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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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tu

THEORIE

DES

ERDDRUCKS

AUF GRUND DER

NEUEREN ANSCHAUUNGEN.

VON

Dl PHIL. JACOB J. WEYRAUCH

PROFESSOR AN DER POLYTECHNISCHEN SCHULE ZU STUTTGART.

MIT 34 HOLZSCHNITTEN IM TEXT,

SEPARAT-ABDRUCK AUS DER „ALLGEMEINEN BAUZEITUNG“.

WIEN 1881.

VERLAG VON R. v. WALDHEIM.

PK

/é-

DRUCK VON R. V. WALDHEIM IN WIEN.

BUS

oo

INHALT.

I. Beliebige Körper mit beliebiger Begrenzung.

§. 1. Spannungen für beliebig gerichtete Flächenelemente . . .

§. 2. Veränderlichkeit der Spannungen in einem Punkte mit der Flächenstellung....................

Seite.

II. Grenzzustände des Gleichgewichtes in einer beliebig begrenzten Erdmasse.

§. 3. Wirkung von Reibung und Kohäsion...........

§. 4. Es wirkt die Kohäsion allein...............

8. 5. Es wirkt die Reibung allein...............

15

18

III. Unendliche Erdmasse mit ebener Oberfläche.

§. 6. Analytische Bestimmung des Erddruckes für alle Gleichgewichtszustände .......................

§. 7. Graphische Bestimmung des Erddruckes für alle Gleichgewichtszustände .......................

§. 8. Erddruck bei horizontaler Oberfläche...........

Unterer Grenzzustand..................

Oberer Grenzzustand........ .,.........

§. 9. Erddruck bei unter dem Reibungswinkel ip geneigter Oberfläche

Ansteigende Oberfläche.................

Abfallende Oberfläche..................

§. 10. Erddruck bei beliebig geneigter Oberfläche.........

Unterer Grenzzustand..................

Oberer Grenzzustand..................

§. 11. Wasserdruck.....................

co co

00 00 CO CO

IV. Begrenzung durch feste Wände bei ebener Oberfläche.

§. 12. Leitende Gesichtspunkte.................

§. 13. Fall, in welchem die Theorie III für jeden Rauhigkeitsgrad der

Wand gilt.......................

§. 14. Gültigkeit der Theorie III bei Begrenzung durch eine Mauer . 45 §. 15. Allgemeinster Fall. Erdbassins. Parallele Mauern §. 16. Schluss.................

41

42

49

/

Die folgende Theorie des aktiven und passiven Erddruckes führt zu bequemen Formeln und graphischen Konstruktionen. Das unter I. Gegebene dürfte auch in der Festigkeitslehre gute Dienste leisten, die neu eingeführten Hülfskreise lassen besser als die Spannungsellipse alle erwünschten Verhältnisse entnehmen. In üblicher Weise, mit Rücksicht auf die praktischen Bedürfnisse, gebe ich die Entwickelungen nur für die Ebene, die allgemeinen Beziehungen im Raume würden durch ganz analoges Vorgehen folgen, wobei an Stelle der Hülfskreise Kugeln treten.

I.

Beliebige Körper mit beliebiger Begrenzung.

Die in diesem Abschnitte herzuleitenden Gesetze gelten für alle Körper, aus welchem Material dieselben auch bestehen und wie sie begrenzt sein mögen.

§. i. Spannungen für beliebig gerichtete Flächenelemente.

Wir nehmen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem an. Positive Richtungen der r-Axe und _y-Axe nach rechts und unten, die £-Axe kann man sich horizontal denken. Für alle Winkel soll die Drehung rechts herum, wie beim Uhrzeiger, als positiv gelten. Das Vorzeichen des Winkels |x, welchen irgend eine Linie mit der ^r-Axe bildet, ist dann durch • d y

tang [x = bestimmt. Die Horizontale schliesse mit der ;r-Axe, also die Vertikale mit der y-Axe den Winkel e ein.

Man betrachte ein unendlich dünnes, vierseitiges Prisma, dessen Kanten den Axen parallel und von den Längen d x, dy i sind. Auf jede Seitenfläche des Prisma wird irgend eine resultirende Kraft wirken, deren Richtung einen unbekannten Winkel mit der Normalen zur Fläche einschliesst. Diese Kraft kann man sich zerlegt denken in eine zur Fläche normale und eine zu ihr tangentiale Komponente. Es bezeichnen nun X, Ul die Normalspannung und Schubspannung für die Fläche o m und Y, U dieselben für die Fläche o p ; dann wirken auf unser Prisma die in Fig. i angeschriebenen Normal- und Schubspannungen,

"7

Figur i.

je

j.

Horizontale

4;

WW**

\\

VK

'TV

dy

x+<M)dx

j*-

u+(Ę),hJ

sowie die Schwere 7 d x d y, unter 7 das Gewicht der Kubikeinheit verstanden. Für das Gleichgewicht aber muss sein:

Summe aller Kräfte parallel der ^-Axe gleich Null: Xdy — [X 4- (Zÿ- ) dx\ dy Udx —

ßü\

d y d x — 7 d x d y sin e = O.

Summe aller Kräfte parallel der y-Axe gleich Null:

(£J)

c°t. (45 -i)

(£J)

d Ut

d x dy-\-*{dxdy cos g — o.

Summe aller Momente gleich Null:

U d x dy = Ux dy d x,

wobei unendlich kleine Grössen dritter Ordnung gegen solche zweiter Ordnung vernachlässigt sind. Vorstehende Gleichungen ergeben nach Reduktion:

+ (Ij)

© + (If)

i).

= — y sin g

= y cos g

2),

3)-

Zerlegen wir die oberhalb o n wirkenden Kräfte in Komponenten normal und längs o n, setzen o n — d l und die ganze Normalkraft für on gleich Ndl, die ganze Schubkraft gleich T'd /, wonach sich N, T auf die Quadrateinheit beziehen, so hat man:

— sin {X

Ndl— Ydxcos y -|- Xdy sin y — Udxsin |x— Udy cos [x, Tdl= Ydx sin y — Xdy cos pi —Udxcos [x— TJ dy sin fx, oder mit Rücksicht auf d x

dl

\dl = COS

cos 2 y — U sin 2 |x . .4),

und bekannte goniometrische Formeln: W+ F X— F

—----- ^ sin 2 [x -j- U cos 2 y ..... 5)»

und wenn der Winkel, welchen die Vertikale mit 0 n ein-schliesst, durch a bezeichnet wird :

Y v X_ F

——— -{- ----cos 2 (e — a) -f- U sin 2 (g — a) 6),

7)'

X_y

----sin 2 (e — a) —* £7 cos 2 (e — a)

Sind 5, W die senkrechte und wagrechte Komponente der Spannung auf o n, so hat man

5 = N sin a -f- T cos a,

W = N cos a — T sin a, oder durch Substitution der Ausdrücke 6) und 7) :

sin a “1“ ~~ ₂    s‘n (2 s — a) — Ucos (2 2 — a) 8),

W —    cos a ~t- —— cos (2 s — a) -f- Usin (2 s — a) 9).

Damit haben wir die Normal-, Tangential-, Vertikal-und Horizontalspannung für ein beliebiges Flächenelement im Körper, welches den Winkel jx mit der Abszissenaxe einschliesst, und mit welchem die Vertikale den Winkel a bildet. Die resultirende Spannung ist:

R = V'N² -f- T- = V'S² -f W² . . . 10), und für die Winkel der im Flächenelement errichteten Normalen und der Horizontalen mit R gelten:

tang 8 = -jj

tang (a -[- S) = —

w ■ ■ n)-

§. 2. Veränderlichkeit der Spannungen in einem Punkte mit der Flächenstellung.

Alle durch einen Punkt 0 möglichen Flächenstellungen ergeben sich, wenn man {jl von — 90 bis -f- 90° wachsen lässt. Je nach der Stellung eines Flächenelementes können natürlich die afhzirenden Spannungen andere sein. Folgende graphische Darstellung lässt das Gesetz dieser Veränderlichkeit übersehen und die Werthe der Spannungen für jede Flächenstellung entnehmen (Fig. 2).

Man gehe von o (x,y) aus parallel der .r-Axe

A-f Y

= 0 c weiter, trage bei c mit Berück-

X— V

= en

sichtigung der Vorzeichen den Werth——

parallel der x-Axe und U = cvi parallel der j-Axe an, lege einen Kreis durch c, m, n und einen zweiten mit dem Radius o c um c. Um dann

1}

Al

die Spannungen für irgend ein durch o gehendes Flächenelement zu erhalten, verlängere man die Richtungslinie desselben bis a in der Peripherie des äusseren Kreises und ziehe von a nach c hin eine Gerade bis zu dem von c verschiedenen Peripheriepunkt b des inneren Kreises. Ist dann cd der Durchmesser des letzteren, so hat man:

N — ab, T — b d, R = a d, § — d a b . 12).

