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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

BAND XL, I

VORLESUNGEN

ÜBER ZAHLEN- UND FUNKTIONENLEHRE

VON

ALFRED PRINGSHEIM

PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

ERSTER BAND

ZAHLENLEHRE

LEIPZIG UND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEÜBNER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN BAND XL, 1.2

VORLESUNGEN ÜBER ZAHLENLEHRE

(REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN UNENDLICHE ALGORITHMEN)

VON

ALFRED PRINGSHEIM

PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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ZWEITE ABTEILUNGy^’n

UNENDLICHE REIHEN MIT REELLEN GLIEDERN

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BIBLIOTEKÄ

INSTYTUTU MATEMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSK1EJ

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KATEDRA | ZAKtAD MATEMATYKI WYDZIAtU INZYNIERIJ

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LEIPZIG UND BERLIN VERLAG UND DRUCK VON B. G. TEUBNER

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SCHIJTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA; COPYRIGHT 1916 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG

ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

Vorwort.

Die vorliegende ziveite Abteilung meiner Vorlesungen über Zahlenlehre ist ausschließlich der Theorie der unendlichen Reihen mit reellen Gliedern gewidmet. Vom streng systematischen Standpunkte aus wäre es wohl konsequenter gewesen, die mit der Entwicklung der Lehre von den reellen Zahlen begonnene sukzessive Ausgestaltung des Zahlvorrats unserer gewöhnlichen Arithmetik durch Einführung der imaginären bzw. komplexen Zahlen erst vollständig zu Ende zu führen. Rücksichten wesentlich didaktischer Natur veranlaßten mich indessen zu der hier getroffenen Anordnung, insbesondere der Wunsch, den Leser durch eine gewisse Einförmigkeit des Lehrstoffes nicht allzusehr zu ermüden und ihm statt dessen schon jetzt in der Lehre von den unendlichen Reihen ein an bemerkenswerten Fragestellungen und prinzipiell wichtigen Ergebnissen außerordentlich reiches Anwendungsgebiet der bisherigen Grenzwertbetrachtungen zu eröffnen. Dem gegenüber erschien es mir ziemlich unerheblich, daß die Lehre von den unendlichen Reihen auf diese Weise in zwei durch Einschiebung der grundfegenden Erörterungen über komplexe Zahlen getrennte Stücke zerfällt, zumal schon bei der Beschränkung auf reelle Zahlen alles wesentliche der Theorie vollständig zur Erledigung kommt (anders wie bei den unendlichen Produkten und Kettenbrüchen) und die Ausdehnung der gewonnenen Resultate auf Reihen mit komplexen Gliedern, als bloßen Aggregaten je zweier reeller Reihen, sich nahezu automatisch vollzieht.

Die Darstellung der Reihenlehre beginnt naturgemäß mit allgemeinen Betrachtungen über Konvergenz und Divergenz, wobei insbesondere die verschiedenen Möglichkeiten, die notwendigen und hinreichenden Konvergenzbedingungen zu formulieren, einer ausführlichen Kritik unterzogen und gewisse auf dem Cauchysehen Grenzwertsatze und seinen Verallgemeinerungen beruhende weniger bekannte Formen dieser Bedingungen hergeleitet werden. Bei der sodann folgenden Behandlung der Reihen mit lauter positiven (bzw. nicht-negativen) Gliedern wird nach Feststellung ihrer besonderen*-Konvergenzeigenschaften eine ganz einheitlich auf das bekannte Prinzip der Reihenvergleichung gegründete ausführliche Theorie der Konvergenz und Divergenzkriterien entwickelt, welche den Zweck verfolgt, nicht etwa nur die verhältnismäßig geringe Anzahl der für praktische Anwendung fast ausschließlich in Betracht kommenden Spezialkriterien abzuleiten, vielmehr vor allem den inneren Zusammenhang dieser sonst zumeist mit Hilfe einzelner Kunstgriffe gewonnenen Regeln durch Zurückfübrung auf allgemeine Methoden kenntlich zu machen, den scheinbaren Widerspruch zwischen der üblichen Form gewisser Kriterien, nämlich der sogenannten Konvergenzkriterien ziveiter Art einschließlich des Kummerschen Konvergenzkriteriums, und dem Prinzip der Reihmver-gleichung aufzuklären und jenes letztere Kriterium, das als Kriterium

zweiter Art von geradezu überraschender Allgemeinheit bei der sonstigen Darstellungsweise völlig abseits stand und keinerlei Analogon unter den Kriterien erster Art zu besitzen schien, aus dieser rätselhaften Isolierung befreit als natürliches Glied einer folgerichtig aufgebauten allgemeinen Theorie erscheinen zu lassen. Es folgen Untersuchungen über die Tragiveite der verschiedenen Kriterien bzw. Kriterien arten, über die prinzipielle Begrenztheit der Leistungsfähigkeit aller möglichen Kriterienbildungen, über sogenannte Grenzgebiete und Schranken der Konvergenz und Divergenz — Untersuchungen, die in Verbindung mit den zuvor bezeich-neten teilweise geeignet sind, gegebenenfalls an die Stelle von Zufallserfolgen einiger Spezialkriterien ein zielbewußtes Operieren mit einem wohlgeordneten Kriterien Vorrat treten zu lassen, vor allem aber dem Leser eine möglichst tiefe, an sich wertvolle und zugleich das Studium der Funktionenlehre in fruchtbarer Weise vorbereitende Einsicht in das Wesen der Reihenkonvergenz vermitteln sollen.

Die Betrachtung der Reihen mit positiven und negativen Gliedern führt zu den Begriffen der absoluten und nicht-absoluten, der unbedingten und bedingten Konvergenz und zu dem Nachweise des vollständigen Zu-sammenfallens von absoluter und unbedingter bzw. nicht-absoluter und bedingter Konvergenz. Daran schließt sich die Angabe derjenigen Hilfsmittel, welche zur Feststellung der „effektiven“ d. h. eventuell nur bedingten Konvergenz zur Verfügung stehen, sowie eine methodische Untersuchung der Beziehungen, welche bei gewissen allgemeinen Typen bedingt konvergenter Reihen zwischen bestimmten Umordnungsgesetzen und den dadurch erzeugten Wertveränderungen bestehen. Den Schluß dieses Kapitels bildet die Entwicklung zweier Methoden, die dazu dienen, schlecht (d. h. sehr langsam) konvergierende Reihen zum Zwecke der numerischen Berechnung in wesentlich besser konvergierende umzuwandeln.

Parallel mit dem letzten, die Doppelfolgen behandelnden Kapitel der vorigen Abteilung erscheint als Abschluß der vorliegenden eine eingehende Behandlung der Lehre von den Doppelreihen mit reellen Gliedern. Dabei wird, wie dort zwischen Doppellimites und iterierten Limites, hier scharf unterschieden zwischen Doppelreihen und iterierten Reihen, und es werden die Beziehungen zwischen beiden Kategorien festgestellt, insbesondere diejenigen einer Doppelreihe zu den aus den Zeilen und Kolonnen gebildeten iterierten Reihen, schließlich auch zu der aus den Diagonalen gebildeten einfachen Reihe. Weiter erfolgt auch hier der Nachweis für das vollständige Zusammenfallen von absoluter und unbedingter bzw. nichtabsoluter und bedingter Konvergenz. Mit einer Anwendung der Lehre von den Doppelreihen auf die Multiplikation einfach unendlicher Reihen und mit der Ableitung von Konvergenz- und Divergenzkriterien für Doppelreihen mit nicht-negativen Gliedern schließt dieses Kapitel und damit auch diese Abteilung.

München, im August 1916.

Inhaltsverzeichnis,

Abschnitt II.

Unendliche Reihen mit reellen Gliedern.

Kapitel 1.

Allgemeine Grundlagen.

§ 44. Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen. — Summe und Rest einer

unendlichen Reihe. — Allgemeine Sätze über konvergente Reihen . .    293

§ 45. Anwendungen des Cauchyschen Grenzwertsatzes (§ 37) und seiner Verallgemeinerung auf unendliche Reihen

Seite

305

Kapitel II.

Reiben mit lauter positiven Gliedern.

§ 46. Allgemeine Eigenschaften. — Unbedingte Konvergenz. — Summen unendlich vieler Reihen mit positiven Gliedern............

§ 47. Prinzip der Reihenvergleichung. — Allgemeine Form von Konvergenz-

und Divergenzkriterien......................

§ 48. Divergente Reihen: 2Jdv. — Typische Formen der dv........

§ 49. Konvergente Reihen: 2Jcv. — Typische Formen der cv.......

§ 50. Die Kriterien erster Art.....................

§ 51. Beispiele für die Anwendung der Kriterien erster Art. — Divergenzmaß der Reihen:

310

317

324

330

335

2^-

^ V

• — Legendres Näherungs-

Lk (v) ’

formel für die Häufigkeit der Primzahlen.............

§ 52. Über die Tragweite der Kriterien erster Art. — Unmöglichkeit eines absolut wirksamen Kriteriums. — Reihen, welche wegen besonders schwacher Divergenz oder Konvergenz auf keins der logarithmischen

Kriterien reagieren........................

§ 53. Grenzgebiete und Schranken der Divergenz und Konvergenz für Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern

344

353

.    363

§ 54. Die Kriterien zweiter Art.....................

§ 55. Anwendung der Kriterien zweiter Art zur Ableitung der Gaußschen

Kriterien und deren Verallgemeinerung..............

§ 56. Über die Tragweite der Kriterien zweiter Art und ihre Beziehungen zu den Kriterien erster Art.....................

377

386

Seite

Kapitel IE.

Seihen mit positiven und negativen Gliedern.

401

§ 67. Absolute und nicht-absolute Konvergenz. — Riemanns Satz über die Herstellung einer nicht-absolut konvergenten Reihe mit vorgeschriebener Summe..........................

§ 58. Bedingte und unbedingte Konvergenz. — Zusammenfallen von absoluter und unbedingter Konvergenz. — Summen unendlich vieler absolut konvergenter Reihen. — Multiplikation absolut konvergenter Reihen. . .    406

413

§ 59. Kriterien für effektive, d. h. eventuell nur bedingte Konvergenz. — Alternierende Reihen. — Abelsche Transformation und darauf beruhende Konvergenzkriterien — Dirichletsche Reihen. — Ein Grenzwerts atz .............................

§ 60. Genauere Untersuchung der Wert Veränderungen bedingt konvergenter

424

Reihen.............................

§ 61. Über numerische Berechnung und Transformation unendlicher Reihen:

437

Die Methoden von Euler und Kummer..............

Kapitel IV.

Unendliche Doppelreihen mit reellen Gliedern.

§ 62. Doppelreihen und iterierte Reihen. — Konvergenz und Divergenz einer Doppelreihe. — Beziehungen zwischen einer Doppelreihe und der aus

449

den Zeilen- bzw. Kolonnenreihen gebildeten iterierten Reihe.....

459

§ 63. Beziehungen zwischen einer Doppelreihe und der aus den Diagonalsummen gebildeten einfachen Reihe................

§ 64. Absolut konvergente Doppelreihen. — Zusammenfallen von absoluter und

unbedingter Konvergenz. — Bedingt konvergente Doppelreihen. . . .    469

480

§ 65. Über eine besondere Anordnung konvergenter Doppelreihen mit konvergenten Zeilen und Kolonnen..................

§ 66. Anwendung der Lehre von den Doppelreihen auf die Multiplikation

483

einfach-unendlicher Reihen....................

§ 67. Konvergenz- und Divergenzkriterien für Doppelreihen mit nicht-negativen Gliedern...........................

Berichtigung:

Auf S. 378 muß es in Ungl. (4) statt: >0 heißen: ^ g > 0.

Abschnitt II.

Unendliche Beihen mit reellen Gliedern.

Kapitel I.

Allgemeine Grundlagen.

§ 44. Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen. — Summe und Rest einer unendlichen Reihe. — Allgemeine Sätze über konvergente Reihen.

1. Unter einer unbegrenzten Summenfolge oder, wie man gewöhnlich kürzer, wenn auch weniger prägnant, zu sagen pflegt, einer unendlichen Reihe verstehen wir zunächst rein formal eine unbegrenzte Zahlenfolge (wv),„ deren Glieder durch das Summationszeichen verbunden sind, also:

Mo fl~ wi fl- • • • + wv fl- • • •,

kürzer geschrieben:

oder auch, wenn ein Mißverständnis ausgeschlossen erscheint:

2*’-

Bezüglich der Bedeutung eines solchen als unendliche Reihe bezeichnten Symbols setzen wir nun folgendes fest. Es bedeute sn die Summe aller Glieder bis un einschließlich, also:

(1)

Sn = U0 fl" M1 + ‘ '

• fl" Un

0

Die Zahlen sn (n = 0, 1, 2, • • •) bilden dann, geradeso wie die uv, eine unbegrenzte Zahlenfolge. Ist diese konvergent und etwa:

(2)

lim sn = s,

wo also s eine bestimmte Zahl (einschließlich der Null) vorstellt, so heißt die Reihe Sur konvergent und s ihre Summe, in Zeichen:

(3)

⁼    = s.

o    n^°°o

In jedem anderen Falle heißt die Reihe divergent und zwar:

eigentlich divergent, wenn die Folge (sv) eigentlich divergiert, also lim sn = + oo oder lim sn = — oo;

«->oo

n ->oo

uneigentlich divergent, auch unbestimmt oder oszillierend, wenn die Folge (sv) uneigentlich divergiert, d. h. wenn lim sn und lim sn verschieden

n-> oo

ausfallen; insbesondere endlich unbestimmt oder innerhalb endlicher Grenzen

oszillierend, wenn keiner der Hauptlimites lim sn und lim sn unendlich aus-

«->•00

fällt (anders ausgesprochen: wenn lim | sn | endlich ist).

«->00

M->00

« -> 00

Obschon im Falle der Divergenz eine Summe der Reihe in dem zuvor definierten Sinne nicht existiert, so bedient man sich der Bequemlichkeit halber, um alle Möglichkeiten mit einem gemeinsamen Ausdrucke zu umfassen, nicht selten der Redewendung: die Summe der unendlichen Reihe sei im Falle der eigentlichen Divergenz (positiv oder negativ) unendlich groß, in Zeichen:

(4)

^ ^ °°

VJ uv = + oo oder uv = )    o

- oo,

bzw. die Summe der Reihe sei im Falle der uneigentlichen Divergenz unbestimmt und zwar, wenn l, L den unteren bzw. oberen Limes von sn bedeutet, sie oszilliere in den Grenzen l und L, wobei eventuell auch l = — oo, A = -f oo sein kann.

2. Aus der obigen Definition der Konvergenz einer unendlichen Reihe ergibt sich sofort als notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz: Jedem (beliebig klein vorgeschriebenen) e > 0 muß sich eine natürliche Zahl n zuordnen lassen, sodaß:

k + (?-V<* für: q = 1,2,3, •••.

(5)

Setzt man: .

(6)

= s„+? — sn = un+l + un+2 -(-----f un+Q

n,n -f- q

und bezeichnet R

vergenzbedingung auch folgendermaßen ausgesprochen werden: Es muß

«,« + (>

als einen Partialrest der Reihe, so kann die Kon-

jeder Partialrest B eignete Wahl von n numerisch beliebig klein werden. Dabei folgt aus:

bei völlig willkürlichem q lediglich durch ge-

(6 a)

stets auch:

i ^-ln,n + ü    ^n + o    I ^ ^

(6 b)

v,r + o I

4-

•'ö

(NS

cu

II IIV

h->- S

co'

(vgl. § 22, Nr. 1, S. 125), d. h. es wird mit 11

n,nJrQ

auch jeder spätere Partialrest beliebig Mein, sodaß auch die Bedingung (6b) als notwendig und (selbstverständlich als) hinreichend für die Konvergenz der Reihe angesehen werden kann.

Im übrigen kann man dieser notwendigen und hinreichenden Bedingung auch noch andere Formen geben. Und obschon dieselben vor den hier gegebenen Formen (6) — (6 b) keinerlei Vorzüge besitzen und eher geeignet sind, den wahren Sachverhalt zu verdunkeln, als ihn aufzuhellen, so soll doch etwas näher darauf eingegangen werden, da man in den Schriften ganz bedeutender Mathematiker und in weit verbreiteten Lehrbüchern mancherlei unklares oder geradezu falsches über diese doch schließlich grundlegende Frage findet.

3. Bezeichnet man mit Bn diejenige unendliche Beihe, welche aus der gegebenen durch Weglassung aller Glieder bis u/t einschließlich entsteht, also:

(7)

n +1

(zunächst wiederum rein formal, d. h. gleichgültig, ob die rechts stehende „Summe“ eine bestimmte Zahl vorstellt oder nicht), so soll Bn schlecht

hin der Best der Reihe heißen. Ist dann die Reihe uv konvergent und s ihre Summe, so hat man:    o

(8)

Bn = lim 11 £ ->-00

= s-sn, und daher (wegen: lim (s — sn) = 0):

n,n + Q

= lira On + (?-sJ

71->-00

(9)

lim Bn = 0, d. h. lim

n    /

71 —> 00

/ ” + ? \

| lim u\ = 0.

\o-*oo"    /

Diese Beziehung bildet also in dem Sinne eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe, daß sie zweifellos erfüllt ist, wenn die

Reihe konvergiert. Und da sie andererseits auch nur dann besteht, wenn die Reihe konvergiert, so ist sie in diesem Sinne auch eine hinreichende. Nichtsdestoweniger muß es als durchaus verfehlt bezeichnet werden, wenn man diese Tatsachen, wie nicht selten geschieht, als Kriterium für die Konvergenz in den folgenden Satz zusammenfaßt: „Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe besteht darin, daß der Best Bn mit unendlich wachsendem n gegen Null konvergiert.“ Bei dieser Fassung wird nämlich in Wahrheit schon die Existenz einer bestimmten als Best bezeichneten Zahl Bn und damit geradezu die Konvergenz der Reihe von vornherein vorausgesetzt (denn, falls Bn für irgendein n eine bestimmte Zahl vorstellt, so gilt das gleiche für jedes n, da ja die Weglassung oder Hinzufügung einer endlichen Anzahl von Gliedern jene Eigenschaft nicht auf hebt).

Will man der lediglich für eine bereits als konvergent erkannte Reihe bestehenden Beziehung (9) eine wirklich korrekte Form der notwendigen und hinreichenden Konvergenzbedingung nachbilden, so hat man zu beachten, daß es sich in (9) um die Beschaffenheit eines gewissen iterierten Limes handelt und daß andererseits die Existenz eines solchen keineswegs diejenige des inneren Limes erfordert. Man wird also die Beziehung (9) durch die folgende ersetzen:

lim | lim u\ = 0,

n ->oo \o-> oo    I

*    n+1    '

von der sich in der Tat nachweisen läßt, daß sie eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe bildet.¹) Zunächst ist nämlich ersichtlich, daß diese Bedingung genau dieselbe Tragweite besitzt, wie die folgende²):

(10a)

(10b)

lim

71 ->-00

(üm ij§V)-0

Ist nun diese Bedingung erfüllt, so muß zu beliebig kleinem s > 0 ein m sich so fixieren lassen, daß:

lim

p->oo

j m + p

\ 2Ur < Y’

m+1

Aus dieser letzten Beziehung folgt dann weiter: jedem solchen m läßt sich ein gm (welches im allgemeinen mit m veränderlich sein wird) so zuordnen, daß:

für: g^gm.

Man hat also für p = pm und p = pm + 6:

m + Qm

m + r>m + <7

2Uv <Y>    <Y

(<? = 1, 2, 3, • • •),

und hieraus für den absoluten Betrag der Differenz dieser Summen:

| m + Qm + a

^?vuv <£ (<? = 1, 2, 3, •••),

im+Qm + l

oder, wenn man m -f gm = n setzt:

n + a

^}uv -k+«r-sn <E 0 = 1>2, 3, •••),

n +1

sodaß in der Tat die Konvergenzbedingung (5) erfüllt ist.¹)

Man kann schließlich der soeben als notwendig und hinreichend erkannten Konvergenzbedingung (10a) noch eine etwas andere Form geben, welche darauf beruht, daß im Falle der Konvergenz der Reihe uv nicht nur der iterierte Limes (9) bzw. (10a), sondern auch der entsprechende Doppellimes verschwindet (woraus dann umgekehrt nach dem Satze (Ia) des § 43, Nr. 1, S. 284, wieder ohne weiteres das Verschwinden des iterierten

1) Man könnte dieses Resultat auch so aussprechen, daß allemal, wenn Gl. (10 a) besteht,

lim

p->00

lim

p -> oo

wird und eine bestimmte Zahl vorstellt.

IM«J — I bn» a I )•

p—>30 '    p ->00 *

wenn

Limes (10a) folgen würde). Es soll also gezeigt werden, daß die Beziehung:

n + p

(11) lim uv = 0, anders geschrieben (s. Gl. (6)): lim U

eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe uv darstellt. Ist nämlich diese Bedingung erfüllt, so lassen sich auf Grund der Definition eines Doppellimes (§ 40, S. 254, Ungl. (2a)) zu beliebig kleinem s > 0 zwei Zahlen m, r so fixieren, daß:

für: v m, q I5> r,

n,n + C

= 0,

V,V + ()

<1

d. h.:

(11a)

<Y

| uv+1 -f uv+2 H-----\-uv

Daß diese letztere Bedingung eine für die Konvergenz der Reihe notwendige ist, geht unmittelbar aus der Vergleichung mit der bereits als notwendig erkannten Bedingung (6 b) hervor, da sie ja bezüglich der Auswahl von q geringere Ansprüche macht als diese letztere. Nichtsdestoweniger erweist sie sich auch als hinreichend. Aus (11a) folgt nämlich speziell für q = r und p = r-f-ff:

für: v )> m, q r.

\<i

! Um + 1 + Um + 2 H-----h Wm+r + ff| < -J

und daher für den absoluten Betrag der Differenz dieser Summen:

-f- u

-f- u

4-----]-u

m + r+ 2

oder, wenn man schließlich noch m -f- r = n setzt:

(«-1,2,3,.-.),

| un+i + w„₊₂ -f-----\-un + a I < £ (<? = ü 3, • • •)

anders geschrieben:

l⁵n + a-sn|<£ für: tf-1,2,3,-.• in Übereinstimmung mit unserer früheren Konvergenzbedingung (5).¹)

1) Unzulänglich für die Konvergenz wäre es dagegen, wenn an Stelle der Bedingung (11) nur die folgende:

lim H

n-> oo

+ Un+ 2 4-----f~ Un +    — ⁰

= lim (u

n —>■ oo

für jedes einzelne, übrigens aber beliebig groß zu denkende q erfüllt wäre. Denn dieser Bedingung würde offenbar schon genügt, wenn nur:

lim un + i = lim ₊₂ ------ üm un

n ->»

n,n + Q

n-> oo

n ->oo

4. Setzt man in der notwendigen und hinreichenden Konvergenzbedingung (6 b) speziell p = 1, so erhält man als eine jedenfalls notwendige Konvergenzbedingung die folgende:

lsr+i~ SJ <    d. h. |w„ + 1|<2£ (für v^n),

lim un — 0,

d. h.:

(12)

n ->oo

in Worten: die Glieder der Reihe müssen mit unbegrenzt wachsendem Index gegen Null konvergieren. Daß diese notivendige Bedingung aber keine für die Konvergenz hinreichende ist, erkennt man leicht an dem folgenden bemerkenswerten Beispiele. Es werde gesetzt:

u₀ = 0, uv =

also:

(13)

00 /

Die entsprechende unendliche Reihe

, welche als die harmonische bezeichnet zu werden pflegt, besitzt dann offenbar die Eigenschaft, daß ihre Glieder schließlich gegen Null konvergieren, während sie selbst in folgender Weise als divergent erkannt wird. Man hat:

(14)

S-2n Sn

¹    ,    1 I    | ¹

n -{-1 ' n -j-2 '    ' 2n

. ¹ 1 > n • — =

d. h. schließlich:

lim uv = 0,

oo

was tatsächlich für die Konvergenz nicht ausreicht, wie in Nr. 4 des Textes gezeigt wird.

Es würde für die Konvergenz nicht einmal ausreichen, wenn in der obigen Bedingung q mit n in irgendeiner speziellen von n abhängigen Weise ins Unendliche wachsen dürfte. Setzt man z. B. für v>2:

v • lg v

und g=pn (wo p eine beliebige natürliche Zahl), so hat man:

n +pn

n,n+pn

pn

n lg n lg n ’

}'

n +1

lim Rn

n ->•»

Nichtsdestoweniger ist die betreffende Reihe divergent (s. § 48, Nr. 3 am Ende, S. 328).

also:

n + pn

= 0.

wie groß auch n angenommen werden möge. Daraus folgt aber, daß

lim sn — + oo (da die monoton zunehmende Zahlenfolge (ßv) nicht der «->00

Konvergenzbedingung (5) genügt). Wegen:

und

>Sh

Sh

±y±

2 v i

ergibt sich dann weiter, daß auch die Reihe der reziproken geraden bzw. ungeraden Zahlen nach + oo, also eigentlich divergiert.

Im übrigen hätten wir die Divergenz der harmonischen Reihe auch aus der früher bereits abgeleiteten Beziehung (s. § 34, S. 207, Gl. (7), (9)):

lim (ßn — lg (w + 1)) = y

(15)

«->■00

erschließen können, da ja y eine endliche Zahl vor stellt und lim lg (n+1) ==+ oo ist, also auch lim sn — -f- oo sein muß.

71 —V OO

5. Die früher ausführlich betrachteten unbegrenzten systematischen Brüche stellen offenbar lediglich eine spezielle Klasse von lconvergenten \unendlichen Beilien vor. Eine Beziehung von der Form:

«->00

(16)

⁶ — [ÖJ = lim («0 + y “1-----b y)

könnte also jetzt durch die folgende ersetzt werden:

(17)

Ebenso definiert jede der beiden Zahlenfolgen (n== 1, 2, 3, •••):

*, = 1+2’‘

wo: limsn = e (§ 33, S. 204, Gl. (26)),

«->00

(18)

?n =

, wo: lim y = y (§ 34, S. 207, Gl. (8), (9))

«->00

eine konvergente unendliche Beihe, sodaß man die in diesen Gleichungen enthaltenen Aussagen jetzt auch folgendermaßen schreiben kann:

e-i + y

(§ 15, Gl. (9), S. 89),

Ein einfaches Beispiel für alle in Nr. 1 für möglich erkannten Fälle der Konvergenz und Divergenz liefert sodann die unbegrenzte geometrische

oo

Progression ^ av, wo a eine beliebige positive oder negative Zahl be-

V

deutet. Aus der für jedes a geltenden Identität: folgt zunächst, daß für jeden Wert a außer a = 1:

<20)

,    ,    .    _ l    an + 1

= 1 + « 4- ■ • • + « = i--\—-

1 — a 1 — a

Ist zunächst ; a j <1, so hat man, wenn etwa:

(21)

gesetzt wird:

l + ß’

wo: ß > 0,

(22)

ccn+1 1 — a

i«r

-fl

i+ß

i — i«J ~(i + ß)

Tb

ß(l + nß)’

und da der letzte Ausdruck durch Wahl eines hinlänglich großen Wertes von n beliebig klein gemacht werden kann, so folgt aus diesem Falle:

Gl. (20), daß in

(23)

lim = ₁

n->oo

d. h. die betreffende Reihe ist konvergent und ihre Summe s = dagegen j a | > 1 und außerdem a > 0, so kann man setzen:

• Ist

(24)

wo: ß > 0,

und es ergibt sich:

ccn +1 1 —

(25)

a = j(¹ + ß)

also:

(26)

lim sn = + oo

n-> oo

d. h. die Reihe ist alsdann eigefntlich divergent.

Dies gilt übrigens auch noch im Falle a = l. Hier verliert zwar die sonst zur Darstellung von sn geltende Formel (20) ihre Gültigkeit. Man findet aber für a = 1 ohne weiteres:

(27)

also: lim sn= oo.¹)

n-> oo

s* = n + 1,

1) Offenbar hätte man hieraus auch die eigentliche Divergenz von 'S*ccv im Falle 1 kürzer erschließen können, als mit Hilfe der Summationsformel (20).

Das analoge gilt offenbar für jede endliche Anzahl von konvergenten Reihen. 3) Setzt

man:

Ist ferner | a [ > 1 und zugleich a < 0, also etwa:

- (1 + /3), wo: ß>0,

(28)

so wird:

(i 4- ß)n

2 + ß »

an + 1 l —

sodaß also sn absolut genommen mit n ins Unendliche wächst. Dabei ist sn allemal positiv, wenn n gerade, negativ, wenn n ungerade: die Reihe oszilliert also in diesem Falle in den Grenzen — oo und + oo.

Es bleibt schließlich noch der Fall a = — 1 zu untersuchen, für welchen zunächst aus Gl. (20) sich ergibt:

(29)

- - (- 1)* • a v '

(30).

1    , (— i)”

2    _t‘ 2

s„ =

Man hat also für jedes ungerade n: sn = 0, dagegen für jedes gerade n: sn= 1, und daher auch: lim sn = 0, lim sH = 1, sodaß also die Reihe in

M->00

den Grenzen 0 und 1 oszilliert.

6. Unmittelbar aus der Definition einer konvergenten Reihe und den allgemeinen Regeln über das Rechnen mit Grenzwerten ergeben sich die folgenden Sätze:

1) Bedeutet Je eine beliebige positive oder negative Zahl, so konvergiert gleichzeitig mit der Reihe "Su auch die Reihe ^k-uv und man hat:

n-> oo

(31)

• Uv

Insbesondere ist also, wenn man k = — 1 setzt:

(32)

yji- *k)=-2}u*-

2) Gleichzeitig mit den beiden Reihen    jSvr konvergiert auch

die folgende: J£(ur + vv) bzw. ^(uv — vj), und man hat:

oo

oo

(33)

2u* ± 2v*⁼2 ±

ooo

u₀ + «j    • • •

Mm,+1 + Mm.+S

m,. + l

H----+ «

m,.₊ ,

»• + 1

7. Wir wollen an dieser Stelle noch einer Bezeichnungsweise Erwähnung tun, von der wir später gelegentlich Gebrauch machen werden. Es bedeute:

l ;    2 J    3 } " ’ '

eine unbegrenzte Zahlenfolge, so geht aus dem in Nr. 1 gesagten hervor,

oo

Nr. 7.

303

§ 44. Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen, so konvergiert mit der Reihe ^Sur auch die Reihe ^Ur, und man hat:

oo

00

(34)

2 UV ⁼'2UV 1 0

Denn setzt man: u₀ + Mj H-----f- un = Sn, TJX + U₂ -f-----f-= Sn, so wird:

also: lim Sv = lim sm^ = lim sr.x)

(35)

V~>00

r->oo

was man unter der unendlichen Reihe: ^>1 u_v zu verstehen hat, und es

i

bedarf auch keiner weiteren Erläuterung, daß man dieses letztere Symbol

— oo

-l

auch durch das folgende:    uv oder auch:    uv

zu

ersetzen pflegt.

-l

— oo

so schreibt

Ist sodann noch die unendliche Reihe uv vorgelegt man konsequenter Weise:    o

+ 00

00

00

Eine Reihe von

yiuv für:

— 00

+ 00

der Form /}uv heißt also dann und

.+2“’'

o

nur dann Icon-

— oo

oo

00

vergent, wenn jede der beiden Reihen    ^> uv Tconvergiert, in jedehi

anderen Falle divergent.    i    o

1) Man bemerke, daß dieser Satz nicht schlechthin, sondern nur in folgender Weise umkehrbar ist: Wenn außer der Reihe ^ Uv auch die Reihe ^uv konvergiert, so hat man:

00

00

Dagegen braucht    noch keineswegs zu konvergieren, wenn auch N Uv kon

vergiert; denn aus der Existenz eines bestimmten limsmy folgt ja noch keineswegs

V->00

diejenige von limsv.

V->00

00

(Einfachstes Beispiel: uv = {—l)v, also ^ u„, wie bereits gezeigt, in den

oo    0

zillierend, dagegen ^>v(u9r -j- u9l.4.ij = o

Grenzen 0 u

r%

0, also konvergent.)

CD

Dagegen darf man nicht umgekehrt diese letztere Beziehung als De-

+ oo

fnitionsgleichung für das Symbol uv betrachten und aus der Existenz

— oo

+ n

und Endlichkeit des Grenzwertes lim uv auf die Konvergenz der mit

n -+oo

+ oo    —n

zu bezeichnenden Reihe schließen.

— 00

+ 00

So ist z.

Mit anderen Worten: Die Bedeutung des Symbols ^ uv wird durch die Gleichung dargestellt:

— 00

+ 00

(36)

2UV = lim 2}u_r + lim uv

— 00

Wl->00

= lim

m,n-> oo

2U”

wo m und n in ganz willkürlicher Weise und unabhängig voneinander ins Unendliche wachsen. Wenn dieser letztere Doppellimes als endliche Zahl

+ n

existiert, so fällt er offenbar mit dem einfachen Grenzwerte lim uy sammen, und man hat in diesem Falle:

zu-

+ oo

(37)

= lim 2? uv.

'    n->oo '

— oo

divergent, da jede der beiden Reihen

— 00

V-.³,

+J 2» + 1

und

00

~s:    *

2»+ 1

0

divergiert. Hingegen hat man:

2v -f 1

also:

Das arithmetische Mittel einer unbegrenzt wachsenden Anzahl beliebiger reeller Zahlen uv besitzt den Grenzwert lim un, sobald dieser letztere im weiteren Sinne existiert.

«->0O

§ 45. Anwendungen des Cauchyschen Grenzwertsatzes (§ 37) und seiner Verallgemeinerung auf unendliche Reihen.

hat man:

1. Nach dem Cauchyschen Satze in § 37, Nr. 3 (S. 230, Gl. (14))

(1)

üm = Iim (an~an-i), n->- oo    «->oo

sobald der rechts auftretende Grenzwert im weiteren Sinne existiert. Ersetzt man jetzt an durch sn, wo:

Sn = u₀+U ! + ••• + «„, also: sn-sn_₁=un, so nimmt Gl. (1) die Form an:

(2)

(3)

oder auch (wegen: —• =

lim S~ = lim un,

«->00 n «->00

und Hmü±l_l):

n + 1    n    «->oo n

(4)

lim

uo ~f~ ui 4-----V un

in Worten:

7l-> OO

fl “j“ 1

= üm un,

«-> oo

(Beispiele:

«->oo

lim

«-> oo

§ ; i-*

C/Q

v = lim «->00

lg 1 • 2 • 3 • • • n

= OO.)

Hierzu sei noch bemerkt, daß — geradeso wie bei der ursprünglichen Form des Satzes (1) (vgl. § 37, Nr. 3 am Schlüsse) — die Existenz des ersten Grenzwertes keineswegs umgekehrt allemal diejenige des ziveiten nach sich zieht.

(Beispiele: uv = (— l)v, also: s3m_! = 0, s2m= 1, lim^ = 0; da-

—-    ..    «-> oo    .

gegen: lim un = — 1, lim un = + 1.

«->00

«->oo

Ferner: uv = (— l)v- lg ((v -f 1)[v +. 2)), also:

= — lg (2m -f- 1),

1 . 2 • 3 • 4 • • • (2 m — 1) • 2 m 2-3 4 • 6 • • • 2«i.(2jiT+1)

1.2 • • • (2m—1) • 2m • (2m-f-l) • (2m -f- 2)

= lg (2m+ 2),

S2m “ 1 g

<l.h. sn = (—l)"-lg(n+2), lim S” = 0; dagegen: lim un = — oo, lim wn= + oo.)

«->ooW    «-> oo    re->oo

2-3    • • •    2 m • (2 m -(- 1)

2. Faßt man speziell den Fall ins Auge: lim un = 0, so liefert die Relation (4) den folgenden Satz:

n-> oo

Für jede unendliche Reihe mit schließlich gegen Null konvergierenden Gliedern uv ist:

(5)

lim

uo ~l~ ui 4---- 4- un

n -> oo

n-\- 1

= 0,

insbesondere also auch dann, wenn die Reihe eigentlich divergiert oder ein unendliches Grenzintervall besitzt.⁴ 5)

(Beispiel:    also: s„

und: lim —f—= 0, wie n 4-1

ra-> oo

sieh leicht mit Hilfe des Resultates § 34, S. 207, Gl. (9) verifizieren läßt, Darnach hat man nämlich: lim (sn—lg(n-f-1)) = y, also: lim    = 0r

und wegen: lim lg ^ = 0 schließlich auch: lim —=0.)

n-> oo

n -> oo

Schreibt man ferner in Gleichung (4) sv statt uv, so ist die für ihre Gültigkeit erforderliche Bedingung, daß lim sn im weiteren Sinne

n->oo

existieren solle, gleichbedeutend mit der Konvergenz oder eigentlichen

oo

Divergenz von ur. Man erhält also den Satz:

u

Für jede konvergente oder eigentlich divergente Reihe 4Euy besteht die Beziehung:

lim ³o 4“ gi 4-----\~ ⁸n a

n + 1

(6)

« ->00

2Uv>

o

(6 a) lim

n->oo

oder anders geschrieben:

(n 4-1) • Mp 4- n • ut H-----f- 2ytt-₁ 4- 1■u„ ₌

n-f 1

lim (w₀ 4- ux 4-----Fwn).

u->oo

Ist nun speziell Nur konvergent, also lim (w0 + uy

und daher:

3. Die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

yex+i\

av+ p + 1

l)-*,

amv<£,

Sn-^}V(d,-d.+l) + nd-

l[j?i{2xa'~2*h')=s’

= lim (lim 8^) = lim /lim S^)

V2)

Hm\ur-wj = o,

! ]>}uvvtl_v j

¹

Die Notwendigkeit der Bedingung (10a) bedarf keines Beweises, da ja schon die stärkere (nämlich ausdrücklich noch das Zusammenfallen von

7l + p

!±m yiuv und hm yiuv

f) X    o -> oo

*1 + 1    n + 1

verlangende) Bedingung (9) als notwendig erkannt wurde.

²

Man beachte, daß lim a keineswegs mit | lim a₀ identisch ist, son-

p->»    '    p ->oo '

dem den größeren der Absolutwerte von lim a und lim aQ darstellt (bzw. beide,

p ->00    "    Q->00    '

³

2v — l + 2 2V+1    2 m -f- 1 *

l    o

+ n

lim    . = 0.

n-+oc^ 2V+1

⁴

Im Falle der Konvergenz bzw. Existenz eines endlichen Grenzintervalls ist

⁵

die Beziehung (6) offenbar selbstverständlich.

Ist nun speziell Nur konvergent, also lim (w₀ + uy 4-----H un) eine be-

n->oo

stimmte Zahl, so läßt sich die letzte Beziehung auch in die folgende Form setzen:

lim

n->oo

(m₀ + «i -j-----f- «„ —

(«4-i)tt₀4-W'«i4-

«4-i

- 0,

Nr. 3.

307

§ 45. Anwendungen des Cauchyschen Grenzwertsatzes.

oder auch, wenn man alles unter den Nenner n + 1 bringt und schließlich noch, der Symmetrie zu Liebe, diesen durch n ersetzt:

lim ¹ • «i + 2 • -I-----H n • un = Q

«-> oo

(')

00

3. Nach dem eben gesagten bestehen für jede konvergente Reihe /}uv>

sofern man deren Summe mit s bezeichnet, die beiden Beziehungen:

(6)

lim S°    S” = s (d. h. = irgendeiner bestimmten Zahl),

«->oo

lim

= 0.

«->•00

Jede dieser Beziehungen ist also eine notwendige für die Konvergenz, aber keine allein erweist sich als ausreichend. Der Bedingung (6) genügen z. B. unendlich viele innerhalb endlicher Grenzen oszillierende Reihen,

oo

wie

(— l)v *), der Bedingung (7) jede divergente Reihe, für welche o

Jim n • un = 0 ist.²) Dagegen sind beide Redingungen zusammen auch

00

n->oo

hinreichend

dafür, daß ^luv konvergiert, und zwar gegen die o

Summe s. Ersetzt man nämlich in (6) den Index n durch n — 1 und beachtet, daß:

so + sx H-----f sn

so folgt durch Addition von Gl. (7):

-x

= ««0 + (w — H-----h 1 • un

-l}

lim

fi Uq “4" fi ”j“ • • • “f" fi * un

d. h.:

n ->oo

= «,

oo

1) Man findet in diesem Falle:

lim

«->00

2) Z. B. un

n-lgn

vgl. § 48, Nr. 3 am Ende (S. 328).

Es sei noch ausdrücklich bemerkt, daß aus (7) allemal folgt:

lim un — 0.

00

Ersetzt man nämlich in Gl. (7) n durch (n — 1), so folgt, daß für jedes beliebig kleine s > 0 bei passender Fixierung einer unteren Schranke für n die Ungleichung besteht:

| \-Uy    -----H (»—!)• M„_11 < (n —l)fi.

Da sodann auch:

11 -ut + 2-w₂H-----< ne,

so folgt durch Subtraktion:

| n • un | < (2w — l)s, also a fortiori:    | i <    ,

d. h. schließlich:

lim = 0.

n->eo

man:

4. Die Konvergenzbedingung (7) gestattet noch die folgende Verallgemeinerung. Nach dem allgemeinen Grenzwertsatze §37, Nr. 4 (S. 231, Gl. (17), (18)) hat

an — an-1

K-K-i’

falls der rechts auftretende Grenzwert endlich ausfällt und die bv den Bedingungen genügen:

(8)

lim — = lim

7100

(9)

lim bn ¹ = oo, lim -r-

ra-> oo !

Setzt man jetzt:

(10)

av~av~l

K-K-i

also: lim

H -> 00

an — «n-1

bn~K- 1

- = lim 5n_x = lim »->00

»->00

so hat man zunächst:

av-av-i = (bv-bv_₁)-sv

und, wenn man hier der Reihe nach v = 1, 2, • • •, n substituiert und die betreffenden Gleichungen addiert:

(11)

an = «0 +^(K~hv-l) • ⁵v-l-

1

Durch Einführung der Beziehungen (10) und (11) in Gl. (8) nimmt der obige Grenzwertsatz, wenn man noch beachtet, daß lim ~° = 0 zu

n -> oo un

§ 45, Anwendungen des Cauchyschen Grenzwertsatzes, setzen ist, die folgende Form an:

lim —

«-> oo

(12)

- Mi) = lim sn,

n->00

sofern lim sn als endliche Zahl existiert und die hv den Bedingungen (9)

«->00

genügen.

Die auf der linken Seite von Gl. (12) auftretende Summe läßt sich nun aber in folgender Weise umformen¹):

71—1

-i

=    ~S>) + K Sn - Mo

¹

= M» ~ (Mö +2 ^ “ S>-l)) •

Daraus folgt weiter:

(13) linM-Vv(&

7t->00 ^11

«->00

»->00

und somit durch Vergleichung mit (12):

n

i

(14)

71—> 00

Setzt man schließlich noch:

s₀ = u₀, im übrigen: 5,. — sv_t = uv,

Sv ~ W0 “f~ Wl + • • • + W,,,

sodaß jetzt die vorausgesetzte Existenz eines endlichen lim sn mit der

«->00

Konvergenz der Reihe zusammenfällt, so liefert Gl. (14) die folgende Verallgemeinerung des Satzes Gl. (7):

Für jede konvergente Reihe ist:

jim Mo + Mi 4-----\-Kun = 0j

also :

(15)

«->00

sofern die hv den Bedingungen (9) genügen.

1) Über die hierbei benützte, von Abel herriihrende Transformationsmethode vgl. § 59, Nr. 4.

Pringaheim, Vorlesungen I, 2.

21

Da das letztere speziell für jede positive, mit v monoton (niemals abnehmend) ins Unendliche wachsende Zahlenfolge (Mr) der Fall ist¹), so ergibt sich noch:

(16)

Für jede konvergente Reihe Sur ist: lfm    ----h un q

Die spezielle Annahme Mr = v führt dann wiederum auf Gl. (7)

zurück.

Kapitel II.

Reihen mit lauter positiven Gliedern.

§ 46. Allgemeine Eigenschaften. — Unbedingte Konvergenz. — Summen unendlich vieler Reihen mit positiven Gliedern.

1. Wir betrachten zunächst unendliche Reihen von der Form jSar, wo für jeden endlichen Wert v des Stellenzeigers: av > 0 ist.²) Eine solche Reihe kann offenbar nur konvergieren oder eigentlich divergieren

(nämlich nach -f- oo). Denn die Zahlen sn = av bilden hier eine mit

o

wachsendem n monoton zunehmende Folge, sodaß lim sn entweder einen

w-> oo

bestimmten positiven Wert besitzt oder positiv unendlich groß wird.

Daraus folgt insbesondere, daß bei Reihen dieser Art stets auf die Konvergenz von ^at geschlossen werden kann, sobald nur feststeht, daß

>y ay für alle Werte von n unter einer festen Schranke bleibt, o

Und ferner: Ist konvergent, so konvergiert auch jede Reihe von der Form JSjam , wenn (mv) eine beliebige aus der Reihe der Zahlen ir herausgehobene Zahlenfolge bedeutet.

Während hiernach jede aus einer konvergenten Reihe (mit positiven Gliedern) herausgehobene Reihe wiederum konvergiert, so darf man nicht etwa schließen, daß jede aus einer divergenten Reihe 'Sar herausgehobene Reihe auch divergieren müsse. Dies gilt nur dann ohne weiteres, wenn die Glieder ar stets okerhalb einer festen Schranke bleiben. Ist dagegen lim av — 0 oder auch nur lim aY = 0, so lassen sich aus der divergenten

I' ->oo

r-> cc

Reihe ^ar stets auch (unbegrenzt viele) konvergente Reihen herausheben. Denn nimmt man eine konvergente Reihe cv mit positiven Gliedern ganz willkürlich an, so kann man aus der Folge (av) eine andere (am ) so

herausheben, daß am < cv (v — 0, 1, 2, • • •) und daher JSam> konvergiert.

00

(So lassen sich z. B. aus der divergenten Reihe - unendlich viele

-ii    ¹

konvergente Reihen von Tier Form ~~v herausheben, wo m jede ganze Zahl > 1 bedeuten kann.)    o

2. Es erscheint wichtig, festzustellen, daß die Konvergenz einer Reihe der betrachteten Art, sowie auch der Wert ihrer Summe durchaus unab-

A, so ist

hängig ist von der Anordnung der Glieder, d. h.: Ist av ==* 00 0

auch stets    an^ =

o

A, wenn man unter (nj) eine Zahlenfolge versteht,

die aus der Reihe der Zahlen 0, 1, 2, • • •, v, • • • in der Weise hervorgegangen ist, daß jede Zahl v einmal und nur einmal in der Reihe der Zahlen nv vorkommt.

Man pflegt dieses kürzer so auszusprechen: Eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern ist stets unbedingt konvergent.

Um dies nachzuweisen, werde gesetzt:

(1)

2:a--Ä

o

k >    anv ^k

0

Bedeutet dann g eine beliebig große positive ganze Zahl, so kann man stets eine positive Zahl    finden, sodaß Ay alle Glieder enthält, welche

in Aj Vorkommen. Daher ist für jedes g :

(2)

a;£av<a,

sofort die Existenz eines bestimmten lim A j = Ä, also die Kon-

/U-> 00

vergenz von J£a,n resultiert. Zugleich ergibt sich

A'<A.

woraus

aus

Ungl. (2), daß:

(3)

21*

Durch Kombination von (3) und (4) ergibt sich daher:

(5)

A'=*A,

d. h. schließlich: (6) womit die Richtigkeit der oben ausgesprochenen Behauptung erwiesen ist.

Zugleich folgt hieraus ohne weiteres, daß eine Reihe mit positiven Gliedern, welche in irgendeiner Anordnung divergiert, in jeder Anordnung divergieren muß.

3. Man kann den Begriff der „Umordnung¹¹ einer unendlichen Reihe auch noch wesentlich weiter fassen, als zuvor. Jede unendliche Reihe läßt sich ja — nach Art jeder beliebigen unbegrenzten Zahlenfolge (s. § 39,

S. 247) — in irgendeine bestimmte oder auch in eine unbegrenzte An

e n Partialreihen:

zahl von unendlichen Reihen zerlegen (z. B. av in di

OO    00    CO    Q

^anf/+1, •••,    ’ oder> mit Benützung dea

0 0 0

Beispiels in § 39, Nr. 1 (S. 249), in die unbegrenzte Anzahl von Partial-

reihen

^ + 2” —

312

2}“"-

0

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern. Andererseits kann man, nachdem jetzt die Konvergenz der Reihe bereits feststeht, die

Nr. 3.

ursprüngliche Reihe ^ av o

als eine Um

ordnung dieser letzteren betrachten und sodann in analoger Weise erschließen, daß:

(4)

A<A\

:    Clo u 7    ^/‘ a4n + l >    a8 H + 3 >    ’

0 0 0

deren Gesamtheit zunächst rein formal eine Umordnung der ursprünglichen Reihe darstellt, insofern die Glieder beider Anordnungen sich gegenseitig eindeutig entsprechen. Es besteht dann aber auch der folgende Satz:

Zerlegt man eine konvergente Reihe mit positiven Gliedern:

= A in eine bestimmte oder unbegrenzte Anzahl (n bziv. oc) o

von Partialreihen, so konvergiert jede derselben gegen eine bestimmte

Summe A^ (y = 0, 1, 2, • • •), und die Gesamtsumme der A^ besitzt den Wert A, d. h. es ist:

A^ = A bzw.

^Ia^ =

o

A.

Um diesen Satz gleich für den allgemeineren Fall einer unbegrenzten Anzahl von Partialreihen zu beweisen, möge die vorgenommene Zer

legung von    durch das folgende Schema dargestellt werden:

o

CO

d-

> = 0, 1, 2, • • • v = 0, 1, 2, • • •.

wobei allgemein:

(8)

«oW d- d- «₂(,<) d- • • • + a « = iW

gesetzt werden möge.

Alsdann folgt zunächst aus der Konvergenz der ursprünglichen Reihe, daß auch jerfe Partialreihe, insbesondere jede solche, welche eine Zeile des obigen Schemas bildet, konvergieren muß, sodaß man setzen kann:

(9)

= lim A(v) = A(v) (v = 0,1,2,-..).

/<-><» ^

Man kann nun wiederum einer beliebig klein vorgeschriebenen positiven Zahl £ eine positive ganze Zahl p so zuordnen, daß:

(10)

wo:

AP=2a')

0

wird, sodann zwei positive ganze Zahlen m, n so fixieren, daß der Ausdruck : (d. h. diejenige Summe des Schemas (7), welche begrenzt wird durch die Glieder der {m + l)ten Kolonne und der (w -f- l)ten Zeile) und umsomehr der folgende:

für: ft m, v ^>n

alle Glieder enthält, welche in Ap Vorkommen. Man hat also mit Berücksichtigung von Ungl. (10):

(11) M^⁰⁾ -f- A^ -f- • • • -J- A^ ^ Ap > A — e für: g ^ m, v n.

Andererseits enthält diese Summe nur eine begrenzte Anzahl von Gliedern aus der Reihe ^av und liegt daher sicher unterhalb A, sodaß die doppelte Ungleichung besteht:

(12)

A > A®\ -f A^] -j----+ A> A — s (g^tm, v^> n).

Läßt man hier g über alle Grenzen wachsen, so folgt mit Benützung der in Gl. (9) eingeführten Bezeichnung: (13) (NB. Man müßte eigentlich nach der für solche Grenzübergänge geltenden Regel zunächst schreiben: A M⁽⁰⁾ -{-••• + MW. Das Gleichheitszeichen erscheint indessen, falls wirklich unbegrenzt viele nicht durchweg aus Nullen bestehende Partialreihen vorhanden sind, für jedes bestimmte v

definitiv ausgeschlossen, da ja M⁽⁰⁾-|-----f-MM für jeden größeren Wert v

wiederum noch zunimmt.)

oo ergibt sich, da infolge der Monotonie von

Für v

A<°> + MW + • • • + MM

der betreffende Grenzwert sicher existiert, des weiteren aus Ungl. (13):

(14)

A^yi MW > A — £

0

und, da s beliebig klein gemacht werden kann, schließlich:

(15)

yi mm =

o

M.

Setzt man hier noch für MW seinen Wert ein und schreibt:

statt:

so nimmt Gl. (15) die Form an:

M.

(15a)

Nr. 4.

315

§ 46. Summen unendlich vieler Reihen.

Sind im ganzen nur n Partiaireilien vorhanden, so tritt offenbar an die Stelle der Ungleichung (12) die folgende:

a>a¹°, + a^ + --- + a⁽;⁾>a-b (».ä«.),

woraus dann für p

oo folgt:

und schließlich:

(15 b)

= A.

Hiermit ist zunächst der oben ausgesprochene Satz bewiesen.

Man bemerke ferner, daß das analoge Resultat offenbar auch gilt, wenn man in dem Schema (7) zunächst jede Kolonne zu einer (wegen der Konvergenz von ^Sar stets konvergierenden) Reihe:

(IC)

~A,

zusammenfaßt. Alsdann wird auch:

(17)

Die vorstehenden Resultate sind zunächst noch insofern einer Verallgemeinerung fähig, als man jede der Reihen Sa^ wiederum in eine endliche oder unendliche Anzahl von Partialreihen zerlegt denken kann usf. Es folgt dann in ganz analoger Weise, daß bei beliebiger Anordnung der wachsenden Summationen immer wieder der Wert A zum Vorschein kommen muß.

4. Es erscheint zweckmäßig, an die vorstehende Untersuchung noch die folgenden Bemerkungen zu knüpfen.

Es sei statt der einfach unendlichen Reihe 2Ear von vornherein das zweifach unendliche Schema vorgelegt:

a₀<°> + <> +... + <»;«) + •.•

+ a₀W + afX) -|-----b H----

(18)

Wenn dann jede Zeile bzw. jede Kolonne eine konvergente Reibe bildet und die Beihe der Zeilensummen bzw. der Kolonnensummen gleichfalls konvergiert, sodaß also:

(18a)    22,a?-A’

0 0

bzw.

(i8b) 22a*

0 0

so stellt das Schema (18), in diesem Sinne genommen, eine konvergente Reibe vor, deren einzelne Glieder selbst wiederum konvergente Bedien sind.

Andererseits kann man die Glieder des Schemas (18) auf unendlich viele Arten zu einer einfach-unendlichen Reihe anordnen, am einfachsten^ indem man dieselben „nach Diagonalen“ geordnet anschreibt:

(19)

<⁰⁾ + «0³ + «i⁽⁰⁾ + «o⁴ + «i³ + «₂⁽⁰⁾ + • •

.. + a₀M + a₁(”-¹> + .-- + aW + -.-

oder auch, indem man die Glieder jeder „Diagonale“ zu einem einzigen zusammenfaßt:

(20)

2b”

0

wo: bv = a₀M -f afv~V -f-----(- af°\

Dann läßt sich zeigen, daß diese aus den sämtlichen Gliedern des Schemas (18) gebildete einfach unendliche Reihe gleichfalls gegen den Wert A konvergiert, sobald eine der Gleichungen (18a), (18b) als gültig vorausgesetzt wird.¹) Besteht z. B. die Gl. (18a), so hat man:

(21a)

2^22 < 2 2    < A<

0 0 0 0 0 und analog, wenn Gl. (18b) gilt:

(21b)

sodaß also die aus

lauter positiven Gliedern bestehende Summe bv

oc ₀

stets

unter einer endlichen Grenze bleibt und somit die Reihe ^] b

o

v zunächst

konvergiert, wobei es freisteht, auch die einzelnen Glieder a^ als Glieder der

§ 47. Prinzip der Reihenvergleichung.

Nr. l.

317

Reihe aufzufassen (Schema (19)). Faßt man jetzt aber das Schema (18) als eine Zerlegung der nunmehr als konvergent erkannten einfachen Reihe (19) auf, so folgt unmittelbar aus den Ergebnissen der vorigen Nummer, daß:

(22)

2h*

0

-22<

d. h. = A,

womit die fragliche Behauptung erwiesen ist.

Da im übrigen, falls an Stelle der Gleichung (18a) oder (18b) die

Gleichung:    bv =

o

A vorausgesetzt wird, die Existenz der beiden Glei-

chungen (18 a), (18 b) wieder ohne weiteres aus der vorigen Nummer folgt, so kann man die bisherigen auf die Konvergenz des Schemas (18) bezüglichen Resultate in folgender Weise zusammenfassen:

Von den drei Gleichungen:

(23)

2}(ao'+al

0

00 oo

22a?

0 0

00 00

22 <

K 0    0

d-----b + a„⁽⁰⁾) = A (Reihe der Diagonalen)

(Reihe der Zeilensummen)

(Reihe der Kolonnensummen)

zieht jede einzelne die Existenz der beiden anderen nach sich*

§ 47. Prinzip der Reihenvergleichung. — Allgemeine Form von Divergenz- und Konvergenzkriterien.

