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Biblioteka Politechniki Ktakowskiej

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GRUNDZUGE

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GRUNDZUGE

FÜR DIE STATISCHE BERECHNUNG

DER

BETON- UND EISENBETONBAUTEN

VON

2)rGsng. M. KO EN EN

BERLIN

VIERTE NEUBEARBEITETE UND ERWEITERTE AUFLAGE

MIT 23 TEXTABBILDUNGEN

MTtpy

I ^entliehen Aibeit«“

BERLIN 1912

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

KRAKÖW

iTttW

Alle Rechte Vorbehalten.

Mil/ 5-f

Akc. Nr.

Vorwort zur vierten Auflage.

Die erste Auflage des vorliegenden Heftes verdankte ihr Entstehen meiner Anregung im Vorstand des Deutschen Betonvereins zu einer solchen Abhandlung für den Katalog seiner Düsseldorfer Ausstellung 1902. Die für den Eisenbeton mitgeteilte Berechnungsweise, welche auch von der preußischen Regierung den „Ministeriellen Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten“ vom Jahre 1904 zugrunde gelegt worden ist, erschien zuerst im Jahre 1897 in einer für einen bestimmten Leserkreis vom Verfasser herausgegebenen Druckschrift „Wissenschaftliche Begründung der Koenenschen Voutenplatte“.

Obwohl in den beiden ersten Auflagen davon Abstand genommen war, fertige Dimensionierungsformeln aufzustellen — da es für jeden Ingenieur ein leichtes sei, aus den allgemeinen Grundformeln diejenigen für den besonderen Fall abzuleiten, die Darbietung solcher aber nur die Zahl Unberufener zu mehren geeignet sei — hat sich doch als zweckmäßig herausgestellt, den nach dieser Richtung geäußerten Wünschen umsomehr entgegenzukommen, als die Sachlage durch die heutigen scharfen baupolizeilichen Vorschriften geändert ist. Die Berechnungen sind deshalb bis zu den für die Bestimmung der Abmessungen unmittelbar verwertbaren Formeln durchgeführt. Flierdurch und durch mehrere andere Zusätze, u. a. eine einfachere Berechnungsweise exzentrisch beanspruchter Eisenbetonkörper, die Berechnung der querbewehrten (umschnürten) achsial gedrückten Eisenbetonkörper und der Betonkörper mit vorgespannten Eiseneinlagen, hat zwar der Umfang zugenommen, dementsprechend aber auch die Verwendbarkeit des Werkchens für statische Berechnungen von Eisenbetonbauten gewonnen.

Berlin, im Juli 1911.

Der Verfasser.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. Reiner Betonbau

1.    Einleitung .

2.    Druck .    .    .

a)    Zentrischer Druck .    .    .

b)    Exzentrischer Druck .    .

3.    Biegung........

a)    Genaue Berechnungsweise

b)    Angenähertes Verfahren .

4.    Abscherung.......

a)    Unmittelbares Abscheren

b)    Abscheren bei Biegung .

IT. Eisenbetonbau......

1.    Einleitung.......

2.    Druck.........

a)    Zentrischer Druck .

b)    Exzentrischer Druck

3- ZuS.....................

4.    Biegung....................

5.    Abscherung...................

a)    Unmittelbares Abscheren............

b)    Abscheren bei Biegung.............

6.    Biegung der Plattenbalken.............

7.    Biegung mit Achsialdruck (ohne Knickgefahr — Gewölbe) . Einfachere Ermittlung der Eisenquerschnitte für stabförmige

Eisenbetonkörper mit Biegungs- und Achsial-Druck oder Zugbeanspruchung (rahmenförmige Gebilde)......

8.    Achsialdruck mit Knickgefahr............

9.    Querbewehrung und Umschnürung achsial gedrückter Eisenbetonkörper ...................

a)    Unmittelbar wirkende Querbewehrung oder Umschnürung

Beispiel 1.................

b)    Mittelbare Querbewehrung............

Beispiel 2.................

10. Berechnung der Eisenbetonkörper mit vorgespannten Eiseneinlagen ....................

a)    Achsial gedrückte Stützen (ohne Knickgefahr).....

b)    Achsial gezogene Eisenbetonstäbe.........

c)    Auf Biegung beanspruchte Eisenbetonstäbe mit vorgespannten Zugeiseneinlagen...........

20

21

24-

2S

27

29

3S

3S

39‘

40

40

4r

I. Reiner Betonbau.

1. Einleitung.

Bis in die neueste Zeit wurden Pfeiler, Gewölbe usw. aus Beton nach denselben Grundregeln berechnet, wie solche für gewöhnliches Ziegelmauerwerk seit längerer Zeit allgemein üblich sind. Bekanntlich werden bei diesem die Stärkeabmessungen so bestimmt, daß die Bruchfestigkeit ohne Mitwirkung etwa entstehender Zugspannungen, vielmehr lediglich durch Ausnutzung des sicher vorhandenen Druckwiderstandes gewährleistet ist. Für Kalkmörtelmauerwerk mag diese Berechnungsweise nach wie vor ihre alleinige Berechtigung haben. Für Zementmörtelmauerwerk jedoch, besonders aber für Zementbeton mit verhältnismäßig hoher Zugfestigkeit dürfen die entstehenden Zugspannungen für die Beurteilung der Bruchsicherheit mit in Betracht gezogen werden, und in besonderen später zu erörternden Fällen ist es nötig, die Größe derselben zu ermitteln. Selbstverständlich hängt die Festigkeit des Betons von der Beschaffenheit und dem Mischungsverhältnis der ihn zusammensetzenden Bestandteile sowie deren Verarbeitung ab. Das Nähere hierüber findet man ausführlich in den Leitsätzen für die Vorbereitung, Ausführung und Prüfung von Bauten aus Stampfbeton.¹) Allgemein schwankt hiernach die Druckfestigkeit zwischen 40 und 400 kg/qcm, die Zugfestigkeit zwischen 4 und 40 kg/qcm.

2. Druck.

a) Zentrischer Druck.

Bezeichnet P die Mittelkraft der auf den Querschnitt eines (stabförmigen) Betonkörpers mit der Querschnittsfläche F wirkenden, gleichmäßig verteilten Druckkräfte, G die in demselben erzeugte Druckspannung für die Flächeneinheit, so wird

1)

J) „Leitsätze für die Vorbereitung, Ausführung und Prüfung von Bauten aus Stampfbeton“. Erschienen im Verlage von Wilh. Ernst & Sohn* Berlin. Koenen, Grundzüge. Vierte Auflage.

Hierbei fällt der Angriffspunkt der Mittelkraft P mit dem Schwerpunkt des Querschnitts zusammen, weshalb ein solcher Druck auch „zentrisch“ oder „achsial“ genannt wird.¹)

Ist die zulässige Druckbeanspruchung k kg/qcm, so findet man für die gegebene Druckkraft P kg den Querschnitt

in qcm.....la)

Die Ermittlung der Spannungen bezw. des Querschnittes nach den in der Fußnote erwähnten amtlichen Bestimmungen ist nicht

ganz einfach, und wird sogar umständlich, wenn das Eigen-fö/r. gewicht berücksichtigt werden muß. Abb. 1 stellt das —Wachsen der zulässigen Beanspruchungen als Ordinaten graphisch dar, wobei die unbekannten Seiten-

KW

Viok

><o

J,

x=h.

Abb. i.

längen als Abszissen eingeführt sind.

Hieraus ergibt sich für —- zwischen ¹/₁₀ bis Vs

2)

(j—k-

2 h

wobei k die Bruchfestigkeit des Betons bedeutet. Bei quadratischem Querschnitt ergibt sich ohne Rücksicht auf das Eigengewicht des Körpers

x) Die ministeriellen Bestimmungen vom 8. Dezember 1910 über Stampfbetonstützen lauten:

Bei der baupolizeilichen Prüfung und Abnahme der auf Druck beanspruchten Bauteile aus Stampfbeton ist nach folgenden Grundsätzen zu verfahren:

Die größte Druckbeanspruchung des Stampfbetons für ruhende Last darf Vs seiner Druckfestigkeit nach 28 tägiger Erhärtung nicht überschreiten. Bei Stützen und Pfeilern ist diese Beanspruchung mit zunehmendem Verhältnis von Höhe (Länge) zur kleinsten Dicke abzumindern und höchstens zu nehmen für das Verhältnis 1 : 1 zu Vs> für das Verhältnis 5 : 1 zu Vio> für das Verhältnis 10: 1 zu V20 ⁽fer Druckfestigkeit. Zwischenwerte sind geradlinig einzuschalten. Zugspannungen im Beton sind bei Berechnung der größten Kantenpressung unberücksichtigt zu lassen.

bis

hx

'2 h

= P oder x —

Ff

.    .    2a)

cc

Liegt dagegen — zwischen

ergibt sich nach der

Skizze

_    ¹    7 i ¹    7

a~wk + 10 k

x--

CM i-¹

*(³⁺⁵x)

3)

.)

und die Seitenlänge x bei quadratischem Querschnitt aus

40

^3 + 5 j\=P oder x3+^hx² = -~

3 a)

Hieraus läßt sich x am schnellsten durch Probieren finden.

Der Körper erleidet unter der Einwirkung solcher Druckkräfte eine elastische Zusammenpressung. Für einen Stab, dessen Länge gleich der Längeneinheit ist, beträgt diese — „spezifische“ Zusammenpressung genannt —

•±)

e — a • am

oder in der ebenfalls gebräuchlichen Form

. am

. 4a)

in welchen Ausdrücken u — und m von der Art des Materials

(hier von der Zusammensetzung und Verarbeitung des Betons) abhängig sind. « kann als Zusammenpressung der Längeneinheit unter der Spannungseinheit aufgefaßt werden; E ist unter dem Namen „Elastizitätsmodul“ bekannt. Da m für Beton, nach den Versuchen von Bach, zwischen 1,10 und 1,20 wechselt, also stets größer als 1 ist, so wachsen die elastischen Längenänderungen bei Beton nicht proportional mit den Spannungen wie bei Schmiedeeisen, sondern etwas schneller als letztere.

Im folgenden sind die von C. Bach¹) für eine Reihe von

Betonarten gefundenen Mittelwerte für «= ^ und m, welche

innerhalb der für die Praxis in Betracht kommenden Spannungsgrenzen Gültigkeit besitzen, zusammengestellt:

B Vergl. C. Bach, Elastizität und Festigkeit, IV. Aufl., 1902.

Körper aus reinem Zement.

250000

; m= 1,09

Zementmörtel.

1 Zement, l¹/^ Donausand:

350000

1,11

1,15

315000

4V>

230000

1,17

1 Zement, 2 V« Donausand,

Körper aus Beton. 5 Donaukies .    .

2V, Egginger Sand, 5 Kalksteinschotter

beji — b;

298000

; m= 1,145

457000

; m = 1,157

5 Donausand,

6 Donaukies

cc

280000

; m =1,137

6 Kalksteinschotter

380000

; m — 1,161

10 Donaukies

E    217000

; w=l,157

5 Egginger Sand, 10 Kalksteinschotter =

E

367000

; m — 1,207

b) Exzentrischer Drnck.

