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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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B. a. TEUBNERS SAMMLUNG VON LEHRBÜCHERN AUF DEM GEBIETE DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

BAND XXXII,1

SAMMLUNG YON AUFGABEN

ZUR ANWENDUNG DER DIFFERENTLAL-UND INTEGRALRECHNUNG

VON

FRIEDRICH DINGELDEY

O. PROFESSOR AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU DARMSTADT

ERSTER TEIL

AUFGABEN ZUR ANWENDUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG

MIT 99 FIGUREN IM TEXT

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG YON B. G. TEUBNER

3 w

1) Nova acta acad. scient, imp. Petropolitanae, Bd

cp = b0xn + (”) b^-1 + (g)^-1 + • • • + (i )K-XX + K

8 = — (dx - dxx) -k — dy - dyx)

4iüÇ_±(?Y}

vV+V’’

Subtaiigente und Subnormale, Länge von Tangente und

m - m+*f (o) + f’r(o) + ■ ■ •

SiCb-^Jb

= ß % (0 qpi (0 

Dieser Satz, dessen Umkehrung übrigens nicht richt

«i + a.2 ’

+a\2vh+«2>y+=2pi(i,

Anwendung hyperbolischer Funktionen ab. Um den zu

i2 + 2r2-{«2 = o,

{4(x2 + y2) — r2}3 — 27r4//2 = 0.

Kondensator, Entladung eines K. 122. | Krümmungsmi

3 w

CäHnW;! ö b • »•«

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESZLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

T orwort.

Die bisher erschienenen Sammlungen von Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung enthalten meistens Übungsbeispiele, die der Geometrie entnommen sind, während sie Beispiele aus der Physik nur in geringem Maße, solche aus der Technik fast gar nicht berücksichtigen. Die Bücher von A. Fuhrmann, die den „Anwendungen der Infinitesimalrechnung in den Naturwissenschaften, im Hochbau und in der Technik“ gewidmet sind, behandeln allerdings zahlreiche naturwissenschaftliche und technische Aufgaben, aber die einzelnen Teile dieses Werkes haben weit mehr den Charakter eines Lehrbuches als den einer Aufgabensammlung. Übrigens ist das Buch unvollendet geblieben, denn die Anwendungen der Infinitesimalrechnung auf Maschinenbau sind nicht erschienen. Auch das ausgezeichnete Werk von John Perry, „The calculus for engineers“, däs^Nf-ch die Herren Fricke und Süchting eine vortreffliche deutsche Bearbeitung gefunden hat, ist in erster Linie ein den Anwendungen der Infinitesimalrechnung in der Technik gewidmetes Lehrbuch. Ähnliches gilt von J. W. Mellor „Higher mathematics for students of chemistry and physics“, ein Buch, das übrigens, wie schon der Titel zeigt, fast nur die Naturwissenschaften berücksichtigt.

Es schien mir ein Buch zu fehlen, das nur Aufgabensammlung sein will und Beispiele enthält, die der Geometrie, den Naturwissenschaften und der Technik entnommen sind. Die vorliegende Schrift soll ein Versuch sein diesem Mangel abzuhelfen. Ich habe mich bei ihrer Ausarbeitung bemüht solche geometrische Beispiele zu bringen, die zumeist auch für den Physiker und Techniker von Interesse und Nutzen sein werden, während der Studierende der reinen Mathematik hoffentlich den physikalischen und technischen Beispielen Interesse entgegenbringen wird, zumal diese so gewählt sind, daß ihr Verständnis keine besonderen Vorkenntnisse erfordert; wo solche wünschenswert zu sein schienen, sind die nötigen Erläuterungen gegeben.

Das Buch enthält nicht nur Aufgaben sondern auch die zugehörigen Lösungen und bei den meisten Beispielen — bald mehr, bald

a*

weniger ausführlich — die zu den Lösungen führenden Erläuterungen. Zu Anfang eines jeden Paragraphen findet man die Sätze und Regeln, die in ihm angewandt werden sollen; ihre Beweise sind nicht gegeben, denn das Buch will kein Lehrbuch sein. Ich habe erstrebt den

Forderungen mathematischer Strenge möglichst gerecht zu werden; hierbei auf ferner liegende Theorien einzugehen schien mir den Zwecken des Buches nicht zu entsprechen. Manche der den Aufgaben beigefügten literarischen Bemerkungen sollen in dem Leser den Wunsch zum Studium der zitierten Abhandlungen erwecken.

Anregungen zu Verbesserungen oder zur Aufnahme weiterer geeigneter Aufgaben werde ich dankbar entgegennehmen.

Zum Schluß erfülle ich die angenehme Pflicht meinem verehrten Freund und Kollegen, Herrn Professor Dr. G. Scheffers besonderen Dank auszusprechen. Mit größter Liebenswürdigkeit und Sorgfalt unterzog er sich der Mühe die erste Korrektur des Druckes zu lesen; zahlreiche Verbesserungen verdanke ich ihm.

Darmstadt, im September 1909.

F. Dingeldey.

Inhalt.¹)

Seite

cm un un un un un un ⁰⁰⁵

co

§ 18.

Einige allgemeine Regeln. Differentiation der Potenz.....

Differentiation der Exponentialfunktion und des Logarithmus . Differentiation der trigonometrischen und der zyklometrischen

Funktionen........................

Höhere Differentialquotienten................

Funktionen von mehreren Funktionen. Differentiale.....

Unentwickelte oder implizite Funktionen. Zwei Veränderliche

als Funktionen eines Parameters..............

Einführung von neuen Veränderlichen............

Tangente und Normale bei ebenen Kurven. Tangentenebene

und Normale hei Flächen.................

Winkel, unter dem sich zwei Kurven schneiden.......

Fußpunktkurven.................. . . .

Subtangente und Subnormale, Länge von Tangente und Normale

Ausdrücke, die in unbestimmter Gestalt auftreten.......

Unendliche Reihen.....................

Konkavität und Konvexität. Wendepunkte..........

Bestimmung von singulären Punkten hei ebenen Kurven . . .

Bestimmung der Asymptoten ebener Kurven.........

Maxima und Minima (extreme Werte) einer Funktion.....

I. Funktionen von einer Veränderlichen...........

n. Funktionen von mehreren Veränderlichen ohne Nebenbedingungen .....................

IH. Funktionen von mehreren Veränderlichen mit Nebenbedingungen .......................

IV. Grenzmaxima und Grenzminima.............

Berührung höherer Ordnung zwischen Kurven. Krümmungskreis und Evolute........................

1—6

6—9

9—14

14—22

22—36

36—39

39—43

44—58

58—61

61-65

65—71

71—74

74—96

96—99

99—103

103—107

107—153

107—132

132-144

144—151

151—153

153—170

§19. Hüllkurve eines Systems ebener Kurven und Hüllfläche eines

Systems von Flächen....................

§ 20. Beispiele zur Kurvendiskussion...............

Sachregister...........................

Berichtigungen.........................

170—186

186—193

194—202

202

1) Ein ausführliches Sachregister befindet sich am Schluß des Bandes.

§ 1.

Einige allgemeine Kegeln. Differentiation der Potenz.

1. Sind in endlicher Anzahl n irgend welche Funktionen u17 u2} . . . un der unabhängigen Veränderlichen x gegeben und werden diese Funktionen der Reihe nach mit beliebigen positiven oder negativen Konstanten (Koeffizienten) at, a₂, . .. an multipliziert und alsdann addiert, so gilt für die Differentiation des so entstehenden Aggregates die Regel: Die Summe

y = avux + a₂u₂ Ą-----b anun

hat die Ableitung (den Differentialquotienten)¹):

y = -/x ⁼    +-----anK •

Insbesondere hat also y = af(x) die Ableitung y —af'(x).

2. Das Produkt y = uv zweier Funktionen u und v hat die Ab

leitung:

y' = uv -f vu.

3. Der Quotient y = ^ hat die Ableitung

vu — uv

4. Ist y eine Funktion von u, etwa y = cp(u), während u vermöge u — f(x) von x abhängt, so ist y auch eine Funktion F(x) von x,

durch Vermittelung von u. Sie hat die Ableitung    ^ ^ oder

°    ° dx du ax

anders geschrieben:

% =    • fix).

1) Im folgenden wird die Ableitung einer Funktion durch einen der abhängigen Veränderlichen oder dem Funktionszeichen beigefügten Akzent bezeichnet, und zwar insbesondere dann, wenn nur eine unabhängige Veränderliche auftritt und somit Mehrdeutigkeit ausgeschlossen ist. Eine solche würde aber z. B. nicht ausgeschlossen sein bei der unter Nr. 4 betrachteten Abhängigkeit; es könnte dort y' sowohl cp'(u) =

zeichnen. Zwar würde sich diese Mehrdeutigkeit durch eine besondere Verabredung über die Bedeutung von y' vermeiden lassen, doch ziehen wir in allen mehrdeutigen Fällen die den Buchstaben d benutzende oder eine solche Schreibweise wie cp'(u), F'(x) vor und können dann auf eine besondere Verabredung verzichten.

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

d Cp (u)

dx

als auch F' (x)

d F{x)

dx

- be-

5. Erweiterung von Regel 4 auf mehrere, z. B. drei die Abhängigkeit der Größe y von x derart vermittelnde Veränderliche u, v, w, daß y=rp(u), u = %(v), v = xp(w), w = f(x), also schließlich y = F(x) ist; alsdann hat man

dy dy du dv dw dx du dv die dx

6.    Die Ableitung der Potenz y = xn, deren Exponent n eine beliebige konstante Zahl bedeutet, ist y'=nxn~\

: 0.

6 a. Die Ableitung einer Konstante a ist Null,

7.    Die für einen Punkt P der Kurve y = f(x) gebildete Ableitung y ist bei rechtwinkligen Koordinaten gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels a, den die im Punkte P gezogene geometrische Tangente der Kurve mit der positiven Richtung der x-Achse bildet. Man kann tg a als Steigung der in P gezogenen Tangente bezeichnen; häufig wird diese Größe auch Richtungskonstante genannt.

Hinsichtlich der Koordinatenachsen werde bemerkt, daß im folgenden fast ausschließlich rechtwinklige Koordinaten zugrunde gelegt sind, und zwar sollen die positiven Richtungen der beiden Achsen so zueinander gelegen sein, daß man die in positiver Richtung gezogene x-Achse in dem der Bewegung eines Uhrzeigers entgegengesetzten Sinne drehen muß, um sie auf kürzestem Wege in die in positiver Richtung gezogene y- Achse überzuführen. Die x-Achse wird gewöhnlich in horizontaler Lage angenommen.

Wird eine Kurve im Sinne der positiv wachsenden x durchlaufen, so nehmen die Ordinaten y zu oder die Kurve steigt, falls y positiv ist, die Kurve fällt bei negativem Werte von y. Umgekehrt: Je nachdem die Kurve beim Durchlaufen im Sinne der positiv wachsenden x steigt oder fällt, ist y positiv oder negativ.

Ähnliches gilt, wenn die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten, r = /’(ff), vorliegt. Wird die Kurve im Sinne der positiv wachsenden Polarwinkel (Amplituden) ff durchlaufen, so ändern sich die Radien Vektoren in positivem oder negativem Sinne, je nachdem /== /"(ff) positiv oder negativ ist. Es wird hierbei für das Folgende die Verabredung getroffen, daß die Polarwinkel von der Achse der Polarkoordinaten aus in dem der Bewegung eines Uhrzeigers entgegengesetzten Sinne wachsen.

Beispiele.

t4 ^ cd

x~

y = -2>

y = x,

y —t bzw- ^ = + łV³> y = i-

x = 4-

y = 5 axx. y = 2{ax + 6).

y = axb,

y = aa;² 4- 26a; + c,

6. Welcher Punkt der Parabel y = a;² hat eine Tangente, die mit der a;-Achse den Winkel a = 45° bildet und bei welchem Punkt ist a — 60°? Mit anderen Worten: An welchen Stellen der Parabel y = a:² ist die Steigung der Tangente gleich 1 bzw. gleich -j-]/3?

4.

5.

7. Die gleiche Aufgabe für die kubische Parabel y = ^ und

« = 45°.

a; = ± f]/6, y = ± |]/6,

wobei die beiden oberen oder auch die beiden unteren Vorzeichen zusammengehören.

r³    1

8. Die gleiche Aufgabe für die Kurve y= —— a;²-f- -y und a = 135°.

« = ¹ ; V = — i (vgL Fig- !)•

parallel?

9. In welchen Punkten dieser Kurve ist die Tangente zur x- Achse

x = 0, y — \ und a;

= 2, y = -l.

JC

73

Mg. 2.

Mg. 1.

10. Unter welchen Winkeln schneidet die Kurve

y = (x— 1) {x — 2) (x — 3) oder y = x³ — 6x²llx — 6 die x-Achse?

Für den Punkt x = 2 ist a = 135 °, für die Punkte x = 1 und x = 3 ist tg a = 2, a = 63° 26'6". Vgl. Fig. 2.

Weitere Beispiele zur Differentiation.

12.

11. Welche Bedeutung hat die einem Punkt P der Kurve y = f(x) zugehörige Ableitung y hei schiefwinkligen Koordinaten mit dem Achsenwinkel cj und wie drückt sich dann tg a durch y und a aus, falls unter a der von der Tangente des Punktes P mit der positiven Richtung der Æ-Achse gebildete Winkel verstanden wird?

sin «

sin (e> — a)

woraus

tg « =

y' sin co

i -f- y cos

- folgt.

y=x>

13.

y xn ,

an

y fix):

y = Vx,

14.

15.

2-j/x

16. Legt man durch den Brennpunkt x = \p, y = 0 der Parabel y² = px rechtwinklig zur Achse eine Sehne (konstruiert man also den sogenannten Parameter der Kurve), so bilden die in den Endpunkten dieser Sehne gezogenen Kurventangenten mit der Achse der Parabel Winkel von 45° bzw. 135°.

y — YPx ergibt y = -^-"1/— ; die Koordinaten der Endpunkte der

A f X

Sehne sind x = y = i y •

Zu differenzieren:

17.    y — YP,

18.    y = x²Yx,

19.    y

y^

20. y = ax²-\-J>Yx-\- c]/a;³-h

}/x ’

y    « 3 r '

3 yx

y' = \x~ÿx. y' = ^ x² Y x³.

y = 2ax-\-

b , 3 c,/— d

_I_ __ y ____ .

j/x ²    2x]/x

21.    y =]/xm,

3,--

22.    y = xv xY

23.    y = xYxYx,

X,

, m n /-

y = — YXm~n =

J n r

y—\Yx.

y- fl?-

n,-

rnVxm

næ

31.    y = a;²(3a: — 5)⁴,

y' = 2x(9x — h) (3a; —5)³.

chung pvr — c = 0 definiert ist.

« ce

yc

(a;³— 2)

30. Man bilde

, wenn p als Funktion von v durch die Glei-

24.    y = ]/aa: + 6,

25.    y - ]/ax² + 26a; -f c,

26.    y = f/aa;²^- 26a; + c,

27.    y = (aa; -f- 6)⁵,

28.    y = (5 a;² — 8 a; + 3)n,

,    2 {ax -f- b)V ax² -j- 2bx -(- c

y ,    n(ax²    -f    2bx -f- c)

y = 5 a(ax -f- 6)⁴.

y' = 2n(5x—4)(5a:²— 8 a:+ 3)’

,    — 12 x

y (x²— 2)³

32.    y = (3a;²— 5a:+7)(4a:+3)³, £/' = (4a; + 3)² (60a:²— 62 a:-f-69).

33. y = (px + q) ]/ax + 6,

,    3 apx -\- aą-\- 2bp

2 yaæ -f- b ,    ad — bc

y    (ex -f- d)²

ax -f- b

~+d>

Aus welchem inneren Grunde verschwindet diese Ableitung, falls ad — 6c = 0 ist?

34. y =

cx

35. y

ax² -(- 2bx -f- c ,    2{(aß— ba)x²-\-(ay— ca)x-\-by— cß}

y =---

ax² 2ßx -f- y ’

(ax² -f- 2ßx -f- y)²

, acx + 2ad— bc

y = ----------¹-■■    •

2 (ex -f- d) j/cx-j- d

36. y =

ax -f- b Vcx + d

37. Unter der Annahme, daß die Formel für die Ableitung einer Potenz xn nur für einen positiven Zahlenwert n als gültig erwiesen wäre, beweise man ihre Gültigkeit auch bei negativem n, also für wo m eine positive Zahl bedeutet.

Aus y = x~m folgt yxm — 1=0 und durch Differentiation

xm + 1 ‘

ymxrn~¹ -f y xm = 0,

38. Aus der Formel für die Ableitung des Produktes zweier Funktionen bilde man die Formel für die Ableitung des Quotienten y — u : v zweier Funktionen u und v.

Aus y — u : v folgt vy — u = 0; die Gleichung ist nach x zu differenzieren.

39. Man zeige, daß die in den drei Punkten x = 0, y — 0; a:= +j/3, y = —    x = — ]/3, y = -f y]/3 gezogenen Tangenten

der Kurve y = - g einander parallel sind, indem sie mit der x-Achse einen Winkel von 45° bilden (Fig. 3).

l + x²

(1 — X²)² '

40. In welchen Punkten der Kurve x — 6

[x -j- 2) (x — 4)

verläuft die Tangente zur cc-Achse parallel?

Es gibt zwei solche Punkte, ihre Koordinaten sind x = 10, y = ^ und x = 2, y = y-

Xn + i _ i X — 1    ’

wo x =)= 1 sei, leite man durch Differentiation eine neue Formel ab.

xn — 1

(X — l)²

42. Die soeben abgeleitete Formel multipliziere man mit x und differenziere sie alsdann nach x. Es ergibt sich für x Ą= l:

1 -j- 2²x + ?>²x²-\-----\- n²xn~¹

O¹

Fig. 3.

41. Aus der bekannten Formel 1 x -\- x²    xn =

nxn

xn {n²x²— (2n²-\-2n—1)x-\-(n-\-\)²} —x—1

{x — iy

Der Fall x = 1, der eine Formel für die Summe der Quadrate der n ersten ganzen Zahlen liefert, wird in § 12, Aufg. 16 erledigt.

43. Eine gerade Funktion von x ist bekanntlich eine solche, die der Gleichung cp(x) = ç?(—x) genügt, während für eine ungerade Funktion die Gleichung ip(x) = — ${— x) besteht. Gerade Funktionen sind z. B. y = a.r⁴ -f- bx², y = cos x, ungerade Funktionen z. B. y = ax³ + bx, y — sin x. Man zeige, daß die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion, die Ableitung einer ungeraden eine gerade Funktion ist.

den vorstehenden Gleichungen für cp(x) und i^(x).

aus

Folgt leicht

Differentiation der Exponentialfunktion und des Logarithmus.

1. Die Exponentialfunktion y = ax, in der a eine positive Zahl

ax filog a

= cP-Ina. Hier bezeichnet

bedeutet, hat die Ableitung y —

Tog a den Logarithmus von a für die Basis 6, ln a den natürlichen Logarithmus von a, dem bekanntlich die Basis e= 2,71828.. zukommt.¹) Insbesondere wird y' für y = ex ebenfalls gleich eT.

*log e

2.    Die Funktion y = ⁶log x hat zur Ableitung y = *-⁶log e; insbesondere hat y = ln x die Ableitung y' = —.

so er-

3.    Wenn sich bei einer Funktion y = f(x) die Ableitung von ln f(x) leichter bilden läßt als die Ableitung y der Funktion, hält man y am besten mit Hilfe der sogenannten logarithmischen Differentiation. Wenn z. B.

₌ {x_ — a)a (,x — b):i y (x — c)v (x — d)Ą

gegeben ist, bildet man zunächst

ln y = a ln (x — a) -f ß ln (x — b) — y ln (x — c) — d ln (x — d) ; alsdann wird

____r___d

x — c

x — d ’

woraus sich y' sofort nach Multiplikation mit y ergibt.

Beispiele.

y = ahx, y = x²ev, y — Æ⁷er,

y = ex\

y _ ßax- + 2bx+c

y =W +    x,

y = ba5x • ln a. y — xe?{x -f 2). y = -f 7). y' =

y' = 2(a# + fe)eaa!I + 86a,+c.

y' = I (ex — e⁻*) = ©in

Die Funktionen |-(eæ-f e~x) und — e⁻*) sind der hyperbolische Cosinus bzw. der hyperbolische Sinus yon x. Sie werden gewöhnlich durch Goj x bzw. ©in x bezeichnet; die Bezeichnungsweise C(x) und S(x), die der Verfasser in seinen Vorträgen anwendet, dürfte zweckmäßiger sein, da z. B. C(x) eine leichtere Ausdrucks weise (0 yon x) ist als die schwerfällige Wortfolge hyperbolischer Kosinus von x. Diese hyperbolischen Funktionen genügen der Gleichung Gof²# — Sin²# = 1. Wie die trigonometrischen Funktionen cos t und sin t auf Grund der Beziehung cos²1 + sin²1 = 1 die einfache Parameterdarstellung

?r

= 1 liefern, so geben die Gleichungen x = ± a Goj t, y = & ©ilt t die Parameterdarstellung der Hyperbel

zur Bezeichnungsweise „hyperbolische Funktionen“. Wie Beispiel 6

x — a cos t, y-=bsmt der Ellipse

x-

= 1. Diese Tatsache war gerade der Grund

gewöhnliche Logarithmus verstanden, während ln x den natürlichen Logarithmus bedeuten soll.

d (Soj x

zeigt, ist Aufg. 6 und 7, in § 13.

ex— a ex 4- a ’

y = ax • xa,

y = <

y = (ßxT,

y = af(x\ y = ln (ax -f b)

dx

= ©in x\ ebenso hat man d ^ x = Soj x. Ygl. auch

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

»O CO

17.

2/ = ln y — (ln x)n,

y = x ln x, ln x

y = -*r>

y = ln (x + Yx²+a),

2aex

18.

19.

y = ln (ln æ),

y = ln )/^-r-^ = ¹ (ln(a; J    V x-\-a

(ex -f a)²

y = a* • Æa_ *(# ln a -f- a). «/' = wg;⁷¹⁻¹ • axn ■ ln a. y — na

y' —    • ln a • f (x).

, _

y ax -f- &

, n

y -*•

2/' = l (ln x)n~¹. y = 1 -f- ln æ.

, l

y

y =

, ₌ i ^ æ ln x

• ln a.

— ln x

x²

Yxs+a

— a) — lnOr-f- a)), y' —

2a

u(x² — a²)

20. Wie groß ist die Steigung der Kurye y = ax in ihrem Schnittpunkt mit der y-Achse? (Fig. 4)

tg a = ln a; für a = e wird tg a = 1.

y-

21. Unter welchem Winkel wird die x-Achse von der Kurve y =blog# ge-2X schnitten? tg a = ⁶log e;

für b = 10 wird a = 23° 28' 29", für b = e wird a = 45° (vgl. Fig. 5).

■0-

Beispiele zur logarithmischen Differentiation.

22. y = V

ax-j- b cx-\- d

, also ln y = * ln (ax + b)--k ln (cx + d),

/ax -f-~ b cx -j- d

y' =

ad — bc

2 (ax -f- b)(cx -f- d) y = xx( 1 + ln x).

, fx (1 —

y =

xVx

2 \/x

26. y = u°, wo u = cp (x), v = y (x), y = uv u + v' ln uj .

23.    y = xf, also ln y = x ln x,

24.    y = \/x, also ln y = — Ina?,

25.    y = o^x,

ln x)

27. Man bilde mit Hilfe der logarithmischen Differentiation die Formel für die Ableitung des Produktes einer beliebigen endlichen Anzahl von Funktionen u, v, w, . . . der Veränderlichen x.

y = uvw .

y = uvw . . .

'JA

er

Differentiation der trigonometrischen und der zyklo-metrischen Funktionen.

1. Es ist

d sin x

dx

= cos x,

d cos x

dx

= — sin x,

d tg x

d cot x

dx

cos² x ’

dx

sin² x ’

d arc sin x

d arc cos x

dx

dx

y i — x² ’

d arc tg x

d arc cot x

dx

dx

1 -J- x²

2. Bei

d arc sin x

muß die Quadratwurzel positiv oder

4 7r — l

j/l — x²

negativ sein, je nachdem arc sina? einem der Intervalle von

dx

- 7C

47t 4-1

-"T“*

A h __J_ Q

7t, wo h stets eine beliebige positive oder negative ganze Zahl,

bis

angehört oder einem der Intervalle von    bis

insbesondere auch die Null, bezeichnet. Bei

d arc cos x

dx

dx

yi -- x²

hat die Quadratwurzel im Nenner das

Plus- oder Minuszeichen zu erhalten, je nachdem der Bogen arc cos x einem der Intervalle von 2kit bis (21c -f l)jr angehört oder einem der Intervalle von (2k — 1 )n bis 2kit, wo k stets eine beliebige positive oder negative ganze Zahl, insbesondere auch die Null, bezeichnet.

Beispiele.

1. Wie groß ist die Steigung der Kurve y = sin x für x = 0, x =j7C, x =j7C, x = jn, x    x = (Fig. 6).

71

ZTC

Fig. 6.

Man findet der Reihe nach die Werte 1, y]/3, \V%, y, 0,

2. Die Gleichung sin (a -f- ß) = sin a cos ß -fi cos a sin ß nach a zu differenzieren.

cos (a + ß) = cos a cos ß — sin u sin ß. y = sin 2x,

4. Ist die Intensität J eines Wechselstromes in ihrer Abhängigkeit von der Zeit t durch J = J₀ sin cot dargestellt, wo J₀ die maximale

Stromstärke, “* die Dauer einer Periode bedeutet, und befindet sich in dem Stromkreis eine Spule mit Selbstinduktion, so wird in der Spule eine elektromotorische Gegenkraft induziert, deren Betrag durch L y

dargestellt ist, wobei L den Koeffizienten der Selbstinduktion bezeichnet und clJ die Änderung der Stromstärke während des Zeitelements dt

bedeutet. Man bilde den Ausdruck L

dt

LaJ₀ cos cot = LcoJ₀ sin |cot +    •

sin x cos^ x

y = 2 sin x cos x = sin 2x.

y = 2x cos (x²).

y' = 2x cos x — x² sin x.

3.

5. y =

COS X ’

6.    y    =    sin² x,

7.    y    =    sin(a:²),

8.    y    =    x² cos x

y — 2 cos 2x.

SÜ -

,    —«a;'¹⁻¹

20. y = arc cos (a:"),

9. y = tg nx,

y = tgx + y tg³Æ, y'=    ¹

COS² «Æ

10.

cos⁴ æ

i cd CO

y — eax cos bx y = ln sin a:, y = ln cos a:,

14.    y = ln tgæ,

15.    2/ = ln tg (| + f ), y =

?/' = e®æ(a cos bx — b sin &æ). ij = cota:. ÿ' = - tgæ.

, _ 2 ^ sin2ic

16. y =

a — b cos x

COS X

2 ab sin x

a -\-b cos x ’

17. y = a:

sin a:

(«4-6 cos a?) ' sin æ

18. y = xi8X,

4- cos x • ln X 1 a: ^ cos² a; 1

19. y = arc sin 5a:,

y ÿl —X2n

21.

22. y =

y = (arc tg x)²,

a sin x -f- b cos x a sin x — b cos x ’

2 arc tg x

,    — 2 ab

* {a sin x — b cos x)~

23.    Aus welchem inneren Grunde sind die Ableitungen von arc tg x und arc cot x einander entgegengesetzt gleich?

Die Summe arc tg x 4- arc cot x ist stets konstant, nämlich gleich einem ungeraden ganzzahligen Vielfachen von ~ •

24,    Aus welchem inneren Grunde sind die absoluten Werte der Ableitungen von y = arc cos ¹ und von arctga; einander gleich?

y 14- x*

¹ folgt cos y =    ......—

° J y i + x*

d. h. tg y = ± x

y 1 + aT²

Aus y = arc cos und y = ± arc tg x.

25. Ein Lichtstrahl, der aus einem Medium in ein anderes übergeht, wird bekanntlich nach dem Brechungsgesetz von Snellius so abgelenkt, daß der gebrochene Strahl mit dem einfallenden und dem Einfallslot in derselben Ebene liegt. Ferner stehen nach diesem Gesetz die Winkel ß und £, die die genannten Strahlen mit dem Einfallslot bilden, in der Beziehung sin s = n sin ß, wo n den von den beiden Medien abhängigen und für Strahlen von einer bestimmten

Wellenlänge gültigen Brechungsindex bezeichnet. Aus dieser Beziehung leite man nun die Gleichung ab:

Zunächst wird cos s = n cos ß ■    daher =

cos £ cos ß

-1/¹

— n² sin² ß

cos² ß

= j/l -~(n² - 1) tg- ß.

26. Aus der Formel

sin a -f- sin na — sin (n -j- 1) a 2 (1 — cos a)

leite man durch Differentiation nach cc eine neue Formel ab.

Man erhält cos a-\-2 cos 2 a-1-----f- (n — 1) cos (n-\)a-\-n cos na

sin a + sin 2a -f-----1- sin (n — l)cc + sin na

(n 1) cos na — n cos (n -f- 1) a — 1

2 (1 — cos a)

21. Ebenso folgt aus

1 -f- cos cc-f- cos 2 a 4-----b cos (n — l)a-f-cos w« = ~-f

die Gleichung:

cos na — cos(łi-]- l)a 2 (1 — cos a)

sin a + 2 sin 2a -f- •••-)- (n — 1) sin (n — 1) a -\- n sin na

(n -f- 1) sin n a — n sin (n -f- 1) a

2 (1 — cos a)

Was übrigens die Ableitung der in Aufg. 26 und 27 zur Differentiation y orgelegten Formeln betrifft, so setze man in der Gleichung 2 cos a sin ß = sin (ß -f- a) -f sin (ß — a) an Stelle von ß der Reihe nach a, 2a,...(n— 1 )a, na. Hierdurch ergeben sich die Gleichungen:

2 cos a sin a = sin 2 a,

2 cos a sin 2 a = sin 3 a -f- sin a,

2 cos a sin 3 a = sin 4 a -f- sin 2 a,

2    cos a sin (n — 1) a =    sin na + sin (n — 2) a,

2    cos a sin na = sin (n    -f 1) cc + sin (n — 1) a,

nach    deren    Addition leicht die in    Aufg. 26 zur Differentiation    vorgelegte    Formel    folgt. Ihre rechte    Seite kann auch in die    Gestalt

. »4-1 sin — — a

■ sin

sin

gebracht werden. Setzt man in

2 cos a cos ß = cos (ß + cc) -f cos (ß — cc)

an Stelle von ß der Reihe nach a,2a,...(n—1)cc, na und bildet die Summe der so entstehenden Gleichungen, so folgt leicht die in

sin a + 2 siü2afi-----\~h (J^j sinha-\-----p(w —1) sin (n—l)a

-F n sinna = n- 2n~² ■ cos”⁻¹• sin

. n +1 m — «•

29. Ebenso bilde man aus

^ ^ sin a + sin 2 cc F-----F (J^j sin h a fi-----F ( ^) sin (n — 1) a -F sin n a

= 2” • cos” y • sin )

sich auch in die Gestalt

. n -f-1

sm —jr—

2

a ■ cos

na

a

sm —

2

— bringen läßt.

28. Nach Euler²) ist:

cos a    cos 2 a -+- • • • -fi Çl'j cos ha Ą-----F cos (n—l)a

-F cos na = 2” • cos” “

Hieraus durch Differentiation eine neue Formel abzuleiten. Man findet:

MD

• COS

na

durch Differentiation eine neue Formel. Man erhält:

^^cos a-\- 2^) cos H-----cosäcH-----F (n~ 1) ( 1)cos in~~ 1) a

n 4-1

—-— CC . 2

ö <M

-F n cos n a — n • 2” ⁻¹ • cos” ~²

30. Unter einem Vektor versteht man eine nach Größe, Richtung und Sinn bestimmte Strecke. Geht der Vektor vom Koordinatenanfang 0 nach einem Punkt P, so ist er, ebenso wie P, durch die Polarkoordinaten r und

• cos

qp

dieses Punktes bestimmt: man könnte

¹

Unter log x wird im folgenden stets der zur Basis 10 gehörige, also der

²

+ ( l )X + (2) X* -----^ X>1 = t² + x) "•

1) Nova acta acad. scient, imp. Petropolitanae, Bd. 7 (Jahrg. 1789), S. 87 bis 98, Petersburg 1793; eingereicht 1776. Euler zeigt, daß sich die Summen

der Reihen a -\-b cos a -\- c cos 2 a -J----und a -p    b sin a fi- c sin 2k-|----angeben

lassen, wenn die Summe f(x) der Reihe a    ~p bx    ~p ex² -j- • • • bekannt    ist.    Man

braucht nur in dieser letzten Reihe    zu    setzen x = cos a -\-i sin    a—p,    bzw.

x — cos a — i sin a = q, wo i — ]/— 1    ist ;    dann    folgt leicht

a -F b cos a c cos 2 a    (f( p) -p f(<D)

und

b sin a -p c sin 2 a • ■

= YjVW — f<SD)-

Die in Aufg. 28 und 29 vorgelegten Reihen erhält man so aus: den Vektor wie einen Punkt der komplexen’ Zahlenebene durch r (cos cp -f i sin cp) darstellen. Hierbei wird die Länge r der Tensor des Vektors genannt. Sind r und cp Funktionen einer dritten Größe, z. B. der Zeit t, so kann man den Vektor differenzieren. Es soll nun gezeigt werden, daß die nach t genommene Ableitung wieder einen Vektor R {cos (cp a) + i sin (cp + a)} darstellt, wobei R = ]/V² + r*cp'², R cos a = r, R sin« = rep' ist und die Akzente bei r und cp' die nach t genommenen Ableitungen anzeigen sollen.

Die Ableitung von r (cos cp + i sin cp) wird zunächst gleich

r cos cp — r sin cp • cp' -f- i(r sin cp -j- r cos cp ■ cp');

setzt man nun

R cos (cp -\- a) — r cos cp — r sin cp • cp',

R sin (cp + «) = r sin cp -f- r cos cp • cp',

so folgen leicht die oben angegebenen Werte. Zugleich ergibt sich: 31. Bei konstantem Tensor r ist der die Ableitung von

r (cos cp + i sin cp)

darstellende Vektor rechtwinklig zum ursprünglichen Vektor, denn alsdann ist a = 90°.

Höhere Differeiitialquotienten.

1.    y — xk,

2.    y = ax,

3.    y =

4.    y = ln x,

y(n) == Jc(Jc — 1) ... (k — n + l)xk~n. y(n) = ax • (ln a)n.

yW = e\

y{n)

(— 1 )«-!(« — 1)!

Xu

5. y = sin x,

6.    y = cos x,

7.    y = x² • ln x,

8.    y = arc tg x,

9. y = x arc tg x,

10. y == ln (ax + b)

11. y =

ex — e~x

ex -f e~x

y(n) = sin ^ -f •

y{n) = cos + x) ■ 2

J    X

rr

y =-

// 2 y    (l+x²)ä

y{n)-

rr

y = —

2x

(«æ + V

8 (ex — e~x) (e-r -f e "x)

(ex-\-e~x)s

nr

a; -J— 1

T=l>

— 12

(x l)⁴

y =

Zum Beweis dieser Formel beachte man, da ß?/' =

î/⁽”) = (n — 1)! cos* y ■ sinn (y + y)’ îT^ = cos2^

y" = — sin 2 y • y = — sin 2 «/ • cos² y = sin 2 -f ^ cos² y ist; für y"'

folgt 2 sin 3 (y    * cos³ y. Die Richtigkeit der oben stehenden

Formel für läßt sich alsdann beweisen, indem man unter Voraussetzung ihrer Gültigkeit für einen bestimmten Wert n = k aus der für n = k hingeschriebenen Formel durch Differentiation den Ausdruck für y(k + 1) gewinnt, der mit demjenigen übereinstimmen muß, der sich für n = k -f- 1 ergibt (Schluß von k auf k +1).

14.    Zu zeigen, daß für die Funktion y — a cos nx + b sin nx die Beziehung y" -j- n²y = 0 stattfindet.

y" = — n²(a cos nx -f- b sin nx). Die Funktion a cos nx + b sin nx ist die „vollständige Lösung“ der „Differentialgleichung zweiter Ordnung“ y" -f- n²y = 0.

15.    Ebenso zeige man, daß für die Funktion y = e~x- sin# die Beziehung y"" -f- 4^/ = 0 stattfindet. Diese Funktion ist eine „besondere oder partikuläre Lösung“ der „Differentialgleichung vierter Ordnung“ yn" + 4w = 0.

16. Zu zeigen, daß die nte Ableitung von y = e? sin x gleich

(f • (]/2)” • sin (x +

ex • sin

oder

/ nit\

(*+t)

ist.

sin”

cos

y'=ev (sin # + coś æ) = e*^sin:r-j- sin (x + •^)^==e**2sin^-f j = ex]/2 • sin (x + ^ • Bei jeder folgenden Differentiation tritt ein

Faktor ]/2 hinzu und wächst das Argument des Sinus um Ebenso gehören zusammen:

y = ex cos x und yW = e* (]/2)” • cos

l i nn\

\x + t) -

ex cos ^x -f-

cos"

17. Man zeige, daß die nte Ableitung des Ausdrucks y = eax cos (hx + c) gleich kneax cos (bx + c + na)

ist, wobei k und a aus a = k cos cc, b = k sin u zu bestimmen sind. Hier wird

y = eax{ a cos (bx + c) — b sin (bx + c)} = keax cos (bx + c -j- a), wenn die Größen k und u in der angegebenen Weise eingeführt

werden. Man bemerkt, daß bei jeder neuen Differentiation ein Faktor 1c hinzutritt, während das Argument des Kosinus um a zu vermehren ist.

18. Zu beweisen, daß für die wte Ableitung der Funktion y = exf{x) die Formel gilt

y(n) = ex {f(?) + ( 1 )f 0*0 H-----b (£) f{h) 0*0 4-----h ( *) f(n ~1} 0*0 + f{n) 0*0} •

von

Unter Voraussetzung der Gültigkeit dieser Gleichung für eine bestimmte, z. B. die ftte Ableitung, läßt sich leicht zeigen, daß sie auch für die nächst höhere, die (k + l)te Ableitung, gilt (Schluß

k auf Ti + 1), usf. Der Koeffizient von exf^h'> (x) in y(n+¹) muß (^l    ^

Beziehung (^j + ^ — i) ⁼ (” 1" *) ergikt. Die Gültigkeit

werden, wie sich durch Differentiation von y^ unter Anwendung der bekannten

der Formel für n = 2 oder n = 3 ist sofort bewiesen.

19. Ersetzt man bei der in vorstehender Aufgabe zum Beweis vorgelegten Formel f(x) durch sin x, so folgt mit Rücksicht auf die Ergebnisse dieser Aufgabe und der Aufg. 5, S. 14:

Sffl

x + (“) sin (* + ~) + (“) sin (x + ²*) + • • • + (l) sin (* + *“) + ■ ■ ■ + ( jj sin (x + " ~ ‘ je) + sin (x + ”*) = (l/2)‘ sin (x + "*) •

Eine ähnliche Reihe ergibt sich durch die Annahme f(x) = cos x mit Hilfe der nten Ableitung von ev cos x.

20.    Mit Hilfe des in Aufg. 18 benutzten Beweisverfahrens sei das Leibniz sehe Theorem zu beweisen: Die nte Ableitung des Produktes y = uv zweier Funktionen u und v von x wird:

yd*) = uv^ +    -p    -{-••• +    + • • •

+    u(n~^v' -j- «W».

21.    Aus der für die Funktion f(x) = arc sin x gültigen Gleichung (1—x²)f"(x)—xf(x) = 0 leite man durch w-malige Differentiation mit Hilfe des Leibnizschen Theorems eine Beziehung ab zwischen

f^n\x), f{-n+V)(x) und f⁽-n + 2'⁾(x). Man findet

<1 - x²)fn+2\x) - (“) • 2xfn + 1\x) - (^) • 2fW(x)-xfn+x\x)-^ f(nHx) = 0 oder (1 — x²)f(n + 2\x) — (2n + 1 )xf{-n + V)(x) — n²f^n\x) = 0.

Ein Punkt durchlaufe eine ebene oder eine Raumkurve und zwar befinde er sich zur Zeit t an einer Stelle P derart, daß die längs der Bahnkurve gemessene Entfernung dieser Stelle von einem beliebig aber fest gewählten Punkt 0 der Kurve, d. h. die Bogenlänge oder

Weglänge gleich s ist. Die Geschwindigkeit v, die der Punkt an der

Stelle P besitzt, ist alsdann, wie in der Mechanik gezeigt wird, gleich

• d s    •    •    •

der ersten Ableitung ^ der die Bewegung bestimmenden Funktion

s = f(f). Offenbar ist diese Ableitung gleich dem Quotient aus dem

während des Zeitelementes dt durchlaufenen Bogenelement ds und

dem Zeitelement selbst. Die zugehörige Beschleunigung p ist gleich

d v    d²s

der Ableitung der Geschwindigkeit oder also auch p =    •

22. Ein Punkt bewege sich auf einer Geraden fAbszissenachse) so, daß die ihm zur Zeit t zukommende Abszisse x gegeben ist durch x = ae~bt. Man bestimme die zugehörige Geschwindigkeit und Beschleunigung.

dv d²x P = ~dt ⁼ ~dt*

v = ^ = — abe~bt = — bx,

23. Um einen Kreis vom Radius a mit gleichförmiger Geschwindigkeit einmal vollständig zu durchlaufen, braucht ein Punkt P die Zeit T. Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung der Projektionen des Punktes auf zwei zueinander rechtwinklige Kreisdurchmesser, deren einer durch den Anfangspunkt der Bewegung gehen soll?

Man wählt natürlich die beiden Durchmesser als Koordinatenachsen. Befindet sich der Punkt P zur Zeit t = 0 im Schnittpunkt des Kreises mit der positiven x-Achse und bewegt er sich in dem der Bewegung eines Uhrzeigers entgegengesetzten Sinn, so sind die Projektionen des Punktes P auf die beiden Koordinatenachsen zur Zeit t gegeben durch

= ab²e~bt = b²x.

x — a cos

2 nt

y = a sin

2 nt

Hier wird

dx

4 an-

dt

2 an .    2 nt d²x

T ’ ~dt* ⁼ P²

Slll

COS

dy

2 an

dt

COS

2 nt

d^y    4 an²

dt²

jt 2

4 n‘²

rjl    rji 2    .

_4n-

r£ . y⁷² y '

2 nt

. 2 nt

• sm

24. Bei dem Schubkurbelgetriebe wird der eine Endpunkt A (der Kurbelzapfen) einer Strecke von der Länge l (der Schubstange oder Pleuelstange) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit a auf einem Kreise vom Radius a (a = Kurbellänge) geführt, während der andere Endpunkt JB (Kreuzkopf) auf einer durch den Kreismittelpunkt gehenden Geraden hin- und hergleitet (Fig. 7). Welche Geschwindigkeit v

, Differential- und Integralrechnung. I.

Ą,-'

-u

Fig. 7.

Dinge

£

«C

Ê-

ï i

hat der Kreuzkopf B in irgend einem Augenblick und mit welcher Winkelgeschwindigkeit 03x dreht sich alsdann die Schubstange um den Kreuzkopf?

Der Mittelpunkt des von A durchlaufenen Kreises liege in 0;

ferner sei A OB = ff, AB0 = cp, 00 = a -\-l, BC = s. Als-

i    ,    . -,    o. 7    j ds ds d&    ds

dann ist s = a -f l — a cos ft — l cos cp und v = ^    ^    = 03 ^,

dft

denn

dt

ist gleich der Winkelgeschwindigkeit 03, mit der sich die

Kurbel OA um 0 dreht. Mit Rücksicht auf a sin ff = l sin cp findet man

v — aco

sin ff -f-

a sin 2 ft

= aco

V¹

sin ff -f-

sin² ff

k sin 2 ft

2 j/l — k- sin² ft j

wenn man das Verhältnis a : l, das bei Dampfmaschinen meistens ungefähr gleich 1:5 ist, gleich h setzt. An Stelle der Winkelgeschwindigkeit co könnte hier auch die Anzahl der Umdrehungen, die die Kurbel in einer Sekunde macht oder die Tourenzahl n eingeführt werden durch 03 = 2 nit.

Die Winkelgeschwindigkeit = œ₁ des Kreuzkopfes B ergibt sich mit Hilfe von a sin ft = l sin cp durch Differentiation nach t] man erhält

dtp

a co cos ft

dt l cos cp

Man findet übrigens v = co ■ OE und 03j = ^ • AE, wie mit

Hilfe des Dreiecks ADE leicht zu zeigen ist. Dabei bedeutet E den Schnittpunkt der Verlängerung von BA mit dem in 0 auf OB errichteten Lot und D die Projektion des Punktes A auf dieses Lot.

MB

Ferner ist auch v = aco •

MA

und

03 j =

aco

, wo M das Momen-

MA

tanzentrum für die Bewegung der Strecke AB bedeutet (M ist der Schnittpunkt der durch A und B rechtwinklig zu den jeweiligen Bewegungsrichtungen dieser Punkte gezogenen Geraden).

25. Bei dem soeben betrachteten Schubkurbelgetriebe die Beschleunigung p des Kreuzkopfes in irgend einem Augenblick zu bestimmen.

» (cos# + + }

l    (1 — k“ sin² ft)'-    •>

Da dieser Ausdruck die Größe co² zum Faktor hat, erkennt man, daß die Beschleunigung wie das Quadrat der Tourenzahl wächst.

26. Man bestimme beim Schubkurbelgetriebe die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Kreuzkopfes für den dem Wrert ft = | jir

dv tfft dt² dft dt

d²s

= a 03

(d. h. 90°) entsprechenden Augenblick der Höchstlage des Kurbelzapfens A.

er co²

yp — a*

— — (ICO² tg 1p,

wenn Ti = a :l = sin ip gesetzt wird.

27. Die gleiche Aufgabe für den Augenblick, in dem die Kurbel und die Schubstange zu einander rechtwinklig sind.

Man findet

v = aco

aoa

y a² + Z²,

p = aco²k² y \ -\-h² =

aeo² cotM ff

sin ff

wobei cot ff =    = 1c ist.

28. Wie groß ist die Beschleunigung des Kreuzkopfes in den beiden Totlagen (11 = 0 und 11 = 7t)?

pQ = aco²

(et — l)

somit p₀ : pn = (a + Z) : (a — Z).

29. Man bestimme die Geschwindigkeit v des Kreuzkopfes des Schubkurbelgetriebes für den Fall, wo die Gerade, auf der sich der Kreuzkopf bewegt, nicht durch den Mittelpunkt 0 des vom Kurbel-zapfen beschriebenen Kreises geht, sondern von 0 um die Strecke c entfernt ist (exzentrisches Schubkurbelgetriebe, Fig. 8).

In der Figur entspricht ff = 0 derjenigen Lage OA₀ der Kurbel, bei der diese zu der von B beschriebenen Geraden parallel ist. Für eine Totlage müssen O, A und B in einer und derselben Geraden liegen. Über die verschiedenen Fälle, die beim exzentrischen Schubkurbelgetriebe entsprechend den verschiedenen Längen der Strecken a, l und c auftreten können, vgl. F. Ebner „Leitfaden der technisch wichtigen Kurven“, Leipzig 1906, S. 32 ff. und 72 ff.

Hier wird s = a + "j/Z² — c² — a cos ff — Z cos cp und

(c -f- a sin ff) cos ff ) y P — (c -f -et sin ff)² }

v = aco

! sin ff -j-

(L.

Fig. 9.

30. Eine Gerade bewegt sich so, daß ein Punkt A derselben mit konstanter Winkelgeschwindigkeit co einen Kreis vom Radius a be-

Fig. 8.

schreibt, während sie im übrigen gezwungen ist, stets durch einen fest gegebenen Punkt B, der vom Mittelpunkt 0 des Kreises um die Strecke b entfernt ist, hindurchzugehen (oszillierendes Schubkurbelgetriebe, Fig. 9).

Man bestimme die Geschwindigkeit v, mit der die Gerade AB durch B gleitet, sowie die zugehörige Beschleunigung p, ferner die Winkelgeschwindigkeit av mit der sich AB um B dreht für den Augenblick, in dem OA mit OB den Winkel ft bildet.

Setzt man AB = s, ^ ABO = cp, so wird

ab co sin -9’

ds

dt

ab co sin 9¹

y a⁸ -f ö⁸ — 2 ab cos & ab co² {(a² -f- b²) cos & — 2 ab)

AB

= bœ sin cp,

2 (a² -f- b² — 2 ab cos &À Mit Hilfe der Gleichung a sin (ft A <p) — b sin cp — 0 findet man

EA

dcp    a co (b cos 0- — a)

fJl dt    a² -\-b²—2abcosit    ⁰⁵ AB’

wo E der Fußpunkt des von 0 auf die Gerade BA gefällten Lotes

wo F der Fußpunkt

ist. Man kann auch schreiben

aco ■ AF AB*~~

®i =

des von B auf die Gerade OA gefällten Lotes ist.

31. Man zeige, daß die Kurve y = nur unter Winkeln von 45° schneidet.¹)

f\x)

f'ix)

die x- Achse im allgemeinen

yf”(x)

/» '

ax? -(- 2bx -fi c 2 (ax -f- b)

die ir-Achse im allgemeinen nur unter solchen

fix) ■ f"(x)

f\xy

Beispiele hierzu sind y = tg#, y =

daß die Kurve y =

a f(x)

f\x)

. Ebenso folgt,

Winkeln a schneidet, für die tg a = a ist. Besonderer Untersuchung

würden solche Fälle bedürfen, in denen

mf"(x)

JixY

für f(x) = 0 in un-

1) Hiermit ist auch ein Satz bewiesen, der in der Algebra, gewöhnlich unter Beschränkung auf ganze Funktionen f(x), in folgender Form ausgesprochen zu werden pflegt: Läßt man die Yeränderliche x in positivem Sinn wachsen, so

geht der Quotient

positiven Zahlenwert über. Gleiches würde natürlich auch von dem Produkt fix) f (x) gelten. Dieser Satz wird als Hilfssatz beim Beweis des Sturm’schen Theorems benutzt, mit Hilfe dessen sich die Anzahl der zwischen zwei reellen Zahlen a und ß liegenden reellen Wurzeln einer Gleichung nten Grades f(x) = 0 bestimmen läßt. Ygl. bezüglich dieses Hilfssatzes* z. B. J. A. Serret ,,Handbuch der höheren Algebra“, deutsch von G. Wertheim, 2. Aufl. Bd. 1, Leipzig 1878, S. 218 und 231 oder auch E. Netto „Vorlesungen über Algebra“, 1. Bd., Leipzig 1896, S. 209.

fix)

f (x)

, so oft er verschwindet, von einem negativen zu einem

bestimmter Form erscheint, also z. B. wenn mit f(x) auch f\x) verschwindet.

32. Ist f(x) eine Funktion, die bei Vertauschung von x mit — x unverändert bleibt (gerade Funktion, vgl. Aufg. 43, S. 6), so haben alle Ableitungen ungerader Ordnung von f(x) für x = 0 den Wert Null.

f(x) = f{— x), daher f(x) = — f'{— x) und f'(0) = — f(0)

usw.

33. Zu zeigen, daß eine Axfache Wurzel der Gleichung f(x) = 0 eine {Je—1)fache Wurzel von f'(x) = 0, (Je — 2)fache Wurzel von f"(x) = 0, usw. ist.

Aus

folgt

f(x) = (x — a)kcp(x)

{kep (x) + (x — a) cp' (x)}, usw.

34. Es seien xv xiy • • • xn die Wurzeln einer Gleichung wte i Grades f(x) = 0; man zeige, daß

f'(x) = (x — a)

i-1

f'{x)

und

fix)

¹— H--¹

x — a-’j x — xt

n*) - /w»

/*(*)

H----H---

x — xn

>+•••+

gibt für

{x — xff^

Logarithmische Differentiation der Funktion

fix) = c(æ —    — x₂) ■ • • (x — æw) .

den angegebenen Ausdruck.

/»

(* — «J* ‘

35.    Im Anschluß an diese Aufgabe soll bewiesen werden, daß die Gleichung f'²(x) — f(x) • f"(x) = 0 keine reelle Wurzeln hat, wenn

fix) = 0

nur reelle, von einander verschiedene Wurzeln hat.

Der Ausdruck f'²(x) — f(x) • f"(x) stellt sich als Summe von nur positiven Größen dar, falls die Wurzeln von f(x) sämtlich reell sind. Da eine reelle Doppelwurzel von f(x) = 0 auch Doppelwurzel von f²(x)—f(x)-f"(x) = 0 wäre (Aufg. 33), ist in dem Satz vorausgesetzt, daß die Gleichung f(x) = 0 keine mehrfachen Wurzeln hat.

36.    Man beweise den Satz: Sind f und cp zwei ganze Funktionen wten Grades von x, so ist der Ausdruck

(fcp) = f ■ (pW — f •    -j- f" • cp(n~²} — • • •

+ (— l)w~¹ • ff¹-¹) • cp' + (— 1)” • f") ■ cp

d(fcp)

von x unabhängig, also nur abhängig von den Koeffizienten der Funktionen f und cp.

verschwindet.

dx

Man hat nur zu zeigen, daß Im Falle

+ •’•+( j )an-lX + an>

cp = b₀xn + (”) b^-¹ + (g)^⁻¹ + • • • + (i )K-XX + K

findet man:

-L (/y) = „nh„ -    - '

-A +----1- (— l)na₀bn.

Sind f und (p identisch, so wird (ff) = 0, falls n eine ungerade Zahl ist; im Falle eines geraden n ist jedoch (ff) im allgemeinen von Null verschieden. Für n = 2 wird z. B. (ff) gleich der Diskriminante 4 (a₀a₂ — ax²).

•Jn

5.

Funktionell yoii mehreren Funktionen. Differentiale.

1. Hat man z = f(u, v, tv, ■ • •), wo u, v, w, • ■ • Funktionen von x sind, so ist in letzter Linie z eine Funktion von x allein, durch Vermittelung von u, v, w • • •. Der vollständige oder totale Differentialquotient dieser Funktion ist:

dv dx

dw dx

dz cf du ! df dv f df die dx du dx

ÇS /»    Ç\ J?    ÇS /*.

wobei , -g—, g^ , • • • partielle Differentialquotienten oder partielle

■ ■ kann man auch fu, fv,---

Ableitungen bedeuten. Statt

df

df

du ’ dv ’

oder f'(u), f(v), • • • schreiben.

Die zu Anfang von § 1 angegebenen Regeln 1—4 sind nur besondere Fälle des vorstehenden Satzes über die Differentiation von f(u, V, W, • • •).

2. Das vollständige oder totale Differential der Funktion z — f(x, y, t, • • •) von mehreren Veränderlichen x, y, t, ■ ■ • ist

dz =

df

df

df

dx

7 dx + Aff dy + Jt dt + " ’ •

Sind insbesondere y, t, ■ • ■ Funktionen von einer und derselben Veränderlichen x, z. B. y = %(x), t = ij>(x), so wird dy = y(x) • dx, dt = ip'(x) ■ dx.

Die Ausdrücke tielle Differentiale.

df

a* dx>

df

dy

dy, • • • sind unvollständige oder par-

3. Wenn die Funktion f(x, y) daselbst stetige Ableitungen

d*f

an der Stelle x, y stetig ist und besitzt, bat der Diffe-

an dieser Stelle denselben Wert wie

df df d*f dx ’ dy ’ dx ■ dy

rentialquotient

d. b. die Reihenfolge der Differentiationen ist alsdann beliebig.

dx ■ dy

d*f

dy ■ dx

4. Das vollständige Differential zweiter Ordnung von z = f(x, y, t)

wird:

d²z =

d\f

dx²

dx² -j-

d²f

(7 2/*

<D/² +

ff- 2

ay

dx ■ dt ff- 2

U Ç-+- U

dx ■ dt

oder symbolisch geschrieben:

$2/ • dt

dt² ff- 2 £0 dx ■ dy dy ■ dt

^ ⁼ (krfx + 0rf«+ £ dt)f-

Hierbei ist vorausgesetzt, daß

d²f    d²f d²f _ d²f

dx-dy ~ dy -dx ’ dx-dt ~ dt-dx’ USW‘

sei.

Die Verallgemeinerung auf den Fall von mehr als drei Veränderlichen ist ersichtlich.

5. Das vollständige Differential wter Ordnung von z = f(x,y) ist:

dy

dxn

dnz =

dxn + (”)

dnf

dxn~¹-dy dnf

dx"'¹ • dy ff- • ■ •

dxn~h -dy

Y dxn~h • dyh ff- • • •

i-¹- s

dnf

dx ■ dy"

Y dx ■ dy"'¹ -f-

dnf

dyn

dy”

oder symbolisch geschrieben:

dnz

Beispiele.

1.    Gegeben, z = an³ ff- 3bu²v ff- 3cuv² ff- evÿ, wobei u = <p(x),

, / n    rj    dz d²z    d²z    d*z

v — ip(x).    Zu    bilden    dx,j^,    dv«,    ^d^dv'

j = 3(an² -j- 2buv + cv²)cp'(x) + 3(bu² ff- 2cuv ff- ev²)tl>’(x)

fä = ⁶(°“ + bi)> 0 = ⁶0M + ev)> k’k - 80k - ⁶(⁶“ + ev>

d²z

dx-dy’ — ex sin y — ey cos x.

2.    z = ex cos y — ev sin x. Zu bilden

d²z

dx• dff/

3.    £ = ]/^²    + //²,    wobei y =    (x).    Zu bilden

dz    d²z    d²z

da;’ dx’ dx²* dx-dy’

dz

dz

c²z

d²z

dx    dx²

— xy

O*² + yT-

4. Welche Beziehung muß zwischen den Koeffizienten A, B, C, D der „partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung“

d²z

d²z

dz

dx²

dy²

+ I)Jy~⁰

und den in der Funktion 0 = eax+by+c auftretenden Konstanten a, b, c stattfinden, nügen soll?

wenn

diese Funktion 0 der Differentialgleichung ge-

Aa² + Bb² + Ca + Bb ^ 0

eine von c unabhängige Bedingung.

5. Man zeige, daß die für die mathematische Physik (z. B. für die Theorie der Wärmeleitung) wichtige partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

Sy _ 7. d²y dx²

dt

kn-1

sin nx und y = e~

k ri²1

erfüllt wird durch die Funktionen y = e~

sowie durch y = aie~kl'i~t sin n{x -f ^’ibie~kni‘lt cos nfx, wo über i

zu summieren ist und die Anzahl der Summanden zunächst endlich, im übrigen beliebig groß ist.

Die Tatsache erhellt schon bei etwa zwei Gliedern der ersten Summe: y = a₁e~kndlt sin nxx + a₂e~kr'^t sin n₂x. Hier wird

d^y

dx²

= — kn₁²a₁e~kl‘¹'t sin nxx — kn^a₂e~kn*t sin n₂x = k •

— n²ale~kn^t sin nxx — n₂a₂e~kn*t sin n.₂x,

cos nx,

Unter welcher Bedingung die Anzahl der Summanden unendlich groß werden kann, bedarf besonderer Untersuchung.

6. Zu zeigen, daß die für die mathematische Physik (z. B. für die Akustik und die Theorie schwingender Federn) wichtige partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

d²y

c²y dx²

erfüllt wird durch y = cp(x-{-kt) -f ip{x — kt)

Funktionen der zugehörigen Argumente bedeuten.

Setzt man der Kürze halber x + kt = u, x — kt = v, so wird

d²y c²cp

dx²~w

dt²

= k²

wo

cp und cp beliebige

d²y /2 /a>    u>\

^ dv² > dt²    \du² ^ dv²)

7. Ist r die gegenseitige Entfernung zweier Punkte P (æ, y) und P₁ (xx, yx) in der Ebene, also r = Y(x — x^)'z + (y — yx)¹ 2} so findet stets die Beziehung statt

d² ln r dx²

d² ln r dy²

= 0.

Dies soll bewiesen werden. d ln r    1 d r

dx    r dx

£² lnr 1    2 (y — yx)

Man schreibt die Gleichung

analog

dy

x — xx r2 >

; m.

2 (x — xx ) dr

1    2(x — xt)²

d² ln r dy²

Form A ln r = 0, wo also A das Differentiationssymbol bedeutet.

d² ln r Sx²

= 0 gewöhnlich in der

Ist statt des einen Punktes Px ein ganzes Punktsystem gegeben und bezeichnet ri den Abstand des Punktes Pi dieses Systems von P, so ist immer noch A£mi ln ri = 0, wo die Größen mi beliebige Konstanten sind und die Summation über alle Punkte des Systems auszudehnen ist. Natürlich besteht die Voraussetzung, daß keiner der Punkte P{ mit P zusammenfällt. Die Punkte Pt. und P können auch materielle Punkte sein, so daß Pi die Masse mi} P die Masse m besitzt. Wenn dann zwischen P und den einzelnen Punkten P. Kräfte Pii wirken, die umgekehrt proportional dem Abstande ri} proportional

dem Produkt der Massen mmi sind ^Ri =    , so gelten für die den

Koordinatenachsen parallelen Komponenten A, Y der Summe aller dieser Kräfte die Formeln

Ci Ci

TT    U

Y=-mj ,

und hier heißt

V = mi ln y = — mi ln rt

das logarithmische Potentialx) des Systems der Punkte P. in bezug auf P. Für dieses Potential V gilt daher die Gleichung A7=0.

8. Ähnliches gilt im Raum, wenn zwischen dem Punkt P(x,y,z) und den Punkten P. mit den rechtwinkligen Koordinaten xi} yif zt Kräfte

■r mnty entSprec]2end dem Newton sch en Anziehungsgesetz wirken.

ri

Hier wird das Newtonsche Potential V alsdann

gleich    und

es ist

X--m

Ci Ci

Ci Ci

-Z, z~-m

dV

dz

d²—    d2±

analoge Werte haben

r -i r

dy

-> und w ■

d²f d²f d²f

9. Was wird aus dem Ausdruck Af(x, y, z) =    -f-    ,

wenn an Stelle der Funktion f(x, y, 8) das Produkt zweier Funktionen <p{x, y, 8) • if(x, y, 8) tritt?

Man findet

, dcpdyA _ dz dz)

A(<p -t) = cp • Atf + t ■ Aep + 2(|||| + ||

10. Den Satz zu beweisen: Ist f(x,y,8) eine homogene Funktion ni<in Grades von drei Veränderlichen x, y, 8, ist also fixt, yt, zi)=tnf{x, y, 8), so findet die Beziehung statt:

Man differenziert die angeführte Bedingung der Homogenität nach t und setzt alsdann t = 1. Natürlich gilt eine entsprechende Beziehung auch hei homogenen Funktionen von beliebig vielen Veränderlichen (Satz von Euler über homogene Funktionen).

11. Sind ep, ^ drei ganze homogene Funktionen beliebigen, aber gleichen Grades n von zwei Veränderlichen x1} x₂ (binäre Formen wten Grades), so findet die Beziehung statt:

<P X 1>

= 0,

Nun soll gezeigt werden, daß die Gleichung besteht:

dfV dfV d²V die² + dy² + dz²

falls P mit keinem der Punkte Pi zusammenfällt (Laplacesche Differentialgleichung).³)

Beim Beweis kaDn man sich auf P und nur einen Punkt P₁ be-

1₁ dr xt — x

—    —J

= 0,

d-

schränken. Ist r der Abstand PP₁₇ so wird ^ = —

1 3(xt — x)2 dx    r³ "T" ra

a²—

dx²    r³

3 (xt — x) dr

r⁴

r² cx

<Pi Xi

9*2 %2

wobei die Differentiation nach x₁ durch den Index 1 und die nach x₂ durch den Index 2 angedeutet ist.

Homogene Funktionen. Wronskische Determinante.

27

Folgt mit Hilfe des vorerwähnten E ul ersehen Satzes über homogene Funktionen, denn es ist hiernach

cp =

n (<Pl X1 + <P»Xi), l = ~ (Zl X1 + ZiX*), f = \ (fl X1 + f₂ X₂)>

die oben stehende Determinante verschwindet daher identisch. Die Verallgemeinerung für k ganze homogene Funktionen «ten Grades von k — 1 Veränderlichen ist klar.

12. Es sei gegeben z = f(u, v, w), wo u, v, w Funktionen von x sind, so daß z als eine Funktion von x allein zu betrachten ist; man

d*z

bilde die zweite Ableitung

die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von f stetige Funktionen von u und v sind.

d*z __d*f dx² du²

u*+2

d-f

du- d v

d-f

dx²

unter der Voraussetzung, daß f sowie

v,'*⁺hc«Lu'w'+²

. df „ . df ; . df „ w~ + d^u + dfv + dww •

uv' +

d²f

dv²

d*f

C'V-C IC

VW

dw²

13. Man zeige, daß die Determinante⁴)

^    ï?    3=

«sS    «sS    <sS

M    M    Ui

«sS    «ss

05    OS    09

in der y1} y₂, y₃ Funktionen von x sind, während y', yi (« = 1,2,3) die zugehörigen Ableitungen erster und zweiter Ordnung bedeuten, nach x differenziert wird, indem man die y.' ersetzt durch die dritten Ableitungen y-" (i = 1, 2, 3).

A ist eine Funktion von ylf yif y«, y/. yJ, yô, y", y₂", y₃", daher

Su Su

-2?E*'+2w*'⁺2

ii    i

! dA    X⁴. dA

¹ dyi' y*    dyi’^⁴ ’

denn die beiden ersten Summen verschwinden identisch. Die übrig bleibende Summe ist, als Determinante geschrieben, gleich

Vi y% Vi

V\ y% y?>

Vi" y₂'" y3"

Offenbar gilt ein entsprechender Satz für Determinanten beliebigen Grades, die analog wie A gebaut sind.

14. Zu zeigen, daß die partiellen Ableitungen einer Funktion f{x-\-iy) der komplexen Veränderlichen x + iy = z der Gleichung genügen :

--K

= i ~ oder auch

dx

U + ill-o

dx + ¹ dy - U-

Dabei ist die Ableitung gerade so wie bei Funktionen reeller

f(z + 4s) — f(z)

Veränderlichen definiert durch lim

Jz = 0

Jz

df df dz df

^ dx dz dx dz’

• hingegen wird = i Man sieht

G*f

d-f

— 0 ist.

sofort, daß überdies

15. Auch die Umkehrung gilt: Genügen die partiellen Ableitungen einer Funktion f(x, y) der Gleichung

Funktion von x -j- iy allein.

Zum Beweis dieser Umkehrung setze man x-f- iy = 2p, x — iy = 2q, führe mit Hilfe dieser Gleichungen an Stelle von x und y die Größen p und q in f(x, y) ein und zeige, daß auf Grund der Beziehung

dy ⁼ ^Fx Ableitung verschwindet, wodurch f als unabhängig

df ₉ df

dx*

dy²

df _ i df

dy

dx

so ist f{x, y) eine

von q erwiesen ist; hingegen wird

16. Wird die Funktion f‘(x-\-iy) in die Form gebracht u{x, y) + iv{x, ij),

wo u und v reelle Funktionen von x und y sind, so ist

d²u d²u _n d²v d²v _ n

dx² ' dy2 7 dx² dy²

du dv dx dy

und

du

dy

dv

k— , ferner

d x⁷

Dabei ist vorausgesetzt, daß die Funktionen u und v nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in einem gewissen Bereich der Wertepaare x, y stetige Funktionen von x und y sind.

dv du dx dy⁷ dy

du

dv

, so stellt u + iv eine Funk-

Ist umgekehrt tion von x -f- iy dar.

Diese beiden Sätze werden analog bewiesen wie die beiden voran-

du dv du dx dy⁷ dy

gehenden in Nr. 14 und 15. Die Gleichungen

heißen die Cauchy-Riemannschen Gleichungen, sie finden sich übrigens schon bei d’Ale mb er t.

dx

17. Das Differential dz der Funktion

z = 2xB— 5x²y -f- 3xy'¹— Sy²— Ixy -f 6x

zu bilden.

dz = (6æ² — 10xy + Sy²— 7y -f 6)dx -f (— dx² -f 6xy — 16y — 7x)dy.