1. Zur Feststellung der Divergenz oder Konvergenz einer beliebig vorgelegten Reihe (mit positiven Gliedern) dient die Vergleichung ihrer Glieder mit denjenigen einer bereits als divergent oder konvergent erkannten Reihe.

Bezeichnet man generell das „allgemeined. h. zu einem beliebigen Index v.gehörige Glied einer als

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern. divergent erkannten Reihe mit dv oder S-,

-lJv

konvergent „

Cv’

so ist leicht zu ersehen, daß eine beliebig vorgelegte Reihe 'Sa,, allemal

: av+P> 9-dv |

a>+P£ G cv I

divergiert, wenn konvergiert, wenn:

Dabei bedeutet n eine beliebige, aber feste ganze Zahl I>U, p eine gleichfalls beliebige, aber feste positive oder negative ganze Zahl einschließlich der Null; g und G endliche, wesentlich positive Zahlen, von denen übrigens die erstcre beliebig klein, die zweite beliebig groß angenommen werden darf.

Setzt man nämlich in jeder der obigen Ungleichungen der Reihe nach: v = n, n -f- 1, • • •, (n + q), so folgt durch Addition der entsprechenden Ungleichungen:

(1

50

für vi>n.

aus

(la):

Na,+r> 9 -2}<i

n + (i

aus

(lb):

d. h. s}ar+P W11'd infolge der über die dv und cv gemachten Voraus

setzungen im ersten Falle durch Wahl von n beliebig groß, im zweiten beliebig klein, woraus die Richtigkeit der ausgesprochenen Behauptung hervorgeht.¹)

Setzt man die Ungleichungen (la), (lb) in die Form:

Dv ■ a, +p ^ 9' Divergenz Gr' ar+p^= G: Konvergenz

so lassen sich diese wiederum noch durch die folgenden ersetzen: lim Dv ■ ay+p> g, d. h. >0 : Divergenz,

lim Cv • ar+p < G, d. h. nicht oo : Konvergenz,

(2)

(3)

v ->oo

V-> 00

1) Man kann dieses Resultat auch folgendermaßen aussprechen:

Gleichzeitig mit den Reihen Ndy, Sc„ divergieren bzw. konvergieren auch die folgenden: Sgydv,    wenn die gy>g^>0, die Gy<^ G <oo.

oder etwas kürzer geschrieben (vgl. § 36, S. 220, Ungl. (40)):

lim Dv • av+ > 0: Divergenz,

(4)

OO

I_

lim Cv • ar+p    oo: Konvergenz.x)

v-> 00

Die in den Ungleichungen (1)—(4) zur Entscheidung der Divergenz oder Konvergenz von ^av dienlichen Beziehungen werden als Divergenz-bzw. Konvergenzkriterien und zwar zum Unterschiede von sogleich noch näher zu definierenden anderen Formen als Kriterien erster Art bezeichnet.

Ein Kriterium von der Form (4) wird offenbar versagen, falls für die getroffene Wahl der Dv, Gv gleichzeitig:

lim Dv • av+p = 0

(5)

V-> 00

lim Gv • ar +

= OO .

r-> oo

Die Möglichkeit, in einem solchen Falle wirksamere Kriterien aufzustellen, wird gegeben sein, sofern es gelingt, stets eine divergente Reihe

anzugeben, sodaß:

^ 2*,, bzw. eine konvergente ^

d;>d

(6)

c;

c;<c

und daher auch:

DJ-av+p> Dv -av+p, also möglicherweise: lim DJ-ar+p> 0,

lim CJ-ar+p<oo.

(?)

v-> CO

Cv    ^v'^v+py yy

yy

V-> 00

V ’ Uv+p

1) Anders ausgesprochen: Jede Beziehung von der Form: lim D

V->CD

bildet eine notwendige Bedingung für die Konvergenz, jede von der Form:

Ü“ Cv • av+p = ⁰⁰

»'->•00

eine notwendige Bedingung für die Divergenz der Reihe ^av. Dabei muß also, wenn die betreffenden Grenzwerte überhaupt existieren, im ersten Falle geradezu:

lim Dy • a„₊ = 0,

r-> oo

im zweiten:

lim Cy • a = oo

r-> oo

sein.

2. Statt die Glieder ay+p direkt mit den dv, cv zu vergleichen, ist es nicht selten für die Rechnung bequemer, den Quotienten offenbar über die relative Ab- oder Zunahme der Reihenglieder ent-

(welcher

av + p +1

er

scheidet) mit bzw. -— in Beziehung zu setzen. Hierzu soll der

Cv+l

folgende Hilfssatz dienen:

(die für v -für v n:

Sind (pv)} (qy) zwei unbegrenzte Folgen positiver Zahlen oo auch den Grenzwert 0 haben dürfen) und ist

(8)

Pv+\ 2v+l

V.

Pv

so gilt für v)±n die Beziehung:

(9)

Pv’kk-q,,

wo Je eine gewisse positive Zahl bedeutet.

Beweis. Aus der Voraussetzung (8) folgt zunächst für v^tn:

Pv

Pv+l > - ,

% + X — <lv ⁷

und daher, wenn man v sukzessive die Werte n, (n +1), • beilegt:

(« + (> — 1)

Pn +Q

Pn+Q-l v ^ In+q    Qn + Q-l

oder, wenn man — = Je setzt:

Prt + 1    Pn

Qn +1    *in

also:

Pv>kR (vkn)-

3. Von dem eben bewiesenen Hilfssatze machen wir nun in der Weise Gebrauch, daß wir einmal py = ar+p, qy — D~x, das andere Mal

Pv = C,-¹, qv = av+P setzen-

Alsdann ergibt sich: Ist für v n

(10)

ar + jo + l ar+p

• — I)

Dv

v+l

\ av + p + l ^V+l    Uv + p

so folgt für v^n: ay+p Je ■ D~x,

d. h. J£ay divergiert y so folgt für v^w: C~x ^ Je • av+p)

also: a9+p^-j- • G~\ d. h. S(ay konvergiert.

Oder, anders geschrieben, es folgt aus:

av₊p av + p + 1

rt av+p V ar + P + l

Daraus gewinnt man als hinreichende Bedingungen:

av + p _ jß av + p+ 1

. a’+p

av +p +1

Die in Ungl. (10) — (12) enthaltenen Kriterien sollen als Kriterien zweiter Art bezeichnet werden.¹)

Bezüglich der Stellung dieser Kriterien zweiter zu denjenigen erster Art sei hier folgendes bemerkt. Aus der Art ihrer Ableitung, bzw. aus den unter (10) zusammengestellten Ungleichungen erkennt man ohne weiteres, daß jedesmal, wenn ein mit einem gewissen Dv bzw. Cv zu bildendes Kriterium zweiter Art eine Entscheidung liefert, das gleiche auch von dem entsprechenden (d. h. mit dem nämlichen Dv bzw. Cv gebildeten) Kriterium erster Art gilt. Das Umgekehrte findet dagegen keineswegs statt, d. h. die Kriterien zweiter Art können in unendlich vielen Fällen versagen, wo die entsprechenden erster Art eine Entscheidung liefern.

Denn ist etwa:

(11)

(12)

lim

- I)

r 4-1

<i 0: Divergenz

(v^>n).

— A+if^O: Konvergenz

für die Divergenz: lim (Dv

r-y» \

für die Konvergenz: lim (Cv

r -> co \

)<o, C,₊₁) > 0.

av + p

ar + p + 1

-D

) = °, bzw.    0,

in welchem Falle also diese Kriterien versagen, so kann immerhin für v^>n durchweg eine Beziehung von der Form bestehen:

A-

— A+i = °> i*zw- A •

ar+p

a>'+p+i

1) Man kann diesen Kriterien, wie häufig geschieht, auch die (durch Multiplikation mit

aus (fl) resultierende) Form geben:

«V+p

lim

r-yoo

(dv — Dv + 1 ~a+P + 1) < 0 ; Divergenz,

Ihn (Cr-Cv + 1

av + P+ 1

Ur+p

'j > 0 : Konvergenz.

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern, anders geschrieben:

, bzw.

av + p + ⁵ \

i'+i

av+p -I)

woraus dann (s. Ungl. (10)) allemal folgen würde:

lim Dv • av+p > Je, bzw. lim Gv • av+p j

v->cc    r -> oo    K

d. b. das mit dem betreffenden Dv bzw. Cv gebildete Kriterium erster Art von der Form (4) liefert in diesem Falle eine Entscheidung, während das entsprechende Kriterium zweiter Art von der Form (12) versagt.⁵)

Angenommen ferner, man habe für irgendein vorgelegtes av bei passender Wahl von Dr:

(12a)

lim

v-yoo

(d • -ay+p

^ ” «r + p + 1

-D

)<o,

sodaß also durch dieses Kriterium die Divergenz der Reihe ^av angezeigt wird. Aus Ungl. (13) folgt alsdann, daß schon für alle v von einem bestimmten Index v = m ab eine Beziehung von der Form bestehen muß:

r+i 9, wo: p > 0,

D .    _ d

V av+P + l

und somit:

’av+pJrl -^v' av + P= 9 ‘ av+p+ 1

Setzt man hier der Reihe nach v = m, (m -|- 1), • •    (n — 1), (wo n > m)y

so folgt durch Addition der entstehenden Ungleichungen:

n — 1

-^n ‘ &n+P ’ ^'m+P    9 ^v+p + l 9    )

m+P +1

und hieraus für lim n = oc, wegen der Divergenz von Sar:

lim Dn • a„+p

n-> oo

Allemal, wenn das Divergenzkriterium zweiter Art (12) eine Entscheidung liefert, so kommt lei dem Divergenzkriterium erster Art (4) der Grenzwert oo zum Vorschein.

Daraus folgt dann weiter, daß das Divergenzkriterium zweiter Art von der Form (12) in jedem anderen Falle versagen muß, insbesondere

(13) D

für: v m.

(14)

(15)

D.h.

rn

= oo.

lim

oo

sodaß also dieses Kriterium von der Form (12) versagt.)

4. Schließlich ist aber noch ganz besonders hervorzuheben, daß der oben bewiesene, zur Bildung der Kriterien zweiter Art dienende Hilfssatz keineswegs umkehrbar ist: die Zahlen av+p können offenbar durchweg über bzw. unter den Zahlen dv bzw. cv liegen, ohne daß zwischen den

Quotienten (Zu- oder Abnahmeverhältnissen) —einerseits und 2    ar + p +1

bzw. —— andererseits irgendivelche feste Beziehung besteht.⁶)

Cr + 1

Der Grund, warum man nichtsdestoweniger neben den Kriterien erster Art solche zweiter Art in die Betrachtung einführt, liegt, wie schon oben angedeutet, lediglich darin, daß sie gerade bei vielen in der Funktionenlehre auftretenden Reihen ein bequemer zu ermittelndes Resultat

geben, nämlich allemal dann, wenn der Quotient einfacherer Form darstellt, als av selbst (z. B. wenn: av = p₀•• -pv,

ai+i

sich in erheblich

«v

«v + l

also auch danu; wenn lim Dn-an+p oder auch nur lim Dn • an+p zwar von

.    n-> oo    n -> oo

Null verschieden, aber endlich ausfällt und somit das Divergenzkriterium ierster Art (4) eine unzweideutige Entscheidung liefert.⁷)

(Beispiel: Da die Reihe ^' — bereits als divergent erkannt wurde,

so kann man setzen: Dv = v. Ist dann etwa: ar+p =

= lim -

v • (v -j-1)

, so wird:

lim v •

V-> 00

av+p

r-> oo

V -j- 1

woraus die Divergenz der Reihe ^av unzweideutig hervorgeht. Anderer-

und daher:

seits hat man:

ar + P av + p + 1

0 — 1) (v + 2)

Die oben entwickelten Beziehungen stellen zunächst den einfachsten Typus von Kriterien erster und zweiter Art vor: man kann denselben durch geeignete Umformungen auch noch mancherlei andere Formen geben, wie später noch des näheren gezeigt werden soll.

Im übrigen ist durch die Aufstellung der Kriterien erster und zweiter Art die Möglichkeit derartiger Bildungen keineswegs erschöpft. Man könnte offenbar auch andere Verbindungen von zwei oder mehr Gliedern der Reihe ^ar mit den entsprechenden der dr bzw. cv vergleichen und, bei passender Wahl dieser Verbindungen, Schlüsse auf die Divergenz bzw. Konvergenz von ^av ziehen. Hiermit wäre für die Herstellung derartiger Kriterien ein völlig unbegrenztes Feld eröffnet: allein gerade wegen dieser Unbegrenztheit wollen wir hier darauf verzichten, noch einzelne Spezialbildungen ausdrücklich durchzuführen.

Um nun brauchbare Kriterien erster und zweiter Art wirklich aufzustellen, kommt es nach dem bisher gesagten lediglich darauf an, die nötigen dr und cv zur Verfügung zu haben. Wir wenden uns daher jetzt zunächst zur Lösung der Aufgabe: Alle möglichen dv und cv, d. h. typische Formen für das allgemeine Glied jeder divergenten bzw. konvergenten Jleihe aufzufinden.

§ 48. Divergente Reihen:    — Typische Formen der dv.

1. Eine divergente Reihe ^dv soll um so schwächer divergent heißen,

je langsamer d o

y mit n ins Unendliche wächst.

Um diese Aussage genauer zu präzisieren, werde gesetzt:

2-d’⁼

0

Sn, ^}dv =

U

dann nennen wir die Reihe d' schwächer divergent als die Reihe dy, wenn:    o    o

00

CO

(1)

*n<⁸»

d. h. lim — = 0.

71-> 00

s»

Dabei kann man offenbar, wenn p, q zwei beliebig gewählte natürliche Zahlen bedeuten, dieser Bedingung auch die etwas allgemeinere Form geben:

(la)

lim

w->oo

< ~ sp

Sn~*₉

(da:

<~SP

Sn~S₉

und: lim

« -> *

⁸P

= lim -Z. = 0).

n->® Sn

Ist dagegen:

(2)

K ~ ««

zwischen zwei bestimmten positiven Zahlen, oder, anders lim beide endlich und von Null verschieden),

w->oo Sn

so sagen wir, die betreffenden zwei Reihen divergieren gleichartig.

Da sn, Sf' mit n monoton ins Unendliche wachsen, so lassen sich auf

(d. h. bleibt:

ausgesprochen, sind lim —,

n ->■ co

Sn

lim— die Sätze von § 37, Nr. 2, 3 anwenden. Beachtet man, daß

®n

sn— sn-1 ”= dn> sn~sn-1 ⁼ ^n* so nimmt insbesondere die Relation (7) des eben zitierten Paragraphen (S. 228) die folgende Form an:

Sn / p- Sn / p-

— S lim — s lim - •

ri -> oo -?n    n-*■<*> n

(3)

lim -T- < lim

n-> co

Daraus folgt aber, daß die Beziehung:

(4)

lim -~ = 0 (anders geschrieben: d₇[^dn, ZU>-DJ

71

eine hinreichende¹) Bedingung für die Existenz der Beziehung (1), d. h. für die schwächere Divergenz von J£dv' bildet; und daß die Beziehung: d'n ~ dn (anders geschrieben: ZU~Z)J

eine hinreichende Bedingung für die gleichartige Divergenz von J£dv', Sdy darstellt.³)

Im übrigen bemerke man, daß die Divergenz zweier Reihen keineswegs allemal in dem hier näher definierten Sinne vergleichbar sein muß_ Mit anderen Worten: durch die Annahme:

Sn<Sn, Sn~Sn> Sn >

sind keineswegs alle Möglichkeiten erschöpft. Es könnte auch sein: lim S* = 0, lim -- > 0, oder: lim — ==

n-> oo    « -> oo    n -> oo *n

Fällen dann eben die Divergenz von ^dr' und ^dy überhaupt nicht vergleichbar ist.

n-> cd

(5)

oo, lim

71 -> OO

< oo, in welchen

1) Dieselbe ist aber, wie aus der Beziehung (3) des näheren hervorgeht, keine notwendige. Das letztere würde nur von der Beziehung gelten:

lim = 0.

n—yoo dn

2) Ist geradezu: so folgt auch:

d’n ~ d„ (also:    ~ Dn),

s' ^ sn.

2. Alle möglichen dv sind offenbar dadurch vollständig charahtcrisiert,

daß dy positiv und die Summe von (v + 1) Gliedern: (^-f    -----V dj)

eine wesentlich positive, mit v monoton ins Unendliche wachsende Zahl ist. Bezeichnen wir in diesem Kapitel eine Zahl dieser letzteren Art ein für allemal mit My (sodaß also: Mv > Mv_₁ >0 für v = 1, 2, 3, • •• und lim My = + oo), so kann man setzen (für v = 0, 1, 2, •• •):

V ->00

(6)

dy = Mv (also speziell: d₀ = M₀)

und daher (für v = 1, 2, 3, • • •):

V —1

sodaß (für v = 1, 2, 3, • • •) sich ergibt:

(?)

dt = AIv    AIy _ x,

d. h. das allgemeine Glied dr jeder divergenten Reihe läßt sich auf die Form (7) bringen.

Umgehehrt erkennt man aber auch ohne weiteres, daß jede Zahl von der Form (Mv — My_f) das allgemeine Glied einer divergenten Reihe liefert. Denn man hat:

(8)

AfQ+2}(My-My_i) = M

¹

   Vgl. § 37, S. 231, Fußn. 1.

²

   Der Vollständigkeit halber sei bemerkt, daß die Resultate dieses Paragraphen offenbar auch gültig bleiben, wenn eine beliebige (eventuell auch unbegrenzte) Anzahl von Gliedern = 0 ist. Das gleiche gilt bezüglich der sog. Divergenz- und Konvergenzkxiterien erster Art (s. den folgenden Paragraphen), während bei der Bildung der Kriterien ziceiter Art die a, als durchweg von Null verschieden anzunehmen sind.

³

Daraus folgt dann mit Benützung des Satzes von Nr. 2, daß jede einfach

⁴

unendliche Reihe, welche die sämtlichen Glieder des Schemas (18) enthält, gegen die Summe A konvergiert. Denn jede solche Reihe kann ja als eine Umordnung der Reihe (19) im Sinne von Nr. 2 angesehen werden.

⁵

Das Versagen der Kriterien (12) rührt also in diesem Falle nur von der Benützung der Limites her, während die entsprechenden Kriterien in der ursprünglichen Form (11) im gleichen Falle eine Entscheidung liefern.

⁶

   Vgl. im übrigen § 56, Nr. 1 (S. 390).

⁷

   Bei dem KonvergenzkY\termxn (12) liegt die Sache etwas anders: s. § 54, Nr. 2 am Ende (S. 380).

und daher:

(9)

Zugleich ergibt sich aus der Definition von Nr. 1, daß diese Reihe um so schwächer divergiert, je langsamer Mn mit n ins Unendliche wächst. Man kann somit als Resultat dieser Betrachtung den folgenden Satz aussprechen:

(?)

Das allgemeine Glied dv jeder divergenten Beihe läßt sich auf die Form:

dv = M, - My_x

bringen; umgehehrt ist die Beihe mit dem allgemeinen Gliede (Mt. — Mv_f) stets divergent, und zwar um so schwächer, je langsamer Aly mit v ins Unendliche wächst.

3. Die Gleichungen (1) und (9) lehren, daß man zu einer Reihe mit dem allgemeinen Gliede dy = AIy — Mv_x eine schwächer divergierende

konstruieren kann, wenn man an Stelle der Zahlenfolge eine andere (My) von der Beschaffenheit substituiert, daß My -< M. Nimmt man speziell: My = lg My, so folgt also zunächst, daß die Reihe mit dem allgemeinen Gliede (lg Mr— lg My_ t) gleichfalls divergiert und zwar schwächer, als ^S(Mr — Mr Nun ist aber nach § 38, S. 245, Ungl. (26):

Mv — Mv_x

(10)

\gMy-\gMy

-1

My-My_l My >

und hieraus folgt zunächst, daß auch die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

(11a)

Mv-My_ x

X-i'

stets divergent ist, während man zugleich ohne weiteres erkennt, daß sie schwächer divergiert, als diejenige mit dem allgemeinen Gliede dy.

Was sodann die Reihe mit dem (in der zweiten Ungl. (10) auftretenden) allgemeinen Gliede:

K-1

(11b)

Mr- K-l

M,

Sdr folgt. Ist da-= 0 oder wenigstens: lim —= 0

v -> go

betrifft, so läßt sich deren Divergenz zwar nicht aus Ungl. (10), jedoch in folgender Weise erkennen. Ist zunächst My so beschaffen, daß Mv_₁ ~ My, so wird auch dy ~ 8y, sodaß aus der eben bewiesenen Divergenz \on^öy auch die gleichartige Divergenz von

jf

gegen Mv_, < Mr, also: lim

v-> oo

(NB. jede andere Möglichkeit ist ausgeschlossen, da ja für jedes endliche v: My_₁<Mv), so enthält die Reihe mit dem allgemeinen Glieder ikf

—unbegrenzt viele Glieder, die beliebig wenig unter der Einheit liegen, ist also wiederum divergent.

dieses letzte Resultat offenbar

Mit Rücksicht auf Gl. (6) kann man auch folgendermaßen aussprechen:

Mit der Reihe ^ dy divergiert auch stets die Reihe ^    ,

wo: sv

Da aber die zweite dieser Reihen wegen sv —► oo stets schwächer divergiert, als die erste, so erkennt man, daß es keine Reihe schwächster Divergenz geben kann, und daß dieser Satz ein Mittel an die Hand gibt, um aus irgendeiner divergenten Reihe ^dr eine unbegrenzte Skala von immer schwächer divergierenden Reihen abzuleiten.

Man kann indessen dieses Ziel bequemer erreichen, wenn man in dem Ausdrucke dv=‘Mv—Mv_₁, wie oben 1 g Mr, sukzessive lg₂ Mv, lg₃ Mv, • • • an Stelle von Mv substituiert. Hierbei ergibt sich (für k = 0, 1, 2, •••):

-l

4?*+i K K

(wobei man nur für v einen Anfangswert n jedesmal groß genug annehmen muß, daß lg*₊i ^0 ausfällt) als allgemeines Glied einer divergenten Reihe. Und da nach § 38, S. 246, Ungl. (28a):

+ i — lg*₊₁ Mv _ t <

so folgt, daß die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

1

(12)

~ Mv-l

Lk{Mv_ ,)

^wobei speziell: dj® =    -y

dr

Lk(d₁ + d₂ -f----(- dv-1)

gleichfalls divergiert, und zwar erkennt man mit Benützung von (4), daß

oo

die Reihen    für k = 0,1,2, ••• eine unbegrenzte Skala von sukzessive

schu'ächer divergierenden lieihen bilden.

Unterwirft man die Mr noch der Bedingung: Mv_l ~ Mv) also auch Lk(Mv_l) ~ Lk(M%) (vgl. S. 246, 247, Formel (29) und (31)), so gilt das gleiche, wie von den dv^\ offenbar auch von den Ausdrücken:

(13)

d,.

(*-0, 1, 2,...).

Wählt man in (12) speziell: Mr = 7'+l oder in (13) J\Ir = v, so wird:

(14)

Ö <*> = d (*) =

V    V

(*-0,1,

Lk(v)

sodaß also die Reihen mit dem allgemeinen Gliede:

V • lg V lg, V ’

eine Skala von beständig schwächer divergierenden Reihen bilden.

schränkung auch für

eine typische Form, in welche sich das allgemeine Glied jeder divergenten Reihe setzen läßt; und das analoge gilt mit einer unerheblichen Ein-Mv-Mr_ t

Mv

Denkt man sich nämlich öv als Glied einer divergenten Reihe beliebig vorgelegt, so ist das Produkt:

(1 + *o) (1 + ^i) • • • (1 + öv) > 1    d*,

und wird daher für v

4. Der im vorigen Artikel als das allgemeine Glied einer divergenten Mv — M

Reihe erkannte Ausdruck:

— bildet nun, geradeso wie M

~Mr,

oo unendlich groß; da es aber außerdem, wegen: 1 -f-d„>l, mit v monoton zunimmt, so kann man setzen:

und daher:

woraus durch Division sich ergibt:

also schließlich:

(15)

1 + d',, =

Mv

Mv

X-1 ’

Mv — My_l

M

Dieses Resultat läßt sich noch in gewisser Beziehung verallgemeinern. Versteht man unter k eine ganz beliebige positive Zahl, so divergiert mit der Reihe dv auch stets die Reihe y • Auf Grund des eben gewonnenen Resultates kann man daher setzen:

K-i

also:

K-i

(16)

d. h.:

Das allgemeine Glied jeder divergenten Reihe läßt sich stets auf die Form (16) bringen, ivo k eine beliebig anzunehmende positive Zahl bedeutet.

Bezeichnet ferner dY das allgemeine Glied einer divergenten Reihe,

und man findet daher:

Mr

(17)

als weitere typische Form für das allgemeine Glied jeder divergenten Reihe, deren Glieder für jeden endlichen Index unter 1 liegen.

Bedeutet dann schließlich <5j,' das allgemeine Glied einer divergenten

Reihe mit der einzigen Einschränkung, daß limd₎'<oo, so existieren

00

allemal positive Zahlen X von der Beschaffenheit, daß durchweg: dv'<A,

S'

also 1. Alsdann ergibt sich aber durch Anwendung von Gl.(17) auf :

(18)

Mv — M

als typische Darstellungsform aller möglichen dv', für die nicht gerade lim dj = oo ist.

l'->00

§ 49. Konvergente Reihen: ^ct. — Typische Formen der c,,.

oo

1. Eine konvergente Reihe cy = s soll um so schwächer konvergent ”0 _

heißen, je langsamer sn = >>• cr mit unbegrenzt wachsendem n der Grenze s

o

zustrebt, d. h. je langsamer die Differenz:

oo

s — sn =    (also der „Rest“ Rn s. § 44, S. 295, Gl. (7))

deren Glieder für jeden Wert v kleiner als 1 sind (während lim dr bzw.

r->00

lim dr eventuell auch den Wert 1 haben darf), so ist offenbar auch

eine divergente Reihe (wegen: 0 < 1 — dr < 1, also:--— > 1).

1 —

nach Gl. (15) setzen:

Mv — M

V->00

V__

-l

Infolgedessen kann man

1—1

1' — 1

also:

3_-i

» + i

mit unbegrenzt wachsendem n gegen Null konvergiert.

oo

Setzt man etwa

oo

: yi cv'=s', ^>cv' = sn, so wird hiernach diese Reihe o    o

schwächer konvergent heißen, als die Reihe    cv, wenn:

o

0)

s'-s'>s-su

, d. h. lim --— = oo .

n->® *-*„

Und die beiden Reihen konvergieren gleichartig, wenn:

(2)

s' — s' ~ s — sn, d. h. 0<g£ lim s Sn

< G < oo.

n -> oo

Da sn, sn' monoton zunehmen, also s — sn, s'—sn monoton (gegen Null) abnehmen, so gelten für lim

„ -> x ®

bis 229) unter dem Texte. Beachtet man, daß: s — sn_l~(s— sn) = sn — sH_x — cn usw., so nimmt insbesondere die a. a. 0. mit (7a) be-zeichnete Relation die folgende Form an:

^ lim    <:    £ üm -    •

„ -> oo ^    n -> oo ®    n -> oo

— die Sätze des § 37, Nr. 2, 3 (S. 226

sn

(3)

lim

„->00

Daraus folgt aber, daß die Beziehung: lim — = oo

„-> oo *"»

(also: cn'>cn, £„'<<?„)

(4)

bzw.

0 < lim — < oo „->00 C„

(also: c’n~cn, Cn~Cn)

eine hinreichende Bedingung dafür bildet, daß    schwächer als ^cr.

bzw. gleichartig mit ,^'ci. konvergiert.'¹)

1) Dieser besondere Fall der Sätze des § 37 kann auch leicht fiir sich bewiesen werden, sodaß es also nicht unbedingt notwendig erscheint, auf jene allgemeineren Sätze zu rekurrieren. Ist z. B. c4~c„, so hat man, etwa für v^>n:

Cv

9 cr<c'v<G cv

also:

9(Sn + (> — ¹ n)^¹ n + <> — Sn< G(¹ n + Q-¹ n)>

Hieraus für q r-> oo :

und schließlich:

s — sn

<G,

g < lim

Analog im Falle: c,i >- cn.

„ -> 00

2. Die Glieder cy einer beliebig vorgelegten konvergenten Reihe mit der Summe s sind dadurch vollständig charakterisiert, daß s — sy

(wo: sy = c₀ + c₁ -]-----1- cy) mit unbegrenzt wachsendem v monoton gegen

Null abnimmt. Infolgedessen kann man setzen (für v = 0, 1, 2, •••):

Mv ’

(5)

also (für v = 1, 2, 3, • • •):

-l

Subtrahiert man die erste dieser Gleichungen von der zweiten, so folgt (mit Berücksichtigung der Beziehung: sy = sy_x -j- cy):

(6)

Cv =

Mv ■ M

M , M

V — 1    V

Umgekehrt ist die Reihe mit dem allgemeinen Gliede stets konvergent. Denn man hat:

v-1

-1

m)

(?)

My) m₀

und daher:

00

(8)

2 {mv_x m) M₀ ‘

Zugleich lehrt Gl. (7), daß die fragliche Reihe auf Grund der in Nr. 1 dieses Paragraphen gegebenen Definition um so schwächer konvergiert, je

langsamer mit unbegrenzt wachsendem n: —der Null zustrebt, also Mn ins Unendliche wächst. Somit ergibt sich der folgende Satz:

Das allgemeine Glied cy jeder konvergenten Reihe läßt sich auf die Form:

(9)

Cv ⁼

My_x

bringen; umgekehrt ist die Reihe mit dem allgemeinen Gliede Mv-My

KK-i

sanier My mit v ins Unendliche wächst.

3. Um also aus irgendeiner konvergenten Reihe ^ begrenzt viele schwächer konvergierende abzuleiten, wird man wiederum

— stets konvergent, und zwar um so schwächer, je lang-

My-M

V— 1

My • My

un-

-l

Nr. 3.

333

§ 49. Typische Formen der c,,.

nur an Stelle von Mv solche M' zu substituieren haben, welche mit v langsamer ins Unendliche wachsen, als Mv. Wir setzen nun zunächst:

l-fj

so wird offenbar für p > 0 die lieihe j£cr' stets konvergieren. Um die Abnahme ihrer Glieder mit derjenigen der cv zu vergleichen, findet man

(10)

wo:

⁽U -

(wegen e, = ~x

(11)

Cv

l-S l

¹ - 2v

2|/

Für jedes endliche v hat der Faktor —

wegen <?v < 1 einen

Q-v

bestimmten positiven Wert. Ist sodann auch lim qY < 1 (bzw. lim #„< 1),

r-> co

oo gleichfalls einen bestimmten posi-

so besitzt jener Faktor für v tiven Grenzwert (bzw. zwei bestimmte positive Hauptlimites). Und ist lim qv = 1, so hat man nach § 37, S. 236, Gl. (37):

V->00

lim -

V-> X ¹

= s°

(bzw. falls lim qY = a < 1, lim = 1 sein sollte, so ergeben sich für 1-^

— die wesentlich positiven Hauptlimites:

Clv

somit in jedem Falle aus Gl. (11):

~ und q). Man findet

Cv

oder anders geschrieben:

(12)

und man kann daher wegen der Konvergenz von ^cf den folgenden Satz aussprechen:

Es konvergiert stets die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

r

CV =

für p>0, und zwar offenlar schwächer, als J£cv, falls p< 1.

Br for rs

4. Aus dem eben gefundenen Resultat folgt (wegen Mr > Mr_x) ohne weiteres, daß auch die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

— 0>o)

<14)

M„ - My Myl + «

«tets konvergieren muß. Das gleiche gilt dann auch von der Reihe mit 'dem allgemeinen Gliede: welches für k = 0 mit yY identisch ist. Da aber nach § 38, S. 246, Ungl. (28):

L (²- 1,2,3,..-),

*-l

so folgt, daß für p > 0 auch der Ausdruck:

(²«³.)'

(15)    r«-

M. — M

V— 1

r²-i, 2,3,...),

welcher wiederum für k = 0 mit identisch wird, das allgemeine Glied einer konvergenten Reihe darstellt. Und zwar bilden die Reihen 'Sv}k\ wegen:

L'f (lf„) > LW, (Jf;) („. § 38, S. 244, Formel (23)),

eine unbegrenzte Skala von sukzessive schwächer konvergierenden Reihen.

Unterwirft man die My wiederum noch der Bedingung Mv_x ~ Mv (sodaß also nach § 38, Gl. (31), S. 247: 1gkMv_l ^lgkMy für k 1), so gilt das gleiche, wie von den Ausdrücken y}k\ offenbar auch von den folgenden:

(16)

n(i)

My — M, .

-4t-—    (p>0, k = 0, 1,2,-..).

^(f-i)

Und wenn man speziell in (15): My — v, oder in (16): J\Iy — v + 1 setzt, so wird:    ,

(17)

yW = yä) =

d. h. die Reihen:

Lp\v)

(p > 0, k — 0, 1, 2, • ■ •),

’ ^v.(\gv)¹⁺²

r¹⁺?

§ 50. Die Kriterien erster Art.

1. Da das allgemeine Glied jeder divergenten bzw. konvergenten Reibe in der Form:

Mv - Mv_

My — M Mv • Mv ~i “ Mv Dv

(§ 48, S. 327, Gl. (11a)),

i-i

(§ 49, S. 332, Gl. (6))

enthalten ist, so müssen sich alle überhaupt existierenden Kriterien erster Art in die Form setzen lassen:

Mv_ i

llm M _M a’+P = lim D> ' a*+P > 0:

v->ao v    i' — l    r->oo

Divergenz,

(A)

lim m

Mv ■ My

• av+p = lim My- Dy ■ av+p < oo : Konvergenz

(wobei es offenbar noch freisteht, die linke Seite mit einem ganz beliebigen, nur für jedes v oberhalb und unterhalb gewisser positiver Zahlen bleibenden Faktor zu multiplizieren, also den links stehenden Ausdruck durch einen infnitär ähnlichen zu ersetzen).

Da aber die Reihe mit dem allgemeinen Gliede

Mv - My

— für jeden * MrU

positiven, insbesondere also schon für jeden beliebig Meinen positiven Wert von q (nach S. 333, Gl. (13)) konvergiert, so erscheint es für die Konvergenz von fSa,. schon hinreichend, wenn für irgendein (beliebig kleines) q > 0:

M'.MiLj * lim ,7-,7-

wird — eine Bedingung, welche für jedes q < 1 offenbar weniger verlangt, als die entsprechende unter (A), und die somit eine Verbesserung des betreffenden Konvergenzkriteriums darstellt.

Berücksichtigt man ferner, daß auch:

Mv - Mv Mv¹⁺*

bildet, so kann man auch statt des Divergenzkriteriums (A) und des Konvergenzkriteriums (A') das folgende Paar von korrespondierenden Kriterien aufstellen:

(A')

?->

■a,.+P<<x>

Glied einer divergenten,

- das allgemeine — dasjenige einer konvergenten Reihe

(B)

lim ,,-—

1' -► oo    Xy —

■ay+p^lim Dfay+p>0:

»>'►00

Divergenz,

lim

Mt¹ + "

»'-►oo

My - Mr_

- . a = lim ■ Df • ay+p < oo : Konvergenz. 1 »-►00

Um hieraus eine Skala von immer wirksameren Kriterien abzuleiten, hat man nur für Mv sukzessive langsamer ins Unendliche wachsende Zahlen Mv' einzusetzen. Dabei erscheint es offenbar zweckmäßig, die zur Bildung des Anfangskriteriums dieser Skala zu verwendenden Mr in bezug auf die Schnelligkeit ihrer Zunahme für wachsende Werte von v von vornherein einer passenden Beschränkung zu unterwerfen. Wir führen also die schon früher mehrfach benützte Bedingung ein:

(1)

-1 >

welche die Zunahme von Mv in der Weise einschränkt, daß unter einer endlichen Grenze bleibt.

Substituiert man sodann in (B) lg* Mv für Mr (wo k = 0, 1, 2, •••) und beachtet, daß infolge der Bedingung (1) nach § 38, S. 247, Formel (32):

Mv ~ Mv

K-i

:- stets

k- 1

W '

so liefern die Kriterien (B) die folgende Skala von Kriterienpaaren:

(C)

m->oo v

Lk{Mv)

*^+P>0-

Divergenz,

• ar +p < ⁰⁰: Konvergenz (p > 0),

deren Anfangskriterien (/r = 0) mit den unter (B) aufgestellten identisch sind. Wählt man speziell Mv = v, so gehen diese Kriterien in die folgenden über:

Divergenz

v->oo

lim Lk(v)-av+p> 0:

(C')

lim Lk(y) • (lg* v)? • ar+p < oo : Konvergenz (p > 0)

d. h. die Reihe ^Sa,r divergiert, wenn einer der Ausdrücke:

V'av+P> v lSv av+P> v * lg v - lg₂v -ar+p, •

oo einen von Null verschiedenen Limes bzw. unteren

stets oberhalb einer angebbaren positiven Zahl bleibt' — anders ausgedrückt, für v

Limes hat. Sie konvergiert, wenn für irgendeinen Wert p > 0 einer der Ausdrücke:

vl+*-av+p} v • (lgv)¹ + ? • av+p, v • lgv • (lg₂v)¹ + ? • ap+p, .....

stets unteh" einer endlichen Grenze bleibt — anders ausgedrückt, für v—► oo einen nicht unendlichen Limes bzw. oberen Limes besitzt. Das Anfangs-kriterium dieser Skala rührt von Cauchy her, die übrigen wurden ungefähr gleichzeitig von A. de Morgan und Ossi an Bonnet aufgestellt, finden sich aber auch schon in einer nachgelassenen Note Abels.

2. Statt der bisher aufgestellten Kriterienpaare kann man auch sogenannte disjunktive Kriterien erster Art bilden, d. b. solche, bei denen die Prüfung eines einzigen Ausdruckes gleichzeitig zur Feststellung der Divergenz oder Konvergenz dient, sofern das betreffende Kriterium überhaupt eine Entscheidung liefert. Als Ausgangspunkt diene hierbei die folgende Bemerkung. Ist a eine beliebige positive Zahl >1 (also: lga>0), so erkennt man leicht die Konvergenz der Reihe mit dem allgemeinen

Glieder

(2)

Mv-Mv_₁

Denn man hat (nach § 38, S. 239, Ungl. (1)): uyi' = e]s“ My >- Mq (für jedes positive g), also:

Mv-Mv

Mv~Mv₊i

Zugleich sieht man ohne weiteres, daß die Reihe mit dem allgemeinen Gliede (2) für a — 1 und a foiiiori für a < 1 divergiert.

Infolgedessen ergibt sich für eine beliebige Reihe

Divergenz, wenn für vj>n und ein positives cc<^ 1; nv

Konvergenz, wenn für vj>n und irgendein oder anders geschrieben:

Divergenz, wenn für «<11)^,,

a>1: av+P£

(3)

My /

Vk

ay + p

— M

> —, d.h. schließlich: > 1,

— ce⁷    —    ⁷

Konvergenz, wenn für a > 1

und, wenn man wiederum nur die betreffenden Grenzwerte für v —► oo in Betracht zieht:

V— 1

(D)

lim

Co

My /-

Fi

> 1: Divergenz,

— ^,.-i l <1: Konvergenz-⁴)

Ur+P

während doch infolge der Divergenz von^?(Mv —    die Divergenz von ^a„

Aus dieser Fundamental form des disjunlctiven Kriteriums erster Art kann man wiederum Skalen von schärferen Kriterien ableiten, indem man von einem irgendwie fixierten Mv ausgehend an Stelle von Mr sukzessive immer langsamer ins Unendliche wachsende Zahlen Mf einführt. Hierbei erscheint es für die praktische Anwendung zweckmäßiger, die Ungleichungen (3) bzw. das Kriterium (D) in der Weise umzuformen, daß man auf beiden Seiten der betreffenden Ungleichungen die Logarithmen der reziproken Werte bildet. Es folgt auf diese Weise aus Ungl. (3):

(4)

Divergenz, wenn für    lg

Konvergenz, wenn für a > 1

M— M

V -1

a.+j>

<ilga, d.h.schließlich: <10

^lga > 0,

sodaß das Kriterium (D) in das folgende (in Wahrheit nur durch die Schreibweise verschiedene) übergeht:

(E)

lfm

lg

ttr + P

r-> oo

Mv

< 0: Divergenz, > 0: Konvergenz.

Die Mr hatten bisher keiner besonderen Beschränkung zu genügen. Führt man jetzt wiederum die Bedingung Mv ~ My _ x ein und substituiert lgi + 1 Mv (wo 1c = 0, 1, 2, • • •) für Mr, so kann man die auf diese Weise aus (E) resultierenden Kriterien, wegen:

Mv-Mv

⁹ *

lg* ₊ i^-lg* + 1^-i~

durch die folgenden ersetzen:

lim

lg

>' -> 00

■^k (^r) ’ ar +p ^i + l Mv

< 0: Divergenz, > 0: Konvergenz.

(*-0,1,2,...).

schon gesichert ist, wenn nur:

ar+P

lim ,y--,,---

t -> x nt,    Mv _ ^

>0,

daß aber auch dieses letztere Divergenzkriterium noch eine merkliche Verschlechterung des ursprünglichen Divergenzkriteriums (B) vorstellt. Hiernach erweist sich das Divergenzkriiexmm (D), soweit seine praktische Brauchbarkeit in Frage kommt, als wertlos. Nichtsdestoweniger besitzt es eine außerordentliche prinzipielle Bedeutung, die auf der (übrigens in gewisser Weise noch vervollkommnungsfähigen) Einheitlichkeit des zur Prüfung von Divergenz und Konvergenz dienlichen Ausdruckes beruht: näheres hierüber (für die besondere Wahl M,. = v) s. in Nr. 4 dieses Paragraphen.

Das für li = 0 resultierende Kriterium, nämlich:

K-K-i

lim

*-it

r-> x

r'av+p

lg Mv

< 0: Divergenz, > 0: Konvergenz,

M—M

kann wegen: lg ~ Z ~a~~

V V + p

maßen geschrieben werden:

= lg —

Mv-Mv_x

av+p

--lg Mv, auch folgender-

lim

■ CfQ

Mv — M

V— 1

v-> 00

ksK

< 1: Divergenz, > 1: Konvergenz;

während die übrigen Kriterien der Skala (F) (k= 1, 2, 3, •••) wegen: MV-MV_X

‘ av + p

sich in die Form setzen lassen:

lg

-lg

Mv-Mv_ t

Lk-l(Mr)-av+p

ig/t+i K

Mv-Mv_x

(*-1, 2, 3,-..).

< 1: Divergenz,

lg

V-> 00

> 1: Konvergenz.

3. Es verdient hervorgehoben zu werden, daß das Divergenzkrite-rium (FJ eine etwas geringere, dagegen das Konvergenzkriieriwm genau dieselbe Tragweite besitzt, wie das entsprechende (d. h. mit demselben Mv gebildete) in (B). Liefert nämlich das Divergenzkx'\tQY\\xm (Ft) eine unzweideutige Entscheidung, d. h. hat man:

v— 1

Mv-M

lim

av + p

ao

ig^L

<1,

so muß schon von einem bestimmten Index ab, etwa für v ^ n eine Beziehung von der Form bestehen:

K-K-i

ig

av+p

lg Mv

1 — Q, WO Q > 0.

Daraus folgt dann weiter, daß für v ^ n:

V— 1

lg

M-M

av + p

ai +p

Mv — M

- mJ-* ’

•ar+pkK«,

also schließlich:

lim

Mr

Mv-Mv_^ ' a'+P °°>

d. h. das Divergenzkriterium (Fx) kann nur dann eine Entscheidung liefern, wenn bei dem entsprechenden in (B) geradezu der Grenzwert oo erscheint.

• av+ endlich und von

Null verschieden ausfällt¹), in welchem Falle das Divergenzkrilermm (B) noch wirksam bleibt.

Es versagt also schon, wenn nur lim

r-> oo

1) Dies kann auch durch analoge Schlüsse, wie die eben angestellten, leicht direkt bestätigt werden. Ist nämlich:

= 9> 0,

so hat man zwar für alle v > n:

M, — .1/,    , '    " ’ ¹¹

dagegen für unendlich viele mt.:

• amr+p <9+ f-

Aus der ersten dieser Ungleichungen folgt dann für alle v > n:

°r+P

' <<,

M,. - Mv

lg —

-1

iiK

<i -

lg (9 — e)

und analog aus der zweiten für unendlich viele m, :

lg

Mn —

7/11»    7/11*

-l

am, • +/>

lg (9 + «)

lg*.,

Daraus ergibt sich aber, daß:

ig

K-K-i

lim

»-> oc

ar + p

lg

= 1,

d. h. das Divei'genzkritenam (F.) versagt in diesem Falle.

lim

r-> oo

My~Mv_ 1

= + oo,

Gibt andererseits das Konvergenzkx\iex'\um (F,) eine Entscheidung, d. h. hat man:

lg

lim

r->-co

«r+P

~wsr

und daher auch schon fiir v^>n:

MV~MV_X

lg

ai' + p

lg Mv

so folgt in ähnlicher Weise, wie oben:

ar + p

K-K-i

also auch:

lim

• av+p£l,

d. h. das Konvergenzkriteriom (B) liefert dann gleichfalls eine Entscheidung. Umgekehrt: Ist das letztere der Fall, d. h> weiß man nur, daß:

M^M~ ' a*+P

lim -

V ->O0

= Gr < OO,

so bat man für v^_n durchweg:

Mr1 + e Mv — M

■av+p< G + e,

also:

My - Mv

Mv-Mv

«r+p

und somit schließlich:

ar+p

M. - M

ar+p

lg Mv

d. h. das Konvergenzkniermva. (Fx) ist ebenfalls entscheidend.

4. Setzt man wiederum in (D), (FJ, (F₈) Mv = v, so ergeben sich die folgenden spezielleren Kriterien:

lg "

lim

oc

(DO

UmVar+p »'->• 00

> 1 : Divergenz, < 1: Konvergenz.

<*V)

lim

r->oo

ler _—

° a» + p ( <1: Divergenz, > 1: Konvergenz.

(*Y)

lim

lg-1———_

° Lk-Av) • av+p f < 1: Divergenz, > 1: Konvergenz.

lSk + i v

Die beiden ersten dieser Kriterien rühren von Cauchy, die übrigen von Bertrand her. Sie bilden zusammengenomtnen eine Skala von immer wirksameren Kriterien, wie aus ihrer Herleitung hervorgeht und auch unmittelbar erkannt wird, wenn man das Kriterium (D') auf die Form (E)? die Kriterien (F/), (F₂') auf die Form (F) bringt, sodaß sich ergibt:

lg —

(E')

av+p | <0: Divergenz, v ( > 0: Konvergenz.

Lk(v)-av+p l <0: Divergenz,

> 0: Konvergenz.

Bezüglich des Kriteriums (Dr) — des sog. Cauchy sehen Fundamental-Kriteriums erster Art — sei hier noch die folgende (für die Theorie der Potenzreihen besonders wichtige) Bemerkung gemacht. Man kann danach zunächst auf die Divergenz von Y£av schließen, wenn:

lim ]/av+p = A> 1,

(F')

lim

co

tet + i *

oder:

lim.ya^ = A > 1

r-> cc

(weil ja im letzteren Falle umsomehr: lim Yav+p > 1 wird). Es erweist

r->oo

sich nun aber für die Divergenz von J^av schon als ausreichend, wenn nur:

lim Yav

r-> oc

(5 a)

= A> 1

ist.⁵) Denn in diesem Falle gibt es für jedes £>0 unbegrenzt viele Glieder a

derart, daß:

s    ya

Und da man hierbei e so klein annehmen kann, daß auch noch:

A — e > 1,

mit mv über jede Grenze, sodaß also

mv + p

> A — e, also: a

so wachsen die Glieder a

mr+p

mv+p

> (A — E)mr.

»• ■> oo

auch <[ 1 sein darf.

y*av divergieren muß.⁶) Selbstverständlich genügt es andererseits für die Konvergenz von 'Sav. wenn:

(5b)

lim Vav+p< 1,

sodaß also schließlich überhaupt nur der obere Limes von 1/av+ in Betracht kommt und ein Versagen des fraglichen Kriteriums nur dann ein-tritt, wenn:

V-> 00

+p

5. Das in (D) bzw. (E) enthaltene Konvergenzkriterium gestattet noch eine gewisse, theoretisch interessante Verallgemeinerung. Setzt man in (D):

K-K-i-D-⁶ (v — 1, 2, 3, • • •)

also:

Svf

so nimmt das Konvergenzkriterium (D) die Form an:

(6)

lim (JDV • av+p)>v < 1: Konvergenz.

v-> oo

§ 48, Nr. 2 (S. 326, Gl. (7)) das allgemeine Glied jeder beliebigen

Dabei kann jDv⁻¹ — da die Mv bei der Aufstellung der Formel (D) keiner besonderen Beschränkung unterworfen waren — nach dem Satze von

divergenten Reihe bedeuten.

Sei nun ferner Cv~⁶ das allgemeine Glied einer beliebigen konvergenten Reihe, so ist es für die Konvergenz von av gleichfalls hinreichend, wenn von irgendeiner bestimmten Stelle v ab:

Gv • «v+p < ⁶

— hier

und diese Bedingung kann, da sv =    Ck~⁶ eine für jedes v

übrigens einschließlich v positive Zahl bedeutet, ohne weiteres durch die folgende ersetzt werden:

oo — endliche und von Null verschiedene

(<v•

aus welcher dann schließlich als hinreichende Bedingung sich ergibt:

(?)

lim (Cv • av+p) *v < 1: Konvergenz.

r-> oo

Bezeichnet man nun mit (Bf) eine ganz beliebige unbegrenzte Folge positiver Zahlen, so muß Jf£B~⁷ entweder divergieren oder konvergieren, d. h. die Br gehören entweder der Klasse der Zahlen Dv oder derjenigen der Cv an. Infolgedessen kann man aber die in (6) und (7) enthaltenen, völlig gleichartig gestalteten Konvergenzbedingungen folgendermaßen zusammenfassen :

Die Beihe 'Sa,. ist konvergent, wenn eine positive Zahlenfolge (Bf) existiert, sodaß:

(G)

lim (Bv-ar+p)'y< 1

wo: sv

-2 Br⁷-

o

Es ist dies ein Konvergenzkriterium erster Art, welches durch die schwerlich zu überbietende Allgemeinheit seiner Form merkwürdig erscheint und in dieser Hinsicht das vollkommene Analogon zu dem später zu erwähnenden (§ 54, UngE. (J), S. 379) Kummerschen Kriterium (zweiter Art) bildet. Man kann ihm durch Übergang zu den Logarithmen der beiden Ungleichungsseiten (nach Analogie des Konvergenzkriteriums (E)) auch die Form geben:

(H)

Sv

< 0: Konvergenz.

§ 51. Beispiele für die Anwendung der Kriterien erster Art. — Divergenzmaß der Reihen: >---,

k

Legendres Annäherungsformel für die Häufigkeit der Primzahlen.

(1)

V7

+i

i+-

0 = 1, 2,3,...).

Man bemerkt zunächst, daß die Glieder dieser Reihe durchweg unter den

entsprechenden der harmonischen Reihe (§ 44, Nr. 4, S. 299), dagegen von einer bestimmten Stelle ab stets über denjenigen der Reihe    ^

liegen, wie Mein auch die positive Zahl q angenommen werden mag.

Im übrigen ergibt sich:

lg V

(2)

lim v • av = lim ~ = lim e v = 1,

r-> oo

I'->00

v-> 00

sodaß also die betreffende Reihe auf Grund des ersten Dirergenzkriteriums der Skala (C'), § 50 (S. 336), divergiert.⁸)

2. Setzt man:

(3)

«V

so hat man:

(lgr)lgv

0 = 2,3,---)

(4)

(lgv)lgv = (elgi,')-lgv = (elgv)-⁸&v = Vle*v,

also:

(5)

lim v1 + Q • av = lim -

V = 00

v— <x> V

d. h. die Reihe 'Sar ist auf Grund des ersten Konvergenzkriteriums der Skala (C') Tconvergent. Das gleiche gilt allgemein, wenn gesetzt wird:

(6)

ttr

(7c =1, 2,3,-..),

"(1gkV?*'

tev)lgv = (elg*+iv)lg’' = vlgk+iv. Dagegen wäre die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

wegen:

(?)

(«)

(lg v)lg*v

divergent. Denn man hat:

lim

v-> 00

lsi

v = lim

V -> cc

Tg*

(¹ + v)

lg* _ , ’ lg*

Man müßte also das nächst höhere Kriterium (d. h. (Fs') für k = 1) anwenden und findet alsdann:

lg ¹ -

t * • ar lim

V-> 00

lg**

= lim

V->00

lg*

* lgjj *

= 0: Divergenz.

Hieraus folgt noch a fortiori, daß auch jede Reihe von der Form

(lg    0 -1, ², ³, • • •; X - 1, 2, 3, • • ) divergiert.

¹

,i + Q — ¹ n

²

lgr ...]gjt_₁i/(lgjt v)1 + ^ ;

³

sind durchweg konvergent, und zwar bilden sie eine Skala von beständig schicächer konvergierenden Reihen.

⁴

Dabei genügt zur Divergenz die Existenz der fraglichen Beziehung für den unteren, zur Konvergenz für den oberen Limes. Das Divergenzkriterium erleidet beim Übergange von (3) zu (D) insofern eine gewisse Minderung der Tragweite, als die in (3) noch zulässige Annahme a — 1 bei Benützung der Limesform in Wegfall kommt (vgl. die analoge Erscheinung § 47, S. 321, Formel (11), (12) und S. 322, Fußn. 1). Im übrigen bemerke man noch, daß die Divergenzbe&ingung (D) offenbar nur erfüllt sein kann, wenn:

⁵

Wobei also lim ya₍,

⁶

Der Grund dieses Verhaltens liegt offenbar darin, daß hier die zur Kriteriumbildung herangezogene Vergleichsreihe aus lauter Gliedern besteht, welche schließlich ins Unendliche wachsen, und daß daher jede aus ihr herausgehobene Reihe gleichfalls divergiert, was im allgemeinen nicht der Fall zu sein braucht, wenn die Glieder der divergenten Reihe schließlich gegen Null konvergieren oder auch nur den unteren Limes Null haben (s. § 46, Nr. 1, S. 311).

⁷

Es sei:

⁸

Wie aus Nr. 3 des vorigen Paragraphen hervorgeht, muß das disjunktive Kriterium der betreffenden Stufe, also das Kriterium (F/) hier versagen. In der Tat findet man:

3. Die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

«V

(9)

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern. av =

.-HS?),

v • ar =    =

folglich mit Benützung von § 38, Gl. (2), S. 240:

lim v ■ av = oo.

(10)

(11)

v = oo

(12)

ist konvergent für <7 > 0, divergent für <7    0.

Man hat nämlich nach § 38, Nr. 5 (S. 247, Gl. (36 a)):

te* (v 4- D (*»)

und wenn man diese Gleichung in die (1 -f tf)te Potenz erhebt:

lim Lk(yY

r-> oo

woraus wieder mit Benützung des Kriteriums (C') die Richtigkeit der obigen Behauptung hervorgeht.

Das analoge gilt für die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

(13)

(14)

Um 4M {

r->- oo    *■

+ tf .

l + ff

(15)

(s. S. 247, Gl. (36 b)).

4. Wir fanden früher, daß die Reihe

i

lg ] Itonvergiert

(ihre Summe war die Eulersche Konstante y: s. § 34, S. 207, Gl. (8), (9) und § 44, S. 300, Gl. (19)). In gleicher Weise konvergiert nun auch die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

(16)

lg

Ig*(*'-r¹)

Mv)

welche offenbar für k = 0 in die eben erwähnte übergeht, falls man wiederum den Symbolen lg₀v, L₀(v) die Bedeutung von v beilegt.

Aus § 38, S. 246, Ungl. (28) folgt nämlich für Mv = v + 1:

(17)

X^j- > ¹&+1 (v + 1) - !g*+i M >

Lk(v + l)

also:

<18)

Lk(v) < lg

Jg/tO)

Lk(v + 1) ’

und schließlich:

IgiO' + D

) < (-1____¹_\

/ ^ UjtW L^v + l))’

woraus unmittelbar die Konvergenz der fraglichen Reihe resultiert, da ja die Reihe ^

2U

Lt(v+ 1)

konvergiert.

¹ 'j als solche von der typischen Form

Bezeichnet man etwa mit mk die kleinste positive ganze Zahl, für welche 1 gknik positiv ausfällt, so kann man also setzen:

’s

¹g*(*' + 0

mk

!g*W

)-**>

§ 51. Divergenzmaß der Reihen ^---

Lk(y)

wo sk eine bestimmte positive Zahl bedeutet, welche für Je = 0 (also: mk = 1) in die Eulersche Konstante übergeht.

