! "

«tv

\

pi

ï-Éùi

'

Am

r«

.-

-

8®

It.'i

!"

;-Sf-

ps:

:*•J

î'ri

3V

v.Vj

¥

-Jl

F*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000^78495

, -

I

: ' " 'M

o

5f

;

*■

•Ś

\.

I

ZASADY FIZYKI.

*

.

J

■ -H

■J

.

.

■

DZIEŁA I ROZPRAWY MATEMATYCZNO-FIZYCZNE,

WYDAWANE PRZEZ

A. CZAJEWICZA i S. DICKSTEINA

Z ZAPOMOGI KASY POMOCY DLA OSOB PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWI«!, IMIENIA JÓZEFA MIANOWSKIEGO.

XI.

ZASADY FIZYKI.

NAPISAŁ

AUGUST WITKOWSKI

PROFESOR UNIWERSYTETU JAGIELLONßÜIEGO.

TOM PIERWSZY.

{Eizyka ogólna. Dynamiczne własności materyi. Akustyka.).

Wydanie dru

te

WARSZAWA.

W DRUKARNI NOSKOWSKIEGO, Warecka 15.

1904.

*’ : ■ .. ■'

,Ho3BOJieHo U,eH3ypoK). BapmaBa, 20 OKTHÔpa 1904 ro.ua.

Wezwany przed kilku laty przez kolegę M. A. Baranieckiego, ówczesnego redaktora „Biblioteki matematyczno-fizycznej”, do napisania podręcznika fizyki dla seryi trzeciej tego wydawnictwa, podjąłem się pracy tej z ochotą, gdyż od dawna było życzeniem mojem przyswoić polskiej literaturze pedagogicznej celniejsze metody i sposoby wykładu elementarnego fizyki, które w piśmiennictwie zagranicznem tak znacznie się udoskonaliły i upowszechniły. Książka ta miała zapoznawać uczących się z zasadami fizyki nowoczesnej, wykładem przystępnym, opartym na początkowych wiadomościach matematycznych, a jednak ile możności ścisłym i wyczerpującym; należało przytem uwzględnić tych czytelników, którzyby zamierzali uczyć się bez pomocy nauczyciela. Założenia te nadały pracy mej rozmiary większe, aniżeli pierwotnie zamierzano. Zajęcia mego powołania nie dozwoliły mi dotychczas wykończyć dzieła; zważywszy jednak, że materyał wyłożony w niniejszej książce jest dość jednolity i stanowi dział odrębny, wydaję ją jako tom oddzielny, nie czekając ukończenia całości.

Na usprawiedliwienie tytułu „zasady fizyki”, który książka ta nosi, należy zauważyć, że nauka zwana fizyką „doświadczalną” zmieniła znacznie dawniejszą swą postać;

przeważna część jej zadań przeniosła się w dziedzinę fizyki „praktycznej”, obok której rozwija się potężnie fizyka „teoretyczna” (angielska: natural philosophy), rugując coraz hardziej fizykę matematyczną, więcej formalną, abstrakcyjną, ze stanowiska silnego, jakie dawniej zajmowała, zwłaszcza w literaturze francuskiej. Wykład fizyki teoretycznej może dosięgać kresów nauki, podawać ją ogólnie, ściśle i wszechstronnie; może jednak być także elementarny, najelemetar-niejszy. W tym drugim razie właściwą dlań nazwą jest „zasady fizyki” jak tego przykładem dobrze znana w Polsce książka A. Daniella.

Zdaje mi się, że zmiana nazwy i zmiana sposobu wykładu jest dostatecznie uzasadniona, z jednej strony wielkim rozwojem nauki i jej zastosowań, (np. w zakresie elektryczności), z drugiej zaś strony ściślejszem niż dawniej określeniem zasadniczych pojęć i wyników. Treść samejże nauki urosła do tego stopnia, że w podręczniku mającym podać czytelnikowi choćby tylko jej elementy, nie zostaje już miejsca na szczegółowe opisywanie przyrządów, albo bawienie się ciekawościami fizycznemi. Nawet przy ważnych zastosowaniach fizyki ograniczyć się trzeba do wskazania zasad naukowych, na których one polegają, odsyłając czytelnika po wiadomości szczegółowe do licznych, wydawanych obecnie w tym kierunku dzieł popularnych.

Wykład elementarny fizyki, na którym poprzestaje zazwyczaj, kto pragnie zaznajomić się tylko z jej zasadami, czy to dla uzupełnienia wykształcenia swego, czy dla zastosowań, nie jest bez pożytku i dla tych, którzy zajmują się fizyką z powołania, powiedziałbym nawet, dla nauki samej. Mniej co prawda ogólny, nie obejmuje całości zjawisk pewnej kategoryi; skupia natomiast uwagę na jednym przedmiocie, wpaja w pamięć i wyobraźnię główne jego rysy — powinien zaś być taki, żeby na szczególe uczył ogólnych zasad nauki. Nawzajem, dobrze jest i specyaliście rzucić czasem ogólną teoryę, a przyjrzeć się zlblizka jednemu z zawartych w niej przypadków, bez osłony symbolów i znaków matematycznych; niezawodnie rzuci on światło w górę i na ogólną teoryę.

Obok dążenia do rozpowszechnienia wiedzy jest to zapewne jeden z motywów, iż tacy mistrze nauki jak Thomson, Helmholtz, Tait, Maxwell i wielu innych, poświęcają sporo czasu wypracowaniu elementarnych metod wykładu i układaniu podręczników pisanych sposobem przystępnym, zrozumiałym dla nie-matematyków. Dzieła te, mające rozgłośną i szeroką sławę, służyły mi za wzór przy układaniu niniejszej książki; wiele przedmiotów wprost z nich zaczerpnąłem, inne starałem się utworzyć ich wzorem. Czytelnik pragnący rozszerzyć i pogłębić wiadomości swoje powinien dzieła te poznać. Treści tego tomu pierwszego odpowiadają następujące: Maxwella: „materya i ruch”, książka znana w przekładzie polskim; tegoż: „teorya ciepła”; Thomsona i Taita: „wykład elementarny fizyki teoretycznej”; Taita znakomite podręczniki o „własnościach materyi”, o „cieple” i o „świetle”; Helmholtza: ,,odczyty popularne”, tudzież klasyczne dzieło ,,o dźwiękach” (Lehre von den Tonempfindungen). W nauce o jednostkach, która nastręcza początkującym zazwyczaj pewne trudności, pomocą będzie książka Everetta „o jednostkach i stałych fizycznych” (wydana po polsku przez J. J. Boguskiego).

Nakoniec winien jestem podziękować serdecznie wszystkim, którzy wspierali mnie czynem lub życzliwą radą przy wydaniu niniejszej książki: przedewszystkiem redaktorowi ,,Biblioteki matematyczno-fizycznej” p. Czajewiczowi, i profesorowi Gosiewskiemu za trud przy wydaniu i przejrzeniu jej i za uprzejme uwzględnienie wszelkich życzeń moich; niemniej kolegom Baranieckiemu, Malinowskiemu i Natan-sonowi za cenne wskazówki i rady.

A. Witkowski.

Kraków, w lutym 1902.

Opierając się na doświadczeniach zrobionych od czasu pierwszego pojawienia się tej książki, radbym dorzucić jeszcze słowo do czytelników. Niechaj nikt nie sądzi, żeby można było nauczyć się fizyki z książek. Kto dąży do istotnego opanowania zasad tej nauki, czy to dla niej samej, czy dla jej zastosowań w innych dziedzinach wiedzy teoretycznej lub praktycznej, niechaj nie poprzestaje na zaznajomieniu się z abstrakcyjnem jej ujęciem, jakie daje książka. Fizyki można nauczyć się tylko na doświadczeniach praktycznych. Komu nie byłaby dana możność korzystania z ułatwień, jakich dostarcza dobrze wyposażona pracownia fizyczna, niechaj stara się mieć oczy otwarte na przyrodę otaczającą; znajdzie tam obszerne pole do zastosowania i pogłębienia swych wiadomości.

Drugie wydanie tomu pierwszego ,,Zasad fizyki” pojawia się jednocześnie z ukończeniem druku tomu drugiego, podczas gdy ostatni tom, trzeci, pozostaje jeszcze do opracowania. W tych warunkach nie zdawało mi się rzeczą stosowną wprowadzać w nowem wydaniu znaczniejsze zmiany w układzie lub treści; poprzestałem na uważnem przejrzeniu tekstu, tudzież na dopełnieniach i poprawkach, zmierzających głównie do powiększenia jasności i poczytności wykładu.

Początkującym radziłbym też przerabiać starannie zadania, których znajdzie w tej książce kilka setek — nie pomijając nawet takich, których rozwiązanie wydawałoby się mu prostem i oczywistem. Nabędzie tym sposobem sprawności w stosowaniu teoryi do zagadnień praktycznych, ja-koteż niezbędnej w tym celu wprawy rachunkowej.

Zakopane, w sierpniu 1904 r.

A. W.

SPIS RZECZY

TOMU PIERWSZEGO.

Przedmowa Autora do wydania pierwszego . . —    do wydania drugiego . . .

.    .. str.

IV

WSTĘP

str.

1 - 13.

1. Zmysły. — 2. Doświadczenia. — 3. Prawa przyrody.— Zadanie fizyki. — 5. Metoda fizyki. Miary. — 6. Miary zasadnicze. — 7. Teorye. Hipotezy. — 8. Podział fizyki.

CZĘŚĆ PIERWSZA.

FIZYKA OGÓLNA.

str.

14 - 80.

ROZDZIAŁ I. O RUCHU

9. Prędkość. — 10. Kierunek prędkości. — 11. Ruch względny. — 12. Składanie prędkości. — 13. Rozkładanie prędkości. — 1-1. Ruchy o prędkości zmiennej. — 15. Ruch jednostajnie przyśpieszony. — 16. Przyśpieszenie. — 17. Ruch jednostajnie opóźniony. — 18. Ruchy po liniach krzywych. — 19. Ruch jednostajny po kole. — 20. Ruch planet około słońca. — 21. Składanie i rozkładanie ruchów. — 22. Ruch drgający prosty. — 23. Linia falowa.— 24. Prędkość i przyśpieszenie. — 25. Drgania złożone (jeden kierunek). — 26. Rozbiór drgań złożonych. — 27. Drgania złożone (różne kierunki). — 28. Drgania złożone z ruchów kolistych. — 29. Drgania zanikające. — 80. Ruch postępowy i obrotowy. — 81. Prędkość kątowa.

str.

81 - 121.

ROZDZIAŁ II. O DZIAŁANIU SIŁ

32. Siła. — 33. Zasady dynamiczne. — 34. Pierwsza zasada. — 35. Równowaga sił. — 36. Ruch pod wpływem siły stałej. — 37. Masa. — 38. Pęd. — 39. Miara sił. — 40. Popęd. — 41. Siły chwilowe. — 42. Druga zasada. — 43. Działanie sił niezależne od ruchu. — 44. Składanie i rozkładanie sił. — 45. Trzecia zasada. — 46. Oddziaływanie mas. — 47. Siła dośrodkowa. — 48. Siła odśrodkowa. — 49. Środek masy. — 50. Środek masy trzech cząstek. — 51. Środek masy ciała. — 52. Ruch środka masy. — 53. Uderzenie się ciał. — 54. Równowaga uderzeń i ciśnienia.

str. 122 — 142.

ROZDZIAŁ III. O CIĘŻKOŚCI

55. Prawo pierwsze. — 56. Prawo wtóre. — 57. Prawo trzecie. —58. Wnioski. — 59. Spadanie ciał swobodnych.— 60. Pozorny ciężar ciał poruszanych. — 61. Przyrząd Atwooda. — 62. Płaszczyzna pochyła. — 63. Spadanie po płaszczyźnie pochyłej. — 64. Natężenie ciężkości. —

65.    Ciężarowy układ miar.

str. 143 — 171.

ROZDZIAŁ IY. O MOMENTACH

66.    Moment ruchu względem punktu. — 67. Kierunek momentu ruchu. — 68. Składanie i rozkładanie momentów. — 69. Moment ruchu względem osi. — 70. Wypadkowy moment ruchu. — 71. Zmiana momentu ruchu. — 72. Moment siły. — 73. Zmiana wypadkowego momen

tu. — 74. Moment ruchu ciała stałego. — 75. Moment bezwładności.

ne.

76. Zachowanie momentu ruchu. — 77. Ruch obrotowy ciała stałego. — 78. Ruchu precesyj-79. Swobodne osi obrotu. — 80. Wpływ obrotu

ziemi na ruch ciał.

str. 172 - 183.

ROZDZIAŁ V. STATYKA

81. Ogólne warunki równowagi. — 82. Równowaga sił przecinających się. — 83. Siły równoległe. — 84. Kierunki przeciwne. — 85. Para sił. — 86. Dźwignia. — 87. Statyka płynów. — 88.„ Środek ciężkości. — 89. Statyka ciał ciężkich. — 90. Rodzaje równowagi.

ROZDZIAŁ'VI. O MIERZENIU MAS, PRZESTRZENI, SIŁ I CZASU

str. 184 — 213.

91. Waga. — 92. Gęstość i ciężar właściwy. — 93. Gęstość względna. — 94. Objętość. — 95.‘ Długości i pola.— 96. Mierzenie sił. — 97. Wahadło proste. — 98. Wahadło sekundowe. — 99. Wahadło złożone. —- 100. Zastosowanie wahadła do mierzenia sił. — 101. Zegar.

str. 214 - 256.

ROZDZIAŁ VII. O ENERGII

102. Praca i energia. — 103. Miary pracy i energii. — 104. Obliczenie pracy. — 105. Wykreślenie pracy. — 106. Skutki pracy. — 107. Energia kinetyczna.—108. Energia kinetyczna ciała stałego. — 109. Energia potencyal-na. — 110. Układy zachowawcze i rozpraszające.—111. Machiny. — 112. Dzielność. — 113. Wattmetry. — 114. Wewnętrzne skutki pracy. — 115. Dynamiczny równoważnik ciepła. — 116. Ciepło jako rodzaj energii. — 117. Inne rodzaje energii wewnętrznej. — 118. Zasada zachowania energii.

str. 257 - 280.

ROZDZIAŁ VIL GRAWITACYA

119. Działanie ciężkości za obrębem ziemi. — 120. Ruchy ciał niebieskich. — 121. Prawa grawitacyi. — 122. Bezpośredni pomiar grawitacyi. — 123. Masa i średnia gęstość ziemi. — 124 Różnice ciężkości na ziemi. — 125. Poten-cyał grawitacyi.

CZĘŚĆ DRUGA.

DYNAMICZNE WŁASNOŚCI MATERYI.

ROZDZIAŁ IX. CIŚNIENIE I ODKSZTAŁCENIE . . . str. 281 - 298. 126. Określenie własności dynamicznych. — 127. Stany skupienia materyi. — 128. Odkształcenie. — 129. Rozszerzenie lub ściśnienie. — 130 Skręcenie proste.'— 131. Ciśnienie.— 132. Ciśnienie wewnętrzne. — 133. Sprężystość.—

134. Prawo Hooke’a. — 135. Spółczynnik ściśliwości. —

136. Spółczynnik sprężystości postaci. — 137. Określenie ciał jednolitych. — 138. Określenie ciał równokierunko-wj ch. — 139. Sprężystość ciał różnokierunkowych.

ROZDZIAŁ X. WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH .... str. 299 - 324. 140. Określenie ciał stałych. -- 141. Sprężystość ciał stałych. — 142. Sprężystość postaci. — 143. Odkształcenia długich prętów.—144. Przedłużenie i skrócenie.—145. Zgięcie. — 146. Obszerność granic sprężystości. — 147. Plastyczność i kruchość. — 148. Twardość. — 149. Wytrzymałość — 150. Tarcie wewnętrzne. — 151. Tarcie zewnętrzne.

str. 325 — 376.

ROZDZIAŁ XI. WŁASNOŚCI CIECZY

152. Własności zasadnicze. — 153. Kierunek ciśnienia. —

154. Prawo Pascala. — 155. Sprężystość cieczy.—156. Ciśnienia wskutek ciężkości. — 157. Prawa równowagi cieczy ciężkich. — 158. Postać powierzchni swobodnej. —

159. Naczynia połączone. — 160. Mierzenie ciśnień sposobem manometrycznym.—161. Parcie cieczy na ściany.—

162. Parcie cieczy na ciała zanurzone. — 163. Wnioski i zastosowania. — 164. Tarcie wewnętrzne. — 165. Prądy i wiry. — 166. Zależność prędkości od przekroju. —

167. Ruch pod wpływem ciśnień. — 168. Ruch pod wpływem ciężkości. — 169. Fale. — 170. Ruch ciał w płynach.

str. 377 — 422.

ROZDZIAŁ XII. WŁASNOŚCI GAZÓW

171. Rodzaje gazów. — 172. Ciśnienie. — 173. Prężność gazów. — 174. Ważenie gazów. — 175. Gęstość.—176. Ciśnienie atmosfery. — 177. Doświadczenia Toricellego i Pascala. — 178. Pomiar ciśnienia atmosfery. — 179. Parcie na ciała zanurzone. — 180. Ściśliwość gazów. — 181. Spół-czynnik sprężystości. — 182. Praca przy zgęszczaniu gazów. — 183. Zależność ciśnienia od wysokości.—184. Prężność i ściśliwość mieszanin. — 185, Wypływ gazów. —

186. Tarcie wewnętrzne. — 187. Opór gazów.

str. 423 - 467.

ROZDZIAŁ XIII. O RUCHU FAL W CIAŁACH SPRĘŻYSTYCH

188. Fale podłużne, kuliste.—189. Energia fal.—190. Prędkość fal. — 191. Długość fali. — 192. Fale peryodyczne, podłużne. — 193. Fale płaskie. — 194. Energia fal harmonicznych. — 195. Obliczenie prędkości fal. — 196. Fale podłużne w ciałach stałych. — 197. Fale poprzeczne. —

198. Prawo o składaniu małych odchyleń. — 199. Inter-ferencya fal. — 200. Sposób Huygensa. — 201. Odbicie się fal. — 202. Fale stojące. — 203. Załamanie się fal.

ROZDZIAŁ XIV. O GŁOSIE (AKUSTYKA)

str. 468 — 498.

204. Warunki powstawania i podział głosów. — 205. Przewodzenie głosu. — 206. Odgłos. — 207. Znamiona dźwięków. -- 208. Natężenie głosu. — 209. Wysokość dźwięku. — 210. Mierzenie wysokości, strojenie. — 211. Dudnienie. — 212. Skale muzyczne. — 213. Fonograf — 214. Barwa dźwięku. — 215. Analiza dźwięków. — 216. Synteza dźwięków.

str. 499 — 535.

ROZDZIAŁ XV. O RUCHU DRGAJĄCYM CIAŁ SPRĘŻYSTYCH (Źródła dźwięków)

217. Izochronizm drgań. — 218. Tony własne ciał sprężystych. — 219. Widełki strojowe. — 220. Wpływ rozmiarów. — 221. Zanikanie drgań.—222. Drgania swobodne i podniecane. — 223. Resonancya (oddźwięk). — 224. Zastosowanie do analizy dźwięków. — 225. Resonancya piszczałek. — 226. Instrumenty muzyczne dęte. — 227. Podłużne drgania prętów. — 228. Poprzeczne drgania prętów. — 229. Prędkość fal na strunie. — 230. Resonancya strun. — 231. Dźwięk strun. — 232. Sposoby badania ruchów drgających.

. . str. 537. . . str. 543-

INDEKS TOMU PIERWSZEGO ....

ZBIÓR OZNACZEŃ I WYMIARÓW . .

.

Ù.

v

t'

.

\

\

;

)

'

*

ZASADY FIZYKI.

WSTĘP.

1. Zmysły. Przedmiotem badań fizyki jest materya, mianowicie własności jej i prawa, które nią rządzą. Przez długi czas mniemano, że pomiędzy prawami materyi z jednej, a myśli ludzkiej z drugiej strony, zachodzi stosunek tego rodzaju, iż prawa i własności świata materyalnego mogą być odkryte i zbadane przez samo rozumowanie, oparte na powierzchownej zaledwie znajomości materyi. Mniemanie to powstrzymywało przez wiele wieków rozwój nauk zajmujących się przyrodą5 zarówno fizyka, jak inne nauki przyrodnicze, zawdzięczają dzisiejsze swe stanowisko uznaniu tej prawMy, że właściwem źródłem wiedzy o przyrodzie jest spostrzeganie, rozszerzone bezpośredniemi próbami, czyli doświadczeniami.

Wiadomości o zmianach, czyli o zjawiskach, odbywających się w przyrodzie, odbieramy za pośrednictwem osobnych, do tego celu wykształconych części naszego ciała, zwanych narządami zmysłowymi. Zdrowy organizm posiada sześć dobrze rozwiniętych zmysłów i taka sama jest liczba różnorodnych wrażeń zmysłowych, które jesteśmy zdolni odczuwać. Zmysł siły, czyli dotyku, rozsiedlony jest w całem niemal ciele, zwłaszcza na jego powierzchni, jakkolwiek nie wszędzie w równym stopniu wyrobiony; zmysłem tym rozpoznajemy opory rozmaitego rodzaju, jakie materya przedstawia, np. ciężar, masowość, sprężystość, twardość, gładkość, szorstkość i t. p. Wzrok jest zmysłem światła i barwy; siedzibą jego jest dno gałki ocznej, a mianowicie płaskie rozgałęzienie nerwu wzrokowego, zwane siatkówką. Wszelkie podrażnienia tego nerwu odczuwamy jako światło; dzięki szczególnej budowie gałek ocznych, -rozróżniamy za pośrednictwem wzroku postać i wzajemne położenie ciał, wydających i odbijających światło. Zmysł ten, sięgający naj-

B ibl. mat.-fiz. S. III, T. VIII.    1

dalej ze wszystkich, pospołu ze zmysłem dotyku, daje nam sposobność utworzenia pojęcia przestrzeni, którą materya po części zajmuje i w której odbywają się wszelkie zjawiska, dotyczące materyi. Zmysł ciepła i zimna mieści się obok dotyku głównie na powierzchni ciała; zmysłem tym rozpoznajemy temperaturę materyi. Siedzibą słuchu jest osobny przyrząd w uchu umieszczony, który, podobnie jak oko, posiada zawiłą budowę i daje nam wrażenie głosu, ilekroć nań działają szybkie wstrząśnienia. Smak i węch umieszczone są w jamie ustnej i nosowej ; zmysły te są wrażliwe na działania chemiczne ciał ciekłych, tudzież gazowych.

Zmysły same przez się nie zaznajamiają nas bezpośrednio z własnościami świata materyalnego ; one podają do naszej świadomości wrażenia pochodzące z zewnątrz, z którymi uczymy się, przez wprawę i doświadczenie, łączyć pewne określone pojęcia. Takie stanowisko zmysłów zniewala nas do zachowania wielkiej ostrożności w spostrzeżeniach fizycznych, gdyż ono jest powodem rozlicznych złudzeń zmysłowych. Jeżeli jakiekolwiek zjawisko przedstawia się nam w takich warunkach, w jakich nie przywykliśmy czynić spostrzeżeń, wówczas tworzymy nieraz błędny sąd o jego istocie, t. j. ulegamy złudzeniu zmysłowemu. Jest to jedna z przyczyn, dla których samo spostrzeganie zjawisk nie wystarcza do umiejętnego badania materyi, lecz musi być dopełnione spostrzeżeniami, czynionemi w warunkach rozmaicie zmienianych, t. zw. doświadczeniami.

2. Doświadczenia. Wywołując jakiekolwiek zjawisko sztucznie, to jest, wśród warunków dowolnie przez nas wybranych, wykonywamy doświadczenie. Przebieg zjawiska nie jest bynajmniej od naszej woli zależny, nie leży to bowiem w naszej mocy zmieniać prawa lub własności materyi; w doświadczeniu dzieje się zawsze to samo, coby się stało w przyrodzie bez naszej przyczyny, gdyby się zdarzyły teżsame, co w doświadczeniu warunki. Wybieranie warunków, w których zjawiska się odbywają, jest jednak od nas zależne i na tern wybieraniu polega umiejętność doświadczania. Celem doświadczeń jest naprzód dokładne poznanie zjawisk, zarówno co do jakości, jak co do stosunków ilościowych. Drugim ich celem jest wyróżnienie zjawisk, to jest oddzielenie od zjawiska głównego, które badamy, innych zjawisk ubocznych, towarzyszących pierwszemu. Jeżeli badamy, dajmy na to, ruch ciał spadających ku ziemi, dostrzeżemy zawsze zjawisko uboczne, mianowicie ruch powietrza, towarzyszący

spadaniu ciała; czynimy więc doświadczenie w naczyniu, z którego większą, częśc powietrza wydalono za pomocą pompy pneumatycznej i znajdujemy zjawisko znacznie prostsze: gdy bowiem w powietrzu ciała gęste i zbite, np. kula ołowiana, spadały szybcej, aniżeli bardziej rozpostarte, jak papier lub pierze, w naczyniu wypróżnionem ruch wszystkich ciał będzie jednakowy.

Do spostrzeżeń umiejętnych i doświadczeń używa się całego szerego t. zw. przyrządów naukowych i narzędzi. Niektóre służą do powiększenia doniosłości naszych zmysłów, jak lunety, mikroskopy i t. p.; inne, jak podziałki, zegary, wagi, miary objętości, barometry, termometry, fotometry, bywają używane do wyznaczania stosunków ilościowych w zjawiskach, t. j. do mierzenia. Do przyrządów zalicza się także takie urządzenia doświadczalne, które wskutek częstego a wielorakiego użytku przybrały stałe formy, np. pompa pneumatyczna, machina elektryczna, ogniwa galwaniczne i t. p.

Mówiąc o ważności doświadczeń w badaniach przyrodniczych nie możemy pominąć następującej nader ważnej uwagi. Przy wszelkich spostrzeżeniach, a w szczególności przy pomiarach rozmaitych własności ciał pupełniamy mniej lub więcej znaczne błędy; pomiar matematycznie dokładny jest niepodobieństwem. Przyczyną tego jest naprzód ograniczenie zmysłów naszych, które nie posiadają zdolności odróżniania zbyt drobnych różnic, przekraczając3⁷ch pewną granicę; np. zdrowe oko nie poznaje różnie długości, mniejszych aniżeli (w przybliżeniu) — millimetra. Drugą przyczyną błędów są nieuniknione wady i niedokładności przyrządów; trzecią niezupełne wyróżnienie zjawiska badanego od towarzyszących zjawisk ubocznych. Jeżeli np. wymierzamy temperaturę, w której wrze czysta woda, przy pewnym stanie barometru, natenczas możemy spodziewać się błędu z następujących powodów: popełnimy naprzód błąd, oceniając okiem nieuzbrojonem, a choćby nawet przez szkła powiększające, stan słupka rtęciowego w termometrze; drugi błąd popełnimy z tego powodu, że podziałka w termometrze, choćby najstaranniej wykonana, nie będzie bezwzględnie dobra; wreszcie okaże się cały szereg błędów pochodzących z innych przyczyn: woda zawierać będzie ślady ciał obcych, zmieniających jej temperaturę wrzenia; stan barometru nie będzie dokładnie taki, jaki mieć pragnęliśmy i t. p. W miarę udoskonalenia przemysłu, polepszają się przyrządy; w miarę rozwoju nauki, poznajemy coraz nowe przyczyny błędów i uczymy się zmniejszać ich doniosłość. W najlepszych wszakże warunkach nie możemy liczyć na zupełnie dokładne spostrzeżenia. Posiadamy natomiast sposoby sprawdzania spostrzeżeń i upewnienia się co do granic w jakich błędy są zawarte; te są: zastosowanie różnorodnych i niezależnych od siebie sposobów badania i powiększenie llczby^spostrzeżeń. Jeżeli, dajmy na to, zmierzymy kilkakrotnie długość pewnej linii, to z pomiaru wynikną np. takie liczby: 23,78 centymetrów, 23,79; 23,78; 23,77; 23,77, różniące się między sobą o msłe wielkości, w dziesiątych millimetra. Nie mamy powodu, aby jednej z nich przyznać pierwszeństwo przed innemi; natomiast średnia wartość, uzyskana przez dodanie do siebie tych wielkości i podzielenie sumy przez ich ilość (mianowicie 23,777), mieści w sobie zalety i wady wszystkich pomiarów i będzie prawdopodobnie dokładniejsza aniżeli każdy pomiar z osobna.

Wypadki pomiaru kilkakrotnie powtórzonego pozwalają nam nadto ocenić, jaka jest jego dokładność. W ogólności, doświadczenie jest tylko wtedy zadowalające, jeżeli, obok wyniku głównego, upewniliśmy się także w jakich granicach błąd możebny jest zawarty. Wypadek każdego pomiaru daje się wyrazić liczbą, w której tylko pewna ilość miejsc dziesiętnych mieć będzie istotną wartość, odpowiadającą dokładności doświadczenia; dalsze lepiej opuścić, a podać natomiast granice, w których błąd może być zawarty.

3. P raw a przyrody. Badania doświadczalne, które uznajemy obecnie jako jedyną, drogę, wiodącą do poznania przyrody, opierają się na ogólnej zasadzie, nabytej również sposobem doświadczalnym. Doświadczenia wiekowe całej ludzkości, utrwaliły w nas przekonanie, że własności materyi są stałe i niezmienne; to jest, że w tych samych warunkach materya okazuje zawsze i wszędzie te same objawy. Uznając tę stałość i niezmienność, mówimy o prawach przyrody; one to stanowią istotne usprawiedliwienie metody doświadczalnej, albowiem dają wypadkom doświadczeń cechę ogólnie ważnej prawdy. Jeżeli wyznaczymy raz jeden np. temperaturę, w której żelazo się topi, to możemy być pewni, że w tej samej temperaturze topi się w piecach fabrycznych, i w ziemi i na słońcu lub gwiazdach; w tej samej topiło się w starożytności i topić się będzie po wszystkie czasy. Prawa przyrody są w obec nas potęgą, której nie jesteśmy w stanie przełamać, jakkolwiek przez stosowne dobranie warunków możemy się nią posługiwać ku własnej korzyści. Stąd ogromna i ciągle rosnąca doniosłość tych nauk, które zajmują się odkrywaniem praw przyrody.

Prawa fizyczne, stosujące się nietylko do jednego, albo kilku zjawisk, ale obejmujące wielkie obszary nauki, nazywamy także zasadami. Są to zazwyczaj wnioski ogólne, wyprowadzone z licznych, a różnorodnych doświadczeń; takiemi są np. zasady dynamiczne, zasada zachowania energii, zasada Carnota i inne.

4.    Zadanie fizyki. Wszystko, co dotąd powiedzieliśmy, stosuje się do nauk przyrodniczych w ogóle, a w szczególności do fizyki. Zadaniem fizyki (od greek, physis, przyroda) jest badanie własności materyi bez względu na postać, jaką jej przyroda lub przemysł nadały, to jest bez względu na to, czy ma-terya stanowi składową część wyrobu przemysłowego, czy organizmu żyjącego lub martwego, ziemi, morza lub gwiazd. To samo określenie stosuje się także do chemii; w skutek tego też fizyka razem z chemią stanowią podstawę dla innych nauk przyrodniczych, zajmujących się szczególnemi postaciami, jakie materya przybiera. Rozdział pomiędzy fizyką a chemią nie jest uzasadniony w określeniu tych nauk; powstał on wskutek ich odmiennego rozwoju dziejowego, a utrzymuje się wskutek konieczności podziału pracy na tak obszernem polu badań.

5.    Metoda fizyki. Miaky. Fizyka opisuje własności materyi w sposób ścisły; zalicza się z tego powodu do t. zw. nauk ścisłych. Podział nauk na ścisłe i nieścisłe nie daje się pogodzić z pojęciem nauki, wszystkie bowiem są ścisłe, albo dążą do tego aby były ścisłemi. Nazwa powyższa określa raczej metodę badań i sposób przedstawienia wypadków. Ścisłość tę należy tak rozumieć, że fizyka opisuje własności materyi zarówno pod względem jakości, jak ilości i określa prawa w taki sposób, że można je wyrazić wzorami matematycznymi i wyprowadzać z nich wnioski drogą matematycznej analizy.

Opisać jaką rzecz ilościowo, jest to wymierzyć ją, czyli po równać z inną rzeczą tego samego rodzaju, przyjętą za jednostkę miary. Ilość miar różnorodnych, używanych w fizyce do wymierzania rozmaitych wielkości, jest bardzo znaczna. Są np. miary długości, objętości, czasu, masy, ciężaru, gęstości, sprężystości, ciepła, różnych własności elektrycznych, magnetycznych i t. p. Niema jednak konieczności wybierać sobie dowolnie osobnej miary dla każdej z tych wielkości różnorodnych, tak, jak się przyjmuje np. metr, łokieć, lub inne dowolne jednostki do mierzenia długości. Pomiędzy różnemi wielkościami fizycz-nemi zachodzą bowiem zależności i związki, wskazane bądź to przez samo ich określenie, bądź też przez doświadczenie, które pozwalają wyprowadzić cały system miar fizycznych z niewielkiej liczby miar obranych dowolnie. Te miary obrane dowolnie nazywamy zasadniczemi; najważniejszemi z nich są miary długości, masy i czasu (centymetr, gram i sekunda). Miary pól i objętości wyprowadza się z miary długości (centymetr kwadratowy, centymetr sześcienny); miarę prędkości ruchu z miar długości i czasu; miara ilości ciepła jest tą samą, co miara pracy— na zasadzie stwierdzonej doświadczeniem ich równoważności wzajemnej i t. p. System at miar fizycznych, wyprowadzony konsekwentnie z powyższych trzech miar zasadniczych, nazywa się niekiedy „układem bezwzględnym miar.”

Jednorodność równań fizycznych. Wymiary. Wszelkie równanie stwierdza równość dwu wielkości tego samego rodzaju. Jedna długość może być równa tylko innej długości; objętość, lub ilość ciepła może równać się znowu tylko objęteści lub ilości ciepła, a nigdy długości lub czasowi. W każdem tedy równaniu wyrażającem związek między wielkościami fizycznemi, czy też prawo jakieś, strona lewa musi wyrażać wielkość tego samego rodzaju, jak prawa. Tak np. długość s drogi przebytej w czasie t oblicza się jako iloczyn z prędkości v i czasu: s = vt. Lewa strona wyraża pewną liczbę centymetrów, przeto i prawa musi mieć to samo znaczenie. Musimy tedy wielkość v uważać jako stosunek

£

pewnej długości do pewnego czasu v — y ; powiadam}⁷, że wymiar pręd-.    cm

kości wyraża się symbolem , podobnie, jak wymiarem pola jest cm2 objętości cm³ i t. p. Wymiar jest to formuła, wskazująca jakie działanie arytmetyczne należy wykonać na danych pierwotnych, wyrażonych w jednostkach zasadniczych, ażeby obliczyć wartość tej lub owej wielkości fizycznej.

6. Miary zasadnicze. Wybór miar zasadniczych jest rzeczą poniekąd dowolną, potrzeba tylko, aby w tej sprawie panowała ogólna zgoda i porozumienie, inaczej bowiem wypadki pomiarów nie byłyby powszechnie rozumianemi. W tym względzie panuje najlepsza zgoda co do miar czasu, wszystkie bowiem narody ukształcone mierzą czas na doby, godziny, minuty i sekundy średnie. Jednostką czasu, używaną w fizyce jest sekunda = — minuty = ——- godziny — —-— średniej doby. Mia-60    J 3600 0 J 86400 rami długości i mas (wagami) najbardziej rozpowszechnionemi są nowe francuzkie, czyli metryczne miary. Największą zaletą, która zjednała im takie rozpowszechnienie w życiu praktycz-nem i w nauce, jakiego różne dawniejsze miary nie miały, jest ich podział dziesiętny, zgodny z używanym powszechnie dziesiętnym sposobem liczenia. Pierwotnymi wzorami tych miar są metr i kilogram, wykonane z platyny i przechowywane w mię-dzynarodowem biurze Miar i Wag w Paryżu. Do mierzenia długości lub mas, znacznie większych, albo mniejszych, aniżeli metr lub kilogram, używa się często wielokrotności albo ułamków tych miar pierwotnych, utworzonych zawsze według dodat-nych lub ujemnych potęg liczby 10. W następującej tablicy podane są ważniejsze z tych miar, ich znaki skrócone, tudzież porównanie z niektóremi miarami dawniejszemi.

Długości.

1 kilometr (km) = 1000 metrów = 0,13473    )milgieogr.¹)

1 metr (7^ = 10 decymetrów = 3,078444    stóp parysk.

= 1,73611

I—-—\ łokci nowopolskich.

\ 0,576 /    r

1 decymetr (dm) = 10 centymetrów. 1 centymetr (cm) 10 millimetrów =

= 0,416666

cala n. polsk,

= 0,3694133

(-¹—j cala parysk.

\ 2,706995 /    J

= 0,39370432

(---^ cala angielsk.

\ 2,5399772/

1 millimetr (mm) — 0,5 linii n¹ polsk.

= 0,4432959

(2^83) linii parysk.

(---) linii ang.

= 0,4724451

V 2,116648 /

1 mikron (jr) (miara mikroskopowa) —

millimetra.

.1 mikromillimetr (miara molekularna) —

millimetra.

= 0,001

V looo )

= 0,000001

V 1000000 /

1 tonna (t) =10 centnarów metrycznych — 1000 kilogramów. 1 kilogram (kg) = 100 dekagramów = 1000 gramów —

= 2,46607

I—-—\ funtów n. polsk.

\0,405504/ 1 gram (gr) = 1000 milligramów (mgr).

Używanie miar, będących wielokrotnościami lub ułamkami metra i kilograma, dobranych odpowiednio do wielkości mających się mierzyć długości lub mas, jest z tego powodu dogodne, że można uniknąć zbyt wielkich, lub zbyt małych liczb. Przy wykonywaniu rachunków należy jednak wszystkie liczby sprowadzać do tej samej miary. Redukcye te, łatwe dla miar zasadniczych, stają się dość zawiłemi, gdy chodzi o miary pochodne, któremi mierzy się inne wielkości fizyczne. Z tego powodu zgodzono się powszechnie mierzyć rozmaite własności materyi zapomocą miar, utworzonych na podstawie pewnych określonych jednostek dla wielkości zasadniczych, i wybrano w tym celu centymetr, gram i sekundę. Układ miar fizycznych, oparty na tych trzech jednostkach zasadniczych, nazywa się ukła-dem-centymetr-gram-sekundowym (inaczej także, lubo mniej właściwie, układem bezwzględnym); jednostki, należące do tego układu, oznaczają się w skróceniu znakiem: c.g.s.

W dalszym wykładzie będziemy używali innych jednostek tylko w tym celu, aby jaśniejsze dać wyobrażenie o jakiej wielkości. Np. odległość ziemi ojd słońca wynosi około 149,5 milionów kilometrów; do rachunków, w których ta odległość zachodzi, wstawiać będziemy natomiast częściej liczbę:

149500000,00000 centymetrów,

albo krócej — 1,495 X 10¹³ cm. Obaczymy później, że niedogodność, wynikająca ze zdarzającej się często potrzeby wypisywania wielu zer, wynagradza się sowicie prostotą rachunku i jasnością związku pomiędzy różnemi miarami.

Twórcy układu metrycznego miar zamierzali pierwotnie wziąć za jednostkę mas, czyli wag, masę pewnej określonej objętości wody, mającej tę temperaturę, w której ona jest najgęstsza (blizko 4° C.). W tej myśli sporządzono wspomniany wyżej platynowy kilogram wzorowy, odważając go tak, żeby ważył (w próżni) tyle, co jeden sześcienny decymetr (zwany także litrem = 1000 sześciennych centymetrów) wody, mającej temperaturę 4° C. Późniejsze dokładniejsze ważenia okazały wprawdzie, że pierwotny kilogram nie został zupełnie ściśle odważony, jednak błąd popełniony jest tak drobny, że dla wszelkich praktycznych celów, nie wymagających najwyższej dokładności, jaką dziś można w ważeniu osiągnąć, możemy przyjąć następujące określenie :

Kilogram jest to nas a równa masie wody, mającej pod ciśnieniem atmosferycznem i w temperaturze 4° C.*) objętość jednego litra.

Z tego określenia wynika następująca tabliczka, w której podane są wagi rozmaitych objętości wody (znaki m³, dm³, cm³, mm³, oznaczają sześcienne metry, decymetry, centymetry i mil-limetry):

1 m3 1 dm³ (litr) „ 1 cm³ „ 1 mm³ _

wody waży 1 t, n ¹ kg,

„    ¹    gr,

„    1    mgr.

W celu uzmysłowienia zasadniczych miar długości podajemy na fig. 1 odcinek podzielony na 10 centymetrów, z których pierwszy podzielony jest na 10 millimetrów.

Centymetry.

jü

Fig. 1.

*) C. oznacza stustopniową podziałkę termometryczną, wprowadzoną przez Celsyusza.

Fig. 2 wyobraża w prawdziwych rozmiarach ciężarki sześcienne, ważące każdy 1 gram

i grain

■wody

Kwarcu

żelazo mosigdzu ołowiu platyny

Fig. 2.

wykonane z różnych materyałów.

Celem uzmysłowienia sekundy nadmieniamy, że uderzenia

2

tętna u zdrowego człowieka następują w przybliżeniu co — se-

3

kundy.

Podstawą miar czasu są zjawiska astronomiczne, mianowicie dzienny obrót ziemi około osi, i jej roczny obieg około słońca. Pierwszy z tych ruchów odbywa się jednostajnie i jest przyczyną pozornego dziennego obrotu kuli niebieskiej, od wschodu ku zachodowi, razem z gwiazdami, które na niej widzimy, ze słońcem, księżycem i planetami.

Drugi ruch ziemi sprawia, że położenie słońca na pozornej kuli niebieskiej zmienia się zwolna a nieustannie ; słońce zdaje się posuwać wśród gwiazd stałych i okrąża w ciągu roku pozorną kulę nieba, na kole wiel-kiem, skośnie względem równika niebieskiego leżącem, zwanem eklip-t y k ą. Słońce posuwa się po ekliptyce od zachodu ku wschodowi, a więc w kierunku przeciwnym ogólnemu, codziennemu ruchowi gwiazd, cofa się zatem względem gwiazd ku wschodowi. Dzienny obieg którejkolwiek z gwiazd, mających nieruchome na kuli niebieskiej stanowisko (stałych), jest dokładnem odzwierciedleniem dziennego obrotu ziemi i posiada to samo trwanie; czas odpowiadający jednemu obrotowi nazywamy dniem gwiazdowym. Roczny pozorny obieg słońca na ekliptyce (licząc od wiosennego przejścia przez równik, do następnego wiosennego przejścia) trwa 366,242201 dni gwiazdowych, który to okres nazywamy rokiem zwrotnikowym. Wskutek ciągłego cofania się, czyli opóźniania się słońca względem gwiazd, jeden obieg słońca (tzw. dzień słoneczny prawdziwy) trwa dłużej, aniżeli dzień gwiazdowy. Ponieważ wciągu roku zwrotnikowego, to cofanie się słońca dosięga całego obwodu kuli niebieskiej, przeto łatwo zrozumieć, że ilość obrotów dziennych słońca przypadających na rok zwrotnikowy jest o jeden obrót mniejsza, (zatem 365,242201) aniżeli ilość obrotów gwiazd. (Pojmiemy to najłatwiej przypuszczając, że słońce się nie cofa, idąc razem z gwiazdami, a z końcem roku cofa się odrazu o jeden obrót).

Prawdziwa doba słoneczna nie jest stałym okresem czasu, z powodu, że cofanie się słońca na ekliptyce, odzwierciadlające rzeczywisty roczny obieg ziemi około słońca, nie odbywa się jednostajnie. Wyobraźmy sobie jednak, że rok zwrotnikowy podzielono na tyle równych części, ile w tym czasie przypada dziennych obrotów słońca (t. j. na 365,242201), a uzyskamy tym sposobem podział czasu na równe części, mające nadto zaletę, w praktyce nader cenną, że trwanie ich mało się różni od praw- âù.f dziwych dni słonecznych.

Okresy te nazywamy dobami średniemi; dzielimy je na 24 godzin średnich, mających po 60 minut średnich, z których każda zawiera 60 śre-dnich sekund. Ważną jest rzeczą poznać stosunek pomiędzy dobą średnią a dobą gwiazdową (okresem obrotu ziemi), albowiem dzienny ruch gwiazd stałych najlepiej nadaje się do sprawdzania ruchu zegarów.

ri

Podług poprzedzającego wyjaśnieniu, 365,242201 dni średnich = 366,242201

366,242201

dni gwiazdowych, zatem: 1 dzień średni —

dni gwiazdowych;

365,242201

nawzajem, dzień gwiazdowy, czyli okres obrotu dziennego ziemi, trwa

365,242201

dni średn:ch t. j.

23 godz. 56 min. 4,091 sekund średnich, albo 86164,091 sekund średnich.

Miary metryczne długości i mas powstały we Francyi, w ostatnich lalach wieku XVIII-go. Wskutek uchwały, powziętej w Zgromadzeniu ustawodawczem francuzkiem w r. 1790, Akademia Umiejętności w Paryżu wybrała komissyę, w której skład weszli uczeni Borda, Condorcet, Lagrange, Laplace i Monge, poruczając jej wypracowanie układu miar. Postanowiono, że rzeczywistą jednostką długości ma byó długość ćwiartki południka ziemskiego, przechodzącego przez Paryż; do powszechnego zaś użytku służyć ma jednostka mniejsza, będąca dziesięciomilionową częścią tamtej. Celem znalezienia długości metra Móchain i Delambre rozpoczęli w r. 1792 obszerne pomiary geodezyjne, których ostatecznym wypadkiem był wzorowy metr „archiwowy,r sporządzony w r. 1799. Z późniejszych pomiarów i obliczeń okazało się, że pierwotny zamiar, podług którego długość ćwiartki południka ziemskiego miała byó rzeczywistą jednostką długości, nie został ściśle spełniony; ćwiartka południka jest w rzeczywistości nieco dłuższa, aniżeli 10 milionów metrów (wynosi ona około 10002000 m.). Wzorową miarą jest tedy platynowy metr paryski, na rzekomy zaś związek jego z rozmiarami ziemi nie zwraca się już uwagi. (Patrz Baraniecki, Arytmetyka, Rozdział IV).

366,242201

O pochodzeniu kilograma archiwowego i o zamierzonym związku metrycznych wag z miarami długości była już wyżej mowa. Dokładne

ważenia, wykonana ostatniemi czasy wykazały, że waga decymetra sześciennego wody, w temperaturze 4° C-, wynosi blizko 0,99996 kg.

7. Teorye. Hipotezy. Na ścisłem wymierzeniu przebiegu zjawiska fizycznego zadanie fizyki bynajmniej jeszcze się nie kończy. Ono należy do fizyki praktycznej ; rzeczą fizyki umiejętnej, albo teoretycznej, będzie określić stosunek danego zjawiska do innych zjawisk pokrewnych, tudzież wynaleźd możliwie proste orzeczenie, streszczające w sobie istotę tych zjawisk, w sposób tak ścisły i dokładny, iżby na tej zasadzie można było przewidzieć i przepowiedzieć ich przebieg za pomocą logicznego (matematycznego) rozumowania. Zrozumieć zjawiska w taki sposób znaczy to podać ich teoryę, albo wyjaśnić, wytłoma-czyć je. Newton okazał, że niesłychanie zawiłe ruchy ciał niebieskich można zrozumieć, wytłomaczyć, skoro się przyjmie orzeczenie, że wszelkie dwie cząstki materyi przyciągają się w stosunku prostym swych mas, w odwrotnym kwadratu odległości. Na zasadzie tego orzeczenia można przepowiadać ruchy planet, ono streszcza w sobie całą teoryę ich ruchu.

Orzeczenie Newtona można było sprawdzić zapomocą prób bezpośrednich, doświadczeń, wykonanych w pracowni. Częstokroć jednak, ażeby znaleźć trafne a dostatecznie ogólne orzeczenie, przydatne do teoretycznego zrozumienia jakiej grupy zjawisk, wypadało sięgać poza obręb bezpośredniego doświadczenia, zmyślać stosunki, nie dające się wprost sprawdzić, które jednak, gdyby rzeczywiście zachodziły, musiałyby wywołać te objawy, jakie istotnie spostrzegamy. Takie domniemane założenia nazywamy hipotezami. Ażeby wytłomaczyć własności chemiczne i fizyczne ciał stworzono hipotezę, że materya składa się z oddzielnych atomów; ażeby zdać sprawę z różnorodnych zjawisk świetlnych przyjęto istnienie niedostrzegalnego ośrodka, eteru, w którym światło rozchodzi się w postaci fal. Jedynym probierzem trafności każdej hipotezy jest to, żeby prowadziła do zjawisk istotnie dostrzeganych, a nie była sprzeczną z żadnem. Pytanie, czy stosunki założone w hipotezie zachodzą rzeczywiście, czy nie, jest małego znaczenia dla fizyki. Mo-żnaby na nie odpowiedzieć wtedy dopiero, gdyby się znalazł jakiś fakt sprzeczny z daną hipotezą, ale wtenczas upadłaby sama hipoteza. Hipotezy nie mają w istocie innego znaczenia, jak kunsztowne, a dostępne wyobraźni formuły matematyczne, streszczające w sobie wszystko, co o danym dziale zjawisk powiedzieć można.

8. Podztał fizyki. Wykład fizyki można podzielić na dwa główne działy: na fizykę ogólną i szczegółową. Dział pierwszy, będący zarazem wstępem do obszernego działu drugiego, obejmuje te zjawiska i własności materyi, które nie są zależne od rodzaju materyi, t. j. które się stosują jednakowo do drzewa, żelaza, wody, powietrza, do ciał stałych i płynnych, zimnych i gorących, jasnych i ciemnych i t. d. Gdy odejmiemy ciałom w myśli wszelkie ich cechy szczegółowe, któremi one różnią się od siebie, wtenczas zostaną tylko różnice ilości materyi zawartej w różnych ciałach, ściślej mówiąc, różnice masy. Zjawiska określające się samą tylko masą ciał, stanowią treść fizyki ogólnej; tu należą zjawiska ruchu, zależność ich od sił działających na ciała, ogólna nauka o energii, ciężkość i grawita-eya. W następującym wykładzie dział ten mieści się w części p i e rw s z ej.

Fizyka szczegółowa zajmuje się szczególnemi własnościami materyi i zależnemi od nich postaciami energii, mianowicie: część druga obejmować będzie dynamiczne własności materyi, czyli zachowanie się różnych ciał wobec sił; część trzecia: ciepło, mianowicie jego działanie na materyę, ruch, teoryę ciepła i naukę o źródłach jego; część czwarta: fizykę molekularną, czyli naukę o budowie materyi i o energii wewnętrznej; część piąta: promieniowanie, to jest naukę o energii promienistej i o własnościach ciał ze względu na promieniowanie; część szósta: elektryczność i magnetyzm. Część druga, trzecia i czwarta obejmują t. zw. fizykę materyi piąta i szósta fizykę eteru.

OZĘ00 PIERWSZA.

FIZYKA OGÓLNA.

ROZDZIAŁ I.

O RUCHU.

9. Prędkość. Pośród nieskończenie różnorodnych ruchów, jakie zdarzają się w przyrodzie, wybierzemy na początek takie, przy których dość jest wiedzieć, w jaki sposób porusza się jeden punkt ciała, aby poznać ruch ciała całego. Jeżeli pociąg kolejowy porusza się po znanym torze, to możemy każdej chwili wskazać położenie pociągu, skoro będzie wiadomo, gdzie znajduje się np. latarnia, umieszczona na przodzie pociągu Częstokroć możemy całe ciało uważać jakoby punkt, zwłaszcza, jeżeli ciało jest małe, albo jeżeli nie chodzi o rozmiary, a tylko o zmienę położenia względem innych ciał; ruch, dajmy na to, ziarnka śrutu, wystrzelonego w powietrze, możemy dość dobrze określić ruchem punktu. Przy takiem ograniczeniu się wystarczy wiedzieć, gdzie się ciało każdej chwili znajduje, albo, co na jedno wychodzi, znać linię, czyli tor, po którym ono się porusza, tudzież prędkość ruchu.

Wartość prędkości ruchu wynika z porównania długości, czyli dalekości drogi przebytej, z czasem, w ciągu którego to się stało, to jest z trwaniem ruchu. Jeżeli ciało przebywa równe, choćby najkrótsze, czyści drogi, w czasach równych, wtenczas ruch nazywa się jednostajnym, a prędkość ' ruchu stałą. Ruch taki jest cią-głem i jednostajnem posuwaniem się ciała, bez przyspieszania ani zwalniania biegu: (ruchy skaczące, jakiemi niektóre ciała przebywają jednakowe dalekości w równych okresach czasu, nie są jednostajne, albowiem w tym przypadku równość dróg

stosuje się tylko do pewnych określonych, a nie do jakichbądź czasów). Ruchem jednostajnym jest np. ruch opisany w następującej tablicy:

Długość drogi przebytej 5,25 cm

10.50    „ 15,75 „

17.50    „ 21,00 „

i t. d.

Czas upływający od zaczęcia się ruchu

3 sei:

⁶ n

9    „

10    „

12 „ i t. d.

albowiem drogi przebyte w ciągu równych czasów mają jednakową długość. W sposób podobny do powyższego tablice dróg żelaznych opisują ruchy pociągów. Łatwo jednak dostrzedz, że długi szereg liczb, objętych powyższą tablicą, daje się sprowadzić do jednej liczby. Dzieląc bowiem długości dróg przez należące do nich czasy, ,-otrzymujemy za każdym razem tę samą

5,25 ^    10,5    17,75    17,5

= 1,75. Liczba ta, okre-

10

liczbę : = —

1, nazywa

ślająca długość drogi przebytej w ciągu czasu się prędkością ruchu jednostajnego. Znając kształt drogi, jej początek, kierunek ruchu, chwilę zaczęcia się ruchu i jego prędkość, wiemy wszystko, co o danym ruchu jednostajnym powiedzieć można.

Oznaczywszy ogólnie: przez t czas trwania mchu, przez s długość drogi przebytej w tym czasie, przez v prędkość ru-

s

chu, mamy wskutek powyższego określenia : v =    , tudzież

s

s = vt, £ = — ; ostatnie dwa równania dozwalają obliczyć bądź

długość drogi, jeżeli mamy prędkość i czas, bądź też czas, jeżeli droga i prędkość są dane.

Miary prędkości. Wartość liczby v, określającej prędkość ruchu, zależy od tego, jakich jednostek używamy do mierzenia dróg i czasów; oto w tym samym ruchu możemy wyrazić tę samą prędkość następującemi liczbami: 15 centymetrów na sekundę, albo 1,5 decym. na selc, albo 0,15 metrów na sek, albo 9 metrów na minutę i t. d. Dla objaśnienia liczby, przedstawiającej prędkość, należy więc wymienić jednostki długości i czasu, które do znalezienia jej służyły. Będziemy w tym celu używali następującego oznaczenia : v = 15 cm/sek, albo = 9 m/min i t. d. Znak cm/sek wskazuje działanie rachunkowe, za pomocą którego uzyskaliśmy liczbę v: podzieliliśmy mianowicie drogę, wyrażoną w centymetrach, przez czas wyrażony w sekundach. Jednocześnie służyć nam będzie ten sam symbol cm/sek, do oznaczenia jednostki prędkości, podobnie jak znakami cm, sek, oznaczamy jednostki długości i czasu. Prędkość możemy bowiem tylko z prędkościami porównywać; jednostką prędkości nie może być ani cm, ani sek, tylko pewna prędkość, przyjęta za jednostkę. W układzie c. g. s. taką jednostką prędkości jest cm/sek. Tenże sam symbol wyobraża wymiar prędkości (ust. 5).

W następującej tablicy podane są niektóre ważniejsze prędkości; oprócz prędkości ruchów ciał są tam także prędkości rozchodzenia się niektórych zjawisk fizycznych, jak np. głosu i inne.

Tablica prędkości w cm/sek.

Człowiek pieszo, około..........

Zwykły wiatr..............

Silny »    ..............

Koń wyścigowy.............

Lot gołębia...............

Burza.................

Pociąg pośpieszny............

Orkan.................

Głos w powietrzu............

Punkt na równiku ziemi, wskutek dziennego obrotu Kula armatnia . .

Księżyc około ziemi Głos w wodzie . .

Ziemia około słońca Światło w wodzie .

„    w powietrzu

„    w próżni .

120

600

1000

1500

1800

2500

3000

4000

34000 463J0 50000 101200 14350 i 2960000 22546000000 2998000h )00 29989000000

10. Kierunek prędkości. Kierunkiem prędkości nazywamy kierunek, w którym ruch się odbywa. Kierunek prędkości jest tylko wtenczas niezmienny, jeżeli ciało porusza się po linii

prostej nie cofając się. W każdym ruchu, odbywającym się po linii zakrzywionej, kierunek prędkości zmienia się nieustannie. Mając wyznaczyć kierunek prędkości w punkcie np. A, drogi zakrzywionej (fig. 3), bierzemy w pobliżu punktu A, odcinek toru AB, tak krótki, żeby nie można było odróżnić go od odcinka prostego ; kierunek odcinka tego wskazuje kierunek prędkości w uważanym punkcie toru. Linia prosta, wynikająca z przedłużenia takiego odcinka, zowie się styczną do krzywej, należącą do punktu A. Kierunkiem prędkości ruchu na tor.se zakrzywionym nazywamy kierunek stycznej wykreślonej u: tym punkcie, iv którym ciało w uważanej cJnvili się znajduje.

big. 3.

Prędkości ruchów, jako wielkości mające właściwe sobie kierunki, możemy w rysunku wyobrażać zapomocą odcinków prostych, ze strzałkami, wskazującemi kierunek ruchu (fig. 3,Aa); odcinkom tym daje się taką długość, aby przedstawiały wartość prędkości w porównaniu do umówionej podziałki; stosownie do mniejszych lub większych rozmiarów rysunku oznacza się jednostkę prędkości odcinkiem 1 mm, albo 1 cm it. p.) Wszelkie wielkości, dające się, podobnie jak prędkość, wyobrazić na rysunku za pomocą odcinków, opatrzonych strzałkami, określające się liczebną wartością i kierunkiem, nazywać będziemy wielkościami kierunkowemi, albo wektorami.

11. Ruch względny. Aby określić dostatecznie ruch, jaki ciało w pewnej chwili posiada, potrzeba nakoniec, obok wartości i kierunku prędkości, wiedzieć względem jakiego ciała ruch bywa uważany. Człowiek, przechadzający się na pokładzie statku, płynącego rzeką, posiada inną prędkość względem statku, inną zaś względem ziemi; stojąc nieruchomo posiada względem statku prędkość zero, względem ziemi zaś taką samą, jak statek; gdy zaś idzie od przodu ku tyłowi statku, z taką prędkością, jaką statek posiada względem ziemi, wtenczas jest znowu względem ziemi nieruchomy. Ruch, jaki jedno ciało posiada względem drugiego, nazywamy ruchem względnym, nie troszcząc się czy to drugie ciało spoczywa, czy się względem innych ciał porusza. Ponieważ nie znamy ciał bezwzględnie nieruchomych, ani umiemy naznaczyć miejsc lub kierunków w przestrzeni, bez względu na ciała znajdujące się tamże, przeto, wszelkie ruchy,

Bibi, mat.-fiz. S. III, T. VIII.    2

i akie mamy, są ruchami iczględnymi; ciała poruszają, się względem ziemi, ziemia względem słońca, słońce względem gwiazd i t. d. Żadne z tych ciał nie może stanowić podstawy dla ruchu bezwzględnego.

Zastanowimy się obecnie, jak znaleźć ruch dwu ciał względem siebie, jeżeli dany jest ruch każdego z nich względem ciała trzeciego np. ziemi.

Fig. 4.

Niechaj ciała A i B (fig. 4) poruszają się na tej samej linii prostej M N, w jednakowym kierunku. Celem uzmysłowienia ruchu względnego, przypuśćmy, że A jesi przytwierdzone do ruchomej tablicy lub stołu, B zaś porusza się swobodnie. Prędkość ciała A, razem ze stołem, wynosi, dajmy na to, 5 cmjsek (względem ziemi), ciała B (tak M samo) 7 cm sek. Po upływie 1 seit zajmują one nowe miejsca, posunięte na prawo, jedno o 5, drugie o 7 cm; odległość pomiędzy ciałami zwiększyła się w ciągu 1 sek o 2 cm i o tyleż zwiększa się w ciągu każdej następnej. Z tego wynika, że B oddala się od A, a prędkość ciała B względem A (albo względem stołu) wynosi 2 cm/sek (ku prawej), równa się zatem różnicy prędkości B i prędkości A. Przypuśćmy dalej, że prędkość A wynosi np. 10 cmjsek, prędkość B mniej, dajmy na to 6 cm/sek, w tym samym kierunku. Jeżeli, jak przedtem, odejmiemy prędkość A od prędkości B, to znajdziemy— 4 cmjsek; w istocie, liczba ta daje znowu prędkość B względem A, a nadto znak — wskazuje, że prędkość względna (B zbliża się ku A) posiada kierunek przeciwny temu, który uważaliśmy jako dodatny. Z tych przykładów łatwo wysnuć ogólne prawidło : aby znaleźć prędkość względną, należy od prędkości ciała uważanego odjąć prędkość tego ciała, względem którego ruch k się liczy.

Osobno zastanowimy się nad przypadkiem, kiedy ciała A i B poruszają się w jakichbądź kierunkach, a nie po tej samej linii prostej.

Prędkość ciała A, a zarazem podstawy M N O P, niechaj wyobraża linia Aa (fig. 5); nad podstawą porusza się B, z prędkością Bb. Aby znaleźć prędkość B względem A, albo względem podstawy, zważmy, że po upływie 1 sek podstawa zajmie nowe

położenie mnop, zaś B przyjdzie do A. Punkt ten znajduje się teraz nad tem miejscem ppdstawy, które było pierwotnie w At ; linia bbt, jest oczywiście równą Aa, zaś kierunek od b do bu jest przeci-wny kierunkowi strzałki a. Połączywszy B i A,, otrzymamy zatem drogę względną, jaką punkt B opisuje nad podstawą; droga ta przedstawia zarazem prędkość względ- ₍-ną, gdyż była przebyta w ciągu 1 sek. Niechaj ciało B będzie np. kawałkiem kredy, która poruszając się nad podstawą, zostawia na niej ślad; gdyby A było nieruchome, ślad ten szedłby od B ku b; gdy zaś A porusza się razem z podstawą, zostanie inny ślad (wskazujący ruch względny), mia-nowice od B do bx. Gdyby w A stał człowiek, posuwający się razem z podstawą, obaczyłby ruch BA,, t. j. ruch względny. Z tych uwag wynika następujące wykreślenie, dające prędkość w ruchu względnym : do końca odcinka (BA), wyobrażającego prędkość ciała przystawiamy drugi (bb{), wyobrażający prędkość podstawy, wziętą w kierunku odwrotnym ; Unia łącząca początek pierwszego, z końcem drugiego odcinka, daje prędkość względnąi.

______n

--Sr

Fig 5.

Rozszerzając pojęcie odejmowania, którego używaliśmy do znalezienia prędkości względnej, w przypadku ruchów, mających jednakowy kierunek, nazwiemy powyższe postępowanie odejmowaniem geometrycznem (prędkości Aa od prędkości BA); prawidło znalezione poprzednio dla ruchów o spólnym kierunku, będzie się wówczas stosować ogólnie.

Odejmowanie geometryczne wielkości kierunkowych, jakie-mi są prędkości Aa i BA, będziemy oznaczali równaniem: BA — Aa = BAt; kreski umieszczone nad znakami tych wielkości oznaczają, że nietylko długości odcinków Aa i BA mają być uwzględnione przy odejmowaniu, lecz i kierunki. Bez tego zastrzeżenia powyższe równanie nie byłoby prawdziwie, albowiem różnica długości odcinków BA i Aa nie jest równa długości BAt.

Pozorny ruch słońca, gwiazd, księżyca, jest ruchem względnym, mianowicie względem ziemi, której ruchów nie jesteśmy świadomi. Słońce idzie codziennie od wschodu ku zachodowi; ziemia obraca się w rzeczywistości od zachodu ku wschodowi.

Stojąc nieruchomo, widzimy krople deszczu, w spokojnem powietrzu spadające pionowo na dół; też same krople uderzają nas skośnie w twarz gdy idziemy szybko naprzód. Odjąwszy od prędkości pionowej, poziomą, przekonamy się, że tak być powinno. Kula wystrzelona z brzegu do statku płynącego rzeką, w kierunku prostopadłym do statku, przebija go skos'nie, od przodu ku tyłowi.

12. Składanie, czyli dodawanie prędkości. Zagadnienia ruchu względnego dały nam sposobność odejmowania prędkości i wskazały, że działanie to może być tak rozszerzone, aby stosowało się do prędkości, mających dowolne kierunki; w niniejszym ustępie będzie mowa o zagadnieniach, które się rozwiązuje zapomocą dodawania prędkości.

Często zdarza się, że ruch ciała składa się z kilku ruchów, odbywających się jednocześnie; zadaniem naszem jest wtenczas

znalezienie rzeczywistej, czyli wy-! padkowej prędkości ruchu.

------A

i---

Fig. 6.

odcinki Aa i Ab przedstawiają na podstawie

Jeżeli np. ciało A (fig. 6) porusza się na podstawie M N O P z prędkością Aa, a podstawa porusza się jednocześnie w jakimbądź w kierunku, z inną prędkością A wtenczas znajdziemy rzeczywistą prędkość, jaką ciało posiada w położeniu A, w następujący sposób. Wyobraźmy sobie, że oba ruchy trwają z niezmiennemi prędkościami przez 1 sek.\

wówczas drogi przebyte. Ciało posuwa się do a, ponieważ jednak podstawa i wszystko co się na niej znajduje, przesuwa się jednocześnie do m n o p, przeto ów punkt a zajmie w rzeczywistości położenie c, które znajdziemy, kreśląc ac równoległe do Ab i odcinając ac—Ab. Linia Ac jest rzeczywistą drogą, krórą ciało przebyło w ciągu 1 sek\ linia ta wyobraża zatem rzeczywistą prędkość ciała, podobnie jak Aa i Ab przedstawiały prędkości ruchów składowych.

Wykreślenie, zapomocą którego znajduje się prędkość wypadkową, nazywa się dodawaniem geometrycznem prędkości składających ruch dany. Dodawanie wielkości kierunkowych (wektorów) uskutecznia się w ten sposób, że do końca jednego z odcinków składowych Aa przystawiamy drugi, we właściwym mu kierunku: ac — Ab\ linia Ac łącząca początek pierwszego, z końcem drugiego odcinka, ^tanowi ich sumę geometryczną. Wyrazimy to równaniem:

Aa + ac = Ac, albo Aa + Ab = Ac. dwu odcinków nazywa się także wykreśleniem równoległo b o k u, albowiem suma geometryczna odcinków Aa i Ab równa jest co do długości i posiada ten sam kierunek, co przekątna Ac równoległoboku Aacb, którego dwa boki wyobrażają dane odcinki. Suma geometryczna kilku odcinków, nazywa się także ich wypadkową.

Dodawanie geometryczne

Prędkość wypadkowa ciała, które ulega kilku jednoczesnym ruchom,1 jest zatem suma, geometryczną prędkości ruchów składowych. Dowiedliśmy tego dla dwu ruchów składowych, nie trudno jednak przekonać się, że prawidło jest ważne dla jakiejbądź ilości ruchów. (Uważamy w tym celu kilka podstaw poruszających się; na pierwszej porusza się ciało, ta zaś razem z ciałem porusza się na drugiej podstawie ruchomej i t. d.).

Postępowanie przy dodawaniu kilku wielkości kierunkowych wynika od razu z poprzedzającego: do końca pierwszego odcinka przystawiamy linię równą i równoległą do drugiego; do końca tej linii następną, która wyobraża odcinek trzeci i t. d. Odcinek łączący początek z końcem wie-loboku uzyskanego w ten sposób, przedstawia szukaną sumę pod względem wielkości i kierunku. Gdyby się zdarzyło, że wielobok się zamknie, t. j. że koniec ostatniego odcinka zejdzie się z początkiem pierwszego, wtenczas suma geometryczna danych odcinków jest równa zeru. To ma miejsce np. gdy dwa odcinki mają równe długości, a przeciwne kierunki.

Fig. 7.

13. Rozkładanie prędkości. Opisanie ruchu bywa nieraz prostsze i bardziej zrozumiałe, jeżeli zamiast rzeczywistej prędkości ciała podamy jej składowe; t. j. takie prędkości, których suma geometryczna równa się danej prędkości. Jeżeli np. wiatr wieje od strony, leżącej po środku między północą a wschodem, zatem w kierunku, niema] ącym osobnej nazwy, wtenczas powiadamy, że wiatr jest północno-wschodni. Wyraz ten oznacza, że ruch powietrza odbywa się jednocześnie od północy i od wschodu, to jest, że prędkość ma składowę północną i skła-dowę wschodnią. Postępowanie takie, polegające na wynalezieniu składowych prędkości, mających pewne wybrane kierunki, nazywa się rozkładaniem prędkości. Jeżeli są dane dwa kierunki np. ox i oy (fig. 7) i prędkość Aa, wtenczas znajdziemy składowe Ab i Ac

Ab — Aa. cos a Ac = Aa. sin a.

równoległe do tych kierunków, kreśląc równoległobok Abac, którego przekątną jest linia Aa, a boki są równoległe do ox i oy. Jeżeli kierunki ox i oy tworzą kąt prosty xoy = 90°, a kąt pomiędzy kierunkiem prędkości i kierunkiem ox wynosi a, wtenczas wartości składowych możemy obliczyć zapomocą następujących równań:

Prędkości składowe mogą mieć kierunki prostopadłe do siebie, albo ukośne. Rozkładanie w kierunkach prostopadłych do siebie zdarza się najczęściej. W tym razie używamy skróconego wyrażenia: „składowa w kierunku oxu, rozumiejąc, że prędkość ma być rozłożoną na dwie składowe, z których jedna jest równoległa do ox, druga prostopadła do tego kierunku.

ZADANIA.

1)    Pociąg przebiega w ciągu godziny, ruchem jednostajnym, drogę 45 km, znaleźć prędkość. Odp. 1250 cm/sek.

2)    Jakiego czasu potrzeba na przebycie 482 km, z prędkością 1192 cm/sek? Odp. 10 godzin, 4 minuty, 2 sek.

3)    Jak daleko zajdziemy z tą pzędkością w ciągu 6 godz.? Odp.

257'/? km.

.4) W jakim stosunku są prędkości dwu ciał, które w tym samym czasie przebywają 7 i 21 cm? Odp. 1 : 3.

5)    Jaki jest stosunek, jeżeli ciała przebiegają jednakowe drogi w 5 i 20 sek. Odr. 4:1.

6)    Jaki jest stosunek dróg, jeżeli stosunek prędkości wynosi 3: 7, czasów 5 : 2? Odp. 15 : 14.

\7) Jaki jest stosunek prędkości dwu ruchów, jeżeli drogi mają się do siebie jak 3 : 5, czasy jak 6 : 5? Odp. 1 : 2.

v8) Wiele cm/sek wynosi prędkość 30 km/godz. ? Odp. 833Vs.

9) Wiele km/godz. odpowiada prędkości 1000 cm/sek ? Odp. 36.

10) Wiele cm/sek wynosi prędkość 1 I mil geocjr.\godz?

Odp. (1,5 X 7,422 X 100000) : 3600 = 309,2 cm/sek.

^11) Jaką jednostkę czasu należałoby przyjąć, nie zmieniając jednostki długości (cm), aby prędkość ruchu ślimaka (0,5 cm/sek) wyraziła się tą samą liczbą co prędkość światła w cm/sek? Odp. 19C0 lat.

12) Pociąg o prędkośei 12- m/sek mija drugi pociąg, idący w tym samym kierunku na sąsiednim torze, z prędkością 10 m/sek; jakiemi wydają się te prędkości podróżnym przeciwnego pociągu? Odp. Pierwsza: — 2 m/sek, druga: -j- 2 m/sek.

â />/ r/€.

if

13)    Jakiemi wydają się te prędkos'ci, jeżeli drugi pociąg idzie w kierunku przeciwnym? Odp. Pierwsza -j- 22, druga — 22 m/sek.

14)    Jakiemi, jeżeli drugi pociąg stoi? Odp. -j- 12, — 12 m/sek.

15)    Statek, płynący rzeką ku północy, z prędkością 8 misek, przebija kula, mająca prędkość 200 m sek, wystrzelona ze wschodniego brzegu, prostopadle do kierunku ruchu statku; jaka jest prędkość kuli względem statku

200

i jaki jej kierunek? Odp. ]/ (20Ö)² + (8)² = 200,16 m/sek-, arc taruj — 2« 171 26", licząc od zachodu ku południowi.

16)    Deszcz spadający pionowo, z prędkością 20 misek trafia ukośnie twarz człowieka, biegnącego z prędkością 3 misek; z jaką prędkością i w jakim kierunku? Odr>. 20,22 misek; 8° 32' od pionu.

17)    Dwa wozy wyjeżdżają jednocześnie z miasta, z jednakową prędkością gościńcami rozchodzącymi się pod kątem 60°; jaki jest ich ruc względny? Odp. Oddalają się od siebie z prędkością równą ich własnej wzdłuż linii, tworzącej kąty 60° z obu gościńcami.

18)    Jaki jest ruch względny, jeżeli gościńce krzyżują się pod kątem prostym? Odp. Prędkość ]// 2 razy większa, kierunek 45°.

19)    Ziemia krąży około słońca po elipsie; jaki jest ruch względny słońca, względem ziemi? Odp. Obieg po takiej samej elipsie, obróconej o 183° t. j. w przeciwnym kierunku.

20)    Punkt porusza się jednostajnie po kole, leżącem na podstawie poruszającej się jednostajnie po linii prostej; jaka jest rzeczywista droga punktu jeżeli: a) prędkość jego na obwodzie — prędkości podstawy; b) jeżeli większa; c) jeżeli mniejsza? Odp. a) cykloida; b) cykloida wydłużona; e) cykloida skrócona.

'21) Kula toczy się z prędkością 2,75 m/sek w poprzek wozu, jadącego z prędkością 3,6 misek; znaleźć prędkość wypadkową kuli względem ziemi. Odp. 4,53 m/sek, 37° 23' od kierunku wozu.

22) Dwie prędkości x cm/sek i y cm/sek tworzą kąt <p; obliczyć prędkość wypadkową B. Odp. B — (x* -j- y* -f 2x y cos ?) % .

y sin cp

23) Znaleźć kąt a, pomiędzy x i B. Odp. sin a =

24) Znaleźć sumę geometryczną następujących prędkości: 15 cm/sek ku północy, 8 cm/sek ku północnemu wschodowi i 22 cm/sek ku południo

wemu wschodowi. Odp. Rozłożyć każdą prędkość na składowę północną

-“+FÎ

i wschodnią; suma północnych: x dnich: y —    —

* V 2

22

22

T>— ; suma wscho-

V 2

wÿ; wypadkowa B — (x² -f y'O h; kąt a między wypadkową a wschodem z równania arc tang —-

= a.

--25) Okazać na rysunku, że porządek w jakim skład

przechodzi on przez punkt P', leżący w takiej odle

O DZIAŁANIU SIŁ.

m, OA + m2 OB + m3 OC + .... = (m, -f- m% -f m3 + ....) OS.

Fig. 4Ö.

’S

O MIERZENIU MAS, PRZESTRZENI, SIŁ I CZASU.

HF

Odwieczne, a zawsze bezskuteczne próby i doświadcz

kim tym wyrażeniom, może być wyłączony przed nawia

c)

Z rozpoznania tych sił wewnętrznych wynika następu

płaszczyzny względem dolnej, nieruchomej, wynosi:

WŁASNOŚCI GAZÓW.

d d'

(*) (a) GT*) C7) ©

-PT-

T + 3T

o", Ä", ...

LVt-

¹

Podajemy tu, jak w wielu dalszych tablicach, wartości wyrażone w ułamkach dziesiętnych, nadto zaś, w nawiasie, te same wartości pod postacią zwyozajnego ułamka; mianownik jego jest odwrotnością ułamka dziesiętnego.

--25) Okazać na rysunku, że porządek w jakim składamy te prędkości, niema wpływu na wypadkowę.

26) Znaleźć sumę następujących prędkości: 61 cm/sek ku północnemu wschodowi, 61 cmlsek ¹ i południowemu wschodowi i 86,2668 cmjsek ku zachodowi. Odp. Zero.

■27) Ciało posiada w pewnej chwili prędkość 50 cmlsek ku północy, w godzinę później porusza się ku wschodowi z prędkością 20 cm/sek; o ile zmieniła się prędkość w ciągu tego czasu? Odp. Powiększyła się o 53,85 cm/sek, w kierunku zawierającym kąt 21° 48' z kierunkiem południowym, licząc ku wschodowi.

28) Wiatr wieje z prędkością 800 cm/sek, od punktu leżącego w odległości kątowej (azymucie) 67°, licząc od południa ku zachodowi; znaleźć składowę północną i wchodnią. Odp. 313 cm/sek i 736 cm/sek.

29) Pociąg kolejowy porusza się z prędkością 11 m/sek w kierunku północno-wschodnim, po torze wznoszącym się do góry, pod kątem 4°, znaleźć składowę północną, wschodnią i pionową do góry. Odp. Składowa

10,973

j7=; Pionowa =

pozioma = JO,973, zatem północna = wschodniej =

11 sin 4° = 0,767 m'sek.

30) Wiatr pędzi okręt ku zachodowi z prędkością 1 mili na godzinę; prąd morski unosi go jednocześnie ku południowi z prędkością 0,4 mil na godzinę; znaleźć prędkość i kierunek okrętu. Odp. 1,077; 21° 48' od zachodu.

14. Ruchy o prędkości zmiennej. W ruchu jednostajnvni. po linii prostej, prędkość jest stała, nie zmienia się bowiem ani wartość jej ani kierunek. Prędkość jest natomiast zmienna, ilekroć bądźto wrartość jej, bądź kierunek, albo jedno i drugie razem się zmieniają. Zastanowimy się naprzód nad zmianą wartości, nie myśląc na razie o kierunku. Określenie prędkości, jako stosunku długości drogi do czasu, jest tak ściśle związane z pojęciem ruchu jednostajnego, że przystępując do ruchów zmiennych powinniśmy,;przedewszystkiem rozważyć, czy w tym razie określenie powyższe na cokolwiek się przyda. W ruchu zmiennym prędkość nie jest ani chwili stała, lecz rośnie nieustannie, albo maleje, albo naprzemian rośnie i maleje; stosunek pewnego odcinka drogi do odpowiedniego czasu nie jest liczbą stałą, jednakową dla wszystkich odcinków, jak to było w ruchu jednostajnym. Gdy lawina śnieżna zesuwa się z góry, ruch jej, z razu niedostrzegalny, wzmaga się nieustannie i bez przerwy;

podobnie, gdy pociąg zbliżający się do stacyi zwalnia stopniowo bieg, stosunek dróg do właściwych im czasów nie jest liczbą stałą i nie daje wyobrażenia o prędkości, jaką ciało posiada w pewnej określonej chwili. Nie umiemy sobie wyobrazić pewnej danej prędkości inaczej, jak tylko myśląc o ruchu jednostajnym; mając więc określić prędkość, jaką posiada ciało poruszające się niejednostajnie, w pewnej określonej chwili, powinniśmy znaleźć sposób porównania takiego ruchu z ruchem jednostajnym. Zamknijmy oczy, żeby nie widzieć zmienności

ruchu, i otwórzmy je na jedno okamgnienie, np. na -¹- sekundy;

w ciągu tej krótkiej chwili nie dostrzeżemy, że ruch jest zmienny, że np. pociąg zdążający do stacyi zwalnia bieg. Ruch wyda się nam jednostajny, a jeżeli droga przebieżona w przeciągu tej chwili wynosiła dajmy nato 79 cm, to uzyskaliśmy przybliżone wyobrażenie o prędkości ruchu w ciągu owej chwili; była ona taka jak ruchu jednostajnego o prędkości 790 cm/sek. Ściśle biorąc, liczba ta daje nam tylko średnią prędkość w ciągu owej chwili, gdyż przy końcu ~ sekundy ruch był z pewnością nieco powolniejszy aniżeli na początku tego czasu. Aby prędkość dokładniej wyznaczyć, należałoby spostrzegać ruch w tem samem miejscu przez czas jeszcze krótszy np. przez

^ sek (przypuśćmy że zapomocą fotografii chwilowej); będzie

on wówczas jeszcze bardziej podobny do ruchu jednostajnego, gdyż zmiejszanie się prędkości jeszcze mniej się uwydatni.

791,4

sek dałoby drogę np. 0,79149

1000

cm, z czego wynika prędkość średnia : 791,49 i t. d.

Przykład ten okazuje, iż postępując dalej w ten sam sposób, t. j. biorąc coraz krótsze czasy, otrzymywać będziemy prędkości średnie, wprawdzie coraz inne, ale zarazem coraz mniej się różniące, gdyż ruch spostrzegany stawać się będzie coraz po-

Skracając czas od do ^ sekundy odrzuciliśmy — sek, w ciągu których prędkość zmniejszała się: droga odpowiadająca — sek będzie więc cokolwiek dłuższa, aniżeli część poprzedzającej, znajdziemy dajmy na to: 7,914 cm. Jako średnią prędkość ruchu uzyskamy z tego doświadczenia: 7,914 : * cm/sek. Spostrzeżenie trwające

dobniejszym do ruchu jednostajnego, mającego pewną, określoną prędkość. Brak przyrządów do mierzenia bardzo krótkich czasów i dróg, położyłby wkrótce kres temu postępowaniu. W myśli możemy jednak pójść dalej, i zmniejszać czas bez końca, przy czem oczywiście zmniejszać się będą odpowiedne drogi; stosunek atoli dróg do czasów zdążać będzie bez końca do pewnej wartości określonej (w powyższym przykładzie do 791,5). Tę wartość graniczną uważać będziemy jako rzeczywistą prędkość ruchu w danem miejscu na drodze Z powyższem rozumowaniem, za pomocą którego uzyskaliśmy określenie prędkości w ruchu zmiennym, należy się oswoić, gdyż przyda się ono w wielu podobnych zagadnieniach. Rozumowanie rzeczone polega na rozważaniu stosunku dwu wielkości zmieniających się (tutaj drogi przebytej i odpowiedniego czasu); stosunek ten, zmieniający się— zależnie od tego jak długą bierzemy drogę i jaki czas — zdąża jednak do stałej i określonej wartości, gdy czas tudzież drogę skracamy bez końca. Mówiąc o ruchu zmiennym nie możemy powiedzieć, jak o jednostajnym, że prędkość równa się drodze, przebytej w przeciągu jednostki czasu; natomiast używać będziemy wyrażenia : prędkość równa się drodze przypadającej na jednostkę cza-

su.

; jeżeli droga przebyta w ciągu    części sekundy wynosi

0,000017 cm, to wnosimy, że na 1 sek przypada droga 17 cm — nie przesądzając wcale, jakoby ciało rzeczywiście przebywało drogę 17 cm w ciągu sekundy; rzeczywista droga w przeciągu sekundy będzie większa niż 17, jeżeli prędkość się zwiększa, w przeciwnym razie będzie mniejsza.

Na podstawie tych objaśnień przyjmiemy następujące okre

ślenia:

Średnią prędkością ruchu w przeciągu pewnego czasu nazywamy stosunek drogi przebytej do tegoż czasu. Niechaj s oznacza drogę odbytą z końcem czasu t, zaś .s*, drogę, z końcem czasu późniejszego tx. Pomiędzy temi chwilami upływa czas tx—t, odległość przebyta wynosi st— s- prędkość średnia w okresie od t do tx

wynosi zatem: vr —

i I T •

Rzeczywista prędkość ruchu w pewnej chwili równa się wartości, do której zdaża prędkość średnia, gdy czas bez końca się skraca, to jest gdy tx staje się coraz bliższem t, a s, odpowiednio bliższem s\ albo krócej: równa się drodze przypadającej iv uważanej chwili na jednostkę czasu. Biorąc w poprzednim ułamku tx coraz bliższem t, a w skutek tego coraz mniej rożnem od s, dostajemy szereg ułamków, których liczniki i mianowniki stają się coraz bliższymi zera, a których wartości zdążają do liczby określającej rzeczywistą prędkość w chwili t.

15. Ruch jednostajnie przyśpieszony. Tak nazywamy ruchy, których prędkość powiększa się o równe wielkości w przeciągu równych, choćby dowolnie małych czasów, w których zatem prędkość rośnie jednostajnie i bez przerwy. Wiedząc, ile wynosi zwiększenie prędkości w ciągu jednostki czasu, możemy na zasadzie określenia, znaleźć prędkość ruchu w każdej dowolnej chwili. Z początkiem ruchu, gdy t = o, niech ciało będzie nieruchome t. j. prędkość v — o. Dajmy nato, że w przeciągu każdej sekundy rzeczywista prędkość ruchu zwiększa się o ?. Wtenczas przy końcu pierwszej sekundy prędkość wynosić będzie 7, przy końcu drugiej 2 y i t. d.

W ogólności, po upływie t sekund, prędkość ruchu v uzyska

wartość:

(1)

v — t. Y

Wielkość y, zwana przyśpieszeniem ruchu, może być w każdym ruchu inną; ona cechuje każdy ruch jednostajnie przyśpieszony; im większe jest y tem nagiej wzrasta jego prędkość.

Może się zdarzyć, że w chwili t = o, gdy zaczynamy liczyć czas, ciało jest już w ruchu i posiada już pewną prędkość (początkową) y₀; ponieważ w ciągu następnych ł sekund prędkość zwiększa się jeszcze o y 1 przeto po upływie tego czasu wartością jej będzie:

(2)

o — v₀ + Y t-

Pytamy teraz, jak długą jest droga przebyta w ciągu jakiegokolwiek czasu (t sek) ruchem jednostajnie przyśpieszonym? Okażemy, że długość drogi jest taka, jakąby ciało przebyło ruchem jednostajnym, gdyby miało stale taką prędkość, jaką w ruchu jednostajnie przyśpieszonym posiada w połowie uważanego czasu. Obliczenie długości drogi, przebytej ruchem, którego prędkość rośnie jednostajnie, polega na podobnem rozumowaniu, jak np. obliczenie całkowitego wydatku miesięcznego, jeżeli wydatki dzienne powiększają się jednostajnie. Dajmy nato, że 1-go dnia w miesiącu wydaliśmy pięć groszy, 2-go siedem, 3-go dziewięć i t. d., codzienie o 2 grosze więcej, nakoniec 31-go sześćdziesiąt pięć. Całkowity wydatek miesięczny będzie taki, jak gdybyśmy codziennie wvdawali po 35 groszy, a więc tyle, ile wydajemy w środku miesiąca, 16-go; wprawdzie wydajemy 1-go o 30 mniej, lecz zato 31-go o tyleż więcej; 2-go o 28 mniej, natomiast 30-go o 28 więcej, i t. d.

Prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, w pewnej chwili poprzedzającej środek czasu, dla którego mamy obliczyć drogę, jest o tyleż mniejsza od środkowej prędkości, o ile w równie odległej od środka chwili późniejszej jest większa.

2* prędkość ruchu wynosi, według (2): vQ -f- y ~ ;

pomnożywszy tę wartość przez czas t, znajdziemy długość s drogi przebyte] w ciągu czasu t, mianowicie:

W chwili

(3)

s — v₀ t + i y t*-

Jeżeli prędkość początkowa ruchu jest zerem, t. j. v₀ — 0, jak w równaniu (1), wtenczas jest:

<4)

s = i Y t²-

Długość drogi jest w tym przypadku proporcyonalna do drugiej potęgi czasu użytego na jej przebycie. Przy końcu 1-ej

sekundy droga przebyta wynosi , po upływie dwu sekund :

IO -z

i t. d. Natomiast w przeciągu pierwszej

4 -D- po trzech : 9

w przeciągu drugiej (t. j. od końca 1-ej do końca 2-ej), trzeciej

sekundy, i t. d. ciało przebywa odcinki drogi: -g-, 3 -g-, 5

i t. d., proporcjonalne do szeregu liczb nieparzystych: 1,3,5... i t. d.

Wzoru (3) można również dowieść zapomocą wykreślenia (fig. 8) w następujący sposób. Linia GA wyobraża symbolicznie czas; przypuśćmy np. że jakakolwiek wskazówka posuwa się jednostajnie, jakby wskazówka zegarowa od O ku A, a przejście jej przez punkty 1, 2, 3... jednakowo od siebie odległe, zaznacza sekundy. Wykreślmy w każdym z tych punktów' prostopadłą do OA (t. zw. rzędnę) i dajmy każdej z nich długość równą prędkości, jaką ruch jednostajnie przyśpieszony posiada w tej chwili, którą odnośny punkt oznacza. Długość pierwszej rzędnej Oa wyobraża początkową, prędkość v₀, długość ostatniej wyobraża prędkość v — v₀ -f- y t ; każda rzędna jest dłuższa od poprzedzającej o y, przeto linia ab (wytyczona przez wierzchołki rzędnych), jest prostą. Gdyby prędkość ruchu była w ciągu każdej sekundy stała i równa prędkości na początku sekundy, wówczas drogę przebytą przedstawiałyby prostokątne pola pasków, ograniczone schodkową linją poniżej al-, gdyby prędkość w ciągu każdej sekundy była równa prędkości jaką ruch posiada przy końcu każdej z nich, drogi przebyte byłyby równe polom pasków ograniczonych linją schodkową powyżej ab. Całkowita droga równałaby się w obu przypadkach sumie pól odpowiednich pasków. W pierwszym przypadku byłaby ona mniejsza, w drugim większa aniżeli rzeczywista droga, przebyta ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Biorąc zamiast sekund, mniejsze, dowolnie krótkie odstępy czasu, możemy różnicę pomiędzy temi dwoma przypuszczeniami dowolnie zmniejszyć; obie sumy zrównają się i staną się równe polu trapezu o ab t- pole to przedstawia więc drogę przebytą w ruchu jednostajnie przyśpieszonym:

'1

-J_I_L

Fig. 8.

i (Oa + tb) X Ot, przeto s = \ (v₀ + v₀ + y t) t = v₀ t + y t\

Inny wzór na prędkość ruchu jednostajnie przyśpieszonego można uzyskać, łącząc wzory (1) i (4). Czas potrzebny do przebycia drogi s, jeżeli ruch zaczyna się bez prędkości początkowej, wynosi, według (4):

Vt-

Prędkość nabyta w ciągu tego czasu, a zatem wzdłuż drogi s, wynosi podług (1);

czyli

(5)

Rozwiązując ostatnie równanie względem s, otrzymamy długość drogi, wzdłuż której ciało powinno poruszać się z przyśpieszeniem y, żeby na jej końcu uzyskało prędkość v, mianowicie

(6)

v²

2y '

Wzory (5) i (6) odnoszą się tylko do tych ruchów, w których prędkość początkowa jest zerem.

IG. Przyśpieszenie. Zastanówmy się nad znaczeniom wielkości, którą oznaczyliśmy wyżej przez y i nazwali przyśpieszeniem. Z równania (2, ust. 15) wypada:

v — v₀

W równaniu tem t oznacza czas, w ciągu którego prędkość wzrasta od początkowej wartości v₀ do końcowej wartości v.

Przyśpieszenie jest tedy stosunkiem przyrostu prędkości do czasu w ciągu którego przyrastanie się odbywało, albo (jeżeli przyjmiemy, że t — 1 sek) .równa się przyrostowi prędkości przypadającemu na jednostkę czasu. W ruchu jednostajnie przyśpieszonym możemy zamiast wyrażenia „przyrost przypadający na jednostkę ■czasu'⁻', powiedzieć: „rzeczywisty przyrost prędkości w ciągu jednostki czasu“. Są jednak ruchy, w których prędkość nie zmienia się jednostajnie, a zatem przyśpieszenie nie jest wielkością stałą. Ruchy tego rodzaju można zawsze podzielić na tak krótkie odstępy, żeby zmienność przyśpieszenia w zakresie każdego odstępu była nieznaczna; inaczej mówiąc, każdy dowolny ruch, spostrzegany przez bardzo krótką chwilę, wyda się nam •podobny do ruchu mającego pewne stałe przyśpieszenie. Nawet ruch jednostajny nie stanowi w tej mierze wyjątku, gdyż możemy uważać go jako ruch jednostajnie przyśpieszony, mający przyśpieszenie zero. Możemy więc zastosować pojęcie przyśpieszenia w każdym ruchu. W ogóle będzie ono w każdym punkcie drogi inne. Celem obliczenia przyśpieszenia w jakimkolwiek ruchu należy podobnie rozumować, jak to uczyniliśmy w ust. 14, określając prędkość zmienną. Podzieliwszy przyrost prędkości odpowiadający pewnemu okresowi ruchu, przez czas, t. j. przez trwanie tego okresu, otrzymamy t. zw. przyśpieszę-

nie średnie, czyli przyrost prędkości przypadający średnio na jednostkę czasu w owym okresie. Skracając następnie trwanie okresu bez końca, otrzymywać będziemy kolejno przyśpieszenia średnie, coraz mniej się różniące, t. j. zbliżające się do pewnej określonej wartości. Tę wartość graniczną nazywamy przyśpieszeniem rzeczywistem w tym punkcie drogi, w którym spostrzegaliśmy ruch.

Pizyśpieszenia mają swoją osobną miarę; jednostką jest przyśpieszenie tego ruchu, w którym prędkość powiększa się o jednostkę, w ciągu jednostki czasu. Jeżeli, dajmy na to, w ciągu 10 sek prędkość powiększa się jednostajnie od 20 cm/sek do 27 cm/sek t. j. o 7 cm/sek, wtenczas przypada na jedną sekundę przyrost 0,7 cm/sek t. j. przyśpieszenie wynosi: „[0,7 centymetrów na sekundę], na sekundę¹'* piszemy to krótko: 0,7 cm/sek sek albo 0,7 cm/sek² (czytaj „centymetrów na kwadrat sekundy“). Podwójną zależność wartości liczebnej przyśpieszenia od jednostki czasu zrozumiemy najlepiej, przypuszczając na chwilę, że do mierzenia czasu użyto innej jednostki, aniżeli do określenia jednostki prędkości; np. jeżeli prędkość zwiększa się w ciągu 1 sekundy od 30 cm/godzinę do 35 cmjgoclz, natenczas przyśpieszenie będzie: 5 cm/godz sek. W układzie miar c. g. s. jednostką przyśpieszeń jest cm/sek¹; wzór ten przedstawia zarazem wymiar przyśpieszenia.

17. Ruch jednostajnie opoźniony. Przyśpieszenia bywają także ujemne, wtenczas mianowicie, gdy prędkość ruchu się zmniejsza. Jeżeli przyśpieszenie ujemne jest zarazem stałe, wtenczas prędkość ruchu zmniejsza się w równych czasach o równe wielkości; ruch taki nazywamy jednostajnie opóźnionym. Zasadnicze wzorjr, opisujące ruch ten, wynikają od razu ze wzorów (2) i (3) ust. 15, skoro zamiast y napiszemy — 7. W chwili t — o ruch rozpoczyna się z prędkością początkową t’₀; po upływie t sekund prędkość wynosi już tylko:

(1)

v = v₀ — y t.

Też same rozumowania, których używaliśmy do obliczenia drogi przebytej ruchem jednostajnie przyśpieszonym, dają się zastosować do obecnego przypadku; znajdziemy mianowicie:

(2)

t. j. droga przebyta w przeciągu czasu od t — o do jakiegokolwiek t, równa jest odległości jakąby ciało przebyło ruchem jednostajnym z prędkością średnią y₀ — £ y t.

Łatwo zrozumieć, że w skutek ciągłego zmniejszania się prędkości, ruch musi w końcu ustać; nastąpi to po upływie pewnego czasu t\ licząc od chwili t — o. Ponieważ w ciągu jednej sekundy prędkość ubywa o y, a w ciągu czasu V o y t’, przeto ruch ustanie, skoro ubytek y f dorówna początkowemu zapasowi prędkością; mamy więc v₀ = y f skąd:

Vo

(3)

to-.

Droga przebyta, od początku aż do ustania ruchu, wynosi: v₀ X t' czyli:

(4)

s' =

MK

ZADANIA.

31) Pociąg wyjeżdża ze stacji ruchem jednostajnie przyśpieszonym; po upływie 1 min. ruch staje się jednostajny o prędkości 12 misek. Jak wielkie było przyśpieszenie? Odp. 0,2 m/sek².

. 32) Jak daleko oddalił się ten pociąg od stacyi, w chwili gdy ruch

= 360 m.

stał się jednostajnym? Odp. s — % y t² albo s =

\33) Ciała puszczone swobodnie spadają ruchem jednostajnie przyśpieszonym, z przyśpieszeniem 981 cm\sek² (w przybliżeniu 10 mjsek²); obliczyć prędkość ruchu po upływie jednej, dwu, trzech... sekund. Odp. 981 1962, 2943... cm/sek (w przybliżeniu 10, 20, 30... misek).

34) Obliczyć wysokości spadku w tych samych czasach. Odp. 490,5 1962,0; 4414,5... cm.

35) Znaleźć wzór dający prędkość należącą do wysokości spadku s.

Odp. 44,29547 )/ s cm/sek.

36) ..-Znaleźć wzór dający spadek, należący! do prędkości v. Odp.

~cm.

' Vz

e#e&9684-^2

\ 37) Dwa ciała wyruszają z tego samego miejsca, w tym samym kierunku)- ruchem o przyśpieszeniu y, jednako wem dla obu; drugie wyrusza jednak o czas t później od pierwszego. Znaleźć ich odległość 8 w czasie t,

liczonym od zaczęcia drugiego ruchu. Odp. o = y £ t -f---t².

. 2

\3^ Dwa ciała spadają z tego samego miejsca; drugie wyrusza w chwili, gdy pierwsze odbyło już drogę 30 cm. Znaleźć ich odległość w czasie t (licząc od chwili zaczęcia ruchu drugiego ciała). Odp. 30 -\-242,6-1 cm.

39)    W jakim czasie odbędzie ciało drogę 250 m, jeżeli, przy prędkości początkowej = 0, przyśpieszenie wynosi 25 cm/sek²? Odp. 44,7 sek.

40)    Początkowa odległość dwu ciał, poruszających się po jednej linii prostej, w tym samym kierunku, ruchem jednostajnie przyśpieszonym, wynosi 35 c/w; przednie ma początkową prędkość 60 cm/sek i przyśpieszenie 17 cm/sek², tylne 40 cm/sek i 27 cm/sek². Po jakim czasie drugie dogoni pierwsze? Odp. 5,3167 sek.

41)    Rzucamy kamień do studni, po upływie t sek słyszymy odgłos kamienia uderzającego o wodę. Jaka jest głębokość x studni, jeżeli y oznacza przyśpieszenie kamienia, c prędkość gŁosu?

c² »

Odp. x = c T -f- — —

I / cJ

c \ /    — -j- — (wziąć znak — , gdyż dla

y    9²

2tc

t = o powinno być x = o).

\Ą2)y Pociąg mający prędkość 10 m\sek poczyna zwalniać bieg, tracąc w ciągu każdej sekundy 25 cmlsek prędkości; jak daleko jeszcze zajedzie i kiedy stanie? Odp. 200 m; 40 sek.

43) Po jakim czasie prędkość jego wynosić będzie 5 cm/sek-, ile wynosi wówczas droga przebyta? Odp. 20 sek; 150 m.

Ciało rzucone pionowo do góry, z prędkością początkową v% porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, z przyśpieszeniem — 981

cm/sek²; do jakiej wysokości doleci ono, jeżeli prędkość początkowa wynosi 900 cm/sek? Odp. 412,8 cm.

45) Ile cm/sek² wynosi przyśpieszenie 500 m/(godz)⁵?

50000

Odp. 5C0

(100 cm)

(3600 sek)²

(36C0)²

cmlsek² — 0,00386 cm/sek².

46) Jaką liczbą wyraża się przyśpieszenie 981 cm/sek², jeżeli jednostką długości będzie mila geograficzna, jednostką czasu godzina? (0,0000013473 mil geog.)

Odp. 981

(im**-)’

= 17133.

18. Ruchy po liniach krzywych. Określając przyśpieszenie jakiegobądź ruchu, należy zwrócić uwagę nietylko na liczebną jego wartość lecz i na kierunek. Nie dość jest wiedzieć, 0 ile prędkość ruchu zwiększa się lub maleje: nie mniej ważnem jest pytanie, w jakim kierunku przybywają przyrosty prędkości. W ruchu prostolinijnym, przyśpieszenie posiada za-

Bibl. mat.-fiz. S. III, T. VIII.

wsze kierunek równoległy do prostej, na której ciało się porusza; jeżeli ruch się przyśpiesza, wtenczas kierunek przyśpieszenia jest ten sam co ruchu, albowiem do prędkości ruchu przybywają ciągle dodatki, mające ten sam, co ona, kierunek; w ruchu opóźniającym się, przyśpieszenie posiada kierunek przeciwny. W każdym przypadku możemy przyśpieszenie wyobrazić na rysunku zapo-mocą odcinka prostego, opatrzonego strzałką kierunkową, ono jest również wektorem.

Ruchy po liniach krzywych odznaczają się tem, że przyśpieszenie posiada w ogóle kierunek ukośny względem drogi lub prędkości. Zmiana bowiem kierunku ruchu może tylko wtenczas nastąpić, gdy do prędkości istniejącej w pewnej chwili, przyłączy się przyrost mający kierunek odmienny. Łatwo to zrozumieć, zwłaszcza jeżeli zwrot ruchu jest dość nagły; wszakże chcąc zmienić kierunek ruchu jakiego ciała, trącamy je w kierunku ukośnym względem pierwotnej jego drogi. Podobne, tylko stopniowe i łagodne zwroty, istnieją w każdym ruchu na iniach łagodnie zakrzywionych.

>o

aa

dr

Ö'

ar

A"*

o*

» -i.___

Fig. 9.

Aby znal eźć wartość i kierunek przyśpieszenia w każdem miejscu drogi krzywej M N (fig. 9) wybierzmy na niej kilka punktów: A, B, C... przez które ciało po kolei przechodzi i wykreślmy w każdym z nich odcinki styczne AA1; BBj, CC!,... wyobrażające wartość i kierunek prędkości (ust. 10) jaką ciało tamże posiada.

Celem uzyskania lepszego przeglądu, zestawmy te prędkości na oddzielnym rysunku, pod postacią odcinków 0«, Ob, Oc i t. d., wychodących ze spólnego punktu O, a równych i równoległych do AA1; BB1? i t. d. Jeżeli ilość punktów wybranych na MN jest dość znaczna, wtenczas punkty a, b, c i t. d., będą równie liczne i wytyczą ciągłą linię krzywą m n, zwaną h o d o-

grafem danego ruchu. Hodograf mn stanowi zestawienie, albo wykaz; prędkości we wszystkich punktach drogi MN.

Zanim okażemy, w jaki sposób za pomocą tej pomocniczej krzywej znajduje się przyśpieszenie w którembądź miejscu na drodze, np. w punkcie A, zastanówmy się naprzód, ile wynosi całkowita zmiana t. j. przyrost prędkości ciała, gdy ono przechodzi z A do sąsiedniego, nieskończenie blizkiego punktu B', do którego należy w hodografie punkt V.

Na mocy geometrycznego dodawania mamy:

Ob' — Ô a + ab'

t. j. do prędkości którą ciało posiada w A, należy dodać prędkość mającą wartość i kierunek ab', wówczas otrzymamy Ob' t. j. prędkość ciała w B'. Odcinek ab' przedstawia zatem szukany przyrost prędkości.

Jeżeli oznaczymy przez t czas, w ciągu którego ciało prze-,

bywa drogę AB', wtenczas stosunek a^~ oznaczać będzie przyrost

prędkości przypadający na jednostkę czasu, czyli średnie przyśpieszenie w tej części drogi; kierunek jego jest równoległy do ab'.

Im któtszy będzie czas t, t. j. im bliżej wybierzemy B' obok

A, tem ściślej zbliżać się będzie stosunek — do pewnej określonej wielkości ?. Wielkość ta jest przyrostem prędkości przypadającym na jednostkę czasu, podczas ruchu w najbliższem sąsiedztwie punktu A; jest to przyśpieszenie, jakie ruch posiada w tym punkcie drogi.

Im krótszą obierzemy cząstkę diogi AB' tem mniej różnić się będzie cięciwa ab' hodografu od łuku tej krzywej między a i b'\ kierunek ab’ zbliżać się będzie jednocześnie do stycznej, wykręconej w punkcie a.

Pomyślmy, że po hodografie porusza się punkt pomocniczy, w taki sposób, że przechodzi przez miejsca a, b', b, c..., gdy jednocześnie ciało na drodze M N przechodzi przez A, B', B, C.

Wtenczas stosunek ~ określać będzie, przy nieskończenie malern ab', prędkość tego punktu pomocniczego w chwili przejścia przez a. Pamiętając, że ten sam stosunek daje przyśpieszenie 7 w punkcie A, przychodzimy do następującego wniosku: Przyśpieszenie ciała w Idóremkolwiek miejscu na torze zakrzy wionym, posiada

ten sam kierunek i tę sarnę wartość liczebną;, jak prędkość punktu pomocniczego w odpowiedniem miejscu na hodografie.

Wykreślmy z punktu A odcinek A 7 równoległy do a 7, przedstawiający prędkość na hodografie w punkcie a (według tej samej podziałki, która służyła do nakreślenia prędkości Oa, Ob, i t. d. Odcinek ten, opatrzony strzałką kierunkową, wyobraża przyśpieszenie w punkcie A. W ten sam sposób£można znaleźć i wykreślić przyśpieszenie w B, C i w każdym dowolnym punkcie drogi.

ZADANIA.

*

'•éîy Znaleźć hodograf ruchu jednostajnie przyspieszonego po linii prostej. Odp. Linia prosta, na niej ruch jednostajny z prędkością, 7.

48) To samo dla ruchu jednostajnego na prostej. Odp. Punkt n ruchomy.

19. Ruch .jednostajny po kole. Ciało poruszające się jednostajnie na obwodzie koła, t. j.. przebiegające w równych czasach łuki jednakowej długości, posiada prędkość zmienną. Nie zmienia się wprawdzie wartość liczebna prędkości, ale kierunek jej zmienia się nieustannie i jednostajnie; ruch taki musi przeto mieć przyśpieszenie. W istocie, aby zmusić ciało poruszające się swobodnie np. kulę na posadzce, do krążenia po kole, potrze-

Ä,

8 __J.

i/

---

..A.....\C

0|

1

c.

Fig. 10.

ba potrącać ją ciągle ku środkowi koła, czyli przyśpieszać poprzecznie względem toru; koń biegający w ujeżdżalni musi ró. wnież nieustannie zbaczać ku ^środkowi koła, po którego obwodzie biegnie, co dowodzi, że prędkość zmienia się w kierunku prostopadłym do biegu. Aby znaleźć wartość i kierunek przy_ śpieszenia 7 w ruchu takim, postąpimy w następujący sposób.

Niech koło A, B. C (fig 10) będzie torem, po którym ciało porusza się z prędkością v. S jest środkiem koła, promień jego oznaczymy przez r. Kierunek prędkości jest zawsze styczny do obwodu koła, a więc prostopadły do promienia; linie AAj, BB1( CCt wyobrażają prędkości w punktach A, B, C, każda z nich ma długość v. Obok wykreślone są te same prędkości z jednego punktu O, mianowicie O a, Ob, O c. Jeżeli w taki sam sposób wykreślimy prędkości dla wszystkich położeń ciała na torze kołowym, natenczas punkty a,b,c i inne tego rodzaju, utworzą znowu koło, o promieniu v — będzie to hodograf uważanego ruchu. Ponieważ ciało przebiega obwód np. od A przez B, C... z powrotem do A, ruchem jednostajnym, przeto także punkt pomocniczy na hodografie, przebiegać będzie jednostajnie obwód a b c... z powrotem do a; czas jednego obiegu całkowitego jest zatem jednaki dla ciała na kole i dla punktu na hodografie. Przyśpieszenie ciała w punkcie np. A równa się prędkości punktu na hodografie w odpowiednim punkcie a (ust. 18); kierunek przyśpieszenia ciała na kole| jest ^równoległy do stycznej cą hodografu, a zatem jest prostopadły do Oa czyli do prędkości A At, in n e k u

ej mówiąc: przyśpieszenie jest z wróć o-rodkowi koła. Jego wartość y znajdziemy na

r/x O

podstawie uwagi, że stosunek prędkości na ‘kole ab c, do prędkości na kole ABC, równy jest stosunkowi długości tych obwodów (gdyż czas jednego obiegu jest dla obu kół jednaki); zatem:

Y : v — 2 x v : 2 u r, zkąd

(1)

1 = T

Przyśpieszenie w ruchu jednostajnym na obwodzie hola jest zawsze zwrócone hu środhowi hola i równa się hwadratowi prędhości ruchu, podzielonemu przez promień hola.

To samo możemy wyrazić odmiennie, wprowadzając do wzoru na y, zamiast prędkości v, czas T, odpowiadający jednemu całkowitemu obiegowi; czas ten nazywać będziemy okresem²) ruchu. Okres zależy widocznie od prędkości ruchu i od długości obwodu koła, mianowicie jest (ust. 9) ³):

39,478418...

2 % r

v    , przeto

(2)

4 n‘²r

rp2

Jeżeli prędkość obiegu v jest tak wielka, że okres T jest małym ułamkiem sekundy, wtenczas dogodniej jest wziąć (jak to czynią mechanicy, opisując obroty machin) zamiast czasu T dla jednego obiegu, ilość obiegów n w przeciągu jednej sekundy. Liczbę tę obliczymy z proporcyi n : 1 — 1 : T, skąd:

zaczem

(3)

Y — 4 ft² n² r.

Wzory (1) (2) i (3) są zupełnie równoważne; do rachunku używać będziemy tego, który zawiera wielkość bezpośrednio daną: v, T lub n.

20. Ruchy planet około słońca. W wiekopomnem swem dziele „o obrotach ciał niebieskich“ Mikołaj Kopernik (w r. 1543) wypowiedział doniosłe twierdzenie, że planety, w ich liczbie ziemia, krążą około słońca. Twierdzeniem tem pozbawił ziemię naczelnego, jakie jej poprzednio przypisywano, stanowiska „środka wszechświata“, ale jednocześnie dał potężny impuls rozwojowi nauk. Opierając się na ówczesnych, mało dokładnych spostrzeżeniach, Kopernik sądził, że tory planet są koliste. Istotnie, planety główne poruszają się po liniach bardzo podobnych do kół. Prawdziwy, a już co najmniej do prawdźi-wego niezmiernie zbliżony, kształt torów planetarnych, odkrył Keppler w ,'r. 1609, rozpatrując szczegółowo spostrzeżenia astronoma Tycho de Brahe nad ruchem planety Marsa. Wnioski wyprowadzone z tych spostrzeżeń Keppler wypowiedział w następujących trzech prawach, noszących jego nazwisko: (1) ziemia i inne planety krążą około słońca po elipsach, a słońce znajduje się w jednem z ognisk każdej z tych elips; (2) pole, zakreślone przez prostą, łączącą planetę ze słońcem (promień wodzący), wzrasta proporcyonalnie do czasu (inaczej: pola zakreślone przez promień wodzący, w ciągu jednakowych czasów, mają jednakową war" tośc; ztąd wynika, że piędkosc ruchu planety na torze jest zmienna, gdyż długość promienia wodzącego w elipsie nie jest stała); (3) kwadraty czasów całkowitego obiegu różnych planet około słońca są iv przybliżeniu proporcyonalne do trzecich potęg średnich odległości ich od słońca. (Przez średnią odległość rozumie się połowę większej osi elipsy). Twierdzenia te, zwane prawami Kepplera są wynikiem bezpośrednim spostrzeżenia, pomiarów astronomicznych. Zadaniem naszem będzie zgłębić na zasadzie tych praw własności ruchu planet.

/V

//

_A_

Ważną jest rzeczą poznać dokładnie jak się zmienia prędkość planety w ciągu jednego obiegu około słońca, czyli, jakie jest jej przyśpieszenie, albowiem na tej podstawie zdołamy później, idąc za Newtonem, zrozumieć przyczynę ruchu planet. Elipsa P A (fig. 11) wyobraża drogę którejkolwiek planety; w ognisku S znajduje się słońce. Oznaczymy przez 2a długość większej osi P A elipsy, przez 2b długość osi mniejszej, przez T czas jednego obiegu planety (okres). Ponieważ wartość całego pola elipsy wynosi abn, przeto pole zakreślone przez promień wodzący w przeciągu jednostki czasu będzie:

a bit

Fig. 11.

Według drugiego prawa Kepplera jest to wielkość niezmienna dla każdej planety. Opierając się na tern prawie znajdziemy prędkość v planety, w któremkolwiek miejscu drogi, w sposób następujący. W pewnej chwili planeta znajduje się np. w M i posuwa się w ciągu bardzo krótkiego czasu z do M'; jeżeli v oznacza prędkość ruchu w tejże części toru, natenczas droga przebyta będzie: MM'    Linia SM (promień wodzący) za

czasu

w ciągu jednostki czasu, przeto będzie:

kreśla przytem pole trójkątne S M M' == { MMr X SC albo — £ X S C, według prawa 2-go ono jest proporcyonalne do t. Ponieważ oznaczyliśmy przez h pole zakreślone

z czego wynika:

Zważywszy, że 2h jest stałe, SC zaś posiada w każdym punkcie obwodu elipsy inną długość, wnosimy, że prędkość planety jest odwrotnie proporcyonalna do długości linii SC, wykreślonej ze słońca, a prostopadłej do kierunku prędkości (t. j. do stycznej CD). Ruch planety będzie zatem najszybszy w miej- ' scu P, gdzie odległość stycznej od słońca jest najmniejsza (w punkcie przysłonecznym, perihelium); najwolniejszy w A (w punkcie odsłonecznym, aphelium).

Przyśpieszenie ruchu planety można wyznaczyć za pomocą hodografu. Wykreślmy z drugiego ogniska P elipsy prostopadłą PD do stycznej CD i przedłużmy ją do punktu m, t. j. do przecięcia się z przedłużeniem promienia wodzącego SM; stosownie do znanych z geometryi własności elipsy ⁴) mamy:

FD

cl

— Dm; Sm = 2 a: SC —    .

1    1    PD

Na mocy ostatniego równania możemy poprzednie napisać w postaci:

v = w •PD

co znaczy, że prędkość planety jest wprost proporcyonalna do prostopadłej, wykreślonej z drugiego]ogniska elipsydo stycznej. Ponieważ FD = | Pm, możemy także napisać;

v = Ł . Fm.

Gdziekolwiekbądź na elipsie planeta się znajduje, zawsze będzie: Sm = 2a\ wszystkie punkty m, odpowiadające różnym położeniom planety, leżą tedy na obwodzie koła, wykreślonego z S, promieniem 2a. Ponieważ każda linia taka jak Pm, jest według ostatniego równania proporcyonalna do prędkości ruchu planety w przynależnem położeniu M, przeto koło rzeczone jest hodografem ruchu, a początkowy punkt tego hodografu (oznaczony w ust. 18 i 19 literą O) leży w drugiem ognisku F. Hodograf ten różni się jednak od zwyczajnego tem, że promień Fm, przedstawiający prędkość, nie jest równoległy do prędkości, lecz pro-prostopadły do niej5 chcąc mieć hodograf zwyczajny, należałoby obrócić tę linią kołową o 90° około punktu F, żeby linia Fm stała się równoległą do MD. Oprócz tego promienie w hodografie tym nie są równe, lecz tylko proporcyonalne do prędkości; aby uzyskać prędkość, potrzeba długość każdego z nich pomnożyć h

: 1.

przez stałą liczbę -p- ; innemi słowy, prawdziwy hodograf jest również kołem, ale większem w stosunku

Do punktu M' na drodze planety, należy m na hodografie,

przeto

Fm' oznacza prędkość w M'. Odcinek mm¹ jest więc

proporcyonalny do przyrostu prędkości na cząstce MM' toru planety, albowiem

Fm' = Fm + mm .

. h

Przyrost sam wynosi — . mm'. Jeżeli, jak wyżej, oznaczymy przez z czas potrzebny do przebycia nieskończenie małej drogi MM', przez y przyśpieszenie ruchu (w położeniu M planety), wtenczas będzie:

h . mm¹

b²z

Kierunek tego przyśpieszenia znajdziemy, obracając nasz hodograf, jak się wyżej powiedziało, o 90°. Wtenczas mm' stanie się równoległem do MS, co oznacza, że przyśpieszenie planety jest zawsze zwrócone hu słońcu S.

Celem znalezienia wartości przyśpieszenia obliczmy naprzód mm'. Oznaczmy przez r — MS, odległość planety od słońca (długość promienia wodzącego w położeniu M); porównanie wartości pól trójkątów nieskończenie wązkich S mm' i SMM' daje z przybliżeniem nader wielkim:

pole Smm' : pole SMM' = (2a)² : ra;

ponieważ jednak

pole S mm' — £ mm' . 2a, pole SMM' =■- h T,

' ' '■    - ^ V /er (, > e. -■ / '• -

przeto proporcya powyższa zamieni się na następującą:

mm' . a : hi — 4a¹ : r²

z czego wypada:

mm

4 ah

Wstawiwszy to w wyrażenie dla y? pierwej znalezione, uzyskamy ostatecznie:

4 ah²

6² ‘

Wiedząc że h — "- możemy także napisać

4 as 7c² 1

Y — rpa

Wyznaczyliśmy już poprzednio kierunek przyśpieszenia, obecnie przekonywamy się, że wartość przyśpieszania planety jest odwrotnie proporcyonalna do kwadratu odległości od słońca. Na tym wniosku przerwiemy na razie dociekania tyczące się ruchu planet, ażeby podjąć je na nowo w tym rozdziale fizyki ogólnej, który traktuje o prawach grawitacyi, odkrytych przez Newtona.

którą znamy już z ust. 19 (wzór 2). W następującej

tę sarnę wartość

Ruch jednostajny po kole jest szczególnym przypadkiem ruchu eliptycznego, o którym tu była mowa. Gdyby bowiem która planeta krążyła około słońca w stałej od tegoż odległości = a, wtenczas r nie zmieniałoby się wcale i byłoby zawsze r = a; prędkość v byłaby również stałą, gdyż prostopadła ze środka (gdzie w kole leżą oba ogniska) do stycznej równa się promieniowi. Dla przyśpieszenia y dostajemy w tym przypadku 4 re² r

rp2 ’

tablicy znajdujemy, średnią odległość od słońca — a, czas obiegu = T, mi-mośród elipsy *) e, nakoniec stosunek —- dla ośmiu wicdkich planet, na-

T²

leżących do układu słonecznego; wszystkie te wielkości znaleziono zapo-mocą pomiarów astronomicznych (por. Jędrzejewicz, Kosmografia).

Planeta

a³

kilometrów j dni śred.

rp2

Merkury

Wenera

Ziemia

Mars

Jowisz

Saturn

Uran

Neptun

57.56    X 10⁶

107.56    „ 148,70 „

226.57    „ 773,66 „

1418,43 „ 2852,46 „ 4466,03 „

87,96926

224,70079

365,25636**)

686,97979

4332,5848

10759,2198

30686,8218

60117,36

0,2056048    2464545 x10¹⁸

0,0463402 I 24,64646 „ 0,0089646 j 24,64715 „

Liczby pomieszczone w ostatnim rzędzie wykazują, że rzeczywiście, stosownie do 3-go prawa Kepplera, stosunek sześcianów śr< dnich odległości od słońca, do kwadratów czasów obiegu jest dla wszystkich planet prawie jednakowy. Zkąd pochodzą drobne różnice w wartości tego stosunku, o tern dowiemy się w ust. 120.

ZADANIA.

49) Punkt ruchomy przebiega 200 razy na minutę obwód ko’a, mający 30 cm w średnicy, ruchem jednostajnym; obliczyć okres, prędkość i przyśpieszenie. Odp. T = 0,3 seA; v = 314,16 cm/sek; 7 = 6579,8 cm/sek².

c-    y    c    3-UpJ^

*) Mimośród (ekscentryczność) e oznacza stosunek odległości oynisk elipsy do długości większej osi. Liczba ta, określa postać elipsy; im większe s tern więcej jest elipsa wydłużona, im mniejsze-tern podobniejsza do koła.

**) Liczba ta różni się cokolwiek od tćj, którą podaliśmy w ust. 7. Tu jest mowa o okresie obiegu rzeczywistym, względem gwiazd stałych. Tam przytoczono okres obiegu zwany zwrotnikowym, względem punktu wiosennego przejście słońca przez równik; punkt ten przesuwa się powoli, wskutek powolnej ale ciągłej zmiany kierunku osi ziemskiej, Według przyjętej obecnie przez astronomów wartość parallaksy słonecznej (8,80") dokładniejszą byłaby odległość średnia ziemi od słońca = 149,5 . 10⁶ km.

50)    Dwa punkty krążą jednostajnie, w równych okresach, na obwodach kół o promieniach 20 cm i 30 cm\ w jakim stosunku są ich prędkości i przyśpieszenia? Odp. 2 : 3.

51)    Jaki jest stosunek okresów i przyśpieszeń, jeżeli prędkości są jednakowe? Cdp. 2 : 3; 3 : 2.

52)    Jak v ielką powinna być ilość obiegów po obwodzie koła o średnicy 1 m, aby przyśpieszenie miało tę samą wartość, jak przyśpieszenie' ciał spadających swobodnie (981)? Odp. 0,705 sek.

53y Obliczyć przyśpieszenie księżyca, w ruchu około ziemi, jeżeli uważać będziemy jego drogę jako koło, o promieniu 60 razy większym, aniżeli promień ziemi (6370000 m)\ czas jednego obiegu wynosi 27 dni 7 gods 43 min 11,5 sek? Odp. 3,173 prom. ziemi/(dzień)² — 0,271 cmjsek².

"' 541 Dwa'ciałajporuszają się po obwodach'dwu spółśrodkowych kół, o promieniach r, i r₃. Prędkości są takie, że przyśpieszenia ich są odwrotnie proporcyonalne do kwadratów promieni; okazać, że kwadraty okresów mają się względem siebie jak trzecie potęgi promieni kół. Odp.

Z założenia jest Ti : Ï2 = r2² : D²; ponieważ Ti =

4 n²rt

T₂²    ’

Tj²

przeto

² ‘ T₂²

= r₂² : rt², czyli ?y³ : T,² = r₂³ : T₂².

55) Obliczyć prędkość i przyśpieszenie ziemi, w ruchu około słońca a) w perihelium b) w aphelium. Odp. a) v — 3010670 cmjsek, y = 0,60973 cmjsek²; b) 2911357; 0,57017.

21. Składanie i rozkładanie ruchów. Zawilsze zjawiska ruchu ciał dają się częstokroć łatwiej zrozumieć i prościej opisać, jeżeli wyobrazimy sobie, że ruch jest złożony z kilku prostszych ruchów. Tak np. ruch jednostajnie przyśpieszony, z prędkością początkową v₀ (ust. 15), można uważać jako złożony z ruchu jednostajnego, mającego prędkość v₀ i z ruchu jednostajnie przyśpieszonego, bez prędkości początkowej, mającego w chwili it, prędkość y t‘ w ruchu złożonym z tych dwu ruchów znajdziemy prędkość, lub drogę przebytą w czasie t, dodając prędkości lub drogi, należące do ruchów składowych, a więc v = v₀ -f- y t\ 8 — v₀t + £ Y t²-

Celem uzmysłowienia składania ruchów, wyobraźmy sobie, jak w ust. 11, że ciało porusza się na podstawie ruchomej. Przypuśćmy, że cała podstawa, razem z poruszającem się na niej ciałem, porusza się jednocześnie, w jakikolwiek inny sposób; wypadkowy ruch ciała będzie widocznie złożony z ruchu podstawy i z ruchu ciała na podstawie. Dowiedliśmy w ust. 12, że prędkość ciała w ruchu wypadkowym jest sumą, geometryczną prędkości w ruchach składowych. Podobną własność mają także przyśpieszenia. Przyśpieszenia ruchów składowych, jakoteż ruchu wypadkowego, są bowiem proporcyo-nalne do przyrostów prędkości powstających w przeciągu dowolnego, bardzo krótkiego czasu; gdy jednak przyrost prędkości ruchu wypadkowego równa się sumie geometrycznej przyrostów prędkości składowych, przeto i przyśpieszenie ruchu wypadkowego jest sumą geometryczną przyśpieszeń ruchów składowych. Z tego wynika, że przyśpieszenia dodają się i odejmują, jak wszelkie wielkości kierunkowe, według tych samych prawideł jak prędkości (ust. 12).

Rozumie się samo przez się, że, na odwrót, każdy ruch można rozłożyć na ruchy składowe; prędkości i przyśpieszenia ruchów składowych znajduje się przez rozłożenie prędkości i przy-śpieszenia ruchu danego. Przykład takiego rozłożenia ruchu na dwa ruchy składowe, znajdziemy w następującym ustępie, tu zaś objaśnimy na przykładzie, jak się postępuje przy składaniu ruchów.

Wyobraźmy sobie, że podstawa, na której znajduje się ciało ruchome, porusza się jednostajnie po linii prostej; jednocześnie ciało niechaj porusza się na podstawie, w innym kierunku, ruchem jednostajnie przyśpieszonym, z ^prędkością początkową = 0, a z przyśpieszeniem = y Aby znaleźć ruch wypadkowy oznaczmy przez O (fig. 12) ten punkt na podstawie (nie narysowanej na fig. 12) w którym ciało ruchome znajduje się w chwili¹ zaczęcia ruchu. Punkt ten porusza się jednostajnie w kierunku O A, z końcem 1-ej sekundy zajmuje miejsce A,, z końcem drugiej A₂ i t. d. Gdyby podstawa była nieruchomą, wówczas ciało poruszające się na niej ruchem jednostajnie przyśpieszonym w kierunku OB, przebywałoby w przeciągu 1-ej,

B₂ B₃ — 5 -g

Bi B₂ — 3

2-ej... sekundy drogi OBx —

La

i t. d. (ust. 15). W rzeczywistości ono bierze udział w obu ruchach, t. j. posuwa się w kierunku OA i spada jednocześnie w kierunku OB; odbywa przeto ruch wypadkowy po torze zakrzywionym 0,Cl5 C₂, C₃₎... Punkty Ct C₂,... oznaczają rzeczywiste położenia ciała, z końcem 1-ej, 2-ej ... sekundy; do któregokolwiek z tych punktów, np. do C₃ możemy dojść, bądź to drogą wypadkową wzdłuż O, Ci, C₂, C₃, bądź też dwiema drogami składowemi, mianowicie OA₃ a następnie A₃ C₃ = O B₃. Linia mająca tę własność, że odległość każdego punktu jej np. C3 od jakiejkolwiek prostej (odległość ta może być mierzona bądź prostopadle, bądź ukośnie jak na fig 12 wzdłuż C₃ A₃) jest pro-porcyonalna do kwadratu długości tej prostej (w fig. 12: OA₃) nazywa się parabolą. Widzimy więc, że ruch wypadkowy, złożony z dwu ruchów prostolinijnych: z jednostajnego i jednostajnie przyśpieszonego, jest w ogólności ruchem krzywolinij-nym i odbywa się po paraboli. Ażeby znaleźć prędkość ciała

A,

Aj,

As

tr*

O

£ yy—ii

5P7i?-4L

i,*

a/-

Fig. 12.

w którymbądź punkcie drogi, np. w C₅, rysujemy odcinki, wyobrażające prędkości ruchów składowych w tymże punkcie i dodajemy je do siebie geometrycznie. Prędkość ruchu jednostajnego przedstawia C₅ a = OAt = A, A₂...; prędkość ruchu jednostajnie przyśpieszonego = C₅ h — 5 y (bo położenie C₅ odpowiada czasowi t — 5); prędkość wypadkową wyobraża więc odcinek 0₅c który, jak wiemy, musi być stycznym do paraboli w punkcie C₅.

Przyśpieszenie ruchu wypadkowego na paraboli posiada kierunek równoległy do OB, a wartość stale równą y, albowiem

przyśpieszenie ruchu jednostajnego wzdłuż OA posiada wartość = 0, t. j. wcale nie istnieje; pozostaje więc tylko przyśpieszenie stałe y drugiego ruchu składowego w kierunku OB, i ono jest zarazem przyśpieszeniem ruchu wypadkowego.

z czego wypada: T =

Przekonamy się w ciągu dalszego wykładu, że ruch paraboliczny, opisany wyżej, wykonywa ciało ciężkie, np. piłka albo kamień, rzucane ukośnie wzgiędem poziomu w kierunku OA; ciało dąży jednostajnie w kierunku rzutu, ale jednocześnie ciężkość ciągnie je w kierunku pionowym na dół, wytwarzając w tym kierunku prędkość jednostajnie rosnącą. Droga ruchu wypadkowego jest linią paraboliczną. Z początku, dopóki prędkości pionowe są małe, przeważa prędkość nadana rzutem, ciało wznosi się lukiem do góry; wkrótce jednak poczynają przeważać prędkości pionowe, wzmagające się nieustannie; minąwszy wierzchołek łuku ciało poczyna się zniżać. Ażeby znaleźć czas T, w ciągu którego ciało wznosi się od O do wierzchołka paraboli W (fig. 12), zważmy, że w punkcie W prędkość ruchu wypadkowego Ws posiada kierunek poziomy. Jeżeli tedy c oznaeza prędkość wzdłuż OA nadaną rzutem, a kąt wzniesienia rzutu nad poziom, wtenczas prędkość w punkcie W, będzie wypadkową prędkości c, pochylonej do poziomu pod kątem a, i prędkości y T w kierunku pionowym na dół; te trzy prędkości tworzą trójkąt prostokątny W r s, w którym c t. j. W r jest przeciwprostokątną; musi być przeto: y T = c sin. a, c sin a

ciało wznosi się do wierzchołka W, zakreślając łuk O W,

Obaczmy jeszcze jak wysoko rzut sięga, t. j. w jakiej wysokości nad poziomem przechodzącym przez O, leży wierzchołek W. W przeciągu cza-c sin a

który możemy zastąpić wznoszeniem się wzdłuż OA, aż do punktu m leżącego pionowo nad W, a następnie spadaniem pionowem do punktu W, wzdłuż mW. Wysokość punktu m nad poziomem przechodzącym przez O

c² sin² a

wynosi m w = c T sin a —

; spadek jednoczesny, wskutek ruchu e²sin² a

jednostajnie przyśpieszonego, wynosi: mW = y T² = £

Wyso-

c² sin² a

kość rzutu zatem, równa różnicy tych długości będzie: Wio — \

W zastosowaniu tych wzorów do różnych zagadnień praktycznych, zwłaszcza do balistyki, t. j. nauki o biegu pocisków działowych, chodzi jeszcze o poznanie dalekości, czyli doniosłości rzutu. Skoro pocisk przekroczy najwyższy punkt drogi W, poczyna zniżać się i wraca po niejakim czasie do tego poziomu z którego został wyrzucony. Odległość O D od punktu wyjścia, mierzona w linii prostej nazywa się dalekośeią rzutu.

, tyleż wynosi jednoczesne spadanie na doł: i y (2T)² —

Łatwo dostrzedz — co zresztą, bez trudu stwierdzić się daje—że druga połowa łuku parabolicznego, po za punktem W, jest symetryczna względem pierwszej. Skoro tak jest, natenczas do przebycia drogi od W do D pocisk potrzebuje takiegoż czasu T, jak do przebycia drogi O W. W istocie, w ciągu czasu 2T, wzniesienie wzdłuż OA wynosi nD—e 2T sin a = 2 c² sin² a

2 c² sin² a

, z czego się okazuje, że w istocie po upływie czasu 2 T =

2c sin a

-, dalekość rzutu zostaje osiągnięta. Aby nakoniec tę dalekość

r

obliczyć, zwróćmy uwagę na ruch składowy wzdłuż OA. Droga przebyta

2 c² sin a

wzdłuż OA w przeciągu czasu 2 T wynosi On = 2 Tc =

; przeto

dalekości rzutu w kierunku poziomym będzie: OD=On cos a= c² sin 2 a

czyli

2c² sin a

cos a,

. Różnym kątom wzniesienia a, odpowiadają rozmaite

dalekości rzutu; największa jest wtenczas, gdy sin 2 « jest największe

c² sin «

(=1), to jest przy wzniesieniu 45°. Wysokość rzutu natomiast = } będzie największa przy rzucie pionowym w górę, to jest dla a = 90°.

ZADANIA.

56)    Rzucamy kamień ukośnie do góry, pod kątem 30n względem poziomu, nadając mu prędkość 12 m/se&; znaleźć największą wysokość, do której kamień doleci, tudzież dalekość rzutu. Odp. 1,83 m• 12,71 m.

57)    Rzucamy ten kamień poziomo, z tą samą prędkością 12; jak daleko oddali się od nas w kierunku poziomym po upływie 3 sek, i jak głęboko spadnie? Odp. 36 m; 44 m.

58)    Jaki powinien być kąt rzutu, żeby przy prędkości początkowej 10 m/sek dalekość rzutu była 7 m? Odp. 21° 41', albo 68° 19'.

59)    Jaki powinien być ten kąt, aby dalekość wynosiła 11 ml Odp. Niemożliwe.

60)    Oznaczywszy przez x odciętę w chwili t, ciała rzuconego ukośnie, pod kątem a do góry, przez y rzędnę w tej samej chwili, znaleźć równanie drogi. Odp. x — ct cos a, y = ct sin a — £ y t²; rugując t t* tych dwu równań znajdziemy szukany związek między x i y mianowicie: y =■

x²

— x tg a —

22. Ruch drgający prosty (ruch wahadłowy, albo harmoniczny prosty). Przypatrzywszy się uważnie ruchowi jednostajnemu na obwodzie koła, jaki wykonywa np. trzonek korby obracanej jednostajnie, albo jakiebądź inne ciało obracające się około stałej osi, dostrzeżemy, że ciało takie porusza się naprzemian do góry i na dół, a jednocześnie naprzemian na prawo i na lewo. Rzeczywiście, ruch jednostajny po obwodzie koła możemy rozłożyć na dwa ruchy prostolinijne, niejednostajne, odbywające się w kierunkach prostopadłych do siebie; ruchy te nazywają się ruchami drgającymi prostymi albo harmonicznymi prostymi albo wahadłowymi. Ażeby uzmysłowić sobie ruch tego rodzaju, a jednocześnie okazać jego powinowactwo z ruchem kolistym, obracajmy jakiekolwiek ciało na kole i ustawmy w płaszczyźnie koła, w dość znacznej od niego odległości, świecę lub lampę, rzucającą na ścianę cień obracającego się ciała. Ruch cienia przedstawi nam składowę ruchu kołowego, w kierunku równoległym do ściany; jest to ruch drgający prosty. Ruch drgający wykonywa także, jak się dowiemy, wahadło odchylone o mały kąt z położenia pionowego i wahające się następnie w pobliżu tego położenia; podobnie porusza się sprężyna wprowadzona w drganie; nóżki widełek strojowych wydających dźwięk i t. p.; słowem, z ruchami takimi spotykać się będziemy przy objaśnieniu wielu ważnych zjawisk fizycznych. Wypada przeto już w tej części wykładu, zajmującej się opisywaniem rozmaitych rodzajów ruchu, wziąć pod szczególną uwagę własności ruchów drgających.

li

i©

Na kole, mającem środek w O (fig. 13) i promień OA OB = a, krąży jednostajnie punkt M.

is

Aj"“

óT? P

B‘

Fig. 13.

W chwili t—o, znajduje się on, dajmy na to, w B ; każde zaś dalsze położenie tego punktu np. M, określa kąt a, zawarty pomiędzy promieniami OB i OM. Podczas ruchu punktu M kąt a powiększa się jednostajnie t. j. proporcyonalnie do czasu. Wykreślmy dwie średnice, jednę BB\ przez początkowe położenie punktu M, drugą AA' prostopadle do pierwszej. Z punktu M poprowadźmy dwie prostopadłe MP, MQ do owych średnic. Gdy M porusza się na kole, punkty przecięcia P i Q poruszają się tam i napowrót na

Bibl. mat.-fiz. S. III. T. VIII.    4 średnicach AA' i BB'; Są to jakoby cienie punktu M, rzucone Przez światła znajc]ujące się w wielkiej odległości na przedłużeniu średnic. Widać od razu, że ruchy punktów P i Q są skła-dowemi ruchu punktu M, t j. że złożywszy te dwa ruchy uzyskalibyśmy napowrót ruch jednostajny na obwodzie koła. Punkt P, zarówno jak Q, wykonywa ruch drgający; zwrócimy uwagę na jeden z nich, np. na punkt P. Położenie jego na linii AA' określa odległość OP od środka; oznaczymy ją przez s, i uważać będziemy s jako wielkość dodatną albo ujemną, stosownie do tego, czy P znajduje się po prawej, czy po lewej stronie środka.

Z trójkąta OMP wynika, że:

s — a sin a ;

s zmienia się tedy z biegiem czasu, proporcyonalnie do wstawy kąta a. Wartość kąta a, w pewnej chwili, określać będziemy w mierze łukowej t. j. przyjmiemy za miarę jego: stosunek długości luku BM, do długości a promienia koła *)

łuk BM

Jako jedno zupełne drganie uważać będziemy ruch punktu P, odpowiadający jednemu obiegowi punktu M na kole; w ciągu jednego drgania punkt P przebiega dwukrotnie linią AA', mianowicie: od O do A, następnie przez O do A' i napowrót do O.

Drganie zupełne trwa pewien czas T, równy okresowi obiegu punktu M po kole. Po upływie czasu T następuje drugie drganie, trwające znowu czas T, po nim trzecie, czwarte, i t. d.; słowem ruch drgający jest ruchem okresowym, czyli peryodycz-nym i powtarza się w równych okresach czasu T.

Długość łuku BM, przebytego przez punkt M w ciągu pewnego czasu t, licząc tenże od chwili przejścia punktu M przez B, wynika z następującej proporcyi:

*) W mierze tej kąt 180° określa się liczbą tc — 3,1415...; kąt wyno-

; kąt f stopni

szący 1 stopień wyraża się przeto liczbą

180

t. j.

liczbą

57,29278 ‘ łukowej liczbą 1.

57,29578...

Kąt 57°,2957... ( = 206260") określa się zatem w mierze

łuk BM : 2a % — t : T, skąd:

łuk BM =

2a Tzt

—Pp—, zatem:

2 7t t

Odległość punktu drgającego P od środka 0, wynosi więc, po upływie czasu t:

(1)

2izt

s — a sm —— .

Zamiast okresu drgania możemy wprowadzić (podobnie jak w ust. 19), liczbę n, wskazującą ile razy punkt M okrąża koło w przeciągu jednostki czasu; ta sama liczba równa się ilości drgań punktu P w przeciągu jednostki czasu. Z ust. 19-go wiadomo, że możemy zatem napisać :

(2)

s — a sin 2 % n

Wielkości zawarte w równaniach (1) i (2) mają osobne, powszechnie używane nazwy, mianowicie nazywa się:

s, odchyleniem, albo elongacyą punktu drgającego:

a, amplitudą, albo obszernością drgania;

T, okresem drgania;

T

-g-, czasem drgania lub wahania;

w, częstością drgania;

2 ^

rp— — 2 iznt, faz ą punktu drgającego.

na-

Faza rośnie z biegiem czasu jednostajnie i proporcyonalnie 4o czasu. Ilekroć faza powiększy się o 2 tz t. j. o 360°, ruch powtarza się, punkt drgający powraca do pierwotnego położenia i do pierwotnego kierunku ruchu. Z tego powodu zywamy fazy z go dnem i gdy one są równe, albo gdy różnią

się o parzystą wielokrotność liczby tt. Fazy różniące się o nieparzystą wielokrotność liczby tc, nazywają się przeciwnemi. Przeciwnym fazom o.dpowiadają odchylenia jednakowej wielkości, ale po przeciwnych stronach środka O.

Przyjęliśmy, że w chwili,w której zaczynamy liczyć czas, punkt drgający znajduje się w środku O, albo, co na jedno wychodzi, że faza jest wówczas zerem. Można jednak wybrać początek czasu wtenczas, gdy kąt a uzyskał już pewną wartość

2nt

np. S; w ciągu czasu t zwiększy się on jeszcze o —. chylenie punktu drgającego daje w tym razie równanie:

(t + *)

(■ ‘ + Jr) •

g

S nazywa się fazą początkową drgania; liczba jest

ułamkiem, wyrażającym jaką częścią pełnego kąta 2 tt jest faza początkowa 8; ta sama liczba wskazuje zarazem, o jaki ułamek okresu T, chwila wybrana jako początek czasu jest spóźniona względem chwili przejścia punktu drgającego przez środek O.

Wracając do prostszego przypadku, do którego należą wzory (1) albo (2), widzimy, że dla t = o, faza i odchylenie są ró-

zeru; gdy t urośnie np. do -—okresu, t. j. do -g-, znajdziemy

. 1C

s~ci sm —

(fig. 14).

w ne

Od-

s — a sin

albo s = a sin 2 %

— p== . Punkt drgający znajduje się wówczas w P

T    .ic

Dla t = — mamy s — a sin — = a, odchylenie równa się amplitudzie. Stąd wraca punkt drgający napo wrót ku środ-

T>*=0p;

il

b:

!T-

Ri A

\r

E'

tT

ii

₃t

kowi; dla t — mamy a =

T

dla t ==. ~ znowu przez środek, ale w kierunku przeciwnym, aniżeli z początku.

W drugiej połowie okresu sin a przyjmuje wartości ujemne, punkt drgający porusza się po przeciwnej stronie

s — o t. j. punkt przechodzi

¹

— v₀ t — i y t¹,

²

Okresem nazywać będziemy w ogólności czas, w ciągu którego jakiekolwiek zjawisko peryodyczne powtarza się; np. okresem pór roku jest rok.

³

Znak tu oznacza stosunek obwodu do średnicy; wartość jego, jednakowa dla wszystkich kół, wynosi w przybliżeniu tc = 3,141592653589... Podajemy także następujące, często używane liczby:

*² = 9,8696044...; J/² = 1,7724539...; 4²²

⁴

Porów. Baraniecki, Przecięcia stożkowe, § 107.

przechodzi on przez punkt P', leżący w takiej odległośoi od środka, jak punkt P po prawej stronie; w chwili t — — dosięga największego odchylenia (= a) po le-

5T

środka; w chwili t =

7T

prze-

wej, i zwraca się znowu w prawą stroną. W chwili t —

chodzi powtórnie przez P', a po upływie całego okresu t. j. w chwili t =■ T mija znowu środek. W następnym okresie T powtarza się ruch właśnie opisany i t. d.

23. Linia falowa. (Wykreślne przedstawienie ruchu drgającego prostego). W ustępie poprzedzającym przedstawiliśmy ruch drgający zapomocą rysunku, oznaczając na linii AA', miejsca 0,P, A, P, 0,P', A', P', O, w których punkt drgający znajduje się w pewnych określonych czasach np. o. i T, f T i t. d Sposób ten uzmysłowienia ruchu drgającego nie objaśnia jednak, z jaką szybkością ruch się odbywa, t. j. jaka jest częstość drgań. Wyobrażenie częstości drgania można uzyskać następującym sposobem. Dajmy na to, że punktem drgającym jest koniec ołówka (fig. 15) poruszający się tam i napowrót wzdłuż szpary

OT

-J—■

L-----j--;3l

•1

f:

U!

I-'

-'d

Fig. 15.

AA', wykrojonej w kartce twardego papieru; jednocześnie z drganiem ołówka przesuwajmy kartkę jednostajnie w kierunku OX, prostopadłym do AA', z pewną, prędkością = c. Koniec ołówka wykonywa jednocześnie ruch drgający i jednostajny; na papierze, podłożonym pod kartkę nakreśli on linię krzywą, która nosi nazwę linii falowej prostej, albo sinusoidy. Linia taka wyobraża dokładnie wszelkie szczegóły ruchu drgającego. Weźmy pod uwagę np. punkt m na tej linii; odległość jego od OX t. j. rzędna mn równa się odchyleniu jakie miał punkt drgający, gdy przechodził m. Odcięta punktu m t. j. odległość On, którą oznaczymy przez x, jest proporcyonalna do czasu t, który upłynął od zaczęcia ruchu, aż do chwili przejścia przez m. Mamy bowiem

x — et, albo t—~

Ponieważ mn — s = a sin , przeto możemy napisać:

s — a sin

2tzx

cT

Zależność którejkolwiek rzędnej s od odciętej x linii falowej określa się tedy wstawą (sinus), stąd nazwa sinusoidy.

Linia falowa składa się z szeregu zupełnie jednakowych części 01, 12, 23, i t. d., z których każda należy do jednego zupełnego drgania; każda z tych części składa się z grzbietu O ab i symetrycznej względem niego doliny bel. Wszystkie mają jednakową długość 0,1 = 1,2 — 2,3 = X, zwaną długością fali. Długość fali X, zależy od prędkości c, z jaką ruch drgający przenosi się wzdłuż linii OX; w istocie, X przedstawia drogę, którą kartka unosząca punkt drgający przebywa w przeciągu jednego okresu T. Mamy zatem X — c T.

Równanie linii falowej można więc napisać także:

(1)

s— a sin

Za pomocą linii falowej można łatwo określić częstość ruchu drgającego. Odetnijmy na linii OX długość c, t. j. drogę przebytą ruchem jednostajnym w ciągu jednostki czasu i policzmy wiele fal się mieści na tym odcinku; liczba znaleziona równa się częstości n. Sposobem opisanym tu możemy wykreślić linię falową nietylko dla ruchu drgającego prostego, lecz dla każdego ruchu peryodycznego. Nawzajem, mając linię falową, możemy uwidocznić ruch drgający w następujący sposób. Wykreślmy na pasku papieru dość grubą linię falową i włóżmy go pod kartkę, w której znajduje się wązka szpara prostopadła do osi OX linii falowej. Obaczymy w szparze czarną kropkę, w tern miejscu, gdzie widoczną jest część linii falowej. Jeżeli pasek papieru będziemy posuwali jednostajnie pod kartką, wtenczas owa kropka odbywać będzie wzdłuż szpary ruch drgający, odpowiedni danej linii falowej.

Linii falowej używa się często do doświadczalnego badania własności ruchów drgających. Fig. 16 objaśnia wykreślenie linii falowej dla ruchu drgającego ramion widełek strojowych, wprowadzonych w drganie zapomocą smyczka, albo przez uderzenie. Do końca jednego ramienia przyklejony jest lekki zaostrzony rysik d, dotykający się lekko płytki szklanej s, okopconej warstewką sadzy.

'»■«W/Jfc-

Fig. 16.

Wprowadziwszy widełki w ruch drgający, posuwamy trzon t, na którym są osadzone, ruchem jednostajnym wzdłuż żłobka, w drewnianej podstawie p. Rysik kreśli na płytce linię falową. Zamiast płytki szklanej używa się niekiedy walca metalowego, pokrytego papierem okopconym, obracającego się około osi, na której wycięty jest gwint śrubowy. Trzon widełek jest wówczas nieruchomy, a linia falowa kreśli się na powierzchni walca, który się obraca, a jednocześnie posuwa naprzód.

24. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu drgającym prostym. Uważając ruch drgający jako składowę ruchu jednostajnego na kole, w kierunku jednej ze średnic, znajdziemy prędkość jego tudzież przyśpieszenie na zasadzie praw rozkładania prędkości i przyśpieszeń (ust. 21).

Oznaczmy prędkość ruchu jednostajnego na kole przez V (M Y, fig. 13). Jeżeli, jak pierwej, a i T oznaczają promień ko-

2 Ci TC

la i okres ruchu, wtenczas będzie: Y =    ^— . Rozkładamy tę

prędkość na dwie składowe Mr i rY, w kierunkach równoległych do BB' i do AA⁷. Składowa rY, równoległa do AA⁷, będzie prędkością ruchu drgającego po linii AA⁷. Ponieważ kąt MVr — a, przeto, oznaczając przez v prędkość ruchu drgającego (Pr, fig. 13) znajdziemy:

2 CLK

v = Y cos a =

rp cos a, albo

2tc t

Jest to, jak widać, prędkość zmienna; punkt drgający ma

2

TU

ö-g⁻,• • •. przeto prędkość ruchu równa się zeru.

prędkość największą, gdy cos = ± 1 t. j. gdy faza przyjmuje jednę z wartości: 0, %, 2tt,..., co się wówczas zdarza, gdy punkt przechodzi, w jednę lub drugą stronę, przez środek O. Ilekroć punkt znajduje się w A lub A', t. j. gdy odchylenie (dodatne lub ujemne) jest największe, wówczas faza posiada jednę z wartości 3-^

Jeżeli w kilku ruchach drgających prostych okresy T są jednakowe, wtenczas podług (1), prędkości ich w równych fazach są proporcyonalne do amplitud.

Przyśpieszenie y ruchu drgającego, jest to również składowa przyśpieszenia ruchu kolistego równoległa do AA'. Oznaczywszy to ostatnie przez G, mamy (ust. 20 wzór 2):

41:² a '

G jest zawsze zwrócone ku środkowi koła (MG fig. 13). Rozłożywszy MG na Ms i sG, dostrzeżemy, że odcinki sG, lub P7, wyobrażają przyśpieszenie 7 ruchu drgającego. Ponieważ kąt między kierunkami MG i O A wynosi 90 + a, przeto 7 = G cos (90+ a) — — G sin a. Przyśpieszenie 7 uważać będziemy jako dodatne albo ujemne, stosownie do tego, czy ono posiada kierunek OA, czy przeciwny. Wstawiwszy za G i a wartości, znajdziemy :

2 Ttt

Atz² a .

~ rp2 Sm ~7p

albo według ust. 22; 1:

(2)

= — 4tt² n² s.

Wzór (2) okazuje, że przyśpieszenie w ruchu drgającym jest zmienne; w każdej fazie drgania wartość jego jest propor-cyonalna do odchylenia, jakie ciało posiada w uważanej chwili. Gdy odchylenie jest dodatne, wówczas 7 jest ujemne t. j. zwrócone w stronę ujemnych odchyleń; gdy s jest ujemne wtenczas y posiada kierunek przeciwny. Z tego wynika, że w każdej fazie drgania przyśpieszenie jest stale zwrócone ku środkowi O ruchu drgającego.

ZADANIA.

61)    Ciało odbywa ruch drgający prosty, w amplitudzie — 20 cm i w okresie = 3 sek; znaleźć odchylenia dla t = 1, 1|, sek, przypuszczając, że dla t = o, faza = o. Odp. 17,32; 17,32; 0; -- 17,32; — 17,32 cm.

62)    Obliczyć prędkość powyższego ruchu dla t — o, 1, 1^-, 2, 2^ sek. Odp. 125,66; 62,83; — 62,83; — 125,66; — 62,83; -j- 62,83 cml sek.

63)    Ile wynoszą przyśpieszenia w tych samych chwilach? Odp. 0; — 76; — 76; 0; 76; 76 cm/seÆ².

64)    Dwa punkt}' drgają z częstościami 28 i 35 na sekundę; lazy ich są z początku zgodny lecz z biegiem czasu zaczynają się różnić; wyznaczyć czasy, po upływie których fazy będą znowu zgodne, albo przeciwne.

12 2 —— sek i t. d, przeciwne dla t = ——

4

28 ’

Odp. Zgodne dla ł= o, —, ^ , 2g

6 . , .

—r~ i t. d.

28

65)    W jednem drganiu mamy a = 5, n = 10; w innem a = 3, « = 12 jaki jest stosunek prędkości (największych)? Odp. 50 : 36.

25. Drgania złożone: A'¹ z drgań prostych równoległych do siebie. Drganiem złożonem nazywać będziemy ruch złożony z kilku ruchów drgających prostych. Składanie ruchów drgających można objaśnić w następujący sposób. Wyobraźmy sobie, że ciało wykonywa drganie proste na podstawie ruchomej; jeżeli podstawa wykonywa jednocześnie drugi ruch drgający, mający jakikolwiek kierunek, okres, amplitudę i jakąkolwiek różnicę faz;y względem pierwszego ruchu, wtenczas wypadkowy ruch ciała będzie drganiem złożonem z tych dwu ruchów. Tu stosuje się wszystko, co powiedzieliśmy pierwej o składaniu ruchów (ust. 21).

Drgania proste są to ruchy ściśle peryodyczne, powtarzają się bowiem w równych odstępach czasu, które nazwaliśmy okresami. Drgania złożone natomiast nie zawsze są peryodyczne. One są peryodycznemi tylko wtenczas, gdy okresy, albo częstości, drgań prostych składowych są spółmierne t. j. gdy stosunki ich okresów, albo częstości, mogą być wyrażone przez liczby całkowite. Jeżeli, dajmy na to, okresy dwu drgań prostych,

mają się jak 3 : 5, a więc częstości jak 5 : 3, wtenczas w przeciągu pewnego czasu, pierwszy ruch składowy wykona 5 drgań, drugi 3 drgania zupełne-, z tego wynika, że położenie i prędkość ciała przy końcu tego czasu będą takie, jakie były na począt> ku. Najkrótszy czas, w którym okresy drgań składowych mieszczą się całkowitą ilość razy, stanowi okres drgania złożonego. Po upływie tego czasu ruch złożony powtarza się.

Zastanowimy się naprzód nad drganiami złożonemi, gdy ruchy składowe odbywają się po tej samej prostej.

Powstawanie takich drgań złożonych można objaśnić zapomocą przyrządów przedstawionych na fig. 17 i 18. W pierwszym z nich (fig. 17) ciało M krąży jednostajnie około środka r, który jednocześnie porusza się, także jednostajnie, po obwodzie drugiego koła, około stałego środka s; rysunek objaśnia dostatecznie urządzenie przyrządu. Gdy ustawimy lampę, w płaszczyźnie obu tych kół, w znacznej odległości od przyrządu, wtenczas cień ciała M, odbywać będzie ruch drgający, złożony z dwu drgań prostych. Punkt r bowiem, środek koła ruchomego, wykonywa na cieniu

.....--Hß

Tp'n

at~t2

--^----

.-o o-.'

"yx

Fig. 17.

Fig. 18.

około cienia punktu s t. j. około środka

drgania proste, o amplitudzie koła stałego; podobny ruch, o amplitudzie rM, odbywa c eń punktu M około cienia ruchomego środka r. Ostateczny ruch cienia punktu M, będzie zatem

— rs

sumą tamtych dwu ruchów.

Fig. 18 wyobraża dwa krążki stałe i dwa ruchome; sznur, uwiązany w A, obwija się po kolei około połowy obwodu krążka ruchomego K,,

następnie około stałego Ks i t. d. U swobodnego końca sznura wisi ciężarek P; na osiacb Krążków juchomyehwiszą ciężarki P, i P₂. Skoro pociągniemy P, na dół o pewną długość, trzymając P₂ nieruchomo, wtenczas każda z dwu części sznura, na których wisi K,, przedłuży się o tę samą długość, przeto P podniesie się o długość podwójną. Jeżeli P, odbywa ruch drgający prosty w kierunku pionowym, natenczas P powtarzać będzie ten sam ruch w powiększeniu. Gdy ciężarki P, iP₂ drgają jednocześnie, wtenczas rmh ciężarka P przedstawia w powiększeniu ruch wypadkowy. Biorąc więcej takich krążków, możemy uzyskać ruch złożony z kilku drgań piostych

a) Okresy jednakowe. I)wa drgania proste, odbywające się po tej samej linii i mające okresy jednakowe, dajacjako wypadkową znowu drganie proste, o tym samym okresie.

