II du Traité des fonctions elliptiques d’Halphen, et le Tome III du Cours d’Analyse de M. Jordan.

=    J” ùi(z)dz J'J <bm{z)dz, 4*i, 4s? • • -5 4m étant des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

13. Si l’on veut aller plus loin, il est nécessaire d’introduire les transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques. Je renverrai, pour l’étude de ces transcendantes, au Cours lithographié de M. Hermite ou au second volume de ses Œuvres (Note ajoutée au Traité de Lacroix).

La fonction H (z) de Jacobi va jouer le rôle essentiel; c’est une fonction entière de z satisfaisant aux deux identités

H(2 + o)')=— H(z)e

tu et g/ étant les deux quantités que Jacobi désigne par 2 K et 2 f K'.

M. Hermite a montré comment on pouvait décomposer en éléments simples toute fonction doublement périodique de seconde espèce. Considérons une telle fonction F(.z) dont les multiplicateurs p. et p/ ne puissent être mis sous la forme p. = eAw, p/=eAtü', en désignant par h une constante convenable ; l’élément simple est alors la fonction

H ( z -f- £2 ) e^ z _

H(z)

As) =

44    CHAPITRE XV.

on peut choisir les constantes il et \ de manière que les multiplicateurs de cette fonction, qui est une fonction doublement périodique de seconde espèce, soient p. et p/. On aura alors

(7)

F(z) — 2[Ao/(-3 — a) H-...-t- Aal)a/’(^ — a)],

la sommation s étendant aux différents pôles a de F dans un parallélogramme (o), gj') ; les A sont des constantes et le symbole Da désigne une dérivée d’ordre a.

Dans le cas particulier où l’on a

[1/ _

M. Mittag-Leffler a montré que cette formule devait être modifiée (*) ; on a alors, comme élément simple,

h co

[jt. = e

/(*) =

H'(-z)

ehz,

et il vient

(8)

F(z) = a₀ehz-+- Z,[A₀f(z — a) +...+ Aa Da/(.s — a)];

dans cette expression les A ne peuvent pas être des constantes arbitraires ; on a la relation

2 ( A₀ H⁻ A\ h ~j—.. * —j— A(Xh*)e    = o.

Ce résultat s’applique en particulier pour /i = o, cas où la fonction est doublement périodique de première espèce.

La dérivée logarithmique de H(,z) se présente constamment; 011 la désigne par Ç(.s).

En posant donc

Ç(*) =

H '(z) H (z)³

on aura

to) — Ç(z),

7; étant une constante.

14. Nous avons dit qu'en général on aurait pour une équation E un système fondamental formé d’intégrales de seconde espèce. 11 est

^f(s) et ^₂(.s) étant des fonctions de seconde espèce. Nous devons nous rendre compte de la nature de l’intégrale y₂ qui, par hypothèse, est uniforme.

Si les deux multiplicateurs de <j>₂ ne sont pas de la forme eAw, eAto/, on devra, dans la formule (8), avoir tous es A₀ égaux à zéro, sinon l’intégration donnerait des logarithmes, et l’on pourra prendre, par suite,

AaD«-‘/(s —a)].

f'tyi(z)dz = 2[Alf(z — a)-h.

L’intégrale y₂ sera, comme y, une fonction de seconde espèce : c’est le cas général.

Supposons maintenant que les multiplicateurs de <|/₂ soient ehu) et alors sera <Je la forme (8), et, si nous supposons h =zéo, on aura d’abord les A₀ nuis, puis l’intégration donne

avec la relation

intéressant de rechercher dans tous les intégrales.

Prenons une

l avons vu, deux intégrales

y i =

445

cas possibles la formule des

équation E du second ordre ; on a, comme nous

= 'M-³) J<M³) dz->

2(A,-+-..Aa/i«-i)e/ta= o.

) ■

L’intégrale y₂ ainsi obtenue sera encore une fonction de seconde espèce.

Il ne nous reste plus qu’à considérer le cas h — o ; on a alors tyi(z) = ao-+- S[ A₀ Ç(z — a) -h.. .H- Aa D« Ç(z — a)].

Tous les A₀ devront être nuis pour que l’intégrale soit uniforme, et nous aurons par suite pourjy₂ un polynôme du premier degré, par rapport à z et aux Ç(z — a), avec des coefficients qui seront des fonctions doublement périodiques. Comme d’ailleurs la différence

Ç(z-a)-Uz)

est manifestement une fonction doublement périodique, nous pou-

vons dire que V intégrale y₂ se présente sous la forme dé un polynôme du premier degré en z et Ç (z) dont les coefficients sont des fonctions doublement périodiques aux mêmes multiplicateurs.

15. Considérons maintenant une équation E du troisième ordre ; nous avons les trois intégrales

=    j''h dz,

= lu fh dz f ^3 clz,

tj/,,    'j/₃ étant des fonctions doublement périodiques. Nous connais

sons la forme analytique des deux premières; nous avons à rechercher la forme de y₃ supposée uniforme.

L’expression

C<|/₃ dz

est uniforme ; si elle est doublement périodique (de première ou de seconde espèce), nous sommes ramené au cas précédent. Dans le cas contraire, cette expression sera, d’après ce qui précède, de la forme

(9)

P + Q Ç(z) + R^,

P, Q, R étant doublement périodiques, et l’on peut admettre que 5 = 0 n’est pas un pôle de Q et R, car, s’il en était autrement, il suffirait de remplacer z par a-f-5, a étant une constante arbitraire, pour réaliser la circonstance que nous venons de dire. On peut en outre supposer que tout pôle a de l’expression (9) est distinct de zéro. Nous avons donc à chercher la nature de l’intégrale qui est une fonction uniforme. Soit a un pôle de (9), et désignons par />, cp r les résidus correspondants de P, Q, R. On devra avoir nécessairement

p -f- «7 Ç(a) —h ra = o,

et, comme a-\~oi sera aussi un pôle, on aura pareillement p -+- q £(«) -+- r(a -+■ w) = o.

On en conclut /- = o, et, prenant ensuite le pôle a-\-io': on aura p + q[K(a) h- -n] = 0;

donc /> = o, <7 = 0. Les résidus des fonctions Q et R sont donc nuis pour tous leurs pôles, et l’on peut, par suite, écrire

O —

Q“ dF’

_ rfR,

Qi et R, étant uniformes. L’intégrale cherchée devient donc

dz ;

elle est ramenée, en intégrant par parties, à

f [P-Qi

Si Q et R sont des fonctions de seconde espèce, nous pourrons prendre pour Q, et R, des fonctions également de seconde espèce, et nous aurons par conséquent une intégrale du type déjà étudié ; y₃ est encore un polynôme du premier degré en z et Ç(~) à coefficients doublement périodiques.

Si P, Q et R sont des fonctions de première espèce, Q, et R, sont de la forme

az -+- b Ç(z) co(z),

a et b étant des constantes et o(z) une fonction doublement périodique de première espèce. Notre intégrale prend alors la forme

A, B, C, D étant des constantes, et y (z) une fonction de première espèce. L’intégration par parties nous donne des termes en

et il reste une intégrale de la forme

f[X Z(z)-{- <{<(*)] dz,

A étant une constante et tb(z) une fonction de première espèce, intégrale qui se réduit elle-même à un polynôme en z et Ç(s),

En résumé, U intégrale y₃ se mettra sous la forme d’un poly-nome du second degré en

z et Ç(z)

dont les coefficients sont des fonctions doublement périodiques de z aux mêmes multiplicateurs.

Le théorème que nous venons de démontrer pour m = 2 et m = 3 est général, et il a été démontré pour la première fois par M. G. FJo-quet dans toute sa généralité (') ; on peut l’énoncer ainsi :

Dans tous les cas, Vintégrale générale d'une équation E, d'ordre m, pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en z et Z, (z) de degré m — 1, les coefficients de ce polynôme étant des fonctions doublement périodiques aux mêmes multiplicateurs. On peut l’établir en procédant de proche en proche, comme nous l’avons fait pour m = 2 et pour m — 3 ; nous ne nous y arrêterons pas.

16. Comme exemple d’équation E, nous devons reprendre l’équation, déjà citée, de Lamé sous la forme que lui donne M. Hermite,

[n(n -t-1)/c² sn²^ -f- h J y = o.

d\y

dzi

On voit aisément que l’intégrale générale de cette équation est uniforme. Les périodes sont ici 2 K et 21K', et il n’y a pour le coefficient de y que le seul pôle /K/ dans le parallélogramme des périodes. Les racines de l’équation fondamentale déterminante relative au point «'K sont

et n -t- 1.

D’après les théorèmes généraux de M. Fuchs, il y aura une intégrale correspondant à la plus grande racine, c’est-à-dire de la forme

yi = (* — ï'K')*+» <K-)>

(L (z) étant holomorphe, différent de zéro pour z = i¥J et ne renfermant que des termes d’ordre pair. Pour la seconde intégrale y₂, il pourrait y avoir un logarithme, puisque la différence des racines de l’équation fondamentale est un nombre entier ; mais il est aisé de voir

(’) G. Floquet, Comptes rendus, t. XCVIII, p. 82. On pourra aussi consulter à ce sujet le Tome II du Traité des fonctions elliptiques d’HALPHEN (p. 542).

qu’il n’y en a pas. On a, en effet, l’équation n’ayant pas de terme

dy en -j- ? dz

di y,    d² v»

~=°'

d’où l’on conclut

y*=y i

" C dz

~7T’

G étant constante. Puisque yJ ne renferme que des termes d’ordre pair, l’intégration ne pourra donner aucun logarithme. L’intégrale générale de l’équation de Lamé est donc uniforme.

Indiquons, sans approfondir ce sujet qui nous mènerait trop loin, la marche à suivre pour trouver l’intégrale. Nous savons que l’on peut donner à l’intégrale la forme

A-o /(s — i’K') + ...+ A„_j Dn~¹f(z — iK')

en posant

H(*)

/(*) =

Q et X étant deux constantes, pour le moment arbitraires. En substituant cette expression dans le premier membre de l’équation différentielle, on aura, en posant 3 = «K/-|-s et développant suivant les puissances croissantes de e, les termes à exposants négatifs en

e-‘.

g—(ra-t-2) g—(«-t-1)^

Le premier terme disparaîtra de lui-même, puisque c’est en l’annulant qu’on a obtenu l’équation fondamentale déterminante. Il restera donc n -f- i relations homogènes et linéaires en A, dont les coefficients dépendront de X et de Q. On est donc conduit à deux équations en X et Q ; et ceux-ci ayant été choisis, on aura le rapport des A. Nous avons écrit que le premier membre de l’équation différentielle, après la substitution, est une fonction doublement périodique de seconde espèce, qui n’a pas de pôle; il se réduit donc nécessairement à zéro et l’on a alors une intégrale. On démontre ainsi, pour l’équation de Lamé, l’existence d une intégrale fonction doublement périodique de seconde espèce, et l’on a, en même temps, une indication des calculs à faire pour la recherche effective de cette intégrale. Soit F(,z) l’intégrale précédente; F( — z) sera aussi une intégrale, puisque l’équation ne change pas quand on change 2 en —s; si h P. — III.

est arbitraire, cette seconde intégrale sera distincte de la première, et l’on a alors les deux intégrales fonctions doublement périodiques de seconde espèce

F(-z) et F(—z),

qui donneront l’intégrale générale de l’équation de Lamé. Soit, par exemple, n— i, c’est-à-dire l’équation

= (2/c² sn².s 4- h)y.

En effectuant les calculs qui viennent d’être indiqués, M. Hermite trouve

F(z) =

©’(Û)

H(*4-Q)g 0(ü) ^

&(z)

Q étant donnée par l’équation

A + 1 + /c²— /c² sn²t2 = o;

@(^) désigne une des fonctions introduites par Jacobi en même temps que H(^) dans la théorie des fonctions elliptiques.

Je citerai encore l’équation du troisième ordre, que j’ai indiquée autrefois (Comptes rend us, 1880) et qui a donné le premier exemple d’une équation d’ordre supérieur au second intégrée au moyen des fonctions elliptiques

⁺(7< - ê/c²sn²z)^ -+-A,j = o,

h et /t, désignant deux constantes quelconques. On démontrera aisément que son intégrale générale est uniforme. Trois de ses intégrales auront la forme

0'(to)

<à(x)

0 (<D)

\ et <0 étant des constantes convenablement choisies. La substitution de y dans l’équation différentielle donne les relations suivantes, qui servent à déterminer \ et 10 :

h — (1 4- /c²) 4- 3(X²— /c² sn²to) = o,

1X³ — 6À k² sn² w 4- 2X(i 4- A'²) — 4 k- sn 10 en co dn to —    = o.

SUR QUELQUES CLASSES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES INTÉGRABLES.

L’élimination de A entre ces équations donne

(E)

h !    8 /4/c² snw cnw dnw + M sn²o> -+- N = o;

M et N sont des polynômes en h, dont la forme se simplifie beaucoup quand on pose, comme l’a fait M. Hermite pour l’intégration de l’équation de Lamé (dans le cas de n = 2),

h = 4(M- A'²) — GA² sn²«.

On a alors

IVI = 16 A⁴[3A² sn⁴a — 2(1    /c²) sn²a -1- 1],

N = i6A⁴ sn⁴ a(i -+- À²—2k- sn²<?).

Le premier membre de l’équation (E), considéré comme fonction de (o, est une fonction doublement périodique aux périodes 2 K et 2iK', ayant l’infini triple NK/. L’équation (E) a donc trois racines dans le parallélogramme des périodes, et l’on obtient bien ainsi trois intégrales de la forme indiquée. En faisant A, = o, on retombe sur les calculs relatifs à l’équation de Lamé pour n = 2.

On trouvera dans les Applications des fonctions elliptiques de M. Hermite (§ XXXV1H) d’autres exemples, dus à M. Mittag-Leffïer, d’équations d’ordre supérieur au second rentrant dans la classe qui nous occupe.

17. Je terminerai ce Chapitre, en considérant avec Halphen une classe d’équations à coefficients doublement périodiques, ne rentrant pas immédiatement dans la classe que nous venons d’étudier, mais pouvant cependant s’y ramener au moyen d’un changement de fonctions ( ¹ ).

Supposons que nous ayons une équation à coefficients doublement périodiques

d'ny

dz

d'"~^ y

dz"¹ 1

dont l’intégrale générale ne soit pas uniforme, mais pour laquelle le rapport de deux intégrales quelconques soit uniforme.

Si a{ est un point singulier, les racines de l’équation fondamentale

C) C.-H. Halphen, Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables (t. XXVIII des Mémoires des Savants étrangers).

452

CHAPITRE XV.

déterminante devront être

Vi

Vi + gj, vi -4- e\,    ..

les e étant des entiers positifs, et, de plus, aucun développement ne contiendra de logarithmes.

La somme des racines de l’équation fondamentale déterminante relative à c’est-à-dire

sera

égale à

ni V[ -h- S e,

a, désignant le résidu de p pour le pôle a,. Donc, si les points singuliers sont    a₂, . ..,    dans un parallélogramme, le produit

m(vj+. . .-t-vx)

sera un nombre entier, puisque la somme des résidus de p pour les pôles aK, ..., ci\ est nulle.

Si nous rendons le parallélogramme m fois plus grand, nous aurons des points singuliers m fois plus nombreux, et alors la somme des v, qui leur correspondent, sera un entier. Plaçons-nous donc dans cette hypothèse toujours réalisable, et, conservant les mêmes notations que précédemment, nous aurons cette fois

2v = entier = k.

Nous poserons maintenant

L’équation transformée en Y sera à coefficients doublement pério-

. f (z)

diques, si J _■■■ ■ est doublement périodique. Or,

on peut prendre

f{z) — [II(s — a,)]¹'. [11(5 — a, )]V .. [H(3 — ctx)]v>. IIU)-*;

on aura

/O)

= V, £(* — «!    vx£( 5 — CTX) —

qui sera doublement périodique, puisque Sv — k = o. D’autre part, Y deviendra uniforme; on sera donc ramené, pour l’équation en 1, à une équation à coefficients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme. On ne doit pas oublier seulement qu’en général on doit considérer, pour cette équation transformée, le parallélogramme des périodes comme formé de ni parallélogrammes de l’équation primitive.

CHAPITRE XVI.

J=>

CHAPITRE XVI.

THÉORIE DES SUBSTITUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

I. — Sur les groupes de substitutions et les fonctions rationnelles

de n lettres.

1. Nous nous proposons d’étudier, dans le Chapitre suivant, les analogies entre les équations algébriques et les équations différentielles linéaires. Il est donc indispensable que nous reprenions les théories algébriques, qui sont les analogues de celles que nous développerons ensuite pour les équations linéaires; c’est ce que je vais faire le plus succinctement possible (').

Désignons par

Xi, a?₂,

n lettres représentant n grandeurs indépendantes. On sait qu’on peut effectuer sur ces lettres des permutations en nombre 1.2...n.

(’) La bibliographie sur la théorie des substitutions et des équations algébriques serait bien longue à établir. Je me contenterai de citer quelques Traités généraux sur ce sujet; ce sont tout d’abord le Traité des substitutions et équations algébriques (Paris, 1870) de M. Camille Jordan, dans lequel l’illustre géomètre expose les recherches de ses devanciers et les siennes propres; les Leçons d’Algèbre de M. Netto ( Leipzig, 1900 ) et le Lehrbuch de M. H. Weber ( Brunswick, 1908). Parmi les Livres français, deux doivent être signalés. L'un, de MM. Borel et Drach, expose, en les développant, les leçons de M. Tannery à l’École Normale; il est intitulé Introduction à l’étude de la Théorie des nombres et de T Algèbre supérieure (Paris, Nony, 18g5 ) ; les auteurs se sont surtout préoccupés du point de vue philosophique et logique dans leur très intéressante exposition des théories algébriques. Le second Livre, dû à M. H. Vogt, intitulé Leçons sur la résolution algébrique des équations (Paris, Nony, 1895), est rédigé avec beaucoup de soin et se recommande particulièrement à ceux qui veulent étudier ces questions pour la première fois.

455

THÉORIE DES SUBSTITUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

Ces permutations sont les résultats qu’on obtient en écrivant ces lettres à la suite les unes des autres de toutes les manières possibles. En posant N = i . 2 ... /î, désignons par

2n-i

S₀, St

les N permutations dont nous venons de parler. L’opération, par laquelle on passe d’une permutation à une autre, est dite une substitution. On peut représenter une substitution en écrivant entre parenthèses la permutation de laquelle on part et, au-dessus de celle-ci, la permutation nouvelle qui doit la remplacer. Gomme l’ordre des éléments qui se correspondent n’intervient pas dans le résultat, on peut supposer que chaque substitution remplace les éléments d’une permutation fixe : par exemple, la permutation 2₀ qui représente x₍,    ..., xn, par ceux de même rang d’une autre quel

conque S/. Nous représenterons ainsi par

Xi

la substitution qui a pour effet de remplacer les lettres de la permutation 2₀ par les lettres de la permutation S/. On désigne souvent par de simples lettres S, T, ... les diverses substitutions qu’on a à envisager. Il y a intérêt à considérer, dans l’ensemble des substitutions, la substitution

Ml M

o I O

qu’on appelle la substitution identique ou la substitution unité; cette substitution indique la conservation de l’ordre des lettres. On a alors N substitutions effectuées sur les n lettres; nous désignerons ces substitutions par

S„

(0

S2,    *.., Spj,

la première substitution S< se réduisant à*la substitution unité.

On désigne sous le nom de transposition la substitution qui consiste à permuter seulement entre elles deux des lettres, les n — 2 autres restant invariables. Toute substitution peut être regardée comme résultant d’une succession de transpositions. On le voit de suite en supposant le théorème vrai pour n — i lettres et l’étendant

CHAPITRE XVI.

à n. Soit, en effet,

xi,    a;₂,

:r

«7

n-,

remplacées respectivement par

XCL1    ^X-

Nous pouvons d’abord faire sur la première permutation une inversion x( et xa, ce qui nous donne

X%, X<x

et nous n’avons plus affaire ensuite qu’à une substitution relative à n — i lettres.

Les substitutions les plus simples sont celles qui remplacent, dans une permutation, chaque élément par celui qui le suit, et le dernier par le premier; on appelle circulaire une telle substitution. Toute substitution de n éléments est circulaire ou se décompose en substitutions circulaires. Soient, en effet, x, une lettre quelconque, xa celle qui la remplace lorsqu’on effectue la substitution; soit de même xp la lettre qui remplace xa; et ainsi de suite jusqu’à la lettre x\ qui sera remplacée par x,. Nous aurons ainsi, dans la substitution, un premier cycle; une lettre non rencontrée donnera naissance à un autre cycle et ainsi de suite, de sorte que la substitution est bien décomposée en un certain nombre de cycles ou substitutions circulaires.

2. Si l’on effectue sur les x d’abord la substitution S et ensuite la substitution T, on aura une substitution résultante, qu’on appelle le produit des deux substitutions S et T ; nous la désignerons par

TS,

en indiquant par là qu’on fait d’abord la substitution S et ensuite la substitution T (*).

II ne faut pas confondre les deux substitutions

TS et ST,

(') On fait souvent l’hypothèse inverse; nous-mêmes l’avons faite dans un Chapitre précédent. Nous conserverons jusqu’à la fin du Volume la convention faite dans le texte.

qui sont, en général, distinctes. Quand elles sont identiques, on dit que les substitutions S et T sont échangeables.

On appelle substitution inverse d’une substitution S et l’on désigne par S⁻¹ la substitution représentant l’opération inverse ; on a

SS-i= S-¹ S = i.

Dans le cas où les deux substitutions S et T sont échangeables, on a, comme nous venons de le dire,

TS = ST;

on en déduit

TSS->= STS-*

et, par suite,

T = STS⁻¹.

3. Considérons maintenant une fonction rationnelle de n variables indépendantes

<?Ol, x2, . . xn)-

Quand on effectue sur

x\i xii

toutes les substitutions ( i), il peut arriver que la fonction ne change pas. On sait que la fonction © est dite alors une fonction symétrique de x,, x₂. • • • 7 % n et peut s’exprimer en fonction rationnelle des fonctions symétriques élémentaires

Pn — X1 x2 • • ■ xn •

pi — Sa?!,

D’autre part, si la fonction © est arbitraire, on obtiendra N fonctions distinctes, quand on effectuera toutes les permutations possibles sur les x, c’est-à-dire les substitutions (i).

Mais il peut y avoir des intermédiaires entre les deux cas extrêmes dont nous venons de parler ; ainsi pour n = 4 la fonction

<p = a?! x₂ -H x3 x\

ne prend que trois valeurs pour les vingt-quatre substitutions efïectuées sur x₂, x₂, x!{. Ces trois valeurs sont visiblement © lui-même et les deux expressions

xlx3~\~x2xi, XiX:, -f- X*X2.

Considérons donc l’ensemble de toutes les substitutions qui laisseraient invariable une certaine fonction cp(x,,xs, ..., xn), et dési-gnons-les par

Sn

(G)

S,.

S i ⁼⁼ i,

la substitution unité étant évidemment comprise parmi elles. Les substitutions précédentes forment un groupe, c’est-à-dire que les inverses et les produits de deux substitutions quelconques de la suite (G) appartiennent eux-mêmes à cette suite. 11 en résulte qu’en combinant d’une manière quelconque, par multiplication, les substitutions de (G), on aura toujours des substitutions de la même suite. On appelle degré d’un groupe (G) de substitutions le nombre des lettres figurant dans ces substitutions. L'ordre d’un groupe est le nombre r des substitutions de ce groupe.

En particulier, à une fonction symétrique correspond le groupe général des 1.2.../1 substitutions relatives à n lettres. Nous appellerons ce groupe le groupe symétrique.

i. Une fonction rationnelle o nous a conduit à la notion capitale de groupe de substitutions. On peut inversement concevoir « priori la notion de groupe de substitutions, c’est-à-dire d’un ensemble de substitutions telles que leurs inverses et le produit d’un nombre quelconque d’entre elles donnent une substitution de cet ensemble. On peut établir que, pour un tel groupe, il y aura toujours des fonctions rationnelles que laisseront invariables les substitutions du groupe, tandis que toute autre substitution modifierait ces fonctions. Considérons, en effet, l’expression

O = OCq Gti&i -f-    ^ 2    • • • i % n & ni

les a étant des constantes distinctes. 11 est clair que cette fonction a 1.2... n valeurs quand on effectue sur les x toutes les permutations possibles. Soit d’autre part G un groupe de substitutions d’ordre r ; désignons par

?!, <?2,

les r valeurs que prend la fonction o pour les substitutions de ce groupe ('J| = »), et formons le produit

G est une fonction rationnelle de x,, x₂, ..x„ que laissent invariable les substitutions du groupe, puisque ces substitutions permutent seulement les différents facteurs.

D’autre part, toute permutation S, qui ne fait pas partie du groupe G, ne laisse pas invariable la fonction <ï>. En effet, en effectuant sur © une telle permutation, on obtient une expression cp'

différente de cp₂,___, cpr, puisque les 1.2... n permutations donnent

des résultats distincts. Si restait invariable pour la substitution S, cp', ne pourrait différer de cp₂, or que par un facteur constant. Mais, si l’on avait

?'i = k<fp (p<r),

on aurait nécessairement k — 1, puisque a₀ n’est pas nul, et, par suite, cp', serait égal à <2p, ce que nous venons de dire être impossible.

5. Supposons qu’une fonction © prenne p valeurs quand on effectue sur les x toutes les permutations possibles, et soient cp,, cp₂, .. ç>p ces p fonctions. Toute fonction symétrique <I> de cp,, <p₂, ..., cpp restera invariable quand on effectuera sur les x une permutation quelconque, puisqu’une telle permutation ne peut que changer l’ordre de ces fonctions.

La fonction <I> s’exprimera donc à l’aide des fonctions symétriques élémentaires. 11 en résulte que cp,, cp₂, ..., cpeuvent être regardés comme les racines d’une équation de degré p, dont les coefficients sont des fonctions symétriques des variables ; nous désignerons cette équation par

F(cp) = o.

6. Etant donné un groupe G, il existe une infinité de fonctions

rationnelles de #,, x₂, ..., xn, que laissent invariables les substitutions de ce groupe. Nous allons démontrer, relativement à ces fonctions

un

théorème d’une grande importance. Je dis que :

Deux fonctions appartenant au même groupe s’expriment rationnellement Vune par l'autre.

Soit r l’ordre du groupe G, dont nous représentons les substitutions par

(2)

Si = I,

s*,

s,.

Soit d’abord cp, une des fonctions correspondant à ce groupe : si y désigne une substitution n’appartenant pas à G, la fonction cp, se changera en une autre fonction cp₂ quand on effectuera la substitution cr. Toutes les substitutions

(3)

y, y S ₂,    . . . , a Sr

transformeront <p, en cp₂, et ce seront les seules, car, si S' désigne une telle substitution, la substitution transformera <p, en elle-même; on aura donc

y-¹ S'= Si

(*<'■),

ce qui revient bien à

S' = <7 Sj,

comme nous voulions le faire voir. Cherchons le groupe appartenant à la fonction cp₂. Si S" est une substitution de ce groupe, la substitution a-⁻¹ S" y transformera <p, en elle-même. Donc

y-¹ S"y — S,-,

d’où l’on déduit que le groupe cherché est formé des substitutions

y Siy~¹

(i — i, a, ..., r).

On désigne ce groupe sous le nom de transformé du groupe G par la substitution <7. Si les substitutions (2) et (3) 11e donnent pas l’ensemble du groupe des permutations de n lettres, c’est-à-dire si

1.2...n

> 2,

il y aura une substitution y' n’appartenant pas à (2) et (3). Gette substitution transforme <pt en 'p>₃, et le groupe de <p₃ est le transformé de G par y', de même que le groupe de <j>₂ était le transformé de G par y. En continuant ainsi, on voit que, si la fonction cp prend p valeurs pour l’ensemble des substitutions, on partagera cet ensemble en p groupes de r substitutions, tels que (2), (3), ...; on a évidemment

n = rp.

Cela posé, soit <li, une seconde fonction correspondant au groupe G

4i>    •••, 4p

les p valeurs de correspondant respectivement aux substitutions (2), (3), .... Considérons les expressions

<M WN

9- 9-

t t t

-9- -9* -9

CM*-'

9- 9-

-9- -> S-

~6 -C

T»

?1 ¹⁽l;l+?2 ' ^2 -+- ■ • • -+- Cf jjj

•j

Ces expressions sont évidemment symétriques en x{,x-₂,.. puisque toute permutation effectuée sur les x ne peut que changer cp,-en cp* et cj/,- en cj/A. Elles s’exprimeront donc à l’aide des fonctions symétriques élémentaires ; posons donc

9-

-e- -y-

-G

^P=Pl,

<]/₂tpp 4*p⁼ ^2»

4*2

?, ¹4i1_{Pî ¹4*2■+• • • • -+-<?£ '^p—Pp-

Nous pouvons tirer de ces équations du premier degré les valeurs de lt, cj;₂, • ••, '{'p- Considérons en particulier^, ; son expression sera symétrique par rapport à cp₂, cpp ; or, ces dernières quantités sont racines de l’équation

F(cp)

cp -cpt

= o,

comme il résulte du paragraphe o. Cette équation a ses coefficients rationnels en cj;, et symétriques par rapport aux x. 11 résulte immédiatement de là que cj;, s exprime ration ne lie me rit à l’aide de cp comme nous voulions l’établir. 11 est bien entendu que, dans cette expression rationnelle, figurent comme coefficients de ©, des fonctions symétriques des x.

La démonstration précédente permet d’établir un théorème plus général que celui que nous venons d’énoncer. Les deux fonctions cl et © n’ont pas besoin d’appartenir au même groupe. Supposons seulement que <1 reste invariable pour toutes les substitutions du groupe auquel appartient cp. 11 arrivera alors que les fonctions dési-

K 'K .

gnées par

ne seront pas toutes distinctes, car il y aura d’autres permutations que celles du groupe G n’altérant pas la fonction ^,. Mais cela importe peu pour la démonstration, et nous avons le théorème général suivant, dû à Lagrange :

Sideux fonctions rationnelles de plusieurs variables <1 et cp sont telles que Vune ^ reste invariable pour toutes les substitutions du groupe auquel appartient cp, la fonction s’exprime rationnellement au moyen de la seconde et des fonctions symétriques élémentaires.-

7. Un exemple intéressant de fonctions, ayant plusieurs valeurs pour l’ensemble des permutations, nous est fourni par les fonctions entières ayant deux valeurs. Soit une telle fonction cp et désignons par

tpi et <p₂

ses deux valeurs. Toute substitution S du groupe qui change cp, en elle-même changera aussi cp₂ en elle-même, car autrement S⁻¹ changerait cp, en cp₂, tandis que manifestement S⁻' change, comme S, es, en elle-même. Il y a donc deux genres de substitutions, les unes changeant es, en ep₂ et <p₂ en cp,, les autres changeant cp, et cp₂ en elles-mêmes. Envisageons la fonction

■ <?i — <p2 ;

ce sera une fonction ayant deux valeurs égales et de signes contraires. On appelle alternée une fonction jouissant de cette propriété de n’avoir, pour l’ensemble des permutations, que deux valeurs égales et de signes contraires. Le carré d’une fonction alternée est une fonction symétrique.

Toute substitution pouvant être obtenue en faisant une succession d’inversions entre deux lettres, il est clair qu’il y aura au moins une inversion changeant le signe d’une fonction alternée F. Si cette inversion est entre xa et x^₁ la fonction F s’annulera nécessairement pour xx = x$ et sera, par suite, divisible par x^ — xp. Ainsi F² est divisible par (x* —■ xf)'¹ et, comme il est symétrique, il sera divisible

U = (Xi — x.₂)(vi — xz)...(xx — xn), (x₂ — x₃). . .(x₂ — xn),

( Xn -J    Xn).

On voit d’ailleurs, de suite, que cette fonction u n’a que deux valeurs égales et de signes contraires. La fonction alternée F sera divisible par une puissance ni de a, qui sera impaire, car autrement le quotient

um

serait encore alterné et, par suite, divisible par u ; m ne serait pas alors la plus haute puissance de «, qui divise F. Nous pouvons donc écrire

F = Su,

S étant symétrique.

Si nous revenons alors à la fonction cp, on peut écrire

<pi— <?*= 2P1 u, Ÿ1 ■+■ ¥2 = 2 P 2,

P, et P₂ étant symétriques ; donc toute jonction à deux valeurs est de la forme

P2 P1il.

Toutes ces fonctions se ramènent donc à u, c’est-à-dire à la racine carrée du discriminant des n lettres :r₍, x₂, ..., xn. Il est clair, d’ailleurs, que la fonction u n’a que deux valeurs, puisque toute substitution ne peut que permuter l’ordre des facteurs linéaires et changer leurs signes.

Le groupe de substitutions laissant invariable la fonction u s'appelle le groupe alterné. Soient

S„

■P'

par tous les binômes analogues. Donc F est divisible par la fonction formée de

n(n — I )

facteurs linéaires :

S, = 1,

les substitutions de ce groupe. Pour toutes ces substitutions, la fonction u prend une même valeur u

Raisonnons comme au paragraphe 6 : il y a, dans le groupe général des i. 2 ... n substitutions, une substitution <7 qui n’appartient pas au groupe alterné, sans quoi u serait symétrique. Nous avons alors une seconde ligne

<T S2J •••} œSj»

de substitutions transformante, en une autre fonction e₂, et, comme u n’a que deux valeurs, les 1 r substitutions précédentes donnent toutes les substitutions du groupe symétrique. Donc

1.1...n

1.2...

— • On voit bien

et, par suite, le groupe alterné est d'ordre

facilement qu’il est formé des substitutions du groupe symétrique se ramenant à un nombre pair de transpositions.

