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Biblioteka Politechniki Krakowskiei

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EINFLUSS DER SCHUBKRÄFTE

AUF DIE BIEGUNG STATISCH BESTIMMTER

UND

DIE BERECHNUNG STATISCH UNBESTIMMTER

GERADER YOLLWANDIGER TRÄGER,

A NHAN G:

NEUE SCHWERPUNKTSBESTTMMUNGEN VON TRAPEZEN UND VIERECKEN, NEBST PRAKTISCHEN ANWENDUNGEN.

VON

ROBERT LAND

PROFESSOR AN D. K. OTTOMAN. INGENIEURSCHULE IN CONSTANTINOPEL.

MIT 26 ABBILDUNGEN IN HOLZSCHNITT.

‘■i oiLntiiciien Arbeiten

BERLIN 1895.

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

(GROPIUS’SCHE BUCH- U. KUNSTHANDLUNG.)

KRAKÖW

Sonderdruck aus der Zeitschrift für Bauwesen, Jahrg. 1894 und erweiterter Sonderdruck aus dem Centralblatt der Bauverwaltung 1894.

Alle Rechte Vorbehalten.

Wenngleich sich bereits verschiedene Schriftsteller mit dem Einflufs der Schubkräfte auf die Durchbiegung der vollwandigen Träger beschäftigt haben, so beschränken sich die bisherigen Untersuchungen fast nur auf die einfachen Träger (auf zwei Stützen) und ermangeln vielfach der Einfachheit der gefundenen Ergebnisse oder auch der Entwicklung derselben.¹) Diese theoretischen Untersuchungen, welche durch praktische Versuche bestätigt wurden, haben den verhältnifsmäfsig grofsen Einflufs der Schubkräfte auf die Formänderungen gezeigt. Von den Versuchen seien hier nur diejenigen erwähnt, welche zur Ermittelung der Elasticitätsziffern von Aufs- und schweifseisernen I-Trägern in der Anstalt für die Prüfung von Baumaterialien in Zürich vor einigen Jahren angestellt wurden. (Vgl. darüber: Heft III der Mittheilungen genannter Anstalt, sowie den Aufsatz von G-. Mantel in der Schweizer. Bauzeitg. 1889 I S. 99.) Es zeigte sich, wie auch bei anderen Versuchsanstalten, dafs die Elasticitätsziffern, berechnet nach den Zerreifsversuchen, stets höher waren als diejenigen berechnet aus Biegeversuchen derselben Baustoffe, wobei für die Biegeversuche die gemessenen Durchbiegungen mit den theoretisch ermittelten ohne Berücksichtigung der Schubkräfte verglichen wurden. Berücksichtigt man jedoch den Einflufs der Schubspannungen, welcher eine Erhöhung der so aus Biegeversuchen gefundenen Elasticitätsziffer nach sich zieht, so ergeben die beiderseitigen Ergebnisse eine, dem Genauigkeitsgrade der Ausführung der Versuche entsprechende recht befriedigende TJebereinstimmung. Da nun die Theorie der statisch unbestimmten Träger sich auf die Formänderungen stützt, mufs sich der Einflufs der Schubkräfte auch auf diesem Gebiete geltend machen. —

Es ist nun der Zweck des nachstehenden Aufsatzes, die bisherigen Untersuchungen zu erweitern, für die praktischen Anwendungen zu vereinfachen, das gefundene Verfahren auf einige Trägerarten kurz anzuwenden und schliefslich die Art der Untersuchungen statisch unbestimmter vollwandiger Träger unter Einflufs der Schubspannungen an einem Beispiele zu zeigen.

I. Die durch die Schubspannungen erzeugte Biegungsliuie.

Bei einem geraden, vollwandigen I-förmigen Träger werden die Schubkräfte (oder Querkräfte) V bekanntlich hauptsächlich vom Träger steg auf genommen und vertheilen sich über denselben in einem Querschnitte ziemlich gleichförmig, während die Gurttheile desselben nur einen sehr geringen Theil von V übertragen, da ihre Schubspannungen äufserst klein sind. (Vgl. i.- B. Keck, Vorträge über Elasticitätstheorie, S. 60.) Den Träger setzen wir zunächst als statisch bestimmt voraus. Ist F‘ der Querschnitt des Trägersteges, so kann für eine Trägerstelle im Abstande x vom linken Auflager gesetzt werden:

Vx

Die mittlere Schubspannung xx = -^₇-

tx

Vx

dMx

• (1)

Der Gleitwinkel yx =    =

Gr

wobei G — Elasticitätsziffer für Schub und Mx — Biegungsmoment für denselben Querschnitt (x), für den Vx die Schubkraft ist.

Anmerkung. Vorstehende Gleichungen gelten nur angenähert, da die Schubspannungen t sich in Wirklichkeit nicht allein und nicht ganz gleichförmig auf den Trägersteg vertheilen. Die genaue theoretische Untersuchung ergiebt, wenn F der ganze Trägerquerschnitt ist:

F'G F‘ Gdx ’ '

V    F

y~y-"pQi wobei * eine Zahl = ^ Zt²x/F .    . (la)

Denn die an einem Flächentheilchen ztF wirkende Gleitkraft r zlF

erzeugt eine Verschiebung —ff und sonach eine innere elementare

Cr

1 r² • ZlF• zlx

; die durch V, bei einer Ver-

Formänderungsarbeit = ^

Schiebung dt des ganzen Querschnittes gegen den um zlx benachbarten, erzeugte äufsere Formänderungsarbeit ist i

V-dt.

Hiernach entsteht die Gleichung:

t² • zlFztx

F-^==2

1 zIx „ „ jri

Zr- ■ JF, also:

x jpqi wobei * obiger Werth. Setzt man

in den Ausdruck für x den bekannten allgemeinen Ausdruck für t ein, welcher V im Zähler enthält, so verschwindet V² und es bleiben nur von der Querschnitts form abhängige Gröfsen übrig. So ergiebt sich z. B. für das Rechteck: * = ⁶/₅. Für das theoretische I - Profil (ohne Abrundungen) ergiebt sich aber bereits eine verwickelte Formel; will man noch die Abrundungen berücksichtigen, so verwendet man zweckmäfsig zur Ermittelung von * ein allgemeines zeichnerisches Verfahren, welches von W. Ritter in den „Anwendungen der graphischen Statik“ Bd. I angegeben ist. Nach diesem zeichnerischen Verfahren wurden die Zahlenwerthe z möglichst genau für eine Reihe von Querschnitten der deutschen Normall-Querschnitte ermittelt; (vgl. Mantel a. a. 0.). Anstatt dieses umständlichen Verfahrens kann man aber mit praktisch vollkommen genügender Genauigkeit nach dem Verfasser für X - Querschnitte einfach setzen (abzuleiten aus (1) und (la):

• (lb)

F voller Querschnitt

*£ —- — ---

F‘ Trägersteg für ganze Trägerhöhe’

wie man an nachstehender Zusammenstellung erkennt, welche die genauen zeichnerisch gefundenen Werthe mit denjenigen nach der einfachen Formel (lb) für drei weit auseinanderliegende Querschnitte enthält:

Werthe von z für I - Querschnitt.

Nr. 10

Nr. 30

Nr. 50

Genauer Werth:

2,34

2,14

2,03

Angenähert. Werth nach Formel (lb):

10,69

4,5

2,37

69,4

32,4

2,14

180,2

90

2,00

Vx

Setzt man also lb) in Formel la), so entstellt: yx

, iiber-

F‘G

einstimmend mit 1), wobei aber genauer unter F‘ der Querschnitt des Trägersteges für die ganze Trägerhöhe, d. h. bis zu den äufseren Querschnittsrändern zu verstehen ist.

Unbelasteter ZtcStomd-

/T\ /[\ 'T\ A

' v x y x y v

' \l/    \1/ \1/ \1/ M

Der blofse Einflufs der Schubkräfte bewirkt nur eine gegenseitige Parallelverscliiebung benachbarter, lothrechter Trägerquerschnitte , aber keine Verdrehung. Man kann sich diese, nur durch die Schubkräfte erzeugte Formänderung leicht in der Weise vorstellen, dafs man den Träger durch ein aus schmalen, gelenkartig verbundenen Eechtecken gebildetes Stabwerk mit starren Stäben ersetzt denkt, welches elastische Diagonalen (z. B. gleich gespannte Federn) enthält, Abb. 1; die im unbelasteten Zustande

Abb. 1.

rechteckige Form der einzelnen Fächer bildet sich dann bei einer Belastung zur Parallelogrammform aus.

Bemerkung. In entsprechender Weise kann man für den blofsen Einflufs der Biegungsmomente den Träger durch gelenkartig verbundene, starre Scheiben nach Abb. 2 ersetzt

Unbelasteter ZuStand.