Po linii AOA, (fig. 19) drgają punkty P, i P₂. Odchylenia ich są OP, i 0P₂; amplitudy równają się promieniom kół kreskowanych OM,^«,, i OM₂ — a₂. Dajmy na to, że w chwili t =z o punkty te zajmują miejsca P, i P₂; wówczas kąty BOM, — o, i BOM₂ — S₂ przedstawiają fazy początkowe tych ruchów. Odchylenia s, i s₂, w jakimkolwiek czasie późniejszym będą (ust 22) :

s, — ai sin

s₂ — a₂ sin

(-;¹+*.)

T~ ⁺ 0 ■

2 TC t

Ruchy te są. składowemi, w kierunku OA, ruchów jednostajnych, jakie punkty M, i M₂ odbywają na obwodach kół o promieniach OM, i OM₂.

Celem znalezienia ruchu punktu, któryby odbywał powyższe dwa drgania jednocześnie, po tej samej prostej, należy przystawić do odchylenia 0P₃ = s₂ (podstawy drgającej), odchylenie P₂P=OP,

= Si (punktu P, drgającego na podstawie); otrzymamy tym sposobem odcinek OP jako odchylenie ruchu wypadkowego. Oznaczywszy długość tego odcinka przez s, mieć będziemy zawsze :

Aii-

\M

T,

A-rau,

d-"'

i,-"

Fig. 19.

Położenie punktu P można znaleźć zapomocą następującego wykreślenia. Wystawmy na promieniach OMt i OM₂ równo-ległobok OMt MM₂. Punkt P znajdować się będzie widocznie na przecięciu się prostopadłej MP z linią AA,.

Podczas ruchu punktów M, i M₂ po właściwych im kołach, równoległobok ten obracać się będzie około punktu O, nie zmieniając postaci; punkty M, i M₂ mają bowiem jednakowe okresy, wskutek czego kąt M, OM₂ nie zmieni się podczas ruchu. Z tego wynika, że wierzchołek M, równoległoboku, poruszać się będzie także po obwodzie koła, o promieniu OM, w takim samym okresie, jak punkty Mt i M₂; składowa ruchu punktu M w kierunku równoległym do AA1? t. j. ruch punktu P, jest przeto ruchem drgającym prostym, w tym samym okresie T, jaki ma-ią ruchy punktów P, i P₂, które mieliśmy złożyć.

Do objaśnienia powyższego dowodzenia posłużyć może przyrząd przedstawiony na fig. 17, skoro wyobrazimy sobie, że sznur łączący krążki m i n został zrzucony. Podczas jednostajnego obrotu ramienia ab punkt M krążyć będzie około r, a jednoczes'nie r (w tym samym okresie) okuło — co wychodzi na jedno, jak gdyby M krążyło około s. Linia złamana srM odpowiada linii OM₂ M na fig. 19- Nastawiając ramię rM pod różnymi kątami względem sr otrzymamy wszelkie różnice fazy obu ruchów składowych.

Oznaczywszy przez a amplitudę, przez g początkową fazę ruchu wypadkowego, złożonego z powyższych drgań:

s, = a, singel + 8.) i

.    / 271

i sz = a₂ sin 7p

8,)

widzimy (fig. 19), żea²=OM²—OM^+MtM² —20M₁.M,M. cos (OMtM); ponieważ kąt OM,M = 180° — (g₂ — gt) przeto

(1)

a² — cix² + a₂ -j- 2axo₂ cos (g₂ -- gt).

Na początkowy fazę ruchu wypadkowego mamy następujące wyrażenie:

g = BOM; tg 8 =

OP

PM

zatem

sin g, 4- a₂ sin g2 «, cos gt + a₂ cos g₂ *

Odchylenie ruchu wypadkowego przedstawi się ostatecznie-równaniem:

(3)

s — a sin

*)•

Jest to więc ruch drgający prosty; wartość jego amplitudy zależy według (1) od różnicy faz drgań składowych. Ilekroć fazy ruchów składowych będą zgodne t. j. S₂—S, = o, albo=2rc, 4tt i t. d.. mamy cos (S₂—Stj = 1 przeto według (1):

O - Ol -f- «rj.

Ilekroć będą przeciwne t. j. d₂——tc, albo 3tt, 5tt i t. d. znajdziemy cos (S₂—§,)=:—1 zatem

a = ax — a₂,

amplituda ruchu wypadkowego równa się wtenczas różnicy amplitud ruchów składowych. Gdyby było nadto «, — a₂ otrzymalibyśmy a — o\ dwa ruchy drgające proste, odbywające się po tej samej linii, mające równe okresy i amplitudy, znoszą się wzajemnie gdy fazy ich są przeciwne.

Nie potrzeba dowodzić osobno, że jakakolwiek ilość ruchów drgających prostych, odbywających się na jednej linii, stanowi znowu ruch drgający prosty, jbyle okresy wszystkich ruchów składowych były jednakowe.

b) Okresy różne. Składanie kilku ruchów drgających prostych, odbywających się po tej samej linii prostej, mających dowolne okresy, daje się najłatwiej wykonać wykreślnie za pomocą linii falowej. Niech linie falowe AA, i BB, (fig. 20) wyobrażają dwa ruchy drgające proste. Dla pierwszego przyjęto w rysunku amplitudę = 1 cm, dla drugiego 0,6 cm; częstość pierwszego wynosi 5 na sek (okres = — sek); drugiego 10 na sek (okres ■=— sek) ; długości AA, = BB, wyobrażają czas = l sek. Rzędne linii falowych wyobrażają odchylenia ciała drgającego; tak np. ««'wyobraża odchylenie w pierwszym ruchu, w chwili t — —-sek.

Odchylenie w drugim ruchu wynosi w tejże chwili bb¹. Celem uzyskania ruchu wypadkowego, złożonego z AA, i BB,, rysujemy trzecią linię CCh, w taki sposób, żeby każda jej rzędna była równa sumie algebraicznej rzędnych linii AA, i BB, należących do tego samego czasu; tak np. cc' = cf + fc'=aa' -j- bb\ clcl, = cif' — f'ci' = alai' — blbl'it. p. Rzędne tej nowej linii wy-

VC:

ch

Cts

i.

cr_

o-

xn-

- -A».

pq

cr<

■:

s.

------

...V«

yy

J»

/î\

1/1

\\

■/

WW WA •

Fig. 20.

obrażają widocznie odchylenia w ruchu drgającym złożonym z ruchów AA, i BB,-, linia CC, jest przeto linią falową złoconą, odpowiadającą ruchowi drgającemu, złożonemu z drgań prostych AA, i BB,.

Ruch drgający złożony można uwidocznić zapomocą przynależnej linii falowej, sposobem wskazanym w ust. 23 ; pod kartką papieru, w której znajduje się wązka szpara, przesuwamy jednostajnie linię CG, ; kropka widoczna w szparze, odbywa wówczas ruch złożony.

Dla każdego ruchu złożonego z dwu, albo większej liczby drgań prostych, można wykreślić właściwą linię falową. Postać jej zależy nietylko od amplitud i okresów ruchów składowych, ale nadto od różnic fazy. Jeźli np. drgania uważane poprzednio (fig. 20) posiadają w chwili zaczęcia ruchu fazy równe, wówczas sumę ich wyobraża linia CC| ; linia DDi przedstawia natomiast ruch złożony z tych samych składników AAt i BBt w razie gdy drugi ruch jest spóźniony względem pierwszego o ~

własnego okresu t. j. o ~ sek: pierwszy posiada wówczas fazę

TT    .    .TU

0, faza drugiego wynosi 3 . ₉ , albo, co na jedno wychodzi,--

(spóźnienie to widać na kropkowanej linii falowej, wykreślonej dla drugiego ruchu składowego, obok DDj).

Na osobną wzmiankę zasługuje wynik złożenia dwu drgań prostych, gdy okresy ich, albo częstości, bardzo mało się różnią. Dajmy na to, że jeden z tych ruchów odbywa w przeciągu pewnego czasu t sek, p drgań,

p    p -f- 1

drugi p Ą- 1 drgań; częstości ich będą wówczas nt = — i n₉ =--

T    T

na sekundę; p powinno być dużą liczbą, aby istotnie i nx mało się różniły. Każde drganie ruchu złożonego będzie wtenczas w przybliżeniu drganiem prostem (podług a), o amplitudzie zależnej od różnicy faz. Jeżeli z początkiem czasu t fazy obu ruchów są zgodne, wtenczas amplituda początkowa ruchu złożonego równać się będzie w przybliżeniu sumie amplitud ruchów składowych. Drugi ruch składowy, mający większą częstość n , wyprzedza jednak stopniowo pierwszy, pod względem ilości dokonanych drgań; po upływie czasu t, gdy jeden ruch wykona p, drugi p -j- 1 drgań zupełnych, wyprzedzanie to urośnie do jednego zupełnego drgania, a różnica fazy urośnie do 2rc, t. j. fazy będą znowu zgodne. Natomiast w połowie czasu t drugi ruch wyprzedza pierwszy tylko o pół drgania; w tej chwili fazy ich będą rzeciwne scbie, przeto amplituda ruchu wypadkowego, równać się będzie w przybliżeniu różnicy amplitud ruchów składowych. Jeżeli te amplitudy są równe, wtenczas w połowie czasu t ruch wypadkowy zaniknie prawie zupełnie. Jako wypadek złożenia takich dwu ruchów drgających otrzymujemy zatem nowy ruch drgający, o amplitudzie naprzemian malejącej i rosnącej.

Na przeciąg czasu t przypada jedno osłabienie ruchu, na następny okres t drugie i t. d. Ilość N osłabień ruchu złożonego w ciągu 1 sek,

p    1

— przeto —

=    — n.

, », =

1    p    1

będzie więc — Ponieważ n₂ = — + —

Mamy więc :

N = n₂ — n{.

Częstość osłabień ruchu, złożonego z dwu drgań prostych, o okresach bliz-kich równa się różnicy częstości drgań składowych.

Celem uzmysłowienia kolejnego wzmagania się i zanikania ruchu wypadkowego, przedstawiliśmy na fig.. 21 linię falową AAX dla ruchu o amplitudzie a = 0,3 cm i częstości nx = 12 na sek-, linię falową BB, dla dru-

A,

ÈJX

n|B.

c.

iseK-

-Â- ■

iseif

Fig. 21.

giego ruchu: a — 0,3 cm, n₂ = 13 na sek; nakoniec linię falową CCi złożoną z tamtych. Widać, że amplituda tej ostątniej wzmaga się z początkiem każej sekundy do 0,6 zaś w połowie sekundy spada do zera.

26. Rozbiór drgań złożonych (Analiza harmoniczna). Wspomnieliśmy na początku ust. 25, że ruchy powstające ze składu kilku drgań prostych są peryodyczne t. j. powtarzające się w równych odstępach czasu, o ile częstości drgań składowych są spółmierne. W niniejszym ustępie zajmować się będziemy zadaniem odwrotnem: rozkładaniem jakichkolwiek ruchów peryodycznych, na ruchy drgające proste. Zadanie te wchodzi w zakres matematyki wyższej ; z powodu ważnych jego zastosowań w fizyce, należy jednak poznać przynajmniej główne twierdzenia, tyczące się tego przedmiotu.

W poprzedzającym ustępie przekonaliśmy się, że składanie kilku linii falowych prostych, prowadzi do linii złożonych, mających w różnych przypadkach najrozmaitsze kształty. Zachodzi więc pytanie, czy, na odwrót, jakakolwiek dowolnie nakreślona peryodyczna linia falowa może być rozłożoną na linie' fa-

Iowę proste (siusoidy). Że tak jest istotnie, tego dowiódł w roku 1807 matematyk francuski Fourier. Okazał on mianowicie, że każdy ruch peryodyczny można uważać jako wypadkową pewnej (czasem nieskończenie wielkiej) liczby zupełnie określonych drgań prostych-, o okresach spólmiernych. Z tego wynika, że odchylenie s w każdym ruchu peryodycznym, może być uważane jako suma odchyleń s,, s₂, s₃, i t. d. odpowiadających pewnym ruchom drgającym prostym. Jeżeli oznaczymy przez T okres, przez n — ^c

częstość danego ruchu peryodycznego, natenczas, według twierdzenia Fouriera, częstości tych drgań składowych muszą być całkowitemi wielokrotnościami częstości n, t. j. w ciągu jednego okresu ruchu danego, pierwszy z ruchów składowych wykonywa jedno drganie zupełne, drugi dwa drgania, trzeci może siedem i t. p. Dodać należy, że rozbiór jakiegokolwiek ruchu peryodycznego na drgania proste może być dokonany tylko w jeden jedyny sposób t. j. każde z drgań składowych posiada amplitudę i fazę zupełnie określoną, zależną tylko od rodzaju ruchu danego. Odchylenie każdego ruchu peryodycznego daje się zatem przedstawić następującym wzorem ogólnym, obejmującym wszelkie dopuszczalne częstości ruchów składowych (nie-przesądzając, że w szczególnych przypadkach niektóre mogą odpaść):

s — at sin (27mt -f §t) + a₂ sin {4&nt-\- §₂) •+ a₃ sin (67int + S₃)    i t. d.

Wyszukanie tych ruchów drgających prostych (amplitud a,, «aj— i faz S,, S₂,...), któreby razem wzięte, wywołały żądany ruch peryodyczny, nazywa się rozbiorem drgania «złożonego, albo analizą harmoniczną (nazwa wzięta z nauki o dźwiękach, gdzie podobne rozbiory mają ważne zastosowanie). Celem uskutecznienia rozbioru (jeżeli ruch peryodyczny dany jest np. za pośrednictwem swej linii falowej) używa się trzech rozmaitych sposobów. Niekiedy można rozbioru takiego dokonać doświadczalnie, jak się o tym przekonamy w nauce o dźwiękach. Drugi sposób polega na użyciu pewnych narzędzi matematycznych, których opisanie należy do matematyki, a które rozkładają mechanicznie jakąbądź linię falową złożoną na linie falowe proste (sinusoidy). Trzeci sposób jest czysto rachunkowy i polega na zastosowaniu prawideł rozbioru, jakie w tym celu wynaleziono w matematyce.

Celem dalszego objaśnienia podstaw analizy harmonicznej, i okaza

Ciało jakiekolwiek porusza się peryodycznie po linii prostej o długości 4 cm, w taki sposób, że przebiega ową linię ruchem jednostaj-

nia na przykładzie, że jakikolwiek ruch peryodyczny może być utworzony z drgań prostych, stosownie dobranych, przytoczymy następujący ruch:

fly

Ar

A'—-

Ą.

Ao

Fig. 22.

nym od jednego końca do drugiego w przeciągu ²/₃ okresu T; następnie, zawraca prawie nagle i przebiega tę samą linię z powrotem, również ruchem jednostajnym, w przeciągu pozostałej i/₃ okresu. Fig. 22 wyobraża linię falową ABCD, DEFA' i t. d. właściwą takiemu ruchowi peryodycz“

nemu; jest to linia łamana, składająca się z odcinków prostych. Rachunek wykonany według prawideł matematycznych, wyłożonych przez Fouriera wykazuje, że ruch taki należy uważać jako wypadkową iu-chów drgających prostych, w liczbie nieskończenie wielkiej, z których pierwszy, najwolniejszy, posiada również okres T, następne zaś okresy. '/₂ T, V₄ T, '/ä T, V₇ T i t. d. W tym nieskończenie długim szeregu drgań składowych, kilka początkowych ruchów mają znaczniejsze amplitudy: amplitudy dalszych są tak drobne, że mogą byó pominięte w praktycz-nem zastosowaniu. Odchylenia drgań składowych są takie:

s, — 1,58 sin

K t    / 4 K t

; s₂ = 0,39 sin    +

10 TC f

”) =

— 0,39 sin

4 TC t

~ T ’

8 TC t

s-i — 0,10 sin ——

coraz drobniejsze ruchy. Linie falowe właściwe ruchom su s₂, s₃ wyobrażone są na fig. 22 jako /j,./₂ A Rysunek okazuje, że kolejne składanie ruchów i s₂, st -)- s, i ,<?₃ i t. d. zbliża ruch wypadkowy coraz bardziej do danego ruchu skaczącego. Linia oznaczona tam przez ft -f-f₂ przedstawia sumę pierwszych dwu drgań pi ostych; dodając do tego trzecie, znajdziemy linię oznaczoną przez fx -j-f₂ -j-/₃₎ która jest już bardzo zbliżoną do danej linii falowej ABCD. Dalsze drgania proste, których już nie było można przedstawić na rysunku, służą niemal tylko do zaostrzenia zagięć, które w linii /j -f- f₂ -f- f₃ są jeszcze tępe. Ruch peryodyczny skarżą, cy, podobny do tego, który tu dla przykładu opisaliśmy, wykonywają, jak się później dowiemy, wszystkie cząstki struny skrzypcowej, pobudzonej do drgania zapomocą smyczka; drgania proste st, s₂ i t. d. z których ruch ten się składa, wzbudzają tony, które można wyśledzić uchem w dźwięku wydanym przez strunę.

; Są = — 0,06 sin

T î s₅ = 0,03 sin

14 ic i .

—; i dalsze

27. Drgania złożone, B) z drgań prostych w różnych kierunkach. Ruch złożony z drgań prostych, które nie odbywają, się po tej samej prostej jest w ogólności ruchem krzywolinijnym.

a) Okresy jednakowe. W ust. 22 rozłożyliśmy ruch jednostajny po kole (fig. 13) na dwa prostopadłe do siebie ruchy drgające prostej, punktów P i Q. Oczywiście, że składając na-powrót te dwa ruchy, otrzymamy znowu ruch jednostajny po kole. Jest to najbliższy przykład złożenia dwu ruchów drgających, mających różne kierunki. Fig. 13 okazuje, że gdy P przechodzi przez środek O t. j. gdy zaczyna drganie, drugi punkt Q znajduje się w B, to znaczy, że spóźnił się w fazie o ćwiartkę drgania, i rozpocznie nowe drganie dopiero w O, gdy P posunie się tymczasem do A. Ta różnica faz odpowiadająca ćwierci okresu, albo 90° utrzymuje się widocznie wciąż.

Jeżeli tedy złożymy diva ruchy drgające, prostopadle do siebie, mające jednakowe amplitudy i okresy, tudzież fazy różniące się o 90°, wtenczas nich wypadkowy będzie ruchem jednostajnym po obwodzie kola

(w prawo lub w lewo, por. ust. 28).

Gdyby drgania punktów P i Q (fig. 13) odbywały się bez różnicy faz, t, j. gdyby oba wychodziły jednocześnie ze środka O, wtenczas ruch wypadkowy byłby inny. Łatwo się przekonać, że ilekroć dwa drgania proste, o jednakowych okresach, mają bądź to zgodne, bądź przeciwne fazy, ruch wypadkowy utworzony z nieb jest prostolinijny i stanowi znowu drganie proste w tym samym okresie. W istocie, punkty P i Q (fig. 23) drgające wzgłuż AAX i BB, wychodzą jedno-

cześnie z O i przebywają jednocześnie drogi OP = OA. sin -p-

i OQ — OB. sin —pT-. proporcyonalne, jak widać, do sr

amplitud OA i OB. Składając OP i OQ otrzymujemy punkt M jako położenie ciała w ruchu wypadkowym; trójkąty OPM

A-

Q.

Aj

X. /

VD

c;

Fip. 23.

i OAC są podobne, albowiem boki c ich są równoległe i proporcyonalne względem siebie. Z tego wynika, że punkt M porusza się wzdłuż prostej CCt i odbywa ruch drgający prosty — bo proporeyolny do ruchów P i Q. Gdyby jeden z tych punktów np. P był spóźniony o pół okresu (różnica faz — ic, fazy przeciwne) wtenczas drganie wypadkowe odbywałoby się widocznie wzdłuż drugiej przekątnej DD, równoległoboku wystawionego na aA, i BBX.

Z tego okazuje się nawzajem, że każdy ruch drgający prosty (jak np. CCj) można rozłożyć, za pomocą konstrukcyi równoległoboku, na dwa albo więcej ruchów drgających prostych, mających ten sam okres, tudzież fazy zgodne z ruchem danym.

Jeżeli różnica faz ruchów składowych nie wynosi ani o ani tt, wtenczas ruch wypadkowy jest zawsze krzywolinijny; a mianowicie: Dwa ruchy drgające proste, o jednakowych okresach, mające jakiekolwiek amplitudy i fazy, dają ruch wypadkowy, odbywający się iv ogólno ■ ści po obwodzie elipsy; w szczególnych przypadkach {o których właśnie była mowa) elipsa może być kołem albo Unią prostą.

Ażeby się o tem przekonać, wykreślmy linie AA, i BB (fig. 24), po których odbywają się drgania składowe i zaznaczmy na nich położenia, zajmowane jednocześnie przez oba punkty drgająca. W tym celu rysujemy dwa półkola pomocnicze podzielone na jednakową ilość równych części (gdyż okresy mają być równe; w fig. 24 każde półkole jest podzielone na 8 części).

X—->

Mi

-j-

f—h

/_0/    B/.-J

/ f:

V-

/P.

/Pi

P.

Fig’. 24.

Dajmy nato że drganie po BB, wyprzedza drganie po AA,

TC

okresu, to jest że jego faza jest większa o -y . Współ-czesnemi odchyleniami ruchów składowych będą wówczas odcinki: 0 i OM₀ w chwili t — o; OP, i OQ, dla t = yg- okresu;

O

OP₂ i OB dla t — ^ Ti t. d. Składając te odchylenia zapo-

mocą konstrukcyi równoległoboków (ust. 21), znajdziemy wypadkowe położenia ciała odbywającego ruch złożony: M₀, M„ Ma i t. d. Punkty te wyznaczają linię ciągłą zamkniętą w sobie; linia ta jest elipsą; ciało podlegające równocześnie dwu drganiom prostym, w kierunkach AA, i BB,, krąży zatem nieustannie i pe-ryodycznie po obwodzie elipsy, zamkniętej całkowicie w równo-ległobocznej ramce, wystawionej na końcach obu amplitud składowych. Że linia którą tu otrzymaliśmy jest rzeczywiście elipsą (por. zadanie 70), to wynika z tej uwagi, że cień koła rzucony ukośnie na ścianę, przez oddalone światło (t. j. promieniami rów-

np. o t

noległymi) przedstawia się jako elipsa. Jeżeli po kole takiem krąży jednostajnie jakie ciało, natenczas cień jego krążyć będzie po elipsie. Ponieważ ruch po kole można złożyć z dwu drgań prostych, przeto także na cieniu ruch eliptyczny wynik-

ft* ■

CM

1:3

2:3

S'

3:^

“I-

*h

cojŁy

«I-

>'h

JL

Ca ta

H-

;;

16

2^

7T

Fig. 25.

JL

1G

nie ze złożenia dwu ruchów drgających prostych. Pochylając koło rozmaicie względem promieni światła i względem ściany, otrzymamy na cieniu wszystkie przypadki ruchu złożonego, o których tu była mowa: prostą, elipsę i koło (patrz'fig. 25, pierwszy rzęd figur).

b) Okresy różne. Jeżeli okresy dwu drgań prostych, odbywających się w różnych kierunkach, nie są równe, wtenczas ruch wypadkowy odbywa się po liniach krzywych, mających różne kształty, zależne od stosunku okresów i od różnicy faz drgań składowych. Ruch wypadkowy jest i w tym razie tylko wtenczas peryodyczny, t. j. ciało krąży nieustannie po obwodzie tej samej niezmiennej zamkniętej w sobie linii, gdy stosunek częstości ruchów składowych daje się wyrazić stosunkiem dwu liczb całkowitych (jak w ust. 25, A). Na fig. 25 narysowane są najważniejsze postaci tych krzywych w przypadku dwu drgań składowych, prostopadłych do siebie. Pierwszy rzęd poziomy obejmuje znane nam już linie, odpowiadające okresom równym, t. j. stosunkowi częstości 1:1. W drugim rzędzie znajdujemy krzywe, będące torami ruchu złożonego z dwu drgań prostych, których częstości są w stosunku 1:2; na jedno drganie w kierunku pionowym przypadają dwa drgania poziome. Ułamki podpisane pod figurami wskazują o jaką część własnego okresu drganie poziome wyprzedza pionowe. Dalsze rzędy odnoszą się do stosunków często-ści 1:3; 2 : 3, i 3 : 4 tudzież f do rozmaitych różnic fazy.

Którąkolwiek z tych linii A\ft    krzywych można wykreślić

ÆJ-4—]--    pomocą tego samego sposobu,

jakiego używaliśmy do wy-

_____LN    kreślenia elipsy (fig. 24). Jako

. u..    . _j - jNJ przykład posłuży fig. 26,

------jl w której wykreślony jest tor

V--

\r-

₀L

V-

v------

.Z--

'fy

6‘......

■b

N»

za

wypadkowy dla dwu drgań składowych AAt i BB,, o okresach mających się jak \ do przyczem drganie poziome wyprzedza pionowe o -gk- część własnego okresu. Rysunek ten nie wymaga bliższego objaśnienia.

Fig. 26.

cc.

Krzywe narysowe na fig. 25 badał naprzód Lissajous (czyt. Li-sażu), on wskazał zarazem sposób, za pomocą, którego linie te można doświadczalnie otrzymać. Jasno świecący punkt S (fig. 27) np. obraz słońca odbity w błyszczącym guziku rzuca światło na małe zwierciadło a, przy-

twierdzone do jednego ramienia widełek strojowych Wt, ustawionych pionowo. Po odbiciu się od a (światło pada na zwierciadło b przymocowane do widełek W₂, umocowanych w położeniu poziomem. W ostatniem zwierciedle zobaczymy, patrząc okiem nieuzbrojonem, albo lepiej przez lunetę L, obraz jasnego punktu S. Wprowadziwszy za pomocą młotka, albo smyczka, jedną parę widełek w drganie, zrozumiemy, że obraz ten

Fig 27.

również drgać będzie; ponieważ oko przechowuje przez pewien krótki czas wrażenia świetlne, przeto zamiast punktu ujrzymy krótką świecącą linijkę, wzdłuż której obraz drga. Podczas drgania obu widełek, ruchy składają się i obaezymy wówczas ruch po linii świecącej krzywej, która jednakże tylko wtenczas będzie niezmienną, gdy okresy drgań obu widc-łek będą spółmierne. Będzie to jedna z linij fig. 25.

Jeżeli okresy nie są ściśłe spółmierne, ale stosunek ich różni się nader mało od stosunku dwu liczb całkowitych (n. p. 1:2) wówczas także tor drgania wypadkowego różnić sięcbędzie każdej chwili nader mało od jednej z figur należących do stosunku 1 : 2. Jednakże to drganie składowe, którego okres, wskutek istniejącej niedokładności, jest cokolwiek za krótki, będzie wciąż wyprzedzało drugie drganie. Wskutek tego figura wypadkowa będzie wciąż zmianiać się, przechodząc kolejno przez wszystkie kształty odpowiadające stosunkowi 1 : 2, ale rozmaitym różnicom fazy

28. Drgania złożone, C) z dwu ruchów kolistych. Skoro zgodzimy sią nazywać drgającym wszelki ruch peryodyczny, powtarzający się w równych odstępach czasu, wówczas i ruch jednostajny po kole wypadnie zaliczyć do ruchów drgających. Widzieliśmy istotnie (ust. 27), że ruch tego rodzaju jest sumą dwu drgań prostych, prostopadłych do siebie, np. pionowego i poziomego (fig. 28), mających jednakowe amplitudy i okresy, z których jedno wyprzedza drugie w fazie o 90°. Wypadkowy ruch kolisty odbywa się w prawo (fig. 28 prawa strona), lub w lewo (fig. 28 lewa strona) zależnie od tego, czy pozioma składowa, czy pionowa wyprzedza w fazie o 90°. Przypuszcza się tu, że w .obudwu ruchach składowych faza liczy się od chwili przejścia przez środek, poziomego w prawo, pionowego na dół.

G.'

Lii

/„„■y

"O:

Fig. 28.

Zapytajmy teraz, coby nastąpiło, gdybyśmy nadali punktowi ruchomemu jednocześnie dwa ruchy koliste, takie, jak je właśnie opisaliśmy, jeden prawy, drugi lewy, jednakowego zresztą okresu i jednakiej amplitudy. Inaczej: jaki ruch wypadnie, jeżeli prędkość punktu będzie każdej chwili sumą geometryczną jednoczesnych prędkości ab i a'b' (fig. 28) dwu przeciwnych, zresztą równych kolistycli i jednostajnych ruchów? Skoro każdy z tych ruchów składowych można zastąpić sumą dwu prostopadłych do siebie drgań prostych, poziomego i pionowego, przeto szukany ruch wypadkowy będzie sumą czterech drgań prostych, dwu poziomych i dwu pionowych. Pierwsze, jak widać natychmiast, znoszą się ustawicznie, drugie, jednakie i równoległe, składają się na jedno drganie proste o amplitudzie zdwojonej, o tym samym okresie (ust. 25). Każde drganie proste można zatem złożyć z dwu równych, jednostajnych ruchów kolistych mających przeciwne kierunki obrotu. Kierunek drgania wypadkowego odpowiada w ogólności linii symmetryi obu ruchów kolistych.

Wynik ten, mający ważne zastosowanie w teoryi polaryzacji światła, czytelnik uzmysłowi sobie łatwo zapomocą przyrządu (fig. 17) do składania dwu drgań. Długość ramienia rM trzeba uczynić równą s r, a średnica krążka ruchomego n powinna być o połowę mniejsza od średnicy stałego m. Podczas obrotu listwy ab punkt M wykonywać będzie drgania po prostej przechodzącej przez s.

Dwa obroty przeciwnych kierunków, których okresy nie są równe, ale różnią się nader mało, składają się jeszcze na drganie przybliżenie prostolinijne; jednakże, wskutek zmieniającej się ciągle różnicy faz kierunek tej linii wiruje zwolna i jednostajnie okuło środka.

Składanie dwu ruchów kolistych jednakowego okresu i kierunku np. de u prawych, albo dwu lewych daje zawsze znowu jednostajny ruch kolisty, o amplitudzie zależnej od różnicy faz. Takim będzie np. ruch punktu M w przyrządzie fig. 17, skoro się zrzuci sznur łączący krążki m i n.

2Î). Drgania zanikające. Różne rodzaje ruchów drgających, które dotąd opisywaliśmy, zdarzają się w rzeczywistości tylko wtenczas, gdy jakakolwiek zewnętrza pobudka utrzymuje ciało w nieustannem drganiu. Wahadła np. w zegarach odbywają ciągle ruch wahający, czyli drgający, albowiem mechanizm poruszany ciężarkami potrąca je za każdem wahaniem. Gdy takiej ciągłej pobudki niema, wtenczas ruch drgający, spotykając rozliczne przeszkody, zmniejsza się stopniowo i ustaje na-koniec zupełnie. Sprężyna zgięta drga po oswobodzeniu przez pewien czas, ale drgania jej stają się z biegiem czasu coraz mniejsze, w końcu znikają; wahadło swobodne zatrzymuje się po wykonaniu pewnej ilości wahań i t. p.

Ruchy tego rodzaju nazywają się drganiami zanikające mi. Uważne ich badanie okazało, że zmniejsza się tylko amplituda, a wskutek tego także prędkość ruchu; okres natomiast pozostaje aż do końca ruchu niezmieniony. Tę ostatnią własność drgań zanikających nazywa się isochronizmem. Doświadczenie okazuje nadto, że amplitudy kolejnych drgań zmniejszają się w taki sam sposób, jak wyrazy szeregu geometrycznego malejącego. Jeżeli zatem a oznacza pierwszą amplitudę na prawo, w chwili t — o, to następna, na lewo, po upływie czasu t = £ T, wynosić będzie ha (gdzie h jest ułamkiem właściwym, tem mniejszym, im szybciej amplitudy maleją). Dalsze największe odchylenie na prawo, dla t— T, będzie znowu tą samą częścią poprzedzającego t. j. h {ha) — h?a; następne, dla t = 3 £ T, wynosi h³a i t. d. W ogólności możemy ruch tego rodzaju uważać jako drganie proste, w którem amplituda nie jest stałą, lecz zmniejsza się w taki sposób, że po upływie czasu t, wartość jej równa się początkowej wartości, pomnożonej przez pewien ułamek (Jc), podniesiony do potęgi proporcyonalnej do czasu; amplitudę takiego ruchu po upływie czasu t możemy zatem wy-

2t

razić przez wzór: ahf. Linia falowa drgań zanikających

Co do prędkości i przyśpieszenia, w ruchu drgającym o amplitudach malejących, należy pamiętać (ust. 24, wzór 1) że prędkość ruchu drgającego prostego jest proporcyonalna do amplitudy. Skoro te ostatnie się zmniejszają, przeto w tym samym stosunku zmniejszają się także prędkości. Przyśpieszenie ruchu drgającego prostego jest jak wiadomo proporcyonalne do każdoczesnego odchylenia i posiada przeciwny temuż kierunek (ust. 24, 2); w drganiach zanikających mamy oprócz

składa się z szeregu fal, stopniowo malejących, ale mających jednakową długość. (Fig. 29, gdzie przyjęto a— 2 cm;

k = I).

V7

Fig. 29.

tego przyśpieszenia jeszcze dodatkowy ubytek prędkości, będący następstwem ciągłego zmniejszania się amplitud. Każda amplituda zmniejsza się o wielkość proporcyonalną do swej własnej wartości, np. a przechodząc w ka zmniejsza się o: (1 - k) a. Wiedząc, że amplituda jest miarą prędkości ruchu drgającego, wnosimy ztąd, że zmniejszanie się prędkości, wynikające ze zmniejszania się amplitudy jest również proporcyonalne do każ-doczesnej prędkości czyli: że la część przyśpieszenia jest proporcyonalna do prędkości i posiada przeciwny kierunek. Przyśpieszenie ruchu uważanego składa się więc z dwu części, mianowicie: z części proporcyonalnej do każdoczesnego odchylenia s, zwróconej zawsze ku środkowi drgania, jak w drganiach prostych, i z części proporcyonalnej do prędkości, a mającej kierunek przeciwny każdoczesnej prędkości; ta druga część przyśpieszenia sprawia stopniowe zanikanie ruchu. W drganiu np.

sprężyny potrąconej, pierwszą część przyśpieszenia wywołuje sprężystość, drugą opór powietrza otaczającego.

ZADANIA.

66) Znaleźć ruch wypadkowy,składający się z dwu drgań prostych, po tej samej linii, mających amplitudy: 2 cm i 3 cm, częstości jednakowe = 50 na sek; faza pierwszego ruchu wyprzedza fazę drugiego o 45°. Odp. Drganie proste o częstości 50 na sek; amplituda 4,64 cm; faza wyprzedza fazę drugiego drgania składowego o 17° 46'.

67) Rozłożyć drganie: s = 12 sin ^ 60 t -j-

dwa drgania

składowe, po tej samej linii, z których jedno jest dane: = 7 sin 60 znaleźć drugie. Odp. s₂ — 8,6144 sin (60 t -j- 80° 4' 20").

68)    Jaki będzie wynik złożenia następujących dwu ruchów drgających, po tej samej linii: st — 8 sin (358 rc t -f- 8t) i s₂ — 6 sin (372tc t -f- 8?)? Odp. Ruch drgający, którego amplituda zmienia się w granicach: od 2 do 14, siedem razy na sekundę.

69)    Dwa drgania proste odbywają się w kierunkach prostopadłych do siebie, mają amplitudy 3 i 4, jednakowe częstości i fazy zgodne; jaki będzie ruch wypadkowy? Odp. Drganie proste, o amplitudzie 5, z tą samą częstością, wzdłuż prostej pochylonej pod kątem 53° 8' do linii pierwszego ruchu.

70)    Dwa punkty odbywają drgania proste, o wspólnym okresie, w kierunkach prostopadłych do siebie; odchylenia ich wyrażają się wzo-

tudzież y = b sin

na

2 izt

Znaleźć równanie

rami: x — a sin

krzywej, po której odbywa się ruch wypadkowy (wyrugować t). Odp.

2nt

-j- b sin

y — b COS £ sin -j- b sin e cos yjy = b cos e

czyli po przerobieniu: a² y²b² x² — 2 ab x y cos s = a² b² sin² s.

71) Co przedstawia to równanie? Odp. Gdy

y    b

= 0 t.j.^ = ±

x    a

a² ’

0 lub tc, (ay + bx)² =

(prosta); gdy 3 = 90, a² y² -)- b² x². — a² b², czyli

x²

Cr* ^ to tO

— 1 (elipsa o osiach głównjmh a i b); zresztą elipsa wpisana ukośnie w prostokąt 2a, 2b.

a²

30. Ruch postępowy i obrotowy. Dotąd zajmowaliśmy się wyłącznie takimi przypadkami ruchu, w których, jak wspomniano na początku niniejszego rozdziału, ruch całego ciała można

określić ruchem jednego punktu. Nie zawsze jest to możliwe, mianowicie gdy ciało obraca się, albo gdy ruch polega t. zw. odkształceniu, t. j. gdy ciało się wydłuża, albo skręca, zgina, rozszerza lub kurczy i t. p. Ruch br}Gy nie zmieniającej ani kształtu, ani wielkości, t. zw. bryły sztywnej może byc albo postępowy, albo obrotowy, albo jedno i drugie razem.

Postępowym nazywamy ruch ciała gdy ono posuwa się po linii prostej lub krzywej, nie zmieniając przytem swego kierunku (oryentacyi) względem pewnych kierunków uważanych za stałe, np. względem stron świata Każda linia, wykreślona w ciele, albo na ciele, zachowuje podczas ruchu postępowego kierunek równoległy do swego kierunku pierwotnego. Igła magnesowa np. obnoszona, bez wstrząsania, pe drogach prostych lub krzywych, wykonywa ruch postępowy, gdyż wskazuje wciąż ku północy. W przeciwnym razie ruch ciała jest obrotowy, albo obrotowy połączony z postępowym. Dopóki np. woda w strumieniu porusza się tak, że słomka, rzucona na powierzchnię, płynie nie zmieniając kierunku, ruch wody w pobliżu słomki będzie postępowy; gdyby zaś kierunek słomki zmieniał się, wnosilibyśmy, że istnieje ruch obrotowy wody (wir).

Połączenie ruchu postępowego z obrotowym widzimy na fig. 30. Krążek osadzony na trzonku, obraca się około końca trzonka 0. Strzałka narysowana na krążku zmienia kierunek, ilekroć jego położenie się zmieni; to dowodzi, że krążek obraca się tak samo jak trzonek; jednocześnie przenosi się on z miejsca na miejsce, odbywa zatem ruch postępowy.

..ll.

Fig. 30.

Gdyby był ruchomo złączony z trzonkiem wówczas te dwa ruchy mogłyby być wykonane niezależnie od siebie: naprzód przesunięcie do nowego położenia, a następnie obrót około środka krążka.

Ruchy obrotowe mogą odbywać się bądź to około osi stałej, jak koło u kołowrotka; albo też, oś obrotu może się fzmie-

niać, jak np. w ruchu piłki albo laski rzuconej w powietrze, a zarazem zakręconej. Uważa się w tym przypadku ruchy obrotowe około punktu i mówi się, że ciało się kręci (frygi, bąki, kula ziemska).

Obroty około osi mogą być pełne, czyli całkowite (koło u wozu), albo częściowe (wahadło).

31. Prędkość kątowa. Różne punkty bryły obracającej się około osi, mają różne prędkości; najbardziej od osi odległe poruszają się najszybcej, inne zaś tem wolniej, im bliżej osi się znajdują. Można jednak, jak zaraz zobaczymy, prędkość obrotu wszystkich tych części, związanych w jedno ciało, określić jedną jedyną liczbą. Liczbą taką jest liczba obrotów n całej bryły w przeciągu jednostki czasu (sekundy, lub minuty) i ona wystarcza w zupełności, w razie, gdy obrót odbywa się jednostajnie. W ogólnym przypadku dogodniejszą miarę szybkości obrotu, jednostajnej lub nie, jest t. zw. prędkość kątowa. Weźmy pod uwagę punkty ABCD jakiejkolwiek bryły (fig. 31) leżące na tym samym promieniu OD, prostopadłym do osi obrotu O. Po upływie pewnego czasu, promień ten zajmie położenie Od. Wszystkie punkty znajdujące się na nim zakreśliły drogi łukowe

»D‘

^ Wax' JiX

Fig. 31.

A a, Bfr, i t. d., należące do tego samego kąta środkowego DOd, a zatem proporcyonalne do ich odległości od osi, t. j. do AO, BO i t. d. Prędkości tych punktów wyobrażone na ) fig. 31 przez odcinki AAr, BB', CC'... są zatem również proporcyonalne do tych odległości, bez względu na to, czy obrót odbywa się jednostajnie, lub nie. Jeżeli prędkość któregokolwiek z tych punktów oznaczymy przez v, przez r jego odległość od osi, wtenczas, na mocy tej proporcyonalności, wartość stosunku:

będzie jednakowa dla wszystkich punktów w ciele: sto-sunek ten nosi nazwę prędkości kątowej.

W obrocie jednostajnym, prędkość v każdego punktu jest stała, przeto droga (luk) przebyta w ciągu jednostki czasu, posiada długość v ; ponieważ stosunek długości łuku v do długości promienia r stanowi miarę kąta środkowego należącego do łuku, przeto możemy powiedzieć, że miarą prędkości kątowej jest kąt obrotu (wyrażony iv mierze lukowej) przypadający na jednostkę czasu. W przypadku obrotu niejednostajnego należałoby uważać ruch przez czas nieskończenie krótki; stosunek kąta, o który bryła obróciła się w ciągu tego czasu, do tegoż czasu, wyrażać będzie znowu prędkość kątową w uważanej chwili.

Aby znaleźć związek pomiędzy prędkością kątową, a liczbą obrotów n, przypadających na jednostkę czasu, zważmy, że kąt, o który ciało się obraca w przeciągu sekundy wynosi (w mierze łukowej) n. 2îc. Mamy zatem:

<2)

oj — 2 Tc n, albo n = ~

2tc ’

Jeżeli T oznacza czas jednego obrotu (okres), wtenczas ~~l będzie zatem także:

(3)

2tc

2tc

“ = ~m, T = -=

W ruchu obrotowym niejednostajnym, mówi się o przyśpieszeniu kątowem, rozumiejąc przez to przyrost (dodatny albo ujemny) prędkości kątowej, przypadający na jednostkę czasu.

ZADANIA.

72)    Jaką liczbą wyraża się w mierze łukowej kąt 16° 7' S"?

Odp. 0,2813277.

73)    Wóz toczy się z prędkością 1 misek, znaleźć rzeczywistą prędkość górnego i dolnego punktu na każdem kole. Co jest w każdej chwili rzeczywistą osią obrotu koła? Odp. Prędkość górnego = 2 m/sek, dolnego = 0; osią obrotu jest zatem linia przechodząca przez punkt dolny.

74)    Obliczyć prędkość kątową ziemi, w obrocie około osi (T = 23 y.

(■

)•

18713.5

75) Koło obraca się jednostajnie, 500 razy na minutę; obliczyć cz^

£6 min. 4,091 sek). Odp. 0,00007292115

jednego obrotu i prędkość kątową. Odp. 0,12 sek; 52,36.

76) Trzonek (fig. b0) obraca się na prawo, 3 razy na minutę; krążek obraca się jednocześnie około własnego środka, na prawo 5 razy na minutę; znaleźć liczbę obrotów bezwzględnych krążka. Odp. 8 na minutę, na prawo.

77) Koło nieruchome w chwili t — o, zostaje wprowadzone w ruch obrotowy, w taki sposób, że prędkość kątowa powiększa się jednostajnie, o <p w przeciągu każdej sekundy; znaleźć prędkość kątową po upływie czasu t sek i liczbę obrotów, dokonanych wr ciągu tego czasu. Odp. Prędkość kątowa = <p t; całkowity kąt obrotu (licząc od t — o) = ^ <p tf², zatem

cp t²

całkowita liczba obrotów —

ROZDZIAŁ IL

O DZIAŁANIU SIŁ.

(ZASADY DYNAMIKI).

32. Siła. Wyrazu siła używamy w mowie potocznej do określenia działań, jakie wywieramy zapomocą mięśni naszego ciała, gdy pokonywamy, albo usiłujemy pokonać jakiekolwiek opory. Podnosząc np. kawałek żelaza z ziemi, używamy siły naszego ramienia, celem pokonania ciężaru żelaza. W języku naukowym używamy wyrazu siła do określenia różnorodnych działań pomiędzy ciałami, które sprawiają podobne skutki jak siła naszego ramienia. Żelazo możemy podjąć z ziemi, ustawiwszy np. magnes nad niem; powiadamy więc, że magnes przyciąga ku sobie żelazo pewną siłą. W przyrodzie spotykamy bardzo wiele podobnych działań pomiędzy ciałami, które według powyższego określenia, zaliczyć należy do sił; poznamy je po kolei, jako siły ciężkości, sprężystości, tarcia, siły magnetyczne, elektryczne i t. p. W dalszym wykładzie będzie też miejsce na szczegółowe opisanie warunków, wśród których rozmaite rodzaje sił się objawiają. Obecnie, w wykładzie fizyki ogólnej, zadaniem naszem będzie poznanie ogólnych praw działania sił, t. j. praw, które stosują się do wszelkich rodzajów siły.

Działanie sił na ciała objawia się w dwojaki sposób: naprzód, one mogą wywoływać ruch, albo ogólniej mówiąc, zmieniać ruch ciała; powtóre, siły działające na ciało mogą równo-

ważyć się wzajemnie, wówczas utrzymują ciało w spoczynku, albo ogólniej mówiąc, nie zmieniają jego ruchu.

Nauka o prawach ogólnych działania sił nazywa się dynamiką (od gr. dynamis = siła); dzieli się ona na kinetykę (gr. kinein — poruszać) i statykę (gr. stenai —stać, statikos = ustalający). Kinetyka zajmuje się zależnością ruchu od sił, które go wywołują; statyka wskazuje warunki równowagi ciał będących pod wpływem sił.

W potocznej mowie używa się często wyrazu siła w znaczeniu od-miennem od powyższego, mianowicie na oznaczenie wielości lub wielkości; mówi się np. siła (mnóstwo) ludzi, siła światła (zamiast natężenie, lub jasność) i t. p. W dalszym wykładzie używać będziemy tego wyrazu wyłącznie w znaczeniu dynamicznem, t. j. na oznaczenie działań wzajemnych między ciałami, wzbudzających, albo usiłujących wzbudzić ruch materyi.

Zmysł siły poucza nas dostatecznie, na co mamy zwracać uwagę, określając jaką siłę. Siły mogą być większe i mniejsze, t. j. silniejsze lub słabsze, jak się przekonywamy, ważąc np. różne ciała w ręku, albo zginając sprężynę. One działają zawsze w kierunku zupełnie określonym i w miejscu również określo-nem. Aby zatem siłę dostatecznie określić, potrzeba znać: miejsce działania, natężenie i kierunek siły.

Pod względem czasu działania siły dzielą się na ciągłe, albo trwałe, t. j. działające przez czas dłuższy, i chwilowe (uderzenia), jeżeli działają bardzo krótko.

Pod względem miejsca działania odróżnić możemy siły działające na jeden punkt w ciele (punkt przyłożenia siły), albo na wszystkie części ciała (ciężkość), albo na powierzchnię ciała; w ostatnim przypadku nazywarrry je ciśnieniami (ciśnienie powietrza, ciśnienie wody na ciało zanurzone i t. p.). Pod względem natężenia i kierunku dzielimy siły na stałe, t. j. działające nieustannie z tą samą mocą i w tym samym kierunku, i zmienne, bądź to co do natężenia, bądź co do kierunku.

33. Zasady dynamiczne. Wynalezienie ogólnych praw, stosujących się zarówno do wszelkich sił działających w przyrodzie, zawdzięczamy Galileuszowi i Newtonowi. Galileusz (Galileo Galilei ur. 1564 w Pizie) zbadał naprzód prawa siły ciężkości i prawa ruchu ciał spadających pod jej wpływem; objaśnił nadto, że jednostajny ruch ciał po linii prostej odbywa się bez pomocy sił. Określenia te stały się podstawą dzisiejszej dynamiki, której główne prawa wypowiedział ostatecznie Izaak Newton (czyt. Njutn, ur. 1643 w Woolsthorpe) w dziele p. t. Philo-sophiae naturalis principia mathematica (1687).

Działanie sił na ciała objawia się, jak wspomniano wyżej, ruch, bądź jako równowaga, czyli spoczynek. Galileusz i Newton oparli badanie sił na zjawiskach ruchu, albowiem w tym przypadku znamiona siły okazują się bezpośrednio i jawnie. Jeżeli np. dwu łudzi jednakowo silnych ciągnie w przeciwne strony końce liny albo łańcucha, wtenczas mamy równoważenie się dwu sił i spoczynek. Spostrzeżenie takie nie daje nam zgoła wyobrażenia o sile tych ludzi; gdy atoli obaczymy człowieka przy pracy, poruszającego ciężary, lub pokonywaj ącego jakie inne opory, wtenczas wielkość działania daje nam odrazu miarę siły jego.

Przystąpimy obecnie do wykładu ustawionych przez Newtona trzech zasad dynamicznych, w których streszczone są ogólne prawa działania sił. Prawa te zostały stwiêrdzone wielu doświadczeniami i pomiarami; innego dowodu prawdziwości ich nie mamy, jak tylko to, że doświadczenie zawsze je potwierdzało. W istocie, one zawierają w sobie uogólnione wypadki różnorodnych doświadczeń dynamicznych, a zarazem stanowią najprostszy ich wyraz.

34. Pierwsza zasada dynamiczna: Żadne ciało nieruchome nie może samo przez się poruszyć się, a poruszające się nie może zmienić ani kierunku ani prędkości ruchu — chyba za sprawą sil, z zewnątrz na nie działających. Prawo to orzeka tak zwaną bezwładność mate-ryi. Ciało nieruchome nie może z własnej mocy poruszyć się z miejsca. Ciało wprowadzone początkowo w ruch, którego zewnętrzne opory nie hamują, ani zewnętrzne popędy nie przyśpieszają, musi poruszać się ciągle, po tej samej linii prostej, w tym samym kierunku i z prędkością niezmienną. Przez siłę zewnętrzną rozumie się tu taką siłę, którą na ciało uważane, wywierają inne ciała zewnątrz niego się znajdujące.

Zasada powyższa nie jest oczywistą, czego najlepszym do-wodem, że przed Galileuszem nie znano tej jej części, która odnosi się do ruchu jednostajnego. Uważano wówczas ruch kolisty jako taki, który sam przez się utrzymywać się może; ruch jednostajny natomiast, np. kuli rzuconej na gładką poziomą

płaszczyznę, przypisywano działaniu siły, która udzielona ciału z początku, miała w niem jakoby dłuższy czas przebywać. Gdy jednakowoż ruch takiej kuli ustaje pospolicie po upływie pewnego czasu, sądzono, że siła poruszająca stopniowo gaśnie, zanika. Zasada przytoczona wyżej objaśnia to zjawisko inaczej; stopniowe zwolnienie ruchu przypisuje ona siłom zewnętrznym, oporom (tarciu o p dstawę i powietrze, oporowi powietrza i t. p.)> które działają w kierunku przeciwnym ruchowi i stopniowo go niszczą. Gdyby było można oswobodzić ciało zupełnie od wszelkich zewnętrznych sił, wtenczas wprowadzone w ruch, poruszałoby się ono wiecznie w stałym kierunku i z niezmienną prędkością. Takiego ruchu, zupełnie swobodnego, nie znamy wprawdzie na ziemi; doświadczenia nie przemawiają jednak przeciw zasadzie bezwładności, ale owszem silnie ją popierają; im dokładniej bowiem zdołamy oswobodzić ciało poruszające się od zewnętrznych oporów, tern dłużej trwa ruch a prędkość mniej się zmienia.

Można przytoczyć wiele przykładów objaśniających ruch na mocy bezwładności. Rozpędziwszy się, możemy przeskoczyć znaczną, przestrzeń, albo ślizgać się daleko na lodzie; przy użyciu łyżew ruch trwa dłużej, z powodu mniejszego tarcia. Wozy kolejowe potrącone przez lokomotywę, albo siłą ludzką, poruszają się następnie po torze poziomym bez pomocy zewnętrznej; tarcie o tor i opór powietrza są wprawdzie siłami ze-wnętrznemi, działającemi na wóz, jednakże one nie pomagają, ale owszem przeszkadzają ruchowi. — Ciało niebieskie, rzucone w przestrzeń próżną, w wielkiej odległości od wszystkich innych gwiazd, poruszałoby się po linii prostej z prędkością stałą. Słońce, razem z układem słonecznym t. j. z planetami, kometami, księżycami, porusza się w przestrzeni na mocy bezwładności, a prędkość jego może chyba o tyle się zmieniać, o ile działa na nie wpływ innych, niezmiernie odległych, układów słonecznych (gwiazd zwanych stałemi), albo może opór jakiej materyi wypełniającej wszechświat. — Gdy pociąg kolejowy nagle staje, osoby stojące w wagonach padają naprzód, gdyż ruch nóg zostaje wstrzymany, a górna część ciała pozusza się dalej, na mocy bezwładności. Uderzając trzonkiem młotka o kamień, możemy głowę młotka osadzić trwale na trzonku i t. p.

35. Równowaga sił. Z pierwszej zasady dynamicznej wypływa ważny wniosek, będący jakoby jej odwróceniem, mianowicie: ilekroć ciało jakie spoczywa, albo porusza się jednostajnie po linii prostej, wtenczas albo nie działają na nie żadne siły zewnętrzne, albo równoważą się wzajemnie, t. j. skutki ich znoszą się nawzajem,

tak, iż ruch ciała nie doznaje zmiany. Jako objaśnienie tego Maxwell*) przytacza pouczający przykład. Weźmy pod uwagę jeden z wozów kolejowych, w pociągu poruszającym się jednostajnie po torze prostym i poziomym; na wóz taki działają następujące siły zewnętrzne: 1) napięcie łańcucha przedniego, które ciągnie wóz naprzód; 2) napięcie łańcucha łączącego wóz uważany z dalszymi; ono ciągnie wóz wstecz: 3) tarcie kół o tor i opór powietrza, działające wstecz; 4) ciężar wozu działający na dół; 5) tor uginający się pod ciężarem wozu ciśnie go wskutek swej sprężystości do góry. Ponieważ ruch wozu jest jednostajny i prostolinijny, przeto wszystkie te siły muszą wzajemnie się równoważyć, to jest: gdyby siły tego samego kierunku i natężenia działały na wóz nieruchomy, to nie mogłyby ruszyć go z miejsca; działając na wóz poruszający się, nie zdołają zmienić jego ruchu.

36. Puch pod wpływem stałej siły. Zanim przystąpimy do wykładu drugiej zasady dynamicznej, zastanowimy się naprzód nad tern, w jaki sposób poruszać się będzie ciało, zupełnie zresztą swobodne, jeżeli poddamy je działaniu jednej tylko siły, mającej stałe natężenie i stały kierunek. Ruchy jednostajne: pociągu ciągnionego przez lokomotywę, albo wozu, który konie ciągną, nie należą do tych, o których zamierzamy tu mówić; są to bowiem ruchy (ust. 35) odbywające się wśród równo-

TT

i illiM iTSi

Fig. 32.

wagi sił (siły pociągowej i oporów ruchu). Gdybyśmy zaprzęgli lokomotywę do pociągu, któryby nie doznawał oporów tarcia i t. p. natenczas ruch nie byłby jednostajny, przeciwnie, pod wpływem siły pociągowej, ciągle działającej i nie zrównoważonej, prędkość zwiększałaby się nieustannie.

') Materya i rurh.

Wyobraźmy sobie wózek, ile możności swobodnie ruchomy (bez tarcia), na gładkiej, poziomej podstawie, obciążony jakiem-kolwiek ciałem A (fig. 32); siły pociągowej niech dostarcza sprężyna, albo tasiemka gumowa, którą wydłużyliśmy do długości ab, a następnie ciągniemy jej koniec b, usuwając rękę z taką prędkością, żeby pomimo ruchu wózka, długość sprężyny była zawsze jednakowa. Spężyna stale wyciągnięta daje siłę niezmiennego natężenia; doświadczenie uczy, że wózek poruszać się będzie ruchem jednostajnie przyśpieszonym t. j. że pod wpływem stałej siły, prędkość ciała powiększa się tv równych czasach o równe wielkości. Moglibyśmy też powiedzieć — może nawet trafniej — że stałą nazywamy taką siłę, która wytwarza ruch jednostajnie przyśpieszony. Z doświadczenia poprzedniego wnioskowalibyśmy wtenczas, że sprężyna stale wydłużona wywiera stałą siłę.

Odkrycie tego zasadniczego związku między ruchem a siłą, jest zasługą Galileusza, który dowiódł doświadczeniami, że pod wpływem ciężkości, która jest również stałą^ siłą, ciała spadają ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

37. Masa. Doświadczenie ostatnie wskazuje nam, że ciało poddane działaniu stałej siły nie nabywa bynajmniej prędkości od razu, nagle; przeciwnie, prędkość narasta stopniowo, pro-porcyonalnie do czasu działania siły. Przezwyciężenie bezwładności wymaga tedy czasu. Naodwrót, ciało rozpędzone, któremu przeciwstawiliśmy opór (siłę działającą w kierunku przeciwnym ruchowi), również nie zatrzyma się nagle, lecz biedź będzie jeszcze przez pewien czas, ruchem stopniowo wolniejącym; przykładem pociąg kolejowy, gdy po zamknięciu pary nałożone zostaną hamulce.

Różne ciała zachowują się jednak w tym względzie rozmaicie; bezwładność ich nie jest bynajmniej jednakowa. Pociąg wiozący duży ładunek biedź będzie po założeniu hamulców dłużej aniżeli pusty; ale też wprowadzenie go w ruch, zapomocą danej siły pociągowej, wymagać będzie dłuższego czasu. Kawałek drzewa, poddany działaniu sprężyny stale napiętej (jak na fig. 32), uzyska prędkość około 19 razy większą, aniżeli bryła ołowiu, równej wielkości, ciągniona przez taki sam czas, tern samem napięciem sprężyny. Co w tych doświadczeniach najważniejsze, to że,gdybyśmy zmienili napięcie sprężyny, albo czas jej działania, gdybyśmy nawet sprężystość zastąpili inną, jaką siłą, np. przyciąganiem magnesów lub elektrycznem, w równych warunkach zmiana prędkości bryły drewnianej byłaby zawsze 19 razy większą, aniżeli ołowianej. Różnicy tej w zachowaniu się kawałków drzewa i ołowiu, albo pociągu pustego i naładowanego, nie należy kojarzyć z rozmaitością ich ciężarów. Doświadczenia, któremi obecnie się zajmujemy nie zależą bezpośrednio od ciężkości. Wynik byłby ten sam gdyby ciężkość wcale nie istniała, albo gdybyśmy wykonywali doświadczenia, takie jak na fig. 32, w środku ziemi, gdzie ciała nic nie ważą — bezwładnemi byłyby one jednak i tam.

Spotykamy się tu widocznie z pewną stałą cechą ciał. Dostrzegamy, że bezwładność ciał jest rozmaita, ale daje się wyrazić zapomocą niezmiennych liczbowych stosunków. .Liczbę wyrażającą bezwładność jakiegokolwiek ciała nazywamy jego masą; powiemy, że masa ołowiu jest 19 razy większa, aniżeli kawałka drzewa równej wielkości. W ogóle, jeżeli oznaczymy przez m i mx masy dwu ciał, a przez v i vx prędkości, albo zmiany prędkości, nabyte przez nie w jednakowych czasach, pod działaniem jednakowych sił, natenczas przyjmiemy—jako określenie:

(1)

m : mx ~ vx : v

t. j. liczymy masy odwrotnie proporcyonalnie do prędkości nabywanych przez nie.

Jednostka masy. Za pomocą doświadczeń dynamicznych możemy, w myśl przyjętej definicyi (1), określić tylko stosunek dwu mas. Jednostka pozostaje dowolną. W układzie miar cen-tymetr-gram-sekundowym przyjmuje się za jednostkę masę wody, zajmującej w temperaturze 4° C. objętość centymetra sze-ściennego. Jednostką masy jest zatem gram (ust. 6). Gdybyśmy wykonali próbę dynamiczną, np. według fig. 32, naprzód z masą grama, przyjętą za jednostkę, następnie z innem jakiem ciałem, moglibyśmy obliczyć, według (1), stosunek tych mas, a zatem wyrazić masę badanego ciała w gramach.

Doświadczenia tego rodzaju nie są ani łatwe, ani dokładne. Udowodnimy jednak później (ust. 57), że masy ciał są propor-cyonalne do ich ciężarów. Porównanie mas uskutecznia się tedy w rzeczywistości za pomocą ważenia na zwykłej wadze (ust. 91). Usprawiedliwienie tego postępowania opiera się jednak, w ostatnim rzędzie, na podanem wyżej określeniu pojęć.

Tablica mas.

lc»n³ powietrza.....

„ korka .......

„ wody (4°).....

„ ołowiu......

Człowiek dorosły (średnio) Wóz kolejowy z ładunkiem

Lokomotywa......

Księżyc........

Ziemia........

Słońce ........

°,’TO12 (w)

1,00

11,37

70000

20X1Ü⁶

30X10⁶

75X10**

5979X10²*

1990X10³⁰

38.

Pęd (Ilość ruchu). Łącząc wyniki obu poprzedzających ustępów powiemy: prędkość nabyta pod działaniem stałej siły jest tvprost proporcyonalna do czasu działania tejże (t), odwrotnie propor-cyonalna do masy ciała poruszanego (m). Wyraża to wzór:

(2)

P oznacza tu spółczynnik proporcyonalności, zależny już tylko od natężenia siły użytej i od jednostki w jakiej wymierzać będziemy to natężenie. Napiszmy to inaczej:

(3)

mv — PL

Po lewej stronie tego równania występuje wielkość, mają ca niepoślednie znaczenie w dynamice. Wyobraźmy sobie pociąg kolejowy, ciężko naładowany, biegnący z prędkością 2 metrów w sekundzie; pomyślmy drugi pusty, mający np. 5 razy mniejszą masę, ale tyleż razy szybszy ruch, 10 metrów w sekundzie. Pomimo znacznej różnicy w szybkości biegu ruchy tych dwu pociągów są pod względem dynamicznym zupełnie równoważne. Ażeby je wstrzymać w biegu, należałoby przeciwstawić im równe w obu przypadkach opory, przez przeciąg jednakowyah czasów. Ażeby je wprowadzić w bieg, z podane-mi wyżej prędkościami, należałoby znowu przyłożyć jednakowe siły pociągowe, przez jednakowe czasy. Powiadamy, że rozmach, rozpęd, albo krócej pęd ich jest ten sam. Mała prędkość jednego wynagradza się odpowiednio większą, masą; w drugim na odwrót. Ruch malutkiej kuli karabinowej, dzięki olbrzymiej prędkości, uderza nie gorzej od masywnego, ale wolno poruszanego młota.

Dynamiczną miarą ruchu nie jest sama prędkość, lecz ilo- j

czyn z prędkości i masy, zwany pędem, albo ilością ruchu. Jak okazuje równanie (3), jednakowe siły, działające przez ten sam czas, wy-twarda ja, tue wszelkich masach ten sam pęd.

Pęd jest wielkością kierunkową. Kierunek jego jest to kierunek ruchu (prędkości). Jeśli w ruchu jakim prędkość uważać będziemy jako wypadkową dwu (albo więcej) prędkości składowych vx, v₂, wówczas i pęd będzie wypadkową odpowiednich pędów składowych, w myśl równania

(4)

mv — mvx + mv₂

39. Miara sił. Według (3) jest

(5) co orzeka, że pęd wytworzony w jednostce czasu, zależy już tylko od natężenia siły użytej. Najprostszą będzie tedy rzeczą przyjąć tę wielkość P -wprost za miarę natężenia siły. Tak się też zawsze czyni. Umowa ta mieści w sobie zarazem określenie jednostki sił. Siła P mieć będzie widocznie natężenie = 1, jeżeli w czasie t — 1 sek zdolną będzie wytworzyć pęd — 1.

Zależnie od wyboru jednostek czasu, masy i prędkości możemy mieć różne jednostki sił. W układzie miar centymetr-gram-sekundowym (jednostka masy = 1 gram) jednostką będzie siła zdolna wytworzyć w masie 1 grama, w ciągu 1 sekundy, prędkość 1 cm/seh. Jednostkę tę nazwano dyną.

Ażeby np. masie 5 gr nadać prędkość 12 cm/seh, za pośrednictwem siły działającej stale przez przeciąg 6 sek, powinniśmy zastosować siłę o natężeniu:

= 10 gr.cm/sek², albo 10 dyn.

p_5 gr . 12 cm/sek

6 sek

Oznaczenia ;/dyna“, albo .,gram-centymetr —na kwadrat sekundy“ są zupełnie równoważne. Pierwsze jest krótką nazwą, zastępującą drugie. To ostatnie zaś wyraża wymiar siły, w odniesieniu do jednostek zasadniczych: długości, czasu i masy.

V

Jeśli zważymy, że — ~ y oznacza przyśpieszenie ruchu wy-

T

woływanego przez siłę P, możemy napisać, zamiast (5):

(6)

P — m Y

Natężenie siły mierzy się iloczynem wywoływanego przez niąprzyśpieszenia, przez masę poruszaną. Działając na masę pierwotnie nieruchomą siła zpowoduje od razu przyśpieszenie y. Gdyby przed zaczęciem działania siły masa posiadała już jaką prędkość początkową v₀, wówczas v w równaniu (5) oznaczałoby tylko zmianę, czyli przyrost prędkości, zależny od działania siły, nie zaś prędkość całkowitą, której wartością byłoby v₀ + v. Iw tym

V

przypadku zatem — miałoby znaczenie jednostkowej zmiany

V

prędkości t. j. przyśpieszenia; równanie (6) wyrażałoby i teraz natężenie siły.    ,

Równanie (6) stosuje się nakoniec nietylko do sił o natężeniu stałem, lecz i do zmiennych, np. stopniowo wzmagających się, albo stopniowo wątlejących. Dość wyobrazić sobie, że cały czas działania takiej siły podzielono w myśli na odstępy niezmiernie krótkie, tak krótkie, żeby w ciągu żadnego z nich zmienność siły nie zaznaczyła się (żeby siłę można było uważać w każdym odstępie za stałą). Do każdego stosować się będzie równanie (6). Przyśpieszenie ruchu jest w tym przypadku zmienne, zawsze proporcyonalne do każdorazowego natężenia siły.

Zaznaczmy nakoniec, że siła jest wielkością kierunkową, jest wektorem. O kierunku jej świadczy kierunek prędkości, jaka w danej chwili pod wpływem jej działania powstaje, a więc kierunek przyśpieszenia. Pod wpływem siły o zmiennym kierunku powstanie też ruch o zmiennem przyśpieszeniu, zawsze równoległem z siłą. Ażeby zaznaczyć tę równość wielkości P i »Y, nietylko co do wartości liczebnej, ale i co do kierunku, napiszemy równanie (6) w postaci równania wektorów:

40. Popęd (Impuls). Podobnie jak za miarę dynamiczną ruchu nie można uważać samej prędkości v, lecz iloczyn mv, pęd, tak też miarą dynamicznego skutku siły P nie jest samo jej natężenie, lecz iloczyn Vt z natężenia i czasu działania. Słaba siła, działając długo, wywoła bowiem taką samą ilość ruchu, jak mocna w czasie odpowiednio krótszym. Mamy istotnie, według (3)

mv — P t.

Iloczyn natężenia siły przez czas jej działania (przypuszcza się tu, że przez cały ten czas natężenie jej jest stałe) nazwano popędem albo impulsem. Popęd jest miarą wytworzonego ruchu (pędu).

41. Siły chwilowe (Uderzenia). Pojęcie popędu jest szczególnie użyteczne w przypadku sił działających przez czas niezmiernie krótki, t. zw. uderzeń. Jeśli np. uderzymy młotkiem kulę krokietową, skutek dynamiczny (pęd nadany kuli) zależeć będzie jedynie od wielkości wywartego popędu. W podobnych przypadkach nie możemy nawet ocenić natężania siły, które musiało być znaczne, skoro czas działania jest niezmiernie krótki. Jedynym objawem, dającym się dostrzedz i zmierzyć, jest pęd nadany, o którym wiemy, że jest równy wywartemu popędowi.

Siły czynne podczas uderzeń są z natury rzeczy zmienne. W pierwszej chwili zetknięcia się młotka z kulą siła zaczyna dopiero działać (co do fizycznej istoty tej siły por. ust. 53). Jej natężenie, zrazu = 0, rośnie szybko do wysokiej wartości, poczem równie szybko spada, a w chwili oddzielenia się kuli od młotka jest znowu = 0. Działanie siły zmiennej możemy wyobrazić sobie jako szereg niezmiernie krótkich, a więc i małych impulsów, o rosnącem lub słabnącem natężeniu. Każdy z nich przyczynia się do zwiększenia pędu, o tyle właśnie, ile wynosi jego wartość. Całkowity pęd nadany ciału, równa się sumie owych nieskończenie małych popędów.

ZADANIA.

'\78y Siła stała, działająca przez czas 10 sek, nadaje po kolei masom /w,, wij, m-j i 50 gr, prędkości 10, 15, 25 i 30 cm/sek; znaleźć wartości tych mas. Odp. ?«, = 150 gr, tn₂ = 100 *7^*, m₃ = 60 gr.

Ta sama siła udziela masie mt, w przeciągu 5 sek, prędkości 12 ctrijsek• w przeciągu 3 sek masie w/₅ prędkości 40 cm/sek, a w przeciągu 35 sek masie mr> prędkości 20 cm/sek- znaleść wartość tych mas. Odp. rn₄ = •= 62n»j = lii, = 262£.

"XjSiy Jak długo powinna działać siła 1COOO dyn na masę 50 kg, aby wytworzyła prędkość 100 cm/sek? Odp. 8 min 20 sek.

$2j Na wóz kolejowy, ważący 20 ton, działa siła 400 milionów dyn; jak daleko zajedzie ten wóz, na torze poziomym, w przeciągu 1 min. ? P

Odp. j = —

Obliczyć natężenie tej siły. Odp. 150 dyn,

= 20 ctn/sek²; s = 360 m.

s83}/ Jeżeli wóz ten porusza się po torze poziomym, z prędkością 5 m/sek, jaką siłę potrzeba mu przeciwstawić, chcąc go zatrzymać w przeciągu 10 sek‘t Odp. Siła powinna być tak wielka, aby mogła w przeciągu 10 sek wytworzyć w kierunku przeciwnym ruchowi wozu pęd 5x20 ton me-tróu/sek, a więc: 10 ton metrów/sek² — 10 X 100 milion, gr cm/sek² = lOOO milionów dyn.

84)) Kula ważąca 10 kg zostaje wyrzuconą z działa z prędkością 500 m/sek; obliczyć popęd sił, które sprawiły ruch kuli. Odp. 5000 kg m/sek.

x85) Jakie jest średnie natężenie tej siły, jeżeli przelot kuli przez rurę działową trwa sek? Odp. 300 X 5000 kg m/sek² = 15 X 10t0 dyn.

.86) Jak długo musiałby trwać przelot, gdyby średnie natężenie siły wynosiło 25 X 10⁾⁰ dyn? Odp. sek.

87) Piłka sprężysta uderza prostopadle o ścianę, z prędkością v, i zostaje z tą samą prędkością odbitą; o ile zmienia się i ej pęd podczas uderzenia, jeżeli masa wynosi w? Odp. Traci mv i nabywa mv w przeciwną stronę; zmiana wynosi zatem: mv—(—mv) = 2 mv. (Podobnie jeżeli ktoś posiada 1003 majątku, a straciwszy to, zadłuży się jeszcze na 1030, to zubożał o 2000).

88)    Jaki popęd wywiera sprężyste oddziaływanie ściany na piłkę, sprawiając tę zmianę? Odp. 2 m v, od ściany na zewnątrz.

89)    Jak wielki (średni) nacisk wywiera piłka na ścianę, (albo ściana

na piłkę), jeżeli uderzenie trwa t sek? Odp,

dyn.

2 to v

42. Druga zasada dynamiczna: Zmiana prdu ciała ró-wna ponędówi^ Jdimy jajł^    ten sam kierunek. Pęd i po

pęd uważa się tu jako wielkości kierunkowe; popęd wytwarza ilość ruchu równą, sobie i w swoim własnym kierunku, a ruch w ten sposób wytworzony składa się geometrycznie z ruchem, który poprzednio już istniał. Prawo wypowiedziane dopiero streszcza w sobie twierdzenia, odnoszące się do działania sił, które były już wyżej wyłożone, a nadto stanowi ono, jak żary z obaczymy, znaczne tych twierdzeń rozszerzenie.

43. Wniosek 1 : Działanie sił nie zależy od ruchu ciała. Związek między siłą a ruchem przez nią wywołanym objaśniliśmy (fig. 32) doświadczeniem, odnoszącem się do najprostszego przypadku-, przyjęliśmy mianowicie, że ciało pierwotnie nieruchome, zostaje poddane działaniu stałej siły. Otóż doświadczenia, z których wyprowadzono drugą zasadę dynamiczną, obejmują daleko szerszy zakres zjawisk. Jeżeli np. siła zaczyna działać) na ciało w chwili gdy ono posiada już jakikolwiek ruch, natenczas pęd wzbudzony jej działaniem będzie taki sam jak gdyby ciało było pierwotnie w spoczynku. Ruch wytworzony działaniem siły, dodaje się geometrycznie do ruchu istniejącego już w ciele.

Z tego wynika, między innemi, znane nam już twierdzenie, że ruch wywołany działaniem stałej siły, jest jednostajnie przyśpieszony. Siła stała wytwarza bowiem, w równych czasach, równe przyrosty prędkości, bez względu na to, czy ciało porusza się prędzej lub wolniej.

W podobny sposób tłomaczy się ruch jednostajnie opóźniony, w przypadku gdy ciało wprowadzone pierwotnie w ruch zostaje następnie poddane działaniu siły stałej, mającej kierunek przeciwny ruchowi; zmiana pędu jest w tym razie ubytkiem, posiada bowiem kierunek przeciwny ruchowi istniejącemu. Wreszcie, ciało może poruszać się w jakimbądź, ukośnym kierunku względem siły działającej. I w tym razie prędkości wytwarzane przez siłę będą do niej równoległe; dodając się do prędkości, jaką ciało pierwotnie posiadało, sprawią one zmianę kierunku ruchu.

Tak np. ciało rzucone w kierunku OA (fig, 12), z prędkością c, porusza się w tymże kierunku jednostajnie, posiada ilość ruchu mc. Jeżeli jednocześnie działa na nie siła stała w kierunku równoległym do OB, wtenczas ruch wypadkowy składać się będzie geometrycznie z mc, w kierunku OA i z m 7 t, wytworzonego działaniem siły w kierunku OB. Ruch wypadkowy ciała odbywać się będzie po łuku parabolicznym.

Ciało ciężkie, wypuszczone z ręki, w wagonie kolejowym stojącym na miejscu, spada pionowo na dół. Wiadomo, że tak samo spada pionowo (względem wagonu) jeżeli tenże porusza się na torze ruchem jednostajnym. W rzeczywistości, ciało wypuszczone podczas jazdy porusza się jednocześnie równoległe do toru, t. j. zachowuje wskutek bezwładności ruch jaki posiadało w ręku. Ciężkość wytwarza zatem ten sam ruch, bez względu na to, czy kula posiada obok tego prędkość w kierunku toru, czy nie. Jeździec, pędzący jednostajnie na koniu, podrzuca pionowo do góry kulę, poczem ona spada napowrót do ręki; względem jeźdźca kula porusza się tak samo, jak gdyby stał na miejscu; w rzeczywistości zaś biegnie ciągle nad nim, zatrzymując wskutek bezwładności prędkość nabytą w kierunku poziomym.

44. Wniosek 2. Składanie i rozkładanie sił. Jeżeli do tego samego eiała przyłożymy jednocześnie kilka sił, różnego natężenia, w różnych kierunkach, wtenczas każda z nich wytwarzać będzie ilości ruchu, odpowiednie swemu popędowi, w własnym kierunku, jak gdyby pozostałych wcale nie było. Siły nie przeszkadzają sobie wzajemnie. Wytworzone pędy składać się będą z sobą i z ruchem poprzednio już istniejącym, według praw geometrycznego dodawania (ust. 13). Jeżeli np. są dwie siły P i Q, to wypadkowy, wytworzony przez nie pęd będzie:

Pt -f- Qt

albo

(P + Q) t.

Ten sam pęd możnaby oczywiście udzielić ciału działaniem jednej tylko siły, mającej natężenie i kierunek: P + Q, t. j. równej sumie geometrycznej sił P i Q. Siła sprawiająca takie działanie, jak kilka sił działających jednocześnie, nazywa się ich wypadkową. Wartość liczebną i kierunek wypadkowej znajdujemy, przedstawiając siły pod względem natężenia i kierunku, przez odcinki proste i dodając te odcinki geometrycznie.

v Siła. równa co do natężenia wypadkowej kilku sił, lecz mająca kierunek wprost przeciwny, nazywa się równoważącą tych sił. Równoważąca wzbudza każdej chwili taki sam ruch, jak

siły dane, jednakowoż w przeciwnym kierunku; siła tego rodzaju niweczy zatem działanie tamtych, wskutek czego ciało pozostaje w spoczynku, czyli w równowadze; ogólniej mówiąc, ciało znajdujące się pod wływem takiego zrównoważonego układu sił, nie doznaje zmiany ruchu, a więc spoczywa, albo porusza się tak samo, jak gdyby sił żadnych nie było. Suma geometryczna

wszystkich tj^ch, sił łącznie z równoważącą, jest równa zeru. Fig. 33 objaśnia takie zrównoważenie się trzech ciężarów, działających za pośrednictwem sznurów na punkt A.

Z powyższych uwag wynikają bezpośrednio następujące twierdzenia:

Jeżeli kilka sił tworzą układ równoważący się, wtenczas którakolwiek z nich jest równoważącą pozostałych. Jeżeli bowiem

wtenczas będzie:

P + R + S = - Q.

\ 2) Wypadkowa dwu sił, działających w jednej linii pro-i stej, posiada kierunek siły większej i równa się sumie albo różnicy sił danych, zależnie od tego, czy one działają w tę samą stronę czy w strony przeciwne.

3) Dwie siły, działające wzdłuż linii prostej, mogą się tylko wtenczas równoważyć, gdy są równe i działają w przeciwne strony.

Każdą siłę można zastąpić dowolną ilością innych sił, bez zmiany działania, byle wypadkowa tych nowych sił była równa sile danej. Znaczy to, że siły możemy rozkładać na składowe, postępując tak samo, jak przy rozkładaniu prędkości, przyśpieszeń i innych wielkości kierunkowych. Figura 7 objaśniająca rozkładanie prędkości, stosuje się również do sił, jeżeli przez A a rozumieć będziemy siłę, przez Ab i Ac jej składowe.

•r

Fig. 33.

ZADANIA.

-n^O) Znaleźć natęenie i kierunek wypadkowej sił P i Q, prostopadłych do siebie. OJp. R = J/P² + Q²; tg (P, R) = ~.

91)    Znaleźć wypadkowę sił P i Q, których kierunki zawierają, kąt a.

^    ______ Q

Odp. R = J/P² -j- Q² -f- 2 PQ cos a; sin (P, R) = —- sin a.

92)    Zastosować powyższy wzór do przykładu: P = 6 dyn, Q=9 dyn, a = 75°31'21". Odp. R = 12 dyn; iP, R) = 46° 34'.

93; Znaleźć północną i wschodnią składowę siły 754Ü dyn, działającej poziomo pod kątem 35°, licząc od północy ku wschodowi. Odp. 6176,4; 4324,8.

45/ Trzecia zasada dynamiczna. Do każdego działania należy równe mu oddziaływanie, w kierunku wprost przeciwnym, czyli: wzajemne działania wszelkich dwu ciał mają jednakowe natężenia a kierunki przeciwne.

niedoznawało jednocześnie

Dotychczas opisywaliśmy działanie sił jednostronnie; badaliśmy ruch ciała pod wpływem siły zewnętrznej, nie troszcząc się o to, zkąd ta siła pochodzi. Trzecia zasada dynamiczna stwierdza przedewszystkiem, że wszelkie siły są wzajemnemi działaniami pomiędzy ciałami, albo częściami ciał, t. j. że źródłem siły, działającej na ciało, jest zawsze inne jakieś ciało; a dalej, że te działania są zawsze wzajemne. Nigdy się nie zdarzy, żeby ciało jakie A działało na B, wzajemnego działania od ciała B. Jeżeli jednę z tych sił nazwiemy działaniem (akcyą) wtenczas dajemy drugiej miano oddziaływania (reakcyi); te dwie siły są zawsze równe i mają przeciwne kierunki. Gdy zwracamy uwagę, nie na jedno tylko ciało, ulegające działaniu siły, jak to czyniliśmy dotąd, lecz zarazem na drugie, które jest przyczyną tej siły, wtenczas nazywamy wzajemne ich działania siłami wewnętrznemi; są to bowiem siły działające pomiędzy dwiema częściami układu ma-teryalnego stanowiącego przedmiot badania.

Trzecia zasada stosuje się do wszelkich sił w przyrodzie, bez względu na to, czy one są w równowadze, czy sprawiają ruch. Objaśnimy ją kilku przykładami:

a) Kamień leżący na stole ciśnie na stół swym ciężarem, w kierunku pionowym, na dół; jednocześnie stół działa na kamień, cisnąc go pionowo do góry. Przyczyną tego oddziaływania jest sprężystość stołu, który pod działaniem ciężaru ugina się cokolwiek; usiłując wyprostować się, ciśnie na kamień, podobnie jak sprężyna zgięta. Gdyby np. ciężkość przestała działać, t. j. gdyby masa leżąca na stole utraciła nagle ciężar swój, wtenczas oddziaływanie stołu rzuciłoby kamień do góry.

W podobny sposób zasada równości działań i oddziaływań stosuje się zawsze ilekroć dwa ciała, będące względem siebie w równowadze, działają wzajemnie na siebie. Jeżeli pomiędzy niemi znajduje się materya, pośrednicząca w działaniu, wtenczas ma* terya ta jest w stanie napięcia (jest wydłużona, skrócona, rozszerzona, ściśnięta, skręcona i t. p.; jak ów stół między ziemią a kamieniem).

b)    Kula wylata z rury działowej, pod wpływem ciśnienia gazów, wytworzonych przez spalenie prochu. To samo ciśnienie działa jednak i na rurę działową; z tej przyczyny działo cofa się w chwili wystrzału wstecz. Obadwa ciała, kula i działo, ulegają podczas ruchu jednakowym siłom, lecz w kierunkach przeciwnych.

c)    W poprzedzającym przykładzie, gaz zciśnięty był pośrednikiem we wzajemnem działaniu kuli i działa. Są jednak j przykłady wzajemnych działań, w których nie znamy materyi pośredniczącej. Działania, takie zowiemy bezpośredniemi; one podlegają również trzeciej zasadzie dynamiki. Gdy np. kamień spada ku ziemi, ruch jego odbywa się pod wpływem ciężkości, t. j. przyciągania ze strony ziemi. Na mocy zasady trzeciej, kamień przyciąga nawzajem kulę ziemską, siłą równą tej, którą sam jest przyciągany. Z tego wynika, że jednocześnie kamień spada ku ziemi i ziemia ku kamieniowi. Ruch ziemi jest jednak nieznaczny, gdyż siła, która wprowadza małą masę kamienia w ruch szybki, udziela olbrzymiej masie ziemi prędkości niezmiernie małej. Wyraźniej objawia się wzajemność działania w zjawiskach astronomicznych; księżyc np. krąży około ziemi; wskutek wzajemności działania, ziemia odczuwa niejako każdy obieg i odbywa małe ruchy zależne... od ruchów księżyca.

Do rzędu działań bezpośrednich należą przyciągania i odpychania ciał elektrycznych i magnetycznych. Magnes np. przyciąga żelazo, ale nawzajem żelazo ciągnie ku sobie magnes; Newton stwierdził to doświadczeniem, umieściwszy magnes i kawałek żelaza w czółenkach, które pływały na wodzie. Jeżeli umieścimy magnes i żelazo w tern samem czółenku, wtenczas ono wcale się nie poruszy; z tej samej przyczyny nie można ciągnąć wozu, siedząc na nim.

(Zasada

46. O DD z IAŁ Y WANIĘ MA 8

d’Alemberta). Zasadnicze równanie (ust. 39):

P = Mf

Btbl. mat.-fiz. S. III, T. VIII.

wyrażające związek pomiędzy siłą P, a wywołanem przez nią przyśpieszeniem ruchu y masy swobodnej w, możemy również uważać jako wyraz prawa akcyi i reakcyi. Siła P jest działaniem, działaniu temu masa przeciwstawia równej wielkości oddziaływanie w], spowodowane jej bezwładnością. Przyśpieszając ruch jakiejkolwiek masy spotykamy istotnie bezwładny jej opór, rosnący proporcyonalnie z przyśpieszeniem i propor-cyonalny do tej masy. Przywiążmy np. sznurek albo nitkę do iakiejkolwiek masy zupełnie swobodnej, t. j. nie hamowanej w ruchu swym żadną zaporą, ani żadnem tarciem — dajmy nato do wózka (fig. 32), którego używaliśmy w ust. 37 do porównywania mas. Ciągnąc koniec nitki łagodnie wprowadzimy wózek stopniowo w ruch, nawet gdy naładowany będzie masowemi bryłami ołowiu. Jeżeli natomiast szarpniemy gwałtownie, wówczas nitka przerwie się, nawet przy niewielkim ładunku, jak gdyby wózek był przygwożdżony do toru.

Znaczy to w rzeczywistości, że wytrzymałość nitki nie mogła sprostać tak dużej sile, jaka byłaby potrzebną, ażeby wywołać w wózku zamierzone wielkie przyśpieszenie. Możemy jednak wyrazić to samo inaczej, możemy powiedzieć, że masa w, której dajemy przyśpieszenie y, przeciwstawia nam opór m y — że potrzeba siły P, tej samej wielkości «y, żeby opór ten zrównoważyć; gdybyśmy użyli siły większej, przyśpieszenie wzrosłoby natychmiast, o tyle właśnie, że znowu byłaby równość siły P i oporu bezwładnego wy.

Widzimy więc, że oddziaływanie, czyli opór bezwładny mas, posiada wszelkie znamiona siłyL natężenie m y, które możemy wyrażać w jednostkach sił, w dynach; kierunek, wprost przeciwny przyśpieszeniu, a więc i sile P; tudzież, jak niżej okażemy, określone miejsce działania (jest niem t. zw. środek masy, patrz ust. 49). Ponieważ o dwu siłach równych a mających przeciwne kierunki powiadamy, że są w równowadze, przeto możemy powiedzieć że „oddziaływanie masy bezwładnej równa się iloczynowi z masy i przyśpieszenia ruchu i jest zawsze w równowadze z silami zewnętrznemi, które na masę działają”. Twierdzenie to, będące szczególnym przypadkiem trzeciej zasady, nosi nazwę zasady d’Alemberta. Można je objaśnić zapomocą następującego przyrządu. Około poziomej osi obraca się bardzo lekko krążek K (fig. 34). Na jego obwodzie zawieszona jest nić, obciążona z jednej strony ciężarkiem M, z drugiej sprężyną AB, na której zawieszona jest u spodu masa w. Jeżeli cię-

żar M przeważa ciężar sprężyny i masy m, wtenczas M spada na dół, zaś m podnosi się do góry, ruchem jednostajnie przyśpieszonym, mającym pewne przyśpieszenie 7. Jednocześnie sprężyna AB wydłuża się i zatrzymuje przez cały czas trwania ruchu długość większą, aniżeli wtenczas, gdy * jest nieruchoma; jej napięcie staje się o pewną wielkość P    większe, po nad to, ile wynosi w stanie

to

}

,A

■m

równowagi, albo w czasie jednostajnego ruchu. Rzecz ma się podobnie, jak gdyby masa m usiłowała przyzostać j w tyle, albo jak gdyby opierała się sprężynie ciągnącej ją do góry. Podczas ruchu przyśpieszonego to napięcie dodatkowe równoważy się z oporem, który m M przeciwstawia na mocy bezwładności przyśpieszeniu ruchu, t. j. z oporem my. Rozumie się samo przez się, że wydłużenie sprężyny pojawia się tylko podczas ruchu przyśpieszonego; gdybyśmy ją ciągnęli do góry ruchem jednostajnym (7 — 0), wtenczas długość nie zmieniłaby się wcale.    Fi

Opór bezwładny mas jest przyczyną wielu zajmujących zjawisk, zwłaszcza gdy przyśpieszenia są duże, a przeto opór ów znaczny. Zawieśmy kulę metalową na gumowej tasiemce i pociągnijmy szybko górny koniec tasiemki do góry; tasiemka wydłuży się znacznie, a kula w pierwszej chwili niewiele się podniesie, jak gdyby była w przestrzeni utwierdzoną. Zawieśmy podobną kulę na nitce, a u spodu kuli przywiążmy drugą nitkę; jeżeli pociągniemy dolną nitkę powoli, wtenczas przerwie się naprzód nitka górna, gdyż na nią działa oprócz naszego ( iągnienia także ciężar kuli; gdy zaś pociągniemy nagle, wtenczas przerwie się nitka dolna, albowiem kula stawia w tym razie wielki bezwładny opór.

Kłoda drewniana, zawieszona na sznurach, porusza się za najmniej-szern ciśnieniem; uderzając nagle młotkiem możemy wbić w nią głęboko gwóźdź, jak gdyby była o cokolwiek oparta. Dynamit, albo rtęć strzelająca wybuchają tak nagle, że wszelkie ciała otaczające, nawet powietrze’ przeciwstawiają wielki opór bezwładny; tern się tłomaczy uderzenie, jakie strzał dynamitowy wywiera na podstawę.

47. Siła dośrodkowa. Druga zasada dynamiczna pouczyła nas, że ilekroć prędkość ruchu masy zmienia się: wzrasta, maleje, albo wreszcie zmienia tylko kierunek, dzieje się to zawsze za sprawą siły zewnętrznej. Bez udziału siły prędkość musiałaby być stałą, co do wielkości i kierunku. Zastosujemy tę zasadę do następującego ruchu: masa m krąży jednostajnie, z prędkością v po obwodzie koła o promieniu r. Prędkość jest stała, co do wielkości, lecz kierunek jej zmienia się nieustannie, jest zawsze styczny do koła. Dowiedliśmy w ust. 20, że masa poruszająca się w ten sposób posiada stałe (co do wielkości) przyśpieszenie y = v² : r, skierowane ciągle ku środkowi koła. Wnosimy przeto, że krążenie masy m po kole może odbywać się tylko wtenczas, gdy na nią działa siła stałego natężenia P = my, ciągnąca ją bez ustanku ku środkowi koła. Siłę taką, której wyrażeniem ogólnem jest

(1)

bez względu na to jaka jest przyczyna fizyczna jej działania, nazywamy siłą dośrodkową. Skierowana wciąż ku środkowi, siła taka działa zawsze prostopadle do obwodu, a więc prostopadle do prędkości masy m. Wytwarzając wciąż ilości ruchu skierowane ku środkowi, dodające się wciąż (geometrycznie) do ruchu na obwodzie, nie zmienia wprawdzie jego wielkości, ale zmienia bez ustanku jego kierunek. Gdyby nagle przestała działać, ciało nie mogłoby w dalszym ciągu zmieniać kierunku swego biegu; odleciałoby na mocy bezwładności, w linii prostej, w tym kierunku, w którym poruszało się w ostatniej chwili, a więc w kierunku stycznym do obwodu koła.

Siła dośrodkowa jest to nazwa ogólna każdej siły jątrzy-mującej ruch na kole; może to być siła wynikająca ze sprężystości ciał, albo z ciężkości, z działań elektrycznych i t. p.; objaśnią to bliżej następujące przykłady:

Księżyc krąży około ziemi po linii, którą w przybliżeniu możemy uważać jako koło. Istnieje zatem siła która przyciąga go ku ziemi i zapobiega oddaleniu się od środka, około którego krąży t. j. od ziemi. Siłą tą, jak w dalszym ciągu dowiedziemy (ust. 119) jest ciężkość, której księżyc ulega tak samo, jak ciała znajdujące się na ziemi.

Weźmy dalej pod uwagę pociąg kolejowy, poruszający się po torze kolistym. Zdawałoby się, że tu niema siły działającej ku środkowi łuku, a tylko siła pociągowa, działająca wzdłuż toru. Zważmy jednak, że na mocy bezwładności, pociąg usiłuje poruszać się po linii prostej, a więc nieustannie usiłuje wyskoczyć z toru na zewnątrz koła. W skutek tego prze na szynę zewnętrzną, a oddziaływanie tej sprężystej szyny jest właśnie siłą dośrodkową, cisnącą go ku środkowi koła i utrzymującą w ruchu kolistym. Wiadomo też, że szyny zewnętrzne na łu-kach bardziej się zużywają, aniżeli wewnętrzne.

Oto trzeci przykład, podobny do poprzedzającego. Uwiązawszy kamień do końca sznurka, bierzemy drugi koniec w rękę i wirujemy kamień po kole, o promieniu rówmym długości sznurka. W pierwszej chwili kamień rzucony usiłuje oddalić się od środka koła, w tym kierunku, w którym otrzymał początkowy pęd. Sznurek zapobiega temu, wypręża się i zmusza kamień do odbywania ruchu kolistego. Siłę dośrodkowy, działającą na kamień, stanowi tu napięcie, wynikające ze sprężystości sznurka. Gdybyśmy sznurek przecięli, siła ta przestałaby działać a kamień odleciałby od koła, na mocy bezwładności, w kierunku stycznym.

Napięcie sznurka wynosi P =    ; ono jest tem większe,

im prędzej kamień obracamy. Jeżeli sznurek nie zdoła wytrzymać większego napięcia, aniżeli pewne napięcie Q, wtenczas przerwie się podczas obrotu kamienia, skoro prędkość uzyska

wartość wynikającą z równania: v² —

Siłę dośrodkową można też wyrazić przez prędkość kąto-

wą promienia wodzącego w =

2 r it

--, otrzymamy wtenczas z (1): P = mm* . . (2), albo

, albo przez okres obiegu

A%lrm

48. Siła odśrodkowa. Napięcie sznurka, w poprzedzającym przykładzie, ciągnie kamień ku środkowi koła, ono jest siłą dośrodkową. To samo napięcie działa na rękę, trzymającą drugi koniec sznurka, w kierunku przeciwnym, t. j. od środka na zewnątrz i objawia się względem ręki jako t. zw. siła odśrodkowa. Jest to oddziaływanie należące do siły dośrodkowej, równe jej w natężeniu — w^ myśl trzeciej zasady dynamicznej — a skierowane w przeciwną stronę. Ilekroć masa krąży po kole, zmuszona do tego przez jakiekolwiek więzy materyalne, więzy te naprężając się, dostarczają siły dośrodkowej, kierującej ruchem masy, a same ulegają bezwładnemu jej oddziaływaniu (ust. 44) t. j. sile odśrodkowej. Siła dośrodkowa i odśrodkowa występują zawsze w parze, nie działają jednak na to samo ciało: pierwsza działa na masę krążącą, druga na więzy, które zniewalają ją do tego ruchu. Wyjaśni to nam jeszcze następujący przykład.

/c

o'

ocenia

Fig. 35.

Wyobraźmy sobie człowieka, przywiązanego do poziomego kręgu, (np. karuzelu), obracającego się jednostajnie około pionowej osi O (fig. 35). W ręku niechaj on trzyma np. kulę, dostatecznie ciężką A. Podczas obrotu, kula owa usiłuje odlecieć na mocy bezwładności w kierunku stycznym AB. Człowiek biorący również udział w ruchu obrotowym, inaczej kierunek, w którym kula usiłuje oddalić się od niego; jemu się wydaje, jakoby kula miała odlecieć, nie w kierunku stycznym, lecz w kierunku promienia. W istocie, przypuśćmy, że człowiek wypuszcza kulę z ręki w chwili, gdy ona znajduje się np. w A. Kula odleci w kierunku stycznym z tą prędkością, jaką miała w ruchu kolistym i przebiegnie w ciągu pewnego krótkiego czasu t drogę AB. Otóż w przeciągu tego czasu, człowiek również obrócił się w tę samą stronę, w którą kula odleciała. Jeżeli AB jest bardzo małe, wtenczas kąt obrotu o który tu chodzi, będzie prawie równy AOB, t j. w pierwszej chwili człowiek widzieć będzie odlatującą kulę ciągle przed sobą. Gdyby on nie czuł ruchu obrotowego i nic o mm nie wiedział, przypisywałby taki luch kuli jakiej sile, która wyrwała mu ją z ręki i rzuciła na zewnątrz w kierunku promienia. Natężenie tej siły pozornej można obliczyć w następujący sposób. Kula oddala się od człowieka w przeciągu czasu t, o długość BC. Jeżeli & oznacza prędkość kątową kręgu, wtenczas rzeczywista, bezwzględna prędkość kuli wzdłuż AB wynosi c7>. r (gdzie r = AO — CO) t. j. równa się prędkości, jaką kula posiadała przed opuszczeniem punktu A; zatem AB = o> r t- dalej (BC + CO)² — AB² + AO² = w² r² P + r² albo BC² + CO² + 2BC. CO — w² r² t² + r².

Zważywszy że BC jest bardzo małe, w porównaniu z pro mieniem CO — r, możemy kwadrat tej małej wielkości opuścić, a wówczas zostanie:

BC = { (w² r) t\

Kula oddala się tedy pozornie w kierunku promienia, a ruch ten jest w pierwszej chwili jednostajnie przyśpieszony, z przyśpieszeniem y — w² r. Aby ruch taki wywołać, na kręgu nieruchomym, potrzebaby siły działającej w kierunku promienia na zewnątrz, o natężeniu mw²r; jest to toż samo wyrażenie, które znaleźliśmy pierwej dla siły dośrodkowej albo odśrodkowej (ust. 47,2). Człowiek w poprzedzającym przykładzie musi przytrzymywać kulę taką właśnie siłą chcąc zapobiedz, żeby nie wyrwała mu się z ręki. Zrozumiemy teraz, że działaniem które on zwalcza jest nic innego jak bezwładne oddziaływanie mas, którem zajmuje się zasada d’Alemberta (ust. 46); w uważanym przypadku ono nazywa się siłą odśrodkową.

Do objaśnienia praw siły dośrodkowej i odśrodkowej używa się t. z w. wirówki, czyli centryfugi. Przyrząd ten (fig. 36) służy do wprowadzenia w szybki ruch obrotowy osi ab, do której można przytwierdzać rozmaite przyrządy pomocnicze. Duże koło K, obracane zapomocą korby, pędzi za

Fig. 36.

pośrednictwem sznurka, albo struny s, mniejsze kółko k, osadzone na osi ab i złączone z nią. Osadźmy naprzód na osi wirówki wydłużony prostokąt, (fig. 8^) którego wyższy bok poziomy stanowi wyprężony drut AB. Wzdłuż drutu może się posuwać nawleczona nań kula M; pomiędzy kulą a jednym z pionowych boków prostokąta znajduje się sprężyna S. Skoro wprowadzimy przyrząd w ruch obrotowy, kula M zostaje odrzuconą od osi obrotu, przyciska się do sprężyny, zgniatając ją wywołuje reakcyę sprężystą, zwiększającą się w miarę zgniecenia. W końcu nastąpi równowaga na drucie obracającym się, wtenczas mianowicie, gdy bezwładne dążenie kuli do oddalania się od osi obrotu (siła odśrodkowa) zostanie zrównoważoną parciem sprężyny na kulę, w stronę osi (siła do-środkowa). Spoina wartość obu tych sił wynosi wtenczas P = m r 5»*, w czem à» oznacza prędkość kątową przyrządu. Przyśpieszenie obrotu

wywołałoby silniejsze zgniecenie sprężyny przez kulę, a odległość r tej ostatniej od osi zwiększyłaby się odpowiednio.—Siła odśrodkowa może być także zrównoważoną przez ciężkość. Do osi obrotu przytwierdzona jest lekka listwa, ruchoma na zawiasach, obciążona u spodu ciężką kulą (na fig. 37 widzimy dwie takie kule, symetrycznie po obu stronach osi). Podczas obrotu listwa z kulą oddala się od osi, tern więcej, im szybszy obrót. Dopóki prędkość kątowa obrotu nie zmienia się, oddalenie listwy pozostaje stałem. Wielkość odchylenia określa się tern, że wypadkowa R ciężaru kuli Q i siły odśrodkowej P działa w przedłużeniu listwy—wtenczas bowiem siła R wypręża tylko listwę, nie może zaś zmienić jej odchylenia (por. zadanie 101). — Na różne cząstki bryły, wirującej około osi z stałą prędkością kątową £o, działają różnego natężenia siły odśrodkowe: naj-

gJ

N=i

er

cc'-

r-:

•<-

/-'{r

Fig. 37.

Fig. 38.

większe (wzór 2, ust. 47) działają na cząstki najdalsze od osi. Z tego powodu stalowa obręcz K (fig. 38), obracana szybko około jednej z średnic, przyjmuje kształt eliptyczny E, spłaszcza się w kierunku osi, a wydłuża się w kierunku prostopadłym.

Siły ods'rodkowe bywają często stosowane w praktyce. Przy machinach parowych używa się regulatorów działających na tej zasadzie (fig. 37). Centryfugi, wirówki bywają używane do oddzielania miodu od woskowiny, do oddzielania tłuszczu z mleka, do wyrabiania masła i t. p. Części cięższe oddalają się podczas obrotu od osi, lżejsze zaś (tłuszcz) skupiają się koło niej. Postać ziemi, około biegunów nieco przypłaszczona, objaśnia się również działaniem siły odśrodkowej. Części ziemi leżące w pobliżu równika, a zatem najbardziej od osi obrotu oddalone, ulega

ły większej sile odśrodkowej, aniżeli części leżące bliżej biegunów i osi; stąd powstała wypukłość około równika, zapewne jeszcze w epoce, gdy ziemia była gorąca i plastyczna, (działanie to objaśnia fig. 38). Mieszkając na ziemi obracającej się, jesteśmy w podobnem położeniu jak ów człowiek na obracającym się kręgu (.fig. 35), który ruchu obrotowego nie jest świadomy, ale dostrzega objawy siły odśrodkowej. Obaczymy, że ciężar ciał na ziemi jest wypadkową przyciągania tejże i siły odśrodkowej, wynikającej z obrotu ziemi około osi (ust. 124).

Zawiesiwszy na sznurku naczynie napełnione wodą, możemy je szybko obracać po kole pionowem, a woda nie wyleje się, gdyż siła odśrodkowa przyciska ją do dna i równoważy ciężar. Centryfugalne miechy i wentylatory.

ZADANIA.

94)    Dwie masy, 17 gr i 25 gr, odpychają się wzajemnie siłą 5200 dyn, działającą w linii łączącej je; odległość ich wynosi z początku 10 cm, a prędkość = 0. Znaleźć a) odległość ich po upływie 3 sek, b) długość dróg przebytych, tudzież c) początkowe i d) końcowe położenie środka masy (ust. 49). Odp. a) 2322,6 cm, b) 1376,6 i 936 cm, c) na linii łączącej, w odległości 5,95 cm od pierwszej; d) w odległości 1382,5 cm od pierwszej, t. j. w pierwotnem miejscu.

95)    Ile wynoszą pędy i prędkości tych mas w chwili t = 3 sek? Odp. 15600 i 15600 gr cm/sek ; 917,7 i 624 cm j sek.

na

Kamień ważący 350 gr obracamy w koło, 3 razy na 2 sek, sznurku o długości 1 m; obliczyć napięcie sznurka. Odp. 3109000 dyn.

Ny9^ Z jaką prędkością należałoby kamień ten obracać, chcąc rozerwać sznurek, działaniem siły odśrodkowej; sznurek zrywa się pod napięciem 500000) dyn? Odp. 19 razy na 10 sek.

98)    Około wspólnej osi obracają się dwie masy, po przeciwnych jej stronach, w ten sposób, że siły odśrodkowe równoważą się; odległości mas od osi mają się jak 5 do 7. Znaleźć stosunek tych mas. Odp. 7 : 5.

99)    Siła odśrodkowa masy 50 gr, obracającej się 4 razy na sek, w odległości 18 cm od osi, zrównoważona jest ciężarem drugiej masy, urniesz-ozonej na samej osi. Znaleźć wartość tej drugiej masy, wiedząc, że ciężar 1 gr wynosi 981 dyn. Odp. 579 gr.

100)    Ile wynosi siła odśrodkowa, działająca na masę 1 gr na równiku ziemi, w skutek jej dziennego obrotu? (T — 86164,09 se/c; r — 6377000 m). Odp. 3,391 dyn.

101)    Wahadło składające się z bardzo lekkiej listwy, obracalnej około poziomej osi i z kuli o masie m, przytwierdzonej do dolnego końca działać w kierunku listwy; to daje warunek tg a =

listwy (fig. 37) umieszczamy na wirówce w taki sposób, żeby środek kuli w stanie spoczynku znajdował się na przedłużeniu osi obrotu. Znaleźć warunki równowagi tego wahadła, jeżeli l oznacza długość listwy, a kąt odchylenia liczony od pionu, Q = mg ciężar kuli, tu prędkość kątową obrotu. Odp. Wypadkowa ciężaru mg i siły odśrodkowej mü>²/ sin a powinna

w² l sin a

, albo cos o. -=

= ~~7 • Dopóki prędkość obrotu jest tak mała, że ó>²i<(7, dopóty nie

(JO² l

istnieje rzeczywista wartość kąta a- wahadło wisi pionowo. Gdy ćó² Z > gr wtenczas w położeniu pionowem wahadło posiada równowagę niestałą, przy najmniejszem wstrząśnięniu oddala się od pionu i ustawia się pod kątem a = arc cos —;.

0>²Z

49. Środek masy. Wspomnieliśmy w ust. 46, że opór, jaki masy stawiają wskutek bezwładności siłom zewnętrznym, zmieniającym prędkość ich ruchu postępowego, posiada wszelkie znamiona siły, albowiem równoważy się z siłą zewnętrzną i podobnie jak siła, posiada natężenie, kierunek i miejsce działania. Tem miejscem jest t. zw. środek masy. Jest to punkt mający położenie ściśle określone w każdej masie i w każdym zbiorze mas; położenie jego zależy tylko od wielkości i rozmieszczenia mas. Wyłożymy tu najcelniejsze własności dynamiczne tego punktu.

Weźmy naprzód pod uwagę dwa ciała, mające rozmiary nader drobne w porównaniu z dzielącą je odległością, dwie cząstki, albo punkty matęryalne, jak je będziemy nazywali, np. dwa drobne pyłki, w oddaleniu kilku metrów od siebie, albo ziemię i słońce, lub t. p. Masy tych ciał oznaczymy przez mx i m₂, i przyjmiemy, że one przyciągają się wzajemnie, albo odpychają, wzdłuż prostej łączącej je, siłą — P. W myśl trzeciej zasady na każdą z mas działa siła P, ale kierunki działań są przeciwne. Pod wpływem takiego działania masy uzyskają, po upływie pewnego czasu, pędy równe (ust. 38), w kierunkach przeciwnych; oznaczywszy przez vx i v₂ prędkości nabyte, mamy:

mx vx — m₂ v₂, albo vx _ m₂

mx

Prędkości nabyte przez masy nie będą zatem w ogóle jednakowe, lecz mają się zawsze odwrotnie jak masy ciał.

Kamień i ziemia przyciągają, się wzajemnie (ust. 45c); kamień spada ku ziemi, a jednocześnie ziemia spada ku niemu. Prędkości ich mają się odwrotnie jak masy; prędkość ziemi jest zatem niezmiernie mała» Działo cofa się przy wystrzale mniej szybko, aniżeli kula wylata, gdyż jego masa.jest większa.

Drogi przebyte w ciągu jakiegokolwiek czasu, mają się również odwrotnie jak masy, albowiem są proporcyonalne do prędkości. Zaznaczmy na prostej, łączącej masy m, i nu, punkt, dzielący początkową ich odległość na dwa odcinki, mające się odwrotnie jak odpowiedne masy. Z poprzedzającego wynika, że ten sam punkt dzielić będzie także w każdej innej chwili odległość mas mx i m₂ na dwa odcinki mające się odwrotnie jak masy; podczas ruchu mas punkt ten będzie zatem nieruchomy. Nazwiemy go środkiem tych mas. Określamy tedy: środek' masy dwu punktów materyalnych jest to punkt, leżący na prostej łączącej je i dzielący ich odległość w stosunku odwrotnym do mas.

m,

Fig. 39.

JAżeli dwa punkty materyalne, pierwotnie nieruchome, zaczynają się poruszać, wskutek wzajemnego przyciągania się, albo odpychania, środek ich mas pozostaje w spoczynku.

50. Środek masy trzech cząstek. Niech będą trzy cząstki w punktach A, B i C (fig, 39); masy ich oznaczymy przez mt, m%, m₃. W D znajduje się środek dwu pierwszych mas, mx i jest więc:

DA

SIS

DB

Wyobraźmy sobie,, że /w punkcie D skupione zostały obie masy mt i m2] t. j. że umieszczono tam cząstkę o masie m] ■+ m2 i poszukajmy środka masy tej cząstki m, 4- >»2, tudzież trzeciej cząstki m₃, znajdującej się w C. Znajdziemy tym sposobem punkt S, leżący na prostej DC, w takiej odległości od punktów D i C, że:

SD

(sc

m₃

m₁ -j- tn₂

Punkt S, znaleziony tym sposobem, nazywa się środkiem masy trzech cząstek: A, B i C.

51. Środek masy .takiedo kolwiek ciała. Środek masy większej ilości cząstek, albo ciała jakiego, albo zbioru kilku ciał, które możemy przecież zawsze uważać jako zbiorowisko drobnych cząstek, określa się podobnie, jak środek dwu albo trzech cząstek. Dzielimy dane masy w myśli na drobne cząstki materyalne, i szukamy naprzód środka którychbądź trzech cząstek; wyobrażamy sobie, że w tym środku skupione zostały masy tych trzech cząstek, i szukamy środka tej masy, tudzież dalszej czwartej cząstki. Następnie przyłączamy piątą, szóstą cząstkę i t. d. aż do końca. Ostatni z tych, po kolei znajdowanych punktów, nazwiemy środkiem całej masy. Postępowanie to można zastąpić przejrzystszem dodawaniem geometrycznem pewnych wektorów, jak to zaraz okażemy:

Wybierzmy gdziekolwiek stały punkt O (fig. 39) i wykreślmy z tego punktu promienie OA, OB, OC i t. d. do cząstek materyalnych, na które podzieliliśmy daną masę.

do siebie geometrycznie, na-

Pomnóżmy długość każdego z tych promieni przez masę cząstki, do której on prowadzi^ otrzymane w ten sposób iloczyny: m,, X OA, m₂ X 03, m₃ X OC i t. d. nazwiemy...momentami mas w,, w₂, względem punktu O. Są to wielkości kierunkowe, a kierunkami ich są kierunki promieni: OA, OB i t. d. Jeżeli lxmmenty wszystk tenczas suma otrzymana równać się będzie momentowi całko-Avitej masy danego zbioru cząstek, skupionej w środku masy. Że tak jest w istocie, o tem można się przekonać zapomocą następującego rachunku. Dodajmy naprzód momenty mas w, i m₂ (fig. 39), t. j. obliczmy sumę geometryczną:

mt X OA + tri2 X OB.

Jeżeli D jest środkiem mas A i B to mamy:

mx X OA = mx X OD + mx DA

m₂ X OB — m₂ X OD + m₂ DB.

Dodajmy te równania do siebie, uwzględniając że: m, DA -f- m₂ DB = o;

D jest bowiem środkiem mas mx i m₂, wskutek czego momenty mx DA i m₂ DB, są równe, a mając kierunki przeciwne znoszą się. Znajdziemy więc:

m.

X O A + m₂ OB = (mx + m₂) OD.

Dodajmy do tego moment trzeciej cząstki: m₃ ÖC, a otrzymamy:

m.

O A + m₂ OB + m₃ OC = (mx -j- m₂) OD -j- m₃ OC.

Oznaczywszy przez S środek trzech mas: mx + m₂, pomyślanych w D, i masy m₃ w C, t. j. środek trzech mas A, B i C, znajdziemy jak pierwej:

(mx 4- m₂) OD + m₃ OC = (w, 4- m₂ 4- m₃) OS

zatem:

mx O A 4- rtu OB 4- nu DO — (nu + nu 4- ÔS

czego mieliśmy dowieść. Rozumie się samo przez się, że powyższy rachunek nie kończy się na trzech masach, lecz może być rozszerzony do jakiejbądź ich liczby t. j.

(1)

mx ÖA 4- ^-2 OB 4" W3 ÓC -j- .... i t. d. — = (mx m₂ + m₃ 4- .... i t. d.) OS.

Dowiedzionej tu własności środka mas można użyć do wyznaczenia położenia tego punktu w jakiemkolwiek ciele albo zbiorze mas. Rachunek będzie jednak prostszy, jeżeli dodawanie geometryczne zastąpimy algebraicznem. Wybierzemy w tym celu stały punkt O, (którego miejsce było zupełnie dowolne) w odległości nieskończenie wielkiej od mas danych; promienie OA, OB i t. d, będą wtenczas równoległe, a momenty mas cząstek, mając jednakowe kierunki, dodawać się będą algebraicznie

Fig. 40 wyobraża kilka mas: mx, w₂ nh i t. d.; punkt O znajduje się nieskończenie daleko po lewej, promienie OA, OB i t. d. są równoległe. Wykreślmy płaszczyznę Y Z prostopadłą do tych promieni, przecinającą je w punktach a, b, c, d.... Oznaczmy jeszcze odległości mas od tej płaszczyzny przez xx, x₂, x₃... t. j. a A = xx, b B — x₂...; odległość szukanego środka mas S, od tej samej płaszczyzny przez X. Mamy wtenczas:

OA = xx -{-On OB = aja H- Ob OC = a?₃ -|- Oc i t. d.

OS = X + 0.9.

Stosując równanie (1) znajdziemy:

mx OA -j- m₂ OB -j- m3 OC -j- i t. d. = (»«, -f- m2 + mz + •••• i t. d.) OS,

czyli mx xx 4- x₇ -\-m₃x₃ -{-... i t. d. -f- f mx O a -f- m₂ Ob -j- w₃ Oc + ... i t. d.]= = (m, + m₂ -f- m₃ -f- i t. d.) X + [(mt +- m₇ -(- m₃ + i t. d ) Os].

Otóż, linie nieskończenie długie O a Ob,.... tudzież. Os, możemy uważać jako równe sobie; płaszczyznę Y Z możemy bowiem uważać jako część nieskończenie wielkiei kuli, wykreślonej z O jako środka, a linie rzeczone jako promienie tej kuli. Opuszczając zatem po obu stronach poprzedzającego równania, równe sobie sumy ujęte w nawiasy [] znajdziemy:

w?i xx -j- w₂ x₂ + m₃ x₃ -j- i t. d. = (mx -j- w₂ -f- m₃ -f- i t. d.) X, albo

(2)

mx xx -f- m₂ x₂ -f- tn₃ x₃ -f- i t. d. £ m x

mx + m₂ + ł»₃ + i t. d.

Ot

»,

■»V.

irr¹r‘nr_²

* mŁ

—Ems

-°s

Fig. 40.

Za pomocą równania (2) można znaleźć, zwykłym algebraicznym rachunkiem, odległość środka mas od jakiejkolwiek płaszczyzny YZ. Wyszukawszy tym sposobem odległość środka mas od trzech płaszczyzn, przecinających się np. pod kątem prostym, jak ściany pokoju, zdołamy dokładnie określić miejsce, w którem środek masy się znajduje.

Niekiedy można wyznaczyć położenie środka masy ciała bez wszelkiego rachunku, wtenczas mianowicie, gdy

ciało posiada postać symetryczną i gdy w jego wnętrzu materya jest S3r-metrycznie rozmieszczona. Tak np. środek masy kuli, wypełnionej jednolitą. materyą, leży oczywiście w środku geometrycznym; środek masy jednolitego kolistego pierścienia leży także w środku geometrycznym ;a zatem zewnątrz ciała). Podobnie wszelkie bryły symetryczne, a wypełnione materyą jednolitą, mają środek masy na linii, albo na płaszczyźnie sy metryi.    .

Środek masy brył niesymetrycznych, albo takich, w których nie znamy wewnętrznego rozmieszczenia materyi, nie daje się wyznaczyć rachunkiem. Poznamy jednakowoż sposoby doświadczalne, które umożliwią znalezienie położenia tego punktu w jakiemkolwiek dowolnem ciele (ust. 89).

Mówi się niekiedy o środku płaskiego, ograniczonego pola. Rozumie się przez to punkt leżący w płaszczyźnie pola, który byłby środkiem masy blachy jednolitej, a nieskończenie cienkiej, mającej kształt i wielkość danego pola.

52. Ruch środka masy. Jeżeli masy m,₍ m₂, m₃, i t. d cząstek składających jakie ciało, albo zbiór ciał, są w ruchu, wtenczas w ogólności porusza się także ich środek. Dajmy na to, że masy te posiadają w pewnej chwili prędkości vu v₂, v₃ i t. d. w jakichbądź kierunkach; zastanówmy się, jaka jest prędkość ich środka i w jakim kierunku on się porusza. Oznaczmy szukaną prędkość środka mas przez V.

Masy m,, m₂,    zajmują w uważanej chwili miejsca

■B,

⁴~~/'

A, B, 0... (fig. 41); środek ich znajduje się np. w S. Po upływie czasu nieskończenie krótkiego z przesuną się one do A1? B,, C,,.... a środek ich do Sj.

Otóż mamy: AAj^^iT, BBt — = V₂ T, CCi = V₃ T.... SSi = V T.

Fig. 41.

Wybierzmy dowolny stały punkt O, względem którego liczyć się będą momenty mas.

W pierwszem położeniu mas było według ust. 51, 1:

¹

Znak S oznacza w skróceniu sumę wyrazów opatrzonych wska

²

źnikami: 1, 2, 3... i t. d.

m, OA + m₂ OB + m₃ OC + .... = (m, -f- m% -f m₃ + ....) OS.

Następnie momenty mas zmieniły się i przyjęły wartości: mi OA, i t. p.

Ponieważ jednak OA, = OA -f- AAX = OA + vxx i t. d., przeto w drugiem położeniu otrzymamy znowu:

mx (OA -f vxx) + m₂ (OB + v₂x) -f m₃ (OC + v₃x) + .... = — (łWj + m₂ + m₃ 4- ....) (OS + Vz).

Odejmijmy od tego równania poprzedzające i podzielmy przez t; zostanie wówczas:

(1)

mx vx + mx v₂ + n>₃ ^3 + •••• = (w, -f m₂ + m₃ + ....) V...

V¹

t. j-jurna geometryczna pędów wszystkich mas. posiada taka wartość i taki kierunek, jak gdyby wszystkie masy danego zbioru były zebrane w jrodku mas i poruszały się z prędkością tego środka.

Przypuśćmy dalej, że ruch mas mx, m₂, m₃ i t. d. odbywa się pod wpływem sił; na masę niech działa siła P,, na m₂ siła P₂ i t. d. Prędkości mas będą się wówczas zmieniały; siła Pt udzieli masie m, przyśpieszenia według równania Px—mx y,; podobnież będzie P₂ = m₂ y₂ i t. d. Po upływie nieskończenie krótkiego czasu = x pędy mas nie będą już miały dawniejszych wartości mx vx, m₂ v₂ i t. d., lecz zamienią się na mv {vx + YiO; m₂ (v₂ -f Y2O i t. d. Podobnież prędkość środka mas zamieni się na Y + Fe, w czem T oznacza przyśpieszenie tego punktu. Obliczmy, podług (1), sumę geometryczną tych zmienionych pędów która i teraz będzie równa pędowi środka mas, a otrzymamy:

mx (vx + Ti t) + m₂ (v₂ + Y2O + m₃ (v₃ + YsO + •••• = (w, 4- m₂ + m₃ + ....) (V + ft).

Odjąwszy od tego (1) i podzieliwszy przez x znajdziemy:

W] Ti + m2 Ï2 + ni₃ Ys + .... — (mi + ma + m₃ + ....) T,

albo:

(2)

P, -j- P₂ + P3 + ... — (mi + m2 4* m₃ + —•) r.

Lewa strona tego równania oznacza sumę geometryczną, czyli wypadkowę R wszystkich sił, obliczoną tak, jak gdyby one wszystkie działały na jeden punkt. Siła tego natężenia i kierunku, działając na jeden punkt o masie = mx + m₂ + m₃....,

m, -j- /w2 -j- m^....

wywołałaby ruch, mający przyśpieszenie:

, równe

zatem F, co do wielkości i co do kierunku. Wnosimy więc, że

środek masy jakiegokolwiek ciała, albo zbioru ciał, porusza się tak, jak gdyby wszystkie masy były w tym punkcie zebrane i jak gdyby do niego przeniesione były wszystkie siły działające na masy, bez zmiany natężenia i kierunku.

Jeżeli między masami danego zbioru działają tylko siły wewnętrzne, a zewnętrznych wcale nie ma, wtenczas, na mocy trzeciej zasady dynamicznej, siły te są zawsze parami równe i działają w przeciwnych kierunkach, t. j. do każdej z nich należy druga, będąca względem niej oddziaływaniem. Przy obliczaniu wypadkowej R, siły te zniosą się parami. Wypadkowa R będzie równa zeru, a przeto, podług (2), będzie F = o t. j środek masy nie porusza się wtenczas wcale, albo porusza się tylko na mocy bezwładności, bez przyśpieszenia.

Siły wewnętrzne, działające pomiędzy częściami ciała, albo zbioru ciał, nie mogąi zmienić ruchu środka masy; jeżeli zewnętrznych sił niema, wtenczas środek masy pozostaje w spoczynku, albo porusza się jednostajnie po linii prostej. Jeżeli obok sił wewnętrznych są także zewnętrzne, natenczas tylko te ostatnie mają wpływ na ruch środka mas. Zważywszy, że pęd środka masy jest to samo (według 1), co wypadkowa pędów poszczególnych mas, możemy to samo twierdzenie wypowiedzieć jak następuje: pęd wypadkowy jakiegokolwiek układu materyalnego nie może się zmienić pod wpływem wzajemnych oddziaływań pomiędzy częściami układu. Jeżeli są siły zewnętrzne, wóiuczas on zmienia się tak, jak gdyby wszystkie masy były skupione w jedny m punkcie. Dostrzeżemy łatwo, że twierdzenie to stanowi uogólnienie zasady bezwładności.

Granat wyrzucony z działa, zakreśla drogę łukową, w powietrzu; skoro w ciągu tego ruchu pęknie, odłamy rozlatają się pod wpływem sił wewnętrznych, na wszystkie strony, ale środek masy tych odłamów nie ulega wstrząśnieniu i zakreśla dalej drogę łukową, aż do chwili, gdy którykolwiek z odłamów spadnie na ziemię. — Człowiek stojący na zupełnie gładkiej powierzchni lodu, nie mógłby poruszyć się ani o krok z miejsca; potrącony, nie mółby znowu powstrzymać się; w tym przypadku bowiem nie byłoby wcale sił zewnętrznych, działających nań w kierunku poziomym. Ruchy członków wzbudzałyby tylko siły wewnętrzne; przy poruszeniu np. głowy naprzód, oddziaływanie cofnęłoby nogi wstecz, a środek

ciała nie poruszyłby się wcale. Po powierzchni mniej gładkiej możemy chodzić z łatwością, albowiem tarcie stóp o powierzchnię stanowi siłę zewnętrzną, która nas porusza.

ZADANIA.

102) Na linii prostej umieszczone są w czterech punktach po kolei masy: 5, 17, 32 i 3. Odległości ich wzajemne wynoszą kolejno: 16, 40, 25 cm. Znaleźć ich środek. Odp. Szukając kolejnych środków mas przekonamy się, że żądany punkt leży na linii łączącej masy 5 i 3 w odległości 40,47 cm

od masy 5; toż samo znajdziemy bezpośrednio:

17X 16 + 32 X 56 + 3 X 81

57

= 40,47.

103)    W wierzchołkach A, B, C trójkąta leżą masy 70, 30 i 40. Znaleźć ich środek, wiedząc, że AB — KO, BC = 80, CA =60 cm. Odp. Połączywszy C z punktem D, leżącym na AB w udledłości 30 cm od A, znajdziemy S na tej prostej DC, w odległości DS = 13,82 cm.

104)    Znaleźć środek masy bryły, złożonej z dwu równoległych sześcianów, sklejonych wzdłuż jednej pary ścian, jeżeli jeden z nich waży 500, drugi 1300 gramów, a długość krawędzi każdego sześcianu wynosi 10 cm. Odp. Na linii łączącej środki, wT odległości 2,78 cm od środka cięższego.

105)    Znaleźć środek masy blachy płaskiej i cienkiej, mającej postać trójkąta (środek trójkątnego pola). Odp, Na linii łączącej środek któregokolwiek boku, z przeciwnym wderzehołkiem, w % odległości od boku do wierzchołka. (Podzielić pole na nieskończenie wązkie paski, liniami równoległemi do boku;.

106)    Znaleźć środek dowolnego wielokątnego pola, Odp. Podzielić na trójkąty.

107) Znaleźć środek masy czworościanu jednolitego. Odp. Na linii łączącej środek jednej ze ścian, z przeciwnym wierzchołkiem, w y₄ odległości od ściany do wierzchołka. (Podzielić na nieskończenie cienkie warstwy, płaszczyznami równoległemi do ściany).

108) Znaleźć środek masy jednolitej bryły kulistej o gromieniu 50 cm, w której wnętrzu znajduje się kuliste wydrążenie, o promieniu 10 cm, przy-czem środek tej kuli mniejszej oddalony jest o 15 cm od środka kuli większej. Odp. (Umieścić w środku większej kuli masę (50)³, zaś w środku mniejszej, ujemną masę (10)³). Na linii łączącej środki obu kul, w odległości 0,12 cm od środka większej, po przeciwnej stronie, aniżeli środek mniejszej.

53. Uderzenie się ciał. Kula spoczywająca na poziomej, gładkiej podstawie, uderzona młotkiem, zaczyna nagle poruszać się; jednocześnie zmienia się ruch młotka. Kula lekka posko-czy szybko naprzód; młotek lekki odskoczy od kuli masywnej. Przez krótką chwilę zetknięcia ciało uderzone doznaje popędu ze strony uderzającego, ale jednocześnie — w myśl zasady działania i oddziaływania — odwzajemnia się mu takimże popędem w kierunku przeciwnym. Ogólna ilość ruchu obu ciał, razem wziętych, nie doznaje zatem, wskutek uderzenia żadnej zmiany (ust. 52); uderzenie jest bowiem zawsze wzajemne, ile pędu jedno zyska, tyleż drugie straci.

Fizyczną przyczyną sił występujących podczas uderzenia jest sprężystość ciał, wzbudzona przez ich odkształcenie: przypłaszczenie się, albo zgniecenie wzajemne. W chwili kiedy np. wóz kolejowy, toczący się po torze, dogoni drugi, idący przed nim, zaczynają zgniatać się sprężyny ochronne, umieszczone na przodzie i z tyłu każdego wozu. Siła wywiązana przez ich ugięcie popędza naprzód wóz uderzony, zarazem zwalnia bieg uderzającego, dopóki prędkości ich nie zrównają się. Zaczyna się teraz drugi akt uderznia: parcie sprężyn, trwające wciąż jeszcze, w tym samym kierunku, odrzuca jeden wóz od drugiego. Uderzenie kończy się z chwilą, gdy wozy oddzielą się zupełnie od siebie. Podobnie dzieje się w każdem uderzeniu.

B.

A,

Fig. 42.

Stosunek prędkości (względnej) oddalania się, odbicia, ciał po., uderzeniu, do pierwotnej ich prędkości zbliżania się, zależy od rodzaju ciał, od większej lub mniejszej ich sprężystości Jest to dla danego rodzaju ciał liczba przybliżenie stała = 7c, zawsze ułamek mniejszy od jedności. Newton zawieszał na nitkach kule A, B (fig. 42) obok siebie. Odchylone do A1; B, nie dosięgały: pu ....odbiciu .się nigdy do wysokości pierwotnej A,, By,

znaczy to, że prędkość odbicia była mniejszą od prędkości uderzenia. Sprężyste kule stalowe, albo z kości słoniowej, odbijają się z niewielką stratą prędkości, ołowiane tracą dużo, kule pozbawione zupełnie sprężystości nie odskoczyłyby od siebie wcale, zostałyby, po uderzeniu, trwale złączone. W granicach li — 1 (ciała doskonale sprężyste) i 7c —0 (zupełnie niesprężyste) mieszczą się wszystkie przypadki spotykane w przyrodzie.

JSTa podstawie znanych nam już praw dynamiki możemy zdać sobie całkowicie sprawę z przebiegu ne ntral n e gm uderzenia się dwu kul jakichkolwiek.

Dajmy na to, że dwie kule (fig. 43), mające masy mx i m₂, poruszają się po jednej prostej z prędkościami vx i v₂. Prędkości

V,

e-

Fig. 44.

uważać będziemy jako dodatne, jeżeli ruch odbywa się np. od lewej ku prawej; w przeciwnym razie uważać je będziemy jako ujemne. Uderzenie się kul nastąpi oczywiście tylko wtenczas, gdy prędkości będą nierówne; jeżeli np. mx jest lewą kulą, a obie mają prędkości dodatne, wtenczas musi być vx > v₂.

Środek masy obu kul porusza się z prędkością (ust. 52, 1.):

(i)

m, vx + m₂ v2 »! +- m₂ ’

Prędkość ta nie może zmienić się wskutek uderzenia, albowiem przy uderzeniu działają tylko siły wewnętrzne.

Kule zupełnie niesprężyste np. dwie kule z miękkiej gliny, z ołowiu, nie odskoczą od siebie, nie odbiją się, pozostaną po uderzeniu się trwale złączone i będą poruszały się nadal wspólnie, z tą prędkością, jaką już przedtem posiadał środek ich mas. t. j. z prędkością AA Kule natomiast sprężyste odskoczą od siebie i mieć będą po uderzeniu się pewne prędkości w, i tt2>

Ponieważ jednak i w tym razie ruch środka mas wcale się nie zmieni, przeto będzie znowu:

mi U\ + ni₂ u₂

nil Vi + m₂ v₂

m i + «2

m, + m₂

Przed uderzeniem kule zbliżały się z prędkością względną, równą różnicy rzeczywistych prędkości: vx — v₂\ po uderzeniu względna prędkość ich wynosi: — (w, — %); znak — oznacza, że obecnie one oddalają się od siebie. Otóż, stosunek tych prędkości posiada, jak wspomnieliśmy wyżej, wartość stałą, zależną od rodzaju kul:

(3)

u₂ — tli

vx -v₂

Równania (2) i (3) zawierają dwie prędkości nieznane ux i u₂\ rozwięzując je względem tych wielkości, znajdziemy:

ni\Vx + m₂ v₂ ,

ll\ - :    k

ni i -f nu

m₂

(4)

m, 4- ni₂

Oi — v₂)

u₂ =

mx V\ + ni₂ v₂

m.

mx + m2

nii + m2

Ol — V₂)

W przypadku kul wcale nie sprężystych (k — 0) wynika ztąd, jak już powiedzieliśmy: ux — u₂ — Y. W przypadku doskonale sprężystych (k — 1) otrzymamy:

— m₂) 4- 2 m₂ v₂

nii + ni₂

(o)

mx 4 m₂

Jeżeli nadto masy obu kul są jednakowe, np. m% = m₂ = ni, wtenczas równania (5) zamieniają się na następujące:

Ui — v₂ u₂ — vx

t. zn. kule doskonale sprężyste wymieniają między sobą prędkości; każda z nich porusza się po uderzeniu z taką

prędkością i w tym kierunku, jak druga poruszała się przed uderzeniem. Przypuśćmy np. że jedna kula znajduje się w spoczynku, a druga uderza ją z prędkością wtenczas ruch przenosi się po uderzeniu całkowicie na pierwszą kulę, a druga zatrzymuje się nieruchoma na miejscu. Łatwo to sprawdzić doświadczeniem (fig. 42) jeżeli kule są jednakowe i sprężyste np. ze słoniowej kości.

Z równań (5) można wyprowadzić prawo... prostopadłego odbicia. się kuli doskonale sprężystej od stałej i masowej ściany. Ściana tego rodzaju zachowuje się bowiem jak ogromna kula, o nieskończenie wielkiej masie. Podzielmy liczniki i mianowniki ułamków, po prawej stronie równań (5), przez m₂, napiszmy je w następującej postaci:

Vi

«i =

u₂ —

(i_?M

\ m₂ /

, o m'

+ 2 — V\

m₂

Niechaj tu oznacza mx masę kuli, m₂ nieskończenie wielką (w porównaniu z mx) masę ściany; nadto przyjmiemy v₂ = o, uważając ścianę jako nieruchomą. Ponieważ wskutek tych założeń jest — — o, przeto otrzymamy:

u₂ — o

— — Vi

t. j. ściana nie poruszy się wcale wskutek uderzenia; kula.-odbije sie od ściany z taką prędkością^zjaką uderzyła, lecz w przeciwnym kierunku. Przypadek ten objaśnia dostatecznie gra w piłkę albo bilard.

Jeżeli kula sprężysta uderzam, ścianę ukośnie, (jak w bilardzie) wtenczas rozłożymy prędkość uderzenia a o (fig. 44) na składowę równoległą do ściany c o, i prostopadłą do niej d o. Wskutek uderzenia pierwsza nie zmieni się, albowiem ściana oddziaływa na kulę tylko w kierunku prostopadłym; po ude-rżeniu będzie tedy oc* — co. Druga, jak widzieliśmy przed chwilą, zmienia kierunek na przeciwny, mezmieniając wartości, zamienia się tedy na od. Składając oc' i od znajdujemy prędkość

Fig. 44.

ob kuli po odbiciu się; z przystawania trójkątów ado i dob wynika, że. .kąt dob odbicia się kuli, .równa się.....kątowi uderzenia.

Czas trwania uderzenia ciał małych i twardych jest niezmiernie krótki, rośnie zresztą proporcyonalnie do rozmiarów ciał. Można go zmierzyć sposobami elektrycznymi, jeżeli chodzi o uderzenie się przewodników elektrycznych, np. metali. Znaleziono tym sposobem, że dwie kule mosiężne, średnicy 26 millim., uderzające się z prędkością kilkunastu cmjsek trwały w zetknięciu zaledwie przez niecałe dwie tysiączne sekundy. Uderzenie kul wielkości ziemi trwałoby jednak w tych warunkach przeszło dobę.

54. Równowaga uderzeń i ciśnienia ciągłego. Kula doskonale sprężysta, o masie m, uderzywszy prostopadle o ścianę z prędkością v, odbija się z tą samą prędkością v. Przez czas uderzenia ściana ciśnie na kulę; ciśnienie to niszczy naprzód pęd m v kuli, skierowany ku ścianie, a następnie udziela jej

pędu m v w kierunku przeciwnym. Siła_sprężystości, która

uskutecznia tę zmianę pędu kuli, musLwywjerać w ciągu czasu uderzenia -całkowity popęd 2 my (ust. 40), gdyż popęd mr jest potrzebny do zniszczenia pierwotnej prędkości kuli, drugi takiż _sam>_„dû..Ddbicia jej.

Gdyby ściana była ruchomą, wtenczas uderzenie kuli ruszyłoby ją z miejsca; aby temu zapobiedz musielibyśmy ją niejako podeprzeć z przeciwnej strony, zapomocą siły działającej tylko przez krótką chwilę uderzenia a wywierającej w ciągu tego czasu popęd 2 m v.

Wyobraźmy sobie, że kula o masie m uderza o ścianę bardzo często, np. n razy w sekundzie, w równych odstępach czasu

i zawsze z tą samą prędkością. Uderzenia takie działać będą na ścianę, jak gdyby ciągłe ciśnienie; celem podparcia jej, będzie można użyć siły P, ciągle działającej, byle całkowity popęd tej siły w ciągu dłuższego czasu np. t, był równy sumie popędów potrzebnych do odbicia kuli za każdem uderzeniem. Ponieważ w ciągu czasu t mamy nt uderzeń, przeto:

P f, =. nt . 2 m v.

Natężenie siły potrzebnej będzie tedy: (U

Weźmy dalej pod uwagę ścianę mającą pole S cm², którą uderza nie jedna kula, ale gęsty grad kul sprężystych. Oznaczmy przez N liczbę kul, uderzających i odbijających się od ściany, w punktach rozsianych jednostajnie na całej powierzchni.

Jeżeli wszystkie kule są jednakowe i uderzają jednakowe-mi prędkościami, wtenczas do podparcia ściany potrzebować będziemy widocznie siły N razy większej aniżeli poprzednio, gdy uderzała jedna kula, mianowicie siły:

(2)

P = 2 m n N v.

Oznaczywszy nakoniec przez p ciśnienie jakiego doznaje jednostka powierzchni ściany, mamy:

(3)

2mwN«)

Widzimy tedy, że gęste, a bardzo częste uderzenia o ścianę, są równoważne ciągłemu ciśnieniu; ciśnienie to jest proporcyo-nalne do pędu kul uderzających, do ilości kul i uderzeń, zaś odwrotnie proporcyonalne do pola ściany.

Wzór (3) ma ważne zastosowanie w t. zw. kinetycznej teo-ryi gazów, o której będzie mowa w fizyce molekularnej.

ZADANIA.

109) Kule żelazne o masach 500 i 750 gr poruszają, się po linii prostej; pierwsza na prawo, z prędkością 70 cm/sek, druga na lewo, z prędkością 40 cm/sek. Znaleźć ich prędkość po uderzeniu (k = ⁵/p. Odp. Pierwsza na lewo 32,66 c/n/se/c, druga na prawo 28,44 cm/sek.

110)    Znaleźć prędkość środka mas tych kul. Odp. Przed i po uderzeniu na prawo 4 cm/sek.

111)    W jakim kierunku należy rzucić kulę na bilardzie prostokątnym, aby kula, wychodząc z jednego wierzchołka, dostała się po pięciu odbiciach do sąsiedniego bliższego wierzchołka. Odp. Do naprzeciwległej krótszej ściany, w */♦ od naprzeciwległego wierzchołka.

112)    Kula doskonale sprężysta spada z y^ysokości z pionowo na dół, ruchem jednostajnie przyśpieszonym (przyśp. = g), na poziomą płaszczyznę; odbiwszy się, oddala się ruchem jednostajnie opóźnionym (przyśp. = = — r/)‘ ile uderzeń doznaje płaszczyzna w ciągu jednostki czasu i ja^a

— l/2jz.

jest prędkość uderzenia? Odp. n

113)    Jeżeli te uderzenia są tak często, że można je porównać ze siłą ciągle działającą, a masa kuli jest m, obliczyć natężenie tej siły.

Odp. 2 m n v — mg.

114)    50000 kul doskonale sprężystych uderza w ścianę mającą pole 1 m², w punktach jednostajnie rozmieszczonych; obliczyć ciśnienie, jakiego. doznaje ściana, jeżeli prędkość uderzeń wynosi 10 misek, częstość tychże 5 na sek, masa każdej kuli */₂ 9r‘ Odp. 25000 dyn na każdy cm².

K OZDZIAŁ III.

O CIĘŻKOŚCI.

55. Prawo pierwsze. Spadanie ciał kn ziemi tudzież nacisk, jaki one wywierają na podstawę, jeżeli są podparte albo zawieszone, przypisujemy działaniu siły, zwań ej ciężkość i ą Są ciała, które na pozór zdają się nie ulegać ciężkości; cząstki mgły, chmur, albo pyłu, unoszą się w powietrzu; dym, ciepłe powietrze, balony i t. p. okazują nawet dążność do oddalania się od ziemi. Przekonamy się jednak, że to wyjątkowe zachowanie się wspomnianych ciał daje się wytłomaczyć wpływem otaczającego je powietrza, które stawia opór wszelkiemu ruchowi, a przeto także spadaniu ciał; nadto—wskutek własnego ciężaru—wywiera na ciała parcie skierowane w górę, przewyższające niekiedy rzeczywisty ich ciężar.

Odłożymy na później bliższe określenie wpływu, jaki powietrze wywiera na ruch ciał spadających; we właściwem również miejscu opiszemy przyrządy, których się używa do wydalania powietrza z naczyń zamkniętych. Obecnie zaś przypuszczać będziemy, że ciała poddawane badaniu znajdują w przestrzenią w której nie ma powietrza, ani żadnej innej materyi, w t. zw. próżni.

Doświadczenie uczy, że w takich warunkach wszystkie ciała są ciężkie t. j. spadają ku ziemi, ilekroć mają swobodę poruszania się; jeżeli zaś są podparte albo zawieszone, wywierają nacisk na ciało podpierające.

Przypatrzywszy się ruchowi ciała spadającego swobodnie z większej wysokości np. z dachu, lub z wieży, dostrzeżemy, że w ciągu ruchu prędkość ciała ustawicznie i szybko się powiększa. Wnosimy ztąd, że istnieje siła sprawiająca owo przyśpieszenie w kierunku z góry na dół; tą siłą jest właśnie ciężkość, czyli ciężar ciała. Ciężkością nazywamy w ogóle siłę, o której mowa; siłę ciężkości działającą na jakie określone ciało, nazywamy jego ciężarem. Siła ta objawia się wyraźnie naszym zmysłom, gdy podnosimy w ręku kawałek ołowiu, żelaza i t. p.; przekonywamy się nadto, że ona działa ciągle i ustawicznie, gdziekolwiek na ziemi ciało umieścimy. Jeżeli po upływie dnia, roku albo wieku ciało lub ziemia nie uległy jakiej zmianie, to i ciężar będzie taki sam, jaki był poprzednio.

Aby znaleźć kierunek siły ciężkości, a zarazem uwydatnić w przybliżeniu jej natężenie, zawieszamy ciało badane na cienkim sznurku. W miarę wielkości ciężaru sznurek wydłuża się i wypręża, a skoro nastąpi równowaga, kierunek sznurka wskaże nam ściśle kierunek, w którym działa siła ciężkości (ust. 44,3). Urządzenie takie nazywmmy pionem, a kierunek w którym działa ciężkość nazywa się pionowym. Wszelkie kierunki prostopadłe do pionu nazywają się poziomymi.

Pobieżne spostrzeżenie uczy, że wszystkie piony w obrębie niewielkiego pola na powierzchni ziemi są do siebie równoległe. Ściślejsze wymierzenie okazuje jednak, że kierunki ich zwrócone są mniej więcej ku środkowi ziemi; z tego wynika, że w dwu miejscach na ziemi piony są względem siebie pochylone pod kątem, odpowiadającym łukowi największego koła na kuli ziemskiej, łączącemu te miejsca. K^t pomiędzy pionami yL-àwJU. miejscach, blizkich siebie, jest w obec ogromnych roz miarów ziemi tak mały, że kierunki pionów możemy uważać jako równoległe.

Zbierając to, co wyżej o ciężkości powiedziano, możemy wypowiedzieć następujące prawa pierwsze: „ Wszystkie ciała i części ciał, znajdujące się na ziemi, są ciężkie, t. j. idegają stałym siłom, działającym na nie w kierunku pionowym, z góry na dół.

0

Pion jest najprostszem narzędziem, służącem die wyznaczenia kierunku ciężkości. Jeżeli chodzi o wyższy stopień dokładności, np. w przyrządach naukowych, używa się częściej libelli do wyznaczenia kierunku pionowego albo poziomego.

Jest to rurka szklana, rr, wycięta lekko w luk wzniesiouy do góty (fig. 45), napełniona jakąkolwiek rm hliwą cieczą np. eterem. Ciecz nie wypełnia rurki całkowicie, zostaje bańka powietrza i pary bt>, która ustawia się zawsze w najwyższej części łuku; jej środek zajmuje to miejsce,

1.

;===

Fig. 45.

gdzie płaszczyzna styczna do wewnętrznej powierzchni rurki, jest pozioma. Bańka nie mogłaby bowiem zatrzymać się w miejscu, w którem płaszczyzna styczna jest pochyloną, gdyż dążąc do najwyższego miejsca, musiałaby wydłuż takiej płaszczyzny posunąć się w górę. Jeżeli płaszczyzna styczna w punkcie np. C jest równoległa do podstawy libelli AB, natenczas podstawa ta będzie poziomą, ilekroć środek bańki znajdować się będzie w C. Taki punkt C bywa zwykle oznaczony kreską na rurce.

Aby sprawdzić, czy kreska ta jest rzetelną, ustawia się libellę na płaskim stole i ob aca ją tak, żeby środek bańki ustawił się w C; po obrocie libelli o 180° powinien środek bańki tamże pozostać. Lepsze libelle opatrzone są śrubką rektyfikacyjną s zapomocą której można zmieniać nieco pochylenie rurki względem podstawy AB, a to w celu ustawienia płaszczyzny stycznej w C równolegle do AB. Cjzęsto używa się 1ihellijio pionowego us ta wiania osi rozmai -tych.. przyrządów. Niechaj M N (fig. 46) wyobraża taką oś, mającą się pionowo ustawić, (chodzi tu o linię matematyczną, około której obraca się przyrząd albo oś rzeczywista); LL oznacza libellę przytwierdzoną do obracalnej części przyrządu. Przypuszczamy, że oś można dowolnie pochylać (przyrządy stoją zwykle na trzech śrubach nożnych S) i że pochylenie libelli do osi daje się również zmhniać, zapomocą śruby s. Gdybyśmy wiedzieli, że płaszczyzna styczna w punkcie C libelli jest prostopadła do osi, natenczas moglibyśmy od ra-

Y]

L_i L

ty

if

ii

Fig. 46.

zu ustawić oś pionowo, pochylając ją zapomoc-ą śrub S w taki sposób, żeby środek bańki zajął miejsce C i przy obrobię przyrządu około osi (albo przynajmniej w dwu do siebie prostopadłych położeniach) z tegoż punktu nie wychodził. Zwykle jednak potrzeba naprzód ustawić libellę prostopadle do osi; aby to uskutecznić sprowadzamy bańkę do C i obracamy przyrząd razem z libellą o 180°. Jeżeli się okaże, że po obrocie bańka odchyliła się, wówczas poprawiamy połowę odchylenia, zmieniając pochylenie osi śrubami S, drugą połowę usuwamy, zmieniając pochylenie libelli względem osi, zapomocą śruby Po kilku próbach ustawimy li-bollę prostopadle do osi, samą zaś oś pionowo.

50. Prawiło wtóre..,,.^Ciężar tega_sammL ciała jest w rómycli miejscach różny“.

Prawo powyższe odkryte było i potwierdzone doświadczalnie, przez wymierzenie ciężaru tego samego ciała w różnych miejscach na ziemi. Dokładne sposoby mierzenia ciężaru ciał opisane będą w Rozdz. VI; obecnie opiszemy przyrząd nazwany

......sprężynową, który ułatwi zrozumienie tego prawa.

Jest to (fig. 47) sprężyna spiralna AB, z metalu sprężystego (np. z drutu stalowego) przytwierdzona górnym końcem do stosownego wieszadła, obciążona u dolnego końca ciałem C, o którego ciężar tu chodzi. Pod wpływem ciężaru sprężyna wydłuża sie, a wartość wydłużenia, które mierzymy podziałką umieszczoną obok sprężyny, daje nam pewne wyobrażenie o wartości ciężaru. Dwa ciała sprawiające na tej wadze jednakowe wydłużenia, mają widocznie równe ciężary.

Fig. 47.

gdy idziemy--od równika ku jednemu z biegunów ziemi; zmiana ciężaru nie jest wprawdzie wielka, zdołano ją jednak dokładnie zmierzyć. Edlniary okazały, ie wydłużenie sprężyny, obciążonej.....jakierakolwiek ciałem, jest pod biegunami o tyle większe,.

CTi

Gdybyśmy z taką, albo z podobną wagą odbyli podróż do rozmaitych miejsc na ziemi, wówczas okazałoby się, że toż samo ciało, wydłuża sprężynę więcej w okolicach sąsiadujących z biegunami ziemi, aniżeli np. na równiku, lub w pobliżu. Słowem, ęięż

iż potrzeba około, — ciężaru zdjąć z wagi, ąby mieć wydłużenie takie jak na równiku. (Stosunek ten wyraża się dokładniej następującymi liczbami; 983 np. jednakowych ziaren śrutu ważą na równiku tyleż, co 978 takichźe ziaren pod biegunem. Jest to różnica, dosięgająca ledwie pół od sta pomiędzy równikiem a biegunem). W obrębie niewielkiej przestrzeni możemy przeto uważać ciężary ciał jako niezmienne, t: j. możemy uważać ciężar jako siłę stalą zarówno co do kierunku jak i natężenia.

Przekonano się nadto, że oddalenie ciała od ziemi, wzniesienie nad powierzchnię ziemi (nad poziom morski) sprawia również zmniejszenie ciężaru. Wzniesienie o jeden kilometr zniej-

sza ciężar każdego ciała w przybliżeniu o -    -- część. Ogranicza

my się tu do podania faktów; teoryą ich zajmować się będziemy w rozdz. VIII, w związku z nauką o grawitacyi.

57. Prawo trzecie. Z doświadczeń codziennych wiadomo, że ciężary różnych ciał nie są jednakowe. W przybliżeniu możemy porównywać ciężary, podnosząc ciała w ręku, albo lepiej zawieszając je na wadze sprężynowej. W ten sposób przekonamy się, czy jedno ciało jest cięższe, czy lżejsze od drugiego, zdołamy uporządkować różne ciała, według wartości ich ciężarów. ^by jednak dowiedzieć się, jak wielki jest ciężar pewnego ciała ("wyrażony w jednostkach siły, np. w dynach) należy uciec si§ do ogólnego sposobu mierzenia sił, wyłożonego w poprzedzającym rozdziale, polegającego na wymierzeniu masy ciała^. tudzież ruchu wywołanego przez daną sił§._

Tym sposobem zdołamy wykryć warunki, od których zależy wartość ciężaru jakiego ciała.

Pierwsze doświadczenia tego rodzaju wykonywał Galileusz około roku 1590; rzucał on z wieży w Pizie ciała rozmaitej wielkości i ciężaru, i przekonał się, że wszystkie spadały z tej samej wysokości w ciągu jednakowych czasów (o ile powietrze nie przedstawiało ruchowi ich znaczniejszego oporu); tak np. kula ^ funtowa i 100 funtowa spadały z wysokości 200 stóp prawie jednocześnie, gdyż cięższa wyprzedziła lżejszą zaledwie o szerokość piędzi. Doświadczenia te zbijały stanowczo dawniejsze mniemanie, jakoby ciała cięższe spadały szybcej aniżeli lżejsze.

Różnice, jakie w prędkości spadania często spostrzegać się dają, zależą wyłącznie od wpływu, jaki powietrze wywiera na juch ciał. Aby uwolnić się od tego wpływu używamy za przykładem Newtona rury szklanej, długości około 2 m. (fig. 48), zamkniętej szczelnie u jednego końca A, u drugiego końca B zaopatrzoną w kurek do wydalania albo wprowadzania powietrza. Wrzuciwszy na dno takiej rury kawałek ołowiu, piórko, skrawki papieru, i t. p. przekonamy się, ustawiając rurę pionowo, że ołów spada najszybcej, piórko znacznie wolniej.

AfJ

Po wydaleniu jednak powietrza, zapomocą pompy pneumatycznej, wszystkie te ciała spadają jednocześnie od jednego końca rury do drugiego; spuszczone jednocześnie z jednego poziomu, spadają zawsze razem, t. j. mają jednakowy ruch. Możemy tedy powiedzieć, że wszystkie, ciała, spadające swobodnie w prómi, w tern sajnem miejscu na .îiemi, spadają jednakowo.

Galileusz przekonał się nadto, za pośrednictwem doświadczeń, o których jeszcze będzie mowa, że ruch ciał, spadających pod wpływem ciężkości, jest jednostajnie przyśpieszony; z tego wnosimy, że ciała podlegają podczas spadania sile stałej. Ciężar ciała jest zatem siłą stałą, nietylko wtenczas gdy ciało jest nieruchome, ale także podczas ruchu.

Fig. 48.

Jeżeli oznaczymy przez g przyśpieszenie ruchu ciał spadających, czyli t. zw. przyśpieszenie ciężkości — wspólne wszystkim ciałom, spadającym w próżni, w tern samem miejscu na ziemi — przez m masę pewnego ciała, natenczas przyrost pędu ciała spadającego, w ciągu jednostki czasu, będzie wyrażony przez iloczyn: mg. Iloczyn ten jest miarą siły, pod wpływem której ruch się odbywa (ust. 39), a więc miarą ciężaru P ciała; mamy więc:

(1)

P = mg.

Pisząc to wyrażenie ciężaru ciała w następujący sposób:

— =9

dostrzeżemy, że stosunek ciężaru jakiegokolwiek ciała do jego masy jest dla wszystkich ciał ten sam, gdyż g jest dla wszystkich ciał to samo; ciężary ciał, w danem miejscu, są zatem pro-proporcyonalne do ich mas. Ciała mające większą masę spadają

w próżni tak samo jak drobne masy, albowiem masa większa posiada proporcjonalnie większy ciężar — przeto przyśpieszenie jest zawsze jednakowe. Na podstawie powyższych doświadczeń i objaśnień możemy wypowiedzieć następujące trzecie prawo ciężkości:

„Ciężary .dal (w próżni) nie zależą od postaci, objętości ani.od rodzaju materyi; zależą tylko od mas i są do mas wprost pr oporcy analne.LL

Jeżeli we wzorze P = mg, służącym do obliczania ciężaru, podstawimy za m masę ciała, wyrażoną w gramach, za g przyśpieszenie ciężkości, w cm/sek², wówczas uzyskamy ciężar ciała P, określony w jednostkach siły, należących do układu miar c.g.s. t. j. w dynach.

Doświadczenia Galileusza i Newtona dają, odpowiedź na znane pytanie: cz}’ funt pierza więcej waży, czy funt ołowiu? Z góry nie ma powodu do przypuszczenia, jakoby ziemia przyciągała jednakową siłą jednakowe masy pierza i ołowiu. Rozstrzyga to dopiero doświadczenie, w sposób twierdzący.

Prawa trzeciego dowiódł Newton o wiele ściślej przez doświadczenia wahadłowe. Wahadła jednakowej długości, składające się z rozmaitych ciężarów (ołów, drzewo, wełna, zboże i t. p.), zawieszonych n \ nitkach jednakowej długości mają, jednakowe okresy wahań. Wahanie wahadeł takich j♦ st również spadaniem pod wpływem ciężkości, wzdłuż łuków kołowych; jednakowe ich ruchy świadczą, że siły (ciężary) są pro-porcyonalne do mas.

Opór powietrza wywiera wpływ tem znaczniejszy na ruch ciał, jednakowej zresztą postaci, im mniejszy jest ich ciężar; im mniejszy ciężar ciała, tem więcej znaczy opór powietrza, w porównaniu z ciężarem. Krążek metalowy spada w powietrzu szybcej, aniżeli równej wielkości krążek papierowy; jeżeli jednak położymy papier na metalu i puścimy je razem, wtenczas powietrze nie działa bezpośrednio na papier i oba krążki spadają razem.

