Mathematische Annalen.

Unter Mitwirkung

von

P. G-ordan, O. Holder, C. Neumann, M. Noether, K. VonderMühll

und H. "Weber

gegenwärtig herausgegeben von

F. Klein, W. v. Dyck, D. Hilbert und 0. Blumenthal.

Leipzig bei B. G. Teubner.

Sonderabdruck aus dem 71. Bande.

1911.

40:311

Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin

Bauer, Dr. GL, Geheim rat, weil. Professor an der Universität München, Vorlesungen über Algebra. Im Aufträge des MathematischenVereins München herausgegeben von Dr. Karl Doeklemann, Professor an der Universität München. Mit dem Bildnis Gustav Bauers und 11 Figuren. 2. Auflage. [VI u. 366 S.] gr. 8. 1910. Geh. JL 11.—, geb. Ji. 12.—

Bianehi, Dr. L., Professor an der Universität Pisa, Vorlesungen über Differentialgeometrie. Autorisierte deutsche Übersetzung von M. Lukat, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Danzig. 2., vermehrte und verbesserte Auflage. [XVIII u. 721 S.] gr. 8.    1910. Geh. Ji. 22.60, in Leinw. geb. Ji 24.60.

Mit einem

Bocher, Dr. M., Professor an der Harvard University Cambridge, Mass., U. S. A., Einführung in die höhere Algebra. Deutsch von H. Beck.

Geleitworte von E. Study. [XII u. 348 S.] gr. 8. 1910. Geb. JL 7.—

Bolza, Dr. O., Professor an der Universität Chicago, Vorlesungen über Variationsrechnung. Umgearbeitete stark vermehrte deutsche Ausgabe der „Lectures on the Calculus of Variations“ desselben Verfassers. Mit 117 Figuren. [IX, 705 u. 10 S. Anhang.] gr. 8. 1909. Geh. JL 19.—, geb. JL 20.—

Borei, Dr.E., Professor an der Sorbonne zu Paris, die Elemente der Mathematik, ln 2 Bänden. Deutsche Ausgabe besorgt von P. Stäckel, Professor in Karlsruhe i.B.

I. Band: Arithmetik und Algebra: Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. [XVI u. 431 S.J gr. 8. 1908. Geb. Jt 8.60.

II.

Geometrie. Mit 403 Figuren. [XII u. 224 8J gr. 8. 1909. Geb. Jt 6.40.

Christoffel, E. B., gesammelte mathematische Abhandlungen. Herausgegeben unter Mitwirkung von A. Krazer u. G. Faber von L. Maurer. In 2 Bänden, gr. 8.    1910.

I. Band. Mit einer Biographie E. B. Christoffels von C. E. Preis er und einem Bild in Lichtdruck sowie 15 Figuren. [XVI u. 382 S.] Geh. Jt. 18.—

Mit 18 Figuren. [III u. 343 S.] Geh. Jt 16.—

Czüber, Hofrat Dr. E., Professor an der Technischen Hochschule zu Wien, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. 2. Auflage in 2 Bänden.

1. Band. "Wahrscheinlichkeitstheorie. Fehlerausgleichung. Kollektivmafilehre. Mit 18 Figuren. [X u. 410 S.] gr. 8. 1908. In Leinw. geh. Jt 12.—

Mathematische Statistik, mathematische Grundlagen der Lehensversicherung. [X u. 470 S.J 1910. ln Leinw. geb. Jt. 14.—

Einführung in die höhere Mathematik. Mit 114 Figuren. [X u. 382 S.] gr. 8.    1909. Geh. ^.12.—

Pallwigk, Dr. F., Privatdozent in Marburg, Vorlesungen über darstellende Geometrie. In zwei Bänden.

I. Band: Bie Methoden der Parallelprojektion. Mit 184 Figuren. [XVI u. 364 S.J gr. 8. 1910. Geb. Ji 13.—

II.

II.

Dingeldey, Fr., Professor an der Technischen Hochschule zu Darmstadt, Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der Differential -und Integralrechnung. In 2 Teilen, gr. 8. Geb.

I. Teil: Aufgaben zur Anwendung de rBifferentialrechnung. Mit 99 Figuren. [V u. 202 S.] 1910. Ji 6.—

Dziobek, Dr. O., Professor an der Militärtechn. Akademie und an der Techn. Hochschule zu Charlottenburg, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Mit 150 Figuren. [X u. 648 S.] gr. 8.    1910. Geb. Ji. 16.—

Eneström, GL, Bibliothekar in Stockholm, Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. In 2 Lieferungen. I. Liefg. [208 S.] gr. 8. 1910. Geh. Ji. 10.—

Fortschritte der Mathematischen Wissenschaften in Monographien. Herausgegeben von 0. Blumenthal. In zwanglosen Heften, gr. 8. Steif geh.

Bisher erschienen:

Heft

1: Minkowski, H., zwei Abhandlungen über die Grundgleichung Elektrodynamik. Mit Einführungswort von O. Blumenthal. [82 S.j 1910.