18.    Die gleiche Aufgabe für z = a sin² x + b sin x cos y + c cos² y. dz = (2 a sin x -f- b cos y) cos x • dx — (b sin x A 2 c cos y) sin y • dy.

19.    Man bilde die partiellen Differentiale erster Ordnung der Funktion z = sin x ■ ln y -f- cos y • ln x.

dx = (cos x ■ ln y + cos yj dx, ^dy = sin x — sin y ■ ln x^j dy.

20. Den Satz zn beweisen: Sind M und N stetige Funktionen von x und y mit stetigen partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung und ist dz = Mdx -f- Ndy ein vollständiges Differential, so

dM _ dN dy dx

Ist dz das vollständige Differential einer Funktion f(x, y), so

gilt die Beziehung

O j}    O i¹

wird dz = ^ dx + ^ dy. Diese Gleichung gilt innerhalb eines gewissen Bereiches der Veränderlichen x, y; daher ergibt eine Vergleichung mit dz = Mdx + Ndy die Beziehungen M = dM dN

df

dx

woraus

dy

dx

folgt.

d M_dN

dy dx

nicht nur notwendige, sondern auch hinreichende Bedingung dafür, daß Mdx + Ndy das vollständige Differential einer Funktion f(x, y) darstellt. Auch läßt sich zeigen, daß ein Ausdruck Mdx -f- Ndy, der noch kein vollständiges Differential ist, stets durch Multiplikation mit gewissen Funktionen von x und y zu einem solchen Differential gemacht werden kann.

21. Die Seiten AC und AB eines Dreiecks ABC haben die Längen b bzw. c, der eingeschlossene Winkel a wurde gemessen, doch sei das Resultat der Messung infolge Unvollkommenheit der Beobachtung mit einem unvermeidlichen Fehler da behaftet. Wie groß ist der Einfluß dieses Fehlers auf die Angabe der zu bestimmenden Seitenlange BC = a?

Aus a² == b² + c² — 2&e cos a folgt ada = bc sin a- da = ab sin y ■ da oder da = b sin y • da — ha- da, wenn ha die Länge der zur Seite a gehörigen Höhe bedeutet. Der bei Bestimmung von a auftretende Fehler da ist daher zur Höhe ha und zu da proportional. In der Gleichung da = ha-da bedeutet da natürlich das Bogenmaß des Winkels da.

Wie in der Integralrechnung gezeigt wird, ist übrigens

Für die Berechnung oder Abschätzung eines Fehlers ist folgende Bemerkung wichtig: Man kann 1) nach dem absoluten Fehler fragen, also z. B. nach dem Betrag von da, 2) nach dem relativen Fehler, d. h. nach dem Verhältnis cla : a des absoluten Fehlers da zu der zu

messenden Größe a, 3) nach dem prozentualen Fehler 100 ^°/₀, d. h. nach dem in Prozenten ausgedrückten Betrag des relativen

da

Fehlers. Die Kenntnis von da : a oder von 100— pflegt wichtiger

zu sein als die Kenntnis des absoluten Fehlers. In den meisten Fällen ist man übrigens nicht in der Lage diese drei Arten von Fehlern genau zu bestimmen, vielmehr handelt es sich fast stets darum Grenzen anzugeben, innerhalb deren die Beträge dieser Fehler gelegen sind.

22. Beispiel zu Aufg. 21: Es sei ha = 400 m, der bei Messung des Winkels a begangene Fehler liege innerhalb der Grenzen ± 20".

o⁴⁰c°—^ m = ± 3 88 cm, d. h. der bei Bestim-2U6264,8    7    7

mung von a auftretende Fehler liegt innerhalb der Grenzen ± 3,88 cm, beträgt daher noch nicht 0,01 °/₀. Der Divisor 20626-1,8 rührt davon her, daß in der Formel da = ha- da der Faktor da den zum Zentriwinkel da gehörigen Kreisbogen beim Kreis vom Radius Eins bedeutet. Für den zum beliebigen Zentriwinkel cp dieses Kreises gehörigen Bogen arc cp gilt nun die Proportion arc cp : 2 jt = cp : 360°

wenn cp in Graden gegeben ist. Wenn

Hier wird da = +

oder arc cp =

7t ■ Cp

57,2958 ’

aber cp in Sekunden gegeben ist, so tritt im Nenner der Faktor 60² = 3600 hinzu und man erhält

180

= cp ■ 0,0000048481.

arc cp =

qp

206 264,8

23.    Die Entfernung zweier Punkte P und P₁ mit den Koordinaten x, y bzw. xx, yx sei s. Um welchen Betrag ändert sich s, wenn diese Punkte die Verrückungen dx, dy und dxx, dyx erfahren und wieviel Prozent p der Länge s beträgt diese Änderung?

Aus s² = (x — xx)² + (y — yx)² folgt s • ds = (x — xx) (dx — dxx) + (y — yx) (dy — dyx) und ds = (dx — dxx) cos a + (dy — dyx) sin a, wo a den Winkel bezeichnet, den die von P₁ in der Richtung nach P gezogene Gerade mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt.

• 100.

Für p ergibt sich der Wert ^

24.    Beispiel zu Aufg. 23: Es sei s — 4200 m, a — 34° 17' 25", dx = — 1 m, dy = 3 m, dxx = 4 m, dyx =2m; man bestimme das

• cl s

Verhältnis — und die Prozentzahl p.

Wenngleich hier die Änderungen der Koordinaten ein paar Meter

betragen, so mögen sie doch verglichen mit der über 4 Kilometer langen Strecke s als Differentiale angesehen werden. Es wird ds cos a , -,    7    \ , sin a , 7    7 N

¹

Vgl. C. Neumann im Journal für die reine und angew. Mathematik,

²

Bd. 59 (1861), S. 835 f., ferner dessen „Untersuchungen über das logarithmische und Newtonsche Potential“, Leipzig 1877, S. 4 und 12.

³

Laplace im „Mémoire sur la théorie de l’anneau de Saturne“ in den Mémoires de l’acad. roy. des sciences de Paris, année 1787, Paris 1789, S. 252 = Oeuvres complètes, Bd. 11, Paris 1895, S. 278.

⁴

Wronskische Determinante. Sie ist, wenn vom ntea Grade, wichtig bei Untersuchung der linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von n gegebenen Funktionen y₁, y₂, ... yn, indem ihr identisches (für alle Werte von x stattfindendes) Verschwinden anzeigt, daß zwischen den y■ mindestens eine lineare Beziehung besteht. Ferner ist die Wronskische Determinante wichtig für die , Theorie der linearen Differentialgleichungen. Zu dem oben zum Beweis gestellten Satz vgl. C. J. Malmstèn im Journ. für die reine u. angew. Math. Bd. 39, S. 93 (1849), ferner R. Baltzer, „Theorie und Anwendung der Determinanten“, 5. Aull. Leipzig 1881, S. 30f., E. Pascal, „Die Determinanten“, deutsche Ausgabe von H. Leitzmann, Leipzig 1900, S. 48 -50, G. Kowalewski „Einführung in die Determinantentheorie“, Leipzig 1909, S. 327 ff.

₈ = — (dx - dxx) -k — dy - dyx)

= 0,00020 • (-5) + 0,00013 • 1 == - 0,00087,

ds = - 3,65 m, die Entfernung der Punkte P, P₁ hat um 3,65 m abgenommen oder um 0,087 °/₀.

25. Zwei Punkte P und Px haben die Koordinaten x, y bzw. xx, Vv, die Strecke P₁P sei gleich s und der Winkel a möge ebenso definiert sein wie in Aufg. 23. Der Punkt P₁ sei ein fester Standpunkt. Welche Änderung erfährt der Winkel a, wenn der Punkt P an die Stelle x P dx, y P dy rückt?

Man findet:

cos a ₇

-s-dy

da =

sin a -,

dx, s ⁷

denn aus tg a = J ° x

da

tg a ■ cos² a

^ folgt ln tg a = ln (y — yt) — ln (x — xy) und

cl x    cl y

s • sin or

₌ dy

y —y i

s ■ cos or

Will man den Winkel da statt in Bogenmaß etwa in Sekunden ausdrücken, so ist der angegebene Ausdruck für da noch mit x = 206 264,8 zu multiplizieren (vgl. Aufg. 22).

Aufg. 25: Es sei s = 3 500 m, a = 52° 13'24",

26. Beispiel dx = 1 m, dy = 2 m. Man findet

zu

X COS a nn 4

= 36,1,

s    ⁷

x sin a t n n

= 4b, b s    ⁷

■j

daher ist da ein Winkel von 25,6 Sekunden.

27. Wie groß ist die Änderung des Winkels a, wenn sich in Aufgabe 25 auch die Koordinaten von P₁ um Beträge dxx, dy₁ ändern?

Äus tg« = y    y1 folgt

ö    Qß _ Qß    O

da

dy — dyx dx — dxl y — yi

(dy - dyx) -

was noch mit ^ = 206 264,8 zu multiplizieren ist, wenn man da in Bogensekunden haben will.

28. Beispiel zu Aufg. 27: Man berechne da bei dem Beispiel Nr. 24. Hier wird

da =

tga • cos²or cos a

sin a

X — x₁

(idx — dxx),

x sin or

= 27,7,

X COS a Är\ n

= 40,b s

für da findet man einen Winkel von 179,1 Sekunden oder von 2'59",1

29. Die vier Fundamentalformeln der sphärischen Trigonometrie sind :

1)    cos a == cos b cos c + sin b sine cos A,

2)    sin a sin B = sin b sin A,

3)    cos A cos c = cot b sin c — cot B sin A,

4)    cos A = — cos B cos C + sin B sin G cos a.

Man zeige, daß zwischen den Differentialen der in diese einzelnen Gleichungen eingehenden Größen die Gleichungen bestehen¹):

1)    da = cos C ■ db + cos B • dc + sin B sin c • dA

2)    cot a • da — cot b ■ db = cot A • dA — cot B ■ dB

3)    sin C ■ db = sin b cos C • d A + cos a sin B ■ dc -f- sin a • dB.

4)    dA + cos c • dB + cos b • dC = sin B sine • da.

30. Wenn man das auf das Gewicht des Wassers als Einheit bezogene spezifische Gewicht s eines festen Körpers bestimmen will, hat man bekanntlich das absolute Gewicht p des Körpers durch das absolute Gewicht w eines gleich großen Volumens Wasser zu dividieren, es ist s — p : w. (Die Bestimmung von p und w kann z. B. mit Hilfe der hydrostatischen Wage erfolgen.) In welcher Weise wird die Berechnung von s durch kleine Fehler dp und dw, die bei der Bestimmung von p und w erfolgen, beeinflußt?

-, wdp—pdw Cij S    a •

IC*

Der größte Wert des Gesamtfehlers df würde sich offenbar bei Werten dp und die von entgegengesetztem Vorzeichen ergeben. Um ihn anzugeben, schreibt man

df- ¹ Mdp +

ds

dw

dw

wo die vertikalen Striche bedeuten, daß der absolute Betrag der zwischen diesen Strichen stehenden Größe zu nehmen ist. Man findet

df =

dp + ||\dw\

dp

dw

Ein Irrtum von ß Prozent bei der Bestimmung von p beeinflußt daher die Bestimmung von s um /3%; gleiches gilt von einem Irrtum 03% bei der Bestimmung von w.

die bei kleiner

Schwingungsweite (Amplitude) die Dauer der Schwingung eines maihe-

31. Die analoge Aufgabe für die Formel t = n

matischen Pendels von der Länge l aus einer extremen Lage in die nächste extreme Lage angibt; g ist die Beschleunigung der Schwere.

*yw,

df-

dtdl\ +

dl

p-dg\ = \-?=äl + dg    21/lg

daher

2</l/g

df

|(N

as

l

fi

Ein Fehler bei der Bestimmung von l bzw. g, der l bzw. y°/0 beträgt, beeinflußt daher die Bestimmung von t im Betrage von £2% bzw. £y%-

32.    Nach dem Snelliussehen Brechungsgesetz (vgl. S. 11, Aufg. 25) ist sins = w sin/3. Man zeige nun, daß Lichtstrahlen von verschiedenen Wellenlängen und also auch verschiedenen Brechungsindizes (n bzw. n fi- dn), die unter demselben Winkel e einfallen, durch die Brechung in Richtungen abgelenkt werden, die von einander um

dß — — ^ tg/3 • dn abweichen.

Aus sin e = n sin ß folgt n cos ß ■ dß fi- sin ß • dn = 0.

33.    Die Messung der Stromstärke J eines galvanischen Stromes mit Hilfe der Tangentenbussole gründet sich auf die Formel J = c tga, wo a den Ablenkungswinkel der Nadel, c eine vom jeweiligen Apparat abhängige Konstante, den sogenannten Peduktionsfäktor, bedeutet, ln welcher Weise beeinflußt ein bei der Ablesung des Winkels a begangener Fehler da die Angabe der Stromstärke J?

c ■ da    _

cos²a’ J sin a ■ cos a sin 2 a'

dJ =

dJ

da

2da

Ablenkungswinkel a von ungefähr 45° sind daher für die Genauigkeit der Messung besonders günstig.

34. Beispiel zu Aufg. 33: Die Unsicherheit der Ablesung betrage

also etwa ±

+ 2' oder in Bogenmaß + nach gleich 5°, 30°, 40°, 45°. Hier wird = +

2 • 60 206 264,8’

a sei der Reihe

und mit den angegebenen Werten

_ -f- ~    +    ¹

745’ — 847 ’ — 860 '

35. Bei der Vergleichung der Intensitäten zweier Lichtquellen mit Hilfe des Fettfleckphotometers von Bunsen wird ein mit einem kreisrunden oder ringförmigen, scharf begrenzten Fettfleck versehener weißer Papierschirm auf einer mindestens 2 m langen Gleitbahn oder Bank verschoben, bis die an den Enden der Bank befindlichen, zu vergleichenden Lichtquellen den Fleck gleich stark beleuchten. Dies ist der Fall, wenn der Fleck scheinbar verschwindet. Sind q und i₂ die Intensitäten der beiden Lichtquellen, <q und a₂ ihre Abstände von

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

860 sin 2 a

von a erhält man für ^ der Reihe nach +    + -]

J    — 149 ⁷ — 74

dem Papierschirm, so ist alsdann \ : i₂ — a/ : a₂. Es werde nun angenommen, daß die Länge a₁ a₂ = a der Photometerbank sowie die Intensität ix der einen Lichtquelle genau bekannt sei. Wie groß ist

den man bei der Angabe der Licht-

dann der relative Fehler ^

stärke i₂ macht, wenn bei der Messung des Abstandes a₂ ein kleiner Fehler da₂ gemacht wird?

a.₂    «₂ ² q

~ {a—a.Y

Man hat i2 und — =

a,

; hieraus folgt di₂ =

2 a a₂ it (a — a₂Y

da₂

2a ₇

T Cl Qj o .

a₂ (a — a₂)    *

36. Es sei v das Volumen, das die Masseneinheit eines unter dem Druck p befindlichen Gases einnimmt, R die der Dichtigkeit oder dem Molekulargewicht proportionale Gaskonstante, T die absolute Temperatur, d. h. die vom sogenannten absoluten Nullpunkt (— 273° C) an gezählte Temperatur.' Alsdann heißt ein Gas ein ideales Gas, falls es das Mariotte-Gay-Lussacsehe Gesetz befolgt, das die Formel pv = RT zum mathematischen Ausdruck hat. Wird p in Kilogrammen, v in Kubikmetern angegeben, so ist für Luft R = 29,27. (Zur Bestimmung der Gaskonstanten R wendet man die Formel pv = RT auf einen bestimmten Zustand p₀,v₀,T₀ an. Für trockene Luft ist nun bei einer Temperatur von 0° C oder T₀ = 273° und bei einem Druck p₀ = 10333 kg/qm das spezifische Gewicht d₀ = 1,293 (kg/cbm), daher

= 0,7734 und R=^

10 333-0,7734

= 29,27).

vo =

Man leite aus der Formel pv = RT die bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen bestehenden Gleichungen

d₀

273

dT

dv

dT

und =

v T

ab, die von R ganz unabhängig sind.

p • dv + v • dp = R • dT. Bei konstantem Druck ist dp = 0, bei konstantem Volumen dv = 0.

37. Die einem Körper zugeführte Wärmemenge d Q bewirkt zum Teil eine Erhöhung der lebendigen Kraft der Moleküle, d. h. eine Erhöhung der Temperatur des Körpers, zum Teil dient sie zur Überwindung der Kohäsion der Moleküle (Leistung innerer Arbeit), endlich dient sie zur Leistung äußerer Arbeit, z. B. zur Überwindung eines Druckes. Fassen wir die beiden ersten Teile in einem Ausdruck d U zusammen (Änderung der inneren Energie) und nennen den letztgenannten Teil dL, so ist dü + dL proportional dQ, etwa gleich W.dQ, und die hier auftretende Proportionalitätskonstante W ist die Anzahl Kilogrammmeter, die von einer Wärmeeinheit, einer „großen Kalorie“ (Wärmemenge, die ein Kilogramm Wasser von 14|-⁰ auf 15^° erwärmt) geleistet werden. Man findet W gleich etwa 427 Kilogrammeter. Durch Einführung von A = -ÿÿ-= ₄*₇ ergibt sich in Kalorien d Q = A (dÜ + dL),

die Formel für den sogenannten ersten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie.

Wenn die äußere Arbeit dL darin besteht, daß bei einem Druck p eine Volumänderung dv hervorgebracht wird, ist dL=p-dv und dQ = A(dU-f-pdv). Man hat nun experimentell festgestellt, daß bei idealen Gasen die innere Energie TJ nur von der Temperatur T abhängt,²)

dT, somit wird dQ = A (^^dT + pdvj

. Hier ist

dT

es ist dU =

A die spezifische Wärme hei konstantem Volumen, also die bei einem

Kilogramm des Gases eine Temperaturerhöhung um 1° bewirkende Wärmemenge, falls die Erwärmung des Gases bei konstantem Volumen

erfolgt. Mit Benutzung der Bezeichnungsweise A = cv erhält man

d Q = cv • d T + Ap • dv.

bei konstantem Druck.

Die unter konstantem Druck bei einem Kilogramm des Gases eine Temperaturerhöhung um 1° bewirkende Wärmemenge ist die spezifische Wärme

Man zeige nun mit Hilfe der Formel pv = BT des Mariotte-Gay-Lussac sehen Gesetzes, daß hei idealen Gasen die Gleichung stattfindet :

Cp ~ Cv = AR

Es ist dQ = cv ■ dT -J- Ap • dv, p • dv -f- v • dp = H • dT, somit dQ = (cv + AH)dT — Av • dp.

man

Da im Fall dp = 0 die Größe dQ gleich c • dT wird, hat cv + A R — cp.

Daß cp — cv > 0 ist, war zu erwarten. Denn hei konstantem Volumen dient die zugeführte Wärmemenge nur zur Temperaturerhöhung, während sie bei konstantem Druck auch zur Überwindung dieses Druckes bei der Ausdehnung gebraucht wird. Daher muß cp > cv sein. Für atmosphärische Luft ist

Cp — 0,237, cv= 0,168, cp: cB= x = 1,410.

dQ = R(cv‘ v • dp + Cp- p ■ dv)

38. Mau zeige, daß die Gleichung dQ = cv - dT + Ap • dv mit Hilfe von pv = PiT und cp — cv = AB (vgl. Aufg. 36 und 37) in die Form

§ 6. Unentwickelte Funktionen. Funktionen eines Parameters, gebracht werden kann sowie in die Formen

ART

dp

dQ = cv- dT -f

^dv, dQ = cp - dT —

und

dQ = ^4ri(v ’ dP + KP • dv).

Folgt unter Benutzung von p . dv v • dp = B • dT.

39. Ein Gas möge sich der Formel pvn = konst. entsprechend ausdehnen. Man zeige alsdann, daß die zur Herbeiführung einer Volum-

•    >4 (yc ——

änderung dv erforderliche Wärmemenge dQ gleich ^    . p • dv ist.

Folgt leicht mit Hilfe der Formel dQ =    (v • dp -f- xp • dv)

in Aufg. 38.

6.

Unentwickelte oder implizite Funktionen.

Zwei Veränderliche als Funktionen eines Parameters.

1. Sind X und y durch eine Gleichung f(x,y) = 0 verbunden, die nach keiner der beiden Veränderlichen aufgelöst ist, so sagt man, daß die eine Veränderliche, z. B. y, eine unentwickelte oder implizite Funktion der anderen, x, ist. Für die beiden ersten Ableitungen von y nach x bestehen die Formeln:

_ A <Py = f₂ ⁷ dx²

wo der Index 1 jedesmal eine partielle Ableitung der Funktion f(x,y) nach x, der Index 2 eine solche nach y andeutet. Es ist also z. B.

In der Formel für ^ ist vorausgesetzt, daß

der Stelle x, y stetig

df

TO

/V

f _ y_j_ f _ gv

'² dy ⁷ '¹² dx - dy'

/j₂ = fn sei, daß also die Funktion f(x} y) an sei und daselbst stetige Ableitungen f₂, f₁₂ habe (vgl. S. 22, Regel 3).

2.    Sind drei Veränderliche x, y, z durch eine unentwickelte Gleichung f(x, y, z) = 0 verbunden, so ist z eine unentwickelte Funktion von x und y mit den partiellen Abteilungen:

_ Ù. d ₌ _

cx f% ⁷ dy    fs

3.    Zwei Veränderliche x und y können auch dadurch in Abhängigkeit von einander stehen, daß sie Funktionen einer dritten, unabhängigen Veränderlichen t, eines sogenannten Parameters, sind: x = cp(t), y = y>(t). Die Elimination von t aus beiden Gleichungen würde eine Gleichung f(x, y) = 0 liefern. Wird diese Elimination nicht vollzogen, so bestehen für die beiden ersten Ableitungen die Formeln:

dz

ft

wobei f₃ = tt

dy ₌    d-y ₌ qp (t) ■ ip"(t) — ip'(t) • cp"(t)

cp' (t)⁷ dx®

dx

cp'ay

Beispiele.

1. ax² -f 2bxy + cy² + 2dx + 2ey

+ f-0,

²- & + b ~1 = °»

dy

3.    a²x² + b²y² — (cx -f- d)² = 0,

4.    a sin²# + b sin²y = 0,

₌ _______+by + d

dx    bx + cy + e '

dy b²x

~ a*ym

c(cx + d) — a²x

ax

dy

5. y sin x — x cos y = 0,

6. cos (x 4- y) — xy = 0,

a sin 2# dx    &sin2j/‘

cZ 2/ cos y — y cos x dx sin x -(- x sin y '

sin (x + y) + y sin (x -f- y) -f- x '

dy

dy

dx

7. ax 4- by + c • exy = 0,

dy_ a-\-cyexy_ a — y(ax-\-by)

~ ~~ b + cxexy ~ ~ b—x(ax + by) *

dx

8. Im Punkt x = 2, y = 1 der Kurve

#³ — 7x²y — 5?/³ 4- 4#² — 10#?/ 4- 8# — by 4- 18 = 0 die Steigung zu bestimmen.

Hier wird f\ = — 2, f₂ = — 68, daher

dy

. Yor der Be-

o4

dx

rechnung von fx und f₂ wird man übrigens nachsehen, ob der Punkt x = 2, y = 1 wirklich der Kurve angehört.

9. Man zeige, daß für die implizite Punktion eax + by — c = 0 die

Ableitung konstant ist, ohne daß man ~ wirklich bildet.

& dx    ’    dx

Die Gleichung läßt sich in der Form ax -\- by — lnc = 0 schreiben und stellt daher eine Gerade dar.

10.

Ol i<N

H I cs

2/²

2²

dz

c*x dz _ c²y

dx    a²z’ dy    b²z‘

+ T* + c² ~ ¹ ~ °>

(Ellipsoid)

11. ez cos x — cos y = 0,

(Scherk sehe Minimalfläche)

12.    Für den Punkt x = 2, y = — 1 der Kurve 4#² — 2xy — 5y2 — 6x — 4y — 7=0 die zweite Ableitung

Man findet

fi - 12, f, ~ 2, fn - 8, fa = - 2, f„ = - 10, g - 164.

Gehört der Punkt wirklich der Kurve an?

13.    Die gleiche Aufgabe für den Punkt x = 0, y = 0 der Kurve sin x -f sin y — xy = 0.

d²?/

<Z#²

dz

zu bilden.

Hier wird

fi = 1, f,-h fu - 0, /la — — 1, /„-o, g = -2. 14. x — a cos t, y — b sin t,

(Ellipse)

¹⁵-    v-ity,

(Hyperbel)

16.    x = a(t — sin£),y = a(l — cos£), dy ₌

(Gemeine Zykloide)

17.    æ = ft cos² tf, y = m sin 2^

(Ellipse)

TS ns

SV B

B «sï

dx

dy

& coti

a sin t '

cot

2 TO

cot 2£.

ae sin i

c sin t

a -\-b cos t ’ ^    a -f- b cos t ’ dx

Ellipse oder Hyperbel, je nachdem a² > oder < b².

dy _ 6_

18. x =

dy

c(a cos

19. x = a cos²t, y = b sin²£,

Aus welchem inneren Grund ist hier ^ von t unabhängig, also konstant?

20. Unter welchen Winkeln a erfolgen die Schnitte der Archimedischen Spirale r = at mit der Polarachse (#-Achse)? Vgl. Fig. 10. Die Parameterdarstellung der Kurve ist x = at cos t, y = at sin t, sin t -J- t cos t cos t — t sin t?

(ft ganze positive Zahl, Schnitte mit der positiven x-Achse) wird tg a = 2 kn, für t = (2 7c -f- l)jr (Schnitte mit der negativen x-Achse) wird tg cc = (2 ft + l)n. Erst für ft = oo wird a ein rechter Winkel.

Für den zu den Werten t = — 2 kn bzw. t = — (2 ft -f- l)n gehörigen Teil der Spirale erhält man tg a = — 2 kn bzw. -(2ft+l)?r.

dy

dx

tgcc =

dx

also unabhängig von a.

Für t = 2 kn

21. Die gleiche Aufgabe für die logarithmische Spirale r = aK Vgl. Fig. 11.

Man findet allgemein

Si.' Si.

= tga =

cos i -f- siix ^ • ln «

— sin t -f- cos t • ln a

Sowohl

für t = äz 2kit als für t = dz (2 k + l)jt wird tg a =

stant. Bei der logarithmischen Spirale erfolgen überhaupt sämtliche Schnitte mit allen durch ihren Anfangspunkt gezogenen Geraden unter einem und demselben Winkel a, für den cot a = ln a ist (vgl. S. 54, Aufg. 31).

22. Man bilde

in ä’

also kon

d³y dx³ 7

d

d³y    dx² _ dx    — ty'cp'")— 3 qp"(qp'il)" — ip'qp")

dx³ dt ‘dt

23. Zu zeigen, daß die beiden Gleichungen f(x, y, z) = 0 und g{x, y, z) = 0, wenn sie zusammen y und z als Funktionen von x

definieren, für die Ableitungen und ^ /lie Ausdrücke liefern: dy_ ₌ ft9i — fi 9 t

dx    f, 9 z — /; <jt

- Die Gleichungen ^dx-}-f₂dy -\-f₃dz = 0 undg₁dx-\-g₂dy +g₃dz = 0 werden nach Division mit dx als Gleichungen mit den beiden Unbe-

dz    •

kannten und aufgefaßt und nach diesen aufgelöst.

Die Ausdrücke fxg% — f₂g₁ =

V⁶

TS TS

fi ft

fz9x ~ fx9z =

fzfi

9x92

> fz9z fz9z —

und

heißen die Funktionaldeterminanten von f und g

9z 9x

hinsichtlich x, y bzw. y, z bzw. z, x. Man bezeichnet sie auch symbolisch so:

§ 7.

Einführung von neuen Veränderlichen.

Beispiele.

1. Eine Kurve habe in Polarkoordinaten die Gleichung f(r, fi) — 0, die rechtwinkligen Koordinaten eines ihrer Punkte seien x = r cos fi,

y = r sin fi¹. Wie drückt sich leitungen von f(r, fi) aus?

dy

dx

durch r, fi und die partiellen Ab-

Zunächst wird

dy sin fr • dr -f- r cos fr . d& dx cos & • dr — rsinfr-dfr⁵

bei Einführung von = —f'(&) • f'(r) erhält man

dy /"(fr) sin ■8’ — rf'if) cos fr dx f (fr) cos fr -|-rf (r) sin fr

2. Eine Kurve habe in rechtwinkligen Koordinaten die Gleichung f(cc, y) = 0, die Polarkoordinaten eines ihrer Punkte seien r — + ]/x² + y²,

ft == arc tg —, wobei cos -fr =

durch x, y und die partiellen Ableitungen von fix, y) aus?

Zunächst wird

X-, sin fr¹ = — ist. Wie drückt sich r ’    r    c/fr

dr xdx-j-ydy xdy — ydx d& }/x² -j- y² x² -f y² "⁵

bei Einführung von = — fx : f₂ erhält man

_ ₌ _ xf*—y

d& xA+yfi

dr

Yx² + tj².

3. In welche Gleichung geht die „Differentialgleichung zweiter

Ordnung“

(■¹-x,'>U-xT&+n2y⁼⁰

über, wenn an Stelle von x die Größe t durch x = cos t als unabhängige Veränderliche eingeführt wird?¹)

Hier wird

dy ₌ _ dy # dx    dt

: sin t,

d²y

dx²

man erhält

d²y

df'+n,y- °-

4. Führt man in die Funktion V = f(f) an Stelle von r den * Ausdruck r = Yx² + y² ein, so wird

- f"(r) ■ £ + f'(r)= f"{r) £ + ±f\r) - £/»,

-rwS + v^'w-pV«.

d²v

dx²

o²V

dy²

-rw + fr«.*)

dr

d²v

dy²

Addition ergibt den Beweis.

1)    Vgl. É. Goursat „Cours d’analyse mathématique“, Paris 1902, S. 72.

2)    Zu der Abkürzung AV vgl. S. 25 und 26, Aufg. 7 bzw. 8.

5. Führt man r = ]/x² -j- y² -f- z² in V=f(r) ein, so wird

AV =

d²V . B²V . d²V f„₍ , . 2    ( \

w+W⁺w~f W + TfV-

Folgt ähnlich wie zuvor.

6. Zu zeigen, daß der Ausdruck    + (^~) , wo V — f(x, y),

bei Einführung von Polarkoordinaten r, tf durch x = r cos 0-, y = r sin übergeht in

rw+krw

Hier wird

r'f \<)r sr/r>\ê& i . dr x    „

■ö— = f f h—H / ('9') o—, wobei = — == cos tf

<7 X ' W0X ,V'<7X⁷    ox r

— f (f) Sin & + f'(d) •

7. Zu zeigen, daß sich AV= -f bei der gleichen Substitution verwandelt in

analog bildet man

dV

Jy

dlî 4. Jl Ką. JL 9Y _

gr2 "T r gr "T r2 ^,0,2

cv>

sin ■9’

Hier wird

^!F₌₌ 9T7

dx² dr

wobei V₁ =

Aufg. 6 gegebenen Ausdrücke für V₁ und V₂ erhält man:

cos & —

dV₁ sin -9 c²V _ dV2 d& r ’ dy² dr

sin # -f-

o V₂ cos ■S’

dv

dx

F« =

dy

ist. Mit Rücksicht auf die in der Lösung von

⁼ {cos&^-

= ^sin & ~ -f-

sin 9¹ d

d^V dx2 cJV dy²

woraus leicht die zu beweisende Gleichung folgt.

8. In welchen Ausdruck verwandelt sich AF=

cos O’ —

d^V , d²V dx²

c²V dz² ’

wenn in die Funktion V(x, y, z) an Stelle von x, y, z räumliche Polarkoordinaten eingeführt werden durch

dy²

x — r sin tJ> cos #, y = r sin ^ sin tf, z = r cos ^ ?

Kann mit Hilfe des Ergebnisses der vorhergehenden Aufgabe abgeleitet werden, indem durch die Substitution r sin i[> — q die Ausdrücke für x und y übergehen in x = q cos &, y = q sin Daher wird

folglich

AF=

a²F a²F a²F ₌ a²F jL_aF jiLa²F _iaF jL aw

dx² dy² dz² dr² ' r dr r² dtp² ' g dg ‘ q² d&²

Hier ist

denn

und

Man erhält also

IZ—lZll-L. FF^îf — ir .    a F cos² tp

dg dr dg dtp dg dr Sin ^ ' dtp z ’

q² 4- 8² liefert ^    ~ = sin cp

= 7

r² =

liefert ^ =

cos² tp

dg

1 dV cos² tp 1 a²F ' r dtp z.sin tp ' r²sin²i|) a#2 cot tp dV r² dtp

9.    Wie drücken sich die Ableitungen y, y", y'" einer Funktion

y = f(x) durch die Ableitungen ^    = x\ j~ï = x" der in

versen Funktion aus? Die inverse Funktion x = cp (y) ist hierbei diejenige, die sich durch Auflösung von y = f(x) nach x ergibt. So ist z. B. x = arc sin y die inverse Funktion zu y = sin x.

Man findet leicht y =    , y" = —

10.    Zu zeigen, daß die „Schwarzsche Differentialinvariante“ L)

y'" _ J_ (£Ÿ

2 W

in der y', y", y" Ableitungen einer Funktion y = f(x) sind, unver-

az -j- b cz d

Im folgenden mögen durch Akzente Differentiationen nach x an-

ad — bc ,

AF =

d²r nr i d²v i dv

dr²    r dr ' r² dtp² '

₌ a²F £a²F i a²F

3r² ' r² dtp² d⁻ r²sin²il> ait²

r dr

_2_aF r ar

nr

3æ"² — afx'"

æ'⁵

7“

ändert bleibt, wenn man y durch

ersetzt.

gedeutet sein. Alsdann ist y = ^ z =

(c£ -f-d)

y"

(cz -(- d)z" — 2cz'²

'    — 6c(c£ -j- d)z z" -f- 6eV³

ad — bc

(cz + d)

(cz -f- d)² ■ z

über.

Setzt man übrigens

^'1 ; II

1) H. A. Schwarz, Journal für die reine und angew. Mathematik Bd. 70, S. 116 (1869) = „Ges. math. Abhandlungen“, Bd. 2, Berlin 1890, S. 78 und 352ff., ferner A. Cayley, Trans. Cambridge Phil. Soc. Bd. 13, Teil 1 (1881), S. 5—68 = Coll, papers Bd. 11, S. 148—216. Im wesentlichen kommt der Ausdruck, wenn auch nicht in völlig ausgerechneter Form, schon hei Lagrange vor, vgl. Nouv. Mém. de l’Acad. roy. de Berlin, année 1779, S. 175 == Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 55, hrsgg. von A. Wangerin, S. 18 und 89f.

11. Wird in der Schwarz sehen Differentialinvariante x durch

az -f- b cz -f- d

ersetzt, so findet die Beziehung statt:³) d*y

dz⁴

d-y

dz⁵

(ad — bc)⁵ (y"

² I Â1. I ~ (C2 + d)

dz

___i /yj

y 2 \y\

Hierbei deuten die Akzente wieder Differentiationen nach x an.

Wird in ähnlicher Weise abgeleitet wie die Lösung von Aufg. 10. Man findet:

iv- S -    “ ³ W-²<e*+W}’

~di ⁼ ^cz + df {(.ad—befy'"—6c(ad-bc)(cz + d)y"+6c\cz + d)V},

woraus die zu beweisende Beziehung leicht folgt.

12. Man zeige, daß die Schwärzsche Differentialinvariante

¹

Vgl. „Briefwechsel zwischen C. F. Gauß und H. C. Schumacher“, hrsgg. von C. A. F. Peters, Bd. 4, S. 310, Altona 1862 (Brief von Gauß an Schumacher vom 26. September 1844). Gauß hält die oben stehende Form der Fundamentalformeln und der zugehörigen Gleichungen zwischen den Differentialen für die beste.

²

Allgemein ist eigentlich U eine Funktion von jo, v und T. Da nun zwischen p, v und T eine Gleichung, die Zustandsgleichung besteht, kann man z. B. p aus U eliminieren und U wäre dann nur noch Funktion von v und T; bei idealen Gasen fehlt aber auch v in dieser Funktion.

³

   Ygl. F. Klein, „Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade“, Leipzig 1884, S. 75.

⁴

   Dieser Ausdruck ist eine absolute Reziprokante. Er bedeutet geometrisch

⁵

   J. J. Sylvester, Comptes Rendus, Bd. 101, S. 1042f. (1885) und American Journ. of Math., Bd. 8, S. 197—203 (1886). Funktionen der obigen Art, die sich also bei Vertauschung von y und x bis auf einen in den x , x", x"\ . .. rationalen Faktor wieder reproduzieren, hat Sylvester Reziprokanten genannt.

4iüÇ_±(?Y}

x ¹ ( x 2 \x 1 J

übergeht, wenn an Stelle der nach x genommenen Ableitungen y', y",

d²x

d¹x _

⁼ ~dÿ~²’ ^ ⁼ oö/5 Zum Beweis benutzt man das Ergebnis von Aufg. 9, S. 42. Die zu beweisende Gleichheit läßt sich übrigens auch in die Gestalt bringen :

y" die Ableitungen x =

rr

rrr

eingeführt werden.¹)

2 x x" — 3 x" ¹

2y'y"'-3y"*=-

Ferner werde bemerkt, daß sich die Gleichung 2y y"' — 3y"¹ = 0 ergibt, wenn man die Gleichung xy-\-ax-\-by-\-c=*0 einer Hyperbel, deren Asymptoten den Koordinatenachsen parallel sind, dreimal nach x differenziert und aus den drei so entstehenden Gleichungen und aus xy ax -fby c = 0 die Größen a, b, c eliminiert. Man erhält hierdurch 2y y" — 3y"¹ = 0, und dies ist die „Differentialgleichung dritter Ordnung“, der sämtliche Hyperbeln der genannten Beschaffenheit genügen.

13. In gleicher Weise wie bei Aufg. 12 ist zu zeigen, daß der völlig unverändert bleibt, wenn man an Stelle der y', y" die Ableitungen x, x" einsetzt.²)

Ausdruck

(1+?/¹)²

y”

§ 8.

Tangente nnd Normale bei ebenen Kurven, Tangentenebene und Normale bei Flächen.

1. Die Gleichung der im Punkt P(æ, y) einer ebenen Kurve gezogenen Tangente ist, wenn |, r] laufende Koordinaten bedeuten:

n — y ₌ dy 1 — x dx’

die Gleichung der Normale ist ~—- = — 1 : ~ •

°    . g — x    dx

la.    Liegt die Gleichung der Kurve in der Form y = f(x) vor, so wird ^ = y .

lb.    Liegt die Gleichung der Kurve in der Form f(x,y) = 0 vor, so ist

die Gleichung der Tangente wird (£ — x)fx + (y — y)f₂ = 0, die Gleichung der Normale wird (| — x)f₂ — (rj — y)fx = 0 .

Liegt insbesondere eine algebraische Kurve wter Ordnung vor und bringt man ihre Gleichung in die homogene Form f(x, y, z) = 0, indem man x und y durch x : z und y : z ersetzt und die Nenner mit z entfernt, so lautet die Gleichung der Tangente in homogener Gestalt wo f₃ die partieüe Ableitung von f(x, y, z) nach z bedeutet.

lc. Ist die Kurve durch eine Parameterdarstellung x = tp(t)} y = il>(f) gegeben, so erhält man

als Gleichung der Tangente : (£ — x) ty' ( t) — (j} — y) cp' (t) = 0 , als Gleichung der Normale: (£ — x)cp'(t) + (y — y)ÿ'(t) =0.

2. Werden die Koordinaten eines nicht auf der Kurve f(x, y) = 0 gelegenen Punktes in f(x, y) eingesetzt, so wird dieser Ausdruck entweder positiv oder negativ: die Kurve teilt die Ebene in solche Gebiete, für deren Punkte f(x, y) positiv wird, und solche Gebiete, für

die f(x, y) negativ wird. Bei der Ellipse f(x, y) = p -j- p — 1=0

wird z. B. f(x, y) für im Inneren gelegene Punkte negativ, für äußere Punkte positiv, und dieses Verhalten kehrt sich um, wenn f(x, y) mit

x*

identifiziert wird. Bei der Lemniskate f(x,y) = (x²Ą-y²)

1 -

das Quadrat des zum Punkt x, y der Kurve y = f(x) gehörigen Krümmungsradius. Vgl. § 18, Regel 2.

—2c²(æ² — y²) = O (vgl. Fig. 16, S. 54) ist f(x, y) negativ für Punkte, die von einem der beiden Ovale der Kurve umschlossen werden, positiv im äußeren Gebiete. Ähnliche Betrachtungen kann man bei Flächen fix, y, s) = 0 anstellen.

3. Für den Winkel ß, den die im Punkt P der Kurve fix, y) = 0 gezogene Normale mit der positiven Richtung der iC-Achse bildet, gelten die Formeln:

tg ß = ~ , COS ß = -,

£    ±Vf2JrtV

sin ß =

±VfP + fp’

und hier ist bei ±|//j² + das Plus- oder Minuszeichen zu setzen, je nachdem man die Richtung der von P aus sich in das positive oder in das negative Gebiet der Ebene erstreckenden Normale haben will.¹) Hiermit ist auch die eine oder die entgegengesetzte Richtung der in P gezogenen Tangente festgelegt, wenn man verabredet, daß die Tangente zur Normale stets so liegen soll wie die positive a;-Achse zur positiven y-Achse. Es kann alsdann in den vorstehenden Formeln stets ß = a-\-j7t gesetzt werden, wo a den Winkel der positiven Richtung der Tangente mit der positiven Richtung der x- Achse bezeichnet.

Auch bei Kurven mit der Gleichung y = fix) sind diese Kriterien anzuwenden, an Stelle von fix, y) hat nur fix) — y zu treten; ft ist alsdann gleich f\x) oder y, f% = — 1.

Ist eine Kurve durch eine Parameterdarstellung x = (p (£), y = ^if) gegeben, so gelten für den Winkel a, den die im Punkt P mit dem Parameter t gezogene Tangente mit der positiven Richtung der x-Achse bildet, die Formeln:

VW

cp'(t)’

tga =

cos a =

sin a =

f'(t)

und hier ist hei der Quadratwurzel das Plus- oder Minuszeichen zu setzen, je nachdem die Tangente im Sinn des wachsenden t (d. h. in der Richtung, in der der Parameter t beim Fortschreiten auf der Kurve von P aus wächst) gezogen ist oder im entgegengesetzten Sinn. Hiermit ist auch die eine oder die entgegengesetzte Richtung der durch P gezogenen Normtale der Kurve festgelegt, wenn man wieder verabredet, daß die Normale zur Tangente so liegen soll wie die positive y- Achse zur positiven x- Achse. Man hat dann in den vorstehenden Formeln a = ß — j-jt zu setzen, wo ß den Winkel der

±Vcp'(ty+ip'(ty’

1) Ygl. Gauß „Disquisitiones generales circa superficies curvas, Bd. 6, S. 106 der Commentationes soc. reg. scient. Gottingensis recentiores (1828) = Werke Bd. 4, S. 225; eine von A. Wangerin besorgte deutsche Ausgabe dieser Schrift findet sich in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften, vgl. daselbst Nr. 5, S. 10.

positiven Richtung der Normale mit der positiven Richtung der x- Achse bedeutet.¹)

Auch bei Kurven mit der Gleichung y = f{x) sind diese Kriterien anwendbar, sobald man x=t, y = f(t) setzt.

4. Ist r = /'(ff) die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten, so gelten für den Winkel y, den die in einem beliebigen Kurven-punkt P gezogene Tangente mit dem Badiusvéktor OP von P bildet, die Formeln:

cos y =

±yr* + r'*’

tgr = y, siny =

Avobei r = ^ = /''(ff). Hier ist y derjenige Winkel zwischen Tangente

und Radiusvektor, den die über P hinaus gezogene Verlängerung des Radiusvektors OP zu überstreicben bat, wenn man diese Verlängerung durch Drehung im Sinn der wachsenden Polarwinkel ff, also auf Grund der S. 2 getroffenen Verabredung durch Drehung in dem der Bewegung eines Uhrzeigers entgegengesetzten Sinn, in die Lage der Tangente überführen will. In den Formeln für sin y und cos y hat man hierbei der Quadratwurzel das Plus- oder Minuszeichen zu gehen, je nachdem r = / (ff) positiv oder negativ ist.

5. Die Tangentenebene des Punktes P(x, y, z) der Fläche f(x, y, d) = 0 hat in laufenden Koordinaten |,    £ die Gleichung

(I — %)A + (v- y)U + (& - *)f* = ⁰ •

Die Normale dieses Punktes P hat die Gleichungen

tz^._=:rLzLy. ₌ ^ii

fs

fl

sie bildet daher mit den Koordinatenachsen Winkel a, ß, y, deren Kosinus die Werte haben

cos a =

fi

±Vf?+fy+f₃

cos ß

fs

±yfi²+fy+fs

cos y =

Hier ist der Quadratwurzel das Plus- oder Minuszeichen zu gehen, je nachdem man die Richtung der von P aus sich in das positive oder in das negative Gebiet des Raumes erstreckenden Normale haben will.

iV/P + ZP-F/s²

Beispiele.

1. Wie lauten die Gleichungen der im Punkt x = 2, y = — 1 gezogenen Tangente und Normale der Kurve y = 2x³ — 5x²-\-3x — 3?

1) Diese Kriterien für die Richtungen der Tangenten und Normalen bei Kurven, die durch eine Parameterdarstellung gegeben sind, verdanke ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn S. Gun delfin g er.

Für die Tangente findet man 71 — rj — 15 = 0, für die Normale I + ( rj + 5 = 0.

2.    Die gleiche Aufgabe für den Punkt x — — 2, y = 3 der Kurve 4x% — 3xy² + 6æ² — 5xy — Sy² + 9a; + 14 = 0.

Für die Tangente findet man 91 + 2^+12 = 0, für die Normale 2| — 9rj + 31 = 0.

3.    Man bilde in homogenen Koordinaten die Gleichung der im Punkt

x, y der Ellipse ₂ +    — 1 = 0 gezogenen Taugente.

a²

+ S-C-0.

4.    Wie lauten die Gleichungen von Tangente und Normale für den Punkt t = 3 der Kurve x — 3t — 5, y = t*— 4?

Für die Tangente findet man 2£ —    — 3 = 0, für die Normale

g + g, - 14 = 0.

5.    Die gleiche Aufgabe für einen beliebigen Punkt t der Ellipse x = a cos t, y — b sin t.

Die Gleichung der Tangente wird b% cos t + arj sin t — ab = 0, die Gleichung der Normale a| sin t — brj cos t — (a² — b²) sin t cos t = 0.

6.    Die gleiche Aufgabe für den Punkt t = jit der Kurve x = a cos t + b sin t, y = c cos t + d sin t.

Für die Tangente findet man <+ — arj ad —bc == 0, für die Normale + cy — ab — cd = 0.

7.    Wenn ein Kreis (Radius a) auf einer Geraden (x- Achse) rollt ohne zu gleiten, so beschreibt ein mit dem Kreis fest verbundener Punkt eine Kurve, die als Zykloide bezeichnet wird. Ihre Parameterdarstellung ist:

x = at — b sin t, y = a — b cos t,

wobei b den Abstand des die Kurve beschreibenden Punktes vom Mittelpunkt des rollenden Kreises bezeichnet; t ist der Wälzungswinkel, d. h. der Winkel, der dem auf der x-Achse abgerollten Bogen des Kreises zugehört. Dabei ist diese Bogenlänge von derjenigen Anfangslage aus zu messen, bei der der Punkt P und der Mittelpunkt des rollenden Kreises auf der y- Achse liegen, insbesondere P die Ordinate y = a — b hat. Der Wälzungswinkel kann daher absolut genommen größer sein als beliebige ganzzahlige Vielfache von Man zeige nun, daß die in einem Punkt der Kurve gezogene Normale durch den jeweiligen Berührungspunkt des rollenden Kreises mit der x-Achse hindurchgeht. Vgl. Fig. 35 und Aufg. 6, S. 98; die drei Kurven der Figur entsprechen den Fällen b > a, b = a und b < a.

Die Gleichung der Normale ist

(| — at + b sin t)(a — b cos t) + (rj — a + b cos t)b sin t = 0, die Abszisse des genannten Berührungspunktes ist £ = at, rj = 0.

8. Wie lautet die Gleichung der zu der Geraden x— 3y — 5 = 0 parallelen Tangente der Parabel y²—4x = 0?

Einerseits ist y' = tga = j, andrerseits 2yy = 4 oder y = 2 :y\ daher findet man y = 6, x = 9 als Koordinaten des Berührungspunktes und y — 6 = -|(£ — 9) oder £ — 3^ + 9 = 0 als Gleichung der Tangente.

9.    Zu zeigen, daß die in einem beliebigen Punkt P(x, y) der Kurve y = cxn gezogene Tangente auf der Æ-Achse ein Stück abschneidet,

das

gleich ^1 —x ist.

Die Gleichung der Tangente ist cnxn~x% — r\ — (n — l)y = 0'

für v = 0 wird £ = -—- x. — Man beachte die auf der Hand lie-

n

gende Anwendung zur Konstruktion der Tangente des Punktes P.

10.    Trifft die in einem beliebigen Punkt P der Kurve xmyn — c = 0 gezogene Tangente die y-Achse in S, die x-Achse in T, so ist das Verhältnis SP : PT konstant, nämlich gleich m : n. Je nachdem m : n positiv oder negativ ist, liegt P zwischen S und T oder auf einer der beiden Verlängerungen der Strecke ST. Dies soll bewiesen werden. Vgl. Fig. 49, S. 119.

Die Gleichung der Tangente ist (£ — x)my-\~ (v — y)nx = 0; für y = 0 wird £ = ^1 +    und die Behauptung ist nun leicht zu

beweisen.

11. Zu zeigen, daß die Länge des vom Koordinatenanfang auf die Tangente des Punktes x, y der Kurve f(x, y) = 0 gefällten Lotes gleich

'p

ist.

xfi + vU I

V/TM-7Ï*

12. Die Richtigkeit folgender Konstruktion nachzuweisen: Soll in einem Punkt P(x, y) einer Kettenlinie

771

VI m ,

y - !\* + «

die Tangente konstruiert werden, so beschreibe man um den Scheitel S der Kurve mit der Ordinate von P als Radius einen Kreisbogen. Dieser schneidet die #-Achse in zwei Punkten. Derjenige von beiden, der mit P auf derselben Seite der y-Achse liegt (er heiße L), wird mit S verbunden (Fig. 12). Alsdann ist das von P auf SL gefällte

Fig. 12.

cc

Konstruktion der Tangenten wichtiger Kurven.

49

Lot PT die Tangente von P; eine durch P gezogene Senkrechte zu PT ist die Normale von P.

Auf Grund der Konstruktion ist OSL = <^C PPP; tg (O/SP)

; da man, am besten unter Benutzung der hy-

= OL : OS

perbolischen Funktionen (ygl. S. 7, Aufg. 6), auch = —■—findet,

ist tatsächlich ^PTL der Winkel a, den die Tangente von P mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt.

13. Welche Bedingung müssen die Koordinaten x, y eines Punktes P der Kurve f(x, y) = 0 erfüllen, wenn a) die in P gezogene Tangente oder b) die Normale von P durch den Koordinatenanfang gehen soll?

a)

dy _ y

dx

b)

dy

dx

14. Bei der Kurve xy² — c = 0 diejenigen Punkte zu bestimmen, deren Normalen durch den Koordinatenanfang gehen.

-n„-±nv*.

Es muß y²=2x² sein; man findet x

15. Welche Beziehung muß zwischen den Halbachsen a, b der Ellipse x — a cos t, y = b sin t und den Koeffizienten A, B, C der Gleichung einer Geraden Ax + By -f- 0 = 0 stattfinden, wenn die Gerade eine Normale der Ellipse sein soll?

Nach S. 47, Aufg. 5 findet man A : B : C — a sin t : — b cos t : — (a² — b²) sin t cos t, woraus (a² — b²)²A²B² = C²(A²b² + B²a²) folgt.

16. In jedem Punkt der Parabel y² — px = 0 denke man sich die Tangente gezogen und das vom Berührungspunkt bis zum Schnitt mit der x- Achse gemessene Stück derselben halbiert. Es soll gezeigt werden, daß diese Halbierungspunkte die Scheiteltangente der Parabel erfüllen.

[0

Die Gleichung der Tangente ist — 2yrj -f- px = 0, sie trifft die x- Achse im Punkt £ = — x, der Ort der Halbierungspunkte ist daher £ = 0. Hieraus ergibt sich zugleich folgende Konstruktion der Parabeltangente eines beliebigen Punktes P, wenn außer P noch der Scheitel 0 und dessen Tangente bekannt sind:

Fig. 13.

Man fällt von P auf die Scheiteltangente das Lot P die Verbindungslinie von P mit dem Mittelpunkt M der Strecke OQ ist die gewünschte Tangente (Fig. 13).

17. Wie lauten bei schiefwinkligen Koordi-    \

naten mit dem Achsenwinkel a die Gleichungen von Tangente unir Normale eines Punktes x, y der Kurve f(x, y) = 0?

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

Nach Aufg. 11, S. 4 findet man auch jetzt    ~ als Glei

chung der Tangente. Als Gleichung der Normale ergibt sich zunächst wo ß den Winkel bedeutet, den die Normale mit

sin ß

v — y

X — X

der positiven Richtung der x-Achse bildet. Mit Rücksicht auf ß =    % -(- cc

und ~ = -T—r-t

ax sm(oo — a)

sin (co — ß)

sina

findet man schließlich für die Normale die Glei

chung

⁷¹    ^ = — 1 CQS—, wobei y = ~ •

§ — x    y 4- cos ca 7    J ax

18.    Welches ist der geometrische Ort aller Punkte, in denen die Schar von Kreisen x²-\- y²—2aXx + A²—&²=0 (a, b Konstanten, A ein veränderlicher Parameter) durch Parallelen zur x-Achse berührt wird?

Der Ort ist ein Kegelschnitt x²(l — a²) -f- a²y² — a²b² = 0, denn

die Forderung ~ = 0 liefert A = y • Je nachdem a²< 1, = 1, oder

> 1 ist, wird der Kegelschnitt eine Ellipse, das Parallelenpaar y² — b² = 0 oder eine Hyperbel.

19.    Welches ist der geometrische Ort aller Punkte, in denen die Kurven der Schar von Parabeln ay² — X²(x — A) = 0 durch Geraden berührt werden, die mit der positiven Richtung der x-Achse einen Winkel von 45° bilden?

Man findet die Parabel 4a;² + y² — 4xy — 4ay = 0, denn die Forderung ^| = 1 liefert X²=2ay.

20.    Gesucht wird der geometrische Ort aller Punkte, in denen

die    Kurven der Schar    y =    lxn durch    Geraden berührt werden, die

mit    der positiven Richtung    der x~Achse einen Winkel a bilden, für

den tg a = % ist.

Hier wird % = Xnxn~x, man findet als Ort die durch den Koordinatenanfang gehende Gerade y — ^ x •

21.    Die Fußpunkte der von einem beliebig, aber fest gewählten Punkt P₁(xi, yt) nach der Kurve y = cxn gezogenen Normalen liegen auf einem von der Konstanten c unabhängigen Kegelschnitt.

Die Gleichung *    - =--— der    in einem beliebigen Punkt

° g — x    ny    °

der    Kurve gezogenen    Normale muß    durch | == xt, y = y₁ erfüllt

werden. Die Fußpunkte liegen auf dem Kegelschnitt

x² + ny² — X] x — nyt y = 0, der in x =    , y = y

seinen Mittelpunkt hat; bei positivem n ist der Kegelschnitt eine Ellipse, bei negativem n eine Hyperbel.

22. Die gleiche Aufgabe mit Bezug auf die Kurve y = sin x.

Tangenten der logarithmischen Spirale.

51

Man erhält die Kurve vierter Ordnung

o - ą)² + O - yx)\if- 1) = o,

die in x = xx, y — yx sowie auf der x- Achse im Unendlichen Doppelpunkte (vgl. § 15, Nr. 1 und 2, S. 99 f.) besitzt. Die Berührungspunkte der von Pl an die Kurve y = sin x zu ziehenden Tangenten liegen auf der Kurve vierter Ordnung

0 - Vif+<>-    -1) = o.

23. Die Berührungspunkte der Tangenten, die man von einem festen Punkt Px{xx, yx) an eine logarithmische Spirale r = dł ziehen kann, liegen auf einem durch Px und durch den Pol 0 der Spirale gehenden Kreis. (Fig. 14). Ygl. auch Aufg. Nr. 17, S. 70.

Setzt man x = at cos t, y = a* sin t, so folgt für die Gleichung der im Punkt t gezogenen Tangente der Kurve:

(| — ałcos £)(cos t -f snP • ln a)at— (jq — <Psin t)(— sin t + cos t • ln a) ał— 0.

-*-x

Fig. 14.

Pi

Diese Gleichung muß durch % — xx, y = yx erfüllt werden; andrerseits lassen sich in sie die Koordinaten x, y des Berührungspunktes einführen, wodurch sich schließlich x²-\-y²— x(xx—yxlna) — y(yx-\-xx\na)=0 ergibt.

Die Fußpunkte der Normalen, die man von Px auf die Kurve fällen kann, liegen auf dem Kreis (x² -f- y²) ln a — x (yx -j- xx ln a) + y {xx — t/i ln a) = 0, der gleichfalls durch O und P₁ geht. Diese beiden Sätze folgen übrigens rein geometrisch, ohne jede Rechnung aus der Tatsache, daß bei jeder logarithmischen Spirale der Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor des Berührungspunktes konstant ist (vgl. Aufg. 31). Vgl. auch Aufg. 17, S. 70.

24. Man bestimme diejenigen Punkte der Ellipse x = a cos t, y = b sin t, deren Normalen vom Mittelpunkt der Kurve den Abstand d haben.

(a² — b²)² sin²1 ■ cos²1 a² sin²1 -j- b² cos²1 ’ woraus unter Benutzung von b² = a² — c², sin²£=l— cos²t der Wert:

Mit Hilfe von Aufg. 5, S. 47 findet man d² =

cos²1 =

c² + d²±yn

2c²

wo

P = (c² + d²)² — 4 a²d²,

hervorgeht. Der Radikand B läßt sich hierbei zerlegen in

[a + d + b) (a -f d — b) (a — d + b) (a — d — b).

Selbstverständlich ist d < a; damit B positiv wird, muß also auch d<ia — b sein, und dann ergeben sich, da j/R< c² -f- d², offenbar

für cos² t zwei verschiedene positive Werte, also für cos t zwei verschiedene positive und zwei verschiedene negative Werte. So lange d < a — b, gibt es daher auf jedem Quadranten der Ellipse zwei Punkte der gewünschten Art. Im Palle d = a — b fallen beide zusammen, man erhält dann im ganzen die vier Punkte x =

+ a Ÿ a y a -f- b ’

, wobei alle Vorzeichenkombinationen zu nehmen sind. Wir

+ &1/&

y = T

1/a -j- b

werden diesen Punkten noch mehrfach begegnen (vgl. Aufg. 32 und Fig. 53, S. 123 f.).

y-

25. Für die Kegelschnitte der konfokalen Schar (vgl. Aufg. 5 und Fig. 20, S. 60):

f{x, y, 2) =    y    - 1 - 0

ist der geometrische Ort aller Punkte zu bestimmen, deren Tangenten mit der positiven Richtung der Æ-Achse einen Winkel a bilden, für den tg a = x ist.

Aus f(x, y, X) = 0 und x = — /j : f₂ hat man X zu eliminieren. Es ergibt sich die gleichseitige Hyperbel

x {x² — y²) + (j£² — 1 )xy — h (a² — b²) = 0,

die mit den Kurven der Schar konzentrisch ist und durch ihre gemeinsamen Brennpunkte geht. Eine Asymptote dieser Hyperbel ist zur Richtung a parallel.

Da sich die Kurven der Schar rechtwinklig schneiden (vgl. Aufg. 5,

S. 59), ergibt sich bei der Frage nach dem Ort aller Punkte der Kurven, deren Normalen mit der positiven Richtung der #-Achse einen gegebenen Winkel a einschließen, dieselbe Hyperbel.

26.    Dieselbe Aufgabe für die Schar konfokaler Parabeln

y² — 2(p — X)x 4- X(p — X) = 0.

Man findet die x-Achse (entsprechend a = 90°) und die Gerade 2xx -f- (x²— 1 )y — xp — 0.

Alle diese Geraden, die zu verschiedenen Werten von x gehören, gehen durch den gemeinsamen Brennpunkt x == \p, y = 0 der konfokalen Parabeln, und jede bildet mit der #-Achse einen Winkel y, der doppelt so groß ist wie der Winkel a. Für ß = ± 45° erhält man die Gerade x = \p .

27.    Sind y = fix) und y = g{x) die Gleichungen zweier Kurven

und hat eine dritte Kurve die Gleichung y =

so gehen

mf(x) -f ng(x) m n

alle diejenigen Tangenten dieser Kurven, die zu Punkten mit derselben Abszisse gehören, durch einen und denselben Punkt.¹)

1) Ygl. G. Peano, „Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale“, Torino 1887, S. 91.

Parallelkurve einer gegebenen Kurve.

53

Es seien y = yx und y = y₂ die zur Abszisse x gehörigen Ordi-naten der Kurven y = f(%) und y = g(x)‘ dann bestehen bei den drei Kurven folgende Gleichungen der in den Punkten mit der Abszisse x gezogenen Tangenten:

Tg = (^- %» - (v - y*) =

mf (x) -j- ng (x)

m -f- n

— (v — my' ny*\ = 0 V' m -f n )

Nun ist offenbar (m -j- n)T = m Tf -f- nT , zwischen den linken Seiten der drei Tangentengleichungen besteht daher eine lineare Beziehung, d. h. die drei Geraden gehen durch einen und denselben Punkt, nämlich:

t ' x(f\x) — g\x)) + g{x) — f(x)    _ g{x) f (x) — f(x) g\x).

f'(x) —9 (x)    ' v f\x) — g{x)

28. In jedem Punkt P der durch die Parameterdarstellung x = cp (t), y = ip(t) gegebenen Kurve denke man sich die Tangente gezogen und auf ihr von P aus nach beiden Seiten eine Strecke von der konstanten Länge l abgetragen (Figur 15). Zu zeigen, daß für den geometrischen Ort der Endpunkte Q₁, Q2 dieser Strecken die Parameterdarstellung

Fig. 15.

Qz

i — <p ±

lep'

Itp’

besteht.

Vr'ï+’P'¹’

>V² +V²

liefert £ — <p = <3 (p',

Die Gleichung der Tangente ~

rj — x/j == wo ö einen Proportionalitätsfaktor bedeutet, der mit Hilfe von (| — <p)² + (^ — 1p)² = l² zu bestimmen ist. So erhält man die obige Parameterdarstellung, bei der die beiden Vorzeichen der Quadratwurzel den beiden Orten der Punkte Qx bzw. Q₂ entsprechen.

29. Die gleiche Aufgabe wie zuvor nur mit dem Unterschied, daß die Strecken von der konstanten Länge l von P aus auf die Normale nach beiden Seiten hin abgetragen werden. Die äußeren Endpunkte dieser Strecke erfüllen alsdann eine äußere, die inneren Endpunkte eine innere Parallelkurve zu der gegebenen Kurve.

Man erhält

lep'

vy<₊n

llf}'

¹

   J. J. Sylvester, Comptes Rendus, Bd. 101, S. 1042f. (1885) und American Journ. of Math., Bd. 8, S. 197—203 (1886). Funktionen der obigen Art, die sich also bei Vertauschung von y und x bis auf einen in den x , x", x"\ . .. rationalen Faktor wieder reproduzieren, hat Sylvester Reziprokanten genannt.

²

   Dieser Ausdruck ist eine absolute Reziprokante. Er bedeutet geometrisch

vV+V’’

wo die oberen bzw. unteren Vorzeichen zusammengehören. Vgl. auch Aufg. 22 in § 19.

30. Bei der Archimedischen Spirale r = aff bildet die dem

Punkt ff = 1 (in Gradmaß = 57° 17' 44", 8) zugehörige Tangente mit dem Radiusvektor einen Winkel von 45°. Ygl. Fig. 10, S. 38.

tg 7 = ff (nach S. 46).

31.    Bei der logarithmischen Spirale r = a⁹ ist der Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor des Berührungspunktes konstant (Fig. 14, S. 51); speziell bei der Kurve r = e⁹ beträgt er 45°. Ygl. Aufg. 21, S. 39.

Man findet tg y =    , also ist y von ff unabhängig.

32.    Der Winkel y, den die in irgend einem Punkt r, ff der Sinusspirale¹) rm = am sin mff gezogene Tangente mit dem Radiusvektor bildet, ist gleich m&, und das vom Anfangspunkt des Koordinatensystems auf die Tangente gefällte Lot bildet mit der Polarachse den Winkel gp = (m + l)ff — \ it.

Hier wird mrm~¹ ■ r = mam cos mff, tg y = r : / = tg mff, daher y = mff. Ferner ist y = gp — ff + j7t, cp = yJr&— y Jt = (m -f-1) -fr — jit. Ygl. auch Aufg. 28 und 30 in § 18.

33.    Bei den Sinusspiralen rm = am cos mff ist jener Winkel y gleich mff+ -|jr, der soeben mit gp bezeichnete Winkel gleich (m-f- l)ff.

Es wird tgy=r:r' =—cot m ff = tg(m ff-f- jjt), daher y = mff -\-j7C. Ferner ist y = gp — ff + n, gp = y -f ff — jt = (m -f- l)ff. Ygl. auch Aufg. 28 in § 18.

Aus dem Ergebnis folgt offenbar eine Konstruktion für Normale und Tangente eines beliebigen Punktes der Sinusspirale, also auch z. B.

!fk

eines Punktes der Lemniskate r² = 2 c² cos 2 ff, die man im Fall m = 2 erhält (Fig. 16). Für sie wird (p = <)C TOx = 3ff, wo ff = P Ox ist.

Fz

'0

x    Die Lemniskate ist der geo

Fig. 16.

metrische Ort aller Punkte, für die das Produkt der Abstände von zwei festen Punkten Ft, F₂, den sogenannten Brennpunkten, konstant und zwar gleich dem Quadrat c² der Hälfte des gegenseitigen Abstandes 2 c der beiden Brennpunkte ist. Das Wort Lemniskate stammt von dem griechischen krjpviöxog, zu deutsch Band oder Schleife.

34.    Wird in irgend einem Punkt P(cc, y, z) eines Ellipsoids

~ ¹ = ⁰

1) Zu den Sinusspiralen und ihrer Literatur vgl. den Artikel von G. Scheffers über „Besondere transzendente Kurven“ in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften III D 4, S. 216—222.

Gleichgewichtslage eines Kurvenpunktes.

55

die Normale errichtet und bildet diese mit den Koordinatenachsen die Wihkel a, ß, y, während die Winkel zwischen dem Radiusvektor von P und den Achsen gleich q, 6, t sind, so findet die Beziehung statt:

cos q : cos <3 : cos r = a² cos a : b² cos ß : c² cos y.

Dies soll bewiesen werden.

Die Gleichung der Tangentenebene des Punktes P ist

ÿ + P + 1-l-O;

die Normale von P bildet sonach mit den Koordinatenachsen Winkel

a, ß, y, für die cos a : cos ß : cos y = bildet der Radiusvektor r des Punktes P mit den Achsen Winkel

“2 : p :    folgt. Andrerseits

cc

p, <5, t, wobei cos q = —, cos 6

₌ y_

-, cos r = — r ’    r

— ist. Aus diesen Glei-

chungen ergibt sich die behauptete Beziehung.

35. Auf einen Punkt P, der gezwungen ist, auf einer ebenen Kurve zu bleiben, wirken von den Koordinaten des Punktes abhängige Kräfte, deren Resultante (Mittelkraft) die den Koordinatenachsen parallelen Komponenten (Seitenkräfte)

X, Y besitzt. Wie findet man diejenigen Stellen der Kurve, an denen sich P unter Einwirkung der Kräfte im Gleichgewicht befindet, und zwar a) wenn die Kurve die Gleichung f(x, y) — 0 hat, b) wenn sie durch eine Parameterdarstellung x = <p(f), y — i>(£) gegeben ist?