Schreibt man Gl. (20) folgendermaßen:

lim (

n -> oo '    Lk (V)

]>} (lg*+i(v + 1) - Igi+iO'))} = sk

mk

mk

so folgt, daß:

lim | yi T- f ^

n -> oo 1    ^Jk (v)

¹g*+i(w + !)} =    - fe+iW»

mk

oder — wegen lim (lgi+1(w +1) — lgi+1(w)) = 0 — auch:

<23)

{^EvLk{v) ~ W (w)} = s* - te + iW -

n-

mk

00

Die Reihe:

yi T (k = 1, 2, 3, • • •) divergiert also in der Weise,

mk

^jVLk(v)

— lg/t+i(w) s^e^s enctti°h bleibt und für oo einen bestimmten Grenzwert yk besitzt. Es gibt also lg*₊i(w)

daß die Differenz:

mk

ein genaues Maß für die Divergenz der Reihe: ^

für n

oo

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern, in dem Sinne, daß nicht nur der Quotient dieser beiden Zahlen mit unbegrenzt wachsendem n der Grenze 1 zustrebt (also: yi

mk

sondern daß geradezu ihre Differenz gegen eine bestimmte Zahl yh konvergiert.

5. In ähnlicher Weise läßt sich auch das genaue Divergenzmaß der

00

Reihe yi i

-r— (wo: 0<p<l) bestimmen. Setzt man nämlich:

V “

(24)

av

v¹-*

so läßt sich zunächst zeigen, daß 2av konvergiert. Nach § 31, Nr. 5 man:

(S. 193, Fußn.) hat

(25)

<¹+T’

und daher:

(26)

<v>

also schließlich:

V -f- 1 ⁷

(27)

(v

-<-... ¹

Vl~ ⁹ ■ (v -f- 1)    v“~ ⁹ ’

woraus in der Tat die Konvergenz der Reihe av resultiert, etwar 00

= s®. Man hat nun ferner:

v l)

((v + 1)? — v⁹)

(28)

= y>—

vi-e

und daher:

(29)

lim ( y n->oA    v1 ⁹

(n + Dp

J = s(?) - j = r(?K.

(31)

lim (Cn -f- 1)? — n?) = 0,

n -> co

und man kann somit Gl. (29) auch durch die folgende ersetzen:

(32)

lim (    - -* ■■■

n->os    V¹ $

sodaß also

Da übrigens:

(30)

so

§ 51. Divergenzmaß der Reihe    p——

v Q

(n + 1)* — n« = nv ((l + ~)? - 1) j

>0

folgt, daß:

< n'J ■ — = —~— n w¹"? '

in dem oben angegebenen Sinne ein genaues Maß für die Divergenz der Reihe    — -— abgibt. Setzt man die hier auftretende

Differenz in die Form: (33) so erkennt man leicht mit Hilfe der oben benützten Ungleichungen (D) und (A) des § 31, daß jedes einzelne Glied der letzten Summe, und somit auch y(0 negativ ausfällt, während andererseits Gl. (29) zeigt, daß

yW >--— sein muß.

9

6. Wie in § 6, Nr. 1 (S. 34) gezeigt wurde, ist die Reihe der Primzahlen, d. h. derjenigen ganzen Zahlen pv, welche nur durch sich selbst und die Einheit teilbar sind (px = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, pi = 7 usf.), eine-unbegrenzte.

Die Anzahl der Primzahlen pv, welche irgendeine positive ganze Zahl n nicht übersteigen, nimmt also mit n unbegrenzt, aber, wie die direkte Abzählung der Primzahlen gelehrt hat, in sehr unregelmäßiger Weise zu; oder anders ausgesprochen: bezeichnet man mit P(n) die Anzahl derjenigen Primzahlen, welche n sind, so gelangt man auf dem angedeuteten empirischen Wege zu der Vermutung, daß der zwischen n und P(n) bestehende Zusammenhang äußerst verwickelter Natur sein muß. Denselben durch eine exakte, aber naturgemäß entsprechend komplizierte Formel darzustellen, ist im wesentlichen Riem ann mit Hilfe funktionentheoretischer Methoden, insbesondere durch Anwendung der komplexen Integration gelungen, allerdings auf Grund gewisser, lediglich auf Vermutung beruhender Annahmen, deren eine auch heute noch nicht vollständig bewiesen ist. Dagegen hat schon Legend re durch Induktion

«ine sehr einfache Annäherungsformel gefunden, welche innerhalb verhältnismäßig weiter, mit der Erfahrung verglichener Zahlengrenzen (von 1000 bis zu 3 Millionen) der Wahrheit sehr nahe kommende Resultate liefert. Dieselbe lautet:

<34)

P(n) =

lg n -- C

- A(w),

man in der obigen Formel n — pv, -wo wiederum pv die vte Primzahl bedeutet, so wird P(pv) = v, und daher:

wo: C= 1,08366, und |A(w)| eine im Vergleich zu n und P(n) verhältnismäßig Meine Zahl bedeutet, sobald man nur n einigermaßen groß (etwa n1000) annimmt (z. B. A(1000) = — 3, A(10 000) = 0, A(100 000) = 4, A (1 000 000) — - 42). Setzt

(35)

1 gpv — C

Daraus läßt sich folgern, daß die Reihe derjenigen Zahlen qy, welche durch die folgende Gleichung definiert sind¹):

(36)

7,

ig*,-c v>

zum mindesten innerhalb gewisser Grenzen näherungsweise mit der

• 1) Der Beweis dafür, daß diese Definition überhaupt einen Sinn hat, daß also zur Folge der natürlichen Zahlen v, zum mindesten von einem bestimmten v ab, eine (übrigens beständig wachsende) unbegrenzte Folge von Zahlen qy gehört, beruht auf der (mit Benützung sehr einfacher, hier jedoch noch nicht zur Verfügung

Igq — C

(welcher für q — eG + 1 ebenfalls den Wert ec +1 hat) gleichzeitig mit q^> ec + l

stehender analytischer Hilfsmittel beweisbaren) Tatsache, daß der Ausdruck

monoton wachsend jeden, insbesondere also jeden ganzzahligen Wert v)>e⁶⁺¹ einmal und nur einmal annimmt, daß also umgekehrt zu jedem r>ec + 1 ein und nur ein qy )> eL +1 gehört.

Um die Abweichung der Zahlen qv von den py abzuschätzen, findet man zunächst aus Gl. (35), (36):

also:

7..

Pr

lg 7, — C \gpv — C

= A(.p,),

7AlSPy—C) ~ Pv(lgZy— C) = A(jpr) • (\gpy — C)(\gqy — C),

anders geschrieben:

(7r — Pr)QgP, — G) — (lg qy — 1 gp,)[pr + A (py) • (lgp,G)] = A(pr) • (1 gpr — C)\ Nun ist (s. § 34, Ungl. (3), S. 206):

1 !g 7„ — lg pr | =

FL«

7 y-Pr

I 7, Py

Pr

und es ergibt sich somit, wenn man v von vornherein groß genug annimmt, daß lg (py — G) > 0 ausfällt:

Reihe der Primzahlen pv übereinstimmen wird. Es bietet darnach einiges Interesse, die Divergenz bzw. Konvergenz von Reihen der Form

y } qAgq USW' zu'untersuchen. Dabei können wir noch, ohne

die fragliche Untersuchung merklich zu erschweren, an die Stelle der Zahlen qv einen etwas allgemeineren Typus von Zahlen rv setzen, welche einer Gleichung von folgender Form genügen¹):

rv

J    Av-lgrv + Bv

Hier bedeutet Av eine Zahl, welche für jeden Wert von v zwischen zwei •endlichen positiven Zahlen enthalten bleibt; Bv eine (positive oder negative) Zahl (inkl. 0), deren Absolutwert mit unbegrenzt wachsenden Werten von v auch in gewisser Weise unbegrenzt wachsen darf, höchstens aber in dem Maße, daß: |Hv|-<lgrv und daher, zum mindesten von einem bestimmten Werte v^>n ab, stets Av ■ lgrv -f- Bv > 0 ausfällt. Die Zahlen rv gehen dann in die oben mit qv bezeichneten Zahlen über, wenn speziell: Av = \,BV = — C gesetzt wird.

7. Bringt man Gl. (37) auf die Form:

(38)

rv

so folgt zunächst, daß:

lgrv (äv+ ^)

und daher:

(39)

lg v = lg rv - lg₂ rr - lg (Av + ^-) , 1=1, also: lgrv ^ lg v,

lim

crVciö"

I <ly—Py\((}gPV — C)

A(PV)

&(Py)

Py

(lgpv ~ C) J) < | A(pJ | (lgjp, - C)\

oder auch, da

Vy

mäßig klein wird, der Ausdruck: 1 -j--

ausfällt:

(lgpv — C) für hinlänglich große pv numerisch verhältnis-OSPy —C) dann also jedenfalls positiv

A(pv)

Pv

\%~Py\

Py

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern, somit auch allgemein:

(40)

Da nun aus Gl. (37) sich ergibt:

(41)

lg V

Igr>+ x

Bv A vlgv lgr

*r

so findet man mit Benützung von (39) und (40) die drei Beziehungen:

— ^--

% Ar

V • lg V ,

also:

Tv

_ rsj

i + ? =

(42)

rv Og rvß ÄV ■r-(lgv)1 + ?

¹

^Gg₂rv...lgArv.(lgjtrJ/)<' ~ Ay

••(ig*D¹⁺⁴’

Dieselben lehren, daß die Reihen mit dem allgemeinen Gliede:

v lg v • Igj

(*-2,3,-»).

(43)

+ p ’ rv (lg rrf⁷ rv • lg₂ r„ • • • (lg* rvf ⁺ f

für divergieren (s. S.325, Gl.(5); S. 328, Gl.(14)), dagegen für p>0 konvergieren (s. S. 331, Ungl. (4); S. 334, Gl, (17)). Es divergiert also

insbesondere die Reihe    , während schon ^--

^ rv    rv. (lg rv)9

für jedes positive q Iconvergiert.

und sogar:

2¹

rv (lg₂ *V>1 + ?

Es verdient bemerkt zu werden, daß die Divergenz bzw. Konvergenz aller dieser Reihen erhalten bleibt, wenn an die Stelle der Zahlen rv die

Reihe der Primzahlen pv gesetzt wird. Die Konvergenz der Reihe ^ l+u

^ Pr '

für q >0 ist ohne weiteres evident, ihre Divergenz für q = 0 und a fortiori für p<0 wird sich bei späterer Gelegenheit ergeben.¹) Den Beweis für die Divergenz bzw. Konvergenz der übrigen in Betracht kommenden Reihen hat Tchebicheff gegeben: obschon derselbe lediglich auf ganz elementaren Hilfsmitteln beruht, so wollen wir seiner Weitläufigkeit halber nicht näher darauf eingehen und begnügen uns mit dem Hinweise auf die betreffende Abhandlung.²)

1)    S. § 83, Nr. 3.

2)    Memoire sur les nombres Premiers. Journal de Mathematiques, T. 17, p. 384.

§ 52. Über die Tragweite der Kriterien erster Art. — Unmöglichkeit eines absolut wirksamen Kriteriums. — Reihen, welche wegen besonders schwacher Divergenz oder Konvergenz auf keins der logaritlimischen Kriterien reagieren.

1. Ein beliebiges Kriterienpaar erster Art:

lim I)v • av+p > 0: Divergenz,

V -> 00

lim Cv ■ av+ < oo: Konvergenz,

v-y oo

versagt nicht nur, wenn geradezu:

lim Dv -ar+p = 0

v-y cd

(I)

lim Cv-ar+ =oo,

v-y <x>

sondern auch dann, wenn die fraglichen Grenzwerte nicht existieren und gleichzeitig:

(II)

lim Dv • ar+ =0, lim Gv • av +

= oo.

T->CO

v-y a>

Hieraus geht aber hervor, daß die Wirksamkeit jedes solchen Kriteriums ganz wesentlich von der Anordnung der Glieder av abhängt (während die Divergenz bzw. Konvergenz selbst hiervon unabhängig ist). Um die Richtigkeit dieser Bemerkung in Evidenz zu setzen, beweise ich den folgenden Satz:

Bedeuten (av), (Pr), (Qv) unbegrenzte Folgen positiver Zahlen von der Art, daß: lim av = 0

lim Pv = oo , lim Qv = oo ,

v-y cd

v-> oo

so läßt sich die Gesamtheit der Zahlen av stets als eine Folge (6r) anordnen, sodaß:

lim Pv-bv = 0, lim Qv • bv =

v-y co

Beweis. Man zerlege die Reihe der Zahlen v ganz willkürlich in zwei unbegrenzte Folgen (?w;) und (rz) (wo: A = 0, 1,2, •••).²) Sodann kann mau nach Annahme einer unbegrenzten Folge positiver Zahlen (er) mit dem Grenzwerte Null aus der Reihe (ay) eine unbegrenzte Folge von Gliedern a₀', a/, a₂, • • • in der Weise herausheben, daß:

*

mi

(da ja: lim av = 0) und daß noch eine gleichfalls unbegrenzte Folge

1'->oo

V ->co

(1)

a₀' < p-

m₀

OO.

• ■» al ^5    ■

'«>1

übrig bleibt. Diese übrig bleibenden av zerlege man willkürlich in zwei unbegrenzte Folgen («/'), (a/") (X = 0, 1, 2, • • •) und hebe sodann aus der Reihe der Zahlen Qr) eine unbegrenzte Folge: Qna, Qn , Qn^ • • -heraus, sodaß:

(2)

QH>~K,, Qn>

x?io — s₀a₀ ⁷    —

«X «l"’

*    — £xa{' ⁷

(was stets möglich ist, wegen: lim Qr = oo). Die nach Aushebung der

v-yac

Zahlen nx aus der Folge (r^) übrig bleibende unbegrenzte Folge werde mit (px) bezeichnet. (NB. Daß wirklich auch stets eine unbegrenzte Folge (px) zum Vorscheiü kommt, kann man offenbar durch passende Auswahl der Qn. unter allen Umständen erzielen.)

Setzt man jetzt:

(3)

rr

Kx = Kx = «/'; h

so ist jedes Glied bv einem bestimmten Gliede der Folge (a,,) gleich und umgekehrt, sodaß also die Folge (bv) lediglich eine Umordnung der Folge (aj) darstellt. Andererseits hat man aber nach (1) und (2):

^>mx ' bmx = Pmx ‘ aX    £/.; Qnx ’ ^nx ⁼ Qnx ' aX — ~sj ’

lim Pv • bv = 0, lim Q • bv = oo,

(4)

d. h.:

(5)

r-> oo

v -> oo

= «X ,

q. e. d.

2. Aus dem eben bewiesenen Satze wird nun aber evident, daß es kein absolut d. h. in allen Fällen ivirksames Divergenz- oder Konvergenzkriterium erster Art geben kann: denn die Wirksamkeit jedes solchen Kriteriums läßt sich durch bloße Umordnung der Reihenglieder auf-heben. Und aus demselben Grunde kann es auch keine mit v ins Unendliche wachsende Zahlenfolgen (Pr), (Qr) geben, derart, daß die Beziehung:

lim Pv • ar +p > 0 (bzw. lim Pv • ay+p > 0)

v-> 00

V-> 00

eine nottvendige Bedingung für die Divergenz, oder die Beziehung: lim Qv • ay+p < oo (bzw. lim Qv ■ ay+p < oo)

r->- oo

eine solche für die Konvergenz darstellt. —

Wählt man die zur Kriterienbildung dienenden Dy, Cv speziell in der Weise, daß sie mit v monoton ins Unendliche wachsen, wie z. B. bei den Bonnetsclien Kriterien (Formel (C') des vorigen Paragraphen):

Nr. 3.

§ 52. Unmöglichkeit eines absolut wirksamen Kriteriums. Divergenz *)

lim Lk (v) (lg,. vf • av < oo: Konvergenz (o > 0)

355

lim Lk(y) • a > 0:

r-> 00

V -><X)

so wird offenbar als günstigste Anordnung für deren Brauchbarkeit diejenige erscheinen, bei welcher die av mit wachsendem v sich gleichfalls monoton ändern, d. li. (da wir ein für allemal lim av = 0 annehmen dürfen) monoton abnehmen bzw. niemals zunehmen. Wir wollen nun zeigen, daß auch in diesem besonderen Falle die Tragweite jener Kriterien eine begrenzte ist, d. h. es gibt sowohl divergente, als konvergente Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern, bei denen jedes der obigen Kriterien in der Weise versagt, daß eine der beiden durch Gl. (I) und (II) charakterisierten Eventualitäten eintritt.

3. Wir betrachten zunächst denjenigen Fall, der an das Auftreten der Gleichungen (I) anknüpft. Es handelt sich also hierbei um die Herstellung solcher Zahlenfolgen (af), für welche gleichzeitig:

(6)

iim Lk(v) • av = 0, lim Lk(v) • (lg* vf • av = oo (p > 0),

v-> co

v -> co

wie groß man auch den Index li annehmen möge. Man erzielt aber dieses Resultat in der einfachsten Weise, indem man setzt:

(?)

ar

Lmßv)

wo mv eine natürliche Zahl bedeutet, die mit wachsendem v niemals abnimmt, vielmehr in passender (sogleich näher anzugebender) Weise zunimmt und schließlich ins Unendliche ivächst. Die Zunahme der m ist

V

dabei lediglich an die Beschränkung gebunden, daß Lm (v) allemal positiv ausfallen und mit v monoton zunehmen soll, was offenbar erreicht wird, wenn man mv irgendeinen bestimmten Zahlenwert 2 (2 = 1, 2, 3, • • •) frühestens dann annehmen läßt, wenn v groß genug geworden ist, daß lg^ v > 1 ausfällt.

Wir wollen nun, um irgendeine definitive Festsetzung zu treffen, die Zunahme der mr so regulieren, daß bei dem ersten v, für welches der Fall lg; v > 1 eintritt, mv auch wirklich sofort den Wert 2 erhalten soll.

1) Ich schreibe jetzt statt av+p etwas einfacher av, was offenbar ohne jede Beschränkung der Allgemeinheit geschehen kann. Denn man hat (für k — 0,1, 2, • • •):

]gk(v + P) = f&tO),

Lk(v+P) ~ Lk(v)>

kann also zunächst in den betreffenden Kriterien lgk(v), Lk(v) ohne weiteres durch hl*(v ~h P)>    -f p) ersetzen und schließlich v statt v-\-p schreiben.

]g;. ^ = 1

Alsdann hat man (für A = 1, 2, 3, • • •) zu setzen: (10) mv = A, solange: ejO^e^

Zur genaueren Beurteilung der auf diese Weise sich ergebenden sukzessiven Zunahme der mr führen wir die folgenden Bezeichnungen ein¹):

(8)

e = el e

e% e

e₃ • • •

sodaß also:

' lgiCi = l lg₁e₂ = e₁ 1 g₁e₃ = c2 lg₂ e₂ = 1 lg₂ e₃ = Cl

lg₈ = 1

H = ex

^3«;. = ^-3

-2

(9)

) d.h.: [ex] + l<Lv£[ei+l],

wenn wiederum das Symbol [#] die größte in x enthaltene ganze Zahl bedeutet. Es bleibt also mr unveränderlich = A, solange v sich in den angegebenen Grenzen bewegt, und wächst erst wieder um 1, sobald v die Zahl ex + 1 übersteigt. Zu den bis dahin vorhandenen Faktoren von Lmv(v) — v • lgx v • • • lgx v tritt dann noch der weitere: lg; +1v>l hinzu, sodaß die Monotonie der Zunahme von Lm (v) keine Unterbrechung erleidet.

1) Vgl. § 38, S. 242, Gl. (9). Dort wurde gesetzt:

W eej²⁾ (₃) ....

ev = et⁽¹\

sodaß also die jetzigen Bezeichnungen:

e >■

= e;.

i    ,    • • •

in jener früher benützten Sclweibweise lauten würden:

e(i) e(2)

1 t'l 7

•r. ••••

2) Ich lasse es dahingestellt, ob der Fall:

eX + 1 ⁼ leX +1] »

welcher bei der Formulierung der Bedingungen (10) als möglich zugelassen ist, in Wirklichkeit jemals eintreten könne. Man weiß nämlich nur, daß, gerade so wie e selbst, auch jede rationale Potenz von e eine Irrationalzahl ist. Dagegen erscheint es immerhin fraglich, ob nicht e} für irgendwelche Werte von X eine rationale oder sogar eine ganze Zahl sein könnte. Das Gegenteil ist wenigstens, soviel ich weiß, bisher nicht bewiesen worden.

wie oben (Gl. (6)) behauptet wurde. Die lleihe J£av reagiert also auf keins der logarithmischen Divergenzkriterien.

4. Nicht ganz so unmittelbar erkennt man, daß auch jedes der loga-rithmischen Konvergenzkriterien hier versagen muß. Wird zunächst wiederum k beliebig groß fixiert, so kann man v so groß annehmen, daß mv die Zahl k um eine beliebige natürliche Zahl g übersteigt. Setzt man nämlich in (10):

ek+^ <v£ek

so wird: mv = k + g-

Wird jetzt eine natürliche Zahl k beliebig groß vorgeschrieben, so hat man nach (10):

und daher:

mv > k -f 1

wenn: v>ek+1,

(11)

Lmv(V)^Lk + i(V) fÜr V>ek +1-

Da aber: Lk + 1(v) >- Lk(y), so folgt a fortiori:

O²)    also:

oder anders geschrieben:

Lk(v)

(für jedes noch so große k),

lim Lk(y) ■ av = 0

t' -> CO

(13)

Man hat sodann:

40) • (lg* v)« • av =

v-lSk + 2v---lSk+^v

Nun steht nach § 38, S. 244, Ungl. (25a) allerdings fest, daß: (lg*v)? > lg*

v    • * -lSk₊^v

für jedes beliebig klein vorgeschriebene p > 0 und jedes beliebig groß vorgeschriebene, aber sodann als unveränderlich anzusehende g. Da aber in dem vorliegenden Falle g = mv — k gleichzeitig mit v ins Unendliche wächst, so muß erst ausdrücklich bewiesen werden, daß die Relation (15) für diesen Fall noch gültig bleibt. Wir gehen hierbei aus von der Beziehung:

(16)

(15)

+i

ea > a² für a > 0, deren Richtigkeit sich in folgender Weise ergibt. Aus:

-i + K + ^-

«■>(¹+v)’

— 1 b! (v — l)(v — 2) as ~' T+ —zt

(v— l)(v — 2)(v — 3) cc*

vs    '2-3-4"¹

folgt für v

oo:

ea > 1 + cc +

a*

ccs cc* _L _ J---

'    6    ' 24

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern. Ist nun: 0 < a <i 2, so wird: a² <1 2 a

also: a ~

und daher: e“>a².

Ist dagegen u > 2, so hat man:

as a⁴

IT ‘ 24

a³ > 2a², also: — > -y-

a² > 4 a⁴ > 4a² also:    > ~-

und daher schließlich wiederum:

e“ > a².

Setzt man jetzt in Gl. (16) a = lg^

A^r-e,8(V)=lg<lV,

v und beachtet, daß:

so ergibt sich:

(17)

l&iv > Og;. + i VY>

wenn: lg^ ₊ i^>0, d. h. v > ex.

Durch Substitution von A = 1c + 1, Je -f- 2, • • •, 1c + p — 1 und Multiplikation der betreffenden Ungleichungen folgt sodann:

v > Qgk+tvlgk₊sv'' - l8k₊nv)*

ig*+ihk+tv • • • ig*

und nach Weglassung der gemeinsamen Faktoren und nochmaliger Multiplikation mit lgi+1v:

(lg*+iv)²> Ug*+i"-lgi + 2*"*']g*

(18)

+A*-1

W-Og*

+/<

")²,

wenn: ls

Ck + n

Nimmt man hier nicht nur v > ek mit Ungl. (13) v > ek und daher a fortiori:

+ ,«>

v>0, d. h. v > ek

+,« -11

so wird lg*

+ M-

+/*-» *

sondern in Übereinstimmung v > 1 (s. die Gleichungen (9))

(¹⁹) (lg*+i v7> !g*

vlgk+iV-kk+flv>

oder wenn man wieder (s. (13)) 1c -j- p durch m> ersetzt:

wenn: v

> ek+n>

(20)

(ig*+1 vY > ig*

wenn:

Dabei ist nur, damit die Ungleichung einen Sinn hat, jedenfalls    1

zu nehmen, dagegen ist mv an gar keine obere Schranke gebunden und darf also nach Maßgabe der definierenden Bedingung (10) gleichzeitig mit v unbegrenzt vergrößert werden.

Da nun andererseits nach S. 241, Gl. (5):

(lg* *0* > (lg*+1 v)² für jedes q > 0,

so folgt schließlich a foHiori auch:

(21) und daher:

<22) Lk(v)-(lgkv)?>~L (v), d. h. lim^Hlg^e-a^oo ((>>0),

V-> 00

sodaß also in der Tat^av auch auf keins der logarithmischen Konvergenzkriterien reagiert.

5. Wir werden sogleich direkt nachweisen, daß die Reihe J£av divergiert. Um aber zugleich auch aus monoton abnehmenden Gliedern gebildete konvergente Reihen zu erhalten, bei denen jedes logarithmische Kriterium in dem Sinne der Gleichungen (I) bzw. (6) versagt, betrachten wir den etwas allgemeineren Ausdruck:

(23)

wo: 6 > 0

%{a)

welcher für 6 = 0 in den bisher betrachteten av (also: a,,⁽⁰⁾ = av) übergeht, und zeigen, daß ^aj^ divergiert für <? <( 1, dagegen konvergiert für 6 > 1, während sich die aja\ in bezug auf die logarithmischen Kriterien geradeso verhalten wie die av (s. Gl. (6)).

Bezüglich der Divergenzkriterien ergibt sich dies ohne weiteres aus der Beziehung:

ava) ^ av⁰⁾ =* av för:

da hieraus mit Berücksichtigung von (12) folgt:

Wird sodann wieder, nachdem man k beliebig groß fixiert hat, v in die Grenzen eingeschlossen:

ek + ^<v £ek+fl + i, sodaß also: mv = k + [i (g— 0, 1, 2, • • •)

(s. (13)), so hat man: lgkv>l8kek

(24)

, d. h. lim Lk(y) ■ aj°'> = 0.

»'->00

= (wegen: lg* 6^ = ex_k, s. Gl. (9), S. 356),

und daher:

(25)

Oft V)P

mvq

(k -f K

\k -f fi)    (i²

Da aber:

e. — e > 2, e₂ = e > 1 + ek > 3, ez = e e* > 1 + e₂ > 4 usf.,

so folgt:

e i > g und schließlich: efl = een~l > &l. Hiernach ergibt sich aus (25) a fortiori:

(26)

0gk*)p

a.

² (djp

mq

G+ g) gq

und daher, da gleichzeitig mit v auch g über alle Grenzen wächst, nach § 38, S. 239, Gl. (1):

Og* v)V

mq

auch wenn man p > 0 beliebig Hein, q > 0 beliebig groß fixiert.

Die Folge der mv wächst also auch nach der in § 38, Nr. 2 gebrauchten Terminologie (vgl. S. 241, Fußn. 1) unendlich viel langsamer ins Unendliche als lg*v bei beliebig groß angenommenem k.¹)

Man hat nun schließlich:

(27)

lim

V-> OD

— oo, also: mq -< (lg**)*,

4 (?) • Qgkvy- av{a) =

Lk{v) • (1 gk (v)f

Og* *0

dg* v)

l«k+\vl9k + *v'‘l«m,.v

und daher mit Benützung von (21) und (27):

(28) lim Lk(v) • (lg*v)' • av^ = oo oder auch: a,W >-

Lk(v) • (lg* v)*

bei beliebig groß angenommenem k. Die Reihe qW reagiert daher auch auf keins der logarithmischen Konvergenzkriterien.

6. Um nun die Divergenz bzw. Konvergenz der Reihe    fest

zustellen, fassen wir jedesmal alle diejenigen Glieder a ^ zu einer Gruppe zusammen, für welche mv den unveränderlichen Wert A hat (wobei dann der Reihe nach: A = 1, 2, 3, •••). Da nun nach (10):

mv = A, so lange: [ex] + 1 <i v <1 [e* + 1],

r-> oo

so hat man also zu setzen:

[«2 + tl

(29)

4»'

und sodann:

1) Boi der Folge (»»,,) besitzen auf Grund der definierenden Bedingung (10) bestimmte Gruppen konsekutiver Glieder immer einen und denselben Wert. Will man die Faktoren durch eine wirklich beständig zunehmende Folge m'a von gleichem „Unendlich“ ersetzen, so braucht man zu den betreffenden »»,, nur die Glieder einer monoton zunehmenden Folge mit endlichem Grenzwert zu addieren. Man setze z. B.:

V — 1

«»' = mw 4- —— •

V

[ej + i    i

(30)

in dem Sinne, daß die beiden Reihen nicht nur im Falle der Konvergenz dieselbe Summe besitzen, sondern daß die Divergenz der einen Reihe auch diejenige der anderen nach sich zieht.

Nun ist nach § 38, Ungl. (28a), S. 246:

lSx + i

und daher, wenn man in der ersten Ungleichung Mv = v + 1, in der zweiten Mv = v setzt:

(31)

> ^gr + i (v + 1) — 1^ + 1 V,

L^v) I <lgi+iv-lgi+i (*'-!)•

Mit Benützung dieser Ungleichungen ergibt sich:

¹

?„-Pv I ((l -    (1SPy—G) — l) < I ApJ (1 gp„ - C)\

und daher schließlich:

! a (pv) i (i gPy — cy (Py ~ A(PV)) (1gPv — C)—P„ ’ sodaß also qv—pv im Vergleich zu pv verhältnismäßig klein wird.

1) Der Beweis für die Existenz der Zahlen rv kann in analoger Weise geführt werden, wie für die qy.

²

Man nehme z. B. für mx alle geraden Zahlen (inkl. 0), für rx alle ungeraden Zahlen, also:

— 2 X, rx = 21 -f-1.

2V Lx (v) {

yex+i\

RJ+¹

und da andererseits nach (9):

so wird:

l&i + i ex + i — 1 >

| > ¹ ~ [Sx + i lex + 1] , < 1 ~ ]g^+i [«J    ;

\ex + J

lexl⁺¹

sodaß man setzen kann:

F;. + J

(32)

2x^T)⁼^’

[ej + 1

oo den Grenz

wo xt;. einen mittleren Wert zwischen 1 — lg^i \ßi + 1] und 1 — lg^ + j [<?*], also eine wesentlich positive Zahl bedeutet, die für jeden bestimmten Wert A endlich und von Null verschieden ist und für l wert 1 besitzt. Denn man hat:

und daher:

te + 1] £* [ej Sä e*, lg,₊₁^ = 0,

lim ]g;+i lex + !] = lim !g^ + i = 0.

/.->oc

Somit wird schließlich: (33)

[ej + i    i

woraus hervorgeht, daß die fragliche Reihe divergiert für 6^1, dagegen konvergiert für o > 1. Insbesondere divergiert also auch die für 6 = 0

in Nr. 3 zunächst betrachtete Reihe ,...... ,-r •

^ Lmv (*0

resultierende

Es hätte übrigens die Vermutung nahe gelegen, daß die Reihe mit dem allgemeinen Glieder

(34)

bj9) =

Lmv0>) ■ (!gmr v)Q

ana

log, wie ^

für q > 0 konvergieren müßte, sodaß man

Lk{v)-(\gkvf .

auf diese Weise Reihen erhalten würde, welche dann, wie unmittelbar zu ersehen, schwächer konvergierten, als jede der betreffenden logarith-mischen Reihen, während zugleich ihr Bildungsgesetz eine vollkommenere Analogie mit den letzteren darböte, als dies bei den Reihen Saja) der Fall ist.

Indessen läßt sich leicht zeigen, daß SbjO. sogar für jedes beliebig groß fixierte p, divergiert. Da nämlich nach (10) für mv = X (A = 1,2,3, • • •) der Index v den Bedingungen genügt: ek<v^ex Faktor (lgm v)'' stets innerhalb der Grenzen 1? und e?. Mithin hat man:

+ i?

so bewegt sich der

(35)

b (0 ^---

”    Lmv(v)

woraus dann unmittelbar die Divergenz der fraglichen Reihe hervorgeht. 7. Von den beiden Reihen:

(36)

Lm,W ■ mv ’

(p>0)

Lmv(v)'mv+Q

divergiert somit die erste und konvergiert die zweite schwächer als jede Reihe der unbegrenzten Skala:

(37)

bzw.

(*-0,1,2,.-.).

Lk(v) • (lg* v)?

Daß es aber wiederum noch schwächer divergierende bzw. konvergierende Reihen geben muß, folgt aus den allgemeinen Sätzen von §§ 48, 49. Man erhält insbesondere wieder unbegrenzte Skalen derartiger Reihen, die

sich an die Reihen (36) geradeso anschließen, wie die gewöhnlichen

logarithmischen Reihen (37) an die Anfangsreihen    - * -,

1 •! 1    ,    V    V¹⁺'

wenn man bildet:

<38)    2

LmSV)-Lk (mf

Lmv(v) ' Lk(mv) ' (¹8kmJQ

Denn es ergibt sich, vollkommen analog mit Gl. (33):

(q > °)-

Sl

LkW-(¹ SkW

(P>ek)

(man hat hierzu lediglich den in av^ — Gl. (23) — auftretenden Faktor mv,r durch: Lk(mv)• (lg*^v)? zu ersetzen), und man erkennt somit unmittelbar die Divergenz der betreffenden Reihen für p = 0, ihre Konvergenz für q > 0.

Schließlich lassen sich dann aber auch wieder Reihen hersteilen, die nicht nur schwächer divergieren bzw. konvergieren, als irgendeine beliebig vorgeschriebene, sondern als jede Reihe der obigen Skala — usf. in inßnitum.

Diese Betrachtungen, welche im übrigen keineswegs auf der besonderen Form der hier zugrunde gelegten Reihenskalen beruhen, sondern ohne merkliche Schwierigkeit auf jedes beliebige Skalenpaar von divergenten und konvergenten Reihen übertragbar sind, führen zu der Erkenntnis, daß das Grenzgebiet zwischen Divergenz und Konvergenz sich in sehr viel engere Schranken eiuschließen läßt, als durch jedes beliebige Skalenpaar von divergenten und konvergenten Reihen, und daß es andererseits unmöglich erscheint, auf diesem Wege jemals zu einer Grenze zwischen Divergenz und Konvergenz zu gelangen.

§ 53. Grenzgebiete und Schranken der Divergenz und Konvergenz für Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern.

1. Die am Schlüsse des vorigen Paragraphen benützten Ausdrücke: „Grenzgebiet“ zwischen Divergenz und Konvergenz und „Schranken“ dieses Grenzgebietes — können, auch bei der Beschränkung auf Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern¹), leicht zu falschen Vorstellungen über die Tragweite der damit zu verbindenden Begriffe führen. Um in

dieser Hinsicht jedes Mißverständnis auszuschließen, stellen wir die folgenden Betrachtungen an.

(/y

oder selbst auch nur: lim — ein beliebig niedriges Unendlich »•->00 C"

Es sei dr>cr>0, J£dr eine divergente, J£cv eine konvergente Reihe mit monoton gegen Null abnehmenden Gliedern, die dv, cv können dabei als „beliebig nahe“ aneinander liegend angenommen werden, d. h. so, daß lim

vorstellt.

Bedeutet dann ferner (ar) irgendeine andere monoton abnehmende Zahlenfolge, so divergiert die Reihe ^ay. wenn für alle v, zum mindesten von einem bestimmten Werte v — n anfangend:

(A)

av^dv.

sie konvergiert, wenn:

(B)

Ist dagegen:

(C)

Cv ^ ar ^ dv

(wobei die Gleichheitszeichen in (C) nur soweit gelten sollen, daß die Eventualitäten: av = dv, bzw. av = cv für jedes v^>n, als unter (A) bzw. (B> gehörig ausscheiden), so kann die Reihe noch divergieren oder konvergieren. Wir sagen alsdann, sie gehöre dem von den „Schranken“ (r/,.) und (c,,) eingeschlossenen „Grenzgebiete“ zwischen Divergenz und Konvergenz an: es ist nämlich offenbar unmöglich, über ihre Divergenz oder Konvergenz lediglich auf Grund der Beziehung (C) irgendwelche Aussage zu machen..

Nun darf man aber keineswegs glauben, daß durch irgendivelche derartige Schranken etwa alle möglichen Reihen mit monoton abnehmendin Gliedern ar in drei wohlgesonderte Klassen vom Charakter (A), (B), (CY zerlegt werden können. YGelmehr gilt der folgende Satz:'

(I) Wie man auch monoton gegen Nidl abnehmende Folgen (clr), (cv), wo dv > cv, wählen möge'), so gibt es stets unend-

lim Dvby = -f- oo,

Gliederumordnung eine Reihe y daraus herstellen, sodaß: lim Cv • bv — 0,

V -> 00

V -> CO

auch wenn NDv~¹, ^ G~¹ beliebig stark divergiert bzw. konvergiert (ersteres natürlich mit der Einschränkung: lim Dv = oo). Die Reihe Nbv enthält also,

v-> oo

mag sie selbst divergieren oder konvergieren, sicher unendlich viele Glieder, welche teils unter, teils über den entsprechenden von ^Cv⁻¹ bzw. D~¹ liegen.

1) Dabei haben also die (nur wegen des Hinweises auf die Ungleichungen (A), (B), (C) beibehaltenen) Buchstaben dv, cv zunächst noch keineswegs die sonstige typische Bedeutung (d. h. es ist in dem vorliegenden Zusammenhänge ganz gleichgültig, ob die Reihen Ndr,    divergieren oder konvergieren).

lieh viele monotone Folgen (av'), welche die beiden Schranken (dv), (cf) unendlich oft durchsetzen, die also keiner der drei Klassen (A), (B), (C) angehören; d. h. man hat für unendlich viele g, k:

(A')

a[ <Cx.¹)

Beweis. Es bedeute (pf) eine vorläufig ganz willkürlicli zu denkende Folge positiver Zahlen. Man bestimme sodann eine unbegrenzt fort-setzbare Reibe wachsender natürlicher Zahlen m1} m₂, m₃, ■ ■ • in der Weise, daß:

PlCmv <PA, Pidm2 <PlCmi> PäCm₃ < P%d , P*dm <PSC ,.....

(was offenbar stets und auf unendlich viele Arten möglich ist, da sowohl die cv, als die dv monoton gegen Null abnehmen). Man erhält durch dieses Verfahren eine unbegrenzte monoton abnehmende Folge von der Form:

Po⁽^m₀ PlCmx ^ P^dm^ > 2h Cm₃    P2kdm2k ^ Pik +1 Cm

(wenn man der Gleichförmigkeit halber noch m₀ statt 0 schreibt).

Setzt man jetzt:

(!) <n2k=Ptkdmak, <

2Z-+-1

(sodaß also: a^ > am^y

und bestimmt im übrigen af für alle Werte von v, die zivischen mx und (X = 0, 1, 2, • • •) liegen, in der Weise, daß af für

*2*41

— Pik+ 1 Cm

2*41

)r

ab nimmt, so bilden

v = mx, mx + 1,^ + 2,..., mx+1 monoton (im übrigen willkürlich) von am^ zu a die af eine monoton abnehmende Folge, welche unendlich viele Glieder von der Form (1) enthält. Wird jetzt über die pv in der Weise verfügt, daß:

p2k > 1, p2k + l < 1 (im übrigen immer noch ganz beliebig), so hat man nach (1):

(2)

a,>‘2 k ^rn2k ’ a‘n

sodaß also die Folge (af) in der Tat den Bedingungen (A') genügt.

*2*41

< Crn

2*41 ’

1) Natürlich gibt es analog auch unendlich viele (at0, welche nur eine der Schranken (dv), (cv) unendlich oft durchsetzen, sodaß also für unendlich viele (i:

(B')

im übrigen

cu <«; < dfl.

durchweg: a[ > d? bzw. durchweg: ax < cx .

Man kann ja derartige Folgen (a") mit Leichtigkeit aus solchen vom Charakter (A } herstellen, indem man alle Glieder a'x<Ccx passend (d. h. so, daß die Bedingung (B ) erfüllt wird und die Monotonie erhalten bleibt) vergrößert, bzw. alle Glieder afü>dlt passend verkleinert.

Wählt man insbesondere die py in der Weise, daß: lim p.2k = oo , lim^2Jt+1 = 0, so hat man sogar:

k-Xx

(2a)

2* + l

a"‘2k ^ ^m2k ’ (l,n2k + l    °m

2. Aus dem eben bewiesenen Satze und der daran geknüpften Schlußbemerkung erkennt man aber, wenn man jetzt wieder den Buchstaben dr, cv die sonstige typische Bedeutung beilegt, unmittelbar folgendes:

(II) Wie man auch eine divergente und eine konvergente Reihe Wdy bzw. y,cr (wo: dv > cj mit monoton gegen Null abnehmenden Gliedern wählen möge, so gibt es stets unendlich viele Reihen J£af mit monoton abnehmenden Gliedern, welche nicht dem von den Schranken (dv), (cf) eingeschlossenen Grenzgebiete angehören, und deren Divergenz oder Konvergenz trotzdem nicht durch Vergleichung von af mit dy, cv entschieden iverden kann.

Versteht man nämlich unter (af) eine der unendlich vielen monotonen Folgen, welche der Relation (2a) genügen, so hat man wegen:

m2k +1

l2 k + 1

^m2k ^ Cm2k’ C"

aus (2 a) a fortiori:

also:

(3)

- ' lim Cvaf = oo , lim Dyaf = 0,

V -> 00

V-> 00

‘2A + 1

2* + l

nik + 1

d. h. das zu Gv, Dv gehörige Kriterienpaar versagt hier allemal nach dem Muster der Ungleichungen (II) am Anfänge des vorigen Paragraphen.

Alsdann muß aber auch jedes durch weitere Verschärfung aus Gy, Dv abzuleitende Kriterienpaar in derselben Weise versagen.

Denn, nimmt man: Df < Cf, Df >- Dy, Cf -< Cy, also: df > cf, df -< dv, cf >- cv, so folgt aus (2a), daß umsomehr:

a»l2k ^'«2 k’

und hieraus, wegen: df > cf^ , cf

"2* +1

<cfn

2* + l

<d'

m2k + 1

, wiederum a fortiori:

a,

d. h.:

” G^k’

lim Cf af = oo ,

r->oo

"2i + l

< d^k + i ~ 1D'~

lim Df af = 0.

V-> 00

msk +1

3. Aus dem Satze von Nr. 1 geht ferner hervor, daß es keinesfalls gleichzeitig irgendeine allgemein gültige Schranke für die Divergenz und eine andere für die Konvergenz in dem Sinne geben kann, daß die Glieder aller divergenten Reihen (mit monotonen Gliedern) von irgendeinem be-

stimmten Index ab durchweg oberhalb der einen (unteren) Schranke, die aller konvergenten Reiben unterhalb der anderen (oberen) Schranke liegen müßten. Denn da es doch allemal unendlich viele monotone (aj) gibt, die beide Schranken unendlich oft überschreiten, und da andererseits die betreffenden Sav' entweder divergieren oder konvergieren müssen, so gibt ■es zum mindesten entweder divergente Reihen, für welche unendlich viele Glieder noch unterhalb der unteren Schranke liegen, oder konvergente Reihen, bei denen unendlich viele Glieder die obere Schranke übersteigen.

Dagegen läßt sich zeigen, daß eine solche Schranke für die Konvergenz allein existiert, daß dieselbe aber merklich höher liegt, als früher gewöhnlich angenommen wurde. Zunächst gilt nämlich der folgende Satz:

(III) Bei einer konvergenten Beihe mit monotonen (wenn auch nur niemals zunehmenden) Gliedern av hat man stets:

5)    d.h.: lim vav = 0.

v    )'-> OJ

Für Beihen mit monotonen positiven Gliedern av bildet also die Beziehung (5) eine notwendige Konvergenzbedingung.*)

Beweis. Infolge der vorausgesetzten Konvergenz der Reihe Sar läßt sich zu beliebig kleinem s > 0 ein m so fixieren, daß:

°V+i + % + 2 H-----+- %+q < Y

Setzt man hier q — g bzw. q = g + 1 und beachtet, daß allgemein

av + i ^ av> so foIgt:

fi • %    ^ % + l + a^+2 + *---1"

(f* + l)' a2/i + l ^ an + l + und daher:

für: g^m, q = 1, 2, 3, • • •.

-f • • • -j- «2

< y für: g m,

^g • a2 fi

(2g -f 1 )a2fi + i < (2g + 2) • a2u + 1

< e für: 2g ^ 2m,

also allgemein:

v • av < s für: v^2m,

d. h. in der Tat, wie behauptet:

lim v • av = 0. —

r-> oo

1) Dieselbe ist aber an sich noch keine hinreichende (Beispiel:

Y~r\ ~ 0 (*=1,2,3,.-.),

Lk{v)

lim v •

V-> 00

2 z»V) di"ergiert ~

s. § 48, S. 328, Gl. (14)). Über einen besonderen

fall, in welchem die Bedingung (5) sich als hinreichend für die Konvergenz erweist, s. § 85, Nr. 1, Fußn. 1.

während

Im übrigen hätte man diesen Satz, statt ihn in der vorstehenden sehr einfachen Weise direkt zu beweisen, auch unmittelbar aus einem früher gefundenen Ergebnisse allgemeinerer Art durch Spezialisierung herleiten können. In § 45, Nr. 4 wurde nämlich gezeigt, daß für jede beliebige konvergente Reihe Sar die Beziehung besteht¹) (S. 310, Gl. (16)):

ilfj Cf'l    ^2 *"f" * ’ * + &y

(6)

lim

i-y»

Mr

= 0,

wenn die My > 0 mit v niemals abnehmend ins Unendliche wachsen.

Unter den besonderen über die av gemachten Voraussetzungen steht es aber ohne weiteres frei, Mv = — zu setzen, wodurch dann die Be-ziehung (6) sofort die Form

lim v • av = 0

annimmt.

Zugleich ergibt sich aber im Anschlüsse hieran die Möglichkeit, das in Gl. (5) enthaltene Resultat in folgender Weise zu verallgemeinern.

Es bezeichne wieder    eine divergente Reihe mit positiven

Gliedern und es werde außer der Konvergenz der Reihe .S"ar vorausgesetzt, daß die Folge Dyay niemals zunehmend mit unbegrenzt wachsendem v gegen Null konvergiere. Da man infolgedessen Mv = yp— setzen

JJy

kann, so liefert die Beziehung (6) auf diese Weise die folgende Verallgemeinerung des Satzes (III):

(lila) Bedeutet ^ar eine konvergente,    eim diver

gente Beilie mit positiven Gliedern und konvergiert die Folge (Dvaj) monoton gegen Null, so ist:

(5 a)

V

Die spezielle Wahl Dv = 1 liefert offenbar wieder die Bedingung (5).. Setzt man ferner Dr = v und beachtet, daß (vgl. § 34, S. 208, Gl. (13)):

lim Dvsyav = 0, wo: sv =

l = !g

so ergibt sich, daß für eine konvergente Reihe J£ar) welche der Be-

1) Mit der offenbar ohne weiteres erlaubten Weglassung des Anfangs-

gliedes

My

dingung genügt, vav'^> (v -f-1) • av + i (woraus dann eo ipso folgt: ar > a,, ₊ j und daher nach Gl. (5) Wrnva,. = 0) die Beziehung besteht:

v-^-w

(5b)

lim v lg v ■ av = 0.

Da allgemein (s. § 51, Nr. 4, S. 348):

(ä = 0,

so findet man durch die analoge Schluß weise, daß: (5)    lim XA + 1(v) • av = 0, falls die Folge Lk(y) • av niemals zunimmt.¹)

4. Zeigen die letzten Bemerkungen, daß unter gewissen Voraussetzungen die Glieder av einer konvergenten Reihe auch Bedingungen von der Form (5b), (5c) genügen, so ist doch ohne das Hinzutreten solcher spezieller Voraussetzungen keine derselben eine für die Konvergenz von Sfl,. notwendige. Vielmehr besteht als Ergänzung zu dem Satze (III) der folgende Satz:

(IV) Bedeutet (Mv) eine mit v beliebig langsam ins Unendliche wachsende Zahlenfolge, so gibt es stets konvergente Reihen Sar mit positiven monotonen Gliedern, für welche:

(?)

lim v ■ Mv • av=* oo,

d. h. die Reihe enthält unendlich viele Glieder, welche infinitär größer sind, als die entsprechenden der (bei geeigneter Wahl der Mv

relativ stark²)) divergenten Reihe y

V My

Anders ausgesprochen: Wie langsam auch die Mv ins Unendliche wachsen mögen, so bildet die Beziehung:

lim vMvav < oo

keine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe .SV.-

1) Selbstverständlich hat man im Falle der Konvergenz von Sa»- auch

allemal:

lim Lk+1(v) • a„ = 0,

v ->co

falls dieser Grenzwert existiert, und in jedem anderen Falle:

lim Lk + 1(v) • av = 0.

-r->oo

Vgl. § 47, S. 319, Fußn. 1.

Beweis. Es bedeute (mv) eine mit v monoton ins Unendliche wachsende Zahlenfolge, welche der Bedingung genügt mv -< My (z. B. mv = yMv), ferner^cv eine konvergente Reihe mit monoton abnehmenden Gliedern und p₀, px, • • •,px, • • • eine unbegrenzte Folge wachsender natürlicher Zahlen (speziell p₀ 1) von der Beschaffenheit, daß:

’“r, ~ C"’

(was offenbar, wegen lim mv = oo, stets möglich ist). Setzt man. sodann:

•••

r-> oo

Po ■ mP₀ = Po

P0 + ¹

Po +²

2__<£l

Pi ' mP ⁼⁼ Pi

PI-1+¹

^Pi -1 + ²    ^Pi

¹ <

Pi ■ mpx ~ Pi

so wird:

bt + b₂ + ^3 H-----\~bpi

S~i=^Cl<C<, + Ci + --- + Ci,

ci H-----i

00

sodaß also ^Jbv konvergiert. Zugleich ergibt sich: 0

Mp

also:

to'Mnhn-ü£’

limprMn'bn = oc,

d. h. schließlich:

lim v • Mv • br = oo.

r-> oo

Will man statt der Reihe bv mit niemals zunehmenden, aber teilweise einander gleichen Gliedern eine im übrigen sich analog verhaltende mit durchweg abnehmenden Gliedern av hersteilen, so setze man:

av = kt bY,

wo (ky) eine beliebige Folge positiver, monoton abnehmender Zahlen

Nr. 5.

371

§ 53. Schranken der Divergenz und Konvergenz, mit nicht verschwindendem Grenzwert, etwa lim kv = k > 0 bedeutet kr = k.ev^ . Alsdann ist offenbar für jedes v:

außerdem 'Sav wiederum konvergent und:

lim v • Mv • av — k • lim v • Mv ■ bv = oo.

V-V 00

(z. B. Jcv ===== Je 4- —,

\    v    V ⁷

J' - ► 00

5. Die vorstehende Deduktion beweist zwar die Existenz von Reihen ^ar der fraglichen Art, sie liefert jedoch kein direktes Verfahren, um bestimmte Beispiele solcher av in arithmetischen Zeichen anzuschreiben. Um ein solches zu gewinnen, geben wir für den in Rede stehenden Satz: noch einen zweiten zwar etwas komplizierteren, aber in der bezeichneten Richtung vollkommneren Beweis.

Es bedeute f{cc) einen arithmetischen Ausdruck von folgenden Eigen

schaften :

(A) Es soll f(x) für jeden Zahlenwert x, der eine gewisse Zahl erreicht oder übersteigt, eine 'positive Zahl y vorstellen, die mit x monoton ins Unendliche wächst und zwar in der Weise, daß:

(8)

(B) Die Gleichung:

V = /'O),

welche nach (A) zu jedem Werte x > x₀ einen positiven, mit x monoton zunehmenden Wert y > y₀ (wo: y₀ = f(x₀)) liefert, soll auch umgekehrt zu jedem y > y₀ einen positiven, mit y monoton zunehmenden Wert x > % definieren¹), welcher durch das Symbol:

(9)

x = cp{y) (sodaß also: (10a) <p(f{x)) = x = f(cp(x))J

bezeichnet werden möge.

Aus (8) und (9) folgt sodann:

(10)

f(x + l)<y+l,

also mit Benützung von Gl. (10a):

g?(f(x+l)) < q>(y + l), d. h. x + 1 < cp(y + 1), und daher schließlich für y^y₀:

(ii)

⁽p(.y + ¹) — <p{y)> i-

1) Die Bedingung (B) läßt sich mit Hilfe von Begriffen, welche der Funktionenlehre angehören, kürzer in folgender Weise formulieren:

Es soll f{x) für x ^ x₀ eine eindeutige, stetige und monoton zunehmende, positive Funktion von x bedeuten.

Bedeutet jetzt * eine beliebig anzunehmende konvergente Reihe, deren Glieder der Bedingung genügen:

<12) •

C,-Cx_ ,>1,

so hat mau nach Ungl. (11) für hinlänglich große Werte von A auch:

13)    <pW-9(Ci-i)> 1,

r-> 00

sodaß zwischen (p(Cx_lL) und cp(Cx) stets mindestens eine ganze Zahl liegen muß. Nun nehme man wiederum noch eine Folge positiver, mit wachsendem v monoton abnehmender Zahlen kr so an, daß lim kv = k von Null verschieden, und setze:

(14)

«v =

für alle ganzzahligen Werte v, welche durch die Bedingung definiert sind:

<15)

Alsdann nehmen offenbar die av mit wachsendem v monoton ab. Außerdem läßt sich zeigen, daß: lim v- Mr • av = oo und die Reihe J£av konvergent ist.

Bezeichnet man nämlich mit px die größte ganze Zahl, die kleiner als <p(Cx) ist, d. h. diejenige ganze Zahl, welche durch die Bedingungen definiert wii'd:

(16)

so kann man zunächst die Ungleichungen (15) durch die folgenden ersetzen:

(17)

und man hat:

Pi.-i < v£Pi

,, x    ₇    f(P>) Px

Px-apd-^-Krcr.vwi)

> v

- ln'Oegen: f(cp(x)) = x),

(18)

also:

(19)

d. h.:

(20)

Ci-

(wegen:

<P(ci)    Pi^<P(Cx)—¹><P ^i -1))

lim pl • f(pi) ■ a > k,

i->00

lim v - f(v) • av^.k,

r-> c»

und daher mit Berücksichtigung von Ungl. (8): 21)    Jim v ■ Mv • av = oo.

Setzt man ferner:

oc

00

px

(22)

wo:

so wird:

pn + 1

fl + 1

px-1 + 1

px

a-2

px-i + 1

Px — Pi-t

h px~px-

°i

Vx

¹ (wegen: px<(p(Cx) nach(16))

Cx-i’

woraus die Konvergenz der fraglichen Reihe unmittelbar hervorgeht. Damit ist aber der ausgesprochene Satz vollständig bewiesen.

6. Will man jetzt Reihen ^av von der eben charakterisierten Beschaffenheit wirklich herstellen, so kann man etwa über Cx so verfügen, daß man setzt:

also:

Cx = X?, wo q > 1,

,(24)

ar =

für alle v, welche der Bedingung (15) genügen, d. h. für:

<25)

cp({X — 1)?) <£ v < qp(A?).

Mit Hilfe dieser Ungleichungen läßt sich sodann X auch explizite durch v ausdrücken. Wegen: f(g>(x)) = x folgt nämlich aus (25):

(X— iy <1 f(y) < X?,

und hieraus ergibt sich:

(26)

also:

(27)

Da aber offenbar:

(28)

[V/(v)] = Vf(v) > Ußd daher: \Vf(v)f ~ f(v),

so kann man, ohne den Charakter der Reihe    zu verändern, das

Glied (27) auch durch das folgende etwas einfachere ersetzen:

(29)

aY = -

f{y) ■ cp ([l+Y TÖÖf)

((>>!)•

Ist dann z.B. Mv = \gv vorgelegt, so wähle man etwa: f(x) = (lg#)⁰ —y (wo: <5> 1), also: x = ey° = <p(y), alsdann wird, wenn man noch = r setzt:

(30)

(wo: t> <> > 1).

Die Reihe Sav ist alsdann konvergent, obschon ihre monoton abnehmenden Glieder der Bedingung genügen:

(31)

lim v • lg v • av = oo.

1-> 00

Sie reagiert also auf keins der logarithmischen Konvergenzkriterien.

7. Nach dem Satze (III), S. 367, bildet jede Zahlenfolge von der Form ^ ^, wo e eine beliebig klein anzunehmende positive Zahl bedeutet,

eine Schranke für die Konvergenz in dem Sinne, daß die Glieder der monotonen Zahlenfolge (af) von einer bestimmten Stelle ab jene Schranke nicht mehr erreichen dürfen, wenn Sa,. konvergieren soll. Ersetzt man dagegen e durch ev, wo (ev) eine positive mit wachsendem v beliebig langsam gegen Null abnehmende Zahlenfolge bedeutet, so gibt es nach Satz (IV), S. 369, unendlich viele konvergente Reihen Sar. deren (monotone) Glieder die Schranke (Sj unendlich oft übersteigen.