Gr rundlehren der Mathematik. Für Studierende und Lehrer. 2 Teile in 4 Bänden. Mit vielen Figuren, gr. 8. Geh.    '

I. Teil: Die Grundlehren der Arithmetik und Algebra.

1. Band: Arithmetik. Von C. F ärber. Mit9Fig. [XIVu.422 S.] gr. 8. 1910. Ji 9 Algebra. Von E. Netto. [In Vorbereitung.]

Die Grundlehren der Geometrie:

1. Band: Die Elemente der Geometrie. Von H. Thieme. Mit 323 Figuren. [XII u. 394 S.l 1909. Jt 9 .—

Biblioteka Politechmki Krakowskiei

en der Jl. 2.40.

II.

2.

2.

100000298468

ßiblioteka

Jana Pt°szyckiego.

Sonderabdruck aus Mathematische Aunalen. LXSI. Band. Heft 3. Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig

s&tm

! KfUXÖW |

^•chnic¹^'

131150

Über die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers.

Von

P. Woronetz in Kiew

1/

KRAXÖW j

¹

Vgl. z. B. E. J. Routh, The advanced part of a treatise on the Dynamics of a System of rigid bodies. Ch. I.

1/

Die Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers werden gewöhnlich auf ein im Raume unbewegliches Koordinatensystem Olx₁y₁z1 oder auf ein System Oxyz bezogen, das mit dem Körper fest verbunden ist. In den wenigen Fällen, wo ein Koordinatensystem Mt,yt, benutzt wird, welches sowohl in bezug auf Oxyz, als auch in bezug auf 0₁xly₁z1 beweglich ist, wird doch meist vorausgesetzt, daß der Pol M entweder im Raume fest ist oder mit dem Schwerpunkte des Körpers zusammenfällt.¹) Es ist aber möglich auf Probleme hinzuweisen, wo die Anwendung eines Achsensystems M^yt, mit beweglichem Pole M, der nicht mit dem Schwerpunkte des Körpers zusammenfällt, bedeutende Vorteile bieten muß. Betrachten wir, z. B., die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer gegebenen Fläche St rollt. Wählen wir zum Pole des Systems    den Punkt, in welchem die Oberfläche S

des Körpers die Fläche Sj im gegebenen Momente berührt, so werden die Bewegungsgleichungen des Körpers, welche die resultierenden Momente der wirkenden Kräfte enthalten, unabhängig von der normalen Reaktion der Fläche St und von den Projektionen der Reibungskraft sein. Vernachlässigen wir also die Momente der rollenden und der bohrenden Reibung, so ergeben diese Gleichungen und die Bedingungsgleichungen, denen der Körper unterworfen ist, das volle System der Differentialgleichungen, welche die Bewegung des Körpers bestimmen. Die übrigen Bewegungsgleichungen dienen nur zur Bestimmung der erwähnten normalen Reaktion und der Projektionen der Reibungskraft.

Die vorliegende Abhandlung zerfällt in zwei Teile. Iu dem ersten werden die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers in bezug auf ein Achsensystem M£,yl, das eine beliebige gegebene Bewegung hat,

}>■

<r»

aufgestellt. Im zweiten Teile werden die erhaltenen Bewegungsgleichungen auf das Problem der rollenden Bewegung angewendet und an einem einfachen Beispiele erläutert.

Die auf das Achsensystem M^rj^ bezogenen Bewegungsgleichungen werden wir aus dem folgenden Satze²) der Dynamik materieller Punktsysteme entwickeln: „Die geometrische Derivierte P des Vektorensystems P, das aus den Bewegungsgrößen der materiellen Punkte besteht, ist dem Vektorensysteme TT der wirkenden Kräfte und Reaktionen äquivalent“. Wäre der Pol M, in bezug auf welchen die resultierenden Momente der Systeme P und TT berechnet werden, ein unbeweglicher Punkt, so wäre das resultierende Moment des Systems P der geometrischen Derivierten G des resultierenden Momentes G des Systems P geometrisch gleich, sodaß der angeführte Satz die geometrischen Gleichungen wo L, G und A, T die resultierenden Vektoren und die resultierenden Momente um M der Systeme P und TT bezeichnen, ergeben würde. Ist aber, wie im gegebenen Falle, der Pol M ein beweglicher Punkt, d. h. sind seine Koordinaten xx, yx, zx in bezug auf das im Raume feste Achsensystem Oxxxyxzx Funktionen der Zeit t, so müssen die angeführten Formeln durch die folgenden ersetzt werden:

(i)

(£)-( A),    (<?) + (²)-( r).

Hier bezeichnet K das Moment des resultierenden Vektors L um den Koordinatenursprung Ox, wenn dieser Vektor am „derivierten“ Pole M'(xx, yx, zx) angreift. Die Größen xx, yx, kx sind die Dilferentialquotienten der Koordinaten xx, yx, zx des Pols M nach der Zeit t.

I.

Wir denken uns außer dem im Raume unbeweglichen Koordinatensysteme Oxxxyxzx ein System Oxyz, das mit dem starren Körper fest verbunden ist, und bezeichnen mit p, q, r; a, &, c die Projektionen der momentanen Winkelgeschwindigkeit co des Körpers und der Geschwindigkeit des Pols 0 auf die x, y, ^-Achsen. Dann ist die lebendige Kraft T des Körpers eine homogene Funktion zweiten Grades der Größen p₇ q, r, a, b, c mit konstanten Koeffizienten.