P muß so gelegen sein, daß sich die auf die zugehörige Kurventangente PP fallenden Komponenten

A.y

Fig. 17.

von X und Y gegenseitig auf-heben, also eine identisch verschwindende Summe besitzen. Diese Komponenten sind (vgl. Fig. 17):

X cos (PPX) und Y cos (TPY) = Y sin (PPZ),

also im Fall a):

Xf,

und

YA' + fS

daher muß Xf₂ — Yfx verschwinden, d. h.

I X Y

-Yfi

sein. Aus dieser Gleichung und aus f(x, y) = 0 sind die Koordinaten der gesuchten Punkte zu berechnen.

Sind X und Y die nach x bzw. y genommenen partiellen Ableitungen einer Funktion V(x, y), d. b. haben die Kräfte eine Kräftefunktion oder ein Potential, so ist vorstehende Determinante nach Aufg. 23, S. 39 die FunläionoJdeterminante von V und f.

Im Fall b) erhält man für die Parameter der gesuchten Punkte die Gleichung Xcp'(f) -j- Yÿ'(f) = 0, wo X, Y gegebene Funktionen von t sind.

36. Die analoge Aufgabe für eine Raumkurve, die a) als Schnittkurve zweier Flächen f(x, y, z) = 0 und g(x, y, z) = 0, h) durch eine Parameterdarstellung x = cp(t), y = %(t), z = ip(t) gegeben ist. Die Resultante der wirkenden Kräfte habe die den Koordinatenachsen parallelen Komponenten X, Y, Z.

Man hat im Fall a) die drei Gleichungen

Xdx -f- Ydy -f- Zdz = 0,

U dx + /*₂ dx -}- fz dz = 0 und gtdx + g₂dy + g₃dz = 0,

aus denen

X Y Z

U Uh - o

9i 92 9₃

folgt. Sind X, Y, Z die nach x bzw. y bzw. z genommenen partiellen Ableitungen einer Kräftefunktion V(x, y, z), so ist diese Determinante die Funlitionaldeterminante von V, f und g (vgl. Aufg. 35).

Im Fall b) muß Xcp'{t) -j- Y%'(f) + Zty'iß) = 0 sein.

37.    Die analoge Aufgabe für eine Fläche f(x, y, z) = 0.

Der Punkt P befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Resultante R der wirkenden Kräfte in die Flächennormale von P fällt. Für X = R cos a, Y — R cos ß, Z = R cos y tritt dies ein, wenn die Winkel a, ß, y zwischen der Resultante R und den Koordinatenachsen zugleich die Winkel zwischen der Normale und diesen Achsen sind. Da cos a : cos ß : cos y = U :f₂ :U> erhält man X:f\ = Y:f₂ = Z:f₃; in Verbindung mit f(x, y, z) = 0 bestimmen diese Gleichungen die Koordinaten der gesuchten Gleichgewichtsstellen.

38.    Ein materieller Punkt (Masse m) ist gezwungen, auf der Parabel x²—py = 0 zu bleiben; auf ihn wirkt die Schwerkraft und eine horizontale Kraft H. An welcher Stelle der Kurve befindet sich der Punkt nach dem zu Aufg. 35 gehörigen Ergebnis im Gleichgewicht, wenn die positive Richtung der y -Achse vertikal nach oben genommen wird?

Wirkt H parallel zur positiven Richtung der #-Achse, so ist X = H] ferner ist Y = — mg, wenn g die in der negativen Richtung der y -Achse wirkende Beschleunigung der Schwere bedeutet (für Berlin ist g = 9,81 m). Die Gleichungen

Gleichgewichtslage und Druck eines Kurvenpunktes.

57

PL — mg 2x — p

= 0 und x²—py = 0

liefern x =

2 mg

39. Ein Faden von der Länge 2 a ist in seinen beiden Endpunkten F1} P₂ befestigt und trägt ein (etwa mit Hilfe eines Ringes) verschiebbares Gewicht Q. Man zeige, daß Gleichgewicht vorliegt, wenn das Gewicht Q an einer solchen Stelle der durch F₁, P₂ als Brennpunkte und die Hauptachsenlänge 2 a bestimmten Ellipse aufgehängt ist, deren Tangente horizontal verläuft.

Der Angriffspunkt P des Gewichtes befindet sich jedenfalls auf einer Ellipse, * die Flf F₂ zu Brennpunkten und 2a zur Hauptachse hat; ihre Gleichung sei f(x, y) = 0. Man erhält alsdann

IPp

0-0

= 0

fi U I

also fx = 0, d. h. die in P gezogene Tangente muß zu der horizontal liegenden Æ-Achse parallel sein. Die Geraden PFl und PP₂ sind gegen diese Tangente unter gleichen Winkeln geneigt (Fig. 18).

40. Man bestimme unter denselben Voraussetzungen wie bei Aufg. 35 die Größe D des Druckes den der Punkt P vermöge der auf ihn wirkenden Kräfte auf die Kurve ausübt.

cc\X

Fi

Z—

Kg. 18.

Kg. 19.

Hier ist die algebraische Summe der auf die Normale von P fall eu den Komponenten PK und PL von X bzw. Y zu bilden. Man

findet (Fig. 19) PK= X sino:, PL = Y cosa oder PK

der gesuchte Druck wird daher

PL =

±VfP+fp’

+VfP+fP’

D = | PK — PL \ =

1/fp + K

41. Ein materieller Punkt P (Masse m) befinde sich unter Einwirkung der Schwerkraft und sei gezwungen, auf der Ellipse

— 1=0 zu bleiben. Welche Horizontalkraft X muß auf ihn

x⁹-

a²

b²

einwirken, wenn er sich an jeder Stelle der Ellipse im Gleichgewicht befinden soll und sich die positive Richtung der ^/-Achse wieder vertikal nach oben erstreckt? Wie groß ist außerdem der Druck D, den der Punkt alsdann auf die Ellipse ausübt?

Man hat

X — mg

a²    6*

Der gesuchte Druck wird

daher X = =^*-

« y

mg

JD =

a*y

42. Ist ein Punkt P gezwungen, auf der Kurve f(x, y) = 0 zu bleiben und wirkt auf ihn eine Kraft mit Komponenten X, Y, die gleich den Koordinaten von P sind, so übt er an der Stelle P auf die Kurve einen Druck aus, der durch die Länge des vom Koordinatenanfang auf die Tangente von P gefällten Lotes dargestellt ist.

Folgt aus den Ergebnissen von Aufg. 40, S. 57 und Aufg. 11, S. 48.

§ 9.

Winkel, unter dem sich zwei Kurven schneiden.

1. Für den Winkel x, unter dem sich zwei Kurven fix, y) = 0 und g(x,y) — 0 in einem Punkt P^Æj, yf) schneiden, gilt die Formel

tg* = ±[

fiffi — fidi fi9i + U 9 2

y = Vx

Bezüglich der beiden Vorzeichen bemerken wir Folgendes: Der Winkel, unter dem sich die Kurven in Pt schneiden, ist zugleich der Winkel ihrer in P₁ gezogenen Tangenten. Wird im Augenblick von dem Fall der rechtwinkligen und dem der parallelen Lage der beiden Tangenten abgesehen und werden auch die überstumpfen (konvexen) Winkel, die beim Schnitt zweier Geraden stets Vorkommen, unberücksichtigt gelassen, so ist von den Winkeln der Tangenten der eine (und sein Scheitelwinkel) spitz, der andere (und sein Scheitelwinkel) stumpf. In der vorstehenden Formel ist nun x derjenige Winkel dieser Tangenten, der in seiner Größe mit dem konkaven Winkel der vom Koordinatenanfang 0 auf die Tangenten gefällten Lote übereinstimmt. Man hat in der Formel für tg x rechts das Plus- oder Minuszeichen zu setzen, je nachdem die von 0 auf die Tangenten von f[x, y) = 0 bzw. g(x, y) = 0 gefällten Lote so zueinander liegen wie die positive #-Achse zur positiven ^/-Achse oder umgekehrt.

59

Schnitt unter rechtem Winkel. Konfokale Kegelschnitte.

2. Zwei Kurven f(x, y) = 0 und g(x, y) = 0 berühren sich in

0 ist: sie schneiden

einem gemeinsamen Punkt xx, yx, falls j fxg₂ — /^i] = 0 sich rechtwinklig, falls \fxgx    = (

~^X_3*.

0 ist.

Beispiele.

1. Unter welchen Winkeln schneiden sich der Kreis x² + y² — 8 = 0 und die Parahel y² — 2 x = 0 ?

Die Kurven schneiden sich in zwei Punkten Px und P₂ mit den Koordinaten xx = 2, yx = 2 bzw. x₂ = 2, y₂ = — 2; außerdem haben sie zwei imaginäre Punkte gemeinsam. Für den Punkt Px wird

3> fttr p* wiiA

y =2

daher ist ^ =    = 71° 33'54".

2.    Unter welchen Winkeln schneiden sich die Parabeln y² —px = 0 und x² — py = 0?

Die Kurven schneiden sich im Koordinatenanfang rechtwinklig, für den Schnittpunkt x = y = p wird tg % = — ~ die beiden übrigen gemeinsamen Punkte sind imaginär.

3.    Die beiden Parabeln y² — 2a x — a² = 0 und y²-\-2bx — 5² = 0 berühren sich im Unendlichen und schneiden sich in den beiden Punkten

x = 143° r 49":

b , y = ± Y ab rechtwinklig.

4. Die beiden gleichseitigen Hyperbeln x² — y² = 2m² und xy = c2 treffen sich in ihren vier Schnittpunkten, von denen übrigens zwei imaginär sind, rechtwinklig.

Der Ausdruck f₁g₁ + f₂g₂ verschwindet identisch. Für die Koordinaten x, y der Schnittpunkte findet man x² = m² ± ]/w² + c², y² = — m² ± ]/m² + c², wo bei den Wurzeln jedesmal die oberen oder jedesmal die unteren Vorzeichen zu nehmen sind. Die Vorzeichen der Werte von x und y müssen mit Rücksicht auf xy = c² einander gleich sein.

a:²

— 1=0 und die mit ihr koachsiale

5. Wenn die Ellipse -f

— 1 = 0 dieselben Brennpunkte haben (konfokal

ft

Hyperbel

sind), schneiden sie sich rechtwinklig.

Voraussetzung ist hier a² — b² = a² -f- ß². Der Ausdruck, dessen Verschwinden anzeigt, daß sich die Kurven rechtwinklig schneiden,

a² ß²

⁴(

V²/?²) re^uz;ier^ sich hei Einführung der Koordi

wird

naten der Schnittpunkte auf b² -f- ß² — (a² — a²), aber dies ist infolge der Voraussetzung tatsächlich gleich Null.

a² cc²

x²

2/²

Die Gleichung -₂ __■■ ■■ -p ^₂__ % — 1=0 stellt den unendlich vielen

Werten des Parameters A entsprechend ein ganzes System konfokaler

Kegelschnitte dar; durch einen beliebigen Punkt P der Ebene gehen zwei Kurven des Systems, und zwar eine Ellipse und eine Hyperbel (vgl. Fig. 20), die sich in P rechtwinklig schneiden.

6. Man bestimme den Winkel, unter dem sich die beiden konzentrischen gleichseitigen Hyperbeln

«11O^² — y²) + 2a₁₂£2/ + a-₃₃ = 0

und

Fig. 20.

schneiden, und stelle die Bedingung dafür auf, daß der Schnitt unter rechtem Winkel erfolgt. Der Mittelpunkt beider Kurven liegt im Ko ordinatenanfang.

Man findet

tg* = ±

x wird gleich 90°, falls) anbn + a₁₂&₁₂ = 0 ist, eine Bedingung, die das Ergebnis von Aufg. 4 als besonderen Fall in sich schließt.

7. Zu zeigen, daß sich die Kurven

xmyn — a

in

rechtwinklig schneiden.

Auch diese Aufgabe umfaßt Aufg. 4 als besonderen Fall. 8. Zu zeigen, daß sich die Kurven

_ yl

xm

= 0 und

rechtwinklig schneiden.

9. Für welchen Wert der Konstante c schneidet der Kreis

x² + y² + 62/ — c = 0 die Parabel x² — 2y = 0 rechtwinklig?

fi9i + fi9<a ~ 0 wird 4x² — 4(y + 3) = 0; mit Hilfe dieser Bedingung findet man c = 33.

10. Welche Bedingung muß erfüllt werden, wenn sich die Parabel

(x — a)²

y² — px = 0 und die Ellipse

-P — 1 = 0 berühren sollen? Die Bedingung der Berührung f₁g₂ — f₂gl = 0 wird

a²

y {y.+

2 (x — cc)

}=0.

Setzt man den Faktor y gleich Null, so berühren sich die Kurven im Koordinatenanfang, falls a — + a ist. Das Verschwinden des Klammerfaktors liefert 4ab²p = a²p² + 4&⁴ als Bedingung für die Berührung an den Stellen

4 b²p

11. Für welchen Wert von r berühren sich die Astroide

x⁵ +    = 0 und der Kreis x² + y² — r² = 0?

Die Bedingung x⁵ y — y* x = 0 ist zu erfüllen; man findet die vier Berührungspunkte x = ± \ a ]/2,    ?/ = + j a ]/2 und für r den

Wert ja.

cv

12. Wird die Funktion f(x + iy) der komplexen Veränderlichen x -f- iy in die Form u(x, y) -f iv(x, y) gebracht, wo u und v reelle Funktionen von x und y sind, so treffen sich die Kurven u(x, y) — cx = 0 und v(x,y) — c₂=0, wo cx und c₂ beliebige Konstanten bedeuten, in ihren Schnittpunkten rechtwinklig. Dies soll bewiesen werden.

Der Satz ergibt sich sofort, wenn man die Gleichungen g^⁼ ₍ y

dv

$ FL    uv    •    •    •    .

und g ^ = — v— berücksichtigt, denen die Funktionen u und v nach Aufg. 16, S. 28 genügen.

§ io.

Fußpunktkurven.

Fällt man von einem beliebig, aber fest gewählten Punkt Q der Ebene Lote auf alle Tangenten einer Kurve k (Grundkurve), so erfüllen die Fußpunkte dieser Lote eine zweite Kurve, die Fußpunkt-kurve von k mit Bezug auf den Pol Q.

1. Wie gelangt man zur Gleichung der Fußpunktkurve, wenn die Grundkurve k durch f(cc, y) = 0 gegeben ist und der Pol Q a) im Koordinatenanfang 0 liegt oder b) die Koordinaten x = a, y = b hat? a) Die Gleichung der im Punkt P(x, y) der Kurve f(x, y) = 0

gezogenen Tangente lautet (£ — x) — (rj — y) = 0, während das auf

0.

diese Tangente aus 0 gefällte Lot die Gleichung hat £ -j- y ^ =

Da die Koordinaten xif yx des dem Punkt P entsprechenden Punktes Px der Fußpunktkurve diese beiden Gleichungen erfüllen, ist

(1)

(xi ~ x) dx ~ ^ ~~ y) = xi + Vi ⁼ o*

Hieraus und aus f(x, y) — 0 wäre x, y zu eliminieren, um die Gleichung der Fußpunktkurve in der impliziten Form F{ccx, yx) = 0 zu erhalten. Übrigens läßt sich die erste Gleichung (1), wie man sofort sieht, mit Rücksicht auf die zweite ersetzen durch

(2)

+ ViV “ Oi² + Vi) = o und hierdurch die Elimination im allgemeinen erleichtern.

b) Hat der Pol die Koordinaten a, b, so sind x und y zu eliminieren aus

(3) (xt    — {y 1 - y) = 0, Xx - a + (y₁ - b)d/x = 0und f{x,y) = 0,

wobei die erste Gleichung mit Rücksicht auf die zweite auch ersetzt werden kann durch

(4)

Oi - a)x + (yx - b)y + axt + by₁ — Oi² + yi²) = 0.

2. Die Grundkurve sei durch eine Parameterdarstellung x = <p(t), y = ip(t) gegeben; wie lautet die Parameterdarstellung der Fußpunktkurve in den beiden soeben mit a) und b) hezeichneten Fällen V Im Fall a) folgt:

xx

cp'lp' 1p(p'

cp'*+ip

*rf'> yx = -

cpip'-'Ip cp' ,

<V²-F t

'ï <P >

(cp — a) 1p' -f (1p — b) cp'

im Fall b):

xt = a + yx = b — wobei 6 =

3. Man bestimme die Fußpunktkurve der Ellipse -f- ^ — 1=0 mit Bezug auf den Mittelpunkt als Pol.

Man findet

Ol² + 2/ü)² — {ßxx² + b²yx²) = 0. Vgl. Fig. 21.

-1=0.

Fig. 21.

4. Die gleiche Aufgabe für die gleichseitige Hyperbel x* — y2 2 a²

Man findet die Lemniskate Oi² + 2h²)² — 2a²0i² — yi²) = 0. Vgl. Fig. 16, S. 54.

5. Die Zissoide Oi² + y^)xi — 2ayx = 0 ist die Fußpunktkurve der Parabel iß -f 8 ax = 0 für den Scheitel als Pol.

und die Substitution dieser

beiden Ausdrücke in die oben mit (2) bezeichnete Gleichung liefert sofort die Zissoide. Diese Kurve kann auch so erzeugt werden: Man beschreibt einen Kreis vom Durchmesser 2 a = OA (Fig. 22) und schneidet die im Endpunkt A des Durchmessers gezogene Kreistangente mit beliebigen durch O gelegten Strahlen. Trifft ein solcher Strahl s die Kreistangente in K, den Kreis in L, und trägt man auf

Hier wird y =    , x = —    }

~ x\

Fnßpunktkurven der Kegelschnitte, Pol in einem Brennpunkt.

63

s von 0 aus OS — LK ab, so ist der Endpunkt S dieser Strecke ein Punkt der Zissoide. Das Wort Zissoide stammt von dem griechischen XL660S, zu deutsch Epheu. Die Alten betrachteten nur den innerhalb des vorerwähnten Kreises gelegenen Teil der Kurve.

6. Werden vom Brennpunkt einer Parabel auf die Tangenten der Kurve Lote gefällt, so liegen ihre Fußpunkte auf der Scheiteltangente (Fig. 23).

!L

Die Gleichung einer Parabel, deren Hauptachse auf der Æ-Achse und deren Brennpunkt im Koordinatenanfang 0 liegt, lautet

'S

■fr

->

2    P*‘ n

y²-px -4=0.

Für die Fußpunktkurve in Bezug auf 0 findet man

Ol² + Vi) ■ (4^1 + p) = 0,

sie besteht also aus dem durch 0 gelegten zirkularen, d. h. durch die imaginären Kreispunkte gehenden imaginären Geradenpaar x² + y ² =0 und aus der

Scheiteltangente xx = —    .

Fig. 22.

7. Die gleiche Aufgabe für die Ellipse oder Hyperbel liefert den Kreis über der Hauptachse als Durchmesser.

Die Ellipse, deren Hauptachse auf der x-Achse und deren einer Brennpunkt im Koordinatenanfang 0 liegt, hat die Gleichung

2/²

(x — c)²

wo c² = a² — b². Als Fußpunktkurve in Bezug auf 0 findet man

-1=0,

>-

K² + 2/l²) { (*1 — C)² + Vl ~ O? } = 0;

somit das durch 0 gelegte zirkulare Geradenpaar und den eben erwähnten Kreis. Analog bei der Hyperbel.

8. Die Kardioide

Fig. 23.

(>1² -F 2/1² -pxx)² -p²{x² + yx²) = 0 ist die Fußpunktkurve des Kreises (x — p)² + y² — p² = 0 mit Bezug auf den Koordinatenanfang, der selbst auf der Kurve liegt (Fig. 24).

Die Kardioide wird aus einem Kreis abgeleitet, indem man durch einen Punkt 0 desselben einen beliebigen Strahl zieht, der den Kreis

zum zweiten Mal in S trifft; von S aus trägt man auf diesen Strahl nach beiden Seiten eine Strecke ab, die so groß, ist wie der Durchmesser des Kreises. Der geometrische Ort der Endpunkte P und Q

y-A

fs

-fr

dieser Strecken ist die Kardioide. Der hier erwähnte Kreis ist der kleinere Kreis der Figur. Der um den Endpunkt A seines Durchmessers mit diesem Durchmesser als Radius beschriebene größere Kreis der Figur ist derjenige, dem die Kardioide als Fußpunktkurve mit Bezug auf den Pol 0 zugehört.

0.

Das *Wort Kardioide stammt von dem griechischen xaQdCcc, zu deutsch Herz.

l'ig. 24.

Gibt man der abgetragenen Strecke SP = SQ eine beliebige konstante Länge, so erhält man eine allgemeinere Kurve, die Pas-calsche Schneckenlinie, wahrscheinlich so genannt nach Stephan Pascal, dem Vater des berühmten Philosophen und Mathematikers Biaise Pascal.

9.    Die Fußpunktkurve der Kreisevolvente

x — a cos t -f at sin t, y = a sin t — at cos t

in Bezug auf den Koordinatenanfang ist eine Archimedische Spirale. Man benutzt die Gleichungen in Aufg. 2, Fall a) und findet

xi = at sin t = at cos (t — ^ , y₁ = — at cos t = at sin (t —    •

Die Kreisevolvente entsteht dadurch, daß eine Gerade auf einem Kreis abrollt, ohne zu gleiten; ein Punkt dieser Geraden beschreibt alsdann die Kreisevolvente. Hier ist

\ß — a? = 0

die Gleichung des festen Kreises, und der die Evolvente beschreibende Punkt befindet sich zu Anfang der Bewegung der Geraden in deren Berührungspunkt x = a, y = 0 mit dem Kreis.

10.    Die Sinusspirale rn = an cos n ff vom Index n hat zur Fußpunkt

COS ■    ■- ffx

n -f 1    ¹

kurve mit Bezug auf den Koordinatenanfang 0 als Pol die Sinusspirale vom Index    nämlich r\

Ist die Grundkurve Je, wie hier, durch ihre Gleichung in Polarkoordinaten gegeben, so genügt es, die Länge r₁ des vom Pol 0 auf die Tangente irgend eines Punktes P der Grundkurve gefällten Lotes

Ein ähnliches Ergebnis folgt für Sinusspiralen mit der Gleichung rn = an sin n&.

11. Mit Hilfe dieses Ergebnisses zeige man, daß die „zweite Fußpunktkurve“ (Fußpunktkurve von der Fußpunktkurve unter Beibehaltung desselben Pôles 0) eine Sinusspirale vom Index ₂ ™ ^, die dritte

die kte Fußpunktkurve eine Sinusspi-

8»+ V

eine solche vom Index

raie vom Index

als Funktion des Winkels darzustellen, den dieses Lot mit der Polarachse des Koordinatensystems bildet. Im vorliegenden Beispiel ist dieser Winkel nach Aufg. 33, S. 54, gleich (n -f- l)#, daher (vgl. z. B. Fig. 16

zu

Aufg. 33, S. 54)

n + 1

und hier ist noch d'l an Stelle von & einzuführen durch 0,₁ = (n+ 1)11. Man erhält

ri

n j-

= r cos = a y cos n& • cos n& = a cos

r₁ = a • cos

n VI „    j n

—r—tIK oder r, n + 1 1    1

cos

-^-7#

n + 1

i-

FrFfl isLl)

Weitere Aufgaben über Fußpunktkurven, insbesondere über sogenannte negative Faßpunktkurven werden in § 19, Aufg. 15—21 gegeben.

§ 11.

¹

Ygl. die Fußnote zu S. 54, sowie G. Lori a „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsch bearb. von F. Schütte, Leipzig 1902, S. 675.

Subtaiigente und Subnormale, Länge von Tangente und

Normale.

1.    Unter den Längen der Tangente und Normale eines Kurvenpunktes P versteht man die Längen dieser Geraden gemessen vom Punkt P bis zum Schnittpunkt mit der rr-Achse; wir werden sie mit T bzw. N bezeichnen. Subtangente (St) und Subnormale (Sn) sind die Projektionen von T und N auf die #-Achse.

2.    Ist die Kurve gegeben durch y = f(x), so gelten für diese Größen die Formeln:

St = y : y, Sn = yy , T= %Y 1 + y \ N — y Y1 + y'¹ 2.

Liegt die Gleichung der Kurve in der Form f(x, y) — 0 vor, so ist hier y durch — fx : f₂ zu ersetzen und im Falle der Darstellung der Kurve durch x — <p(t), y = tKO tritt an Stelle von y der Quotient t'(t) : cp'(t).

3. Je nachdem y und y' gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben, erstreckt sich die Subtangente vom Fußpunkt M der Ordinate von P in der negativen oder positiven Richtung der x-Achse, bei

der Subnormale ist es umgekehrt (Fig. 25).

-e-

Fig. 25.

4. Ist die Kurve durch eine Gleichung in Polarkoordinaten r = /’('&•) gegeben, so bedeutet Länge der Tangente oder Normale die Länge dieser Geraden gemessen vom Punkt P bis zu ihrem Schnittpunkt mit einer durch den Koordinatenanfang rechtwinldig zum Badiusveläor von P gezogenen Geraden g, die also mit P ihre Lage ändert. Man bezeichnet diese Strecken als Polartangente bzw. Polarnormale, ihre Projektionen auf die Gerade g als Polarsubtangente bzw. Polarsubnormale.

Hier gelten die Formeln:

St =

r*

7>

Sn = /, T = pyV² + r², N — ]/r² -f- r'².

5. Je nachdem r und r gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben, erstreckt sich die Polarsubtangente auf der Geraden g vom Koordinatenanfang 0 aus nach der positiven oder negativen Richtung von g, bei der Polarsubnormale ist es umgekehrt. Hierbei ist die positive Richtung von g diejenige, die zu dem von 0 nach P gezogenen Radiusvektor so liegt wie die positive æ-Achse zur positiven y-Achse.

Beispiele.

1. Die Subtangente eines Punktes x, y der Kurve y = cxn ist gleich x, also für die Parabel y = cx² gleich \ x\ bei der Kurve yn = ex ist die Subtangente gleich nx, also für die Parabel y² = cx gleich 2x. Wie ist dies zur Konstruktion der Tangente in irgend einem Punkt dieser Kurven zu verwerten?

Soll z. B. für

Es genügt, dies an zwei Beispielen zu zeigen, irgend einen Punkt P der semikubischen oder Neilschen Parabel

y = cxr die Tangente gezeichnet werden, so teile man die Abszisse OM des Punktes P (Fig. 26, wo c² = und x = 8 ist) in drei gleiche Teile. Durch den Teilpunkt P, der von M den Abstand x hat, geht die Tangente von P hindurch, denn es ist St = x : -| = -| x.

so

Ist die gleichseitige Hyperbel xy = c oder y = cx~x gegeben hat man nur die Abszisse OM des Kurvenpunktes P (Fig. 27) von

Subtangenten der Kegelschnitte.

67

M aus nach rechts abzutragen (OM — MT)' durch den Endpunkt T dieser Strecke geht die Tangente hindurch, denn jetzt ist St = — x.

2. Bei der Parabel y²=px ist die Subnormale für alle Punkte der Kurve gleich \p, also doppelt so groß wie der Abstand des. Brennpunktes vom Scheitel, denn dieser Abstand beträgt \p.

Dies läßt sich zur Konstruktion der Normale eines Punktes der Parabel verwerten.

-o-

Fig. 27.

Fig. 26.

3. Für den Punkt x — 3, y = 2 der Parabel y = x^ — 4# + 5 berechne man die Längen St, Sn, T, N.

St = 1, Sn = 4, T = ]/5, N =2 j/5 .

4.    Für welche Punkte der Parabel y = (x — 3)² ist die absolute Länge der Subtangente gleich 2?

Es wird St == j(x — 3); man findet die Punkte x=l, y = 16 und x = — 1, y — 16.

5.    Die Subtangente der Kurve y = ax ist konstant, und zwar

gleioh ln a

6. Zwischen der Länge T der Tangente, der Länge N der Normale und der Ordinate y eines Kurvenpunktes besteht die Beziehung

N² yt '

Folgt aus dem Umstand, daß T und N Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, das y zur Hypotenusenhöhe hat.

¹ 4- ¹

rpi r ^vr

æ²

2/²

7. Bei allen Ellipsen -f-    — 1 = 0, die eine Achse 2a ge

meinsam haben, während die andere beliebig, gleich 2A, ist, haben Punkte von gleicher Abszisse x dieselbe Subtangente. Man beweise diese Eigenschaft und verwende sie zur Konstruktion der Tangente * irgendeines Punktes der Ellipse, indem man beachtet, daß sich unter diesen Ellipsen auch der Kreis Æ² + y* — a² = 0 befindet.

Hier wird St = —

Qj ^

—-—, also in der Tat unabhängig von der

Achse 2 X. Hat nun der Ellipsenpunkt P dieselbe Abszisse wie der

Punkt Q des Kreises

—1=0, so haben beide Punkte dieselbe

Subtangente MT, die für Q in einfachster Weise zu konstruieren ist (Fig. 28). Die Verbindungslinie von T mit P ist alsdann die Tangente des Punktes P der Ellipse.

8. Ist eine Kurvenschar geben durch y = Xf(x), wo X einen veränderlichen Parameter, fix) eine eindeutige Funktion von x bezeichnet, so haben Punkte gleicher Abszisse bei diesen Kurven dieselbe Subtangente; die Tangenten dieser Punkte treffen sich also sämtlich in einem und demselben Punkt der Æ-Achse.

Fig. 28.

ge-

f{x)

ist nämlich von X unabhängig.

9. Man zeige, daß bei den Kurven y = fix) und y =    ent

sprechende Punkte von gleicher Abszisse Subtangenten haben, die von gleicher absoluter Länge, aber entgegengesetzt gerichtet sind.¹)

Für y = fix) wird St =

Die Suhtangente St =

f (sb)

a wird St =___    ■

öt f'(x)

10. Bei den Kurven y = fix) und yn = a fix) haben entsprechende Punkte von gleicher Abszisse Subtangenten St± bzw. St.₂, die in der Beziehung stehen St.₂ = nStv

f' (sc)

für y =

f{x)

Aus yn=af(x) folgt nyn~¹y' = af(x),

ny”-¹•y

f\x)

yn

f{x)

usw.

Bei den Kurven y = f(x) und y = a{f(x))n erhält man offenbar die Beziehung St₂ = n St₂ zwischen ihren Subtangenten Stx bzw. St₂.

11. Man zeige, daß bei den Kurven y = fix) und y = Ya ± f²(x) entsprechende Punkte von gleicher Abszisse Subnormalen haben, die von gleicher Länge, aber gleicher oder entgegengesetzter Richtung sind, je nachdem in ]/a ± f²(x) vor f²(x) das Plus- oder Minuszeichen steht.¹)

Für y = f(x) wird Sn = f(x) • f\x), für y = Ya+f²[x) wird Sn = ± fix) • f\x).

12. Hat man zwei Kurven y = f(x), y = g{x) und eine dritte Kurve mit der Gleichung y = Y fix) ■ gix), so besteht zwischen den zu ent-

1) Ygl. G. Peano „Applicazioni geometriehe del calcolo infinitesimale“, Torino 1887, S. 93.

69

Tangeiltenkonstruktionen gewisser Kurven.

sprechenden Punkten von gleicher Abszisse gehörigen Subtangenten Stf, St , St dieser Kurven die Beziehung³)

St ⁼2 (s^ ⁺ sç)‘

Für die dritte Kurve ist nämlich ln y = -|(ln/’(^) + ln$(#))? daher V_ ₌ J_ (f'(x) , <j'(x)

y 2 \f(x) ^ gix)

Auch diese Beziehung läßt sich natürlich zur Tangentenkonstruktion bei der Kurve y = Yf\x) • g(x) benutzen, vorausgesetzt, daß man die Tangenten der Kurven y = f(x) und y = g(x) kennt. Die Subtangente St ist das harmonische Mittel von Stf und St

Wäre außer y = f(x) und y = g(x) die Kurve y = yf(x) • g(x) gegeben, so würde die gefundene Beziehung durch

)•

9‘

1-Jl/JL + _l\

St n \Stf ^ StJ

zu ersetzen sein.

13.    Bei der gleichseitigen Hyperbel x⁴— y⁴ — a⁴ = 0 ist die Länge der Normale eines Kurvenpunktes P so groß wie sein Radiusvektor, ein Satz, der in sofort ersichtlicher Weise zur Konstruktion der Normale benutzt werden kann.

Allgemein ist (S. 65) N⁴ = y⁴ -f- y⁴y'⁴] im vorliegenden Fall wird yy'=x, daher N⁴ = x⁴ -f y⁴. Die Subnormale ist natürlich so groß wie die Abszisse von P.

14.    Die Länge N der Normale eines Punktes P des Kegelschnitts

wo rx und r₂ die Längen der

= 0 ist gleich    Yrxr₂,

a²    b²

Brennstrahlen von P bedeuten. Man findet

-^ïŸWx⁴ -f- a*y⁴ = ^-]/±(a⁴—e⁴x⁴), wo s⁴ =

a⁴ + &⁴ .

ist,

und die oberen Vorzeichen dem Fall der Ellipse, die unteren dem Fall der Hyperbel zugehören. Der Ausdruck + (a² — s²x²) oder + (a -f- sx)(a — ex) ist aber gleich dem Produkt der zwei Brennstrahlen.

15. Für dieselben Kegelschnitte zeige man, daß das Produkt aus der Normale N eines Kurvenpunktes P und der Länge l des vom Mittelpunkt 0 der Kurve auf die Tangente von P gefällten Lotes konstant, nämlich gleich &², ist.

Mit Hilfe der Gleichung

1=--

± ^2 ~ 1 = 0 der Tangente folgt , andererseits ist N = ~ ]/¥x² + cdy².

]/fc⁴ic²-f- y*

16. Bei der Archimedischen Spirale r = aft ist die Polarsubnormale konstant, nämlich gleich a.

17. Nach Aufg. 23, S. 51 liegen die Berührungspunkte der Tangenten, die man von einem Punkt P₁(x1} y^) an die logarithmische Spirale r = a⁹ ziehen kann, auf einem durch Px und den Pol 0 der Spirale gehenden Kreis. Man zeige nun, daß der Durchmesser dieses Kreises so groß ist wie die Polarnormale desjenigen Punktes P₂ der Spirale, dessen Radiusvektor gleich OPx ist. Der Radius des vorerwähnten Kreises ist, wie die Lösung von Aufg. 23, S. 51, zeigt, gleich

jV(xi² + y*) {1 + (Ina)⁸}.

Der Durchmesser des Kreises, auf dem nach Aufg. 23, S. 51, die Fußpunkte der von P₁ nach der logarithmischen Spirale gezogenen Normalen liegen, ist, wie leicht zu zeigen, so groß wie die Polartangente des erwähnten Punktes P₂.

18. Bei den Kurven r = f(&) und r

af(&)

haben solche Punkte,

die auf einem und demselben, durch den Koordinatenanfang gezogenen Strahl liegen, gleich große Polarsubtangenten.

r²

«TW {«+ /■(«■)}”

Nach S. 66 ist St = für die zweite Kurve wird r =

daher

~7 =    » also gerade so groß wie bei der ersten Kurve

r = f (&).

19. Es sei eine feste Gerade g und im Abstand a von g ein fester Punkt 0 gegeben. Durch 0 lege man einen beliebigen Strahl, der g in S trifft, und trage von S aus auf diesen Strahl nach beiden Seiten eine Strecke von gegebener Länge m ab; alsdann bildet der geometrische Ort der Endpunkte P und Q dieser Strecken die „Konchoide des Nikomedes“ (Fig. 29). In Polarkoordinaten r, t hat diese

Kurve die Gleichung r =    + m, wenn 0 zum Pol des Koordinaten

systems und eine durch 0 parallel zu g gezogene Gerade zur Polarachse gewählt wird. Es soll nun gezeigt werden, daß man die Polarsubnormalen von P und Q so erhält: Man fällt von S auf die Polarachse das Lot; die Verlängerung dieses Lotes trifft die rechtwinklig zum Radiusvektor QOP durch 0 zu ziehende Gerade im Endpunkt N der Polarsubnormale von P und Q. Die Normalen dieser Kurvenpunkte sind alsdann die Geraden PN uud QN.

8.

m.

Fig. 29.

Folgt sofort aus dem Wert / = —    für die Polarsubnormale,

der von m unabhängig ist, somit auch-' der Geraden g zugehört, die als dem Wert m — 0 entsprechende Ausartung einen speziellen Fall der Konchoide bildet.

20. Man zeige ferner, daß bei der Konchoide des Nikomedes die Endpunkte sämtlicher Polarsubnormalen eine Parabel erfüllen, die den festen Punkt 0 zum Scheitel und die Polarachse zur Scheiteltangente hat.

Die Koordinaten des Endpunktes N der Polarsubnormale sind

CL COS t    (X COS t    ii*    n i i q    -i.

x =    , y — —    , und hieraus tolgt ar = — ay, die Gleichung

einer Parabel von der angegebenen Lage. Sie ist übrigens von m unabhängig, gehört daher zu allen Konchoiden, bei denen g und 0 dieselbe Lage haben.

§ 12.

Ausdrücke, die in unbestimmter Gestalt auftreten.

1. Wenn der Quotient f(x) = zweier Funktionen q>(x), il>(x)

dadurch die unbestimmte Form -jj- oder erhält, daß für einen gewissen Wert x — a sowohl (p{x) als auch    gleich Null oder

türlich in fix) gerade so gut an Stelle von -ip(x) setzen 1 : erhielte alsdann die Form -jj--

2. Der Fall, daß fix) = q>(x) ■ ip(x) für x = a die unbestimmte Form 0 • oo annimmt, indem cp(a) = 0, xp{a) = oo wird, ist auf den vorhergehenden dadurch zurückgeführt, daß man z. B. an Stelle von

(p(x) setzt 1 : —T-T, wodurch die Form ^ entsteht. Man könnte na-* \ j    <p(x)’    oo

—y-r und

ip(x)

gleich unendlich wird, so versteht man unter dem wahren Wert

, falls

überhaupt ein solcher vorhanden ist. Dieser Wert wird gefunden, Zähler und Nenner für sich differenziert und dann

9>0*0

der Funktion f(x) für x = a den Grenzwert fia) = lim . .

w    ' K '    x = a q(x)

indem man in

cp(x)

f(x)

Sollte nun nochmals eine solche Unbestimmtheit auf-

x = a setzt.

treten, so ist das Verfahren zu wiederholen, usw.

3.    Nimmt die Differenz ^-77 — für x — a die unbestimmte

ip {x)    CO (x)

Form oo — 00 an, so macht man beide Brüche gleichnamig und erhält dann

4.    Nimmt der Ausdruck f(x) = cp(x)VW für x = a eine der Gestalten 0°, oo° oder 1" an, so wird ln fix) = ÿ(x) • ln cp {x) von der Form 0 • 00 und hiermit die Bestimmung von cp (VU(*) = ^’lnv^ auf einen früheren Fall zurückgeführt.

5. Auch durch Entwicklung in eine nach Potenzen von x — a ansteigende Reihe lassen sich die Werte der in unbestimmter Form auftretenden Ausdrücke bestimmen. Vgl. hierzu den Schluß von § 13

(S. 95).

Beispiele.

1.

2.

x*— 10 ic² —j— 9 x⁴— 8a;²— 9

/■(«) =

CO

O I©

lnV

3.

/*(*) =

e* — e_a;

4.

5.

/■(*) =

In tg x

ln tg 2 æ

6.

/■w =

a:⁴— 16

7.

f{x)

+ |/38 — x — 6 ln cos x

a;

rt«0 - i - ~ «o)-g-i

/•(2) = 1 _ - 384 /'(O)-I-o

15.

fix) = æ⁵

xn {n²x²— (2n²-\-2n — l)x -f- (w-f-1)²} — x — 1 {x — l)s

16. In Aufg. 42, S. 6 wurde gefunden: 1 -\-2²xJr 3²x²-\-----\-n*xn~x

Aus dieser Formel leite man durch die Annahme x = 1 eine Formel für die Summe der Quadrate der n ersten ganzen Zahlen ab.

Man findet

(2 n -j- 1) (w -f- 1) n

1² + 2² + 3²-j----+ n² =

17. Man denke sich den zum Zentriwinkel AOQ = t gehörigen Bogen AQ eines Kreises vom Radius a von A aus auf die in A gezogene Tangente abgetragen (AQ = AP). Nach welchem Punkt der Geraden OA (x- Achse) konvergiert der Schnittpunkt JB der Geraden PQ und AO für lim £ = O?⁵) (Fig. 30).

Die Gerade PQ trifft die x- Achse an der Stelle

a (sin t — t cos t) X    sin t — t ’

Fig. 30.

8.

9.

x³— x²— 21 x -f- 45 x³— 8x²-f- 21 x — 18 — sin x

x³

10.

11.

12.

13.

f{cc) = fix) = ï f(%) = (1 — X) tg y a; /"(#) = (1 — sin a?) tg x

f(x) = 5?*

1    X²-    1

m=-5

Ai) - o • °c - 4

0 • oo = 0

'(t)-

fi 1) = «3

/•(O) = 0°= 1

— oo = —

14.

f{x) = (1 + X)

ln x

/'(oo) = oo° — e

und nun ist der Wert dieses Ausdrucks für t = 0 zu bestimmen. Man findet den Punkt x=—2a.

Dieser Punkt kann zu einer sehr bequemen angenäherten Rektifikation des Kreisbogens AQ benutzt werden, indem die Strecke AP von diesem Bogen umsoweniger abweicht, je kleiner der Winkel t ist; aber selbst wenn t schon etwa 65° ist, beträgt der begangene Fehler noch etwas weniger als 1 %.

18.    Man zeige, daß InZ; als Grenzwert des Ausdrucks x(Yk — l) für lim x = oo aufgefaßt werden kann.

19.    Für den Punkt x = a, y = 0 der Kurve

(x² — a²)² + bif — c²y² = 0

bilde man die Ableitung.

dy    r 4#(;r²— a²)    0

dæ    Lj/ (3 & y — 2c²)J _ 0

(dvV₌

\dx)

12æ²—4a²

(foby — 2 c²)

dy

dx

4a2 c² >

der Punkt ist Kreuzungspunkt zweier Kurvenzweige, ein sogenannter Doppelpunkt. Ygl. hierzu § 15.

20. Beispiele zur Bestimmung der wirklichen Werte der in unbestimmter Form auftretenden Ausdrücke mit Hilfe von Reihenentwicklungen finden sich am Ende des nächsten Paragraphen (S. 95).

oder also

SO A.

« «sS

2 ci    ,

= ± c , somit ergeben sich zwei Werte:

§ 13.

Unendliche heilten.

1. Unter einer unendlichen Reihe versteht man eine unbegrenzte Aufeinanderfolge von Größen u₀, ul} u₂, ... un, un+1, . . ., die nach einem bestimmten Gesetz gebildet und additiv miteinander verbunden sind. Dieses Gesetz muß erkennen lassen, wie irgend ein „Glied“ der Reihe, z. B. das nte Glied un_₁, gebildet ist.

Die Reihe

uQ -j- ut + m₂ -f • • • + un_₁ + un + • • •

heißt konvergent, wenn die Summe Sn = u₀ + tt₁ + u₂ H-----1- un_₁ ihrer

n ersten Glieder für lim n = oo einer Zahl S zustrebt, die eindeutig bestimmt und endlich ist; diese Zahl S heißt die Summe der Reihe. Gibt es keine Zahl S von der genannten Beschaffenheit, so heißt die Reibe divergent. Diese Definitionen gelten auch noch, wenn die Glieder der Reihe komplexe Größen sind, doch setzen wir vorläufig diese Glieder als reell voraus.

eines Gliedes und des vorher-

-l

2. Haben die Glieder einer Reihe beliebige Vorzeichen, so ist sie konvergent, wenn die aus den absoluten Beträgen der Glieder gebildete Reihe konvergiert, und dies ist der Fall, wenn der aus den absoluten Beträgen un | und | un gehenden Gliedes gebildete Quotient \un\ : \un_i\ für lim n = oo einen Grenzwert |a| erreicht, der <1 ist; die Reihe divergiert, falls a > 1 ist (Konvergenzkriterium von Cauchy). Im Fall a = 1 versagt

dieses Kennzeichen und man hat zur Prüfung der Konvergenz andere Wege einzuschlagen.

3.    Eine unendliche Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind (alternierende Vorzeichen haben), ist konvergent, wenn diese Glieder von einer bestimmten Stelle an, absolut genommen, beständig abnehmen.

4.    Eine aus positiven und negativen Gliedern gebildete Reihe heißt unbedingt oder absolut konvergent, wenn die Reihe

! W0 ! +    % ! + i % ! + • • • + Un-\ + Un + ' • •

der absoluten Beträge ihrer Glieder konvergent ist. Falls jedoch die aus den absoluten Beträgen gebildete Reihe divergiert, heißt die gegebene Reihe bedingt konvergent, falls sie überhaupt konvergiert. Die Summe einer solchen Reihe ist von der Anordnung ihrer Glieder abhängig, sie kann durch entsprechende Umstellung jeder beliebigen Zahl S gleich gemacht werden; die Summe einer unbedingt konvergenten Reihe ebenso wie die Summe einer konvergenten, nur aus positiven Gliedern bestehenden Reihe bleibt jedoch unverändert, wenn man die Glieder in beliebiger Weise umstellt.

5.    Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn die absoluten Beträge ihrer Glieder ut von einem endlichen Index n ab kleiner sind als die entsprechenden Glieder einer anderen Reihe, deren Konvergenz feststeht.

6. Es sei eine unendliche Reihe von reellen Funktionen der Veränderlichen x

U0 +    + u2 + • • • + Un-l + Un + ’ ' ⁻

gegeben, und die Glieder u₀, ul7 ... seien innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches eindeutig, endlich und stetig. Diese Reihe sei im Intervall x₀ < x < X konvergent und S(x) ihre Summe. Ferner

werde die Summe der n + 1 ersten Glieder u₀ -f ux -|-----(- un gleich sn(x)

gesetzt und S(x) = sn(x) -f- rn(x), es sei also rn(x) der vom Glied un + l an genommene Rest der Reihe un+1 4- un + 2 -j- • • •. Läßt sich alsdann zu einer vorgegebenen beliebig klein gewählten positiven Größe e eine Zahl m bestimmen, so daß für jedes dem genannten Intervall an-gehörige x und für jedes nj>m die Ungleichung | rn (x) \ < s gilt, so ist die Reihe u₀ -f u₁ + u.₂ + • • • + un_₁ 4- un-j- • • • konvergent und heißt gleichmäßig konvergent in jenem Intervall.

Eine Reihe konvergiert z. B. gleichmäßig innerhalb eines Intervalles, so lange die absoluten Werte ihrer Glieder kleiner sind als die entsprechenden Glieder einer konvergenten Reihe.

Eine Fotenzreihe a₀ -j- axx -j- a₂x² + • • • + an_₁xn~¹ + anxn die für einen gewissen Wert x konvergent ist, konvergiert gleichmäßig in dem ganzen Intervall von — x bis -f- x und stellt daher in demselben eine stetige Funktion von x dar.

Natürlich bedeutet ff in diesen drei Formen des Restes nicht dieselbe Größe, aber stets ist 0 < ff < 1.

Wenn überdies Rn mit wachsendem n gegen Null konvergiert, läßt sich die Funktion f(x -f- h) in eine unendliche „Taylorsehe Reiheu entwickeln derart, daß

(5)

f{x Ar h) = f{x) + hf'(x) + ~ f"(x) + • • •

f{n-x\x) + ~f{n\x) 4----.

/i»-¹

(n — 1)!

Benutzt man statt x und x -f h die Bezeichnungen x₀ und x, so daß h die Differenz x — x₀ bedeutet, so wird

(6)

f(x) = f(xo) + (x — x₀)f\x) +    ₂yo) f"(x₀) + • • •

f(K_1)W + • • ••

(n — 1) !

11. Satz von Maclaurin: Wenn die Funktion f(x) nebst ihren n ersten Ableitungen in dem Intervall von 0 bis x einschließlich der Grenzen stetig ist und daselbst bestimmte endliche Werte hat, gilt die Entwicklung:

(?) m - fio) + xf{o) + ffr(o) •■• + (£_

und hier ist das Restglied Rn nach Lagrange gegeben durch

(8)

xn

nl

nach Cauchy durch

(9)

(■n — 1) !

fn\frx).

Wenn auch noch Rn mit wachsendem n gegen Null konvergiert, läßt sich die Funktion fix) in eine unendliche „Maclaurinsche Reiheu entwickeln derart, daß

¹

Ygl. die Fußnote zu S. 54, sowie G. Lori a „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsch bearb. von F. Schütte, Leipzig 1902, S. 675.

²

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

³

Ygl. G. Lori a „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsch bearb. von F. Schütte, Leipzig 1902, S. 711. Hier wird verwiesen auf De Lisleferme, Mathesis Bd. 3 (1883). Eine ähnliche Beziehung besteht, wenn die Zahl der Kurven größer ist. Sind z. B. die Kurven y = f(x), y = g{x), y = h(x) und y = ]/f(x) ■ g(x) ■ h(x) gegeben, so findet die Beziehung statt

⁴

daher ist St gleich dem mit ■§ multiplizierten harmonischen Mittel von Sty, St und St/t, denn man versteht unter diesem Mittel bei n Größen diejenige Größe, deren reziproker Wert das arithmetische Mittel der reziproken Werte der gegebenen Größen ist. Hieraus ergibt sich eine Tangentenkonstruktion für Punkte der Kurve y = |/(æ — a) (x—b) (x — c) oder y“ = (x — a) (x — b)(x — c). Auch die Konstruktion der Tangenten von y — (x — a)(x — b) (x — c) ist hiermit unter Rücksicht auf das Ergebnis von Aufg. 10 erledigt.

⁵

Ygl. 0. Schlömilch, Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. 2 (1857), S. 330f., sowie G. Scheffers, „Lehrbuch der Mathematik“, Leipzig 1905, S. 518.

(10)

m - m+*f (o) + f’r(o) + ■ ■ •

Diese Reihe folgt auch aus (6) durch die Substitution x₀ = 0. Die Bemerkung, daß bei Anwendung der Taylorschen oder Maclaurinschen Reihe lim Rn = 0 sein muß, zeigt, daß die Konvergenz

n = oo

dieser Reihen allein noch keineswegs ihre wirkliche Gültigkeit zur Folge hat. Hierauf hat schon Cauchy hingewiesen, und tatsächlich hat A. Pringsheim völlig einwandfreie Beispiele von konvergenten Maclaurinschen Reihen gegeben, die keineswegs mit der Funktion f{x), deren Differentialquotienten bei Ableitung der Reihe benutzt wurden, übereinstimmen. *)

hn    .

12.    Da lim - = 0 ist, gelten die Taylorsche und Maclaurin-

71 = 00

sehe Reihe insbesondere für solche Intervalle von x bis x -f h, bzw. von 0 bis x, innerhalb deren fG)(x) für jedes n (auch für n = oo) eine endliche Größe ist; denn alsdann ist lim Rn = 0.

71=00

13.    Der Fehler, der begangen wird, wenn man eine konvergente unendliche Reihe an einer gewissen Stelle abbricht und alle folgenden Glieder vernachlässigt, läßt sich dadurch abschätzen, daß man diese Glieder in ein Restglied Rn zusammenfaßt und dessen Betrag nach einer der beiden Restformeln von Lagrange oder Cauchy abschätzt, oder dadurch, daß man die vernachlässigten Glieder mit einer konvergenten unendlichen geometrischen Reihe vergleicht. Insbesondere bei unendlichen Reihen mit alternierenden Vorzeichen der Glieder ist der begangene Fehler ein Bruchteil des Gliedes, vor dem man abgebrochen hat, vorausgesetzt natürlich, daß dies in dem Teil der Reihe geschehen ist, in dem die absoluten Beträge der Glieder fortwährend abnehmen.

14.    Die aus komplexen Gliedern wk = uk-\- ivk gebildete unendliche Reihe

(11)    (u₀ + iv₀) + K + ivx) + • • • +    + ivn_x) + (un + ivn) H----

konvergiert nur dann und immer dann, wenn die beiden aus den reellen Bestandteilen gebildeten Reihen u₀ -J- Mj -+-••• + un_x -f- un ff- • • • und v₀ + vi + • * • + vn-i + vn -f • • • konvergieren. Haben diese Reihen die Summen U bzw. V, so ist U -\- iV die Summe der Reihe (11).

Die Reihe (11) konvergiert unbedingt, wenn die aus den absoluten Beträgen \wk \ = + ]Aq² + vk gebildete Reihe konvergiert.

15.    Ist w eine Funktion f(z) von z = x + iy, die durch eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten ck == ak + ibk> nämlich durch

(12)    C₀ + CX(Z-Z₀) + C₂(z~Zoy+ • • • + Cn_₁(0-Zo)n-¹+ Cn(0-0o)n-f • • •

dargestellt werden kann, oder mit anderen Worten: ist w eine analytische Funktion von z, so ist diese Reihe (12) nach (6) eine Taylorsche Reihe, da die Koeffizienten von (12) bestimmt sind durch:²)

(13) c₀ - i, «i - f(eo), c₂ = ~ f"(z„), ..

-, c« =

Für z₀ = 0 wird (12) eine Maclaurinsche Reihe.

1)    Sitzungsberichte der math.-phys. Klasse der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München, Bd. 22 (1892), S. 222f., sowie Math. Annalen Bd. 42 (1892), S. 161 ff. Daselbst auch Kritik eines schon von Cauchy gegebenen Beispiels.

2)    Bezüglich der Ableitung f'{z) vgl. die Bemerkung in Aufg. 14, S. 28.

èi~

7.    Dieser Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ist z. B. wichtig zur Beurteilung der Frage, ob die gliedweise Differentiation einer aus den Funktionen ut gebildeten unendlichen Reihe u₀ -f- % + u.₂ + • • • + i + un + • • - , die innerhalb eines gewissen Variabilitätsbereiches konvergiert und eine Funktion f(x) zur Summe hat, eine Reihe ergibt, die die Ableitung f'(x) lieh der Fall, wenn die abgeleitete Reihe gleichmäßig konvergiert.

8.    Wenn die Potenzreihe

von

fix) zur Summe hat. Dies ist wirk-

a₀ + axx + a₂x² + • • • + an_ ₁xn~¹ + anxn + • • •

für alle Werte von x, die einem gewissen Intervall x₀ < x < X angehören, konvergiert und die Funktion f[x) zur Summe hat, sind die aus den ersten, zweiten, . . . Ableitungen dieser Reihen gebildeten Reihen in dem gleichen Intervall konvergent und haben die Ableitungen f\x), f ix), . . . von fix) gelegte Reihe auch für eine oder für beide Grenzen x₀, X des Intervalles, so hat dies noch nicht die Konvergenz der abgeleiteten Reihe für diese Grenzen zur Folge; aber so lange diese Ableitung konvergiert, gilt gleiches auch von der ursprünglichen Reihe.

9.    Eine Funktion von x kann innerhalb eines gegebenen Intervalles nur auf eine Art in eine Potenzreihe entwickelt werden.

10.    Satz von Taylor: Wenn die Funktion f(x) nebst ihren n ersten Ableitungen in dem Intervall von x bis x -j- h einschließlich der Grenzen stetig ist und daselbst bestimmte endliche Werte hat, gilt die Entwicklung:

zur

Summe. Konvergiert die vor-

(1) f{x + h) — fix) + h f ix) + — fix) H-----b -(n^_ r) j

und hier ist das sogenannte Restglied Hn nach 0. Schlömilch und E. Roche gegeben durch:¹)

hn( 1 —»)»-* p ■ (n — 1) !

wobei p eine beliebige positive ganze Zahl, einen ganz bestimmten, seinem genauen Wert nach jedoch unbekannten positiven echten Bruch bedeutet. Für p = n geht dieser Ausdruck Bn über in die nach Lagrange benannte Restform

(2)

fL)ix + fth),

£>(*+»*),

für = 1 in die nach Cauchy benannte Form des Restes

(3)

K-

(4)

hnil — ft)»-*

(»— 1)!

f(n) ix + &h).

Taylorsche Reihe für Funktionen von zwei veränderlichen.

79

16. Wenn die Potenzreihe

G, + W + c₂0² H-----f cn_₁zn~¹ + cnzn 4- • • •

für z = zx konvergent ist, so konvergiert sie, und zwar gleichmäßig, auch für alle diejenigen Werte \z\<i\zx\, denen in der Ebene der komplexen Zahlen Punkte innerhalb des um den Nullpunkt als Mittelpunkt beschriebenen und durch z₁ gehenden Kreises entsprechen.

17. Taylorscher Satz fur Funktionen von zwei Veränderlichen. Ist die Funktion z = f{x, y) nebst allen ihren Ableitungen bis zu denen wter Ordnung einschließlich eindeutig und stetig innerhalb eines gewissen Bereiches der unabhängigen Veränderlichen x,y, so besteht die Reihenentwicklung:

(14) f{x + Ji,y + k) — f{x, y) -j- {h ~~ -f- k

d²f

8x²

+ 2hk

d²f

cx ■ dy

¹ f₇ d , 7 d I”-1 (n-⁺ *

Hierbei ist das Restglied Rn von der Form ^ j h ^ + k | f,

“ ’ x + 9 h y + 9k

und die geschweiften Klammern bei Rn und dem in (14) vorausgehenden Glied sollen andeuten, daß die Potenzen symbolisch aufzufassen sind, indem bei ihrer Entwicklung nach dem binomischen Lehrsatz z. B. das Produkt

dy I

C)(‘êF(*l)v

zu ersetzen ist durch

\hn~aka •

dnf

• Die Größe ff ist ein gewisser, seinem genauen

dxn~a-dya

Wert nach jedoch unbekannter positiver echter Bruch, und die Indizes x -j- DA, y -j- d'h in dem Ausdruck für Rn bedeuten, daß daselbst x, y durch x -f- &h, y + &k zu ersetzen sind.

Man erhält eine unendliche Taylorsclie Reihe, wenn lim Rn = 0 ist.

n — oo

Ersetzt man in der Taylorschen Reihenentwicklung x und y durch Null, Ji und k durch x bzw. y, so ergibt sich die Maclaurinsche Reihenentwicklung einer Funktion f\x, y) nach Potenzen von x und y.

Die Verallgemeinerung auf Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen ist leicht ersichtlich.

Beispiele.

fix-f- ff), an geordnet

man

1. Aus fix) = x³— 7æ²4- hx — 9 bilde nach Potenzen von —•

fix + ff) — x³ — 7x² -j- hx — 9 + A(3æ² — 14a? + 5) + hlo— 'O "ł~ üwo’

2. Aus f(x) = a;² — 3a;²— Ix + 5 bilde nach Potenzen von a;.

man

/'(a; + 3), angeordnet

f{x-j-3) = 38 + 83a; 4- 51a;² 4- 12a;³ + Æ².

3. Man entwickle f(x) =. a;² — 5 a;² + 8 a; — 7 nach Potenzen von x — 2.

fix) = 5 + 20 (a; — 2) + 19(>-2)² + 8(a;-2)³ + (x-2)\

Man entwickle bei Aufg. 4—10 die vorgelegten Funktionen in unendliche Reiben und gebe an, in welchen Intervallen diese Reihen konvergieren und die Funktionen wirklich darstellen.

4.

Diese Reihe konvergiert und gilt mit Rücksicht auf S. 78, Nr. 12 für jeden endlichen Wert von x.

5.

fix) = ax = lna, wo a eine positive Zahl bedeutet. Nach Aufg. 4 ist ax = 1 -f a; ln a + — ^

6. fix) = (Sof a; =

_    . (a ln a)n

" "T~ ni

.T²

7. f(x) — ©in a; =

e,r — e~x

xs x³ 2    =;r + 37+ 5T + --- +

(2 n) !

<g2n + l

(2w+1)!t

Zu diesen beiden Aufgaben vergleiche man auch Aufg. 6, S. 7. Der Gültigkeitsbereich ist der gleiche wie bei Aufg. 4. Man erkennt, daß ex — ßof x -f ©in x, e~x — Goj x — ©in x ist.

8.    f{x) = cos x = 1 — ~ + |j-----+

9.    /'(a;) = sin a; = a; — fr + fy-----b

(- 1)” • a² ”

xin

(—l)n- xin + 1

(2 n + 1)!

Weil |cos x 1 und |sina;| ^ 1 ist und weil alle Ableitungen von cosa; und sina; wieder auf diese Funktionen zurückführen, gelten die Reihen in Aufg. 8 und 9 für alle endlichen Werte von x.

10. f(x) = \n.il+x) = x--X^- + ~

(— l)»“¹- xn

Diese Reihe konvergiert, so lange — 1 < x <1 + 1 ist. Wir wollen uns daher auf dieses Intervall beschränken. Für das Restglied in der Form von Cauchy erhält man nach (9), S. 77 und unter Rücksicht auf Aufg. 4, S. 14:

xn(l —    (— l)w_1 • (n — 1)!

/ 1 — & \«-l \1 +

\x \ < 1 ist, bleibt (/i    auch für beliebig große

Werte von n endlich, ebenso ist ,    _

’    i -f- &x

(n — 1) !

(1 -f &x)n

1 4- &x

So lange nun

endlich, während lim xn = 0

71 = 00

-J_(—h-.....yłl+...).

+ 3 {zN + h) + '

2n + l\2N+h)    ^ J

Da ¹⁰log x, wofür nach früherer Verabredung kürzer log x geschrieben werden möge, gleich M ln x ist, wenn unter M der Modul 0,4342944819 der gewöhnlichen Logarithmen verstanden wird, so ist

log (N+h)-

2^1(22*-+/,)    +•••)•

¹»8ff+2ÄliSTi + l(aTi)i

wenn

Reihe zur Berechnung der Logarithmen.

81

Restglied in der Form von Lagrange:

7? =    1>-1 . JL _

und hier ist wieder lim Rn = 0. Die Reihe für ln (1 + x) gilt daher,

n — oo

wenn — 1 < x + 1 ist.

11. Man zeige, daß für — 1 < x < 1 die Reihenentwicklung gilt: 'lnï

und leite hieraus durch die Substitution x =

¹ + x ₀ / x* , x⁴ 5 2 3 6

s = ²b + ir + ir + --- +

X2n + 1

2w+~l

wo h und Ar

2~N+h>

positive Zahlen sind, eine Reihe ab, die zur Berechnung von dienen kann, falls ln N bekannt ist.

Die angeführte Formel folgt aus der Reihe für ln(l-j-æ) hier x durch — x ersetzt und nun beide Reihen voneinander

ln (N+h)

wenn

man

subtrahiert. Dabei wird der Satz gebraucht, daß durch Addition oder Subtraktion entsprechender Glieder zweier konvergenter Reihen eine Reihe entsteht, deren Summe sich durch Addition bzw. Subtraktion der Summen der zwei gegebenen Reihen ergibt.

Die Substitution x =

liefert :

2 N + h ln (N+h) =

12. Es sei der Fehler f abzuschätzen, der gemacht wird man die letzte Reihe vor dem Glied mit dem Exponenten 2 n + 1 abbricht.

Werden die Koeffizienten der Potenzen von Je = vernachlässigten Gliedern sämtlich gleich ^n-\-i

(1 + ¥ + ¥ fi----) oder also

bei den

2N+h gesetzt, so ist der

Fehler f kleiner als

gäbe 11 die Reihe abbrechen und sich über den begangenen Fehler orientieren.

(23*"— 9)23    5980

Der Fehler f wird <

O

oder /* < -^r < 0,00067. Man findet log 13 nahezu gleich 1 -f

0«7oU    Zu

= 1,1133; in Wahrheit ist 1,1133 < log 13 < 1,1133 -J- 0,00067 und log 13 = 1,1139434

14. Auf Grund der Formel in Aufg. 11 und mit Hilfe der Annahme N = 1000, h = 24 berechne man log 2, breche vor dem (dritten) Glied mit dem Exponenten 5 ab und schätze den so entstehenden Fehler.

(1) log 1024 _ log 2>» - log 1000 + 2    1 QA), daher

(2)

der Fehler f ist < *~(±) —j

(±)

\253/

oder rund <    •

Es sei hierzu bemerkt: Da der Fehler f nur abgeschätzt werden kann, man also nur wissen will, daß f kleiner als eine gewisse abgerundete Zahl ist, darf man sich bei Berechnung dieser Zahl solche Erleichterungen erlauben, die die Zahl mäßig vergrößern. Man wird also oben z. B. 2M gleich 0,9 oder sogar gleich 1 setzen dürfen usf.

243

250

50•250⁵

Io¹*’

Der bei Berechnung von log 2 auf Grund der Formel (2) auftretende Fehler würde also weniger betragen als sechs Einheiten der zwölften oder eine Einheit der elften Dezimale.

Bei unserem Beispiel ist dann f < A 253*1256 V6Ö

15. Aus der Reihe für ln(l x) in Aufg. 10 leite man eine Reihe für ln x ab, indem man 1 -f x mit x bezeichnet und gebe für sie den Gültigkeitsbereich an.

ln x = (x — 1)

(x — l)²

(x — l)³

die Reihe gilt für 0 < x <1 2.

/Æ* x⁴ x6 \ 3 ! _ 5! ^ 71

16. Man entwickle log sin x in eine Reihe nach Potenzen von x, indem man zunächst beachte, daß = 1 — | ist, und dann in der Formel für ln(l-f^) die Größe x durch

ersetze und die Glieder, bei denen x denselben Exponenten hat, sammele. Ist diese Umstellung der Glieder hier erlaubt und hat sie nicht

83

Logarithmen der trigonometrischen Funktionen.

eine Änderung des Wertes der Reihe entsprechend Nr. 4, S. 75 Folge? Es werden nur die Glieder bis x⁸ einschließlich verlangt. Man erhält

log sin x = log x — M i +

Die erwähnte Umstellung darf stattfinden, so lange 111 < 1 ist, denn alsdann konvergiert die Reihe für ln(l — £) unbedingt. Diese

Ungleichung ist aber sicher erfüllt, so lange die Größe    deren

absoluter Wert nur für x = 0 die Einheit erreicht, sonst aber stets unter dieser Grenze bleibt, von Null verschieden und positiv ist, also in den Intervallen 0 < x < und — % < x < 0. In diesen Intervallen konvergiert und gilt daher die Reihe, ebenso für x = 0, wo sie mit

log [^]    = log 1 = 0 gleichbedeutend wird. Für die praktische

Anwendung kommt natürlich nur das Intervall 0<æ<-|7e in Betracht. 17. Die gleiche Aufgabe für log cos x.

Ähnlich wie bei Aufg. 16 findet man:

zur

x⁶

180    2885 ¹ 37 800

//y»2    /y»4    rf»6

log cos x =    31 s    ö +

17æ⁸

2520

Die Formel gilt für das Intervall — ^ < x < ^ .

18. Man schätze unter Benutzung der Restformel von Lagrange den Fehler ab, der gemacht wird, wenn man sin (x -{- Ji) = sina; + h cos x setzt und das Gradmaß von h eine Minute ist.

Hier wird f=—| h² sin (x -f af/i); im ungünstigsten Fall wäre sin (xĄ- fi’/i) nahezu gleich 1, daher ist der absolute Wert des Fehlers

, denn für h ist das zum Winkel 1'

Ti²

60 • 60

f < y oder \f \ <

5

gehörige Bogenmaß einzutragen. Man findet | /*| <C Yo® "

19. Man berechne sin 40°, breche aber die Reihe nach dem zweiten Glied ab und schätze den begangenen Fehler.

2 • 206 264,8²

sin 40° — x — —

31’

wo x =

40 u

180

« iS

(nach Nr. 13, S. 78). Hier ist x =    < 0,7, daher f <

man statt 0,7² = 0,49 die Zahl so wird

0,7⁵

120’

: setzt

f<

0,7

480

oder f < ^ < 0,0015.

