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Querschnitts* Dimensionierung und Spannungsermittlung

für

Eisenbetonkonstruktionen

Von

DipL-Ing. Emanuel Haimovici

Leipzig

2. vermehrte und verbesserte Auflage

Mit 12 Abbildungen im Text' 18 Rechnungsbeispielen und 2 Lichtdrucktafeln

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Leipzig

Verlag von H. A. Ludwig Degener

Bihlioteka Politechniki Krakowskiej

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Querschnitts-Dimensionierung und Spannungsermittlung

für

Eisenbetonkonstruktionen

Von

Dipl.-Ing. Emanuel Haimovici

Leipzig

2. vermehrte und verbesserte Auflage

Mit 12 Abbildungen im Text, 18 Rechnungsbeispielen und 2 Lichtdrucktafeln

SffeHäiolaffll Arbeite

Cy9/ 3 ;

Verlag von H.A. Ludwig Degener

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::    Alle Rechte Vorbehalten,    ::

auch das der Übersetzung in fremde Sprachen.

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Akc. Nr.

Vorwort zur zweiten Auflage.

Nicht dem Drange, die reichhaltige Eisenbetonliteratur um ein Werk zu vermehren, ist das Erscheinen vorliegender, textlich wesentlich erweiterten zweiten Auflage der diesem Werkchen beigegebenen, in erster Auflage vergriffenen Tafeln zuzuschreiben, sondern der Bewährung derselben in der Praxis.

Zweck des Werkchens ist, wie schon aus der Überschrift desselben hervorgeht, die am häufigsten vorkommenden Aufgaben der Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung auf zeichnerischem Wege, an Hand von Rechnungsbeispielen, in leichter, einfacher und rascher Weise zu lösen. Der Wandel den die diesbezüglich geltenden amtlichen Berechnungsvorschriften durchgemacht haben, ist auf die Verwendung und Brauchbarkeit der Tafeln ohne Einfluß geblieben, da letztere unabhängig von der Spannweite und Belastungsart aufgebaut sind.

Möge vorliegendes Werkchen dem im Büro und in der Praxis mit der Berechnung und Prüfung von Eisenbetonkonstruktionen betrauten Ingenieur ein nützlicher Wegweiser sein.

Leipzig, im Oktober 1913.

Der Verfasser.

Inhaltsübersicht.

Seite

Vorwort.

Erster Abschnitt: Graphische Darstellung der Formeln zur Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung bei auf Biegung beanspruchten Eisenbetonkonstruktionen mit .einfacher Armierung. Erläuterungen zum Gebrauch der Diagramme Abb. 1 und 2

und der Lichtdrucktafeln 1 und 2..........

Anwendungsbeispiele Nr. 1, 2, 3 und 4 nebst Kontrollrechnungen 7

Schlußbemerkungen . ...............

Zweiter Abschnitt: Graphische Darstellung der Formeln zur Querschnittsdemensionierung und Spannungsermittlung bei auf Biegung beanspruchten Eisenbetonkonstruktionen mit doppelter Armierung. Erläuterungen zum Gebrauch der Diagramme Abb. 3 und 4 17 Anwendungsbeispiele Nr. 5 und 6 nebst Kontrollrechnungen . 20

Schlußbemerkungen................

Dritter Abschnitt: Graphische Darstellung der Faustformeln zur Berechnung von auf Biegung beanspruchten Eisenbetonkonstruktionen.

Erläuterungen zum Gebrauch des Diagramms Abb. 10 ... 24 Anwendungsbeispiele Nr. 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 und 14 nebst

Kontrollrechnungen...............

Vierter Abschnitt: Graphische Darstellung der Formeln zur Berechnung von Eisenbetonsäulen.

a)    Ohne Berücksichtigung der Querarmierung.

Erläuterungen zum Gebrauch des Diagramms Abb. 11    . . 36

Anwendungsbeispiele Nr. 15 und 16.........

b)    Mit Berücksichtigung der Querarmierung (Um-

schnürter Beton).

Erläuterungen zum Gebrauch des Diagramms Abb. 12 . . 39 Anwendungsbeispiele Nr. 17 und 18

14

21

28

38

43

Anhang:

1.    Auszug aus den preußischen Ministerialbestimmungen vom

46

24. Mai 1907 nebst Nachtrag vom 22. April 1913 betr. die Ausführung und Berechnung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten..............

2.    Tabellen für zugehörige Werte der statisch nutzbaren Höhe, der erforderlichen Eisenmenge und der Lage der Neutralfaser für Eisenbetonplatten, Balken und Plattenbalken.

50

a)    Einfache Eiseneinlage (Zugeisen)........

b)    Doppelte Eiseneinlage (Zug- und Druckeisen) ... 51

3.    Tabelle der Durchmesser, Gewichte und Querschnitte der

52

Rundeisen..................

4.    Tabelle für die Momente und Querkräfte frei aufliegender

54

und eingespannter Träger.............

5.    Tabellen für die Momente und Querkräfte kontinuierlicher

Träger ....................

Erster Abschnitt.

Graphische Darstellung der Formeln zur Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung bei auf Biegung beanspruchten Eisenbetonkonstruktionen mit einfacher Armierung¹).

(Hierzu 2 Lichtdrucktafeln.)

Mit Benutzung der vom Verfasser herausgegebenen „Graphischen Tabellen und graphisch dargestellten Formeln“²) sind in den beigegebenen Tafeln 1 und 2 bezw. in den Diagrammen⁸) Abb. 1 und 2 die Formeln

und -r-7-

bh₀

bh₀²

graphisch dargestellt und soll deren Anwendung an Hand von Rechnungsbeispielen vorgeführt werden.

Der Nachweis der Übereinstimmung der Ergebnisse nach dem graphischen Verfahren mit denen nach den Formeln der „Bestimmungen“ des preußischen Ministeriums der öffentlichen Arbeiten und den „Leitsätzen“ des Deutschen Beton-Vereins und Verbandes Deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine ist in dem oben be-zeichneten Werke (Abschnitt II, S. 37—47) erbracht.

In den nachstehenden Anwendungsbeispielen sollen beide Rechnungsarten einander gegenüber gestellt werden.

x) Vgl. den gleichnamigen Aufsatz des Verfassers in der Deutschen Bauzeitung, Mitteilungen über Zement, Beton- und Eisenbetonbau Nr. 15/1906.

²) Vgl. die von Prof. Mörsch in der unter x) genannten Zeitschrift in Nr. 13/1906 veröffentlichte Besprechung der „Graphischen Tabellen“.

s) Die im Text in ¹j₃ Verkleinerung der Originaltafeln wiedergegebenen Diagramme sind mit Rücksicht auf die Reproduktionsmöglichkeit nach verschiedenen Richtungen hin vereinfacht worden.

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12 .

1,25

Abb. 1.

cre = 1000 kg/qcm.

Zunächst sei noch einiges über die Einrichtung und den Gebrauch der Tafeln vorausgeschickt.

Mit Hilfe der Tafeln lassen sich leicht, rasch und genau die im Eisenbetonbau hauptsächlich vorkommenden Aufgaben der Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung lösen. Zu unmittelbaren Ablesungen sind die Tafeln für eine Ausnutzung der Eisenzugspannung ae = 1000 kg/qcm (Tafel 1) bzw. <re = 1200 kg/qcm (Tafel 2) bei dem Elastizitätsmaß n = Ee: Eb = 15 eingerichtet. Dieselben sind jedoch für jedes beliebige ae zu gebrauchen, sowie für jedes beliebige n, wie am Schlüsse dieses Abschnittes bemerkt ist. (Bemerkungen a—#.)

Die Tafeln sind mit einem Millimeternetz versehen, so daß das Ziehen von Wagrechten und Lotrechten erspart bleibt und eine hinreichende Interpolation ermöglicht ist.

1.    Auf der Mittelwagrechten der Tafeln sind Werte

— von 0,08 bis 0,33 und Werte <sb in kg/qcm von 10

“o

bis 60 aufgetragen.

2.    Oberhalb und unterhalb der Mittelwagrechten ist je eine Kurvenschar der Werte ab in kg/qcm von 10 bis 100 und zwar von kg zu kg aufgetragen. Im Schnittpunkte der Lotrechten durch „p“ mit den Wagrechten durch die am

-y (von Obis - = f (von 0

bh₀

Rande der Tafeln aufgetragenen Werte ^

p

12,5 oberhalb der Mittel wagrechten) bezw.

bis 1,25 unterhalb der Mittel wagrechten) ist auf der Kurvenschar der Wert ab unmittelbar oder durch Interpolation abzulesen. Dies gilt für x <^d, ae = 1000 bezw. 1200 kg/qcm und n = 15.

3. Oberhalb und unterhalb der Mittelwagrechten ist je eine Kurve aufgetragen mit der Bezeichnung: Ordinaten „l:^²“ bezw. Ordinaten „f“ zu den Abszissen „abu für x<Jd. Lotet man den Schnittpunkt der Wagrechten durch

bezw.

die oben genannten Werte

bh₀² fx

bh₀

= f mit

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Abb. 2.

<re = 1200 kg/qcm.

den soeben bezeichneten Kurven der Ordinaten „l:,a²“ bezw. der Ordinaten „f“ auf die Mittelwagrechte der Tafeln, so liest man hier den Wert <rb unmittelbar oder durch Interpolation ab. Dies gilt für x d, o-e = 1000 bezw. 1200 kg/qcm und n = 15.

4.    Ob x^d ist, besagen die oberhalb und unterhalb

der Mittelwagrechten aufgetragenen Kurven mit der Bezeichnung: Grenzkurve der Abszissen „p“ und Ordinaten „1 :/n²“ bezw. Ordinaten „f“ für welche x d = ch₀ = ph₀. Fällt der Schnittpunkt der Lotrechten durch „p“ mit den Wagrechten durch „1 :/.t²“ oder „f“ innerhalb des Flächenstreifens zwischen Mittelwagrechter und Grenzkurve, auf die Grenzkurve selbst oder außerhalb derselben, so ist x kleiner, gleich oder größer als „d“. Je nachdem x größer oder kleiner als d ist, was sofort bei Beginn der Lösung der gestellten Aufgabe mühelos ersichtlich ist, wird man sich der unter 2. erwähnten Kurvenschar <rb, oder der unter

3. erwähnten zwei Kurven bedienen.

Ist x = d = ph₀, was auch sofort ersichtlich ist, so ist es gleichgültig, welcher der Kurven man sich bedient, da in diesem Falle die Ergebnisse identisch werden müssen.

5.    Die Bestimmung von x selbst geschieht am besten mit Hilfe der oberhalb und unterhalb der Mittelwagrechten aufgetragenen beiden Kurven mit. der Bezeichnung: Ordinaten „c“ zu den Abszissen „crb“ für x = ch₀. Zieht man im Schnittpunkte der Lotrechten durch die auf der Mittelwagrechten aufgetragenen Werte ab mit den soeben bezeichneten Kurven „c“ eine Wagrechte bis zum Rande der Tafeln, so liest man hier den Wert „c“ unmittelbar oder durch Interpolation ab und zwar im Maßstabe der Ordinaten

„1 : [i2u. Dies gilt für x ^ d, <re = 1000 bezw. 1200 kg/qcm und n = 15.

Die Ermittlung von x kann auch mit Hilfe der Kurvenschar ab und der Grenzkurve geschehen. Lotet man den Schnittpunkt einer der ab - Kurven (bis zur Kurve ab — 40) mit der Grenzkurve auf die Mittelwagrechte, so liest man hier den Wert p = c unmittelbar oder durch Interpolation ab, mithin x = ph₀ = chn.

Der Wert „c“ ist auch mittels Rechenschieber leicht bestimmt als

<* + T

mithin x = ch₀.

Nach diesen Erörterungen und mit Hilfe der in den Tafeln 1 und 2 bezw..« in den Diagrammen Abb. 1 und 2 bezeichneten Linienzüge I und II sowie der dortselbst (in den Abb. unten links) eingeführten Bezeichnungen für:

h₀= Statisch nutzbare Konstruktionshöhe einer Platte oder eines Plattenbalkens bis zum Mittelpunkt bezw. Schwerpunkt der auf Zug beanspruchten Eiseneinlagen Fe gerechnet,

b = Statisch zulässige bezw. nutzbare Druckgurtbreite,

d = Plattenstärke des mit b₀ breiten Rippen ausgebildeten Plattenbalkens,

x = Abstand der Neutralfaser von der äußersten Druckgurtfaser,

e = Einbettungstiefe der Eiseneinlagen Fe vom Mittelpunkt bezw. Schwerpunkt derselben bis zu der der äußersten Druckgurtfaser entgegengesetzt liegenden äußersten Kante gerechnet dürfte die Aufgabe der Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung für ein an einer beliebigen Stelle einer Platte oder eines Plattenbalkens infolge von äußeren Belastungen wirkendes Biegungsmoment M leicht verständlich sein.

Rechnungsbeispiel 1. (Linienzug I auf Tafel 1 bezw. Abb. 1 zu verfolgen.)

Gegeben: M = 2500000 cmkg,

b = 250 cm, h₀ = 45 cm, d = 15 cm, <re = 1000 kg/qcm.