Wir führen noch ein drittes orthogonales Koordinatensystem

Kiew 1900.

ein, wobei wir voraiissetzen wollen, daß die Koordinaten x, y, z des Pols M in bezng auf das System Oxyz und die neun Kosinus X, X', • • •, v"

X'

X"

rr

y

der Winkel, welche die £, rj, £ - Achsen mit den x,y,z-Achsen bilden, entweder als Punktionen der Zeit t oder als Funktionen der Koordinaten des starren Körpers gegeben sind.

Die Projektionen 6, t, n- «, ß, y, welche die Winkelgeschwindigkeit w des Körpers und die Geschwindigkeit desjenigen Punktes des starren Körpers, welcher im gegebenen Momente mit dem Pole M zusammenfällt, auf die |, rj, ^-Achsen bilden, werden durch die Formeln

<? = pX -f- qX' + rX", cc = (a + qz — ry)X -f (b + rx — pz)X' -f (c+py — qx)X”,

bestimmt.

Lösen wir diese Gleichungen nach den Größen p, q, r, a, b, c auf: p = gX -f- ty -{- nv,

^ a — aX -(- ßp 4- yv + 6(yX"—zX') -j- r(yp" — zp') + n{yv"—zv'), und setzen wir in die Funktion T ein, so wird

T(a, b, c,p, q, r) = 0(a, ß, y, <?, r, n)

wobei

de _ dT dT , dT „ da da K + db k + ~de k 7

(3)

de dT ,    wx .    dT.

ist. Nun sind aber die Derivierten von T nach den Größen a, b, c, p, q, r gleich den auf die x, y, ^-Achsen genommenen Projektionen des resultierenden Vektors und des resultierenden Momentes um 0 der Bewegungsgrößen der materiellen Punkte, aus denen wir uns den Körper zusammengesetzt denken wollen. Den aufgestellten Formeln zufolge haben wir also wo L und G, wie in den Formeln (1), den resultierenden Vektor des Systems P und sein resultierendes Moment um den Pol M bedeuten.

Bezeichnen wir mit xl,yl,zx die Koordinaten des Pols M in bezug auf das im Raume feste Achsensystem Olx₁y₁zl, so sind die Koordinaten des derivierten Pols M' in bezug auf dasselbe System gleich xx, yt, zt, d. h. gleich den Differentialquotienten von x₁,yl,z₁ nach der Zeit t, folglich haben die Koordinaten des Punktes M' in bezug auf ein Achsensystem, dessen Ursprung mit dem Punkte zusammenfällt und dessen Achsen den £, rj, ^-Achsen parallel sind, die Werte

(x + a + qe — ry)X + (y + b+rx—pg)X' + (k + c +py — qx)X",

(4)

£' = 30 V H----

oder | + cc, r{ ß, + y, wenn wir der Kürze wegen die Bezeichnungen §' = xX -f- t/X' 4- zX", r[ = xy

einführen. Projizieren wir also den in (1) auftretenden Vektor K auf die %, r\, £-Achsen, so wird

Das Achsensystem Oxyz bewegt sich in bezug auf das System M£,r]£ mit einer Winkelgeschwindigkeit co₁, deren Projektionen 6₁, xt, nl auf die £, rj, £-Achsen nach den bekannten Formeln der Kinematik

(5)

de T , T

= L cos (L> s)>

de

do

— G COS (6r, |)

<5X = yv -j- y v + y'v", x₁ = vX -f • • •, nx = Xy + • • •

zu berechnen sind, folglich sind die auf dieselben Achsen genommenen Projektionen der Winkelgeschwindigkeit des Achsensystems M%r]£, in bezug auf das im Raume unbewegliche System 0₁xly₁z₁ gleich 6 — dt, r — x₁₇

n — nx.

Wenden wir jetzt die geometrischen Gleichungen (1) an, indem wir die in (1) enthaltenen Vektoren auf die |, rj, ^-Achsen projizieren, so erhalten wir die Differentialgleichungen der Bewegung des starren Körpers in der Form

+ 0 - Ti)

de

dy

(6)

r: die Projektionen des resultierenden Vektors und des

resultierenden Momentes um M der auf den Körper wirkenden Kräfte und Reaktionen bezeichnen.

Sind die auf den Körper wirkenden Kräfte und die Bewegung des Achsensystems M%■)]£, gegeben, und sind die Reaktionen und die Projektionen cc, ß, y, <?, r, n der Geschwindigkeit des Punktes M und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers durch die Koordinaten des Körpers und durch die Differentialquotienten derselben nach der Zeit ausgedrückt, so bestimmen die erhaltenen Gleichungen (6) diese Koordinaten als Funktionen der Zeit.

II.