Verlängert man noch ad bis zur Peripherie des äusseren Kreises, so ist e o die Richtungslinie der resultirenden Spannung R auf das angenommene Flächenelement.

Der Beweis folgt aus Fig. 3, indem

ab — ca — cf — f b — X— Y

X-j-Y

sin 2 p — U cos 2 (x =■ — T.

JC

y\

o\

Figur 2.

Ç/L.

ij

fd

ff

in>

cos 2 [X — U sin 2 p = N, X— Y

T hat also die Richtung von d nach h, und da ho 1 o a und nach Grösse und Drehungssinn

■df. h o e — Ą. h a e, so ist e o die Richtungslinie von R.

Für ein um 90° von dem angenommenen abstehendes Flächenelement hat 2 |x einen um 180⁰ anderen Werth. Damit ändern cos 2 [x und sin 2 jx ihr Vorzeichen und wir erhalten (Fig. 3):

hc -f- cf + fb = hb = N, fn — g n = b d — T,

wie sich auch direkt ergibt, wenn man die beschriebene Konstruktion für das neue Flächenelement durchführt.

Denkt man sich nun das Flächenelement nach einander alle Stellungen durch o einnehmen, so lassen sich aus Fig. 3 folgende Gesetze ablesen.

Figur 3.

“ss

v\

\,

/ :X

l*'

Für alle Paare senkrecht zu einander stehender Flächenelemente hat die Summe der Normalspannungen denselben Werth.

Je zwei zu einander senkrechte Flächenelemente haben numerisch gleiche Schubspannungen.

Die Grenzwerthe der resultirenden Spannungen R und gleichzeitig der Normalspannungen N treten ein für zwei Flächenelemente, deren Stellungen bestimmt sind durch

13);

2 U

tang 2 p =

es sind für dieselben:

S = o,

T = o . . . .

7 (* + y) +

_l_ L v"(x— Yy 4-4 u* = a

7 ■(*+ n -

—    F)a-f 4 £/* = Z

max R = max N —

min R = min N —

H),

• • ¹5)5

. 16).

^ und B heissen Hauptspannungen (Fig. 4). Für den Halbmesser des äusseren und den Durchmesser des inneren Kreises hat man:

A-\-B

Figur 4.

Figur 5.

c<

s.

Die Grenzwerthe der Schubspannung T treten ein für die durch

18)

cot 2 p =

bestimmten, zu einander senkrechten Flächenstellungen. Es entsprechen denselben (Fig. 5) :

A-\- B

max T =

• 19).

sJl(A< ₊ b%

tang 8 =

20).

H +    *

Die Flächenelemente, welche die Grenzwerthe der Schubspannungen erleiden, schliessen mit denjenigen, welche von den Hauptspannungen affizirt werden, Winkel von 45⁰ ein.

Bezeichnet man den spitzen Winkel, welchen die

Richtungslinie der Hauptspannung A mit einem beliebigen Flächenelement einschliesst, durch ß, so folgen für letzteres (Fig. 6):

A-j-B A—B

COS 2 ß .    .    .    .21),

sin 2 ß .

22).

Figur 6.

\x

oy

Zß

A;-

tï'y--

lf‘ie

$\

Da S für zwei Flächenstellungen zu O wird, so müssen auch Flächenstellungen existiren, für welche numerische Maxima eintreten. Die Bedingung dafür ist: dtang §

OCL

= o,

dN

dj 3 VW

r

— = tang 5,

und da mit Rücksicht auf 21) und 22):

d T

JN=COt2ß’

so folgt : Der Winkel § der Normalen mit der resultirenden Spannung R erreicht seinen grössten Zahlenwerth <4 für

ß = ± (45

81

f) • • ²3>>

d. h. wenn R in d senkrecht zu cd steht (Fig. 7). Bezeichnen wir in diesem Spezialfall die Zahlenwerthe von N, T, R durch 9Î, X, 9Î, so kann man mit Rücksicht auf W² = c a²—cd⁴ und 17) aus Fig. 7 entnehmen:

9î = V'A B — A tang [^45

9? = 9? cos 81}

A — B A+Tb’

' % tang (45 —

tang 8, =    = cot 2 ß,

sin§t =

cos ?h =

8i

25),

Figur 7.

A + B‘

A tang² (^45 —

Figur 8.

• • • 26),

• 27).

//

''7/3

::5

lS>ck

xi

JA

"'Au

*<v

ä>

CL

Für ein beliebiges Flächenelement, mit welchem die

Richtungslinie von A den Winkel ß einschliesst, hat man nach 21) und 22):

tang § =

AĄ-B

sin 2 ß

- COS

2ß

und bei Beachtung von 26):

tang 8 =

sin 8t sin 2 ß

1 — sin 8t cos 2 ß

28),

oder wegen tang 8 = Nenner :

sin §

cos 3

und nach Wegschaffung der

sin 8 = sin 8t sin (2 ß -j- 3)

29).

Da allgemein

tang (ß -f 8) =

tang ß -f- tang 8

1 — tang ß tang § ’

so folgt durch Substitution von tang 8 nach 28) und Reduktion

tang (ß -f 8) = tang ß ^

— cos

(9° ~j~ ^1)

i -J- cos (90    8t) ’

oder einfacher

tang (ß + 8) = tang ß tang² ^45 -f ^

tang ß

tang² (45—^)

30).

Im Allgemeinen gibt es vier Flächenstellungen, welchen numerisch gleiche Schubspannungen und zwei, welchen gleiche Normalspannungen oder resultirende Spannungen entsprechen. Für die Schubspannung T — o fallen je zwei der ersten vier, und für die Hauptspannungen die letzten zwei Flächenelemente zusammen. Ferner gibt es vier Flächenstellungen mit numerisch gleichen 8, von welchen für 8 = 8t je zwei zusammenfallen. Für gegebene Werthe von T, N, R, 8 lassen sich die zugehörigen Flächenelemente leicht konstruiren (bei gegebenem 8 mit Rücksicht auf 29), doch braucht hier nicht darauf eingegangen zu werden.

Für eine vollkommene Flüssigkeit sind Schub widerstände nicht vorhanden, also für’s Gleichgewicht stets N — o, S = o. Damit wird der innere Kreis unendlich klein und fällt mit dem Centrum des äusseren zusammen, wir erhalten A — B — N, in jedem Punkte sind die Spannungen nach allen Richtungen gleich gross (Fig. 8).

IL

Grenzzustände des Gleichgewichtes in einer beliebig begrenzten Erdmasse.

Nach den unter I. gefundenen Gesetzen lassen sich alle Spannungen an beliebiger Stelle eines Körpers angeben, wenn die Normalspannungen X, Y und die Schubspannung V für irgend zwei senkrecht zu einander stehende Flächenelemente daselbst bekannt sind. Zur Ableitung dieser drei nothwendigen Grössen existiren aber vorläufig nur die Gleichungen 2) und 3), so dass die Aufgabe unlösbar wäre. Man kann jedoch eine dritte Gleichung erhalten, wenn man auf die Festigkeitseigenschaften der in Frage kommenden Körper Rücksicht nimmt.

Die Theorie des Erddruckes findet diese dritte Gleichung zwischen X, Y, U aus Erfahrungsresultaten über die Widerstände der Reibung und Kohäsion, womit eine Grenzbedingung für die Schubkraft T entsteht. Da für jede Fläche die Verschiebung nach zwei verschiedenen Richtungen eintreten kann, so sind auch zwei «Grenzzustände des Gleichgewichtes» denkbar. Zwischen diesen Grenzzuständen, welche im Folgenden besonders interessiren, können unendlich viele mögliche Gleichgewichtszustände liegen. Flächen, längs welcher die Grenzbedingung für die Schubkraft T erreicht ist, pflegt man «Gleitflächen», ihre Spuren «Gleitlinien» zu nennen.

§. 3. Wirkung von Reibung und Kohäsion.

Bekanntlich wird der Reibungswiderstand proportional dem Normaldruck aber unabhängig von der Berührungsfläche, der Kohäsions-Widerstand dagegen proportional der Berührungsfläche aber unabhängig vom Drucke angenommen. Daher ist der Gesammtwiderstand gegen Verschiebung für die Flächeneinheit

fN-f c,

unter f den Reibungs-Koeffizienten, unter c die spezifische Kohäsion verstanden. Soll nun an der Stelle o keine

Verschiebung eintreten, so muss für alle Flächenstellungen durch o sein:

T / N -|- c,

und für die Grenzzustände des Gleichgewichtes ist auf den Gleitflächen dem Zahlenwerthe nach :

T=fN+ c,

c .