Gesucht: trb in kg/qcm, Fe in qcm, x in cm.

Fe = f • b ♦ h₀ = 0,555 • 2,5 • 45 = 62,5 qcm. [Gewählt: 3 0 36 mm -f- 3 0 37 mm mit Fe = 62,8 qcm, b₀ = 30 cm und h = h₀ -f- e = 45 -|- 5 = 50 cm gesamte Konstruktionshöhe.]

Der Abszisse ab = 33,3 auf der Mittelwagrechten entspricht die Ordinate c = 0,333, mithin

x = ch₀ = 0,333 • 45 = 15 cm = d.

Die Umkehrung des Rechnungsvorganges führt zur Ermittlung der Spannungen wie folgt:

Man bildet (wobei b in m einzusetzen) zunächst den Wert

Fe

0,555 = f

62,5

bh₀ 2,5 • 45 d 15

und

und

Man bildet zunächst den Wert M 2500000

bh₀² 250-452 d 15

= 4,93 =

fl*

45 — 0,333 p

Wie unter 4. erörtet, ist sofort zu ersehen, daß der Schnittpunkt der Lotrechten durch p = 0,333 mit der Wagrechten durch —L- = 4,93 gerade auf die Grenzkurve (etwas

fi“

über Zeichnungsrand) fällt, mithin x = d ist.

Wie unter 3. erörtert, lotet man den Schnittpunkt der

4,93 mit der Kurve der Ordinaten

Wagrechten durch —^

1: fi* auf die Mittelwagrechte und liest hier öb = 33,3 kg/qcm unmittelbar oder durch Interpolation ab.

Der Lotrechten, durch <tb = 33,3 nach unten verlängert und mit der Kurve der Ordinaten f geschnitten, entspricht die Wagrechte durch

Fe

bh₀

0,555 — f

bei einer Druckgurtbreite b = 100 cm. Mithin wird für b = 250 cm

h₀ — ₄₅ —°.³³³ —P

Mit Hilfe der Grenzkurve ist sofort zu ersehen, daß der Schnittpunkt der Lotrechten durch p = 0,333 mit der Wagrechten durch f = 0,555 gerade auf die Grenzkurve (etwas über Zeichnungsrand) fällt, mithin x = d ist.

Lotet man den Schnittpunkt der Wagrechten durch f = 0,555 mit der Kurve der Ordinaten f auf die Mittelwagrechte, so liest man hier tfb = 33,3 kg/qcm unmittelbar oder durch Interpolation ab.

Der Lotrechten, durch ab = 33,3 nach oben verlängert und mit der Kurve der Ordinaten 1 : ^ geschnitten, entspricht die Wagrechte durch

bh₀³

4,93 =

Ist das abgelesene indentisch mit dem gegebenen,

so sind die Spannungen identisch mit <re= 1000 kg/qcm und öb = abgelesenen crb. Ist dies nicht der Fall, dann sind die Spannungen mit einer einzigen Einstellung auf dem Rechenschieber leicht bestimmt, denn es verhalten sich:

Abgelesenes

Abgelesenes <rb

tfe = 1000

Wirklichem <rb

Wirklichem ae

Gegebenem

Die Bestimmung von x geschieht wie vor, und zwar mit dem aus der Tafel abgelesenen tfb oder mittels Rechenschieber als

öb

I

^b + —

h₀ = ch₀

Zusammenstellung des Rechnungsvorganges.

a) Nach dem graphischen Verfahren:

Gegeben: M = 2500000 cmkg, b = 250 cm, h₀ = 15 cm, ffe = 1000 kg/qcm.

Gesucht: crb in kg/qcm, Fe in qcm, x in cm.

2500000

bho² ' 250 • 45²

4 93 — ’ ’ h

1]o

15

. _ — 0,333 45

x < d, db = 33,3 kg/qcm.

Fe

bh₀

= 0,555, Fe = 0,555 • 2,50 • 45 = 62,5 qcm, c = 0,333, x = 0,333 • 45 = 15 cm — d,

b) Nach den Bestimmungen und Leitsätzen:

Gegeben: M = 250000 cmkg, b = 250cm, h₀ = 45cm, d = 15 cm, Fe = 62,5 qcm.

Gesucht: x in cm, <re in kg/qcm, <rb in kg/qcin.

"H-'+V

f"~ 6 1 2 3 « ff 6 ? ff 5 «F tt

2-b-h₀

n • Fe

"H-'+V

15-62,5

250

l-'+v

2 - 250 • 45

15-62,5

2500000

+ 1 f = 15 cm.

Fe (h°    5")

62,5

(«-¥)

1000 kg/qcm.

<?b

tfe * X

1000- 15

n • (h₀ — x) 15- (45 — 15)

= 33,3 kg/qcm.

Umkehrung der Aufgabe in gleicher Weise zu lösen, wie erörtert.

Rechnungsbeispiel 2. (Linienzug II auf Tafel 1 bezw. Abb. 1 zu verfolgen.)

Gegeben: M = 2 700 000 cmkg,

b — 250 cm, h₀ — 48 cm, d = 12 cm, ffe = 1000 kg/qcm.

Gesucht: ab in kg/qcm, Fe in qcm, x in cm.

Man bildet zunächst den Wert

2700000

= 4,70 = -V

bh₀² ~~ 250 - 482 d 12 h₀ 48 ~

Wie unter 4. erörtert, ist sofort zu ersehen, daß der Schnittpunkt der Lotrechten durch p = 0,25 mit der Wag-

und

0,25 = p.

rechten durch —5- = außerhalb der Grenzkurve fällt, somit

x >> d ist. In demselben Schnittpunkte ist auch, wie unter 2. erörtert, aus der Kurvenschar ab die zugeordnete Kurve (Tb = 33,3 getroffen, mithin liest man <rb = 33,3 kg/qcm unmittelbar oder durch Interpolation ab. Der Lotrechten durch p = 0,25 nach unten verlängert und mit der Kurve ab = 33,3 geschnitten, entspricht die Wagrechte durch

Fe

bh₀

0,521 = f

bei einer Druckgurtbreite b = 100 cm. Mithin wird für b = 250 cm

Fe = f • b . h₀ = 0,521 • 2,5 • 48 = 62,5 qcm. [Gewählt: 3 0 36 mm -J- 3 0 37 mm mit Fe = 62,8 qcm, b₀ = 30 cm und h = h₀ -f- e = 48    5 = 53 cm

gesamte Konstruktionshöhe.]

Der Abscisse <rb = 33,3 kg/qcm auf der Mittelwagrechten entspricht die Ordinate c = 0,333, mithin

x = ch₀ = 0,333 • 48 = 16 cm > d Die Umkehrung des Rechnungsvorgangs führt zur Ermittlung der Spannungen wie folgt:

Man bildet (wobei b in m einzusetzen ist) zunächst den Wert 62,5

Fe

0,521 = f

bh₀ 2,5 • 48 d 12

₄₈_°,²5 = p.

Mit Hilfe der Grenzkurve ist sofort zu ersehen, daß der Schnittpunkt der Lotrechten durch p = 0,25 mit der Wagrechten durch f — 0,521 außerhalb der Grenzkurve fällt, somit x > d ist. In demselben Schnittpunkte liest man aus der Kurvenschar die Kurve <rb = 33,3 kg/qcm unmittelbar oder durch Interpolation ab. Der Lotrechten durch p = 0,25 nach oben verlängert und mit der Kurve ab = 33,3 geschnitten, entspricht die Wagrechte durch

4,70 = -V

M²

und

ho

bh₀²

Ist das abgelesene -^-identisch mit dem gegebenen,

so sind die Spannungen identisch mit ae = 1000 kg/qcm und Cb = abgelesenen o-b. Ist dies nicht der Fall, dann sind die Spannungen mit einer einzigen Einstellung auf dem Rechenschieber leicht bestimmt; denn es verhalten sich:

Abgelesenes Gb

(fe= 1000

Abgelesenes -i-

li

Wirklichem ffe

Wirklichem <rb

Gegebenem

Die Bestimmung von x geschieht wie vor, und zwar mit dem aus der Tafel abgelesenem oder mittels Rechenschiebers als

°e

Ob

o-b+ —

h₀ = ch₀

Zusammenstellung des Rechnungsvorganges.

a) Nach dem graphischen Verfahren: Gegeben: M = 2 700000 cmkg, b = 250 cm, b = 48 cm, ae = 1000 kg/qcm.

öb in kg/qcm, Fe in qcm qcm, x in cm.

= 4,70, x-

Gesucht:

Fe

M    2 700000

bh₀² 250 -48²

x>d, o-b = 33,3 kg/qcm.

12

h₀ 48

0,25

bh₀

= 0,521, Fe = 0,521 • 2,50 • 48 = 62,5 qcm. c = 0,333, x = 0,333 • 48 = 16 cm.

b) Nach den Bestimmungen und Leitsätzen:

Gegeben: M = 2 700000 cmkg, b = 250 cm, h₀ = 48 cm, d = 12 cm, Fe = 62,5 qcm.

Gesucht: x in cm, <re in kg/qcm, crb in kg/qcm.

16cm

2(15-62,5 + 250- 12)

^ 2. n • Fe h₀ + b • d² 2 • 15.62,5 -48 + 250-122 X~ 2 (n • Fe + b • d)

<*e =

Fe • (h₀ — a)

Fe-

f, d 3x —2d\

V>—3" 27=?)

2 700000

62,5-

fAQ 12 3- 16-2-12

V⁴⁸“T

1000 kg/qcm.

öb =

ae • x

2-16—12

1000-16

33,3 kg/qcm.

n • (h₀ — x) 15- (48 — 16)

Umkehrung der Aufgabe in gleicher Weise zu lösen, wie erörtert.

Rechnungsbeispiel 3. (Linienzug I auf Tafel 2 bezw. Abb. 2 zu verfolgen.)

Da der Text wörtlich genau derselbe wie bei Rechnungsbeispiel 1 ist, sei daher nur die Zusammenstellung des RechnungsVorganges wiedergegeben.

a) Nach den graphischen Verfahren:

Gegeben: M = 3 000 000 cmkg, b = 250 cm, h₀ = 45 cm, d = 15 cm, <re = 1200 kg/qcm.

(rb in kg/qcm, Fe in qcm, x in cm.

3 000000

Gesucht:

bh₀² 250 • 45²

5,91,

d 15

Fe

—.= 0,333 h₀ 45

(Tb = 40,0 kg/qcm.

bh₀

- = 0,555, c = 0,333,

x d

Fe = 0,555 • 2,50 - 45 = 62,5 qcm. x = 0,333 - 45 = 15

b) Nach den Bestimmungen und Leitsätzen: Gegeben: M = 3 000 000 cmkg, b = 250 cm, h₀ — 45 cm, d = 15 cm, Fe = 62,5 qcm.

Gesucht: x in cm, cre in kg/qcm, in kg/qcm.

2 • b • h₀

n • Fe

15-62,5 ( 250    |

-1 +

2 • 250 • 45

ö’e

15 • 62,5 3000000

-f-1 [ = 15 cm.

Fe (h₀— )    62,5-

W| x

= 1200 kg/qcm.

ö'b

Oe • X

1200- 15

n • (h₀ — x)

40 kg/qcm.

15.(45-15)

Umkehrung der Aufgabe genau wie bei Rechnungsbeispiel 1

erörtert.

Rechnungsbeispiel 4. (Linienzug II auf Tafel 2 bezw. Abb. 2 zu verfolgen).

Da der Text wörtlich genau derselbe wie bei Rechnungsbeispiel 2 ist, sei daher nur die Zusammenstellung des RechnungsVorganges wiedergegeben.

a) Nach dem graphischen Verfahren:

Gegeben: M = 3 240 000 cmkg, b = 250 cm, h₀ = 48 cm, d = 12 cm, oe = 1200 kg/qcm.

Gesucht: <7b in kg/qcm, Fe in qcm, x in cm.

M 3 240000 bh₀2 — 250 • 48²

5,64,

d 12

h₀ 48    0,25

x > d, ob = 40 kg/qcm.

Fe

bh₀

0,521, Fe = 0,521 • 2,50 • 48 = 62,5 qcm. c = 0,333, x = 0,333 • 48 = 16 cm.

b) Nach den Bestimmungen und Leitsätzen. Gegeben: M = 3 240000 cmkg, b = 250 cm, h₀ = 48 cm, d — 12 cm, Fe = 62,5 qcm.

Gesucht: x in cm, <rb in kg/qcm, oe in kg/qcm.

2-15-62,5.48 + 250.122 2(15.62,5 + 250-12)

= 16 cm

2 • n • Fe * h₀ -f- b • d2 X =    2 (n • Fe H- b • d)⁻

Oe

Fe * (h₀ a) Fe-(h0 3 240000

d 3 x — 2 d\

3‘ 2x — d J

62,5-

(AO 12 3-16 — 2.12 \ ⁸    3" *

= 1200 kg/qcm

Ob

Oe * X

2-16—12

1200-16

40 kg/qcm

n - (h₀ — x) 15.(48—16)

Umkehrung der Aufgabe genau wie bei Rechnungsbeispiel 2 erörtert.

Zusammenstellung der Rechnungsergebnisse.