Um von den allgemeinen Formeln (6) zu den Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer gegebenen Fläche St rollt, überzugehen, machen wir die Voraussetzung, daß sich in jedem Momente der Bewegung ein Punkt des Körpers in augenblicklicher Ruhe befindet. Wählen wdr diesen Punkt zum Pole des Achsensystems so ist der Körper den nicht holonomen Bedingungsgleichungen

(7)

a — yr — zq, b = zp — xr, c = xq — yp

unterworfen, und in die Formeln (6) ist

a “ 0, ß = 0, y = 0

einzusetzen.

Außerdem wollen wir, der Einfachheit wegen, voraussetzen, daß der Pol 0 mit dem Schwerpunkte des Körpers und die x, y, Achsen mit den zentralen Hauptträgheitsachsen zusammenfallen. Wir haben dann, wenn M die Masse des Körpers und A, B, C die zentralen Hauptträgheitsmomente bezeichnen,

2T = M (a² + b²+ c²) + Ap²+ Bq² + Cr²,

sodaß wir die Derivierten von 0 nach 6, r, n znfolge (8), (7) und (2) aus der Formel

(8)

(9)    20 = M(x2jr y² + z²)(ci²-\- t²+ n²) — M(£<? + ?;xr -f £w)²

-+- A(öl -f- rp + nv)² -f- _B(ßA'+    -f C(pX" -f Tg"-f- wi'"):

zu berechnen haben, wobei

(10)

| = xX -}- yX + # V', y =    + • • •,    £ = xv + * • •

gesetzt ist.

Was nun die Derivierten von 0 nach a, ß, y anbetrifft, so ergeben die Gleichungen (3) nach (8)

= M(aX + bX'+cX"),

oder nach (7), (2) und (10)

s? i ©

= M(rjn — £t)

Die letzten drei Gleichungen (6) können also so hingeschrieben werden:

(11)

d de . , s

dtVa+ (t~

+ M\£(g6 + rj't + l'n) —    ⁼

Diese Gleichungen sollen jetzt auf das spezielle Problem der Rollbewegung angewandt werden.

Wir wählen als Koordinaten eines starren Körpers, der auf einer gegebenen Fläche Sx rollt, nach C. Neumann³) folgende Größen: die Gaußschen Koordinaten u und v des Punktes M auf der Oberfläche 8 des Körpers, in welchem die Fläche S die Fläche Sx berührt, die Gaußschen Koordinaten ux und vx desselben Punktes M auf der Fläche 8X und den Winkel fl-, den die Koordinatenlinie u (y = const.) mit der Koordinatenlinie vx (ux = const.) im Punkte M bildet.

vi

U} V

Fig. 1.

Wir werden, wie üblich, durch E, F, Cr; J), I)', D" die Fundamentalgrößen erster und zweiter Ordnung⁴) der Fläche S bezeichnen. Dieselben Größen für die Fläche Sx seien Ex, Fx, Grx‘ Dx, Dx, Dx r. Der Einfachheit wegen werden wir voraussetzen, daß die Linien u und v auf S und die Linien ux und vx auf Sx die Krümmungslinien dieser Fläche sind F = 0, D' = 0, Fx = 0, Dx = 0.

Soll die Bewegung des Körpers auf der Fläche Sx ohne Gleitung vor sich gehen, so ist der Berührungspunkt der Oberfläche S des Körpers und der Fläche Sx in augenblicklicher Ruhe. Wählen wir diesen Punkt zum

Ursprünge des Achsensystems M£r]£, so dürfen wir also die Formeln (11) anwenden. Die £, 17, ^-Achsen lassen wir mit den Tangenten zu den Koordinatenlinien u und v und mit der Normalen n zu S in M zusammenfallen.

Denken wir uns die Oberfläche S des Körpers durch die Formeln

x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)

bestimmt, so sind die Koordinaten x, y, z des Pols M und die neun Kosinus

l dx

yjr du’

_    1 dx

dy dz\ du) ’

gegebene Funktionen der Koordinaten u und v.

Differentieren wir die Funktionen 1, X', • • •, y" nach der Zeit t:

:    1    / d²x . d*x .\

X~YM (3? “ ⁺ dudvV ⁺

d / l \

1/E>

d²x

JL(._

yG \dudv

ü -f-

d²x

dv'²

v)+d-^ ±( ¹ )

) ^ dv dt\yG)’

und berechnen wir die Ausdrücke

vä -f- v' fi' -f- v" fi" =

B" . VGV’

1) . -yg"’

. • .    1 (dB . dG.\

so erhalten wir nach (5 )

¹ _ (dE •

2YEG \dv U

Um die Projektionen 6, x, n der momentanen Winkelgeschwindigkeit co des Körpers durch die Koordinaten u, v, ux, vt, fl und durch die verallgemeinerten Geschwindigkeiten ü, v, • • • auszudrücken, zerlegen wir die Winkelgeschwindigkeit co in drei:

(12)

<*1 = ~

D .

VGV

D .

~=u,

■\/E

dG

du

v).

(co) = (raj + (co₂) + (to₃)

wobei co₁ die Winkelgeschwindigkeit des Achsensystems Oxyz in bezug auf das System Muvn, co₂ die Winkelgeschwindigkeit des Systems Muvn in bezug auf Mulv₁n₁ (Fig. 1) und co₃ die Winkelgeschwindigkeit des Systems Muxvxnx in bezug auf 0₁x₁ylzl bezeichnen.