20. Es soll sin (x -f- h) in eine Reihe nach steigenden Potenzen von h entwickelt und der Ausdruck für das Restglied Mn angegeben werden.

sin (x -j- h) =± sin x + ln cos x — ~ sin x —.

h³

— cos# H----

wobei

S.-

ssin (” + * + °h) ■

21.    Man berechne cos 17°28'50" auf drei Dezimalen genau.

In der Reihe für cos# ist hier x gleich 0,3051, wie aus einer Tabelle für die Länge der zu gegebenen Zentriwinkeln gehörigen Kreisbögen entnommen werden kann. Man findet

cos x

= 1 -    = 0,9538 • • •,

die folgenden Glieder der Reihe können vernachlässigt werden, denn der absolute Wert des hierdurch begangenen Fehlers ist <0,000 0012.

22.    Den Fehler f abzuschätzen, der gemacht wird, wenn man den zum Zentriwinkel a gehörigen Bogen arc a eines Kreises vom Radius r durch die zugehörige Sehne s ersetzt.

Es

= 2r |

tH

CC

*®| R

folgt f< 2r • (I)³ •

T—(

öS

oder

<4

in Prozenten von

arca

arc a ist f kleiner als ~ ■ f — j Prozent, wo a das Bogenmaß des Winkels a bedeutet.

23. Ist a die Länge der zu einem Kreisbogen m\ vom Zentriwinkel a und Radius r gehörigen Sehne, b die Länge der zum halben Kreisbogen gehörigen Sehne (vgl. Fig. 31), so ist die Länge des ganzen Kreisbogens arc a nahezu gleich j(ßb— d). Man schätze den Fehler ab, der bei Anwendung dieser Formel begangen wird, wenn das Gradmaß des Winkels a entweder 30° oder 60° beträgt.

Es ist

= ra, a = 2r sin^, b = 2r sin ,

«-

*ift

a.

Fig. 31.

arc a

ferner

a = 2r |

tH

co

5 = 2r{    --j

8b-a = 2r

tH ■ CO

(f)⁸ + è(î)⁵

œ’+è©*--}

15 • 2

Für den Winkel « = 30° ist das zugehörige Bogenmaß \n = 0,5236; man findet den absoluten Wert des Fehlers <0,00001 arca, in Prozenten des Bogens beträgt der Fehler 0,001 %• Für den Winkel a — 60° ist das zugehörige Bogenmaß -|jr= 1,0472, der absolute Wert des Fehlers wird <0,000157 arc a, in Prozenten des Bogens beträgt der Fehler 0,0157 °/₀.

24. Die Konvergenz der Reihe zu prüfen:

l + z + Y + --- +

n — oo

die Glieder mit a³ heben sich weg. Es wird daher 8b —

— = area 11 —

15 • 2⁹

area

a*

7680

Hier ist lim u~n\ ⁼    ^ n * x — x, für |æ| > 1 divergiert also

die Reihe, für | x J < 1 konvergiert sie. Im Fall [ x | = 1 versagt das Kriterium von Cauchy; man findet Konvergenz für x =— 1 (vgl. Nr. 3, S. 75), die Reihe wird für x = 1 zur sogenannten harmonischen Reihe 1 4* 1 + i + i + i + • • •, deren Divergenz leicht zu beweisen ist. Sie führt den Namen harmonische Reihe, weil die Quotienten zweier aufeinander folgenden Glieder die musikalischen Intervalle darstellen. Gibt z. B. eine Saite von der Länge l einen bestimmten Ton, so gibt die Saite von der Länge : 1)1 = ĄI die obere Oktave dieses Tons, die Saite von der Länge (y : 1)^    ^ die Quint; hat die Saite die

Länge 1, so gibt sie die obere Quart des ursprünglichen Tons, bei der Länge f l die große Terz, bei -f ü die kleine Terz.

25. Man untersuche die Konvergenz der Reihe:

f<

— _|----p ¹

1-2 ' 2•3 ' 3-4

(n — 1 )n

n(n 4-1)

Für Un-1 =

wird lim

* —— j = lim n—,\ = 1, das Krise Lw„-1 J n = ₀°\n+¹_

(n — 1 )n

terium von Cauchy versagt also, es ist ein anderer Weg einzuschlagen. Wenn man beachtet, daß

ux =

K-i-i

2 ’    2-3    2    3 ’

n(n -f-1)

%-f- 1 ’

so findet man für die Summe Sn der n ersten Glieder der Reihe den Wert 1 — ^    ^, die Summe S = lim Sn der ganzen Reihe wird da

her gleich 1.

26. Die gleiche Aufgabe für die Reihe

n— oo

00

= — 4_ ii JL I . .

■jA ‘    ₀* ^ gfc ‘

(» - G*

nk

Auch hier versagt das Kriterium von Cauchy. Für Ti 1 divergiert die Reihe; für Ti > 1 konvergiert sie, wie man folgendermaßen zeigen kann:

Es ist

' 1*’

2⁷

2*

3*’

A ⁷ ^ ⁷    .    ⁷    ,    ⁷    ,    ⁷

4 • —> —* H—* d—i +

4 4T o 6    7

7*’

Beim Summieren dieser Ungleichungen ergibt sich rechts die zu untersuchende Reihe links die für Ti > 1 konvergente geometrische Reihe⁷)

¹ +    + (Ai) + (ÿbi)

27. Man zeige, daß die Reihe

2 • 3 • 4 ■ ■ • (n + 1)

konvergiert und bestimme ihre Summe.

Da die Glieder von S kleiner sind als die entsprechenden Glieder

der für n > 1 nach Nr. 26 konvergenten Reihe — -f- ~

so ist Konvergenz vorhanden. Zur Bestimmung der Summe schreibe man eine gewisse Reihe S± zweimal hin, nämlich in den beiden Formen

3 • 4 • 5 • • • (n -j- 2)

und

1 • 2 • 3 • • • (n — 1)

1 • 2 • 3 • • • (n — 1)

Durch gliedweise Subtraktion folgt nun

2-3-4 • ••n

—---b

1.2-3 • • n ~

2 ■ 3 • 4 • • • (n + 1)

oder

3 - 4 • 5 • • ■ (n + 2)

(n — 1) • (n — 1) ! *

== (n — 1) S, daher S =

1) A. M. Legendre gibt in seinem „Traité des fonctions elliptiques“ Bd. 2, Paris 1826, S. 432 eine Tabelle der Werte 9^ von k — 2 bis k — 35 auf 16 Dezimalen genau. T. J. Stieltjes gibt Acta math. Bd. 10 (1887), S. 299—302 eine Tabelle von k — 2 bis £ = 70 auf 32 Dezimalen genau. Für k — 2 bis k — 22 und abgerundet auf 8 Dezimalen findet sich eine Tabelle auch bei J. A. Serret „Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung“, 3. Aufl. neu bearbeitet von Gr. Scheffers, Bd. 2, Integralrechnung, Leipzig 1907, S. 206.

Hypergeometrische Reihe.

87

28. Aus der für — 1 < x < + 1 konvergenten unendlichen Reihe

1 —X

leite man durch Differentiation eine neue Reihe ab.

Die Differentiation ist nach Nr. 8, S. 76 erlaubt; sie ergibt

(1 —X)

Diese Reihe konvergiert für — 1 < x < 1.

29. Aus der letzten Gleichung leite man durch Multiplikation mit x und darauf folgende Differentiation eine neue Reihe ab.

Es ergibt sich

— 1 < x < 1.

l -|- x

(1 —~x)

i 4- x⁸

30. Aus der für — 1 < x < 1 konvergenten Reihe x — Æ³ + Æ⁵ — x"⁹ + • • • + (— 1)” • x2n + 1 + • • • = leite man durch Differentiation eine neue Reihe ab.

1 — 3x⁸ ff- hx⁴ — Ix⁶ + ••• + (— l)re • (2n + \)x2n -+-•••

— 1 < x < 1.

1 — X“

⁼ (l + a:⁸)²⁷

31. Zu zeigen, daß die sogenannte hypergeometrische Reihe

F(a, h, c, x) = 1 -f-

71 »

x -j-c

a(a -f- 1)& (b -f- 1)

1 ■ 2 • c(c+ 1)

a (a -f- 1) (a -f- 2) b (6 -f- 1) (b -f 2)

1 • 2 ■ 3 • c(c + l)(c+ ⁸)

X% + • • •

gleich ^ F(a + 1, & + 1, C + 1, x)

in der a,h, c mit Ausschluß der ganzen negativen Zahlen und der Null beliebige Zahlenwerte darstellen, für \x ‘ < 1 konvergiert. Auch zeige man, daß die aus F(a, h, c, x) durch Differentiation nach x hervorgehende Reihe auf eine Funktion von derselben Art führt, indem dF(a, b, c, x)

dx

ist.⁹)

Der bei der Anwendung des Konvergenzkriteriums von Cauchy zu bildende Quotient zweier einander folgender Glieder, z. B. der Glieder

mit xn+1 und xn, wird ziert sich für lim n = oo auf x.

x, und dieser Ausdruck redu-

ab -|- (a -f- b)n -|- w⁸

c -f- (1 + c)n -j- n⁸

32. Aus der Reihe für log cos x (Auf. 17, S. 83) durch Differentiation die Reihe für tg# abzuleiten.

Mit Rücksicht darauf, daß die Ableitung von log/^#) gleich ist, findet man:

Mf'(x)

tg# = X + y + ~Xh +

Der Gültigkeitsbereich ist derselbe wie bei der Reihe für log cos x, nämlich — jt < # < -| jr.

Die Koeffizienten der Reihe für tg# stehen in enger Beziehung zu den sogenannten Bernoulli sehen Zahlen B2n‘ sie sind nach Jakob Bernoulli genannt, in dessen Wahrscheinlichkeitsrechnung („Ars con-jectandi“) sie zuerst Vorkommen.

Die Reihe für tg# läßt sich nämlich schreiben:

■ 2⁴ • (2⁴ — l)

tg# =

B, • 2² (2 ² — 1)

B₆ ■ 2⁶(2⁶ — 1)

2!

#³ +

+    2”    (2n)I    *

4!

6!

und hier sind die Bernoulli sehen Zahlen allgemein definiert durch:

7?    =    (%n) • o

X)2ra 2²”⁻¹    n2n°2n’

wobei

tö? -®io ⁼ 66- Alle Zahlen B2n sind rational, da S2n die

^6    42? JJ8

Größe jr2?l zum Faktor hat.

33. Ebenso leite man aus der Reihe für log sin x (Aufg. 16, S. 83) durch Differentiation die Reihe für cot# ab.

cot# =

11 +

/y>3    O /y» 5    /y» 7

m/    . Û iAy    |    il/

45 "f" '945

4725

+ -}•

Die Reihe konvergiert und gilt für — n < x < 0 und 0 < x < jt. Mit Benutzung der Bernoulli sehen Zahlen läßt sie sich in der Form schreiben:

,    1    73    2²æ    2⁴#

6

T) ^ X

-Bf-6!-----•

34. Die Funktion (1 -f- #)m in eine Reihe, die sogenannte Binomial-reihe, zu entwickeln und ihren Gültigkeitsbereich anzugeben.

Man findet

wobei

(1 + a)" = 1 + (7) x + Q + • ■ • + (*)    + • • •

m(ni — 1 )(m — 2) ■ • • (m — n 4- 1)

Faktor

Ist m eine positive ganse Zahl; so besteht die Reihe ans einer endlichen Anzahl (m +1) von Gliedern, und dann gilt die Formel für alle Werte von x.

Ist aber m keine positive ganze Zahl, so ergibt die Entwicklung von (1 + x)m eine unendliche Reihe, und das Konvergenzkriterium von Cauchy zeigt, daß die Reihe im Fall |#|<1 für beliebige Werte des Exponenten m unbedingt konvergiert, im Fall | x | > 1 divergiert. Für j x | = 1 versagt dieses Konvergenzkriterium. Es ist also nun zu untersuchen, ob in dem ganzen Intervall — 1 <i x 1 die Funktion (1 + x)m wirklich durch die Reihe dargestellt wird. Erforderlich ist hierzu nach Nr. 11, S. 77, daß das Restglied Rn für limw = oo verschwindet. Wir unterscheiden die drei Fälle \x \ < 1, x = + 1 und x = — 1.

I. Sei zunächst \x\<l. In der Form von Cauchy wird das

Restglied:

m (m — 1) • • • (m — n -j- 1)

(n — 1) !

(A)

• Xn.

Hier ist nun (1 + &x)m~L sicher eine endliche Größe; der Faktor / r_& \n — i

\l -\- ftx) ^ ^eic^a^s endlich und konvergiert für lim n = oo

J _ ÿ,

nach Null, da ^    --- im Fall | x | < 1 für positive und negative

Werte von x einen echten Bruch darstellt. Auch der Faktor (    „ )xn

\n—lj

konvergiert für lim n = oo und ] x | < 1 nach Null. Wird nämlich (”*—i)³'” als Glied einer unendlichen Reihe aufgefaßt, deren nächstes

Glied

gleich i^¹ n ¹'Sjxn+1 ist, so ist der Quotient dieser beiden Glieder

— — x, und dieser Ausdruck reduziert sich für lim n = oo auf n ⁷

gleich

— x, also auf einen echten Bruch, woraus hervorgeht, daß die angeführte Reihe konvergent ist und somit lim (m_^ xn für | x | < 1

n = go '

gleich Null sein muß. Im Fall | x | < 1 ist daher lim Rn = 0 und die

n = co

Binomialreihe gültig für beliebige Werte von m.

II. Im Fall x = -f- 1 wird das Restglied in der Form von Lagrange:

m (m — 1) • • • (m — n -f-1)

n\

(1 +

Hier ist lim [(1 -f- OO”*⁻”] = lim

= 0.

Der erste

n— co

n = cc

von Rn läßt sich in der Form schreiben:

^    ^    (— m) (1 — m)(2 — m) ■ ■ ■ (n — 1 — m)

n!

Ist nun p die erste positive ganze Zahl > m + 1 und naturgemäß < n, so wird

m + 1\ n )

^ ^ = ± m

Hier ist das Produkt der p — 1 ersten Faktoren selbstverständlich eine endliche Zahl. Was die übrigen Faktoren betrifft, so ist

^±l)<

P !

wenn m + 1 > 0, daher in diesem Fall

(1-=±0(1

TO-f-1 P+ 1

₁ | m + 1’ P

(i+s+r

v P

m-\-1'

m-\-l

p 4-1

Da für den Nenner N dieses Ausdrucks die

+ •••4

m-(-1    _ -*T ,

<p p-\- ¹

so wird für jedes positive ganze p und lim n = oo nach Aufg. 24, S. 85, im Fall m -\- 1 > 0, d. h. m > — 1, der Grenzwert lim N unendlich groß und somit

¹

Ygl. 0. Schlömilch, „Handbuch der Differential- und Integralrechnung“, 1. Teil, Greifswald 1847, S. 174—180, sowie Journ. de math., 2. Serie, Bd. 3, S. 384 (1858) und E. Roche, Journ. de math., 2. Serie, Bd. 3, S. 271 (1858).

²

13. Man berechne log 13 durch die Annahme N — 10, Ji — 3;

³

dabei soll man schon nach dem ersten Glied der Klammer in Auf-

⁴

Mk2n + 1

⁵

(2w+ 1) (1 - Je²)

⁶

ingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

⁷

. 2 - 3 • • • (n — 1)

1 — n

⁸

Klein. Näheres enthält z. B. das autographierte Yorlesungsheft von F. Klein „Über die hypergeometrische Funktion“, Göttingen 1894, woselbst man auch historische Bemerkungen und Literaturangaben findet.

⁹

Die hypergeometrische Reihe findet sich schon bei Euler. Eingehender betrachtet wurde sie von Pfaff, Gauß, Kummer, Riemann, Schwarz,

... o

SiCb-^Jb

1 ist.

daher auch lim f WJ = 0 und lim Bn = 0, so lange m > —

Für æ = 1, m = — 1 erhält man die nicht konvergente Reihe 1 — 1 + 1 — 1 -j- • • * und im Fall x = 1, m < — 1 wächst der absolute Wert von mit wachsendem n über jede Grenze, d. h. die

Reihe für (1 + x)m divergiert dann. Wenn x = -\-l ist, gibt dagegen die Binomialformel eine fiir jeden Wert — 1 gültige Darstellung von 2m.

III. Es sei nun x = — l. In der Form von Cauchy wird hier das Restglied:

m(m — 1) • • • (m — n 1)

(n — 1) !

= — m(l — m) ^1

ï)b-î)-b

Auf Grund der Betrachtungen unter II. wird

-0,

so lange m > 0 ist; für jedes negative m hingegen wächst dieses Produkt mit n über jede Grenze. Da der Faktor (1 — tf)”¹⁻¹ in JRn jedenfalls endlich ist, wird lim Rn= 0 für x = — 1 und m > 0. Na-

n — co

türlich ist jetzt Null der Wert der Reihe (1 -j- x)m. Im Fall x = — 1, m = 0 nimmt (1 -f- x)m die völlig unbestimmte Gestalt 0° an, während die Reihe die Zahl 1 liefert.

Die Ergebnisse zusammenfassend, kann man sagen:¹)

Die Binomialformel

gilt:

1)    für jeden Wert von x, wenn m eine positive ganze Zahl ist; die Entwicklung besteht dann aus einer endlichen Anzahl von Gliedern, nämlich aus m -f- 1 Gliedern.

2)    Die Formel gilt im Fall |æ| < 1 für jeden Wert von m.

3)    Sie gilt im Fall x = 1 für m > — 1,

4)    im Fall x = — 1 für m > 0.

Auf folgende Tatsache sei noch hingewiesen: Ist m keine ganze Zahl, sondern ein positiver oder negativer, echter oder unechter Bruch mit dem ganzzahligen Nenner so ist (1+#)™ eine /«-wertige Funktion, denn die kte Wurzel aus jeder von Null verschiedenen Zahl hat

von

einander verschiedenen Werte 1, s, f², ... sk~¹ hat, wo e eine 7«te Einheitswurzel bedeutet. Die Formel für (1 -j- x)m stellt alsdann denjenigen Wert der mehrdeutigen Funktion (l-]-x)m dar, der für x — 0 gerade gleich + 1 wird.

35. Wie läßt sich die Entwicklung von (a -|- 6)m, wo ]&| < |a| sei, auf die Binomialformel für (l-\-x')m im Fall |æ|<l zurückführen?

Wird ~ = x gesetzt, so geht (a + b)m in am (1 + x)m über.

3G. Den Ausdruck j/l -f- x in eine Reihe zu entwickeln.

1-3-5 2-4-6-8

*/—

k verschiedene Werte. Es sei z. B. daran erinnert, daß y 1 die

1-3

2-4-6

37. Die gleiche Aufgabe für

X³

x¹ 4----, — 1 x <i 1 •

,--= 1 + ö X Jr

y i — x

1-3

2-4

X* +

y i — x

1-8-5 2 4-6

X³ +

1-3-5-7

274-678

x¹Ą—, — 1 <x<l.

Bei den Aufgaben (36)—(38) wird durch die Reihe jedesmal der Wert der Wurzeln dargestellt, der für x = 0 gleich -f- 1 ist. Vgl. die Bemerkung am Ende von Aufg. 34.

39. Man berechne durch Reihenentwicklung

ylO = yW+2 = 2 Vl+t

auf zwei Dezimalen genau und schätze den begangenen Fehler ab.

J- + -⁵___»_ + ...).

144 ' 5184    31104 ' J

Da nur eine Genauigkeit von zwei Dezimalen verlangt wird, kann

die Reihe vor dem Glied

abgebrochen werden; der begangene

2 • 5 5184

Fehler ist dann (vgl. Nr. 13, S. 78) kleiner als dieses Glied seihst, somit jedenfalls kleiner als 0,002. Man findet so

f/lÖ = 2(1 + 0,0833 - 0,0069) + f= 2,153 + f, wo f< 0,002.

Es werde daran erinnert, daß yAO außer einem reellen Wert noch zwei konjugiert komplexe Werte hat; die Reihe stellt offenbar den

reellen Wert dar.

Fig. 32.

38. Die gleiche Aufgabe für j/l + Ÿl + % = 1 + ~x

1-2

3-6

X²Ą

1-2-5

3-6-9

XS

1-2-5-8

3-6 9-12

- 1<X<1.

40. Die Mittellinie einer Landstraße soll von A nach B in einem Kreisbogen geführt werden und überdies bei A stetig in die Gerade AR, bei B stetig in die Gerade BS übergehen (Fig. 32). Man zeige, daß bei diesem Abstecken der Straße „von der Tangente aus“ die zur Abszisse x = AE gehörige Ordinate y = EP des Punktes P des Kreisbogens

X2    qçA

angenähert durch y =    -f- ^-s dargestellt werden kann, wenn r der

Radius ist. Auch gebe man eine Grenze an, unter der der hierbei begangene Fehler liegt.

Bezogen auf A als Koordinatenanfang, AE als Æ-Achse, AM als y -Achse hat der Kreis die Gleichung x²- y²—2ry = 0 oder y = r ± ]/r² — x²\ für den von A ausgehenden Kreisquadranten ist bei ]/r² —- x² das Minuszeichen zu setzen, man hat also

oder

y = r — ]/r² — #² =

y = r tł (?) ⁺ 5Ti.(7) ⁺

1-3

1-3-5

2-4-6

2-4■6 • 8

Darf die Reihe vor dem dritten Glied abgebrochen werden, so wird -¹) Für den hierbei begangenen Fehler f gilt offenbar

y - 27 ⁺

die Ungleichung

8rs

f<

1- 3 r

2- 4-6

Ebenso findet man beim Abstecken der kreisförmigen Mittellinie einer Straße „von der Sehne aus“ (vgl. Fig. 33) angenähert

■> x

Fig. 33.

41. Die Funktion y = f(x) = arc tg x in eine unendliche Reihe zu entwickeln.

Nach Nr. 13, S. 15 ist fW(x) = (n — 1) ! cosw y • sin n [y -f- y jrj ;

da mit x auch y verschwindet, wird /*(”)(0) = (w — 1) ! sin - Für geradzahlige Werte n = 2m verschwindet dieser Ausdruck, für n = 2m + 1 wird sin 7t = (— l)m, somit f2m + 1(0) = (— l)w • (2m)\ Es ergibt sich daher:

u, §

x2 »« +1

te ! S

arc tgÆ = Æ — y + y — ••• + (— 1)TO •

eine konvergente Reihe, so lange — 1    1 ist. Leibniz kannte

diese Reihe schon im Jahr 1674.

Nun muß man noch untersuchen, ob für alle Werte des Konvergenzbereiches das Restglied für lim m = 00 nach Null strebt. Die Reihe möge nach dem Glied mit x2m~¹ abgebrochen werden; alsdann wird das Restglied in der Form von Lagrange:

2 in -f- 1

(-1 r

wie mit Hilfe von

x m

) sin (2 m arc tg &x),

/■(2wi)(7) = (2m — 1) ! cos2m y ■ sin 2 m (y -f- y leicht

1) Eine Tabelle der zu gegebenen x und r gehörigen y findet sich z. B bei 0. Sarrazin und H. Oberbeck im „Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen“, 16. Auf!., Berlin 1906, S. 123.

einführt und x durch

folgt, wenn man y = arc tg x, cos² y =    ₈

ersetzt. Man erkennt sofort, daß für das ganze oben angegebene Intervall einschießlich der Grenzen limjR2?7l=0 ist.

m = 00

Übrigens sei daran erinnert, daß arctg# unendlich viele Werte hat, denn es ist tg# = tg(x + kn), wo Je eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Die Reihe stellt den Wert dar, der für # = 0 gleich Null wird. Daher liegt der Arkus zwischen —-j7t und -j-^n.

Für x = 1 wird arc tg x = somit

4    3^5

42. Zur Berechnung der Zahl 7t würde diese Reihe sehr ungeeignet sein, da sie zu langsam konvergiert. Eine Reihe von starker Konvergenz hat J. Machin im Jahr 1706 angegeben, indem er j?r=4a-\-b setzte und hierbei tg a — j annahm; alsdann wird tg 4a == und aus l=tg(4a-\-b) findet man tg b = — Welche Formel ergibt sich nun für 7t?

7t = 16 |    -

«J»i M-

TH ! CO

4 ( —--¹ .- ¹

[239    3 239³

lll 111

■p⁺    6*~~7.F⁺    }

l l

5 ‘ 239® “

|uo 4-

43. Welche Reihe erhält man zur Berechnung von 7t, wenn man nach Euler — a + b setzt und tga = -| annimmt?

Man findet tg b = und

tH CO

'è ⁺ l‘T®~Y’T7 + ''‘} + 4!ï

1 1 4- 1 1 1 _1_ 1 3    ⁺    “ ₇ • 37 + •••)•

44. Die Funktion fix) = arc sin x mit Hilfe der für sie gültigen Formel (1 - #²)/> + ²)(#) - (2w + l)xfn + 1\x) - n²f(”\x) = 0 (vgl. Nr. 21, S. 16) in eine unendliche Reihe zu entwickeln.

Für x = 0 nimmt die soeben erwähnte Formel die Gestalt an

für x = 0 den Wert + 1

f(n+²) (0) =    (0). Da nun f'(x) = - _ ₂

(vgl. Nr. 2, S. 9), und f"(x) =--—4

(1 — a:²)-

NuRhat, so wird f"\0) = 1, /W)(0) = 3², f(VII\0) = 5² • 3², • • ■ f^n + *>(0) = (2n — l)²(2n — 3)²- • • 5²- 3², während alle Ableitungen gerader Ordnung verschwinden. Die Anwendung der Maclaurinschen Reihe liefert:

x2n + 1

für x = 0 den Wert

xs

xb

arc sin # == # -f —;    • 3²-f — • 5²- 3²-l-----(

oder

(2n + l)!

(2w-l)²(2w-3)²--.5²-3²+-..

, 1 xs , 1-3 x⁵ . 1-3-5 x1 arc sin # = # + — •    4

2-4 5

2-4-6 7

4-----b

1 - 3 • 5 • • • (2 w — 1) x2n + 1 2 n 4- 1

Das Konvergenzkriterium von Cauchy zeigt, daß diese Reihe für — 1 < x < 1 konvergiert, für | x | > 1 divergiert. Auch für x = + 1 bleibt die Konvergenz bestehen, denn wenn man x = 1 setzt, ergibt sich

l • 3 • 5

die Reihe 1 + 44+FS ‘ T +

• Y H----; aber ihre Glieder,

2-4-6

vom zweiten an gerechnet, sind kleiner als die Glieder der Reihe

1-3-5

— -f — -f 2 ~ 2 • 4 ~

2-4-6

-f- • • •. Diese Reihe kommt vor, wenn

2 • 4 • 6 - 8

man ]/l -f- x für x = — 1 nach der Binomialformel entwickelt, sie ist nämlich gleich 1 — []/l -j- x] = 1 und konvergiert daher.¹)

X— — 1

Übrigens ist auch hier eine ähnliche Bemerkung zu machen wie bei der in Aufg. 41 abgeleiteten Reihe für arc tg#: die Funktion arcsin x hat unendlich viele Werte, da sin x = sin (x + 2kit) ist, wo 1t eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Die Reihe stellt den Wert von arc sina: dar, der für x = 0 gleich Null wird; daher liegt der Arkus in dem Intervall von — ~ n bis -)- i #-

45. Die Funktion e? sin y der beiden Veränderlichen x und y in eine Maclaurinsche Reihe zu entwickeln.

Man findet

e* sin y = y + xy + y(3x² — y²) +    — lf) +

+ y ?/(5xà— 10x²y²-j-yé) 4----.

Wie am Schluß von § 12 bemerkt wurde, kann man mit Hilfe von Reihenentwicklungen häufig leicht die Grenzwerte der in unbestimmter Form auftretenden Ausdrücke bestimmen. Hierzu seien folgende Beispiele gegeben.

COSÆ

46. f(x) = —

Hier ist (vgl. Nr. 8, S. 80)

, man

bestimme /’(0) =    •

M-

n.1

to|

<N

wo d eine mit x verschwindende Größe bezeichnet; daher wird f(0) =

47. f(x) = a- X^X

, man bestimme /*(0) = ^ •

1) Bezüglich des Nachweises, daß das Restglied Bn bei der Reihe für arc sin x im Intervall —l<^æ<^l nach Null konvergiert, sei auf W. Franz Meyer „Differentialrechnung“ (Sammlung Schubert Nr. 10), Leipzig 1901, S. 305ff. verwiesen und für die Grenzfälle x — + 1 auf eine Abhandlung von L. Saalschütz, Archiv d. Math. u. Physik, 3. Reihe, Bd. 5 (1903), S. 196ff.

Hier ist (vgl. Nr. 5, S. 80)

f(x) - {1 + 2x\n a + ⁽-^A! + • ■ • - (l + 3* ln b + ⁽^jb)‘

man bestimme /’(O) = oo — oo.

= 2 ln a — 3 ln b -f d, wo ó mit x verschwindet; folglich ist f(0) = 2 ln a — 3 ln b. 48. f{x) =    ;,

Hier ist

/W =

æ²— sin²a:

æ²sin²æ

a;²—

(*

“3!

a;⁴ (1 -|- f)

wo d und e mit x zugleich verschwinden; daher ist /'(O) =

§ 14.

Konkayität und Konvexität. Wendepunkte.

1. Ist für irgend einen Punkt P einer Kurve fix, y) = 0 die erste Ableitung ^ oder y =}= 0, während die folgenden Ableitungen

bis zur in—l)ten einschließlich verschwinden, aber

oder yW einen

dny

dxn

von Null verschiedenen Wert hat, so kehrt bei geradem n die Kurve im Punkt P der positiven ^/-Achse die konkave oder konvexe Seite zu, je nachdem positiv oder negativ ist. Bei ungeradem n ist P ein Wendepunkt mit einer gegen die x-Achse geneigten Tangente (Wendetangente). Ist jedoch y= 0, während wieder die folgenden Ableitungen bis zur in — l)tea einschließlich verschwinden, aber yW von Null verschieden ist, so hat die Kurve bei geradem n und vertikal aufwärts gerichteter positiver y- Achse im Punkt P ein Minimum oder Maximum, je nachdem ypositiv oder negativ ist^ bei ungeradem n ist P ein Wendepunkt⁴) mit einer zur x-Achse parallelen Tangente.

2. Sind für einen Kurvenpunkt die Werte y und y" von Null verschieden, so kehrt die Kurve in diesem Punkt der x-Achse die

konvexe oder konkave Seite zu, je nachdem y und y" g'leiche oder entgegengesetzte Vorzeichen haben («/ • y" positiv oder negativ ist).

3. Die Wendepunkte einer algebraischen Kurve ntor Ordnung, die in homogenen Koordinaten die Gleichung f(x, y, z) = 0 hat, liegen zugleich auf einer algebraischen Kurve 3(w —2)ter Ordnung (Hesseschen Kurve), die die Gleichung hat:

fl 1 /12 /l3

= 0,

23

fn f%2 f\ fai /*32 fzz

wobei die Indizes 1, 2, 3 partielle Ableitungen nach x, y, z andeuten.⁵) Auch liegen auf dieser Kurve diejenigen Punkte von f(x, y, z) = 0, für die f\, f₂ und f.ä verschwinden, Punkte, denen der nächste Paragraph gewidmet ist.

Beispiele.

1.    Man zeige, daß die Kurve y=x⁶—6x⁷-\-llx—6 = (x—l)(x—2)(x—3) in ihrem im Endlichen gelegenen Schnittpunkt mit der y-Achse der positiven «/-Achse die konvexe Seite zukehrt. Vgl. Fig. 2, S. 3.

y" wird gleich — 12, also negativ.

2.    Zu zeigen, daß die Kurve f(x, y) = Qx⁷ — 12 x y -j- 5«/⁷ + 25 = 0 im Punkt x = 5, y = 5 der positiven «/-Achse die konkave Seite zukehrt.

Die zweite Ableitung y" = —

S. 36) wird gleich ® > 0.

3. Zu zeigen, daß die Kurve y = sin x überall der x- Achse die konkave Seite zu-

(vgl. Nr. 1,

/n^-g/is/iA+Gs/;

kehrt, abgesehen von ihren Schnittpunkten mit dieser Achse, die Wendepunkte sind. (Vgl. Fig. 6, S. 10).

Das Produkt y. y" ist gleich — sin⁷ x, also im allgemeinen negativ. Für die Schnittpunkte mit der x-Achse ist y = 0 und

y" = o, jr+o.

4. Die Ellipse    — 1 = 0 kehrt

in ihrem ganzen Verlauf der x- Achse die konkave Seite zu.

yy" = -

ZP + a*y'⁷

<0.

Fig. 34.

5. Man bestimme, für welches Intervall der Abszissen von Punkten die Kurve y -f- 3&⁶— 6x² = 0 der x-Achse die konvexe oder konkave

a⁷

Seite zukehrt, bestimme den Wendepunkt der Kurve und dessen Tangente (Fig. 34).

yy" = 18#² (2 — 3F) (2 — x). Für —oo < x < | ist die Kurve zur x- Achse konvex, für ~ < x < 2 konkav, für 2 < x < oo konvex. Die Kurve berührt die x-Achse im Koordinatenanfang, schneidet sie an der Stelle x = 2, der Punkt x = \, y = y ist ein Wendepunkt mit der Tangente 361 — 9 rj — 8 = 0.

6. Durch welche Gleichung sind die Parameter t der Wendepunkte der Zykloide bestimmt? vgl. auch Aufg. 7, S. 47.

Es soll rp'il>"—ÿ'(p" verschwinden (vgl. Nr. 3, S. 36), während y" 4=0 ist, und diese Forderungen liefern cos t = —, woraus hervorgeht, daß nur im Fall b < a (bei der gestreckten Zykloide) Wendepunkte vorhanden sein können, nicht aber, wenn b > a ist (bei der verschlungenen Zykloide). Dem Fall b = a entspricht die gemeine

Zykloide, die an den durch cos t = - = 1 bestimmten Stellen sogenannte Rückkehrpunkte oder Spitzen hat (vgl. § 15). Figur 35 stellt diese drei verschiedenen Fälle dar.

Jt

2~

ZJC

Fig. 35.

7. Bei der Kurve y = f(x) soll mit Hilfe der Ableitungen y und y" die Bedinguug dafür aufgestellt werden, daß die Kurve in einem Punkt P

a)    der positiven x-Achse die konkave oder konvexe Seite zukehrt,

b)    der ?/-Achse die konvexe oder konkave Seite zukehrt.

a) Die Kurve kehrt der positiven x-Achse die konkave Seite zu, d*x

y'3 • y” > 0 ist (vgl. Aufg. 9, S. 42).

> 0 oder also wenn —

wenn

Da nur das Vorzeichen dieses Ausdrucks in Betracht kommt, kann

dy²

man auch sagen: die Kurve kehrt der positiven x-Achse die konkave oder konvexe Seite zu, je nachdem y • y" negativ oder positiv ist.

b) Die Kurve kehrt der ^/-Achse die konvexe oder konkave Seite zu, je nachdem das Produkt xy y" negativ oder positiv ist.

8.    Zu zeigen, daß die Parameter ft der Wendepunkte der durch eine Gleichung in Polarkoordinaten r = f(&) gegebenen Kurve aus der Gleichung r²+2/²—rr” = 0 bestimmt werden.

Setzt man x=r cos U = <p(U), y=r sin = so soll cp'iy" — ip'cp" verschwinden; im vorliegenden Fall wird —i// cp" = r²-\- 2r'² — rr".

9.    Unter Benutzung dieses Ergebnisses zeige man, daß die Wendepunkte der Kurve r = mit Hilfe von /‘(ft) -f f"(&) = 0 zu bestimmen sind, so lange f(&) =(= 0 und /’(D’) • sin ft -f- f\&) cos D- =(= 0 ist.

Setzt man x = r cos tt, y = r sin ft, so wird nunmehr

m) + rm

f(&) { /'({>) sin & -f- f'(&) cos &}

&JL = dx²

10. Die Gleichung der Hesseschen Kurve des Cartesischen Blattes

x³ + y³ — 3axy = 0

(Fig. 36) zu bilden.

Man erhält

%³ Ą- y³ Ą- axy = 0,

Fig. 36.

180°

eine Gleichung, die aus der gegebenen entsteht, wenn x durch — 3x und y durch —3y ersetzt wird. Die Hessesche Kurve läßt sich also aus dem gegebenen Cartesischen Blatt dadurch ableiten, daß man dieses um den Koordinatenanfang 0 um dreht und von 0 aus auf ein Drittel verkleinert.

Weitere Aufgaben, insbesondere über Wendepunkte, finden sich

in § 20.

§ 15.

Bestimmung you singulären Punkten bei ebenen Kurven.

1. Eine Kurve f(x, y) = 0 hat an der Stelle x, y einen singulären Punkt, wenn die Koordinaten x, y außer f(x,y) = 0 die Gleichungen /j = 0 und = 0 erfüllen. Hierbei wird noch vorausgesetzt, daß die Funktion fix, y) eine eindeutige Funktion von x und y ist, also z. B. x oder y nicht unter einem Wurzelzeichen auftreten.⁸) Die beiden Koordinaten x, y müssen also drei Gleichungen genügen, woraus hervorgeht, daß eine Kurve im allgemeinen keine singulären Punkte hat, vielmehr ist das Auftreten eines solchen Punktes aD eine gewisse Relation zwischen den Koeffizienten von f(x, y) gebunden

2. Wenn nicht auch noch die Ableitungen zweiter Ordnung fn, f₁₂, f₂₂ für das einem singulären Punkt zukommende Wertepaar x, y seiner Koordinaten verschwinden, so liegt ein Doppelpunkt (zweifacher Punkt) der Kurve vor und zwar

ein eigentlicher Doppelpunkt (Knotenpunkt), wenn A = /j⁹₂ — /’₁₁/’₂2>0, ein Rückkehrpunkt (Spitze, stationärer Punkt), wenn A = 0, ein isolierter Punkt (Einsiedler), wenn A < 0 ist.

Allerdings können im Fall A = 0 auch höhere Singularitäten als nur ein Rückkehrpunkt auftreten.⁹)

In einem Doppelpunkt treffen sich zwei Kurvenzweige, jeder von ihnen hat eine Tangente, und die Winkel a, die diese Tangenten mit der positiven Richtung der x- Achse bilden, ergehen sich aus der für tga quadratischen Gleichung

/s2 tg⁹ « + % tgCC+ fn = 0.

Je nachdem A > 0, =0 <0 ist, sind die beiden vom Doppelpunkt aus möglichen Fortschreitungsrichtungen auf der Kurve reell und verschieden, zusammenfallend oder konjugiert imaginär.

3.    Stellt f(x, y) = 0 eine algebraische Kurve dar und wird die Funktion f(x, y) mit Hilfe von z homogen gemacht, indem man x und y durch x : z bzw. y : z ersetzt und die Nenner entfernt, so lassen sich die Gleichungen fix, y) = 0, /j = 0, f₂ = 0, die die Koordinaten eines Doppelpunktes erfüllen müssen, durch /j = 0, f₂ = 0, f₃ = 0 ersetzen, wo f₃ die partielle Ableitung von f(x, y, z) nach z bedeutet.

4.    Eine Kurve hat an der Stelle x, y einen dreifachen Punkt, wenn die Koordinaten x, y nicht nur die Gleichungen fix, y) = 0, /i = 0 und f₂ = 0, sondern auch noch fn = 0, f₁₂ = 0, f₂₂ = 0 erfüllen.

5.    Der Koordinatenanfang ist ein Doppelpunkt einer algebraischen Kurve, wenn das absolute Glied und die linearen Glieder in der Gleichung der Kurve fehlen; die Gliedergruppe, die in x, y homogen vom zweiten Grad ist, stellt, gleich Null gesetzt, die beiden Doppelpunkttangenten dar. Fehlt auch diese Gliedergruppe, so ist der Koordinatenanfang ein dreifacher Punkt; die Gleichung, die sich durch Nullsetzen der Summe aller Glieder dritten Grades in x und y ergibt, zerfällt in die der drei Tangenten des Punktes.

6. Eine durch eine Parameterdarstellung x = cp (t), y = i’(t) gegebene Kurve hat an der Stelle x₀, y₀ einen Doppelpunkt, wenn die Funktionen cp (t) und tfj(t) für zwei verschiedene Werte und t₂ des Parameters t dieselben Werte x₀ = cp(t^) = cp(t₂), y₀ =    = ÿ(t₂)

annehmen. Verschwinden für einen und denselben Wert t die Ableitungen cp'(f) und    so ist t der Parameter eines Rückkehr

punktes.

Beispiele.

1.    Man untersuche, ob die Kurve xz + 9x² — y² + 24x -f 6y + 11=0 einen Doppelpunkt hat und gebe, wenn dies der Fall ist, seine Koordinaten und die Gleichungen seiner Tangenten

an

(Fig. 37).

Man findet x = — 2, y = 3; die Tangenten eines Doppelpunktes x, y sind allgemein bestimmt durch

(l ~ Vffn + 2(% — x)(rj — y)fn + (£ - x)²fu = 0,

L.x

im vorliegenden Fall durch

-2(^-3)²+ 6(| + 2)² = 0, d.h. fl-3-±V3(i + 2).

Fig. 37.

2.    Die gleiche Aufgabe für die Kurve

æ³ - 4x² - 3y² + 12y - 12 = 0.

Der Punkt x = 0, y = 2 ist ein isolierter Punkt; seine beiden Tangenten sind gegeben durch 8£² + 6(77 — 2)² = 0.

3.    Die gleiche Aufgabe für die Kurve xz + xy² — 2x² — 2y + 2 = 0. Hier ist x = y =. 1 ein Rückkehrpunkt mit der Tangente

£ + ri - 2 = 0.

4.    Zu zeigen, daß die Kurve æ⁴ + 12æ³— 6î/³+ 36æ² + 27?/²— 81 = 0 drei Doppelpunkte hat; ihre Koordinaten und Tangenten sind anzugeben.

0,    y =    3    mit    den    Tangenten    2£ dt ]/S(r} — 3) = 0,

—    3,    y =    0    mit    den    Tangenten    2(£ + 3) ±    = 0,

—    6,    y =    3    mit    den    Tangenten    2(| + 6) + (jj —3)]/3    = 0.

x =

X =

X =

5.    Die Kurve a?⁴ + t/⁴ — 2x² — 2y² + 1 =0 hat vier Doppelpunkte. Da eine nicht zerfallende Kurve vierter Ordnung höchstens drei Doppelpunkte haben kann, wie in der Theorie der höheren ebenen Kurven gezeigt wird, muß die vorgelegte Gleichung zwei Kegel-

schnitte darstellen, deren Schnittpunkte die Doppelpunkte sind. Man bestimme diese sowie die beiden Kegelschnitte.

Die Schnittpunkte sind x = 0, y = ± 1 und y = 0, x = + 1; die Kegelschnitte (zwei Ellipsen) sind gegeben durch x² + ?/² — 1 ± xy Y2 = 0.

6.    Die Kurve (x²-\-y²)²— («²a?² -f- b²y²) = 0 (Fußpunktkurve einer Ellipse mit bezug auf den Mittelpunkt der Ellipse als Pol, vgl. Aufg. 3, S. 62) hat im Koordinatenanfaug einen isolierten Punkt. Vgl. Fig. 21, S. 62. Die Lemniskate (x² + y²)² — a²(x²—y²) = 0 (Fußpunktkurve der gleichseitigen Hyperbel x² ~ y² — a² = 0 mit bezug auf den Mittelpunkt als Pol, vgl. Aufg. 4, S. 62) hat im Koordinatenanfang einen eigentlichen Doppelpunkt. Vgl. Fig. 16, S. 54.

7.    Welche Singularität hat die Kurve xi + y^ -f- 4x²y — 2ys = 0 im Koordinatenanfang?

Sie hat einen dreifachen Punkt mit den Tangenten 7] = 0, rj = -f- £ j/2 und rj = — £]/2 (vgl. Fig. 38).

8.    Soll eine Kurve zweiter Ordnung

anx²+2a₁₂xy + a₂₂y² + 2anx + 2any + «₃₃ = 0

einen Doppelpunkt haben, also in ein Geradenpaar zerfallen, so muß die Determinante

verschwinden.

*Kl ®12 ^13 1 ^'22 ®23

a3l a₃₂ a₃₃

Fig. 38.

Dies folgt daraus, daß, wenn man die Kurvengleichung mit Hilfe von z homogen gemacht hat, die drei homogenen linearen Gleichungen fi = 0, f₂ = 0, f₃ = 0 nebeneinander bestehen müssen.

9. Man zeige, daß die durch die Parameterdarstellung x = at cos t7 y — at sin t gegebene Archimedische Spirale an den Stellen t = dt (n -f- y)jt, n = 0, 1, 2, ..., Doppelpunkte hat (vgl. Fig. 10, S. 38).

Nr. 6, S. 101) folgt l¹

oder sin tx cos t₂ — cos tx sin t₂ = 0,

cos

Aus x = atL cos tx = at₂ cos t₂, y = atx sin t₁ = at₂ sin t₂ (vgl. cos t₂ sin t2 \ sin

somit — t₂ = ± Jen, wo Je eine positive ganze Zahl oder Null bedeutet. Wäre nun Je eine gerade ganze Zahl oder Null, so würde cos tt = cos t₂, sin tl = sin t₂ und mit Rücksicht auf tl cos tt = t₂ cos t₂, sin tx = t₂ sin t2 auch = t₂ folgen, die Forderung in Nr. 6, S. 101 also nicht erfüllt sein. Ist aber Je eine ungerade ganze Zahl, etwa 2n -f- 1, so wird

cos

und mit Rücksicht darauf, daß diese Quotienten auch gleich tx : t2 sein müssen, folgt tx = — t₂ = ± (n + .V)

10. Sind cpt(t), <p₂(Q, Vziß) ganze Funktionen zweiten Grades des Parameters t, etwa (px (t) = aj² -f- 2    (i= 1, 2, 3), so bilden

die Gleichungen

₌___«?»(*) cps (t)_

« qp* (*) % (0 + 6 % (*) 9i (0 + C qPi (t) (pi (t) ’

¹

N. H. Abel hat näher untersucht, welche Funktion durch die Reihe für (i 4- x)m dargestellt wird, wenn x und m komplexe Zahlen sind. Auch den Konvergenzhereich hat Abel bestimmt. Ygl. Journal für die reine und ange

²

wandte Math., Bd. 1 (1826), S. 311—339 = Œuvres complètes, hrsgg. von Sylow

³

und Lie, Bd. 1, Christiania 1881, S. 219—250 = Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 71, hrsgg. von A. Wangerin.

⁴

Mitunter bezeichnet man alle diejenigen Punkte P einer Kurve als Wendepunkte, für die die zweite Ableitung y" verschwindet, ohne Rücksicht darauf, ob die nächste nicht verschwindende Ableitung von ungerader oder gerader Ordnung ist, also ohne Rücksicht darauf, ob wirklich in P ein Übergang von Konkavität in Konvexität stattfindet oder nicht. An solchen Stellen liegen mindestens drei aufeinanderfolgende Punkte der Kurve auf einer Geraden, der einer solchen Stelle zugehörige Krümmungsradius (vgl. § 18) ist unendlich groß. Ein eigentlicher TFewdepunkt liegt aber nur dann vor, wenn die Anzahl dieser einander folgenden Punkte ungerade ist; bei gerader Anzahl nennt man die betreffende Stelle mitunter einen Flachpunkt (uneigentlichen Wendepunkt).

⁵

Hier sind unter Wendepunkten die eigentlichen und uneigentlichen

⁶

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

⁷

Wendepunkte (Flachpunkte) verstanden.

⁸

   Beispielsweise hat die Kurve F(x,y) = y — (x — a)\x — 6 = 0 an der Stelle x — a, y = 0 einen Doppelpunkt, die partiellen Ableitungen und F» verschwinden jedoch nicht für x — a, y — 0; wird aber die Gleichung der Kurve in die rationale Gestalt f{x,y) = y'⁸ — (x — a)⁹ (x — 6) = 0 gebracht, so verschwinden /i und f für x — a, y = 0.

⁹

   Vgl. hierzu G. Salmon, „Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven“, deutsch bearb. von W. Fiedler, 2. Aufl. Leipzig 1882, S. 280—283; H. Wieleitner, „Theorie der ebenen algebraischen Kurven höherer Ordnung“, Sammlung Schubert Nr. 43, Leipzig 1905, insbesondere § 28 und § 30—34.

₌__ß % (0 qpi (0_

J a qp₂ (0 qps (0 + & qp₃ (t) qpx (t) + C qpx (t) (jP₂ (f) '

in denen a und /3 Konstanten bedeuten, die Parameterdarstellung einer Kurve vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten. Die Parameterpaare, die zu den Doppelpunkten gehören, sind die als verschieden vorausgesetzten Wurzeln der Gleichungen <pt.(Q = 0 (i = 1, 2, 3). Die Koordinaten der Doppelpunkte sind anzugeben.¹)

y = 0 ; die zwei Wurzeln

Fiir die beiden Wurzeln von <pM) = 0 wird x =

zwei Wurzeln von <3P₂ (0 = 0 liefern x = 0, y= die von <p₃ (O = 0 ergeben x = y = 0.

§ 16.

Bestimmung der Asymptoten ebener Kurven.

Unter Asymptoten versteht man die in den unendlich fernen Punkten einer Kurve gezogenen Tangenten.

Ord-

ter

1. Will man die Asymptoten einer algebraischen Kurve n nung fix, y) = 0 bestimmen, so ordnet man zunächst ihre Gleichung nach homogenen Gliedergruppen, also folgendermaßen:

f{x, y) = f₀(x, y) + fx(x, y) -f f₂(x, y) Ą-----h fjx, y),

wo f₀(x, y) die Summe aller Glieder bezeichnet, die in x,y homogen vom nten Grade sind; ferner bedeutet fx(x,y) das im (n — l)ten Grade homogene Aggregat, allgemein fk{x, y) das im (n — 7Qten Grade homogene Aggregat. Das Glied fn(oc, y) ist somit eine Konstante.

Beschränken wir uns vorerst auf Asymptoten, die nicht zur y -Achse parallel sind, so können wir die Gleichung einer solchen in der Form y = px + ą annehmen. Zur Bestimmung von p ersetzt man

in f₀(x, y) die Größe x durch 1, y durch p. So erhält mau einen Ausdruck f₀(l,p), der kürzer mit cp₀(p) bezeichnet sei. Er wird im allgemeinen vom nten Grade sein. Die Wurzeln der Gleichung cp₀(p) = 0 sind die Richtungskoeffizienten der n Asymptoten. Sollte <jp₀(p) von niederem Grade als n sein, so ist dies ein Zeichen dafür, daß die Kurve auch Asymptoten hat, die zur y-Achse parallel sind; über sie wird unten näheres angegeben werden. Zur Bestimmung von q bildet man die Gleichung (p₁(p) + qy'o(p) ⁼ 0; w0 <PiCP)    iden

tisch ist, während cp₀'(p) die Ableitung von cp₀(p) bezeichnet. Jeder Wurzel p von cp₀(p) = 0 wird auf solche Weise eine Größe q zugeordnet, und y = p>x + q ist alsdann die Gleichung einer Asymptote.

Fehlt das Aggregat f\(x, y) in der Kurvengleichung f(x,y) = 0 und hat cp₀(jp) keine mehrfachen Faktoren, so sind sämtliche Größen q gleich Null, und die linearen Faktoren von f₀(x, y) stellen alsdann, gleich Null gesetzt, die Asymptoten der Kurve dar.

Hat (p₀(p) = 0 eine Doppelwurzel p — pl7 für die (p₁(jp) verschwindet, so kann jede Gerade y = pxx + q, wo q eine beliebige Konstante ist, als (uneigentliche) Asymptote betrachtet werden. Insbesondere aber sind dann diejenigen beiden Geraden die eigentlichen Asymptoten der Kurve, für die sieli q aus

<P*(P) + 2<Pi(p) + y <Po'(p) = ⁰

bestimmt, wobei <p₂ (p) = f₂ (1, p) ist.

Das Kennzeichen für das Auftreten zur y- Achse paralleler Asymptoten x — li ist bereits erwähnt worden. Zur Bestimmung von h dividiert man die Gleichung der Kurve durch die höchste in ihr auftretende Potenz von y und setzt nun y = oo ; es bleibt alsdann eine Gleichung für x, deren Wurzeln die gesuchten Größen li sind.

2.    Ist die Kurve durch eine Parameterdarstellung x = cp{t),

y = iy(t) gegeben, so untersucht man zunächst, ob es Werte t gibt, für die nur eine der beiden Funktionen (p{ß),    unendlich groß wird,

während die andere endlich bleibt. Ist z. B. <p (t) = oo für t = r, hingegen ^(t) = c, so ist y = c eine Asymptote der Kurve. Werden beide Funktionen cp(t) und iy(t) für t = t unendlich groß, so haben die Asymptoten der Kurve im allgemeinen Gleichungen von der Form

y=px + q, wobei p = lim , q = lim —p<p(f)]-

t VW    t—t .

3.    Der Fall, daß die Gleichung einer Kurve in der Form y = f(x) vorliegt, ist auf den soeben behandelten zurückfiihrbar, man braucht nur x = (p(f) zu setzen und erhält dann y = f\<p(£)] = tKO, ⁰⁽^er man setzt (oft noch einfacher) x = t, y = f(t).

4.    Ist eine Kurve durch ihre Gleichung in Polarkoordinaten f(r, = 0 gegeben, so bestimmt man zunächst durch die Annahme r — oo die Polarwinkel ft, denen unendlich große Radienvektoren zugehören, d. h. man bestimmt die Richtungen der Asymptoten. Durch Berechnung der zugehörigen Polarsubtangente (ygl. Nr. 4, S. 66) findet man alsdann die Lage der Asymptote.

5. Auch die Asymptoten einer in der Form f(x, y) = 0 gegebenen Kurve lassen sich mit Hilfe von Polarkoordinaten bestimmen. Man setzt Æ = rcosfi-, y = r sin fi- und sucht, wie eben angegeben, die Richtungen der unendlich fernen Punkte der Kurve. Erhält man für ft einen rechten Winkel, so liegt eine Asymptote x = k vor, wo h so zu bestimmen ist, wie oben in Nr. 1 gezeigt wurde. Die übrigen Asymptoten, nämlich diejenigen, die nicht zur x-Achse rechtwinklig sind, haben Gleichungen von der Form y = px + q, wo p = tgr ist, während sich q aus der Gleichung ergibt, die entsteht, wenn man y = x tgr -f q in f(x, y) = 0 einträgt und nun x = oo setzt.

Beispiele.

1.

2x² — öxy + 3y² — Ix -f- Ay — 12 = 0.

Die Asymptoten sind y = x -f 3 und 2x — 3y — 13 = 0.

2.    öx³ — 8x²y -f 3xy² -f- 2y³ + 3x² — öxy — y² -f öx — 20 = 0. Asympt.: \x — 4y -J- 3 = 0, 84# -f 28y + 9 = 0, Ix — 14y -j- 1 = 0.

3.    2#³ — x²y + (a — 2b)xy + 5ci²x -f 2aby — b³ = 0.

Asympt.: 2x — y + 2(a — 2b) = 0, x = a, x = — 2b.

4.

x² — 'öxy² — 2y³ — 4x + 8y — 8 = 0.

Eine Asymptote ist y = {x; jede Gerade y = — x + q mit beliebigem Zahlenwert q ist eine uneigentliche Asymptote, während q = a und q = — a die eigentlichen Asymptoten darstellen.

5.

y²{cc — d) — x²(x -f a) = 0.

Asympt.: y = x -\- a, y = — x — a, x = a.

6.

y⁼ xT-[ ■

Asympt: y = x, x = 1, # = — 1.

7. Das Cartesische Blatt x³ -f yA — 3axy = 0 hat eine reelle und zwei imaginäre Asymptoten: die reelle Asymptote ist zu bestimmen. Vgl. Fig. 36, S. 99.

t(t* — 4)

9. Die gleiche Aufgabe für die Kurve y

deren Glei-

ae* -f- b V ~ce* + d

chung durch x = —

Die Asymptoten sind y = *

cex -f- d

ersetzt werden kann.

äi! Cr-

und x —

mit Hilfe von x = ¹

10. Die gleiche Aufgabe für y =    ^

cex +d

a -\-bt

^ t(ce* + d)

Man findet

ln(- )

Cb

und (für t = 0) y =

ax

bc -\-bd — ac

(c + dy ■

<ïp a

zu be-

11. Die Asymptote der hyperbolischen Spirale r = stimmen, wo ay> 0 sei.

Die Asymptote ist zur Æ-Achse parallel; die ihrem unendlich

r-

fernen Punkt zugehörige Polarsubtangente wird y = — a, also er

hält man y => a, unter Rücksicht auf die in Nr. 5, S. 66 gegebene Regel (Fig. 39).

12. Die entsprechende Aufgabe für den Kegelschnitt r =

wo s die nu-

2(1— s cos &)

merische-Exzentrizität, p den Parameter der Kurve, d. h. die Länge der durch einen reellen Brennpunkt rechtwinklig zur Hauptachse gezogenen Sehne bedeutet.

Die Richtungen der Asymptoten bestimmen sich aus cos & = * ,

Fig. 39.

~x

sind daher nur reell, falls £>1 ist, also bei der Hyperbel und der Parabel, und zwar liegen die zwei unendlich fernen Punkte der Hyperbel in

den Richtungen at₀= arccos * und 2n— fi-₀, bei der Parabel liegen

beide zusammen auf der Achse der Kurve. Die Polarsubtangente

für die

wird bei der Hyperbel gleich 2 g.^ oder gleich

zu

&₀ gehörige Asymptote, gleich

+ 2 V«² — i für die zu 2n — ge-

— 2 pV — 1

hörige Asymptote. Diese Geraden haben in rechtwinkligen Koordinaten die Gleichungen

2(s² — l)x — 2y]/s'² — 1 -f- ep = 0 und 2(f² — l)x -f- 2yy/s² — 1 Ą- ep= 0,

wenn die Achse der Polarkoordinaten als x-Achse und der Pol als Koordinatenanfang gewählt wird.

Bei der Parabel ist die unendlich ferne Gerade Tangente in den zwei zusammenliegenden unendlich fernen Kurvenpunkten.

Weitere Aufgaben zur Asymptotenbestimmung findet man in § 20.

§ 17.

Maxima und Minima (extreme Werte) einer Funktion.

I. Funktionen von einer Veränderlichen.

1.    Wenn die Ordinate y des Punktes P der Kurve y = f(x) einen extremen Wert haben soll; muß jedenfalls (vgl. S. 96) die für den Punkt P gebildete erste Ableitung y verschwinden, und zwar ist y ein Minimum oder Maximum, je nachdem die für P gebildete zweite Ableitung y" positiv oder negativ ist.

Hierbei sei auf einen besonderen, häufig eintretenden Fall aufmerksam gemacht. Will man das Vorzeichen von y" bestimmen,

wenn y ein Bruch - ist, so genügt es, die aus y =0 oder u — 0

u'

erhaltenen Werte x einzusetzen in : wenn überdies v eine für alle

v ⁷

reellen Werte x positive Größe ist, stimmen die Vorzeichen von y" und u überein, man hat dann nur das Vorzeichen zu bestimmen, das der Wert u für die betreffende Wurzel x von u = 0 annimmt.

Wenn für den Punkt P außer y auch y" und eine Reibe weiterer Ableitungen, etwa bis zur (n — l)ten Ableitung einschließlich, verschwindet, während =}= ist, so bat die Kurve y = f(x) bei geradem n in P ein Minimum oder Maximum, je nachdem yW positiv oder negativ ist; bei ungeradem n liegt dagegen weder ein Maximum noch ein Minimum vor, vielmehr ist P ein Wendepunkt mit einer zur x- Achse parallelen Tangente.

Selbstverständlich muß die Funktion f(x) in der nächsten Umgebung der Stelle x stetig verlaufen, und gleiches muß von ihren Ableitungen gelten, so weit diese bei Bestimmung des extremen Wertes zu berücksichtigen sind.

2.    Sind x und y durch eine Gleichung f(x, y) = 0 verbunden, so tritt bei Bestimmung der Werte x, für die y ein Minimum oder Maximum wird, an Stelle von y = 0 die Gleichung /j = 0, während sich

f

fit

y" nach Nr. 1, S. 36 auf — reduziert. Hierbei ist vorausgesetzt, daß f₂=|=0 sei. Im vorliegenden Fall hat also y" denselben Wert wie

Beispiele.

Für welche Werte der unabhängigen Veränderlichen x nehmen die folgenden Funktionen einen extremen Wert an?

1.

Min.

x = 0 wi gl. Fig. 1,

= ein Max., für x = 2 wird y — — 1 ein

rICO

2.

y - 2x% — 3æ² — 36æ + 20.

ein Max.

Für x = 3 wird y = — 61 ein Min., für x = — 2 wird y = 64

3.

y = 0 - «) •

Für x = a wird y = 0 ein Min.

y = (x — df.

Kein Max. oder Min. vorhanden. Der Punkt x = a, y = 0 ist ein Wendepunkt der Kurve.

y — (x — n)”, wo w eine positive ganze Zahl sei.

Bei geradem w liefert x = a ein Min. y = 0, bei ungeradem w hat die Kurve an dieser Stelle einen Wendepunkt.

4.

5.

y = x²(x — df.

Für x = 0 und x = a wird y = 0 ein Min., für x= l a wird y = T\T a⁴ ein Max.

6.

7.    Man zeige, daß unter allen Dreiecken mit gegebenen Längen a und b zweier Seiten das rechtwinklige mit den Katheten a und b den größten Flächeninhalt hat.

Der Inhalt J — -⁴- ab sina;, wo x den von den Seiten a und b eingeschlossenen Winkel bezeichnet, wird für x = \ % ein Max.

8.    Zu zeigen, daß unter allen Dreiecken von gegebenem Umfang 2s, die man über derselben Grundlinie a konstruieren kann, das gleichschenklige den größten Flächeninhalt hat.

Der Inhalt J s{s — ci)(s — x)(a-\-x —s), wo x und 2 s —a die Längen der beiden nicht gegebenen Seiten sind, wird ein Max.,

wenn der Radikand ein Max. wird.

Dies tritt für x =

S ~ 2

9. Aus einem Stück Eisenblech von der Gestalt eines Rechtecks

ein.

ABCD (Fig. 40), dessen Seiten die Längen a und b haben, kann man durch Wegschneiden von vier gleich großen Quadraten an den Ecken und Auf biegen der übrig bleibenden Randstücke um die Kanten EF, F Gr, GH, HE einen offenen Kasten h erstellen. Wie groß ist die Seite x der Quadrate zu wählen, damit das Volumen V des

Kasten von größtem Volumen. Wasser größter Dichtigkeit.

Kastens möglichst groß wird?³) Wie groß ist insbesondere wählen, wenn das Rechteck AB CB ein Quadrat ist (6 = «)? Vgl. auch Aufg. Nr. 5, S. 146.

V = x(a — 2x)(b — 2x). Man findet x =

Ausdruck, der sich für b = a auf x — -jf a reduziert.

109

X zu

«j-ii — y«⁴ -)- b⁴ — ab

ein

r-~ *

Fig. 41.

Fig. 40.

10.    Durch den im ersten Quadranten des Koordinatensystems gelegenen Punkt P (x = a, y = &) wird eine Gerade gezogen, die die positiven Teile der Koordinatenachsen in M und N schneidet (Fig. 41); man zeige, daß der kleinste Wert, den die Summe s = OM -j- ON der Achsenabschnitte annehmen kann, gleich a + 2 Y ab + b ist.

Setzt man OM=x, so wird s = x 4—

;    x

ergibt x = a + Y ab.

11.    Setzt man das Volumen einer Wassermenge von der Temperatur 0° gleich 1, so ist nach Untersuchungen von H. Kopp⁴) das Volumen bei der zwischen 0° und 25° Celsius gelegenen Temperatur t gegeben durch

bx ds A j = 0 und

— a’ dx

d-s

dx⁴

>0

vt=l- 0,0000610451 + 0,0000077183C - 0,000000037341\

Bei welcher Temperatur ist das Volumen am kleinsten, also die Dichtigkeit am größten?

t = 4°,075.

12. Für die spezifische Wärme ct des Wassers bei einer Temperatur von t° Celsius gilt die Formel⁵)

c, = 1 - 0,000 66841 + 0,000010921²;

bei welcher Temperatur ist die spezifische Wärme ein Minimum?

t = 30°,6.

13. Ein Punkt Px bewegt sich von A aus in der Richtung nach B mit konstanter Geschwindigkeit v₁. In demselben Augenblick, in dem B₁ seine Bewegung von A aus beginnt, verläßt ein Punkt P₂ die Stelle B und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v₂ in der Richtung nach C (Fig. 42). Dabei ist gegeben 4ü = fl, ^fcABC=ß. Nach welcher Zeit t ist der Abstand B₁P₂ der beiden Punkte ein Minimum?

Es ist P₁P₂² = (a — vxt)²-\-v₂t² — 2(a — v₁ t)v₂t cos ß, und dieser

Ausdruck wird ein Minimum für t —

a(v, v₂ cos ß)

Vl ²+ V2 ² + 2 V1 C0S ß

vz

JC

a-jc

P, -+v,

Fig. 42.

Fig. 43.

14. Seitwärts von dem Hauptstrang ON einer geradlinig verlaufenden Wasserleitung liegt im Abstand AB =6 das Gebäude B und es ist OA = a (Fig. 43). Von welcher Stelle P des Hauptstranges muß man die nach B führende geradlinige Nebenleitung PB abzweigen, wenn die Gesamtkosten K möglichst gering werden sollen und angenommen wird, daß längs der Strecken OP, PN, PB die Kosten der Anlage für die Längeneinheit bzw.    k₃ Mark betragen?

Setzt man ON = l, OP — x, so ist

daher

dK

dx

K = kxx + l'₂(l — x) + k₃ Y(a — x)² + b²

j, _ (q - x) Tcs

Y(a — xy+l)*

d²K dx²

>0.

und als-

*3

Bei Einführung des Winkels PB A = a folgt cos a = dann x == a — b cot u.

15. Ein Radfahrer fährt längs einer geradlinig verlaufenden Straße AB mit der Geschwindigkeit vt\ seitwärts von dieser Geraden liegt ein Ort C im Abstand BC=b, während AB=a ist (Fig. 44). Nach jener Seite der Straße AB hin, auf der C gelegen ist, erstreckt sich zum Radfahren ungeeignetes Gelände, man muß zu Fuß gehen, und dies geschehe mit der Geschwindigkeit v%. An welcher Stelle P der Geraden AB muß nun der Radfahrer vom Rad absteigen und geradlinig von P nach C gehen, wenn die zur Zurücklegung des Weges AP -f- PC nötige Zeit t ein Minimum sein soll?

Setzt man PB = x, so wird AP = a — x und

dH

a — x yi)²-\-x² dt vl ' v₂ ’ d x

— ₊- x ₌ 0

vi r₂) '7/J x²

X =

Vvi

bv₂

-«2

wird positiv. Man erkennt zugleich, daß die Aufgabe nur einen

dx*

Sinn hat, wenn vx > v₂ ist. Aus

X __ ₌ V* y&²-f-æ2    vi

folgt übrigens, wenn CPB = a gesetzt wird,

a-x

P/cc x

cos a = v₂ : vx,

ein Ausdruck, der von a und b ganz unabhängig ist. Daraus geht hervor, daß die Richtung, in der man von P aus abzweigen muß, von der Lage des Punktes P ganz unabhängig ist und nur von dem Verhältnis der Geschwindigkeiten vt} v₂ abhängt. Ist z. B. v₁ = 3v₂, so wird cosa = -| und a = 70° 31' 43".

W. Launhardt deutet diese Aufgabe und ihre Lösung folgender-

'«V

Fig. 44.

maßen:¹)

Längs einer Straße AB ist der Frachtsatz für Transportkosten für je einen Kilometer gleich Jc1} längs des ungebahnten Weges PC gleich 7i₂. Wo ist P anzunehmen, wenn der Transport längs AP + PC ein Minimum von Kosten verursachen soll?

Hier muß (a — x)k₁ + yxl -\- b²h₂ ein Minimum werden; man findet x : yx² + &² = \ : k₂ = cos cc. In dieser Richtung u muß der Transport von P nach C oder von C nach P erfolgen. Eine durch A rechtwinklig zu PP gezogene Gerade AD kann als Zugangsfront bezeichnet werden, denn der Verkehr aus dem seitwärts von AB gelegenen Gebiet nach AB hin muß rechtwinklig zu dieser Geraden erfolgen, wenn die Transportkosten möglichst klein sein sollen.