Fällt der Mittelpunkt des Druckes nicht mit dem Schwerpunkt des Querschnitts zusammen, so entsteht neben dem gleichmäßig verteilt gedachten Schwerpunktdruck noch ein Moment mit Biegungswirkung, d. h. mit Druck- und Zugspannungen, welche vom Schwerpunkte ab in gleichgespannten parallelen, zur Biegungsebene meist senkrechten Querschnittsschichten in gleichem Verhältnis wie deren Abstand vom Schwerpunkte zunehmen, also auf der Druckseite vermehrte, auf der entgegengesetzten Seite verminderte Druckspannung zur Folge haben. Ein zwischen zwei Brettchen gefaßtes, exzentrisch gedrücktes Stück Gummi veranschaulicht den dann vorliegenden Spannungszustand, indem es auf der Druckseite (in der Nähe der Druckmittelkraft) mehr zusammengepreßt erscheint als auf der anderen.

Bezeichnet e den Abstand des Druckmittelpunktes vom Schwerpunkt in einer Hauptachse, W das Widerstandsmoment des Querschnitts gegen die zur Verbindungslinie der gedachten beiden Punkte senkrechte Hauptachse, so wird unter der Voraussetzung, daß der Abstand e eine gewisse Grenze (den sogenannten Zentral-

kern des Querschnitts) nicht überschreitet, in dem am stärksten gedrückten Punkte am Rande die Druckspannung

P Pe F

und in dem am wenigsten gedrückten Punkte am entgegengesetzten Rande

5)

er —

Pe

6)

Pe P    W

diese wird, wie ersichtlich, =0, wenn ^ =p oder e — woraus

sich die Lage der Kerngrenze bestimmen läßt.

Liegt der Druckmittelpunkt außerhalb dieser Kerngrenze, die beispielsweise für rechteckige Mauer- oder Gewölbequerschnitte, die rechtwinklig zu einer Seite auf Biegung beansprucht werden, nur das mittlere Drittel umfaßt, so entstehen am ienseitigen Rande Zugspannungen, die bei Zementbeton unter Beobachtung der gebotenen Sicherheit mit in Ansatz gebracht werden dürfen, die aber durchaus berücksichtigt werden müssen, wenn es sich um die Dichtigkeit des Betons in gezogenen Schichten handelt; denn zu große Zugspannungen würden Risse zur Folge haben, die dem Wasser usw. den Eintritt gestatten.

Außer bei achsial oder innerhalb des Zentralkerns exzentrisch gedrückten Mauern oder Pfeilern treten reine Druckspannungen noch in der Form von Tangentialspannungen auf, welche in einfach oder doppelt gekrümmten Behälterwandungen durch äußeren Wasser-, Erddruck u. dgl. erzeugt werden, oder bei Gewölben, welche beständig gleiche oder doch annähernd gleiche Last tragen und nach der Gleichgewichtskurve geformt sind.

Dasselbe gilt von reinen Zugspannungen, welche infolge von Normaldrücken auf die konkave Seite gekrümmter Umfassungswände von Behältern od. dgl. entstehen. Die Verteilung solcher Tangential-Druck- oder Zugspannungen über die Wandstärke läßt sich unter Anwendung der Bachschen Versuche über das elastische Verhalten von Betonkörpern auf die Lamesche Theorie ermitteln, deren Entwicklung hier zu weit führen dürfte.

3. Biegung.

a) Genaue llerechnuugsweise.

Ein auf Biegung beanspruchter stab- oder plattenförmiger Betonkörper sei an irgend einem Querschnitt angegriffen durch

Die durch dasselbe

ein Biegungsmoment von der Größe M. hervorgerufene elastische Formänderung zeigt sich, wie bei allen elastischen Körpern, teils als Zusammenpressung, teils als Dehnung der durch je zwei benachbarte Querschnitte begrenzten Körperscheiben (Abb. 2 u. 3), und zwar ist an den äußeren

Rändern jeder Scheibe die Zu

sammenpressung oder Dehnung am größten; nach dem Inneren der Scheibe hin nehmen die Längenänderungen ab, um an einer gewissen Stelle durch Null ineinander überzugehen. Diese Stelle nennt man ihres neutralen Verhaltens wegen die „neutrale Schicht“ oder Nullinie. Da aber durch Beobachtung festgestellt ist, daß nach der Formänderung die Querschnitte noch eben

und rechtwinklig zur alsdann gebogenen Mittelachse des Stabes (oder Platte) bleiben, wie Abb. 2 andeutet, -u so ist die in Abb. 3 dargestellte Seitenansicht (bezw. der Schnitt) einer Scheibe aus dem Rechteck in das durch punktierte Linien angedeutete Trapez übergegangen.

Die Spannungen, als Ursache der so gekennzeichneten Längenänderungen, sind natürlich auf der zusammengepreßten Seite Druck- und auf der gedehnten Seite Zugspannungen. Sie sind parallel zur Stabachse gerichtet und haben nach dem in Gl. 4 angegebenen Formänderungsgesetze einen genau feststellbaren, etwa wie in Abb. 3 durch wagerechte Strichelung angedeuteten Verlauf.

Abb. 2.

Last

xu

VW

>z

Abb. 3.

Die Summen D und Z der so dargestellten Druck- und Zugspannungen müssen, falls auf das abgetrennt gedachte Stab- oder Plattenstück weitere zur Stabachse parallele Kräfte nicht wirken,

zum Gleichgewicht gegen Bewegung in der Stabachsenrichtung einander gleich sein, also

B — Z .

Ferner ergeben die Mittelkräfte I) und Z bei dem Abstand a (Hebelarm a) ein Kräftepaar Da oder Za, welches als das Moment der inneren widerstehenden Spannungen, d. i. als Widerstandsmoment dem Angriffsmoment M gleich sein muß, wenn keine weitere als die bereits durch die Biegung hervorgebrachte Drehung des abgetrennt zu denkenden Staboder Plattenstücks eintreten soll; also

ö)

M—Da — Za Für die weitere Behandlung dieser Aufgabe sei ein wagerecht gelagerter Stab oder Platte von rechteckigem Querschnitt mit Höhe h und Breite b ins Auge gefaßt, welche nur von lotrecht gerichteten Kräften (Lasten und Auflagerdrücken) angegriffen und durch einen beliebigen Querschnitt in zwei Stücke abgetrennt sei, von denen eines in Abb. 3 dargestellt sein möge. Es sind nun in der Hauptsache die am oberen und unteren Rande des Querschnitts auftretenden größten, aber noch unbekannten Druck- und Zugspannungen ö₀ und du rechnungsmäßig festzustellen. Zu diesem Zwecke führen wir außer diesen beiden Unbekannten noch die Hilfsunbekannten x₀ und xu als die unbekannten Abstände der neutralen Schicht vom oberen bezw. unteren Rande sowie die Größen #₀ und tu als die gleichfalls unbekannten spezifischen Längenänderungen im beiderseitigen Abstand 1 von der neutralen Schicht ein; die entsprechenden Längenänderungen am Rande besitzen danach die unbekannten Werte *₀ x₀ und tuxu-Zur Auffindung der so gekennzeichneten sechs Unbekannten gehören bekanntlich ebensoviel Gleichungen, die sich folgendermaßen aufstellen lassen:

1. eine rein geometrische,

• 9)

x₀ + xu = h

2. eine gleichfalls geometrische, aus der Formänderung abgeleitete,

- &U

3. und 4. zwei aus der Beziehung zwischen Spannung und Längenänderung abgeleitete Gleichungen (vergl. Gl. 4, S. 3),

am —

— £oX₀\ <f^ = —

a    u al

^uXu-

In letzterer Gleichung haben «x und mx eine ähnliche Bedeutung in bezug auf Dehnung und Zugspannung wie früher « und m in bezug auf Zusammenpressung und Druckspannung.

Die 5. und 6. Gleichung sind durch die oben erörterten beiden Gleichgewichtsbedingungen gegeben, deren Kräfte B und Z und deren Moment noch näher zu berechnen sind.

Hierzu bezeichne G die Spannung an irgend einem Punkte des Querschnitts und des zu demselben gehörigen Flächenteilchens dF mit dem Abstand x von der neutralen Schicht, dann ist zunächst auf der Druckseite

am — — e.₀x

und demnach mit Benutzung der dritten Gleichung

am

x₀

G™

Es verhalten sich also bei Beton die Spannungen in der mten Potenz wie die Abstände von der neutralen Schicht. Bei Körpern, für welche m — 1, wie z. B. Schmiedeeisen und Stahl, ergibt diese Formel das bekannte der Navierschen Biegungstheorie zugrunde liegende Proportionalitätsgesetz. Aus obiger Gleichung folgt

G—G₀

und demnach

x = x₀

x = x₀

1) =

g dF —

Go r

7b>J

Ebenso wird

X = xu

z=

yxuJ

Mit dF—bdx geht die Gleichung D — Z über in %° 1

xmdx —

G₀b /

7xJ

Gub

m¹/~~

\ Xu. , 0

;T“ 1 xmldx

oder

G₀

ml

jM

(m-hl) _ Gu

m¹

\!xu «h

nh "\lx(mi + 1}

4-1 \Xu

oder endlich

G(> X₀ —

mx 4~ 1

Gu Xu .

. . 10)

Das Moment der Spannung GdF, bezogen auf die neutrale Schicht, also mit dem Hebelarm x, ist gleich GdFx, demnach das ganze Widerstandsmoment auf Druck- und Zugseite

f°xQi⁺¹)

7*oJ

O

dx\

aub f'U ( \ + [)

dx + ^7=-    }

i/xu j

also lautet die letzte Gleichung, die Momentgleichung:

Gq b

7x₀    1 + 2m

X₀

1 +- 2 m

(Tub

Hin

oder

+ a{/x,    1 + 2»«,

G₀bxl 4

m₁

Gubxi

11)

1 + 2 ml

(Bemerkung. Für Körper, bei welchen ax = « und die Formänderung der Spannung proportional ist, z. B bei Schmiedeeisen

und Stahl, wird m — mi — 1; die Spannung G₀ = au; x₀ = xu =    ,

und es liefert Gl. u Übereinstimmung mit der bekannten Momentgleichung M=G₀-    •)

Aus den so entwickelten Gleichungen lassen sich nun die für uns besonders wichtigen Unbekannten G₀ GUl x₀ und xu ermitteln.

b) Angeniihertes Verfahren.

-4—

Abb. 4.

Setzt man m = mx — 1, so ist dies gleichbedeutend mit der Annahme einer den Abständen von der neutralen Schicht proportional verlaufenen Spannungsverteilung (Abb. 4). Da die Inhalte der Spannungsdreiecke nichtsdestoweniger den unter a) betrachteten Werten D und Z annähernd gleich sein müssen, so ergeben sich, wie ohne weiteres aus dem Vergleich der durch punktierte Linien begrenzte Spannungsfiguren mit den geradlinig begrenzten hervorgeht, die Randspannungen (als Höhen dieserDreicke) etwas zu groß. Man hat also bei der Anwendung des nachstehend entwickelten angenäherten Verfahrens eine entsprechend höhere Sicherheit.

4. Abscherung.

a) Unmittelbares Abscheren.

