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Biblioteka Politechniki Kiakowskie|

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Eine Einführung

in die statische Berechnung desselben.

Zugleich ein Repetitorium für den ausübenden Techniker.

Von

Heinr. Birven

Ingenieur.

Mit 22 Ahbildungen im Text.

dar

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Hildburghausen 1903.

Polytechnischer Verlag Otto Pezoldt.

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Druck von Dr. L. Xonne’s Erben (Druckerei der Dorfzeitung) in Hildburghausen.

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Akt. Nr,

Vorwort.

Bei der Bearbeitung dieses kleinen Werkchens betrachtete es der Verfasser als seine Aufgabe, einerseits dem Studierenden, der bereits mit den Lehren der Mechanik und Festigkeitslehre vertraut ist, andererseits dem ausübenden Techniker ein leichtfafsliches und schnell zum Ziele führendes Repetitorium für das Studium der Fachwerkkonstruktionen zu schaffen. Dabei wurde die Materie sowohl graphisch, wie analytisch behandelt, jedoch in zwei von einander getrennten Abschnitten. Letzteres geschah aus dem Grunde, weil dadurch das systematische Vorgehen wesentlich erleichtert wird.

Der Verfasser giebt sich der angenehmen Hoffnung hin, dafs das Werkchen den obigen Zwecken entsprechend ein brauchbares Repetitorium sein werde.

Zum Schlüsse erübrigt es ihm noch, für die geschmackvolle innere, wie äufsere Ausstattung des Werkchens seinem Herrn Verleger den besten Dank abzustatten.

Aachen, im Dezember 1902.

Der Verfasser.

Inhaltsverzeichnis

I. Abschnitt.

Das analytische Verfahren nach Ritter.

Seite

Jr. ccc 'Jf. zir. 'Jr. y/.

Einleitung.................

Die Auflagerreaktionen. Statische Bestimmtheit

Rittersches Schnittverfahren.........

Anwendungen des Schnittverfahrens......

Der Parabolische Träger...........

Der Parallelträger..............

tH t—i    1-0 O

QJ

II. Abschnitt.

S 00 ffl ö Ti « tH rH

cos cos aoe aoo aoo aoc

Das graphische Verfahren nach Cremona.

Theorie des graphischen Verfahrens.............

Anwendung des graphischen Verfahrens...........

Weitere Anwendungen...................

Der Parallelträger.....................

Zalilenmäfsig durchgeführte Beispiele............

Weitere Aufgaben.....................

17

18

19

20

21

23

♦♦Mi

Das Fach werk.

I. Abschnitt.

Das analytische Verfahren nach Ritter.

§ 1. Einleitung.

Da bei einem an

seinen Endpunkten unterstützten Balken bei gleicli-mäfsiger Belastung Biegungsspannungen auftreten, so sind der Biegungstlieorie zufolge diese Spannungen ungleichmäfsig über den ganzen Querschnitt verteilt. A enn beispielsweise bei erhöhter Belastung die Spannung der am weitesten von der „Neutralen Faserschicht“ entfernt liegenden Faser bereits die Elastizitätsgrenze erreicht hat, überschreitet die Spannung der in der Nähe der Neutralen liegenden Schichten das Zulässige noch in keiner Weise. Man ersieht also, dafs bei Anwendung eines solchen Balkens das Material in durchaus ungenügender Weise ausgenutzt wird.

aus

nur

Um diesem Uebel abzuhelfen, hat man die Fach werke angewandt, deren Theorie im Jahre 1863 von „Ritter“ gegeben wurde. Ein Fachwerk besteht einem System gelenkig und reibungslos mit einander verbundener Stäbe, welche die in ihnen auftretenden Spannungen auf die Verbindungsstellen, die Knotenpunkte, übertragen. Es hat diese Art der Verbindung von Stäben zu einem Fachwerk den wichtigen Vorzug, dafs in den Konstruktionsteilen Zug- und Druckspannungen, niemals Biegungsspannungen auftreten können. Dies ergeht daraus, dafs, wenn man durch eine derartige Stangenverbindung einen Schnitt legt und an jeder Schnittstelle eine Kraft anbringt, welche den früheren Gleichgewichtszustand wieder herzustellen bestimmt ist, alsdann diese Kräfte stets in die Richtung der Stäbe fallen, da dieselben ja sonst eine Drehung der Stäbe um den Gelenkbolzen anstreben würden. Da sich nun die Zugoder Druckspannungen gleichmäfsig über den Querschnitt verteilen, so läfst sich beim Fachwerk eine vollkommene Ausnutzung des Materials erreichen.

§ 2. Die Auflagerreaktionen. Statische Bestimmtheit.

Wenn die Belastung eines Fachwerkes in der Vertikalebene wirkt, so hat auch die Reaktion in den Auflagern eine vertikal entgegengesetzte Richtung. Kommt aber noch eine schräg gerichtete Kraft hinzu, wie sie etwa vom Winddruck ausgeübt wird und ist das Fachwerk in zwei festen Auflagern gestützt,

B i r v e n, Das Fachwerk.

so wird die Auflagerreaktion keine vertikale Richtung annehmen. Die Ersatzkraft der auf die Konstruktion wirkenden Kräfte läfst sich aber in unendlich viele Komponenten zerlegen, deren Richtung durch die Auflager geht. Eine derartige Konstruktion wäre statisch unbestimmt, und zwar aus dem Grunde, weil die Konstruktion mit den beiden Auflagern fest verbunden ist. Bei einer derartigen Auflagerung hat man aber auch noch mit den sogenannten Montierungsspannungen zu rechnen, welche infolge ungenauer Auflagerung in den Stäben auftreten. Des weiteren haben bei einem solchen Fachwerk die häufigen Temperaturschwankungen unangenehme Temperaturspannungen im Gefolge. Um nun diese Uebelstände zu beseitigen und das Fachwerk statisch bestimmbar zu machen, ersetzt man das eine feste Auflager durch ein sogenanntes Rollenlager, wodurch es der Konstruktion ermöglicht wird, sich je nach der herrschenden Temperatur zusammenzuziehen oder auszudehnen. Es kann nun aber auch jeder schräg gegen das verschiebbare Auflager gerichtete Druck in eine horizontale und vertikale Komponente zerlegt werden. Die horizontale Seitenkraft wird eine Bewegung erteilen, die vertikale aber wird die gesuchte Auflagerreaktion darstellen. Die Anwendung eines Rollenlagers ermöglicht es uns also, den zu berechnenden Träger zu einem statisch bestimmten zu machen.

Wenn nun ein Körper durch mehrere Kräfte beansprucht wird, so findet bekanntlich Gleichgewicht statt, wenn die Kräfte weder das Bestreben haben, den Körper nach irgend einer Richtung hin zu verschieben, noch denselben zu drehen. Eine Verschiebung des Körpers ist dann ausgeschlossen, wenn sich die Kräfte nach Gröfse und Richtung zu einem geschlossenen Kräftepolygon zusammensetzen lassen, oder mit anderen Worten, wenn die Summe der horizontalen und vertikalen Komponenten gleich Null ist. Die horizontalen Kräfte mit H, die vertikalen mit V bezeichnet, deutet uns dies die Formel an:

2H = 0; 2T = 0.