Beleckter i Zustwnd.

Abb. 2.

denken, welche bei der gegenseiti-genVerdrehung einen elastischen Widerstand zu überwinden haben, den man sich z. B. auch durch Federn an den äufseren Scheibenrändern gebildet denken kann. Will man den gemeinschaftlichen Einflufs von Biegungsmomenten und Schubkräften (oder auch noch von Längs- (Normal-) kräften) für die Formänderung ermitteln, so hängt letztere nur von der Lage der erwähnten gedachten Gelenkpunkte und der Gröfse der Drehwinkel ab; vgl. darüber meine Aufsätze über die Formänderung ebener elastischer Gebilde, Zeitschrift d. Österreich. Ingen, u. Archit.-Vereins 1888 S. 174 und 1889.

Man kann nun zwei Fälle unterscheiden:

I) Trägerhöhe²) und sonach F‘ überall gleich (gewöhnlicher Fall).

Man erkennt aus Gleichung 1), dafs der Gleitwinkel yx für jede Stelle (x) mit dem Zuwachs d,Mx in demselben unveränderlichen Verhältnisse steht. Ist hiernach dM für eine gewisse Strecke unveränderlich, so ist es auch der Gleitwinkel y, d. h. einer geraden Strecke der M-Linie entspricht auch eine gerade Strecke der Biegungslinie. Aendert sich aber dMx, so ändert sich yx in gleichem Verhältnis, woraus leicht folgt:

1) Die nur durch die Schubkräfte erzeugte Biegungslinie (elastische Linie) ist affin mit der Momentenlinie, und die Gleitwinkel y können an jeder Trägerstelle durch die Neigung der Momentenlinie zur zugehörigen Nullachse gemessen werden. Diese Beziehung folgt auch aus folgender Betrachtung. Denkt man zu den gegebenen Lasten den Kräftezug mit der Polweite H= F‘G (Kraft) gebildet und zeichnet die zugehörige Seillinie (Momentenlinie) für einen Kräftepol, der eine wagerechte Schlufslinie liefert, so bildet jede Seilseite mit dieser Schlufslinie einen Winkel y‘ = yx, denn im Kräftezug ist die Strecke zwischen Polweite H und zugehörigem Polstrahl gleich Vx, sodafs entsteht, Abb. 3:

j V-Fläche

\Biegunc/slinie.

Abb. 3.

Vx    Vx

Ii F‘Gr

= ty y‘ = y‘ (da y‘ in Wirklichkeit äufserst klein).

Es ist aber nach (1):

Vx

F‘Gr

yx, also y‘ = yx.

Für eine beliebige andere Polweite H (anstatt H=F‘G) stehen entsprechende Winkel y‘x und yx in dem durch Division der beiden entsprechenden Gleichungen erhaltenen festen Ver-hältnifs:

Yx

F‘G’

Yx

wodurch die oben gefundene affine Beziehung bestätigt wird. Hieraus erkennt man, nach Abb. 3, dafs bei einfachen Trägern auf zwei Stützen (und auch bei Trägern mit einem eingespannten Ende, für welches x = o (vgl. Abb. 6), ursprünglich lothrechte Querschnitte auch nach der Formänderung lothrecht bleiben, sodafs unter Benutzung von Gleichung (1) auch folgt:

*dMx

X    /*■

Durchbiegung yx = f yxdx = /

K o

F‘G~    ⁽²⁾

Mx

.    .    (2a)

(wobei die Af-Werthe algebraisch einzusetzen sind), also auch im Einklang mit obigem Satze. Da bei einfachen Trägern auf zwei Stützen (ohne überhängende Enden) M₀ = o, folgt für diese einfach:

yx =

F‘G

Hiernach kann man die Durchbiegungen aus der Momentenlinie sehr leicht berechnen, oder zeichnerisch nach folgendem Satze ermitteln:

2) Die Biegungslinie, erzeugt durch die Schubspannungen, ist gleich der zur gegebenen Belastung (Pv P₂..) gehörigen Seillinie mit der Polweite PX=F‘G (Kraft).

Will man die Durchbiegungen in natürlicher Gröfse erhalten, so ist die Polweite im Verjüngungsverhältnifs der Zeichnung (z. B. ¹/loo) zu verkleinern; bei der Darstellung in m-facher natürlicher Gröfse ist die Pol weite noch weiter um das m- fache zu verkleinern und im gewählten Kräftemafsstab aufzutragen.

Allgemeines Beispiel. Wie grofs ist der Einflufs der Schubkräfte auf die Durchbiegung für einen Träger der Spannweite l bei gleichförmiger Belastung p, mit Trägheitsmoment J, Stegquerschnitt F‘.

Die Durchbiegung in der Mitte, erzeugt durch die Mo-

mente, ist bekanntlich: ym =

joZ⁴

c -^-T, wobei FJ

für Träger überall gleichen Querschnitts: c

384    76,8’

J-, (wobei J für 64

für Träger gleichen Widerstandes: c =

Trägermitte).

Für die ausgeführten Blechbrückenträger kann man als

—,³) also die Durchbiegung in

Zwischenwerth rund setzen: c =

der Mitte: ym =

1 pll 7ÖEJ'

Die Durchbiegung, erzeugt durch die Schubkräfte, ist nach Gleichung (2a):

Vv =

max

Mx

pl²

hiernach:

F‘G 8 F‘G‘

Das Verhältnis der zweiten Durchbiegung zur ersten ist yv 70 EJ 8~F⁷G^'

Nimmt man G = 0,4 E, so entsteht rund:

Um

e = 22

FT²

• • (3)

Setzt man durchschnittlich für das Stehblech F‘— lcm -0,1 l

so wird:

, wobei J und l in cm .    .    (3a)

t

Daraus erkennt man, dafs der Einflufs der Schubkräfte auf die Durchbiegung mit dem Trägheitsmoment J wächst, also auch, da J in einfachem Verhältnis mit der Gröfse der zulässigen Grenzbelastung (p) steht, auch mit p wächst.

Zahlenbeispiel. Blechträger für eine Eisenbahnbrücke⁴)

mit l = 10 m, Trägerhöhe = ^ l. Trägheitsmoment J setzt sich

zusammen aus Stehblech F‘= 1,1-94 = 103,4 qcm, 4 Winkeleisen 10-10-1,2 und 2 Kopfblechen, je 24-1,5 cm². Es ist das Wider-

Standsmoment W = Jje = 7900 cm³, also J = 7900 • 50 cm⁴.⁵) Hiernach berechnet sich nach (3):

= 0,084.

22 • 7900 • 50

103,4 • 1000²

Auch Formel (3a) giebt kein wesentlich anderes Ergebnifs, da für dieselbe allgemein A¹'= 1 cm• 0,1 Z gesetzt wurde, d. li. hier =100 qcm, während der thatsächlich ausgeführte Querschnitt 103,4 qcm nur wenig davon abweicht. Man ersieht hieraus: Die Schubkräfte vergröfsern die von den Momenten herrührende Durchbiegung im vorliegenden Falle um mehr als 8 v. H.

In ganz entsprechender Weise erhält man für einen Träger gleichen Querschnitts mit einer Einzellast in der Mitte das

Verhältnis: e =

, und bei Annahme desselben Zalilenbei-

30 J

F‘l²

Spieles: e — 0,115, also über 11 v. H.

II) Trägerhöhe, also auch F‘ veränderlich.

Dann folgt, entsprechend der obigen Betrachtung: x Vxdx

Vx

f«/.

F‘

dx =

Vxdx; .    .

.    .    (4)

WJ o

hierbei bedeutet Fß einen beliebigen, unveränderlichen Querschnitt (als welchen man zweckmäfsig einen der vorhandenen Trägersteg-

Querschnitte F‘ annimmt), Vx = Vx ■ Fcl' = gedachte (geänderte) Schubkraft, welche unter dem Träger durch V-Strecken als eine V-Fläche (verzerrte V-Fläche) dargestellt wird. Es ist nun:

Vxdx =[ F- Fläche]⁵) die für einzelne besondere Punkte leicht gefunden werden kann, sodafs:

jtqW- Fläche ]⁵ .... (5) Ein zeichnerisches Verfahren läfst sich auch leicht

Vx

ableiten; denn man kann aus der gedachten F-Fläche umgekehrt die entsprechenden gedachten Belastungen und hieraus die zugehörige (gedachte) Momentenlinie [M- Linie) als Seillinie ableiten, welche als gesuchte Biegungslinie aufgefafst werden kann, die mit einem gewissen Mafsstabe zu messen ist.