Un second exemple nous sera fourni par la fonction

X\X ₂-f- X₃ #4,

déjà considérée au paragraphe 3. Cette fonction a trois valeurs; il y aura donc trois lignes dans le Tableau des substitutions du groupe symétrique mis sous la forme

S,-,

S₂,

b \>

a S,., . . ., a' S,.,

où les substitutions de la première ligne sont celles qui laissen invariable la fonction. On aura donc

r = 8.

ou

3/* = 1.2.3.4

Le groupe des S est donc d’ordre huit.

II. — De la réductibilité des fonctions entières.

8. La notion de réductibilité des fonctions entières joue un rôle capital dans la théorie des équations algébriques. Nous devons nous y arrêter un moment.

Définissons d’abord avec précision, comme le faisait Kronecker ('),

(¹ ) Kronecker, Grundzüge einer arithm. Théorie der algebraischen Grossen ( Festschrift zum Kummer’s Jubilœum, 1882).

ce qu’on doit entendre par domaine de rationalité. Etant donnés des paramètres R,, JL, R:1, que l’on suppose indéterminés et indépendants les uns des autres, nous appellerons domaine de rationalité l’ensemble des fonctions rationnelles de ces paramètres, les coefficients figurant dans ces fonctions rationnelles étant des nombres entiers. Le domaine le plus simple est formé par les nombres rationnels ; il ne comprend aucun paramètre.

Le premier problème qui se présente est de reconnaître si une équation à coefficients entiers

<0

f(x) = O

admet une racine commensurable ; c’est là une question classique sur laquelle je n’ai pas à insister ici. Prenons maintenant une équation

'(*)

/(.r, R,, IL, IL, • •.) = o,

dans laquelle les coefficients des puissances de x sont des fonctions rationnelles des R à coefficients eux-mêmes commensurables, et cherchons si cette équation en x peut être vérifiée par une fonction appartenant au domaine de rationalité. Écrivons l’équation sous la forme

«₀(6i, IL, • • .)xm->r <*i(R|, IL, • •.)x'«-‘-t-.. .= o,

Iles a étant des polynômes en R à coefficients entiers. En posant

«o(Ri, IL, . • • )x = y,

nous aurons une équation en y de même forme, mais où le premier coefficient sera l’unité.

S’il existe une racine x rationnelle par rapport aux R, l’équation ■en y aura une racine entière, et nous sommes donc ramené à la recherche d’une racine de l’équation

y"¹-h M Ri, IL, • ..)7"i-¹-t-...= o

qui soit une fonction entière de R,, E₂, •••, formée avec des nombres rationnels. On trouve immédiatement une limite supérieure du degré possible de r par rapport à chacun des paramètres R,, R₂, ..

comme

3o

le montre, par exemple, la théorie des asymptotes. On fera ■donc la substitution à y dans l’équation d’un polynôme en R,,R₂, . .. p. - III.

d’un degré déterminé, les coefficients A de ce polynôme étant indéterminés. En égalant à zéro tous les termes du résultat de la substitution, on aura un certain nombre de relations algébriques entre les coefficients A. Il ne s’agira plus que de voir si l’on peut y satisfaire par des nombres commensurables.

On aura d’abord à voir si les équations sont compatibles algébriquement ; s’il en est ainsi, la résolution de ces équations se ramène, par des calculs où n’entre aucune irrationalité, à la résolution d’une équation unique à coefficients rationnels, et nous sommes ainsi conduit de nouveau au premier problème.

Supposons enfin que nous voulions reconnaître si l’équation (2) admet un diviseur rationnel de degré k. Je désigne par

0C\, X2,    ..., xm

(3)

les ni racines de l’équation, et je forme l’expression y — p\ t\ — p-i h — ,...—pu tu,

en désignant par y?,, p₂, ..., pu les fonctions symétriques élémen-

,rai. Nous représentons par a,, a₂, ..., a*

taires relatives à x k nombres distincts de la suite des m premiers nombres, et les t sont des paramètres arbitraires. En prenant pour les a toutes les combinaisons possibles des ni premiers nombres k à k, et formant le

produit des expressions (3), nous aurons

1) •

• • ! tu, fi] , R₂, • • •),

U(y — Pit,—p-₂t₂ — .. . — pu tu) = F (y, t et nous avons à rechercher si l’équation

F(y, tu . .., tu, fii, fi₂, . •.) = o

admet pour y une racine rationnelle en t et R et à coefficients commensurables.

Une telle racine, que nous savons trouver d’après ce qui précède, devra être nécessairement delà forme

Pi t\ -h p-2 (%-1-... -+- pu tu,

et, si elle est rationnelle, c’est que les fonctions symétriques p de xak appartiennent au domaine de rationalité (R,, R₂, ...).

•^a,?    • • •i

Uéquation est dite alors réductible, et nous pouvons obtenir les différentes équations en lesquelles elle se décompose.

Une équation qui n'est pas réductible dans un domaine donné de rationalité est dite irréductible dans ce domaine.

9. Démontrons de suite une proposition fort simple, mais de

grande importance, sur les équations irréductibles. Je suppose que dans un certain domaine de rationalité

une

équation algébrique ait une racine commune avec une équation irréductible : je vais montrer qu elle admettra toutes les racines de cette seconde équation. Soit donc

F(a?, R„ Rs> ••.)== o

la première équation, et représentons par

/O, Ri, R2, • • •) = o

l’équation irréductible qui a, par hypothèse, une racine commune avec F. Nous pouvons former le plus grand commun diviseur 9(.r, R), Ro? •••) entre F et f\ ses coefficients appartiendront au même domaine de rationalité. Il faut nécessairement que 9 et f coïncident, car autrement fne serait pas irréductible ; il est évident alors que toutes les racines de f appartiennent à F.

10. Nous allons généraliser le point de vue auquel nous venons de nous placer pour définir l’irréductibilité d’une équation, mais auparavant établissons une proposition qui nous sera plus tard très utile. Etant donné un domaine de rationalité, considérons une équation de degré n

f(x) = O,

dont nous désignerons les racines supposées inégales par

#1,    37 21

•    37,*,

et soit

V = ?Ol, X-2, . . Xn)

une fonction rationnelle telle (pie les 1.2.../1 valeurs numériques qu’elle prend, quand on permute les racines de toutes les manières possibles, soient toutes différentes; nous allons démontrer que les xn s’expriment en fonctions rationnelles de V (*). Ce

X\ , X-2, .

(’) Cette proposition se trouve au commencement du Mémoire célèbre de Galois, dont nous allons bientôt nous occuper. Elle est citée sans démonstration par Abel dans le Mémoire posthume Su/- les fonctions elliptiques.

théorème joue un grand rôle dans la théorie de Galois, comme nous le verrons bientôt, et nous allons rapporter la démonstration qu’en donne l’illustre géomètre. Mais nous pouvons observer auparavant (pie le théorème est en quelque sorte évident, car V satisfait à une équation d’ordre 1.2 ...n dont les racines sont distinctes, et à chaque valeur de V ne correspond qu’une seule valeur de x{, x₂, ..

:xn, puisque pour deux permutations différentes des x on a deux valeurs différentes de V.

Ne nous contentons pas cependant de cette vue rapide, et cherchons comment on pourra trouver effectivement les expressions rationnelles des racines en fonction de V. Désignons par V< la valeur de V pour une certaine permutation, soit .r,, x₂, ...,x„. Laissons X1 fixe et permutons de toutes les manières possibles x₂, x₃, ..., xn ; nous aurons ainsi les u = 1.2 ...(/>.— 1) valeurs distinctes de V

\J-‘

V„ V*, .... V

Les coefficients de l’équation donnant ces valeurs de V seront symétriques par rapport aux racines de l’équation

f(x)

= O,

X — X\

et seront par suite rationnels en xx. Désignons cette équation par

F(V, .rt) = o,

F étant un polynôme en V et xK. 11 en résulte que l’équation en x

F(V,, x) — o

(4 )

(5)

admet certainement xx pour racine. L’équation (5) en x et l’équation

f(x) = o

ont donc une racine commune x,. Elles ne peuvent en avoir qu’une, car, si x-₂ était racine de (5), on aurait

= O.

F(V,, x₂)

Or l’équation

(6)

F(V, x₂) = o

x-, dans les permutations qui correspondaient aux racines de l’équation (4) ; cette dernière équation et l’équation (6) n'ont donc pas de racines communes, puisque toutes les valeurs de V sont distinctes. Ainsi l’équation (5) et l’équation

f(x) = o

n’ont qu’une racine commune, et nous aurons pour cette racine commune xt une fonction rationnelle de V₍. On aura de même

d’autres fonctions rationnelles de V, pour les autres racines ,r₂, ;vn, et le théorème est par suite démontré, en même temps

#3, ••

qu’on a une marche à suivre-pour trouver explicitement ces fonctions rationnelles.

Deux corollaires du théorème précédent joueront dans la Section suivante un rôle capital.

Soit

X‘i , ..

de /’équation W sont fonctions rationnelles de l’une quelconque

l’équation donnant les i. 2 .. . n valeurs de V. Nous venons de voir que.r₍, x-₂, ..., x„ sont fonctions rationnelles de Vt. Comme, d’autre part, une autre quelconque des valeurs de V est rationnelle en x{, xn, elle sera aussi rationnelle en V,. Donc, toutes les racines

d'entre elles.

En second lieu, supposons que l’équation W soit réductible, et prenons l’un de ses facteurs irréductibles

+ (V) = o

dont nous désignerons les racines par

V„ V,,    Vy.

Nous avons trouvé plus haut, pour les racines de l’équation

J\x) = o,

Xi — R,(V, )>

Xn — R/i ( V i ),

x\ — Ri(V,),

les li étant rationnels. Il est facile de voir qu’elles pourront être représentées aussi, quoique dans un ordre différent, par

Ri(V/j), Hî(V/t),    Hrt(V/t),

En effet,

étant une quelconque des racines V,, V₂, ..., V

l’équation y admet par hypothèse la racine R,(V, ) ; l’équation

/[R₁(V)] = o

(h ^ *)>

est donc satisfaite pour V = V, ; il s’ensuit qu’elle doit être satisfaite pour V₂, ..., Vv (§9). Les termes de la suite (-) sont donc des racines ; il reste à prouver qu'ils sont distincts. En effet, si l’on avait par exemple

l’équation

Ri(V)-R,(V) = o

étant vérifiée pour Y == Y^ serait vérifiée pour V = Vj, ce qui n’est pas.

11. Indiquons encore une conséquence de la proposition précédente : Etant donné un nombre quelconque cl’irrationnelles algébriques, on peut toujours les exprimer toutes en fonction d’une même irrationnelle. Soient, par exemple, deux équations algébriques de degré u et v

?(y) = o,

on pourra exprimer y et ^ en fonctions rationnelles d’une même racine d’une troisième équation algébrique dont les coefficients appartiennent au même domaine de rationalité. En effet, les racines

72,

• ••> jv;

sont racines d'une même équation algébrique

zii zïi

f(x) — o,

et, comme rien ne supposait plus haut que f (x) était irréductible, nous pouvons appliquer le théorème précédent, et exprimer ainsi les y et z en fonction rationnelle d’une irrationnelle auxiliaire Y.

L2. Nous pouvons maintenant généraliser le point de vue auquel nous nous étions d’abord placé pour définir l’irréductibilité d’une équation. Nous avons jusqu’ici considéré le domaine de rationalité (R,, R₂, ...). Nous pouvons adjoindre à ce domaine des fonctions algébriques de R,, Ro, ..., c’est-à-dire des racines d’équations algébriques

6(e, Ri, R», ...) = o, ....

THÉORIE DES SUBSTITUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

Cela posé, une équation en x

f{x, M, V, . .    K,, R-2, . . •) = O,

dont les coefficients sont des fonctions rationnelles à coefficients entiers de u, e, R,, R.,, sera réductible, si elle a une racine commune avec une équation de même forme et de degré moindre. D’après le paragraphe précédent, on peut supposer que l’on adjoint une seule fonction algébrique. Nous aurions donc l’équation

<?(“, R, Rn •••).= o,

que l’on peut supposer irréductible au sens des paragraphes précédents, et l’équation

/(.r, Ri, R,, ...) = o,

qui peut d’ailleurs ne pas renfermer u. Il sera facile de reconnaître si cette équation est réductible au sens généralisé que nous adoptons maintenant. En procédant comme au paragraphe 8, il suffit de reconnaître si l’équation admet une racine fonction rationnelle de u, R,, Ro, ... à coefficients entiers. Or, si ni est le degré de o par rapport à «, une telle racine sera de la forme

x = A₀+AiM + ...+ A„, i

les A étant des fonctions rationnelles des R à coefficients commen-surables. En substituant cette expression dans l’équation /’, nous aurons une relation de la forme

d ( u,    ..., A /fi—i, R i, Rg, . •. ) — o.

On ramènera toutes les puissances de u dans d à être au plus de degré m — i, en se servant de l’équation cp, et l’on devra alors avoir une identité, ce qui donnera ni équations pour déterminer les A. On est ainsi ramené au problème, déjà étudié, de reconnaître si des équations peuvent être vérifiées par des fonctions rationnelles, à coefficients entiers, de certains paramètres qui y figurent.

Comme exemple d’une équation devenue réductible par l’adjonction d’une irrationnelle, il suffira de prendre l’équation

xi— a x²— 3 = o.

Elle est irréductible quand le domaine de rationalité est l’ensemble des nombres entiers. Elle devient au contraire réductible quand on adjoint l’irrationnelle u définie par

u--— 3 = o,

puisque l’équation peut s’écrire

(x²— 3) (x²-h i) = o,

d’où il résulte que x⁴ — 2X~— 3 admet le facteur x —u.

III. Théorème fondamental de Galois; groupe d’une équation

algébrique (').

13. Arrivons maintenant aux principes si féconds introduits par Galois dans la théorie des équations algébriques. Nous commencerons par la notion fondamentale du groupe d’une équation algébrique. Nous partons d’une équation de degré n

f(x) = o,

dont les coefficients appartiennent à un certain domaine de rationalité, et dont les racines sont inégales. Soit, comme plus haut.

( ‘) Les Œuvres mathématiques d’Évariste Galois ont été publiées dans le Journal de Mathématiques ( ire série, t. XI, 1846). La lettre écrite à Auguste Chevalier par Galois, la veille même de sa mort (29 mai i832), a été aussi insérée dans ce Volume. Le numéro de septembre i832 de la Revue encyclopédique contient une Notice nécrologique sur Evariste Galois, où l’on trouvera les renseignements les plus intéressants sur la destinée tragique de ce géomètre, d’un incomparable génie, mort à 20 ans.

Galois est surtout connu pour ses célèbres travaux sur les équations algébriques. Il avait fait en Analyse des découvertes au moins aussi éclatantes. Comme on le voit dans sa lettre à Auguste Chevalier, il avait approfondi l’étude des intégrales de différentielles algébriques, les avait classées, comme on l’a fait depuis, en trois espèces et avait trouvé le nombre de leurs périodes.

Les Œuvres de Galois ont été réimprimées par les soins de la Société mathématique de France (Gauthier-Villars, 1897). extrait des principaux manuscrits de Galois, remis par A. Chevalier à Liouville, et restés jusqu’ici dans les papiers de l’éminent géomètre, vient d’être publié par M. Tannerv (Gauthier-Villars, 1908). La fille de Liouville, Mme de Blignières, a fait don de ces manuscrits à la Bibliothèque de l’Institut.

Une belle .Notice sur la vie d’Évariste Galois a été écrite par M., Paul IJupuy dans les Annales de VÉcole Normale (3* série, t. XIII, 1896); on y voit que dans sa courte vie la politique occupe Galois au moins autant que la science.

V = a(x,,x₂₎ ..xn)

une lonclion rationnelle des racines, dont les 1.2...11 valeurs sont différentes quand on permute les racines de toutes les manières possibles. On pourra, par exemple, prendre, comme l’indique Galois,

V = ai Xi -4- a₂ Xi 4-. . . -+- an xn,

les a étant des grandeurs arbitraires appartenant au domaine de rationalité. Désignons, comme plus haut (§ 10), par 'i(V) un facteur irréductible de degré v de l’équation donnant les 1.2 ... n valeurs de V et soient toujours V,, V₂, ..., Vv les racines de <!/. D’après ce que nous avons dit, les racines peuvent être représentées par l’une quelconque des lignes horizontales du Tableau suivant :

Ri(Vj)> H₂(Vi),    R„(Vi),

Ri(V*), R*(V,), .... R*(VS),

Ri(Vv;, Rî(Vv),    R„(Vv),

x t, x₂

car, autrement, l’expression aKxx -4- a->x-, + ... anxn devrait être

Chacune de ces lignes représente une permutation des racines x„. J’ajoute que toutes ces permutations sont différentes,

à la fois égale à V, et à \._». Nous allons montrer qu’à ces permutations correspond un groupe de substitutions. La première ligne se réduit à

, xn.

Xj, x₂,

Désignons par

Sj = 1,    S*,    ..., Sv

les substitutions correspondant au passage de la première ligne à elle-même et à chacune des suivantes. Nous savons (§ 10) que

V/,= 0Æ( V, ),

9a étant une fonction rationnelle ; le remplacement de V₍ par 9*(V, ) donne la substitution Sa- La substitution Sa donne donc la permutation

R1LMV1)], R,[0a-(V₁)J, .... R„[6 a(V0].

Si nous voulons maintenant effectuer sur cette permutation la substitution Sa, il faudra remplacer \ , par 9a (Vj) ; nous aurons donc

474

CHAPITRE XVI.

la permutation

(8)

mais on

voit immédiatement que

est une racine de fi> (V), car cette expression n’est autre chose que 9* (Va). Or, puisqu’on a 1 équation

<HMV)] = o

a une racine commune avec ^(V) = o. Elle admet donc toutes les racines de cette dernière équation et en particulier V^. La suite (8) fait donc partie des substitutions de notre Tableau, et celles-ci forment bien un groupe qui est évidemment d’ordre v. Galois appelle ce groupe le groupe de Véquation pour le domaine considéré de rationalité. Nous allons maintenant démontrer la double propriété caractéristique de ce groupe, que nous désignerons par G.

I î. Le théorème fondamental peut s’énoncer de la manière suivante :

Toute fonction rationnelle des racines, invariable par les substitutions du groupe G, appartient au domaine de rationalité, et réciproquement toute fonction rationnelle des racines appartenant au domaine de rationalité reste invariable par les substitutions du groupe.

Il est essentiel de remarquer, avec Galois, qu’on appelle ici fonction invariable non seulement une fonction dont la forme algébrique est invariable par les permutations des racines entre elles, mais encore toute fonction dont la valeur numérique ne varie pas par ces substitutions, alors même que sa forme algébrique aurait varié.

Démontrons d’abord la première partie du théorème. Toute fonction des racines peut se mettre sous la forme

F = X(V),

V étant une racine de l’équation (V) = o considérée au paragraphe précédent, et, puisque cette fonction a la même valeur numérique

THÉORIE DES SUBSTITUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

pour toutes les substitutions du groupe G, on aura

X(V₁) = X(V,)=...= X(Vv)

et, par suite,

~ [X(5' i ) -i- X( Y 2) -4-... X(Vv)l;

.., Vv ; elle appar-

LO •

F est donc une fonction symétrique de Y tient donc au domaine de rationalité, comme les coefficients de Véquation <l».

Passons à la seconde partie. Soit F une fonction rationnelle des racines dont la valeur numérique appartient au domaine de rationalité ; nous pouvons écrire

X ( V ) — 12 = o

en supposant que ce soit pour la disposition des racines correspondant à V = V| que la fonction prenne la valeur ü. Mais, puisque l’équation

X(V₁) = X(V,)=...= X(Vv).

a la racine commune V, avec l’équation J/ (V) = o, elle admet toutes les racines de cette dernière équation qui est irréductible, et I on a, par suite,

La valeur numérique de F est donc invariable par les substitutions de G.

15. Une remarque très importante est à faire, relativement au groupe d’une équation.

Nous avons d’abord formé l’équation

vf(V) = o

9

n’ayant que des racines simples et donnant les 1.2 ... n valeurs de Y , et nous avons considéré ensuite un facteur irréductible b (V) de cette équation. O11 doit nécessairement se demander quelle conséquence entraînerait pour le groupe de l’équation la substitution d’un facteur irréductible à un autre. Soit

v(V) = «KV).*(V)...X(V)f

les différents facteurs 'b, o, . ...y étant supposés irréductibles et le

0(V,).

facteur <1 d’ordre v étant celui qui nous a conduit au groupe G. Toutes les racines de W (V) étant fonctions rationnelles de l’une quelconque d’entre elles, une racine de cp (V) est fonction rationnelle d’une racine de (V); en désignant par V, une racine de d», nous avons pour une des racines de cp

Or, en posant

Vi=0'(V/)

(i = i, 2, ..v),

les Vi désignant les diverses racines de <jq les quantités V' satisfont à une équation d’ordre v, dont les coefficients appartiendront au domaine de rationalité, et qui ayant une racine commune avec <p, à savoir 0 (V₍), admettra toutes les racines de ce dernier polynôme. Donc le degré de <p est au plus égal à celui de ; mais un raisonnement tout semblable montre que le degré de cl est au plus égal à celui de cp. Donc tons les polynômes cl, cp, ..., y sont de même degré, et l’on passe de l’un à l’autre au moyen d’une transformation rationnelle. JNous avons vu que, si l’on substitue dans les expressions

Ri(V), R,(V), ..., R„(V)

les différentes racines V,, V₂, ..., Vv de l’équation <1, on obtient I ensemble des permutations correspondant au groupé G, la première permutation étant précisément, si l’on veut,

(S)

Xy = R,(V₁),

Si l’on considère maintenant les racines

du facteur cp, la suite

V' V' ’ 1 > v 2

.... v;

R',(VI), Ri(Vi), ..., r;,(v;),

où les IV représentent des fonctions rationnelles, donne encore la suite des racines de l’équation f(x) = o. Or

(t = i, a, ..., v);

V'=Ô(V,->

la suite précédente peut donc s écrire

(S')

R*re(v,>j, Riieçvoj, ..., R;jo(v,)j.

En mettant dans la suite (£'), à la jilace de Vt, les autres racines

Y a? • • • )Vv, on obtiendra le groupe G' qu’aurait donné le facteur o. Soit S la substitution par laquelle passer xh du rang h au rang /,, et l’on aura

R/|(V.) = Ri[6(V,)],

On en conclut que la même substitution S fait passer d’une ligne de G à la ligne de même rang dans G' : donc, si g et g' désignent ces deux substitutions correspondantes, on aura

= s^s-q

et le groupe G' est, par conséquent, la transformée du groupe G par la substitution S.

Ainsi, si 'F a r facteurs irréductibles groupes, qui seront les transformés de l’un d’entre eux par /•—i substitutions convenables. En considérant comme équivalents deux groupes transformés l’un de l’autre, on peut dire qu’à une équation ne correspond qu’un groupe.

on

d’oii

passe de (S) à (S⁷); elle fera

nous

pourrons former r

IG. Ee groupe d’une équation se réduira, en général, au groupe symétrique, c’est-à-dire à l’ensemble des substitutions correspondant aux 1.2... n permutations de n lettres. Ainsi, considérons l’équation générale d’ordre n

X" -I- />! Xn~ ¹ -4- . . . -I- />„ = o ;

j’entends par là une équation pour laquelle le domaine de rationalité soit défini par les paramètres (/>,,

Toute fonction rationnelle des racines o(xt, x₂, ...,x„) restant invariable par les substitutions du groupe de cette équation doit pouvoir s’exprimer rationnellement en fonction de pK, p*, • ••, Put et l’on a

<?Ol,    xn) = K    .. ../>«);

mais on peut considérer ici    comme fonctions de

X\, x-2, •.., qu’on prendra comme variables indépendantes, et alors, le second membre étant symétrique en x₂, ..., x,n il en est de même du premier.

17. Lorsque le groupe G d’une équation n’est pas le groupe symétrique, cette équation est une équation particulière. Elle est caractérisée par ce fait qu’il existe nécessairement entre les racines au moins une relation rationnelle, cette relation n’ayant pas lieu pour toute substitution faite sur ces racines. On a, en effet, d’après ce qui précède, en désignant toujours par b (V) le facteur irréductible considéré plus haut,

( d\ X\ -+- d₂ X2 —H . . . <XnXn ) — O.

La fonction <['(«( X\ -+-a-^x^ -f-    a„ xu), dont la valeur numé

rique est zéro, reste invariable par les substitutions du groupe G; mais elle variera pour toute autre substitution, puisqu’à celle-ci correspond une valeur de V, qui n’est pas racine de «ji (V). La relation précédente est donc une relation rationnelle entre les racines, et cette relation cesse d’être vérifiée quand on permute les x d’une manière quelconque.

Inversement, s’il existe une relation

?Ol, X-2, . Xn) = O

entre les racines, relation qui ne soit pas vérifiée pour toute permutation des x, il est aisé de voir que le groupe de l’équation ne sera pas le groupe symétrique. Si l’on remplace, en effet, les x par leur valeur en fonction de V, l’équation précédente, en tenant compte de l’équation lF (V), se réduira à une équation

<L(V) = o,

-PN

SJ

00

CHAPITRE XVI.

'ii étanL au plus du degré

et elle ne se réduira pas à une identité, car autrement la relation z> se trouverait vérifiée pour toute substitution faite sur les x, ce que nous ne supposons pas. La résolvante de Galois

lF( V) = o

admet donc un facteur rationnel de degré inférieur à    et le

groupe de l’équation n’est pas le groupe symétrique.

18. Terminons cette Section par quelques remarques relatives aux fonctions rationnelles des racines d’une équation. Soit une fonction, rationnelle des racines

cp(x,, x₂, . . ., xn).

Supposons qu’elle garde la même valeur numérique quand on fait sur les x une substitution

(S)

xa. xp ■ ■ ■ x\ X\ a--y

X,l

ceci veut dire que l’on aura l’égalité numérique

<p(#l, #2,    = Cp(>x, Xp, . ..,X\),

égalité qui ne subsisterait pas nécessairement si les x étaient des variables indépendantes.

Mais cette définition n’est bien nette que si l’on parle d’une fonction © parfaitement déterminée. On pourrait exprimer, d’une manière ou d’une autre, par exemple au moyen des relations entre les racines quand il en existe, la fonction © (xt, x->, ..., x„) sous une autre forme    et l’on n’aurait pas nécessaire

ment

b(xux₂, •    = d/(a7x, xp, . ■ .,X\).

On 11e peut donc pas, d’une manière générale, parler d’une fonction des racines restant invariable pour une substitution, à moins de prendre la fonction sous une forme déterminée. Cette restriction, qui pourrait être une source de difficultés, sera heureusement inutile si la substitution (S) appartient au groupe de l’équation. Si l’on a, en effet,

<?(a?i, xt, .. .,xn) — <fOi, x₂, ..., xn) = o,

on a, dans le premier membre, une fonction des racines dont la valeur zéro appartient au domaine et, par suite, d’après le théorème fondamental, on aura encore

'fi.x^xp, ..^xpj — b^x^xp, . ..,x\) = O.

au

Si donc © est numériquement invariable pour la substitution S, il en sera de même de b. On pourra donc faire abstraction des expressions multiples que peut recevoir une fonction rationnelle des racines si les substitutions que l’on veut effectuer appartiennent groupe de l’équation. Cette remarque, que l’on omet généralement, sera d’une grande importance dans tout le développement de la théorie.

Voici maintenant un théorème important rappelant celui de

CHAPITRE XVr.

48o

Lagrange par la forme cle l’énoncé. Je considère une fonction

xn)

/O 1,

rationnelle des racines gardant la même valeur numérique pour les substitutions d’un groupe G' faisant partie du groupe G de l’équation, et pour celles-là seulement ; toute autre fonction F numériquement invariable pour les substitutions cle G' s’exprimera rationnellement à l’aide de la première.

Introduisons toujours l’équation

*(V) = ⁰

et les expressions de x,, x₂, .. •, xu à l’aide de V. Le groupe de substitutions G' sur les x correspond à un échange entre certaines racines

V,,

V₂₎    Va

de l’équation précédente.

Quant aux fonctions f {x{, x->, .. pouvons les mettre sous la forme

x„ ) et F (xi, x₂, ..

xu)

nous

/(V), F( V).

Or, en désignant par a la valeur de f pour V ,, V₂, ..., Va, l’équation

/(V) = a

est vérifiée pour V₍, Va, ..., Va, et ce sont les seides racines qu’elle ait en commun avec l’équation

<KV) = o.

Or l’équation donnant les racines communes à ces deux équations s'obtient en cherchant un plus grand commun diviseur, opération qui n’introduit aucune irrationalité. Par suite, V1? V₂, ...,Va sont racines d une équation de la forme

X( V, a) = o,

où les coefficients sont fonctions rationnelles de a. Or, on a aussi

F(Vi) = F(V₁)=...= F(V«);

THÉORIK DES SUBSTITUTIONS BT DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

donc nous pouvons écrire

-[F(V₁) + F(V₂) + ...-t-F(V«)],

et par suite F, symétrique en V,, V₂, .Va, s’exprime rationnellement à l’aide de a, c’est-à-dire de f ; c’est ce que nous voulions démontrer (¹ ).

IV. — Groupes simples et groupes composés; groupes transitifs.

19. Avant de montrer l’importance de la notion de groupe d’une équation algébrique, approfondissons davantage les généralités déjà étudiées dans la première Section de ce Chapitre sur les groupes de substitutions.

On dit qu’un groupe G relatif àp lettres contient un autre groupe F s’il renferme toutes les substitutions de cet autre groupe. Le second groupe T est appelé sous-groupe du premier.

Faisons voir d’abord qu’///i sous-groupe d’un groupe donné a pour ordre un diviseur de l’ordre du groupe.

Désignons respectivement par m et a les ordres des groupes G et F, et soient

(S, = i)

(9)

Si, S,, S₃,    ..., Sjj,

les substitutions de T ; ces substitutions appartiennent à G et l’on a par hypothèse m > p. 11 y aura donc une substitution T de G, qui

(') Nous nous sommes placé dans cette Section, comme d’ailleurs dans tout ce Chapitre, au point de vue arithmétique, qui est celui de Galois. En se plaçant au point [de vue de la théorie des fonctions, et prenant en particulier une équation algébrique en y, dont les coefficients sont fonctions rationnelles d’un paramètre x, on peut considérer le groupe des substitutions relatives aux permutations des racines quand a: part d’un point pour y revenir après avoir décrit un chemin quelconque. On obtient alors des théorèmes analogues à ceux de Galois; on pourra consulter à ce sujet une Note de Al. Hermite Sur les fonctions algébriques (Comptes rendus, t. XXXII, i85i). Dans son Traité, M. Jordan appelle le groupe dont je viens de parler le groupe de monodromie.

3i

P. — III.

CHAPITRE XVI.

482

n'appartient pas à la suite précédente ; les substitutions

(10)

TS„ TS₂,    TSji

appartiendront donc à G ; elles sont distinctes et, de plus, aucune n’appartient à la suite (9), car, si l’on avait

TS,= S/,,

on en conclurait

T - S4 S7¹,

c’est-à-dire que T appartiendrait à la suite (9) qui, par hypothèse, forme un groupe. De là résulte que l’on a m — 2 a ou m >> 2 u. Dans le second cas, il y aura une substitution T⁷ de G n’appartenant pas aux suites (9) et ( 10), et nous aurons une nouvelle suite

(n)

T'S,, T'S,,    ..., T'S^

de substitutions de G et, par suite, ni sera égal ou supérieur à 3 p. En continuant ainsi, on arrive à partager les ni substitutions de G en un certain nombre n de u substitutions données par les suites (9), ( 1 o), ( 11 ), ... ; nous avons donc bien

ni = n jj.,

comme nous l’avons énoncé.

Un corollaire immédiat est relatif aux substitutions communes à deux groupes. Ces substitutions forment évidemment un groupe, et l’ordre de celui-ci, d’après le théorème précédent, est un diviseur commun des ordres des groupes considérés.

20. Le tableau des substitutions de G, mis sous la forme

CO CO

S„

T,S#>

S«t ]

(Si = O,

co

: co si

•••) T„-jSm J

qai se présente déjà dans les Exercices d’Analyse de Cauchy, est extrêmement important dans la théorie des substitutions.

Si une fonction de p lettres reste invariable pour les substitutions de T et pour celles-là seulement, cherchons le nombre des valeurs que prendra cette fonction pour l’ensemble des substitutions de G.

xt, .    x,,),

qui reste invariable pour les substitutions S,, S₂, ..., Sp. ; toutes les substitutions

TtS,

transformeront cp, en la même fonction que la substitution T,, puisque la première substitution à effectuer S; transforme cp, en lui-même. Appelons cp₂ ce que devient ce, par la substitution T,. De même la substitution T₂ nous donnera une fonction <p:i, ainsi que tous les termes de la troisième ligne. Nous obtenons ainsi n fonctions

f/l

fl, fs, •

correspondant respectivement aux n lignes du Tableau ci-dessus. D’ailleurs, toutes ces fonctions sont distinctes. Supposons, en effet, que Ta et Tp donnent la même fonction et que [3 soit plus grand que a ; la substitution

Ti¹ Tp

transformerait cp, en lui-même, et l’on aurait par suite

c’est-à-dire

T5¹Tp=S*,

Tp = TaS*,

ce qui est contraire aux hypothèses faites, car on a appelé Tp une substitution de G, qui ne se trouvait pas dans les lignes précédentes.

21. Nous venons de dire que, si l’on effectue sur <p, toutes les substitutions

T] Si, T, S₂,    ..., ThS,*,

on obtient la fonction cp₂. Il est facile d’en déduire quelles sont les substitutions transformant cp₂ en lui-même. Si S désigne une telle substitution, la substitution

Ty¹ S T,

transformera cp, en lui-même : on aura donc

Tt¹ S Tj = Sa

et, par suite,

2 = T₁SaTT«.