- = / = tang ? •

• 3 0.

wenn ç den Reibungswinkel von Erde auf Erde bedeutet.

Trägt man nun in unserer graphischen Darstellung, Fig. 9, unter dem Winkel y gegen c d die Gerade d b an und bestimmt, wie ersichtlich, die zu dem Zahlenwerthe

T — db gehörigen N, R, 8, ß, so ist die Bedingung 31) dann erfüllt, wenn

d k — c.

sin çp -f- c cos (p = ~ V~\X— F)² -f- 4 £7². 32),

Die gefundenen N, R, 8, ß entsprechen dann einem Grenzzustande des Gleichgewichtes, und zwar speziell den Gleitflächen. Wir erhalten aus Fig. 9 als dritte Bedingung zwischen X, Y, U für die Grenzzustände des Gleichgewichtes X+ V

welche Gleichung, diesen Grenzzuständen entsprechend, zwei Lösungen liefert, oder auch

sin y -(- c cos

womit eine Hauptspannung durch die andere bestimmt ist. Für die Lage der Richtungslinie von A gegen die Gleitflächen folgt aus Fig. 9 :

A-YB

A—B

cp =

• • 33),

ß = ± (45

34)-

In beiden Grenzzuständen des Gleichgewichtes liegen in jedem Punkte der Erdmasse zwei Gleitflächen symmetrisch zur Richtungslinie der Hauptspannung A und

schliessen mit ihr die Winkel 45--—, oder mit einander den Winkel 90 — cp ein. Die Kohäsion ist ohne Einfluss auf die relative Lage der Gleit fläch en gegen die Hauptspannungen.

Figur 9.

/;

//

\/

VOJis sl

X,

n*n

*r/

cu

Aus Fig. 9 ersieht man, dass für die Gleitflächen bei gleichzeitiger Wirkung von Reibung und Kohäsion § > <p werden kann, dagegen ist für dieselben 8 < 8„ indem 5 seinen grössten Werth S, erreicht, wenn d a _|_ c d steht.

§. 4. Es wirkt die Kohäsion allein.

Von manchen Seiten (Winkler, Schaffer) wurde darauf hingewiesen, dass Reibung und Kohäsion nicht wohl gleichzeitig wirken können, sondern die Reibung erst in Wirksamkeit tritt, wenn die Kohäsion überwunden ist. Betrachten wir nun zunächst den Fall, dass die Kohäsion allein wirkt. Dann geht mit ç = o Fig. 9 in Fig. 10 über, diejenigen Flächen sind nun Gleitflächen, für welche die Schubspannung T ihr Maximum erreicht. Für den Winkel, welchen die Richtungslinie von A mit diesen Gleitflächen bildet, wurde schon in §. 2 gefunden, folgt aus 34) und ist aus Fig. 10 ersichtlich:

ß = ± 45° • . • • ferner folgen aus 32) und 33) oder Fig. 10:

35),

= y'iX—    = A —B . . 36),

und es gelten für die Gleitflächen die Gleichungen 19) und 20), so dass z. B. der Winkel 8 auf den Gleitflächen bestimmt ist durch

tang 8 =

AĄ-B

• 37)-

Figur 10.

c.

O \

\\As

iS

§. 5. Es wirkt die Reibung allein.

Dieser Fall ist für praktische Berechnungen allein massgebend, da die Kohäsion durch Austrocknung und nachfolgende Erschütterungen schwinden kann, wonach nur noch die Reibung Verschiebungen widersteht (Fig. 11). Es gelten natürlich die Gleichungen des §. 3 mit c — o, und diejenigen des §. 2 mit 8, = <p. So ergeben sich für die Hauptspannungen aus 27):

B =

für die Gleitflächen aus 24):

A tang² (^45

38),

W = A tang (45 —

• • 39)

"\

J*s.g

vsÄ/

Figur Ix.

sN

's

N.

/\

Ÿ\

>7.

J?

und für ein beliebiges Flächenelement, mit welchem die Richtungslinie von A den spitzen Winkel ß einschliesst, aus 28) bis 30):

sin cp sin 2 ß 1 — sin cp cos 2 ß

sin § =±= sin cp sin (2 ß -f- 5).....41),

tang ß

tang 8 =

40),

tang (ß -|- 8) = tangß tang² (45 -f

tang² (45

^⁴²⁾-

Wenn d, D die Durchmesser des kleinen und grossen Hülfskreises, so folgen aus 38), 39) und wegen

A — B ~D ~2~ A-\- B ’

für

cp = o

20

25

30

35

40

45

90°

/;

— = I ’OOOO

0-4900

0*4058

0*3333

0-2710

0-2174

0-1716

SR

— = 1-0000

0-7002

0-6371

0*5774

0-5206

0-4663

0-4142

0*1711

0-2113 0*25

0-2868 0*3214

0*3535

o*5

2*

III.

Unendliche Erdmasse mit ebener Oberfläche.

Durch die bis jetzt abgeleiteten Beziehungen ist es nun zwar möglich, die drei Unbekannten X, Y, U und damit alle Spannungen in der Erdmasse für beide Grenzzustände des Gleichgewichtes zu erhalten, aber nur in ganz allgemeinen Ausdrücken, da es unendlich viele Lösungen der drei Gleichungen 2), 3), 32) gibt. Begreiflich ist ja auch, dass die Spannungen X, Y, U von der Anordnung der Erdmasse und der Lage des betrachteten Punktes in derselben abhängig sein werden.

Wir nehmen nun zunächst eine nur oben durch eine Ebene von beliebiger Neigung begrenzte, sonst aber nach allen Seiten unendliche Erdmasse an. Da die Kohäsion praktisch nicht in Betracht kommt, dem theoretischen Bedürfnisse ihrer Berücksichtigung aber für jede Begrenzung der Erdmasse genügt wurde, so soll im Folgenden nur noch die Reibung als wirksam gelten. Wo nicht ausdrücklich Gegentheiliges bemerkt wird, wählen wir als Krafteinheit 7 Kilogramm, das Gewicht der Kubikeinheit Erde. Um eine Kraft in Kilogramm zu erhalten, hat man dann nur noch mit 7 zu multipliziren.

§. 6. Analytische Bestimmung des Erddruckes für alle Gleichgewichtszustände.

Wir denken uns eine der Oberfläche parallele Ebene (Fig. 12). Für alle Punkte derselben ist die Anordnung und Ausdehnung der Erdmasse nach gleichen Richtungen genau gleich. Es müssen also auch für alle diese Punkte die Spannungen in jeder bestimmten Richtung gleich sein.

d Y — cos e dy,

Legen wir die ^-Axe in die Oberfläche, so sind X, Y, U unabhängig von x und folgen daher aus 2), 3): d U — — sin s dy,

oder abgesehen vom Druck der Atmosphäre

■v.

und wegen

U = — sin £,

72 = J^F* + V*,

tang § = —

für jedes Element einer der Oberfläche parallelen Ebene

S = — s,

die resultirende Spannung wirkt also vertikal.

Betrachten wir nun zunächst die Grenzzustände

R = y,

des Gleichgewichtes. Durch Substitution der Wcrthe von U, Y und c — o in 32) folgt für dieselben Hh Vcos* £ — cos² ÿ

COS £

cos* cp

— y cos £,

oder wenn zur Abkürzung gesetzt wird:

cos £ + cos* £ — cos* y

COS ÿ

X = (2 k-COS £ cos ç)

. . . 44),

45)-

COS ÿ

Den beiden Grenzzuständen des Gleichgewichtes entsprechen die beiden Vorzeichen im Ausdrucke für X oder k. Wenn X nur im Geringsten unter den kleineren der beiden Werthe sänke (— Zeichen), würde das Gleichgewicht sofort gestört sein, und ebenso, wenn X um noch so wenig über den grösseren der Werthe wüchse (-f- Zeichen). Wir wollen daher die Gleichgewichtszustände, welche man mit dem oberen und unteren Vorzeichen in X, k erhält, beziehungsweise den «oberen und unteren Grenzzustand des

Gleichgewichtes» nennen. Da wir in allen Formeln dieses Paragraphen den Werth von k unbestimmt einführen, so gelten dieselben sowohl für den unteren, als für den oberen Grenzzustand und ist nur immer das entsprechende Vorzeichen in 44) zu wählen.

Die Substitution der Werthe X, Y, U in 15), sowie

38), 39) ergeben für die Hauptspannungen und die resul-tirende Spannung auf der Gleitfläche 1 —}— sin cp

COS 9

tang (4.5 —

. 46),

ky tang (45 —

47),

9\ = ky

48).