Wollen wir die Horizontal- und Vertikal-Komponenten einzeln durch ihre Resultante ausdrticken, so haben wir nur nötig, dieselben auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu beziehen und den Winkel, den die resultierende Kraft mit der Abscissenachse bildet, mit a zu bezeichnen. Alsdann ergiebt sich für die Horizontalkomponenten ohne weiteres:

Pi • cos ai + P₂ • cos «₂ ~b P3 • cos a₃    = 2 P • cos a — 0.

Und für die Vertikalkomponenten:

Pi • sin «1 + P2 • sin «2 -f- P3 • sin a₃ -f- ... == 2 P • sin a = 0.

Es läfst sich nun aber leicht zeigen, dafs in einem Falle, wie dem vorhergehenden, immerhin noch ein Drehbestreben der Kräfte vorhanden sein kann. Setzen wir nämlich alle in einer Konstruktion wirkenden Kräfte bis auf eine zu einer Resultierenden zusammen, so wird in der Regel diese Resultierende Rx mit der übrig bleibenden Kraft Pn ein Kräftepaar bilden, also eine Drehung um irgend einen Punkt der Ebene anstreben.

Ein solches von einem Kräftepaar ausgeübte Drehmoment wird nun aber gleich Null werden, wenn ebenfalls die Summe der Momente aller angreifenden

Kräfte, bezogen auf einen beliebig angenommenen Drehpunkt, gleich Null wird. Die Hebelarme der Kräfte mit ai, a2, a₃ u. s. w. bezeichnet, wird also Drehungsgleichgewicht stattfinden, wenn die Formel erfüllt ist:

Pi * ai -|— P2 • a2 —|— P₃ • a₃    ... = 2 P • a = 0.

In den Formeln:

2 P • cos a = 0.

2 P • sin a = 0,

2P-a

haben wir nunmehr drei Gleichungen, welche die Grundlage der Berechnung eines Fachwerkes bilden.

Aus vorstehenden drei Gleichungen ersehen wir nun aber auch, dafs, wenn auf ein Bauwerk irgend welche Kräfte wirken, sich noch drei Auflagerreaktionen berechnen lassen und zwar ihrer Gröfse nach, wenn ihre Richtung bekannt ist.

Nunmehr sind wir imstande, uns eine höchst einfache Regel zur Untersuchung der statischen Bestimmtheit eines Fachwerkträgers abzuleiten.

2L

Wie bekannt, nennt man einen Träger, der starr und unverschieblich ist, geometrisch bestimmt. Diese Bedingung wird von einem Dreieck erfüllt. Setzt man nun die Mittellinienfigur eines Fachwerkträgers aus lauter Dreiecken zusammen, so ist der Träger geometrisch bestimmt. (Figur 1.)

kT

Figur 1.

Bezeichnen wir nun mit N einmal die Anzahl der Dreiecke eines solchen Fachwerkes, so er-giebt sich für die Anzahl der Stäbe s die Formel:

s = 3 + 2(N-l),

indem ja das erste Dreieck drei Stäbe liefert, jedes folgende aber nur zwei und dies N — 1 mal oder aufgelöst:

s = 2N + l.

Bezeichnet ferner K die Anzahl der Knotenpunkte, so ist: K = 3 + 1(N — l) = N + 2.

Ferner ist:

Ebenfalls ist:

2 Iv = 2 N -j- 4; 2K — 4=2N.

s — 1 = 2 N.

Durch Subtraktion folgt:

s — 2 Iv + 3 = 0.

s — 2 K = — 3 oder: 2K = s-f-3.

In Worten sagt uns also die Formel: 2K = s-f 3:

an

Ein Fachwerk ist geometrisch und statisch bestimmt, wenn seine Mittellinienfigur aus lauter Dreiecken besteht und die Stäbezahl gleich ist der um drei verminderten doppelten Anzahl der Knotenpunkte. Mit Hilfe dieser einfachen Formel untersucht man also zuerst, bevor man die Berechnung geht, ob das fragliche Fachwerk ein statisch bestimmtes ist.

§ 3. llittersclies Sclinittycrfahren.

Um die in den Konstruktionsteilen auftretenden Spannungen zu ermitteln,

bedient man sich der sogenannten „Ritterschen Schnittmethode".

Vorgänge von Ritter denkt man sich durch das Fachwerk einen geraden oder krummen Schnitt an beliebiger Stelle gelegt, der jedoch höchstens drei Stäbe durchschneiden darf. Bringt man alsdann an den Schnittstellen die zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts nötigen Kräfte an, so stellen diese die in den Stäben auftretenden Spannungen dar. Es lassen sich diese Kräfte alsdann mit Hilfe der Momentengleichung leicht bestimmen, indem nämlich bei passender Wahl des festen Drehpunktes diejenigen Kräfte zum Wegfall kommen, deren Hebelarme gleich Null sind.

Bemerkt sei noch, dafs man sich die anzubringenden Kräfte stets als Zugkräfte denkt. In der Rechnung stellt sich dann die zutreffende Belastung durch das Vorzeichen heraus.

Nach dem

Es werde nun an einem Beispiel die Rittersche Schnittmethode näher erläutert:

\P

Es werde verlangt, in dem neben skizzierten Konstruktionsteil eines Fachwerkes die in dem Stabe C D auftretende Spannung zu berechnen. (Figur 2.)

¹    --/-Ä

Figur 2.

Zu diesem Zwecke bringen wir in dem Fachwerk einen Schnitt an, welcher C D trifft und denken uns an den Schnittstellen die Kräfte X, Y und Z wirkend zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts. Diese Kräfte, welche wir uns als Zugkräfte einzeichnen, repräsentieren die in den betreffenden Stäben auftretenden Spannungen. Das links von der Schnittfläche «ß liegende Stück wird im Gleichgewicht gehalten durch die Kräfte A, P. P, deren Gröfse bekannt ist und die unbekannten Kräfte X, Y, Z.

Für diese mufs nun bei Wahl eines beliebigen festen Drehpunktes die algebraische Summe der statischen Momente gleich Null sein!

Um nun die Kraft Y zu bestimmen, wählt man bei Aufstellung der Momentengleichung als Drehpunkt denjenigen Punkt, in welchem sich die beiden verlängerten Kräfte X und Z schneiden, also A. Es ist ersichtlich, dafs hierdurch die Kräfte X und Z aus der Rechnung herausfallen, da ihr statisches Moment in Bezug auf den Drehpunkt A gleich 0 ist.

Man erhält nunmehr folgende Gleichung:

P * 1 —J— P * 21 — Y • f = 0.