58. Wnioski. 1. Qiçéw-.JmdÿffO - dala rńuma sie sumie, cieża-rów wszystkich części jego. Jeżeli podzielimy ciało jakie na dowolną liczbę części i dozwolimy im spadać swobodnie w próżni, natenczas każda część poruszać się będzie tak samo, jakby poruszało się ciało niepodzielone; jeżeli te części były w zetknięciu, natenczas nie rozdzielą się one podczas spadania. Siła działająca na całą masę jest zatem sumą sił działających na części jej.

,2... Dwa ciała, mające, (w próżni) roime ciężary,    talée rów

ne masy. Na tej zasadzie polega zastosowanie wag do mierzenia mas. Jeżeli dwa ciała, zawieszone po kolei np. na wadze sprężynowej, (fig. 47, albo na jakiejbądź innej) dają. w próżni jednakowe wydłużenia sprężyny, natenczas ciężary ich są równe, a przeto (prawo 3) i masy są równe. Zapomocą wag możemy porównywać masy ciał z masą obraną za jednostkę (np. z 1 gramem), łatwiej i szybciej, aniżeli pr^ez mierzenie ruchu, sposobem ogólnym, wynikającym z określenia masy (ust. 37). Dobrze jest jednak pamiętać, że zastosowanie wag do mierzenia mas usprawiedliwione było przez doświadczenia kinetyczne i opiera się właśnie na tym sposobie ogólnym. Pomiary ruchu zostały raz na zawsze wykonane przez Galileusza, Newtona i innych, a po wysnuciu z nich ogólnego prawa proporcyonal-ności mas i ciężarów, nie potrzebujemy ich powtarzać przy każdem ważeniu.

59. Spadanie ciał swobodnych. 1) Ciało puszczone swobodnie, bez prędkości początkowej t. j. bez rzutu, spada na dół w kierunku pionowym; prędkość, z początku równa zeru, pod wpływem ciągle działającej ciężkości wzrasta nader szybko. Przyśpieszenie ciężkości g jest tak znaczne, że bezpośrednie zmierzenie ruchu ciał spadających byłoby trudne. Zdołano jednak sprawdzić, zapomocą dokładnych przyrządów, że ruch ten w próżni jest rzeczywiście jednostajnie przyśpieszony, a przyśpieszenie wynosi w naszym kraju około:

g — 981 cmj sett¹.

Stosując znane równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego, (ust. 16) znajdziemy następujące wyrażenia prędkości v i drogi *, przebytej w ciągu t sei. t. j. wysokości .spadku: (patrz zadania 35 i 36)

(1)

co

z — ⁹~

~~ 2

= V 2gz — 44,29547 \/z cm/sei. j*> v ':

— 490.5 t¹ cm.

..grat

(4)

z ~ n— == 0,00509684 v² cm. 2 g

pośrednictwem równań 8 i 4. Wysokość: .0 = ^ ,

Prędkość ruchu v związana jest z wysokością spadku z za

z której v, nazywa

ciało powinno spadać, aby u dołu uzyskało prędkość gię wysokością prędkości v.

2) Ruch ciał rzuconych., w jakimkolwiek kierunku, jest podług ust. 21 wypadkową, dwu ruchów: jednostajnego 1 prostolinijnego, w kierunku rzutu, i jednostajnie przyśpieszonego, w kierunku pionowym, wywołanego przez ciężkość. Ciężkość działa na ciała, mające nadany sobie ruch jakikolwiek, tak samo, jak na ciało pierwotnie nieruchome (ust. 43). Ruch spadający jest niezależny od ruchu jednostajnego, i dodaje się do niego geometrycznie.

Jeżeli np. ciało zostało rzucone w kierunku ukośnym OA (fig. 12) natenczas odbywa ono ruch po paraboli OWDC. Linie AjCi, A₂C₂, A3C3 i t. d. okazują o ile ciało zostaje z biegiem czasu ściągnięte na dół, działaniem ciężkości, od miejsc A,, A₂... i t. d. któreby zajmowało, gdyby poruszało się jedynie wskutek rzutu. Linie te mają takie długości, jak drogi OB, OB₂... i t. d. któreby ciało przebywało, spadając pionowo z punktu O, jedynie pod wpływem ciężkości.

Też same uwagi odnoszą się do rzutu pionowego ciał ciężkich, w górę albo na dół; do tych ruchów stosują się wzory podane w ust. l££ (2, 3) tudzież w ust. 1^, (1, 2, 3, 4), skoro zamiast ? napiszemy g, t. j. przyśpieszenie ciężkości = 981 cmjseh².

Przyjąwszy # = 981 cm^gbliczymy z łatwością następującą tablicę wysokości spadku ciał w próżni:

Droga w ciągu 0.1 sek wynosi 4.91 cm.

i t. d.

19,62 „ 44,15 * 78,48 „ 122,62 „ 176,58 „ 240,35 „

Rachunki powyższe stosują się ściśle tylko do ruchu w próżni; w powietrzu, albo w innych płynach, można je zastosować tylko w przybli-

żeniu i to wtenczas, gdy opór otaczającego płynu nie jest wielki: a więc do ciał gęstych, mających małą powierzchnię i do niewielkich prędkości spadku. Kartka papieru, zwinięta w małą gałkę spada szybciej, aniżeli rozpostarta. Opór powietrza wzmaga się podczas spadania w miarę powiększania się prędkości ruchu; w końcu staje się równy ciężarowi ciała; od tej chwili począwszy ciało spada ruchem jednostajnym, gdyż siła pędząca, ciężkość, jest zrównoważona przez przeciwny jej opór powietrza (krople deszczu). Postać drogi parabolicznej, ciał rzuconych ukośnie, zmienia się również wskutek oporu powietrza; linia przestaje być symetryczną względem wierzchołka (W, fig. 12), druga jej gałęź spada bardziej stromo ku poziomowi, albowiem opór powietrza zmniejsza szybko poziomą składowę prędkości, tak iż w końcu przeważa pionowe działanie ciężkości.

Prędkość ruchu spadającego mierzy się niekiedy zapomocą widełek strojowych, które wprowadzone w drganie, kreślą ślad na powierzchni deski spadającej (podobnie jak fig. 16). Gdyby ruch był jednostajny, ślad ów byłby zwyczajną linią fałową; w rzeczywistości otrzymuje się fale o długości rosnącej w stosunku 1:3:5 it. d. Jeżeli okres drgań widełek jest znany można tym przyrządem zmierzyć g.

60.

poruszanych. Wyobraźmy sobie ciało o masie m, spoczywające na poziomej podstawie, którą można dowolnie poruszać w kierunku pionowym, do góry albo na dół. Przypuśćmy, że pewna siła zewnętrzna podnosi podstawę razem z ciałem do góry, ruchem jednostajnie przyśpieszonym, którego przyśpieszenie oznaczymy przez y. Pytamy, jak wielki nacisk wywiera podczas ruchu ciało na podstawę albo, co na jedno wychodzi, podstawa na ciało. Łatwo zrozumieć, że podczas wznoszenia się podstawy nacisk ten musi przewyższać rzeczywisty ciężar ciała, albowiem ciało przeciwstawia sile, podnoszącej je do góry, opór wynikający z bezwładności. Opór ten, którego miarą jest my (ust. 46), objawia się w kierunku przeciwnym ruchowi, powiększa zatem nacisk, który ciało wywiera na podstawę wskutek swego ciężaru. Jeżeli całkowity nacisk na podstawę oznaczymy przez Q, przez P ciężar ciała, wówczas otrzymamy:

(1)

Q c= P -}- my albo Q — mg my.

Macisk_.Çl, czyli, pozorny ciężar ciała poruszanego do góry, z pewnem przyśpieszeniem, przewyższa więc rzeczywisty ciężar ciała, tem więcej, im większe jest przyśpieszenie ruchu. Można to sprawdzić, podnosząc do góry, ruchem przyśpieszonym, np. wagę sprężynową na której wisi masa m. Dogodniej jest użyć przyrządu opisanego w ust. 46 (fig. 34). Wydłużenie sprężyny, które mierzy tu siłę Q, będzie podczas ruchu przyśpieszonego większe, będzie mianowicie takie, jak gdyby na sprężynie nie-

w    wy

mahomej zawieszona była masa M = ~=m +    . Podobnie,

jeżeli wyciągamy do góęy__ciężar zawieszony na sznurze, napięcie sznura będzie dopóty tylko równe ciężarowi, dopóki tenże porusza się jednostajnie, albo nie porusza się wcale; podczas ruchu przyśpieszonego napięcie zwiększa się, ono stanowi bowiem siłę, która ciało podnosi, a więc nietylko równoważy ciężar ciała ale nadto pokonywa jego bezwładność.

Jeżeli podstawa unosząca ciało spada na dół z przyśpieszeniem y, wtenczas będzie oczywiście

(2)

Q = P — wy = mg — m y-

Gdyby było y = g, wtenczas: Q = 0, albowiem podstawa i ciało spadają swobodnie i nacisku pomiędzy niemi nie ma.

V\

(f

<Ł

fTÖ

QQ

°"aÎVT

EDh

¹

gt — 981. t cmjsei².

Fig. 4Ö.

Pozorną, zmianę ciężaru ciał poruszanych można sprawdzić także zapomocą zwyczajnej wagi, urządziwszy ją, według Pog-gendorffa, w następujący sposób.

Na jednym końcu belki umieszczony jest, zamiast szalki, lekki i łatwo obracalny krążek A (fig. 49). Drugi krążek podobny znajduje się w środku belki. Przez oba krążki przechodzi sznur DACE, obciążony u obu końców jednakowemi masami M i M. W szalce B umieszcza się ciężarki równoważące ciężar znajdujący się na przeciwnym końcu belki. Jeżeli koniec sznura E obciążymy więcej, dodając do M dodatkowy ciężarek m, wtenczas belka nie wyjdzie z równowagi, dopóki nie dopuścimy żeby ciężarek M + m spadał. Skoro jednak E pocznie spadać, D wznosić się do góry, równowaga ustaje, a mianowicie koniec A belki idzie na dół; potrzeba wówczas włożyć na szalkę pewien ciężarek q, aby sprowadzić wagę do poziomu. Jeżeli oznaczymy przez y przyśpieszenie, z jakiem poruszają się ciężary zawieszone w D i E, jeden do góry, drugi na dół, wtenczas napięcie części AD sznurka wynosić będzie, według (1), Mg -f My; napięcie części CE (podług 2) będzie: (M + m) g — (M + m) Ponieważ napięcie sznurka musi być wszędzie jednakowe, (bo przypuszczamy że tarcie na obwodach krążków nie istnieje) przeto:

+ My = (M -j- m) g

(M 4- m) y,

skąd wypada wartość przyśpieszenia:

⁹ 2M 4- m ‘

Koniec A wagi staje się więc pozornie cięższym, wskutek bezwładnego oporu masy M, o:

mM

q = My =

Doświadczenia tego rodzaju są ważne z tego powodu, że dozwalają wymierzyć natężenie siły ciężkości działającej na ciała podczas ruchu i porównać ją z ciężkością działającą w spoczynku. Jeżeli od pozornego ciężaru odejmiemy opór ciała, wynikający z bezwładności, natenczas okaże się, że rzeczywisty ciężar ciała, podczas jakiegokolwiek ruchu, jest taki sam, jak ciężar ciała nieruchomego; czyli, że działanie ciężkości jest od ruchu ciała niezależne.

61. Przyrząd Atwood’a ¹). Zadaniem tego przyrządu jest zwolnienie ruchu spadającego ciał ciężkich, w stosunku dokła-

V-

dpi© znanym, aJ-n w tym celu, żeby ułatwić pomiar tego ruchu i wyznaczyć w przybliżeniu wartość przyśpieszenia ciężkości; obok tego służy przyrząd Atwooda do sprawdzania ogólnej zależności pomiędzy siłą, masą i przyśpieszeniem. Składa się on z lekkiego krążka K (fig. 50), obracającego się z wielką łatwością około poziomej osi, opartej na łożyskach utwierdzonych na szczycie wysokiego (2 — 3 m) słupa AB. W rowku wyciętym na obwodzie krążka umieszcza się cienką nić i obciąża końce jej równymi ciężarkami M i M; ciężary tych mas równoważą się, wskutek tego nie mogą one poruszać się same przez się ani na dół, ani do góry. Jeżeli którą z nich potrącimy w kierunku pionowym, natenczas obie będą się poruszały jednostajnie, na mocy bezwładności. Sikoro jednak dodamy po jednej stronie jeszcze małą masę_ m, wtenczas strona przeciążona spadać będzie na dół pod wpływem ciężaru P = mg masy dodanej. Ciężar ten jest siłą stałą, przeto wzbudza on ruch jednostajnie przyśpieszony; przyśpieszenie 7 tego ruchu będzie jednak mniejsze, aniżeli przyśpieszenie ciężkości ą, właściwe swobodnemu spadaniu. Gdyby bowiem m spadało swobodnie,- ciężar mg tej masy udzieliłby jej przyśpieszenia g. Tu _zaś ten sam ciężar mg wprowadza w ruch masę większą:

-f- M + M (nie licząc masy krążka i nitki). Prędkości ruchu (a więc i przy-! śpieszenie) będą przeto w tym stosunku mniejsze, w jakim masa jest większa (ust. 37), a więc:

fl

Î'i

Os

_5£_

Fig. 50.

Y : g — m : m + 2 M,

..    m

czyli 7 = g    --

m -j- 2M

(jak w poprzednim ustępie). Jeżeli np. M — 22,5 gr, m — 5 gr} wtenczas 7 = g; ruch będzie 10 razy wolniejszy, aniżeli spa-

łatwo następnie obliczyć y =    , nakoniec g —

danie swobodne i może być dość dokładnie wymierzony. W tym celu należy zmierzyć wysokość spadku np. AC = s, ku czemu służy podziałka na słupie, tudzież przynależny czas t, zapomocą zagarka sekundowego; ponieważ s — { y t², przeto

w + 2M

4Âby K: U. L J ^

25

się przekonać, że w istocie prędkość powiększa się w tym ru- ;< chu jednostajnie, używa się dwu podstawek C i D, przesuwal-nych wzdłuż słupa; w wyższej podstawce C znajduje się okrągły otwór, przez który masa M przechodzi swobodnie; ciężarek dodatkowy m jest cokolwiek szerszy i zatrzymuje się na podstawce C. Masy spadają od A do C ruchem przyśpieszonym; podstawka C zdejmuje następnie m, poczem masa M przebywa drogę od C do D, wskutek bezwładności, ruchem jednostajnym, z tą prędkością, jaką posiadała w C. Eadzieliwszy długość dragi CD przez czas potrzebny do przebycia jej, znajdziemy prędkość w C, właściwą wysokości spadku AC.

Jeżeli czasy potrzebne do przebycia dróg AC i CD mają być równe — co najdogodniejsze — natenczas należy podstawki tak ustawić, żeby było: CD = 2 AC (bo AC = £ y t², v = 11, przeto CD — vt — y t2, = 2AC).

Celem uzmysłowienia sił działających na masy korzystnie jest połączyć przyrząd Atwooda z przyrządem przedstawionym na fig. 34; w tym celu zawieszamy z jednej strony przyrządu Atwooda czułą sprężynę spiralną, obciążoną u spodu masą M-Gdy pod wpływem większego ciężaru, zawieszonego na drugim końcu sznura, sprężyna podnosi się do góry, wtenczas wydłużenie jej zwiększa się, jak gdyby obciążenie jej było o My zwiększone; przeciwnie, przy spadaniu przyśpieszonem sprężyna skraca się. jak gdyby obciążenie jej stało się o My lżejsze.

62. £jaszczyznta (równia) pochyła. Inny sposób zwolnienia ruchu spadającego, ważny ze względu na różne zastosowania, polega na użyciu płaszczyzny pochylonej względem poziomu. Ciała nie spadają wcale ani nie staczają się po płaszczyźnie poziomej j wzdłuż pionowej spadają tak, jak gdyby były swobodne; po^płaszczyznach pochyłych spadają tern wolniej, im mniejsze jest pochylenie.

AB (fig. 51) wyobraża widok boczny płaszczyzny, np. deski, albo jakiegokolwiek toru pochylonego do poziomu BC, pod kątem ABC = a. Na płaszczyźnie tej znajduje się ciało S, mające

pewną masę m, ciężar P = mg. (Ciężar ciała wyobrażony na rysunku przez odcinek SP). Aby zapobiedz zsunięciu się ciała wydłuż AB, musimy je podeprzeć albo przywiązać, słowem musimy pMdać je. działaniu, takiej, .siły, któraby zrównoważyła dążność do spadania. Siłą tą może być np. napięcie sznurka SK, do którego ciało Sjest przywiązane. Ciało poddane sile SK, a jednocześnie ciężarowi swemu SP, ciśnie na płaszczyznę AB pewną siłą SR i nawzajem doznaje od płaszczyzny oddziaływania SR' tej samej wielkości, w kierunku przeciwnym. Te trzy siły: f S.P, S£Li.SR', działające jednocze-śflie—aa— ciał o S, r ó wno w ażą . się. wznjumnie,- skoro ciało jest w spoczynku; przeto SR' musi być rów-c noważącą, SR wypadkową sił SP i SK. Aby znaleźć natężenie siły SK, potrzeba przedewszystkiem znać kierunek RR' siły, którą płaszczyzna wywiera na ciało S. Przyjąwszy, że"kierunek ten jest dany, dość będzie wykreślić PR |j SK, wówczas PR == SK będzie szukaną wartością siły, potrzebnej do zrównoważenia ciała na płaszczyźnie pochyłej.

R*

\a

A--’*

Fig. 51.

Jeżeli płaszczy zna AB jest tak gładką (ślizką), że przesuwanie się ciała wzdłuż AB nie spotyka żadnego oporu (tarcia), wtenczas kierunek oddziaływania SR' musi być prostopadły do płaszczyzny. Po płaszczyźnie takiej ciało zesuwa się nawet przy najmniejszem jej pochyleniu do poziomu; gdyby oddziaływanie nie było w tym przypadku prostopadłe do płaszczyzny, możnaby łatwo znaleźć takie pochylenie, przy którem to oddziaływanie byłoby pionowe, i równoważyłoby się z ciężarem ciała bez pomocy siły SK.

Przypuśćmy, że AB (fig. 51) jest płaszczyzną zupełnie gładką, zatem SR' prostopadłe do AB. Rozłożywszy ciężar SP na składowę SR, prostopadłą do płaszczyzny, i SQ równoległą do niej, dostrzeżemy natychmiast, że trójkąty KSR i SQP są przystające, bo oba są prostokątne, SR — QP, a nadto kąty QPS i SRK są równe i równe kątowi a. Z tego wynika, że I SK = SQ. t. j. siła równoległa do płaszczyzny pochyłej, mająca zrównoważyć na tej płaszczyźnie ciało nie doznające tarcia, powinna być równa składowej ciężaru ciała, równoległej do płaszczyzny; nacisk (SR) jaki

ciało wywiera wówczas na płaszczyznę, równa się składowej ciężaru prostopadłej do AB. Znając ciężar ciała P, obliczymy obie siły SK = SQ=^Q/i SR=^_R zapomocą wzorów: SK = SQ = — SP sin a; SR =: SP cos a; albo krócej:

Q = P sin a, R — P cos a.

Q oznacza tu siłę równoległą do płaszczyzny, która równoważy dążność ciała do zesunięcia się; R oznacza nacisk, jaki ciało wywiera na płaszczyznę, w kierunku prostopadłym do niej.

63. Spadanie po płaszczyźnie pochyłej. Jeżeli ciało na płaszczyźnie pochyłej nie jest uwiązane, albo inaczej zrównoważone, wówczas zesuwa się ono na dół ruchem przyśpieszonym. Oddziaływanie SR' płaszczyzny na ciało i nacisk SR ciała na płaszczyznę są i w tym przypadku prostopadłe do AB (o ile płaszczyzna jest gładką); ruch ciała odbywa się jedynie pod wpływem siły SQ    Będzie to ruch jednostajnie przyśpie

szony, podobny do swobodnego spadania; przyśpieszenie jego (7) będzie jednak mniejsze.

Siła P (ciężar) udziela bowiem ciału przy swobodnem spadaniu przyśpieszenia g\ siła mniejsza Q = P sin a, wytworzy tyleż razy mniejsze przyśpieszenie (ust. 39):

Y : g — P sin a : P, skąd:

I^üiüA-

Przy śpieszenie zesuwania się po gładkiej płaszczyźnie jest zatem mniejsze, im mniejsze jest pochylenie płaszczyzny. Prędkość zesuwania się = v powiększa się jednostajnie podczas ruchu. ipajmy na to, że ciało zostało strącone na dół z punktu A, po płaszczyźnie pochyłej, z prędkością początkową = v₀ i oblicz.-my prędkość jaką ono uzyska spadłszy na dół. W B prędkość

T

jego wynosić będzie v — v₀7t\ ponieważ AB = v₀t +    f¹.

skąd: t — —

»O , ]/Vo² , 2A Y+V Y ⁺

, przeto, podstawiwszy tę

wartość t w równanie dla v) znajdziemy v = y v₀²-|-27AB, albo: v ~ \ f v₀²-ł-2pAB sin a, albo: v — J/ ?;₀²+2#AC.

AC (fig. 51) oznacza różnicę wysokości punktów A i B? mierzoną w kierunku pionowym, t. j. różnicę wysokości pozio-

mów przechodzących przez A i B. Wzór ostatni okazuje, że ciało rzucone na dół po płaszczyźnie, pochyłej gładkiej, nabywa na niej takiej prędkości, jak gdyby było rzucone pionowo na dół i spadało swobodnie do tego samego niższego poziomu. Istotnie ciało rzucone z A pionowo na dół z prędkością początkową v₀, uzyskałoby, spadłszy do C, prędkość:

V?-

2AC

-—; zatem jak

v = v₀ + gt, w czem t —---f

p'ierwej jest v —\/v₀² + 2ć/AC.

Toż samo twierdzenie stosuje się także do spadania po ja-kiejbądź, dowolnie zakrzywionej ale gładkiej powierzchni AB (fig. 52). Drogę ciała spadającego po takiej powierzchni możemy bowiem podzielić na tak krótkie odcinki Aa, ab, bc, i t. d., żeby je było można uważać jako proste. Ciało spadające np. z miejsca c, z prędkością początkową v₀, uzyska po przybyciu

a' b' e'

fy

Fig. b2.

do d taką prędkość, jak gdybjr spadało swobodnie z c‘ do d’ i t. d. Widzimy przeto, że prędkość ciała spadającego.wależp tylko od różnicy wysokości poziomów, między którymi ono spadała mc zależy od postaci tary*"

64. NTĄTFŻDNrfF CTFŻKośrm Ciężar jakiegobądź ciała znajdujemy, mnożąc jego masę przez przyśpieszenie ciężkości, ważne dla danego miejsca (ust. 57), P — mg. Tak np. litr wody (masa = 1000 gr) waży u nas: 981000 dyn (g — 981 cm/sek²). Silę ciężkości działającą na jednostkę masy, czyli ciężar jednostki masy, nazywamy natężeniem ciężkości w dancrn miejscu, Założywszy w poprzedzającym wzorze m = 1, znajdujemy V — g t. j. natężenie ciężkości jest liczebnie równe przyśpieszeniu przy swobodnem spadaniu.

Natężenie ciężkości w rozmaitych miejscach posiada następujące wartości: na równiku ziemskim 978, na biegunach 983, na powierzchni księżyca 185,₀, Jowisza 2180, słońca 27120 dynjgr. Sposoby mierzenia będą opisane w rozdz. szóstym i ósmym.

65. Ciężarowy układ miar. Przed wprowadzeniem bezwzględnego układu miar, (c. g.s.), w którym określono jednostkę sił (dynę) na podstawie ogólnych, w całym wszechświecie ważnych zasad dynamiki, mierzono siły innemi miarami, a mianowicie porównywano je z ciężarami rozmaitych mas (funta, kilograma^ grama i t. d.) na powierzchni ziemi. Jednostki te są nader dogodne, gdyż siła ciężkości istnieje wszędzie i z łatwością można jej użyć do wymierzania innych sił (np. siły mięśniowej, sprężystości, przyciągania magnesów i t. p.). Ejimj^Y~-~uskutecz-nia się najczęściej przez zrównoważenie siły nieznanej ciężarem jakiej znanej masy. Ze stanowiska naukowego nie można tych jednostek uznać za ścisłe, albowiem ciężar tej samej masy nie jest wszędzie jednakowy. Ponieważ jednak różnica ciężarów tej samej masy, w różnych miejscach na ziemi, nie przewyższa

nigdzie

200

części ciężaru (ust. 56), przeto w wielu przypadkach za-

dawalniamy się tą dokładnością i używamy ciężarów do wymierzania    Układ miar, w którym jednostkę sił stanowi ciężar

pewnej masy, nazywa się układem ciężarowym. W dalszym wykładzie będziemy nieraz używali ciężarowego układu miar; podajemy przeto zestawienie najważniejszych jednostek, należących do tego układu:

Dla długości, czasu, prędkości i przyśpieszenia pozostają dawne jednostki: cm, sek, cm/sek, cm/sek².

Jako ciężarową jednostkę siły przyjmiemy ciężar grama (w próżni — 981 dyn). Wyraz „gram“ zdarza się tu w odmiennem od dotychczasowego znaczeniu; dotąd oznaczał jednostkę masy, w układzie ciężarowym jest nazwą jednostki siły. Aby uniknąć dwuznaczności będziemy, ile możności, używali wyrażenia „ciężar grama“, ilekroć będzie chodziło o nazwanie siły; w piśmie oznaczać będziemy przez „yr“ masę, zaś przez „Gr“ ciężar grama, przyjęty tu za jednostkę siły. Podobnie odróżniać będziemy znaki innych wag: kg i Kg, mgr i Mgr i t. p.

mV

Ażeby zasadniczy wzór dynamiki (ust. 39.1): P = — był

T

prawdziwy także w zastosowaniu do ciężarowego układu miar, należy określić jednostkę mas w taki sposób, żeby dlaP = l, v — 1 i t — 1 było m — 1.

Jednostką, mas będziie - wipe - ta masa, która pod wpływem siły 1 Gr t. j. pod wpływem ciężaru grama nabywa w przeciągu 1 sek prędkości 1 cm/sek. Będzie to widocznie masa 981 gr. Skoro bowiem masa 1 gr nabywa pod wpływem siły 1 Gr, (t. j. pod wpływem własnego ciężaru) prędkości 981 przeto masa 981 razy większa uzyska w tymże czasie prędkość 981 razy mniejszą, t. j. 1 cm/sek-, jednostką mas w układzie ciężarowym jest więc masa ■OSJLcw³ wody w temp. 4°. Wskutek tego wyboru znane wyraże-

.    .    P

' nie ciężaru: P = mg, albo masy m —— pozostaje ważnem także

9

w ciężarowym układzie miar: istotnie, ciężar jednostki masy wynosi 981 Gr. Ciało ważące 10 posiada masę    jedno

stek ciężarowych i t. p. Zgodnie z tem wypada przyjąć jako jednostkę pędu: (981 gr) cm/sek. Jednostką popędu siły będzie: Gr. sek.

ZADANIA.

^1^ Przyjąwszy, że ziemia jest kulą o promieniu 6370000 m, obliczyć kąt między pionami w dwu miejscach, odległych od siebie o 10 m.

Odp. 0," 324.

yllłp Ile waży jeden kilogram u nas, na słońcu i na księżycu?

Odp. 981000, 27120000, 185900 dyn.

’"•117)/Znaleźć masę ciała, którego ciężar wynosi u nas 10000 dyn?

(Jap. 10 gr 194 mgr.

Waga sprężynowa wydłuża się proporcyonalnie do natężenia siły, działającej na nią; w pewnej wadze siła 50000 dyn przedłuża sprężynę o 5 cm. Znaleźć przedłużenie, sprawione ciężarem masy 20 gr, na równiku i na biegunie ziemi.

Odp. 1,956 i 1,966 cm.

N^l^" Podobna waga, mająca jednak czulszą sprężynę, obciążona 20 gramami, wydłuża się o 4 cm; ile wynosić będzie wydłużenie sprężyny, jeżeli poruszać będziemy wagę pionowo do góry, z przyśpieszeniem 490,5 cml&ek²; następnie na dół z temże przyśpieszeniem. Odp. 6 cm, 2 cm.

42^/ Na przyrządzie Atwooda zawiesiliśmy z jednej strony 50, z drugiej 51 gr; obliczyć przyśpieszenie ruchu ciężarka spadającego, drogę przebytą w ciągu 3 sek i prędkość nabitą po upływie tego czasu.

Odp. 9,713 cm/seÆ²; 43,7S cm, 29,14' cmjsek.

121) Na tym przyrządzie wisi z jednej strony masa 100 gr, z drugiej lekka sprężyna obciążona 90 gramami; znaleźć wydłużenie sprężyny podczas spadania, wiedząc, że sprężyna nieruchoma, obciążona ^ciężarem 15 Gr, wydłuża się o 2 mm.

mm.

fOOdPj* Wydłużenie 12,7

122y Znaleźć siłę potrzebną do utrzymania ciała (ciężar P) na gładkiej płaszczyźnie pochyłej, jeżeli ta siła równoważąca działa w kierunku poziomym. Odp. P tg a.

Jakiej siły pociągowej (a;) potrzeba, aby wyciągnąć wóz ważący 5 ton (P) na drodze mającej spad 1 : 10 (nie licząc oporów tarcia i t. p.)?

Odp. x : P = 1 : J/lOl.

JA4j/ Jakie jest przyśpieszenie ruchu ciała zesuwającego się (bez tarcia) po płaszczyźnie pochylonej do poziomu pod kątem 20°?

Odp. 3?5,5 cm/sek-

-1^5/ Rzucamy ciało do góry, wzdłuż gładkiej płaszczyzny, pochylonej do poziomu pod kątem 15°, dając mu początkową prędkość 10 mjsek; znaleźć długość drogi przebytej i prędkość, po upływie 3 sek.

Odp. 18,57 m; 2,383 m/sek.

J^6K Znaleźć wysokość, do której ciało powyższe dobiegnie, nad poziomem z którego zostało rzucone.

Odp. 5,096

Ciało spada po obwodzie pionowego koła, wychodząc z końca poziomej średnicy, bez prędkości początkowej; znaleźć prędkość w najniższym punkcie koła. Odp. ]/2g. r.

Jak daleko dobiegnie ono po przeciwnej stronie, mając taką prędkość u spodu?

Odp. Do drugiego końca poziomej średnicy.

-42^ Ile wynosi w układzie ciężarowym siła 5 X 10⁶ dyn?

Odp. 5097 Gr = 5,097 Kg.

4^0^ Ile wynosi w układzie ciężarowym masa 10 kg'i

Odp. 10,194 jednostek ciężarowych.

4^) Znaleźć przyśpieszenie, wywołane w ciele, którego masa wynosi 12 jednostek ciężarowych, działaniem siły 20 Gr.

Odp. 1,67 cmjsek².

na

-I3$y Jaką prędkość wytworzy siła 100 Gr, działając przez 5 sek ciało ważące 50 ć/r? Odp. 2 X 981 X 5 cm/sek.

'~~'ł33j Kamień ważący 2 kgr obracamy na sznurku o długości 30 cm

= 2000 X 981; v₂ = ]/ »,2 + 2 x 981 X 60 2000 x «2²

(ust. 63) ;

po obwodzie pionowego koła, z taką prędkością, żeby w punkcie najwyższym koła sznurek był tylko wyprostowany, ale nie napięty; znaleźć prędkość vx kamienia w najwyższym punkcie koła, prędkość v₂ w najniższym i napięcie F sznurka w tern drugiem położeniu. Odg. Siła odśrodkowa 2000«!²

30

2000 X v₂²

dyn = 2000 +

— Gramów.

30

30 X 981

F = 20)0 X 981 +

ROZDZIAŁ IV.

O MOMENTACH.

60. Mi3J^LEXT_^KLXtiy jZGLĘi)F^^EnxiL:iu.......stałego. W roz

dziale niniejszym zastanawiać się będziemy nad siłami, o ile one sprawiają ruch obrotowy ciał. Jeżeli chodzi tylko o opisanie ruchu obrotowego jakiego ciała, w pewnej chwili, wtenczas dość jest znać prędkość kątową obrotu, tudzież kierunek i położenie osi albo punktu około którego ciało obraca się albo kręci. W dynamice jednakowoż (gdy chodzi o poznanie sił sprawiających obrót) znajomość prędkościkątowej i osi obrotu nie jest jeszcze wystarczającą; nadto potrzeba znać wielkość i rozmieszczenie masy. Ze stanowiska dynamiki uważamy, nie samą prędkość, lecz pęd ciał, czyli ilość ruchu, jako miarę ruchu postępowego; podobną miarę dla ruchów obrotowych znajdziemy w t. zw. momentach ruchu (łać. momentum, od mo-yimentum, movere poruszać; oznacza ważność, potęgę, czyli doniosłość obrotu). Nazwą

aZ.

m o m entó w_określamy w

Fig. 53.

ogóle iloczyny utworzone z rozmaitych wielkości np. z mas, fiędówr sił i z pewnych odległości, bądź to od stałego punktu, bądź też od prostej

hub płaszczyzny, ]V[ o m sn t, n m rnp.hu nazywamy— ności

użyli—pędu, przez odległość od

punktu lub osi.

Niechaj A oznacza (fig. 53) położenie jakiej masy m, poruszającej się w kierunku AB (wzdłuż toru RS niekoniecznie kołowego) i mającej w tern miejscu prędkość w; O oznacza pewien stały, dowolnie obrany punkt. Wykreślmy prostą AB, wyobrażającą co do kierunku i wielkości pęd = m^ ciała; wykreślmy z O prostopadłą OC do tej prostej, [Iloczyn z pędu i długości prostopadłej, wykreślonej ze stałego punktu do prostej, wyobrażającej pęd, t.j. iloczyn nivXO C, nazywa się momentem ruchu masy, względem punktu stałego 0.J

Wielkość określona w ten sposób równa się widocznie podwójnemu polu trójkąta, którego podstawą jest odcinek AB wyobrażający pęd ,wierzchołkiem punkt stały.

67.

Wykreślmy z punktu O odcinek prosty OH, (fig. 53) mający taką długość, żeby przedstawiał wartość momentu ruchu (według pewnej umówionej po-działki); dajmy mu kierunek prostopadły do płaszczyzny trójkąta o którym była dopiero co mowa, t. j. do płaszczyzny przechodzącej przez O i AB. Wykreślmy go w tę stronę, (jak wskazuje strzałka kierunkowa), żeby ruch masy A około punktu O przedstawiał się oku, będącemu w O, a patrzącemu w stronę wskazaną przez strzałkę, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegarowych (od lewej, górą, ku prawej ręce). Taki odcinek kierunkowy OH²) określa zupełnie wielkość i kierunek momentu ruchu. Zaliczymy momenty ruchu do rzędu wielkości kierunkowych (wektorów) i będziemy je wyobrażali wykreślnie, podług podanej tu reguły.

Przykład. Na płaszczyźnie poziomej krąży masa 5 gr, po kole o promieniu 7 cm, z prędkością 40 cmjsek, od południa przez wschód, północ ku zachodowi, znaleźć moment ruchu tej masy względem środka koła.

Odp. Jest on zwrócony pionowo do góry i wynosi stale 1400 gr. cm/sek. cm. — 1400 gr cm²/sek.

68. Składanie l rozkładanie momentów ruchu. Prosta kr* AB (fig. 54) wyobraża pęd masy znajdującej się w A; pole trój- pp* kąta ABO równe jest połowie momentu ruchu tej masy, względem punktu O; nakoniec, odcinek OH, prostopadły do AOB, wyobraża, stosownie do umowy (ust. 67) wielkość i^kierunek tego momentu. Rozłóżmy pęd AB na dwie składowe: jednę, AB', równoległą do pewnej płaszczyzny MN, drugą AB", prostopadłą do niej. Pola trójkątów AOB' i AOB" równają się połowom momentów tych ruchów składowych. Wykreślmy odcinki OH' i OH" wyobrażające wielkości i kierunki tych momentów t. j. wykreślmy OH' prostopadle do^lvMfi odetnijmy odcinek OH' równy podwójnemu polu AOB'; podobnie OH" jest prostopadłe do AOB'' i równe podwójnemu polu AOB". Ponieważ pole AOB', jako rzut na MN pola AOB, równa się iloczynowi pola AOB przez dostawę kąta zawartego między płaszczyznami AOB i MN, albo,

H H'

K]

h! \io

-B'

Fig. 54.

co na jedno wychodzi, kąta HOH', przeto będzie także OH' — = OH X dost, kąta HOH'; znaczy to że, odcinek OH' jest składową odcinka OH, w kierunku prostopadłym do AOB', Podobnie, OH" jest składową odcinka OH, prostopadłą do AOB". Z tego wynika, żĄwypadlwwa momentów (OH' i OH") dwu ruchów (AB' i AB"),

jest równa momentowi (OH) ruchu wypadkowego (AB). ? Imuimisłowy: momenty ruchu, wyobrażone przez odcinki kierunkowe, dodają

się, podobnie jak inne wektory, podług reguły geometrycznego dodawania.

69. Moment ruchu względem osi. Obok momentów ruchu względem punktu stałego, uważać będziemy momenty względem stałej prostej, czyli osi. Określenie tych momentów jest następujące. Wyobraźmy sobie płaszczyznę (MN, fig. 55), wykreśloną

10

Bibi mat.-fiz. S. III. T. VIII.

prostopadle do prostej, czyli osi (XY), około której porusza się pewna masa. Pomyślmy dalej, że na ową płaszczyznę padają promienie światła równoległe do osi; one rzucają na płaszczyznę cień osi, przedstawiający się jako jeden punkt O. Owóż, przez moment ruchu masy względem osi, rozumiemy moment tego ruchu, który przedstawia się na cieniu, względem punktu w którym znajduje się cień osi.

Z tego określenia wynika, że obliczając moment ruchu względem osi, nie troszczymy się wcale o składowę ruchu

H'

----'A

8'

'M

Fig. 55.

równoległą do osi, zwracamy j edynie uwag-§ na składowę ruchu prnstnpadłąr do niej, wskutek której ciało tę oś okrąża. Niechaj XY wyobraża oś, A położenie masy, AB jej pęd. Kładziemy naprzód przez A płaszczyznę MN prostopadłą do osi, przecinającą oś w najbliższym punkcie O. Rozkładamy następnie AB na składowę AB" równoległą do osi i na AB' równoległą do MN, zatem prostopadłą do osi. Odcinki OH” i OH' wyobrażają momenty tych składowych względem punktu O; są to, jak wiemy, (ust. 68) składowe odcinka OH, który wyobraża moment ruchu AB względem O. Otóż: odcinek OH', leżący na osi, a należący do składowej AB', nazywa się momentem danego ruchu AB, względem osi XY. Moment ruchu względem osi równa się tedy iloczynowi ze składowej pędu prostopadłej do osi, przez odległość tej składowej do osi. !

70 Wypadkowy moment ruchu kilku mas. Jeżeli w sąsiedztwie punktu wybranego jako punkt stały, porusza się jednocześnie kilka mas, których momenty mchu (wyobrażone przez odcinki kierunkowe, wychodzące z O) są: H,, H₂, H₃ i t. d. natenczas wypadkowym momentem ruchu całego zbioru mas nabywamy sumę geometryczną:

H —- Hi -f" H₂ 4³ H₃ 4" i 1³ d.

t. j. wypadkowę momentów wszystkich mas.

-Wypadkowy moment ruchu Jkilku mas względem osi oblicza się przez utworzenie^urny algebraicznej wszystkich momentów, albowiem w tym razie odcinki wyobrażające momenty mas, leżą na jednej prostej (na osi).

H.

\h

Fig 56.

71. Zmiana momentu ruchu pod wpływem siły. Dopóki masa porusza się jednostajnie, po linii prostej — na mocy bezwładności swej — dopóty nie zmienia się wcale jej moment ruchu, liczony względem jakiegoś stałego punktu O. W tym razie bowiem nie zmienia się ani pęd masy, ani odległość linii ruchu od punktu O. Jeżeli jednak masa A (fig. 56), poruszająca się w pewnej chwili w kierunku jakimkolwiek AB, poddaną zostanie działaniu siły A P — P, wówczas zmieniać się będzie pęd jej, a zatem także moment ruchu. W przeciągu pewnego, nieskończenie krótkiego czasu, i siła P wytworzy w własnym kierunku pęd Ab — P. t (ust. 42), który przyłączy się geometrycznie do pędu, jaki już istniał. Z końcem czasu t pęd masy będzie więc: ABt = AB 4- Ab. Jednocześnie zmieni się moment ruchu. Niechaj OH wyobraża jego wartość pierwotną (liczebnie równą podwójnemu polu trójkąta AOB); odcinek 0/^ zaśJniechajŁwyobraża, w podobny sposób, moment pędu Ab wytworzonego w ciągu czasu t działaniem siły P.³) Z końcem tego czasu zmieniony moment ruchu będzie (według ust. 68):

OH, = OH + O li.

Otóż Oh równa się liczebnie iloczynowi z Ab, czyli P. t, przez prostopadłą odległość OC linii AP od O, t. j.

Oh — P. z X OC;

co do kierunku zaś Oh jest prostopadłe do płaszczyzny AOP. Podzieliwszy ostatnie równanie przez czas z znajdziemy:

Oh

- = P X OC

Oh

Oh jest zmianą momentu ruchu w przeciągu czasu t; —^—oznacza przeto zmianę momentu ruchu, przypadającą na jednostkę czasu. Iloczyn P X OC oznacza wielkość utworzoną z siły w taki sam Sposób, jak moment ruchu tworzy się z pędu; jest to mianowicie iloczyn z natężenia siły przez długość prostopadłej, wykreślonej z punktu O do jej linii działania. Wielkość ta, zwana „momentem siły względem punktu 0,“ może być wyobrażoną na rysunku przez odcinek kierunkowy, w sposób zupełnie podobny jak moment ruchu. Odcinek, wyobrażający moment siły AP, wychodzi także z punktu O i jest równoległy do odcinka Oh.

Na zasadzie ostatniego równania możemy wypowiedzieć twierdzenie, źe|zmiana momentu ruchu, przypadająca na jednostkę czasu, równa się co do wielkości i kierunku, momentowi siły działającej na masę. | o-ln

ent siły względem osi tworzy się z siły, tak samo, jak moment ruchu względem osi z pędu. Wskutek tego, twierdzenie ostatnie jest ważne zarówno dla momentów obliczanych względem stałego punktu, jakoteż względem stałej osi. W jłrugim przypadku uwzględniamy tylko składowe prostopadłe osi, do ruchu, zarówno jak siły.

72. Moment siły. 1) Momentem siły względem jakiegokolwiek punktu stałego nazwaliśmy iloczyn z natężenia siły przez długość prostopadłej wykreślonej z tego punktu do linii, wzdłuż której siła działa. Moment siły uważamy jako wielkość kierunkową i wyobrażamy go na rysunku zupełnie podobnie jak momenty ruchu. Fig. 53, zapomocą której objaśnialiśmy moment ruchu, może nam również uzmysłowić moment siły. Odcinek Aß wyobrażać będzie wówczas siłę, odcinek OH—ABxOC jej moment względem O. Kierunek tego odcinka określamy tak samo, jak momentu ruchu; kierunek jego jest taki, że racu, który siła może wywołać, przedstawia się oku umieszczonemu w punkcie stałym, a patrzącemu w stronę wzkazaną przez odcinek, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegarowych.

2) Moment siły wypadkowej AB (fig. 54), której składo-wemi są siły AB', AB"... równa. się wypadkowej momentów tych składowych; momenty sił dodają się podług reguły dodawania geometrycznego. Uzasadnia się to tak samo, jak odpowiednie twierdzenie w ust. €8.

3) Mając obliczyć moment siły AB względem prostej (osi XY fig. 55) rozkładamy siłę na dwie składowe, równoległą i prostopadłą do osi i tworzymy iloczyn ze składowej prostopadłej, przez odległość jej od osi. Uwzględniamy więc tylko tę składowę siły, która może sprawie krążenie, albo obrót około osi, pomijamy zaś składowę, która przesuwa ciało równoległe do niej.

4) Momentem wypadkowym kilku sił P,, P₂, P

działających w rozmaitych miejscach, nazywamy sumę geometryczną momentów M,, Ma, M₃.... tych sił, wykreślonych z tego samego punktu stałego, t. j.

M — Mx + M₂ 4- M₃ +...

Moment wypadkowy kilku sił względem osi oblicza się, tworząc sumę algebraiczną momentów wszystkich sił względem tej osi; liczy się przytem jako dodatne momenty tych sił, które obracają, albo usiłują obracac, w kierunku obranym za doda-tny; momenty obracające w przeciwną stronę uważamy jako ujemne.

73. Zmiana wypadkowego momentu ruchu. Zmiana momentu ruchu jakiej masy, przypadająca na jednostkę czasu, równa się momentowi siły działającej na masę (ust. 71). Wypadkowy moment ruchu kilku punktów materyalnych, jest sumą geometryczną ich momentów ruchu. Ponieważ suma ta zmienia się o tyleż, ile wynosi suma zmian jej składników, przeto: Izmiana wypadkowego momentu ruchu jakiegokolwiek układu mate-ryalnego, przypadająca na jednostkę czasu, równa się wypadkowemu momentowi wszystkich sil, działających na układ.] Jeżeli przyjmiemy, że siły wewnętrzne w układzie punktów materyalnych działają, wzdłuż prostych łączących te punkty parami, wówczas momenty tych sił nie będą miały żadnego udziału w wypadkowym momencie sił. Przy obliczaniu momentu sił wypadkowego momenty sił wewnętrznych zniosą się, jako równe parami, a obracające w strony przeciwne (ust. 76). Zmiana wypadkowego momentu ruchu układu materyalnego zależy zatem tylko od sił zewnętrznych.

74 Moment ruchu bryły obracającej się około osi. Fig. 57 wyobraża bryłę sztywną jakąkolwiek, obracającą się około osi XY, z prędkością kątową o>. Uważać będziemy to ciało jako zbiór cząstek mh m₂, mz i t. d. tak małych, żeby było można uważać je jako punkty materyalne.

Wszystkie te cząstki poruszają się jednocześnie po kołach, których płaszczyzny są prostopadłe do osi obrotu. Mając obliczyć wypadkowy moment ruchu całego ciała, zwróćmy naprzód

—«ni,

ri

Ti-

’S

uwagę np. na cząstkę mu znajdującą się w odległości r, od osi. Prędkość jej, w ruchu na kole o promieniu ru wynosi r, ó); pęd = mt r, w; nakoniec momeni ruchu (pęd jest tu prostopadły do osi, styczny do koła o promieniu rt) wynosi: mx rf w. W podobny sposób znajdziemy momenty ruchu innych cząstek: m₂ r₂²o>, ms rs² à i t. d. Ponieważ wszystkie te momenty mają ten sam kierunek, gdyż są równoległe do osi obrotu, przeto wypadkowy moment ruchu H całego ciała będzie:

Fig. 57.

H == w (mi    + m2 ^2² P ms r3²+ i t. d.)

albo, jeżeli rzeczywiste sumowanie wyrazów w nawiasie zastą-pimy^dla krótkości znakiem sumowym:

H =    r².

Suma, którą oznaczyliśmy tu w skróceniu przez £ mU, a którą oznaczać będziemy nadal przez B, zależy od wielkości mas poszczególnych cząstek i od rozmieszczenia ich w stosunku do osi obrotu; nic zależy zaś wcale od ruchu t. j. od prędkości obrotu; sumę tę nazywamy mpmentem bpz,wMnd,.nmijTi danej bryły, względem osi XY. ' Moment ruchu ciała stałego, obracającego się około osi, równa się iloczynowi z prędkości kodowej przez moment bezwładności: H = w B.

75.

względem pewnęj osi, oblicza się, dzieląc bryłę w myśli na bardzo małe cząstki i tworząc sumę iloczynów z mas tych cząstek przez kwadraty odległości ich od osi:

B = mx rj* + m₃ r₂² + m₃ r₃² + i t. d.

Moment bezwładności będzie widocznie tem większy, im większe są masy cząstek i im dalej od osi one leżą.

Moment bezwładności, moment ruchu i moment siły mają podobne znaczenie w ruchu obrotowym, jak masa, pęd i siła w postępowym; uwydatnia to następujące zestawienie:

Pęd = masa X prędkość; moment ruchu — moment bezwładności X prędkość kałowa.

Zmiana pędu — siła X czas; zmiana momentu ruchu — moment siły X czas.

Jednostką momentów bezwładności, w układzie bezwzględnym miar, jest gram-centymetr kwadratowy (gr cm²), albowiem moment bezwładności jest sumą iloczynów z mas przez kwadraty długości. [Moment bezwładności można również określić w następujący sposób. Wyobraźmy sobie punkt, w którymby była skupiona masa całej bryły M — mx + m₃ + m₃ +... Jeżeli punkt ten obracać będziemy około osi, po kole o promieniu — /;:, z tą samą prędkością kątową m, z jaką obraca się bryła, wówczas moment ruchu punktu będzie równy momentowi ruchu bryły, skoro obierzemy k w taki sposb, żeby było:

B = M . k*

Ta odległość k od osi, w której cała masa, skupiona w jejdnym punkcie miałaby moment równoważny, danemu nazywa się ramieniem bezwładności bryły względem uważanej osi.

Znając moment bezwładności B i masę M ciała, oblicza się ramię bezwładności z równania:

K¥

Tc =

Nawzajem, znając ramiona bezwładności pewnego ciała względem różnych osi i masę jego, znamy zarazem momenty bezwładności względem tych osi.

Kwadrat ramienia bezwładności (k) jakiejkolwiek bryły względem dowolnej osi równa się sumie dwu kwadratów: kwadratu ramienia bezwładności (k₀) względem osi równoległej, przechodzącej przez środek masy i kwadratu odległości (/) obu tych osi.

(1)

Ä² = K² + P-

,»0

ty

Tl\

Fig. 58.

Dowód. Niechaj S oznacza (fig. 58) oś przechodzącą przez środek masy jakiej bryły; O ja-kąbądź inną oś, równoległą do tamtej (obie przedstawione są na rysunku w widoku z góry, jako punkty); oznaczamy nadto przez r odległość pewnej cząstki m od osi O; przez p jej odległość od osi S; przez B₀ moment bezwładności danej bryły względem osi S, przez B jej moment bezwładności względem osi O.

Mamy wówczas:

B = S m r²,

B₀ = Sm p².

W trójkącie SOm mamy:

r² = P + p² — 2 f p cos (/ p);

(/p) oznacza tu kąt między liniami SO i Sm. Podstawiwszy to w B znajdziemy:

B — S m [/² + p² — 2/p cos (/p)] = = P Sm -f- Smp² - 2/S m p cos (/ p).

Iloczyn p cos (/. p) ( = mn, fig. 58) oznacza atoli odległość cząstki m od płaszczyzny przechodzącej przez środek masy, a prostopadłej do Podług ust 51, 2, jest zawsze S m p cos (/p) = o, albowiem suma ta równa się iloczynowi masy ciała, przez odległość x środka masy od płaszczyzny Sn (ktńra to odległość jest zerem). Zważywszy wreszcie, że oznacza całkowitą masę ciała = M, mamy:

(2)

B = B₀+/-²M,

podzieliwszy zaś przez M, znajdziemy równanie (1).

Obliczenie momentów, albo ramion bezwładności, można uskutecznić zapomocą reguł wyższej matematyki, jeżeli postać ciała jest prosta, a rozmieszczenie materyi, we wnętrzu ciała, znane. Dzięki dowiedzionej wyżej własności dość jest znać momenty bezwładności tylko względem osi przechodzących przez środek masy. ł Jeżeli kształt ciała jest nieregularny, albo rozmieszczenie materyi we wnętrzu nieznane, wtenczas obliczenie momentu bezwładności nie jest możliwe. Wszelako można zawsze tę wielkość wymierzyć doświadczalnie; sposób wykonania takiego pomiaru poznamy, gdy będzie mowa o ruchu wahadeł.

Przytoczymy tu, bez dowodu, kilka wzorów wyrażająch ramiona bezwładności niektórych brył prostszej postaci; one odnoszą się do ciał jednolitych, mających wszędzie tę samą gęstość.

1) Kula, promień = r, oś przez środek:

k² =

T*

— J/Ï0 = 0,632455 r. 5

2) Równoległo ścian prostokątny, długość = a, szerokość = b, wysokość = c; oś przez środek, równoległa do krawędzi c t. j. do wysokości:

12

k² = —- (a² -f b²).

3) Walec prosty kołowy; promień podstaw = r, wysokość — l, oś przez środki podstaw (podłużna):

oś przez środek masy, prostopadła do wysokości (poprzeczna):

k² =

r²

l²

— 4- —. 4    '    12

Przykład obliczenia momentu bezwładności. Obliczyć moment bezwładności pręta bardzo cienkiego, o masie M i długości L, względem osi przechodzącej przez jeden z końców a prostopadłej do pręta. Podzielmy pręt w myśli na nader wielką, ilość n części, o równych długościach

M

— = I, o masach równych fx = —. Zważywszy na małość odcinków n    n

4, możemy wyrazić moment bezwładności jak następuje:

B = fx 4² + fi (2 £)² + M- (3 O² -f... + g (n £)² = = [X 4² (1 + 22 4- 3² +.... + »*) = ji £² £ n².

Ponieważ, jak łatwo wprost sprawdzić, n² = >/₃ (n -f- l)³ — ł/₃ w³ — « — */} przeto, podstawiając za w kolejno: 1, 2.... n otrzymamy szereg równań:

l² = «/a (2)³ - Vs CD³ - 1 - Vs 2² = */₃ (3)³ - Vs (2)³ - 2 - Vs «² = V3 (« + l)³ ~ Vs (w)³ — » — Vs

których suma wynosi: S «² = </₃ (w -j- l)³ - S# - (« + 1)-V3; nadto wiadomo, że suma postępu arytmetycznego: Sw, wynosi: in (n -j- 1). Jeżeli n jest liczbą bardzo wielką, wtenczas w obec n³ można opuścić niższe po-

(w-f-1)³

tęgi; wartość sumy kwadratów: Sa² wynosi więc w przybliżeniu —— ,

O

n³

albo w tern samem przybliżeniu, . Biorąc coraz większe v, można to

O

przybliżenie zbliżać bez granic do dokładności. Wówczas znajdziemy:

w³

albo pisząc znowu £ = —

B = «/a ML².

To samo wypada z podanego wyżej wzoru dla walca gdy położymy r = o.

ZADANIA.

Obliczyć moment ruchu masy 25 gr, poruszającej się jednostajnie po linii prostej, z prędkością 20 cm/sek, względem punktu leżącego w odległości 30 cm od prostej. Odp. 25 X 20 X 30 gr cm²lsek.

135) Dowieść, że moment ruchu planety, poruszającej się około słońca po elipsie, liczony względem słońca, jest stały. Odp. Z drugiego

2 h

prawa Kepplera wyprowadziliśmy (ust. 20) że v = —; (fig. 11), gdzie SC

SG

oznacza prostopadłą odległość linii ruchu od słońca; zatem moment ruchu = m v. SC = 2 m h — stała.

136)    Na koniec korby, mającej 50 cm długości, działa siła prostopadła do korby, wynosząca 5 K<j\ obliczyć moment tej siły względem osi korby. Odp. 5 X 50 Kg cm.

137)    Ile wynosi ten moment w układzie bezwzględnym miar? Odp. ö X 50 X 1000 X 981 dyn cm.

\|8^) Na drążek poziomy, obracalny około osi poziomej, przechodzącej przez jego środek a prostopadłej do drążka, działają następujące siły;, na praw e ramię: w odstępie 5 cm od osi, pionowo na dół, 12 Gr; w odstępie 8 cm, na dół, 20 Gr; w odstępie 15 cm, do góry, 10 Gr; na lewe ramię: w odstępie 10 cm, na dół, 18 Gr; w odstępie 20 cm, do góry, 3 Gr; obliczyć moment wypadkowy tych sił względem osi. Odp. 5 X 12 -J- 8 X 20 — 15 X X 10 —10 X 18 4- 20 X 3 = — 50 t. j. 50 Gr cm, z obrotem na lewo.

"439>' Jednolita kula, o promieniu 3 cm, ważąca li kg, obraca się około średnicy, 4 razy na sekundę; ile wynosi moment ruchu?

Odp. 4 X 2tt X 1500 X ²/s X 9 — 135720 gr crn²pek.

140)    Ile wynosi moment bezwładności kuli o masie m, o promieniu r, względem linii stycznej do powierzchni? Odp. ⁷/₅ m r².

141)    Obliczyć moment bezwładności walca prostego, kołowego, mającego promień 2 cm, ważącego 20J gr, względem jednej z krawędzi.

Odp. ³/₂ m r² = 1200 gr cm².

v 1424 Na końcach lekkiego drążka osadzone są kule o jednakowych masach (w) i promieniach (r); odległość środków kul wynosi 2d. Obliczyć moment bezwładności względem osi prostopadłej do drążka, przechodzącej przez je^.0 środek. Odp. 2 [²/₅ r² -j- d²] m.

76. Zachowanie momentu ruchu. Powiedzieliśmy w ust. 78, że w układzie ciał podlegającym działaniu zewnętrznych i wewnętrznych sił, te ostatnie nie wchodzą wcale w rachubę przy obliczaniu wypadkowego momentu wszystkich sił, względem jakiegokolwiek punktu stałego. Na mocy bowiem zasady akcyi i reakcyi momenty ich znoszą się wzajemnie.

Wypadkowy moment sił jest atoli miarą i warunkiem zmienności wypadkowego momentu ruchu (ust. 71, 73). Jeżeli tedy układ jest zupełnie swobodny, t. j. jeżeli nie ma żadnych zewnętrznych sił, ani poruszających, ani opierających się (jak tarcie o zewnętrzne ciała i t. p.j wówczas wypadkowy moment ruchu nie będzie wcale się zmieniał, ani co do wielkości, ani co do kierunku. Każde ciało, albo układ ciał (czy to stałych czy płynnych, lub gazowych) podlegający tylko wewnętrznym siłom, zachowuje stały i niezmienny moment ruchu. J

Siły wewnętrzne nie mogą tedy ani poi uszyć środka masy układu (ust. 52), ani też zmienić momentu jego ruchu.

Ważna to zasada tłomaczy dlaczego np. kula ziemska obraca się ze stałą, prędkością kątową około osi, a wypadkowy moment ruchu jej względem środka, posiada stały kierunek. Kulę ziemską możemy bowiem uważać jako bryłę niezmienną, obracającą się w pustei przestrzeni, zatem wolną od wszelkich oporów (o nader powolnej zmianie kierunku osi będzie mowa w ust. 78). Siły wewnętrzne mogą sprawić znaczniejsze ruchy mas składających ziemię, mogą nawet zmienić jej postać, nie mają jednak wpływu na wypadkowy moment ruchu.

Gdy obliczymy wypadkowy moment ruchu wszystkich mas, stanowiących układ słoneczny, np. względem środka masy tegoż, to otrzymamy również wielkość niezmienną, albowiem masy te poruszają się pod wpływem wzajemnych przyciągań, które są względem całego układu siłami wewnętrznemi.

Człowiek stojący na zupełnie gładkim lodzie, nie mógłby bez pomocy zewnętrznego punktu oparcia, obrócić się około pionowej osi, albowiem obrót jednej części ciała musiałby wywołać przeciwny obrót innej, służącej chwilowo jako punkt oparcia.

Moment ruchu zachowuje niezmienną wartość i kierunek stały nawet wtedy, gdy na masy działają siły zewnętrzne, byle wypadkowy moment tych sił zewnętrznych był równy zeru. Weźmy np. pod uwagę koło (jak fig. 31) osadzone na osi, wspartej na łożyskach, a obracające się z zupełną swobodą t. j. bez tarcia. Wiadomo że bryła taka, wprowadzona w ruch obrotowy, obraca się jednostajnie przez dłuższy czas; obracałaby się bez końca, gdyby było można oswobodzić ją zupełnie od oporów zewnętrznych. Na cząstki koła działają w tym razie siły zewnętrzne, mianowicie ciężkość; jednakowoż z powodu symetrycznego względem osi rozmieszczenia materyi, możemy do każdej dowolnej cząstki dobrać drugą, po przeciwnej stronie osi, którą ciężkość usiłuje obracać w przeciwną stronę; wskutek tego momenty ciężarów wszystkich cząstek względem osi znoszą się wzajemnie, a koło obraca się tak, jak gdyby ciężkości wcale nie było. Tarcie natomiast osi w łożyskach, tudzież tarcie o powietrze, stanowią siły zewnętrzne, których momenty nie znoszą się i dlatego po upływie pewnego czasu, zatrzymują ruch koła.

Dalsze przykłady. Połóżmy zegarek kieszonkowy na lekkim talerzyku (z kawałka kartonu) i zawieśmy talerzyk nakształt szalki wagowej,

na dłuższej nitce, przytwierdzonej u góry do stosownego wieszadła. Talerzyk razem z zegarkiem pocznie niebawem drgać na prawo i lewo, naśladując ruchy wahadła sprężynowego, wahającego wewnątrz zegarka.

Turbina Segnera i eolipila Herona obracają się pod wpływem re-akcyi wody lub pary, wypływającej w kierunku przeciwnym obrotowi naczynia. Jeżeli bowiem w przyrządzie jakimkolwiek, który w całości nie posiada ruchu obrotowego, jedna częśó zacznie, pod wpływem s ł wewnętrznych, obracać się np. na prawo, wtenczas inne części muszą uzyskać obrót przeciwny; w ten sposób moment wypadkowy nie ulegnie zmianie.

Jrb

Fig. 59.

Moment ruchu ciała stałego, obracającego się około osi, równa się iloczynowi z momentu bezwładności i prędkości kątowej: B. &. Gdyby z jakiegokolwiek powodu B zwiększyło się lub zmniejszyło, wtenczas na mocy prawa o zachowaniu momentu, â> musi się również zmienić, w taki sposób, żeby iioczyn B ó> pozostał niezmieniony. Objaśnia to przyrząd fig. 59. Kule A i B osadzone są na końcach listewek, które mogą obracać się około zawiasu O; nitka ab trzyma kule w oddaleniu. Przyrząd zawiesza się na długiej, nieskręconej nici ON i wprowadza w obrót około tej nici. Podczas obrotu przepala się nitkę ab; kule spadają wówczas ku sobie, moment bezwładności zmniejsza się, a wskutek tego obrót około ON staje się szybszy.—Gdyby (np. wskutek osfyga-nia) objętość kuli ziemskiej zmniejszyła się, zmniejszyłby się także jej moment bezwładności, a prędkość kątowa obrotu dziennego powiększyłaby się. Przypuszcza się z tego samego powodu, że obrót słońca około własnej osi był niegdyś powolniejszy.

77. / Kuch obrotowy bryły stałej około osi. 1 Bryła osadzona na osi i poddana działaniu siły, której moment względem / ^

osi obrotu nie jest zerem, poczyna obracać się; ytskutek.......ciągłe-

działania momentu siły ruch ten staje się coraz szybszy.y^" Można to okazać zapomocą przyrządu przedstawionego na fig. 60. ^ Na osi opartej w stosownych łożyskach, osadzony jest zbiór krążków o różnych promieniach, tworzący jednę całość; do krążków przymocowane są dwie listwy OA i OB, do których można przytwierdzać, w równych odległościach od osi, dwie jednakowe, ciężkie masy m i m. Na obwód jednego z krążków nawijamy sznurek i ciągniemy drugi jego koniec za pośrednie-

twem sprężyny, która uwidocznia siłę P. Moment jej względem osi, równa się iloczynowi z P i promienia r wybranego krążka. Moment siły, zarówno jak moment bezwładności przyrządu, możemy zmieniać według upodobania, wybierając krążek o większym lub mniejszym promieniu, tudziez odsuwając masy m od osi, albo zbliżając je do niej.

Fier. 60.

Otóż, jeżeli ciągnąć będziemy sznurek stałem napięciem sprężyny, wtenczas siła P i moment jej P X r = M będą stałe-mi. Moment ruchu całego przyrządu powiększa się wówczas jednostajnie; przyrost jego bowiem, przypadający na jednostkę czasu, równa się momentowi siły (ust. 73) a zatem jest stały, tak samo jak moment siły. Jeżeli zważymy, że moment ruchu bryły stałej (ust. 74) = w B, zaś moment bezwładności B jest wielkością niezmienną, to zrozumiemy, że^prędkośó kątową w bryły poddanej stałemu zewnętrznemu momentowi, powiększa się jednostajnie. Oznaczywszy przez <p przyrost prędkości kątowej w jednostce czasu (przyśpieszenie kątowe) otrzymamy:

w = cp t, a że cpB = M

przeto:

OJ — --

to znaczy, że nabyt^prędkość kątowa jest proporcyonalna do momentu siły działającej na ciało i do czasu działania tego momentu; natomiast jest odwrotnie proporcyonalna do momentu bezwładności bryłyJ

Stosowny przykład widzimy w kole zamachowem machiny parowej, którą właśnie puszczono w ruch; pod wpływem siły wywartej przez machinę, koło rozpędza się coraz bardziej — w końcu jednak, gdy moment oporów ruchu zrównoważy się z momentem siły pędzącej, ruch staje się j jednostajnym.

Przyrząd fig. 60 można także wprowadzić w ruch zapomocą ciężarka, zawieszonego na sznurku owiniętym około krążka; masę ciężarka oznaczymy przez p. Siłą obracającą nie jest jednak cały ciężar \>.g tej masy. Jeżeli bowiem ciężarek spada z przyśpieszeniem y, wówczas napięcie sznurka (P) wynosi tylko g (;q — y) (podług ust. 60); zatem: B ó> = p

r ću

tudzież y =

Ponieważ w tym razie y= r<p = —, przeto ó> = fx r²

= <J B + ;x r‘² '

tedy spadanie jej, a to tern więcej, im większy jest moment bezwładności przyrządu.

y-grt

B -|- p r² ’

Związek masy p z przyrządem obracającym się, zwalnia

Jeżeli zewnętrzny moment sił M nie jest stały, wtenczas także prędkość kątowa nie zwiększa się jednostajnie; w każdym jednak razie przyrost jej, przypadający na jednostkę czasu (przyśpieszenie kątowe) jest zawsze proporcyonalny do momentu siły (na podobieństwo ruchu postępowego pod wpływem siły zmiennej.

78.

‘W poprzedzającym ustępie rozważaliśmy ruch obrotowy, który powstaje i wzmaga się pod działaniem momentu siły zewnętrznej, mającego tenże sam kierunek, co moment ruchu; wówczas zmienia się tylko wielkość momentu ruchu, kierunek jego nie ulega zmianie. Je-żeli.natomiast mamy ciało obracające się, ale nie mające ustalonej osi (jak np. kula ziemska), a_ poddamy^je. działaniu sił zewnętrznych, które usiłują obracać je około innej osi, aniżeli ta, około której ciało w pewnej chwili się obraca, wówczas moment ruchu zmieniać się będzie nietylko co do wielkości, ale także co do kierunku; jw następstwie tego zmienia się także położeniej3si, około której ciało się obracaj

Ruchy tego rodzaju, zwane pLT£_c e_a^dają się najłatwiej objaśnić zapomocą przyrządu, zwanego ważką..giro-ąkopową- (fig. 61, a widok z boku, ł> z góry). W przyrządzie tym widzimy drążek metalowy, zawieszony w punkcie O na ostrzu, na podobieństwo igły magnesowej; u jednego końca łączy się on z obręczą, w której znajduje się masowy krążek K,

n V

¹

Czytaj: Etucl.

²

Rysunek fig. 53 jest perspektywiczny. Należy wyobrazić sobie, że OH skierowane jest od patrzącego naprzód, po za papier.

³

Fig. 56 wyobraża te odcinki rysunkiem perspektywicznym. Jeżeli AB i Ab leżą, w płaszczyźnie papieru, to należy wyobrazić sobie, że O leży w głębi, OH zaś i Oh są prostopadłe do płaszczyzn OAB i OAb.

’S

p--------

k>

-----¹-'h

W?

Fig. 61.

obracający się łatwo około osi, mającej łożyska na obwodzie obręczy. U drugiego końca drążka widać ciężarek Q, który równoważy ciężar obręczy i krążka. Gdy na haczyku r, albo s, zawiesimy dodatkowy ciężarek P, wówczas strona obciążona spadnie na dół. Inaczej ma się rzecz, jeżeli wprowadzimy po-przednio krążek K w bardzo szybki ruch obrotowy: w tym razie przyrząd nie spada, mimo dodatkowego obciążenia, natomiast obraca się zwolna w płaszczyźnie poziomej około punktu O, w jednym lub drugim kierunku, zależnie od kierunku obrotu krążka i od tego, czy ciężarek P zawieszono na r czy na s; ruch ten stanowi właśnie t. zw. precessyą osi krążka.

(Aby zjawisko to objaśnić, przypuśćmy naprzód, że obrót krążka jest tak szybki, w porównaniu z ruchem około O, iż można przyjąć, że moment mchu względem O posiada zawsze kierunek osi OH (fig. 61, b). Jeżeli B oznacza moment bezwładności krążka, w jego prędkość kątową, wtenczas, przy obranym w rysunku kierunku obrotu, odcinek OH = = ćo B przedstawia moment ruchu (ust. 67). Ciężar P jest jedyną siłą zewnętrzną, która może obracać przyrząd około O; moment jej względem O wynosi P X|, w czem p oznacza odległość ciężarka od pionu idącego przez ostrze. W ciągu pewnego, bardzo krótkiego czasu z, siła ta wytwarza moment ruchu — P X p X z (ust, 73), SL.kierunku poziomym i prostopadłym do osi krążka; moment ten wyobraża na rysunku odcinek Oh. Dodając ten moment wytworzony Oh, do istniejącego OH, otrzymamy moment wypadkowy OHt, t. j. przy końcu czasu z oś krążka zajmuje położenie OH^ w ciągu czasu z obróciła się tedy w płaszczyźnie poziomej o kąt HOHj. Ponieważ ciężkość działa bez ustanku, otrzymamy więc ciągły i jednostajny ruch osi (precessyę), w kierunku wskazanym przez strzałki. Zawiesiwszy ciężarek na haczyku s otrzymalibyśmy precessyę osi w odwrotnym kierunku. Aby znaleźć prędkość kątową Q tego ruchu precessyjnego, należy podzielić kąt HOHt, określony w mierze łukowej, przez czas z. Otóż łuk rzeczony wynosi HHj

- (możemy bowiem, dla małości linii HHt, uważać ją jako

irr , zatem:

Boo

OH

łuk o promieniu OH albo OHJ, czyli

Bćo

Wzór ten okazuje, że ruch precessyjny jest proporcyonal-ny do momentu siły zewnętrznej, odwrotnie proporcyonalny do momentu ruchu krążka. W miarę 'zwolnienia obrotu krążka precessya staje się naprzód szybszą, niebawem jednak przyrząd zaczyna chwiać się i w końcu upada.

Ruch precessyjny można zauważyć przy obrocie t. zw. bąka, albo frygi (fig. 62), jeżeli oś jest względem pionu nieco pochylona; oś ta zakreśla około pionu o m powierzchnię stożkową, w kierunku oznaczonym na rysunku zapomocą strzałek. Momentem zewnętrznym zmieniającym moment ruchu jest w tym razie moment ciężaru P frygi, działającego w środku ciężkości S. — Ruch precessyjny, podobny do tego, który obja-

11

BibL mat.-üz. S. III, T. V1U.

śnią fig. 62 posiada także oś obrotu ziemi. Już Hipparchowi (r. 180 przed Chrys.) znany był fakt, że biegun niebieski (punkt, w którym przedłużona oś ziemi trafia pozorną kulę nieba) zmienia zwolna położenie swe wśród gwiazd stałych. Obecnie znajduje się on w pobliżu gwiazdy biegunowej (a Małej Niedźwiedzicy). W przeciągu 25800 lat przebiega on na niebie koło o promieniu 23|° do okoła bieguna ekliptyki (punkt, w którym kulę niebieską trafia prostopadła do płaszczyzny ekliptyki; punkt ten leży

3=

-W

Fig. 62.

w konstellacyi Smoka, mniej więcej pośrodku m:ędzy gwiazdą biegunową, a gwiazdą Vega). Znaczy to, że jw rzeczywistości oś obrotu ziemi zmienia zwolna kierunek, zakreślając w ciągu 25800 lat stożek około

normalnej do ekliptyki. Zjawisko to tłomaczy się tem, że ziemia nie jest dokładnie kulistą, lecz podobną raczej do ellipsoidy obrotowej, spłaszczonej cokolwiek na obu biegunach (podobnie, tylko mniej wydatnie, jak fryga na fig. 62; przy obranym tam kierunku obrotu, należy sobie wyobrazić, że biegun południowy ziemi leży po stronie O, północny po stronie H, gdyż ziemia obraca się od zachodu ku wschodowi; Om oznaczałoby normalną do ekliptyki). Ziemia jest jakoby kulą opasaną dokoła równika pierścieniem wystającym. A że oś jej jest pochylona ku płaszczyźnie ekliptyki, przeto przyciąganie słońca (i księżyca) działając na bliż-

szą część owego pierścienia silniej, aniżeli na dalszą, odwróconą od słoń. ca, wytwarza moment sił dążący do ustawienia osi ziemskiej prostopadle do ekliptyki. Z tego powodu oś ziemska, zachowując stale kąt 23£° z normalną ekliptyki, zmienia nieustannie kierunek, podobnie jak oś frygi na fig. 62, tylko w odwrotnym kierunku, gdyż kierunek momentu siły P jest tam przeciwny. — Do rzędu ruchów preces*yjnych należy także • zboczenie w prawo, lub w lewo, pocisków wyrzucanych, z dział gwintowa-nych wskutek czego one mają szybki ruch obrotowy około podłużnej osi. Pocisk taki, zazwyczaj walcowy, a z przodustożkowo zaostrzony,usiłuje zachować podczas ruchu pierwotny kierunek osi obrotu; wskutek tego oś ta ustawia się ukośnie względem drogi parabolicznej, po której pocisk się porusza. W położeniu tern pocisk spotyka opór powietrza, starający się obrócić przedni jego koniec do góry; dążenie to, w połączeniu z ruchem obrotowym, sprawia zboczenie precessyjne przedniego końca pocisku, a w następstwie tego opór powietrza wywołuje zboczenie drogi na prawo, albo na lewo — zależnie od tego, w którym kierunku pocisk wiruje.

79. Swobodne osi obrotu. Weźmy pod uwagę bryłę jakiejkolwiek postaci, np. walec AB (fig. 63a) i wprowadźmy ją w obrót około dowolnaj osi mn. Jest to rzeczą jasną, że przy takiem położeniu osi, jakie widzimy na rysunku, siła odśrodko-

TTl

— et

•S

A[

A'

; *)

•n

Fig. 63.

wa, wywołana obrotem ciała, starać się będzie wyrwać oś z łożysk m i n. Nie można tedy w tym przypadku oswobodzić osi z łożysk, lecz owszem potrzeba dać tym ostatnim stosunkowo silną konstrukcyę. Położywszy oś obrotu przez środek masy S, jak pokazuje fig. 63b, usuniemy dążność osi do wyrwania się z łożysk, jednakowoż pozostaną jeszcze siły odśrodkowe, działające na obie połowy walca, w przeciwnych kierunkach; one starają się ustawić oś walca prostopadle do osi obrotu i sprawiają znowu ciśnienie osi na łożyska. I w tym przypadku oś nie jest swobodna, t. j. nie możnaby uwolnić jej z łożysk, nie zmieniwszy ruchu ciała.

wskazuje fig. 63e, znowu przez „środek.-......masy, ale zarazem

prostopadle, .do., osi walca, natenczas i to drugie działanie będzie usunięte; pomiędzy osią a łożyskami nie będzie żadnego oddzia-ływnia (pominąwszy tarcie) wynikającego z obrotu. Gdybyśmy oś oswobodzili, przez zdjęcie łożysk, obrót odbywałby się mimoto dalej, około tej samej osi. Osi mające tę własność na-zy wamij s w o b o d n e m i. \ One przechodzą koniecznie przez środek masy; nie wszystkie jednak osi przechodzące przez ten punkt są swobodne. Przyczyna leży w tern, że moment ruchu, obliczony względem środka masy, nie zawsze jest równy momentowi obliczonemu względem wybranej osi obrotu; niektóre tylko osi mają tę własność. Tak np. moment względem osi mn (fig. 63b) posiada kierunek sm, podczas gdy sh przedstawia moment ruchu względem środka masy. Podczas ruchu bryły odcinek sh kręci się około osi mn, jak gdyby był stale związany z ciałem; ztąd wynika, że moment ruchu sh wzglądem środka S zmienia się nieustannie, co do kierunku — co może dziać się tylko za sprawą sił zewnętrznych, któremi są ciśnienia a i ß łożysk na oś. Osi swobodne tern się tedy różnią od innych osi, przeprowadzonych również przez środek masy, że moment ruchu ciała obracającego się około takiej osi, obliczony względem osi obrotu, równa się co do wielkości i kierunku momentowi obliczonemu względem środka masy. Rachunek wyższy uczy, że przez środek masy każdej bryły przechodzą trzy, wzajemnie prostopadłe osi swobodne; można je poznać po tern, że względem jednej z nich moment bezwładności bryły jest największy, względem drugiej najmniejszy, a względem trzeciej posiada pewną wartość pośrednią. W bryłach symetrycznych (np. obrotowych), wypełnionych jednolicie materyą, oś symetryi jest widocznie taką swobodną osią obrotu. Ciało wprowadzone w obrót około jednej ze swobodnych osi, a następnie usunięte z pod wpływu wszelkich sił zewnętrznych, będzie się ciągle obracało około tej samej osi. Prędkość kątowa obrotu będzie stałą, jak tego wymaga prawo zachowania momentu ruchu; kierunek osi obrotu w przestrzeni będzie również niezmienny.

Wspomniane osL&wobodne nie mają jednakowej w tej mierze wartości: jedjre.są zarazem osiami stałe mi, inne nie mają tej własności. Pierwsze trwają w obrocie nawet wtenczas, gdy słabe zewnętrzne działania usiłują kierunek ich zmienić.

Jeżeli natomiast oś swobodna jest niestałą, natenczas przy naj-mniejszem zewnętrznem wstrząśnieniu ciało porzuca taką oś obrotu i wybiera sobie nową, stałą. Tak np. we walcu dostatecznie długim (flg. 63c) oś poprzeczna mn jest stałą, podłużna AB, niestałą. Można to okazać, zawiesiwszy walec za pośrednictwem sznurka na osi wirowuicy i wprowadziwszy go w obrót.

Niezmienność swobodnej a stałej osi obrotu można okazać zapomo-cą t. zw. girostatu wynalezionego przez Foucaulta (fig. 64, gr. gyros = koło, zwói).

|K

mm A

aj

ty

Fig. 64.

Krążek metalowy K (fig. 64) ? starannie wytoczony, osadzony jest na osi, której końce spoczywają w łoż}^skach umieszczonych w dwu naprzeciwległych miejscach na obwodzie pierścienia AA. Pierścień A opiera się za pośrednictwem dwu stalowych ostrzy ("jak belka wagi) na pionowym pierścieniu B, który znowu jest zawieszony na długiej niekręconej nici. Wskutek takiego urządzenia, oś krążka może poruszać się swobodnie na wszystkie strony. Skoro się wprowadzi krążek w szybki ruch obrotowy około Osi AA, natenczas traci on swobodną ruchliwość, a oś jego zatrzymuje uporczywie pierwotny kierunek. Zapomocą tego przyrządu Foucault wykazał naocznie dzienny ruch obrotowy ziemi około osi. Oś krążka obracającego się posiada bowiem kierunek stały w przestrzeni, a zatem w miarę obrotu ziemi zmienia położenie względem tejże. Jeżeli ustawimy oś krążka w kierunku której gwiazdy stałej, natenczas będzie ona ciągle wskazywała ku tej samej gwieździe.

Oś obrotu ziemi, która jest bryłą, prawie obrotową, spłaszczoną nieco przy biegunach, jest osią obrotu swobodną i stałą; dla tego kierunek jej jest zawsze ten sam — pominąwszy nader powolne zmiany, sprawione przez zewnętrzne działania, wywołujące precessyę.

Stałość kierunku osi ziemskiej można objaśnić zapomocą przyrządu podobnego do giroskopu (fig. 64), umieściwszy w pierścieniu zamiast krążka, kulę szybko się obracającą. Można wówczas przyrząd dowolnie poruszać i pochylać, a kierunek osi nie zmieni się.

Na podstawie wyłożonych tu zasad tłomaczy się stałość jazdy na bicyklu, który bez pomocy obrotu znajdowałby się w równowadze niestałej; balansowanie talerza na końcu laski, skoro się go wprowadzi po przednio w szybki obrót i t. p.

80. Wpływ obrotu dziennego ziemi na ruch ciał. Wpływ ten pochodzi ztąd, że, wskutek obrotu dziennego, rozmaite punkty powierzchni ziemi, względem której uważamy ruchy ciał, posiadają niejednakowe prędkości w przestrzeni. Oznaczmy przez ó> prędkość kątową obrotu ziemi, przez R jej promień; punkty leżące na równoleżniku AB (fig. 65)

„A

c! bS b'q

,B

•3.

Fig. 65.

w szerokości geograficznej X».. poruszają się od zachodu ku wschodowi z prędkością Y — ô> R cos X. Punkty leżące na sąsiednim równoleżniku, mającym cokolwiek większą szerokość geograficzną X -f- fi, gdzie g jest bardzo małym kątem = A0Ao mają nieco mniejszą prędkość: V = à R cos (X -}- pu) = tb R (cos X cos g — sin X sin fi). Tu możemy przyjąć, dla małości kąta pu: cos fi = 1, sin fi = g, wtedy będzie:

V'= V —w R fi sin X.

Ponieważ jednak R g = AA, — ac (fig. 65) = odległości obu równoleżników, przeto

V' = Y — ô) sin X .

t. j., w okolicy mającej szerokość X, punkt leżący o długość a c ku północy, posiada prędkość mniejszą o: tó sin X . a c. J

b'q

; długość b'q zaś

cos f

okazuje, o ile ciało wyprzedziło w ciągu czasu x punkt b' w kierunku wschodnim. Ponieważ wschodnia prędkość ciała jest taka sama jak punktu a, z którego ciało wyszło, przeto b'q = aa' — bb' — x (V — V') = = x tu sin X . cc; ponieważ zaś ac — ab cos y — vr cos <p, przeto ostatecznie:

Wyobraźmy sobie teraz, że tuż nad ziemią i równolegle do niej, jakiekolwiek ciało porusza się z prędkością — v. Dajmy na to, że ruch ciała, uważany względem ziemi, w chwili gdy ono znajduje się nad punktem a ziemi (fig. 65), posiada kierunek aa, pochylony do południka aN pod kątem <p. Gdyby ziemia była nieruchoma, ciało przy-szłoby po upływie pewnego, krótkiego, czasu x do punktu b, leżącego na równoleżniku A,; mielibyśmy wtenczas: ub = rx. W rzeczywistości jednak ziemia obraca się; po upływie czasu x punkt a znajduje się w a', b zajmuje położenie b'. Droga przebyta przez punkt a wynosi: aa' — V x, droga punktu b jest krótsza i wynosi: bb' = V x, przyczem V i V⁷ mają obliczone wyżej wartości. Ponieważ ciało poruszające się swobodnie zachowuje przez przeciąg czasu t; ten sam kierunek ruchu, jaki miało przechodząc przez a, przeto wskutek obrotu ziemi nie trafi ono do punktu b', który przedtem znajdował się w b, lecz przejdzie mimo tego punktu na prawo, do p (przypuszczamy zgodnie z rysunkiem, że a leży na półkuli północnej). I Ruch ciała względem ziemi obracającej się jest więc różny od tego, który dostrzeglibyśmy na ziemi nieruchomej; odbywa się on tak, jak gdyby na ciało działała siła sprowadzająca je na prawo z drogi, po której je prowadzą inne siły, sprawiające rzeczywisty ruch jego w’ przestrzeni. [Ta siła pozorna nie zmienia prędkości, lecz tylko kierunek ruchu, i Zamiast więc mówić o obrocie ziemi, możemy przypisać zboczenie ruchu pozornej sile działającej w kierunku b'p, prostopadłe do każdocze-snego kierunku ruchu, i na prawo względem tego kierunku. Aby znaleźć natężenie tej siły pozornej zauważymy naprzód, że zboczenie ruchu, sprawione w przeciągu czasu x wynosi b'p. Otóż b'p =

b'p — v Cb sin X . x² = y x²,

gdzie dla skrócenia położyliśmy y = 2 û> v sin X.

Natężenie szukanej siły pozornej jest więc takie, że udziela ona ciału przyspieszenia y, w kierunku prostopadłym do każdoczesnego ruchu. Jeżeli oznaczymy masę ciała przez m, natenczas

F = 2 m w v sin X

daje aatężenie tej siły, którą nazwano siłą odśrodkową złożoną.

Uważając poziome ruchy ciał na ziemi, możemy przyjąć, jak się z powyższego okazuje, że ziemia jest w spoczynku, ale natomiast należy dodać do rzeczyicistych sił, działających na ciało, siłę odśrodkową złożoną, pro-porcyonalną do masy i prędkości dała, do prędkości kątowej obrotu ziemi i 10stawy szerokości geograficznej. Siła ta działa na półkuli północnej na prawo, na południowej na lewo względem kierunku ruchu; jest największa na biegunach ziemi (sin X = 1), na równiku (.sin X = o) nie ma jej wcale.

Wpływ siły odśrodkowej złożonej jest pospolicie mały, chyba że prędkość ciała jest znaczna, albo że ruch trwa tak długo, iż zboczenie wywołane przez tę siłę może przyjąć znaczniejszą wartość. Pociągi kolejowe cisną na prawą szynę (na półkuli północnej) nieco silniej aniżeli na lewą. Ważny wpływ wywiera ta siła na ruch wiatrów. Jeżeli pewna różnica ciśnień w atmosferze usiłuje poruszyć powietrze np. ku północy, natenczas wiatr zboczy w rzeczywistości nieco ku wschodowi. Następstwem tego jest, że wiatry wiejące ku t. zw. zniżkom barometrycznym, okrążają miejsce najniższego ciśnienia, a mianowicie (na półkuli północnej) w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegarowych (reguła Buys - Ballota).

Wahadło Foucaulta. Wyobraźmy sobie, że w punkcie C (lig. 65), leżącym pionowo nad biegunem ziemi, na przedłużonej osi ziemskiej, zawieszono wahadło składające się z cienkiego drutu, obciążonego u spodu ciężką kulą metalową. Jeżeli wahadło takie wprawimy w ruch, np. w płaszczyźnie MCP, natenczas ono będzie wahać się ciągle w tej samej płaszczyźnie, jak to wynika z prawa zachowania momentów; nie ma tu bowiem siły, która mogłaby zmienić kierunek płaszczyzny wahań. Ponieważ jednak ziemia obraca się jednocześnie pod wahadłem, przeto człowiekowi stojącemu na ziemi i biorącemu nieświadomie udział w jej ruchu, zdawać się będzie, jakoby płaszczyzna wahań wahadła zmieniała kierunek w przestrzeni, obracając się (za słońcem) od wschodu ku zachodowi, raz w około w przeciągu jednej doby gwiazdowej. Jest to objaw siły odśrodkowej złożonej; jeżeli bowiem wyobrazimy sobie, że ziemia pozostaje w spoczynku, a natomiast dodamy siłę odśrodkową złożoną 2 m w v, natenczas siła ta skręcać będzie płaszczyznę wahań tak, jak to opisaliśmy. Obraca-

24

nie się płaszczyzny wahań można zauważyć w każdej szerokości geograficznej (z wyjątkiem równika, gdzie F = o), jak to naprzód okazał doświadczalnie Foucault (1851). Ponieważ jednak w szerokości X siła odśrodkowa złożona wynosi F = 2 m (o> sin X) v, przeto płaszczyzna wahań obraca się tak, jakby się obracała na biegunie, gdyby prędkość kątowa ziemi wynosiła tylko: to sin X. Tak np. w szerokości 50° mamy:. sin X = 0,76604;

wskutek tego jeden obrót płaszczyzny wahań nie trwa 24, lecz

0,76604

= 81 godzin, 20 minut gwiazdowych, czyli 31 godzin, 15 minut średnich.

Obrót ziemi posiada także pewien (bardzo nieznaczny) wpływ na spadanie swobodne ciał w kierunku pionowym. Ciężar spadający swobodnie z wysokiej wieży nie trafia ziemi w punkcie leżącym pionowo pod punktem, z którego ciężar puszczono, lecz zbacza cokolwiek ku wschodowi; ciężar bowiem na wieży, wskutek większej odległości od osi ziemskiej, posiada nieco większą prędkość w kierunku wschodńim, aniżeli ziemia u stóp wieży; zachowując tę większą prędkość podczas spadania

wyprzedza on ziemię nieco ku wschodowi.

ZADANIA.

148) Na wale o promieniu 3 cm osadzone jest koło zamachowe, które wprawiamy w obrót, ciągnąc sznur nawinięty na wale siłą 3 Kg (— 8000 X 981 dyn). Ile wynosi prędkość kątowa po upływie 10 *ek, jeżeli koło razem z wałem waży 12 kg, ramię bezwładności mierzy 20 cm, zaś moment tarcia osi w łożyskach wynosi 1% momentu siły pędzącej.

= 18,21 = 2,898 obrotów na sek.

12000 X 400

0,99 X 3000 X 981 X 3 X 10

(Jap.---

144) Krążek w przyrządzie Atwooda (fig. 50) posiada promień 8 cm, ramię bezwładności 6 cm, waży 30 gr. Na jednym końcu sznurka zawieszono 40 gr, na drugim 45 gr. Znaleźć przyśpieszenie, z jakiem spada ciężar 45 gr. Odp. Oznaczywszy to przyśpieszenie przez y, znajdziemy napięcie sznurka: Pt = 45 (981 — y) dyn; napięcie drugiego końca, na którym wisi masa 40 gr, wynosi: Pv = 40 <981 + y) dyn; na krążek działa zatem

moment (P,—P₂) X 8, co daje przyśpieszenie kątowe <p = 5IX981-85 y

(Pi—P2) X 8

30X36

czyli y = 8 X <p = 64

30 X 36

, skąd y = 48,15 cmjsek². (Tarcie sznurka o obwód krążka, sprawiające ruch jego, jest powodem, że napięcie nie jest jednakowe u obu końców). Można to zadanie rozwiązać bezpośrednio, stosując prawo zależności momentu ruchu od momentu sił zewnętrznych, w następujący sposób: Oznaczając promień krążka przez r, pręd-

kość ciężarków przez v = ûr, przez w -f p, i m masy zawieszone, przez v

— przyśpieszenie masy spadającej, znajdziemy moment ruchu całego

v

układu względem osi krążka: H = — B -J- v2m -j- yi v r. Siłą zewnętrz-

ną jest tylko pg, zatem M = rpg. Ponieważ M jest miarą przyrostu H,

H    y

przypadającego na jednostkę czasu, przeto M = —, czyli rpg =—B -f-

t    r

g-gr²

B-f- (2m -f- g) r²

145) Po płaszczyźnie pochylonej do poziomu pod kątem 30° stacza się na dół walec o promieniu 5 cm. Znaleźć przyśpieszenie y i drogę (s) przebytą w przeciągu t sekund. Odp. Oznaczywszy przez m masę walca, przez <p przyśpieszenie kątowe, jakie walec posiada w pewnej chwili, względem krawędzi, w której właśnie dotyka płaszczyzny, mamy: cp =

; przyśpieszenie z jakiem spada oś walca wynosi

g sin 30

+ (2m -j- p) y r, skąd y —

M mgX5X sin 30°

B I m X 25

więc: Y-? X 5 =

.3.

= 3-y, zatem s = 'k g t².

146) Znaleźć przyśpieszenie, z jakiem stacza się po takiej płaszczyźnie kula jednolita, o promieniu 5 cm. Odp. g.

147) Koło zamachowe, ważące razem z wałem 1 tonnę, mające ramię bezwładności = 2 w, obraca się z prędkością kątową 30 obrotów na minutę. Jaka siła powinna działać na obwód koła pasowego o średnicy 80 cm, połączonego z wałem, aby koło zamachowe zatrzymać w przeciągu 5 mi-30X2*    10⁶ X (200)²

nut?

Odp. M =

60

5 X 60

= 4,1888 X 10⁸ dyn cm; siła

4,1888 X 10⁸

40

dyn = 10,675 Kg.

148) W ważce giroskopowej (fig. 61) krążek obraca się 85 razy na sekundę; jego masa i ramię bezwładności są 137 gr i 2,6 cm; w odległości 16 cm od pionowej osi zawieszono ciężarek dodatkowy 10 gr. Obliczyć

10X981X16

137 X (2,6)² X 85 X 2*

prędkość kątową ruchu precessyjnego. Odp. =

= 0,3173 t. j. jeden obrót na 19,8 sek.

149) Bąk (fig. 62), ważący m gr i mający względem swej osi ramię bezwładności k, obraca się około tej osi z prędkością «>; znaleźć prędkość kątową, z jaką oś okrąża pion przechodzący przez punkt oparcia bąka, jeżeli odległość środka ciężkości od tegoż punktu wynosi l, zaś 6 oznacza pochylenie osi do pionu. Odp. Składowa pozioma momentu ruchu

= mû) A² sin 6; moment siły ciężkości względem punktu oparcia = = mgl sin 0, zatem Sł =

mgl sin 0

m û) A² sin 0    A²tb

150)    Znaleźć liczbę obrotów bąka około osi, wiedząc, że ramię bezwładności wynosi 3 cm, odległość środka ciężkości od punktu oparcia 4 cm, zaś oś jego okrąża pion 15 razy na minutę. Odp. 44,2 razy na sekundę.

151)    Obliczyć nacisk jaki wywiera, wskutek obrotu ziemi, lokomotywa ważąca 30 ton, jadąca z prędkością 12 mjsek, na prawą szynę, w sze-

rokości 50° N. Odp. F = 2 X

X 12 sin k = 4,1 Kg.

30000    2«

9,81 X 86164

ROZDZIAŁ V.

STATYKA.

81. Ogólne warunki równowagi

Zadaniem statyki jest znalezienie warunków, które powinny być zachowane, aby ciało poddane działaniu pewnych sił, pozostawało mimo to w spoczynku;] powiadamy wówczas, że siły działające na ciało są w równowadze, czyli równoważą się wzajemnie. Jeżeli ciało jakie ma być nieruchome, natenczas po A winien przedewszystkiem środek masy tego ciała być nieruchomy; punkt ten określa bowiem miejsce zajmowane przez ciało

P. w przestrzeni. Nadto, ciało nie powinno się obracać około środka masy, t. j. moment ruchu względem tego punktu powinien

3-być równy zeru. Nakoniec, wzajemne położenie poszczególnych części ciała powinno być stałe; ten ostatni warunek będzie spełniony jeżeli przyjmiemy, że ciało uważane jest zupełnie sztywne, nie odkształcające się; rozpoczniemy z tego powodu od statyki ciał stałych.

Przypominamy naprzód, że ruch środka masy nie zależy od sił wewnętrznych, lecz odbywa się tak, jak gdyby siły zewnętrzne były przyłożone bezpośrednio do środka masy (ust. 52). Jeżeli tedy środek masy uważanego ciała ma być nieruchomy, i. natenczas wypadkowa wszystkich sil zewnętrznych, przeniesionych bez zmiany natężenia i kierunku do jednego punktu (np. do środka masy, albo jakiego innego punktu), powinna być równa zeruj Ten pierwszy warunek równowagi nie zabezpiecza jeszcze oiała od obrotu, albowiem np. dwie siły równe, działające

w przeciwnych kierunkach, nie mogą, wprawdzie udzielić ciału ruchu postępowego, lecz mogą je obracać, ilekroć nie działają w jednej linii; należy tedy znaleźć jeszcze warunek drugi.

Wiadomo, że obrót ciał w całości, również nie zależy od sił wewnętrznych, lecz może powstać tylko pod wpływem zewnętrznych, niezrównoważonych momentów (ust. 73, 76). Jeżeli ma istnieć równowaga ciała stałego także pod względem obrotu, natenczas moment tvypadkoivy wszystkich sil zewnętrznych, obli- & . czony iczględem tego samego stałego punktu, powinien być równy zeru.

Te dwa warunki wystarczają do zabezpieczenia równowagi.

82. Równowaga sił przecinających się. Niech na ciało stałe (fig. 66) działają w punktach A i B dwie siły P i Q, tego rodzaju, że linie, wzdłuż których one działają, przecinają się w punkcie C. Pod wpływem tych dwu sił równowaga ciała nie jest możliwa, chyba że siły P i Q działają wzdłuż tej samej

Fig. 66.

prostej w kierunkach przeciwnych i są równe. W każdym innym przypadku potrzebną jest do zrównoważenia siła trzecia R, równa (podług pierwszego warunku, ust. 81) wypadkowej sił P i Q, przeniesionych do wspólnego miejsca działania (np. do C) i mająca kierunek przeciwny tej wypadkowej. Niech odcinki C a i C b wyobrażają siły P i Q, natenczas c.G — R wyobrażać będzie natężenie i kierunek siły równoważącej. Siła ta powinna działać na ciało wzdłuż tej samej linii cC, którą otrzymaliśmy w rysunku, albowiem wtenczas także wypadkowy moment sił P, Q i R równać się będzie zeru, t. j. drugi warunek równowagi (ust. 81) będzie również dopełniony. Aby się o tern przekonać obliczmy momenty np. względem punktu c. W tym razie jest: Mom. R — o; Mom. P = P X cp — aC X cp\ Mom. Q = = Q X cq ~ bC X cq. Zważywszy, że ostatnie dwa iloczyny przedstawiają podwójne pola trójkątów acQ> i bcC, które są równe, widzimy, że momenty sił P i Q mają jednakową wartość; ponieważ nadto one działają w strony przeciwne, przeto wypadkowa ich jest zerem. Równowaga nie zostanie naruszoną, jeżeli zmienimy punkty przyłożenia sił P, Q i R, byle każdy z nich pozostał na linii działania odnośnej siły i oczywiście w obrębie ciała. (JMożemy tedy, bez ujmy dla równowagi, przenieść silę do jcikiegobądź punktu ciała, leżącego na Unii działania siły. j

Przykłady. Klin MNO (fig. 67) wbity w jakiekolwiek ciało stałe, doznaje z obu stron ciśnień prostopadłych (jeżeli jest gładki) P i Q. Z po-

NO

dobieństwa trójkątów MNO i ac C wynika P : R == NO : MN; P = EX

R oznacza tu siłę wciskającą klin, P działanie, jakie on wywiera w bok na obie strony.

Kolano (fig. 68, używane do rozpierania ciał, do konstrukcyi pras i t. p.). Na ramię AC działa w A s;ła aC (opór ciała ściskanego); w C

,R

ic

B,

'Mmmmmm

Fig. 67.

Fig. 68.

siły Có i Cc. Ciągnąc C siłą Cc, równoważymy ciśnienie = Ca, które, jak widać z rysunku, będzie tern większe, im mniej kolano jest załamane.

83. Równowaga stł równoległych, a) Kierunki jednakowe. J Na ciało stałe działają siły równoległe P i Q (fig. 69), w tę samą strony. Aby je zrównoważyć, musimy przedewszyst-kim dodać siłę Sówną sumie sił P i Q, działającą w stronę przeciwną (pierwszy warunek równowagi ust. 81). Oznaczywszy natężenie tej siły równoważącej przez R, mamy: R = P -f Q. Punkt przyłożenia siły R należy tak wybrać, żeby wypadkowy

84. b) Kieeunki frzeciwjse. Fig. 70 przedstawia dwie siły równoległe P i Q, działające na ciało w przeciwnych kierunkach. Riła R, mająca je zrównoważyć, powinna być równa różnicy tych sił: R = P — Q, i powinna działać w tę stronę co mniejsza ze sił danych np. Q.

tp

czyli: p —

Fig. 70.

moment sił P, Q i R był równy zeru (warunek drugi). Naprzód tedy siła R powinna działać w płaszczyźnie przechodzącej przez P i Q. Aby znaleźć punkt przyłożenia, oznaczmy odległość si ły R od P przez p\ odległość jej od Q przez g; O zaś niech oznacza jakibądź punkt, leżący w odległości a od Q. Obliczając moment wypadkowy względem O, powinniśmy mieć: R (g -f a) —

— P (p + g+n)— Qa = o. Ze względu że: R = P -f Q, otrzymamy ztąd:

Rg-P {p + g) = o, czyli Pp = Qg,

albo — = Si

- AR

i--

C-

X-

Równanie to określa w zupełności położenie siły równoważącej R; punkt przyłożenia jest dowolny, byle leżał na linii R. Położenie punktu O, względem którego obliczaliśmy momenty, nie ma wpływu na wypadek rachunku, gdyż a nie pojawia się w nim wcale. Równanie Pp — Qg orzeka, że odległości siły równoważącej od danych sil róiv-noleglych mają się odwrotnie jah natężenia tych sil. Siła R' — R, lecz działająca w stronę przeciwną, jest tedy wypadkową sił P i Q, t. j. siła R' może zastąpić siły P i Q we wszelkich zagadnieniach równowagi.

<1

,p

Fig. 69.

Punkt przyłożenia tej „siły R znajdziemy łatwo na podstawie uwagi, że nawzajem siła P powinna równoważyć - siły Q. i R. Z tego wynika, że R znajduje się na zewnątrz siły większej P₄ Jeżeli l oznacza odległość sił P i Q, p odległość R od P, natenczas (podług ust. 83) Ą- = -w t R

. Zamiast poprzedzającej proporcyi możemy tak-

P-Q

Oznaczmy, jak w poprzedzają-

Że naPisa°: J^Tl - Q-+R- • cym ustępie, przez ą odległość siły Q od R t. j. ą=.p -f l, na-

tenczas, z uwagi że Q -f- R = P, otrzymamy toż samo równa-

nie jak w ust. 83:

P_ _ Q_

~ P '

85. Para sił. Jeżeli siły P i Q, działające na ciało w przeciwnych kierunkach, mają natężenia równe, wtenczas odległość równoważącej jest nieskończenie wielka, a równoważąca R — o. Dwie siły równoległe, mające kierunki przeciwne, a jednakowe natężenia nie mogą zatem być zrównoważone jedną siłą, one stanowią t. zw. parę sił. Działanie pary sił jest wyłącznie obracające, z tego powodu może ono być zrównoważone tylko działaniem innej pary sił, obracającej w stronę przeciwną. Jedynym warunkiem, któremu para równoważąca powinna czynić zadość jest ten, żeby moment jej był równy momentowi pary mającej się zrównoważyć, i żeby posiadał przeciwny kierunek.

Moment wypadkoicy pary sil, względem jakiegokolwiek punktu, równa się iloczynowi z natężenia jednej ze sil, stanowiących parę, przez

wzajemną\ odległość obu sil; kierunek tego

M,

Fig. 71.

w czem a

momenty otrzymamy moment wypadkowy OM.

OM, : MM, = a :b, a nadto ZOM, M = Z POP, przeto trójkąty OM,M i POP są podobne. Ponieważ OM, = Pa, MM, — P6, więc musi być także: OM = P X /, t. j. moment względem do-

momentu jest prostopadły do płaszczyzny, w której para się znajduje.J Ąby tego dowieść oznaczmy przez P wspólne natężenie sił stanowiących parę, przez l odległość ich (fig. 71). O niech oznacza dowolny punkt, względem którego mamy obliczyć moment pary; AB wyobraża płaszczyznę położoną przez O prostopadle do sił P (których linie działania przedstawiają się na rysunku jako punkty Pvi P). Wykreśliwszy podług znanej reguły (ust. 72) momenty sił P i P względem O, znajdziemy odcinki OM, = P X a i OM₂ = P X b, i b oznaczają odległości sił od O. Złożywszy te dwa

Ponieważ

wolnego punktu O [równa się zawsze iloczynowi P£. Zważywszy dalej, że boki trójkątów OMMt i OPP są prostopadłe do siebie, przekonamy się, że moment wypadkowy OM jest prostopadły do płaszczyzny, w której działają siły P i P. ( Ztąd wnosimy, że para równoważąca daną parę PP może leżeć w jakiejkolwiek płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny PP, że może składać się z jakichkolwiek sił Q i Q, byle moment jej, t. j. iloczyn z Q przez odległość obu sił Q, był równy momentowi pary P i P; jedynym bowiem warunkiem równowagi jest ten, żeby momenty obu par znosiły się.o    'Vvv'* rï li

UWM

ZADANIA.

152)    Klin, którego boki mają długość 20 cm, podstawa szerokość 6 cm, wbity został silą 20 Kg-, obliczyć ciśnienia boczne. Odp. 66 ²/₃ Kg.

153)    Drabina o długości 6 m, ważąca 86 Kg, opiera się górnym końcem o pionową gładką ścianę; dolny koniec wciśnięty jest w ziemię, w odległości 2 m od ściany; obliczyć pionową (N) i poziomą (H) składowę ciśnienia jej o ziemię, tudzież ciśnienie (R) na ścianę. Odp. N = 80 Kg] H = R; 80 Kg X 1 m = R 1/36-4, zatem R = 14,2 Kg.

154)    Dwu ludzi dźwiga na barkach końce dwumetrowego drążka, na którym wisi ciężar 30 Kg, w odległości 60 cm od przedniego końca; jakiemi siłami podtrzymują ludzie końce drążka? Odp. 21 i 9 K<?.

155)    Trzy siły równoległe, o natężeniach 4, 5 i 7 działają w tym samym kierunku na prosty drążek: na jednym końcu, w środku i na drugim końcu; znaleźć natężenie (R) wypadkowej i odległość jej od pierw-

szego końca (X). Odp. R = 16; X =

19

32

X długości drążka.

156) Działanie magnetyzmu ziemskiego na igłę magnesową można uważać jako składające się z pary sił rówńych, działających na końce igły, jedna ku północy, druga ku południowi; przypuściwszy, że każda z tych sił wynosi 25 dyn, długość igły 5 cm, odchylamy igłę o 45° z południka, działając w odległości 0,8 cm od pionowej osi obrotu siłą poziomą

x i prostopadłą do igły; obliczyć natężenie tej siły. Odp.

= 110,5 dyn.

5X25

0,8 V 2

86. Dźwignia. Jakiekolwiek ciało stałe, obracalne około stałej (podpartej, albo umocowanej w łożyskach) osi i poddane działaniu sił zewnętrznych, nazywa się dźwignią. Warunek równowagi sił działających na dźwignię wynika bezpośrednio

12

Bibl.mat.-67. S. III. T. VIII

z poprzedzającego wykładu. Wypadkowę sił zewnętrznych, działających na dźwignię, równoważy oddziaływanie trwałego umocowania osi obrotu. Pod względem dążności do obracania ciała około osi, siły te powinny same równoważyć się wzajemnie. Z tego wynika następujący warunek równowagi:\ivypad-howa momentów sil działających na dźwignię, względem osi obrotu, potomna być równa zeru, ' albo inaczej: suma momentów sił obraca-

P/.

a/

v3

yS

/P

Ha

Fig. 72.

jących w prawo, powinna być równa sumie momentów sił obracających w lewo. W fig. 72 O oznacza oś obrotu; warunkiem równowagi będzie w tym przykładzie: QxO^+Sx Os = Px Op.

ZADANIA.

Na dźwigni prostej, osadzonej w środku na poziomej osi, zawieszone są na lewem ramieniu ciężary 4, 9 i 2, w odległościach 5, 12, 20 cm od osi; jaki ciężar potrzeba zawiesić na ramieniu prawem, w odległości 25 cm od osi, celem zrównoważenia tamtych ciężarów? Odp. 6,72.

\J58) Jaką siłą ciśnie ta dźwignia na oś? Odp. 4-f-9+2+6,72+ ciężar własny dźwigni.

,1^9) Mając podnieść ciężar 200 Kg zapomocą dźwigni 2 metrowej, możemy użyć siły wynoszącej tylko 40 K^; gdzie należy podeprzeć dźwignię? Odp. S3,3 cm od końca.

Kołowrót składa się z wału poziomego o promieniu riz koła osadzonego na nim, o promieniu R; na wale nawinięty jest sznur, do którego przywiązany jest ciężar Q. Obliczyć siłę P, która powinna działać stycznie do obwodu koła, aby podnieść ciężar. Odp. P =

'461V Zapomocą korby o ramieniu R obracamy kółko zębate (promień r,) osadzone na jej osi; zęby tego kółka obracają drugie koło zębate (promień R,) osadzone na wale o promieniu r; znaleźó stosunek między siłą P działającą na korbę, a ciężarem Q, działającym za pośrednictwem sznurka owiniętego na wale, w przypadku gdy te dwie siły wzajemnie się

r r,

Q RR, '

46^ Jakiej siły potrzeba do podniesienia, zapomocą takiej windy, ciężaru 1 tonny, jeżeli R = 50 cm, rt = 8 cm, R, = 30 cm, r = 10 cm? O lp. 53 Kq.

równoważą. Odp.

87.    Statyka im.ynów^ Płyny (woda, powietrze i t. p.) różnią się tern od ciał stałych, że cząstki ich mogą swobodnie zmieniać odległości i wzajemne położenia. Wszelako własność ta, jakkolwiek doniosła w zjawiskach ruchu, nie pojawia się wcale w zjawiskach równowagi. Cząstki bowiem płynu spoczywającego są względem siebie tak samo nieruchome, jak gdyby stanowiły ciało stałe. Z tego wynika, że zadania odnoszące się do równowagi płynów sprowadzają się do praw znalezionych pierwej dla ciał stałych. Jeżeli bowiem odgraniczymy w myśli jakąbądź część płynu nieruchomego od reszty, wtenczas równowaga nie przestałaby istnieć, gdyby ta część płynu zamieniła się na^ciało stałe (niezmieniając zresztą innych własności). Otóż siły zawnętrzne, działające na taką część płynu (do tych sił zewnętrznych zaliczają się także ciśnienia wywierane przez resztę płynu) powinny się wzajemnie równoważyć, tak samo jak gdyby działały na ciało stałe. Uwaga niniejsza stosuje się także do ciał miękkich, plastycznych, odkształcalnych i w ogóle do wszelkiego rodzaju materyi.

88.    Środek ciężkości. Znalezienie wypadkowego ciężaru ęiała, t. j. wypadkowej sił ciężkości, działających na wszystkie jego cząstki, jest zadaniem, które rozwiązuje się na podstawie praw składania sił równoległych. Należy przytem pamiętać, że ciężary są proporcyonałne do mas (ust. 57). Gdyby ciało jakie składało się z dwu cząstek, o masach w, i m₂, natenczas wypadkowa ciężarów tych cząstek (równa sumie obu ciężarów) przechodziłaby przez punkt leżący na linii prostej łączącej je, a dzielący tę linię na dwie części, odwrotnie proporcyonałne do odpowiednich ciężarów (podług ust. 83) a zatem także do odpo wiednich mas. Wszelako punkt taki, jak wiadomo (ust. 49), jest to środek mas w, i m₂\ wypadkowa ciężarów takich dwu cząstek przechodzi zatem przez ich środek mas.

Każde ciało możemy podzielić w myśli na drobne cząstki o masach m₂, ms i t. d. Szukając wypadkowej ciężarów tych mas, zastępujemy naprzód ciężary mas mx i m₂ wypadkową ich, przechodzącą przez środek mas tych dwu cząstek; do tej wypadkowej dołączamy ciężar masy m₃, a złożywszy go z nią otrzymamy drugą wypadkowę (równą ciężarowi mas mx + m₂ + m₃) przechodzącą widocznie przez środek mas mx, m₂, i m₃. Postępując dalej w ten sam sposób dojdziemy do następującego wniosku: wypadkowa ciężarów wszystkich części jakiegokolwiek ciała, równa się całkowitemu ciężarowi (sumie ciężarów) i działa wzdłuż Unii pionowej przechodzącej przez środek masy. Z powodu tej własności dano środkowi masy także nazwę środka ciężkości. Jednakowoż nie należy zapominać, że środek ciężkości istnieje tylko w ciałach o rozmiarach tak małych, w porównaniu z kulą ziemską, żeby ciężary wszystkich części można uważać jako siły równoległe i proporcyonalne do mas.

89. Statyka ciał ciężkich. Ciało ulegające działaniu siły ciężkości będzie pozostawało w spoczynku, jeżeli jego ciężar wypadkowy (ust. 88) zrównoważymy siłą równą ciężarowi, działającą pionowo do góry.

Opierając się na własności środka ciężkości, możemy przyjąć, przy rozwiązywaniu zadań, odnoszących się do równowagi ciał ciężkich, że wszystkie części ciała pozbawione są ciężaru, a tylko w środku masy działa jedna siła, równa ciężarowi całego ciała. Pospolitsze sposoby, używane w celu zrównoważenia ciężarów, polegają na zawieszeniu ciała, bądź to w jednym punkcie (na sznurku, na ostrzu), bądź na osi; albo na podparciu ciała.

W pierwszym przypadku środek ciężkości powinien leżeć na tej samej 'linii pionowej, na której znajduje się punkt utwierdzony (ostrze, punkt zawieszenia); jeżeli zaś ciało jest zawieszone na osi ■ (dźwignia, waga i t. p.) wtenczas środek ciężkości ciała powinien znajdować się w płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez oś. Na tej zasadzie polega sposób doświadczalny wyznaczania środka masy w ciałach stałych mających jakąkolwiek postać. Zawieszamy ciało (fig. 73) naprzód w punkcie jakim A, następnie w innym B i zaznaczamy w obu położeniach

piony przechodzące przez punkty zawieszenia; w przecięciu się tych pionów znajduje się szukany punkt S.

Ciała podparte, np. ustawione na stole poziomym, dotykają podstawy co najmniej w trzech punktach. Jeżeli ciało ta-

JL—

"ir"

Fiy. 74.

Fig-. 73.

kie ma być w równowadze, wówczas pion poprowadzony przez środek ciężkości powinien przecinać podstawę w obrębie wielo-boku, wytyczonego przez skrajne punkty oparcia (fig. 74a); w przeciwnym razie istnieje moment niezrównoważony siły ciężkości względem jednego z boków rzeczonego wieloboku, który ciało wywraca (fig. 74b).

90. Rodzaje równowagi. Równowagę ciała jakiegokolwiek nazywamy trwałą, albo pewną, jeżeli ono znajduje się względem sił działających w takim stosunku, że odchylone cokolwiek z położenia równowagi, w jakąbądź stronę, wraca do tego położenia. Potrącone lekko, waha się około położenia równowagi, dopóki tarcie i inne opory go nie uspokoją. Przykładem takiej równowagi jest każde wahadło.

Równowaga nietrwała, czyli niepewna, jest to pojęcie, którem posiłkujemy się niekiedy przy opisywaniu zjawisk; położeniem równowagi nietrwałej nazywamy takie położenie ciała, w którem siły działające na ciało mogłyby wprawdzie równoważyć się, gdybyśmy zdołali ustrzedz je od wszelkich, nawet najlżejszych wstrząśnień, w którem jednak ciało znajduje się w takim stosunku względem sił działających, że przy dowolnem, choćby najmniejszem odchyleniu, siły zniewalają ciało do trwałego opuszczenia tego położenia równowagi i do wybrania innego, trwalszego.

Z tego określenia wynika, że równowaga nietrwała może być teoretycznie pomyślana, lecz w rzeczywistości nie jest możliwa. Przypadki rzekomo nietrwałej równowagi, jak np. ba-

Ciała ciężkie układają się w ogólności w równowadze trwałej, gdy środek ciężkości zniży się do położenia możliwie najniższego; wszelkie odchylenie z tego położenia, podnosi bowiem środek ciężkości, ciężkość nie może przeto odchyleń tych ani wspomagać ani powiększać. Fig. 75 i 76a objaśniają równowagę trwałą ciała ciężkiego: fig. 76b okazuje położenie równowagi nietrwałej kuli ciężkiej, w którem każde odchylenie zniża środek ciężkości — w którem więc ciało trwale ostać się nie może. Kula leżąca na płasz-

lansowanie laski na dolnym końcu i t. p., objaśniają się zawsze ruchami jakie potrzeba wykonywać, celem zapobieżenia przewróceniu się ciała; w rzeczywistości nie są one wcale przypadkami równowagi.

Położenie równowagi nazywamy obojętnem, jeżeli ono sąsiaduje na wszystkie strony z inemi położeniami równowagi. Ciało odchylone z położenia równowagi obojętnej nie posiada dążności ani do powrotu, ani do oddalenia się, lecz pozostaje w spoczynku w każdem z tych sąsiadujących ze sobą położeń.

i*

Fig. 75.

'S

IV

Fig. 76.

czyznie poziomej (fig. 73c) znajduje się w równowadze obojętnej, albowiem żadne przesunięcie po takiej płaszczyźnie nie zmienia wysokości środka ciężkości.

ZAD ANTA.

-^63) Drążek 3 metrowy, ważący 10 Kg, służy jako dźwignia; os obrotu znajduje się w odległości 1 m od lewego końca; na prawym końcu działa na dół siła 20 Kg. Jakiej siły (P) potrzeba użyć przy końcu lewym, aby zrównoważyć owe 20 Kg i ciężar własny drążka?

Odp. P X 1 =* X 10 + 2 X 20.

164) Trójkąt równoboczny, wycięty z blachy i ważący 80 gr, zawieszony jest w taki sposób, że może obracać się około poziomej osi; osią tą jest jeden bok trójkąta. Pod jakim kątem ustawi się płaszczyzna tego trójkąta względem pionu, jeżeli na dolny wierzchołek działa siła 10 Gr, w kierunku poziomym i prostopadłym do osi? Odp. tg a = 3X 10

; a = 20° 33'.

80

165> Kkrdnf ważąca Q Kg spoczywa w poziomym żłobku, którego

ściany, płaskie, pochylone są do poziomu pod kątami a i ß; znaleźć siły Rt i R₂, któremi kula ta ciśnie na obie ściany żłobka.. Odp. Siły Q, Rt i R₂ tworzą trójkąt, w którym kąty a i ß znajdują się przy boku Q;

sin a

przeto R, =

sin ß

Q.

Q; R2 =

sin (a -f- ß)

166) Kłoda drewniana, mająca postać sześcianu równobocznego, spoczywa na stole, którego pochylenie względem poziomu można zmieniać. Siła potrzebna do pokonania tarcia, t. j. do przesunięcia kłody po stole wynosi 40% tej siły, która kłodę do stołu przyciska. Zbadać, czy przy stopniowem pochylaniu stołu, w kierunku równoległym do krawędzi sześcianu, kłoda pierwej się zesunie, czy przewróci? Odp. Ciężar = Q; pochylenie stołu = a; siła zesuwająca = Q sin a; siła przyciskająca = = Q cos a. Zesuwanie się może się zacząć, gdy Q sin a — 0,4 Q cos a, t. j. a = 22°. Ponieważ przy tern pochyleniu pion wykreślony ze środka ciężkości przecina stół w obrębie podstawy, przeto kłoda jeszcze się nie przewróci.

sin (a -j- ß)

167)    Przy jakiem pochyleniu kłoda wywróciłaby się, gdyby zapobie-żono zesunięciu się jej? Odp. 45°.

168)    Jednolita półkula spoczywa na płaszczyźnie poziomej w ta-kiem pułożeniu, iż dotyka płaszczyzny powierzchnią zakrzywioną, a płaska część jej powierzchni jest poziomą; zbadać czy to jest położenie równowagi stałej czy niestałej. Odp. Równowaga jest stałą, gdyż środek masy leży na osi symetryi, a w każdym razie bliżej podstawy aniżeli środek płaskiej części powierzchni uważanej bryły. Wskutek tego przy każ-dem małem odchyleniu, środek ciężkości musi podnosić się.

R O Z D Z I A Ł VI.

¹

Od łać. praecedere = poprzedzać; precessyą nazwano powolną, ale nieustanną zmianę kierunku osi ziemskiej względem ekliptyki, wynikającą z działań, o których w niniejszym ustępie mowa.

O MIERZENIU MAS, PRZESTRZENI, SIŁ I CZASU.

91. Waga. Zwyczajna waga jest najpospolitszem, a zarazem najdokładniejszem narzędziem, używanem dA-mierzenia mas. Główną, jej częścią składową jest dźwignia AB (fig. 77), zawieszona na poziomej 'osi obrotu C. Dźwignia ta, zwana

;'C

?A

'M

Fig. 77.

belką wagi, posiada kstałt symetryczny względem płaszczyzny MN, przechodzącej przez oś obrotu C. Płaszczyzna MN dzieli belkę na dwie części, jednakowej postaci i ciężaru, zwane ramionami wagi. Na końcach ramion umieszczone są dwie osi boczne A i B, również symetrycznie względem MN położone, służące do zawieszania ciężarów; osi te są równoległe do osi obrotu C.

Dźwignia taka, nieobciążona na końcach, ustawia się poziomo gdy jest w równowadze, albowiem wskutek symetrycznej postaci belki i symetrycznego rozmieszczenia materyi, środek ciężkości S znajduje się również w płaszczyźnie symetryi i ustawia się pionowo pod osią obrotu. Jeżeli na osiach bocznych, w równych odległościach od osi obrotu, zawiesimy równe ciężary, wtenczas położenie równowagi nie zmieni się; nawzajem, poziome położenie belki będzie wskazówką, że ciężary zawieszone na końcach są równe. Użytek wagi polega na twierdzeniu,

Lm

Aa

àL:

Fig. 78.

że ciała mające w tern samem miejscu na ziemi równe ciężary mają równe masy (ust. 58). Za pomocą wagi sprawdzamy w pierwszym rzędzie równośd ciężarów, a ztąd wnosimy o równości mas. Ciała, mające się porównań pod względem masy, umieszczamy na szalkach L i P, (fig. 78), zawieszonych na końcach belki, na osiach bocznych A i B. Ciężary szalek powinny być równe, albowiem wtenczas próżne szalki będą się wzajemnie równoważyły. Jeżeli więc umieścimy na obu szalkach ciała mające jakiekolwiek, byle równe ciężary, natenczas

położenie równowagi nie zmieni się, t. j. belka zajmie to samo położenie, jakie miała przy szalkach próżnych.

Waga spełniająca ten warunek jest rzetelną. Każda waga urządzona w taki sposób, iż przy równych, lecz zresztą jakkolwiek wielkich obciążeniach osi bocznych A i B, położenie równowagi środka ciężkości S belki znajduje się zawsze pionowo pod osią obrotu C, czyni zadość temu wymaganiu; wówczas bowiem momenty obciążeń osi bocznych równoważą się wzajemnie, moment zaś ciężaru samejże belki jest zero. Ztąd wynikają następujące warunki, zapewniające rzetelność wagi: 1) ramiona wagi t. j. odległości osi bocznych A i B od płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu i środek ciężkości belki powinny być jednakowo długie; 2) ciężary szalek powinny być równe.

Do wagi należy nakoniec zbiór mas o znanych wartościach, t. zw. garnitur ciężarków, które powinny być lak dobrane, żeby można było składać z nich wszelkie żądane ciężary, aż do największych, jakie waga bez uszkodzenia unieść zdoła.

Tak np. do ważeń nie przenoszących 100 gr potrzebne są następujące sztuki w zbiorze ciężarków: 50 gr, 20 gr, 10 gr, 5 gr, 2 gr, l gr, 1 gr, 5 dgr, 2 dgr, 1 dgr, 1 dgr, 5 cgr, 2 cgr, 1 cgr, 1 cgr. Ciężarki mniejsze od 1 centgr. bywają rzadko używane. Do dokładniejszego ważenia używa się t. zw. kfinika; jest to kawałek drutu złotego, zgięty w kabłąk i ważący dokładnie 1 cgr. Jeżeli do uzupełnienia równowagi brakuje mniej aniżeli 1 centgr. natenczas zawiesza się konika na ramieniu belki, w takiej odległości od środka, żeby zrównoważenie było zupełne. Ramię belki podzielone jest na 10 równych części, a to w tym celu, aby było można określić wartość obciążenia jakie przedstawia konik. Konik ustawiony np. na trzeciej kresce, licząc od osi, sprawia widocznie takie obciążenie, jak 3 mgr na szalce.

Skoro równość ciężarów ważonych poznajemy po tern, że waga obciążona zajmuje toż samo położenie równowagi, które spostrzegaliśmy na wadze nieobciążonej, przeto położenia te powinny być zupełnie określone — równowaga przyrządu powinna być pewną, czyli trwałą. Zważywszy, że równowaga belki nie zmieniłaby się gdybyśmy po odjęciu obu szalek, umieścili na osiach bocznych masy ważące tyleż, ile ważą szalki razem z obciążeniami, zrozumiemy, że równowaga będzie pewna, skoro środek ciężkości belki i owych mas dodanych znajdować się będzie poniżej osi obrotu belki (ust. 90). Wagi bywają zwykle tak

urządzane, iż oś obrotu i osi boczne leżą w jednej płaszczyźnie* równowaga stała będzie wtenczas zapewniona, skoro środek ciężkości samej belki znajdować się będzie poniżej osi obrotu.

Waga znajdująca się w równowadze pewnej, waha się około położenia równowagi, na podobieństwo wahadła. Przeciążona z jednej strony, odchyla się o kąt tem większy, im większa jest przewaga; wartość tego kąta daje nam wskazówkę, ile brakuje jeszcze do zrównania obciążeń obu szalek. Różnica obciążeń szalek, w wadze dobrze urządzonej, równoważy się tedy ciężarem samej że belki.

Urządzenie wag bywa rozmaite, zależnie od wielkości ciężarów, które mają być na niej ważone i od żądanej dokładności. Opiszemy tu wagę, przedstawioną na fig. 78, zajmującą pod względem obciążeń i dokładności średnie miejsce. Belka AB jest płaska, wykrojona z dość grubej mosiężnej blachy; daje się jej postać kraty, aby przy największej wytrzymałości, ciężar był mały. Osią obrotu jest ostrze trójgraniastego pryzmatu z twardej stali, opierające się na twardych, również stalowych albo agatowych podstawkach, umieszczonych na szczycie słupa K. Na końcach belki, w A i B, przytwierdzone są podobne pryzmaty stalowe, mające ostrza równoległe do środkowego, zwrócone do góry; na nich zawiesza się szalki, za pośrednictwem strzemion, które mają wewnątrz wygładzone twarde płaszczyzny.

Dokładne rozpoznanie położenia belki ułatwia wskazówka t, złączona stale z belką, wskazującą na podziałkę m, przytwierdzoną do słupa K. Śruba s służy do podnoszenia albo zniżania środka ciężkości belki, w miarę pożądanej czułości wagi; wykręcenie jej do góry podnosi bowiem część masy, a temsamem podnosi także środek ciężkości belki. Cały przyrząd stoi na podstawie, opartej na śrubach nożnych M i N, za pomocą których słup K ustawia się pionowo.

Czułość wagi jest tem większa, im więcej belka odchyla się z położenia równowagi, jeżeli obciążenie z jednej strony jest o pewną małą przewagę (np. o 1 mgr) większe, aniżeli z drugiej. Niech C wyobraża oś obrotu (fig. 79) A i B ostrza, na których wiszą szalki, S środek masy belki. Oznaczmy ciężar belki przez R, ciężary zawieszone na A i B (razem z szalkami) przez P i Q, nakoniec przez 9 kąt odchylenia belki z położenia równowagi. Stosując prawo momentów względem osi C, znajdujemy następujący warunek równowagi sił P, Q i R.

P (AD cos 0 — CD sin 0) = Q (BD cos 0 -f- CD sin 0) + R . CS sin 0,

z czego wynika:

tg 0 =

_AD.P-BD.Q_ CS . R -f CD . (P + Q; ’

Ponieważ długości ramion wagi powinny byc równe, przeto napiszemy tu: AD = BD = /, wskutek czego będzie:

tg 0 =

l fP — Q)

CS.R+CD (P+Q) ’

Równanie to wskazuje, że przy pewnej przewadze: P — Q, belka odchyli się tem więcej z położenia poziomego, im dłuższe są ramioma (l), im bliżej osi leży śiodok ciężkości belki (CS), im lżejszą jest belka (R),

03

vO

i>

PC

Fig. 79.

im mniejsze jest CD t. j. im mniejszą jest odległość osi obrotu od płaszczyzny przechodzącej przez osi boczne, nakoniee, im mniejsze ciężary (P-j-Q) ważymy. Wagi urządzają się zwykle tak, żeby trzy osi A, B i C leżały w jednej płaszczyźnie, t. j. żeby było CD = o. W tym razie jest:

tg 0 =

l (P - Q)

CS . R

t. j. odchylenie zależy tylko od przewagi P — Q, a niezależy od wielkości ciężarów ważonych; innemi słowy: !czułość nie zależy od obciążenia.

Warunki potęgujące czułość wagi nie dają się pogodzić z wielką stałością równowaeri. Aby zwiększyć pewność i szybkość ważenia, unika się zwykle zbytecznej czułości t. j. umieszcza się środek ciężkości belki niezbyt blizko osi obrotu.

Ważenie. Waga należy do najdokładniejszych przyrządów mierniczych. Za pomocą dobrej wagi, zachowując odpowiednie ostrożności, można odważyć jeden leg, nie popełniając błędu większego jak 0,01 mg\ dokładność taka określa się stosunkiem 1:100 000 000. Pospolitsze wagi dają 1 : 1000000.—W dokładnych ważeniach nie można polegać na tern, że długości ramion belki zostały przy sporządzeniu wagi zupełnie zrównane; aby uniknąć błędu, któryby z małej ich nierówności wynikł, waży się ciało dwukrotnie, kładąc je raz na prawej, drugi raz na lewej szalce. Ciężary znalezione w obu położeniach niech będą: Pt i P₂; pi l niech oznaczają długości prawego i lewego ramienia, P prawdziwy ciężar ciała. Naten-

-V

V_

czas: P, . ( = Pp; P₂ . p = PJ, skąd: P = ]/Pt P₂, tudzież

P2~ '

Inny sposób polega na użyciu t. zw. tjyryj ciało równoważy się jaki emikolwick ciężarkami (śrut, okruchy granatów i t. p.), a następnie na miejsce ciała kładzie się znane ciężarki, dopóki wskazówka wagi nie zajmie dawniejszego położenia.

92. Gęstość i ciężar właściwy. ... Zapomocą wagi można się przekonać, że ciała mające jednakowe objętości miewają w ogóle rozmaite masy. To dowodzi, że materya w różnych ciałach posiada rozmaity stopień zbitości, zwartości, czyli —jak to zawsze nazywać będziemy — gęstości. Miarą gęstości ja-Jkiggokolwiek ciała j est mas a p r z y paiiająca najedno atk ę objętpici. Sporządźmy np. z różnych materyałów bryłki ma-jące jednaką objętość 1 cm³ i odwmżmy je po kolei na wadze; liczby znalezione wskażą nam od razu gęstości tych ciał.

Wyznaczenie gęstości wymaga zawsze odmierzenia masy i objętości. Niech w oznacza masę jakiego ciała, v jego objętość;

natenczas na jednostkę objętości przypadać będzie masa ~ .

Oznaczywszy zatem przez d gęstość otrzymamy:

ni

' Powyższe równanie stosuje się bezpośrednio do ciał jednolitych, których gęstość jest na wskroś jednakowa. Ciała niejednolite, (np. granit), mają w różnych miejscach różne gęstości.

Wziąwszy dużą objętość takiego ciała i obliczywszy stosunek — ,

otrzymamy t. zw. gęstość średnią, albo przeciętną, bryły poddanej pomiarowi.

miar, jest

1 gr/cm*; t. j. ciało, którego centymetr sześcienny waży 1 gr, posiada gęstość — 1. Stosownie do określenia masy jednego grama (ust. 6), woda w temperaturze 4° C. posiada gęstość —1.

Gęstość tego samego ciała zmienia się nieco, zależnie od temperatury; jest to następstwem zmian objętości, jakie sprawia ogrzanie lub oziębienie. Masa nie zależy od temperatury.

Objętość właściwa. Niekiedy zdajemy sobie sprawę ze zwartości materyi, porównywając objętości, jakie zajmują, jednakowe masy różnych materyałów. \Q b i e t o ś c i a właści-w ą = s pewnego materyału nazywamy objętość przypadającą.

, przeto s —

»-¹

na jednostkę masŁ Ponieważ widocznie s = -— — t. zn. Vobjętość właściwa jest odwrotnością gęstości.

Ciężar właściwy. Jeżeli d oznacza gęstość jakiego ciała, natenczas jednostka ohjętości posiada masę d; ciężar jej równa się tedy iloczynowi z gęstości i natężenia ciężkości w danem miejscu. Oznaczy wszy.xigżar jednostki ob.latości przez d, otrzy mamy:

Ciężar jednostki objętości S, nosi nazwę ciężaru właściwego ciała. W ciężarowym układzie miar (ust. 65) jednostką ciężarów (sił) jest Gram; jako wynik ważenia ciała na wadze otrzymujemy bezpośrednio ciężar jego wyrażony w Gramach. Z tego wynika, że ciężar właściwy § wyraża się w układzie ciążarowym tą samą liczbą, która wyraża masę jednostki objętości, a więc gęstość, w układzie bezwzględnym.

(Tuz y kła u. W temperaturze 20° odmierzono ćwierć litra (250 cm³)

rtęci, a zważywszy ją znaleziono: 3 kg 386^ gr. To daje d =

= 13,546

3386,5

250

= 0,07382 cm³jgr. Nakoniec

grlctn³. Objętość właściwa wynosi s —

250

3386,5

cięż ir właściwy 8 = 13,546 X 981 = 13289 dyn/cm³, albo w układzie ciężarowym 8 — 13,546 G r/cm³.

93. Gęstość względna. Zwyczajne sposoby mierzenia gęstości polegają na porównaniu gęstości dwu ciał; jeżeli gęstość jednego z nich jest znana, wtenczas znajdziemy łatwo gęstość drugiego. Jako wynik bezpośredni pomiaru otrzymujemy atoli, nie szukaną, gęstość ciała badanego, lecz stosunek gęstości jego d, do gęstości d₀ drugiego ciała, z którem pierwsze porównywamy. Stosunek ten: nazywa się gęstością względny pierwszego ciała względem drugiego. Jest to liczba niemianowana, niezależna od jednostek miary, jest bowiem stosunkiem dwu wielkości tego samego rodzaju. Zwykle porównywa się gęstości różnych ciał z gęstością wody mającej temperaturę 4°. Ponieważ w układzie bezwzględnym miar gęstość wody równa jest jednostce, przeto gęstości względne ciał, względem ivody, mającej temperaturę 4° C. wyrażają się iemi samemi liczbami, jak gęstości w układzie bezwzględnym. Zważywszy, że gęstość określa się jako stosunek masy do objętości, przekonywamy się, że

m m₀ _ m v₀

v₀

m₀ v

Z tego wynikają następujące prawidła: 1) (gdy v — ?;₀) gęstość względna równa się stosunkowi mas, mających równe •objętości, albo: 2) (gdy m = m₀) odwrotnemu stosunkowi objętości, odpowiadających równym masom.

Fig. 80.

Jeżeli chodzi o ciała bardzo rozrzedzone, w porównaniu z wodą,, ja-kiemi są gazy lub pary, wtenczas wyznaczamy gęstości względne częściej wr porównaniu z powietrzem albo z wodorem; liczby wynikające z porównania gęstości są wówczas większe i łatwiejsze do zapamiętania.—Mierzenie gęstości względnej uskutecznia się najprościej zapomocą t. zw. p i k-nometrów (gr. pyknos = gęsty); są to flaszeczki szklane, (fig. 80) o ściśle określonej pojemnośny opatrzone szczeloą zatyczką szklaną. Waży sie je naprzód próż-ne, następnie z wodą, nakoiiiec z ciałem badanem. Postępowanie objaśni następujący przykład: Piknometr próżny waży: 8,213 gr, napełniony wodą: 58,724 gr, zawierający obok wody 14,721 gr drutu żelaznego waży 71.558 gr.

Ztąd obliczamy: masa wody pierwszym razem: 50,511 gr, zatem pojemność

piknometru:

50,511

d₀

cm³, gdzie d₀ oznacza gęstość wody. Masa wody dru-

gim razem: 71,558 — (14,721 + 8,213) = 48,624 gr, jej objętość

48,624

tem ubyło wody:

1,887

d₀

cm³; ze-

cm³, a objętość tę zastąpiło żelazo. Gęstość żt-

14,721 1,887

d 14,721 d₀ ~ 1,887

wiście użyć innej jakiej cieczy, byle gęstość jej d₀ była znana.

d₀

laza wynosi przeto: d =

dą użytą do pomiaru: p = —

Platyna ....

Złoto .....

Rtęć (0°) . . . . Rtęć (20°) ....

Ołów.....

Srebro .....

Miedź.....

Mosiądz ....

Żelazo.....

Stal......

Żelazo lane . . .

Cynk.....

Kwarc.....

Glin (aluminium) .

Szkło.....

Kwas siarczany zg.

„ azotowy „ Woda (4°) ....

—— d₀; gęstość względna w porównaniu z wo-

= 7,8. Zamiast wody można oczy-

TABLICA GĘSTOŚCI.

11,37

10,53

8,92

8,44

7,86

7,6-7,8 7,1-7,7

7,15

2,653

2,67

2,5-2,7

1,843

1,530

1,0000

Woda (0°) . . . „ 00°) . . „ (20») . . Lód (0°). . . . Oliwa . . . . Alkohol (20°). . Drzewo dębowe „ bukowe „ jodłowe

Korek.....

Powietrze (suche, 0°, barometr 760 mm)

0,82

0,79

0,56

0,24

Powietrze w (zwykłych warunkach atmosfer, około)

Wodór (0°, ciśn. 760 mm.)

0,001293 (

0,00116

773,4

(ś)

0,0000899.

91. JDjjjjçreéG». Wymierzanie objętości ciał, nie mających prostych, regularnych kształtów, uskutecznia się również zapo-mocą wagi. Jeżeli gęstość ciała jest znana, natenczas zważywszy je, możemy obliczyć objętość według wzoru: v — Nie

znając gęstości, możemy wyznaczyć objętość ciała przez zważenie wody, albo innej cieczy o znanej gęstości, która posiada ta-

Celem wymierzenia wewnętrznej objętości, czyli pojemności v naczyń, napełnia się je wodą,, albo rtęcią, o temperaturze dokładnie określonej: jeżeli m oznacza masę rtęci (gr), która się

ką samą objętość jak ciało; można do tego użyć piknometru (ust. 93).

W tempe-

mieści w naczyniu, djej gęstość, natenczas v —

raturze t° Cels., nie wiele się różniącej od 20°, znaleziono dla

gęstości rtęci wartość: d =

gr/cm? ; zatem v =

13,5956

1 + 0,000181371

(1 -f 0,000181371) cms. Wyznaczywszy w ten sposób

~~ 13,5956

pojemność naczynia, posiadamy miarkę, zapomocą której możemy bezpośrednio odmierzać objętości cieczy, ciał sypkich, tudzież gazów.

95. Długości i pola. Jednostki długości należą do rzędu miar zasadniczych (ust. 7), przyjętych na podstawie powszechnej umowy; mając wymierzać rozmiary ciał powinniśmy zatem posiadać podziałkę wzorową, albo jej rzetelną kopię. Typem narzędzi służących do mierzenia rozmiarów ciał, a raczej do porównywania ich z podziałkami, jest cyrkiel. Na podziałce nie można jednakowoż odczytywać każdej dowolnej długości. Jeżeli podziałka dzielona jest np. na millimetry, natenczas można odczytać bezpośrednio tylko ilość całkowitych millimetrów. Aby znaleźć części ułamkowe tych najmniejszych odstępów podziałki używa się noniusza, albo śruby mikrometrycznej.

Noniusz nie mierzy również każdej dowolnej długości, wszelako zapomocą tego urządzenia możemy posunąó dokładność pomiaru aż do pewnego ułamka najmniejszego odstępu podziałki. Fig. 81 przedstawia podziałkę millimetrową, połączoną z cyrklem i noniuszem. Noniusz N jest to podziałka pomocnicza o długości 9 m m, podzielona na 10 części; długość mierzona sięga na podziałce głównej aż do tego miejsca, które wskazuje kreska O na noniuszu. Długość ta obejmuje pewną ilość całych millimetrów i ułamek. Pierwszą odczytamy wprost, ułamek zaś na podziałce noniusza. Jeżeli np. (jak w fig. 81, albo w powiększeniu fig. 8la) kreska 7 na noniuszu zejdzie się z jedną z kresek podziałki głównej, wówczas do znalezionej ilości całych millimetrów (452) należy dodać jeszcze 0,7 won; przedmiot mierzony AB (fig. 81) posiada zatem długość 452,7 mm.

Wyższy stopień dokładności można uzyskać zapomocą śruby mikrometrycznej. Za pośrednictwem tego narzędzia pomiar długości sprowadza się do pomiaru kątów. Jeżeli bowiem obrócimy wrzeciono śruby w mutrze o 360°, natenczas posuwa się ono naprzód o jeden krok,

rA

N --S2

'o

'1

48

A9

'50

I;

-y

J\

o¹

o-

•o

vO

Fig. 81.

Fig. 81a.

t. j. o odstęp dwu sąsiednich gwintów. Połączywszy wrzeciono z kołem albo z bębnem, którego obwód podzielony jest np. na 100 części, zdołamy

odmierzyć ^ część całkowitego obrotu, a zatem długość równą

ku śruby. Fig. 82 wyobraża zastosowanie śruby mikrometrycznej w m i-krometrze (gr. mikron = mały, metron=miara) używanym do mierzenia grubości płyt, średnicy drutów i t. p. Podziałka i noniusz, albo śruba mikrometryczna, są to główne części wszelkich przyrządów służących do mierzenia długości. Wspominamy tu o dwu ważniejszych. ^Do mierzenia długości linii pionowych, a głównie do wyznaczania różnicy wysokości poziomów, przechodzących przez pewne dwa punkty (nie jeżące koniecznie na jednym pionie) służy k a t e t om e t r (gr. kathetos = pionowy). Jest to podziałka pionowa, przymocowana do słupa, obracającego się około pionowej osi, którą ustawia się pionowo za pomocą libelli (po-równ. fig. 46). Wzdłuż podziałki można przesuwać do góry i na dół lunetę połączoną z noniuszem, na której również libella jest osadzona. Za pośrednictwem lunety celuje się do punktów, których różnicę wysokości mamy zmierzyć. Do celowania służą nitki pajęcze, umieszczone wewnątrz lunety, przecinające się pod kątem prostym; patrząc przez lunetę, widzimy owe nitki jednocześnie z obrazem przedmiotu, ku któremu luneta jest

100

kro-

T3T

Fig. 82.

skierowana.—Do porównywania miar długości służy komparator. Nowsze przyrządy tego rodzaju składają się z dwu mikroskopów, stale i nieruchomo ustawionych, opatrzonych wewnątrz w nitki pajęcze służące do celowania; nitki te nie są jednak nieruchome, lecz oprawione są w ramki, które można przesuwać [zapomocą śruby mikrometrycznej do tych punktów, których odległość ma być mierzona; następnie kładzie się na miejsce przedmiotu podziałkę, na której odczytuje się bezpośrednio całkowite millimetry, a pozostałe ułamki odmierza się zapomocą śrub mi-krometrycznycli. Przyrządami tego rodzaju można z łatwością określić długość metra z dokładnością 1 : 1000000 t. j. 1 g, a nawet 50 gg.

b»

bi b, b*

Fig. 83.

Pomiary powierzchni ograniczają się głównie do wymierzania wielkości pól płaskich. Do pomocy używa się niekiedy osobnych przyrządów, t. zw. planimetrów. Zazwyczaj wystarcza podzielić dane pole na paski jednakowej szerokości, szeregiem linii równoległych (fig. 83) i obliczyć sumę pól tych pasków, uważając je bądź jako prostokąty, bądź jako trapezy. Dokładniejszy wynik daje reguła Simpson a, której uzasadnienie należy do geometryi; uważa się mianowicie krótsze boki pasków jako łuki paraboliczne. Stosownie do tej reguły dzielimy dane pole na parzystą liczbę pasków, równej szerokości o. Oznaczywszy dalej przez y₀ i yn długości skrajnych linii a₀ b₀ i aa ba (fig. 83); przez Y' sumę długości wszystkich linii nieparzystych t. j. bx -j- c₃ bz +....; przez Y" sumę parzystych = a₂ b₂ + «4 &4 + ••••; obliczamy wartość pola S według wzoru:

S — V3 ^ [ 2/0    4Y' -j- 2Y" -f- yn ].

ZADANIA.

169)    Ważąc kawałek mosiądzu znaleziono następujące liczby: ciało na prawej szalce, ciężar 86,5428 gr; ciało na lewej szalce, ciężar: 86,5432 gr. Znaleźć ciężar prawdziwy i stosunek długości ramion wagi.

Odp. 86,5430; pr. : lew. = 1 : 1,00000231.

170)    Dowieść, że w t. zw. wagach pomostowych (fig. 84) stosunek ciężaru ciała Q, do ciężarów równoważących na szalce P, nie zależy od

tego, w którem miejscu na pomoście ciało leży? Odp. Qt =Q—Rt =

y

— . Jeżeli zatem belka jest w równo-

v

Ä y — x „    u „w — xu

= Q--; Q₂ = R| — = Q '

y    v    y

Fig. 84.

ms    . n u

zbudować, żeby było: n--— =0t. j.— = —. Wtenczas mamy Pm =

MS

= Q — = Jeżeli nadto będzie n = — m, to waga będzie dziesię-

1

tną, czyli decymalną, gdyż P = —

= 11,37 gr/cm³.

gęstość ołowiu. Ody. d=

n^.71) Pełna kula ołowiana o średnicy 10 cm waży 5953,28 gr\ obliczyć 3 X 5953,28 4 X 5³ X 3,14159

\172) Ile wynosi objętość właściwa ołowiu? Ody. 0,08795 cm³/yr.

173)    Ile wynosi ciężar właściwy ołowiu? Ody. 11154 dyn/cm³, albo 11,37 Gr/cro³.

174)    Obliczyć długości boków ciężarków sześciennych z kwarcu, żelaza, mosiądzu, ołowiu, platyny — ważących po 1 gr. Ody. 7,22; 5,03; 4,91; 4,45; 3,60 mm.

175)    Obliczyć gęstość średnią mieszaniny, składającej się (na wagę) z 80°/₀ piasku kwarcowego i 20% wody. Ody. Jeżeli oznaczymy przez s, i s₂ objętości właściwe tych materyałów, s — obj. właść. mieszaniny, na-

tenczas: s

p

—- ma być niezależny od

Q

x, t. j. od położenia ciała na pomoście wagi, natenczas należy wagę tak

wadze, to musi być: P m — Qt n + Q₂ s, czyli P m

MS    Q /    us\

— Q —■ + *.■—■ ( » - — ).

v    y \    v /

Jeżeli stosunek

«.....s.....»

sr

A---™—xni

------>

a,

a,

R,

= 0,8 st + 0,2 s₂, tudzież d = — ; zatem d = 1,994.

s

>^176) Ile waży sześcian żelazny, którego boki mają 80 cm długości? Ody. 4,02 tonn.

\Tp?) Sześć metrów drutu mosiężnego waży 9,3272 gr\ obliczyć średnicę tego drutu, przyjąwszy 8,491 gr/cm³ jako gęstość mosiądzu.

Ody. 0,4828 mm.

178) Gęstość względną, soli kamiennej w porównaniu z naftą (której gęstość względna względem wody = 0,769), znaleziono = 2,796; ile wynosi gęstość względna soli w porównaniu z wodą? Odp. 2,796x0,769=2,150.

-\^79) Obliczyć pojemność naczynia, któro w temperaturze 18° mieści 87,352 gr rtęci. Odp. 6,4462 cm³.

96. Mierzenie stł. Dynamometr i wahadło. nia siły można wykonad-damiakim sposobemL statycznie, przez zrównoważenie danej siły inną jaką siłą znaną, np. ciężarem znanym, albo sprężystością sprężyny o znanem napięciu - albo kinetycznie, przez określenie ruchu, jaki siła ta zdolną jest wytworzyć w pewnym czasie (ust. 39).

Do określeń statycznych można użyć np. wagi; do jednego ramienia przykłada się badaną siłę, dajmy na to przyciąganie elektryczne lub magnetyczne, na drugiem zawiesza się odpowiedniej wielkości ciężarek. Potrzebna jest tylko znajomość masy ciężarka, tudzież natężenia ciężkości g, w miejscu pomiaru.

Można też mierzyć siły statycznie zapomocą wagi sprężynowej, zwanej w tem zastosowaniu dynamometrem (gr. dy-namis = siła, metron == miara). Urządzenie tych przyrządów, w szczegółach rozmaite, w zasadzie bywa zawsze jednakie (np. fig. 47). Wskazują natężenie siły większem lub mniejszem ugięciem sprężyny, na podziałce, którą sprawdza się raz na zawsze, zapomocą znanych ciężarków. Jeżeli chodzi o ścisłe pomiary, trzeba liczyć się z tem, że sprężystość zmienia się cokolwiek, zwłaszcza po silniejszy ch ugięciach, i że zależy od temperatury.

Mierząc siłę kinetycznie, wnioskujemy o natężeniu z ruchu, który wywołuje; tą drogą określono np. przyciąganie, które słońce wywiera na planety (ust. 20, 120).

W badaniach fizycznych jedyna niemal praktyczna droga kinetycznego określenia siły polega na zastosowaniu ruchu wahadłowego; powtarzając się ustawicznie, w równych odstępach czasu, ruch ten może być odmierzony dokładniej, aniżeli jakikolwiek inny. Wahadłem nazywamy w ogóle jakąkolwiek; dostatecznie sztywną bryłę, osadzoną na osi obrotu, z możliwie małem tarciem, poddaną działaniu sił zewnętrznych, zdolnych utrzymywać ją w równowadze trwałej. Potrącona, wykonywa około położenia równowagi wahania, w jedną i drugą stronę, I tem dłużej, im mniejsze jest tarcie, opór powietrza otaczającego i t. p. Byle odchylenia bryły z położenia równowagi były dostatecznie małemi, można zawsze przyjąć, że siła niezrównoważona, pędząca bryłę odchyloną ku temu położeniu, zwiększa się proporcyona 1 nie do wielkości odchylenia. Wten-czas i przyśpieszenie będzie proporcyonalne do odchylenia, co jest jak wiemy (ust. 24), cechą ruchu drgającego prostego.

Male ruchy ivahadel sei zatem drganiami prostemi, albo składają się z drgań prostych. Sprawdzimy to zaraz na wahadłach poruszanych siłą ciężkości. Te są najważniejsze. Wymierzywszy bowiem ciężkość sposobem kinetycznym, w miarach bezwzględnych, możemy następnie porównywać z nią inne siły, metodami statycznemi.

97. Wahadło proste. Pomyślmy niezmiernie małą cząstkę materyi M (fig. 85), o masie w, zawieszoną na nieskończenie lekkiej, nierozciągliwej nici MO (długość = l) uwiązanej trwale

w nieruchomym punkcie O. Odchylona z położenia równowagi C, np. do A, i puszczona tam swobodnie, cząstka wahać się będzie po obu stronach pionu OC, między skrajnemi położeniami A i B. Ruch jej nie jest bowiem czem innem, jak spadaniem i wznoszeniem się po równi łukowo wygiętej ACB. Prędkość v₀ jakiej nabywa w najniższym punkcie C, spadając z A, równa jest prędkości jakiejby nabyła, spadając pionowo z tej samej wysokości (ust. 36), a więc v₀ — [/' 2g . DC; a że D C ~ = 1 — l cos 6₀ (jeśli 6n oznacza kąt odchylenia -Pici od p ionu^_w.^kiaj.nem^óIożę-niu_A), przeto:

A⁴⁻”

/i\N

''a. \

V³

’R

Fig. 85.

v₀ — V 2gl (1 — cos 0O) = 2 sin    gl.

Prędkość ta wystarcza właśnie (o ile nie ma tarcia, lub oporu powietrza) do wyrzucenia jej w górę, do równie wysoko położonego punktu B (ust, 36). Ztąd cząstka spada znowu do C i wnosi się do A i t. d. Ruch powtarza się zatem ustawicznie, w jednaki sposób, w równych odstępach czasu. Czas T potrzebny do dwukrotnego przebycia łuku AB (tam i z powrotem) nazywa się ok re ae_m wą_h an i a;j jego połowa 1 czasem wa" hania. Urządzenie to, w rzeczywistości niewykonalne, nazywa

się wahadłem prostem, albo jnatematycznem. Ono ułatwi nam zrozumienie dynamiki wahadeł rzeczywistych.

Okażemy naprzód, żeT jeśli wahania są małe, siła ciągnąca cząstkę wzdłuż toru ku położeniu równowagi C, jest istotnie proporcjonalna do każdoczesnego odchylenia CM, a zatem, że ruch uważany jest drganiem prostem.

Istotnie, w położeniu jakiemkolwiek M, gdy nić odchylona jest od pionu o kąt 6, na cząstkę działa napięcie nici MO, prostopadłe do toru — nie dające zatem żadnej składowej w kierunku tegoż — tudzież ciężar cząstki — mg (MQ na fig. 85) pionowo na dół. Rozłożywszy ciężar MQ, na składowę styczną do toru MP, i prostopadłą MR, dostrzeżemy natychmiast, że jedynym objawem tej drugiej jest wyprężenie nitki; na ruch po łuku ona niema żadnego wpływu. Składowa styczna ma wartość

s

MP — mg sin 6, albo inaczej MP — — mg sin -y ; tutaj l oznacza

l

długość nitki, s długość łuku CM, odpowiadającego kątowi 6. Łuk ten liczymy od C, dodatnio w jedną stronę, ujemnie w przeciwną; ztąd znak — wskazuje, że siła i odchylenie mają zawsze przeciwne kierunki.

~ZaIóżmy, iż kąt 6 jest zawsze tak mały, nawet w skrajnych odchyleniach, gdzie dochodzi do 0O, że można położyć, z wystarczającem przybliżeniem, zamiast wstawy: sin 6, samo 0,

Wtenczas będzie:

czyli Ą

O ile kąt 0O jest mały, wtenczas i łuk AB różnić się będzie bardzo nieznacznie od odcinka prostego. Siła poruszająca cząstkę po tym odcinku jest zatem zawsze proporcyonalna do kaźdoczesne-go odchylenia s i zawsze skierowana ku środkowi C odcinka. Też same cechy mieć będzie przyśpieszenie ruchu = ?, wywołane przez nią, gdyż siła MP = m?, skąd wartość przyśpieszenia:

Widzimy istotnie, że założenie małości odchyleń prowadzi do zasadniczej cechy ruchów drgających prostych, wyrażonej w ust. 24 wzorem (2) na przyśpieszenie:

4tt²

Od wartości spółczynnika g : l zależy, jak widać wartość okresu drgania, albo wahania T. Z porównania wypada

(1)

T = 2tt

Vt-

Wzór ten, dowiedziony

zastrzeżeniem, że wahadło odchyla się bardzo mało z położenia równowagi, streszcza w sobie następujące prawa:

1)    Ohres wahań nie zależy od wielkości ani od rodzaju masy cząstki icahającej się; jest to następstwem prawa proporcyonalno-ści ciężarów do mas (ust. 57). Większej masie odpowiada ciężar większy w tym samym stosunku; przyśpieszenie, zależne od stosunku ciężaru do masy, a więc i okres, nie będą zatem zależały od masy. Wahadła tej samej długości, obciążone kulkami z ołowiu, żelaza, korka, szkła i t. p. mają istotnie w próżni jednakowe okresy,, Doświadczenie to stanowi nader ścisły dowód prawdziwości pomienionego prawa ciężkości.