Cette substitution est donc une transformée par T₍ d’une substitution de la première ligne. Nous avons déjà introduit (§ 6) cette expression de transformée d’une substitution par une autre, et défini ce qu’on entend par transformé d’un groupe par une substitution. De ce que nous venons de dire, il résulte que le groupe correspondant à la fonction est le groupe transformé de T par la substitution T>_, (ou doit prendre

T₀ = • )•

®i, fa, • • •

22. Un cas particulier intéressant est celui où ces sous-groupes correspondant respectivement aux différentes fonctions auraient eux-mêmes un sous-groupe commun ; soit H le sous-groupe formé par toutes les substitutions laissant o,, o₂, ..., ot/ invariables. Si h désigne une substitution de H, et que s représente une substitution quelconque de G, la substitution

s/is~¹

transforme ~>x en lui-même quel que soit a. Car tout d’abord la substitution s~¹ transformera en une autre fonction la substitution h conserve et enfin s nous ramène à '-pa. Il en résulte que le groupe

(ta)

s H s”¹,

transformé de H par la substitution s, est le groupe H lui-même. D une manière générale on dit qu’un groupe H, sous-groupe d’un groupe G, est un sous-groupe invariant de ce groupe, quand la transformée de H par une substitution quelconque de G est identique

à H.

Un groupe G qui contient un sous-groupe invariant (non formé de la seule substitution un) est dit composé; dans te cas contraire, le groupe est dit simple.

23. Revenons au cas général. La suite

forme l’ensemble des valeurs que prend une fonction co pour l'ensemble des substitutions de G. A chaque substitution du groupe G

correspond une substitution des lettres cp, et l’ensemble de ces substitutions des cp forme évidemment un groupe g. Deux groupes correspondants tels que G et g sont, d’une manière générale, désignés par M. Camille Jordan sous le nom de groupes isomorphes ; à chaque substitution de G correspond une seule substitution de g, mais à une substitution de g peuvent correspondre plusieurs substitutions de G. A chaque substitution de g correspond le même nombre de substitutions de G, à savoir le nombre de ces dernières substitutions qui correspondent à la substitution unité des cp ; si, en elfet, 2 et S' sont deux substitutions de G correspondant à une même substitution de g, la substitution

V-l V'

de G correspondra à la substitution unité des cp et l’on aura 2! = 2a- en désignant par ? une substitution de G correspondant à la substitution unité des cp.

Or le nombre des substitutions a- est précisément égal à celui des substitutions qui appartiennent à tous les sous-groupes correspondant respectivement aux fonctions cp ; nous venons de les considérer à la fin du paragraphe précédent, et nous avons désigné par H le groupe que forme leur ensemble. L’ordre de H sera le nombre des substitutions de G qui correspondent à une même substitution de g.

On peut désigner par le symbole

G ! r

le groupe des cp que nous venons de définir.

Examinons le cas où T est un sous-groupe invariant de G; le groupe H coïncidera avec F. En revenant au Tableau

c/2 en

r "p

, S„

T, , T, S,,    .... T,

-p

T,Ai S,, TV, S,,    T„_! S

on voit qu’à chaque substitution des cp correspondent dans G les u substitutions d’une même ligne; en effet, les deux substitutions

T,Sa et T/Sp

donnent la même permutation des cp, à savoir celle qui correspond à la permutation T/. Le groupe g des es est d’ordre /?.

Si le groupe des z> admet un sous-groupe correspondre aux G' formé seulement d’une partie des substitutions de G. Ce groupe sera formé d’un certain nombre de lignes du Tableau, et il contiendra

l'isomorphisme fera substitutions de ce dernier dans G un sous-groupe

a>

la première qui correspond à la substitution unité.

On en conclut que G' contient le groupe 1', qui en est un sous-groupe.

un

Une application importante du résultat précédent concerne le cas où le groupe T est un sous-groupe invariant maximum de G. Nous entendons par sous-groupe invariant maximum d’un groupe G un sous-groupe invariant F tel qu’il n’existe aucun groupe, sous-groupe invariant de G, contenant F comme sous-groupe. Dans ce cas, le groupe g des cp doit être simple, car autrement il contiendrait un sous-groupe invariant g' auquel correspondrait un sous-groupe invariant G', qui admettrait lui-même le sous-groupe T, et celui-ci ne serait pas, par suite, un sous-groupe invariant maximum. La réciproque est évidente : si g est un groupe simple, F est sous-groupe invariant maximum.

Si nous revenons au cas général, dans lequel I' n’est pas un sous-groupe invariant, on montrera de la même manière que, si le groupe Fï est un sous-groupe invariant maximum, le groupe g est simple.

24. Après la notion de groupes simples et de groupes composés, introduisons encore une autre notion jouant dans la théorie un rôle capital. On dit d’un groupe qu’il est transitif quand il existe dans ce groupe au moins une substitution remplaçant un élément quelconque xK par un autre élément x$ arbitrairement choisi. Un groupe qui n’est pas transitif est dit intransitif.

Reprenons, par exemple, la fonction déjà considérée (§ 7)

X\X₂-1— x₃xw.

Il existe un groupe de huit substitutions la transformant en elle-même, et parmi ces substitutions on peut en trouver qui remplacent X\ par une quelconque des autres lettres x₂, x₃, x.t. Le groupe correspondant à cette fonction est donc transitif.

Prenons maintenant la fonction

X\ x₂— X₃Xj,.

Parmi les substitutions transformant cette fonction en elle-même, il n j en aura pas remplaçant x, par x:x ou xh ; le groupe de cette fonction est intransitif (').

V. — Composition des groupes: théorème de M. Jordan.

un Chapitre important de un groupe composé G; formons

*2o. La composition des groupes forme la théorie des substitutions. Soit une suite de groupes

G, G|, G„ .... G/m 1

dont chacun est

un sous-groupe invariant maximum du précédent, et dont le dernier est formé par la substitution unité. Soient

> mpi

m, ni\, m₂,

les ordres respectifs de ces groupes. Les nombres

ni[

m,,

1 -

sont des entiers, puisque chaque groupe est un sous groupe du précédent. On les appelle les facteurs de composition du groupe G-Il peut arriver que les opérations précédentes puissent se faire de différentes manières. A chaque série de groupes correspondra alors une suite de facteurs de composition. M. Jordan a démontré (-) que les fadeurs de composition sont les mêmes, à l’ordre près, et, par suite, sont en même nombre.

Ainsi, si l’on a les deux suites de groupes

■S

( ') Outre la notion de groupe simple ou composé et de groupe transitif ou intransitif, une autre notion est encore d’une certaine importance dans la théorie des groupes : c’est celle de la primitivité. Quoique nous n’ayons pas à en faire usage dans la suite, indiquons cependant une définition. Un groupe transitif est dit non primitif lorsque les lettres peuvent y être réparties en systèmes contenant le môme nombre de lettres et telles que, dans toutes les substitutions du groupe, les lettres de chaque système soient remplacées par les lettres d’un même système. Les groupes dans lesquels les lettres ne sont pas susceptibles d’ètre réparties en de tels systèmes sont dits primitifs.

(²) C. Jordan, Traité ctes substitutions, p. 48.

on aura p=pet les quotients des m relatifs au second groupe seront les mêmes, à l’ordre près, que pour le premier.

26. Pour démontrer cet important théorème, commençons par un Jemme préliminaire ('). Soient G et G'deux groupes permutables, c’est-à-dire tels que l’on ait

G'GG'-<= G,

en entendant par là que la transformée du groupe G par une substitution quelconque de G' redonne le groupe G, et inversement. Désignons par m et ni' les ordres de ces deux groupes. Les substitutions communes à G et G' forment un groupe T d’ordre pi, et l’on a

ni' — n' \i.

En employant les notations analogues à celles des paragraphes 19 et 20, nous pouvons mettre les substitutions de G et G' sous la forme des deux Tableaux :

S„ T, S,*

, S„ ..., T₂ Sjt et

m — n [jl,

cn en

t;

J- en

, T' S₂,    ..

, t; s,, .

H E-

en en

T^S,, T„S,,

Tn'Sjj.,

nous introduisons seulement, pour la symétrie, la substitution T, = T, = i ; on a aussi S « = i, comme plus liant.

Montrons que les substitutions

TÇTpSa

groupe d’ordre 'Ü1HL contenant les deux groupes G r

forment un

et G' comme sous-groupes invariants, et que le groupe r(S,, S₂, ..., Sp) est

Démontrons d’abord la dernière partie de l’énoncé; on a

un

sous-groupe invariant de G et de G'.

rpsrsa( TpSy) ¹ — TpSySaSy¹1 p¹ — JpSa> 1 p¹ — Sa La dernière de ces égalités provient de ce que les deux groupes G et

('; Nous suivons la même marche que M. Nktto dans son Traité des substitutions ( p. 87 et suiv.).

G⁷ sont permutables, car, Sa' appartenant à G⁷, sa transformée par la substitution Tp de G appartient à G⁷; d’autre part, cette transformée de par Ta, formée de substitutions de G, appartient à G : elle appartient donc à G et à G⁷, c’est donc une substitution S*.

Pour la première partie du lemme, faisons le produit de deux substitutions de la forme indiquée; en désignant par la lettre S avec un indice une substitution de G, on aura à faire le produit des deux substitutions

(O

T y 51), et Ty'l);

Or, le produit TÇS) Ty Sx' peut s’écrire

TyTrSX"£>/

si l’on observe que l’on a

-ÀTy'= TÇ-Sx»

comme conséquence de la relation TÇ7¹ SxTy = Sx", qui exprime que les groupes G et G⁷ sont permutables. Or, d’autre part,

TyTy-= Ty»Sa'.

Nous avons donc le produit des substitutions (e) sous la forme

Ty» Sot' Sx» SX' = Ty" Sx» ;

il est, par suite, de même forme que chacune des substitutions (e). On verrait, par des transformations analogues, que l’inverse d’une substitution de la forme (s) et le quotientde deux telles substitutions sont encore de la même forme. Ces substitutions forment donc un groupe; nous l’appellerons le groupe à.

Pour évaluer l’ordre du groupe ainsi obtenu, et montrer qu’il est égal au nombre des T⁷ multiplié par le nombre des S, c’est-à-dire

«'«a ou ., il suffit de faire voir que toutes les substitutions TyTpSa sont distinctes, a, [j, y ayant les valeurs

'CO «

• • * f*. ..,n,

Si 1 on avait, en effet,

TyTaSa= Tÿ'Tp'Sa',

49°

on en déduirait

TyT¹ Ty = Tp-Sa'S'â¹ Tp¹ ;

le premier membre représente une substitution du groupe G', le second une substitution du groupe G ; ils ne peuventêtre égaux que si leur valeur commune représente une substitution de T, c’est-à-dire une substitution S. On aurait donc

ou

Ty-‘Ty= Sg Ty = Ty.Sg,

ce qui ne peut avoir lieu, d’après la loi même de formation des deux Tableaux, que si y = y' et Sg = i. On en déduit

Tp = Tjg'Sa'Sâ¹

et, par suite, |3 = (3', a = a' pour la même raison. U ordre du groupe b.

, j mm! est donc--

une substitution quelconque de A. La transformée de la première par la seconde est

Le groupe A admet évidemment comme sous-groupes les groupes G et G'; il faut faire voir que chacun d’eux, G, par exemple, est un sous-groupe invariant. Soient 22a une substitution quelconque de G, et TySp

Or, G et G' étant permutables, la transformée de Sg par T' donne encore une substitution de G. et le théorème est établi.

^ • Aruvons maintenant à la démonstration du théorème de M. .loidan. Ln partant du groupe G, nous avons, on le suppose, les deux suites définies plus haut

Les deux

O O

d o~

groupes G, et G' sont permutables, et nous allons leur appliquer le théorème que nous 'venons d’établir pour les groupes appelés G et G'au paragraphe précédent . Que devient ici le groupe A? 11 doit se confondre avec G. Tout d’abord, en effet, A n’admet que des substitutions appartenant à G; c’est donc

un

sous-groupe de G.

Lnsuile c’est un sous-groupe invariant, comme le sont G| et G', ce que vérifie un calcul tout analogue à ceux que nous avons faits plus haut. Si donc A ne se confondait pas avec G, ce serait un sous-groupe invariant de G admettant G| et G' comme sous-groupes, ce qui est impossible, puisque G! et G't sont des sous-groupes maximums.

Il résulte de là (pie, si l’on désigne par

ni i, ni», ... m\, ni'», ...

les ordres des groupes des deux suites, on aura p désignant l’ordre du groupe T formé par les substitutions communes deG| et de G'.

D’autre part, le groupe T d’ordre u est un sous-groupe invariant de G, et G', d’après le théorème du paragraphe précédent; nous allons montrer qu’il est maximum. Supposons, en effet, qu’il existe un sous-groupe H invariant de G₍ contenant F.

Nous allons montrer que le groupe H est permutable à G,. Désignons respectivement par s, s' et A, avec des indices, les substitutions de G,, de G’ et de H. On voit de suite, en groupant convenablement les termes, que la substitution

¹

appartient à la fois à G₍ et à G J et, par suite, à F. Soit S>. cette substitution. On en conclut

¹ = S >.Aa= h»,

ce qui montre que II et G J sont permutables.

Appliquant alors le même théorème à ces deux groupes, on pourrait former un groupe permutable à G et contenant G, comme sous-groupe, ce qui est impossible, puisque G' est maximum. Le groupe H n’existe donc pas, et F est un sous-groupe invariant maximum de G|

et g;.

Considérons maintenant une suite de composition du groupe T

i;

Y, r„ ..

49²

les deux suiles

(NI)

(IV)

G, G„ G, G'

r, G, • r, r;,    !

formeront deux suites de composition du groupe G. Pour ces deux suites les facteurs de composition sont les mêmes; la chose est évidente à partir de T, puisque les termes sont identiques; et, pour les deux premiers intervalles, cela résulte de la relation établie ci-dessus

ni

’j.

ou

tn i

donc l’ordre seulement des deux premiers facteurs est interverti.

Puisque les séries (III) et (IV) ont les mêmes facteurs de composition, le théorème que nous avons en vue sera établi, si nous prouvons que (1) et (III), d’une part, (II) et (IV), d’autre part, ont les mêmes facteurs. Mais, pour ces deux derniers couples, la démonstration est d’un degré moindre de difficulté, car, tandis que les suites (I) et (II) n’avaient qu’un groupe commun (le premier), les suites (I) et (III) ont deux groupes communs G et G₍ ; en raisonnant de la même manière on ramènera la démonstration à celle du théorème pour le cas de deux suites ayant les trois premiers groupes communs, et ainsi de suite, de proche en proche; ce qui établit le théorème.

28. Dans un intéressant Mémoire ('), M. Hôlder a étendu le théorème de M. Jordan, en établissant que, non seulement les facteurs numériquesde composition forment une suite invariable, mais que les groupes considérés plus haut (§ 23), désignés par

G | G,, G, ! Go, ..

et que l’on peut appeler les groupes facteurs de G, forment une suite qui est seulement permutée lorsqu’on passe d’une suite de composition de G à une autre. Nous renverrons pour la démonstration au travail de M. Hôlder.

(¹ ) O. Hôlder, Zuriickführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen (Math. Annalen, t. XXXIV, 1889). Ce Mémoire conlient une remarquable et rigoureuse exposition des principaux problèmes concernant le groupe d’une équation.

29. Comme exemple, considérons le groupe symétrique et cherchons à le décomposer en formant la suite définie ci-dessus. Nous ferons d'abord une remarque générale sur la transformée d’une substitution par une autre substitution; soient S une substitution et

Tst-i

sa transformée par T. Montrons que ces deux substitutions sont composées d’un même nombre de cycles portant respectivement sur un même nombre de lettres, ce qu'on exprime souvent en disant qu’elles sont semblables. En effet, soit

S = (xt x₂x₃ .. .)(xk

en mettant les cycles en évidence, et soit la substitution

X^XfiX: . . . X\. . . Xyj \    ,

Xt X, X₃ ... X/,... X a )

En effectuant successivement les trois substitutions T⁻¹, S, T, l'élément xa est remplacé par x{, puis par x->, et enfin par xq] donc la substitution TST⁻¹ transforme xa en.rp, puis x$ en Xy, et ainsi de suite, de telle sorte que

TST—¹ = (xxxpxy ...) (x-,....)..

ce qui établit bienl'assertion posée plus haut. Il en résulte immédiatement que les deux substitutions S et TST⁻¹ peuvent être obtenues en faisant un [même nombre de transpositions, puisque des substitutions circulaires d’un même nombre de lettres correspondent à un même nombre de transpositions.

symétrique, étant

Ceci posé, nous pouvons montrer que le groupe alterné est un sous-groupe invariant du groupe symétrique, car la transformée d’une substitution du groupe alterné par une substitution quelconque renferme, d’après ce qui précède, un nombre pair de transpositions et appartient, par conséquent, au groupe alterné. On remarquera, en outre, que le groupe alterné est un sous-groupe invariant maximum du groupe symétrique, puisque l’ordre d’un sous-groupe du groupe un diviseur de 1.2 ...n: ne peut être supérieur

Nous allons maintenant établir que, si n est supérieur à quatre, il

n’y a pas cVautre groupe invariant dans le groupe symétrique que le groupe alterné. Nous emprunterons Ja démonstration de ce théorème au Traité de M. Jordan (p. 63).

Soit I' un sous-groupe invariant du groupe symétrique. Supposons en premier lieu que, parmi les cycles d’une de ses substitutions S, il en existe un contenant plus de deux lettres; comme, par une substitution convenable du groupe symétrique, cette substitution S se transforme en une substitution quelconque pourvu que cette dernière ail ses cycles en même nombre et avec le même nombre de lettres que S, nous aurons certainement dans T les deux substitutions

S, = (xaxpxy . .. _rg) (x=

S, = (x^x^Xy • • • ^8)

les cycles non écrits étant les mêmes dans les deux substitutions. Prenant maintenant la substitution

Sf¹ S„

elle fera aussi partie de T; mais elle se réduit visiblement au cycle portant sur trois letLres arbitraires

{XoLXfrXb),

toutes les lettres autres que^a, xp, a?g n’étant pas modifiées.

Supposons en second lieu que tous les cycles de S contiennent au plus deux lettres; nous aurons dans F les deux substitutions

51    = (x^xp) (XyXS) . .

5₂    = (x^Xy) (xpxs). . .,

les cycles non écrits étant toujours les mêmes, et, par suite, leur produit S₂ S| est égal à

V = (xzX5)(xpxr),

toutes les lettres autres que xa, x$, xp, Xy n’étant pas modifiées. Soit maintenant /i>4; le groupe T contiendra de même

-1 = (XxXg) (x^Xy),

X étant une lettre arbitraire différente de x, ,3,y,ô. On a enfin

Si- = (^aX^xr),

et nous avons encore dans T une substitution circulaire d’ordre trois portant sur trois lettres arbitraires.

Or, il est aisé de voir qu’un groupe, contenant tous les cycles de trois lettres arbitraires, se réduit au groupe symétrique ou au groupe alterné. En effet, le produit T' T des deux substitutions

I = (xtx₂x₃), T' = {xx x^x\ )

est égal au produit

Oi^O (XïXt)

de deux transpositions, et inversement le produit de deux transpositions est égal à un produit de substitutions circulaires de trois lettres. Il en résulte que le groupe F contient nécessairement le groupe alterné; si donc il ne coïncide pas avec le groupe alterné, il sera nécessairement le groupe symétrique.

Nous allons maintenant montrer que le groupe alterné de n éléments est simple (/i >4) et que, par conséquent, la suite de composition du groupe symétrique G est

G, Gj, i,

G| désignant le groupe alterné. J’indiquerai de ce théorème la démonstration suivante, qui m’a été communiquée par M. Simart. Supposons que le groupe alterné possède un sous-groupe invariant T. On peut mettre le Tableau des substitutions du groupe symétrique G sous la forme

S„ S2, . • •,

TSi, TSj, .... TS^, ..., TSn.

La première ligne représente le groupe alterné G, et T désigne une substitution arbitraire de G n’appartenant pas à Gt, par exemple la transposition (xx x.é).

Soient S,, S₂, ..., Sjj. l’ensemble des substitutions formant dans G( le groupe invariant T. Le groupe transformé de F par T, soit T', appartient à G₄ et est un groupe invariant de G₍. En effet, en désignant par S une substitution quelconque de G,, on remarque d’abord que ST = T2', puisque ST est une substitution de G n’appartenant

4o⁶

pas à G|, et l’on en déduit

2TSpT-‘2-‘= (ST)Sp(2T)~i ₌ T2'Sp2'-*T-» = TS«T *,

Sa, Sp désignant des substitutions du groupe F.

Supposons que ces deux groupes F et F⁷ aient des substitutions communes : elles forment un nouveau groupe F⁷⁷ invariant de Gt, dont la transformée par T est identique à F7/, car la transformée de F7 estT, comme on le voit immédiatement. O11 en conclut que T" est un invariant du groupe symétrique. Mais il résulte du théorème précédent que, pour n > 4, le groupe G symétrique n’a pas d’autre invariant que le groupe alterné G,. Donc les groupes F et F n’ont, en dehors de la substitution un, aucune substitution commune. D’ailleurs, T et T⁷ sont deux groupes invariants de G,, permutables. Appliquant le lemme du paragraphe 26, on pourra former avec ces deux groupes un groupe A d’ordre p.-, invariant de Gt, dont le terme général sera

OL

TSpT-«S«

et ce groupe A sera aussi un invariant du groupe symétrique G : on a, en effet,

(ZT)TSpT-»Sa(2T)-' = SSfjT-'SaTSp‘ = ETSyT-¹ SpS-¹.

Par suite, le groupe A doit, dans le cas général, coïncider avec le groupe alterné G,, ce qui entraînerait l’égalité u- _ ¹ -    ”, qui est

impossible, comme on le voit facilement en s’appuyant sur ce théorème : entre a et 2 a — 2 il y a au moins un nombre premier.

La proposition est donc établie.

La conclusion précédente ne s'applique pas à n — 4; le groupe symétrique G contient alors d’autres groupes invariants que le groupe alterné G₍ ; il nous suffira d’en indiquer un. Nous avons considéré (§ 7) le groupe T, d’ordre huit, laissant invariable la fonction

= xx x₂ -+- 0-3X1,,

et ce groupe T nous a conduit aux trois fonctions o,, Ço, <p;j en posant

®2 = Xi x₃-h X-îX,,,

03 — XtXi-t x₂x₃.

S₄ = (.r, x^)(x₂x₃),

D’après ce que nous avons vu (§22), le groupe H, laissant invariables o,, o₂, '-p3, sera un groupe invariant dans G. Or, ce groupe H contient d’autres substitutions que la substitution un; ilest formé des quatre substitutions

Si = i,

S₂ = (a:₁a7₂)(a7₃a:t),

S₃ = (x₁x₃)(x₃xi),

qui laissent toutes quatre invariables les fonctions <p. Le groupe II est aussi un sous-groupe invariant du groupe alterné G|, et si, enfin, nous considérons le groupe H' formé par les deux substitutions

Zi = i

V₂— ( X \ x% ) (x₃x^),

ce groupe est un sous-groupe de H, et il en est manifestement un sous-groupe invariant; car la transformée de S₂ par une substitution de H, par exemple S₃, est égal à S₂.

Il résulte de là que, si nous considérons la suite des groupes

G, G,, II, H',

chaque groupe est un sous-groupe invariant du précédent, et les ordres de ces groupes sont respectivement

24i I2,    4,    2,

Cette suite joue un rôle important dans la résolution de l’équation du quatrième degré, comme nous le verrons au paragraphe 40.

VI. — Réduction du groupe d’une équation algébrique.

30. Les propriétés du groupe d’une équation sont extrêmement importantes pour l’étude de cette équation. Nous partons toujours d’un domaine donné de rationalité; nous considérons une équation dont les coefficients appartiennent à ce domaine, et nous commençons par quelques théorèmes et remarques préliminaires. Démontrons d’abord que toute équation irréductible a son groupe transitif et réciproquement.

Je suppose, en effet, que le groupe G de l’équation

f(x)

= o

de degré n ne soit pas transitif; il existera alors au moins un groupe P. - lit.

498

Xa en nombre inférieur à /j, tel que toutes les

de racines x{, x

substitutions de G les laissent invariables ou les permutent entre elles, mais non avec les autres. Les substitutions de G n’allèrent donc pas les fonctions symétriques de X\,..., xa ; donc ces fonctions sont rationnelles et f(x) admet le diviseur de degré a n

(x — x{ ).. .{x — xa),

dont les coefficients appartiennent au domaine de rationalité, et l’équation est réductible.

Réciproquement, supposons G transitif : je dis que l’équation est irréductible. En effet, si elle ne l’était pas, nous aurions pour f(x) un diviseur rationnel

O(x) = (X — Xi )... (x

Va)

(a < n).

xa; G contient une

Or soit xa+t une racine de f{x) autre que xt, substitution S qui remplace xt par xa+i. Cette substitution transformera donc o(x) en un autre produit différent de celui-là, puisqu’il contient le facteur a? — tra+l. Donnons à x une valeur arbitraire du domaine de rationalité : dans ces conditions, f(x) devrait être rationnellement exprimable, mais cela sera impossible parce qu’alors il devrait rester invariable par les substitutions de G, ce qui n’a pas lieu, puisque, après la substitutions, f(x) se transforme en un autre produit, et les deux produits ne peuvent être égaux pour toute valeur de x du domaine de rationalité, car cela entraînerait leur égalité manifestement impossible pour toute valeur de x.

31. Nous avons rencontré plus haut des équations irréductibles dont les racines sont fonctions rationnelles d’une d’entre elles. Considérons d’une manière générale une équation de cette nature et montrons que l’ordre de son groupe est égal à son degré.

Soient, en effet, xK , x₂, • . • , xn les racines de l’équation irréduc

tible

f(x) = O

et la fonction V considérée dans la théorie de Galois V = diXi-h a-iX-i-h. . .-t- a„xn.

Puisque x-₂, ..., xu sont des fonctions rationnelles de xt, on pourra exprimer V en fonction rationnelle de xt ; soit

V = R(^j).

L’ordre du groupe de l’équation f est le degré de l’équation irréductible dont V est racine; il ne peut donc être supérieur à /i, car R(a?t) ne peut avoir plus de n valeurs. Mais, puisque ce groupe est transitif, il faut qu’il contienne au moins n substitutions pourquea?( puisse être remplacé par lui-même et chacune des autres lettres x₂, • •., xn. L’ordre du groupe est donc égal à n.

La réciproque de ce théorème est donc exacte, c’est-à-dire que, si le groupe d’une équation est transitif et si son ordre est égal à son degré, toutes les racines de l’équation sont fonctions rationnelles d’une quelconque d’entre elles. En effet, d’abord l’équation est irréductible, puisque son groupe est transitif. Ensuite, considérons une des racines x, et adjoignons-la au domaine primitif de rationalité. Le groupe de l’équation se réduira, après cette adjonction, aux substitutions laissant xt invariable; mais, puisque le nombre des substitutions est égal à /i, il n’y a d’autre substitution que la substitution unité laissant x, invariable, car, s’il y en avait p, l’ordre du groupe serait égal au moins à on. Donc le groupe se réduit à la substitution unité. L’équation irréductible <j> (V) = o de Galois est donc du premier degré et, par suite, l’équation est résolue. Donc x₂, ..., xn sont fonctions rationnelles de x,.

a une racine gnantaau domaine de rationalité l’expression

Le cas oit le nombre n est premier est particulièrement simple. Prenons une des substitutions du groupe qui ne soit pas la substitution unité; ses diverses puissances forment un sous-groupe du groupe considéré, dont l’ordre doitêtre un diviseur de n. Ce sous-groupe est par suite d’ordre n ; il forme donc le groupe total qui est alors formé des puissances d’une même substitution. Celle-ci doit se réduire à une substitution circulaire, car, si elle se composait de plusieurs cycles, l’ensemble de ces puissances formerait un groupe dont l’ordre serait le plus petit multiple commun desnombres de lettres des différents cycles et, par suite, n ne serait pas premier. Il est aisé de montrer que Véquation peut être résolue par radicaux. Soit, en effet, n'ème de l’unité; on voit immédiatement qu’en adjoi-

-+- <xx₂ -h.. .-h a

Xo, ..., xn une permutation circulaire. 11 en résulte

■pN

est rationnellement exprimable, car elle reste invariable quand on eff ectue sur x

5oo

que les n expressions

XI -f- OC X 2 —J— . . . H— OC¹¹ * X fl

où l’on donne à a les n valeurs racines de l’équation xn = i, peuvent, s’exprimer par des racines n

de quantités connues, et l’équation est par sui te soluble par radicaux. En dehors des racines /ïlèmes de l’unité, il suffit d’introduire dans cette résolution un seul radical; je dis effet, que si ,8 et a désignent deux racines /ile"ies de l’unité distinctes de l’unité, on pourra exprimer

ièmes

en

Ç>X₂~h. • • -P

V(3=    +

rationnellement au moyen de

Va= Xi 4- ax<l -f-. .. -f- ct,n~rxn.

On sait, en effet, que (3 peut se mettre sous la forme oc?, q étant un entier; considérons alors le produit

(xi -f- a'/Xz-h.. .-I- a?!"-¹>xa) X (x^ -f- a-+- • • • -+- x''-¹ xa ) 1.

line change pas quand on fait la permutation circulaire (x{,    xn),

comme on le reconnaît de suite. Ce produit s’exprime donc rationnellement et, par suite, Vp s’exprime rationnellement à l’aide de Va; nous n’avons donc qu’un seul radical /i¹⁰¹"⁸ dans l’expression des racines, indépendamment des racines /1,8",L‘S de l’unité.

32. Nous avons montré, au paragraphe 18, que l’on pouvait prendre une fonction rationnelle des racines d’une équation sous une forme ou sous une autre, du moment que les substitutions àeffectuer appartiennent au groupe de l’équation; c’est une remarque qui nous permet, sous la condition indiquée, de raisonner sur les fonctions rationnelles des racines comme si ces racines étaient des variables indépendantes; soit une fonction rationnelle

(f(xux₂, . ..,xn)

des racines de l’équation/'(a?) = o, et supposons que, pour l’ensemble des substitutions du groupe G de cette équation, la fonction o prenne p valeurs numériques (■) distinctes que nous désignerons

(l) Il ne s’agira plus, par la suite, que des valeurs numériques des fonctions des racines, et, quand nous parlerons d’une fonction transformée en une autre par une substitution, il sera toujours question de la valeur numérique de la fonction.

par

fa,

?p.

Si p est moindre que l’ordre v du groupe G, il y aura un certain nombre r de substitutions transformant cp, en lui-même. En raisonnant alors comme nous l’avons fait au paragraphe 20, on mettra l’ensemble des substitutions de G sous la forme

Si,

s„

T, S„ T, S„    T

S,,

S,,

Tp—i S i, T p_! S₂,    Tp—jS,..

Les substitutions de la première ligne forment un groupe qui transforme cp, en elle-même. Le groupe de substitutions

T,SXTT»

(X = i, a, ..., r)

transformera cp₂ en elle-même ; tous les raisonnements sont les mêmes qu’aux paragraphes 20, 21, 22, 23, et les mêmes considérations trouvent leur place, quoiqu’il s’agisse ici de valeurs numériques des fonctions, tandis qu’on considérait plus haut des fonctions variables indépendantes.

Nous avons déjà dit que cpt, cp₂, ..., cpa satisfont à une équation d’ordre p à coefficients rationnellement exprimables. Cette équation est irréductible, car autrement on aurait un facteur

(k < ?),

{y — ?i )(y — ?a)- • -O — ta)

qui serait rationnel, en prenant pour y une quantité quelconque du domaine de rationalité. Ce facteur devrait rester invariable pour toute substitution du groupe, ce qui est impossible puisque, par une substitution du groupe, on peut changer ç>, par exemple en cp^, k' étant supérieur à k. Nous désignerons par

Si?)

l’équation ayant pour racines <p,, cp₂,..., cpp. On peut dire que son degré est égal au quotient de l’ordre du groupe G par l’ordre du groupe laissant cp, invariable.

33. Ces remarques faites, arrivons au problème de la réduction du groupe d’une équation.

CHAPITRE XVI.

5o2

Quand on a formé la résolvante de Galois

V(V) = o

et, pour un domaine donné de rationalité, pris un facteur irréductible

<K.V) = o,

la série des opérations effecluables est terminée. Les opérations ne pourront être poussées plus loin que si Vadjonction de certaines grandeurs non rationnellement exprimables dans le domaine primitif rend réductible Je polynôme d»(V).

Supposons d’abord que l’on adjoigne une fonction rationnelle

œiOl, Xt, .. .,æn)

des racines. On remarque tout d’abord que les substitutions de G, n’altérant pas la valeur numérique decp,, forment évidemment un groupe T, et l’on va montrer que Vadjonction de la, valeur de cp, réduira le groupe de Véquation précédente à T.

En effet, après l’adjonction de <p₍, Je groupe de l’équation ne peut contenir que des substitutions du groupe initial n’altérant pas v, ; donc ce groupe ne peut être que T ou un groupe contenu dans I\ Mais il est facile de voir que toutes les substitutions de T feront partie du groupe cherché; car toute fonction des racines exprimable rationnellement après l’adjonction de o, sera de la forme

P(?.),

P étant rationnelle.

Elle restera donc invariable pour toutes les substitutions qui laissent cpf invariable. Inversement, toutes les fonctions des x invariables par les substitutions de I' s’expriment rationnellement à l’aide de cp,, d’après le théorème de Lagrange étendu aux valeurs numériques (§ 18). Le théorème est donc établi.

Plus généralement, si l'on adjoint plusieurs Jonctions des racines, le groupe de Véquation sera réduit au groupe des substitutions contenues dans G et n’altérantpas les différentes fonctions.