Beispiel

M in cmkg

b in cm h₀ in cm d in cm

d :h₀

z°W ■ W

ab in kg/qcm

Fe : bh₀

Fe in qcm

<re in kg/qcm

x = ch₀ in cm

h in cm

2 500 000    250    45 15 0,333    93    33,3    0,555    62,5    1000    0,333    15<d

2    700 000    250    48    0,250    70    33,3    0,521    62,5    1000    0,333 16> d

3    000 000    250    45    0,333    91    40,0    0,555    62,5    1200    0,333 15< d

3 240 000    250    48    0,250    64    40,0    0,521    62,5    1200    0,333    16>d

to

in

rf    in IO

50

53

50

53

Aus den vorgeführten vier Beispielen nebst Umkehrung der Aufgaben, sowie aus obiger Zusammenstellung lassen sich nachstehende wichtige Bemerkungen folgern:

a) Mit Hilfe der Tafeln ist jede zu stellende Aufgabe aus den acht Größen M, b, h₀, d, x, Fe, ab drei derselben zu bestimmen, wenn die fünf anderen gegeben sind, leicht und rasch zu lösen.

ß) Soll statt ae = 1000 bezw. 1200 kg/qcm oe beliebig ausgenutzt werden, bilde man den Wert

bh₀²

M 1000 bezw. 1200 ae beliebig

und verfahre mit dem so gewonnenen Werte genau wie im Beispiel I oder II erörtert. Zu dem abgelesenen ab bleiben alsdann die abgelesenen Werte für „f“ und „c“ genau dieselben als wenn man ae= 1000 bezw. 1200 kg/qcm ausgenutzt hätte. Das wirkliche ffb ist, (nachdem f und c abgelesen sind) zu rechnen als:

oe beliebig

1000 bezw. 1200

wirkliches ob = abgelesenes ab •

je nachdem man zu unmittelbaren Ablesungen die Tafel 1 für o'e = 1000 kg/qcm bezw. die Tafel 2 für oe = 1200 kg/qcm benutzt.

y) Sollen ab = beliebig und oe = beliebig ausgenutzt

werden, bilde man den Wert (ab) = ab beliebig •

1000 bzw. 1200 ab beliebig

und verfahre mit dem so gewonnenem Werte genau wie unter 2. und 3. erörtert, zur Bestimmung des Wertes

(^)

M 1000 bezw. 1200 bh₀² oe beliebig ’

woraus das wirkliche p = sich ergibt.

ho

d) Ist oe beliebig < 1200, z. B. oe= 1000, dann ist bei Benutzung der Tafel 2 für oe = 1200 kg/qcm der Wert

(*)

1,2

bh₀

M 1200 bh₀² ‘ 1000

c und f zu dem diesem Werte zugeordneten, d. h. zum abgelesenen ob sind genau dieselben wie für oe = 1200 kg/qcm; das wirkliche ab ist gleich dem abgelesenen ab geteilt durch 1,2 oder

Wirkliches ab = abgelesenes ab •

1000

1200

also ist für oe •< 1200 bei Benutzung der Tafel 2 das wirkliche ab stets kleiner als das abgelesene ab und für oe >> 1000 bei Benutzung der Tafel 1 das wirkliche ab stets größer als das abgelesene ab.

e) Handelt es sich blos um Bestimmung von Eisenmengen bei einer Ausnutzung von oe = beliebig statt cre = 1000 bezw. 1200 kg/qcm, kann man genau so verfahren, wie in den Beispielen I und III, bezw. II und IV vorgeführt, also wie wenn oe = 1000 bezw. 1200 kg/qcm auszunutzen wäre und multipliziert zum Schluß die so errechnete Eisen-

. So z. B. sind für

menge mit dem Faktor

1000 bezw. 1200

oe beliebig

= 1,2, also um 20 v. H. zu ver-

Eisenmengen mit

oe — 1000 kg/qcm (statt 1200) die auf Tafel 2 fürde = 1200 kg/qcm abgelesenen Werte f bezw. die damit errechneten 1200

1000 mehren. Die wirklichen Betonspannungen sind jeweilen aus dem abgelesenen ob, welches dem oben erwähnten

(~2~) entspricht, als ab •

zu errechnen.

ae beliebig

1000 bezw. 1200

£) Soll n = beliebig statt n= 15 in Rechnung gestellt

werden, dann bediene man sich der Werte —— •

n beliebig

ß²

15

15

zu multiplizieren;

n beliebig

und verfahre genau so wie in den Beispielen I und III bezw. II und IV vorgeführt. Das zu dem abgelesenen (jb abgelesene f ist mit dem Faktor

wirkliches <jb = abgelesenes <rb

15

n beliebig

(7

rj) Ist im allgemeinen = 80, dann verfahre man ge

nau wie in den vorgeführten Beispielen; allein das wirkliche

1000 bezw. 1200

ffe

f ist gleich dem abgelesenen f mal

So z. B. gilt die Tafel 1 mit oe = 1000 kg/qcm für: n = 10,0, oe = 800 kg/qcm, bezw. beliebig; wirkl. f = abgelesenes f • 1,25,

n = 12,5, oe — 1000 kg/qcm, bezw. beliebig; wirkl. f = abgelesenes f • 1,00,

n = 15,0, ae = 1200 kg/qcm, bezw. beliebig; wirkl. f = abgelesenes f • 0,833

und die Tafel 2 mit <je = 1200 kg/qcm für: n = 10,0, ae = 800 kg/qcm, bezw. beliebig; wirkl. f = abgelesenes f • 1,50,

n = 12,5, ffe = 1000 kg/qcm, bezw. beliebig; wirkl. f = abgelesenes f • 1,20,

n = 15,0, ffe = 1200 kg/qcm, bezw. beliebig; wirkl. f = abgelesenes f • 1,0.

d) Für die in der Praxis häufig vorkommenden Spezialfälle ergeben sich bei den Spannungsverhältnissen

ffe

20 bis 50 800 bis 1200

die im Anhang 2 a) aufgeführten wichtigen Zahlen werte zur unmittelbaren Bestimmung von h₀ und Fe. Es sei daher auf diese tabellarisch zusammengestellten Werte besonders verwiesen.

Zweiter Abschnitt.

Graphische Darstellung der Formeln zur Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung bei auf Biegung beanspruchten Eisenbeton-Konstruktionen mit doppelter Armierung.¹)

In Übereinstimmung mit den „Leitsätzen“ des „Deutschen Beton-Vereins“ und „Verbandes deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine“ und den „Bestimmungen“ des preußischen Ministeriums der öffentlichen Arbeiten sind in den beigegebenen Diagrammen Abb. 3 und 4 und den Bezeichnungen in Abb. 5 die zur Querschnittsdimensionierung und Spannungsermittlung bei auf Biegung beanspruchten Eisenbeton-Platten bezw. -Balken mit doppelter Armierung geltenden Formeln dargestellt, welche bei gegebenen Spannungen Ob und oe die erforderlichen Zug- und Druck-Eiseneinlagen, bezw. bei gegebenen Fe und F'e die auftretenden Spannungen leicht und rasch zu ermitteln gestatten. Diese Formeln lauten in abgekürzter und analog aufgebauter Form:²)

Fe =    • -r- -f- kx • bh₀

bo

k₂ • bh₀

Fe

0)

(2)

Fe

toi X

; Z = Fe <re. D = <xb b ;

Rechnungsbeispiele

(h₀—x) (h₀—e') n ; wobei a'e = ab •

Z-D

x—e' , 1N

ebendaselbst sowie in „Beton und Eisen“ Heft 1, 1907, Seite 22 und in Haimovici, Der Eisenbetonbau, Seite 114.

F'e

ae

p-

3-    §- s-

g-

&    & a-

{.*

\%

nn¹

•§-

Diagramm, für ff.

«HO*

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0t,

1021

S-

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-<3-

0£-3O

008-

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006-

II

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Abb. 5.

OQU

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jsit)___ab_ub____9i'o ab titb si-'o_liq__ui) it) ro'o

Abb. 3.

om-

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ii-

Diagramm für Jt₂.

909)

■³ß

i-

teert

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oeel

\tsob \ Mf-'z

AsaDz

Abb. 4.

i-

!i

V#

lt

und haben, mit Bezug auf den dargestellten Balken-Querschnitt, nur dann Gültigkeit, wenn x < d (was bei doppelter Armierung stets wirtschaftlich erscheint, weil dadurch eine möglichst große Betondruckkraft und eine möglichst geringe Druck-Eiseneinlage erzielt wird), e' = ¹I₁₀ h₀ (was bei Platten und Balken bis zu h₀ = 60 cm in der Praxis zutreffen dürfte, n = Ee:Eb=15 und M in mkg, b in m und h₀ in cm eingesetzt werden.

Die Koeffizienten Vi bezw. v₂ sind Abszissen bezw. Ordinaten der im Diagramm (Abb. 3) aufgetragenen Strahlen ob: oe = 1 : a — 1 : 10 bis 1:40; die Koeffizienten -f- ki bezw. — k₂ sind Ordinaten der im Diagramm (Abb. 4) aufgetragenen Abszissen crb: cre = 1 : « = 1:10 bis 1 : 40. Die in Abb. 3 kräftig gezogenen Lotrechten stellen die Eisenzugspannung ae = 400 bis 1600 kg/qcm (in der Originaltafel von 50 zu 50 kg, hier nur von 100 zu 100 kg) dar, so daß im Schnittpunkte einer Lotrechten oe mit einem Strahl 1: a die Beton-

druckspannung crb

sich ergibt. Auf diese Weise sind

die Kurven db= 15 bis 50 kg/qcm (in der Originaltafel von 5 zu 5 kg, hier nur von 10 ztt 10 kg) in Abb. 3 eingetragen worden und die Schnittpunkte für die Spannungs-40    40

ffe 1200’ 1000

(Tb

40

Verhältnisse zeichnet⁸).

Rechnungsbeispiel 5. Ermittlung der erforderlichen Zug- und Druck-Eiseneinlagen⁷).

und

800

besonders gekenn-

⁶)    Für diese Spannungsverhältnisse sind die Koeffizienten Vi—0,0926, 0,1111 und 0,1386; v₂ = 0,2834, 0,2706 und 0,2594 bezw.: +k, = 0,00685, 0,0208 und 0,0509; — k₂ = 1,679, 1,776 und 1,905.

⁷)    Wann und wo entsprechend den auftretenden Biegungsmomenten

M

Druckeiseneinlagen erforderlich sind, besagen die Formeln

Ergibt sich derart, daß die vorgeschriebenen Spannungen über-

f* 2

schritten werden, dann sind Druckeisen erforderlich. (Siehe Diagramm Abb. 1 und 2 bezw. Tafel 1 und 2.

Gegeben sind: M = 20000 mkg, b = 1,5 m, d = 15 cm, h₀ = 45 cm, e' = ¹\ ₁₀ h₀ = 4,5 cm, ab = 33,33 kg/qcm, ae — 1000 kg/qcm.

Gesucht werden: Fe und F'e in qcm.

Für

33,33    1

(7e

1000    30

entnimmt man den Abb. 3 bezw.

4 die Koeffizienten vx = 0,1111, v₂ — 0,340 bzw. -)- kx = 0,00685, — k₂ = — 1,679, so daß

Fe =0,1111 Fe = 0,340.^

^ h0 =

f 0,00685 • 1,5 • 45 = 49,38 + 0,46 — 49,84 qcm

1,679 • 1,5 • 45 = 151,11 — 113,33 = 37,78 qcm 33,33

1000

•45 = 0,333*45 = 15 cm,

³³,³³-+ ₁₅

O e - (7b •

x — e'

-(n —

x v

1) =33,33-

15 — 4,5

₁₅    • 14=223 kg/qcm

Rechnungsbeispiel 6. Ermittlung der auftretenden Spannungen³).

Gegeben sind: M = 785,83 mkg, b = 1,0 m, d = 15 cm, h₀ = 13,5 cm, e' = ¹/₁₀ h₀ = 1,35 cm, Fe = 7,07 qcm, F'e = 4,6 qcm.

Gesucht werden: (7b und oe in kg/qcm, xincm, o'e in kg/qcm.

Wie aus Beispiel 1 ersichtlich, liefert das Glied mit kx aus der Gleichung für Fe einen sehr geringen Betrag, welcher zur Ermittlung der Spannungen vernachlässigt werden kann. Man erhält somit für Fe== 7,07 qcm:

7,07 = Vl.

, woraus vx = 0,121.

785,83

13,5

Der Abszisse v± = 0,121 entsprechen verschiedene Ordinaten v₂ • Näherungsweise nimmt man für zwei (höchstens

drei) Spannungsverhältnisse 1 : a die zu w₁ entsprechenden Ordinaten v₂ bezw. — k₂, und rechnet mit diesen die Werte

(F'e)=v₉-7^- — k₂ • bh₀, die im allgemeinen⁴) mit dem ge-ho

gebenen F'e nicht übereinstimmen werden. Aus den Überschüssen Fe — (Fe) wird man durch rechnerische oder zeichnerische Interpolation dasjenige Spannungsverhältnis l:a leicht ermitteln können, für welches Fe = (Fe). Damit sind auch die Spannungen ab und oe unmittelbar oder durch Interpolation auf der Tafel abzulesen

h₀; o'e = ab

(?b =

Oe

Ob

I Oe

°b + T

x — e' 1N -(n —1)

x v

Für vx = 0,121 und 1 : a = 1 : 35 entsprechen v₂ = 0,45 und —k₂ = — 1,605, somit

785,83

(Fe) =0,45-

13,5

— 1,605- 1 • 13,5 = 4,6 qcm = F'e und

920

ffe — 920 kg/qcm (interpoliert), ob — ^

26,3 kg/qcm,

x = 4,05 cm, o\ — 246 kg/qcm.