Die Nullachse der Biegungslinie. Da die Durchbiegungen an den Trägerstützen stets gleich Null sein müssen, ist die Nullachse der gesuchten Biegungslinie stets durch diese Bedingung bestimmt und fällt mit der zur Momentenlinie (oder M- Linie) zugehörigen Nullachse (Schlufslinie) nur dann zusammen, wenn auch die Momente über den Stützpunkten Null sind. Dies trifft für die einfachen Träger auf zwei Stützpunkten zu. Für Träger mit über den Stützen verlängerten Enden folgt hiernach:

Die Biegungslinie für den Trägertheil zwischen zwei Stützen A, B hängt nur von der innerhalb dieser Stützweite befindlichen Belastung ab und ist gleich der Biegungslinie für den entsprechenden einfachen Träger AB (ohne Verlängerungen). Nachstehend sind einige Beispiele verschiedener Trägerarten mit Erläuterungen gegeben, wobei überall gleiche Trägerhöhe (Falll) angenommen werde, da bei den selten vorkommenden Fällen verschiedener Trägerhöhe die Abweichungen nach Obigem leicht zu treffen sind.

1) Träger auf zwei Stützen ohne oder mit verlängerten Enden. Man ?eichne (oder berechne) die Momentenlinie, bezogen auf geradlinige Achse, dann kann dieselbe aufgefafst werden als gesuchte Biegungslinie, deren zugehörige Nullachse durch die beiden, den Stützen entsprechenden Punkte der Momentenlinie geht. Ein Beispiel ist in Abb. 4 dargestellt für einen Träger ABC mit einem verlängerten Ende; Momentenlinie (Abb. 4a) = A₁BIC₁, bezogen auf Ax C₁ = Af-Nullachse, Nullachse der Biegungslinie = B- Nullachse = A₁ B‘ C‘. Die Gleitwinkel y der Trägertheilchen können nach Satz 1) durch die Neigung der M- Linie zur M-Nullachse gemessen werden und sind für die Stellen A, B, D gekennzeichnet. In Abb. 4a ist die M-Nullachse wagerecht gezeichnet, daher sind hier ursprünglich lothrechte Querschnitte auch nach der Formänderung lothrecht gezeichnet; in Abb. 4b ist die B-Nullachse wage-

recht gezeichnet, wobei die Querschnitte nicht mehr lothrecht dargestellt werden können; der Einflufs der Belastung des ver-

Abb. 4.

Nr

■~H

«s.

L_

rr

-v

Abb. 4 a.

4i

mM

'ff------jT^rrr;^

B-Nullachpe.

Abb. 4b.

! !^90°

lungerten Trägertheiles B G äufsert sich daher in einer Neigung (Drehung) aller ursprünglich lothrechten Querschnitte gegen die Lothrechte um den Winkel dessen Gröfse sich, entsprechend Gleichung (2), ergiebt zu:

1 Mb F‘G ' l *

Die Durchbiegung yx innerhalb AB in der Entfernung x von A ergiebt sich rechnerisch nach Obigem und nach Gleichung (2a) zu:

yx —

M‘x F‘G’

wobei M‘x = Moment für den einfachen Träger AB ohne Verlängerung ist, Abb. 4a.

Abb. 5 stellt den besonderen Eall dar, wo der Trägertheil A B unbelastet ist und sich nur Lasten auf der Strecke B C befinden; dann ist die Momentenlinie A₁B‘Cl und die Nullachse der gesuchten Biegungslinie Ax B‘. Der Trägertheil A B bleibt deshalb geradlinig und erhält keine Durchbiegung, wohl aber verschieben sich die Querschnitte, da auf diesen Trägertheil eine Schubkraft V = Auflagerdruck A wirkt, welche eine

Gleitung y = d- =

-J— • hervorruft. Das Ergebnifs der F‘G l

Formänderungen ist in Abb. 5b dargestellt.

2) Einseitig eingespannter Träger mit freiem Ende, Abb. 6 und 6 a. Die M-Linie bezogen auf die Achse A₁Bi

Abb. 5. A

Abb. 5a.

Afr,

'"V=l^

Abb. 5 b.

^B-BulUche. //j

ist A‘ G‘ D¹ Bv Die zugehörige Nullachse der Biegungslinie ist AJBI//A₁B₁; denn auf das freie, unbelastete Trägerende BD wirkt keine Schubkraft, daher behalten die Trägertlieilchen ihre Kechteckform und die zugehörige Trägerachse ist nach der Formänderung der ursprünglichen Achse parallel.

Abb. 6.

\C

i~.

Abb. 6a.

cÄ

B-Nwlladtse.

1 M-NtMaAide.

Eür statisch unbestimmte Träger gelten die oben angegebenen Beziehungen nicht mehr; wollte man sie an-

wenden, so käme man auf Widersprüche. Als ein Beispiel sei nur der einerseits (bei A) eingespannte und andrerseits auf einem Stützpunkt B ruhende Träger mit überhängendem Ende B C angeführt, Abb. 7, der bei C eine Einzellast trägt. Die Momentenlinie zwischen A B ist

Ei

Abb. 7.

eine Gerade, daher mufs die Biegungslinie eine Gerade sein, und da sie durch A und B gehen mufs, könnte hiernach der Trägertheil A B seine Form nicht ändern,

da infolge der Einspannung bei A die lothrechten Querschnitte sich nicht wie bei Abb. 4 b und 5 b verschieben können. Dies widerspricht aber dem Umstande r dafs zwischen A und B eine Schubkraft, gleich dem Auflagerdruck A, vorhanden ist, welche

also auch einen entsprechenden Gleitwinkel y bewirken müfste, der nach den obigen Betrachtungen aber nicht entstehen könnte. — Aehnlich ist es hei anderen statisch unbestimmten, z. B. den durchgehenden (kontinuirlichen) Trägern. Der Grund für diesen scheinbaren Widerspruch ist, dafs bei allen Untersuchungen statisch unbestimmter Träger, welche ja auf der Betrachtung der elastischen Formänderungen beruhen, der Einflufs der Schubkräfte auf die Formänderungen nicht mehr getrennt betrachtet werden kann von demjenigen der Biegungsmomente, da erst die gemeinsame Wirkung beider Ursachen auf die Formänderungen die Auflagerbedingungen befriedigen mufs, aus denen erst die statisch nicht bestimmbaren Auflagerkräfte ermittelt werden, von denen wiederum alle Momente und Schubkräfte abliängen.

Bei den bisher bekannten Untersuchungen statisch unbestimmter vollwandiger Träger wurden fast stets nur die von den Biegungsmomenten herrührenden Formänderungen in Betracht gezogen, die von den Schubkräften erzeugten aber ganz vernachlässigt*). Würde man letztere aber auch berücksichtigen, dann würde sich die Momentenfläche derart ändern, dafs die unter Einflufs der neuen Momente und der zugehörigen neuen Schubkräfte erzeugte Biegungslinie die gegebenen Auflagerbedingungen erfüllt; denn gerade diese Bedingungen bilden ja die Grundlage der Untersuchung statisch unbestimmter vollwandiger Träger.

Als Beispiel, wie für einen durchgehenden Träger auf drei Stützen mit einer Einzellast P die Form der wirklichen Biegungsfläche (deren Ordinaten=Durchbiegungen sind) unter Einflufs der Schubkräfte bestimmt werden kann, sei Abb. 8 gegeben. Ist AD‘ C‘ B die unter Einflufs der Schubkräfte ermittelte Momentenfläche (die nach dem folgenden Abschnitt III

4»

c"

XL

-Fläche.

'\BieguMj$-FlächR.

A Abb. 8.

*) Vergl. jedoch: Engesser: Zur Theorie der continuirlichen Träger, Zeitschr. 'f. Baukunde 1878, wo die Schubspannungen zum ersten Male für einen einzelnen Belastungszustand angenähert berücksichtigt werden.

bestimmt werden kann), darunter gezeichnet A₁D₁C₁ Bx die dieser Momentenfläche entsprechende Biegungsfläclie mit der Achse A₁Bi, und zeichnet man die den Schubkräften entsprechende negative Biegungsfläclie zu derselben Achse AyBi (also abwärts gerichtete Ordinaten nach aufwärts), so bildet die zwischen beiden einzelnen Biegungslinien gelegene Fläche die wirkliche Biegungsfläche, da sie die algebraische Summe der Ordinaten der einzelnen Biegungslinien angiebt. Diese Biegungsfläche mufs bei Cx die Ordinate Null besitzen, der dortigen Auflagerbedingung entsprechend.

II. Die wirkliche Diegungslinie, erzeugt durch gleichzeitige Biegungs- und Schubspannungen.

Das im vorigen Abschnitt unter I angegebene zeichnerische Verfahren zur Ermittlung der, nur von den Schubkräften erzeugten Biegungslinie läfst sich vereinigen mit dem bekannten zeichnerischen Verfahren Molirs zur Ermittlung der von den Biegungsspannungen herrührenden Biegungslinie, wobei man die von den beiden Ursachen herrührende gemeinsame Biegungslinie in einfacher Weise wie folgt erhält.