16. In welchem Augenblick ist beim Schubkurbelgetriebe die Beschleunigung p des Kolbens gleich Null, somit die Geschwindigkeit v ein Maximum oder Minimum?

Nach Aufg. Nr. 24, S. 18, ist

v = aco

Je sin 2 &

2|/l — Je² sin²^ > ’

1) „Theorie des Trassierens“, Heft 1, Hannover 1887, S. 20f.

ferner nacli Aufg. Nr. 25, S. 18:

p = ^ = aœ²1 cos 9 -f-

Je cos 2 -9- -(- ks sin⁴ 9 (1 — Je² sin² 9)"î

Die Forderung p = 0 liefert im Fall le =f= 1 für 9 die Gleichung 1 — sin²!! — 7c²sin'¹-9- + 7t⁴sinGft = 0, die als kubische Gleichung für sin² 9 betrachtet werden kann und den Ausdruck

A = 7c⁴(7c - 1)(7c + l)(277c²+ 5)

zur Diskriminante hat. Im Fall 7c = 1 zieht die Forderung p = 0 die Gleichung cos-9 = 0 nach sich, somit 9 = oder -|jr-

17. In welchem Augenblick ist heim oszillierenden Schubkurbelgetriebe (vgl. Aufg. Nr. 30, S. 20) die Winkelgeschwindigkeit cjj, mit der sich die Schubstange AB um B dreht (Fig. 9, S. 19), ein Maximum oder Minimum?

Aus

dm₁ abaia²— &²)sin9 dfr    (a²-f-fe²—2 ab cos 9)² ’

folgt

aw (b cos 9 — a)

⁰⁹¹ = a²-\- b² — 2 a & cos9

es kommen somit nur die Werte 9 = 0 und 9 = n in Betracht. Im Fall b > a entspricht dem Wert 9 = 0 das Maximum von co₁, nämlich

r———, dem Wert 9 = ^ das Minimum, nämlich —• b — a’    ’    b -f- a

18.    In einem von einem Wechselstrom durchflossenen Draht ist die Stromstärke J eine periodische Funktion der Zeit, nämlich

-r -j-    . 2ltt

J = J₀ sm T

(vgl. Aufg. Nr. 4, S. 10),

wo J₀ die größte auftretende Stromstärke, T die Dauer einer Periode bezeichnet, in der sich die gleiche Phase des Wechselstroms wiederholt. Welchen Werten t entsprechen die maximalen Stromstärken in der einen oder anderen Richtung?

Zu den Zeiten t = (n -f j)T, (n = 0, 1, 2, 3,. . .) erreicht die Stromstärke in der einen Richtung ihr Maximum, zu den Zeiten t = (w+ f) T in der anderen Richtung.

19.    Man zeige, daß der Effeld im äußeren Stromkreis eines galvanischen Elementes ein Maximum ist, wenn der Widerstand W im äußeren Stromkreis (in der Leitung) gleich dem Widerstand w im Element selbst ist. Hierzu werde bemerkt, daß zwischen diesen Größen, der elektromotorischen Kraft E und der Stromstärke J nach

E

dem Ohmschen Gesetz die Beziehung stattfindet J = w~~_ryy■

Unter

dem gesamten Effekt¹) versteht man das Produkt aus der elektro-

gleich dem

nun

1) Im allgemeinen verstellt man unter Effeld die in einer Sekunde geleistete Arbeit. Die von einem elektrischen Strom geleistete Arbeit ist Produkt aus der elektromotorischen Kraft E und der Elektrizitätsmenge q ; diese

motorischen Kraft und der Stromstärke, also den Ausdruck V = EJ = t7²(w + TK), der Effekt im äußeren Stromkreis ist der Summand

F, = J²kF =

E*W

• Dieser Ausdruck ist als Funktion von W zu

(w + wy

betrachten und soll ein Maximum werden. Vgl. Aufg. 50, S. 129.

Für die Rechnung ist es bequemer zu verlangen, daß der reziproke Wert von Fj ein Min. werde. Dies trifft für W = w ein.

20. Zwei Orte 1\ und P₂ sollen durch eine Eisenbahn verbunden werden, und zwar liege Px im flachen Land, P₂ auf höherem Gelände, das von einer die Orte P₁ und P₂ trennenden Geraden g gleichmäßig ansteigt. So entstehen zwei verschiedene Gebiete, die g zur Grenze haben. In dem Gebiet, das Px enthält, mögen die Eisenbahnzüge mit der durchschnittlichen Geschwindig-keit fahren, im anderen Gebiet sei die Geschwindigkeit v₂. Es wird gefragt, nach welchem Punkt Q Rj der Geraden g die Eisenbahn von Px und von P₂ aus jedesmal geradlinig zu führen ist, wenn die zum Durchfahren der ganzen Bahnstrecke notwendige Zeit t ein Minimum sein soll. Dabei seien P₁P₁ = at

Q Rz

<*z

-ff

az

Fig. 45.

aber ist durch q — Jt gegeben, wenn t die Zeit bezeichnet, während deren der Strom J die Elektrizitätsmenge q geliefert hat. Somit ist die vom Strom geleistete Arbeit gleich EJt, die Leistung in einer Sekunde oder der Effekt ist EJ. Da die praktische Einheit der elektromotorischen Kraft als Volt, die praktische Einheit der Stromstärke als Ampère bezeichnet wird, führt die Einheit der elektrischen Leistung den Namen Volt-Ampère-, gebräuchlicher ist der Ausdruck Watt. In mechanischer Arbeit ausgedrückt ist 1 Watt = 0,102 Kilogrammeter (1 Sek.) = 10⁷ Erg, in Wärmeeinheiten gleich 0,24 Grammkalorien. Bezüglich des Ausdruckes Erg sei erwähnt, daß er die Einheit der Arbeit darstellt, nämlich die Arbeit, die von der Einheit der Kraft auf dem Weg von 1 cm (der Längeneinheit) geleistet wird. Die Kraft wird in der Mechanik als das Produkt aus Masse und Beschleunigung definiert; die Einheit der Kraft erteilt der Masse 1 die Beschleunigung 1 und wird Dyn genannt. Da die Anziehung der Erde der Masse eines Gramms eine Beschleunigung von rund 980 cm erteilt, ist die Kraft, mit der ein Gramm auf seine Unterlage drückt/gleich 980 Dyn; einem Kilogramm entsprechen 980000 Dyn. Offenbar ist ein Kilogrammeter gleich 98 • 10⁶ Erg. Ein elektrischer Strom von der Stärke 1 Ampère scheidet im Knallgasvoltameter bei 0° Temperatur und 760 mm Druck in 1 Sekunde 0,174 ccm Knallgas aus, im Silbervoltameter 1,118 mg Silber. — Die Einheit der elektromotorischen Kraft ist etwa gleich der elektromotorischen Kraft eines Daniellschen Elementes. Als Einheit des Widerstandes diente früher die Siemens-Einheit, der Widerstand einer Quecksilbersäule von 1 m Länge und 1 qmm Querschnitt bei 0° Temperatur, jetzt das Ohm = 1,068 Siemens-Einheiten.

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

und P₂R₂ = a.₂ die Abstände der Punkte Px, P₂ von der Geraden g, ferner sei BlB₂ = c, Pj Q = x (Fig. 45). Die Überführung der Geraden P₁Ç in die Gerade QP₂ mit Hilfe einer Übergangskurve erfordert eine besondere Untersuchung, die jetzt nicht vorgenommen werden soll.¹) Die Gleichung für die gesuchte Strecke x soll nicht aufgelöst, sondern geometrisch gedeutet werden.

, und die geometrische

Man findet t =

rj f

Deutung der Gleichung ^ = 0 liefert

ÜV + x²    }/a₂ ² -(- (c — x)²

«i

«2

wo cc₁ = ^P₁QR₁,

cos cos cc₃

V2 ’

a₂=<^CP₂Qfi₂. Bei Einführung der zu aL und a₂ gehörigen Komplementwinkel s = ^zP₁QN₁ und /3 = <Ü P₂ QN₂ erhält man sin£ = ~sinß

= n sin ß, wenn v₁ : v₂ = n gesetzt wird. Aus dieser Gleichung geht hervor, daß der Weg Px Q + QP₂ derselbe ist, den ein Lichtstrahl dem Snelliussehen Brechungsgesetz gemäß nimmt, wenn die Schwingungen des Strahles in zwei durch g getrennten Medien mit den Geschwindigkeiten v₁ und v₂ erfolgen; s ist der Einfallswinkel, ß der Brechungswinkel, n der Brechungsindex (vgl. Aufg. 25, S. 11).

21. Zwei Orte (Punkte) A und B haben von einer geradlinig verlaufenden Straße (x-Achse) die nach derselben Seite gerichteten

Abstände CA = a, DB == b und es sei CD == c. Die Orte sollen durch eine Telegraphenleitung verbunden werden, jedoch nicht direkt, sondern so, daß die Leitung von A zunächst nach einem Punkt P der Straße und dann nach B geführt wird (Fig. 46). Wo ist P anzunehmen, wenn die Länge AP p PB der Leitung ein Minimum sein soll?

Fig. 46.

Flat der Punkt P von C den Abstand x, so muß die Summe w = ]/a² -p x² + Yb² + (c — x)² ein Min. werden. Man findet

dw

= 0,

c — x

dx

V«² X² \ b² + {c — x)2 die Dreiecke APC und BPD müssen daher ähnlich sein und -èfAPC

d²w —ö dx²

= <Ü BPD. Daß

> 0 ist, ergibt sich leicht, wenn man die Brüche

dw

in dem Ausdruck für

dx

gleichnamig macht und die in Nr. 1, S. 107

gegebenen Bemerkungen über Bildung der zweiten Ableitung beachtet.

1) Der zweite Teil dieser Aufgabensammlung, der den Anwendungen der Integralrechnung gewidmet ist, wird u. a. Aufgaben, in denen Übergangsburven Vorkommen, enthalten.

Bezeichnet man nun mit yx und y₂ die Winkel, unter denen die Strahlen von Px und P₂ nach P zur Richtung der positiven ^-Achse geneigt sind, so wird

dK

dt

Zur Konstruktion von P wird eines der beiden Lote AC, BD, sich selbst über C hinaus verlängert und der Endpunkt P dieser Verlängerung mit S verbunden; diese Verbindungslinie trifft die Gerade CD in P.

z. B. A C,

uni

ii r

Man berechnet x aus x:a = (c — x):b und findet x = —, ,

v y    a -f b

Die kürzeste Weglänge AP -|- PP wird    6)²-|-c². Die Punkte A

und P sind Brennpunkte einer Ellipse, die die Gerade CD in P

berührt.

22. Die Mittellinie einer ebenen Landstraße bilde eine durch die Parameterdarstellung x = cp (f), y = gegebene Kurve.

Von welcher Stelle P der Straße hat man nach zwei Orten Px und P₂ Seitenstraßen PP₁ =^rx,PP₂ =r2 abzuzweigen (Fig. 47),wenn die Kostensumme K ein Minimum sein soll und für die nach P₁ bzw. P₂ führenden Abzweigungen die Längeneinheit kx bzw. k₂ Mark kostet? Die Punkte Px und P₂ haben die Koordinaten xX) yx und x₂, y₂.

Man findet

^5

'Pi

/q\

Pig. 47.

k = K ri +    = K V(<p - *y + O—y y + h V (<p—x*y+(p—yy ,

daher

dK

Jt

= ” {(t — xi)<p' + (p — vM'} + J { (sp -    + O —VzW) = o.

ri

= kx {cp' • cos yx + il>' ■ sin yx) + k₂ {cp' ■ cos y₂ -j-    • sin y₂} = 0.

Für den Winkel a, den die in P gezogene Tangente der Kurve mit der positiven Richtung der #-Achse bildet, besteht die Gleichung

d K

sin a : cos ct = ip' : cp', mit deren Hilfe sich = 0 auf . kx cos (yx — a) -f- k₂ cos (y₂ — a) = 0

reduziert.

Faßt man daher kx und k₂ als Kräfte auf, die im Punkt P wirken, so müssen ihre Projektionen auf die Tangente von P an Größe einander gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sein. Mechanisch läßt sich dies realisieren, indem man auf der gegebenen Kurve eine

Rolle laufen läßt, auf die zwei durch P₁ bzw. P₂ gehende Kräfte \ hzw. k2 wirken.¹) Der Ruhepunkt der Rolle ist der gesuchte Kurvenpunkt. Hierbei wird allerdings das Gewicht der Rolle und ihre Reibung nicht berücksichtigt. Die Kräfte kt, lc₂ können durch Gewichte dargestellt werden; diese sind etwa an Fäden aufzuhängen, die durch zwei im Zeichenbrett befindliche Löcher Px, P₂ gezogen und am Mittelpunkt der Rolle befestigt sind.

23. Die Intensitäten a und b zweier Lichtquellen A und P, die als Punkte betrachtet werden, verhalten sich wie 8 zu 1; die Strecke AB sei 6 m lang. Welcher Punkt P der Strecke wird am schwächsten beleuchtet?

Wird der Abstand des Punktes P von A mit x bezeichnet, so ist die Intensität der Beleuchtung von P proportional zu

(Q-x)

Das Minimum dieser Intensität tritt für x = 4 m ein. Allgemein findet man, wenn AB = l ist:

l]/a

X 8 /-    3 /- 1

Va+Yb

j=

{Va+yiy

24. Eine wagrechte Gerade AB von der Länge a ist gegeben. In der durch AB gelegten Vertikalehene wird durch B eine Gerade

l gezogen, die mit AB den Winkel a bildet. An welcher Stelle L dieser Geraden ist ein Licht von der In

tensität P₀ anzubringen, damit ein in A befindliches horizontal gelegenes Flächenelement möglichst hell beleuchtet wird? (Fig. 48.)

Die gesuchte Stelle L ist bekannt, sobald man den Winkel LAB = u kennt; dieser werde als Unbekannte eingeführt. Die Intensität J, mit der das Flächenelement A beleuchtet wird, ist umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung AL = q der Stelle A von der Lichtquelle und direkt proportional der Intensität J₀ der Lichtquelle und dem Sinus des Winkels, unter dem die Lichtstrahlen auf-

J₀ sin u

a>

Fig. 48.

oc

fallen. Man findet J =

(sin u ■ cot a + cos uf, und mit Hilfe

dJ

= 0 ergibt sich für u nach Ahscheiden eines für die eigentliche Lösung nicht in Betracht kommenden Faktors die Bestimmungsgleichung cot² u -f 3 cot a ■ cot u — 2 = 0. Sie läßt sich durch

1) Zu dieser Deutung des Ergebnisses vgl. Pb. Forckheimer in der Zeitschr. des Osterr. Ingenieur- und Architekten-Vereins, 47. Jahr. (1895), S. 35.

von

du

() = -§« cos w ersetzen, woraus hervorgeht, daß L auf einem Kreis liegen muß, der durch A geht und dessen Mittelpunkt sich auf der Strecke AB im Abstand | a von A befindet.

Ÿ2 = a ■ 0,7.

Ist insbesondere a = 90°, so wird tg u = -^-]/2, BL =

In solcher Höhe ist also z. B. ein elektrisches Licht senkrecht über dem Punkt B eines Tisches anzubringen, wenn die in der Entfernung a von B befindliche Stelle A des Tisches möglichst hell beleuchtet werden soll.

25. Nach Messungen, die von R. Jasmund an verschiedenen Stellen der Elbe vorgenommen wurden, konnte die Art, wie sich die Geschwindigkeit y der Wasserteilchen längs einer und derselben Vertikalen mit der Höhe x über der Flußsohle ändert, durch die Formel y = a + bM ln (x -J- c) dargestellt werden¹), in der M den Modul 0,43429 des Briggsschen Logarithmensystems bezeichnet, während a, b, c Konstanten sind, unter denen a hauptsächlich von der Größe des Gefälles, der Wassertiefe und dem Abstand der Vertikalen vom Flußufer abhängt; b ist im wesentlichen nur vom Gefälle abhängig, und c bezeichnet den Abstand der Asymptote x + c = 0 der Kurve y = a 4- bMln (x + c) von der in der Flußsohle liegenden x-Achse. Die Konstanten nehmen natürlich andere Werte an, wenn man die Messungen längs einer anderen Vertikale vornimmt. In nächster Nähe der Flußsohle gilt die Formel nicht. Befindet sich auf dem Fluß eine Eisdecke, so tritt, wie Jasmund durch Messungen nahe bei Magdeburg fand, an Stelle der erwähnten Formel die folgende²):

y = a bM ln a? + liM ln (t — x).

Hier sind die Konstanten b und h positiv und von der Rauhigkeit des Bodens bzw. der Eisdecke abhängig, t ist die Flußtiefe an der betreffenden Stelle. Man bestimme nun die Stelle x, der das Maximum der Geschwindigkeit zukommt.

1)    Gewöhnlich nimmt man bei breiten rechteckigen offenen Kanälen eine

1?

Änderung der Geschwindigkeit nach der Formel von Bazin y = ?/max— 20}/ Jh ■

an, in der h die Tiefe des Kanals, t die Tiefe der betrachteten Stelle der Vertikale und J das Gefälle bezeichnet. Die graphische Darstellung dieser Formel würde eine Parabel ergeben, deren Scheitel dem Maximum von y zugehört; diese größte Geschwindigkeit würde in der Oberfläche des Kanals (t = 0) stattfinden. Vgl. Bazin, „Recherches expérimentales sur l’écoulement de l’eau dans les canaux découverts“ in den Mémoires présentés par divers savants à l’académie des sciences de l’institut impérial de France, Bd. 19, Paris 1865, S. 228, 230 und 245. Auch diese Formel von Bazin ist natürlich nur angenähert richtig; viele Flußläufe zeigen die größte Geschwindigkeit meist etwas unter der Oberfläche.

2)    Vgl. die Aufsätze von Jasmund im „Handbuch der Ingenieurwissenschaften“, 3. Teil „Der Wasserbau“, 1. Bd. „Die Gewässerkunde“, Leipzig 1906, S. 471f„ sowie in der Zeitschrift für Bauwesen, 47. Jahrgang (1897), S. 467 ff.

Man findet x = ,-~

b -j- k l 4- m ’

wenn

maximale Geschwindigkeit wird yr=a-\- b(m-\-l)M ln

7.

~ = m gesetzt wird.

j-bmM ln m.

Die

w —|— 1

Bei starker Zusammenschiehung der Eisdecke ist k > b und daher die Stelle der größten Geschwindigkeit dem Boden näher; bei glatt zugefrorener Eisdecke ist k < ö, die größte Geschwindigkeit näher an der Oberfläche. Bei mehreren Messungen Jasmunds war k : b rund gleich 1 : 2, daher x = die größte Geschwindigkeit in — der Wassertiefe unter der Eisdecke.⁶) So wurde z. B. bei einem gewissen Lot gefunden⁷) y = 0,4561 -j- 0,2292 log x -j- 0,1146 log (2,68 — #); hier ist k :b = 1:2.

26. Den physikalischen Begriff der Arbeit, des Produktes aus der einen gewissen Widerstand überwindenden Kraft und der zurückgelegten Weglänge, bat der Physiologe Eduard Weber bei Messung der durch einen normalen Muskel verrichteten mechanischen Arbeit angewandt. Er benutzte Gewichte als Widerstände, die während gewisser Wegstrecken (Hubhöhen der Muskeln) überwunden wurden. Beim Aufträgen von Gewicht und zugehöriger Hubhöhe als Abszisse x und Ordinate y ergab sich, daß die so erhaltenen Punkte x, y keine Gerade, sondern eine krumme Linie erfüllen, ein Zeichen dafür, daß die Hubhöhen nicht proportional der Zunahme der Gewichte abnehmen. Diese Abweichung von der Geraden hat ihre Ursache in der Dehnung des Muskels, man hat daher die gekrümmte Linie als Dehnungskurve bezeichnet. Die geleistete Arbeit ist gleich dem Produkt xy und wird daher durch das von den Koordinaten des zugehörigen Punktes P und den Koordinatenachsen begrenzte Rechteck dargestellt. Es fragt sich nun, wie man diejenigen Punkte der Dehnungskurve findet, denen ein Maximum der Arbeit, also des Produktes xy, zukommt. Angeregt durch eine Abhandlung von H. Dreser zeigte 0. Wiener, daß für jeden solchen Punkt seine Entfernungen von den Koordinatenachsen, längs der in ihm gezogenen Tangente gemessen, einander gleich sind, d. h. jeder solche Punkt halbiert das zwischen den Koordinatenachsen gelegene Stück seiner Tangente.⁸)

¹

Für das nähere Studium der durch eine Parameterdarstellung gegebenen Kurven vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten sei auf eine Abhandlung von A. v. Brill, ,,Über rationale Kurven vierter Ordnung“, Math. Annalen Bd. 12 (1877), S. 90, verwiesen; daselbst bilden die Doppelpunkte die Ecken des der Betrachtung zugrunde liegenden Koordinatendreiecks, und die Kurve wird zu einem Kegelschnitt in Beziehung gebracht, aus dem sie durch „quadratische Transformation“ hervorgeht.

²

Für die durch eine Parameterdarstellung x =

gegebene Kurve die Asymptoten zu bestimmen.

Man findet x — 2, 2x + Sy -f- 1 = 0, öx — 40y + 9 = 0.

³

   Diese Aufgabe, die man in mehreren Lehrbüchern und Aufgabensammlungen zur Differentialrechnung findet, scheint zum ersten Mal bei N. Cirier, Nouv. Ann. de Math. Bd. 13 (1854), S. 411 f. vorzukommen.

⁴

   Vgl. Poggendorffs Annalen Bd. 72, S. 44f. (1847).

⁵

   Vgl. A. Winkelmann „Handbuch der Physik“, 2. Aufl., 3. Bd. Wärme. Leipzig 1906, S. 173.

⁶

   Ygl. Zeitschrift für Bauwesen a. a. 0.

⁷

   Ebenda S. 589.

⁸

   0. Wiener im Archiv für experimentelle Pathologie und Pharmakologie, Bd. 27 (1890), S. 255—260. Herr Professor Dr. med. Dreser in Elberfeld hatte die Freundlichkeit, mich auf diese Untersuchungen aufmerksam zu machen. In einer interessanten, mit zahlreichen Literaturangaben versehenen Abhandlung „Über die Messung der durch pharmakologische Agentien bedingten Veränderungen der Arbeitsgröße und der Elastizitätszustände des Skeletmuskels“ (in dem genannten Archiv, Bd. 27, S. 50 ff.) hat er die Ergebnisse seiner eigenen Untersuchungen am ruhenden und am tätigen, unvergifteten und vergifteten Muskel dargestellt.

Dieser Satz, dessen Umkehrung übrigens nicht richtig sein würde, soll bewiesen werden.

Wäre die Dehnungskurve durch eine Gleichung y = f(x) gegeben, so müßte das Produkt z = xy = xfix) ein Max. sein; zunächst müßte daher xy -j- y verschwinden. Es liegt in der Natur der Sache, daß im vorliegenden Fall x und y positiv sind, daher muß y < 0 sein.

Ferner wird (Fig. 49) die Subtangente

OT — OM = — y : y = x,

Fig. 49.

iV

daher OT =2 OM] M ist also die Mitte von OT und ebenso P die Mitte von ST. Solche Stellen P lassen sich leicht finden mit Hilfe eines Lineals, das man an der Kurve tangential verschiebt, und eines Zirkels, mit dem man die Strecken SP und PT vergleicht. Dies Verfahren kann aber auch einen Punkt P liefern, dem ein Minimum der Arbeit entspricht. Zur Trennung beider Fälle hat 0. Wiener gleichseitige Hyperbeln benutzt, die die Koordinatenachsen zu Asymptoten haben, also Gleichungen von der Form xy = konst. haben. Bei diesen Kurven als Dehnungskurven wäre die Arbeit für jeden Punkt konstant und überdies SP = PT (vgl. auch Aufg. Nr. 1, S. 66). Berührt eine solche Hyperbel die vorgelegte Dehnungskurve an einer Stelle P, für die SP = PT ist, derart, daß die Dehnungskurve y = f(x) in der Umgebung von P in dem Teil der Ebene verläuft, dem die Hyperbel die konvexe Seite zukehrt, so entspricht P ein Maxi- A mum der Arbeit xf(x), weil dann die für benachbarte Punkte der Dehnungskurve gemessene Arbeit kleiner ist als an der Berührungsstelle mit der Hyperbel.

Fig. 50.

Findet die Berührung in P so statt, daß die Kurve y = f(x) in der Umgebung von P nach der konkaven Seite der Hyperbel gelegen ist, so liegt ein Minimum vor, und wenn die Berührung mit einem Übertritt von der einen auf die andere Seite der Hyperbel verbunden ist, hat man kein Max. und kein Min.

27. Die Form der Bienenzellen läßt sich aus einem geraden regulären sechsseitigen Prisma dadurch ableiten, daß man in der oberen Begrenzungsfläche APCDEF die drei Diagonalen AC, CE, EA zieht und, unter gleichen Winkeln cc gegen diese Begrenzungsebene geneigt, durch jede der drei Diagonalen eine Ebene legt (Fig. 50). Diese drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt S, so daß die obere Begrenzung der Zelle durch drei kongruente Rhomben gebildet wird, von denen eines in Figur 50 durch AGCS dargestellt ist. Die Messung des Winkels AGC = ß bei Bienenzellen ergab ungefähr 109°. Man zeige, daß dieser Winkel sehr nahe der Forderung entspricht, die gesamte Oberfläche der Bienenzelle solle bei gegebenem Volumen ein Minimum werden.¹) Ferner bestimme man den oben durch a bezeichneten Winkel.

Ist a die Länge einer Seite des Sechsecks und BG = x, so wird

AG = ]/u² -f x'², AC = 2a sin ^-= u]/3, der Inhalt des Rhombus AGCS = u-|/3]/W^-

Man sieht leicht, daß das Volumen der

Zelle nicht geändert wird, unter welchem Winkel a auch die drei genannten Ebenen gegen die Begrenzungsfläche ABCDEF geneigt sein mögen. Durch die Ebene AGCS werden von der seitlichen Begrenzung des Prismas die Dreiecke BGA und BGC abgeschnitten, im ganzen kommen also sechs solche Dreiecke in Wegfall, ebenso die Fläche des Sechsecks, an die Stelle dieser Figuren treten drei Rhomben. Die Oberfläche des ursprünglichen Prismas wird daher im ganzen vermindert um

f(x) =    + ⁶“Vs - 3 aV3 1/V + ,

und dieser Ausdruck soll ein Max. werden. Man findet # = —1/2, daher

1) Schon Pappus (um 800 nach Chr.) erörtert die Zweckmäßigkeit des Baues der Bienenzelle, die insbesondere darin liegt, daß bei diesen Zellen gerade das reguläre Sechseck und nicht ein anderes reguläres Vieleck Verwendung findet. Vgl. Pappi collectionis quae supersunt, hrsg. von F. Hultsch, Bd. 1, Berlin 1876, S. 304—309. Nachdem Maraldi bei Bienenzellen den oben mit ß bezeichneten Winkel gemessen und gleich 109°28' gefunden hatte (Mémoires de l’académie des sciences de Paris, Jahrg. 1712, S. 312, Paris 1714), forderte Réaumur den Mathematiker Samuel König auf, zu untersuchen, welche geometrische Eigentümlichkeiten die Bienenzellen haben. Dieser fand, daß die den verschiedenen Winkeln a = (180° — ß) : 2 entsprechenden Zellen gleiches Volumen haben und zeigte mit Hilfe der Differentialrechnung, daß die Zellen, für die ß = 109°28' ist, die kleinste Oberfläche haben, also zu ihrem Bau am wenigsten Wachs brauchen (Réaumur, Mémoires pour servir à l’histoire des insectes, Bd. 5, Paris 1740, S. 459; vgl. auch bezüglich des von König gefundenen Ergebnisses Histoire de Pacad. des sciences de Paris, Jahrg. 1739, S. 30ff., Paris 1741). Maclaurin zeigte rein geometrisch, daß für ß — 109°28' 16" die Oberfläche ein Min. wird (Philos. Transactions of the Royal Society of London, Bd. 42 (Jahrg. 1743), S. 565). Vgl. ferner H. Hennessy in den Proceedings of the Royal Society of London, Bd. 39, S. 253 (1886); Bd. 41, S. 442 (1887); Bd. 42, S. 176 (1887).

sia = yj/3 : Y a² + a* = yl/6, ß = 109° 28' 16".

^    * ]/2, a = 35°15'52"; übrigens ist ß + 2a = 180°.

tu    Ù

28. Welche Beziehung muß zwischen den als positiv vorausgesetzten Koeffizienten und as in der Funktion y = ax sin x -j- «₃ sin 3x stattfinden, wenn die zugehörige Kurve in dem Intervall von x = 0 bis x = it zwei Maxima und ein Minimum haben soll?

y = 0 liefert cos x = 0 und cos x + y~j/9a^ a*; jedenfalls

muß also 9 u₃ > a, sein. Da y" = sin x {— 36 a₃ cos² x + 9a₃ —    }

ist, ergibt cos x = 0 oder x = j7t ein Min. y =    — %, während

zu cos x —

Ferner wird

tg cc — x

±Wtj\

— «i

3 «₃

3«,+g, 1^/3 ag-fa, o.e_

zwei Maxima y =

hören. Im Fall 9a₃ — at <i 0 gehört nur zu x = j?t das Maximum y = ax — a₃.

29. Ein mathematisches Pendel bewege sich in einem Widerstand leistenden Medium, und zwar mögen die Amplituden cp der Schwingungen so klein sein, daß sin cp ohne einen in Betracht kommenden Fehler durch cp ersetzt werden darf. Ferner sei der Widerstand proportional der Winkelgeschwindigkeit des Pendels. Alsdann besteht, wie in der mathematischen Physik gezeigt wird, für die der Zeit t zugehörige Amplitude <p eine Gleichung von der Form

cp = ye~at• cos (bt-\-c),

wo y, a, b, c Konstanten bedeuten. Man untersuche nun, zu welchen Zeiten t die Amplituden cp extreme Werte erreichen und weise nach, daß diese Werte eine geometrische Reihe bilden.

Unter Benutzung des Ergebnisses von Aufg. 17, S. 15 folgt, daß die größten absoluten Werte (Max. und Min.) von cp zu Zeiten t ein-treten, die aus bt c -f- cc = |jr, -|7t,

dabei ist cos cc =

tOlCn

7t .

, ± n = 0, 1, 2, 3, . . .

sin a =

Va*~+T*

Diese Zeiten sind daher t = {(w + |)jr — c — cc): b, woraus hervorgeht, daß die Schwingungen aus einer extremen Lage (Elongation) in die nächste in der konstanten Zeit t = 7t:b erfolgen. Die zugehörigen

1Ar + b*

d² Cf

sind abwechselnd negativ und positiv, ihnen ent-

Ableitungen

sprechen daher abwechselnd^ Maxima und Minima von cp, und zwar werden diese cp = ± y sin a • e~at, wo t die angegebenen Werte zn erhalten hat und das Plus- oder Minuszeichen zu setzen ist, je nachdem n eine gerade Zahl einschließlich der Null oder eine ungerade Zahl bedeutet. Ist y sin a > 0, so liefern in dem Ausdruck für t geradzahlige Werte von n einschließlich der Null Maxima von cp, die ungeradzahligen Werte Minima. Die extremen Werte cp bilden

(/Z²

§ 17. Maxima und Minima einer Funktion, somit eine abnehmende geometrische Reihe von der Form Cr, — Ces,

an

-f- Ce⁵, . . ., wo e = e ²⁶ ist. Den Logarithmus des konstanten Quotienten der Glieder dieser Reihe bezeichnete Gauß als logarithmisches DekrementA) Der Verlauf der Funktion

cp = ye~~at- cos (bt-\-c)

kann durch eine Kurve dargestellt werden mit t als Abszisse und cp als Ordinate eines Kurvenpunktes (Fig. 51). Man erkennt, daß für

y sin a > 0 die Maximalstellen auf der Exponentialkurve cp = y ■ e~at sin cc, die Minimalstellen auf der Kurve

cp = — y • e~at sin a

liegen. Für

6f + c-±(2Ä+ l)f, k = 0,1,2,..

(f-i

Tr,

verschwindet <p, also z. B. für

f = ⁷¹________

2b b’ 2b b’ 2b b’ >

die zugehörige Abszissendifferenz ist gleich der halben Periode tc : b. Die Figur stellt die Kurve cp = 10 •    cos jjtt dar;

die Einheit der Abszissen t ist daselbst doppelt so groß wie die der Ordinaten cp.

ist die hier behandelte

3 7t

5 7t

v    Fig. 51.

In der Form J = J₀e~at • cos ^

Funktion in der Elektrizitätslehre bei Untersuchungen über die Entladung von Kondensatoren, über Blitzentladungen, über Schließung und Öffnung eines Stromkreises von Wichtigkeit. Es bedeutet dann J die Stromstärke, t die Zeit, T die Zeitdauer der Periode, a, J₀, ß sind sonstige Konstanten.

30. Auf einer Ebene, die mit der Horizontalebene den Winkel cc bildet, liege ein mit einer ebenen Lagerfläche versehener Körper vom Gewicht Q. Dieser soll durch eine im Schwerpunkt S des Körpers angreifende Kraft P, die unter dem Winkel ß gegen die schiefe Ebene geneigt ist, auf der Ebene hinaufgezogen werden. Man zeige, daß der Winkel ß, für den P ein Minimum wird, unabhängig von der Neigung a der schiefen Ebene ist und sich aus tg ß = f bestimmt, wo f den Reibungskoeffizienten bezeichnet.

Vertikal nach unten wirkt im Schwerpunkt des Körpers das Ge-

27t t

<*)

1) Gauß: „Anleitung zur Bestimmung der Schwingungsdauer einer Magnetnadel“, Resultate aus den Beobachtungen des ei'dmagnetischen Vereins, 1837 = Gauß’ Werke Bd. 5, S. 383.

wiclit Q, die Komponenten dieser Kraft rechtwinklig bzw. parallel zur schiefen Ebene sind SN = Q cos a bzw. SM = Q sina (Fig. 52). Die Komponente SN₁ = P sin ß der Kraft P sucht den Körper von der Ebene zu entfernen, die Komponente SMX = P cos ß sucht den Körper hinaufzuziehen Der rechtwinklig zur schiefen Ebene wirkende Druck beträgt

SN- SN\ = Q cos a - P sin ß,

die Reibung ist ihm proportional, sie ist gleich f(Q cos a — P sin ß). Diese Reibung muß beim Hinaufziehen des Körpers überwunden werden, daher muß SMX = P cos ß gleich SM + f(Q cos a — P sin ß) sein oder

P cos ß = Q sin a -f- f(Q cos a — P sin ß), daher P =

Dieser Ausdruck wird ein Min. für f = tg ß.

31. Für welche Punkte P der Kettenlinie (vgl. Fig. 12, S. 48)

",

'K

\mN\s \

<x

Fig. 52.

Q (sina -f- f cos a) cos/3 -f /‘sin/3

ern + e

“ “    (s)

hat die zwischen den Schnittpunkten der x-Achse mit der Tangente und Normale von P liegende Strecke ein Minimum ihrer Länge?

Sind T und N die Längen der Tangente hzw. Normale von P (vgl. S. 65), so gilt für die Länge q der Strecke die Gleichung

m ©oi³ ( )

q² = T²-\-N². Man findet im vorliegenden Fall q =

und

Sin

= 0 liefert (Eoj    = + * ]A>, V = + ™]/6. Fie zweite Ablei-

tung 2 ^2 wird tatsächlich positiv.

32. Man zeige, daß für die vier Punkte

₌ ±ayä ±by~b yä+i’J ya+b

TS TS

der Ellipse x = a cos t, y = b sin t der Abstand der zugehörigen Normale vom Mittelpunkt der Kurve ein Maximum und zwar gleich a — b ist. Ferner zeige man, daß für dieselben Punkte das ZAvischen den Achsen der Kurve gelegene Stück der Tangente ein Minimum und zwar

gleich a fi- b ist (vgl. auch Aufg. 24, S. 52). Die Gleichung der Normale ist

sin t — brj cos t — (a² — b²) sin t cos t = 0

ihr Abstand p vom Punkt t, = rj = 0 wird p =

(a² — b²) sin t cos t ]/a² sin²£ -j- &² cos²1 ’

und ^ = 0 liefert tg t = + t/Ä , woraus sich die oben genannten

Werte für x und y ergeben.

Die Gleichung der Tangente ist &£ cos t-\- arj sin t — ab = 0; für das zwischen den Achsen gelegene Stück l der Tangente findet man

und

Z² =

a²

cos ²t

= 0 liefert wiederum tg t — + ~j/.

Die kürzeste Länge

l = a -fi b der Tangente wird übrigens durch den zugehörigen Berührungspunkt so geteilt, daß das der Achse 2 a zunächst gelegene Stück PM der Tangente (Fig. 53) die Länge b, das andere Stück P N die Länge a hat.

33. Für welchen Punkt >2^ P der Parabel y* — px = 0

oder x — — , y

p 7 v

innerhalb der Kurve gelegene Stück der zu P gehörigen Normale ein Minimum seiner

)\y

M-b

= t hat das

Fig. 53.

Länge?¹)

Die im Punkt P gezogene Normale hat die Gleichung

sie trifft die Kurve in einem Punkt P₁ mit dem Parameter

j    2ć²-f_p²

~ • 2t '

Op² +p²)

und dieser

Für die Länge l der Strecke PP₁ findet man l Ausdruck wird für t = + ^ ]/2 ein Min., also für die beiden zur Achse

der Parabel symmetrisch gelegenen Punkte x = ^ , V == ± \ V% • F)ie

Normale desjenigen dieser beiden Punkte, dessen Ordinate positiv ist, schneidet die Achse der Kurve unter einem Winkel v, für den tg v = — Y2 ist. Der zweite Schnittpunkt dieser in dem erwähnten Sinn kürzesten Normale mit der Kurve hat den Parameter tl = —py2 und die Koordinaten x₁ = 2p, y₁ = —p~y/2, er ist zugleich Krümmungsmittelpunkt (vgl. § 18, Nr. 2, S. 153) des Parabelpunktes P, also auch ein Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Evolute (vgl. Aufg. 32, S. 164 und Fig. 54, wo p — 16 angenommen wurde).

der Stelle x, y ein Maximum

an

34.    Hat die Funktion y — f(x)

(Minimum), so hat die Funktion y = ~, wo a > 0 sei, an derselben

](X)

Stelle ein Minimum (Maximum).

In beiden Fällen sind die Werte x zu bestimmen aus f'(x) = 0; bei y — y-z stimmt das

\X)

Vorzeichen von y" mit dem von — af”(x) überein.

35.    Welche Werte x machen die Funktion Ö\F

iO

x² — 5x 9

zu einem Maximum oder Mi-

nimum ?

x = + 3 liefert das Max. y — 1, x = — 3 das Min. y =

36. Die gleiche Aufgabe für y =

Fig. 54.

11’

x~ — 3x -F 2 x² -f- 3æ -|- 2

x = + V 2    liefert das Min. y =    -⁴—³ ^Ł,    y    = — V 2    das Max.

r    *    4 -(- 3 y 2 ;    9    r

4+ 3)/2

4 — 31/2’

37. Für welche Werte x wird y ein Maximum oder Minimum, wenn beide Veränderliche durch die Gleichung

f(x, y) = 3a;² — 8y² — 12a; — 6y + 14 = 0

verbunden sind?

f\ = 0 liefert a; = 2; für diesen Wert wird y == ^ ein Min., ^/ = — 1 ein Max. Die vorgelegte Gleichung kann auch in der Form

3(x-2)^8(ÿ + 4)² + ^_0

geschrieben werden,    stellt daher eine    Hyperbel    dar,    die die Punkte

x =    2, y = \ und x    = 2, y = — 1 zu    Scheiteln    hat;    die Achsen der

Kurve sind den Koordinatenachsen parallel.

38.    Die gleiche    Aufgabe für 9a;² + 4t/² —    36a;    + 40y — 8 = 0.

Für x = 2 wird    y = 1 ein Max.,    y — — 11    ein    Min. Die vor

gelegte Gleichung stellt eine Ellipse dar, bei der die Scheitel der einen Achse durch die gefundenen Punkte gebildet werden; auch hier sind die Achsen der Kurve den KoordinateDachsen parallel.

39.    Man bestimme diejenigen Punkte der Lemniskate (x² -f- y²)2 — 2c²(a;² — y^) — 0 (Fig. 16, S. 54), für die die Ordinate ein Maximum oder Minimum wird und zeige, daß diese Punkte auf dem Kreis x² + 2/² — £² liegen, der die halbe Entfernung c der beiden Brennpunkte der Kurve zum Radius und den Koordinatenanfang zum Mittelpunkt hat.

Hier wird f\ = 4a;(x² + y² — c²), wobei x = 0 keine Lösung er-

gibt; mit Hilfe von x² -f- y³ — c² = 0 findet man zwei Maxima y = \c für x —    zwei Minima y = — ~c für dieselben Abszissen.

40. Für welche Abszissen x werden die Ordinaten y der Kurve xL yŁ A 4x^y — 2y³ = 0 ein Maximum oder Minimum? Vgl. Fig. 38, S. 102.

Man findet ein Max. y = 2 für x == 0, Minima für x = + Y2 (1/5 — 1) = + 1,5723, nämlich y = 1 — Y^= — 1,2361.

In vielen Fällen handelt es sich um die Bestimmung der Maxima oder Minima einer Funktion von zwei Größen x, y, zwischen denen aber eine so einfache Beziehung stattfindet, daß vermöge derselben sofort die eine Veränderliche aus der Funktion eliminiert werden kann und alsdann eine Funktion von der anderen Veränderlichen bleibt.

Hierzu seien folgende Beispiele gegeben:

41.    Aus einem Baumstamm von kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d) soll ein Balken von rechteckigem Querschnitt herausgesägfc werden, um als senkrecht stehender Pfosten gegen Druckbeanspruchungen von oben Widerstand zu leisten. Wie sind die Seiten x, y des Rechtecks zu wählen, damit die Druckfestigkeit JD, die dem Flächeninhalt des Balkenquerschnitts proportional ist, ein Maximum wird?

TS <N

Hier wird B = xy oder D = xYd²— x², und dieser Ausdruck wird für x = y = Y 2 ein Max. Der Balkenquerschnitt muß daher

ein Quadrat sein, wie vorauszusehen war.

42.    Aus einem Baumstamm von kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d) möge nun ein Balken von rechteckigem Querschnitt herausgesägt werden, der in horizontaler Lage auf Biegung beansprucht wird und eine möglichst große Tragfähigkeit haben soll. Dabei ist diese Tragfähigkeit oder das Widerstandsmoment des Balkenquer-

Schnitts, wie in der Festigkeitslehre gezeigt \ wird, proportional dem Produkt aus der Breite x und dem Quadrat der Höhe y dieses Querschnitts. Wie groß sind x und y zu machen?

Ar

Hier muß xy² oder x(al² — x²) ein Max. werden, und dies tritt für

x : y : d = ]/T : ]/2 : Y3

Fig. 55.

ein; angenähert ist x : y = 5 : 7. Zur Konstruktion teilt man den Durchmesser AB des Balkenquerschnitts durch M und N in drei gleiche Teile (Fig. 55). Die rechtwinklig zu AB durch M und N nach entgegengesetzten Richtungen gezogenen Geraden MC und NI) treffen den Kreis in C und D, und ACBB ist alsdann das verlangte Rechteck, denn man findet leicht AC = d]/4, HZ) = f?]/|.

43.    Ein mit beiden Enden frei aufliegender Träger (Balken) von rechteckigem Querschnitt sei seiner ganzen Länge nach durch eine gleichmäßig verteilte Last beansprucht. Alsdann erleidet der Träger eine gewisse Einsenkung, die in der Mitte am größten und zwar, wie in der Festigkeitslehre gezeigt wird, proportional der vierten Potenz der Balkenlänge l und umgekehrt proportional dem Trägheitsmoment T des Balkenquerschnitts in Bezug auf eine durch seinen Schwerpunkt parallel zu einem Seitenpaar des Rechtecks gezogene wagrechte Achse ist. Dieses Trägheitsmoment ist gleich ^ xy³, wenn x die Breite, y die Höhe des Rechtecks bezeichnet. Wie groß sind bei gegebener Länge l die Größen x und y zu machen, wenn der Balken aus einem Baumstamm von kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d) herausgesägt und die Einsenkung ein Minimum werden soll?

Der Ausdruck xy³ = x~]/(d² — x²)³ muß ein Max. werden, was für x = \d, y = jdY3 eintritt; angenähert ist x : y = 4 : 7. Zur Konstruktion von x und y teilt man hier den Durchmesser AB durch M, 0,7V in vier gleiche Teile (Fig. 56). Die rechtwinklig zu AB durch AI und N gezogenen Geraden MC und NB bestimmen das gesuchte Rechteck ACBB.

44.    Die Seitenlinie eines geraden Kreiskegels habe die Länge a; wie groß sind die Höhe x und der Radius y der Basis des Kegels zu wählen, wenn sein Volumen V ein Maximum werden soll?

Mg. 56.

Mg. 57.

Aus V =    läßt sich y vermöge x² -f- y² = a² sofort elimi

nieren; alsdann bleibt V = ~nx (a² — x²). Für x = \a ]/3,7/ = ya]/6 wird V ein Max.

45. Das Volumen V eines oben offenen Gefäßes von der Gestalt eines Kreiszylinders mit kegelförmigem Boden soll bei gegebener Oberfläche 0 ein Maximum sein; die Höhe des Kegels sei gleich dem Radius r des Zylinders. Wie groß sind r und die Höhe h des Zylinders zu machen? (Fig. 57.)

Zunächst ist V = r²?th -J- j r³a, und hierzu tritt 0 = 2rnh -f r²it'j/2;

Or

durch Elimination von /< folgt V = — Man findet r² =

Ÿ1/2 + ?.

(8 y 2 —2)*

Höhe h folgt mit Hilfe von 0 = 2rjthr²jc]/2.

= 0,1419 0, r = 0,3767 |/0; die

46. Man beweise den Satz von Steiner¹): „Sind von zwei rechtwinkligen Dreiecken von jedem eine Kathete und ist die Summe der beiden übrigen Katheten gegeben, so ist die Summe der Hypotenusen ein Minimum, wenn die Dreiecke ähnlich sind.“

Es seien a und y die Katheten des einen, ax und yx die Katheten des anderen Dreiecks, z und zx die zugehörigen Hypotenusen, m sei die gegebene Summe y -f- yv Hier muß

0 + gx = ]/y² + a² + Y (m — y)² + a 2 ein Min. werden, eine Forderung, die erfüllt wird, wenn

ist.

y : Y y² + a² = (m — y): Y (;m — y)² + a²

47.    Eine Seite eines Rechtecks liegt auf der Æ-Achse eines Koordinatensystems und wird durch dessen Anfangspunkt halbiert; die

Endpunkte der Gegenseite liegen auf der Ellipse a2 fr — 1=0.

Welche Koordinaten haben diese Endpunkte, wenn der Inhalt J des Rechtecks möglichst groß sein soll?

J = 2xy = —~Va2 — a?² wird ein Maximum für % = ±    >

ist ab der Betrag dieses Maximums.

zwar

y = +    und

48.    Das Querprofil eines offenen Kanals bildet ein gleichschenkliges Trapez vom Flächeninhalt J‘ der Böschungswinkel sei a. Wie

~,ćc>

D tief muß der Kanal gemacht werden, wenn der Reibungswiderstand ein Minimum, also der benetzte Teil des Trapezumfanges ein Minimum sein soll? Man zeige, daß bei der dieser Forderung entsprechenden Tiefe die Breite AD des

Querschnitts am oberen Rande

Fig. 58.

doppelt so groß wie eine Seitenlinie AD ist (Fig. 58).

1) Journal für die reine und angew. Math. Bd. 24 (1842), S. 222 = Ges. Werke Bd. 2, S. 280.

J    2 t

2t

Man setze BC = x, die Tiefe gleich t; die Funktion u = x soll ein Minimum werden, wobei J = xt fl- t² cot a ist. Mit Rücksicht

und dieser Aus-

— ein Minimum. Aus AB = x -\- 2t cota

auf diese letzte Gleichung folgt u= - — t cot+ gina druck wird für t =

V 2 —cos a

folgt dann leicht AB = 2AB. Wird nun von der Mitte der Strecke AB auf AB ein Lot p gefällt, so ist sinu= p: \ AB =p: AB] wegen sin a = t : AB folgt daher t = p, und hieraus geht hervor, daß die Seiten AB,

Fig. 59.

BC, CB des Trapezes einen um die Mitte von AB beschriebenen Halbkreis vom Radius t berühren. Der als Profilradius oder mittlere hydraulische Tiefe bezeichnete Quotient aus dem Flächeninhalt J und dem benetzten Teil des Trapezumfanges wird:

x 2 AB x -j- AD 2 (x A t cot a) 2 ’

also von a unabhängig.

49. Beim Bau der Wechselstromtransformatoren ist es von Wichtigkeit, das Innere einer Spule von kreisförmigem Querschnitt durch einen Eisenkern von kreuzförmigem Querschnitt möglichst auszufüllen. Wie sind alsdann die aus der Figur 59 ersichtlichen Dimensionen x, y des kreuzförmigen Querschnittes zu wählen, wenn a der Radius der Spule ist?

Der Schnitt durch den Eisenkern hat den Inhalt

J = 4 xy -f 4 x(y — x) = 4(2 x y — x²),

und dieser Ausdruck verwandelt sich bei Einführung des Winkels a vermöge x = a sin a, y == a cos a in J"= 4a² (sin 2a — sin² a). Er wird ein Maximum für tg2a = 2, <^a = 31°43' 1alsdann ist x = 0,526a, y = 0,851a, T= 2,412a², es werden 78,7 °/₀ der ganzen Kreisfläche ausgenutzt.

50. Für die Stromstärke J eines galvanischen Elementes, bei dem die elektromotorische Kraft gleich E, der innere Widerstand gleich w, der Widerstand im äußeren Stromkreis (in der Leitung) gleich W ist, gilt bekanntlich die das Ohmsche Gesetz darstellende Formel (vgl. Aufg. 19, S. 112):

w -1- W '

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

Zwei galvanische Elemente lassen sich nun auf zwei verschiedene Arten verbinden. Besteht nämlich z. B. jedes dieser Elemente aus einer Zink- und einer Kupferplatte, die in ein Gefäß mit verdünnter Schwefelsäure tauchen, so lassen sich diese Elemente entweder ungleichnamig verbinden, d. h. die Kupferplatte des einen mit der Zinkplatte des anderen, oder gleichnamig, d. h. die beiden Kupferplatten werden unter sich verbunden, ebenso die beiden Zinkplatten. Diesen beiden Fällen entsprechend sagt man auch, die Elemente seien hintereinander geschaltet, bzw. nebeneinander oder parallel geschaltet.

Werden zwei gleiche Elemente hintereinander geschaltet, so wirkt eine doppelte elektromotorische Kraft, aber auch der innere Widerstand w ist doppelt so groß, die Stromstärke wird daher J = 2E : (2w -j- W), und für n hintereinander geschaltete Elemente ist offenbar

nE

nw

Ą-W

w 4-

n

die Stromstärke also gerade so groß, als wenn man bei dem ursprünglichen einen Element den Widerstand W in der Leitung auf den nten rpe'i reduziert hätte. Offenbar ist eine solche Verbindung vorteilhaft, wenn W sehr groß ist, also z. B. bei Telegraphenleitungen.

Werden zwei Elemente nebeneinander geschaltet, so hat dies dieselbe Wirkung, als wenn man bei einem Element die Plattenoberfläche verdoppelt, somit seinen inneren Widerstand auf die Hälfte reduziert hätte, da der Strom im Element nun durch einen doppelt so großen Querschnitt fließt. Die elektromotorische Kraft E ist hingegen von

der Größe der Platten unabhängig. Daher wird nun J = E : ^ + W\ und für n nebeneinander geschaltete Elemente:

Ist W nicht groß, so findet also eine Erhöhung der Stromstärke statt, wenn die Elemente nebeneinander geschaltet werden.

Man kann nun fragen, wie n Elemente zu verbinden sind, damit die von der galvanischen Batterie gelieferte Stromstärke möglichst groß wird. Dabei beschränke man sich auf den Fall, wo die Elemente alle gleich sind, also jedes die elektromotorische Kraft E und den inneren Widerstand w hat; der Widerstand im äußeren Stromkreis sei W. Ferner sei die Verbindung symmetrisch, d. h. je y Elemente mögen nebeneinander geschaltet werden, also gewissermaßen ein Element von y mal kleinerem inneren Widerstand darstellen, und die so entstehenden x — n : y Reihen von Elementen werden nun hintereinander geschaltet. Wie sind x und y zu wählen, damit die Stromstärke J ein Maximum werde?

Hier wird J =

oder mit Rücksicht auf xy = n wird

u.r

ir

Wn

und als maximale Stromstärke

Man findet x =

Eÿn

2yww

rend hier doch nur ganzzahlige x, y einen Sinn haben; man wird bei der Zusammensetzung der Batterie für x und y die ganzen Zahlen wählen, die den berechneten irrationalen Zahlen am nächsten liegen. 51. Unter welchem Winkel muß ein Lichtstrahl in die eine Seiten-

• Natürlich werden x und y irrationale Zahlen sein, wäh-

fläche eines dreiseitigen Prismas eintreten, wenn die Ablenkung, die er durch die Brechungen beim Durchgang durch das Prisma erfährt, ein Minimum sein soll? Der Winkel, unter dem sich die Eintritts- und Austrittsfläche des Prismas schneiden, sei a, der Brechungsindex sei n, und zwar soll n > 1 angenommen werden, mithin das Prisma ^ optisch dichter als das L umgebende Medium sein.

Der Richtungsunterschied zwischen dem in P in das Prisma ein-

A«C>

f,

iV

Mg. 60.

tretenden und in I\ austretenden Lichtstrahl ist durch den Winkel z gegeben (Fig. 60), und zwar findet man z = ^ QPP₁-\- ^QP₁P = s — ß -j- — ßx = s -f U — cc, da ß + ßi = a ist. Hierzu treten die Gleichungen sin s = n sin ß, sin = n sin ß1} vermöge deren e und £1 als Funktionen von ß darstellbar sind; es folgt e = arc sin (n sin ß)

und = arc sin [n sin (a — ß)]. Nun muß

_ ds dsx dß1 ⁼ dß + dßi’ ~dß ’

wo

dß

= — 1 ist, verschwinden. Nach Aufg. 25, S. 12 ist

ds j

+ V1 - (n²- l)tg²ß

somit folgt tg²ß = tg²^ oder tgß = tgßlf ß = ß1} da ß und ßt<%. Man hat daher ß = ß₁ = y und s =    .

Ferner wird

d³ z

dß³

n (n² —— 1) tg /3 [1 — (n³ — 1) tg² /3p cos² ß

»_(»* — 1) tg ßl

[1 — (n² — 1) tg² /?tp cos² ß₁

und dieser Ausdruck ist positiv. Der Winkel e, für den sin s = n sin \a ist, liefert also ein Min. z = d der Ablenkung; dieses beträgt d = 2 s — a. Hieraus folgt e = p (a -j- d) und n sin \-a

sin j(q-f 8)

, eine Gleichung, die zur Be-

= sin p (« -P d) oder n =

Stimmung des Brecbungsindex aus dem Ablenkungswinkel d dient, wenn sich das Prisma in der „Minimumstellung“ befindet.¹) Man erkennt leicht, daß bei dieser Stellung der Strahl im Inneren des Prismas mit den zwei brechenden Flächen gleiche Winkel bildet (symmetrischer Durchgang, da SP = SP₁ und e = ex).

sin

II. Funktionen von mehreren Veränderlichen ohne Nebenbedingnngen.

1. Zur Bestimmung der Werte der zwei voneinander unabhängigen Veränderlichen x, y, die die Funktion z = f(x,y) zu einem Maximum oder Minimum machen, löse man die Gleichungen fx = 0 und f₂= 0 nach x und y auf. Ist x = a, y = b ein Paar reeller Lösungen, so wird z für diese Werte ein Maximum oder Minimum, wenn der Ausdruck

^ ⁼ /11/22 /ii

bei Einführung von x = a, y = b einen positiven Wert hat, und zwar liegt ein Maximum vor, wenn fn oder f₂₂ negativ ist, ein Minimum, wenn fn oder positiv ist. Ist z/ negativ, so hat die Funktion an der betreffenden Stelle keinen extremen Wert und im Fall A = 0 bedarf die Frage einer weitergehenden Untersuchung, bei der noch höhere partielle Ableitungen zu berücksichtigen sind.

Nimmt f(x, y) für x == a, y = b einen extremen Wert an, so hat jedenfalls die Fläche z = f{x, y) an dieser Stelle eine zur ^|/-Ebene parallele Tangentialebene.

2. Zur Bestimmung der Werte der n voneinander unabhängigen Veränderlichen xu x₂, ... xn, die die Funktion z = f(xx, x₂, ... xn) zu einem Maximum oder Minimum machen, löse man die n Gleichungen

f\ = gU = 0, (i = 1,2, ... n) nach xx, x₂, . . . xn auf. Ein solches

Lösungensystem liefert einen extremen Wert der Funktion /' falls für alle endlichen und nicht gleichzeitig verschwindenden Werte von lix, h₂, . . . hn der Ausdruck

/il V +    g² + • ■ ' + fnJln +    + ----b %fn

— 1,71

K-iK

1) Ygl. zu dieser experimentellen Bestimmung des Brechungsindex z. B. F. Kohlrausch „Lehrbuch der praktischen Physik“, 10. Aufl., Leipzig 1905, S. 257f.

stets gleiches Vorzeichen hat (eine definite Form ist). Je nachdem dann dieser Ausdruck negativ oder positiv ist, wird die Funktion ein Maximum oder Minimum. Verschwindet H für gewisse Wertsysteme der h.₂, . . . hn, hehält H jedoch gleiches Vorzeichen für alle anderen Werte dieser Größen (ist H eine semidefinite Form); so bedarf die Frage einer weitergehenden Untersuchung.

3. Vorausgesetzt wird im vorstehenden, daß die Funktionen f(x, y) bzw. f(xlf x.₂, . . . #B) mit allen partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung in der nächsten Umgehung der betreffenden Stelle x, y bzw. xn x₂, ... xn stetig sind.

Beispiele.

1.    Welche Werte x, y machen die Funktion z = Ix²— Qxy-\- 3y2 — 4:X ly — 12 zu einem Maximum oder Minimum?

Für x = — -|, y — — gl wird z ein Min.

2.    Die gleiche Aufgabe für z = x? -\- y² — 6xy — 39 a: + 18 y + 20. Für x = 5, y — 6 wird z ein Min.

3.    Die gleiche Aufgabe für z = anx² -f- 2anxy -f- a2%y² + 2a₁₃x

+ 2 »23 V + a33 •

«12 «28    «22 «13

<*41022 — «il ?

einen extremen Wert an, und zwar wird z ein Max.

Im Fall an a₂₂ — aj > 0 nimmt z für x =

«12 «1 y «11 «28

«11 «22 «ll oder Min., je nachdem an (oder a₂₂)

negativ oder positiv ist.

4. Einem gegebenen Kreis (Radius a)    /

ri

soll ein Viereck ABCD von möglichst IA großem Flächeninhalt eingeschrieben wer- a ' den; die Größe des Winkels BAD = a sei gegeben. Man zeige, daß das gesuchte Viereck erhalten wird, wenn man an einen Durchmesser AC des Kreises

Fig. 61.

(Diagonale des Vierecks) von a aus die Winkel G AB = CAD^Ąa an trägt (Fig. 61) und die Schnittpunkte B, D der freien Schenkel dieser Winkel und des Kreises mit G verbindet.

Ist BDA = x, <)CBDC = y, setzt man ferner <SCBCD— 180° — a = y und den Inhalt des Vierecks gleich F, so gilt die Gleichung

= sin x sin (x -f oc) -f sin y sin (y -\- y), und diese Funktion

2 a² sin a

von x und y soll ein Max. werden. Mit Hilfe von Ft= 0 und F% — 0 findet man x = \y, y — l-cc, x y = ADC = ABC = 90°, <£ ABD = -\y, CBD = AB = AD sowie CB = CD. Die Bedingungen FnF₂₂ — Ftl > 0 und Fn < 0 sind erfüllt.

ein Min. wird? Vgl. auch Aufg. 21, S. 114.

dw

= 0 und

dx

«z

5. Zwei Orte Px und P₂ haben von zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden (y-Achse und x-Achse) die Abstände x₁ = a1} yx — bx hzw. x₂ = a₂, y₂ = b₂ und zwar mögen diese Koordinaten sämtlich

positiv sein. Beide Orte sollen durch eine Telegraphenleitung verbunden werden, jedoch nicht direkt, sondern so, daß die Leitung von Px zunächst nach einem Punkt Qx des positiven Teiles der x- Achse, von da nach einem Punkt Q₂ des positiven Teiles der y-Achse und dann erst nach P2 geführt wird (Fig. 62). Wie sind Qx und Q₂ auf der rr-Achse bzw. y-Achse anzunehmen, damit die Länge der Leitung

W = Ql + QlQ-2 + Q-l 1*2

ßz

az

Q,

R,

■> Je

Fig. 62.

Setzt man 0 Qx = x, 0Q₂ = y, so wird w = Ybx² -f- (ax — x)2 -f- "j/#²-)- y² -f- ]/a₂² -f (b₂ — yj². Bei Einführung der Winkel alf ßx, cc₂, ß₂ ergibt die geometrische Deutung der Gleichungen

= 0, daß cos ccx = cos ßi} cos ß₂ = cos cc₂, somit ccx = cc₂ = ß₂

wird, d. h. die Dreiecke P₁P₁Q₁, QxOQ₂ und Q₂B₂P₂ müssen einander ähnlich sein. Die Bestimmung von x und y erfolgt nun leicht mit Hilfe von bL : (ax — x) = y : x = (b₂ — y) : a₂ und liefert

«i h — «-> \

¹

Ygl. O. Bonnet in den ISouv. Annales de Math. Bd. 2 (1843), S. 420 f.

«i + a.₂    ’

wo axb₂ — a₂bx >0 sein muß, wenn x und y positiv werden sollen, d. h. die Radienvektoren von P₁ und P₂ müssen so zueinander gelegen sein, wie die positive #-Achse zur positiven ^/-Achse. Man konstruiert Qx und Q₂, indem man die Lote PXPX und P₂P₂ über Px und Ii2 hinaus um sich selbst verlängert und die Endpunkte dieser Verlängerungen miteinander verbindet. Diese Verbindungslinie trifft die Koordinatenachsen in Q. und ö,. Die kürzeste Węglanie wird

Y(fh + a₂y -f (&!+ b₂f.

6. An drei Orten P1} P₂, P₃ werden gewisse technische Produkte gewonnen, die vor ihrer weiteren Verwendung nach einer Zentralstelle P befördert werden sollen. Diese Transportkosten betragen für je einen Kilometer (kilometrische Transportkosten) bzw. ax, a₂, a₃ Mark. Es wird gefragt, welche Lage man P zu geben hat, damit die Summe K der Kosten für den Transport von P1? P₂ und P₃ nach P ein Minimum wird, und zwar sollen die zur Beantwortung dieser Frage

Geringste Kosten für Transporte nach einer Zentralstelle.

135

notwendigen Gleichungen nicht aufgelöst, sondern geometrisch oder mechanisch gedeutet werden. Man beachte insbesondere auch den Fall ax = a₂ = a₃. Die Koordinaten der Punkte P. seien xi} yi (i = 1, 2, 3), die unbekannten Koordinaten von P seien x, y.

3

ai Vlx~ xi)¹ 2 + (y- Vif

Man findet K

. Sind nun ^(« = 1,2,3)

die Winkel, die die von Pi nach P gezogenen Geraden mit der positiven Richtung der x-Achse bilden, so erweisen sich die Gleichungen Kx = 0 und K₂ = 0 als gleichbedeutend mit

ax costfj -j-a₂ cos a₂-f-«₃cos cc₃ = 0 und ox sin <xx -f- a₂ sin a₂ -f- a₃ sin a₃ = 0.

aus

dieser Kräfte auf die Achsen des Koor-

Pi

Werden die Größen ax, a₂, a₃ als Kräfte aufgefaßt, die in P angreifen und durch Plf P₂, P₃ hindurchgeben, so sagen beide Gleichungen daß die Summen der Projektionen

dinatensy stems verschwinden, d. h. die Kräfte müssen sich im Gleichgewicht befinden.

Mit Hilfe von

= sin («₂ — cc₃) : sin (a₃ — ax) : sin (ax — a₂)

folgt überdies, daß die von je zweien der Geraden P-P im Punkt P gebildeten *

(T,

Fig. 63.

Winkel mit den Außenwinkeln eines Dreiecks übereinstimmen, dessen Seitenlangen den kilometrischen Transportkosten proportional sind. Im Fall ax = a₂ = a3 betragen diese Winkel je 120°.

W. Launhardt hat zur Konstruktion des Punktes P das folgende Y erfahren angegeben*) : Mit Hilfe der Seiten px = P₂ P₃, p₂ = P₃ Px, p₃ = P₁P₂ des Dreiecks PXP₂P₃ konstruiert man über P₂P₃ ein Dreieck P₂P₃0, in dem P₃0 = <^Lpx, P₂0 = ^-px ist und zwar derart,

daß sich die Flächen P₂P₁P₃ und P₂OP₃ von P₂P₃ aus nach entgegengesetzten Seiten erstrecken (Fig. 63). Die Verbindungslinie von Px mit 0 trifft alsdann den dem Dreieck P₂ P₃ 0 umschriebenen Kreis in dem gesuchten Punkt P. Die Seiten dieses Dreiecks sind nämlich proportional zu ax, a₂, a₃, seine Winkel y1; y₂, y₃ sind gleich den Supplementwinkeln der von je zweien der Geraden PP; im Punkt

P gebildeten Winkel ßx, ß₂, ß₃, denn = ßz + y₂ ⁼ ßz + Ï3 = 180° ist. Das dem gefundenem Punkt P zugehörige Minimum des Ausdrucks ax • PPX -f a₂- PP₂ + a₃ • PP₃ wird durch das Produkt ax- PxO dargestellt.

erkennt leicht, daß ßx -j- yx

man

Vorausgesetzt ist hierbei, daß die Gerade PxO den Hilfskreis in einem Punkt P trifft, der im Innern des Dreiecks PXP₂P₃ liegt. Sollte dies nicht der Fall sein, so wird eine Ecke dieses Dreiecks das Minimum liefern. Dies tritt z. B. schon ein, wenn ax = a₂ = a₃ ist und ein Winkel des Dreiecks 120° ist; dann liefert der Scheitel des stumpfen Winkels die Lösung. Auch muß es überhaupt möglich sein, das Dreieck P₂P₃0 zn konstruieren, d. h. die Summe irgend zweier der Zahlen ax, a₂, a₃ muß größer sein als die dritte.