34. Supposons maintenant que l’on adjoigne au domaine primitif de rationalité les racines de l’équation considérée ci-dessus

S(ç>) = o,

ou, ce qui revient au même, les valeurs des p fonctions rationnelles ©₍,©₂, . cpp. Le groupe de l’équation se réduira au groupe des substitutions contenues dans G et n’altérant pas ces différentes fonctions.

Ceciposé, les sous-groupes correspondantauxdifférentesfonclions©, considérés au paragraphe 32, peuvent n’avoir d’autre substitution com-inune que la substitution unité. Le groupe II, considéré à la fin du paragraphe 22 et qui représente le plus grand sous-groupe laissant invariables ç,, cp₂,.. ., çp, se réduit alors à la substitution unité, et par suite l’adjonction des racines de l’équation S réduit alors à l’unité le groupe de l’équation. Celle-ci se trouve par conséquent résolue, et l’on est assuré de pouvoir exprimer les racinesde l’équation f(x) = o rationnellement au moyen des racines de l’équation S. On n’aura d’ailleurs aucune difficulté à reconnaître si l’on se Lrouve dans le cas qui nous occupe, car on pourra, comme on sait, chercher d’une manière régulière le groupe de l’équation en adjoignant ©,, cp₂,... ,cpp, et l’on pourra constater si ce groupe se réduit à la substitution unité, c’est-à-dire si la résolvante de Galois admet un facteur rationnel en V du premier degré. Le cas que nous venons d’étudier n’amène en définitive aucune simplification dans la résolution de l’équation; la résolution des équations f(x) et S(ç) sont alors deux problèmes absolument identiques. On remarquera que ce cas se présentera toujours quand le groupe G est simple.

Il en est tout autrement si le groupe H ne se réduit pas à la substitution unité. Après l’adjonction de ©,, cp₂, ..., cpp le groupe de l’équation ne se trouve pas réduit à la substitution unité, puisqu’il se réduit à H. Soient m l’ordre de G et nit l’ordre de H. Cherchons l’ordre du groupe de l’équation

S(<p) = o.

On trouvera le groupe de S en posant

W= «iŸi-4- «iÇî-t-.. .-t-

les u étant des constantes arbitraires appartenant au domaine de rationalité ; le degré d’un facteur irréductible de l’équation donnant W sera l’ordre du groupe de S. Mais, d’autre part, W peut être regardé comme une fonction rationnelle des racines de l’équation f{x) = o, laquelle fonction, non altérée parles substitutions de II, l’est évidemment par toute autre substitution de G. Elle dépend donc, d’après le paragraphe 32, d’une équation dont le degré est égal au rapport des ordres de G et de H. Nous pouvons donc dire que Véquation S

un

a un groupe d’ordre nous savons d’ailleurs (§ 22) que II est

sous-groupe invariant de G.

Ainsi, par l’adjonction des racines de l’équation auxiliaire S, dont

le groupe est d’ordre nous abaissons l’ordre du groupe de l’équation donnée f à m{ ; le problème de ta résolution de l’équation f est donc ramené à deux problèmes d’un caractère plus simple, puisque les ordres des groupes des équations qu’on a maintenant à considérer sont moindres que m.

33. Nous avons déjà considéré, au paragraphe 23, le groupe de l’équation S; les notations étaient seulement un peu différentes. Ce groupe, relatif aux çp, y était désigné par la lettre g; nous avons vu en particulier que, si H est un sous-groupe invariant maximum, le groupe g est simple. Par suite, le groupe relatif à l’équation S sera, dans ce cas, un groupe simple.

Ceci nous suggère une marche à suivre, pour réduire à des problèmes plus simples la question de la résolution d’une équation f(x)= o. Désignons toujours par G le groupe de celte équation pour un domaine donné de rationalité; nous avons dit, au paragraphe précédent, que la considération d’une équation résolvante comme S ne simplifie rien quand G est un groupe simple, car les résolutions des équations f et S constituent deux problèmes identiques. Mais supposons que le groupe G soit composé, et désignons par G₍ un sous-groupe invariant maximum de G; on peut former une fonction rationnelle © des racines de f restant invariable par les substitutions de G et par ces substitutions seulement. Cette fonction dépendra

d’une équation dont le degré sera le quotient l’ordre de G et par m, l’ordre de G< ; soit

M?)

cette équation. Son ordre sera égal à son degré, d’après la règle du paragraphe précédent, et son groupe sera simple. L’adjonction des racines de cette équation réduit à G₍ le groupe de l’équation f.

> en désignant par ni

THÉORIK DES SUBSTITUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

Nous pouvons continuer de la même manière en partant de G₍, si ce groupe n’est pas simple. Reprenons donc la suite des groupes

G, Gi, G₂. ..., Gp,

considérée au paragraphe 25, et soient

m, mu m₂,

ni,,,

les ordres respectifs de ces groupes; nous sommes alors conduit au théorème suivant :

La résolution de Véquation proposée dépendra de la résolution d’équations successives

2,,

Chacune de ces équations est irréductible dans le domaine primitif auquel on adjoint les racines des équations précédentes et son groupe est simple; l’ordre de ce groupe est égal à son degré, et ces degrés sont respectivement

m,,.

nii ’ m2 ’

Le groupe de Véquation primitive f, après adjonction des racines des équations 5, se réduit successivement à

G/;,

Gi, G₂,    ..

On voit l’importance que prend alors le théorème de M. Jordan, démontré dans la Section Y. Les degrés des équations que nous venons de signaler sont indépendants de la façon dont on formera la suite de composition. Le théorème de M. Hôlder (§ 28) nous montre déplus que non seulement les ordres des groupes auxiliaires, mais ces groupes eux-mêmes, restent les mêmes, à l’ordre près,

36. Nous avons supposé jusqu’à présent qu’on adjoignait une fonction rationnelle des racines de l’équation. Galois suppose d’abord dans son Mémoire que l’on adjoigne une racine r d’une équation auxiliaire irréductible F(r) = o. 11 est aisé de montrer que le point de vue auquel nous nous sommes placé est, au fond, identique à celui de Galois.

Cherchons d’abord la nature des modifications que pourra amener l’adjonction de r. Le facteur irréductible <j/(V) peut alors devenir réductible; s’il en est ainsi, on aura un facteur

X(v> r).

Il n’y a pas, dans cette réduction, à distinguer une racine d’une autre pour l’équation donnant r, et l’on aura ainsi dans <j;(V) un nombre de facteurs égal à /?, s\ p désigne le degré de l’équation en /•.

D’après cela, si l’on représente par , /’₂, . . ., rp les racines de l’équation F(r) = o, le polynôme <l(V) sera divisible par chacune des fonctions

O)

X(v>⁷’ib X(v>c₂),    •••) X(v>rr)-

Le produit de ces fonctions est une fonction entière de V dont les coefficients appartiennent au domaine primitif de rationalité; dési— gnons-le par n(V). Les racines de l’équation

I7( V) = o

appartiennent toutes à et elles lui appartiennent nécessairement avec le même degré de multiplicité puisque <ji(V) est irréductible. On aura donc nécessairement

II(V) = [4(V)]*,

en supposant, comme il est évidemment permis, que, dans y et le premier coefficient est égal à l’unité.

Les racines de l’équation sont toutes exprimables en fonctions rationnelles d’une d’entre elles. Soient Va une racine de l’équation

X(V, >’i)

et 9(Va) une seconde racine de la même équation, 0 étant rationnelle. Je dis que, si Vp est une racine de

X(V, c₂) = o,

il en sera de même de 9(Vq). En effet, l’équation

Xf°(V), n] = o

est satisfaite par la racine Va de l’équation '^(V,c₄) = o; elle admettra donc toutes les racines de cette dernière. Ainsi donc

X[»(V), ci],

mise sous forme entière, est divisible par y (V, la division se faisant exactement, le dernier reste, qui est un polynôme en V dont les coefficients sont fonctions rationnelles de r,, sera nul identiquement. Ces coefficients, étant nuis pour /■,, devront s’annuler aussi pour /•;> et les autres racines de F(/’), qui est irréductible; ce qui établit la remarque énoncée.

commune

l’identité

Il en résulte que, si deux polynômes de la suite (u) ont une racine ils ont toutes leurs racines communes; par suite, d’après

n(V) = [<P(V)]r,

il y aura seulement ^ facteurs distincts dans la suite (<r). A l’adj

onction de chacune des racines de l’équation F correspondra pour l’équation un groupe provenant du facteur de la suite (<r) se rapportant à cette racine. Le nombre de ces groupes ne sera pas égal à p,

mais seulement à ^> et leur ordre sera égal au quotient par ^ de

l’ordre du groupe initial. Puisque toutes les racines de l’équation sont fonctions rationnelles d’une d’entre elles, ces groupes sont manifestement les transformés de l’un d’eux par une substitution rationnelle. Si le degré p est un nombre premier et que l’ordre du groupe soit abaissé, on remarquera que q est nécessairement égal à un; les polynômes de la suite (a-) seront alors distincts, et l'ordre du groupe de l’équation sera divisé par />, quand on adjoint une racine.

Dans le cas où l’on adjoindra toutes les racines de l’équation en /•, le groupe de l’équation proposée se réduit aux substitutions communes aux ^ groupes dont nous venons de parler.

Supposons que l’adjonction d’une racine d’une équation irréductible F(r) = o réduise le groupe d’une équation J\x) — o de G à Gj ; je dis qu’on peut opérer une réduction identique en se donnant la valeur d’une fonction rationnelle convenable des racines. On peut, en effet, former une fonction rationnelle des racines dont la valeur numérique reste invariable pour les substitutions de Gj et pour celles-là seulement. CeLte fonction rationnelle    ..., x„)

sera racine d’une équation irréductible d’un certain degré p, soit

S(<?) = o,

l’équation S produit sur le groupe G le meme effet que celle de la racine ; elle ramène le groupe de G à G,.

restant înva-

On peut aller plus loin et montrer que /’adjonction des différentes racines de F(r) = o peut être remplacée par U adjonction des différentes racines de S(cp) = o. Tout d’abord cp riable parles substitutions de G', s’exprimera rationnellement à laide de /•) ; écrivons donc

L’équation

S[0(r)] = o,

admettant la racine /*,, admettra les racines

ru r ₂,

..., />

de l’équation irréductible F. Les quantités

0(>’l),    ® (/>)

sont donc contenues dans la suite

fl, <f2:

?p.

Or l’équation ayant pour racines cp = 0(/v) est à coefficients rationnellement exprimables dans le domaine initial de rationalité; dési-gnons-la par

P(cp) = O.

Toutes ses racines appartiennent à l’équation irréductible

S(ÿ) = o.

J1 faut donc qu’elle les ait toutes et avec le même degré de multiplicité, et, par suite,

P(cp) = [S(o)]p..

Le nombre p sera donc un multiple de p; u. des valeurs 9(/v) sont égales à cp,, p. autres à cp.,, et ainsi de suite.

Ceci posé, soit 0(ra) = çpa, et désignons par G* et G* les groupes auxquels se réduit le groupe de l’équation, lorsqu’on adjoint respectivement ra et cpa. Si G' désigne, comme plus haut, le groupe correspondant à l’adjonction de nous avons dit que Gj et G* sont de même ordre. Il en est de même de G^ et de G,. Comme <pa est rationnellement exprimable après l’adjonction de ra, le groupe G*

contient toutes les substitutions de G^ et, par suite, ces groupes sont identiques.

Le théorème est donc démontré. Le nombre u. est égal à l’entier q rencontré dans la première partie de ce paragraphe.

37. D’après ce qui précède, l’adjonction des racines de l’équation F(/-) = o ramène le groupe de l’équation au groupe commun aux groupes

G'n G's> ..., Gp,

qui correspondent respectivement aux fonctions a,, cf>₂, . . ., op. Le degré p de l’équation F, qui est égal à po, est un multiple de p, et les racines de cette équation se partagent en p groupes de p racines, comme il a été indiqué plus haut.

Arrêtons-nous sur un cas particulier très important pour la suite, .le suppose l’équation F telle qu’une quelconque de ses racines s’exprime rationnellement à l’aide d’une d entre elles. Quand on adjoindra cette racine, il se trouvera alors qu’on adjoindra toutes les autres; il en résulte que les groupes Gj, G!,, . . ., Gp, correspondant à l’adjonction des diverses racines, coïncident. Le groupe G de l’équation, après adjonction des racines de F, se trouve donc ramené au groupe Gj ; le groupe G d’ordre m a donc été abaissé à un groupe

d’ordre —

— . 11 est clair que G' est

un sous-groupe invariant de G.

Particularisons davantage encore en supposant de plus que p soit un nombre premier et que l’ordre du groupe soit abaissé. Puisque p = pp, il faudra nécessairement que p = i et, par suite, l’ordre du groupe

de Véquation sera abaissé de m à

VII. — Des équations résolubles algébriquement.

38. Les généralités qui précèdent sur la réduction du groupe d’une équation sont, à la forme près, entièrement dues à Galois, en faisant seulement exception pour l’importante remarque qui découle des théorèmes de M. Jordan et de M. Hülder. La plus belle application qu’ait faite Galois de sa théorie est relative aux équations résolubles algébriquement. On dit qu’une équation est résoluble algébriquement

ou par radicaux, quand on peut y satisfaire en substituant à x une expression formée au moyen des éléments appartenant au domaine de rationalité et des signes des opérations suivantes de l’Algèbre : addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance entière, extraction de racines d’indice entier, ces opérations étant en nombre limité.

Suivons toujours Galois. Pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe, jusqu’à le réduire à la seule substitution unité. Dans le cas d’une équation résoluble algébriquement, la réduction se fera par l’adjonction successive des racines d’équations binômes que l’on peut supposer de degré premier. Envisageons une telle équation

/O) = O

avec un certain domaine de rationalité, et soit alors G son groupe. Soitp le plus petit nombre premier tel que l’adjonction des racines de l’équation

/•/' = A

réduise le groupe de l’équation ; A est supposé appartenir au domaine initial, auquel on a pu adjoindre des racines d’équations de la forme

ru = B,-.

i»

Bx,

les q étant inférieurs à />, et B/ appartenant au domaine initial, auquel on a pu adjoindre les racines des équations correspondant aux indices 1,2, . . ., i— 1 précédents.

On peut, par conséquent, supposer que, parmi les quantités précédemment adjointes, se trouve une racine pième de l’unité, car cette expression s’obtient par des extractions de racines de degré inférieur à />, et son adjonction n’altérera pas le groupe de l’équation (¹), d’après l’hypothèse faite sur p.

L’équation rP = A va jouer le rôle de l’équation F du paragraphe précédent, et nous nous trouvons dans le cas particulier où les racines de F s’expriment rationnellement à l’aide de l’une d’elles. Donc l’adjonction des racines de notre équation binôme réduit le

groupe G d’ordre m à un groupe Gt d’ordre ~ , et ce groupe G| est un sous-groupe invariant de G.

Cet ordre ayant été abaissé une première fois par l’adjonction des racines d’une équation binôme, on peut raisonner sur le nouveau groupe comme sur le précédent; une nouvelle réduction sera opérée par l’adjonction des racines d’une nouvelle équation binôme, et finalement on aura une succession de groupes

1,

G, G„

chac/ue groupe étant un sous-groupe invariant du groupe précédent, et Le quotient des ordres de chaque groupe et du groupe suivant étant un nombre premier.

Ce premier résultat suffit déjà à nous faire voir que l’équation générale de degré n(n~^> 4) n’est pas résoluble par radicaux. En effet, Je groupe G est ici le groupe symétrique qui ne renferme qu’un seul sous-groupe invariant, le groupe alterné G, (voir § 29). La suite précédente ne pourra donc être que

G, Gj,

Or G est d’ordre i .2. . .n et G, d’ordre '    ” ; le quotient des

ordres des deux premiers groupes est égal à deux, qui est bien un nombre premier, mais le quotient des ordres des deux autres

est ——g> qui n’est pas premier. Nous en concluons que l'équation générale d'ordre    n’est pas résoluble algébrique

ment; c’est le théorème démontré, en 1828, par Abel, qui se plaçait, bien entendu, à un tout autre point de vue que Galois(').

39. Nous avons vu que, si une équation est résoluble algébriquement, on aura une succession de groupes

1,

G, G,,    ..., G₄-,

chaque groupe étant un sous-groupe invariant du précédent, et le

(>) On sait aujourd’hui que ce théorème avait été établi, en 1799, par le géomètre italien Ruffini (1765-1822). Quelques-uns des résultats fondamentaux sur la théorie des substitutions, attribués à Cauchy et à Galois, étaient connus de Ruffini, dont 011 va prochainement publier les Œuvres en Italie.

quotient des ordres de chaque groupe et du groupe suivant étant un nombre premier. Celte condition, nécessaire pour ta résolubilité algébrique de Véquation, est aussi suffisante, comme nous allons l’établir.

Il suffira de montrer qu’on peut réduire le groupe de l’équation de G à G| par l’adjonction des racines d’une équation résoluble par radicaux. Soient m l’ordre du groupe G et m, l’ordre de G

le quotient ~ étant un nombre premier p. En désignant par

S(?) = o

une fonction des racines correspondant au groupe Gf, nous formons l’équation désignée par

dans un paragraphe précédent, et sur laquelle nous nous sommes longtemps arrêté. Cette équation est de degré ~ ou p, et l’ordre

de son groupe sera (§ 34) égal aussi à //, puisqu’ici le groupe H est égal à G,, ce dernier étant un sous-groupe invariant de G. L’équation S est donc une équation irréductible de degré premier, et l’ordre de son groupe est égal à son degré; or nous avons vu, à la (indu paragraphe 31, qu’une équation satisfaisant à ces conditions est résoluble par radicaux. D’autre part, l’adjonction des racines de S ramène le groupe de l’équation proposée de G à Gl ; par suite, cette réduction peut se faire par l’adjonction de radicaux, etj, en continuant ainsi de proche en proche, on voit que le groupe de l’équation peut être réduit à l’unité et l’équation, par suite, sera résolue en adjoignant successivement des radicaux, ce qui démontre la proposition énoncée.

40. Nous pouvons vérifier, à l’aide du théorème précédent, que les équations du troisième et du quatrième degré sont résolubles par radicaux. Pour le cas du troisième degré, la suite

G, G,,

G étant le groupe symétrique et G, le groupe alterné, est telle que chaque groupe est un sous-groupe invariant du précédent, et, l’ordre de G étant six et celui de G, trois, les quotients des ordres des groupes sont des nombres premiers.

Pour le quatrième degré, prenons la suite

G, Gt, H, H\

que nous avons considérée au paragraphe 29; les ordres de ces groupes étant respectivement

2, I,

?4,    12,    4

les quotients de chaque nombre par le suivant sont des nombres premiers, et l’équation est bien résolue algébriquement.

41. Les applications du théorème général relatif à la condition nécessaire et suffisante pour qu’une équation soit résoluble algébriquement sont particulièrement simples dans le cas où l’équation est de degré premier.

Nous terminerons ce Chapitre par l’étude de ce cas, qui a été approfondi par Galois, et nous renverrons, pour les équations de degré composé, aux Mémoires de M. Jordan et de Kronecker.

Commençons par un lerame préliminaire. Soit

f(x) = O

une équation irréductible de degré premier n. Je suppose qu’elle devienne réductible par l’adjonction des racines d’une équation irréductible de degré premier p

F(r) = o,

telle que ses racines s’expriment rationnellement à l’aide de l’une d’entre elles. En raisonnant sur l’équation f{x), comme nous avons raisonné au paragraphe 36 sur l’équation <j;(V), on montrera que les

p racines de l’équation F se partagent en ^ groupes de q racines

respondant à une même valeur d’une certaine fonction rationnelle ()(/■) des racines. Puisque p est premier, on devra avoir q — i, et par suite, en désignant par

cor-

r)

le facteur irréductible correspondant à l’adjonction de /•, on aura XO> rir*)- • -xOï rP) =/(*)•

Les facteurs du premier membre sont distincts et du même degré. Donc, puisque le degré n de f (te) est supposé premier, le polynôme    r) est nécessairement du premier degré, et l’on a

p = n.

De plus, Véquation se trouve résolue par Vadjonction clés racines de F. Ainsi, une équation irréductible de degré premier reste irréductible tant que les adjonctions ne réduisent pas son groupe à l’unité. Avant l’adjonction des racines de F, qui va résoudre l’équation, son groupe est d’un ordre v qu’il est facile de trouver. D’après

le paragraphe 37, cette adjonction réduit le groupe à l’ordre — et,

P

puisque ce groupe est l’unité, on a

v =p.

Nous pouvons donc dire qu’avant la dernière adjonction, l’équation f(x) a son ordre égal à son degré, et par suite, puisque n est premier, son groupe est formé des puissances d’une substitution circulaire (§ 31).

Appliquons ceci à la réduction du groupe d’une équation f{x) = o de degré premier n, résoluble algébriquement. Après des adjonctions successives de radicaux, nous arriverons à l’avant-dernier groupe G* (§ 39). Il résulte du lemme précédent que l’équation reste irréductible tant qu’elle n’est pas résolue, et nous pouvons appliquer la conclusion précédente : le groupe est d’ordre n et est formé des puissances d’une substitution circulaire de n lettres. Or, le groupe initial G contient évidemment G* comme sous-groupe. Le groupe initial relatif aux n racines de notre équation contient donc une substitution circulaire d'ordre n.

42. Nous allons rechercher les groupes relatifs à n lettres [n étant toujours premier) jouissant de la propriété précédente. Mais il nous faut auparavant dire un mot de la représentation analytique des substitutions.

Désignons par

X₀, Xtl

n lettres. Si l’on a un polynôme f(z) à coefficients entiers, et si

ce polynôme prend «valeurs non congrues

• -, n —

pour 5 = 0,1

suivant le module «, c’est-à-dire n valeurs telles que la différence de deux quelconques d’entre elles ne soit pas multiple de «, on pourra considérer la substitution

¹

Nous nous appuyons ici sur cetie proposition de Gauss : La résolution de l’equation binôme xv—1 = 0 (p premier) peut être effectuée à l’aide de radicaux dont l’indice est un diviseur de p — 1.

[/(*)» z]

• • • 1 Xn—\

x₀,

THÉORIE DES SUBSTITUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

comme définissant une substitution de n lettres, en convenant que

O = O, I, 2, ..

Xz

est remplacé par

n — i)

1 indice f(z) étant pris suivant le module n, c’est-à-dire étant remplacé par le reste que donne sa division par n. Toute substitution

xai

peut être obtenue de cette manière ; il suffît de poser

f(z) — fl

z'¹ — z

zn— z

/ \z" — z

\ z — a

.. :— k

zn — z

z — n -1- i

en

désignant, d’une manière générale, par

z'¹ — z

le quotient de la division de zn — z par z — a. On voit facilement que

/(*) = h

( mod. n).

On a, en effet,

z" — z — (z — a ) J; ( z ) -1- a" — a

et, par suite,

zn— z

= <K*).

Soit (3 a ; on aura

P" — p -- (P — a)    -+- a"— a.

Or, d’après le théorème de Fermât, a" — a et (3" — j3 sont multiples de n ; donc ( (3) sera multiple de n. Par suite, dans f(z), tous les termes, sauf celui qui renferme z — a en dénominateur, seront multiples de n pour 5 = a. Il reste à trouver la valeur de

_ zn — z — h -

pour z — a. Or, on a

donc

d/ ( a ) = ni"-¹ — i

et la congruence /(oc) = h (mod. n) en résulte immédiatement.

On doit à M. Hermite d’importants théorèmes sur la représentation analytique des substitutions (Comptes rendus de VAcadémie des Sciences, t. LVII, et Œuvres, t. II, p. 280). Nous y renverrons le lecteur, n’ayant ici besoin que de la notion précédente pour trouver, avec Galois, la forme de la fonction f(z) correspondant à une substitution appartenant au groupe d’une équation résoluble.

43. Nous avons dit que toutes les substitutions du groupe G* sont Jes puissances d’une substitution circulaire et, par conséquent, de la forme

(* -h P, *);

précédant immédiatement G*, la

soit donc 2 une telle substitution, (3 étant un des nombres 1, 2, ..., n— 1. Si maintenant T désigne l’une quelconque des substitutions du groupe G substitution

T2T-i = S'

appartient encore à G*. A la substitution T correspond une certaine fonction J (z), telle que nous pouvons écrire

T - [/(*), s],

et l’on a de même

Z =(z-h p, z),

S' = (z -h a, z).

TS = S'T.

Exprimons que

Or

T2 = [/(« +P), z]

et

On aura, par conséquent, la congruence suivant le module n

f(z -t- P) =f(z) -+- ai

a ne dépendant pas de z ; en changeant successivement z en z + p, ,5 + 2(3, . .., z + \,3, on a

f(z -4- xp; =/0) la.

Si nous prenons (3 = 1 et que nous posions z = o, f(0) = b, on

aura

Ainsi la fonction /(z) est une fonction linéaire az + b. Le groupe

THÉORIE DES SURS ITTUTIONS ET DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 51 7

Gj_i

ne peut donc renfermer que des substitutions de la forme

(az b, z),

et a sera différent de l’unité, si la substitution T n’appartient pas au groupe G*. Le groupe G*_i contient des substitutions d’ordre /z, à savoir les substitutions de G*; il est aisé de voir qu’il ne contient pas d’autres substitutions d’ordre n, ce qui revient à dire que la substitution ci-dessus est d’ordre inférieur à n quand a est différent de un ou n’est pas congru à un (mod. n). En effet, la puissance h de cette substitution est obtenue en remplaçant z par

ahz -b £(aA-‘-b ah-²-h. . .-+-1).

On aura l’ordre de la substitution en prenant le plus petit entier 4, tel que

(mod. n),

ah== i

b(—|—... —t— i) = o (mod. n),

a étant différent de un; la seconde condition sera vérifiée quand la première le sera, el ceci arrivera pour h — n — i ou un de ses diviseurs.

S- 2-

s—2?

Cherchons maintenant la nature des substitutions du groupe G 11 est clair que G* est un sous-groupe dè G^_₂ ; montrons qu’il en est un sous-groupe invariant. Si T' désigne une substitution de G et S une substitution de G*, et par suite de G,_₍, la transformée de S par T' appartiendra à G^_₍, puisque G*_j est invariant dans G^_₂. Mais, S étant d’ordre /z, sa transformée par T' est aussi d’ordre n et elle appartient par suite à G.,, ce qui montre bien que G., est invariant dans G₅_₂. Par suite, les substitutions de G^_₂ sont de même forme que celles de G*_t, et l’on continuera ainsi de suite jusqu’à G. Nous avons donc le théorème suivant, dû à Galois :

(az -h b, z).

Quand une équation irréductible de degré premier est résoluble algébriquement, toutes les substitutions de son groupe sont de la forme

4L La réciproque du théorème précédent est exacte, c’est-à-dire que, si le groupe d'une équation irréductible de degré premier ne renferme, en dehors des substitutions du système circulaire

(z, z —j- i), que des substitutions de la forme

(az    b, z),

Véquation est résoluble algébriquement.

Remarquons d’abord que toute substitution du groupe précédent sera le produit d’une puissance de la substitution

(2)

(z H-l, z)

par une puissance d’une substitution

(S')

(rz, z).

Si r est une racine primitive pour le nombre premier n, c’est-à-dire si les puissances

r, r²,    r'¹-²

sont congrues dans un ordre quelconque à

n — i,

le groupe formé à l’aide des substitutions (2) et (2') combinées entre elles de toutes les manières possibles sera formé des n(n — i) substitutions

(az -h b, z),

2, ..., n — i et à b les valeurs o, i

où l’on donne à a les valeurs î 2, ..., n — i.

Si r n’est pas une racine primitive pour le nombre n, les puissances de /• écrites ci-dessus ne représenteront pas les n — i premiers nombres, mais seulement un nombre d de nombres congrus différents, suivant le module //, et le groupe sera seulement alors d’ordre nd.

Pour plus de simplicité, nous allons supposer que le groupe G de l’équation soit le groupe d’ordre n(n—i), c’est-à-dire que r est racine primitive ; mais un raisonnement analogue s’appliquera aux autres cas. Désignons par a une racine de l’équation

x"— I

= o,

et formons les expressions

X, = (x₀-+- a 37, -+- a² 37₂ -H. . .-t- an-xxn-i)n, X, = (37₀ a37,.-H 3²372/- . . . -+- a"-¹ 37₍„_i)r )",

519

Les quantités X se permutent évidemment circulairement quand on fait la substitution On peut, d’autre part, les écrire sous une autre forme ; prenons par exemple X^+i,

— ( Xq -H 'XXf.'t- -(- a²    -+-. . . -+- y.^lX/lrv- -+-. . . -+- <Xn~¹ X(n~l)r^)n•

Si l’on pose

O < k 5j II — I,

h/'f- = k (mod. n)

on aura

d’où

h = krn-l~V-.

hrV- = krn~¹,

Nous pourrons alors écrire

X^, = (x₀-h...+    + . • .)'*•

Or,    représente une certaine racine ,3 de l’équation xn = î, et,

par suite, X^, a la forme

X[A+I — ( Xq -+- PXj -f- . . . P¹'- X. . . )'*.

Après cette transformation, il est facile de voir que les fonctions X ne changent pas par la substitution X, c’est-à-dire quand on fait sur les x une substitution circulaire

( Xq X\ . . • Xn—| )•

Ainsi les fonctions

Xi, Xo. X3,    ..., X,j_i

sont invariables par la substitution de S, et elles sont déplacées circulairement par la substitution S'.

Les fonctions X sont les n— 1 valeurs que prend une fonction rationnelle des racines pour les substitutions du groupe G; elles satisfont donc à une équation d’ordre n — 1 dont les coefficients sont rationnels dans le domaine primitif. Les racines n'èmes de l’unité ne figurent pas dans ces coefficients, puisque toute fonction symétrique des X est symétrique par rapport aux n — 1 racines de

= O.

xn — 1

Soit

F(X) = o

cette équation; son groupe est formé des n — 1 puissances de la substitution circulaire effectuée sur les X. Une telle équation est réso-

CHAPITRE XVI.

520

lubie par radicaux, car, si nous désignons par

X„

x„ . • • j Xre_i

les racines de F, l’expression

(Xi + XX,-i-.. .4- X«-2

où X désigne une racine n— iieme de l’unité, restant invariable par les substitutions du groupe, s’exprime rationnellement à l’aide de X qu’on doit supposer adjoint. En donnant à X ses n — i valeurs, on aura donc les X pour radicaux, et enfin

x₀-\- zxi -t-... -+- <xn~x xn

s’exprimera par suite aussi au moyen de radicaux. En donnant à a ses n — i valeurs et en prenant la somme des racines, on cuira n équations donnant x₀, x,, ..., x„_K exprimés algébriquement ; c’est le théorème que nous voulions établir.

4o. Dans les deux paragraphes précédents, nous avons trouvé la condition nécessaire et suffisante pour qu’une équation irréductible de degré premier soit résoluble par radicaux, à savoir que le groupe de l’équation ne doit contenir que des substitutions de la forme

(az -t- b, z).

Galois a encore donné une autre forme à cette condition; nous terminerons ce Chapitre en montrant que la condition nécessaire et suffisante est que les racines soient toutes exprimables en fonction rationnelle de deux quelconques d’entre elles.

D'abord la condition est nécessaire, car, si l’équation est résoluble par radicaux, toutes les substitutions de son groupe sont de la forme ci-dessus. Or une telle substitution, qui ne se réduit pas à l’unité, déplace les n indices si a — i, et elle déplace n — i indices si a est différent de un. 11 résulte de là que, si l’on adjoint deux racines xa et xp, le groupe de l’équation ne contiendra plus que la substitution unité, car, xa et xp devant rester invariables par les substitutions du groupe, celles-ci ne peuvent déplacer xx et xp. Donc toutes les racines sont fonctions rationnelles de xa et xp.

Passons à la réciproque ('). Nous supposons que toutes les racines d’une équation irréductible de degré premier s’expriment rationnellement à l’aide de deux quelconques d’entre elles ; il faut montrer que l’équation est résoluble par radicaux. Soient G le groupe de l’équation et p son ordre; quand on adjoint une racine de l’équation

elle-même, le groupe G se réduit à un groupe Fa dont l’ordre est ^

(§ 36). A chaque racine xa correspond un groupe ra, et, d’après les théorèmes généraux étudiés précédemment, les substitutions du groupe G se décomposent en un Tableau de n lignes dont la première sera, si l’on veut, le groupe T,,, et les autres lignes seront les produits des substitutions de F₀ par des substitutions

T2,    . • •, T fi—1.

T„

Les groupes Fa sont les transformés de ro par les substitutions précédentes; on doit remarquer que deux groupes T n’ont d’autre substitution commune que la substitution unité, car autrement il y aurait une substitution laissant deux racines invariables. Après avoir adjoint xa et réduit le groupe à ra, adjoignons maintenant xp, c’est-à-dire une racine de

/(&)

X - X/x

ou d’un diviseur rationnel de ce quotient, s'il n’est pas irréductible. Le groupe Tade l’équation deviendra un nouveau groupe dont l’ordre est égal au quotient de l’ordre de Fa par un diviseur du degré de l’équation précédente. L’ordre du groupe après l’adjonction de xa et de x$ sera donc

n. ni

(m n — 1).

et, puisque l’équation est résolue, on a

|a = m.n.