Für den spitzen Winkel, welchen die Richtungslinie von A mit der Oberfläche einschliesst, folgt aus 41), weil für jedes der Oberfläche parallele Flächenelement § = — e

sin g

sin (2 ß — g) = —

, 49).

sin cp

Hiernach ist die Richtung von A und damit diejenige

der Gleitflächen, welche Winkel von 45--mit A ein-

schliessen, ganz unabhängig von der Lage eines Punktes in der Erdmasse, das heisst: Im unbegrenzten, kohäsionslosen Erdreich mit ebener Oberfläche sind die Gleit flächen Ebenen.

Substituirt man die Werthe von U, X, Y in 6) bis 9), so folgen für ein Flächenelement in der Entfernung y von der Oberfläche, mit welchem die Vertikale den Winkel a einschliesst, die normale, tangentiale, senkrechte und wagrechte Spannungskomponente

Für die resultirende Spannung hat man

55),

R = r y.....

worin

sin 8

cos 8

56),

oder auch

r — V s% -J- w³"" =

57),

sin (a -J- 8) cos (a -J- 8) während der Winkel 8, welchen die Normale zum Flächen-element und der Winkel <x ~\- 8, welchen die Horizontale mit R einschliesst, bestimmt sind durch

. . . 58).

tang (a 8) = ^

Hieraus folgt: Für alle Elemente einer durch die Erdmasse gelegten Ebene sind die affi-zirenden Kräfte von einerlei Richtung. Diesen Satz, welchen auch die ältere Theorie des Erddruckes stillschweigend voraussetzt, habe ich a. a. O. zum Ausgangspunkte einer Theorie des Erddruckes auf Stützmauern genommen, welche in ähnlicher Weise wie die ältere Theorie vorgeht, jedoch die willkürlichen Annahmen derselben über den Werth von 8 vermeidet und gleiche Resultate wie die neuere Theorie liefern muss. («Zeitschr. f. Bauk.» 1878.)

Für ein Flächenelement, welches von y bis y -f- dy reicht, hat man den Erddruck (Fig. 13)

dE == R

dy    r y dy

sin jx sin jx und für eine von y₀ bis y oder von der vertikalen Tiefe /i₀ bis h unterhalb des Schnittpunktes s mit der Oberfläche reichende Ebene p z mit Rücksicht auf

h sin [J.

cos a

und

= 90 -j- s — a,

y* — y„²

r cos (a — s) Jd — //n²

sin ix

cos³ a

ob#^

<\ \ \

■f \ \ V

4|-

Vr

VA¥.

/d-E

(2 k cos s — cos y) = k* cos (<x — e),

Da sich mit Rücksicht auf 45) w nach 54) ausdrücken lässt cos (a — e) cos cp

cos (a — s)

womit nach 57)

(a + §)

cos

so liefern vorstehender Ausdruck für E und 58) den Erddruck auf p q in Kilogrammen und den Winkel des Erddruckes gegen den Horizont

k cos (cc — s)\²

h? — h₀*

cos a

tang (a -j- 5) =

2 sin s

/ 2 cos (a -f- 8) ^ tang (a — e)

• 59)5

k COS y

60).

Um auch noch den Angriffspunkt von E zu bestimmen,

drückt man das Moment von E in Bezug auf den Schnittpunkt s doppelt aus und hat, wenn für den Angriffspunkt a die Ordinate und v die vertikale Tiefe unter dem Schnitt

punkt s (Fig. 13)

a cos §

y

S“

y«

y cos § sin p

woraus mit dem ersten Ausdrucke für E

2    y³—y₀³

3    y*—y/

sin pi

r cos 8 y³ —y₀3 sin p

2 h³ — hp

- . . 61).

Reicht die Ebene p s von der Oberfläche bis zur vertikalen Tiefe h unter s, so bleibt 60) ungeändert, während aus 59), 61) für Grösse in Kilogrammen und Angriffspunkt des Erddruckes

k cos (a — e)\²

Jl¹ y

cos a

• • 62),

a = — y,

h. . . .63).

Ferner hat man dann den Horizontaldruck und Vertikaldruck der Erde auf die Ebene in Kilogrammen

k cos (a — s) Y //² y cos a

k cos (a — e) Y Ji¹ y tang (a-{-S) cos a

In allen diesen Gleichungen ist für die Grenzzustände des Gleichgewichtes k durch 44) bestimmt und darin das obere oder untere Zeichen vor dem Wurzelausdruck zu nehmen, je nachdem man den Erddruck im oberen oder unteren Grenzzustande wünscht. In praktischen Fällen hat man es mit dem letzteren zu thun. Uebrigens lassen sich die abgeleiteten Formeln meist noch vereinfachen (§§. 8, 10).

Für jeden Werth von k, der zwischen den durch 44) bestimmten Grenzwerthen liegt, ist ebenfalls Gleichgewicht möglich und machen wir irgend eine solche Annahme, so liefern die Formeln 50) bis 65) den Erddruck auf beliebige Flächenelemente und Ebenen für den entsprechenden Gleichgewichtszustand. Alle anderen Verhältnisse für denselben ergeben sich durch Substitution von X, Y, U nach 43), 45) in die Formeln von I, wobei Gleitflächen nicht existiren und < rp ist. Umgekehrt würde der gegebene Werth einer Grösse, deren Ausdruck k enthält, auf das augenblickliche, massgebende k und damit auf den ganzen Gleichgewichtszustand schliessen lassen. Die Verschiedenheit der Gleichgewichtszustände ist allein durch die Verschiedenheit der k oder von den drei Ausgangsspannungen X, Y, U allein durch die Verschiedenheit der X bedingt.

H = E cos (a -j- B) =

V — E sin (a + 8) = ^

64),

.65).

26

§. 7. Graphische Bestimmung des Erddruckes für alle Gleichgewichtszustände.

Zu den Gleichungen Y = y cos s,

U — y sin s

können wir anstatt 32) als dritte Bedingungsgleichung zwischen X, F, U nach 33) setzen

sin <p ==

A — B

Diesen drei Bedingungen lässt sich im Allgemeinen auf zwei Arten genügen, welchen die beiden Grenzzustände des Gleichgewichtes entsprechen. Die Art, welche das kleinere X zur Folge hat, liefert uns den unteren, die andere den oberen Grenzzustand des Gleichgewichtes.

Um für alle Punkte der durch einen Punkt/ gedachten Parallel-Ebene zur Oberfläche die beliebigen F 1 ä c h e n s t e 11 u n g e n entsprechenden Spannungen des unteren (beziehungsweise oberen) Grenzzustandes zu erhalten (Fig. 14, 15), ziehe

Figur 14.

(M

man pq senkrecht nach oben, pu — pq parallel der Oberfläche, ud horizontal bis zu r Vertikalen p q,

0^eL

C/'-

cd nach einem auf der Geraden pu innerhalb (beziehungsweise ausserhalb) dieser Strecke

so gelegenen Punkte c, dass — = sin æ wird:

cu    ⁷

dann ist cd der Durchmesser des inneren und cu der Halbmesser des äusseren Kreises. Der Druck per Quadrateinheit auf irgend ein Flächenelement in der erwähnten Tiefe ergibt sich, wenn man die Richtung des Elementes durch den auf der Verlängerung von up gelegenen Peripheriepunkt 0 des äusseren Kreises bis zum Punkte a des letzteren und von hier aus die Gerade ade bis wieder zur äusseren Peripherie zieht:

Grösse R = a d,

(/

hl i

Mi/W

/kVil

MąH

Richtung || e 0.

:\Lv

Der Beweis dieses Satzes liegt einfach darin, dass , mit Rücksicht aut das in 2 über A, B, U, Y Gesagte’ , und nach Konstruktion

c ci

— sin

AĄ-B

U — — u d sin s = — y sin s,

Y — u d cos s = y cos s, womit die drei Bedingungsgleichungen erfüllt sind.

Das Verhältniss — = sin cp zu konstruiren, gibt es cu    ⁷

verschiedene Methoden, von welchen man in jedem einzelnen Falle die bequemste anwenden kann. In §§. 8—n sind einige Verfahren vorgeführt. — Sollte es sich treffen, dass beim Ziehen von o a der Schnitt a nicht genügend scharf erscheint, so kann man zunächst in o die Senkrechte zum Flächenelement bis zur Peripherie des äusseren Kreises und von hier aus eine Gerade durch c ziehen, womit der Schnitt a vollkommen scharf gefunden wird.

Da in unsern Figuren alle Längen mit der Tiefe in gleichem Verhältniss, nämlich proportional p q wachsen, so ändern sich mit der Tiefe weder die Richtungen der Hauptspannungen, noch die der Gleitflächen, noch die der resultirenden Spannungen auf irgend welche Flächenelemente von gleicher Neigung, die Gleitflächen sind also Ebenen. Wie diesen Satz, so kann man auch alle anderen Resultate des vorigen Paragraphen aus den Fig. 14, 15 ableiten.