Aus der bewiesenen Existenz der Konvergenzschranke folgt aber,

wie schon aus der Bemerkung am Anfänge von Nr. 3 hervorgeht, ohne weiteres die Nicht-Existenz einer Divergenzschranke. Denn bezeichnet (bf) irgendeine positive monotone Zahlenfolge, so gibt es nach Nr. 1 stets unendlich viele monotone Zahlenfolgen (a„), welche die beiden Schranken

(Sj und (bf), wo bv < * , unendlich oft durchsetzen, so daß Sa,. sicher divergieren muß. Da man hierbei für (bv) die Glieder einer beliebig stark konvergierenden Reihe ^ wählen und diese wiederum noch durch eine wesentlich stärker konvergierende ersetzen kann, so gilt also der Satz:

Wie stark auch die Reihe    konvergieren möge, so

gilt es stets divergente Reihen 'Sa,., unter deren (monotonen) Gliedern unbegrenzt viele infinitär kleiner sind als die entsprechenden der Reihe    d. h. man hat:

(32)

lim C,. • av = 0.

8. Wir können aber auch geradezu ein einfaches Verfahren angeben, um bei beliebig vorgeschriebenen Cv solche divergente Reihen Nav wirklich herzustellen.

Man wähle einen arithmetischen Ausdruck y(x), der für alle reellen Zahlen x > x₀ positiv ausfällt und mit x monoton und so ins Unendliche wächst, daß:

(33)    (p{y) >- Cr, also nach Satz (III), S. 367, a fortiori: cp(x) >» x. Ferner führe man die Bezeichnungen ein:

(34)    <px(x) = <p{x), (p₂(x) = (p((pl(x)), (pä(x) = <p(<p%(x)), •••,

9>a(*) = 9>(9>z-i(«))» *•••

Bedeutet dann b eine beliebige positive Zahl > 1, so läßt sich zunächst infolge der Beziehung (33) eine positive Zahl a so fixieren, daß:

(35)

> b • x für: xi^a.

4

Alsdann wird aber — immer für x > a:

(p₂(x) = cp₁ (cP!0X)) >b-(p₁ (x) <Ps0) = <Pi(<Pi(x))    >b- cp₂(x)

(36)

Die Glieder qp^#), <jp₂(aO> ' * "> <Px(,x)f • • • bilden also eine unbegrenzte, monoton ins Unendliche wachsende, positive Zahlenfolge. Und zwar hat man für xii>a und X = 2, 3, 4, • • • nach Ungl. (36) und (35):

(37)

9>a(») ~ 9>a-iC*0 >(&“!)• 9>a-i(*) > (&-1) • & • a?

und daher bei passender Wahl von J und a (z. B. für b 2, a jedenfalls:

(38)

9>a(«) —    > ¹ (A = 2, 3, 4, • • •),

sodaß zwischen cp?_t(a) und (px{a) stets mindestens eine ganze Zahl liegt.

v-> 00

Nimmt man jetzt wiederum noch eine Folge positiver, monoton ab nehmender Zahlen Jcv mit dem von Null verschiedenen Grenzwerte lim Jcv = lc an, so soll gesetzt werden:

(39)

«v =

qPi(o)

für alle ganzzahligen v, welche durch die Bedingung definiert sind:

(40)

<Px-M — 1 £ v < <pk(a) — 1 (X = 2, 3, 4, • • •).

Alsdann nehmen offenbar die av mit wachsendem v monoton ab, und es

25*

Infolgedessen wird:

kn

läßt sich andererseits zeigen, daß lim Cv ■ av = 0 und die Reihe Sa,, divergent ist.

Bezeichnet man nämlich (analog wie in Nr. 5, Gl. (16)) mit px die größte ganze Zahl, die Meiner als (px(a) ist, sodaß also:

<Px0) ~ 1 £Px < 9h0)> so läßt sich zunächst die Bedingung (40) durch die folgende ersetzen:

Px-i<v<Px-

(41)

(42)

r->oo

(43)

kpx

<p (<?*(«))    9 (Px)

(wegen: px < cpx(a)),

also:

(44)

d. h.:

(45)

lim cp(v) ■ av<^Jc,

v-> oo

und schließlich mit Berücksichtigung von Ungl. (33):

lim Cv • av = 0.

(46)

Ferner hat man:

00

oo

(47)

wenn: Ax = ^ av gesetzt wird.

Da sodann:

(48)

v-¹ ,

px-l

>k-

Px-Px-1

qp*(«)

Px-Px-1 Px_ Px ' vx&y

- das allgemeine Glied einer divergenten Reihe bildet

S. 327)

so ergibt sich sofort die Divergenz der fraglichen Reihe, da (nach Gl. (11b), Px~Px-

Px

und lim —-

qp;.(a)

= 1 ist (s. Ungl. (41)).

Beispiel. Es sei: Cv = v?, wo q > 1. Man kann also setzen:

Alsdann wird:

(p{x) = x%

WO 6 > p.

<p₂(x) = (xa)a = x°\ • • •, <px(x) = xa\

Nimmt man der Einfachheit halber die oben mit a bezeichnete Zahl auch = <5 (was z. B. sicher gestattet ist, wenn <?I>2, da alsdann:

<pM - ft-,W - ^ -V'¹2!i - 2*-' > 1),

so wird nach (39), (40):

(49)

falls: <3°X 1 — 1 v <    — 1.

Um auch hier wiederum A explizite durch v auszudrücken, hat man:

6Z~¹ log (y + 1) < <Sl A — 1 <| log₂ (y + 1) < A,

A — 1 = [loga (y + 1)]

d. h.:

(50)

und daher:

(51)

{e>Q> 1).

Die Reihe 'Sav divergiert, obschon ihre monoton abnehmenden Glieder der Bedingung genügen:

(52)

lim v? • av = 0.

Sie reagiert also auf Jeeins der logarithmischen Divergenzkriterien.

§ 54. Die Kriterien zweiter Art.

1. Als allgemeine Form für die Kriterien zweiter Art ergab sich (s. § 47, S. 321, Formel (12)):

lim

(1)

oo

<A-

nv + p

ay + P +1

lim

av + p

V-Xx

av + p + l

^<0: Divergenz, — CV + 1J > 0: Konvergenz,

-D

und man hätte jetzt nur noch für Dv bzw. Cv irgendeinen der oben aufgestellten typischen Ausdrücke einzusetzen, um die fertigen Kriterien herzustellen. Dabei ergibt sich nun aber für das Konvergenzkriteviuva die Möglichkeit einer sehr merkwürdigen und zugleich zweckmäßigen Umformung, durch welche die linke Seite des Konvergenzkritermms identisch mit derjenigen des Divergenzkxiterixxms wird: an die Stelle des Kriterienpaares (1) tritt dann also ein einziges disjunktives Kriterium.

Für die Konvergenz von ^av erwies sich als hinreichend (§ 47, S. 321, Formel (11)), wenn von einer bestimmten Stelle ab, etwa für v^n, die Beziehung besteht:

(2)

G.. -r+p- - c

’X + p + l

Substituiert man hier nach § 49, S. 341, Gl. (6):

M„ ■ Mv Mv-Mv

/    Mr    \

=    + K+x-x)’

so ergibt sich nach Weglassung des gemeinsamen Faktors Mv und Multiplikation mit einer willkürlich anzunehmenden positiven Zahl q :

av+p

Q ' M — M ’ a    p ‘ M

luv    4- p +1    m

Cv =

(3)

also: C

-l

-Mv

V+l

-K

Nun stellt aber ein Ausdruck von der Form:

l Mv — Mv_₁

— stets das

allgemeine Glied einer divergenten Reihe dar, und umgekehrt läßt sich das allgemeine Glied D~l jeder divergenten Reihe nach § 48, S. 329, Gl. (16) in die Form setzen:

D-¹ = -

*    Q

l Mr - M

v-l

Mv

-l

Da im übrigen die Zahl q hierbei gar keiner anderen Beschränkung unterworfen ist, als der, positiv, also > 0 zu sein, so läßt sich die Konvergenzbedingung (3) jetzt ohne weiteres durch die folgende ersetzen:

(4)

Vp

ar + P + 1

und diese letztere Bedingung wird wiederum von einer bestimmten Stelle v ^ n ab mit Sicherheit erfüllt sein, wenn:

(5)

lim

(B,.-

°r±P

ay + P+ l

— I)

>+i

>0.

Damit ist aber die oben angekündigte Umformung des Konvergenz-kriteriums in der Tat vollzogen.

2. Durch Kombination der Konvergenzbedingung (5) mit den in (1) enthaltenen ergibt sich, wenn man wiederum beachtet, daß jede beliebige positive Zahlenfolge (Bf) entweder der Klasse der Zahlenfolgen (Df) oder derjenigen der (Cf) angehören muß, das folgende Konvergenzkriterium zweiter Art von besonderer Allgemeinheit:

lim (By ■ ———--l?l+1) > 0: Konvergenz.l)

(J)

r -><x '    av + p + 1

Dasselbe rührt in der Hauptsache von Kummer her und bildet das Analogon zu den in § 50 abgeleiteten allgemeinsten Kriterien erster Art (G) und (H) (S. 344).

Es kam hier vor allem darauf an, den Zusammenhang dieses wegen der großen Willkürlichkeit der Zahlen Bv doch äußerst merkwürdigen Kriteriums mit der früher gefundenen Grundform der Konvergenzkriterien (Ungl. (1)) vollständig aufzuklären, d. h. den wahren Grund dafür anzugeben, warum man die im Konvergenzkritermm. (1) naturgemäß auftretenden Zahlen Cr schließlich durch ganz beliebige positive Zahlen Bv ersetzen darf. Will man auf die Feststellung dieses Zusammenhanges verzichten, so läßt sich die Richtigkeit des Kriteriums (J) a posteriori einfacher auf folgende Art beweisen.

Angenommen, es bestehe die Ungleichung (J), so muß schon für alle Werte v von einem bestimmten Werte v = m ab eine Beziehung von der Form stattfinden:

¹

Für Reihen mit schließlich gegen Null konvergierenden, aber nicht monoton abnehmenden Gliedern kann von irgendwelchen Divergenz- oder Konvergenz-,,Schranken“ überhaupt nicht die Rede sein. Denn ist    irgendwie vorgelegt,

so kann man nach dem Satze von Nr. 1 des vorigen Paragraphen (S. 353) durch bloße

²

Nämlich beliebig wenig schwächer als --

Br'

av+ p + 1

und es wird somit:

' a\ +p ,-^r + l

(6)

• «r+p + i ^ Q • a,+P+i für: v^m.

Da hiernach die links stehende Differenz stets positiv ausfällt, so nehmen die positiven Zahlen Bv • ar+p mit wachsenden Werten von v monoton ab, und man kann daher setzen:

lim Bv • ar +

r-> oo

wo a eine bestimmte Zahl i> 0 bedeutet.²) Substituiert man jetzt in

<7)

1) Man kann diesem Kriterium (analog wie jedem Konvergenz- oder Divergenzkriterium zweiter Art — vgl. § 47, S. 321, Fußnote 1) auch die Form geben:

lim (Bv — Bv + 1 • --+p+-¹\ > 0 • Konvergenz.

\    p /

Die Richtigkeit dieser Behauptung wird am einfachsten erkannt, wenn man aus der obigen Ungleichung diejenigen Beziehungen ableitet, welche den im Text mit (6)—(9) bezeichneten entsprechen.

2) Man bemerke, daß Gl. (7) keineswegs die Existenz eines bestimmten positiven

bei v -> oo erheischt. Es genügt schon,

Grenzwertes von ^By

av

+p

*,₊i)

av+p+1

wenn dieser Ausdruck stets über einer positiven Zahl bleibt, d. h. wenn sein unterer Limes positiv ausfällt.

Ungl. (6) der Reihe nach v = m, m + 1, • • •, (n—1), so folgt durch Addition der betreffenden Ungleichungen:

(8)

' an+p)

oo :

und hieraus für n

(9)

lim

n-> oo

n +p

— a),

»l+p + 1

sodaß also in der Tat als konvergent erkannt wird. —

An die aus Ungl. (J) allemal resultierende Existenz der Gleichung (7) knüpfen wir noch die folgende Bemerkung. Nimmt man für Bv eine Zahl vom Charakter Dy, so muß offenbar allemal a = 0 sein; denn die Beziehung: lim jDr-ar + p = a > 0 kann ja nur bestehen, wenn 'Sar diver-

v->oo

giert. Somit ergibt sich:

(10)

Genügen die Zahlen aY der Konvergenzbedingung:

°v + p av+p+l

lim (Dy ■

r -> cc '

i+i

)>0,

so hat man stets:

<H)

lim Dr-ar+p-0A)

v~> oo

Dagegen kann a von Null verschieden ausfallen, wenn für Dy eine Zahl vom Charakter Gv gewählt wird. (Beispiel: ar+p = Cr = v • (v-f- 1)..

-»(v + l)~^-(H-lHv+2)-^,’ = 1, und andererseits: lim Cv • ay + =1).

Alsdann wird: C -

also: limCv-

>■ -> oo

—---C

V “r+p+l

Uv + p    p

a?+p+i

V+l

r->00

3. Verbindet man jetzt ferner das Konvergenzkr\ter\\xva (5) mit dem Divergenzbriterium (1), so ergibt sich das folgende disjunktive Kriterium zweiter Art:

< 0: Divergenz,

> 0: Konvergenz.

Die Auswahl der positiven Zahlen Dr unterliegt dabei lediglich der Beschränkung, daß^T),⁻¹ divergieren muß. Auch ist wiederum ohne

(Ki)

lim (Dy •

V-> SD '

"»• +

av + p + l

----D

i+i

1) Dieses Resultat bildet das Analogon und die Ergänzung zu dem in § 47v Nr. 3 (S. 322, Gl. (12 a)—(15)) abgeleiteten.

weiteres einleuchtend, daß man, von einem irgendwie fixierten Dv ausgehend, ein wirksameres I) i v er ge w^kriterium erhält, wenn man für T)y das reziprok genommene Glied Dv' einer passend gewählten, schivächcr divergierenden Reihe substituiert (nämlich einer solchen, hei der nicht allein Z)/sondern auch, zum mindesten für jedes endliche v^>n: - jy¹

^⁺¹j. Sodann läßt sich aber zeigen, daß durch

eine derartige Substitution, auch das betreffende Konvergenzkritexinm eine Verschärfung erfährt.

Geht man nämlich auf die Konvergenzkxitevien in ihrer ursprünglichen Form (1) zurück, so ist zunächst evident, daß dieselben um so wirksamer ausfallen, je schwächer die benützte Vergleichsreihe konvergiert. Drückt man hierauf, wie in Nr. 1 gelehrt wurde, die (7, durch die zugehörigen Mv bzw. Dr aus, so entsprechen nach § 49, Nr. 2 (S. 332) den schwächer konvergierenden Reihen SC~¹ auch langsamer zunehmende Zahlen My. Da aber diese letzteren auch wiederum solche Dv erzeugen, welche schwächer divergierenden Reihen angehören — vice versa — so folgt schließlich, daß die Einführung solcher Dv in die linke Seite der Formel (Kx) auch eine Verbesserung des betreffenden Konvergenzkriteriums bewirken muß.

Um zunächst ein Anfangskriterium zu gewinnen, setzen wir in (Kj):

(12)

Mv-Mv_ i

und unterwerfen dabei die Mv der Beschränkung:

(13)

Mv ~ Mr_x

(die wiederum nur ein Ausschließen relativ unwirksamer Kriterien bedeutet).¹) Führt man sodann im Anschlüsse an § 48, S. 328, Gl. (13) statt Dv der Reihe nach Ausdrücke von folgender Form ein:

4«

M—M

(14)

A/) =

= 4W-4, (*-o,i,2,...),

Abschnitt II. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern, und setzt zur Abkürzung:

(15)

kW = Lk{Mv)'Br-

Uv + p üv+p + 1

-Lk(My+1)-D

so ergibt sich die Kriterienslcala:

< 0: Divergenz, > 0: Konvergenz

(K₂)

lim XfQ

»•-> oo

zur Fortsetzung bzw. Verschärfung des Anfangskriteriums (Kj).

4. Die Kriterien (K₂) gestatten noch eine gewisse Umformung, welche die beim Übergänge von (KJ zum ersten Kriterium (K₂) oder von irgendeinem Kriterium dieser Skala zum nächstfolgenden zu erzielende Art der Verschärfung deutlicher erkennen läßt.

Bezeichnet man den zur Bildung des Kriteriums (Kj) dienenden Ausdruck mit lv, sodaß also:

(16)

ar + 1o

ar + p + 1

-D

und vergleicht damit den aus Gl. (15) für k = 0 resultierenden, nämlich:

V⁰' -KD,    - M„₊₁ - I)

Wv + p + l

80 folgt, wenn man Gl. (16) mit Mv multipliziert und von (17) subtrahiert:

also:

(17)

(18)

—Mf)- A + 1--1 (wegen: 1)

Ü#, = -l VMl.

v+l

-=w\

V'

Darnach wird aber:

lim V°) = - 1 + lim Ml, hm Xf°) = - 1+ lim Ml,

»'->00

v -> 00

r->oo

r-> oo

oder in eine einzige Beziehung vereinigt:

(19)

lim Av⁽⁰⁾ = — 1 + lim Mt ly,

v ->oo

r-> oo

wobei das Symbol lim so zu verstehen ist, daß auf beiden Seiten der

v-Voo

Gleichung entweder lim oder lim zu nehmen ist.

V-> 30

V-> <x

substituiert:

A-i

lim ~M

V -> OC JM-y

= lim

»'-> OO

A-t’

falls der rechts stehende Grenzwert existiert.

V— 1 ’

eine Bedingung, die bei den üblichen Kriterienskalen (s. Nr. 6) allemal erfüllt ist.. Denn man hat:

K-x-K

My-Mv_x

und daher, wenn man in dem Grenzwertsatze § 37,'S. 230, Gl. (13) ay = My_t

-2

-i

Zur Ableitung des analogen Resultates für ⁺ (Je = 0, 1, 2, • • •) hat man nach (15):

qi'+p av+p + 1 av + V av+p +1

und daher, wenn mau die erste dieser Gleichungen mit lg^₊₁ Mv multipliziert und von der zweiten subtrahiert, zunächst:

Km _    4 {u,) ■ D, ■

- 4(Jfr+1) • n

*- + 1

(20)

0o* + l ^ + 1 lg* + l    ‘ 4ÄJ * D

Da aber infolge der Bedingung Mt,^ Mv + 1 (Gl. (13)):

Lk    + x)    Lk (My + x) • D,

lo*+i K+i

~ !g* + l Mr =

»+1

(§ 38, Gl. (34)), so folgt aus (20), daß:

lim Xjk+1) = — 1 + lim lgi+1 Mv •    .

(21)

v-y oo

Mit Benützung der Relationen (19), (21) lassen sich also die Kriterien -der Skala (K₃) auch auf die folgende Form bringen:

<    1: Divergenz,

>    1: Konvergenz,

<    1: Divergenz,

>    1: Konvergenz

wobei also die lr, durch Gl. (16), (15) definiert sind.

5. Uber die Stellung des Kriteriums (Kt) zu dem ersten Kriterium -der Skala (K₂) oder (L), sowie über diejenige irgendeines Kriteriums der Skala (K₂) oder (L) zum nächstfolgenden läßt sich auf Grund der Beziehungen (19) und (21) jetzt folgendes aussagen:

Liefert das Fundamentalkriterium (Kx) eine Entscheidung, d. h. ist lim lv von Nidl verschieden oder sind lim lv und lim lv beide von Null ver-

r-> oc

schieden und mit gleichem Vorzeichen versehen, so wird nach Gl. (19) lim unendlich groß mit dem Vorzeichen von lim lv, gibt somit dieselbe

r -> Gc

Entscheidung gleichsam in vergrößertem Maßstabe.

Wenn dagegen das Kriterium (Kx) versagt, so ergeben sich folgende Möglichkeiten:

<L)

(1)

lim Mv • lv

r-> cc

(2) lim lg,.

V-> CO

V-> 00

1) Es sind lim lv und lim lv beide von Null verschieden und mit ver-

v-> oo

r-> co

Gl. (19), daß:

schiedenen Vorzeichen versehen. Alsdann folgt aus lim Ar⁽⁰⁾ = — oc, lim A,,⁽⁰) = + ⁰⁰ > d. h. es versagt auch das auf be-

»■->oo

zügliche Kriterium in analoger Weise (nämlich wiederum noch in vergrößertem Maßstabe).

2) Es ist: lim lv = 0, bzw. einer der beiden Hauptlimites lim lv = 0,

r-> ao

Alsdann kann olfenbar, wie Gl. (19) lehrt, lim Av⁽⁰) sehr wohl unzwei-

r-Voo

deutig <0 bzw. >0 ausfallen und somit eine Entscheidung liefern: das betreffende Kriterium stellt also eine wirkliche Verbesserung von (Kj) dar. Ein Versagen des auf A,,⁽⁰⁾ bezüglichen Kriteriums kann dann wiederum nur in folgenden zwei Fällen stattfinden:

a) Es ist: limMvlv<. 1 <limMvlv) also: lim A,W<0, lim Av⁽⁰⁾> 0,

v-> oo

V -> 00

V -> 00

» -> 00

V -> 03

r-y oo

d. h. das Kriterium lim Ay⁽⁰⁾ versagt genau in derselben Weise,.

»'->00

wie das Kriterium lim ly im Falle 1).

v -> 00

b) Es ist: lim Mvlv == 1, bzw. einer der beiden Hauptlimites

V -> 00

lim Mvlv = 1. Alsdann wird: lim == 0, bzw. einer der beiden

»’->oo

Hauptlimites lim = 0, d. h. das Kriterium lim Av⁽⁰⁾ versagt

V -> 00

genau in derselben Weise, wie das Kriterium lim lr im Falle 2).

r -> oo

»'->00

»■->00

Nun lehrt Gl.(21), daß beim Übergange von dem auf Av⁽*) (Jc= 0,1,2,---) bezüglichen Kriterium zu dem nächstfolgenden (d. h. auf    bezüg

lichen) genau dieselben Eventualitäten eintreten, wie beim Übergange von lr zu Ay⁽⁰l Daraus ergibt sich also insbesondere, daß im Falle (2a) das nächstfolgende Kriterium lim A,,⁽¹⁾ sicher versagt; daß dagegen im Falle (2b)

» ’ -> X

dieses Kriterium eine Entscheidung liefert, sofern nicht für lim Av⁽¹⁾ die-

V—>• oo

jenigen Eventualitäten eintreten, die den Fällen (2a), (2b) entsprechen. So fortschließend gelangt man also zu den folgenden Ergebnissen:

I. Wenn das Kriterium (KJ oder irgendein Kriterium der Skala (Ks) eine Entscheidung liefert, so gilt das gleiche von jedem folgenden Kriterium.

II. Versagt das Kriterium (KJ oder irgendein Kriterium von (K₂) in der Weise, daß die betreffenden Hauptlimites verschiedene Vorzeichen besitzen; bzw. versagt irgendein Kriterium von (L) so, daß der untere

Limes < 1, der obere > 1 ausfällt: so versagt auch jedes folgende Kriterium.

III. Versagt das Kriterium (Kj) oder irgendein Kriterium von in der Weise, daß die Null als Limes oder als einer der Hauptlimites auf-tritt; bzw. versagt irgendein Kriterium von (L) in der Weise, daß der betreffende Limes oder einer der Hauptlimites — 1 wird: so liefert das folgende Kriterium eine Entscheidung, sofern nicht auch für dieses wiederum einer der Fälle II, III eintritt.

6. Die spezielle Wahl: Mv = v, also: Dv = 1, gibt wieder die zumeist gebräuchlichen Kriterien zweiter Art. Aus (Kt), (K₂) resultiert auf diese Weise:

(K₂)

\ | <0: Divergenz,

' l > 0: Konvergenz.

< 0: Divergenz,

> 0: Konvergenz.

Entsprechend ergibt sich aus der mit (Kj) gleichwertigen Kriterienskala (L) — wenn man der Vollständigkeit halber wiederum noch das Kriterium (K/) in entsprechender Umformung an die Spitze stellt:

<K/) lim (40)

(1)

lim

V -> 00

«v+P _ av + p + 1

av + P _ av + p + 1

40+i)){

lim

V~>Cß

a„+p f < 1: Divergenz, av+P+\ ( > 1: Konvergenz.

lim v •

tr¹

r->oo

■)(

(2) Um lgi+iv(40)

V -> 00    '

. * _ av + p + 1

40 + 1)) {

<    1: Divergenz,

>    1: Konvergenz.

<    1: Divergenz,

>    1: Konvergenz.

Das Kriterium (K/) bzw. (K/) ist das Cauchysche Fundamental-Jcriteriuni zweiter Art.*)

Das erste Kriterium der Skala (K₂') bzw. das Kriterium (L'f 1) wird gewöhnlich als das Raa besehe bezeichnet, während die übrige Skala (K₂') — abgesehen von einem unwesentlichen Unterschiede in der Formulierung — von Bertrand herrührt.

1) Man findet es gewöhnlich in der Form:

lim

r->o°    ö,,

av + i I > 1 : Divergenz,

< 1 : Konvergenz,

und unter der unnötig einschränkenden Voraussetzung, daß der fragliche Limes überhaupt existiert.

Aus der oben angestellten Untersuchung über den Wert der allgemeinen Kriterienskala (Kt), (K₂) bzw. (L) ergibt sich für die praktische Anwendung der vorstehenden Kriterien die folgende Regel.

ar+p

av

x)

Sind der obere und untere Limes von ^ von Null verschieden und mit entgegengesetztem Vorzeichen behaftet, liegt

+i> +1

d. h. von

also der Quotient

«V

wie groß auch v angenommen werde, um mehr

a, + i

als eine gewisse positive Zahl teils oberhalb, teils unterhalb der Einheitr so versagt nicht bloß das Cauchysche Fundamentalkriterium, sondern alle Kriterien der Skala (K₂r) bzw. (I/). Die Anwendung der letzteren

ar

oder einer der Haupt-

kommt also überhaupt nur in Frage, wenn lim limites lim

v ->a> av + l

Zur Prüfung der Reihe ^av dient dann zunächst das Raabesche Kriterium (I/, 1). Versagt dasselbe in der Weise, daß der betreffende untere Limes < 1, der obere > 1 ausfällt, so versagen auch alle folgenden Kriterien. Erscheint dagegen als Limes bzw. als einer der Hauptlimites der Wert 1, so hat man das erste Kriterium von (I/, 2) zu Rate zu ziehen, also:

ar

r->cc

av + l

den Wert 1 hat.

(L'A)

lim lg v ■ \ V'

av + p

av + p + 1

(„+t)W<1: nhergmi,

M > 1: Konvergenz.

Es ist klar, in welcher Weise diese Betrachtungen fortzusetzen sind,, falls auch dieses letztere Kriterium versagen sollte. Wesentlich ist hierbei die Erkenntnis, daß die weitere Fortsetzung des Verfahrens resultatlos bleiben muß und daher aufzugeben ist, wenn für irgendeinen der zu prü-

av + P + 1

fenden Ausdrücke: lg*

< 1, der obere > 1 ausfällt.

v(Lt w-

40+¹))

der untere Limes

§ 55. Anwendung der Kriterien zweiter Art zur Ableitung der Gaußschen Kriterien und deren Verallgemeinerung.

1. Die Beziehungen (K/'), (I/, 1), (I/, 2) erweisen sich für die Konvergenzuntersuchung vieler in der Funktionenlehre häufig vorkommender Reihen als völlig ausreichend und können u. a. mit Vorteil dazu benützt werden, um diejenigen, für gewisse Anwendungen sehr bequemen Kriterien zu gewinnen, welche Gauß gelegentlich seiner Untersuchung über

die hypergeometrische Reihe auf umständlicherem Wege abgeleitet hat.

°Wi

Dieselben beziehen sich auf solche Reihen, bei denen der Quotient sich in die Form setzen läßt:

(1)

ar

A-vm + A₁ vm~² + A₂ vm

-2

_______~t-----V A,n

>"+ Bx + B₂ vm~³ + ■■■ + Bj

ar + l

wo m eine ganze positive, A eine beliebige positive Zahl bedeutet, während ^1) ^2>

schließlich der Null vorstellen.*)

Schreibt man Gl. (1) zunächst folgendermaßen:

Bx, Bi} • • • beliebige positive oder negative Zahlen ein-

(2)

wo also:

av+l

Av* + Axv + Pv = A + AlV-x + Pvy-* ³) v*~+Bxv+Qy ~ l+Bxv-²+Qrv~

Pv = As -f- A₃ v~² + • • • -f- Am    und daher: lim Pv = A2t

(3)

r-> oc.

Qv = B₂ 4- Bs v~² H-----Bmv-(m~V „

so folgt zunächst:

lim Qr = B2t

V~> GO

(4)

lim

r-> oo

«,.+i

= A> 0,

av

und hieraus erkennt man, daß der Quotient

schon von einer be~

av + l

stimmten Stelle ab positiv ausfallen muß, die av also gleiches Vorzeichen besitzen. Wir können daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit ar>0 annehmen etwa für vi>n. Nach Gl. (4) hat man sodann:

(5)

A<1,

| Divergenz, wenn: l Konvergenz, wenn: A> 1.

(6)

Ist nun gerade:

Ä=l,

so wird:

(?)

v(

«r

Clr+1

)=v-

(Ax -BJv-t- (P„ — Q}) v-+Bxv+Qv

(Al- bx) -f- {Pv — Qv) • v~²

1 + A V~X+Q.vV

-2

und daher:

<8)

lim v

av

av+\

sodaß sich mit Benützung des Kriteriums (L', 1), S. 385, ergibt: Divergenz, falls:

Konvergenz, falls: A—l, Al — Bx > 1.

r->t»

<9)

A-l,    1,

Ist nun wiederum:

<10)

so wird:

«v

av + l

— 0 +1) =

Al-B₁- 1,

(Pv - fl, - Px) • *"¹ - fl, -v- 2 \ + B₁ v~l + Qy. v-²

und daher:

(12) limlgv-/v>

oo    '

av

(v-f-1)) = lim

'    J'->00 V

lg» {Pr-Q-Vd-QyV

1 + B.v-X + Q,v-

— 0,

«v+l

sodaß mit Benützung des Divergenzkriteriums (L', 2) die Reihe ^ar als divergent erkannt wird.

Betrachtet man z. B. die sogenannte hypergeometrische Reihe:

«•(tt+lHS-flS + l) • 7 • (y + i)

• x² -i----,

für welche also:

(13)

ay =

und daher:

<x • (<* + 1) ■ ■ ■ (a + v — 1) ■ ß-(ß + 1) • • • (p + v — *) • 7 • (y + i) • • • (y + » — i)

• xv

(14)

a,.

(» +1) • (y 4-») > _i

(«+») • (0+v) X

{»* + (i + r)* + r}

v* -j- (a -f- ß)v -j- ccß

ßr + i

(wo x eine positive, a, ß, y beliebige reelle Zahlen mit Ausnahme der ganzen negativen bedeuten sollen¹)), so folgt zunächst aus Reihe divergiert für x > 1, konvergiert für x < 1.

Ist sodann x = 1, so hat man hier: A₁ = 1 + y, Bt = a + ß, und somit ist die Reihe divergent, falls y<Lcc-{-ß, konvergent, falls y > a + ß. —

(5), daß die

1) Wäre nämlich a = — v oder ß —— v (wo v eine natürliche Zahl), so würde o,, + ? = 0 (für g = 1, 2, 3, • • •); und wäre y = — v, so würde im Nenner von + ? (q = 1, 2, 3, • ••) die Kuli als Faktor auftreten, die Reihe also sinnlos werden. Sind im übrigen die Zahlen a, ß, y sämtlich oder zum Teil negativ, so werden unter den Anfangsgliedern der Reihe auch negative Vorkommen. Da indessen die Faktoren cc -J- r, ß -j- v, y -j- v von einer gewissen Stelle v = n ab sämtlich positiv werden müssen, so haben alle av für v^n dasselbe Vorzeichen, sodaß sich die Reihe im wesentlichen wie eine solche mit lauter positiven Gliedern verhält (vgl. § 57, Nr. 1, S. 401).

2. Die oben für den Fall der Beziehung (1) gewonnenen Kriterien lassen sich noch in gewisser Weise verallgemeinern. Zunächst folgt aus (2)

für A=l, daß sich der Quotient mit Hilfe einer identischen Um-

av+ 1

formung auch in die Form setzen läßt:

(P„ -Qv~ At Bx + B •) - (A, - B,)QV • ₉* + Btv+Q,

(15)    = 1 -f-

V ' «v+l    V

oder anders geschrieben:

A-Xy

(16)

wo:

(17)

k = Al — Bx

Pr-Qv-Al B, + B? - (A, — Bx) Qv- v~⁴

1 + Blv-'+Qvv~*

also mit Benützung von Gl. (3):

(18)

lim RV = AS-B₂-A₁B₁+Bl*.

r-> co

Man erkennt nun ohne weiteres, daß die oben gefundenen Divergenz-und Konvergenzbedingungen ganz und gar nicht von der besonderen Form des Rv abhängen, sondern lediglich darauf beruhen, daß Rv mit v nicht ins Unendliche wächst.

«V ■

av + l

sich in der Weise in die Form (16) setzen läßt, daß k eine beliebige von v unabhängige, Bv eine von v eventuell abhängige Zahl bedeutet und lim Rv < oo, so hat man zunächst:

r->oc

Betrachten wir also jetzt Reihen ^av, für welche der Quotient

¹

Hierzu ist hinreichend (aber nicht notwendig), daß:

²

Es ist keine wesentliche Beschränkung der Allgemeinheit, daß wir der Potenz vm im Nenner den Koeffizienten 1 beigelegt haben. Wäre derselbe nämlich von 1 verschieden, jedoch positiv, etwa —B, so kann man ihn durch Multiplikation

des Zählers und Nenners mit ~ allemal auf 1 reduzieren.

³

<    2) Man bemerke, daß diese Umformung ihren Sinn behält und die daran ge

knüpften Schlüsse gültig bleiben, wenn speziell: Ax — Bx = 0 sein sollte.

⁴

Es würde also für das fragliche Resultat auch schon ausreichen, wenn nur:

<19)

l)-*,

sodaß die Reihe nach (9) divergiert, falls k < 1, konvergiert, falls k > 1. Ist sodann k—1, so wird:

av

aj' + i

⁷    V->CC

woraus dann wieder nach (12) die Divergenz von ^av resultiert.

Dem zuletzt betrachteten Reihentypus gehören u. a. alle diejenigen

Reihen an, bei denen sich zum mindesten für vi>n durch eine kon-

av + i    *

(20)

lim lg v (v

co    '

(22)

Da, wie leicht zu sehen¹), die Reihe (21) zum mindesten für v^>n-\-l auch konvergent bleibt, wenn man die bv durch ihre absoluten Beträge ersetzt, so hat man, wenn etwa:

_)----= 5

\h io. IM , IM

' ³ I f w _|_ i T (W _}_ i)*

gesetzt wird, für v > n -f 1:

d. h.:

lim Bv = b₂.

Die Reihe "Sa divergiert also, falls bt^l, sie konvergiert, falls b. > 1.

§ 56. I ber die Tragweite der Kriterien zweiter Art und ihre Beziehungen zu den Kriterien erster Art.

1. Wie bereits in § 47, Nr. 3 (S. 321) und Nr. 4 (S. 323) hervorgehoben wurde, liegt es in der Natur der Sache, daß die Tragweite irgendeines Kriteriums zweiter Art wesentlich geringer sein muß, als diejenige des entsprechenden Kriteriums erster Art.

Hierzu mag zunächst in Hinsicht auf das Cauchysche Fundamentalkriterium zweiter Art noch ausdrücklich bemerkt werden, daß die Existenz

av

390

Abschnitt IT. Kap. II. Reihen mit lauter positiven Gliedern. vergier ende Bei he von der Form:

= 1 +

“v + l

darstellen läßt, in welchem Falle offenbar:

Nr. U

(21)

+ -T* +

eines bestimmten Grenzwertes lim —i oder auch nur solcher Hauptlimites,

r-> 00

IM IM

•e>

7 ” n¹

infolge der für v — n bestehenden Konvergenz der Reihe (21) eine endliche obere Grenze Q haben müssen, für v^n + l:

also, da die Zahlen

( ” \¹ V¹ ~ L -f 1/ '

wo

(-■ ^ ^ das allgemeine Glied einer konvergenten Reihe ist.

welche beide < 1 bzw. beide > 1, durch die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe 2-ar in keiner Weise präjudiziert wird. Dies geht wiederum mit voller Evidenz schon daraus hervor, daß die Konvergenz bzw. Divergenz einer Reihe 2uar nicht alteriert wird, wenn man die Terme av irgendwie umordnet oder mit ganz beliebigen positiven (nur im Falle der Konvergenz stets unter einer festen Schranke, im Falle der Divergenz stets oberhalb einer positiven Zahl bleibenden) Faktoren multipliziert: jede dieser Operationen läßt sich dann offenbar so einrichten, daß für die resultierende

Reihe ^av' die Quotienten (v = 0,1,2, • • •) den verschiedenartigsten

oo

oo

Gesetzen gehorchen. Bildet man z. B. aus der Reihe:    av, welche

o    o

OO

für a < 1 konvergiert, für a > 1 divergiert, eine neue Reihe y*' aj, indem

(A = 0,1,2, •••) vor das entsprechende

man jedes Glied von der Form a2 Glied a2X setzt — eine Operation, die sich übrigens durch die Formel ausdrücken läßt:

oo

00

(1)

Tr*'

(al

o

so: af — ccr +    1)V),

so ergibt sich:

av + l

a„ ₊ l + (_l)V + l

d. h.:

a'

3/1 + 1

a2Z

"iv. + 1

= «³,

+i

sodaß also die Werte der Quotienten

abwechselnd oberhalb und unter-

halb der Einheit liegen, gleichgültig ob a < 1 (Konvergenz) oder a > 1 (Divergenz).

Wendet man denselben Umordnungsprozeß auf die Reihe mit dem allgemeinen Gliede av = av² an, für welche:

«,+i

und somit,

«.•

= a8r+1,

falls a < 1: lim

av + l

v-> oc

= 0 (Konvergenz),

falls a > 1: lim

«v + l

V-> ce

av

= oo (Divergenz),

GO

CO

so ergibt sich für die resultierende Reihe    '    :

^ + 2 v +1 + 2(v + l) • (-l)v + 1 + 1

ß’H2r(-l)V+l

und daher:

aL

a2i

2 / 4- 2 a2;i + l

— ^ 6 (2^+1)+3

a'_

v+l

Man erkennt hieraus, daß der Quotient

besitzt, gleichgültig, ob a < 1 (Konvergenz) oder a > 1 (Divergenz). Obschon also — im Falle a< 1 — beim Übergänge von a’2]L zu «₂^ + 1 jedesmal eine so starke Zunahme erfolgt, daß der Quotient

die Hauptlimites 0 und oo

aL

2^ + 1

mit k über

alle Grenzen wächst, so ist die betreffende Reihe nichtsdestoweniger konvergent; und das analoge gilt im Divergenz falle a > 1 bezüglich der Gliederabnahme.

2. Bei den eben betrachteten Beispielen findet immerhin eine beständig alternierende Ab- und Abnahme der Glieder statt. Es lassen sich aber auch konvergente Reihen von der Beschaffenheit angeben, daß die

av + l

Stellen v, für welche der Quotient

steigt, schließlich immer zahlreicher werden, während die Häufigkeit der Stellen, an welchen eine Gliederabnahme stattfindet, mit wachsendem v unbegrenzt abnimmt. Das analoge gilt wiederum mutatis mutandis für den Divergenzfall.

Es werde gesetzt:

jede noch so große Zahl über-

(2)

v ■ (v -f i) • • • fly*] +1)

wo []/v] die größte in ]/v enthaltene ganze Zahl bedeutet und das im Nenner von a,, stehende Produkt sich auf alle ganzen Zahlen von v bis ([|/v] -j- l)² einschließlich erstrecken soll. Da nun:

[y7] + l > ]/v,

also:

([l/v] + l)² > v, d. h. ^ v + 1

so erkennt man zunächst, daß:

V • (v -{- 1) ⁷

und somit ^Ear konvergiert. Legt man v einen der Werte:

A², k²+l, ■

(X + iy-1 (k = 1, 2, 3, • • •)

[y~v\ - x

und daher:

(3a)

§ 56. Über die Tragweite der Kriterien zweiter Art. bei, so hat man wegen: A² v < (A + l)² durchweg:

Nr. 3.

393

(für: A²<^ v<(A-j-l)²).

Gehören also v und (v +1) beide der Zahlenreihe A², A² +1, • • •, (A-f l)²— 1 an, so wird:

(3 b)

und somit: •

av + t (»> -f-1) (v + 2) • • • (A 4- 1)* ¹

(4)

av+\

«v

Dagegen hat man für: v = (A + l)²— 1, v + 1 = (A + l)²:

(Ö)

(a+D»-i)(A+i)*

und:

(6)

av + l

ay

«r + 1 =

(i + l)*W+D²+ 1) ■ ■ ■ (A + 2)"*'

a + iy-i

(a + Dä + i)...(A + 3)*

(v+2)...([Vv-₊i] + iy

av + l

Der Quotient

nimmt somit „im allgemeinen“ nach Gl. (5) den

(schließlich über alle Grenzen wachsenden) Wert v an, nämlich mit einziger Ausnahme der offenbar in immer größeren Abständen auftretenden Stellen: v = (A-f- l)² — 1 (A = 1, 2, 3, • • •), wo also (v -f-1) eine Quadratzahl ist.

statt der Reihe ^ av die Reihe ^

Betrachtet man

so hat man

offenbar eine divergente Reihe mit den entsprechenden Eigentümlichkeiten, . d. h. der betreffende Quotient nimmt hier „im allgemeinen“ den mit wachsendem v beliebig Mein werdenden Wert — an, während die nur vereinzelt

auftretenden Stellen, bei welchen eine Gliedemtnahme stattfindet, immer seltener werden.

3. Um die Beziehung zwischen den Cauchyschen Fundamentalkriterien erster und zweiter Art (§ 50, S. 341, Formel (D') und § 54,

S. 385, Formel (K/') und Fußnote) festzustellen, beweisen wir zunächst den folgenden (in der Hauptsache von Cauchy herrührenden) Satz:

ar + \

für v

Ist li^.0 der untere, L<^oo der obere Limes von oc, so ist der untere Limes von Yay mindestens =

",

der obere höchstens = L. Ist also insbesondere l = L, also lim —⁺¹ = L, so wird auch lim j/av = L.

«v

v->cc

V->Cß

Beweis. Wir setzen zunächst l als positiv (also von Null verschieden), L als endlich voraus. Alsdann läßt sich einer beliebig hlein (insbesondere < l) anzunehmenden positiven Zahl e eine positive ganze Zahl m so zuordnen, daß:

(7)

«v+l

ar

für v > m.

Ist sodann n eine positive ganze Zahl > m, und setzt man in Ungl. (7) der Reihe nach v = m, (m -f-1), • • •, (n — 1), so folgt durch Multiplikation der resultierenden Ungleichungen:

(l-e)n~m <^<(L + s)"“m,

am

also, wenn man diese Ungleichung mit am multipliziert und in die —Potenz erhebt:

ii

(8)

(l-sf ” * a” < Yan <(L + sf -

• •

Läßt man jetzt n ins Unendliche wachsen, so folgt, wegen:

lim (l — e) “ = 1, lim(L + f) n = 1, lim a" = 1

(s. § 30

am

Ende, S. 186) zunächst:

l — £ lim Van <:L + e,

7I->00

. (9)

und da s beliebig klein gemacht werden kann, schließlich:

l £ lim Vän <; L.

' ln Worten: Das Grenzintervall von y/an kann niemals über dasjenige

an + 1

von ——

folgt

hinausragen (wohl aber enger sein). Ist nun speziell l = L, so

an

Ungl. (9), daß auch:

aus

(10)

l = lim 1/an = L,

n->x

d. h. man hat allemal:

(11)

lim Yan = lim ——

n-> oc

°n

wenn dieser letztere Grenzwert existiert- (die Werte 0 und oo vorläufig noch ausgeschlossen) — aber nicht umgekehrt (Beispiel s. Nr. 4).

Ist jetzt l = 0 bzw. L = oo, so bleibt Ungl. (9) offenbar gleichfalls in Kraft, solange l und L verschieden sind, da ja der untere Limes

«n

von —-² mindestens = 0, der obere höchstens — oo ist.

Hat man dagegen l = L = 0, so tritt an die Stelle der Ungleichung (7) eine von der Form:

ar + l

< £ für: v't>m, und daher an die Stelle von Ungl. (8) die folgende:

• a n

"m >

0 < ]/an <e n

woraus dann analog wie oben:

(12)

resultiert.

lim ]/an = 0 (=

n->oo    '

lim

an +1

W->CO

an

Ist schließlich l = L = oo, so hat man: lim — gesetzt wird; und somit nach Gl. (12):

0 = lim Vbn = lim -±=,

ra->oo    n->oo y q

«->00

bn+\

= 0, wenn bv = —

«,•

also:

(13)

lim j/an — oo /= lim —) •

n -> oo    ' n -> oo    '

Hiermit ist der oben ausgesprochene Satz ohne jede Einschränkung

bewiesen.

4. Das in Gl. (11), (12), (13 ) enthaltene Resultat kann zuweilen mit Vorteil dazu verwendet werden, um den Grenzwert von ]/p~ für v

— leichter zu ermitteln ist. So findet

oo

zu berechnen, wenn derjenige von man jetzt z. B. aus:

Pv-fl

Pv

lim

(v+i r

r->oo

vm

limö

r-> oo    v'-

= oo

ohne weiteres:

(14)

lim }/V" = 1 r), lim 7/v! = oo .

Als Beispiel dafür, daß diese Schlußweise, wie oben im Anschluß an Gl. (11) bemerkt wurde, nicht umkehrbar ist, betrachte man die Ausdrücke :

Hier wird:

(a)

lim = 1 (da nach (14): lim ]/v = lim \/v~i = 1),

(16)

>'-> OO

V -> 00

v-> oo

00

lim Vqv - 1,

v-> 00

dagegen:

Pr + l

Pv

v(-iy

und dieser Ausdruck hat für v dem v gerade oder ungerade. Man hat somit:

oo den Grenzwert 0 oder oo, je nach-

(17)

lim

Pv + i

Pv

= 0, lim

r-> oo Pv

Pv+ 1

= oo .

Andererseits besitzt

Vv

-i¹

bei geraden Werten von v für v den Grenzwert e~x, sodaß also:

% + i _ 1 %    e! ’

oo den Grenzwert e, bei ungeraden

(18)

lim

lim

ff.+ i

V-> 00

>•-> 00

<lv

- = e². —

Die Anwendung des in Nr. 3 bewiesenen Satzes auf die Cauchy-schen Fundamentalkriterien ergibt offenbar das folgende Resultat:

Liefert das Fundamentalkriterium zweiter Art bezüglich der Reihe J£av eine Entscheidung, oder versagt es in der Weise, daß der Grenzwert 1 zum Vorschein kommt, so gilt das gleiche von dem Kriterium erster Art.

Dagegen kann das letztere noch eine Entscheidung liefernr wenn das erstere in der Weise versagt, daß:

°v+l

V->00

av

dagegen:

lim

>->oo

av

^l-¹)

Man betrachte z. B. die in Nr. 1 durch Umordnung der Reihen

00

OC    00    00

ar, yr q»* gebildeten Reihen:    g(y-K-¹)*)*> welche

oo    oo

offenbar auf das Cauchysche Kriterium erster Art reagieren, während

1) Das Gleichheitszeichen soll dabei natürlich nur für eine der beiden Beziehungen gelten, da ja andernfalls:

av+i av '

Om

»*-►30

d. h.: lim

av + l

- = 1.

dasjenige zweiter Art vollständig versagt; ferner die Reihe mit dem allgemeinen Glieder av =pv-av = «A⁻¹)*'.uv. Hier wird: lim ]/»,,= cc (Gl. 16a),

woraus die Konvergenz der Reihe für a< 1, die Divergenz für cc > 1 resultiert. Dagegen hat man nach Gl. (17):

«, + i

-— = oo ,

sodaß also das Kriterium zweiter Art wieder vollständig versagt.

Bei der Reihe mit dem allgemeinen Glieder av=* qv- ay —    -y—*-»fl)

hat man ebenfalls (nach Gl. (16b)): lim Y av = cc, also Konvergenz für cc < 1,

lim r + 1 = 0, lim

»->•00

V -> cc

Divergenz für a> 1. Andererseits wird nach Gl. (18):

«v + l

lim

lim “’⁺'

r->co

= e¹ • cc,

“7*

woraus nur soviel gefolgert werden kann, daß die Reihe für cc < -j konvergiert,, für a > e² divergiert, während für solche Werte von cc, welche

dem Intervalle <( cc ^ e² angehören, das Verhalten der Reihe fraglich bleibt.

5. Eine ganz analoge Beziehung, wie die soeben für die Cauchy-schen Fundamentalkriterien entwickelte, findet ganz allgemein zwischen den disjunktiven Kriterien ziveiter und den entsprechenden erster Art statt.¹) Setzt man, wie in § 54, S. 382, Gl. (16):

r-> cc

«V

(19) K = Dn

an + P an+p + 1

-D

wo: Dn~¹ = Mn — Mn_t (a.a.O. GL(12)),

so lautet das disjunktive Kriterium zweiter Art (a. a. 0. Formel (Kx)):

I < 0: Divergenz,

1 > 0: Konvergenz.

(20)

lim l

n -> oo

Wird ferner gesetzt:

lg —

(21)

K-Mn-1

an +

lg

M.

Bnan+p

y*»-¹

(wo speziell: D₀ l = i!f₀),

so hat man als disjunktives Kriterium erster Art (§ 50, S. 338, Formel (E)):

I < 0: Divergenz,

1 > 0: Konvergenz.

1) Über die Beziehung der Kriterien zweiter Art zu der GrenziceHform der Kriterien erster Art s. die Bemerkungen in § 47, Nr. 3 (S. 322) und § 54, Nr. 2 (S. 379)*

(22)

lim kn

Es soll nun gezeigt werden, daß das Grenzintervall von kn niemals über dasjenige von ln hinausragen kann, und daß daher insbesondere lim Jcn = lim ln wird, falls der letztere Grenzwert existiert.

n ->oo

n ->oo

Dabei können wir uns auf den Fall lim 1)n = oo beschränken, da

n-yao

die Annahme eines endlichen lim Dn, wobei man offenbar ohne Beschrän-

n-> oo

kung der Allgemeinheit lim I)n = 1 setzen kann, auf den zuvor behan-

n ->oo

ffelten Fall der Cauchyschen Fundamentalkriterien führt. (Die Annahme, daß lim Dn = 0 oder daß dieser Grenzwert überhaupt nicht existiert,

n -> oo

bietet für die Kriterienbildung kein Interesse.)

Seien nun l, L die zunächst als endlich angenommenen Hauptlimites von ln für n —► oo, so kann man jeder beliebig kleinen positiven Zahl e eine positive ganze Zahl m so zuordnen, daß:

(23)

l — e < Dv-

ar+p

< L + e für v m

und außerdem ira Falle ?<0:

<24)

⁶ <1 für

Bringt man sodann Ungl. (23) auf die Form: 1 — 8

J)r ar +p ^r+1ar+p+l

L+ 8

¹ + D so folgt, daß auch:

<25)    lg(l+^)<Ig₅

Nun ist allgemein für a> — 1 (§34, S. 206, Ungl. (3)):

r^^¹g(¹ + a)

sodaß aus Ungl. (25) die folgende resultiert:

■Dy av + p

Iar+p+l

(26)

1)

- < lg 8 °

D*ar+p

L -f s

r+ 1

(v ^ m).

»'+ 1

1) Im Falle L < 0 hat man, wegen 1 ^ L, stets: |Z| ^ L , sodaß gleichzeitig mit: yr—- < 1 schon von selbst auch: ₍ ^—- j < 1.

Durch Substitution von v = m, in + 1, • • •, n— 1 (wo n > m) und durch Addition der betreffenden Ungleichungen findet man:

(27)

(* —«) '^}p, ' -D.'¹ < lg

XL. a

nt + 1

Dnan + p

7/t 4“ 1

wo:

(28)

Py + l =

zTZT; also: lira Pv =

V-+00

1.

Dividiert man die letzte Ungleichung noch durch    D~¹

sodann n ins Unendliche wachsen, wobei offenbar:    o

und läßt

(§48, S. 325, Fußn. 2),

771 + 1

7/t + 1

und:

lim

. ⁷U,«

= lim

]g J//ta/7.+j7

71-+00

7i->00

+lim

7t -> 00

lg

= lim

71 ->0O

Vnan+p

so geht aus Ungl. (27) die folgende hervor:

Dn an+p

lg

l — £ <1 lim —-

7l->00

und da s beliebig klein gemacht werden kann, schließlich:

(29)

l£hmkn<L.

7t->00

7t —> 00

Ist also speziell l = L d. h. lim ln endlich und bestimmt (den Wert Null eingeschlossen), so wird:

(30)

lim kn = lim ln.

n->*oo

71 -> 00

Ferner bleibt Ungl. (29) offenbar wieder ohne weiteres gültig, wenn l = — oo, bzw. L = + oc, sofern nur l und L verschieden sind.

Ist dagegen 1 = L = + oo, so tritt an die Stelle der Ungl. (23) eine . von der Form:

> A für: v^>m,

r+l

j) .    - D

V av + p+l

wo A eine beliebig groß vorzusclireibende positive Zahl bedeutet. Alsdann folgt aber mit Hilfe der oben angewendeten Schlußweise, daß auch:

= oo

lim kn^A d. h. schließlich:

n-> oo

werden muß.

Das analoge ergibt sich im Falle l = L = — oo. Die Gleichung (30) behält somit auch ihre Gültigkeit, falls lim l„ = ± °°-

n ->oo

Da der zur Ableitung der Beziehungen (29), (30) angewendete Prozeß wiederum nicht umkehrbar ist, so ergibt sich hiernach das folgende Resultat:

Liefert das Kriterium zweiter Art:

lim ln = lim

n ->oo

n-»-00

bezüglich der Reihe av eine Entscheidung, oder versagt dasselbe durch das Auftreten des Grenzwertes Null, so gilt das gleiche von dem Kriterium erster Art:

an+p

lim k = lim —

n ----- 71

n -> oo

Dagegen kann das letztere eine Entscheidung liefern, wenn das erstere in der Weise versagt, daß:

Inn ln <^0, lim^O³).

71-» 00

71—»OO

Kapitel III.

Reihen mit positiven und negativen Gliedern.

§ 57. Absolute und nicht-absolute Konvergenz. — Riemanns Satz über die Herstellung einer nicht-absolut konvergenten Reihe mit gegebenen Gliedern und beliebig vorgeschriebener Summe.

1. Die Untersuchung einer Reihe mit lauter negativen Gliedern (— ar), wo also av > 0, läßt sich vermöge der Beziehung: ohne weiteres auf diejenige einer Reihe mit positiven Gliedern zurückführen.⁴) Insbesondere wird also auch eine solche Reihe immer nur konvertieren oder eigentlich divergieren (nämlich nach —oo). Und sie wird, falls sie konvergiert, stets unbedingt konvergieren — auch in dem erweiterten

Sinne, daß die Reihensumme nicht geändert wird, wenn man (— av) in

o

eine endliche oder unendliche Anzahl von Partialreihen zerlegt und sodann die aus den Summen der letzteren gebildete Reihe summiert (§ 46, Nr. 3, S. 312). Ebenso läßt sich auch der für ein zweifach-unendliches Schema von positiven Gliedern a^ bewiesene Satz (§ 46, Nr. 4, S. 317, Gl. (23)) ohne weiteres auf ein solches von lauter negativen Gliedern (—a^) übertragen.

Auch eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern, bei welcher entweder die negativen oder die positiven Glieder nur in endlicher Zahl Vorkommen, bietet nichts wesentlich neues: denn ihre Untersuchung läßt sich nach Abtrennung einer gewissen endlichen Anzahl von Anfangsgliedern auf diejenige einer Reihe mit lauter gleichbezeichneten, also schließlich mit lauter positiven Gliedern zurückführen.

