Mathematische Annalen.

Unter Mitwirkung von

P. G-ordan, O. Holder, C. Neumann, M. Noether, K. VonderMühll

und H. Weber gegenwärtig herausgegeben von

F. Klein, W. v. Dyck, D. Hilbert und 0. Blumenthal.

Leipzig bei B. G. Teubner.

Sonderabdruck aus dem 70. Bande.

1911.

fv DÜBLET

Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin

Bauer, Dr. G., Geheimrat, -weil. Professor an der Universität München, Vorlesungen über Algebra. Im Aufträge des Mathematischen Vereins München herausgegeben von Dr. Karl Doehlemann, Professor an der Universität München. Mit dem Bildnis Gustav Bauers und 11 Figuren. 2. Auflage. [VI u. 366 S.] gr. 8. 1910. Geh. JL. 11.—, geb. JL 12.—

Bianchi, Dr. L., Professor an der Universität. Pisa, Vorlesungenüber Differentialgeometrie. Autorisierte deutsche Übersetzung von M. Lukat, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Danzig. 2., vermehrte und verbesserte Auflage. [XVIII u. 721 S.] gr. 8.    1910. Geh. JL 22.60, in Leinw. geb. Jl 24.60.

Böelier, Dr. M., Professor an der Harvard University Cambridge, Mass., U. S. A., Einführung in die höhere Algebra. Deutsch von H. Beck. Mit einem Geleitworte von E. Study. [XII u. 348 S.] gr. 8.    1910. Geb. JL 7.—

Bolza, Dr. O., Professor an der Universität Chicago, Vorlesungen über Variationsrechnung. Umgearbeitete stark vermehrte deutsche Ausgabe der „Lectures on the Calculus of Variations“ desselben Verfassers. Mit 117 Figuren. [IX, 705 u. 10 S. Anhang.] gr. 8.    1909. Geh. JL. 19.—, geb. JL 20.—

Borei, Dr.E., Professor an der Sorbonne zu Paris, die Elemente der Mathematik, ln 2 Bänden. Deutsche Ausgabe besorgt von P. Stack el, Professor in Karlsruhe i.B.

I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. [XVI u. 431 S] gr. 8. 1908. Geb. Jl 8.60.

Geometrie. Mit 403 Figuren. [XII u. 224 S.] gr. 8.    1909. Geb. Jt 6.40.

Christoffel, E. B., gesammelte mathematische Abhandlungen. Herausgegeben unter Mitwirkung von A. Krazer u. G. Faber von L. Maurer. In 2 Bänden, gr. 8.

I. Band. Mit einer Biographie E. B. Christoffels von C. F. Geiser und einem Bild in Lichtdruck sowie 15 Figuren. [XVI u. 382 S.] Geh. Jl 18.—

Mit 18 Figuren. [III u. 343 S.] Geh. Jt 16.—

Czuber, Hofrat Dr. E., Professor an der Technischen Hochschule zu Wien, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehlerausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. 2. Auflage in 2 Bänden.

I. Band. Wahrscheinlichkeitstheorie. Fehlerausg¹ ichung. Kollektivmaßlehre. Mit 18 Figuren. [X n. 410 S.] gr. 8. 1908. In    geb. Jl. 12.—

Mathematische Statistik, mathematische Grundlagen der Lebensversicherung. [X u. 470 S.] 1910. In Leinw. geb. Jt 14.—

Einführung in die höhere Mathematik. Mit 114 Figuren. [X u. 382 S.] gr. 8.    1909. Geb. JL 12.—

Dallwigk, Dr. F., Privatdozent in Marburg, Vorlesungen über darstellende Geometrie. In zwei Bänden.

I. Band: Die Methoden der Parallelprojektion. Mit 184 Figuren. [XVI u. 364 S.] gr. 8. 1910. Geb. Jt 13.—

Dingeldey, Fr., Professor an der Technischen Hochschule zu Darmstadt, Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der Differential -und Integralrechnung. In 2 Teilen, gr. 8. Geb.

I. Teil: Aufgaben zur Anwendung derDifferentialrechnung. Mit 99 Figuren. [Y u. 202 S.] -1910. Jt 6.—

Dziobek, Dr. O., Professor an der Militärtechn. Akademie und an der Techn. r Hochschule zu Charlottenburg, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Mit 150 Figuren. [X u. 648 S.] gr. 8.    1910. Geb. JL 16.—

Eneström, GL, Bibliothekar in Stockholm, Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers. In 2 Lieferungen. I. Liefg. [208 S.] gr. 8. 1910. Geh. JL 10.— Fortschritte der Mathematischen Wissenschaften in Monographien. Herausgegeben von 0. Blumenthal. In zwanglosen Heften, gr. 8. Steif geh.

Bisher erschienen:

Heft

II.

II.

II.

1910.

en der Jl. 2.40.

1: Minkowski, H., zwei Abhandlung Elektrodynamik. Mit Einführungswort

Grundlehren der Mathematik. Für Studierende und Lehrer. 2 Teile in 4 Bänden. Mit vielen Figuren, gr. 8. Geb.

I. Teil: Die Grundlehren der Arithmetik und Algebra.

Mit 9 Fig.

Vorbereit

en über die Grundgleichu von O. Blumenthal. [82 S.] 19

ng

10.

II.

1. Band: Arithmetik. Von C.Färber.

Algebra. Von E. Netto. [In dlehren der Geometrie.

2.

Die Grün

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298464

[XIV u.422 S.] gr. 8. 1910. Jt 9 nag.]

Von H. Thieme. Mit 323 Figuren. [XII

rng.]

BiMioteka Jana i ü«&ayckiego.

Sonderabdruck aus Mathematische Annalen. LXX. Band. 3. Heft. Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

MC): VI'!

Über die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Fläche rollt.

iiMWH

Von

P. Woronetz in Kiew.

cöo vov vov W US M*

Inhaltsverzeichnis.

Kapitel I.

Kinematische Untersuchungen über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf einer gegebenen Fläche.

Einleitende Bemerkungen.....................

Volle Biegung, reine Biegung und Drillung...........

Das Kreiseln der Tangentenebene.................

Anwendung auf das Problem der rollenden Bewegung........

Seite

412

413

416

. 418

c00

Oi

cot» vor. von p GO «q O)

von

Kapitel II.

Über die Bewegungsgleichungeu nicht holonomer Systeme.

Elimination der Lagrangeschen Multiplikatoren aus den Bewegungsgleichungen ....... ....................

Die Bewegungsgleichungen in speziellen Fällen.    ...........

Eine Formel für nicht holonome Systeme, die dem Hamiltonschen Integrale

analog ist...........................

Einführung linearer Funktionen der Geschwindigkeiten in die Bewegungsgleichungen ...........................

Anwendung auf das Problem der rollenden Bewegung..........

42i

423

425

427

429

Kapitel III.

Über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf einer Kugel.

§ 10. Die Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers

auf einer Kugel ........................

§ 11. Entwicklung der Bewegungsgleichungen aus dem Satze von dem Momente

der Bewegungsgröße.......................

§ 12. Prüfung der Bewegungsgleichungen durch die Poinsotsche Interpretation

der Bewegung eines kräftefreien starren Körpers..........

§ 13. Auflösung der Bewegungsgleichungen nach den Differentialquotienten der unbekannten Funktionen. Bewegungsintegrale. Bestimmung der zyklischen Koordinaten.......................

432

435

437

Seite

§ 14. Rollende Bewegung eines Rotationskörpers auf einer Kugel. Zurückführung des Problems auf die Integration zweier Riccatischen Gleichungen.

Bewegung eines zylindrischen Stabes auf einer Kugel........

§ 15. Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, in dessen Innern sich ein Gyroskop befindet. Rollende Bewegung einer gyroskopischen Kugel auf einer Kugel

441

. 445

Kapitel IY.

Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer beliebigen Fläche.

447

451

§ 16. Aufstellung der Bewegungsgleichungen................

§ 17. Die Bewegungsgleichungen in speziellen Fällen. Partikuläre Lösungen der Bewegungsgleichungen....................

Die wenigen partikulären Lösungen des Problems der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer gegebenen Fläche, die bis jetzt untersucht sind, beziehen sich hauptsächlich auf zwei spezielle Fälle. Es wird entweder die rollende Bewegung einer starren Kugel auf einer beliebigen Fläche¹) oder die rollende Bewegung eines beliebigen starren Körpers unter der Wirkung der Schwere auf einer Ebene²) behandelt.

In der vorliegenden Arbeit soll nachgewiesen werden, daß die meisten Resultate, die bei der Behandlung des erwähnten zweiten Problems erreicht sind, sich leicht und fast ohne Einschränkung auf das allgemeinere Problem der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer Kugel erweitern lassen. Hierbei wird die Schwere durch eine Kraft ersetzt, die vom Schwerpunkte des Körpers zum Zentrum der Kugel gerichtet ist und nur von der Entfernung dieser beiden Punkte voneinander abhängt.

Die Untersuchungen über dieses Problem bilden den Inhalt von Kapitel III.

In Kapitel IY werden die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Fläche rollt, entwickelt und einige einfache partikuläre Lösungen derselben angegeben.