Es mufs noch hervorgehoben werden, dafs in dieser Gleichung, wie auch im folgenden stets geschehen soll, sämtliche im Sinne des Uhrzeigers um den Drehpunkt drehende Kräfte als positiv, die entgegengesetzten als negativ auf-gefafst sind.

Es ergiebt sich also für Y:

P-31

In genau derselben Weise ergeben sich nun die Spannungswerte für die beiden anderen Stäbe:

Kraft x; Drehpunkt C; Hebelarm von x = P; also: + A-21 + X-f — P-1 = 0.

P-l

A-21

Und für die Kraft Z, Drehpunkt D, Hebelarm f":

A-31 + Z-f" — P-21 — P-1 = 0. ^    P-21-j-PH — A-31

Li —¹    wr.

P-31 —A-31

f"

f"

§ 4. Anwendungen des SchnittYerfalirens.

1. Das einfache Hängewerk.

Es sei die in Stäben des nebengezeiclmeten Hängewerks auftretende Spannung zn ermitteln! (Figur 3.)

Die gesamte Belastung der Hängesäule werde mit P bezeichnet, Die Reaktionen bei A und B p

sind alsdann gleich —.

u

nun durch einen Schnitt aß die Konstruktion in zwei Teile, so lassen sich die in den Stäben A C und A D wirksamen Kräfte mit Hilfe der Momentengleichung als diejenigen Kräfte berechnen, welche wir an den Schnittstellen zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes anbringen müssen. Diese Kräfte seien x und y.

Teilen wir

Al

a.

\D I

l-

\P

Figur 3.

Zur Berechnung der Kraft x wählen wir als festen Drehpunkt den Punkt D. Mit Hilfe der Momentengleichung ergiebt sich nun:

-j—g ^—|— x • b — 0: also:

P-l

Aus der Aelmlichkeit der Dreiecke A D C und A G D folgt:

—, daher:

P-a 2-h*

Die Strebe A C wird auf Druck beansprucht durch eine Kraft von der Gröfse

P-a

24?

Gehen wir nun weiter zur Berechnung der Spannkraft in dem Stabe AD, so werden wir nunmehr als Drehpunkt den Punkt C wählen. Die Rechnung gestaltet sich dann wie folgt:

y-h-O.

Daraus: y = 4

P-l

4-h*

In der Stange AD wirkt also eine Zugkraft von der Gröfse

P-l

4-h⁻

2. Als weiteres Beispiel zur Anwendung des Schnittverfahrens diene folgende Aufgabe:

3C

P’

\\

\f Ai

1/

<=• -

--b/

- r>

\G

(P

(r

<z

Welche Kräfte wirken in Schliefse und Strebe des nebengezeichneten Drehkranes? Q sei die zu bewegende Last, Qi die Kraft an der Kette wirksam, G das Gewicht der Konstruktion (Schliefse -)- Strebe Kette), a, b, c, d, e, f die zugehörigen Hebelarme. (Figur 4.)

Gang der Berechnung:

Der Kran kann als ein einfachstes Fachwerk betrachtet und nach den für ein solches mafsgebenden Regeln berechnet werden.

Figur 4.

Bringen wir wieder an beliebiger Stelle einen Schnitt aß an und fügen wir die erforderlichen Gegenkräfte bei, so folgt wiederum aus der Momentengleichung für x in Bezug auf den Drehpunkt P:

4~Q-a — Qi • c4- G• b — x-d = 0.

Also: x =

Q-a —Qt-e-f G-b

Es wirkt also in der Schliefse eine Zugkraft von der Gröfse Q-a Qi • e 4~ G• b

Und in gleicher Weise für y unter Annahme von P' als Drehpunkt: Q * a -f- Qi * c —1— Gr • b —)— y»f = 0.

y=

Q • a Qi • c -|- G • b

Wir erhalten also für y eine Druckkraft.

Somit sind die in den Stäben thätigen Kräfte bestimmt!

3. Hängewerk mit zwei Hängesäulen.

Es seien die in den Konstruktionsteilen beistehenden Hängewerks mit zwei Hängesäulen auftretenden Spannungen zu ermitteln! (Figur 5.)

Auflösung: Jede Hängesäule . erfahre einen Zug von P kg. Alsdann ist die Reaktion in A und B ebenfalls gleich P.

Wir führen nun zunächst einen

Ca

/s~!    *----l/„-\

ir

Figur 5.

Schnitt aß so, dafs derselbe nur die beiden Stäbe A C und A E trifft und fügen die Zugkräfte 0 und H Alsdann ist in Bezug auf E als Drehpunkt:

an.

-f 0-E G-|-P-AE = 0. P-AE

P-l

EG '

Aus der Aebnlichkeit der Dreiecke AEG und ACE folgt:

AE _ AC _ a E G — EC ”¥’

Dies in die obige Gleichung für 0 eingesetzt, ergiebt:

P-a

Mit Benutzung des Drehpunktes C ergiebt sich:

P-AE — H-EC = 0. P-AE

3-h *

Die Stange A E wird also gezogen, die Strebe A C gedrückt.

Führen wir nun zur Bestimmung von Oi einen Schnitt «i ßi, so ergiebt sich aus der Momentengleichung wiederum in Bezug auf den Drehpunkt E:

EC

Oi -h

P-l

0.

Oi

P-l

3-h*

Des weiteren ergiebt sich in Bezug auf den Drehpunkt A:

Y-l

—g— -{- Oi • h = 0.

Oi-h-3

Setzen wir hierin den eben gefundenen Wert für Oi ein, so erhalten wir:

f P-

— P-l-h-3

3-h-l

Bringen wir nun noch den Schnitt a" ß" an, so ergiebt sich für C als

Drehpunkt:

P-l

0₂ • h — 0. Also:

0₂

P-l

3-h’

Wir ersehen hieraus, dafs, während Oi gedrückt wird, 0₂ eine Zugbeanspruchung erfährt gleich derjenigen, welche AE erleidet. Die Zugspannung in der Hängesäule ist gleich P, brauchte also eigentlich nicht besonders ermittelt zu werden.

Aus diesen Beispielen erhellt ferner, dafs das Rittersche Schnittverfahren eine überaus leichte, überall anwendbare und schnell zum Ziele führende Methode darstellt.

4. Polonceau-Binder.

lP

Der nebenstehend skizzierte Poloncean-Binder sei statisch zn berechnen!

3t

Die anf die Knotenpunkte C. D

/E

EX/S

--)--1 — — -

i-----

'— 4 - - ^ - 4- -

A-—L

und Di wirkende Last sei gleich P; dann ist der Gegendruck in den Auflagern A und B je 1,5 P. (Figur 6.)

Figur 6.

Legen wir nun durch die Stäbe Di B und Ei B einen Schnitt aß und nennen wir die in den Stäben wirksamen Kräfte Oi und Ui, so erhalten wir wiederum aus der

DA

ct

l!