Wird der Querschnitt F eines Betonkörpers auf unmittelbares Abscheren in Anspruch genommen durch eine zur Querschnittsfläche parallel gerichtete Kraft Q, so können die in der Querschnittsfläche erzeugten Schubspannungen als gleichmäßig verteilt angesehen werden; demnach ergibt sich die Schubspannung für die Flächeneinheit

r-R

F

10.

Das Verhältnis der Formänderungskoeffizienten von Zug zu Druck, also —¹ werde mit « bezeichnet; dasselbe ist mit der Zu-

a

sammensetzung und Verarbeitung des Betons veränderlich. Für die vier Unbekannten tf₀, <yu, x₀ und xu ergeben sich dann ohne weiteres die vier Gleichungen:

1) xu —J— x₀ — h ,

2) ff<>

x₀

öfi xu

o\ ao Xo ³⁾ ~2~ =

Hieraus folgt ohne weiteres:

—- — fJb —

<r„ x

1 \ Öo‘t’o ⁴⁾ “2-

(M IcO

hb—M.

Go —

co

(l + t>).....12)

<*u —

bh?

• . 13)

Nach den neuesten Versuchen von Bach') kann ^ zu 1,13 bis 1,46, also im Mittel zu 1,25 angenommen werden, und es ergibt sich somit

CO 1-0

(1 + 1,1) =

6,6 M

bh

= 1,1

bk²

und die Zugspannung

ff« =

QL R — 0 95 bh² “ ’

14)

oder bei gegebenen r und Q ergibt sich der Querschnitt

14 a)

l) Der Portlandzement und seine Anwendungen im Bauwesen, Seite 202.

11

I») Abscheren bei Biegung.

Die größte Beanspruchung auf Abscheren bei Biegung tritt ein in der neutralen Schicht, und    zwar in dem Querschnitt, für

welchen die Transversalkraft (Querkraft oder Schubkraft) am größten wird. Bei der Auflagerung    —

an beiden Enden (Balken auf zwei Stützen) wird die Transversalkraft stets unmittelbar neben dem größten Auflagerdruck A (Abb. 5) am größten und diesem gleich sein. Hat letzterer den Wert A,

___

ii-1.«--

fi

- 1,00

Abb 5.

so besteht für die Endscheibe am Auflager die Momentengleichung (Abb. 5)

woraus

Da — A • 1 ,

D —

a

2

Da aber a nach dem angenäherten Verfahren = ,, h ist, so wird

3 ä-i D — J h~

und bei der Breite b des Querschnitts in der am stärksten auf Abscheren beanspruchten neutralen Schicht, wie aus Abb. 5 ersichtlich, die Schubspannung

3 A • 1 1,00 t" 2 h -b-1

.    15)

Mit jeder wagerechten Schubspannung r ist eine lotrechte r' verbunden, welche wegen des Gleichgewichts des von ihnen angegriffenen Körperelementchens (Abb. 6) gegen Drehen, also wegen Gleichung r'-l = r*l einander gleich sein müssen, also

Abb. 6.

7>

t' = t=z

3 A 2 bh

.    .    15a)

12

II. Eisenbetonbau.

1. Einleitung.

Nachdem in neuester Zeit durch C. Bach, wie bereits im vorigen Abschnitt erwähnt, die für die Formänderung gedrückter Zement-, Zementmörtel- und Betonkörper bestehenden Gesetze zuverlässig festgestellt sind, kann man dazu übergehen, auch die statischen Berechnungen der Eisenbetonkonstruktionen auf eine wissenschaftlich richtigere Grundlage zu stellen. Bisher genügte das vom Verfasser angegebene und im Jahrgang 1886 des Zentralblatts der Bauverwaltung, Seite 462 sowie in der 1887 erschienenen sogen. Monier-Broschüre von ihm mitgeteilte Verfahren, welches durch das nachstehend entwickelte insofern ergänzt wird, als eben die Bachschen Formänderungsgesetze für Beton in Verbindung mit denen des Eisens und deren Einfluß auf das Rechnungsergebnis Berücksichtigung finden konnten. Wir halten auch hier an dem damals ausgesprochenen Grundsätze fest, wonach dem Beton nur Druck- und keine Zugspannungen zugemutet werden sollten, und der Eisenquerschnitt so reichlich gewählt werden müsse, daß er allein zur Aufnahme der Zugspannungen genügt. Wenn ein solches Verfahren auch einen geringen Mehraufwand an Material mit sich bringt, so gewährt es dafür eine erhöhte und einwandfreiere Sicherheit der Konstruktion sowie erhebliche Vereinfachung der statischen Berechnungen, beides Umstände, deren Beobachtung auch von den die Entwürfe und Berechnungen prüfenden Behörden gewünscht oder gar vorgeschrieben wird.

2. Druck.

a) Zentrischer Druck.

In einen stabförmigen Betonkörper mit dem Betonquerschnitt Fb seien Eisenstäbe mit Gesamtquerschnitt Fe parallel zu seiner Längsrichtung gleichmäßig verteilt eingebettet. Dieser Körper werde nach Richtung seiner Länge einem über seinen Querschnitt gleichmäßig verteilten Druck P ausgesetzt. Die Querschnittsabmessungen des Körpers seien jedoch im Verhältnis zu seiner Länge so groß, daß ein Einknicken desselben nicht zu

13

befürchten ist, vielmehr nur eine über den Querschnitt gleichmäßig verteilte Zusammendrückung eintritt, die also sowohl für den Betonkörper als auch für die Eiseneinlagen gleich groß ist. Aus dem letzteren Umstande läßt sich dann mit Hilfe der Formänderungsgesetze für Beton und Eisen ohne weiteres feststellen, mit welchen Anteilen beide Körperteile an der Druckübertragung tätig sind. Bezeichnet man ähnlich wie « für Beton, mit ß die durch die Spannungseinheit erzeugte spezifische Längenänderung des Eisens, mit die Beanspruchung des Betons, mit Ge diejenige des Eisens, so wird demnach (vergl. Gl. 4) die Zusammenpressung

<C« = <*eß

oder mit m = 1 (vergl. Seite 9)

01

oder unter Einführung der Elastizitätsmoduln (vergl. Seite 3)

o&

Eh

16a)

öle Fe

Das Verhältnis der Spannungen ist also unabhängig von der Größe der Querschnitte; dieselben verhalten sich umgekehrt wie die spezifischen Längenänderungen unter der Spannungseinheit und direkt wie die Elastizitätsmoduln der beiden Materialien; m. a. W., je nachgiebiger oder zusammenpreßbarer das eine Material ist im Vergleich zum anderen, um so geringer ist auch die in ihm erzeugte Spannung im Vergleich zu derjenigen des steiferen Materials.

Die auf die Querschnitte Fb und Fe entfallenden Druckanteile betragen • Fb bezvv. <Je • Fe\ für sie ergibt sich nach obigen Gleichungen das Verhältnis:

°6 • Fb (ft ' Fe

Die Anteile verhalten sich also direkt wie die Querschnitte und umgekehrt wie die spezifischen Zusammenpressungen unter der Spannungseinheit bezw. direkt wie die Elastizitätsmoduln; m. a. W„ der nachgiebigere Körper weicht dem Druck leichter aus, erleidet also auch einen geringeren spezifischen Druck, während der straffere Körper, hier das Eisen, der gleichen

ß Fh

Fb

Fb

a Fe Ee Ft

14

Zusammenpressung einen größeren elastischen Widerstand entgegensetzt.

Mit Summe Gb • Fb + °e • Fe — P u. Gl. 16) berechnen sich

dann leicht die Spannungen selbst, womit dann auch die Anteile

Gb • Fb und Ge • Fe bekannt sind, und zwar wird, indem man

« Fe    , .

ß Fb

= n setzt:

Gb —

Fb + nFe ’

Oe —

. .    17)

Fe H

■ Fb

Für die Ermittlung der Beanspruchung des Betonquerschnitts ist also der Eisenquerschnitt mit dem n fachen Betrage in Rechnung zu ziehen, während für die Feststellung der Eisenbeanspruchung

der Beton nur mit ~ seines Querschnitts in Ansatz zu bringen ist,

wenn beide Querschnittsanteile auf einerlei Material reduziert werden. Nach den neuen ministeriellen Bestimmungen ist n = 15 anzunehmen; hierbei ist Et = 2 250 000 kg/qcm und Eb = 150 000 kg/qcm gesetzt.

Wenn z. B. der Eisenquerschnitt zu l vH. vom Betonquerschnitt festgesetzt wird, ergibt sich

Gb —

Fb + 17) • 0.01 Fb ~ 1.15 Fb

und somit

Fb =

1,15 Gb

17a)

Fe =

115 Gb

Bei Fe= 2 vH. von Fb ergibt sich

17 b)

Fb =

1,30 Gb

und Fe —

65 Gb

b) Exzentrischer Druck.

Bei exzentrischem Druck entsteht neben dem Achsialdruck P das Biegungsmoment Pe. Ersterer verteilt sich nach den unter a) erörterten Gesetzen mit den in obigen Gl. 17) ermittelten Spannungen. Hierzu sind nun die durch das Biegungsmoment Pe erzeugten Zug- und Druckspannungen hinzuzufügen (vergl. unter 4 und 8).

15

3. Zug.

Da auf die Mitarbeit des Betons bei der Aufnahme von Zugspannungen verzichtet werden soll, so wird unter Voraussetzung eines unter 2 gekennzeichneten, nun aber von der Zugkraft P ergriffenen Eisenbetonkörpers die Zugbeanspruchung des Eisens

de =

Pe

und hieraus

de

4. Biegung.

Für die Beurteilungen der Biegungsspannungen gelten die bekannten unter I3 erörterten Gesetze. Wir haben nur noch die Wirkung der Eiseneinlagen hinzuzufügen und diejenige der Betonzugspannungen als nicht vorhanden anzusehen. Sowohl auf der Zugseite des Querschnitts als auch auf der Druckseite seien

Eisenstäbe parallel zur Stabachse eingelegt. Ihre Querschnitte Fe bezw. F\ seien im Verhältnis

oder

Stab-

Plattendicke h nur von geringer Höhe, so daß man die in ihnen auftretenden Zug-und Druckspannungen als gleichmäßig verteilt ansehen kann. Bezeichnet man letztere

zur

+■

Abb. 7.

AA ^ 5° 4

i <?i?

für die Flächeneinheit mit de und d*, so beträgt die Gesamtzug- und Druckspannung des Eisens de • Fe bezw. d* ■ Fle, welche gegen die neutrale Schicht mit den Hebelarmen iv und wx (Abb. 7) und den Widerstandsmomenten dg • Fe • w bezw. - F\ • wx, beide in demselben Sinne drehend, zur Wirkung kommen.

Wenn hier von vornherein die vereinfachte linear veränderliche Druckverteilung im gedrückten Betonquerschnitt zugrunde gelegt wird, vergl. 13b, S. 9, welche nach den früheren Erörterungen umsomehr zulässig erscheint, als die damit berechneten Spannungen sich etwas zu groß ergeben, so wird das Gesamt-

16

~x₀+o\-F\-

w + 0-e • Fe • w,

Widerstandsmoment des Querschitts unter Festhaltung der in 13, Abb. 4 u. 7, gewählten Bezeichnungen Öo^o 7 = —2~ • ⁶ ’

welches gleich ist dem Angriffsmoment oder

b +    ■ Fl (ar„ — rf¹) + <re • JV (d - x₀)

1)

A/ —

wenn mit d bezw. dl die bekannten Abstände des Schwerpunktes der Eisenquerschnitte von der Oberkante des Gesamtquerschnitts bezeichnet werden (vergl. Abb. 7).