Évaluons le nombre des substitutions de G qui déplacent tous les

(•) La démonstration de cette réciproque est seulement indiquée très succinctement dans le Mémoire de Galois; nous suivons ici le commentaire qu’en donne Serret dans son Algèbre supérieure. On trouvera aussi dans cet Ouvrage une analyse de M. Hermite donnant une démonstration directe du même théorème.

indices. En ne comptant pas la substitution unité, les groupes T renferment

(ni — i )n

substitutions; le nombre des substitutions qui ne déplacent pas foutes les lettres n est donc 11 y a donc dans G

ou

run — ( m — i)n — i

substitutions qui déplacent tous les indices; nous allons voir aisément que ces n — i substitutions sont circulaires et puissances les unes des autres. Soit T une telle substitution; décomposons-la en cycles; aucun de ces cycles ne sera formé d’une seule lettre, et ils ne contiendront pas tous le même nombre de lettres, puisque n est premier. Si la substitution ne se composait pas d’un seul cycle, il y aurait un cycle d’ordre minimum S, et la substitution Ts laissei’ait 8 lettres en place (8> i) sans se réduire à la substitution unité; or, le groupe G de l’équation ne peut manifestement contenir une telle substitution, puisque par l’adjonction de o racines le groupe ne serait pas réduit à l’unité. Les n — i substitutions trouvées plus haut sont donc les n — i premières puissances d’une substitution circulaire.

Cela étant, distribuons les indices dans les racines de manière que les n — i substitutions de G, qui déplacent tous les indices, soient les puissances de la substitution circulaire

T = (a + i, z)

et soit S une substitution quelconque, que nous représentons par

s = [/(*)> *]•

La transformée de T par S est encore une substitution circulaire et déplace, par suite, tous les indices; elle doit donc être une puissance de T :

T'=(a + a, z).

En écrivant que

ou

STS-' = T'

ST = T'S,

on aura, en raisonnant comme au paragraphe i3,

/O)

= OLZ

P.

a et [3 étant des entiers, et, par suite, le groupe ne renfermant que des substitutions linéaires, /’équation est résoluble par radicaux.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ces questions; le lecteur, désireux d’approfondir ces théories, pourra consulter le Traité de M. Jordan et les travaux de Kronecker. Une partie de ceux-ci sont très bien exposés dans le Livre de M. Vogt {voir, en particulier, le Chapitre XII). On lira aussi avec grand intérêt, dans l’Ouvrage de MM. Borel et Drach, le Chapitre VI, sur les groupes résolubles.

CHAPITRE XVII.

ANALOGIES ENTRE LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.

I. — Généralités sur les groupes continus (*).

1. Bien que nous ne puissions faire ici une exposition complète des résultats fondamentaux de M. Soplius Lie dans la théorie des groupes continus de transformation, il est indispensable cependant que nous fassions quelques remarques générales sur cette notion de groupes continus, qui joue un si grand rôle dans la Science de notre époque. Considérons les n équations

y\ =/i(yuy*, • • - yn, «i, u₂, ar

(0

y2 = A (yi, y2, • • -,yn, at, a,,

ar. Ces n équations dé-

les f dépendant de r paramètres a₍, a₂, linissent une transformation entre les y et les y\ et l’on suppose, bien entendu, que le déterminant fonctionnel des /"par rapport aux y 11’est pas identiquement nul. De plus, on suppose que les r paramètres a ont été réduits au moindre nombre, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible de trouver r' fonctions

(r'< r)

A₂,    ...,    A,.-

0) Pour ces généralités on se reportera aux trois Volumes de M. Sophus Lie, Sur les groupes cle transformations ; on trouvera aussi une exposition très condensée et très nette des théorèmes fondamentaux dans les Leçons de M. Lie, rédigées par M. Scheffers (1893), aux pages 366 et suivantes. On doit aussi recommander les leçons de M. Bianchi sur la Théorie des groupes continus finis de transformations (Pise, 1903), et les Leçons de M. Vivanti, traduites par M. Boulanger (Gauthier-Villars, 1904).

de &\ i ..

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

ar, telles qu’on ait

fdju y2, • • - , JK'|> aI, a₂, . .ar) = F/(jki, JK₂, • • - , Ai> A2, • • • A0

( e = i, 2, .. ., n),

circonstance qui amènerait la réduction du nombre des paramètres. Si cette circonstance se produisait, on aurait évidemment une relation de la forme

dfi

à/i

X.t(ai, • • - ,    + Xa(«î, «2, • ’ •’

(a)

.    , à fi

-h Xr(al, «2, • • - , ar)jy = °

et la réciproque est immédiate, c’est-à-dire que, si les f satisfont tous à une relation de cette forme, il y aura au plus r — i paramètres distincts.

Ceci posé, les équations (i) définissent un groupe de transformations à r paramètres si, ayant successivement

y'i=fdyuy2, • • •. yn, «1, «2, •

y"i=f‘(y'i,y'2> • ■■,y'n, è,, è₂,..., br)

/es a et b étant des constantes arbitraires, on a

y"i=fdyuy*,    «î, c₂, ..., cr),

/es c «e dépendant que des a et des b. On a donc

(k = 1, 2, .r).

Ck —    ®i, • • •, èi, .. •, 6/-)

en

Faisons de suite la remarque que les c considérés comme fonctions des 6, par exemple, seront des fonctions indépendantes. On a effet,

fi(y'i>y't» •••:y’n, *1, 62, •••. M =fi(yi,yt, • ••,r*, K to» •••» 'M-

En différentiant par rapport aux 6 successivement, on voit qu’on aurait, si le déterminant fonctionnel des par rapport aux b était nul, une relation de la forme

o,

Xj(aj, ..., an bi, ..., br) -    - ^r(«i, ..., ar, by, ..., br) jjj- —

quel que soit /, et, en donnant aux a des valeurs fixes arbitrairement

choisies, on aurait une relation de la forme (a), et, par suite, les paramètres ne seraient pas réduits au moindre nombre.

de a,, ..., a

on a

Nous n’allons considérer que les groupes de transformations comprenant la substitution identique. Nous supposons donc que, pour certaines valeurs a⁰.

x\ - - X\,

x\_ —    ,

x'n = x„.

2. Dans le cas où il n’j a qu'un seul paramètre, le problème de la recherche des groupes est extrêmement simple. Il nous suffira de prendre deux variables ; la recherche serait la même pour un nombre quelconque de variables. Considérons donc le groupe à un paramètre a

x' = f(x, y, a),

y — ?Y, «)•

D'après la notion même de groupe, nous aurons

(2)

f(x',y, b) —f(x, y, c),

?(x',y, b) = cp(x, y, c),

c étant une fonction de a et b, soit

!

c = ty(a,b).

Des lettres <2, b, c, deux sont indépendantes, et la troisième est fonction des deux premières. Nous allons, pour un moment, regarder b comme fonction de a et c. JEn difîerentiant par rapport à a les deux membres des équations (2), on a

hr Ite

ôa

Q, Ç_| CL. 3 I O ÇS O

O,

O.

On tire de là, en résolvant ees deux équations par rapport à —

dÿ et > âa

dx' 17/    »    < u\dh

—    =nX,y,b)-,

ày'    ,    , db

—    =*(x,y,b)-.

Or, de 1 équalion c = ‘}(a, b) on tire la valeur de    soity («, b).

— = F O',/, 6)xO, 6),

dx'

Nous avons donc

=*(*', y, b)x(a,b).

Les équations étant écrites sous cette forme, nous pouvons regarder a et b comme indépendants, et nous avons un système d’équations auxquelles satisfont x' et y' considérées comme fonctions de a. Donnons à b une valeur .fixe, d’ailleurs arbitrairement choisie; les deux équations pourront s’écrire

dx'

— = 0(a) SO',y), jg = 0(a)ï](.r',y).

ày

Si l’on fait enfin un changement de paramètre, en introduisant au lieu de a un paramètre t lié à a par la relation

⁰ (a)’da = dt,

le système

nous aurons

dx' et, pour une certaine valeur de a, on a, par hypothèse,

y=y-

x' = X,

On peut supposer que cela a lieu pour t=o. Donc notre groupe s’obtiendra en considérant le système d’équations différentielles ordinaires et en cherchant la solution (x¹, y') se réduisant à (x, y) pour t = o. Cette solution donnera les deux fonctions

x'=f(x, y, t), y'= ?(*, y, 0.

qui correspondront au groupe cherché.

La réciproque est exacte, c’est-à-dire que deux équations

= Hx', y'),

dx'

dt

prises arbitrairement, peuvent être regardées comme définissant un groupe à un paramètre. Ceci résulte de ce que ^ et rj ne dépendent que de x' et y'. Concevons, en effet, qu’on ait trouvé l’intégrale de ce système telle que x'= x, y'=y pour t — o, et soit

x'=f(x, y, t), y' = ?(x,y, t)

cette intégrale; je dis que ces équations définissent un groupe. Ecrivons

x'=f(x, y, h),

y'— <t(*,y, h)-

Les expressions précédentes se réduisent à x et y pour l₄ = o. D’autre part, les équations

x"=/0', y',

y"= ?0', y', t — ti)

définissent les intégrales x" et y" se réduisant à x\ y' pour t=t{. Il en résulte que x", y" représentent les intégrales se réduisant à (x, y) pour t — o. Donc

x"=f(x, y, t), y"=?(x,y, t),

x"=f(x’,y, u_), y” =<o(x', y, tz)

ce qui revient à dire que, des égalités x’=f(x, y, ti),

y'=<?(*, y, *t),

on déduit

x"=f(x, y, y"— «pO, y, t!+ tt),

et l’on a donc bien un groupe.

Pour un accroissement infiniment petit ùt, donné à t à partir de t = o, x' et y' prennent ₍à partir de x et y des accroissements dont

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

les parties principales ox et sont évidemment

oa? = £ (x, y) St,

Sy = i\(x,y) St;

aussi appelle-t-on

£ 8# et 7] 8t

la transformation infinitésimale du groupe, et, d’après ce qui précède, un groupe à un paramètre est défini par une transformation infinitésimale.

Nous avons considéré le cas de deux lettres; il est clair qu’un groupe à un paramètre pour n lettres peut être défini par le système

IN IN

«mr

«rrr

dxtl

~dt

— \n (xii xïi • • • > -Tn )>

où les £ sont des fonctions de x{, x₂, ..., x„, d’ailleurs quelconques.

3. Considérons maintenant le cas d’un nombre quelconque de paramètres. En nous bornant d’abord uniquement, pour avoir des notations plus simples, à deux variables, nous envisageons le groupe

x' ~f{Xl 7i «1,    Œ/-)l

y=    «i, •• O a-r),

à r paramètres. Ecrivons, comme plus haut,

(3)

f(x'i bt, ..., b,.) =/(«, y, cu ..., cr),

où l’on a

(k = l,2, ..

avec l’identité de même forme pour <p.

Nous considérons encore les c et les a comme des arbitraires, les b étant des fonctions de ces quantités. En dififérentiant l’identité (3) par rapport à ail vient

df db

db\ da^ ’ ’ ' dbr da/t

df dx' dx' da/t

df àyf dy' da/c

df db,.

et pareillement

dy dx' dy dy' dy db dx' à a h    dy' da^

dy dbr

db i da/t ’ ' ' dbr da/t

On tire de ces deux équations, en calculant les dérivées partielles des b par rapport aux a, au moyen des relations Ck=

k — r

= ^ Lt/»(«i, •    bi, • • - , br) P/eix', y', bu br),

k= 1 k = r

— ^ Lfc/»(« 1, • • -, ar, bu br) Q/C(x', y', bu .br)

k=l

(4)

éa/t

( h = I, 2,

(A = i, 2, .

Le déterminant formé par les n’est pas identiquement nul, car autrement on aurait une relation de la forme

— o,

et la meme relation pour y' ; par suite, les paramètres ne seraient pas réduits au moindre nombre. Comme les c ne figurent pas dans les identités (4), celles-ci sont vérifiées quels que soient a et b. Donnons aux b des valeurs arbitraires mais fixes; les équations précédentes deviendront

k = r

dx'

àah

(5)

«y

k— 1 k-r

(h — », 2, ..r).

Nous avons là un système de 2r relations auxquelles satisfont x< et y' considérés comme fonctions de a{, ..., a,..

Nous avons déjà dit que le déterminant | G^ | n’était pas identiquement nul; il en résulte qu’on pourra écrire

lk(x',/) = 2®M(fln • ••> a'-)y“7

/»=i 4 =r

et le déterminant | anh | ne sera pas identicjuement nul. Nous pouvons conclure de là que les deux relations

k-r

2 «**)*(*', y) =

O,

2    y) = o,

k—V

k — 1

où les e seraient des constantes qui ne sont pas toutes nulles, ne peuvent avoir lieu simultanément. Elles entraîneraient, en effet, les relations

ôx' ek<*/ch -,— = o dan

et la relation analogue en remplaçant x' par y'. Mais, les paramètres étant réduits au moindre nombre, ceci ne peut avoir lieu que si

k=r

&k U-kh — O

k=i

d’où l’on conclut que le déterminant |    | devrait être nul.

4. Les équations (5) jouent, dans la théorie des groupes, un rôle extrêmement important. M. Lie démontre à leur sujet un théorème réciproque, que nous nous contenterons d’énoncer.

para- .

Supposons qu’on ait un ensemble de transformations à r mètres (je ne dis pas un groupe)

un

tel que, pour certaines valeurs des paramètres, on ait = ^2?, y=y, et que les x’ et y' considérés comme fonctions des a satisfassent à système de la forme (5), avec les conditions indiquées plus haut relatives à certains déterminants différents de zéro. Dans ces conditions, on peut affirmer que /’ensemble des transformations précédentes formera un g/oupe : c’est la réciproque du théorème du paragraphe précédent.

Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de cette réciproque, et nous allons montrer immédiatement ce qu’on entend par transformations infinitésimales d’un groupe.

.£/• des quantités infiniment

2' •

et, par suite, en désignant par s,, s petites qui sont des combinaisons linéaires et homogènes à coefficients constants de    ..., har, on aura

8x'=&i    (x, y)-h...-her Çr(x, jk),

sy = s*TQi(*, y) ■+■• • •-*-    y),

en calculant, à l’aide des équations (5), les valeurs des dérivées

On dit alors que le groupe admet r transformations infinitésimales, dont l’ensemble représente la partie principale de l’accroissement des x' et y' à partir de x et y, pour des accroissements arbitraires des a à partir des a°. Ces r transformations infinitésimales sont

y) y)

Elles sont linéairement indépendantes, c’est-à-dire que, pour des valeurs convenables des constantes e, on ne peut avoir

k—r

^    y) — O)

k-—i

53a

CHAPITRE XVII.

Nous avons dit que, pour certaines valeurs des a, soit

a₂ = a\

on a x'= x, y'=y. Donnons aux a des accroissements infiniment petits ha à partir de a⁰. lies parties principales ox' et oy' des accroissements de x' et y' seront

a, = a®,

av = a®,

ox' —

8y =

f|f f| 8;

03    03

a    a

03    03

a    a

k = r

2 ek-f\k(x, y) = O,

k= 1

comme nous l’avons vu plus haut.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

groupes à un paramètre contenus dans le groupe donné. Cherchons à cet effet comment nous devons déterminer a₍, ..., ar en fonction d’un paramètre t, pour que l’ensemble des transformations correspondantes forme un groupe à un paramètre. D’après ce que nous avons vu au paragraphe 2, le paramètre t peut être choisi de telle manière que le groupe soit défini par des équations de la forme

dx*

Jï = r(*,y),

D’autre part, les équations (5) nous donnent

h — r kz=r

h = r

dx' __    dx' dcih

dt    da/t dt

h — 1 k =. 1

h — \

Il résulte de là que le second membre ne dépendra pas de t. Les coefficients de \k(x\ y") sont donc des constantes, et l’on aura, par suite,

(k = 1,2, ..., r),

les X étant des constantes. D’ailleurs, bien évidemment, en prenant pour les X des constantes quelconques, et en prenant pour les a des fonctions satisfaisant au système précédent d’équations différentielles, on obtiendra un groupe à un paramètre contenu dans le groupe donné, et défini par les équations / dm'

(6)

\ -yj = X¹ Si O', y') H-- . .-H Xr lr{x'. y ), I = ltru(x', y') -h. ..-hlrt]r(x', y').

Pour trouver ce groupe, on doit intégrer ces équations en prenant les conditions initiales

x' = X,

(pour t = o).

On voit que ces intégrales se présenteront sous la forme

( x’— F (x, y, X,f, l₂t, ..., X,/),

( y'— y, X₂/, ..., lrt),

comme le montre le développement de x', y’ suivant les puissances de t.

Kn même temps que la réciproque admise au paragraphe précédent (5), M. Lie démontre que, du groupe à un paramètre que nous venons d’obtenir, on peut déduire le groupe général, défini par les équations (5), en remplaçant À,/, X₂/, .\rt par r arbitraires a,, a₂, ..., a,-i qui ne représenteront pas en général les mêmes quantités que les a primitifs.

Le groupe donné pourra donc s’écrire

x'= F (x, y, au .    ar),

/= y, a\, •

la substitution identique correspondant à «, = ... = ar— o, et l’on aura le développement

(ff)

x'= x H- a, b (x, y)-t-...-h a,. Çr(x, y)-h..., y' = y + aiHi(v, y )-+-... -H a, .fir(x, y)-h..

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier par rapport aux a.

6. 11 est important de remarquer que les £ et les rt ne peuvent être pris arbitrairement, c’est-à-dire que, si l’on prend dans le système (6) les £ et les r\ arbitrairement, les équations (7) qu’on en déduit ne définiront pas un groupe aux r paramètres À, t, X₂£, ..., ~krt. Un point capital de celte théorie consiste donc à trouver les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les £ et 7], pour qu’on soit conduit à un groupe de transformations en opérant comme ci-dessus.

Il est aisé de trouver des conditions nécessaires; c’est ce que nous montrerons de la manière suivante :

Prenons le groupe à un paramètre défini par les équations

obtenues en faisant, dans les équations (6),À| = i,X₂ = ... = Ar= o. Il pourra être représenté par le développement

Aj [ A i    )] -t-...,

Ai [A, (7)0]+.

12

x■= x -+- t -| (x, y) -t- —- A, ( £, ) + t-

1.2.3

y' — y ■+■ (rn (x> y) •+■ —7 Ai (rn ) +

et en regardant A, (_/) comme an symbole d’opération à effectuer snr une fonction f. De même un second groupe à un paramètre correspondant aux équations

en posant

sera représenté par le développement

t'i

x' = x - t' ^(x, y) -h As ( £g

en posant

Désignons par Se la première substitution et par S*' la seconde, et faisons successivement sur (x,y) les substitutions

S', S*', s-q s-*s

Un calcul un peu long, mais très simple, nous donne le résultat suivant :

(O

x -t- tt' [ A₂ ( \\ ) — A, (    )]    ,

y tt' [A₂(ir)₁) — Ai (tt)₂)] 4-. •.,

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au second en t et t'. Cette substitution doit être comprise dans le groupe (a-) du paragraphe précédent, en prenant pour les a des séries entières ordonnées suivant les puissances de t et t'. Ces séries devront nécessairement commencer par des termes du second degré en t et tr, car, s’il y avait des termes du premier degré, leur ensemble devrait être identiquement nul et les r transformations infinitésimales ne seraient pas linéairement indépendantes (§4). En identifiant (t) et (a-'), on voit donc que les développements de a,, . . ., ar doivent commencer par des termes du second degré et sont nécessairement de la forme

ai = Ci tt'    .

CHAPITRE XVII.

536

les c étant des constantes, et l’on a, par suite,

Aj (jjl ) — Aj (£j) = Cj $1 4- Cj jjjj    c;. £r,

A₂ ( ■*! 1 ) - At (ï)₂) = CiTQi 4- C₂ 7)₂ 4- . . . 4- Crrir.

On peut écrire ces deux identités sous une forme plus condensée. On a, quelle que soit la fonction f,

àf

A,[A₁(/)]-A,[A₂(/)] = [A₂($,)-A,(b)]^;

àf

■+" [ A₂(tji ) — At ( tt]₂ )] -f— •

ày

On aura donc, quelle que soit la fonction f, la relation

Aï [A ] (f)] — A, [ A₂(/)] = ci A, (/) 4- c₂ A₂(y) ■+■.. .4- crAr(f),

qui revient aux deux égalités ci-dessus. La combinaison qui figure dans le premier membre se présente dans de nombreuses questions d’Analyse, notamment dans la théorie des équations linéaires simultanées aux dérivées partielles. On l’appelle le crochet de A, et Aa, et on la désigne souvent par la parenthèse (A₂A,)j c’est un symbole d’opération à effectuer sur une fonction f.

Nous avons raisonné sur Ai (/) et Aen considérant d’une manière générale

a<(/>=î( g

les crochets

(A i A/c)

devront être des combinaisons linéaires et homogènes à coefficients constants des r expressions

A,(/), A *(/),    ..., A r{f).

Nous trouvons donc ainsi un ensemble de conditions nécessaires pour que les r couples de fonctions (£, r₍) correspondent à un groupe de transformations.

^7. Ces conditions nécessaires sont en même temps suffisantes. La démonstration de ce théorème fondamental de M. Lie nous entraînerait trop loin, et nous nous contenterons de cette affirmation. Aussi bien, il suffira souvent de savoir l’énoncé de ce théorème pour pouvoir faire des applications de la théorie.

Nous avons supposé qu’il n’y avait que deux variables. Dans le cas de n variables x,y, . . ., z et d’un groupe à r paramètres, ce groupe sera défini par r transformations infinitésimales qui correspondent aux r expressions

M/) = S

—i⁻ . • . T J

As (/) — £2

-f- . . • -f- ^2

àf

àf

àf

Ar(-') = $,^+ïlrÿ '''tz'

z.

les £, y,*, . . ., t étant des fonctions de x, y,

Ces r transformations infinitésimales définiront un groupe si tous les crochets

(A/A*)

sont des combinaisons linéaires et homogènes de A,, . . ., Ar.

Pour obtenir ce groupe, on considérera les équations différentielles ordinaires

(lx

—jj = Xj Ei -t- X₂ $2 -i-... -t- X,-Er,

dy _

dt

dz

-Jjj = Xi T| -+■ X₂ X-2 .-t-. . .-h X/.T,.,

où les \ sont des constantes arbitraires. On intégrera ce système en prenant comme conditions initiales

( pour t = o).

y =y 0,

X — X₀

L’intégrale générale sera de la forme

x — f \ ( X₀, y 01 • • • » -3ü> X1 /, X₂ /, ..., Art ),

y — fi (Xo 1 y01 • • • 1 Z01 X11, aj /. ..., X,. t), ^ — Jn ( #01 Y $ » • • • j ^ 0 ? 1 ^ f* 2 ^ * . . •, X t ).

ei A| (/") -1-... -+- erAr(f) — o,

les e étant des constantes qui ne sont pas toutes milles.

8. Faisons encore une remarque applicable à tous les groupes de transformations dépendant d un nombre fini de paramètres arbitraires. Soit le groupe G à /■ paramètres

(i — Ij2,    /ï) •

groupe à r paramètres entre

Cl | , Cf 2 5 . .

(x₀, jKo? . . ., z₀) et (x, y, . . ., s). Rappelons que les A(y) ont été supposés linéairement indépendants, c’est-à-dire qu’il n’j a pas entre

«r,

nous aurons un

eux de relation de la forme

• • -, 7n, «1, «2, • • -, ar)

Considérons une fonction    . . ., yn) ; il arrivera, en

général, si l’on forme l’expression

F(Y„

qu’elle dépendra réellement de /-paramètres, c’est-à-dire ne pourra pas être considérée comme une fonction dépendant d’un nombre moindre de paramètres. Nous voulons examiner le cas où il en serait autrement, c’est-à-dire où l’on aurait

F(Yi, Y₂, . . ., Ya) = <t>(jKi, jk₂, • • •) yn, Ai, A₂

les A dépendant des a et p étant moindre que /-. Désignons par . ., A? les valeurs des A pour a°t, a⁰,, . . ., a°n (valeurs de paramètres correspondant à la substitution identique); si l’on pose

AP= Ap°,

A?

A,= A»,

A₂ = A|,

on établira entre les a des relations qui en laisseront au moins r — p arbitraires. Pour ces relations entre les a, 011 aura, d’après l’identité ci-dessus,

F(Y,, Y-2, ..., Yn) = F(jki, J₂, • • • » y n )•

11 existera donc un sous-groupe du groupe donné, dépendant d'au moins r — p paramètres, qui laissera invariable la fonction F.

Traitons maintenant la question inverse, et supposons qu’il j ait dans le groupe G un sous-groupe F à r — p paramètres, qui laisse invariable la fonction F; je dis que la fonction

F(Y„ Y„ ..., Y„),

où les Y correspondent à la substitution générale du groupe G, dépend au plus de p paramètres.

Le sous-groupe T correspondra à des valeurs at, ou, . . ., ar des paramètres a, liées par p relations convenables, de telle sorte qu’il y ait seulement parmi les a un nombre d’arbitraires égal à r—p. En ellectuant successivement sur les y une substitution du groupe G et une substitution du groupe T, on obtiendra des expressions

Yi- =fi(yu y¹ • •yn, Bi, b₂, . ..,Br),

où les B dépendent des a et des a. Pour des valeurs fixes, d’ailleurs arbitraires, données aux «, on pourra choisir les a de telle sorte qu’au moins /• — p des B puissent prendre des valeurs arbitrairement données, car, dans le cas contraire, le groupe T ne serait pas à r— p paramètres. Ceci posé, dans

F(Y„ Y₂, ...,Y„),

i yni Bi, B„ •••, Br),

effectuons sur les Y une substitution du groupe T, en posant Y/=//(Yi, Y₂, . ..,Y„,a₁,a₂, ..., ar) =    y₂,

on aura

F(Yt,Y₂, ...,Y„) = F(Y', y;, .... y;),

d’après la propriété du sous-groupe T. Mais, d’après ce que nous avons dit plus haut, on peut, pour des valeurs arbitraires des «, donner dans les Y' à r — p des B au moins telles valeurs fixes qu’on voudra. Il en résulte que la fonction F(Yt, Y₂, . . ., Yrt) dépend au plus de p paramètres.

En rapprochant les deux remarques que nous venons de faire, on peut énoncer le théorème suivant (¹) :

Etant donné le groupe G à r paramètres, la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction

F(Y1? Y₂, ..., Y„ )

dépende seulement de p paramètres (p> /’) est que la fonction F(y{, y₂, . . ., yn) reste invariable pour les substitutions d'un sous-groupe T de G, ci r — p paramètres.

Ce théorème peut être regardé comme l’analogue de celui que nous avons établi au paragraphe ^Ojiu Chapitre précédent. Nous avions là une fonction prenant n valeurs pour les substitutions d’un groupe G

d’ordre m ; il y avait alors un groupe T, sous-groupe de G et d’ordre laissant la fonction invariable. Dans la question actuelle., c’est La différence r — p qui remplace le quotient — \ c’est ce qui arrivera

généralement par la suite, où nous trouverons des différences au lieu de quotients dans des énoncés par ailleurs de même forme.

II. — Des groupes de transformations homogènes et linéaires, et des fonctions symétriques dans la théorie des équations linéaires.

9. Une classe très spéciale de groupes de transformations sera pour nous particulièrement intéressante : ce sont les groupes de transformations linéaires et homogènes et, de plus, renfermant algébriquement les paramètres. Considérons donc la substitution linéaire

Y] = an <*12 yï~r • • •■+■ aUi y rn Y2 — <*21 yi ■+■ <*22 y 2 + • • • •+■ <*2«y ni

Y„= a,nyi -+- U/izyï    o.nny/t.

Si tous les a sont arbitraires, ces équations définiront évidemment un groupe continu de transformations à n- paramètres.

En considérant les y comme des fonctions arbitraires d’une variable x, nous allons étudier d’abord les fonctions rationnelles desjy et de leurs dérivées, qui restent invariables quand on effectue sur les y et en même temps sur leurs dérivées des différents ordres la transformation du groupe précédent. Nous les appellerons par analogie fonctions symétriques des y et de leurs dérivées.

Il est tout d’abord facile de former des fonctions de cette nature. Étant données n fonctions arbitraires

yn une

cetLe équation. Les p sont des fonctions rationnelles de y,,y₂, . . y„ et de leurs dérivées jusqu’à l’ordre et il est évident qu’elles restent invariables quand on effectue sur les y,, y₂, .. substitution linéaire quelconque. Ces fonctions jouent le même rôle que les fonctions symétriques des racines d’une équation algébrique; nous allons en effet établir le théorème suivant :

Toute fonction rationnelle des y et de leurs dérivées, invariable par les substitutions du groupe linéaire général, s’exprime rationnellement à l’aide des fonctions p et de leurs dérivées.

Remarquons d’abord que, dans la fonction considérée, on peut toujours ramener l’ordre de dérivation des y à ne pas dépasser n— i. Il suffît pour cela de se servir de l’équation différentielle linéaire écrite ci-dessus. Après cette réduction, nous avons donc une fonction rationnelle dont les coefficients sont eux-mêmes fonctions rationnelles des p et ■de leurs dérivées. Nous allons montrer que, sous cette forme, R ne peut dépendre des y. On a, en effet, les p et leurs dérivées, dans les coefficients de R, n’ayant pas changé. Or, pour une valeur donnée d’ailleurs arbitraire de x, nous pouvons choisir les constantes a de manière que

Yn, Y',    Y'„,    ..., Yy*-*\    ..., Yir*>

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

seraient un système fondamental. Soit d'ly

d,l~ly

dxn~¹

-+-• • •■+Pny = o

Ylt ..

prennent telles valeurs que l’on voudra. Si donc R dépend d’une des lettres précédentes, l’égalité ci-dessus est impossible, puisque le premier membre est indépendant des a, tandis que le second a une valeur variable avec ces paramètres.

Il résulte delà que R ne dépend pas d ey,, . .    . . •,y%i~,),

et la fonction se réduit, par suite, à une fonction rationnelle des p et de leurs dérivées ('). C’est le théorème que nous voulions établir.

10. Parmi les fonctions symétriques élémentaires, que nous avons désignées par p, il en est une qui est particulièrement intéressante : c’est la première, p{. En posant

y²

yn

dy\    dy₂

dy\ dyt

dyn

dx

dx

dy,i

dx

dx

dx

dx

Di =

dn \Y\ d'l-\Yî dx"~l dx"-¹

d'l-lyt,

d" ² y\ d"~²y2 dûL7«—²    dx"~²

dn-² Yn

dx"-²

dnyi d"y₂

dx'¹

dx'¹

d"yn

dx"

on a

or D, est précisément la dérivée de D par rapport à x. Admettons, en effet, que ce fait soit exact pour n — i fonctions; on va voir immédiatement qu’il est encore exact quand on passe de n — i à n. Concevons D développé suivant les termes de la dernière ligne, et écrivons

-t—.. • —l— A,

d»~\Yx

¹ dx"~[

d"~\Yî ² dx"~x

d'l-\Yn ¹ dx"—¹

les A étant des déterminants analogues à D, mais relatifs seulement à n = i fonctions; on aura alors

_ ² d"yi ¹ dx"

dD

dx

-4- A

d"y ₂

² dx"

Art

d"y" dx" ’

les autres termes disparaissant, car, d’après ce qui a été supposé au sujet des déterminants d’ordre n — i, ces termes forment le déterminant D, où l’avant-dernière ligne aurait été remplacée par la dernière, de telle sorte que les deux dernières lignes s’y trouvent identiques.

les a étant n entiers distincts quelconques; il résulte immédiatement de ce qui précède que ce déterminant est égal à une fonction entière

-JPldx

des p et de leurs dérivées multipliée par e

On trouvera dans le Mémoire cité de M. Appell des applications intéressantes de cette théorie des fonctions symétriques des intégrales d’une équation linéaire, particulièrement à la transformation d’une telle équation.

Soit

dy i

dx

On a donc bien

Di =

dD dx ’

comme nous l’avons énoncé. On conclut de là

„ -fpl(.r)dx D = e J

La valeur du déterminant

d'¹ y i d*n dxv du7V

d\Vn

dx''

V=0, T,    —X— 1, «

est maintenant facile à calculer en fonction des/>. La résolution des n équations du premier degré en pt, p₂, ...,/>« donne

et l’on aura par suite

S( x *dx

Dx= (— i)lp(x)e D’une manière plus générale, considérons le déterminant

dxv

d?yn

dxv v

—    n₂,..an

² =f{yu

une fonction rationnelle entière z des intégrales y{, y₂, ..., y„ formant un système fondamental, et de leurs dérivées jusqu'à un ordre d’ailleurs quelconque. Le problème général de la transformation est de former l’équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la fonction z. Tout d’abord, pour voir quel est l’ordre de l’équation différentielle en z, on remplacera y,, y₂, ...,y/t- par les

éléments d’un autre système fondamental, c’est-à-dire en remplaçant yi par

anyi-h ai2y₂-+-... -t- ainyn

(i = 1,2,..., n).

L’ordre de l’équation différentielle en s est égal au nombre des termes linéairement indépendants qui entrent dans l’expression de z ainsi transformée. Le développement de f donne un certain nombre de termes monomes de la forme

Soit, après la réduction à l’ordre n — i, au plus, de l’ordre maximum de dérivation des r, q le nombre des termes algébriquement indépendants. On pourra former l’équation différentielle d’ordre q admettant ces q solutions; les coefficients de cette équation se présenteront manifestement sous la forme de fonctions symétriques de y{, y₂, . ..> yn’. Dans certains cas particuliers, il pourra arriver cependant que les termes algébriquement distincts ne soient pas linéairement indépendants; on s’en apercevra à ce que tous les coefficients de l’équation formée sont identiquement nuis, et l’on cherchera alors à former une équation d’ordre q — i : on arrivera ainsi forcément à l’équation cherchée au bout d’un certain nombre de tentatives.

Soit, par exemple, l’équation

d² y    dy .

,/.r ' "-r"

Posons

z=y î;

l 'expression générale de z sera

Nous avons ici les trois termes

7i, 7>72, y\i

et l’équation donnant z sera en général du troisième ordre.