I. Trägerhöhe und sonach auch F‘ überall gleich, a) Trägheitsmoment J überall gleich.

Früher wurde nachgewiesen (Satz 2, S. 6):

1)    Die Biegungslinie, erzeugt durch die Schubspannungen, ist gleich der zur gegebenen Belastung (Px, P₂..) gehörigen Seillinie Sx, mit der Pol weite HX = F‘G (Kraft).

Der Molir’sche Satz lautet für überall gleichen Querschnitt:

2)    Die Biegungslinie, erzeugt durch die Biegungsspannungen, ist gleich der zur Momentenfläche (mit der Dimension: Kraft • Länge²) als Belastungsfläche gehörenden Seillinie S₂, mit der Polweite H₂ — EJ (Kraft-Länge²).

Es handelt sich jetzt darum, einen gemeinsamen Kräfteplan zu finden, dessen zugehörige Seillinie die gesuchte Biegungslinie ergiebt.

Da sich eine Seillinie nicht ändert, wenn die Form des zugehörigen Kräfteplanes (einscliliefslich der Polstrahlen) sich ähnlich verändert, braucht man nur den einen Kräfteplan derart

zu verändern, dafs er die gleiche Polweite mit dem andern Kräfteplan besitzt und dann beide Kräftepläne passend zu vereinigen, wobei der Mafsstab für das Aufträgen des ersten Kräfteplanes ganz beliebig ist. Ist der Längenmafsstab der

— (z. B. a

Zeichnung =

= Yioo), so hat man für die zeichnerische

Bestimmung der Durchbiegungen in natürlicher Gröfse die

Polweite H\ = — • F‘G und Z£> = — • EJ im Mafsstabe der ¹ a    a

zugehörigen Kräftezüge aufzutragen. Ist nun die Polweite iJ2 zeichnerisch durch eine Länge b cm dargestellt, so hat man für den gesuchten, jetzt abhängigen Kräftemafsstab des ersten Kräftezuges (für Satz 1), ll = n cm (für die P und für Hv) die Bedingung:

Polweite

1 (F‘ Gf

ll

• n cm = b cm,' woraus:

ab

n - —^ bestimmt ist. r Cr

Da bereits zur zeichnerischen Ermittlung der Momenten-fläche [M- Fläche) ein erster Kräfteplan der P nach einem gewählten Mafsstabe: l⁽=ccm mit einer gewählten Polweite IP zu zeichnen ist, so wird man zweckmäfsig in diesen Kräfteplan (kurz genannt: P-Plan) sofort den andern Kräfteplan für die Seillinie S₁ (nach Satz 1) zeichnen, da die zum P-Plan und der M- Linie gehörigen Kräftestrahlen auf einer Lothrechten in einer zu bestimmenden Polweite U vom Pol sofort den Kräftezug für S± bilden, wie Abb. 9 zeigt. Die Strecken dieses letzten Kräftezuges mögen, zum Unterschiede von denjenigen der P, nachfolgend p±, p₂ • • benannt werden.

Dividirt man bei der Zeichnung der Seillinie S₂ die im zugehörigen Kräfteplan aufzutragenden Strecken von der Dimension: Kraft • Länge² sämtlich durch die erste Pol weite PL¹, so haben die aufzutragenden neuen Strecken die Bedeutung: Länge² = Fläche und stellen unmittelbar die wirkliche M- Fläche dar. Ist daher für den zugehörigen Kräfteplan (dessenStrecken fx, /₂.. seien) der Mafsstab gewählt: lcm=/’cm²

der gezeichneten JP Fläche (== fa² der M-Fläche in natürl. Gröfse), so ergeben sich die beiden Polweiten IL und Hx (als

//

\Si

T<

-M-Flcicke. IL

t£ ! k

rn

k i B

U<r

'4

(-icm—fc7nt derM-Fläche)

/»

«e-----

fs

Längen) zu:

77 _i.£^

¹ a 1*

Bwgwngs -^Flacke.!    j

«*-«1

-------

^3    /■ PC ,

(fe= C/X71)

Abb. 9.

H₂=--

EJ

a H (fa²) P' • 0,4 E

— cm

(P-Plan)

• • (6)

• w cm; aus der bedingten

Gleichheit H₂ — HL folgt als Mafsstab der p:

.    .    (7)

J-l*

qi ___

0,4 HF'fa* ' *

(Diese Formel folgt auch aus dem S. 14 gegebenen Ausdruck für n, wenn man darin H₂ nach (6) anstatt b setzt.)

Ferner folgt aus der Beziehung der beiden Kräftepläne 2p und 2P das Yerhältnifs:

hl 2p n Ht=2P ⁼ c’

zu:

wobei hl in demselben Kräftemafsstab wie die Polweite W zu messen ist, also nach: 1¹ = c cm. Sonach folgt die Pol weite h im P-Plan als Länge zu: h cm == hf • c — PP • n, also nach Gleichung (7)

h cm =

0,4 F‘fa²

cm .

. . (8)

Es handelt sich jetzt darum, aus den Strecken 2f und 2p einen vereinigten Kräfteplan mit der Polweite H₂ zu zeichnen. Dies kann in der gewöhnlichen Weise geschehen, indem man einen neuen Kräfteplan durch Anträgen der Strecken f und p in der durch die M- Fläche bestimmten Reihenfolge bildet, oder zweck-mäfsiger, indem man beide Streckenzüge der f und p getrennt und in entgegengesetztem Sinne auf beiden Seiten der Pol weite H₂ aufträgt und zum Zeichnen der Seillinie durch Zwischenstrahlen in richtiger, durch die M-Fläche bestimmter Reihenfolge vereinigt, Abb. 9.

Einflufs stetiger Belastung. Einer stetigen, z. B. einer gleichförmig vertheilten Belastung, wie sie in Abb. 9 die Last P₃ darstellt, entspricht auch eine stetige Krümmung der wirklichen Biegungslinie, da die einzelnen Biegungslinien Sv S₂, welche den gesonderten Einflufs der Schub- und Biegungsspannungen angeben, auch stetig gekrümmt sind. Bei der Zeichnung der wirklichen Biegungslinie als Seillinie zur Momenten-fläche als Belastungsfläche mit hinzugefügten, der gegebenen Belastung entsprechenden Lasten p, mufs deshalb eine gegebene gleichförmig vertheilte Belastung (z. B. P₃) als eine entsprechende, zur Momentenfläche hinzuzufügende Belastungsfläche dargestellt werden. Ist die gleichförmig stetige Belastung (P₃) über die Strecke e vertheilt (P₃ = p₃e), so ist also die im Mafsstabe der f zu messende Kraft p₃ in eine über e sich erstreckende

Belastungsfläche von der Höhe m umzuwandeln, d. h. nach der Bedingung:

.    . (9)

(p₃f) cm² = em, aus welcher m sehr leicht nach dem Yerhältnifs e:f = p₃:m zeichnerisch gefunden wird, wie bei der M-Fläche in Abb. 9 gezeigt ist, wo die wagerechte Projection der Schlusslinienverlängerung gleich p₃ ist.

Der die Biegungsfläche erzeugende Kräfteplan besteht hiernach links aus den Strecken fv f₂, f₃, f\, /v₅, von denen die drei ersten die Theile der anfänglich gegebenen, f\ und /v₅ die der vergröfserten M- Fläche darstellen, rechts im Abstande H₂ aus den Strecken pv p₂, entsprechend den beiden Einzellasten Pv P₂, und die Reihenfolge der Vereinigung beider Streckenzüge zur

Zeichnung der zugehörigen Seillinie ist bestimmt durch die Folge: fv pv f₂, p₂, f₃, f\, f‘h. Die gesuchte Biegungslinie berührt die gezeichnete Seillinie lothrecht unter den Theillinien der M-Fläche und verläuft stetig gekrümmt, bis auf die lothrecht unter den Einzellasten P befindlichen Punkte, wo sich ein Knick befindet.

Das Ergebnifs dieses Abschnittes läfst sich kurz durch folgenden Satz ausdrücken:

3) Die wirkliche Biegungslinie, erzeugt durch den Ein-flufs der Biegungs- und Schubspannungen, kann aufgefafst werden als eine Seillinie mit der Polweite IP₂ (Gleichung 6), deren zugehörige Belastung aus der gezeichneten Momenten-fläche besteht, vermehrt um eine, der gegebenen Belastung 3P entsprechende andere Belastung

2p--2P=.^2P, c    H

welche nach Obigem zeichnerisch leicht gefunden werden kann.

b) Das Trägheitsmoment ist veränderlich.

(Gewöhnlicher Blechträger mit Gurtplatten verschiedener Länge.)