Zur Auffindung der vier Unbekannten o₀, at, a] u. x₀ bedarf es also noch dreier Gleichungen; als solche sind vorhanden: eine Gleichgewichtsbedingung

2)

ß°2—■!> + <£-Fl

und zwei aus der Formänderung abgeleitete Beziehungen, insofern sich verhält

4)

d — x„

x₀

Aus den vorstehenden vier Gleichungen lassen sich die gesuchten Spannungen und die Lage der neutralen Schicht leicht berechnen.

Aus Gl. 2), 3) und 4) ergibt sich zur Bestimmung des Abstandes x₀ der neutralen Schicht vom oberen Rand die quadratische Gleichung

zl + 2-~-(F' + Fl)-x₀-2

■(d-Fe + d'-Fl) = 0 18)

Ist x₀ bekannt, so folgt die Druckspannung im Beton

6 M • x₀

b • 4 0 • (3 • d — x₀) -|- 6 • F\ n-(x₀ — dl) • (d — dP)

19)

die Zugspannung der unteren Eiseneinlage

. . 20)

(d — x₀) • n

X₀

ferner die Druckspannung der oberen Eiseneinlage

(T¹ — rr •

e o

(x₀ — dl) • n

X₀

17

In den meisten Fällen begnügt man sich mit Eiseneinlagen auf der Zugseite. Es fallen dann die Größen F\, G* und dl in obigen Gleichungen fort. Für die noch bleibenden drei Unbekannten G₀, Ge und x₀ bestehen dann drei Gleichungen

1)

M— g₀ •

G^ + 0:,-Fe(d — Xo)

3)

x₀

Bezeichnet man dies Randspannungsverhältnis Buchstaben v, so wird

<?!(?■

mit dem

n ,

x₀ —-j— d .

n -j- v

. . 22)

d. h. jedem v entspricht als Abstand der Nullachse von der Druckkante ein bestimmter, von ihm abhängiger Teil der

1000

Nutzhöhe d. Z. B. wird für v =

SH«?

40

— 25 der Abstand

x₀ -

15

CO x>

15 + 25 d ' d-

Aus den beiden vorletzten Gl. 2) u. 3) ergibt sich auch:

x₀ —

.    .    22 a)

und aus den beiden ersten Gl. 1) u. 2)

2 M

Go =

bx₀(d-^

. . 23)

und aus der mittleren Gl. 2)

<*e =

. . 24)

Die Gl. 23) u. 24) lassen sich auch unmittelbar aus der Abbildung ablesen, wenn man bedenkt, daß G₀

gesamte Druck- bezw. Zugkraft, und d— -y- den Hebelarm der Kräfte bedeuten, deren Momente gleich dem Angriffsmoment M sein müssen.

Koenen, Grundzüge. Vierte Auflage.

und Ge Fe die

18

Aus der Gl. 2) in der Form

bx₀

a₀ 2 Fe

die

>    (St

ist außerdem zu entnehmen, daß bei gleichem Verhältnis —

neutrale Schicht umso tiefer rückt, je größer für dieselbe Breite b

der Eisenquerschnitt Fe ist.

Eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung ergibt sich dadurch, daß man aus den zulässigen Spannungen die erforderliche Nutzhöhe d der Platte und den erforderlichen Eisenquerschnitt Fe ermittelt. Man spart hierdurch das zeitraubende Probieren (bei vorheriger Annahme der Plattendicke und des Querschnitts der Eiseneinlagen), ob die auszurechnenden Spannungen noch unter den zulässigen Grenzen sind.

Setzt man z. B. nach den ministeriellen Bestimmungen (So = 40 kg/qcm, ae = 1000 kg/qcm und n= 15, so ergibt sich aus Gl. 3)

1000

d — x₀

40

x₀

•15; hieraus x₀ — 0,375 d.

Mit diesem Wert erhält man dann aus Gl. 2) 40-0,375

1000-Fe =

• b, also Fe —

133

und schließlich aus Gl. 1)

M=z 40

• ~ (0,375 dy + 1000^- (d — 0,375 d),

woraus

d — 0,39-

iM

26)

folgt.

Zuerst ist d nach Gl. 26) zu ermitteln, dann Fe nach Gl. 25).

Selbstverständlich lassen sich ähnliche Formeln auf dieselbe Weise für irgendwelche anderen Werte von a₀ und ae ableiten.

Da bei solchen Bauten, die der Witterung, der Nässe, den Rauchgasen u. dgl. Einflüssen ausgesetzt sind, auch oft die Betonzugspannungen nachgewiesen werden müssen, soll hier kurz die Formel für oi, ermittelt werden, und zwar für den Fall, daß der Querschnitt nur Eiseneinlage auf der Zugseite erhält.

h — x₀

4)

19

Hierbei wird zwecks einfacherer Rechnung und brauchbarer Formel vorausgesetzt, daß die Druck- und Zugelastizitätskoeffizienten des Betons gleich sind, wobei sich, wie unter I3 nachgewiesen, nur ein unbedeutender Unterschied ergibt.

Die Bestimmungsgleichungen sind

+    b =

^n

1)

2)

3)

M—a₀

b(ji — x₀y

+ Ge Fe (d — x)

G₀ 0Co

x₀

Hieraus ergibt sich

b h²

₉--j- n Fe {d — x₀)

x₀ —

bh-\-nFe

. . 27)

°o —

3 Mx₀

bxl    b(h — x³₀) -f- 3 n Fe (d — x₀)²

. 28)

und

$bz- öo

h — x₀

X₀

29)

5. Abscherung.

a) Unmittelbares Abscheren.

Wird der Querschnitt eines Eisenbetonkörpers mit dem Betonquerschnitt Fb und dem Eisenquerschnitt Fe auf unmittelbares Abscheren in Anspruch genommen durch eine zur Querschnittsfläche parallel gerichtete Kraft Q, so können die in jedem der beiden Materialien erzeugten Schubspannungen als über deren Querschnitte gleichmäßig verteilt angesehen werden. Das Verhältnis der Schubspannungen zueinander richtet sich ähnlich wie bei der Verteilung der Druckspannungen nach dem Verhältnis des elastischen Widerstandes der beiden Materialien gegen elastische Verschiebung. Ist letztere für den Beton wmal so groß wie für Eisen, so wird die Schubbeanspruchung des Betons

2*

b) Abscheren bei Biegung.

Bei Biegung kann das Abscheren entweder in der neutralen Schicht des Betonkörpers oder längs der Oberfläche der Eiseneinlagen erfolgen. In beiden Fällen tritt es dort zuerst ein, wo die Transversalkraft am größten, also dicht neben den Auflagern.

Die Berechnung unterscheidet sich im wesentlichen nicht von derjenigen unter 1.4b für die Abscherung einfacher Betonkörper ohne Eiseneinlagen. Dort war (vergl. Abb. 5) am Auflager D • a — A • 1,00 (vergl. Abb. 8).

Für a tritt hier ein der mit x₀ bekannte Wert d — woraus

A-1,00

20

zh —

Fb -j- n Fe

. . 30)

und diejenige des Eisens

Fe -j —

n

Fb

. . 31)

j    x<>

d ~ “3"

Demnach wird bei der Breite b des Querschnitts in der am stärksten auf Abscheren beanspruchten neutralen Schicht, wie aus Abb. 8 ersichtlich, die Schubspannung

A • 1

1,00 • b ~~

(d

(3 d — x₀) b

32)

-i k-

__ z.

Die mit z verbundene, lotrecht gerichtete, also auch im Querschnitt des Stabes oder der Platte tätige Schubspannung z¹ ergibt sich ebenso wie unter 14, und zwar ist z¹ — z.

Die längs der Oberfläche der Eisenstäbe erzeugte Schub- bezw. Adhäsionsspannung, auch Gleitwider-stand genannt, erhält man durch b und Länge 1 (Abb. 8) entfallenden

Abb. 8.

Division der auf die Breite Eisenstaboberfläche in die Zugkraft Z, welche des Gleichgewichts wegen = D ist.

21

Bezeichnet man mit tu die gesuchte Schubspannung für die Flächeneinheit der Eisenstaboberfläche und mit U den gesamten Umfang der Querschnitte der Eisenstäbe, so wird (vergl. Abb. 8)

oder

U- 1,00-rU — Z—D

3Ä

(3 d — x₀) U U

. . 33)

Sobald im Beton die Schubspannung 1 den nach den neuen ministeriellen Bestimmungen zulässigen Wert von 4,5 kg/qcm überschreitet, wird es nötig, einen Teil der Eiseneinlagen, soweit dieselben nicht für die Übertragung des Biegungsmomentes erforderlich sind, durch Abbiegen unter etwa 45⁰ von der Zugin die Druckzone überzuführen oder andere gleichartig verlaufende Eisenstäbe hinzuzufügen und sämtlich durch genügende Verlängerung innerhalb der Druckzone und Umbiegen der Enden gut zu verankern, indem alsdann die Übertragung der Scherkräfte durch die schräg aufwärts gerichteten Zugkräfte der abgebogenen Eiseneinlagen unterstützt wird.

6. Biegung der Plattenbalken.

Unter Plattenbalken (Abb. 9) sei eine durch eine Eisenbetonrippe verstärkte Platte verstanden, welche demzufolge ganz oder annähernd T-förmigen Querschnitt besitzt.

Formeln sind auch *

In der Regel liegt die Verstärkungsrippe auf der Biegungszugseite, und die unter 4 für den rechteckigen Querschnitt entwickelten

hier gültig, vorausgesetzt, die Entfernung x0 nicht größer als die Plattendicke d0 sich ergibt, also die neutrale Schicht nicht au3erhalb der Plattendicke fällt. Im Grenzfall ist x₀ = der Plattendicke d₀, und es wird

daß

-sin....

Abb. 9.

G₀ =

bd₀\d —

F,(d

d₀

34) u. 35)

22

welche Formeln auch unmittelbar aus Abb. io zu entnehmen

bd₀

sind, da G₀ - - und Ge • Fe die gesamte Druck- bezw. Zugspannung

den zugehörigen

und d —

4o

Hebelarm darstellen.

Der dritte mögliche Fall ist derjenige, daß die neutrale Schicht in den Steg fällt (Abb. n).

Das Angriffsmoment ist ähnlich wie bei der unter 4, Seite 16 untersuchten Platte G₀ + gu

Abb. 10.

1)

• b • d₀ • IJ + Gg ■ Fe • (d — Xo)

mit den in Abb. 11 angegebenen Bezeichnungen.

a:

-t___

%—

rO

7.

'X

.2*1.

Abb. 11.

Zur

sich die

Berechnung der drei Unbekannten (T₀, du und o"e lassen drei Bedingungsgleichungen aufstellen

2)

G₀

x₀

Gu X₀ d₀

3)

4)

d — x₀

x₀

• b • d₀ — Ge ‘ Fgj

während sich der unbekannte Abstand y (Abb. 11) aus der Gleichung für den Schwerpunktabstand des Drucktrapezes vom oberen Rande

5)

Xo — y —

dp G₀ -f- 2 <su

3 G₀ -j- Gu

bestimmen läßt.