Die beiden ersten Kapitel³) können als Einleitung in die beiden eben genannten angesehen werden.

Kapitel I enthält einige Sätze aus der Kinematik der rollenden Bewegung. Diese Sätze werden verwendet, um mittels der C. Neumannschen*) Koordinaten die Projektionen der momentanen Winkelgeschwindigkeit des rollenden Körpers auf die mit dem Körper fest verbundenen Achsen zu bestimmen.

In Kapitel II wird eine Methode zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen nicht holonomer Systeme (ohne die Euler-Lagrangeschen Multiplikatoren) angegeben, die der Hamiltonschen Methode für holonome Systeme insofern analog ist, als man zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen nur Differentialausdriicke erster Ordnung als Funktionen der unabhängigen Geschwindigkeiten zu berechnen hat. Nur ist bei nicht holonomen Systemen die Anzahl dieser Ausdrücke größer: zu den Ausdrücken für die Kräftefunktion und für die lebendige Kraft treten noch solche für so viele Impulse hinzu, als nicht holonome Bedingungsgleichungen vorhanden sind.

Kapitel I.

Kinematische Untersuchungen über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf einer gegebenen Fläche,

C£0

Einleitende Bemerkungen.

In den vorliegenden Untersuchungen über das Problem der Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer gegebenen Fläche Sx rollt, sind zu den Koordinaten des Körpers nach C. Neumann**) folgende Größen gewählt: die Gaußschen Koordinaten u und v des Punktes M auf der Oberfläche S des Körpers, in welchem die Fläche S die Fläche Sx berührt, die Gaußschen Koordinaten ux und vl desselben Punktes M auf der Fläche Sl und der Winkel fl¹, den die Koordinatenlinie v = const. mit der Koordinatenlinie ux = const. im Punkte M bildet.

Wir denken uns ein orthogonales Koordinatenachsensystem Oxyz mit dem Körper fest verbunden, bezeichnen mit w und o die Geschwindigkeit chungen nicht holonomer Systeme, Moskau math. Sammlung 1902, und Die Be-•vvegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer ruhenden Ebene rollt, Kiew Univers.-Nachrichten 1903.

*) C. Neumann, Grundzüge der analytischen Mechanik, Leipziger Berichte 1899. Yergl. auch Yierkandt, Über gleitende und rollende Bewegung, Monatshefte für Math, und Physik, 3 (1892).

**) ibid.

des Koordinatenursprungs 0 und die momentane Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers und stellen uns die Aufgabe, die Projektionen k, Z, m\ p, q, r der Vektoren w und co auf die x, y, ^-Achsen durch die Neumann-schen Koordinaten u, v, ff, ux, vx und durch die Differentialquotienten ü, v, ff, üx, vx derselben nach der ZeitZ auszudrücken. Dazu haben wir einige einfache Sätze und Formeln aus der Flächentheorie nötig, die wir in den folgenden Paragraphen nach der Methode von Lord Kelvin (W. Thomson) und P. Tait⁴) ableiten wollen. Hierbei werden wir folgende Bezeichnungen benutzen. Die Fundamentalgrößen erster und zweiter Ordnung⁵) einer Fläche S, die durch die Gleichungen

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

gegeben sein möge, bezeichnen wir mit E, F, Gr; D, D', D". In jedem Punkte M der Fläche S denken wir uns ein Achsensystem Muvn gezogen, dessen u, v, w-Achsen mit den positiven Richtungen der Linien w('r = const.) und v(u = const.) und mit der Normale n zu S in M zusammenfallen. Die positive w-Achse möge in bezug auf die u- und v-Achsen so gelegen sein, wie die #-Achse in bezug auf die x- und y-Achsen.⁶) Die neun Kosinus der Winkel der u, v, w-Achsen mit den x, y, ^-Achsen bezeichnen wir mit a, a, ■ ■ •, y". Wir haben dannf):

l /dy dz dz dy\ H \du dv du dv) ’

_ 1 dx    1 dx

(h=⁴+Yeg-f⁴)

(i)

a~ywdu’    Y

bo

Tolle Biegung, reine Biegung und Drillung.

Auf der Fläche S sei eine Kurve L gezogen und M und Mx seien zwei unendlich nahe Punkte auf L. Wir legen durch die Punkte M und Mx Tangentenebenen T und Tx und bezeichnen mit As den unendlich

kleinen Winkel zwischen T und Tx und mit As die Länge MMX der Kurve L. Auf der Schnittlinie der Ebenen T und Tt tragen wir die Länge Ae : As in einer solchen Richtung auf, daß diese Strecke in bezug auf die Normalen nx und n in Mx und M so gelegen ist, wie die z-Achse in bezug auf die x- und «/-Achsen. Lassen wir nun den Punkt Mx sich längs L dem Punkte M bis zum Zusammenfallen nähern, so erhalten wir auf diese Weise einen Vektor Q, den wir die volle Biegung der Fläche 8 im Punkte M in der Richtung L nennen wollen.

Es ist klar, daß bei der rollenden Bewegung der Fläche S auf der ruhenden Ebene T längs der Kurve L der Vektor Q die Komponente der momentanen Winkelgeschwindigkeit der Fläche S in der Ebene T bedeutet, wenn diese Winkelgeschwindigkeit so, wie bei Gr. Darboux*), auf die Längeneinheit bezogen ist.

Bezeichnen wir mit y} y, y" und ylt yx, y" die Kosinus der Winkel der Normalen n und nx mit den Koordinatenachsen der x, y, z, so sind die Projektionen des Vektors Q auf die x, y, ^-Achsen

Q = -i

x As

L 0//'-^"/),

Setzen wir hierin

Yi

ein und lassen

A3 A3 (IQ

* ^ iT

Er

A3! A3    3

§    P

CD

CD

Ail CO |

cd! cd

OQ

et-

dv

Nun ist aber, wie bekannt**),

H^ = (FD'-GD)^ + (FD-ED')£,

fi² U - (FD"~ GI)') Tu + (Fiy - ED""> ff-

sodaß nach (1)

to

A)| A3

« I 54

<531 A3

§ i 54

SS

A3| A3

« I 54

A3| A3 SS I 54

wird.

Die Projektionen des Yektors Q auf die Richtungen u und v sind also nach (1) gleich

(3)

Ö.-

^[{BF-VE) £ + (VF-ITE) £],

t(I) Q - B'F) £+{D'G~ D"F) r3 •

Wir zerlegen nun die volle Biegung Q in zwei Komponenten: Qs in der Richtung der Kurve L und Qp in der zu s senkrechten Richtung p. Qp wollen wir die reine Biegung und Qs die Drillung der Fläche S in M in der Richtung L nennen.

Geometrisch ist es klar; daß die reine Biegung Qp der Krümmung des normalen Schnittes der Fläche S im Punkte M in der Richtung L gleich ist. Um die Drillung Qs zu interpretieren, ziehen wir durch M in der Richtung L eine geodätische Linie, d. h. eine Kurve, deren Krümmungsebene stets durch die Normale n der Fläche S hindurchgeht. Für diese Kurve ist die Gerade p die Binormale, so daß Qs der Torsion der geodätischen Linie gleich ist, die durch M in der Richtung L gezogen ist.

Die Tangente zur Kurve L bildet mit den x, y, ^-Achsen Winkel, deren Kosinus gleich

dx dx du dx dv

ds    du ds    dv ds ’

(4)

sind, sodaß die Formeln (2)

H•    ■ ds² = (DF—D'JE)du² + (DG—D"E)dudv + (.T)'G-D"F)dv²

ergeben.

Diejenigen Linien, längs welchen die Drillung gleich Null ist, sind die Krümmungslinien der Fläche S. Im allgemeinen also gehen durch jeden Punkt M der Fläche S zwei solche Linien hindurch. Wenn in jedem Punkte der Fläche S die Relationen

erfüllt sind, so ist jede Linie auf S eine Krümmungslinie, d. h. die Fläche S ist eine Kugel. Schließen wir diesen Fall aus und wählen wir die Krümmungslinien als u- und «-Linien, so ist in jedem Punkte der Fläche

F=0, I)' = 0.

Die Krümmungslinien bilden also ein orthogonales Koordinatenliniennetz*). Wir gehen nun zur Bestimmuug der reinen Biegung über.

Die Richtung p ist senkrecht zur Tangente s der Kurve L und zur Normalen n der Fläche S, folglich ist

, n / dz „ dy ( , dz „ dy\ du . ( , dz ,, dy\ dv

cos{p,x) = rTs-y ä-s⁼Vei-v äi)37+l^Jars,

oder nach (1)

SCO, (P, *) - (* ff -*■£) £ + (*!=- G di) %

Über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf

Kapitel IY.

¹

Dieses Problem wird in den größeren Lehrbüchern der Dynamik, z. B. bei Routh (The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, Chap. V) recht ausführlich besprochen. Yergl. auch die interessante Dissertation von Fr. Noether, Über die rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsflächen, München 1909

²

Über die hierauf bezügliche Literatur vergl. Enc. math. Wiss. IV 6 (P. Stäckel), Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper, Nr. 38.