2)    Okres wahań nie zależy również od amplitudy, czyli ohszer-ności odchyleń, (byle one były małe). Własność ta, dostrzeżona już przez Galileusza, nazywa się izochronizmem wahadła, toż samo wahadło, mocniej czy słabiej potrącone, waha się w tym samym okresie.

3)    Okres jest proporcyonalny do pierwiastka z długości wahadła; wahadła np. 4, 9, 16 razy dłuższe mają okresy 2, 3, 4 razy dłuższe.

4) Okres jest odwrotnie proporcyonalny do pierwiastka z natężenia ciężkości; z tego powodu wahadła jednakowej długości mają cokolwiek różne okresy w różnych miejscach kuli ziemskiej.

Wymienione własności wahadła czynią je znakomitym przyrządem mierniczym. Od dobrego przyrządu wymagamy bowiem, żeby przy wykonaniu i użyciu jego było jak najmniej warunków do dopełnienia i zastrzeżeń do uwzględnienia-, istotnie, stosując wahadło do pomiaru natężenia ciężkości nie potrzebujemy troszczyć się ani o dobór stosownego materyału, ani o zachowanie jakiejś określonej amplitudy wahań. Wystarczy

zmierzyć długość l i okres T wahadła, a otrzymamy od razu szukaną siłę (tu ciężkość):

(2)

4tt n

rp2 *

——, w kierunku poziomym (a=promieniowi koła), tudzież napięcie nic i.

Oprócz wahań prostolinijnych wahadło proste może wykonywać również ruchy po liniach krzywych. Jeżeli wahadło odchylone potrącimy w dowolnym kierunku ukośnym, wówczas ono będzie wahać się na prawo i lewo, ale jednocześnie, w tym samym okresie, także naprzód i wstecz. Ruch jego będzie wypadkową dwu wahań prostych, wskutek tego odbywać się będzie po elipsie (ust. 27). Można też potrącenie boczne tak umiarkować, żeby masa zawieszona krążyła jednostajnie po kole (ust. 28). Okres wahadła kolistego można obliczyć bezpośrednio w następujący sposób: na dolny koniec wahadła działają ciągle trzy siły równoważące się wzajemnie, mianowicie: ciężar mg cząstki, pionowo na dół; siła odśrodkowym

wa

Ustawiwszy równanie wyrażające, żę powyższe trzy siły równoważą się (por. fig. 37, ust. 48) t. j. że wypadkowa pierwszych dwu działa w kierunku trzeciej (nici); przyjąwszy nadto, że kąt odchylenia nici od pionu jest bardzo mały otrzymamy łatwo wartość okresu podaną we wzorze (1).

Ściśle biorąc, wahania wahadła są tylko wtenczas niezależne od amplitudy (izochrordczne), gdy największe odchylenie kątowe od pionu — 6„ jest nieskończenie małe. W przypadku odchyleń większych rachunek

Wzoru

wyższy daje T

tego używa się, ażeby, zmierzywszy T, obliczyć wartość 2tc okres odpowiadający amplitudzie nieskończenie małej (zredukowany).

V

98. Wahadło sekundowe. Wahadło, którego okres wynosi dwie, czas wahania jednę sekundę, nazywa się wahadłem sekundowem. Długość jego, zależna od wartości g, nie jest oczywiście wszędzie jednakowa. Według (1) mamy:

(3)

g T²

4 Tl²

Jeżeli np. (jak u nas) g — 981 cm/se&², natenczas, biorąc

n

T —2 seft, znajdziemy: Z = ^2-= 99,3961 cm, jako długość wahadła

prostego, bijącego sekundy. Wahadło może tedy służyć bądź do mierzenia sił, bądź do pomiaru czasów.

99. Wahadło złożone jest to bryła jakiejkolwiek postaci, wahająca się pod wpływem własnego ciężaru i bezwładności, około poziomej osi. Oś obrotu powinna oczywiście znajdować się powyżej środka ciężkości. Wahadło takie można uważać jako zbiór wielkiej ilości wahadeł prostych, stale ze sobą związanych. Jedne są krótkie i usiłują wahać się często; inne dłuższe, mają właściwy sobie dłuższy okres: wahadło złożone przybiera pewien okres pośredni. Dowiedziemy zaraz, że do każdego wahadła złożonego można dobrać wahadło proste, mające ten sam okres wahań. Długość takiego wahadła prostego nazywa się zredukowaną długością wahadła złożonego.

Fig. 86 wyobraża wahadło złożone W, podczas ruchu, odchylone o pewien kąt 6 z położenia stałej równowagi t. j. z tego położenia, w którem środek ciężkości S znajduje się-pionowo

œ'

<Ś>

g ...........

o    <=r>

Fig⁻. 8G.

pod osią O. Oznaczmy przez co prędkość kątową, jaką wahadło posiada w uważanej chwili, przez M całą jego masę, przez B moment bezwładności względem osi O. Moment ruchu tej bryły, względem osi obrotu, posiada wówczas wartość: B w (ust. 74). Moment ciężaru wahadła względem osi wynosi: Mgf sin 6, jeśli / oznacza odległość SO, środka ciężkości od osi. BuidLff^hadłą. jest widocznie rodzajem ruchu obrotowego około osi O; wskutek tego zależy on tylko od momentu bezwładności B i od momentu siły zewnętrznej: Myf sin 9 (ust. 77). Postać ciała waha-

jącego się, ani rodzaj materyi, nie mają, osobnego wpływu. jakiekolwiek wahadła będą się poruszały jednakowo, byle ich ynomenty bezwładności i momenty ciężarów względem osi były jednakowe.

Wiedząc to. możemy ułatwić poszukiwanie praw ruchu, uważając zamiast danego wahadła inne, prostsze; .możemy w tym celu wybrać wahadło jakiekolwiek^ byle moment bezwładności jego B, tudzież moment ciężkości miały te same wartości jak w wahadle dauern. Wyobraźmy sobie, że całkowita masa wahadła W została rozdzielona na dwie części (fig. 86, drugi rysunek), skupione w cząstkach materyalnych m i m', połączonych ze sobą nitką nieskończenie cienką OC; obie te cząstki mają razem taką masę, jak wahadło złożone, t. j.

(1)

M ■= m 4- m'.

Jednę z tych cząstek (m) umieścimy w osi obrotn O, drugą (m') w punkcie C na linii OS, w pewnej odległości f + f poniżej osi obrotu. Otrzymamy tym sposobem wahadło proste iv, o długości:

(2)

OC = l = f + f.

Wahadło to poruszać się będzie tak samo, jak dane wahadło złożone, pod warunkiem, żeby naprzód, momenty bezwładności były jednakowe,

(3)

m' (f + f')² = B, czyli m' l² — B;

po wtóre, żeby momenty ciężkości były również jednakowe; to stanie się, gdy środek ciężkości cząstek m i m' znajdować się będzie w takiej samej odległości f od osi, jak w wahadle W. W tym celu należy masę wahadła rozdzielić na cząstki m i mr w takim stosunku, żeby było:

__ f

m' f

T, czyli

f+f

m'

, albo wreszcie:

m' f

Z równań (3) i (4) obliczymy długość zredukowaną l wahadła. Pomnożywszy je znajdziemy:

MZ² —

, skąd:

(5)

Równanie (5) orzeka, że długość zredukowana wahadła złożope-(jo równa się momentowi bezwładnością podzielonemu przez iloczyn z masy wahadła i odległości jej środka od osi. Okres wahań wahadła złożonego posiada tę samą wartość, jak okres wahadła prostego, o powyższej długości l, mamy więc:

(6)

V T ⁼ 2x V

M fg'

Wyobraźmy sobie, że wahadło zostało odchylone od pionu o kąt 0, tak mały, żeby wstawa jego sin 6 nieznacznie tylko różniła się od łuku 0, jak być powinno, jeżeli wzór (6) ma się stosować. Moment siły ciężkości wynosi wtenczas: Mfg sin 0, albo Mfg . 0, t. zn. jeśli odchylenia są małe, moment siły zewnętrz-nej (ciężaru) jest proporcyonalny do kąta odchylenia (liczonego w mierze łukowej); spółczynnikiem proporcyonalności jest iloczyn Mfg. Spółczynnik ten nosi nazwę momentu kierującego wahadła. Moment kierujący jest poniekąd miarą stałości równowagi wahadła; im większa jego wartość, tern trudniej odchylić wahadło o pewien kąt z położenia równowagi. Połóżmy dla krótkości

Mfg = D, otrzymamy:

(7)

HF

albo słowami: okres wahadła złożonego jest proporcyonalny do pierwiastka z momentu bezwładnością odwrotnie proporcyonalny do pierwiastkoz momentu kierującego. Im usilniej wahadło trwa w położeniu równowagi, tem szybszemi będą jego drgania; wielki moment * bezwładności wpływa natomiast przeciwnie, przyczynia się do zmniejszenia częstości wahań t. j. do zwiększenia okresu.

Wahadło rewersyjne (odwracalne). Punkt C (fig. 86), t. j. dolny ke>-niee linii OC wyobrażającej długość wahadła zredukowanogo, nazywa się Środkiem waha ń wahadła złożonego. Punkt ten posiada tę własność, że skoro poprowadzimy przezeń oś równoległą do osi O i zawiesimy wahadło na tej nowej osi G, natenczas okres wahań nie zmieni się. Oznaczmy bowiem przez B' mom. bezwł. względem osi C, przez T' okres wahań tej osi właściwy, wtenczas będzie podług (6):

Mfg

Aby dowieść że T' = T, przypominamy, że odcinki / i J' czynią zadość warunkom (3 i 4):

M / + /'

z których pomnożenia wynika: M

m' (f -f- f')² = B, tudzież

m

B /*2    \

= M (k² -f- f²) (ust. 75), przeto: — = M y — -{- f j

. Ponieważ

= —. Oznaczmy przez k ramię bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek masy, a równoległej do obu osi O i C, natenczas będzie: B

k²

mamy także: — — M (/ -f- /O, więc: — +/ = / -\-f, czyli:

Gdy zawiesimy wahadło na osi C, wtenczas będzie B' = M (k²    f'²),

albo B' = M (ff + f>2) =/M(f+/') = Bj. w powyższym wzorze na T' otrzymamy wartość (6), a zatem T' = T.

Podstawiwszy tę wartość

Dowiedziona tu własność środka wahań dozwala znaleźć doświadczalnie długość zredukowaną wahadła, sposobem nie wymagającym znajomości momentu bezwładności B, ani masy M. Wahadło t. zw. odwracalne, używane w tym celu Çfig, 87) składa się z pręta opatrzonego w dwie symetrycznie położone, ale nie jednakowo ciężkie soczewki, podobne do soczewek wahadeł używanych w zegarach; dwa trójgraniaste pryzmaty stalowe, których ostrza O i C są ku sobie zwrócone, mogą służyć kolejno jako osi wahania, przyczem opierają się na twardych podstawkach, przymocowanych do ciężkiego drewnianego kozła S. Przesuwaj^ cokolwiek jednę ze soczewek, można zrównać dokładnie okresy wahań T względem obu osi; zmierzywszy następnie odległość ostrzy-

Fig. 87.

w połowie odległości ostrzy, więc musi być: k²=ff ; równanie to, jak widzieliśmy wyżej, jest warunkiem, aby odległość osi była równa zredukowanej długości yahadła; istotnie tedy, jeżeli okresy dla obu osi są równe, odległość ich równa się długości zredukowanej.

Wahadło b autystyczne. Wahadło bywa używane także do mierzenia sił chwilowych, krótko trwających uderzeń. Wahadło proste odchylone z położenia równowagi o kąt G₀ (fig. 85 ust. 97) wraca doń następnie

e₀ . / —■    v₀

— y gl, a zatem z prędkością kątową ü>₀ =— 2    l

pryzmatów, znajdujemy zredukowaną długość l wahadła, poczem można

4tc²Z

odrazu obliczyć natężenie ciężkości g =

rp2 "

Jeżeli bowiem okresy T i T' są równe, musi być: k² -\-P k² +/'²

B'

czyli

, z czego wynika: k²/' -f- f²f = k² f -f- fnf,

albo k² (/' —/) —ff (f —/), albo nakoniec: (/' —/) (k² — ff) = o.

Ponieważ pierwszy czynnik tego wyrażenia nie jest = 0, gdyż soczewki nie są jednakowo ciężkie, a zatem środek ciężkości nie leży

/'

z prędkością v₀ = 2 sin

6o

— 2 sin —

2

4tc sin—-= 2 .

; uwzględniwszy, że T

1 /T

= 2k 1/    — znajdziemy ó>₀ =

6o

To stosuje się zarówno do wahadła prostego, jak i do złożonego; w ostatnim przypadku l oznacza długość zredukowaną. Nawzajem, jeśli wahadło, wiszące w spoczynku, w położeniu pionowem, uderzymy nagle, tak silnie, żeby nabyło od razu prędkości kątowrej â)₀, natenczas oddali się ono od pionu o kąt 6₀, określony powyższem równaniem t. j.

0o

sin — =

2

T5>q

Uderzenie powinno być jednakowoż tak nagłe, żeby w ciągu trwania jego wahadło nie wyszło znacznie z położenia równowagi.

Wymierzywszy kąt największego odchylenia 0Q, można obliczyć wartość popędu sił, które sprawiły uderzenie. Oznaczmy w tym celu czas trwania uderzenia (bardzo krótki) przez t• moment siły uderzającej, względem osi wahadła, niechaj będzie g, (g oznacza, jeżeli siła jest zmienną średnią wartość jej momentu). Oznaczywszy dalej moment bezwładności wahadła przez B, mamy (ust. 77):

0 = 1T ’

gdzie u»₀ oznacza, jak wyżej, prędkość kątową nabytą wskutek uderzenia; ta prędkość kątowa sprawia odchylenie 0O, zatem jest:

3.!«

sin

6o

/ it és-Xÿ

Ztąd wynika, z uwagi na T

=2kV -ł'

Öo

(8)

g. <=

TD sin

Ci

W tem równaniu zawarta jest zasada pomiaru krótko działających momentów g, a co za tem idzie, sił chwilowych — nawzajem, jeżeli siły te lub momenty są znane, można użyć równania (8) do mierzenia krótkich czasów t. Jedne albo drugie dają się wyrazić przez wielkości łatwo dostępne pomiarom: T, D i 0O. Zasadę tę stosuje się np. w wahadle balli-stycznem, które służy do mierzenia prędkości kul działowych lub karabi-nowych. Wahadło wiszące w spoczynku trafia kula o masie m, z prędkością v, w kierunku prostopadłym do osi; p niech oznacza najkrótszy prostopadły odstęp prędkości v od osi wahadła. Kula utkwi w wahadle, a pęd jej mv przenosi się na masy wahadła i kuli. m v

Zważywszy, że — wyraża s'rednie natężenie siły, którą, kula wywiera

.    mv

na wahadło, w ciągu czasu uderzenia t, mamy . = p y, pt = pmv; ztąd równanie:

®o

pmv =

TD sin ~

Nakoniec, ponieważ według (7): D = Mfg, otrzymujemy równanie:

MT/y sin —-z )

nm p

wyrażające prędkość kuli v przez wielkości znane.

u (8) ma również ważne zastosowanie w pomiarach elektrycznych.

100. Qgölne zastosowanie wahadła do mierzenia sił. Ciała stałe mogą wahać się, na podobieństwo wahadła, nietylko pod wpływem ciężkości, lecz również pod działaniem innych sił. Np. ruch igły magnesowej, odchylonej z położenia równowagi, jest ruchem wahadłowym i t. p.

[Wahadłem nazyivac będziemy wszełką bryłę, obracalną około stałej osi, a poddaną działaniu takich sil zewnętrznych, iż moment, zwracający jac, po odchyleniu, ku położeniu trwalej róic-nowagi, jest proporcyonalny do wielkości odchylenia. :

!,G'

r®oi

Fig. 88.

Jako przykład takiego wahadła przytaczamy wahadło spężynowe (balans) używane w zegarkach kieszonkowych (fig. 88). Teorya wahadła wahającego się pod wpływem ciężkości stosuje się również do wahadeł poruszanych innemi siłami, gdyż wartość okresu wahań zależy tylko od momentu bezwładności i od momentu kierującego, a nie zależy od tego, czy moment kierujący wynika z działania ciężkości, czy jakiej innej siłv np. sprężystości lub magnetyzmu.

O MIERZENIU MAS, PRZESTRZENI, SIE I CZASU.— 101.

209

Wzór (7) stosuje się do wszelkich sił, byle moment, który one wywierają, na wahadło odchylone z położenia równowagi, był proporcyonalny do kąta odchylenia 6, t. j.

Moment — D . 6.

D oznacza tu stały spółczynnik, zależny od natężenia sił działających; jest to moment kierujący wahadło. Okres wahań każdego wahadła obliczamy więc podług wzoru:

(8)

T = 2tc

Vi

działa raz siła P, a innym razem

siła P',„mająca inne punkt przyłożenia, natenczas możemy porównać natężenia tych sił, mierząc w obu przypadkach odpowiednie okresy wahań T i T'. Mamy bowiem podług (8):

T:T = JXD' : KD;

Ponieważ momenty kierujące są proporcyonalne do sił P i P' przeto także T : T' ~\/Y' : P; albo:

p . pr __ rpi2 . rp2

Wprowadzając, zamiast okresów, częstości wahań n = -jp-, ri — — ifr, otrzymamy:

P : P' = n² : n'²,

t. j. siły mają .się do siebie jak kwadraty częstości wahań.

Odmierzywszy np. częstości wahań zwyczajnego wahadła, w różnych miejscach na powierzchni ziemi, uzyskamy stosunki natężeń ciężkości w tych miejscach; będzie bowiem:

g : g' = n² : n'².

101. Zeglap. Doskonała prawidłowość i peryodyczność wahań wahadła, dobrze urządzonego, czyni je wybornem narzędziem do odmierzania czasu. Na miejsce starożytnych klepsydr, mierzących czas usypywaniem się piasku i t. p. Huygens wprowadził pierwszy zegary wahadłowe (Horologium oscillato-rium, dzieło wydane w r. 1673, jedno z najważniejszych w dziejach dynamiki; tamże wyłożona po raz pierwszy teorya sił odśrodkowych).

ią składową zegarów,

ono bowiem odmierza równe odstępy czasu. Inne części składowe spełniają następujące zadania: 1) Ruch. wahadła spotyka rozmaite opory (tarcie o powietrze, osi o łożysko i t. p.), które sprawiają, że amplituda wahadła zupełnie swobodnego zmniej-

<®>°

■*>

pi

Fig. 89.

szałaby się stopniowo do zera; z tego powodu umieszczony jest w zegarze mechanizm, poruszany zwykle ciężarami albo sprężyną, który popędza wahadło, udzielając mu za każdem wahaniem lekkiego impulsu, celem , wyrównania straty ruchu, po-poniesionej wskutek działania oporów. Aby swoboda ruchu wahadła była jak najmniej krępowana, impuls ten powinien działać na nie wtenczas, gdy ruch jest najszybszy, t. j. w chwili przejścia przez położenie równowagi. 2) Drugiem zadaniem mechanizmu zegarowego jest zliczanie ilości wahnień dopełnionych przez wahadło i wykazywanie jej na podziałkach liczbowanych, zapomocą trzech wskazówek: sekundowej, minutowej i godzinnej.

Podwójne to zadanie spełnia przedewszystkiem t. zw. koło wychwytowe i kotwica K (fig. 89). Koło wychwytowe stanowi ostatnie ogniwo w szeregu kół zazębionych, z których pierwsze, połączone z wałem A, wprowadza się w powolny obrót, zapomocą ciężaru P i sznura owiniętego na wale. Wskutek stosownie dobranych ilości zębów, obroty dalszych kół są szybsze; najszybcej obraca się koło wychwytowe. Pod wpływem ciężaru działającego nieustannie na wał A, ruch tego szeregu kół nie byłby jednostajny, lecz wzrastałby dopóty, dopókiby nie nastąpiło zrównoważenie się siły poruszającej z oporami ruchu. Temu zapobiega kotwica K, połączona stale z wahadłem i wahająca się razem z niem około osi O. Gdy wahadło jest najwięcej odchylone na prawo lub na lewo, końce kotwicy zastępują drogę zębom koła wychwytowego, tak, iż podczas jednego wahnienia wahadła, koło wychwytowe posuwa się naprzód o jeden tylko ząb. Nawzajem, koło wychwytowe udziela kotwicy i wahadłu impulsów, potrzebnych do utrzymywania ruchu wahadła; zadanie to spełniają zęby tego koła, przesuwające się po ukośnych płaszczyznach na końcach kotwicy i wywierające na nie lekki nacisk. Wzajemne to oddziaływanie, mechanizmu zegarowego i wahadła, wytwarza, nie zupełnie wprawdzie jednostajny, ale ściśle peryodyczny ruch mechanizmu i połączonych z nim wskazówek. Ciężar lub sprężyna dostarcza siły poruszającej, wahadło kieruje tą siłą. Jeżeli wahadło bije sekundy (okres — 2 sek), wtenczas używa się koła wychwytowego o 30 zębach; ono odbywa jeden obrót w przeciągu minuty, jest więc kołem sekundowem; na osi jego osadza się wskazówkę sekundową. Jedno z dalszych kół obraca się raz na godzinę i jest kołem minutowem; z niem łączy się kilka kół pomocniczych (nie narysowanych na fig. 89), z których ostatnie porusza wska-, zówkę godzinną.

Regulowanie biegu zegara uskutecznia się przez przedłużanie, albo skracanie wahadła, zapomocą śruby umieszczonej u dolnego końca. Osobne urządzenia, których nie będziemy tu opisywali, czynią nieszkodliwym wpływ temperatury na długość wahadła. Ciężar poruszający P powinien być dostatecznie wielki, aby mógł pokonać opory tarcia w mechanizmie; wielkość jego nie ma zresztą wpływu na bieg wskazówek; jedynym regulatorem ruchu wskazówek powinno być wahadło.

ZADANIA.

ISO) Znaleźć czas wahań wahadła prostego o długości 1 m, dla <j — = 981. Odp. 1,003 écA'..

-W.

— 0,81898 sek.

1^1) Znaleźć czas wahań pręta jednolitego, bardzo cienkiego, o długości: L = 1 m, wahającego się około osi przechodzącej przez jeden z koń-ML²

ców Odp. B = - — (ust. 75), zatem x 3

\lß2) Jaka jest długość zredukowana i gdzie znajduje się środek wahań w takiem wahadle?

Odp. I = 2/3 L; środek leży w Vs długości, licząc od dolnego końca. \183) Znaleźć długość zredukowaną wahadła, składającego się z drutu o masie m i kuli o masie M, zawieszonej na końcu drutu, jeżeli L i r oznaczają długość i promień drutu, R promień kuli.

/r²    L²\

(t+t) '

(ust. T5), f —

Odp. B = M [²,5 R² + (L + R)²] + m

jwL+M (L-fR)

²/₄ R²+(L + R)² + a

(M + m)

, zatem (ust. 99,5): l =

/ r² L² \

(t + 3-)

oL

gdzie a = —— ; jeżeli g jest bardzo małym ułamkiem, wtenczas w przy-

(—h

U + R/

bliżeniu l = L -f- R -f- ²/₅

lß4) Wahadło postaci nieregularnej posiada okres 1,5072 se/.; odległość środka masy od osi = 37 cm; obliczyć ramię bezwładności wahadła względem osi (g — 981).

cm.

Odp. . k = ~)/fg = 45,7

\185) Igła magnesowa waha się około pionowej osi, okres wahań znaleziono = T; następnie przyczepiono do końców igły dwa ciężarki mosiężne o znanej postaci i marie, których łączny moment bezwładności względem osi = B₀; okres wahań igły, przy tych samych siłach magne-

rp2

tycznych, zmienił się na T'. Obliczyć moment bezwładności B samej igły.

-»Ve?

"!'l/ D

Odp. T

, stąd B = B₀

^'2 _ t² *

\1^6) Obliczyć czas wahań pod biegunem (g — 983) wahadła, które pod równikiem (g = 978) bije sekundy.

Odp. 0,99745 sek.

187) Zegar wahadłowy, regulowany w Polsce (g = 981), według czasu średniego, zostaje przewieziony pod równik; o ile będzie on tam spóźniał się na dobę?

Odp. 2 min. 12 sek.

ROZDZIAŁ VII.

O ENERGII.

102. Praca i energia. Wykonywaniu rozmaitych czyn-jmści, polegających na poruszaniu ciał, przy równoczesnem przezwyciężaniu oporów, nazywamy pracowaniem. Człowiek podnoszący ciężary, przecinający piłą drzewo, obracający kamień młyński; koń ciągnący wóz po nierównej drodze — są to przykłady wykonywanej pracy. Zdolność_do pracowania na-itywamy p n p r g i ą, W miarę wykonywania pracy zdolność ta wyczerpuje się; ilość pracy, która może być jeszcze wykonana, pracy, nagromadzonej w człowieku pracującym, a wydawanej na zewnątrz podczas pracowania. Gdy do wykonywania prac zaczęto używać machin, zamiast ludzi albo zwierząt, zastosowano pojęcia pracy i energii do materyi nieożywionej; mówi się np. że machina parowa, obracająca kamienie młyńskie, albo poruszająca piłę w tartaku, wykonywa pracę. Z nauk technicznych pojęcia pracy i energii przeszły do fizyki, a zawładnąwszy niebawem całym jej zakresem, stały się zasadniczemi pojęciami wszelkich nauk przyrodniczych.

Pracę cenimy tern wyżej, im większe są siły sprzeciwiające się ruchowi, t. j. im większe opory mają być przyzwyciężo-ne, tudzież, im obszerniejszym jest ruch, to znaczy, im dłuższą droga, wzdłuż której opór bywa pokonywany. Ciśnienie, albo usiłowanie jakiekolwiek, nie sprawiające ruchu, nie wykonywa żadnej pracy.

Zgodzono się liczyć wartość pracy proporcyonalnie do wielkości oporu i do długości drogi.

Praca jest tedy proporcyonalna do iloczynu z oporu i drogi. Podnieść bowiem kilogram na wysokość 5 m wymaga 5 razy większej pracy, aniżeli na wysokość 1 m\ podnieść 3 kilogramy na wysokość 5 m wymaga 15 razy większej pracy.

W każdym ruchu jednostajnym siły poruszające ciało rów-wnoważą się z oporami (ust. 35); w przypadku ruchów niejednostajnych możemy toż samo powiedzieć, do oporów należy jednak doliczyć także opór wynikający z bezwładności ciała poruszanego (ust, 46). Jest więc rzeczą obojętną, czy przy obliczaniu pracy pomnożymy drogę przez opór pokonany, czy przez siłę poruszającą, która ten opór pokonywa.

Qiala wykonywające pracę, bez względu na to, czy to są ciała żywe, czy materya martwa, nazywają się zwykle motorami; mówi się tedy o motorach żywych, o motorach pai owych, wodnych, elektrycznych i t. p.

; wzdłuż drogi równej

103. Miary pracy i energii. Za jednostkę pracy przyjmuje się powszechnie pracę, jednostce długości, gdy opór przezwyciężany równa się jednostce siły. Jeżeli długość drogi oznaczymy w ogóle przez s, siłę przez P, pracę przez L, natenczas, mierząc L zapomocą tak określonej jednostki, otrzymamy:

L = P .5,

t. j.\jrrcica równa się iloczynowi z siły i drogiej

Zależnie od tego jakich jednostek użyjemy do mierzenia dróg i sił, otrzymamy różne jednostki pracy; do ważniejszych należą następujące:

a) w bezie zgleßnym układzie miar (c. g. s.J:

Jednostką jest praca wykonana za pośrednictwem siły 1 dyny = 1 gr cm/sel4, wzdłuż drogi = 1 cm. Jednostkę tę na-wano: erg.

1 era =. 1 dyna-centymetr — 1 gr cm²/sek².

Z powodu że erg jest jednostką bardzo drobną jiżywa się w zastosowaniach technicznych zwyczajnie jednostki większej, bodącej jednak całkowitą wielokrotnością erga (dziesięć milionów ergów); jednostce tej dano nazwę:

Joule¹) = 10⁷ ergów.

b) w ciężarowym układzie miar:

Przyjąwszy ciężar Gr i cm jako jednostki sił i długości uzyskamy ciężarową jednostkę pracy.:

1 Gram-centymetr (Gr. cm).

Przyjmując $ = 981, mamy: 1 Gr — 981 dyn, zatem:

1 Gr. cm — 981 ergów.

W zastosowaniach technicznych mierzy się pracę częściej na kilogrammetry. Kilogrammetr jest to praca dokonana przez siłę równą ciężarowi kilograma, na drodze jednego metra:

1 Kilogram-metr (Kgm) — 1000 Gr X 100 cm — 100 000 Gr. cm — — 98 100 000 ergóiu — 9,81 Joui e’ó w.

Ciężarowe jednostki pracy mają proste znaczenie: pracę 1 Kgm wykonywamy, podnosząc jednostajnie ciało ważące 1 Kg na wysokość 1 m\ podobnie, podnosząc ciężar P {Kg), na wysokość s {metrów), wykonywamy pracę Ps (Kgm).

Jednostki pracy są zarazem jedno s Łk-am-P-C-wang i i; oner-

zasób

miarą energii jest przeto praca, która może być przezeń wykonana.

104. Obliczenie pracy. Ruch i siła są koniecznymi skład-nikami pracyj ciśnienie, choćby największe, jeśli nie sprawia ruchu, nie wykonywa też pracy; £zas-^trwaiiia...ruchu ..nie wchodzi zupełnie w określenie ilości pracy.

Może się zdarzyć, że ciało poddane działaniu siły porusza się w innym kierunku, aniżeli nań działa siła (np. ciało rzucone ukośnie pod wpływem ciężkości; ciało zesuwające się po płaszczyźnie pochyłej: statek na rzece, ciągniony przez konie idące

brzegiem i t. p.). W podobnych przypadkach rozkładamy siłę na składowe, w kierunku równoległym i prostopadłym do drogi i obliczamy pracę mnożąc drogę przez składową siły, równoległą do drogi, albo, co na jedno wychodzi, mnożymy siłę przez składową drogi, równoległą do siły. Niechaj OB P (fig. 90) wyobra-" źa siłę; OA — s drogę przebytą pod działaniem tej siły; AOB = 0 kąt zawarty między ich kierunkami. Rozłożywszy siłę P na skła-dowę równoległą OC = P cos 0 i prostopadłą do drogi: OD = P sin 0. obliczamy pracę według wzoru: L — OA X X OC, czyli:

o/Aj

\ '

L = s . P . cos 0.

Fig. 90.

Zamiast tego można wziąć iloczyn OP X OB, gdyż widocznie OP = s cos 0, zatem znowu: L = s cos 0 . P.

Jeżeli siła działa w kierunku prostopadłym do drogi (0 = 90°, cos 0 = 0) wtenczas praca jej równa się zeru. Ciągnąc np. wóz po drodze poziomej, nie wykonywamy wcale pracy przeciw ciężkości (ale wykonywamy ją przeciw tarciu). W następstwie przytoczonego tu sposobu obliczania pracy można okazać, że ' praca kilku sił, działających jednocześnie, równa się pracy siły wypadkowej- obliczając bowiem pracę każdej z nich z osobna, uwzględniamy tylko składowę równoległą do drogi Pracę wszystkich sił otrzymamy, tworząc iloczyn z drogi i z sumy tych składowych, czyli — co na jedno wychodzi — ze składowej siły wypadkowej.

105. Wykreślenie pracy. Praca nie jest wielkością kierunkową, nie daje się przedstawić jako odcinek, mający długość i kierunek; prac nie można dodawać według reguły geometrycznego dodawania. Dwie prace bowiem, równe, a wykonane w przeciwnych kierunkach, nie znoszą się. lecz warte są tyle, co praca podwójna. ; Można jednak mówić o pracy dodatnej i uje-mnej. Podobnie n. p. pieniądz (vena, majątek i t. p.) nie jest również wielkością kierunkową, może być jednak obliczany jako + i —, jako majątek i dług, aktywa i pasywa. Jeżeli robotnik wykona pracę, liczy ją sobie dodatnio, jako zasługę; jeżeli ktoś

innny wykona pracę, dla niego, albo za niego, natenczas możemy wprowadzić tę pracę do rachunku ze znakiem ujemnym.

rf

Fig. 91.

Wykreśleni e pracy ma też inny cel, aniżeli wykreślenia prędkości, sił, momentów i innych wielkości kierunkowych; służy ono do ułatwienia obliczania pracy, wtenczas mianowicie, gdy siła nie jest stała lecz zmienna. Wiedząc, że praca jest iloczynem dwu czynników P i s, możemy przedstawić ją jako pole prostokąta, którego podstawą jest P, wysokością s (obie mają być wykreślone podług pewnych przyjętych podziałek dla sił i długości). J Jeżeli wzdłuż 8 drogi s = AB (fig. 91) natężenie siły pracującej zmienia się, wtenczas dzielimy drogę na odcinki tak krótkie, żeby w obrębie każdego z nich można było uważać siłę jako stałą; biorąc długości tych odcinków jako podstawy, natężenia siły należące do nich jako wysokości, otrzymamy szereg pól prostokątnych, których suma różnić się będzie tern mniej od rzeczywistej pracy, wykonanej na drodze od A do B, im krótsze są odcinki, na które podzieliliśmy drogę. Z tego wynika, że skoro wykreślimy krzy-wę, której każdy punkt np. N ma za odciętą drogę przebytą AM, za rzędnę MN natężenia siły działającej w owym punkcie drogi, wówczas pole ograniczone tą krzywą CD, skrajnemi rzędnemi AC i BD, tudzież podstawą AB, przedstawiać będzie wartość pracy wykonanej. Jednostką pracy w tern wykreśleniu będzie pole prostokąta, którego podstawą jest długość, przedstawiająca (na obranej podziałce) jednostkę drogi, wysokością, długość przedstawiająca jednostkę siły.

\J[ndikator. Wspomnianych włas'nie wykreśleń używa sie celem wymierzenia prac3T, którą wykonywa para, poruszająca tłoki w machinie parowej. Przyrząd, rysujący krzywę wskazującą zmienność siły (ciśnienia pary), nazywa się indikatorem. Fig. 92 objaśnia zasadę takiego przyrządu. Do otworu zrobionego w cylindrze machiny parowej wkręca się mniejszy cylinder AB, w którym porusza się lekko a szczelnie tłoczek C. Na tłoczek ten ciśnie z dołu para, z góry sprężyna. Tłoczek, a z nim razem ołówek D, osadzony na końcu trzonka tłokowego wysuwa się pod wpływem ciśnienia pary do góry, o długości proporcyonalnie do tego ciśnienia. Koniec ołówka dotyka się tabliczki F, która połączona jesc za-pomocą sznurka FG z tłokiem machiny parowej i naśladuje ruchy jego (drogi), przesuwając się w ramce K tam i napowrót. Dopóki dopływ pary do małego walca jest zamknięty, ołówek zajmuje położenie odpowiadające sile = o i kreśli na tablicy, tam i z powrotem linię prostą o a. Po otworzeniu kurka B puszczającego parę, ołówek podnosi się do wysokości proporcyonalnej do każdoozesnego ciśnienia. | Podczas każdego podwójnego skoku tłoka — naprzód i wstecz — ołówek kreśli na tablicy krzy-

fi

L_

ii

bVo

Fig. 92.

wę zamkniętą 1, 2, 3, której odcięte są proporeyonalne do dróg tłoka machiny parowej, rzędne zaś do sił (ciśnień pary); pole objęte tą krzywdą jest proporeyonalne do pracy, wykonanej przez parę. Pole to należy uważać jako różnicę dwru pól: 012a — 032a. Pierwsze wskazuje pracę dodatną wykonaną przez parę, podczas ruchu tłoka naprzód; drugie przedstawia pracę, którą tłok oddaje parze, wracając i wypierając ją z cylindra.

ZADANIA.

\^88) Wiedząc, że do uciągnięc'a wozu na pewnej poziomej drodze

potrzeba siły pociągowój wyrównywającej ciężaru wozu, celem po-

ou

konania oporów ruchu, obliczyć pracę, którą wykonywają konie, ciągnąc wóz ważący 400 kg, przez 1|- km. Odp. (400 : 50) X 1510 = 12 000 Kgm.

189) Jaką liczbą wyraża się ta sama praca w bezwzględnym układzie miar? Odp. 11772 X 1C⁸ ergów.

\J90) Wiele pracy potrzeba do podniesienia ciała ważącego 8 kg na wysokość 6 m? Odp. 48 Kgm.

191) Po płaszczyźnie, pochylonej do poziomu pod kątem 26°, zesu-wTa się oiało ważące 18 kg, przebywając drogę 7 m; jaką pracę wykonywa przytem ciężkość? Odp. 7 X 18 X sin 26° = 55,2 Kgm.

x 192) Ile pracy potrzeba, aby przewieźć wóz ważący 250 kg wzdłuż drogi oOO m, wznoszącej się do góry, w stosunku 1 m na każde 8 m drogi,

50

jeżeli opory ruchu stanowią-7- część siły, którą wóz ciśnie na drogę

w kierunku prostopadłym?

250

2Ô0

Odp. 300 X — + 300 X —

50

I/® =

V 64

10 863 Kgm.

X193) Taśma gumowa wydłuża się proporcjonalnie do siły, którą ją rozciągamy; taśma mająca długość 80 cm uzyskała długość 95 cm, gdy zawieszono na niej ciężar 60 Gr. Wiele pracy potrzeba, łby tę taśmę rozcią*

60x35

gnąć do długości 115 cml Odp. Przedłużenie o 35 cm wymaga siły——— =

10

= 140 Gr. Wykreśliwszy pracę, otrzymamy trójkąt prostokątny o podsta-

35 X 140

wie 35 cm i wysokości 140; zatem L =

= 2590' Gr cm.

1(M>. Skutki pracy. Rozważanie pracy nabyło niepospolitej wagi od.czasu gdy dostrzeżono, że praca dokonana na ja-kiemkolwiek ciele, lub na układzie ciał, nie mija nigdy bez pozostawienia niezatartych śladów. W układzie, który jej podlega praca wywołuje zawsze zmiany tego rodzaju, iż zdolność układu do pracowania, a więc energia jego, zostaje przez to zwiększoną.

Mówi się zatem o wydawaniu i o pobieraniu pracy. Ciało,, które wykonywa, czyli wydaje pracę, uszczupla tern samem swą zdolność do pracowania, swój zapas energii; natomiast zwiększa się energia tego układu, na którym praca była wykonaną, który ją przyjął. Okażemy w dalszym ciągu, że zysk jednego i strata drugiego są zawsze równe. W tem oświetleniu praca przedstawia się nam jako przelewanie energii jednego układu na drugi, w skutku dynamicznego ich na siebie oddziaływania.

W następujących ustępach zadaniem naszem będzie uzasadnić w szczegółach przedstawiony tu pogląd na znaczenie pracy, a zarazem okazać, że obok dynamicznego, przelewanie energii jednego układu na drugi odbywać się może na wiele innych jeszcze sposobów. Rozważania te doprowadzą nas do zrozumienia jednej z najogólniejszych zasad fizyki, zasady wykraczającej daleko po za obręb właściwej dynamiki, obejmującej cały obszar zjawisk przyrodniczych, zasady zachowania energii.

Zmiany zachodzące w układach materyalnych; w następstwie udzielonej im pracy, bywają różnorodne, zależnie od rodzaju przezwyciężanego oporu; w rozmaitych też postaciach przejawia się ich energia. Niekiedy praca wywołuje skutki ja-wne^jłostrzegalne, w postaci zmienionego ruchu, albo zmienionego ustroju układu;, te należą do zakresu dynamiki, obejmują t. zw. dynamiczne formy energii. W innych przypadkach skutki te polegają na zmianach materyi cieplnych, chemicznych, elektrycznych i t. p.; w zmianach tych przejawiają się różne formy energii ukrytej, albo wewnętrznej. Rozpoczniemy od pierwszych.

107. Energia kinetyczna. Przypuśćmy naprzód, że jedynym oporem, który czynnik pracujący ma do przezwyciężenia, last bezwładny opór maiery i.. przeciw: zmianie ruchu. Niechaj czynnik ten działa siłą P na masę m. zupełnie swobodną, t. j. nie poddaną żadnym innym siłom, ani też nie spotykającą w ruchu swym żadnych przeszkód ani oporów. Przed rozpoczęciem działania siły, masa ta może mieć już pewną prędkość początkową, którą oznaczymy przez v₀. W przeciągu czasu t siła wywiera popęd Pć; o tyleż powiększa się pęd masy; z końcem czasu t uzyska on wartość (ust. 40, 42):

mv — mvQ -f- Pt.

JjeżfiU siła P, jak obecnie przyjmiemy, jjgst stałą, wówczas ruch będzie jednostajnie przyśpieszony, a przyśpieszenie jego bę-P

dzie —. Wskutek tego ciało przebiegnie w ciągu czasu t drogę (ust. 16):

Praca wykonana za pośrednictwem siły P, wzdłuż tej drogi, wyraża się przez iloczyn:

P² t²

L = P. s= Vq Pt 4- j

Podstawiwszy tu za Pt wartość: Pć = m (y — r₀), otrzymamy:

T mv²

mv²

(1)

L = “2“

Gdyby z początkiem czasu t masa m była w spoczynku Go == o) znaleźlibyśmy w podobny sposób: (2)

Przyjęliśmy, że siła poruszająca masę m spotyka jedyny opór w jej bezwładności; jedynym też skutkiem pracy wykonanej jest wzmożenie ruchu masy. Wzory (1) albo (2) okazują, że praca L, użyta na przezwyciężenie bezwładności, sprawia zwiększenie wyrażenia { mvf, o tyle właśnie, ile wynosi wartość pracy zużytej. Wyrażenie to — połowa iloczynu z masy i kwadratu prędkości — nazywa się energia, kinetyczną ciała poruszającego się. Wskutek wykonania pracy L energia kinetyczna powiększa

VVb Vf?    YYIV?

się (podług 1) od wartości początkowej-g⁻, do końcowej -    ;

m v₀²

a przyrost ten jest właśnie

mv²

przyrasta zatem o -■^ — —    ₀

równy pracy wykonanej. Wnosimy tedy, że zwiększenie się energii kinetycznej masy swobodnej równa się pracy sil działających na nią.

Energia kinetyczna jest nowa dynamiczna miarą „ruchu, nie mniej ważną aniżeli pęd. Znając siłę działającą na masę, możemy obliczyć przyśpieszenie; znając pracę, możemy od razu znaleźć energię kinetyczną, a tern samem prędkość wytworzoną.

gi

Energią nazwaliśmy zdolność do wykonywania pracy; okażemy teraz, że nazwa „energii kinetycznej“ została w tern znaczeniu słusznie zastosowaną. Kula działowa, skoro posiada pewną prędkość, a więc energię kinetyczną, może pokonywać różne przeszkody i opory, słowem, może wykonywać pracę; zdolność ta ustaje, gdy kula utraci prędkość, a z nią razem i energię kinetyczną. Okażemy zaraz, że energia, kinetyczna jest dokładną miarą pracy, którą masa poruszająca się może wykonać, t. j. że zgodnie z określeniem energii w ogóle, ener-iakTrTetyczna przedstawia zasób pracy nagromadzonej w ciele pod postacią ruchu.

Dajmy na to, że pewna masa m porusza się z prędkością v-jej energia kinetyczna, którą oznaczymy przez T, posiada zatem wartość:

T ==

Skoro mas&. ta trafi na opór P, t. j. na siłę usiłującą zmniejszyć prędkość jej biegu, wtenczas ruch staje się jednostajnie opóźnionym; po przebieżeniu pewnej drogi s' masa utraci ruch, utraci też energię. Przezwyciężając jednak opór P wykonała pracę L = P . s'. Obliczmy tę pracę. W ciągu każdej jed-

p

nostki czasu siła P zmniejsza prędkość ciała 07= — ; ruch usta-

v

nie tedy po upływie czasu -—. Całkowita droga, którą ciało

D2

przebiegło w ciągu tego czasu, równa się (ust. 18): s' —    =

— -—W-• =-p-. Okazuje się ztąd, że

(3)

Ps' = L = T

t. j. energia kinetuczna.równa się, całkowitej pracy, którą masa poruszająca się może wykonać, tracąc zarazem prędkość, jaką pierwotnie posiadała.

Energia kinetyczna, jako wielkość równoważna pracy, mierzy się temi samemi jednostkami miary, co praca, a więc na ergi, kilogrammetry i t. p. Nie trudno też sprawdzić, że wymiar jej jest ten sam, jak pracy (siła X długość).

Przykład. Masa m spada swobodnie z wysokości s. Praca ciężkości równa się: L — mgs. Prędkość nabyta v = J/2gs, zatem T = mgs = L, t. j. energia kinetyczna, nabyta podczas spadania, jest równa pracy cięż-kości. Nawzajem, rzucając ciało do góry, z pra^dkością v, udzielamy mu energii kinetycznej T = % mv² (pracą naszych mięśni); ciało wznosi się do takiej wysokości s, że praca mgs wykonana przeciw ciężkości, (która jest w tym razie oporem P), zużywa całkowicie energię kinetyczną t. j. s =

mg

2.7

Twierdzenia, odnoszące się do energii kinetycznej, stosują się do wszelkiego rodzaju sił i ruchów. Równania (1) i (3), udowodnione w przypadku siły stałej, stosują się również gdy masa nabywa energii kinetycz nej wskutek działania sity zmiennej, albo gdy traci energię na przezwy-

ciężenie zmiennego oporu. W tym razie możemy bowiem podzielić drogę na odcinki tak krótkie, żeby natężenie siły, w obrębie każdego z nieb, można było uważać jako stałe; równanie (1) stosuje się do każdego odcinka, przeto też do całej drogi. Równanie (1) nie przestaje również być prawdziwem, gdy kierunek ruchu jest inny, aniżeli kierunek działania siły; obliczając bowiem pracę uwzględniamy tylko tę składowę siły, która działa w kierunku ruchu, a przyrost albo ubytek prędkości zależy także tylko od tej składowej. Składowa prostopadła do toru nie wywiera wpływu na wartość prędkość', ona zmienia tylko jej kierunek, od którego znowu wartość energii kinetycznej wcale nie zależy. Okazuje się więc, że i w tym przypadku zwiększenie się (lub zmniejszenie) energii kinetycznej równa się pracy wy konanej przez siłę (lub pracy wykonanej przez masę przeciw zewnętrznym oporom). Jeżeli ruch odbywa się pod wpływem siły skierowanej zawsze prostopadle do toru, wtenczas praca jej jest stale zerem, (L = O); energia kinetyczna masy nie zmienia się wcale. Przykładem tego ruch jednostajny na kole.

108. Energia kinetyczna bryły stałej. Przez energię kinetyczną T kilku mas rozumiemy całkowity zasób pracy, który one zawierają w sobie na mocy swego ruchu. Całkowita energia kinetyczna równa się zatem sumie energii kinetycznych wszystkich mas.

W ruchu postępowym ciała stałego wszystkie cząstki: mu /%.... z których ciało się składa, mają wspólną prędkość r; zatem będzie:

T = £ mt V² + £ m₂ v² -j-.... = | Mr,

w czem M oznacza całkowitą masę ciała.

Jeżeli ciało posiada ruch obrotowy około pewnej osi, z prędkością kątową w (fig. 57), natenczas, oznaczywszy znowu przez mu m₂,    masy cząstek, na które rozłożyliśmy w myśli obra

cającą się bryłę, przez r„ r₂, r₃... ich odległości od osi obrotu, znajdziemy:

T =    (r, w)² -f £ m₂ (r₂ o>)² + 4 m₃ (r₃ w)² + ... =

= I w² S mr², czyli (ust. 74):

T — £ w² B.

[rJEnergia kinetyczna bryły obracającej się równa się połowie iloczynu z kwadratu prędkości kątowej i momentu bezwładności. Energia kinetyczna równa się zawsze pracy sił, które ją, wytworzyły. W ciele stałem odległości wzajemne cząstek są niezmienne; wskutek tego prace sił wewnętrznych, któremi cząstki ciała działają wzajemnie na siebie, są równe zeru. Z tego wynika, żeęener-gia kinetyczna ciała stałego równa się pracy sił zewnętrznych, które wprowadziły ciało w ruch.

Przykład. Ciało stałe obraca się bez tarcia około poziomej osi, przechodzącej przez środek ciężkości (fig. 60). Na tejże osi osadzony jest krążek o promieniu r; na sznurze owiniętym około krążka zawieszamy ciężką masę g. Znaleźć prędkość v jaką masa ta uzyska, spadłszy z wysoko-

V

ści s, tudzież prędkość kątową w — — ciała połączonego z krążkiem.

Jedyną siłą zewnętrzną pracującą jest ciężar pg; spadając z wysokości s wykonywa on pracę L = pgs. Energia kinetyczna, wytworzona przez tę pracę, mieści się w ruchu postępowym spadającej masy p, tudzież w ruchu obrotowym ciała i krążka około osi; całkowita energia kinetyczna przyrządu

T = $pV² + £ U)2 B

powinna być równa pracy ciężaru pg; mamy zatem pgs = ^ pv² -j- w² B — v² B

= ł lxv2 + i , ; skąd v

i²

-V

pr²

B -j- pr²

.s. Masa p, jak się z tego

p r²

B -f =3-r² '

okazuje, spada z przyśpieszeniem y = inną drogą w ust. 77.

g. To samo znaleźliśmy

ZADANIA.

\^194)£ Siła 60 dyn przyłożona do swobodnej nieruchomej masy 30 gr

działa na nią przez 7 sek; obliczyć prędkość nabytą (v), drogę (s), pracę siły

00

= 14 cm/sek' s — Ą —— X

m    60 X 7

30

lL), i eaergię kinetyczną masy (T). Odp. v = ———

dU

X (7)² = 49 cm; L = 60 X 49 = 2940 ergów; T = \ X 30 X (14)² = 2940 ergów.

\ 195) Kula ważąca 20 gr zostaje wyrzucona z karabinu z prędkością 300 misek. Obliczyć średnią wartość siły działającej na kulę we wnętrzu lufy karabinowej, wiedząc, że długość tej ostatniej wynosi 80 cm.

Odp. I- X 20 X (30000)²' = P X 80, skąd: P = % X 10⁸ dyn = 114 Kg. \l£)6) Młot ważący 1,5 kg porusza się z prędkością 10 m/seifc; ile figm wynosi energia kinetyczna? Odp. Ponieważ 1 m i 1 Kg są tu jednostka-

15

Bibl. mat.-fiz. S. Ilf, T. V1U.

X s, stąd s — 1467 m.

150000

200

mi długości i siły, przeto jednostką, masy będzie 9,81 kg; mamy tedy m = = -^7, zatem T = *-^

9.81 ’

197)    Młot powyższy, uderzywszy w głowę gwoździa, wciska go w drzewo na głębokość 1 cm; jaki ciężar (Q) należałoby położyć na gwoździu, aby woisnąć go do tej samej głębokości? Odp. Praca wykonana przez młotek równa się utraconej przezeń energii kinetycznej: 7,65 Kgm, do tego należy jeszcze dodać drobną praoę wykonaną przez ciężar młotka podczas zagłębiania się gwoździa: 1,5 X 0,01 Kgm- razem 7,665. Jeżeli ciężar Q ma dokonać takiej samej pracy, natenczas powinno być: Q X 0,01 = = 7,665, czyli Q = 776,5 Kg.

198)    Pociąg kolejowy, ważący 150 tonn, porusza się po poziomym torze, bez par}', z prędkością 12 misek; w jakiej odległości zatrzyma się on

jeżeli opory ruchu wynoszą —— ciężaru pociągu. Odp. £

zuu

9,81

(10)² = 7,65 Kgm.

150000

9,81

(12)2 =

199)    Ciało mające masę m zesuwa się na dół (bez tarcia) po płaszczyźnie pochylonej do poziomu pod kątem a, wzdłuż drogi; obliczyć prędkość v, jaką uzyska u dołu. Odp. Praca ciężkości: mgl sin a = energii kinetycznej: £ w?;², skąd v = ]/ 2 yl sin a (porówn. ust. 63).

200)    Ciało o masie m zostało rzucone w kierunku poziomym z prędkością r„; jaką prędkość (v) posiada ono, zniżywszy się o s pod poziom tego punktu, z którego było rzucone? Odp. Energia kinetyczna wynosi z początku ^ mv₀², praca ciężkości = mgs, przyrost energii kinetycznej = = mv² — i tnv₀² = mgs, skąd v = ]/ v₀² -f- 2ys.

201)    Sprawdzić to przez rozłożenie prędkości na składowe. Odp. Pozioma składowa jest stale = v₀; pionowa = |/2</s, zatem prędkość całkowita v = jak wyżej.

202)    Ile pracy potrzeba użyć, aby wprowadzić w ruch obrotowy koło zamachowe ważące 4C0 Kg, mające ramię bezwładności = 60 cm, a mianowicie aby udzielić mu prędkości kątowej: 2 obrotów na sek?

Odp. L = energii kinetycznej = £ Bo>², gdzie B = 400000 (60)² gr. cm²-, ó> = 4tc = 12,566, zatem L = 1,137 X 10¹¹ ergów. Podzieliwszy to przez stosunek kilogrammetra do erga (ust. 103) znajdziemy L = 1159 Kgm.']

203)    Obliczyć tę samą pracę bezpośrednio w Kgm. Odp. w zostaje

jak pierwej; B wyraża się teraz liczbą _ 8rc² X 400 X (0,6)²

400

9,81

- X (0,6)²; zatem L =

9,81

= 1159 Kgm.

204) Jednolity walec kołowy, mający masę = m i promień = r, stacza się po płaszczyźnie pochylonej do poziomu pod kątem a, wzdłuż dro-gi s; obliczyć prędkość (v) i przyśpieszenie (y), jakie posiada oś walca. Odp. Praca ciężkości: L = mgs sin a. Energia kinetyczna walca w ruchu postępowym = £ mv². Walec staczający się z prędkością v, obraca się j«.-

V

dnocześnie około osi z prędkością kątową ü> = — . Całkowita energia

v2

kinetyczna wynosi więc: T = ^ mv² -f- £ B — = L. Stąd znajdziemy, kla-, B

dąc — = k², gdzie k jest ramieniem bezwładności względem os':

-V‘

gr² sin a r² + k²

(ust. 75), przeto y = ²/₃ g sin a (porówn. zadanie 145).

205) Na obwodzie cienkiej obręczy, o promieniu 20 cm, ważącej 800 gr, owinięta jest nitka, której górny koniec przytwierdzony do powały. Jaką prędkość uzyska środek obręczy, gdy dozwolimy jej spadać z wysokości 4 ni? Odp. Praca ciężkości L =313 920 000 ergów = (800 X 981 X 400). Energia kinetyczna ruchu postępowego = \ X 800 X fl²; ruchu obrotowego toż samo (bo r = lcy, przeto: 800 v² = 313 920 000; v = 626 cm/sek.

. s, zatem y =

g r² sin a

r² -f- k² ’

Ponieważ dla walca k² = J r²

\ Jeżeli ciało poddane działa-

109

niu siły nie jest zupełnie swobodne, a więc, jeżeli działają na nie jeszcze inne siły lub opory, które muszą być przezwyciężane podczas ruchu, wtenczas praca wykonana przez siłę poruszającą nie-objawi się w całości pod postacią energii kinetycznej. Energia kinetyczna będzie w tym razie mniejsza, o tyle, ile wynosi praca użyta na przezwyciężenie owych sił.

Przypuśćmy np., że ciało uważane porusza się z pewnem tarciem, jak wóz opatrzony hamulcem. Jeżeli użyjemy siły wystarczającej zaledwie do zrównoważenia tego oporu, wówczas ruch, raz zaczęty, odbywać się będzie jednostajnie; energia kinetyczna nie powiększy się, jakkolwiek wielką byłaby droga, a więc i praca wykonana. W tym przypadku, zdawałoby się, praca została zupełnie i bez śladu zmarnowaną; w każdym razie nie nagromadziła się w postaci energii dynamicznej. O tem co się z nią stało będzie mowa osobno, w ust. 114.

Przyjmijmy natomiast, że ciało porusza się bez tarcia, ale jest uwiązane do sprężyny (fig. 98), która wypręża się, gdy je przesuwamy. Jeżeli znowuż przyłożymy siłę P, wystarczającą właśnie do przezwyciężenia oporu sprężystego tej sprężyny, to,

jak poprzednio, energia kinetyczna nie wytworzy się; dostrzegamy jednak, że praca wykonana przez nas nie została zmarnowaną: w napiętej sprężynie tkwi bowiem zdolność oddania tej pracy, skoro mianowicie dozwolin^ jej rozprężyć się i powrócić do pierwotnego ustroju. Sprężyna napięta (napięty łuk i t. p.)

Fig. 93.

jest zatem zbiornikiem nagromadzonej pracy, posiada więc energię. Nie jest to jednak energia ruchu, kinetyczna;łona zależy od zmienionego położenia wzajemnego części układu';—od zmienionego ustroju sprężyny—nazywa się energią położenia albo energią potencyalną.

W podobny sposób nagromadza się energia potencyalna gdy odciągamy kawałek żelaza od magnesu, gdy podnosimy ciężar na wyższy poziom i t. p. We wszystkich podobnych przypadkach praca wykonana przez nas przeprowadza ciała lub ich części w nowe, korzystniejsze, względem siebie położenia; wracając do pierwotnych, one wykonywają, zwracają włożoną w nie pracę, pozbywając się zarazem energii potencyalnej. Nakręcanie zegarka, wagowego lub sprężynowego, jest to takie nagromadzanie, kosztem naszej pracy, energii potencyalnej w sprężynie lub ciężarze, energii, która następnie zużywa się stopniowo, przez dobę lub więcej, na dostarczanie pracy potrzebnej do utrzymania mechanizmu w ruchu t. j. do pokonania tarcia kółek, oporu jaki powietrze przedstawia ruchowi wahadła i t. p.

Jeżeli zastanowimy się, dlaczego praca marnuje się, gdy pokonywa tarcie, a natomiast może być odzyskaną, nagromadza się w postaci energii potencyalnej, jeżeli oporem przezwyciężanym jest ciężkość, sprężystość, przyciąganie magnesów lub elektryczne ii., to dostrzeżemy bez trudu, żelprzyczyną jest różnica w sposobie działania tych dwu kategoryi sił. Tarcie przeszkadza zawsze ruchowi ciał, czy on odbywa się w tę czy ową stronę, naprzód lub wstecz. Ciało przesunięte wbrew tarciu, nie może następnie cofnąć się z pomocą tarcia, praca tarcia nie może nigdy być ujemną, nie może być zwróconą, albo odrobioną. Siły działające na podobieństwo tarcia rozpraszają zatem, nie nagromadzają pracę, nazywają się też siłami rozpraszaj ącemi. Tu należy tarcie ciał stałych; opór powietrza, i innych płynów, w ogóle t. zw. tarcie wewnętrzne; pewne siły elektryczne i magnetyczne, w działaniu swem podobne do tarcia; siły występujące przy uderzeniu się ciał niesprężystych. i t. p.

Inny jest sposób działania ciężkości, sprężystości, przyciągania magnetycznego i t. p.; praca użyta na przezwyciężenie tych sił nie rozprasza się, lecz zachowuje się, jako energia potency alna, są to t. z w. siły zachowawcze. Natężenie i kierunek ich działania określone są tylko przez wzajemne położenia ciał, między któremi działają (np. żelaza i magnesu, albo lepiej dwu magnesów). W danem położeniu wzajemnem działanie ich jest jednakie, czy ciała idą naprzód, czy wracają się wstecz, czy poruszają się szybko, czy wolno. Jeżeli tedy podniosę ciężar do góry, nakładem pewnej ilości pracy, albo ugnę sprężynę, to odzyskam włożoną pracę w całości, gdy dozwolę sprężynie lub ciężarowi wrócić do pierwotnego położenia; licząc pracę odzyskaną ze znakiem ujemnym otrzymam w końcu zero, jako wartość całkowitej wykonanej pracy. Jest to cecha odznaczająca wszelkie siły zachowawcze. Ażeby rozpoznać, czy siły czynne w jakim układzie materyalnym są zachowawcze lub nie, dość będzie poprowadzić ciała należące do układu po jakichkolwiek zamkniętych w sobie obwodach jt. j. doprowadzić je w końcu do położeń pierwotnych; jeżeli łączna praca wykonana (suma algebraiczna wszystkich prac) okażę się równa ?eru, będzie to świadectwem, że siły są zachowawcze. Cechy tej tarcie widocznie nie posiada, na obwodzie zamkniętym w sobie praca nie będzie zero, przeciwnie, będzie zawsze tern większą, im dłuższy obwód.

Miarą energii potencyalnej, nagromadzonej w układzie zachowawczym, w jakiemkolwiek jego położeniu, jest ilość pracy, którą\ trzeba wykonać, żeby przeprowadzić układ z wolna, z położenia przyjętego za początkowe ²) do położenia lub ustroju uważanego. Kształt torów, po których prowadzić będziemy ciała nie może tu mieć żadnego znaczenia, skoro na wszelkich drogach zamkniętych w sobie łączna praca ma być zero, boć możemy po różnych drogach iść naprzód, a zawsze po tej samej wracać. Tak np. energia poten-cyalna luku napiętego jest równa całkowitej pracy wykonanej podczas napinania, jakkolwiekbyśmy urządzili to napinanie; gdyby się okazało, że w rzeczywistości tak nie jest, znaczyłoby to, że sprężystość łuku nie jest doskonałą, że nie jest, w ścisłem znaczeniu tego wyrażenia, siłą zachowawczą. Energia potencyal-na zależy zatem tylko od rozmieszczenia ciał lub ich części, nie zależy od tego, w jalei sposób one do tych położeń doszły.

Układ uzbrojony w energię poteneyalną (np. sprężyna napięta, magnes odsunięty od drugiego, który go przyciąga, albo zbliżony do takiego, który go odpycha) oddaje w całości pracę nagromadzoną, gdy powraca zwolna do położenia początkowego, przezwyciężając przytem jakieś zewnętrzne opory — jak ciężar poruszający mechanizm zegarowy. Gdyby jednakże takich oporów zewnętrznych, mogących odebrać pracę, nie było — gdybyśmy np. przecięli sznur, na którym wisi ciężar u zegara — wówczas cały ten zapas pracy pozostałby w układzie i wyszedłby na jego korzyść. Podczas powrotu do położenia początkowego praca sił działających między częściami układu wprowadzi masy w ruch, wytworzy (wedł. ust. 107) energię kinetyczną, w ilości ściśle równoważnej ilości pracy, a więc ilości zużytej energii poteneyalnej. Ciężar odcięty od zegara spadnie z prędkością wzrastającą, sprężyna rozprężająca się swobodnie zacznie drgać. Zużycie energii poteneyalnej wynagradza się wtenczas (w układzie swobodnym) nabytkiem równej ilości energii kinetycznej — która może znowuż wstecz w poteneyalną się przeobrazić (przykład: kula doskonale sprężysta spada na ziemię i odbija się znowu do góry). Obadwa te rodzaje energii są zupełnie równoważne sobie, stanowią dwie formy t. z w. energii dynamicznej; mierzą się temiż samemi miarami, miarami pracy (ust. 103).

Dla energii poteneyalnej, którą oznaczać będziemy literą U, nie ma jednej powszechnej formuły, jak ta, którą wyrażamy energię kinetyczną — chyba, że napiszemy U = L co oznacza, że energia poteneyalną mierzy się pracą użytą do jej wytworzenia. Zależność atoli energi poteneyalnej od wzajemnego położenia ciał, lub części uważanego układu, musi być w każdym przypadku zbadana doświadczalnie. Ilekroć znane są dokładnie

prawa działania sił czynnych w układzie, wówczas można też obliczyć wartość energii potencyalnej w każdem położeniu, jak to okaże następujący przykład.

Energia ciał ciężkich. Podnosząc ciało o masie m na wysokość z, nad pierwotny poziom, wykonywamy przeciw ciężkości pracę L = mgz, bez względu ozy podnosimy je pionowo do góry, czy po drodze ukośnej lub krzywej. Jeżeli bowiem droga s zawiera z pionem kąt 6, »wtenczas wartością pracy wykonanej będzie: mgs cos 6 (ust. 104) cz^li mgz, gdzie z = s cos 6 oznacza różnicę wysokości poziomów przechodzących przez początkowy i końcowy punkt drogi; obliczając pracę wykonaną przeciw ciężkości, liczy się zatem tylko pionowe składowe dróg. W ciele podniesionem do wyższego poziomu mieści się więc zapas energii potencyalnej: U — mgz, równy pracy użytej p*zy podnoszeniu. Dozwólmy w istocie ciału spadać do pierwotnego poziomu, po jakiejkolwiek prostej albo krzywej drodze, natenczas, powróciwszy do poziomu dolnego uzyska ono prędkość: v — ]'/2gz (ust. 63) a zatem energię kinetyczną T = \ mv² = mgz = U. Na miejsce energii potencyalnej pojawia się więc równoważna ilość kinetycznej.

w wysokości z₀ =

, gdzie M = mt -j- w₂ -j- m₃ -j-

Gdy

Obliczając pracę wykonaną przeciw ciężkości, przy podnoszeniu ja-kiegobądź ciała, stałego albo płynnego, mnożymy całkowity ciężar ciała przez wysokość, do której podnosi się środek ciężkości ciała nad pierwotny poziom. Jeżeli bowiem ciało składa się z cząstek mu m₂, m₃ i t. d., a cząstki te znajdują się początkowo w wysokościach zt, t₂, z$ i t. d. nad pewnym poziomem, wówczas środek ciężkości (albo masy) znajduje się (ust. 51) m, zt -f- m₂ z₂ -j-....

podniesiemy ciało do góry, tak iż »/, wzniesie do wysokości Z,, m₂ do Z2 i t. d. nad tenże sam poziom, (przyczem nawet kształt ciała może się zmienić), wykonamy ogółem pracę: L = mxg (Z,— *t) -j- m₂g (Z₂—z₂) -f-.... Jeżeli oznaczymy przez Z₀ wysokość środka ciężkości w nowem położeniu

ciała, wówczas będzie Z₀ = my, że:

. Uwzględniwszy to widzi-

mi Z, -j-m₂ Z₂ -}-•••.

L = y M Z₀ — gMz₀ czyli L = My (Z₀ — z₀).

Z₀—z₀ oznacza wzniesienie się środka masy. Aby np. obliczyć pracę wykonaną przeciw ciężkości przy budowie domu ceglanego, pomnożymy ogólny ciężar wszystkich cegieł, przez wysokość środka ciężkości domu, nad poziomem, w którym znajdował się pi* rwotnie środek ciężkości ma-teryafu budowlanego.

110. Układy zachowawcze i rozpraszające. Układ ma-teryałny, między częściami którego działają tylko siły zachowawcze, z wykluczeniem tarcia i wszelkich innych sił rozpraszających, nazywa się układem zachowawczym. Już to określenie wskazuje, że układ taki nie jest możliwy w przyrodzie, gdyż wiadomo, że tarcia nie można nigdy całkowicie się pozbyć. Można jednak, zmniejszając opory ruchu, w myśli przynajmniej, zbliżyć się dowolnie do warunków idealnych układu zachowawczego. Wyobraźmy sobie np. wahadło, zawieszone na osi obracającej się bez tarcia, umieszczone w naczyniu zamkniętem, z którego wypompowano powietrze, żeby pozbyć się także oporu, który ono w ruchu przedstawia. Wahadło takie, łącznie z ziemią, która przyciąga je siłą ciężkości, stanowiłoby układ zachowawczy; jedynemi siłami czynnemi w tym układzie byłaby ciężkość, która jest siłą zachowawczą i reakcye punktów oparcia osi, które nie wchodzą tu w rachubę, gdyż nie wykonywają, ani nie spożywają żadnej pracy. Odchylając wahadło (ciężar jego — Q) zwolna, dopóki jego środek ciężkości nie wzniesie się na wysokość z nad poziom, w którym znajdował się w równowadze, wykonamy pracę (ust. 109) L = ÇU. Pozostawione samemu sobie wahadło takie wahałoby się bez ustanku; energia jego, w położeniach skrajnych wyłącznie potencyal-na, w chwili przejścia przez położenie równowagi wyłącznie kinetyczna, zachowywałaby bez zmiany wartość stałą. Spadając, wahadło traci energię potennyalną U, ale strata ta równoważy się nabytkiem równej ilości energii kinetycznej T. Zawsze byłoby:

(1)

T + U — stała L.

W każdym układzie zachowawczym, odosobnionym, całkowita energia, złożona z części kinetycznej i potencyalnej, zachowuje niezmiennie statt { wartość, równą pracy użytej celem wprowadzenia go w ruch. Z układu takiego możnaby każdej chwili odzyskać włożoną weń pracę, w ilości nieuszczuplonej. Inny przykład: kula doskonale sprężysta spada (w próżni) na doskonale sprężystą podstawę, odbija się do pierwotnej wysokości, spada ponownie i t. d. bez końca.

Zasada mechanicznego perpetuum mobile. Najpospolitsze doświadczenia przekonywają nas, że układy podobne do opisanych wyżej nie zdarzają się nigdy w przyrodzie. Układem do zadxoAvawßzego najbardziej jeszcze zbliżonym byłby może układ planetarny Planety poruszają, się bowiem w przestrzeni niemal zupełnie próżnej, pod działaniem sił wzajemnego przyciągania się, które są siłami zachowawczemi (rozdz. nast.). Krążąc około słońca przyśpieszają biegu, ilekroć do słońca się zbliżają (ust. 20) — odpowiada to przemianie energii poteneyalnej na kinetyczną — podczas oddalania się ruch ich wolnieje. Odkąd pamięć ludzka sięga nie dostrzeżono żadnych objawów rozpraszania się tej energii, np. zwolnienia obrotu ziemi około osi* Nie można jednak wątpić, że powolna zatrata energii dynamicznej odbywa się wciąż w układzie tym, aczkolwiek jest niesłychanie mało znaczną, w porównaniu z ogromnymi zapasami, nagromadzonymi w olbrzymich masach planet? Znane są bowiem w układzie planetarnym działania niewątpliwie rozpraszające, jak np. spotykanie się ziemi i innych planet z meteorytami, trącymi się o atmosferę aż do rozżarzenia (gwiazdy spadające) — tarcie się wód oceanu o lądy, cieśniny, podczas codziennego przypływu i odpływu morza, i t. p. Układ słoneczny nie jest zatem z pewnością ściśle zachowawczy.

¹

Czytaj: Dżul.

²

Wartość energii potencyalnej zależy wskutek togo od wyboru położenia początkowego. Energia potencyalna ciężaru będzie inna względom powierzchni ziemi, inna względem dna studni.

Odwieczne, a zawsze bezskuteczne próby i doświadczenia dowodzą, że niepodobna zbudować machiny? któraby, wprowadzona w ruch, poruszała się, sama przez się, bez ustanku (per-petuum mobile) wetując sama w sobie straty energii dynamicznej, ponoszone wskutek nieuniknionych tarć, uderzeń nie-sprężystych i t. p. Niepodobna urządzić zegara, któryby sam się nakręcał, ani wozu, któryby sam się poruszał, nie zasilany z zewnątrz pracą (albo jakim jej równoważnikiem, węglem, prądem elektrycznym, w ogóle energią w jakiejbądź postaci). Nie ma tedy lepiej ugruntowanej ogólnej zasady fizycznej jak następująca (zasadą niemożliwości perpetuum mobile): W żadnym uli ladzie materyalnym, odosobnionym, a poruszającym się, zapas pracy nagromadzonej nie zachowuje się bez zmiany. Ilość pracy, letórą można odebrać z takiego układu, sproivadzajac go do początkowego stanu, zmniejsza się ustawicznie z biegiem czasu. Wahadło wprowadzone w ruch, zatrzyma się w końcu, chociażbyśmy wszystko uczynili, co jest praktycznie możebnem, żeby zmniejszyć opory ruchu; piłka sprężysta, spadając na ziemię, odbija się za każdym razem niżej i t. p.

Zasada powyższa orzeka nietylko, że energia dynamiczna nie może z niczego powstać, lecz wymaga zużycia równoważnej ilości pracy—ona stwierdza nadto tę cechę powszechną układów materyalnych, że usiłują one zawsze zatracie nagromadzone-w nich zapasy energii dynamicznej. Obaczymy zresztą, że energia ta nie ginie, lecz przeobraża się w inne, niedynamiczne-formy.

Zasada pracy przygotowanej. Jakkolwiek tedy układy ściśle zachowawcze nie istnieją w przyrodzie, rozważanie własności ich nie jest jednak bez korzyści, pozwala bowiem zrozumieć własności takich układów, które bodaj w przybliżeniu można uważać jako zachowawcze; wszakże opisując wyżej np. spadanie ciężarów, albo ruch wahadła, rozważaliśmy te zjawiska tak, jakgdyby one odbywały się w sposób zachowawczy t. j. zaniedbywaliśmy opór powietrza, tarcie i t, p.

W szczególnie prosty sposób można określić warunki równowagi układów materyalnych, o ile one mogą być uważane jako zachowawcze. Wyobraźmy sobie jakikolwiek układ zachowawczy, utrzymywany nieruchomo, w jakiemkolwiek położeniu, zapomocą stosownych sił zewnętrznych (np. wahadło odchylone od pionu, trzymane nieruchomo). Jeżeli układ taki puścimy t. j. pozostawimy go samemu sobie, wówczas zacznie on. w ogólności, poruszać się, pod wpływem sił, które w nim samym są. czynne. Jego energia kinetyczna zacznie wzrastać, a przeto poteneyalna musi od razu zmniejszać się, gdyż suma obu tych form energii w odosobnionym układzie nie może się zmienić. Układ zachowawczy odosobniony może zatem tylko wtenczas zacząć poruszać się. gdy to poruszenie się będzie połączone z ubywaniem energii poteneyalnej, a więc gdy siły czynne iv układzie wykonywają prżytem dodatną pracę.

Gdybyśmy znaleźli takie położenie lub ustrój układu, iż każde malutkie przesunięcie z tamtąd, powodowałoby ujemną pracę sił działających między jego częściami, wówczas układ nie mógłby żadną miarą opuścić tego położenia z własnej mocy, znajdowałby się koniecznie w równowadze (jak wahadło wiszące w pionie, na którem ciężkość wykonywa przecież ujemną pracę, gdy odchyli się w jakąkolwiek stronę od pionu). Naruszenie równowagi nie mogłoby zresztą nastąpić także wtedy,, gdyby praca ta była równa zeru.

Praca sił czynnych w układzie, wykonana w jakiemkolwiek malutkiem przesunięciu części składowych, zgodnemzjego

ustrojem, nazywa się pracą przygotowaną. Widzimy tedy, że układ będzie na peivne w równowadze, w każdem tukiem położeniu, w którem praca przygotowana, odpowiadająca wszelkim możebnym przesunięciem, jest ujemną (albo zero) — jeżeli oczywiście pomieścimy układ w tern położeniu już początkowo bez ruchu.

ZADANIA.

206) (Siły zachowawcze). Ile wynosi energia potencyalna ciała ważącego 50 gr, które podniesiono na wysokość 4 m. Odp. 50 X 981 X 400 = . = 19 620 0C0 ergów, albo 50 X 400 = 20000 Gr. cm.

207> Obliczyć osobno energię kinetyczną T, osobno poteneyalną U, powyższego ciała, podczas spadania, gdy wysokość jego nad poziomem wynosi 4, 8, 2,1, 0 m. Odp. a) T = o, U = 19 620 000 ergów, b) T = 4 905 0C0 ergów, U = 14 715 000 erg.- o) T = Ü = 9810 000 erg.- d) T = 14 715 000, U = = 4 905 000; e) T = 19 620,000, U = o.

208) Sprężyna pewna o długości = 60 cm, obciążona ciężarem 20 Gr

1

10

przedłuża się o —— część długości pierwotnej; ile energii potencyalnej

mieści się w tej sprężynie, gdy ją wydłużymy o \ pierwotnej długości? Odp. 30 X 100 Xł= 1500 Gr. cm.

209) Ciało o masie m, przytwierdzone do bardzo lekkiej sprężyny (której masę opuszczamy) zostało odchylone z położenia równowagi i wykonywa następnie ruch drgający prosty, w okresie t, z amplitudą o. Obliczyć dla jakiejbądź chwili: energię kinetyczną T, poteneyalną U,

2 TC t

tudzież całkowitą energię E = T j- U. Odp. Wzory: s = a sin

4tc?

i T = ~T s (ust. 22, 24) dają:

X²

2 a²it² m

2 a Tc

V =---cos

2 TC t

4 Tc² m

X²

. s, zatem (J = | P . s =--

X²

sin²

2 TC t

T = i- m v² =

2 a²K²m

2 TI t

x²

cos² — ; , E =

2 a² Tc² m

X²

210)    Wahadło złożone, ważące 800 Gr, w którem odległość środka ciężkości od osi wynosi 75 cm, zostało odchylone z pionowego położenia o kąt 42°; ile energii uzyskało ono wskutek tego? Odp. 800x75x2 sin² 21°= = 15 412 Gr. cm.

211)    Obliczyć energię kinetyczną układu, składającego się z dwu kul doskonale sprężystych: przed uderzeniem i po uderzeniu (podług wzo-

ru 5, ust. 53). Odp. Wzór rzpozony daje: ^ m, «,²-|- \ ?w₂ t<₂² = mt vt² -j-+ 2 wt, r₂² t. zn. energia kinetyczna nie ponosi straty wskutek uderzenia się kul doskonale sprężystych.

212) Ile pracy potrzeba użyć celem wypompowania 200 litrów wody ze studni, o przekroju kwadratowym (bok = 1 tn), do zbiornika pryzmatycznego o podstawie poziomej i również kwadratowej (bok = 0,3 m\ jeżeli dno zbiornika znajduje się w wysokości 8 m nad pierwotną, powierzchnią wody w studni? Odp. 200 X 10,32 = 2064 Kym.

(Siły rozpraszające) 213) Piłka gumowa, ważąra 60 gr, puszczona na ziem:ę z wysokości 2 m, odbiła się na wysokość 1,5 m; ile energii dy-n imicznej zniknęło podczas uderzenia? Odp. 3030 Gr cm.

— (1—k¹) (vt— r₂)².

7/ł, -f ł/ł₂

215) Wahadło ważące 500 gr, w którem odległość środka ciężkości

214) Obliczyć stratę energii w uderzeniu się dwu kul, dla których stosunek prędkości odbicia, do prędkości uderzenia wyraża się liczbą k. Odp. Wzory (4) ust. 53 dają: (£ m, v,² + ^ ?//₂ v₂²) — (| w», w,² -f- \ m₂ m²₂) == mx r/i₂

od osi wynosi 60 cm, odchyla się z początku o 20° od pionu; po niejakim czasie odchylenie jego zmniejsza się wskutek różnych oporów do 10°. Ile energii utraciło ono w przeciągu tego czasu? Oip. 2 X 500 X 981 X X 60 X (sin² 10°—sin² 5°) = 1327800 ergów.

216) Wóz ważący 200 kg wyciągnięty został na wzgórek o wysokości 10 m, wzdłuż drogi o długości 60 t/i; na pokonanie samego tarcia użyto siły 4 ky. Ile pracy użyto w całości, ile energii zostało, ile pracy rozproszono? Odp. 2240, 2000, 240 Kjo/j.

111. Machiny. Machinami zowiemy zestawienia ciał, służące do tego, aby zastosować pracę w sposób do pewnego celu najwłaściwszy. Jeżeli np. praca mająca się wykonać polega na rozrywaniu ziaren zboża na drobne cząstki, celem uzyskania mąki, wtenczas najwłaściwszą rzeczą będzie zastosować kamień młyński, połączony z szeregiem kół zazębionych i t. p., poruszanych zewnętrzną siłą. W machinę taką wkładamy pracę z ze wnątrz, obracając ją; jednocześnie ona oddaje, wykonywa pracę tam iyîakiej formie, jak tego w dandm przypadku pragniemy.

Machina, nie mająca sama w lobie jakiegokolwiek źródła energii, nie ulegająca podczas przenoszenia pracy żadnej zmianie wewnętrznej, nie może ivydaé iviçcej pracy, aniżeli jej z zewnątrz udzielono; w przeciwnym razie stanowiłaby perpetuum mobile, byłaby niewyczerpanem źródłem energii. Machiny tego rodzaju

nazywają, się rob o czerni. Tu należą np. kamienie młyńskie, machiny wiertnicze, hyblarki, windy, dźwignie, śruby i t. p.

Do poruszania machin roboczych potrzebne są machiny dostarczające pracy, czyli t. zw. motory. One również nie stwarzają pracy, lecz wydają ją w zamian za energię dostarczaną im w jakiejkolwiek postaci; tu należą motory wodne (koła i turbiny), motory parowe, gazowe, elektryczne, żywe i t. p.

Gdyby między częściami składowemi machin roboczych nie istniało tarcie, wstrząśnienia i inne siły rozpraszające, natenczas praca udzielona im z zewnątrz, mogłaby być w całości odzyskaną, gdyż wtedy n oglibyśmy uważać je jako układy zachowawcze. Na tej zasadzie można w wielu przypadkach zdać sobie sprawę ze sposobu działania machin i z korzyści jakich one dostarczają.

Jeżeli na pewien punkt machiny działa siła zewnętrzna P, a pewien drugi punkt machiny pracuje, t. j. pokonywa zewnętrzny opór Q, wówczas zależność sił P i Q można znaleźć w sposób następujący. Skoro pierwszy z tych punktów poruszy się pod działaniem siły P o długość nątenczas praca udzielona machinie będzie = P.f. Droga, wzdłuż której opór Q został jednocześnie odparty, niech będzie = a; długość jej zależy w każdym przypadku od konstrukcyi machiny; praca wydana przez machinę wynosi więc Qa. Otóż w najkorzystniejszym przypadku, gdyby nie było straty pracy w samejże machinie, wskutek tarcia i tFp., mielibyśmy:

Ps - Q a.

Zapomocą małej siły P można łatwo pokonać większy opór Q, jeżeli droga oporu a będzie dostatecznie krótka w stosunku do drogi siły Zysk na sile równoważy się stratą na drodze; Q będzie w tym stosunku większe od P, w jakim s jest większe niż a.

- 'la

Weźmy np. pod uwagę śrubę, używaną w prasach do ściskania ciał (fig. 94). Krok śruby niech wynosi h; śruba posuwa się zatem przy je inym obrocie o h naprzód. Jeden koniec śruby obracamy zapomocą dźwigni o długości 7, używając siły P.

Fig. 94.

Siła Q, wywarta w prasie, będzie tyleż razy większa niż P, ile razy obwód koła o promieniu l (droga siły P przy jednym obrocie), jest większy niż krok śruby (droga siły Q). Mamy bowiem:

s = 2 K Ï, a = h zatem

2kIP = Q h skąd Q

Rozważania tego rodzaju stosują się przedewszystkim do rozwiązywania zagadnień statycznych, t. j. do znalezienia warunków równowagi sił P i Q działających na machinę. Dostrzeżemy bowiem łatwo, że są to zastosowania ogólnej zasady pracy przygotowanej.

Jeśli chodzi o machiny będące w ruchu, wtenczas należy uwzględnić także zmiany energii kinetycznej samej machiny. Praca udzielona machinie zużywa się wtedy: 1-sze na powiększenie energii kinetycznej samej machiny; 2-gie na pokonanie oporów zewnętrznych, czyli na pracę użyteczną, do której machina jest przeznaczona; 3-cie na pokonanie oporów wewnętrznych, czyli szkodliwych (tarcie, wstrząśnienia). Skoro ruch machiny stanie się jednostajny t. j. gdy energia kinetyczna machiny przestanie się powiększać, praca udzielana jej dzieli się na części wymienione pod 2 i 3. Jeśli usuniemy albo zmniejszymy opory 2, wtenczas nadmiar pracy udzielonej objawi się w zwiększonym ruchu samej ma-chi-n}\ Dzieje się to np. gdy odczepimy machiny robocze od motoru. Ruch jego wzmaga się wówczas, dopóki nie nastąpi (przez zwiększenie oporów 3, wskutek zwiększonej prędkości) nowa równowaga pracy udzielonej i pracy straconej 3.

112. Dzielność (Skutek). W praktycznem zastosowaniu motorów chodzi nam nietylko o ilość wykonanej przez nie pracy, ale także o czas, w ciągu którego została wykonaną. Praca jest tem użyteczniejsza, im w krótszym czasie bywa wykonana. Woda sącząca się kroplami może w ciągu lat wykonać tyleż pracy, ile jej wykonywa obfity wodospad w przeciągu niewielu sekund; w drugim razie jednak cenimy oczywiście źródło pracy wyżej; do celów praktycznych ono jest użyteczniejsze. Wątły robotnik może wprawdzie wykonać bardzo znaczną pracę, jeśli ona będzie rozłożoną na długi przeciąg czasu; dzielnym wszakże nazwiemy takiego, który zdoła wykonać ją szybko. Pojęcie dzielności stosujemy nietylko do motorów żywych, lecz do wszelakich źródeł pracy i energii.

Za miarę dzielności motoru lub jakiegokolwiek innego źródła pracy lub energii przyjmuje się pracę lub energię wydawaną, przypadającą na jednostkę czasu. Dzielność określamy zatem jako stosunek pracy, do czasu, w ciągu którego została wykonaną. Zważywszy, że praca jest proporcyonal-

na do siły działającej i do drogi, droga zaś przypadająca na jednostkę czasu jest miarą prędkości, widzimy że dzielność jest proporcyonalna do siły i prędkości, z jaką siła pokonywa opory. W istocie, jeżeli np. siła jest stała, a ruch jednostajny, wten czas mamy:    t

L = Ps;

oznaczając przez K dzielność, znajdziemy:

P ,9

— Pr.

Jednostki dzielności, a) W bezwzględnym układzie miar jednostką dzielności będzie:

erg na sekundę =

: seit —

gr. cm²

sek²

gr. cm²

sek³

W zastosowaniach technicznych używa się wyłącznie niemal wielokrotności tej jednostki, sama jest bowiem zbyt drobną; mianowicie są w użyciu:

Watt — 10⁷ ergów na sekundę. Kilowatt = 1000 Wattów\

nazwy te wybrano na pamiątkę znakomitego wynalazcy machiny parowej:

b) W układzie ciężarowym:

Gramcentymetr na sekundę = 981 ergóio na sek.

Kilogrammetr na sekundę = 100 000 gramcentymetr ów na sek.

= 98100000 ergów na sek.

= 9,81 Wattów.

Koń parowy — 75 Kgmjsek — 736 Wattów.

Dzielność człowieka dorosłego wynosi 6 — 11 Kgm/sek, zależnie od swobody ruchów przy pracy; konia: 40 — 70 Kgm/sek, t. j. 0,53 — 0,93 konia parowego.

113. WATTMCTRV- Wymierzenie pracy dostarczanej przez motory jest zadaniem znacznej doniosłości praktycznej; do pomiarów tych używa się przyrządów zwanych wattmetrami ¹). Praca przenosi się zwykle z motorów do machin roboczych za pośrednictwem wału, obracającego się jednostajnie, połączonego z machinami roboczemi zapomocą pasów rzemiennych. Praca przeniesiona za pośrednictwem wału, w przeciągu pewnego czasu, równa się iloczynowi z momentu sity jalci wal wywiera, przez kąt (w mierze łukowej) o który w ciągu uważanego czasu ical się obrócił. Dzielność równa się przeto iloczynowi z tegoż momentu, przez przędkość kątoicą obrotu walu. Jeżeli bowiem pomyślimy, że działanie obracające motoru na wał zastąpiono siłą P, z ramieniem r, natenczas praca tej siły w ciągu jednego obrotu, (równa pracy motoru) wynosić będzie: 2itr X P, albo 2% X Pr;, oznaczywszy przez n ilość obrotów wału na sekundę, otrzymamy jako wyrażenie dzielności: 2un X Pr, albo w X Pr (to = prędkość kątowa wału). Z tego wynika od razu powyższe twierdzenie, skoro zważymy, że Pr przedstawia moment równoważny działaniu wału, 2tc kąt jednego obrotu.

Pomiar pracy albo dzielności motorów sprowadza się tedy do pomiaru 1) momentu, 2) ilości obrotów w ciągu pewnego czasu, lub też prędkości kątowej.

Wattmetry bywają dwojakie; przy użyciu jednych oddziela się machiny robocze od motoru, a pracę wydawaną przezeń zużywa się na pokonanie oporu sztucznie utworzonego, a znanego—zwykle tarcia. Można np. owinąć sznur około wału i obciążyć końce jego nierównymi ciężarami Pt i P₂, w taki sposób, żeby mimo tarcia, które sprawia wał obracający się, szntir był w spoczynku; tarcie sznura o wał stanowi w tym razie sztuczny opór, zużywający pracę. Jeżeli r oznacza promień wału, natenczas moment (Pt—P₂) r równoważy moment wału, za pośrednictwem, tarcia sznura. Zmierzywszy nadto n, mamy K = 2kiit (P, — P₂). Drugi rodzaj wattmetrów mierzy pracę, nie tracąc jej wcale, a więc podczas przejścia jej do machin roboczych. Jeżeli np. na wale jest osadzone koło pasowe, z którego przenosi się ruch zapornocą pasa na machiny robocze,, natenczas ta część pasa, która powraca do koła, będzie bardziej napięta, aniżeli ta, która się od koła oddala (wskutek tarcia pasa o koło). Wymierzywszy te napięcia: P! i P₂, mamy znowu: K = 2nur (Pj—P₂), albo ogólniej: K = (Pt—P₂)w, gdzie v oznacza prędkość pasa.

ZADANIA.

\jil7) Winda, składająca się z korby o długości 40 cm, szeregu kół zazębionych i z wału o średnicy 15 cm, przytwierdzonego do osi ostatniego koła, jest tak urządzona, że przy 50 obrotach korby, wał obraca się jeden raz. Na sznurze nawiniętym na wale wisi ciężar. Obliczyć wielkość ciężaru, który można podnieść zapomocą siły 2 Kgr, działającej na

= 533 Kg.

korbę, pomijając tarcie kół i osi. Odp.

50x2x2tcx0,4 tc X 0,15

\J218) Doświadczenie okazało, że przy pewnej prędkości obrotu tej windy można było zapomocą siły 2 Kg podnosić ciężar wynoszący tylko 480 Kg. Jaki procent pracy użytej zostaje w powyższej machinie stracony na pokonanie szkodliwych oporów? Odp. 10°/₀.

\219) Sznur przytwierdzony jednym końcem do powały, tworzy pętlę, na której zawieszony jest krążek (blok). Na osi krążka zawieszony jest ciężar, na wolny zaś koniec sznura, działa pionowo do góry siła równoważąca ciężar; jaki jest stosunek siły do ciężaru? Odp. Siła = połowie ciężaru.

220) Koń chodzi w kieracie po obwodzie koła o promieniu 4 m, wywiera siłę pociągową 20 Kg i obiega obwód koła 4 razy w przeciągu mi-

Praca

nuty; z jaką dzielnością pracuje koń? Odp. Kgm

4x2tcX4x20

60

czas

8tc

; albo, moment X prędkość kątowa = (20x4) .7:; = 33.

60

221)    Wodospad dostarcza na sekundę 1500 litrów wody, spadają cej z wysokości 5 ot; jaka jest dzielność wodospadu? Odp. 1500 X 5 = = 7500 Kgmlsek = 100 koni par.

222)    Jaką dzielność powinna mieć lokomotywa, mająca poruszać pociąg ważący 200 ton, z prędkością 12 m/sek, jeżeli opory ruchu wyno-

ciężaru pociągu? Odp. 160 koni.

= 33 à

szą

sek

223)    Jaką objętość wody można wypompować w przeciągu godziny ze studni, której głębokość wynosi 20 ot, jeżeli się pompuje z dzielnością 5 koni. Odp. 67| ot³.

224)    Wał motoru uchwycono w drewniane kleszcze, do których przymocowano dźwignię o długości 2 m. Aby zrównoważyć dźwignię, którą wał obracający się usiłuje, wskutek tarcia, pociągnąć za sobą, potrzeba było zawiesić na jej końcu ciężar 30 Kg. Obliczyć dzielność mo

= 754 Kgmjsek (10 koni).

kątowa = 30 X 2 X

toru, jeżeli wał czyni na minutę 120 obrotów. Odp. Moment X prędkość 120 X 2tc

60

114. Wewnętrzne skutki pracy. Ilekroć praca zostaje zużyta na pokonanie tarcia, albo innych sił rozpraszających, nie zostawia ona po sobie skutków widocznych, dla energii dynamicznej jest stracona (ust. 109). Gdybyśmy np. polecili robotnikowi mieszać wodę, albo pocierać jakiekolwiek ciało twarde, innem, również nie rysującem się, ani zcierającem, wówczas zdawałoby się, że nie ma sposobu sprawdzenia czy praca zadana została wykonana i w jakiej ilości.

Badania podjęte od początku XIX-go stulecia, we wszystkich gałęziach fizyki, wykazały jednak, że praca udzielona pewnemu ciału, nie zostaje nigdy bez skutków. Niekiedy bywają one jawne, objawiają się wzmożeniem kinetycznej albo poten-cyalnej energii układu. W przeważnej ilości przypadków są atoli ukryte, czyli wewnętrzne. Kamienie pocierane o siebie rozgrzewają się, niekiedy stają się elektryczne; woda staje się wskutek mieszania cieplejszą. Rumford (w r. 1798) pierwszy wypowiedział twierdzenie, że jako skutek i równoważnik pracy utraconej wskutek tarcia należy uważać ciepło, które przy tem zawsze powstaje. Wniosek ten, poparty przez Davy’ego (1799), który okazał, że można stopić kawałki lodu w nizkiej temperaturze, pocierając je o siebie, został stanowczo udowodniony przez Joule’a, około połowy XIX-go wieku, zapomocą bezpośrednich pomiarów.

Ażeby módz porównywać pracę zużytą z wytworzonem ciepłem, należy mieć pewność, że praca nie została zużytą na nic innego, jak tylko na wytwarzanie ciepła. Należy urządzić doświadczenie w taki sposób, żeby w układzie materyalnym, na którym wykonaliśmy pracę, nie wytworzyła się energia kinetyczna, żeby w ogóle nie nastąpiła żadna trwała zmiana jego ustroju fizycznego czy chemicznego. Pamiętne doświadczenia Joule’a, z których zdajemy niżej sprawę, dowiodły, że w tych warunkach ilość wytworzonego ciepła jest zawsze ściśle, propor-cyonalna do ilości pracy zużytej. Okazało się, że jakikolwiek byłby ustrój układu, jakiekolwiek byłyby opory, które praca w nim przezwycięża, pewna dana ilość pracy wytwarza zawsze tę samą ilość ciepła. Ciepło musimy zatem zaliczyć do rzędu skutków, równoważników pracy, do form energii.

Przykłady zamiany energii dynamicznej na ciepło: Rozgrzewanie się osi u wozów, świdrów i t. p ; zapalanie zapałek; rozżarzanie się meteorów, wskutek tarcia o atmosferę ziemi; starożytny sposób robienia ognia, przez tarcie dwu kawałków drzewa. Rozgrzewanie się rtęci wstrząsanej we flaszce. Rozgrzewanie się ołowiu podczas kucia młotkiem. Topienie się kuli ołowianej wystrzelonej do tarczy żelaznej — wskutek utraty energii kinetycznej i t. p.

115. Dynamiczny równoważnik ciepła. Jako miarę ilości ciepła wydanego przez jakiekolwiek źródło ciepła (spalenie kawałka węgla, tarcie dwu ciał) przyjmuje się zwyczajnie masę wody, którą można ogrzać tem ciepłem o jeden stopień podział-ki termometrycznej Celsyusza, np. od 15° do 16°. Ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 gr wody o jeden stopień, zwana gram-stop niem (gr. st.), służy w pomiarach tego rodzaju za jednostkę ilości ciepła.

Jest to rzeczą oczywistą, że ogrzanie 2, albo 3, 4.... gramów wody, o jeden stopień, wymagać będzie 2, albo 3, 4... gramstopni ciepła. Przekonano się nadto, jak okażemy w nauce o cieple, że ilość ciepła potrzebna do ogrzania m gramów wody o jeden stopień, jest w przybliżeniu jednaka dla wszystkich punktów podziałki termometrycznej, w zakresie od 0° do 100°. Z tego wynika, że ilość ciepła, potrzebna do ogrzania mgr wody o jakąbądź ilość stopni, np. wynosi w przybliżeniu młf gramstopni.

Ażeby zbadać doświadczalnie związek między pracą utraconą wskutek tarcia, a ciepłem, które wówczas powstaje, wypada wymierzyć osobno wartość tej pracy lub energii (w ergach), osobno zaś ciepło (w gramstopniach) i porównać uzyskane liczby.

Według doświadczeń Joule’a, do pomiarów tego rodzaju nadaje się najlepiej tarcie płynów. Przy tarciu bowiem ciał stałych nie obejdzie się bez zarysowania tychże, zgniecenia, starcia opiłek i innych zmian, które niewiadomo czy i o ile mają być zaliczane do skutków utraconej pracy. Jeżeli natomiast zamieszany np. wodę w szklance, natenczas ruch jej trwać będzie przez chwilę, lecz wkrótce ustanie, gdyż energia kinetyczna zużyje się na pokonanie oporu tarcia pomiędzy jej cząstkami; zapomocą odpowiednio czułego termometru przekonamy się wówczas, że woda stała się cokolwiek cieplejszą. Skoro ciepło wytworzone przez tarcie rozprószy się, a woda ostygnie do pierwotnej temperatury, wówczas stan jej będzie pod każdym względem taki sam, jaki był na początku; woda pośredniczyła tylko w zamianie pracy na ciepło, lecz sama nie uległa żadnej trwałej zmianie.

Jako jedyny wynik takiego doświadczenia mieć będziemy z jednej strony stratę pewnej ilości pracy, użytej na mieszanie wody, z drugiej, zysk pewnej ilości ciepła. Za pośrednictwem małej ilości wody możnaby tym sposobem uzyskać dowolnie wielką, ilość ciepła, bez jakiejkolwiek zmiany samejźe wody.

Przyrząd, którego Joule używał do wymierzenia stosunku między pracą,, a powstającem z niej ciepłem, składa się z kociołka metalowego K (fig. 95), napełnionego wodą, (w niektórych doświadczeniach rtęcią,, lub innemi cieczami), środkiem

NP

P»

Ąi

K [T

Fig. 95.

którego przechodzi oś AB, opatrzona skrzydłami s, służącemi do mieszania wody. Aby mieszanie i tarcie było wydatniejsze, dodane są podobne skrzydła s', stałe, przytwierdzone do ścian kociołka. Obrót osi sprawiają ciężary, czyli wagi P i P, zawieszone na sznurach, które podczas spadania ciężarów obracają bloczki lekko ruchome M i N; od tych bloczków wychodzą znowu sznury nawinięte na wałku W, połączonym z osią. Za pomocą korby umieszczonej na wałku można podnieść ciężary znowu do góry; przyrząd nakręca się więc podobnie jak zegary ' (podczas nakręcania odłącza się jednak wałek od osi, żeby nie mieszać wtenczas wody). Nakręcając przyrząd, okładamy weń pewien zapas pracy, która gromadzi się w podniesionych ciężarach jako energia potencyalna. Gdy następnie ciężary spadną powolnym ruchem na dół, praca ta zostaje oddaną i zużytą na pokonanie tarcia przy mięszaniu wody. Jedynym jej skutkiem

jest rozgrzanie wody, które mierzy się zapomocą czułego termometru T. Znając masę wody, wielkość ciężarów P i wysokość ich spadku, mamy wszelkie dane, potrzebne do obliczenia pracy, tudzież powstającego z niej ciepła.

W jednem z doświadczań Joule’a masa każdego z ciężarów P wy nosiła 13159 gr. Ponieważ w Manchester, gdzie pomiary były robione g = 981.3, przeto ciężar każdej z tych mas = 13159 X 981,3 = 12 912 927 dyn. _ Wysokość spadku wynosiła 160 cm.

Po dwudziestokrotnym spadku tych ciężarów temperatura wody podniosła się o 0,311°. Masa wody wynosiła 6316 gr.

Na zasadzie tych danych obliczymy naprzód całkowitą pracę włożoną w przyrząd przy 20 krotnem nakręceniu; praca ta wynosi 2 X X 12 912 927 X 160 X 20 = 82 642 732800 ergów.

Jednakowoż podczas spadania ciężarów praca ta nie zużywa się wyłącznie na mieszanie wody; pewna jej część wytwarza energię kinetyczną samych ciężarów, (które spadały z prędkością 6,15 cm/sek). W chwili ud rżenia ciężarów o podłogę, ta część pracy zamienia się na ciepło, powstające w ciężarach i w podłodze, a nie w kociołku; należy więc część tę odjąć od całkowitej pracy. Wynosi ona:

20 X i • (2 X 13159) X (6,15)² ergów.

Nadto należy odjąć pracę, użytą na pokonanie tarcia osi krążków M i N, która również tworzy ciepło nie w kociołku, ale zewnątrz niego. Tę pracę wymierzył Joule wprost, wyznaczywszy siłę potrzebną do poruszania sznurów, gdy wałek W był odczepiony od osi AB. Pomnożywszy tę siłę przez całkowitą drogę ciężarów, otrzymamy szukaną pracę. Obie części pracy, nie użyte bezpośrednio do mięszania wody, wynosiły w omawianem doświadczeniu razem: 442 486900 ergów.

Reszta t. j. 82 200245 900 ergów — L została użyta już wyłącznie na mieszanie wody w kociołku i wytworzyła tamże ciepło. Ciepło to Q obliczymy jak następuje:

Q = 6316 X 0,311 = 1964,3 gramstopni.

= 41 847 000 ergów.

je kosztem pracy:

Z tego wynika, że jednostka ciepła t. j. jeden gramstopieó, powsta-82 200 245 900

1964,3

Pomiary wykonane przez Joule’a, przeważnie zapomocą przyrządu właśnie opisanego, doprowadziły do odkrycia doniosłego prawa, że ilekroć energia dynamiczna (lub praca) zużywa się przez tarcie, lub inne siły rozpraszające, a jako jedyny_ jej skutek powstaje ciepło, natenczas stosunek energii zużytej (pracy) do ilości ciepła wytworzonego, posiada zawsze tę samą stałą wartość.

Liczba wyrażająca wartość tego stosunku nazywa się _dy-namicznym równoważnikiem j ednostki ciep 1a. Jest to ilość jednostek pracy, równoważnej jednostce ciepła. Liczba ta zależy jedynie od miar zastosowanych do mierzenia ciepła i pracy.

Jeżeli L oznacza ilość zużytej pracy, Q ciepło wytworzo-rzone, powyższe prawo wyrazi się w równaniu:

gdzie J oznacza wspomniany równoważnik. Wartości otrzymywane na J były zawsze też same — pominąwszy drobne różnice przypadkowe, pochodzące z niedokładności pomiarów (ust. 2)— bez względu na szczegóły urządzenia przyrządu, bez względu na to czy napełniony był wodą, oliwą, rtęcią (w tym ostatnim przypadku ilość ciepła oblicza się nieco odmiennie, ile że ogrzanie 1 gr np. rtęci lub oliwy o 1° wymaga innej ilości ciepła, niż ogrzanie wody). Tę samą wreszcie wartość na J dały doświadczenia wykonane przyrządami urządzonemi zupełnie odmiennie od tego, który tu opisaliśmy. Z wielu pomiarów, wykonanych przez Joule’a, a następnie przez Rowlanda i innych wypadło, że ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1 gr wody od 15° do 16° jest równoważna pracy:

J"=41870 000 ergów (na gramstopień).

Licząc 981 ergów na 1 Gram-centymetr możemy także napisać, w miarach ciężarowych:

J — 42680 Gram-centymetrów (na gramstopień).

się liczbą: 42680 X

t. j. :

W pomiarach technicznych, używa się często większej jednostki ciepła, t. z w. kaloryi = 1000 gramstopni; jeżeli nadto praca wyrażona będzie wKilogram-metrach, wtenczas równoważnik dynamiczny wyrazi 1000

U 0000

J = 426,8 Kgn)(kaloryj<i.

Znaczenie liczby J można objaśnić przystępnie następującym przykładem: energia kinetyczna, nabyta przez jakąbądź masę wody, podczas spadku z wysokości 426,8 metrów, zamieniona na ciepło, ogrzałaby tę wodę o 1°.

Ogromna doniosłość liczby wyznaczonej przez Joule’a leży w tern, że stosuje się ona do wszelkich sposobów zamiany energii dynamicznej na ciepło. Hirn np. mieęzył J w następujący sposób. Na sznurach zawieszono obok siebie ciężki młot i kowadło. Włożywszy pomiędzy nie kawałek ołowiu, podniesiono środek ciężkości młota do odmierzonej wysokości i puszczono go na ołów. Energia kinetyczna młota zostaje po części zniszczona przez uderzenie o niesprężysty ołów, przyczem ołów się ogrzewa. Reszta pozostaje jako energia dynamiczna i objawia się odbiciem się młota tudzież kowadła. Z porównania energii kinetycznej zniszczonej przez uderzenie, z ciepłem wytworzonem, wypadła na J wartość zgodna z pomiarami Joule’a (patrz zad. 225).

Pierwsze dane, przydatne do obliczenia J, uzyskał Rumford, ze spostrzeżeń czynionych podczas wiercenia armat w arsenale w Monachium. Powiada on, że praca 1 konia, w ciągu 2 godz. 30 min, wytwarza wskutek tarcia świdra tyle ciepła, ile potrzeba do zagotowania 12% wody (t. j. około 1200 kaloryi). Licząc dzielność konia — 60 Kgm/sek, mamy:

L = 2,5 X 3600 X 60 = 540000 Kgm,

z czego wynika, jako dynamiczny równoważnik ciepła, liczba dość zbliżona do prawdziwej, mianowicie:

540000

"läöö” = 450 K9mikalor-

116. Ciepło jako rodzaj energii. Pomiary Joule’a dostarczyły stanowczego dowodu, że ciepło należy uważać' jako skutek pracy. We wszystkich przypadkach, gdy praca nie wytwarza ani energii kinetycznej, ani potencyalnej, a jedynym jej skutkiem jest ciepło, ilość tego ciepła jest ściśle proporcyonalna do ilości pracy. Blizkiem jest przeto przypuszczenie, że energia może objawiać się nietylko pod postacią, wymienionych dwu form dynamicznych, jawnych, lecz że może gromadzić się w ciałach także w formie ukrytej, jako energia wewnętrzna, a w szczególności jako ciepło. Należałoby zatem wnosić, że ciała gorące, mające w sobie duży zapas ciepła, posiadają zdolność wykonywania pracy kosztem tego ciepła. Że tak jest istotnie, tego dowodem są machiny parowe, gazowe i inne motory tego rodzaju, którym dostarczamy ciepła, a w zamian otrzymujemy od nich pracę. Doświadczenia wykonane w tej mierze, które opiszemy w nauce o cieple, okazały, że machiny parowe i inne motory, pędzone ciepłem, istotnie zużywają, zatracają ciepło; natomiast wytwarzają pracę według tego samego stałego stosunku J} który rządzi zamianą pracy na ciepło.

Wzamian za każdą zużytą jednostkę ciepła motor wydaje J jednostek pracy. Doświadczenia te, pospołu z pomiarami Joui e’a, dowodzą niezbicie że: ciepło jest rodzajem energii, o, jako takie może być mierzone miarami energii.

Erg, Kilogrammetr, Joule i t. p. są to nietylko jednostki pracy, lecz energii w ogóle, a więc i energii cieplnej. 4187 X X 10⁴ ergów znaczy tyleż co gramstopień ciepła.

117. la ne rodzaje energii. Doświadczenia zrobione z ciepłem każą nam upatrywać skutków pracy i szukać nowych form energii także w tych przypadkach, gdy po wykonaniu pracy nie pojawia się ani energia dynamiczna, ani ciepło. Obracając np. korbę znanej powszechnie machiny elektrycznej influencyj-nej, której bieguny połączyliśmy za pośrednictwem dwu drutów z okładkami butelki lejdejskiej, wykonywamy pracę, przeciw przyciągającym siłom elektrycznym; praca ta nie zostawia po sobie ani dynamicznych skutków, ani nie daje ciepła. Przekonamy się jednak łatwo, że praca ta nie została bez śladu straconą. Łącząc bowiem okładki butelki kawałkiem drutu otrzymujemy znane objawy rozbrojenia elektrycznego: iskrę elektryczną, połączoną z wystrzałem, z objawami głosu, światła, ciepła. Wszystko to świadczy, że w butelce lejdejskiej nagromadziła się była pewna energia. Energia ta jest różną od tych trzech form, które opisywaliśmy dotąd. Jest to t. zw. energia elektryczna.

W dalszych działach tej książki zajmować się będziemy szczegółowo rozmaitemi postaciami, w jakich energia może się przejawiać. Celem ułatwienia czytelnikowi przeglądu wymienimy jednak już tutaj główne postaci energii i ich podział:

A) Energia dynamiczna.

1. Energia kinetyczna (np. wiatru, wody płynącej, pocisków, drgających ciał sprężystych i t. p.).

2. Energia potencyalna (mas ciężkich, podniesionych nad ziemię; wody w zbiornikach wysoko położonych, sprężyn napiętych; ciał sprężystych odkształcających się podczas drgania; żelaza oddalonego od magnesu i t. p.).

B) Energia wewnętrzna.

1.    Ciepło (w piecach, palowiskach, na słońcu, w źródłach ciepłych, we wnętrzu ziemi).

2.    Ciepło utajone, t. j. ciepło użyte nie do ogrzania, lecz do zmiany wewnętrznego ustroju, albo stanu ciał (w stopionym lodzie, w parze wodnej i t. p.). Tu należy t. zw. energia chemiczna, czyli energia zawarta w ciałach, które mogą tworzyć związki chemiczne, wydając przytem ciepło lub pracę. Fabrykacya ciał takich wymaga pewnego nakładu energii, bądź to w formie ciepła, pracy, lub innej; energia chemiczna jest dopóty w ciałach tych ukryta, dopóki sprzyjające warunki nie wywołają działania chemicznego (proch strzelniczy, dynamit, węgiel lub drzewo i tlen, nafta i tlen, 'kwas siarczany i woda, pokarmy ludzi i zwierząt, łącznie z tlenem wdechowym i t. p.).

C) Energia eteru.

1.    Energia elektryczna (w nabitej butelce lejdejskiej i innych kondensatorach, w chmurze i ziemi przed uderzeniem piorunu i t. p.).

2.    Energia magnetyczna, albo elektro - kinetyczna, (w zwojach machiny dynamo-elektrycznej, w cewce indukcyjnej przed uderzeniem iskry i t. p.).

3. Promieniowanie, t. j światło i t, zw. ciepło pro

mieniste.

Teorye kinetyczne. Poznanie rozlicznych rodzajów energii, wespół z rozwojem nauki o molekularnym i atomowym ustr ju materyi stało się pol.udką do wytłumaczenia różnych własności materyi zapumocą ruchu molekuł i atomów, tudzież zapomocą sił działających pomiędzy nimi; tło-maczenia t ikie nabywamy teoryami kinetycznemi. W mj^śl teoryi kinetycznej, wszelkie rodzaje energii są energią dynamiczną, t. j. kinetyczną lub poteneyalną, jednakowoż nie mas dotykalnych i widzialnych ruchów, lecz molekuł i atomów i ruchów niezmiernie drobnych, wewnętrznych. Według teoryi kinetycznej ciepło jest np. energią kinetyczną molekuł ciała; przy tarciu ginie energia kinelyczna mas widzialnych, a natomiast roz-

dzieła się ona pomiędzy jego cząsteczki. Podobnie ciepło utajone pary wodnej uważa się jako energia potencyalna molekuł, które wskutek parowania wody uzyskały nowe względem siebie położenia. Teorye kinetyczne należą do hipotez, t. j. przypuszczeń, mających za sobą wiele prawdopodobieństwa, poznamy je dokładniej w wykładzie fizyki molekularnej; nauka natomiast o różnych rodzajach energii i wzajemnej ich zamianie, polega na bezpośrednich pomiarach i doświadczeniach, nie ma przeto w sobie nic hipotetycznego.

118. Zasada zachowania enekgii. Wiadomości podane poprzednio o różnych rodzajach energii i ich wzajemnych przemianach, prowadzą bezpośrednio do wysłowienia jednej z najdonioślejszych zasad ogólnych fizyki, mianowicie do zasady zachowania energii. Zasada ta łączy w jednę całość wszystkie gałęzi tej nauki i ustanawia ścisłe ilościowe związki między różnorodnemi na pozór zjawiskami w przyrodzie.

Zastanawialiśmy się naprzód nad jawnymi, dynamicznymi rodzajami energii i przekonaliśmy się, że w niektórych szczególnych przypadkach, całkowity zapas energii dynamicznej, w odosobnionym układzie ciał, mógłby przechowywać się bez zmiany, wtenczas mianowicie, gdyby między ciałami należące-mi do układu działały tylko zachowawcze siły.

Okazało się jednak, że układy materyalne nie są nigdy ściśle, w tern znaczeniu, zachowawczymi; energia dynamiczna zmniejsza się z biegiem czasu, ale natomiast powstaje najczęściej ciepło, w ilości równoważnej ubytkowi energii dynamicznej. Jeżeli w takim razie obliczymy, np. w ergach, zasób energii dynamicznej, a do tego dodamy ciepło wytworzone, obliczone również w ergach, wówczas otrzymamy widocznie sumę stałą, pomimo że składniki jej ulegają ciągłej zmianie.. Powiadamy zatem, że energia zachowuje się w takim układzie odosobnionym w niezmiennej ilości, albo że jest niezniszczalną. W tem znaczeniu wszelkie układy materyalne są zachowawczymi; należy jednak obok form dynamicznych energii, obok ciepła, uwzględnić wszelkie inne postaci, w jakich energia może się przejawiać. Prawo zachowania energii możemy zatem wypowiedzieć w następujący sposób:

Całkowity zasób energii, w jakimkolwiek układzie ciał, nie może ani zwiększyć się, ani zmniejszyć, wskutek wzajemnych działań między częściami układu; może jednakowoż przybierać którakolwiek z postaci,, iv jakich energia się przejawia.

Energia układu może zwiększyć się tylko kosztem energii otrzymanej z zewnątrz układu.

Ilekroć układ wydaje energię na zewnątrz, ba,dż to przez wykonanie pracy, przez wydanie ciepła, przez promieniowanie, albo w jakibądź inny sposób — zasób energii zawartej 10 nim zmniejsza się o wartość energii wydanej.

Celem dokładnego zrozumienia istoty tego zasadniczego prawa fizyki należy jeszcze dodać, że całkowitego zapasu energii zawartego w jakimkolwiek układzie materyalnym nie możemy nigdy określić. Niepodobna np. powiedzieć ile ciepła mieści się w danem ciele, gdyż im bardziej będziemy je wyziębiali, tem więcej oddawać nam będzie ciepła. Możemy natomiast zawsze określić i zmierzyć, ile energii układ wydaje z siebie, abo ile jej pobiera, a więc: ile wykonywa lub otrzymuje pracy, ile ciepła lub światła chłonie i t. p. Wykonywaj ąc zatem pracę na danym układzie, udzielając mu jednocześnie ciepła, światła i t. d. wiemy dokładnie, o ile powiększył się całkowity jego zapas energii; obliczamy przytem wszystkie te nabytki w jednolitej mierze np. w ergach. Uzbroiliśmy tym sposobem, nabiliśmy niejako, dany układ znaną ilością ergów energii. On się przytem zmienił, np. ogrzał, rozłożył chemicznie i t. p. Owóż zasada zachowania energii powiada nam co następuje: jeżeli ten układ uzbrojony doprowadzimy jakimbądź sposobem napo-wrót do stanu, w jakim on znajdował się z początku, wówczas on wyładuje z siebie tyle na ogół ergów energii, ile mu jej poprzednio udzielono — może się jednak zdarzyć, że co do rodzaju energia oddana będzie różną od pobranej.

W tenże sposób np. przyrząd Joule’a (fig. 95) uzbrajamy w energię potencyalną, podkręcając ciężary do góry. Skoro jednak ciężary znajdą się znowu na dole, a woda ogrzana przez tarcie ostygnie, okaże się, że zyskaliśmy tyleż ergów ciepła ile poprzednio wydaliśmy ergów pracy,

W ten sposób machina parowa zaopatrzona w ładunek węgla (energia chemiczna) wydaje ciepło, pracę, gorącą parę i t. d. Gdybyśmy parę napowrót skroplili i ochłodzili, gdybyśmy zsu-mowoli całe ciepło i całą pracę zyskaną, okazałoby się, że liczba ergów zyskanej energii jest tą samą, jaką otrzymalibyśmy w postaci ciepła, spalając wprost ten sam zapas węgla.

Układ materyalny, który nie zmienia się, nie wyczerpuje, w ten czy ów sposób, nie może też wydawać z siebie energii..

Znaczy to, że energii nie można z niczego stworzyć, albo inaczej: niemożliwem jest perpetuum mobile nietylko mechaniczne, ale i fizyczne.

PRZEOBRAŻENIA ENERGII I JEJ PRZENOSZENIE. Według Wyło-żonej właśnie zasady energia nie może ani zniknąć bez śladu, ani też powstać z niczego. Wszelka energia pojawia się tylko wskutek jednoczesnego zniszczenia równoważnej ilości energii w jakiejkolwiek innej postaci. Poznaliśmy już różne przykłady takich przemian, czyli przeobrażeń energii. I tak, energia kinetyczna może przeobrazić się w potencyalną, lub odwrotnie (w układach zachowawczych), w ciepło, w energię elektryczną. Ciepło przeobraża się w machinie parowej w energię dynamiczną, której można znowu użyć np. do pędzenia machiny dyna-moelektrycznej. Tutaj energia zużyta przeobraża się znowu w formę elektromagnetyczną, a ta znowu przemienia się w lampach elektrycznych na światło, ciepło i t. d.

Niezniszczalność i niestwarzalność energii jest powodem, że ilekroć jaki układ materyalny energię traci, to jednocześnie inny jakiś układ musi tyleż energii nabywać. Energia przenosi się zatem z jednego układu do drugiego, a zawsze bez straty. Tak kula doskonale sprężysta, gdy uderzy drugą, równej masy, oddaje jej całą swą energię kinetyczną (ust. 53). Człowiek napinający cięciwę łuku traci cokolwiek ze swej energii fizycznej, tyleż nagromadza się jej, w formie potencyalnej w napiętym łuku; w końcu łuk oddaje ją strzale, gdzie występuje znowu w formie kinetycznej. Energia słońca przenosi się w postaci promieniowania na ziemię.—Pasy łączące machiny robocze z motorem przeprowadzają energię wytwarzającą się w tym ostatnim. — Energia kinetyczna wodospadu Niagary przenoszoną bywa w postaci elektromagnetycznej po drutach izolowanych do fabryk okolicznych, gdzie wprowadza w ruch machiny robocze, albo służy do ogrzewania i t. p.

Celem dalszego objaśnienia, a zarazem wykazania doniosłości zasady zachowania energii, zastanowimy się jeszcze nad przemianami i źródłem energii znajdującej się na ziemi, a w szczególności nad temi jej częściami, z których ludzkość ciągDie pożytek.

Kula ziemska jest bryłą należącą do układu podobnych jej ciał i jak one porusza się około słońca. Na mocy takiego stanowiska, ziemia posiada pewien zapas energii potencyalnej względem słońca; energii

ŹrÓDEA energii na ziemi.

kinetycznej, zależnej od rocznego obiegu okuło słońca i energii kinetycznej dziennego ruchu obrotowego okuło os:. Z tych trzech zapasów zewnętrznej, planetarnej energii, pierwsze dwa są dla mieszkańców ziemi zupełnie niedostępne; z energii kinetycznej dziennego obrotu możemy natomiast w pewnej mierze korzystaó. Dzienny obrót ziemi jest bowiem powodem peryodycznych zmian poziomu (przypływu i odpływu) morza, t. j. podnoszenia się wód oceanu pod wpływem przyciągania (o czem więcej w rozdziale następującym) księżyca i słońca. Ruchy te i z > iany poziomu mogą być użyte np. do poruszania motorów wodnych, przyczern praca uzyskana, będzie bezpośrednio wzięta z zapasu energii kinetycznej, jaką ziemia posiada w swym ruchu obrotowym około osi. Przypływ i odpływ morza porusza wody oceanu, wbrew tarciu cząstek wody, zarówno o inne cząstki, jakoteż o brzegi lądów. Wyciągnięto z tąd wniosek, że ruch obrotowy ziemi około osi stopniowo się zmniejsza, (jakkolwiek ta zmiana jest bardzo drobna) a energia jego zamienia się wskutek tarcia na ciepło.

Pominąwszy energię zewnętrzną (planetarną) całej bryły ziemskiej, która, jak wspomnieliśmy, ulega tylko w drobnej cząstce i bardzo powoli zamianom na inne rodzaje energii, wypada zwrócić uwagę na zapasy energii wewnętrznej, znajdujące się w samej ziemi. Tu należy wymienić naprzód t. zw. energię plutoniczną, w której skład wchodzi wewnętrzne eiepł ) ziemi i energia chemiczna materyałów, które mogą tworzyć związki chemiczne, a związków takich dotąd nie utworzyły. Energia ta kryje się niemal całkowicie w głębiach ziemi, na powierzchni objawia się zrzadka, pod postacią wybuchów wulkanicznych, trzęsień ziemi, źródeł gorącej wody i t. p. Ciepło, które w zwyczajnych warunkach uchodzi z wnętrza ziemi, stanowi dla powierzchni bardzo nieznaczny dopływ energii i nie ma praktycznego znaczenia.

Energia chemiczna materyałów, znajdujących się w zewnętrznej, dostępnej dla nas, skorupie ziemi, jest również niemal całkowicie wyczerpana, gdyż minerały znajdujące się tam nie posiadają silnego powinowactwa chemicznego. Wyjątek w tej mierze stanowią pokłady węgla kopalnego, nafty i t. p., które stanowią w istocie najgłówniejsze źródła energii stosowanej w przemyśle — jednakowoż energia zawarta w tych ciałach nie należy do pierwotnego uposażenia ziemi; ona nagromadziła się tu w ciągu geologicznego rozwoju kuli ziemskiej, ze'źródła zewnętrznego, które za chwilę poznamy.

Z uwag tych wynika, że w ziemi samej nie posiadamy—pominąwszy ograniczony zapas paliwa kopalnego—takich zapasów energii, któreby na długo wystarczyły, a mogły być powszechnie używane.

Do wykonywania prac rozmaitych używam}⁷ obecnie energii fizycznej ludzi i zwierząt, wiatru (wiatraki, okręty), prądów wody (koła wodne, turbiny, prądy morskie), motorów opak nych (machiny parowe, gazowe, motory elektryczne i t. p.). Żaden z t} cb motorów nie stwarza energii, lecz wydaje pracę, w zanran za energię dostarczaną mu z zewnątrz. Motory ż}⁷jące otrzymują tę energię pod postacią pokarmu (pokarm roślinny i zwierzęc}⁷, łącznie z tlenem branym z powietrza i wodą). Pokarmy zasilające organizm pracujący stanowią istotne źródło energii wydawanej przez organizm pod postacią bądź to pracy, bądź ciepła. Za-pomocą bezpośrednich pomiarów przekonano s:ę, że praca wykonana w pewnym czasie przez człowieka lub zwierzę, razem z ciepłem oddanem na zewnątrz, równa się różnicy pomiędzy energią chemiczną pokarmu i tlenu spożytego w tymże czasie, a energią chemiczną materyi wydalonej z organizmu (dwutlenek węgla, woda i t. d.), pomniejszonej o energię zawartą w materyi, którą organizm trwale sobie przyswoił, wytwarzając mięśnie, kości i t. p.

Jeżeli zważymy, że pokarm zwierząt, których mięsem się karmimy, jest ostatecznie roślinny, przyjdziemy do wniosku, że energia chemiczna odżywiająca świat zwierzęcy, wytwarza się w świecie roślinnym. Życie zwierząt jest ściśle zależne od świata roślinnego; rośliny jednakowoż mogą żyć i rozwijać się bez pomocy zwierząt. Należy zatem zastanowić się nad pochodzeniem energii nagromadzonej w roślinach. Rośliny czerpią materyał, z którego organizm ich się składa, ze ziemi i z atmosfery (dwutlenek węgla, składniki nawozu, wodę, związki mineralne i t. p.). Prze-m;ana tych ciał w roślinach na związki palne i pożywne dla zwńerząt, odbywać się musi przy pomocy energii wziętej z poza zakresu świata roślinnego, tern więcej, że w samejże roślinie spotykamy objawy życiowe, które możnaby nazwać pracowaniem, jak np. podnoszenie nad ziemię mas znacznych, ruchy niektórych organów i t. p. Otóż przekonano się, że promieniowanie słuńca stanowi to źródło energii, z którego rośliny czerpią, ilekroć przekształcają chemicznie materyał niepalny i niepoży-wny, na pokarm przydatny dia zwierząt, na drzewo opałowe i t. p. Energia zawarta w promieniowaniu słońca zostaje przytem zużytą; liście i inne zielone części roślin pochłaniają ją i zużyw ają, celem wykonania prac chemiczmch, a mianowicie rozłożenia wody i dwutlenku węgla, znajdującego się w powietrzu, oderwanie tlenu od węgla, tudzież od wodoru, pomimo silnego powinowactwa chemicznego, które te ci ła wiąże. Zapasy węgla kopalnego i innych reszt organiczny< h w ziemi zawierają przeto w sobie energię zaczerpniętą ze słońca, w ciągu ubiegłych wieków.

W ten sposób znajdujemy w promieniowaniu słonecznem to zewnętrzne źródło energii, które zasila istoty żyjące, opala machiny parowe i inne motory. Jednakowoż i inne zapasy energii, przydatne do wykonywania prac, pochodzą z tego samego źródła. Wiatr jest bezpośredniem następstwem różnic temperatury i wilgoci sprawionych przez promienie słońca. Toż samo promieniowanie sprawia parowanie wody, przyczem zamienia się na ciepło u’ajone w parze wodnej. Skroplenie tej pary w wyższych warstwach atmosfery, na stokach gór, dostarcza nam wody podniesionej nad powierzchnię ziemi, mającej wskutek tego energię po-tencyalną, która za pośrednictwem motorów wodnych może przemienić się na pracę użyteczną. Zasób własnej energii kuli ziemskiej, a mianowicie takiej energii, z której na powierzchni moglibyśmy korzystać, jest jak -wspomniano bardzo mały. Życie organiczne, zjawiska meteorologiczne, klimatyczne i t. p. zależą niemal wyłącznie od energii słonecznej, która dostaje się do ziemi pod postacią energii promienistej i pod tą samą postacią ziemię opuszcza. Zmiana całkowitego zasobu energii na powierzchni ziemi, w ciągu pewnego czasu, równa się zawsze różnicy pomiędzy energią otrzymaną od słońca, a wypromieniowaną jednocześnie przez ziemię w przestrzeń otaczającą.

Dzieje zasady zachowania energii sięgają czasów Newtona, który orzekł to prawo po raz pierwszy, lecz stosował je tylko do energii dynamicznej; energię użytą na pokonanie tarcia i innych sił niezacho-■wawczych, Newton uważał jako zniszczoną i zupełnie straconą. Rum-ford i Davy upatrywali równoważnik straconej energii dynamicznej w cieple; o ogólnej ważności zasady zachowania energii i zastosowaniu jej do różnych rodzajów energii pisał naprzód R. Mayer (1842). Do-świadćzalnie dowiedli jej w tymże czasie Colding, a przedewszystkiem Joule. Rozszerzenie i wTażne zastosowania tej zasady zawdzięczamy główmie Kelvinowi i Helmholtzowi.

ZADANIA.

225) W jednem z doświadczeń wykonanych przez Hirna, celem wyznaczenia dynamicznego równoważnika ciepła (ust. 115), młot ważył 350 kg, kowadło 941 kg- pomiędzy niemi znajdował się kawałek ołowiu ważący 2,948 kg. Środek ciężkości młota podnieśli no do wysokości 1,166 m.

«O F

= 0,66 kaloryi-, J =

= 425 Kgmjkalor.

Po uderzeniu młot odskoczył do wysokości 0,087 m, kowadło zaś do wysokości 0,103 m. Ołów ogrzał się wskutek uderzenia o 7,12°. Obliczyć dynamiczny równoważnik ciepła, wiedząc, że do ogrzania ołowiu p trzeba 31,8 razy mniej ciepła, aniżeli do ogrzania o tę samą liczbę stopni, równej masy wody. Odp. L = 350 (1,166 — 0,087) — 941 X 0,103 = 280,73 Kgm-, 2,948 X 7,12

31,8

226)    Kropla deszczu spada na ziemię z wysokości 100 m; o ile podniosłaby się jej temperatura, gdyby ciepło powstające wskutek utraty energii kinetycznej całkowicie w niej zostało? Odp. 0,23°.

227)    Kula ważąca 20 gr, poruszająca się z prędkością 300 misek zostaje nagle powstrzymaną, uderzywszy o żelazną tarczę; obliczyć ciepło wytworzone. Odp. 9 X 10a ergów = 212 gr stopni.

228)    Motor o dzielności 2 koni miesza 20 kg wody przez 1 minutę; o ile podniesie się temperatura wody, jeżeli całkowita praca motoru zostaje zużyta przez tarcie wody? Odp. 1,04 stopni.

229)    Koło zamachowe, ważące 150 kg} mające ramię bezwładności = 80 cm, obraca się z początku z prędkością kątową 200 obrotów na minutę; prędkość jego zmniejsza się następnie wskutek oporów ruchu. He ciepła powstanie wskutek tarcia, w zamian za energię kinetyczną, gdy

= 5028 gr. st.

.........    , /200X2n\² 150000 X (80)²

koło przestanie się obracec? Odp. \ I—\ -^~q₇~qqqq-

korbą 20 razy? Odp.

= 2,2 gr. st.

230) Przy obracaniu korby (długość 15 cm) machiny elektrycznej potrzeba siły o 50 Gr większej, gdy machina działa, aniżeli gdy jest (elektrycznie) nieczynną. Ile ciepła można uzyskać przez rozbrojenie dużej butelki lejdejskiej, którą nabijano zapomocą tej maszyny, obróciwszy 2X3.1416X15X50X20

42680

ROZDZIAŁ VIII.

GrRAWITACYA.

119. Działanie ciężkości za obrębem ziemi. Opisując objawy miejscowe ciężkości na ziemi powiedzieliśmy, że ciężkośd działa we wszystkich miejscach na ziemi, tudzież, że nad powierzchnią ziemi (na górach, w balonach) spotykamy wszędzie objawy tej siły, jakkolwiek w miarę oddalania się od ziemi natężenie jej cokolwiek się zmniejsza. Zmniejszanie się natężenia ciężkości, w miarę oddalania się od ziemi, można wykazać i zmierzyć zapomocą czułej wagi. Przyrząd, którego w tym celu używał Jolly składa się z wagi W (fig. 96) ustawionej na pułce P, przytwierdzonej do muru, w wysokości kilku metrów nad ziemią; obok zwyczajnej pary szalek St S₂ waga posiada jeszcze drugą parę su s₂, zawieszonych poniżej, na drutach przywiązanych do szalek górnych. Skoro zrówno-

AT

—a

s, W s,

Fig. 98.

Li

Bibl. mat.-fi* S, III, T. VIII

ważymy wagę. ustawiając na górnych szalkach dwie równe masy, a następnie przeniesiemy jednę z nich do szalki dolnej, wówczas położenie równowagi zmieni się; mianowicie przeważy ta strona wagi, po której umieściliśmy masę w szalce dolnej. W jednem z takich doświadczeń znaleziono np., że w wysokości około 5 m, ciężar masy 1 kilograma był około 1^ Mgr mniejszy aniżeli na dole.

Wiedząc to, możemy postawió pytanie: czy istnieje jaka granica po nad ziemią, do której wpływ ciężkości sięga, a za nią ustaje, czy też granicy takiej niema, a ciężkość działa także na ciała znajdujące się za obrębem ziemi, z natężeniem male-jącem w miarę odległości—np. na księżyc i planety.

Na pytanie to dał odpowiedź Newton, w dziele ogłoszo-nem w r. 1687 ²), w którem odkrywa fakt powszechnej grawita-cyi, czyli powszechnego ku sobie ciążenie ciał i podaje prawa tego działania.

Zwróciwszy naprzód uwagę na księżyc, jako ciało najbliższe ziemi, widzimy, że księżyc porusza się w sąsiedztwie ziemi, okrąża ją po linii która, według pomiarów astronomicznych, nie różni się wiele od koła o promieniu 60 razy większym, aniżeli promień kuli ziemskiej.

Z dynamiki wiadomo, że ruch tego rodzaju może odbywać się tylko wtenczas (ust. 47), gdy na ciało działa nieustannie siła przyciągająca je ku środkowi koła. Siłą tą, jak Newton okazał, jest wzajemne przyciąganie się mas ziemi i księżyca, a więc ciężar księżyca. Podobną własność przyciągania się wzajemnego posiadają także inne ciała niebieskie i w ogólności wszelka materya. Badanie ruchów, jakie ciała niebieskie odbywają pod wpływem tych sił, okazało, że przyciąganie się dwu ciał jest zależne od ich odległości, zmniejsza się gdy odległość wzrasta, mianowicie jest odwrotnie proporcyonalne do kwadratu odległości. Ciężkość jest szczególnym przypadkiem tej powszechnej siły, zwanej grawitacyą (od łac. gravis=ciężki) albo ciążeniem p o w s z e c h n em, a mianowicie jest ona objawem przyciągania pomiędzy masą ziemi a masą jakiegobądź innego ciała.

Ciężkość niema więc granicy, ona działa w każdej odległości od ziemi, jakkolwiek natężenie jej szybko maleje.

Że siła ciężkości, znana nam z doświadczeń robionych na ziemi, jest zarazem tą siłą, która trzyma księżyc w pobliża ziemi i rządzi miesięcznym jego obiegiem, o tern można się przekonać zapomocą następującego rachunku. Oznaczywszy masę księżyca przez m, wyobraźmy sobie naprzód, że masa ta znajduje się tuż przy powierzchni ziemi; ciężar jej wynosiłby wtenczas: P = mg. W odległości 60 razy większej (licząc od środka ziemi), w jakiej księżyc rzeczywiście się znajduje, ciężar jego^>, według założonego prawa Newtona, powinien być (60)² razy mniejszy, t. j.

p ~ 3600

cc

3600

= 0,273hm.

Jeżeli ciężar ten stanowi istotnie siłę dośrodkową, pod wpływem której księżyc krąży około ziemi, w okresie T = 27 dni, 7 godz. 43 min. 11,5 sek t. j. 2360591,5 seit, po kole o promieniu (w przybliżeniu) = 60 R, (gdzie R oznacza promień ziemi), natenczas podług ust. 47, powinno być:

-Km.

4ti².60 R

rp2

Podstawiwszy tu za 2tt R wartość 4 X 10⁹ cm, (obwód ziemi), znajdziemy:

p = 0,27lVw.

Zgodność tych dwu wartości, znalezionych dla p różnerai drogami, stwierdza prawo Newtona, według którego natężenie ciężkości zmniejsza się odwrotnie jak kwadrat odległości od środka i okazuje zarazem, że ta sama siła, która sprawia spadanie ciał na ziemi, rządzi także ruchami księżyca.

Na podstawie tego prawa można obliczyć natężenie ciężkości w jakiejkolwiek odległości 2 od ziemi. Jeżeli oznaczymy przez çjiïi natężenie ciężkości w poziomie morza, t. j. w odległości R od środka ziemi (=6370300 metr. w przybliżeniu), przez g natężenie ciężkości w wysokości 2 metrów nad morzem, natenczas będzie:

g__ _ R²___

gm~ (R + zf ~ ^ ₊ y

Ilekroć z jest małe, w porównaniu z promieniem ziemi, możemy napisać (rozwijając powyższe wyrażenie na szereg i opuszczając drugą i wyższe potęgi stosunku :

0 - B g = gm (1 — 0,000 000 3140 *)

9 = ffm

^ czyli:

w czem r oznacza odległość planety od słońca

120. Ruchy ciał niebieskich. Działania ciężkości nie ograniczają się do samej tylko ziemi, lecz jak wspomnieliśmy, są one własnością wszelkiej materyi, a więc i innych ciał niebieskich-, wszystkie ciała niebieskie są względem siebie-ciężkie, tak samo jak księżyc względem ziemi. Badając ruchy ciał niebieskich, możemy, za przykładem Newtona, określić ściślej prawa grawitacyi. Ruchy planet około słońca określone są prawami Kepplera, o których była mowa w ust. 20. Powiedzieliśmy tam, że planety krążą około słońca po elipsach, a ruch ich jest taki, że przyśpieszenie y planety względem słońca, zwrócone zawsze ku słońcu, jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości planety od słońca; było mianowicie (str. 37) 4 a² Tr- 1

T2~ ~r²

(promień wodzący), a średnią wartość tej odległości (połowę większej osi elipsy), T okres obiegu. Z tego wynika, że wzdłuż linii łączącej planetę ze słońcem działać musi siła przyciągająca wywołująca to przyśpieszenie. Aby znaleźć wartość P tej siły, należy przypomnieć sobie, że według trzeciej zasady dynamicznej (ust. 45) siła tego samego natężenia P oddziaływa także na słońce; podczas ruchu planety musi więc i słońce odbywać pewne ruchy, jakkolwiek o tyle mniejsze, o ile masa

*) Wzór ten stosuje się wtenczas, gdy oddalamy się od ziemi pionowo do góry, np. w balonie. Jeżeli natomiast z oznacza wysokość nad morzem jakiego miejsca na powierzchni ziemi, np. miasta na stałym ladzie, wówc/as ubytek ciężkości, w porównaniu z poziomem morza, jest mniejszy, gdyż ląd sam wywiera pewne działanie przyciągające. Doświadczenie daje w tym przypadku

g = gm (1 - 0,000 000196 . «)•

GKAWITACYA. — 120.

iM-

261

jego jest większa. Środek mas planety i słońca posiada natomiast położenie stałe, ałbo ściślej mówiąc, niezależne od siły wewnętrznej F (ust. 52). Prawa Kepplera, tudzież bezpośrednia obserwacya dają nam tylko względny ruch planety względem słońca. Oznaczmy przez iP i p, przyśpieszenia planety i słońca ku nieruchomemu środkowi ich mas, który, jak wiemy, leży również na prostej, łączącej planetę ze słońcem. Przyśpieszę, nie ruchu względnego będzie wtenczas: y = yp + ys .

F    F

Ponieważ jednak Yp = — , 7, =    , gdzie m i M ozna

czają masy planety i słońca, F wzajemne ich przyciąganie się przeto: 7 =

wartość wzajemnego przyciągania się słońca i planety, mianowicie:

4a³it² Mm 1 T² M + m r-

4a³ t:² 1

T² r²

J, zkąd otrzymam}⁷⁻ od razu

(1)

Cl

Według trzeciego prawa Kepplera, wartość stosunku 77-

jest bardzo przybliżenie jednakowa dla wszystkich planet krążących około słońca. Masy planet są zresztą bardzo małe w porównaniu z masą słońca; wskutek tego wartość ułamka różni się tak mało od jedności, że można napisać:

rp2

M -f- m

-n    w

F = stała X —-,

Wnosimy ztąd, że siły przyciągające, które słońce wywiera na różne planety są wprost proporcjonalne do ich mas, odwrotnie proporcjonalne do lacadratów odległości. Nadto, ponieważ wartość spółczynnika stałego w powyższem równaniu jest dla wszystkich planet ta sama, przyciąganie to nie zależy od rodzaju m a-teryi przyciąganej. Można było spodziewać się tego, wiedząc, że ciężkość, która jest przecież szczególnym przypadkiem gra-witacyi, zależy również tylko od wielkości masy, a nie zależy od rodzaju materyi (ust. 57).

Ponieważ przyciąganie pomiędzy słońcem a planetą jest wzajemne, według prawa akcyi i reakcyi, przeto przyciąganie to musi być także proporcyonałne do masy słońca. Rozważania

> te doprowadziły Newtona do wniosku, że prawo ogólne grawi-tacyi wyraża się równaniem:

(2) w którem spółczynnik stały C (t. zw. stała grawitacyi) nie zależy ani od odległości mas M i m, ani od ich wielkości i rodzaju.

Przyjąwsży, że równanie (2) jest prawdziwym wyrazem prawa przyciągania i porównawszy je z równaniem (1), wyprowa-dzonem z pierwszych dwu praw Kepplera, otrzymamy równanie:

(3)

a³

rp2

4 TC²

które okazuje, że trzecie prawo Kepplera jest istotnie tylko przybliżone: stosunek trzeciej potęgi średniej odległości planety od słońca, do kwadratu czasu obiegu, można uważać tylko o tyle jako jednakowy dla różnych planet, o ile masy ich m można zaniedbać w obec przeważnej masy słońca M.

Prawa Kepplera stanowią jeszcze z innego powodu tylko przybliżone określenie ruchu planet. Jeżeli prawo grawitacyi jest prawdziwe, natenczas ruchy planet odbywają się nietylko pod wpływem przyciągania słonecznego; podobnie jak słońce przyciągają je wszystkie inne płanety. Wynikające stąd zwichnięcia (perturbacye) ruchu eliptycznego są jednakowoż małe, albowiem dzięki olbrzymiej swojej masie słońce wywiera na ruch planet wpływ przeważający. Biorąc za podstawę prawo grawitacyi, wyrażone równaniem (2), obliczano wartość tych zwichnięć i znaleziono wyniki zgadzające się ściśle ze spostrzeżeniami. Szukając przyczyny zwichnięć, których nie można było przypisać planetom znanym, odkryto nawet drogą rachunku nową planetę należącą do układu słonecznego (Neptuna).

W obec świadectwa astronomii, prawo grawitacyi, wyrażone równaniem (2) należy uważać jako jedno z najściślej sprawdzonych i dowiedzionych praw przyrody. (Co do innych zjawisk kosmicznych, zależnych od grawitacyi: przypływu i odpływu morza, precessyi i t. p. patrz: J ę dr z ej e w i cz, Kosmografia str. 200).

121. Prawa grawitacyi. Przekonawszy się, że ciężkość jest tylko szczególnym przypadkiem powszechnej własności ma-

GRAWJTACYA. — 121.

263

teryi wzajemnego przyciągania się, możemy ze zjawisk ciężkości wysnuć pewne wnioski, tyczące się grawitacyi w ogóle. Przyciąganie się wzajemne ziemi i księżyca, albo słońca i planet, jest siłą tego samego rodzaju, jak przyciąganie się np. ziemi i kamienia, t. j. ciężar kamienia. Owóż ciężar całego kamienia jest sumą ciężarów wszystkich jego cząstek; ziemia przyciąga każdą cząstkę, siłą niezależną od przyciągania innych. To samo stosuje się do grawitacyi. Przyciąganie się grawitacyjne dwu ciał jakichkolwiek jest wypadkową sił, które cząstki jednego ciała wywierają na cząstki drugiego. Biorąc pod uwagę, zamiast całych ciał, cząstki o rozmiarach tak małych, w porównaniu z odległością, żeby można było uważać je jako punkty materyalne, uwolnimy się od wpływu jaki wywiera kształt i względne położenie ciał na ich przyciąganie się i sprowadzimy tym sposobem prawa grawitacyi do najprostszego wyrazu. Otóż prawo przyciągania się cząstek materyalnych musi być identyczne z prawem (2) wyprowadzonem w poprzedzającym ustępie dla planet. Planety bowiem, a nawet słońce są tak małe, w porównaniu z wzajemnemi ich odległościami, że można je uważać za punkty materyalne. Zasadnicze prawa grawitacyi możemy więc wypowiedzieć w następujący sposób:

1)    Wszelkie divie cząstki materyi przyciągają się wzajemnie, w kierunku łączącej je prostej.

2)    Przyciąganie jest proporcyonalne do mas obu cząstek, odwrotnie proporcyonalne do kwadratu ich odległości.

3)    Przyciąganie się dwu czap tek nie zależy od rodzaju materyi, ani od obecności innych ciał; wstawiwszy np. pomiędzy dwa ciała jakie ciało trzecie, nie zmieniamy ich przyciągania się.

Oznaczając przez m i mx masy, przez r odległość cząstek, przez F siłę wzajemnego przyciągania się, wyrazimy powyższe prawa równaniem:

m mx ^2

Wartość liczebna spółczynnika proporcyonalności 0 zależy od miar, jakiemi mierzymy siły, masy i długości. Spółczynnik ten oznacza widocznie siłę przyciągania się dwu cząstek, mających masy równe jednostce, gdy odległość ich wynosi jednostkę długości (bo dla m — ml — 1, tudzież r — 1, mamy F — C); nazywa się on stałą grawitacyi.

Przyciąganie się ciał kulistych. Znając prawa przyciągania się cząstek, można przez sumowanie działań obliczyć przyciąganie się ciał iakiegokolwiek kształtu. Najważniejsze, a zarazem najprostsze twierdzenia odnoszą się w tej mierze do ciał kulistych — 1. Kulista warstwa mater yi, o gęstości jednostajnej, przyciąga każdą cząstkę leżącą zewnątrz niej tak samo, jak gdyby całkowiła masa warstwy była zebrana w środku kuli.

Przypuśćmy, że warstwa jest nieskończenie cienka i oznaczmy przez p masę przypadającą na jednostkę powierzchni; całkowita masa warstwy będzie tedy: m = 4irR²p, gdzie R oznacza promień kuli. W A (fig. 97) niech się znajduje cząstka przyciągana o masie m'\ O oznacza środek

IB

0;

Fig. 97.

kuli. Wybierzmy na linii OA punkt P, w takiej odległości od O, żeby długości: OA, OP i OB = R tworzyły proporcyę OA : OB = OB : OP. Podzielmy następnie całą powierzchnię kuli na pary malutkich pól, czyli t. zw. elementów, zapomocą stożków nieskończenie wązkich, mających wierzchołki w P. Jeden z takich stożków, przedstawiony na rysunku, sięgający od C do D, wycina z warstwy kulistej dwa małe elementy, których pola oznaczymy przez s i s'. Wykreślmy nadto z punktu P kulę o promieniu = 1 i oznaczmy przez o> powierzchnię, którą każda połowa stożka wycina z tej kuli. Natenczas mamy, jak uczy geometrya:

0). PC²

COS a

;s' =

St . PD²

cos a

gdzie a = OOP — /j_ ODP.

Siły przyciągające, jakie uważane dwa elementy warstwy wywierają na m', wzdłuż linii AC i AD, wynoszą, według prawa grawitacyi;

à» P D2 cos a AD²

C . m' p

tb    PC²

COS a AC²’

i C. wf p

GRAWITACJA. — 121.

265

Dowiedziemy, że te siły są równe. Proporcya OA : OC = OC : OP, wynikająca z poprzedniej, dowodzi, że trójkąty OAC i OOP są podobne, gdyż mają nadto kąt wspólny przy O; tak samo można dowieść podo-

bieństwa trójkątów OAD i ODP. Z tego zaś wynika, że:

......

PC OC AC “ OA

i tak samo:

PD

AD O A ‘

Siły uważane są więc równe, spólne

ich natężenie jest: C . m' p

Û)

R²

Z podobieństwa trójkątów wy-

cos a OA² "

nika nadto, że OAC = /_ OAD = a. Wypadkowa uważanych dwu sił

działa więc wzdłuż linii AO; wartość jej wynosi (ust. 44): C.2m'pib

R²

O A²

Aby uzyskać całkowite przyciąganie warstwy kulistej, należy napisać podobne wyrażania dla wszystkich stożków podwójnych, takich jak CPD wypełniających razem całe wnętrze kuli. Całkowite przyciąganie będzie

sumą tych wszystkich sił. Iloczyn C.2m' p

R²

OA² ’

jako wspólny wszyst.

¹

Dawniej nazywano je powszechnie dynamometrami;’ (także ergo-metrami); dynamometr wszelako oznacza przyrząd do mierzenia siły (ust. 96). Niewłaściwą również jest rzeczą mówić o Psile“ motoru, np. machiny parowej, gdy się ma na myśli dzielność.

²

Philosophise naturalis principia mathematica.

kim tym wyrażeniom, może być wyłączony przed nawias, w nawiasie zaś pozostanie suma wszystkich tb t. j. połowa powierzchni kuli o promieniu = 1, czyli 2rc. Wskutek tego znajdziemy przyciąganie pochodzące od

całej warstwy: F = Cm' o

, albo:

4* R²

OA²

mm'

° OA² ’

co dowodzi twierdzenia poprzednio przytoczonego.

2. Z twierdzenia 1) wynika bezpośrednio następujące: Wszelka bryła, złożona z jednolitych, spółśrodkowych warstwj kulistych, przyciąga cząstkę leżącą zewnątrz niej tak samo, jak gdyby całkowita masa bryły była zabrana w środku.

3. Warstwa kulista materyi o gęstości jednostajnej nie wywiera żadnego działania na cząstkę położoną to próżni, objętej tą warstwą.

Niechaj grubość warstwy będzie nieskończenie ."mała; P (fig. 97) niech oznacza dowolne położenie cząstki przyciąganej. Podzieliwszy warstwę kulistą na pary elementów, jak w przypadku 1, za pośrednictwem stożków nieskończenie wązkich wychodzących z P, przekonamy się łatwo, że działania każdej pary elementów należących do siebie, j ak s i s’, znoszą się wzajemnie. Pola elementów, a więc także ich masy, są bowiem proporcyonalne do PC² i PD². Siły natomiast, które one wywierają na P, są odwrotnie proporcyonalne do PC² i PD². Z tego wynika, że działania każdej pary elementów są równe; ponieważ kierunki ich są przeciwne, przeto znoszą się one wzajemnie.

4.    Z poprzedzafącego wynika następujące twierdzenie: Jeżeli we wnętrzu jakiejkolwiek bryły, złożonej z jednolitych, 8półśrodkowych warstw kulistych, znajduje się cząstka przyciągana, natenczas działa na nią tylko ta część materyi, która znajduje się bliżej środka, aniżeli uważana cząstka.

5.    Przyciąganie się dwu kul znajdziemy, biorąc pod uwagę przyciąganie jadnej z nich na wszystkie cząstki drugiej; z 2, wynika wówczas: Dwie bryły, złożone z jednolitych, spółśrodkowych loarstw kulistych, przyciągają się tak, jak gdyby masy ich były zebrane w środkach.

122. Bezpośredni pomiar grawitacyi Wartość stałej grawitacyjnej. Zwyczajne spostrzeżenia nie zdradzają nam zupełnie istnienia przyciągań między ciałami na ziemi, albowiem z powodu niewielkich mas, siły te są nadzwyczajnie małe. Za-pomocą dostatecznie czułych przyrządów zdołano jednak wykazać przyciąganie się wzajemne ciał na ziemi, a nawet wymierzono natężenie tych sił; uczynił to naprzód Cavendish w r. 1798¹). Można w tym celu użyć czułej wagi (Jolly) urządzonej tak, jak to opisaliśmy w ust. 119, lig. 96. Jolly ustawił wagę na szczycie wieży; druga para szalek, s, i s₂, znajdowała się na dole. Na dolnej szalce s₂ ustawiono kulę szklaną, napełnioną rtęcią, ważącą 5009,450 gr- kulę tę zrównoważono drugą podobną kulą (przyczyniwszy mały ciężarek, równoważący zmniejszenie ciężaru, wskutek większej odległości od ziemi, ust. 119), ustawioną po przeciwnej stronie wagi, na szalce górnej Tuż pod dolną szalką s₂ zbudowano następnie, ze stosownie wyrobionych kawałków, kulę ołowianą K o średnicy 1 m, ważącą 5775200 gr. Okazało się wówczas, że ciężar w    nie wystarczał już do

cm.

zrównoważenia ciężaru w s₂, albowiem do przyciągania ziemi przyłączyło się przyciąganie kuli ołowianej. Przyciąganie to działa na jednę tylko stronę wagi, mianowicie na kulę w szalce s₂, odległość bowiem S, jest tak duża, w porównaniu z wielkością kuli ołowianej, że wpływ na St jest nieznaczny. Ażeby zrównoważyć wagę należało dodać do szalki Si ciężarek wynoszący około 0,6 mgr\ znaczy to, że kula rtęciowa i ołowiana przyciągały się siłą 0,0006 X 981 = 0,59 dyn. Odległość środków obu kul była 56,86

GRA WIT A.C YA. — 123.

267

Na podstawie tych spostrzeżeń można obliczyć wartość stałej grawitacyjnej C (ust. 121). Równanie bowiem:

daje: C =

Pr²

mm'

Zważywszy, że kule jednolite przyciągają się tak, jak gdyby masy ich były zebrane w środkach, mamy w doświadczeniu Jolly’ego: m=5009,45 gr, m'=5775200 gr, r—56,86 cm, F=0,59 dyn {gr. cm/seh²)\; podstawiwszy te wartości w ostatnim wzorze znajdziemy 0 = 6 6 X 10⁻⁸ dyn cni¹/'gr² (cm³/gr seit¹).

Na podstawie licznych pomiarów, wykonanych podobnymi sposobami przez różnych badaczy, przyjmuje się obecnie jako dokładniejszą wartość stałej grawitacyjnej:

C = 6,658 X 10“⁸ cms/gr. seit². ²)

innemi słowy: dwa punkty materyalne, mające masy 1 gr każdy, przyciągają się z odległości 1 cm siłą 6,658 . 10⁻⁸ dyn.

123. Masa i średnia gęstość ziemi. Przyrządy, których Cavendish, Jolly i inni używali do wymierzenia stałej grawitacyjnej, są to w rzeczywistości wagi, zapomocą których wyznaczono masę kuli ziemskiej.

Znając bowiem wartość stałej grawitacyjnej, możemy od-razu obliczyć masę m ziemi, jak następuje. Ciężar masy 1 gr, równy na powierzchni ziemi w przybliżeniu g = 981 dynom (pominąwszy drobne różnice ciężkości w rozmaitych miejscach) jest siłą przyciągającą, którą masa ziemi m wywiera na masę 1 gr, w odległości równej promieniowi ziemi: R = 637 X 10° cm. Według prawa grawitacyi mamy więc:

mX 1

R² ’

czyli: 981 = 6,658 X 10⁻¹

(637X10°)

zkąd obliczamy:

m = 6 X 10²⁷ gr.

Porównywając to z objętością ziemi: v — % % (637 X 10°)⁸ — = 1,083 X 10²⁷ m³, znajdziemy:

ni

à — — — 5.5

jako średnią gęstość kuli ziemskiej, t. j. masa ziemi jest 5^ razy większa, aniżeli masa wody tej samej objętości. Zważywszy, że skały tworzące zewnętrzną skorupę ziemi mają gęstość mało co większą niż 2, ocean zaś tylko 1, dochodzimy do wniosku, że wnętrze ziemi składać się musi z ciał o gęstości znacznie większej niż 5,5.