23

Aus den Gl. 2), 3) und 4) erhält man den Abstand der neutralen Achse

b-dl

n-Fe-d-1--g

x₀

Ti' Fe —|— b • d₀

und durch Einsetzen von <j₀ aus Gl. 2) in Gl. 5)

. . 36)

d₀

dl

. . 37)

y — x₀---f-

und schließlich aus Gl. 1) und 4) die Zugspannung im Eisen

6 • (2 • x₀ — d₀)

Og —

Fe • {d — x₀ -j- y)

hierauf aus Gl. 3) die Druckspannung im Beton

' 00

(f₀ - 0(5 *

x₀

. . 39)

n • (d — x₀)

Auch in diesem Falle lassen sich die Gl. 25) und 26) zur vorläufigen Ermittlung der Balkenhöhe d und des erforderlichen Eisenquerschnitts Fe mit genügender Annäherung verwenden, um das langwierige Probieren, wenn d und Fe vorher angenommen werden, zu umgehen.

Die bei der Biegung entstehenden Schubspannungen werden hierbei innerhalb der Rippe besonders groß, weil sie nur mit ihrer geringen Breite zur Wirkung kommt.

Mit Beibehaltung der bisher gewählten Bezeichnungen, denen nur noch bY als Breite der Rippe hinzugefügt sei (vergl. Abb. 11), wird entsprechend den Gl. 32) und 33)

3 A

(3 d — x₀) b

Da nun Zq im Vergleich zu A um so kleiner wird, je größer die Gurtbreite b gewählt ist, so genügt für die Aufnahme der Schubspannungen die Breite bu die zunächst von der Form, Größe und Anzahl der erforderlichen Eisenstäbe abhängt, in der Regel nicht. Es wird deshalb in den meisten Fällen nötig, die auf Seite 21 angegebene Abbiegung eines Teils der Eiseneinlagen, die nicht für die Aufnahme der Biegungsmomente erforderlich sind, von der Stelle ab vorzunehmen, wo die Schubspannung innerhalb der Rippe ihren größten zulässigen Wert erreicht; gegebenenfalls sind für diese Zwecke noch besondere Schrägstäbe mit genügend langen wagerechten Anschlußenden hinzuzufügen.

und t

bx t

(3 d — x₀) U

24

Wird der zulässige Wert mit rl (nach den ministeriellen Bestimmungen = 4,5 kg/qcm) bezeichnet und ergab sich r>z¹, so

A • T*

muß an der bezeichnenden Stelle die größte Querkraft =    - sein.

Aus dieser Bedingung folgt der Abstand £ der fraglichen Stelle vom Balkenende (Auflagermitte). Ist z. B. der Balken mit q kg/m belastet, so ist

fr:

<1

Die Größe des Querschnitts der unter 45° aufzubiegenden Stäbe ist aus der Zugkraft Z zu bestimmen, die von ihnen aufzunehmen ist. Diese beträgt (r — t¹) £ • bi

0,71

2 • ]/ 2

• (r — r¹) $ • h

Sind n Stäbe von je fl Querschnitt aufgebogen, so ist die

Zugbeanspruchung jedes Stabes

Üz —

n • fl

7. Biegung mit Achsialdruck (ohne Knickgefahr).

(Gewölbe, rahmenförmige Gebilde.)

/C

Abb. 12.

Erfolgt bei ungleichförmiger, z. B. einseitiger Anordnung der Eiseneinlage (Abb. 12) die Zusammenpressung dennoch gleichmäßig, so fällt der Druckmittelpunkt m des Achsialdruckes P nicht etwa mit dem Schwerpunkt s des Betonquerschnitts (wofür bei verhältnismäßig geringem Eisenquerschnitt auch der Schwerpunkt des Gesamtquerschnitts gesetzt werden kann) zusammen, vielmehr ist derselbe dem steiferen Eisenquerschnitt zugekehrt um ein Maß e, welches sich aus der Momentengleichung in bezug auf irgend eine, etwa durch Punkt s gelegte Achse ergibt, wonach P- e — ae- Fe- c.

Nach Einsetzung des Wertes für aus Gl. 17) wird

1 -|-----v

n

wobei das Verhältnis

Fe

mit v bezeichnet ist.

25

Ein Achsialdruck P mit Druckmittelpunkt s erzeugt demnach neben der gleichmäßigen Zusammenpressung noch eine Biegung durch das Moment Pe, welches somit einem bereits vorhandenen Biegungsmomente hinzuzufügen ist. Bei Berechnung der Spannungen in Gewölben ist also der auf die Gewölbemittelachse bezogene Hebelarm des Tangentialdruckes um die Größe e zu vermehren.

. 40)

Ob =

Für die allgemeine Lösung der Aufgabe sind den unter 4, Seite 16 u. 17 ermittelten Biegungsspannungen, welchen aber bei ungleichförmiger Eisenverteilung ein um das Nebenmoment Pe entsprechend abzuänderndes Biegungsmoment zugrunde zu legen ist, die unter 2, Seite 14 berechneten Achsialdruckspannungen hinzuzufügen. Man erhält dann bei Festhaltung der bisherigen Bezeichnungen als Gesamtdruckspannung des Betons 2 (M + P)

Fb + nFe •

1) • x₀ ^d g x₀^

und als Zugspannung des Eisens

M+P»

Ob --

•    . 41)

Fe\a---

x₀

Befindet sich auf der Biegungsdruckseite ebenfalls eine Eiseneinlage Fg, so sind die Biegungsspannungen nach 4, Seite 16 aber gleichfalls unter Berücksichtigung des ähnlich wie oben zu ermittelnden Nebenmoments Pe festzustellen, sie seien a'b bezw. alsdann werden die Gesamtspannungen

Ob — O₀ —j-

Fb+n{Fe + Fl)

. 42)

(F, + Fr]) + -

-Fh

. . 43)

Einfachere Ermittlung der Eisenquersclmitte für stab förmige Eisenbetonkörper mit Biegungs- und Achsial(irnck oder Zugbeanspruchung.¹)

Das in der Abb. 13 angedeutete, von den Querschnitten I und II begrenzte Balken- oder Rahmenstück stehe unter Ein-

0 Vergl. auch die Aufsätze von YVuczkowski und Verfasser in „Beton u. Eisen“, Jahrgang 191 x, Heft IX u. XV.

26

Wirkung beliebiger, links vom Querschnitt II angreifender Kräfte,

deren Mittelkraft R sei mit den zum Querschnitt II parallel und

senkrecht

M-,

gerichteten kräften N und Q. untersuchenden Querschnitt II muß diesen Kräften Gleichgewicht gehalten werden durch die inneren

Seiten-An dem zu

Y77///////n

Spannungskräfte, und zwar:

1.    durch die entgegengesetzt gerichtete Querkraft Q:

2.    durch die entgegengesetzt gerichtete Normaldruckkraft N, deren Angriffspunkt beliebig gewählt werden kann, für die vorvorliegende Berechnung

zweckmäßig im Schwerpunkt des Eisenquerschnitts;¹)

3. durch das den Kräftepaaren von N und Q mit dem Angriffsmoment Nn + Qa entgegengesetzt wirkende Widerstandsmoment der inneren Normalzug- und Druckspannungskräfte des Querschnitts II oder Nn + Qa = oeFe • m. Abgesehen von den durch die Querkraft Q erzeugten Schubspannungen erzeugt die Normalkraft N, welche sich über den Eisenquerschnitt gleichmäßig verteilt, in diesem die Druck-

Mi

• k'/L

Abb. 13.

um welche somit die aus dem Biegungsmoment Nn-\-Qa zu berechnende Zugspannung ae vermindert wird, so daß die Gesamtspannung im Eisen ae umgekehrt, so daß für den Querschnitt eme Normalzugkraft N N Zugspannung und demgemäß die aus dem Biegungsmoment Qa—Nn zu berechnende Zugspannung um den Betrag ¹

Für die Zulässigkeit der Annahme, daß sich N allein über den Eisenquerschnitt verteile, kann allerdings ein strenger Beweis nicht erbracht werden, da nicht festzustellen ist, ob und

x) Ähnlich der vereinfachten Spannungsermittlung mit Hilfe von Kernmomenten.

Spannung

Fe ’

Fe

ist. Ist aber N

entsteht, so wird auch

Fe

Fe

vermehrt.

27

inwieweit der Beton in Mitleidenschaft gezogen wird. So lange N eine Zugkraft ist, braucht man hierüber kein Bedenken zu haben, da ja ohnehin den Zugeiseneinlagen die sämtlichen in der Zugzone des Betons auftretenden Zugspannungen von jeher zugewiesen werden. Wenn aber N Druckkraft ist, fragt es sich doch, ob man die unter Umständen bedeutende Zugentlastung

N

von <ye um den vollen Druckspannungsbetrag ^ so ohne weiteres

vornehmen darf. Für die Zugkraft N scheint also die gemachte Annahme ebenso ungünstig wie für die Druckkraft N günstig, vielleicht zu günstig. Da aber in der Spannung ae auch die auf den Beton entfallenden Zugspannungen rechnerisch enthalten sind, wird man nun auch umgekehrt die von N auf den Beton entfallenden Druckspannungen ihr zugute rechnen dürfen.

Die Berechnung der Betondruckspannung muß natürlich in der üblichen Weise unter Zugrundelegung der Exzentrizität von Nf bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts, erfolgen, wobei ja neben dem Biegungsmoment auch die sich über den Betonquerschnitt gleichmäßig verteilende Achsialkraft N zu berücksichtigen ist,    v

8. Achsialdruck mit Knickgefahr (Stützen).

Die bekannte Eulersche Formel über Knickfestigkeit für gleichartigen Baustoff lautet:

Jn²

Hierin bezeichnet l die Länge des achsial gedrückten Stabes, J das kleinste Ouerschnittsträgheitsmoment, s die Sicherheitsziffer, r eine von der Befestigungsart der Stabenden abhängige Zahl und a wie bisher die spezifische elastische Formänderung unter der Spannungseinheit

Für den nach seiner Längsrichtung mit unverrückbaren Eisenstäben verstärkten Betonstab beziehe sich « auf Beton, ß mit derselben Bedeutung auf Eisen; «7& und seien die Anteile der kleinsten Trägheitsmomente des Beton- bezw. Eisenquerschnitts, deren Schwerpunkte als zusammenfallend vorausgesetzt werden.

Da man bei einem in sich fest verbundenen Körper, wie der hier vorliegende Verbundkörper mit unverrückbaren Eisenstäben — die Unverrückbarkeit der Eisenstäbe muß durch zuverlässige,

28

in nicht zu großen Abständen angeordnete Querverbindungen gewährleistet sein —, den Gesamtknickwiderstand als die Summe der Teilknickwiderstände annehmen kann, so wird

p=

r 712 sUß

wenn, wie früher, das Verhältnis

mit n bezeichnet wird.