Im Anschluß an die oben erwähnte mechanische Deutung der Gleichungen ax cos ax + a₂ cos a₂ -f- a₃ cos cc₃ — 0 und ax sin ccx -f a₂ sin a₂ -f a₃ sin a₃ = 0

kann man den Punkt P experimentell bestimmen, indem man ein dem Dreieck PXP₂P₃ ähnliches Dreieck auf eine ebene Platte aufzeichnet, diese in Px, P₂, P₃ durchbohrt und die freien Enden dreier in einem Knoten zusammengeknüpften Fäden durch diese Löcher hindurchführt. Werden an die freien Enden der Fäden Gewichte gehängt, die den kilometrischen Transportkosten proportional sind, so befindet sich der Knoten in der Gleichgewichtslage dieses Systems an der gesuchten Stelle P.³)

7. Die tägliche Arbeitsleistung L von Zugtieren, die zur Fortbewegung von Straßenfuhrwerken benutzt werden, ist gleich dem Produkt aus der Zugkraft z, der Geschwindigkeit v und der täglichen Arbeitszeit t (Arbeit gleich dem Produkt aus Kraft und Weg); man hat daher L =jvt. Soll nun diese Größe L unverändert bleiben, so muß sich bei Änderung von v und t auch z ändern, und zwar möge bei dieser Änderung die Forderung erfüllt werden, daß die konstante Tagesleistung L dem Maximum des Produktes zvt entspreche, das für gewisse mittlere Werte zx, vx, tx von z, v, t eintreten möge. Es soll

= 0, ai sin = 0 ist, findet sich für ai= 1,

aus

also L

wird, wenn die von Maschek aufgestellte Formel

max

= ziv₁t₁ sein. Man zeige, daß dieser Forderung genügt

tj

zu Grund gelegt wird, für die die Ergebnisse der Erfahrung einigermaßen zutrelfen, wenn v und t nicht allzusehr von den mittleren Werten v1} tx abweichen.x)

Für L

'jvt liefern die Gleichungen

^ = 0 die Werte v = vlt < = <,. Ferner wird    ~ (g^)*

d⁴L ’ dvs

Bei Pferden kann man als Mittelwerte nehmen = 75 kg, cx = 1,1 m/sek, t = 8 Stunden täglich.

8. Gegeben sind n Punkte P; durch ihre Koordinaten ai, bi (i = 1, 2, . . . n). Für welchen Punkt P(x, y) ist die Summe der mit gewissen positiven Konstanten mi multiplizierten Quadrate der Abstände von den n festen Punkten ein Minimum?

= 3z⁴ > 0

und

c-L

dt⁴

<0.

dv

Die genannte Summe ist s

= 0 und s, = 0 folgt

=^jmi {0 - ai)⁴ +(y~ Kf} ;

i

ml X₁ -f m₂ x₂ -f • • • 4- »ln xn

«LJ/l + Wgy» + • • • + mnVn

Auch wird s tatsächlich ein Min. für die gefundenen Werte von x und y, da sns₂₂ — sx2 und s₁₁ > 0 wird. Ist Pt ein materieller Punkt von der Masse nii (i = 1, 2, . . . n), so ist P der Schwerpunkt des ganzen Systems.⁵ 4)

Häufig handelt es sich um die Bestimmung des Maximums oder Minimums einer Funktion von n -f- 1 Veränderlichen, zwischen denen eine Nebenbedingung stattfindet, vermöge deren man eine Veränderliche aus der Funktion eliminieren oder sich wenigstens eliminiert denken kann, so daß eine Funktion von n unabhängigen Veränderlichen bleibt. Alsdann ist das bisher benutzte Verfahren einzuschlagen.

Hierzu gehören folgende Beispiele:

9. Das Volumen V eines Rechtflachs sei gleich a⁶; wie lang

2b

müssen die Kanten x, y, z sein, wenn die Oberfläche 0 des Körpers ein Minimum werden soll?

Mit Hilfe von xyz = a³ wird 0 = 2 (xy + ~    ~)

x = y = z = a, das Rechtflach muß ein Würfel sein.

10. In der Ebene eines Dreiecks ABC einen Punkt P so zu bestimmen, daß die Summe der Flächeninhalte der drei Rechtecke, die man aus je zweien seiner Abstände von den Seiten des Dreiecks konstruieren kann, ein Maximum wird.

Es seien x, y, z diese Abstände und a, b, c die Längen der zugehörigen Dreiecksseiten; alsdann soll die Funktion f(x, y,z) = xy -f- yz + zx ein Max. werden, wozu die Bedingungsgleichung ax + by + cz = 2D tritt, in der T> den Dreiecksinhalt darstellt. Man denkt sich nun vermöge dieser Gleichung z aus f(x, y, z) eliminiert und betrachtet hierauf f nur noch als Funktion der zwei unabhängigen Veränderlichen x

und y. Alsdann ist /j = y + y -f- z + x^ oder auch /j = y — —

.    ax y.    .    by

+ 8 ~ —, ft = ® + S -

; man findet

bx

—. Die Gleichungen /j = 0 und f₂ = 0

liefern öx = —    öy = a — ?> + c, <5Z = a Ą-b — c, wo ö einen

Proportionalitätsfaktor bedeutet, der mit Hilfe der Bedingungsgleichung (a² -P 6² -f- c² — 2ab — 2bc — 2ca)

gleich —

gefunden wird. Ferner ist

/il    c } /z2    c > f 12

und    /₁2 = — («² + &² + c² —2a& — 2bc— 2ca):c² oder fnf₂₂ —f?₂

= {a (— a -f- b A c) -f- b (a — b -f- c) + c(a -f b — c)} : c², ein positiver Ausdruck, da a, b, c Seitenlangen eines Dreiecks sind und somit die Klammern, wie z. B. — a + b -f c, positive Größen darstellen.

11.    Es seien wieder x, y, z die Abstände eines Punktes P von den Seiten eines Dreiecks; welche Lage muß P haben, damit das Produkt xlymzn, wo l, m, n beliebige reelle Zahlen bedeuten, einen extremen Wert annimmt?

Hier findet man zunächst qx = 1 : a, Qy = m :b, qz = n : c, wo q = (l -p m -p w) : 2D ist und die Größen a, b, c, I) dieselbe Bedeutung haben wie in der vorhergehenden Aufgabe. Ein extremer Wert tritt ein unter der Bedingung (l + m -p ri) Imn > 0 und zwar ein Max. oder Min., je nachdem die Größen lm(l m), mn(m-\-n) und nl(n-{-l) positiv oder negativ sind. Daß diese drei Größen im Fall    +

dasselbe Vorzeichen haben, ist leicht zu zeigen. Im Fall l = m = n ist P der Schwerpunkt des Dreiecks, und für diesen Punkt wird daher {xyz)¹ ein Max. oder Min., je nachdem l positiv oder negativ ist.

12.    Für welchen Punkt in der Ebene eines Dreiecks ist die Summe der Quadrate seiner Abstände x, y, z von den Seiten des Dreiecks ein Minimum?

Man findet bei gleicher Bezeichnungsweise wie in den zwei

vorhergehenden Aufgaben QX = a, çy = b, qz = c, wo q

a* + 6* + c*

ist. Über diesen Punkt gibt es eine umfangreiche Literatur.⁷) Er pflegt nach Grebe⁸) oder auch nach Lemoine genannt zu werden und läßt sich leicht als Schnittpunkt der drei „Symmedianen“ des Dreiecks konstruieren. Die zur Ecke A gehörige Symmediane wird hierbei erhalten, indem man die durch A gehende Halbierungstransversale der Seite a an der Winkelhalbierenden von A spiegelt; oder man trägt auf die Seite AB die Länge AC = AC ab, auf die Seite AG die Länge AB' = AB, die gesuchte Symmediane verbindet alsdann A mit der Mitte der Strecke B'C'.⁹)

Übrigens ist der doppelte Dreiecksinhalt das geometrische Mittel von a⁸ + b⁸ + c⁸ und x⁸ + y⁸ + z⁸.

Werden die Größen x, y, z als rechtwinklige Koordinaten im Raum gedeutet, so ist mit vorliegender Aufgabe zugleich die folgende gelöst:

13.    Den Punkt der Ebene ax -f by + cz — 2D = 0 zu bestimmen, der vom Koordinatenanfang den kleinsten Abstand hat.

14.    Den kürzesten Abstand der beiden Geraden

s c und

Ś — «i ₌ y — b₁ _ ?—Ci

m,

ni

zu bestimmen.

Es seien x, y, z und xlf y1} zt die Koordinaten je eines Punktes beider Geraden ; alsdann soll der Ausdruck s⁸ = (x — x^⁸ + (y — yt) + (z — z^f ein Min. werden. An Stelle der Koordinaten denke man sich nun vermöge

y —^

ni

m₁

die beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen q und q₁ eingeführt; man hat alsdann:

ds

sTq⁼⁼(x~ x+ (y - ⁷ b) m + (* ~ ⁰i)n = °>

= - {(x - X^I.A (y - y₁)m₁ + (z -    = 0,

-2

somit

x — xx = <jL, y — y₁ = 6 31, z — zx = <? V,

wo 6 einen Proportionalitätsfaktor bedeutet und zur Abkürzung gesetzt ist

mnx — nmx = L, nlx — lnx — 3I, lmx—mlx = N.

Werden die Differenzen x — xx, y — yx, z — zx durch p und q₁ ausgedrückt, so hat man nun drei Gleichungen mit drei Unbekannten p, qx, 6. Die Auflösung nach 6 ergibt

<3 =

L¹ + .1/- + N*

und der kürzeste Abstand wird daher

(a — ax)L + (5 — bx)M-\- (c — cx)N yL- + M² + N2 Dieser Abstand ist auch tatsächlich ein Min., weil

s2 B~ (Ä)!!gleic]1 v+1P+N2>

d²s

also positiv ist und gleiches von s-^ = l² m²n² gilt.

Für die Koordinaten der Endpunkte der den kürzesten Abstand darstellenden Strecke findet man

x=aĄ-lę, y=b-\-niQ, z=c-\-nQ, xx=alJrllQx, yi=b₁-\-mxQx, zx=cx-\-nxQx,

d = 6]/L² + W + N² =

wo

ax — a l L {13 -f- Af² + N²)qx = bx-b m 31 cx — c n N

ax — a lx L (X² + 3P + A²)p = bx — b mx 31

ci — c ni N

Das Verschwinden des den Zähler von d bildenden Ausdrucks

(a — ax)L -j- (b — bx)31 + (c — cx)N bedeutet, daß sich die beiden Geraden schneiden.

15. Man soll eine gegebene positive Zahl a derart in n + 1 positive Summanden x, xx, x₂,... xn zerlegen, daß die Summe der m Potenzen dieser Zahlen ein Minimum wird; hierbei sei m > 1.

Aus z = xm + xxm -f x₂m + • • • + xnm denke man sich x vermöge

ten

CZ

x=a — (ccx-\-x₂-\-----|-#M) eliminiert; alsdann wird T—=m(xi

m— 1

—xm~¹)=0

und x = xx = x₂ = ... = xn =

d²z

n - j- l *

= m(m — l)(Am-2-f- x3n~²),

Ferner findet man

d²z

dx{öxk

= m{m — l)xm~²,

dxj²

so daß der oben (S. 132) mit H bezeichnete Ausdruck gleich

•ŒN²)

wird und eine positive definitive Form darstellt.

Zerlegung von Zahlen bei vorgeschnebenen Bedingungen. Aus dem Ergebnis folgt offenbar die Ungleichung

x Xi Ą- x₂ ■

n -f- 1

falls m > 1 ist.

16. Man soll eine gegebene positive Zahl a derart in n + 1 positive Summanden x, xv x₂,... xn zerlegen, daß das Produkt z = xocx₁c‘i x₂a*... xnan, in dem a, cc₁, a₂, ... ccn beliebig gegebene positive Zahlen sind, ein Maximum wird.

Mit z wird auch ln z = a ln x -f- ln xx -f- cc₂ ln x₂ 4-----\- an ln xn ein Maximum. Man denke sich nun x eliminiert vermöge x=a—{x± + x₂ -)-----1- xn)

dlnz

dxt z d%i

und bilde

l dz

xi

^ = 0, (i = 1, 2,. . . n), woraus

au

« + «1 + «2 +----F an ¹

hervorgeht. Ferner findet man

Za-i

X{ ==

a di

« Hb «i + “a H-----b «»

d²z

8²z

Zu

ZU    ,

--ö- und

x²

dxtdxk    x2 ;

der oben (S. 132) mit H bezeichnete Ausdruck wird gleich

^2 — ~

X²

⁰{2îiï'h* + r£i

stellt also eine negative definitive Form dar, folglich wird z für die gefundenen Werte der n Summanden von a tatsächlich ein Maximum.

17. Es sollen n + 1 positive Zahlen x, xlf x₂, . . . xn derart bestimmt werden, daß die Summe ihrer Quadrate konstant gleich a2 ist, während der Ausdruck z = ax -\- cctxx-\- u₂x₂-\- • ■ • Ą- ccnxn, in dem a, «₂, . . . an beliebig gegebene positive Zahlen bedeuten, ein Maximum werden soll.

Auch hier denke man sich x aus z vermöge x'²=a²—(x₁²-f- x₂ ²-|-----1- xn²)

eliminiert. Man findet erhält

au

+ Vr«\+<*₁*+ «**+—t- «*¹

Fl=_ al rx* 4. x.²) -Fz =

dxf a?³'-    '    ¹ )’ dxidxk

dz

0 Xi

a uL

Ferner wird mit H bezeichnete Ausdruck erhält die Gestalt

+ ]/<**+ V + «2³H-----b <4

UXiXk

x³

der oben (S. 132)

ist also eine negative definitive Form, die gefundenen Werte der Unbekannten ergeben für z ein Maximum.

18. In der Physik, der Technik, Geodäsie, Astronomie und anderen Wissenszweigen handelt es sich häufig darum, Größen aus Gleichungen zu berechnen, die durch Beobachtungen gewonnen werden. Infolge der Unvollkommenheit der Instrumente und unsrer Sinne sowie in Folge zufälliger äußerer Umstände entstehen Beobachtungsfehler, die die Ergebnisse störend beeinflussen- so kommt es, daß aus wiederholten Beobachtungen verschiedene Ergebnisse für diese Größen folgen. Nehmen wir z. B. an, drei Größen x, y, z seien durch Gleichuugen von der Form a{x + bty -|-ct.£ — di = 0 verbunden, in denen die Koeffizienten a{, b{, ci: dt entweder sämtlich oder zum Teil durch Beobachtungen gewonnen werden können. Auch möge vorausgesetzt werden, daß die Beobachtungen gleiche Zuverlässigkeit haben, also kein Grund vorliegt, eine derselben für wertvoller zu halten als eine andere. Man wird alsdann den schädlichen Einfluß der Beobachtungsfehler durch Vermehrung der Zahl der Beobachtungsreihen bekämpfen, also nicht nur drei Reihen von Beobachtungen anstellen, denen alsdann drei Gleichungen (i = 1, 2, 3) zur Berechnung der Unbekannten x, y, z zugehören würden, sondern n > 3 Reihen. Würde man in diese so erhaltenen n Gleichungen die wahren Werte der Unbekannten x, y, z, sofern man sie hätte, einsetzen, so würden die Gleichungen nicht sämtlich erfüllt werden, ihre rechten Seiten würden also nicht sämtlich gleich Null sein, sondern gleich gewissen Größen d{(i = 1, 2, ... n), die die vorliegenden Fehler oder Widersprüche darstellen.

Nun fragt es sich, wie man diese Widersprüche, die zwischen den Gleichungen bestehen, möglichst ausgleicht, um die plausibelsten Werte der Unbekannten zu finden. Gauß hat aus verschiedenen Gründen die Schlußfolgerung gezogen, daß die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten diejenigen sind, für die die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum wird. Die Methode der Berechnung der Unbekannten, die sich auf diese Forderung gründet, heißt daher die Methode der kleinsten Quadrate4) Es sollen nun für das oben erwähnte Beispiel von drei Unbekannten x, y, z nebst n > 3 zugehörigen Gleichungen atx -f- bty -f ctz — dt = 0 (i = 1, 2, . . . n) diejenigen drei Gleichungen aufgestellt werden, aus denen sich Werte x, y, z ergeben, die der soeben ausgesprochenen Forderung genügen.

Die Summe der Fehlerquadrate ist Q — 'y¹⁰(aix -p bty -\- c{z — eQ¹¹,

i

und dieser Ausdruck soll ein Minimum werden. Man erhält

= Qi =^>}ai(aix + hiV + ca — <*<) = o, 1 n

¹    d_Q

2    dx

1    aç

2    dy

= Q2⁼⁼^jbi{aix + bty + ctz — dt) = 0,

1

n

+ bty + c<* - ^) = 0.

Bei Benutzung der in der „Ausgleichungsrechnung“ üblichen abkürzenden Bezeichnungen

V+ a2²+----b «w²= [oa],    «A4- a₂&₂H----+ aA ⁼ [a&], usw.

lassen sich vorstehende drei Gleichungen in der Form schreiben:

[aa] x + [ab]y -f- [ac]z — [ad] — 0,

[ab] x + \bb]y -f [bc]z — [bd] = 0,

[a c] x [bc]y 4- [c c] # — [c = 0.

Sie werden als die Normalgleichunyen bezeichnet. Jetzt hat man gerade so viel Gleichungen wie Unbekannte und erhält durch Auflösung dieser Gleichungen im allgemeinen ein einziges und damit das gewünschte System von Lösungen x, y, z. Bei einer größeren Anzahl von Unbekannten ist das Verfahren analog.

Der auf S. 132 mit H bezeichnete Ausdruck wird gleich

2(aLhr -f- b₁ h₂ 4-    4- 2(a.₂\ 4- b₂h₂ 4- c₂h₃)² 4- 2(a₃ht 4- b₃h₂ 4" c₃/<₃)²,

stellt also eine positive definite Form dar, Q wird somit wirklich ein Minimum.

19. Man wende die vorstehenden Betrachtungen an auf die Lösung der Aufgabe:

Um die von einem festen Standpunkt 0 aus nach vier Punkten (Zielen) A, B,

C, JD sich erstreckenden Richtungen fest- 0 zulegen, hat man die Winkel AOB, AOC,

Fig. 64.

A OD, B OC, B OD (Fig. 64) durch Messung bzw. gleich a1} a₂, cc₃, a₄, cc₅ gefunden. Es sollen nun die wahrscheinlichsten Größen x, y, z der Winkel AOB, AOC, AOD entsprechend der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt werden.

Hier hat man für die drei Unbekannten x, y, z die fünf Gleichungen

X = ax, y = a₂, z = ccs, y — x = a₄, z — X = a₅.

Ferner wird [aa] = 3, [bb] = 2, [cc] = 2, [ab] = — 1, [ac] = — 1, [bc] = 0, [ad] = «j — a₄ — ah, \bd] = cc₂ 4- ai, [cd] = cc₃ -f a₅;

daher ergeben sich folgende Normalgleichungen :

?)X — y — £ = cq — a₄ — cq, = a₂ + a₄,

— x

die die Werte liefern:

+ 2 £ = or₃ +    ,

_ _ 2«₁ + «2+0;3 —^4—“5

^    4    }

2tfx + 5g,-{- or₈ + 3 k₄ — k₅

2 ai + «2 + 5 as — a₄ + 3 «₆

Z =

20. Zwischen zwei physikalischen Größen p und q bestehe eine Abhängigkeit von der Form q = a₀pB + atp² -f a₂p -f a₃. Zur Bestimmung der Koeffizienten a₀, at, o2} a₃ sind n zusammengehörige Wertepaare von p und q beobachtet worden, sie seienpv q₀ (i = 1,2,..., n). Die Gleichungen aufzustellen, aus denen die wahrscheinlichsten Werte der Koeffizienten a₀, alf a₂, az zu berechnen sind.

Die Summe der Fehlerquadrate wird hier

2.

2 {(h - (WS + a\Vi + «2Pi + «3)}

die Normalgleichungen werden:

¹

Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure Bd. 26 (1882), S. 105—108; ferner „Theorie des Trassierens“, Heft 1, Hannover 1887, S. 35 ff. Für den Fall

²

a₁ — d₂ — cis = 1 hat diese Konstruktion schon G. C. Fagnano in den Nova acta eruditorum anni 1725, Leipzig 1729, S. 284 ff.

³

Diese auf den Fall von beliebig vielen Punkten P; ausdehnbare Bemerkung hat wohl H. C. Schumacher zuerst ausgesprochen und zwar in einem Brief an Gauß vom Jahr 1836; vgl. den von Peters herausgegebenen „Briefwechsel zwischen Gauß und Schumacher“, Bd. 3, Altona 1861, S. 28; vgl. ferner hierzu im gleichen Band S. 13—14, 24 f., 26—28, 30—32, 39—40, 44—45. Die Bemerkung, daß

(i — 1, 2, . . ., w), auch bei Steiner; vgl. überhaupt dessen Bemerkungen in seinen hinterlassenen Papieren, in den gesammelten Werken Bd. 2, S. 729—731. Ygl. auch R. Sturm im Journal für die reine und angew. Mathematik Bd. 97 (1884), S. 49—61; A. Foeppl in der Schweizerischen Bauzeitung Bd. 3 (1884), S. 86 f. Ferner sei bezüglich einer Verallgemeinerung der Aufgabe verwiesen auf V. Schlegel, Bull. Americ. math. soc. Bd. 1 (1894), S. 33—52.

⁴

   Für den Pall n — 3 und mx = m₂ = w₃ = 1 findet sich dieses Ergebnis schon bei G. C. Fagnano in den Nova acta eruditorum anni 1725, Leipzig 1729,

⁵

   Näheres bei Launhardt, Ztschr. des Arch.- und Ing.-Vereins zu Hannover, Bd. 13, S. 199 ff. (1867), wo man zahlreiche Anwendungen findet, ferner bei L. von Willmann, „Straßenbau“, Kap. 2, S. 94 des ersten Bandes vom Lehrbuch des Tiefbaues, hrsgg. von K. Esselborn, 3. Aufl. Leipzig 1908, S. 146f.

⁶

S. 289.

⁷

   Diese findet sich z. B. zusammengestellt bei J. S. Mackay in den Proceedings of the Edinburgh math, society, Bd. 11 (1893), S. 92—103.

⁸

   Vgl. dessen Abhandlung in Grunerts Archiv der Mathematik und Physik, Bd. 9 (1847), S. 250ff. Schon die Schrift von C. Adams „Die merkwürdigsten Eigenschaften des geradlinigen Dreiecks“, Winterthur 1846, soll zahlreiche Sätze über diesen Punkt enthalten.

⁹

   Vgl. hierzu M. d’ Ocagne in den Nouv. Annales de Mathématiques, 3. Serie, Bd. 2, S. 450—464 (1883), wo der Name Symmediane eingeführt wird und mehrere Sätze abgeleitet werden.

¹⁰

R. Dedekind hat in der „Festschrift zur Feier des 150jährigen Be

¹¹

stehens der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen“, Berlin 1901, S. 45—59 einen Teil des Inhalts einer Gaußschen Vorlesung über Zweck und elementare Begründung der Methode der kleinsten Quadrate veröffentlicht, die er selbst im Wintersemester 1850/51 bei Gauß gehört hatte.

+a\2vh+«₂>y+=2pi(i,

«0 2p* + f + <hJ£p* + «₃^² =2p²q,

«0 2pl + <h2p* + °2^p² + «3 2p =2'pq ,

-2a,

a₀ 2p* + «12p² + a>*2p + na3

wobei J£pm= pjm+p₂m + • •• + p™, ^>“5 =A”I?₁ + p₂mq, + • • ■ +j£ qn ist.

Diese vier Gleichungen sind also nach den vier Unbekannten «o, «1;    ^3 aufzulösen.

III. Funktionen von mehreren Veränderlichen mit Nebenbedingungen.

1. Will man die Werte der n Veränderlichen xx, x₂ • • • xn finden, die mit Rücksicht auf m gegebene Bedingungsgleichungen

<PhOi, xi} • • • xn) = 0, (h = 1, 2, • • • m, m < n)

eine vorgelegte Funktion z = /(aq, #₂, • • • xn) zu einem (relativen) Maximum oder Minimum machen, so bilde man den Ausdruck

F = f + K Vl + K V2 + • ' ‘ + ^mVth und verfahre gerade so, als ob man die Werte der n + m von einander unabhängigen Veränderlichen x1} x₂₇ • • • xn, A1? A₂, • • • lm be-

stimmen wolle, die die Funktion F zu einem (absoluten) Maximum oder Minimum machen. Diese Regel gilt aber nicht mehr bei Beantwortung der Frage, ob für ein gefundenes System von Lösungen x1} X₂ • • • xn nun wirklich die Funktion z = f(xlf x₂, • • • x^) ein Maximum oder Minimum wird.¹) Die Entscheidung hierüber geht übrigens sehr oft schon aus der Natur der Aufgabe hervor. Häufig kommt es auch gafnicht darauf an, die Werte der xi zu finden, die einen extremen Wert von z herbeiführen, sondern es genügt oft, nur die Gleichungen, aus denen die xt zu berechnen sind, aufzustellen und geometrisch oder mechanisch zu deuten.

2. Liegt übrigens eine Funktion z — f(x, y) von nur zwei Veränderlichen x,y vor, zwischen denen eine Bedingungsgleichung cp(x,y) = 0 besteht, so wird z ein Maximum oder Minimum, je nachdem bei Einführung der gefundenen Werte x, y der Ausdruck

d*F êcp dcp dx dy dx dy

(ü)²-²

avF

dx²

negativ oder positiv ist.

Beispiele.

1.    Ein Rechtflach soll bei gegebener Oberfläche a² ein möglichst großes Volumen haben; wie groß sind seine Kanten zu machen? Vgl. Aufg. 9, S. 137.

Hier wird F=xyz + k(xy + yz -\-zx — a²), wenn die Kantenlängen mit x, y, z bezeichnet werden. Man findet x — y = z —    a]/6, das

Rechtfiach muß ein Würfel sein.

2.    Eine Strecke von gegebener Länge a soll mit ihren Endpunkten B, C so auf die Schenkel eines Winkels a (Scheitel A) gelegt werden, daß der Inhalt des Dreiecks ABC ein Maximum wird.

Setzt man AB = x, AC = y, so soll z = ^xy sinn ein Maximum werden, wobei *² -f y² — 2xy cos a — à² — 0 ist. Das Dreieck muß gleichschenklig sein und zwar findet man x = y = a : 2 sin    sein

Inhalt wird \a² cot Ą-cc.

3.    Man beweise den Satz von Steiner²): „Unter allen Dreiecken mit demselben Winkel C an der Spitze und mit gleichen Grundlinien hat das gleichschenklige sowohl den größten Inhalt als die größte Schenkelsumme“.

Ist c die Grundlinie und sind x, y die Gegenwinkel der Seiten rr, 6,

so folgt für den Inhalt: J =

— it

, und hierzu tritt x + y + G = 0. Ferner wird F = J^{.x F y F C — n), woraus mit Hilfe

c? sin x sin y sin C

10

von F₁ = 0 und F₂ = 0 sofort x = y folgt. Da auch der für den Eintritt des Maximums zu erfüllenden Forderung genügt wird, liefert das gleichschenklige Dreieck den größten Inhalt. Ebenso leicht ist zu zeigen, daß auch die Schenkelsumme ein Maximum wird.

Fig. C5.

Rein geometrisch läßt sich dieser Satz von y Steiner sofort beweisen, wenn man beachtet, \ daß die Scheitel der Winkel C aller Dreiecke der y\ vorerwähnten Beschaffenheit auf einem Kreisbogen liegen, der die gemeinsame Grundlinie zur Sehne hat.

4. Welches unter allen Vierecken, die man aus vier gegebenen Strecken von den Längen a,b, c, d konstruieren kann, hat den größten Flächeninhalt?*)

Der doppelte Flächeninhalt 2J ist, wie Fig. 65 zeigt, gleich ab sina; + cd sini/, und hierzu tritt die Bedingung

<p(x, y) = a² -j- b² — 2ab cosx — c² — d² -f- 2cd cos y = 0.

Ein Maximum von J liegt vor, falls die Summe der Winkel x und y zwei Rechte beträgt, also das Viereck ein Kreisviereck ist. Für den Winkel x folgt

a² -f- b² — c² — d²

2(ab -f- cd)

cos X =

ferner wird

2J = (ab -f- cd) sina; =

"j/ (— a -f- b 4~ c -j- d) (a> — b -f- c -f- d) (a -f- b — cd⁻ d)(a b c — d).

5.    Aus einem rechteckigen Stück Eisenblech von gegebenem Flächeninhalt à² kann man durch Wegschneiden von vier gleich großen Quadraten und Aufbiegen der übrig bleibenden Randstücke einen offenen Kasten hersteilen. Wie groß ist die Seite x der vier Quadrate und wie groß sind die anstoßenden Seiten y und z des Rechtecks zu machen, wenn das Volumen V des Kastens möglichst groß werden soll? Vgl. auch Aufg. 9, S. 108.

Zu dem    Ausdruck    V = x(y — 2x)(z — 2x), der ein    Maximum

1) Über das Viereck vom kleinsten Inhalt, das aus a, ft, c, d konstruiert werden soll, vgl. E. Lampe und R. Sturm im Journal für d. reine u. angew-Math. Bd. 96, S. 78—80 (1884).

hieraus folgt

Q.k ⁼ £ Vh(h Vh + \ Vh + ’ ' ⁻ + K V^n))    1,2,- ■

d. h. die Querschnitte der Teilstrecken sind den Quadratwurzeln aus den entsprechenden Stromstärken proportional. Das zugehörige Mini-

mum

des Volumens V wird ^ (lt ]/ix -f VS + • • • + hVhY-

8. Eine elektrische Leitung von der Länge I₀ verzweigt sich an ihrem einen Ende in n Teilstrecken von den Längen lk\ die diesen Strecken entsprechenden Stromstärken seien i₀ hzw. ik, (k — 1,2, • • • n). Wie groß sind die Querschnitte q₀ bzw. qk der Drähte zu machen, wenn

1) Für Kupfer z. B. ist der spezifische Leitungswiderstand e = -₅>T, d. h. c ist der Widerstand eines Drahtes von 1 m Länge und 1 qmm Querschnitt. Allgemein ist der Widerstand«; eines Drahtes in Ohm gegeben durch w = cl:q (vgl. auch die Fußnote zu S. 112). Zu Telegrafenleitungen nimmt man gewöhnlich Eisendraht von 4 mm Durchmesser, und zwar ist für Eisen c = 0,12. Der Wider-

stand einer solchen Leitung von 1 km Länge ist daher

= 9,5 Ohm.

Geringste Menge von Leitungsmaterial bei elektrischen Leitungen.

147

Fenster dringenden Lichtes, also der Flächeninhalt des ganzen Fensters ein Maximum werden soll? (Fig. 66.)

Die Funktion J — xy -f    soll ein Maximum werden mit der

Bedingung x 2y    — m = 0. Man findet x — 2y, d. h. die Breite

x des Rechtecks muß doppelt so groß sein wie dessen Höhe y, und

; der maximale Flächeninhalt ist gleich

mx

zwar wird x =

«ts

2(4 + *)

7. Eine unverzweigte elektrische Leitung besteht aus n Teilstrecken von den Längen    der Spannungsverlust am Ende der Leitung

beträgt FJVolt. Wie groß sind die Querschnitte q1} q₂ • • ■ qn der Leitungsdrähte der Teilstrecken zu wählen, wenn das Gesamtvolumen V des nötigen Leitungsmaterials ein Minimum werden soll und die Strom- y stärken der einzelnen Teilstrecken gleich i1} i₂, • • ■ in sind? Hierbei sei c der spezifische Leitungswiderstand des Materials, wobei angenommen wird, daß die Längen li in Metern, die Querschnitte qt in Quadratmillimetern gegeben sind.¹)

Der Ausdruck V — ltqx -f- l₃q₂ + • • • -f lnqn soll ein Minimum werden, und hierzu tritt die Bedingung

Mg. 66.

uA

<h

Man setze F = V IE und bilde nun die n Gleichungen X c

dF

d%

= 0, Je = 1, 2, • • • n;

y!

0,12 • 1000

4 7t

10

am Ende jeder der n Teilstrecken der Spannungsverlust E Volt betragen und das Gesamtvolumen des Leitungsmaterials ein Minimum sein soll? Der spezifische Leitungswiderstand des Materials sei c.

Die Funktion V = lQq₀ + 4#i + • • • + lnqn soll ein Minimum wer

den unter den Bedingungen yk = c ^

io—

fl»

i    4 ^ k \

fl* /

-F=0, (k = l,2---n).

Man bat daher mit Hilfe der Funktion F

= F + y* Ak(pk die n + 1

i

Gleichungen gibt sich

c^>

= 0 und

= 0, (k = 1, 2, • • • n) zu bilden. Es er-

dF

cjo 4

ch 4 4

fl*

= 0.

Aus den w Bedingungsgleichungen qp^. — 0 folgt

A4

fl» '

und wenn diese Quotienten gleich 0 gesetzt werden, wird g* = ~ Man findet ferner

Si

3*

g₀² = ff°a Gih + l>\h + ' ' ‘ + F4)

und

2? {U -fl/4 Gi²4 + 4“4 + • ■ • + 4²4)}

9. Unter welchem Einfallswinkel muß ein Lichtstrahl auf einen kugelförmigen Regentropfen fallen, wenn die Ablenkung, die er durch die Brechung beim Eintritt, durch Reflexion und durch Brechung beim Austritt erfährt, ein Minimum sein soll? Wie groß ist der Einfallswinkel, wenn zwischen dem Eintritt und Austritt k Reflexionen stattfinden und die Ablenkung ein Minimum sein soll?

Die Ablenkung z wird bei Brechung in A, einmaliger Reflexion in B (Fig. 67) und Brechung in C gleich 180⁰ — AQC. Ist s der Einfallswinkel, ß der Brechungswinkel, n der Brechungsindex, so findet man leicht z = 2s — 4/3 + 180° und AQC = 4ß — 2s, wobei sin s = n sin ß ist. Würde der Strahl nur in A und B gebrochen, so wäre die Ablenkung gleich dem Winkel BBQ = 2{s — /3); durch die Reflexion in B kommt noch eine weitere, durch den Winkel TSLt

Kleinste Ablenkung von Lichtstrahlen durch Regentropfen.

149

dargestellte Ablenkung hinzu. Man findet nun    QSR

= 180° — 2/3, daher wird z = 2 (s — ß) -f 180° — 2ß = 2 s — 4ß -|- 180°. Zugleich ist ersichtlich geworden, daß durch jede weitere Reflexion, die vor dem Austritt des Lichtstrahls aus dem Regentropfen stattfindet, die Ablenkung um 180° — 2ß wächst. Im Fall von Je Reflexionen

£>,Ä

S''

Mi

f/c

Fig. 67.

wird daher die Ablenkung z — 2s — 2/3 -(- £(180° — 2/3) oder z = 2s — 2 (Je -j- l)ß -j- Je • 180°, wobei sin e = n sin ß ist.

Man findet, daß das Minimum der Ablenkung eintritt, wenn

sin s = "j/

(k + 1 ³ n*

(k f O³-

Y und n > 1

ist; die Forderung n > 1 trifft beim Übergang aus Luft in Wasser zu, denn hier ist für rote Lichtstrahlen n = 1,330, für violette n = 1,343. Diesen beiden Lichtarten entsprechend findet man im Fall Je = 1 die Werte ^.= 59° 35', sv = 58° 50', ßr = 40° 25', /3„ = 39⁰ 35', wobei sich die Indizes r und v auf die roten bzw. violetten Strahlen beziehen. Bezüglich der Wichtigkeit dieser Betrachtungen in den FäUen Je = 1 und Je = 2 für die Erklärung des Regenbogens und des Nebenregenbogens sei auf die Lehrbücher der Physik verwiesen, ferner auf eine große Arbeit von Chr. Wiener⁴) und auf eine ausführliche, auch zahlreiche Literaturangaben enthaltende Abhandlung von W. Möbius.³)

10. Der Umfang u eines Dreiecks, dessen Ecken P1; P₂, P₃ auf drei festen Kurven Je1} Je₂, Je₃ liegen, kann nur dann ein Minimum oder

Maximum sein, wenn die in den Ecken gezogenen Kurvennormalen die ihnen zugehörigen Dreieckswinkel halbieren und sich also in einem Punkt treffen, oder, anders ausgedrückt, wenn die Kurvennormale einer jeden Ecke sich mit den Kurventangenten der beiden anderen Ecken in einem und demselben Punkt schneidet.⁵)

Sind xi} die Koordinaten der Ecke Pt(i =1,2, 3), fi(x,y) = 0 (i = 1,2,3) die Gleichungen der drei Kurven, so soll die Funktion

u = V 0₂ — x₃f + (y.> - y₃f + V (xs - xxf + (y₃ - y~)*

+ VW- + bh - y*f

ein Maximum oder Minimum werden unter Erfüllung der Bedingungen

fi(x i, VÙ = 0, f₂(x₃, y₂) = 0, f₃(x₃, y₃) = 0.

Die geometrische Deutung eines Paares von Gleichungen wie F' (æJ = 0, F'(yt) — 0, wo F = u -)-    + Äo/g -f k₃f₃ ist, ergibt leicht den obigen

Satz. Natürlich können auch zwei der gegebenen Kurven oder sogar alle drei in eine einzige zusammenfallen. Ferner können die Kurven insbesondere Geraden sein; dann bilden sie ein Dreieck ABC und es fragt sich nun, welches von allen Dreiecken, die man ABC ein-schreiben kann, den kleinsten Umfang hat. Da bekanntlich die Höhen eines Dreiecks ABC die Winkel der Verbindungslinien ihrer Fußpunkte BEF halbieren (beim stumpfwinkligen Dreieck einen Winkel und zwei Nebenwinkel), so liefert DEF die Lösung.⁶) Der Höhenschnittpunkt von ABC ist Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises von BEF (oder eines angeschriebenen Kreises, falls das Dreieck ABC stumpfwinklig ist).

11. Der Flächeninhalt eines Vielecks von n Seiten, dessen Ecken auf n gegebenen Kurven liegen, kann nur dann ein Maximum oder Minimum sein, wenn die in jeder Ecke Bi des Vielecks an die zugehörige Kurve gezogene Tangente zu der Diagonale parallel ist, die die beiden benachbarten Ecken Pi_₁ und Pi + 1 verbindet.⁷)

Bei analoger Bezeichnungsweise wie in der vorhergehenden Aufgabe ist der doppelte Inhalt des Vielecks gegeben durch

2/= x,y.₂ - Xÿ yx + x₂y?> -x^Ą-----h xn_x yn - xnyn_x + xnyx - xxyn,

wobei fi(xi} yt) = 0 (i = 1,2,... n) ist. Die geometrische Deutung eines Paares von Gleichungen

CV)

F = 2J -P Aj/j + Ag/2 + • • • + Anfn,

wo

„ ⁰Z_O

Xi    ’ dVi    ’

ergibt den zu beweisenden Satz. Natürlich können mehrere der gegebenen Kurven oder auch alle in eine einzige zusammenfallen.

Werden die Kurven im Fall n = 3 durch Geraden ersetzt, so könnte man vermuten, daß unter allen einem gegebenen Dreieck eingeschriebenen Dreiecken das parallel eingeschriebene ein Maximum oder Minimum des Inhalts habe. Dies trifft jedoch nicht zu, denn man kann sofort unzählige eingeschriebene Dreiecke von größerem oder gleichem oder kleinerem Inhalt angeben. Dem parallel eingeschriebenen kommt ein Maximum des Inhalts erst zu, wenn man die Frage z. B. folgendermaßen faßt: Einen Punkt P im Innern eines Dreiecks anzugeben, so daß die Fußpunkte der von ihm auf die Seiten gefällten Lote ein Dreieck von möglichst großem Inhalt bestimmen. Man findet, daß P der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ist, die Fußpunkte der Lote bestimmen als Mitten der Dreiecksseiten das parallel eingeschriebene Dreieck.

Daß dem parallel eingeschriebenen Dreieck allgemein kein extremer Wert des Inhalts zugehört, findet analytisch folgendermaßen Ausdruck: Werden mit Hilfe der Gleichungen für die Seiten des vorgelegten Dreiecks drei der sechs Unbekannten, z. B. yx, y₂, yz, aus dem Ausdruck für den doppelten Dreiecksinhalt 2J eliminiert, so ist dieser nur noch eine Funktion der drei übrigen, nun voneinander unabhängigen Unbekannten xx, x₂, xs. Wendet man auf ihn die S. 132 unter Nr. 2 gegebene Regel an, so wird der daselbst mit H bezeichnte Ausdruck keine definite Form; somit liegt weder ein Maximum noch ein Minimum vor.

12. Die Summe der Quadrate der Seiten eines Dreiecks, dessen Ecken auf drei gegebenen Kurven liegen sollen, kann nur dann ein Maximum oder Minimum sein, wenn die in jeder Ecke gezogene Kurvennormale die Gegenseite des Dreiecks halbiert, also durch dessen Schwerpunkt geht.⁸)

Lösung ähnlich wie bei den zwei vorhergehenden Aufgaben.

IV. Grenzmaxima und Grenzminima.

Sind bei einer Funktion y = f(x) die Werte der unabhängigen Veränderlichen x aus irgend einem Grund auf ein gewisses Intervall

a <^x    & beschränkt, so kann die Funktion an den Grenzen a und b

dieses Intervalles sogenannte Grenzmaxima oder Grenzminima besitzen. Für solche Stellen muß die Ableitung f (x) keineswegs verschwinden, vielmehr befindet sich ein Grenzmaximum oder Grenzminimum an der Stelle x = a, je nachdem f'(a) negativ oder positiv ist, an der Stelle x = b, je nachdem f'(b) positiv oder negativ ist.⁹) 1. Man bestimme die Maxima und Minima der Funktion

y = sin H---x),

bei der die Veränderliche x aus irgend einem Grund auf das Intervall 0^x<l beschränkt sei.

y =s,n g- =

2. Den kleinsten oder größten Abstand des auf dem positiven Teil der x-Achse gelegenen Punktes A (x — a) von den Punkten des Kreises x¹⁰ -j- y¹⁰ — r¹⁰ = 0 zu bestimmen.

Statt des Abstandes kann auch gerade so gut das Quadrat des des Abstandes eingeführt werden. Ist P irgend ein Punkt des Kreises,

so wird - PA¹⁰ = z — {x — a)¹⁰ -f y¹⁰ = r¹⁰ + a¹⁰ — 2ax und

x = 3 liefert das Max. y—\, x = 0 liefert das Grenz minimum x = 1 das Grenzminimum y = +

— 2 a < 0.

dx

Nun kommt aber bei x nur das Intervall —    + r in Betracht,

daher ergibt x — — r für das Quadrat des Abstandes das Grenzmaximum z = (r -f a)¹⁰, x = -f- r das Grenzminimum z == (r — a)¹⁰.

3. Man bestimme die größte und kleinste Sehne, die man aus dem einen Endpunkt der kleinen Achse einer Ellipse &¹⁰^¹⁰+a¹⁰^/¹⁰— a¹⁰&¹⁰=0, wo b < a sei, ziehen kann.

Wählt man den Endpunkt ^ = 0, y = — b der kleinen Achse, so ergibt sich für das Quadrat der Sehnenlänge der Ausdruck

s¹⁰ =

+ 0 + &)¹⁰-

Aus

ds¹⁰

b¹¹

= 0 folgt y =

wobei y an das Intervall von — b bis -f b

P*’

gebunden und c¹⁰ für a¹⁰ — &¹⁰ gesetzt ist. Mit Rücksicht auf das angegebene Intervall muß die Ungleichung a¹⁰ ^ 2b¹⁰ erfüllt sein, falls ein eigentlicher extremer Wert soll auftreten können. Dieser ist ein

dy

a¹⁰

Maximum s = — und zwar entspricht er den nach den Punkten

x = +    ]/a² — 2b², y = -₂ gezogenen Sehnen. Die Wertepaare

y = — &, x = 0 und y = -j- &, æ = 0 liefern Grenzminima s = 0 bzw. s = 2b. Im Fall a² <i 2 b² liefert y = — b, x = 0 ein Grenz-minimum s = 0, hingegen y = -\-b, x = 0 ein Grenzmaximum s = 2b.¹²)

§ 18.

Berührung höherer Ordnung zwischen Kurven. Krümmungskreis und Evolute.

1. Soll die Kurve fix, y) = 0 mit einer durch die Parameterdarstellung x = <y{t), y = ip(t) gegebenen Kurve an der Stelle t eine Zc-punktige Berührung (Berührung (k — l)ter Ordnung) eingehen, so muß t die k Gleichungen erfüllen:

F(t) = 0, F'(t) = 0, F"(t) = 0, ... FP-^it) = 0,

wo

Sollen die Kurven f(x, y) = 0 und g(x, y) = 0 an einer Stelle X, y eine ft-punktige Berührung eingehen, so müssen die für diese

dhy

Stelle bei f(x, y) = 0 gebildeten k — 1 ersten Ableitungen

dxh 7

h =1,2, . .., (7c—1), gleich den hei g(x,y) = 0 gebildeten Ableitungen sein. Auf den Fall einer zweipunktigen Berührung ist schon in Regel Nr. 2, S. 59, hingewiesen worden.

Die /o-punktige Berührung zweier Kurven ist mit Schneiden verbunden oder erfolgt ohne Schneiden, je nachdem Je eine ungerade oder gerade Zahl ist.

2. Für die Koordinaten y des Mittelpunktes (Krümmungsmittel-punktes) und die Länge p des Radius des die Kurve x = cp(t), y==ip(t) an der Stelle t dreipunktig berührenden Kreises, des sogenannten Krümmungs- oder Oskulationslcreises, gelten die Formeln:,

t — V V cp'ip" — y'cp

(1)

" •>

Krümmungsradius p =

r\ = if> + cp'

(cp'² -f ip,2F

cp'ip" — 1p' Cp"

Cp'² -J- 1p' 2 cp'ip"-1p' Cp

(2)

Ist die Kurve durch eine Gleichung y = f(x) gegeben, so wird

i + y'²

c.    , i y

ï = x-y ~y~,

v = y + —^

„_(! + </¥

, P“

Ist die Kurve durch die Gleichung f(x, y) — 0 gegeben, so wird

(3)    n = y~fi wo zur Abkürzung gesetzt wurde:

H = fnf2² ~ ZfxtfiU + 4/i²-

Ist endlich die Kurve durch eine Gleichung in Polarkoordinaten r = f{&) gegeben, so wird

m y r(r'²—»•/'icostt —(P-f-r'^r'sintt    r(r'²—rr")sinfl’-|-(r²-}-r,2)r'costt

^    ^    1~ 2T²— w"    ⁷    ^    v²|2r ² yt"    ⁷

3.    Der reziproke Wert — des Krümmungsradius gibt ein Maß

für die Krümmung der Kurve an der ihm zugehörigen Stelle. Mit Hilfe der Winkel r und xlf die die in den Endpunkten eines Kurvenbogens von der Länge s gezogenen Tangenten mit der positiven Richtung der x-Achse bilden, kann man die Krümmung der Kurve an einer bestimmten Stelle auch als den Grenzwert definieren, dem

sich der Quotient - T* nähert, wenn s unendlich klein, gleich ds wird und x₁ nur um das Differential dx von x verschieden ist. Es

\    Öj TŚ    •    •

ist geradezu — = ^, wo der „Kontingenzwinkel“ dx und das Bogenelement ds durch dx = d arc tg und ds = ~]/dx² -f- dy² bestimmt sind.

4.    Solche Stellen der Kurve, mit denen der Krümmungskreis eine mindestens vierpunktige Berührung eingeht, heißen Scheitel der Kurve.

5.    Ist die Kurve durch eine Parameterdarstellung x = ep(t), y = i>(t) gegeben, so verläuft der vom Kurvenpunkt P nach dem zugehörigen Krümmungsmittelpunkt C gezogene Krümmungsradius in einer Richtung, die zu der im Sinn der wachsenden t gezogenen Tangente von P so gelegen ist wie die positive y- Achse zur positiven x-Achse oder umgekehrt, je nachdem cp’ty" — ty' cp" positiv oder negativ ist.

Ist die Kurve durch die Gleichung f(x, y) = 0 gegeben, so erstreckt sich der in gleicher Richtung wie soeben (von P nach C) gezogene Krümmungsradius in das positive oder negative Gebiet der Ebene (vgl. zu dieser Bezeichnungsweise Nr. 2, S. 44), je nachdem H negativ oder positiv ist¹³).

6. Die Ausdrücke für | und rj in (1) (Nr. 2, S. 153) bilden als Funktionen von t die Parameterdarstellung des zur Kurve x = q)(t)} y = gehörigen Ortes sämtlicher Krümmungsmittelpunkte, der sogenannten Evolute der gegebenen Kurve, die ihrerseits eine Evolvente dieser Evolute genannt wird.

Die Länge eines Evolutenbogens ist so groß wie der absolute Wert der Differenz — p₂ der Krümmungsradien der den Endpunkten 6), C₂ des Evolutenbogens entsprechenden Punkte P₁₇ P2 der Evolvente. Voraussetzung ist hierbei, daß der entsprechende Evolventenbogen keinen Scheitel und keinen Wendepunkt enthält. Wird ein biegsamer, aber nicht dehnbarer Faden an die Evolute angelegt und nun von irgend einer Stelle P aus bei fortwährender Spannung abgewickelt, so beschreibt der Punkt des Fadens, der sich ursprünglich in P befand, die Evolvente. Da P auf einer Tangente der Evolute beliebig gewählt werden kann, gehören zu einer Evolute unendlich viele Evolventen; aber jede Kurve (Evolvente) hat nur eine Evolute.

Beispiele.

1. Die Gleichung der Parabel aufzustellen, die die gemeine

Zykloide

x = a(t — sin t), y = a(\ — tos t)

im Scheitel t == it vierpunktig berührt.

Man erhält (x — an)² — 6 a (2 a —y) = 0.

2. Zu zeigen, daß die Parabel Yx + Yy = 2 den Kreis x² -f- y2 — C)x — 6i/ + 10 = 0 an der Stelle x = y = 1 vierpunktig berührt.

Die Parabel ist durch die Parameterdarstellung x = (2 — t)², y = t2 gegeben; zu x = y = 1 gehört t = 1. Hier wird

F(t) = (2-ty -f P - 6(2 — t)² - 6t² + 10;

für t = 1 verschwinden F(t), F'(t), F"(t) und F'"(t). Es werde noch bemerkt, daß die gegebene Parabel in rationaler Gestalt die Gleichung (x — y)² — 8(x -J- y — 2) = 0 hat. Ihre Scheiteltangente ist durch x -f y — 2 = 0, ihre Achse durch x — y — 0 gegeben; sie berührt die Koordinatenachsen in den Punkten x = 4 bzw. y — 4.

3.    Wie lauten die Gleichungen der Parabeln, die die Ellipse x — a cos t, y ==b sin t in den Scheiteln t= bzw. £ = 0 vierpunktig berühren?

bx² — 2a²(b — y) = 0; zum Punkt

man

Im Fall t — -\7t erhält t = 0 gehört die Parabel ay² — 2b²(a — x) == 0.

4.    Die analoge Aufgabe für den Punkt t = \7C, der aus dem ersten Quadranten der Ellipse durch die eine Diagonale des der Ellipse umschriebenen Rechtecks der Scheiteltangenten ausgeschnitten wird.

Man erhält

b²x² + aïy¹ — 2abxy + 2abŸ2(bx -j- ay) — 4a²6² = 0.

5. Wie lautet die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel, die die Ellipse x = a cos t, y = b sin t im Punkt t= vierpunktig berührt?

Hier ist auszugehen von der allgemeinen Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel atl(x?— y²) -f 2a₁₂xy -f- 2anx + 2a%%y + 1 = 0. Man erhält

xy — b]/2 x — a]/2y + f ab = 0

a]/2)(y — &]/2) — -\ab = 0, eine Kurve,

oder, in anderer Form, (x deren Asymptoten x — a]/2 — 0 und y — b]/2 = 0 sehr leicht zu konstruieren sind.

6.    Für einen beliebigen Punkt der Ellipse x = a cos t, y = b sin t berechne man die Elemente des Krümmungskreises.

c. a² — b² o ,

Ç =---cosd t

r    a

7.    Wie aus der vorstehenden Formel für q im Fall einer Ellipse folgt, gehören zu den Scheiteln A(t = 0) und B(t = %7t) der Achse 2a

b²

bzw. 2b die Krümmungsradien qa= ^ bzw.

daß die Krümmungsmittelpunkte dieser Scheitel folgendermaßen konstruiert werden: Von der im ersten Quadranten gelegenen Ecke E des der Ellipse umschriebenen Rechtecks der Scheiteltangenten fällt man ein Lot auf die nicht durch E gehende Diagonale dieses Rechtecks (Fig. 68); dieses Lot trifft die Achsen in den gesuchten Krümmungsmittelpunkten G₁ hzw. C₂.

7j = -

a²-

(ia² sin²1 -f- b² cos²1)'1 ®    ab

a²

Man zeige,

VK

■>

(x

Fig. 69.

Fig. 68.

8. Zwei geradlinig verlaufende Strecken (Mittellinien zweier Landstraßen), deren Verlängerungen sich rechtwinklig schneiden, sollen durch einen Ellipsenbogen so verbunden werden, daß die Strecken

tangential in diesen Bogen übergehen und der kleinste bei der Ellipse vorkommende Krümmungsradius gleich 225 m ist. Auch soll der Bogen die Halbierungslinie des rechten Winkels zur Symmetrielinie haben (Fig. 69) und sein Scheitel A vom Scheitel 0 des rechten Winkels 100 m entfernt sein. Wo liegt der Mittelpunkt der Ellipse und wie groß sind ihre Halbachsen?

Man wählt die beiden sich rechtwinklig schneidenden Geraden als Halbierungslinien der Quadranten des Koordinatensystems, die oben genannte Symmetrielinie als x-Achse; alsdann ist

(x — ky

«r⁸-

-1 = 0

die Gleichung der Ellipse, Ti die Abszisse ihres Mittelpunktes M. Sollen die Geraden y = x und y = — x Tangenten der Kurve sein, so

(x — ky

muß die in x quadratische Gleichung

X²

-p p- — 1=0 zwei gleiche Wurzeln haben, was für Tc = "j/a² + b² eintritt. Der kleinste Krüm-

a²

mungsradius der Ellipse ist

, wenn b < a angenommen wird (vgl. die . 6²

vorhergehende Aufgabe). Im vorliegenden Fall ist — = 225; da ferner

OA = 100 m sein soll, wird OM = ]/a² + b² = 100 -f- a. Aus diesen Gleichungen folgt a = 400 m, b = 300 m, h = 500 m. Der Übergang der Ellipse in die beiden Geraden findet an den Stellen F und G statt, die die Koordinaten x = 180 m, y = ± 180 m haben.

9. Mit Hilfe des Ergebnisses von Aufg. 6 bestimme man die Elemente des Krümmungskreises für jene Punkte, die aus der Ellipse durch die Diagonalen des ihr umschriebenen Rechtecks der Scheiteltangenten ausgeschnitten werden; auch suche man eine Konstruktion des Krümmungskreises. Man kann sich hierbei natürlich auf den im ersten Quadranten gelegenen Ellipsenpunkt P beschränken.

Für den Punkt P ist t = Ątc- ferner werden die Elemente seines Krümmungskreises :

ct² —

a² —

(a²_|_&2)ł

1/2.

Łab

Der Krümmungsmittelpunkt C liegt offenbar auf der Geraden ax-\-by=0, die im Mittelpunkt der Ellipse auf der durch P gehenden Diagonale des oben genannten Rechtecks senkrecht steht und die Normale von P im Krümmungsmittelpunkt C trifft.

10. Die gleiche Aufgabe für jene Punkte der Ellipse, für die das zwischen den Achsen gelegene Stück der Tangente ein Minimum und zwar gleich a + b ist; sie haben (vgl. Aufg. 32, S. 123) die Koordinaten:

aya

y a -j- b

y ='+

b]/b

y a -j- b

Man beschränke sich auch hier auf den im ersten Quadranten gelegenen Ellipsenpunkt P und beachte, daß er das eben genannte Tangentenstück in Teile von der Länge a bzw. b teilt (Fig. 53, S. 124). Für ihn ist

cos t = -f

y a -j- b

sin t = +

VJ

y a -f- b

(a — b) Ÿ a Y a -f- b

(ia — b)yb ][/«-{- b ’

p = Y ab .

Der Ausdruck für p zeigt, daß der Krümmungsmittelpunkt C aus der Normale von P durch den Halbkreis ausgeschnitten wird, den man über dem oben erwähnten Tangentenabschnitt beschreiben kann. 11. Der Krümmungsradius p eines beliebigen Punktes P einer

(r, r.)

’wo

Ellipse mit den Halbachsen a und b hat die Länge p =

rx, r₂ die Längen der Brennstrahlen von P bedeuten.

Bei Einführung der linearen Exzentrizität c — |/<P — b² wird p

(a²— c² cos²^

nach Aufg. G, S. 156 gleich numerischen Exzentrizität e = c : a und der Koordinaten von P folgt

ab

und bei Einführung der

O'i '••> )-ab ’

da rx = a + sx und r₂ = a — sx die Längen der beiden Brennstrahlen darstellen.

12.    Für einen beliebigen Punkt der Kurve

x = fit) cos t — f'(t) sin t, y = f(f) sin t -f f'(f) cos t

die Länge des Krümmungsradius zu berechnen. Vgl. auch Aufgabe 13,

S. 175, und Aufg. 17, S. 176.

Q=m + nt).

13.    Die Elemente des Krümmungskreises für den Punkt x = 3, y = 1 der Kurve y = x²— 6x -f 10 zu bestimmen.

(a² — £²x²)

ab

tcp

{(a -j- sx) (a — sx)}

ab

<1

'3

■>

JC

1 = 3,

== 1.

Man überzeuge sich übrigens, ob der Punkt wirklich auf der

Kurve liegt.

14. Die gleiche Aufgabe für den Punkt x = 1, y = 0 der Kurve y = xs — 6.*² + 11 x — 6. (Fig. 70.)

1 = 2},    77 = -}, p = 11/5 = 1,86.

Fig. 70.

15. Ebenso für den Punkt x = 1, y = 3 der Kurve 4æ²+9yź - 32x - 54y + 109 = 0.

ccIh-*-

rj — 3

Q — H’

10. Wie lautet die Gleichung des Krümmungskreises für den Punkt x = 0, y = 1 der Kurve y = e*?

Da £ = —2, rj = 3, q = 2]/2 gefunden wird, lautet die gesuchte Gleichung

(x + 2)² -f (y — 3)² —8 = 0.

17. Die Elemente des Krümmungskreises der Kurve y = sin x zu bestimmen und zwar für einen beliebigen Punkt, für den Scheitel x = sowie für die Punkte x = \% und x — |n.

Man findet:

Für einen beliebigen Punkt:

£ = x + cot x{\ 4- cos²x), y = für den Scheitel x = Ixt:

l = IX

2 cos²x sin x ’

(1 4" cos²x)2 ®    sin x

V = 0, Q =

für x = \xt:

~ + f - 2,2854

■ ]/3 - 2,598

27t + 21Ÿ 3

\ YÏ -4,63.

rj = — 3

18. Welche Länge hat der Krümmungsradius eines beliebigen Punktes der Kurve y = a ln cos ~ ?

12

= 3,555,

g = a cos

s    ft.

19. In welchem Punkt ist die Kurve y = ln x am stärksten gekrümmt ?

Der Krümmungsradius q soll ein Min. werden. Für einen be-

, ferner -

liebigen Punkt der Kurve y = ln x ist

_ (2 a:² — 1) y 1 + x²

.    (i+»y

*    x

, und dieser Ausdruck verschwindet für x = + jy2, 4- |]/2 in Betracht kommt. Da einen positiven Wert findet, hat die Kurve y = ln x den

wobei im vorliegenden Fall nur d²Q .

d^²

kleinsten Krümmungsradius im Punkt x = 4-    , y = —l ln 2,

und zwar wird p = -f |/3 = 2,598.

20. Wie lautet die Gleichung des dem Punkt x = y ■= a der Zissoide (x² 4- y²)x — 2a?/² = 0 zugehörigen Krümmungskreises? Ygl. Fig. 22, S. 63.

man

für

Da £ =— ij = fa, p = fa]/5 gefunden wird, lautet die gesuchte Gleichung 3 (x² + y²) -f- 14 ax -f- 16 ay — 4n² = 0.

21. Bei der gleichseitigen Hyperbel xy — c² = 0 ist der einem beliebigen Punkt P der Kurve zugehörige Krümmungsradius gleich r³ : (2c²), wo r den Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt der Kurve bezeichnet.

Nach einer der Gleichungen (3), S. 154, ist q =

H=fnfł-2f₁₂flf₂Ą-U².

H = — 2c², daher, ohne Rücksicht auf das Vorzeichen, q =

Nun wird f² + f₂² = y² x² = r²,

r³

2 c²

/ x    x\

22. Man zeige, daß bei der Kettenlinie y = ™ \e'" -f e m) = m ßof

die Länge des einem Kurvenpunkt P zugehörigen Krümmungsradius q so groß ist wie die Normale N der Kurve. Vgl. Aufg. 12, S. 48. Man findet nach einer der Gleichungen (2), S. 153, und nach Nr. 2,

S. 65, q = N = — - y², und zwar leitet man dieses Ergebnis am besten unter

¹

   Hinsichtlich dieser Frage sei aut' 0. Stolz „Grundzüge der Ditterential-uud Integralrechnung“, 1. Teil, Leipzig 1893, S. 245 f. verwiesen.

²

   Journal für die reine und angew. Mathematik, Bd. 24, S. 192 (1842) = Gesammelte Werke Bd. 2, S. 249.

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

³

   „Zur Theorie des Regenbogens und ihrer experimentellen Prüfung“, Abh. der math.-phys. Klasse der kgl. sächs. Ges. d. Wissensch., Bd. 30 (1907), S. 107 bis 256.

⁴

   „Die Helligkeit des klaren Himmels und die Beleuchtung durch Sonne, Himmel und Rückstrahlung“, nach Chr. Wieners Tod hrsgg. von seinen Söhnen H. und 0. Wiener, in den Nova acta der Kaiserl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher Bd. 73, Nr. 1, S. 33 tf. (^1900).

⁵

   Vgl. L. J. Magnus „Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie“, Berlin 1833, S. 370 ff., ferner J. Steiner, Journ. für die reine und angew. Math. Bd. 24 (1842) S. 151 f. = Journ. de mathématiques Bd. 6 (1841), S. 169 = Gesammelte Werke Bd. 2, S. 241.

⁶

   Dieses Ergebnis findet sich ebenso wie der dabei benutzte Hilfssatz über die Verbindungslinien der Höhenfußpunkte eines Dreiecks wohl zuerst bei G. C. Fagnano, Nova acta eruditorum anni 1725, Leipzig 1729, S. 296—300. Einen eigenartigen Beweis der Minimumeigenschaft des Dreiecks DEF hat auch H.A. Schwarz gegeben (Ges. Abh. Bd. 2, S. 344 f.). In Steiners Ges. Werken Bd. 2, S. 728 f. wird dieser Schwarzsche Beweis irrtümlich Steiner zugeschrieben.

⁷

Vgl. Magnus a. a. 0. S. 373f., sowie Steiner im Journal für die reine u. angew. Mathematik Bd. 24 (1842), S. 152 = Journ. de mathématiques Bd. 6 (1841), S. 169 f. = Gesammelte Werke Bd. 2, S. 241 f.

⁸

Vgl. Magnus a. a. O. S. 372f.

⁹

Liouyille scheint zuerst hierauf hingewiesen zu haben. Vgl. Journ. de mathématiques Bd. 7 (1842), S. 163; vgl. ferner J. A. Serret, „Cours de calcul

¹⁰

différentiel et intégral“, Paris 1868, S. 212 f., in der deutschen Bearbeitung,

¹¹

4. und 5. Aufl. von G. Scheffers, Leipzig und Berlin 1908, S. 250f. und 276; 0. Stolz, „Grundzüge der Differential- und Integralrechnung“, 1. Teil, Leipzig 1893, S. 208f.

¹²

Dieses instruktive Beispiel hat E. Lampe gegeben. Vgl. Sitzungsberichte der Berliner math. Gesellschaft im Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe, Bd. B (1905), S. 69.

¹³

Diese unter Nr. 5 gegebenen Kriterien teilte mir Herr Gundelfinger vor einer längeren Reihe von Jahren mit.

Anwendung hyperbolischer Funktionen ab. Um den zu P gehörigen Krümmungsmittelpunkt zu konstruieren, hat man nur N auf die Normale von P nach der richtigen Seite hin abzutragen; die Konstruktion dieser Normale ist durch Aufg. 12, S. 48, erledigt.

23. Bei Kurven mit der Gleichung y = cxn gilt für den zu einem Punkt P(x, y) gehörigen Krümmungsradius die Formel

nt²

(n — 1) s ■ sin a ⁷

Fig. 71

und zwar ist hier a der kon-^ kave Winkel, den die in P gezogene Tangente der Kurve mit der positiven Richtung der x-Achse bildet, t ist die absolute Länge dieser Tangente, s die Subtangente y : y (vgl. S. 65). Man beweise diese x Formel und zeige, daß auf Grund derselben der zu V gehörige Krümmungsmittelpunkt C in folgender Weise konstruiert werden kann¹): Zunächst zeichnet man die Tangente und Normale von P, was sehr leicht geschehen kann, da nach Aufg. 1, S. 66, die Subtangente von P gleich \x

wird offenbar

nt³

| (n — 1) s • sin cc \

Die angegebene Konstruktion von p folgt daraus, daß P Q = s ■ sin a ist und die ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke PPT und TPQ die

Proportion PP:PT=PT:PQ liefern, aus der sich PP = ergibt.

ist. Alsdann fällt man vom Fußpunkt M der zu P gehörigen Ordinate auf die Normale das Lot MQ, verbindet Q mit dem Endpunkt T der Subtangente und zieht durch T rechtwinklig zu T Q die Gerade TP, die die Normale von P in P schneidet (Fig. 71).

• Durch Multiplikation dieses Ausdrucks

Alsdann ist PP =

t-

s ■ sin a

mit n n - erhält man p, wenigstens der Länge nach. Man hat noch

darauf zu achten, daß sich der Krümmungsradius von P aus in dasjenige Gebiet der Ebene erstreckt, dem die Kurve in P die konkave Seite zukehrt. Mitunter muß also die in der angegebenen Weise konstruierte Strecke von der Länge p mit Hilfe des Zirkels noch um zwei Rechte gedreht werden.

Zur Ableitung des Ausdrucks für p beachte man, daß 1 -f y 2 = 1 + tg² a = cog2 = y ist; mit Hilfe von s = y : y = (vgl. Aufg. 1,

S. 66) und y" = n(n — 1 ) c • xn ~² folgt

t-n

nt

(n — 1) sin a ⁷

wrobei das obere oder untere Vorzeichen zu setzen ist, je nachdem P oberhalb oder unterhalb der rr-Achse liegt. Der absolute Wert von

(n—l)y

s sin u

Man kann leicht zeigen, daß die Formel für den Krümmungsradius und die aus ihr abgeleitete Konstruktion auch bei schiefwinkligen Koordinaten gilt; nur ist alsdann die Subtangente s = TM nicht die rechtwinklige Projektion der Tangente t auf die æ-Achse, sondern die in Richtung der y-Achse ausgeführte Projektion auf die #-Achse.

Mit Vorstehendem ist eine Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes bei den sogenannten adiabatischen oder polytropischen Kurven gegeben, die in der mechanischen Wärmetheorie eine wichtige Rolle spielen. Die Gleichung dieser Kurven gibt eine Beziehung zwischen dem Druck p und dem Volumen v eines idealen Gases, dem keine Wärme zugeführt oder entzogen wird. Nach Aufg. 38, S. 35, ist

cl Q = (ce‘ v • dp -f cp-p • dv), wo cv und cp die spezifische Wärme bei konstantem Volumen bzw. bei konstantem Druck, P die Gaskonstaute bedeutet. Im vorliegenden Fall ist dQ = 0, daher — + ^ ~ = 0

oder -f % ^ = 0, wenn cp: co = % gesetzt wird. Es ist sofort ersichtlich, daß diese Gleichung durch Differentiation der Gleichung jpv*=konst. erhalten wird, die von der Form y = cxn ist, wenn man

p durch y, v durch x, % durch —n ersetzt. Durch pv' = c wird die adiabatische oder polytropische Kurve dargestellt. Das aus dem Griechischen stammende Wort adiabatisch bedeutet undurchlässig; die Ausdehnung des Gases vollzieht sich so, als wäre der ganze Apparat, in dem sich das Gas befindet, in einer für die Wärme undurchlässigen Hülle eingeschlossen. Zur Gestalt der Kurven y = cxn vgl. auch Aufg. 8, S. 188.

24.    Man zeige, daß der zu einem beliebigen Punkt P einer Kurve x = cp (f), y = ip(t) gehörige Krümmungskreis mit der Kurve an der Stelle t eine mindestens vierpunktige Berührung eingeht, wenn der Radius p dieses Kreises für die Stelle P einen extremen Wert hat.