³

Yergl. auch meine russischen Abhandlungen: Über die Bewegungsglei-

⁴

Thomson and Tait, Treatise on Natural Philosophy, vol. I, part. I, art. 110 u. f. In erweiterter Form bei Souslow, Über das Rollen einer Fläche auf einer anderen, Kiew Univers.-Nachrichten 1892, und in meiner Abhandlung, Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer Ebene rollt, Kap. IY, ibid., 1903.

⁵

Stahl und Kommerell, Die Grundformeln der allgemeinen Flächentheorie, 1893, Form. (4) § 1 und (1) § 2.

⁶

Die positive z-Achse soll stets so gelegen sein, daß die positive «-Achse bei einer Drehung um die positive ^-Achse im Sinne der Bewegung des Uhrzeigers um

den Winkel ~ mit der positiven y-Achse zum Zusammenfallen gebracht wird.

f) ibid. Form. (22) und (23) § 1.

(5)

SCO, (P, *) - (* ff -*■£) £ + (*!=- G di) %

Die positive Richtung der jp-Achse denken wir uns in bezug auf die s- und w-Achsen so gelegen, wie die y-Achse in bezug auf die x- und z-Achsen.

Zufolge (5) ergeben die Formeln (2):

Qp ■ ds² = Ddu² + 2D'dudv + D"dv\

Diejenigen Linien, längs welchen die reine Biegung gleich Null ist, sind die asymptotischen Linien. Durch jeden Punkt der Fläche gehen im allgemeinen zwei solche Linien hindurch.

ocrz

co

Das Kreiseln der Tangentenebene.

Wir denken uns wieder in zwei unendlich, nahen Punkten M und Mx der Kurve L die Tangentenebenen T und Tx zu der Fläche S gelegt und bezeichnen mit As die Länge MMX der Kurve L. In den Ebenen T und Tx ziehen wir die Tangenten s und sx zu der Kurve L in den Punkten M und Mx. Drehen wir nun die Ebene T um die Achse der vollen Biegung um den Winkel As, so wird die Ebene T mit der Ebene Tx zusammenfallen, aber im allgemeinen wird die Gerade s nicht längs der Geraden S! gerichtet sein, und um diese Geraden s und sx zum Zusammenfallen zu bringen, werden wir die Tangentenebene T um die Normale n zu S in M um einen unendlich kleinen Winkel Ar] drehen müssen. Auf der Normalen n tragen wir die Strecke Ar] : As auf und lassen den Punkt Mx längs der Kurve L sich dem Punkte M bis zum Zusammenfallen nähern. Den so entstandenen Vektor N nennen wir das Kreiseln der Tangentenebene T im Punkte M in der Richtung L.

Augenscheinlich ist N der Größe nach der geodätischen Krümmung

der Kurve L im Punkte M gleich, d. h. der Projektion der Krümmung — der Kurve L auf die Tangentenebene T:

±jOös

Geben wir p die durch die Formeln (5) definierte Richtung und wählen wir in dem Ausdrucke für N das untere Zeichen, so wird sich die Tangentenebene um n in einem der Bewegung des Uhrzeigers entgegengesetzten Sinne drehen.

Bei der rollenden Bewegung der Fläche S auf der ruhenden Ebene T längs der Kurve L ist also N die Komponente der momentanen Winkelgeschwindigkeit der Fläche S längs der Normalen n, wenn diese Winkelgeschwindigkeit auf die Längeneinheit bezogen ist.

Es soll nun N durch die Größen E, F, Cr ausgedrückt werden

Bezeichnen wir der Kürze wegen

du

dv

du

dv

sodaß

ds

(6)

du

dv

ist*), so ergibt (5):

H cos (p, x) = Je

dx

¹ dv

*’² du >

Außerdem haben wir, wie bekannt:

<Px ds² ’

COS (p, x) = Q

sodaß

N= -

cPx

u ds²

\    \ /dx d²x    \

"/ ~W\dv dsi^    /

wird. Nun ist aber nach (6)

dx d²x du ds²

+-)

S5j|

03 |

SS : ec

re Ire

re

Ire

Cc

ft⁻

Setzen wir hieraus in N ein, so werden die Koeffizienten bei Jex und 7c3 infolge der evidenten Formel'

gleich Null, und wir erhalten:

¹ d fdx dx H dv \du ds

oder nach (4):

.    \    1 d /dx dx

^    ) ~ W du \dv ds

W = — —

H dv

Das ist die gesuchte Formel.

(?)

/ 75J    77¹    __L JL ( I (l .

\ äs ^ ds) H du X ds ^ ds)

über.

Für die geodätischen Linien ist die Projektion der Krümmung -i- auf die Tangentenebene, also auch N gleich Null.

§ 4.

Anwendung auf das Problem der rollenden Bewegung.

Die Formeln der zwei vorhergehenden Paragraphen wollen wir nun zur Lösung der Aufgabe, die wir uns in § 1 gestellt haben, verwenden. Ist co die momentane Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers, der auf einer gegebenen Fläche Sx rollt, so haben wir also die Projektionen p, q, r von co auf die mit dem Körper fest verbundenen x, y, ^-Achsen durch die Koordinaten u, v, ux, vx des Körpers und die Differentialquotienten ü, v, ti, üx, vx zu bestimmen.

Wir führen folgende Bezeichnungen ein: E, F, G; D, D', D" seien die Fundamentalgrößen der Oberfläche S des Körpers und Ex, Fx, Gxy Dx, Dx, Dx" dieselben Größen für die Fläche SX) auf welcher der Körper rollt. Der Einfachheit wegen werden wir voraussetzen, daß die Linien u und v auf S und die Linien ux und vx auf Sx die Krümmungslinien dieser

Flächen sind:

F= 0, D' = 0, Fx = 0,    0.

ut V

V1

und (7) geht in die bekannte Formel von Bonnet

d |

N~v

dv

du

/ Fd/-G^ d I dv du

Wenn die Kurve L durcli die Gleichung

f(u, v) = 0

<5

gegeben ist, so haben wir: du dv ds

~d~⁼⁼' f ⁼ T>

7,2    7?    9 df

}l==EWv) ~2Frvdu

Im Berührungspunkte M der Flächen S und Sx denken wir uns zwei Achsensysteme Muvn und Mxuxvxnx (Fig. 1), deren Achsen mit den Tangenten zu den Linien n, v5 ux,vx durch den Punkt M und mit der gemeinsamen Normalen zu S und Sx zusammenfallen, gezogen und betrachten

die momentane Winkelgeschwindigkeit co als die geometrische Summe von drei Vektoren co1} co₂, co₃:

O) = Oi) + Os) + Os)

wobei (Oy die Winkelgeschwindigkeit des mit dem Körper fest verbundenen Achsensystems Oxyz in bezug auf das System Muvn, co₂ die Winkelgeschwindigkeit des Systems Muvn in bezug auf MuyVynx und co₃ die Winkelgeschwindigkeit des Systems Muxvxny in bezug auf das Achsensystem OyXyyyZy, das mit der Fläche Sx fest verbunden ist, bezeichnen..

Wenn der Berührungspunkt M auf der Fläche S längs der Kurve u um die Strecke YE du verrückt wird, so ist die in der Tangentenebene T gelegene Komponente der Winkelgeschwindigkeit tox nach (3) längs der Kurve v gerichtet und, auf die Längeneinheit bezogen, gleich D : E, während die Komponente von C3X längs der Normalen n, auch auf

die Längeneinheit bezogen, nach (7) gleich    ~E dv

wir noch den Berührungspunkt M längs der Kurve v um die Strecke yGdv, so finden wir leicht:

— ist. Verrücken

Oj COS (ca₁, u) — <5y = —

(8)

D" .

ya ¹’

COy COS ((Oy,v) = Vy =    U,

coy cos (e3x, n) — nx =

¹    (— ü

2yEG \8v ¹¹

dG-

du

i).

Die Winkelgeschwindigkeit oj₂ ist längs der Normalen nx gerichtet und ist gleich ft, und die Winkelgeschwindigkeit co₃ wird auf ähnliche Weise wie oo. bestimmt. Wir erhalten also nach Fig. 1 folgende Formeln:

(O COS(g3,m) = Ö= -= ü--

v ' y# yGt

"m

1/A

Uy COS ft,

(9) co cos (oo, v)=x =

1)

yj?

1/2S,

LMj

zc

A"

yo,

vx cos ft,

Komponenten der relativen Geschwindigkeit ti des Punktes M längs den Linien u und v sind gleich }/Eü und ]/Gv. Endlich die Geschwindigkeit tü des Punktes des starren Körpers, der im gegebenen Momente mit dem Berührungspunkte M zusammenfällt, gibt auf die x, y, Achsen die Projektionen ~k-\-qz — ry, l-\-rx—pz, m-\-py — qx, wo x,y,z die Koordinaten des Punktes M, also gegebene Funktionen von u und v, sind. Nun ist aber der Vektor iq der geometrischen Summe der Vektoren Ü und in gleich:

(Bi) - (») + (W)

sodaß wir nach Fig. 1 und nach (10), wenn wir die Geschwindigkeiten üu n und in auf die x, y, ^-Achsen projizieren,

(11)

li = (— VE, üx sin ft -f VGX ’vx cos & ~ u) a + ( J/E, üx cos ft + VVi sin ft — j/G v) ß + y(öcc" + tß" -f- ny") — z{6u -f- tß' + ny),

erhalten.