Schlußbemerkungen. a) Strahlen 1 :a, Lotrechte o-e und Kurven ob lassen sich mit Hilfe der Tafel leicht interpolieren bezw. fortsetzen.

ß) Für e' <C¹,/ioh₀ (was bei Balken mit h₀ über 60 cm zutrifft) lassen sich ähnliche Tafeln wie die hier beigegebenen leicht herstellen mit Hilfe der unter Fußnote ⁵) angegebenen Formeln; für x >> d verwendet man häufig die genaueren

Formeln ¹⁰) des unter gleicher Fußnote erwähnten Werkes oder die aus denselben abzuleitenden Formeln (1) und (2) unter Berücksichtigung verschiedener Verhältnisse d : h₀. Z. B. für d : h₀ = 0,25, e' = 0,1 h₀ und ab : oe — 40: 1200 wird mit

= 0,0926 •

h„

Vernachlässigung der Stegdruckspannungen : F,

und F'e

= 0,2835 -jf- — 1,595 • b h₀.

“o '

y) Für überschlägige Rechnungen genügt es schon bei ffb: ffe = 40:1200 bezw. 40 : 1000,

Fe = 0,0926 •

h₀

bezw.

Fe = 0,1111 •— zu rechnen, alsdann ho

^—für x <C d, bezw.

2    — für x >> d, woraus

sich ergibt, wobei

Z = Fe • und D — (7b • b •

Fe

D = ob • b • d • Z —D

o'e

x —e' ,v -(n —1)

x v '

G e — ö"t)

ist. Man erhält dadurch die Werte für Fe und F'e etwas größer als die nach den genaueren Formeln für x

ergebenden und erforderlichen Eisenmengen.

4) Dividiert man die anfangs angegebenen Formeln für

Fe und F'e durch bh₀, so gehen dieselben über in

M - .    .

kx und

d sich

Fe

F'e

bh₀

bh₀‘²

bh₀

V₂ •

bh₀^

k₂.

¹⁰) Fe

M—+b4-(2x-d) (a % ²

-e')

(h₀ — e') (h₀ — x) n

D = <rb • b • d •

F'e

7 — D    x — e'

wobei a'e =    (n — 1)

° e    A

M Fe

Aus diesen Formeln ist zu ersehen, daß sich leicht Tafeln herstellen lassen (ähnlich der beigegebenen) welche für konstantes oe und variables ob die Beziehungen zwischen

bezw.

F'e

darstellen.

bh₀

bh₀²’ bh₀

40

die im Anhang 2 b) aufgeführten

und

e) Für die in der Praxis häufig vorkommenden Spezialfälle (z. B. für Zwischenwände bei Silos, Wasserbehältern, Klärgruben usw., sowie für Platten und Balken mit beiderseits gleich großer Zug- und Druckarmatur, ferner für Auflagerstellen kontinuierlicher Platten und Balken mit einer Zugarmatur gleich der 1 fachen, l,5fachen bezw. 2fachen Druckarmatur) ergeben sich bei den Spannungsverhältnissen ob 40    40

800

<7e

1200’ 1000

wichtigen Zahlenwerte zur unmittelbaren Bestimmung von h₀ und Fe bezw. F'e. Es sei daher auf diese tabellarisch zusammengestellten Werte besonders verwiesen.

Dritter Abschnitt.

Graphische Darstellung der Faustformeln zur Berechnung von auf Biegung beanspruchten Eisenbetonkonstruktionen.¹¹)

Mit Bezug auf die in den Abb. 6 bis 9 eingetragenen Bezeichnungen und das in den deutschen und österreichischen amtlichen Vorschriften vorgeschlagene Berechnungsverfahren für auf Biegung beanspruchte Eisenbetonkonstruktionen, lassen sich bekanntlich für gegebene Spannungsverhältnisse <ib: <?e die im ersten Abschnitt graphisch dargestellten Beziehungen

/'i²

bh₀

bh²₀

zwischen dem Biegungsmoment M bezw. der erforderlichen Zugeisenmenge Fe und der dem Balken oder der Platte zugeordneten Druckbreite b und statisch nutzbare Höhe h0 ableiten.¹²) Aus diesen beiden Beziehungen lassen sich Faustformeln zur sofortigen Ermittlung der Spannungen und Abmessungen, insbesondere der erforderlichen Zugeisenmenge, wie folgt, herleiten.

Bildet man nämlich den Quotienten

Fe

1)

f _ bh₀ Feh₀

b h²₀

so erhält man für Fe die Gleichung

Fe — ß ' ~r

h₀

2)

u) Vgl. den gleichnamigen Aufsatz des Verfassers in der Rundschau für Technik und Wirtschaft Nr. 20/1910.

¹²) Vgl. Haimovici, „Graphische Tabellen“ und „Der Eisenbetonbau“. Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Einzusetzende Einheiten: M in mkg, h₀ in cm, b in m, Fe in qcm.

In dem hier beigegebenem Diagramm Abb. 10 sind die für die Spannungen ab = 20 bis 50 kg/qcm (von 5 zu 5 kg)

K-

1 Fe

■*- • -«-jf- •

K    A₀-or

Abb. 6.

A F,

>■*

r_J?

u ß

StA

w-

Abb. 7.

«-3 —p—

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Abb. 8.

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t. -S—L

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<*&-> z i »-*

Abb. 9.

und ae = 800 bis 1200 kg/qcm (von 50 zu 50 kg) berechneten ^ und ß zeichnerisch dargestellt. Die stark aus-

Werte

bh²₀

gezogenen Kurven stellen die Beziehungen zwischen ab, oe

bh²₀ '

und ß, die gestrichelt ausgezogenen diejenigen zwischen — und ß dar. Die mit Interpolations-Strahlen be-

zeichneten und punktierten Linien dienen zur linearen Interpolation der im Diagramm nicht unmittelbar abzulesenden Zwischenwerte für oe.

Das Diagramm dient sowohl zur Ermittlung der erforderlichen Abmessungen, als auch der auftretenden Beanspruchungen, und es hat zunächst rechnerisch genaue Gültigkeit für Platten und Plattenbalken mit einfacher Eiseneinlage, solange x<^d ist. Wie jedoch aus den vorgeführten Rechnungsbeispielen hervorgeht, kann das Diagramm auch zur Ermittlung der erforderlichen Eisenmenge bei Plattenbalken, für welche x>d ist, ferner bei Platten und Plattenbalken mit doppelter Eiseneinlage verwendet werden, wenn der Abstand e' vom Mittelpunkt der Druckeiseneinlage bis zu der auf Druck beanspruchten äußersten Betonfaser gleich einem Zehntel der statisch nutzbaren Höhe h₀ angenommen wird, wenn also e' = 0,1 h₀ ist.

Da für verschiedene Spannungsverhältnisse ab : oQ ein und dieselben Werte ß entsprechen, so müssen, zwecks eindeutiger Ermittlung der Abmessungen bezw. Beanspruchungen,

die diesen Verhältnissen zugeordneten Werte

bh²₀

^ berück-

sichtigt werden. Mit Hilfe der Werte ß und

kann

bh²₀

man im Diagramm sofort ersehen, ob die Beanspruchungen oberhalb, unterhalb oder nahe der zulässigen Grenzwerte liegen. Von diesem Standpunkte bietet das Diagramm, insbesondere dem prüfenden Beamten, eine wesentliche Erleichterung und Zeitersparnis gegenüber der amtlichen Berechnungsweise bei der Prüfung vorschriftsmäßiger Berechnungen.

Für Werte, die außerhalb des Diagramms fallen, sind die Abmessungen meistens unwirtschaftlich; man kann jedoch das Diagramm noch benützen, allerdings mit ge-

r

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Q^inXg/ycm* 15    20 ZS 30    35 W 45 SO

Abb. 10.

i

ringem Fehler, indem man die dargestellten Kurven geradlinig verlängert.¹⁸)

Vorstehende Erörterungen mögen durch einige Rechnungsbeispiele nebst Kontrollrechnungen nach der amtlichen Berechnungsweise erläutert werden.

Rechnungsbeispiel 7. (Linienzug I verfolgen). Platte mit einfacher Eiseneinlage. (Abb. 6).

Gegeben: M = 550 mkg, b = 1,0 m, h₀= 11,5 — 1,5 = 10,0 cm, oe = 950 kg/qcm.

Gesucht: Fe in qcm, ab in kg/qcm, x in cm.

Lösung:

550

bh²₀

5,5. Hierzu entsprechen

1,0- 10,0 -³

bei o'e = 950kg/cm, <jb=35,0 kg/qcm und ß—0,120. Mithin nach Gleichung (2):

Fe = ß • t— =0,120

550

6,60 qcm.

10,0

Der Wert von x berechnet sich aus der Grundgleichung:

h₀

n (h₀ — x)

ZU X

Somit x =

35

950

l ffe

Ob+ —

10 = 3,56 cm.

³⁵ + 15

Kontrollrechnung:

15-6,6 |    i/

~iöö~ ⁺

2-100- 10,0

15-6,6

Ob =

2-55000

100 • 3,56

(io,o

$■)

-j- 1 | = 3,56 cm. = 35,0 kg/qcm.

Oe =

55 000

6,6

10,0 —

¥■)

= 950 kg/qcm.

ls) Der im Diagramm bei <xb = 35 kg/qcm enthaltene Knick rührt

daher, daß die Schnittpunkte zugehöriger Koordinaten ß und —

bezw. <rb für ein und dasselbe <re zwischen ab = 20—35 und ffb = 35—50 nahezu auf je einer geraden Linie zu liegen kommen.

Rechnungsbeispiel 8. (Linienzug II verfolgen). Plattenbalken mit einfacher Eiseneinlage. (Abb. 7).

Gegeben: M = 8750 mkg, b = l,5m, h₀ = 40— 4 = 36 cm, d = 11,5 cm, (je == 1000 kg/qcm.

Gesucht: Fe in qcm, ab in kg/qcm, x d in cm.

8750

Lösung:

4,5. Hierzu entsprechen

bh²₀ 1,5 -36 bei <7e=1000kg/qcm, ffb=31,3kg/qcm, und/?=0,1115.

8750

Somit Fe = 0,1115 ^

27,1 qcm.

31,3

1000

36 = 11,5 cm = d.

31,3+    ₁₅

Kontrollrechnung:

15-27,1

150

i-+v:

2- 150-36

15-27,1

-J- 1 [ = 11,5 cm.

(7b =

2-875 000

¥-)

= 31,2 kg/qcm.

150-11,5 (36-875 000

27,1 (36 - ii?.)

Rechnungsbeispiel 9. (Linienzug III verfolgen). Plattenbalken mit einfacher Eiseneinlage. (Abb. 7).

Gegeben: M = 8750 mkg, b = 1,5 m, h₀ = 40 — 4 = 36 cm, d = 11,5 cm, Fe = 24,5 qcm.

Gesucht: <Jb in kg/qcm, x d in cm.

8750 1,5 • 36-2

Lösung:

(Tb =

bh²₀

ß = 24,5 •

36

8750

1000 kg/qcm.

4,5 und

= 0,1010.

Hierzu entsprechen:

(Jb = 32,5 kg/qcm und <je — 1100 kg/qcm.

32,5

1100

• 36 = 11,1 cm <d.

32,5 +    ]5

Kontrollrechnung: 15-24,5

150

{-■+v

2-150-36

15-24,5

4- i

-11,1 cm.

2 • 875 000

150- 11,1

(36

4)

= 32,5 kg/qcm.

875 000

24,5

(36

4)

1100 kg/qcm.

Rechnungsbeispiel 10. (Linienzug IV verfolgen). Platte mit einfacher Eiseneinlage.¹⁴) (Abb. 6).

Gegeben: M=785,83mkg, b = 1,0m, h₀= 15—l,5=13,5cm, F =7,07 qcm.

Gesucht:    in kg/qcm, Ge in kg/qcm, x in cm.

785,83

Lösung:

bh²₀ 1,0-13,5-

4,31 und

ß — 7,07 •

13,5

785,83

0,1215

Hierzu entsprechen durch Interpolation: ob = 29,5 kg/qcm und <re = 925 kg/qcm. 29,5

925

. 13,5 = 4,37 cm.

²⁹-⁵+T5

(Die lineare Interpolation für <re geschieht mit Hilfe des zwischen je zwei dargestellte Kurvenpaare einzuziehenden Trapezes ab cd und zwar auf der Lotrechten durch cd. VgL im Diagramm das Interpolationstrapez zwischen ae = 900 und;

^ = 4,31, ferner zwischen <re = 800 und 850 für

einige auf einem eingezogenen Interpolationsstrahl befindlichen.