In der Regel wird Jb mit der Form oder der zulässigen Dicke der Stütze gegeben oder anzunehmen sein; es ergibt sich dann

Je =

• ß--Jb .... 44)

7X"    n

8 PI²

Bei lofacher Sicherheit und für n = 15 ergibt sich:

10 PP

r ■ 2

J* =

15

. . 45)

oder

r-

P — ~r o

wobei P in Tonnen und l in m, Je und Jt, jedoch in cm auszudrücken sind.

Unter der Voraussetzung, daß die Stabenden in ihrer Achse fest geführt sind, eine Bedingung, welche bei Bauten wohl stets erfüllt ist, tritt für r, je nachdem beide Enden des Stabes frei beweglich oder fest eingespannt gehalten werden, die Zahl l bezw. 4 ein.

Für den ersten, meist vorkommenden Fall wird bei lofacher Sicherheit

. . 46)

im Falle beiderseitiger Einspannung wird

. . 47)

im Falle einseitiger Einspannung wird

Jb =

.    . 48)

Endlich ist für den Fall, daß das eine Ende eingespannt, das andere ganz frei ist

29

Auf das Ähnliche in der Form dieser Ausdrücke mit den in 2, Seite 14 entwickelten einfachen Druckspannungsgleichungen sei hingewiesen; während, dort die einfachen Flächeninhalte Fe und n Fb auftreten, sind es hier die Trägheitsmomente der Querschnitte. Auch ist das Verhältnis der Werte ähnlich demjenigen der entsprechenden Beziehungen für gleichartigen Baustoff.

9. Querbewehrung und Umschnürung achsial gedrückter Eisenbetonkörper.¹)

Bei der Ausgestaltung stabförmiger, in der Längsrichtung gedrückter Eisenbetonkörper zu Säulen, Druckstreben usw. kann aus Gründen der Raum- und Kostenersparnis, Leichtigkeit, Schönheit u. dergl. die Frage aufgeworfen werden, ob eine Querverstärkung von Nutzen ist. Auch die Druckversuche mit Eisenbetonkörpern von C. Bach (Berlin 1905) lassen keinen Zweifel darüber, daß die quer zur Druckrichtung angeordneten sogen. Bügel in Eisenbetonsäulen die Tragfähigkeit derselben erhöhen.

Schon im Jahre 1892 habe ich auf die Querverstärkung (auch Ringbewehrung oder Umschnürung) und deren Bedeutung für die Tragfähigkeit gedrückter Betonkörper aufmerksam gemacht, die auch in verschiedenen Staaten patentiert wurde. In meinen Patentschriften aus dieser Zeit (z. B. Schweizer Patent Nr. 4881) ist näher erörtert, wie man in Betonsäulen die Querdehnungen des Betons durch entsprechend eingelegte Querstäbe oder Ringe vermindern und so im Beton in der Querrichtung Druckspannungen erzeugen kann, die eine Verringerung seiner Beanspruchung zur Folge haben.²)

Bis jetzt wurde indes, soviel bekannt, der wissenschaftlichen Feststellung des Einflusses der Querverstärkung von keiner Seite nähergetreten. Ich selbst habe bei meinen Bauausführungen nur in ganz vereinzelten Fällen von Querversteifungen zu dem genannten Zwecke Gebrauch gemacht, weil ich auf Grund einfacher

J) Vergl. Aufsatz des Verfassers im Zentralblatt der Bauverwaltung 1907,

Nr. 16.

²) Die geschichtliche Seite der Sache bedarf der Erwähnung, weil der französische Ingenieur Considere im Jahre 1904 auf die Spiralumschnürung ein deutsches Reichspatent erhielt, das dem Verfasser im Jahre 1892 für die allgemeine Anordnung der Querverstärkung durch gerade Eisenstäbe oder umgelegte Ringe versagt blieb.

30

Anschauungen und überschläglicher Berechnungen gefunden habe, daß der Einfluß derselben auf die Tragfähigkeit nicht allzu hoch angeschlagen werden darf. Zur Erhöhung des Widerstandes gegen seitliches Ausbiegen oder Einknicken trägt die Querverstärkung natürlich nicht bei.

In bezug auf die Anordnung der Quereisenlage kann man unterscheiden zwischen unmittelbar und mittelbar wirkender Querverstärkung, je nachdem der Querdehnung durch umgelegte Eisenringe oder durch Vermittlung des Gleitwiderstandes quergelegter Eisenstäbe entgegengewirkt wird. Man wird erkennen, daß in beiden Fällen mit theoretisch gleichem Materialaufwand die gleiche Wirkung er/.ielt wird.

a) Unmittelbar wirkende Querbewehrung oder Umschnürung.

Wir behandeln zunächst die unmittelbar wirkende Querverstärkung und wählen zum Gegenstand näherer Betrachtung eine zentrisch gedrückte Betonsäule mit kreisförmigem Querschnitt, die mit umgelegten Eisenringen oder -spiralen (Umschnürung) versehen sei. Der gesamte auf dem Querschnitt lastende Druck sei P, der auf die Querschnittseinheit entfallende Druck p\ bei der Größe F des Querschnitts mit Halbmesser r ist dann

50)

F r²n

wobei r, also auch F, nach der Höhe der Säule veränderlich sein kann.

Wir betrachten nun die Formänderung und den Gleichgewichtszustand einer von zwei Säulenquerschnitten begrenzten Scheibe mit der Höhe a, die am Rande durch einen dicht anliegenden Eisenring von gleicher Höhe a eingeschlossen sei. Die Folge der gleichmäßig verteilten Drücke p ist nun zunächst eine Zusammenpressung der Scheibe in der Druckrichtung von p, sodann aber eine seitliche, konzentrisch geartete Ausdehnung der Scheibe, indem die einzelnen Ringe, in welche die Scheibe zerlegt gedacht werden kann, sich nach dem Rande hin gleichmäßig erweitern. Diese Erweiterung würde ohne Druckspannung erfolgen, wenn die Bewegung nicht durch den mehr oder weniger großen Widerstand des umgelegten Ringes aufgehalten würde. Da letzterer aber aus wesentlich steiferem Material besteht, welches der Dehnung wmal so großen Widerstand entgegensetzt

31

als der Beton, so erleidet die Innenfläche des Ringes seitens des gegen ihn andrückenden Betons einen radial nach außen gerichteten Druck. Gleich große, nach dem Mittelpunkt gerichtete Druckkräfte gibt der Eisenring auf die Randfläche der Betonscheibe zurück, in welcher sie durch alle Parallelzylinderflächen hindurch in gleicher Größe radial fortgepflanzt werden.

Da bei der beschriebenen Formänderung alle Punkte eines

Abb. 14.

Halbmessers auf demselben Halbmesser, auch die aufeinander folgenden Parallelkreise kreisförmig bleiben, so folgt, daß sowohl in den sich berührenden Ring- als in den Radialflächen Verschiebungen der einzelnen Flächenteilchen gegeneinander nicht ein-treten. In ihnen sind somit Schubspannungen nicht vorhanden; auf sie wirken also nur Normalspannungen, die dann bekanntlich Hauptnormalspannungen genannt werden und an irgend einem Punkte für die Flächeneinheit mit A bezw. B be-

zeichnet werden mögen. Die zu der radial

gerichteten Hauptspannung A senkrecht gerichtete und mit ihr gleichzeitig wirkende Ringspannung B (Abb. 14) ergibt sich ebenfalls als Druckspannung und, wie leicht zu beweisen, an Größe gleich A.

Zum Beweise hierfür betrachten wir den Gleichgewichtszustand eines Körperteilchens der Säule an irgend einer Stelle

B-dx’dy \ dx- dy

₄U

°^dZ

A-X’dw -dy "*•

(A.+dA)(oc -(- dx) d ü) -dy

x-dto -dy

-Y-/    3

Abb. 15.

B-dx-dy "ö

Abb. 16.

in den Abständen y vom Säulenfuße und x vom Mittelpunkt 0 (Abb. 15) des Säulenquerschnitts, welches im Grundriß von zwei unendlich benachbarten, den Zentriwinkel dx bildenden Halbmessern und zwei aufeinander folgenden Parallelkreisen im Ab-

32

Stande dx begrenzt ist und einer Scheibe mit der Dicke dy angehört. Auf dieses Körperteilchen (Abb. 16) mit den senkrechten Seitenflächen

xdwdy und dx dy sowie (x -j- dx') dw dy wirken dann in der Ebene des Querschnitts, und zwar in Richtung des Halbmessers die Radialspannungen

(.A -|- dA) • (x -f- dx) dw- dy — A • x dw • dy und senkrecht dazu die Ringspannungen Bdxdy, die den Winkel dw miteinander bilden und deren in die Richtung des Halbmessers fallende Mittelkraft R aus Krafteck Abb. 17 abgelesen werden kann, als Bogenlänge mit Halbmesser Bdxdy um Mittelpunkt C mit Zentriwinkel dw, so daß R = Bdx- dy • dw. Bedenkt man, daß der Ausdruck (A + dA) {x + dx) — A • x das reine Differential von Ax bedeutet, so besteht zum Gleichgewicht des Teilchens in radialer Richtung die Bedingung B dx dy ■ dw — dw • dy • d (Ax) . 51) Durch Weghebung von dw-dy und Integration erhält man mit Rücksicht darauf, daß B infolge der Jß-dx-dy Gleichheit der spezifischen Längenänderungen in allen Parallelkreisen sowohl in diesen als auch nach x unveränderlich ist,

\Bdx-dy

dw

Abb. 17.

Bx — A • x A — B.

52)

oder

Bei den durch die ganze Scheibe gleichbleibenden Spannungsgrößen A und B ist auch die ihnen entsprechende Dehnung der Längeneinheit überall gleich groß. Ist letztere an irgend einem Punkte eines Halbmessers im Abstande x vom Mittelpunkt gleich ab, so hat die Dehnung für die Strecke dx den Wert abdx\ am Rande erreicht somit die Gesamtdehnung in Richtung des Halbmessers die Größe r • ab. Die Vergrößerung des Scheibendurchmessers beträgt somit 2 reb.

Die Lösung der vorliegenden Aufgabe beruht nun in der Hauptsache darauf, daß auch der Durchmesser des umgelegten Eisenringes dieselbe Vergrößerung wie der Rand der Scheibe, also eine gleich große Dehnung ae, auf die Längeneinheit bezogen, erleiden muß. Durch Gleichsetzung der beiden Dehnungswerte läßt sich dann die Zugspannung des Ringes und die durch seinen Widerstand hervorgebrachte Radial- und Ringspannung in der von ihm einge-

33

schlossenen Betonscheibe herleiten. Der Umfang des Ringes 2 rn beträgt nach der Dehnung 2 rn +    2 rn= 2 (r + rse) n. Die Ver

größerung des Ringdurchmessers, die hiernach 2 rse beträgt, muß nach obiger Erörterung dem dort entwickelten Werte 2 rsb gleich sein, woraus folgt:'

. . 53)

Die Ermittlung der Größe von A oder B gestaltet sich nun sehr einfach, wenn man den Gleichgewichtszustand einer durch einen Durchmesserschnitt abgetrennten Halbscheibe ins Auge faßt (Abb 18). Auf sie wirken die senkrecht zur Schnittfläche nach innen gerichteten Druckkräfte B 2 ra, welche den entgegengesetzt

gerichteten Zugkräften R des Ringes gleich sein müssen, also

2 R — B 2 ra,

woraus

ra

. . 54)

(B ■ ’2 ra

Da A = B, so ist auch

. . 55)

Abb. 18.