~b₃, • • ■ be-

2>

Sei jetzt aber eine Reihe Nu.. vorgelegt, welche sowohl positive als negative Glieder in unbegrenzter Anzahl enthält. Werden alsdann die positiven Glieder in derjenigen Reihenfolge, wie sie in der obigen Reihe auftreten, mit a1} a₂, a₃, • • •, die negativen mit — bt, —b zeichnet, und setzt man:

so wird:

(2)

Sv -A-mv -^nv 1

wenn mr die Anzahl der positiven, nv diejenige der negativen Glieder bedeutet, welche in sv Vorkommen. Läßt man jetzt v, also auch my, nv über alle Grenzen wachsen, so folgt:

(3)

lims, - lim (A. —B ).

r -> oo    r -> oo

Es können nun die folgenden drei wesentlich verschiedenen Fälle

eintreten:

I. Die Reihen 2Sa.., ^by sind beide konvergent, sodaß man setzen

kann:

(4 a)

^ a = lim A = A, ^b = lim B = B.

^    * r->eo    ^    *    ,.->=0

Alsdann geht Gl. (3) in die folgende über:

(4b)

lim sv == A — B,

V - >00

d. h. die vorgelegte Reihe Sux ist in diesem Falle konvergent und ihre

Summe ist gleich der Summe aus:    und    (—by).

i    i

Dabei läßt sich die Bedingung, daß ^ay, ^b:: einzeln konvergieren sollen, noch durch eine etwas einfachere ersetzen. Die aus den absoluten Beträgen der Glieder uy gebildete Reihe uy\ enthält offenbar genau dieselben Glieder, wie die beiden Reihen J£a,x, 'Sbx zusammen, sie konvergiert daher sicher, wenn jene beiden Reihen konvergieren. Und umgekehrt: wenn ux\ konvergiert, so muß auch jede der Reihen ^ay, ^Eb:. als eine aus der Reihe 2\u*\ (mit lauter positiven Gliedern) herausgehobene Partialreihe konvergieren. Somit gilt der Satz:

Eine Beilie mit positiven und negativen Gliedern ist sicher konvergent, nenn die Beihe der absoluten Beträge konvergiert.

Eine Reihe, für welche diese Voraussetzung zutrifft, soll absolut konvergent heißen.

II. Konvergiert nur eine der beiden Reihen ^ay, J£bx} so lehrt Gl. (3), daß yjux divergieren muß und zwar „eigentlich“, nämlich nach -F oo, wenn ^ax divergiert, nach — oo, wenn^7>x divergiert.

Jetzt bilde man wiederum aus durch Hinzufügung weiterer positiver Glieder eine Summe:

<9)

Ö2 = *1 + aml +1 + aml + 2 H----+ «m,

von der Art, daß <?₂ die Zahl s übersteigt, aber bei Weglassung des letzten Gliedes aVH sie höchstens erreichen würde, also:

o₂>s>a, anii, und hierauf durch Hinzufügung weiterer negativer Glieder eine Summe: (?2 = Gg ^

(10)

<n) f

sodaß:

»l + l

»i + 2

(12)

Fährt man in dieser Weise fort, so gelangt man einmal zu einer aus mv positiven Gliedern (au a.₂, ■ • •, am ) und nv_x negativen Gliedern (—&!,— b₂, •••, — &„    ) bestehenden Summe Gr, welche nach Analogie

von Ungl. (6) und (10) der Bedingung genügt:

(13)

m,, >

av > s ^ tf, — a

oder anders geschrieben: (13a)

desgleichen zu einer aus my positiven und ny negativen Gliedern bestehenden Summe 6y, sodaß:

(14)

< + b„v,

oder anders geschrieben: (14a)

0 <s-Gr'£bnv.

Infolge der Voraussetzung lim ax = lim bx = 0 läßt sich aber jeder

beliebig kleinen positiven Zahl e eine positive ganze Zahl m so zuordnen, daß:

X->oo

¹

Man hat nämlich für X = 1, 2, 3, • • •

²

Vgl. § 37, Nr. 3, S. 230, Fußn. 1.

³

Wobei selbstverständlich das Zeichen = wiederum nur für eine der betreffenden Bedingungen in Betracht kommt.

⁴

Für den Fall der Konvergenz s. § 44, S. 302, Gl. (32).

b„y<£, falls:

m,

amv<£,

sodaß dann gleichzeitig nach Ungl. (13a), (14a):

(15)

0 < <?v — s < £,    0 < 5 — 6y < £

wird, woraus zunächst soviel hervorgeht, daß bei unbegrenzter Fortsetzung des angezeigten Verfahrens die besonderen mit öy, 6y bezeich-neten Summen für v —> oo gegen den Grenzwert s konvergieren.

Bezeichnet man jetzt allgemein mit sfl die Summe der ersten p Glieder der durch obiges Verfahren erzeugten Reihe, so wird, wenn sfl mit einem negativen Gliede schließt und etwa:

CO

Zugleich ist ohne weiteres klar, wie das betreffende Verfahren zu modifizieren ist, falls etwa s < 0 vorgeschrieben worden wäre.

3. Der eben bewiesene Satz ist noch insofern einer Erweiterung fähig, als man durch passende Anordnung der Glieder (aj, (— br) auch erzielen kann, daß s,₍ für g —► oo zwischen irgendzwei vorgeschriebenen Zahlen l, L oszilliert oder auch nach -f- oo bzw. — oo divergiert.

Sei etwa die als oberer Limes von s vorgelegte Zahl L^.0, so hat man offenbar, um das gewünschte Resultat zu erzielen, mit Beibehaltung der in Nr. 2 gebrauchten Bezeichnung nur so zu verfahren, daß (siehe Ungl. (13) und (14)):

worauf dann:

lim su = L, lim su = l

/.l ->oo

§ 57. ßiemanns Satz über nicht-absolut konvergente Reihen. su den Bedingungen genügen:

Nr. 3.

405

^

Schließt.dagegen su mit einem positiven Gliede und hat man:

(16)

so wird:

mv -f ny < ii < m

>+l

(17)

< < s u £ <SV

sodaß sich allgemein ergibt:

lim öv

(18)

lim s =

₍u -> oo

lim 6y

/u ->oo

wird. (Analog für den Fall L< 0.)

Soll ferner lim su = -j- oo werden, so nehme man eine Reihe wach-

,u ->ao

sender positiver Zahlen Mlf M.₂, • • •, My, • ■ • so an, daß lim Mv = oo.

V-> 00

Modifiziert man sodann das in Nr. 2 angegebene Verfahren in der Weise, daß:

1) Der Inhalt dieser letzten Betrachtung läßt sich auch folgendermaßen formulieren. Man hat offenbar:

und daher, wegen:

lim

,U->»

su ----- lim ey, lim sa = lim av

V->O0    JU -> oo    v-> oo

lim cy = lim ay = s,

V ->JO

schließlich auch:

V->0O

lim su — s.

,U -> x

Pringsheim, Vorlesungen 1,2.

27

lim öv = lim 6 ' = -f oo

r->oo

so wird offenbar:

v-ycc

und sodann auch allgemein:

lim s = -f- oo.

ft -> CO

(Analog für den Fall lim s = — oo.)

ft-Xx

§ 58. Bedingte und unbedingte Konvergenz. — Zusammenfällen von absoluter und unbedingter Konvergenz. — Summen unendlich vieler absolut konvergenter Reihen. — Multiplikation absolut konvergenter Reihen.

1. Eine Reihe von Gliedern uv, deren absolute Beträge eine divergente Reihe bilden, soll absolut divergent heißen. Aus dem Satze von Nr. 2 des vorigen Paragraphen (S. 403) folgt alsdann, daß eine solche Iceines-falis absolut konvergente Reihe immerhin noch konvergieren kann, falls lim uv = 0 ist, daß aber in diesem Falle der Wert ihrer Summe und die

t'-> 00

Konvergenz selbst wesentlich von der Anordnung der Glieder abhängt.

Man nennt eine konvergierende Reihe dieser Art bedingt Jconvergent.

Versteht man dagegen, wie schon in § 46, Nr. 2 (S. 311), unter einer unbedingt konvergenten Reihe eine solche, welche unabhängig von der Anordnung der Glieder gegen dieselbe Summe konvergiert, so ergibt sich aus den Betrachtungen des vorigen Paragraphen, daß die absolute Konvergenz einer Reihe sicher eine notwendige Bedingung für deren unbedingte Konvergenz bildet. Wir zeigen, daß diese Bedingung sich zugleich auch als hinreichend erweist.

Zunächst erkennt man, daß die absolute Konvergenz einer Reihe Sur, falls sie bei irgendeiner Anordnung der Glieder besteht, bei jeder beliebigen Anordnung stattfinden muß, da ja nach § 46, Nr. 2 (S. 311) die Konvergenz der Reihe S\ur\ durch Umordnung der Glieder nicht gestört wird.

Ferner bemerke man: Ist die Reihe Sur absolut konvergent, so gilt das von jeder herausgehobenen Partialreihe (vgl. § 46, Nr. 3, S. 312).

Es gilt aber auch das umgekehrte, nämlich: Konvergiert jede aus der Reihe Sur herausgehobene Partialreihe, so konvergiert Suv absolut.

Denn auf Grund der obigen Voraussetzung muß insbesondere die Reihe der positiven, wie diejenige der negativen Glieder konvergieren,

' woraus dann unmittelbar die absolute Konvergenz von Suv hervorgeht.

CO

III. Divergieren die beiden Reihen Sa.., Sb... hat man also:

lim B

•y->oo

so läßt sich im allgemeinen aus Gl. (3) zunächst kein bestimmter Schluß auf die Beschaffenheit von lim sv ziehen. Nur in dem Falle, daß lim uy\

*-> oo

bzvv. lim | uy | von Null verschieden ist, erkennt man nach dem früher

x->00

gesagten (s. § 44, Nr. 4, S. 299) ohne weiteres, daß Su:. divergieren muß. Ist dagegen limw^O, so läßt sich zeigen, daß SuK je nach der Anord-

nung der Glieder sowohl konvergieren, als auch eigentlich divergieren oder oszillieren kann.

2. Hierzu beweisen wir zunächst den folgenden von Riemann herrührenden Satz:

lim Ämv v ->oo

= OO

>'->•00

nv

Hat man zwei unbegrenzte Folgen positiver Zahlen (ay), (by) von der Beschaffenheit, daß lim ay = lim by = 0 ist und die Beihen

X->oo

Sa... Sb., divergieren, so lassen sich die Zahlen ax, a₂, a₃, • • ¹ und —b,, —b₂, — bs, ■ ■ • derartig in eine unendliche Beihe anordnen, daß dieselbe konvergiert und eine vorgeschriebene Summe s besitzt.

Beweis. Es sei — um irgendeine Festsetzung zu treffen — die im übrigen beliebig vorzuschreibende Summe s etwa 0 gewählt. Alsdann entnehme man der Folge der ay zunächst so viele Glieder ax, a₂, •• •, a r daß deren Summe die Zahl s gerade übersteigt (was infolge der Divergenz von Sax stets möglich ist), aber bei Weglassung des letzten Summanden ami die Zahl s höchstens erreichen würde, sodaß also:

ai + °2 H----+ ami > s, a₁ + a₂ + • • • + ami

oder, wenn zur Abkürzung:

*->00

(5)

gesetzt wird:

(6)

> s ^    — a

Nun füge man zu 6X so viele negative Glieder —bl} —b₂, • die jetzt entstehende Summe:

- b . daß

2. Um auch die Unveränderlichkeit der Summe U

= uv unter der o

Voraussetzung der absoluten Konvergenz dieser Reihe nachzuweisen, setzen wir:

(1)

wo:

(2)

uv — evur + (1-0 • uv,

j sv = 1, wenn: uv ^ 0, wenn: u < 0.

Alsdann wird:

(3)

2    sv ‘ uv +2' C¹ ~ O '

0 0 0 d. h. die konvergente Reihe J^uv wird in der Weise in die Summe zweier konvergenter Reihen zerlegt, daß die erste alle positiven Terme uv und im übrigen an allen Stellen, für welche uv 0, Nullen enthält, während die zweite in analoger Weise aus allen negativen Termen uv, im übrigen aus Nullen besteht. Jede dieser beiden Reihen ist dann nach § 46, Nr. 2 (S. 311) und § 57, Nr. 1 (S. 401) unbedingt konvergent.

Bezeichnet man jetzt mit (nv) irgendeine unbegrenzte Zahlenfolge, welche durch Umordnung aus der Reihe aller möglichen Zahlen 0,1,2, • • • hervorgegangen ist, so wird:

(4)

^K=2£..-

o    o

• Unr>

und, da nach dem eben gesagten die Summen der beiden rechts stehenden Reihen von dön entsprechenden in Gl. (3) auftretenden nicht verschieden sein können, so folgt, daß auch: (ö) d. h.: Der Summenwert der vorgelegten absolut konvergenten Reihe ist von der Anordnung der Glieder unabhängig.

Hiermit ist aber die schließliche Identität von absoluter und unbedingter Konvergenz vollständig erwiesen. Zugleich ergibt sich, daß man den Begriff der unbedingten Konvergenz noch etwas weiter fassen kann, als oben in Nr. 1 geschehen, nämlich in der Weise, daß man eine Reihe dann unbedingt konvergent nennt, wenn sie unabhängig von der Anordnung der Glieder konvergiert (also ohne den Zusatz: gegen dieselbe Summe). Denn aus dieser Voraussetzung würde schon folgen, daß sie absolut kon-

27 *

vergieren muß: andernfalls ließe sie sich ja nach dem erweiterten Riemann-schen Satze (Nr. 3 des vorigen Paragraphen) durch Umordnung auch divergent machen. Aus dem Umstande, daß die Reihe absolut konvergiert, ergibt sich dann aber ohne weiteres die Unveränderlichkeit ihrer Summe, also die unbedingte Konvergenz in dem früheren engeren Sinne.

3. Der Satz von der Unveränderlichkeit der Reihensumme bleibt aber, geradeso wie bei konvergenten Reiben mit lauter positiven Gliedern auch

GO

dann noch bestehen, wenn man die absolut konvergente Reihe ^}ut. in eine unendliche Anzahl von Partialreihen:    o

r (w₀⁽⁰⁾ + V⁰⁾ H-----b    _|----)

+ K⁽¹⁾ + «h⁽¹⁾ H-----b Kl) H----)

(6)

zerlegt und sodann die Summe der aus den einzelnen Partialreihen (Zeilensummen) bestehenden Reihe bildet, d. h. man hat:

(7)

22iK⁾ -2%k-

0 0 0

Aus der Voraussetzung folgt nämlich zunächst,

kon

vergiert, und daß daher nach dem Satze des § 46, Nr. 3 (S. 312):

(8)

22i*V ⁼21“» ■

0 0 0

Es konvergiert somit jede Zeile des Schemas (6) absolut, und es konvergiert

00

die aus

den Zeilensummen:    u^ gebildete Reihe. Da aber für jedes n:

o

2<\^2Vf

0    0

2<⁾\^2\<> >

0    0

und daher auch:

00

00

OO

so konvergiert gleichzeitig mit    u'₍ '} auch j

o    oo

PC

schließlich, es konvergiert    u^) absolut.¹)

o o

j ^1» h*.

Um noch die Gültigkeit der Gleichung (7) nachzuweisen, führen wir neben der Beziehung (1) die folgende, analog gebildete ein:

„<» + (l-£<’>).«">

A‘    M A* \    f‘ / fl ’

I «<”, = l,

*w-o,

Bildet man sodann die beiden Schemata:

(10)

wo:

(11)

wenn:

wenn:

: <><0.

£₀⁽⁰⁾-Wo⁽⁰⁾ + fl⁽⁰⁾*%⁽⁰⁾ + ---

+ *,<» ■u₀m + ‘l,,K «,“> + ■••

so enthält das erste lauter Glieder ^ 0, nämlich alle diejenigen, welche

00

aus lauter

die Reihe £v ■ uv (Gl. (3)) ausmachen, während das zweite

o    °°

Gliedern <£ 0, nämlich den Gliedern der Reihe ^J (1 sv) • uv besteht. Infolgedessen gelten aber die Beziehungen:

00

00

00

(12)

0 0

2 2‘ Ü _    ^ (' - *»)

'•oo    o

oo

und hieraus folgt unmittelbar durch Addition, daß:

00

00

00

(13)

, q. e. d.

oo

1) Dabei sind also die Summen    t* ^ für » =

o

Glieder der in Frage stehenden Reihe aufzufassen

0,1, 2, • • • als die einzelnen

{Reihe der Zeilensummen),

(b) 2” 2K) . 0 0

(17)

Sind

solche Partialreihen u^ nur in endlicher Anzahl (n -j- 1) o

vorhanden, so findet man offenbar analog:

22u™ ⁼2u*-0 0 0

oo

Schließlich erkennt man noch, daß auch jede Kolonne u^ {v = 0,1,2,-■■)

o

(14)

des Schemas (6) absolut konvergiert, und daß sodann:

(15)

22*?' -2u^

0 0 0

bzw., wenn nur (w+ 1) Kolonnen vorhanden sind:

(16)

=2u’-

0

4. Ist wiederum statt der einfach-unendlichen Reihe Sur von vornherein das zweifach-unendliche Schema (6) vorgelegt, so gilt der folgende Satz:

Von den drei Gleichungen:

(a) 2    + ui

(v-l)

{Reihe der Diagonalen),

{Reihe der Kolonnensummen)

(wo U eine endliche Zahl bedeutet) zieht jede einzelne die Existenz der beiden anderen nach sich, sobald die in der Voraussetzung auf tretende Reihe bei Vertauschung der u^ mit ihren absoluten Beträgen konvergent bleibt.

Beweis. Wird zunächst die Gültigkeit von Gl. (17a) und zugleich

die Konvergenz von:    u^ -f

o

(v-l)

+-+K“2I|+K,I)

voraus

gesetzt, mit anderen Worten: konvergiert die einfach-unendliche Reihe (17a)

I+-+K“ l+K'»!),

.(—i)

absolut, auch wenn man die einzelnen Summanden u^ als die Glieder der Reihe auffaßt, so ergibt sich die Richtigkeit der Gleichungen (17 b) und (17 c) ohne weiteres aus den Betrachtungen der vorigen Nummer, wenn

die in Gl. (17 a) auftretende Reihe bezeichneten setzt.

Besteht dagegen Gl. (17 b) bzw. Gl. (17 c) mit dem Zusatze, daß auch

konvergiert, so folgt zunächst aus

einem für Reihen mit lauter positiven Gliedern geltenden Satze (§ 46, Nr. 4, S. 317) die Konvergenz der Reihe:

man

an

GO

die Stelle der dort mit

«

GO

00

00

00

2 2“ I uT ■bzw- 221    I

0 0 0 0

oo

und somit die absolute Konvergenz der Reihe:

+ • * • +    + u⁽⁰⁾),

00

2 K>+ui

o

(r-l)

falls man die einzelnen Summanden als die Glieder der Reihe auffaßt.

Alsdann ergibt sich aber wiederum aus den Betrachtungen der vorigen Nummer, daß die Summe dieser letzteren Reihe mit jeder der beiden Summen (17 b) und (17 c) identisch sein muß, womit also der oben ausgesprochene Satz bewiesen ist. —

Hebt man insbesondere dasjenige Resultat heraus, welches sich auf das gleichzeitige Bestehen der Gleichungen (17b) und (17c) bezieht, so erhält man den folgenden Satz, welcher gewöhnlich schlechthin als der Cauchysche Doppelreihensatz²) bezeichnet zu werden pflegt:

Konvergieren alle Zeilen des Schemas (6) und bilden die Zeilensummen eine konvergente Reihe mit der Summe TJ, so gilt das gleiche von den einzelnen Kolonnen und von der Reihe der Kolonnensummen, sobald die Konvergenz der einzelnen

Zeilen und der aus den Zeilensummen gebildeten Reihe erhalten bleibt, wenn man die u{J] durch die absoluten Beträge ersetzt.³ 4)

5. Aus dem Hauptsatze der vorigen Nummer ergibt sich noch der folgende auf die Multiplikation zweier absolut konvergenter Reihen bezügliche, als ,,Cauchysche Multiplikationsregel“ bekannte Satz:

00

CO

Sind die Reihen uv = U und vv = o    o

V absolut kon

vergent, so gilt für ihr Produkt die Beziehung:

00

(18) U-V-2

wr,

WO : IV v — u₀ Vv-\-U₁Vv_l H-----(■»,_!«!+ Ur V0 >

und die Reihe der wv konvergiert absolut, auch wenn man deren einzelne Bestandteile ufl vr_fl als Reihenglicder auffaßt.

Beweis. Bildet man diejenige Doppelreihe, welche aus (6) entsteht, wenn man = | u^ vr j setzt, also:

' U0V0 I + i I + ’ ■ ■ + I unvo +.....

+ ! U₀V₁ -\- \u₁V₁    +••• + ! U/uV₁ I +.....

(19)

+ u₀vr | + \u₁vr\ + • • • -f \%vv\ +

so ergeben sich mit Rücksicht darauf, daß auf Grund der Voraussetzung die Reihen S j u , S Vv konvergieren, durch Summation der Zeilen die Ausdrücke:

oo

00

oo

und als Summe dieser letzteren Reihe:

oo

oo

Daraus folgt weiter, daß das Schema

uovo +    + • • • + u^v₀ -f

+ UqVx + UXVX + • • • + UpV 1 -f-

(20)

+ u₀vr + uxvr H-----b %vr +

welches ja die Zeilensummen U-v₀, Uvx, •••, U-vr, ••• und als Summe der aus diesen gebildeten Reihe das Resultat U ■ V liefert, seine Konvergenzeigenschaften behält, falls man jedes Glied u vv durch seinen absoluten Betrag ersetzt. Alsdann ergibt sich aber nach dem Satze der vorigen Nummer unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung (18) durch Summation nach Diagonalen.

§ 59. Kriterien für effektive> d. h. eventuell nur bedingte Konvergenz. — Alternierende Reihen. — Abel sehe Transformation und darauf beruhende Konvergenzkriterien. — Dirichletsche

Reiben.

Ein Grenzwertsatz.

1.    Wir wollen eine Reihe, von der nur soviel feststeht, daß sie überhaupt konvergiert, als effektiv konvergent bezeichnen: eine solche Reihe kann dann möglicherweise absolut divergent sein, sie braucht also nur bedingt zu konvergieren.

Es entsteht nun die Frage: Gibt es allgemeine Kriterien, um die effektive Konvergenz einer Reihe zu erkennen, falls deren absolute Divergenz bereits feststeht oder wenigstens ihre absolute Konvergenz nicht ermittelt werden kann.

Diese Frage ist aber zu verneinen, und zwar nicht nur in dem Sinne, daß es bisher nicht gelungen ist, Kriterien von ähnlicher Allgemeinheit wie für absolute Konvergenz und Divergenz aufzufinden, sondern mit dem ausdrücklichen Bemerken, daß diese Möglichkeit durch die Natur des fraglichen Problems wohl als ausgeschlossen erscheinen dürfte.

Einige besondere Fälle, in denen sich die effektive Konvergenz einer (möglicherweise absolut divergenten) Reihe wirklich allemal feststellen läßt, sollen jetzt näher betrachtet werden.¹)

2.    Für sogenannte alternierende Reihen, d. h. solche, deren Glieder abwechselnd positive und negative Zahlen sind, gilt der folgende Satz:

Ist av av,j > 0, lim av = 0, so konvergiert die Beihe

r->oo

^>1 (— 1 )v • av, also die Beihe: o

= so wird:

Beweis. Setzt man wiederum allgemein:    (— l)r

o

(1)

S2m+1 a0 ai "F a2 a3    + a2m a2m + l

= (a₀—af) + (a^—af) + • • • + (ö3m-«2m+i)-

1) Ein weiterer Pall, der an die Lehre von den unendlichen Produkten anknüpft, findet sich § 85, Nr. 3.

Da jede Klammergröße ^>0 ist, so erkennt man, daß s₂„( + 1 positiv ist und mit wachsenden Werten von m niemals abnimmt. Insbesondere hat man:

(2)

⁵2m + l 2= tt0 af

Bringt man sodann den Ausdruck (1) auf die Form:

(3)

S2m + 1 — a0 (ai aä) ' ' ' (fl2m

so folgt andererseits, daß für jedes m:

S2 m + 1 = a0 •

-1

a2 m) — a2

(4)

Man hat also:

ao~ ai<^m ₊ i£ao,

und da s8m + 1 monoton ist, so muß für m—roo ein bestimmter Grenzwert existieren, etwa:

lims2m + 1 = s (wo offenbar: a₀ —    <La₀).

»»-> 00

(5)

Da ferner:

S2m+1 ~ S2m    +

so ergibt sich, daß auch:

(6)

lim s2m = lim s₂

m-> oo

wird, d. h. man hat allgemein:

m ->oo

+ lim a₂

m ->oo

Ttl+l

(7)

lims„ = s, q. e. d.⁵)

n ->oo

3. Hiernach ist z. B. die harmonische Reihe mit alternierenden Vor-

Zeichen

oo

*    .    ^^"7 1

konvergent und zwar bedingt, da    divergiert.

i

Übrigens kann man die Summe dieser Reihe mit Hilfe der früher abgeleiteten Beziehung (§ 34, Gl. (7) und (13)):

n

(2 ~~ — lg w) = y (d. h. endlich und bestimmt)

(8)

lim

n->oo

(wegen: lg 2m — lg m = lg 2) und hieraus für m

oo :

(9)

= lg2. -

Die oben bewiesene Konvergenz der alternierenden Reihen ist besonders geeignet, um erkennen zu lassen, daß das Maß der Gliederabnahme, d. h. die Geschwindigkeit, mit welcher die absoluten Beträge der Glieder bei wachsender Stellenzahl der Null zustreben, für das Zustandekommen einer bedingten Konvergenz ohne Belang ist. Denn die Reihe ^)v'av konvergiert, wie langsam auch die av abnehmen mögen, sofern dies nur

überhaupt monoton geschieht (so ist z. B. ^ ~ig konvergent). Dagegen

ist gerade die Monotonie der Gliederabnahme für die Gültigkeit des betreffenden Konvergenzsatzes unumgänglich notwendig. Man darf also nicht etwa — analog wie bei der absoluten Konvergenz — schließen, daß gleichzeitig mit der Reihe J^(—1)* • (wo: av^.av+1, limar = 0) auch

r-yoo

die Reihe SY—    konvergiert, sofern nur lim — = 1. Setzt man z. B.

für v = 1, 2, 3, • • •:

(10)

Nr. 3.

§ 59. Kriterien für eventuell nur bedingte Konvergenz, leicht berechnen. Man findet nämlich durch identische Umformung:

415

y,tLin

^ I    V

1

2m

1

2^i

'lv

V» + i + (-D"

also für = 1, 2, 3, • • •:

(11)

^2/u-l

^2ju ~

j/2/t — 1⁷

so hat man lim — = 1, wenn a = —=A— r + co«*    V*+ 1

Reihe    l)*’⁻¹ • av sicher konvergiert. Nichtsdestoweniger divergiert die

Reihe J^(— l)v_1 • bv, denn es ergibt sich:

gesetzt wird, folglich die

-K-

(]/2fi — l) (|/2(i-f- 1 -f- l)

4. Ein überaus brauchbares Hilfsmittel zur Abschätzung gewisser Summen liefert eine von Abel berrührende identische Umformung,, welche wir schlechthin als die Äbelsclie TransformationJ) bezeichnen werden. Setzt man:

(13)

also:

(14)

so wird:

v₀=Vo, vv~Vy-Vr_ i (v-l,2,.-.,n),

^ UrVv = **0^0 +2Ur -(K~ 0 1

r.-i)

n- 1

und es ergibt sich daher schließlich:

(15)

=^?(Mv-Wr + l) • Vv + ujn 0 0

als die oben gemeinte Transformationsformel.²)

Dieselbe kann offenbar unter Umständen zur Beurteilung der Kon-

oo

vergenz einer unendlichen Reihe von der Form uvvr dienen⁸)

o

, wenn

1)    Sie wird von anderen auch partielle Summation genannt. In Wahrheit lassen sich wohl alle bekannten Sätze über lediglich effektive Konvergenz auf diese Transformation zurückführen. Dies gilt z. B. auch von dem Satze in Nr. 2 über alternierende Reihen (vgl. Nr. 5).

2)    Zuweilen ist es zweckmäßig, der Gleichung(15) die folgende Form zu geben:

2VU*V*    »r + i) • V> + Un + iVtr

0 0

Dabei kann die (auf der linken Seite der Gleichung ja gar nicht vorkommende) Zahl un + 1 ganz willkürlich angenommen werden, da die einzig damit behafteten Glieder der rechten Seite, nämlich —un + 1 Vn und -f-Mn + ₁Vn sich gegenseitig auf heben.

3) Ist die Reihe    absolut konvergent, so gilt das gleiche von der Reihe

yUyvr, sofern die \uv nur der Bedingung genügen, unter einer endlichen Schranke zu bleiben (vgl. S. 318, Fußn. 1). Etwas analoges findet offenbar nicht mehr statt, wenn ^vr nur bedingt konvergiert.

die beiden rechts auftretenden Ausdrücke bestimmte Grenzwerte für oo besitzen. Alsdann wird:

oo

oo

y} uvvr = y} Ov - w,₊i) ■ Vy + lim un ■

0 0

00

daß die Reihe y}uvvv sicher konvergiert, o

die Reihe (uv — uv + l) ■ Vv konvergiert und lim un • Vn eine

n -yoo

0

(16)

und man erkennt hieraus,

wenn

oo

bestimmte

Zahl (inkl. 0) yorstellt. Hierzu ist aber hinreichend:

oo

1) Daß yi (uv— wv + 1) absolut konvergiert und die absoluten Be-o

träge der Vv (y = 0, 1, 2, • • •) stets unter einer endlichen Grenze bleiben.

2) Daß außerdem

n ->oo

entweder: (a) lim un = 0 (in welchem Falle dann die Vv keiner weiteren Bedingung zu genügen brauchen),

lim un = u (d. h. von Ntill verschieden)

oder:¹) (b)

n ->oo

lim Fb = V (d. h. endlich inkl. Null)

n ->00

oo

(d. h. im Falle (b) muß die Reihe vv geradezu konvergieren

während sie im Falle (a) auch innerhalb endlicher Grenzen oszillieren darf).

1) Man bemerke, daß in bezug auf lim«rt infolge der Annahme 1) wirklich

n ->oo

stets einer von diesen beiden Fällen eintreten mvß. Da nämlich:

n — 1

+1) = «o — «»•

so erheischt schon die effektive (also um so mehr die absohde) Konvergenz der Reihe 00

— wv + 1) die Existenz eines bestimmten lim un. Diese letztere Bedingung ist dann umgekehrt auch hinreichend für die effektive, aber noch nicht für die

00

absolute Konvergenz von (u„ — uy + j).

o

Im Falle (a) folgt dann

aus

Gl. (16):

(17 a)

im Falle (b): (17b)

]>}uvvv=^v(uv-uv+1) 0 0

• V.

= ^}(Ur~Ur ₊ l) -Vy + U-V.

0 0

Dabei konvergiert die rechts stehende Reihe auf Grund der gemachten

Annahme absolut,

also auch unbedingt, während für die Reihe uvvt

o

aus Gl. (17 a) oder (17 b) lediglich die effektive (möglichenveise also nur bedingte) Konvergenz in der durch die Indizes vorgeschriebenen Anordnung erschlossen werden kann.

Man kann dieses Resultat zu dem folgenden Satze zusammenfassen:

Ist (uv — uv+1) absolut und    effektiv konvergent, so

o    ⁰⁰    o

konvergiert die Reihe ^j uvvv o

zum mindesten in der durch die

Indizes vorgeschriebenen Anordnung. Dies gilt im Falle lim uv = 0

r->oo

auch dann noch, wenn ^>1 vv innerhalb endlicher Grenzen oszilliert.

5. Die zur Gültigkeit dieses Satzes erforderliche Konvergenz der

Reihe i uv — uv + l ist sicher dann vorhanden, wenn die uv eine mono

tone Folge bilden und lim uv nicht unendlich ist. Denn aus der letzteren

’->⁰⁰    <x>

Annahme folgt zunächst die effektive Konvergenz von    (ur — uv + f)

o

, und

diese ist dann eo ipso eine absolute, da die Differenzen (uv —    + i) wegen

der Monotonie der ur durchweg ^ 0 oder durchweg <1 0 sind. Man gewinnt auf diese Weise den folgenden Spezialsatz:

Ist^j v. konvergent, so konvergiert uvvr, ' o    o

wenn die

die Folge der uY monoton und lim uv nicht unendlich ist.

Oszilliert    innerhalb endlicher Grenzen, so konvergiert

o

uvvv, wenn zur Monotonie der uv noch die Bedingung lim uv = 0

r->oo

0

hinzukommt.

Man erkennt leicht, daß der in Nr. 2 bewiesene Satz über die Kon-

oo

vergenz einer Reibe von der Form:    (— 1 )v

o

• av> wo: av^ar+i>^j

lim av = 0 als spezieller Fall in dem zweiten Teile des eben ausge-

v->co

sprocbenen Satzes enthalten ist. Man hat nämlich nur zu setzen: uv = ar,

00

= (— ly, wobei dann J vv in den Grenzen 0 und 1 oszilliert, o

Zugleich aber gewinnt man auf diesem Wege die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Nr. 2:

Ist av^. av + 1~> 0, lim av = 0, mv beliebig ganzzahlig, so

00

00

v ->oo

konvergiert (— l)”iy • av, wenn (— l)”⁶* zwischen endlichen

o    o

Grenzen oszilliert, d. h. falls die Differenz zwischen der Anzahl der in (— l)m" • av enthaltenen positiven und negativen Glieder

o

für jedes noch so große n numerisch unter einer gewissen positiven Zahl bleibt.⁶)

oo

6. Wenn uv — uv+1! konvergiert, so ist die Endlichkeit von lim Vy

^    V->oo

eine zwar hinreichende, aber keinesicegs notivendige Bedingung für die Kon-

oo

oo

vergenz von    (uv — uv+1) • Vv. Vielmehr: wie schwach auch \ uv — uv + 1\

o    o

konvergieren mag, so gibt es ja stets noch schwächer konvergierende

Reihen, d. h. konvergente Reihen von der Form:    |uv — uv+1 \ • Vv,

o

wo: lim Vv = + oo (§ 49, Gl. (9), S. 332; Gl. (13), S. 333).

v-^oo

Hieraus folgt aber, daß die Transformationsgleichung (16) auch dann

oo

noch zur

Erschließung der Konvergenz von ^j%vv dienen kann, —    o

wenn

00

vv zwar eigentlich divergiert oder innerhalb unendlicher Grenzen oszil-o

liert; sofern nur lim j Vr lediglich in geeigneter Weise unendlich wird.

r-Voo

Wir wollen diese Eventualität für den Fall positiver, monoton gegen Null konvergierender uv etwas näher untersuchen. Alsdann mag gesetzt werden:

(18)

(wo Mv wiederum die frühere typische Bedeutung hat, d. h. Mv <[ M lim My = oo), sodaß Gl. (16) die folgende Form annimmt:

“ Mv

V->00

00

-V

r + lf

(19)

Y *V

2j Mv

o

~2j~m

o

v 4-1

~K

Vn

r + l

Man kann nun hier zunächst eine sehr einfache und an die Gleichung (19) sich äußerst bequem anschließende notwendige Bedingung für

die Konvergenz von ^ angeben. Setzt man nämlich in § 45, S. 309, o

00

Gl. (15): ur = hr = Mr, so ergibt sich die Beziehung:

(20)

lim

Vn

M->00

Mn

als notivendige Bedingung für die Konvergenz von ^ ^ • Darnach findet man also mit Rücksicht auf Gl. (19) zunächst folgendes:

oo

Ist^j-— überhaupt konvergent und v₀-{-v₁ -|-----

o

so hat man allemal:

(21)

Y Vr Y M

2mv⁼2j-m

0 0

»• + i

-Mv

>• + 1

• Mr

• Fl

v)

und die Konvergenz dieser letzteren Reihe zieht andererseits diejenige

oo

von

nach sich, o

Nun konvergiert nach § 49, S. 333, Gl. (13) (wenn man daselbst v durch v -(- 1 ersetzt) die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

für jedes (noch so kleine) q > 0.

-K

Daraus folgt weiter, daß auch noch die Reihe mit dem allgemeinen Gliede:

r+l

• (lg Mt)p für jedes (noch so große) p > 0

-K

Mv + 1 • M*

lconvergiert. Man erkennt dies unmittelbar, wenn man setzt:

M

-•(i %Mvy=-

- My (lg MVY

und beachtet, daß der letzte Faktor rechts für v —► oo den Grenzwert 0 besitzt (s. § 38, S. 240, Gl. (2)). Bringt man also das allgemeine Glied der in Gl. (21) rechts auftretenden Reihe auf die Form:

*r + l~*r

*,4-i •*,

-K-

K+x-M

• Mv

wo: 0^0'<1, p <. oo,

so ergibt sich, daß die fragliche Reihe sicher konvergiert, wenn der letzte Faktor numerisch unter einer endlichen Grenze bleibt, d. h. wenn:

(22)

lim

JLEki

- < oo

V

bei irgendeinem Werte -fr < 1 und p < oo.¹) Man findet also den folgenden Satz:

n ->oo

00

Für die Konvergenz der Reihe

o

bildet die Be

ziehung (20) eine notwendige, die Beziehung (22) eine hinreichende Bedingung. Ist die letztere erfüllt, so konvergiert die

oo

Reihe    zum mindesten in der durch die Indizes vorgeschrie-

o

benen Anordnung gegen dieselbe Summe, wie die unbedingt kon-

divergente Reihe -== o

-K-

-*,

■K

7. Schreibt man in dem eben gefundenen Resultate mf statt Mv, wo q > 0 und mr, also auch mV geradeso wie My monoton ins Unendliche wächst, so nimmt    die in zahlentheoretischen Untersuchungen

häufig yorkommende, gewöhnlich als Dirichletsche Reihe bezeichnete Form 1) Man bemerke, daß alsdann die notwendige Konvergenzbedingung (20) eo ipso

erfüllt ist.

28

Pringsheim, Vorlesungen I, 2.

< !

¹ )rv, bzw.yi-^’-

r-

m $

mittelbar in die folgende über:

an. Die notwendige Konvergenzbedingung (20) geht alsdann un-

lim

„ -> oo mj

die hinreichende (22) (wenn man beachtet, daß: (lgmf)p = qp • (lgmv)p und die Bedingung (22) durch Multiplikation mit dem endlichen und von Null verschiedenen Faktor nicht alteriert wird) in die folgende:

(23)

= 0,

(24)

\vn\

lim —j---

mn •(Igffl/

Hieraus folgt schließlich noch, daß die Reihe -Vv- bei jedem noch so kleinen q > 0 konvergiert, wenn die Bedingung (24) schon für 2 = 0 er-füllt ist; und daß das gleiche bezüglich der Reihe    gilt, wenn

die Bedingung (24) für 2=1 besteht. Hiernach ergibt sich also noch der folgende speziellere Satz:

Für die Konvergenz der (Reihe ^ Vv- bzw. ^

jedem noch so kleinen Werte q > 0 ist hinreichend, daß:

Vv

bei

(25)

lim

Vn\

(lg mn)p und man hat sodann:

< oo bzw. lim

\vn\

„->00 Wn(lg»»n)P

< oo,

8. Als eine weitere nützliche Anwendung der Abelschen Transformation wollen wir noch den folgenden Grenzwertsatz beweisen:

Ist (av) eine beliebige Zahlenfolge, 'Sdv eine divergente Reihe mit positiven, niemals zunehmenden Gliedern mit dem Grenzivert Null, also:

cv

> 0, lim <2, = 0,

V->00

+ oo,

und setzt man:

(27)

2;a' = A

N<¹--

i

, 2}a,dt-S,

1

so ist:

(28)

lim — = lim —,

n-> oo

Sn

n-> oo

falls der rechts stehende Grenzivert eine bestimmte Zahl ist.

Beweis. Mit Benützung der Abelschen Transformation hat man (s. S. 416, Fußn. 2):

(29)

S„=-2jA,{ä,.-d,₊,) + AJ

n +1

und daher: (30)

Ersetzt man in Gl. (29) ar durch 1, also Av durch v, so folgt:

¹

1 “ Gi - \    \-----6¹

gerade noch unter s herabsinkt, aber bei Weglassung des letzten negativen Gliedes (—b ) die Zahl s zum mindesten noch erreichen würde,, sodaß also:

²

Die Benennung ist in Wahrheit nicht korrekt: d^pn es handelt sich in Gl. (17 b), (17 c) gar nicht um Doppelreihen in dem üblichen und späterhin (s. § 62, Nr. 2) noch ausführlich zu erörternden Sinne, vielmehr um solche Summationsanordnungen der zweifach-unendlichen Zahlenfolge (6), die wir passender als ite-rierte Reihen bezeichnen. Da sich aber die obige Benennung des betreffenden Satzes allgemein eingebürgert hat, so wollen wir sie bei gelegentlicher Zitierung desselben beibehalten. (Der Satz findet sich in Cauchys Analyse algebrique [1821], p. 541 = Oeuvres (2), T. III, p. 444.)

³

Dabei steht es selbstverständlich frei, bei der Formulierung des Satzes

⁴

„Zeilen“ und „Kolonnen“ zu vertauschen.

⁵

Man kann mit Benützung des in Ungl. (2) und (4) enthaltenen Prinzipes etwas kürzer auch folgendermaßen schließen. Es ist:

*» + *- *n = (- ⁵)Ä + 1(⁰» + l-«» ₊ 2+ -' + (-l)P"⁵ an + ?)

und, da die Klammergröße offenbar wesentlich positiv ist:

I + e -Sn I — an +1 - «n + 2 + • • • + (- ⁵)Q~% an + ₉ < %

sodaß also , sn + (j — sn | durch Wahl von n beliebig klein wird und somit die betreffende Reihe konvergiert.

⁶

Diese Bedingung ist hinreichend, aber noch keinesfalls notwendig (s. Nr. 6).

(31)

Sn-^}V(d,-d.+l) + nd-

also:

- ndn

= 1,

^'■v(dv — dv + 1)

und es geht die Gleichung (30), wenn man diesen Ausdruck dem ersten Gliede der rechten Seite als Faktor hinzufügt, in die folgende über:

(32)

Sn

Sn

2’Ar(ß,-dM)

1

Sn

2^{dv-dv^)

2vv(dr — dv + 1)

l

Um auf den rechts zweimal auftretenden Quotienten den Grenzwertsatz III von § 37, Nr. 3 (S. 229) an wenden zu können, hat man nur zu zeigen, daß die im Nenner stehende, mit wachsendem n niemals abnehmende positive Summe für n Nun ist aber nach Gl. (31):

oo selbst ins Unendliche wächst.

1.

s„-ndn

also für jedes m < w:

yyy(dv—d

und daher (wegen: lim dn

n ->oo

= 0):

lim y}v(dv-dv+1)>sm

n->oo ■““*

d. h. = -f- oo ,

da ja sm infolge der Divergenz von ^dr durch Wahl von m beliebig

groß gemacht werden kann. Somit findet man mit Benützung des oben erwähnten Grenzwertsatzes:

(33)

lim —

n ->oo

= lim

K ->oo

An(dn-dn + l)

An

nK~dn + l)    n ’

2vv{~dv — dv + l)

l

sofern der letzte Grenzwert überhaupt existiert. Fällt derselbe überdies endlich aus, so verschwindet für n

Gl. (32) (da ja —^^-<1), und man findet somit, wie behauptet:

von

»«

Sn

oc das letzte Glied der rechten Seite

An

n

lim — = lim--

n->oo n

n->oo

Sn

§ 60. Genauere Untersuchung der Wert Veränderungen bedingt konvergenter Reihen.

1. Wie in § 57 gezeigt wurde, läßt sich jede bedingt konvergente Reihe auffassen als hervorgegangen aus der Vereinigung zweier divergenter Reihen ^Sar. J£(—bj)‘ und umgekehrt kann man durch passende Einschiebung der Zahlen — bl} — &₂, — bs, • • • in die Reihe der Zahlen at, n2) «s, • • • eine bedingt konvergente Reihe mit vorgeschriebener Summe oder auch eine divergente Reihe erzeugen.

Um den Einfluß der Gliederanordnung auf die Summe einer solchen Reihe etwas genauer festzustellen, wollen wir zunächst den besonderen Fall betrachten, daß bv = av (für v = 1, 2, 3, • • •).

oo

: ar > 0, lim ay = 0 und av = oo

r->oo

. Ordnet man zunächst

Sei also

jedem positiven Gliede av das entsprechende negative zu, d. h. bildet man die Reihe:

ai — ai + az — a2 + ' ’ • + av ~ av +.....;

so konvergiert dieselbe offenbar gegen den Wert 0, in Zeichen:

oo

(1)

-o,¹)

oder anders geschrieben:

v’

(2)

lim

0 für: v — v—1 und v' = v.

*->•00

Jetzt wähle man zwei unbegrenzte Folgen beständig wachsender natürlicher Zahlen (jp1} p₂, pz, • • •), (nl7 n₂, n₃, • • •) und bilde aus den Gliedern (ar), (— ay) — genau wie beim Beweise des Riemannschen Satzes in § 57, Nr. 2 (S. 403) — die folgende unendliche Reihe:

Pv    «r

■ ■ ■

Pi    ni    Pi    ni

(3) ]>*a,-^}a, + 2*a’‘-2*a* ⁺ '"

nv—i +1

1    1    Pi +1    fli +1

oder, indem man noch p₀ = n₀ = 0 setzt, kürzer geschrieben:

°°    / Pv    nv \

(3a)

2 ( 2a*~2a*)

1    Hl    nv _ i -J- 1 J

Bezeichnet man die Summe der ersten g Glieder (jeden einzelnen Summanden + ay als ein Glied gerechnet) mit s , so ist insbesondere:

+ nv

Pv    nv

1 1

d. h.

Pv

-

wenn: py > nr,

ny

= ~2?a*> Wenn: Pv<nv

Pv + l

2. Angenommen, es sei nun: lim spv

r->oo

so folgt zunächst nur soviel, daß die Reihe (3) gegen die Summe s konvergiert, wenn man je eine Gruppe von Summanden:

(5)

+ n,,

== s (wo s eine bestimmte Zahl),

nv

Pv

(6)

2a‘-2*a*)

\Pv—1 + 1    «V —1+1 '

als ein Glied der Reihe auffaßt. Dabei wird also:

/ Pv    nv \

(2*.-2*)

'Pv—1+1 nv— 1+1    ⁷

Bedeutet dann g eine beliebige zivischen py_l -f-nv_x und py -f- ny liegende ganze Zahl, so hat man offenbar:

(7)

lim

V-> 00

= lim Av = 0.

Pv

^SP,

l + nv-l

+ 2xa*>

(8)

Pv — 1 + ¹

Pv

und daher:

(9)

lim 8 = 5

falls:

fi ->oo

(10)

lim

r->oo

Vv

o.¹)

Vv — 1 +¹

Kommt also die Bedingung (10) noch zu der Bedingung (5) hinzu, so konvergiert die Reihe (3) auch gegen die Summe s, wenn man die einzelnen Summanden + ay als die Glieder der Reihe auffaßt.

Vv

Ist dagegen lim y* ax =

r->oo

L, d. h. von Null verschieden (endlich oder

Vv —1 + 1    *

unendlich groß), so oszilliert die Reihe (3) in den Grenzen s und s + L. Sie läßt sich dann aber zu einer konvergenten machen, wenn man noch die Summanden + ay innerhalb der einzelnen Gruppen Av in passender Weise anordnet. Daß dies allemal möglich ist, zeigt eine ganz analoge Überlegung, wie die beim Beweise des Riemannschen Satzes ange-stellte, wenn man nur berücksichtigt, daß lim ay = 0, lim Av = 0. —

x->00

*->■00

Besteht andererseits keine Beziehung von der Form (5), d. h. ist ent-

voneinander

weder lim sp

r->oo ’

= + 00 oder sind lim sp *->» V

verschieden, so divergiert offenbar die Reihe (3).

3. Die Summe bzw. die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe von der Form (3) hängt also wesentlich ab von der Beschaffenheit eines ge-

+ nv

+ ny

und lim

V-> 00

SPv +

Pi/    71 y

wissen Partialrestes der divergenten Reiheret,,, nämlich:    ay bzw. ay

fly + 1

00. Die Untersuchung solcher Partialreste läßt sich aber in vielen Fällen mit Hilfe des folgenden Satzes vereinfachen:

Ist: ay > 0, ay ~ ay, so wird:

für v

Vv + l

(io

lim

V ->-oo

Vv

Na-'~

lim

nv + 1

*->00

Vv

Na* ⁽

wo: pv>ny, limnv — 00),

Vv + 1

* -> 00

1) Daraus folgt dann vermöge der Beziehung (7), daß auch:

(10 a)

lim

r->oo

nv

”v-l + ¹

wird, und umgekehrt zieht auch diese letztere Gleichung die Gleichung (10) nach sich. Die Konvergenzbedingung (10) bzw. (10 a) ist sicher allemal erfüllt, wenn jede Gliedergruppe Av zum mindesten die eine Gattung von Gliedern (d. h. entweder die positiven oder die negativen) in stets unter einer festen Schranke bleibender Anzahl enthält.

(12)

(13)

falls einer dieser Grenzwerte eine bestimmte Zahl 0 vorstellt oder unendlich groß wird.

Ist: ax > 0, af -< ay, so wird:

lim

V->00

Pr

2

n-y 4-1

a,

Vv

' = 0, falls: lim ay <

Ist: aj >- ay, so ivird:

lim

V-+-0O

Pv

%+1

Beweis. Man hat:

»r +1

oo.

Vv

falls: lim ay> 0.

V ->oo

'«V+ 1

Pr    Pr

2 <^21:

Pr

> & -2^1

TT

«r + 1

«r +1

Pr

<GV ^}ay.,

«r + 1

gv die kleinste, Gv die größte unter den Zahlen — für jc = wv + 1,

ax

nv + 2, • • pv bedeutet. Ist nun af ^ so wird lim gv = lim 6rv = 1, und daher:

wenn

r ->oo

t'-r-oc

lim

r->oo

Pv

lim

r->oo

Vv

(Gl- (ID)-¹)

ny + 1

nv+ l

Ist af ~Kay, so wird lim Gv = 0 und daher auch:

V ->00

wenn

Vv

0 (Gl. (12)),

Vv    "y+1

unter einer endlichen Zahl bleibt.

lim

V^V-00

1) Man kann dieser Gleichung auch die Form gebe

Pr

Vv

nv +1

Dies ist ohne weiteres klar, falls jene Grenzwerte endlich und von Null verschieden ausfallen. Die Richtigkeit der Formel (11a) bleibt aber auch bestehen, falls jene Grenzwerte verschwinden oder unendlich groß werden, wie unmittelbar erkannt wird, wenn man üngl. (14) auf die Form bringt:

(11 a)

«r +1

Pr

nv + 1

Pv

f > ff v

< Gv.

Abschnitt II. Kap. III. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. Nr. 4. Ist dagegen a' >- ay, also lim gv = oo, so wird:

428

r->oo

wenn

lim

»'-> oo

Pr

^a; = oo

(Gl. (13)),

7ly 1

Pv

ay über einer positiven Zahl bleibt.

nr + l

4. Der soeben bewiesene Satz lehrt, daß der Grenzwert eines solchen

Pv

Partialrestes ^ ay und somit die Summe der Reihe (3) gar nicht von dem

71 fr -f* 1

oo der Null zu-

speziellen Bildungsgesetze der ay für endliche Werte von x, sondern lediglich davon abhängt, in welcher Weise die ax für x streben. Und wenn es nur gelingt, zu einer divergenten Reihe J£ay eine möglichst einfach konstruierte, monoton ins Unendliche wachsende Zahlenfolge My von der Beschaffenheit anzugeben, daß:

(15)

ax^>Mx- My_x

(d. h. es braucht für keinen endlichen Wert von x die Gleichung ay = My — My_x zu bestehen), so findet man unmittelbar (Gl. (11)):

(16)

lim

Pv

lim

nr 4-1

v ->oo

Pv

2-«

r->oo

lly + 1

falls der letzte Grenzwert existiert, oder, anders geschrieben (Gl. (11a)):

Pv

M„ - Mn ,

Py    ny *

(16a)

Tly + 1

und man gewinnt auf diese Weise ein Mittel zur zweckmäßigen Berechnung des fraglichen Grenzwertes.

Man hat z. B. (§ 38, S. 247, Gl. (35)):

(17)

* (18)

und daher:

xlg

-i-Sflgx —lg(x—1), ~^lg*X-lg₈ (x-1),

' (19)

Pv

lim — = lim lg

K    V->00

»v +1

*->00

nv

= lg (lim?-’)    (§ 37, S. 234, Gl (30)),

(20)

lim

== lim lg

igi>„

Fenier ist identisch:

— Nj = Mji •

Mx-Nx

Mx

Ma

Ist nun Mx ^ Nx, so wird (§ 37, S. 236, Gl. (37)):

und daher:

(21)

lim

*->00

Mxe — Nxe ^ q ■

i_ÄV

\mJ

N.

Mx

Mx-Nx

M,¹-«

N 1_

y.

Setzt man jetzt: Mx = x, Nx = x — 1, so folgt:

(22)

~ —- • {x' — (x — 1)?}

und daher:

Pv

2

= — lim (pf — nvd).x)

p r->ao

5. Die Gleichungen (19), (20) und (23) lassen unmittelbar erkennen, welchen Bedingungen die pv, nv genügen müssen, damit die Grenzwerte der betreffenden Partialreste endlich und von Null verschieden ausfallen,

Pf

. Null oder unendlich groß werden. So wird lim - nach Gl. (19)

v->00    X

nv + l

(23)

bzw

lim

r->oo

x1_?

1) Man hätte dieses Resultat auch unmittelbar aus der früher bewiesenen Beziehung (§ 51, S. 349, Gl. (32)): .

lim n-> oo

herleiten können, indem man n die Werte py, nv beilegt und die entsprechenden Gleichungen voneinander subtrahiert.

Das analoge gilt bezüglich der Gleichungen (19), (20) und der Beziehungen:

lim

n -> ec

(2fr “M -■>-

1

n

2

(e. § 34, S. 208, Gl. (13) und § 51, S. 347, Gl. (23)).

dann und nur dann einen bestimmten positiven Wert besitzen, wenn Pv

lim — = g > 1 ist. Man erzielt dies, wenn man z. B. setzt:

v ->oo nv

(24)

Pv=P’Vt nv = n-v,

wo p, n zwei positive ganze Zahlen bedeuten und p > n ist. Alsdann ergibt sich:

(25)

lim

V->00

nv + 1

(-msi -si))

oder, anders geschrieben (s. Gl. (3a), (4)):

(26)

- lg

Dabei konvergiert diese Reihe, auch wenn man die einzelnen Summanden + ^

p >’    t

— < lim - p --- = 0, also die

als deren Glieder auffaßt, da: lim

P (v — 1) + 1

V~>00

Konvergenzbedingung (10) erfüllt ist.

Hätte man p<n angenommen, so würde sich nach Gl. (4) der Grenz-

nv

lim — == — lg U als Summe der entsprechenden Reihe er-

v ^ i 7C    ° V    ¹

V->00    Jr

pv+ 1

geben haben. Da aber — lg ~ = lg P , so kann man sagen, daß Gl. (26) auch für p < w gültig bleibt. Da dies übrigens offenbar auch für p = n

man folgenden Satz aus

wert: —

der Fall ist (wegen: lg P = lg 1 = 0), so kann sprechen:

wenn man

Bedeuten p, n zwei beliebige positive ganze Zahlen, so resultiert eine konvergente Reihe mit der Summe lg-^-

00 '

auf je p Glieder der Reihe    je n Glieder der Reihe

folgen läßt.    i    ¹

6. Da bei einer Anordnung der eben betrachteten Art allemal der Logarithmus einer rationalen Zahl, also eine besondere Form einer Irrationalzahl zum Vorschein kommt, so entsteht noch die Frage: Wie sind die ganzen Zahlen pv, nv zu bestimmen, damit eine beliebig vorgeschriebene rationale oder irrationale Zahl s als Summe der zugehörigen, aus den

Termen 4----zu bildenden Reihe resultiert?

- X

Nach. Gl. (19) hat man, wenn s eine beliebige positive Zahl vorstellt:

(27)

lim

r->»

Pv

21

= s,

falls: lim

Pv

nv + 1

r->oo

nv

= es.

Da nun offenbar:

(28)

lim

[V • v]

[*■*]

V->00

e‘

also: lim

V

V-+00 v

= e"

(wo wiederum das Symbol [x] die größte in x enthaltene ganze Zahl bedeutet), so wird der obigen Forderung genügt, wenn man setzt:

Pr = 0* * v] > nv = v,

(29)

d. h. man hat:

(30)

lim

r->oo

oder, wenn man die linke Seite als unendliche Reihe schreibt:

oo /■    ier-rj    \

2(

Um die Summe — s zu erzeugen, hat man lediglich in Gl. (29) pv und ny zu vertauschen, und man erhält auf diese Weise:

[es- r]

(31)

00

(32)

- s,

wie ja übrigens auch ohne weiteres aus Gl. (31) hervorgeht.