Sind £, rjy p die Elemente des Krümmungskreises, so ist jedenfalls nach Nr. 1, S. 153:

F(t) = O -1)² + 0 ~ Vf - p² = 0, ferner F'(t) = 0 und F"(t) = 0.

Soll nun p oder p² einen extremen Wert haben, so muß

sein, eine Gleichung, die mit F'(t) = 0 identisch ist. Die zweite Ab-d²o²    ,,

leitung wird gleich F"(t), verschwindet also ebenfalls, daher er-fordert ein Max. oder Min. von p², daß auch ,

identisch ist, verschwinde. (Vgl. Nr. 1, S. 107.)

25.    Wenn der in den Formeln für die Elemente des Krümmungskreises eines Punktes der Kurve x=q)(t), y = ip{f) auftretende Aus-

cp'² -f- l/)/ 2 cp'7p" - 7p' (p

bedeutet der Parameter t den Winkel a, den die in irgend einem Kurvenpunkt gezogene Tangente mit der positiven Richtung der x-Achse bildet, oder es ist t von a nur um eine additive Konstante c verschieden. Auch die Umkehrung gilt: Ist t = a + c, so wird

cp' ² Ą- 7p' 2 cp’ Tb" —- 7p' Cp"

druck

dQ²

~dt

was

mit F'"(t)

77 (vgl. Gl. (1) in Nr. 2, S. 153) den Wert Eins hat,

= 1. Diese beiden Sätze sind zu beweisen.

Es ist

cp' rp" — 7p' cp"

d arc tg

cp' ²    7p' ²

dt

, daher im vorliegenden Fall

d arc tg

7P'

>,'8-

= 1 und arc tg - - = t + c ; mit Rücksicht auf tg a = folgt nun a = t -j- c. Die Umkehrung ist richtig, denn aus a = t -\-c folgt d;t -1.

26. Man zeige, daß der reziproke Wert des zu einem Punkt P der Kurve y = f(x) gehörigen Krümmungsradius gleich y" • cos³cc ist, wo a den Winkel bedeutet, den die in P gezogene Kurventangente mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt.

dt

In der Formel

_ (i + y' T Q~ y”

ist y'= tg«, 1 +J/'² = cost--

Ist die Neigung der Tangente gegen die x-Achse sehr gering, so kann angenähert cos a = 1 und * = y" gesetzt werden; dies geschieht z. B.

in der Festigkeitslehre bei der Ableitung der Differentialgleichung der sogenannten elastischen Linie, wo der Ausdruck für p benutzt, aber cos a meist gleich Eins angenommen wird.

27. Zu zeigen, daß die Krümmung ¹ eines Kurvenpunktes durch

Q

dargestellt werden kann, wo a die soeben erwähnte Be-

d sin a

dx

deutung hat. Es ist

d sin a dx

= cos a •

da

dx ’

wobei a = arc tg y', cos a =

28. Bei den Kurven, die in Polarkoordinaten Gleichungen von der Form rm = am sin md haben (den sogenannten Sinusspiralen, vgl. Aufg. 32 und 33, S. 54), soll die Länge des irgend einem Punkt P der Kurve zugehörigen Krümmungsradius q berechnet und außerdem gezeigt werden, daß die Polarnormale (vgl. S. 66) von P (m + 1)mal so groß wie der Krümmungsradius ist.

(r² -f- r ²)Y r² -f- 2 /² — rr"

S. 154); nun ist rm — am sin md, rm_1 • r — am • cos md, rm~x • r" 4“ (in— l)r™-2./2 _ — main gjn _ _ mr>n, ₍]a}ler rr" (m — l)/2 == — mrl. Der Nenner in dem Ausdruck für q wird somit r²-f 2/²

Allgemein hat man p =

(nach Gl. (4) in Nr. 2,

_ rr" = (m 4-1) (^² + >/2) und q selbst gleich von rm~¹ ■ r = am cos wff findet man r =

]/r² -f- r'a

am r cos mfr

r»t

folglich e = lm + I)rsi-mÿ.=

am

Mit Hilfe

(nt -(- 1) rm — 1

Die Länge N der Polarnormale ist allgemein nach Nr. 4, S. 66, gleich

]/r²+r'²; da q gleich

|/r² + r ²

gefunden wurde, wird N = (m -f- l)p.

Die Formeln q =

j/r² -4- r'²

a”'

m 4-1

x und .N= (w? + l)p gelten auch

(m -fi 1) rm -

für die Sinusspiralen rm = am cos md'.

29. Man wende das in Nr. 28 gefundene Ergebnis an auf die Bestimmung der Länge des Krümmungsradius eines beliebigen Punktes der Lemniskate r² = 2a² cos 2ff (vgl. Fig. 16 und Nr. 33, S. 54), ferner auf die Krümmungsradien der beiden Scheitel (ff = 0 oder ff = je) und jener Punkte, deren Abstand von der Polarachse ein Maximum ist (zu diesen Punkten vgl. Aufg. 39, S. 125; für sie ist r = a).

• • • 2 Man findet für einen beliebigen Punkt der Lemniskate p = —•

Für die Scheitel ff = 0 oder ff = n wird q == r = |]/2; für die Punkte

2

größten Abstandes von der Polarachse wird p = — a.

ll

30. Bei den Sinusspiralen rm = am sin schneidet der einem Kurvenpunkt P zugehörige Krümmungskreis von dem Radiusvektor r

hat.¹) m-f-1    J

des Kurvenpunktes ein Stück s ab, das die Länge

In Aufg. 28 wurde die Gleichung p =

l r² -j- r ²

bewiesen. Für

m -f-1

den Winkel y des Radiusvektors mit der Tangente von P gilt nun nach Nr. 4, S. 46, die Formel tg y = r : /; andrerseits ist das vorerwähnte Stück s des Radiusvektors gleich 2 p sin y (Fig. 72) und bei

2 j/r* -f- r ² r

Einführung der Werte von p und sin y wird s =

m -f-1

yV² -f- r ²

= -—j— • Auch für die Sinusspiralen rm = am cos md- wird s= - • m 1    x    m + 1

31. Man zeige, daß hei schiefwinkligen Koordinaten mit dem

Achsenwinkel co die Koordinaten £, rj des Mittelpunktes und die Länge

p des Radius des Krümmungskreises eines

Punktes der Kurve x = cp(t), y = ip(t) durch

die Formeln gegeben sind:

wobei

| = cp — 6 (tp' -f- cp' cos co), łj = Cp -f- 6 (cp' -f- Cp' cos co),

cp'² -f- cp' ² -(- 2 cp' cp' cos «

^ (qp'tp" —ip'q>") sin² ca ’

{cp'² -{- cp'² -f- 2 cp' cp' cos co)-@    (cp'cp" — cp' cp") sin co

Fig. 72.

Da der Krümmungskreis mit der gegebenen Kurve an der Stelle t eine dreipunktige Berührung eingeht, sind nach Nr. 1, S. 153, die Gleichungen zu erfüllen:

F(t) = (cp —    + (cp — rj)² + 2(cp — I) (cp — rf) cos œ — p² = 0,

F"(t) = 0.

F'(t) = 0

Bei Einführung eines Proportionalitätsfaktors ö läßt sich F'(t) durch cp — | = ö (cp' -f- cp' cos co), cp — rj = — 6 (cp' -f- cp' cos co) ersetzen. Dann wird a durch Substitution dieser Ausdrücke in F"(t) = 0 erhalten. Hat die vorgelegte Kurve die Gleichung y = f(x), so folgt

| = x — ö(y + cos co),

wobei

7/ = y -f o(l -f- y' cos co)

(l-f p4-2 y' cos co)-®    y" sin co

1 Ą- y' ² -f- 2 y cos co ^    y" sin² co

32. Die Gleichung der Evolute der Parabel y² —px = 0 abzuleiten.

Die Parabel y² = px hat die Parameterdarstellung x = t²:p, y = t-

4:    •

, woraus durch Elimi-

für die Evolute wird £ = p y =

2p 7    1

1) Ygl. A. Serret, Journ. de math. Bd. 7 (1842), S. 118.

Evoluten der Kegelschnitte. Evolute der gemeinen Zykloide.

165

nation von t die Gleichung 21 py² — 2(2| — p)s = 0 hervorgeht, die eine Neilsche Parabel darstellt. Ygl. Fig. 54, S. 125.

33. Man bilde die Gleichung der Evolute der Ellipse x = aao$t, y = b sin t.

Die Parameterdarstellung der Evolute ist schon in Aufg. 6, S. 156, gegeben worden; durch Elimination von t folgt

(#*+(£)*-

1, wo c² = a²—b². (Fig. 73.)

34. Zu zeigen, daß der einem Ellipsenquadranten zugehörige Bogen

as -

der Evolute die Länge

Ellipse bedeuten.

Nach Nr. 6, S. 155 und nach Aufgabe 7, S. 156, ist die Länge dieses

_ hat, wenn a und b die Halbachsen der ab    ⁷

Ay

«²

Bogens gleich — — •

>x

35. Man zeige, daß die Evolute der gemeinen Zykloide eine der Grundkurve kongruente Zykloide darstellt, die aus der Grundkurve durch eine gewisse Verschiebung hervorgeht.

Die Parameterdarstellung der vorgelegten Zykloide ist

Mg. 73.

x = a (t — sin t), y = a( 1 — cos t).

rj = — a (1 — cos f) .

Für die Evolute findet man die Parameterdarstellung | = a (t -f sin t)

Wird durch X = % — an, Y = y 2a ein neues Koordinatensystem eingeführt, dessen Achsen zu den Achsen des ursprünglichen Systems parallel sind (vgl. Fig. 74, S. 166), wird ferner statt des Wälzungswinkels t ein anderer r = t — n eingeführt, so folgt für die Evolute die Parameterdarstellung

X = a (t — sin t) ,

Y = a (1 — cos t) .

36.    Es ist zu beweisen, daß der einem einmaligen Abrollen des erzeugenden Kreises zugehörige Bogen der gemeinen Zykloide 8 mal so groß wie der Radius dieses Kreises ist.

Die Anwendung eines in Nr. 6, S. 155, angeführten Satzes auf den von t = n bis t = 0 genommenen halben Zykloidenbogen ergibt, daß der zugehörige Evolutenbogen, der der Grundkurve im vorliegenden Fall nach Aufg. 35 kongruent wird, gleich der Differenz 4a — 0, also gleich 4 a ist.

37.    Bei der gemeinen Zykloide ist der irgend einem Kurvenpunkt

zugehörige Krümmungsradius q doppelt so groß wie die Normale N des Punktes.

Die Länge der Normale ist nach Nr. 2, S. 65, gleich ^,]/<p'² -j- t//² ;

für q findet man im vorliegenden Fall — 2y<p'² -f- t/², daher ist N

■q. Nun wird ÿ : qp'= 1

1 ip

ohne Rücksicht auf das Vorzeichen gleich somit q = 2N.

38.    Zu zeigen, daß bei der gemeinen Zykloide der Abstand eines Kurvenpunktes P vom Krümmungsmittelpunkt des zugehörigen Evolutenpunktes konstant und zwar doppelt so groß wie der Durchmesser des die Zykloide durch Rollen erzeugenden Kreises ist.

Der zu P gehörige Krümmungsmittelpunkt Pt hat, als Punkt der Evolute betrachtet, einen Krümmungsmittelpunkt P₂, dessen Abszisse im Fall der obigen Parameterdarstellung der Zykloide mit der Abszisse von P überein stimmt, denn die einander folgenden Evoluten sind sämtlich der Grundkurve kongruent (Fig. 74). Da aber P₁ P₂ zu der

in P gezogenen Tangente der Grundkurve parallel ist, hat der Punkt P2 auf seiner Kurve dieselbe Lage wie P auf der Grundkurve, liegt also nach Aufg. 35 im Abstand 4 a senkrecht X unter P, d. h. es ist P₂P = 4 a. Die Punkte P, P1} P₂ liegen auf einem Kreis mit dem Durchmesser P₂P. Da PPL nach Nr. 37 doppelt so groß wie die Normale PN ist, ergibt sich die Tiefe IIP, in der die durch Px parallel zu OA gezogene Gerade PXP unter P liegt, doppelt so groß wie die Ordinate J1P des Punktes P, woraus sofort eine Konstruktion des zu P gehörigen Krümmungsmittelpunktes Px ohne Benutzung der Normale oder Tangente von P folgt. Hiermit ist aber auch eine Konstruktion dieser Normale oder Tangente gegeben. Es genügt nämlich dabei die Gerade zu kennen, auf der der erzeugende Kreis der Zykloide abrollt, ferner den Radius dieses Kreises und den Kurvenpunkt P; außerdem muß man noch wissen, ob P auf dem ansteigenden oder absteigenden Teil der Zykloide gelegen ist.

39.    Zu beweisen, daß eine Epizykloide zur Evolute wieder eine Epizykloide hat.

Für die Grundkurve, die durch einen Punkt eines Kreises vom Radius b erzeugt wird, wenn dieser auf einem festen Kreis vom Radius a rollt, ohne zu gleiten, hat man die Parameterdarstellung:

2 qp'

‘■y

N/M \A

Fig. 74.

IR

x = (a + b) cos t -f- b cos ij = (a -\- b) sin t + b sin

Evoluten der Epizykloiden und der logarithmischen Spirale.

Bei der in diesem Buch gemachten Annahme über die positive Richtung der x- Achse (wagrecht, nach rechts) liegt hierbei zu Anfang der Bewegung (t — 0) der die Kurve beschreibende Punkt an der Stelle a-\-2b der x-Achse, rechts vom Mittelpunkt des rollenden

Kreises. Mit Hilfe der abkürzenden Bezeichnung a ^

x = b (m cos t -f- cos mt) = cp(t), y = b(m sin t -f- sin mt) = i>(t). cp'² -+- cp'² = 2b²m²( 1 + cos(m — 1)£) cp'i>" — il>'cp" = b²m²(m + 1)(1 + cos(m — 1)£),

£ = bx(m cos t — cos mt), y = bx(m sin t— sin mt),

Man findet

wo

ab

167

= m wird

m — 1 ,

----lT & =

Die Ausdrücke für £ und y zeigen, daß die Evolute wieder eine Epizykloide ist. Um die Ähnlichkeit dieser Ausdrücke mit denen für x und y noch mehr hervortreten zu lassen, führen wir ein neues Koordinatensystem X, Y ein, das aus dem System x, y durch Drehung um einen gewissen Winkel a hervorgeht, d. h. wir setzen

a-\- 2b

ist.

X = | cos a -f y sin a = bl (m cos{t — a) — cos {mt — a)), Y = — £ sin a + y cos a = bx (m sin (t — a) — sin(m£ — a)). Wird nun a =--

TO — l

= — angenommen und t — a gleich x ge

setzt, so folgt

X = bt(m cos x -f cos mt), Y = bx(m sin x + sin mx).

Der rollende Kreis hat für diese Epizykloide den Radius bx = der feste den Radius ax =

ab

a²

a -j- 2b’

a -f- 2b ’

Die Evolute ist der Grundkurve

ähnlich, da ax : bx = a : b ist.

40. Zu zeigen, daß die Evolute der logarithmischen Spirale r = ał eine der Grundkurve kongruente Spirale ist.

Setzt man x = a* • cos t = cp (t), y = a* • sin t = ÿ (t), so wird nach Aufg. 25, S. 162:

r² + r'²

<p'²_+4>'²

cp'ty" — ty'v"    r² -\-2r'²— rr"

| = — a* ln a ■ sin t, y = a¹ ln a • cos t.

Der Radiusvektor des Krümmungsmittelpunktes wird r = a* • Ina = at+t°, wenn man Ina = ato setzt. Die Kurve r = at+t° unterscheidet sich aber von der Grundkurve r = Y nur in der Lage. Sie geht nämlich aus ihr durch Drehung um einen gewissen Winkel t₀ hervor.

41. In der Gleichung r = a* der logarithmischen Spirale soll a so bestimmt werden, daß die Evolute der Kurve mit der Grundkurve selbst zusammenfällt.

daher

= 1,

Für die Evolute hat man nach Aufg. 40 die Parameterdarstellung | = — a* ln a • sin t = a* ln a • cos (t + ^ ) ,

r] = öd ln a ■ cos t — öd ln a • sin (t -f

und r = öd • ln a als Gleichung in Polarkoordinaten. Der Krümmungsmittelpunkt C des Punktes P der Spirale hat somit die Polarkoordinaten

ri

= öd Inn, tx = t -f- % — 2kn

wo k eine positive ganze Zahl bedeutet, denn der Punkt C muß jedenfalls innerhalb derjenigen Windung der Grundkurve gelegen sein, die durch P geht. Nun wird verlangt, daß C auf der gegebenen Kurve r — öd liege. Es soll also die Gleichung bestehen

t+ ^-2kn

cd ln a = a

oder ln a = a

Kl«

— 2k 7t

wo k = 1, 2, 3, • • • ist. Den Werten von k entsprechend gibt es, wie man sieht, unendlich viele logarithmische Spiralen, die mit ihrer Evolute zusammenfallen. Der Fall k == 1 liefert eine Gleichung ln a — a , die angenähert durch a — 1,3158 erfüllt wird. Der nach Aufg. 31, S. 54, konstante Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor ist für diese Kurve angenähert gleich 74° 39'10".

42. Zu beweisen, daß der Krümmungsradius eines Punktes P der logarithmischen Spirale r = a⁽ so groß wie die Polarnormale von P ist.

Wie schon in Aufgabe 40 bemerkt wurde, ist hier

-1,

P + P* r² -f- 2r’² — rr”

daher q = ]/r² + /*, und derselbe Ausdruck stellt nach Nr. 4, S. 66, die Polarnormale dar. Hieraus folgt eine Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes als Endpunktes der Polarnormale; die Normale kann dabei unter Benutzung der Tatsache gezeichnet werden, daß nach Aufg. 31, S. 54, der Winkel, den die Normale von P mit dem Radiusvektor bildet, hei der logarithmischen Spirale konstant ist.

Ferner folgt, daß die Krümmungsmittelpunkte aller Punkte, die aus der Spirale von einer durch den Pol 0 der Kurve gehenden Geraden g ausgeschnitten werden, auf einer Geraden gx liegen, die rechtwinklig zu g durch 0 geht, ein Satz, der als spezieller Fall in dem folgenden weit allgemeineren Satz enthalten ist:

43. Die Krümmungsmittelpunkte, die zu den Schnittpunkten der logarithmischen Spirale r = öd mit einer beliebigen Kurve f(x,y) = 0 gehören, liegen auf einer zu f(x, y) = 0 ähnlichen Kurve; nach Drehung

der einen Kurve um einen rechten Winkel sind beide auch ähnlich liegend. Dieser Satz soll bewiesen werden.

Ist P(x, y) einer der Schnittpunkte, so hat sein Krümmungsmittelpunkt C nach Aufg. 40 die Koordinaten

| = — y ln a, g = x ln a, wo f(x, y) = 0.

Bei Einführung von x = y : ln a, y = — | : ln a in f(x, y) = 0 erhält man die Gleichung einer zur Kurve f(x, y) = 0 ähnlichen Kurve, auf der die zu den Schnittpunkten P gehörigen Punkte C gelegen sind. Im Fall a = e sind beide Kurven kongruent.

44. Eine Archimedische Spirale r = at werde von ‘einer durch den Pol des Koordinatensystems gehenden Geraden g geschnitten. Man zeige, daß die zu den unendlich vielen Schnittpunkten gehörigen Krümmungsmittelpunkte auf einer Ellipse liegen. Außerdem soll bewiesen werden, daß die zu verschiedenen Richtungen von g gehörigen Ellipsen sämtlich einander kongruent sind.

Der zu einem Punkt t der Spirale gehörige Krümmungsmittelpunkt hat die Koordinaten

at sin t + a(t² -)- 1) cos t

— a(t² -f-1) sin t t² + 2    1 ⁷¹ =

Bildet die Gerade g mit der positiven Richtung der x-Achse den Winkel a, so kommen für t nur die Werte a -f 2h% in Betracht, wo h eine ganze positive oder negative Zahl oder auch Null ist. Durch Einführung der Größen l = a + 2h jc, m = cos (a -f- 2h7t) = cos cc, n = sin (a + 2h jt) = sina verwandeln sich die Ausdrücke für £ xmàg in:

j. a ml — an(V-fl) ^_ani -f- am{X² -f- 1)

* =    ₂    ; V = V + 2    ’

aus denen durch Elimination von k die Gleichung

(•m² -f- 2w²)|² + (w² -|- 2m²)ij² — 2mn%g -j- 3a(n% — mg) -f- a² = 0

at cos t

t² + 2

oder

(1 -f sin²a)|² -f (1 + cos² a)g² — 2 sin a ■ cos a • %g -f 3 a sin a ■ £ — 3 a cos a • g -f a² = 0

hervorgeht. Mit Hilfe der aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte bekannten Methoden findet man, daß diese Gleichung eine Ellipse darstellt, deren Mittelpunkt die Koordinaten

x = — | a sin a, y = f a cos a

hat. Die Achsen der Kurve fällen in die Richtung a bzw. die dazu rechtwinklige Richtung. Auf die Haupt- und Nebenachse als Koordinatenachsen bezogen hat die Gleichung der Ellipse die Gestalt:

¹

Ygl. hierzu F. Dingeldey in der Ztschr. für Mathematik und Physik, Bd. 54, S. 89 (1906), wo noch andere Konstruktionen des Krümmungsmittelpunktes der Kurve y = cxn gegeben werden.

i² + 2r²-{«² = o,

die Halbachsen \a]/2 und \a der Kurve sind somit von a unabhängig, d. h. alle zu den verschiedenen Richtungen a von g gehörigen Ellipsen sind einander kongruent, ihre Mittelpunkte liegen auf dem Kreis

x² + y²^^sa\

45. Man beweise den Satz: Wenn die Radien der Krümmungskreise, die den einander folgenden Punkten eines beliebigen Kurvenbogens zugehören, entweder stetig wachsen oder stetig abnehmen, so schneiden sich die zu den Punkten dieses Bogens gehörigen Krümmungskreise nie in reellen Punkten.¹) Es gibt z. B. unter den unendlich vielen Krümmungskreisen einer logarithmischen Spirale keine zwei, die sich in reellen Punkten schneiden.

Sind Clf C₂ die unter der gemachten Voraussetzung zu zwei Kurvenpunkten Pt, P₂ gehörigen Krümmungsmittelpunkte, so ist jedenfalls die Sehne Ct C₂ kleiner als der Evolutenbogen Gx C₂, somit Ct C₂ < |    — ç>₂1, nach Nr. 6, S. 155, d. h. der Abstand der Mittelpunkte

der beiden Krümmungskreise ist kleiner als die Differenz ihrer Radien, der eine Kreis muß somit ganz innerhalb des anderen liegen.

§ 19.

Hüllkurve eines Systems ebener Kurven und Hüllfläche eines Systems von Flächen.

1. Eine Gleichung/'(æ,?/,«) = 0, in der/'eine eindeutige stetige Funktion sei, stellt entsprechend den unendlich vielen Werten, die man dem Parameter a erteilen kann, unendlich viele ebene Kurven dar, deren Gesamtheit man als System oder Schar von Kurven bezeichnet. Ändert sich a stetig, so erhält man eine stetige Folge von Kurven; zwei Kurven des Systems schneiden sich in mehreren Punkten, die gewisse Grenzlagen einnehmen, wenn die Kurven unendlich nahe benachbart sind. Der geometrische Ort aller dieser zwei benachbarten Systemkurven gemeinsamen Grenzpunkte ist die Hüllkurve oder Enveloppe. Sie berührt jede Systemkurve in ihren Grenzpunkten.

= 0 den Parameter a eliminiert, oder

diese beiden Gleichungen nach x und y auf löst, so daß etwa x = rp(cc) und y = ^{u) die Parameterdarstellung der Hüllkurve bilden. Haben die Kurven des Systems singuläre Punkte, so bildet deren geometrischer Ort einen Teil der Hüllkurve. Übrigens tritt keine eigentliche Hüllkurve auf, wenn die Gleichung f(x, y, a) — 0 den Para-

f(x,y,a) = 0 und

aus

Die Gleichung der Hüllkurve wird erhalten, indem man entweder

dcc

df(x,y, «) meter cc algebraisch nur linear und nicht mindestens im zweiten Grad enthält. Denn würde a nur algebraisch linear auftreten, so wäre f\x,y,a)--= 0 die Gleichung eines Kurvenbüschels, dessen einzelne Kurven nur die Grundpunkte des Büschels gemeinsam haben. Auch darf die Determinante

f0*0    f'(y)

f"{x,a) f"{y, cc)

nicht identisch verschwinden.

2. Sind zwei Parameter a und ß vorhanden, die an eine Bedingungsgleichung qp(a, ß) = 0 gebunden sind, so findet man die Hüllkurve des Kurvensystems fix, y, a, ß) = 0 durch Elimination der Parameter cc, ß und eines als Hilfsgröße eingeführten Multiplikators l aus den vier Gleichungen

f\x,y,a, ß) = 0, cp(cc,ß)--= 0,

cv>

cf

4- ; v + k a

= 0.

Auch könnte man vermöge <p(a, ß) = 0 einen der beiden Parameter aus f(x, y, a, ß) = 0 entfernen und dann das unter 1. erwähnte Y erfahren einschlagen.

3. Ähnlich wie durch die Gleichung fix, y, cc) = 0 ein System von ebenen Kurven gegeben ist, wird durch f(x, y, 2, u) = 0 ein System von Flächen dargestellt. Zwei benachbarte Flächen desselben schneiden sich in einer Kurve, der sogenannten Charakteristik der betreffenden Fläche a, und die Gesamtheit dieser Kurven erfüllt die Hüllfläche oder Enveloppe des gegebenen Systems. Sie berührt jede Systemfläche längs ihrer Charakteristik.

Die Gleichung der Hüllfläche wird durch die Elimination von a = 0 erhalten. Für zwei unendlich nahe benachbarte Charakteristiken bestehen die Gleichungen f{x,y,z, cc) = 0, = 0; denkt man sich mit ihrer Hilfe x, y, z als

Funktionen von a bestimmt, so ergibt sich die Parameterdarstellung einer Raumkurve, des Ortes aller zwei benachbarten Charakteristiken gemeinsamen Grenzpunkte. Diese Kurve wird als Riickkehrkante oder Gratlinie der Hüllfläche bezeichnet; sie berührt jede Charakteristik in den zugehörigen Grenzpunkten. Jetzt dürfen nicht sämtliche Determinanten der Matrix

aus

df

fix, y, z, cc) = 0 und

= 0 und

da*

df

da

' fix) f\y) f0)

! f"M f\y,a)    f"(e,a)

verschwinden.

Beispiele.

1.    Welche Kurve ist die Hüllkurve des Systems von Kreisen, das entsteht, wenn um sämtliche Punkte der ^-Achse als Mittelpunkte Kreise von demselben Radius r gezeichnet werden?

Die Hüllkurve besteht aus den beiden im Abstand r zur æ-Achse parallel gezogenen Geraden y — r und y = — r, wie übrigens geometrisch einleuchtet.

2.    Welche Kurve ist die Hüllkurve des Systems von Kreisen

(x — a)² -f- y² — 4a = 0?

Man findet die Parabel y² — 4(a?-f 1) = 0.

3.    Ein rechter Winkel bewegt sich derart, daß der eine Schenkel durch einen festen Punkt x = a der Abszissenachse geht, während der Scheitel auf der y-Achse fortrückt. Welche Kurve wird von dem freien Schenkel umhüllt?

Trifft der freie Schenkel die y-Achse in y = a, so lautet seine Gleichung ax — ay a² = 0. Als Hüllkurve findet man die Parabel y² — 4ax = 0, die den festen Punkt x = a zum Brennpunkt, die y-Achse zur Scheiteltangente hat.

4.    Die Hüllkurve einer Geraden von der Länge a zu bestimmen, die mit ihren Endpunkten auf zwei zueinander rechtwinkligen Geraden (Koordinatenachsen) fortrückt.

Die Gleichung der beweglichen Geraden ist x sin a — y cos a + a sin a cos a = 0, wo a den Winkel bedeutet, den die Gerade mit der positiven Richtung der #-Achse bildet. Für die Hüllkurve ergibt

sich die Parameterdarstellung

x = — a cos³ a, y = — a sin³ a oder die Gleichung

x⁵ + f = o/'

Mg. 75.

geschoben und nun von der Astroide begrenzt.

5. Die Hüllkurve der Geradenschar xcp(t) -f- yil>(f) — 1 = 0 zu bestimmen.

einer Astroide (Sternkurve, Figur 75). Man kann ein Bild x dieser Kurve dadurch lierstellen, daß man zwischen die Koordinatenachsen Sand streut und nun die Strecke (einen Stab) von der Länge a in der angegebenen Weise verschiebt; bei dieser Be-

wegung wird der Sand beiseite

_ _    ty'jt)___ _ _— cp'(t)_

Man findet

x ~ cp (t)    — ip (t) <p'(t) ’ y ~~ cp(t) ip\t) — ip (t) cp'(t) ’

6. Von allen Punkten der Kurve x = q>(t), y = ip(t) werden auf beide Koordinatenachsen Lote gefällt. Man bestimme die Hüllkurve der Verbindungslinien ihrer Fußpunkte, insbesondere auch für den

Fall, daß die vorgelegte Kurve die Gerade ~    — 1 = 0 oder

x = a cos²1, y = b sin² 7 ist.

Eine solche Verbindungslinie hat die Gleichung —~ -f-    — 1 = 0,

für die Hüllkurve folgt die Parameterdarstellung:

cpi(t)-ip'(t)_____    —    • cp'jt)

cp (t) ip\t) — ip (t) cp' (t) ’ J cp (t) ip' (t) — ip (i) cp' (t)

Ist die ursprünglich gegebene Kurve die erwähnte Gerade, so wird

die Hüllkurve x = a cos⁴ t, y = & sin⁴ t oder y + ~j/y =

1, eine

Parabel, die die Koordinatenachsen in x = a bzw. y = b berührt.

7. Man wende das Ergebnis der vorstehenden Aufgabe auf den Fall an, wo die gegebene Kurve die Ellipse x = a cos t, y = b sin t ist. Man erhält die Kurve x = a cos³1, y = b sin³1 oder

die nach Aufg. 33, S. 165, die Evolute einer Ellipse mit den Halb-

a&²

er - &* ⁷

erb

achsen a =

r» darstellt.

8.    Gesucht wird die Hüllkurve des Systems von Ellipsen, deren Achsen zusammenfallen und deren Flächeninhalt konstant, gleich 7c², ist.

= 0: da

#    .    .    CC^

Eine Ellipse des Systems hat die Gleichung -f- ßj — 1

der Flächeninhalt dieser Kurve gleich aßn ist, tritt die Bedingung ccßjt — A;² = 0 hinzu.

Die Hüllkurve wird durch die beiden gleichseitigen Hyperbeln 2itxy = + ft² gebildet.

9.    Gesucht wird die Hüllkurve des Systems von Ellipsen, deren Achsen zusammenfallen, während die Summe der Quadrate der Halbachsen konstant, gleich 7c², ist.

Man findet die vier Geraden + x ± V — die ehi Quadrat einschließen.

10. Eine Gerade bewegt sich so, daß das aus ihren Abschnitten cc, ß auf den Koordinatenachsen eines schiefwinkligen Systems (Achsenwinkel cd) gebildete Parallelogramm den konstanten Flächeninhalt Je2 hat. Welche Kurve wird von der Geraden umhüllt?

Die Gerade hat in irgend einer Lage die Gleichung

+ J~1 = 0>

wobei aß sin a — k² = 0 ist. Man findet als Hüllkurve die Hyperbel

k²

xy =

4 sin co

11. Gegeben sind zwei feste Geraden (Koordinatenachsen), die sich unter einem Winkel œ schneiden-, bewegt sich eine Gerade so, daß die Summe der von ihr auf den Koordinatenachsen abgeschnittenen Stücke konstant gleich m ist, so umhüllt sie eine Parabel.

Ist l der Abschnitt auf der Æ-Achse, so hat eine Gerade des

— 1 =0. Als Hüllkurve erhält

Systems die Gleichung X -j- —-

man die Parabel ]/x + Yy — ]/m = 0 oder

x² + 2/² —    — 2mx — 2 my + m² = 0,

die die Koordinatenachsen in x = m bzw. y = m berührt.

Zur Konstruktion der Geradenschar trägt man auf beiden Achsen von ihrem Schnittpunkt 0 aus beliebig viele gleich große Stücke ab, deren Endpunkte durch Zahlen 1, 2, 3, . . . bezeichnet werden, und verbindet nun solche Punkte der beiden Achsen miteinander, bei denen die Summe der beigefügten Zahlen gleich m ist. Alle diese Verbindungslinien sind Tangenten der Parabel.

Übrigens umhüllen die Verbindungslinien auch dann noch eine Parabel, wenn die Länge der auf der einen Achse abgetragenen gleich

Fig. 76.

großen Strecken von der Länge der auf der anderen Achse abgetragenen Strecken verschieden ist (Fig. 76). Natürlich ist daun die Summe der Achsenabschnitte nicht mehr konstant. Man kann die Aufgabe auch so deuten, daß man zwei Punkte die Achsen mit zwei konstanten, gleichen oder verschiedenen, Geschwindigkeiten durchlaufen läßt, wobei der eine Punkt nach 0 hin, der andere von 0 weg rückt. Die Verbindungslinien dieser Punkte umhüllen alsdann eine Parabel, die beide Achsen berührt.

12. Man bilde die Parameterdarstellung für die Evolute der Kurve x=fp(t), y = ikif) als der Hüllkurve sämtlicher Normalen dieser Kurve.

Die Gleichung der Normale ist (vgl. Nr. 1, S. 44):

+ vY(f) —    ~~ <K0 Y(f) = G;

man erhält die in Nr. 2, S. 153, gegebenen Gleichungen (1).

Hüllkurven gewisser Geraden. Negative Fußpunktkurve.

175

13.    Ist eine Kurve Je Hüllkurve der Geraden g = x cos t + y sin t — f(t) = 0, so ist die Evolute von Je Hüllkurve der Geraden g = — x sin t -f y cos t — f (t) = 0.

Dies folgt daraus, daß g = 0 die im Schnittpunkt P der Geraden g und g gezogene Normale der Kurve Je darstellt. Hieraus geht übrigens weiter hervor, daß g" = — x cos t — y sin t — f"(f) = 0 Normale der Evolute in dem zu P gehörigen Krümmungsmittelpunkt ist. Der Abstand dieser Geraden g" = 0 von ihrer Parallelen g = 0 ist der Krümmungsradius von P, nämlich in Übereinstimmung mit Aufg. 12, S. 158, gleich fit) -j- /’"(/).

14.    Aus dem Ergebnis vorstehender Aufgabe folgt, daß die Hüllkurve der Geraden g = x cos t + y sin t — f{t) = 0 die Evolvente der Hüllkurve der Geraden g = — x sin t -j- y cos t

Hiernach bilde man die Parameterdarstellung für die Evolvente eines Kreises, der eine Strecke a zum Radius und den Koordinatenanfang zum Mittelpunkt hat.

Der Kreis ist die Hüllkurve der Geraden g = x cos t -j- y sin t — a = 0, seine ' Evolvente die der Geraden g = x sin t — y cos t — at = 0. Man findet für sie die Darstellung

x = a cos t -f at sin t, y = a sin t — at cos t.

15.    Auch in der Theorie der Fußpunktkurven spielen die Hüllkurven eine wichtige Rolle. Ist nämlich eine Kurve F(xly yt) = 0 sowie der zugehörige Pol Q mit den Koordinaten a, J) gegeben, so kann man nach der Kurve f(x, y) = 0 fragen, die F(x1} yt) = 0 zur Fußpunktkurve hat; man bezeichnet sie als negative FußpunJetleurve der gegebenen Kurve. Zur umgekehrten Fragestellung vgl. § 10, S. 61 ff.

Fig. 77.

Die negative Fußpunktkurve wird vom einen Schenkel F₁P desjenigen rechten Winkels eingehüllt, dessen Scheitel Pt die gegebene Kurve durchläuft, während der andere Schenkel stets durch Q geht (Fig. 77). Bildet PXP mit der «-Achse einen Winkel a, für den tg a = y' ist, so bestehen die drei Gleichungen

V\ — V ~ (xi — x)y' — ferner xx — a -j- {y₁ — V)y = 0 und

F(xi, yù = o.

Elimination von xt, yx gibt die Gleichung einer Geradenschar in der Form y = xy' -f ip (y)- Die Hüllkurve dieser Geraden (mit y als Parameter) ist die gesuchte negative Fußpunktkurve.

16. Man gebe die Parameterdarstellung der negativen Fußpunktkurve an, wenn die Kurve F(xt, yf) = 0 durch x₁ =    yt = W(t)

gegeben ist und der Pol Q die Koordinaten x = a, y = b hat.

Hier hat man die beiden Gleichungen

W(t) — y — (<&($—-x)y = 0 und <&(t) — a Ą-— b)y'= 0; aus ihnen ergibt sich durch Elimination von y:

lit) =    - a) + y(m)-b) + a®(t) + bV(() - &(t) - F\t) = 0,

und nun sind noch %(f) = 0 und ^'(/) = 0 nach x und y aufzulösen. Im Fall a = b = 0 findet man

x=®(t)- W(t) -M, y = *PV) + ^(0 • ^

wobei

71/ =

$(*) • yyV) — ^‘(0 • #'(f)

ist, und zwar bedeutet M die Größe cot(a —y), unter y den Winkel verstanden, den der Radiusvektor OPx mit der positiven Richtung der a?-Achse bildet, während a den Winkel bezeichnet, den die im Sinne der wachsenden t im Punkt P₁ an die gegebene Kurve gezogene Tangente mit dieser Richtung der x-Achse einschließt.

Bei beliebigen Werten von a und b wird

x = <&(t) — (W(t) — b)N,    y = W(t) -f- (Q(t) — a)N,

wo N aus M hervorgeht, wenn man &(t) und W(f) in M durch 0(t) — a bzw. W(t) — b ersetzt, während &'(t) und W'(t) nicht geändert werden. Auch jetzt ist N = cot (oc — y), doch bedeutet nun y den von der Geraden QPt mit der positiven Richtung der x-Achse gebildeten Winkel.

17.    Die Frage nach der zu einer gegebenen Kurve gehörigen negativen Fußpunktkurve erledigt sich besonders einfach, wenn die Gleichung der gegebenen Kurve in Polarkoordinaten r = fit) vorliegt und sich der Pol Q im Koordinatenanfang befindet. Man hat alsdann nur die Hüllkurve der Geraden x cos t + y sin t — fff) = 0 zu bestimmen; für sie ergibt sich die Parameterdarstellung

x = f{t) cos t — f'{t) sin t, y = fit) sin t + f'(f) cos t.

Ygl. auch Aufg. 12, S. 158, und Aufg. 13, S. 175.

18.    Welche Kurve hat bei gegebenem Pol Q eine gegebene Gerade zur Fußpunktkurve? Die Gerade sei die y-Achse, Q habe die Koordinaten x = a, y = 0.

In der Bezeichnungsweise von Aufg. 16, S. 176, ist hier

xx — <P(t) = 0, yl = W(f) = t, lit) = — ax -f ty — t² = 0.

Man erhält die Parabel y² — 4ax = 0, die Q zum Brennpunkt, die gegebene Gerade zur Scheiteltangente hat. Ygl. übrigens Aufg. 3, S. 172.

Konstruktion der Tangenten einer Fußpunktkurve.

177

19. Welche Kurve hat bei gegebenem Pol Q (x = a,y = 0) den Kreis x² -f- y ²—r² = 0 zur Fußpunktkurve?

Hier ist xt = &(t) = r cos t, yx = W(t) = r sin t,

1 (t) = x (r cos t — a) -f- y • r sin t -f ar cos t — r² = 0.

der für r > a eine

Man erhält den Kegelschnitt --₂ -j-    = 1

Ellipse, für r < a eine Hyperbel darstellt.

20. Welche Kurve hat die Parabel y^—pxx = 0 zur Fußpunktkurve, wenn der Pol Q der Scheitel der Parabel ist?

Vi = t, =    +

— t² = 0. Man er

hält die Neilsche Parabel

tAS    y

21³

y }

2(x — pŸ

' Yÿsp '

21.    Ein beliebiger Punkt Pt der Fußpunktkurve, der ihm entsprechende Punkt P der Grundkurve /.', der Pol Q und die Projektion R von Q auf die Normale des Punktes P der Grundkurve bilden die Ecken eines Rechtecks. Die durch P1 gehende Diagonale ist die Normale des Punktes Px der Fußpunktkurve (Fig. 78); diese Normale geht daher stets durch die Mitte der B Verbindungslinie von Q mit P. Dieser Satz soll bewiesen werden.

Ist y der Winkel, den das auf die Tangente des Punktes P der Grundkurve Je von Q aus gefällte Lot mit der positiven Richtung der x-Achse bildet, und wählt man Q als Koordinatenanfang, so ist die Gleichung der Fußpunktkurve in Polarkoordinaten von der Form r = f{y), wo r die Länge des Lotes QPX bedeutet. Die in P zogene Tangente von Je hat die Gleichung

g = x cos y -j- y sin y — f(y) = 0, die Normale dieses Punktes die Gleichung

— x sin y -f- y cos y — f(y) = 0

(vgl. Aufg. 13, S. 175), und der Abstand QR dieser Normale von Q ist gleich f(y). Da aber r — f'{y) auch die Länge der Polarsubnormale des Punktes Px der Fußpunktkurve darstellt (vgl. Nr. 4, S. 66), ist QR die zu P₁ gehörige Polarsubnormale, oder, anders ausgedrückt: die Normale des Punktes Px der Fußpunktkurve geht durch R.

22.    Auch die Bestimmung der zu einer Kurve Je gehörigen ParallelJeurven läßt sich mit Hilfe der Theorie der Hüllkurven er-

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. I.

1‘

oder, wenn t eliminiert wird, y =

Mg. 78.

ge-

12

ledigen, indem man eine solche Parallelkurve auffaßt als Hüllkurve der zu den Tangenten der Kurve k in einem konstanten Abstand l gezogenen Parallelen. Dies soll gezeigt werden, falls k durch eine Parameterdarstellung x —    y = ik(f) gegeben ist. Vgl. auch

Aufg. 29, S. 53.

Jene Parallelenschar hat die Gleichung

xik' — y cp' — (cptk' — t’cp') + iy y"² + tp'² = 0,

wo das Plus- und Minuszeichen zu setzen ist, da man zu einer Geraden zwei Parallelen im Abstand l ziehen kann, je eine auf jeder Seite der Geraden. Man gelangt zu denselben Formeln wie bei Aufg. 29, S. 53.

23. Für die Parallelkurven läßt sich auch die Gleichung in Linienkoordinaten leicht ableiten. Bevor dies gezeigt wird, möge an die Definition der Linienkoordinaten erinnert werden.

Eine beliebige Gerade, die nicht durch den Koordinatenanfang geht, kann durch die Abschnitte, die sie auf den Koordinatenachsen abschneidet, festgelegt werden. Ist ihre Gleichung Ax’p By + C = 0, so sind diese Abschnitte die mit entgegengesetzten Vorzeichen versehenen reziproken Werte

p’

dieser Abschnitte können gleichfalls zur Bestimmung der Geraden dienen. Diese Werte u, v hat Plücker als Koordinaten einer Geraden oder als Linienkoordinaten eingeführt, und zwar wurden diese Ausdrücke u, v und nicht die Achsenabschnitte als Koordinaten der Geraden gewählt, weil u, v und die Parallelkoordinaten x, y durch die einfache Gleichung

ux -f- vy + 1 = 0

verbunden sind. Sie drückt also aus, daß der Punkt x, y auf der Geraden u, v liegt oder die Gerade u, v durch den Punkt x, y geht. Außerdem findet nun eine gewisse Reziprozität in folgender Weise ihren Ausdruck: Haben u, v bestimmte Zahlenwerte u = u₀, v = v₀, so stellt die Gleichung u₀x + v₀y +1=0 in den laufenden Punktkoordinaten x, y die Gerade mit den Koordinaten u = u₀, v = v₀ dar; haben x, y bestimmte Zahlenwerte x = x₀, y = y₀, so stellt die Gleichung x₀u + y₀v + 1 = 0 in den laufenden Linienkoordinaten u, v den Punkt mit den Koordinaten x = x₀, y = y₀ dar. Wie also Wertepaare x, y, die einer Gleichung fix, y) = 0 genügen, als Koordinaten von Punkten gedeutet, in ihrer Gesamtheit die Kurve fix, y) = 0 als eine Aufeinanderfolge von Punkten darstellen, so liefern Wertepaare u, v, die einer Gleichung F(u, v) — 0 genügen, als Koordinaten von Geraden gedeutet, in ihrer Gesamtheit eine Aufeinanderfolge von Geraden, und die Kurve F(u, v) = 0 erscheint nunmehr als die Hüllkurve ihrer Tangenten.

Gehen wir zurück zur vorliegenden Aufgabe. Eine Tangente einer Parallelkurve der Kurve x =    y = p{t) ist durch

xp' — y cp' — (epp' — pcp') + iy (p² + p’² = 0

gegeben (vgl. Aufg. 22, S. 178); daher hat diese Gerade Linienkoordinaten u, v, für die die Gleichungen bestehen:

6u = p', öv = — cp', wobei a = — {<pp'— P<p) + iycp'² + p'².

Durch Elimination von 6 und t erhält man die Gleichung der Parallelkurve F(u, v) = 0 in Linienkoordinaten u, v.

24. Man wende dieses Verfahren bei der Ellipse x = a cos t, y = b sin t an.

Hier ergibt sich

öu = b cos t, <5v — — a sin t, (? = — «& + iya² sin²1 -J- b² cos²1, und F(u, v) = 0 wird:

{u²(a² -1²) + v²{b² -l²) + 1}² - 4 (a²u² + b²v²) = 0, was sich auch in der Form

{w²0²-1²) + v²{b²-l²)- 1}²- 4Z²0² + v²) = 0

schreiben läßt.

25. Die Hüllkurve aller Kreise zu bestimmen, die einen gegebenen Kreis rechtwinklig schneiden, während ihre Mittelpunkte eine gegebene Kurve erfüllen. Hierbei sei x² -j- y² = k² die Gleichung des festen Kreises und x = <p(t), y = p{t) die Parameterdarstellung der festen Kurve.

Ein Kreis des Systems hat die Gleichung

fix, y, t) = x² + y² — 2xcp(t) — 2yp(t) + ä;² = 0;

aus ihr und aus

cf

= 0 ist entweder t zu eliminieren, oder man löst

beide Gleichungen nach x und y auf. Das zweite Verfahren ergibt: x = öp'it), y = — Gcp'if), wo zur Abkürzung

dt

epp’ — pcp' + Y(cpip' — pcp')² — k²(cp'² 4- ip'²)

'2

gesetzt ist. Die so erzeugten Kurven bezeichnet man nach Th. Moutard als anallagmatische Kurven.²)

26. Wird ein im leeren Baum befindlicher materieller Punkt P zur Zeit t = 0 aus dem Koordinatenanfang 0 mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ weggeschleudert, so beschreibt P eine ebene Kurve. Bildet die Richtung von v₀ mit der positiven Richtung einer in der Ebene der Kurve gelegenen horizontalen x- Achse den Winkel a, so hat P zur Zeit t die Koordinaten x = v₀t cos a, y = v₀t sin a — \gt², wo g die Beschleunigung der Schwere bezeichnet. Der Punkt P beschreibt eine Parabel mit der Gleichung

fix, y, a) = gx² — v^x sin 2 a -f- 2 v₀²y cos² a = 0.

Man bestimme die Hüllkurve der zu verschiedenen Elévations winkeln a gehörigen Parabeln.

r) f

Aus f{x, y, a) = 0 und ^ = 0 folgt durch Elimination von a

die Gleichung g²x² -f 2gvQ-y — r₀⁴ = 0, die eine zur y-Achse symmetrisch gelegene Parabel darstellt. Nach Einführung der höchsten

Höhe h =

2g’

die bei der Anfangsgeschwindigkeit vQ erreicht werden

kann und von dem vertikal in die Höhe geworfenen Punkt wirklich erreicht wird, nimmt die Gleichung der umhüllenden Parabel, die in der Ballistik den Namen Grenzparabel führt, die Gestalt æ² = 4h(h — y) an (Fig. 79).

Alle betrachteten Wurfparabeln haben die Leitlinie gemeinsam und ihre Brennpunkte liegen auf einem Kreis, der den Punkt 0 zum Mittelpunkt hat und die Leitlinie berührt. Diese ist zugleich Scheitel-

Fig. 79.

tangente der Grenzparabel, deren Brennpunkt sich in 0 befindet. Der Beweis dieser Sätze ist nicht schwer.

Die Gesamtheit der Parabeln, die zu gleich großen, sich aber nach beliebigen Richtungen des Baumes erstreckenden Geschwindigkeiten vQ gehören, hat zur Enveloppe die Fläche, die durch Rotation der Kurve x²=4hÇh — y) um die y-Achse entsteht, also ein Botationsparaboloid. Stellen, die außerhalb des Paraboloids liegen, können von dem weggeschleuderten materiellen Punkt überhaupt nicht getroffen werden, Stellen innerhalb des Paraboloids auf zwei verschiedene Arten (direkter und indirekter Schuß), denn die Gleichung der Bahnkurve f(x, y, cc) — 0 liefert bei gegebenem Wertepaar x, y zwei Werte a. Stellen, die auf dem Rotationsparaboloid liegen, können nur auf eine Art getroffen werden.

27. Man bestimme die Hüllkurve der Leitlinien und die der Scheiteltangenten aller Parabeln, die den Brennpunkt gemeinsam haben und durch einen und denselben Punkt Q der Ebene gehen.

Der gemeinsame Brennpunkt werde als Koordinatenanfang gewählt und Q sei die Stelle x = a der x- Achse. Die zur Leitlinie ax -\- ßy -{■ 1=0 gehörige Parabel hat alsdann die Gleichung

(ax + ßy + 1)

a* + ß²

x² + 2/² =

wobei nun noch der Forderung Rechnung zu tragen ist, daß diese Kurve durch den Punkt x = a, y = 0 gehen soll. Man findet als Bedingung hierfür die Gleichung a² j.3²— 2aa — 1=0, die von a und ß erfüllt werden muß. Irgend eine Leitlinie des Systems von Parabeln hat alsdann die Gleichung

f{pc, y, ß) = (a²ß² — l)x + 2aßy + 2a = 0.

cf

= 0 erhält man als Hüllkurve aller Leitlinien den

Mit Hilfe von

Kreis x² -\- y² — 2ax = 0, der Q zum Mittelpunkt und die Strecke von der Länge OQ = a zum Radius hat (Fig 80).

Da der Abstand der Scheiteltangente vom _J_

Fig. 80.

Brennpunkt der Parabel halb so groß ist wie ^ ^ der Abstand der Leitlinie ax + ßy -f 1 = 0, so hat die Scheiteltangente die Gleichung

2ax + 2ßy +1=0,

wobei wieder a²ß² — 2aa — 1 = 0 ist. Für ihre Hüllkurve findet man x² + y² — ax = 0, d. h. den Kreis über OQ als Durchmesser.

Eine wichtige Anwendung findet die Theorie der Hüllkurven in der Optik bei den Brennlinien oder Kaustifen. Wenn von einem leuchtenden Punkt ausgehende Lichtstrahlen eine Kurve treffen und von ihr so zurückgeworfen (reflektiert) werden, daß der einfallende und der zurückgeworfene Strahl mit der Kurvennormale (dem Einfallslot) gleiche Winkel bilden, wobei diese Strahlen mit dem Einfallslot in einer und derselben Ebene liegen, so umhüllen die reflektierten Strahlen eine Kurve, die als Brennlinie durch Reflexion oder als Katakaustik bezeichnet wird. Werden die einfallenden Strahlen an der Kurve entsprechend dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen, so umhüllen die gebrochenen Strahlen eine Brennlinie durch Refraktion oder eine Biakaustik.

28. Eine Parabel wird rechtwinklig zu ihrer Achse von Lichtstrahlen getroffen, die nach dem Reflexionsgesetz zurückgeworfen werden. Man bilde die Gleichung der entstehenden katakaustischen Kurve.

Es ist leicht einzusehen, daß ein in einem beliebigen Punkt P durch die Parabel reflektierter Strahl PQ zum Brennstrahl FP von P rechtwinklig ist (Fig. 81). Ist t der Parameter des Punktes P der

durch x = -, y = t gegebenen Parabel, so hat der Brennstrahl FP die Gleichung

4ptx + (p² — 4:t'²)y —- p²t = 0 und der reflektierte Strahl PQ die Gleichung

(4 t² — p²)px + 4 p²ty — 4Æ⁴— 3 p²t² = 0.

Für die Katakaustik findet man die Parameterdarstellung

3t~

.. ₌    ±3

J    2 p² ’

also eine rationale Kurve dritter Ordnung; durch Elimination von t erhält man für sie die Gleichung lOSpy^ = x(4x — 9p)². Die Kurve

iL

-+X

Ö\F

M.

Fig. 82.

Fig. 81.

ist zur x- Achse symmetrisch und hat an der Stelle x = \p, y = 0 einen Doppelpunkt. Ygl. Fig. 81, wo p = 16 angenommen wurde.

29. Für den Kreis x^p y² — r² = 0 die Brennlinie durch Reflexion zu bestimmen, wenn der leuchtende Punkt auf der Æ-Achse im Unendlichen liegt.

Ein Strahl, der den Kreis in P trifft und mit dem Einfallslot den Winkel t bildet, geht durch die Reflexion in einen Strahl über, der mit der x-Achse den Winkel 2t bildet (Fig. 82) und daher die Gleichung hat

y — r sin t = (x — rcost) tg2t oder xtg2t — y -f- r sint — r tg 2t- cost = 0.

Hierbei liegt der die Kurve beschreibende Punkt P zu Anfang der Bewegung (t = 0) an der Stelle x = a der x-Achse auf dem festen Kreis, links vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises (vgl. auch Aufg. 39, S. 166, wo P zu Anfang der Bewegung rechts vom Mittelpunkt des rollenden Kreises lag). Man findet a = -\r, b = \ r, der Radius b muß daher halb so groß sein wie der Radius a. An den Stellen t = 0 und t = it, d. h. in den Punkten x — \r, y = 0 und x == — \-r, y = 0 hat die Kurve Spitzen. Nach Elimination von t lautet ihre Gleichung:

¹

Vgl. Tait in den Proceedings of the Edinburgh mathematical society, Bd. 14 (1895), S. 26.

²

Vom griechischen &lXdtt£iv, ändern, abgeleitet, dem ein a privativum vorgesetzt ist. Damit soll angedeutet werden, daß diese Kurven bei Transformation durch reziproke Radien mit dem gegebenen festen Kreis als Inversionskreis in sich selbst übergehen. Näheres über diese Kurven findet man z. B. bei G. Loria, „Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven“, deutsche Ausgabe von F. Schütte, Leipzig 1902, S. 358—363.

12

{4(x² + y²) — r²}³ — 27r⁴//² = 0.

wenn

30. Man zeige, daß der ursprünglich vom Punkt x = a, y = b ausgehende, aber durch einen Punkt P der Kurve x = cp(t), y = ip(t) reflektierte Lichtstrahl die Gleichung Tx N + Nx T = 0 hat,

N — 0 und T = 0 die Normale und Tangente von P darstellen, während Nx und Tx die Ergebnisse der Substitution von x = a, y = & in N und T bedeuten.¹)

Der einfallende Lichtstrahl hat eine Gleichung von der Form JV —0, denn er geht durch den Schnittpunkt P von N = 0 und T — 0. Hierbei ist X so zu bestimmen, daß die Gleichung N — XT — 0 durch x = a, y == b erfüllt wird, d. h. man hat Nx — X Tx = 0, oder der einfallende Strahl ist gegeben durch TXN — NXT = 0. Nun ist der reflektierte Strahl der vierte harmonische zum einfallenden mit Bezug auf das Geradenpaar N — 0, T — 0 und hat daher die Gleichung Tx N + NxT = 0.

31. Man wende dieses Verfahren zur Bestimmung der Katakaustik des Kreises #² + y² — r² = 0 an, wenn der leuchtende Punkt nicht wie bei Aufg. 29 im Unendlichen liegt, sondern die Koordinaten x = a, y = b hat.

Hier wird N = x sin t — y cos t, T = x cos t + y sin£ — r, TXN + NXT = — (bx + ay) cos 2t + (ax — by) sin21 + r(y + b) cos t — r(x -f a) sin t = 0,

Hierzu tritt

2x

2 r cos t cos² 2t

-f r cos t -f- r tg 2 t ■ sin t —

x = \r (3 cos t — cos 3f); für y folgt y = \ r (3 sin t — sin 3£).

Die Gleichungen zeigen unmittelbar, daß die Kurve als Epi-zylüoide erzeugt werden kann. Allgemein hat man nämlich für eine Epizykloide, die dadurch entsteht, daß ein Kreis vom Radius b auf einem festen Kreis vom Radius a ohne Gleiten rollt die Parameterdarstellung:

x = (a -j- b) cos t — b cos a b t, y = (a + b) sin t — b sin a b t.

cos² 2t

= 0 oder auch

also ein Ausdruck von der Gestalt

a cos 2 t + ß sin 2 £ + y cost -f- d sin t0.

Mit Hilfe der schon S. 13 (vgl. die Fußnote daselbst) erwähnten Substitution cos t + * sin t = p, cos t — i sin t = 1 : p, wobei i = ]/— 1 ist, wird Tt N -(- N± T = 0 gleichbedeutend mit

cp (p) = (a — ß i)p⁴ + (y — ôï)p³ + (y + ôi)p -F a + ßi = 0,

und nun ist p aus dieser Gleichung und aus <p'(p) = 0 zu eliminieren. Das Ergebnis ist bekanntlich zugleich die Bedingung, die zwischen den Koeffizienten von cp(p) bestehen muß, wenn die Gleichung cp(p) — 0 zwei gleiche Wurzeln haben soll: die Diskri-minante von cp(p) muß verschwinden (vgl. auch Aufg. 33, S. 21). Wie man in den Lehrbüchern der Algebra und der Invariantentheorie findet, hat die Diskriminante, für die Gleichung vierten Grades a₀p⁴ -f 4atp³ -f- Qa.₂p² -f 4a₃p -(- a₄ = 0 gebildet, die Gestalt S³ — 27 T²,

a₀ et^ 6^2

wo S — a₀a± — 4a₁aä 3a₂², T— a₂ a₃ ist.

ct 2 (t§ et ^

Im vorliegenden Fall ist a₂ = 0, und man findet

4S = 4(a² + b²)(x² + f) -r*{(x + a)² + (y + b)²},

8 T = r²(bx —- ay)(x² -f y² — a² — b²)]

die gleich Null gesetzte Diskriminante von cp(p) liefert daher folgende Gleichung der Brennlinie durch Reflexion:

[4 {a² + b²) (x² + y²) — r² {(x + a)² + (y + b)²} ]3 — 27 P(bx — ay)²(x² y² — a² — b²)² = 0.

32. Man bestimme die Brennlinie durch Refraktion (Gleichung der Dia-kaustik) für Lichtstrahlen, die von V einem Punkt L ausgehen und durch eine Gerade g entsprechend dem Snel-liussehen Brechungsgesetz sin e = n sin ß gebrochen werden.

Fig. 83.

QP die x- Achse in S trifft. Alsdann ist

Die Gerade g sei die y-Achse, L liege auf der positiven &-Achse im Abstand a vom Koordinatenanfang 0; dabei möge diey-Achse horizontal liegen und die positive x-Achse sich vertikal nach unten erstrecken (Fig. 83). Ein von L ausgehender Lichtstrahl treffe die y- Achse in P und werde in der Richtung nach Q gebrochen, so daß die Verlängerung von

a tg£

tgß

, und die Gleichung des ge-

OP = a tg s, OS = a tg e ■ cot ß =

brochenen Strahles wird daher f(x, y,ß,s) = x tg ß -f- y — a tg s = 0, wobei (p (/3, s) = sin e — n sin ß = 0 ist. in Nr. 2 angeführte Regel)

Nun wird (vgl. die S. 171

ÇV) Cu

a, -f X cos £ = 0, cos²s    ⁷

"Cb "G

-nl cosß -⁰

daher

an cos³ ß cos³ a 7 a tg s (sin² ß — sin² a)

COS² 8

x = Xn cos³ß =

y = a tge — x tg ß = Hieraus folgt

a n (1 — n²) sin³ ß cos³ a

(1 — n²)² sin³ß

cos³ ß

cos³a ⁷ an

~Vl — n² = oder nach Elimination von ß und s:

an

cos³ a

( ^ Y .. (Vi i

\an] ' \ an ]

= 1.

Je nachdem n < 1 oder >1 ist, stellt diese Gleichung die Evolute einer Ellipse oder Hyperbel dar. Da die Evolute der Ellipse

= 1 die Gleichung hat

cc

cq² — bx ²

(vgl. Aufg. 83, S. 165), erhält man im Fall n < 1 für die Halbachsen dieser Ellipse die Längen ax = " ,    = -**-]/1 — n² ; ihre lineare Ex

zentrizität wird Ya² — b² = a, die Lichtquelle L liegt daher im einen Brennpunkt der Ellipse. Alle durch die Gerade y gebrochenen Strahlen sind Normalen der Ellipse.

Der Punkt L erhält infolge der Strahlenbrechung eine scheinbare Verschiebung, nämlich:

in vertikaler Richtung um die Strecke a — x —

an( 1 — »i²)sin³/? cos³a

33. Wenn sich der leuchtende Punkt L der vorhergehenden Aufgabe im Wasser befindet und aus der darüber befindlichen Luft in Richtung einer zum Wasserspiegel senkrechten durch L gehenden Geraden betrachtet wird, so erscheint er um ein Viertel der Tiefe a, in der er unter dem Wasserspiegel liegt, gehoben. Man zeige dies unter Benutzung der Tatsache, daß der Brechungsindex n bei dem Übergang aus Wasser in Luft gleich ist.

Vl

MA-r

a(cos³ g — n cos³/?)

cos³ £

in horizontaler Richtung um

Jetzt ist ß = 0, sin e = n sin ß = 0, cos s = cos ß = 1, daher die vertikale Verschiebung a — x gleich a{ 1 — n) = \a.

34. Wie ist die Gleichung der Kanalfläche zu bilden, die als eingehüllte Fläche eines Systems von Kugeln entsteht, deren Radius konstant gleich r ist und deren Mittelpunkte die Raumkurve x = cp(t), y ⁼ %(t)> z = V(0> die sogenannte Leitlinie, durchlaufen? Insbesondere bilde man die Gleichung der Kanalfläche, wenn die Leitlinie der Kreis x = a cos t, y = a sin t, z — 0 ist.

Irgend eine Kugel des Systems hat die Gleichung

(x — cp)² + (y — %y + (g — ty — r² = 0;

die Elimination von t aus ihr und aus

{x — cp) cp' + 0 — %)% + (0 —    = o

liefert die Gleichung der Kanalfläche.

In dem besonderen Fall, daß die Leitlinie der vorerwähnte Kreis ist, hat man die Gleichungen:

(x — a cos t)² (g — a sin t)² -f z² — r² = 0 und x sin t — y cos t == 0. Die Elimination von t ergibt

(x² + y² + z² + a² — r²)² — 4a²(x² -f y²) = 0.

§ 20.

Beispiele zur Kurvendiskussion.

Man soll den Verlauf der folgenden Kurven untersuchen:

1.

y = (x — l)(x — 2)(x — 3).

Die Kurve kehrt im Intervall — oo < x < 2 der positiven y- Achse die konvexe, im Intervall 2 <#< + oo die konkave Seite zu-, der Punkt x = 2, y = 0 ist ein Wendepunkt. Ein Maximum befindet sich an der Stelle x = 2 — -31/3 = 1,423, y = 0,385, ein Minimum an der Stelle x = 2 + -\~]/3 = 2,577, y = — 0,385. Der unendlich ferne Punkt der y-Achse ist ein Rückkehrpunkt, die unendlich ferne Gerade seine Tangente. Vgl. Fig. 2, S. 3.

2.

2x

y l -f- zc² *

Die Kurve ist zum Koordinatenanfang symmetrisch und hat diesen sowie die Punkte x = 4- ]/3, y == + £ ]/3 und x = —}/3, y = — zu Wendepunkten. Alle drei Wendepunkte liegen auf der Geraden x —■ 2 y = 0. Die a:-Achse ist eine Asymptote der Kurve, die beiden anderen Asymptoten sind imaginär. Ein Maximum befindet sich an der Stelle x = 1, y = 1, ein Minimum an der Stelle x = — 1, y = — 1.

Der unendlich ferne Punkt der y-Achse ist ein isolierter Punkt. In den Intervallen — oc < æ < — y"3 und 0 < x < -f ]/3 kehrt die Kurve der positiven y- Achse die konvexe, in den Intervallen —]/ 3 < x < 0 und + V 6 < x < oo die konkave Seite zu. (Fig. 84.)

3.

x

y = T^x* ‘

Die Kurve ist zum Koordinatenanfang symmetrisch. Die Æ-Achse und die Geraden x = + 1 sind Asymptoten. Der Koordinatenanfang ist ein Wendepunkt, der unendlich ferne Punkt der y-Achse ein Doppelpunkt. In den Intervallen — oo < x < — 1 und 0 < x < + 1 kehrt

(Fl

Ar

o_

Fig. 84.

Fig. 85.

die Kurve der positiven y-Achse die konkave, in den Intervallen — 1 < x < 0 und + 1 O < + oo die konvexe Seite zu. Ygl. Fig. 3, S. 6.

l — x*

Die Kurve ist zur y-Achse symmetrisch. Im Intervall —\V'à < x < -f l Y'S kehrt sie der positiven y-Achse die konvexe, in ihrem übrigen Verlauf die konkave Seite zu. Die Punkte # = + ^-]/3, y == + sind Wendepunkte. Die Gerade y = — 1 ist eine Asymptote, der unendlich ferne Punkt der y-Achse ein isolierter Punkt. Für x == 0 wird y = 1 ein Maximum. (Fig. 85).

l 4- x²

y = ï=x>’

Die Kurve ist zur y- Achse symmetrisch. Im Intervall — 1 < x < -f 1 kehrt sie der positiven //-Achse die konkave, in ihrem übrigen Verlauf die konvexe Seite zu. Die Geraden x — + 1 und y == — 1 sind Asymptoten, der unendlich ferne Punkt der //-Achse ist ein Doppelpunkt. Für x = 0 wird y = 1 ein Minimum. (Fig. 86).

4.

5.

0 il

6.

Fig. 80.

(x — 1) {x — 2) (a? — 3) ■

Die Geraden x — 1, x = 2, x = ?> und y = 0 sind Asymptoten. In den Intervallen — oo < x < 1 und 2 < x < 3 kehrt die Kurve der positiven //-Achse die konvexe, in den Intervallen 1 < x < 2 und

3 <C % <C + oo die konkave Seite zu. Der unendlich ferne Punkt der y-Achse ist ein dreifacher Punkt. Die extremen Werte der Ordi-naten y gehören zu Abszissen x, die die Gleichung 3#² — 12# + 11 = 0 erfüllen; für x = 2 + \ j/3 = 2,577 wird y — — 2,598 ein Maximum, für x = 2 — 7]/3 = 1,423 wird y = 2,598 ein Minimum. (Fig. 87.)

y% = x³ 4- 1.

Die Kurve ist zur x-Achse symmetrisch. Oberhalb dieser Achse kehrt sie für — 1<#<0 der positiven y-Achse die konvexe, für 0 < x < -f oo die konkave Seite zu; unterhalb der x-Achse ist ihr

Verhalten bezüglich Konvexität und Konkavität gerade umgekehrt. Auf der y-Achse liegen drei Wendepunkte; für zwei ist hierbei y = + 1, und ihre Tangenten sind zur #-Achse parallel, der dritte liegt im -x Unendlichen und hat die unendlich ferne Gerade zur Wendetangente. (Fig. 88.)