Hat der Querschnitt des Ringes die Größe Fe und ist <Je seine Zugspannung für die Flächeneinheit, Ee der Zugelastizitätsmodul des Eisens, Eb derjenige des Betons, so wird auch

Bra = Ge • Fe

Bra

und

Fe

56)

ferner ist für den Eisenring die Einheitsdehnung

Ge

57)

Fe

Bezeichnet m den Querdehnungskoeffizienten, so ist bekanntlich

. . 58)

da aber se=eb, so folgt hieraus, wenn das Verhältnis Ee:Ei, gleich n gesetzt wird,

B—A =

(m — 1) -\-

mra

. . 59)

n'Fe

34

kann gedeutet werden als derjenige Eisenquerschnitt, der

2 Fe 2ra

auf die Flächeneinheit eines achsialen Säulenschnitts entfällt; wird derselbe mit fe bezeichnet, so wird

p-nfe

m -J- (m — 1) n /«

. 60)

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, verringern die Hauptspannungen A und B nun ihrerseits die durch die Hauptspannung p in der Hauptdruckrichtung hervorgerufene Zusammenpressung und dementsprechend auch die Beanspruchung des Säulenquerschnitts, die bei der Möglichkeit der freien seitlichen

Dehnung des Körpers einfach den Wert p = haben würde, bei der durch Querverstärkung oder Umschnürung eingeengten Querdehnung aber um so geringer ist, je unnachgiebiger die Querstäbe oder die umgelegten Ringe sind, je größer also fe und somit A und B sind.

Wenn für isotrope Körper, als welcher Beton angesehen werden muß, m — 4 angenommen wird, so folgt

61)

P n fe

4 —j— 3 nfe

Nun ist bekanntlich die Zugbeanspruchung in der Richtung von B, durch welche schließlich der Bruch erfolgt,

— B.

Fb —

p+A

Nach Einsetzen der Werte für B, A und m wird

Fö — Fr —

4 + 3 nft

. . 62)

und mit Hilfe von Gl. 56)

-

endlich ist, weil bekanntlich

np

4 + 3n/;

63)

ap=p —

=+

nfe

6 n fe, + 8

64)

nfe

Das zweite Glied in der Klammer von vorstehender Gleichung zeigt an, um welchen Bruchteil die Druckspannung p durch die

35

Querverstärkung oder Umschnürung verringert wird und daß dieser höchstens ¹/₆ von p betragen kann. Der Wert für n soll später aus den Ergebnissen der ßachschen Druckversuche abgeleitet werden

Beispiel 1.

Eine zylindrische Säule mit Querschnitt nach Abb. 19 von 30 cm Ringdurchmesser sei durch quergelegte 10 mm starke Ringe mit 4 cm Teilung (entsprechend einer Umschnürung durch eine gleich starke Spirale mit 4 cm Ganghöhe) und nach der Länge durch acht Rundeisen von 16 mm Durchmesser verstärkt. Auf ihr laste ein zentrischer Druck von

200 t ohne Knickgefahr. Wie groß sind die Quer-und Längsbeanspruchungen im Beton und die Spannungen in den Längsstäben, Ringen oder Spiralen? Zunächst ist die Betonpressung 200000

Abb. 19.

1)

n • 30²

= 215 kg/qcm

2)

(worin w=15) und die Druckspannung der Längseisen <re = 15^> = 15 • 215 = 3225 kg/qcm.

Da

2-l,00²--?

fe =

4,0 • 30

= 0,013,

so wird die Querzugspannung des Betons bei n = 37 (siehe unten)

215

3)

= 39 kg/qcm

4    3.37.0,013

und die Zugbeanspruchung der Ringe bezw. Spirale oe — 37 • 39 = 1443 kg/qcm.

Die Druckbeanspruchung des Betons

4)

5) ö-p = 215^1 —

37 • 0,013

6 • 37 • 0,013 -f 8

^ = rd. 206 kg/qcm.

b) Mittelbare Ouerbewehrung.

Gegenstand der Untersuchung, die nach den vorangegangenen Erörterungen jetzt sehr kurz gefaßt werden kann, sei eine Säule mit quadratischem Querschnitt und acht Längseiseneinlagen, die durch je sechs Bügel in der üblichen Weise verbunden sind (Abb. 20).

Der auf die Flächeneinheit eines achsialen Säulenschnitts entfallende Querschnitt je drei zueinander paralleler Bügel sei /e; b die Seitenlänge des SäulenquerSchnitts.

P sei der auf der Säule lastende Gesamtdruck, p der auf die Flächeneinheit des Betonquerschnitts entfallende Druck.

Die hier in Betracht kommenden Hauptunbekannten sind nun:

1.    öf, die Druckbeanspruchung des Betons,

2.    ce die Zugbeanspruchung der Bügel.

Als Hilfsunbekannte dienen:

3.    A die Hauptquerspannung in der Richtung der einen und

4.    B desgl. in der Richtung der anderen Symmetrieachse parallel zu den Seiten,

5.    6b die Querdehnung des Betons nach diesen Richtungen, bezogen auf die Längeneinheit,

6.    6g die Dehnung des Eisens der Bügel, desgl.

/ifedeb ß

Zur Auffindung der so gekennzeichneten sechs Unbekannten bedarf es also auch sechs Gleichungen, die, der früheren Entwicklung entsprechend, teils aus der Formänderung, teils aus den Bedingungen des Gleichgewichts abgeleitet werden können.

S)

i<-------}j------>1

*A

±t

\v

\b4\

IX

!    7)

föb—j-I

:_

h\

!<-

Abb. 20.

Abb. 21.

Die Formänderung muß, wie in Abb. 21 angedeutet, in der Weise erfolgen, daß eine Ausbauchung der Seiten eintritt, indem das Material da, wo es angehäuft ist, in der Nähe der Diagonalen am stärksten festgehalten wird. Aus ihr wie aus den eingezeichneten Spannungslinien ist zu entnehmen, daß in den Längsschnitten durch die Säulenmitte, welche Symmetrieachsen entsprechen,

37

Schubspannungen nicht auftreten, daß in diesen also nur Hauptnormalspannungen tätig sind, die demnach auf die Diagonalflächen cc und dd wie auf die zu den Seiten parallel gerichteten Schnittflächen bb senkrecht wirken. Auch ist ersichtlich, daß hier die Gleichung zwischen den Hauptspannungen A~ B in aller Strenge nur für den Mittelpunkt Gültigkeit hat, hingegen für alle übrigen Punkte des Betonquerschnitts nur angenähert richtig sein kann. Dasselbe gilt auch für die Beziehung zwischen fb und fe- Demgemäß sind auch die nachstehend aufgestellten Gleichungen nur angenähert richtig.

1-1 V1

o)

e./j — se

ob — p —

4)

*b ~ E (7e - Ee • £ g

1 fp + B

)    B • b = /g(7g b (vgl. Abb. 20)

Aus ihnen ergibt sich wie früher

7)

pnfe

m —j— (m — 1) nfe

mit m — 4 wird

pnf

4 + 3 nfe * •

. . 65)

oB — oA —

4 —j— 3 nfe

. . 66)

67)

Ge —

np

4 + 3 nfe

. . 68)

Gv—p

n • fe

6 • nf + 8

Zur Ermittlung von n können die ,,Druckversuche von Eisenbetonkörpern“ von C. Bach (Berlin 1905) benutzt werden. Wie aus dem Vergleich der dort mitgeteilten Dehnungsdiagramme hervorgeht, tritt die Wirkung der Querbewehrung erst in Erscheinung, wenn der Spannungszustand der Säule dicht vor dem Bruch erreicht ist, wobei der Zugelastizitätsmodul des Betons schon ganz erheblich zurückgegangen ist.

Zwar besitzen die Bachschen Versuchskörper keine Mittel-, sondern nur Randbügel, entsprechend den vier Längseisen in den

38

Ecken, infolge dessen die Querdehnung mit einer größeren Ausbauchung der Seiten verbunden, also eine gleichmäßige Verteilung der A- und ^-Spannungen noch weniger vorhanden ist. Immerhin geben dieselben einen vorläufigen Anhalt, und muß die genauere Bestimmung der Zahl n späteren Versuchen anheimgegeben werden.

Die Druckkörper von 90 cm Länge, quadratischem Querschnitt mit 25 cm Seitenlänge zeigten bei 250 mm Bügelabstand eine durchschnittliche Druckfestigkeit von 168 kg/qcm, bei 125 mm Bügelabstand eine durchschnittliche Druckfestigkeit von 177 kg/qcm, bei 62,5 mm Bügelabstand eine solche von 205 kg/qcm. Da die drei Körperreihen sonst genau gleiche Längsverstärkung von vier Stück 15 mm Stäben in den Ecken besitzen, auch der Querschnitt der 7 mm starken Bügelschleifen mit 2 . 0,385 qcm bei allen gleich groß ist, so kann der Festigkeitszuwachs nur eine Folge der vermehrten Bügelanzahl sein. Im ersten Falle entfällt

= 0,0025 qcm, im

auf 1 qcm der Achsialschnittfläche

zweiten doppelt so viel = 0,005 qcm und im dritten Falle 0,01 qcm Bügeleisenquerschnitt.

Nach Gl. 66) ergibt sich somit für den Festigkeitszuwachs von 9 kg die Gleichung

4.0,385

25 !25

177

168

4 + 3 n. 0,0025    4 + 3 n . 0,005 ’

woraus n — 39.

Aus dem Festigkeitszuwachs von 28 kg/qcm folgt:

177

205

4 + 3 n . 0,005    “ 4 + 3+ . 001 ’

woraus n = rd. 30.

Aus dem Festigkeitszuwachs von 37 kg folgt:

168

205

4 + 3 n . 0,0025 '

4 + 3 n .0,01 ’

woraus w = rd. 42.

Als wahrscheinlich richtigste Zahl kann nun wohl das arithmetische Mittel, also

= 37

39 + 30 + 32

angesehen werden, welche Zahl einem Zugelastizitätsmodul des Betons von 60000 kg/qcm entspricht.

39

Diese Zahl erscheint niedrig, bedenkt man aber, daß die Hauptwirkung der Querverstärkung erst nahe vor dem Bruch zur Geltung kommen kann, so mag wohl der Zugelastizitätsmodul des Betons auf rd. 60 000 richtig sein.

Mit n = 37 wird in den oben beschriebenen Bachschen drei Versuchskörpern nach Gl. 66) die Bruchspannung

168

<>B

4    3.37.0,0025

rd. 39 kg/qcm Zug,

bezw. gb —

177

4 + 3.0,005.37

— 39 kg/qcm Zug,

bezw. ob —

205

40 kg/qcm Zug.

4 -f 3 . 37.0,01 Wie vorauszusehen, müssen die Bruchzahlen nahezu übereinstimmen, da je eben unter Voraussetzung der gleichen Betonzugfestigkeit aller drei Körper der Mittelwert n festgestellt wurde.

Auch findet man nach Gl 67) die größte Zugspannung in den Bügeleisen n mal so groß oder 37.39 = 1443 bezw. 37.40 = 1480 kg/qcm, also sehr nahe der Elastizitätsgrenze, wie auch nicht anders zu erwarten war.