E'l

/E

ft u₃ E,j

" J//

Momentengleichung bei Annahme von Ei als Drehpunkt (Figur 7): + Oi • Di Ei + P• Ei Fi —P-GEi — P • F • Ei -f-1>5 P • H Ei = 0.

?K

Oi *b — —P-Ia—-^1 + P •(gT a

Figur 7.

+ P'(v+T_a)

Oi • b =

-P-a + P.i + P4^P‘a + lP'¹"

P-a —

— l,5P-p—aj. |p.l + |p.a.

Oi *b = —

Also: Oi

|p.a.

3 P-a

Für Dx als Drehpunkt ergiebt sich:

-Ui-Di J —P-GFi — P-FFi + 1,5 P-II Fi = 0.

Ui-D, J = -P- •l-P~l + l,5P.|l = |p.l.

Bezeichnen wir den Hebelarm von Ui mit c, so ist:

3 IM

Ui

Teilen wir nun weiter die Konstruktion in zwei Teile, durch einen Schnitt yd, welcher die Stäbe DC, DE und AE trifft Die in DC auftretende

Spannung sei 0₂, die in DE sei V. Alsdann ergiebt sich mit Benutzung von A als Drehpunkt:

V • D A + P • H F = 0, also: V • s =

IM

Daraus:

P-l

4-s

In Bezug auf den Drehpunkt E erhält man:

0₂-DE + 1,5 P-HE — P-FE = 0;

0₂-b = —l,5P-a-f Pia —

T (1 + ^ a). Also: P /l + 2a

0₂-b = —

0₂ = —

Es bleiben uns nun nur noch die Spannungen in den Stäben EC und EE zu bestimmen übrig, welche mit U₂ und U3 bezeichnet werden mögen. Zu dem Zwecke legen wir durch das Fachwerk einen Schnitt e £, welcher die Stäbe D C, EC und EEi trifft. Dann ergiebt die Momentengleichung (Drehpunkt C):

— U₃-CG — P-FG 4-1,5 P.HG = 0.

-U₃-(h-hi)-P.A- + l,5P*¥ = 0.

üs=T'h^ir-

Ferner unter Annahme von A als Drehpunkt:

- U₂ • A K + U₃ • A H + P-H F = 0.

1 P-l / 2hi

-    4 U —hi

P-l 2hi+h —hi _P-1 h + hi 4 h — hi *

Folglich:

U₂4K = |-

2 h —hi

•hi+P-T

U₂-AK

h — ln

Da AD = DC, so ist AIv = 2c, folglich:

TT P 1 h + lu

U2 = ~Fr*

Die in den Formeln auftretenden Gröfsen s, a, h, c sind wie folgt zu ermessen. Es ist:

1. s

b li

2.    a — ——f- 7c—.

4 2s

3.    ln=-|

b-1

4s'

4. c

§ 5. Der Parabolische Träger.

Der „Parabolische Träger“ ist eine Fach Werkkonstruktion, bei welcher eine Begrenzungslinie sich der Form einer Parabel nähert. Die Anwendung einer solchen Form der Begrenzungslinie hat ihren Grund in folgendem: In nachstehender Figur 8 sehen wir einen Träger, dessen untere Begrenzungslinie eine

angenäherte Parabel darstellt. Die oberen Knotenpunkte sind 9 a a & |r belastet mit je a kg. Der Träger ist mit zwei Kämpfergelenken und einem Scheitelgelenk als Auflager ausgerüstet. Auf die vier Endknoten entfällt eine

Iß Last von je ~ kg. Legen wir

uns nun einen Schnitt x x durch die Mitte des Scheitelgelenks und betrachten wir einmal die links vom Schnitt hegende Konstruktionshälfte, so linden wir, dafs, da die Konstruktionshälfte ebenfalls symmetrisch angeordnet ist, die Summe der auf die links hegenden Knoten wirkenden Kräfte 2 a = P in die Richtung des mittleren Vertikalständers fallen mufs. Von dem Scheitelgelenk C geht nun eine horizontal gerichtete Schubkraft S als Auflagerreaktion C aus, während die Auflagerreaktion A (die sich ihrerseits aus den Komponenten V und H als Resultierende ergiebt), die Schubkraft S und die resultierende Belastung P im Punkte I) schneidet. Daraus ergiebt sich ohne weiteres, dafs man, um Materialverschwendung zu vermeiden, den Träger unten durch eine Kurve begrenzen mufs, welche sich den Richtungen der Kräfte A und S möglichst anschliefst. Und eine Kurve, die diesen Bedingungen entspricht, ist eine Parabel, deren Gleichung y² = 2 p x.

Die Fachwerke von dreieckiger Grundform, wie wir sie bisher kennen gelernt haben, zeigen folgende Eigenschaft: Denkt man sich an irgend einer Stelle die Belastung vermindert oder ganz weggenommen, so erfahren hierdurch

a \ß

a yt

PC

a La

2

Figur 8.

die übrigen Stäbe des Fachwerkes keine erhöhte Spannung. Man hat also bei der Berechnung des erforderlichen Querschnitts der Stäbe einfach das Fachwerk voll belastet anzunehmen.

Bei anderen Konstruktionsformen dagegen treten in einzelnen Stäben bei teil weiser Belastung des Bauwerks höhere Spannungen auf, als bei voller Balastung.

Man hat daher bei solchen Fachwerken einen Unterschied zu machen zwischen der permanenten und der mobilen Belastung. Zu den permanenten Belastungen gehört das Eigengewicht der Konstruktion; zu den mobilen der Schneedruck, Winddruck, bei Eisenbahnbrücken das Gewicht eines Eisenbahnzuges, welcher die Brücke ganz oder teilweise bedeckt.

Um nun die zur Querschnittsberechnung dienende Spannung eines Stabes zu finden, geht man in der Weise vor, dafs man zunächst untersucht, für welche Belastungszustände die Spannung der Stange ein Maximum resp. Minimum erreicht, d. h. welche von den mobilen Belastungen entfernt werden müssen, damit die Spannung des in Frage kommenden Stabes am stärksten wird. Alsdann hat man aus den gefundenen Belastungszuständen die zugehörige Spannung selbst zu berechnen.

Um das Vorstehende näher zu erläutern, sei folgende Aufgabe gestellt:

Welches ist bei dem in Figur 9 dargestellten parabolischen Träger die ungünstigste Belastungsweise für die verschiedenen Stäbe?

Figur 9.

Zu diesem Zwecke legen wir durch die Konstruktion an beliebiger Stelle einen Schnitt aß, fügen die zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderliche Zugkraft x an und belasten hierauf den Träger etwa rechts vom Schnitt mit der Last Q.

Alsdann stellen wir in bekannter Weise unsere Momentengleichung auf

unter Annahme von 0 als Drehpunkt. Es ergiebt sich somit:

— A • s -]— x • (21 -f- f) — 0.

A-e

x-2r.R

Wie man sieht, erzeugt also eine jede rechts von der Schnittstelle auftretende Belastung einen Zug.