Die Winkelgeschwindigkeit cox wird dann durch die Formeln (12) bestimmt, co₂ ist nach Fig. 1 gleich fl und längs nt gerichtet und co₃ wird auf ähnliche Weise, wie co₁, berechnet. Wir erhalten also nach Fig. 1

<J = —

D" .

Wv

(13) x —

JD .

7 — U

Ye

Sr Sir

~=ü, cos 11,

vx

u< sin# 4- —~-V.. cos'S¹,

ye,

dEx .

vl sin # —

dG

1 /dE^__

2yWG    du

v) +

ux —

Bezeichnen wir mit p und s die Entfernungen des Schwerpunktes 0 des Körpers vom Berührungspunkte M und von der Tangentenebene zu S in M:

p² = x² + y² -f 0², e = xv + yv -f z v",

so sind p und e Funktionen von u und v, und die Formeln (10) und (4) ergeben

Setzen wir hieraus in (11) ein, so erhalten wir die Bewegungsgleichungen des Körpers in der Form

(14)

d dO . /    \dO

d dO . , \d Ttfr+(»-<>8

(-—*) fr + M (* n Te -⁹ rv    ^=r

(«- ^ Tn-M(*t-fg-e ff ^r) V*ü=r

r« H+(• - ff -    ü +    (V®⁴*+VG **)

=> i ©

'4

c»

wobei 0 nach (9) durch die Formel

(15) 20 - *,*(«•+ *!+*²) -M(t ^ + e §f ^

+ A(öl + tfi + nv)² 4- J3(tfP4- r^'4- »r')² 4- 0(<jA"4- Tft”4~ wv")²

bestimmt wird, sodaß 0 eine homogene Funktion zweiten Grades der Größen n, r, n ist, deren Koeffizienten nur von w und v abhängen.

Es sei noch bemerkt, daß die in (14) enthaltenen Größen Tg, l~ , die auf die u, v, w-Achsen genommenen Projektionen des resultierenden Momentes um M der wirkenden Kräfte bezeichnen, da ja weder die normale Reaktion der Fläche SL noch die Reibungskraft Momente um den Pol M geben.

Wir haben noch die nicht holonomen Bedingungsgleichungen (7) durch die Koordinaten des Körpers und durch die verallgemeinerten Geschwindigkeiten auszudrücken. Zu dem Zwecke bemerken wir, daß die

Geschwindigkeit t), mit welcher sich der Berührungspunkt M auf der Fläche 8 des Körpers bewegt, der Geschwindigkeit t)x des Punktes 31 auf der Fläche St geometrisch gleich ist. Projizieren wir also die Vektoren t) und t)j auf die Richtungen ux und vlf so erhalten wir

(16)

yEx ux — yG v cos 9 — Y'Eü sin 9,

]/G₁v₁ = Y& v sin -9 -f Y-E u cos 9.

Die acht Differentialgleichungen erster Ordnung (13), (14) und (16) bestimmen die Koordinaten u, v, %, vu 9 des Körpers und die drei Größen 6, t, n als Funktionen der Zeit t.⁵)

Der starre Körper sei, z. B., eine materielle Ebene:

(17)

x = u eosv, y = u sinv, z = 0, q² = u², e = 0,

E = 1, G = u², D = 0, D"= 0, (7X = 0, rx = 0, nx = - v, die gezwungen ist auf einer Kugel:

(18)

x\ ~ -^i s’n ui cos vi) yt⁼ Ri siQ ui sin vi, #i = Bx cos ux,

E^Bf,

Gx = Bf sin² wx, Dx = — Bx, Df = — Bx sm²ux

ohne Gleitung zu rollen. Die auf die Ebene wirkenden Kräfte mögen eine Resultante haben, die am Schwerpunkte 0 der Ebene angreift, zum Zentrum Ox der Kugel gerichtet ist und nur von der Entfernung der Punkte O und 0X abhängt:

r⁵ = o

VRf+ w2 7

cp — Funkt. (]/Bf-fu²).

Wir werden voraussetzen, daß die Trägheitsmomente A und B einander gleich sind. Wir haben dann

A=B=\C

sodaß nach (15)

(19)

20 = Aö² + (A + 31u²)x² + (2A + Mu²)n²

ist.

Die acht Differentialgleichungen (16), (13) und (14), welche die Bewegung der Ebene bestimmen, ergeben

zu

Rxüx = uv cos 9¹ — ü sin 9,

Rx v₁ sin ux = uv sin 9^ -f ü cos 9-,

6 — vt sin ux sin 9 + % cos 9 — ~ v,

x = ux sin 9 — vx sin ux cos 9 = — ~ ü,

Ri

(20)

n = — v — vx cos Mj — -9,

^ + (» — v)x = 0,

(-4 -f- ilfu²) ^ -f- Muüt — (A + i)4w²)(3W + Hoi; = (2A + Jfw²) ^ + Muün + Mu²öt = 0.