\\

1 \N

Der Erddruck auf eine ebene Fläche p z wird erhalten (Fig. 16), wenn man die Spannung R für einen beliebigen Punkt derselben nach Grösse und Richtung bestimmt, die Grösse von dem betreffenden Punkte aus senkrecht zu p z aufträgt, durch den Endpunkt dieses R und den Schnittpunkt s von gedrückter Fläche und Oberfläche eine Gerade s i b legt und durch p und z zwei Parallelen zum aufgetragenen R zieht; die zwischen den letzteren liegende Fläche p z ib stellt den Erddruck E dar, die Richtung ist

parallel dem konstruirten R, der Angriftspunkt aber liegt da, wo die Parallele zu p b durch den Schwerpunkt der Druckfigur auf p z trifft.

Da R proportional y wächst, so wird bei vorstehender Konstruktion

y

p zib =

y»

= E.

sin pi

Weiter ist nichts mehr zu beweisen.

Reicht die gedrückte Fläche bis zur Terrainfläche, so stellt das Dreieck p s b den Erddruck E dar und der

2 -

Angriffspunkt liegt um — p s von s gegen p hin.

Aus den Fig. 14, 15 lassen sich eine Reihe von Beziehungen zwischen dem oberen und unteren Grenzzustand entnehmen, worauf jedoch hier verzichtet werden soll; dagegen wollen wir in den §§. 8 bis 11 praktische Konstruktionsmethoden für alle Fälle geben.

Lässt man den Punkt c nach einander alle Lagen zwischen den oben gegebenen Grenzlagen auf p 71 einnehmen, so erhält man alle überhaupt möglichen Gleichgewichtszustände. Für jeden derselben ergeben sich die Druckverhältnisse für beliebige Flächenelemente nach §. 2 und der Druck auf irgend eine Ebene in gleicher Weise wie in den Grenzzuständen.

§. 8. Erddruck bei horizontaler Oberfläche.

- = tang (45 — -|) •

. .66),

Unterer Grenzzustand. Aus 44) folgt mit s — O und dem unteren Vorzeichen — sin cos <p

so dass aus 46) bis 48) die Hauptspannungen und Spannungen auf den Gleitflächen

und Horizontaldruck und Vertikaldruck auf die Fläche werden nach 64) und 65):

71).

H = ta»g* (45-|)

. . . 72).

y tang (45 —    )

68).

Aus 49) folgt, dass A vertikal gerichtet ist, so dass die

Gleitflächen die Winkel 45 — -2- mit der Vertikalen

2

einschliessen.

Für eine Ebene, welche von der Oberfläche bis zur vertikalen Tiefe h reicht, und mit welcher die Vertikale den beliebigen Winkel a einschliesst, hat man nach 59) den Erddruck in Kilogrammen:

E = tang

(« -1)

h- y

. .69).

2 cos (a -J- 8)

Der Winkel a -j- 5, welchen die Horizontale mit E einschliesst, folgt nach 60) aus:

tang (ot —f- S) =

tang ot

tang²(45 —

• • 70)

IA y

—tang a . .

Der erstere ist gleich dem Erddruck auf die vertikale Fläche von gleicher Tiefe h und der letztere gleich dem auf der Fläche lastenden Erdgewicht. Reicht die gedrückte Fläche nur von k₀ bis h, so ist in vorstehenden Formeln Jl¹ — h₀³ an Stelle von h⁸ zu setzen.

Durch Konstruktion erhält man den Erddruck auf die Ebene p s, oder einen Theil derselben wie folgt (Fig. 17).

Man ziehe p u = h horizontal, trage daran bei u unter dem Winkel y eine Gerade, fälle auf diese von p aus ein Perpendikel, schneide mit der Grösse desselben auf der Vertikalen durch p unterhalb dieses Punktes bei m ein und verbinde m mit dem senkrecht über u gelegenen Oberflächenpunkt /, wobei die Horizontale p îi in c geschnitten wird. Schlägt man dann mit c u als Halbmesser einen Kreisbogen, welcher die Verlängerung von up bei o trifft, zieht o a [j sp und von Peripherie zu Peripherie die Gerade ap e, so ist die Richtung des Erddruckes parallel e 0; macht man noch p b = p a senkrecht zu p s, so stellt das Dreieck p s b nach Grösse und Vertheilung den Erddruck auf p s dar.

= sin

9.

Oberfläche

fH

mm

.*/

A -----

/i

Diese Konstruktion bildet einen speziellen Fall des in §. 6 gegebenen allgemeinen Verfahrens. Es fallen nun die Punkte p und d zusammen, und ist wie verlangt: p m

C ÎI

Folgende Konstruktion ist ebenfalls bequem und wie die Formeln 69) und 70) schon früher auf ganz anderem Wege von mir abgeleitet worden (Fig. 18).

Man ziehe p u — h horizontal und unter dem Winkel

45--- gegen Pui die Gerade lim bis zum Schnitte mit

der Vertikalen p m, lege durch die Punkte m u einen Kreisbogen mit dem Zentrum c aufp u, welcher die Verlängerung von 11 p bei o trifft. Zieht man dann o a \\ p s und von

iP

Figur i8.

Oberfläche

Cj

mÊÉïj

Ns

J«.

a\

Peripherie zu Peripherie die Gerade ap e, so ist der Erddruck parallel e o ; macht man noch p b — p a senkrecht zu p s, so stellt das Dreieck psb nach Grösse und Verkeilung den Erddruck auf p s dar.

Der Beweis liegt wieder darin, dass nun

p c

-— = sin cp m c    T

ist, und so lassen sich noch eine Reihe von Spezialverfahren angeben.

Für eine vertikale Wand gestaltet sich das zweite Verfahren sehr kurz wie folgt (Fig. 19). Man ziehe pu — h

Figur 19.

horizontal, lege u m unter dem Winkel 45--an up,

schlage mit dem Zentrum auf p u einen Halbkreis u m o, so hat man in Dreieck pso die Grösse und Vertheilung des Erddruckes, während die Richtung horizontal ist.

Oberer Grenzzustand. Aus 44) folgt mit s = o und dem unteren Vorzeichen:

cot (45 — - -]    .

K>

• • 73),

1 -j- sin 9 cos 9

und damit aus 46) bis 48) :

y c°t² (45 — ~),

B = y . . . 74),

y cot (45

75).

von

Nach 49) ist A horizontal, so dass die Gleitflächen Winkel mit der Vertikalen einschliessen.

Für die beliebig gerichtete Ebene p s werden (Drücke in Kilogrammen):

cot² (45 —

Zi¹ y

tang (a -f 8) =

2 cos (a -f- V] tang a

• • 76),

• • 77),

cot²

H = —1 cot²

(« - î)

78),

7 9).

h² T

tang a

Die konstruktive Bestimmung des Erddruckes erfolgt nach den für den unteren Grenzzustand gegebenen Sätzen, nur dass jetzt beim ersten Verfahren «oberhalb dieses Punktes» an Stelle von «unterhalb dieses Punktes», und beim zweiten

9

))

an Stelle von

Verfahren «unter dem Winkel 45 -f~ ~

«unter dem Winkel 45 — -^» zu treten haben. Die Figuren kann man sich hiernach selbst machen. In obigen Formeln

Die Vertikaldrücke der Erde sind im oberen und unteren Grenzzustand gleich und bestimmt durch das Gewicht der senkrecht über der gedrückten Fläche liegenden Erde. Die Horizontaldrücke dagegen stehen nach 78) und 71) im Verhältniss:

80),

lässt sich bekanntlich auch tang ^45 -f-

an Stelle von

cot

(«-ł>

setzen.

c°t. (₄₅ -i)

wonach z. B. für

9 = o 20    25    30    35    40    45    90°

= 1 4* 160 6-071 9 13-617 21-150 33*970 os JA u

In diesem Verhältnisse steht also auch der Erddruck für eine vertikale Ebene im oberen und unteren Grenzzustand.

§. g. Erddruck bei unter dem Reibungswinkel cp geneigter Oberfläche. Ansteigende Oberfläche. Für s = <p folgt aus 44) mit dem oberen und unteren Vorzeichen

k — 1

81).

Es fallen also die beiden Grenzzustände zusammen und existirt nur ein möglicher Gleichgewichtszustand. Für denselben werden nach 46) bis 48) die Hauptspannungen und Spannungen auf den Gleitflächen:

tang (45 —

y tang (45 — ) •

tN> -6

. 82),

dl = y

83).

Der spitze Winkel ß, welchen A mit der Oberfläche ein-schliesst, folgt aus 47)

(«-ł

84)

und da die Gleitflächen um Winkel von 4?--— von A abste-

2

hen, so ist die eine parallel der Oberfläche, die andere vertikal.