Masa słońca. Masy planet porównywa się z obliczoną dopiero ma-

C

są ziemi na podstawie praw Kepplera. W ust. 120, (3) mieliśmy: -—(M -f-

4*²

a³

-f-m) = —- , gdzie m oznacza masę ziemi, M masę słońca. Wstawiwszy

g R²    R

za 0 wartość z (1), t. j. C ==-, oznaczywszy nadto przez p = —

a

sunek promienia ziemi do średniej odległości słońca od ziemi (jest- to t. zw. parallaksa słońca, wyrażona w mierze łukowej — kąt znany z pomiarów astronomicznych), otrzymamy:

sto-

M 4*2 R

'in

p³ T² g

Przyjąwszy za p okrągło liczbę

tudzież T=365,256x86400 sek

23440

(rok gwiazdowy, str. 43) otrzymamy jako stosunek masy słońca do masy ziemi liczbę 331640. Ztąd wypada masa słońca = 2 X 10³³ gr. Słońce i ziemia, w średniej swej odległości 149.5 X 10“ cm przyciągają się zatem, jak łatwo już obliczyć siłą 3,5 X 10²⁷ dyn t. j. około 4 bilionów tonn. W sposób zupełnie podobny można obliczyć masę każdego ciała niebieskiego, około którego krąży jakikolwiek satellita. Wystarczy znać okres obiegu tego satellity tudzież jedo odległość od danego ciała niebieskiego (por. zadanie 223).

G RA WITA GY A. — 124.

269

124. Różnice ciężkości na ziemi. Gdyby ziemia była nieruchomą, bryłą kulistą, jednolitą, albo złożoną z jednolitych, spółśrodkowych warstw, wówczas przyciąganie jej byłoby we wszystkich punktach na powierzchni jednakowe* natężenie ciężkości na powierzchni ziemi, w poziomie morza, byłoby wielkością stałą. Wiadomo, że w rzeczywistości tak nie jest (ust. 56). Dwie są główne przyczyny, sprawiające różnice ciężkości wr różnych miejscach na powierzchni ziemi: naprzód, ziemia nie jest ani kulą, ani kulą jednolitą; postad jej, jak uczy geo-dezya, jest zbliżona do t. zw. steroidy, czyli elipsoidy obrotowej, spłaszczonej u biegunów. Oznaczywszy przez a promień koła równikowego, przez b połowę linii łączącej bieguny, należy przyjąć (Jędrzejewicz. Kosmogr. str. 50):

a — 6 377 377 m b = 6 355 270 m

co wskazuje, że w każdym razie postać ziemi tylko nieznacznie różni się od kuli.

Pówtóre, ziemia nie jest nieruchoma, lecz (pominąwszy ruch postępowy, którego wpływ na ciężkość jest nieznaczny) obraca się około osi. Wskutek tego, ciała spoczywające na powierzchni ziemi ulegają nietylko przyciąganiu tejże, ale zarazem sile odśrodkowej, wynikającej z obrotu a działającej w ogóle od ziemi na zewnątrz.

Ciężkość tedy, którą spostrzegamy za pośrednictwem naszych mięśni, wag sprężynowych, wahadeł i t. p. jest wypad-Jcową przyciągania grawitacyjnego i siły odśrodkowej (str. 93), wynikającej z dziennego obrotu ziemi około osi. Ażeby zdać sobie sprawę z wpływu siły odśrodkowej, wyobraźmy sobie naprzód, że ziemia jest bryłą jednolitą i dokładnie kulistą, o promieniu R (można tu wziąć okrągło 6 370 000 m). Gdyby nie było obrotu, natężenie ciężkości byłoby na tej kuli wszędzie jednakowe np. G₀,

Jeżeli natomiast kula obraca się około

osi z prędkością kątową w —

2tc

86164,09

na sek (ust. 7), natenczas w pewnym punkcie A, (fig. 98) mającym szerokość geograficzną 9, natężenie ciężkości g bę-

B"

!-

i. ' ¥■

|R

Fig. 98.

dzie równe wypadkowej przyciągania grawitacyjnego >G₀, skierowanego ku środkowi kuli, i siły odśrodkowej 7 ³), działającej prostopadłe do osi obrotu, na zewnątrz. Zważywszy, że promień koła, po którym punkt A się porusza, wynosi R cos cp, mamy (ust. 47):

7 — w² R cos cp,

albo też, jeżeli oznaczymy przez y₀ = w² R wartość siły odśrodkowej na równiku (dla cp — 0):

7 — 7o cos cp.

Z trójkąta sił, działających na punkt A obliczymy z ła

twością:

g = YGoHïo² cos² cp — 2 Go 7o cos² cp.

Siła odśrodkowa 7 jest mała w porównaniu z g i G₀, gdyż na równiku, gdzie wartość jej jest największa, wynosi ona tylko:

To —

4ir² X 637 X 10⁶

(86 164,09)²

= 3,39 cm/seit¹.

Jeżeli tedy napiszemy powyższe równanie w następujący

sposób:

g = G₀ (1 — 2 cos² cp +

ijTo

To³

Go²

COS² cp) ² ,

a przy rozwinięciu tego wyrażenia na szereg, zachowamy tylko pierwszą potęgę małego ułamka

To

G₀

, wówczas znajdziemy:

G₀

g G₀ (1 cos² ?)•

Natężenie ciężkości na równiku oznaczymy tu i nadał przez g₀, przyczem g₀ = G₀ — 7₀; możemy tedy napisać:

g — G₀ — To cos² cp — g₀ -f 7o — 7₀ cos² cp, albo:

Równanie to okazuje, że natężenie ciężkości powiększa się, począwszy od równika, gdzie jest najmniejsze, ku obu biegunom ziemi, gdzie osiąga wartość największą. Porównywając wartości g, wymierzone zapomocą wahadła, w różnych miejscach na ziemi, przekonano się, że równanie (1) określa z dostateczną dokładnością prawo zmienności natężenia ciężkości, mianowicie, że zwiększenie ciężkości przy przejściu od równika do innego miejsca na ziemi, jest istotnie proporcyonalne do kwadratu wstawy szerokości geograficznej tego miejsca. Jednakowoż spółczynnik przy sin² cp jest w rzeczywistości inny, aniżeli w równaniu (1). Doświadczenie prowadzi mianowicie do równania:

(2)

g = 978,06 (1 + 0,005192 sin² cp), podczas gdy podług (1) spółczynnik przy sin² cp wynosiłby:

7o = = 0,0085.

Różnica ta tłomaczy się głównie tem, że w powyższym rachunku nie uwzględniliśmy spłaszczenia ziemi w pobliżu biegunów. Spłaszczenie sprawia, że ciężkość powiększa się ku biegunom nieco więcej, aniżeli na ziemi zupełnie kulistej.

Wzór (2) stosuje się do powierzchni morza; aby znaleźć g w miejscu położonem w wysokości z metr. nad morzem, należy poprzedzające wyrażenie pomnożyć jeszcze (ust. 119 dopisek) przez (1 — 0,000 000 196 z).

Inny wzór, dogodniejszy do obliczeń, można uzyskać pod-

stawiając w (2): sin² cp =

--^°S ^ ^ ; uwzględniwszy nadto

wpływ wysokości, otrzymamy następujące wyrażenie:

(3)

albo:

(1)

9 — 9o (1 +

ÏO

ffo

sin² cp).

g — 980,6) 1—0,00259 cos 2 cp — 0,000 000 196 *),

9 — 930,6 — 2,540 cos 2 cp — 0,00019 . z.

Wypadkowa ciężkość g nie jest zwrócona dokładnie ku środkowi ziemi, z wyjątkiem równika i biegunów). Objaśnia to dostatecznie fig. 98

Kąt między ciężkością a powierzchnią ziemi, jeżeli tę ostatnią określimy np. jako powierzchnię morza, nie różni się jednak od 90° — jakby to można wnosió z fig. 98. Działanie bowiem siły odśrodkowej nadaje powierzchni wód (określającej postać) ten właśnie kształt sferoidalny, przy którym wypadkowa ciężkość jest do powierzchni prostopadła. — W środku ziemi ciężkość nie istnieje; albowiem ciało umieszczone tam ulegałoby siłom działającym równomiernie na wszystkie strony, a wskutek tego znoszącym się wzajemnie.

125. Potencyał grawitacyi. Podnosząc jakiekolwiek ciało ciężkie nad ziemię, wykonywamy pracę przeciw ciężkości, a wskutek tego udzielamy energii potencyalnej ciału, a raczej układowi złożonemu z ciała i ziemi. W podobny sposób wykonywamy także pracę, powiększając odległość jakichbądź dwu mas, przyciągających się wzajemnie wskutek grawitacyi; energia potencyalna układu takiego powiększa się wówczas o wartość pracy wykonanej.

Weźmy np. pod uwagę dwie cząstki materyalne AiB (fig.99), mające masy m i m' i oznaczmy odległość AB przez r. Przyciąganie się wzajemne tych cząstek wynosi w tern położe-

niu, jak wiadomo: P = C

ciąganiu odsunąć cząstkę m' z B do punktu Br; leżącego w odległości większej: AB' —r', musimy wykonać pewną pracę L.

. Ażeby wbrew temu przy-

Mlii iT~P"rT"“np

Fig. 99.

Obliczając tę pracę należy pamiętać, że siła przyciągająca jest zmienna, że ona maleje w miarę tego jak odległość cząstek rośnie. Aby tę zmienność okazać, wybierzmy na linii BC' szereg (n) punktów B,, B₂,.... Bw, w odstępach nieskończenie małych i oznaczmy odległości ich od A po kolei przez ru r₂, r₃.... rn. Wykreślmy w każdym z punkłów B rzędnę, wyobrażającą natężenie siły przyciągania się cząstek m i m\ przypuszczając,

GRAWITACYA. — 125.

273

mm'

i drugiej —- C    np. ich średnię geo-

że m jest nieruchome, m' zaś przechodzi kolejno przez punkty B, Bi....*, końce tych rzędnych wyznaczają, linię krzywą CD, której przebieg wskazuje zmniejszanie się przyciągania, w miarę wzrostu odległości. Wiadomo (ust. 105), że pole BB' DC przedstawia wartość pracy L, potrzebnej do przesunięcia cząstki m' z B do B'. Pole to składa się z szeregu nieskończenie wązkich pasków, o podstawach BBt — rt — r; Bt B₂ = r₂ — r,.... B„ B' = — r' — rn . Jako wysokość pierwszego paska możemy przyjąć którąkolwiek z wartości pośrednich pomiędzy długością pierwszej rzędnej — C

metryczną: C

(dowolność ta nie spowoduje skończonego

r rt

błędu, skoro z założenia paski są nieskończenie wązkie, a wskutek tego sąsiednie rzędne różnią się tylko nieskończenie mało);

m m' rx r₂ ¹

i t. d. Dodając do siebie te wąziutkie pola otrzymamy:

podobnie przyjmiemy jako wysokości dalszych pasków: C

Ç m m' r₂ rs

m m'

(r₂ — ^1) + ... + C

mm'

rt r₂

- — + ---—+

r,    r₂

rn r

( r'—r„ ) —

rn

) , czyli:

(1)

-C

m m'

Praca potrzebna do zwiększenia odległości cząstek od r do r', równa się zatem różnicy wartości wyrażenia

TR/ 'Yïl*

C —-— w początkowym i końcowym punkcie drogi.

Wartość tej pracy jest zresztą niezależna od drogi wybranej pomiędzy punktami B i B'; prowadząc cząstkę m' po innej dowolnej linii BSB' musielibyśmy wykonać taką samą pracę L, jak na drodze prostej BB'. Grawitacya jest bowiem siłą zachowawczą; gdy cząstka m' wraca z B' napowrót do B, natenczas przyciąganie się cząstek m i m' zwraca pracę L, użytą poprzednio do oddalenia ich. Stosuje się to zarówno do drogi prostej BB' jak i każdej innej BSB'. Istotnie, gdyby na dwu różnych drogach prace nie były równe, gdyby np. na BSB' praca była większa niż na BB', natenczas, podnosząc cząstkę wzdłuż drogi łatwiejszej BB', a spuszczając ją z powrotem wzdłuż BSB', uzyskalibyśmy nadwyżkę pracy, a więc energię stworzoną z niczego; ponieważ to sprzeciwiałoby się zasadzie zachowania energii, przeto prace rzeczone muszą być równe, na wszelkich drogach łączących punkty B i B'.

Weźmy teraz pod uwagę ciało A, dowolnej postaci i wielkości (fig. 100), złożone z dowolnej ilości cząstek materyalnych, o masach mx, m,₃ i t. d. Obok tego ciała, w punkcie B, znajduje się cząstka przyciągana m'. Wszystkie cząstki ciała działają na m', przyciągając tę cząstkę wzdłuż prostych łączących je z punk-

//

A\

/;

//

y/

Fig. 100.

tem B; długości tych prostych oznaczymy przez ri: r₂, r₃i t. d. Mając przesunąć m' z B np. do B', musimy wykonać pracę przeciw siłom, pochodzącym od wszystkich cząstek ciała A. Całkowitą pracę otrzymamy, dodając do siebie wszystkie te prace cząstkowe.

Na podstawie tego, co znaleźliśmy poprzednio dla dwu cząstek, wnosimy, że praca użyta celem oddalenia cząstki m' z B do B' (równająca się zarazem przyrostowi energii poten-cyalnej układu złożonego z ciała A i cząstki m') będzie równa różnicy wartości, jakie przyjmuje suma:

m₃ m'

q », m'

-f- i t. d.

m-L m‘

gdy za r,, r2r... przyjmiemy raz odległości cząstek od B, drugi raz od B'. Sumę tę możemy oznaczyć krócej przez:

(2)

Praca równa się więc różnicy wartości jakie to wyrażenie przyjmuje w początkowym i końcowym punkcie drogi BB , bez względu na kształt tejże.

Wyrażenie C S -—- — u t. j. suma ilorazów z mas wszystkich

cząstek przyciągających, przez odległości ich od pewnego dowolnego punktu (B), pomnożona przez stalą grawitacyi, nazywa się potency a-łem ciała złożonego z tych cząstek, a mianowicie jest to wartość, jaką potencyał posiada w obranym punkcie B. Oznaczywszy wartość potencyału w punkcie B przez u, w punkcie B' przez u' widzimy, że praca L, potrzebna do przeniesienia cząstki ni¹ z B do B', wynosić będzie: L — m¹ (u — u¹).

Potencyał można jeszcze inaczej określić. Przyjmijmy, że cząstka przyciągana, znajdująca się w B, posiada masę równą jednostce, m‘ ~ 1; wyobraźmy sobie następnie, że tę jednostkę masy przeniesiono po jakiejkolwiek drodze do miejsca dowolnego a nieskończenie odległego od ciała A. Praca użyta w tym celu, nie będzie bynajmniej nieskończenie wielka, albowiem siły przyciągające zmniejszają się szybko w miarę zwiększania się odległości. Wartość jej równa się różnicy wartości, jakie przyjmuje wyrażenie (2), naprzód w B, następnie w nieskończoności. Ostatnia wartość jest oczywiście zerem, albowiem wszystkie mianowniki (r) ułamków tworzących sumę są nieskończenie wielkie.

VYI

Widzimy tedy, że praca owa wynosi C S — = u, t. j. potencyał

w jakimbądź punkcie (B), w pobliżu ciała przyciągającego (A), jest równy pracy, potrzebnej do przeniesienia jednostki masy, wbrew przyciąganiu ciała A, z owego punktu (B) do odległości nieskończenie wielkiej.

Potencyał jest to wielkość bardzo użyteczna we wszelkich zastosowaniach teoryi grawitacyi. Określa on lepiej i dosadniej przyciąganie, jakie pewna bryła wywiera na dowolną cząstkę znajdującą się w sąsiedztwie, aniżeli wszelkie inne metody. Pomyślmy, że każdym punkcie (takim jak np. a fig. 100), w otoczeniu ciała przyciągającego—w t. zw. polu działania ciała A — obliczono wartość potencyału, według wzoru: u —

. Znajdą się oczywiście pomiędzy tymi punktami takie, np, b, w których potencyał mieć będzie wartość tę samą jak w a. Punkty te wytyczają około bryły przyciągającej powierzchnię, zwaną powierzchnią poziomu. Przyjmując po kolei różne

wartości potencyału, możemy wykreślić mnóstwo podobnych powierzchni; w każdej z osobna potencyał będzie stały; w każdej jednak wartość jego będzie inna.

Na fig. 100 dwie takie powierzchnie poziomu oznaczone są przez St i S₂; w jednej z nich potencyał równa się dajmy na to Uf, w drugiej u₂. Jeżeli na jednej z nich, np. Si. umieścimy gdziekolwiek np., w punkcie a, cząstkę materyalną m', a następ, nie przesuniemy ją do innego miejsca b, na tej samej powierzchni, to przesunięcie to nie będzie wymagało żadnej pracy, nie spotka przeto oporu ze strony grawitacyi, gdyż różnica wartości potencyału, a więc i praca L są równe zeru.

Z tego wynika, że przyciąganie, jakie bryła A wywiera na uważaną cząstkę, jest wszędzie prostopadłe do powierzchni poziomu, przechodzącej przez tę cząstkę. Wniosek ten objaśnimy najlepiej przykładem ciężkości ziemskiej: przesuwanie ciała ciężkiego w kierunku poziomym, nie wymaga wykonania pracy względem ciężkości; z tego wynika, że ciężkość musi działać prostopadle do płaszczyzny poziomej.

Jeżeli natomiast poprowadzimy cząstkę m' z punktu a, leżącego na S,, do punktu c leżącego na innej, bardzo blizkiej powierzchni poziomu S₂, w kierunku prostopadłym do S! t. j. wprost przeciwnym sile działającej na cząstkę, wtenczas potrzeba wykonać pracę:

L — m' (Uf — u₂).

Podzieliwszy tę pracę przez długość drogi «c, t. j. przez odstęp powierzchni S| i S₂, otrzymamy średnią wartość siły przyciągającej F, którą ciało A wywiera w kierunku ca na cząstkę m', mianowicie:

F — m'

Gdyby cząstka przyciągana posiadała masę równą jednostce, natenczas nazwalibyśmy tę siłę natężeniem grawitacyi, albo natężeniem pola grawitacyi, w pobliżu punktów a lub c.

wyraża ubytek potencyału wzdłuż

linii ac, przypadający na jednostkę długości, możemy powiedzieć, że natężenie pola grawitacyi, w jakimkolwiek punkcie, równa

W\

Zważywszy, że stosunek — się ubytkowi potency alu, przypadającemu na jednostkę długości, u- pobliżu tego punktu, w kierunku prostopadłym do powierzchni poziomu.

Natężenie pola jest zatem odwrotnie proporcyonalne do odstępu ca sąsiednich powierzchni poziomu; w miejscach tedy, gdzie natężenie pola jest wielkie, powierzchnie poziomu skupiają się więcej ku sobie. W ten sposób powierzchnie te uzmysławiają dokładnie kierunek i natężenie grawitacyi.

Jeżeli bryła przyciągająca jest kulą o masie m, złożoną z jednolitych, spółśrodkowych warstw, natenczas w każdym punkcie, leżącym zewnątrz kuli, w odległości r od środka, poteneyał wyraża się wzorem:

; kula działa bowiem na cząstki zewnętrzne tak, jak jedna cząstka materyalna, o masie m, umieszczona w środku. Poteneyał grawita-

gdzie

m

cyi, na powierzchni ziemi, wynosi tedy w przybliżeniu u₀ = C — ,

R

(ust.

m i R oznaczają masę i promień ziemi. Zważywszy że C = ⁹ ^

tn

12ö), mamy także: w₀ = g R. Jest to praca potrzebna do oddalenia jednostki masy, od ziemi do nieskończoności, wbrew jej ciężarowi; u₀ przedstawia zarazem wartość energii kinetycznej, którejby nabyła jednostka masy, spadając na ziemię z odległości nieskończenie wielkiej.

O ile wolno uważać ziemię jako kulę złożoną z jednolitych warstw, o tyle powierzchnie poziomu są również kulami, wspólśrodkowemi z ziemią. Rzeczywisty kształt tych powierzchni jest jednakowoż cokolwiek odmienny od kulistego przedewszystkiem z tego powodu, że ciężkość za-eży nietylko od grawitacyi, lecz także od siły odśrodkowej, wynikającej

r.......

Fig. 101.

z obrotu ziemi (ust. 124). To, co na małym obszarze powierzchni ziemi nazywamy płaszczyzną poziomą, jest to część jednej z powierzchni poziomu. Ściślej mówiąc, płaszczyzna pozioma jest styczną do powierzchni poziomu, przechodzącej przez uważany punkt. Powierzchnia wody, w spoczynku, jest zawsze prostopadła do kierunku, ciężkości; powierzchnia morza jest zatem jedną, z powierzchni poziomu, okalających ziemię. Jeżeli wyobrazimy sobie tę właśnie powierzchnię poziomu dopełnioną także wśród lądów, natenczas otrzymamy bryłę okrągłą, której się używa celem ścisłego określenia kształtu ziemi, pomimo nieregularnych nierówności jej powierzchni. Bryła ta nazywa się geoida. Rozmieszczenie lądów i gór wywiera znaczny wpływ na postać geoidy G G (fig. 101). Góry bowiem, tudzież lądy, przyciągają ku sobie pion p, sprawiają tedy że w ich sąsiedztwie powierzchnie poziomu się podnoszą. Kształt geoidy nie jest dotąd dokładnie znany; w każdym razie różni się tylko nieznacznie od elipsoidy obrotowej spłaszczonej (ust. 124).

Potencyał WŁASNY bryły grawitującej ku sobie samej. Wyobraźmy sobie bryłę złożoną z cząstek o masach mlt m₂, m₂... Oderwijmy od tej bryły cząstkę mx i unieśmy ją w nieskończoność. Trzeba będzie wykonać wtenczas pracę Lt, przeciw grawitacyjnemu przyciąganiu pozostałych cząstek, a praca ta wynosi Lt = mt ut, w czem ut oznacza wartość poten-cyału pozostałych cząstek, w tern miejscu, które zajmowała cząstka oderwana. Oderwijmy z kolei cząstkę m₂ i unieśmy ją nieskończenie daleko; praca wykonana będzie teraz L₂ = m₂ ii₂, i t. d. Jeżeli w ten sposób rozbierzemy i rozproszymy całą bryłę, okaże się, że wykonaliśmy ogółem pracę U = L, + L₂ + L₃ + .... Tę pracę całkowitą zowiemy potencyałem własnym danej bryły, w pierwotnym jej ustroju. Ona wryraża widocznie wyczerpanie energii potencyalnej, jakie zachodzi w materyi nieskończenie rozproszonej, gdy ona zbiera się i skupia, pod wpływem grawitacyjnego przyciągania, formując zwartą bryłę. Wielkość ta ma ważne znaczenie w różnych teoryach kosmogonieznych tłomaczących powstawanie światów przez skupianie się odłamów meteorycznych rozproszonych w przestrzeni. Jeżeli bryła jest jednolitą kulą o masie M, promieniu R,

, jako wartość własnego R

wówczas rachunek całkowy daje U = —

5

jej potencyału, w czem C oznacza stałą grawitacyi (por. tom 2-gi, ust. 86)

3 CM²

ZADANIA.

231) Obliczyć okres obiegu T nieskończenie małego księżyca (satel-lity), krążącego około kuli jednolitej o gęstości d, tuż obok jej powierzchni.

4rc² mr

Odp. r promień kuli, m masa satelity. Siła dośrodkowa = witacyi = C    ”, Stąd T

tT" = Sra‘

kości kuli).

~V Ci

—— (niezależny od m i od wiel-

232) Obliczyć powyższy okres dla kuli wodnej (d = 1). Odp. R pro-

mień ziemi, D jej średnia gęstość. C =

4tcRD

, zatem: T

RD

qd

5,5 X 637 X 10⁶

980 X 1

sek = 3 godz. 18 min. (Zalecano użycie tego

go okresu jako bezwzględnej jednostki czasu, zależnej tylko od własności wody).

233) Jeden z księżyców Jowisza okrąża tę planetę w okresie Tt = 1,769137 dni, a odległość jego średnia od Jowisza, = alt wynosi 0,002 819 odległości a ziemi od słońca. Obliczyć masę Mt Jowisza, przyjąwszy, że masa słońca M jest 331640 razy większa od masy ziemi m, a okres obiegu tej ostatniej T = 365,256 dni. Malutką masę m, tego księżyca można opuścić. Odp. Napiszemy dla systemu Jowisza i jego satellity takie równanie, jak (3) w ust. 120, które odnosi się do słońca i ziemi. Podzieliwszy

Tt² a³

te równania przez siebie znajdziemy

M -\-m

-f-

T² a,³

skąd Mt = 317 mas

ziemi.

234) Przyjąwszy: masa słońca = 331 640 mas ziemi; masa księżyca = = "T— masy ziemi; prom. słońca = 108,7 prom. ziemi; prom. księżyca =

80

= 0,273 prom. ziemi; obliczyć natężenie ciężkości na biegunach słońca i księżyca.

Odp.

983 X 331640

(108,7)²

= 27000 cm/sek²;

983

’ 80 X (0,278)²

= 165 cm/sek².

235)    Obliczyć przyciąganie kuli żelaznej (d — 7,86), o średnicy 10 m, względem masy 1 kg, znajdującej się tuż obok powierzchni kuli.

Odp. 6,66 X IO’⁸ X f X 500 X 3,14 X 7,86 X 1000 = 1,09 dyn.

236)    Dowieść, że we wnętrzu kuli jednolitej natężenie ciężkości g jest proporcyonalne do odległości od środka. Odp. Promień kuli = R, gęstość = d. Na cząstkę znajdującą się w odległości r od środka, działa

tylko jądro kuliste o promieniu r (ust. 122); zatem g — C X ła X r.

— sta-

r³ izd

r²

237)    Obliczyć g dla Lwowa (<p = 49° 49' 52"; z — 320 m). Odp. 980,97.

238)    Jaką wartość posiada potencyał grawitacyi na powierzchni kuli jednolitej o masie 1000 gr i promieniu 10 cm? Odp. C X 100 ergjgr.

239)    Znaleźć promienie powierzchni poziomu otaczających tę kulę, na których potencyał posiada wartości 80C, 60C, 400 i 20 C. Odp. 12,5; 16,7; 25,50 cm.

240; Jakiej pracy należałoby użyć celem podwojenia odległości księ-

M

80

żyea od ziemi? Odp. M masa ziemi, m— —- masa księżyca, r = 00 R odle-

głość ich; L = C

Uli-»

g R²

, zatem: L ==■

980 X 637 X 6 X 10³³

g R M_

2 X 80 X 60

241) Obliczyć wartość poteneyału grawitacyi na powierzchni ziemi.

2 X 80 X 60

ergów =

637 X 6 X 10²³

2 X 80 X 60

K gm.

Odp. C —— = ffR == 980 X 637 x 10⁶ = 624 X 10⁹ erg Igr (cm²jsek²) = 6370 Kg m Igr.

242) Obliczyć energię kinetyczną,, jakiej nabywa kamień meteorycz-ny ważący 5 kg, spadając na ziemię z niezmiernie wielkiej odległości, tudzież ilość ciepła powstającego wskutek uderzenia o ziemię? Odp. Energia

= 5000 X 6370 Kgm\ ciepło =

= 75000 kaloryi. Uj

5000 X 6378

427

243) Z jaką prędkością należałoby wyrzucić z ziemi ciało jakiekolwiek (masa m), aby ono nie spadło napowrót na ziemię? Odp. % m v² = m X X 624 X 10⁹ erg., stąd v — 11170 misek (co najmniej).

244) He pracy wymagałoby podniesienie ciała ważącego 10 kg na wysokość z — 60000 m nad ziemię? L

= mg R ^1

R+2

^=mgz (1— ~ +

= 600 000 X 0,9906 Kgm.

CZĘŚO DRUGA.

DYNAMICZNE WŁASNOŚCI MATERII.

ROZDZIAŁ IX.

CIŚNIENIE I ODKSZTAŁCENIE.

126. Określenie własności dynamicznych. Oprócz ruchu, którego badanie było przedmiotem fizyki ogólnej, działanie sił na materyę wywołuje także pewne zmiany wewnętrznego jej ustroju, polegające na przesunięciu cząstek z pierwotnych względem siebie położeń. Zmiany te nazywamy odkształceniami. Odkształcenie materyi wywołuje siły wewnętrzne, działające pomiędzy sąsiedniemi częściami, bądź to trwale, bądź przemijająco, zwane ciśnieniami, albo napięciami wewnętrznemu

Objawy te zależą co do stopnia i jakości od rodzaju materyi poddanej działaniu sił; tak np. belka żelazna, obciążona, ugina się, a po zdjęciu ciężaru wraca mocą sił wewnętrznych do pierwotnej postaci; drewniana w podobnych warunkach może się złamać; ołowiana ugnie się trwale i t. p.

Zachowanie się ciał w obec sił działających na nie zależy od tych własności materyi, które nazwiemy dynamicznemi, a których wykład będzie przedmiotem niniejszego działu fizyki.

127.    Stany skupienia materyi. W fizyce ogólnej opisywane były te własności materyi, które są, wspólne wszelkim ciałom: w niniejszym dziale natomiast wypada nam wyłożyć pewien szereg własności, które nie są, u wszystkich ciał jednakie, lecz zależą, od rodzaju materyi. W celu uproszczenia wykładu podzielimy ciała na pewne szeregi; zamiast opisywać oddzielnie żelazo, miedź, kamienie i t. p. wyłożymy wspólne tym ciałom własności, zaliczając je do szeregu ciał stałych; woda, alkohol, nafta, i inne, utworzą szereg cieczy; powietrze, para wodna, wodór i t. d. szereg gazów i par. Głębokie różnice, jakie dostrzegamy na pierwszy rzut oka między ciałami należącemi do tych szeregów usprawiedliwiają dostatecznie ten podział; powiadamy, że ciała należące do jednego szeregu znajdują się w tym samym stanie skupienia. Zwyczajnie odróżnia się te trzy, wybitnie różniące się stany skupienia: stały, ciekły i gazowy; są jednak stany przejściowe pomiędzy stałym a ciekłym, tudzież pomiędzy ciekłym a gazowym, tak, iż można ułożyć szereg ciał, poczynający się od ciała stałego, np. dostali, przechodzący nieznacznem stopniowaniem do gazowego np. do wodoru. Ciecze i gazy określa się często wspólnem mianem płynów. Różnice pomiędzy rozmaitymi stanami skupienia można w przybliżeniu ocenić zapomocą dotyku t. j. zapomocą zmysłu siły; dotykając się np. kamienia i T ku, oceniamy natężenie sił wewnętrznych, działających m dzy częściami tych ciał, gdy zewnętrzny nacisk zmienia wzajemne ich położenia. Celem umiejętnego określenia stanów .Skupienia należy poznać możliwe rodzaje odkształcenia, t ..zież rodzaj i natężenie ciśnień wewnętrznych, właściwych różnym rodzajom materyi.

128.    Odkształcenie. Zdolność odkształcania się jest powszechną własnością materyi; nie znamy ciał, nawet pomiędzy najbardziej stałemi, któreby nie zmieniały postaci, rozmiarów, objętości, pod wpływem sił zewnętrznych. Zależnie od rodzaju zewnętrznego działania, odkształcenia mogą być rozmaite: zgięcie, ściśnienie, skręcenie i t. p. Okażemy jednak, że mimo tę różnorodność, wszelkie okształcenia można sprowadzić do dwu rodzajów głównych. Jeżeli zwrócimy uwagę na jakąbądź małą cząstkę we wnętrzu ciała, natenczas odkształcenie albo zmienia gęstość tej cząstki, albo jej nie zmienia; w pierwszym przypadku objętość uważanej cząstki ulega zmianie, w drugim nie zmienia się, odkształceniu ulega przeto tylko postać cząstki. Wszelkie odkształcenie jest zatem bądź odkształceniem objętości (zgęszczeniem lub rozrzedzeniem), bądź też odkształceniem postaci, albo nakoniec składa się z tych dwu odkształceń, t. j. polega na odkształceniu postaci, któremu towarzyszy zgęszczenie lub rozrzedzenie ma’eryi. Możemy więc ograniczyć się do opisu pierwszych dwu głównych rodzajów odkształcenia. Wielkość odkształcenia określamy zawsze liczbą stosunkową, niemianowaną; miarą odkształcenia jest stosunek zmiany rozmiarów lub objętości, do rozmiarów lub objętości pierwotnej, nieodkształconej.

129. Rozszerzenie lub zgęszczenie jednostajne. ⁴). Odkształcenie samej objętości' zdarza się wtenczas, gdy objętość ciała powiększa się lub zmniejsza, a postać zostaje podobna do pierwotnej. Odształcenie tego rodzaju zowiemy rozszerzeniem lub zgęszczeniem (zciśnieniem, zkurczeniem); ono jest jednostajne, jeżeli wszystkie części danego ciała rozszerzają się (albo zgęszczają) w tym samym stosunku.

Ciało mające np. postać kuli, rozszerzone lub zgęszczone jednostajnie, zamienia się na kulę większą albo mniejszą; podobnie sześcian zostaje sześcianem, stożek stożkiem i t. p. Jeżeli to odkształcenie rozciąga się jednostajnie na wszystkie części ciała, wtenczas nietylko cały sześcian rozszerza się, lecz także każda cząstka wewnętrzna, mająca pierwotnie postać sześcienną, zachowuje tę postać po odkształceniu, a zmienia się tylko jej objętość, w tym samym stosunku jak objętość całego ciała.

Stopień rozszerzenia jednostajnego określa się w następujący sposób: jeżeli pierwotna objętość ciała jest Y, a po odkształceniu Y', natenczas różnica V' — Y równa się zmianie objętości (znak jej jest + albo —, zależnie od tego czy mamy rozszerzenie, czy zgęszczenie). Miarę odkształcenia uważanego, którą oznaczać będziemy przez 6, daje stosunek zmiany objętości do objętości pierwotnej:

Y'—V

(1)

zwany krótko „rozszerzeniem“ albo „zgęszczeniem':.

Zmianie objętości towarzyszy oczywiście zmiana rozmiarów ciała, którą obliczymy jak następuje. Dajmy na to, że ciało posiada postać sześcianu, którego krawędzi mają pierwotnie długość l; mamy zatem: V = l³. Po odkształceniu objętość wynosi, podług (1):

V' = V (1+6), czyli V' = Is (1+0).

Jeżeli przez V oznaczymy nową długość krawędzi, wten-

3 _

będzie: V = l\/1 + 0. W przypadku małych odkształceń,

czas

gdy 0 jest małym ułamkiem, można napisać w przybliżeniu:

3. ____ 6

02 d>

y 1 + 0 == 1 + -g-, przyczem opuszcza się drugą i wyższe potęgi tego ułamka, jako nader małe. Wtenczas będzie V = = l fl 4---) , albo, kładąc -J- — X:

V = l (1 + X), lub X = -

Stosunek (X), zmiany pewnego rozmiaru ciała, do pierwotnej długości tegoż samego rozmiaru zowiemy wydłużeniem. Przy jednostajnem a małem rozszerzeniu wydłużenie równa się trzeciej części tegoż rozszerzenia; wartość jego w tym przypadku jest oczywiście jednakowa na wszystkich liniach w ciele uważanem.

130. Skrócenie proste. Podczas gdy przy odkształceniu objętości wszystkie cząstki ciała zbliżają się, albo oddalają się od siebie równomiernie, przy odkształceniu postaci przesuwają się one obok siebie, w taki sposób, żeby objętość ciała nie zmieniła się. Ażeby zrozumieć jakiej zmianie ulega przytem ustrój wewnętrzny ciała, weźmy pod uwagę cząstkę materyi we wnętrzu ciała, mającą pierwotnie postać sześcienną (fig. 102) ab cd AB CD. Najprostszy sposób odkształcenia takiej cząstki, bez

zmiany objętości, polega na wydłużeniu jej w jakimkolwiek kierunku, w połączeniu ze zwężeniem w kierunku poprzecznym, podczas gdy rozmiary jej, w kierunku prostopadłym do tych obu kierunków, zostają niezmienione. Aby to uskutecznić skręćmy sześcian tak, żeby podstawa ABCD pozostała w położeniu pierwotnem, podczas gdy płaszczyzna gór- [ na ab cd przesuwa się do a'b'c'd' w kierunku równoległym n. p do krawędzi ab. ii Każda warstwa równoległa do pod- /\ stawy przesuwa się podobnież w kierunku ab, o odstęp proporcyonalny do odległości jej od podstawy- wskutek tego sześcian zamienia się na równo-ległościan. Jeżeli to odkształcenie jest bardzo małe, wówczas wysokość równoległościanu będzie niemal zupełnie równa pierwotnej wysokości sześcianu, objętości ich będzą zatem jednakowe. Jako miarę tego odkształcenia, które nazwiemy skręceniem prostem, przyjmuje się stosunek wzajemnego przesunięcia się dwu warstw równoległych, do ich odległości, a więc np. aa' do aA. Oznaczywszy więc wartość skręcenia przez a mamy:

J.d'

c c'

Sk

/>-

Fig. 102.

a a' a A

Ilekroć odkształcenie jest małe, możemy linię aa' uważać jako łuk zakreślony promieniem Aa ze środka A. Stosunek łuku do promienia jest miarą (łukową) kąta-, widzimy więc, że stosunek a, przyjęty za miarę skręcenia, równa się kątowi aAa\ o który kąty proste sześcianu zmieniły się przez odkształcenie.

Wskutek skręcenia prostego materya ciała wydłuża się w kierunku przekątnej Ah', a jednocześnie zwęża się w kierunku przekątnej Ba'. Jeżeli długość boków sześcianu oznaczymy przez l, natenczas długość przekątnej przed odkształceniem wynosi: Ab = l J/2 ; po odkształceniu długość tej samej linii będzie Ab' 2l² — 2 l² cos (90 + a) — l J/2 [/ 1 -j- sin a, albo

wreszcie, jeżeli odkształcenie jest małe: A b'—l J/"2    .

Wydłużenie tej linii (ust. 129) wynosi więc:

X = A:

w kierunku drugiej przekątnej otrzymamy podobnie zwężenie, czyli wydłużenie ujemne:

Wnosimy ztąd, że wydłużenie ciała w pewnym kierunku, w stosunku 1 : 1 + X, połączone z takiem samem zwężeniem, w kierunku prostopadłym do pierwszego, podczas gdy trzeci kierunek, prostopadły do tamtych, pozostaje niezmieniony, jest równoważne skręceniu prostemu materyi o kąt a (w mierze łukowej), równy podwójnemu wydłużeniu t. j, ar=2X.

Jeżeli poddamy ciało jakiemubądź odkształceniu, natenczas odkształcenie każdej cząstki we wnętrzu ciała można złożyć z tych dwu głównych rodzajów odkształcenia, których własności wyłożyliśmy w ostatnich dwu ustępach.

ZADANIA.

245)    Jakiego rozszerzenia doznaje ciało, mające objętość 85 cw»³, jeżeli objętość zwiększa się do 91 cm³? Odp. 0 = 0,0706.

246)    Ile wynosi gęstość (d') ciała, które doznało zgęszczenia 0, jeżeli przed odkształceniem gęstość była d? Odp. d' =

1 — 0 *

247)    Ile wynosi przyrost gęstości, jeżeli 0 jest bardzo małe? Odp. 0d.

248)    Przez jednostajne wydłużenie w jednym kierunku i takież zwężenie w kierunku prostopadłym, zamieniono kulę o promieniu 100 na elipsoidę trójosiową, o półosiach głównych: 102, 98, 100; ile wynosi skręcenie materyału w mierze łukowej, tudzież stopniowej? Odp. a=0,04; 2°17'.

249)    Kawałek płótna wydłużono w kierunku przekątnej oczek tkaniny w stosunku 1000 : 1020 i zwężono w takim samym stosunku w kierunku drugiej przekątnej; o ile zmieniają się przytym kąty (pierwotnie proste) pomiędzy nitkami? Odp. 2° 17'.

131. Ciśnienie. Ciała odkształcają się pod wpływem sił zewnętrznych, działających bądź to na całą masę ich (jak np. ciężkość), bądź na powierzchnię zewnętrzną.

Siły działające na powierzchnię ciał nazywamy ciśnieniami. Do sił tego rodzaju należy np. ciśnienie pary na wewnętrzną powierzchnię kotła parowego, ciśnienie powietrza, ciśnienie wody na dno zbiornika i t. p. Ciśnienie iest to więc jakoby siła rozpostarta na pewnej powierzchni.

Ciśnienie nazywamy jednostajnem, jeżeli działanie jego jest we wszystkich częściach uważanej powierzchni jednakowe; w przeciwnym razie jest ono niejednostajne. Tak np. warstwa piasku, jednakowej wszędzie grubości, wywiera na podstawę ciśnienie jednostajne.

Ciśnienie jednostajne, działające na pewną ograniczoną płaszczyznę można zawsze zrównoważyć jedną siłą, podpierającą tę płaszczyznę ze strony przeciwnej. Natężenie tej siły jest miarą t. zw. ciśnienia całkowitego, albo parcia, działającego na całą płaszczyznę. Natężeniem ciśnienia (albo krótko wprost ciśnieniem) nazywamy natomiast stosunek ciśnienia całkowitego, albo parcia, do wielkości pola, na które ono działa. Im mniejsze jest to pole, tem bardziej skupionem jest całkowite działanie, tem większej sile podlega każda jednostka powierzchni. Tak np. dwa sztywne krążki (fig. 103) o różnych polach, ale obciążone jednakowymi ciężarami, wywierają na

irt*

TT

Fig. 103.

podstawę jednakowe parcie lecz pod mniejszym krążkiem to ciśnienie całkowite jest bardziej skupione; ciśnienie na powierzchni mniejszej jest większe.

Miarą ciśnienia jednostajnego jest stosunek całkowitego parcia do pola powierzchni uciskanej, albo co na jedno wychodzi: miarą ciśnienia jest siła przypadająca na jednostkeć powierzchni. Oznaczywszy całkowite parcie przez P, natężenie ciśnienia przez p, pole

fin CO

. Tak np. jeżeli w zbiorniku mającym poziome dno, którego pole wynosi 1500 cm², znajduje się warstwa wody o wysokości 20 cm, natenczas całkowity ciężar wody wynosi: P = 1500 X 20 — 30000 Gr, jest to parcie całkowite. Każdy centymetr kwadratowy dna podlega natomiast sile 20 Gr. Ciśnienie na dnie będzie więc:

przez S, możemy to wyrazie równaniem p —

30000 Gr

1500 cm²

CM

00

00

ZASADY FIZYKI. CZ. I.

czyli p — 20 G r/cm². Ponieważ ono jest jednostajne, przeto możemy natężenie jego określić również wyrażeniem: 40 Gr na 2 cm²; albo 20000 Gr na 1000 cm², czyli 20 Kg

na m²; albo 200 Kg/m² i t. p.

Jeżeli ciśnienie nie jest jednostajne, wtenczas należy określić natężenie jego w każdym punkcie powierzchni z osobna. Około obranego punktu zakreślamy pole tak małe, żeby w zakresie jego można było uważać ciśnienie jako jednostajne; miarą ciśnienia, w uważanem miejscu, będzie wówczas stosunek całkowitej siły działającej na pole, do jego wielkości.

Z tych uwag wynika, że jednostka ciśnienia a jednostka siły, są to dwie wielkości różne, których nie należy mieszać ze sobą. Jednostkę ciśnienia stanowi jednostka siły, działająca na jednostkę pola.

Miary. W bezwzględnym układzie miar jednostką ciśnienia jest dyna na centymetr kwadratowy, t. j. gr cm/sek² na cm², czyli grjcm sek².

W układzie ciężarowym: Ciężar grama na cm², czyli G r/m²; niekiedy także: ciężar kilograma na metr kwadr. = 1000 Gr na 10000 cm². Pomiędzy rozmaitemi miarami ciśnienia zachodzą następujące stosunki:

1 Kg/m² — ^ Gr/cm²,

1 G r/cm² = 981 dyn/cm², 1 Kg/m² — 98,1 dyn/cm².

W nauce Ogazach poznamy jeszcze inną, często używaną jednostkę ciśnienia, która nazywa się atmosferą a wynosi w przybliżeniu 1033,3 G r/cm² albo 1013250 dyn\cmd (ust. 160).

Kierunek ciśnienia. Ciśnienie może działać na powierzchnię bądź w kierunku prostopadłym, bądź ukośnie, a nawet

¹

(Czyt. Kewendisz). Kilkanaście lat wcześniej okazali Bouguer, tudzież Maskelyne, że góry przyciągają ku sobie pion wolno zawieszony.

²

W astronomii używa s:ę często, jako jednostkę masy, taką masę, która ku równej sobie, odległej o jednostkę długości, ciąży siłą=l. W tym astronomicznym układzie miar jest widocznie: C = 1. Przyjąwszy nadto długość 149,5 X 10" cm (średnią odległość słońca od ziemi) za jednostkę długości, znajdziemy łatwo: jednostka astronomiczna masy = 50 X 10⁴⁵ gr.. t. j. blizko 10¹⁹ kul ziemskich (ust. 123).

³

Siły G,g, tudzież 7 odnoszą się do jednostki masy przyciąganej.

⁴

Przymiotnik jednostajny służy do określenia własności, która we wszystkich punktach ciała jest jednakową; przymiotnik „stały“ określa własność, która z biegiem czasu nie ulega zmianie. Np. ciało jednostajnie ogrzane: które posiada we wszystkich punktach jednakową temperaturę; stałą temperaturę natomiast posiada ciało, które ani się ogrzewa ani ostyga.

c)

Fig. 104.

stycznie. Jeżeli np. do płaskiej podstawy przykleimy płaską, ciężką kłodę (fig. 104), natenczas ciśnienie jej na podstawę zmieniać będzie kierunek, ilekroć zmienimy pochylenie podstawy: w położeniu a) jest ono prostopadłe, w b) ukośne, w c) styczne względem podstawy. Podstawa oddziaływa oczywiście na kłodę w kierunku przeciwnym. Ciśnienia ukośne lub styczne mierzą się w taki sam sposób i temiż miarami jak prostopadłe.

Jeżeli ciśnienie jest skierowane, nie ku powierzchni, lecz od niej na zewnątrz, wtenczas nazywa się napięciem- jest to to samo, co ujemne ciśnienie.

132. Ciśnienia i napięcia wewnętrzne. We wnętrzu ciał odkształconych, albo odkształcających się, powstają w ogólności siły wewnętrzne, usiłujące przeszkodzić zmianie wzajemnego położenia cząstek. Każda cząstka pomyślana we wnętrzu ciała jest uciskana albo ciągniona przez cząstki sąsiednie; są to działania wywierane na powierzchnię cząstki, a zatem ciśnienia lub napięcia. One nazywają się ciśnieniami wewnętrznemi, a mierzą się tak samo, jak ciśnienia zewnętrzne. Cisną np. na górny koniec laski, opartej dolnym końcem o ziemię, ściskamy zarazem wszystkie cząstki, z których laska się składa. Ciśnienie ręki nie przenosi się na ziemię bezpośrednio, lecz za pośrednictwem wszystkich cząstek laski. Jeżeli poprowadzimy w myśli, gdziekolwiek, poprzeczny przekrój, natenczas cząstki leżące po obu stronach przekroju cisną się wzajemnie; to działanie stanowi właśnie to, co nazwaliśmy ciśnieniem wewnętrznem na uważany przekrój. W przekrojach sznurka, albo drutu wyprężonego działają podobnie wewnętrzne napięcia.

ZADANIA.

250) Na oba końce walca, o promieniu 0,05 m, działają siły wynoszące po bOKgr w kierunku osi na zewnątrz, t. j. siły usiłujące go rozerwać; obliczyć napięcie w którymkolwiek przekroju, prostopadłym do osi.

Odp.

= 6366 Kg Im².

50

(0,05)² Tc

251) Obliczyć wartość tegoż napięcia w G r/m², w gr/crn sek² i w atmo-f er ach. Odp. 636,6 Gr/m²; 624500 dyn/cm²; 0,62 Atm.

252) Na kwadrat o powierzchni 1 m² działa ciśnienie niejednostajne; wzdłuż jednego boku wynosi ono 0, wzdłuż naprzeciwległego 100 G r/cm²;

w każdej linii równoległej do tych boków jest ono jednostajne a rośnie proporeyonalnie do odległości od pierwszego boku. Jaka siła powinna działać na kwadrat ze strony przeciwnej, aby to ciśnienie zrównoważyć? Odp. 500 K<7r; t. j. równa ciężarowi połowy sześcianu ważącego 100. (100)² Gr; punkt przyłożenia jej, w odległości BS'I₃ cm od boku silniej naciskanego.

133. Sprężystość. Sprężystością nazywamy tę własność materyi, na mocy której ciała uwalniają się same od odkształcenia, skoro usuniemy siły zewnętrzne, które odkształcenie sprawiły. Jako przykłady ciał sprężystych wymienimy: kauczuk, który nawet po znacznem wydłużeniu ściąga się do pierwotnej długości; sprężyny stalowe różnej postaci i w rozmaity sposób odkształcane; powietrze, które po zgęszczemu, napowrót się rozszerza i t. p. Znamieniem ciał sprężystych jest i to, że nie zdołają one, bez zewnętrznej pomocy, utrzymać się trwale w stanie odkształconym, lecz muszą być w tym stanie trzymane przez siły zewnętrzne. Własności tej nie posiadają ciała niesprężyste; kawałek wosku miękiego można ugnieść w jakikolwiek kształt, a w tym odkształconym stanie utrzyma się on bez zewnętrznej pomocy. Sprężystość ciała nazywamy doskonałą, jeżeli do utrzymania pewnego odkształcenia potrzeba zawsze tej samej siły zewnętrznej, bez względu na to, ile razy ciało w ten sposób odkształcamy i chociażbyśmy je między jednym a drugim razem poddawali jakimbądź innym odkształceniom. Sprężystość jest zatem doskonała, jeżeli siły zewnętrzne, potrzebne do utrzymania ciała w równowadze (a przeto także i siły wewnętrzne równoważące tamte), zależą tylko od każdoczesnego odkształcenia, a nie od sposobu, jakim to odkształcenie zostało wytworzone. Tak np. do konstrukcyi dynamometru (ust. 96), albo wagi sprężynowej, należałoby używać sprężyny doskonale sprężystej; wtenczas bowiem, pod wpływem pewnego obciążenia, wskazówka dynamometru wskazywać będzie zawsze na tę samą liczbę; w przeciwnym razie siła i odkształcenie nie byłyby niezmiennie od siebie zależne i nie moglibyśmy polegać na wskazaniach dynamometru.

Stosownie do dwu głównych rodzajów odkształcenia odróżniać będziemy także dwa główne rodzaje sprężystości: sprężystość objętości i sprężystość postaci. Pierwsza objawia się, gdy ciało ściskamy jednostajnie ze wszystkich stron (powietrze, wodę, korek, stal i t. p.), druga, gdy je skręcamy.

Przy wszelkich odkształceniach złożonych wchodzą jednocześnie w grę oba rodzaje sprężystości.

134. Prawa Hooke’a ¹). Własności, po których poznajemy ciała sprężyste — mianowicie, zdolność do wywierania siły, gdy są odkształcone, i zdolność do odskakiwania, gdy je uwolnimy od zewnętrznego przymusu — tłomaczą się tem, że między cząstkami ciała sprężystego, których wzajemne położenia zostały przez odkształcenie zmienione, działają siły wewnętrzne, usiłujące je sprowadzić do tych położeń, jakie są im właściwe w ciele nieodkształconem. Razem z odkształceniem znikają i te siły; im większe odkształcenie, tem większe są siły wewnętrzne. Siły te uważać należy jako ciśnienia wewnętrzne (ust. 132), wywierane na powierzchnię każdej części ciała przez części otaczające. Przy bardzo znacznych odkształceniach siły te mogą stać się tak dużemi, że dwie sąsiednie części ciała zostaną od siebie oderwane, jak to widzimy np. na sznurach, łańcuchach i t. p., nadmiernie napiętych.

W zakresie odkształceń tak małych, iż sprężystość ciał można uważać jako doskonałą, doświadczenie wykazało bardzo prostą zależność ciśnień wewnętrznych od odkształceń wszelkiego rodzaju, mianowicie: 1) ciśnienie jest proporcy analne do odkształcenia, albo: stosunek ciśnienia do odkształcenia, iv tem samem ciele spręży stem, jest wielkością stałą. 2) Odkształcenia sprężyste jednakowej wielkości, lecz przeciimych kierunków, iczbudzają ciśnienia jednakowe, lecz działające w kierunkach przeciwnych. Tak np. zgięcie sprężyny na prawo lub na lewo wymaga tej samej siły; podobnież wydłużenie lub skrócenie, rozszerzenie i zgęszczenie i t. p.

Prawa te znalazł Hooke (r. 1675) drogą doświadczalną i przekonał się, że one stosują się do wszelkiego rodzaju odkształceń ciał sprężystych, byle zmiana wzajemnych położeń ■części ciała była małą.

Sznurek kauczukowy, albo stalowa sprężyna spiralna, która pod obciążeniem P Gr przedłuża się o 1 cm, przedłuży się pod działaniem sił 2P, 3P,... o 2,3 cm... i t. d. Przedłużenia sprężyn z cienkiego drutu, wygięcia cienkich płyt i t. p. mogą być nawet znaczne, a mimo to prawo Hooke’a stosuje się do nich, albowiem odkształcenie każdej cząstki z osobna, np. odgięcie małego kawałka sprężyny, jest bardzo małe, a tylko wskutek sumowania się tych małych odkształceń, całe ciało zmienia znacznie swą postać.

Stały stosunek między ciśnieniem wywołanem przez odkształcenie sprężyste, a wielkością, tego odkształcenia, nazywa się spółczynnikiem sprężystości uważanego rodzaju odkształcenia, a więc:

ciśnienie

odkształcenie

= spółczynnik sprężystości.

Oprócz rodzaju odkształcenia, spółczynniki sprężystości zależą, tylko od rodzaju materyi sprężystej, od jej temperatury i innych własności fizycznych.

W następujących ustępach określimy dwa główne spółczynniki, właściwe odkształceniu objętości i postaci.

135. Spółczynnik ściśliwości (spółczynnik sprężystości objętościowej). Pod wpływem jednostajnego zewnętrznego ciśnienia, działającego w kierunku prostopadłym na całą powierzchnię, ciała ulegają zgęszczeniu, objętość ich zmniejsza się. Postać pozostaje podobną do pierwotnej — o ile są jednolite i we wszystkich kierunkach jednakowo zciśliwe (szkło, metale lane, płyny). Odkształcenie to dotyczy wyłącznie objętości: jego

miarą jest: 6 = -

y'—y

, gdzie Y oznacza objętość pierwotną,

y' zmienioną wskutek ciśnienia (ust. 129).

Niechaj p oznacza natężenie ciśnienia działającego na powierzchnię (obliczoną, jak zawsze, na jednostkę pola). Według prawa Hooke’a ciśnienie to jest proporcyonalne do odkształcenia, możemy więc napisać: a oznacza tu spółczynnik proporcyalności; nazywa się on spółczynnikiem ściśliwości, albo sprężystości objętościowej; wartość jego zależy od rodzaju materyi poddanej ściśnieniu. Z ostatniego wzoru wypada, że zmiana objętości ciała zciskane-go jest proporcyonalna do ciśnienia i do objętości pierwotnej, odwrotnie proporcyonalna do spółczynnika zciśliwości; im większe o w jakim materyale, tem trudniej on jest zciśliwy.

Ciało zgęszczone w całości, zgęszczonem jest jednostajnie we wszystkich swych cząstkach, w tym samym stosunku 0, jak całość. Każda cząstka wewnętrzna uciskana jest, przez cząstki otaczające ją, tem samem ciśnieniem p, jakie działa na zewnętrzną powierzchnię.

Spółczynnik ściśliwości, jak w ogóle wszelkie spółczyn-niki sprężystości, jest wielkością tego samego rodzaju jak ciśnienie; wyraża się pewną liczbą jednostek siły na jednostkę powierzchni (np. Gr/cm², albo dyn na cm'³). Okazuje to powyższy

wzór: a =    ; 0 jest stosunkiem zmiany objętości do objętości

pierwotnej, a więc liczbą niemianowaną; w skutek tego wymiar o jest ten sam jak wymiar ciśnienia p.

0    Y'—V

na-

pY

Odwrotność spółczynnika ściśliwości =

żywa się ściśliwością danej materyi. Miarą jej jest odkształcenie pod wpływem jednostki ciśnienia np. ułamek objętości pierwotnej na atmosferę, lub t. p.

136. Spółczynnik sprężystości postaci. (Sztywność). Sprężystość objętościową okazuje wszelka materya, sztywność, t. j. sprężystość postaci właściwa jest tylko ciałom stałym. Ten rodzaj sprężystości określa się jak następuje. Wyobraźmy sobie sześcian wycięty z danego materyału (fig. 102), przymocowany (np. przyklejony) podstawą AB CD do stołu; na górną płaszczyznę ab cd niechaj działa ciśnienie styczne, w kierunku równoległym do jednej pary krawędzi, dajmy na to, do ab i cd. Ciśnienie tego rodzaju wywoła widocznie skręcenie proste. Oznaczmy przez p natężenie tego ciśnienia (na jednostkę powierzchni', przez a skręcenie, które ono sprawia (kąt a A a' w mierze łukowej); według prawa Hooke’a te dwie wielkości będą znowu względem siebie proporcyonalne, a więc:

p = z . a.

Spółczynnik proporcyonalności t, podobnie jak o, posiada pewną wartość stałą, inną w każdym rodzaju materyi; nazywa się on spółczynnikiem sprężystości postaci, albo sztywnością (tęgością) uważanego materyału.

Ciała w których z jest wielkie wymagają, dla pewnej zmiany postaci, wielkiego zewnętrznego ciśnienia; ciała takie mają znaczną sztywność (np. stal); małe z oznacza, że ciało daje się łatwo skręcać, że jest wiotkie (np. galareta).

W ust. 130 okazaliśmy, że skręcenie proste o kąt a jest

równoważne wydłużeniu X = w kierunku przekątnej Ab (fig.

102), w połączeniu ze zwężeniem tejże wartości bezwzględnej, w kierunku a B, prostopadłym do poprzedzającego. Jest więc rzeczą jasną, że zamiast powyższego ciśnienia stycznego można podstawić ciśnienie prostopadłe w kierunku przekątnej, w połączeniu z równem napięciem w kierunku drugiej przekątnej. Ażeby znaleźć wartość tych ciśnień i napięć, wyobraźmy sobie sześcienną część materyi (fig. 105) we wnętrzu większego ciała, któremu nadano w całości skręcenie proste. Jak okazuje fig. 105 wszystkie cztery ściany boczne doznawać będą od otaczających cząstek ciśnień stycznych, tego samego natężenia p. Można bowiem AB uważać za podstawę, przyczem na ab działa ciśnienie

|û-

—____-

iY7T

a-

Fie*. 105.

styczne p, zaś na AB reakcya tej samej wielkości; ale można też Bb uważać za podstawę, wówczas ciśnienie działające na A a będzie siłą skręcającą. Siły działające na ściany ab i B h, ciągną materyę w jednym kierunku, siły aA i BA w przeciwnym; one usiłują widocznie rozerwać uważaną część ciała w płaszczyźnie przekątnej aBCd. Płaszczyzna ta podlega więc sile prostopadłej do niej, a równającej się wypadkowej sił działających na ab i Bb; na tę samą płaszczyznę działa w stronę przeciwną wypadkowa sił działających na AB i Aa, równa tamtej. Wszystkie siły działające na boczne ściany równe są pP, gdzie l oznacza długość krawędzi sześcianu. Wypadkowa działająca na przekątną płaszczyznę aBCd, wynosi przeto p P \/ 2, (gdyż przy małeni odkształceniu kąty między krawędziami sześcianu różnią się tak mało od 90°, iż można przyjąć, że przekątna wynosi l J/2 ). Ponieważ pole tej płaszczyzny aBGd — P y 2, przeto ciśnienie, w tym razie ujemne, czyli napięcie, które na

nią działa, obliczone na jednostkę powierzchni, wynosi:

— P\

pP1/2

py 2

wartość tego ciśnienia jest więc taka sama, jak ciśnień na ściany boczne.

Dalej widzimy, że cząstki materyi leżące po obu stronach drugiej płaszczyzny przekątnej AbcD, wywierają na siebie ciśnienie prostopadłe do tej płaszczyzny; łatwo się przekonać, obliczając jak poprzednio, że wartością tego ciśnienia jest znowu p. Z tego rozważania wynika wniosek, że przez każdy punkt w ciele skręconem, można położyć dwie płaszczyzny prostopadłe do siebie, mające tę własność, że w kierunku prostopadłym do jednej z nich, materya jest zciskaną, w kierunku prostopadłym do drugiej rozciąganą; oba te ciśnienia (dodatne i ujemne) są równe i wynoszą p — z a, w czem a oznacza miarę skręcenia.

Można także powiedzieć, że materya poddana w pewnym kierunku ciśnieniu p, w połączeniu z napięciem p w kierunku prostopadłym do pierwszego, ulega prostemu skręceniu o kąt

P

a — — ; w jednym z tych kierunków materya zwęża się w sto-— X, albo 1:1--, w drugim wydłuża się w tym

sunku 1 : 1 samym stosunku.

Nawzajem, wydłużenie X w pewnym kierunku, w połączeniu z takiem samem zwężeniem w kierunku prostopadłym, budzi napięcia i ciśnienia w tychże kierunkach, o wspólnej wartości: p — 2 X T.

137. Określenie ciał jednolitych. Ciało nazywa się je-dnolitem, jeżeli materya jego posiada we wszystkich częściach jednakowe własności fizyczne i chemiczne. Dwie części, choćby najmniejsze, jednakowej postaci, położone w ciele w tym samym kierunku, po wyjęciu z ciała jednolitego, nie dałyby się odróżnić od siebie ani zapomocą odczynników chemicznych, ani zapomocą prób fizycznych.

Ciała nie mające jednakowych własności we wszystkich częściach nazywają się niej e dno lit emi.

Przykłady ciał jednolitych: woda w niewielkiem naczyniu, mająca jednostajną temperaturę; kawałek szkła starannie odlany i wolno studzony; drut równo wyciągnięty; kryształ soli kamiennej i większa częśc kryształów w ogóle. Ciała niejednolite: granit ziarnisty, drzewo, powietrze atmosferyczne (u dołu gęste, w górze coraz rzadsze), gąbka i t. p.

138.    Określenie ctał równokierunkowych (izotropowych). Ciało jednolite nazywa się równokierunkowem, jeżeli materya jego posiada we wszystkich kierunkach jednakowe własności, t. j. jeżeli żaden kierunek w materyi nie wyróżnia się niczem od innych. Gdybyśmy wyjęli z wnętrza ciała równokierunko-wego kulistą część materyi, natenczas nie możnaby rozpoznać, w jakim kierunku kula ta była w ciele położona.

Ciała w których pewne kierunki wyróżniają się, pod jakimkolwiek względem od innych; nazywamy różnokierunko-wemi (anizotropowemi).

Przykłady ciał równokierunkowych: woda i inne płyny znajdujące się w równowadze, szkło, metale niekrystaliczne i t. p. Ciała różnokie-runkowe: kryształy; ciała które stały się różnokieiunkowemi wskutek odkształcenia, bądź to sprężystego, bądź trwałego; druty, wiele ciał osadowych; drzewTo, posiadające w kierunku włókien inne wdasności, aniżeli w kierunku prostopadłym do włókien i t. p.

139.    Sprężystość ciał różnokierunkowyoh. Ciała jednolite i równokierunkowe są we wszystkich kierunkach jednakowo ściśliwe; sprężystość postaci jest również niezależna od kierunku skręcenia. Z tego powodu własności sprężyste tych ciał zależą od dwu tylko spółczynników sprężystości: a i t.

Ciała różnokierunkowe natomiast mają w różnych kierunkach rozmaitą ściśliwość; ciało tego rodzaju, poddane jednostajnemu ciśnieniu, ze wszystkich stron, zmienia, ogólnie mówiąc, nietylko objętość ale i postać, albowiem różne kierunki zwężają się w niejednakowym stopniu. Sztywność takich ciał bywa również różna, zależnie od kierunku skręcenia.

ZADANIA.

253) Sprężyna spiralna, z drutu stalowego, przedłuża się o 17 mm gdy na nią działa siła 1 Gr. Jakiej siły potrzeba do przedłużenia jej o 4 cm;

ile energii potencyalnej mieści się wówczas w sprężynie? Odp. 2,35 Gr; 4,7 Gr cm.

254) Objętość 1 l wody zmniejsza się o 47 mm³, gdy na nią, wywieramy ciśnienie 1 Atm, ile wynosi spółczynnik ściśliwości wody?

0.047

Odp. a = - ; p — 1033,3 G r/cm², 0 =

0

X 10⁶ G r/cm².

255) Jaka jest ściśliwość wody? Odp.

1000

, zatem o = 22 X

22 X 10⁶

m²/Gr, czyli:

0,000047 na atmosferę.

256) Na sześcian kauczukowy, o krawędzi 10 cm, działają prostopadle do jednej pary ścian równoległych siły rozciągające po 5,235 Kg; prostopadle do drugiej pary siły ściskające, tego samego natężenia. Sześcian przedłuża się w kierunku pierwszej pary sił, a zwęża się w kierunku drugiej o 0,873 mm. Znaleźć skręcenie, tudzież spółczynnik sprężystości postaciowej.

Odp. 1 = 0,873:100 = 0,00873; a = 2 X = 0,01746 (t. j. 1°); p =

= 5235 : 100 = 52,85 Gr/cm²; t =

52,35

~~ — 3000 G r/cm².

0,01746

257 Uzasadnić, dlaczego ciała sprężyste odkształcone, a następnie, oswobodzone mogą odbywać ruch drgający prosty (np. struny), odkształcając się przytem naprzemian na obie strony względem położenia równowagi.

Odp. Siły wewnętrzne przyciągają każdą cząstkę ciała odkształconego ku położeniu równowagi, bez względu na to, w którą stronę ona jest odchylona; natężenie tych sił (według praw Hooke’a) jest propor-cyonalne do odchyleń, a wskutek tego przyśpieszenia są również propor-cyonalne do odchyleń — co jest znamieniem ruchu drgającego.

258) Na końcu sprężyny spiralnej (fig. 47) zawieszono ciało ważące 200 gr; sprężyna przedłużyła się wskutek tego o 15 cm. Ciało potrącone następnie w kierunku pionowym, odbywa drgania, do góry i na dół; znaleźć okres tych drgań (opuszczając małą masę sprężyny).

Odp. Gdy ciało oddali się o s cm z położenia równowagi, wtenczas

203 X s

Gr = 13080 X s dyn; przyśpieszenie wynosi więc: y — 65,4 X s. Ponieważ w każdym ruchu drgającym prostym

działa na nie siła P =

15

t - (t y

X s, przeto

(fX-

65,4, skąd T = 0,78 sek.

259) Ile wynosi energia potencyalna tej masy, gdy odchylenie jest największe, = 10 cm, tudzież energia kinetyczna w chwili przejścia przez, położenie równowagi?

Odp. En. potenc. =

, 200 X (10)²

ł

15

Gr. cm. — 654000 ergów, en. ki-

2 arc

net. =i m Y² (V= —, ust. 24) = \ X 200 X 65,4 X (10)² = 654000 ergów.

ROZDZIAŁ X.

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH.

140. Określenie ciał stałych. Głownem znamieniem, od-różniającem ciała stałe od płynów jest to, że posiadają one określoną, właściwą sobie postać. Płyny rozlewają się w naczyniach, w których je trzymamy i przyjmują zawsze postać zakreśloną kształtami naczynia-, ciała stałe natomiast mają właściwe sobie kształty i usiłują je trwale zachować. Zewnętrzne siły mogą wprawdzie zmienić postać ciała stałego, jednakże tylko w określonym stopniu, choćby nawet działanie to trwało nieograniczenie długi czas; powiadamy, że ciała stałe nie „rozpływają się“ pod działaniem sił trwale przyłożonych. Siły zewnętrzne nadmiernego natężenia mogą jednak zniszczyć trwale związek cząstek; ciało stałe rozrywa się, kruszy i t. p. Dzięki tym własnościom tylko ciała stałe nadają się jako materyał do rzeźb, ornamentów, medalów, monet, narzędzi mechanicznych, t. j. do tych zastosowań, gdzie chodzi głównie o postać i o trwałe jej zachowanie. Z płynu, choćby na pozór twardego (np. ze smoły), nie możnaby wyrzeźbić posągu, któryby mimo działania ciężkości i innych "sił zewnętrznych, zachował trwale pierwotne kształty.

Z tego wynika, że każde ciało, posiadające trwałą sprężystość postaci (sztywność), powinno być uważane za ciało stałe; gdy zaś spółczynnik sprężystości postaciowej jest równy zeru. wtenczas ciało jest cieczą lub gazem. Ciałem stałem jest tedy ołów, jakkolwiek jest on sprężysty tylko w zakresie bardzo małych odkształceń; ciałem stałem jest również galareta, bo sztywność jej, jakkolwiek mała, nie jest jednak zerem.

141. Sprężystość ciał stałych, a) Ściśliwość. Wszystkie ciała stałe są sprężyste, w mniej lub więcej obszernych granicach odkształcenia. Wszystkie są ściśliwe, jakkolwiek bardzo trudno; doświadczenie uczy, że ściśliwość ciał stałych jest w ogóle znacznie mniejsza, aniżeli ściśliwość cieczy, a tern więcej gazów. Ciała doskonale jednolite, jakiemi są prawdopodobnie tylko kryształy, posiadają doskonałą sprężystość objętości, t. j. po ustaniu ucisku wracają dokładnie do pierwotnej objętości, nie doznając trwałego zwiększenia gęstości. Większość ciał stałych ulega jednak pod ciśnieniem trwałym odkształceniom — zwłaszcza jeżeli ustrój ich wewnętrzny jest mniej lub więcej gąbczasty, chociażby przestwory próżne (t. zw. pory) były na oko niedostrzegalne.

Niektóre metale, na pozór jednolite, są, jednak tak dziurkowate, że można przez nie wodę przeciskać. Gęstość złota powiększa się przy wybijaniu monet od 19,258 do 19,367; miedzi od 8,535 do 8,916. Wyżarzenie i powolne ochłodzenie przywraca pierwotną gęstość. Wyżarzenie i nagłe ochłodzenie zmienia również trwale gęstość; gęstość miedzi, szkła, stali (hartowanie), zmniejsza się wówczas; mosiądzu, spiżu zwiększa się.

Bezpośrednie wymierzenie ściśliwości ciał stałych jest trudne, z powodu małości zmian jakie sprawia ciśnienie, nawet bardzo znaczne. Zwyczajnie zanurza się ciało w wodzie i wywiera się z zewnątrz odmierzone ciśnienie zapomocą prasy lub pompy; skrócenie stosunkowe którejkolwiek linii w ciele równokierunkowem równa się trzeciej części zgęszczenia masy (ust. 129); stosunek ciśnienia do zgęszczenia daje spółczynnik ściśliwości.

Pojemność naczyń z materyału równokierunkowego, poddanych jednakowemu ciśnieniu wewnątrz i zewnątrz, zmniejsza się w tym samym stosunku, w jakim zmniejszyłaby się objętość jądra z tego samego materyału, wypełniającego szczelnie wewnętrzną objętość naczyn'a.

142. b) Sprężystość postaci. Wszystkie ciała stałe posiadają sprężystość postaci, wszelako własności ich różnią się w tej mierze znacznie od własności ciała idealnego, doskonale sprężystego. Należy tu zwrócić uwagę na wielkość odkształcenia, któremu poddajemy ciało i na czas trwania onego.

Jeżeli odkształcenie przekroczy pewną granicę, wtenczas po odjęciu sił zewnętrznych ciało nie powraca dokładnie do postaci pierwotnej, lecz zachowuje pewne odkształcenie trwałe, tego samego rodzaju jak odkształcenie przemijające, lecz mniejsze. To odkształcenie ciała, po którem pozostają dostrzegalne już ślady odkształcenia trwałego, zowie się granicą sprężystości w danym rodzaju odkształcenia.

Własności sprężyste ciał zależą dalej od czasu trwania odkształceń. Odkształcenie, które w krótko trwającem doświadczeniu, znika po odjęciu sił zewnętrznych wT zupełności, pozostawia trwałe ślady, jeżeli trwa bardzo długo. Sprężyny zgięte długi czas, osiadają i nabywają zgięcia trwałego. Z tego wynika, że jeżeli pozostawimy ciało długi czas w stanie odkształconym, to cząstki jego ułożą się z biegiem czasu w taki sposób, że ciśnienia wewnętrzne doznają pewnej ulgi.

Nawzajem, jeżeli poddamy ciało sile odkształcającej stałej, działającej przez dłuższy czas, to ciało uzyska natychmiast pewne odkształcenie; lecz wr miarę tego jak ciało przybiera nowy ustrój wewnętrzny, uwalniający je częściowTo od ciśnień wewnętrznych, siła zewnętrzna otrzymuje przewagę i zwiększa odkształcenie. Po pierwszem odkształceniu następuje więc jeszcze dalsze powolne poddawanie się ciała, które może trwać nawet dni lub miesiące, jednakowoż w każdem ciele istotnie stałem dąży do pewnego kresu. Po odjęciu siły zewnętrznej odkształcenie nie znika znowu odrazu w całości, lecz ciało uwalnia się od resztek jego bardzo powoli. Zjawiska te nazwano opóźnieniem sprężystem.

Kauczuk, galareta, stal, mają najobszerniejsze granice sprężystości;, ołów, cynk, cyna bardzo ciasne. Objawy opóźnienia sprężystego są bardzo wybitne w kauczuku, szkle; mniejsze w metalach.

143. Ważniejsze rodzaje odkształcenia sprężystego długich prętów, a) Skręcenie prętów o przekroju kolistym. Najprostsze objawy sprężystości dostrzegamy na prętach pryzmatycznych i prostych. Pręty takie nadają się najlepiej do mierzenia spółczynników sprężystości, a zarazem są ważne ze względu na rozmaite zastosowania np. jako belki w konstruk-cyach technicznych. Pręt AB (fig. 106a), o przekroju kolistym, jest w A stale przytwierdzony; na wolny koniec B działa moment zewnętrzny, skręcający go o pewien kąt cp.

Chodzi nam o obliczenie wartości momentu zewnętrznego M, który wywołuje skręcenie wolnego końca o kąt <p. Pomyślmy szereg przekrojów prostopadłych do osi pręta, którego długość oznaczymy przez L; pierwszy A, będzie nieruchomy; ostatni, B obróci się o kąt cp. Każdy przekrój pośredni obróci się o kąt proporcyonalny do odległości od stałego końca. Dwa przekroje odległe od siebie o AB (fig. 106, b), obrócą

A<

A,

Aj!

8,

s'

a)

b)

Fig. 106.

się względem siebie o -J-. AB. Każda prosta równoległa do osi pręta za-

L

mieni się wskutek tego przez skręcenie na wysmukłą linię śrubową. Pomyślmy, że cały pręt podzielono na cienkie spółosiowe rurkowate warstwy. Cząstka AB A, Bt (fig. 106, b) pierwotnie prostokątna, leżąca na powierzchni jednej z takich rurek (o promieniu r) przyjmie kształt AB' AtB/,

BB'

AB ‘

CD    rep

nieważ jednak BB' = r . —— . AB, przeto a = —— . Wszystkie cząstki prę-

L    Ij

ulegnie zatem skręceniu prostemu (ust. 130) o kąt BAB'

Po-

ta ulegają zatem skręceniu prostemu, najsilniej odkształcają się te, które leżą na zewnętrznej powierzchni, gdzie r równa się promieniowi pręta R.

Skręcenie proste a wywołuje ciśnienie styczne: p = at (ust. 136). Weźmy pod uwagę którykolwiek, np, końcowy przekrój pręta (fig. 107).

Każda cząstka przylegająca doń, wywiera ciśnienie równoległe do przekroju, a prostopadłe do osi i do promienia łączącego cząstkę ze środkiem przekroju. Suma momentów tych ciśnień, w przypadku równowagi, powinna być równa momentowi zewnętrznemu M. Cząstka C w przekroju końcowym (fig. 107), odległa o r od osi, mająca pole s, przyczynia się do

tego siłą : CD = p s — ais

'"o

Fig. 107.

cp 1ST

= —-—, a więc momen-L

®Uf²

tem:

--. Suma tych momentów, obejmująca wszystkie cząstki przy-

L

cpt

legające do przekroju, wynosi: —— S s r², i jest zrównoważona przez mo-

L

ment zewnętrzny M. Sumę iloczynów elementów powierzchni, przez kwadraty odległości ich od osi, t. j. 2 s r² nazywamy momentem bezwładności przekroju względem osi. Równa się ona widocznie momentowi bezwładności blaszki nieskończenie cienkiej, mającej kształt przekroju, w której każda jednostka powierzchni posiada masę — 1, a zatem cała blaszka masę S, równą liczebnie powierzchni przekroju. Według wzoru podanego przy końcu ustępu 75 (str. 136) na moment bezwładności walca kolistego względem osi, znajdziemy, że moment bezwładności przekroju kolistego o promieniu R, wjmosi S s r² = % R² X S = -| R⁴

Zależność pomiędzy momentem zewnętrznym M, a kątem skręcenia ’O wolnego przekroju (w mierze łukowej) wyraża więc równanie:

2L

(1)

z którego czytamy, że moment zewnętrzny, potrzebny, do skręcenia pręta o przekroju kolistym, zależy od spólczynnika sztywności i jest do niego proporcyonalny; nadto jest on wprost proporcyonalny do kąta skręcenia wolnego końca i do czwartej potęgi promienia, zaś odwrotnie proporcyonalny do długości pręta.

Skręcenie prętów o przekroju kolistym daje najprostszy sposób porównywania różnych materyałów pod względem sztywności. Wymierzywszy dla danego pręta R i L w cm, M w Gr. cm, tudzież kąt cp w mierze łukowej, możemy na podstawie równania (1) obliczyć spółczynnik t. Tablica tych spółczynników podana będzie na końcu ust. 144.

Do pomiarów tego rodzaju służyó może przyrząd wyobrażony na fig. 106. Sztywność cienkich drutów dogodniej jest mierzyć metodą wahadłową. Na drucie odmierzonej długości L i grubości 2R zawiesza się bryłę o znanym momencie bezwładności = B, t. zw. wibrator. Wibrator może mieć postać rury, walca, albo pręta poziomego obciążonego na końcach ciężkiemi kulami. Skoro obrócimy go w płaszczyźnie poziomej o pewien kąt, to jednocześnie drut skręci się o ten sam kąt. Wibrator oswobodzony odbywa następnie wahania około drutu jako osi. W istocie jest

ZADANIA.

260)    Obliczyć moment potrzebny do skręcenia okrągłego pręta stalowego, o długości 2 m i średnicy 1 cm, o 1°, przyjmując x = 800 X X 10⁶ G r/m². Odp. 6854 Gr. cm.

261)    Wibrator, zawieszony na drucie stalowym, wykonywa w przeciągu pięciu m'nut 90 wahnień; ten sam wibrator, zawieszony na drucie miedzianym, tej samej długości i średnicy, wykonywa w ciągu 5 minut 70 wahnień; znaleźć stosunek sztywności stali (x,) do sztywności miedzi (x₂). Odp. X, : t₂ = 9² : 7² = 81 : 49.

262)    Znaleźć ten sam stosunek, jeżeli przy równej długości drutów, średnice są d, i d₂, a stosunek częstości wahań nx : n₂. Odp. x, : x₂ =

nt²    n₂²

⁼ V ¹ W ’

268) Na drucie mosiężnym, o długości 576,5 cm i średnicy 0,04828 cm zawieszony jest wibrator, którego moment bezwładności, względem osi drutu, wynosi 36550 gr. cm,². Okres wahań wibratora znaleziono = 65,574 sek.

Odp.

X 10⁶ G r/cm².

144. Przedłużenie albo skrócenie prętów. Pręt, albo drut, przytwierdzony stale u jednego końca, ciągniemy za drugi koniec siłą P, w kierunku równoległym do jego osi pręt wydłuża się wówczas, a jednocześnie zwęża się w kierunku poprzecznym. Rozważmy warunki równowagi sił zewnętrznych i sił sprężystych, wzbudzonych w pręcie przez to odkształcenie. Przytwierdzony koniec pręta usiłuje wyrwać się z przyrządu, który go trzyma, a to taką samą siłą P, jak ta, która ciągnie koniec wolny. W każdym przekroju poprzecznym istnieje ciśnienie (ujemne w przypadku uważanym, a więc napięcie) t. j. cząstki leżące po jednej stronie przekroju usiłują oderwać się

to wahadło, poruszane sprężystością, drutu. Stosując wzory znane z teo. ryi wahadła (ust. 100) mamy w tym razie: M = t

jc cp R⁴

2L

zatem D =

it R⁴

; nadto jest, jak wiadomo: T ŁLi

gdzie T oznacza

okres wahań. Zmierzywszy czas T obliczamy ztąd: t =

8*BL

R⁴ T²

- « « » • - *» *

od cząstek leżących po drugiej. Całkowita siła działająca na wskroś każdego przekroju jest znowu P, a wskutek tego ciśnienie (na jednostkę powierzchni) w każdym przekroju będzie: w czem S oznacza pole każdego przekroju poprzecznego. Długość pręta nieodkształconego oznaczymy przez L; pod wpływem siły wydłużającej zamienia się ona na: L + l. Pręt staje się o l dłuższym, wydłużenie jego (ust. 129) wynosi przeto:

Miarą odkształcenia materyału pręta nie jest przedłużenie l, lecz wydłużenie X. Widocznem jest bowiem, że pręt o długości 2L, dwa razy większej, przedłużony o 21, będzie tak samo w każdem miejscu odkształcony, jak pręt L, przedłużony o l. Według prawa Hooke’a ciśnienienie p jest proporcyonalne do odkształcenia X, możemy zatem napisać:

el

(1)

albo także:

(2)

LP

Spółczynnik proporcyonalności s jest to wielkość stała, zależna od materyału pręta, t. zw. spółczynnik wydłużenia, albo moduł Younga. Jest to spółczynnik sprężystości, właściwy uważanemu sposobowi odkształcenia.

Przy wydłużeniu zmienia się jednocześnie postać i objętość pręta; z tego powodu sprężystość przy wydłużaniu zależy zarówno od sprężystości przy zgęszczaniu jak i przy skręcaniu, t. j. s zależy od obu głównych spółczynników: t i o.

Poprzednie uwagi, równania (1) i (2), tudzież spółczynik s, stosują się również do skrócenia, którego doznaje pręt, gdy siła P działa nań w przeciwnym kierunku. Pręt albo słup, ściskany podłużnie, skraca się, a jednocześnie staje się nieco szerszym.

Aby wymierzyć spółczynnik wydłużenia s dla pewnego materyału, zawiesza się pręt, albo drut, znanych rozmiarów, pionowo; naprzód obciąża się go na dolnym końcu ciężarkiem, któryby go należycie wyprostował, następnie dodaje się większy ciężar P i odmierza z możliwą dokładnością przedłużenie l. Wartość spółczynnika oblicza się następnie z równania (2).

Materyał pręta, pod wpływem podłużnego napięcia p, przyjmuje, według (1), wydłużenie k w kierunku osi; w kierunku poprzecznym następuje jednocześnie zwężenie, którego wartość oznaczymy przez X'. Pomyślmy we wnętrzu pręta sześcian (fig. 108) ABCD, o krawędziach = 1; po odkształceniu uzyska on postaó ab cd-, długość krawędzi podłużnych będzie: 1 -f- X, poprzecznych: 1 — X', albo 1 — X p., jeżeli X'

przez p. = —— oznaczymy stosunek zwężenia poprzecz-

K

A'

"JD

Fig. 108.

nego do wydłużenia. Objętość sześcianu, równa pierwotnie 1, zamieni się na (1 -{- X) (1 — X p.)², albo po opuszczeniu X², jako bardzo małej wielkości, na 1 -f -j- X (1—2p.). Rozszerzenie materyału wynosi więc: 0 = = X (1—2p.). Gdyby sześcian doznał był tylko tego rozszerzenia, wtenczas zarówno podłużne jak poprzeczne

6

rozmiary jego uzyskałoby wydłużenie Xt = —-

3 X

= — (1 — 2 p.). Ponieważ w rzeczywistości sześcian uzyskał podłużne ó

wydłużenie X i poprzeczne zwężenie: — X p., przeto obok jednostajnego rozszerzenia 0 materyał jego doznał jeszcze odkształcenia postaci.

W istocie, widać natychmiast, że rzeczywiste odkształcenie materyału otrzymamy, dodając do powyższego wszechstronnego wydłużenia Xt dwa skręcenia proste: jedno składające się z pewnego wydłużania X2 w kierunku osi i takieguż zwężenia X₂ w kierunku poprzecznym, na szerokość, drugie złożone znowu z wydłużenia X₂ w kierunku osi i zwężenia X₂ w drugim kierunku poprzecznym, na grubość. Bo istotnie, rzeczywiste zwężenie kierunku poprzecznego można przedstawić jak następuje:

— X p. = Xj — 1₂, gdzie X₂ =

— (1 — 2 p.) -j- Xp. = -j- (1 + p.).

Aby zaś otrzymać rzeczywiste wydłużenie X w kierunku osi należy do Xt dodać:

/.

2X

X — Xt — X —    (1—2p.) — g (1 + F-),

a więc istotnie 2X₂. Rozbiór ten wskazuje, że odkształcenie każdej cząstki pręta składa się istotnie z jednostajnego rozszerzenia: 0 = 3 Xj, w połączeniu z dwoma skręceniami prostemi, z których jedno polega na wydłużeniu krawędzi podłużnych o X, i na takiem samem zwężeniu w kierunku szerokości sześcianu; drugie na wydłużeniu krawędzi podłużnych znowu o X₂ i na takiem samem zwężeniu w kierunku grubości.

Rozszerzenie 6 wymaga, żeby na wszystkie ściany działało napięcie p, = 00 = 3 o X, = aX (1 — 2 ja) (ust. 135); pierwsze ze skręceń prostych wymaga ciśnienia w kierunku szerokości: p₂ = 2X₂t (ust. 136), czyli: p₂ = 2X

s= — (1 -j- g) t, w połączeniu z napięciem podłużnem, taj samej wielko-3

ści; drugie skręcenie proste wymaga znowu takiegoż ciśnienia p₂, w kierunku grubości i napięcia p₂ w kierunku podłużnym. Wypadkowe napięcie podłużne p, na ściany ab i cd (fig. 108), składa się tedy ze sił pt -j-+ P2 + Pi, przeto:

p = X [a (1 — 2 g) -j- f t (1 —j- g)].

Porównywając to z wzorem (1):

znajdziemy:

£ = O (1 — 2 g) -f I T (1 4- g).

Aby znaleźć wartość stosunku g, wydłużenia sześcianu, a więc i całego pręta, do zwężenia poprzecznego, należy przypomnieć sobie, że boczne ściany w pręcie wydłużonym nie doznają z zewnątrz ani ciśnienia ani napięcia, że przeto napięcie px i ciśnienie p₂ muszą się znosić; to daje

2X

równanie: o X (1 — 2 g) =    (1 -f- g) t, z którego obliczamy:

3

{&)

3o — 2t

6a -f- 3t

Podstawiwszy tę wartość w równanie dla e znajdziemy: <4)

Taka jest, w ciałach jednolitych i równokierunkowych, zależność spół-czynnika wydłużenia od głównych spółczynników sprężystości a i t.

Ponieważ t i e, tudzież g, dają się łatwo wymierzyć na prętach» przeto znając je, możemy za pośrednictwem równania 4) obliczyć a t. spółczynnik ściśliwości; równanie to daje bowiem: 9x — 3 e 3 — 6 (j.

(5)

Rachunek ten ma jednak wartość tylko dla ciał jednolitych i rów-nokiei unko wych.

TABLICA

spółczynników sprężystości, w milionach Gramów na centymetr kwadratowy (Gr/cm? X 10⁶) ²).

Stal Żelazo Platyna Miedź

Nowe srebro Mosiądz Cynk Srebro Szkło

Kryształy soli kam. — Ołów

Drzewo jodł.

Lód

Kauczuk

2100

810

1700

1900

1700

1250

1200

1000

870

c- co

180

120

60

0,01

750

620

460

360

340

270

260

90

0,003

1400

1600

1480

400

246

0,63

Woda

Powietrze

te

o o of o'

Są to wartości średnie, w liczbach okrągłych, zebrane z różnych doświadczeń, ważne dla temperatury około 15°. Spół-czynniki metali odnoszą się do twardego stanu tychże; ciała te miękną przez wyżarzenie, a spółczynniki sprężystości zmniejszają się (np. dla miedzi blisko o 20%)- W temperaturach wyższych doświadczenie okazuje znaczne zmniejszenie sprężystości. Dla porównania z ciałami stałemi umieszczone są w powyższej tablicy także spółczynniki ściśliwości wody i powietrza.

O'

'w'

Fig. 109.

145. Zgięcie. Pręt prosty zgina się, gdy nań działają przynajmniej dwie pary sił, w płaszczyźnie równoległej do osi (fig. 109); jedna siła bowiem nadałaby prętowi ruch postępowy— jedna para obracałaby go—dopiero dwie pary, równoważące się, mogą wywołać trwałe zgięcie, jak to objaśnia fig. 109. Weźmy np. pod uwagę pręt o długości L, przytwierdzony stale u jednego końca A (trzymany w kleszczach, lub wmurowany w ścianie), gdy na drugi koniec B działa siła P (fig.

110a), prostopadła do osi. Jedną parę sił stanowi w tym razie siła P w B, razem z oddziaływaniem, również P, w punkcie A. Moment tej pary wynosi M — PL. Drugą parę zewnętrzną stanowią siły sprężyste w końcowym przekroju A pręta. Wskutek zgięcia, cząstki leżące po wypukłej stronie pręta zostały bowiem

îB

B-

Ri

o'

O.

Fig. 110a..

Fig. 110b.

wydłużone; cząstki po stronie wklęsłej skróciły się. Odkształcenia te są powodem napięć po stronie zewnętrznej, ciśnień na wewnętrznej przekroju końcowego A (fig. 110b). One usiłują obrócić cały pręt w przeciwną stronę, aniżeli para PP. Celem utrzymania równowagi, wypadkowy ich moment powinien być równy momentowi M = P . L.

W zgiętym pręcie spotykamy więc ten sam rodzaj odkształcenia materyi, jak w ustępie poprzedzającym t. j. wydłużenie i skrócenie, przy którem pręt może swobodnie zwężać się lub rozszerzać w kierunku poprzecznym. Zgięcie, podobnie jak wydłużenie lub skrócenie, zależy więc od spółczynnika wydłużenia s; ono będzie tem większe, im mniejsza jest wartość tego spółczynnika. Większa lub mniejsza sztywność pręta przy zginaniu zależy nadto od długości jego i od postaci przekroju poprzecznego.

Miarą zgięcia jest zakrzywienie pręta w tej części, która zakrzywia się najsilniej t. j. w A. Promień krzywizny AC = R (fig. 110c) jest w tem miejscu najkrótszy* Przez środek przekroju A (fig. 110b) przechodzi linia 00, oddzielająca części wydłużone od skróconych. Cząstka s, w odleg-

[Jeżeli bowiem porównamy

r

łości r od 00, doznaje wydłużenia: X = — długości linii Oa i o'a', (fig. llOb) równych przed zgięciem, odległych o R i R+r

%'

ÎT7

.%Y

/X / /XX

//R

: ; / / / , :. / / / /•

///

//

/ / // <

Fig. 110c.

od środka krzywizny C, to o'a' : Oa = R + r : R, skąd: o'a' — Oa ^1-f    ’

r

widaó zatem że —- = X. Poniżej linii 00 r jest ujemne, X oznacza tam

skrócenie]. Napięcie działające na pole s 00 wynosi więc: X e =

T-

tamże =

g g y*    g ^ ^*2

— ; moment jej, względem 00:    ~~ ■ Przeto moment wypadko-

R    R wy wszystkich cis'nień i napięć, na całym przekroju: M = ——E.sr²albo:

M = —-, jeżeli przez B oznaczymy, podobnie jak w ust. 143, moment bez-R

władności przekroju A względem linii 00; moment B zależy od rozmiarów i od kształtu tegoż przekroju. Zważywszy, że moment wypadkowy sił sprężystych w przekroju A, równoważy moment siły P, otrzymamy:

PL = —— skąd:

R=^‘

Inne przekroje pręta są mniej zgięte aniżeli A; tak np. przekrój D, w odległości x od wolnego końca B, możemy uważać jako przekrój końcowy krótszej belki BD, umocowanej w D. Moment siły P względem niego wynosi tylko Pæ; promień krzywizny R' w tern miejscu będzie tedy

R' =

Pæ

Widzimy więc, że zakrzywienie pręta zwiększa się proporcyonalnie do odległości od wolnego końca (fig. 110c). Łatwiej aniżeli promień krzywizny R daje się wymierzyć odchylenie wolnego końca B od położenia równowagi, t. zw. strzałka zgięcia BB' = Y (fig. UOc). Celem znalezienia wartości strzałki, podzielmy długość pręta, zaczynając od B, na bardzo wielką ilość równych odcinków, o jednakowej długości == £. Promienie krzywizny tych odcinków będą po kolei, według poprzedzającego wzoru:

Ri -    . R₂ =

Rs —

P3Ś

PL *

Jeżeli w końcach tych odcinków wykreślimy styczne do zgiętego pręta, (w fig. UOc dla większej wyrazistości rysunku zgięcie jest mocno przesadzone) natenczas podzielą one linię BB' na odcinki, których długość oznaczymy kolejno przez yx, y%, y₃...., a których suma równa się szukanej strzałce Y. Z podobieństwa wysmukłych trójkątów, które tworzą przeci nające się po kolei promienie R,, R₂.... i trójkątów utworzonych przez należące do nich styczne, wynikają następujące proporeye:

iTtp

to ksg

ifYp to

CO ^

t/Tp ₍W

•m

C+-

Q-

Otrzymujemy stąd, podstawiwszy za R„, R , i t. d. wartości:

Pç³

PP

Vt =    ; 2/2 = — (2)² ; y₃ =

e B    s B

(3)2; ....

Oznaczmy ilość odcinków 4 przez w, zatem n £ = L, a znajdziemy:

P ę3

Y = — Sw².

Ponieważ, jak dowiedliśmy w ust. 75, jeżeli w jest bardzo wielką

.    w³

liczbą można przyjąć Sw² = — , przeto dostajemy:

O

PL3 ³ eB

t. j. strzałka zgięcia pod wpływem siły P jest proporcyonalna do sześcianu długości pręta; pręt dwakroć dłuższy ugina się ośm razy więcej. Sztywność jego zależy zresztą także od momentu bezwładności B, a więc od kształtu przekroju.

Przypuśćmy np., że przekrój jest prostokątem o bokach b i e, tudzież że siła P działa równolegle do boku b. Z wzorów danych w ust. 75 dla momentu bezwładności równoległościanu prostokątnego, znajdziemy

12

ramię bezwładności, zakładając tam a = o, mianowicie k² — —— b², za-

tern B = k²bc =

b³ c. Jako wartość strzałki otrzymujemy więc w tym

przypadku:

P L³

4--- .

eb³ c

Wynik ten można wypowiedzieć jak następuje: Strzałka zgięcia pręta o przekroju prostokątnym jest proporcyonalna do obciążenia P i do sześcianu długości; natomiast jest odwrotnie proporcyonalna do szerokości (w kierunku prostopadłym do płaszczyzny zgięcia), do sześcianu wysokości i do spólczynnika wydłużenia.

Prawo to objaśnia znaną, własność prostokątnych listew, desek i t. p., które są bez porównania sztywniejsze w kierunku krawędzi wązkiej, aniżeli przy zgięciu na płaską stronę.

Z powyższych praw zgięcia pręta, przytwierdzonego na jednym końcu, można odrazu otrzymać podobne prawa dla pręta, który jest u obu końców luźnie podparty, a w środku obciążony siłą P, prostopadłą do osi. Strzałka zgięcia będzie widocznie taka, jak gdyby dwa pręty, kształtu przedstawionego na fig.vllOa, były złączone z sobą w przekroju A, a na końcach B poddane

były siłom

działającym do góry (takie jest bowiem oddziaływanie punktów podparcia). Zamiast P we wzorze powyższym,

P    h

należy więc napisać-7p zamiast L, . Okaże się wówczas, że

strzałka zgięcia pręta podpartego u obu końców jest szesnaście razy mniejsza (2 X 2³) aniżeli wówczas, gdy pręt jest u jednego końca stale przymocowany, u drugiego obciążony.

ZADANIA.

264) O ile przedłuża się pręt stalowy, długości 3 m, przekroju prostokątnego: 2 X 3 mm, gdy ba końce jego działają siły wydłużające, po 2 X 105 X 300

200 Kg? Odp. I =

— 0,48 cm.

2100 X 10⁶ X 0,06 265) Jaką średnicę (d) powinien mieć okrągły pręt mosiężny o dłu

gości 2 m, aby wydłużenie jego nie przewyższało wartości 0,0005, skoro na nim zawiesimy ciężar 50 Ky? Odp. Oznaczywszy przez r promień,

znajdziemy ciśnienie w przekroju =

50000

t‘2 TT

, zatem k = 0,0005 =

5°0C0

-JŁ ₌

„    .; stąd r = 0,178 cm, d = 3,56 mm.

e r² n X 1000 X 10⁶    ’

266)    Między dwoma punktami stałymi napięta jest struna stalowa, o długości 80 cm i średnicy 0,7 mm. Struna ta zostaje wygiętą w łuk koła, przyczem jej punkt środkowy odchyla się z położenia równowagi o 3 mm. O ile zmienia się przy tern siła, którą struna ciągnie punkty stałe? Odp. Rośnie o 455 Gr.

267)    Obliczyć stosunek (g) zwężenia poprzecznego do wydłużenia dla szkła, przyjąwszy stosunek e : t jako dany i równy 2'/2- Odp. g =

268)    Ile wynosi stosunek e : t, jeżeli p = ^? Odp. 8 : 3.

269)    Znaleźć strzałkę zgięcia, tudzież najkrótszy promień krzywizny, belki poziomej drewnianej, umocowanej jednym końcem, obciążonej na wolnym końcu ciężarem 50 Kgr; długość jej wynosi 2 m; wysokość 30 a szerokość 25 cm. Odp. Y = X mm\ R — 6750 m.

270)    Znaleźć stosunek strzałek zgięcia dwu belek poziomych, z tego samego materyału, jednakowej długości i masy, umocowanych jednym końcem, a obciążonych jednakowo na końcu wolnym, jeżeli przekrój pierwszej jest kwadratem o bokach poziomych i pionowych, a drugiej; kołem. Odp, 3 : rc = 1 : 1,047.—(Moment bezwładności kwadratu «X«, wzglę-

aĄ

12

dem średnicy równoległej do a, wynosi —koła o promieniu r, względem

rĄ rc\

średnicy = J .

271) Na końcu prostego pręta stalowego, o długości 40 cm, szerokości 5 mm, grubości 2 mm, przymocowana jest masa300 gr. Znaleźć częstość drgania tej masy w kierunku prostopadłym do szerokości pręta, opuszczając masę samego pręta. Odp. n = 1,65 na sek.

146. Obszerność granic sprężystości. Granicą sprężystości nazywa się, jak już wspomniano, najmniejsze odkształcenie, po którem pozostaje w ciele widoczne odkształcenie trwałe (ust. 142). Dla większej części ciał sprężystych granice te są nader ciasne; odległość dwu sąsiednich cząstek ciała, przy wszelkich odkształceniach, w zakresie granic sprężystości, różni się od pierwotnej ich odległości zaledwie o mały ułamek tejże odległości pierwotnej. Przy wydłużeniach prętów znaleziono następujące granice sprężystości, (są to największe wydłużenia \, jakie pręt może znosić, nie doznając przytem wydłużeń trwałych,

większych niż

100000

na 10 metrów długości pręta):

to znaczy: 0,05 mm na metr, albo 0,5 mm

Stał

Żelazo

0,0020

0,0015

Miedź

Ołów

0,00093 Jodła 0,00014

0,002

Kauczuk przeszło 1,0.

Wyżarzenie, zwłaszcza metali twardszych, np. żelaza, ścieśnia granice sprężystości nader znacznie, nawet do ^-powyższych wartości.

Skręcenia proste (a, ust. 130), możliwe w obrębie granic sprężystości, nie przekraczają nawet dla stali wartości a = 0,014 t. j. około 50'; dla innych metali wynoszą zaledwie kilkanaście minut. Nie należy tego oczywiście mićszaó z całkowitym kątem skręcenia prętów, oznaczonym wyżej przez <p, który dla cienkich prętów (drutów i t. p.) może być bardzo znaczny, pomimo że skręcenia proste a poszczególnych cząstek, nie przekraczają powyższych granic.

147. Plastyczność i kruchość. Granice odkształceń sprężystych ciał stałych, jak widzieliśmy, są bardzo ciasne; odkształcenia przekraczające te granice nie znikają w całości po odjęciu sił odkształcających, lecz zostawiają po sobie odkształcenia trwałe (ust. 142). Jeżeli wskutek tych odkształceń trwałych postać ciała może znacznej uledz zmianie, zanim nastąpi zerwanie związku cząstek, wtenczas ciało nazywamy plastycznem, czyli gniotkiem. Ciało natomiast, które nie przyjmuje odkształceń trwałych, które pęka, kruszy się, rozrywa albo łamie przy odkształceniach niewiele większych niż granice sprężystości, nazywa się kr uchem. Własności ciał w tej mierze zależą nie mało od szybkości, z jaką odkształcenie powstaje, a zatem od natężenia siły zewnętrznej i od czasu działania jej. Tak np. smoła szewska, w temperaturach średnich, jest ciałem krachem, łamliwem; wszelako w obec sił trwale działających, choćby nawet słabych, zachowuje się jak ciało plastyczne, a nawet płynne. Kelvin umieścił płytę takiej smoły na powierzchni wody w szerokim słoju, położył na niej kilka kul ołowianych, a pod nią zanurzył w wodzie kilka korków; w przeciągu sześciu miesięcy kule przecisnęły się nawskroś przez płytę i spadły na dół, korki wypłynęły na wierzch. W obec krótko trwających odkształceń toż samo ciało jest o tyle sztywne i sprężyste, że może być w tym względzie porównane ze szkłem.

Stopień plastyczności zależy także od rodzaju odkształcenia. Pod względem plastyczności przy kuciu (kowalność) metale idą. w następującym porządku: ołów, złoto, srebro, miedź, platyna, żelazo; przy walcowaniu na blachy porządek jest taki: złoto, srebro, miedź, ołów, platyna, żelazo; przy wyciąganiu na druty (c i ą g 1 i w o ś ó): platyna, srebro,

żelazo, miedź, złoto, ołów. Ze złota robią się blaszki o grubości W

z platyny druty o średnicy g. Wyżarzenie, tudzież ogrzanie, zwiększa plastyczność (kucie żelaza na gorąco, formowanie szkła); mechaniczne przerabianie (kucie, wyciąganie i t. p.) zwiększa twardość, kruchość i sprężystość. — Hartowanie stali polega na ogrzaniu do czerwoności i naglem ostudzeniu w wodzie; zewnętrzne warstwy ściągają się nagle i wywierają wielkie ciśnienie na wnętrze, które zwolna pod tern c:śnieniem ostyga. Przy podobnem postępowaniu mogą tworzyć się trwałe napięcia wewnętrzne, dające ciału pozory nadmiernej kruchości (krople batawskie). Mierne ogrzanie stali (odstalanie) usuwa zbyteczną twardość i kruchość.

148. Twardość. Twardość jest to własność wielce złożona, na którą, składają się: sztywność, ściśliwość i kruchość. Twardość ocenia się zwyczajnie według siły potrzebnej do wciśnięcia ostrego kolca w ciało, albo według zdolności rysowania innych ciał. Minerały porównywa się zwyczajnie, pod względem twardości, z następującą skalą dowolną: 1) łojek, 2) gips, 3) szpat wapienny, 4) fluoryt, 5) apatyt, 6) adular, 7) kivarc, 8) topaz, 9) korund, 10) dyament.

Metale idą pod względem twardości w następującym porządku: stal, żelazo, platyna, miedź, cynk, srebro, złoto, glin, cyna, ołów. Na twardość zważa się przy wyborze materyału na pilniki i proszki do szlifowania. Szybki ruch jest pomocny przy piłowaniu i szlifowaniu; proszkiem dya-mentowym szlifuje się dyamenty; wirujący krążek miedziany, powleczony szmirglem, przecina szkło; miałki piasek dmuchany silnie na szkło używany bywa do sporządzania napisów i ornamentów.

149. Wytrzymałość. Miarą wytrzymałości jest napięcie, które powinno działać na pewną płaszczyznę we wnętrzu ciała, aby oderwać od siebie cząstki, przylegające po obu stronach do tej płaszczyzny. Zerwanie związku cząstek poprzedza zwyczajnie znaczne odkształcenie trwałe. Jeżeli odkształcenie wywołuje we wszystkich punktach w ciele ciśnienia jednakowe (jak np. przy wydłużaniu prętów pryzmatycznych) wówczas ciało rozrywa się w tym przekroju, w którym (wskutek niezupełnej jednolitości) materyał jest przypadkowo najsłabszy, albo przekrój mniejszy (wyszczerbienie, zadraśnięcie i t. p.). Jeżeli ciśnienia nie są jednakowe, wtenczas zerwanie zdarzy się naprzód tam, gdzie ciśnienie jest największe (np. przy zginaniu pręta, w miejscu najbardziej skrzywionem). Rozmaitym rodzajom odkształcenia właściwe są różne sposoby zerwania związku cząstek: wydłużenie—rozerwanie; ściskanie—zgniecenie (np. kamieni w budowlach); zgięcie—złamanie; skręcenie—przekręcenie; skręcenie proste—starcie czyli ścięcie (oderwanie cząstek w kierunku stycznym do przekroju, jak np. przy krajaniu ciał nożycami).

Doświadczenie uczy, że siła potrzebna do zerwania związku cząstek wzdłuż pewnej płaszczysny, w której odkształcenie

wzbudza jednostajne ciśnienie (wytrzymałość' ciała w tej płaszczyźnie) jest w przybliżeniu proporcyonalna do pola tej płaszczyzny. Stosunek siły do pola przekroju, t. j. napięcie sprawiające zerwanie, nazywa się spółczynnikiem wytrzymałości. Tak np. siła potrzebna do rozerwenia pręta jest proporcyonalna do jego przekroju (i nie zależy oczywiście od długości pręta). Spółczynnik wytrzymałości równa się w tym razie sile, potrzebnej do rozerwanie pręta o przekroju równym jednostce. Następująca tablica daje przybliżone wyobrażenie o wartości spółczynników wytrzymałości różnych materyałów przy różnych odkształceniach. (Spółczynniki wyrażone są w milionach Gramów na centymetr kwadratowy):

♦

Rozerwanie:

Stal

Żelazo

Miedź

CO O CO

1,3

Cynk Ołów Drzewo jodł. 0,4

0,2

Liny konopne Włókno jedwab. Rzemienie

O co co' cf

Zgniecenie:

Żelazo lane 3,0 Ołów

0,5

Granit

Piaskowiec

1,6

1,2

Cegła

Drzewo

o o To

Starcie:

Żelazo kute 3,5

Żelazo lane

2,0

Drzewo

• 0,05.

Te same czynniki, które powiększają plastyczność i miękość, zmniejszają wytrzymałość. Ciała są znacznie wytrzymalsze wobec sił zewnętrznych działających krótko, aniżeli w obec obciążeń trwałych, albo często powtarzanych. Podwyższenie temperatury, tudzież wyżarzenie (u metali) działa również osłabiająco. Szczególnie szkodliwemi są odkształcenia często powtarzane, a różniące s''ę znacznie co do wartości; aby np. złamać pręt żelazny, wyginamy go naprzemian na prawo i na lewo. Części składowe konstrukcyi technicznych (budowli, machin i t. p.) nie powinny doznawać ciśnień większych aniżeli pewna n—ta część spółczynnika wytrzymałości; liczba « nazywa się pewnością. Gdy chodzi o rozerwanie, przyjmuje się dla drzewa n — 9 — 15 dla żelaza i stali 4 — 8. Im większe n, tem większe bezpieczeństwo konstrukcyi.

Ciała różnokierunkowe miewają często w różnych kierunkach różną wytrzymałość, jak to widać np. na łupkach, łyszczkach, soli kamiennej--łupliwych w pewnych określonych kierunkach.

ZADANIA.

272)    Obliczyć największy ciężar, jaki zdoła unieść pionowy pręt żelazny, o przekroju 10 im»², nie wydłużając się po za granicę sprężystości. Odp. 1900 X 10b X 0,1 X 0,0015 Gr = 285 Kg.

273)    Ile energii potencyalnej można umieścić w drucie stalowym, o długości 10 m i średnicy 0,6 mm, przedłużając go aż do granicy sprężystości? Odp. U = y PZ = i s S X² L = \ x 2100 X 10⁶ X (0,03)² X 3,1416 X X (0,002)2 x 1000 = 11875 Gr. cm.

274> Jakiej siły potrzeba do przerwania drutu stalowego o średnicy 1 mm? Odp. P : (0,05)² rc = 8 X 10⁶ : 1; P = 63 Kg.

275) Jaką średnicę powinien mieć okrągły pręt żelazny, aby przy

pięciokrotnej pewności uniósł ciężar 500 Kg?

5C0000

Odp. i d² /i — 5 X ⁻—

¹    ⁴    4000000

c/n²; d = 11 mm.

276) Obliczyć największy ciężar P, któryby można zawiesić na końcu poziomej belki, utwierdzonej stale przy drugim końcu, jeżeli długość belki wynosi L, wysokość 6, szerokość c, gdy największe dozwolone napięcie w danym materyale wynosi w? Odp. Ciężar P sprawia zgięcie, najsilniejsze w przekroju utwierdzonym, gdzie promień krzywizny wynosi:

1 s 6³c 12 PL '

W tymże przekroju (niebezpiecznym) będą największe wy-

dłużenia i skrócenia, a mianowicie w cząstkach najbardziej odległych od

J__ó__6 P L

R 2 ~ s&²c ’

środka, t. j. w odległości ; wydłużenia te będą: X =

Li

przeto odpowiednie napięcia: X e =

6 PL

; one nie powinny przewyższać

o² c

b² c w

w, zatem największe bezpieczne obciążenie będzie: P = -F —-—.

L

277) Obliczyć największy ciężar P, który można zawiesić w środku tej belki, jeżeli ona jest u obu końców podparta. Odp. Podstawić w po-

przedzającym wzorze ₀ zamiast L, tudzież-—-zamiast P,wówczas otrzy-

Li    Li

mamy P

o 6² c w

= 3 —~— (t. j. 4 razy tyle co poprzednio). L

278) Jaki może być ciężar P, w obu poprzedzających zadaniach, jeżeli on nie działa w jednym tylko przekroju, lecz jest jednostajnie rozłożony na całej długości belki? Odp. W obu przypadkach dwakroć większy.

279) Jaki ciężar można zawiesić, przy 10-krotnej pewności, na końcu belki drewnianej o długości 3 m, wysokości 20 cm, szerokości 15 cm (w = (20)²X15X80

= 80 Kgr/cm²). Odp. ‘/e

266 Kg.

280) Przy jakiem obciążeniu belka złamie się? Odp. 2660 Kg.

300

150. Tarcie wewnętrzne, czyli lepkość ciał stałych. Ciała sprężyste, odkształcone, a następnie oswobodzone, drgają około położenia równowagi. Ruch ten jest zupełnie podobny do ruchu wahadeł, albowiem i tu siły sprężyste, wzbudzone przez odchylenie z położenia równowagi, są proporcyonalne do odchyleń okres drgania, podobnie jak u wahadeł, nie zależy od wartości amplitudy. Gdyby ciśnienia powstające przy odkształcaniu ciał sprężystych były siłami ściśle zachowawczemi, wówczas ruch drgający ciała sprężystego trwałby bez końca, podobnie jak ruch wahadła niedoznającego oporów tarcia. Doświadczenie uczy jednak, że ruchy tego rodzaju są zawsze drganiami zanikającemu Ubytku energii drgania nie można kłaść wyłącznie na karb oporów zewnętrznych (powietrza), gdyż podobne zanikanie amplitudy drgań zauważono także w próżni. Nawet ciała najbardziej sprężyste (ust. 133), odkształcające się w granicach sprężystości (struny stalowe w fortepianie, których dźwięk zanika jak wiadomo bardzo szybko) nie podlegają siłom zachowawczym. Wytłumaczono te zjawiska w następujący sposób. Ciśnienia wewnętrzne w ciałach doskonale sprężystych mają tylko wtenczas znamiona sił zachowawczych, gdy je badamy w stanach równowagi. Podczas ruchu natomiast, t. j. podczas odkształcania się, powstają obok ciśnień sprężystych jeszcze dodatkowe opory, zależne od prędkości odkształcania się, które znikają dopiero wtenczas, gdy od-odkształcenie przestaje się zmieniać; one sprzeciwiają się zarówno wzrostowi jak i ubytkowi odkształcenia, a z tego powodu zużywają energię kinetyczną. Opory te, czynne zwłaszcza przy odkształceniach postaci, nazwano tarciem wewnętrz-nem, albo lepkością (z powodu podobieństwa do sił podobnych, działających w płynach); można je uważać jako tarcie między cząstkami ciała, budzące się wtenczas, gdy cząstki te przesuwają się jedne obok drugich.

¹

Czyt. Huka.

²

T. j. w tonnach na cm².

Z rozpoznania tych sił wewnętrznych wynika następujące twierdzenie: ciśnienia w ciałach doskonale sprężystych można tylko wtenczas uważać jako siły zachowawcze, gdy odkształcenia odbywają się nieskończenie powoli; wszelka inna zmiana odkształceń jest połączona ze stratą energii dynamicznej, przy-czem (jak przy wszelkich zjawiskach tarcia) na miejsce tej utraconej energii powstaje ciepło.

151. Tarcie zewnętrzne. Gdy jedno ciało stałe posuwa się po drugiem, w taki sposób, iż ta sama część powierzchni pierwszego dotyka się po kolei różnych części powierzchni drugiego (łyżwa na lodzie), wtenczas pojawia się również opór, częstokroć bardzo znaczny, zwany tarciem zewnętrznem. Obecność jego można poznać po następujących zjawiskach: 1) Jeżeli ciało, ślizgające się na powierzchni drugiego, posiada pewien zapas energii kinetycznej, lecz porusza się bez zewnętrznej pomocy, wtenczas energia jego zanika stopniowo i zamienia się na ciepło; w końcu ruch ustaje zupełnie. 2) Aby utrzymać ciało ślizgające się w ruchu jednostajnym, potrzeba użyć siły pociągowej, któiaby tarcie zrównoważyła (siła równa się wtenczas oporowi). 3) Ciało spoczywające na podstawie, zaczyna poruszać się dopiero wtenczas, gdy siła ciągnąca je dorówna co najmniej tarciu o podstawę. Z tego wynika, że tarcie między dwoma ciałami, znaj duj ącemi się we względnym spoczynku, jest siłą do pewnego stopnia zmienną. Nie ma go wcale, dopóki nie ma usiłowania zewnętrznego, starającego się poruszyć jedno ciało na drugiem. Gdy jest takie usiłowanie, ale bardzo małe, wtenczas zjawia się odrazu opór tarcia, lecz wzrasta tylko do tego stopnia, żeby właśnie zrównoważył owo zewnętrzne usiłowanie. Dopiero gdy to usiłowanie urośnie do pewnej wartości, powierzchnie ciał odrywają się od siebie i zaczyna się ślizganie. Podczas ruchu tarcie zachowuje mniej więcej tę samą wartość największą, jaką miało w chwili zaczęcia się ruchu. Zwykle zmniejsza się cokolwiek.

Tarcie w chwili zaczęcia się ruchu, większe nieco, wskutek uleżenia się ciała na podstawie, nazywa się także tarciem sta-tycznem; tarcie podczas ruchu — kinetycznem. (To wyjaśnia nam dlaczego ciało, znajdujące się na płaszczyźnie pochyłej, zesuwa się dopiero wtenczas, gdy pochylenie jest dostatecznie wielkie).

Główną przyczyną tarcia zewnętrznego są nierówności powierzchni, które podczas ruchu muszą być albo starte, albo stosownie odkształcone, a w każdym razie sprawiają lekkie, aie bardzo częste wstrząśnienia, zużywające pracę siły pociągowej. Ruch wozu po nierównej, kamienistej drodze, jest jakoby powiększonym obrazem tego, co się dzieje przy tarciu ciał twardych; ruch na drodze błotnistej objaśnia tarcie w przypadku ciał miększych, mających pewien stopień plastyczności. Wy-

gładzenie powierzchni zmniejsza tarcie, nie usuwa go jednak w zupełności.

Warunki, od których zależy wielkość tarcia między dwoma ciałami stałemi, starano się określić na drodze doświadczalnej. Oto są znalezione w tej mierze wypadki:

Doświadczenie uczy, że 1) wielkość tarcia F (t. j. siły działającej równoległe do drogi, a starającej się zahamować względny dwu ruch ciał) jestproporcyonalna do siły P, która przyciska ciało ślizgające się do podstawy.

Stosunek — f, tarcia F do siły prostopadłej P, nazywa się spółczynnikiem tarcia; wartość jego zależy od rodzaju powierzchni, zarówno ciała ślizgającego się, jak podstawy:

= /, czyli F = /\P.

2) Tarcie nie zależy od wielkości powierzchni ślizgającej się;

gdyż np. przy podwojeniu powierzchni, siła P rozkłada się na pole podwójnej wielkości, wskutek czego (według 1) na każdej

ra

r,

rT-

s.»

Fig. 111.

połowie powierzchni działa tarcie o połowę mniejsze — podwójna powierzchnia doznaje zatem takiego tarcia, jak pierwej pojedyncza.

3) Tarcie nie zmienia się wiele, gdy prędkość ruchu się zmienia;

przy wielkich prędkościach jest ono atoli nieco mniejsze, aniżeli przy małych.

Celem wymierzenia spółczynnika tarcia dla różnych ciał, używa się sanek S (fig. 111), ruchomych na poziomym torze T, obciążonych stosownym ciężarem. Siły pociągowej F, dostarcza

ciężar Q, działający na sanki za pośrednictwem sznurka i dyna-mometru AB, mierzącego natężenie tej siły pociągowej. Po-niewrnż tarcie jest siłą niemal stałą, przeto gdy siła pociągowa Fj, również stała, przewyższa tarcie F, ruch będzie jednostajnie przyśpieszony i odbywać się będzie pod wpływem siły wypadkowej F, - F. Wymierzenie tego ruchu prowadzi do obliczenia F, jak to okażemy na następującym przykładzie:

Sanki razem z obciążeniem ważą 5000 gr, zatem siła przyciskająca je pod podstawy (toru): P = 5000 Gr; masa sanek,

5000

— 5,097. Dynamometr

wskazuje podczas ruchu Ft = 1300 Gr. Sanki przebywają drogę s ~ 400 cm w przeciągu czasu t— 3 sek.

w układzie w ciężarowym: m

981

2s

Przyśpieszenie ruchu: y —    — 88,89 cm/sek². Siła wypad-

Z

kowa, poruszająca masę 5,097 jest: F,—F=:5,097x88,89 —453 Gr; zatem tarcie = F = 1300 — 453 = 847 Gr. Nakoniec spółczyn-F

nik tarcia: f — p-

= 0,17.

847

“ 5000

Dla różnych ciał znaleziono następujące spółczynniki tarcia (są to stosunki dwu sił, zatem liczby niezależne od jednostek miar):

Pas rzemienny na metalu Metal Drzewo

CO

29

„ drzewie 0,5—0,6 0,25—0,5

27-81°

14—27°

Ciał© umieszczone na płaszczyźnie pochyłej zaczyna zesuwać się dopiero wtenczas, gdy kąt a. t. j. pochylenie płaszczyzny ku poziomowi, urośnie co najmniej do wartości <p = arc tg /. Jeśli bowiem ciężar ciała oznaczymy przez P, natenczas składowa jego, usiłująca posuwać ciało po płaszczyźnie pochylonej pod kątem a, wynosi P sin a; siła przyciskająca je do płaszczyzny jest: P cos a, zatem tarcie = P / cos a. Ruch będzie więc możliwy, gdy P sin a ;> P/ cos a, czyli tg <*>/. Jeżeli więc cp oznacza najmniejsze pochylenie, przy którem zesuwanie się może nastąpić, to tg <p = /, czyli cp — arc tg f. W ogólności ślizganie się ciała, po jakiejkolwiek płaszczyźnie, może rozpocząć się dopiero wtenczas, gdy wzajemne działanie ciała i płaszczyzny jest pochylone względem prostopadłej do płaszczyzny, co najmniej pod kątem <p = arc tg f. Kąt ten, zależny od spółczynnika tarcia, nazywamy kątem tarcia. Pop.zedzają-ca tablica zawiera obok spólczynników /, także wartości kąta tarcia <p dla kilku par ciał.

Siła potrzebna do wprowadzenia w ruch ciała spoczywającego, bywa pospolicie większa, aniżeli siła wystarczająca do utrzymania go w ruchu; to stosuje się zwłaszcza do ciał miększych, dla których tarcie statyczne może przewyższać kinetyczne nawet o 30%.

Tarcie można znakomicie zmniejszyć, jeżeli ślizgan:e się ciała zastąpimy toczeniem się; praktycznem zastososowaniem tego są wozy i koleje. Aby utrzymać walec, toczący się po płaszczyźnie poziomej, w ruchu jedno-stajnym, musimy działać nań bez przerwy stałym momentem zewnętrznym; moment ten, utrzymujący jednostajne toczenie się walca, mimo oporu jaki ruch ten spotyka, równa się, jak okazało doświadczenie, iloczynowi siły przyciskającej walec do płaszczyzny (ciężaru walca) przez^ pewną, zwykle bardzo małą długość S, zależną od rodzaju powierzchni dla drzewa 8 wynosi około 1 mm, dla żelaza około 0,05 mm. Tak np. jeżeli wmieć o promieniu r, ważący P, toczy się po płaszczyźnie poziomej, a siła pociągowa F działa na oś walca w kierunku poziomym, wtenczas

PS

jest: Fr = PS, czyli F = -

10

Siła pociągowa, potrzebna do poruszania wozów, wynosi od — do

ciężaru, zależnie od. dobroci drogi; dla pociągów kolejowych do

300

ciężaru.

Pożytek tarcia: ono umożliwia chodzenie i jazdę, stanowi w istocie siłę zewnętrzną, która nas przy chodzeniu porusza; bez tarcia lokomotywa nie mogłaby poruszyć pociągu—koła jej obracałaby się, ale nie toczyłyby się napród; w hamulcach u wozów i u pociągów kolejowych; ono umożliwia przenoszenie energii (transmisyę) z motorów do maszyn roboczych, za pośrednictwem pasów. Tarcie jest natomiast szkodliwe w tych przypadkach, gdy chodzi o zachowanie energii kinetycznej; sprawia stratę dzielności w motorach, transsmissyach i t. p.

ZADANIA.

281) Znaleźć dalekość, do której dobiegnie człowiek, ślizgający się na łyżwach, ważący 65 kg, gdy rozpędzi się do prędkości 6 m/se/c a porusza się dalej bez pomocy zewnętrznej. Odp. Tarcie F = 0,02 X 65 = 1,3 K^; przy-

1,3    v*

65

2y

.śpieszenie y = — —— X 9,81 = 0,19 rn/sek²; dalekość s = —— — 95 m.

282)    Jaką dzielność powinna mieć lokomotywa, jeżeli ma poruszać pociąg, ważący razem z lokomotywą 300 tn, z prędkością 10 misek, na to-

rze poziomym (wsp. tarcia

283)    Jakiej siły potrzeba do poruszenia bryły żelaznej, ważącej 200 Kg, spoczywającej na poziomych żelaznych podkładach? Odp. 40 Kg.

284)    Z jakiem przyśpieszeniem zesuwa się kawałek mosiądzu, ważący 5 kg, po desce (/ = 0,6), pochylonej do poziomu pod kątem 35°?

981

Odp. r — (5 sin 35° — 0,6 X 5 X cos 35°) X = 80,5 cm/sek².

5

285)    Na desce drewnianej leży drewniany sześcian; orzec, czy przy stopniowem pochylaniu się deski, sześcian stoczy się na dół, czy zesunie się? Odp. Zesunie się.

250

. Odp.

300000    10

250

X _ = 160 koni.

75

ROZDZIAŁ XL

WŁASNOŚCI CIECZY.

152. Zasadnicze własności cieczy. Najwybitniejszem znamieniem stanu ciekłego, czyli płynnego materyi, jest zupełny brak sztywności; najmniejsza byle trwale działająca siła, może cząstki cieczy przesuwać nieograniozenie jedne obok drugich. Własność tę ciecze posiadają wspólnie z gazami. Różnią się jednak od gazów tern, że nie posiadają dążności do nieograniczonego rozszerzania się, lecz podobnie jak ciała staie, mają właściwe sobie objętości, zależne tylko od temperatury i od zewnętrznego ciśnienia.

Pomiędzy stałym a ciekłym stanem materyi istnieje nieskończony szereg stanów pośrednich, stanowiących przejście od stanu stałego do ciekłego, bądź to przez stopniowe zmniejszanie się sprężystości postaci, bądź też przez rosnącą coraz więcej plastyczność, w połączeniu ze ścieśnianiem się granic sprężystości. Przykładem pierwszego rodzaju przejścia byłby np. szereg galaret, o zwiększającej się coraz bardziej zawartości wody; drugi rodzaj stopniowej zamiany ciała stałego na ciecz widzimy w szkle, które przy rozgrzewaniu stopniowo mięknie, zanim zupełnie się stopi.

Różne ciecze różnią się znacznie pod względem ruchliwości cząstek. Jeżeli pochylimy naczynie zawierające wodę, alkohol lub eter, natenczas płyny te sajmą w bardzo krótkim

czasie nowe położenia równowagi; natomiast syrop, miód, olej, maź lub smoła spływają o wiele powolniej, w końcu jednak zajmują takież same położenia równowagi jak tamte. Własność ta, zwana w mowie potocznej niewłaściwie gęstością, nazywa się lepkością, albo zawiesistością płynów—w przeciwstawieniu do ruchliwości, jaką posiada np. woda, albo w wyższym stopniu eter. Objawy te dowodzą, że podczas ruchu cząstek, dopóki postać płynu odkształca się, istnieje opór utrudniający ten ruch, t. z w. tarcie wewnętrzne; wartość jego jest w różnych płynach różna, Tarcie wewnętrzne wpływa jednak tylko na szybkość, z jaką pewna siła zewnętrzna sprowadza odkształcenie; najmniejsza bowiem siła, działająca dostatecznie długi czas, wystarczy do przelania płynu w inną formę. Tak np. smoła, podobna na pozór do ciała stałego, rozpływa się z biegiem czasu w naczyniu i przyjmuje poziomą powierzchnię, tak samo jak woda, która czyni to w czasie daleko krótszym (ust. 147).

Tarcie wewnętrzne pojawia się tylko podczas ruchu, mianowicie podczas odkształcenia się postaci płynów. W stanie równowagi tarcia tego niema; z tego powodu zarówno płyny ruchliwe, jak i lepkie, podlegają jednakoicym prawom równowagi.

W wykładzie praw ruchu i równowagi cieczy pomocne jest niekiedy pojęcie cieczy doskonałej. Ciecz taka miałaby następujące własności: 1) zupełną nieściśliwość (c = oo), a zatem objętość niezależną od ciśnienia zewnętrznego; 2) zupełny brak lepkości, t. j. doskonałą ruchliwość cząstek. Żadna ciecz rzeczywista nie jest w tern znaczeniu doskonała.

153. Kierunek ciśnienia w cieczach. Brak sprężystości postaci (t = o) w cieczach sprawia, że ciśnienia styczne do powierzchni, czy to zewnętrznej, czy pomyślanej wewnątrz cieczy, nie mogą utrzymywać się trwale. Gdy na powierzchni zewnętrznej, albo na jakiejkolwiek powierzchni pomyślanej we wnętrzu płynu, powstaną ciśnienia styczne, wówczas cząstki płynu usuwają się pod ich działaniem (szybko lub wrolno, zależnie od lepkości), t. j. płyną wzdłuż powierzchni, wskutek czego równowaga staje się niemożliwą. To samo stosuje się widocznie i do ciśnień ukośnych, które można rozłożyć na skła-dowę styczną i prostopadłą do powierzchni. Z tego wynika, że na każdej powierzchni rzeczywistej, albo pomyślanej w płynie nieruchomym■, ciśnienie działa prostopadle do poicierzchni.

Podczas ruchu atoli, zanim wyrównanie równowagi nastąpi, wzajemne oddziaływania dwu części płynu są zwykle ukośne względem odgraniczającej je powierzchni; jest to jednak możliwe tylko dzięki lepkości płynów, która sprawia, że część poruszająca się pociąga za sobą części sąsiednie—a więc działa na nie w kierunku stycznym.

W płynie doskonałym, nie mającym lepkości, nie mogłyby istnieć takie działania styczne; ciśnienia byłyby prostopadłe do powierzchni zarówno podczas ruchu, jak w stanie równowagi*

154. Prawo Pascala. Jeżeli na ciecz będącą iv spoczynku nie działają żadne siły zewnętrzne, prócz ciśnień na powierzchnię zewnętrzna,, wtenczas ciśnienie wewnętrzne, jest we wszystkich częściach płynu jednakowe i nie zależy od kierunku powierzchni uciskanej (t. zn. jest we wszystkich kierunkach jednakowe). Aby wyjaśnić znaczenie ciśnienia wewnętrznego w płynie, opiszemy naprzód przyrząd, zapomocą którego możnaby to ciśnienie okazać i zmierzyć.

i"

Przyrzęd taki wyobraża w przekroju fig. 112. Jest to waiec W w którym porusza się szczelnie, ale z małem tarciem, tłok, którego powierzchnia wynosi dokładnie 1 cm². Pod tłokiem znajduje się sprężyna, opierająca się na trzonku C, który wychodzi przez szczelny otwór w dnie walca na zewnątrz. Celem wymierzenia sprężystości sprężyny, pomyślmy, że ustawiono tłok w położeniu poziomem i położono nań po kolei ciężarki: 1 Gr, 2 Gr i t. d.

Przy każdem obciążeniu wsuwamy trzonek C tak głęboko, aby pomimo ugięcia się sprężyny, tłok dochodził zawsze do brzegu    *—J y—

Fig. 112.

walca; zaznaczamy przytem na trzonku po kolei kreski 1, 2, i t. d., oznaczające ciśnienia: 1 G r/cm², 2 G r/cm², i t. d. Wyko- C nanie takiego przyrządu do mierzenia ciśnień nastręczałoby w rzeczywistości różne trudności. Opisujemy go tylko w tym celu, aby za jego pomocą objaśnić istotę i własności ciśnienia w płynach. Jeżeli zanurzymy przyrząd opisany w płynie, wówczas ciśnienie płynu na tłok ściśnie sprężynę; skór > jednak zapomocą trzonka przysuniemy tłok napowrót do brzegu walca, wówczas odnośna liczba na trzonku wskazywać będzie, w G r/cm'², wartość ciśnienia, jakie płyn wywiera w tern miejscu, gdzie przyrząd się znajduje, w kierunku prostopadłym do powierzchni tłoka.

Prawo Pascala odnosi się do cieczy, na którą, prócz zewnętrznych ciśnień, nie działają żadne siły—należy więc wyobrazić sobie ciecz me ciężką, albo zaniedbać różnice ciśnień wynikające w własnego ciężaru cieczy. Jeżeli chodzi o wywarcie ciśnienia zewnętrznego na całą powierzchnię płynu —jak to wskazuje fig. 113 — postępujemy zazwyczaj drogą pośrednią, mianowicie (fig. 114) zamykamy płyn w naczyniu walcowatem i wywieramy, za pośrednictwem tłoka, ciśnienie na jednę część powierzchni jego. Płyn ściśnięty rozpiera ściany naczynia; ściany, na mocy sprężystości swej, wywierają nawzajem ciśnienie na płyn. Skutek jest taki, jak gdyby ciśnienie działało bezpośrednio na całą powierzchnię zewnętrzną płynu.

Po tych objaśnieniach przystąpimy do udowodnienia prawa Pascala. Pomyślmy płyn znajdujący się w równowadze, pod działaniem ciśnień zewnętrznych. Weźmy pod uwagę część jego, ograniczoną powierzchnią bardzo wązkiego walca AB (fig. 113) mającego płaskie, prostopadłe do osi podstawy. Równowaga tej części płynu nie przestałaby istnieć, gdyby walec

c?

P'

fet

Pv*3

—    Ï

s~5=-=- I

.8

J -Tpa-rr... !

Fig. 114.

Fig. 115.

płynny skrzepł na ciało stałe, nie zmieniwszy jednak postaci, objętości, ani masy (ust. 87). Ciśnienia wywierane na walec przez płyn otaczający są jedynemi działającemi nań siłami; one muszą przeto równoważyć się wzajemnie (na działanie ciężkości nie zważamy obecnie). Kierunek tych ciśnień, jak wiemy, jest prostopadły do powierzchni (ust. 153). Równowaga walca w kierunku AB żąda, żeby parcia P, działające na obie podstawy walca, były równe. Ponieważ podstawy te maję pola jednakowej wielkości S, przeto ciśnienia, liczone na jednostkę

w l_d

powierzchni, t. j. p — kowe. Aby przekonać się, że ciśnienie p nie zależy od kierunku

, w punktach A i B muszą być jedna-

powierzchni na którą działa, dość będzie przyjąć, że np. podstawa B nie jest prostopadła do osi walca, lecz pochylona pod jakimkolwiek kątem. Parcie P' na tę podstawę zawierać będzie wówczas np. kąt a z osią walca. Parcie P na podstawę A będzie teraz zrównoważone składową siły P', równoległą do AB,

P

t. j. siłą P' cos a; zatem: P = P' cos a, czyli P' —    . Siła

P' jest większa niż P; ponieważ jednak podstawa na którą ona działa jest większa w tym samym stosunku, gdyż równa S

się -------, przeto natężenie ciśnienia p, w kierunku ukośnym,

COS cc

będzie takie same, jak w prostopadłym.

Możnaby to zasadnicze prawo równowagi płynów sprawdzić przyrządem do mierzenia ciśnień (fig. 112), obracając go w różne strony około punktu A (fig. 114) i przenosząc następnie do B. Należałoby jednak przyjąć, albo że ciężkość nie istnieje, albo że ciężar własny płynu jest nieznaczny, w porównaniu z ciśnieniami zewnętrznemi; w przeciwnym razie ciśnienie w niższym punkcie B byłoby cokolwiek większe.

Wniosek 1. Dowód prawa Pascala nie zmieniłby się wcale, gdybyśmy przyjęli, że jedna z podstaw walca idealnego, którego użyliśmy do dowodzenia, znajduje się na zewnętrznej powierzchni cieczy, t. j. że stanowi część ściany naczynia. Wnosimy stąd, że ciśnienie, które ciecz ścieśniona wywiera na ściany naczynia, jest również jednostajne i równa się ciśnieniu zewnętrznemu.

Wniosek 2. Wyobraźmy sobie, że niektóre części ściany naczynia są ruchome, nakształt tłoków; na tłoki niech działają siły zewnętrzne, np. ciężary ustawione na nich (fig. 115); pytamy, jak wielkie powinny być te siły, aby się wzajemnie równoważyły -jeżeli ruchowi tłoków nie stoi na przeszkodzie tarcie. ,

Fig. 115.

Siły, działające na tłoki z zewnątrz, są w tym przypadku zrównoważone przez parcia płynu, działające na ich ściany wewnętrzne. Oznaczmy pola tłoków, wystawione na ciśnienie płynu, przez S i S', siły działające na nie z zewnątrz przez F i F' natenczas będzie: F — p S, F' = p S' zatem:

Z —Z

F' ~ S'

Siły zewnętrzne, działające na ruchome a płaskie części ścian naczynia, zawierająceg o ścieśnioną ciecz, równoważą się, jeżeli są propor-cyonalne do pól tych ścian.

Jeżeli np. pole tłoka B (fig. 115) jest 100 razy większe niż pole tłoka A, wówczas — powiada P a s c a 1 — „jeden człowiek cisnący tłok A, zdoła zrównoważyć ciśnienie stu ludzi na tłok B, a pokona ciśnienie dziewięćdziesięciu dziewięciu“. Zastosowaniem tego prawa jest prasa hydrauliczna.

155. Sprężystość cieczy. Ciśnienie wewnętrzne w cieczach, podobnie jak w ciałach stałych, jest skutkiem odkształcenia, a mianowicie zgęszczenia cieczy. Ciecze nie posiadają sprężystości postaci, z założenia jest z — o; natomiast posiadają one sprężystość objętości i są w tej mierze doskonale sprężyste. Po wielu bezowocnych usiłowaniach, ściśliwość cieczy została dowiedzioną doświadczalnie przez Cantona w r. 1762.

Trudność tego rodzaju doświadczeń leży w tem, że ciecz badana musi znajdować się w naczyniu, np. w cylindrze zaopatrzonym w tłok, jak na fig. 114. Ciśnienie wywarte na tłok zgęszcza ciecz, ale w wyższym jeszcze stopniu rozdyma sarno naczynie. Wskutek tego przesunięcie się tłoka nie jest bynajmniej miarą zciśliwości samej cieczy.

Fig. 116.

Żeby wpływ ten ile możności zmniejszyć, wywiera się ciśnienie nietylko na wewnętrzną ale i na zewnętrzną stronę naczynia. Fig. 116 wyobraża przyrząd zgę*szczający, zbudowany na tej zasadzie przez Örstedta. Na obszernym grubościennym walcu szklanym nakitowaną jest u góry oprawa metalowa, kończąca się cylindrem, zawierającym szczelny tłok, dający się wtłaczać zapomocą śruby. We wnętrzu tego walca umieszcza się bańkę szklaną, wydłużoną u spodu w wąz-ką, niemal włoskowatą szyjkę; bańkę tę napełnia się całkowicie cieczą, której ściśliwość ma być badaną. Dolny otwarty koniec szyjki zanurzony jest w rtęci, znajdującej się w małej czarce, na dnie walca. Wszystko to zalane jest całkowicie wodą, sięgającą aż pod tłok. Ciśnienie wywarte przez tłok na tę wodę przenosi się bez zmiany (ust. 154), przez rtęć na ciecz zawartą w bańce; jednocześnie działa ono także na zewnętrzną stronę bańki.

Doświadczenie okazuje, że po wywarciu ciśnienia = p, za-pomocą tłoka, rtęć podnosi się w szyjce, tem wyżej, im większe jest ciśnienie. Po spuszczeniu ciśnienia ciecz odskakuje od razu do objętości pierwotnej. To dowodzi, że ciecz jest istotnie ściśliwą, a nawet w wyższym stopniu aniżeli szkło, z którego zrobioną jest bańka. Albowiem pod wpływem obustronnego, jednostajnego ciśnienia p wewnętrzna pojemność bańki zmniejsza się (ust. 141) w tym stosunku, że każdy c/n³ tej pojemności zamienia się na ^1 — cm3\ °ł oznacza tu spółczynnik

ściśliwości szkła. Gdyby tedy ciecz nie była ściśliwą, rtęć nie podnosiłaby się w szyjce, lecz przeciwnie, ciecz byłaby wypartą na zewnątrz.

Ażeby zużytkować to doświadczenie do pomiaru spółczyn-nika ściśliwości cieczy — a, należy szyjkę bańki zaopatrzyć po-działką i wykalibrować uprzednio bańkę, przez wyważenie wodą lub rtęcią. W ten sposób dowiemy się, że całkowita pojemność bańki, aż do końca szyjki (=; pierwotnej objętości cieczy) wynosi V cm³\ pojemnść zaś aż do tej kreski, do której dotarła rtęć = v cm³. Pod ciśnieniem jednakże ta ostatnia pojemność

znaczy

tylko v {l---) cm³ — V, i to jest istotna objętość

cieczy zgęszczonej. Na podstawie tych danych obliczamy (ust. 135):

o,hs

pV

y-Y' “

/>v

V-v 1 -

Wielkość ciśnienia p ocenia się na podstawie prawa Boyle'go (rozdz. nast. ust. 180) według stopnia zgęszczenia powietrza w rurce umieszczonej obok bańki. ¹)

TABLICA

spółczynników ściśliwości cieczy (w milionach Gramów na centym, kwadr.).

Rtęć 0°

203,7

Alkohol etyl. 0°    12.4

Powietrze 0,001.

Z przytoczonych tu płynów najtrudniej ściśliwą jest rtęć; inne są w ogóle tem łatwiej ściśliwe, im bardziej są skłonne do ulatnia 'się, np. eter, a zwłaszcza płynny dwutlenek węgla. Ogrzanie cieczy zwiększa w ogóle ściśliwość—z wyjątkiem wody, która do 60° (w przybl.) zachowuje się przeciwnie.

Proporcyonalność zgęszczenia do ciśnienia, jakiej wymaga prawo Hooke’a, okazała się prawdziwą tylko dla małych zgęszczeń. Im więcej zgęszczamy ciecz, tem trudniej staje się ona ściśliwą; tak np. woda, pod ciśnieniem 3000 atmosfer,

zmniejsza objętość swą tylko o — część pierwotnej objętości;

t. j. około 0,15.

20,0

15°

Woda 0°

21,9

Dwutlen. węgla 13° 0,17

Alkohol etyl. 15° 11,3 Eter etyl. 0°    7,1

„    „    15°    5,76

gdyby ściśliwość jej była stałą, mielibyśmy zamiast tego 6 : = __ 3000 X 1033 20 X 10°

Sprężystość objętości jest istotną przyczyną ciśnienia wewnętrznego w cieczach; ono jest zawsze skutkiem zgęszczenia cieczy przez siły zewnętrznne. Ciecz ściśniętą w przyrządzie takim np. jak fig. 114, albo 115, albo 116, możnaby porównać do sprężyny działającej na wszystkie strony; albo nawet do zbioru takich sprężyn, bo każda cząstka płynu usiłuje rozszerzyć się, a wskutek tego ciśnie na sąsiednie cząstki. Pospolicie jednak mówi się tylko o ciśnieniach wewnątrz płynu i na powierzchni jego, a nie uwzględnia się wcale zmian gęstości i objętości, albowiem one są stosunkowo bardzo małe, nawet przy wielkich ciśnieniach.

ZADANIA.

286) Naczynie zamknięte, napełnione wodą, połączone jest z dwiema rurami walcowemi, w których mieszczą się tłoki o średnicach 2 cm i 10 cm. Obliczyć natężenie siły, która powinna działać na drugi tłok, aby zrównoważyła się 40 Kg, działającą na pierwszy?

Odp. 30 X

287) Okazać, że zasada zachowarća energii stosuje się do poprzedzającego przypadku, gdy tłoki poruszają się pod wpływem działających na nie sił. Odp. Przy przesunięciu o x mniejszy tłok otrzymuje pracę: L = 30 a;; większy posuwa się jednocześnie o y, przyczem: y . K)² = x . 2², z powodu równości wypartych objętości płynu. Praca wydana przez więk-

Gir-

szy tłok = 750 y = 750 a:

288)    Ile atmosfer wynosi ciśnienie panujące w wodzie, przy powyż-szem obciążeniu tłoków (licząc atmosferę = 1038 Kjf/cm²)?. Odp. 9,24.

289)    Znaleźć spółczynnik ściśliwości mieszaniny wody 0° z rtęcią 0°,

)“

263,7

w równych częściach na objętość. Odp. o = 1 : \

= 372 tuj cm².

290)    Szklana bańka, wydłużona w szyjkę o średnicy i mm w świetle, zawiera 100 cm³ wody; o ile cofnie się powierzchnia wody w szyjce, jeżeli poddamy naczyne zewnątrz i wewnątrz ciśnieniu 5 atmosfer? (a dla szkła: 410, dla wody: 22,6 fw/cm²). Odp. 110 mm.

156. Ciśnienia wywołane przez- ciężar cieczy. Działanie ciężkości jest przyczyną niejednostajności ciśnienia w płynach, albowiem części głębiej położone unoszą na sobie ciężar części znajdujących się nad niemi, wskutek czego są bardziej od tamtych ściśnięte.

JLb

Fig. 117.

Wyobraźmy sobie ciecz w słoju walcowatym, pionowym, którego dno poziome ma pole S (fig. 117); na poziomą powierzchnię AB niech działa jednostajne ciśnienie p₀. wywarte przez otaczającą atmosferę. Gdyby ciecz nie była ciężką, wtenczas w całej jej masie ciśnienie byłoby — po (ust. 154). W rzeczywistości zwiększać się ono będzie z głębokością; obliczmy natężenie jego np. w przekroju CD, znajdującym się w głębości z pod powierzchnią. Na przekroju tym cięży ciecz ABCD, a nadto ciecz ta przenosi na CD ciśnienie zewnętrzne p₀. Całkowite parcie cieczy z góry na dół na przekrój C D będzie tedy: p₀ S -j- ciężar masy ABC D, czyli: p₀ S + Szgd; d i g oznaczają tu, gęstość cieczy, którą uważać będziemy jako jednostajną i natężenie ciężkości w danem miejscu. Podzieliwszy to parcie przez pole S, otrzymamy natężenie ciśnienia p w przekroju CD, mianowicie:

p — Po + zgd.

(1)

Zważywszy, że d oznacza masę w jednostce objętości, przeto gd ciężar właściwy cieczy, który oznaczymy przez S (ust. 92), możemy także napisać:

(2)

V =-Po +

Równanie ostatnie zawiera w sobie następujące prawo: Ciśnienie w cieczy nieruchomej, o gęstości jednostajnej, rośnie propor-cyonalnie do głębokości; przyrost ciśnienia, przy pada japy na jednostkę głębokości, równa się ciężaroivi właściwemu cieczy.

157. Prawa równowagi cieczy ciężkich. Twierdzenie powyższe, określające zależność ciśnień od głębokości w cieczy ciężkiej a jednolitej jest nietylko wtenczas ważne, gdy naczynie ma postać pionowego walca, lecz stosuje się ogólnie, do naczyń wszelkich kształtów; wynika to z następujących praw, dotyczących rozmieszczenia ciśnień w cieczy ciężkiej, znajdującej się w równowadze:

1)    We wszystkich cząstkach tej samej cieczy, leżących na jednej płaszczyźnie poziomej, ciśnienie jest jednakowe. O prawdziwości

W,

Fig. 118.

Vł

tego prawa przekonamy się natychmiast, gdy odgraniczymy z cieczy, w myśli, nieskończenie cienki walec, którego pionowe podstawy A i B (fig. 118) leżą w tym samym poziomie MN. Równowaga bowiem będzie tylko wtenczas możliwa, gdy ciśnienia na podstawy będą równe; ciężar walca i ciśnienia na boczną powierzchnię, jako prostopadłe do tamtych ciśnień, równoważą się wzajemnie, niezależnie od ciśnień na podstawy.

2)    W każdym punkcie w cieczy ciśnienie jest we wszystkich kierunkach jednakowe, t. j. nie zależy od kierunku powierzchni uciskanej; inaczej mówiąc, każda cząstka cieczy jest ze wszystkich stron jednostajnie ściśnięta, jakkolwiek różne cząstki podlegają ciśnieniom różnej wartości. Prawa tego dowodzi się tak samo, jak odpowiedniego twierdzenia w ust. 154. Następstwem tego twierdzenia jest, że ciśnienia na ścianę naczynia w punktach

M i N (fig. 118) są jednakowe (działają prostopadle do ściany) i równają się ciśnieniom wewnętrznym w A lub B.

3) Bóżnica ciśnień iv jakichkolwiek dwu punktach, w cieczy nieruchomej, jednolitej, równa się iloczynowi z ciężaru właściwego cieczy przez różnicę głębokości tych punktów.

Przyjmijmy naprzód, że dwa punkty C i D (fig. 118) leżą na tym samym pionie, jeden w głębokości z pod drugim. Równowaga walca pionowego CD, o przekroju S, a podstawach poziomych wymaga, aby parcie z dołu na podstawę D, przewyższało parcie z góry na podstawę C o ciężar samego walca, który wynosi S^S. Różnica ciśnień, obliczonych na jednostkę powierzchni, będzie zatem d z. Tyleż wynosi różnica ciśnień w punktach B i C, nieleżących na jednym pionie, ale mających tę samą różnicę głębokości, albowiem B i D leżą w tym samym poziomie i mają ciśnienia równe.

158. Wniosek 1. Postać powierzchni swobodnej. Ta część zewnętrznej powierzchni cieczy, w której ona nie dotyka się stałych ścian naczynia, nazywa się powierzchnią swobodną, albo zwierciadłem cieczy, na powierzchni swobodnej ciecze graniczą zazwyczaj z powietrzem, które wywiera na nią ciśnienie jednostajne. Jeżeli oprócz ciężkości i jednostajnego zewnętrznego ciśnienia, nie działają na ciecz żadne inne siły zewnętrzne, wtenczas powierzchnia swobodna cieczy jest plaska i pozioma. Ogólniej mówiąc, powierzchnia swobodna jest prostopadła do kierunku sił, działających na cząstki znajdujące się na powierzchni. W każdej bowiem płaszczyźnie poziomej, pod działaniem ciężkości, ciśnienie jest jednostajne, lecz wartość jego jest w każdej inna; jeżeli tedy ciśnienie na powierzchni swobodnej jest jednostajne (ciśnienie atmosfery, lub innego płynu lżejszego, który z płynem uważanym się nie miesza—jak np. oliwa i woda, rtęć i woda) natenczas nawzajem powierzchnia ta musi być poziomą.

Jeżeli obok ciężkości działają, inne siły zewnętrzne, wtenczas powierzchnia nie będzie w ogólności poziomą. Dajmy na to, że naczynie porusza się w kierunku poziomym, ruchem jednostajnie przyśpieszonym, z przyśpieszeniem y. Na cząstkę A (fig. 119) działa wówczas ciężar AP — mg i oddziaływanie przeciw przyśpieszeniu (ust, 46): AP = my. Powierzchnia będzie w tym razie pochylona i prostopadła do wypadkowej AR.—Ciecz obracająca się razem z naczyniem około pionowej osi przybiera wklęskłą (paraboliczną) powierzchnię (fig. 120), albowiem na którąkolwiek cząstkę A działa, obok ciężaru AP, oddziaływanie przeciw przyspieszeniu dośrodkowemu (siła odśrodkows) AF, które w samej osi jest zetem, a powiększa się proporcyonalnie do odległości od osi.

Ciecze rozlane na wielkich obszarach, w obrębie których kierunek ciężkości nie jest stały (morza, wielkie jeziora) mają powierzchnię zakrzy-

KP

Fig. 119.

Fig. 120.

wioną, wszędzie prostopadłą do kierunku sił działających na cząstki. Powierzchnia swobodna i wszystkie powierzchnie głębsze, w których ciśnienie jest jednostajne, są więc powierzchniami poziomu, t. j. stałego poten-cyału (ust. 125).

Powierzchnia cieczy zakrzywia się także pod wpływem sił molekularnych pochodzących od ścian naczynia i od głębszych cząstek samej cieczy (włoskowatośó). Zjawisko to jest znaczne tylko w cieczach zupełnie swobodnych (krople) i w naczyniach wązkich; w tych przypadkach sprawia ono jednak znaczne zboczenia od powyższych praw równowagi, w których uwzględniono tylko działanie ciężkości (patrz tom II, ust. 127).

159. Wniosek 2. Naczynia połączone. W przypadku gdy ciecz znajduje się w równowadze pod działaniem samej tylko ciężkości (i jednostajnego ciśnienia atmosfery ~p₀ na powierzchnię) cząstki znajdujące się w tej samej płaszczyźnie poziomej podlegają jednakowemu ciśnieniu, chociażby płaszczyzna ta wychodziła kilkakrotnie za obręb naczynia — byle cząstki te należały do tej samej, nieprzerwanej masy ciekłej. To zdarza się w naczyniach dwu — albo wieloramiennych (fig. 121a), albo w naczyniach złożonych z kilku oddzielnych części, połączonych rurami (fig. 121b). W punktach takich jak A i B, albo C i D, ciśnienie jest jednakowe, gdyż one leżą w tym samym poziomie, a z jednego można dostać się do drugiego nie wychodząc z tej samej masy ciekłej (w tych warunkach można bowiem zastosować wprost dowód podany w ust. 1T5, przechodząc

od A do B drogą złożoną z krótkich kawałeczków poziomych i pionowych.

W naczyniu takiem jak fig. 121b, część cieczy (w lewarze łączącym naczynia) jest wzniesiona nad poziom powierzchni swobodnej, gdzie ciśnienie —po- W cząstkach tych (A lub B) ciśnienie jest mniejsze od p₀.

W przypadku gdy jedno z ramion naczynia jest zamknięte od góry ścianą poziomą N (fig, 121a), ciecz ciśnie na tę ścianę z dołu do góry, zawsze w kierunku prostopadłym i zawsze

Ou

-i

Fig. 121a.

Fig. 121b.

z natężeniem p — p₀ + #8, w czem z oznacza głębokość tej ściany pod powierzchnią, swobodną,, głębokość mierzoną, w kierunku pionowym.

Ciśnienie na N jest zrównoważone oddziaływaniem ściany; możemy jednak zrównoważyć je również ciężarem cieczy, jeżeli usuniemy ścianę N, a przedłużywszy naczynie drugiem ramieniem do góry, napełnimy je tą samą cieczą, która znajduje się w pierwszem ramieniu, w taki sposób, żeby powierzchnie cieczy w obu ramionach leżały w tym samym poziomie. W naczyniach połączonych z sobą, napełnionych tą samą cieczą wszystkie powierzchnie swobodne muszą zatem leżeć w tym samym poziomie.

Nakoniec, drugie ramię naczynia ( 121 a) możemy napełnić cieczą o gęstości odmiennej; wówczas jednak, gdy nastąpi równowaga, wysokości z i z' obu cieczy nad poziomem M (fig. 122), w którym obie ciecze się stykają, nie będą jednakowe. W poziomie tym pierwsza ciecz sprawia ciś-

Bibl, niat.-fiz. S. Ul. T. VIII.

,Po

|Po

\ BWfa

M -y--M

V

e=a

z'

■*-N

Fig. 122.

22

nienie: p₀ -f- działające na dół; druga ciecz działa tamże do góry ciśnieniem: p₀ -f z'd'. W przypadku równowagi ciśnienia te na obie strony powierzchni zetknięcia M powinny być równe, będzie przeto: p₀ 4- z 8 — Po + #'8' a więc:

S'

z' 8 ’

t. j. stosunek wysokości slupów dwu cieczy, nad wspólną: ich powierzchnią zetknięcia się, równa się odwrotnemu stosunkowi ciężarów właściwych.

Wszystko to jest niezależne od postaci naczyń (zastrzega się jedynie, żeby naczynia nie były tak wązkie, iżby zaznaczał się wpływ włoskowatości, tom II ust. 127).

160. Mierzenie ciśnień sposobem manometrycznym. Opierając się na prawach wyłożonych w poprzedzającym ustępie, opiszemy tu sposób często używany, wyrażania ciśnień zapomo-cą wysokości słupów cieczy. Warstwa, albo słup cieczy, o wysokości z, w naczyniu jakiejkolwiek postaci, wywiera na poziome dno naczynia ciśnienie:

p — zdg, albo p — z 8.

Gęstość cieczy d i natężenie ciężkości g uważamy jako znane. Wzory powyższe okazują, że do każdego ciśnienia p należy ści-

śle określona wysokość z słupa cieczy, który ciężarem swym

wywiera na dno ciśnienie p. Wysokość ta określa wartość ciśnienia równie dokładnie, jak liczba p, wyrażająca je w jednostkach siły na jednostkę powierzchni. Długość z, należącą do ciśnienia p, nazywamy wysokością ciśnienia p w danej cieczy. Zazwyczaj określa się ciśnienia za pośrednictwem wysokości słupów rtęci lub wody; przytem należy zawsze rozumieć, że:

rtęć posiada temperaturę 0°, w której gęstość

jej wynosi 13>5956 gr cm³\ woda zaś temperaturę 4°, którei odpowiada gęst.