Hier hat man anstatt der unmittelbaren M- Fläche bekanntlich eine [M• Jc/J)~ Fläche (verzerrte M- Fläche) zu bilden, wobei J das veränderliche Trägheitsmoment und Jc ein beliebiger, fester J-Werth, zweckmäfsig der gröfste der gegebenen J-Werthe, bedeutet. Im Uebrigen bleibt das oben angegebene Verfahren ungeändert, nur ist in den angegebenen Formeln Je für J einzusetzen.

Zahlenbeispiel betr. der Mafsstäbe. Es sei zu untersuchen ein Blechträger der Spannweite 10 m und der Belastung 20 t (über deren Vertheilung für vorliegenden Zweck nichts gesagt zu werden braucht). Es sei J veränderlich und max J = J₀ = 45 dem⁴ — 450 000 cm⁴, Trägerhöhe — 100 cm, Blechstärke = 1 cm, also F‘= 100-1 = 100 cm²; P== 2000 t/cm².

Es seien nun folgende Mafsstäbe und Pol weiten gewählt:

I) für die Längen: 1 cm Zeichnung = 100 cm Wirklichkeit (1 la — ViooX

II) für die P-Kräfte: 11=0,5 cm ( = c), mit Polweite H= 10 t

(= 5 cm), (also Last 20 t durch 10 cm dargestellt.)

III) für die /'-Strecken: 1 cm = 2 cm² (=/’) der gezeichneten, verzerrten M-Fläche, = (MJJJ)-Fläche.

Dann berechnet sich, bei der Ermittlung der natürlichen Gröfse der Durchbiegungen, die Pol weite iJ₂ des zugehörigen Kräfteplanes der f und p nach (6) zu:

1    2000-450000

1 EJC

TT

² a Hfa² 100    10-2 • 100²

= 45 cm.

Die Pol weite h, zu welcher im Kräfteplan der P die p-Strecken gehören, die im Kräfteplan der f (III) als Einflufs der Schubspannungen hinzugefügt werden müssen, folgt nach (8):

450000

Jo

h 0,4 F'fa*

= 0,56 cm.

0,4 • 100 • 2 • 1002 Will man die Durchbiegungen in mehrfacher natürlicher Gröfse haben, was behufs gröfserer Genauigkeit zu empfehlen ist, z. B. in 5-facher nat. Gr., so hat man für den Kräfte-

15

plan der f und p) die Polweite H₂ = — = 9 cm zu nehmen,

D

während die zugehörigen Kräftestrecken ungeändert bleiben.

II. Trägerhöhe, also auch F‘ veränderlich.

Man bilde, wie früher auf S. 8 angegeben, aus der V-Fläche zunächst eine V-Fläche (verzerrte V-Fläche), wobei V= V■ Fe/F‘ und Fe ein fester Querschnitt ist. Aus dieser V-Fläche leite man in einfacher Weise (durch Projiciren parallel der Achse der V-Fläche) die entsprechenden gedachten Belastungen P ab, welche nunmehr an Stelle der gegebenen Belastungen P für die weitere Behandlung zu treten haben. Aendert sich die Trägerhöhe stetig, z. B. geradlinig, und besteht die gegebene Belastung nur aus Einzelkräften, so besteht die V-Fläche aus Theilen von Rechtecken, die V-Fläche aus Trapez-ähnlichen Theilen und die gedachten Belastungen daher aus Einzelkräften und hinzuzufügenden vertheilten Belastungen.

III. Genaue Untersuchung statisch unbestimmter Träger unter Berücksichtigung des Einflusses der Schubkräfte.

Die bisher bekannte allgemeinste und zugleich wohl einfachste und übersichtlichste Untersuchung statisch unbestimmter

Träger nimmt als Ausgangspunkt das allgemeine Gesetz der Gegenseitigkeit elastischer Formänderungen.⁶) Da dasselbe bei vollwandigen Trägern ganz allgemein gilt, d. b. bei Berücksichtigung aller inneren Spannungen, so bildet es auch die Grundlage für die gekennzeichnete schärfere Untersuchung der statisch unbestimmten vollwandigen Träger. Da diese Untersuchungen sich weiter auf die Ermittlung der elastischen Formänderungen statisch bestimmter Träger gründen, auf welchen ein gegebener statisch unbestimmter Träger durch Wegnahme von Auflagerbedingungen stets zurückgeführt werden kann, so ist der allgemeine Gesichtspunkt dieser genaueren Untersuchung hiermit gegeben.

Als ein Beispiel möge der schon erwähnte einfache Fall eines durchgehenden Trägers auf drei Stützen A, C, B kurz angeführt werden, Abb. 10, und zwar in der vom Verfasser gewählten Behandlung in der Beigabe zum deutschen Baukalender für 1894 oder 1895, S. 110 und 113.⁷)

a) Erste Einflufsfläche, für den mittleren Stützendruck X = C, oder X-Fläche. — Die für den statisch bestimmten Trägerzustand X= C= 0 (d. h. Auflager C nicht vorhanden gedacht) von der Kraft X = G = 1< (abwärts) erzeugte Biegungsfläche ist die Einflufsfläche für (wxX), wobei wx = elastische Formänderung bei X und entsprechend X, also hier = Durchbiegung dG bei C; d. h. es gilt für mehrere loth-rechte Kräfte P die Beziehung:

-r 2Pi, Oc

wxX = —Pd, also X =

wobei d = Ordinate der genannten Biegungsfläche unter P.

Die genaue Biegungsfläche setzt sich aus zwei Theilen zusammen, demjenigen, erzeugt durch die Biegungsmomente M: AlC¹B₁ (= angenäherte Biegungsfläche), abwärts von der Nullachse A₁Bl gezeichnet, und demjenigen, erzeugt durch die

**) Andere Behandlung bei Müller-Breslau, Wochenblatt f. Archit. u. Ing. 1883 S. 353.

Schubkräfte V: At GrB₁, oberhalb A₁Bl gezeichnet, sodafs die Ordinatensumme 0 beider Biegungsflächen sofort abzugreifen ist. Unter der Annahme eines überall gleichen Blechquerschnitts ' und der Voraussetzung AC= CB=l und AB= — 2 l wird z. B., wenn der obere Zeiger die Ursache ausdrückt:

u • i\ u-(2 iy p 48FJ~ 48EJ ~~ 6EJ Mc 1

FG AF‘G 2 F‘G'

doM-

öj =

Für G = 0,4 wird: dj Verhältnifs s:

0,8 FF’

also das frühere

öl 6 EJl _ 7,5*7 0,8 F* EP    F‘P‘

öt

Setzt man, wie vorher, durchschnittlich F‘ = 1 cm • 0,11,

75 J

A <----x-

T~~

-->[z C-X.

so wird: e =

Dieser Werth e beträgt also nur ¹/3 des nach Formel 3a) berechneten Wer-thes, also wird bei Benutzung des früheren Zahlenbeispieles (mit 1= 10 m), der jetzige Werth e = Uo • 0,084 = 0,028.

Man erkennt leicht aus der zeichnerischen Darstellung, dafs der genauere Werth X = C (d. h. unter Einflufs der Schubkräfte) etwas kleiner ist, als der nur unter Berücksichtigung der Formänderungen durch die Biegungsmomente berechnete Werth, da das Verhältnifs ö/öc für die genaueren

X-Fläche.

¹ 7VX U

W-Flächen.

0')

A‘\

.+

4-

JffirjyFF W-Fläehen.

Divisor: O fM-Fläche

\])vviSor:

V~Flächey

a-AjA'.

Divisor: a.

Abb. 10.

Ordinaten etwas kleiner ist als für die angenäherten Ordinaten, welche von der geraden Nulllinie Ax Bx ausgehen.

ß) Die anderen Einflufsflächen unbekannter Widerstände W, oder die IF-Flächen. — Zeichne für den statisch bestimmten Trägerzustand X = G = 0 die Einflufslinien der W, kurz mit IF°-Linien bezeichnet, nach bekanntem kinematischen Verfahren⁸) als Biegungslinien derart, dafs die zu X gehörige kinematische Formänderung (d. h. die Durchbiegung bei C) gleich der elastischen Formänderung dc ist, wobei eine zu TF° gehörige kinematische Formänderung w entsteht. Dann ist allgemein:

Gesuchte TF-Fläche |    f TF°-Fläche — X- Fläche mit Ein-

mit Ordinaten d j    | heitsordinate (Divisor f. d. <3) = w,

wobei die nach a) gezeichnete wxX-Fläche jetzt kurz mit X-Fläche bezeichnet ist. Hiernach ist also: W=ljwXPd.