2 cos (a -j- 5)

Für eine Ebene p s, welche von dem Oberflächenpunkt s bis zur vertikalen Tiefe Ji unter demselben reicht, ist nach 62) der Erddruck in Kilogrammen :

(cos (y — a)\²

. .85).

cos a

Der Winkel a -j- § der Horizontalen mit E folgt nach 60) aus : tang (a -f- §) = 2 tang <p — tang (<p — a) . . 86). Durch Konstruktion findet sich der Erddruck auf p s wie folgt (Fig. 20):

Man ziehe durch p bis zur Oberfläche die Vertikale p q, schlage mit dieser als Halbmesser einen Kreisbogen um welcher die Parallele durch p zur Oberfläche bei u auf der Druckseite und bei 0 trifft, ziehe u d horizontal bis pq, ferner 0 a \\p s bis zum Schnitte a des Bogens und von Peripherie zu Peripherie die Gerade ade; dann ist der Erddruck parallel eo. Trägt man noch pb = «rf senkrecht zu ps auf, so stellt Dreieck psb die Grösse und Vertheilung des Erddruckes dar.

Figur 20.

\\

IH

mm

■i

mi

Cc

Diese Konstruktion folgt ebenfalls aus dem allgemeinen Verfahren in §. 7, wenn man bedenkt, dass nun

p d .    cd

-— = sin cp = —. pu    T CU

Auch zeigt sich hierbei, dass jetzt nur ein Gleichgewichtszustand existirt, da die Punkte c innerhalb und ausserhalb der Strecke p u zusammenfallen, nämlich nach p.

Abfallende Oberfläche. Mit s = — ç folgen k, A, B, 9? wie oben, der spitze Winkel der Hauptspannung A mit der Oberfläche:

.87) und für die Ebene p s Erddruck in Kilogrammen :

/cos (y + oQV \ “cos a /

. . 88),

hs y

2 cos (a -f- 8)

Richtungswinkel a -f- § des Horizontes gegen E nach 60) aus :

tang (a -j- 8) = tang (<p -f- a) — 2 tang cp . . 89).

Figur 21.

/e

'v

>b

/d

(L

Durch Konstruktion ergibt sich der Erddruck nach der für ansteigende Oberfläche gegebenen Anleitung (Fig. 21).

§. io. Erddruck bei beliebig geneigter Oberfläche.

Unterer Grenzzustand. Es gelten die in §. 6 gegebenen Formeln mit

. . . 90).

cos s — E⁻cos² s — cos² cp

COS cp

Graphisch kann man nach §. 7 die Grösse und Vertheilung des Erddruckes auf eine Ebene p s, z. B. wie folgt erhalten (Fig. 22).

Figur 22.

€y

■Ą,

|§§§

■'j

0)

Man ziehe p q senkrecht bis zur Oberfläche, p u=p q parallel der Letzteren, u d horizontal nach p q, trage eine Gerade unter dem Winkel cp bei u an u p (oder bei q an q p), fälle ein Perpendikel p m auf dieselbe und schneide von p aus mit der Grösse von p m auf der horizontalen u d ausserhalb dieser Strecke bei n ein. Macht man dann d c II 11 p, legt um c mit dem Halbmesser c u einen Kreisbogen, welcher die Verlängerung von u p bei o trifft, zieht o a K sp und von Peripherie zu Peripherie die Gerade ade, so ist der Erddruck parallel e o. Trägt man noch p b — a d

senkrecht zu p s auf, so stellt Dreieck p s b nach Grosse und Vertheilung den Erddruck auf p s dar.

Wir haben eben auch hier wieder

pm

- — sin cp

wie es sein muss. Für s = cp geht diese Konstruktion in diejenige des §. 9 über.

Oberer Grenzzustand. Es gelten die in §. 6 gegebenen Formeln mit

cos z -\-Vcos² £ — cos² ÿ cos cp

Die graphische Ermittelung des Erddruckes kann nach der soeben für den unteren Grenzzustand gegebenen Anleitung erfolgen, nur dass an Stelle von «ausserhalb dieser Strecke bei n» die Worte «innerhalb dieser Strecke bei n» zu setzen sind.

§. 11. Wasserdruck.

Für eine vollkommene Flüssigkeit ist cp = o und wegen — y < s < cp auch s = o. Daher liefert 44) sowohl mit dem oberen als unteren Vorzeichen: es existirt wieder nur ein Gleichgewichtszustand. Aus 46) bis 48) folgen:

A = B = SR = y . .

. . . 92).

Da für jede Richtung R zwischen A und B liegen muss, so sind die Spannungen nach allen Richtungen gleich gross, und demgemäss ergibt sich aus 47) für den Winkel ß von A mit dem Wasserspiegel: man kann jede Richtung als die von A annehmen.

Für den Wasserdruck auf eine bis zur Tiefe h unter den Spiegel reichende Ebene p s hat man aus 62), weil nach 60) 5 — 0:

2 cos oc

93),

94),

95)-

'b

also für den Horizontal- und Vertikaldruck:

H-»l.....

li¹ y

—— tang oc

Figur 23.

§§

Durch Konstruktion findet sich der Wasserdruck auf /»j⁻, wenn man pb = h senkrecht zu p s anträgt, wonach sofort das Dreieckpsb die Grösse und Verkeilung von E angibt (Fig. 23). Dies folgt sowohl aus den Konstruktionen in §§. 8 bis 10, als aus Formel 93).

IV.

Begrenzung durch feste Wände bei ebener Oberfläche.

Die Entwickelungen in II. und III. sind unter den üblichen Annahmen über die Gesetze der Reibung und Kohäsion mathematisch scharf. Wir können also den Erddruck auf eine Ebene im Inneren der Erdmasse für die Grenzzustände und alle Zwischenzustände des Gleichgewichtes berechnen oder konstruiren, wenn die Erde eine ebene Oberfläche und sonst nach allen Seiten unendliche Ausdehnung hat. Liesse sich nachweisen, dass die Pressungen ungeändert bleiben, wenn an Stelle der mathematischen Ebene eine feste Wand tritt, wie es bei Stützmauern der P^all ist, so würde auch der aktive und passive Erddruck auf diese, sowie die Zwischenzustände direkt nach den in III. gegebenen Methoden zu bestimmen sein. Denn da beim gewöhnlichen, aktiven Erddruck die geringste Verkleinerung

Figur 24.

.4-?.

der X genügt, um ein Vorrücken der Erde gegen die Wand zu bewirken (Fig. 24), so würde derselbe dem unteren Grenzzustand des Gleichgewichtes entsprechen; der passive Erddruck oder Erdwiderstand aber, bei welchem die geringste Erhöhung der X ein Vorrücken der Wand gegen die Erde zur Folge hätte, würde im oberen Grenzzustand zu finden sein. (S. 21.)

Von den Autoren, welche über die neuere Theorie des Erddruckes geschrieben haben, glaubten R a n k i n e und Considière, dass dufch die feste Wand nichts geändert werde, Saint-Venant hielt diese Voraussetzung wenigstens für praktisch zulässig, L e v y und Winkler nahmen die willkürliche Behauptung, dass S = cp sein müsse, aus der älteren in die neuere Theorie herüber (vergleiche «Zeitschrift für Baukunde» 1878, Seite 206). Der Erste, welcher den Gegenstand schärfer untersuchte, war Mohr; nur in Folge einer Hypothese über die passive Rolle der Hauptspannung B gegenüber der aktiven von A scheinen uns seine Resultate theilweise bestreitbar.

Im Folgenden soll untersucht werden, in welchen Fällen sich die genaue Gültigkeit der Theorie III ohne Hypothese feststellen lässt, womit nicht ausgeschlossen ist, dass die Theorie auch noch in anderen Fällen richtig bleiben kann

($• 16).

§. 12. Leitende Gesichtspunkte.

Wenn es sich darum handelt, nachzuweisen, inwieweit der für das unbegrenzte Erdreich geltende Gleichgewichtszustand durch feste Wände ungeändert bleibt, begegnet man vielfach dem folgenden Trugschluss: «Denken wir uns eine Ebene p s durch die Erde gelegt und die Masse auf einer Seite derselben plötzlich festwerdend, so wird dadurch offenbar am Gleichgewichtszustand nichts geändert.» — Zuzugeben ist, dass durch das Erhärten auf einer Seite keine Bewegung einzutreten braucht. Daraus aber, dass Gleichgewicht weiter herrscht, folgt noch nicht, dass auch der Gleichgewichtszustand derselbe geblieben ist. Sicher gültig bleiben in jeder ruhenden Erdmasse nur die Gesetze in I., II., welche auf unendlich viele Arten erfüllt sein können, und von welchen die unter III. nur einen speziellen Fall bilden. Ganz abgesehen davon, dass die Gleichungen in III. auch einen Druck auf eine feste Wand liefern, welche sich der natürlichen Böschung an-schliesst (w — cp, a — cp — 90, Fig. 25), ist leicht einzu-

Figur 25.

sehen, dass sich der Gleichgewichtszustand durch die Wand wenigstens ändern kann. Man fasse zu diesem Zwecke ein Erdtheilchen bei der Wand innerhalb des weich gebliebenen Theiles der Masse in’s Auge. Hat dies Theilchen vor Einsetzen der Wand durch das Gewicht der jenseits derselben liegenden Erde Pressungen erhalten, so werden dieselben nun durch die feste und unbewegliche Wand abgehalten und aufgenommen. Es ist hierbei sogar denkbar, dass zwischen Wand und Erde durch Setzen der letzteren ein freier Raum entsteht (für co <, cp).