Beispiel 2.

Eine vierkantige Säule mit einem Geviertquerschnitt von 30 cm Seite nach Abb. 20, einer Längsverstärkung, bestehend aus vier Eckstäben von 16 mm und vier Mittelstäben von 10 mm

Durchmesser, sei in der Querrichtung durch je drei Doppelbügel von 7 mm Stärke mit 4 cm Teilung parallel zu den Querschnittseiten versehen. Auf ihr ruhe ohne Knickgefahr eine Last von 200 t. Wie groß sind die Beanspruchungen im Beton und in den Längs- und Quereisenstäben?

Zunächst ist die Betonpressung

200000

30² —f- (15 — 1) ^4.1,6²~

4.1,0²tt\

4    )

= 190 kg/qcm

(worin n— 15), und die Druckspannung der Längseisen cre = 15.190 = 2850 kg/qcm.

3.2.0,7².-

2)

Da

f.=

4,0.30

rd. 0,02,

40

so wird die Querzugspannung des Betons

190

4    3.37 .0,02 —

und die Zugbeanspruchung der Bügel

ce — 37.30,5 = 1129 kg/qcm,

3)

4)

Gj — Gß —

30,5 kg/qcm

die Druckbeanspruchung des Betons

37.00,2

5) cp — 190 •

(■

6.37 .0,02 -f 8

— rd. 179 kg/qcm.

10. Berechnung der Eisenbetonkörper mit vorgespannten Eiseneinlagen.

a) Achsial gedrückte Stützen (ohne Knickgefahr).

Das bis zu einem gewissen Grade tragfähige Eisengerippe einer Stütze mit dem Eisenquerschnitte Fe der lotrechten Tragstäbe (Formeisen) sei durch sein Eigengewicht und das des frischen, noch nicht erhärteten Betons der Stütze und der zunächst darauf ruhenden frischen Eisenbetondecke nebst der beim Bau stets vorhandenen Baulast (etwa 200 kg/qm) einer Vorspannung auf Druck unterworfen, welche bei der nach vorstehenden, den Bestimmungen der Berliner Baupolizei entsprechenden Annahmen, zu ermittelnden Belastung PL die Anfangsvorspannung

Ge —

Pi

Ft

erzeugt. Nach vollständiger Erhärtung aller in Frage kommenden Stockwerkdecken betrage die auf eine Stütze entfallende größte Gesamtlast (einschließlich der vorgeschriebenen Nutzlasten) P. Für die Berechnung der Betonbeanspruchung wird dann wie früher (vergl. Gl. 17)

P~Pi Fb -f- n Fe

Gb —

. . 69)

P-Pi .

Bei der Ermittlung der Eisenbeanspruchung ist jedoch die Vorpannung g\ zu berücksichtigen, um welche die aus dem Verbundkörper herrührende Druckspannung c\ zu vermehren ist, und zwar ist nach Gl. 17)

G-; =

Fe + irPu

n

b) Achsial gezogene Eisenbetonstäbe.

Die Eisenstäbe eines Eisenbetonhängestabes der an Bogen aufgehängten Fahrbahn einer fertigen, ausgeschalten und mehr oder weniger belasteten Brücke seien gezogen mit der Zugkraft Pj, die in den noch nicht umbetonierten Eisenstäben mit dem Gesamtquerschnitt Fe die Anfangsvorspannung

Pi

F,

erzeugt. Nach vollständig erhärteter Ausbetonierung der Hängestäbe betrage die ungünstigste auf einen Hängestab entfallende Gesamtbelastung P. Die Betonzugbeanspruchung wird alsdann wie früher

P-Px

Fb+nFe

71)

41

mithin ist die Gesamteisenbeanspruchung

i ,    2

-j- Üe -

Px

P-Px

Fe

•    . 70)

F‘+nFb

In gleicher Weise sind ähnliche Aufgaben leicht zu lösen.

öö =

die zusätzliche Eisenzugspannung

P-Px

Fb -1    Fb

n

mithin ist die Gesamteisenbeanspruchung

°C +(?« j- G - '77I¹ 4"

P-Px

Fe

In gleicher Weise sind ähnliche Aufgaben leicht zu lösen.

c) Auf Biegung beanspruchte Eisenbetonstäbe mit vorgespannten Zugeiseneinlagen.¹)

Ein Eisenbetonbalken mit Rechteck- oder T-förmigem Querschnitt besitze einfache Bewehrung mittels nahe der Unterkante angeordneter Rundeisenstäbe, die mit Hilfe von Schrauben-) oder

0 Vergl. Aufsatz des Verfassers im Zentralblatt der Bauverwaltung 1907,

Seite 520.

²) Vergl. Mitteilungen über Forschungsarbeiten, herausgegeben vom Verein deutscher Ingenieure, Heft 90 u. 91. Bach u. Graf: Versuche mit Eisenbetonbalken. Dritter Teil 1910, Seite 61 bis 84.

42

hydraulischen Pressen oder auf andere Weise in Anfangszugspannung versetzt seien.

Nach Erhärtung des eingebrachten Betons werden die Eisenstäbe sich selbst überlassen; sie bewirken dann, in dem Bestreben sich zusammenzuziehen, vermöge des Gleitwiderstandes in dem sie umgebenden Betonuntergurt, Anfangsdruckspannungen und wegen ihrer exzentrischen Lage im Balkanquerschnitt neben dem achsrechten Druck auch ein Moment mit Aufbiegung oder Krümmung des Balkens nach oben, welche der durch die spätere Belastung hervorgerufenen Krümmung nach unten in günstiger Weise entgegen wirkt. Beides, sowohl die gleichmäßig verteilten

Q) -J

-i

— Qj---i

ft

I

10,

L/

fl

T”

Abb. 22.

achsrechten Druck- als die Biegungsspannungen, haben eine elastische Nachgiebigkeit des Betons zur Folge, womit gleichzeitig aber eine entsprechende Entlastung oder ein Nachlassen der anfänglichen Anspannung der Eiseneinlagen verbunden ist. Es möge bedeuten (vergl. Abb. 22)

Fb den Inhalt des Querschnitts des Eisenbetonbalkens,

Fe desgl. seiner Eiseneinlagen,

Jb das Trägheitsmoment des Querschnitts, ov₂ die Anfangszugspannung der Eiseneinlagen nach Wegnahme der Spannvorrichtung und wieder eingetretenem Ruhezustände,

Gbz die ursprüngliche Zugspannung der Eiseneinlagen unter Einwirkung der Spannvorrichtung,

Gb(l die im Beton erzeugte Anfangsdruckspannung in der äußersten Schicht auf der Zugseite,

Gbd desgl. auf der Druckseite,

43

a und a¹ die Abstände der untersten und obersten Betonschicht von der wagerechten Schwerpunktachse des Querschnitts,

e den Abstand der Mittellinie der Eiseneinlagen von derselben Achse.

Der Gesamtzug der Eiseneinlagen beträgt dann Fe • «e*; der durch die zurückstrebenden Eiseneinlagen durch Vermittlung des Haftwiderstandes im Beton hervorgebrachte achsrechte Druck beträgt dann ebenfalls Fe • oe.z und das gleichzeitig wirkende Biegungsmoment .Fe-öA-e; daher ist die in der untersten Betonschicht erzeugte Anfangsdruckspannung

a- Fe- - e

c>bd —

Fe •

Jb

Fb

. . 73)

Zur Erzielung einer gegebenen oder angenommenen Anfangsdruckspannung öb(i wird hieraus die erforderliche Anfangszugspannung des Eisens

.    73a)

_    'h ■ Fb

e*~ bd aeFe-Fh + Fe-Jh *    '

Die ursprüngliche Zugspannung des Eisens womit die für die Spannvorrichtung erforderliche Zugkraft zu berechnen ist, muß nun etwas größer sein als    und zwar um den

Spannungswert, welcher der Zusammenpressung des Betons entspricht; letztere ist

°bd a

A ’

wenn Eb(i den Druckelastizitätsmodul des Betons bezeichnet; nennt man noch E,z den Zugelastizitätsmodul für Eisen, so wird die erforderliche ursprüngliche Anfangszugspannung des Eisens

(k ' — (fg —I⁻ ,,

2 tz

Jjbd

oder, nach Einsetzung des obigen Wertes für ae und des Wertes

für

, der nach den Vorschriften 15 beträgt

Fez

Ebd

Fb Jb

a e Fe • Fh -J- Ft • J\

f 15

. . 74)

Die Anfangsspannung in der obersten Betonschicht ergibt sich ähnlich wie (durch Gl. 73), und zwar ist

. . 76)

« • Ft • ae • e t Ft • a.

Jb

44

Hieraus folgt die Größe der auf die gesamte Eiseneinlage

des Balkens entfallenden, von der Spannvorrichtung zu leistenden Zugkraft

Z—cbd

Fh • Jb

+ 15 -F. -

a

. . 75)

Fb

Der die Erzeugung der Betondruckspannungen vermittelnde Haftwiderstand x zwischen Eisen und Beton folgt aus der Länge l

des Balkens und seiner Eiseneinlagen und dem Umfang U des Querschnitts der letzteren, und zwar ist die Haftspannung

Fe • Ge,

U--

------7,75---

-------4

4—

13Si.26f

Abb. 23.

77)

u-

Beispiel. Bei nebenstehendem Eisenbetonbalkenquerschnitt betrage die rechnungsmäßige Betonzugspannung der untersten Betonschicht 40 kg/qcm; diese soll aut 20 kg/qcm gebracht werden; soll demnach 40 — 20 = 20 kg/qcm betragen. Nach den gewählten Abmessungen beträgt (Abb. 23):

Jb =

Fb = rd. 1,15 • 0,25 + 0,75 • 0,50 = 0,6625 qm Fe — rd. 69 qcm.

0,50 • 0,60³

1,15 • 0.40³

0.65 -0,15³

= 0,0598 m⁴

Balkenlänge l — 10,0 m.

= rd. 412 kg/qcm

= 20 •

Es wird zunächst nach Gl. 73 a) die erforderliche Zugspannung der Eiseneinlagen in der Ruhelage 5 980 000 • 6625

60 • 55 • 69 • 6625 -f 69 • 5980000

demnach ist die ursprüngliche, durch die Spannvorrichtung hervorzubringende Zugspannung

= 412 + 15 • 20 •

55

= 687 kg/qcm.

45

Also beträgt die gesamte, von der Spannvorrichtung auszuübende Zugkraft

Z— 687 • 69 = 47403 kg.

Für die Wasserdruckpressen von 20 cm Kolbendurchmesser, deren je zwei auf einen Balken entfallen, ergibt sich somit ein Druck von

47 403

•> .

TT •

20-

= 755 Atm.

Die in der Oberkante des Querschnitts erzeugte Druckspannung des Betons ist

< =

40 • 69 • 412 • 55

69 • 412

5 980000

6625

(also Zugspannung).

= — 6,2 kg/qcm

Die Haftspannung ist

= 0,54 kg/qcm.

69 • 412

13 • 2,6 • n • 500 ln gleicher Weise sind ähnliche Aufgaben leicht zu lösen.

KRAKÖW

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46

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin W66

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