Damit der Unterschied der TF°- und .X-Fläche eine zusammenhängende Fläche bilde, ist es zweckmäfsig, diesen beiden Flächen nach einer Seite hin dieselbe Begrenzung zu geben, als welche hier die gebrochene A₁GrBl am passendsten ist, d. h. man bezieht die TF°-Linie auf die gebrochene Linie A₁CrB₁ als Nullachse. Aus obiger Bedingung, dafs die zur TF°-Linie gehörige kinematische Durchbiegung bei G gleich dc = CrG‘ sein mufs, folgt dann: Alle TF°-Linien, bezogen auf die gebrochene Achse A₁CVB, müssen durch C‘ gehen. Desgleichen folgt, wenn man dc nebst der ganzen, genauen Biegungsfläche (X-Fläche) von der geraden Nullachse A₁ Bl aus bis nach ((7) abträgt: Alle TF°-Linien, bezogen auf die gerade Achse Ax Bt, müssen durch ((7) gehen; diese Bedingung ist für die richtige Bestimmung der Einheitsordinate w nöthig. Man nenne, behufs nachfolgender kurzer Darstellung, die TF°-Linie, bezogen auf die gerade Nullachse AXBX, die erste, die andre TF°-Linie, bezogen auf die gebrochene Nullachse A₁CrB₁, die zweite TF°-Linie; entsprechend seien die TF°- Flächen bezeichnet.

1) Einflufsfläclie für den Endstützendruck A, kurz M-Fläche. Man denke bei beseitigter Stütze C den Stützpunkt A gesenkt, bis die Durchbiegung des Trägers bei G gleich öc ist; ziehe daher die Gerade BX(G)A‘, so ist A^B^tyA¹ = erste A°-Fläche, AlCrB₁C‘AJ = zweite A°-Fläche. Dann ist:

A- Fläche (Ordinaten d)

zweite A°-Fläche — X- Fläche (lothrecht schraf-firt), Einheitsordinate = Divisor w = Verschiebung A₁Ai = a-,

2Pd.

also für lothrechte Lasten: A =

zur

Da für die angenäherte A- Fläche die Gerade Bx G‘(A‘) mit Divisor AX(A') = (a) an Stelle von BXG‘A! tritt, sind die genauen A-Fläche gehörigen d-Ordinaten gegenüber den angenäherten für das linke Feld AG um die Ordinaten eines Dreiecks (A') C‘ A‘ gröfser, während sie für das rechte Feld CB sich nicht ändern. Hiernach erkennt man: Der genaue Werth A, verglichen mit dem angenäherten, ist gröfser für Lasten im linken Felde AG (wo Stützendruck A positiv), und um das e-fache kleiner für solche im rechten Felde CB (wo A negativ); oder mit anderen Worten: Die genaueren M-Werthe sind in algebraisch positivem Sinne gröfser als die an genäherten M-Werthe.

2) Einflufsfläche für das Moment AI, oder iLT-Fläche, für Querschnitt Z im Abstande x von A.

Man denke bei beseitigter Stütze C im Querschnitt Z ein Gelenk eingefügt und den Träger gesenkt, bis eine Durchbiegung dc bei G entsteht; dann ist, ähnlich wie vorher, die zweite M° - Fläche = A₁GrB₁G‘Z'AX, und es wird:

M- Fläche (Ordinaten d)

es ist also allgemein: M = xja~2Pd.

Aus dieser Gleichung folgt, dafs der Werth AI wieder von dem (absoluten) Verhältnifs d/a abhängt, und da für die angenäherte AI- Fläche die Gerade C‘(A‘) und die Strecke (a) = A^A') anstatt C‘A‘ und a tritt, erkennt man unschwer,

' zw. M°- Fläche — .X-Fläche (wagerecht schraffirt); Divisor w — Verdrehung bei Z, = a/x-,

dafs dieses Verliältnifs ö/a bei dem genaueren Verfahren gröfser wird für den Theil der positiven Momentenfläche und kleiner für die negativen Theile derselben; mit anderen Worten: Die genaueren Momente ändern sich, verglichen mit den angenäherten, alle wieder in algebraisch positivem Sinne.

Sonderfall. Die Einflufsfläche des Stützenmomentes

Mc ergiebt sich entsprechend:

Mc~ Fläche =

Mc°- Fläche — X-Fläche = A₁ CvBi C'A₁ — X-Fläche; Divisor = Verdrehung bei C, = a/l;

sonach allgemein: Mc = l/a^Pö.

Die Mc-Fläche besteht links und rechts von C aus nega

tiven Momentenflächen. Da sich hier für den genaueren Werth Mc nur a ändert, während die ö dieselben sind wie bei der angenäherten Mc-Fläche, und da der genauere a-Werth gegen den angenäherten auch in demselben Mafse gröfser ist, wie bei der zuerst ermittelten Ordinate öe, also um das e-fache, so ist der genaue J^-Werth bei jeder beliebigen Belastung um das e-fache kleiner als der angenäherte. Hiernach läfst sich für jede beliebige Belastung aus der angenäherten Momentenfläche sofort mit Leichtigkeit die genaue Momentenfläche zeichnen, da beide Momentenlinien (die genaue und angenäherte) als Seillinien aufgefafst, im linken Felde die linke und im rechten Felde die rechte Auflagerlothrechte zur Polarachse (oder Affinitätsachse) besitzen, wie Abb. 11 zeigt, d. h. die genaue

+■(:

Ai

/'/

Abb. 11.

M-Fläche ist gleich der angenäherten, im algebraischen Sinne vergröfsert um ein Dreieck von der Grundlinie AB und der Höhe eMc bei C.

3) Einflufsfläche für die Schubkraft V, oder F-Fläche, für Querschnitt Z.

Man denke im Querschnitt eine Gleitverbindung eingefügt und gebe der Gleitung bei Z eine solche Gröfse, dafs eine

Durchbiegung dc bei C entsteht; ist dann A₁Z“/)A/C‘, so ist die zweite V°-Fläche = A₁CVB₁ G‘Z‘Z“AX, und es wird:

a;

V- Fläche | f zw. V°-Fläche — X- Fläche (schräg schraffirt); (Ordinaten d) j | Divisor w = Gleitung Z‘Z/‘ = A₁A‘ = also allgemein: V = 1/a^XPd.

Da die V- Fläche auf der Strecke ZGB mit der A- Fläche ganz übereinstimmt, gilt für den Unterschied zwischen der genauen und angenäherten V- Fläche auf diesem Theile ganz dasselbe, was oben für die genaue und angenäherte A- Fläche gesagt ist; für Kräfte auf der Strecke AZ ist der genaue (negative) Werth V, absolut betrachtet, kleiner als der angenäherte, da hierbei V — A — P, und das genaue A für diese Strecke grofser als der an genäherte Werth ist, aber kleiner als P.

Vorstehende allgemeine Untersuchung liefert das Ergebnifs: Die genauen Endstützendrücke, Biegungsmomente und Schubkräfte ändern sich, verglichen mit den angenäherten, sämtlich in algebraisch positivem Sinne, d. h. positive Werthe ve'rgröfsern sich, negative verkleinern sich, absolut genommen.⁹)

Schlufsbemerkungen. Bezieht man die genaue X-Fläche auf die gerade Nullachse A₁ Bx (z. B. bei deren zeichnerischer Darstellung nach Abschnitt II), so hat man die Ermittelung der zweiten TU⁰-Linien nicht nöthig und die Darstellung bleibt genau so, wie sie vom Verfasser in der Beigabe zum Deutschen Baukalender gegeben ist; obige etwas geänderte Darstellung wurde nur deshalb gewählt, um die Art der Abweichungen des genaueren von dem bisher bekannten Verfahren leichter festzustellen. — In ähnlicher Weise lassen sich andere statisch unbestimmte vollwandige Träger untersuchen, worauf hier jedoch nicht weiter eingegangen werde, da der Weg solcher Untersuchungen hiermit gegeben ist.

Neue Schwerpunktsbestimmungen Ton Trapezen uncl Vierecken, nebst praktischen Anwendungen.

(Erweiterter Sonderdruck aus dem Centralbl. d. Bauverw. 1894.)

I. Neue Sehwerpunktsbestimmung von Trapezen.

(Yon S. 192 des Centralbl. d. Bauverw.)

Eine

Bei der zeichnerischen Lösung von Aufgaben im Gebiete der Ingenieurwissenschaften ist die Schwerpunktsbestimmung von Trapezen eine der am häufigsten auftretenden Zwischenaufgaben. Obgleich die allgemein bekannte zeichnerische Lösung derselben sehr einfach ist, hat sie doch den einen Nachtheil, dafs sie neben der Trapezfläche ziemlich viel Baum erfordert, noch einfachere Lösung, welche gleichzeitig diesen Nachtheil vermeidet, sei nachstehend gegeben.

C5

\m*

\__

Abb. 1.

Abb. 2.