Werte ^

950 für

bh‘²₀

bh²₀

)-

¹⁴) Die Beispiele 10, 11 und 13 sind den „Leitsätzen“ des D. B. V.. entnommen.

Kontrollrechnung ergibt

x = 4,39 cm, ob = 29,7 kg/qcm, ffe = 923 kg/qcm.

Rechnungsbeispiel 11. (Linienzug IV verfolgen.) Platte mit doppelter Eiseneinlage¹⁴). (Abb. 8.)

Gegeben: M = 785,83 mkg, b = 1,0 m, h₀ = 15 — 1,5 = 13,5 cm, ffb = 26,25 kg/qcm, oe = 918 kg/qcm,, e' = 1,5 cm.

Gesucht: Fe in qcm, F'e in qcm, a'e in kg/qcm.

785,83 1,0- 13,5 —⁵ 6 7

kg/qcm¹⁸) (925 ang.) entspricht ß — 0,1215, mithin: Erford. Zugeisen

Fe = 0,1215 •

26,25

Lösung: Für

bh₀²

785,83

13,5

= 4,31 und a'e = 918

7,07 qcm.

26,25 +

918

• 13,5 = 4,05 cm.

15 -

Zugkraft Z = Fe • oe — 7,07 - 918 = 6500 kg.

Druckkraft D = ffb • b ~

= 26,25-100 ■

4,05

—y— = 5310 „ Z — D = 1190 kg.

ff e'= 26,25

•15 = 248 kg/qcm,

4,05—1,5

4,05

mithin: Erford. Druckeisen

Fe'

Z —D 1190

ffe'

248

4,8 qcm.

Kontrollrechnung¹⁴) ergibt

für Fe = 7,07 qcm und Fe' = 4,71 qcm: x = 4,05 cm, ffb = 26,25 kg/qcm, ffe = 918 kg/qcm, o e' = 248 kg/qcm.

Rechnungsbeispiel 12. Plattenbalken mit doppelter Eiseneinlage. (Abb. 9.)

Z —D 16000

= 38 qcm.

Gegeben: M= 17 500 mkg, b = l,5m, h₀ = 40— 4 = 36 cm, d = 15 cm, (jb = 40 kg/qcm, oe = 1000 kg/qcm, e' = 4 cm.

Gesucht: Fe in qcm, Fer in qcm, x<J d in cm, <+ in kg/qcm.

17500 1,5 • 36-²"

cre = 1000 kg/qcm¹⁵) entspricht ß — 0,1160, mithin: Erford. Zugeisen Fe = 0,1160 •    = 56,5 qcm.

40

• 36 = 13,5 cm < d

Lösung: Für

bh₀

= 9,0 und

1000

⁴⁰+ 15

Zugkraft D = Fe ■ <re = 56,5 • 1000 = 56500 kg. v    13 5

Druckkraft D = <rb • b ~ = 40 • 150 •

40500 „

ö¹ e' ⁼⁼ 40 •

13,5 —

13,5

mithin: Erford. Druckeisen

Z - D = 16000 kg. — • 15 = 422 kg/qcm,

422

Kontrollrechnung: x² -f- 2 • 15 • x -

56,5 -f 38

15

150

2.^(36.56,5 + 4.38)

oder x² + 18,9 x — 437,4 = 0. Hieraus wird x = 13,5 cm.

Ob =

6 • 1750000 • 13,5

150-13,5 —² (3 * 36 — 13,5) + 6 • 38 • 15 (13,5 — 4) (36—4) = 39 kg/qcm (statt 40).

O'e

39 (36— 13,5) 15

13,5

975 kg/qcm (statt 1000)

39(13,5 — 4) 15

= 411 kg/qcm (statt 422). Wäre x >> d, z. B. d = 12 cm und x = 13,5 cm, wie vor,

13,5

Aus Z = D ergibt sich der Wert für <rb zu: 2 • 20 • 45270    _ , ,

ffb = 170(2.20-10)10 = ³⁵’5 kS/qCm'

Kontrollrechnung:

2- 15 -54 >50,3 + 170-10-

2 (15 • 50,3 -f- 170 • 10)

= 20 cm.

2 178000

50,3

(54

3.20 — 2 • 10    10\

' 3 )

2-20—10

= 880 kg/qcm (statt 900)

34,5 kg/qcm (statt 35,5)

Ob =

880 • 20

15 (54 — 20)

Hieraus ist zu ersehen, daß, wenn man das Diagramm für Plattenbalken mit x > d benutzt, ohne Rücksicht auf das

Verhältnis — die Beanspruchungen nach der amtlichen Be-“0

rechnungsweise geringer sind, als die nach dem Diagramm ermittelten, oder daß die errechnete Zugeisenmenge etwas größer ist als erforderlich. Ferner ist es klar, daß auch anderswie gestellte Aufgaben, von den sieben Größen M, b, h₀, x, Fe, öb und <re drei derselben zu ermitteln, wenn die vier übrigen bekannt sind, mit Hilfe des Diagramms leicht und rasch zu lösen sind. Eine häufig vorkommende Aufgabe ist die der Ermittlung der statisch nutzbaren Höhe h0 und der erforderlichen Eisenmenge Fe, insbesondere für Deckenplatten mit einfacher Eiseneinlage, bei voller Ausnützung der zulässigen Grenzspannungen ab und cre. Hierfür möge noch die Umkehrung des in Beispiel 7 vorgeführten Rechnungsganges an Hand eines Zahlenbeispieles erörtert werden.

Rechnungsbeispiel 14. (Linienzug I in umgekehrter Richtung verfolgen).

550 mkg, b = 1,0 m, = 35 kg/qcm, <re — 950 kg/qcm.

Gesucht: h₀ in cm, Fe in qcm, x in cm.

Gegeben: M

Lösung: Für ab = 35 und <re = 950 entsprechen 5,5 und ß = 0,\20. Mithin

bh²₀

550

1,0 • 5,5

= 10,0 cm, h = 10,0 -f-1,5 = 11,5 cm.

550

Fe = 0,120 • - jöq = ⁶»⁶ 9cm.

35

950

• 10,0 = 3,56 cm.

³⁵ + 15

dann ist Z = Fe • <re und D⁸) = ab • b •

2x — d

d, alsdann

D = 40- 150-

Somit Z = 56,5 • 1000 = 56500 kg. 2- 13,5— 12

2- 13,5

* 12 — 40000 „

Z — D = 16500 kg,

tfe' = 422 kg/qcm wie vor. 16500

Mithin Fe'

422

39,2 qcm.

Rechnungsbeispiel 13. Plattenbalken mit einfacher Eiseneinlage¹⁴). (Abb. 7.)

Gegeben: M = 21780 mkg, b = 1,70 m, h₀=54cm, d = 10cm^ <re = 900 kg/qcm.

Gesucht: Fe in qcm, (rb in kg/qcm, x >> d in cm.

21780

bh\~ 1,70-54-2 entspricht ß — 0,1250, mithin:

Lösung: Für

4,4 u. de = 900 kg/qcm⁹)

Erford. Zugeisen Fe =0,1250 •

²¹⁷⁸⁰

—54— = 50,3 qcm.

10

⁵⁴-T

10

170-10 ¹ 2

20 cm¹⁰) >« d.

15-50,3

Zugkraft Z = Fe - de — 50,3 • 900 = 45270 kg.

2x—

Druckkraft D = db • b •

- - d = 45270 kg⁸).

Vierter Abschnitt.

Graphische Darstellung der Formeln zur Berechnung von Eisenbetonsäulen.

a) Ohne Berücksichtigung der Querarmierung.

Gemäß den amtlichen Bestimmungen berechnet sich bekanntlich die zulässige Tragkraft P in kg einer auf zentrischen Druck beanspruchten Eisenbetonsäule, wenn mit ab die zulässige Betondruckspannung in kg/qcm, mit Fb der volle Betonquerschnitt in qcm und mit Fe der Gesamtquerschnitt der eingebetteten Längseisen bezeichnet wird, unter Berücksichtigung des Elastizitätsmaßes n = 15, aus der Gleichung:

1)

P = o'b (Fj) -fnFe)

oder hieraus:

2)

o'b =

Fb + n Fe

Bildet man das Verhältnis

Fe

Fb

und bezeichnet dieses

oder mit anderen Worten, drückt man den Eisenquerschnitt Fe in v. H. des Betonquerschnittes Fb aus, als:

? F 7T7T Fb

mit

100

Fe

3)

100

so erhält man mit Einsetzung dieses Wertes für Fe in Gleichung 1):

4)

5)

P = o'b (1 -f- 0,15 (f) Fb oder hieraus, mit Einführung des Wertes a = o'b (1    0,15 (f):

P = a Fb

Diese sehr einfache und wichtige Beziehung zwischen P, a und Fb gestattet mit Hilfe des dargestellten Diagramms (Abb. 11) die Lösung der gestellten Aufgaben der Bemessung und Spannungsermittlung in leichter und rascher Weise. Von den fünf Größen: P, Fb, tfb, und a lassen sich stets zwei derselben ermitteln, wenn die drei übrigen bekannt sind. Zu diesem Zwecke ist das Diagramm derart eingerichtet, daß im Schnittpunkte der Lotrechten durch die Abszissen „y“ mit der Wagrechten durch die Ordinaten „a“ sich jeweilen der zugehörige Wert der in Form eines Strahlenbüschels dargestellten Betondruckspannung „ab“ er-

SS 80 15

K>

6o

55

5o

t<£J-

■ir

Iz

40

t⁵

~jt

io ii    Aß^ZoJIJaJtI*Ji3ts 4.9 Ti JiO vJt,

Abb. 11.

gibt, und zwar entweder durch unmittelbare Ablesung oder durch lineare Interpolation, da die dargestellte Linienschar für ö-b = 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 und 60 kg/qcm für jeden Wert von q> = 0 bis 5 v. H. gleichbleibende Abstände aufweist. Hiernach kann die Interpolation nach allen Richtungen, also auch für höhere und niedrigere Beanspruchungen sowie für höhere und niedrigere prozentuale Eiseneinlagen, als dargestellt, geschehen.

Wenngleich die Ermittlung der Abmessungen und Spannungen bei zentrisch beanspruchten Säulen gemäß den amtlichen Bestimmungen keinerlei Schwierigkeiten bereitet, so bietet das beigegebene Diagramm dennoch eine wesentliche Erleichterung zur Ermittluug des erforderlichen Beton- und Eisenquerschnittes, wenn die Spannungsgrenze und die Bewehrung in v. H. des Betonquerschnittes gegeben sind.

Vorstehende Erörterungen mögen noch durch zwei Rechnungsbeispiele erläutert werden. Die Beispiele sind derart gewählt, daß mit Rücksicht auf die Möglichkeit der Wiedergabe des Diagramms¹¹) unmittelbare Ablesungen der gesuchten Größen erfolgen.

Rechnungsbeispiel 15. (Linienzug 1 verfolgen.)

Gegeben: P== 195250 kg, Ob — 40 kg/qcm

Gesucht: Fb in qcm und Fe in qcm

Fe

Fb

2,5

100

also (f = 2,5 v. H.

Lösung:    Für y = 2,5 und crb = 40 entspricht im Diagramm

a = 55, mithin aus Gleichung 5):

P 195250    ,

— = —^— = 3550 qcm und aus

Gleichung 3):

<P F 100 Fb

Gewählt wird Fb als Quadrat von 60X60 cm mit 5X5 cm abgefaßten Ecken, so daß

Fb = 60 • 60 —

Erforderliches Fb

Erforderliches Fe

2,5

100

3550 = 88,75 qcm.

, 5-5 ⁴* 2

oder als reguläres Sechs- oder Achteck mit entsprechend gleich großer Querschnittsfläche und Fe = 4 Rundeisen 37 mm -J- 4 Rundeisen 38 mm mit zusammen 88,37 qcm Querschnittsfläche.

In allen Fällen ist die Eisendruckspannung ae= 15 * crb.

3550 qcm,

Rechnungsbeispiel 16. (Linienzug 2 verfolgen.) Gegeben: P = 133875 kg

. 5-5 ⁴—

2975 qcm

Fb = 55 ■ 55 —

Fe = 8 Rundeisen 30 mm mit 56,55 qcm Fe-100

Fb — = 1,9 v. H.

also =

Gesucht: <rb in kg/qcm und cre = 15 • <?b.

Lösung: Aus Gleichung 5) ergibt sich:

45

Fb

133875 2975 ~~

Für (f = 1,9 und a = 45 entspricht im Diagramm <rb = 35 kg/qcm, mithin ae= 15-35 = 525 kg/qcm.

Es ist klar, daß auch anderswie gestellte Aufgaben mit Hilfe der Gleichung 5) und des Diagramms leicht und rasch zu lösen sind²⁰).

b) Mit Berücksichtigung der Querarmierung (Um-schnürter Beton).