Diese Formeln bestimmen die Größen li, l, m als Funktionen der Koordinaten u, v, ft, ux, vx des starren Körpers und der Differentiäl-quotienten ü, v, •9’, üx, vx.

Soll die rollende Bewegung des Körpers ohne Gleitung vor sich gehen, so ist die absolute Geschwindigkeit tq des Punktes M seiner relativen Geschwindigkeit ü geometrisch gleich, und wir erhalten nach Fig. 1:

(12)

(13)

VEX üx — — VE ü sin ft + ]/6r v cos 9,

VGx vx = VE ü cos -9 -f- VG v sin ft.

Die Formeln (11) vereinfachen sich in diesem Falle in folgende: l = (ya' — za)<3 + (yß" — gß')i + [yy" — zy)n,

und aus den Ausdrücken (9) für 6, r, n können zwei der Größen ü, v, ft, üx, vx mit Hilfe von (12) eliminiert werden.

Kapitel II.

Über die Bewegungsgleichungen nicht holonomer Systeme.

ooo

lO

Elimination der Lagrangeschen Multiplikatoren aus den Bewegungsgleichungen.

Die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer gegebenen Fläche rollt, bietet ein Beispiel für die Bewegung nicht holo-nomer Systeme.

Bevor wir zum speziellen Probleme der Rollbewegung übergehen, wollen wir die Bewegungsgleichungen der nicht holonomen Systeme im allgemeinen Falle besprechen.

Wir bezeichnen mit qx, g₂, • • •, qn+k die Koordinaten eines materiellen Systems, mit qlf g₂, • • •, qn+k die Differentialquotienten der Koordinaten nach der Zeit t, d. h. die verallgemeinerten Geschwindigkeiten, mit T(ß,üi,^r ' ‘,^n + k,    ;•••,£„ + *) die kinetische Energie des Systems

und mit Qs die verallgemeinerte Kraft, die der Koordinate qs entspricht. Das Produkt Qsdqs bestimmt also die Arbeit der wirkenden Kräfte bei einer solchen Bewegung des Systems, wenn alle Koordinaten Konstante sind außer der Koordinate qs, die um dqs wächst.

Das materielle System sei den Bedingungsgleichungen

(14)

qn+v aviq. + av

wo die Koeffizienten avi und av gegebene Funktionen der Zeit und der Koordinaten bezeichnen, unterworfen.

Wir werden voraussetzen, daß die Integrationsbedingungen für die Differentialgleichungen (14) nicht erfüllt sind, sodaß die Größen

dav

jM = *}

d(ij

OUvj , 'srr    darj

Ti, +2j %> JZ

(15)

+ H-

Öavi\ l

vär+.-S'"^M

dav

4,‘- &)

(i,j= 1,2,v= 1,2,■■•,1c)

nicht alle gleichzeitig Null sein können.

Die Bewegungsgleichungen des materiellen Systems lassen sich, wenn die Lagrangeschen Multiplikatoren mit Ax, A₂, • • •, Xk bezeichnet werden, so hinschreiben:

Die Anwendung der Bewegungsgleichungen in der Form (16) auf spezielle Probleme, im besonderen auf das Problem der rollenden Bewegung bietet einige Schwierigkeiten, erstens, weil aus (16) die Multiplikatoren X nicht eliminiert sind, und zweitens, weil die Funktion T nicht mit Hilfe der Bedingungsgleichungen (14) auf die einfachste Form gebracht ist²), d. h. T ist eine quadratische Funktion von n + Je Argumenten q, während doch die Formeln (14) die Möglichkeit liefern, T als quadratische Funktion von nur n Argumenten q auszudrücken. Wir wollen deshalb versuchen, die Bewegungsgleichungen der nicht holonomen Systeme in einer für die Anwendungen bequemeren Form zu erhalten.³)

Sind aus der Funktion T unter Benutzung von (14) die abhängigen Geschwindigkeiten qn + 1, qn + 2> ’ '+² eliminiert:

T = Q(t, qlt qit • • •, qn + k, qlt q₂, • • •, qn),

so ist

g0_ d T

nrw,

+ 2a’<

(16)

d_ dT dt dgi

+ Qi — ^ Kavi

(i-l,2,..

_d gr

^ 2«n + v “

Diese Gleichungen und die Bedingungen (14) bilden ein System von n 21t Differentialgleichungen, welche die n + 1t Koordinaten q und die k Größen X als Funktionen der Zeit t bestimmen.

dT

V = 1

Differenzieren wir diese Gleichungen nach der Zeit und wenden wir die Formeln (16) an, so haben wir:

d dQ dt c<h

⁼ ff + Qt +2 {d^rv +    +2

V—l    V=1

dT

(t-1,2,-••,»).

Diese Gleichungen enthalten die Multiplikatoren X nicht mehr.

Eliminieren wir noch die Derivierten von T nach den Koordinaten qg mit Hilfe der evidenten Formeln

(ß ~ 1,2,—,n + k)

™ ₌ n₊y^i-( y

dqt dq,    dq_n + v\^Lj

und bezeichnen wir die verallgemeinerten Impulse, die den abhängigen Geschwindigkeiten entsprechen, mit Kt, K₂, • • •, Kk:

d T

d<ln

= *,(*, <h, <h, • • •; Qn + k> <h> kt> • • •; in)

so erhalten wir nach kurzer Rechnung die Bewegungsgleichungen eines nicht holonomen Systems in der Form

(17)

d_ dQ dt dqf

⁼ fr,+ Qt +2 (s^rr⁺

V = 1

(i=l,2,•••,»)

Kv ( 2    ^ ⁺ ^

v = i    ' j = l

Hier haben die Größen A^ und A^ die in (15) gegebenen Bedeutungen. Die n-\-lz Differentialgleichungen (17) und (14) bestimmen die n + Jc Koordinaten q durch die Zeit t.

§ 6.

Die Bewegimgsgleicliungeii in speziellen Fällen.

Die Bewegung eines nicht holonomen Systems ist, wie bekannt*), noch nicht völlig bestimmt, wenn der Ausdruck 0 für die kinetische Energie des Systems und die Ausdrücke Qs für die verallgemeinerten Kräfte gegeben sind. In der Tat enthalten die Bewegungsgleichungen (17) noch die Funktionen Kv, also so viele verallgemeinerte Impulse, als nicht holonome Bedingungsgleichungen vorhanden sind. Diese Funktionen Kr sind lineare Differentialausdrücke erster Ordnung, und die Berechnung derselben macht, wenigstens im Probleme der rollenden Bewegung, keine Schwierigkeiten.

Die Formeln (17) gehen für den Fall, daß die Integrationsbedingungen für (14) erfüllt sind:

A(v? = 0, H(v) = 0

IJ    '    t

(i,j = l,2,.-.,w; v = l,2,•••,*), wie leicht zu ersehen ist, in die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen über.

*) Yergl. z. B. P. Appell, Sur une forme generale des equations de la dynamique et sur le principe de Gauss, J. f. Math. 122 (1900).

Wir weisen noch auf folgenden speziellen Fall, der in den Anwendungen häufig vorkommt, hin. Die Koordinaten qn + 1, gn + 2, • • qn+k, die den eliminierten Geschwindigkeiten entsprechen, mögen „zyklisch“ sein, d. h. es mögen diese Koordinaten weder in der kinetischen Energie, noch in den Ausdrücken Qs, noch endlich in den Bedingungsgleichungen (14) explizit enthalten sein. Die Aufgabe von der Bestimmung der Koordinaten durch die Zeit zerfällt dann in zwei selbständige Probleme, die nacheinander zu lösen sind. Zuerst werden die nichtzyklischen Koordinaten qt, q₂, • • •, qn gesucht. Dazu haben wir die n Differentialgleichungen (17) zweiter Ordnung, wo

Av) ₌

02, ’    ¹ dt

v= 1,2, •••,/<;)

einzusetzen ist, zu integrieren. Ist diese Aufgabe gelöst, so bestimmen wir die zyklischen Koordinaten qn + l, qn+8, • • •, qn+k aus den Bedingungsgleichungen (14) durch Quadraturen.

Setzen wir noch voraus, daß eine Kräftefunktion U existiert:

dav{ davj

do

C(lj

V<ln

Qs-

dU

Hs

die auch nur von den ersten n Koordinaten abhängt, so gilt augenscheinlich folgender zuerst von Ferrers⁴) aufgestellter Satz: „Sind für eine der Koordinaten, z. B. für q₁ die Integrationsbedingungen erfüllt:

A"=0, 4"> = 0

= 1, 2, • • •, w 5 v = 1,2, • • •, &),

so ist die entsprechende Bewegungsgleichung von der Lagrangeschen Form.“ Wenn die Zeit t nicht explizit in der kinetischen Energie T, in der Kräftefunktion U und in den Bedingungsgleichungen (14) enthalten ist, so müssen die Koeffizienten a1} a₂, • • •, an in (14) alle gleich Null sein, da ja sonst die Ruhelage nicht zu den möglichen Lagen des Systems gehören würde, was doch nicht vorausgesetzt wird. Sind außerdem die Koordinaten qn+1, qn+₂, • • ⁴, qn + k zyklisch, so nehmen die Bewegungsgleichungen (17) die einfache Form

dt

Je¹! o

darj\ ,

Ti«

an.