Belasten wir nunmehr den Träger ebenfalls links von der Schnittstelle mit Q, so ergiebt uns die Momentengleichung:

— B.(61 + e) — x-(21+.e) = 0.

Und hieraus:

B-(61 + c)

21 + e '

Jedes links von der Schnittstelle aufgelegte Gewicht erzeugt also eine Druckspannung.

Um nun das Maximum der Spannung oder die gröfste Zugspannung zu berechnen, hat man ausschliefslich diejenigen Knotenpunkte als belastet anzusehen, deren Belastung Zugspannungen in der zn untersuchenden Stange hervorrufen; um das Minimum oder das Maximum der Druckspannung zu erhalten, diejenigen, deren Belastung Druckspannungen in dem Stabe erzeugen.

Wenn wir also, wie dies Skizze 10 zeigt, aufser der genannten Last P alle rechts von dem Schnitt liegenden Knotenpunkte noch mit der mobilen Belastung Q versehen, so stellt uns dies das Maximum der Spannung dar. Wenn wir aber (Figur 11) aufser der permanenten Belastung P alle links vom Schnitt liegenden Knotenpunkte mit der mobilen Last Q belasten, so haben wir das Minimum der Spannung (eventuell das Maximum der Druckspannung).

Und Smin)

Die Werte für das Maximum und Minimum der Spannung (S lassen sich nun direkt aus den Gleichungen:

B-(61-fe)

und x =

A-e

21 + e

x~ 2 f+£

berechnen, indem man nämlich aus der ersteren die Spannung berechnet, welche die gesamten Belastungen rechts von der Schnittstelle hervorbringen, aus der

ha

ft

ha &

'•

A3

Figur 11.

Figur 10.

letzteren diejenige, welche die Gewichte links von der Schnittstelle zusammengenommen hervorbringen, worauf man alsdann die gefundenen Werte zusammen addiert.

Aufgabe: Bei einem in acht Felder eingeteilten parabolischen Träger von

Und Smin zu

16 m Spannweite und 2 m Pfeilhöhe seien die Werte für S bestimmen, wenn als permanente Belastung P = 1000 kg und als mobile

max

Belastung Q = 5000 kg angenommen wird!

In unserem Falle wird 1 = 2 m und f = 4m sich ergeben.

Wir bringen in dem vierten Felde von links einen Schnitt an; alsdann wirken rechts von der Schnittstelle vier Kräfte von der Gröfse P -j- Q = 1000 -j- 5000 = 6000 kg. Diese erzeugen an dem linken Auflager A den Gegendruck:

T—I ; GO

A = 6000

in Bezug auf B als Drehpunkt.

Die hieraus resultierende Zugspannung in der Vertikalstange ergiebt sich nunmehr aus der Gleichung:

A'e + 31

f 3000 kg.

;Sl = 7500 4

Die drei links vom Schnitt wirkenden Kräfte P = 1000 kg erzeugen bei B den Auflagerdruck B unter Annahme von A als Drehpunkt:

b = 1000

(t+t+t)-⁷⁵⁰ kg-

Das ergiebt für die Vertikalstange eine Druckspannung aus der Gleichung:

h-""B7+8T

Die gröfste Zugspannung findet man nun, indem man die beiden gefundenen Werte Si und S2 addiert:

S₂ = —750-

4 + 16 4--S- 6

1500 kg.

Smax = +. 3000 kg — 1500 kg = +1500 kg.

Die höchste auftretende Zugspannung in der Vertikalstange beträgt also 1500 kg.

Um nun das Minimum der Spannung zu finden, geht man in genau derselben Weise vor:

Die vier rechts vom Schnitt wirkenden permanenten Belastungen P = 1000 kg erzeugen bei A den Auflagerdruck:

A = 1000

(T+4+i+l)=¹²⁵⁰ kg-

Das giebt für die Vertikalstange eine Spannung:

Si = —J- 1250-

= + 500 kg.

4 + 6

Andererseits rufen die drei links von der Schnittstelle befindlichen Lasten, bestehend aus den permanenten und mobilen Belastungen P + Q = 6000 kg bei B den Auflagerdruck hervor:

B = 6000 •

(ir+T⁺ir)~4500 kg'

Die Spannung in der Vertikalstange beträgt demnach:

S₂ = —4500-

4 + 16

9000 kg.

4 + 6

Analog dem früheren erhalten wir nun die gröfste Druckspannung:

Smin = + 500 — 9000 = — 8500 kg.

Das Minimum der in der Vertikalstange auftretenden Spannung ist also 8500 kg.

§ 6. Der Parallelträger.

Für den Parallelträger greifen im allgemeinen die Bemerkungen des vorigen Paragraphen Platz.

Wollte man z. B. untersuchen, welche Spannung durch ein rechts von der Schnittstelle (Figur 12) aufgelegtes Gewicht Q in dem vierten Vertikalständer erzeugt wird, so hätte man für den links vom Schnitt liegenden Teil der Konstruktion nach Anbringung der beiden Zugkräfte x und z die Gleichung der statischen Momente aufzustellen. Als Drehpunkt müfste der Durchschnittspunkt

= 2250 kg hervor.

dieser Zugkräfte gewählt werden. Da deren Richtungen aber einander parallel sind, so liegt dieser Punkt im Unendlichen. Der Hebelarm der auftretenden Kräfte ist also unendlich grofs und die Momentengleichung lautet:

-j- A • CO -|- s • OO = 0.

Si = — A.

In derselben Weise ergiebt sich für die Spannung, welche durch eine links vom Schnitt angebrachte Belastung hervorgerufen wird:

s₂ = 4- B.

Man ersieht hieraus, dafs jede rechts von der Schnittstelle angebrachte Belastung eine Druckspannung, jede links eine Zugspannung in dem Vertikalständer erzeugt.

Die Werte für S

und Smin lassen sich nun, genau wie im vorigen Paragraphen, mit Hilfe der beiden letzten Formeln berechnen.

■>Q

,x

Figur 12.

Wir nehmen auch jetzt wiederum eine permanente Last P = 1000 kg und eine mobile Last Q = 5000 kg an. Zur Bestimmung von S dann sämtliche rechts vom Schnitt liegenden Knotenpunkte mit P, die links liegenden mit P -}- Q belastet anzunehmen.

Die rechts liegenden Lasten erzeugen in A den Gegendruck:

max

hat man

A = 1000 (4 + t + 4+¥+4)= 1875 kg-

Daher die Spannung in der Vertikalstange:

Si=— 1875 kg.

Die beiden links liegenden Lasten rufen in B den Auflagerdruck:

Si = — A.

B = 6000

(4+4)

Also die Spannung in der Vertikalstange:

S₂ = -(- B. S₂ = + 2250 kg.

Smax ergiebt sich nunmehr aus der Addition von Si und S₂:

Smax — Si + Si = — 1875 + 2250 = + 375 kg.

Umgekehrt hat man zur Bestimmung von Smin die rechts liegenden Knotenpunkte mit P + Q belastet anzusehen, die links liegenden dagegen nur mit P.