Sei ab cd das gegebene Trapez, Abb. 1, m₁ m₂ die Mittellinie und S der gesuchte Schwerpunkt, so ziehe de || Diagonale ac, so ist m₁S= x{₃mxe.

Beweis: Sind in Abb. 2 Sv S₂ die Schwerpunkte der durch Diagonale bd gebildeten Theildreiecke, so finden folgende Beziehungen statt:

1)    S₁S₂ || ac, da Sx und S₂ auf den durch a und c gehen

den Mittellinien der Theildreiecke liegen.

2)    Sx liegt auch auf Mittellinie mx d, wobei m₁ Sx = i/₃m₁d.

3)    Schwerpunkt S liegt auf Sx S₂ und auch auf Mittellinie

m₁ m₂.

Hieraus folgt, da de \ ac, also auch || SL S, dafs mi S = ¹J₃m₁e. — Statt der oben gegebenen Lösung kann man hiernach auch folgende benutzen:

Mache mx8x — ¹/₃m₁d, to trifft 8X 8 || ac die Mittellinie mxm₂ in 8. Die erste Lösung ist jedoch die einfachere, da sie, ohne die Geraden ac und de selbst zu ziehen, nur die Bestimmung des Punktes e auf mxm₂ erfordert.

II.

(Mittheilung auf S. 458 u. 459 des Centralbl. d. Bauverw.)

Handelt es sich um den Vergleich verschiedener zeichnerischer Verfahren zur Lösung einer gegebenen Aufgabe, so ist für den Techniker dasjenige das zweckinäfsigste, welches Genauigkeit, Uebersichtlichkeit und Kürze möglichst vereinigt, wobei diese drei Eigenschaften meist gegenseitig einander bedingen, indem ein kurzes Verfahren durch die geringe Anzahl erforderlicher Hülfslinien damit zugleich übersichtlich und genau wird. In den meisten praktischen Fällen wird die Mittellinie am einfachsten entweder von vornherein gezeichnet, oder das Zeichnen derselben ist überhaupt nicht nötliig, wie an den weiter unten befindlichen Beispielen gezeigt wird. Auch werden durch das Mitteln und Dritteln von Strecken stets einige Hülfslinien gespart, was zur gröfseren Uebersichtlichkeit beiträgt. Will man auf weitere Einzelheiten eingehen, so lassen sich aus dem mitgetheilten Verfahren leicht noch andere, auch einfache Abarten der Lösung ableiten, die je nach den gegebenen Umständen passende Verwendung finden können.

I. Gegeben die durch den Schnitt f der Diagonalen gehende Mittellinie mxm₂.

VA

1) Lösung ohne Parallelenziehen, Abb. 3. Mache fm₂ = m₂e, so ist mx 8 = ¹/₃m₁ e.

Ct‘

Abb. 3.

Beweis: Da de ]| ac (vgl. Abb. 2), mufs auch ce || bd sein, also dfce ein Parallelogramm , woraus fni₂ = m₂ e. (Ein entsprechendes Verfahren erhält man durch Verlängerung des unteren Theiles fmx der Mittellinie um sich selbst.)

2)    Lösung nur innerhalb des Trapezes. Da Smx = Vsmie — Vs (mi /’+ 2 /’wz₂) u.mxf> fm₂, mufs Smx > fm2 sein und zwar setze man:

Smx = fm₂ + Sg, wobei mxg = fm₂; hiernach ist:

= fm₂ + Sg = Vs Kf+ 2 fm₂), woraus

% = Vs K/— M) = Vs fg>

¹

Es seien hier genannt die Schriften von Grashof, Theorie der Elasticität, Castigliano, Theorie des Gleichgewichtes elastischer Systeme, Winkler, Theorie der Brücken I. Heft, 2. Aufl., W. Ritter, Anwendungen der graphischen Statik I. Bd., Land, Biegungslinien ebener elastischer Gebilde, Zeitschr. d. Österreich. Ing. u. Arch.-Ver. 1889, Heft 4, Zschetzsche, Centralblatt der Bauverwaltg. 1893 S. 386.

²

Bei Blechträgern die Höhe der Blechwand.

³

Vgl. Steiner, Handbuch der Ingen. Wissensch. Brückenbau II, 2. Aufl. S. 294.

⁴

Zahlenwerthe entnommen der Tafel vom Handbuch der In-genieurwissensch., Brückenbau II S. 406.

⁵

J-Werth bei Abzug der Nietlöcher; bei genauerer Berechnung der Formänderungen mufs der J-Werth für den vollen Querschnitt eingeführt werden.

⁶

Zuerst allgemein genau bewiesen vom Verfasser, Wochenblatt für Baukunde 1887 S. 14, noch erweitert in der Schweizer. Bau-

⁷

zeitg. 1888 II S. 66. — Vgl. auch Müller-Breslau, Graphische Statik II.

⁸

Vgl. Land, Schweizer. Bauzeitung 1887, Bd. II S. 157, Zeitschr. d. Österreich. Ing. u. Arch. Ver. 1888; kurzer Abrifs auch in der Beigabe zum Deutschen Baukalender f. 1894 od. 1895 S. 93.

⁹

Für die Biegungsmomente und Schubkräfte folgt dieses Gesetz auch unmittelbar aus der algebraisch positiven Aenderung AA des Stützdruckes A, welche entsprechende Aenderungen AM = AA • x und A V = AA bewirkt.

% = Vs K/— M) = Vs fg>

d. h. der Trapez Schwerpunkt stimmt überein mit dem Schwerpunkte eines Dreiecks, gebildet aus den beiden Diagonalen und derjenigen zu den Parallelseiten gezogenen Parallelen, welche durch einen in Bezug auf die Parallelseiten zu f symmetrisch gelegenen Punkt geht. Daher die Lösung: Mache nixg = fm₂, dann ist Sg — ¹/sfg■ (Vgl. den allgemeineren Fall Abb. 12.)

Bemerkung: Bei geringem Unterschiede von ab und cd wird die Strecke fg klein, sodass es dann praktisch vollkommen genügt, die Festlegung von S durch Drittelung von fg nur durch Augenmafs zu bewerkstelligen, wobei das Verfahren also sehr einfach ist.

3)    Vermeidung der Drittelung. Mache fm₂ = m₂e, ziehe ei^ab, so geht ai durch S; denn da ei = 2?nxa, folgt Se = 2Smx, also mxS = ¹limxe.

II. Die Mittellinie wird nicht gezeichnet.

4)    Bestimmung der den Parallelseiten parallelen Schwerachse. Diese Aufgabe kommt, wie weiter unten noch besonders erwähnt, bei zeichnerischen Untersuchungen vielfach vor. Bestimmt man den Schnitt S‘ der genannten Schwerachse mit einer Diagonalen, so läfst sich aus jeder der obigen Lösungen 1) und 2) eine entsprechende Lösung für vorliegenden Fall bilden, wenn man jedes angegebene Verfahren anstatt mit der Mittellinie mit einer Diagonalen ausführt. So entsteht z. B. entsprechend Lösung 2): Mache auf Diagonale ac:ag‘ = cf, so ist g‘S‘ = ¹/₃g‘f. Beweis: Die Diagonale wird durch das Verfahren in demselben Verhältnisse getheilt wie vorher die Mittellinie, und da m₂c || mxa, mufs auch SS' || ab sein.

5)    Einfachste Schwerpunktsbestimmung. Durch Abb. 2 ist nachgewiesen, dafs die Verbindungslinie Sx S₂ der Schwerpunkte der durch eine Diagonale (bd) gebildeten Theil-dreiecke parallel der andern Diagonale (ac) ist, (vgl. Abb. 4). Die beiderseitigen Verlängerungen von SlS₂ schneiden daher

tL

Abb. 4.

auf den Parallelseiten bis zur Diagonale ac die gleichen Strecken x — ak — cl ab, und da S₁d = 2 S₁m₁, so folgt dl = 2mxk, j d. h. wenn die grofse und kleine Parallelseite des Trapezes wie üblich mit a und b bezeichnet wird:

b -f x = 2 (aJ₂ — x) = a — 2 x, woraus x = ¹/₃ (a — b) = ¹/₃ u,

dP

<!

'8

wenn u = a — b — Unterschied der Parallelseiten ist. Die im Abstande x=¹/₃u von der Ecke a zur Diagonalen ac gezogene Parallele geht hiernach durch den Schwerpunkt S, und da die Diagonale ac vor der anderen bd nichts voraus hat, so folgt die ein-fache Beziehung, Abb. 5:

Abb. 5.

Die in dem Abstande x — Ys (a — b) = m/₃ von den Ecken der gröfseren Grundlinie gezogenen Parallelen zu den Diagonalen schneiden sich im Schwerpunkt 8.