Diese Gleichungen sind von Tschaplygin⁵) gegeben.

COO

Eine Formel für nicht holonome Systeme, die dem Hamiltonschen

Integrale analog ist.

Die Bewegungsgleichungen eines nicht holonomen Systems in der Form (17) werden sehr leicht mit Hilfe des folgenden Satzes erhalten.

Es mögen q1} q₂, • • •, qn+k die Koordinaten eines materiellen Systems, T seine kinetische Energie und Qs die verallgemeinerte Kraft, die der Koordinate q₃ entspricht, bezeichnen. Das System möge den Bedingungsgleichungen

in ₊ .=Ea’‘^ + a'

unterworfen sein. Drücken wir unter Benutzung dieser Gleichungen die kinetische Energie des Systems und die verallgemeinerten Impulse, die den abhängigen Geschwindigkeiten qn+1, qn+2, • • •, qn+k entsprechen, durch die Zeit t, die Koordinaten qx, q₂, • • •, qn+k und die unabhängigen Geschwindigkeiten q1} q₂, • qn aus:

dT

T= Q{t,quq%, • • -,qn+k, qlt q₂, • • ■, qn), -KV, qlf q₂, • • -, qn+k, qt, q₂, • • •, qn)

(v = l,2," ♦, k),

so gilt die Formel

dt = 0

(18) j dQ + ^ Qs dqx +    Kd (kn-4-v ^avi q.i~~ <0

8 — 1    V — 1    i⁼ 1

für alle Variationen dql} Öq₂, • • *, dqn, die für die Momente tx und t₂ verschwinden. Die Variationen dqn+1, dqn+2, • ■ -, 8qn+k werden durch die Gleichungen

(19)

dqn + v-]? Uvidqt

i ss 1

definiert, und die Differenzen dqs — — 8qs (s= 1,2,** ‘,n-\-k) sind alle gleich Null zu setzen.

In der Tat, durch partielle Integration läßt sich (18) zufolge (19) so transformieren, daß unter dem Integrationszeichen eine lineare Funktion der Variationen 8qx, dq₂, • • ■, 8qn erscheint. Setzen wir die Koeffizienten hei diesen Variationen gleich Null, so erhalten wir die Bewegungsgleichungen (17).

28

Mathematische Annalen. LXX.

In bezug auf die Formel (18) wollen wir noch folgendes bemerken.*) Betrachten wir gleichzeitig die Bedingungen (14) für die Geschwindigkeiten und die Bedingungen (19) für die Variationen und setzen wir

(i-l, 2,

so werden im allgemeinen die Differenzen 8qn

von Null verschieden sein. Multiplizieren wir also die bekannte d’Alem-bertsche Formel

2[-ü(® + S£+ftK-»

mit dt und integrieren wir zwischen tx und t₂, wo tx und t₂ zwei Momente bezeichnen, für welche alle Variationen verschwinden, so erhalten wir die F ormel

d'T

(20) / *T+]>lQ'öq,+2;

tx    3=1    V = 1    */l

d «

\didq*

0.

Ersetzen wir hier die Funktionen T und

dT

durch 0 und Kv und

aus

berechnen wir die Differenzen ^    + r — dgn + v (v = 1,2, ••-,Ä) direkt

(14) und (19), so erhalten wir aus (20) auf ähnlichem Wege, wie aus (18), die Bewegungsgleichungen (17).

Der Grund, weshalb wir dieser Formel (20) die Formel (18) vorziehen, ist folgender.

Bei Untersuchungen über das Problem der rollenden Bewegung werden gewöhnlich nicht die verallgemeinerten Geschwindigkeiten benutzt, sondern es werden lineare Funktionen derselben in die entsprechenden Formeln eingeführt. So werden z. B. die Differentialquotienten cp, fy, 6 der drei Eulerschen Winkel cp, cp, 6 nach der Zeit t gewöhnlich durch die Projektionen p, q, r der momentanen Winkelgeschwindigkeit des rollenden Körpers auf die zentralen Hauptträgheitsachsen desselben ersetzt: p — cp sin 0 — cp sin cp cos 6,

Betrachten wir nach Kirchhoff**) neben den Größen p, q, r die Größen

r r r

p, q, r:

p = 8 cp sin 6 — 8 cp sin cp cos 0

*) Vergl. hierüber meine Abhandlung und die Abhandlung von Souslow im Bd. 22 der Moskauer Mathematischen Sammlung, 1901.

**) Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. I, Vorl. VI.

7    /

so müssen wir bei Benutzung der Formel (18) den Differenzen — usw. die von Kirchhoff*) gegebene Bedeutung

zuschreiben. Wählten wir aber die Formel (20), so hätten die erwähnten Differenzen andere Werte, die von der Form der nicht holonomen Bedingungsgleichungen abhängen würden. Deshalb dürften sich die Untersuchungen, wenn wir von der Formel (20) statt (18) ausgehen würden^ etwas komplizierter gestalten.

oo

Einführung linearer Funktionen der Geschwindigk« iten in die Bewegungsgleichungen.

Die Bewegungsgleichungen (17) und die Formel (18) sollen nun auf den Fall verallgemeinert werden, daß statt der Geschwindigkeiten q beliebige lineare Funktionen derselben in die Bewegungsgleichungen eingeführt werden. Wir bezeichnen diese Funktionen mit plf p%, •••, pn + k und setzen

(21)

(r=l, 2    +

*=i

wo die Koeffizienten ars und ar von der Zeit t und den Koordinaten q abhängen.

Wir werden voraussetzen, daß sich die Gleichungen (21) nach den Yariabeln p auflösen lassen.

Neben den p betrachten wir noch n -f h Größen p, die den Glei

chungen

(22)

=2 “rsP,'

«=i

genügen.

Es lassen sich dann die Differenzen 8ps — den Bedingungen

dp.

dt

aus

als lineare Funktionen der p berechnen:

*) ibid., Formel (9).

28*

n + k

(23)

=2 ^

r= 1

wo die Koeffizienten Par lineare Funktionen der p sind.

Die nicht holonomen Bedingungsgleichungen seien, durch die Größen p ausgedrückt:

(24)

4=1

wo die bvi und bv von der Zeit t und den Koordinaten q abhängen.

Die Bewegungsgleichungen des materiellen Systems haben dann die

Form⁶):

n +k

n + k

(25)

Ä dT

dt Jp^

fr^Pr,n + v+K

Hier bezeichnet T die kinetische Energie des Systems, Qs die verallgemeinerte Kraft, die der Koordinate qs entspricht, und 2l5 1₂, • • •, Xk die Lagrängeschen Multiplikatoren. T ist nach (21) eine Funktion der Zeit t, der Koordinaten q und der Größen p.

Die Formeln (25), (24) und (21) bilden ein System von 2n + 3& Differentialgleichungen erster Ordnung, die die n -\-k Koordinaten q, die n + Tt Größen p und die Multiplikatoren X als Funktionen der Zeit t bestimmen.

In bezug auf die Formeln (25) läßt sich dasselbe sagen, was wir oben über die Bewegungsgleichungen (16) ausgesprochen haben. Die Anwendung von (25) auf das Problem der rollenden Bewegung bietet Schwierigkeiten, erstens, weil aus (25) die Multiplikatoren X nicht eliminiert sind, und zweitens, weil in (25) die Funktion T enthalten ist, die nicht unter Benutzung von (24) auf die einfachste Form gebracht ist.

Durch Elimination der X aus (25) nach der im § 5 angewendeten Methode kommen wir zu Bewegungsgleichungen, die am leichtesten aus folgendem Satze, der dem Satze des § 7 analog ist, abgeleitet werden können.

Drücken wir die kinetische Energie T und die Derivierten von T nach

den Größen pn+x, ₊    •• •, Pn+lc als Funktionen der Zeit t, der Koordi

naten q und der Größen px, p₂, • • •, pn aus:

T=0 (ttqlfqir--,qH+]l,

3 T

dp»

—    @1) 9-2) * ' "> 9n + k) PlcPiJ ’ ’ ‘)Ptd

so ist der Integralausdruck

n-\-k    Je    n

(26) / [« 0 + F, Wir + 2 K,s(p*₊,-2 Kj>. - &,)] dt- 0

tx    r — 1    r = l    '    i = 1

für alle pf, pf, ■ • •, p't, die an den Grenzen des Integrals verschwinden. Die Größen pn+1, p'n + 2, • ••,pn+k sind mit Hilfe der Formeln

(27)

KiPi

t =1

und die Variationen dqx, dq₂, • • •, dqn+k mit Hilfe von (22) zu eliminieren

und die Differenzen dp — ~ aus (21) und (22) und den Bedingungen

(r= 1,2,---,n + k)

zu berechnen.

cOO

<p

Anwendung auf das Problem der rollenden Bewegung.