Es ergiebt sich alsdann der Gegendruck, den die fünf rechts liegenden Belastungspunkte erzeugen:

A = 11 250 kg.

Also die Spannung:

Si = — 11 250 kg.

Die zwei links liegenden erzeugen den Gegendruck:

B = 375 kg.

S₂ = + 375 kg.

Also die Spannung:

Daher ergiebt sich:

Smin = Si + S₂ = — 11 250 + 375 = —10 875 kg.

Es werde nunmehr das Gesagte an folgendem Beispiel erörtert:

Welches ist die erforderliche Stärke der Stäbe im zweiten Felde bei einer dauernden Belastung a = 2t und einer beweglichen b = 10 t pro Knoten und einer zulässigen Druckspannung von 750 atm? (Figur 13.)

Wir nehmen an, dafs der auf die Endknotenpunkte entfallende Druck nur die Hälfte der Belastung eines Knotenpunktes betrage.

Wir legen nun in bekannter Weise durch das zweite Feld der Konstruktion einen Schnitt a ß und fügen an den Schnittstellen die Zugkräfte x, y und z an.

it ä'2t

2t '2t    2 t    v2t

Figur 13.

' //

a+b a+b

,a

AI

Figur 14.

Wenn wir nun die links von der Schnittstelle liegenden Knotenpunkte mit der Last a -f- b belastet annehmen, die rechts liegenden dagegen nur mit a, so ergiebt uns die Momentengleichung (Figur 14):

1. Drehpunkt P.

+ A*1 —

Da aber A = 3(a-|-b), so ist:

+ 3(a+b)l-(~-t^

3(a + b)l + ^±F)

•1

-1 —{— x * 1 —j— 0. Daraus:

= — 3(a + b) +

(a    b) = —g - • 12 = — 30 t.

2~ (a ~\~ b).

cos 45⁰

^— A + -g- + aj 1^2.

20-/2t.

a+b \a+b

.a-fb

<r-l

Figur 15.

Wir belasten nunmehr alle ~r rechts von der Schnittstelle liegenden Knotenpunkte mit der vollen Belastung, die links liegenden dagegen mit a. (Figur 15.)

Die Auflagerreaktionen A und B ergeben sich nun wie folgt:

a+b

Drehpunkt B.

ci CM

A-61 —- -61 — a-51 —(a-f b)*(41 + 31 + 21 + 1) = 0.

6 A = 8 a + 10 (a + b).

A 8a+10(a + b)

A —    g    •

A 16 + 120 A~ 6

22,67 t.

Folglich:

B = 57 — 22,67 = 34,33 t.

Wenn wir nunmehr die Spannung y berechnen wollen, so würde hier der Schnittpunkt der oberen und unteren Gurtung, da diese parallel sind, im Unendlichen liegen. Wir ziehen es daher vor, statt dessen die vertikale Seitenkraft y«cos a — y-cos 45⁰ einzuführen und die algebraische Summe der Yertikalkräfte aufzustellen: 2 V = 0.

Wir erhalten also:

—|--a + y • cos 45⁰ = 0.

-A + 4 + a

y=

cos 45⁰

; oder da:

2. Drehpunkt I³'.

+ 3(a + b)-21 —(—±+21 — (a + b)-l

3(a + b)-2I — ++ 21 — (a + b)-l

— z • 1 = 0.

z = 4 (a —f- b) == -4- 4*12 = —J— 48 t.

y = — 19,67+2 = ~

Der Querschnitt des Stabes berechnet sich nunmehr aus der Formel:

20-|2-1000 750

Es würde ferner zu untersuchen sein, ob nicht die Knickgefahr zu einer Querschnittvergröfserung nötigt, was sich ja mit Hilfe der „Eulerschen Knickformel“:

l²

Pk

erfahren läfst.

II. Abschnitt.

Das graphische Verfahren nach Cremona.

§ 7. Theorie des graphischen Verfahrens.

zu

Wenn auch das „Rittersche Schnittverfahren“ eine höchst einfache und leicht zum Ziele führende Methode darstellt, so ist doch in manchen Fällen die graphische Ermittelung der Kräfte noch schneller ausführbar. Aus diesem Grunde soll in diesem II. Abschnitt eine Erklärung dieser Methode nebst einigen angewandten Beispielen Platz finden. Bemerkt sei hier noch, dafs es für den Studierenden vorteilhaft ist, die in diesem Abschnitt behandelten Beispiele einer rechnerischen Kontrolle mit Hilfe des Schnittverfahrens unterziehen, da durch Ungenauigkeiten in der Zeichnung kleine Fehler nicht zu vermeiden sind.

Das graphische Verfahren von Cremona beruht auf der Anfertigung eines Kräfteplanes, der nach dem Grundsatz aufgezeichnet wird, dafs, wenn alle aut ein Fachwerk wirkenden äufseren Kräfte im Gleichgewicht sind, ebenfalls die auf einen einzelnen Knotenpunkt wirkenden äufseren und inneren Kräfte sich im Gleichgewicht befinden müssen, ihnen also ein geschlossener Kräftezug entspricht.

nun weiter zum folgenden Knotenpunkt, so haben wir auch hier wieder nur zwei unbekannte Kräfte, da ja die Spannkraft desjenigen Stabes, der die beiden Knotenpunkte miteinander verbindet, bereits bekannt ist. Dies wiederholt sich bei jedem folgenden Knoten.

Man geht nun hierbei in der Weise vor, dafs man mit einem Knoten beginnt, an welchem eine nach Gröfse und Richtung gegebene Kraft an greift und in welchem aufserdem nur noch zwei unbekannte Kräfte wirken. Die Spannki äfte dieser beiden Stäbe lassen sich alsdann zeichnerisch bestimmen. Geht man

Um festzustellen, ob die in einem Stabe thätige Kraft eine Zug- oder Druckkraft ist, denkt man sich den Knotenpunkt mit seinen Kräften herausgeschnitten und bringt au den letzteren die Pfeile in dem Sinne an, wie dies

Birven, Das Faehwerk.

18

im Kräftezug angegeben ist. Ist alsdann die Richtung des Pfeiles dem Knotenpunkte zugekehrt, so haben wir es mit einer Druckkraft zu thun, im andern Falle ist es eine Zugkraft.

Besteht ein Fachwerkträger aus zwei symmetrischen Hälften, so hat man nur nötig, den Kräfteplan für die eine Hälfte aufzuzeichnen.

§ 8. Anwendung des graphischen Verfahrens.