Nach dem Runderlaß des preußischen Ministers der öffentlichen Arbeiten vom 18. September 09, betreffend die Berechnung von Säulen aus eisenumschnürten Beton, berechnet sich die zulässige Tragkraft P in kg einer auf zentrischen Druck beanspruchten Eisenbetonsäule, wenn mit Fb der volle Betondurchschnitt in qcm, mit <rb die zulässige Betondruckdruckspannung in kg/qcm, mit Fe der Gesamtquerschnitt der eingebetteten Längseisen und mit Fs' der Querschnitt gedachter Längseisen bezeichnet wird, die jedoch auf den steigenden Meter der Säule als Querbewerbung bezw. Umschnürung der Längseisen verwendet werden, aus der Gleichung:

6)

P = öt> (F„ + nFe + 2nFs')

oder hieraus:

7)

” Fb + nF₀ + 2nFs'

²⁰) Vgl. auch: Aus Natur und Geisteswelt: „Der Eisenbetonbau“, von Haimovici. Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

Drückt man die Eisenquerschnitte Fe bezw. Fs' in v. H. des Betonquerschnittes Fb aus, als:

ktt Fb bezw. Fs'

so erhält man mit Einsetzung dieser Werte in Gleichung 6) unter Berücksichtigung des Elastizitätsmaßes n=15:

P = «b (1 +0,15?+ 0,30/) Fb oder hieraus, unter Einführung des Wertes a' = öb (1 + 0,15 (p + 0,30 cf'):

P = a' • Fb.............

Es ist dies die sehr einfache und wichtige Beziehung zwischen den Größen P, a' und Fb, die wir in analoger Weise auch bei der zeichnerischen Berechnung von Eisenbetonsäulen, ohne Berücksichtigung der stets vorhandenen Querbewehrung in Form von Flacheisen, Rundeisenschlingen u. a. m., abgeleitet haben. Dort bedeutet a = ab (1 + 0,15?) oder, mit Einführung des Wertes y — (1 + 0,15?), a = y • während hier wird a' = / • ab, wenn / = (1 + 0,15 ? + 0,30 <p ) bezeichnet. Während für y keinerlei Grenzwerte festgesetzt sind,²¹) schreiben die preußischen Bestimmungen bei der Berechnung von Säulen aus eisenumschnürtem Beton für / als zulässigen höchsten Grenzwert die Zahl 2 vor, also y + 2. oder, mit anderen Worten, der ideelle Säulenquerschnitt F; = Fb + 15 Fe + 30 Fs' darf höchstens 2 Fb betragen, also Fi<;2Fb.

Hieraus folgt, da P = <rb F j:

P ^ 2 ob Fb

F \ _JL_

Fb= 2ob

Damit sind aber auch bestimmte Grenzen für die Größe der anzuwendenden verhältnismäßigen (v. H.) Querbewehrung

²¹) Bekanntlich schreiben die österreichischen Regierungsvorschriften, unter Benutzung der nämlichen Formeln, wie hier angegeben, bei der Anwendung einer Längsbewehrung von mindestens 92=0,8 und höchstens cp = 2,0 — was über 92 = 2,0 verwendet wird, darf nur mit ⁵/4 des Überschusses in Rechnung gesetzt werden — den Grenzwert für y + 1,3 vor, während bei der Anwendung von umschnürtem Beton der Grenzwert /+ 1,9 betragen darf.

oder

Fe

100

^ F

Fb

100

8)

9)

10)

6)

7)

Z’

n-ts

r&x

Osl <?|t cb zlo <U jik /J* <U °B 4* ** *y ?f av    VP *i*    ■*» *1* ⁵

vT'

tt

---Z’

2-

2’-

\r

■5

-9

------,•

4------

¹

)    Vgl. den gleichnamigen Aufsatz in der Deutschen Bauzeitung, Mitteilungen über Zement, Beton und Eisenbetonbau Nr. 20/1907.

²

)    Aus den vom Verfasser in seinen „Graphischen Tabellen“ (Seite 50) abgeleiteten allgemein gültigen Formeln:

³

) Vergleiche das hier behandelte Beispiel in Übereinstimmung mit demjenigen der „Leitsätze“ bezw. „Bestimmungen“. (Frei aufliegende Platte mit doppelter Eiseneinlage.)

⁴

) Durch Übung wird man auch sofort die richtige Wahl von 1 treffen können.

Für 1 : « = 1 : 37,5, v₂ = 0,495, — k₂ = — 1,570,

(Fe ) = 7,7 qcm. Fe - (Fe ) = 4,7 —7,7 =-3 Für 1 : a = 1 : 32,5, v₂ = 0,41, — k₂ = — 1,642,

(Fe ) = 1,7 qcm. F'e - (Fe ) = 4,7 - 1,7 = + 3 Somit ist das gesuchte 1 : a — 1: 35, für welches F'e — (F'e ) = 0.

⁵

) Der Wert für ab ist naturgemäß nicht wie für Beispiel 10 aus

⁶

dem Diagramm abzulesen, sondern er beträgt 26,25 kg/qcm (bezw.

⁷

40,0 kg/qcm für Beispiel 12).

⁸

)    Ohne Rücksicht auf die Stegdruckspannungen unterhalb der Deckenplatte.

⁹

)    Der Wert für ab ist nicht, wie aus dem Diagramm abzulesen, gleich 29,5 kg/qcm, sondern, da x d, aus den Beziehungen Z = D zu errechnen.

¹⁰

)    Der Wert für x ist durch Gleichsetzung der statischen Momente der Flächen bd und nFe in Bezug auf die Neutralfaser bezw. als Lage der Resultierenden aus den Flächen bd und nFe, als Kräfte aufgefaßt, ermittelt.

¹¹

) Original-Diagramm auf millimetriertem Grund; im Bilde in x/₂ natürlicher Größe, ohne Millimetermaß, wiedergegeben.

f"~ 6    1    2    3    « ff 6    ? ff 5 «F tt

Abb. 12.

Fs,== ~WÖ geSeben. Nach den hier aufgestellten

Gleichungen und Bedingungen ist es einleuchtend, daß die Ermittelung der erforderlichen Abmessungen und zulässigen Spannungen bei zentrisch beanspruchten Säulen aus um-schnürtem Beton nicht so einfach von statten geht, wie diejenige bei der Anwendung einer Längsbewehrung ohne Rücksicht auf die Querverbindungen.

Das in Abb. 12 dargestellte Diagramm gestattet mit der Beziehung zwischen P, a und Fb, gemäß Gleichung 10), die Lösung der gestellten Aufgaben der Bemessung und Spannungsermittelung, unter Berücksichtigung des zulässigen Grenzwertes /, in leichter und schneller Weise. Von den sechs Größen P, Fb, tfb, (p, <p' und a' lassen sich stets zwei derselben ermitteln, wenn die vier übrigen bekannt sind.

Zu diesem Zwecke ist das Diagramm derart eingerichtet, daß im Schnittpunkte der Lotrechten durch die auf der Mittelwagrechten aufgetragenen Abszissen mit den Wagrechten durch die Ordinaten „<p“ bezw. „a,u sich jeweilen die zugehörigen Werte der in Form eines Parallelbüschels bezw. Strahlenbüschels dargestellten Werte für das Verhältnis der Querbewehrung „(p'u bezw. für die Betondruckspannung „Ob “ ergeben, und zwar entweder durch unmittelbare Ablesung oder durch lineare Interpolation, da die dargestellte Linienschar (pr in wagrechter Richtung gleiche Abstände, während <rb in lotrechter Richtung, für gleiche Werte von /, gleichbleibende Abstände aufweist. Hiernach kann die Interpolation auch für höhere und niedrigere Beanspruchungen, für stärkere Eiseneinlagen sowie für höhere Grenzwerte /, als dargestellt, geschehen.

Um die Vorteile bei der Anwendung des umschnürten Betons gegenüber der gewöhnlichen Längsbewehrung zu erkennen, vergleiche man die beiden in Abb. 11 und 12 dargestellten Diagramme miteinander. Aus Abb. 12 erweist sich für den besonderen Fall <pr = o, also ohne Rücksicht auf die Querbewehrung, daß die Tafelwerte a' denjenigen von a in Abb. 11 identisch sind.

Mit Hilfe der Abbildung 12 kann die Wahl von y und <p\ bei festem oder veränderlichem Gb derart getroffen werden, daß unter Berücksichtigung zulässiger Grenzwerte /, man die wirtschaftlich günstigsten Beton- und Eisenabmessungen erhält. Im allgemeinen wird man bei vollkommen zentrischem Druckwählen; in Rücksicht auf einseitige Belastung, Exzentrizität, Verdrehung und Knickgefahr, wobei von der Mitwirkung der Querbewehrung abgesehen werden muß, wird man häufig <f' = (f annehmen müssen. Wie aus Abb. 12 ersichtlich, ist der zulässige Höchstwert <p'= 3,0 bei <j> = 0,66 und /= 2,0 als Grenzwert für F j — 2 Fb.

Vorstehende Erörterungen mögen noch durch zwei Rechnungsbeispiele erläutert werden. Es sind hier dieselben Beispiele gewählt worden, die unter a) behandelt wurden, die also für Abb. 11 bezw. Abb. 12 mit (f' = o Giltigkeit haben, um die Ergebnisse vergleichen zu können.

Rechnungsbeispiel 17. (Linienzug V verfolgen).

Gesucht: Fb in qcm.

Fe in qcm.

Fs' in qcm.

Gegeben: P = 195250 kg, (7b — 40 kg/qcm,

Fe =

2,5

100

Fb also (f = 2,5 v. H.,

2,0

100

Fb also (p’= 2,0 v. H.

Lösung. Für <p — 2,5 und <p' = 2,0 wird y << 2,0 und mit tfb == 40 entspricht in Abb. 12 a' = 78, mithin Gleichung 10):

P

Erforderliches Fb = — und aus Gleichung 8):

Erforderliches Fe =

aus

195 200

a!

78

2500 qcm

F 2,5

AA * 0

ff p

"KTT rb

100

100

2,0

• 2500 = 62,5 qcm

Erforderliches Fs'

Gewählt wird Fb als reguläres Achteck, dessen eingeschriebener Kreis einen Durchmesser von 55 cm aufweist, so

55

daß die Seitenlänge des Achteckes a = 0,8284 — = 22,8 cmr

100

100

• 2500 = 50,0 qcm

mithin die Fläche Fb = 22,8 ~² • 4,8284 = 2500 qcm beträgt; ferner werden Fe = 4 Rundeisen von 31 mm Stärke -f- 4 Rundeisen von 32 mm Stärke mit zusammen 62,4 qcm und Fs' = 20 Eisenringe von je 16 mm Stärke für 1,0 m Höhe, also in je 5 cm Entfernung, gewählt, so daß, bei einem Umschnürungsdurchmesser der Eisenringe um die Längseisen von 55 — 5 = 50 cm, mit Fs= Rundeisen von 16 mm Stärke = 1,57 qcm, sich für das steigende Meter Säule Fs' aus der Gleichung ergibt:

Fs' = 20- 3,14 • 0,50 • 1,57 = 50,0 qcm.

Fb

3350 qcm

Verfolgt man den Linienzug 1 in Abb. 12 mit tf'— o oder in Abb. 11, so erhält man a = 55, mithin 195250

55

2,5

Fe =

und

100

3550 = 88,75 qcm

in Übereinstimmung mit den in Beispiel 15 errechneten Ergebnissen. Dort wurde Fb als Quadrat von 60X60 cm mit 5X5 cm abgefasten Ecken gewählt und Fe = 4 Rundeisen von 37 mm Stärke -j- 4 Rundeisen von 38 mm Stärke.

Einem regulären Achteck mit 65 cm Durchmesser des eingeschriebenen Kreises würde die Fläche Fb = 3600 qcm entsprechen.

Rechnungsbeispiel 18. (Linienzug 2' verfolgen.)

Gegeben: P = 133875 kg

Fb = 2975 qcm als reguläres Achteck von 60 cm Durchmesser des eingeschriebenen Kreises, Fe = 8 Rundeisen von 30 mm Stärke mit 56,55 Fe • 100

1,9 v. H.

Fb

qcm, also

Fs'= 16 Rundeisenringe von je 19 mm Stärke für 1,0 m Höhe, in je 6,66 cm Entfernung mit einem Umschnürungsdurchmesser von 60 — 6 = 54 cm, so daß mit Fs = Rundeisen von

<i' =

19 mm Stärke — 2,2 qcm,

Fs' = 16 • 3,14 • 0,54- 2,2 = 59,5 qcm, also Fsf. 100

= 2,0 v. H.

Fb

Gesucht: öb in kg/qcm.

Lösung: Aus Gleichung 10) ergibt sich:

a'

45

Fb

133875 2975

Für cp = 1,9 und ' = 2,0 wird / •< 2,0 und mit a' = 45 ergibt sich im Diagramm durch Interpolation o-b = 24 kg/qcm. öe ist in allen Fällen gleich 15. o-b-Verfolgt man den Linienzug 2 in Abb. 12 mit ($' = o oder in Abb. 11, so erhält man für a = 45, ^ = 35 kg/qcmy in Übereinstimmung mit den in Beispiel 15 errechneten Ergebnissen.

Anhang.

1. Auszug aus den preußischen Ministerialbestim-mungen vom 24. Mai 1907 nebst Nachtrag vom 22. April 1913 betr. die Ausführung und Berechnung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten.