Wir gehen jetzt znm speziellen Problem der Bewegung eines starren Körpers, der unter der Wirkung von gegebenen Kräften ohne Gleitung auf einer gegebenen Fläche Sx rollt, über.

Wir denken uns zwei orthogonale Koordinatensysteme Oxyz und Olx₁yxz₁, das erste mit dem starren Körper, das zweite mit der Fläche Sx fest verbunden.

Die Koordinaten des Körpers sind die Koordinaten a, b, c seines Punktes 0 in bezug auf das Acbsensystem Oxxxyxzx und die drei Eulerseben Winkel cp, cp, 9, die die Lage der Achsen der x, y, z in bezug auf die xx, yx, ^-Achsen bestimmen.

Statt der verallgemeinerten Geschwindigkeiten a, b, c, cp, cp, 9 führen wir lineare Funktionen derselben nach den Formeln

k = ä cos (x, xx) 4- b cos (x, yx) -f c cos (x, zx),    p = cp sin 9 — cp sin cp cos    9,

l = a cos (y, xx) -f- b cos (y,yx) -f c cos (y, zx),    q = cp cos 9 -f- ip sin cp sin    9,

m = ä cos (z, xx) + b cos (z, yx) -[- c cos (z, zx),    r = 9 -f cp cos cp

ein, wo die neun Kosinus bekannte Funktionen    der Eulerseben Winkel sind

Die Größen Je, l, m\ p, q, r bezeichnen, wie in § 1, die auf die x, y, z-Achsen genommenen Projektionen der Geschwindigkeit w des Punktes 0 und der momentanen Winkelgeschwindigkeit co des Körpers. Führen wir außerdem die Größen Je', Z', m'; p, q, r nach den Formeln

Je = da cos (x}xJ -j- db cos (x^j) -f- de cos (a;,^); p'=dcp sin 6 — df sin qpcosö;

ein, so ist*)

(28)

dk-

dk'

dt

= Ir — rl' -|- qm — mq'] dp —

dp'

dt

= qr — rq\

Bezeichnen wir mit x, y, z die auf das Achsensystem Oxyz bezogenen Koordinaten des Punktes M, in welchem die Oberfläche S des Körpers die Fläche Sx berührt, und drücken wir aus, daß sich dieser Punkt in momentaner Ruhe befindet, so erhalten wir die nicht holonomen Bedingungsgleichungen, denen der Körper unterworfen ist:

(29)

k = yr — zq, l — zp — xr, m = xq — yp.

Wenn der Punkt 0 mit dem Schwerpunkte des Körpers und die x, y, z- Achsen mit den Hauptträgheitsachsen durch den Punkt 0 zusammenfallen, so ist die kinetische Energie T des Körpers gleich

(30)

T = ~ M(k² + Z² + m²) + y (Ap²+ Bq² + Cr²),

wo M die Masse des Körpers und A, B, C die Trägheitsmomente um die x, y, Achsen bedeuten.

Die Funktionen 0 und Kv, die in (26) enthalten sind, haben also im gegebenen Falle die Werte 0 = Y M[{x²+y²+z²) (r’ + r’+r²) - (xp+yq+zr)²]

(31)

+ \{Ap*+Bq²+Cr²),

Kx = M(yr-zq), K₂ = M{zp—xr), Ks = M(xq—yp), sodaß die Formel (26)

f[dQ + dU+ M(yr—zq) d(k—yr-j-zq) + • • •] dt = 0

h

ergibt.

Wir setzen voraus, daß eine Kräftefunktion U existiert.

*) ibid. Formel (8) und (9).

Beim Transformieren dieser Formel sind nach dem Satze des § 8 nur noch die Gleichungen

außer (28)

(32)

Tt = yr — zq, V = zp — xr, m — xq — yp

zu berücksichtigen. Wir haben also:

d

8{k—yr-\-zq) = j- (yr—zq) + Ir — rV + Q_m' — mq ~ d(f/r—£#)

= yr' — zq — (rSy — qdz),

sodaß der Integralausdruck (26) schließlich die Form *1

(33) j

J {dQöüM[qq(pp qq -\-rr') — (xp'+yq+zr) (ccp+yq+zr)] — M[qdQ-(os—(xp+yq-\-zr) (pd x + qd y -\-r d z)~\) dt = 0

annimmt, wo der Kürze wegen

#² + y² + £² = Q², P² + q² + r² = co²

gesetzt ist.

Diese Formel erlaubt die Gleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers in beliebigen Koordinaten abzuleiten. Wählen wir die Koordinaten u, v, u1} vx des § 1, so sind die x, y, z gegebene Funktionen der u und v. Die Formeln (10) und (9) bestimmen die p, q, r

durch die verallgemeinerten Geschwindigkeiten ü, v, if, üx, vl. Diese Geschwindigkeiten haben den nicht holonomen Bedingungen (12) zu genügen. Mit Hilfe dieser Formeln (12) können zwei der Größen ü, v, ülf vx, z. B. kx und vu aus (9) eliminiert werden:

(34)

+    --^)(— yjEüsw & + YGv cos #)

YEÜ-j-    --( YEü cos Q- + |/6r v sin tf) cos

COS&,

(B

T== \E

Wir sehen also, daß diese Formeln, wenn die Fläche St eine Kugel ist, d. h. wenn

Dx: Ex = DY : Gx

ist, eine besonders einfache Form annehmen.

Die Untersuchung dieses speziellen Falles soll den allgemeinen Untersuchungen vorausgeschickt werden.

Kapitel III.

¹

o cos(co,n) = w = —ft -f

und hieraus die gesuchten Ausdrücke für die p, q, r:

(10) p = 6 a -\-tß + ny, q = 6a + ny, r = <3cc"-\-1 ß" -j- ny",

wo die neun Kosinus nach (1) gegebene Funktionen der u und v sind.

Wir gehen nun zur Bestimmung der Projektionen k, l, m der Geschwindigkeit w des Koordinatenursprunges 0 auf die x, y, Achsen über. Zu. diesem ZwQpke betrachten wir die Bewegung des Berührungspunktes M. Die absolute Geschwindigkeit ü₁ dieses Punktes M hat zu ihren Komponenten längs den Kurven il und v, die Größen yE\ und YG-yVy. Die

²

Yergl. z. B. Holder, Über die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis, Nachrichten der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1896, oder Hadamard, Sur les mouvements de roulement, Memoires de la Societe des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux 5 (1895).

³

Yergl. auch V. Voltera, Sopra una classe di equazioni dinamiche, Torino Atti 33 (1898); P. Appell, Remarques d’ordre analytique sur une nouvelle forme des equations de la dynamique, J. de math. 7 (1901); L. Boltzmann, Über die Form der Lagrangeschen Gleichungen für nichtholonome, generalisierte Koordinaten, Sitzungsberichte der Wiener Akademie 111, Abt. II a (1902); G. Hamei, Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik, Zeitschr. Math. Phys. 50 (1903).

⁴

Ferrers, Extension of Lagrange’s equations, Quart. J. of math. 45 (1878).

⁵

Tschaplygin, Über die Bewegung eines schweren Drehungskörpers auf einer horizontalen Ebene, Arbeiten der physikalischen Sektion Nr. 9, Moskau 1897.

⁶

Vergl. z. B. die Methode, nach welcher bei Gr. Kirchhoff (ihid. Yorl. YI) die Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers abgeleitet werden. Siehe auch die Abhandlung von K. Heun, Die Bedeutung des D’Alembertschen Prinzipes für starre Systeme und Gelenkmechanismen, Arch. Math. Phys. (3) 2 (1902), § 17.

Über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf

einer Kugel.

§ 10.

Die Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer Kugel.

Das Problem, das den Gegenstand des vorliegenden Kapitels bildet, kann so formuliert werden: „Ein gegebener starrer Körper ist gezwungen, auf einer unbeweglichen Kugel Sx ohne Gleitung zu rollen. Auf den Körper wirkt eine Kraft ein, die am Schwerpunkte 0 des Körpers angreift, zum Zentrum Ox der Kugel gerichtet ist und nur von der Entfernung der Punkte 0 und Ox abhängt. Es soll die Bewegung des Körpers bestimmt werden.“

Setzen wir

xx = B₁ sin ux cos vx, yx — Bx sin ux sin vx, zx = Rx cos ult

so wird

Gx — Bx² sin² ux, I)x = — Rx,

(35) EX = R und die Formeln (34) und (10) ergeben:

Dx" — — Bx sin² ux,

(36)

6 = vv, x = pkf p = vva -f yüß -f- viy,

wo (37)

ist.

. Mit Hilfe dieser Formeln (36) berechnen wir gemäß (31) die kinetische Energie 0 des Körpers:

20 = MQ²(v²v² + [i²it² + n²) -M(q

+ A(vva-\-püß-\-ny)² -f B(yva -\-püß'-\-ny)'

4- C(yva" + fiüß" -\-ny")².

(38)

dg vv du Ye

h j™. + En\* dv YG ⁺    /

Hier bezeichnen q und s die Entfernungen des Schwerpunktes 0 von dem Berührungspunkte M und von der Tangentenebene in M zu der Oberfläche S des Körpers:

q² = x² + y² + z², s = xy + yy' + zy".