An einem einfachen Beispiel möge das im vorigen Paragraphen Gesagte näher erläutert werden:

Die Skizze Figur 16 zeigt uns einen armierten oder verspannten Balken.# Jedes Feld sei mit P belastet, der ganze Träger also mit 2 P; davon verteilt

sich auf den Knoten C die Last P,

auf A und B je

xL

S'P

r—i

P. Jede Auf-

lagerreaktion ist gleich P, so dafs p

in A und B noch je als aufwärts gerichtete Kraft resultiert. Beginnen wir nun zur Be-² Stimmung der Spannkräfte mit dem Knoten A, so wirken hier die drei

Kräfte ~

kannt ist, so lassen sich dieselben zu einem geschlossenen Kräftezug zusammensetzen, indem man in p

einem passenden Mafsstabe die Kraft = a b parallel der Auflagerreaktion

aufträgt, alsdann durch a eine Parallele zu 0 und durch b eine Parallele zu U zieht. Schneiden sich diese Parallelen etwa in c, so stellt uns ac nach Gröfse und Richtung die Spannkraft 0, cb die Spannkraft U dar. Da ab aufwärts gerichtet ist, so ist der Umfahrungssinn b a c d und es stellt a c, da der Pfeil auf c zustrebt,‘eine Druckkraft, cb dagegen eine Zugkraft dar.

Gehen wir nun zu dem Knoten D über, so haben wir es hier ebenfalls mit drei Kräften zu thun, von denen aber nur zwei unbekannt sind. Wir erweitern also unsern Kräftezug, indem wir durch c eine Parallele zu V und durch b eine solche zu Ui ziehen, welche beiden sich in d schneiden. Alsdann stellt uns wieder die Strecke cd nach Gröfse und Richtung die Spannkraft V, d b die Kraft Ui dar.

Wir müssen nun den Zugpfeil von U in Bezug auf D einzeichnen und erhalten den Kräftezug b c d b, also für V eine Druckkraft und für Ui Zugkraft.*)

Figur 16.

u-f.

XP

, 0 und U.

Da|

be-

*) Im Kräfteplan kennzeichnet man die Drucklinien durch eine feine Doppellinie zum Unterschied von den Zuglinien.

Genau in derselben Weise hat auch die Berechnung des doppelt armierten Trägers zu erfolgen. Beispielsweise seien die Spannkräfte des in Figur 17 skizzierten doppelt armierten Trägers zu ermitteln!

Die Belastung des Trägers ist gleich 2 P, folglich, da dieselbe symmetrisch angeordnet ist, die Reaktion in den Auflagern:

A = B = P.

Genau wie im vorigen Beispiel tragen wir nunmehr eine Strecke ab = A auf, ziehen durch a die Parallele zu Oi und durch b die Parallele zu Ui. welche sich in c schneiden mögen.

In der Strecke a c haben wir alsdann die Druckkraft Oi, in der Strecke cb die Zugkraft Ui. Des weiteren finden c wir, indem wir durch c die Parallele zu V, durch b die Parallele zu U2 ziehen, auf den Knoten E wirkend die

r o;

⁷.B

■A

Figur 17.

V'

E'

Druckkraft V und die Zugkraft U₂. Gehen wir nun zum Punkte C über, so finden wir, dafs den dort wirkenden vier Kräften das bereits im Kräfteplan vorhandene Rechteck a b d c entspricht. Wir ersehen daraus, dafs sich die beiden Spannkräfte 0₂ und U₂, da sie durch dieselbe Strecke b d dargestellt werden, absolut, d. h. ohne Rücksicht auf das Vorzeichen genommen, gleich sind. Die noch übrig bleibenden Spannungen sind wegen der Symmetrie der Konstruktion den bereits gefundenen und ihnen entsprechenden gleich.

Wir erhalten also für Oi, 0₂ und OU, sowie für V und V' Druck, dagegen für Ui, U₂ und UD Zug.

4? 9. Weitere Anwendungen.

Es seien die in dem in Figur 18 skizzierten Träger auftretenden Spannkräfte graphisch zu ermitteln. Er sei belastet, wie Skizze zeigt!

Zuerst berechnen wir wieder die Stützenwiderstände. Dieselben sind, da

die Gesamtbelastung des Trägers 5P beträgt, je 2 ^ P.

u

A = B = 2 —P.

In bekannter Weise tragen wir nun A = ad im Kräfteplan auf und

Zu Punkt 1

ziehen, indem wir mit Punkt A beginnen, ae[|oi und ed||ui. übergehend, finden wir hier die Kräfte ut, Vi und u₂ tliätig, wir ziehen also efjjVi und df|ju₂.

Bei Punkt 2 haben wir fünf Kräfte, von denen aber drei, nämlich P, V und Oi, bereits bekannt sind. Wir reihen nun

an den noch offenen Zug baef o₂ und I)i an, indem wir durch b die Parallele zu o₂ und durch f die Parallele zu I>i ziehen.

Bei Punkt 3 haben wir gh| V₂ und h d j 113 zu ziehen, wodurch wir den Kräftezug dfghd erhalten.

Bei 4 haben wir es wieder mit fünf, aber nur zwei unbekannten Kräften o₃ und D₂ zu thun, die wir erhalten, wenn wir durch c eine Parallele zu 03 und durch h eine solche zu D2 ziehen. Kräftezug eihgbe.

Um die nun noch unbekannte Spannkraft V3 zu ermitteln, gehen wir zweckmäfsig zu Punkt 6, wo wir die Kräfte P, 03, o₃' und V3 haben. Wir . ziehen wieder ik parallel V3 und c'k parallel 03'. Kräftezug cc'kic.

Wir ersehen, dafs die Druckkraft V3 = P wird.

■>

k*

*•

Ex.

tt,

Ug

*)

V₃

U₃

Figur 18.

Die Kräfte auf der rechten Hälfte sind den ihnen entsprechenden auf der linken gleich, brauchen daher nicht besonders ermittelt zu werden.

Wenn wir, wie dies in der Skizze geschehen, die Zugkräfte durch einfache und die Druckkräfte durch doppelte Linien erkenntlich machen, so finden wir, dafs sämtliche Stäbe der oberen Gurtung, also 01,02,03 u. s. w., desgleichen die Vertikalständer \T, V2, V3 u. s. w. gedrückt, dagegen die Stäbe der unteren Gurtung 111,112,113 u. s. w., sowie die Diagonalstäbe Di,I)₂ u. s. tv. gezogen werden.

§ 10. Der Parallel träger.

Als nächstes Beispiel sei ein Parallelträger gewählt, der, wie die Skizze zeigt, belastet ist. (Figur 19.)

Der in nebenstehender Figur 19 gezeichnete Träger ist belastet durch 6 P. Auf jeden zwischen den Auflagern befindlichen Knotenpunkt wirkt die Kraft P, P

auf die Endknoten jö-^-

Es ergiebt sich dann für die Auflagerreaktionen:

A = B = 2-

-P.

*) Die Buchstaben h und i in Figur 18 sind zu vertauschen.