Leitsätje für die statische Berechnung.

A. Eigengewicht.

Das Gewicht des Betons einschließlich der Eiseneinlagen ist zu 2400 kg/cbm anzunehmen, sofern nicht ein anderes Gewicht nachgewiesen wird. Bei Decken ist außer dem Gewicht der tragenden Bauteile das Gewicht der zur Bildung des Fußbodens dienenden Baustoffe nach bekannten Einheitssätzen zu ermitteln.

B. Ermittelung der äußeren Kräfte.

Bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen sind die Angriffsmomente und Auflagerkräfte je nach der Art der Belastung und Auflagerung den für frei aufliegende oder durchgehende Balken geltenden Regeln gemäß zu berechnen. Bei frei aufliegenden Platten ist die Freilänge zuzüglich der Deckenstärke in der Feldmitte, bei durchgehenden Platten die Entfernung zwischen den Mitten der Stützen als Stützweite in die Berechnung einzuführen. Bei Balken gilt die um die erforderliche Auflagerlänge vergrößerte freie Spannweite als Stützweite.

Bei Platten und Balken, die über mehrere Felder durchgehen, darf, falls die wirklich auftretenden Momente und Auflagerkräfte nicht rechnerisch nach den für durchgehende Balken geltenden Regeln unter Voraussetzung freier Auf-* lagerung auf den Mittel- und Endstützen oder durch Versuche nachgewiesen werden, das Biegungsmoment in den

Feldmitten zu ⁴/ö des Wertes angenommen werden, der bei einer auf zwei Stützen frei aufliegenden Platte vorhanden sein würde. Über den Stützen ist dann das negative Biegungsmoment so groß wie das Feldmoment bei beiderseits freier Auflagerung anzunehmen. Als durchgehend dürfen nach dieser Regel Platten und Balken nur dann berechnet werden, wenn sie überall auf festen, in einer Ebene liegenden Stützen oder auf Eisenbetonbalken aufliegen. Bei Anordnung der Eiseneinlagen ist auch die Möglichkeit des Auftretens negativer Momente sorgfältig zu berücksichtigen. Bei Balken darf ein Einspannungsmoment an den Enden nur dann in Rechnung gestellt werden, wenn besondere bauliche Vorkehrungen eine sichere Einspannung nachweislich gewährleisten. Die rechnerische Annahme des Zusammenhanges darf nicht über mehr als drei Felder ausgedehnt werden. Bei Nutzlasten von mehr als 1000 kg/qm ist die Berechnung auch für die ungünstigste Lastverteilung anzustellen.

Bei Plattenbalken darf die Breite des plattenförmigen Teiles von der Balkenmitte ab nach jeder Seite mit nicht mehr als ¹1₅ der Balkenlänge in Rechnung gestellt werden.

Ringsum aufliegende, mit sich kreuzenden Eiseneinlagen versehenen Platten können bei gleichmäßig verteilter Belastung, wenn ihre Länge a weniger als das l,5fache ihrer

n b²

Breite b beträgt, nach der Formel M = berechnet

werden. Gegen negative Angriffsmomente an den Auflagern sind Vorkehrungen durch Form und Lage der Eisenstäbe zu treffen.

Die rechnungsmäßig sich ergebende Dicke der Platte und der plattenförmigen Teile der Plattenbalken ist überall auf mindestens 8 cm zu bringen. Bei Stützen ist auf die Möglichkeit einseitiger Belastung Rücksicht zu nehmen.

C. Ermittelung der inneren Kräfte.

Das Elastizitätsmaß des Eisens ist als das löfache von dem des .Betons anzunehmen, wenn nicht ein anderes

4*

Elastizitätsmaß nachgewiesen wird. Die Spannungen im Querschnitt des auf Biegung beanspruchten Körpers sind unter der Annahme zu berechnen, daß sich die Ausdehnungen wie die Abstände von der Nullinie verhalten und daß die Eiseneinlagen sämtliche Zugkräfte aufzunehmen vermögen.

Bei Bauten oder Bauteilen, die der Witterung, der Nässe, den Rauchgasen und ähnlichen schädlichen Einflüssen ausgesetzt sind, ist außerdem nachzuweisen, daß das Auftreten von Rissen im Beton durch die vom Beton zu leistenden Zugspannungen vermieden wird.

Schubspannungen sind nachzuweisen, wenn Form und Ausbildung der Bauteile ihre Unschädlichkeit nicht ohne weiteres erkennen lassen. Sie müssen, wenn zu ihrer Aufnahme keine Mittel in der Anordnung der Bauteile selbst gegeben sind, durch entsprechend gestaltete Eiseneinlagen aufgenommen werden.

Die Eiseneinlagen sind möglichst so zu gestalten, daß die Verschiebung gegen den Beton schon durch ihre Form verhindert wird. Die Haftspannung ist stets rechnerisch nachzuweisen.

Die Berechnung der Stützen auf Knicken soll erfolgen, wenn ihre Höhe mehr als das 18fache der kleinsten Querschnittsabmessung beträgt. Durch Querverbände ist der Abstand der Eiseneinlagen unveränderlich gegeneinander festzulegen. Der Abstand dieser Querverbände muß annähernd der kleinsten Abmessung der Stützen entsprechen, darf aber nicht über das 30fache der Stärke der Längsstäbe hinausgehen. Zur Berechnung der Stützen auf Knicken ist die Eulersche Formel anzuwenden.

D. Zulässige Spannungen.

Bei allen auf Biegung beanspruchten Bauteilen soll die Druckspannung des Betons ¹j₆ seiner Druckfestigkeit, die Zug- und Druckspannung des Eisens den Betrag von 1000 kg/qcm nicht übersteigen*). Wird die Zugspannung des Betons in Anspruch genommen, so sind als zulässige

* Vgl. Nachtrag vom 22. April 1913 auf Seite 49.

Spannung ²/₃ der durch Zugversuche nachgewiesenen Zugfestigkeit des Betons anzunehmen. Bei fehlendem Zugfestigkeitsnachweis darf die Zugspannung nicht mehr als lli₀ der Druckfestigkeit betragen.

Dabei sind folgende Belastungswerte anzunehmen:

a)    Bei mäßig erschütterten Bauteilen, z. B. bei Decken von Wohnhäusern, Geschäftsräumen, Warenhäusern: die wirklich vorhandene Eigen- und Nutzlast;

b)    bei Bauteilen, die stärkeren Erschütterungen oder stark wechselnder Belastung ausgesetzt sind, wie z. B. bei Decken in Versammlungsräumen, Tanzsälen, Fabriken, Lagerhäusern: die wirkliche Eigenlast und die bis zu 50°/₀ erhöhte Nutzlast,

c)    bei Belastungen mit starken Stößen, wie z. B. bei Kellerdecken unter Durchfahrten und Höfen: die wirkliche Eigenlast und die bis zu 100 °/₀ erhöhte Nutzlast.

In Stützen darf der Beton mit nicht mehr als ¹/₁₀ seiner Druckfestigkeit beansprucht werden. Bei Berechnung der Eiseneinlagen auf Knicken ist 5fache Sicherheit nachzuweisen.

Die Schubspannung des Betons darf das Maß von

4,5 kg/qcm nicht überschreiten. Wird größere Schubfestigkeit nachgewiesen, so darf die auftretende Spannung nicht über a,/₅ dieser Festigkeit hinausgehen.

Die Haftspannung darf die zulässige Schubspannung micht überschreiten.

Nachtrag vom 22. April 1913.

Die Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten vom 24. Mai 1907 werden durch folgenden Zusatz ergänzt:

Die Zug- und Druckspannung des Eisens darf bis zu 1200 kg/qcm gesteigert werden, wenn das zu verwendende Eisen eine über das gewöhnliche Maß hinausgehende Festigkeit besitzt, und zwar soll die Zugfestigkeit bei geringer Stärke der Eisenstäbe (10 mm) mindestens 4200, bei größerer Stärke (30 mm) mindestens 3800 kg/qcm betragen. Zwischenwerte sind gradlinig einzuschalten. Dabei darf die aus Zerreißversuchen durch das erste Abfallen der Wage ermittelte Streckengrenze nicht weniger als das 0,6- und nicht mehr als das 0,7-fache der Zugfestigkeit betragen. Ferner soll die Bruchdehnung mindestens 25 v. H. erreichen.

Diese Festigkeitswerte sind auf Verlangen nachzuweisen. Bei der Kalt-biegeprobe muß der lichte Durchmesser der Schleife an der Biegestelle gleich der halben Dicke des Stabes sein, wobei keine Risse entstehen dürfen.

2. Tabellen für zugehörige Werte der statisch nutj-baren Höhe h₀ = h — e, der erforderlichen Eisenmenge Fe und der Lage der Neutralfaser x für Eisenbetonplatten, Balken und Plattenbalken mit x d und n = 15.

a) Einfache Eiseneinlage (Zugeisen).

50 kg/qcm

o* b h₀²

§

oo

<re =1000 kg/qcm ae = 900 kg/qcm

cri

X (71    0=ll

2,290 3,320

4,420

5,650 6,925

8,240 9,620

CT

^ ^ ff ? ^

O 00 O © r- m

© CM CM

o" cf cf

O    O    O

To    7t*    ui

©    ©    -e*

4*    00    ©

0,475

0,555

0,333

O O 00 CM — ©

■rr r— co

CD Cf Cf

p p o 7t* "co To o © o o

oo

0,348 0,322 X V— ' b

1,070 1,260 X bh0 0,428 0,454 X h₀

2,129 3,098 4,170 5,335 6,560 7,847 9,175

oo

CD

o o p To To 05

OJ Ui

o o

00 O CM

co r-m co cm cf cf cf

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3

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4^

o o m oi in t» co co cf cf cf

t- r" CO

m o o

CO Ol

o" o <d

0,330

1,070

0,428

X h₀

<re = 1100 kg/qcm

b h₀²

h₀

Fe

1,990 2.910 3,932 5,050 6,200 7,460 8,740

0,710

0,194

0,214

pp o To To "m ui oo 4^ CO

00

CD

in in o

o Ol CD m co cm o cf cf

o    o    o

w    'ui    7t*

to    —    4^

U    Ol

1-1    CM    CO

o    if    m

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t— t" iO t-CO r- co cf cf cf

o in

CM O CO CD ■M* <Z3 CD Cf

GO

CO

X bh₀

X ho

<re = 1200 kg/qcm

er

1,866 2,740 3,718 4,785 5,926 7,128 8,381

CM CO O CO CO o t— — CM

cf o" cf

o o © To To "©

U 4^ O 00 00    4*

00 h oo

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Tf    co

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m co r- m co m co C>* cf Cf

m o

t" t- IO CO o co cf cf cf

in i m Tt« o oo

OO OO CO

cf cf cf

X bho

X h₀

k- j/^-> Fe = f*bho und x = c-h₀ zu

Hierbei ist h₀ =

rechnen. Die in wagrechter Richtung mit h₀, Fe und x stehenden Zahlen geben die Größen k, f und c an. Die

^ sind die Größen, für welche die gegebenen

Spannungsverhältnisse <rb: ae erfüllt werden.

Werte

bho²

Einzusetzende Einheiten: Min mkg, b in m, ho in cm,

Fe in qcm und x in cm.

Die Gesamthöhe h = h₀ + e ergibt sich durch Hinzufügung der Einbettungsstärke (e=l,5cm für Deckenplatten bezw. e = 2 bis 5 cm oder 0,1 h₀ für Balken und Plattenbalken).

b) Doppelte Eiseneinlage (Zugeisen und Druckeisen).

ab: ffe =

40:800

20:1000

40:1200

kg/qcm

^ —    16,15 11,65 10,15 11,25    9,10    8,30    8,83    7,59    7,10

h₀ =

0,249 0,293 0,314 0,298 0,332 0,347 0,337 0,363 0,375

F'e =

v*l

' b

Fe =

2,291

2,291

0,429

1,111

1,666

0,429

o o co o

t-. -rj-

cT o

to

CO

Ui

0,6S8

1,032

0,375

0,471

0,942

0,375

cn cn m CM CN ro 00 00 CO

cT o o

0,474

0,711

0,333

0,332

0,664

0,333

X bh0 X bh₀

X h₀

Fe = 1,0F'e l,5Fe 2,0F'e l,0Fe l,5F'e 2,0Fe l,0F'e l,5F'e 2,0Fe

Benutzung dieser Tabelle und einzusetzende Einheiten genau wie unter a). Diese Tabelle gilt für die gegebenen Spannungsverhältnisse bei einer Zugeiseneinlage Fe gleich der 1,0-, 1,5- bezw. 2,0fachen Druckeiseneinlage Fe, unter Voraussetzung, daß der Abstand e' vom Mittelpunkt der Druckeiseneinlagen bis zu der auf Druck beanspruchten Betonrandfaser gleich 0,1 h₀ ist.