Die kinetische Energie 0 ist also eine homogene Funktion zweiten

Grades der Argumente ü, v, n. Die Koeffizienten dieser Funktion hängen nur von u und v ab.

Was die Kräftefunktion U anbelangt, so ist U im gegebenen Falle eine Funktion der Entfernung der Punkte 0 und voneinander. Nun ist aber

Ox Ö² = OxM*+ 0M²-20₁M0Mc os (öxM, OM) = q² 4 2Rts,

folglich enthält U nur u und v.

Führen wir neben den p, q, r (36) die Größen p, q, r ein:

(39)

p = uvdv 4 ßpdu -}- yri,

so ergibt die Grundformel (33):

*2

f(dO + d?7+ MQß(y²vdv-\-iL²üdu-\- nn) h

dg vSv dg p8u du '[/E ® dv yoT

, 7u E    vi i „ dg (iw

+ v du ypj Q dv y-Q

-m(q

4 sri'j (yEv-\- yG [i)üv — Ma²Qd q

) (yEvbdu+YQtiüßv)]dt-0,

sn

wobei der Kürze wegen

v² v² 4 fi²ü² 4■ n² — (o²

gesetzt ist.

Um aus diesem Ausdrucke die Bewegungsgleichungen zu erhalten, haben wir noch die Differenzen dü — ^du, dv — ~dv, dn — —■ zu berechnen.

Aus (36) und (39) ergibt sich vv = pa -f- qa 4 ra"y

sodaß nach (28)

— p a----

v (dv — -jjdv) 4    (vdu — udv) = (qr-rq)a -|----4^^«4v

wird. Setzen wir hierin aus (36) und (39) ein und bemerken, daß infolge bekannter Formeln der Kinematik

ßy 4 ß'y 4 ß"y' =    =    <*ß -+— =

ist, wo 6X, rlf nt die Bedeutungen (8) haben, so erhalten wir:

v (dv

~iiSv

dv

dG

du %yEG du

^ (vdu— üdv) =    (ndu— ün'\

Der Ausdruck

dv

dG

du

2yEG du

gleich Null, sodaß wir endgültig haben:

dt

dv^    (ndu—ün).

Auf ähnliche Weise finden wir:

[i (dü — ^duj =    (ndv— vri),

(vdu — üdv).

ist aber, nach (37) und der

»¹■(&-£)-(»

Formel von Mainardi-Codazzi¹)

dG

) (Fl)'— GD) + || (FD — ED') - || (FD"— GD')-~ (FD' - ED"),

du

Transformieren wir nun unter Benutzung dieser Gleichungen die Grundformel so, daß unter dem Integrationszeichen eine lineare Funktion der Größen du, dv, n erscheint, und setzen wir die Koeffizienten bei diesen Größen gleich Null, so erhalten wir die gesuchten Bewegungsgleichungen in der Form

d dQ d(Q+ü)

dt die

du

i/7?h fDD" 1 \ 0 . YE 1 dQ    i/V 2

VEGr \EGr~EYV nv + HY~YJ~vn~M®dün

CV) I QO

CQ

(40)

d dQ d(Q+U)

dt dv

dv

-f- Ms YE vvn,

vm (w-^) “+^7 ff ¹-** f|

-j- MsYG[iün,

d dQ YE 1 80. dtdn

y'ff j_ dQ

B, (i du

h + ¹¹ (? ü + 9 ff ¹) w

— _M« (]/ü/ v -f- "|/(r /i)wv.

Diese Formeln bestimmen die nicht zyklischen Koordinaten u und v und die ‘Größe n als Funktionen der Zeit t.

Bevor wir auf die Untersuchung der aufgestellten Bewegungsgleichungen näher eingehen, wollen wir die Richtigkeit derselben auf Grund allgemeiner Sätze der Dynamik prüfen.

§ 11.

Entwicklung der Bewegungsgleichungen aus dem Satze von dem Momente der Bewegungsgröße.

Die nicht holonomen Bedingungsgleichungen (29), denen der starre Körper unterworfen ist, nehmen für das in Rede stehende Problem nach (36) die Form

(41)

Ic = (ya" — za)vv + (yß" —zß')yu -f- (yy" — zy')n,

an, sodaß wir aus (30) nach (36)

(42)

a-\----

d T

erhalten. Da nun -r-r-, • • •, -5— , die⁷    ’ dp ’

d T

• • • gleich sind den in bezug auf die x, y, ^-Achsen gebildeten Projektionen des resultierenden Vektors und des um den Schwerpunkt 0 genommenen resultierenden Momentes der Bewegungsgrößen der materiellen Punkte, aus denen wir uns den starren Körper

BQ

zusammengesetzt denken, so sehen wir aus (42), daß ~

die auf die u, v, n-Achsen genommenen Projektionen des erwähnten Momentes um den Berührungspunkt M bedeuten.

Nun ist aber bekannt²), daß die geometrische Derivierte TTi des Vektorensystems TTj, das aus den Bewegungsgrößen der materiellen Punkte des Körpers besteht, dem Vektorensysteme TT₂ der auf den Körper einwirkenden Kräfte und Reaktionen äquivalent ist. Ist der Pol M(x, y, z), in bezug auf welchen wir das resultierende Moment des Systems TTj berechnen, ein unbeweglicher Punkt, so ist das resultierende Moment f/ des Systems TTi der geometrischen Derivierten fi von fj geometrisch gleich:

(rvMrj.

Ist aber, wie im gegebenen Falle, der Pol M(x, y, z) beweglich, so ist

(43)

(rx')-(Ö) + W

wo K das Moment des resultierenden Vektors des Systems TT^ wenn dieser Vektor am „derivierten“ Pole M'(x, y, z) angreift, um den Koordinatenursprung bezeichnet.

Wenn wir noch bemerken, daß sich die w-Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit dreht, deren Komponenten längs den x, y, Achsen den

Kiew 1900.

Größen a -f- qara usw. gleich sind, so erhalten wir, wenn wir den Vektor Y( auf die Richtung u projizieren:

dt

(v H) “ (if⁺ ~ywü) (« + 0«"-*■«')—+ (y

dT

dm

. dT\ z~di)a

H— = r₂ cos (r₂, u),

wo r₂ das resultierende Moment des Systems TT₂ um den Berührungspunkt M ist.

Werden die Momente der rollenden und bohrenden Reibung vernach-lässigt, so gehen in I“₂ nur die Momente der wirkenden Kräfte ein, da ja weder die Reibungskraft, noch die normale Reaktion Momente um den Berührungspunkt M geben. Existiert eine Kräftefunktion U, und denken wir uns den Dilferentialquotienten U von U nach der Zeit t als lineare Funktion der Größen h, • • • ,p, • • ■ ausgedrückt, so ist also

/r \    (du , dü

(r2>w)    \dP + z di

dl7

cc-\----,

Geht Ü in (Ü) über, wenn wir die Größen &,*••,!>,••• nach (36) und (41) eliminieren, so wird

1 d(l7)

r₂ cos (r₂,m)=»- -ji

Ist U eine Funktion von u und v, so haben wir:

r /r \ l dU

r₂ cos (r₂,w) = -^-

Wir erhalten also schließlich:

(44)

d_ de

dt dv

= ff [Ä (yva"—,zvu )+pv{xa+yu'+za)—va(xp-\-yq+zr)^ + --

+l%[jt⁽-va')⁺⁽iva"

— rv

Durch recht komplizierte Rechnungen läßt sich feststellen, daß diese Gleichung mit der zweiten der Formeln (40) identisch ist.

Projizieren wir den Vektor Y( auf die Richtungen v und n, so erhalten wir auf ähnliche Weise die beiden anderen Bewegungsgleichungen (40).

Die Formel (44) kann auch direkt aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der den nicht holonomen Bedingungen (29) unterworfen ist:

± dl _ dT_ dT _ i

dt dk r dl q dm⁺ dk ⁺ ^’

Es | ä,

oö ;c^>

Ql3

■* I 4

<^>

durch Elimination der Multiplikatoren X1} I₂, abgeleitet werden.

Dazu haben wir unter Benutzung dieser Gleichungen die Formel (42), nachdem wir sie mit v multipliziert haben, nach der Zeit t zu differenzieren:

dT dÜ q dm ' dk

rj- ^(yvu'—zva)-\-----i-{y va"—zva) (r

. dT d ,    , .    .    ( dT dT . dtf .    ,    , \ .

+' • • + d3 dt (va) ⁺ ", + vaVd<l-qd7 ⁺ J£ ⁺ yh-zh) + • • •»

d de

dt db ~

m.)

oder

jT de

dt dv

a) -f xv(pcc -{-qct -\-ru") — va(xp-\-yq+zr)^ -j—

■ •+ff K    +■••+!?•

dTrd ,

~ dk VdSyva

— ZV

Nun ist aber nach (29) und (30)

dT , dT , dT    n dT    . dT dT    n

■P afc + 2    + r dm    °>    X dk y dl    + z dm'

sodaß diese Gleichung mit der Formel (44) identisch ist.