Damit die Gesetze für das Gleichgewicht im unbegrenzten Erdreich auch nach dem Einziehen fester Wände ungeändert fortbestehen, ist nöthig:

1.    dass die Spannungen, für welche die Gesetze aufgestellt wurden, nicht selbst durch die Wand geändert werden;

2.    dass die Wand den nach diesen Gesetzen auf sie entfallenden Kräften in gleicher Weise widerstehen könne wie vorher die Erde.

§. 13. Fall, in welchem die Theorie III für jeden Rauhigkeitsgrad der Wand gilt.

Die Hauptspannungen A und B sind Normalspannungen und wirken rechtwinkelig zu einander, es finden längs der Flächen, welche von den Hauptspannungen affizirt werden, keinerlei Schubspannungen statt. Für die in III. angenommene unendliche Erdmasse mit ebener Oberfläche sind diese Flächen Ebenen.

Nehmen wir also in einer solchen Erdmasse eine Ebene p s in der Richtung der B an (Fig. 26), so hat

II

Figur 26.

ir

w,

a.

i /f

Tj

'.S

diese einzig und allein den Normalspannungen A Widerstand zu leisten. Lassen wir die Ebene fest werden, so wird dadurch am Gleichgewichtszustand im Erdkörper K nichts geändert, falls die vor Einsetzen der Wand in K wirksam gewesenen Spannungen selbst ungeändert bleiben. Dies gilt bei der angenommenen Wandrichtung ganz allgemein, für jeden Reibungswinkel cft von Erde auf Wand; denn wenn die A normal zur Wand wirken, ein Schubwiderstand also nicht beansprucht wird, so ist es auch gleichgültig, welchen Werth der letztere eventuell haben könnte.

Es fragt sich nun, ob die Spannungen in K durch das Einziehen von p s ungeändert geblieben sind. Um dies zu entscheiden, kann man von einer zuerst von Mohr nachgewiesenen Eigenschaft kohäsionsloser Erde mit ebener Oberfläche und sonst unendlicher Ausdehnung ausgehen.

Wir nehmen vor Einziehen der Wand einen Punkt o in K an und legen durch denselben in der Richtung von B ein Flächenelement f. Das Gewicht des auf f sitzenden Prisma vom Querschnitt f und der Axrichtung nach A ist in Einheiten von y Kilogramm gleich //, daher die Komponente in der Axrichtung fl cos w —f a. Da nun Gleichgewicht herrscht und Schubkräfte in der Richtung von A nicht auftreten, so muss sein f A — f a — o:

A = a.

Die andere Komponente des Prismagewichtes wird von der unteren Seitenfläche aufgenommen, um so viel ist der Druck auf diese grösser, wie auf die obere Seitenfläche. Legt man durch den Punkt o ein Flächenelement in der Richtung von A, so ergibt sich aus der Bedingung für das Gleichgewicht in der Richtung von B:

B — b.

Damit ist bewiesen, dass die Hauptspannungen erzeugt gedacht werden können durch das Gewicht der in ihren Richtungen bis zur Oberfläche liegenden Elementarsäulen, und dass z. B. der Druck auf ein Flächenelement f in der Richtung von B genau so gross ist, als wenn von f aus eine Röhre vom Querschnitt f mit einer vollkommenen

Flüssigkeit von der Dichtigkeit der Erde ginge. Analoges gilt für ein Flächenelement in der Richtung von A. — Bei horizontaler Oberfläche liegt eine Hauptspannung parallel der letzteren; man könnte sich also dann den Schnitt im Unendlichen in jeder Höhe über o denken. Die Formeln des §. 8 sagen uns, dass wir ihn im unteren Grenz-zustand um :

y tang⁸ (45 —

im oberen um :

<P

y cot⁸ (45

über o anzunehmen haben.

Denken wir uns jetzt wie oben eine Ebene p s in der Richtung der B gelegt und fest werden, so nimmt diese Wand zwar einen Theil der Gewichte der Elementarsäulen, durch welche die A im Erdkörper L gebildet werden, auf (Fig. 26), so dass hier der Gleichgewichtszustand geändert sein wird ; aber im Erdkörper K ist an den Elementarsäulen zur Bildung der A und B gar nichts geändert worden. Sind aber die A und B gleichgeblieben, so gilt dies nach den in I. abgeleiteten, also unabhängig von Begrenzung und Wänden bestehenden Gleichungen 21) und 22), auch für die Spannungen in allen beliebigen Richtungen an jeder Stelle des Erdkörpers K. Für den Erdkörper L würden die A und B ganz ebenso ungeändert geblieben sein, wenn wir die Wand in die Richtung von A gelegt hätten. Man kann also aussprechen:

Die Theorie III bleibt bei einseitiger Begrenzung durch eine ebene Wand für jeden Rauhigkeitsgrad der Wand gültig, wenn letztere die Neigung der einen Hauptspannung erhält und die durch einen beliebigen Punkt der Wand gezogene Richtungslinie der anderen Hauptspannung die Oberfläche innerhalb des Erdkörpers trifft.

Es werde jetzt die Wand aus der Stellung I in Fig. 26 etwas rechts herumgedreht (Fig. 27), so werden Rir ge-

Figur 27.

wisse Punkte des Erdkörpers K Theile der Elementarsäulen , durch deren Gewicht die B gebildet wurden, abgeschnitten und ihr Gewicht von der Wand aufgenommen. Analoges gilt für den Erdkörper L in Hinsicht der A, wenn wir die Wand aus der Stellung II in Fig. 26 etwas links herumdrehen. Von Hypothesen absehend, müssen wir sagen:

Die Theorie lässt sich bis jetzt für keinen Rauhigkeitsgrad der Wand als gültig nach-weisen, wenn die Stellung der letzteren derart ist, dass die durch jeden ihrer Punkte gezogenen Richtungslinien der Hauptspannungen nicht beide die Oberfläche innerhalb des Erd

körpers treffen.

§.14. Gültigkeit der Theorie III bei Begrenzung durch eine Mauer.

Betrachten wir nochmals den Erdkörper K, denken uns aber die Wand aus der Stellung I in Fig. 26 etwas links herumgedreht (Fig. 27), so ändert sich an den Elementarsäulen, durch deren Gewichte die A und B in K gebildet wurden, nichts. Es werden also zufolge 21) und 22) innerhalb K auch die Spannungen in allen beliebigen Richtungen ungeändert bleiben und die Theorie III Gültigkeit behalten, wenn dieWand zur Aufnahme der nach dieser Theorie auf sie entfallenden Kräfte befähigt ist. Zur Aufnahme von Pressungen R ist die Wand aber immer dann befähigt, wenn die Richtung der R einen numerisch kleineren Winkel 8 mit der Normalen zur Wand einschliesst, als den Reibungswinkel cpt von Erde auf Mauer. Der grösste Werth, welchen 8 in der Erdmasse jemals erreichen kann, ist gleich dem Reibungswinkel cp von Erde auf Erde. Daher folgt der Satz :

Die Theorie III bleibt beim Rauhigkeitsgrad cpt (p einer Wand für diejenigen Stellungen der letzteren gültig, für welche die durch jeden ihrer Punkte gezogenenRichtungslinien der Hauptspannungen beide*) die Oberfläche innerhalb des Erdkörpers treffen. Für Mauern wird bekanntlich immer cpt cp angenommen.

Die Entscheidung, ob beide durch einen Punkt der Wand gezogenen Richtungslinien der Hauptspannungen die Oberfläche innerhalb des Erdkörpers schneiden, wäre in jedem einzelnen Falle sehr leicht, da sich mittelst der nach §. 7 zu erhaltenden Kreise die Hauptspannungen nach §. 2 sofort ergeben. Man kann aber auch allgemein Vorgehen, wenn man aus den in III geführten Untersuchungen über die ungefähre Richtung der Hauptspannungen orientirt ist. Für den bei Mauern allein interessirenden aktiven Erddruck soll dies gezeigt werden.