Ziehe daher cn || ad und mache ak=bk‘ = x/₃bn = ¹/₃u, so schneiden sich die durch k und k‘ zu ac und bd gezogenen Parallelen in 8. Dies ist das einfachste Verfahren zur Schwerpunktsbestimmung, weil es nicht einmal die Zeichnung der Mittellinie erfordert. (Vgl. die allgemeinere Lösung Abb. 13.)

^XaT_\

Abb. 6.

Bemerkung. Als Grenzfall folgt hiernach für das Dreieck, Abb. 6: Die durch die Drittelpunkte einer Dreiecksseite zu den beiden andern gezogenen Parallelen schneiden sich im Schwerpunkt 8, ein Satz, dessen Eichtigkeit sofort einzusehen ist.

6) Anderes Verfahren (Abb. 3). Mache ag‘ = fc, ziehe durch g‘ die Parallele zu ab und verbinde die auf den Diagonalen liegenden Endpunkte dieser Parallelen mit den anderen Diagonalmitten, so schneiden sich beide Geraden in S. — Nebenbei bemerkt schneidet die Gerade g'g zwischen den Diagonalen die Strecke u = a — b ab, wie leicht nachweisbar (z. B. durch Ziehen einer Geraden durch g' parallel bei), eine Eigenschaft, welche mit Verfahren 5) und Abb. 5 in Beziehung gesetzt werden kann. (Vgl. Abb. 12 mit zugehörigem Text c.)

Anwendungen der Verfahren auf technische Fälle.

A-

1) Anstofsende Trapeze mit gemeinsamer Mittellinie. Dieser Fall kommt bei der zeichnerischen Untersuchung geradlinig begrenzter Stützmauern und den Untersuchungen über Erddruck und Wasserdruck vor, wo die Flächen, welche den Querschnitt, den Erd-oder Wasserdruck angeben, in Trapeze mit gemeinsamer Mittellinie getheilt werden (Abb. 7). Hier wird also die Mittellinie von vornherein gezeichnet und man kann zwei Unterfälle unterscheiden:

>\

Abb. 7.

a) Die Theiltrapeze haben verschiedene Höhe. Die Zeichnung erhält die geringste Anzahl von Hülfspunkten bei Anwendung des oben zuerst angegebenen Verfahrens, d. li. durch Festlegung der verschiedenen Schnitte e auf der Mittellinie und Drittelung der Strecken mxe (vergl. den Stützmauerquerschnitt in Abb. 7 mit Abb. 1). Die Zeichnung enthält dann keine einzige Hülfslinie aufser der Mittellinie.

b) Die Theiltrapeze haben gleiche Höhe, ein Fall, den man meist einrichten kann. Dann ist das hier unter 5) gegebene Verfahren das zweckmäfsigste und kürzeste, da die Seitenunterschiede u = a — b für alle Trapeze gleich sind und die Strecke ¹f₃ u deshalb nur einmal bestimmt zu werden braucht; das Verfahren ist dargestellt im rechten Theile von

Abb. 7, ein Erddruckdreieck vorstellend. Liegt die Spitze des Erddruckdreiecks in der Oberkante der Stützmauer, so liefert die Grundlinie des oberen Theildreiecks sofort die Strecke u, wodurch sich das Verfahren noch abkürzt.

2) Beliebige anstofsende Trapeze. Dieser Fall kommt z. B. vor bei der Untersuchung von Gewölben und der Ermittlung der Biegungslinien vollwandiger Träger. Im ersten Falle (Abb. 8) bilden Gewölbe und Belastung eine gemeinsame Belastungsfläche, welche durch Lothrechte in Flächenstreifen zerlegt wird, die angenähert als Trapeze angesehen werden; im anderen Falle (Abb. 9) wird die (mitunter verzerrte) Momenten fläche

Abb. 9.

Abb. 8.

durch Lothrechte in Trapeze zerlegt, als Belastungsfläche in lothrechtem Sinne angesehen, deren zugehörige Seillinie die gesuchte Biegungslinie in gewissem Mafsstabe ergiebt. In beiden Fällen handelt es sich nicht um die wirkliche Schwerpunktslage der Trapeze, sondern nur um die Lage ihrer lothrechten Schwerachse, weshalb hier mit Vortheil die oben angegebene Lösung 4) Verwendung findet. Es wird hierbei für jedes Trapez eine Diagonale gezeichnet, auf derselben werden die beiden Punkte f und g‘ festgelegt und S‘ durch Drittelung der Mittelstrecke bestimmt. Die Zeichnung der verschiedenen Mittellinien fällt also ganz fort.

Nachtrag.

Schwerpunktsbestimmung eines beliebigen Vierecks.

Da die Beziehungen unter I. 1) und 2) der ersten Mittheilung für jedes beliebige Viereck gelten, folgt daraus sofort, Abb. 10:

a) Der Schwerpunkt eines beliebigen Vierecks ist der Schnittpunkt der durch die unteren Drittelpunkte Sv Sx‘ der Geraden

mxc und mxd gezogenen Parallelen zu den c und d gegenüberliegenden Diagonalen. (8X kann hierbei auch durch Sx Sx || de gefunden werden.)

dA

'S]

Abb. 11.

Abb. 10.

b)    Zieht man de || ac und ce || bd, so folgt aus ähnlichen Beziehungen der Dreiecke SXSXS und dee, sowie mxSxS und mxde weiter: Der Schwerpunkt ist der untere Drittelpunkt der Strecke m^e, d. h. S ist der Schwerpunkt des Dreiecks abe. Daher die weitere einfache Lösung ohne Benutzung der Seitenmitte mx, Abb. 11: Bestimme Schnitt e, dann ist S der Schnitt der durch die Drittelpunkte von ab gezogenen Parallelen zu ae und he. (Yergl. Abb. 6.)

c)    Es ist folgende Beziehung bekannt, Abb. 12: Bestimmt man die auf beiden Diagonalen zu ihrem Schnittpunkte f symmetrisch gelegenen Punkte cld‘ (d. h. ist ac¹ = cf, bd‘ = df), dann ist der Schwerpunkt S des Vierecks gleich dem Schwerpunkte des aus den mittleren Diagonalstrecken gebildeten Dreiecks fc‘d‘. Dieser Schwerpunkt kann demnach auf verschiedene Weise gefunden werden, z. B. durch Verbindung von c‘ und df mit den Mitten mf, m“ der andern Diagonalen, oder durch Drittelung einer dieser Verbindungsgeraden, z. B. mV, wobei die Bestimmung von d‘ wegfällt. Aus dieser Beziehung lassen sich nun andere Lösungen wie folgt ableiten.

d.

dt

di

Ji

~^>b «

ff

¹ ff

d)    Giebt man den Seiten des Vierecks Pfeile nach gewissem Umfahrungssinne, wie nach Abb. 12 (entsprechend einem geschlossenen Kräftezuge), so ist die Strecke c'd‘ gleich der geometrischen Summe u (Resultante) der Gegenseiten ab und cd; denn zieht man z. B. bg 41= cd, so ist ag die geometrische Summe u von ab und cd, und J cdf ^ J gbd‘, also ist gd‘ 4# cf # «e'; daher ag 4t¹ c'd‘= u*). Da nun S der Schwerpunkt von J fc‘d‘, schneidet die Parallele durch S zu ac die Strecken c‘d' und u — ag in den nächst c‘, a gelegenen Drittelpunkten; und da entsprechendes für die von b aus nach Gröfse und Richtung symmetrisch abgetragene Strecke u gilt, folgt die fernere allgemeine Lösung, Abb. 13:

Trägt man von den Eckpunkten einer Seite (ab) ein Dritt-theil der geometrischen Summe u zweier Gegenseiten nach Gröfse und Richtung auf, so schneiden sich die durch deren Endpunkte > gezogenen Parallelen zu den Diagonalen im Schwerpunkte S des Vierecks. (Vgl. Abb. 5.)

e)    Bei vorstehender Lösung braucht man die Diagonalen des Vierecks selbst nicht zu zeichnen; will man aber das Ueber-tragen von m/3 von einer Ecke des Vierecks nach der andern vermeiden, so mufs man eine Diagonale bd zeichnen und erhält die Lösung nach Abb. 14, wobei h, i die Drittelpunkte von u sind: Ziehe hh‘ || ii‘ \ ac, so trifft iJ S || ag — u die Gerade hh‘ in S.

Schlufsbemerkung. Weitere Lösungen vorstehender Aufgaben im Anschlufs an obige erste Mittheilung wurden gegeben von Lewin, P. Tobien, R. Labes, L. Ellerbeck im Centralblatt der Bauverwaltung 1894 S. 280, 312, 460.

*) Andrer Beweis im Sinne geometrischer Summen:

= ab ~j- c‘a -f~ bd‘ — c‘d‘.

u — ab -f- cd = ab

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