Untersuchen wir erst die partikuläre Lösung

u — u₀ = const.,

für die nach (20)

T = 0, o = ö₀, w = w₀, v = Rx^, v = Rx^t + v₀

wird, wobei die Konstanten ö₀, n₀, u₀ der Bedingung

CA + Mu*)0ono-A0‘±

¹ = <Po

Rt Up

VR\a + uo

genügen müssen.

Der Punkt M beschreibt nach (17) auf der Ebene S einen Kreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Das Zentrum des Kreises fällt mit dem Schwerpunkte des Körpers zusammen.

Zur Bestimmung der Bewegung des Punktes M auf der Kugel St dienen nach (20) die Gleichungen

Ri

üx = <7₀ cos 9, vx sin ux = <?₀ sin 9 9 = — o₀(P -j- ctg ux sin ■9-), P =

welche die Integrale

P-j-Cj cos w, l/l + PT—sin ux ’

sin ux sin 9- = P cos ux + Cx, vx — 0₂ — arccos

(14- P*) COS ux -f- P Cx

yi+p*—up ⁷

wo CX} C₂, C₃ willkürliche Konstanten bezeichnen, zulassen. Mit Hilfe von (18) finden wir hieraus leicht, daß der Punkt M auf der Kugel-

Mathematische Annalen. LXXI.

e„Vl + P*(t-Cs) =

arccos

26

Diese Gleichungen lassen die partikuläre Lösung

o = 0, n = 0

zu, sodaß nach (20)

fläche Sx einen großen oder kleinen Kreis beschreibt, je nachdem die Größe P gleich Null oder von Null verschieden ist.

Ist ü nicht gleich Null, so wählen wir u zur unabhängigen Veränderlichen und erhalten aus (20) zur Bestimmung von 0 und n als Funktionen von u die zwei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung

-Mu²4r = 0.

(21)

da

du

£ + V-°> (² A + M«*)d£ + Mnn

Bx

v = 0, v = v₀ = const.

wird. Der Berührungspunkt M beschreibt auf der Ebene S eine Gerade, die durch den Schwerpunkt der Ebene hindurchgeht.

Die übrigen Koordinaten des Körpers genügen nach (20) den Gleichungen

^' = -4;aine'>

dvx .    1    _

d&

du

~ ctg Ux COS ff

-Ki

sodaß wir

■ (Ji ctg ux

sin ux cos ff = G

vx — C% = arcsin

Hi

arcsm —

cos

ux

yi-Gp

Die Zeit t wird als Funktion von u aus

erhalten. Der Berührungspunkt M beschreibt nach (18) einen großen Kreis auf der Kugelfläche S dem Integrale der lebendigen Kraft

(A + Mu²)~ = 2U+‘2h

wo U die Kräftefunktion und h eine willkürliche Konstante bezeichnet, durch Quadraturen erhalten.

Im allgemeinen Falle erhalten wir die Integrale der Gleichungen (21), wenn wir A = Mkr setzen und mit Gx und C₂ zwei willkürliche Konstanten bezeichnen, in der Form

(jU =

CxeR-

+ C₂e *

n|/2Ä⁸+ w² = GxeR-Bestimmen wir hieraus

- C\e

+ ul

(2/c² + w²)w²= m²o² — 4:CxC₂

M(k² + u²)(ö² + T²) = ‘2U+ 2 h + 4M 0,0,.

und setzen wir in das Integral der lebendigen Kraft ein, so wird nach (19) und (20)

Die Kräftefunktion O ist eine Funktion der Entfernung der Punkte 0 und 0, voneinander, hängt also nur von ]/_ß₁²-{-t«² ab.

Wenn wir noch bemerken, daß nach (20)

6² -|- T² = ^-5 (Ü² -f" U²V²) , U6 = ~ U²V

ist, so sehen wir, daß die aufgestellten Formeln die Geschwindigkeit des Berührungspunktes M und seine Flächengeschwindigkeit um den Schwerpunkt 0 in der Ebene S als Funktionen der Entfernung u der Punkte M und 0 ergeben. Es läßt sich also die Bewegung des Berührungspunktes M in der Ebene S mittels Quadraturen bestimmen.

Was nun die Bewegung des Punktes M auf der Kugelfläche S, an-betrifft, so hängt die Bestimmung dieser Bewegung, wie auch der Bewegung eines beliebigen Rotationskörpers auf einer Kugel*), von der Integration einer Riccatischen Gleichung ab.

Kiew, Januar 1911.

*) Vgl. meine oben erwähnte Abhandlung, Kap. III, § 14.

¹

Vgl. z. B. E. J. Routh, The advanced part of a treatise on the Dynamics of a System of rigid bodies. Ch. I.

²

G. K. Souslow, Grundzüge der analytischen Mechanik (russisch), Bd. I, § 192,

³

C. Neumann, Grundzüge der analytischen Mechanik, Sitzber. Sachs. Ak. 1899.

⁴

Stahl und Kommerell, Die Grundformeln der allgemeinen Flächentheorie, 1893, Formeln (4) § 1 und (1) § 2.