3. Tabelle der Durchmesser, Gewichte und Querschnitte der Rundeisen.

0    10 20 30 40 50 60 80 10 0

in kg

mm

qcm qcm qcm qcm qcm qcm qcm qcm

CBMOiOl^UtO^

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co

vO

0,079

0,31

0,70

1,26

1,96

2,82

3,84

5,02

6,36

7,85

JO Hl M H* W-i i—k u-i K-i OCD00^105CJ14^WNDhh

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^OGOO'O'^CD WOO^ OOCOWOOOOhJsO^^O

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3,46

3,80

4,15

4,52

4,91

5,31

5,73

6,16

6,60

7,07

6,93

7,60

8,31

9,05

9,82

10,62

11,45

12,31

13,21

14,14

10.39

11.40

12.46 13,57 14,73 15,93 17,18

18.47

13,85

17,32

20,78

27,70

34,64

19,81

21,21

15,21

19,01

22,81

30,41

38,01

16,62

18,10

19.63 21,24 22,90

24.63 26,42 28,27

20,77

22,62

24.54

26.55 28,63 30,79 33,02 35,34

24.93 27,14 29,45 31,86 34,35

36.94 39,62

42.41

33,24

36,19

39,27

42,47

45,80

49,26

52,84

56,55

44,55

45,24

49,09

53,10

57,26

61,58

66,85

70,68

T-> cs co in

CO CO CO 00 CO

-4 -J O CT Ul

P 00 Ol o

CT 00

7,55

8,04

8,55

9,08

9,62

15,09

16,08

17,11

18,16

19,24

22,64

24,13

25,66

27,24

28,86

30,19

32,17

37,74

40,21

34,21

36,32

38,48

42,76

45,40

48,11

45,29

48,26

51,32

54,48

57,73

60,38

64,34

68,42

72,63

76,97

75,48

80,42

85,53

90,79

96,21

mm

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Gewicht pro lfd. m

in kg qcm

ni^noo' oj^ooco t-~ oo ocT qT cf

10,280

10,794

11,314

11,846

12,391

12,948

13,517

14,098

14,692

15,296

10

qcm

qcm

qcm

qcm

qcm

qcm

10 0

qcm

oo in co

rHt>nono cf cf r-T r-T cnT

coco'-'tfininvoooooooi

20,36

21,50

22,68

23,89

25,13

30,54

32,26

34,02

35,84

37,70

40,72

43,01

45,36

47,78

50,26

50,90

53,76

56,70

59,73

62,83

61,07

64,51

68,04

71,68

75,40

81,43

86,02

90,73

95,57

100,53

101,79

107,52

113,41

119,46

125,66

26,41

27,71

29,04

30,41

31,81

33,24

34.70 36,19

37.71 39,27

39,61

41.56

43.56 45,61

47,71

49,86

52,05

54,29

56,57

58,90

52.81

55.42 58,09

60.82 63,62 66,48 69.40 72,38

75.43 78,54

66,01

69,27

72,61

76,03

79,52

83,10

86,75

90,48

94,28

98,17

79.22

83.12

87.13

91.23 95,42 99,71

104,09

108,58

113,14

117,81

105,62

110,83

116,18

121,64

127,23

132,95

138,79

144,77

150,86

157,08

132,03

138,54

145,22

152,05

159,04

166,19

173,49

180,96

188,57

196,35

Ol

IO

Oi

4. Tabelle für die Momente und Querkräfte frei auf liegender und eingespannter Träger.

In nachstehender Zusammenstellung bedeutet p eine gleichförmig verteilte Belastung in kg/m, P eine konzentrierte Einzellast in kg, 1 die theoretische Spannweite in m und x der Abstand vom linken Auflager A für die max bezw. Mx bedeuten die Biegungsmomente und A bezw. B die größten Querkräfte oder die links- bezw. rechtsseitige Auflagerdrücke.

Auflagerdrücke

kg

A-P-

P-x

a = b=4

A = B = 1,5 P

Auflagerdrücke

kg

Momentenschnittstelle. M

max

(1-c)

Amax

c

Amin = 2 P —=— — Bmin

B=-r

dS

16

Afrei

Beingesp. = -

Biegungsmomente I    mkg

P X (1 — x)

Mx

Schnittstelle

Auflagerungs- und Belastungsart

a) Auf 2 Stütjen frei aufliegend.

1. Eine Einzellast P über den Träger.

«-x-M p

a =■

Id

Mmax = —

(x-|)x| = x^[

Pl²

Mmax =

0,5 1

0,5 1

(Für 2P = pl über den ganzen Träger gleichförmig verteilt ergeben sich die unter 2. angegebenen Werte für M)

2. Gleichförmig verteilte Belastung p über den ganzen Träger.

(Für-y- — P als Einzellast über den

Träger ergeben sich die unter 1. angegebenen Werte für M)

id

Mmax = —

6,333 1

0,5 1

PI

2,66

Mmax —

0,5 1

3. Zwei gleichgroße Einzellasten P in je -y- von den Auflagern entfernt.

Für3P = pl überden ganzen Träger gleichförmig verteilt ergeben sich die Werte in...........

Biegungsmomente I    mkg

P (1 — c)²

21

Mmax

Mmax = -g— (21 — c)

Id

7,8

Mmax

Schnittstelle

Auflagerungs- und Belastungsart

P1

Mmax = -zr-

<)

/ »i £___z_\

\ sx Z    I /

Mx = P*x*

y0-c)

0,5 1

0,577 1

0,5 1

3 PI

16

5 PI

32

— Mmax

+ Mmax

Einspannstelle bei B

0,5 1

4. Zwei gleichgroße in konstantem Abstand 2 c voneinander entfernte Einzellasten P, über den Träger beweglich.

5. Eine zur Trägermitte symmetrisch verteilte Belastung P auf der Strecke c

6. Dreiecksförmig verteilte Belastung P über den ganzen Träger

Ar

'S B

A3T

b) Eine Stütje eingespannt, die andere frei.

7. Eine Einzellast P über Balkenmitte

■A

Q.

Cn

Auflagerdrücke

5 pl

Gh (cm

ah

kg

Afrei

Beingesp.

OQ

CQ

Aauskrag. = O

Beingesp. = P

Auflagerdrücke

kg

Aauskrag. = O

Beingesp. = p I

Aauskrag. = O

Beingesp. — P

Pl

128

Biegungsmomente

mkg

max —

(J---LU-L

\ x e / id

Mx =

Id

PI

max = —

+ Mmax = -f- -g-

Mx

c.

x\*.

CM ~ rt    .

^ a ^ +

max =

+ Mmax =

±)x_Z_

1/ Id

— Mx = — P x

— Mmax = — PI

p 1 x²

• Id

P x³

T7

PI

Mx

Schnittstelle

Einspannstelle bei B

0,635 1

Einspann-stellen bei A B

0,5 1

Einspannstellen bei A B

0,5 1

Einspannstelle bei B

Biegungsmomente

mkg

— Mx = —

- = XELU

— Mx =

max

max — Pa = konst.

p a²

max

+ Mmax = + -|-(1² — 4a²)

Schnittstelle

Einspannstelle bei B

Einspannstelle bei B

Über A, B und in 0,5 1

Über A und B

0,5 1

Auflagerungs- und Belastungsart

8. Gleichförmig verteilte Belastung p über den ganzen Träger

e) Beide Stützen vollkommen eingespannt.

9. Eine Einzellast P über Balkenmitte

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d) Auskragende Träger.

11. Eine Einzellast P am Ende der Auskragung

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Auflagerungs- und Belastungsart

12. Gl eichförmig verteilte Belastung p über den ganzen Träger

13. Dreiecksförmig verteilte Belastung P über den ganzen Träger

e) Auf 2 Stützen frei aufliegend und mit 2 gleichgroßen überstehenden Enden von der Länge a.

14. Zwei gleich große Einzellasten P am Ende der Auskragungen

15. Gleichförmig verteilte Belast u n g p über den ganzen Träger einschließlich der Auskragungen von den Längen a.

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5. Tabellen für die Momente und Querkräfte kontinuierlicher Träger.

(Vgl. Prof. Winkler, Theorie der Brücken.)

Die hier aufgeführten Tabellen sind für Träger mit gleichgroßer Höhe und gleich hoch liegenden freien Stützpunkten aufgestellt, unter Voraussetzung gleichförmig verteilter Belastung durch die ständige Last „g“ (Eigenlasten, Fußbodenbelag, Putz u. dgl.) und durch die wechselnde Nutz- oder Verkehrslast „p“ in kg/m auf die ganze Länge eines jeden Feldes, wobei Felder mit gleichgroßen Spannweiten 1 angenommen sind.

Für die Ermittlung der Biegungsmomente bezw. Querkräfte, an Schnittstellen des Trägers in den Abständen einer jeden Öffnung, bildet man die Ausdrücke:

Mmax = (A • g + B • P) l² und Mmin = (A • g + C • p) l2 bezw. Qmax = (D • g + E • p) 1 und Qmin = (D • g + F • p) 1

unter Berücksichtigung der jeweiligen Vorzeichen, woraus sich dann rechnerisch die absolut größten und kleinsten, positiven und negativen Biegungsmomente bezw. Querkräfte ergeben. Die errechneten Werte werden von einer Wagrechten aus, entsprechend ihren Vorzeichen, als

Ordinaten zu den Abszissen —p aufgetragen und die Endpunkte durch

Kurven verbunden, die den Verlauf der maximalen und minimalen Biegungsmomente bezw. Querkräfte zeichnerisch darstellen.

Zahlentafeln für kontinuierliche Träger mit zwei, drei und vier gleichgroßen Öffnungen.

Träger mit zwei gleichgroßen Öffnungen oder drei freien Stützpunkten.

Ver

hältnis

Biegungsmomente M

Querkräfte Q

Einfluß von g Einfluß von p Einfluß von g

Einfluß von p

Feld I und II

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0,00000 0,00000 0,00000

+ 0,0325    0,03875    0,00625

+ 0,0550    0,06750    0,01250

+ 0,0675    0,08625    0,01875

+ 0,0703    0,09375    0,02344

+ 0,0700    0,09500    0,02500

+ 0,0625    0,09375    0,03125

+ 0,0450    0,08250    0,03750

+ 0,375 + 0,275 + 0,175 + 0,075 0,000

rf

0,4375    0,0625

0,3437    0,0687

0,2624    0,0874

0,1932    0,1182

0,1491    0,1491

0,1359    0,1609

0,0898    0,2148

0,0544    0,2794

Ver

hältnis

Biegungsmomente M

Querkräfte Q

Einfluß von g (I Einfluß von p Einfluß von g

Einfluß von p

Feld I und II.

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—    0,0675

—    0,0950

—    0,1250

0,06125 0,04375 0,04688 0,04688 0,03000 0,05000 0,01523 0,05773 0,00611 0,07361 0,00138 0,09638 0,00000 0,12500

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Träger mit drei gleichgroßen Öffnungen

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0,85    —0,02125    0,02773    0,04898

0,9    —0,04500    0,02042    0,06542

0,95    —0,07125    0,01706    0,08831

1,0    -0,100    0,01667    0,11667

Fefd I und III.

oder vier freien Stützpunkten,

0,4500    0,0500

0,3560    0,0563

0,2752    0,0752

0,2065    0,1065

0,1496    0,1496

0,1042    0,2042

0,0694    0,2694

0,0443    0,3443

0,0280    0,4280

0,0193    0,5191

0,0167    0,6167

+ 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1

0,0

-0,1

-0,2

—    0,3 -0,4

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—    0,6

Feld II.

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0,4870    0,0870

0,3991    0,0991

0,3210    0,1210

0,2537    0,1537

0,1979    0,1979

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Feld I und IV.

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vier gleichgroßen Öffnungen oder fünf freien Stützpunkten.

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+ 0,03429    0,03964    0,00536    + 0,2929    0,3528    0,0599

+ 0,05857    0,06929    0,01071    +0,1929    0,2717    0,0788

+ 0,07286    0,08893    0,01607    +0,0929    0,2029    0,1101

+ 0,07714    0,09857    0,02143    —0,0071    0,1461    0,1533

+ 0,07143    0,09822    0,02679    —0,1071    0,1007    0,2079

+ 0,05572    0,08786    0,03214    — 0,2071    0,0660    0,2731

+ 0,03000    0,06750    0,03750    —0,3071    0,0410    0,3481

—    0,00571    0,03738    0,04309    —0,4071    0,0247    0,4319

—    0,02732    0,02484    0,05216

—    0,05143    0,01629    0,06772    — 0,5071    0,0160    0,5231

—    0,07803    0,01393    0,09197

—    0,10714    0,01340    0,12054    —0,6071    0,0134    0,6205

Ver

hältnis

Biegungsmomente M

Querkräfte Q

Einfluß von g

Einfluß von p

Einfluß von g

Einfluß von p

0,0

0,1

Feld II und III.

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,85

0,9

0,95

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—    0,10714

—    0,05857

—    0,02000 + 0,00857 + 0,02714 + 0,03572 + 0,03429 + 0.02286 + 0,00143

—    0,01303

—    0,03000

—    0,04947

—    0,07143

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0,01455

0,03000

0,05678

0,07357

0,08036

0,07715

0,06393

0,04170

0,03451

0,03105

0,03173

0,03571

0,12054

0,07212

0,05000

0,04821

0,04643

0,04464

0,04286

0,04107

0,04027

0,04754

0,06105

0,08120

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