8. Man untersuche den Verlauf der zu verschiedenen Werten des Exponenten m gehörigen polytropisehen (adiabatischen) Kurven pv'm = c, wobei statt y und x die in der Wärmetheorie gebräuchlichen Buchstaben p und v benutzt sind. Es genügt, den Verlauf im ersten Quadranten zu betrachten. Dabei sollen alle Kurven durch einen und denselben Punkt p₁, gehen, so daß die Konstante c gleich p₁v₁m ist. Vgl. Aufg. 23, S. 161. ¹

Aus    ^ geht hervor, daß das Vorzeichen von

7.

\J

1\ Z\ 3

Fig. 87.

m-2

m=-Z

\y

Fig. 88.

d?-p dv²

im ersten Quadranten mit dem Vorzeichen von m~'¹ m (m -f- 1) übereinstimmt. Solange

ist oder so lange 0 < m < oo ist, kehrt die Kurve der positiven p- Achse die konkave Seite zu, für — 1 < w < 0 die konvexe Seite. Für m = — 1 erhält man die Gerade p = cv, für m = 0 die Gerade p = c, für m = 1 eine gleichseitige Hyperbel (Fig. 89). Falls m eine negative endliche Zahl ist, geht die Kurve durch den Koordinatenanfang, nicht aber bei positivem m. Die den Werten m = a : ß und m = ß : a zugehörigen Kurven stehen im

Fig. 89.

m-o

m-f

v

Fall c = 1 in der einfachen Beziehung zu einander, daß die eine aus der anderen durch Spiegelung an der Geraden p = v hervorgeht. In der mechanischen Wärmetheorie ist übrigens stets m > 1, daher

^    < 0, d. h. der Druck nimmt mit wachsendem Volumen ab.

9.

y - er*

Die Kurve ist zur «/-Achse symmetrisch. Im Intervall—-i-j/2 < x < -f- ĄY2 kehrt sie der positiven «/-Achse die konvexe, in ihrem übrigen Verlauf die konkave Seite zu. Die Punkte x = + ^-"j/2, y —

Ve

= 0,607 sind Wendepunkte, die Ordinate wird für x = 0 ein Maximum y = 1. Die x- Achse ist eine Asymptote. (Fig. 90.)

10.

y = xex.

Für x > — 2 ist die Kurve konkav in Richtung der positiven «/-Achse, für x < — 2 konvex. Der Punkt x — — 2,«/ = — 2 :e2 = —■ 0,271 ist ein Wendepunkt; für x = — 1 wird y = — 1 : e — — 0,368

‘'V

Fig. 90.

Fig. 91.

or*x

0^1

Fig. 92.

■>X

ein Minimum. Die x-Achse ist eine Asymptote. (Fig. 91).

11.

y = x • ln x.

Die Kurve verläuft nur im ersten und. vierten Quadranten des Koordinatensystems und kehrt hierbei der positiven Richtung der y-Achse stets die konkave Seite zu. Für x — 1 : e = 0,368 wird y — — 1 : e ein Minimum. Der Koordinatenanfang ist ein Endpunkt der Kurve. (Fig. 92.)

12.

y-

Fig. 93.

Für x > 0 ist die Kurve konkav in Richtung der positiven «/-Achse, für x < 0 konvex.

Die Geraden x = 0 und y = 0 sind Asymptoten, für x = 1 wird y = e ein Minimum. (Fig. 93.)

13. Die Höhe des Wasserspiegels in einem Kanal von kreisförmigem Querprofil (Radius a) möge von der Höhe Null beginnend steigen.

Man stelle das Anwachsen der Wassermenge y im Quer-

profil graphisch, dar (also nicht das Anwachsen der Höhe des Wasserspiegels), und zwar werde als unabhängige Veränderliche x der in Bogenmaß ausgedrückte Zentriwinkel genommen, der zu der den Stand des Wasserspiegels darstellenden Sehne gehört (Fig. 94). Alsdann untersuche man die Kurve, die die Abhängigkeit der Größe y von x darstellt.

a²

Offenbar ist y = (x — sin x).

Für x = 0, + 2z, + 4z, . . . verschwinden y und y", nicht aber y", daher sind die zugehörigen Kurvenpunkte Wendepunkte mit wagrechter Tangente und mit den Ordinaten 0, + a²z, + a²-2z, . . . . Außerdem erhält man Wendepunkte für x = + z, + 3z, . . ., und zwar ist bei ihnen die Steigung y = tg a = 1. (Fig. 95.) Natürlich kommen nur die Abszissen von x = 0 bis x = 2z in Betracht. Im Intervall 0 < x < z kehrt die Kurve der positiven y-Achse die konkave, im Intervall z.<ix<i2z die konvexe Seite zu. Von x = 2z bis x — 4z ist der Verlauf gerade so wie von x = 0 bis x = 2z, das

\7t 2Z

0_

~zz*x

Fig. 95.

Fig. 94.

Fig. 96.    V

Kurvçnstück ist nur verschoben und zwar in der Richtung der positiven x-Achse um 2z, in der Richtung der positiven y-Achse um z. Mit wachsendem x wächst y fortwährend, die Kurve hat daher keine Maxima oder Minima. Sie verläuft vollständig im ersten und dritten Quadranten und ist zum Koordinatenaufang symmetrisch.

14.

y = x sin x.

Die Kurve ist zur y-Achse symmetrisch und schneidet die Æ-Achse in x = + kz, wo k = 0, 1, 2, . . . ist. Die Abszissen der Maxima und Minima genügen der Gleichung tg x = — x\ da die Wurzeln dieser Gleichung die Abszissen der Schnittpunkte der Kurve y = tg x mit der Geraden y = — x oder der Kurve y = — tg x mit der Geraden y = x sind, befinden sich die Maxima und Minima an solchen Stellen, für die x zwischen + (Je ff- ff) z und + (Je ff- 1 )z, Je — 0, 1,2,... gelegen ist, und zwar erhält man die Maxima für Je = 0, 2, 4, .. . die Minima für k = 1, 3, 5, . . . (Fig. 96). Außerdem liegen diese Stellen sämtlich auf der Kurve vierter Ordnung i/²(l ff- x²) — xL = 0. Die Abszissen der Wendepunkte bestimmen sich aus x tg x = 2-, diese

Punkte liegen auf der Kurve x²y² = 4 (x² — y²), einer „Kohlenspitzenkurve“, ebenso liegen sie auf der Kurve y — 2 cos x.

sin x

y-—■

15.

Die Kurve ist symmetrisch zur y-Achse und schneidet die æ-Achse in x = + kn, wo k = 1, 2, 3, ... ist. Die Abszissen der Maxima und Minima von y sind die Wurzeln der Gleichung tg x = x\ die Punkte, in denen y ein Maximum wircf, liegen oberhalb der x-Achse, die Punkte, denen ein Minimum von

'vt x~

Fig. 97.

y zugehört, unterhalb der x-Achse,

die größte Ordinate y = 1 gehört zu x = 0 (Fig. 97). Alle diese unendlich vielen Punkte, in denen y einen extremen Wert hat, liegen

auf der Kurve vierter Ordnung y² =

₁\Xi, dagegen die unendlich vielen Wendepunkte auf der Kurve sechster Ordnung y² — A.i’

16.

y = sm - •

J    x

Die Kurve ist zum Koordinatenanfang symmetrisch. Ihre Schnittpunkte mit der Æ-Achse haben die Abszissen x — + wo Je = 0, 1,2,...

ist. Diese Punkte drängen sich daher in der Nähe des Koordinatenanfangs 0 mehr und mehr zusammen, während die von 0 entferntesten, aber

noch im Endlichen gelegenen Schnittpunkte die Abszissen x = + - -= +0,318 haben. Die Ordinaten y werden Maxima für x

(4 k + 1 )n

Fig. 98.

und x

und x = +

, Minima für x

Je = 0, 1,2,.. ., und zwar liegen alle Maximalstellen auf der Geraden y = 1, alle Minimalstellen auf der Geraden y = — 1. Diese extremen

(4 k + 3) 7t

(4 k + l)n

(4/7 +3 )7t’

Stellen sind also sämtlich in dem Intervall — 2 \ % <Lx Ą- 2 : % zusammengedrängt, in dem die Kurve zwischen y = -j-1 und y = — 1 unendlich oft auf und ab schwankt. (Fig. 98.) Die Abszissen der Wendepunkte sind Wurzeln der Gleichung tg * =2«; alle Wendepunkte liegen auf der Kurve vierter Ordnung \.x²y² = 4«² — y².

17.

x sm

Die Kurve ist zur y-Achse symmetrisch. Für die Schnittpunkte mit der «-Achse gilt das gleiche wie bei dem soeben betrachteten Beispiel. Sie sind aber jetzt die sämtlichen Wendepunkte der Kurve. Die Abszissen der Maxima und Minima von y sind die Wurzeln der

Gleichung tg = * ; diese Wurzeln liegen zwischen + ^ und

±2

(2 k + l)sr »

wo entweder beidemale das obere oder beidemale das untere Vorzeichen zu stehen hat und Ti = 1; 2, 3, . . . ist. Die Minimalstellen befinden sich in den zu ungeradem Ti gehörigen Intervallen, die Maxima in den Intervallen mit geradem Ti. Diese extremen Stellen sind also

« ta

sämtlich zwischen « =---und x = -f zusammengedrängt; die

Fig. 99.

vom Koordinatenanfang 0 entferntesten Punkte mit extremen Werten der Ordinaten sind Minima und haben Abszissen, deren abso-+x lute Werte zwischen 1 : n und 2 : 3 7t gelegen sind. (Fig. 99.) Alle diese Stellen liegen auf der „Kohlenspitzenkurve“«² — y² = x²y², die zwischen den Geraden y = -j- 1 und y = — 1 verläuft. Die Gerade y = 1 ist zugleich eine Asymptote dieser und der vorgelegten Kurve.

18. Man zeige, daß die Kurve

ax -(-6

y = -x

= /•(«)

cex -f d

für x — 0 eine Unstetigkeit hat, indem y an dieser Stelle vom Wert f{— 0) = b : d zum Wert /’(+ 0) = 0 springt. Hierbei bedeutet /'(—0) den Wert, den die Funktion y = f(x) für « = 0 annimmt, wenn man sich der Abszisse x = 0 von der Seite der negativen «-Achse her nähert; eine entsprechende Bedeutung hat f(-\- 0). Ferner soll die trigonometrische Tangente des Winkels a bestimmt werden, den die in dem einen oder anderen der beiden vorerwähnten Punkte gezogene geometrische Tangente mit der positiven Richtung der «-Achse einschließt.

Ist £ eine sehr kleine positive Zahl, die man schließlich nach Null streben läßt, so nimmt y für x == — £ den Wert

y=‘(b — as):fc--rr + d

an, der sich für lim £ = 0 auf b : d reduziert. Die Annahme x = + £

und liefert für lim £ = 0 den Wert

ergibt y = («£ + &) : Null.

{ce* + dj

Man findet

(ax -j- b) cex

xi{cex -f- d)

Zur Bestimmung yon tg a für x = O, y — b : d setze man — = — t und lasse t nach -f oo streben, dann wird tg a = a : d.

= + t ergibt, wenn t nach + oo konvergiert, für

Die Substitution

tg a im Punkt x = y = 0 den Wert Null. 19. Man zeige, daß die Kurve

aex + b

y= i

cex

für x = 0 unstetig ist, indem die Ordinate y von /*(— 0) = b : d nach /’(+ 0) = a:c springt. Ferner soll gezeigt werden, daß die Tangente in diesen beiden Punkten zur x-Achse parallel ist.

Dieses Beispiel ist gerade so zu behandeln wie das vorhergehende. Übrigens geht die Kurve im Fall ad — bc = 0 in die Gerade

y=d ⁼ Tuber-

Dingeldey, Differential- und Integralrechnung. 1.

13

Sachregister*.

Die Zahlen bezeichnen im allgemeinen die Seiten; nur wenn das Zeichen § vor einer Zahl steht, bezieht sie sich auf einen Paragraphen.

Ableitung einer Summe von Funktionen 1, , Archimedische Spirale 38, 53, als Fußeines Produktes 1, 5, eines Quotienten ; punktkurve einer Kreisevolvente 64, 1, 5, der Potenz 2, 5, § 1, einer Kon- ihre Polarsubnormale 70, ihre Doppelstanten 2, ihre geom. Bedeutung bei j punkte 102, ihre Krümmungsmittel-Funktionen einer Veränderlichen 2, 4, punkte 169.

Ableitung der Exponentialfunktion 6, Astroide 61, 172.

§ 2, des Logarithmus 7, § 2, der hy- Asymptoten ebener Kurven § 16, S. 103— perbolischen Funktionen 7, der trigo-nometr. Funktionen § 3, der zyklometr. Ausgleichungsrechnung 143.

Funktionen § 3, eines Vektors 14, einer

Funktion von einer Funktion 1, 2, Balken von größter Druckfestigkeit 126, höhere Ableitungen § 4, vollständige oder totale Abi. 22, partielle 22, Abi.

bei Funktionen einer komplexen Ver- Basis von Logarithmen 6. änderlichen 28, siehe auch Differential- Batterie, Stromstärke einer galvanischen

B. ein Max. 130, 131.

Ablenkung eines Lichtstrahls durch ein Bedingte Konvergenz 75.

Prisma ein Min. 131.    Beleuchtung eines ebenen Flächenstücks

116, Stelle der schwächsten B. auf der Verbindungsstrecke zweier Lichtquellen 116.

Bernoullisch.e Zahlen 88.

107, 186—192.

größter Tragfähigkeit 126, mit geringster Einsenkung bei Belastung

[127.

von

quotient.

Absolute Konvergenz 75, Reziprokante 43, Temperatur 34.

Absoluter Betrag 75, 78, Nullpunkt der Temperatur 34.

Abstand kleinster Abst. zweier Geraden Berührung zweier Kurven 59—61, B. im Raum 139, kleinster oder größter höherer Ordnung zwischen zwei Kurven Abst. eines Punktes von einem Kreis    153—156, Kriterien hierfür 153.

152, der Normale einer Ellipse vom Beschleunigung eines Punktes 17, 113, Mittelpunkt der Kurve 123, 124.

Abstecken eines Kreisbogens von der Bienenzelle, ihre Oberfläche ein Min. 119, Tangente aus 92, 93, von der Sehne Binomialreihe 88—92.

beim Schubkurbelgetriebe 18—20,111.

[120.

aus 93.

Blitz entladung 122.

Adiabatische Kurven 188, ihre Krüm- Böschungswinkel eines Kanals 128.

Bogenelement 17.

Dis- Bogenlänge einer Kurve 16, der Evolute einer Kurve 155, der Evolute einer Ellipse 165, der gemeinen Zykloide 165. Bogenmaß eines Winkels 30, 31, 85. Brechungsgesetz von Snellius 11, 12, 33, 114, 181, 184.

Brechungsindex 12, 33, 114, 185. Brennlinien 181, durch Beflexion 181, bei einer Parabel 182, bei einem Kreis 182—184, durch Refraktion 181, bei einer Geraden 184, 185.

Bunsensches Fettfleckphotometer 33.

mungskreise 160—162.

Alg braische Kurven, Beispiele zur kussion 186—188.

Alternierende Vorzeichen bei Reihen 75.

Ampère 113.

Amplitude 2, bei Schwingungen eines Pendels 121, 122.

Anallagmatische Kurven 179.

Arbeit innere 34, äußere 34, eines elektrischen Stromes 112, 113, der Muskeln 118, 119.

Arbeitsleistung von Zugtieren 136, 137, mittlere A. von Pferden 137.

138, Summe der Quadrate der Seiten ein Max. oder Min. 151, Schwerpunkt eines D. 138.

Cartesischcs Blatt 99, 105.

Cauchys Konvergenzkriterium 74, Form des Restes bei der Taylorschen und Maclaurinschen Reihe 76—78, Cauchy-Riemannsche Gleichungen 28.

Charakteristik zweier benachbarten Flächen eines Systems von Flächen 171.

Daniellsches Element 113.

[188.

Dreifacher Punkt bei Kurven 100, 102r Druck eines Punktes auf eine Kurve, wenn der Punkt gezwungen ist, auf der Kurve zu bleiben und auf ihn Kräfte wirken 57, 58.

Definite Form 133, 143.

Dehnungskurve zur Darstellung der Arbeit ! Dyn 113.

eines Muskels 118, 119.

Dekrement, logarithmisches D. 122.

Determinante von Wroński 27.

Druckfestigkeit, größte D. bei einem Balken 126.

Effekt 112, E. im äußeren Stromkreis eines galvanischen Elementes ein Max. 112, 113.

Einsenkung, geringste E. eines belasteten Balkens 127.

Einsieuler bei ebenen Kurven 100.

Eisenkern in einer Spule bei Wechselstrommaschinen 129.

Elektromotorische Kraft, ihre Einheit 113.

Elemente, Schaltung galvanischer E. 130, Effekt im äußeren Stromkreis eines

Diakaustik 181, einer Geraden 184, 185.

Dichtigkeit, größte D. des Wassers 109.

Differential vollständiges oder totales 22, 29, unvollständiges oder partielles 22, höherer Ordnung 23, bei den Fundamentalformeln der sphärischen Trigonometrie 32.

Differentialgleichung, Lösung einer D. 15,

24, aus der Wärmetheorie 24, aus der Akustik 24, aus der Theorie schwin- | galvanischen E. ein Max. 112, 113. gender Federn 24, von Laplace 26, ge- Elevationswinkel 180. wisser Hyperbeln 43, Einführung einer Ellipse 38, 59, 60, 67, 97, 125, 128, 155, neuen Veränderlichen in eine D. 40.    156, 157, 158, 169, 170, 177, ihre Tan

Differentialinvariante von Schwarz 42,43.

Differentialquotient einer Summe von Funktionen 1, eines Produktes 1, 5, eines Quotienten 1, 5, der Potenz 2,

5, § 1, einer Konstanten 2, seine geom.

Bedeutung bei Funktionen einer Veränderlichen 2, 4, Diffqu. der Exponentialfunktion 6, § 2, des Logarithmus 7, § 2, der hyperbolischen Funktionen 7, der trigonometr. Funktionen § 3, der zyklometr. Funktionen § 3, eines [

Vektors 14, einer Funktion von einer [

Funktion 1, 2, höhere Diffqu. § 4, i vollständiger oder totaler Diffqu. 22, , Ellipsoid 37, 54, 55. partieller Diffqu. 22, bei Funktionen Endpunkt einer Kurve 189. einer komplexen Veränderlichen 28, Energie, innere 34.

Entladung von Kondensatoren 122.

Differentiation, logarithmische 7, 9, 21, Enveloppe siehe Hüllkurve und Hüllgliedweise D. einer unendlichen Reihe fläche.

Diskussion von Kurven § 20.    [76, 87.

Divergenz unendlicher Reihen 74.

Doppelpunkt bei ebenen Kurven 74, § 15,

S. 101—103, 182, 187.

Dreieck \on größtem Flächeninhalt 108,

genten und Normalen 47, ihre Normalen 49, 51, Konstruktion ihrer Tangenten 67, Länge ihrer Normalen 69, Abstand einer Ellipsennormale vom Mittelpunkt der Kurve ein Max. 123, 124, kleinste oder größte Sehne einer E. 152, Fußpunktkurve einer E. 62, 63, vierpunktige Berührung einer E. mit einer Parabel 155, 156, vierpunktige Berührung mit einer gleichseitigen Hyperbel 156, Krümmungskreise einer E. 156—158, Evolute einer E. 165, 173, 185, Hüllkurve eines Systems von

E. 173.

siehe auch Ableitung.

[26.

Epizykloide, Evolute einer E. 166, 167. Erg 113.

Eulers Satz über homogene Funktionen Evolute einer Kurve 155, der Parabel 164, 165, der Ellipse 165, 173, der 145, 151, von kleinstem oder größtem gemeinen Zykloide 165, 166, der Epi-Umfang 149, 150, Summe gewisser    zykloiden 166, 167, der logarith-

Flächenstücke beim Dreieck ein Max. j mischen Spirale 167, 168, einer El-

[147.

Fenster von größtem Flächeninhalt 146, Fettßeckphotometer 33.

Flachpunkt 96.

Fluß, seine Geschwindigkeit in verschiedenen Tiefen 117.

21.

[170, 171.

[129.

lipse oder Hyperbel als Diakaustik einer Geraden 185, E. als Hüllkurve der Normalen einer Kurve 174, 175.

Evolvente 157, 175, eines Kreises 175.

Exponentialfunktion, ihre Ableitung 6, 8, § 2, ihre Reihenentwicklung 80.

Extreme Werte einer Funktion siehe Maxima und Minima.

Exzentrisches Schubkurbelgetriebe 19.

Fallen einer Kurve im Gegensatz zum Steigen 2.

Fehler, absoluter 30, relativer 30, prozentualer 30.

Fehlerabschätzung, Fehlerbestimmung 29 —32, bei der Taylorschen und bei der Maclaurinschen Reihe 78, bei der Reihe zur Berechnung der Logarithmen 81, 82, bei der Sinusreihe 83.

Fehlerquadrate, ihre Summe ein Min. 142, 144.

[F. 133.

Form, definite F. 133, 143, semidefinite

Funktion, gerade F. 6, 21, ungerade F. 6, hyperbolische F. 7, Ableitung der trigonom. Funktionen § 3, Ableitung der zyklom. Funktionen § 3, Ableitung bei Funktionen von Funktionen 1, 22, homogene F. 26, unentwickelte oder implizite F. § 6, die zwei ersten Ableitungen bei unentwickelten Funktionen 36, Funktionen eines Parameters 36, inverse F. 42.

Funktionaldeterminante 39, 56.

Fußpunktkurve § 10, ihre Gleichung 61,

62,    F. einer Ellipse 62, 63, 102, einer Hyperbel 62, 63, 102, eines Kreises

63,    einer Kreisevolvente 64, einer Sinusspirale 64, 65, Konstruktion der Normalen einer F. 177, zweite und höhere F. 65, negative Fußpunktkurve 175, 176, negative F. einer Geraden 176, neg. F. eines Kreises 177, neg. F. einer Parabel 177.

Galvanisclie Elemente, ihre Schaltung 130, 131, Effekt im äußeren Stromkreis eines galvanischen Elementes ein Max. 112, 113, Stromstärke einer galv. Batterie ein Max. 130, 131.

Gaskonstante 34, 161.

Gay-Lussacsches Gesetz 34, 35.

Gerade als Fußpunktkurve einer Parabel 63, Hüllkurven verschiedener Systeme von Geraden 172—179, Koordinaten einer Geraden 178, Brennlinie durch Refraktion bei einer G. 184, 185.

Geradenpaar als Hüllkurve eines Systems von Kreisen 172, Kurve zweiter Ordnung zerfallend in ein G. 102.

Geschwindigkeit eines Punktes 17, beim Schubkurbelgetriebe 17—20, 111, in verschiedenen Tiefen eines Flusses 117.

Gewicht, spezifisches G. eines Körpers 32.

Gleichgewicht von Kräften 55, 56, 135.

Gleichmäßige Konvergenz 75.

Gleichung, mehrfache Wurzeln von Gleichungen 21, Sturmsches Theorem für Gleichungen 20, G. ohne reelle Wurzeln

Gliedweise Differentiation einer unendlichen Reihe 76.

Gratlinie einer Hüllfläche 171.

Grebe, Punkt von G. beim Dreieck 139.

Grenzmaxima u. Grenzminima 151—153.

Grenzparabel als Hüllkurve von Wurfparabeln 180.

Grenzpunkte bei Systemen von Kurven

Grenzwert bei Ausdrücken von unbestimmter Form 72, 95, 96.

Hauptsatz, erster H. der mechanischen Wärmetheorie 35.

Hessesche Kurve 97, des Cartesischen Blattes 99.

Höhere Differentialquotienten § 4.

Homogene Funktionen, Satz von Euler über homogene Funktionen 26, homogene Gleichung einer Kurve und ihrer Tangenten 46.

Hüllfläche eines Systems von Flächen § 19, eines Systems von Kugeln 186.

Hüllkurve eines Systems ebener Kurven § 19, gewisser Systeme von Kreisen 172, 179, gewisser Systeme von Geraden 172—179, 181, der Normalen einer Kurve 174, eines Systems von Ellipsen 173, der Leitlinien und der Scheiteltangenten gewisser Parabeln 181.

Hydraulische Tiefe, mittlere hydr. Tiefe

Hydrostatische Wage 32.

Hyperbel, 38,177, Länge ihrer Normalen 69, ihre Fußpunktkurve 63, ihre Evo-

lute 185, gleichseitige H. 59, 60, 188, I Konvergenzkriterium von Cauchy 74. Subtangente der gleichs. H. 66, Länge Koordinaten einer Geraden 178. der Normalen der gleichs. H. 69, Kosinus, Differentiation des K. 9, Reihe Fußpunktkurve der gleichs. H. 62, für den K. 80, hyperbolischer 7, Reihe vierpunktige Berührung zwischen einer für den hyperbolischen K. 80.

Ellipse und einer gleichs. H. 156, Kosten, geringste K. einer Wasserleitung Krümmungsradius der gleichs. H. 160.    110, geringste K. für Transporte nach

Hyperbolische Funktionen 7.    einer Zentralstelle 134—136.

Kotangente, Differentiation der K. 9, Reihe für die K. 88.

Hyperbolische Spirale 106.

Hyper geometrische Reihe 87.

Hypotenusensumme zweier rechtwink- Kraft, mechanische Definition der K. ligen Dreiecke ein Min. 128.    113, Einheit der elektromotorischen

Innere Arbeit 34, Energie 34.

Intensität der Beleuchtung eines ebenen Flächenstücks 116.

Inverse Funktion 42.

Kraft 113.

[101, 187.

Isolierter Punkt bei ebenen Kurven 100,

Kalorie 34.

[Kreises 63. Kardioide als Fußpunktkurve eines Kasten von größtem Volumen 109, 146. Katakaustik 181, bei einer Parabel 182, bei einem Kreis 182—184.

Kaustik 181.

Kräfte, Gleichgewicht von K., die auf einen Punkt wirken, während dieser gezwungen ist, auf einer Kurve oder auf einer Fläche zu bleiben, 55, 56.

Kanal, Querprofil eines K. von kleinstem Reibungswiderstand 128, 129, Anwachsen der Wassermenge im Querprofil eines K. 190.

Kanalfläche 186.

Kreis 59—61, K. als Fußpunktkurve 63, seine Fußpunktkurve 63, angenäherte Rektifikation des K. 73, Vergleichung von Bogen und Sehne eines K. bei gleichem Zentriwinkel 84, seine Evolvente 175, kleinster oder größter Abstand eines Punktes von einem K. 152, Hüllkurve gewisser Systeme von K. 172, 179, Brennlinie durch Reflexion bei einem K. 182—184, vierpunktige Berührung zwischen K. und Parabel 155.

Kegel von größtem Volumen 127.

Kegelschnitte, konfokale K. 52, 59, 60,

Asymptoten der K. 106, siehe auch Kreuzkopf beim Schubkurbelgetriebe 17,

Krümmung einer ebenen Kurve, ihre Definition 154.

Kreisevolvente 175, ihre Fußpunktkurve

64.

[18.

Ellipse, Hyperbel, Parabel.

Kettenlinie, Konstruktion ihrer Tangenten 48, 49, ein gewisses Minimum bei der K. 123, ihre Normalen 160, ihre Krümmungsradien 160, Konstruktion ihrer Krümmungskreise 160.

Kleinste Quadrate, Methode der kl. Qu.

Knallgasvoltameter 113.

Knotenpunkt bei ebenen Kurven 100.

Kohlenspitzenkurve 191, 192.

Konchoide des Nikomedes 70, 71, Konstruktion ihrer Normalen 71, ihre Polarsubnormalen 71.

Krümmungskreis, Elemente des K. 153, 154, Elemente des K. bei schiefwinkligen Koordinaten 164, K. der Sinuskurve 159, der Zissoide 159, 160, der Sinusspiralen 164, Konstruktion der [142, 143. ; K. für die Scheitel einer Ellipse 156, für gewisse Punkte einer Ellipse 157, bei der Kettenlinie 160, bei den adiabatischen oder polytropischen Kurven 160—162, siehe auch Krümmungsmittelpunkt und Krümmungsradius.

¹

Vgl. G. Salmon „Analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven“, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 2. Auf! Leipzig 1882, S. 124.

mischen Spirale für ihre Schnittpunkte mit einer beliebigen Kurve 168, 169, der Archimedischen Spirale 169, siehe auch Krümmungskreis u. Krümmungsradius.

Kondensator, Entladung eines K. 122. | Krümmungsmittelpunkte der logarith-Konkavität und Konvexität § 14, 97—99,

186—192, Kriterien für Konk. und Konv. 96, 97.

Konstante, ihre Ableitung 2.

Kontingenzwinkel 154.

Konvergenz unendlicher Reihen 74—78, Krümmungsradius 44, 96, 153, 154, 162, 85—91, 94, 95, unbedingte K. 75, 78,    163, Max. oder Min. d. K. 162, K.

bedingte K. 75, gleichmäßige K. 75. | eines beliebigen Ellipsenpunktes 158, hei der gleichseitigen Hyperbel 160, punkten mit einer beliebigen Kurve

bei der Kettenlinie 160, bei den Sinus- 168, 169.

spiralen 163, bei der Lemniskate 163, Logarithmischcs Dekrement 122.

bei der gemeinen Zykloide 166, bei Logarithmus, seine Ableitung 7, 8, § 2,

der logarithmischen Spirale 168, Mi- Modul der gewöhnlichen L. 81, Reihen-

nimum des K. bei der logarithmischen entwicklung des L. 81, 82.

Maclaurin, Satz u. Reihe von M. 77—79.

Mariotte-Gay-Lussacsches Gesetz 34, 35.

Maschek, Formel von M. 137.

Maxima und Minima bei Funktionen von einer Veränderlichen 96, 107— 132, § 17, Kriterien für Max. u. Min. bei Funktionen von einer Veränderlichen 107, bei unentwickelten Funktionen 125, bei Funktionen v. mehreren Veränderlichen ohne Nebenbedin--gungen 132—144, ihre Bestimmung bei solchen Funktionen 132, 133, Max. u. Min. bei Funktionen von mehreren Veränderlichen mit Nebenbedingungen 144—151, ihre Bestimmung bei solchen Funktionen 144, 145, Beispiele für Max. und Min. bei ebenen Kurven 186-192.

Linie 159, siehe auch Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt.

Kubische Parabel 3.

Kürzester Abstand zweier Geraden im Raum 139, 140, eines Punktes von einem Kreis 152.

Kugel, Hüllfläche eines Systems von Kugeln 186.

Kurbel, Kurbellänge, Kurbelzapfen beim Schubkurbelgetriebe 17, 18.

Kurve zweiter Ordnung, Bedingung für ihr Zerfallen in ein Geradenpaar 102.

Kurvendiskussion § 20, bei algebraischen Kurven 186—188, bei transzendenten Kurven 189—193.

Lagrange, seine Form des Restes bei der Taylorschen Reihe 76—78, bei der Maclaurin sehen Reihe 77, 78.

Laplace, Differentialgleichung von L. 26. Mechanische Wärmetheorie 35, 161, 188, Leibniz, Theorem von L. 16, Leibnizsche 189, erster Hauptsatz der mech.Wärme-

Reihe 93.

theorie 35.

Leitlinien, Hüllkurve der L. gewisser Methode der kleinsten Quadrate 142, 143.

Minima siehe Maxima und Minima. Leitung, geringste Menge von Leitungs- j Minimumstellung eines Prismas 132. material bei elektrischen Leitungen | Mittlere hydraulische Tiefe 129, Arbeitsleistung von Pferden 137.

Lemniskate, Konstruktion ihrer Tan- Modul der gewöhnlichen Logarithmen 81. genten und Normalen 54, als Fußpunktkurve einer gleichseitigen Hy- Natürliche Logarithmen, ihre Berech-perbel 62, Max. und Min. ihrer Ordi- nung 80, 81.

naten 125, 126, ihr Krümmungsradius Nebeneinanderschaltung galvanischer Elemente 130.

Lemoine, Punkt von L. beim Dreieck 139. | Nebenregenbogen 149.

Lichtstrahl, seine Ablenkung beim Durch- Negative Fußpunktkurve 175, 176, einer

Geraden 176, eines Kreises 177, einer Parabel 177.

Neilsche Parabel, ihre Subtangente 66, ihre Fußpunktkurve 177, Neilsche Parabel als Evolute einer gewöhnlichen Parabel 165.

Nikomedes, Konchoide des N. 70, 71, Konstruktion ihrer Normalen 71, ihre Polarsubnormalen 71.

Normale, ihre Gleichung bei ebenen Kurven 44, § 8, ihr Winkel mit der positiven Richtung der x-Achse 45, ihre Gleichung bei ebenen Kurven und

Parabeln 181.

147, 148.

163.

gang durch ein Prisma ein Min. 131, seine Ablenkung beimDurchgang durch einen Regentropfen ein Min. 148, 149. Linienkoordinaten 178.

Logarithmische Differentiation 7, 9, 21.

Logarithmische Linie 8, ihr Krümmungsradius ein Min. 159.

Logarithmische Spirale 39. 54, Tangenten und Normalen von einem festen Punkt an eine log. Sp. 51, ihre Polarnormale 70, 168, ihre Evolute 167, 168, ihre Krümmungsradien 168, ihre Krümmungsmittelpunkte in den Schnitt-

Öffnung eines Stromkreises 122.

Ohm 113, 147.

07misches Gesetz 112, 129.

Oskulationskreis siehe Krümmungskreis. Potenz, ihre Ableitung 2, 5, § 1. Oszillierendes Schubkurbelgetriebe 20, ' Potenzreihe 75.

112, 147.

Parameter, Funktionen eines P. 36, 162. Refraktion siehe Brennlinie durch Re-Partielle Ableitung, partieller Differentialquotient 22.

[70.

59—61.

schiefwinkligen Koordinaten 49, 50, ihre Gleichung bei Flächen 46, ihre Richtungskosinus bei Flächen 46, N. hei der Ellipse 47, 51, 69, ihre Konstruktion bei der Parabel 67, N. der Sinuskurve 51, der logarithmischen Spirale 51, der Kettenlinie 160, des Ellipsoids 54, 55, ihre Konstruktion bei den Sinusspiralen 54, bei der Kon-choide des Nikomedes 77, bei Fuß-punktkurven gegebener Kurven 177, Länge der N. 65, § 11, Länge der N. bei Ellipse und Hyperbel 69, bei der gleichseitigen Hyperbel 69, bei der gemeinen Zykloide 166, Abstand der N. einer Ellipse vom Kurvenmittelpunkt ein Max. 123, 124, Hüllkurve der N. einer Kurve 174.

Normalgleichungen in der Methode der kleinsten Quadrate 143.

Nullpunkt, absoluter N. der Temperatur 34.

Parabel 3, 4, 59, 60, 67, Konstruktion ihrer Tangenten 49, ihrer Normalen 67, koufokale Parabeln 52, Subtangente der P. 66, Subnormale der P. 67, ihre Fußpunktkurve 62, 63, P. als negative Fußpunktkurve einerGeraden 176, vier-punktige Berührung zwischen P. und Zykloide 155, zwischen P. und Kreis 155, zwischen P. und Ellipse 155, 156, Evolute der P. 164, 165, P. als Hüllkurve von Kreisen 172, als Hüllkurve von Geraden 172, 174, Hüllkurven der Leitlinien und Scheiteltangenten gewisser Parabeln 181, Katakaustik einer P. 182, Auftreten der P. bei Messung der Geschwindigkeit eines Flusses in verschiedenen Tiefen 117, kubische P. 3, siehe auch Neilsche Parabel.

Parallelkurve zu einer Kurve 53,177—179.

Parallelschaltung galvanischer Elemente 130.

Pascalsche Schneckenlinie 64.

Pendel, Schwingungsdauer eines mathematischen P. 32, 33, seine Amplituden bei Schwingungen im widerstehenden Medium 121, 122.

Pferde, ihre mittlere Arbeitsleistung 137.

Photometer 33.

Pleuelstange beim Schubkurbelgetriebel7.

Polarkoordinaten 2,39—41,Wendepunkte bei Kurven, deren Gleichungen in P. vorliegen 99, Elemente d. Krümmungskreises im gleichen Fall 154.

Polarnormale 66, bei der logarithmischen Spirale 70, 168, bei den Sinusspiralen 163.

Polarsubnormale 66, bei der Archimedischen Spirale 70, bei der Konchoide des Nikomedes 71.

Polarsubtangente 66, Beziehungen zwischen den P. bei verschiedenen Kurven

Polartangente 66.

Polarwinkel 2.

Polytropische Kurven 188, ihre Krümmungskreise 160—162.

Potential, logarithmisches 25, Newton-sches 25.

Prisma, Ablenkung eines Lichtstrahls durch ein P. ein Minimum 131, Minimumstellung des P. 132.

Produkt, seine Ableitung 1, 5, höhere Ableitungen eines P. 16.

Profilradius 129.

Quadrate, Methode der kleinsten Qu. 142, 143, Summe der Qu. der Seiten eines Dreiecks ein Max. oder Min. 151. Querprofil, Anwachsen der Wassermenge im Qu. eines Kanals 190.

Quotient, seine Ableitung 1, 5.

Radiusvektor 2, Winkel zwischen R. und Tangente 46.

liechtflach von größtem Volumen 137, 138, 145.

Rechtwinkliger Schnitt zweier Kurven

[33.

Reduktionsfaktor einer Tangentenbussole Reflexion siehe Brennlinie durch Reflexion.

fraktion.

Regenbogen 149.

R. 87.

I Schiefe Ebene, Ziehen eines Körpers über eine sch. E. 122, 123.

Schließung eines Stromkreises 122. Schneckenlinie von Pascal 64.

[181.

Regentropfen, Minimum der Ablenkung eines Lichtstrahls durch einen R. 148, 149.

Reibungswiderstand, kleinster R. hei einem Kanal 128.

Reihe von Taylor 76—78, von Maclaurin 77—78, unendliche R. § 13, Konvergenz und Divergenz der R. 74—76, R. mit alternierenden Vorzeichen 75, gliedweise Differentiation der R. 76, R. mit komplexen Gliedern 78, Reihe für die Exponentialfunktion 80, für Sinus und Kosinus 80, für Tangente und Kotangente 87, 88, für den hyperbolischen Kosinus und Sinus 80, f. d. Logarithmus 80, 81, für log sin x 82, 83, für log cos x 83, für (1 -\-x)m 88—

92,    für arctga? 93, Leibnizsche R.

93,    R. zur Berechnung der Zahl n 94, für arc sin x 94, hypergeometrische

[22.

Reihenfolge partieller Differentiationen

Rektifikation, angenäherte R. eines Kreisbogens 73.

Restformen von Cauchy u. von Lagrange bei der Taylorschen Reihe 76—78, von Cauchy und von Lagrange bei der Maclaurin sehen Reihe 77—78.

Restglied der Reihe für ln (1 -j- x), für sin (x -f- h), der Binomialreihe 89—91, der Reihe für arctga; 93, der Reihe für arc sin x 95.

Reziprokante 43.

Richtung der Tangenten und Normalen einer Kurve 45, 46, der Normalen einer Fläche 46.

Richtungskonstante 2.

Riemann, Cauchy-Riemannsche Gleichungen 28.

Rotationsparaboloid als Hüllfläche von Wurfparabeln 180, 181.

Rückkehrkante einer Hüllfläche 171.

Rückkehrpunkt bei ebenen Kurven 100, 101, 186.

Schaltung galvanischer Elemente 130,

131.

Scheinbare Verschiebung eines Punktes durch Strahlenbrechung 185.

Scheitel einer Kurve 154, Konstruktion der Krümmungskreise für die Sch. einer Ellipse 156.

Scheiteltangenten, Hüllkurve der Sch. gewisser Parabeln 181.

[59.

Schnitt zweier ebenen Kurven § 9, S. 58, Schubkurbelgetriebe, Geschwindigkeit b. Sch. 17—19, 111, Beschleunigung beim Sch. 18—20, 111, exzentrisches Sch. 19, oszillierendes Sch. 20, 112. Schubstange beim Schubkurbelgetriebe 17, 18.

Schuß, direkter und indirekter Sch. 180, Schivar zache Differentialinvariante 42,43. Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels 32, 33.

Sehne, kleinste oder größte S. einer Ellipse 152.

Selbstinduktion 10.

Semidefinite Form 133.

Sïmews-Einheit 113.

Silbervoltameter 113.

Singuläre Punkte bei ebenen Kurven § 15.

Sinus, Differentiation des S. 9, Reihe für den S. 80, hyperbolischer S. 7, Reihe für den hyperbolischen S 80.

Sinuskurve, Fußpunkte der von einem Punkt nach einer S. gezogenen Normalen und Berührungspunkte der von einem Punkt gezogenen Tangenten 51, Wendepunkte der S. 97, Krümmungskreise der S. 159.

Sinusspiralen 54, Konstruktion ihrer Tangenten und Normalen 54, ihre Fußpunktkurven 64,65, ihre Polarnormalen 163, ihre Krümmungsradien 163, ihre Krümmungskreise 164.

Snelliussch.es Brechungsgesetz 11, 33, 114, 181, 184.

Spezifisches Gewicht eines Körpers 321 spezifische Wärme 35, kleinste sp. Wärme des Wassers 110.

Sphärische Trigonometrie, ihre Fundamentalformeln 32.

Spirale, Archimedische 38, 53, Arch. Sp. als Fußpunktkurve einer Kreisevolvente 64, Polarsubnormalen der Arch. Sp. 70, ihre Doppelpunkte 102, Krümmungsmittelpunkte der Arch. Sp. für ihre Schnittpunkte mit einer durch ihren Pol gezogenen Geraden 169, logarith-mische Sp. 39, 54, Polarnormalen der log. Sp. 70,168, von einem gegebenen Punkt an eine log. Sp. gezogene Tangenten und Normalen 51, 70, Evolute

der log. Sp. 167, 168, Krümmungsradien der log. Sp. 168, Krümmungsmittelpunkte der log. Sp. für ihre Schnittpunkte mit einer beliebigen Kurve 168,169, hyperbolische Sp. 106.

Spitze bei ebenen Kurven 100, 183.

Spule mit Selbstinduktion 10, mit einem Eisenkern bei Wechselstrommaschinen 129.

Steigung einer Kurve oder Kurventangente 2, 8, 10, 37.

Strahlenbrechung, scheinbare Verschiebung eines Punktes durch S. 185.

Straßenbau, geringste Kosten beim S. 115.

Stromkreis, Effekt im S. eines galvanischen Elementes ein Max. 112, 113, seine Schließung und Öffnung 122.

Stromstärke, ihre Änderung bei einem Wechselstrom unter Rücksicht auf

ihre Gleichung bei schiefwinkligen Koordinaten 49, 50, Konstruktion der Tangenten einer Ellipse 67, 68, einer Parabel 48, einer Kettenlinie 48, 49, einer Sinusspirale 54, einer Lernnis-kate 54, Gleichung der T. einer Ellipse 47, einer Parabel 48, 49, Tangenten der Sinuskurve 51, der logarithmischen Spirale 51, 54, Tangenten in einem Doppelpunkt einer Kurve 100, 101, Länge der T. § 11, Differentiation der Funktion T. 9, Reihe für diese Funktion 87, 88.

Tangentenbussole 33.

Tangentenebene einer Fläche 46, eines Ellipsoids 55.

Taylor, Satz und Reihe von T. 76—79. Telegraphenleitung zwischen zwei Orten 114,134, Verbindung galvanischer Ele-Selbstinduktion 10, Messung der S. mente für eine T. 130. mit Hilfe der Tangentenbussole 33, Temperatur, absolute 34. maximale S. eines Wechselstroms 112, Tensor 14.

maximale S. einer galvanischen Bat- Tiefe eines Kanals von kleinstem Rei-terie 130, 131.    bungswiderstand 128, 129, mittlere

Sturmschcs Theorem bei Gleichungen j hydraulische Tiefe 129.

Totaler Differentialquotient 22.

Subnormale § 11, der Parabel 67, der Totlage beim Schubkurbelgetriebe 19. Exponentialkurve 67, Beziehungen! Tourenzahl beim Schubkurbelgetriebe 18. zwischen den S. bei verschiedenen ! Tragfähigkeit, größte T. eines Balkens

126.

Subtangente § 11, der Parabel 66, der j Transportkosten, kleinste T. 111, 134— Neilschen Parabel 66, der gleichsei- Transzendente Kurven, Beispiele zur Dis-tigen Hyperbel 66, der Ellipse 67, Be- kussion 189—193.

Ziehungen zwischen den S. bei ver- ; Trigonometrie, Fundamentalformeln der

sphärischen T. 32.

Summe, Ableitung einer S. von Funk- Trigonometrische Funktionen, ihre Diffe-tionen 1, S. der Quadrate der Seiten { rentiation § 3, ihre Reihenentwick-eines Dreiecks ein Max. oder Min. 151. lungen 80, 88.

Symmediane beim Dreieck 139.

Symmetrie bei ebenen Kurven 186—192.

System, Hüllkurve eines S. ebener Kurven § 19, gewisse S. von Kreisen und ihre Hüllkurven 172, 179, gewisse S. von Geraden u. ihre Hüllkurven 172—177, gewisse S. von Ellipsen und ihre Hüllkurven 173, Hüllfläche eines S. von Flächen § 19, Hüllfläche eines S. von Kugeln 186.

niea Grades 20.

Kurven 68.

[136.

schiedenen Kurven 68.

Unbedingte Konvergenz 75.

Unbestimmte Gestalt von Ausdrücken § 12, S. 95, 96.

Unendliche Reihen § 13, ihre Konvergenz und Divergenz 74—76, aus komplexen Gliedern bestehend 78, gliedweise Differentiation bei unendl. Reihen 76, siehe auch Reihe.

Unstetigkeit bei Kurven 192, 193.

Tangente, Winkel der T. eines Kurven- Vektor 13, seine Ableitung 14. punktes mit der positiven Richtung Verschiebung, scheinbare V. eines Punktes der x-Achse 2, 45, Winkel zwischen T. und Radiusvektor 46, Gleichung j Vieleck, sein Flächeninhalt ein Max. oder der T. bei ebenen Kurven § 8, S. 44, j Min. 150.

durch Strahlenbrechung 185.

Viereck von größtem Flächeninhalt 133, 146.

chungen von Kurven in Polarkoordinaten 99.

Vierpunktige Berührung zwischen Parabel Widerstand, Einheit des W. bei einem

elektrischen Strom 113.

Winkel zwischen einer Tangente oder Normale einer Kurve und der positiven Richtung der a;-Achse 2, 45, 46, zwischen einer Flächennormale und

und Zykloide 155, zwischen Parabel und Kreis 155, zwischen Parabel und Ellipse 155, 156, zwischen Ellipse und gleichseitiger Hyperbel 156.

Uo//s<« mbi/er Differentialquotient 22, voll-ständ. Differential 29.

Volt 113.

Volt-Ampere 113.

den Koordinatenachsen 46, zwischen Tangente und Radiusvektor eines Kurvenpunktes 46, W., unter dem 'sich zwei Kurven schneiden § 9, S. 58—61,

| Bogenmaß eines W. 30, 31.

Wälzungswinkel hei der Zykloide 47.

Wärme, spezifische W. 35, kleinste spe- WronsküchQ Determinante 27. zifische W. des Wassers 110, spez. W. Wurfparabel 180, Hüllkurve von Wurf-hei konstantem Druck oder bei kon-

stantem Volumen 35, 161. Wärmeleitung, Differentialgleichung der W. 24.

parabeln 180, 181.

Zahlen, Zerlegung von Z. unter gewissen Bedingungen 140, 141.    '

Wärmetheorie, mechanische W. 35, 161, Zentralstelle, Transport nach einer Z. 188, 189, erster Hauptsatz der mechanischen W. 35.

134—136.

Zerlegung von Zahlen unter gewissen Bedingungen 140, 141.

Wasser, Temperatur des W. von größter Ziehen eines Körpers über eine schiefe Dichtigkeit 109, von kleinster spezi- j Ebene 122, 123.

fischer Wärme 110.    Zissoide als Fußpunktkurve einer Pa-

Wasserleitung, geringste Kosten einer rabel 62, 63, Krümmungskreis bei der

Z. 159, 160.

Wassermenge, ihr Anwachsen im Quer- | Zugangsfront bei gewissen Transporten

Zugtiere, ihre tägliche Arbeitsb istung

Wage, hydrostatische 32.

W. 110.

[111.

profil eines Kanals 190.

Watt 113.

Wechselstrom, seine Änderung unter j Zykloide 38, 47, 98, vierpunktige Berührung einer Z. mit einer Parabel 155, Länge der Normalen und der Krümmungsradien der gemeinen Z. 166, Evolute der gemeinen Z. 165,166, Bogenlänge der gemeinen Z. 165.

Rücksicht auf die Selbstinduktion 10, seine maximale Stromstärke 112.

Wechselstrommaschine, Spule mit Eisenkern bei einer W. 129.

136, 137.

Weglänge, kürzeste W. 114, 134.

Wendepunkte einer ebenen Kurve § 14, Zyklometrische Funktionen, ihre Diffe-S. 96—99, 186—192, ihre Bestimmung 96, 97, ihre Bestimmung bei Glei-

rentiation § 3, Reihenentwicklung von arc tg x 93, von arc sin x 94.

Berichtigungen.

Seite 56, Zeile 15 lies: f^dy statt f₂dx.

„ 127, Fig. 57. Die Umriß-Mantellinien des Kegels sind noch einzuzeichnen. „ 183, Zeile 6 ist nach rollt ein Komma zu setzen.

Ahrens, Dr. W., in Magdeburg, mathematische Unterhaltungen und Spiele. Mit vielen Textfiguren und 1 Tafel. [X u. 428 S.] gr. 8.    1901. In Original-

Leinwandband mit Zeichnung von P. Bürck in Darmstadt, n Jt 10.— (Auch in 2 Hälften geh., jede n. Jt 5.—) [2. Auflage unter der Presse.]

Burkhardt, Dr. H., Professor an der Technischen Hochschule München, Vorlesungen über die Elemente der Differential- und Integralrechnung zur Beschreibung von Naturerscheinungen. Mit 38 Textfiguren. [XU u. 252 S.] gr. 8.    1907. In Leinwand geb. n. Jt 6.—

Cesàro, Dr. E., weil. Professor der Mathematik an der Königl. Universität Neapel, elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung. Mit zahlreichen Übungsbeispielen. Nach einem Manuskript des Verfassers deutsch herausgegeben von Dr. G. Kowalewski, Professor an der Universität Bonn. Mit 97 Figuren im Text. [IV u. 894 S.] gr. 8. 1904. In Leinwand geb. n. Jt 15.—

Czuber, Hofrat Dr. E., Professor an der Technischen Hochschule zu Wien, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. 2. Auflage in 2 Bänden.

I.    Band. Wahrscheinlichkeitstheorie. Fehlerausgleichung. Kollektivmaßlehre. Mit 18 Figuren

II.

im Text. [X u. 410 S.] gr. 8.    1908. ln Leinwand geb. n. M 12.—

[Erscheint Ostern 1910.]

In

Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung.

2 Bänden. 2., sorgfältig durchgesehene Auflage, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Band. Differentialrechnung. Mit 1 !5 Figuren im Text. [XIVu. 560 S.] 1906. n.J(12.—

II.    — Integralrechnung. Mit 87 Figuren im Text. [VIII u 532 S.]    1906.

v. Dantscher, Dr. V., Professor an der Universität Graz, Vorlesungen über die Weierstraßsche Theorie der irrationalen Zahlen. [VI u. 79 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. Jt 2.80, in Leinwand geb. n. Jt 3.40.

Durège, Dr. H., weil. Professor an der Universität Prag, Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Größe. In 5. Auflage neu bearbeitet von Dr. L. Maurer, Professor an der Universität Tübingen. Mit 41 Figuren im Text. [X u. 397 S.] gr. 8. 1906. Geh. n. Jt 9.—, in Leinwand geb. n. Jt 10.—

- Theorie der elliptischen Funktionen. In 5. Auflage neu bearbeitet

von Dr. L. Maurer, Professor an der Universität Tübingen. Mit 36 Figuren im Text. [VIH u. 436 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. Jt 10.—, in Leinw. geb. n. Jt 11.— Dziobek, Dr. O., Professor an der Milit. Techn. Akademie und an der Technischen Hochschule zu Charlottenburg, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. [ca. 620 S.] gr. 8. In Leinwand geb. [Erscheint im November 1909.]

Fisher, Dr. J., Professor an der Yale University New Haven, U. S. A., kurze Einleitung in die Differential- und Integralrechnung („Infinitesimalrechnung“). Deutsch nach der 3. englischen Auflage von N. Pinkus. Mit 11 Textfiguren. [VI u. 72 S.] gr. 8.    1904. In Leinwand geb. n. Jt 1.80.

Forsyth, Dr. Andrew Russell, F. R. S., Professor am Trinity College zu Cambridge, Theorie der Differentialgleichungen. I. Teil: Exakte Gleichungen und das PfafFsche Problem. Autorisierte deutsche Ausgabe von H. Maser. [XII u. 378 S.] gr. 8.    1893. Geh. n. Jt 12.—

Genoeehi, Dr. Angelo, weiland Professor an der Universität Turin, Differentialrechnung und Anfangsgründe der Integralrechnung. Herausgegeben von Giuseppe Peano. Autorisierte deutsche Übersetzung von Dr. G. Bohlmann in Berlin und A. Schepp, weiland Oberleutnant a. D. in Wiesbaden. Mit einem Vorwort von A. Mayer, Professor an der Universität Leipzig. [VII u. 399 S.] gr. 8.    1899. In Leinwand geb. n. Jt 12.—

Goursat, Dr. E., Professor an der Universität Paris, Vorlesungen über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Gehalten an der Faculté des Sciences zu Paris. Bearbeitet von C. B ourlet. Autorisierte deutsche Ausgabe von H. Maser. Mit einem Begleitwort von S. Lie. [XII u. 416 S] gr. 8.    1893. Geh. n. Jt 10.—

Dingeidey, Differential- und Integralrechnung. I.

Heffter, Dr. Lothar, Professor an der Universität Kiel, Einleitung in die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen. Mit 3 Figuren im Text. [XIV u. 258 S.] gr. 8. 1894. Geh. n. Jt 6.—, in Leinwand geb. n. Jt 7.—

Helmert, Prof. Dr. F. R., Direktor des Königlich Preußischen geodätischen Instituts und Zentralbureaus der internationalen Erdmessung, die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Mit Anwendungen auf die Geodäsie, die Physik und die Theorie der Meßinstrumente. 2. Auflage. [XVIII u. 578 S.] gr. 8.    1907. In Leinwand geb. n. Jt IG.—

Jahnke, Dr. E., Professor an der Königl. Bergakademie zu Berlin, und F. Emde, Ingenieur in Berlin, Funktionentafeln mit Formeln und Kurven. Mit 53 Textfiguren. [XII u. 176 S.] gr. 8.    1909. In Leinwand geb. n. Jt 6.—

Klein, Geheimer Regierungsrat Dr. F., Professor an der Universität Göttingen, auto-graphierte Vorlesungshefte. 4. Geh.

Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung. Vorlesung, gehalten im Sommersemester 1894. Ausgearbeitet von E. Ritter. Göttingen 1894. Neuer, unveränderter Abdruck. 1906. [IV u. 524 S.] n. Jt 8.50.

Riemannsche Flächen. Neuer, unveränderter Abdruck. 1906.

zusammen n. Jt 12

Heft 1 (W.-S. 1891/92). [IV u. 301 S.]

Heft 2 (S.-S. 1892). [IV u. 288 S.]

Kowalewski, Dr. Gerhard, Professor an der Universität Bonn, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. Mit 31 Figuren. [VIu. 452 S.] gr. 8. 1909. In Leinwand geb. n. Jt 12.—

-—— Einführung in die Infinitesimalrechnung mit einer historischen

Übersicht. Mit 18 Figuren im Text. [IV u. 126 S.] 8. 1908. Geh. n. Jt 1.—, in Leinwand geb. n. Jt 1.25.

Kronecker, L., Vorlesungen über Mathematik. Herausgegeben unter Mitwirkung einer von der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften eingesetzten Kommission.

I. Band: Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale. Herausgegeben von Geb. Hofrat Dr. E. Netto, Professor an der Universität Gießen. [X u. 346 S.] gr. 8. 1894. Geh. n. Jt 12.—

Nielsen, Dr. Niels, Dozent der reinen Mathematik an der Universität Kopenhagen, Lehrbuch der unendlichen Reihen. Vorlesungen, gehalten an der Universität Kopenhagen. [VIII u. 287 S.] gr. 8.    1909. Geh. n. Jt 11.—, in Leinwand

geb. n. Jt. 12.—

Osgood, Dr. W. F., Professor an der Harvard University, Cambridge, Mass., U. S. A., Lehrbuch der Funktionentheorie. In 2 Bänden.

I. Band: Mit 150 Figuren im Text. [XII u. 642 S.] gr. 8. 1907. In Leinwand geb. n. Jt 15.60.

8. 1906. Geh. n. Jt 7

Auch getrennt:

gr.

19 '

1. Hälfte. Mit 73 Figuren im Text. [306 S.]

2.

II.

Mit 77 Figuren im Text. [S. 307—642.] gr. 8. 1907. Geh. n. Jt 7.60. [Erscheint Ostern 1910.]

Pasch, Geheimer Hofrat Dr. M., Professor an der Universität Gießen, Grundlagen der Analysis. Ausgearbeitet unter Mitwirkung von Clemens Thaer. [VI u. 140 S.] gr. 8.    1909. Geh. n. Jt 3.60, in Leinwand geb. n. Jt 4.—

—**-— Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Mit

Figuren im Text. [VII u 188 S.] gr. 8.    1882. Geh. n. Jt 3.20.

Ferry, Dr. J., F. R. S., Professor der Mechanik und Mathematik am Royal College of Science zu London, höhere Analysis für Ingenieure. Autorisierte deutsche Bearbeitung von Dr. Robert Fricke, Professor an der Technischen Hochschule zu Braunschweig, und Fritz Stichting, Direktor des Städtischen Elektrizitätswerkes zu Bremen. 2., verbesserte Auflage. Mit Textfiguren, gr. 8. In Leinwand geb. [Erscheint im November 1909.]

Petit-Bois, G., Bergingenieur in José bei Herve, Tafeln unbestimmter Integrale. [XII u. 154 S.]    4.    1906. Geh. n. Jt 8.—

Reichel, Geh. Regierungsrat Dr. Otto, Professor an der Königl. Landw. Hochschule zu Berlin, Vorstufen der höheren Analysis und analytischen Geometrie. Mit 30 Figuren im Text. [X u. 111 S.] gr. 8.    1904. In Leinw. geb. n. Jt 2.40.

Repertorium der höheren Mathematik (Definitionen, Formeln, Theoreme, Literatur). Von Dr. Ernst Pascal. Professor an der Universität Neapel. Deutsche Ausgabe von A. Schepp in Wiesbaden. In 2 Teilen. 2., neubearb. Aufl. gr. 8.

I. Teil: Die Analysis. Unter Mitwirkung von E. Pascal sowie Ph. Purtwängler, A. Guld-berg, H.Hahn, E. Jahnke, H. Jung, A. Loewy, H. E. Tinierding lierausgegeben von Dr. P. Epstein, Professor an der Universität Straßburg i. E. [ca. 800 S.]    1909. In

Leinwand geb. ca. n. Jl 12.— [Erscheint im Herbst 1909.]

II.

Die Geometrie. Unter Mitwirkung von E. Pascal sowie L. Berzolari, E. Bonola, E. Ciani, M. Dehn, Fr. Dingeldey, E. Enriques, G. Giraud, H. Grassmann, G. Guareschi, L. Heffter, W. Jacobsthal, H. Liebmann, J. Mollerup, J. Neu-berg, U. Perazzo, O. Staude, E. Steinitz, H. Wieleitner und K. Zindler herausgegeben von Dr. H. E. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule zù Braunschweig. [ca. 900 S.] 1910. In Leinwand geb. ca. n M 14.— [Erscheint Ostern 1910.]

Rothenberg, S., geschichtliche Darstellung der Entwicklung der Theorie der singulären Lösungen totaler Differentialgleichungen von der ersten Ordnung mit zwei variablen Größen. [90 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. 4 3.60.

Schlesinger, Dr. Ludwig, Professor an der Universität Klausenburg, Handbuch derTheorie der linearen Differentialgleichungen. In 2 Bänden, gr. 8. In Halbfranz geb. n. JC 56.—

Einzeln :

I. Band. [XX u. 487 S.] 1895. Geh. n. Jt 16.—, in Halbfranz geb. n. Jt 18.—

I. Teil. Mit Figuren im Text. [XVIII u. 532 S.]    1897. Geh. n. Jt 18.—, in Halbfranz

geb. n. Jt 20.—

Mit Figuren im Text. [XIV u. 446 S.]    1898. Geh. n. M 16. — , in Halbfranz

geb. n. Jt 18.—

---Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen. Mit 6 Figuren

im Text. [X u. 334 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. JC 10.—, in Leinw. geb. n. JC 11.—

---Bericht über die Entwickelung der Theorie der linearen Differentialgleichungen seit 1865, der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstattet. [IV u. 133 S.] gr. 8.    1909. Geh. n. JC 3.—

Sehlömileh, Dr. Oscar, weiland Königlich Sächsischer Geheimer Rat (vorher Professor an der Königlich Technischen Hochschule zu Dresden), Übungsbuch zum Studium der höheren Analysis. Mit Holzschnitten im Text. 2 Teile, gr. 8. In Leinwand geb. n. JC 18.—

I. Teil. Aufgaben aus der Differentialrechnung. 5. Auflage, bearbeitet von Dr E, Naetsch, Professor an der Technischen Hochschule zu Dresden. [VIII u. 372 S. 1904. In Leinwand geb. n. Jt 8.—

Aufgaben aus der Integralrechnung. 4. Auflage, bearbeitet von Dr. R. Henke Professor am Annen-Realgymnasium zu Dresden. [VIII u. 418 S.] 1900. Geh. n. Jl 9.— in Leinwand geb, n. Jl 10.;—

SehoenfLies, Dr. A., Professor an der Universität Königsberg i. Pr., die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. 2 Teile.

I. Teil. Mit Figuren. [VI u. 251 S.] gr. 8.    1900. Geh. n. Jt 8.—

Mit 26 Figuren. [X u. 431 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. Jl 12.—

Schröder, Dr. R., Direktor der Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde, die Anfangsgründe der Differential- und Integralrechnung. Für Schüler höherer Lehranstalten und Fachschulen sowie zum Selbstunterricht Mit zahlreichen Übungsbeispielen und 27 Textfig. [VII u. 131 S.J gr. 8. 1905. Kart. n. JC 1.60.

Seliwanofif, Dr. D., Professor an der Universität St. Petersburg, Lehrbuch der Differenzenrechnung. [VI u. 92 S.] gr. 8. 1904. In Leinw. geb. n. JC 4.—

Serret-Seheffers, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Nach Axel Harnacks Übersetzung. Neu bearbeitet von Dr. Georg Scheffers, Professor an der Technischen Hochschule zu Charlottenburg. In 3 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Band. Differentialrechnung. 4. und 5. Auflage. Mit 70 Figuren im Text. [XVI u. 626 S.] 1908. n. Jl 13.—

Integralrechnung. 3. Auflage. Mit 105 Figuren im Text. [XIV u. 586 S.]    1907.

n. Jl 13.—

Differentialgleichungen und Variationsrechnung. 3. Aufl. Mit 63 Figuren im Text. [XII u. 658 S.]    1909. n. Jt 13.—

II.

II.

II.

II.

II.

II.

Stolz, Dr. O., weiland Professor an der Universität Innsbruck, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. In 3 Teilen, gr. 8. In Leinwand geb. n. JC 27.—

I. Teil. Beeile Veränderliche und Funktionen. Mit 4 Figuren im Text. [X u. 460 S.] 1893. Geh. n. Jl 8.—, in Leinwand geb. n. Jl 9.—

II.

-    Komplexe Veränderliche und Funktionen. Mit 33 Figuren im Text. [IX u.

338 S.]    1896. Geh. n. M 8.—, in Leinwand geb. n. M 9.—

III.

-    Die Lehre von den Doppelintegralen. Eine Ergänzung zum I. Teile des Werkes.

Mit 41 Figuren im Text. [VIII u. 296 S.]    1899. Geh. n. M 8.—, in Leinw. geb. n. M 9.—

und Dr. J. A. Gmeiner, Professor an der Universität Innsbruck, Einleitung in die Funktionentheorie. 2., umgearbeitete und vermehrte Auflage der von den Verfassern in der „Theoretischen Arithmetik“ nicht berücksichtigten Abschnitte der „Vorlesungen über allgemeine Arithmetik“ von 0. Stolz. Mit 21 Figuren im Text. [X u. 598 S.j gr. 8. 1905. In Leinw. geb. n. JC 15.'—

Auch iu 2 Abteilungen:

I. Abteilung. Mit 10 Figuren im Text. [VI u. 242 S.] 1904. In Leinwand geb. n. M 6.—

II.

Mit 11 Figuren im Text. [VIII u. S. 243—598] 1905. In Leinwand geb. n. M 9.—

Tannery, J., Professor an der Universität Paris, Direktor der École normale supérieure zu Paris, Elemente der Mathematik. Mit einem geschichtlichen Anhang von P. Tannery. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. P. Kläess, Gymnasiallehrer in Echternach (Luxemburg.) Mit einem Einführungswort von Felix Klein und 184 Textfiguren. [XII u. 339 S.] gr. 8. 1909. Geh. n. JC 7.—, in Leinwand geb. n. JC 8.—

Taschenbuch für Mathematiker und Physiker, unter Mitwirkung von Fr. Auerbach, 0. Knopf, H. Liebmann, E. Wölffing u. a. herausgegeben von Felix Auerbach. Mit einem Bildnis Lord Kelvins I. Jahrgang 1909/10. [XLIY u. 450 S.]    8.    1909. In Leinwand geb. n. JC 6.—

Tesar, L., Professor an der k. k. Staatsrealschule im XX. Bezirke von Wien, Elemente der Differential- und Integralrechnung. Mit 83 Textfiguren. [YIII u. 128 S.] gr. 8.    1906. Kart. n. JC 2.20.

Thiele, Dr. T. N., em. Professor der Astronomie an der Universität Kopenhagen, Präsident des Yereins dänischer Aktuare, Interpolationsrechnung. [XII u. 175 S.] 4.    1909. Geh. n. JC 10.—

Thomae, Geheimer Hofrat Dr. J., Professor an der Universität Jena, Vorlesungen über bestimmte Integrale und die Fourierschen Reihen. Mit 10 Figuren. [VI u. 182 S.] gr. 8.    1908. In Leinwand geb. n. JC 7.80.

Vivanti, Dr. G., Professor an der Universität Pavia, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen. Umarbeitung unter Mitwirkung des Verfassers deutsch herausgegeben von Dr. A. Gutzmer, Professor an der Universität Halle a. S. [YI u. 512 S.] gr. 8.    1906. In Leinwand geb. n. JC 12.—

Weber, Dr. E. von, Professor an der Universität Würzburg, Vorlesungen über das Pfaffsche Problem und die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. [XI u. 622 S.] gr. 8.    1900. In Leinwand

geb. n. JC 24.—

Weber, Dr. H., und Dr. J. Wellstein, Professoren an der Universität Straßburg i. E., Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In 3 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

LBand: Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Weber. 2. Auflage. Mit 38 Textfiguren. [XVIII u. 539 S.]    1906. n. M 9.6U,

II.

Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein und W. Jacobsthal. 2. Auflage. Mit 251 Textfiguren. [XII u. 596 S.] 1907. n. M 12.—

III.

Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von H. Web er, J.Wellstein und B. H. Weber (Rostock). Mit 358 Textfiguren. [XIII u. 666 S.]    1907. n. M 14.—

’4

Webster, A. G., Ph. D., Professor of Physics, Clark University, Worcester, Mass., partial differential Equations of matjł-eniatical Physics. gr. 8. In Leinwand geb. [In Ydr&éïèitttng.    /$$x    '

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