⁵

Die hier entwickelten Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers sind ebenso allgemein, wie diejenigen, welche in meiner Abhandlung „Über die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Fläche rollt“ (Math. Ann. 70) aufgestellt sind, dürften aber für die Anwendungen bequemer sein. In der Tat, bei Benutzung der Bewegungsgleichungen in der Form (14) ist es nicht nötig, den recht komplizierten Übergang von 0(u,v,6,r,n) 0 (w, v, ux, vt, 9, ü, v, d) mit Hilfe von (18) und (16) auszuführen.

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Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Höfler, Dr. A., Professor an der Universität Wien, Didaktik des mathematischen Unterrichts. Mit 2 Tafeln u. 147 Fig. [XVIII u.509 S.] gr.8. 1910. Geb. Jt 12.—

Ilohenner, Dr.-Ing. H., Professor an der Technischen Hochschule zu Darmstadt, Geodäsie. Eine Anleitung zu geodätischen Messungen für Anfänger mit Grundzügen der Hydrometrie und der direkten astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung. Mit 216 Figuren. [XII u. 347 S.] gr. 8. 1910. In Leinw. geb. Jt. 12.—

Killing, Geheimer Regierungsrat Dr. W., Professor an der Universität Münster i. W., und Dr. H. Hovestadt, Professor am Realgymnasium zu Münster i. W., Handbuch des mathematischen Unterrichts. 2 Bände, gr. 8. Geb. I. Band. [VIII u. 448 S.]    1909. Jt. 10.—

Klein, Dr. F., Geh. Regierungsrat, Professor an der Universität Göttingen, und A. Sommerfeld, über die Theorie des Kreisels. 4 Hefte, gr.8. Mit zahlr.Figuren,

I. Heft. Die kinematischenundkinetischen Grundlagender Theorie. [IV u. 196 S.] 1897. Geh. Jt 5.60, geh. Jt 6.60.

II.

— Durchführung der Theorie im Falle des schweren symmetrischen Kreisels. [IV u. 315 S.] 1898. Geh. Jt 10.—, geh. Jt 11.—

III.

—- Die störenden Einflüsse. Astronomische und geophysikalische Anwendungen.

IV.

[IV u. 217 S.]    1903. Geh. Jt 9.—, geh. Jt 10.—

— Die technischen Anwendungen der Kr ei s el t he or ie. Für den Druck bearbeitet u. ergänzt von Fritz Noether. [IV u. S. 761—966.]    1910. Geh. Jt. 8.—, in

Beinw. geb. Jt 9. —

Korn, Dr. A., ehern. Professor an der Universität München, über freie und erzwungene Schwingungen. Eine Einführung in die Theorie der linearen Integralgleichungen. [V u. 136 S.]* gr. 8.    1910. Geh. Jt. 5.60.

Kowalewski, Dr. G., Professor an der Universität Bonn, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. Mit 31 Figuren. [VI u. 452 S.] gr. 8. 1909. Geb. Jt. 12.—

Landau, Dr. E., Professor an der Universität Göttingen, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. 2 Bände, gr. 8.    1909. I. Band.

[XVIII u. 564 S.] Geh. Jt. 20.—, geb. Jt. 21.—. II. Band. [IX u. S. 565—961.] Geh. Jt. 14.—, geb. Jt. 15.—

Lazzeri, G., und A. Bassani, Professoren an de,r Marineakademie zu Livorno, Elemente der Geometrie (unter Verschmelzung von ebener und räumlicher Geometrie). Mit Genehmigung der Verfasser aus dem Italien, übersetzt von P. Treutlein, Direktor der Goetheschule zu Karlsruhe. Mit 336 Figuren. [XVI u. 491 S.] gr.8.    1911. In Leinw. geb. Jt. 14.—

Loria, G., Professor an der Universität Genua, spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem ital.Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe von Prof. Fr. Schütte, Oberlehrer am Stiftischen Gymnasium zu Düren. 2. Auflage. In 2 Teilen, gr. 8.

II.

I. Teil: Die algebraischen Kurven. Mit 142 Figuren auf 14 lithographischen Tafeln. [XVIII n. 488 S.] 1910. Geh. Jt. 16.50, geb. Jt. 18.—

Die transzendenten und die abgeleiteten Kurven. Mit 80 Figuren auf 6 lithographierten Tafeln. [VIii u. 384 S.]    1911. Geh. Jt 12.50, geb. Jt 14.—

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Minkowski, Dr. H., weil. Professor an der Universität Güttingen, gesammelte Abhandlungen. Unter Mitwirkung von A. Speiser und H. Weyl herausgegeben von D. Hilbert. 2 Bände.

I. Band: Mit 1 Bildnis Hermann Minkowskis und 6 Figuren. [XXXI u. 371 S.] gr. 8. 1911. Geh. Jt 14. —

ii.