11. Après avoir considéré les fonctions rationnelles de n fonctions arbitraires de x et de leurs dérivées, que nous avons appelées fonctions symétriques, il esl naturel de considérer des fonctions rationnelles quelconques. Prenons donc une fonction rationnelle de y,, y₂, ..., yn et de leurs dérivées jusqu’à un ordre d’ailleurs quelconque, en désignant toujours par y,, y₂, ..., yn des fonctions arbitraires de x, et désignons-la pour abréger par

R(jKi>r2, •

sans marquer explicitement les dérivées qui peuvent figurer dans R. Reprenons la substitution linéaire générale

Y] = a\\y [ -h Cl\₂y₂ -+- . • • •+■ a\n y ni

(8)

Y2 = #2ljKl ■+■ a22j^2    •"+" a2 n Y ni

Y/i = an\y \ -l- an2y₂ . .. -+- annyn,

et écrivons la relation (9)

atk—o (iyk),

On peut chercher à déterminer les constantes a, de manière que cette relation soit identiquement vérifiée, quelles que soient les fonctions yi, y₂, ..., yn de x. En général, il n'j aura pas d’autres solutions que

an — i ;

mais, pour certaines fonctions R, il y aura d’autres déterminations possibles des a. Supposons que l’identité précédente entraîne seulement

/i² — p

relations entre les a, qui seront d’ailleurs évidemment algébriques ; on pourra exprimer n-— p des a en fonction des p restants. Dans ces conditions, les équations (8) définissent un ensemble de transformations dépendant de p paramètres arbitraires. Cet ensemble de transformations forme un groupe linéaire, homogène et algébrique de transformations ; il est clair, en effet, que le produit de deux substitutions de l’ensemble appartient encore au même ensemble, puisque pour ces deux substitutions la fonction R reste invariable, d’après l’identité (g).

Prenons, comme exemple, l’expression

tX

dy 2

dy\

dx y* dx )'

35

P. — Ht.

CHAPITRE XVII.

546

En écrivant l’identité (9), on trouve

Yi = ayt,

Y2 = by 1 y 2-

On a ainsi un groupe de transformations à deux paramètres a et b.

11 pourra arriver que l’identité (9) ne définisse pas un seul groupe, mais plusieurs. Les n²—p relations entre les a, dont nous avons parlé plus haut, peuvent ne pas former un système irréductible et se partager alors en plusieurs systèmes irréductibles de n²— p relations. Le groupe dérivé de la fonction R est dit, dans ce cas, un groupe complexe. Prenons, par exemple, pour R, la fonction

y\+y\+-y\.

Le groupe linéaire, laissant invariable cette expression, correspond à l’ensemble des transformations de coordonnées rectangulaires. Cet ensemble se partage en deux groupes distincts; pour l’un d’eux, le déterminant des coefficients de la substitution est égal à + 1 et pour l’autre à — 1.

Une question inverse se pose maintenant : étant donné un groupe linéaire homogène et algébrique, existe-t-il toujours une ou plusieurs fonctions rationnelles des y considérés comme fonctions arbitraires d’une variable x et de leurs dérivées, que laissent invariables les substitutions du groupe. On répondra immédiatement à cette question en se reportant à un théorème général de M. Lie, que je ne fais qu’énoncer ('). Reprenons un groupe quelconque

Yi—fi(y 1 > y 2 > •.. 1 y m au a2i ■ • ■ 1 ar )

En regardant les y comme fonctions arbitraires de x, difïerentions ces équations un nombre suffisant de fois pour qu elles soient en nombre supérieur à r.

En éliminant alors les a entre les équations ainsi obtenues, nous obtenons des relations que M. Lie démontre être nécessairement de la forme

dy\

dx ’

R(V|.....Y»'^’

(') S. Lie, Théorie der Trarisformalionsgruppen, p. ai5et 024.

En particulier, si nous avons un groupe linéaire homogène et algébrique, les relations précédentes seront nécessairement algébriques, et, en prenant des combinaisons symétriques de ces relations, on obtiendra une ou plusieurs fonctions rationnelles des y et de leurs dérivées que laisseront invariables les substitutions du groupe. Parmi ces fonctions rationnelles, on pourra en trouver qui ne restent pas invariables pour les substitutions d’un autre groupe à un plus grand nombre de paramètres.

12. Les théorèmes établis dans la première Section de ce Chapitre nous permettent de faire quelques remarques générales sur les groupes linéaires, homogènes et algébriques.

Commençons par un groupe à un. paramètre. On obtiendra un tel groupe en prenant un système d’équations linéaires à coefficients constants

dx\

—jj- —    —T ...    ainxn,

dxn

— dtii *& \    . . . ! Q'tinZ'a*

On calculera l’intégrale générale, et il suffira de choisir les n constantes arbitraires de manière que, pour t = o, on ait

xn=

X) = x\

On aura ainsi un groupe de transformations avec le paramètre t, entre les x et les x₀. Si nous voulons que ce groupe soit algébrique, il faudra que dans les expressions linéaires des .t⁻ en fonction des x0 deux coefficients quelconques des x₀ soient liés par une relation algébrique. Si nous désignons par rt, r₂, ...,/> les racines différentes de zéro et distinctes de l’équation caractéristique

a 12

au — r

a* i

«22— r

Q-în

= o,

a ni

Cl HZ

a nn r

chaque coefficient sera de la forme

PP*(0«r*#-K • •+ P*«r*'+ P*+i(0,

les P étant rationnels.

Nous avons vu, en étudiant les équations à coefficients constants, que, si les u. représentent des nombres distincts et différents de zéro, une identité de la forme

(*)

B ( t) -t- S Ai( t)et*;¹ = o,

où B et les A sont rationnels, entraîne nécessairement B = o, A,= o. Ceci posé, une relation algébrique entre deux coefficients entraînera une relation algébrique (E) entre

(P)

t, eri{,    erkt.

Il pourrait arriver que cette relation fût vérifiée quels que soient t, eV, ..., erk⁽ considérés comme étant k-\-i grandeurs indépendantes; alors les deux coefficients pourraient être regardés comme fonctions rationnelles d’une de ces lettres, les autres prenant telles valeurs numériques qu’on voudra, et, si cette circonstance se présentait pour tout groupe de deux coefficients, tous ces coefficients seraient fonctions rationnelles d’une arbitraire. Dans le cas contraire, (E) donnerait réellement une relation entre les quantités ((3); mais, d’après ce que nous avons dit des identités de la forme (a), il faudrait qu’il y eût au moins deux termes avec la même exponentielle, pour qu’ils puissent se détruire. On aurait donc nécessairement au moins une relation

«in+n!/’î + ... + nk r/c — o,

les n étant des entiers positifs ou négatifs qui ne sont pas tous nuis.

Soit nk différent de zéro; nous remplacerons t par /?*9; nous pouvons alors considérer les coefficients comme des fonctions entières de

(y)

et nous pouvons raisonner comme précédemment. La relation algébrique entre deux coefficients entraîne une relation (E') entre les termes de la suite (y); il pourrait arriver que (E') fut vérifiée, quels que soient 9,    ..., erk-$ considérés comme étant k grandeurs indé

pendantes, et, dans le cas où il en serait ainsi pour tout groupe de deux coefficients, il est clair que tous ces coefficients seraient fonctions rationnelles d’une arbitraire. Dans le cas contraire, nous

serons conduit à une relation

n\ ri + n't ^2    -H n^-i i'k—\ — o,

les n! étant des entiers qui ne sont pas tous nuis.

On continuera ainsi de proche en proche, et l’on arrivera à la conclusion suivante : ou bien les coefficients peuvent s’exprimer rationnellement à l’aide d’une arbitraire, ou bien les r sont commensu-rables entre eux. Dans ce dernier cas, on pourra alors exprimer tous les coefficients en fonctions entières de

Une relation algébrique entre deux coefficients amènera une relation algébrique entre 0 et eÆ0, qui ne peut être qu’une identité, et, par suite, tous les coefficients sont encore fonctions rationnelles d’une arbitraire. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Dans un groupe Linéaire, homogène et algébrique à un paramètre, on peut choisir le paramètre de telle manière que tous les coefficients de la transformation soient des fonctions rationnelles de ce paramètre.

Un théorème analogue s’étend aux groupes à un nombre quelconque r de paramètres. Pour définir un tel groupe, il faut se donner /• transformations infinitésimales satisfaisant aux conditions relatives au crochet. Il sera suffisant de prendre r=2. Nous aurons alors les équations

dx*!,    .

_ = Aim-H (.0)2,

les £, 7), ..., x étant des fonctions données linéaires et homogènes des x, satisfaisant aux conditions relatives au crochet (voir § 7); À et ix sont des constantes arbitraires.

Puisque ce groupe peut s’obtenir en combinant les substitutions du groupe à un paramètre correspondant à p. = o, et celles d’un second groupe à un paramètre correspondant à X = o, tous les coefficients de la transformation seront des fonctions rationnelles

de

/•(, r₂, rn étant les racines de l’équation caractéristique correspondant aux n fonctions linéaires

Én Thi •••>    ~i>

racines distinctes et différentes de zéro; pareillement /■' , r', rk sont les racines, distinctes et différentes de zéro, de l’équation caractéristique correspondant aux n fonctions linéaires

^2) ■')2> • • • 1 x2 •

Tous les coefficients sont ainsi des fonctions de Xt et de y.t, et l’on peut regarder les coefficients comme fonctions rationnelles de

6, 0', e'-iû,    end, er'®',    eW.

En raisonnant absolument comme plus haut, si ce n’est que la relation algébrique est entre trois coefficients au lieu de deux, on établit que : ou bien les coefficients s’expriment rationnellement à l’aide de deux arbitraires, ou bien

r/c

ru r₂,    .

sont entre eux dans des rapports commensurables, ainsi que

rit r ₂,    . . . ;    > j₍'i

et l’on retombe alors encore sur la même possibilité d’exprimer les coefficients d’une manière rationnelle à l’aide de deux arbitraires. Nous avons donc le théorème général suivant :

Dans un groupe linéaire homogène et algébrique à un nombre quelconque de paramètres, on peut choisir ceux-ci de manière que les coefficients de la transformation soient fonctions rationnelles de ces paramètres.

13. Terminons ces généralités par un théorème qui est l’analogue du théorème de Lagrange en Algèbre (Chapitre précédent, § 6). Soit une fonction rationnelle des y et de leurs dérivées jusqu’à un ordre d’ailleurs quelconque, que nous représentons, pour abréger, par

Rfji,J2, •

et considérons le groupe linéaire et homogène général à n- para-

Y» — a/n JKi -H d ni y 2 ■+■ ■ • «-H C^nn y n-

On suppose qu’à la fonction R corresponde un groupe linéaire et homogène Gap paramètres. Dans ces conditions, je prends pour les y des fonctions arbitraires d’une variable a?, et j’envisage l’expression

«= R(Y„ Y,,    Y„).

C’est une fonction de a?, dépendant, d’après le théorème du paragraphe 8, de n-— p constantes arbitraires, c’est-à-dire qu’on a

R( Yl5 Y„ ..., Y„) =    (y 1,y2, . ■.. yn; B

mètres

• • j    p)?

les B dépendant des a. Elle satisfera donc à une équation différentielle d’ordre n-—p, qu’on pourra obtenir par des calculs algébriques d’élimination. Les coefficients de ceite équation différentielle seront visiblement des fonctions rationnelles de y,, y-₂,    y n et de

leurs dérivées. L’un de ces coefficients peut être rendu égal à l’unité et les autres sont alors des fonctions des y et de leurs dérivées, qui rentrent dans la catégorie des fonctions que nous avons appelées symétriques, et ils s’exprimeront par suite rationnellement à l’aide des fonctions élémentaires désignées par p (§ 9). En effet, si dans l’expression de <E> on effectue les substitutions du groupe linéaire général, on obtient la même fonction <I>, les coefficients B ayant seulement d’autres valeurs.

L’équation différentielle d’ordre n-—p, à laquelle satisfait u, est l'analogue de l’équation algébrique à laquelle satisfaisait une fonction non symétrique de plusieurs lettres (Cbap. XVI, § o).

Ceci posé, désignons par y°n y°, .... ynu, n fonctions arbitrairement choisies de x, et soient y{, y₂, ...,/«, «fonctions linéaires et homogènes quelconques de y°, y°, .y°n- Nous considérons une autre fonction rationnelle des fonctions y et de leurs dérivées jusqu’à un ordre quelconque, admettant le groupe G, c’est-à-dire ne changeant pas quand on effectue sur les y les substitutions de ce groupe. Cherchons s'il est possible d’exprimer S à l’aide de la fonction u. La fonction S satisfera à une équation différentielle dont l’ordre sera au plus égal à n-— p, et que nous pouvons obtenir en procédant comine nous l’avons fait pour R ; soit

®(S) — o

celte équation, dont les coefficients sont fonctions rationnelles des/»0 et de leurs dérivées. Posons

V = aR(7|,/î,    -+- S(7i>

a étant une fonction rationnelle arbitraire de x, et y⁰^ y°, ..., y⁰, désignant les fonctions particulières de x arbitrairement choisies plus haut. On aura

(«)

o[V — a RO?, y\, ..., y* )] = o.

Posons, d’autre part,

y») 7

W = ctR(yuy₂, ...,y„)-h S(yuyt, ..

la fonction W satisfait à une équation différentielle d’ordre n²—p que nous pouvons former et dont les coefficients sont fonctions rationnelles des p° et de leurs dérivées, ainsi que de a et de ses dérivées ; désignons-la par

(P)

<1»(W) = o.

Les deux équations différentielles (a) et (fi) en V et W ont une solution commune immédiate qui est

«RO?»y\, • • y?t)-+- solyl-. • • • >yü)-

Nous allons voir que celte solution commune est unique ; en effet, pour que Y — W, il faut

¹

On trouvera dans la Thèse de M. Vessiot {Annales de l'École Normale, 1891) une autre démonstration de ce théorème.

²

Les fonctions de cette nature ont été étudiées particulièrement par M. Appell dans son Mémoire Sur les équations différentielles linéaires ( Annales de l’École Aormale, 2‘ série, t. IX).

«RO?» y»> • • r® )-+- S(Y,, Y,, ..., Y„)

= « ROnyt, • • -,r«)+- soi.y*7 • ••> y’n),

les Y étant nécessairement comme les y des combinaisons linéaires à coefficients constants desjKo- Puisque ceux-ci représentent des fonctions arbitraires de x, et que a est une fonction rationnelle arbitraire de x, l’identité précédente entraîne

RO?.y%7 • • yl) = Rôi»y*.....7«)>

S(Y,, y₂, ..., Y„) = S(yu y*,    -, yn);

la première égalité montre que y,, y₂, - ■ •, yn se déduisent dey°t, y\i • • • 5 y„ au moyen des transformations du groupe G; on aura donc

aussi

S(jKi, yt, ■ ■yn) = S (jk? , jKg, •    y?,),

et, par suite, il n’y a pas d’autre solution commune aux équations (a) et ((3) que

aR(7Î>72,    S(jK?,y§,    y%).

Des calculs algébriques d’élimination feront connaître la solution commune aux équations (a) et ([3), en opérant comme nous le verrons dans la Section suivante (§ lo). On trouve ainsi une relation algébrique

* =°»

p(    S¹-

et l’on exprime par suite V₀, c’est-à-dire

«RO?,y», •• •>.?«)-+- sOL r$’ ■ ■ yn),

algébriquement à l’aide de la fonction R₀ et de ses dérivées, des p0 et de leurs dérivées. Cette fonction algébrique doit d’ailleurs être rationnelle, car, si y°t, y°, ..., y% sont uniformes, il en sera de même de V₀. La conclusion est que

s(jKi,y2, ■ • •,yn)

s'exprime ration /tellement à V aide de , y 2, ..., yn) et de ses dérivées, et des p et de leurs dérivées. Ce théorème est bien l’analogue du théorème de Lagrange (').

III. — Intégrales communes à plusieurs équations et réductibilité des équations linéaires.

14. Nous avons, dans la Section précédente, étudié les fonctions rationnelles de n fonctions arbitraires d’une variable et de leurs dérivées, et les groupes de transformations linéaires qui s’y rapportent: cette étude était l’analogue de l’étude purement algébrique faite au

début du Chapitre précédent. Revenons maintenant aux équations différentielles linéaires et traitons tout d’abord de quelques problèmes qui se présentent d’eux-mêmes quand on cherche à comparer la théorie des équations différentielles linéaires avec celle des équations algébriques.

Une première question très élémentaire est la recherche des intégrales communes à deux équations linéaires. Soient

-H. .. H- pm y = o,

dx"‘~l

d"¹ y dx'n

d'¹ y

~dx" + q'

<{xn~l

*+- ...-ht/n y — O

deux équations linéaires dont, pour abréger, nous désignerons les premiers nombres par P et Q.

La méthode suivante, donnée autrefois par M. Brassinne, conduit de la manière la plus élégante à la formation de l’équation différentielle linéaire dont les intégrales sont les intégrales communes aux équations précédentes. Soit n et posons m— h—’jl. On peut déterminer des fonctions r₂, ..., de x, telles que la différence

|* _ ( Ql|ü + Q(|X -1) ₊ . . . _4_ 7> Q ),

où désigne la dérivée d’ordre p de Q, et où y est pour le moment une fonction arbitraire de x, ne contienne plus de dérivées de y d'ordre égal ou supérieur à n. Ces coefficients r s’obtiennent manifestement de proche en proche.

Nous pouvons donc écrire l'identité

F =    -h r|    -+-. .. -r- /‘[x Q -+- /-(x+i B,

R désignant une expression différentielle analogue à P et à Q, où le premier coefficient est l’unité, mais renfermant au plus la dérivée d’ordre n — i.

Les solutions communes à

P=o,

sont communes à

H = o,

Q = o,

et inversement. On continuera ainsi, de proche en proche, par ce même procédé qui rappelle la recherche du plus grand commun diviseur, et, quand le reste sera nul, la dernière expression employée sera l’équation différentielle donnant les solutions communes aux deux équations proposées.

On pourrait encore suivre une méthode qui rappelle la méthode suivie en Algèbre et basée sur la théorie des fonctions symétriques. Soit

yu y2,    ym

un système d’intégrales fondamentales de l’équation P. On devra avoir, pour des valeurs convenables des constantes C,

Q(Cl y \ "+■ C₂y₂-h. . .-H Cm y ni ) = O,

c’est-à-dire

Ch Q(yi) -h C₂ Q ( y % )    C,u Q(y,n ) = o,

et, par suite, on aura

Q(jéi) dQ(yi )

Q(yz)

dQjy*)

dx

Q(^/«)

dQ( y,,, )

dx

dx

— o.

dm~¹ Q ( r, )    d"'-' Q ( y₂ )

dx"¹-¹

dx'"—¹

dm~¹ Q(ym)

dx"¹ 1

Or, cette expression est une somme de déterminants de la forme de ceux que nous avons considérés au paragraphe 2. L’expression précédente est donc égale à une fonction entière des/>, des q et de leurs

e~fp'dx,

et nous obtenons donc ainsi la

dérivées, multipliée par condition cherchée.

lo. Arrivons maintenant à la notion importante de la réductibilité d’une équation différentielle linéaire. M. Frobenius a, le premier, appelé l’attention sur cette notion ('); considérant une équation différentielle linéaire à coefficients uniformes, l’éminent géomètre définit son irréductibilité en disant qu’elle n’a de solution commune avec aucune équation linéaire de même nature, mais d’ordre moindre, en faisant abstraction de la solutiony= o, et il donne à ce sujet divers théorèmes d’un grand intérêt.

(¹ ) Frobunius, Ueber den Begriff der Irreductibilitàt in der Théorie der lineciren Differentialgleichungen (Journal de C relie, t. 76).

Cette notion d’irréductibilité n’est pas bornée, d’ailleurs, à une équation linéaire. Envisageons une équation différentielle algébrique où f est un polynôme par rapport ky et ses dérivées, les coefficients étant des fonctions uniformes de x dans tout le plan. L’équation précédente sera dite irréductible, si elle est algébriquement irréductible

y    t    #    t    t

par rapport à 'jx,n> c’est-à-dire si f n’a pas de diviseurs de moindre

degré en avec des coefficients rationnels par rapport à

y, ••

dm~iy ’’ dæm~l

et uniformes en x, et si, de plus, elle n’a aucune intégrale commune avec une équation différentielle de même forme et d’ordre moindre.

Quelques remarques générales se déduisent immédiatement de cette définition. Je suppose qu’une équation ne soit pas irréductible; l’équation a alors par définition au moins une intégrale commune avec une équation

'f

dh y dx ’    ’ dxh

dy

]-

(h < m)

qu’on peut supposer algébriquement irréductible par rapport à

dhy

dx/l

Des équations f et cp, on peut tirer une nouvelle équation <]; d’ordre h— i au plus, à laquelle satisferont les solutions communes à/ et cp; il suffit de se servir de l’équation <p pour faire disparaître dans f toutes les dérivées d’ordre supérieur à h — i. Si l’équation cj; n’est pas une identité quel que soit y, on raisonnera sur cp et cl, comme on a raisonné sur/*et cp, et finalement on arrivera à une équation différentielle y telle que toutes les solutions de y appartiendront kf] il peut arriver d’ailleurs que l’équation différentielle y = o soit d’ordre zéro, c’est-à-dire se réduise à une équation algébrique en y. Nous voyons donc que, quand une équation n’est pas irréductible, il existe toujours une équation différentielle d'ordre moindre dont elle admet toutes les intégrales.

Le même mode de raisonnement permet d’établir de suite une pro-un théorème de la théorie des équations : Si équation différentielle a. une intégrale commune avec une équation différentielle irréductible, elle admettra toutes les intégrales de cette dernière.

position analogue à

une

16. Nous renverrons, pour le développement des considérations précédentes, au Mémoire cité de M. Frobenius; à un point de du point de

on peut se placer vue plus restreint, mais qui se rapproche davantage vue algébrique. Prenons d’abord, avec Kœnigsberger ('), une équation différentielle algébrique

dy

d"¹ y dx ’ dx'n

= °>

poljnome en x, y, ••• ,    Une telle équation

où f est un

sera dite irréductible si elle est algébriquement irréductible quand comme fonction des autres lettres qui figurent dans

l’équation, et si celle-ci n’a aucune intégrale commune avec une équation différentielle de même forme et d’ordre moindre.

Si l’équation f = o est linéaire et homogène à coefficients algébriques de x, on peut prendre la définition que nous venons d’indiquer, et cette manière d’envisager la réductibilité des équations linéaires est importante dans plusieurs questions. On peut aussi, se plaçant à un point de vue plus restreint, exiger que la seconde équation différentielle soit également linéaire et homogène. Ainsi, nous restreignant d’abord aux équations linéaires à coefficients rationnels, nous dirons qu’une telle équation est réductible quand elle a une intégrale commune, en dehors de y = o, avec une équation linéaire d’ordre moindre et à coefficients rationnels; nous savons que dans ce cas elle possédera toutes les intégrales d’une équation d’ordre moindre et de même forme, comme il résulte des remarques générales du paragraphe précédent.

En se bornant aux équations que nous venons de considérer en dernier lieu, il est possible de reconnaître si une équation linéaire

on

regarde

dmy

dxm

(¹ ) Kœnigsberger, Lehrbuch der Théorie der Differentialgleichungen mit einer unhabhàngigen Variabeln, p. i55.

à coefficients rationnels est réductible ; c’est ce que nous allons montrer (').

Nous ferons voir d’abord que tout revient à reconnaître si une équation linéaire à coefficients rationnels admet une intégrale dont la dérivée logarithmique soit rationnelle. Supposons, en effet, que l’équation soit d’ordre /i, et que q de ses intégrales linéairement indépendantes (q •< n) satisfassent à une équation linéaire d’ordre q à coefficients rationnels. On considère le déterminant

A₀ —

d'* y 1    dy y 2

dx* dx'¹

dx'*

V=0,1.....7 — 1

et les déterminants en nombre q

d'* V\ d* y2 dx'* dx'*

A>.=

d\yq

dx'*

v — o,i,    X —1,7 — X-t-i, ...,7

correspondant à X = 1, 2, ..., q. Si y{, y-j, ..., yq satisfont à une équation d’ordre q à coefficients rationnels, les rapports ^ seront rationnels (§ 10 de ce Chapitre), et A₀ est de la forme eJ,{r)dx,

la fonction /•(#) étant rationnelle; il s’ensuit que les Ax seront de même forme. Or nous pouvons former une équation linéaire Ex à laquelle satisfait

Ax

en regardant ce déterminant comme une fonction des intégrales de l’équation initiale d’ordre n ; l’équation Ex devra admettre une intégrale dont la dérivée logarithmique sera rationnelle. Ainsi, les q-*r 1 équations, faciles à former,

E₀, Ex

admettront chacune une intégrale à dérivée logarithmique rationnelle.

Quand on aura vérifié ce point, on aura, avec les intégrales trouvées des équations E₀ et Ex, la ou les valeurs possibles de A₀ et de Aa et par suite de leurs quotients. On devra pouvoir les associer de

(X = 1, 2, ..., q)

(') Outre le Mémoire de M. Frobenius, je citerai encore, relativement à cetle question de la réductibilité des équations linéaires, un Mémoire de M. Ivar Bendixson, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Stockholm (février 189! ) et un article de M. E. Beke (Math. Annalen, t. XLV).

manière que les quotients soient rationnels; pour chacune des équations linéaires d’ordre q que l’on aura ainsi formée, il restera à reconnaître si son intégrale générale satisfait à l’équation donnée, opération que nous savons effectuer.

On voit donc que nous sommes ramené à reconnaître si une équation linéaire donnée, à coefficients rationnels, admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est rationnelle : c’est le problème que nous allons traiter.

17. Il suffira de prendre l’équation du troisième ordre

d³ y dxA

+    +    + p3J = °>

les P étant des fonctions rationnelles de x. On peut d’abord s’arranger, par un changement linéaire de variables, de façon que le point à l’infini soit un point ordinaire pour les intégrales. En posant ensuite on a pour u l’équation du second ordre

^    (3 m + P,)$ -4- u*-h P 'U²-h P, u-h P₃ = o.

dxl    dx

u pourra avoir comme pôles les points singuliers de l’équation différentielle et aussi d’autres points du plan. L’ordre de multiplicité A¹ de tout pôle de a est limité, car il faut que l’ordre de multiplicité 3 k d’un pôle de u³ ne dépasse pas l’ordre de multiplicité d’au moins un des autres termes ; ce qui donne pour k une limite supérieure. Décomposons u en fractions simples. Les pôles autres que les points singuliers de l’équation différentielle sont nécessairement des pôles simples, leur résidu étant égal à un ou deux, suivant qu’ils correspondent à une racine simple ou double dejK, une racine triple n’étant pas possible en un point non singulier. Désignons par R (x) la partie de la fraction rationnelle relative aux points singuliers de l’équation; nous aurons

(m = i, 2),

ni

x — a

les a n’étant pas des points singuliers de l’équation différentielle. On a pour R (x)

Rfa?) =2

B*

B,

(a; — b)k (37 — b)k~l    37 — 6

1 n’y a pas dans u de partie entière, d’après l’hypothèse faite sur le point à l’infini. Les degrés k de multiplicité sont limités et les B peuvent donc être calculés de proche en proche par substitution dans l’équation donnant u. On peut poser

y,

/R(.r) rtx

= eJ

v désignant un polynôme. En faisant cette substitution dans l’équation linéaire, on aura à reconnaître si l’équation linéaire en v ainsi obtenue admet un polynôme pour intégrale, ce qui ne présente aucune difficulté.

18. Prenons, comme exemple particulier, l’équation différentielle hypergéométrique, et cherchons dans quel cas elle est réductible. Soit donc l’équation

Si elle est réductible, il y aura une intégrale jy telle que le quotient y- sera rationnel. Pour simplifier les calculs ultérieurs, désignons par w, non pas — , mais l'expression

237( I -X)

On forme immédiatement l’équation de Riccati, donnant u,

du

ht

--1- M²-)---H

d.r

X'¹

(1—37)2

= O,

où l’on a posé

/il = ki = — a(î — | y(y — a — P — 1), ht = -

VI

Si la fonction rationnelle u a un pôle distinct de zéro et un, ce pôle sera nécessairement du premier ordre. Il en est ainsi de même des pôles o et i, et l’on a nécessairement

«i

a2

g (te) étant un polynôme; il n’y a pas dans u de partie entière, car u doit s’annuler pour x = oo d’après la forme de l’équation. La substi- * tution donne

a? — a, =

?~i 03

y — g - P—

Nous obtenons donc pour a, deux systèmes de valeurs, et aussi pour ou

«î = i-

to

3tj = - I -

y— q— [3- I

En substituant dans l’équation hypergéométrique, nous avons, pour déterminer le polynôme g (te), l’équation

x(i — x) g"2 [a, (i —x) -+- x₂x] g'(2at a₂-t- A) ) £ = °.

Si n désigne le degré de g (te), on aura

— n(n-i) + 2«(*!-ai) + 2a₁a!— a₍3 — jy(ï — a — P — O = °-

Nous pouvons adopter pour a, et a₂ quatre combinaisons; ce qui nous conduit pour n aux huit valeurs

— a>

"TP «

ÎS ço

-N

i.

Donc, la condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle hypergéométrique soit réductible est qu’une des quatre grandeurs

P, Y — a, Y — P

tm entier négatif. P. — III.

19. Nous nous sommes borné jusqu’ici aux équations à coefficients rationnels. On peut définir, d’une manière plus générale, un domaine de rationalité. Dans la première édition de cet Ouvrage dans mes travaux sur ce sujet, je m’étais placé au point de vue suivant.

comme

un certain nombre de fonctions

Soit

a iO), a₂{x),    a,,(x),

telles qu’aucune d’elles ne puisse s’exprimer par une fonction rationnelle de x, des autres fonctions et de leurs dérivées ; nous considérons, comme faisant partie d’un domaine de rationalité, l’ensemble des fonctions rationnelles de x, des a (x) et de leurs dérivées. Dans ces conditions, la définition de la rédnctibilité se posera comme plus haut et, ici encore, l’on pourra se placer à deux points de vue, suivant que l’on demandera ou non que l’équation ait une intégrale commune avec une équation d’ordre moindre, linéaire ou non linéaire, les coefficients des dérivées étant d’ailleurs dans les deux cas, pour les équations différentielles considérées, des fonctions de x appartenant au domaine de rationalité. Il est clair que nous ne pouvons songer, sans particulariser les fonctions a (x), à résoudre le problème traité dans les paragraphes précédents pour le cas où Je domaine de rationalité se réduisait aux fonctions rationnelles de x. Une étude spéciale sera à faire dans chaque cas.

M. Lœwy et M. Landau ont généralisé le point de vue un peu étroit auquel nous venons de nous placer. Pour eux, le champ de rationalité S (Rationalitàtsbereich) comprend toutes les constantes réelles ou imaginaires (ce qui était sous-entendu ci-dessus); il est ensuite formé de fonctions analytiques dans un certain domaine du plan de la variable x; de plus, si fet g' appartiennent à £, il en est de même de *

»    /' et g',

aucune

en désignant parf la dérivée de f. Cette nouvelle définition n'amènera modification dans la théorie qui va être développée.

IV. — Groupe de transformations d’une équation différentielle

linéaire.

20. Nous allons voir maintenant comment on peut étendre aux équations différentielles linéaires le théorème fondamental de Galois, relatif aux équations algébriques, que nous avons exposé dans la Section III du Chapitre précédent ( ¹ ).

Prenons d’abord, pour plus de simplicité, le cas d’une équation linéaire à coefficients rationnels

d"¹—¹ y dx'"-'

(io)

d,n y

dxm

-H. • .-4~p,ny = o,

et désignons par y,, y₂, ..., ym un sjstème fondamental d’intégrales. Soit l’expression

V — U\yi -i- u%yz -t- ... -+- uin ym,

où les a sont des fonctions rationnelles arbitrairement choisies de x. Cette fonction satisfait à une équation linéaire d'ordre ni- à coefficients rationnels, équation qui se forme immédiatement en exprimant

V,

d\

dm' V

dx ’

dx'"¹

(') J’ai montré pour la première fois comment on pouvait étendre aux équations différentielles linéaires la théorie de Galois dans une Note des Comptes rendus (Sur les groupes de transformations des équations linéaires ; avril i883 ). Voir aussi un Mémoire plus développé ( Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1887); je suis revenu sur cette question dans les Comptes rendus du 8 octobre 1894 et du 2 décembre i8g5. Je ne change rien ici au texte publié dans la première édition de cet Ouvrage, et qui reproduisait mes Leçons de 1890, celles-ci n’ayant pas été publiées ailleurs et donnant le développement des Notes indiquées ci-dessus, où je m’efforcais de faire la transposition à ce nouveau domaine des idées de Galois.

Depuis cette époque, ces extensions devenues classiques ont été présentées de bien des manières. Je signalerai particulièrement le Mémoire récent de M. A. Lœwy, Die rationalitàts Gruppe einer linearen homogenen Differentialgleichung (Math. Annalen, Bd. LXV, 1908). Dans un ordre d’idées beaucoup plus étendu, l’extension des idées de Galois ,à la théorie générale des équations différentielles a fait l’objet d’un très important Mémoire de M. Drach (Annales de l'École Normale, 1898). Le théorème fondamental de M. Drach a été précisé et complété pur M. Vessiot dans des travaux définitifs sur ce sujet (Annales de l'École Normale, igo3 et 1904, et Acta mathematica, 1904).

à l’aide des dérivées des y jusqu’à l’ordre m équations ainsi obtenues, il suffira d’éliminer les y et leurs dérivées pour avoir l’équation cherchée, que nous désignerons par (E) :

Entre les m²-f- i

(E)

dm'Y

dx"¹'

+ Pi

dxm'~x

. . -4- P/,i« V — o.

Cette équation a pour intégrales les fonctions

(i, k = 1,2, ..m).