1,000 gr/cm³.

Ten sposób mierzenia ciśnień, przez równoważne wysokości słupów cieczy, nazywa się manometrycznym, od nazwy manometrów, t. j. przyrządów służących do mierzenia ciśnień (gr. manos = rozcieńczony, służą one bowiem także do pomiaru stopnia rozrzedzenia lub zgęszczenia gazów). Fig. 123 wyobraża t. zw. manometry otwarte, które wskazują ciśnienia bezpośrednio pod postacią słupów cieczy. Są to naczynia dwuramienne, dowolnej postaci, napełnione zazwyczaj rtęcią. Ramię A jest otwarte i dopuszcza do wnętrza powietrze atmosfery, które wywiera na ciecz pewne ciśnienie p₀\ ramię B natomiast łączymy ze zbiornikiem gazu, gdzie istnieje ciśnienie p, mające się określić za pomocą manometru. Rtęć podnosi się w ramieniu otwartem, albo zniża się w niem, zależnie od tego, czy ciśnienie p wywarte na powierzchnię rtęci w ramieniu B jest, większe, czy mniejsze, aniżeli ciśnienie, jakie przez A wywiera p _b otaczające powietrze. Pionowy od stęp z powierzchni rtęci w obu ramionach manometru mierzy różnicę pomiędzy ciśnieniem szukanem, a ciśnieniem powietrza, w myśl równania, znanego nam z poprzedzających ustępów:

łG

Fig. 123.

p — p₀ — zgd, albo p — p₀ —• z8.

Celem porównania miar manometrycznych ciśnienia z miarami bezwzględnemi i ciężarowemi wykonamy następujący rachunek.

Przyjąwszy y = 981. znajdziemy, że słup rtęci o wysokości 1 cm wywiera ciśnienie: p — 1 X 13,5956 X 981 = 13 337 dyn na om². Z tego wypada następująca tabliczka jednostek ciśnienia:

centymetr rtęci (cm. rt.) = 13 337 dyn/cm².

„    „    = 13,5956 G r/cm²,

— 0,0735548 cm. rt.

centymetr ivody (cm. tv.) — 981 dyn/cm² = 1 G r/cm². Gr/cm² = 1 cm. w.

Ciśnienie zgd odpowiadające słupowi cieczy o wysokością, o gęstości d, będzie dopiero wtenczas dostatecznie określone, gdy

obok tych dwu czynników znanem będzie natężenie ciężkości g w miejscu obserwacyi. Słup rtęci, tej samej wysokości, przedstawia na równiku ciśnienie mniejsze, aniżeli w pobliżu biegunów. W powyższej tabliczce przyjęliśmy średnią wartość natężenia ciężkości w Polsce g — 981. Często odnosi się wysokości słupów manomefcrycznych do t. zw. „ciężkości normalnej“ t. j. do wartości g w szerokości geograficznej 45°, w poziomie morza, gdzie (ust. 124) g = 980,6. Pod nazwą ciśnienia jednej atmosfery rozumie się ciśnienie 76 cm. rtęci, pod ciężkością normalną; mamy więc:

1 atm. = 76 X 13, 5956 X 980,6 — 1013220 dyn/cm²,

albo:

1 atm. — 76 X 13, 5956 = 1033,266 G r/cm².

ZADANIA.

291) Znaleźć ciśnienie panujące w morzu, w głębokości 1,5 km, przyjmując jako gęstość wody morskiej: 1,027 gr/cm³. Odp. Ciśnienie to przewyższa ciśnienie na powierzchni o p = z d g — 1,5 X 10⁵ X 1,027 X 981 = = 151,123 X 10⁶ dyn\cm².

292)    Obliczyć to samo ciśnienie w jednostkach ciężarowych;

Odp. 1,5 X 10⁵ X 1,027 = 154050 Gr/cm².

154050

=149 atm.

1033,26

294) O jaki ułamek gęstości pierwotnej powiększa się gęstość wody morskiej pod wpływem tego ciśnienia, jeżeli przyjmiemy jako spół-

293)    tudzież w atmosferach. Odp.

czynnik ściśliwości: o = 23,7 X 10⁶ Gr/cm²? Odp. O ułamek = t. j.

o —-tą; gęstość wynosi więc: 1,034.

154

295) O ile zmniejsza się ciśnienie na dnie morza, gdy ciśnienie powietrza na powierzchni morza zniży się od 76 do 72 cm rtęci?

19

Odp. O 4 cm rt\ t. j. o — atm.

= 76 X 13,5956 +

+ 12 X 13,5956 = 1696,4 Gr/cm².

296) W walcu pionowym, o przekroju 8 cm², znajduje się rtęć 0°. Na rtęć ciśnie tłok obciążony, ważący razem z obciążeniem 4 Kg. Ciśnienie w powietrzu otaczającem wynosi 76 cm rtęci. Znaleźć ciśnienie w rtęci, w głębokości 12 cm pod dolną powierzchnią tłoka. Odp. p = 4000

297)    W naczyniu o dnie poziomem znajduje się warstwa wody, głęboka na 15 cm; na wodzie warstwa oliwy (gęst. = 0,915) grubości 20 cm. Znaleźć ciśnienie na dnie, pomijając ciśnienie powietrza na powierzchnię. Odp. 15 cm wody -f- 20 X 0,915 cm wody — 33,3 G r/cm².

298)    Jedno ramię manometru napełnionego rtęcią posiada przekrój poprzeczny 20 cm², drugie 3 cm². O ile cm (x) zniży się powierzchnia rtęci w ramieniu szerszem, a o ile podniesie się (y) w węższem, jeżeli ciśnienie w szerszem ramieniu powiększymy o jedną atmosferę? Odp. x-{-y=76 cm, x.20 = y . 3. Stąd: x = 9,9, y — 66,1 cm.

299)    Rurka kształtu litery u, składająca się z części poziomej, o długości l i dwu ramion pionowych A i B, zawiera ciecz. Znaleźć różnicę wysokości powierzchni cieczy w ramionach pionowych, jeżeli rurka obraca się jednostajnie około ramienia A jako osi. Odp. Powierzchnia płynu w B będzie np. o z wyższa niż w A. Na płyn w rurze poziomej o przekroju s, działa więc ku osi obrotu siła s d g s. Ona równoważy siłę odśrodkową, działającą na tę samą część płynu, od osi na zewnątrz. Siła

l

odśrodkowa wynosi M — tb², gdzie w == prędk. kątowej, M = i s d. Stąd Z

P s d o>²

równanie :

— z d g s\ z —

P ćb²

1T '

300)    Naczynie, napełnione cieczą o gęstości d, podnosimy w próżni pionowo do góry, ruchem jednostajni przyśpieszonym, z przyśpieszeniem y. Znaleźć ciśnienie w głębokości z pod powierzchnią cieczy.

Odp. z d (g -f- y).

161. Parcie cieczy na ściany naczyń. Ciśnienie cieczy w którymkolwiek punkcie ściany naczynia, składa się z ciśnienia wywieranego na powierzchnię (np. ciśnienia powietrza), które ciecz przenosi jednostajnie na wszystkie części ścian, tudzież z ciśnienia wywołanego przez ciężar samej cieczy. Opuścimy tu ciśnienie powietrza, albowiem zwyczajnie działa ono również i na zewnętrzną stronę naczynia, wskutek czego nie ma wpływu na zjawiska równowagi, któremi obecnie się zajmujemy.

Na każdej ścianie poziomej (na dnie) ciśnienie jest jednostajne i wynosi: p — dz, w czem z oznacza głębokość dna pod powierzchnią cieczy. Pomnożywszy to ciśnienie przez pole dna S, znajdziemy całkowite parcie na dno:

Widzimy, że parcie cieczy na dno naczynia nie zależy od postaci naczynia, ani od ilości zawartej w niem cieczy, zależy ono wyłącznie od ciężaru właściwego cieczy, od głębokości dna pod powierzchnią i od wielkości pola dna. W naczyniach a, b, c, d (fig. 124), mających dna jednakowej wielkości a napełnionych cieczą do tej samej wysokości, parcia cieczy na dno są jednakowe, pomimo że pojemności tych naczyń są różne. Celem

£33

Fig. 124.

głębszego objaśnienia tego prawa, wyobraźmy sobie płaską, poziomą puszkę AB (fig. 125), do której wchodzi wązka pionowa rurka CD, napełniona równie jak puszka cieczą. Parcie na dno puszki równa się, według powyższego prawa, ciężarowi płynu, który zajmowałby objętość ABA'B'; ogromną tę siłę wywiera w rzeczywistości mała ilość płynu w rurce. Należy jednak zważyć, że ciecz w puszcze jest ściśnięta, a miarą manome-tryczną panującego w niej ciśnienia jest wysokość CD. Ciśnie-

A'

f”"

B’

i|5

Iß ł

Ul

Eig. 126.

Fig. 125.

niem tem ciecz rozpiera ściany puszki, a zatem także górną jej pokrywę, która nawzajem, mocą swej sprężystości, oddziaływa na ciecz i ciśnie ją tak samo, jak gdyby na niej ciężyła warstwa sięgająca aż do AfB'.

Na zasadzie tego prawa można urządzać machiny, wywierające bardzo znaczne siły pod wpływem ciężaru małej ilości wody. Korzystając z tego, że ciśnienie jest we wszystkich kierunkach jednakowe, a zatem działa także do góry, można np. podnosić znaczne ciężary, ciśnieniem cienkiego słupa wody, jak to wyobraża fig. 126.

Na ścianach pionowych, lub ukośnych, ciśnienie nie jest jednostajne, lecz rośnie w miarę głębokości. Weźmy np. pod uwagę ciśnienia w różnych punktach ściany pionowej AB (fig. 127) mającej kształt prostokąta o bokach poziomych i pionowych. Podzielmy ścianę na nieskończenie wązkie poziome paski. Parcie cieczy na którykolwiek z tych pasków równa

iĄ

bl-:

8'

Fig. 127.

się ciężarowi słupa cieczy, któryby miał za podstawę pole uważanego paska, a za wysokość, głębokość jego pod powierzchnią. Głębsze paski są przeto silniej uciskane aniżeli płytsze. Siła wypadkowa, działająca na całą ścianę, oblicza się w następujący sposób. Wykreślmy na każdym pasku poziomy słup cieczy, tak wysoki, jak głęboko uważany pasek leży pod powierzchnią cieczy. Słupy te utworzą widocznie pryzmat trójścienny, przedstawiający się w przekroju jako trójkąt ABB'. Całkowite parcie cieczy na ścianę AB równa się ciężarowi tego pryzmatu. Obliczymy je przeto, pomnożywszy pole ściany AB przez połowę głębokości dolnej krawędzi B i przez ciężar właściwy cieczy. Środek ciężkości C trójkąta ABB' znajduje się w ^ odległości środka boku BB' od A. Gdyby więc chodziło o podparcie ściany z zewnątrz, celem zrównoważenia parcia cieczy, natenczas należałoby umieścić podporę w poziomie punktu C, t. j. w ^ wysokości zwilżonej części ściany.

ZADANIA.

301) Rura prowadząca wodę ze zbiornika, w którym powierzchnia wody znajduje się w wysokości 20 m nad poziomem, wchodzi przez dno do

—- , zatem P =

wnętrza pionowego walca, zatkanego tłokiem o środnicy 30 cm. Jakim ciężarem należy obciążyć tłok, aby zrównoważyć ciśnienie wody, jeśli wysokość tłoka nad ziemią wynosi 2 w? Odp. (15)² n X 1800 Gr = 1,27 tn.

302) Dowieść, że parcie (P) cieczy na jakąkolwiek płaską ścianę, zalaną w całości płynem, równa się iloczynowi z pola ściany (S), przez ciężar właściwy cieczy (8) i przez głębokość środka ciężkości ściany pod powierzchnią. Odp. Podzieliwszy ścianę na nieskończenie małe elementy, oznaczmy pole jednego z nich przez s, głębokość przez z. Na element ten działa prostopadła doń siła b z s; podobnie na inne. Wypadkowa tych sił wynosi: P = 8I,zs. Jeżeli Z oznacza- głębokość środka powierzchni, I>\S Ü8Z

b ZS.

mamy: Z = —

Is

O

303)    Jedna z bocznych, pionowych ścian naczynia prostokątnego, napełnionego po brzegi cieczą o gęstości 0,8, jest obracalna około dolnej krawędzi. Znaleźć moment wypadkowy ciśnienia cieczy względem tej krawędzi, wiedząc, że ściana jest kwadratem o boku 18 cm.

Odp. 18 X 18 X 9 X 0,8 X 6 = 140 00 Gr. cm.

304)    To samo naczynie napełnione jest do połowy wodą, resztę przestrzeni, aż po brzegi, zajmuje płyn o gęstości 0,8. Znaleźć natężenie i punkt przyłożenia siły, działającej na zewnętrzną stronę ściany, a równoważącej ciśnionie obu płynów. Odp. Całkowite ciśnienie płynu wyższego = 9 X 18 X 4,5 X 0,8 Gr, odpowiada sile działającej w wysokości 12 cm nad dnem. Całkowite ciśnienie niższego płynu, który obok własnego ciężaru przenosi także ciśnienie płynu wyższego, wynosi: 9 X 18 X 9 X X 0,8 + 9 X 18 X 4,5 X 1. Pierw szy składnik odpowiada sile działającej w wysokości 4,5; drugi, sile w wysokości 3 cm nad dnem. Wypadkowa tych trzech sił wynosi 2478,6 Gr i działa w wysokości 5,8 cm.

162. Parcie cieczy na ciała zanurzone. (Prawo Archi-medesa). Powierzchnia ciał zanurzonych w cieczy, bądź to całkowicie, bądź częściowo (fig. 128 A,B), doznaje również ciśnienia, w kierunku prostopadłym, podobnie jak ściany naczyń. Ciśnienia te wynikają z działania ciężkości na ciecz; wskutek tego nie są one jednostajne, lecz przeważają w punktach zanurzonych głębiej pod powierzchnią cieczy; tak np. ciśnienie w punkcie K wynosi p — dgz, w czem z oznacza głębokość punktu K (pomijamy tu znowu ciśnienie powietrza). Całkowite parcie cieczy na ciało zanurzone jest to wypadkowa wszystkich ciśnień tego rodzaju, działających na zwilżoną część powierzchni ciała.

Archimedes dowiódł około r. 220 przed Chr., że parcie, litóre decs ivywiera wskutek ciężaru swego na ciało zanurzone całkowicie albo częściowo, jest równoważne jednej sile działającej na ciało w kierunku pionowym do góry. Siła ta jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez ciało, a punktem jej przyłożenia jest środek przestrzeni, z której ciecz została przez ciało wypartą.

Oznaczywszy przez V objętość cieczy wypartej przez ciało, przez 8 ciężar właściwy cieczy, przez P całkowite parcie, które ciecz wywiera na ciało, w kierunku pionowym do góry— możemy wyrazić prawo Archimedesa wzorem:

P = Y5.

Aby przekonać się o prawdziwości tego prawa, wyobraźmy sobie, że wyjęliśmy ciało z cieczy, a przestrzeń, z której ciecz była przez ciało wyparta, zapełniliśmy jednolitą cieczą tego samego rodzaju. Ciecz podstawiona na miejsce ciała będzie

MM

Fig. 128.

oczywiście w równowadze z resztą cieczy w naczyniu. Równowaga nie przestałaby również istnieć, gdybyśmy przyjęli, że ciecz wprowadzona na miejsce ciała, skrzepła na bryłę stałą, zachowmjąc właściwą sobie postać, objętość i ciężar (ust. 87). Rozważmy jakie siły utrzymują te ciecz stężałą w równowadze, Siłami temi są: 1) jej własny ciężar, działający w środku ciężkości C, który jest zarazem środkiem przestrzeni, którą przedtem zajmowała zanurzona część ciała; 2) ciśnienia cieczy otaczającej, te same, które przedtem działały na powierzchnię ciała. Ciśnienia te równoważą więc ciężar cieczy zajmującej miejsce ciała, działający w punkcie C. Z tego powmdu muszą one mieć jednę wypadkową, równą temu ciężarowi, a działającą pionowo do góry, w linii przechodzącej przez C, jak tego wymaga prawo Archimedesa. Punkt C nazywamy środkiem ciśnienia.

163. Wnioski i zastosowania. Warunki pływania. Obok wypadkowego parcia cieczy, określonego przez prawo Archimedesa, działają zwyczajnie na ciało zanurzone w cieczy inne siły. Przedewszystkiem działa na nie własny jego ciężar, w środku ciężkości ciała, w S (fig. 128). Ciało zanurzone w cieczy tonie, albo wypływa na powierzchnię, zależnie od tego, czy ciężar jego własny przeważa parcie cieczy, czy na odwrót. Oznaczmy objętość ciała przez Y, przez Q jego ciężar, przez S-ciężar właściwy cieczy. Jeżeli ciało jest całkowicie zanurzone w cieczy, wtenczas parcie cieczy wynosi:

P = VS.

Jeżeli ciężar ciała Q przewyższa YS, wtenczas ciało utonie;, jeżeli zaś jest: Q <C YS,. wtenczas wypłynie ono na wierzch, możemy to samo inaczej wyrazić, wprowadzając średni ciężar właściwy ciała. Napiszmy mianowicie: Q — VS', rozumiejąc przez S' ciężar przypadający średnio na jednostkę objętości cia ła, natenczas ciało utonie, jeżeli S' > S t. j. jeżeli, średnio biorąc, jest gęstsze aniżeli ciecz; gdy §' — 8 wówczas ciało jest równie gęste jak ciecz, unosi się w cieczy, nie tonąc, ani nie wypływając; gdy nakoniec §' < 8 t. j. gdy ciało waży mniej, aniżełi równa objętość cieczy, wtenczas parcie cieczy przewyższa ciężar ciała i wypiera je do góry.

W pierwszym przypadku możemy zabezpieczyć ciało od utonięcia uwiązawszy je np. na sznurze, przytwierdzonym do jakiejkolwiek zewnętrznej podpory (fig. 128A). Napięcie sznura równoważy wówczas tylko nadwyżkę ciężaru ciała nad parciem cieczy: ciężar ciała wydaje się zmniejszony, o ciężar wypartej przez nie cieczy.

W drugim przypadku ciało może unosić się w równowadze, w jakimkolwiek poziomie we wnętrzu cieczy. Ciężar jego jest zniesiony przez ciśnienie cieczy; wszelako środek ciężkości ciała i środek przestrzeni zajmowanej przez ciało ²) powinny znajdować się na tej samej linii pionowej; w przeciwnym razie równowaga nie byłaby możebną, albowiem siły działające w S i C t. j. ciężar ciała i ciśnienie cieczy tworzyłyby parę, któraby ciało obracała.

W trzecim przypadku, gdy parcie cieczy jest większe niż ciężar ciała, wypływa ono na wierzch i wynurza się częściowo z cieczy (fig. 128,B). W miarę wynurzania się ciała, zmniejsza się parcie, jakie ciecz na nie wywiera—gdyż ciężar ciała pozostaje niezmieniony. Nastąpi przeto równowaga, skoro parcie cieczy zrówna się z ciężarem ciała. Powiadamy wówczas, że ciało pływa na cieczy. Ciężar ciała plyivajacego³) jest więc równy ciężarowi cieczy przez nie ivypartej. Prawo to stanowi pierwszy warunek równowagi ciała pływającego na cieczy (równowaga sił). Nadto należy uwzględnić warunek drugi, żeby wypadkowy moment sił działających na ciało był równy zeru (równowaga momentów). Warunek ten, zastosowany do ciała pływającego swobodnie na cieczy, wymaga, żeby środek ciężkości ciała S i środek ciśnienia C znajdowały się na tej samej linii pionowej.

Równowaga ciała pływającego swobodnie (np. okrętu) będzie trwałą, jeżeli ciało odchylone nieco z położenia równowagi, a następnie oswobodzone, wróci napowrót do tego położenia. Zdarza się to zawsze, gdy środek ciężkości leży poniżej środka ciśnień (patrz np. fig. 129, gdzie rurka szklana jest u spodu obciążona rtęcią, a wskutek tego siły S i C zawsze ją prostują, w którąkolwiek by stronę się pochyliła). Wszelako stała równowaga jest pod pewnymi warunkami możliwa i wtenczas, gdy S leży powyżej 0. Fig.

Fig. 129.

I30a wyobraża ciało pływające w położeniu równowagi, zaś fig. 130b to samo ciało przechylone na prawo; prawa strona zanurza się więcej aniżeli lewa, wskutek czego środek ciśnienia C przesuwa się również na prawo. Jeżeli się zdarzy, że punkt C przekroczy, w kierunku pochylenia, pion przechodzący przez środek

Fi«'. 130.

ciężkości S — a to zależy od postaci ciała — wtenczas równowaga będzie stałą, jak to widzimy na rysunku, pomimo że środek ciężkości ciała leży wyżej, aniżeli środek ciśnienia.

Waga hidrostaty czna jest to przyrząd służący do mierzenia gęstości względnych, przez zastosowanie prawa Archimedesa; pośrednio używa się jej także do mierzenia objętości ciał stałych dowolnej postaci-Zawieszamy ciało na cienkiej nici, na haczyku umieszczonym pod jedną

LûJB

Cl

Fig. 131.

ts

S,

a)

ty

ze szalek A (fig. 131) zwyczajnej wagi (można również używać wTagi sprężynowej) i równoważymy je tarą na szalce przeciwnej B. Usuwamy następnie ciało i równoważymy znowu wagę, kładąc na A stosowne ciężarki; one wskazują ciężar ciała = Q. Zdjąwszy ciężarki zawieszamy ciało powtórnie, zanurzając je jednocześnie w cieczy znajdującej się w naczyniu C. Ciężar P, który wypada umieścić teraz na szalce A, celem zrównoważenia wagi, wskazuje pozorną stratę ciężaru ciała zanurzonego w cieczy; według prawa Archimedesa jest on miarą parcia, które ciecz wywiera na ciało.

Oznaczmy ciężary właściwe cieczy i ciała przez 8 i 8', objętość ciała przez V, wtenczas będzie: Q = V8', P = V8 zatem:

8'

p oznacza tu gęstość względną ciała w porównaniu z gęstością cieczy (ust. 93). Jeżeli 8 jest znane, natenczas możemy obliczyć objętość ciała, P

z równania Y = — .

8

Ważąc to samo ciało stałe po kolei w dwu cieczach możemy zapo-mocą wagi hidrostatycznej porównać gęstości tych cieczy.

Areometr (gr. araios = cienki, rozrzedzony). Do szybkiego wyznaczania gęstości cieczy używa s:ę najczęściej areometru o stałym ciężarze. Przyrząd ten jest zastosowaniem twierdzenia o pływaniu ciał; to samo ciało, zanurzane po kolei w różnych cieczach, zanurzać się będzie tern głębiej, im rzadszą jest ciecz. Głębokość zanurzenia się służy tedy za wskazówkę gęstości cieczy. Oznaczmy przez 8 ciężar właściwy cieczy, pr/ez V objętość zanurzoną ciała pływającego, przez Q jego ciężar, natenczas będzie zawsze: Q == Y o, albo: V — t. j. objętość zanurzona

Ù

jest odwrotnie proporcyonalna do ciężaru właściwego (albo gęstości) cieczy.

Areometr (fig. 132) jest to naczyńko szklane BC mające długą walcowatą szyjkę AB, zamkniętą u góry; u dołu jest ono obciążone pewną ilością śrutu lub rtęci, celem zapewnienia stałej równowagi w pływaniu. Dajmy na to, że pływając na wodzie (gęstość = 1) zanurza się ono do kreski w, oznaczonej liczbą „1“. Przyjmijmy, że objętość zewnętrzna naczynia i części szyjki, aż do punktu w, wynosi 1000; natenczas w innej cieczy, mającej np. gęstość 2, objętość zanurzonej części areometru wynosić będzie tylko 500; w cieczy o gęstości \ zanurzy się objętość 2000 i t. d. Ogólnie mówiąc, objętość zanurzająca się w cieczy o gęstości d wynosić bę*

1000

- . Następująca tabliczka zawiera kilka

d

takich wartości d i V należących do siebie:

dzie Y =

0,6    0,8    1,0    1,2 1,4 1,6 i t. d.

gęstość d:

objętość V: 1667, 1250, 1000, 833, 714, 625, i t. d.

i5oo

1500

1400 -

1300

1200

I 100

IG00 -W

Sao

?oo

O.j

-|°-8

0.₉

»1..

1.2

1.3

“A

cO

Fig. 132.

Dajmy na to, że w jakikolwiek sposób wymierzyliśmy objętości przyrządu począwszy od spodu C, aż do rozmaitych punktów na szyjce; na podziałce tymczasowej ab wykazane są te objętości: 700, 800 i t. d. przyczem objętość Cw oznaczona jest liczbą 1000. Gdy posiłkując się tą podziałką i przytoczoną wyżej tabliczką, nakreślimy na szyjce kreski oznaczone liczbami 1,6, 1,4, 1,2, 1,0 i t. d., odpowiadające objętościom 625, 714, 833 1000 i t. d., wówczas uzyskamy nową podziałkę, o nierównych odstępach kresek, wskazującą bezpośrednio gęstości cieczy. Jeżeli np. przyrząd zanurza się do kreski 1,1, wtenczas gęstość cieczy wynosi 1,1 i t. p.

Sprawdzenie podziałki na gotowym przyrządzie uskutecznia się W sposób następujący: Nasuwamy na szyjkę areometru, przy B, mały znany ciężarek q i zanurzamy areometr w wodzie. Przyrząd waży obecnie Q -f- Î i zanurza się objętością V; bez ciężarka q zanurzyłby się obję-

t. j.

tością 1000. Otóż 1000 : V = Q : Q -j- q. skąd: d =

1000

areometr obciążony ciężarkiem q powinien zanurzać się do kreski ozna-

Podobnie można postąpić także dla gęstości więk-

ezonej liczbą

szych niż 1; w tym celu należy uczynić przyrząd lżejszym o q, co można uzyskać przez zawieszenie na wadze i obciążenie przeciwnej szalki cię-żaikiem q.

ZADANIA.

305)    Obliczyć parcie, jakie rtęć |wywiera do góry na kulę o objętości 100 cm³, całkowicie zanurzoną, w głębokości z pod powierzchnią. ()dp. W każdej głębokości 1359 Gr.

306)    Jaka część objętości bryły lodu (ciężar właściwy = 0,9167),

pływającej na wodzie, znajduje się nad p iwierzchnią wody? Odp.

12 '

307)    Ile cm³ korka (8 = 0,24) należy przyczepić pod wodą do kuli ołowianej (o = 11,37), ważącej 30 gr, aby mogła podnieść się do góiy? Odp. Co najmniej 36 cm³.

308)    Ciało o gęstości 0,9 pływa na powierzchni oddzielającej wodę (gęst. 1), od oliwy (gęst. 0,8); część objętości ciała zanurzona jest w wodzie, reszta w oliwie. Znaleźć stosunek tych objętości. Odp. 1 : 1.

309)    Ciecz o gęstości 2 pokryta jest warstwą wody o grubości 8 cm. Walec o długości 16 cm i gęstości f pływa w położeniu pionowem. Znaleźć długość tej części walca, która znajduje się nad wodą. Odp. 6 cm.

310)    W cieczy o gęstości d umieszczamy kulę wydrążoną współ-środkowo, mającą promień zewnętrzny = r, wewnętrzny = r'- gęstość mater} ału ściany = d'. Jaki powinien być stosunek d i d', aby kula pływała, zanurzając się do połowy. Odp. d : d' — 2 (r³ — r'³) : r³.

311)    Dowieść, że naczynie napełnione cieczą, w której zawiesiliśmy ciało stałe, staje się wskutek tego o tyle cięższem, o ile ciało traci na pozór na wadze. Odp. Strata ciężaru ciała równa się parciu cieczy na ciało; zwiększenie c'ężaru naczynia jest wynikiem oddziaływania cieczy na naczynie. (Podać drugi dowód, przez szczegółowy rozbiór ciśnień przed i po zanurzeniu, przyjmując naczynie walcowe o pionowej osi).

312) Kawałek szkła (gęst. 2,5), którego masa wynosi 150 gr, zawieszony na drucie, zanurza się całkowicie w kwasie siarczanym o gęstości 1,8. Obliczyć napięcie drutu.

Odp. 41200 dyn.

cm/sek². Odp. 41200

dyn.

313) Obliczyć napięcie drutu w poprzedzającym przykładzie, przy-jąwszy, że naczynie razem z wieszadłem, d » którego górny koniec drutu jest przywiązany, poruszają się pionowo do góry z przyśpieszeniem 100 981 X 100

981

314)    Kawałek soli kamiennej, ważący 9,675 gr, zważono w nafcie i znaleziono pozorny ciężar 6,007 gr- kawałek szkła, ważący 15,18 gr, zważono po kolei w wodzie i w nafcie i znaleziono pozorne ciężary 9,18 i 10,29 gr. Obliczyć ciężary właściwe soli i nafty. Odp. 2,15; 0,815.

315)    10 metrów drutu miedzianego ważą 1,5763 gr-, tenże sam drut waży w wodzie 1,3995 gr. Obliczyć średnicę drutu. Odp. 0,15 mm.

164. Tarcie wewnętrzne w cieczach. Ciecze wprowadzone w ruch wracają rychło do spoczynku, o ile niema sił zewnętrznych, któreby nieustannie ruch podtrzymywały; energia ruchu znika i zamienia się na ciepło. Przykładem tego jest zanikanie ruchu wody zamieszanej w naczynin, uspakajanie się fal na jeziorach, na morzu, po ustaniu wiatru i t. p. Powodem tego zjawiska jest t. zw. tarcie wewnętrzne, zwane także lepkością cieczy. Lepkość objawia się i w tern że skoro jedna część cieczy zostanie poruszoną, natenczas działaniem tarcia pociąga ona za sobą części sąsiednie. Wszystkie ciecze są lepkie, jedne w większym, inne w mniejszym stopniu. W teoryi tylko tworzymy sobie niekiedy pojęcie cieczy zupełnie wolnej od lepkości i taką ciecz nazywamy doskonałą.

Ruchy cieczy bywają dwojakiego rodzaju: niekiedy poruszają się one całą masą, na podobieństwo ciała stałego (dajmy na to jak krople deszczu) — wtenczas cząstki cieczy zajmują niezmienne względem siebie położenia, przeto niema tarcia między niemi. Częściej jednak ciecze poruszają się w taki sposób, że wszystkie, albo niektóre części zmieniaią podczas ruchu postać i wzajemne położenie. W tym drugim przypadku tarcie wewnętrzne objawia się, podobnie jak między ciałami stałemi, mającemi ruch względny; ono działa zawsze w takim kierunku,

iż usiłuje zniszczyć, albo zmniejszyć prędkość względną, cząstek cieczy. Zważywszy, że objętość cieczy całej i każdej jej części z osobna możemy uważać jako niezmienne, zrozumiemy łatwo,, że ruch cieczy w tym przypadku polega na ciągiem odkształcaniu się postaci cząstek, przyczem one zmieniają także położenie w przestrzeni, t. j. płyną. Aby więc objaśnić istotę tarcia wewnętrznego na przykładzie najprostszym weźmy pod uwagę ciecz, której części ulegają ciągle prostemu odkształcaniu się postaci. Wyobraźmy sobie w tym celu dwie płyty AB i CD (fig. 133), między któremi znajduje się warstwa cieczy, przylegającej do nich, jak np. woda do szkła, albo guma do papieru.

-p

A a a' h b' B

Fig. 133.

Gdy przesuniemy AB w kierunku strzałki, wtenczas część ab cci cieczy uzyska postać a'b'cd. Przypuszczamy tu, że wszystkie warstwy cieczy między płytami przesuwają się w kierunku ruchu płyty górnej, o długości proporcyonalne do odległości od płyty dolnej. Wiemy, że w celu utrzymania cieczy odkształconej w ten sposób w równowadze, nie byłoby potrzeba wcale siły zewnętrznej, albowiem ciec/e nie posiadają sprężystości postaci. Wszelako podczas ruchu t. j. podczas odkształcania się cieczy, poruszanie płyty AB wymaga pewnej siły, albowiem warstwy cieczy przesuwają się jedne na drugich, a następstwem względnego ich ruchu jest opór utrudniający ten ruch. Opór ten nazywamy właśnie lepkością albo tarciem wewnętrznem. Na płycie AB objawia się on jako ciśnienie równoległe do niej, działające w kierunku przeciwnym ruchowi Doświadczenie okazało, że opór wynikający z lepkości jest proporcyonalny do prędkości względnego ruchu warstw t. j. do prędkości odkształcania się cieczy; nadto zależy on od rodzaju cieczy. Oznaczmy grubość warstwy ac (fig. 133) przez z\ przez v prędkość płaszczyzny górnej względem dolnej; pole górnej płaszczyzny przez S. Jeżeli ab przesuwa się do a'b', w ciągu czasu t, wtenczas prędkość górnej

¹

Zamiast śruby, tłoka i rurki B mierzącej ciśnienie, dogodniej jest użyć powietrza zgęszczonego w osobnym zbiorniku celem wywarcia ciśnienia na wodę w słoju C. Wartość ciśnienia wskazuje osobny przyrząd (manometr), połączony ze zbiornikiem.

²

To jest środek objętości ciała, albo środek ciężkości materyi jednolitej mającej zewnętrzny kształt ciała. Jeżeli ciało jest jednolite, wtenczas środek ciężkości i środek przestrzeni zajmowanej przez ciało leżą w tern samem m ejscu; w przeciwnym razie mogą one zajmować różne miejsca.

³

Wyraz pływanie ma tu znaczenie cokolwiek odmienne od zwyczajnego, odnosi się bowiem do równowagi. Przy pomocy ruchów, jakie przy pływaniu wykonywają ludzie i zwięrzęta, mogą się one utrzymać na wodzie, jakkolwiek ważą nieco więcej aniżeli równa objętość wody.

aa'

płaszczyzny względem dolnej, nieruchomej, wynosi: v ~

Miarą odkształcenia powstającego w tymże czasie jest stosunek

aa'

— (ust. 130); prędkość z jaką ciecz się odkształca t. j. od-

Z

kształcenie przypadające na jednostkę czasu, będzie wskutek

aa'

czyli: a'

teg0: a'=A

Siła zewnętrzna P, która powinna działać na górną płaszczyznę, w kierunkuj strzałki, celem pokonania lepkości i utrzymania płaszczyzny tej w ruchu jednostajnym z prędkością v, jest nadto proporcyonalna do wielkości jej pola S; wskutek tego możemy napisać:

oznacza tu stały spółczynnik proporcyonalności, zależny od rodzaju cieczy. Oznaczywszy przez p wartość ciśnienia stycznego na jednostkę powierzchni S (lub którejkolwiek płaszczyzny

V .

we wnętrzu cieczy, równoległej do S-; stosunek—jest bowiem

Z

dla wszjrstkich płaszczyzn jednakowy), przez a' prędkość od-

V

kształcania się t. j. stosunek — , możemy powyższe równanie

Z

napisać krócej:

[i oznacza w tych równaniach t. z w. spółczynnik lepkości; wartość iego zależy tylko od rodzaju i od własności cieczy. Im bardziej lepki jest płyn, im większe jest tarcie wewnętrzne, tern większa jest wartość spółczynnika [i. Równanie powyższe okazuje, iż w cieczach poruszających się działają ciśnienia styczne, czyli równoległe do powierzchni uciskanej, zależne od ruchu odkształcającego sąsiednie cząstki cieczy (obok ciśnienia prostopadłego, zależnego od sił zewnętrznych). W stanie równowagi ta składowa ciśnienia, równoległa do powierzchni, jest zerem. Prawa hydrostatyki stosują się przeto jednakowo do cieczy ruchliwych, jak i najbardziej lepkich. Różnica objawia się tylko w zjawiskach ruchu.

Spółczynnik lepkości {i wyraża się w „dynach na centymetr kwadratowy, pomnożonych przez sekundę“ (albo w G r/cm², sek).

25

Bibl. mat-fïz. S. Ili, T. VIII.

w którym miarą wielkości

Okazuje to wzór —

jest widocznie jednostka czasu.

Gdy v — o, wtenczas także p—o t. j. w stanie równowagi tarcie nie działa wcale, a najmniejsza siła może wywołać względny ruch części płynu.

a'

a'    v

TABLICA SPÓŁCZYNNIKOW LEPKOŚCI.

dyn/cm² X sek.

Smoła 6° Smoła 12° Gliceryna 3° Gliceryna 26° Woda 0°

2200X10⁶    Woda 20°

250X10⁶    Rtęć 17°

dyn leni? X sek.

0,0102

0,0160

40

0,0181

Alkohol etyl. 10° 0,0153 Eter etyl. 10°

Powietrze 15°

0,0019

0,000189

Różnym płynom właściwe są, rozmaite stopnie ruchliwości. Gliceryna, wstrząśniona w naczyniu, uspakaja się niemal natychmiast; woda porusza się dłużej; większa jeszcze jest ruchliwość eteru. Wszelako ruchliwość zależy nie tylko od wartości tarcia wewnętrznego czyli lepkości, ale nadto od bezwładności t. j. od masy, lub co na jedno wychodzi, od gęstości płynu. Jeżeli dwie ciecze poruszają się zupełnie jednakowo t. j. jeżeli mają jednakowe piędkości, wtenczas gęstsza mieć będ/ie większy pęd i większą energię kinetyczną; do uspokojenia gęstszego płynu potrzebna, jest wskutek tego większa dzielność tarcia. Przy równych lepkościach gęstsza z tych < ieczy uspokoiłaby się po upływie dłuższego czasu, aniżeli rzadsza. Za miarę ruchliwości przyjmuje się więc stosunek gęstości do

lepkości

; wartość tego stosunku dla kilku cieczy zawiera następująca

tablica:

ruchliwość seit!cm².

52,3

0,03

Gliceryna 26° (d = 1,26) 0,25 Gliceryna 3°

Porządek płynów pod względem ruchliwości jest, jak tu wid/imy, zupełnie inny, aniżeli pod względem tarcia. Tak np. lepkość powietrza, mniejsza wprawdzie od lepkości wody, działając na małą jego masę czyni je mniej ruchliwem od wody. Przeciwstawieniem ruchliwośi i jest zawiesi s t o ś ć; miarą jej jest odwrotność ruchliwości t. j. stosunek

1()5. Prądy i wiry. Ruchy płynów możemy podzielić na postępowe i obrotowe—podobnie jak dzielimy ruchy ciał stałych. Jeżeli rzucimy słomkę na wodę płynącą, a dostrzeżemy, że słomka, płynąc, zachowuje kierunek niezmienny względem stron świata, wtenczas ruch cząstek płynu, którym ona towarzyszy, będzie wyłącznie postępowy. Ruch taki. nazywamy prądem albo strumieniem. Jeżeli w każdej części koryta albo przewodu panuje ustawicznie jeden i ten sam rodzaj ruchu, wtenczas powiadamy, że prąd jest stały; takim jest ruch rzeki w równem korycie, gdy woda nie przybiera ani opada; w przeciwnym razie prąd jest zmienny.

Ruch płynu w prądzie stałym można uzmysłowić zapomocą t. zw. linii prądu i strug. Jeżeli np. na planie rzeki, w której prąd jest stały (fig. 134), nakreślimy linię AB, po której poruszała się pewna cząstka wody, natenczas wszystkie cząstki, idące w ślad za pierwszą, będą postępowały po tej samej drodze.

A,

Fig. 134.

Zapomocą takich linii prądu możemy podzielić cały prąd na wązkie pasma AB, A,B,, stanowiące jakoby oddzielne przewody, w których ruch odbywa się tak, jakgdyby one były otoczone ścianami stałemi. Pasma te nazywają się strugami. Linie prądu i strugi można uwidocznić zapomocą farby wprowadzonej w ciecz poruszającą się.

Jeżeli krótka słomka rzucona na wodę płynąc obraca się, wtenczas w sąsiedztwie jej znajduje się wir. Wiry tworzą się z łatwością w takich miejscach, gdzie cząstki płynące obok s;ebie mają prędkości różniące się znacznie, np. na załomach prądu, przy nagłych zwężeniach, albo rozszerzeniach przewodu łub koryta (fig. 134, C i D). Ruch obrotowy powstaje wówczas wskutek wzajemnego tarcia cząstek. W płynie doskonałym, nie mającym lepkości, wiry nie mogłyby się tworzyć, albowiem na każdą cząstkę płynu takiego działałyby wyłącznie ciśnienia prostopadłe do powierzchni; otóż ciśnienia prostopadłe do powierzchni, ani ciężkość, nie mogą wywołać obrotu. Nawzajem, jeżeliby z jakichbądź powodów utworzył się wir w płynie doskonałym, to znowu, dla braku tarcia, nie mógłby sam przez się ustać.

Wirujące cząstki odcinają się wyraźnie od reszty cieczy; w płyn:e doskonałym zachowywałyby nieograniczenie swój obrót. Łącząc się tworzą one t. zw. linie wirowe, około których obracają się, jak paciorki nanizane na nió. Linie wirowe są albo zamknięte w sobie, albo też mają swe końce na powierzchni cieczy. Mogą przytem poruszać się, albo wyginać rozmaicie, pozostając zewsze liniami wirowemi, złożi nemi z tych samych cząstek. Przykładem znane obrączki dymu, puszczaue z ust przez palaczy tytoniu; one tworzą się wskutek tarcia powietrza o brzegi otworu ust.—Musnąwszy powierzchnię cieczy końcem łyżki wywołujemy podobnie półobrączkę wirową, której końce zaznaczają się na powierzchni małemi wgłębieniami.—Cząstki wirujące wprowadzają otaczającą ciecz w krążenie. Ztąd pochodzi, że dwie linie wirowe wprowadzają siebie wzajemnie w ruch; z tej samej przyczyny obrączka wirowa biegnie zawsze naprzód, prostopadle do swej płaszczyzny, w tym kierunku, w którym porusza się (jej działaniem) ciecz znajdująca się w jej objęciu.

166. Zależność prędkości od przekroju przewodu. Wydatek. W różnych częściach koryta albo przewodu, prowadzącego prąd stały, prędkości są w ogóle różne. Gdzie przekrój koryta się zwęża, tam prąd jest bystrzejszy t. j. szybszy; można, to często dostrzedz w rzekach, wodociągach i t. p. Poszczególne strugi składające prąd nie mają również prędkości jednakowych; cząstki, przechodzące przez pewien przekrój koryta, poruszają się jedne wolniej inne prędzej. Biorąc jednak pod uwagę prędkość przeciętną, czyli średnią, możemy łatwo wykazać zależność jej od pola przekroju. Jest bowiem rzeczą oczywistą, że w prądzie stałym, nie mającym bocznych upustów, przepływają w tym samym czasie, przez wszystkie przekroje koryta, jednakowe objętości cieczy; w przeciwnym razie płyn nagromadzałby się w niektórych częściach koryta, przeto prąd nie byłby stały. Weźmy pod uwagę którykolwiek przekrój poprzeczny koryta i oznaczmy pole jego przez S. Średnią prędkość cząstek przepływających przez ten przekrój niechaj oznacza v. Natenczas objętość płynu, przepływająca w ciągu jednostki czasu, równać się będzie widocznie objętości walca, mającego S za podstawę, a wysokość v\ równa się więc: Sv ~ W. W innym przekroju, o polu S', w którym prąd posiada średnią prędkość v\ znajdziemy podobnie: SV — W; zatem:

Sr; = SV — W albo: v : v' — S' : S.

Objętość W, przepływająca w jednostce czasu przez wszystkie przekroje, nazywa się wydatkiem prądu. Zważywszy na powyższą proporcyę możemy powiedzieć, że średnie prędkości iv różnych przekrojach mają się do siebie odwrotnie jak pola tych przekrojów; wydatek prądu stałego równa się iloczynowi pola któregokolwiek przekroju przez panującei w tymże przekroju prędkość średnią.

167. Ruch pod wpływem ciśnień zewnetznych. Ogólne zasady dynamiki stosują się zarówno do ruchu ciał stałych jak i płynnych. Każda cząstka masy płynnej porusza się tak, jak ją prowadzą siły działające na nią. Do sił działających na którąkolwiek cząstkę płynu należą przedewszystkiem ciśnienia, jakie wywierają na nią cząstki otaczające; dalej należy uwzględnić siły działające na masę cząstek np. ciężkość; nakonićc tarcie o cząstki sąsiednie, tudzież o ściany przewodów.

Masy płynne mogą być zbiornikami energii kinetycznej, podobnie jak ciała stałe. Płyn będący w ruchu posiada energię kinetyczną, która tylko wtenczas i o tyle się zmienia, o ile siły zewnętrzne pracują nad jej zwiększeniem, albo, o ile płyn pracuje, przezwyciężając działające nań siły lub opory. Opory takie, pochodzące od tarcia wewnętrznego i zewnętrznego, istnieją we wszystkich znanych płynach; to też, jeżeli chodzi o uzyskanie stałego prądu, zmuszeni jesteśmy używać sił zewnętrznych, któreby pokonywały ciągle opory ruchu i uzupełniały straconą wskutek tych oporów energię. W tym celu używa się pomp, sikawek, poruszanych siłą zewnętrzną i t. p., albo utrzymuje się ruch działaniem ciężkości na części samego płynu, jak to bywa w wodociągach. Zadaniem takich urządzeń jest zwiększenie ciśnienia w jednej części przewodu, wskutek czego płyn porusza się w stronę ciśnienia mniejszego, z prędkością zależną od różnicy ciśnień.

Ażeby rozważyć dokładniej zależność ruchu od ciśnień, przypuśćmy naprzód, że ciecz jest doskonała i porusza się pod wpływem ciśnienia zewnętrznego. Jako przykład takiego ruchu weźmy pod uwagę przewód poziomy, w kształcie rury, napełniony cieczą (fig. 135) i połączony ze sikawką, w której posuwamy tłok AB. Ciśnienie tłoka jest w tym razie jedyną siłą zewnętrzną, poruszającą ciecz, albowiem ciężkość nie wchodzi w grę, z powodu, że ruch odbywa się w ogólności poziomo.

Jeżeli tłok przesuwać będziemy w sikawce ruchem jednostajnym, wówczas prąd cieczy w przewodzie będzie oczywiście stały. Energia kinetyczna, jaką posiada ciecz wytryskająca z ujścia przewodu, jest skutkiem pracy wykonanej przez siłę P,

a, a;

Fig. 135.

działającą na tłok. Pracę tę oblicza się av następujący sposób. Oznaczmy przez S pole przekroju, przez v prędkość tłoka, przez p ciśnienie wywierane przezeń na ciecz w przekroju AB, obliczone na jednostkę powierzchni. Praca wykonana przez tłok w ciągu jednostki czasu będzie wtenczas: Pt’. Ponieważ jednak P = pS, przeto możemy wyrdzić tę pracę przez: p Sv, a zważywszy, że Sr = W oznacza wydatek, mamy ostatecznie: praca tłoka na sekundę — pW.

W ciągu jednostki czasu wytryska atoli objętość W, a więc masa Wd cieczy, w czem d oznacza jej gęstość. W walcu sikawki ubywa jednocześnie masa Wd, równa poprzedzającej, wskutek wyparcia przez tłok. W innych częściach przewodu ruch cieczy nie doznaje żadnej zmiany. Jako wynik pracy tłoka mamy tedy naprzód ubytek masy Wd, która poruszała się z prędkością v, a jednocześnie pojawia się taka sama masa u ujścia, z prędkością wytrysku, którą oznaczymy przez V.

Ujście sikawki bywa zwyczajnie tak wązkie, w porównaniu z przekrojeni tłoka, że prędkość wytrysku cieczy przewyższa nieporównanie prędkość posuwania się tłoka. Pomijając tedy energię kinetyczną masy wypartej z walca sikawki, możemy powiedzieć, iż energia kinetyczna masy wytryskującej z ujścia, jest jedynym skutkiem pracy tłoka. Uwaga ta prowadzi bezpośrednio do równania (ust. 107): | WdV² — pW, czyli p — £ dV², które orzeka, iż ciśnienie na tłok, potrzebne do wywołania pewnej prędkości wytrysku, wzrasta proporcyonalnie do kwadratu tej prędkości. Zależność tę wyrazimy jeszcze inaczej. Niechaj z oznacza miarę manometryczną, czyli „wysokość“ ciśnienia p, wywieranego na ciecz za pośrednictwem tłoka; z oznacza zatem wysokość słupa cieczy uważanej, równoważącą swym ciężarem ciśnienie p. Wtenczas będzie (ust. 160):

p = zdg — i dV²,

albo:

V²

S'~2g-

Zważywszy, że oznacza wysokość, z której jakiekolwiek ^ 9

ciało powinno spadać swobodnie, aby uzyskało prędkość równą prędkości wytrysku Y, że zatem

V²

V²

wyraża „wysokość prędkości V” (ust. 59), możemy powiedzieć, że wysokość prędkości wyply -wu róima się wysokości ciśnienia wyivartego na ciecz, albo, że przy wypływie cieczy doskonałej wysokość ciśnienia zamienia się całkowicie na wysokość prędkości.

Zapomocą podobnego rozumowania można obliczyć wartość ciśnienia panującego w różnych przekrojach przewodu, przyczem się okaże, że jeżeli rura połączona ze sikawką nie ma szerokości jednostajnej, wtenczas w różnych jej częściach ciecz płynąca wywiera różne ciśnienia. -Oznaczmy ciśnienie panujące w cieczy w dowolnym przekroju At (fig. 135) przez p1} w innym A₂ przez pą prędkości prądu tamże przez vy i v₂. Ciecz* znajdującą się między tłokiem a przekrojem At możemy uważać jako tłok, wywierający ciśnienie^ na przekrój podobnie ciecz między Ai i A2 stanowi jakoby tłok, cisnący dalsze części cieczy i nawzajem doznaje od nich ciśnienia p₂.

Jeżeli w przeciągu bardzo krótkiego czasu t, ciecz, która znajdowała się między At i A₂, przesunie się w sąsiednie poło-zenie, między przekrojami A't i A'₂, natenczas praca ciśnień px i p₂, z których pierwsze pomaga ruchowi, a drugie przeszkadza, objawi się jako zwiększona energia kinetyczna uważanej części cieczy. Otóż łączna praca obu ciśnień (obliczona tak samo jak pierwej dla tłoka) posiada wartość: j>,Wt-p₂Wt. Celem obliczenia, o ile wskutek tej pracy zmienia się energia kinetyczna tej części cieczy, na którą działają ciśnienia px i p₂, zważmy, że pomiędzy przekrojami A', i A₂ ruch cieczy nie uległ żadnej zmianie; ruch uważanej części cieczy zmienił się tylko o tyle, że cząstki, które znajdowały się między Aj i A\ i miały tam prędkość vi} ustąpiły ztamtąd, a natomiast cząstki znajdujące się na przedzie weszły między A₂ i A'₂ i nabyły prędkości v₂, która panuje w tej części przewrodu. Objętości wspomniane dopiero mianowicie objętości A, A', i A₂ A'₂ są sobie równe, wspólną ich wartością jest Wt, albowiem na sekundę przepływa objętość W, przeto w czasie z objętość Wt. Masy cieczy mieszczącej się w nich będą więc: Wid, jeżeli d oznacza gęstość cieczy. Przyrost energii kinetycznej cieczy znajdującej się pierwotnie między A, i A₂, wskutek przesunięcia do A't A'₂, oblicza się zatem tak:

4 Wzdv₂² — 4 Wzdvy².

Jeżeli, jak założyliśmy, prąd nie spotyka oporów w przewodzie, a więc jeśli niema tarcia, wtenczas przyrost ten energii kinetycznej będzie równoważny pracy ciśnień (px — p₂) Wt, skąd wynika równanie:

albo:

i dv₂² — 4 dvx² -=pi — p₂,

4 d + pt = 4 dv₂- + p₂.

Równanie to okazuje, że wskutek różnic prędkości istnieć będą także różnice ciśnień w różnych przekrojach. Wyraziwszy

ciśnienia pt i p₂ przez równoważne wysokości zx — i —

ag

= podobnie jak to uczyniliśmy wyżej, możemy poprzedzamy

jące równanie napisać w następujący sposób:

w-

d vJ² -f- zx dg — 4 dvyd¹ + £₂ «d?

albo:

vl² ,    _ V-2² ,

~— + #i — ---h

ono orzeka, że suma wysokości prędkości i wysokości ciśnienia, wszystkich przekrojach przewodu poziomego, przewodzącego stały prąd cieczy doskonalej, posiada tę samą wartość. Z tego wynika, że w częściach zwężonych przewodu, w których prędkość jest większa, panuje mniejsze ciśnienie, aniżeli w częściach rozszerzonych. Może się nawet zdarzyć, że w częściach znacznie zwężonych ciśnienie będzie mniejsze, aniżeli w otaczaj ącem powietrzu; gdybyśmy w takiem miejscu przebili ścianę przewodu, to nietylko płyn nie wyciekałby na zewnątrz, lecz na odwrót, zewnętrzne powietrze byłoby wessane przez prąd przebiegający. Ciśnienie atmosferyczne nie przyczynia się zresztą do poruszania cieczy, albowiem ono działa jednakowo na tłok i na ujście przewodu. Z tej przyczyny możemy na nie wcale nie zważać; jako p działające na tłok należy uważać nadwyżkę rzeczywistego ciśnienia nad atmosferycznem. Ciśnienie u ujścia przewodu można wówczas przyjąć jako równe zeru.

Opory w rurach. W poprzedzającej teoryi pominęliśmy zupełnie tarcie cieczy, wskutek tego nie stosuje się ona do ruchu w rurach nieco dłuższych a wązkicb, w których opór tarcia jest bardzo wydatny. Weźmy np. pod uwagę przewód CE (fig. 136) o przekroju j ednostajny m, prosty albo z lekka zakrzywiony. W rurze takiej prędkość prądu jest we wszystkich przekrojach jednakowa; z poprzedzającej teoryi wynikałoby

---

Fig. 136.

więc, że ciśnienie powinno być wszędzie jednakowe, a mianowicie takie, jak u ujścia t. j. równe ciśnieniu zewnętrznemu (w atmosferze). W rzeczywistości jest inaczej. Jeżeli w kilku punktach rury umieścimy pionowe manometry 0, D, E, (wązkie rurki szklane), a zatkawszy ujście wywierać będziemy na tłok ciśnienie p, w takim razie ciecz podniesie się we wszystkich manometrach do tej samej wysokości, wskazującej nadwyżkę ciśnienia wywieranego przez tłok, nad ciśnieniem atmosferycznem. Gdy następnie otworzymy ujście i przepuścimy stały prąd przez rurę, to tylko w ostatnim manometrze, tuż przy ujściu, ciecz spadnie zupełnie, w innych natomiast zatrzyma się tern wyżej, im bardziej one są odległe od ujścia rury. W przewodzie utworzy się więc jednostajny spad ciśnienia, od początku rury aż do ujścia, jak to wskazuje linia kreskowana na rysunku. To dowodzi, że prąd doznaje w rurze oporu i to tern większego, im dłuższą jest rura. W istocie, ciśnienie w C jest większe aniżeli w D, albowiem pierwsze pędzi prąd przez całą długość rnry CE, podczas gdy drugie pokonywa opór tylko w części DE. Opór, jaki prąd spotyka w rurze,, działa więc jakoby częściowe zatkanie, albo przymknięcie ujścia t. j. podnosi ciecz w manometrach. Za miarę oporu, jaki Cała rura CE przedstawia prądowi stałemu, płynącemu z prędkością v, możemy więc przyjąć ciśnienie p, wskazane przez manometr umieszczony na początku rury. Jest to ciśnienie potrzebne do pędzenia prądu stałego przez całą długość CE = L, z prędkością v. Wartość jego, wskazaną przez wysokość s, do której ciecz wznosi się w pierwszym manometrze C, nazywamy wysokością oporu; ona mierzy zarazem stratę ciśnienia w rurze, na długości CE.

Wysokość oporu, albo strata ciśnienia, jak widzimy, jest proporcyo- • nalna do długości rury L, albowiem na połowie tej długości jest o połowę mniejsza niż na całej. Doświadczenie uczy, że wysokość ta zależy nadto od prędkości prądu; gdy bowiem zwiększymy ciśnienie na tłok, wtenczas ciecz poruszać się będzie prędzej, ale zarazem podniesie się ona wyżej w manometrze na początku rury.

Istotę oporu, jaki prąd cieczy spotyka w rurach zdołano do pewnego stopnia wytłomaczyć. Zjawisko to jest szczególnie proste w rurach bardzo wązkich, włoskowatych. W takich jed3uiie rurkach ruch cieczy odbywa się zupełnie prawidłowo, każda cząstka posuwa się po linii równoległej do osi rurki. W przewodach szerokich natomiast, zwłaszcza w szybkim prądzie, drogi cząstek bywają częstokrość rozmaicie zakrzywione, a obok ruchu postępowego tworzą się wiry, zależne od przypadkowych nierówności ścian, których nie możemy ściśle określić. W rurkach włoskowatych ciecz porusza się w taki sposób, iż zewnętrzna jej warstwa przylega nieruchomo do ścian rurki, podczas gdy głębsze części cieczy poruszają się tem prędzej, im bliżej osi się znajdują. Jeżeli więc podzielimy ciecz, w myśli, na warstwy współosiowe z rurą, wówczas zrozumiemy łatwo, że każda z tych warstw ślizga się na poprzedzającej; ruch tego-rodzaju wywołuje, jak wiadomo, opór wskutek tarcia wewnętrznego, czyli lepkości cieczy (ust. 164). Opór, jaki prąd spotyka w takich przewodach, zależy tedy wyłącznie od lepkości cieczy i jest proporcyonalny do średniej prędkości v. Według Poiseuilla i Helmholtz a, nadwyżka ciśnienia = p, która powinna działać na początku rurki włoskowatej o przekroju kolistym, celem utrzymania prądu stałego o średniej prędkości v, oblicza się według następującego wzoru:

O)

g oznacza tu spółczynnik tarcia wewnętrznego, R promień kolistego przekroju rury. Z uwagi na wzór p — Iz, w którym 8 oznacza ciężar właściwy cieczy, znajdziemy, na podstawie (1), następujące wyrażenie wysokości oporu rury:

8g L 8 R² ¹ V'

Wydatek prądu wynosi: W = v X R²^, czyli podług (1):

P R⁴ TC

8 g L ‘

(2)

(3)

Na ostatniem równaniu opiera się najprostszy sposób porównywania lepkości g różnych cieczy. Lepkości różnych cieczy mają się odwrotnie jak wydatki, t. j. jak objętości cieczy porównywanych, przepływające w jednakowych czasach, przez tę samą rurkę włoskowatą, pod jednakowemi ciśnieniami.

na wo-

mo-

wzoru

W rurach szerszych, zwłaszcza przyr większych prędkościach prądu, płyn nie porusza się w ogóle strugami równoległeini do osi; wzór (8.) nie może być wówczas stosowTany. Opór rury stosunkowo szerokiej, pochodzi głównie od wirów tworzących się w prądzie. Wiry te zużywają energię kinetyczną wskutek tarcia wewnętrznego cieczy, a nie przyczyniają się do ruchu postępowego. Doświadczenia wykonane, zwłaszcza dociągach, okazały, że wysokość oporu rury szerokiej jest w przybliżeniu proporcyonalna dó drugiej potęgi średniej prędkości prądu i do długości rury, zaś odwrotnie proporcyonalna do jej średnicy. Wysokość oporu żerny w tym razie przedstawić, z pewnem przybliżeniem, zapomocą wyprowadzonego z doświadczeń (empirycznego):

(4)

---V2 ¹ ,

D

Tu oznacza a spółczynnik niezależny od v i L, którego wartość jednak, jak doświadczenie okazało, jest nieco mniejsza dla rur o dużej średnicy D, aniżeli dla węższych. Jeżeli długości z, L i D wyrazimy w centymetrach, zaś prędkość v w cm/sek, wtenczyias, zgodnie z pomiarami, należy przyjąć, dla ruchu wody, następującą wartość tego spółczynnika:

a = 0,000 005-12 -f- —

0,000038 47

|/D

W których przypadkach mamy stosować wzór (2), albo wzór (4), do obliczania wysokości oporu z przewodu, zależy to od rodzaju cieczy i od prędkości prądu. Dla wody, rurka o średnicy ^ mm, o długości 300 razy większej zachowuje się już jako włoskowata. Dla innej cieczy bardziej ruchliwej, rurka powinnaby być węższą, aby zapobiedz powstawaniu wirów; ciecze bardzo lepkie płyną nawet w rurach szerokich równie prawidłowo, jak woda w włoskowatych.

Strata pracy wskutek oporu w rurach. Jeżeli przez rurę przepływa w ciągu sekundy objętość W cieczy, prądem stałym, natenczas ciśnienia na początku i na końcu rury, wykonywają razem pracę (ust. 167) = Wp, gdzie p = oz oznacza nadwyżkę ciśnienia na początku rury. Praca ta zostaje w całości straconą, a raczej zamienioną przez tarcie na ciepło; prędkość bowiem w rurze jest wszędzie jednakowa, przeto praca ciśnień nie sprawia wcale przyrostu energii kinetycznej, lecz zużywa się całkowicie na pokonanie oporu rury. Wartość tej pracy straconej na se-kundę wynosi podług (4):

(5)

Przykład. Na początku rury o średnicy 4 cm, a długości 100 m, wywieramy zapomocą pompy, stałe ciśnienie: 5 K<jrr/cm²; obliczyć prędkość prądu wody i wydatek. Ciśnienie 5 Kgr/cm² jest równoważne (ust. 160): z — 5000 cm wody; jest to zarazem wysokość oporu rury. Ponieważ

L

w uważanym przypadku: a — 0,000024 36, tudzież —- = 2500, przeto v² —

, zatem v = 287 cmjsek, tudzież W = 4 X 3,14 X ?87 =

5000

0,000 024 36 X 2500

= 3600 cm³lsek = 13000 litrjgodz. Opór tego przewodu zużywa dzielność=

= 5 Kglcm² X 3600 cm³Jsek — 2,4 koni.

168. Ruch cieczy pod wpływem ciężkości. Ruch cieczy może odbywać się wskutek własnego ciężaru cieczy, bez po-

mocy ciśnień zewnętrznych, wywieranych zapomocą tłoków. Ruch taki zdarza się najczęściej, albowiem wskutek ciężkości poruszają się rzeki, strumienie, woda w wodociągach miejskich i t. d. Wyłożymy tutaj ogólne prawa odnoszące się do prądów stałych, płynących w przewodach rurowych pod działaniem ciężkości. Weźmy pod uwagę przewód CD (fig. 137), wychodzący z obszerniejszego zbiornika, w którym utrzymujemy, przez

2»

Cp

->!

",

vr

j-.

W*

Fig. 137.

dolewanie, dostatecznie wzniesiony a stały poziom cieczy AB. Zastanowimy się nad rozmieszczeniem ciśnień w prądzie i nad wydatkiem takiego przewodu.

Zwróćmy uwagę na część cieczy, zawartą w pewnej chwili między przekrojami At i A₂. Ciśnienia panujące w tych przekrojach oznaczymy przez 2h i lh\ średnie prędkości prądu tamże przez v, i v₂. Skoro po upływie krótkiego czasu z ciecz uważana zajmie sąsiednie położenie, między A\ i A'₂, natenczas, jak widzieliśmy w ust. poprz., jej energia kinetyczna powiększy się o i W z d (v₂—vt²). W oznacza wydatek przewodu, Wztl jest masa cieczy między przekrojami A, i A\, albo A₂ i A'₂. Przyrost ten energii jest skutkiem pracy sił zewnętrznych, działających na uważaną część cieczy. Dotychczas uwzględnialiśmy tylko ciśnienia sąsiednich części cieczy; w uważanym przypadku, gdy przewód nie jest poziomy, uwzględnić należy nadto działanie ciężkości. Ciśnienia px i p₂ przyczyniają się do powiększenia energii kinetycznej pracą: Wt (pt —p₂) (ust. 167). Pracę ciężkości znajdziemy, zważywszy, że przy uważanym przesunięciu się, ciecz ustępuje z przestrzeni między A, i A',,a jedno-

cześnie zapełnia przestrzeń między A₂ i A'₂; praca ciężkości jest więc taka, jak gdyby masa Wtd spadała bezpośrednio z pierwszego miejsca do drugiego. Oznaczmy wysokości przekrojów At i A₂, nad poziomem MN, wybranym dowolnie jako poziom porównawczy, przez zx i z₂, natenczas wyrażeniem pracy ciężkości będzie: Wtdg (zx — z-,) (ust. 109). Jeżeli przyjmiemy, że tarcie cieczy jest tak nieznaczne, iż można pominąć stratę energii wynikającą z działania tej siły rozpraszającej, wtenczas na podstawie praw stosujących się do energii kinetycznej uzyskamy równanie:

(1)

I-i-

W xd (?;₂³ — Vi² 3) — W T (pi —ft ₂) + W xdg {zx — z₂).

Możemy napisać je w następującej postaci:

to

to; <$

'O I-»

to «

<55

pozostanie wówczas tylko pierwszy. Równanie (2) możemy w tym razie napisać:

(3)

3 z' -f- 3" — Z

3, z' 3" odnoszą się do któregokolwiek przekroju przewodu.

Prawo Toricellego. Równania (1), (2) albo (3) dają, ogólne wyobrażenie o rozmieszczeniu ciśnień i prędkości w cieczy płynącej pod wpływem własnego ciężaru. Nie są one zupełnie ścisłe, alb >wiem wyprowadzając je założyliśmy, że opór przewodu jest nieznaczny. W rzeczywistości zaś wpływ oporu może być bardzo znaczny. Stosuje się tu wszystko, co powiedzieliśmy o oporze przewodów poziomych.

Jeżeli jednak przewodu wcale nie ma, a ciecz wypływa z obszernego zbiornika wprost na zewnątrz, przez mały otwór zrobiony w dnie, albo w bocznej ścianie (fig. 138), wtenczas równan:e (3) zgadza się dośó

”~T*"

Fig. 138.

dokładnie z rzeczywistością, zwłaszcza, gdy zastosujemy je do cieczy ruchliwych. Prowadzi ono wówczas do nader pr> stego pr wa wypływu, odkrytego przez Toricellego w roku 1644. Poprowa źmy poziom porównawczy MN przez śród'k otworu i przyjmijmy, że p"ziom A w zbiorniku utrzymujemy stałej wysokości nad otworem, np. przez dolewanie cieczy. Będzie to wysokośó, którą oznaczyliśmy wyżej przez Z. Stosując równanie (3) do przekroju otworu napiszemy z' =0, poni waż ciśnienie u ujścia równa się ciśnieniu zewn trznemu; zostanie więc:

Równanie to wyraża prawo Toricellego. Gdybyśmy otwór zatkali, wtenczas Z byłoby miarą ciśnienia h drostatycznego, w poziomie otworu. Po otworzeniu otworu wytryska z> ń prąd, z prędkością odpowiadającą wysokości z" — Z, t. j. wysokość ciśnienia zamienia się całkowicie na wysokość prędkości. Ponieważ z" —

gdy v ozna-

skąd v = ]/2</Z = 44 }/ Z cmjsek-

cza prędkość wypływu, przeto: Z = — ,

2 £

ciec^ ruchliwa wypływa przez mały otwór, w ścianie albo w dnie zbiornika, z taką prędkością, jakiejby nabyło ciało spadające swobodnie z poziomu powierzchni cieczy w zbiorniku na poziom otworu. Prędkość wypływu nie zależy od tego, czy ciecz wytryska na bok, ze ściany, czy też pionowo na dół, z dna; ona nie zależy również od gęstości cieczy, tak np. rtęć wypływa równie prędko jak woda, byle Z było w obu przypadkach jednakowe.

Ciecz uchodząca z otworu tworzy żyłę jednolitą, która dopiero w pewnej odległości od otworu rozpada się na krople. Przy otworze schodzą się zbieżnie wszystkie strugi, któremi cząstki cieczy zdążają od powierzchni do otworu; z tego powodu żyła minąwszy otwór, jeszcze się cokolwiek zwęża. W miejscu najwięcej zwężonem przekrój jej wynosi około 0,62 przekroju otworu. W tym dopiero przekroju ciśnienie cieczy wyrównywa się z ciśnieniem otaczającego powietrza; ten przekrój należy więc uwzględniać przy obliczeniu wydatku. Jeżeli S oznacza pole otworu, natenczas wydatek będzie: W = 0,62 Sj/2gŹ, t. j. około 27 S ]/Z cmlsek.

Uwzględnimy jeszcze wpływ oporu, którego nie można żadną miarą opuścić, gdy przewód jest długi a wązki. Prawa Bernoulliego i Toricel-lego nie mają w tym przypadku ścisłego zastosowania, Dajmy na to, że ze zbiornika uchodzi ciecz rurą CF (fig. 139) jednostajnego przekroju.

'■'s.

---N

Fig. 139.

Prędkość v cieczy w rurze będzie we wszystkich przekrojach jednakowa (ust. 166). Umieściwszy wzdłuż rury kilka manometrów C, D, E przekonamy się (podobnie jak w ust. 167), że ciśnienie, przy ujściu F równe ciśnieniu zewnętrznemu, rośnie ku początkowi rury. Przyczyną tej zmienności ciśnienia, w uważanym przypadku, jest atoli nietylko opór przewodu, lecz i pochylenie jego względem poziomu. Celem obliczenia ciśnienia np. w przekroju D, zastosujemy równanie (1) do przekrojów D i F; aby jednak uwzględnić wpływ oporu, należy odjąć po prawej stronie tego równania, od pracy ciśnień i ciężkości, pracę zużytą przez tarcie. Praca

l

ta, w ciągu czasu t, wyraża się przez (ust. 167,5): W z d g a — v², w czem

skąd: zt — z? +

Tr" ■

Połóżmy poziom porównawczy MN przez ujście przewodu F i napiszmy dla skrócenia zt — zk = z; oznaczmy nadwyżkę ciśnienia w D nad ciśnieniem (zewnętrznem) w F, t. j. różnicę pt — p₂, przez p, nakoniec

l oznacza długość rury między D i F. Zważywszy jeszcze, że prędkości i t)₂ w^i F są jednakowe, t. j. że praca ciśnień i ciężkości zostaje całkowicie zużyta przez opory, albowiem nie zmienia wcale energii kinetycznej, otrzymamy: o = Wt (p, — p₂) + Wt dg (zt — z%) — Wrdg a. jy v², Pi - Vî

dg

oznaczmy przez z' — — wysokość manometryczną w D, wtenczas rów-dg

nanie poprzedzające uzyska postać:

Z -j- z' = a v²,

albo, jeżeli dodamy do tych dwu wysokości z i z' jeszcze wysokość prędkości prądu, z" = -

v²

z. -f- z' 4- z" =

-—- 4- a —— v². 2D

Wnosimy stąd, że suma trzech wysokości, która według twierdzenia Ber-noulliego byłaby stałą, gdyby przewód nie przedstawiał oporu, zmniejsza się w rzeczywistości od początku ku ujściu rury. U ujścia rury (w F) jest z = o \ z' — o tudzież l = o; z trzech wysokości zostaje tylko z" t. j. wysokość prędkości. Na początku rury (w C) suma wspomnianych trzech wysokości dorównywa wysokości Z t. j. wysokości poziomu AB nad ujściem F. Jeżeli więc oznaczymy długość całego przewodu przez L wówczas otrzymamy, stosując ostatnie równanie do punktu C:

SI

«

» Ol

hl Q

Stąd znajdziemy prędkość wypływu:

D² it

r-'-

Aspikatob. Prawo Bernoulliego, jakkolwiek nie zupełnie ścisłe i nie liczące się z oporem przewodów, objaśnia jednak w ogólnych zarysach działanie niektórych przyrządów polegających na ruchu cieczy. Do takich należą aspiratory, służące do ssania albo pompowania powietrza. Prąd cieczy, uchodzący ze zbiornika, przepływa z góry na dół przez rurkę pionową AB (fig. 140); ciśnienie u ujścia (w B) równa się ciśnieniu zewnętrznego powietrza = p₀. W przekroju A, znajdującym się

w wysokości AB = —

SA

, nad ujściem B, znajdziemy, ag

na podstawie prawa Bernoulliego, ciśnienie równe zeru. Jeżeli bowiem podstawimy w równaniu (2), Z\ --    = AB, = Vj, p₂ — Poi otrzymamy pt = o.

ét

Fig. 140.

tudzież wydatek:

-V

2.7 Z

i + 27a-—»

Powyżej przekroju A znaleźlibyśmy ciśnienia ujemne. Ciągły prąd powyżej A nie jest więc możliwy; cipcz rozrywa się tu na krople. Tam właśnie umieszczona jest boczna rurka,✓bądź to otwarta bądź też połączona z naczyniem zawierającem powietrze lub inny gaz. Gaz ten bywa porywany przez spadające krople i zostaje wyrzucony na zewnątrz przez ujście B; w naczyniu tworzy się stopniowo próżnia. Na tej zasadzie polega aspirator wodny Bunsena, pompa pneumatyczna rtęciowa Sprengla i t. p.

Le wab. Rura wyprowadzająca ciecz ze zbiornika nie zawsze bywa prosta, albo pochylona jednostajnie na dół, jak na fig. 137 lub 139. Prawa ruchu cieczy, wyłożone poprzednio, stosują się niemniej, jeżeli przewód jest jakkolwiek zakrzywiony lub pochylony. Jeżeli część rury odplywo wej wznosi się po nad poziom AB cieczy w zbiorniku (fig. 141, CC', albo AD, wówczas przewód taki nazywamy lewarem. Celem wdrożenia wypływu trzeba naprzód wypełnić rurę cieczą, np. przez ssanie u otwartego końca C lub D, poczem ciecz wypływać będzie pod wpływem ciężkości, podobnie jak wypływa przez przewód pochylony i wychodzący z dna zbiór-nika. Koniecznym jednak warunkiem ciągłego odpływu jest to, żeby ujście lewara znajdowało się w poziomie niższym, aniżeli powierzchnia AB cieczy w zbiorniku. Gdy bowiem cząstka cieczy opada z poziomu AB do ujścia C lub D, położonego niżej, ciężkość wykonywa pracę dodat-ną, a skutkiem tej pracy j^st prędkość nabyta przez cząstkę. Gbyby ujście przewodu leżało powyżej poziomu AB, ciecz wypływająca podnosiłaby się do wyższego poziomu — co widocznie niemożliwe. Według prawa Toricellego, które stosuje się w przybliżeniu i do lewara, jeżeli opory ruchu są nieznaczne, prędkość odpływu wynosi: ]/ 2y Z, w czem Z oznacza głębokość ujścia pod powierzchnią. Ciśnienie w punkcie najwyższym lewara jest zawsze mniejsze niż ciśnienie (powietrza) panujące na powierzchni AB cieczy w zbiorniku; różnica ciśnień jest tem znaczniejsza

W ..... I

**r~

.L Pl____11C

Fig. 142.

Fig. 141.

im wyżej lewar wznosi się nad poziom AB. Widocznem jest przeto, że wzniesienie lewara nad poziom AB nie powinno przewyższać wysokości ciśnienia powietrza otaczającego, dla danej cieczy. W przeciwnym razie nietylko wypływ ńie byłby możliwy, lecz ciecz nie mogłaby nawet wznieść się do kolana. Do przelewania cieczy z jednego naczynia do drugiego używa się zwykle lewarów utworzonych z rury zgiętej w kształcie odwróconego U (fig. 141 D), zanurzonej jednym końcem w cieczy.

Lewak odwrócony. Jeżeli umieścimy lewar nie w powietrzu, lecz w cieczy jakiej, dostatecznie gęstej, wtenczas zdołamy przelewać zapomo-cą niego inną ciecz, lżejszą, do góry. Dajmy na to, żc w dużym słoju W <fig. 142) znajduje się woda, w szklankach zaś S i S', odwróconych dnem do góry, nafta. Krótsze ramię lewara zanurzone jest w szklance niższej, dłuższe sięga do szklanki wyższej. Skoro wdrożymy ruch przez napełnienie całego lewara naftą, natenczas, wskutek działania ciężkości, ciecz ta będzie przelewać się do szklanki wyższej. W tym przypadku bowiem ciężkość wykonywa pracę dodatną, gdy ruch w lewarze odbywa się ku górze. Na miejsce lekkiej cieczy, wypływającej z S, wstępuje ciecz cięższa, a jednocześnie lżejsza wypiera cięższą ze szklanki S'. Przy spadaniu cieczy gęstszej ciężkość wykonywa pracę dodatną, przy podnoszeniu się lżejszej, ujemną, ale mniejszą; różnica tych prac zamienia się na energię N kinetyczną prądu w lewarze. Gdy np. jednostka objętości cieczy gęstszej (gęstość = d) spadnie z wysokości z, t. j. z S' do S, a jednocześnie tyleż cieczy rzadszej (gęstość — d') pójdzie w górę, praca ciężkości będzie:

(d — d') gz, a energia kinetyczna, udzielona cieczy rzadszej w lewarze:

%

i d' v². Zważywszy, że w obec znacznej szerokości słoja W możemy opuścić prędkość ruchu cieczy gęstszej, spadającej na dół, znajdziemy równanie: (d — d') gz    d'v², skąd:

1 d~d'

* = y

Równanie to znajduje ważne zastosowanie w teoryi kominów, (ust. 185), które w istocie swej są takimi lewarami odwróconymi; zamiast nafty trzeba pomyśleć powietrze ciepłe, a więc rzadsze, zamiast wody powietrze atmosferyczne, chłodne i gęstsze od tamtego.

109. Pale. Do ruchów wywołanych przez ciężkość należą także fale, tworzące się na swobodnej powierzchni cieczy, gdy jakiekolwiek wstrząśnienie wyprowadzi ją z położenia równowagi. Większe masy płynne, zostające pod działaniem ciężkości, usiłują zachować stan równowagi stałej, w którym powierzchnia cieczy jest płaszczyzną poziomą. Jeżeli tę równowagę zniszczymy jakimkolwiek sposobem —np. rzucając kamień do wody — wówczas zaburzenie, sprawione w jednem miejscu, przenosi się z biegiem czasu do dalszych części cieczy, jako fala, mająca kształt koła rozszerzającego się. Fala składa się z wzniesienia pewnej części cieczy nad poziom równowagi (grzbiet fali), tudzież z pogłębienia, zwanego doliną. Grzbiet i dolina stanowią jednę falę. Rzuciwszy słomkę na powierzchnię wody, po której przebiegają fale, przekonamy się, że podcza przejścia fali słomka waha się na dół i w górę, naprzód i wstecz, lecz w ogóle nie odpływa z tego miejsca, gdzie ją pierwotnie umieściliśmy. To dowodzi, że podczas falowania cieczy cząstki jej doznają tylko małych przesunięć i nie oddalają się wiele z położeń, jakie zajmują w stanie równowagi. Ruch postę-po w y jednostajny, właściwy falom, wynika z tego, że pewna :orma odkształcenia przenosi się po kolei do różnych części cieczy; lecz temu ruchowi formy nie towarzyszy prąd cieczy. Prawdę tę uzmysłowią dobrze łan zboża, falujący pod wpływem wiatru; jest to również ruch, w którym kłosy pochylają się nieco naprzód i wstecz, a kołysanie się ich udziela się z biegiem czasu coraz dalszym kłosom.

W każdej fali mieści się pewien zapas energii. Energia ta jest po części kinetyczną, zależną od mas i prędkości tych części, które w uważanej chwili są w ruchu; po części zaś jest to energia odkształcenia, potencyalna, a siedzibą jej są te części cieczy, które w uważanej chwili są wyprowadzone z położenia równowagi, a więc podniesione lub zniżone. Ruch falowy możemy przeto uważać jako przenoszenie się energii z jednego miejsca w ciele do drugiego, z pewną stałą prędkością. Części ciała nie towarzyszą jednakowoż ruchowi tej energii, lecz podają ją sobie po kolei.

Wahanie się cząstek wody falującej można uwidocznić przez domieszanie do wody lekkich, unoszących się w niej ciałek, np. trocin lub t. p. Oknzało się, że podczas przebiegu fal poszczególne cząstki wody krążą w płaszczyznach pionowych, prostopadłych do długości grzbietów i dolin, po obwodach kolistych, albo (w płytkiej wodzie) eliptycznych. Wahania te, największe na powierzchni, ogarniają także cząstki położone w głębi, przenikają w głąb tern większą, im większe są rozmiary falowania. Każda cząstka wody zajmuje punkt najwyższy swego kolistego toru, w chwili gdy przez nią przebiega grzbiet fali; następnie opada w dolinę; poczem, w chwili gdy nadejdzie grzbiet następny, powraca znowu na szczyt koła. Okres jednego wahania się T cząstki trwa widocznie tak długo, jak długiego potrzeba czasu, żeby fale posunęły się naprzód o odległość jednego grzbietu od następnego, zwaną długością fali = X. Jeżeli tedy c oznacza prędkość postępu fal (formy falistej), będzie, jak w każdem zresztą falowaniu, X = cT.

-V

Iff

w którym g oznacza natężenie ciężkości. Na wodzie płytkiej nie zależy ona od długości fali, zależy natomiast od głębokości, czyli grubości warstwy wodnej = z\ jest mianowicie w tym przypadku c =}/g z. Fale na oceanie miewają nierzadko długość X = 100 m, cząstki wody krążą po kołach o średnicy 6 w

2k ’

Prędkość postępu fal, na wodzie bardzo głębokiej, w stosunku do długości fali X, oblicza się według wzoru c

które dla skrócenia oznaczymy przez zx

Wyrazy:

które oznaczymy przez zx" i z₂", przedsta-

i więcej; pierwszy z powyższych wzorów daje jako prędkość postępu takiej fali c — 12 misek. Przyczyną, ich powstawania bywa zwykle wiatr, czasem wybuchy wulkaniczne podmorskie.

170. Ruch ciał stałych w płynach. Jeżeli jakikolwiek przedmiot, zanurzony całkowicie albo częściowo w cieczy—dajmy na to okręt lub ryba—zostaje wprowadzony w ruch, wówczas z konieczności poruszają się również cząstki cieczy otaczającej. Z jednej strony ustępują one z drogi przedmiotowi poruszającemu się, z przeciwnej strony łączą się napowrót. Ruch cieczy jest najwydatniejszy w pobliżu ciała, w odległości większej nieznaczny. Jeżeli zważymy, że siła, która porusza ciało, utrzymuje także w ciągłym ruchu części cieczy, zrozumiemy, że trudniej jest poruszać ciała w cieczy, aniżeli w przestrzeni próżnej. Powiadamy więc, że ciecz stawia opór ruchowi ciała. Opór ten trwa jednak tylko dopóty, dopóki ciało się porusza, a znika gdy ruch ustaje. Ciała znajdujące się w próżni mogą poruszać się jednostajnie bez pomocy sił zewnętrznych; natomiast utrzymanie ruchu ciała w cieczy wymaga ciągłego wydatku pracy, nawet wówczas, gdy ruch jest jednostajny (motory na statkach parowych, ciśnienie wiatru na żagle i t. p.). W przypadku ruchu jednostajnego ciała zanurzonego przyczyny oporu należy szukać w tern, że rozsuwanie się części cieczy wzbudza w tejże tarcie wewnętrzne, które zużywa pracę i zamienia ją na ciepło. Im większa jest prędkość ciała, tern większy opór ciecz stawia ruchowi t. j. opór rośnie razem z prędkością. Gdy prędkość jest bardzo mała, wtenczas opór zależy niemal wyłącznie od lepkości cieczy, a wskutek tego jest proporcyonalny do prędkości (ust. 164). Przy szybkim ruchu ciała ruch cieczy otaczającej staje się burzliwym; w sąsiedztwie ciała tworzą się wiry, których energia zużywa się ciągle przez tarcie wewnętrzne cieczy. Praca siły poruszającej ciało zużywa się na nieustanne odnawianie i podtrzymywanie tych wirów. Nadto, jeżeli ciało płynie na powierzchni cieczy, jak np. okręty lub łodzie, tworzą się około niego fale które, oddalając się, zabierają znaczną ilość energii użytej na poruszanie ciała. W tych przypadkach, jak okazało doświadczenie, opór rośnie w wyższym stosunku aniżeli prędkość; w przybliżeniu jest on proporcyonalny do kwadratu prędkości.

Opór cieczy zależy nadto od postaci ciała poruszającego się. Szerokie płaszczyzny doznają większego oporu, aniżeli ciała poruszające się naprzód częścią zwężoną lub zaostizoną. Z tego powo-

Opór cieczy jest wzajemnem oddziaływaniem ciała poruszającego się i samejże cieczy; ciało poruszające się doznaje od cieczy ciśnienia w kierunku przeciwnym ruchowi, ale nawzajem ciśnie ono na ciecz w kierunku ruchu. Jeżeli przeto umieścimy ciało nieruchome w prądzie cieczy, to toż samo działanie, które przedtem nazwaliśmy oporem, stanowić tu będzie ciśnienie, czyli parcie prądu na ciało. Zastosowaniem tego parcia są motory wodne, koła i turbiny.

du statki, pociski działowe i t. p. bywają, ku przodowi zwężane, w ogóle są walcowate i wydłużone, słowem podobne kształtem do ryby.

Ciało kształtu kulistego, poruszające się w płynie z małą prędkością, spotyka, podług obliczenia Stokesa, opór P proporcyonalny do lepkości płynu do prędkości v i do śrpdnicy kuli 2 r. Jest mianowicie P — — 6rcji.rt;. Ważnem jest zastosowanie tego wzoru do obliczenia spadania ciał kulistych w powietrzu, wodzie i t. p. W miarę tego, jak ciało takie, spadając, nabywa coraz większej prędkości, rośnie także opór płynu. W końcu staje się równy ciężarowi kuli i równoważy jego działanie. Od tej chwili kula spada bez przyśpieszenia, ruchem jednostajnym, z na

bytą poprzednio prędkością v. Jeżeli d oznacza gęstość ciała, ciężar jego

2 r²dg

jako prędkość je-

będzie Q = f r³ndg. Równanie P = Q daje ⁴) v =

dnostajnego spadania takiej kuli. Jak widzimy, spadanie będzie tern powolniejsze, im mniejsza średnica kuli i im mniejsza jej gęstość. Prawo to tłomaczy, dlaczego drobne pyły w powietrzu, albo kropelki wody stanowiące mgłę i chmury, albo miałkie proszki w wodzie i t. p. spadają tak wolno, iż wydaje się niemal jak gdyby unosiły się nieruchomo wionie płynu. Jeżeli bowiem zmniejszymy o połowę średnicę jakiegokolwiek przedmiotu, wtenczas objętość, masa i ciężar, t. j. siła poruszająca, zmniejszają się do jednej ósmej części; opór zaś, jaki płyn stawia ruchowi takiej kuli, zmniejszy się tylko do połowy: z tego wynika zgodnie z poprzednim wzorem, że wpływ oporu na spadanie ciał jest tern wydatniejszy, im mniejsze są ich rozmiary.

ZADANIA.

316) Rura wodociągowa, o średnicy 50 on w świetle, ma dostarczać wody w ilości 20000 m³ na dobę. Ile powinna wynosić średnia prędkość wody w rurze? Ody. 1,18 m/sek.

317) Jakie ciśnienie powinna mied woda na początku poziomej, prostej rury, o średnicy 4 cm i długości 20 m, jeżeli wydatek ma wynosić

700 cm³jsek? Odp. Prędkość

700

v = —— = 55,7 cmjsek, stąd (podług 4, ust. 4tc

167) ciśnienie == 37,8 Gr/cm².

318)    Jaką dzielność powinien mieć motor pędzący wodę w powyższej rurze? Odp. 37,8 X 700 — 26460 Grcmjsek.

319)    O ile większa powinnaby być ta dzielność, gdyby rura była pionowa, a woda wznosiła się do góry?

Odp. Na sekundę podnosiłoby się 700 gr wody na wysokość 20 w; zatem praca na sekundę powiększa się o 700 X 2000 Gr cmjsek.

320)    Przez pewną rurkę włoskowatą 1 cm³ wody przepływa w przeciągu 625 sek-, przez tę samą rurkę i pod wpływem takiego samego ciśnienia 1 cm³ chloroformu przepływa w przeciągu 225 sek. Obliczyć spół-czynnik lepkości chloroformu, przyjmując dla wody g = 0,013.

Odp.

= 0,0047.

co

co

ZASADY FIZYKI. CZ. II.

225 X 0,013

625

321)    W dnie naczynia walcowego, leżącego poziomo, znajduje się mały otworek. Na płyn znajdujący się w walcu wywieramy ciśnienie za pośrednictwem tłoka. Znaleźć związek pomiędzy prędkością wypływu (v) a wysokością ciśnienia (z) wywieranego pi’zez tłok (pomijając tare e). Odp. S i s pola tłoka i otworka; p i P ciśnienie i siła wywierane na tłok; Y prędkość tłoka; wydatek W = VS = vs. Praca tłoka na sekundę = pW = energii kinetycznej wypływu t. j. \ W dv². Stąd v² =

= ~~~ ; ponieważ p = zdg, przeto v = J/2gz.

322)    W dnie walca stojącego pionowo znajduje się mały otworek. Głębokość otworka pod powieizchnią płynu wynosi 1,5 m. Znaleźć prędkość wypływu.

Odp. v — J/2 X 981 X 150 = 542,5 cmjsek.

323) Na powierzchni płynu w tymże walcu umieszczono tłok, poruszający się szczelnie, lecz bez tarcia i obciążono go ciężarem 10 Kg. Znaleźć prędkość wypływu, wiedząc, że przekrój tłoka wynosi 2000 cm², a płynem jest alkohol o gęstości 0,8. Odp. Ciśnienie pod tłokiem =

5

== 5 Grjcm². Wysokość tego ciśnienia jest:    = 6,25 centym.

10000

2C00

0,8

alkoholu. Całkowita wysokość ciśnienia wynosi więc: 150 -f- 6,25, skąd v — = ]/2~X 981 "x~156^25 = 553,7 cmjsek.

ROZDZIAŁ XII.

¹

Dokładniejsze wyniki daje wzór kształtu: z = mv -f- nv², w którym m i n są dwa stałe spółczynniki, zależne od rozmiarów rury i od rodzaju cieczy.

²

JA dg dg

i z₂ są to wysokości ciśnień (ust. 160) wr przekrojach A, i Aa, t. j. wysokości, do których ciecz wzniosłaby się w rurkach manometry cznych M, i M₂ (fig. 137) połączonych z przewodem.

Wyrazy: g i g

wiają wysokości prędkości prądu w przekrojach Ax i A₂. Prawo wyrażone równaniem (2) możemy wypowiedzieć w sposób na Stępujący: jjeżeli stały prąd cieczy porusza się pod wpływem ciężkości, w przewodzie, w którym można pominąć wpływ tarcia, natenczas suma trzech wysokości, mianowicie: wysokości przekroju nad stałym poziomem porównawczym, wysokości ciśnienia i wysokości prędkości, posiada we wszystkich przekrojach tę samą wartość. (Twierdzenie Bernoulliego).

³

Jeżeli przez p rozumieć będziemy nadwyżkę ciśnienia w pewnym przekroju nad ciśnieniem otaczającego powietrza, (które działa zarówno na AB jak i na ujście przewodu D i nie ma wpływu na prędkość przepływu), wtenczas suma wymienionych trzech wysokości będzie równa wysokości Z poziomu AB nad poziomem MN. Jeżeli bowiem zbiornik jest dość szeroki, wtenczas prędkość w przekroju AB możemy- opuścić, jako bardzo małą; z trzech wyrazów z, z' i z" odnoszących się do AB

⁴

Ściśle biorąc należałoby uwzględnić jeszcze pozorne zmniejszenie ciężaru wskutek parcia cieczy do góry. W gazach ono jest nieznaczne.

WŁASNOŚCI GAZÓW.

171. Rodzaje gazów. Powietrze i para wodna są najbardziej rozpowszechnionymi na ziemi i najdawniej znanymi przedstawicielami gazów. Jako ciała przezroczyste, najczęściej bezbarwne, a ,nadto zwyczajnie bardzo lekkie i stawiające mały opór ruchowi ciał, gazy mało zwracały na siebie uwagę. Dopiero od drugiej połowy XVIII wieku, dzięki rozwojowi chemii, poznano znaczną ich liczbę. W r. 1774 Priestley i Scheele odkryli tlen; Cavendish i Watt okazali w r. 1781, że przy spaleniu wodoru, znanego już przedtem, powstaje para wodna. Około tegoż czasu odkryto azot, a Scheele i Lavoisier dowiedli, że powietrze jest mieszaniną kilku gazów, której głównymi składnikami są tlen i azot. Obok wymienionych znamy obecnie nader wielką ilość rozmaitych gazów, jak np. tlenek i dwutlenek węgla, chlor, amoniak, metan, etylen, gaz oświetlający (mieszanina), pary eteru, alkoholu, rtęci i wiele innych.

Wiele gazów można zamienić na ciecze, t. j. skroplić, w temperaturze zwyczajnej, przez zmniejszenie objętości, czyli zgęszczenie. Gazy takie nazywamy zwyczajnie parami tych cieczy. Inne nie dają się skroplić w temperaturze zwyczajnej, przez samo zgęszczenie, lecz wymagają nadto znacznego oziębienia; te nazywamy krótko gazami (wodor, tlen, azot, po-~wietrze i inne).

172.    Kierunek ciśnienia. Gazy posiadają wiele własności wspólnych z cieczami. Podobnie jak ciecze nie posiadają one zupełnie sprężystości postaci. Możemy bowiem zmieniać kształt naczynia zawierającego gaz, (nie zmieniając pojemności), a nie dostrzeżemy przytem żadnego oporu sprężystego ze strony gazu. Jeżeli jakikolwiek przedmiot, znajdujący się w powietrzu, przeniesiemy na inne miejsce, to również nie objawi się dążność do odskoczenia do miejsca pierwotnego. W gazach działa tylko sprężystość objętości, wtenczas gdy je zgęszczamy.

Stuitkiem tej własności, ciśnienie w gazach nieruchomych, podobnie jak w cieczach, jest prostopadłe do powierzchni uciskanej. Podczas ruchu objawia się jednak tarcie wewnętrzne, albowiem gazy podobnie jak ciecze są ciałami lepkiemi, jakkolwiek w mniejszym stopniu; ciśnienie gazu może mieć wówczas składowę równoległą do powierzchni. Prawo Pascala (ust. 154) stosuje się zatem także do gazów, zostających pod wpływem li tylkc ciśnień zewnętrznych, działających na powierzchnię. W tym razie w całej masie gazu ciśnienie jest jednakowe i równa się ciśnieniu działającemu na powierzchnię. Jeżeli zaś uwzględnimy ciężkość, t. j. siłę działającą na wszystkie części masy, a nie tylko na powierzchnię gazu, ciśnienie będzie w dolnych warstwach większe niż w górnych. Różnice te w cieczach są znaczrie, w gazach pospolicie nader małe, gdyż ciężar właściwy gazów jest mały. Różnice ciśnienia w różnych poziomach, wynikające z ciężaru własnego gazów, uwzględniać będziemy tylko w atmosferze ziemi; w małych naczyniach, napełnionych gazami, można zawsze przyjąć, że ciśnienie jest wszędzie jednostajne.

173.    Prężność gazów. Gazy, podobnie jak ciecze, są ciałami ściśliwemi i doskonale sprężystemi t. j. objętość ich zmniejsza się, gdy zwiększamy ciśnienie zewnętrzne, działające na powierzchnię, a powiększa się znowu, gdy ciśnienie zmniejszymy. Co do stopnia ściśliwości zachodzi jednak pomiędzy gazami a cieczami pospolitemi znaczna różnica. Gdy bowiem gęstość np. wody, przy użyciu zwyczajnych ciśnień, tak mało się zmienia, że można uważać ją jako stałą, to natomiast gęstość powietrza jest do tego stopnia zmienna, że miernem ciśnieniem można ją podwoić (fig. 143, kropkowanie oznacza przestrzeń zajętą przez gaz). Różnica ta nie jest jednak istotną; znamy bowiem ciecze, jak np. skroplony dwutlenek węgla, których ściśliwość dorównywa niemal ściśliwości gazów.

Różnica zasadnicza pomiędzy cieczami a gazami zależy na tern, że ciecze posiadają objętość zupełnie określoną, zależną wprawdzie cokolwiek od ciśnienia zewnętrznego, któremu są poddane (i od temperatury), ale niezależną od pojemności naczyń, w których są zawarte. Z tego powodu ciecze —zwłaszcza wolno parujące, jak rtęć — można przechowywać j w naczyniach otwartych; wówczas zajmują one część naczynia, stosowną swej objętości i oddzielają się od k reszty wyraźną powierzchnią swobodną. Gazy nato- iy-'-t miast nie posiadają ani powierzchni swobodnej, ani objętości niezależnej od pojemności naczynia. Ta sama masa gazu, wprowadzona do małego naczynia, zajmować będzie małą objętość; wprowadzona do obszernego, przyjmie Fig. 143. objętość większą, albowiem rozejdzie się w obu razach w całej pojemności naczyń. Z tego powodu musimy przechowywać gazy w naczyniach zamkniętych, gdyż z naczyń niezam-kniętych uchodzą i rozpraszają się w otaczającej przestrzeni. Jeżeli do naczynia zamkniętego, a próżnego, wprowadzimy choćby najmniejszą ilość gazu, wtenczas rozszerzy się on i zajmie jednostajnie całą przestrzeń naczynia. Własność tę zasadniczą gazów i par nazywamy rozprężliwością. Objawia się ona jako dążność do nieograniczonego rozszerzania się; wszystkie części masy gazowej, choćby najbardziej rozrzedzonej, zachowują się tak, jak gdyby się wzajemnie odpychały. Ciśnienie, które gaz zamknięty w naczyniu, usiłując się rozszerzyć, wywiera na jego ściany, nazywa się także prężnością gazu.

Ciśnienie wewnętrzne w gazach musi być wskutek tego zawsze dodatne, a jakkolwiek ono maleje, gdy objętość gazu zwiększamy, to jednak dopiero przy nieskończenie wielkiem rozrzedzeniu gazu stałoby się równem zeru. W cieczach natomiast, zwłaszcza w cieczach wolno parujących się (rtęć, gliceryna), możemy z łatwością zmniejszyć ciśnienie do zera, umieszczając je w próżni; objętość ich ledwie cokolwiek przytem się zwiększy; ciśnienie wewnętrzne w cieczach możemy nawet uczynić ujem-nem t. j. poddać je małemu napięciu. Słowem, przy zmniejsza-jącem się ciśnieniu zewnętrznem rozszerzanie się cieczy dąży do pewnej stałej granicy; w gazach takiej granicy nie znamy; przy zmniejszającem się ciśnieniu zewnętrznem, rozszerzają się one, o ile dotąd wiadomo, nieograniczenie.

Prężność gazów w stanie równowagi miarkują ciśnienia i siły zewnętrzne. Fig. 143 wyobraża gaz, którego prężność jest

zrównoważona ciśnieniem tłoka obciążonego, tudzież ciśnieniem otaczających go ścian naczynia. Prężność atmosfery ziemskiej jest znowu zrównoważona działaniem ciężkości na samo powietrze.

Pompa pneumatyczna. Dzięki rozprężliwości możemy wydalać czyli wypompowywać powietrze i inne gazy z naczyń zamkniętych. Przyrządy używane w tym celu nazywają się pompami pneumatycznemi (gr. pneuma = powietrze, dech). Fig. 144 objas'nia zasadę takiej pompy. Naczynie A, zawierające gaz mający się wypompować, łączy się za pośrednictwem wązkiej szyjki z walcem B, w którym umieszczony jest tłok C, przystający szczelnie do ściany walca i dający się przesuwać tam i napowrót. Zapomoeą kurka K można wnętrze naczynia łączyć ¹ z przestrzenią B w walcu pod tłokiem, bądź też oddzielić je od walca i zamknąć zawarty w niem gaz. Tłok jest przywiercony równolegle do osi walca, a otwór przykryty jest zastawką (wentylem), otwierającą się na zewnątrz. Słaba sprężyna przyciska zwyczajnie zastawkę D do otworu. Połączywszy, przez stosowne ustawienie kurka, naczynie A z walcem B, wyciągamy tłok ku otwartemu końcowi walca; gaz, znajdujący się w naczyniu A, rozszerza się wskutek swej rozprężliwości i rozchodzi się jednostajnie, zarówno w naczyniu A, jak i w tej części B walca, z której tłok ustępuje, Podczas tego ruchu zastawka D jest szczelnie zamknięta, poczęści działaniem sprężyny, lecz głównie ciśnieniem powietrza zewnętrznego. Zamknąwszy następnie kurek K zesuwa-my tłok na dno walca. Gaz, zebrany poprzednio w B, zgęszcza się, a uzyskawszy dostateczną prężność otwiera zastawkę D i uchodzi na zewnątrz. Działanie pompy, jak widzimy, polega więc przedewszystkiem na rozprężliwości gazów. Pierwszy ruch tłoka, tam i napowrót, nie wypróżnia jeszcze bynajmniej naczynia A, lecz wyprowadza zeń tylko ułamek masy gazu. Powtarzając opisane ruchy tłoka rozrzedzać będziemy zawartość zbiornika A stopniowo coraz więcej. Zastanowiwszy się jednak nad sposobem działania pompy przekonamy się, że nie zdołamy nigdy wypróżnić naczynia A całkowicie. Oznaczmy bowiem przez m masę gazu zawartą z początku w zbiorniku A, przez d jej gęstość; V niechaj oznacza pojemność zbiornika, v pojemność walca, którą odsłania tłok przesunięty do zewnętrnego końca. Po pierwszym ruchu tłoka masa m zajmie objętość V-\-v, wskutek czego gęstość jej, równa pierwotnie:

W zbiorniku A pozostaje więc masa

cp

II

KU#

ii

Fig. 144

w*    .    m

— , staje się: d, =    ^ .

ml Ydt =

. Po drugim ruchu tłoka pozostała masa m, ża

rn .-

V + v

pełni znowu objętość Y -|- v. Gęstość jej zmniejszy się do wartości: d₂ —

ml

fflV

Y+v (V-K>²

; w zbiorniku A pozostanie więc teraz masa: m₂ =

= Yd₂

/ V \2 .

= m ^■ J i t. d. Widoczna tedy, że po wykonaniu n ruchów tłoka zmniejszymy gęstość gazu w zbiorniku do wartości: dn = / V \n ( V \n

y y    ⁼ ** \V + ~) ’ a maSa Pozostala w zbiorniku wynosić będzie:

/ V \n

mn

— m (    — I • Masa i gęstość, przy kolejnych ruchach tłoka, maleją

\ v + V/

zatem według postępu geometryoznego; wartość = o uzyskałyby dopiero dla n = co. W rzeczywistości masa i gęstość w zbiorniku zdążają do granicy różnej od zera, ale tern mniejszej, im staranniej przyrząd jest wykonany. Przyczyną tego jest niezupełna szczelność kurków, zastawek i t. p., tudzież to, iż przy najniźszem położeniu tłoka nie wszystek gaz zostaje wyparty z przestrzeni B; tłok nie dochodzi bowiem dokładnie do kurka, wskutek czego z pozostałej t. zw. „martwej pojemności“ gaz nie może być nigdy wydalony (por. zad. 324).

l......

IO

>■

Fig. 145

Fig. 145 wyobraża najważniejsze szczegóły pompy pneumatycznej, w postaci używanej w pracowniach. Do łączenia zbiornika A z walcem B służy (zamiast kurka) zatyczka stożkowa K, osadzona na dolnym końcu pręta, przechodzącego szczelnie przez osobny otwór w tłoku, a przystająca dokładnie do stożkowego ujs'cia przewodu, prowadzącego z A do B. Podczas ruchów tłoka zatyczka podnosi się i zniża wskutek tarcia pręta o tłok, a tym sposobem naprzemian otwiera i zamyka przewód we właściwych porach. Zastawka D umieszczona jest w małej komorze, we wnętrzu tłoka. Celem ułatwienia różnych doświadczeń w przestrzeni zawierającej pown trze rozrzedzone, przewód AB ma ujście swoje w płaskim i równym talerzu, przykrytym dzwonem szklanym; brzeg dzwonu, płasko szlifowany, uszczelnia się na talerzu zapomocą tłuszczu. E jest zatyczka o małym przekroju, służąca do wpuszczania powietrza z powrotem pod dzwon. Zapomocą pomp urządzonych w opisany tu sposób można z łatwością rozrzedzić powietrze o tyle, że reszta pozostająca w zbiorniku nie przewyższa ^ lub

pierwotnej ilości. Jeżeli chodzi o wyższe.

stopnie rozrzedzenia, używa się pomp pneumatycznych rtęciowych, np. pompy Sprengla, urządzonej na podobieństwo aspiratora fig. 140. Rozrzedzenie możliwe przy użyciu tych pomp przenosi    -

1UUU uuu

Na wzmiankę zasługują także pompy służące do zgęszczania gazów. Fig. 144 może również posłużyć do objaśnienia zasady tych przyrządów, jeżeli wyobrazimy sobie, że zastawka nie otwiera się na zewnątrz, lecz do wnętrza przestrzeni B. Gdy wyciągamy tłok do góry, wtenczas zastawka czerpie powietrze zewnętrzne; kurek K jest wtenczas zamknięty. Gdy tłok powraca, wtenczas powietrze, poprzednio zaczerpnięte, zostaje wtłoczone przez otwarty wówczas kurek do zbiornika.

ZADANIA.

324) Obliczyć granicę, do której można rozrzedzić powietrze, zapomocą pompy pneumatycznej, uwzględniając wpływ pojemności martwej. Odp. Y = pojemność zbiornika; v — pojemność walca przy najwyższem, u przy najniższem położeniu tłoka. Masa gazu w zbiorniku pierwotnie = »«; masa gazu w pojemności martwej, (u),= g. Ilekroć tłok wraca do najniższego położenia, w pojemności martwej zostaje zawsze masa g. Ozna-

czywszy przez k stosunek

Y + t> ’

ruchach tłoka, masy: mi = k (m -j- g), m₂ — k (mt -j- g), m₃ = k (m₂ -j- g) it. d.

znajdziemy w zbiorniku, po 1, 2, 3,...

Rugując po kolei, znajdziemy po n-vm ruchu: mn = mk» -f- pk (1 -]- k -j-

-f- k² -J-... 4- A«-i). Zważywszy, źe suma szeregu w nawiasie wynosi:

l—kn 1—k ’

znajdziemy: mn = mkn -f- g — (1 — Icn), zatem mrX) — g —. Jeżeli gęsto-

<1 ! S

, za

[X

■śei w pojemnościach m i V były pierwotnie jednakowe, to: — =

m

li

tern »îæ = m — .

Fig. 146.

174.    Ważente gazów. Za pomocą, wagi można okazać, że gazy, podobnie jak wszelkie inne rodzaje materyi, podlegają działaniu ciężkości. Do ważenia gazów używa się bań szklanych o pojemności kilku litrów (fig. 146), dających się szczelnie zamykać zapomocą kurka umieszczonego w szyi. Naprzód waży się banię próżną, t. j. po dokładnem, ile możności, wypompowaniu powietrza; wprowadziwszy następnie gaz jakikolwiek, waży się ją powtórnie. Przy drugiem ważeniu znajdziemy ciężar większy. Ciężarki równoważące banię na wadze, przy pierw-szem i drugiem ważeniu, nie dają wprawdzie prawdziwych jej ciężarów, gdyż na zewnętrzną powierzchnią bani działa ciśnienie powietrza atmosferycznego, które, według prawa Archimedesa, zmienia pozornie jej ciężar. Gdy jednak ciśnienia te są też same podczas obu ważeń, przeto różnica ciężarów znalezionych daje istotnie szukany ciężar gazu. Jeżeli chodzi o wielką dokładność ważenia, wtenczas należy uwzględnić ciężar resztki powietrza zostawionego w bani po jej wypróżnieniu, tudzież to, że i ciężar ciężarków używanych do ważenia jest pozornie cokolwiek inny, aniżeliby był w próżni.

175.    Gęstość gazów. Ważenie opisane poprzednio daje masę gazu zawartą w bani; podzieliwszy tę masę przez pojemność bani znajdziemy gęstość gazu. Pomnąc atoli na znaczną ściśliwość gazów, zrozumiemy, że do bani można wtłoczyć większą lub mniejszą masę gazu, zależnie od ciśnienia użytego. Gęstość gazu jest przeto wielkością zmienną w nader obszernych granicach. Zwyczajnie określa się tę gęstość, którą gazy posiadają zostając pod ciśnieniem równem ciśnieniu powietrza atmosferycznego, albo ściślej mówiąc, pod ciśnieniem jednej atmosfery (76 cm rtęci = 1013200 dyn/cm²). Nadto należy zważać na temperaturę gazu. Dowiemy się bowiem, że gazy rozszerzają się przy ogrzaniu, wskutek czego gęstość ich maleje. Gęstość

Mając znaleźć gęstość gazu w określonym tu stanie normalnym wstawia się banię (fig. 145), po wypompowaniu z niej powietrza, do topniejącego lodu, potłuczonego na małe kawałki, a połączywszy ją ze zbiornikiem zawierającym gaz, zamyka się kurek dopiero wtenczas, gdy gaz wprowadzony do bani oziębi się do temperatury lodu, a manometr wskaże ciśnienie jednej atmosfery. Gęstości kilku gazów, wyznaczone w ten sposób podaje następująca tablica:

jaką posiada gaz zostający pod ciśnieniem jednej atmosfery i oziębiony do temperatury topniejącego lodu (0°) nazywa się jego gęstością nor-malmi.

Gęstości względne,.

względem    względem

powietrza:    wodoru:

GĘSTOŚCI NORMALKĘ GAZÓW, (jo = 76 cmrt, ć = 0°).

Wodór

Azot

Powietrze (suche) Tlen

Dwutlenek węgla Gaz oświetlający

0,5—0,7 7-10

1000

= 1,2 kilogr.

850

Gęstości względne oblicza się, dzieląc gęstość pewnego gazu przez gęstość bądź to powietrza, bądź wodoru. Użycie wodoru do porównywania gęstości różnych gazów ‘est stosowniejsze, albowiem powietrze jest mięszaniną gazów, o składzie niezupełnie stałym. Z tablicy powyższej wynika, że powietrze suche t. j. ivolne od pary wodnej, w stanie normalnym, jest 773,2 razy rzadsze od icody. Zwyczajne powietrze atmosferyczne zawiera nieco pary wodnej, posiada zwykle temperaturę wyższą niż 0°, a ciśnienie jego nie dosięga pospolicie jednej atmosfery. Gęstość jego bywa z tych powodów mniejsza od normalnej; średnio biorąc jest ono około 850 razy rzadsze aniżeli woda, t. j. metr sześcienny powietrza atmosferycznego waży około

ZADANIA.

S25) Przyjąwszy, że powietrze suche składa się tylko z tlenu i azotu, obliczyć ile jednostek objętości tych gazów, wziętych w stanie normalnym, należałoby zmieszać, aby uzyskać 100 jednostek objętości miesza-

niny, takiego składu jak powietrze. Odp. Tlenu: v,=100x = 22; azotu 78.

1293,27- 1250,7

1429,41 - 1250,7

176. Ciśnienie atmosfery. Ziemia jest ze wszech stron otoczona powietrzem, stanowiącem t. zw. atmosferę (gr. atmos — para, sfaira — kula). Jest to warstwa gazu, nie wielkiej stosunkowo grubości, przylegająca do powierzchni ziemi (mimo właściwej gazom rozprężliwości) dzięki przyciąganiu, które ziemia na nią wywiera a więc wskutek własnego ciężaru powietrza. Grubość tej warstwy, czyli wysokość atmosfery, jest wprawdzie bardzo mała w porównaniu z promieniem ziemi, sięga ona jednak tak wysoko, że i na szczytach gór najwyższych znajdujemy powietrze, aczkolwiek znacznie rozrzedzone. Atmosferę można więc porównać z oceanem gazowym mającym za dno powierzchnię ziemi. Wskutek ciężaru swego powietrze wywiera ciśpienie na powierzchnię ziemi; podobnież uciskaną jest każda warstwa atmosfery, przez ciężar warstw nad nią leżących. Następstwem tego jest, że w powietrzu istnieje wszędzie ciśnienie wewnętrzne i że ciśnienie to jest największe w warstwach najniższych t. j. przy samej ziemi. Podobnie np. w morzu istnieją ciśnienia wewnętrzne, największe w pobliżu dna. Ciśnienie powietrza działa również na powierzchnię wszystkich ciał otoczonych powietrzem. Pospolicie nie dostrzegamy tego ciśnienia, gdyż na przedmioty małe działa ono równomiernie we wszystkich kierunkach. Skoro jednak jakimkolwiek sposobem oddalimy powietrze od pewnej części powierzchni ciała, wtenczas równomierność działania ustaje, a skutki ciśnienia powietrza stają się odrazu widoczne. Skutki te bywają nieraz potężne, gdyż 'pionowy słup powietrza, o podstawie 1 w⁹', sięgający do granicy atmosfery, waży, jak obaczymy, około 10000 kilogramów.

Celem uwidocznienia i objaśnienia ciśnienia atmosfery, przytoczymy następujące doświadczenia: 1) Z bani szklanej, używanej do ważenia gazów (fig. 146), wydalamy powietrze zapomocą pompy i zamykamy kurek. Jeżeli następnie, odjąwszy banię od pompy, otworzymy kurek, powietrze otaczające wpada bystrym prądem do wnętrza; przytem jest rzeczą obojętną czy szyja jest zwrócona do góry, czy na dół lub na bok. Po upływie pewnego czasu prąd ten ustaje; ciśnienie atmosfery wtłacza do bani tyle powietrza, że ciśnienie wewnętrzne w bani wyrównywa się z ciśnieniem zewnętrznem. Gdy po całkowitem napełnieniu bani zamkniemy kurek, powietrze uwięzione będzie miało nadal takie ciśnienie, jakie panowało w otoczeniu w chwili zamknięcia kurka (byle temperatura bani nie podlegała zmianom). To doświadczenie objaśnia obecność i przyczynę ciśniena powietrza w pokojach, w naczyniach i t. p. w ogóle w przestrzeniach, na które atmosfera ziemi nie ciśnie bezpośrednio ciężarem swym z góry na dół. 2) Jeżeli kurek bani wypróżnionej otworzymy pod wodą, wtenczas woda wciśnie się do wnętrza, znowu skutkiem ciśnienia powietrza działającego na powierzchnię wody. 3) Dzwon pompy pneumatycznej (fig. 145) daje się z łatwością zdejmować z talerza, dopóki jest napełniony powietrzem; po wypompowaniu powietrza potrzeba bardzo znacznej siły do oderwania go od talerza. W chwili oderwmnia dzwonu powietrze wpada do wnętrza tak nagle, że sprawia huk podobny do wystrzału. Można się łatwo przekonać, że do oderwania dzwonu od talerza potrzeba siły tern większej, im większe jest pole poprzecznego przekroju dzwonu. Na każdy centymetr kwadratowy przekroju przypada przeszło 1 Kgr. (To samo doświadczenie, w inej postaci, wykonywa s:ę zapomocą t. z w. półkul magdeburskich). Gdyby dzwon pompy nie był dość wytrzymały, to wskutek wypompowania powietrza z wnętrza, zostałby z zewnątrz zgnieciony. Można to sprawdzić doświadczeniem, umieściwszy na talerzu pompy pneumatycznej, zamiast dzwonu, walec szklany, zawiązany pęcherzem; po wypompowaniu powietrza pęcherz zostaje rozdarty ciśnieniem atmosfery. 4) Przedmioty umieszczone w powietrzu są do pewnego stopnia ściśnięte; umieszczone w próżni rozszerzają się. Balon kauczukowy, zawierający nieco powietrza, wzdyma się pod dzwonem pompy, skoro rozrzedzimy otaczającego powietrze. Ciała stałe i ciecze rozszerzają się również, ale tylko do pewnej stałej granicy; gazy— wskutek rozprężliwości — nieograniczenie. 5) Jeżeli jeden koniec rurki, otwartej u obu końców, zanurzymy w wodzie, a z drugiego wyciągniemy powietrze, bądź to przez ssanie ustami, bądź też zapomocą pompy pneumatycznej, wtenczas woda podniesie się i napełni rurkę. Ciśnienie powietrza na powierzchnię wody w naczyniu przewyższa ciśnienie działa-jąe na powierzchnię wody w rurce, zmniejszone "wskutek wyssania powietrza—stąd ruch wody. Tak samo tłomaczy się wessanie wody do sikawki, które uskutecznia się w ten sposób, że otwarty koniec sikawki zanurzamy w wodzie, a z walca wyciągamy tłok; w ślad za tłokiem postępuje woda parta ciśnieniem powietrza. Zjawisko to bywa stosowane w pompach ssących, używanych do podnoszenia wody ze studzien. Warto tu zwrócić uwagę na różnicę pomiędzy pompami służącemi do podnoszenia wody, a pompami pneumatycznemu Woda w pompie podnosi się pod wpływem zewnętrznej siły, mianowicie pod wpływem ciśnienia atmosfery; powietrze natomiasi, rozrzedzane zapomocą pompy pneumatycznej, uchodzi ze zbiorników jedynie wskutek własnej rozpręźliwości

177. Doświadczenia Toricellego i Pascala. Zjawiska ■ssania, opisane przy końcu poprzedzającego ustępu, wiodą bezpośrednio do sławnych doświadczeń Toricellego (1643) i Pascala (1648), któremi uczeni ci stwierdzili po raz pierwszy i utrwalili teoryę ciśnienia atmosferycznego. Wyobraźmy sobie rurę AB (fig. 147), jakiejkolwiek postaci, zanurzoną dolnym końcem w cieczy, np. w rtęci. Górny koniec rury połączony jest z pompą pneumatyczną, za pośrednictwem rurki kauczukowej albo metalowej. Skoro zapomocą pompy zaczniemy ssać powietrze z rury, ciecz podniesie się w rurze (ust. 176). Wiadomo, że wysokość słupa podniesionego, t. j. odstęp pionowy powierzchni cieczy w rurze, od powierzchni cieczy w naczyniu, jest miarą różnicy tych ciśnień—i to bez względu na kształt i objętość rury (ust. 160). W miarę rozrzedzania powietrza w rurze, ciecz podnosi się coraz wyżej, wkrótce jednak zbliża się do pewnego kresu, powyżej którego nie zdołamy jej podnieść, nawet gdybyśmy powietrze całkowicie wypompowali. Największa wysokość, do której ciecz mogłaby być wessana w rurę, gdybyśmy wypompowali powietrze całkowicie z wnętrza rury, jest miarą manometryczną ciśnienia atmosfery, działającego na powierzchnię cieczy w naczyniu. W istocie, ciśnienie powietrza otaczającego posiada pewną określoną wartość; skoro więc wypompujemy powietrze, a wskutek tego usuniemy całkowicie ciśnienie, działające na powierzchnię cieczy wewnątrz rury, wówczas ciecz podniesie się do największej wysokości jaką ciśnienienie atmosfery zdolne jest zrównoważyć. Wysokość słupa cieczy podniesionego w rurce, mierząca różnicę ciśnień na wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni cieczy, będzie i w tym razie miarą całego ciśnienia atmosfery.

Wysokość słupa równoważącego ciśnienie powietrza zależy od ciężaru właściwego cieczy w manometrze. Jeżeli tą cieczą jest rtęć znajdziemy wysokość około 76 cm- woda, mająca ciężar właściwy 13,6 razy mniejszy aniżeli rtęć, podniosłaby się do wysokości 76 X 13,6 — 1033 cm. t. j. przeszło 10 m. Wiadomo istotnie, że za pomocą pomp ssących nie można podnieść wody wyżej, aniżeli na wysokość około 10 m nad poziom wody w studni (fig. 147 C). Fakt ten znany był Toricellemu; on pierwszy wyjaśnił przyczynę tego zjawiska działaniem ciśnienia atmosfery. Na stwierdzenie teoryi swej Toricelli wykonał (1643 r.) następujące doświadczenie. Furkę szklaną, o długości około 80 cm, zamkniętą u jednego końca (fig. 148), obracamy zamkniętym końcem na dół i napełniamy ją po brzegi rtęcią; następnie zatykamy koniec otwarty palcem, przyciśniętym silnie do brzegu

Fig. 147.

Fig. 148.

otworu, a odwróciwszy rurkę, zanurzamy koniec zatkany pod powierzchnię rtęci w stosownem naczyniu, poczem odejmujemy palec. Rtęć oddziela się wówczas od zamkniętego końca rurki i opada cokolwiek; wszelako słup rtęci o wysokości siedmdzie-sięciu kilku centymetrów pozostaje jakby zawieszony w rurze. We wnętrzu rury, nad powierzchnią rtęci, zostaje przestrzeń niemal zupełnie próżna (pominąwszy nader małą ilość pary rtęciowej) t. zw. próżnia Toricellego. Doświadczenie to dowodzi, podobnie jak poprzednie, że ciśnienie atmosfery, działające na powierzchnię rtęci w naczyniu, zdoła zrównoważyć ciężar słupa rtęci, mającego wysokość około 76 cm.

Można się nadto przekonać, że mała ilość powietrza, wprowadzona do próżni Toricellego, sprawia zniżenie słupa rtęci; gdybyśmy otworzyli górny koniec rurki, słup ten opadłby zupełnie, gdyż rtęć doznawałaby zewnątrz i wewnątrz rurki jednakowego ciśnienia.

Teoryę ciśnienia atmosferycznego, podaną, przez Toricel-lego, Pascal potwierdził w sposób przekonywający następu-jącem doświadczeniem. Zważywszy, że słup rtęci w rurze Toricellego równoważy ciężar atmosfery, cisnący na powierzchnię rtęci w naczyniu, należało spodziewać się, że wykonawszy doświadczenie Toricellego w znacznej wysokości nad ziemią otrzyma się krótszy słup rtęci w rurze, a to z tej przyczyny, że warstwy powietrza znajdujące się poniżej przyrządu są wykluczone i nie przyczyniają się ciężarem swym do zrównoważenia ciężaru rtęci. Doświadczenie sprawdziło to przewidywanie w zupełności. W roku 1648 zmierzono jednocześnie wysokość słupa rtęci w przyrządzie Toricellego w dwu miejscach: w mieście Clermont we Francyi i na sąsiedniej górze Puy de Dôme, w wysokości przeszło 900 m. Na szczycie góry słup rtęci był istotnie około 7 cm krótszy, aniżeli w przyrządzie ustawionym ua dole.

Ciśnienie powietrza [zmniejsza się więc, gdy postępujemy w kierunku pionowym do góry; powietrze zachowuje się w tym względzie podobnie jak ciecze. Z powodu jednak mniejszej gęstości powietrza, ubytek ciśnienia w atmosferze jest mniej znaczny niż w cieczach. Tak np. w rtęci, w dwu poziomach różniących się co do wysokości o 1 mm, ciśnienie różni się o 1 mm rt\ w wodzie ten sam ubytek ciśnienia przypada na wysokość 13,6 mm. Powietrze w pobliżu ziemi posiada gęstość ^koło 850 razy mniejszą aniżeli woda; w powietrzu przeto potrzeba wznieść się na wysokość 13,6 X 850= 11560 mm, t. j około 11 metrów, aby ciśnienie zmniejszyło się o 1 mm rtęci; w tej wysokości słup rtęci w rurce Toricellego zniży się o 1 mm. Rachunek ten stosuje się jednak tylko do najniższych warstw

; wyższe warstwy, zo-

850

powietrza, mających gęstość około

stając pod ciśnieniem mniejszem, są rzadsze, a spadek rtęci o 1 mm przypada na odstępy coraz bardziej rosnące.

Swedenborg, następnie Mille, Geissler i inni zastosowali próżnię Toricellego, powstającą w rurce po ustąpieniu rtęci, do urządzenia pompy pneumatycznej rtęciowej, która rozrzedza powietrze o wiele dokładniej, aniżeli zwykłe pomgy tłokowe.

Gdyby rurka użyta do dświadczenia Toricellego była krótsza, niż wysokość słupa cieczy, mierząca ciśnienie atmosfery, wówczas po odwróceniu jej, ciecz zawisłaby oczywiście w całej rurze i nie spadłaby wcale. Tak np. szklankę napełnioną wodą i przykrytą kartką papieru można odwrócić, a woda nie wyleje się. Wanny pneumatyczne (fig. 153).

Fig- 149.

178. Pomiar ciśnienia atmosfery. Barometry. Przyrząd Toricellego bywa po dziś dzień używany, nie tylko do objaśnienia teoryi ciśnienia atmosferycznego, lecz także do dokładnego mierzenia jego wartości. Przyrząd ten jest istotnie manometrem zastosowanym do pomiaru ciśnienia atmosfery w centymetrach rtęci. Jak w manometrach w ogóle (ust. 160), tak i w przyrządzie Toricellego (fig. 149), wysokość słupa cieczy, mierząca ciśnienie, nie zależy ani od postaci rurki, ani od objętości rtęci, która w rurce się mieści. Weźmy bowiem pod uwagę przyrząd Toricellego (fig. 149), w którym T wyobraża próżnię Toricellego, B wyższą, A dolną powierzchnię rtęci i oznaczmy wysokość powierzchni B nad powierzchnią A przez ó. Poprowadźmy w myśli, we wnętrzu rurki, płaszczyznę AA', w przedłużeniu powierzchni rtęci w naczyniu. Według praw równowagi cieczy zostających pod wpływem ciężkości, ciśnienie na płaszczyznę AA' jest równe ciśnieniu na powierzchnię rtęci w naczyniu, równa się więc ciśnieniu atmosfery. Pomyślmy na chwilę, że przekrój AA" stanowi stałe dno rurki AB i oznaczmy pole jego przez S; natenczas całkowAte parcie, które ciecz znajdująca się w rurce AB wywiera z góry na dół na przekrój AA" (ust. 161) równać się będzie iloczynowû: bdg S; siła ta nie zależy ani od kształtu rurki, ani od ilości rtęci (ust. 161); d oznacza tu gęstość rtęci, g natężenie ciężkości. Ciśnienie to jest zrównoważone ciśnieniem atmosfery, działającem na AA' z dołu da góry, za pośrednictwem rtęci w naczyniu. Jeżeli oznaczymy wmrtość ciśnienia atmosfery (na jednostkę powierzchni) przez p0r natenczas całkowite parcie atmosfery na AA' będzie: p₀ S; zważywszy, że siła ta jest zrównoważona siłą bdg S, otrzymamy p₀ S — bdgS, a stąd:

Po — bdg.

Równanie to okazuje, że za pośrednictwem pizyrządu Toricellego możemy mierzyć ciśnienie atmosfery p>o\ w tym celu należy zmierzyć: 1) wzniesienie powierzchni rtęci w rurce nad po¹ wierzchnią\ rtęci w naczyniu (b), 2) gęstość rtęci (d), 3) natężenie cięż• hości (g) w miejscu pomiaru.

Przyrząd Toricellego, urządzony stale do wykonywania pomiarów ciśnienia atmosferycznego, nazywa się barometrem (gr. baros = ciężki, metron = miara). Z ważniejszych form, w jakich przyrząd ten bywa wykonywany wymienimy następujące: W barometrze naczyniowym Fortin’a ¹) (fig. 150 N) rurka napełniona rtęcią zanurza się dolnym końcem w naczyniu, którego dno jest ruchome; śruba S służy do podnoszenia lub zniżania dna. Rurka jest stale przymocowana do wierzchniej pokrywy

2T    '

>    CD

co

CO

2>

co

:,e he ;

ET7'~ ¹._I_!

Fig. 150.

naczynia; podziałka, umieszczona stale obok rurki, służy do mierzenia wysokości b. Początek tej podziałki liczy się od ostrza kolca, przytwierdzonego do pokrywy naczynia. Przed odczytaniem stanowiska rtęci w rurce należy ustawić powierzchnię rtęci w naczyniu w wysokości początkowej, czyli zerowej kreski podziałki; poznaje się to potem, że kolec dotyka się wówczas powierzchni rtęci.

W barometrze lewarowym (fig. 150, L) nie ma naczynia oddzielonego od rurki; dolny koniec rurki, zagięty do góry, zastępuje tu miejsce naczynia. Podziałka, umieszczona obok rurki, bywa bądź to stale złączona z rurką, bądź też jest ruchoma. Położenie kreski zerowej jest dowolne; celem znalezienia wysokości barometrycznej b należy odczytać na podziałce stanowisko górnej i dolnej powierzchni rtęci.

Barometr naczyniowo-lewarowy (fig. 150, N L) jest połączeniem obu form poprzedzających. Zapomocą śruby S, działającej na ruchome dno, jak w barometrze naczyniowym, podnosi się powierzchnię rtęci w dolnej rurce aż do kreski zerowej na podziałce, poczem stanowisko rtęci w rurce wyższej wskaże na podziałce wysokość barometryczną.

Jedyna ciecz przydatna do napełnienia barometru jest rtęć; naprzód z powodu znacznej gęstości, wskutek czego barometr jest stosunkowo krótki. Nadto rtęć paruje mało, tak że przestrzeń nad rtęcią, w rurce barometrycznej, jest niemal zupełnie próżna. Przy wykonaniu barometru ogrzewa się rtęć wewnątrz rurki do wrzenia, aby wypędzić z rurki powietrze i wszelkie ślady wilgoci.

Wysokość barometru b nie jest bynajmniej stała. W tern samem miejscu zmienia się ona nieustannie, zależnie od stanu atmosfery, od ilości i gęstości powietrza znajdującego się nad okolicą; w zimie bywa pospolicie większa, aniżeli w lecie. Wysokości barometru, mierzone jednocześnie, w różnych miejscach, są zwyczajnie różne; przyczyną tych różnic bywa, obok właściwości klimatycznych i meteorologicznych, różne wzniesienie nad poziomem morza.

W miejscach nie leżących na wydatniejszych wyżynach lub górach, wahania barometru zawarte są mniej więcej w granicach od 72 do 77 cm\ to odpowiada zmianom ciśnienia atmosferycznego od 72 X 13,6 = 980 G r/cm³, do 77 X 13,6 = 1050 Gr/cm². W poziomie morza średni stan barometru wynosi blizko 76 cm. Z tego powodu określono ciśnienie j ednej atmosfery jako równoważne 76 cm rt. (ust. 160); nie należy jednak zapominać, że rzeczywiste ciśnienie powietrza byw a rzadko dokładnie równe jednej atmosferze.

Ciśnienie powietrza określa się zwyczajnie sposobem ma-nometryeznym, jako wysokość b równoważnego słupa rtęci w barometrze. Określenie to będzie jednak tylko wtenczas ścisłe, gdy obok stanu barometru b znaną jest gęstość rtęci d i natężenie ciężkości g. Na podstawie tych danych możemy wyrazić ciś-

nienie atmosfery w miarach bezwzględnych lub ciężarowych, w dynach, albo w gramach na centymetr kwadratowy, zapomo-cą wzoru = belg. Gęstość rtęci d zmienia się z temperaturą; z tego powodu niezbędną składową części barometru jest termometr, wskazujący temperaturę rtęci. Podając tylko stan barometru, bez dalszych wskazówek, rozumiemy zwykle, że rtęć posiada temperaturę 0°, a zatem gęstość 13,5956.

Poprawki. Na barometrze odczytujemy bezpośrednio wysokość b słupa rtęci i temperaturę t, która bywa najczęściej wspólną, temperaturą rtęci, podziałki i całego przyrządu. Mając znaleźć, na podstawie łych danych, wysokość barometru b₀, któraby była dokładną i powszechnie rozumianą miarą ciśnienia atmosfery (zredukowany stan barometru) powinniśmy uwzględnić i obliczyć następujące poprawki:

1) Gęstość rtęci w jakiejkolwiek temperaturze t wynosi: d —

—    d₀ ( 1—0,C001815 t), w czem d₀ oznacza gęstość rtęci w temperaturze 0°. Zwykle mierzymy stan barometru w temperaturze wyższej od 0°, wskutek czego gęstość rtęci d bywa mniejsza od d₀. Odczytana wysokość barometru b jest więc większa od b₀. Dajmy na to, że barometr oziębiony do 0°

b—a    d

wskazywałby tylko: b — a. Wtenczas mamy: —— = —• = 1 — 0,0001815 t.

b    d₀

Stąd wynika pierwsza poprawka (ze względu na temperaturę rtęci): a =

—    0,0001815 bt. Tę poprawkę należy odejmować od zmierzonej wysokości barometru.

2)    Podziałka barometru bywa zwykle mosiężna, podział jej jest rzetelny w temperaturze 0°. W temperaturze t° odstęp dwu kresek sąsiednich nie wynosi 1 cm, lecz (1-f-0,0000201 t) centymetrów — wskutek rozszerzania się mosiądzu. Mierzymy miarą za długą, przeto znajdujemy za małą liczbę centymetrów. Wysokaść barometru, zmierzona rzetelną podziałką, wynosiłaby nie b, lecz dajmy na to & + ß centymetrów. Mamy więc: b -f- ß — b (1 -f- 0,0000201 t), a stąd ß =■ 0,0000201 bt.

Poprawkę tę należy dodawać do zmierzonej -wysokości barometru. Obie poprawki, zależne od temperatury, zawarte są we wzorze: ß — a = = - 0,0001614 bt.

3)    W rurkach nie dość szerokich powierzchnia rtęci tworzy wypukłą kopułę (menisk). Wysokość barometru mierzy się zawsze do szczytu tej kopuły. Wskutek działania sił włoskowatości kopuła ta wy wiera małe ciśnienie na rtęć i zniża nieco wysokość barometru. Błąd ten, który oznaczymy przez y, wyznacza się raz na zawsze, przez porównanie danego barometru z t. zw. barometrem normalnym, jakie znajdują się w znacz-

niejszych stacyach meteorologicznych i zakładach naukowych. Barometr normalny, dzięki znacznej szerokości rurki, wolny jest od tego błędu, posiada nadto bardzo dokładną podziałkę, wskutek czego poprawka f obejmuje zarazem możebne błędy podziałki w barometrze porównawczym.

4) Surowy stan barometru b, z dodaniem wymienionych wyżej poprawek, t. j. suma b — a -f- ß -J- y, przedstawia prawdziwą wysokość słupa rtęci, mającego temperaturę 0°, który równoważy w danem miejscu ciśnienie atmosfery. Pozostaje jeszcze uwzględnić wpływ położenia geograficznego, t. j. zależność stanu barometru od natężenia ciężkości. Gdyby to natężenie było mniejsze, natenczas jasną jest rzeczą, że ciśnienie powietrza tej samej wartości podniosłoby słup rtęci w barometrze wyżej; w przeciwnym razie podniosłoby go mniej wysoko. Można uniknąć określania ciśnienia atmosfery przez dwie liczby b i y, redukując spostrzeżenia robione w różnych miejscach, do ciężkości normalnej t. j. do ciężkości g4S, panującej na ziemi w poziomie morza, w szerokości geograficznej 45°. Wysokość barometru b, w szerokości <p i w wysokości z metrów nad morzem, gdzie (ust. 124) jest:

9 — fibs (1 — 0,002648 cos 2<p — 0,000 0002 z),

— znajdziemy:

9 45

równoważy takie ciśnienie, jak wysokość, dajmy na to b -(- 8, w miejscu o ciężkości normalnej; 8 oznacza tu poprawkę z powodu ciężkości. Z prüft -f 8 porcyi —-— o

3 == - b (0,002648 cos 2? + 0,000 000 2 *).

Stan barometru ft₀, zredukowany do temperatury normalnej 0° i do normalnej ciężkości oblicza się ostatecznie według wzoru:

bQ — b — a -f- ß + T + 3.

Zamiast barometrów rtęciowych używa się często t. zw. an ero i-dów; są to przyrządy wskazujące zmiany ciśnienia powietrza. Najbardziej rozpowszechnione są aneroidy Vidiego; główną ich częścią składową jest płaska puszka metalowa, szczelnie zamknięta, mająca dno podatne, z cienkiej sprężystej blachy. Przed zamknięciem rozrzedza się w niej powietrze. W miarę tego jak ciśnienie atmosfery rośnie lub maleje, dno puszki ugina się ku wnętrzu lub na zewnątrz. Małe ruchy tej blaszki, powiększone za pomocą dźwigni nierównoramiennyeh, zostają przeniesione pod postacią obrotów na oś, na której osadzona jest wskazówka. Podziałkę rysuje się na gotowym już przyrządzie, przez porównanie z barometrem rtęciowym.

ZADANIA.

m.

326)    Obliczyć wysokość barometru napełnionego wodą,, gliceryną,, eterem, gdy wysokość barometru rtęciowego wynosi 76 cm ('gęstości: 1; 1,26; 0,724; 13,5953'. Odp. 10,33 m; 8,2 m- 14,3

327)    Obliczyć ciśnienie atmosfery w G r/c/«², gdy wysokość barometru wynofi 72, 75, 78 cm. Odp. 978,86; 1019,65; 1060,43.

328)    Obliczyć ciśnienie we wnętrzu rtęci, w rurce barometru, w głębokości x cm pod powierzchnią rtęci w rurce (temp. rtęci =0°).

Odp. x. 13,5956 Gr/cm².L

329)    Jaki skutek miałoby przebicie małego otworu w rurce dłuższej barometru lewarowego: a) powyżej, b) poniżej poziomu powierzchni rtęci w ramieniu krótszem. Odp. a) powietrze wejdzie do wnętrza, b) rtęć wypłynie na zewnątrz.

330)    Pionowa rura walcowa zanurzana jest dolnym końcem w wodzie (fig. 145 C); tłok umieszczony w rurze znajduje się z początku przy dolnym jej końcu. Podnosimy tłok do wysokości 5 m nad wodę. Obliczyć siłę potrzebną do utrzymania tłoka w tej wysokości, wiedząc, że ciśnienie atmosfery wynosi 9,8 m wody, a przekrój tłoka 80 cm².

Odp. Ciśnienie na tłok z góry = 9,8 wody; z dołu = 9,8 — 5 = 4,8 m. Siła = 80 X 500 Gr.

331)    Szklankę napełniamy wodą i zanurzamy ją następnie w naczyniu napełuionem wodą, utworem na dół. Obliczyć całkowite parcie, które woda wywiera na poziome dno szklanki, w kierunku pionowym do góry, wiedząc, że powierzchnia dna wynosi 12 cm², wysokość jego nad poziomem wody w naczyniu 8 cm, a ciśnienie atmosfery 10 m wody.

Odp. Ciśnienie = 1000 — 8 = 992 cm wody; parcie całkowite = = 12 X 992 Gr.

832) Jaka siła jest potrzebna do utrzymania szklanki w powyż-zem położeniu. Odp. Siła = ciężar szklanki -f-1000 X 12 — 992 X 12 = ciężar szklanki -j- ciężar wody podniesionej.

633) Jakiej siły należałoby użyć, celem utrzymania szklanki, gdyby wysokość jej była większa niż 10 m. Odp. Tak samo, siła = ciężar szklanki -f- ciężar wody podniesionej.

334) Rurkę Toricellego, napełnioną rtęcią, zanurzamy końcem otwartym w naczyniu zawierającem rtęć i zawieszamy ją na sznurze. Obliczyć dokładnie napięcie sznura. Odp. = ciężar rurki -j- ciężar rtęci podniesionej nad poziom w naczyniu — ciężar rtęci wypartej przez szkło zanurzonej części rurki — ciężar powietrza wypartego przez rurkę.

335)    Wysokość słupka rtęci, odczytana bezpośrednio na barometrze, mającym mosiężną podziałkę wynosiła 748,27 mm, w temperaturze przyrządu = 17,6°. Obliczyć stan barometru zredukowany do temperatu-

. ry 0°. Odp. 746,15 mm.

336)    Wysokość barometru, poprawiona względem temperatury, była ta sama na równiku, jak na biegunie. W którem z tych miejsc było większe ciśnienie atmosfery i w jakim stosunku? Odp. Na biegunie większe, w stosunku 983 : 978 (ust. 64).

337)    W barometrze naczyniowym przekrój rurki wynosi a cm², powierzchnia rtęci w naczyniu ß cm² O ile podnosi się rtęć w rurze gdy

cm.

ciśnienie powietrza zwiększa się o 1 cm rtęci? Odp.

171), Parcie na ciała zanurzone w gazach, zostających pod działaniem ciężkości. (Zastosowanie prawa Archimedesa). Dzięki doświadczeniu Pascala wiemy, że ciśnienie w powietrzu, podobnie jak w cieczach, zmniejsza się ku górze. Każde ciało zanurzone w powietrzu doznaje więc w niższych częściach swej powierzchni ciśnień większych, aniżeli w górnych. Następstwem tego jest ciśnienie wypadkowe, działające na ciało w kierunku pionowym do góry. Uzasadnienie prawa Archimedesa podane w ust. 162 dla cieczy, może być dosłownie zastosowane do statyki gazów. Ciała otoczone powietrzem wydają się więc lżej-szemi, aniżeli są w istocie. Pozorna strata ciężaru, równa parciu powietrza otaczającego, równa się zatem ciężarowi powietrza wypartego przez ciało.

Ciała, których ciężar rzeczywisty jest mniejszy aniżeli ciężar powietrza wypartego przez nie, wznoszą się w powietrzu do góry, podobnie jak np. korek w wodzie.

Zastosowania. Poprawka przy ważeniu. Pozorne zmniejszenie ciężaru ciał, spowodowane przez ciśnienie powietrza, jest przyczyną, że ważąc ciała w powietrzu, nie otrzymujemy prawdziwego ich ciężaru, lecz większy albo mniejszy, zależnie od stosunku objętości ciała, do objętości ciężarków, użytych do ważenia. Ciało mające objętość Y i ciężar rzeczywisty P nie działa na wagę pełnym swym ciężarem P, lecz ciężarem zmiejszonym: P — V8, w czem 8 oznacza ciężar właściwy powietrza. Celem zrównoważenia ciała kładziemy na przeciwną szalkę wagi pewną ilość ciężarków, dajmy na to p gr. Prawdziwy ciężar ich wynosi więc p gr-\ lecz i ciężarki wydają się w powietrzu lżejszemi, działają na szalkę siłą p — v 8, w czem v oznacza ich objętość. Zważywszy, że pozorne ciężary

na obu szalkach równoważą się, mamy: P — Vo = p — v 8. Równanie to daje rzeczywisty ciężar ciała: P = p -}- 8 (V — v). Ważenie w powietrzu daje więc tylko wtenczas ciężary prawdziwe, a wiec i prawdziwe masy ciał, gdy objętości ciał i ciężarków są równe. Jeżeli zaś, co zwykle bywa, ćiężarki mają mniejszą objętość (zrobione są z gęstszego materya-łu) niż ciała ważone, wtenczas ciężar znaleziony przez ważenie w powietrzu będzie za mały i powinien być powiększony o: 8 (V—v). Oznaczyw-

P

szy ciężar właściwy ciała przez D, ciężarków przezj2, mamy V = — ,

V

albo w przybliżeniu: V = --

_P_    J_\

850 V D d ) ’

tudzież v — ~~; poprawka wynosi zatem:

Balony są to worki, postaci kulistej lub wydłużonej, napełnione gazem lżejszym aniżeli powietrze atmosferyczne: wodorem, gazem oświetlającym, lub powietrzem ogrzanem. Jeżeli gaz zawarty w balonie, razem z powłoką, łódką, podróżnymi i t. p. waży mniej, aniżeli powietrze wyparte przez te ciała, wtenczas balon może wznieść się do góry. Siła unosząca go równa się różnicy wspomnianych ciężarów.

Gazy lżejsze od powietrza unoszą się do góry także wtenczas, gdy nie mają powłoki, np. dym, a raczej ciepłe powietrze wychodzące z komin?. Wodór można przelewać do góry. Manometr ciężarowy (dazymetr) jest to przyrząd służący do demonstracyi prawa Archimedesa dla gazów, pod dzwonem pompy pneumatycznej.

ZADANIA.

338)    Kawałek drzewa waży w powietrzu tyleż, jak kawałek żelaza. Który ma większą masę? Odp. Drzewo.

339)    W powietrzu o gęstości odważamy zapomocą ciężarków

830

mosiężnych (gęst. 8,4) 100 gr wody. Obliczyć prawdziwy ciężar wody.

Odp. Objętość wody z dostateczcem przybliżeniem = 100 cm³; ciężar szukany = 100,106 gr.

340)    Ile wynosi parcie powietrza, o gęstości normalnej, na ciało mające objętość 1 m³? Odp. 1293 Gr,

341)    Kulisty balon, o średnicy 5 m, napełniony jest wodorem. Gęstość powietrza wynosi 0,0012, gęstość wodoru 14 razy mniej; 1 m² tkaniny balonu vraży 200 gr. Obliczyć siłę, jaką balon ten ciągnie do góry linę, do której jest uwiązany. Odp. Objętość = 65,4 w?³; powierzchnia 78,5 »i²; ciężar balonu = 21,3 K?; cis'nienie powietrza 78,5; siła = 57,2 ~Kg.

342)    Oznaczywszy przez o i V ciężary właściwe powietrza i gazu użytego do napełniania balonu, przez a ciężar jednostki powierzchni tkaniny, obliczyć średnicę d balonu kulistego, któryby obok własnego ciężaru, uniósł jeszcze przedmioty ważące w powietrzu Q, a nadto rozwinął siłę niezrównoważoną, unoszącą go = P. Odp. Rozwiązać równanie: P + Q = 1 « d³ (8 - 8') — d² Tc o.

343)    Na wylot pionowego komina, o przekroju s, wysokości z, kładziemy przykrywę; oznaczywszy przez o i §' ciężary właściwe powietrza otaczającego i powietrza ciepłego w kominie, obliczyć siłę, którą powietrze ogrzane usiłuje podnieść przykrywę. Odp z s (8 — §')•

180. Ściśliwość gazów (Prawo Boyle’go). Wspominaliśmy kilkakrotnie, że objętość pewnej masy powietrza, lub innego gazu, zmienia się bardzo znacznie, gdy zwiększamy albo zmniejszamy ciśnienie zewnętrzne, pod którem gaz pozostaje. Wyobraźmy sobie np., że gaz jest zamknięty w naczyniu walcowem, zapomocą tłoka ruchomego, obciążonego pewnym ciężarem (fig. 143). Jeżeli na tłoku umieścimy ciężar, dajmy na to, dwa razy większy, wtenczas objętość gazu zmniejszy się znacznie; zachodzi jednak pytanie, w jakim stosunku objętość się zmniejszy? O ile powiększyłaby się, gdybyśmy ciężar zmniejszyli? Czy dla różnych gazów stosunki te będą różne czy jednakowe? Na pytania te odpowiada prawo odkryte w r. 1662 przez Boyle’go, za pośrednictwem doświadczeń przedsięwziętych w celu zbadania sprężystości powietrza. Prawo to, znane także pod nazwą prawa Mariotte’a, opiewa tak: Jeżeli pewną określoną masę gam poddawać będziemy po kolei rozmaitym ciśnieniom zewnętrznym, zważając jednak, żeby temperatur u gazu była zaivsze jednakoiva, wtenczas objętości gazu, odpowiadające tym ciśnieniom, będą odwrotnie pro-porcyonalne do icartości ciśnień; albo krócej: objętość pewnej masy gazu zmniejsza się tyle razy, ile razy ciśnienie się powiększa. Warunek, iżby temperatura niezmieniała się, powinien być ściśle zachowany, albowiem objętość gazu zmienia się i przy stałem ciśnieniu, jeżeli gaz oziębiamy lub ogrzewamy. Jeżeli gaz jest zamknięty w naczyniu zapomocą tłoka obciążonego (fig. 143), albo zapomocą słupa cieczy (fig. 151), wtenczas — jak to się rozumie samo przez się—do ciśnienia działającego na gaz liczy się nietylko ciężar spoczywający na tłoku, albo ciężar cieczy, ale

także ciśnienie otaczającej atmosfery. Gdybyśmy usunęli zupełnie ciężary cisnące na tłok (fig. 143), wtenczas pozostałoby tylko ciśnienie atmosfery — p₀', powiedzmy, że objętość gazu wynosi w tym razie v₀. Jeżeli zwiększymy ciśnienie zapomocą ciężarów po kolei do 2, 3, 4,., i t. d. atmosfer, natenczas według

prawa Boyle’go gaz przyjmie objętości:    i t. p. Mo

żemy zatem prawo ściśliwości gazów wypowiedzieć także w na-

|D

* {i

«00

Ati)

,b

a'

'I

bj

c'

a)

Ie

Fig. 151.

stępujący sposób: Iloczyn ciśnienia przez objętość peimej masy gazu jest stały, jakkolwiek zmieniać będziemy ciśnienie działające na gaz. Oznaczywszy przez v objętość, jaką gaz zajmuje pod ciśnieniem p, możemy prawo Boyle’go wyrazić równaniem:

pv ~ p₀v₀.

Do objaśnienia i sprawdzenia tego prawa nadaje się dobrze przyrząd wyobrażony na fig. 151; jest to rodzaj manometru;

(1)

zamkniętego z jednej strony. W przyrządzie tym ściska się gaz ciężarem słupa rtęci; wysokość tego słupa wskazuje zarazem ciśnienie wywierane na gaz, równoważące jego prężność. Na pionowej rurce szklanej AB znajduje się podziałka na równe objętości, zaczynająca się od kurka, umieszczonego na górnym końcu. Dolny koniec rurki połączony jest wężem gumowym z drugą rurką pionową CD, otwartą u góry. W wężu i po części w obu rurkach znajduje się rtęć. Dopóki kurek A jest otwarty, powierzchnie rtęci a i a' znajdują się w tym samym poziomie (fig 151 a). Skoro jednak zamkniemy kurek, a podniesiemy rurkę CD do góry (fig. 151 b), powietrze uwięzione w rurce AB zostanie ścieśnione np. do objętości Ab, której wartość odczytamy na podziałce. Różnica wysokości poziomów rtęci, t. j. wysokość b' nad b, wskazuje o ile prężność powietrza zgęsz-czonego przewyższa ciśnienie atmosfery. Miarą rzeczywistej prężności gazu w rurce AB jest przeto wysokość słupa rtęci, równa sumie wysokości bb' i wysokości jaką wskazuje berometr w chwili doświadczenia. Sprawdzenie prawa Boyle’go polega na tern, że poddajemy gaz po kolei rozmaitym ciśnieniom (przez podnoszenie lub zniżanie - rurki otwartej) i przekonywamy się o ile iloczyny z tych ciśnień i odpowiednich objętości gazu mają wartości jednakowe.

Tym samym przyrządem sprawdza się prawo Boyle’go także dla ciśnień mniejszych od jednej atmosfery. W tym celu należy rurkę CD zniżyć (fig. 151 c); gaz rozszerza się np. do objętości Ac, rtęć w rurce CD spada do c'. Ciśnienie gazu równa się w tym przypadku wysokości barometru zmniejszonej o odległość poziomów c i c'.

Prawo Boyle’go określa z wielkim przybliżeniem ściśliwość wszystkich gazów, t. j. stosuje się ono nie tylko do powietrza, ale i do tlenu, wodoru, azotu i innych.

Gdy zmniejszymy objętość pewnej ilości gazu, dajmy na to, do połowy, wtenczas gaz stanie się dwa razy gęstszy, aniżeli był pierwotnie. Gęstość jest odwrotnie proporcyonalna do objętości, jaką gaz zajmuje; prawo Boyle’go można zatem wypowiedzieć także jak następuje: gęstość gazu mającego stalą temperaturę jest proporcyonalna do ciśnienia jakie nań wywieramy, albo co na jedno wychodzi: ciśnienie, jakie gaz wywiera na ciała otaczające (prężność gazu), jest proporcyonalne do jego gęstości. Jeżeli więc gaz pewien, pod ciśnieniem jednej atmosfery (ciśnienie to oznaczymy przez p₀), posiada gęstość d₀, pod innnem zaś ciśnie-

niem p, gęstość d, wtenczas prawo Boyle’go będzie wyrażone przez proporcyę: d:d₀—p:p₀, albo przez równanie:

(2)

V_ __ Po d d₀ ’

Równaniu temu damy inną jeszcze postać. Wyobraźmy sobie warstwę, albo słup płynu jednolitego, mającego gęstość d i obliczmy wysokość A jaką powinienby mieć ten słup, aby wywierał na podstawę, własnym ciężarem, pewne ciśnienie p. Według praw hidrostatyki (ust. 157) wysokość ta będzie: A —    .

Jeżeli płynem uważanym jest gaz, mający gęstość d i prężność p, wtenczas wysokość ta nie będzie zależna ani od ciśnienia ani od gęstości gazu, albowiem według prawa Boyle’go (2) stosunek p : d jest ten sam dla wszelkich ciśnień i gęstości. A przedstawia tedy wysokość, jakąby powinna mieć warstwa jednolita uważanego gazu, aby wywierała ciężarem swym takie ciśnienie, jakie gaz wywiera wskutek prężności. Wysokość A nazywamy wysokością atmosfery jednolitej, albo wysokością ciśnienia atmosfery w danym gazie, w danej temperaturze. Wyobraźmy sobie bowiem, że atmosfera ziemi posiada w całej grubości taką gęstość d₀, jak w warstwie najniżej, gdzie panuje ciśnienie p₀. Atmosfera taka, o gęstości jednolitej, wywierałaby na powierzchnię ziemi, ciężarem swym, ciśnienie p₀, jakie rzeczywiście na ziemi panuje, pod warunkiem,

Wysokość

dg

żeby wysokość jej wynosiła A =    albo —

do 9

atmosfery jednolitej byłaby więc niezależna od wartości ciśnienia po panującego na ziemi. Wysokość A posiada dla każdego

Jo 9

gazu inną wartość; można ją obliczyć z równania A = J0

gdzie p₀ oznacza ciśnienie jednej atmosfery, d₀ gęstość jaką gaz posiada w danej temperaturze pod ciśnieniem atmosfery. Wpro-

19

wadziwszy do (2) zamiast wartość Ag, otrzymamy:

cl₀

(3)

V- = Ag. d

Podzieliwszy przez g i oznaczywszy przez 8 = gd ciężar właściwy gazu, otrzymamy równanie wyrażające prawo Boyle’go w następującej postaci:

(4)

— = A, 8

t. j. stosunek ciśnienia, albo prężności gazu, do ciężaru właściwego, jaki gaz posiada pod tern ciśnieniem, równa się wysokości atmosfery jednolitej tegoż gazu.

W nauce o cieple dowiemy się, że gęstość każdego gazu zmniejsza się, wskutek rozszerzania się, gdy przy niezmiennem ciśnieniu temperatura wzrasta. Następstwem tego jest, że wysokość atmosfery jednolitej wzrasta razem z temperaturą gazu. Przy

273

ogrzaniu o 1° wysokość ta powiększa się w przybliżeniu o

część wysokości należącej do temperatury 0°. Jeżeli ostatnią wysokość oznaczymy przez A₀, natenczas wysokość odpowiadająca temperaturze t stopni będzie:

273

A = A₀ + t . —4L

Ciśnienie, ciężar właściwy i temperatura gazu są więc związane równaniem:

i = A₀ (1 +-M.

8    \    273 /

Wysokość atmosfery jednolitej w pewnym gazie, w temp. 0°, możemy obliczyć z gęstości normalnej podanej w ust. 175. Tak np. gęstość normalna powietrza suchego (pod ciśnieniem Po — 1 atm. i w temp. 0°) wynosi: 0,001293271 gr/cm³. Zważywszy, że ciśnienie 1 atm. odpowiada słupowi rtęci 0°, wysokości 76 cm, pod działaniem ciężkości normalnej gi5 (ust. 160) mamy Po = 76 X 13,5956 X gi5, przeto:

Po _ 76 X 13,5956 X g i 5 ~ d₀g- 0,00129327 X g

A₀

= 1033,26 X 773,23 ^ =

g

~ cm. W podobny sposób obliczono następującą tablicę:

WYSOKOŚĆ ATMOSFERY JEDNOLITEJ (A₀) w temperaturze 0°, pod ciężkością normalną (w metrach).