Mit 1 Bildnis Hermann Minkowskis und 34 Figuren und 1 Doppeltafel. [IV u. 464 S.] gr. 8.    1911. Geh. Jt 16.—

Perry, Dr. J., F. R. S., Professor der Mechanik und Mathematik am Royal College of Science zu London, höhere Analysis für Ingenieure. Autorisierte deutsche Bearbeitung von R. Fricke und F. Süchting. 2. Auflage. Mit 106 Figuren. [XI u. 464 S.] gr. 8.    1910. Geb. Jt. 13.—

Poineare, H., Mitglied der französischen Akademie, Professor an der Faculte des Sciences der Universität Paris, sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik und der mathematischen Physik. Gehalten zu Göttingen vom 22. bis 28. April 1909. Mit 6 Figuren. [IV u. 60 S. J gr. 8.    1910. Geh. Jt. lrf80, geb. Jt. 2.40.

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Verlag von B. G. Teubner

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Geometrie. Unter Mitwirkung von L. Berzolari, E. Bonola, E. Ciani, M. Dehn, F.Dingeldey, F.Enriques, G. Giraud, G. Guareschi, D.Heffter, W.Jacobs-thal, H. Diebmann, J. Mollerup, J. Neuberg, U. Perazzo, O. Staude, E Steinitz, H. Wieleitner und K. Zindler herausgegeben von H. E. Timerdi I. Hälfte [XVI und 534 S.] 1910. [Die II. Hälfte folgt im Frühjahr 1911.]

Pringsheim, Dr. E., Professor an der Uni Physik der Sonne. ,Mit 235 Abb gr. 8.    1910. Geh. JC. 16.—, geb. JC.

Repertorium der höheren Mathematik.

Auflage der deutschen Ausgabe. Ui herausgegeben von P. Epstein und gr. 8. Geb.

I. Band: Algebra und Analysis. Unter A.Guldberg, H.Hahn, E.Jahnk ding hrsg. von P. Epstein. I. Ha Frühjahr 1911.]

II.

BIBLIOTEKA GtÖWNA

3 750

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

ng.

Schur, E., Professor an der Universität Straßburg i. E., Grundlagen der Geometrie. Mit 63 Figuren. [X u. 192 S.] gr. 8.    1909. Geh. JC. 6.—,

geb. JC 7.—

Serret-Scheffers, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Nach Axel Harnacks Übersetzung neu bearbeitet von G. Scheffers. In 3 Bänden, gr. 8. Geb.

I. Band. Differentialrechnung. 4. u. 5. Auflage. Mit 70 Figuren. [XVI u. 626 S.]    1908.

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Integralrechnung. 3. Auflage. Mit 105 Figuren. [XIV u. 586 S.]    1907. Jt 13.—

Differentialgleichungen und Variationsrechnung. 3.Aufl. Mit 63 Figuren. [XII u. 65s S.]    1909. Jt 13.—

Staude, O., Professor an der Universität Rostock, analytische Geometrie des Punktepaares, des Kegelschnittes und der Fläche zweiter Ordnung. In 2 Teilen, gr. 8.    1910. Geh. u. geb.

I. Teil. Mit 181 Figuren. [X u. 548 S.] Geh. Jt 20

II.

III.

II.

geb. Jt 22.—

Mit 47 Figuren. [IV u. S. 549—1000.] Geh. Jt. 16.—, geb. Jt. 18.—

Sturm, Geh. Reg.-Rat Dr. R., Professor an der Universität Breslau, Maxima und Minima in der elementaren Geometrie. Mit 32 Figuren. [VI u. 138 S.] gr. 8.    1910. Geh. JC 4.—, in Leinw. geb. JC 4.40.

Tannery, J., Professor an der Universität Paris, Subdirektor der Ücole normale supe-rieure zu Paris, Elemente der Mathematik. Mit einem geschichtlichen Anhang von P. Tannery. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. P. Klaeß, Gymnasiallehrer in Echternach (Luxemburg). Mit einem Einführungswort von F. Klein und 184 Figuren. [XII u. 339 S.] gr. 8. 1909. Geh. JC1.—, geb. JC 8.—

Timerding, Dr. H. E., Professor an der Technischen Hochschule in Braunschweig, Geometrie der Kräfte. Mit 27 Figuren. [XII u. 381 S.] gr. 8.    1908.

Geb. JC 16.—

Voigt, Geheimer Regierungsrat Dr. W., Professor an der Universität Göttingen, Lehrbuch der Kristall-Physik (mit Ausschluß der Kristall-Optik). Mit 1 Tafel u. 213 Figuren. [XXIV u. 964 S.] gr. 8.    1910. Geh. JC. 30. —, in

Leinw. geb. JC. 32.—

iVeber, Dr. H., und Dr. J.Wellstein, Professoren an der Universität Straßburg i. E., Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In 3 Bänden, gr. 8. In Leinw. geb.

I.Band: Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. Web er. 3. Auflage. Mit 40 Figuren. [XVIII u. 532 S.]    1909. Jt. 10.—

II.

Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H.Weber, J.Wellstein undW.Jacobs-thal. 2. Auflage. Mit 251 Figuren. [XII u. 596 S.] 1907. Jt. 12.—

”■ arbeitet von H.Weber, J.Wellstein ;e. Teil I. Mathematische Physik. Weber und J. Wellstein. Bearbeitet . Mit 254 Figuren. [XII u. 536 S.]

III.

Biblioteka Politechniki Krakowskiei

Angewandte Elementar-Mütt'»™ und B TT Mit e von 1 1910.