Si les il sont pris arbitrairement, ces ni¹ dernières fonctions sontbien linéairement indépendantes (‘); il suffit, pour le faire voir, de prendre un cas particulier. Supposons que x = o ne soit pas un point singulier de l’équation différentielle; nous prendrons

m = z,x

"tyie

(i—\)m

les a étant des constantes arbitrairement choisies. S’il

avait une

relation linéaire et homogène à coefficients constants entre les Uiy/,,

nous aurions

/ = /«

^ a ixU-v»¹ ( X/i yt -t- kayt -4-. ..H-hm/»,) = o,

i= 1

les rn'z constantes k n’étant pas toutes nulles. Or, en égalant à zéro dans ce développement les coefficients de

X⁰, X, X²;    ...,    X"¹-¹,

nous obtenons ni équations homogènes entre

^11» ^12> • • • ) ^

Leur déterminant est la valeur du déterminant

1 m-

y²

y»²

dy\

dyt

dx

dx

dy„,

dx

d"l~x y\ d"l~xyi dxm—¹

dx"¹ 1

d"l~x y,n

dx"‘~x

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

pour x — o; or celte valeur est différente de zéro, puisque le système des y est un système fondamental et que l’origine n’est pas un point singulier de l’équation différentielle. On en conclut que

Xll = À|2 = . . . = Xj = O.

, on démontrera

En passant ensuite aux puissances xm, .

que

X₂1 = X₂₂ = • . . = X2m = o

et, d’une manière générale, l’on arrive à la conclusion que tous les X sont nuis, ce qui est absurde.

De ce que les Uiy k sont linéairement indépendants, on conclut qu’au moyen des expressions de

V,

dV

d'"'-1V

dx ’

dxm*~l

en fonction linéaire des y et de leurs dérivées jusqu’à l’ordre m — ir on peut tirer, par la résolution d’équations du premier degré, les valeurs des y et de leurs dérivées en fonction de V et de ses dérivées ci-dessus; car, dans Je cas contraire, on pourrait former pour V une équation linéaire d’ordre m-— î au plus, et entre les m² quantités

ut y k

existerait donc une relation homogène et linéaire à coefficients constants, contrairement à ce que nous avons établi.

Nous aurons donc en particulier, pourjp,, y.j, ..., y,„, des expressions

dint~l V dx",5-‘ ’ dm*-\ y dx’"¹-' ’

dV

d\

d\

y m — X] V -+- X₂ -j—    X/;J2

d"’“ i V dxm*-* ’

où les a, (3, .. ., X sont rationnels en x.

A toute intégrale de l’équation (E) correspond un système d'intégrales yt, y2, • • -, Vm de l’équation proposée (10); ce système pourra n’être pas fondamental. Cela arrivera si le déterminant des y et de leurs dérivées jusqu’à l’ordre m — î est nul; en écrivant ceci, on

CHAPITRE XVII.

566

obtiendra une certaine équation en V

(?)

dV

d>< V

= O,

k étant au plus égal à m-

. On aura donc un système fondamental

yu y*, ■

si l'on prend pour V une intégrale de l’équation ( E) ne satisfaisant pas à V équation (<p).

Ceci posé, il arrivera, en général, c’est-à-dire si l’équation (10) est prise arbitrairement, que l’équation (E) n’aura aucune solution commune avec une équation différentielle (linéaire ou non linéaire) à coefficients rationnels, d’ordre inférieur à m², si Von fait abstraction des solutions qui satisfont à Véquation ».

Mais il pourra, dans certains cas, en être autrement; supposons donc que l’équation différentielle d’ordre p

de Y

dx ’    ’ dx>>

y mi

(/)

/(*. V,

d\

remplisse celle condition, /'étant un polynôme. Parmi toutes ces équations, considérons celles qui sont d'ordre moindre, et prenons l’une d’elles que nous continuerons à désigner par la lettre f. Nous pouvons

.    .    .    .    dp\

supposer l’équation / algébriquement irréductible par rapport à il est clair alors que toute solution de ./qui n’appartient pas à cp satisfait à E, car, dans le cas contraire, on pourrait déduire (par un procédé dont nous avons bien des fois fait usage), des équations (E) et (f), une équation d’ordre moindre, qui ne serait pas certainement une identité, et à laquelle satisferait la solution commune à (E) et

à (/)•

Y„ Y₂, .

Soient y,, y*, ..., y,H le système fondamental correspondant à une certaine solution de l’équation f (solution n'appartenant pas à »), et .., Y„t le système correspondant à la solution générale de la même équation; on aura

: Y| = «Il /l + a12    +    /»!>

(S)

’ Yj — a 21 y\-\- Ass yt-^-» • • ■+■ ut/n y nu

Les coefficients a dépendent seulement de p paramètres arbitraires, et nous allons voir facilement qu’on peut les considérer comme des fonctions algébriques de p paramètres arbitraires. En effet, considérons l’intégrale générale de l’équation

f(a>, V,

d\

dP\

dx    dxP

cette intégrale générale sera nécessairement de la forme V = di a₂ Fj-I-..    <x„,j c„j>,

les v étant m² solutions linéairement indépendantes de l’équation E. En écrivant que cette expression de V satisfait à l’équation f, nous obtiendrons des relations nécessairement algébriques entre les constantes a, et, comme il doit rester p arbitraires, les a seront des fonctions algébriques de p constantes arbitraires. Donc dans

Y,,

Y-,,    Y m

figureront algébriquement p constantes, et, par suite, siy,,y₂, • • ym forment un système fondamental correspondant à une solution particulière de f, les coefficients de la substitution, désignés plus haut par a, dépendront d'une manière algébrique de p paramètres arbitraires que nous appellerons les paramètres X. Les relations algébriques ainsi obtenues entre les a expriment que, si les y correspondent à une solution arbitraire de f, les Y déduits de (S) correspondront aussi à une solution de f. Dans ces conditions, il est évident que si l’on considère deux substitutions, telles que (S), correspondant à deux systèmes distincts de valeurs des paramètres X, le produit de ces deux substitutions sera une substitution de même forme, les paramètres X étant représentés par un troisième système de valeurs. Les substitutions (S) forment donc un groupe continu de transformations; nous désignerons par G ce groupe continu et algébrique de transformations linéaires, et nous l’appellerons le groupe de transformations ( ¹ ) relatif à l’équation linéaire. Dans les deux paragraphes ³

suivants nous représenterons pary,, y₂, • • •, Ym un système fondamental correspondant à une solution de f.

Faisons encore la remarque très importante, dont la démonstration est immédiate, que l’intégrale générale de Véquation (/*) peut s'exprimer linéairement en Jonction d'une intégrale particulière et de ses dérivées, les coefficients de cette expression linéaire étant des fonctions rationnelles de x dépendant de p constantes arbitraires.

21. On peut établir, à l’égard de ce groupe, la proposition suivante, qui rappelle le théorème fondamental deGalois dans la théorie des équations algébriques :

Toute fonction rationnelle de x, de ÿ^y₂, . . ., ym et de leurs dérivées, s'exprimant rationnellement en fonction de x, reste invariable quand on effectue sur y,, y₂, . . ., ym les substitutions du groupe G.

En parlant d'une fonction des y restant invariable, nous entendons que cette fonction reste la même fonction de la variable x. Cette invariabilité est donc l’analogue de l’invariabilité numérique de la théorie des équations.

Considérons une fonction des y et de leurs dérivées jouissant de la propriété indiquée dans l’énoncé ; en y remplaçant y,, y₂, .. ym par leurs valeurs en fonction d’une intégrale V de f ’, qui n’appartienne pas à <p, et désignant par R(^r) la fraction rationnelle de x à laquelle est égale, par hypothèse, notre fonction, on aura l’équation

d\

F (x, V,

(n)

dr Y

dx ’    ’ dxi‘

F étant rationnelle. Cette équation se trouvera donc vérifiée pour une certaine solution V de f n’appartenant pas à cp. Elle le sera par suite pour toutes les solutions de f qui n’appartiennent pas à cp ; en effet, dans le cas contraire on pourrait, de l’équation (i i) et de l’équation

/(*, V,

dyV

dx ’ dxr

dX

)■

o,

que nous supposons de degré n par rapport à -ÿ~ et algébriquement

irréductible par rapport à cette dérivée, tirer une seconde équation

dX

di>\

dx’    ’ dxP

de degré jx au plus, par rapport à

• La fonction V satisfait à ces

di>\ dxP

deux équations ; si l’équation y n’est pas une conséquence de l’équation /, on pourra obtenir une équation différentielle algébrique d’ordre moindre que p à laquelle satisfera V, ce qui est contre nos hypothèses sur /’. Il faut donc que y soit une conséquence de /*, c’est-à-dire que toute solution de /’, ne satisfaisant pas à ce, vérifie la relation (i i). Du moment, d’ailleurs, que la solution générale de /vérifie ( i i ), il en sera certainement ainsi pour toute solution particulière, et notamment pour celles qui satisfont à cp, s’il en existe. La restriction ne se trouve donc utile que pour le raisonnement.

Dire que la fonction F garde la même valeur R(#) pour toute solution de /‘revient à énoncer que la fonction rationnelle considérée de x, des y' et de leurs dérivées ne change pas quand on elfectue sur y,, y₂, ..., ym les substitutions du groupe G, et le théorème est alors démontré.

22. A ce théorème on doit joindre une réciproque :

Toute fonction rationnelle de x et d’un système fondamental Y\, yr2i ..., ym et de leurs dérivées, qui reste invariable par les substitutions du groupe G, est une fonction rationnelle de x.

Soit $ (x, y i, y2, ..

dv\

■ ’ y™* k' • ■

• j une fonction satisfaisant aux

conditions de l’énoncé ; il faut montrer que, si l’on met à la place dey,, y₂, ..., yn> un certain système fondamental, la fonction <I> sera fonction rationnelle de x. Or, remplaçons lesjK et leurs dérivées

une

par leurs valeurs en fonction de V; nous aurons

dV

<ï» = F (x, V,

pas à cp, cette expression

d’abord que, d’après l’hypothèse faite sur <I>, la fonction

Je dis que, si l’on prend pour V une intégrale de / n’appartenant sera une fonction rationnelle de x. Remar-

quons

F(#, V, ...) représentera la même fonction de x, quelle que soit la

rationnelle par rapport aux lettres dont elle dépend et contenant à la puissance p— i au plus dans son numérateur et son dénominateur. Comme, pour une valeur donnée d’ailleurs quelconque de x, la fonction F, prend la meme valeur pour toutes les valeurs des constantes arbitraires figurant dans l’intégrale généralede l’équation/, il s’ensuit que, dans les mêmes conditions, la fonction F₍ prend la même

valeur pour toutes les valeurs de V, ^ > • • • * <~j~v satisfaisant à la relation

dy

f(x, V,

solution V de l’équation f n’appartenant pas à ©, et, par suite, pour l'intégrale générale Vde f. Or, soit encore p le degré de /"par rapport

à pour des valeurs arbitraires données à

dj_

clx ’

.r,

V,

/r/P-i V

dxP-¹

de\r dxP

l’équation /’, on peut supposer que dans F la dérivée ne figure

qu’au degré p — i au plus. Cette substitution faite, F devient une fonction

l’équation f=o a

racines distinctes en

• En se servant de

F, (x, V, ..

dP\\

dxP ) '

dey . _

itx ’    ’ dxP )

¹

Cette extension du théorème de Lagrange a été donnée par M. Vessiot dans son intéressante Thèse (déjà citée p. 53g) Sur les équations différentielles linéaires ; nous aurons à revenir sur ce travail dans la dernière Section de ce Chapitre.

²

J’avais regardé ce point comme évident; la démonstration si simple du texte a «té donnée par M. Beke dans une Note des Math. Annalen (t. XLVI).

³

Comme cas très particulier, il peut arriver que l’équation / soit d’ordre zéro, c’est-à-dire que V soit une fonction algébrique de x\ l’intégrale générale de l’équation linéaire sera algébrique, et le groupe de transformations est alors un groupe fini qui ne dépend d’aucun arbitraire.

dry

de degré p et algébriquement irréductible par rapport à    il faut

donc que F, ne dépende que de x. La fonction <i> est donc une fonction rationnelle de x, comme nous voulions l’établir.

23. Les deux théorèmes précédents sont entièrement analogues aux théorèmes fondamentaux de Galois étudiés dans la Section 111 du Chapitre précédent. On voit que les groupes de substitutions linéaires et algébriques remplacent dans cette théorie les groupes de substitutions entre n lettres.

Pour une équation linéaire arbitrairement donnée, 1 équation E correspondante n’aura aucune solution commune avec une équation algébrique d’ordre inférieur à ni-, cette solution n’appartenant pas à l’équation cp. L’équation désignée parQse réduit alors à l’équation E elle-même; le groupe de transformations de l’équation différentielle est alors l’ensemble des substitutions linéaires effectuées sur y,, y 25 • • •, y mi c’est un groupe à m'² paramètres.

Quand le groupe G est un groupe à moins de m* paramètres, l’équation est une équation particulière : elle est caractérisée par ce fait qu’il existe au moins une fonction rationnelle de x, de y\,y-2, . • •, ym et de leurs dérivées, égale à une fonction rationnelle de x, celte relation n’ayant pas lieu quel que soit le système fondamental 7 ,, y.₂, ..., ym.

Substituons, en effet, dans

/(*, v,

dV

cle V

dx’    ’ dxe )

à la place de V, l’expression u^y{ -f- «₂y₂    + umym’, nous obtien

drons une fonction rationnelle des y et de leurs dérivées qui ne sera pas identiquement nulle, quels que soient les éléments du système fondamental y,, y₂, ... , y,n, et qui, pour certains systèmes fondamentaux, se réduira à zéro et pourra' donc être regardée comme une fonction rationnelle de x.

Inversement, supposons qu’entre les éléments d’un certain système fondamental y,, y₂, ..., ym on ait la relation

=: O

d.Y\

qui ne soit pas vérifiée pour un système fondamental quelconque.

En remplaçant les y par leurs valeurs en V, V étant une intégrale de E ne satisfaisant pas à ©, on aura

dfV

dxk

— o,

k étant au plus égal à ni- — i. Cette relation ne se réduira pas à une identité, car alors la relation y serait vérifiée quand on fait sur les y une substitution quelconque. On a donc une équation d’ordre moindre que ni- à laquelle satisfait une solution V de E, n’appartenant pas à es, et, par suite, le groupe de l’équation n’est pas le groupe général à m- paramètres. Ces remarques sont entièrement analogues à celles que nous avons faites pour les équations algébriques (Chapitre précédent, £ 17).

24. Nous avons donné au groupe que nous venons de trouver le nom de groupe de transformations, pour le distinguer du groupe que l’on désigne sous le nom de groupe de Véquation linéaire (page 307) et qui est relatif aux substitutions qui correspondent aux différents chemins suivis par la variable. Ce dernier groupe n’est pas un groupe continu, je veux dire qu’il ne dépend pas de paramètres arbitraires. Faisons la remarque très simple, mais qui n’est pas sans intérêt, que le groupe de l’équation est contenu parmi les substitutions du groupe de transformations. Ceci résulte immédiatement de ce que ce dernier groupe correspond à la substitution d’une intégrale quelconque de l’équation f à une autre également quelconque. Si, en particulier, ces deux intégrales sont deux déterminations différentes d’une même intégrale correspondant à des chemins différents, on aura une substitution du groupe de l’équation, et elle sera bien contenue dans le groupe de transformations.

2o. Nous avons dit que, parmi les équations y d’ordre moindre p, on prendrait l’une d’elles ; mais on doit nécessairement se demander quelle conséquence entraînerait, pour le groupe de transformations de l’équation différentielle, la substitution d’une équation f à une autre équation, que nous désignerons par ft. Cherchons les relations qui peuvent exister entre les intégrales de ces deux équations d’ordre p

/(V) = o,

/.(V,) = o.

Puisque V, est une fonction linéaire des y, et que celles-ci s’expriment aussi linéairement à l’aide des V et de leurs dérivées, nous aurons pour V, une expression linéaire par rapport à V et ses dérivées. Si donc nous considérons deux intégrales déterminées v et de ces équations, 11’appartenant pas à ©, on aura

dv

t>, =    -t- fj— -H..

a et (3 étant des fonctions rationnelles de x. Or, considérons d’autre part l’expression

(T)

rfV

w = *v+

V étant l’intégrale générale de f; elle satisfera à une équation

d’ordre p

M W) = o.

Les deux équations J\ et f, ont une intégrale commune, n’appartenant pas à cp, à savoir e,. Il faudra donc que l’équation f₂ (W) coïncide avec l’équation f, (V, ) = o, puisque autrement v{ satisferait à une équation différentielle algébrique d’ordre moindre que p.

On voit donc la dépendance qui existe entre les deux équations f et fK ; l’une est simplement la transformée de l’autre. D’autre part, transformer l’équation f au moyen de la substitution (T) considérée ci-dessus, c’est substituer seulement un système fondamental d’intégrales à un autre, et, par suite, le groupe de transformations que nous aurait donné l’équation /, est le transformé de celui que nous a donné Véquation f au moyen d'une substitution linéaire convenable effectuée sur les y. Les deux groupes doivent être regardés comme identiques.

26. Nous avons examiné uniquement jusqu’ici le cas d’une équation à coefficients rationnels. Nous pouvons supposer que les coefficients de l}équation différentielle appartiennent à un domaine de rationalité plus étendu. On peut supposer, comme nous l’avons fait dans l’étude de la réductibilité (Section III), que l’on a un certain nombre de fonctions

ax(x), a₂(x),    apO)

puisse s’exprimer par une fonction ration-

telles qu’aucune d’elles ne nelle de x, des autres fonctions et de leurs dérivées jusqu’à un ordre quelconque. On considère, comme faisant partie du domaine de rationalité, l’ensemble des fonctions rationnelles de sc, des a(x) et de leurs dérivées. Les diverses équations différentielles que l’on aura alors à considérer devront être des équations différentielles algébriques dont les coefficients seront fonctions rationnelles de x, des a(x)

essen-

domaine donné de rationalité correspondra un groupe

et de leurs dérivées. Telle sera en particulier, quand elle existera, l’équation /'(V) = o, qui joue dans la théorie précédente le rôle tiel ; au

de transformations pour l'équation linéaire.

au point de vue

27. Nous devons immédiatement faire une remarque qui accuse, malgré bien des analogies, une différence importante

des applications entre la théorie que nous venons de développer et la théorie de Galois sur les équations algébriques. Dans cette dernière, la résolvante irréductible pouvait être trouvée par des calculs toujours effecluables, une fois donné le domaine de rationalité. Il en est tout autrement dans la théorie actuelle ; nous concevons seulement l’existence de cette équation différentielle J\ de telle sorte que le groupe de transformations, pour une équation donnée, nepeutpas être obtenu par des opérations susceptibles d’être régulièrement effectuées. Il en résulte qu’en général on devra, au point de vue pratique, commencer par chercher tous les types dégroupés algébriques de transformations linéaires et homogènes pour un nombre de variables égal à l’ordre de l’équation différentielle ; d’après ce que nous avons dit plus haut sur les groupes en général, on se rend compte que l’on possède des principes sûrs pour effectuer cette recherche, si pénibles et longs que doivent être les calculs à faire. 11 reste alors à reconnaître si un groupe déterminé est le groupe de transformations de l’équation différentielle.

Soit G un tel groupe ; d’après ce que nous avons vu (§ 11), nous pouvons former une fonction rationnelle restant invariable quand on effectue sur les y les 'substitutions du groupe G, mais qui n’est pas un invariant pour un groupe d’un plus grand nombre de paramètres. Nous avons vu, d’autre part (§ 13), que cette fonction satisfaisait à une équation différentielle algébrique E d’ordre n² — p, en désignant par p le nombre de paramètres du groupe G, les coefficients de cette équation étant des fonctions symétriques desjy. A l’endroit cité, les y étaient des fonctions arbitraires ; ici ce sont des intégrales de l’équation linéaire donnée; mais, si l’on prend au hasard une fonction R jouissant de la propriété d’invariance indiquée, on peut encore affirmer qu’elle ne sera pas invariante pour un groupe d’un plus grand nombre de paramètres, les y formant un système fondamental de l’équation linéaire. Ceci dit, supposons que l’équation donnée soit à coefficients rationnels; ayant pris le groupe G et la fonction correspondante R, nous formons l'équation E, qui est aussi à coefficients rationnels. Si G est le groupe de transformations de l’équation linéaire donnée, la fonction rationnelle R, qui reste invariable par les substitutions de G, devra être une fonction rationnelle de x, pour un système convenable d’intégrales fondamentales, à savoir pour celles qui correspondent à l’équation f en Y de notre théorie générale. 11 résulte alors du second théorème fondamental que Véquation E admettra une intégrale rationnelle. Nous sommes donc conduit à rechercher si une équation différentielle algébrique admet pour solution une fonction rationnelle; c’est un problème que l’on ne sait pas actuellement résoudre dans toute sa généralité, mais, dans bien des cas, la méthode des coefficients indéterminés permet, avec des considérations spéciales à la forme de l’équation, de trouver la solution (').

Quoi qu’il en soit, en se plaçant à ce point de vue, on commencera les essais en prenant d’abord les groupes algébriques à un paramètre (²) ; puis, s’il n’existe pas d’intégrales rationnelles pour les équations E correspondantes, on passera aux groupes ayant, après les groupes à un paramètre, le moindre nombre de paramètres, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive, pour un certain groupe G à r paramètres, à une équation E ayanL une solution rationnelle, tandis (jue pour tous les groupes à un moindre nombre de paramètres cette condition ne s’était pas trouvée réalisée. Le groupe T de l’équation dépendra de r paramètres, car, s’il dépendait de moins de r paramètres, nous aurions trouvé dans les essais précédents une équation E à intégrales rationnelles; d’autre part, il ne peut dépendre déplus de r paramètres, car dans le cas contraire une fonction rationnelle des v, invariante pour les substitutions de G et prise au hasard, n’étant pas invariante pour les substitutions du groupe F qui aurait plus de r paramètres, ne pourrait s’exprimer rationnellement. Il résulte de là, ou bien que T coïncide avec le groupe G, ou bien que T est un groupe complexe à r paramètres contenant Je groupe G. En

(‘) En dehors des équations linéaires, nous citerons l’équation aux dérivées logarithmiques des intégrales d’une équation linéaire, qui a été étudiée à ce point de par Liouville. Dans son Mémoire couronné, Sur les équations différentielles du premier ordre {Annales de l'École Normale, 1892), M. Painlevé a montré comment pouvait résoudre le problème proposé pour toutes les équations du premier ordre et du premier degré.

(²) Nous ne nous occupons pas du cas où le groupe de transformations ne serait pas un groupe continu, c’est-à-dire un groupe dépendant d’un ou de plusieurs paramètres arbitraires. Dans ce cas, l’équation aurait son intégrale générale algébrique, l’avons déjà dit dans une note du § 20.

vue

on

comme nous

étudiant de la même manière chacun des types de groupes à r paramètres, on déterminera ainsi le groupe T, qui pourra être un groupe complexe ou un groupe complexe formé de plusieurs groupes G à /' paramètres.

non

La méthode que nous venons de suivre dans ce paragraphe, pour obtenir le groupe d’une équation linéaire, est, à très peu près, celle qu’a suivie M. Vessiot dans sa Thèse, déjà citée, sur les équations linéaires. Le savant géomètre se sert même de ces considérations pour arriver à la notion de groupe; mais cette marche très naturelle et très intéressante pour obtenir le groupe, quand on a acquis cette notion, laisse subsister des difficultés sérieuses pour arriver aux deux théorèmes fondamentaux. Aussi me paraît-il préférable, pour poser les hases de cette théorie, de suivre la voie que j’avais antérieurement indiquée et qui présente une analogie si complète avec la marche suivie par Galois dans la théorie des équations algébriques.

Remarquons, en terminant, qu’il 11e faut pas s’exagérer l’importance des difficultés pratiques relatives à la recherche du groupe de transformations d'une équation linéaire. II en est ici comme en Algèbre; les théories de cette nature ont surtout pour objet d’établir des classifications et d’indiquer des types pour les différentes circonstances qui peuvent se présenter. Il arrivera généralement, dans les applications, que les considérations qui ont conduit à une équation donneront des renseignements sur son groupe; c’est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie, au point de vue algébrique, les équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques.

V. — Étude de quelques cas particuliers.

28. Arrêtons-nous sur quelques exemples, et commençons par l’étude des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients rationnels. Le groupe d’une équation arbitraire est le groupe linéaire et homogène d’ordre quatre. Les cas particuliers correspondront aux groupes à un, deux ou trois paramètres, sans parler du cas où 1 intégrale générale de l’équation serait algébrique, et que nous laisserons de côté.

Considérons d’abord un groupe linéaire à un paramètre ; supposons d’abord que les deux racines de l'équation caractéristique

correspondant à la substitution infinitésimale sont distinctes : dans ces conditions, en effectuant une combinaison linéaire convenable, les équations définissant le groupe sont

dy i

~dr = ay"

dy 2    ,

HT = b?"

et l’on a alors le groupe défini par les deux équations

Yi =yieat,

Y2=JYteht.

Il sera

groupe

algébrique si ^ est commensurable, et l’on a, par suite, le

Yj =yi • 0/n,

y 2=jr₂.e«,

ni et n étant des entiers. Si une

gro u pe

équation linéaire du second ordre, à coefficients rationnels, admet ce groupe comme groupe de transformations, on aura évidemment comme invariants du

cil'.

dy<i

dx

dx

zl.

y'i ’

Il existera donc un système fondamental (y,, y₂) pour lequel ces trois expressions seront des fonctions rationnelles de x. Il en résulte, en particulier, que l’équation de Riccati, admettant une inté-

y'

grale—j admet deux intégrales rationnelles; ces intégrales étant

obtenues, ce qu’on peut toujours faire quand elles existent, on aurajKi ety₂ par des quadratures, et il n’y aura même en fait qu’une seule quadrature distincte, puisque la troisième des expressions ci-dessus doit être rationnelle.

Dans Je cas particulier, où nous ne pourrions avoir la forme réduite qui précède, nous aurions, conformément à la Lhéorie de la réduction des expressions linéaires, les deux équations suivantes, pour définir le groupe,

y*

dy

37

p. — ni.

CHAPITRE XVII.

5t8

et l’intégration de ces équations nous conduit au groupe

Yi = yïeat,

Y₂ = yt teat -\- y₂ eat.

Si a n’est pas nul, ce groupe ne sera pas algébrique; le seul cas qui nous intéresse est donc celui de a = o, qui donne le groupe

Y.=ri,

Y2 = yit y a-

par

Puisque y{ est une fonction invariante, y, est une intégrale rationnelle. Un second invariant sera fourni

dy

dyx

Cette expression sera donc une fonction rationnelle, et l’on obtiendra par suite y₂ à l’aide d’une seule quadrature portant sur une fonction rationnelle. Telles sont les circonstances extrêmement simples qui se présentent quand le groupe de l’équation est à un paramètre.

29. Passons au cas d’une équation linéaire du second ordre dont le groupe serait à deux paramètres. Il faut commencer par énumérer les types de groupes linéaires et homogènes à deux paramètres. Nous avons deux substitutions infinitésimales, réduisons l’une d’elles à sa forme canonique; si aucune circonstance particulière ne se présente dans cette réduction, nous pouvons prendre, en nous reportant aux notations du § 7,

àf

àf

Ai (/) = a y 1    H- b y ₂ —

ày 1

(a -y b),

qui représente la première transformation infinitésimale, la seconde étant

àf

àf

M/) = (ayi-t- ?/2)r- +(ïr 1    s^2)ïï7r*

°y 2

°y\

Mais nous devons écrire que le crochet

( Ai A₂)

chet, on trouve de suite

àf

àf

On doit donc avoir identiquement

(b — a)$y₂= Xay,-F- n(ay,-4- py₂),

(a — 6)yjk₁= X6^₂-+-    ojr₂),

A et p. désignant des constantes. Ces équations donnent

(b — «)p = p-P, X b -H u8 == O.

X a -+- {jta = o,

{a —b) y = hy,

Puisque a — 6 o, il faut que (3 ou que y soit nul; mais ces deux hypothèses rentrent évidemment dans le même type, en permutant entre elles les lettres etjy₂ ; faisons donc (3 = o, et nous aurons les deux expressions

àf

àf

At(f) = «Ti dÿ[+by’-àÿl'

A«(/) = ar,^

qui définiront un groupe à deux paramètres si I on a la relation, résultant immédiatement des équations ci-dessus,

a 8 — b'x — o,

et nous poserons

<5 I $

'O I s

Pour obtenir le groupe, il faut, conformément à la théorie générale indiquée dans la première Section de ce CliapiLre, considérer les deux équations

— ( X i a -f- X₂ a )y i,

et les intégrer en choisissant les constantes de manière que, pour t = o, on ait jK) =jk'₁⁾, y-> = yl• On trouve ainsi le groupe à deux paramètres entre (jk,, J₂) et (y% y\), les deux paramètres étant A, t

sera un invariant du groupe, et par suite, si une équation linéaire du second ordre admet le groupe précédent comme groupe de transformations, l’équation de Riccati donnant

dy

dx

aura une intégrale rationnelle. Mais on peut trouver autrement yK, car, en éliminant 7, et 7₂ entre les équations du groupe et les équations dérivées, on trouve un autre invariant

y. dXï -y,d2l

y' dx    y - dx

y\⁺

l’invariant

et A₂t. On obtient ainsi, en changeant seulement de paramètres, le groupe

Y, =

Y₂= «T2JK1 -t- ff'î JK2,

o-, et <7o étant les deux paramètres du groupe qui s est rationnel. On voit que

sera

algébrique si

dy,

dx

Pour le mettre sous forme entière, posons s = ^; nous aurons alors / dy₂    dy A?

[y> -fa —y* -fa )

y,^,

Cette expression devra être une fonction rationnelle, et, par suite, le numérateur étant connu par une quadrature, on obtiendra y, par une extraction de racine.

Nous nous sommes placé, pour obtenir les équations du groupe, dans le cas général où, pour l'une au moins des deux substitutions infinitésimales, les deux racines de l’équation caractéristique correspondante étaient distinctes. Il n’y a aucune difficulté à examiner tous les cas particuliers possibles; nous laissons au lecteur le soin de faire cette discussion et de montrer que, dans tous les cas, l’équation

s’intégrera par quadratures, quand son groupe de transformations est à deux paramètres.

30. Si nous voulions maintenant passer aux groupes à trois paramètres, nous aurions à faire une assez longue énumération. Je ne m’y arrêterai pas, et je remarquerai seulement que l’on ne doit pas s’attendre à ce que le fait d’avoir un groupe de transformations à trois paramètres diminue toujours la difficulté de l’intégration d’une équation du second ordre. Il suffit, en effet, pour s’en rendre compte, de prendre l’équation linéaire

d² y    ,

5JT-I=

où p₂(x) est une fonction rationnelle arbitraire de x. On voit de suite que le groupe de transformations de cette équation est un groupe à trois paramètres; on a, en effet,

dy<L    dy j

Le groupe de transformations sera donc le groupe à trois paramètres

Yi= ayi-h by₂, Y 2 —— c y y -+- dy-2,

avec la relation

ad — bc = i,

et nous n’avons pas ici, comme dans les cas précédents, une équation intégrable par quadratures.

31. Pour faire une application d’une autre nature, considérons une équation linéaire du troisième ordre

(E)

a?³ y    d'ty    dy

d^^Pxd^^Pid^^P3y-° à coefficients rationnels, dont tous les points singuliers sont réguliers,

et supposons qu’entre trois solutions y,, y₂, y-s formant fondamental, il existe une relation algébrique

un système

homogène et d’un degré nécessairement supérieur à l’unité ('), la courbe algébrique représentée par l’équation précédente en coordonnées homogènes étant irréductinle. Envisageons Je groupe G de l’équation (E). On peut évidemment supposer que le système fondamental yt, y₂, y3 correspond à une solution de l’équation en V désignée par f dans la théorie générale de la Section précédente. Ceci posé, la fonction

*(yuy*>yt)

ayant la valeur zéro est exprimable rationnellement, et, par suite, elle reste invariable par les substitutions du groupe G.

En désignant par Yt, Y₂, Y;) les expressions linéaires eny,,y₂, y3 correspondant au groupe de transformations de l’équation, on aura

F(Y„ Y„ Y,) = o,

puisque

if(yi,ya,yi) = o.

Ces deux relations entre y,, y₂, y₃ ne peuvent être distinctes, puisqu’il ne peut manifestement exister deux relations homogènes distinctes entre les intégrales d’un système fondamental d une équation du troisième ordre. La substitution faite correspond donc à une transformation de la courbe en elle-même.

Or, supposons d’abord que la courbe F soit de genre supérieur à wn/elle ne pourra alors être transformée en elle-même que pour un nombre fini de transformations birationnelles (t. Il, p. 436). Si donc on pose

y»

l’équation de la courbe devenant

F(i, u, v) = o,

il résulte du théorème rappelé que les substitutions de G conduisent, pour u etc, à un groupe fini de substitutions linéaires fractionnaires.