Wodór

Azot

114970 8261,5

Powietrze suche 7989,6.

7228,7 Dwutl. węgla 5258,3

Tlen

Zboczenia od prawa Boyle’go. Dokładne pomiary ściśliwości różnych gazów, wykonane w nowszych czasach (Despretz, Régnault, Amagat) okazały, że prawo Boyle’go wyraża rzeczywiste zachowanie się gazów sposobem tylko przybliżonym, aczkolwiek przybliżenie to, jeżeli ciśnienia są niewielkie, jest nader blizkie prawdy. Natomiast ściśliwość gazów pod ciśnieniami dużemi różni się zazwyczaj znacznie od tej, którą wskazuje prawo Boyle’go. Można było spodziewać się tego. Wszakże pod ciśnieniem nieskończenie wielkiem objętość jakiejkolwiek masy gazu byłaby równą zeru, gdyby to prawo było nieograniczenie ważnem, co żadną miarą być nie może. Większe zboczenia od prawa Boyle’go, nawet dla miernych ciśnień, okazują zwłaszcza te gazy, które, bądź to w temperaturze zwyczajnej, bądź przy niewielkiem oziębieniu, dają się przez zgęszczenie skroplić (np. dwutlenek węglab

Najbardziej wyczerpujące pomiary ściśliwości gazów wykonał w ostatnich czasach Amagat. Przjrrząd jego był w ogólnym zarysie podobny do pierwotnego przyrządu Boyle’go, tudzież do przyrządu fig. 152. Ponieważ jednak chodziło tu o ciśnienia sięgające do kilkuset atmosfer, przeto ta część,przyrządu, w której gazy były zgęszczane, była grubościenną rurką szklaną; inne części wykonane były z metalu. Do mierzenia ciśnień służył manometr rtęciowy, sporządzony z cienkiej stalowej rurki, o wysokości kilkuset metrów. (Przyrząd ustawiony był na dnie głębokiej studni w kopalni Verpilleux; rurka manometru poprowadzona była wzdłuż ścian do góry). Wyniki pomiarów Amagata dają się streścić w następujący sposób. Jeżeli pewna ilość gazu zajmuje objętość v₀, pod ciśnieniem jednej atmosfery (=p₀), natenczas pod ciśnieniem p atmosfer gaz przyjmuje, w tej samej temperaturze objętość określoną przez równanie:

Po »o

= Y) . p₀ v₀, a więc v = Y]--.

Spółczynnik yj nie jest równy jedności, jakby być powinno, gdyby prawo Boyle’go było ściśle ważnem. Nie jest on nawet liczbą stałą, lecz

wartość jego jest przy każdem ciśnieniu inna, zależna zresztą od rodzaju gazu. Dla powietrza, azotu i wodoru, w temperaturze zwyczajnej (około 16°), wartości tego spółczynika podaje następująca tablica. W temperaturach znacznie różnych od zwyczajnej wartości te są też inne; o wpływie temperatury na ściśliwość będzie mowa w nauce o cieple.

TABLICA ŚCIŚLIWOŚCI.

Ciśnienie (p) atmosfer

''l

■'l

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

150

200

400

dla powietrza 1,0000 0,9965 0,9926 0,9887 0,9854 0,9831 0,9814 0,9805 0,9803 0,9806 0,9814 0,9972 1,0250 1,1895

dla azotu

dla wodoru.

1,0000

0,9974

0,9947

0,9925

0,9907

0,9897

0,9895

0,9899

0,9909

0,9925

0,9946

1,0176

1,0496

1,2400

1,000

1,005

1,011

1,017

1,023

1,030

1,036

1,043

1,050

1,059

1,068

1,134

1,269

°'⁹⁸¹⁴ X 60

= 16356 cm³ (według prawa Boyle’go wynosiłaby 16666

Z tablicy tej czytamy, że gazy (z wyjątkiem wodoru) są w temperaturze zwyczajnej naprzód bardziej ścićliwe, aniżeliby to wynikało z prawa Boyle’go. Od pew nego ciśnienia poczynając (powietrze wyżej 150 atm.) stają się jednak coraz trudniej ściśliwemi. Weźmy, dla objaśnienia tych zboczeń, 1 m³ (1000000 cm³) powietrza pod ciśnieniem 1 atm. Pod ciśnieniem 60 atm. jest = 0,9814; ta ilość gazu zajmuje zatem objętość: 1000000

1000 000

400

cm³). Pod ciśnieniem 400 atm. znajdziemy jednak: 1,1895 X

= 2974 (zamiast 2500). Wodór jest już od początku trudniej ściśliwy, aniżeliby to wynikało z prawa Boyle’go; jednakże w temperaturach bardzo nizkich i on zachowuje się podobnie jak inne gazy.

Manometr gazowy. Prawa ściśliwości gazów znajdują ważne zastosowanie w przyrządach służących do dokładnego mierzenia wielkich ciśnień. Zwyczajne manometry rtęciowe miałyby w tym przypadku długość niepomiernie wielką. Owóż wartość pewnego ciśnienia możemy ocenić według objętości, jaką znana ilość gazu zajmuje pod tem ciśnieniem jeżeli, rozumie się, prawo ściśliwości danego gazu, (wartości spół-czynnika jest zkądinnąd znane. Fig. 152 wyobraża manometr gazowy służący do pomiarów tego rodzaju.

*1

Gaz (zwykle azot) znajduje się w naczyniu szklanem S zakońezonem u góry wązką, grubościenną rurką, podzieloną na milimetry sześcienne. Rurka jest u góry zamknięta; dolny, otwarty koniec naczynia S, zanurza się w rtęci, w mocnem metalowem naczyniu N. Naczynie to jest u góry szczelnie zatkane, zapomocą ołowianej płytki i silnej mutry. Jedyny dostęp do wnętrza naczynia N stanowi rurka R, przez którą działa ciśnienie mające się zmierzyć. Ciśnienie to wtłacza rtęć do naczynia S, a tem samem zgęszcza gaz. Zmierzywszy objętość v zajmowaną przez gaz zgęszczony w rurce W, obliczamy ciśnienie według wzoru:

P = i] .

Po vo

,K

i’o oznacza tu objętość, jaką gaz zajmuje w tej samej temperaturze pod ciśnieniem 1 atmosfery = p₀.

Redukcya objętości gazów.

"Sm

n

Fig. 152.

Dana jest objętość v cm³ pewnego gazu, zostającego pod ciśnieniem p cm rU Jaką objętość (x) miałby ten sam gaz pod ciśnieniem 76 cm rt? Prawo Boyle’go prowadzi widocznie do następującej proporcyi:

P

76

= p : 76, skąd: x = v —. Wzoru tego używa się przy mierzeniu ga-

zów miarami objętości. Objętość nie jest w ogóle dostateczną miarą ilości gazu, albowiem w jeduym litrze może pomieścić się zarówno wielka jak i mała masa gazu, zależnie od ciśnienia pod jakiem gaz zostaje. Mierząc gazy na litry należy więc podać wartość ciśnienia. Zwyczajnie redukuje się objętości gazów do ciśnienia normalnego 1 atmosfery = = 76 cm. rt. a to zapomocą powyższego wzoru redukcyjnego.

Obliczenie masy. Tej nieokreślności, jaką spotykamy przy mierzeniu gazów miarami objętości nie ma wcale, gdy mierzymy ilość gazów na wagę t. j. gdy określany ich masę. Przemiana objętości na masę

uskutecznia się w następujący sposób. Niechaj v oznacza objętość, p ciś-nienie gazu. Oznaczywszy przez m masę, przez d gęstość, mamy: m=v . d. Ponieważ atoli (wzór 3):

(6)

d =    , przeto m = ■—

Ag ‘

Znając więc ciśnienie i objętość możemy obliczyć masę, byle wysokość A dla danego gazu i dla danej temperatury była znana. Przy użyciu miar ciężarowych dogodniejszy jest wzór na ciężar gazu: ą = mg mianowicie:

pv

(7)

181. Spółcztnnik sprężystości gazów. Gaz ściśnięty odzyska w zupełności objętość, jaką miał przed zgęszczeniem, skoro ciśnienie wróci do pierwotnej wartości. Gazy są więc na ściskanie doskonale sprężyste. Spółczynnik sprężystości a (ust. 135) nie jest jednak liczbą stałą, lecz zwiększa się w miarę zgęszczania gazu, t. j. im więcej gaz jest zgęszczony, tern trudniej przychodzi zgęścić go jeszcze bardziej, tern większe jest a. Opierając się na prawie Boyle’go możemy w następujący sposób obliczyć wartość spółczynnika sprężystości gazów dla zgęsz-czeń w temperaturze stałej. Objętość i ciśnienie gazu oznaczymy przez v i p; przez o spółczynnik sprężystości, ważny dla bardzo małych zmian v i p. Dajmy na to, że ciśnienie zostało-zwiększone o mały przyrost p', natenczas objętość zmniejszy się o małą wielkość v'. Według prawa Boyle’go (180 równ. 1} będzie:

pv — (p + p‘) {v — v‘) = pv + p'v — pv‘ — p' v'.

Iloczyn p'v' możemy tu opuścić, jako nader mały w porównaniu z p'v i pv', przeto zostaje:

JS

"a

v'

na

Stosunek — , zmniejszenia objętości, do objętości pierwotnej, jest to zgęszczenie, wielkość, którą, oznaczaliśmy w nauce o odkształceniu przez 6 (ust. 129). Spółczynnik ściściwości a rów-się stosunkowi przyrostu ciśnienia p¹, który sprawił uważane

zgęszczenie 6, do tegoż zgęszczenia (ust. 185). Otrzymujemy .    v'    p¹

więc: o = p' : — = p¹ :    =2 p. Wnosimy stąd, iż miarą sprę

żystości objętościowej, dla małych zgęszczeń, w temperaturze stałej, jest prężność gazu. Im bardziej gaz jest zgęszczony, im większa jego prężność—tem większy jest jego spółczynnik sprężystości; gaz zgęszczony jest zatem trudniej ściśliwy, aniżeli rozrzedzony. Gazy nader silnie zgęszczone mają ściśliwość niemal tak małą jak ciecze.

ZADANIA.

344)    Pewna ilość powietrza, zajmuje pod ciśnieniem 74 cm rt., objętość 1 w³; obliczyć objętość tej samej masy powietrza pod ciśnieniami 30 cm rt. i 80 cm rt., przyjmując niezmienną temperaturę.

Odp. 2,467 i 0,925 to³.

345)    Obliczyć, jakie zwiększenie ciśnienia jest potrzebne, celem zmniejszenia objętości tej masy powietrza o 10 litrów: a) gdy ciśnienie, przy którem zaczynamy ściskać, wynosi 30 cm rt., b) gdy ono wynosi 80 cm rt. Odp. 0,122; 0,874 cm rt.

346)    Gęstość powietrza pod ciśnieniem 1 atm. wynosi: a) w temp. 0° : 0,001293; b) w temp, 20° : 0,001 205 grjcm³. Obliczyć gęstości, jakie powietrze posiada w tych dwu temperaturach, pod ciśnieniem 10 to rtęci. Odp. 0,0170; 0,0158 grjcm³.

347)    Dowieść, że stosunek gęstości d i d' dwu gazów, podlegających prawu Boyle’go, a mających stałe temperatury, jest przy wszelkich ciśnieniach ten sam. Odp. Gęstości tych gazów pod ciśnieniem p₀=1 atm. oznaczymy przez d₀ i d'₀; stosunek tych liczb d₀ : d'₀ jest stałą liczbą p.

¹

Czyt. Fortę.

d    d'

Ponieważ d = p . —— d' = p . —— , przeto d : d' — d₀ : d'₀ = p.

Po    Po

348)    W rurce szklanej, zgiętej w kształt litery U, znajduje się rtęć; powierzchnie rtęci znajdują się z początku w tym samym poziomie M; wysokość barometru wynosi: b = 75 cm. Jedno ramię rurki jest zamknięte i zawiera nad rtęcią powietrze, które zajmuje część rurki o długości 15 cm; drugie ramię, dłuższe, jest otwarte. Do ramienia otwartego dolewamy tyle rtęci, żeby powierzchnia jej wzniosła się o c — 20 cm nad poziom M; o ile (cc) podniesie się rtęć nad ten poziom w ramieniu zamknię tem? Odp. 15& = (15 — x) (b -|- c — x); stąd x — \ (15 + b -J- c) + + J/i- (15 -J- b -j- c)²—15 c. Warunkom zadania odpowiada znak: — , albowiem dla c — o powinno być x = o; zatem x — 2,8 cm.

849) O ile zniży się rtęć w ramieniu zamknigtem, pod poziom M, jeżeli zamiast dolewania rtęci połączymy ramię otwarte z pompą pneumatyczną i zmniejszymy ciśnienie atmosfery do połowy? Przekroje obu ramion są jednakowe. Odp. 6,92 cm.

350)    Szklankę walcowego kształtu, wysokości 20 cm, zanurzamy pod wodę, trzymając ją dnem do góry. Do jakiej wysokości wejdzie woda, jeżeli: a) szklanka jest zanurzona do połowy, b) dno zanurzone aż do powierzchni wody, c) dno zanurzone do głębokości 1 m pod powierzchnię. Ciśnienie atmosfery należy przyjąć = 10 m wody. Odp. a) 20 X 1000 = = (20 — x) (1010 — x), x — 0,2 cw; b) 0,4 cm\ c) 2,1 cm.

351)    Obliczyć parcie, które woda wywiera na szklankę zanurzoną w przypadku ostatnim, przyjmując 30 cm² jako przekrój szklanki i opuszczając grubość jej ścian. Odp. 30 (20 — 2,1) = 537 Gr.

352)    Pewna ilość wodoru zajmuje pod ciśnieniem 5 atm. i w temperaturze 0°, objętość 0,7 m³. Ile waży ten wodór (wys. atm. jednolitej z ta-

= 0,314 kg.

blicy)? Odp.

5 X 10333 X 0,7 114970

353)    Ile ważyłaby taka sama objętość powietrza suchego, w tych samych warunkach? Odp. 0,314 X 14,4 = 4,52 kg.

354)    W próżni barometru naczyniowo-lewarowego (fig. 150, NL) znajduje się odrobina suchego powietrza. Barometr wskazuje: 75 cm. Zapomocą śruby S podnosimy rtęć w obu ramionach, dopóki objętość próżni Toricellego nie zmniejszy się do połowy; barometr wskazuje teraz 74 cm. Obliczyć prawdziwy stan barometru. Odp. 76 cm.

355)    Suche powietrze, mające temperaturę 0°, pod ciśnieniem 1 atm. (t. j. 76 cm rt. w szerokości 45°, w poziomie morza) posiada gęstość 773,2 razy mniejszą aniżeli woda 4°. Obliczyć stosunek ciężarów równych objętości wody i powietrza suchego (0°), jeżeli barometr wskazuje ciśnienie 76 cm rt.: a) na równiku ziemi, b) na biegunach. Odp. 775,4; 771,1.

182. Praca przy zgęszczaniu gazów. Zgęszczając gaz jaki, pokonywamy, wzdłuż pewnej drogi, jego coraz rosnącą prężność, wykonywamy zatem pracę. Obliczymy tu, ile pracy należy wykonać, aby zgęścić pewną ilość gazu, mającego jakąkolwiek objętość początkową v i początkowe ciśnienie p, tak, iżby gaz uzyskał mniejszą objętość Wartość pracy tej obliczymy w założeniu, że temperatura gazu nie zmienia się podczas zgęszczania, wskutek czego można zastosować prawo Boyle’go. Wyobraźmy sobie, że gaz jest zamknięty w walcu (jak fig. 143), pod tłokiem ruchomym. Celem uproszczenia rachunku przyjmiemy, że pole przekroju tłoka równa się jednostce. Pomyślmy następnie, że żądane zgęsz-czenie gazu zostaje w ten sposób otrzymane, iż udzielamy mu po kolei n zgęszczeń bardzo małych, ale równych; wartość każdego z tych zgęsz-czeń częściowych oznaczymy przez 0. Po pierwszem zgęszczeniu

= 0, skąd

v—vt

gaz uzyska pewną objętość vt; według określenia mamy: -

v

vx = v (1 — 0). Wskutek pierwszego zgęszczenia prężność gazu powiększy

v

się i uzyska wartośó pt; według prawa Boyle’go będzie: px = p — =

«i

p

— --Drugie zgęszczenie 0 zmniejszy widocznie objętość gazu do

wartości:    = vt (1 — 0) = v (1 — 0)², a powiększy ciśnienie do: p₂ =

=    ^ i t. d. Po wykonaniu n takich zgęszczeń uzyskamy ostatecznie:

P

■v' — V (1 — 0)«, p' — - .

’ e (1-0)»

Łatwo przekonać się, że każde z uważanych zgęszczeń częściowych wymaga tej samej pracy. Tak np. przy pierwszem zgęszczeniu siła działająca na tłok wynosi p; droga przebyta przez tłok (z uwagi, że pole jego przyjęliśmy = 1) wynosi v — vt czyli «0. Z tego wynika, że praca użyta przy pierwszym zgęszczeniu = p v 0. Przy drugim zgęszczeniu siła = px, droga — vx — v₂ — rt 0, zatem praca = pt vt 0. Ponieważ jednak według prawa Boyle’go px vt — p v, przeto praca mieć będzie wartość poprzednią; podobnie przy dalszych zgęszczeniach. Całkowita praca L, przy uważanych n zgęszczeniach, które doprowadziły gaz do końcowej objętości o' wynosi zatem:

L = n p v 0.

Ilość n zgęszczeń kolejnych zależy od początkowej i końcowej objętości gazu, tudzież od wartości 0. Jeżeli te wielkości uważać będziemy jako dane, wtenczas możemy obliczyć n z powyższego równania: v' = v (1—0)».

Biorąc w tym celu logarytmy naturalne¹) znajdziemy: log v' = logv -j-n log (1 — 0). Pamiętając, że każde ze zgęszczeń częściowych jest bardzo

małe, możemy zamiast log (1—6) napisać — 6²). Równanie: log v' = log v -+--f n log (1—6) przyjmie wskutek tego postać: log v' = log v — n 6, czyli

V

log —. Wstawiwszy tę wartość iloczynu »8 w równanie dla pra-v'

cy L, znajdziemy ostatecznie:

L=pvlog— .

V

Iloraz —, równy także stosunkowi gęstości końcowej do początkowej:

d'

— , nazwiemy stosunkiem zgęszczenia. Równanie ostatnie zawiera w sott

bie następującą regułę: Praca użyta przy zgęszczenia pewnej masy gazu,, mającego stałą temperaturę, równa się iloczynowi ciśnienia i objętości gazu (który dla danej temperatury jest stały) pomnożonemu przez logarytm naturalny stosunku zgęszczenia. Rozumie się samo przez się, że gdy naodwrót gaz zgęszczony rozszerza się, w stałej temperaturze, natenczas oddaje on na-powrót pracę L. Celem zachowania stałej temperatury przy zgęszcza-niu, jak to założyliśmy w poprzedzającym rachunku, należy ściskać gaz bardzo powoli, w przeciwnym razie rozgrzewa się on przez samo zgęsz-czenie (jak się to okaże w nauce o cieple), prężność jego staje się większa, a wskutek tego zwiększa się ilość pracy potrzebnej do zgęszczenia. W poprzedzającym rachunku przyjęliśmy, że gaz zawarty jest w naczyniu walcowym o przekroju = 1; czytelnik przekona się łatwo, że wypadek rachunku nie zmieni się, skoro się przyjmie inny przekrój naczynia, albO' nawet inną jego postać.

183. Zależność ciśnienia i gęstości powietrza od wysokość r nad ziemią. (Pomiar wysokości zapomocą barometru). Doświadczenia Pascala (ust. 177) dowiodły, że ciśnienie atmosfery ubywa stopniowo, w miarę wznoszenia się do góry. Ciśnienie w cieczach zmniejsza się również, gdy wznosimy się od dna do góry; ubywanie ciśnienia w atmosferze podlega jednak innemu prawu. Gęstość cieczy np. wody jest niemal niezależna od ciśnienia: wskutek tego ubytek ciśnienia w cieczach jest proporcyo-nalny do wzniesienia. W atmosferze natomiast (dzięki większej ściśliwości gazów) ubytek ciśnienia sprawia, że i gęstość powietrza maleje, w miarę wznoszenia się do warstw wyższych. Jeżeli więc podzielimy w myśii pionowy słup powietrza atmosferycznego na warstwy poziome, w taki sposób, żeby w każdej z nich ciśnienie ubywało o tę samą wielkość (t. j. na warstwy mające jednakowe ciężary), wówczas wysokości tych warstw nie będą jednakowe, lecz górne będą wyższe od dolnych.

Ażeby znaleźć prawo określające zależność ciśnienia, albo gęstości powietrza, od wysokości, weźmy pod uwagę warstwę w pewnej wysokości z nad ziemią; niechaj p oznacza ciśnienie, 8 ciężar właściwy powietrza w uważanej warstwie. Przez p' i 8' oznaczymy ciśnienie i ciężar właściwy powietrza na powierzchni ziemi. Przyjmiemy nadto, że atmosfera znajduje się w spoczynku i że od dołu aż do wysokości z temperatura jej jest stała = t.

Weźmy pod uwagę pewną objętość v' powietrza na dole; ono waży v'8' i posiada prężność p'. Podnieśmy je na wysokość z. Wykonamy przytem przeciw ciężkości pracę: v' 8' z. Jednocześnie powietrze to dostanie się pod mniejsze ciśnienie p, jakie panuje w wysokości z, i rozszerzy się wskutek tego do objętości większej a; przytem wykona ono pracę = v

— pi v' log —, (ust. poprz.). Jeżeli równowaga atmosfery ma być zape-

V

wniona, wówczas obie uważane tu prace powinny mieć wartości jednakowe. Gdyby bowiem np. praca, którą powietrze wydaje przy rozszerzaniu się, przewyższała tamtę, to utworzyłyby się prądy powietrza idące samodzielnie do góry; praca oswobodzona z gazu wystarczałaby nietylko do pokrycia pracy przeciw ciężkości, ale zostałby pewien nadmiar, wytwarzający energię kinetyczną tych prądów. Przeciwnie, gdyby praca przeciw ciężkości przeważała, to powietrze spadałoby z warstw górnych

v

v'

na dół. W przypadku równowagi będzie więc: v' 8' z = p'v' log -7. Ponie-

p'

waż atoli, według prawa Boyle’go: —7 = — , przeto: z =

p'

P'

. We-

~T7 log —

t'    p

dług ust. 180,] równ. 5, p' jest proporcyonalne do 8', jest mianowicie:

v'

pl

⁰ (¹⁺27s)

, w czem A₀ oznacza wysokość atmosfery jedno-

8' A A

litej powietrza, w temperaturze 0°. Zależność ciśnienia p od wysokości z wyraża się zatem wzorem następującym:

log

* = A” C¹⁺273)

Połóżmy tu za z po kolei wartości: 0,a;, 2x, 3x\.. otrzymamy na p war-

tości p',

P'

... w czem przez a oznaczyliśmy liczbę e

. Jeżeli tedy

’ a2 ’

wysokości rosną jak wyrazy szeregu arytmetycznego, odpowiednie ciśnienia w atmosferze Cstan barometru) maleją jak wyrazy szeregu geometrycznego-, innemi słowy, jeżeli różnice wysokości są równe, natenczas stosunki (nie róź-

nice, jakby było w cieczach nieściśliwych) odpowiednich ciśnień będą, jednakowe.

Wzór poprzedzający wyraża nietylko szukane prawo ubytku ciśnienia, lecz na odwrót może służyć do obliczenia wysokości z, np. do wymierzenia wysokości gór i t. p. na podstawie jednoczesnych pomiarów ciśnień barometrycznych p i p' w tych miejscach, których różnicy wysokości z szukamy. Stała A₀ dla suchego powietrza posiada wartość: 7989,6 m. Dla ułatwienia rachunku wprowadzimy logarytmy zwyczajne

Log

(Log), zamiast naturalnych (log). Zważywszy, że log = dziemy:

0,4842945 ’

znaj-

7989,6

0,4342945

l1 +27s)

pi

Log — .

Wartość A₀ zmienia się cokolwiek, zależnie od szerokości geograficznej, wskutek zmian ciężkości. Liczba 7989,6 należy do ciężkości normalnej g45, t. j. do tej ciężkości, przy której słup rtęci o wysokości 76 cm równoważy dokładnie ciśnienie 1 atmosfery. W szerokości geograficznej <p, w wysokości z' nad morzem, ciężkość wynosi (ust. 124) g = già (1 —

2 z'\

— 0,0026 cos 2 <p — tam należy też przyjąć inną wysokość atmosfery

jednolitej = A₀', większą lub mniejszą od A₀, w tym stosunku, w jakim g jest mniejsze lub większe od gĄi. Proporcya A'₀ : A₀ = #45 : g,

albo w przybliżeniu:

daje A₀' — A₀

9i 5

A₀

2 z' ’

1 — 0,0026 cos 2 cp —

/    2 z'\

A₀ ll -j- 0,0026 cos 2<p -f- Yq-)' Podstawiwszy to wyrażenie zamiast liczby 7989,6 znajdziemy:

z = 18397

107

(l+i|)(l + ⁰,⁰⁰²6

cos 2<p +

2 z'

107

pi

Log — metr.

W rachunku powyższym przyjęliśmy wartość liczebną stałej A₀ dla powietrza zupełnie suchego. Ponieważ w atmosferze ziemi znajduje się zawsze para wodna, której obecność sprawia, iż powietrze zwyczajne bywa nieco lżejsze, aniżeli powietrze suche, przeto w praktyce przyjmuje się, zamiast 18397, liczbę większą, mianowicie około 18430. Wzór powyższy do obliczania wysokości jest i z tego powodu niezupełnie dokładny, że temperatura atmosfery nie jest jednostajna; powietrze w warstwach górnych jest bowiem zimniejsze aniżeli w dolnych. Aby tę różnicę chociaż częściowo uwzględnić, przyjmuje się za t średnię arytmetyczną temperatur panujących na ziemi i w wysokości z\ za z' należy wstawić średnie wzniesienie (w metr.) nad morzem okolicy, w której pomiary bywają wykonywane. Pomimo uwzględnienia tych poprawek pomiary wysokości zapomocą barometru nie są tak dokładne, jak pomiary wykonane bezpośrednio, zapomocą przyrządów niwellacyjnych.

ZADANIA.

356)    Ile pracy wymaga wtłoczenie 40 gr powietrza do zbiornika mającego objętość 1 litra, w stałej temperaturze 0°? Odp. Objętość (w) 40 gramów powietrza, pod ciśnieniem atmosfery, = 40 X 0,7732 = 30,93 litrów; »' = 1 litr; log , = 3,43205; L = 1033,3 X 30930 X 3,43205 = 1097 X

v'

X 10⁵ Gr cm — 1097 Kgm.

357)    Przyjmując ciśnienie powietrza w poziomie morza = 76 cm rt., średnią temperaturę powietrza = 10°, obliczyć ciśnienie powietrza w wysokości: 500, 1000, 1500, 2000 m nad morzem (dla <p = 45°). Odp. 71,45 67,17; 63,15; 59,37 cm rt.

358)    Ile waży (w powyższej średniej temperaturze) słup powietrza o przekroju 1 m², sięgający od poziomu morza do wysokości 1000 m nad morzem? Odp. (76- 67,17) X 13,5956 X 10000 Gr = 1200 Kg.

359)    Rozdzielić pionowy słup powietrza, sięgający od ziemi aż do granicy atmosfery, płaszczyzną poziomą na dwie części, zawierające jednakowe ilości powietrza, (przyjąwszy t = o, tudzież opuszczając zależność ciężkości od wysokości). Odp. W szukanej wysokości z jest p = = £ p'\ stąd z — 18400 Log 2 = 5500 m.

360)    U stóp góry, na wysokości 350 m, nad morzem, znaleziono: p' = = 72,14 cm rt., temp. powietrza 16,8°; na wierzchołku góry było jednocześnie: p — 69,68 cm rt., temp. powietrza 14,3°; szerokość geograficzna góry = 52°. Obliczyć wysokość wierzchołka nad morzem. Odp. 643 m.

184 Prężność i ściśliwość mieszanin gazów. (Prawo Dal-tona). Na pomoście M (fig. 153), t. zw. wanny pneumatycznej W, stawiamy walec szklany R, otworem na dół, napełniwszy go poprzednio cieczą znajdującą się w wannie (wodą lub rtęcią). Wiadomo, że ciecz nie wypłynie z walca, byle wysokość jego nie przenosiła wysokości ciśnienia atmosfery, dla danej cieczy. Wprowadźmy następnie przez otwór S w pomoście rozmaite gazy do wnętrza walca; one zbiorą się w górnej jego części, a pewna ilość cieczy wypłynie z walca. Zapomocą tego przyrządu można mierzyć dogodnie objętość gazów zebranych w walcu, a zarazem ciśnienie ich.

Owóż doświadczenie okazuje, że gazy mieszają się zawsze ze sobą, w każdym dowolnym stosunku. Zachodzi jednak pytanie, w jakim stopniu przyczyniają się składniki mieszaniny gazów do całkowitego ciśnienia, które mieszanina wywiera.

-R

vrtT>7?fMT77ZS lihrM/tŁLłUJL

Fig. 153.

Wprowadźmy, za przykładem Daltona, odmierzone ilości różnych gazów do naczynia urządzonego na sposób fig. 153; zmierzmy objętość i ciśnienie mieszaniny, a przekonamy się, że ciśnienie mieszaniny jest równe sumie ciśnień, któreby składniki jej wywierały, gdyby każdy z osobna zajmował tę sama, objętość jak mieszanina. Ciśnienia różnych gazów, wchodzących w skład mieszaniny, obliczone w powyższy sposób, nazywają się ciśnieniami częściowemi. Prawo to, znane jako prawo Daltona, można wypowiedzieć krótko w następujący sposób: ciśnienie mieszaniny gazów, równa się sumie ciśnień częściowych, jej składników; albo także: w jednolitej mieszaninie kilku gazów każdy gaz wywiera takie ciśnienie, jak gdyby innych nie było.

Przyjąwszy prawo Daltona możemy łatwo okazać, że mieszanina kilku gazów stosuje się do prawa Boyle’go, byle każdy ze składników do tego prawa się stosował. W istocie, jeżeli ściśniemy mieszaninę np. do połowy objętości, wówczas ciśnienie częściowe każdego gazu powiększy się w dwójnasób, przeto, według Daltona, ciśnienie mieszaniny powiększy się również w dwójnasób.

Skład mieszanin gazowych można dwojako określać: a) na wagę, przez stosunki mas składników, zawartych w pewnej masie mieszaniny; b) na objętość; w tym razie należy powiedzieć, ile jednostek objętości każdego gazu wchodzi w skład pewnej objętości (np. 100 jednostek objętości) mieszaniny. Rozumie się przytem, że objętości składników były mierzone pod tem ciśnieniem, pod którem znajduje się mieszanina. Weźmy np. 100 jednostek objętości powietrza, pod jakiemkolwiek ciśnieniem. Rozbiór chemiczny okazał, że 100 jednostek objętości powietrza zawierają 21 jednostek obj. tlenu i 79 jednostek obj. azotu. Znaczenie tych liczb jest takie: gdybyśmy w naczyniu o objętości 100, zawierającem powietrze, oddzielili tlen od azotu zapomocą ruchomej przegrody i ustawili przegrodę w taki sposób, żeby ciśnienia obu składników były równe pierwotnemu ciśnieniu mieszaniny, wówczas tlen zajmowałby objętość 21, po jednej stronie przegrody, azot 79 jednostek po drugiej. W samej mieszaninie natomiast tlen zajmuje objętość 100; taką, samą, objętość zajmuje azot. Ciśnienie częściowe tlenu w mieszani-

ciśnienia mie-

21

100

nie stanowi przeto, według prawa Boyle’go

79

szaniny; udział azotu w ciśnieniu mieszaniny wynosi . Ogólnie mówwiąc: stosunki ciśnień częściowych różnych gazów, stanowiących jednolitą mieszaninę, równają się stosunkom objętości, w jakich one wchodzą w skład mieszaniny.

Skład powietrza na objętość bywa średnio biorąc następujący: azotu 77,56%; tlenu: 20,63%; argonu 0,93% pary wodnej: 0,84%; dwutlenku węgla: 0,04%; nadto są ślady innych gazów, tudzież pył.

Równanie Boyle’go dla mieszanin. Oznaczmy przez v₀', v₀", v₀"'.. objętości jakie zajmują gazy, z których mieszanina ma byó utworzona, w zbiornikach oddzielnych, pod ciśnieniem 1 atm. = p₀. Gdy wprowadzi-my je po kolei do wspólnego zbiornika, mającego objętość v, to uzyskają

one tam ciśnienia następujące: p' — p₀ — ; p" = pn — ; i t. d. Ciśnie-

v    v

nie p mieszaniny w tym zbiorniku będzie zatem według Daltona:

albo pv = p₀ « + v₀" -f + •••).

ZADANIA.

360) W naczyniu obejmującem v = 5 litrów znajduje się powietrze, zawierające parę wodną; ciśnienie (p) wynosi 743 mm. rt. Za pośrednictwem zgęszczonego kwasu siarczanego usunięto parę, poczem ciśnienie zmniejszyło się do 735 mm rt. (p'). Jaki był skład na wagę powietrza wilgotnego? (Stosunek gęstości pary do gęstości powietrza suchego, przy równych dla obu ciśnieniach i temperaturach = 5:8). Odp. Ciężar powie-

(p — p') v

p'v

aopx

trza suchego = — (ust. 180, 7); ciężar pary =

A

(p — p') ; p¹ = 7 : 1000. Ciężar pary w jednostce objętości po-

; stosunek szu-

kany =

oolcn

sześcienny.

362)    Do naczynia zamkniętego i próżnego, obejmującego 1 m³, wprowadzamy, w temperaturze 0°, 400 gr suchego powietrza, 60 gr wodoru i 500 gr tlenu. Obliczyć ciśnienie mieszaniny. Odp. 101 cm rt.

363)    Do walca na wannie pneumatycznej (fig. 153), napełnionego pierwotnie rtęcią, wprowadzamy 10 cm³ tlenu i 20 cm³ wodoru (objętości te były mierzone pod ciśnieniem atmosferycznem). Przekrój poprzeczny walca mierzy 10 cm², wysokość dna nad rtęcią w wannie 40 cm; powierzchnia rtęci w wannie bardzo wielka w porównaniu z przekrojem walca. O ile zniży się powierzchnia rtęci w walcu, t. j. jaką długość walca zapełnią gazy? (Ciśnienie atmosfery = 75 cm rt.). Odp. 5,55 cm.

185. Wypływ gazów. Zjawiska ruchu gazów są o wiele zawilsze, aniżeli zjawiska ruchu cieczy, a to z powodu znacznej ich ściśliwości. Jeżeli w jakimkolwiek strumieniu gazu ciśnienie zmienia się od miejsca do miejsca, wtenczas i gęstość mieć będzie różne wartości. Ta zmienność gęstości utrudnia zrozumienie praw ruchu, tern więcej, że łączy się (jak uczy nauka o cieple) ze zmianami temperatury gazu, które znowu oddziaływają na ciśnienie. Zupełny wykład praw ruchu gazów nie może

AK

-a

więc obejść się bez uwzględnienia zmian cieplnych, jakie towarzyszą ruchowi. Tu będzie mowa tylko o takich przypadkach ruchu, w których ciśnienie gazu zmienia się tak mało, iż można uważać gęstość w przybliżeniu jaką stałą.

■1

Fig. 154.

wietrzą wilgotnego =

00 bl

p — p'

₅ 0,8 X 13,5953 799000

Gr/cm³ = 8,5 Gr na metr

Celem uzyskania jednostajnego wypływu gazów używa się przyrządów zwanych gazometrami- one służą zarazem do zbierania i przechowywania gazów. Metalowy dzwon A (fig. 154) zawieszony jest na sznurze i zrównoważony ciężarem C. Wewnątrz dzwonu znajduje się gaz, zamknięty od spodu powierzchnią wody, zapełniającej naczynie B, w którem dzwon jest zanurzony otworem na dół. Rura D służy do napełniania gazometru, tudzież do wyprowadzania gazu na zewnątrz. Za-pomocą ciężarków Q, umieszczonych na dzwonie można ciśnie-

nie gazu zwiększyć. Miarą zwyżki ciśnienia gazu, nad ciśnieniem atmosfery, jest widocznie różnica wysokości poziomów wody w dzwonie i zewnątrz dzwonu.

Jeżeli w ścianie dzwonu zrobimy mały otwór, wówczas utworzy się stały wypływ gazu na zewnątrz. Prędkość wypływu v będzie oczywiście tern większa, im bardziej ciśnienie p gazu w dzwonie przewyższa zewnętrzne ciśnienie atmosfery y. Jeśli gęstość gazu w dzwonie oznaczamy przez d, pole otworu przez S, wówczas masa wypływająca w przeciągu pewnego czasu t będzie: m—d . S . v . T (ust. 166). We wnętrzu dzwonu prędkość jest prawie równa zeru; tylko w pobliżu otworu istnieje szybszy ruch gazu. Z tego wyniika, że masa m zyskuje przy wypływie energię kinetyczną: ^ ni v² — ^ d S vr . v². Energia ta jest skutkiem pracy ciśnienia wewnętrznego, w przeciągu czasu t, (-|S n, ust. 167), tudzież pracy ciśnienia zewnętrznego (— p'Svr), działającego w kierunku przeciwnym ruchowi. Energia kinetyczna równa się więc różnicy tych prac; stąd równanie:

K*s(' -f>

p—p _

² d ~

^ dSvz.v² = Svz (p—p'), albo: v —

t. j. prędkość wypływu jest proporcyonalna do pierwiastka z nadiuyżki ciśnienia, a odwrotnie proporcyonalna do pierwiastka z gęstości gazu.

Zważywszy, że ~ — Ag (ust. 180, 3) możemy także napisać:

v=\/r 2 Aÿ(l-y) ■

Kładąc tu p' — o, widzimy, że prędkość wypływu do przestrzeni próżnej równa się prędkości, jakièjby nabyło ciało spadające swobodnie z wysokości równej wysokości atmosfery jednolitej w uważanym gazie (dla powietrza: )/ 2 X 7990 X 9,806    =

—    396 m/sek).

Oznaczywszy pojemność gazometru przez V, obliczymy czas t w ciągu którego gazometr całkowiciej się wypróżni (przyjmujemy, iż ciśnienie gazu w gazometrze pozostaje aż do końca stałe— p). Zważywszy, że w ciągu jednostki czasu wypływa masa dSv, zajmująca w gazometrze objętość Sy, obliczymy czas wypływu całej objętości Y z następującej proporcyi: t : 1 —

—    Y : Sv, skąd:

-l/—-

S V 2 (p—p‘)

d'

Jeżeli napełnimy gazometr innym gazem, który pod tern samem ciśnieniem p posiada gęstość d', to wypróżnienie gazo-

V

metru wymagać będzie czasu: t' =

2 (p—p') *

Porównawszy te dwa wyrażenia, odnoszące się do dwu różnych gazów, a do tego samego gazometru i tej samej zwyżki ciśnienia, znajdziemy:

d : d' = t² : t'²,

t. j. gęstości dwu gazów mają się do siebie jak kwadraty czasów wypływu jednakowych objętości pod jednakowemi ciśnieniami. Na tem

prawie polega prosty sposób porównywania gęstości gazów, wskazany przez Bunsena.

Jeżeli gaz wypływa z gazometru przez dłuższą rurę (np. gaz oświetlający przez przewody gazowe), wtenczas prędkość wydływu w jest znacznie mniejsza, aniżeli prędkość wypływu przez otwór w ścianie; część energii kinetycznej zużywa się bowiem przez tarcie gazu w rurze. Stratę ciśnienia oblicza się w podobny sposób jak dla cieczy.

Zależność ciśnienia od szerokości przewodu, którym płynie strumień gazu jest podobna jak dla cieczy, przynajmniej w ogólnych zarysach. W zwężonych częściach przewodu ciśnienie jest mniejsze aniżeli w rozszerzonych. Zastosowaniem tego zjawiska są t. zw. rozpylacze (fig 155) — używane do rozpylania cieczy na drobne kropelki. Strumień

■y-

CO

i«

V-

Fig. 155.

Fig. 156.

powietrza, wychodzący z otworu zwężonego rurki A tworzy żyłę (uwidocznienie tejże zapomocą dymu}, która dopiero w znaczniejszej odległości zaciera się i rozwija na wiry, wskulek tarcia o powietrze otaczające. Jeżeli otwór rurki B, zanurzonej w jakiejkolwiek cieczy, zbliżymy do ujścia rurki A, t. j. do zwężonej części żyły, wówczas ciecz wzniesie zię

w rurce B do otworu górnego, poczem porwana prądem powietrza zostaje rozpyloną. Wznoszenie się cieczy w B jest następstwem zmniejszonego ciśnienia w zwężonej części prądu powietrza.

Kominy. Komin jest to lewar odwrócony (ust. 168), prowadzący do góry gaz mający gęstość mniejszą, aniżeli powietrze atmosferyczne. Dajmy na to, że szklanka A (fig. 156), odwrócona dnem do góry, zawiera jakikolwiek gaz, lżejszy od powietrza (wodór, gaz oświetlający, ciepłe powietrze). Skoro wdrożymy wypływ, przez napełnienie całej rurki B tym samym gazem (rozgrzewanie się komina), wówczas będzie on trwale wypływał górnym końcem rurki na zewnątrz — podobnie jak np. nafta w wodzie wypływa do góry (fig. 142). Ponieważ w obec zachodzących tu małych różnic ciśnienia, gęstość gazu możemy uważać jako stałą, przeto prędkość wypływu (przeciągu w kominie) będzie określona, jak w ust. 168, wzorem:

d—d'

tu oznacza: z wysokość komina, d gęstość powietrza otaczającego, d' gęstość gazu w kominie.

no-

186. Takcie wewnętrzne, czyli lepkość, objawia się w gazach podobnie jak w cieczach. Gazy wprowadzone w ruch uspokajają się same przez się—gdy siła, która była przyczyną ruchu, przestanie działać. Najsilniejsze wzburzenia atmosferyczne, nie mniej jak wiatry zwyczajne, ustają bardzo rychło, skoro ciśnienia w atmosferze wyrównają się. Przepływ gazów przez rurki włoskowate, lub przez inne wązkie szczeliny, spotyka znaczny opór, wynikający z tarcia wewnętrznego

Fig. 157.

Wartości tego tarcia w różnych gazach można porównywać zapomocą przyrządu, którego główne części wyobraża fig. 157. Lekki krążek szklany a zawieszony jest na cienkim drucie N, w położeniu poziomem, między dwoma krążkami stałymi b i c, równoległymi do środkowego. Gdy wprowadzimy krążek a w ruch wahający, około N jako osi, wówczas przekonamy się, że wahania zanikają stopniowo i ustają nakoniec zupełnie. W części przyczynia się do tego tarcie wewnętrzne drutu N, którego spręży

stość nadaje krążkowi ruch wahający; głównie jednak energia kinetyczna zużywa się przez tarcie wewnętrzne gazu znajdującego się w dzwonie szklanym, którym cały przyrząd jest nakryty. Skrajne warstwy gazu, po obu stronach krążka a, przylegają do niego i biorą udział w ruchu jego. Wskutek tego ślizgają się one na warstwach dalszych i trą o nie. Gaz między krążkami odkształca się podobnie, jak to opisaliśmy w ust. 164 (fig. 133), mówiąc o tarciu cieczy. Więcej lub mniej szybkie zanikanie wahań krążka daje miarę tarcia wewnętrznego w gazie. Przyrząd jest przykryty szczelnie dzwonem zamkniętym i może służyć do badania różnych gazów, przy rozmaitych ciśnieniach i gęstościach. Doświadczenia okazały, że tarcie wewnętrzne iv różnych gazach posiada rozmaitą wartość; w tym samym gazie jest ono niezależne od ciśnienia t.j. od gęstości gazu. Tak np. w powietrzu o zwyczajnej gęstości jest ono równie wielkie jak w powietrzu tysiąckrotnie rozrzedzonem; dopiero przy nader znacznem rozrzedzeniu, zapomocą najlepszych pomp rtęciowych, można dostrzedz zmniejszenie się jego.

TABLICA LEPKOŚCI GAZÓW (15°) (dyn/cm².sei;)

0,000212

Tlen

Powietrze 0,000179

Dwutlenek węgla 0,000160 0,000093.

Wodór

Ogrzanie zwiększa lepkość gazów—w tym względzie zachowują, się one przeciwnie jak ciecze. W ogóle lepkość gazów jest mniejsza od lepkości cieczy (w powietrzu około 100 razy mniejsza niż w wodzie). Ruchliwość jednak, t. j. stosunek gęstości do lepkości jest mimo to w cieczach większa niż w gazach, z powodu małej gęstości gazów. Gazy, zwłaszcza rozrzedzone, są nader mało ruchliwe, albowiem rozrzedzenie zmniejsza gęstość, a nie zmniejsza lepkości (ust. 164).

187. Opór gazów. Ciała poruszające się w ośrodku gazowym doznają oporu, na który składają się też same przyczyny, o których była mowa w ust. 170. W ogóle można tu powtórzyć wszystko, co było powiedziane o oporze cieczy, z tym dodatkiem, że opór gazów jest znacznie mniejszy z powodu mniejszej lepkości i gęstości. Na oddzielną wzmiankę zasługuje jednak wpływ ściśliwości gazów. Jeżeli prędkość ciała porusza-

jącego się jest nieznaczna, wtenczas gęstość gazu otaczającego nie zmienia się prawie; gaz, wprowadzony w ruch przez ciało, porusza się niemal tak samo jakby się poruszała ciecz nieściśliwa. Skoro jednak prędkość ruchu ciała przenosi kilkaset metrów na sekundę (kule działowe i t. p.), natenczas tworzy się na przedzie ciała wał zgęszczonego gazu, który posuwa się naprzód razem z ciałem. Wstrząśnienia gazu i zmiany gęstości, sprawione ruchem ciał są przyczyną świstu i huku, jakie towarzyszą zwykle szybkim ruchom ciał.

Gazy poruszające się wywierają na ciała stałe, nieruchome, nacisk czyli parcie, które odpowiada oporowi rozważanemu poprzednio. Parcie wiatru na ciała o wielkiej powierzchni bywa bardzo znaczne; ono stanowi siłę obracającą wiatraki, poruszającą okręty żaglowe.

ZADANIA.

364,) Z jaką prędkością wypływa wodór do próżni? Odp. 1500 misek.

365)    Z jaką prędkością wypływa powietrze, zgęszczone w zbiorniku pod ciśnieniem 5 atm., jeżeli ciśnienie w otoczeniu równa się 1 atm.

Odp. 354 mjsek.

366)    Obliczyć ilość powietrza wypływającego na sekundę w powyższym przypadku, wiedząc, że pole otworu wynosi 1 mm², a spółczynnik określający zwężenie żyły == 0,5.

Odp. 0,5 X 0,01 X 35400 X 5 = 885 cm³ (mierzone pod ciśn. 1 atm.).

367)    Gazometr napełniony powietrzem zgęszczonem wypróżnia się przez mały otworek w ścianie w przeciągu 117,6 sek; napełniony następnie gazem piorunującym wypróżnia się w przeciągu 75,6 sek. Obliczyć gęstość względną gazu piorunującego, w porównaniu z powietrzem.

Odp. (75,6)² : (117,6)² = 0,413.

368)    Obliczyć prędkość przeciągu w kominie, mającym wysokość 20 711, przyjąwszy 0,9 jako stosunek gęstości ciepłego powietrza w kominie do gęstości powietrza otaczającego i pomijając opory tarcia.

Odp. 6,6 mjsek.

369)    Zbiornik o pojemności 2 litr. połączony jest z pompą pneumatyczną, ciągle działającą, która wyciąga na sekundę i zawartości, jaka się w* zbiorniku znajduje. Obliczyć granicę, do której zniży się ciśnienie

m m².

w zbiorniku, jeżeli w ścianie jego znajduje się otworek o polu -3-

(Przyjąć ciśnienie zewnętrzne 76 cm rt.; spółczynyik dla zwężenia żyły = = 0,5.) Odp. Granica będzie osiągnięta, gdy pompa odbiera ze zbiornika tyle powietrza, ile jednocześnie dopływa przez otworek. Ciśnienie w zbiorniku wynosi wówczas stale p cm. rt. Ciężar powietrza w zbior-

niku =

(p X

— (p X 13,59 X 2000) gr\ pompa zabiera na sekundę: r~r

5 A

gr. Z porównania tych wyrażeń wynika: p — 1,88 cm. rt.

X13,59 X2000) gr\ otworkiem dopływa: 0,5 X rrrr X 76X13,59

ROZDZIAŁ XIII.

O RUCHU FAL W CIAŁACH SPRĘŻYSTYCH.

188. Fale podłużne, kuliste. Ciało sprężyste, odkształcone w jakikolwiek sposób, pozostaje dopóty w równowadze, dopóki na nie działają siły zewnętrzne, które odkształcenie wywołały. Siły sprężyste, wzbudzone w ciele przez odkształcenie, są wówczas zrównoważone przez siły zewnętrzne. Skoro te ostatnie usuniemy, natenczas siły sprężyste, nie zrównoważone, wprowadzą części ciała odkształconego w ruch. Zależnie od kształtu ciała i od rodzaju odkształcenia powstają wtenczas ruchy falowe, albo ruchy drgające. W rozdziale niniejszym będziemy mówili o pierwszych.

ï -o

Zajmiemy się naprzód ruchami falowymi w cieczach i w gazach, które jak wiadomo są sprężyste, lecz tylko na odkształcenia objętości t. j. na zgęszczenia lub rozrzedzenia.

Fig. 158.

Wyobraźmy sobie rozległą masę ciekłą lub gazową, w której wnętrzu znajduje się kula A (fig.

158). Przypuśćmy, że kula ta rozszerza się nagle, w taki sposób, iż środek jej pozostaje w pier-wotnem miejscu, a promień zwiększa się nagle o pewną nie wielką długość. Nagłe rozszerzenie się kuli działać będzie na otaczający płyn jak gdyby uderzenie, albo wstrząśnienie, wychodzące z całej jej powierzchni. W pierwszej chwili udzieli się ono warstwom przylegającym bezpośrednio do powierzchni. Warstwy te znajdują się podczas uderzenia jakoby między młotem a kowadłem: młotem jest kula rozszerzająca się nagltg znaczenie kowadła mają dalsze, bardziej od kuli odległe warstwy, które w obec nagłości popędu nie ustępują od razu, lecz wskutek bezwładności swej przeciwstawiają uderzeniu przemijający opór (ust. 46). Dzięki temu objawowi bezwładności cząstki płynu otaczające kulę ulegają dwojakiej zmianie: a) zgęszczają się, b) zostają potrącone t. j. nabywają prędkości w kierunku promienia kuli.

Jasną jest rzeczą, że zgęszczenie to warstw otaczających kulę nie może utrzymywać się trwale, gdyż od strony zewnętrznej one nie są niczem ogrodzone. Płyn jest sprężysty, zgęszczenie wzbudza w nim oddziaływanie sprężyste, t. j. zwiększenie ciśnienia; warstwy zgęszczone usiłują tedy uwolnić się od odkształcenia, a wskutek tego działają na dalsze, dotąd swobodne cząstki płynu. Podobnie jak z początku ruch kuli na najbliższe warstwy, tak one działają następnie na warstwy dalsze: zarówno ciśnieniem jakie powstało w nich wskutek zgęszczenia, jak ruchem, który otrzymały od kuli. Zgęszczenie i ruch przenoszą się więc do warstw dalszych, warstwy zaś uderzone pierwotnie uwalniają się od odkształcenia, a zarazem tracą ruch, gdyż prędkości ich zostały zniesione przez opór sprężysty warstw dalszych.

Zaburzenie równowagi ciała sprężystego, wywołane wybuchem kuli, przenosi się w ten sposób z biegiem czasu do cząstek coraz bardziej oddalonych od miejsca, w którem powstało. Rozszerza się ono pod postacią kuli Bb, o promieniu ciągle rosnącym. Przebieg zjawiska tego jest podobny do rozszerzania się kręgów na powierzchni stawu, gdy do wody wrzucimy kamień; albo do rozszerzania się wstrząśnień ziemi, które również z jednego środka wychodzą, a obejmują stopniowo całe otoczenie. Każda cząstka ciała pozostaje w spoczynku, dopóki wstrząśnienie jej nie dosięgnie; następnie oddaje ona wstrząśnienie cząstkom dalszym i wraca znowu do spoczynku. Zaburzenie równowagi ciała sprężystego, opisane wyżej, polega na tern, iż cząstki, których ono dosięgnie, zostają na czas niejaki odkształcone, a jednocześnie otrzymują przemijający ruch. Zaburzenie tego rodzaju nazywa się

falą; przenoszenie się jego z cząstki do cząstki zowiemy ruchem fali. Nazwę tę przyjęto z powodu podobieństwa do fal na powierzchni wody; oba zjawiska polegają na rozchodzeniu się wstrząśnień, w taki sposób, iż cząstki ciała, w którem fala się rozprzestrzenia, przewodnika fali, nie oddalają się wiele od miejsc, które zajmują w stanie równowagi Ruch postępowy, wdaściwy falom, polega na posuwaniu się pewnego stanu mate-ryi, a nie materyi samej. Fale sprężyste różnią się od fal na powierzchni cieczy tern, że postępują we wnętrzu ciał i rozprzestrzeniają się w ogóle na wszystkie strony; powstawanie i przewidzenie ich odbywa się za sprawcą bezwładności i sprężystości, gdy fale na wodzie powstają wskutek działania bezwładności i ciężkości.

Falę pojedynczą, kulistą, możemy, wywołać w powietrzu, wydymając bańkę mydlaną gazem piorunującym; skoro zbliżymy gorejącą zapałkę, następuje przy silnym wybuchu nagłe zwiększenie objętości, bańka działa na otaczające powietrze zupełnie tak, jak to wyżej przedstawiliśmy. Gdy fala wywołana w powietrzu dojdzie do ucha wtenczas dopiero usłyszymy huk.

Doświadczalne uwidocznienie fali kulistej byłoby trudne; falę natomiast postępującą w jednym kierunku można dobrze objaśnić zapomocą t. zw. machiny falowej. Długa sprężyna spiralna (fig. 159) z drutu

10

Fig. 159.

sprężystego, zawieszona jest swobodnie na sznurkach. Jeżeli jeden jej ko-uderzymy młotkiem wówczas, wskutek bezwładnego oporu masy całej sprężyny, ściśniemy tylko kilka skrętów sprężyny w pobliżu końca uderzonego. Następnie dostrzeżemy, że zgęszczenie to biegnie wzdłuż całej sprężyny aż do drugiego końca. Skręty, przez które fala już przeszła, wracają do pierwotnego położenia i tracą ruch zupełnie.

Aby objaśnić zjawisko, że cząstki ciała sprężystego oddają po przejściu fali cząstkom sąsiednim nietylko zgęszczenie ale i ruch jaki posiadały, możemy użyć przyrządu przedstawionego na fig. 160. W gładkiej,, poziomej rynience ustawiamy szereg kul sprężystych (z kości słoniowej) jednakowej wielkos'ci i masy, w taki sposób, żeby między kulami zostały nie wielkie, równe przestwory. Jeżeli przez potrącenie lub uderzenie, wprowadzimy pierwszą kulę a w ruch, wtenczas uderzy ona z pewną prędkością kulę b. W ciągu uderzenia prędkość kuli a zostaje cał-

¹

Logarytm naturalny a pewnej liczby A jest to liczba mająca tę własność, że t. zw zasada logarytmów naturalnych: e = 2,71828... podniesiona do potęgi a, daje liczbę A jak to objaśniają następujące równania: ea — A, a — log A. Logarytm naturalny zasady e równa się 1. Dziesiętny (zwyczajny) logarytm tej zasady wynosi: 0,4342945 i nazywa się modułem logarytmów zwyczajnych. Logarytm naturalny pewnej liczby znajduje się dzieląc zwyczajny jej logarytm przez ten moduł.

²

Połóżmy bowiem log (1—6) = k, wtedy będzie 1 — h = ek — \-\-k -|- ^ k² +... Zważywszy, że k jest bardzo małą liczbą możemy w tym szeregu opuścić k² i wyższe jej potęgi. Zostanie wtedy 1 — 6 = 1 -f- k czyli k — — 6-

(*) (a) GT*) C⁷) ©

Fig. 160.

kowicie zniesioną, przez sprężysty i bezwładny opór kuli uderzonej (ust. 53); jednocześnie kula b nabywa takiej prędkości, jaką miała kula a i porusza się naprzód aż do uderzenia o kulę c i t. d. W ten sposób ruch przenosi się z kuli na kulę; każda z nich traci po uderzeniu ruch, a do piero ostatnia, nie spotykając oporu, potoczy się dalej.

Fala w płynie sprężystym, której powstanie i przewodzenie było wyżej opisane, polegała na zgęszczeniu materyi. Zrozumiemy teraz z łatwością, że w podobny sposób może powstawać i rozprzestrzeniać się w płynie fala polegająca na rozrzedzeniu. Dość wyobrazić sobie, że kula A (fig. 158) nagle się-kurczy; cząstki płynu, przylegające do niej, poruszą się wskutek tego ku środkowi, a materya w najbliższem jej otoczeniu zostanie rozrzedzoną. Wskutek rozrzedzenia zmniejszy się ciśnienie w przyległych do kuli warstwach, a zaburzenie równowagi, polegające tym razem na rozrzedzeniu, rozprzestrzeniać się będzie od środka na zewnątrz, jako fala kulista rozrzedzona. Zjawisko to można również okazać na machinie falowej (fig. 159), jeżeli jeden z końców sprężyny pociągniemy szybko na zewnątrz: wzdłuż sprężyny przebiegnie wtenczas fala uwidoczniona rozszerzeniem skrętów.

Pomiędzy rodzajem odkształcenia, a kierunkiem prędkości cząstek wstrząśnionych przez falę, istnieje stały, niezmienny związek: cząstki, przez które przechodzi fala zgęszczenia nabyicoją prędkości w kierunku ruchu fali; fala natomiast rozrzedzenia potrąca cząstki w kierunku przeciwnym ruchowi fali.

Fale polegające na przewodzeniu zgęszczeń albo rozrzedzeń nazywają się falami podłużnemi, albowiem cząstki ciała,, przewodzącego fale tego rodzaju, poruszają się podłużnie t. j.. w tym samym kierunku jak fala, albo w przeciwnym.

189. Energia fal. Za pośrednictwem fal przewodzoną bywa energia ze źródła, w którem fale powstają, aż do najdalszych krańców przewodnika. Źródło wzbudzające fale wykonywa bowiem zawsze pracę; tak np. w przypadku, który rozważaliśmy w poprzedzającym ustępie, kula rozszerzająca się pracuje, albowiem rozszerzając się pokonywa bezwładny i sprężysty opór otaczającego płynu. Skutkiem pracy tej jest energia nagromadzona w fali pod postacią zgęszczenia i ruchu cząstek. Gdy fala przejdzie do dalszych cząstek, przechodzi z nią razem także ten zapas energii. Widzimy zatem, że przewodzenie fal jest przewodzeniem energii wśród materyi, która w ogólności nie zmienia przytem położenia swego wr przestrzeni. Zważywszy, że zaburzenie, stanowiące falę, polega na odkształceniu, tudzież na ruchu cząstek, przyjdziemy do wniosku, że energia fali składa się z dwu części, mianowicie z energii poten-cyalnej i energii kinetycznej; pierwsza jest nagromadzona w tych cząstkach, które w uważnnej chwili są zgęszczone lub rozrzedzone; druga zależy tylko od prędkości które one posiadają.

190. Prędkość fal. Ruch fali należy odróżniać od ruchu cząstek poruszanych przez falę. Pierwszy jest ruchem pewnego stanu materyi, drugi zaś ruchem materyi samej. Gdy pod wpływem wiatru kłosy na łanie zboża poczną się kołysać, wtenczas dostrzedz można fale podobne do tych, jakie powstają na powierzchni wody. W tym przypadku szybki stosunkowo postęp fal daje się łatwo odróżnić od powolnego pochylania się kłosów.

Prędkość cząstek ciała sprężystego, w którem z jakiegokolwiek powodu powstają fale, bywa rozmaita, zależnie od wartości popędu udzielonego cząstkom przewodnika przez źródło fal. Tak np. wystrzał wprowadza cząstki powietrza w szybszy ruch, wytwarza fale o większej energii, aniżeli słabe uderzenie młotka. Doświadczenie wskazuje natomiast, że prędkość samej-że fali, w pewnem danem ciele sprężystem, jest zawsze ta sama, nie zależy ani od mocy wstrząśnienia, ani od ilości energii zawartej w fali. Jeżeli uważamy z daleka wystrzał z pistoletu i uderzenie młotka, to fala wywołana w powietrzu wymaga w obu przypadkach tego samego czasu, aby przebiedz od źródła wstrząśnienia do ucha, w którem sprawia wrażenie głosu.

Fale w ciałach sprężystych poruszają się jednostajnie, z prędkością zależną tylko od własności przewodnika fal. Jedynemi własnościami tego przewodnika, które mają w tej mierze wpływ są sprężystość i bezwładność. Widzieliśmy bowiem, że dynar/iicz-ne wytłomaczenie postępu fal opiera się tylko na tych dwu własnościach; energia fali jest również w swej części potencyal-nej zależna tylko od sprężystości, w części kinetycznej od masy t. j. od bezwładności przewodnika. Niżej dowiedziemy szczegółowo, że prędkość fal, którą oznaczać będziemy przez c, zależy w istocie tylko od spółczynnika sprężystości, w tym rodzaju odkształcenia, jakie fala wywołuje, i od gęstości przewodnika. Zależność ta wyraża się zawsze wzorem następującego kształtu:

-V

spółcz. sprężystości

gęstość

191. Długość fali. Wróćmy do przypadku kuli rozszerzającej się, albo kurczącej się we wnętrzu płynu sprężystego (fig. 158). Przypuśćmy, że rozszerzanie albo kurczenie się kuli od* było się w ciągu pewnego krótkiego czasu T. Powierzchnia kulista staje się źródłem fali zaraz z początkiem czasu T, skoro tylko ruch jej się rozpocznie. Początkowe to zaburzenie równowagi oddala się niezwłocznie od kuli z prędkością fal c\ to samo dzieje się z dalszemi fazami zgęszczenia podczas całego czasu T. Przy końcu tego okresu, pierwsze ślady zgęszczenia (a, fig. 158), stanowiące przód, czyli czoło fali, oddaliły się już od kuli na odległość: jednocześnie ostatnia faza zaburzenia A oddziela się właśnie od kuli. Widzimy zatem, że grubość warstwy Aa=l, w której zaburzenie równowagi istnieje, zwana długością fali, zależy tylko od czasu trwania (T) pierwotnego zaburzenia i od prędkości przewodzenia fal (c) w danym płynie. Dalekość przesunięcia się powierzchni kuli (amplituda jej ruchu) nie ma wpływu na długość fali Od tej amplitudy natomiast zależy energia fali; im więcej kula rozszerza się, albo kurczy, w przeciągu czasu T, tern większą wykonywa pracę, tern większa prędkość i zgę-szczenie udziela się cząstkom otaczającego płynu, tern większa ilość energii gromadzi się w fali.

Podczas postępu fali, np. w położeniu B6, długość jej X zostaje niezmienioną, zarówno bowiem czoło jej a, jak koniec A,, oddalają się od źródła z tą samą prędkością c.

192. Fale peryodyczne, podłużne. Najważniejsze z tych zjawisk fizycznych, które objaśniają się ruchem fal — przewodzenie głosu i światła — wymagają, abyśmy zastanowili się nie-tylko nad ruchem fali pojedynczej, wzbudzonej jednorazowem wstrząśnieniem sprężystego przewodnika, lecz także nad ciągłem następstwem fal, jakie powstają, gdy wstrząśnienia powtarzają się peryodycznie t. j. w równych odstępach czasu. Wyobraźmy sobie, że kula A (fig. 161), umieszczona w płynie spiężystym, naprzemian rozszerza się i kurczy, w taki sposób, iż każdy punkt

.a:—-'

'V'

r'

4"

Fig. 161.

jej powierzchni (jak to wskazują na rysunku małe podwójne-strzałki) wykonywa ruch peryodyczny, czyli drgający, tam i na-powrót, w kierunku promienia. Zrozumiemy łatwo, że każde rozszerzenie się kuli wysyła falę zgęszczenia, każde skurczenie się falę rozrzedzenia. Z biegiem czasu płyn otaczający kulę drgającą zapełni się falami, w równych od siebie odstępach, z których jedne odbiegły już od źródła, inne dopiero powstają. Fale tego rodzaju, wywołane przez peryodyczne wstrząśnienia płynu, nazywają się falami peryodycznemi. Ustrój ich zależy ściśle od prawidła, według którego odbywa się ruch drgający źródła pobudzającego. Jeżeli źródło porusza się ruchem.

drgającym prostym, wtenczas fale rozchodzące się z tego źródła nazwiemy falami prostemi albo harmoniczne mi.

Każde drgnienie kuli wzbudzającej fale peryodyczne składa się z dwu części: z ruchu powierzchni na zewnątrz, podczas rozszerzania się i z ruchu w przeciwnym kierunku, podczas kurczenia się kuli. Pierwszy wywołuje falę zgęszczenia, drugi falę rozrzedzenia. Jedną falą nazywamy tę część zaburzenia, która powstaje podczas jednego całkowitego drgania źródła fal: tam i napowrót. Całkowita fala obejmuje więc w sobie część zgęszczoną i część rozrzedzoną. Oznaczmy okres drgania fal peryodycznych przez T, prędkość ich przez c. Zważywszy, że wstrząśnienia pojedyncze wychodzą ze źródła fal w równych odstępach czasu T, zrozumiemy, że w szeregu fal peryodycznych, utworzonych w płynie otaczającym, odstępy kolejnych zgęszczeń zx, z₂, z₃.. albo kolejnych rozrzedzeń r,, r₂, r₃..., będą jednakowe i równe:

X = c T.

Odstęp ten, mierzony w kierunku postępu fali, stanowi, według przyjętej powszechnie nazwy, długość jednej fali całkoici-tej. Długość fali równa się więc drodze, którą fala przebiega w ciągu czasu równego okresowi drgania. Jako jednę falę możemy uważać bądź to odległość od największego zgęszczenia, do następnego, bądź też od rozrzedzenia do rozrzedzenia, albo nakoniec od warstwy, która nie jest ani zgęszczona ani rozrzedzona, do następnej takiej warstwy. Wszystkie te odstępy są jednakowe i równe X. Długość fali w t}⁷m samym przewodniku bywa rozmaita, zależnie od trwania okresu drgań T, albo od częstości

¹ E⁻¹

Q

. Mamy bowiem X = eT ——- t. j. drgania o większej częstości tworzą fale krótsze; ogólnie mówiąc: długość fal w tym samym przewodniku jest odwrotnie proporcyonalna do częstości drgań i a

Zastanówmy się jeszcze nad prędkościami cząstek płynu, przewodzącego szereg fal peryodycznych. Wiemy już, że cząstki, przez które przechodzi zgęszczenie, poruszają się wówczas w kierunku fali, rozrzedzenie zaś nadaje im prędkość w kierunku przeciwnym (ust. 188). Podczas ruchu fal peryodycznych każda cząstka ulega naprzemian zgęszczeniu i rozrzedzeniu. Z tego wynika, że podczas ruchu fal peryodyc mych podłużnych cząstki przewodnika odbywają ruchy drgające około stałych po-

łożeń równowagi, naśladując w tej mierze drgania źródła fal; linie na których cząstki drgają, leżą podłużnie, t. j. równolegle do kierunku postępu fal. Duże strzałki na fig. 161 wskazują kierunki ruchu fal; małe wskazują kierunki prędkości cząstek przewodnika.

Fale kuliste, w rodzaju opisanych tu, powstają ściśle biorąc tylko wtenczas, gdy źródłem drgającem jest kula, naprze-mian rozszerzająca się i kurcząca. Ciała innego kształtu, np. dzwonek, drgający wskutek uderzenia i t. p., wzbudzają również fale w otaczającym płynie; fale te tuż obok dzwonka nie są kuliste, oddalając się jednak zaokrąglają się zarazem i przyjmują kształt niemal zupełnie kulisty. Podobne zjawisko spostrzegamy rzuciwszy do wody kamień postaci nieregularnej; fale tworzące się zaokrąglają się już w niewiełkiej odległości od órodka w prawidłowe kręgi.

Powierzchnią fali nazywamy powierzchnię przechodzącą przez te cząstki przewodnika, których ta sama fala dosięga jednocześnie. Każda z kul wyobrażonych na fig. 161 jest powierzchnią fali, w ruchu, o którym mówiliśmy wyżej. Cząstki leżące na powierzchni tej samej fali są jednocześnie zgęszczone lub rozrzedzone; poruszają się jednocześnie naprzód lub wstecz, słowem znajdują się zawsze w jednakowych fazach ruchu.

193. Fale płaskie. Najważniejszemi z fal peryodycznych są fale proste czyli harmoniczne. Własności ich rozbierzemy nieco szczegółowiej na przykładzie fal podłużnych, płaskich. Jeżeli fale biegną ze źródła na wszystkie strony (fig. 161), wtenczas powierzchnie fal są kulami. Fale płaskie powstają natomiast wtenczas, gdy zmusimy je do postępowania w jednym tylko kierunku. Wyobraźmy sobie np. długą rurę SK (fig 162), napełnioną płynem sprężystym, dajmy na to powietrzem (kreski w równych odstępach oznaczają jednostajną gęstość płynu). U jednego końca rury umieszczamy tłok S i wprowadzamy go w ruch drgający prosty, w zakresie między S' a S". Niechaj T oznacza okres jednego drgania, c prędkość fal w płynie. Dajmy na to, że tłok znajduje się z początku w S", odchylony na lewo z położenia środkowego. Po upływie pierwszej ćwierci okresu T przechodzi on przez położenie środkowe A (fig. 162, I) z największą prędkością, jaka w ruchu drgającym w ogóle tię zdarza; w ciągu pierwszej ćwierci okresu tłok zgęszczał przed sobą płyn,

T

a fala zgęszczenia zajęła przestrzeń Aa — c . — . Po upływie

drugiej ćwierci okresu dobiega on do skrajnego położenia po prawej (fig. 162, II); prędkość jego równa się tutaj zeru. Płyn znajdujący się w tej chwili przed tłokiem nie będzie więc ani zgęszczony ani rozrzedzony; gęstość jego ma taką wartość, jak gdyby fal wcale nie było. Największe zgęszczenie, które było poprzednio w A, posunęło się obecnie do A' — fala zajęła część rury aż do warstwy a', której odległość od początku wynosi

T

c . -ą-. W ciągu pozostałych dwu ćwńerci okresu tłok

Z

Ba' =

porusza się na lewo, wzbudzając w płynie falę rozrzedzenia. Najsilniejsze rozrzedzenie powstaje wówczas, gdy tłok przecho-

S”S S'

_A

a'

A'

TTTT

B*

A"

«"

IV

C*

8"

a"m

•X

z"''.

Fig. 162.

dzi powtórnie przez położenie środkowe, na lewo, C (fig. 162, III). Gdy zaś po upływie całego okresu wróci do pierwotnego położenia, D (fig. 162, IV), wtenczas znajdziemy w płynie jednę, całkowicie rozwiniętą falę. Ona sięga od D do a'" i posiada długość X=icT. Fala ta postępuje wzdłuż rury już w ciągu tworzenia się i ustępuje miejsca fali następnej, powstającej w ciągu następnego drgnienia tłoka. Fig. 162, okazuje pierwszą

falę już w położeniu D’a""} tudzież początek At D' fali następnej. Każda z tych fal zawiera częśc zgęszczoną B "a"' (IV), w której cząstki płynu mają prędkości skierowane w kierunku ruchu fal, tudzież częśc rozrzedzoną DB", w której cząstki płynu poruszają się w kierunku przeciwnym. Części zgęszczone oddzielone są od rozrzedzonych warstwami (np. B") o gęstości niezmienionej; warstwy te nie mają wcale prędkości, znajdują się chwilowo w spoczynku. Rozmieszczenie zgęszczeń i prędkości w obrębie jednej fali wyobraża wykreślnie linia falowa MN. Odległości różnych jej punktów od prostej PN są propor-cyonalne do zgęszczeń, albo do prędkości różnych cząstek płynu.

Ruch, który tu opisaliśmy różni się od fal kulistych tern, że energia nie rozprasza się na wszystkie strony, lecz postępuje razem z falami w jednym tylko kierunku. Powierzchnie fal są widocznie płaszczyznami prostopadłemi do kierunku przewodzenia fal. Każda warstwa płynu naśladuje ruch tłoka tak co do rodzaju, jak i obszerności drgania. Ponieważ jednak przewodzenie fali wymaga czasu, przeto każda faza ruchu źródła fal udziela się pewnej cząstce płynu tem później, im bardziej cząstka ta oddalona jest od tłoka. Ruch drgający tłoka (źródła fal) przedstawia równanie:

.    2%t

s₀ = a sin -pp ,

s₀ oznacza odchylenie jego z położenia środkowego po upływie ' czasu t, od chwili gdy zaczęliśmy liczyc czas (ust. 22). Jeżeli zwrócimy uwagę na dowolną cząstkę płynu, w odległości x od tłoka, to przewodzenie fali od tłoka aż do owej cząstki wymagać będzie czasu: t = — . Z tego wynika, że w chwili t, gdy

odchylenie tłoka jest s₀, cząstka ta mieć będzie takie odchylenie — s, jakie tłok posiadał o czas -c wcześniei, a więc:

s — a sin

czyli: s—a sin 2z ( „

x \

Æ>=asm

{ct x).

Zważywszy, że iloczyn cT równy jest długości fali = a, możemy też napisać:

(1)

s — a sin 2%

---^ , albo s=a sin ~ (ct-x).

Każda cząstka płynu porusza się więc tak samo jak źródło fal; między ruchami tymi istnieje jednak różnica faz, proporcyo-nalna do odległości x. Zapomocą równania (1) możemy obliczyć odchylenie którejkolwiek cząstki przewodnika w dowolnej chwili; ono określa w zupełności ruch fal płaskich, harmonicznych, nazywa się przeto równaniem tych fal.

W podobny sposób jak odchylenie, można obliczyć prędkość v ruchu drgającego tej cząstki przewodnika, której odległość od źródła fal oznaczyliśmy przez x. Niechaj v₀ oznacza prędkość tłoka w chwili t, natenczas podług ust: 24 (1) mamy:

2a%

cos

2îc i

v₀ —

Cząstka znajdująca się w odległości x od źródła uzyska tę

X

prędkość dopiero po upływie czasu z = — ; zatem w czasie i prędkość jej wynosi:

2 a%

cos

2sz (t — t)

! an    ( t x \ ..

cos 2%    ---J albo:

(2)

cos

2 TT

~y~ (Ct--X).

194. Ekergia fal harmonicznych płaskich. Energia fal płaskich, jak wszelkich w ogóle fal, jest po części kinetyczna, po części potencyalna. Zwróćmy uwagę na jednę cząstkę przewodnika, mającą masę m. Gdy jedna fala harmoniczna przechodzi za drugą przez tę cząstkę, wykonywa ona ruchy, które ze wszech miar można porównać z ruchami wahadła, drgającego około stałego położenia równowagi. W chwili przejścia przez położenie równowagi cząstka posiada największą prędkość, największą energię kinetyczną; w chwili gdy odchylenie jej równa się amplitudzie drgania a, prędkość jest równa zeru, lecz natomiast posiada ona największą energię potencyalną. W ten sposób energia cząstki przeobraża się stopniowo, podczas każdego drgnienia, z formy kinetycznej w potencyalną i na odwrót. Całkowita jej energia (t. j. suma kinetycznej i potencyalnej) jest jednakowoż ciągle jednakowa. Źródło fal przesyła wprawdzie cząstce drgającej nieustannie świeże zapasy energii, lecz one zostają natychmiast oddane w całości cząstkom następnym, o czem świadczy to, że ruch cząstki uważanej wcale się nie zmienia.

4

(ust. poprz'.). Energia jej

Otóż w chwili przejścia przez położenie równowagi pręd-kość cząstki posiada wartośd: V —

jest wtenczas całkowicie kinetyczna, a wartością jej jest:

. a².

2 Tc² m

rp2

W szeregu fal płaskich harmonicznych wszystkie cząstki poruszają się jednakowo; mają jednakowe amplitudy i prędkości a różnią się tylko tem, że cząstki bliższe źródła zaczynają poruszać się wcześniej, aniżeli dalsze. Celem obliczenia energii, zawartej w przewodniku przewodzącym fale tego rodzaju, należy utworzyć sumę energii wszystkich cząstek; zważywszy, że Y, a i T są wszystkim cząstkom wspólne, przekonamy się, że suma ta posiada-

O

wartość: { V² Sm, czyli:    a² Sm.

Wnosimy stąd, że energia zawarta w szeregu fal płaskich, harmonicznych, równa się energii kinetycznej, jakąhy posiadał przewodnik fal, gdyhy wszystkie cząstki jego, zajęte przez fale, poruszały się jednakowo, z prędkością równą największej prędkości ruchu drgającego. W rzeczywistości energia ta nie jest w całości kinetyczną, lecz podzielona jest w równych częściach na kinetyczną i poten-cyalną.

Jeżeli iv tym samym przewodniku powstają raz fale słabsze, innym razem silniejsze, o tym samym okresie, wtenczas, jak okazuje ostatni wzór, energie ich mają się do siebie jak kwadraty amplitudy ruchu drgającego.

Energia jest z falami ściśle związana i postępuje naprzód razem z niemi. Gdybyśmy położyli w myśli płaszczyznę, na poprzek rury prowadzącej fale płaskie peryodyczne (fig. 162) natenczas przez przekrój ten przechodziłaby nieustannie energia, przesyłana ze źródła fal do dalszych cząstek przewodnika. Ilość energii przesianej przez przekrój, w ciągu pewnego czasu, stosownie do poprzedzających uwag, jest proporcyonalna do pola przekroju, do kivadratu amplitudy drgania i do czasu, w ciągu którego uważamy przejście fal.

195. Obliczenie prędkości fal podłużnych w płynach. Wspomnieliśmy już, że prędkość fal c w ciałach sprężystych zależy od sprężystości i gęstości przewodnika, a nie zależy od rodzaju ani od wielkości wstrzą-śnień wywołujących falę. Dowiedziemy tego w mniejszym ustępie, a zarazem okażemy, że twierdzenie powyższe stosuje się ściśle tylko do takich fal, które sprawiają bardzo małe odkształcenia cząstek przewodnika, a więc do wstrząśnień słabych. Weźmy pod uwagę fale płaskie w płynie o gęstości d. MN (fig. 163) wyobraża część płynu, ujętego np. w rurę. Dajmy na to, że w płynie tym postępuje fala zgęszczenia, płaska, od M ku N,

■I

Fig. 163.

z prędkością c. Zwróćmy uwagę na część teł fali, między płaszczyznami A i B. W A znajduje się zgęszezenie; wskutek tego cząstki płynu posiadają tu pewną prędkość v, w kierunku M ku N. Płaszczyznę B natomiast poprowadźmy przez te cząstki, w których nie ma już zgęszczenia; cząstki te posiadają więc w danej chwili prędkość = o. Gęstość w płaszczyźnie B równa się pierwotnej gęstości płynu d- gęstość w A jest większa, wartością jej jest dajmy na to: d -j- d'.

Mówiąc o prędkości c fal w płynie, rozumiemy, że płyn sam jest nieruchomy, t. j. że cząstki jego nie mają osobnego ruchu, oprócz drobnych wstrząśnień spowodowanych przez fale. Gdyby płyn był w ruchu, gdyby np. płynął strumieniem od M ku N, wówczas unosiłby on fale ze sobą. Prędkość fal w przestrzeni byłaby w tym razie większa, aniżeli w płynie nieruchomym, mianowicie byłaby równa sumie prędkości c, i prędkości samego płynu. Fale wzbudzone w powietrzu, przez wystrzał, uderzenie i t. p. idą z wiatrem prędzej, aniżeli naprzeciw wiatru. Naodwrót, jeżeli płyn porusza się w kierunku przeciwnym postępowi fal, wówczas prędkość ich w przestrzeni będzie zmniejszona o prędkość samego płynu. Wyobraźmy sobie, że płyn porusza się jednostajnie od N ku M, t. j. w kierunku przeciwnym ruchowi fal, tudzież że prędkość tego ruchu równa się prędkości c, jaką miałyby fale w płynie nieruchomym.

W tych warunkach fala AB będzie w przestrzeni unieruchomiona, a płyn będzie przepływał nawskroś przez nią od B ku A.

f

Ten stan rzeczy weźmiemy pod uwagę, celem obliczenia prędkości c. Zważywszy, że fala jest ustalona w przestrzeni, między przekrojami A i B, zrozumiemy łatwo, że masa płynu wstępującego w ciągu pewnego czasu w przestrzeń między B i A równa jest masie, która wypływa jednocześnie na zewnątrz przez przekrój A; albowiem w obrębie fali AB rozmieszczenie zgęszczeń jest ciągle jednakowe, przeto też ilość materyi między B i A jest stała. Masa, wstępująca w ciągu jednostki czasu, przez jednostkę pola płaszczyzny B, równa się iloczynowi: cd, albowiem d oznacza tu gęstość płynu, c jego prędkość. W płaszczyźnie A płyn posiada gęstość d + d', tudzież prędkość c —■ v] przez jednostkę pola płaszczyzny tej wychodzi tedy w jednostce czasu masa: (c—v) (d-\-d').

Stąd równanie: cd = (c—v) (d -f d'), czyli: v —

cd'

d + d' '

d'

Wprowadźmy tu stosunek — — 6, oznaczający zgęszczenie, (ust. 129, sto-

CL

sunek zwiększenia gęstości do gęstości pierwotnej) a uzyskamy równa-

nie: v —

c6

1 + 6 •

Otóż, jeżeli zmiany gęstości płynu, sprawione przez fale^ są tak małe, iż zgęszczenie 6 jest bardzo małym ułamkiem, w porównaniu z jednością, wtenczas można opuścić 6 w mianowniku powyższego ułamka, poczem zostanie: v — c 6.

Równanie to potwierdza, co już wyżej zauważyliśmy, że prędkości cząstek poruszanych przez fale, są proporcyonalne do zgęszczeń, (lub roz-rzedzeń, gdy 6 ujemne) tych samych cząstek.

Zauważymy dalej, że płyn wychodzi z płaszczyzny A z prędkością c—v, a więc z mniejszą prędkością aniżeli płyn wstępujący w B. Zmniejsz« nie prędkości tłomaczy się tern, że ciśnienie płynu w przekroju A, wskutek panującego tam zgęszczenia, jest większe, aniżeli ciśnienie w B. Dajmy na to, że sprężystość uważanego płynu jest taka, iż poddany zgęszczeniu 6, powiększa ciśnienie o p. Ciśnienie w A będzie wskutek tego o p większe, aniżeli ciśnienie w B; w przekroju B, gdzie zgęszenia nie ma, panuje ciśnienie pierwotne, t. j. ciśnienie jakie płyn posiada, gdy fal nie ma. Okazaliśmy pierwej, że w ciągu jednostki czasu przez obie płaszczyzny A i B przepływa masa cd] masa ta wstępuje w B z prędkością c, wychodzi z A z prędkością c—v. Podczas jednostki czasu masa cd traci pęd cdv. Zmniejszenie pędu jest skutkiem nadwyżki ciśnienia (p) od strony A. Zważywszy, że zmiana pędu, przypadająca na jednostkę czasu, równa się sile działającej (ust. 39), mamy:

p = cdv.

Ponieważ v = c 0, przeto będzie:

p = c² dB, czyli: c² d =

p

Stosunek — równa się atoli spółczynnikowi sprężystości objętcśeio-0

wej (spółczynnikowi ściśliwości) płynu (usć. 155, 181), który oznaczaliśmy znakiem o.

Otrzymujemy więc szukany wzór na prędkość fal podłużnych w płynach, pod postacią:

(1)

-PT-

Tę samą postad posiadają wzory na prędkość fal wszelkiego rodzaju, jak to już nadmieniliśmy w ust. 190. Oto są dwa główne prawa odnoszące się do prędkości postępu fal:

1)    Fale iv przewodnikach sprężystych, jednolitych, przewodzące bardzo male drgania i odkształcenia, poruszają się z prędkością stalą, niezależną od wartości odkształceń, ani od amplitudy drgań.

2)    Prędkość fal zależy natomiast od rodzaju odkształceń i od gęstości przewodnika sprężystego; równa się mianowicie drugiemu pier-iviastkowi z ilorazu spółczynnika sprężystości, przez gęstość przeicodnika.

21,9 x 981 X10⁸ __

Wzór powyższy (1) zastosujemy naprzód do obliczenia prędkości, z jaką szybkie ale małe wstrząśnienia (np. głos) bywają przewodzone w wodzie. Spółczynnik ściśliwości wody w temp. 15° posiada wartość (ust. 155) : a = 21,9 X 10° G r/cm², czyli: 21,9 X 981 Xl0⁶ dyn/cm², gęstość wody d, w miarach układu bezwzględnego, równa się 1 gr/cm³; stąd c —

— 146600 cm/sek t. j. około półtora kilometra na sekundę. Bezpośrednie pomiary prędkości tej, wykonane przez Colladona i Sturma w jeziorze genewskiem, dały wynik nie wiele od tego różny (1435 mlseli).

Spółczynnik ściśliwości gazów, dla małych zgęszczeń lub rozrzedzeń, równa się ciśnieniu p, panującemu w gazie przed odkształceniem (ust. 181); spółczynnik o posiada jednak tę war-wartość tylko wtenczas, gdy temperatura gazu jest stała. Przy szybkich zmianach gęstości, jakie towarzyszą falom wywołanym przez nagłe wstrząśnienia, głos i t. p. warunek ten nie jest dopełniony; gaz zgęszczony nagle ogrzewa się, rozrzedzony ostyga. Zmiany temperatury towarzyszące tym odkształceniom czynią gaz trudniej ściśliwym. W nauce o cieple dowiedziemy, że spółczynnik a nie równa się w tym razie p, lecz kp, gdzie /^jest pewną liczbą, zależną od rodzaju gazu. Jeżeli ściśniemy np. powietrze tak nagle, żeby rozgrzanie towarzyszące zgęszczeniu nie miało czasu ustąpić, wówczas znajdziemy, że ono jest 1,405 razy trudniej ściśliwe, aniżeli przy powolnem zgęszczaniu, gdy temperatura wyrównywa się przez odpływ ciepła; w tym razie jest: a = 1,405 p.

. Według prawa Boyle’go stosu-

.P_ ₌

' d

We wzorze tym t oznacza temperaturę¹) powietrza, zaś A₀ = 7990 m wysokość atmosfery jednolitej dla powietrza suchego (ust. 180). Podstawiwszy wartości te we wzorze na prędkość fal znajdziemy:

Prędkość fal podłużnych w powietrzu oblicza się więc według wzoru: c —

nek ciśnienia do gęstości gazu posiada (ust. 180) wartość „ = gAa (l + ^g).

c = |//'1,405 X 7990 x(

273

) X 9,81 =332j/"

273

m/sek.

W powietrzu suchem, w temperaturze 0°, poruszają się więc wszelkie fale z prędkością 332 m/sefa; w temperaturze 15° znajdziemy około 341 m ’sek. Ten wynik teoryi był również wielokrotnie sprawdzany. Wystrzały armatnie i inne wstrząśnienia i głosy bywają istotnie przewodzone jako fale w powietrzu,

z prędkością wyżej obliczoną. Stosunek ■— ciśnienia do gęstości gazu jest liczbą stałą, zależną tylko od temperatury; z tego wynika, iż prędkość fal w gazach, w danej temperaturze, nie zależy tocale od ciśnienia, ani od gęstości gazu, t. j. wartość jej w gazie zgęszczonym jest ta sama jak w rozrzedzonym. Podwyższenie temperatury powiększa jednak prędkość fal.

196. Fale podłużne aa ciałach stałych. Ciała stałe mogą również przewodzić fale podłużne, albowiem w ciałach tych, podobnie jak w płynach, powstają oddziaływania sprężyste, gdy cząstki ich zostaną zbliżone albo oddalone od siebie. Jeżeli np. uderzymy młotkiem koniec długiego pręta żelaznego, albo drewnianego, w kierunku jego długości, wówczas zgęszczenie udzielone pierwotnie końcowi pręta staje się zawiązkiem fali, przebiegającej wzdłuż pręta, jako płaska fala zgęszczenia. Odkształcenia cząstek, wywołane przez ten rodzaj fal, należą do rzędu wydłużeń, o których była mowa w ust. 144. Prędkość fali zależy w tym razie od gęstości pręta i od spółczynnika spężystości s na wydłużenie. Wzór ' na prędkość c przyjmuje

VÏ-

kształt: c —

Przyjąwszy np. dla żelaza e = 1900 X

X 10° X 981 dyn/cm², d — 7.86 gr/cm³, znajdziemy: c — 487000 cm/sek — 4,9 kmjsek\ prędkość fal jest więc 14 razy większa, aniżeli w powietrzu; z tą samą prędkością poruszają się także fale rozrzedzenia.

Bezpośrednie pomiary prędkości fal podłużnych (głosu) w prętach, dały następujące wyniki, w stosunku do prędkości w powietrzu: drzewo dębowe 11, jodłowe 18, ołów 4, srebro 8, miedź 11, żelazo 14, stal 15.

197. Fale poprzeczne. Ciała stałe oddziaływają sposobem sprężystym nietylko na zgęszczenia lub rozrzedzenia, ale także na odkształcenia postaci, skręcenia. Wskutek tego ciała stałe mogą przewodzić fale, w których nie ma wcale zmian gęstości, fale polegające jedynie na przewodzeniu skręceń. Fale tego rodzaju noszą nazwę fal poprzecznych, z powodu o którym będzie poniżej mowa. Celem objaśnienia ustroju fal tego rodzaju na jednym z najprostszych przykładów, wyobraźmy sobie ciało bardzo rozległe, sprężyste ale stałe, t. j. posiadające pewien stopień sztywności (np. wielką masę galarety) i pomyślmy, że w jego wnętrzu wklejona jest kula A (fig. 164), mająca służyć jeko źródło fal. Jeżeli kulę tę obrócimy nagle, np. około

średnicy O, o kąt niewielki, wówczas warstwa najbliższa ciała sprężystego, przylegająca do kuli, zostanie odkształconą, a mianowicie ulegnie prostemu skręceniu; z jednej bowiem strony działa na nią kula, usiłując ją obrócić np. na prawo, z drugiej strony oddziaływają, wskutek bezwładności, dalsze warstwy, w kierunku przeciwnym. Odkształcenie udzielone cząstkom przylegającym do kuli, staje się zawiązkiem fali, która przenosi wstrząśnienie i odkształcenie do warstw dalszych. Zjawisko to

.f

0 AU

Fig. 164.

ma wiele podobieństwa do powstawania fal podłużnych (ust. 188). Tam jednak cząstki były potrącane przez kulę w kierunku promienia (podłużnie) — tu zaś, prostopadle do promienia (poprzecznie). Jeżeli będziemy kulę obracali naprzemian nà prawo i na lewo, o małe kąty, nadając jej ruch obrotowo - drgający około średnicy 0, wtenczas cząstki warstwy otaczającej kulę będą odkształcały się naprzemian w obu kierunkach i staną się źródłem fal peryodycznych, udzielających się warstwom dalszym. Każda cząstka ciała, której dosięgnie jedna z tych fal skręcenia, zostaje odchyloną z położenia równowagi w kierunku prostopadłym do promienia łączącego ją ze środkiem kuli, a więc prostopadle do kierunku, w którym fale postępują; stąd pochodzi nazwa fal poprzecznych.

Zwróćmy uwagę na szereg cząstek, których miejscem równowagi .jest promień AB. Po upływie pewnej liczby okresów drgania kuli, ciało sprężyste otaczające kulę zapełni się szeregiem fal kształtu kulistego. Cząstki, które w stanie równowagi leżały na promieniu AB, będą znajdowały się na linii falistej A a ß y ... Każda z nich drga w kierunku prostopadłym do AB. Rysunek (fig. 164) wyobraża stan ciała w chwili gdy kula, będąca źródłem fal, przechodzi przez położenie równowagi. Kula sama posiada wówczas największą prędkość i udziela największej prędkości sąsiednim cząstkom ciała. W tym samym kierunku jak kula porusza się także cząstka S, odległa od kuli o jedną długość fali X; cząstka ta otrzymuje teraz ruch, który wyszedł z kuli o jeden okres wcześniej. Cząstki a, y, £ posiadają w uważanej chwili największe odchylenia bądź to w jednę, bądź w drugą stronę; prędkości ich w tych położeniach są równe zeru.

Wyobraźmy sobie na linii AB szereg cząstek w kształcie małych sześcianów, o krawędziach równoległych do AB. Na fig. 164 narysowane są te sześciany podczas ruchu fal. W a y e... one są najbardziej odchylone z położeń równowagi, ale widocznie nie odkształcone wcale; w ß, §,... znajdują się w położeniach równowagi, ale zarazem są najbardziej skręcone. Widzimy więc, że największe odkształcenie idzie w parze z największą prędkością drgania—podobnie jak w falach podłużnych.

Energia fal poprzecznych jest w części kinetyczna, w części potencyalna, ukryta w cząstkach odkształconych; podobnie jak w falach podłużnych jest ona propocyonalna do kwadratu amplitudy drgań.

W miarę oddalania się od środka fale stają się coraz słabsze, albowiem energia zawarta w nich rozprzestrzenia się na coraz większe masy. Z tego powodu, w miarę jak fala oddała się od środka, grzbiety i doliny linii falowej stają się coraz płytszemi.

Można również wyobrazić sobie fale poprzeczne płaskie, postępujące w jednym tylko kierunku. W tym przypadku nie ma rozbieżności; energia przenosi się z cząstki na cząstkę bez rozproszenia; amplituda drgań, wyobrażona przez wysokość grzbietów i dolin linii falowej jest stała (fig. 15, 16, 20). Do tego przypadku stosuje się również równanie:

rozwinięte w ust. 193 dla fal płaskich podłużnych. Przez s należy tu rozumieć odchylenie poprzeczne, w czasie t, cząstki odległej o x od źródła fal. Twierdzenia odnoszące się do energii fal płaskich, podane w ust. 194 stosują się widocznie także do fal poprzecznych. Prędkość fal poprzecznych zależy od gęstości (d) przewodnika i od właściwego mu spółczynnika sprężystości postaci (ust. 136), t. j. od spółczynnika sztywnością. Obliczamy ją zapomocą wzoru:

Fale poprzeczne odznaczają, się nader wielką rozmaitością form; przewyższają one pod tym względem fale podłużne. Opisaliśmy wyżej najprostszą ich formę: fale kuliste, wywołane przez drgania obrotowe kuli około średnicy. Jest to rzeczą oczywistą, że w tym przypadku amplituda fal w kierunku tej średnicy jest zero. Największą wartość posiada ona w płaszczyźnie równika. Wstrząsając kulę w jakikolwiek dowolny sposób możemy wywołać mnóstwo form fal poprzecznych. Jeżeli np. jeden z punktów powierzchni kuli wykonywa drgania koliste lub eliptyczne (fig, 13, 24), podczas gdy środek kuli jest nieruchomy, wówczas cząstki przewodnika fal, leżące na odpowiednim promieniu, będą również wykonywały drgania podobnego rodzaju, w płaszczyznach prostopadłych do promienia. Źródłem fal poprzecznych może być zresztą ciało jakiejkolwiek postaci (niekuliste) wzbudzające podczas ruchu skręcenia w otaczających cząstkach przewodnika. W ogólności powstają wtenczas jednocześnie fale poprzeczne i podłużne; każdy z tych dwu układów fal porusza się niezależnie od drugiego, z właściwą sobie prędkością.

Nazwa fal poprzecznych nie ogranicza się wyłącznie do fal przewodzących skręcenia we wnętrzu ciał sprężystych. Każdy ruch falowy, od znaczający się tem, że odchylenia cząstek przewodnika są prostopadłe do kierunku przewodzenia fali, określamy nazwą fali poprzecznej. Tak np. fale na strunach, w części także na powierzchni cieczy (fig. 183, 177), są falami poprzecznemi.

198. Prawo o składaniu małych odchyleń. Zrozumienie bardziej zawiłych ruchów falowych można częstokroć ułatwić, uważając je jako wypadkowe pewnej ilości ruchów prostszych. Okażemy tu naprzód jak się znajduje ruch wypadkowy, powstający ze zbiegu kilku ruchów falowych, istniejących jednocześnie w przewodniku sprężystym. Dajmy na to, że w A i B (fig. 165) znajdują się jakiekolwiek źródła fal i zastanówmy się, jaki ruch mieć będzie pewna cząstka C, leżąca gdziekolwiek w przewodniku przewodzącym fale. Gdyby w przewodniku znajdowały się tylko fale pochodzące z A, natenczas punkt C otrzymałby w pewnej chwili odchylenie, dajmy na to Ga, a materya otaczająca ten punkt zostałaby w pewien sposób odkształconą. Podobnie, niech Cb oznacza odchylenie, któreby punkt C otrzymał w tejże chwili, gdyby w przewodniku istniały tylko fale

co *

Fig. 165.

pochodzące z B. Otóż, jeżeli oba te odchylenia i odkształcenia są bardzo małe, natenczas odchylenie punktu C, pod jednoczesnym wpływem obu szeregów fal, równać się będzie sumie geometrycznej odchyleń Ca i Cb. Fala pochodząca z B spotyka bowiem cząstkę C, odchyloną i odkształconą jednocześnie przez falę A. Ponieważ jednak to odchylenie i odkształcenie jest bardzo małe, przeto możemy przyjąć, że ruch wzbudzony przez falę B będzie niemal zupełnie taki, jakgdyby materya około C nie była wcale odkształconą; innemi słowy: iv przewodniku przewodzącym jednocześnie lńlka układów fal, pochodzar cych z różnych źródeł, każdy układ fal rozivija się tak, jakgdyby innych wcale nie było. Objaśnimy to twierdzenie przykładem fal wzbudzonych na powierzchni wody, przez wrzucenie kamienia. Fale te mają postać zmarszczek kolistych, rozszerzających się około środka wstrząśnienia. Dajmy na to, że rzuciliśmy kamień nie w spokojną wodę, ale w wodę, po której ciągnie szereg fal większych, np. wzbudzonych przez wiatr. Zmarszczki koliste utworzą się i w tym razie i będą rozprzestrzeniały się na grzbietach i dolinach tamtych fal większych, tak samo, jakgdyby powierzchnia wody nie była wcale poruszoną; inaczej mówiąc, takie dwa układy fal, o ile są dość nizkie, wcale sobie nie przeszkadzają.

Zrozumiemy teraz bez trudności, że odchylenie (tudzież prędkość) którejkolwiek cząstki ciała, przewodzącego jednocześnie kilka układów fal, jest sumą geometryczna, odchyleń (albo prędkości), jakieby uważana cząstka otrzymała w tej samej chwili od tych układów, gdyby każdy z nich istniał z osobna. Tak np. fala wychodząca z B (fig. 165) sprawiłaby odchylenie Cb, gdyby fali drugiej nie było; jednakowoż cząstka C odchyla się jednocześnie do a, wskutek działania fal pochodzących z A. Niezależnie od tego odchylenia Ca, fale B sprawiają odchylenie ac, mające tę samą wartość i kierunek jak Cb, t. j. jakgdyby cząstka była odchylona bezpośrednio z położenia równowagi. Wypadkowe odchylenie będzie więc: Cc = Ca + Cb.

Godne uwagi są wnioski wynikające z tej własności fal w zastosowaniu do teoryi głosu lub świała. Jeżeli dwie osoby mówią jednocześnie, odróżniamy oddzielnie oba głosy i rozumiemy je, pomimo że one wstrzą-ją te same cząstki powietrza; fale głosowe w powietrzu, pochodzące z jednego źródła, nie stoją wcale na przeszkodzie i nie zmieniają drugiego podobnego układu fal.

Jak dalece małemi powinny byó odchylenia, wywołane przez fale, aby prawo niezależności fal mogło byó stosowane, to można ocenić w następujący sposób. Odchylenie Ca (fig. 165), wzbudza siłę sprężystą, która usiłuje sprowadzić cząstkę napowrót do położenia równowagi wzdłuż aC, podobnie ma się rzecz z odchyleniami C& i Cc. Dopóki one są tak małe, że prawo Hooke’a (ust. 134) może być zastosowane, to siła działająca wzdłuż Cc będzie wypadkową sił aC i bC. Odchylenia będą wtenczas równie niezależne, jak nieżależnemi są siły (ust. 44).

191). Interferencya fal. Jeżeli w przewodniku istnieją jednocześnie dwa szeregi fal, a każdy z nich odchyla pewną cząstkę przewodnika w kierunku tej samej linii prostej, wtenczas te dwa układy będą się wzajemnie wzmacniały albo osłabiały, zależnie od tego, czy odchylają uważaną cząstkę w tym samym kierunku, czy w kierunkach przeciwnych. Odchylenie wypadkowe cząstki równać się będzie sumie odchyleń składowych, jeżeli kierunki ich są jednakowe; w przeciwnym razie odchylenie wypadkowe będzie równe różnicy odchyleń składowych. Jest to proste następstwo prawa o składaniu małych ruchów, które poznaliśmy w ustępie poprzedzającym. Jeżeli odchylenia składowe mają kierunki przeciwne, a nadto są równe co do wielkości, wówczas odchylenie wypadkowe będzie zero.

Spoczynek cząstki, w której spotykają się dwa szeregi fal może być niekiedy trwały; to zdarza się gdy wszystkie fale wychodzące z uważanych dwu źródeł znoszą się wzajemnie przy spotkaniu się w danej cząstce, we wszystkich fazach drgań jakich jej udzielają. Zjawisko tego rodzaju nazywamy interfe-rencyą fal.

Weźmy np. pod uwagę dwa źródła fal A i B (fig. 166), wy-konywające ruchy drgające proste o okresach jednakowych.

OL

Fig. 166.

Fazy tych ruchów niech będą zgodne, t. j. przyjmujemy, że cząstki A i B przechodzą jednocześnie przez położenia równowagi, jednocześnie odchylają się do góry lub na dół i t. d. Linia falowa AC wyobraża szereg fal pochodzących ze źródła A; BC szereg fal wzbudzonych przez B. C oznacza cząstkę przewodnika, której odległość od B jest, dajmy na to, o lj długości fali mniejsza, aniżeli odległość od A. W chwili, do której rysunek się odnosi, ruch A odchyla tę cząstkę na dół, ruch B do góry (dla większej jasności rysunku linie falowe A i B wyobrażone są osobno; w rzeczywistości kierunki przewodzenia fal spotykają się w położeniu równowagi cząstki C). Odchylenia te (o ile są równe) znoszą się wzajemnie. Po upływie połowy okresu drgania, grzbiet a fali pierwszej dosięgnie cząstki C jednocześnie z doliną ß fali drugiej; one będą znowu znosiły się. Warunkiem trwałej interferencyi będzie widocznie to, żeby ruchy drgające, wzbudzone w uważanej cząstce przez oba układy fal, odbywały się po tej samej linii, żeby amplitudy ich były równe, a fasy przeciwne (ust. 25 a). Obadwa układy fal powinny być przeto falami peryodycznemi prostemi, o równych okresach. Przyjęliśmy tu, dla przykładu, że drogi, które⁻ fale przebywają od źródeł A i B, do pewnej cząstki C, różnią się H długości fali; nie trudno jednak znaleźć prawo, określające ogólny warunek interferencyi. Wiadomo, że wr ruchu drgającym prostym każda faza zamienia się po upływie połowy okresu na przeciwną; fala nie-sie każdą fazę drgania naprzód z prędkością c, właściwą postępowi fal. Którakolwiek faza drgania, wysłana przez źródło A, dosięgnie cząstki C po upływie czasu równego ilorazowi odległości AC przez prędkość c. O pół okresu później uważana faza

oddali się od C o y, a miejsce jej w C zajmie faza przeciwna.

Z tego wynika, że fale wychodzące z A i B spotykać się będą w C w fazach przeciwnych, jeżeli czasy potrzebne do przebycia dróg AC i SC różnią się o £ okresu, albo 1| okresu, albo 2| okresu i t. d., ogólnie mówiąc, o nieparzystą wielokrotność połowy okresu drgania. To jest ogólny warunek interferencyi dwu szeregów fal. Przytem jest rzeczą obojętną czy oba szeregi mają równe prędkości postępu i równe długości fal, czy nie. Jeżeli prędkości obu szeregów są równe, wtenczas warunek interferencyi możemy wyrazić inaczej (por. zadanie 370). Zważywszy, że w przeciągu połowy okresu drgania jeden i drugi szereg posuwa

-

'CfA.Azçzz.

\A .i'-f

V\As\ V<7- „--

»—€5._^

m\

' T\ :Al

\\^

i\

v;

>-"<

OTM

$Vwe(¥)f}^

i/V

mkmm

ihuini

mmm

/;

j/

\;

\i

r>

/!

\.

___«it -v\ .>/ /V- / >

■~ •

ezA?

mcyy'Uur

Wmml

wiJjßm

Muf mm-,

TO

/! /

Fig. 167

się naprzód o połowę długości fali, możemy powiedzieć: dwa s^e-re$i fal, wychodzące ze źródeł mających fazy zgodne, znoszą się wzajemnie w tych cząstkach (C), w których drogi (AC i SC) przebyte przez oba szeregi różnią się o nieparzystą wielokrotność połowy długości fali.

Weźmy np. pod uwagę dwa źródła A i B (fig. 167), drgające prostopadle dó płaszczyzny rysunku; na płaszczyźnie tej rozprzestrzeniają się fale, wskutek których cząstki przewodnika drgają również prostopadle do tej płaszczyzny. Dajmy na to, że fazy punktów A i B i okresy drgań są jednakowe; kręgi nakreślone pełno oznaczają położenia grzbietów, kreskowane wyobrażają położenia dolin w pewnej chwili. Odległości dwu sąsiednich pełnych, albo dwu kreskowanych kręgów, są równe długości fali X. W punkcie takim jak np. C, którego odległość od

A jest o

— większa niż odległość od B, grzbiet fali jednego

La

układu spotyka się z doliną drugiego; w ogóle, w punkcie tym spotykają się zawsze ruchy o fazach przeciwnych, a wskutek tego osłabiają się wzajemnie. Ściśle mówiąc, amplitudy obu ruchów, spotykających się w C, nie są równe, gdyż źródło B, jako bliższe, udziela punktowi C nieco silniejszych wstrząśnień niż A. Wszelako, jeżeli odległości CA.

i CB są dość znaczne, to drobna różnica tych odległości (ma-

LA

jąca wpływ główny na różnicę faz ruchów składowych) może być pominięta przy ocenieniu wartości amplitud. Przyjąwszy zatem, że amplitudy są prawie równe, przekonywamy się, że w C istnieć będzie trwała interferencya fal. To samo odnosi się do wszystkich punktów na liniach r, s, t, u... W punktach natomiast leżących pośrodku pomiędzy owemi liniami, ruchy składowe spotykają się w fazach zgodnych; tam one wzmacniają się wzajemnie.

ZADANIA.

370) Odległości AC i BC (fig. 166) oznaczamy przez x i y. Drgania

2 TC t

obu źródeł fal wyrażone są, przez to samo równanie: s₀ = a sin — . Przypuszczamy, że oba układy fal pobudzają cząstkę O do ruchu po tej samej linii. Obliczyć amplitudę ruchu wypadkowego w punkcie C, jeżeli amplitudy przesłane tam z A i B są: at i a₂. Prędkość fal wychodzących z A oznaczamy przez ct, prędkość drugiego szeregu przez c₂.

Odp. Fale pochodzące z A wywołują w C drgania według równania (ust. 193).

2« / £C \

= ax sin — yt — — J ; fale pochodzące z B dają:

s₂ = a₂ sin —    ~ ) . Oznaczając przez s odchylenie w ruchu wy-

padkowym mamy: s = Sj -j- s₂ = sin

a, cos

2 5t X

2 TC 1/

l2

2tit (    . 2k x    . 2î:ÿ\

— cos-— i ax sin — -f- a₂ sin ——j. Wprowadźmy dwie nowe wielkości

Aj    K₂ /

A i 8, określone równaniami: A cos 8 = a, cos 2 it x

f-rt₂ cos

2-y

— a, sin

-j- o₂ sin

2~y

ż'2

; A sin 8 =

. Wówczas będzie: s — A sin ^

A oznacza ampl tudę ruchu wypadkowego. Celem obliczenia jej dodajmy kwadraty dwu przedostatnich równań; otrzymamy: A² = a,² -f- a₂² -f-

+ 2at at cos 2k

y_

. Iloraz

- wskazuje ilośó fal o długości X,, przypadających na drogę x; iloraz ten wyraża więc ile okresów drgania

y

fala potrzebuje do przebycia drogi x. Podobnie -—■ wyraża ilość okresów

X₂

X₂

drgania, w ciągu których druea fala przebywa drogę y. Jeżeli te dwie

x    y

ilości różnią się o jakąkolwiek liczbę całkowitą i, t. j. gdy jest: —— — —— — i,

X,    X₂

^2

wówczas mamy cos 2rci = 1, tudzież A = ax -f- a₂\ jeśli zaś:

= i -f- i, t. j. gdy czasy wspomniane różnią się o nieparzystą wielokrotność połowy okresu, wtenczas cos (2 k i -(- tc) = — 1, więc A = ax — a₂. Przyjąwszy nadto, że w tym drugim przypadku ax = u₂, uzyskamy znane warunki interferencyi. Jeżeli prędkości ct i r₂ są równe, więc także

= i + 4 przyjmie

x

Aj = X₂, wtenczas warunek interferencyi: —— — kształt: x — y = i X -f- — = (2 i -j- 1) —, w czem X oznacza długość fali,

2 2

spoiną obu szeregom.

209. Sposób Huygens a. Opierając się na prawach interferencyi, opiszemy tu sposób rozkładu fal na t. zw. fale cząstkowe, wskazany w r. 1690 przez Huygensa, a ułatwiający znakomicie rozwiązywanie niektórych zagadnień odnoszących się do ruchu fal. Jeżeli pewien punkt O (fig. 168) w ciele sprę-żystem wykonywa ruch drgający, wtenczas, jak wiemy, staje się on środkiem szeregu fal kulistych M, N i t. d. Każde wstrząś-nienie, wychodzące ze środka O, udziela się naprzód cząstkom a, b, c... leżącym na którejkolwiek powierzchni falowej M; one podają je następnie cząstkom na dalszych powierzchniach falo-

falowych jak N i t. d. Innemi słowy, zanim energia wysłana ze środka drgającego, pod postacią fal, dosięgnie cząstek l'eżą-cych na jednej z dalszych powierzchni falowych, przechodzi ona naprzód przez cząstki leżące na powierzchni falowej M. Otóż sposób Huygensa polega na tem, że zamiast jednego, pierwotnego źródła w O, można uważać cząstki leżące na powierzchni falowej M, jako źródła pomocnicze, wysyłające fale do dalszych cząstek przewodnika. Innemi słowy, gdyby środek O był w spoczynku, a cząstki a, b, c... poruszały się tak samo, jak się poruszają pod wpływem fal wychodzących z O, wtenczas falowanie wszystkich cząstek dalszych nie zmieniłoby się wcale. Każda z cząstek a, b, c... otrzymuje od źródła małą część energii przesłanej ogółem do powierzchni M; każda z nich wysyła tę energię dalej, pod postacią fali kulistej, mającej środek w uważa-

! /cXb

‘Ac

<T-----

f

-8

iD

HE

IF

Fig. 169.

Fig. 168.

nej cząstce. Fale te zo wiemy falami cząstko w emi (a' Aa", V Bb" i t. d. fig. 168). Fale słabe postępują jak wiemy z tą samą prędkością jak silne; z tego wynika, że po upływie pewnego czasu, promienie fal cząstkowych aA, M3, cC... urosną o tyle, o ile postąpiłaby naprzód fala główna M, w ciągu tego samego czasu. Powierzchnie kuliste fal cząstkowych: a, a', a"... i t. d. są przeto styczne do kuli NN, która wskazuje położenie fali wypadkowej po upływie czasu, o którym była mowa.

Sposób Huygensa polega więc na tern, że uważa się falę w któremkolwiek jej położeniu (NN) jako wypadkową nieskończenie wielkiej ilości fal cząstkowych, wychodzących ze ivszystkich punktów powierzchni tej samej fali, w jednem z wcześniejszych jej położeń (MM). Przy tworzeniu fali wypadkowej należy zatrzymać' z każdej fali cząstkowej tylko nieskończenie mały wycinek (np. około A,B,C...) wykrojony przez sąsiednie fale cząstkowe, Te nieskończenie małe odcinki fal cząstkowych tworzą razem nową powierzchnię ciągłą, która jest właśnie powierzchnią szukanej fali wypadkowej. Z tego sposobu tworzenia wynika, że każda powierzchnia fali (jak np. NN) jest spoiną styczną do powierzchni wszystkich fal cząstkowych, których środki leżą na powierzehni tej samej fali, w któ-remkolwiek z wcześniejszych jej położeń (MM). Fig. 169, zrozumiała bez bliższych wyjaśnień, okazuje postęp fali płaskiej z położenia MM do NN, przy współudziale fal cząstkowych, kulistych, wychodzących ze środków «, h, c... W podobny sposób można wyznaczyć kształt fali rozszerzającej się także w przypadkach bardziej zawiłych.

Sposób Huygensa stanowi odmienne od zwyczajnego opisanie postępu fal, w rzeczywistości prowadzi jednak do tych samych wyników, jak sposób którego używaliśmy dotąd. Opierając się na prawie składania małych drgań i na prawie interferencyi można się przekonać, że fale cząstkowe wywołują w przewodniku taki sam ruch, jaki byśmy otrzy-

*»«

:i

iii

o.....

IV;

O'”'

Fig. 170.

mali śledząc bezpośredni przebieg fali głównej. Dajmy na to, że źródło fal znajdujące się w O (fig. 170) wysyła ciągle wstrząśnienia peryodyczne, udzielające się, za pośrednictwem fal, cząstkom leżącym na powierzchni MM. Poczynając od tej powierzchni uważać będziemy dalsze przesyłanie wstrząśnień sposobem Huygensa, za pośrednictwem fal cząstkowych, wychodzących z punktów leżących na MM. Szukamy ruchu wypadkowego, który wykonywa cząstka znajdująca się np. w A. Podzielmy naprzód powierzchnią MM na części, wysyłające fale cząstkowe. Moglibyśmy dokonać podziału tego w jakikolwiek sposób, wszelako dla ułatwienia i ozu-mowania postąpimy jak następuje, Z A, jako środka, kreślimy szereg kul a, ß, p.. z których pierwsza dotyka się (w punkcie a) powierzchni MM;

połowę długości fali (—^ .

dalsze mają promienie wzrastające stopniowo o

Kule te dzielą powierzchnię MM na szereg stref, z których pierwsza (b a b') jest najobszerniejsza, gdy dalsze mają szerokości stopniowo malejące (bc, cd,...). Każda z tych stref wysyła energię pod postacią fal cząstko wych, w ilości proporcjonalnej do swepo pola. Owóż fale wychodzące z cząstek powierzchni MM, leżących w otoczeniu np. b i <•, spotykając się w A, osłabiają się wzajemnie, wskutek interferencji, albowiem róż-

X

nica dróg przebytych przez nie wynosi — . Amplitudy przesłane przez

różne strefy do punktu A zależą od energii fal cząstkowych, a zatem od pól obszarów, w otoczeeiu b lub c, na których powstają. Gdyby dwie sąsiednie strefy np. bc i cd mh>ły pola równe, to ruchy wysłane z tych stref do A znosiłyby się tam zupełnie. Pola tych stref nie są wprawdzie równe, lecz można okazać, że pole którejkolwiek ze stref, na które podzieliliśmy MM, równa się średniej arytmetycznej pola strefy poprzedzającej uważaną i pola następującej. Z tego wynika, że działanie strefy drugiej bc zniesione jest przez połowę działania strefy pierwszej i połowę trzeciej; działanie s'refy czwartej (dc) w punkcie A, znosi wskutek int<u-ferencyi połowa trzeciej i połowa piątej i t. d. Ostatecznie zostaje tylko działanie połowj- strefy pierwszej, około punktu a. Widzimy więc, że wprowadzenie fal cząstkowych, ułatwiające tak znakomicie wykreślenie następujących po sobie położeń powierzchni fali, jest dozwolone, albowiem ruch którejkolwiek cząstki (A) pochodzi w rzeczywistości tylko od najbliższych cząstek około a na powierzchni fali, a działania innych fal cząstkowych znoszą się wzajemnie. (Co do zastosowań optycznych tego sposobu por. tom II, ust. 160).

201. Odbicie się fal. Ściana z materyału stałego, nie ustępującego pod działaniem słabych popędów wywieranych przez trafiające go fale, stanowi nieprzebytą zaporę dla fal; postęp fal w otaczającym przewodniku sprężystym zostaje przez taką ścianę wstrzymany. Ponieważ jednak energia nagromadzona w falach nie mpże zniknąć bez śladu, ani też nagromadzić się-

pod ścianą, przeto, doszedłszy do ściany, fale muszą zwracać się z powrotem jako t. zw. fale odbite. Odbicie fal zdarza się również gdy przewodnik fal ograniczony jest powierzchnią swobodną, poza którą znajduje się próżnia; powierzchnia tego rodzaju działa podobnie jak ściana stała. Są to dwa przypadki, skrajne, w których fale zostają odbite całkowicie. Częściowe odbicie fal zdarza się jednak na każdej powierzchni rozgrani-czącej dwa przewodniki, różniące się bądź to gęstością, bądź

Ml

~ ~~—P

li

«

ü uT~    - y.:

---y---

¹¹,

m,

Fig. 171.

sprężystością. W tym razie część tylko energii zawartej w falach spotykających granicę zostaje odbitą; reszta wnika do wnętrza drugiego przewodnika pod postacią fal przepuszczonych.

Ażeby objaśnić szczegółowo zjawisko odbicia się fal, przypuśćmy, że np, fala zgęszczenia płaska MN (fig. 171) dąży ku ścianie stałej AB. Rozmieszczenie zgęszczeń w obrębie tej fali wyobraża wykreślnie linia krzywa mn. Wskutek zwiększonego ciśnienia, panującego w obrębie fali i wskutek ruchu jaki posiadają cząstki przewodnika, fala, spotkawszy ścianę, wywiera na nią ciśnienie w kierunku M ku N. Wobec tego ciśnienia ściana oddziaływa w kierunku przeciwnym. W istocie, cząstki

przewodnika, leżące tuż przy ścianie, nie mogą poruszyć się naprzód, albowiem ściana zagradza im drogę; prędkości, które fala usiłuje im nadać, zostają w zupełności zniesione przez oddziaływanie ściany. Inaczej mówiąc, oddziaływanie to udziela cząstkom leżącym tuż przy ścianie prędkości równych, ale mających kierunek przeciwny, aniżeli prędkości udzielane im przez fale. Otóż te wstrząśnienia, oddane przez ścianę, nie giną, lecz stają się źródłem nowej fali, fali odbitej; na mocy prawa o niezależności ruchów falowych (ust. 198) fala ta przebija się na wskroś przez falę pierwotną i oddala się od ściany w przeciwnym kierunku. Działanie ściany jest zatem takie, jakgdyby na spotkanie fali mn, od chwili jej zbliżenia się do ściany, wychodziła od ściany druga fala m'n', zupełnie podobna do pierwszej (jak obraz w zwierciedle), ale poruszająca się wr przeciwnym kierunku i udzielająca cząstkom przy ścianie przeciwnych prędkości. Prędkości nadane tym cząstkom znoszą się, lecz zgęszczenia wzmacniają się. Jeżeli fala trafiająca ścianę jest falą zgęszczenia, natenczas fala odbita będzie również falą zgęszczenia; to samo odnosi się do fali rozrzedzenia. Na fig. 171 wyobrażone są cztery fazy powstawania fali odbitej. Linie pełne, cieńsze, okazują rozmieszczenie zgęszczeń w fali pierwotnej i w powstającej fali odbitej; linie grubsze wyobrażają zgęszczenia wypadkowe, wywołane przez obie fale istniejące jednocześnie; zgęszczenia te są równe sumom zgęszczeń wyobrażonych przez linie cieńsze; m\ n\ oznacza zupełnie już utworzoną falę odbitą, powstałą z fali pierwotnej mn.

Powiedzieliśmy, że fale odbijają się całkowicie także na zewnętrznej, swobodnej powierzchni przewodnika, jeżeli po drugiej stronie tej powierzchni znajduje się przestrzeń próżna. Przebieg zjawiska jest w tym razie nieco odmienny. Cząstki przewodnika leżące na powierzchni mogą poruszać się swobodnie naprzód, ale natomiast nie znoszą zgęszczeń, gdyż nie posiadają żadnego oparcia od strony zewnętrznej. Jeżeli np. fala zgęszczenia dosięgnie cząstek leżących na powierzchni swobodnej przewodnika, wtenczas nie spotykając oporu od strony zewnętrznej, uzyskają one większą prędkość, aniżeli inne cząstki, leżące we wnętrzu przewodnika. Działanie powierzchni odbijającej jest w tym przypadku takie, iż przyczynia ona cząstkom prędkości na zewnątrz, a więc staje się źródłem odbitej fali rozrzedzenia. Ażeby w tym razie wytłomaczyć zjawisko odbicia, należy wyobrazić sobie, że na spotkanie fali zgęszczenia mn

(fig. 172) wychodzi od ściany, w przeciwnym kierunku, zupełnie podobna fala rozrzedzenia m' n' (wyobrażona na rysunku przez linię krzywą, narysowaną poniżej prostej mm'\ strzałki mniejsze oznaczają tu, jak i na fig. poprzedzającej, prędkości cząstek w fali pierwotnej i odbitej-, strzałki większe wskazują kierunek postępu fal). Zgęszczenia fali pierwotnej zostają na powierzchni odbijającej zniesione przez rozrzedzenia fali odbitej; natomiast prędkości cząste ', wytworzone przez obie fale, wzmacniają się wzajemnie. Ruch cząstek w fali rozrzedzenia posiada bo-

“__

o.

*r

■ Fig. 172.

wiem zawsze kierunek przeciwny kierunkowi ruchu samej fali (ust. 188); fala odbita od powierzchni zewnętrznej udziela więc cząstkom prędkości w tym samym kierunku jak fala pierwotna. Możemy przeto w ogólności powiedzieó, że przy odbiciu się fal od powierzchni, która nie stawia oporu ciśnieniom wywołanym przez fale, kierunek drgania cząstek przewodnika nie zmienia się; jeżeli natomiast powierzchnia odbijająca oddzialyica przecho tym ciśnieniom, ivtenczas prędkości cząstek w fali pierwotnej i odbitej mają kierunki przedtem.

Oba opisane tu przypadki odbicia się fal można objaśnić zapomocą machiny falowej (fig. 159) Chcąc naśladować odbicie się od stałej powierzchni, przytwierdzamy koniec B sprężyny do jakiejkolwiek stałej podpory; pozostawiwszy natomiast koniec B wolnym, otrzymamy pdbicie się fali bez zmiany kierunku, jakby

od powierzchni swobodnej. W tym samym celu można użyć sznura, albo lepiej węża gumowego, napełnionego (w celu zmniejszenia prędkości fal) piaskiem (fig. 173). Wstrząśnienie jednego końca A wywołuje (jeżeli sznur jest nieco napięty) fale poprzeczne, postępujące ku drugiemu końcowi B, gdzie zostają odbite. Zależnie od tego czy koniec B jest nieruchomo przytwierdzony (fig. 173, I), czy poddający się (przywiązany do cienkiego sznurka, fig. 173, II) otrzymamy falę odbitą o odchyleniu mają-

I!

Fj>. 17?.

cem przeciwny kierunek, aniżeli odchylenie fali pierwotnej, albo o odchyleniu jednakowego kierunku. Celem zapobieżenia omyłkom przypominamy, że linie krzywe na fig. 171 i 172 nie oznaczają odchyleń, lecz zgęszczenia t. j. odkształcenia. Ztąd pochodzi pozorna różnica między tamtymi rysunkami a fig. 173. Gdyby linie krzywe na fig. 171 i 172 wyobrażały rozmieszczenie prędkości albo odchyleń cząstek w fali, natenczas fig. 172 odnosiłaby się widocznie do przypadku ściany stałej, zaś fig. 171 do powierzchni swobodnej.

Wykreślenie kształtu fali odbitej daje się z łatwością uskutecznić zapomocą sposobu Huygensa. Jeżeli np. w punkcie O (fig. 174), przed ścianą płaską AB, powstaje fala kulista natenczas rozprzestrzenia się ona swobodnie, aż do chwili, gdy—w położeniu MN — dosięgnie ściany w najbliższym punkcie C, t. j. w punkcie przecięcia się prostopadłej OC ze ścianą. Od tej chwili zaczyna tworzyć się fala odbita. Fala ta wychodzi z cząstek przewodnika leżących przy ścianie; w miarę tego, jak fala pierwotna ogarnia te cząstki, stają się one środkami fal cząstkowych, których wypadkową jest właśnie fala odbita. Fig. 174 wyobraża rozwój fali o dbitej, w chwili, gdy fala pierwotna postąpiła do Mt mn Nt.

Gdyby ściany nie było, a przestrzeń za płaszczyzną AB była zajęta przez to samo ciało sprężyste, które znajduje się przed nią, wtenczas podczas postępu fali z położenia MON do MtPNj, cząstki C, c, d i t. d., leżące na płaszczyźnie AB, stawałyby się po kolei środkami fal cząstkowych. Cząstka C, najwcześniej wstrząśnięta, wysłałaby falę o promieniu CP; z cząstek c i d utworzyłyby się fale sięgające do p i q i t. d. Fala wypadkowa MjPNj byłaby spoiną powierzchnią styczną tych fal cząstkowych. W rzeczywistości AB jest ścianą stałą, która

M.

i\

wà

>0

i

f-J

N,

Fig. 174.

nie przepuszcza fal wcale, albo przepuszcza tylko część zawartej w nich energii, a resztę odbija. Wskutek tego wspomniane fale cząstkowe rozwijają się wstecz; tak np. z C ku P', zamiast ku P; z c ku pzamiast ku p i t. d. Spoina powierzchnia styczna mP'n tych fal cząstkowych jest widocznie częścią kuli, symetryczną względem kuli mP n. Jest to fala odbita, utworzona podczas postępu fali pierwotnej z położenia MN do M'XŚrodek fali odbitej kulistej znajduje się za ścianą w punkcie O', na

linii 00', prostopadłej do ściany AB, w odległości CO', równej • ‘ odległości CO środka fali pierwotnej. Punkt O' znaleziony za-pomocą tego wykreślenia nazywa się obrazem punktu O? względem ściany. Prawo odbicia się fal kulistych możemy ną zasadzie powyższego wyjaśnienia wypowiedzieć w sposób następujący: Fala kulista, po odbiciu się od ściany płaskiej, tworzy znowu . falę kulistci, której środkiem jest obraz środka fali pierwotnej. Przy odbiciu się od powierzchni zakrzywionych kształt fali ulega w ogóle znacznym zmianom; zjawiska te poznamy dokładniej w nauce o promieniowaniu.

202. Fale stojące. Na osobny rozbiór zasługuje przypadek interferencyi dwu szeregów fal prostych i płaskich, jedna- » kowej amplitudy i częstości, poruszających się w kierunkach przeciwnych. Przypadek ten zdarza się np. gdy szereg fal peryodycznych (podłużnych albo poprzecznych) trafia ścianę, od

SL.

->■

Jl.

w?

'~~ST

Q.

,A i»"

a’

iv

“ I    b

Fig. 175.

której odbija się całkowicie. Cząstki przewodnika zostają wówczas poruszane jednocześnie przez fale pierwotne i przez odbite. Wynikiem spotkania się tych dwu szeregów fal są t. zw. fale stojące, których własności zamierzamy tu wyłożyć. Odróżnimy

tu, jak w ust. 201, odbicie się od ściany stałej i od powierzchni swobodnej przewodnika.

a) Niech AB (fig. 175) wyobraża ścianę stałą, o którą uderzają nieustannie fale peryodyczne płaskie, podłużne albo poprzeczne, w kierunku prostopadłym do ściany. Linia falowa a,b,c,d... wyobraża odchylenia cząstek, pod wpływam tych fal.²) Każda fala, uderzając o ścianę AB, daje początek fali odbitej, tej samej postaci, mającej atoli przeciwny kierunek ruchu i wstrząsającej cząstki przewodnika w przeciwnym kierunku (z powodu stałości ściany) aniżeli fala pierwotna. Tak np. na spotkanie grzbietu a fali wychodzi od ściany dolina a'\ gdy pierwszy postępuje ku ścianie na prawo, druga porusza się jednocześnie na lewo. Rysunek (I) przedstawia stan przewodnika w chwili, gdy znaczna ilość fal uderzyła już o ścianę, wskutek czego powstało tyleż fal odbitych. Widoczną jest rzeczą, że linie falowe fal pierwotnych i odbitych nakrywają się w chwili uważanej; np⁻ grzbiet a fali pierwotnej spotka się z grzbietem fali odbitej, utworzonym przez odbicie się doliny, poprzedzającej grzbiet a. Wynikiem tego spotykania się fal w fazach zgodnych jest wzmocnienie, podwojenie, odchyleń. Stan przewodnika w uważanej chwili wyobraża linia falowa QPNM (fig. 175,1).

('wier.ć okresu drgania później, obie linie falowe zajmują nowe położenia, przesunięte o ćwierć długości fali: pierwotna na prawo (fig. 175 II, linia falowa pełna dcba), odbita na lewo (linia falowa kreskowana). Fazy odchyleń rozminęły się wskutek tego o połowę drgania; odchylenia w fali pierwotnej i odbitej znoszą się wzajemnie. Cząstki MNPQ, które miały poprzednio największe odchylenia, nie mają obecnie żadnych, lecz poruszają się z największą prędkością przez położenia równowagi, na-przemian w kierunkach przeciwnych.

Po upływie dalszej ćwierci okresu zgodność faz fali pierwotnej i odbitej powraca. Linia falowa wypadkowa (III) przyjmuje postać podobną do I, jednak kierunki odchyleń są przeciwne. Po upływie trzeciej i czwartej ćwierci okresu wracają formy IY i I, jak to jest widoczne na rysunku (por. zad. 375).

Główną cechą ruchu, który tu opisaliśmy jest to, że ruch postępowy, znamionujący zwyczajne fale, został zupełnie ukryty. Grzbiet}r i doliny fal nie postępują naprzód, lecz tworzą się i znikają ustawicznie w tych samych cząstkach przewodnika; nie są to już fale postępowe, lecz fale stojące na jednem miejscu. W falach zwyczajnych (postępowych) każda faza drgania przenosi się kolejno do coraz dalszych cząstek przewodnika; tu na' tomiast wszystkie cząstki przechodzą jednocześnie przez położenia równowagi, osiągają jednoczeście największe odchylenia. Wartość amplitudy drgania cząstek nie jest zresztą jednakowa.

.“L

/-

br

C_

ftC,' ■

N,

---V_

0.

a'

"TT'

Ä.

Wj,

Pic. 176.

Punkty W, W1? W₂,..., ogólnie mówiąc wszystkie cząstki dotykające się ściany, tudzież te, których odległości od ściany wy-

albo 2 -g-, albo 3

noszą:

to

i t. d. pozostają trwale w spo-

czynku, mają amplitudę zero. Cząstki te leżą w płaszczyznach równoległych do ściany, zwanych płaszczyznami węzłowe mi. Każdy z punktów W, W,, W₂... na linii falowej nazywa się węzłem. Inne cząstki mają amplitudy różne od zera; największa amplituda i największe prędkości drgania znajdują się w punktach M, N, P, Q..., zwanych strzałkami, leżących po środku między płaszczyznami węzłowemi. Każdy węzeł oddziela grzbiet od doliny; prędkości cząstek i odchylenia ich, po obu stronach węzła, mają przeciwne kierunki.

b) Przyjmijmy teraz, iż ściana AB (fig. 176) stanowi część swobodnej powierzchni przewodnika. W tym przypadku tworzy się fala odbita, wstrząsająca cząstki leżące na powierzchni w tym samym kierunku jak fala pierwotna; grzbiet (odchylenia) fali odbija się jako grzbiet, dolina, jako dolina. Jeżeli linia falowa dbca wyobraża odchylenia cząstek w fali pierwotnej, natenczas linia kreskowana b' a... będzie obrazem fali odbitej. Siedząc bieg obu tych fal przez cztery ćwiartki okresu, przekonamy się z łatwością, że wskutek zbiegu fal pierwotnych i odbitych tworzą się i w tym razie fale stojące, poprzedzielane węzłami W, W,, W₂, oddalonymi od siebie o połowę długości

fali

. Pierwszy z tych węzłów (W) nie leży jednak na powierzchni odbijającej, lecz w odległości ćwierci fali od ściany (por. zad. 376).

Ażeby zdać sobie sprawę z rozmieszczenia zgęszczeń i roz-rzedzeń, ³) w falach stojących, przypuśćmy, że grzbiety linii falowych w fig. 175 i 176 wyobrażają zgęszczenia, doliny rozrze-nia, jak to przyjmowaliśmy w ust. 201. W tem założeniu fig-. 116 odnosić się będzie do przypadku ściany stałej (zgęszczenie odbija się jako zgęszczenie), fig. 175 natomiast do powierzchni swobodnej (zgęszczenie odbija się jako rozrzedzenie). Litery M, N, P, Q... oznaczają teraz węzły. Z obu tych figur wyczy-tujemy z łatwością, iż w falach stojących największe zgęszczenia i rozrzedzenia zdarzają, się (naprzemian co do czasu i przestrzeni) iv węzłach; w strzałkach niema ani zgęszczeń ani rozrzedzeń.

Do uzmysłowienia fal stojących nadają się najlepiej fale poprzeczne. W tym celu można użyć sznura przywiązanego bądź to do ściany stałej, bądź też do końca cienkiego sznurka (fig. 173). Wstrząsając peryodycznie koniec wolny przekonamy się, że sznur podzieli się, węzłami nieruchomymi, na szereg odcinków, drgających naprzemian w przeciwnych kierunkach, na

kształt linii falowej MNPQ, fig. 175 (jeżeli koniec jest przytwierdzony do ściany), lub fig. 176 (jeżeli koniec jest ruchomy).

Niemniej łatwo jest wzbudzić fale stojące na wodzie. W tym celu używa się długiego prostokątnego korytka, mają-

Ja

Fig. 177.

cego ściany szklane (fig. 177). Fale wzbudzone u jednego końca, przez peryodyczne zanurzanie klocka drewnianego, odbijając się od przeciwnej ściany, przechodzą niebawem w kołysanie się, znamionujące fale stojące.

203. Załamywanie się fal.' Na powierzchni rozgraniczającej dwa przewodniki różnorodne fala dzieli się w ogólności na falę odbitą, która wraca do przewodnika pierwszego i na falę przepuszczoną, wnikającą do wnętrza przewodnika drugiego.

P.

N.

B,

4.

04

O.

a.

ag

p*

i—-\C

Fig. 108.

Kierunek w którym fala przepuszczona postępuje w przewodniku ku drugim, różni się jednak w ogólności od kierunku fali pierwotnej w pierwszym. Tę zmianę kierunku fali, podczas przejścia przez

granicę, nazywamy załamywaniem się fali. Zjawisko to daje się '.z łatwością wytłomaczyć na zasadzie znanych nam już praw; zobaczymy, że zdarza się ono zawsze, gdy prędkości przewodzenia fał w uważanych przewodnikach są nierówne.

Weźmy pod uwagę falę płaską AB (fig. 178), padającą ukośnie, pod jakimkolwiek kątem, na płaszczyznę MN, oddzielającą przewodnik Pt, w którym fale postępują z prędkością <?,, od innego przewodnika P₂, w którym prędkość fal jest c₂. Zakładamy, że oba przewodniki są ciałami sprężystemi, równokie-runkowemi, a więc że w każdym z nich prędkość fal jest . Wé wszystkich kierunkach jednakowa. Płaszczyzna rysunku przecina pod kątem prostym powierzchnię fali AB, tudzież płaszczyznę graniczną MN. Nazwiemy ją płaszczyzną padania fali AB. Płaszczyzna.padania jest więc prostopadła do śladu, t. j do krawędzi przecięcia się płaszczyzn AB i MN; ślad ten widzimy na rysunku w skróceniu, jako jeden punkt A.

Fala AB postępuje w pierwszym przewodniku z prędkością c1; w kierunku strzałki PA. Z biegiem czasu zajmuje ona położenia at bu a₂ b₂, a₃ b₃ i t. d. Postępując w ten sposób naprzód wstrząsa ona po kolei cząstki A, au a₂... D, leżące na płaszczyźnie MN. Cząstki te stają się wskutek tego środkami fal kulistych, cząstkowych, które rozszerzają się od chwili wstrzą-śnienia we wnętrzu drugiego przewodnika, jednostajnie, z prędkością c₂, właściwą temu przewodnikowi ⁴). W chwili gdy cząstka D zostaje wstrząśniętą, utworzyły się już około środków «3, a₂, au a fale cząstkowe o promieniach a₃ cf₃, a% d₂, aA du AC. Promień AC jest największy, albowiem fala pierwotna dosięgła cząstki A najwcześniej. Cząstka a₂, leżąca w połowie odległości AD, utworzyła falę cząstkową, której promień a₂ d₂ mierzy w uważanej chwili tylko połowę promienia AC. Ogólnie mówiąc, promienie fal cząstkowych są proporcyonalne do odległości odpowiednich cząstek od śladu, który fala przechodząca przez D kreśli na płaszczyźnie MN. Z tego wynika, że fale te mają spólną płaszczyznę styczną, prostopadłą do płaszczyzny rysunku; jest nią powierzchnia fali wypadkowej CD (ust. 200). Podczas dalszego wzrostu fal cząstkowych, które utworzyły falę wypadkową CD, postępuje ona we wnętrzu przewodnika P₂, z prędkością c₂, w kierunku AZ. Kierunek ten różni się w ogólności od kierunku postępu fali pierwotnej PA, albowiem drogi BD i AC przebyte przez obie fale w ciągu tego samego czasu są nierówne. Kierunek fali pierwotnej określa się przez kąt BAD = a między powierzchnią fali AB a płaszczyzną MN, zwany kątem padania; kąt ten jest równy kątowi PAN1? między kierunkiem postępu fali pierwotnej a normalną Ni Na, do płaszczyzny załamującej. Kierunek fali załamanej określa się podobnie przez kąt załamania ZAN₂ = ADC=ß, między normalną N, N₂ a kierunkiem postępu fali załamanej. Ilekroć kąty a i ß są nierówne, fala przepuszczona jest załamaną względem pierwotnej. Celem znalezienia kierunku fali załamanej, t. j.

, sin ß =

kąta ß, gdy dany jest kąt a, zważmy że: sin a =

BD “AD

AC

“AD ’ zaczem : s^n a : s^n ß —■ BD : AC.

Długość BD równa jest drodze, którą fala pierwotna przebywa w tymże samym czasie, w którym fala przepuszczona przebywa drogę AC; mamy więc BD : AC c, : e₂, przeto sin a : sin ß = ct : c₂.

Na tej podstawie możemy wypowiedzieć prawo załamywania się fal jak następuje:

1)    Fala załamana postępuje w kierunku równoległym do płaszczyzny padania fali pierwotnej.

2)    Stosunek wstawy kąta padania do wstawy kąta załamania jest stały, t. j. niezależny od wartości kata padania a; równa się on stosunkowi prędkości fal w danych przewodnikach.

Stosunek sin a : sin ß albo cx : c₂ nazywa się spółczynnikiem załamania fal przechodzących z przewodnika Pt do P₂. Oznaczywszy jego wartość przez n możemy wyrazić drugie twierdzenie następującem równaniem:

sin a

Ci

sin ß

n.

Gdy a — o, wtenczas równanie to daje sin ß = a , zatem ß — o; t. j. jeżeli fala pierwotna jest równoległa do płaszczyzny rozdzielającej oba przewodniki, wtenczas fala załamana posiada tenże sam kierunek: załamania fal niema w tym razie. Gdy a powiększa się, wzrasta zarazem kąt ß. Kąt załamania

jest większy lub mniejszy aniżeli kąt padania, zależnie od tego, czy fale postępują w drugim przewodniku prędzej, czy wolniej aniżeli w pierwszym.

Odbicie się całkowite fal. Jeżeli prędkość fal c₂ w drugim przewodniku jest większa aniżeli prędkość ct w pierwszym, wtenczas jest n < 1. W tym przypadku fala przepuszczona tworzy się tylko wtenczas, gdy kąty padania są mniejsze od t. zw. kąta granicznego a', którego wartość oblicza się z równania sin a¹ = n, t. j. a' = arc sin n. Kąt załamania bowiem, z powodu n < 1, jest w uważanym przypadku większy aniżeli kąt padania. Gdy a wzrośnie do tego stopnia, że sin a = n, wtenczas ß = 90°, t. j. fala załamana postępuje równolegle do płaszczyzny załamującj; kąt załamania przyjmuje największą wartość jaką mieć może. Dla większych kątów padania fala przepuszczona nie tworzy się wcale (wykreślenie fig. 178 staje się niemożliwe); całkowita energia fali pierwotnej pozostaje w zupełności w fali odbitej. Z tego powodu odbicie się fali w tym przypadku nazwano odbiciem całkowitem.

ZADANIA.

371)    Obliczyć prędkość fal podłużnych w wodorze. Odp. 340 J/14,4 = = 1290 misek.

372)    Porównać długość fal w powietrzu i w wodorze, dla pewnej danej częstości drgań. Odp. 340: 1290, t. j. w wodorze 3,8 razy dłuższe.

373)    W powietrzu postępują fale peryodyczne o częstóści drgania:

340

n = 435 na sek. Obliczyć długość fali. Odp. X = — m — 78 cm.

374)    Doświadczalnie znaleziono w pewnym przypadku długość fal peryodycznych w powietrzu = 10 cw; obliczyć częstość drgania.

Odp. n =-- 3400 na sek.

375)    Na płaską stałą ścianę pada prostopadle szereg fal płaskich, postępujących w powietrzu z prędkością c. Znaleźć równanie ruchu drgającego którejkolwiek cząstki powietrza, pod wpływem fal pierwotnych

2rc

i odbitych. Odp. Równanie fal pierwotnych: s = a sin ~^-(ct—x), wczem

x oznacza odległość uważanej cząstki od pewnego punktu A, znajdującego się w odległości = d przed ścianą, który uważamy jako źródło fal. Fale odbite postępują tak, jak gdyby pochodziły z punktu A', znajdującego się w odległości d za ścianą. Odchylenie s' uważanej cząstki, spra-

wionę przez fale odbite znajdziemy, podstawiając w poprzedzającem równaniu dla s: zamiast x, odległość d -f (d — x)\ nadto należy znak tego wyrażenia zmienić na przeciwny, albowiem przy odbiciu się od stałej ściany kierunek prędkości zmienia się na przeciwny (ta zmiana kierunku i znaku nie miałaby miejsca przy odbiciu się od swobodnej powierzchni przewo-

2it

dnika). Otrzymamy zatem; s' = — a sin— (ct — 2d -}- x). Odchy lenie wy

padkowe: S = s -f- s'. Korzystając ze znanego wzoru sin a — sin ß =

a-4-ß    2~

-cos ——, znajdziemy: S = 2 a sin —- (d—x) cos

2    i

2rc

= 2 sin —-2

- (ct — d),

d \

-²"t)

/2 Kt

\ T

albo: S = 2a sin —— cos

gdzie y — d — x oznacza odległość

uważanej cząstki od ściany, zaś T okres drgania. Równanie znalezione okazuje, że wszystkie cząstki przechodzą jednocześnie przez położenia równowagi, albowiem dla tych wartości t, któ>e przywodzą dostawę do zera, .jest S = o, jakiekolwiek byłoby y. Równanie to wyraża więc fale stojące. Amplitudy drgania różnych cząstek- nie są równe; wartością am-

2ny

plitudy jest bowiem: 2a sin -7— ; równa się ona zeru w cząstkach leżących

przy ścianie (y

= o), tudzież w tych, dla których y wynosi: —,2—-

2 2

>³V

i t. d. Cząstki te leżą więc w płaszczyznach węzłowymh, równoległych

do ściany i mających równe odstępy =

W środku między płaszczyznami węzłowemi amplituda drgań jest największa, posiada wartość 2a.

376) Rozwiązać poprzedzające zadanie w przypuszczeniu, że płaszczyzną odbijającą jest swobodna powierzchnia przewodnika fal, która odbija je bez zmiany kierunku prędkości cząstek.

2tc

2it

Odp. s — a sin —— (ct — x)\ s' = a sin — (ct — 2d -(- x). Stąd: S ==

A    A

= s -f- s' == 2 a cos

2 rty

sin

. Odległości płaszczyzn węzło-

.    . , .    A    „    X X , X X X

wy⁷ch od ściany wynoszą w tym przypadk: y =— ;—-f--—-4-2—

4    4    2    4    2

¹

Zgęszczenia i rozrzedzenia podnoszą, naprzemian temperaturę powietrza o małe wielkości; t oznacza tu temperaturę średnią, jaką, ono posiada, gdy fal nie ma wcale.

²

W przypadku fal poprzecznych linia ta daje wprost miejsce cząstek odchylonych; tenże sam rysunek może jednak służyć do objaśnienia, fal stojących, podłużnych, potrzet a wówczas wyobrazić sobie odchylenia podłużne, mające też same długości jak rzędne linii falowej.

³

albo skręceń na prawo i lewo — jeżeli fale są poprzeczne.

⁴

Te same cząstki wysyłają jednocześnie do pierwszego przewodnika fale cząstkowe, składające się na falę odbitą.

i t. d.

T + 3T

377) Wzdłuż rury o średnicy 4 cm, napełnionej powietrzem o gęstości 0,0012 gr/cm³, postępują fale płaskie, podłużne, wywołane przez ruch drgający tłoka (fig. 162), poruszającego się podług równania: s=0,001 sin 2400£; s oznacza odchylenie w cm, t czas w sek. Obliczyć energię za-

wartą, pod postacią fal, w kawałku rury o długości 1 m. Odp. Częstość 2400

drgania n = ——; największa prędkość drgania: Y — 2k an — 2400 X

2ît

X 0,001 cm/sek. Energia = i (2)² k x 100 X 0,0012 X (2400 X 0.001)² ergôiv.

378) Fale podłużne płaskie postępujące w powietrzu (cx — 340 m/sek) padają na powierzchnię wody (c₂ = 1481) m/sek). Znaleźć najmniejsze pochylenie powierzchni fal ku powierzchni wody (t. j. najmniejszy kąt padania), przy którem odbicie się fal jest całkowite.

Odp. sin a =

340

1489

; a = 13° 12'.

ROZDZIAŁ XIV.

O GŁOSIE (AKUSTYKA).

204. Warunki powstawania i podział głosów. Głosem

nazywamy każde wrażenie otrzymane za pośrednictwem słuchu. Źródłem głosu jest prawie zawsze jakieś ciało znajdujące się za obrębem ucha — np. młot uderzający o kowadło, dzwon, struna dźwięcząca, narząd głosowy ludzi lub zwierząt i t. p. Źródło głosu bywa niekiedy bardzo odległe od ucha odbierającego wrażenie (grzmoty, wystrzały działowe), ale nigdy nie znajduje się za obrębem kuli ziemskiej; ztamtąd nie dochodzą do nas żadne głosy.

Zwyczajne spostrzeżenia dowodzą, że do wzbudzenia głosu konieczne są nagle, krótko trwające uderzenia, np. wystrzał, albo uderzenie młotka. Wrażenie głosu odbieramy dopiero po upływie niejakiego czasu po uderzeniu; wiadomo np. że huk wystrzału armatniego przychodzi później, aniżeli błysk towarzyszący wystrzałowi. Głos bywa więc przewodzony, i to z prędkością stosunkowo niewielką.. W roku 1738 kilku członków akademii paryskiej wymierzyli czas upływający między pojawieniem się światła, a hukiem wystrzału z działa umieszczonego w odmierzonej odległości; podzieliwszy tę odległość przez czas otrzymano prędkość przewodzenia głosu, albowiem czas przewodzenia światła jest tak mały, że w rachunku tym można go pominąć. Prędkość przewodzenia głosu wynosi około 340 m/seŁ

równa się zatem prędkości przewodzenia fal podłużnych w powietrzu (ust. 195).

Doświadczenia tego rodzaju doprowadziły do wniosku, że nie samo uderzenie się ciał jako takie, lecz raczej wstrząśnienie sąsiednich cząstek powietrza jest warunkiem koniecznym powstawania głosów. Powierzchnia ciała uderzonego, albo poruszonego nagle, uderza zarazem sąsiednie warstwy powietrza, zgęsz-cza je albo rozrzedza, a tem samem wywołuje falę podłużną. Nagłość uderzenia, albo w ogóle ruchu, ciała wydającego głos, jest konieczną, aby w powietrzu otaczającem utworzyło się dostatecznie silne zgęszczenie lub rozrzedzenie. Jeżeli np. składamy dłonie powoli, to powietrze ma dość czasu, aby ustąpić z drogi, okrąża dłonie na podobieństwo wody poruszanej wiosłem i nie doznaje niemal żadnej zmiany gęstości. Nagłe natomiast uderzenie się dłoni zgęszcza powietrze znajdujące się między niemi i wzbudza silny głos. Powietrze jest bowiem ciałem bez-władnem i nie ustępuje tak rychło, jak dłonie się zbliżają. Przewodzenie głosu polega więc na przewodzeniu fal podłużnych, wzbudzonych w powietrzu, albo w jakimkolwiek innym sprężystym przewodniku. Do świadomości naszej głos dochodzi dopiero wtenczas, gdy wstrząśnienie przewodzone w fali udzieli się uszom, a raczej nerwom słuchowym, znajdującym się we wnętrzu uszu.

Pojedyncze nagłe uderzenie wywołuje krótko trwające drżenie ciała uderzonego; udziela się uchu jako głos krótki, urwany (huk, stuk, brzęk i t. p.). Głos ciągły powstaje wtenczas, gdy liczne uderzenia następują szybko jedno po dru-giem, gdy np. koniec laski poruszany szybko po kracie, gdy przyłożymy blachę, albo kartkę twardego papieru, do obwodu koła zębatego, które szybko się obraca i t. p. Tu należy także szmer wody lub liści drzew, jęczenie wiatru, dźwięczenie struny, śpiew i t. p. Doświadczenie okazuje, że gdy częstość wstrzą-śnień dochodzi do 20 albo 30 na sekundę, wtenczas ucho nie odróżnia już pojedynczych wstrząśnień, lecz odbiera jednolite wrażenie głosu ciągłego.

Badanie głosów ciągłych stanowi jedno z najważniejszych zadań nauki o głosie, czyli akustyki. W szczególności zajmować się będziemy tymi głosami ciągłymi, które bywają w muzyce niemal wyłącznie używane, mianowicie dźwiękami.

Dźwiękiem nazywamy każde wrażenie ciągłe, otrzymane za pośrednictwem słuchu, które przez cały czas trwania jest zupełnie jednostajne i niezmienne (dźwięki instrumentów muzycznych, dźwięki samogłosek w mowie, brzęczenie niektórych owadów). Wrażenia głosowe zmienne i niejednostajne nazywamy szmerami, szelestami (głos powstający, gdy wóz jedzie szybko po nierównym bruku i t. p.); głosy takie są zwykle bezładną mieszaniną różnych uderzeń i dźwięków.

205. Przewodzenie głosu. Powietrze jest zwyczajnym, ale bynajmniej nie jedynym przewodnikiem głosu. Każde ciało, posiadające zdolnośd przewodzenia zgęszczeń i rozrzedzeń pod postacią fal podłużnych, może również przewodzić głos. Prędkość głosu w każdym przewodniku równa się prędkości przewodzenia fal podłużnych iv tymże przewodniku. Przyłożywszy ucho do ziemi możemy usłyszeć głosy, pochodzące z wielkiej odległości. Lekkie stukanie o słup telegraficzny przenosi się za pośrednictwem drutu do ucha przyłożonego do następnego słupa. Doświadczenia Colladona i Sturma nad prędkością przewodzenia fal podłużnych w wodzie, o których wspominaliśmy w ust. 195, były również wykonane za pośrednictwem słuchu. W odległości wymierzonej ustawione były na jeziorze dwie łodzie; obserwator znajdujący się na jednej łodzi uderzał w dzwon zanurzony pod wodą i w tejże samej chwili dawał sygnał optyczny; obserwator na drugiej łodzi przyłożywszy ucho do wiosła zanurzonego w wodzie, mierzył o.zas upływający między zjawieniem się światła a nadejściem fali głosowej. Okazało się, że prędkość głosu jest i w tym razie równa prędkości przewodzenia fal zgęszcze-nia i rozrzedzenia (1435 m/sek). Gdzie nie ma sprężystego przewodnika, tam też głos nie może być przewodzony; dzwonek umieszczony w próżni nie wydaje zupełnie głosu, pomimo uderzeń młotka.

Skoro przewodzenie głosu jest przewodzeniem fal podłużnych w przewodnikach sprężystych, przeto głosy wszelkiego rodzaju muszą mieć w pewnym przewodniku jednakowe prędkości; wiemy bowiem (ust. 190, 195), że prędkość przewodzenia wstrząśnień nie zależy od amplitudy ich, ani od rodzaju. Istotnie, doświadczenie codzienne uczy, że szmery wszelkiego rodzaju, szelesty i dźwięki, postępują w powietrzu z tą samą prędkością; w przeciwnym razie nie moglibyśmy słuchać orkiestry

z większej odległości, gdyż dźwięki różnych instrumentów, wydane jednocześnie, nie dochodziłyby jednocześnie do ucha.

Prędkość głosu w powietrzu poruszaj ącem się, podczas wiatru, jest większa albo mniejsza, aniżeli w powietrzu nierucho-mem. Zależy to od tego, czy fale głosowe postępują z wiatrem, czy naprzeciw wiatru; fale głosowe bywają bowiem unoszone razem z przewodnikiem, wskutek czego prędkość ich zmienia się o prędkość samego przewodnika.

206. Odgłos, czyli echo, tworzy się wskutek odbicia się fal głosowych. Głos wydany w powietrzu otwartem, naprzeciw ściany albo skały, wraca po upływie pewnego czasu do ucha, nieco osłabiony, jakgdyby wychodził z miejsca leżącego za ścianą. Zgadza się to zupełnie z tem, co powiedzieliśmy o odbijaniu się fal (ust. 201). Fale głosowe odbite powstają w ogólności na każdej powierzchni rozgraniczającej dwa przewodniki różnej sprężystości i gęstości. Ciała stałe i woda, warstwy powietrza o odmiennej temperaturze lub wilgoci, chmury i t. p. odbijają głos. Część głosu udziela się drugiemu przewodnikowi, jako fala głosowa przepuszczona, reszta tworzy falę odbitą. Odgłos jest tem silniejszy, im mniej głosu przechodzi do drugiego przewodnika.