Aus der Gleichgewichtsbedingung des Punktes A ergiebt sich V = A -f- — P

2

= 3P und ui = Null. Wir sehen also, dafs der Ständer V den ganzen Auflagerdruck aufzunehmen hat, der Stab ui also, ohne die Konstruktion zu beeinträchtigen, fehlen könnte. Der eigentliche Stützpunkt des Fachwerkes ist demnach im Punkte A' zu suchen, was in gleicher Weise von B' für die andere Seite gilt. Die Aufzeichnung des Kräftezuges, bei welcher mit A' begonnen wird, bietet im übrigen keine Schwierigkeiten, so dafs aus der Figur 19 alles zu ersehen ist.

iP

A'

«2.

iP

LP

iP

iP

B'

J3

V₃

Pa.

If

Kr- -

- -U₂-----i

Figur 19.

Wir erhalten somit als Kräftezug:

für Punkt    1    defd;

„    2    a b g f e a;

„    3    dfghd;

„    4    bcihgb.

Die mittlere Vertikale V₃ überträgt, wie aus Knoten 5 ersichtlich, ebenfalls keine Spannung; sie ist also theoretisch überflüssig.

Desgleichen zeigt uns der Kräfteplan, dafs sämtliche Horizontalstäbe der oberen Gurtung, sowie die Vertikalständer eine Druckspannung erleiden, dagegen die Stäbe der unteren Gurtung nebst den Diagonalstangen eine Zugkraft übertragen.

§ 11. Zahleiiniäfsig durchgef&hrtc Beispiele.

Beispiel 1: Ein dreifach verspannter Träger, dessen Länge 1 = 12 in ist, sei in den Knoten des Obergurtes belastet mit je 4000 kg. Die Länge der mittleren Vertikalen sei gleich 2,4 m. (Figur 20.)

Als passende Mafsstäbe seien gewählt:

Längenmafsstab: 1-| cm = 2 m. Kräftemafsstab: 1 cm = 1500 kg.

Nach Ausführung des Kräfteplanes, der in gewohnter Weise aufgezeichnet wird, ergeben sich folgende Werte:

Der Obergurt und die Yer-tikalständer erhalten Druck, der Untergurt und die Diagonalen Zug.

Oi =02 = 14500 kg Ui =15 600 U₂ = 10 400 „

Vi = 4000 „

V₂ = 8 000 „

D = 5 800 „

A eooo

(-

--Ö---if-

14000

4000

bOOOO

tu

B 6000

Uz

P-Wm

Uy

P-2O0O

ff?

I)

u;

ff

Figur 20.

Beispiel 2: Ein Gitterträger, wie ihn Figur 21 veranschaulicht, ruht bei A und B auf Säulen. Seine Spannweite beträgt 12 m. Die Entfernung der Knoten A', 2, 4 u. s. w. beträgt je 1,5 m. die Höhe des Trägers 0,75 m. Seine Belastung ergiebt sich aus der Zeichnung. Es sind die Spannkräfte sämtlicher Stäbe graphisch zu ermitteln! Dabei soll das Eigengewicht der Konstruktion Berücksichtigung finden.

Als Längenmafsstab wählt man zweckmäfsig 1:100, als Kräftemafsstab 1 cm = 750 kg.

Das Eigengewicht der Konstruktion läfst sich natürlich nur annähernd angeben, dasselbe sei hier mit 800 kg in Rechnung gesetzt. Wir sind berechtigt, dasselbe als gleichmäfsig über die ganze Länge des Trägers verteilt anzusehen und zwar bilden auch hier die Knotenpunkte der oberen Gurtung die Angriffspunkte desselben. Die obere Gurtung besteht aus acht Feldern, also ist die 800

= 100 kg. Die sieben zwischen den Endknoten gelegenen

Knotenpunkte erhalten also je 100 kg, die beiden Endknoten A' und B'je 50 kg des Eigengewichtes.

Belastung pro Feld

,/Ö90

zwo

zooo

;sooo

mo

so

,100

*00

\/00

50

u₃

U, / Ug

Figur 21.

Die Auflagerreaktionen sind:

A = B =

9700

= 4850 kg.

Druckkräfte.

Aus dem Kräfteplan*) erhalten wir alsdann die Spannkräfte: V = 4 850 + 1550 = 6400 kg Oi = 4 850 kg 0₂ = 14 450 „

0₃ = 20 950 „

04 = 24 250 „

Ui = Null U₂ = 9 700 kg U₃ = 19 200 „ Zugkräfte.

U4 = 22 500 „

Us = 25 600 „

Di = D₂ = 6860 kg I)₃ = I)₄ = 6720 „

D₅ = D₆ = 2333 „

D₇ == Dg = 2192 „

Die Diagonalen D₂ D4 Du Dg erleiden Druckspannung.

Die Diagonalen Di D₃1)₅ D₇ erleiden Zugspannung.

§ 12. Weitere Aufgaben.

Beispiel 1: Es seien die in den einzelnen Balken eines Perrondaches auftretenden Spannungen zu ermitteln. Die Höhe desselben betrage 3 m. die

*) Der Kräfteplan zu Figur 21 ist wegen Mangels an Raum nicht aufgezeichnet.

horizontale Entfernung der Knotenpunkte je 1.4 m und die Belastung eines mittleren Knotenpunktes 1200 kg. Als Mafsstäbe seien gewählt:

Längenmafsstab: 1:100. Kräftemafsstab: 1 mm = 100 kg.

Lösung: In unserem Falle haben wir es mit gleichmäfsig verteilten Lasten und mit einer konstanten Entfernung der Knotenpunkte von einander zu thun. Es wird sich daher auch die Belastung der mittleren Knotenpunkte als eine gleichmäfsige ergeben. Da dieselben je 1200 kg betragen, so folgt für die Endknotenpunkte A und J:

= 600 kg.

-JO

tl

JO

fi-J

P--600

600

72 MO

JJ

P-/20O

0/

oo

P-J200

J200

J6

J2

WO

P- 7200

P - 600

~/,Jl -

Figur 22.

Bei der Aufzeichnung des Kräfteplanes geht man wieder in der Weise

P

vor, dafs man die wirksamen äufseren Kräfte in der Reihenfolge

JLI

in vertikaler Richtung aufträgt und alsdann mit Knotenpunkt A beginnt.

Man konstruiert daselbst aus

P

ppp~

, j. , x , x , g 1 und 2 ein Kräftedreieck a c g, geht

dann zu Punkt F über, wo aufser den bekannten Kräften P und 2 noch 3 und 4 wirken. Dieselben setzt man zu dem Kräfteparallelogramm c d h g zusammen. Punkt G liefert uns den Kräftezug dekilid u. s. w. bis zum letzten Knoten J.

Die nachfolgende Tabelle ergiebt die mit Hilfe des Kräftemafsstabes ermittelten Spannungen:

a) Druckkräfte. 1 = 1150 kg 3 = 1050 „

6    = 2150 „

7    = 1550 „

10    = 3250 „

11    = 2050 „

14    = 4250 „

15    = 2100 „

b) Zugkräfte. 2 = 1350 kg

4    = 1350 „

5    = 1500 „

8    = 2550 „

9    = 1900 „

12    = 3750 „

13    = 2250 16 = 4900 „

*

I

1

4

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