(l) Ce problème a été étudié par M. Fuchs dans un Mémoire inséré au Tome I des Acta matheinatica ( Ucber lineare homogène Differentialgleichungen, zwis-chen deren Integralen homogène Relationen hôheren als ersten Grades bestehen). M. Fuchs ne se place pas au point de vue de la théorie des groupes de transformations des équations linéaires, qui n’était pas encore créée; on va voir combien celle-ci se présente naturellement dans cette question.

u et v sera contenu dans le groupe G' des transformations linéaires fractionnaires, relatives à u et v, qui se déduisent du groupe de transformations de l’équation. D’après ce que nous venons «le dire, le groupe G⁷ ne contient qu’un nombre fini de substitutions; donc u et v n’ont qu’un nombre limité de déterminations. Nous arrivons donc d’abord à la conclusion que les deux quotients

Or, le groupe de l’équation linéaire étant contenu dans son groupe de transformations (§ 24), le groupe des substitutions linéaires fractionnaires relatives aux diverses déterminations de

y °

— et

y*

yl

sont des fonctions algébriques de .v, que nous désignerons par u et v. Or on a

-IPidx-

— e *'

d'*yi d^y^ diy3 dx² dx² dx²

On en conclut, en remplaçant y₂ et y₃ par uy< et vy,,

(X

y\

du dï v dv d^u dx dx² dx dx *

-J'pi dx-

et, par conséquent, y s s’exprime par une quadrature et il en est de même pour y₂ et y₃. Si les racines des équations fondamentales déterminantes pour tous les points singuliers de E sont commensu-rables, l’exponentielle qui figure dans le second membre sera nécessairement une fonction algébrique, {et l’intégrale générale de l’équation sera alors algébrique. Ainsi l’étude de la nature des intégrales de l’équation (E) est très facile quand le genre de la relation F est supérieur à l’unité.

Nous sommes dans des circonstances moins simples si le genre de la relation F ne dépasse pas l’unité. La courbe F(i, w, v) = o doit être alors une courbe qui se transforme en elle-même pour un groupe de transformations projectiles. Or MM. Klein et Lie ont déterminé toutes ces courbes (Comptes rendus, i8yo) et voici le résultat auquel ils sont parvenus; ces courbes, pour un choix convenable de

Aa?²-+- By = o.

coordonnées, se ramènent à une des formes x —ya = o,

x = ey,

Sans entrer dans le détail de cette recherche, il ne sera pas long d’en indiquer le principe. Le groupe projectif qui, par hypothèse, transforme la courbe en elle-même admettra au moins un sous-groupe à un paramètre ; soient

dx

dy

-di=^y\

les équations définissant ce groupe T à un paramètre. Supposons que

f{x,y) = o

soit l’équation d’une courbe que T transforme en elle-même. On aura nécessairement alors, pour tout point de la courbe,

= o,

dx ’ dy

et, comme

àf

àf

dx -H- -j— dy = dx    dy ~

il en résulte que la courbe satisfait à l’équation différentielle

dx dy

T ⁼ T*

O,

La courbe cherchée sera donc une courbe intégrale de cette équation différentielle. On conçoit alors comment, après avoir fait la recherche de tous les groupes projectifs, on peut, par l’intégration d’une équation différentielle, arriver aux courbes cherchées. MM. Klein et Lie démontrent de plus que, pour les deux premiers types, en supposant que le premier ne se réduise pas à l’équation d’une conique, il n’y aura pas d’autre groupe projectif transformant la courbe en elle-même que le groupe à un paramètre

Y = hy

(.a = b*)

X = ax,

pour la première, et, pour la seconde, le groupe

( a — eh).

X = ax, Y = y -y- b Revenons maintenant à notre problème. En laissant d’abord de

côté le cas de Ja conique, nous aurons pour relation entre u et v le seul type

u'n = v",

m et n étant des entiers, puisque le second type est transcendant. Donc, pour l’équation linéaire E, en excluant les cas déjà étudiés et celui où la relation entre jy,, jy₂, r₃ serait du second degré, on peut admettre que cette relation a la forme

um = V‘,

yt

en posant toujours u=—> u == — • Le groupe relatif aux transfor-

mations de u et c, déduit du groupe de transformations de l’équation E, sera nécessairement, s’il dépend d’un paramètre arbitraire, le groupe

V = bv

(am = b»).

U = au,

On voit que l’expression du dx

est une fonction rationnelle de yt, y.₂, y-.\ restant invariable parles substitutions du groupe de l’équation, et, par suite, u s’obtiendra par une quadrature et v s’en déduira immédiatement. Il en résulte que u et v seront de la forme

(x — ax )*>(^ — )ai....

On aura ensuite y, par la formule (X), et y, sera de même forme ainsi quey₂ ety₃.

Supposons, en particulier, que les racines des équations fondamentales déterminantes soient commensurables pour tous les points singuliers de E; il est visible que y,, y₂, y₃ scrontalors algébriques, et nous retrouvons alors un théorème donné par M. Fuchs dans le Mémoire cité :

Si la relation F est, de degré supérieur à deux, Véquation E s'intégre algébriquement.

32. 11 reste à examiner le cas où la relation F est du second degré. M. Fuchs démontre alors que l’équation E est l’équation donnant le

carré de l’intégrale d’une équation linéaire du second ordre. Nous allons l’établir, en nous plaçant toujours au point de vue de la théorie des groupes de transformations.

On peut supposer que la relation quadratique a la forme

y\ — y\y* = °-

Le groupe de transformations de l’équation

(S)

| Yi = ayi    b y ₂ -+- cy₃,

< Y₂ = a'yt -4- U y -t- c'y₃,

I Y₃ = a"y, h- b"yî -+- c" y ₃

sera nécessairement un sous-groupe du groupe général à quatre paramètres, transformant en elle-même l’équation y* —y, y₂ — o. Posons alors

u = \fÿ\,

r₃ = uv ;

on en déduira

nous avons donc

y s = uv.

Soit de même

Y, = U²,

Y₂ = V²,

Y, = UV ;

nous aurons alors

U² = au² -4- bv² -+- cuv, V² = a’ u² -h è'c² -I- c' uv, UV =

Or, w et v étant fonctions de deux quantités y, et y₂, ainsi que U et V, il est clair que U et V sont des fonctions de u et e, et ce sont les expressions de U et V en u et v que nous nous proposons précisément de trouver. Or, des trois dernières équations écrites, on peut conclure que CJ et V sont des fonctions linéaires de u et v. Les a, b, c sont, en effet, tels qu’on a, quels que soient u et e, l’identité

(au²-+- bv²-+- cuv) (a' u²-+- b' v² -1- c' uv) — (a" u²-+- b" v²-+- c" uv)².

Il en résulte, ou bien que les deux trinômes

a' u²-h b' v²-1- c' uv

au²-1- bv²^- cuv,

ne diffèrent que par un facteur constant, ou bien que chacun d’eux

est un carré parfait. La première hypothèse est inadmissible on aurait alors

car

et, par suite, le déterminant de la substitution (S) serait nul, ce qui est impossible, car les Y doivent être comme les y des intégrales formant un système fondamental. Il en résulte que nous sommes dans le second cas, et alors U et V⁷ sont des fonctions linéaires de u et <\ Par suite, l’équation linéaire du second ordre ayant pour intégrales

v/yn s/y*

sera à coefficients rationnels, puisque les coefficients de cette équation, mise sous la forme

( E' )

ci¹ z

dz

seront des fonctions rationnelles dey,, y₂, invariantes par les substitutions du groupe de l’équation (E). Nous arrivons donc à la conclusion que réquation (E) est Véquation obtenue en posant

y = s²,

3 étant intégrale générale d'une équation (E') du second ordre : c’est le résultat obtenu d’une autre manière par M. Fuchs. On pourra aussi consulter sur ce sujet divers Mémoires de MM. Laguerre, Appell et Goursat (*). Je montrerai seulement, pour terminer, comment on pourra reconnaître si une équation linéaire donnée

£ • • "■ -rentre dans la catégorie précédente. Si l’on pose

y = -s²,

z étant l’intégrale générale de l’équation

dz

a —,--1- bz,

dx

d¹ z

7hÿ-

(') Laguerriï, Comptes rendus, i. LXXXVIII, p. 124 et 216; Arreu., Annales de U École Normale, 1881 ; Goursat, Bulletin de la Société mathématique, i883.

on aura, pour y, d’après ce que nous vu (§ 10), une équation du troisième ordre; un calcul facile donne pour cette équation

3«£?-

dx³

dx‘-

En identifiant cette équation avec celle qui a été écrite plus haut,

on a

B-—a,

3 C = Jt a² — f\b —

da

db

dx ’

D — 2 2 ab--r-

dx

L’élimination de a et b entre ces trois équations donne l’équation de condition

4 B» -h 6 B ~ + ^4 — 6 BG — dx dx'¹

3Î + ₂D =

dx

o,

qui exprime la condition cherchée.

VI. — Réduction du groupe de transformations d’une équation linéaire; théorème de M. Vessiot sur les équations intégrables par quadratures.

33. On peut, relativement à la réduction du groupe de transformations d’une équation linéaire, développer une théorie analogue à celle qui a été étudiée dans la Section VI du Chapitre précédent; c’est l’objet de la thèse déjà citée de M. Vessiot. Ce sujet, pour être approfondi, demanderait sur les groupes de transformations des études plus complètes que celles qui ont été faites plus haut; il appellerait d’ailleurs encore bien des recherches. Nous allons nous borner aux analogies les plus immédiates entre les deux théories en nous plaçant à un tout autre point de vue que M. Vessiot et en prenant toujours pour guides les idées de Galois sur la théorie des équations.

Nous considérons, pour un domaine donné de rationalité, une équation linéaire ayant le groupe G comme groupe de transformations. Soit

[    dY\

-S-’--

une fonction rationnelle d’un système fondamental d’intégrales, dont les coefficients sont des fonctions de x appartenant au domaine de

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES, rationalité. Reprenons aussi l’équation

(/)

d\

di> V dx ’    ’ dxP

d’ordre p qui joue dans notre théorie le rôle essentiel. En remplaçant les y par leurs valeurs en fonction de V, comme une fonction de V et de ses dérivées, et nous écrirons

dV

dx ⁷    ’ d.r.P

(a)

<P = x(v>

dp V

on

peut regarder cp

Si la fonction cp est prise arbitrairement, elle dépend de p constantes arbitraires, quand on prend pour V l’intégrale générale de l’équation f; la fonction cp satisfera alors à une équation différentielle d'ordre p. Mais il pourra arriver que, V étant toujours l’intégrale générale de /, la fonction cp ne dépende que de p' constantes arbitraires (p'< p). Dans ce cas, cp satisfera à une équation différentielle d’ordre p

do

. „T    dP cp'

dx ’    ’ dxP'

= o,

§32.

les coefficients étant des fonctions de x appartenant au domaine de rationalité. On voit que cette équation est analogue à l’équation S(cp) = o considérée dans le Chapitre précédent au

Si l’on prend pourV une intégrale déterminée v de la fonction cp est complètement déterminée. Quand on y remplace v par la combinaison linéaire de c et de ses dérivées, qui donne l’intégrale générale dey(§ 20), on obtient par hypothèse une fonction dépendant, non de /?, mais seulement de p' arbitraires. Il en résulte que la fonction cp restera invariable pour les substitutions d’un groupe G⁷ de transformations dépendant de p —// arbitraires. Ce groupe G' dépendra, en général, de la solution choisie e, mais il peut arriver que ce groupe ait un sous-groupe F ne dépendant pas de e ; alors ce sous-groupe F, dont nous désignerons par s le nombre des arbitraires, laisse invariables toutes les fonctions cp déduites de la fonction initiale par toutes les substitutions du groupe; on peut encore dire qu’il laisse invariables toutes les intégrales de S. Il est l’équivalent du groupe (H) qui, en Algèbre, laisse invariables les fonctions cp racines d’une équation S (cp) (§ 34 du Chapitre XVI).

3i. Avant d’aller plus loin, cherchons quelle dépendance existe entre deux fonctions rationnelles des intégrales et de leurs dérivées restant invariables par les substitutions d’un même groupe G₍ contenu dans G et dépendant de q arbitraires; nous supposons que la fonction cp considérée ci-dessus reste invariable par les substitutions de G( et par ces substitutions seulement.

Quant on met à la place de V une intégrale déterminée v de l’équation f, la fonction

di>V dx ’    ’ dx/'

dV

x(v.

envisagée plus haut (§ 33), représente une fonction déterminée de x, que nous désignons par cp, et elle reste invariable quand on met à la place de e une autre intégrale V dépendant de q constantes arbitraires, cette intégrale correspondant précisément au groupe G₍ de transformations; ceci revient à dire que les deux équations différentielles en V, désignées par (f) et (a), ont une solution commune dépendant de q constantes arbitraires. On peut former, par des calculs d’élimination, l’équation différentielle d’ordre q donnant cette solution ; elle sera de la forme

d'i V d'j)    \

dx'/ ’ dx ’ /

où nous avons mis en évidence o et ses dérivées.

Soit maintenant ç>, une seconde fonction rationnelle des intégrales restant invariable par les substitutions de G) ; nous pouvons exprimer les intégrales yt, ..., yu à l’aide d’une fonction V intégrale de l’équation R : cette fonction o, prend alors la forme

dV

R v-77î' -

O,

= X. (v,

dV

dx ’

dx'i

dx

et elle doit rester invariable, quand on met à la place de V une intégrale quelconque de l’équation R. Si cette dernière équation est algébriquement irréductible par rapport à et que \ soit son degré par

rapport à cette dérivée, on réduira dans y,, mis sous la forme d’un quotient de polynômes, le numérateur et le dénominateur à être seu-

d>/V dx ? ’

dans y, ainsi préparé on voit immédiatement, en raisonnant comme nous l'avons fait dans l’établissement du second théorème fondamental (Section IV de ce Chapitre), que V et ses dérivées doivent disparaître, et, par suite, cp, s’exprime rationnellement à l’aide de cp, de ses dérivées et des quantités du domaine de rationalité.

Si R n’était pas algébriquement irréductible, le groupe G, serait complexe ; mais, cp, restant par hypothèse invariable pourle groupe G,, le raisonnement précédent est applicable à tous les groupes non complexes composant G,, et nous avons toujours la même conclusion qui rappelle entièrement le théorème de Lagrange étendu aux valeurs numériques des fonctions rationnelles des racines d’une équation : La fonction cp, s’exprime rationnellement à l’aide de cp et de ses dérivées.

35. Nous arrivons maintenant à la réduction du groupe d’une équation. Adjoignons au domaine primitif l’intégrale générale cp de l’équation S considérée plus haut, qui reste invariable par les substitutions du groupe F du § 33. Nous allons établir que Vadjonction de cp réduira à T le groupe de Véquation donnée, proposition toute semblable à celle qui a été établie au § 33 du Chapitre précédent. En effet, après l’adjonction de cp, le groupe de l’équation ne peut contenir que des substitutions du groupe initial G n’altérant, pas cp; donc le groupe ne peut être que F ou un groupe contenu dans F. Mais il est facile de voir que toutes les substitutions de T feront partie du groupe cherché, car toute fonction des intégrales exprimable rationnellement, après l’adjonction de cp, s’exprimera rationnellement à l’aide de cp et de ses dérivées; elle restera donc invariable par toutes les substitutions de T. Inversement, toutes les fonctions des intégrales invariables par les substitutions de T, s’expriment rationnellement à l’aide de cp et de ses dérivées, d’après le théorème du paragraphe précédent. Le groupe de l’équation, après l’adjonction de cp, est donc bien le groupe F.

36. On peut étendre à un sous-groupe F, contenu dans un groupe G de transformations, la notion de sous-groupe invariant si important dans la théorie algébrique; il n’y a rien à changer à la définition. Montrons que le groupe F, auquel nous venons de réduire le groupe de l’équation, est invariant dans le groupe initial G. Nous

avons

/ dv

dv v \

et celte fonction ne change pas quand on remplace v par une combinaison linéaire de v et de ses dérivées répondant précisément au groupe T. Soient h une substitution de T, et s une substitution quelconque de G ; la substitution s' transforme lesjK en Y, et, par suite, v en une certaine intégrale V de f. La fonction © devient <I>, et bon a

Cette fonction <f>, considérée comme fonction des Y, reste invariable quand on effectue sur ceux-ci la substitution h, ce qui revient à remplacer V par la combinaison linéaire de V et de ses dérivées dont nous avons parlé plus haut. Si, enfin, on remplace les Y par lesjy c’est-à-dire si l’on effectue la substitution s⁻¹, on retombe sur la fonction©; par suite, la substitution

s~lhs *

transforme la fonction © en elle-même. Donc cette substitution appartient à T. Ainsi la transformée de h par une substitution quelconque s~¹ de G appartient à V : c’est dire que ce dernier groupe est invariant dans G.

37. On voit que l’on est conduit par les théorèmes précédents à décomposer, s’il est possible, G de manière à avoir une suite de groupes algébriques linéaires et homogènes

G, Gj, ...,    G.,,

tels que chacun d’eux soit un sous-groupe invariant du précédent, le dernier groupe G^ n’ayant pas de sous-groupe invariant dépendant de paramètres arbitraires. Par l’adjonction successive des intégrales d’équations S, nous ramènerons à ne plus avoir d’arbitraires le groupe de l’équation qui sera alors intégrée. Déjà M. Lie, dans la théorie générale des groupes, avait été conduit à envisager, pour un groupe de transformations quelconque, une suite analogue à la précédente, où chaque groupe est un sous-groupe invariant du précédent. On peut même supposer de plus que chaque groupe est un sous-groupe invariant maximum du précédent, c’est-à-dire que, étant considérés par exemple G et G<, il n’existe pas de sous-groupe invariant de G, dépendant d’un plus grand nombre de paramètres que G,. L’établissement d’une telle suite constitue ce que M. Lie a appelé une décomposition normale du groupe G en une série de sous-groupes, et l’on peut établir à ce sujet un théorème qui rappelle celui de M. Jordan. Mais nous n’insisterons pas sur tous ces points, qui nous entraîneraient trop avant dans la théorie des groupes de transformations. Nous allons étudier seulement le cas où l’on adjoindrait les intégrales d’une équation différentielle auxiliaire, étude analogue à celle qui a été faite au § 3f) du Chapitre précédent.

38. Supposons que nous adjoignions au domaine primitif de rationalité I intégrale générale r de l’équation

d^r

drô-

• > r = o,

d>v X r dx^~l

que nous désignerons par F¹ (/•) = o. Nous supposons que l’équation n’a de solution commune avec aucune équation algébrique d’ordre moindre; les coefficients de P, qui est rationnel par rapport à /• et ses dérivées, appartiennent au domaine de rationalité.

Si l’adjonction de r réduit le groupe, l’équation

I dV ' deX \ ¹ dx ’    ’ dxe

aura une intégrale, correspondant à un système fondamental, commune avec une équation différentielle d’ordre moindre, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités du domaine primitif, de /• et ses dérivées. Soit /’, l’équation d’ordre minimum jouissant de cette propriété; l’équation

d>~¹ r ’ dx^~l

dr

r, — ? •

</X

f (v CH d,’ y

*^¹ \    ’ dx '    ' dxe' ’

joue, dans le nouveau domaine de rationalité,1e rôle que jouait/⁻dans le domaine primitif. Le groupe de transformations de l’équation, après l’adjonction de.dépend de p' paramètres. Nous allons établir, au sujet de ce nombre, une inégalité très importante. Je dis que l’on a

p'dp — l.

38

P. — III.

Supposons, en effet, p' — p — A — p; différentions À fois l’équation /’,. Nous aurons ainsi ). H- i équations entre

d/'-p V

dx ’    ’ dxi‘-p ’

Nous pouvons entre ces équations éliminer r et ses k — i dérivées et nous aurons ainsi une relation de la forme

V,

d\

r,

d>-¹ r dx ’    ’ dxk -t

dr

. /v dV rf*-PV\ * \V’ dx ’ ‘ ‘ ' ’ dxP-9 )

(pâO,

où les coefficients appartiennent au domaine initial de rationalité. L’expression V, correspondant à un système fondamental, satisferait donc «à une équation d’ordre moindre que //, ce qui est impossible. Celle équation ne se réduira pas à une identité, car chaque équation contient une dérivée de V ne figurant pas dans les précédentes. L’inégalité

P'=P~ l

est donc établie, et nous pouvons, par suite, dire qu 'après U adjonction de r, le groupe de l’équation contient au moins p — \ paramètres. Nous désignerons par G le groupe initial, et par F le groupe après l’adjonction de r.

11 importe d’approfondir davantage la nature de ce groupe l\ Pour une intégrale / de F (r) = o, nous avons une équation/*, déterminée, et l’intégrale générale de cette équation s’obtient linéairement à l’aide d’une intégrale particulière et de ses dérivées, les coefficients qui appartiennent au domaine primitif dépendant de p' arbitraires. Je dis que, si l’on met à la place de r une autre intégrale R de F, l’intégrale générale de la nouvelle équation /, s’exprimera de la même manière au moyen d’une intégrale particulière et de ses dérivées. Désignons par

e(v,

d\

dx ’

1 expression de l’intégrale de /’,, correspondant à /■ ; les deux équations

/. (v,- »

de'\

’ dxe'

dr

/.(®.

sont deux équations en V, et toutes les solutions de la première appartiennent à la seconde; ceci entraîne des relations entre r et ses dérivées, qu’on peut ramènera l’ordre À — i au plus. Ces équations de condition doivent être des identités, d’après l’hypothèse faite sur l’irréductibilité de I', et l’on en conclut de suite le résultat annoncé. On remarquera encore que l’on passe de l’équation /,, correspondant à à l’équation y*!, qui correspond à R, en remplaçant V par une combinaison linéaire convenable de V et de ses dérivées.

39. L’intégrale générale de /’, appartient à /’; pour une intégrale r de F, l’équation /, en V a son intégrale générale dépendant de p' constantes arbitraires; en faisant varier /•, on doit obtenir toutes les intégrales de /’, car, si l’intégrale générale de/, dépendait de moins de j) constantes (y compris les constantes figurant dans/'), on formerait par des calculs algébriques l’équation d’ordre inférieur à p dont dépendrait cette fonction, et celle équation aurait ses coefficients appartenant au domaine initial de rationalité. Le nombre p ne pourrait pas alors correspondre au groupe de l’équation pour ce domaine.

Nous pouvons maintenant démontrer que L est un sous-groupe invariant de G. Soit une intégrale v correspondant à une équation /, dans laquelle on a mis une certaine intégrale /• de F; il correspond à v des intégrales y,, y.j,    de l’équation proposée. Effectuons

sur les ^ une substitution quelconque s du groupe G; les y deviennent des Y auxquels correspond une fonction V. Celle-ci est une intégrale d’une équation/i dans laquelle /'a été remplacée par R. En effectuant sur les Y une substitution h de L, on remplace V par une autre intégrale V; de la même équation, d’après ce que nous avons dit plus haut; enfin la substitution s~' nous ramène de V⁷ à une intégrale v' de l’équation initiale/, relative à /•. La conclusion est que la substitution

s~l lis,

transformée de h par .v~', appartient au groupe L, puisqu'elle est la substitution correspondant au passage de v à C; donc F est invariant dans G.

Il est inutile d’insister sur l’analogie des théorèmes précédents avec les propositions établies au § 36 du Chapitre précédent.

40. Nous allons appliquer, avec M. Vessiot, le théorème précédent à la recherche des équations linéaires intégrables par quadratures ; c’est un problème que l’on peut regarder comme l’analogue du problème de Galois, relatif aux équations résolubles par radicaux. Mais il nous faut auparavant revenir un instant sur la théorie générale des groupes de transformations pour définir une classe particulière de groupes étudiés par M. Lie. Un groupe de transformations est dit intégrable s’il contient un sous-groupe invariant ayant un paramètre de moins que lui, celui-ci de même et ainsi de suite. Nous aurons donc une suite

G, G,,    ..., G.,.,

chaque groupe étant un sous-groupe invariant du précédent et ayant un paramètre de moins que lui, et le dernier groupe étant à un seul paramètre.

M. Lie a donné la condition nécessaire et suffisante pour qu’un groupe d'ordre r soit un groupe intégrable. Celte condition est la suivante: on pourra prendre les r transformations infinitésimales du groupe, que nous désignons comme précédemment par de telle sorte que tout crochet qui doit être une combinaison linéaire des X, soit seulement une combinaison linéaire de

X-i if), x₂(/), ..., Xt+h-i (/).

Il s'agit ici de groupes de transformations quelconques. Si l’on considère des groupes linéaires et homogènes, M. Lie (Ma démontré que, le groupe étant supposé intégrable, on peut choisir les variables de manière cpie toutes les transformations infinitésimales du groupe soient de la forme

o.r, = L ot,

0^2

Uot,

oæ'/jI— \ fi g/,

et x->, ..., et, d’une ma-

ç₄ ne dépendant que de xK, ç₂ que de x

nière générale, de .x,, a?₂, ..    a?,-, toutes les lettres !■ représentant

d’ailleurs des fonctions linéaires et homogènes.

il. Considérons maintenant une équation linéaire

a₀

cl"¹ y

dx<»

~h Cl\

dm~l y

-4-.. .-H amy — o,

que nous supposons intégrable par quadratures. Soit G son groupe. L’adjonction d’un certain nombre de quadratures, qui se présentent d’abord dans le calcul de l’intégrale, peut ne pas réduire G, mais il arrivera nécessairement un moment où l’adjonction d’une quadrature réduira le groupe de l équation; or, adjoindre une quadrature, c'est adjoindre une intégrale de l’équation

dr

dx

b,

b appartenant ici au domaine primitif auquel on a adjoint les quadratures antérieures qui par hypothèse ne réduisaient pas le groupe. L’adjonction de r diminuant le nombre p des paramètres de G, le groupe se trouve ramené, d’après le théorème du § 39, à un groupe d’au moins p — i paramètres ("X = i); le groupe réduit G₍ aura donc ce nombre de paramètres. On continuera ainsi jusqu’à la réduction du groupe de l’équation à un groupe ne renfermant plus d’arbitraire, et alors l’équation sera intégrée.

Nous aurons donc une suite de groupes chaque groupe étant un sous-groupe invariant du précédent, la différence du nombre fies paramètres de deux groupes consécutifs quelconques G/ et G/₊, étant égale à l’unité, et le dernier groupe ne dépendant que d’un paramètre. Nous pouvons donc dire que, si une équation linéaire est intégrable par quadratures, son groupe de transformations est intégrable.

-42. La réciproque de ce théorème est exacte : nous allons montrer que, si le groupe de transformations d’une équation linéaire est intégrable, cette équation sera intégrable par quadratures.

Il résulte d’abord du théorème du § 40 que l’on peut choisir les

CHAPITRE XVII.

5₉8

intégrales d’un système fondamental de telle sorte que les transformations finies du groupe soient de la forme

Ni = «nJKi,

Y₂ =«21^1    a22j/i>

Y3 = a31yj -+■ az2y± a-ny-.\i

Y ni = am\y\ "+■ Um'iy-l

Le groupe G de l’équation ne comprenant que des transformations de cette forme, il est visible (pie l’expression

<ly\

(tx

reste invariable par les substitutions de G et est, par suite, exprimable rationnellement.

Nous aurons donc une première intégrale dont la dérivée logarithmique sera rationnelle. Faisant alors le changement de variable

z dx,

y =yi

nous aurons une équation d’ordre m— i, dont l’intégrale générale sera

-(-)■ dx \ y, /

En désignant par zK, z₂, ..., z,„_les intégrales de cette équation correspondant ày₂,    son groupe aura seulement des substi

tutions de la forme

— a-.i2z\ “1“ a33zSi

Z/h—i — <ï///,2 zl •+" am,3 -2 “H • • • -t“ am,m ■S/h—1 •

Nous pouvons donc raisonner sur l’équation en z comme sur I équation initiale. Nous aurons pour l’équation en z une intégrale dont la dérivée logarithmique sera rationnelle dans le nouveau domaine de rationalité, c’est-à-dire après l’adjonction de y, au domaine primitif. On continuera ainsi, de proche en proche, et l’on voit que l’on trouvera, par des quadratures successives, tous les éléments d un système fondamental. Le théorème énoncé est donc établi, et nous avons la proposition suivante, due à M. Vessiot:

La condition nécessaire et suffisante pour qu’une équation linéaire soit intégrable par quadratures est que son groupe de transformations soit intégrable.

43. 11 résulte immédiatement de là et des théorèmes généraux de M. Lie sur les groupes linéaires que l’équation générale d’ordre /«, c’est-à-dire une équation linéaire dont le groupe est le groupe générai à m- paramètres, n’est pas intégrable par quadratures. M. Lie a, en ell’et, montré (') que le groupe linéaire à m- paramètres admet un seul sous-groupe invariant d’ordre ni-— i ; c’est le groupe pour lequel le déterminant de la substitution est égal à l’unité. De plus, ce dernier groupe n’admet aucun sous-groupe invariant. Il est clair alors que les conditions du paragraphe précédent ne sont pas remplies.

Mous n’insisterons pas davantage sur la théorie des groupes de transformations d’une équation linéaire. Nous pensons avoir suffisamment montré, dans ceLte Section et dans la précédente, l’intérêt de cette théorie, qui n’est (pie l’extension bien naturelle à une question d’Analyse des idées si fécondes introduites en Algèbre par Galois.

(’) S. Lui, Théorie der Transformationsgruppen, t. I, Cliap. XXVI.

FIN DU TOM K III.

ERRATA DU TOME TI.

Page 5oy, ligne 4, lire (x, y), au lieu de (x¹, y').

ERRATA DU TOME III.

O².

Page 65, ligne 4 en remontant, lire aO², au lieu de a j'

Page 155, ligne 6 en remontant, lire « entre « et b », au lieu de « entre a et b ».

Page 220, ligne 8, la ponctuation est mauvaise. Il faut lire « n’annulant pas P; pour w₀-f- ikiz (k étant assez grand), la fonction Ç ».

TABLE DES MATIÈRES

DU TOM E III.

CHAPITRE I.

GÉNÉRALITÉS SLR LES SINGULARITÉS DÛS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

— Intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles dans le voisinage d’un système de valeurs singulières...........................

II.    — Applications aux équations différentielles..............................

III.    — Étude directe de la forme des intégrales des équations différentielles

ordinaires..........................................................

I.

CHAPITRE II.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES DU PREMIER ORDRE A DEUX VARIABLES.

Pages.

*7

I.    — Examen du cas général................................................

II.    — Étude d’un cas particulier remarquable................................

III.    — Réduction de l’équation à des formes simples..........................

IV.    — Équations différentielles du premier ordre non résolues par rapport au

coefficient différentiel...............................................

3o

34

4»

CHAPITRE III.

DES SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES.

I.    — Équation du premier ordre............................................

II.    — Systèmes d’équations simultanées......................................

45

52

CHAPITRE IV.

SUR CERTAINES CLASSES I) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

— Équations de Briot ét Bouquet........................................

II.    — Généralisation des équations de Briot et Bouquet......................

III.    — Des équations différentielles algébriques du premier ordre à points

critiques fixes......................................................

I.

62

67

81

CHAPITRE V.

SUR CERTAINES MÉTHODES D’APPROXIMATIONS SUCCESSIVES.

— Un théorème général sur les équations différentielles linéaires renfermant un paramètre arbitraire.............................................

II.    — Cas d’un système d’équations différentielles du second ordre............

III.    — Quelques cas particuliers..............................................

1.

sa

90

■602

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE VJ.

SLR CERTAINES ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE.

Pages.

ioo

I.    — Définition d’une constante fondamentale; étude progressive de l’intégrale.

II.    — Introduction d’une constante arbitraire dans l’équation différentielle.... n/₍

GH AP JT Rit VJ I.

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

I.    — Discussion des intégrales passant par deux points pour une classe

d’équations du second ordre.........................................

II.    — Quelques cas particuliers; exemples de solutions périodiques...........

III.    — Sur une classe d’équations à laquelle s’appliquent les procédés alternés. i44

129

i38

CHAPITRE VU

DES SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET DES SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

— Remarques générales sur la continuité des intégrales des équations dépendant d’un paramètre arbitraire.................................

II.    — lies solutions périodiques des équations différentielles ordinaires dépendant

d'un paramètre arbitraire, d’après M. Poincaré.......................

III.    — Application au problème des trois corps................................

IV.    — Sur une autre catégorie de solutions périodiques...........;...........

V.    — Des solutions asymptotiques de certaines équations différentielles.......

'VI. — De la stabilité et de l’instabilité des intégrales de certaines équations

différentielles; théorème de M. Liapounoff sur l’instabilité d(e l’équilibre.

I.

i.âg

87

J99

CHAPITRE IX.

•POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.

I.    — Des points singuliers généraux des équations du premier ordre et du

premier degré................

II.    — Étude d’un point singulier spécia

III.    — Équations du premier ordre

recherche des lignes de courbît

VP

1res

degré 05 re passant

(érieur. — Application à la àr un ombilic.............

206

2l/j

2 2.3

chapitre V*

SUR LA FORME DES COURBES SATISFA

DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ.

UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

— Étude des points à l’infini; relation entre les nombres des divers points singuliers...........................................................

II.    — Remarques générales sur la forme des caractéristiques.................

III.    — Des cycles limites.....................................................

IV.    — Étude de quelques cas singuliers......................................

I.

235

242

a53

2â:

f. S. 93

.J

f

\

%

’ ; J : ï'-v 3

V

'

✓

;

y-

X

j

( ■ . ;

,

*

■

■V

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

F f

m

11-346771

s

sf»

g

1

wjf *

Hü

f;

4 *••

mm

w-

P? i-;-’,

Si'ÎSrfiS

1

'mpm

ipPg

X» . *

éLà.: . •«• ,<tâ

;,

% %

Æg&m

m

ft

■

m*

m

*• :

jyjj

%

i/'

£ i

-:;r-

-,

? A

' i

JK»

IMk *f ^i

||

1

;.: * .

r

.•V.J

*#B %

g Pjifc'ia

ft

ÉPI

Ü5S]

?

i

il

P j

■î:

3P

;£]

f

it

IÇj

- ■<

(v -’

—

.

;

,

âl£>9

n

4 m

. • ■ -^y

I

-•■ '

F?c

wC

• ■-w *

v..*    4

?

<r>

r-*.1

.

Il

pj

|pîp

h

ga

Biblinteka Polltechniki Krakowskiej

K

100000293387

Epg

t

*" I

P

I

m

m* T *

•SI

y

I ■!