Dieses Resultat läßt sich noch in folgender Weise verallgemeinern. Es' seien qy, ry (x = 1, 2, 3, • • •) zwei Zahlenfolgen von der Beschaffenheit, daß:

qy > 0, lim qy = q, d. h. endlich und von Null verschieden,

Z->-oo

während die ry nur der Bedingung zu genügen haben, daß ihre absoluten Beträge stets unter einer endlichen Grenze bleiben und qy • x + ry durchweg von Null verschieden ausfällt. Alsdann hat man:

lim

also:

(33)

1) Die Konvergenz dieser Reihe ist ohne weiteres evident, da jede Gliedergruppe nur ein negatives Glied enthält — s. die Fußnote zu Gl. (10).

Daraus folgt aber mit Benützung des Satzes in Nr. 3 (Gl. (11)) und der Gleichungen (30), (31):

00

2(    2

1 1)] + 1

oder, wenn man noch s durch qs ersetzt:

2,. • v + rv

(34)

oo f    [c2*-v]

S( 2

<ly/* + ry.

2» • v + rv

= s.

Hiermit ist aber die Aufgabe: Aus den Gliedern zweier divergenter

00

00

Reiben    (—by) eine bedingt konvergente Reihe mit vorgeschrie

i    i

bener Summe s zu bilden, für den speziellen Fall ay = by

vollr

2* • * +

ständig gelöst (während der Riemannsche Satz des § 57 nur die Existenz einer solchen Lösung erweist).

7. Auch die bereits in Nr. 4, Gl. (20) und (23) behandelten Bei-und ay = -y—- sollen noch etwas genauer betrachtet

,    (0<p<l), so folgt zunächst

dem Satze von Nr. 3 (Gl. (12) und (13)), daß diejenigen Anordnungen, welche aus den Gliedern + ~ eine konvergente Reihe mit beliebiger von Null verschiedener Summe erzeugen (Gl. (26) und (31)), bei den Gliedern + —-— eine solche mit der Summe Null, bei den Gliedern + -y—

X lg X    X ^

nach + oo divergiermde Reihe hervorbringen.

spiele: ay =

werden. Da

lg

aus

eine

Im übrigen erkennt man aus

Pr

Gl. (20), daß: lim ^ T

X lg

einen be-

stimmten positiven bzw. negativen Wert besitzt, wenn lim und > 1 bzw. < 1 ausfällt. Setzt man z. B.:

nv = vn,

v ->oo

X sC

existiert

(35)

Pr =

wo wiederum p, n zwei positive ganze Zahlen bedeuten, so wird:

rP

(36 a)

lim    —y

»->00    * U

(36b)

= ig-f- (p>*),

(p<n)-

rn + l

lg X

lim

ytl

Daraus folgt, daß man eine konvergente Beihe mit der Summe lg erhält,

oo

wenn man auf je vp (y = 2, 3, 4, • • •) Glieder aus der Reihe    je

X lg ■)1

vn Glieder aus der Reihe    (—%T~x) ^Sen läßt. (NB. Man erkennt

2 vP

leicht, daß die Konvergenzbedingung (10): lim    ^

”-*⁰⁰ („_!)*>+!

erfüllt ist.) Und man kann durch eine ganz analoge Modifikation, wie in dem zuvor betrachteten Falle ay = + —, eine Reihe mit beliebig vorgeschriebener Summe s erzeugen. —

Was schließlich den Fall: ax —

— 0 wirklich

-A-    (0 < q < 1) betrifft, so lehrt

Pv

Gl. (23), daß: lim —

höchstens dann einen endlichen Wert besitzen

kann, wenn:

riy + l

(37)

Pr ^ W, .

Machen wir nun diese "Voraussetzung, so geht Gl. (23) mit Benützung von (21) in die folgende über:

(38)

Pv~nv

= lim

pv V

= lim

r-*oo nv

Pr~nv r

1-

nv + l

Damit dieser Ausdruck einen vorgeschriebenen positiven Wert s annimmt, ist notwendig und hinreichend, daß:

pv — nv^s • n^-e,

(39)

und dieser Forderung wird offenbar genügt, wenn man setzt:

(40) nv = v, pv = v + [s-v¹⁻?]    ^ wegen

: lim

r->co S ■ V

fr-.¹"*]

l-i

Durch diese Wahl von pv, ny wird dann allemal eine konvergente Anordnung der Glieder + -y_; mit der Summe s definiert.

xL '

1) Diese auf der speziellen Voraussetzung pv^nv basierende Gleichung (aber nicht die allgemeinere Beziehung (23)) läßt sich wesentlich kürzer herleiten. Man hat nämlich:

Pr

24

Pr ~ nv Pr'-* Pr — nv nl~* ’

woraus für pvr^J nv unmittelbar Gl. (38) hervorgeht.

Pr ~ nr ■- q

(41)

und sie wird offenbar auch befriedigt, wenn man setzt:

(42)

8, CH

(wo p, q positiv und ganzzahlig), und

Ist s rational, etwa s =

1 — p = ~- , wo r eine positive ganze Zahl ^>2, so nimmt die Relation (39) die Form

an:

nt, = (q • v)r, pr = (q-v)r +pv.

Danach ergibt sich:

(43)

lim

V->00

/(Qv)r + pv    (qv)r \

(i»K+pv

2r

Diese Anordnung in Gruppen^,,, welche offenbar aus je qr(vr—(v—l)r)+jp positiven und aus je qr(vr — (v—l)r) negativen Summanden bestehen, ist

V*

hat nach Gl. (38):

aber noch keine konvergente in den einzelnen Summanden +—7=-- Denn man

(qv)r

(44)    2

(?(V-l))r+l V

⁽Ä 1 f-oo, falls: r>2,

.    i/H } = 2ö, falls: r = 2,

sodaß also die betreffende Reihe in den Grenzen (— und 00) bzw.

tv    v    \    .    .    .    ’

^ — und -f 2</J oszilliert. Man kann dieselbe indessen zu einer konvergenten machen, wenn man innerhalb jeder Gruppe Ar zunächst auf je ein positives Glied je ein negatives und sodann den noch vorhandenen Uberschuß von p positiven Gliedern folgen läßt. Denn die Summe der letzteren hat offenbar für v

daher (wegen lim Av = 0) von der Summe der durchweg negativ aus-

also:

(45)

lim

v->oo

00 den Grenzwert Null, und das gleiche gilt

V->00

fallenden qr -{yr — (v — l)r) Gliederpaare, welche mit jenen p Gliedern zusammen die Gruppe Av bilden.

8. In dem bisher betrachteten Falle einer aus den Gliedern der beiden

00

00

Reihen ax,    (— aj) zusammengesetzten bedingt konvergenten Reihe

nv + 1

Pr

Grenzwertes eines Partialrestes von der Form lim y-* tix zurückführen,

weil sich hier jede noch so große endliche Anzahl von Gliedern ay gegen die entsprechenden Glieder — ax forthebt. Dies findet offenbar nicht

mehr statt, wenn an die Stelle der Reihe (— aj) eine solche mit

⁰⁰    i

anderen Gliedern:    (—by) tritt; und es liegt auf der Hand, daß, bei

i

jeder Vereinigung der Glieder ay, (—•&„) zu einer konvergenten Reihe, die Summe dieser letzteren ganz wesentlich von dem Werte jedes einzelnen Summanden au a₂, a₅, ■ • •, — blf — &₂, — b₃, • • • abhängen wird. Dagegen läßt sich zeigen, daß die Wertveränderung s, welche diese Summe bei Umordnung der Glieder möglicherweise erleidet, allemal wieder durch den Grenzwert eines gewissen Partialrestes darstellbar ist, und daß dieselbe somit auch wieder nur von dem Verhalten des Absolutwertes der Glieder bei unendlich wachsendem Index abhängt (vgl. Nr. 3).

Angenommen, es liefere eine bestimmte Anordnung, bei welcher auf pv positive Glieder ak jedesmal nv negative Glieder (— bk) treffen, eine gewisse Reihensumme s, sodaß also:

Pv    «V

¹

Das Zeichen [a,-] bedeutet, wie schon bei früherer Gelegenheit die größte ganze Zahl, die < x.

(46)

Isr. 8.

435

§ 60. Wertveränderungen bedingt konvergenter Reiben, ließ sich geradezu die Summation dieser letzteren auf die Bestimmung des

l[j?i{2xa'~2*h')=s’

während eine andere Anordnung, bei welcher pr positiven Gliedern nj negative entsprechen, die Summe s ergeben mag, also:

(47)

lim

V->00

Pv    »/

s',

so findet man:

= lim y*by,

r_>“ V+i V

= — lim bx, wenn: nj > wv.

v->00

wenn: wv'<w,,

nv    nv’

(48) A = s'—s = lim

V -> 00

nv + 1

Man kann also die Wertveränderung, welche die Reihensumme s beim Übergange zu der Anordnung (47) erleidet, berechnen, wenn es gelingt, den Grenzwert des Partialrestes (48) bei gegebenem nr, nj zu bestimmen; umgekehrt kann man eine Anordnung mit beliebig vorzuschreibetnder Summenänderung A hersteilen, wenn es gelingt, solche nv, ny' ausfindig zu machen, für welche jener Partialrest den Grenzwert A besitzt. Und man kann schließlich im letzteren Falle auch geradezu eine Anordnung mit beliebig vorzuschreibender Summe s' angeben, wenn noch s, d. h. die Summe der Reihe bei irgendeiner bestimmten Anordnung bekannt ist.

oo

Betrachtet man z. B. eine Reihe von der Form ^}(— l)v~¹-av, wo

00 1

so ist die-

die av monoton gegen Null abnehmen und ay divergiert

i

selbe in dieser Anordnung stets bedingt Iconvergent: ihre Summe sei s. Ordnet man jetzt pv positiven Termen nv negative zu und bezeichnet die zugehörige Summe mit s, also:

(49)

s'

Pv    "V

⁼[2* a**~¹ ~ 2ö2*)

so kann man zunächst s in jede der beiden Formen setzen:

(50) s = lim

v->co

Pv

( ^fl2*-l 1

Pr    nv

y}a2y) = lim (y*a2>!

”v

1    2} a2 x)

und findet daher, wenn etwa pv > n,,:

Pv

(51a)

ebenso, falls pv<.ny:

= lim •>'->■00

= lim

V->oo

n, + l

«2*

2 Pv

= l lim V*ax, ¹)

" r->oo

a2x-l

2n„

2 n„

(51b)

2pv

um eine An-

Wird also s als bekannt vorausgesetzt, so hätte man Ordnung von der Form (49) mit beliebig vorgeschriebener Summe s' = 6 zu erzielen, lediglich pr, nv so zu bestimmen, daß:

2 Pv

2 Hy

(52)

<? bzw. s —

2 nr

O lim y} ax = 6.

V->oo

2pv

Nimmt man z. B. speziell av = —, also (§ 59, S. 415, Gl. (9)):

oo

*- >?(-!)’• 7 = lg 2,

(53)

so wird (s. Gl. (19)):

2 Pv .

(54)

\ lim V* i

^ r-yoo    x

2 rav

2 nv

lim V,-¹

2    x

2py

Hieraus ergibt sich, daß die harmonische Reihe mit alternierenden Vorzeichen die Wertveränderung — lg (lim —) erleidet, wenn man pv posi-tiven Gliedern nv negative zuordnet, also insbesondere die Wertveränderung lg wenn man setzt: pv = p-v, nv = n- v, d. h. wenn man auf

je p positive Glieder je n negative folgen läßt. (Man bemerke die Spezialfälle p ⁼⁼ 4, n = 1 und p=l, n = 4, welche die Wertveränderung ilg2, also die Summen 2 lg 2 und 0 liefern.)

Um eine Reihe mit vorgeschriebener Summe 6 zu erzeugen, hat man lediglich^?,., nv so zu bestimmen, daß (Gl. (54)):

(55)

0, also: lim

r -> 00

- = e2a

nv

und man genügt offenbar dieser Forderung, wenn man setzt:

re2a i

lVvj’

falls; ö" > lg 2,

nv = v,

nv = [4e~*a• v], falls: tf<lg2.

Die Reihe würde dagegen nach -f oo divergieren, wenn man pv >- nv annimmt, z. B. indem man setzt: pv = v², nv = v. Da in diesem Falle pv— Pv-1 = —1 wird, so besteht die entsprechende Gliederanordnung darin, daß man der Reihe nach auf 1, 3, 5, • • •, (2v — 1), • • • positive Glieder immer je ein negatives folgen läßt.

(56)

bzw. pv = v,

§ 61. Über numerische Berechnung und Transformation unendlicher Reihen: Die Methoden von Euler und Kummer.

1. Sind die Glieder einer konvergenten Reihe numerisch gegeben, so kann man durch numerische Addition einer hinlänglich großen Anzahl von Gliedern die Summe der Reihe näherungsweise berechnen, und man kann auch den Grad der erzielten Annäherung beurteilen und eventuell

Pringsheim, Vorlesungen I, 2.

auch noch erhöhen, sobald es außerdem gelingt, den Wert des vernachlässigten Beihenrestes in bestimmte Grenzen einzuschließen. Diese theoretische Möglichkeit erweist sich aber in der Praxis als völlig illusorisch, wenn die zu summierende Reihe verhältnismäßig langsam konvergiert, da in diesem Falle jede auch nur nennenswerte Annäherung eine unerträglich langwierige Rechnung ergeben würde.

Betrachten wir z. B. die Reihe:

00

(1)

wo:

(2)

'-2?-

i

S7, + Tn >

00

T*’

so hat man:

71 + 1

00

00

(3)

rn<2

(v — 1) • V

ft

8 M-

und daher:

71 + 1

(4)

s„<s<s„ + f •

Nimmt man also beispielsweise n — 1000, so würde man hieraus zunächst nur soviel erkennen, daß die Summation der für die Praxis geradezu enormen Anzahl von 1000 Gliedern¹) eine Summe s₁₀₀₀ liefert, die

unter s liegt, die also immerhin schon in der dritten

um weniger als

1000

Dezimalstelle um eine Einheit zu Mein sein kann.

Dieses Resultat läßt sich nun freilich noch einigermaßen verbessern, wenn man neben der zuvor gefundenen oberen Schranke für den Wert des Restes rn auch eine entsprechende untere Schranke bestimmt. Man findet nämlich nach Analogie von Ungl. (3):

00

(5)

** >2 v(v -f l)

00

71 + 1

71 + 1

und daher neben Ungl. (4) die folgende:

S S -f j—r

n 1 n -f 1

(6)

= sn -f —

n n

n(n -f 1) ’

sodaß sich aus der Verbindung von Ungl. (4) und (6) ergibt:

(?)

n (n -f 1) ’

1) Man versuche nur einmal, etwa 20 Glieder der obigen Reihe zu summieren!

wo & zwischen 0 und 1 liegt. In Worten: Ersetzt man s durch sn -f * , so erhält man zwar einen zu großen Wert, der begangene Fehler ist • Im Falle n = 1000 wird dieser Fehler kleiner

1001000’ er kann also, da dieser Bruch sehr nahe an    liegt,

immerhin noch auf die 6te Dezimalstelle Einfluß üben. Man erkennt hieraus, daß auch bei diesem verbesserten Verfahren die erzielte Genauigkeit in keinem rechten Verhältnisse zu dem erforderlichen Rechnungs-aufwande steht, und daß der letztere geradezu ins Ungeheuerliche wächst, wenn man eine merklich größere Genauigkeit erzielen will.

Hiernach erscheint es begreiflich, daß die Reihentheoretiker sich von jeher vielfach mit der Auffindung von Methoden beschäftigt haben, welche es ermöglichen, langsam konvergierende Reihen in schneller konvergierende zu transformieren: die beiden einfachsten dieser Methoden, die von Euler und Kummer herriihren, sollen jetzt erörtert werden.

2. Wir führen zunächst die folgenden Bezeichnungen ein¹):

av~

A av — A av + L = A %av

ax-ax₊i = ax

aber kleiner als

n(n -j- 1)

als

«,+i = A¹«,, = Aar (* = 0,1, 2,-..)

(8)

A nav - A X + 1 = A " + 1av

oo

Konvergiert nun so hat man:

(9)

die Reihe(—l)”- ar, wo a„^0, gegen die Summe s, o

'    oo

(-!)’•

« ' ⁰

= ao +    1)

. 0

V+ 1 .

ar + l

und findet somit durch Addition dieser beiden Gleichungen:

oo

2s

= ao +    (- i)v • K -

0

1) Man bemei'ke, daß hier das Zeichen A keine Zahl, also in der Verbindung Aav keinen Faktor, sondern eine (mit dem ay vorzunehmende) Operation vorstellt. Dem entsprechend bedeutet An keine Potenz, sondern die n-malige Wiederholung der Operation A (also n keinen Exponenten, sondern einen Index).

Abschnitt II. Kap. III. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. Nr. 2. oder mit Benützung der Bezeichnung (8):

440

(10)

0

Da die hier auftretende Reihe    (— l)v- A av sich von (— l)v

o    o

• av =

oo

■av

nur dadurch unterscheidet, daß Aav an der Stelle von av steht, so findet man durch Anwendung der nämlichen Transformation zunächst:

2’    1)V •    “ r Aflo +    V’

0 0

und durch Einführung dieser Beziehung in Gl. (10):

00

(11)

S = Ya0 + Y* ^a°    (— 1)*

• A²ar.

so ge-

Wendet man dieses Verfahren auf Gl. (10) im ganzen n mal an langt man offenbar zu der Formel:

• Aw + 1av,

(12) s = g- a₀ -t-g *A a₀+--₈ A² a₀ 4-----1-    ao+jjü+r

wie man durch den Schluß von n auf (n + 1) noch genauer feststellen kann. Durch Anwendung der Transformation (10) auf das letzte Glied von Gl. (12) ergibt sich nämlich unmittelbar: (13)s-ia₀+iAa₀+i,AV₀+-+2iIA”+>a₀+jAi-^(_l)r.A" + sal, d. h. wenn die Formel (12) für ein bestimmtes n gilt, so bleibt sie auch gültig, wenn man n durch (n + 1) ersetzt. Da aber die Richtigkeit der

1) Hieraus folgt, wenn die av und Aav positiv sind und monoton abnehmen, daß allemal:

«0 -y«i-

Und wenn man av durch a2n + v ersetzt:

Q-in    a2» + 1 '

Formel (12) für n = 1 erwiesen ist (s. Gl. (1’1)), so gilt sie hiernach für jedes n. Hierzu sei noch bemerkt, daß aus der Voraussetzung lim av = 0

r->oo

offenbar stets folgt: lim Auv — lim (uv + 1 — u„) = 0, und somit, durch fort-

v->00

gesetzte Anwendung dieser Schluß weise, für jedes n:

lim Anav = 0.

v->oo

3. Die Transformationsformel (12) erforderte zu ihrer Herleitung

(14)

V->00

keine andere Voraussetzung, als daß —1)* • a>v konvergieren mußte.

o

Wir unterwerfen jetzt die ar der Beschränkung, positiv zu sein und monoton gegen den Grenzwert Null abzunehmen, also:

av>av+i> üma, = 0.

1'-> oo

Daraus folgt dann zunächst, daß durchweg Aa, = flv-«, ₊ i>0 und lim Au,, = 0 wird. Wir wollen aber weiter annehmen, daß auch die Aav

v ->oo

* monoton (und dann selbstverständlich gegen Null) abnehmen, also:

lim Au,. = 0;

1'->0O

(15)

(16)

Au,. > Au,.

+i f

und wir wollen schließlich diese Annahme dahin ausdehnen, daß für jeden Wert von n:

(17)

Anu„ > A"uv + 1 >0 (y = 0, 1, 2, • • •)

sein soll und daher:

(18)    0 < A"uv = An-1u, - A"“¹u„₊₁ < A/,-1u,. <    < Au,. < u, .

Infolge der über die av bzw. Anav getroffenen Festsetzungen liefert nun GL (12) die beiden Ungleichungen:

> l a0 + T* ' ^ao + 2» * ^a° ^-----^ ~2* + 1

<Yao    -----^ 2*tt' A"u₀ +

(19) *

* A”u₀

oder anders geschrieben:

(20)

2 (a° ⁺2V~&‘ A*a°)

1

>8 —

2” +¹

Da 0< An + 1u₀<u₀ (übrigens An + 1ar mit wachsenden Werten von n nach Ungl. (18) monoton abnimmt), so lehren die Ungleichungen (20), daß deren linke Seite für n —> oo in eine gegen die Summe s kon-

vergierende Reihe übergeht, und man erhält auf diese Weise die angekündigte Eulersche Transformationsformel:

00

oo

(21)

•ay

2y

• A’a₀.

Setzt man sodann:

(22)

S 2 ü° 2 2J 2* 1

• a₀ + r„,

so ergeben sich zur Beurteilung des Restes rn aus Gl. (12) und (13) die Beziehungen:

(23)

rn

< 2^+1 * A" + 1tt0 > ■—+* • An + 1a₀.

Dieser Rest ist also (selbstverständlich) größer als der erste der weggelassenen Glieder, aber immerhin Meiner als dessen Zweifaches.

4. Beispiele. 1) Die zu transformierende Reihe sei die folgende:

deren Summe, wie früher gezeigt wurde (§ 59, Gl. (9)),    •

den lg 2 darstellt. Da hier: aY = Aa,, = —~

¹ V -f- 1

A²a,=

so wird:

v+ 2

0 4- 1) (v -f- 2)

(*+l)(v -f 2)    (*' + 2)(» + S) (v + 1) (v -f 2) (* 4- *)

A nar =

(v + 1) (v -f 2) • • • (v -f » + lj

yon n

(wie man leicht durch den Schluß dessen hat man:

auf (n -f 1) bestätigt). Infolge-

und somit:

oo

00

”2” '

(24)

Setzt man hier:

(25) lg 2 =    + rn (sodaß also rn dem rn_x in Ungl.(23) entspricht),

so wird:

(26)

rn

(n + 1) • 2"

(« + 1) • 2" + 1

Nimmt man z. B. n = 20 und beachtet, daß 2⁴ = 16, 2⁸ = 16² = 256, also: 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024> 1000 und daher schließlich: 2²⁰> 1000000,

so wird: r₂₀<

sodaß hier schon durch Summation von 20 Glie-

21000000 }

dern eine verhältnismäßig große Annäherung erzielt wird (beiläufig bemerkt eine größere, als wenn man in der ursprünglichen Reihe 10 Millionen Glieder summieren würde¹)).

oo

2) Es werde gesetzt: av =

, sodaß die Reihe    (— 1)” •    ^

o

2v-f 1

resultiert, welche gewöhnlich als die Leibnizsche bezeichnet wird.²) Man hat hier:

2v+i 2v -f- 3

(2r+l)(2v + 3)

(2*+l)(2r-f 3)

(2v + 3)(2if+5)

(Sj V + 1) (2 v + 3)(2 v -f 5)

A*a„ =

2•4 • ••2n

2* • w!

(2v+ l)(2v-f 3)- • (2 r 2 w -f- 1)

(2*+l)(2i/ + 3).-.(2* + 2n+l)

und daher:

Ana₀ =

2n • n!

1 • 3 • • • (2 n -f 1)

Hiernach ergibt sich:

oo

oo

(27)    (-!)’•

0

2^+1

3 • 5 • • • (2 v -f- 1) 1

⁼ 2 {¹⁺T +

+ •••4

) +rn*

wo:

(28) r.

1 • 2 • • • (n 4~ 1)

<-3-5--(2n4-3)

1    1-2-. -(w + 1)

2    ‘ 3-5--(2n-f3)

<ar

1    2-3-n-f 1

2    ’ 3• 5•••2n4-l 2« 4 3

>GP

2n -f- 3

5. Die Kumm ersehe Transformationsmethode knüpft unmittelbar an den beim Kummer sehen Konvergenzkriterium auftretenden Ausdruck

an:

1)    S. die Fußnote zu Gl. (10).

2)    Ihre Summe ist, wie sich später ergeben wird, gleich —, wo n die sogenannte Ludolf sehe Zahl, d. h. die Maßzahl für den halben Umfang eines Kreises mit dem Radius 1.

a» + i

(s. § 54, S. 379, Fußn. 1). Angenommen, man habe eine Folge positiver Zahlen Bv so bestimmt, daß lim Xy einen bestimmten positiven Wert be-

v-¥<x>

sitzt. Man kann dann ohne merkliche Beschränkung der Allgemeinheit speziell:

(30)

lim Xy = 1

setzen. Denn, wäre für irgendeine Wahl von By zunächst: lim Xr = X,

v-yoo

wo X positiv und von 1 verschieden, so braucht man das ursprünglich ge-wählte Br nur durch By = ~ zu ersetzen, damit der fragliche Grenzwert = 1 ausfällt.

Sind nun die av (zum mindesten von einer bestimmten Stelle ab) durchweg gleichbezeichnet, so folgt aus der Bedingung (30) auf Grund des Kummerschen Kriteriums allemal die Konvergenz der Reihe 2ay und zugleich die Existenz einer Beziehung von der Form:

(31)

lim Bv- ar = a,

J->oo

wo a eine bestimmte Zahl mit Einschluß der Null bedeutet (s. § 54, S. 379, Gl. (7) und Fußn. 1).

Sind dagegen die av mit beliebig wechselnden Vorzeichen behaftet, so wollen wir die (wenn auch nur bedingte) Konvergenz der Reihe av, so" wie die Existenz der Beziehung (31) ausdrücklich voraussetzen.

Aus Gl. (29) folgt sodann:

(32)

Kar “ Byay — By+1ay+1

und daher, wenn n irgendeine bestimmte Zahl aus der Reihe 0, 1, 2, • • • bezeichnet:

2 K<*r    ~ B* + iav + l))

also mit Berücksichtigung von Gl. (31):

(33)

^Xyar = Bnan u.

Diese Gleichung liefert offenbar ein Mittel zur annähernden Abschätzung

oo

des Bestes ay. Denn da die Xy für hinlänglich große Werte von v sich

beliebig wenig von 1 unterscheiden, so ist zu vermuten, daß für sehr große

00

00

Summe XY av sich entsprechend wenig von av

Werte von n die unterscheiden wird.

In dieser etwas vagen Form ist freilich mit der eben gemachten Bemerkung nicht viel anzufangen. Dieselbe führt aber zu präziseren und praktisch brauchbaren Resultaten, wenn wir die aY und lv spezielleren Bedingungen unterwerfen. Es seien etwa für v^n die av durchweg positiv und die Xv monoton zunehmend, also: AV<A,,₊₁<1. Alsdann hat man offenbar:

00

(34)

<2rT„a’ (da:1<

n oo

>^jK'av

rr

für v > n),

sodaß die Gleichung (33) die Beziehungen liefert:

00

(35)

^}av

< T, (B-a- - “)

In gleicher Weise ergibt sich, wenn die Av für v^n monoton abnehmen:

00

(36)

Da Xn für einen einigermaßen großen Wert von n verhältnismäßig nahe

00

an 1 liegt, so erscheint der Rest    durch Ungl. (35) bzw. (36) in

entsprechend enge Grenzen ein geschlossen.

«,+i

• Man kann in diesem

Beispiele. 1) Sei av= also Falle (nämlich allemal, wenn lim

v->oo

am einfachsten in der Weise befriedigen, daß ns an lim Bv = 1 oder ge-

°>' + i

av

v -)- l

= 0) die Bedingung lim XY = 1

V->00

radezu Bv = 1 annimmt. Bei dieser letzteren Wahl wird hier:

(also mit v monoton zunehmend),

K = 1 — -*;T -    , ,

v    v i v i

sodaß die Ungleichungen (35), wenn man noch berücksichtigt, daß

446

Abschnitt II. Kap. III. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. Nr. 5. a = lim avBv = 0 wird, die folgenden Beziehungen liefern:

¹

n

V-> 50

(37)

w!

deren zweite offenbar etwas selbstverständliches aussagt, während die erste auch auf die Form gebracht werden kann:

(38)

2Ü<

«! n

n +■1

so liefert die Annahme: Br = v-\gv den Aus

druck:

lgv

(39) Ar-

V • lg V

lg {v + 0

(lg („ + I) - lg V)

V • lg V

(v-(- l)]g(v-f 1)

(§ 34, S. 207, Ungl. (3 a)),

und es wird also wiederum lim lv = 1. Da die Xv monoton zunehmen und a = 0 zu setzen ist, so folgt (mit Benützung der zweiten Ungleichung in (39)) aus Ungl. (35):

(40)

(n + 1) • lg (n -f 1) n ■ (lg «)*

lg«

Die zweite dieser Ungleichungen läßt in sehr anschaulicher Weise erkennen, wie außerordentlich langsam die Reihe    ^ konvergiert.

Da nämlich (§ 34, S. 206, Gl. (1)):    * ‘ g*

lg« = lg 10 • log« < 3 • log«

(wo log« den Briggschen Logarithmus von « bezeichnet), so folgt aus Ungl. (40):

o»)

•(¹g*')i

> ¹ . ¹

3 log n

Nimmt man also für n eine Zahl an, die aus einer 1 und Million Nullen besteht, so wird log« = 1000000 und somit der fragliche Rest immer

noch größer als

3 Millionen *

enormen Anzahl von Gliedern den wahren Wert der Reihensumme noch nicht einmal auf 7 Dezimalstellen genau angibt.

sodaß die Summation der vorangehenden

6. Die Gleichung (33) kann auch unmittelbar dazu dienen, um die

Summation der Reihe av auf diejenige einer merklich schneller kon

vergierenden zurückzuführen. Bringt man nämlich Gl. (33) auf die Form:

so ergibt sich zur Addition der Identität:

die Transformationsformel:

(42)

• «V

Dabei konvergiert in der Tat die rechts stehende Reihe stärker als die ursprüngliche, da lim (1 — A„) = 0.

r->oo

Diese Transformationsmethode besitzt offenbar eine erheblich größere Allgemeinheit, als die zuvor betrachtete Eulersche. Auch gestattet sie, durch beliebig oft wiederholte Anwendung die Konvergenz der zu summierenden Reihe immer weiter zu verstärken. Die einzige Schivieriglceit besteht dabei jedesmal in der passenden Auswahl der Br, und hiermit sind zugleich die Grenzen für die praktische Brauchbarkeit dieser Methode angedeutet.

Beispiele. 1) Essei: av= ¹

Setzt man sodann: Bv = v, so wird:

K = v-(v+ !)• —also: lim A,. = 1,

und, da wiederum: a = lim Byav = 0, nach Gl. (42):

v->oo

v* • (v -f- 1)

-¹)

1) Wie bei späterer Gelegenheit gezeigt werden wird, ist:

Wendet man die entsprechende Transformation auf die rechts stehende Reihe an, so ergibt sich (wenn man Bv = --v setzt):

00

oo

• (v + l)(r + 2)

und, wenn man dieses Verfahren im ganzen n mal in der Weise wieder-

. B = —v ’ v n

holt, daß man noch der Reihe nach Br = -^-v, Bv = setzt:

oo    oo

(⁴⁴) + + +

i    i

oder, anders geschrieben:

Tv>

vi • (v -f-1) (v -j- 2) • • • (y + n)

00

00

v *    U' v * • {y -j- 1) (v -j- 2) •

M+l    1

2) Setzt man: ar = (-l)’'"¹.^-I, in Nr. 4 betrachtete Leibnizsche Beihe resultiert, so wird: lim

(45)

••(*’ + n)

sodaß für v= 1,2,3, • • • die schon

%+i r->oo ®v

— — 1.

In diesem und in jedem analogen Falle (d. h. wenn die av Zahlen mit

= 1 ist) genügt man

ar+ 1

alternierenden Vorzeichen bedeuten und lim

f-Voo

offenbar allemal der Bedingung: lim Xv = 1, wenn man setzt:

V ->00

(4G) Br = oder etwas allgemeiner: By = Bv', wo: lim B' = 1. Wählt man etwa Bv = - , also: B₁a₁ =

2r—

2v + 1

1\ ₌ 2v

1/

v->oo

a = lim Brar = 0, und:

1->oo

1 _ ^ ⁼ 2i>-fl ’

so

ergibt sich:

00

oo

(47)

2*~i ⁼ y¹⁻

4r* — 1

Durch nochmalige Anwendung dieser Transformation für:

1 /2v-fl ~ T \2 v —

B = -

»    2 ‘ 2r— 1

, also: XY

1    2v-f3    (2 v + 1) • (2 r — 1)\

1 ⁺ 2v + 1 ‘ (2r+3) • (2v —J- !)✓

₌ j_ /s»+i, 2 \21’ — 1 ’

2v —

27+1

!) =

4v* -f- 1

erhält man:

00

(48)

1

2v — 1

oo

' (4v* — 1)**

und, wenn man jetzt

Bv = o •

l 2v-fl 2 v — 3

setzt und nochmals transformiert:

00

00

(49)

2(-¹)’-^b = 4 + ²⁴2?

l    l

(-W"¹

(4v²— 1)²(4j>²— 9)

Diese letztere Reihe ist bereits so stark konvergent, daß die Summation von nur vier Gliedern den Wert der Reihensumme schon auf 4 Dezimalstellen richtig liefert (man findet auf diese Weise:

4s = ä = 3,1415...).

Kapitel IV.

Unendliche Doppelreihen mit reellen Gliedern.

§ 62. Doppelreihen und iterierte Reihen. — Konvergenz und Divergenz einer Doppelreihe. — Beziehungen zwischen einer Doppelreihe und der aus den Zeilen- hzw. Kolonnenreihen gebildeten iterierten Reihe.

1. Wir haben eiu zweifach-unendliches Schema von der Form:

V⁰⁾ + «1⁽⁰⁾ 4-----b Wj⁰⁾ 4----

4- m₀⁽¹⁾ + Wi⁽¹⁾ 4-----b uW 4----

4-

(1)

+ w₀(,,) + <v) 4- • • • 4-    4----

bei früherer Gelegenheit (§ 46, Gl. (18), S. 315 und § 58, Gl. (17), S. 410) als eine unendliche Reihe aufgefaßt, deren einzelne Glieder wiederum unendliche Reihen sind (nämlich die Zeilen bzw. Kolonnen des Schemas). Die

„Summatiön“ eines solchen Schemas in dem gedachten Sinne wurde alsdann dargestellt durch eine der Beziehungen:

00

00

(X

cc

(2)

00

00

|'⁾ /als Abkürzung für: ^

Zur deutlicheren Veranschaulichung der hierdurch angedeuteten Grenzübergänge wollen wir mit SJfi die Summe aller derjenigen Glieder bezeichnen, welche in dem von der (y-\- l)ten Zeile und (g -f- l)ten Kolonne abgegrenzten Abschnitte des Schemas (1) enthalten sind, also:

+ Mj⁽⁰⁾ -f- • • ■ -f- ujft

4- w₀⁽¹⁾ + wi⁽¹⁾ H----+

(3)

sw -

Alsdann hat man offenbar:

oo

00

(4)

Ms

V w₍(,) = lim /lim S^) (Reihe der ZÄsummen)

^    v-Voo |U->oo ,U

00

(l) = lim /lim S^) (Reihe der Kolonnensummen).

“    /(->!» V->.00 f>

2. Diese letzteren Beziehungen führen nun unmittelbar darauf hin,

die „Summation“ des Schemas (1) noch in anderer Weise aufzufassen, nämlich, indem man nach dem Grenzwerte der zivcifach-unendlichen Zahlenfolge S^\ dem „Doppellimes“ in dem früher definierten (§40, Nr. 1,S.254) allgemeinen Sinne fragt. Bei dieser Auffassungsweise bezeichnen wir das Schema (1) als unendliche Doppelreihe und nennen dieselbe konvergent,

lim S(,) als bestimmte Zahl existiert. Ist dann etwa:

/< oo

wenn

lim S{v) = S,

n    ’

so heißt S die Summe der unendlichen Doprpelreihe (1), was wir durch die Schreibweise ausdrücken wollen:

(5)

oo

(6)

s.¹)

1) Wären die Anfangswerte der Indizes g, v verschiedene Zahlen, etwa g0 und r₀, so würden wir die Summe der betreffenden Doppelreihe durch das

In jedem anderen Falle heißt die Doppelreihe divergent und zwar eigentlich divergent, wenn:

00

lim == + oo bzw. =

U    ¹

H,V-> 00

uneigentlich divergent (oszillierend, unbestimmt), wenn überhaupt kein endlicher oder mit bestimmtem Vorzeichen unendlicher lim existiert.

U

)lyV ->00

Auch in diesen letzteren Fällen bedient man sich gelegentlich der zwar nicht ganz korrekten, aber bequemen und zu Mißverständnissen keinen Anlaß bietenden Ausdrucksweise: die Summe der Doppelreihe (in Zeichen:

00

u^j sei unendlich groß bzw. unbestimmt. o

Nach dem gesagten ist für den Begriff der Doppelreihe charakteristisch, daß die beiden Indizes g, v gleichzeitig ins Unendliche wachsen. Dagegen wird man ein Symbol von der in Nr. 1 betrachteten Art:

oo

oo

oo

oo

(8)

22V

0 0

bzw.

22 V

0 0

welches also zwei nacheinander auszuführende Grenzübergänge in sich schließt, passend als eine iterierte Beihe bezeichnen. Die Beziehungen

oo

zwischen der Doppelreihe

o

(>')

und den iterierten Beihen (8) sind

?'v u,t

identisch mit denjenigen zwischen:

lim    und: lim (lim S^ bzw. lim /lim

,((,»->00    »->00 y( -> oo “ '    f.i -> oo * » -> oo ‘‘

(9)

und müssen sich aus den allgemeinen Grenzwertsätzen ergeben, welche in § 43 (S. 288 ff.) abgeleitet wurden.

Im Anschlüsse an diese letzteren sei zunächst bemerkt, daß allemal,

Symbol:

00

/*o»

bezeichnen.

Wenn aus dem Zusammenhänge unzweideutig hervorgeht, von welcher Doppelreihe die Rede ist, oder wenn es auf eine endliche Anzahl von Anfangsgliedern nicht speziell ankommt (also z. B., wenn es sich lediglich um die Frage der Konvergenz oder Divergenz handelt), so bedienen wir uns gewöhnlich der abgekürzten Bezeichnung

wenn

die Doppelreihe v if'] konvergiert oder eigentlich divergiert, o

wenn

also ein endlicher oder mit bestimmtem Vorzeichen unendlicher lim S

U

JU,V-> 00

existiert, dieser nämliche Grenzwert zum Vorschein kommen muß, wenn man g = v setzt (vgl. § 40; S. 259, Zusatz), sodaß also:

(10)

2>r ul']

o

= lim s(v) = lim

V

r->oo

ri -> oo

Hieraus folgt aber, daß jede konvergente oder eigentlich divergente Doppelreihe auch als konvergente bzw. eigentlich divergente einfache Reihe angeschrieben werden kann. Denn man hat:

(11)

SK

n

(*)

und daher: (12)

Dabei ist:

(13)    = u₀M + u^ H-----f- up(r) + up(r~1} ff-----(- u(0>

= (wo(,) + uv°}) H----+ {uv-i + uv ~1]) + uv']>

d. h. das (v ff- l)te Glied jener einfachen Reihe besteht aus der Summe aller Glieder, welche in der (v ff- l)ten Zeile und in der (v ff- l)ten Kolonne

des Schemas (1) stehen, bis zu

dem Gliede w(l) einschließlich.

3. Es erweist sich für das folgende als nützlich, in analoger Weise wie die Glieder einer einfachen Reihe als Differenzen zweier konsekutiver Gliedersummen, die durch die darzustellen.

Aus der Definitionsgleichung (2) folgt unmittelbar, daß:

(14)

»₀⁽⁰⁾ + <> + • • • +    - s»

+ • • • + «V - V’ - V¹’ fr ^

und ebenso:

+ • • • + Sw = So⁰'¹

*,w+ -« + ••• + *«-s« - fi«, fr kl).

Daraus ergibt sich weiter:

|(a)    1), «₀W=S₀W-«'-*>(v>\),

(16)

»w-SM-S"-"-

(b)

Die letzte Gleichung zeigt unmittelbar, daß:

(17)

lim«(v) = 0

jU

//,v->oo

sein muß, wenn ein endlicher lim existiert, d. h. wenn die Doppel-

oo ,U

reihe konvergiert. Insbesondere ist also bei einer konvergenten Doppelreihe stets:

(18)

lim m W = 0

r-voo

d. h. die Glieder, welche die unbegrenzte Hauptdiagonale des Schemas (1) bilden, müssen schließlich gegen Null konvergieren.

Da andererseits die Existenz eines endlichen lim S^] nach § 43,

S. 290, Fußn. 1, keineswegs diejenige von:

lim S^} für irgendeinen endlichen Wert von v

fl ->00    ^

lim    „

in sich schließt, so lassen die Gleichungen (16) die Möglichkeit offen, daß selbst bei einer konvergenten Doppelreihe:

lim uf ¹ für keinen einzigen endlichen Wert von v lim u^ „

zu verschwinden braucht. Mit anderen Worten: Eine Doppelreihe kann sehr wohl konvergieren, ohne daß die Glieder einer einzigen Zeile oder Kolonne mit unbegrenzt wachsender Stellenzahl der Null zustreben.¹)

1) Es können sogar bei einer konvergenten Doppelreihe die Glieder einer endlichen Anzahl von Zeilen und Kolonnen numerisch ins Unendliche wachsen, mit anderen Worten, es brauchen die    nicht einmal unter einer endlichen Schranke

zu bleiben.

Man überzeugt sich hiervon ohne weiteres, wenn man in irgendeiner konvergenten Doppelreihe eine gerade Anzahl von Anfangszeilen (Anfangskolonnen) durch solche von der Form: wo: lim bu = oo, ersetzt.

u ->-00

30

Pringaheim, Vorlesungen I, 2.

wo a > 1 sein soll. Alsdann hat man nach Gl. (16):

(»)

**o

(20)

“» a+,' i U+wW«

O^i, ^i)-

Die aus diesen Gliedern w₍(,) gebildete Doppelreihe ist alsdann konvergent, denn es ergibt sich offenbar:

(21)

Beispiel. Mau setze:

(19)    0«-

(~ir

2(a + l)

>1,

,1,

lim Sw- 0.

JU

/I, 1'-> 00

Nichtsdestoweniger findet man:

lim «⁽⁰⁾ =

,<->00 "

(22)

a -f 1 '

lim w₀(,) | = »->00 ¹

lim W/<⁽’j    <>= l; 2, 3, •••),

/<-><»

lim | w ₍(,) = ~ (g = 1,2,3, ■■■),

a -(- 1

sodaß also die Glieder jeder einzelnen Zeile und Kolonne numerisch über einer endlichen Zahl bleiben.

4. Wenn lim $ für jedes eine gewisse Zahl n nicht übersteigend

jU -> 00 fl

eine bestimmte Zahl vorstellt, etwa:

lim Sw= S(v) für: v = 0,1, 2, •

<U    7    7    7

JU ->oo

Gl. (14), daß:

(23)

so ergibt sich aus

- Ä⁽⁰⁾

(24)

n endlich aus, so

d. h. fallen die Grenzwerte lim S{,) für v = 0, 1, 2, •

U    7    7)

jU -> 00

bildet die 1*®, 2te, • • •, (w+ l)te Zeife des Schemas (1) je eine konvergente Reihe.

Umgekehrt hat man stets:

(..-0,1,2,.-)

und daher:

sobald die rec/ifc auftretenden Reihen, d. h. die lte, 2te, ■ • -, (n -f- l)te Zeile, konvergieren.

Dieses Resultat läßt sich folgendermaßen aussprechen:

Die Existenz endlicher Grenzwerte lim für v = 0,1,2, • • •

H-+00

ist völlig gleichivertig mit der Konvergenz aller einzelnen Zeilen. Die analoge Beziehung besteht dann offenbar zwischen der Existenz endlicher Grenzwerte lim Sfür g = 0, 1, 2, • • • und der Konvergenz aller

» -> oo U

einzelnen Kolonnen.

5. Mit Benützung dieses Ergebnisses liefern die in § 43 entwickelten Beziehungen zwischen Grenzwerten von der Form:

lim a w, lim (lim a^)

i •    (p)    i    ->-oo ‘    »->oo u->oo ¹

lim a ' und    ,    ,    , .v

f‘    lim a[ , lim / lim a ₄’) ,

»->•00 ^‘    fi-y oo »->oo

wenn man durch ersetzt, die folgenden Sätze:

(I) Eine Doppelreihe kann konvergieren, ohne daß eine einzige Zeile oder Kolonne eine konvergente Reihe bildet. Dabei kann aber immer nur eine endliche Anzahl von Zeilen bzw. Kolonnen eigentlich divergieren oder ein unendliches Grenzintervall besitzen; und es muß das Grenzintervall aller Zeilen und Kolonnen von einer bestimmten an unter eine beliebig kleine positive Zahl herabsinken.

Aus § 43, Satz (IIb), S. 290 folgt zunächst nur soviel, daß die Existenz eines endlichen lim & ^ keineswegs diejenige von lim

bzw. lim Sfür irgendeinen endlichen Wert von v bzw. g nach sich »->00 ,<4

zieht (s. S. 290, Fußn. 1). Daß dann überdies auch keine einzige Zeile bzw. Kolonne zu konvergieren braucht, läßt sich durch Beispiele leicht belegen (s. weiter unten). Andererseits bestehen aber, wenn lim existiert, die Beziehungen (S. 284, Gl. (la)):

¹

Dabei ist in der letzten Summe der Bequemlichkeit halber 2nv statt 2nv-f-1 als unterer Index geschrieben, was offenbar ohne weiteres gestattet ist, da die hierin liegende Hinzufügung des Summanden as„> wegen lim ain* == 0 für den betreffenden Grenzwert belanglos ist.

lim£(v)

i(, v-> oo

= lim (lim 8^) = lim /lim S^)

(27)

= lim (lim s\v)) = lim (lim S(iW),

JU -> 00 »—> OC “    tl —> 00 ) ->0C woraus mit Benützung der Beziehungen (14) die Richtigkeit der übrigen Behauptungen hervorgeht.

(Gl. (19)):

Ein Beispiel einer Doppelreihe, bei welcher sicher keine einzige Zeile und Kolonne konvergiert, wurde bereits am Schlüsse von Nr. 3 gegeben: bei der dort angeführten Reihe besitzen ja nicht einmal die Glieder der einzelnen Zeilen und Kolonnen den Grenzwert Null. Im übrigen war

S(r) _ (-1 r

(-¹ + —)

2(a-f 1) 'a" n'l

und hieraus ergibt sich:

(28)

--⁽ -¹⁾'“ (— + l) 2(o + l)V‘ /

S⁽°> =

u

gW_ o(»'-l) _

(-1 >u + v(2 2 (a -f- 1) \a“

sodaß also die lte Zeile in den Grenzen + in den Grenzen +

2(a + l)

oszilliert: man erkennt ohne weiteres, daß dieses

, die (v-f- l)t0 (wo 1)

2 av

Grenziniervall für hinlänglich große Werte von v in der Tat beliebig Mein wird. — In analoger Weise verhalten sich die Kolonnen der fraglichen Reihe.

Will man ferner konvergente Doppelreihen hersteilen, hei denen eine endliche Anzahl von Zeilen (Kolonnen) eigentlich divergiert oder ein unendliches Grenzintervall besitzt, so braucht man nur (analog wie in Fußnote 1, S. 453 angegeben) in irgendeiner konvergenten Doppelreihe eine beliebige Anzahl von Zeilen (Kolonnen) durch die Glieder irgendwelcher eigentlich divergenter oder ein unendliches Grenzintervall besitzender Reihen, ebensoviele andere Zeilen (Kolonnen) durch die nämlichen Glieder mit entgegengesetztem Vorzeichen zu ersetzen.

= S jede einzelne

(II) Ist außer der Doppelreihe:    u^r)

oo    ₀

Zeile uj’ (v = 0, 1, 2, • • •) oder jede einzelne Kolonne

oo    0

uj¹ (g = 0, 1, 2, • • •) konvergent, so konvergiert auch die o

Reihe der Zeilensummen bzic. diejenige der Kolonnensummen gegen die Summe S, d. h. man hat:

(29)

bzw.

= S.

die vorausgesetzte Existenz endlicher Grenzwerte lim (v — 0,1, 2, • • •)

Denn nach § 43, S. 285, Gl. (lb) hat die Annahme: lim S^ = S und

/i-x» M

bzw. lim S^ (g = 0, 1, 2, •••) stets zur Folge, daß:

V -> OO

(30)

lim (lim S^) = S, bzw. lim (lim S^) =

r->oo /<->oo ‘⁴    jU-^-oo'r-X»

Man kann den Inhalt dieses Satzes auch folgendermaßen aussprechen:

(IIa) Eine konvergente¹) Doppelreihe mit konvergenten Zeilen bzw. Kolonnen läßt sich durch die iterierte Keihe der Zeilen- bziv. Kolonnenreihen ersetzen. Ihre Summation kann also auf zwei sukzessive auszuführende einfache Beihensummationen zurückgeführt iverden, in Zeichen:

bzw.

E"’’

0 0 0

Der Satz (II) bleibt mutatis mutandis offenbar richtig, wenn -f- oo oder — oo an die Stelle der endlichen Zahl S tritt, da die entsprechend modifizierte Gleichung (30) auch in diesem Falle Gültigkeit behält (siehe wieder S. 285, Gl. (lb)). Man findet also:

(III)    Ist eine Doppelreihe mit konvergenten Zeilen bzw. Kolonnen eigentlich divergent, so gilt das gleiche von der Beilie der Zeilen- bzw. Kolonnensummen.

Mit Berücksichtigung dieses Satzes und des weiteren Umstandes, daß nach § 43, Nr. 2 (S. 285) die Existenz der Beziehung:

lim (lim S[^) = lim (lim S['A

y->oo u ->co    ja-* oo v->oo ^

noch keineswegs die von lim $w nach sich zieht, die Nichtexislenz jener

fi,v->oo ,U

Beziehung bei gleichzeitiger Existenz der inneren Limites (insbesondere auch dann, wenn die beiden Seiten jener Beziehung zwar bestimmte, aber voneinander verschiedene Zahlen vorstellen) dagegen das Vorhandensein von lim S(>) definitiv ausschließt, ergibt sich sodann:

/U, r->oo 1,4

(IV)    Auch wenn alle Zeilen und Kolonnen des Schemas (1) konvergente Beihen bilden und wenn die Beihe der Zeilensummen und diejenige der Kolonnensummen gegen die nämliche Summe S

während ein endlicher oder bestimmt-unendlicher lim nicht existiert.

p,r->oo ^

Es konvergiert dann also jede Zeile und jede Kolonne, desgleichen die Reihe aller Zeilensummen und diejenige aller Kolonnensummen gegen die Summe 0, während die betreffende Doppelreihe oszilliert.

Nimmt man ferner für einen der folgenden Ausdrücke (§ 43, Nr. 2, S. 2b5):

_ v + l 2 ." + ¹,

(34)

so wird:

(35)

konvergiert, so kann die betreffende Doppelreihe nichtsdestoweniger divergieren: sie divergiert dann nach Satz (III) allemal uneigentlich. Diese Divergenz muß eintreten, wenn die Reihe der Zeilensummen und diejenige der Kolonnensummen gegen verschiedene Werte konvergieren oder wenn nur eine dieser beiden Reihen konvergiert.

Um Beispiele derartiger divergenter Doppelreihen zu gewinnen, hat man lediglich für einen passend gewählten jener Ausdrücke af,) setzen, wie sie in § 42, 43 näher untersucht wurden, und sodann die Reihenglieder u^ mit Hilfe der Gleichungen (16) entsprechend darzustellen. Setzt man z. B.¹):

8 .w =

zu

(32)

(— !)'■

p* vs

i + 0* — v)

0 = ²; v = 0, 1, 2, •••),

1 -f pa-f v«

so hat man:

(33)

lim = lim S² = 0 für jedes einzelne v bzw. p,

p ->oo ‘l    l'->oo ^

also auch: lim / lim $(v)) = lim / lim S(r)) = 0

1'->00    p->00    p->oo v->oo ^

o(') _    + ¹

f< p -)- v -f- 1 ’

lim (lim S^) = 1, lim (lim S^) = 0,

V -> 00 p -> 00    '    ft -> 00    » ->00 sodaß also die Reihe der Zeilensummen gegen die Summe 1, diejenige der Kolonnensummen gegen die Summe 0 konvergiert (während die betreffende Doppelreihe dann eo ipso oszilliert). Eine verhältnismäßig ein-

fache Form der Reihenglieder u^ liefert noch der folgende, im übrigen ganz analog wie die obigen sich verhaltende Ausdruck:

(36)

nämlich:

(0)

U0 ‘2 ’

- (£tt

im übrigen: u^] —

•>

• M-V

V + i/

'S

6. Genügen die Glieder u^ durchweg der Bedingung, ^0 zu sein, so bilden die S^ allemal eine monotone (niemals abnehmende) Folge positiver Zahlen. Daraus ergeben sich aber mit Rücksicht auf § 40, Nr. 3 (S. 257) und § 43, Nr. 1 (S. 285, Gl. (lb)) die folgenden Sätze:

(Y) Ist u^ 0 und bleibt S^ unter einer endlichen Zahl g, so konvergiert die Doppelreihe der ulj] gegen eine bestimmte Summe S. Zugleich konvergiert jede Zeile und jede Kolonne, und die Reihe der Zeilen- und diejenige der Kolonnensummen konvergiert gleichfalls gegen die Summe S.

(VI) Ist    0, so zieht jede der drei Gleichungen:

<37)    2r<) = s’ 2}2ru?-⁸’ 2r2Kw

0 0 0 0 0

die beiden anderen nach sich. Dies gilt auch noch, wenn + oo an die Stelle der bestimmten positiven Zahl S tritt.

wenn

(Dabei muß natürlich die Voraussetzung von

Die Sätze (Y) und (VI) bleiben offenbar auch gültig, wenn unter den Gliedern u^ negative Zahlen in endlicher Anzahl Vorkommen; ebenso, durchweg oder nach Ausschluß einer endlichen Anzahl ] <1 0.

(V) lauten: S^ <g)

§ 63. Beziehungen zwischen einer Doppelreihe und der aus den Diagonalsummen gebildeten einfachen Reihe.

1. Transformiert man das zweifach-unendliche Schema:

u₀⁽⁰⁾ + «i⁽⁰⁾ + • • • 4- w,i⁰⁾ + • • •

+ UqW MjW + • • • + M„⁽¹⁾ + • • •

in eine einfach-unendliche Reihe, indem man die Glieder if'J nach „Diagonalen“ ordnet, d. h. indem man bildet:

wr = Mo(,) + ul’    ' * + uf-1 + w,⁽⁰⁾»

(2) 2

0

so besteht zwischen der Doppelreihe der w j’' und der einfach-unendlichen wv eine vollkommene Übereinstimmung, sobald ü'^ ^ 0 ist.

rwr,

wo:

Reihe ^ o;

Wie nämlich ein Blick auf das Schema:

<⁰⁾ + ' * ‘ + ^⁽⁰⁾ + • • • + u®

(3)

+ wW₊... + MW

+ uo*n)

unmittelbar zeigt, gilt alsdann die doppelte Ungleichung: (4)

Wenn nun die Doppelreihe gegen die Summe S konvergiert, so hat man speziell lim $[n) = S und daher nach Ungl. (4):

7!->00

(5)

^Jwr£S.

0

oo

Daraus folgt zunächst, wegen wr 0, die Konvergenz der Reihe wy und sodann aus (4) für n —> oo:    o

(6)

r Wr

= S.

Umgekehti: Wenn wr gegen die Summe S konvergiert, so folgt o

zunächst unmittelbar aus Ungl. (4), daß:

(7)

lim S(H) -S.

n

M->00

Alsdann muß aber wegen der Monotonie der Zahlenfolge S^! auch allgemein:

lim S(r) = S

ft

00

(8)

sein (§ 40, S. 259, Zusatz).

Es ergibt sich hieraus schließlich noch, daß die Doppelreihe der

oo

und die Reihe wv auch allemal gleichzeitig divergieren (nämlich nach -f- oo), wenn eine der beiden Reihen divergiert.

Faßt man dieses Resultat mit dem Satze (YI) des vorigen Paragraphen zusammen, so ergibt sich an dessen Stelle der folgende noch etwas allgemeinere Satz:

Ist    0, so zieht jede der vier Gleichungen³):

s,

0

(9)    -8,    22*?

0 0 0 0 0

die drei anderen nach sich, gleichgültig, ob S eine bestimmte Zahl vorstellt oder unendlich groß ist.