Bei horizontaler Oberfläche liegt A vertikal, B horizontal, es schneiden also stets beide Hauptspannungen die Oberfläche auf Seiten des Erdkörpers, wenn die Wand vertikal oder nach hinten abfallend, d. h. a o ist (Fig. 28, 34). Dreht man die Oberfläche aus der Lage in Fig. 28 links

*) Die Annahmen Mohr’s führen zu dem Resultate, dass nur A diese Bedingung erfüllen muss^^V

<0>

Figur 29.

Figur 28.

V/,

/A

J!

herum (Fig. 29), so drehen sich A und B rechts herum und schneiden nur dann beide Hauptspannungen die Oberfläche im Erdkörper, wenn a Ç ist, unter Ç den Winkel der Vertikalen gegen die Richtungslinie von B verstanden. Drehen wir dagegen die Oberfläche aus der Lage in Fig. 28 rechts herum (Fig. 30), so drehen sich A und B links herum und beide Hauptspannungen schneiden die Ober-

Figur 30.

fläche im Erdkörper, wenn a ^ r\ ist und rj den Winkel der Vertikalen gegen die Hauptspannung A bedeutet. Bezeichnet nun wie bisher J3 den spitzen Winkel der Richtungslinie von A mit der Oberfläche, so hat man:

C = S — /3, T| = 90 -f- £ — j3 . . . . 96), und da ß bestimmt ist durch 47), so können wir das Ergebnis dieser letzten Untersuchung wie folgt aussprechen.

D i e T h c o r i e III gilt für den aktiven Erddruck auf eine ebene Mauer fläche (Fig. 34) genau:

1.    bei horizontaler Oberfläche, wenn o ist;

2.    bei von der Mauer aus ansteigender

Oberfläche, wenn a > Ç und Ç durch

. .    ,    sin s

sin ( 180 — 2 Ç -f- s) — —- .

sin ç

bestimmt ist, wonach z. B. sein muss: wenn ç = 30° für e = o

a >90°, 87° 28' 50", 84° 50' 20", 78° 25' 10", 6o°, wenn y — 45° für s = o

a^9O⁰, 88° 52'37", 87°53'31    8s°32' 10", 82°30', 67⁰3O';

• • 97)

5°

5°

10°

IO°

20°

30°

45°

20°

30°    45⁰

3. bei von der Mauer aus abfallender Oberfläche, wenn a r\ und yj durch

sin (27] — s) == —

98)

sin s

sin <p

bestimmt ist, so dass sein muss:

wenn ç = 30° für £ = o

ot>o, 2° 31' 10", wenn cp = 450 für s = o

-5°

— 30°

5⁰ 9' 40", ii° 34' 50", 30°,

— 10°

— 20°

— 45°

-5°

— 20°

— 30° —45° 4⁰ 27' 50", 7⁰ 30', 22⁰ 30';

— 10°

a>0, i°2/24//, 2° 6' 29",

Nach dem Resultate 1) ist die Theorie III für die meisten bei Stützmauern und Gewölben vorkommenden

Fälle genau. Dagegen lässt sich die genaue Gültigkeit bei ansteigender Oberfläche nur in Ausnahmsfällen und bei hinterschnittener Mauer (a negativ) nie erweisen. Selbstverständlich bleibt die Theorie auch genau für jede Wand, welche aus mehreren ebenen Flächen oder Flächenelementen von den ermittelten Stellungen zusammengesetzt ist, etwa wie in Fig. 31, 32, da es nur auf Erfüllung der oben gesperrt gedruckten Bedingungen ankommt.

Figur 31.

Figur 32.

§. 15. Allgemeinster Fall. Erdbassins.

Parallele Mauern.

Haben wir mehrere Wandflächen, deren jede einzelne in Bezug auf Neigung und Rauhigkeitsgrad    §) den

oben gestellten Bedingungen entspricht, so dass jede einzelne am Gleichgewichtszustände nichts ändert, so bleibt auch nach Einsetzen aller zusammen der im unbegrenzten Erdreich gültige Gleichgewichtszustand bestehen. Man kann aussprechen:

Ist eine Erdmasse mit ebener Oberfläche durch beliebig viele ebene oder krumme Wände von beliebigen Rauhigkeitsgraden begrenzt, so bleibt die Theorie III genau gültig, wenn 1. die durch jeden Punkt der Wände gezogenen Richtungslinien der Hauptspannungen beide die Oberfläche innerhalb des Erdkörpers schneiden, und 2. in jedem Wandelement die afficirende Spannung R einen numerisch kleineren Winkel § mit der Normalen einschliesst,

als der Reibungswinkel von Erde auf Wand daselbst ist. Die Bedingung 2) ist für ç, y immer erfüllt, weil § höchstens den Reibungswinkel von Erde auf Erde erreichen kann.

Für das in Fig. 33 angedeutete Erdbassin beispiels-

Figur 33.

5Ö<X>

weise hat die Theorie III Gültigkeit, wenn die Wand nicht zu glatt ist (<pt ]> §) und das Gleiche gilt für die einfach punktirte Umfassung des Bassins. Würden wir jedoch die strichpunktirten Wände an Stelle der ausgezogenen setzen, so dürften die Wände auch absolut glatt sein. Bei weiterem Nachinnendrehen aber ist die genaue Gültigkeit nicht mehr festzustellen, weil dann die Bedingung 1) verletzt wird. Wir können also nichts nachweisen über die Gültigkeit der Theorie III bei zwei Mauerflächen, welche nach oben um weniger als 90° divergiren, wozu auch der Fall zweier paralleler Mauern gehört.

Bekanntlich nahmen Scheffler und Hagen an, dass eine oben horizontale, von zwei vertikalen Wänden eingeschlossene Erdmasse genau dieselben Pressungen auf beide Wände ausübe, als wenn die Erde von einer Wand aus bis in’s Unendliche reicht. Auch nach den Mohr’schen Resultaten würde dies richtig sein. Wir haben keinen Grund es zu bestreiten, halten aber die versuchten Beweise für ungenügend.

§. i6. Schluss.

Es ist möglich und wahrscheinlich, dass die Theorie III noch in anderen als den jetzt erhaltenen Fällen bei Begrenzung durch feste Wände gültig bleibt. Dies trifft ja wenigstens in dem Spezialfalle cp — o (Wasser) für ganz beliebige Wände und Bassins zu. Mit Rücksicht auf letzteren Umstand wird man sagen können: Bei beliebigen Wandrichtungen bleibt die Theorie III um so angenäherter richtig, je kleiner der Reibungswinkel cp von Erde auf Erde ist.

Figur 34.

Ę/

7i!

Ferner lässt sich annehmen, dass die Theorie III um jso angenäherter gilt, je weniger sich die Wand von der im §. 14 bestimmten Grenzlage der genauen Gültigkeit entfernt. Bei sj>0 (Fig. 34) beispielsweise ist die Theorie genau gültig füra^Ç, und sie wird auch in anderen Fällen um so angenäherter gelten, je grösser a ist. Schaffer hält die neuere Theorie bei horizontaler oder ansteigender Oberfläche und vertikaler oder nach hinten abfallender Mauer (e ^ o, a o) für absolut genau.

Jedenfalls dürfte sie in allen diesen Fällen eher anwendbar sein, als die ganz willkürliche ältere Theorie des Erddruckes.

Mit über o hinaus abnehmendem a wird die Theorie III immer weniger zutreffend und für a = 90 — 4 ist kein Druck mehr auf die Mauerfläche vorhanden, während die Gültigkeit der abgeleiteten Formeln einen solchen bedingen würde. Für alle Fälle, in welchen die Theorie III nicht gilt, ist eine scharfe, bis zu praktischer Verwendbarkeit führende Theorie des Erddruckes bis heute über-

- 52

haupt unmöglich, es gelten nur die Beziehungen unter I, II, alle anderen Formeln sind, wenn brauchbar, als empirische aufzufassen.

Die folgende, an anderer Stelle («Zeitschrift für Bau künde», 1878) von mir abgeleitete Formel für den Erddruck auf eine Mauerfläche gilt für beliebige 8 und vereinigt in sich die Resultate der älteren und neueren Theorie

h² y

1) cos aj 2 cos (oc —j—

cos — a) y

{n

• • 99)

mit

IOO).

1 /sin (y -j- 8) sin "(9 » cos (a -j- 5) cos (a — s)

Um den Erddruck nach der älteren Theorie zu erhalten, hat man darin 8 = 9 oder o zu setzen, die Resultate der neueren Theorie ergeben sich mit 5 nach 60), 70) und 86). In Fig. 34 ist der positive Drehungssinn der Winkel angedeutet.

ii

♦1

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

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