Ciała stałe jednolite i ciecze odbijają głos przewodzony w powietrzu niemal całkowicie; z tego powodu ściany murowane oddzielające dwa mieszkania czynią rozmowę niemożliwą, jakkolwiek dźwięk fortepianu bywa za pośrednictwem podłogi dość dobrze słyszany. Pokrycie ścian kobiercami, tkaninami i t. p. osłabia znacznie odgłos. Właściwym przewodnikiem głosu w takich ciałach jest bowiem powietrze, uwięzione między luź-nemi ich cząstkami; głos wchodzi więc obficie w takie ciała, lecz wskutek tarcia zostaje szybko zniszczony.

Odgłos powtarza mowę wyraźnie, jeżeli ściana odbijająca jest dostatecznie odległa. Na wymówienie jednej zgłoski (syllaby) potrzeba mniej więcej i sekundy. Jeżeli odległość ściany jest taka, iż w ciągu i sekund}'' głos przebiega ją dwukrotnie (tam i napowrót), natenczas po wymówieniu zgłoski usłyszymy natychmiast jej odgłos. Odległość powinna więc wynosić: £ . 340 . \ = 34 m. Ściana znajdująca się w odległości 2 X 34 — 68 m tworzy odgłos dwuzgłoskowy i t. d=

W dużych a próżnych salach, o ścianach gładkich, odgłos utrudnia częstokroć zrozumienie mowy; sprzęty, firanki, większa ilość osób łagodzą znacznie to działanie odgłosu. Zamknięcie ścianami przestrzeni wpływa zresztą korzystnie na natężenie głosu, albowiem nie wypuszcza energii głosowej na zewnątrz i zapobiega jej rozpraszaniu się. Z tego powodu np. muzyka bywa o wiele głośniejsza w pokoju zamkniętym, aniżeli w miejscu otwartem.

Odbicie się głosu od powierzchni zakrzywionych, np. od zwierciadeł wklęsłych, podlega podobnym prawom, jak odbicie się światła. To samo dotyczy się także załamania głosu.

207. Znamiona dźwięków. Jednostajne a niezmienne wrażenia słuchu, zwane dźwiękami, powstają wówczas, gdy szereg uderzeń łączących się w głos ciągły składa się z wstrząśnień zupełnie równych i powtarzających się w równych odstępach czasu, t. j. gdy zarówno źródło głosu, jak cząstki przewodnika, posiadają ruch drgający ściśle peryodyczny. Ta jednostajność i dokładna peryodyczność ruchów jest jedynem znamieniem, odróżniającem dźwięk od innych głosów. Rodzaj wstrząśnień, tudzież sposoby jakich używamy do wywołania ich, mają znaczenie podrzędne. Dźwięk powstaje np. gdy przyłożymy kartkę

Fig. 179.

twardego papieru do zębów koła obracającego się szybko, byle obrót koła był jednostajny, a zęby równe i w równych odstępach. Dźwięki można również wywoływać zapomocą przyrządu zwanego syreną (fig. 179) przez przerywanie silnego prądu powietrza w krótkich, ale równych odstępach czasu. Przyrząd ten (w postaci danej mu przez Seebecka) składa się z krążka blaszanego, albo kartonowego A, opatrzonego otworami umieszczonymi w równych odstępach na obwodzie koła, którego środek znajduje się na osi obrotu krążka O (na fig. 179 przedstawione są dwa rzędy takich otworów, na większem kole 12, na mniejszem 8). Krążek ten umieszczamy na osi wirownicy i kierujemy prąd powietrza w kierunku prostopadłym do płaszczyzny jego, zapomocą rurki połączonej z miechem. Przy dostatecznie szybkim obrocie krążka prąd wiatru bywa peryodycz-nie przerywany, wskutek czego powstaje dźwięk, Jeżeli i oznacza ilość otworów na jednem z kół na krążku, wtedy podczas jednego obrotu krążka prąd będzie i razy przerwany; między przerwami wywiera on i uderzeń na powietrze znajdujące się po przeciwnej stronie krążka. Ilość takich -wstrząśnień w ciągu sekundy wynosi i N, w czem N oznacza ilość obrotów krążka na sekundę. Oznaczywszy częstość wstrząśnień powietrza na sekundę przez n, znajdziemy:

n = i N.

Źródłami dźwięków bywają najczęściej ciała sprężyste, drgające: pręty sprężyste, struny i t. p.: tę zdolność wydawania dźwięków ciała sprężyste zawdzięczają nader dokładnej pe-ryodyczności ruchów.

W każdym dźwięku ucho rozpoznaje trojaką własność: natężenie, wysokość i barwę.

Natężeniem dźwięku nazywamy wielkość wrażenia słuchu, ilość głosu. Struna uderzona lekko wydaje dźwięk tej samej jakości, jak przy uderzeniu silnem: w pierwszym razie jednak natężenie głosu jest mniejsze niż w drugim.

Wysokość dźwięku określa tę własność, która odróżnia głos człowieka dorosłego od głosu dziecka, dźwięk struny długiej od krótkiej i t. p.

Barwa jest trzecią własnością dźwięków, niezależną i różną od natężenia i wysokości. Jest to ta własność, która odróżnia dźwięk samogłoski A od samogłoski O, lub I; dźwięk struny skrzypcowej, od dźwięku tej samej wysokości i natężenia, wywołanego zapomocą fletu, albo syreny, albo narządu głosowego ludzkiego.

208. Natężenie głosu zależy od obszerności, t. j. od amplitudy drgań, udzielonych za pośrednictwem fal narządowi słuchu; obok tego zależy ono od wrażliwości ucha na dany rodzaj głosu. Struna silnie uderzona wykonywa z początku drgania o znacznej, widzialnej amplitudzie; stopniowo jednak drgania te zanikają a ruch ustaje w końcu zupełnie. Z początku też struna wądaje dźwięk o największem natężeniu; razem z amplitudą drgania zmniejsza się stopniowo i natężenie. Do końca jednak wysokość i barwa dźwięku pozostają niezmienione, co dowodzi, że amplituda drgań wpływa jedynie na natężenie głosu; wysokość i barwa natomiast niezależą wcale od amplitudy. Rozumie się samo przez się, że natężenie głosu zależy od amplitudy drgań wzbudzonych przez fale w samem uchu; amplituda drgań tych jest jednak proporcyonalna do amplitudy drgań ciała wydającego dźwięk. Z tego powodu natężenie wrażenia słuchowego wzrasta i maleje razem z amplituhą drgań źródła dźwięku.

Zadanie fizyki, przy pomiarze natężenia głosu, ogranicza się do określenia wartości zjawiska objektywnego t. j. drgań, które sprawiają wrażenie głosu. Jako fizyczną miarę tego natężenia przyjmuje się energię ruchu drgającego cząstek powietrza przewodzącego głos. Natężenie głosu, mierzone w ten sposób, jest więc proporcyonalne do kwadratu amplitudy drgań (ust. 194). Nie należy jednak zapominać, że ta miara natężenia nie daje zgoła żadnego wyobrażenia o wielkości wrażenia słuchowego. Ucho ludzkie jest nader czułe na dźwięki wysokie, do tego stopnia, że niezmiernie mała ilość energii objawia się nam jako silny głos; dźwięki nizkie powinny mieć bez porównania większą energię, aby były równie dobrze słyszane.

Natężenie głosu zależy w ogóle: a) od własności ciała wydającego głos, b) od własności ciała sprężystego przewodzącego fale głosowe, c) od sposobu doprowadzenia tych fal do ucha.

a) W równych zresztą warunkach natężenie głosu będzie tem większe, im więcej energii źródło głosu oddaje przewodnikowi otaczającemu. Natężenie jest wskutek tego proporcyonalne do kwadratu amplitudy drgań źródła głosu i do ilości cząstek powietrza poruszanych przez nie. Jeżeli w syrenie (fig. 179) zamiast jednej dmuchawki w użyjemy kilku, np. po jednej dla każdego otworu, natenczas głos się zwiększy. Widełki strojowe trzymane w ręku wydają głos słaby; oparte o stół dźwięczą głośno, albowiem wprowadzają w drganie całą powierzchnią stołu, która udziela je powdetrzu.

b)    Przy równych drganiach źródła głosu, natężenie będzie tem większe, im gęstszy jest przewodnik znajdujący się między ciałem drgającem a uchem, albowiem energia kinetyczna drgań udzielających się uchu jest proporcyonalna do masy przewodnika drgającego, a więc do jego gęstości. W powietrzu rozrze-dzonem, np. na wysokich górach, pod dzwonem pompy pneumatycznej, głos brzmi bardzo słabo; podczas silnych mrozów, w powietrzu zgęszczonem, bywa donośny. Wodór przewodzi głos znacznie gorzej aniżeli powietrze. Ciała stałe (stal, drzewo) są najlepszymi przewodnikami głosu.

c)    Natężenie głosu maleje w ogólności, gdy źródło głosu oddala się od ucha. Jeżeli głos rozchodzi się ze źródła na wszystkie strony, w postaci fal kulistych, wtenczas natężenie jest odwrotnie proporcyonalne do kwadratu odległości źródła od ucha. Energia wydana przez źródło w ciągu pewnego krótkiego czasu mieści się bowiem w cienkiej fali kulistej, której promień powiększa się jednostajnie zbiegiem czasu. Ta sama ilość energii przenosi się więc na warstwy coraz większe, a mianowicie proporcyonalne do kwadratów promieni. Energia przypadająca na pewną określoną część powierzchni fali, np. na jednostkę powierzchni, albo na powierzchnią ucha, zmniejsza się więc tak, jak odwrotność kwadratu promienia.

Wszelkie urządzenia zapobiegające wszechstronnemu rozpraszaniu się głosu, zwiększają jego natężenie. Zapomocą rury o gładkich ścianach, umieszczonej między uchem a źródłem głosu, można przewodzić głos bardzo daleko, prawie bez osłabienia. Cząstki powietrza w rurze drgają bowiem równolegle do jej osi, wskutek czego fale są płaskie (fig. 162): amplituda drgań zmniejsza się w tym przypadku podczas postępu fal tylko o tyle, o ile ją zużywa tarcie powietrza o ściany rury. W podobny sposób działa t. zw. tuba służąca do rozmawiania na większe odległości.

Ucho jest niezmiernie czułe na wstrząśnienia szybko się powtarzające, choćby nader słabe. Doświadczenia Rayleigha okazały, że dźwięk piszczałki o częstości 2730 na seh był słyszany w takiej odległości, że amplituda drgań powietrza wynosiła zaledwie 1    (10'⁷m), a zatem największa prędkość ruchu

drgającego cząstek powietrza w uchu była: 2% X 2730 X 10_7 = = 0,002 cm/sek. Podług Wien’a można jeszcze słyszeć drgania, których amplituda nie przenosi: 0,066 {x;x, największa prędkość: 0,19 p/sek, a zwiększenie ciśnienia przez fale głosowe: 0,59 rtęci. Liczby te odnoszą się wprawdzie do granicy wrażliwości ucha, wszelako w ogóle amplitudy i prędkości drgań głosowych, tudzież zgęszczenia i rozrzedzenia powietrza w falach przewodzących te drgania, są zwyczajnie nader małe; amplitudy drgania głosów zwyczajnych zawarte są w granicach 0,1 do 1 ji.

Absorbcya i rozprószenie głosu. Drgania ciał sprężystych trwają zwykle krótko, albowiem tarcie wewnętrzne spożywa rychło energię ruchu drgającego i zamienia ją na ciepło (ust. 150). Temu samemu losowi ulegają także drgania przewodzone pod postacią fal. Nawet fale płaskie nie zachowują w rzeczywistości, podczas postępu swego, amplitudy stałej, lecz zanikają stopniowo, wskutek wewnętrznego tarcia cząstek przewodnika. Taką zamianę głosu, a więc energii dynamicznej, na ciepło, nazywamy absorbcyą. Oceniając zdolność jakiego ciała do dobrego, t. j. do donośnego przewodzenia głosu, powinniśmy zwrócić uwagę na wielorakie warunki: na gęstość, sprężystość i tarcie wewnętrzne. Celem zbadania dobroci przewodnictwa wycina się z różnych materyałów pręty, kształtu i rozmiarów ołówka; jednym końcem opiera się je na stole, albo na pudełku skrzypiec, a do drugiego końca przykłada się trzonek widełek strojowych wprowadzonych w drganie. Tym sposobem przekonano się, że do najlepszych przewodników głosu należy suche drzewo jodłowe, stal, szkło; kauczuk albo korek przewodzą natomiast gorzej.

Osłabienie głosu w powietrzu — pominąwszy wpływ odle-ści — polega w małym tylko stopniu na absorbcyi. Znaczny natomiast wpływ ma rozpraszanie się głosu, zdarzające się wtenczas, gdy przewodnik głosu nie jest dokładnie jednolity. Każda, choćby drobna zmiana własności, sprowadza częściowe odbicie się głosu, a wskutek tego rozprószenie jego w różnych kierunkach. W powietrzu, zwłaszcza podczas pory gorącej, unoszą się prądy nieregularne, różnej temperatury i wilgoci; w tych warunkach zdarza się, że atmosfera na pozór jednolita i dla światła przezroczysta, mało jest przezroczysta dla głosu. W nocy głos bywa donośniejszy; jedną z przyczyn tego zjawiska jest jednostajniejszy stan atmosfery.

209. Wysokość dźwięku. Struna drgająca szybko (często) wydaje dźwięk wyższy (cieńszy), aniżeli struna mająca dłuższy okres, t. j. mniejszą częstość drgania. Dźwięk syreny (fig. 179) jest również przy szybkim obrocie wyższy, aniżeli przy powolnym. Ucho wprawione do rozpoznawania dźwięków muzycznych określa z łatwością wysokość każdego dźwięku, bez względu na to, z jakiego źródła on pochodzi, bez względu na natężenie jego. Doświadczenie poucza nas, że wrażenie wysokości jest zawsze jednakowe, jeżeli częstość drgań jest ta sama. Wysokość dźwięku zależy icięc jedynie od częstości drgań\ od natężenia lub rodzaju wstrąśnień wysokość jest niezależna. Miarą częstości jest ilość drgań n przypadających na jednostkę czasu, a zatem odwrotność okresu T (ust. 22). Wstrząśnienia peryodyczne objawiają się zmysłowi słuchu tylko wtenczas jako dźwięki, jeżeli częstość ich leży mniej więcej w granicach od 20 albo 30 do 40000 drgań na sekundę. Drgania o częstości mniejszej aniżeli 20 do 30 nie łączą się w dźwięk ciągły; słyszymy je jako pojedyncze uderzenia. Granice te nie są bezwzględnie stałe; u różnych osób różnią się one dość znacznie. Częstość 40 na sek. można przyjąć jako granicę, przy której słyszymy już dźwięk o pewnej określonej wysokości, przydatny dla muzyki.

Prawo Dopplera. Wysokość zależy zawsze od ilości impulsów, które ucho odbiera w ciągu jednostki czasu. Otóż Doppler zwrócił uwagę na to, że ilość impulsów zmniejsza się, gdy ucho oddala się od źródła dźwięku; dźwięk wydaje się nam wtenczas niższy, aniżeli jest w istocie. Naodwrót, gdy odległość pomiędzy źródłem a uchem maleje, wysokość dźwięku podwyższa się. W istocie, wyobraźmy sobie, że ucho ucieka od ciała dźwięczącego z prędkością równą prędkości fal (340 m/sek), wówczas fale nie będą oczywiście wcale uderzały o ucho, nie usłyszymy więc dźwięku t. j. pozorna wysokość jego będzie równa zeru. Przypuśćmy naprzód, że źródło dźwięku jest nieruchome, a ucho oddala się od niego z prędkością v. Drgania źródła następują po sobie w odstępach czasu równych okresowi T i rozprzestrzeniają się pod postacią fal z prędkością c. Gdy ucho oddala się od źródła, wtenczas wstrząśnienia będą je trafiały w odstępach czasu = T', większych aniżeli okres drgania T. Każda fala trafiająca ucho przebywa drogę o »T' dłuższą aniżeli

vT

poprzedzająca, wskutek tego też biegnie o czas —— dłużej aniżeli poprzedzająca. Odstęp czasu T' między uderzeniami o ucho

v T

dwu następujących po sobie fal wynosi zatem: T' = T 4--,

c

^ ^

T' = —r gdzie n o-

skąd —, —    . Podstawiwszy tu T = —

znacza rzeczywistą, ri pozorną, czyli słyszaną wysokość dźwięku, znajdziemy: ri — n 1--. Jeżeli ucho zbliża się do źró

dła, wtenczas znak prędkości v należy zmienić na przeciwny.

Zmiana wysokości nie zależy od prędkości ucha względem źródła dźwięku, lecz względem przewodnika głosu. Jeżeli bowiem ucho jest nieruchome, a źródło dźwięku oddala się od niego, wtenczas znajdziemy inne wyrażenie na ri. Rozumowa-

nie podobne do poprzedzającego daje w tym razie ri =-— .

i+—

c

.    .    V

W obu przypadkach, jeżeli stosunek — jest mały, możemy

w przybliżeniu napisać ri— n ^1--. Zjawisko uzasadnione

wyżej było sprawdzone drogą doświadczalną; dźwięk trąbki umieszczonej na lokomotywie podwyższa się, gdy pociąg zbliża się ku nam, zniża się następnie, gdy pociąg się oddala. Prawo Dopplera stosuje się także do drgań świetlnych i znalazło ważne zastosowanie w astronomii fizycznej (tom II, ust. 159, 227).

210. Mierzenie wysokości dźwięków; strojenie. Najpewniejszy sposób zmierzenia częstości drgań t. j. wysokości pewnego danego dźwięku, polega na użyciu syreny, której urządzenie opisaliśmy w ust. 207. Wprowadzamy ten przyrząd w ruch obrotowy i przyśpieszamy stopniowo prędkość kątową krążka, dopóki wysokość dźwięku syreny nie zrówna się z wysokością dźwięku badanego, co przy niejakiej wprawie rozpoznamy łatwo słuchem. Niechaj N oznacza ilość obrotów krążka na sekundę, i ilość otworów w krążku, na obwodzie tego koła ku któremu skierowana jest dmuchawka, natenczas wysokość szukaną n obliczymy podług wzoru n — i N. Zapomocą syreny można również stroić piszczałki, struny i inne przyrządy muzyczne; częściej używa się w tym celu widełek strojowych, które opiszemy w rozdziale następującym. Widełki mogą jednak służyć do strojenia dopiero wtenczas, gdy wysokość dźwięku ich zostanie •dokładnie wyznaczoną, zapomocą syreny, lub innym sposobem.

Najważniejszą częścią pomiaru jest wyznaczenie ilości obrotów N krążka syreny w ciągu sekundy. Do pomiaru tego służy osobny przyrząd (liczydło) liczący ilość obrotów dokonanych w ciągu odmierzonego czasu. Obok osi krążka osadzone jest na osobnej osi C (fig. 180) koło zębate liczące 100 zębów, połączone stale ze wskazówką posuwającą się na podziałce podzielonej na 100 równych odstępów. Zęby koła tego zachodzą w gwint śrubowy S, nacięty na osi krążka syreny.

Fig. 180.

Przy każdym obrocie osi syreny koło posuwa się o jeden ząb, a wskazówka o jednę kreskę na podziałce. Policzywszy ilość kresek wskazanych podczas 10 — 20 sekund, znajdziemy łatwo ilość obrotów N osi syreny w ciągu jednej sekundy. Ażeby ułatwić liczenie setek obrotów osi syreny, t. ]. ilości całkowitych obrotów koła zębatego, umieszcza się obok tego koła drugie koło zębate, osadzone luźnie na tej samej osi C, mające jednak tylko ^ t 99 zębów, które również zazębiają się w gwinty śruby s. Podczas 100 obrotów osi syreny pierwsze koło obraca się jeden raz; koło pomocnicze obraca się również jeden raz, ale w dodatku posuwa się jeszcze o jeden ząb naprzód. Ilość zębów, o którą drugie koło wyprzedza pierwsze w ciągu pewnego czasu, wskazuje ilość setek obrotów dokonanych.

211. Dudnienie. Dokładne wyrównanie wysokości dwu dźwięków, przy mierzeniu wysokości zapomocą syreny, albo przy strojeniu, wymaga wprawy w poznawaniu i odróżnianiu dźwięków, a więc dobrego słuchu muzycznego. Opiszemy tu zjawisko ułatwiające porównywanie częstości drgań dwu dźwięków mających wysokości mało się różniące, nawet niewprawnemu uchu, a wskutek tego wielce pomocne przy strojeniu. Jeżeli dwa źródła dźwięków mają jednakowe częstości drgania, wówczas różnica faz obu ruchów drgąjących jest stała; jeżeli np. fale zgęszczenia, wysłane przez nie w pewnej chwili, trafiają ucho jednocześnie, wtenczas także wszystkie następne zgęszczenia i rozrzedzenia będą się tam jednocześnie spotykały. Dźwięki takie wzmacniają się trwale. Własności tej nie mają dźwięki różniące się cokolwiek wysokością. Nie płyną one jednostajnie obok siebie, lecz osłabiają się w pewnych równych odstępach czasu, albo nawet niszczą się wzajemnie. Wrażenie dźwięku złożonego nie jest w tym przypadku jednostajne, lecz przerywane; głos wzmaga się naprzemian i słabnie, sprawiając wrażenie dudnienia. Wytłomaczenie tego zjawiska jest łatwe. Podaliśmy je w ust. 25 b} gdzie była mowa o składaniu ruchów drgających, mających różne okresy. Fig. 21 (str. 64) objaśnia peryodyczne wzmaganie się i opadanie amplitudy drgania wypadkowego, gdy drgania składowe mają częstości nie wiele różne. Z twierdzenia dowiedzionego we wspomnianym ustępie wynika, iż częstość dudnień wywołanych przez dwa jednoczesne dźwięki równa się różnicy ich wysokości. Jeżeli więc n i n' oznaczają częstości danych dźwięków, natenczas ilość dudnień (t. j. wzmocnień lub osłabień) w ciągu sekundy będzie: N = m — n'. Wyraźne dudnienia można wywołać np. zapomocą dwu piszczałek, dających dźwięki nie wiele różnej wysokości; zapomocą dwu syren i t. p. Mając dostroić dźwięk syreny do jakiegokolwiek dźwięku, którego wysokość ma być zmierzona, powiększamy stopniowo prędkość obrotu syreny, dopóki nie usłyszymy dudnień tak powolnych, żeby można było dogodnie policzyć ich częstość, np. 4 na sek. Wysokość dźwięku badanego będzie równa wysokości dźwięku syreny, powiększonej o częstość dudnień.

212. Skale muzyczne. Dwa są sposoby oznaczania wysokości dźwięków: jeden, fizyczny, polega na określeniu częstości drgań, jak to opisaliśmy w poprzedzających ustępach; drugi, na oznaczeniu położenia i nazwy pewnego dźwięku na jednej z używanych skal muzycznych.

Dźwięki używane w muzyce mają częstości zawarte w granicach od 40 do 4000 drgań na sekundę (w liczbach okrągłych). W zakresie tych granic leży nieskończenie wiele dźwięków o wysokościach pośrednich. W muzyce jednakowoż umiejętnej, niektóre tylko z tych dźwięków bywają używane i to w ilości stosunkowo nie wielkiej. Ucho wykształcone muzycznie poznaje mianowicie pewne powinowactwa między dźwiękami o różnych wysokościach, jeżeli częstości ich mają pewne względem siebie stosunki i takimi tylko dźwiękami posługuje się w muzyce. Jeżeli np. słyszymy dwa dźwięki, z których jeden wykonywa dwakroć więcej drgań na sekundę aniżeli drugi, wtenczas uderza nas odrazu blizkie ich podobieństwo; powiadamy, że jeden jest oktawą drugiego. Dźwięk 400 na sek jest wyższą oktawą dźwięku 200; dźwięk 1500 jest niższą oktawą dźwięku 3000 i t. p. W drugim z tych przykładów różnica częstości jest daleko większa aniżeli w pierwszym, lecz stosunek wysokości, albo częstoLci, jest w obu przypadkach ten sam, równy 2. Pokrewieństwo dźwięków nie zależy zatem od różnicy, lecz od stosunku ich wysokości. Dźwięki, których częstości mają, się do siebie jak 2 do 3, rozpoznajemy również jako pokrewne i nazywamy drugi kwintą pierwszego. Jeżeli np. na krążku syreny umieścimy na jednym obwodzie 8, na drugim 12 otworów (jak na fig. 179), wtenczas dźwięk drugiego obwodu będzie kwintą pierwszego, albowiem stosunek częstości wynosi 8 : 12 = 2 : 3. Zmiana prędkości obrotu syreny zmienia wysokości obu dźwięków, nie zmienia jednak ich stosunku, wskutek czego wyższy będzie zawsze kwintą niższego.

Stosunek wysokości dwu dźwięków nazywamy interwalem, albo stopniem zawartym między nimi. W muzyce bywają używane tylko takie dźwięki, których interwały mogą być wyrażone przez stosunki nie-wielkich liczb całkowitych. Tak np. interwały oktawy i kwinty wyrażają się stosunkami 1 : 2 i 2 : 3. Innym interwałom muzycznym odpowiadają również proste stosunki częstości. Fakt wyrażony w powyższem twierdzeniu został sprawdzony przez fizyków, zapomocą pomiarów częstości dźwięków wprowadzonych do muzyki i śpiewu przez uczonych i nieuczonych muzyków, którzy przy wyborze tych dźwięków kierowali się tylko względami prostoty i piękności muzycznej. Fakt ten nie jest zresztą przypadkowym, daje się on naukowo uzasadnić, jak to obaczymy w ust. 216.

Przyjąwszy jakikolwiek dźwięk, mający pewną określoną wysokość, jako dźwięk pierwszy, albo początkowy, możemy przyłączyć doń, na zasadzie interwałów przyjętych w muzyce, cały szereg innych dźwięków pokrewnych, które będą wówczas miały wysokości również zupełnie określone.

Dźwięk służący jako punkt wyjścia, nazywa się tonem normalnym, a zbiór wszystkich należących do niego, używanych w muzyce dźwięków, stanowi skalę.

U rozmaitych narodów i w różnych wiekach uznawano rozmaite interwały, jako dozwolone w muzyce. Ograniczymy się tutaj do jednej skali, używanej w nowoczesnej muzyce europejskiej. W obrębie interwału jednej oktawy, t. j. między dźwiękiem o pewnej częstości n, a dźwiękiem o częstości 2 n, mieści

31

Bibl. mat -fiz. S III. T. VIII.

się siedm interwałów mniejszych, a zatem sześć dźwięków o wysokościach następujących:

VIII

I II III IV V VI VII

g*'

oo! co

sf

co

to cc

lO jCO

ro

OD

Drugi z tych dźwięków nazywa się sekundą względem pierwszego, zwanego dźwiękiem zasadniczym skali, czyli toniką. Trzeci,

5

odpowiadający interwałowi ^ względem toniki, nazywa się tercyą

większą; dalsze noszą nazwy: kwarty, kwinty, seksty większej, septymy większej i oktawy. Na tem jednak nie kończy się jeszcze skala; biorąc oktawę 2n jako nową tonikę możemy przybrać do niej 9

sekundę oktawy: ^ 2n, tercyę oktawy i t. d.; podobnież możemy

przedłużyć szereg na lewo, dobierając według tej samej zasady dźwięki niższe niż n. Zbiór dźwięków uzyskany w ten sposób stanowi t. zw. skalę diatoniczną naturalną dur, zbudowaną na dźwięku o częstości n. Skala ta składa się z szeregu oktaw, każda zaś oktawa zawiera siedm dźwięków, których wysokości mają napisane wyżej stosunki.

Interwały pomiędzy sąsiednimi dźwiękami powyższej skali nie są równe; obliczywszy bowiem stosunki wysokości dźwięków następujących bezpośrednio po sobie, znajdziemy takie liczby:

II

III

IV

VI

VII

VIII

GO CO

co

CO lO

T—I Ir—I

CD [GO

CO¹

001 cc

co uo

= 1,125; =1,111; - 1,067; = 1,125; = 1,111; = 1,125; =1,067.

Znajdujemy więc pięć interwałów większych, mających

9    10

wartości mało się różniące: -q- albo c. , nazwanych całymi tona-

o    9

16

mi (większy i mniejszy), tudzież dwa interwały mniejsze: —,

zwanych półtonami większymi. Pomiędzy dźwiękami różniącymi się w wysokości o cały ton, znajduje się tedy miejsce na umieszczenie dźwięku pośredniego, którego interwały z obu

dźwiękami sąsiednimi będą prawie równe półtonowi. Tak np.

może być rozłożony na półton mniejszy:

. 10    25    16

interwał ¥ = g₃Xî5

16

25

2^ = 1,042 i półton większy: ^= 1,067. Wstawiwszy rzeczone

półtony uzyskamy t. zw. skalę chromatyczną naturalną, złożoną z dwunastu niezupełnie równych półtonów. Częstości dźwięków składających tę skałę mają następne wartości:

n,

I Ot

001 co

lO

03 03

Jś

co; 4^

tO: tO 4^! CA

CO CM

tO| tO

4^1 Oi

CO CA

tOj tO 4^1 ot

OO, CO

JS

iO

J§

CO Ol

CO CA

15

II

ill IV

VI

VII VIII.

Interwały sąsiednich dźwięków tej skali są półtonami; nie są jednak dokładnie równe, lecz mają jednę z następujących

wartości:

Ol 103

27

16

= 1,042, 2^ — 1 >08, te — 1,067. Oprócz skal natural-

nych, które tu opisaliśmy, są jeszcze inne, nad któremi nie będziemy się zatrzymywali ¹).

Ilość dźwięków potrzebnych dla tych skal różnych jest bardzo wielka. Na klawiaturze fortepianu wymagałyby one nierównie więcej klawiszów niż ich bywa zwyczajnie. Ze względu na fortepian i inne instrumenty muzyczne, w których dźwięki są gotowe i nie mogą być według upodobania zmieniane, zgodzono się poświęcić czystość interwałów naturalnych i wyrównano wszystkie półtony. W muzyce praktycznej używa się więc t. zw. skali j e dno staj nie utemperowanej, w której każda oktawa składa się z dwunastu półtonów równych. Przy-jąwszy dźwięk o częstości n jako zasadniczy, oznaczywszy nadto przez x wartość półtonu ujednostajnionego, uzyskamy następujące dźwięki w obrębie jednej oktawy:

x³n

x⁶n

xl0n

xn

xHn

x¹n

x¹n x°n

II III IY

HH §

X'H xnn. VII VIII.

Wysokość oktawy wyraża się liczbą xi2n, co powinno wynosić 2n\ dostajemy stąd równanie; x12 — 1,05946. Widzimy więc, że półton tej skali różni się tylko nieznacznie od półtonów naturalnych, wskutek czego nieczystość interwałów nie razi zbytecznie ucha.

12 _

— 2, przeto x — \/ 2 —

jjp—. Dźwięk ten odpowiada dril

Wskutek przyjętej ogólnie umowy, jako punkt wyjścia przy budowie skali służy obecnie ton normalny, mający częstość 435 drgań na sekundę. Dźwięk ten oznacza się literą a', a w piśmie muzycznem znakiem: giej strunie na skrzypcach, licząc od najcieńszej. Na klawiatu-

Cis dis

ls c(is ais(b) cis' dis j\s gis' ais'(b')

c d e f g a- h, c' <V e' j‘r cjr ar u'

Fig. 181.

Tablica wysokości dźwięków muzycznych, według skali jednostajnej, zbudowanej na tonie normalnym; u—435

Cn-Hn C,—Hi C—H c-h ć-ti c"-h"    c""-h""j

213. Fonogkaf. Zastanawialiśmy się poprzednio nad wielkością i częstością drgań głosowych t. j. nad temi własnościami, od których zależy natężenie i wysokość dźwięków. Zostało jeszcze pytanie jakiego rodzaju ruchy drgające wykonywają cząstki powietrza, przewodzące fale głosowe, tudzież cząstki ciał wydających dźwięki. Najprostszy sposób uzyskania odpowiedzi na to pytanie, polega na zastosowaniu metody wykreślnej. Do ciała drgającego przytwierdzamy lekki rysik, a pod rysikiem posuwamy jednostajnie tabliczkę, na której tenże kreśli linię falową. Sposób ten opisaliśmy już w ust. 23; fig. 15 objaśnia powstawanie linii falowej w pewnym ruchu drgającym, fig. 16 wyobraża przyrząd kreślący linię falową odpowiadającą drganiu widełek strojowych. Linie falowe kilku rodzajów ruchu drgającego przedstawione są na fig. 20, 21, 22. Mając linię falową, wiemy wszystko, co o pewnym ruchu drgającym powiedzieć można; znajdujemy bowiem na niej amplitudę i częstość ruchu, a zarazem prawo, według którego odchylenie zmienia się w ciągu każdego drgania. Jakoż, przesuwając jednostajnie tabliczkę, na której nakreślona jest jakakolwiek linia falowa, poza kartką papieru, w której wycięliśmy wązką szparę, obaczymy w szparze punkt, posuwający się tam i napowrót, stosownie do tego prawda ruchu, które wyobraża dana linia falowa. Ruchy drgające ciał wydających dźwięki (ust. 207), są ruchami peryodyczny-mi. Z tego wynika, że linie falowe, odpowiadające dźwiękom, składają się z szeregu odcinków zupełnie równych, przystających do siebie. Każdy z tych odcinków należy do jednego drgania; ilość ich, przypadająca na tę długość, którą tabliczka przebiega w jednostce czasu, równa się częstości drgań uważanego dźwięku.

Wrażenie, jakie dźwięk pewien sprawia wt słuchu, zależy jedynie od rodzaju drgania, bądź to powietrza przewodzącego głos, bądź też części samego ucha. Możemy więc twierdzić, że każdy dźwięk może być wyobrażony wykreślnie, zapomocą odpowiadającej mu linii falowej.

Pomiędzy rozmaitymi przyrządami, kreślącymi linie falowe, bądź to dla ruchów drgających ciał wydających dźwięki, bądź też dla drgań cząstek powietrza przewodzącego głos, w pierwszym rzędzie zasługuje na uwagę fonograf, wynaleziony przed kilkunastu laty przez Edison’a. Przyrząd ten nie-tylko kreśli linię falową, dla drgań powietrza, ale dozwTala nadto, za pośrednictwem uzyskanej linii falowej, odtworzyć powtórnie dźwięk pierwotny — tem samem stwierdza wypowiedziane

-—a iihr~7

Fig. 182.

wyżej twierdzenie. Nie wdając się w opis rzeczywistej budowy tego przyrządu, objaśnimy tylko zasadę, na której ona polega. Na dnie drewnianej lejkowatej muszli, którą fig. 182 wyobraża w przecięciu, znajduje się okrągły otwór O. Otworem tym fale głosowe wnikają do wnętrza muszli, zamkniętej u spodu cienką, podatną błoną B (z blaszki metalowej, albo z łyszczku).

Pod błoną znajduje się krótka stalowa sprężyna, przytwierdzona jednym końcem S stale do muszli; na drugim końcu, swobodnym, osadzony jest kolec Jc, nieco przytępiony. Między sprężyną a błoną umieszczone są dwa kawałki kauczuku. Jeżeli silne fale głosowe trafiają błonę przez otwór O w muszli, wówczas zostaje ona wprowadzona w drganie; drganie to przenosi się za pośrednictwem kawałków kauczuku na sprężynę i na kolec Ł Błona razem ze sprężyną zachowuje się więc jako nader podatny tłok, którego zadaniem jest przejmować wstrzą-śnienia powietrza. Kauczukowa podkładka między błoną a sprężyną służy do szybkiego stłumiania tych drgań, które błona i sprężyna mogłyby wykonywać na mocy własnej sprężystości, a które rzeczywiście nie mają nic spólnego z drganiami powietrza, które mamy zapisywać. Wskutek tego urządzenia, kolec k drga tak samo, jak cząstki powietrza przewodzącego dźwięk, albo jak ciało, które go wydaje.

Celem nakreślenia linii falowej przesuwamy pod kolcem k tabliczkę AC, z materyału plastycznego (staniol, wosk), ruchem jednostajnym. Kolec drgający wciska się w tabliczkę i wytłacza na niej rowek o zmiennej głębokości, którego podłużny przekrój, czyli profil, stanowi właśnie linię falową danego dźwięku. Grzbiety i doliny tej linii są bardzo drobne, jednakowoż zapomocą stosownego przyrządu rysunkowego można je powiększyć i dokładniej zbadać. W dawniejszych fonografach Edisona tabliczka była mosiężna; materyałem plastycznym był naklejony na niej Łpapier cynowy (staniol). W nowszych używa się materyału podobnego do wosku. Zapomocą fonografu można kreślić linie falowe nietylko dla dźwięków różnych instrumentów muzycznych, ale także dla mowy ludzkiej. Jeżeli cofniemy tabliczkę, razem z wyrzeźbioną na niej linią falową, do pierwotnego miejsca i przesuniemy ją powtórnie pod kolcem, natenczas wypukłości i zagłębienia jej wprowadzą kolec, a razem z nim błonę, w ruch drgający, który będzie prawie wiernem powtórzeniem pierwotnego ruchu. Wskutek tego błona staje się źródłem głosu i powtarza dźwięki, lub mowę, dla których nakreśliliśmy linię falową.

214. Barwa dźwięku. Linie falowe różnych dźwięków bywają nieskończenie różnorodne; kształt ich zależy od rodzaju drgania, a więc od sposobu powstania dźwięku. Tak np. dźwięk syreny Seebecka (fig. 179), powstający wskutek krótkich, urywanych, lecz mimo to dość miękkich podmuchów powietrza, wyciska na fonografie ^linię, którą widzimy w powiększeniu na fig. 183A. Jeżeli obok krążka z otworami osadzimy na osi syreny koło zębate, mające tyleż zębów, ile krążek otworów, a do zębów koła przyłożymy kawałek kartonu, natenczas usłyszymy podczas obrotu dźwięk, tej samej wysokości jak dźwięk syreny, lecz znacznie ostrzejszy. Fonograf wykreśli w tym

~V--V/ V *

Fig. 188.

razie krzywą fig. 183 B, która załamuje się ostro w miejscach odpowiadających uderzeniom kartonu o zęby. Widełki strojowe wydają znowu dźwięk miękki i pozbawiony wszelkiej ostrości; linię falową tego dźwięku wyobraża fig. 183 C. W tych trzech przykładach mamy dźwięki jednakowej wysokości, mimoto wrażenie słuchu jest w każdym przypadku inne, tak iż natychmiast zdołamy odróżnić dźwięk syreny od dźwięku koła zębatego, lub widełek. Otóż tę właściwość, która znamionuje i odróżnia tak dobitnie dźwięki wywołane zapomocą różnych przyrządów, określamy nazwą barwa dźwięku. Doświadczenia robione z fonografem przekonywają, że gdy wysokość i natężenie zależą od częstości i amplitudy, albo energii drgania, to barwa zależy od rodzaju drgania t. j, od prawa, według którego odchylenie cząstki drgającej zmienia się z biegiem czasu. Prawo to możemy wyobrazić wykreślnie dla każdego dźwięku zapomocą linii falowej; każdej przeto formie linii falowej odpowiada pewna określona barwa dźwięku.

215. Analiza dźwięków. Ruchy drgające ciał wydających dźwięki, tudzież ruchy cząstek powietrza, przewodzącego je, są tylko w nielicznych, wyjątkowych przypadkach, ruchami drgającymi prostymi. Zwykle są to ruchy bardziej zawiłe, złożone. Owóż dowiedzieliśmy się w ust. 26, że wszelki rucli drgający, t. j. ruch powtarzający się peryodycznie w równych odstępach czasu, można uważać jako wypadkowa, pewnej ilości ruchów drgających prostych, mających częstości współmierne, t. j. proporcymalne do szeregu liczb 1, 2, 3, 4, 5... Amplitudy i fazy tych ruchów składowych są dla każdego ruchu peryodycznego zupełnie określone, t. j. pewien ruch peryodyczny może być rozłożony na ruchy drgające proste (wahadłowe) w jeden tylko, jedyny sposób.

Naodwrót, składając pewną ilość ruchów drgających prostych, przedstawionych równaniami:

.<?, — ax sin (271. n . t + S,); s₂ — a₂ sin (27c. 2n . t + S₂)i % = a₃ sin (27t. Sn . t + S₃) i t. d.

w których amplitudy a i fazy 8 są odpowiednio dobrane, możemy utworzyć wszelki dowolny ruch drgający. Przykład takiego postępowania daje fig. 22 (ust. 26). Składając ruchy drgające proste, wyobrażone tam przez linie falowe /j, f₂, f₃ i t. d. zbliżamy się stopniowo do linii falowej kształtu AB CD, wyobrażającej pewien ruch drgający złożony.

Sposób ten rozkładu, czyli rozbioru drgań jakichkolwiek na drgania proste, zawdzięczamy Fourierowi. Nie należy jednak sądzić, jakoby to był jedyny możliwy sposób rozłożenia ruchu peryodycznego na ruchy składowe. Każdy ruch dowolny można rozłożyć na składowe, nieskończenie wielorakimi sposobami, podobnie jak w arytmetyce każdą sumę możemy rozłożyć na najrozmaitsze składniki. Są jednak dwa powody, dla których rozkład według reguły Fouriera na ruchy drgające proste, mające okresy spółmierne, zasługuje przed innymi na uwagę. Powody te zawarte są w następujących prawach, odkrytych przez Ohma i Helmholtza:

Prawo Ohma. Ucho posiada zdolność rozkładania każdego dźwięku na dźwięki składowe, odpowiadające ruchom drgającym prostym. Dźwięki wywołane przez drgania proste, są jedynymi, w których ucho nie odróżnia żadnych składników; dźwięki takie nazywają się tonami.

Według reguły Fouriera każdy ruch peryodyczny można rozłożyć w jeden określony sposób na ruchy drgające proste.

Jest to reguła matematyczna, a nie przyrodnicza Nie ma w istocie konieczności przyjmować z góry, żeby ucho w ogólności rozkładało dźwięki, albo żeby stosowało się do tej, a nie innej reguły rozkładu. Otóż Ohm dostrzegł, że istotnie wrażenia dźwięków nie są jednolte i niepodzielne. Przeciwnie, słuchając uważnie, przekonamy się, że w przeważnej ilości dźwięków można usłyszeć szereg głosów?⁻ składowych o różnych wysokościach. Ścisłe dochodzenia wykazały, że częstości tych głosów mają się zawsze jak liczby 1, 2, 3, 4, 5 i t. d. Natężenia ich bywają dla różnych dźwięków różne; nierzadko brakuje niektórych. Doświadczenie okazało nadto, że wrażenia słuchu, wywołane przez ruchy drgające proste, są niepodzielne; są to pierwiastki, z których składają się wszystkie wrażenia głosu, jakie kiedykolwiek odbieramy. Te wyniki badań fizyologicznych wypowiedziane są właśnie w prawie Ohma. Reguła rozkładu drgań, podana przez Fouriera—jedna z wielu możliwych—posiada więc nietylko teoretyczne znaczenie, jako prawo matematyki, ale jest zarazem prawem przyrodniczem. Regule tej odpowiada w akustyce twierdzenie: kaidy dźwięk składa się z szeregu dźwięków, odpowiadających ruchom drgającym prostym, czyli z tonów. Tony te nie są jakiekolwiek; częstości ich mają się do siebie jak liczby 1 2, 3... Szereg taki tonów o częstościach n,2n, 3n, 4n.. nazywamy szeregiem tonów harmonicznych. Prawo Ohma możemy tedy wypowiedzieć krótko jak następuje: każdy dźwięk jest sumą pewnej ilości tonów harmonicznych. Najniższy z tych tonów, zwykle najsilniejszy, nazywa się tonem zasadniczym. Częstość jego n nadaje cechę wysokości całemu dźwiękowi. Dalsze tony harmoniczne, zależnie od ilości i natężenia swego, nadają całemu dźwiękowi tę lub owę barwę.

Uzasadnienie prawa Ohma polega na właściwościach budowy ucha i na ogólnych prawach drgania ciał sprężystych, o których będzie niżej mowa. Zdolność ucha do rozdzielania kilku dźwięków, słyszanych jednocześnie, znana jest z codziennych doświadczeń: wśród ogólnego dźwięku, wydawanego np. przez orkiestrę, złożoną z kilkunastu instrumentów, rozróżniamy z łatwością głosy skrzypiec, fletu, trąb i t. d. Należy przytem pamiętać, że wszystkie te dźwięki wstrząsają jednocześnie te same cząstki powietrza w przewodzie ucha. Cząstki powietrza wykonywają więc ruchy niezmiernie złożone, a mimo to ucho śledzi i odczuwa każdy ruch i każdy dźwięk składowy z osobna. Ta sama zdolność ucha, która umożliwia odróżnienie pewnego dźwięku wśród wielu innych, służy także przy rozłożeniu dźwięku na tony. Wyobraźmy sobie, że na tabliczce fonografu wykre śloną została linia falowa prosta A (fig. 184), zapomocą widełek strojowych, które jak się dowiemy, wydają dźwięk złożony niemal z jednego tylko tonu. Weźmy następnie inne widełki, dające ton wyższy, odpowiadający np. linii B i poprowadźmy tabliczkę powtórnie pod kolcem fonografu, trzymając mniejsze

Fig. 184.

widełki przy muszli. TSla pierwotnej linii falowej A wyrzeźbi się druga linia B, przez co uzyskamy linię złożoną kształtu C. Otóż jeżeli wprowadzimy błonę fonografu w drganie, zapomocą tej linii złożonej, wówczas usłyszymy dźwięk, w którym przy należytem skupieniu uwagi, rozróżnimy obydwa tony, które złożyły się na odpowiednią linię falową. W przykładzie tym drugi ton jest o tyle wyższy i słabszy od pierwszego, że już. z kształtu linii falowej można poznać istnienie obu tonów. Przypatrzmy się jednak fig. 20 (str. 62), mianowicie C albo D, które złożone są z linii A i B. Z kształtu tych linii nie poznalibyśmy ani wysokości, ani natężenia tonów składowych, a jednak ucho odróżnia z łatwością obydwa w drganiu powietrza, odpowiadającem linii złożonej.

Otóż podobnie jak słyszymy oddzielnie tony dwu widełek uderzonych jednocześnie, tak też usłyszymy te tony w dźwięku wydanym przez ciało, którego drganie jest sumą takich ruohów. W dźwiękach muzycznych bywają tylko niższe tony harmoniczne tak silne, że można je usłyszeć; od 6-go albo 10 począwszy, mają one nader małe natężenie. Tony harmoniczne tworzą we wszystkich dźwiękach te same interwały z tonem pierwszym, albo zasadniczym, bo częstości ich są całkowitemi wielokrotnościami tonu zasadniczego. Natężenia ich bywają jednak

w różnych dźwiękach różne; wielu tonów harmonicznych brakuje zupełnie.

Przyjąwszy jakąkolwiek częstość n dla tonu zasadniczego, otrzymamy następujący szereg tonów harmonicznych: 2-gi ma częstość 2n, jest więc oktawą zasadniczego; częstość trzeciego wynosi Sn, jest to kwinta oktawy; 4-ty jest oktawą oktawy; 5-ty jest tercyą większą drugiej oktawy; 6-ty jest jej kwintą (6 : 4 czyli 3 : 2); dla siódmego nie znajdziemy nazwy w skali diatonicznej, gdyż interwału 7 : 4 w tej skali nie ma — zresztą jest on blizki mniejszej septymy; 8-my jest trzecią oktawą zasadniczego i t. d. Tak np. do tonu zasadniczego c należy następujący szereg tonów harmonicznych:

1    2    3    4    5    6    7    8    9    10...

c c' <j

Tony harmoniczne można łatwo usłyszeć w dźwiękach fortepianu. Uderzmy np. lekko klawisz g', aby zwrócić uwagę na ten ton; następnie, puściwszy g\ uderzmy dość silnie klawisz c. Usłyszymy wówczas wyraźnie 3-ci ton harmoniczny r/; również łatwo można usłyszeć c\ cr, e".

Prawo Helmholtza. Tony harmoniczne, składające dźwięk jakikolwiek, nie są tylko podmiotowem (subjektywnem) zjawiskiem sluclm; one istnieją rzeczywiście (objektywnie) w powietrzu przewodzącem dźwięk, t. j. każdy z ruchów drgających prostych, wchodzących w skład ruchu złożonego, może wywołać takie objawy dynamiczne, jak gdyby sam jeden istniał tu powietrzu.

Ruchy drgające proste, a raczej fale proste, posiadają je-dnę wybitną własność dynamiczną, mianowicie, pod pewnymi warunkami mogą one wprowadzać ciała sprężyste w ruch drgający. Zjawiska te, znane pod nazwą resonancyi, albo oddźwięku, poznamy dokładniej w następującym rozdziale. Obecnie potrzebne są nam tylko następujące wiadomości. Wyobraźmy sobie ciało sprężyste, zdolne wykonywać ruch drgający prosty, o pewnej ściśle określonej częstości — np. strunę napiętą, powietrze w naczyniu niezupełnie zamkniętem, albo błonę sprężystą, napiętą na bębnie. Ciało takie zostaje wprowadzone w drganie, ilekroć je trafiają fale głosowe, o częstości równej częstości drgań własnych, do których jest nastrojone; wówczas staje się ono samoistnem źródłem głosu, odpowiada niejako to-

c"

e"

g" (/>") P"

d'"

nu

nowi zewnętrznemu. Fale o częstości odmiennej, większej lub mniejszej, aniżeli częstość drgań własnych ciała, nie działają na nie wcale, albo mają co najwyżej wpływ nieznaczny. Działanie to fal głosowych prostych, dostrojonych do drgań ciała, nie doznaje żadnej zmiany, gdy obok fal uważanych rozlegają się w otoczeniu ciała inne jeszcze głosy i fale. Jest to nowy przykład wzajemnej niezależności drgań. Ciało wybiera z dowolnej mieszaniny tonów ten ton jedyny, do którego jest dostrojone. Resonancya jego jest nieomylnem świadectwem, że ton rzeczony istnieje w powietrzu. Wyobraźmy sobie tedy, że ciało takie trafiają fale pewnego dźwięku złożonego. Jeżeli pomiędzy tonami hermonicznymi tego dźwięku znajduje się ton, do którego ciało jest dostrojone, i jeżeli natężenie jego jest dostatecznie wielkie, wówczas resonator zacznie drgać- w przeciwnym razie nie odezwie się wcale. Tony harmoniczne, na które dźwięki mogą być rozłożonć, istnieją więc rzeczywiście i objektywnie w powietrzu. Między tonem pojedynczym, wzbudzonym przez stosownie drgające ciało, a tonem wydzielonym, według reguły Fouriera, z dowolnie zawiłego dźwięku, nie ma żadnej różnicy.

rt

Tę własność drgań prostych Helmholtz zastosował do wykonywania doświadczalnego rozbioru, czyli analizy dźwięków, na składające je tony. Można to wprawdzie uskutecznić słuchem, bez pomocy jakichkolwiek przyrządów, wszelako sposób ten wymaga wielkiej wprawy i dobrego słuchu muzycznego. Obok błon sprężystych Helmholtz używał w tym celu resonatorów w kształcie kuli metalowej, albo szklanej (fig. 185), mającej z jednej strony otwór A o gładkich brzegach; na przeciwnej stronie kula jest nieco wydłużona w krótką stożkowatą rurkę B, którą można szczelnie wetknąć w otwór ucha.

Fig_ 185.

Powietrze znajdujące się w resonatorze można przez stosowne zadęcie wprowadzić w drgania proste o pewnej określonej częstości zależnej od pojemności kuli i od wielkości otworu A; ono jest ciałem sprężystem, nastrójonem na pewien określony ton.. Nawzajem, jeżeli resonator taki trafiają fale głosowe tej wysokości, jaką sam przy zadęciu wydaje, wtenczas wprowadzają one powietrze w resonatorze w silny ruch drgający; ucho uzbrojone w resonator słyszy ton rzeczony jak gdyby w powiększeniu.

Inne tony działają nań słabo. Resonator posiada więc zdolność wzmacniania i uwydatniania tego tonu, do Ittórego sam jest dostrojony. Celem wykonania analizy pewnego dźwięku, należy zaopatrzyć się w szereg resonatorów, nastrojonych na różne tony o znanych wysokościach. Przykładając je po kolei do ucha, poznamy łatwo, które tony harmoniczne wchodzą w skład dźwięku i jakie mają względne natężenia. Skoro bowiem trafimy na re-.sonator odpowiadający jednemu z tonów harmonicznych, obecność jego w dźwięku zdradzi się natychmiast przez wybitne wzmocnienie.

Prawo Helmholtza wyjaśnia zdolność ucha do rozkładania dźwięków złożonych na tony. Ucho jest narządem zmysłowym bardzo zawiłej budowy; nerw słuchu składa się z mnóstwa włókien, z których każde jest połączone z naroślą sprężystą (luki Cortiego), usposobioną do drgania w pewnym określonym okresie. Te części ucha działają jakby szereg resonatorów dostrojonych do różnych tonów. Dźwięk złożony pobudza więc te tylko nerwy, które odpowiadają tonom zawartym w dźwięku; wskutek tego słyszymy każdy z tych tonów oddzielnie.

210. Synteza dźwięków. Barwa. Wrażenie dźwięku zależy tylko od rodzaju ruchu drgającego w samem uchu, a nie zależy od tego jakimi środkami ruch ten został wzbudzony. Helmholtz skorzystał z tej okoliczności, celem sprawdzenia teo-ryi dźwięków, którą podaliśmy wyżej. Pojedynczy ton można uzyskać zapomocą widełek strojowych; one wykonywają bowiem prawie dokładnie drgania proste (fig. 183, 0); dla wzmocnienia i oczyszczenia tonu umieszcza się obok widełek resonator dostrojony do tegoż samego tonu. Szereg takich widełek, wydających tony harmoniczne różnej wysokości, może służyć do sztucznego wytwarzania głosów, czyli do syntezy dźwięków. Przyrządem takim Helmholtz zdołał naśladować dźwięki mowy ludzkiej (samogłoski), tudzież dźwięki różnych instrumentów muzycznych, przez składanie właściwych im tonów harmonicznych. Sprawdził zatem dowodnie, że barwa dźwięku zależy od rodzaju drgania złożonego, t. j. od ilości i natężenia tonów harmonicznych, przyłączonych do tonu zasadniczego. Różnice faz tonów harmonicznych, nie mają, według Helmholtza, wpływu na barwę dźwięku; t. j. tony należące do pewnego dźwięku możemy zmieszać jakkolwiek, nie troszcząc się o to, czy odpowie-

dnie drgania proste zaczynają się jednocześnie, czy też niektóre zaczynają się o pewien ułamek okresu wcześniej lub później niż inne. Każdej linii falowej, wyobrażającej pewne drganie złożone, odpowiada więc pewna barwa dźwięku. Nawzajem jednak, dźwiękom tej samej barwy mogą odpowiadać linie falowe różnych kształtów. Tak np. drgania proste A i 3 (fig. 20) dają drgania złożone C, jeżeli na początku fazy ruchów składowych są jednakowe. Też same drgania A i B dają jednak wypadkową D innej formy, jeżeli jedno drganie zaczyna się \ okresu wcześniej niż drugie. Otóż obie linie falowe złożone C i D należą do tego samego dźwięku, albowiem składają się z tych samych ruchów prostych.

Pojedyncze tony, wywołane przez drgania proste, brzmią miękko ale bezbarwnie; w nizkich oktawach głucho (jak reso-nancya beczki), w wyższych są podobne do tonów fletu. Najpiękniejsze dźwięki muzyczne zawierają około sześciu pierwszych tonów harmonicznych (fortepian, głos ludzki, piszczałki otwarte); obecność wysokich tanów harmonicznych czyni dźwięk ostrzejszym (skrzypce, harmonika), a przy znaczniejszem ich natężeniu szorstkim (krzyk głośny, trąbyj.

Różnice dźwięku różnych samogłosek A, E, I, O, U i t. p. polegają również na obecności różnych tonów harmonicznych, wywołanych przez rozmaity układ ust i jamy ustnej, która działa jako resonator, wzmacniający pewne tony. Wymawiając*, np. samogłoskę U tworzymy z ust resonator nastrojony na ton f-charakterystyczna resonancya ust dla samogłoski O odpowiada tonowi ?v, dla A tonowi ó₂; dla I, d, połącząne z tonem f (odzywającym się w głębi jamy ustnej, za podniebieniem). Tworzenie spółgłosek polega na wywołaniu różnych szelestów i szmerów, zapomocą warg, zębów i języka. Przez sztuczną kombina-cyę tonów harmonicznych, właściwych pewnej samogłosce, można dźwięk jej naśladować. Jeżeli np. wymówimy głośno A lub O nad strunami fortepianu, podniósłszy pedał, wtenczas struny odezwą się tym samym dźwiękiem A lub O; każdy z tonów harmonicznych dźwięku, porusza bowiem wskutek resonancyi strunę odpowiedniej wysokości.

Teorya ta tłomaczy także pokrewieństwa dźwięków, na zasadzie których powstały skale muzyczne. Słuchając np. dźwięku o pewnej wysokości, określonej częstością n, słyszymy zarazem cały szereg tonów harmonicznych, połączonych z tonem zasadniczym: n, 2n, 3n, 4n i t. d. Oktawa tego dźwięku posiada następujący skład: 2n, 4n, 6n i t. d., zawiera więc te same tony, które znajdowały się już w dźwięku pierwszym; z tego powodu interwał oktawy wydaje się nam tak naturalnym i wyróżnionym od innych. Dwa dźwięki tego rodzaju, słyszane jednocześnie, spływają jakoby w jeden, tworzą doskonałą harmonię. Są atoli kombinacye dźwięków, które sprawiają wrażenie przykre, tworzą t. zw. dysonans, albo rozdźwięk. Helmholtz okazał, że niezgodnymi czyli dysonującymi są takie dwa dźwięki, w których bądź to tony zasadnicze, bądź też inne silniejsze tony harmoniczne sprawiają szybkie dudnienia. Tony o częstościach n i ri, dają n — ri dudnień na sekundę (ust 210); one nie płyną jednostajnie obok siebie, nie sprawiają ciągłego, jednolitego wrażenia, lecz wrażenie przerywane; one są tem dla ucha, czem dla oka światło migające. Dudnienia bardzo powolne (jeżeli n i ri bar dzo mało się różnią) podobne są do kołysania się (Demolowania) głosu i nie czynią przykrego wrażenia. Gdy jednak ilość dudnień dochodzi (mniej więcej) do 30 na sekundę, wtenczas spół-brzmienie obu tonów stanowi przykry dysonans; przy większej jeszcze częstości, około 100 na sek. dudnienia stają się znowu nieszkodliwemi dla harmonii, bo ich już nie odczuwamy. Na tej zasadzie można okazać, że kwinta, np. c i g, jest interwałem harmonicznym, albowiem tony zawarte w tych dźwiękkach:

c' g'

(V

ü',

c", e", g", b", c'"...

¹

W t. zw. skali diatonicznej moll, znajduje się zamiast tercyi większej, tercya mniejsza n, wyższa tylko o półton od sekundy; zamiast seksty większej użyta jest w tej skali mniejsza: | n, również tylko o półton wyższa od kwinty; nakoniec zamiast większej, mniejsza septy-ma: % n, niższa o cały ton mniejszy od oktawy.

o", Ä",    ...

są bądź zgodne, bądź też tak od siebie odległe, że nie dają powodu do szkodliwych dla harmonii dudnień; te zaś, które mogłyby stać się przyczyną dysonansu mają już (w dźwiękach dobrych instrumentów) zbyt małe natężenie. Dźwięki oddzielone małym interwałem, jak np. c i cis, są wielce niezgodne, stanowią dysonans, gdyż niemal wszystkie ich tony harmoniczne tworzą między sobą dudnienia.

Oceniając, czy dwa dźwięki jakiekolwiek harmonizują z sobą, czy też tworzą dyssonans, należy, obok zgody składających je tonów harmonicznych, uwzględnić także zgodę lub niezgodę t. zw. tonów kombinacyjnych, którym one dają początek. Zauważono, że gdy dwa dźwięki, a nawet dwa tony proste, o wysokościach n i n', byle dostatecznie silne, pobudzają ucho jednocześnie, wówczas słyszy się, obok n i n' szereg tonów zwanych kombinacyjnymi, z których najwybitniejszymi są ton różnicowy o wysokości n — n' i sumuwy o wysokości n + n'. Helmholtz tłomaczy powstawanie ich tern, że zasada prostego dodawania się dwu drgań, bez wzajemnego na siebie oddziaływania (ust. 198), stosuje się, ściśle biorąc, tylko do drgań nieskończenie słabych. Rzeczywiste tony7 sprawiają małe wprawdzie, ale przecież skończone odchylenia cząstek powietrza, tudzież błony bębenkowej ucha; stąd pochodzi, że nie płyną one obok siebie bez przeszkody, lecz dają początek nowym wstrząśnieniom peryodycznym, których nie było w pierwotnych ich źródłach.

ZADANIA.

379)    Na obwodzie krążka syreny znajduje się 48 otworów; wskazać na skali jednostajnej wysokość dźwięku wydawanego przy 8 obrotach krążka na sekundę. Odp. n — 384 t. j. blisko g'.

380)    Obliczyć długość fali głosowej w powietrzu, dla najwyższego i najniższego dźwięku używanego w muzyce (n = 4000 i 40 na sek).

Odp. 8} cm; 8£ m.

381)    Dwa dzwonki elektyczne, bijące 8 razy na sek, umieszczone w obwodzie tego samego prądu, uderzają jednocześnie. Oddalając jeden z nich, usłyszymy uderzenia jego nieco później, aniżeli uderzenia dzwonka znajdującego się obok nas. W odległości 42 m, słyszymy uderzenia obu dzwonków znowu jednocześnie. Obliczyć prędkość głosu.

Odp. 8 X 42 = 336 m/sek.

382)    Z jaką prędkością należy zbliżać się do źródła dźwięku, aby tenże wydawał się o ^ tonu (interwał 1,05946) wyższym?

Odp. 0,05946 X 340 = 20,2 misek.

383)    Mamy dwie pary widełek strojowych, dających tony jednakowe. Jeżeli jedna para oddala się z prędkością 40 misek, wtenczas dźwięk jej, z dźwiękiem drugiej nieruchomej pary, tworzy dudnienia o częstości 5 na sek. Obliczyć w przybliżeniu częstość drgań widełek.

Odp. Około 48 na sek.

384)    Dany jest szereg 20 widełek strojowych, uporządkowanych podług wysokości tonów. Największe wydają ton o częstości ICO na sek; każde następujące dają z poprzedzającerni 4 dudnienia na sekundę. Znaleźć częstość najmniejszych widełek.

Odp. 176 na sek.

32

Bibi. mat.T-z. S. III. T. VIII.

385)    Wypisać tony skali diatonicznej jednostajnej, mającej fis za ton zasadniczy. Odp. fis, gis, ais, h, cis', dis’, eis’ (/'), fis'.

386)    Wypisać tony harmoniczne dźwięku /"(172,6). Odp. f,f, c", f", a", dis'", f"', g'", a'"...

387)    Obliczyć częstości dudnień wywołanych przez szes'ć pierwszych par tonów harmonicznych dźwięków C (= 64) i D (= 72).

Odp. 8, 16, 24, 32, 40, 48.

ROZDZIAŁ XV.

O RUCHU DRGAJĄCYM CIAŁ SPRĘŻYSTYCH.

(ŹRÓDŁA DŹWIĘKÓW).

217. Izochronizm drgań. Ciało sprężyste, odkształcone w zakresie granic sprężystości, następnie oswobodzone, wykonywa ruch drgający; każda cząstka porusza się peryodycznie w sąsiedztwie tego miejsca, które zajmowała w stanie równowagi. Do ruchów drgających zalicza się zwykle te ruchy, w których wszystkie cząstki ciała sprężystego mają jednakowe fazy: jednocześnie przechodzą przez położenia równowagi, jednocześnie osiągają największe odchylenia; w przeciwnym razie mamy ruch falowy, w któr}mi pewna faza drgania przenosi się z biegiem czasu od cząstki do cząstki. Drgania ciał sprężystych są to w ogóle zjawiska nader zawiłe, albowiem to samo ciało może drgać jednocześnie na kilka różnych sposobów, z powodu niezależności małych ruchów. W przypadkach prostszych drgania ciał sprężystych mają wielkie podobieństwo do ruchów wahadła. Dynamiczne wytłomaczenie drgania ciał sprężystych, podobnie jak ruchu fal, opiera się na dwu własnościach materyi: na bezwładności i sprężystości.

Porównajmy drgania -masy S (fig. 186), osadzonej na lekkim, sprężystym pręcie, utwierdzonym stale na końcu W, z ruchem masy A, zawieszonej iako wahadło na nici AC. W obu przypadkach budzi się siła, gdy masa S lub A zostanie odchyloną z położenia równowagi (w pierwszym sprężystość pręta, w drugim składowa ciężkości); w obu przypadkach siła ta:

1) ciągnie masę wciąż ku położeniu równowagi, 2) jest proporcjonalna do odchylenia z położenia równowagi, 3) znika gdy masa znajduje się w położeniu równowagi. Przejście masy przez położenie równowagi, powtarzające się co pół okresu drgania, odbywa się zatem jedynie na mocy bezwładności.

Wskutek tego podobieństwa warunków, masa S, zostająca pod wpływem siły sprężystej, porusza się tak samo, jak wahadło A pod wpływem ciężkości. Drgania ciał sprężystych, miernych

"t

's

fi

s.

’My/Â

Fig. 186.

rozmiarów, bywają zwykle daleko częstsze, aniżeli wahania się wahadeł; wszelako prawo ruchu jest w obu przypadkach to samo. Drgania ciał sprężystych dają się zawsze przedstawić jako ruchy wahadłowe, czyli jako ruchy drgające proste. Jeżeli drgania te są dostatecznie częste, a odbywają się w powietrzu, wtenczas dostrzegamy je jako dźwięk wydawany przez ciało drgające. Zważywszy, że ruch drgający prosty daje początek tym rodza-jonPgłosu, które nazwaliśmy tonami, możemy też powiedzieć, że ciało sprężyste, drgające, wydaje ton, albo mieszaninę tonóiu.

Drgania te mają i tę własność spoiną z ruchem wahadła, że okres, albo częstość drgań, nie zależy od wartości amplitudy drgania; inaczej mówiąc, drgania ciał sprężystych są i z o chroniczne. Częstość drgania, tudzież wysokość odpowiedniego tonu, zależy od postaci, rozmiarów, od sprężystości ciała, tudzież od gęstości (bezwładności) jego, lecz nie zależy od obszerności drgania t. j. od natężenia tonu. Tak np. struna, albo dzwon, wydaje tony o wysokości zupełnie określonej, bez względu na to, czy uderzymy ją silnie czy lekko; na tej własności polega możność zastosowania ciał sprężystych do instrumentów muzycznych.

Istotną, przyczyną izochronizmu drgania ciał sprężystych (podobnie jak i wahadeł) jest to, że siła działająca na masę odchyloną z położenia równowagi jest proporcyonalna do odchylenia. Siły sprężyste w ciałach odkształconych mają, jak wiadomo, tę własność zawsze (prawo Hooke’a), byle odkształcenia nie przekraczały granic sprężystości. Ciała służące jako źródła dźwięków czynią niemal zawsze zadość ostatniemu warunkowi, gdyż amplituda drgań bywa zwykle nader mała.

W przypadku przytoczonym wyżej, mianowicie gdy masa S (fig. 186) drga pod wpływem sprężystości pręta SW, możemy uzasadnić nieco ściślej główne własności ruchu drgającego. Dajmy na to, że pręt SW jest tak lekki, iż masę jego można w rachunku opuścić. Siedzibą masy poruszającej się będzie głównie ciało S (masa jego — m)\ pręt SW jest natomiast siedzibą siły sprężystej. Gdy masa odchyli się o s z położenia równowagi, pręt wywiera na nią siłę: P = Jcs, t. j. siłę proporcyonalną do s, a skierowaną ku położeniu równowagi. Im sztywniejszy jest pręt, tem większą będzie siła odpowiadająca pewnemu odchyleniu, tern

jest li

miarą przyśpieszenia ruchu Y‘, mamy więc: y = — s. To, że

przyśpieszenie jest proporcyonalne do odchylenia i że jest stale zwrócone ku położeniu równowagi, wskazuje, jak wiadomo (ust. 24), że masa wykonywa ruch drgający prosty. Zważywszy na zależność y = 4ti²w‘².5 (n = częstości drgania) dowiedzioną w ust. 24 w przypadku drgań prostych (por. także teoryę wahadła w ust.

większy będzie spółczynnik li. Stosunek siły do masy, t. j.

97), znajdziemy

==. 4k²n²- stąd otrzymamy wartość częstości

V¹

y m

drgania (wysokość tonu): n — ~

. Wzór ten, stosujący

się przynajmniej w ogólnych zarysach także do zawilszych przypadków drgania, orzeka, iż wysokość tonu wydawanego przez ciało sprężyste drgające będzie tem większą, im bardziej spręży stem jest ciało, t. j. im większe siły budzą się przy odkształceniu jego: natomiast zwiększenie masy, albo gęstości ciała obniża ton.

218. Tony własne ciał sprężystych. W poprzedzającym ustępie wyłożyliśmy główne własności drgania ciał sprężystych,

posiłkując się prostym przykładem masy osadzonej na pręcie sprężystym. Prostota tego przypadku polega na tern, że masa drgająca jest oddzielona od siedziby siły sprężystej. Zwyczajnie atoli cząstki drgające ciała sprężystego bywają jednocześnie siedliskiem i siły i masy; podczas drgania oddziaływają one zarazem na inne cząstki tego samego ciała. Pomyślmy np. że z pręta sprężystego (fig. 186) usunięto kulę; pozostanie wtenczas sam pręt drgający, a więc ciało, w którem bezwładność i sprężystość są jednostajnie rozmieszczone. O ile ruch drgający staje się wskutek tego bardziej urozmaiconym, zrozumiemy natychmiast, przyjrzawszy się kilku możliwym rodzajom drgania takiego pręta. W najprostszym przypadku, przedstawionym na fig. 187a, pręt drga podobnie jak wówczas, gdy na końcu w'ol-nym umieszczona była ciężka stosunkowo masa. Zgięcie a więc

rjs,

ns*

w,

s,

W'

Fig. 187.

i siła sprężysta, której wyrazem jest h (ust. 217) pojawia się głównie na końcu utwierdzonym W. Koniec wolny S nie zgina się wcale podczas drgania, a cząstki sąsiadujące z tym końcem mają przedewszystkim znaczenie masy bezwładnej m; zastępują więc poniekąd kulę z powyższego przykładu. Gdybyśmy koniec S zgrubili, siła sprężysta zyskałaby na tem bardzo mało, natomiast zwiększyłaby się masa bezwładna, wskutek czego, w myśl wzoru:

V¹

n~ 2x

y m

wysokość tonu zniżyłaby się. Zgrubienie natomiast pręta w pobliżu końca W nie przyczyniłoby wiele masy drgającej, albowiem amplituda drgań jest tu bardzo mała, lecz w zamian zwiększyłoby sztywność, wyrażoną przez spółczynnik k — częstość drgań stałaby się większą.

Jeżeli przytrzymamy pręt, chwilowo, w stosownym punkcie Wl7 znalezionym przez próbę, i uderzymy go poniżej tego punktu, wtedy możemy wprowadzić pręt w inny sposób drgania, przedstawiony na fig. 187b. Punkt Wt pozostawać będzie trwale w spoczynku, podobnie jak dolny koniec W. Inne cząstki będą drgały w jednakowych fazach, każda jednak mieć będzie inną amplitudę. W punktach S, S,, oznaczonych strzałkami, amplitudy są największe; w punktach W i W1; zwanych węzłami, spadają do zera. Pręt zajmuje naprzemian położenia skrajne WS W, Si i WS' W| S/ (linia kreskowana). Cząstki leżące po przeciwnych stronach icęzla poruszają się zawsze iv kierunkach przeciivnych.

Ażeby zdać sprawę z tego nowego sposobu drgania, zauważymy, że ruch odbywa się tak, jak gdyby pręt był podzielony na dwie części, z których wyższa drga sposobem pierwszym. Odcinek WS (fig. 187b) stanowi jednę z tych części; górną zaś część pręta SS! możemy uważać jako osobny pręt, drgający sposobem pierwszym, ale osadzony na ruchomym końcu tamtego. Pierwszy sposób drgania porównaliśmy (fig. 186) do ruchu wahadła; w obecnym przypadku możnaby użyć porównania do dwu wahadeł, mających jednakowe okresy, z których jedno jest zawieszone na drugiem (fig. 188).

Przez stosowne uderzenie, albo początkowe odkształcenie, można również wywołać drganie pręta w trzech częściach; a więc z trzema węzłami (W, Wt, W₂, fig. 187c) i t. d.

Widzimy więc, że to samo ciało sprężyste może wykonywać cały szereg różnych ruchów drgających. W każdym z tych sposobów drgania cząstki pręta poruszają się ruchem drgającym prostym; każdemu sposobowi drgania odpowiada atoli inna częstość drgań. Podobną różnorodność sposobów drgania spotykamy we wszystkich ciałach sprężystych, t. j. ciała mogą drgać bądź to w całości, bądź też dzielą się na dwie, trzy i t. d, części drgające, oddzielone od siebie węzłami, w któ-

rych amplituda drgania jest zero. Każdemu z tych sposobów drgania odpowiada ton o wysokości zupełnie określonej. Im większa jest ilość części drgających i węzłów, tem większa jest częstość drgań ciała sprężystego, tem wyższy ono wydaje ton. Gdy bowiem na pręcie drgającym utworzą się dwa albo trzy węzły, wówczas zgięcia pręta są stosunkowo ostrzejsze, aniżeli przy drganiu z jednym węzłem; im więcej zatem węzłów, tem znaczniejsze powstają siły sprężyste, a zarazem mniejsza masa bierze udział w ruchu. Obie przyczyny sprawiają, jak wiemy, podwyższenie tonu.

Fig. 188.

Wzbudzenie w ciele sprężystem ruchu drgającego prostego, odpowiadającego jednemu tylko z tych sposobów drgania, do których ciało jest usposobione na mocy swej postaci i sprężystości, wymaga szczególnych ostrożności i jest w ogóle trudne. Ciało wstrząśnięte lub uderzone jakkolwiekbądź, wykonywa w ogóle ruch nader zawiły, złożony ze wszystkich ruchów prostych, które jest zdolne wykonywać. Tak np. pręt (fig. 187) odchylający się jako całość na prawo i lewo, może obok tego drgać jednocześnie drugim, trzecim i t. d. sposobem. Jeżeli odkształcenia w tym ruchu złożonym są małe, wówczas, na mocy prawa niezależności małych ruchów (ust. 198), ruchy te nie przeszkadzają sobie, t. j. na pręcie odchylającym się cokolwiek na prawo i lewo, podług a (fig. 187), tworzą się drgania wielowęzłowe b, c, i t. d., tak samo, jak gdyby oś pręta była prosta i nieruchoma. Z tego wynika, że ciało mające ruch złożony wydaje głos będący mieszaniną tonów, odpowiadających różnym ruchom drgającym prostym, które są mu właściwe.

a zarazem

Możemy więc powiedzieć, że każde ciało sprężyste dostrojone jest do szeregu ruchów drgających prostych, którym odpoiviadaja różne częstości, zależne od postaci ciała, od rozmiarów jego, sprężystości, gęstości i sposobu odkształcenia. Tony odpowiadające tym ruchom stanowią szereg t. zw. tonów własnych ciała. Najniższy z nich nazywa się ton zasadniczy; często bywa on zarazem najsilniejszy w mieszaninie tonów własnych ciała, dźwięczy najdłużej.

Zależnie od tego, w jaki sposób ciało bywa pobudzone do drgania, może ono wydać bądź tylko pojedyncze tony własne, bądź też mieszaninę tych tonów.

Interwały w szeregu tonów własnych ciał sprężystych nie są w ogóle harmoniczne; wskutek tego mieszanina tych tonów nie stanowi dźwięku. W niektórych atoli wyjątkowych przypadkach (struny, piszczałki) częstości tonów własnych należą do szeregu harmonicznego: n, 2n, 3»..-Ciała wydają wówczas dźwięki i są szczególnie przydatne jako instrumenty muzyczne.

219. Widełki strojowe. Wyższe tony własne, odpowiadające drganiom wielowęzłowym, bywają w pewnych ciałach sprężystych słabe i znikome. Ruch ciał tego rodzaju bywa niemal dokładnie ruchem drgającym prostym, a głos wydawany przez nie jest prawie czystym tonem. Tak np. gruby i sztywny pręt nagina się z trudnością do tych form, które należą do dwu albo więcej węzłów; wydaje też zwykle tylko ton zasadniczy. Tę samą własność mają t. zw. widełki strojowe (fig. 189), służące jako wzory fizyczne wysokości tonów. Widełki należy uważać

Fig. 190.

O RUCHU DRGAJĄCYM CIAŁ SPRĘŻYSTYCH.— 219.

lO

lO

• Fig. 189.

jako jeden pręt, zgięty w podkowę i osadzony na nóżce. Sposób drgania pręta takiego objaśnia fig. 190. W punktach Wt i W₂, po obu stronach nóżki, tworzą się węzły, wskutek czego pręt dzieli się na trzy części drgające unisono: St W,, W! W2 i W₂ S₂. Końce ramion W, S, i W₂S₂ zbliżają się i naprzemian oddalają się od siebie; środek łuku WtW₂ t. j. punkt S₃ zniża się jednocześnie i podnosi do góry. Amplituda drgania punktu S₃ jest jednakowoż nader mała; ruch mieści się przedewszystkiem

w końcach S, i S₂. Wskutek tego częstość drgań widełek jest w wysokim stopniu niezależna od otoczenia, nie zmienia się jeżeli widełki trzymamy w ręku, albo oprzemy np. o stół. Widełki wykonane z dobrej, sprężystej stali można więc uważać jako wcielenie pewnego niezmiennego czasu, mianowicie okresu drgania. Z tego powodu używa się widełek nietylko jako wzorów wysokości tonów, do strojenia, lecz także do dokładnego mierzenia krótkich okresów czasu.

Dostrajanie widełek do żądanego tonu wykonywa się w następujący sposób: gdy chodzi o podwyższenie tonu, zbiera się pilnikiem końce S₍ i S₂. Spiłowanie stali około Wj i W₂ zmniejsza natomiast sztywność a więc zniża ton (por. ust. 218).

220. Wpływ rozmiarów. Wielkie widełki wydają ton niższy, aniżeli małe z tej samej stali, podobne zresztą co do kształtu do większych.

Stosunek okresów drgania równa się stosunkowi odpowiednich rozmiarów. Prawidło to stosuje sią nietylko do widełek strojowych, lecz do wszelkich ciał sprężystych. Jeżeli jakiekolwiek ciało drgające (widełki strojowe, dzwonek, piszczałka i t. p.) jest np. dwa razy cieńsze, krótsze i węższe, aniżeli drugie ciało z tego samego materyału; jeżeli nadto oba ciała drgają w ten sam sposób (co do rodzaju odkształceń, sposobu utwierdzenia, ilości węzłów), wówczas ton wydawany przez ciało mniejsze będzie oktawą wyższą odpowiedniego tonu ciała większego. Stosunkowi rozmiarów 2 : 3 odpowiadałby interwał kwinty i t. d.

Jeżeli bowiem wykonamy kopię jakiegokolwiek ciała sprężystego, w rozmiarach np. dwa razy większych, wówczas objętość i masa (jeżeli materyał ten sam) będą ośm razy większe, aniżeli w ciele mniejszem. Dajmy na to, że cząstki ciała większego zostają dwa razy dalej odchylane z położeń równowagi, aniżeli cząstki mniejszego; wartość odkształceń będzie w* obu ciałach jednakowa, albowiem miarą odkształcenia jest stosunek zmiany pewnego rozmiaru, albo objętości, do rozmiaru, albo do objętości pierwotnej. Z tego wynika, że ciśnienia sprężyste, liczone na jednostkę powierzchni, będą równe; mamy bowiem: ciśnienie = spółczynnik sprężystości X odkształcenie. Siły natomiast sprężyste w ciele dwa razy większem będą cztery razy większe, gdyż siła — ciśnienie X powierzchnia, a powierzchnie odpowiednie mają się jak 1 : 4. Okresy drgań są proporcyonal-ne do stosunku \ f m : \/rh (ust. 217), przyczem h — siła : odchylenie. Ponieważ zatem w ciele dwa razy większem masa jest ośm razy, a spółczynnik h dwa razy większy, przeto okres drgania będzie J/ f = 2 razy dłuższy.

221. Zanikanie drgań. Wspomnieliśmy w ustępie 150, że podczas odkształcania się ciał sprężystych objawia się tak zwane tarcie wewnętrzne, za sprawą którego amplituda drgania, a więc i energia stopniowo ubywa. Swobodne drgania ciał sprężystych, odkształconych działaniem jakiejkolwiek siły zewnętrznej, a następnie oswobodzonych, nie są przeto nigdy dokładnym ruchem drgającym prostym; są to zawsze drgania zanikające, których własności opisaliśmy obszerniej w ustępie 28 (fig. 29, str. 67). Następstwem ubywania amplitudy drgania jest zanikanie głosu wydawanego przez ciało drgające, jak to stwierdzają znane powszechnie zjawiska przycichania dzwonów uderzonych, strun i t. p. Pomimo zmniejszającego się natężenia, wysokość tych tonów pozostaje aż do końca niezmienioną, gdyż drgania ciał sprężystych są izochroniczne, częstość nie zależy od wielkości amplitudy drgania.

Chcąc"zapomocą ciała sprężystego uzyskać ton ciągły, o natężeniu stałem, nie wystarczy raz jeden uderzyć je, albo odkształcić, lecz należy zasilać je nieustannie świeżymi zapasami energii, w miarę tego, jak ją siły rozpraszające zużywają. Dźwięk fortepianu zanika jak wiadomo nader szybko, natomiast ze skrzypiec można wydobyć dźwięk ciągły, dzięki działaniu smyczka, który strunę ciągle pobudza; jednostajny dźwięk piszczałki utrzymuje się również wskutek ciągłego prądu powietrza; ustaje natychmiast, skoro prąd zostanie przerwany. Nie należy jednak sądzić jakoby tarcie wewnętrzne było jedyną przyczyną zanikania drgań. Byłoby tak istotnie, gdyby ciała drgały w próżni, nie dotykając się wcale innych ciał. Jeżeli zaś są w zetknięciu, czyto z powietrzem, czy z jakimkolwiek innym przewodnikiem głosu, wtenczas samo dźwięczenie jest przyczyną utraty energii, niemniej ważną jak tarcie wewnętrzne. Pale głosowe, jak i wszelkie inne, odwodzą energię od ciała, które je wzbudza. Energia uchodząca w falach jest oczywiście stracona dla ciała, drgającego. Trwałość dźwięku zależy więc z jednej strony od wartości tarcia wewnętrznego, z drugiej od tego, czy ciało drgające oddaje energię więcej, lub mniej obficie, otaczającym przewodnikom głosu. Nakoniec zależy ona od zapasu energii, jaki był ciału z początku udzielony. Ciała gęstsze i bardziej sprężyste wymagają więcej pracy do wprowadzenia w drganie, aniżeli lekkie i wiotkie; one gromadzą w sobie większy zapas energii i opierają się dłużej siłom rozpraszającym. Ciężkie widełki strojowe, ze stali sprężystej, albo dzwon metalowy, dźwięczą długo po uderzeniu; lekka struna natomiast, albo cienka błona napięta (np. na bębnie), dotykająca się powietrza powierzchnią znaczną, w. porównaniu ze swą masą, milkną bez porównania szybcej.

Wyższe tony własne ciał sprężystych zanikają zazwyczaj rychlej, aniżeli najniższy ton zasadniczy; dzięki tej własności widełki strojowe wydają w krótką chwilę po uderzeniu ton niemal czysty.

222. Drgania swobodne i podniecane. Ciało sprężyste, wolne od wszelkich wpływów obcych, drga w sposób odpowiedni swej ’ postaci, rozmiarom, sprężystości i gęstości. Amplituda drgania może być dowolnie zmienianą, w pewnych granicach, przez mniej lub więcej silne pobudzenie ciała; sposób drgania, t. j. podział ciała za pośrednictwem węzłów na pewną ilość części drgających, zależy również w pewnych granicach od rodzaju pobudzenia. Częstość drgania jednak, tudzież szybŁ kość zanikania drgań, zależą wyłącznie od ustroju samego ciała i nie mogą być dowolnie zmieniane. Ruchy tego rodzaju, odbywające się pod wyłącznym wpływem sił wewnętrznych ciała sprężystego, nazywamy drganiami swobodnemi. Wszystkie przykłady przywiedzione w poprzedzających ustępach, należały do drgań swobodnych. Wiernym obrazem drgania swobodnego jest ruch wahadła, zawieszonego swobodnie i poruszającego się pod wpływem ciężkości. W. wahadle takiem wcielony jest pewien okres ruchu, zależny od natężenia ciężkości i od bezwła-ści wahadła; podobnie w ciele sprężystem swobodnem, pobudzo-nem po drgania w pewien określony sposób, wcielony jest jeden, albo kilka okresów drgania, zależnych od sprężystości i bezwładności ciała.

Oprócz drgań swobodnych ciała sprężyste mogą wykonywać wszelkie inne ruchy drgające, o ile mianowicie będą do tego zmuszone przez zewnętrzne, peryodycznie powtarzające się impulsy; są to drgania, których ciało niewykonywałoby, gdyby

było zupełnie swobodne, a wykonywa je tylko pod'przymusem. Podobnie możemy wprowadzić wahadło w ruch peryodyczny,. mający okres odmienny od okresu swobodnego wahania się, jeżeli np. zwiążemy je jakkolwiek z drugiem wahadłem, mającem dowolny okres drgania, a tak ciężkiem, iżby mogło narzucić pierwszemu własny okres wahania. Ogólnie mówiąc, wszelka siła zewnętrzna, zmieniająca się peryodycznie, w jakimbądź okresie, wprowadza ciała sprężyste w ruch drgający, mający tę Samą częstość jak działanie siły (drganie synchroniczne z siłą), a tem większy, im większe jest jej natężenie. Drgania tego rodzaju, odbywające się pod wpływem zewnętrznej podniety nazywać będziemy drganiami podniecanemi. Siły takiej, zmiennej peryodycznie, dostarczać mogą fale głosowe. Wiemy bowiem, że w falach głosowych znajdują się części zgęszczone i rozrzedzone, a cząstki przewodnika, przez które fale przechodzą, bywają potrącane bądź to naprzód, bądź wstecz. Jasnem jest przeto, że fale trafiające powierzchnię ciała sprężystego, ciągną je naprzemian naprzód i wstecz a tym sposobem mogą je wprowadzić w ruch drgający. Częstość tego ruchu jest zawsze równa częstości fal głosowych, uderzających o powierzchnię ciała. Drganie ciała pod wpływem fal głosowych jest widocznie drganiem podniecanem.

Jednym z najważniejszych przykładów drgania wzbudzonego przez fale głosowe, są ruchy t. zw. błony bębenkowej, napiętej na poprzek przewodu usznego i oddzielającej ucho zewnętrzne od wewnętrznego, mieszczącego w sobie nerwy słuchu. Wszelki głos, trafiający ucho zewnętrzne, wprowadza bębenek w drganie synchronic zne, które przenosi się dalej do ucha wewnętrznego. Podobne zadanie mają blaszki odbierające głos w fonografach (fig. 182), telefonach i t. p.

223. Resonancya (oddźwięk). Drgania ciał sprężystych, wzbudzone przez uderzające o nie fale głosowe, bywają w ogóle słabe, gdyż energia tych fal jest zbyt małą, aby mogła znacznie rozruszać większe masy. Są jednak przypadki, w których drganie ciała sprężystego, pod wpływem uderzeń fal głosowych, dochodzi do znacznych rozmiarów; zdarza się to wtenczas, gdy częstość fal glosoivych, trafiających dato sprężyste, równa się częstości drgań swobodnych ciała, t. j. gdy przewodnik otaczający ciało przewodzi ton równy co do wysokości jednemu z tonów własnych ciała.

W tym przypadku ciało sprężyste pochłania obficie energię fal głosowych i może być kosztem tej energii silnie rozbujane. To przenoszenie się energii fal na ciało dostrojone do drgania w okresie równym okresowi fal, nazywamy resonancyą.

Objawy resonancyi bywają niekiedy zdumiewające. Jeżeli np. wprowadzimy w drganie widełki strojowe, a w niewielkiej odległości umieścimy drugą parę widełek, dostrojonych dokła-. dnie do wysokości tonu pierwszych, wtenczas ruch drgający udzieli się niebawem drugiej parze. Stłumiwszy drganie pierwszych przekonamy się, że drugie dźwięczą. Pierwsza para wysyła fale głosowe; peryodyczne a częste, aczkolwiek słabe uderzenia tych fal o drugą parę widełek, wzbudzają stopniowo znaczny ruch, w ciężkiej stosunkowo i sztywnej masie stali.

Objaśnienie zjawisk resonancyi polega na następującej zasadzie. Jeżeli peryodyczne impulsy, czyto fał głosowych, czy jakiekolwiek inne, trafiają ciało w tym samym okresie, do którego ono jest dostrojone, wówczas działania tych impulsów dodają się do siebie; mogą przeto z biegiem czasu utworzyć znaczną sumę. Dajmy na to, że grzbiet pierwszej fali potrąca ciało naprzód, a dolina tej fali ciągnie je wstecz. Grzbiet drugiej fali trafi ciało wtenczas właśnie, gdy ono zwraca się znowu naprzód? pod wpływem własnej sprężystości; drugie drganie będzie zatem wzmocnione uderzeniem drugiej fali, a więc będzie większe od pierwszego i t. d. W ten sposób amplituda ciała rośnie stopniowo, a wzrastaniu temu kładzie kres jedynie tarcie wewnętrzne ciała i oddawanie energii na zewnątrz, pod postacią fal. Skoro zysk i strata energii wyrównają się, wówczas drganie ciała mieć będzie nadal stałą amplitudę, dopóki fale głosowe je trafiają.

Łatwo zrozumieć, że nawet słabe impulsy mogą w tych warunkach wzniecić silne drganie, gdyż słabość impulsów wynagradza ich ilość i rytm stosownie dobrany. Wiadomo, że ciężki dzwon, zawieszony nakształt wahadła, można stopniowo rozbujać, przez lekkie, byle we właściwym okresie powtarzane pociągnięcia sznura.

Fig. 191 objaśnia stopniowe powstawanie resonancyi pod wpływem synchronicznej pobudki. Strzałki wyobrażają impulsy zewnętrzne, w chwilach gdy one działają najsilniej na ciało; linia falista okazuje stopniowe wzmaganie się drgań ciała.

Zjawiska resonancyi przedstawiają się różnie, zależnie od tego, czy drgania swobodne danego ciała zanikają szybko, czy też nie. Ciała, które po wprowadzeniu w drganie swobodne wykonywają bardzo wiele drgań, zanim stracą ruch, objawiają silną resonancyę tylko pod wpływem takich dźwięków, które

V /N' /V f\_

TM M M ^

Fig. 191.

mają wysokość bardzo dokładnie równą wysokości własnego ich tonu. Do takich należą widełki strojowe, które dźwięczą istotnie pod wpływem głosu, mającego wysokość równą własnej ich wysokości, a nie dźwięczą już prawie wcale, jeżeli różnica wysokości tonu własnego i zewnętrznego wynosi choćby tylko jedno drganie na sekundę. Ciała natomiast, których drgania własne zanikają szybko, np. błony napięte, są w tym względzie mniej wybredne; resonancya ich nie traci wiele na natężeniu, jeżeli dźwięk pobudzający jest cokolwiek rozstrojony. Obszar tonów wzbudzających silniejszy oddźwięk nie jest w tym razie tak ograniczony, jak w przypadku poprzedzającym, lecz obejmuje także tony wyższe i niższe od tonu własnego.

Przyczynę tego zjawiska objaśniają fig. 192 i 193.

l⁵«

Sj

Fig. 192.

Przypuśćmy, celem ułatwienia rozumowania, że impuls zewnętrzny trafia ciało co trzy drgania. Jeżeli zanikanie drgań swobodnych jest nieznaczne (fig. 192), wtenczas w chwili drugiego impulsu, S₂, drganie wzbudzone przez impuls pierwszy, Sl5 trwa jeszcze niemal w pierwotnej mocy. Gdyby więc impuls drugi spóźnił się tylko o pół okresu, wtenczas nie wzmocniłby

ruchu ciała, lecz trafiłby je w przeciwnym kierunku, aniżeli być powinno. Inaczej zachowują, się ciała, których drgania swobodne zanikają tak szybko (fig. 193), iż w chwili drugiego impulsu zostaje już tylko drobna reszta ruchu wzbudzonego przez

\s,

Fig. 193.

impuls pierwszy. Tu jest rzeczą obojętną czy drugi impuls opóźni się cokolwiek, czy też uderzy zawcześnie; natężenie re-sonancyi niewiele na tem ucierpi.

Opory tarcia i t. p. będące przyczyną zanikania wszelkiego drgania swobodnego, działają niemniej na ciała wprowadzone w drganie podniecane. O ile jednak zewnętrzne, podniecające impulsy mają natężenie stałe, ciało wprowadzone przez nie w ruch przyjmuje w końcu również stałą amplitudę drgania; nastąpi to wówczas, gdy strata energii ruchu, wynikająca z działania oporów, łącznie ze stratą spowodowaną przez samo dźwięczenie ciała, a więc przez wydawanie fal głosowych, wyrówna się z pracą dostarczaną ciągle przez impulsy zewnętrzne. Otóż, żeby ciało drgające mogło istotnie odbierać pracę od tej podniety zewnętrznej, jest rzeczą konieczną, iżby pomiędzy drganiem ciała a tą podnietą wytworzyła się pewna różnica fazy. Gdyby bowiem ciało uchylało się najsilniej z położenia równowagi w tej samej chwili, gdy siła zewnętrzna najsilniej na nie napiera, a ustępowało wstecz w tej samej chwili, gdy działanie siły się odwraca, wówczas praca pobrana w ciągu pierwszej połowy drgania byłaby całkowicie zwróconą podczas drugiej i nic-by nie zostało na powetowanie strat ponoszonych skutkiem działania oporów.

Istotnie też, faza impulsu zewnętrznego wyprzedza zawsze fazę odchylenia ciała, a w przypadku równości obustronnych okresów, gdy zachodzi resonancya, wyprzedzanie to dochodzi do ćwiartki okresu. Impuls zewnętrzny pociąga ciało najsilniej w jedną i drugą stronę, wtenczas właśnie, gdy ono przechodzi przez położenie równowagi (fig. 191).

Objawy resonaneyi w przypadku gdy drgania swobodne szybko zanikają, a resonancya sama jest mniej ostrą i wybredną, są wprawdzie mniej wybitne, w praktyce bywają jednak częściej stosowane. Do wzmocnienia dźwięku strun fortepianowych, skrzypcowych i t. p., używa się pudełek i płyt resonansowych, których zadaniem jest wzmacniać, nie jeden lub kilka, ale wszystkie dźwięki danego instrumentu, i to ile możności równomiernie. Ciała te nie są wprawdzie zdolne do wydawania własnych, trwałych dźwięków, lecz za to odpowiadają na wszystkie tony, tem więcej, że wskutek nieregularnej formy (np. pudełka skrzypiec) mają bardzo liczne i blizkie siebie tony własne. Podobną zaletę mają blaszki i błony, odbierające głos w telefonach i fonografach; drgania ich własne bywają niekiedy umyślnie tłumione, aby je tem lepiej usposobić do jednostajnego odbierania wszystkich dźwięków zewnętrznych, choćby kosztem wielkości ruchów.

224. Zastosowanie resonancyi do analizy dźwięków. Ciała sprężyste, dające resonancyę tylko na tony zupełnie zgodne z własnymi ich tonami, są szczególnie przydatne do analizowania dźwięków, albo mięszanin tonów, o czem była już mowa w ustępie 215. Obecnie możemy zdać sobie sprawę, dlaczego resonatory rozkładają dźwięki na tony proste, — zgodnie z regułą Fouriera—a wśród zawiłej mieszaniny tonów, odpowiadającej ruchowi wielce złożonemu, wybierają i uwydatniają własny swój ton, a więc jedną tylko składowę całkowitego ruchu. Przyczyna leży w tem, że ciało sprężyste samo zdolne jest wykonywać tylko ruch drgający prosty, a nie inny ruch peryodyczny.

Ażeby dowiedzieć się, czy dźwięk jakikolwiek, albo nawet nieprawidłowa mieszanina głosów, zdolna jest wzbudzać resonancyę w ciele sprężystem, czy też nie, należy rozłożyć odpowiednie wstrząśnienia na ruchy drgające proste; jeżeli pośród tych składników znajdziemy ruch, mający częstość równą częstości drgań własnych ciała, wtenczas resonancya będzie znaczna, w przeciwnym razie nie otrzymamy jej wcale.

Znana jest powszechnie

225. Resonancya piszczałek. resonancya powietrza we flaszkach, w beczkach, w pustych pokojach i t. p. Ciałem drgającem w tych przypadkach jest głównie powietrze; ściany stałe naczyń mają nieznaczny udział w drganiu — one odgraniczają tylko pewną objętość gazu i na-

dają jej kształt, a tem samem zniewalają do drgania w okresach zupełnie określonych.

Najprostszem zjawiskiem tego rodzaju jest resonancya rur wązkich, a długich, jakie bywają używane w piszczałkach organów i w innych instrumentach muzycznych.

a) Piszczałki otwarte. AB fig. 194 wyobraża wązką a długą rurę, otwartą u obu końców. Dajmy na to, że tuż przed końcem A drga płytka sprężysta, albo widełki strojowe. Pytamy, jaką wartość powinna mieć częstość tego drgania, aby ono było zdolne wzbudzić resonancyę powietrza w rurze.

-JD

Fig. 194.

Weźmy pod uwagę chwilę, gdy płytka, poruszając się ku ujściu A rury, przechodzi przez położenie równowagi. Wiadomo, że od płytki odbiega wtenczas i wstępuje w rurę fala zgęsz-czenia, potrącająca cząstki powietrza naprzód.

Fala ta, przebiegłszy przez rurę, od 'A do B, zostaje w B częściowo odbitą; w części zaś wybiega z rury na zewnątrz i rozchodzi się w otaczającym gazie, jako fala kulista. Zgęszczenie, ograniczone we wnętrzu rury do wązkiego jej przekroju, znika niemal zupełnie, skoro dostanie się do nieograniczonej atmosfery, otaczającej koniec B. Z tego powodu możemy przyjąć, że cząstki gazu leżące przy końcu B rury, mają zawsze gęstość i ciśnienie takie, jakie panuje w otoczeniu rury, czyli, że odbicie się fal od końca B odbywa się prawie tak samo, jak odbicie się od swobodnej powierzchni przewodnika (ust. 201), t. j. bez zmiany kierunku ruchu cząstek. Znaczy to, iż zgęszczenie odbija się jako rozrzedzenie, i naodwrót.

Fala zgęszczenia, której bieg od A do B uważaliśmy, odbija się tedy od B jako rozrzedzenie, a przebiegłszy rurę wstecz od B do A, zostaje powtórnie odbitą od końca A, zamieniając się napowrót na falę zgęszczenia. Jeżeli więc ma nastąpić wzmocnienie tej fali, t. j. resonancya rury, potrzeba, żeby płytka drgająca rzuciła w tejże chwili ku końcowi A nową falę zgęszczenia. Z tego wynika, iż resonancya rury otwartej u obu końców zdarzy się wtenczas, gdy w ciągu jednego okresu drgania pobudzającego, fala przebiega dwukrotnie dłu gość rury (tam i napowrót).

Na tej zasadzie obliczymy wysokość tonu, który wywołuje resonancyę, zarazem wysokość tonu własnego rury. Oznaczmy

odpowiednią częstość przez n, przez T — — okres drgania, dłu-

fl

gość rury niech będzie L. Jeżeli c oznacza prędkość fal (głosu) w gazie znajdującym się w rurze, otrzymamy równanie 2L —

= cT, albo 2 L — — , skąd:

n

n ==

2L

Wzór powyższy orzeka, iż wysokość tonu własnego piszczałki otwartej jest proporcyonalna do prędkości głosu w gazie, odwrotnie proporcyonalna do długości piszczałki.

Zważywszy dalej, że iloczyn cT = 2L wyraża długość fali X w danym gazie, dla tegoż samego tonu n, możemy także powiedzieć: 1) piszczałka otwarta jest nastrojona do tego tonu, którego długość fali równa się podwójnej długości piszczałki.

Ton określony w ten sposób zowie się tonem zasadniczym. Obok niego taż sama piszczałka posiada cały szereg innych tonów własnych. Widocznem jest bowiem, że wzmocnienie drgania w rurze nastąpi nietylko wtenczas, gdy zewnętrzne źródło

2L

pobudzające wykonywa jedno drganie w ciągu czasu ——, którego fala potrzebuje do przebieżenia rury tam i z powrotem; nastąpi ono i wtedy, gdy ilość drgań wykonanych w ciągu tego czasu równa się jakiejkolwiek całkowitej liczbie i (np. 2,3, 4, i t. d.). Mamy więc ogólniej:

— — i T, albo — =

c    c

skąd:

2L

Podstawiając tu za i szereg liczb całkowitych, otrzymamy następujący szereg tonów własnych piszczałki otwartej:

2L

«i = —

2L

n₂ =

2L

i t. d.

to znaczy: 2) tony własne piszczałki otwartej tworzą szereg zupełny tonów harmonicznych, zbudowany na jej tonie zasadniczym.

Do tych dwu praw dodać możemy jeszcze: 3) Wysokość tonu nie zależy ani od kształtu, ani od pola przekroju poprzecznego, byle przekrój ten był dość mały, w porównaniu z długością piszczałki; niezależy wreszcie od materyału rury, byle ściany jej były tak sztywne, iżby nie brały udziału w drganiu.

Każdemu z tonów własnych piszczałki odpowiada inny sposób drgania gazu, znajdującego się w rurze. Ruchy cząstek tego gazu stanowią w ogóle fale stojące. Są to bowiem ruchy

i- "“f"⁺ "-r - r

Fig. 195.

wynikające ze spotkania się dwu szeregów fal, postępujących w kierunkach przeciwnych, mianowicie: szeregu fal wzbudzonych przez źródło pobudzające resonancyę u jednego końca (A, fig. 194) i fal odbitych od końca przeciwnego (B).

Fale stojące dzielą się, jak wiadomo (ust, 202, fig. 176), na odcinki mające naprzemian przeciwne fazy ruchu, poprzedzielane węzłami zostającymi trwale w spoczynku. Odległość dwu węzłów sąsiednich, np. W i Wj (fig. 195), albo dwu strzałek S i Si mierzy zawsze połowę długości fali; odległość ta jest największa dla tonu zasadniczego. Wyższym tonom piszczałki odpowiadają coraz krótsze odstępy węzłów.

Pamiętając, że miejsca najsilniejszego drgania S, Sj... (strzałki) nie mają ani zgęszczeń, ani rozrzedzeń (us. 202), zrozumiemy łatwo, że u obu końców piszczałki otwartej, powstawać muszą strzałki, gdyż gęstość i ciśnienie gazu mają tam wartości stałe, takie jak otaczająca atmosfera. Węzły natomiast mogą tworzyć się tyl :o we wnętrzu rury. I tak, dla tonu zasadniczego (X = = 2L) tworzy się jeden węzeł w połowie długości rury (fig. 195, I), Dla drugiego tonu własnego (X = L) znajdziemy dwa węzły W i Wj (fig. 195, II) i t. d. W każdym z tych przypadków odległość dwu sąsiednich węzłów równa się ~ ; odległość

od końca rury do najbliższego węzła jest zawsze = ~ .

Gdybyśmy zrobili otwór w ścianie rury, w miejscu najsilniejszego drgania, w S albo Sj, S₂— drganie gazu nie doznałoby żadnej zmiany, gdyż w tych miejscach panuje wewnątrz rury stale takież same ciśnienie jak zewnątrz niej. Podobnież nie zmieniłaby się resonancya, gdybyśmy umieścili we wnętrzu rury stałą przegrodę poprzeczną, w miejscu któregokolwiek węzła, albowiem cząstki gazu w węzłach są nieruchome. Natomiast otwór zrobiony w rurze około węzła, zmieniłby natychmiast wysokość tonu, albowiem węzeł, odznaczający się zmiennością ciśnienia, nie mógłby tam nadal istnieć.

b) Piszczałki zamknięte (kryte). Warunki resonancyi zmieniają się, jeżeli jeden koniec rury, np. B jest zamknięty stałą przegrodą; fala zgęszczenia zdążająca do B, odbija się tam jako zgęszczenie, a zarazem prędkość cząstek zmienia kierunek. Zostawiamy czytelnikowi -wyprowadzenie praw resonancyi tą drogą, jakiej użyliśmy dla piszczałek otwartych. Tu zwrócimy uwagę, ż-e gdybyśmy w piszczałce otwartej, wydającej ton zasadniczy, umieścili stałą przegrodę w wręźle W, (fig. 195, I), zamienilibyśmy ją na piszczałkę zamkniętą, o długości SW, nie zmieniając wysokości tonu. Wnosimy stąd, że piszczałka zam-

4L

knięta wydaje ton tej samej wysokości, jak piszczałka otwarta, dwa razy dłuższa. Przy jednakowej przeto długości (ust. 220) piszczałka zamknięta jest o oktawę niższa od otwartej. Fig. 196 objaśnia rozmieszczenie węzłów w piszczałce zamkniętej dla kolejnych jej tonów własnych. Przy końcu zamkniętym tworzy się zawsze węzeł, przy otwartym strzałka.

Z tego wynika, iż długość ćwierci fali mieści się w długości

piszczałki (L): dla tonu zasadniczego (fig, 196, 1) jeden raz; dla drugiego tonu własnego 3 razy, dla trzeciego 5 razy i t. d.

S--.

W,

III —

sw s.____W, S, W₂

s w s, w, S. W, S, w.

IV — ; - : ~T-^Hł

Fig. 196.

Zważywszy, że częstość tonu zasadniczego równa się częstości piszczałki otwartej o długości 2L, otrzymamy następujący szereg tonów własnych piszczałki zamkniętej:

nx

4L

11% —

= 3.—

4L

n₃ —

i t. d.

Tony własne piszczałki zamkniętej tworzą^ szereg tonów harmonicznych nieparzystych. Długość fali tonu zasadniczego równa się czterokrotnej długości piszczałki.

Wyłożone wyżej prawa resonancyi piszczałek odkrył Daniel Bernoulli w r. 1762. One stosują się, ściśle biorąc, do piszczałek nieskończenie wązkich; do zwyczajnych ze znacznem przybliżeniem, ilekroć promień rury jest mały w porównaniu z długością fali. Doświadczenie okazuje, że wysokość tonu piszczałek jest wyraźnie niższa od obliczonej za pomocą powyższych wzorów. Widoczną jest rzeczą, że powyższe dowodzenie praw Bernoulliego byłoby zupełnie ścisłe, gdyby gaz we wnętrzu piszczałki był ograniczony na otwartym końcu rury powierzchnią swobodną i gdyby zewnątrz rury nie było wcale atmosfery gazowej. W rzeczywistości ruch drgający nie ogranicza się do wnętrza rury. Gaz drgający w rurze zmuszony jest ciągnąć za sobą bezwładną masę atmosfery zewnętrznej, co sprawia zniżenie tonu (ust. 218). Znaczniejszy ruch gazu zewnętrznego spotyka się zresztą tylko w pobliżu końców rury; w większej odległości amplituda jest nieznaczna. Wzory Bernoulliego dają więc rzeczywistą wysokość tonu, jeżeli zamiast L podstawimy cokolwiek większą długość L' (teoretyczna długość piszczałki).

Doświadczenie Kundta. Węzły powstające w piszczałkach i w ogóle w drgających słupach gazowych można uwidocznić rozmaitymi sposobami. Najważniejszym jest sposób następujący, wskazany przez Kundta. Do poziomej rury szklanej AB (fig. 197), zawierającej powietrze, albo jakikolwiek inny gaz, wsypuje się cokolwiek proszku lekkiego (lycopodium, opiłki korkowe, albo krzemionkę) i wzbudza się w gazie silne fale stojące.

VJ

Fig. 197.

Drganie cząsteczek gazu zmiata proszek z tych miejsc, gdzie tworzą się strzałki, a gromadzi go w węzłach; wskutek tego węzły odznaczają się wyraźnie szeregiem poprzecznych prążków a, ß, y... Do wzbudzania fal służy pręt szkalany MN, utwierdzony stale w połowie długości, w punkcie w. Pocierając połowę Mw kawałkiem mokrego sukna, wprowadza się pręt w silne drganie podłużne, przyczem w szkle tworzy się fala stojąca, w której w jest węzłem, M i N są strzałkami. Na końcu N pręta naklejony jest krążek korka, albo papieru, stanowiący rodzaj tłoka drgającego w rurze AB. Krążek ten jest źródłem fal stojących w gazie. Drganie cząstek gazu w tern doświadczeniu nie jest drganiem swobodnem, lecz zależy od drgań pręta; wysokość tonu n nie zależy też od długości rury, lecz jest gazowi narzucona przez pręt drgający.

głosu w powietrzu; 2) celem porównywania prędkości głosu w dwu gazach. Napełniwszy AB innym gazem, otrzymamy inną odległość węzłów = •£>/, odpowiednio do innej prędkości głosu c'; ponieważ n nie zmieniło się, przeto mamy c : c’ = k: k'.

sze-

w,

Fig. 198.

Resonatory, Jeżeli piszczałka zamknięta jest krótką a przytem roką, wówczas powstawanie węzłów w jej wnętrzu jest bardzo utrudnione; wydaje ona niemal wyłącznie ton zasadniczy. Beczki próżne, pękate flaszki, tudzież resonatory Helmholtza (ust. 215) należy uważać jako odmiany piszczałki zamkniętej. Fig, 198 objaśnia jak się odbywa drganie powietrza w resonatorze kulistym, mającym jeden okrągły otwór 3S; dno kuli WW stanowi powierzchnię węzłową. Amplitudy innych cząstek w kuli są zresztą tak małe, że całe wnę rze kuli można uważać jako objętość węzłową, która ulega peryodycznie zgęszczeniu i rozrzedzeniu, dostarczając przez to siły sprężystej, regulującej drganie masy bezwładnej SS. Z tego wynika, że kształt naczynia niema wpływu na wysokość tonu, co doświadczenie istotnie wykazało. Zwiększenie objętości naczynia zniża wysokość tonu własnego; podobnie działa zmniejszenie otworu S.

226. Instrumenty muzyczne dęte. Zależnie od sposobu użytego do wzbudzania resonancyi odróżnia się piszczałki fletowe i stroikowe. Pierwszy z tych sposobów, stosowany w flecie, fujarce, gwizdawkach, w niektórych piszczałkach organowych i t. p. polega na tem, że na ostrą - krawędź rury, służącej jako resonator, kieruje się bystry prąd powietrza. Prąd ten, łamiąc się na krawędzi, sprawia syczenie, które może byc uważane jako bezładna mieszanina rozmaitych tonów. Między temi drganiami piszczałka wybiera te, które odpowiadają własnemu jej strojowi i zostaje przez nie wprowadzoną w prawidłowe drganie. Znany sposób gwizdania na kluczu stanowi dostateczne objaśnienie tego sposobu wzbudzania dźwięków. Fig. 199 wyobraża przecięcie fujarki. Rura AB jest właściwą pisz-

czałką; prąd powietrza wstępuje przez szparę S i łamie się na krawędzi K, utworzonej przez klinowaty brzeg otworu wyciętego na końcu rury. Wzmacniając stopniowo prąd powietrza mo-

7-

Fig. 199.

żna wywołaó po kolei coraz wyższe tony własne piszczałki, gdyż wzmocnienie prądu podwyższa szelest pobudzający piszczałkę. W ogólności otrzymuje się dźwięki złożone z kilku tonów

własnych.

Drugi sposób pobudzania piszczałek i innych resonatorów polega na zastosowaniu stroików. Stroikami nazywamy w ogóle ciała sprężyste, umieszczone przy ujściu przewodu przewodzącego prąd powietrza, które przez drgania swe naprzemian otwierają i zamykają ujście przewodu. Ciągły prąd powietrza zamienia się działaniem stroika na prąd przerywany peryodycz-nie, przez to staje się źródłem dźwięku.

Działanie stroika jest tedy zupełnie podobne do działania syreny (ust. 207). Bardzo pospolite urządzenie stroika spotykamy w t. z w. harmonice, której przyrząd głosowy wyobraża fig. 200. Stroikiem jest tu sprężysta blaszka S, drgająca w otworze ramki RR'. Wązka szparka fl między blaszką a brzegiem otworu zamyka się przy każdem drgnieniu stroika.

Drganie tej blaszki, jak wszystkich w ogóle stroików, wywołuje tenże sam prąd powietrza, który wskutek przerywania, jest źródłem dźwięku. Dźwięk wywołany miernym prądem powietrza jest sto- R' sunkowo silny i pełny; obfituje w liczne tony harmoniczne. Stroik nadaje mu tylko cechę wysokości, zależną od sztywności i grubości blaszki. Barwa natomiast zależy od nagłości przerywania prądu.

Stroik sam przez się wydaje tylko cichy i czysty ton; wła-ściwem źródłem dźwięku jest prąd powietrza.

Hm

|S*

cc

CO

V)

Fig. 200.

Jeżeli stroik jest bardzo sztywny, wówczas narzuca on drgania swe cząstkom powietrza w piszczałce, które wykonywają wówczas drgania podniecane. Częściej atoli dzieje się na-odwrót; stroik bywa wiotki i przystosowuje się do okresu drgań swobodnych powietrza w piszczałce. Tak np. w trąbce myśliwskiej albo sygnałowej, stroikiem są wargi trębacza; trąbki tego rodzaju wydają ograniczoną ilość tonów, mianowicie tony własne słupa gazowego, zawartego w trąbce. Napięcie warg niema wpływu na wysokość tonu, od napięcia tego zależy tylko to, który z tonów własnych przy zadęciu trąbki się odezwie. W klarnecie, oboji i fagocie stroik składa się z jednej, albo dwu drzazg drewnianych; tony nie zależą również od stroika, lecz od kształtu i rozmiarów rury.

W narządzie głosowym ludzkim natomiast wysokość tonu może być dowolnie zmienianą, przez większe lub mniejsze napięcie stroika, tudzież przez zmianę jego rozmiarów. Stroik stanowią tu t. zw. struny głosowe, umieszczone w krtani, na górnym końcu tchawicy. Przełyk i jama ustna służą jako resonator, który, zależnie od kształtu i wielkości, wzmacnia tony wydawane przez struny głosowe i nadaje głosowi ludzkiemu właściwą mu barwę.

227. Podłużne drgania prętów. Pręty sprężyste można wprowadzać w drganie podłużne przez pocieranie (jak w doświadczeniu Kundta ust. 225). Do fal stojących, które wówczas się tworzą, stosuje się dosłownie to samo rozumowanie, którego użyliśmy w przypadku drgania słupów powietrza w piszczałkach. Piszczałce otwartej odpowiada pręt, którego oba końce są swobodne. Pręt taki powinien być utwierdzony w tych miejscach, w których podczas drgania tworzą się węzły: dla tonu zasadniczogo w środku, dla drugiego tonu własnego w przekrojach odległych o ćwierć długości pręta (L) od końców i t. d. Wysokość tonów własnych oblicza się, jak dla piszczałek otwartych, według wzoru:

2L

w którym c oznacza prędkość przewodzenia fal podłużnych wzdłuż pręta, i numer porządkowy tonu, a zarazem ilość odpowiadających mu węzłów. Prędkość c zależy od gęstości pręta df

tudzież od spółczynnika s sprężystości przy wydłużaniu; mianowicie jest (ust. 196): c =    ~, zatem:

n = Ł]/rT '

Wzoru tego używa się niekiedy do obliczenia spółczynnika £ gdy n wyznaczono np. metodą, Kundta. Podłużne dźwięki prętów (zwykle bardzo wysokie), nie bywają używane w muzyce, jakkolwiek są ściśle harmoniczne.

228. Poprzeczne drgania prętów i płyt mogą byc wzbudzone zapomocą smyczka, albo przez uderzenie miękkim młoteczkiem. Ilośd możliwych sposobów drgania jest bardzo znaczna, zależy bowiem nietylko od ilości tworzących się węzłów, lecz i od sposobu utwierdzenia pręta. Fig. 187 wyobraża trzy sposoby drgania pręta utwierdzonego na jednym końcu; fig. 201 przedstawia pręt wsparty luźnie na nitkach ab i cd, w węzłach W i W'. Prawo podziału na odcinki drgające między węzłami,

,Td

y_l____sy

Fig. 201.

dla prętów drgających poprzecznie,jest inne, znacznie zawilsze, aniżeli dla prętów" drgających podłużnie, lub dla piszczałek. Tony własne pręta nie tworzą, szeregu harmonicznego, wskutek czego pręt nie wydaje w ogóle mówiąc dźwięków, odpowiadających drganiom peryodycznym.

Częstość drgań poprzecznych pręta, o przekroju prostokątnym, jest proporcyonalna do grubości (mierzonej w kierunku równoległym da płaszczyzny drgania), nie zależy od szerokości (t. j. od rozmiaru prostopadłego do płaszczyzny drgania: albowiem dwa pręty jednakowe, umieszczone jeden obok drugiego, nie zmieniłyby spo-

i*

C\1

4-

ZASADY FIZYKI. CZ. II.

sobu drgania, gdyby je spojono w jeden pręt, o szerokości podwójnej); nadto jest wprost proporcyonalna do prędkości przewodzenia fal podłużnych, odwrotnie proporcyonalna do kwadratu długości.

Oznaczając przez a grubość pręta, znaleziono następujący wzór ogólny na częstość drgań poprzecznych:

Litery L, s, d mają toż samo znaczenie, jak w ustępie poprzedzającym; v oznacza liczbę oderwaną, której wartość zależy od sposobu utwierdzenia pręta, tudzież od ilości węzłów. Tak np. dla trzech sposobów drgania, przedstawionych na fig. 187 v posiada po kolei wartości: 0,1616; 1,0124 i 2,8346.

W przypadku fig. 201 jest v = 1,028. Wzór powyższy stosuje się również do prętów okrągłych, o promieniu r, skoro zamiast a podstawimy: r\/3.

O wiele więcej jeszcze zawiłemi są drgania poprzeczne płyt z materyałów sprężystych. Pręt zgina się bowiem w jednym

-------0...—

rX"......-4H

x; >

ł-

--------

i. VJ )

v

•vu

Fig. 202.

tylko kierunku, gdy drganie płyty możemy uważać jako wynik jednoczesnych wygięć w dwu kierunkach prostopadłych.

Płyty dzielą się zwyczajnie na pola drgające unisono, przedzielone liniami węzłowemi. Linie te, odkryte przez Chladnego

można uwidocznić w następujący sposób. Płytę ustawioną poziomo i utwierdzoną w jednym punkcie (A, fig. 202) posypuje się drobnym piaskiem, poczem wprowadza się ją w drganie, pociągając smyczkiem po krawędzi; piasek gromadzi się na liniach węzłowych, kreśląc t. zw. figury Chladnego. Rozmaitość tych figur jest nader wielka; jako przykład wyobrażone są niektóre na fig. 202. Aby wywołać którą z tych figur, np. dwie średnice prostopadłe do siebie, na płycie okrągłej,

W --

/fi

8"

«9

W"

Fig. 203.

utwierdzonej w środku, dotykamy palcem punktu W, przez który ma przejść jedna z linii węzłowych, a jednocześnie pociągamy smyczkiem w punkcie S (odległym o 45° od W). Tony własne płyt są w ogóle nieharmoniczne.

Dzwony (fig. 203) można uważać jako płyty zakrzywione. Linie węzłowe przechodzą z góry na dół, od wierzchu do brzegu dolnego (wieńca). Tonowi zasadniczemu odpowiadają cztery takie linie węzłowe, przecinające wieniec w punktach WW'W'W" (fig. 203a), odległych od siebie o 90°. Kolisty brzeg wieńca przemienia się wśród drgania na elipsę, wydłużającą się naprze-mian w kierunku średnic S S” i S' S"'.

229. Struny. Prędkość fal na strunie. Struną nazywamy w akustyce nić zupełnie wiotką (nie mającą sztywności), napiętą trwale, przez siły zewnętrzne, działające na jej końce. Do określenia tego stosują się dość dokładnie cienkie sznury; struny kiszkowe używane w niektórych instrumentach muzycznych (skrzypce, wiolonczela, gitara i t. p.); nawet druty metalowe, jeżeli są, cienkie a długie (fortepian, arfa, cytra). Struna potrącona drga w kierunku poprzecznym.

Przyjmuje się, że drgania mają tak małą amplitudę, a napięcie jest tak znaczne, iż można opuścić drobne wahania napięcia, wynikające stąd, że struna, prosta w stanie równowagi, drgając, wygina się, a wskutek tego staje się nieco dłuższą. Napięcie struny uważać będziemy jako stałe i równe siłom działającym na jej końce; oznaczymy je znakiem P.

Wstrząśnienie, udzielone którejkolwiek części struny, wzbudza falę wygięcia, rozchodzącą się w obie strony ze stałą prędkością c. Ażeby obliczyć wartość tej prędkości, na strunie jednostajnej, napiętej siłą P, weźmy pod uwagę wygięcie AmwB (fig. 204), biegnące wzdłuż struny, z prędkością c. np. w kierunku od A do B. Gdybyśmy strunę samą poruszali jednostaj-

fs

Fj>. 204.

nie, w kierunku przeciwnym, t. j. od B do A, z tą samą prędkością c, wówczas fala zajęłaby położenie nieruchome w przestrzeni. Weźmy pod uwagę nieskończenie małą cząstkę struny mon, w którejkolwiek części fali. Na końce jej m i n działają siły jednakowego natężenia P i P, równe napięciu struny Biły te mają wypadkową o R, prostopadłą do mn, działającą ku wklęsłej stronie wygięcia, t. j. w stronę środka krzywizny łuku mn. Nadto, cząstka uważana, poruszając się po linii krzywej, podlega sile odśrodkowej OS, działającej ku stronie wypukłej wygięcia, w kierunku wprost przeciwnym sile OR. Siły te powinny znosić się wzajemnie t. j. powinno być OR = OS; w przeciwnym razie fala nie zachowywałaby stałego kształtu.

Zważywszy, że kąty mCn i OPR są równe, mamy następującą proporcyę: OR : OP — mn: mC, albo, oznaczywszy mC = — r i zważywszy, że odcinek OP wyobraża napięcie P struny,

p

mn.

OR = —

Celem obliczenia siły odśrodkowej, oznaczmy masę jednostki długości struny przez jj; masa odcinka o długości mn wynosić będzie: [i . mn. Pamiętając, że masa ta porusza się z prędkością c, na kole o promieniu r, znajdziemy (ust. 48):

p

. mn

Z porównania sił OR i OS wynika: —

skąd:

-VI

Prędkość fal na strunie jest wprost proporcyonalna do pierwiastka z jej napięcia, odwrotnie proporcyonalna do pienciastka z masy jednostki długości (gęstości Unijnej).

230. Resonancya strun. Znając prędkość przewodzenia fal, znajdziemy z łatwością warunki resonancyi struny, a tern samem szereg własnych jej tonów. W tym celu zastosujemy toż samo rozumowanie, którego używaliśmy w ust. 225 do zbadania resonancyi piszczałek. Przyjmujemy strunę napiętą między dwoma stałymi punktami A i B. Dajmy nato, że jakakolwiek pobudka zewnętrzna wstrząsa peryodycznie którykolwiek punkt M struny. Pytamy, jaka powinna być częstość n tych wstrząśnień, aby one wprowadziły strunę w trwałe drganie, t. j. aby wzbudziły resonancyę. Zwróćmy uwagę np. na grzbiet fali, wzbudzonej w punkcie M.

Grzbiet ten biegnie do końca B, odbija się tam jako dolina (ust. 201, fig. 173, I); przebiega wstecz od B do A; odbiwszy się powtórnie od końca A zamienia się znowu na grzbiet i powraca w pierwotnej formie do punktu M. Oczywistą jest rzeczą, że warunkiem wzmocnienia tej fali będzie, żeby w chwili powrotu jej do punktu M, pobudka udzieliła strunie ponownego wstrząśnienia, w tym samym kierunku jak poprzednio. W ciągu czasu, którego fala użyła na przebycie drogi MBAM (okres zasadniczy), pobudka mająca wywołać resonancyę powinna zatem wykonać jedno całkowite drganie, albo dwa, trzy, ogólnie mówiąc całkowitą ilość (i) drgań. W pierwszym przypadku otrzymamy drganie zasadnicze struny; następne odnoszą się do dalszych jej tonów własnych.

Znajdujemy więc następujący warunek resonancyi, zupełnie jak dla piszczałki otwartej: okres drgania zasadniczego struny roimy jest czasowi, w ciągu którego fala przebiega dwukrotnie długość struny. Tony własne struny tworzą pełny szereg harmoniczny, zbudowany na jej tonie zasadniczym.

Celem obliczenia wysokości tonu zasadniczego (%) oznaczmy długość struny przez L, przez c prędkość, z jaką przebiegają po niej fale, otrzymamy wtenczas następujące równanie, wy-

rażające warunek resonancyi: % =• Wprowadziwszy tu za c

wartość obliczoną w poprzedzającym ustępie, znajdziemy:

nx ~

LVt-

Jeżeli przekrój struny jest kolisty, jak to zwykle bywa, natenczas masę jednostki długości możemy wyrazić przez fi =

— —, w czem d oznacza średnicę, p gęstość materyału struny. Mamy przeto:

V rcp

W równaniu tern zawarte są następujące prawa, odkryte doświadczalnie przez Mersenne’a, w początku siedmnastego stulecia:

Wysokość tonu zasadniczego struny jest: 1) wprost proporcyonal-na do pierwiastka z napięcia, 2) odwrotnie proporcyonglna do długości, 3) i grubości, 4) odwrotnie proporcyonalna do pierwiastka z gęstości materyału struny.

Każdemu z tonów własnych odpowiada właściwy sposób drgania struny. Jeżeli struna jest potrącana peryodycznie, ruchem harmonicznym prostym, w okresie T, odpowiadającym jednemu z jej tonów własnych, wówczas powstają na niej fale

„T , zatem X — —— zu    i

Q

wygięcia o długości X = cT = —. Tak np. dla tonu i-go ma-

Pale te, spotykając się z fa-

2L

lami odbitemi od końców (według wzoru fig. 175) tworzą fale stojące, w których odległość dwu węzłów sąsiednich wynosi    . Końce struny są oczywiście zawsze węzłami.

Dla tonu zasadniczego (i — 1) mamy więc (fig. 204, I) dwa węzły w punktach końcowych; inne cząstki struny, wyginając się

JL

s’

II

»I

a’

___

W""—

$’

Pig. 204.

do góry i na dół, przechodzą jednocześnie przez położenia równowagi. Dla drugiego tonu własnego, (fig. 204, II) tworzy się nadto trzeci węzeł w połowie długości AB; dla trzeciego tonu - (III) dwa węzły pośrednie, i t. d.

Do sprawdzenia i objaśnienia praw ruchu drgającego struny używa się przyrządu zwanego monochordem. Jest to pudełko resonansowe, na którem napięta jest struna, wsparta na dwu nieruchomych podstawkach. Do doświadczeń służy część struny ograniczona podstawkami; długość jej wskazuje podziałka, umieszczona na pudełku. Jeden koniec struny jest stale przywiązany do pudełka, na drugim wisi ciężar (P) dający jej napięcie.

Ażeby wywołać *-ty ton własny struny, dotykamy jej lekko palcem, w punkcie oddalonym od jednej z podstawek o D długości (przez co punkt ten staje się węzłem) i pociągamy jednoczeście smyczkiem w połowie tej odległości.

231. Dźwięk strun. Struna, której końce uwiązane są do ciał stałych i niepodatnych, wydaje dźwięk nader słaby, gdyż dzieli się ruchem swym z niewielką ilością cząstek powietrza. Celem wzmocnienia dźwięku napina się struny na pudełkach drewnianych, o cienkich, sprężystych ścianach, wypełnionych powietrzem i zaopatrzonych kilku otworami. One stają się wówczas właściwemi źródłami dźwięku, a struna jest poniekąd tylko regulatorem ruchu drgającego ścian pudełka wego i powietrza w niem zawartego. Wiadomo, że dźwięk skrzypiec (fig. 205) zależy przedewszystkim od sprężystości

resonanso-

p'

É1II

Fig. 205.

i kształtu pudełka R. W przenoszeniu drgania struny S na pudełko resonansowe pośredniczy podstawka P. Dzieje się to w ten sposób, że struna wywiera na podstawkę ciśnienie, zmieniające się peryodycznie, a zgodnie z drganiem struny.

Struny bywają wprowadzane w drganie przez szarpnięcie palcem (arfa, gitara, cytra), przez uderzenie sprężystym młoteczkiem (fortepian), albo przez tarcie zapomocą smyczka (skrzypce, altówka, wiolonczela i t. p.) Przy każdym z tych sposobów podniecania drgań, struna wyprowadzona z położenia równowagi, przyjmuje kształt linii łamanej, daleki od kształtu sinusoidy, odpowiadającego zasadniczym jej sposobom drgania (fig. 204). Z tego wynika, że żaden z powyższych sposobów pobudzania struny nie wytwarza tonów pojedynczych. W ogólności zostają wywołane jednocześnie wszystkie tony własne struny, tworzące jak wiemy szereg harmoniczny; głos wydawany przez strunę jest wskutek tego dźwiękiem wielce złożonym. Na strunie poruszającej się w całości, odpowiednio do pierwszego sposobu drgania, (fig. 206, I), układają się jednocześnie (stosownie do prawa o składaniu małych ruchów) odchylenia odpowiadające sinusoidom o trzech, czterech i t. d. węzłach (jak fig. 184). Barwa dźwięku, wywołanego przez ten ruch złożony, zależy od ilości i od natężenia drgań prostych, składowych. Zależy ona przeto od sposobu pobudzenia struny, od miejsca w którym to czynimy, wreszcie od większej lub mniejszej giętkości, tudzież ud grubości struny.

Działanie smyczka polega na tarciu między włosieniem natartym żywicą, a struną. Gdy struna odchyla się w tę stronę, w którą ciągniemy smyczek, prędkość jej względem smyczka jest mała, albo zero; tarcie smyczka jest wówczas statyczne. Cząstka struny, uchwycona przez smyczek, porusza się jednostajnie, razem ze smyczkiem, dopóki zwiększone napięcie nie oderwie jej od smyczka; odskoczywszy następnie, porusza się przeciw ruchowi smyczka (tarcie przy zwiększonej prędkości względnej jest mniejsze), aż do chwili, gdy znowu zostanie przez smyczek uchwyconą. Drganie wywołane tym sposobem składa się ze skoków odbywających się tam i napowrót z prędkością jednostajną. Ruch ten wyobrażony jest na fig. 22. Tam wyjaśniliśmy również, w jaki sposób można go otrzymać przez składanie szeregu ruchów drgających prostych. Zby-tecznem byłoby dodawać, że każde z tych drgań składowych objawia się słuchowi jako odpowiedni ton i może być z ogólnej sumy dźwięków wydzielone, zapomocą odpowiednio dostrojonego resonatora.

Podobne, aczkolwiek mniej proste ruchy wywołuje szarpnięcie struny, albo uderzenie jej młotkiem. Miejsce, w którem strunę wstrząsamy, wywiera również wpływ na barwę dźwięku. Dostrzeżono mianowicie, że w dźwięku wywołanym brakują te tony własne struny, którym odpowiada węzeł w miejscu wstrzą-sanem. Jeżeli np. uderzymy strunę w połowie długości, wówczas odpadną wszystkie wyższe oktawy tonu zasadniczego.

Grubość i giętkość struny wpływają na barwę dźwięku o tyle, iż od tych czynników zależy większa lub mniejsza łatwość powstawania wysokich tonów własnych, to jest tych tono w, którym odpowiada większa ilość węzłów, dzielących strunę na odcinki krótkie, a wskutek tego ostro wygięte. Im cieńszą i bardziej giętką jest struna, tern łatwiej powstają owe tony, nadające dźwiękowi barwę ostrą, brzęczącą.

232. Sposory padania ruchów drgających. Wibrografia, wibroskopia, stroboskopia. Drgania ciał dźwięczących są tak szybkie, że celem dokładnego zbadania ich, potrzeba uciekać się do szczególnych sposobów. Jeden z nich polega na wykreśleniu linii falowej danego ruchu (wibrografia), jak to objaśniliśmy na kilku przykładach w ust. 23. Sposoby wibroskopijny i strobo-skopijny polegają na tej własności oka, iż otrzymane wrażenia świetlne trwają w niem przez pewien czas po zgaszeniu światła. Wrażenia przerywane, następujące szybko jedno po drugiem, łączy ono w jedno wrażenie ciągłe.

Patrząc np. na węgiel rozżarzony, poruszany szybko po kole, w ciemnym pokoju, nie dostrzeżemy wcale ruchu węgla, lecz obaczymy świecące koło. Wibroskopia polega właśnie na spostrzeganiu takich linii krzywych, uzyskanych przez złożenie nieznanego ruchu drgającego po linii prostej, z innym ruchem drgającym znanym (zwykle z drganiem prostem, o tej samej częstości). Tu należy sposób optyczny porównywania wysokości tonu widełek strojowych, objaśniony w ust. 27 (fig. 27).

Stroboskopia nakoniec polega na pozornem zwolnieniu drgania, na pozornem zmniejszeniu jego częstości. Wyobraźmy sobie ciało drgające w pokoju zaciemnionym, który rozjaśnia się peryodycznie, przez krótkie błyski światła, następujące w równych odstępach czasu, m razy na sekundę. W chwili każdego rozjaśnienia obaczymy ciało w ogóle w innej fazie drgania-, ono przedstawi się nam w ruchu, jednak ruch ten będzie różny od rzeczywistego.

Jeżeli położenia ciała, podczas kolejnych błysków, różnią się znacznie, wówczas ruch wydawać się będzie skaczącym. Jeżeli częstość n drgań ciała zgadza się dokładnie z częstością oświetleń m, wtenczas ciało będzie pozornie nieruchome. To samo mieć będzie miejsce jeżeli liczba n będzie całkowitą wielokrotnością liczby m np. n = am, albowiem w ciągu przerwy między dwoma kolejnymi błyskami ciało wykonywa a drgań całkowitych i wraca w chwili każdego błysku do tego miejsca, jakie zajmowało w chwili błysku poprzedzającego.

Inaczej przedstawia się rzecz gdy n — am ri t. j. gdy

ri

. W ciągu każ-

z dzielenia liczby n przez m zostaje ułamek

ri

dego okresu ciemności, trwającego — sekundy, ciało wykony-wa a drgań całkowitych, a nadto posuwa się jeszcze naprzód -tą część drgania. Jeżeli ri jest małą, m stosunkowo wielką liczbą, wówczas ciało posuwać się będzie pozornie w drob-

nych skokach, które jednak wskutek trwałości wrażeń świetlnych, przedstawią się jako ruch ciągły. Ruch ten, zupełnie podobny do rzeczywistego drgania, różnić się będzie od niego

tylko znacznie zmniejszoną częstością. Skoro na — sekundy

YYl

przypada--ta część tego zwolnionego drgania, przeto częstość

jego będzie wyrażona liczbą:

n' = n — am.

Metoda stroboskopijna może być stosowaną zarówno do drgań prostolinijnych, jako i do ruchów peryodycznych, odbywających się po liniach krzywych. Zamiast peryodycznego oświetlenia ciała drgającego, można patrzeć na nie w pełnem świetle, przez krążek nieprzezroczysty, wirujący jednostajnie, a opatrzony w pobliżu obwodu szeregiem otworów, umieszczonych w równych odstępach np. jak na fig. 179.

ZADANIA.

388)    Do pionowego, wązkiego, walcowego słoja, wlewamy zwolna wodę, trzymając nad słojem drgające widełki, nastrojone na ton a'. Słój daje najsilniejszy oddźwięk, gdy odległość poziomu wody od brzegu słoja wynosi 193 mm. Obliczyć prędkość głosu w powietrzu. Odp. 335,8 m/sek.

389)    Znaleźć wysokość tonu piszczałki otwartej, o długości 80 cm przyjmując 340 misek jako prędkość głosu w powietrzu.

Odp. n — 212,5 na sek.

390)    Wypisać szereg tonów własnych tei piszczałki, na skali temperowanej, jednostajnej. Odp. a zniżone, a' zniżone, e" zniżone i t. d.

391)    Wypisać szereg tonów własnych piszczałki zamkniętej tej samej długości. Odp. A zniżone, e' zniżone, c" podwyższone i t. d.

392)    Obliczyć długość piszczałek otwartych, nastrojonych na tony akordu G, E, G, c, w skali naturalnej (C = 65 na sek).

Odp. 261,5; 209,2; 174,3; 130,8 cm.

393)    Obliczyć wysokość tonu piszczałki otwartej, o długości 50 cm,

napełnionej i zadętej wydorem. Odp• n —

= dis""'.

340 X 14,44

2 X 0,5

394)    Piszczałka napełniona powietrzem daje ton t"\ jaki ton otrzy-

mamy, napełniwszy ją bezwodnikiem węglowym? Odp.

= a' zniżone.

651,76

1,529

895) Jaki ton wydaje piszczałka otwarta, o długości 30 cm, zanurzona pod wodę i zadęta wodą. Odp. 2390 (d"" podwyż).

396)    Piszczałka daje w temperaturze 0° ton a'; obliczyć wysokość jej w temperaturach 20°, ICO⁰, 278°. Odp. n — 450,7; 508,5; 612,2.

397)    Piszczałka daje w temp. 20° ton pewnej wysokości; do jakiej temperatury należałoby ogrzać ją, aby ton jej podniósł się o kwintę?

Odp. 386°.

398)    Dzwonek ważący 50 gr wydaje ton c"". Obliczyć wysokość tonu dzwonu ważącego 1000 leg, przyjmując dła obu ten sam kształt i ma-

3

Y 100000

399)    Resonator kulisty, pojemności 1 l, mający otwór 1 cm w średnicy, daje ton dis (n — 156). Obliczyć wysokość tonu beczki, mającej pojemność 10 hektolitrów i otwór mierzący w średnicy 10 cm.

Odp. 15,6 (Cu zniżone).

400)    Pręt stalowy, długości 1 m, utwierdzony w połowie długości, wprowadzamy w drganie zasadnicze, przez podłużue pocieranie. Obliczyć wysokość tonu.

teryał. Odp. n = 2069

= 76,2 (Dis).

Odp. c

-1/1

= l\/ 200 y

2100 Xl0⁶X981

= 2587 na sek (e""j.

- ; n — —

2 L

401)    Pręt szklany, o długości 80 cm, utwierdzony jest w dwu punktach, oddalonych od końców o 20 cm. Jeden koniec wprowadzony jest w rurę szklaną, posypaną wewnątrz lekkim proszkiem (fig. 197). Przy pocieraniu podłużnem części pręta, leżącej między punktami utwierdzonymi, tworzą się w rurze węzły, w odstępach wynoszących: 25,48 mm. Obliczyć stosunek prędkości fal podłużnych w pręcie szklanym, do prędkości głosu w powietrzu. Odp. 800 : 2 X 25,48 = 15,7.

402)    Obliczyć stąd spółczynnik sprężystości szkła, na wydłużenie, przyjmując gęstość = 2,5 pr/cm³. Odp. 726 X 10⁶ Gr/cm².

403)    Do tegoż samego pręta przystawiono, na drugim końcu, drugą rurę szklaną, napełnioną suchym bezwodnikiem węglowym. Znaleziono w tej rurze węzły w odstępie 19,9 mm. Obliczyć prędkość głosu w bez-

19,9 X 340 25,48

404)    Obliczyć średnicę pręta stalowego o długości 1 m, który utwierdzony stale jednym końcem, wykonywa 5 drgań poprzecznych,na sekun-dę, (prędkość fal podłużnych w pręcie stalowym = 5100 misek). Odp. 7 mm.

405)    Jaką długość powinna mieć blaszka mosiężna stroika w harmonice, jeżeli przyjmiemy jej grubość = 0,1 mm, prędkość fal podłużnych

wodniku węglowym. Odp.

7,7

= 265 m/sek.

w mosiądzu 10,9 razy większą niż w powietrzu, jeżeli nadto stroik daje ton a'. Odp. Około 12 mm.

406)    Obliczyć długość ośmiu płytek szklanych (fig. 206), jednakowej grubości, nastrojonych według skali diatonicznej naturalnej (dur), jeżeli najdłuższa mierzy 1 dm długości.

Odp. 1, V t ,    5 ,    , ]/~-i ,    A , \^ ^ dm.

407)    Walec kolisty, o promieniu 3 cm, opasany jest w około sznurkiem napiętym siłą 21000 dyn. Obliczyć ciśnienie, jakie jednostka długości (cm) sznurka wywiera na walec. Odp, 21000 : 3 — 7000 dyn\cm.

408)    Przyjąwszy, że walec ten obraca się jednostajnie około swej osi, znaleźć prędkość obrotu, przy której ciśnienie sznurka na powierzchnię wTalca stanie się równe zeru, wiedząc iż 1 cm sznurka waży 0,2 gr.

21000

Odp.

: 2tc x 3 = 17,2 obrotów na sek.

V*

409)    Struna mająca długość = 1 m daje ton zasadniczy c; o ile wypada skrócić ją, aby otrzymać kolejne tony d, e, /,... skali naturalnej?

Odp. 11,2 cm- 20; 25; 33,4; 40; 46,7; 50.

410)    Obliczyć szereg tonów własnych- struny ważącej 2,1523 gr, długiej na 70 cm, napiętej siłą 4 X 10⁶ dyn.

Odp. E (81,47), e, h, e', gis' h', i t. d.

411)    Drut stalowy (gęstość = 7,76 gr/cm³), długości 1 m, grubości 0,5 mm, napięty jest ciężarem 8 Kg. Obliczyć częstość drgań poprzecznych.

Odp. 113,5 na sek.

412)    Struna mierząca 80 cm długości, 1 mm grubości, daje 120 drgań na sek-, ile drgań daje w równych warunkach struna mająca długość 60 cm, grubość f mm? Odp. 120 X ł X 2 = 240.

413)    Obliczyć całkowitą siłę, jaką wywierają struny skrzypcowe, nastrojone według skali naturalnej, z jednej strony na szyjkę, z drugiej na plużkę skrzypiec. Długość drgających części strun wynosi 33 cm, grubość strun e", a', d' po kolei: 0,64; 0,85; 1,1 mm, gęstość ich 1,34 (/r/cm³; metr struny g waży 3,27 gr. Odp. Napięcia strun wynoszą kolejno 8,149; 6,389; 4,755; 5,427 Kg. Całkowita siła = 24,72 Kg.

INDEKS

tomu pierwszego.

(Liczby oznaczają stronice).

Akustyka 468. d’Alembert 97. Amplituda 51.

Analiza harmoniczna 64. — dźwięków 488.

Aneroid 394.

Aphelium 40.

Archimedes 344, 396. Areometr 349.

Aspirator 370.

Atmosfera 288, 340.

—    ziemi 385, 410.

—    wysokość 401.

Atwood 133.

Całkowite odbicie 465. Centryfuga 103. Chemia 5.

Chladny 525.

Ciążenie 258.

Ciecze 325.

Ciepło 243.

utajone 249.

Ciężar 123.

— właściwy 190. Ciężkość 122, 269. Ciśnienie 286.

cieczy 327. atmosfery 385.

Balon 397. Barometr 390.

Czas 10,209.

— pomiar wysokości 410. Barwa dźwięku 487, 494.

Bąk 161.

Bernoulli 366.

Bezwładność 83.

Błędy 3.

Boyle 398.

Bunsen 418.

— drgania 51. Częstość drgania 51, 478.

Dalton 413.

Davy 242. Długość 7, 193.

- fali 428.

Doppler 477. Doświadczenie 2-, Drgania proste 49.

analiza i synteza 488, 494.

pomiar 191, 348, 383.

Drgania złożone 57.

—    zanikające 74, 507.

—    prętów 502, 522.

—    płyt 525.

—    strun 529.

—    eliptyczne 68.

—    swobodne 5C8.

Dudnienie 479. Dyna 89. Dynamika 81. Dynamometr 197. Dysonans 496 Dzielność 238.

Dzień gwiazdowy 10. Dźwięk 472.

Dźwignia 177. Dzwon 525.

Echo 471. Edison 486.

Ekliptyka 10. Ekscentryczność 43. Elongaeya 51. Energia 214.

kinetyczna 221. potencyalna 227. dynamiczna 248. wewnętrzna 247. chemiczna 249.

Fonograf 485. Fourier 65, 489. Fizyka, zadanie 5.

—    metoda 5.

—    podział 13.

Galileusz 83, 126. Gazy 377. Gazometr 416. Geoida 278.

Gęstość 189.

względna 190. normalna 384.

Giroskop 160. Girostat 165.

Głos 469.

Grawitacya 257.

prawa 262. pomiar 266.

Harmonika 527. Harmoniczne drgania 49. — tony 490.

Hartowanie 315.

Helmholtz 255, 492. Hipotezy 12. Hodograf 34.

Hooke 291. Huygens 210, 449.

plutoninzna 253. fal 434.

Erg 215. Ergometr 240.

Fale 372.

Impuls 91.

Indikator 218-Interferencya 445. Interwał 481. Izochronizm 74, 499.

sprężyste 423. podłużne 423. poprzeczne 440. stojące 458.

Faza 51.

Jednolite ciała 295. Jednostki czasu 10.

—    długości 7.

—    masy 8, 87, 140.

—    prędkości 16.

Jednostki przyśpieszenia 31.

—    kątów 50.

—    sił 89, 139.

—    pracy i energii 215.

—    dzielności    239.

ciepła 243, 246 ciśnienia 288, 338.

Mimosród 43. Moment ruchu 143.

siły 148.

bezwładności 151. kierujący 204.

Monochord 529. Motor 215, 238-

Naczynia połączone 336. Natężenie ciężkości 138.

—    grawitacyi 276.

—    głosu 473. Newton 83, 128, 255, 258. Noniusz 193.

właściwa 190. •

Joule 216, 243.

Katetometr 194. Kelvin 295. Keppler 38. Kinetyka 82.

Klin 174.

Kolano 174. Kołowrót 178. Komin 419. Komperator 195. Koń parowy 239. Kowalnośó 315. Kruchość 315. Księż3’C 258. Kundt 518.

Lepkość 351, 419. Lewar 370. Libella 124.

Linia falowa 53. Lissajous 71.

Machiny 236.

— falowa 370. Manometr 338, 404, Mayer 255.

Masa 86.

—    ziemi 267.

—    słońca 268. Mersenne 528.

Miary (p. jednostki). Mierzenie 184. Mieszaniny 413. Mikrometr 194.

Objętość 192.

Obrót 76, 157.

Odbicie kul 116.

-    fal 452.

—    głosu 471. Odchylenie 51. Oddziaływanie 96. Oddźwięk 509.

Odgłos 471. Odkształcenie 2S1. Ohm 489.

Okres obiegu 37.

—    planet 89.

—    drgania 51, 198 Opór cieczy 374.

—    gazów 128, 420.

—    rur 368.

Oś swobodna 163.

Pascal 327, 387. Parcie 286, 341. Pary 377.

Para sił 176. Pęd 88.

Perihelium 40.

Piknometr 191.

Pion 123.

Piszczałki 513. Plastyczność 315. Płaszczyzna pochyła 135. Płyn 282.

Pływanie 347. Poggendorff 132.

Pole 193.

Pompy 387.

Pompa, pneumatyczna 380. — zgęszczająca 882.

Popęd 91.

Potencyał 272. Powierzchnia poziomu 275. Poziom 124.

Praca 214. Prasa 237.

— hidrauliczna 330. Prawa przyrody 4. Prąd 355.

Prędkość 14.

zmienna 24. fal 373, 436. głosu 439. kątowa 78.

Prężność 378. Promieniowanie 249. Przedłużenie 304. Przyciąganie kul 264. Przyrządy 3. Przyśpieszenie 27, 30.

Równowaga uderzeń 119.

ciał stałych 172. cieczy 334. momentów 173. 176. rodzaje 181.

Równoważnik dynamiczny ciepła 243.

Równokierunkowe ciała 296. Różnokierunkowe ciała 296. Rozkładanie prędkości    21.

—    ruchów 44.

—    sił 94.

—    dźwięków    489.

Rozpylacz 418.

Rozszerzenie przestrzenne 283 Ruch jednostajny 14.

—    względny 17.

Ruch przyśpieszony 27.

—    opóźniony 31.

—    krzywolinijny 33.

—    kolisty 36, 72.

—    planet 38, 260.

—    pocisków 47, 130.

—    postępowy i obrotowy 76.

—    drgający 49.

—    środka masy 111.

—    precessyjny 159.

—    cieczy 355.

—    gazów 416.

—    fal 423.

Ruchliwość 354. Rumford 242.

kątowe 79. ciężkości 127, 271.

Kedukcya objętości 405. Resonancya 509. Resonator 493.

Rok 10, 43.

Równia pochyła 135. Równowaga sił 85, 173.

Samogłoski 495.

Ściśliwość ciał stałych 300.

—    cieczy 330.

—    gazów 398.

Sikawka 358.

Siła 81.

—    stała 85.

—    chwilowa 91.

gazów 406.

Śruba 237.

Siła dośrodkowa 99.

—    odśrodkowa 101.

—    odśrodkowa złożona 168.

—    ciężkości 122, 257.

—    ciążenia 258.

—    sprężystości 290.

—    pomiar 197, 208.

Siły równoległe 174.

—    wewnętrzne 96.

—    zachowawcze i rozprasz. 229. Simpson 195.

Sinusoida 53.

Skale muzyczne 480.

Skład mieszanin 414.

Składanie prędkości 20.

—    ruchów 44.

—    sił 94.

—    momentów 145.

—    drgań 57, 443.

—    tonów 494.

Skręcenie proste 284. — prętów 3Ul.

Skutek 238.

— pracy 220. Spadanie 129.

Spółczynniki sprężystości 292. Sprężystość 290.

ciał stałych 290. granice 314. cieczy 330.

Środek masy 106.

ciężkości 179.

mikrometrycna 193.

Ssanie 386.

Stałe ciała 299.

Stan normalny 384. — skupienia 282. Statyka 172.

Statyka płynów 179, 327. Stroboskop 531.

Stroik 525.

Strojenie 478.

Struny 527.

Strzałki 311, 461, 503. Synteza dźwięków 494. Syrena 478.

Tablica miar 7.

prędkości 16-mas 88.

gęstości 192, 384. sprężystości 331. wytrzymałości 317. tarcia 322.

ściśliwości cieczy 331. ściśliwości gazów 404. lepkości cieczy 354. ruchliwości 354.

—    lepkości gazów 420.

—    wysokości atmosf. 403.

—    wysokości tonów 484. Tarcie ciał stałych 319.

—    cieczy 351.

—    gazów 420.

Teorye 12. Tony 489.

kombinacyjne 496. własne 501.

— normalny 484. Toricelli 367, 387. Twardość 316.

Uderzenie 115. Układ miar 6.

ciężarowy 139.

Waga 184.

pomostowa 195. sprężynowa 125. hidrostatyczua 348.

Wahadło proste 193.

—    złożone 202.

—    sekundowe 201.

—    odwracalne 205.

—    ballistyczne 206.

—    Foucaulta 168.

Wanna pneumatyczna 413. Watt 239.

Wattmetr 239.

Ważenie 188, 396.

Węzły 460, 503.

Wibroskop 531.

Widełki 505.

Wiry 356.

Wirówka 103.

Wydatek 356.

Wydłużenie 284.

Wymiary 6.

Wypływ cieczy 364.

Wypływ gażów 416. Wysokość dźwięku 476.

—    prędkości 18U.

—    ciśnienia 338. Wytrzymałość 316.

Załamanie fal 462.

Zanikanie drgań 74, 507. Zasady 5.

—    dynamiczne 83, 92, 96.

—    d’Alemberta 97.

—    zachowania energii 250. Zawiesistość 355.

Zegar 209.

Zgięcie 309.

Ziemia, rozmiary 269. — kształt 277.

Zmysły 1. Zniżka 168.

KONIEC TOME PIERWSZEGO,

ZBIÓR OZNACZEŃ

WAŻNIEJSZYCH WIELKOŚCI, TUDZIEŻ ICH WYMIARY C. g. S.

Część pierwsza:

w, v, V prędkość

s,    droga

t,    czas

a, o, kąty (faza)

y,    przyśpieszenie r, promień, odległość T, okres n, częstość

n, stosunek obw. do śred. t, czas

a, b, l, długości (amplituda) e, ekscentryczność X, długość fali u), prędkość kątowa

7,    przyśpieszenie kątowe w, X, szerokość geograf: w, M, masa P, Q, R, S, F, siły ciężary gr. cm/sek2 g, przyśp. ciał spadających;

natężenie ciężkości cm/sek²

z,    wysokość H, moment ruchu M, moment siły B, moment bezwładności k, ramię bezwładności R, promień ziemi d, D, gęstość

8,    ciężar właściwy p, gęstość względna D, moment kierujący L, praca

T, energia kinetyczna

cmlsek

C771

sek

cmlsek²

cm

sek

1/sek

sek

cm

cm

1/sek

1/sek²

9r-

cm

gr. cm²/sek gr. cm²1sek2 gr. cm²

cm

C7n

gr/cm3 gr/cm². sek²

gr. cm²/sek2 gr. cmlsek2 gr. cm²/sek²

U, energia potencyalna gr. cm²/sek2 K, dzielność

J, równoważnik dynam, ciepła

Q, ilość ciepła

gr. cm²lsekz

cm²lstop. sek2 gr. stop. albo gr. cm²lsek2 C, stała grawitacyi cm³lgr. sek2 u, potencyał grawitaoyi cm²jsek²

Część druga:

v, V, objętość X, wydłużenie 0, zgęszczenie a, skręcenie

р,    ciśnienie

a,    sp. ściśliwości i, sp. sztywności s, S, pole przekrój

e,    sp. wydłużenia 7c, sp. wytrzymałości

f,    sp tarcia d, gęstość 8, ciężar właściwy z, wysokość (głębokość) fx, sp. lepkości

W,    wydatek

b,    stan barometru A, wysok. atmosf. jednolitej

с,    prędkość fal

X,    długość fali T, okres

n, częstość n, sp. załamania

cm³

grfcm. sek2 grlcm. sek2 gr/ctn. sek²

C7Ï1²

grlcm. sek2 grjcm. sek²

grlcm3 grjcm.² sek²

cm

gr/cm sek cm³/sek

cm

cm

cm/sek

cm

sek

1/sek

1

.

»

-

/

B.blmłekrt Politechniki Krakowskiej

I

i y Mi.

*4^

11-341323

-4^X4- -

,/V

<4 *£&&**>

i

v

% \\

$gfĘP

r

.'■f'j.--

V y?

i

%

X^

M.fd ?

'y f ■

*    . ,*• b-y

Æ ,•

■s. -*■

mß

k *

>*-

, v |ff

>*

\

'

i* ï U/l

IW/cl

, *

« -

* 3 S£

Biblioteka Politechniki Krakowskiei

fv »

100000278495

l • .^1