2. Um die Beziehung zwischen einer beliebigen Doppelreihe ^nn-u^ °°    *    o

wir den folgenden Hilfssatz

und der Reihe wv festzustellen, schicken o

voraus, welcher eine Verallgemeinerung eines früher mitgeteilten Cauchy-schen Satzes über den Grenzwert eines arithmetischen Mittels (§ 45, Nr. lr S. 305) bildet:

numerisch unter

Bleiben die Zahlen a{,) (,U    ’

" w- ,1,

einer endlichen Zahl g und ist:

(10)

lim a{v)

fl

JUy V~>00

(11) lim

(wo a eine bestimmte Zahl inlä. 0 vorstellt), so wird auch: a« + a<—*> +

n-> oo

«-fi

-— = lim

U2

0

(n-fi)

a.

Beweis. Man hat zunächst identisch:

a).

-(«+i).o=_2‘(o,;

0

Da nach Voraussetzung: lim a ^ = a, so muß sich nach Annahme einer

fl,V-*-00 ,U

(12)

(n-fi)

(n-fi)

beliebig kleinen positiven Zahl £ eine Zahl m so fixieren lassen, daß:

(13)

| a w — a<z£ für: gj>m, v m.

Nimmt man nun in Gl. (12) n > 2m (also: n — m>m) an und schreibt jene Gleichung folgendermaßen:

(14)

(»—/*)

a(n **) — (n + \)a

a),

«)+Z'K'"’-a)+.SW

m + 1

so wird in der zweiten Summe auf der rechten Seite durchweg:

I d -(l <C £

in der ersten und dritten zum mindesten:

und daher:

| a (" ^ — a <' a{ I f*    I — I M

(n—n)

(15)

0

(n-M)

— (n -f- l)a < (2m + 1) • (g + a|) -f (w — 2m) • £

oder:

(16)

n-\-l

■2<

0

(*-p)

2w -f 1

n-\- 1

• 0 + M) + (i

2w -f-1

n -}- 1

Läßt man jetzt n ins Unendliche wachsen, so wird:

(17)

lim

(«-<<)

n ->oo

— a <^£,

also schließlich, da £ jede beliebig kleine Zahl bedeuten kann:

lim

n->oo

n -j- 1

■2

0

,uaj" u) = a, q. e. d.

3. Nunmehr können wir den folgenden Satz beweisen: Besitzt die konvergente Doppelreihe:

die Eigenschaft, daß jede einzelne Zeile und Kolonne konvergiert

Nr. 3.

§ 63. Doppelreihe und Reihe der Diagonalsummen. oder innerhalb endlicher Grenzen oszilliert, so bann die Reihe

' 463

wv nur honver gieren oder oszillieren*) und zwar ist im o

Falle der Konvergenz stets auch:

= S.

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß infolge der bezüglich der einzelnen Zeilen und Kolonnen gemachten Voraussetzung    für alle

möglichen g, v unter einer festen Zahl g bleiben muß (was ja aus der bloßen Existenz eines endlichen lim noch keineswegs folgen würde).

Wegen der Konvergenz der Doppelreihe gegen die Summe S lassen sich jeder positiven Zahl s zwei Zahlen m, n zuordnen, sodaß:

für: g^.m, v ^>n,

(19)

also:

S(r)-S < £

I (“    I

und somit:

(20)

für: giFm, v^>n.

Betrachtet man jetzt die ersten n Zeilen der Doppelreihe, so bleibt nach Voraussetzung die Summe jeder einzelnen, wieviele Glieder man auch summieren mag, numerisch unter einer endlichen Grenze. Dasselbe gilt also auch für diejenigen Summen, welche entstehen, wenn man die entsprechenden Glieder der ersten 2, 3, • • •, n Zeilen addiert, sodaß man setzen kann:

(21)

| < g für: g — 0, 1, 2, • • • in inf, v < n,

wo g eine bestimmte positive Zahl bedeutet.

Analog ergibt sich durch Betrachtung der ersten m Kolonnen:

für: g < m, v = 0, 1, 2, • • •, in inf.

(22)

Bedeutet jetzt g eine Zahl, die von Tceiner der drei Zahlen S\ + s, g, g" überstiegen wird, so bestehen alle drei Bedingungen (20), (21), (22) gleichzeitig, sobald man jene drei Zahlen durch g ersetzt, d. h. es ergibt sich schließlich:

(23)

für:

( g = 0, 1, , • • • in inf. \ v = 0, 1, , • • • in inf.

(M

1) Sie kann also niemals eigentlich divergieren, wohl aber ein unendliches Grenzintervall besitzen (s. das Beispiel in Nr. 4).

Nun werde gesetzt:

(24)

w₀ + d-----f- wv = W.

so hat man für v 1:

Wr =    w₀⁽⁰⁾ + uj® d-----f- uj°}₂    + wy(°) =

+ «o⁽¹⁾ + «1⁽¹⁾ H-----f WÄ + »Ä *

+ «f₀⁽²⁾ + wi⁽²⁾ H----+

S„⁽⁰⁾

+ (5Ä-SÄ) + Ä»f-5Ä)

+ (Ä₀W-^"¹⁾)

+ <v) •

oder, anders geordnet:

(25) Wv = £„⁽⁰⁾ + Ä,fi\ d-----1-    - J) -f S₀^—(Sr⁽l\+Sj^)i H-----\-

Substituiert man hier der Reihe nach v — 1, 2, 3, • • •, w, so ergibt sich: Wx = SXW + S₀W - S₀W Wt = Ä₂«» + 5/¹) + SJ» - (£/<» + £₀⁽¹⁾)

TTS = Ä,(°> +    + £/²> + N«/³> - (Sjv + SW + SW)

w. - SW + sw, + ■ • • + S„<”) - (SW, + S„W, + ■ • ■ + S₀<-‘>),

und wenn man diese n Gleichungen zu der folgenden addiert:

W₀ - 5₀w,

so resultiert, nach Hinzufügung des Faktors ^-j-y:

(26)

Ä|_(sW + SWi + ... ₊ SW).

Hieraus folgt aber für n Setzung: lim S⁽'} = S und des unmittelbar

satzes, daß:

oo, mit Berücksichtigung der Voraus-zuvor bewiesenen Hilfs-

(27)

(28)

**sh-2w--

o

Wenn nun wy konvergiert und o

00

yiw, = lim Wv= W

n-> oo

etwa:

S.

2:

0

y->*o

ist, so wird andererseits nach dem oben zitierten C auchysehen Satze vom Grenzwerte eines arithmetischen Mittels auch:

1_ X] TXT _

n +1 '    v ~

o

sodaß sich aus der Verbindung der Gleichungen (27) — (29) schließlich ergibt:

(29)

lim -

n-> oo

W,

(30)

S.

Wäre hingegen    eigentlich divergent, also lim Wv =

v ->oo

0

+ oo bzw.

= — oo, so müßte ebenfalls nach jenem C au chy sehen Satze:

lim —. yiwv =

W-f 1    V

0

-f- oo bzw. = — oo

n->oo

sein, was der Gleichung (27) widerspräche. Daraus folgt mit Notwendig-*wv, falls sie nicht konvergiert, jedenfalls nur

keit, daß die oszillieren kann.

Reihe

o

4. Um an einigen einfachen Beispielen zu zeigen, daß die beiden im vorigen Satze angedeuteten Möglichkeiten (nämlich außer der Konvergenz der Diagonalenreihe ^Swv auch deren Oszillieren) auch wirklich eintreten können, werde gesetzt:

(31)

(v)

ir' =

(32)

v ± — v , ,,

fl + v fl+V+1'

wobei ^► vv als (bedingt oder unbedingt) konvergent angenommen wird, o

Die so definierte Doppelreihe wird durch das Schema dargestellt:

₊ ... ₊ (^_^ ₊ i)    ’ + ...

d-----\-(vn + i~Vfi + i) H----

d-----H O.u + 2- vfi+z) d----

Oo — vi) d-Oi-O

+ 0i“ «*) d- 0₂ — vs)

d- O2 - vs) d- Os - v*)

+ O2 - vs) d" Os - vi)

d- 0₄ - vs)

1+ (vv— ®r+1) + 0„ + 1 — Vv+2) + 0, + 2_ Vv + s) d-----h (Vp+y—Vfi + r+i) d

und konvergiert offenbar gegen die Summe:    vv

0

n    »l + M + 1    TH

. Denn man hat:

Die einzelnen Zeilen und Kolonnen sind gleichfalls konvergent und ihre Summen besitzen der Reihe nach die Werte v₀, vlf v₂,

Andererseits ergibt sich, wie das Schema (32) zeigt:

(34)

tth = (v + i)-K-*\,₊₁)

und daher:

2 w* ⁼    — vi) + ²(vi~ va) + ³0s ~ v$) + • * • + n(v„_t - vn)

0

71 — 1

(35)

- n • vn.

o

CO

Diese Gleichung lehrt, daß ^7 wv dann und nur dann konvergiert,

o

wenn lim n • vn eine bestimmte Zahl ist. Letzteres ist aber wegen der

nur in der Weise möglich, daß:

71 ->00

00

vorausgesetzten Konvergenz von

(36)

lim n ■ vn = 0.

n-> oo

Denn eine Beziehung von der Form: lim n • vn = a, wo \a\ > 0, würde

7l->00

CO

Folge haben.

zur

ja allemal die Divergenz der Reihe vv

o

Hiernach ergibt sich also, daß in der Tat (Gl. (35) und (36)):

00

CO

CO

(37)

d. h.

+ >'

VIU +v + l)

CO

wird, wenn tvv überhaupt konvergiert. Und man hat, um Beispiele dieser o    *

Art zu gewinnen, vy lediglich so zu wählen, daß vv konvergiert und die

o

(-i r

(* + 2) lg(*+2)

Bedingung (36) befriedigt wird (z. B. vv =

CO

Da ferner — wegen der Konvergenz von

Z’v'

0

— lim n • vn auch »->»

nicht = + oo bzw. = — oo sein kann, so erkennt man zunächst aus

CO

Gl. (35), daß wv in keinem Falle eigentlich divergieren kann, o

n-> oo

00

00

lim n • v = -fl

n ->oo

~ = lg 2 v -f- 1    °

(- l)v

V'' V -f 1

, also:

)•

Schließlich bleibt noch die eine Möglichkeit offen, daß lim n • vn

n ->oo

und lim n • vn verschieden ausfallen. In diesem Falle oszilliert die Reihe »->00

oo

wie Gl. (35) zeigt,

o

00

2}v'-

0

in den Grenzen:

00

(38)

lim n • v und:

»->00

^}vr

0

-lim

»->00

nvn.

(Beispiele. Man setze:

Alsdann wird:

und es ergeben sich somit:

lg 2 — i und Ig2+1

oo

als die Oszillationsgrenzen der Reihe

o

»r-

Setzt man dagegen:

(- 1)r _ y'v -f l ’

also:

j/u v-j- 1 yV 4- v + 2 / ’

so wird:

ii ->oc

lim n • vn = — oo,

lim n • vn = -j- oo,

00

und + ⁰⁰ oszilliert.)

sodaß also die Reihe    hier in den Grenzen — oo

o

5. Es verdient ausdrücklich hervorgehobeu zu werden, daß die bei der Formulierung des vorigen Satzes gemachte Einschränkung, wonach die Zeilen- und Kolonnenreihen entweder konvergieren oder endliche Oszillationsgrenzen besitzen sollten, nicht etwa lediglich der Beweisführung zuliebe eingeführt wurde: dieselbe bildet vielmehr eine wesentliche Voraussetzung in dem Sinne, daß der Satz hinfällig werden kann, wenn jene Bedingung nicht erfüllt ist.

Dies läßt sich in sehr einfacher Weise aus der folgenden Überlegung

oo

ersehen. Es sei

= S irgendeine konvergente Doppelreihe, bei

Abschnitt II. Kap. IV. Unendliche Doppelreihen, der zum mindesten die zwei ersten Zeilen konvergieren, für welche außer-

S.

dem die Beziehung besteht: TV* wv =

o

Man bilde nun aus dieser Doppelreihe eine neue, indem man die Glieder der ersten Zeile, also die u^⁰⁾ (g = 0, 1, 2, •••), durch u® + v , die der zweiten, also die «(l), durch u^} — v ersetzt, wo die v (u = 0,1,2,---) nach Belieben zu wählende positive Zahlen bedeuten. Man erhält auf diese Weise das folgende Schema:

(39)

+ Oo⁽¹⁾-V> + (W1⁽¹⁾—H-----1-    + (w,⁽¹⁾—vr) + • •

4-----f- uj-1

4- ?V²⁾

+ 4-

«ow

4-

und erkennt unmittelbar, daß auch diese Doppelreihe gegen die Summe S konvergiert.

Bezeichnet man sodann die Diagonalsummen des Schemas (39) mit ivj (v = 0, 1, 2, • • •), so wird:

’ W₀' = M₀(°) + V₀

(40) w= w₀(v) +    4-----f- w ®, 4- (mWj — Vv_i) 4- K⁽⁰⁾4-«0

(*^1)

= w?r -Vi4-

und daher: (41)

Werden nun die vr so gewählt, daß lim vn = v endlich und von Nidl ver-

71 ->ao

schieden ausfällt, so divergieren die beiden ersten Zeilen des Schemas (39), während zugleich aus Gl. (41) sich ergibt:

(42)

S + v,

d. h. die Reihe der Diagonalen bleibt zwar konvergent, ihre Summe ist aber verschieden von derjenigen der betreffenden Doppelreihe. (Beispiel: v =* 1.)

Nimmt man dagegen lim vn — -f oo (z. B. vv = v), bzw. wählt man

n-> oo

die vy so, daß lim vn und lim vn verschieden ausfallen (z. B. vv= 2 -f- (— 1)”,

n-> oo

n-> oo

v„ =    so lehrt Gl. (41), daß die Reihe ^}wv' eigentlich divergiert

bzw. oszilliert.    o

00

Die Reihe wy verliert also in den betrachteten Fällen tatsäch-o

lieh jene Eigenschaften, welche ihr nach dem Satze von Nr. 3 zukommen, falls die Zeilen und Kolonnen konvergieren oder innerhalb endlich bleibender Grenzen oszillieren.

§ 64. Absolut konvergente Doppelreihen. — Zusammenfällen von absoluter und unbedingter Konvergenz. — Bedingt konvergente

Doppelreihen.

1.

Die Doppelreihe vu^ heißt absolut konvergent, wenn dieDoppel-o

reihe der j j konvergiert.

Um vor allem nachzuweisen, daß eine in diesem Sinne absolut konvergente Doppelreihe überhaupt konvergiert, werde gesetzt:

I W0⁽⁰⁾ I + | V°} i 4-----1- |    :

(1)

+ | Mo⁽¹⁾ d~ | d~ * • * + | u/u^ I

+ |«bwl + WV)\ + • • • + 1*^1

während wiederum die entsprechende Summe der u^] bezeichnen mag. Da sodann allgemein: (2) falls sich die Summation bei beiden Summen über die nämlichen Werte von [i und v erstreckt, so hat man:

(3)

ß{n + a) _ ß(n) ^ S (n +    _ g (")

m + q    »n — m q    m

und hieraus folgt unmittelbar, daß gleichzeitig mit lim S^! stets

m, n -*■ oo

auch lim einen bestimmten Wert besitzt, sodaß also mit der Doppel-

oo

reihe der u^ stets auch diejenige der u^ konvergiert.

Unmittelbar aus dem Begriffe der absoluten Konvergenz ergeben sich die folgenden Sätze:

Eine konvergente Doppelreihe, welche negative (oder positive) Glieder nur in endlicher Anzahl enthält, ist allemal absolut konvergent. —

Enthält eine absolut konvergente Doppelreihe sowohl positive als negative Glieder in unbegrenzter Anzahl, so bilden sowohl die positiven als die negativen Glieder je eine (absolut) konvergente Doppelreihe.

Umgekehrt konvergiert eine Doppelreihe absolut, wenn sowohl die positiven als die negativen Glieder je eine konvergente Doppelreihe bilden.

2. Die absolut konvergenten Doppelreihen zeigen ein ganz analoges Verhalten, wie konvergente Doppelreihen mit positiven Gliedern. Insbesondere gilt der Satz:

Ist die Doppelreihe der w(v) absolut konvergent und

(4)

so konvergiert auch jede einzelne Zeile und Kolonne und die Reihe der Zeilen- bzw. Kolonnen summen absolut und man hat auch:

(5)

(6)

S (Reihe der Zeilensummen),

S (Reihe der Kolonnensummen).

Ebenso konvergiert die Reihe der Diagonalen absolut und zwar auch dann noch, wenn man die einzelnen u^ als Glieder der' Reihe auffaßt. Zugleich hat man:

co

0

_|-----j- = S (Reihe der Diagonalen).

Beweis. Da nach Voraussetzung die Doppelreihe der u^ konvergiert, so konvergiert nach Satz (V) des § 62 (S. 459) in dem Schema der u^ jede einzelne Zeile und Kolonne, ebenso die Reihe der Zeilen-und der Kolonnensummen und die Reihe der Diagonalen. Mit anderen Worten: in dem Schema der m' ist jede Zeile und Kolonne, die Reihe

der Zeilen- und Kolonnensummen und die Reihe der Diagonalen absolut konvergent, übrigens auch wenn man bei der letzteren durchweg die einzelnen als die Reihenglieder auffaßt.

Es handelt sich also nur noch darum zu zeigen, daß die betreffenden Reihen sämtlich die Summe S besitzen.

Für die Reihe der Diagonalen (Gl. (7)) folgt dies aber schon unmittelbar aus dem Satze in Nr. 3 des vorigen Paragraphen und für die iterierten Reihen (5) und (6) aus dem Satze (Ha) des § 62 (S. 451), übrigens auch mit Hilfe eines früher bewiesenen Satzes (§ 58, Nr.4, S.410), nach welchem (unter der hier gemachten Voraussetzung der absoluten Konvergenz) die Existenz der Gleichung (7) stets diejenige von (5) und (6) nach sich zieht.

3. Der soeben bewiesene Satz läßt sich leicht in folgender Weise umkehren und erweitern:

Von den vier Gleichungen:

(8)

s>    ZZuT

0 0 0 0

Z(Uor> + ui 0

= S,

(v-l)

zieht jede einzelne die drei anderen nach sich, wenn die in der Voraussetzung auftretende Reihe bei Vertauschung der u^] mit ihren absoluten Beträgen konvergent bleibt.

Aus dieser letzteren Annahme folgt nämlich (entweder ohne weiteres oder nach dem Satze am Schlüsse von § 63, Nr. 1, S. 461), daß die Doppelreihe der j u^ konvergent, also diejenige der u^] absolut konvergent ist. Hierauf ergibt sich aber alles weitere aus dem Satze der vorigen Nummer.

In dem obigen Satze ist offenbar der früher bewiesene (§ 58, Nr. 4, S. 411) sogenannte Cauchysche Doppelreihensatz wiederum als Teil enthalten.

4. Eine konvergente Doppelreihe heißt unbedingt konvergent, wenn jede durch Umordnung der Glieder daraus hervorgehende Doppelreihe gegen dieselbe Summe konvergiert, wie die ursprüngliche. Dabei betrachten

wir eine Doppelreihe v v^

o

00

der Doppelreihe    , * u^ hervorgegangen,

o

dann und nur dann als durch „Umordnungu

aus

wenn

jedem Gliede u⁽f'¹ in

umkehrbar eindeutiger Weise ein ihm gleiches zugeordnet werden kann. Es muß also jedes Glied, das in dem Schema:

o £ sj-

v⁰⁾

M₀⁽¹⁾

¹

Die Konvergenz der Doppelreihe muß a priori feststehen und darf nicht etwa ohne weiteres aus der etwaigen Konvergenz der betreffenden iterierten Reihen geschlossen werden: vgl. Satz (IV).

²

Das erste dieser Beispiele geht aus § 43, Beispiel 3), S. 276 hervor, wenn man setzt:    =1 — af'\ Das zweite findet sich als Beispiel 4) auf S. 277, das dritte

§ 43, Nr. 2, S. 285 (beide mit der unerheblichen Modifikation, daß hier der Summand 1 im Nenner hinzugefiigt wurde, damit die betreffenden Ausdrücke auch noch für p = v = 0 einen Sinn behalten).

³

Der auf die drei letzten Gleichungen bezügliche Teil des Satzes ergab sich schon bei früherer Gelegenheit: § 46, Nr. 4 (S. 317, Gl. (23)).

V²⁾

an

einer bestimmten endlichen Stelle erscheint, auch in dem Schema:

o«    o-    O«

3    3    3

<5    <5    <5

H*    t—    1-*

3    3    3

^

3    3    3

einen bestimmten endlichen Platz ein nehmen und umgekehrt.

Es gilt nun zunächst der folgende Satz:

Jede absolut konvergente Doppelreihe ist unbedingt konvergent.

Beweis. Es werde das allgemeine Glied der ursprünglich vorgelegten Doppelreihe wiederum mit uj'\ ihre Summe mit S bezeichnet, während v^ das allgemeine Glied einer durch Umordnung daraus hervorgegangenen Doppelreihe vorstellen soll. Dann erkennt man zunächst, daß auch die Doppelreihe der konvergiert und zwar absolut. Denn

setzt man etwa

B, so muß jede begrenzte Doppelsumme,

welche aus Gliedern v^ gebildet wird, stets unterhalb S bleiben, sodaß

konvergiert und

o

also nach § 62, Satz (V) (S. 459)    »■' v

o

absolut konvergiert. Bezeichnet man dann die Summe dieser letzteren Doppelreihe mit T, so wird nach dem Satze von Nr. 2 (Gl. (7)):

(0)

2r«”+“i

0

jS(v»'+ri

0

(>—1

(»•—D

+ ... + v(⁰⁾) = T.

Jede dieser einfach-unendlichen Reihen ist aber absolut konvergent, auch wenn man die einzelnen Glieder u{j] bzw. v^ als Reihenglieder auf-

faßt. Die zweite stellt dann aber lediglich eine Umordnung der ersten dar und somit ergibt sich:

T=S

womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist.

5. Um auch die Umkehrung dieses Satzes beweisen zu können, schicken wir die folgende Bemerkung voraus.

Eine einfach-unendliche Zahlenfolge:

uu u3).....

läßt sich nach § 39, Nr. 1 (S. 247) auf unendlich viele Arten als zweifachunendliche Folge anordnen, am einfachsten etwa in folgender Weise: man teile jene Folge in Gruppen, welche der Reihe nach 1, 3, 5, • • •, (2v + 1), • • • Glieder enthalten, und ordne sodann jene Gruppen zu einem unbegrenzt fortsetzbaren quadratischen Schema in folgender Weise¹):

to

Wv!+2r

rH

CO

' *V+2v-l

(v + 1)

«V+l^ Uv²+2^ Mr²+S^ • Uv*+v + l

Bezeichnet man jetzt mit s^ die Summe aller derjenigen Glieder, welche den ersten v Zeilen und u Kolonnen dieses Schemas angehören, so hat man speziell:

W²

(11)

Wenn nun lim einen bestimmten Wert besitzt, so folgt daraus

n-> oo

noch nicht das gleiche für lim s^\ d. h. man kann daraus noch keinen

m,n->oo

Schluß auf die Konvergenz derjenigen Doppelreihe ziehen, welche durch das Schema (10) definiert wird.

Wenn dagegen lim s[n)= -f- oo wird (oder wenn lim s^ und lim s⁽f¹

n-y oo    n-> oo    n -> oo

verschieden ausfallen), so folgt mit Sicherheit, daß kein endlicher lim sfl>

m,n ->eo

existiert, und daß somit die Doppelreihe (10) unter keinen Umständen konvergieren kann.

6. Mit Benützung dieser Bemerkung beweisen wir jetzt den Satz:

Jede unbedingt konvergente Doppelreihe vist auch absolut konvergent.    o

Beweis. Zunächst folgt aus der Voraussetzung der unbedingten Konvergenz, daß nicht nur lim w(,) = 0 (was nach § 62, S. 453, Gl. (17) bei

00 ^

jeder konvergenten Doppelreihe der Fall ist), sondern auch:

lim u(,) = 0 für: limwW = 0 für: g = 0, 1, 2, • • •.

r->oo

v = 0, 1, 2, • • •,

(12)

Um dies einzusehen, braucht man nur die (v + l)te Zeile bzw. fg + l)te Kolonne mit der Hauptdiagonale zu vertauschen (wobei das eine Glied u^ bzw. u^l) seinen Platz behält). Da die Konvergenz der Doppelreihe durch diese Umordnung nicht gestört werden soll, so müssen die Glieder der nunmehrigen Hauptdiagonale den Grenzwert 0 besitzen, woraus die Richtigkeit der Gleichungen (12) unmittelbar hervorgeht.

oo

Nun schreibe man die Glieder der Doppelreihe x^,vUu '\ °^ne ©ins

o

zu übergehen, als einfach-unendliche Beihe an (z. B. indem man das Schema der nach Diagonalen ordnet). Bezeichnet man sie in dieser Anordnung mit:

(13)

Uyj U₂₎ U₃, • • ■, Uv, • • •,

so ergibt sich zunächst aus (12) in Verbindung mit lim w(,) = 0, daß:

H,V->CO ^

(14)

lim uv = 0

r->oo sein muß.

Wird jetzt angenommen, daß die vorgelegte Doppelreihe nicht absolut konvergiert, also auch die aus den Zeilen der u^ gebildete iterierte Beihe nicht konvergiert, so ergibt sich unmittelbar aus dem Satze von § 46, Nr. 3 (S. 312), daß auch die Reihe (13) nicht absolut konvergieren kann.

Hieraus folgt aber, daß sich die Glieder (13) auf Grund des erweiterten jRiemannschen Satzes (§ 57, Nr. 3, S. 405) in eine Anordnung: (15) von der Beschaffenheit bringen lassen, daß^^v vr eigentlich divergiert (oder

i

in passenderWeise¹) oszilliert). Ordnet man jetzt die Glieder vv nach dem

in voriger Nummer gelehrten Verfahren zu einem unbegrenzt fortsetz-

baren quadratischen Schema an, so stellt dieses eine bloße Umordnung

der ursprünglich vorgelegten Doppelreihe dar. Zugleich wird dann

lim — + oo (bzw. lim st(,) und lim verschieden), sodaß die Doppel-

r->oo

V ->oo

»'->■00

reihe in dieser neuen Anordnung divergieren würde.

Hieraus folgt aber, daß die unbedingte Konvergenz der Doppelreihe nur möglich ist, wenn dieselbe absolut konvergiert.

7. Nach den Sätzen in Nr. 4 und 6 erweisen sich also schließlich absolute und unbedingte Konvergenz dem Umfange nach als völlig gleichwertig. Insbesondere kann man dem Satze in Nr. 2 jetzt auch die folgende Form geben:

Ist die Doppelreihe der u^ unbedingt konvergent, so konvergiert auch jede Zeile und Kolonne, desgleichen die aus den Zeilen- bzw. Kolonnensummen gebildete Beihe, und die Summe der letzteren ist gleich der Summe der Doppelreihe, d. h. man hat:

(16)

2,,vK'⁾ =22 uT ⁼22vu^ • 0 0 0 0 0

Im Falle der unbedingten Konvergenz wird also die Trennung der Begriffe „Doppelreihe“ und „iterierte Beihe“ entbehrlich, und hierdurch erscheint es bis zu einem gewissen Grade gerechtfertigt, wenn man eine unbedingt (absolut) konvergente iterierte Reihe häufig ohne weiteres als konvergente Doppelreihe bezeichnet.

8. Eine Doppelreihe, welche konvergiert, ohne absolut zu konvergieren, ist nur bedingt konvergent: sie kann, wie der Beweis in Nr. 6 zeigt, durch bloße Umordnung der Glieder stets in eine divergente Doppelreihe verwandelt werden. Zu den nur bedingt konvergenten Doppelreihen gehören z. B. eo ipso alle diejenigen konvergenten Doppelreihen, bei denen irgendeine Zeile oder Kolonne divergiert; ferner die in § 63, Nr. 4 (S. 467) betrachteten, bei denen die Beihe der Diagonalen (uneigentlich) divergiert: denn bei einer unbedingt, also absolut konvergierenden Doppelreihe ist ja die Reihe der Diagonalen stets konvergent (s. Nr. 2).

Es verdient bemerkt zu werden, daß eine bedingt konvergierende Doppelreihe dieser Art schon dadurch divergent werden kann, daß man

n¹

bilden.

1) D. h. so, daß nicht gerade die Summen NV vv eine konvergente Folge

in die einzelnen Zeilen oder Kolonnen eine passende Anzahl von Nullen ein schaltet.x)

Bedeutet nämlich:

+ • • • + w ® + • • • + ul⁰⁾ + •••

+ • ' • +    + ' • ' + Ur² + • • *

f *r + ^

(17)

+ U0V) + Ul] "I----+    -1-----f- Ur’] H----

eine konvergente Doppelreihe, für welche    divergiert, falls wie

derum:    o

uo] + ui 1} H-----f + +⁽⁰⁾ =

gesetzt wird, so forme man das Schema (17) in der Weise um, daß man jeder Zeile so viele Nullen als Anfangsglieder hinzufügt, als ihr (oberer) Index angibt. Alsdann entsteht das folgende Schema:

+ 0 + u™ + • • • +    • • •

(18)

IV

v

+ •••

(19)

r +•••

+ 0 + 0 +••• + 0 +•••

(dessen Kolonnen offenbar aus den Gliedern je einer Diagonale des Schemas (17), im übrigen aus Nullen bestehen). Hier wird nun aber:

(20)

S(,) = w₀ + wx -j-----Y w

sodaß also die Doppelreihe (19) in der Tat divergieren muß, da nicht einmal ein bestimmter lim Sexistiert.

V

V->00

9. Um noch einen anderen Typus von eventuell nur bedingt konvergierenden Doppelreihen anzuführen, werde gesetzt:

fi + v

(v)

• a ,

wo die eine monotone niemals zunehmende Folge positiver Zahlen bedeuten, welche außer der Bedingung der Monotonie:

(21)

- (-1)

(22)

(v + a) f‘+Q

*-0,1, 2,-..

ö’ = 0, 1, 2, • •

noch der folgenden genügen:

(23)

a«

anders geschrieben:

Außerdem soll:

a(v) + a

ft ¹

1₁>a<r+1)-a<’Y⁾

jtt + 1 — fl    + l

' an +1 *

(v+l) /(+1

— jil

(«'+!)

(24)

lim a⁽⁰⁾ = 0, lim = 0 ,(( ->00 ^

r->oo

sein — woraus dann vermöge der Monotonie der folgt, daß allgemein:

lim a W = 0 (v = 0, 1, 2, • • •)

fl-> oo fl

(25)

iim = 0 (n = 0, 1, 2, • • •)

r->oo ^

lim a(,) = 0.

jU

N    00

Die fragliche Doppelreihe wird dann dargestellt durch das Schema:

f “r

-«r +<’

(26)

+«r

+«r

— • + (-!)" + ■■• + (-1) 1)

fl + 1

fi + 2

,u + V

• ow + --

Um ihre Konvergenz zu erweisen, betrachten wir zunächst einen Ausdruck von der Form:

I

ft

(•'+ 1)

— a

(27)

(»)

■a,

P + Q (*'+!) f‘+a

=.4

(»'»»• + o)

Infolge der Bedingung (22) ist offenbar die Summe der lten, 3ten, 5t0,‘, • • • Zeile dieses Schemas stets 0. Ebenso folgt mit Hinzunahme der Bedingung (23), daß die Summe der (lten -f- 2ten), der (3ten -f 4ten), • • • Zeile 0 sein muß. Hieraus erkennt man schließlich, daß:

^(v,v + a)

(28)

^0.

Da aber:

r-«r+.+•••+(- v-c,-*

so folgt mit Benützung von Ungl. (28):

< ow - a<’> + ... + (_ 1)». »W ,

= ft    fi +1 1    1 V / ft + ’

(29) A

(v,f+o)

(v + l,» + a) fl,fl+Q

A (’’>v+a) ■/“»/* + ?

und hieraus weiter:

(30)

A{"’v+a)<a{v).

ft,ft + Q — H

Bezeichnet man jetzt wieder mit S^ die Summe aller derjenigen Glieder, welche den ersten (g + 1) Zeilen und (v+ 1) Kolonnen des Schemas (26) angehören, so hat man offenbar:

(31)

(32)    - S™ - (-1)’ ⁺¹A

also mit Benützung von Ungl. (28):

gC' + ff)

°ft + Q

(V + l,V + 0)

0,f< + (>

— sf(”) I <r a (v+i>v+°) i a (o>v)

ft \=^0,ft + (>    ‘ ^fl + l.ft+Q

und daher schließlich nach Ungl. (31):

Aus dieser Ungleichung folgt dann aber in der Tat die Konvergenz der fraglichen Doppelreihe, da die rechte Seite infolge der Bedingung (24) lediglich durch Wahl von g und v (unabhängig von q und <?) bdiebig klein gemacht werden kann. Dabei wird die betreffende Doppelreihe nur bedingt konvergieren, wenn die so gewählt werden, daß die Doppelreihe

(33)

(34)

O' + i)

+ a⁽⁰⁾

^ aft +1 •

oo

’ divergiert.*) o

Im übrigen erkennt man, daß auf Grund der Bedingungen (22) und (25) auch jede Zeile bzw. Kolonne eine konvergente Reihe bildet (als alternierende Reihe mit monotonen, gegen Null konvergierenden Gliedern). Mit Hinzunahme der Bedingung (23) ergibt sich sodann in gleicherweise

1) Dies muß z. B. stets der Fall sein, wenn die Hauptdiagonale des Sehe-

mas

(26), also N, g''\ eine divergente Reihe bildet ^Beispiel: a(,) o    \    •"

die Konvergenz der Zeilen- bzw. Kolonnensummen (die übrigens auch aus § 62, Nr. 5, S. 456, Satz II folgen würde). Es besteht somit auch die Beziehung:

00

00

00

(35)

die Jconvergente Doppelreihe:

Dagegen braucht die Reihe der Diagonalen in diesem Falle nicht zu konvergieren: ihre Konvergenz hängt von der weiteren Beschaffenheit der a^ ab. So entsteht z. B. bei der in der Fußnote angeführten Annahme:    =

/'

(36)

--+(-D“ • di

+ ••• + (- iy⁺¹.

1^ + 2

+ (-i) Vif

p+(-D’4i+-+(-tr’-f4Fi

für welche die Reihe der Diagonalen offenbar lautet:

1—1+1—1+

halb

f¹ + v + ¹

länglich Meiner sind (z. B. so, daß die Absolutwerte der Diagonalsummen schließlich monoton gegen Null konvergieren).

und somit oszilliert. Man kann hieraus mit Sicherheit schließen, daß die Reihe der Diagonalen a fortiori oszillieren muß, wenn die a{f ] noch oberliegen, und daß sie nur honvergieren hann, weim sie hin-

Die Doppelreihe (36) besitzt übrigens die Summe y, wie am ein-

awU + *’ + ¹

fachsten erkannt wird, wenn man zunächst setzt:    =

darauf nach Diagonalen summiert und zur Grenze x = 1 übergebt: die Legitimität eines solchen Grenzüberganges kann freilich erst an späterer Stelle (in der Lehre von den sogenannten Potenzreihen) erwiesen werden. Etwas umständlicher gestaltet sich die (infolge der erwiesenen Konver-

(l -j- V -j- 1 *

wo \x <1,

§ 65. Über eine besondere Anordnung konvergenter Doppelreihen mit konvergenten Zeilen und Kolonnen.

1. Ist die Doppelreihe    = S absolut konvergent (in welchem

Falle dann nach § 64, Nr. 2 (S. 470) auch alle Zeilen und Kolonnen, sowie die Reihen der Zeilen- bzw. Kolonnensummen konvergieren), so steht es zufolge des Satzes von § 64, Nr. 4 (S. 472) frei, die Summation in jeder beliebigen Anordnung auszuführen, insbesondere also in der Weise, wie es in dem folgenden Schema angedeutet ist:

V⁰⁾ + Ml⁽⁰⁾ + M2⁽⁰⁾ + M3⁽⁰⁾ 4----+    +.....

«₀⁽¹⁾

genz der Doppelreihe für deren Summation ausreichende) direkte Berechnung von lim S^\ die indessen mit ausschließlicher Benützung der bisher

gewonnenen Hilfsmittel vollständig ausführbar ist (nämlich mit Hilfe der

n + Q

Beziehung 0 <    ± - lg    ^ ,

Ungl. (5), (6)).

: s.

Z/Jß

34, S. 207,

W'1⁽¹⁾ + W₂⁽¹⁾ + «₃⁽¹⁾ H-----b Wv⁽¹⁾ +

V²⁾

V²)

(1)

«o⁽³⁾

V³)

«|W

d. h. so, daß man zuerst die erste Zeile und die erste Kolonne summiert,

(v -f l)ten Kolonne und Zeile paarweise zusammenfaßt (also

dann — mit Weglassung der bereits verbrauchten Glieder, also mit dem Diagonalgliede u₁⁽¹⁾ beginnend die zweite Zeile und zweite Kolonne, darauf mit w₂⁽²⁾ beginnend die dritte Zeile und dritte Kolonne usf. Wenn man dann noch die an entsprechender Stelle stehenden Glieder der lteib 2ten, •

+ M;,v) + (u<v+i)+ • • • + (w0<+,'⁾+^v|r) +

sodaß sich durch Summation nach Kolonnen zunächst ergibt:

oo    oo

(* + i)

Nr. 2.

§ 65. Besondere Anordnung konvergenter Doppelreihen.

481

mit u®\ u^³ mit u^\ • • •, mit u^\ • • • für: ii > v), so nimmt die in (1) schematisch angedeutete Anordnung die folgende Gestalt an:

«r+K’+o

+«<³>+«>+„<'>)

+ •••+ K’+«f) + —t- (“I

(ß +1)

(2)

(3) S=^J'U^ +^l (u{v

0    0

und schließlich:

(4)

s -2W’' +2 K

o    1

(f< + »•)

+ *$■>)}’

2. Es läßt sich zeigen, daß die vorstehende unter der Voraussetzung der absoluten Konvergenz hergeleitete Summationsanordnung für jede (wenn auch nur bedingt³)) konvergente Doppelreihe mit konvergenten Zeilen und Kolonnen zulässig ist.

Vereinigt man die Summe der ersten (n+ 1) Zeilen und der ersten (n + 1) Kolonnen der Doppelreihe, bildet also:

(5) so sind hierin diejenigen Glieder zweimal enthalten, welche sowohl den ersten («+1) Zeilen, als auch den ersten (w+1) Kolonnen angehören, also diejenigen, deren Summe nach der von uns benützten Schreibweise (s. § 62, S. 450, Gl. (3)) mit $(n) zu bezeichnen ist. Werden diese Glieder durch Subtraktion von aus dem Komplex (5) einmal entfernt, so bleiben gerade diejenigen Glieder in einfacher Anzahl zurück, welche den ersten (n + 1) Winkelstreifen des Schemas (1) angehören, also diejenigen, welche in (2) bzw. (4) zum Vorschein kommen, wenn man den Index v auf die Werte 0, 1, • • •, n beschränkt. Man findet also:

G“ + v)

Bildet man den Grenzwert für n oo und beachtet, daß dann jeder der drei links stehenden Ausdrücke in S übergeht, so folgt:

OO

OO

+ *$■*)}’

s=2}\u’⁾⁺'2 (“'

o    1

d. h. die Beziehung (4) behält in der Tat ihre Gültigkeit.

3. Als Beispiel für die Anwendung der Summationsformel (4) wollen wir die unter der Voraussetzung ,a| < 1 absolut konvergente Doppelreihe betrachten:

00

(6) ausführlicher geschrieben:

a¹ -f- a² a³ + • • • -f- afl -f -f- a² 1 -f a²'² + «2 3 + • • • + a2/< +

also, wenn man nach Zeilen summiert:

oo

(?)

S~:

ccv

-2-

- c*v’

die sogenannte Lambertsche Reihe, deren absolute Konvergenz für j a < 1, abgesehen von ihrer Herleitung aus der absolut konvergenten Doppelreihe (6), auch ohne weiteres aus dem Umstande erkannt wird, daß ihre Glieder von den entsprechenden der für | a | < 1 absolut konvergierenden geometrischen Reihe aV sich nur um den für v —► oo gegen 1 konvergierenden Faktor , unterscheiden.

Die Anwendung der Formel (4) auf die Doppelreihe (6) (also für: «    = ci“*, u, v ^ 1) gibt sodann:

00

oo

oc

00

§ 66. Multiplikation einfach-unendlicher Reihen, also schließlich mit Benützung von

Nr. l.

483

(9)

Gl. (7):

a ’

eine Transformationsformel, durch welche die Lambertsche Reihe in eine sichtlich sehr viel rascher konvergierende übergeführt wird.

§ 66. Anwendung der Lehre von den Doppelreihen auf die Multiplikation einfach-unendlicher Reihen.

1. Sind    3vr zwei beliebige konvergente Reihen und hat man:

(1)

'S1    Vv =

o    o

r,

so ist die Doppelreihe:

u₀v₀ + u₁v₀ +----f- uflv₀ H----

+ U₀Vi -f- u₁v₁ + • • • + UIUV₁ + • • •

(2)

+ U₀Vv + u±vv -I-----f Ufl Vv -i----

stets konvergent und besitzt die Summe U■ V, sodaß also:

(3)

U■ V.

Denn, setzt man:

uo + ui + ' • ' +

v₀ + % + • • • + vv = Vv

und bezeichnet, analog wie in den bisherigen Betrachtungen, mit den mit dem Gliede ußvv endigenden „rechteckigen“ Ausschnitt der Doppelreihe (2), so ergibt sich:

«T- n„-r,

lim S{,) - lim u • lim V, = U ■ V,

/u,v->oo ^

womit die Richtigkeit der Behauptung (3) erwiesen ist.

Da ferner, wie unmittelbar ersichtlich, auch die Zeilen und Kolonnen der Doppelreihe (2) konvergieren, so folgt aus § 62, Nr. 5, Satz (II) (S. 456),

und daher:

,u-> 00

V->00

daß auch die iterierten Reihen gegen den Wert U • V konvergieren, so-daß also:

(4)

UV.

Berücksichtigt man schließlich noch den Satz von § 63, Nr. 3 (S. 462) über die Beziehung einer konvergenten Doppelreihe mit konvergenten Zeilen und Kolonnen zu der einfachen, aus den Diagonalen“ gebildeten Reihe, so läßt sich das Gesamtergebnis der vorstehenden Betrachtung folgendermaßen zusammenfassen:

U und

Für das Produlct zweier konvergenter Reihen y* uv =

oo

>»• vv = V gilt außer dm Beziehungen: o

00 00 00 00 00

=    ⁼    = 'S¹ 'SUMVr

0 0 0 0 0

auch die folgende:

(5)    UV=^>}wr,

o

wo:

W> = l(0Vv + «1 Vr_l + • • • + Ur-lVi +UvV o,

falls diese letztere Reihe konvergiert.

r->i»

Im übrigen sei noch daran erinnert, daß das Produkt U• V (auch wenn die Konvergenz von ~Swr nicht besteht oder nicht nachweisbar ist) wie die Summe jeder konvergenten Doppelreihe nach § 62, Nr. 2 (S. 452) durch eine einfache Reihe dargestellt werden kann, nämlich diejenige, welche der Grenzwertbildung lim $r(v) entspricht. Man hat somit in jedem Falle auch:

W u r=2;<’

o

wo: wf= (u₀+• • • + ur_f)vy+ uvvv+ (v₀4-----b«v_iK,

(speziell: iv₀' = u₀v₀).

Die Konvergenz der Reihe wv und somit die Gültigkeit der Formel (5) erscheint ohne weiteres gesichert, wenn jede der beiden Reihen 'Sur. ^vr absolut konvergiert. Denn unter dieser Voraussetzung ist offenbar die Doppelreihe (2) absolut konvergent, und daraus resultiert nach dem Satze von § 64, Nr. 3 (S. 471) unmittelbar die absolute Kon-§ 66. Multiplikation einfach-unendlicher Reihen.

Nr. 2.

485

yergenz¹) der Diagonalenreihe Swr (einschließlich ihrer Gleichwertigkeit mit der Summe der Doppelreihe²), also mit U• V). Im übrigen handelt es sich hierbei lediglich um denjenigen Fall, welcher bereits in § 58, Nr. 5 (S. 411) ohne Benützung des Begriffes der Doppelreihe erledigt wurde.

2. Um das Gültigkeitsgebiet der Multiplikationsformel (5) auch auf solche Fälle auszudehnen, in denen die Reihen Sur. Svr nicht beide absolut konvergieren, beweisen wir zunächst den folgenden Hilfssatz:

Sind («J, (jbv) positive Zahlenfolgen mit dem Grenzwert Null, .so hat man:

(?)

lim y}arhH-, = 0;

n ->oo

wenn eine der folgenden zivei (hinreichenden) Bedingungen erfüllt ist:

1)    Eine der beiden Heiken Sar. Sbr. z. B. die erste ist konvergent.

• • •) bedeutet.³)

2)    Es konvergiert die Beihe Särbr. wo äv bzw. bY die größte der Zahlen (avf ar+1, • • •) bziv. (br, b

1) Dabei konvergiert nicht nur S! tc«!, d. h.

S\u₀Vy-\-ulvY_l -J-----f-Voli

sondern auch:

2^\uovv + Kv*-i 4----+

2) In Wahrheit wird also für die Herleitung der Beziehung U ■ V — Sv das

o

oben gefundene Ergebnis, wonach schon die Konvergenz von S.wv die Gültigkeit jener Beziehung nach sich zieht, hier gar nicht benützt. Überhaupt besitzt jenes Ergebnis im wesentlichen ein rein theoretisches Interesse, insofern es, abgesehen von gewissen ganz speziellen Fällen, wegen der verwickelten Beschaffenheit der Reihenglieder wv fast niemals möglich ist, die Konvergenz der Reihe Vtc, direkt (d. h. auch ohne Anwendung funktionentheoretischer Hilfsmittel) festzustellen. So erfolgt auch die Ausdehnung der Formel (5) auf den Fall, daß nur eine der beiden Reihen Suv> Svv absolut konvergiert, oder auf gewisse Fälle, in denen beide nur bedingt konvergieren (s. Nr. 3, 4 des Textes), durch den direkten Nachweis

der Beziehung UV — lim S,v wv> wobei dann also die Konvergenz dieser Reihe

n->oo q

als (selbstverständliche) Folgerung erscheint, nicht aber ihre etwa anderweitig erfolgte Feststellung als Beweismittel dient.

3) Da die av bzw. bv schließlich gegen Null konvergieren, so gibt es unter

den Zahlen (a,., a, + 1, • • •) bzw. (&,,, b„

• • •) immer höchstens eine endliche An

also, da es freisteht, s unbegrenzt zu verkleinern, wie behauptet:

lim

= 0. —

71->00

Beweis zu 2). Anknüpfend an Gl. (8) hat man zunächst für Jc<m:

(10)

n = 2 m oder n = 2m -f 1,

so hat man zunächst:

(8)

yjaA-v

= 2«A-v o

m +1

In der ersten der rechts stehenden Summen ist n— v^>n — m^>m, in der zweiten n — v^> 0. Infolgedessen ergibt sich:

00

00

(9)    2}a'b

0

n-v<K Sa*-⁺Sa*< hmSa*+ b°S(lv

0    m +1    0    m +1

(wo b₀ bzw. bm die in der Bedingung 2) angegebene Bedeutung haben, d. h. b₀ bezeichnet die größte der Zahlen (b0} b1} •••)»    die größte der

Zahlen (bm,bm + 1,

• • •))• Wegen lim br = 0 und der Konvergenz der Reihe

V-+-00

'S ar läßt sich m₀ so fixieren, daß gleichzeitig:

00

Sa'<£

für: m m₀,

00

und man findet daher, wenn noch    gesetzt wird, aus Ungl. (9):

2}aa

o

_y < s(A + b₀) für:

2 m -f 1 j

^ 2mo>

Beweis zu 1). Bezeichnet man ganze Zahl, so daß also:

mit m die größte in — enthaltene

+ Sr avK-*-

In der letzten Summe hat man wie oben: n — v^>n — m^m, also um

zahl, welche ar bzw. bv erreichen oder übersteigen, darunter also eine größte Zahl äv bzw. bv. Gleichzeitig mit der Reihe Süvbv konvergiert offenbar stets auch die Reihe Savbv. Konvergieren die av bzw. bv monoton (d. h. also niemals zunehmend) gegen Null, so ist die Reihe Säxbv keine andere als die Reihe

§ 66. Multiplikation einfach-unendlicher Reihen.

487

Nr. 2.

so mehr: n — v^.v (das Gleichheitszeichen gilt übrigens nur für v = m, falls überdies n = 2m) und daher:

(11)

* + l

Zu beliebig kleinem e > 0 läßt sich infolge der Voraussetzung 2) Je so fixieren, daß:

oo

also bei Je < m um so mehr: ^ ar6/4_v < e

(12) ^ ävbv < s,

*+i

(letzteres ganz unabhängig von der Wahl des m bzw. ri). Ist jetzt Je fixiert, so ist n—1c der niedrigste Index von bn_y in der ersten Summe der rechten Seite von Gl. (10) und daher: (13)

Wegen lim bv — 0, also auch lim by — 0, läßt sich für n eine untere

r->-oo

Schranke ri so fixieren, daß:

(14)

(Jc+l) - a₀bn_k<e

für: n ri,

sodaß sich aus Gl. (10) mit Benützung der Ungleichungen (12)—(14) ergibt:

wenn gleichzeitig: n

> ri

>2Jc,

und somit:

(15)

lim aybn_v

o

= 0.

Das analoge Ergebnis findet man für die zweite Summe der rechten Seite von Gl. (8), wenn man beachtet, daß die Voraussetzung 2) in bezug auf av und bv symmetrisch ist und daß die fragliche Summe durch Vertauschung von v mit n — v die Umformung gestattet:

n — m— 1

(16)

r⁼2an-X (wo: n-m 0

— 1 = m — 1 bzw. = tri).

Mithin ergibt sich schließlich, wie behauptet:

lim

n ->oo

2a’b~'

0

= 0.

3. Der erste Teil des eben bewiesenen Hilfssatzes setzt uns in den

Stand, die Gültigkeit der Multiplikationsformel (5) unter der Voraussetzung zu beweisen, daß nur eine der beiden Reiben, etwa Sur. absolut konvergiert.

Setzt man:

(17)

so ergibt sich zunächst:

M₀v₀

+    H----+    + o

+ U₀vt    + UlV₁ d-----H

(18)

und daher:

(19)

(20)

+ W₀Vn_! + U₁Vn + U0Vn

= U0 K + U1 K-l + •

-1

• ' + «»-iK + unV₀=^jurVn_ „ 0

- 2]«jr-0 n

\v,r-wn\^\u,\-\r

o

UV-W

n

K-r)

-K-,1*

Da uv | nach Voraussetzung konvergiert und lim \ V— Vv = 0

1'->0O

ist, so ergibt sich durch Anwendung von Teil 1) des vorigen Hilfssatzes (für: a,-\u,\, b, — \ F-F,|):

¹

Vgl. den umgekehrten Prozeß § 39, (6a) (S. 251).

²

Bei einer unbedingt, also absolut konvergierenden Doppelreihe erscheint dies wiederum ausgeschlossen, da die Konvergenz einer Doppelreihe mit positiven Gliedern und somit die absolute Konvergenz der vorgelegten Doppelreihe durch Hinzufügung beliebig vieler Summanden 0 nicht alteriert werden kann.

³

Wie z. B. die Reihe 36) des vorigen Paragraphen.

Hm\ur-wj = o,

n—>oo

d. h. schließlich wieder:

(5)

UV = lim W„

n oo

~2w

0

Durch Zusammenfassung dieses Resultats mit dem am Schlüsse von Nr. 1 ausgesprochenen ergibt sich also:

Die Multiplikationsformel (5) ist gültig, wenn mindestens eine der beiden Reihen ^Sur, ’Sv,. absolut konvergieti.

4. Wenn die Reihen ^Sur. ^vr beide nur bedingt konvergieren, so müssen naturgemäß noch spezielle Voraussetzungen hinzukommen, wenn die Reihe ^wv konvergieren soll. Denn da bei einer bedingt konvergenten Reihe die absoluten Beträge der Glieder mit wachsendem Index beliebig

§ 66. Multiplikation einfach-unendlicher Reihen.

Nr. 4.

489

langsam gegen Null konvergieren können¹), so liegt auf der Hand, daß

die Glieder wv = u₀vv -f- u₁vv_₁ -f----im allgemeinen sogar nicht

einmal den Grenzwert Null besitzen werden.

zu

Wir wollen hier nur diejenigen Fälle näher ins Auge fassen, in welchen mindestens eine der beiden Reihen zu einer absolut konvergenten wird, wenn man je zwei unmittelbar aufeinander folgende Glieder einem einzigen vereinigt (wie z. B. bei jeder konvergenten alternierenden Reihe) und beweisen zunächst den folgenden Satz:

00

Wenn die Beihe^j (u2v +u2v+1) absolut konvergiert, wäh o

rend 2Euv, 2VV nur bedingt zu konvergieren brauchen, so ist für die Gültigkeit der Multiplikationsformel (5) notwendig und hinreichend, daß eins der folgenden zwei Bedingungspaare besteht:

m — 1

(21a)

Um ^Ju2vv2m_2v

m-> oc

= lim

m-> oo

U2v + 1 V2m

0

= o,

oder:

(21b)-

lim y}uu+1v2m m-*°° o

-2v

= lim u2 v

TO-> 00

V2m-2r + l — 0. ²)

Beweis. Nach Gl. (19) hat man für n = 2m:

2m

also durch Trennung der Glieder mit geradem und ungeradem Index:

m—1

(22) U2m-V~w

+ «2 m(r-v₀)

)}

und, wenn man in der ersten Gliedergruppe

1)    Ygl. § 59, Nr. 3 (S. 415).

2)    Anders ausgesprochen: Die für die Konvergenz von Nwy notwendige Bedingung ]im«7n = 0 ist schon erfüllt, wenn sie für gerades oder ungerades n in

n->oo

der Weise besteht, daß jeder der beiden Bestandteile von wn:

K = uov„ fV.-i+Vn-4-l----

K'=    + usv„_s + u₆vn_₆ d----

(so weit fortzusetzen, bis die Summe von selbst abbricht) einzeln gegen Null konvergiert, und diese Bedingung ist dann zugleich auch für die Konvergenz von Wwv hinreichend.

setzt:

(23)

^2 m - 2 r    ^2to-2v—1    V2m-2r

Ulm' V ^2 m    (U2v~^~ U2v + l)(V ^2m

l)

^2to — 2v 7

anders geschrieben:

(24)

^2m ~ ^2 m

-1

■ r-sm + w'2m,

TO — 1

wo:

(25)

(26)

s.-2j!(«.,+«.,₊i)Ur 0 m

W2 m = ^U2r 0

-^2to

~(2v + l)/>

^2 to — 2 v ’

Da ^|w2v + w2 aus dem ersten Teil des Hilfssatzes von Nr. 2. daß:

konvergiert und lim V — V

r->oo

= 0, so folgt

TO— 1

~(2r + l)

|-0,

und man findet daher aus Gl. (24):

(27)

lim W2m = UV+ lim w

TO-> 00

TO ->00

2 TO

als diejenige Beziehung, welche über die Konvergenz oder Divergenz von W2m für m —> oo Auskunft gibt. Insbesondere folgt daraus, daß dann und nur dann

lim W2m = UV

wird, mit anderen Worten, daß die bei einem Gliede mit geradem Index abgebrochene Reihe ^wr nach dem Werte UV konvergiert, wenn:

(28)

lim w2m

TO ->oo

= lim y}u2vv2m

o

ist. Da andererseits:

^2to=^2to-!

so ergibt sich weiter als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß auch

2 m)

00

lim TT,.., - UV

(also schließlich:    =

o

UV)

welche mit Rücksicht auf die bereits bestehende Beziehung (28) auch durch die folgende ersetzt werden kann:

lim (w2m- w2m) = 0,

n ->oo

Nr. 4.

§ 66. Multiplikation einfach-unendlicher Reihen.

491

wird, die Beziehung:

lim w2m = 0,

m-> oo

d. h.

(29) lim iv "m = 0, wenn gesetzt wird: w

Damit ist zunächst die Behauptung, soweit sie sich auf die mit (21a) bezeichneten Gleichungen bezieht, bewiesen.

Um dieses Ergebnis auch auf die Gleichungen (21b) auszudehnen, hat man nur zu beachten, daß wegen der Konvergenz von w2v + w2v+11 der erste Teil des Hilfssatzes von Nr. 2 ohne weiteres die Beziehungen liefert:

lim

m->oo

lim

m->eo

(M2 v "U W3 v + l) V2m — 2 v

0 m

^j(u2t, + u.2 o

= 0,

>2

welche, wenn nach Analogie von Gl. (26), (29) noch gesetzt wird¹):

(30)

W2m + 1

~]>}U2v ₊ lV2m-2V>

0

sich auch folgendermaßen schreiben lassen:

’ lim    + WL + 1

( 1)

hm Km+2

. m->-oo

Daraus folgt aber, daß gleichzeitig mit den Beziehungen (28), (29) stets auch die folgenden (oben mit (21b) bezeichneten) bestehen:

lim w'l.

m-> oo

und umgekehrt. Die letzteren sind also unter der gemachten Voraus-

CO

2m + l

) = 0.

(32)

lim wL

m-> oo

2m + 1

= 0,

2m + l

Setzung gleichfalls notwendig und hinreichend für die Gültigkeit der

Beziehung UV — Sj'wv.

o

Zusatz. Setzt man |wj = av, \vv\ = bv, so ergibt sich aus dem zweiten Teile des Hilfssatzes von Nr. 2, daß die Bedingungen (21a) bzw. (21b) sicher erfüllt sind, wenn die a. a. 0. mit Särbr bezeichnete Reihe konvergiert. Die Konvergenz der letzteren bildet also zusammen mit derjenigen von S\u%v + w2i'+i s e^ne hinreichende Bedingung für die Gültigkeit der Multiplikationsformel (5).

5. Einfachere Formen von notwendigen und hinreichenden Konvergenzbedingungen ergeben sich, wenn man eine der beiden Reihen Sur. Svr noch weiteren Einschränkungen unterwirft. Insbesondere gilt der folgende Satz:

Ist außer der Reihe (u2 yj-u2v + 1) auch eine der folgenden:    o

oo

³) ^}(V2v + V2r ₊ l)

1)    (U2 v +1    U2 v + 2) >    2)    (V₂

0 0

i+l

+ v2,. + 2);

absolut konvergent, so ist die für die Konvergenz der Reihe 'Sw,, (und die Gültigkeit der Multiplikationsformel) notwendige Bedingung:

lim w„ = 0

n

n->ao

auch hinreichend, und zwar sogar schon, wenn ihre Existenz im Falle 1) nur für gerade oder nur für ungerade n, im Falle 2) für gerade n, im Falle 3) für ungerade n vorausgesetzt wird.

Beweis. Die erste der genannten Zusatzbedingungen läßt sich mit der ursprünglichen Voraussetzung der absoluten Konvergenz von

(wir + u2r + i) dahin vereinigen, daß die Reihe | uv + m,. + 1 j als kon-0    0    ⁰⁰

vergent vorausgesetzt wird. Und da andererseits U — ut in die Form gesetzt werden kann:    0

00

(33)

lr = y uo + 2 2    Uy + ^ ’

0

so konvergiert also U in dieser letzteren Gestalt absolut. Setzt man also zur Abkürzung:

»•+1

(v = 0, 1, 2, • • •) und speziell: — u₀ = ü₀,

Nr. 5.

§ 66. Multiplikation einfach-unendlicher Reihen, so ergibt sich nach Nr. 3 zunächst:

493

oo

(35)

UV

-2jw

o

wo:

Wv = Ü₀Vv -f Ü₁Vr_₁ -j-----1- ÜvV₀ .

Man hat nun insbesondere:

(36 a)

und für v 1:

+ 2 K+w₁)^_₁+¥(M₁+M₂)t;₎,_₂ + --- + ₂(wv_i+wv)v₀

— ^(^-l + *0 .

(36 b)

und daher:

(37)

0

M’o =

1+0 ¹

71 *

Infolgedessen ergibt sich:

- 00

(38)

2’w' ⁼

0

lim

FF

»» ->oo

mit Rücksicht auf Gl. (35) dann und nur dann, wenn:

lim wn = 0.

(39)

Da im übrigen wegen der von vornherein bestehenden Konvergenz

von 'Swr (s. Gl. (35)) stets:

lim wn = 0, also nach (36b): lim (wn_₁ + wn) = 0,

«-> 00

so folgt, daß jede der Beziehungen:

lim w2m = 0, lim w

m->oo

die andere nach sich zieht und daß es daher, wie behauptet wurde, in der Tat genügt, eine dieser beiden Bedingungen als bestehend vorauszusetzen, um daraus die Existenz der Gleichung (39) und damit die Konvergenz der Reihe ^zvv zu folgern. —

(40)

m-> oo

71 -> 00

2m + l

oo

Wir betrachten jetzt zweitens die Annahme, daß außer ^^(w2v + m2v+1) °°    o

die Reihe^v (v2r+1 + ^v+2) absolut konvergiert.

0

Nach dem Satze der

vorigen Nummer (s. Gl. (28), (29)) ist die Konvergenz von ^wv gesichert,, falls die Beziehung besteht:

lim wim = lim w"m = 0,

m->oo

»n->-00

wo:

Man hat nun:

WL=]>},U2vV2m

0

-2v f

W2m —    u2r + l V2m

0

W2m    (M2 v V2 m - 2 r U2 v + 1 V2m - 2r -1) "F U2 m V0

0

711—1

~    (^2v ~F ^2r + l)y2m-2i'

0

TO —1

^?^2y + l (V2m

0

+ V2m-2r) + ^mV₀.

Ersetzt man in der zweiten Summe v durch m —v — 1 und benützt für die linke Seite die Beziehung u)am-\-w2m = w2m, so ergibt sich:

2»8m -«>>„/ ⁺ '

TO — 1

J^C^v + I+^v^Kto 0

(42)

TO —2 t’

+ W2to V

Da die beiden Summen infolge der Konvergenz von w2v + w2v + 11, v2v+i + v2v+21 nach dem ersten Teile des Hilfssatzes von Nr. 2 (wobei bv einmal durch va

für m —> oo gegen Null konvergieren, so findet man:

lim (w8m —2ws"J - lim (2w'am — waJ = 0

m ->oo

(43)

— 2 v— 1

v + 2>

das andere Mal durch w₂

zu ersetzen ist)

TO-+0O

und daraus folgt, daß die Beziehung:

lim wim =- 0

TO-> OO

als (notwendig und) hinreichend für das gleichzeitige Verschwinden von lim w2m und lim w2m,

oo

(44)

TO-> 00

also nach Gl. (21a) bzw. (28), (29) für die

Konvergenz von ^wy erscheint.

Im Falle 3) findet man analog mit Gl. (42) die Beziehung:

— 2 w"

»I« + l

²«Wl -w*m + i

2 TO + 1

— ^2to + 1    W2m+1

=    ^}(.U2r + ^2v + l)V2

0 m

= -^(t’2v+ V2, + l)w2 0

TO + 1 —2 F

2m.+1

und da wiederum nach dem ersten Teile des Hilfssatzes von Nr. 2 diese beiden Summen für m —► oo gegen Null konvergieren, so folgt:

(46) lim (w2m + l-2w2m+1) = lim (2w₈'m + 1 - w2m + 1) = 0,

m-> oo

also mit Berücksichtigung von Gl. (21b) bzw. (32) schließlich:

lim w

m-> oo

(47)

als (notwendige und) hinreichende Bedingung für die Konvergenz von Damit ist der ausgesprochene Satz vollständig bewiesen.

und

Zusatz. Eine hinreichende Bedingung wesentlich anderer Art gewinnt man unter der Voraussetzung, daß die Reihen ^2\u»r + u» 21^+^!, also auch ^\uv-\-uv+1\ konvergieren (Fall 1) des vorigen Satzes), in folgender Weise. Man hat:

Vn-V

Wn = ^}UvVn-v =2(~ !)X • (-1)V 0 0

Durch Anwendung der Äbelschen Transformation (s. § 59, S. 416, Gl. (15)), nämlich:

71 — 1

^PvQn-v

0

^ ~Pv +l) (& + & -1+ • * * + «« - v) +Pn((In + Qn

0

ergibt sich also:

71—1

(- l)r+‘«,.+i)(»» —*>»_i + ••• + (- 1)X-,) + (- 1)” •    »,-, + ••• + (- l)”»o)

0

71 — 1

= ^}(U*+Uv + l )(Vn-v— Vn + 1-, + ■•• + (- 1 Yv„)

⁰    + W„K-V1 + --' + (—!)" -O-

Wird auf die erste Summe eine analoge Schluß weise angewendet wie beim Beweise zu 1) des Hilfssatzes zu Nr. 2, wobei man

K-y durch I«.-, —», + 1-, +••• + (-

also speziell: hn durch \vn\ zu ersetzen hat, so ergibt sich mit Rücksicht auf die Konvergenz von ^\uv + uv + x', wenn noch vorausgesetzt wird,

av durch \uv + uv

daß auch die Reihe (— 1)” vv konvergiert (mithin o

k_r-+ --- + (-l)Xl

stets unter einer endlichen Schranke bleibt und für v <j y und hinlänglich große n beliebig klein wird):

lim wn = 0,

und somit nach dem vorigen Satze die Konvergenz der Reihe Sw,.. Man findet also:

Konvergiert außer Suv, 'Sv,, auch die Reihe S\u,. + wv+11, so ist das Hinzulcommen der Konvergenz von S(— \)v vv (anders ausgesprochen: der Konvergenz von Sv*,. oder Sv«,., eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit der Multiplikationsformet.

6. Die Voraussetzungen von Fall 1) des Hauptsatzes der vorigen Nummer sind offenbar erfüllt, wenn gesetzt wird:

Ur = (— 1 )X (> =    1; 2, • • •),

wo av ^ av + l > 0 und lim av = 0, wenn also Su,. eine alternierende

V-+-0O

Reihe mit numerisch monoton gegen Null konvergierenden Gliedern. Ist alsdann Svv e^ne Reihe derselben Art, etwa:

Y\ (v-0,1,2,...),

so ergibt sich zunächst:

Wn

sodaß nach dem Satze der vorigen Nummer die Bedingung:

(48)

lim

n-> oo

als notwendig und hinreichend für die Gültigkeit der Multiplikationsformel (5) erscheint. Dieselbe läßt sich übrigens durch zwei Bedingungen einfacherer Art ersetzen. Man hat zunächst:

(49)

\Wn

I ⁼^}aA-v

0

Andererseits ist:

2» +1

2* + l

0

n

>an‘ ]>}K-0

(50)

2n +1 —

v + ^}a2n + l-vK 0

und man findet daher, da nach Gl. (46) die Beziehung lim w die Konvergenz von Swv schon hinreicht:

2 n 4-1

= 0 für

n->oa

Für die Anwendbarkeit der Multiplikationsformel (5) auf

00

00

die beiden alternierenden

Reihen (— 1)*. av, (— l)v ■ bv 0 0

mit numerisch monoton gegen Null konvergierenden Gliedern ist notwendig und hinreichend, daß:

(51)

lim bn

n ->oo

Da ferner:

.y\av = \\man-yibv = 0.

w->oo

0 0

(52)

^'2“’

0

> n • anb

an-

und andererseits nach dem zweiten Teile des Hilfssatzes von Nr. 2 (S. 485) die Konvergenz der Reihe "Sarbr stets die Beziehung (48) nach sich zieht, so ergibt sich weiter:

(53)

Für die Anwendbarkeit der Multiplikations formet auf die Reihen S(— l)v • av, (SY— l)v • bv bildet die Beziehung: lim n • anbn = 0

eine notwendige, die Konvergenz der Reihe Sarbr eine hinreichende Bedingung.² 3 4 5 6)

Hieraus folgt z. B., daß für die Reihen

oo

00

2h-¹)’

i

die Produktformel konvergiert oder divergiert, je nachdem p + q > 1

oder p -f- q <( 1, da im ersteren Falle die Reihe    —— konvergiert⁸),

im letzteren lim n •

j    vp+i

—— = 1 oder = oo wird.

71 = 00

nP+9

• Cr,

Übrigens läßt sich jede der obigen der Form nach gänzlich verschiedenen zwei Bedingungen auch so umgestalten, daß sie der Form der anderen möglichst nahe kommt (wobei allerdings, wie leicht zu sehen, jede der betreffenden Bedingungen etwas an Tragweite verliert).

Erstens ergibt sich, wenn man die als notwendige Bedingung erkannte Gleichung (53) in die (1 -f p)t0 Potenz ((>>0) erhebt, daß auch die Beziehung:

lim n¹⁺? (anbn)¹⁺e = 0 « ->oo

eine notwendige Bedingung liefert, und da diese letztere nach § 50, Nr. 1 (S. 336) immer die Konvergenz der Reihe ^’(»v?>₁,)1 + ? nach sich zieht, so kann man sagen, es bilde

die Konvergenz von J£arbv eine hinreichende,

„    „    „ JjjVA)1 + ? (für jedes g > 0) eine not

wendige Bedingung

(sc. für die Gültigkeit der Multiplikationsformel). Da es hierbei freisteht, p>0 beliebig zu verkleinern, so zeigt diese Formulierung, daß die Konvergenz von ^arbr sozusagen „nahezu“ als notwendige Bedingung erscheint.

Ziveitens ist ja die hinreichende Bedingung der Konvergenz von aybv sicher erfüllt, wenn die avbv einem der bekannten Konvergenzkriterien erster Art genügen, nämlich (s. § 50, S. 336, Formel (C')):

(54) lim w1 + e- anbn < oo bzw.*) lim Lk(ri) • (lg* w)?-anbn < oo (p>0),

n-> oo

n-> oo

sodaß also diese Bedingungen gleichfalls als hinreichende zu gelten haben und die Vergleichung mit der als notwendig erkannten Be-

Cy ~2*x'

i

- 1 ■ 5?-.

V -j- 1__X

1

1) Dabei ist:

Lk(n) = n • lg« • • • lg*«.

n-y oo

zeigt, daß diese letztere gewissermaßen nicht sehr weit davon entfernt ist, eine hinreichende zu sein.

7. Die Vergleichung der notivendigen Bedingung (53) mit den hinreichenden von der Form (54) legt die Frage nahe, welche Rolle in dem vorliegenden Zusammenhänge die Grenzwerte von der Form lim n lg n • anbu

n ->°o

bzw. lim Lk(n) • anbn spielen. Wir wissen bereits, daß das Verschivinden

n-y oo

dieser Grenzwerte (im Gegensatz zu demjenigen von lim n • anbn) Jeeine

n-y<x>

notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe Savbv (mit monotonen Gliedern!) bildet, aber doch nur in dem Sinne, daß jene Grenzwerte auch bei monotoner Abnahme der Reihenglieder nicht zu existieren brauchen (s. § 53, Nr. 4, S. 369), daß aber, wenn jene Grenzwerte nicht existieren, jedenfalls das Verschwinden der entsprechenden unteren Limites für die Konvergenz durchaus unentbehrlich ist (s. § 47, S. 319, Fußn. 1). Dagegen hat die Beschaffenheit jener Grenzwerte bzw. unteren Limites auf die Konvergenz bzw. Divergenz der Produktreihe Swv in dem vorliegenden Falle überhaupt keinen maßgebenden Einfluß. Es gilt nämlich der folgende Satz⁷):

Bedeutet (Mv) eine mit v beliebig langsam ins Unendliche wachsende Zahlenfolge, so bildet die Beziehung:

lim nMn • anbn = 0 oder auch nur: lim nMn • anbn = 0

n-> oo

dingung (53):

lim n • anbn = 0

n-y oo

Je ei ne notwendige Bedingung für die Konvergenz der aus S(— l)v ■ av, SY— 1 )v ■ bv gebildeten Produktreihe S^y. Vielmehr kann die letztere konvergieren, selbst wenn:

lim nMn • anbn = oo n-yco

ist. Andererseits bildet eine Beziehung von der Form: lim Lk(n) • anbn = 0

7l->00

noch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von J£wr, wie groß auch Je angenommen werden möge.

Beweis. Wir bezeichnen mit (mf), (mf) zwei mit v monoton ins Unendliche wachsende Zahlenfolgen, deren nähere Charakterisierung wir

uns noch Vorbehalten und setzen:

av =

(v 1, mx ^ 1);

mv}/v⁷

dann läßt sich zunächst zeigen, daß die Reihe    auf Grund der Be

dingungen (51) sicher konvergiert. Man hat nämlich:

mv']/v

a _ yiJl.

m'x j/n    }/ v

Da aber

so folgt:

(s. § 51, S. 349, Gl. (32) für p - - ) :

2rr=2y"’

i r

-]>}av = °, 1

n

lim an -y}bv = 0, »->00

lim bn

n-> oo

und ganz analog:

sodaß die Bedingungen für die Konvergenz von    in der Tat erfüllt

sind. Zugleich hat man:

Mn

™nK

Wählt man also mv, mv' in der Weise, daß mn • m'n^Mn (z. B. mv = My, wo 0<p<l) oder mn-m'n~<Mn (z.B. mv=My, mv'=\gMv), so wird lim nMn ■ anbn von Null verschieden bzw. sogar unendlich groß.

n ->oo

Damit ist also der erste Teil des ausgesprochenen Satzes erledigt. Um auch die Richtigkeit des zweiten zu beweisen, setze man:

°v =

äW’ h'=T*t^

(für v^m, wo m so zu wählen ist, daß lgt + 1 m positiv ausfällt), sodaß also:

lim Lk(n) • anbn = lim

n-> oo

n-> oo

lSk + i n

= 0.

Andererseits hat man:

b.2a*-

2 LJv) '

Da aber (s. § 51, S. 348, Schluß von Nr. 4):

n

2'T^) = ‘8*+'”

und daher:

iim -y}ar=

n->oo

so folgt mit Rücksicht auf die Konvergenzbedingung (51), daß die Reihe Swr divergiert.

8. Es verdient hervorgehoben zu werden, daß die Konvergenz der Reihe J£avbv) d. h. S\uvvv\) welche auf Grund des Zusatzes zu Nr. 4 (S. 482) bei monoton¹) gegen Null konvergierenden |uv\, \vv\ unter den in Nr. 4—6 behandelten Voraussetzungen eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit der Multiplikationsformel bildet und in dem besonderen Falle der alternierenden Reihen „nahezu“ als notwendig erscheint (s. Nr. 6, S. 498), im allgemeinen den letzteren Charakter keineswegs besitzt. Dies leuchtet unmittelbar ein, wenn man beachtet, daß ja aus der Konvergenz jener Reihe nicht nur das Verschwinden von

lim | wn | = lim

n -> oo

n ->oo

]>}UrVn-v > 0

sondern sogar dasjenige von

lim yi a\_ v

«-> oo

0

»vVn-v\

0

= lim

n-> oo

resultiert und daß (abgesehen von dem hier nicht in Betracht kommenden Falle aus gleichbezeichneten Gliedern bestehender, also absolut konvergenter Reihen) nur gerade im Falle der alternierenden Reihen

¹

Ygl. die vorige Fußnote.

²

   Dies würde sich auch schon aus dem Zusatze zu Nr. 4 (S. 492) mit Berücksichtigung der Schlußbemerkung von Fußn. 1, S. 486, ergeben.

³

   Speziell ergibt sich also (vgl. § 59, S. 414, Gl. (9)):

⁴

00

⁵

₍ig2)'_ (2h- ir² • 1) = 2Tc~ ¹⁾’"²

⁶

i    i

⁷

Man vergleiche damit den Satz (IV) des § 53 (S. 369).

! ]>}uvvtl_v j

0 0

wird. Im übrigen läßt das folgende Beispiel erkennen, wie weit die fragliche hinreichende Bedingung davon entfernt ist, eine notwendige zu sein. Versteht man wieder unter (av), (bv) positive, monoton gegen Null konvergierende Zahlenfolgen und setzt wie früher:

*«v = (-l)X; dagegen: v2r = (— 1)” • b2v, v2v + 1 = (- 1)” • b2v+1,

1) Sind die uy | = a„, \vv \ — bv nicht monoton, so hätte man die Reihe Saybv in dem vorliegenden Zusammenhänge durch ^äybv (s. den Zusatz zu . Nr. 4, S. 492) zu ersetzen.

33

Pringsheim, Vorlesungen I, 2.

so hat man:

0 0

oo

Da aber die Reihen    (— l)v • b2 v und    (— l)" • b

o    o

2» +1

2v + l

einzeln konver-

gieren, so gilt das gleiche auch von ihrer Differenz, also von der Reihe:

&2v + l) =^}(V2v-V2r + l) =]>}(- 1)' ' «V, 0 0

konvergieren, so sind die Bedingungen des letzten

v -f 2

und da außerdem auch Sur die Eigenschaft besitzt, daß J£\u2v + w2v + 1 j und ^\u₂

Satzes von Nr. 5 (S. 496) sämtlich erfüllt, womit die Konvergenz der Reihe "Swr gesichert ist. Andererseits steht es aber offenbar frei, die ar, bv beliebig langsam gegen Null konvergieren zu lassen und so eine beliebig starke Divergenz der Reihe ^ayby zu erzeugen, ohne dadurch die Konvergenz der Reihe J£wv zu beeinträchtigen.

§ 67. Konvergenz- und Divergenzkriterien für Doppelreihen mit nicht-negativen Gliedern.

1. Nach dem in § 64 gewonnenen Hauptresultat (s. a. a. 0. Nr. 4 und 6, S. 472,474) erfordert die Feststellung der unbedingten Konvergenz einer beliebigen Doppelreihe lediglich die Beurteilung der Konvergenz oder Divergenz einer ausschließlich aus Gliedern a^r) 0 bestehenden Doppelreihe. Als naturgemäßes Hilfsmittel zur Erreichung dieses Zwecks bietet sich, analog wie bei den einfachen Reihen, die Vergleichung der a^} mit den entsprechenden Gliedern einer bereits als konvergent oder divergent erkannten Doppelreihe. Dabei ergeben sich in bezug auf die Ausführung dieser Operation zwei Möglichkeiten, je nachdem man darauf ausgeht, ganz direkt die Konvergenz oder Divergenz der Doppelreihe als solcher oder aber diejenige der aus ihr durch Anordnung der Glieder nach Diagonalen hervorgehenden einfachen Reihe zu erschließen (deren Konvergenz oder Divergenz ja mit derjenigen der Doppelreihe zusammenfällt — s. § 63, Nr. 1). Obschon die zweite dieser Möglichkeiten namentlich in bezug auf die Bildung von Konvergenzkriterien sich als die vorteilhaftere erweist, so wollen wir doch, gerade um dies deutlich zu machen, zunächst auch die erste kurz erörtern.

8? ^ S*> + G (,« - 8*) <    + G (#■- 8$ .

(2)

Bezeichnet man wieder mit Sjp die Summe desjenigen endlichen Ausschnittes der Doppelreihe, welcher begrenzt wird von der (g-\- l)ten Kolonne d (v-f- l )ten Zeile, so erkennt man zunächst, daß die infolge der Voraussetzung    0 eine monotone Doppelfolge bilden. Daraus folgt aber,

daß eine Doppelreihe der betrachteten Art nur konvergieren oder eigentlich divergieren kann und daß insbesondere die Konvergenz gesichert ist, wenn nur festgestellt werden kann, daß die stets unter einer festen positiven Schranke bleiben. Das letztere ist aber offenbar der Fall, wenn eine Beziehung von der Form besteht:

a{v) < G • c(,,)

,« = ,«

un

g^tni, v = 0, 1, , • • •

v^n, g = 0, 1, , • • •,

unter das allgemeine Glied einer bereits als konvergent erkannten Doppelreihe, unter G irgendeine positive Zahl, unter m, n zwei natürliche Zahlen verstanden. Denn bezeichnet man mit die Summe derjenigen Glieder c^\ welche den in der Summe enthaltenen entsprechen, und setzt lim = s, so folgt aus (1):

fi, r->oo ^

(1)

für:

CM CM

Hieraus geht aber auf Grund der oben gemachten Bemerkung hervor, daß aus dem Bestehen der Beziehung (1) allemal die Konvergenz der Doppelreihe resultiert.

Setzt man    = —,-r

fi

, so läßt sich die Bedingung (1) durch die fol

gende ersetzen:

(3)    C™ ■ aj? £ G für: j ^

m,

■cT cT

tC

und diese letztere kann man in die folgenden drei Teilbedingungen zerlegen :

(a)    C(,) • a(r) < G    für:

V /    M fi —

(4)

(b)    C*> ■(>?£&    „

(o)    C"-a"£G    „

Da ferner die Ungleichung (3) und folglich auch die drei Ungleichungen (4) sicher erfüllt bleiben, wenn man die Zahlen m, n sukzessive durch zwei immer größer werdende, etwa m ~>m, n^>n ersetzt, so ziehen dieselben stets die folgenden nach sich:

33*

(a)    lim (7⁽’’⁾ • a (,) < oo für: v = 0, 1, 2, • • •,

(5)

(b)    lim C(,) • a < oo für: g — 0, 1, 2, • • •,

r ->oc ^    /

(c)    imCw.flW<oo.

fl, V->00    ^

Diese letzteren erscheinen daher vorläufig nur als notwendige Bedingungen für das Bestehen der Ungleichungen (4) bzw. (3). Umgekehrt folgt

eine bestimmte positive Zahl <7 sein muß und daß daher (vgl. § 41, S. 261, Ungl. (7)), wenn g > g angenommen wird:

^ < g' etwa für:

Ferner ergibt sich aus Ungl. (5a), (5b), daß gesetzt werden kann:

C{v) • a(,) < gw ■ a M <. g

fi    ft = v fi    n

wo g(v\ g gewisse positive (mit v bzw. g im allgemeinen veränderliche) Zahlen bedeuten. Diese drei Ungleichungen gehen aber schließlich in die mit (4) bezeichneten über, wenn man — was offenbar freisteht — g, g(*\ gu- durch eine einzige Zahl G ersetzt, welche die größte der Zahlen g, gM (y = 0, 1, • • •, n), gfl (g = 0, 1, • • •, m) vorstellt.

Hiernach erweisen sich die Bedingungen (5) auch als hinreichend

(6c)

(6 a)

(6b)

nun

aber zunächst aus Ungl. (5c), daß der betreffende Doppellimes

<7(v)

ft

für: fi > m, v = 0, 1, • • •, n, v^>n, g = 0, 1, • • •, m,

. Dabei ziehen offenbar die

für die Konvergenz der Doppelreihe

0

Bedingungen (5a) bzw. (5b) nur die Konvergenz jeder einzelnen Zeile bzw. Kolonne nach sich, während dann unter der ausdrücklichen Voraussetzung, daß jede Zeile und jede Kolonne konvergiert, die Bedingung (5c) erst die Konvergenz der Doppelreihe zur Folge hat. Insbesondere ist also zu beachten, daß auch Jeeine einzige der in (5a) bzw. (5b) enthaltenen unbegrenzten Folge von Bedingungen entbehrlich ist, da schon die Divergenz einer einzelnen Zeile oder Kolonne auch die Divergenz der Doppelreihe nach sich ziehen und daher die Wirkung aller übrigen Bedingungen illusorisch machen würde.

Dagegen kann unter einer bestimmten Voraussetzung die Bedingung (5 c) entbehrt werden, wenn nämlich die Beziehungen (5 a), (5 b) in dem Sinne gleichmäßig¹) erfüllt sind, daß an die Stelle der Ungleichun-§ 67. Konvergenz- und Divergenzkriterien für Doppelreihen, gen (6a), (6b) die folgenden treten:

505

Nr. 2.

(?)

(a)    C⁽’f ■ a'^ <; G für: a ^ m, v — 0,1, 2, • • •,

(b)    C^-a^G für: v^n, p-0,1,2,-

mit anderen Worten, wenn die in (6a) und (6b) mit g^\ gu bezeichneten Zahlen auch für v = 0,1,2, • • • und g = 0,1,2, • • • in infinitum eine bestimmte obere Grenze G haben (was ja ohne ausdrückliche Voraussetzung bzw. ohne das Hinzutreten der Bedingung (5 c) nicht der Fall zu sein brauchte). In der Tat sind ja dann die Bedingungen mit den ursprünglichen Konvergenzbedingungen (3) vollkommen identisch.

2. Eine einfachere Fassung des Konvergenzkriteriums ergibt sich, wie bereits oben angekündigt wurde, wenn man die zu untersuchende Doppelreihe und dem entsprechend auch die Vergleichsdoppelreihe von vornherein nach Diagonalen geordnet als einfache Reihen, also in der Form :

(i-1)

•+ax]) bzw- 2}{co]+ci. 0

(*-l)

Dabei tritt also irgendein bestimmtes Glied er

(*■)

in Betracht zieht, bzw. c^ in derjenigen Gliedergruppe auf, welche durch den Index X — g-\-v bestimmt wird. Und es erscheint daher für die Konvergenz jener aus den gebildeten einfachen Reihe (also auch für diejenige der ursprünglichen Doppelreihe) hinreichend, wenn nur von einer bestimmten Gliedergruppe ab, etwa für -f v^.1:

•? + •?-* + — + *?&G (,« + <:(

und diese letztere Bedingung ist sicher erfüllt, wrenn:

a{v)<G-c(v)

ft —    fi

(8)

(9)

für: g -f- v l,

anders geschrieben:

(10)

C{r)

™<LG für: g + v^l,

unter G wiederum eine beliebige positive Zahl verstanden. Diese Bedingung läßt sich aber schließlich auch durch die folgende ersetzen:

{,) < oo ,

fi ^ f

(Ia)

lim 6,(v)

/U

• /LI -f V->00

sodaß also an die Stelle der früheren drei Bedingungsformen (5) jetzt eine einzige tritt. Dabei sei ausdrücklich bemerkt, daß der hier auftretende obere Limes kein oberer Doppellimes (s. § 41, Nr. 2, S. 261), sondern der obere Limes der einfach unendlichen Zahlenfolge:

<7₀⁽⁰⁾a₀⁽⁰⁾, tf0²«o², Ci⁽⁰V⁰⁾, •••, C₀Wa₀W

.....

ist.

Die nämliche Schlußweise würde bei Vergleichung von mit dem allgemeinen Gliede einer bereits als divergent erkannten Doppelreihe

die Beziehung:

Dw

d{'⁾-

(H)

lim B(r) ■ o'” > 0

--LI    U

/t + r->oo

als hinreichende Bedingung für die Divergenz der vorgelegten Doppelreihe ergeben. Unterwirft man indessen die zum Vergleiche herangezogene Doppelreihe ^d⁽^ der gewissermaßen selbstverständlichen Be-

dingung, daß ihre Divergenz nicht lediglich durch diejenige irgendeiner oder mehrerer Zeilen oder Kolonnen erzeugt werden soll, also durch deren Weglassung beseitigt werden könnte, daß vielmehr die Doppelreihe ^d(,) auch nach Weglassung jeder beliebigen endlichen Anzahl

H,v

von Zeilen und Kolonnen stets divergent bleiben soll (während im Gegenteil keine einzige Zeile oder Kolonne zu divergieren braucht), so erscheint

offenbar die Divergenz von    gesichert, wenn nur von einer be-

fl

stimmten Stelle ab, etwa für g m, v ^ n, eine Beziehung von der Form besteht:

«,(,) ^ 9 • d*v) (wo: g>0)

D^ •    ^9 für: gi>m, v^n,

lim D^ • a(,) > 0,

(12)

anders geschrieben : (13)

oder auch schließlich: (Ib)

eine Bedingung, die offenbar weniger verlangt, als die durch Ungl. (11) dargestellte.*)

in sich:

3. Um die für die Kriterienbildung erforderlichen C^\ zu gewinnen, dürfte das folgende Verfahren sich als besonders einfach empfehlen. Es sei ^>0 bzw. c?; > 0 das allgemeine Glied einer konvergenten bzw. divergenten einfach unendlichen Reihe. Dann ist auch von den beiden Reihen:

00

00

l + l

~T~

‘ ä₀ -f-

i

wegen lim = 1, die erstere konvergent, die letztere divergent. Setzt

X->00    ³

man sodann:

(14)

co +

l

x+ l

⁽h,

(0)

(15)

co ~ co>

<°> _ ä

im übrigen:    =    ³

d<v) =

f* + *

-4j -d

IL + V ,

' C/.l + V ’

/u + r

so findet man:

H + V + l

(l+V

+ •■■ + ««+■•• + *»,-

+ • • ■ + d(r> + ■ • • + (*<0! - t±r±i. rf

1    1 fi 1    1 p + v    fi -|_ v    ,u + v

Da diese Summen die (g -(-j/)t0a Diagonalen der Doppelreihen    bzw.

Zd" bilden, so folgt, wenn g + v = k gesetzt wird, durch Summation, daß:

C0

G" + v)

G« + *■)

Cfl + V t

00

00

00

00

2"vc"=c°⁺2-i

0 1

daß also in der Tat die Doppelreihe der c(,) konvergiert, diejenige der d//(,) divergiert. Zugleich erkennt man, daß aus der Doppelreihe der dii'⁾ bei Weglassung von n Zeilen und n Kolonnen die folgende entsteht:

2n + 2

2n + 2

.P-

d₂

2n + 3

2« -f- 4

*    ³. da , i liefert,

2n + 1 2n + *    ’

welche nach Diagonalen summiert das Resultat ebenfalls also divergiert.    o

Setzt man dann wiederum: cv = jj-, dv = so ergeben sich durch

Einsetzen der Ausdrücke (15) in die allgemeinen Konvergenz- und Divergenzkriterien (Ia) und (Ib) die folgenden spezielleren:

OO

Die Doppelreihe ^ist 0

:(r) < OO , n ^ f

w>o.

/<

Wählt man wie bei der Bildung der De Morgan-Bonnetschen Kriterienskala (§ 50, Nr. 1, S. 336) für die Cv, Dy der Reihe nach die Ausdrücke:

(II a)

(Ilb)

lionvergent, wenn: lim (ja-}- v) • 0

fl -\-V-+00

divergent, wenn: lim (ji-f-v) • D

fi,v-> oo

fl + V

fi + v

Cv = v¹⁺e, v(\gvy+«, v\gv(\g₂v)¹⁺«, •••    (p>0),

Dr = v

so ergeben sich also als hinreichende Bedingungen für die Konvergenz von

v-lgv,

v\gv-lg₃v,

die Beziehungen:

lim (ja -f vf + {! •    < oo

fi+V-¥oo

0>o)

(16a)

lim (ja + v)² • (lg ig -f v))1 + p • a⁽'] < oo

fl + V -V oo

lim (ja + v) • lg (ja + v) • (lg₂ (ja + v))

l+e

fi + v->oo

desgleichen für die Divergenz:

hm (ja + v)² • a⁽₍’⁾ > 0

ft,V-> oo

(16 b)

lim (ja -f v)² • lg (ja + v) • a J’⁰ > 0

oo

lim (ja + v)² • lg (ja + r) • lg₂ (ja + r) • a<° > 0

ft,V-> 00

4. Einen anderen für die Bildung von AToMmv/en^hedingungen zweckmäßigen Typus von Vergleichsdoppelreihen gewinnt man durch die Bemerkung, daß das Quadrat jeder konvergenten einfachen Reihe nach den Regeln über die Multiplikation zweier konvergenter Reihen (s. § 66, Nr. 1, S. 484) auch durch eine konvergente Doppelreihe dargestellt werden kann, nämlich:

(2e')‘⁼S'’c" ■

0 0

C„.

(III)

lim C tCv ■ a⁽(} < oo : Konvergenz.

H + V-+00 f‘ V fl

Die entsprechende Verwendung von divergenten Doppelreihen von der Form "Sc • dv (oder gar "Sd • dr) erweist sich als gänzlich unzweck-

fi,v f    n,v

mäßig, da durch diejenigen Kriterien, die man auf diesem Wege gewinnen würde, überhaupt nur solche Doppelreihen getroffen werden konnten, bei welchen alle Zeilen oder (bzw. und) Kolonnen, zum mindesten von einer bestimmten ab, divergieren, während doch der für Doppelreihen als solche charalderistische Fall von Divergenz gar nicht auf der Divergenz irgendeiner Zeile oder Kolonne beruht, vielmehr bei gleichzeitiger Konvergenz aller Zeilen und Kolonnen zum Vorschein kommt. —

Wählt man in dem obigen Konvergenzkritermm. (III) etwa:

Cv = (v + l)1Xe (wo Q > 0),

so ergibt sich als hinreichende Bedingung für die Konvergenz von Sa)’’ die folgende:

(17)

lim ((g -f 1)(v + l))1 + () • a⁽₍r) < oo (p>0)

/( + *'-> 00

♦

und daran anschließend nach Bedarf wiederum eine Skala sukzessive schärfer werdender Kriterien durch die Wahl Cv = Lk[v-\-m)(lgk(v-\-m)y (Je =1,2, 3, • • •) (wobei die mit m bezeichnete Zahl so anzunehmen ist, daß lg*(m) positiv ausfällt).

Dabei kann man dem Kriterium (17) noch die etwas einfachere Form geben:

(18)

lim (g v)¹ + Q    < oo (u > 0, v > 0),

fl + v->00

wenn man noch ausdrücklich voraussetzt, daß die Anfangszeile und

-kolonne von

Da also eine Doppelreihe von dieser Form stets konvergiert, so kann man setzen:

(v)

c. =

G'w =■= G • C

n    n i

c • c

n V

sodaß sich aus dem allgemeinen Konvergenzkriterium (Ia) wiederum das folgende speziellere ergibt:

v>

^ a^\ d. h. die Reihen a^\    konvergieren.

fi,v    0    0

Es verdient bemerkt zu werden, daß das Konvergenzkriterium (18) eine etwas größere Tragweite besitzt, als das ihm entsprechende (d. h.

gleichfalls auf der Wahl Cv — vl + Q beruhende) Anfangskriterium der Skala (16a). Man findet zunächst:

(p + v)*⁺9 = ((/a + v)1+ 2)

4- v

(19)

>4W⁺ •

Reagiert also a *¹ für irgendein bestimmtes q > 0 auf das Anfangskriterium der Skala (16a), so ergibt sich das gleiche in bezug auf das Kriterium (18), sofern man daselbst q durch y ersetzt.

Andererseits ergibt sich:

(ft + v? _

(gv)1 + ?    + ?

¹ ~Q

v¹-«

2₍'

(20)

r¹⁺?

ft1 + ?

V¹-?

i+e

■=

^ (ft*)?

Ist sodann q < 1 und wird eine positive Zahl G beliebig groß vorgeschrieben, so hat man jedenfalls:

ft1_? r¹⁺?

v¹-?

l+o

wenn schon:

■p

oder:

wenn also zwischen g und v eine der beiden Beziehungen besteht:

¹ + g

g^.G¹~"-v¹~° oder: v G¹”*? • g¹⁻?,

was offenbar für unendlich viele Wertepaare (u, v) der Fall ist. Infolgedessen ergibt sich aber aus Ungl. (20), daß:

l±j?

(21)

= 00    (g>0, v>0; 0<p <1),

und dift Vergleichung dieser Beziehung mit den Kriterien (16 a) zeigt,

1) Man hat für jedes c:

. f S c”

\ > *"

also, wenn die Kombination u = v = 0 ausgeschlossen wird:

(ft + v)

(ft + *)ff>y(ft" + 0-

daß nicht nur das Anfangskriterium, sondern sogar die ganze Skala versagen kann, auch wenn das Kriterium (18) eine Entscheidung liefert. Dieses Versagen der ganzen Skala (16 a) tritt offenbar insbesondere stets dann ein, wenn gleichzeitig mit (18) für jedes noch so kleine q > 0 die Beziehung besteht:

lim (pv)x+q • a⁽' } > 0.

n + v->t»

5. Ein anderes (namentlich für die Theorie der Potenzreihen mit zwei Veränderlichen) nützliches Spezialkriterium ergibt sich, wenn in IJngl. (III) gesetzt wird:

wo: 0 < a < 1.

(22) 0, = a"*¹, Cv = cTv, also:    cc~(/l+v),

Man findet dann zunächst, daß die Doppelreihe Sa(>> konvergiert, wenn für p d- v ^ l:

anders geschrieben:

(23)

(aa⁾)f‘ + v<cc

und diese Bedingung ist erfüllt, wenn:

(IVa)

lim (a⁽^)fl + v < a, d. h. < 1.

ft + V->00 '    '

Da andererseits die Divergenz der Doppelreihe Sa[' ⁾ schon feststeht, wenn nur überhaupt für unendlich viele Glieder die Beziehung besteht:

also um so mehr, wenn:

(IVb)

lim (a ⁽i,'V + r > 1,

/i + r eo x '    '

so ergibt sich durch Zusammenfassung dieses Divergenzkriteriums mit. dem Konvergenzkriterium (IVa) dasjenige disjunktive Doppelkriterium, welches das Analogon zu dem Cauchyschen Fundamentalkriterium erster Art für einfach unendliche Reihen (§ 50, S. 342/3, Ungl. (5a), (5b)) bildet.

6. Als Beispiel für die Anwendung der gewonnenen Kriterien wollen wir die (für die Zahlentheorie und die Theorie der elliptischen Funktionen wichtige) Doppelreihe mit dem allgemeinen Gliede:

(an* -|- 2b(iv -f- cv*)⁰

₍u = 0,1,2,•• *, v = 0,1,2,•••, mit Ausnahme der Kombination p = v = 0 (also: a₀⁽⁰⁾ = 0) behandeln. Dabei sei die „quadratische Form“ ap² + 2h uv + cvi eine sogenannte positive Form in u, v (mit negativer Determinante oder Dis-

. kriminante b² — ac), d. h. die Zahlen a, b\ c sollen den folgenden Bedingungen genügen:

(25)

a> 0, c> 0, b²— ac = — A<0

(während b im übrigen beliebig, eventuell auch = 0 sein kann). Infolge der Identität:

(26)

ap² -\-2bpv + cv² = -{(a²p²-\-2abpv-\-b²v²) + (ac — b²)v²) = -^-{(alu + &t/)² + Ai/² j

fällt dieser Ausdruck (abgesehen von der ja bereits ausgeschlossenen Kombination p = v = 0) stets wesentlich positiv aus, sodaß die fragliche Doppelreihe aus lauter wohl definierten positiven Gliedern besteht, wenn unter 6 eine beliebige reelle Zahl verstanden wird. Es handelt sich dann darum, zu entscheiden, für welche Werte 6 die betreffende Reihe konvergiert bzw. divergiert.

Bedeutete eine positive Zahl, die von keiner der drei Zahlen a, b\, c übertroffen wird, so hat man:

mithin:

ap² + 2buv -f cv² ^ A(p -f v)

•u    ' A > (fi -j- v)

0* + *)*• »fisd)” ((* + *)

sodaß sich aus dem Anfangskriterium der Skala (16 b) die Divergenz der vorgelegten Doppelreihe ergibt, falls 6 <i 1.

Andererseits besteht neben Gl. (26) die folgende analog gebildete:

ap² + 2bpv + cv² = ^ {(bp + cv)² + Ap²}.

Aus (26) und (28) folgt sodann:

und daher:

(27)

(28)

und daher:

(29)

Nun ist:

also:

und daher:

72a

2(l-a)

a(ap² -\-2bpv -f- cv²) ^ Ar8 c(ap² + 2b pv -f- cv²) ^ Ap³

ap² + 2bpv + cv²    • (p² + v²).

p² — 2pv + v² = (p — v)²    0,

p² -f- v² ^ 2pv

sodaß die Ungleichung (29) durch die folgende ersetzt werden kann: alia + 2btiv + cvi>i^:7)

(30)

• 0 + v)\

Somit ergibt sich schließlich:

V £ (

(31)

2(a-fc)\"

und:

to

also, mit Rücksicht auf das erste Konvergenzkriterium der Skala (16a): lim (fi + vf + (' • a(v) < oo ,

H + v ->oo    "

(33)

2 — q 0, 6 ^ 1 + y, d. h. schließlich (3 > 1.*)

Hiernach ist die fragliche Doppelreihe konvergent für <J> 1, divergent für <? <1 1.

Dieses Resultat läßt sich noch in folgender Weise vervollständigen. Da über das Vorzeichen von b keinerlei besondere Voraussetzung gemacht wurde, so ist auch die Doppelreihe mit dem allgemeinen Gliede:

(»)

CT ' =

wenn: 2o —

(oju,* — 2bpv cv't)a

konvergent für 6 > 1, divergent für <7    1.

1) Will man statt des Anfangskritenums (16 a) das Kriterium (18) anwenden, so findet man aus Gl. (26) und (28):

a^L- -f- 2b[iv -f- cvi

und hieraus für g. > 1, v > 1:

<Giv

also auch:

< (Vac_Y 1 - V A ) ■ (ft*)⁰'

Hieraus erkennt man, daß die Doppelreihe nach Ausschluß von ft = 0, v — 0 d. h. der ersten Kolonne und ersten Zeile konvergiert, wenn    kon

vergieren, also für <?> 1 — ein Ergebnis, an welchem durch nachträgliche Hinzufügung der ersten Kolonne bzw. Zeile nichts geändert wird, da diese, wie unmittelbar zu sehen, dann gleichfalls konvergieren.

(v)

Da ferner:

ag² -f 2bg v -J- cv² = a • (— g)² + 2b • (— g) (— v) -f- c • (— v)2 = a ■ (— /r)² -f- 2 & • (— |u.) • v +    • (— v)

— a • /r

so erkennt man, daß die Doppelreihe:

-f cv²

+ e • (— v)²,

(a(i² -j- 26jxj’ -f- cv²)¹⁷

(wo der Akzent an dem Summenzeichen die Weglassung der Kombination ii = v — 0 ausdrücken soll) ungeändert bleibt, wenn man den beiden Indizes g, v die Werte 0, —1, —2, ••• (statt 0, 1, 2, •••) beilegt; daß sie dagegen in die Doppelreihe:

2:'

0

(dp.²— 2&p,v -j- cvsyf

übergebt, wenn man dem einen der beiden Indizes g, v die Werte 0,-1, — 2, •••, dem andern die Werte 0, 1, 2, ••• beilegt.

Daraus ergibt sich aber, daß auch die Doppelreihe:

+ 00

{ag* -f- 2b(iv -j- cv*)a

(wobei also die Summation so zu verstehen ist, daß sowohl für g, als für v alle Zahlen 0, +1, +2, ••• mit einzigem Ausschluß der Kombination g = v = 0 zu setzen sind) für 6 > 1 Jconvergiert, für 6    1

divergiert.

KAT. MATEMATYK1

Wydz. Bild. Lqd.

BIBLIOTEKA Zakl. Mat. Ogölnej

tÄ*

Sammlung

mathematifdi-phyfikalij’cher Lehrbücher

Herausgegeben von E. Jahnke

Die Sammlung setzt sich zum Ziel, kurze Darstellungen zu bieten, welche für ein engbegrenztes Gebiet die mathematischen Methoden einfach und leichtfaßlich ableiten und deren Verwendbarkeit in den einzelnen Teilen von Physik und Technik aufdecken. Dabei ist Vollständigkeit der Beweisführung nicht erstrebt, vielmehr wird besonderer Wert darauf gelegt, Dinge, die für die Anwendungen von Wichtigkeit sind, nicht zugunsten wissenschaftlicher Strenge zurücklreten zu lassen. Die Darstellung der einzelnen Gebiete ist so gehalten, daß jede ein abgeschlossenes Ganzes für sich bildet.

Bisher erschienen:

I.    Einführung in d ie Theorie des Magnet ismus. Von Dr. R. Gans, Professor an der Universität La Plata. Mit 40 Fig. [VI u. 110 S.J 1908. Steif geh. M. 2.40, in Leinw. geb. M. 2.80.

II.    Elektromagnetische Ausgleichsvorgänge in Freileitungen und Kabeln. Von K. W. Wagner, Kaiserl. Telegr.-Ingenieur in Charlottenburg. Mit 23 Figuren. [IV u. 109 S.[ 1908. Steif geh. M. 2.40, in Leinwand geb. M. 2.80.

III.    Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität und des Magnetismus. Von Dr. CI. Schaefer, a. o. Professor an der Universität Breslau. Mit Bildnis J. C. Maxwells und 32 Figuren. [VIII u. 174 S.f 1908. Steif geh. M. 3.40, in Leinwand geb. M. 3.80.

IV.    Die Theorie der Besselschen Funktionen. Von Dr. P. Schaf hei Hin, Professor am Sophien-Realgymnasium zu Berlin. Mit 1 Figurentafel. [V u. 129 S.J 1908. Steif geh. M. 2.80, in Leinwand geb. M. 3.20.

V. Funktionentafeln mit Formeln und Kurven. Von Dr. E. Jahnke, Professor an der Kgl. Bergakademie zu Berlin, und F. Emde, Prof. a. d. Bergakademie in Klausthal i. H. Mit 53 Figuren. (XII u. 176 S.[ gr. 8. 1909. In Leinwand geb. M. 6.—

VI.    1 u. 2. Die Vektoranalysis und ihre Anwendung in der theoretischen Physik. Von Dr. W. v. Ignatowsky, Privatdoz. a. d. Univ. Berlin. In 2 Teilen.

I. Die Vektoranalysis. Mit27Fjg. [VIII u. 112 S.J 1909. Steif geh. M. 2.60-, in Leinw. geb. M. 3.—

II.    Anwendung der Vektoranalysis in der theoretischen Physik. Mit 14 Fig. [IV u. 123 S.J 1910. Steif geh. M. 2.60, in Leinwand geb. M. 3.—

VII.    Theorie der Kräftepläne. Von Dr. H. E. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule

zu Braunschweig. Mit 46 Figuren. [VI u. 99 S.]    1910. Steif geh. M. 2.60, in Leinwand geb. M. 3.—

VIII. Mathematische Theorie der astronomischen Finsternisse. Von Dr. P. Sch wah n, Direktor der Gesellschaft und Sternwarte „Urania“ in Berlin. Mit 20 Fig. [VI u. 128 S.J 8. 1910. Steif geh. M. 3.20, in Leinwand geb. M. 3.60.

IX.    Die Determinanten. Von Geh. Hofrat Dr. E. Netto, Professor an der Universität Gießen. [VI u. 130 S.[ 8. 1910. Steif geh. M. 3.20, in Leinwand geb. M. 3.60.

X.    Einführung in die kinetische Theorie der Gase. Von Dr. A. Byk, Professor an der Universität und der Technischen Hochschule zu Berlin. 2 Teile.

I. Teil: Die idealen Gase. Mit 14 Figuren. [V u. 102 S.J 1910. Steif geh. M. 2.80, in Leinwand geb. M. 3.20. — II. Teil in Vorbereitung.

XI. Grundzüge der mathematisch-physikalischen Aku tik. Von Dr. A. Kalähne, Professor an der Technischen Hochschule zu Danzig. 2 Teile. I. Teil: (V u. 144 S.J 1910. Steif geh. M. 3.20, in Leinwand geb. M. 3.60. — II. Teil: Mit 57 Figuren im Text. [X u. 225 S.J 1913. Steif geh. M. 5.40, in Leinwand geb. M. 6.—

XII.    Die Theorie der Wechselströme. Von Professor Dr. E. Orlich, Mitglied der physikalisch-technischen Reichsanstalt zu Charlottenburg. Mit 37 Figuren. [IV u. 94 S.J 1912. Steif geh. M. 2.40, in Leinwand geb. M. 2.80.

XIII.    Theorie der elliptischen Funktionen. Von Dr. Martin Krause unter Mitwirkung von Dr. Emil Naetsch, Professoren an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 25 Figuren. [VII u. 186 S.J 1912. Steif geh. M. 3.60, in Leinwand geb. M. 4.—

XIV.    Konforme Abbildung. Von weil. Oberlehrer Leo Lewe nt. Herausg. von Prof. Eugen Jahnke. Mit einem Beitrag von Dr. Wilh. B 1 aschke, Professor an der Universität Leipzig. Mit 40 Abbildungen. [VI u. 118 S.J 1912. Steif geh. M. 2.80, in Leinw. geb. M. 3.20.

XV.    Die mathematischen Instrumente. Von Professor Dr. A. Galle in Potsdam. Mit 86 Abbildungen. [VI u. 187 S.J 1912. Steif geh. M. 4.40, in Leinw. geb. M. 4.80.

XVI. Dispersion und Absorption des Lichtes in ruhenden isotropen Körpern. Theorie und ihre Folgerungen. Von Dr. D. A. Goldhammer, Professor an der Universität Kasan. Mit 28 Figuren. [VI u. 144 S.J gr. 8. 1912. Steif geh. M. 3.60, in Leinw. geb. M. 4.—

XVII. Elemente der technischen Hydromechanik. Von Dr. R. v. Mises, Professor an der Universität Straßburg i. E. 2 Teile. I. Teil: Mit 72 Figuren. [VIII u. 212 S.J 8.    1914. Steif geh. M. 5.40

In Leinwand geb. M. 6.—. II. Teil in Vorbereitung.

XVIII. Graphische Methoden, Von Dr. C. Runge, Professor an der Universität Göttingen, Mit 94 Figuren im Text. [IV u. 142 S.J 1915. Geh. M. 4.40, in Leinwand geb. M. 5.—

XIX. Leitfaden zum graphischen Rechnen. Von Dr. R. Mehmke, Professor an der Technischen Hochschule zu Stuttgart. [Unter der Presse.]

■ Weitere Bände in Vorbereitung.

VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN

Die elliptisch. Funktionen u. ihre Anwendungen

Von Dr. R. Fricke

Professor an der Techn. Hochschule zu Braunschweig

In 3 Teilen, gr. 8.

I. Teil: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

Mit 83 in den Text gedruckten Fig. [Xu.ßOOS.] 1916. Geh.^22.—, in Leinw. geb. 24.—

Das Werk beabsichtigt, eine abgerundete Gesamtdarstellung der Theorie der elliptischen Funktionen und ihrer Anwendungen zu geben. Die Natur des Gegenstandes bedingt eine Dreiteilung, so daß die Darstellung in drei je für sich stehenden Bänden mäßigen Umfanges dargeboten werden soll. — Der vorliegende erste Band entwickelt nach einer Einleitung, die die erforderlichen Voraussetzungen aus der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, die Grundlagen der Theorie der elliptischen Integrale und Funktionen behandelt, ihre analytischen Darstellungen in umfassender Weise und beleuchtet den Gesamtumfang der hier in Betracht kommenden Körper zusammengehöriger Funktionen. Der Verfasser hofft die funktionentheoretischen Auffassungen, die er sich als Schüler und langjähriger Mitarbeiter Felix Kleins zu eigen gemacht hat, auch in diesem Gebiete in angemessener Weise zu Geltung gebracht zu haben. — Während die lineare Transformation ein Bestandteil der Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen ist und dieserhalb bereits im ersten Bande ihren Platz zu finden hat, sollen die allgemeine Transformationstheorie und ihre wichtigen Anwendungen im Gebiete der Algebra und Zahlentheorie im zweiten Bande eine erschöpfende Darstellung finden. — In einer selbständigen und für sich abgerundeten Gestalt soll sich endlich der dritte Band anreihen, der die weitverzweigten Anwendungen der elliptischen Funktionen im Gebiete der Geometrie, Mechanik usw. behandeln und die in den beiden ersten Bänden vorgebildeten analytischen Ansätze bis zu wirklicher Brauchbarkeit für die Zwecke numerischer Rechnungen durchbilden soll.

Vorlesungen über reelle Funktionen

Von Dr. C. Caratheodory,

Professor an der Universität Göttingen.

[ca. 560 S.] gr. 8. Erscheint Ende 1916.

Die Umwälzung, welche durch die Untersuchungen von H. Lebesgue in der Theorie der reellen Funktionen hervorgerufen worden ist, ist ein Prozeß, der heute in seinen Hauptzügen als abgeschlossen gelten kann. Die Vorzüge der neuen Methoden können aber nur durch einen Aufbau, der von Grund aus vorgenommen wird, in ihrer ganzen Tragweite zur Geltung kommen. Eine derartige, möglichst elementare, systematische Darstellung hat der Verf. versucht, um den Studenten in mittleren Semestern und den angehenden Forschern viele Umwege zu ersparen. Das Buch ist auf Grund einer im Sommer-Semester 1914 in Göttingen gehaltenen Vorlesung geschrieben; es enthält die Theorie der Punktmengen, soweit diese für das Folgende erforderlich ist, die allgemeine Theorie der Funktionen von n Veränderlichen, die Theorie der bestimmten und unbestimmten (Lebesgue’schen) Integrale, sowie auch ihre Spezialisierung^auf die Riemannsche Integration. Darüber hinausgehend werden die Funktionen feiner \ipd zwei Veränderlicher eingehend untersucht. Existenzbeweise für die Lösjhfcgen von gewöhnlichen Differentialgleichungen unter möglichst allgemeinen Vorraussetzun^gji^hließen da« Buch, welches ganz auf sich selbst ruhtund überhaupt keine Vorkenntnisse ,\ kön^e^fixjiur eine gewisse Reife des Urteils voraussetzt.

r . f.o7.    _

Verlag von B. 6. T e utfn er in Leipzig und Berlin

s. 93]

0,0/

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

100000293392

Biblioteka Polifechniki Krakowskiej

11-346769

¹

Bezüglich dieser Ausdrucksweise vgl. § 42, Nr. 3, S. 275.

²

Die Ungleichung (11) enthält ja, wie aus der Bedeutung des Ausdrucks lim ■ af ) leicht erkannt wird, noch die beiden folgenden Bedingungen

/i + V-X»M

lim Z)W.OM>0 (v = 0,1, 8, • • •)»

lim D W • alv) > 0 (g = 0, 1, 2, • • •).

1->CO r

³

n ^2 n