§ 12.

Prüfung der Bewegungsgleichungen durch di« Poinsotsche Interpretation der Bewegung eines kräftefreien starren Körpers.

Die Richtigkeit der Formeln (40) läßt sich, wenigstens in einem speziellen Falle, durch Benutzung der bekannten, von Poinsot gegebenen Interpretation der Bewegung eines starren Körpers, auf den keine Kräfte ein wirken, bestätigen. Dieser Interpretation zufolge bewegt sich der Schwerpunkt eines solchen Körpers gleichförmig in einer Geraden, und das zentrale Trägheitsellipsoid des Körpers,

Äx² + By² + Gz² = 1,

rollt ohne zu gleiten auf einer Ebene, die eine solche Translationsbewegung hat, daß ihre Entfernung vom Schwerpunkte des Körpers konstant bleibt. Der Berührungspunkt des Ellipsoids und der Ebene beschreibt auf der Oberfläche des Ellipsoids eine Polhodie und auf der Ebene eine Herpolhodie. Die Projektion der momentanen Winkelgeschwindigkeit des Körpers auf die Normale im Berührungspunkte zum Trägheitsellipsoid bleibt konstant während der Bewegung.

Wenn der Schwerpunkt im Anfangsmomente in Ruhe war, so bleibt er in Ruhe während der Bewegung des Körpers, und das Trägheitsellipsoid wird auf einer ruhenden Ebene rollen.

Wir transformieren nun das Trägheitsellipsoid und die Ebene durch reziproke Radien.*) Das Ellipsoid geht in die Fläche vierten Grades Ax² + By² -f- Gz² = (x² -f y² -f- z²)²

über und die Ebene in eine Kugel.

Dem Gesagten zufolge müssen die Bewegungsgleichungen (40), wenn auf den Körper keine Kräfte ein wirken, und wenn der Körper von der erwähnten Fläche vierten Grades begrenzt ist, eine partikuläre Lösung zulassen, bei welcher die Größe n konstant bleibt und der Berührungspunkt M auf der Oberfläche des Körpers eine Kurve beschreibt, die aus der Polhodie durch Transformation mittels reziproker Radien erhalten wird.

In der Tat, setzen wir

k — u — v ya*_ ft* pV — c2 ?

A-X

aV

B — 0r — k — a² + b² + c²,

so läßt sich nachweisen, daß die Bewegungsgleichungen (40) im Falle die partikuläre Lösung

n = const., u • v = const.

zulassen.

§ 13.

Auflösung der Bewegungsgleicliungen nach den Differentialquotienten der unbekannten Funktionen. Bewegungsintegrale. Bestimmung der zyklischen Koordinaten.

Wir gehen nun zur näheren Untersuchung der Bewegungsgleichungen (40), die die Variablen u, v,n als Funktionen der Zeit t bestimmen, über. Diese Gleichungen sind in bezug auf u und v von der zweiten, in bezug auf n von der ersten Ordnung. Fügen wir den Formeln (40) die Gleichungen

du

dv

dt==Ü’ dt==V

hinzu, so erhalten wir fünf Differentialgleichungen erster Ordnung, welche

*) Routh, The advanced part of a treatise on the Dynamics usw. Art. 147, Ex. 4, 1884.

die fünf Funktionen u, v, n, it, v durch t bestimmen. Sollen diese Gleichungen nach den Differentialquotienten der unbekannten Funktionen aufgelöst werden, so haben wir statt der ü, v, n neue unbekannte Funktionen p1} p₂, p₃ nach den Formeln

ot, ICC)

= Pi,

CD[ CD

de

dn Ps

einzuführen. Dann wird nach einem Satze von Donkin³)

. dO . dO    dO dO

M~ dp,7 V~ dpt7 U ~ dps⁷ du

wo 0 die kinetische Energie des Körpers, als homogene Funktion zweiten Grades der Argumente p1} p%, p₃ ausgedrückt, bezeichnet. Wir erhalten also aus (40), wenn wir noch die Bezeichnung

CO CD

§ I Ol

dQ

dv>

0 - U=H

einführen, folgende fünf Differentialgleichungen erster Ordnung, welche die p1} pi7 p3} u, v durch t bestimmen:

dp,

dH

dt

du

Y~E 1 dH v dps

dpz

dH

dt

dv

VEG

(45)

- Tu (ff) + M³ EEv ——^ —— p 4-

7? t) Z'3

dH dH d>Pt dps ⁷

yG 1 dH B, ft dps Pl

dp³

dt

}/G 1 dH B, ft dPz Pl

YE 1 dH

B, v dp,

dH dH dpi dps>

ae dH . dg dH\ dH V du dp, ^ dv dpj

-Me(VEv + VGp)

dps

du

dH dH dp, dp³⁷

dv_dH

dt dpz

Aus diesen Gleichungen oder den Gleichungen (40) läßt sich noch mit Benutzung des Integrals der lebendigen Kraft

dt

CD CD

#== 0 - U=h,

wo h eine willkürliche Konstante bezeichnet, die Zeit t eliminieren. Wählen wir z. B. u zur unabhängigen Variablen, so erhalten wir dann drei Differentialgleichungen erster Ordnung, die die Größen p₂,p₃,v, resp. v,v,n durch u bestimmen.

Um außer dem Integrale der lebendigen Kraft noch ein' zweites Bewegungsintegral zu erhalten, machen wir folgende spezielle Voraussetzungen. Die relative Geschwindigkeit ü(i;, y, z) des Berührungspunktes M möge in jedem Momente der Bewegung mit der Geschwindigkeit w(k, l, m) des Schwerpunktes 0 des Körpers in einer Ebene liegen. Dann verschwindet der Vektor K, der in (43) enthalten ist. Wenn außerdem das resultierende Moment l“₂ um M der auf den Körper wirkenden Kräfte gleich Null ist, so ist nach dem Satze des § 11 das resultierende Moment rx um M der Bewegungsgrößen der materiellen Punkte des Körpers konstant. Wir haben also in diesem speziellen Falle das Integral

(46)

J_P\²₊i/^²₊ P*\' _

p* \dü) ' v² \dv) ' \dn)

const.

Die eben angeführten Bedingungen sind augenscheinlich erfüllt, wenn der starre Körper teilweise oder ganz von einer Kugelfläche begrenzt ist, deren Zentrum mit dem Schwerpunkte des Körpers zusammenfällt.*)

Wir kehren wieder zum allgemeinen Falle zurück.

Sind die Bewegungsgleichungen (40) oder (45) integriert, so haben wir noch die zyklischen Koordinaten ff, u₁,v₁ zu bestimmen. Dazu dienen die letzte der Formeln (9) und die nicht holonomen Bedingungsgleichungen (12). Diese Formeln vereinfachen sich für den gegebenen Fall nach (35) zu folgenden:

jRi^j == — YEü sin ff -f VGr v cos ff,

Rt vx sin ux = yE u cos 11 -j- ]/(r v sin ft,

& = — n -f

(47)

1 /dE . dG

2Yeg

du

vj — vx cos ux.

Sind u, v, n durch die Zeit t ausgedrückt, so sind nach (36) und (41) die Größen Je, • • p, • • • bekannte Funktionen der Zeit, folglich**) muß sich die Bestimmung aller übrigen Koordinaten auf die Integration einer Riccatischen Gleichung jzurückführen lassen.

In der Tat, setzen wir

1/E .

— V.— u

⁼ fi cos '9'x,    sin^j,

dG

1_/dE . _

2 yifG\dvU    du

so sind fx, f₂, ö’j bekannte Funktionen von t. Die Formeln (47) ergeben:

üx = fx sin (H + Hj), vx sin ux = — fx cos (H + iß'₁), __& + #i = U + fi ctg ui cos (# + ^i)-

v)-n + &₁ = f₂,

*) Tschaplygin, Über eine mögliche Verallgemeinerung der Flächentheoreme mit Anwendung auf das Problem des Rollens der Kugel, Moskau Mathem. Samml. 20 (1897).

**) Vergl. z. B. Darboux, Le9ons sur la theorie generale des surfaces, L. I, ch. II.

Führen wir jetzt statt ut und ff neue Variable und £₂ nach den

Formeln

== — i ctg y • e~ (^+^j)£;    £₂ == % tg y • e~^+s'^i

ein, so zeigt eine kurze Rechnung, daß und £₂ Integrale der Riccati-schen Gleichung

äf—V(i

sind. Wenn hieraus und £₂, also auch und ff durch die Zeit t bestimmt sind, so wird die letzte Koordinate vx aus (47) durch Quadraturen erhalten.

§ 14.

Rollende Bewegung eines Rotationskörpers auf einer Kugel. Zurückführung des Problems auf die Integration zweier Riccatischen Gleichungen. Bewegung eines zylindrischen Stahes auf einer Kugel.

Die Bewegnngsgleichungen (40) vereinfachen sich bedeutend, wenn der starre Körper im dynamischen Sinne ein Umdrehungskörper ist:

A = B,

und wenn die Oberfläche des Körpers eine Rotationsfläche um die Symmetrieachse z ist.

Setzen wir

x = u cos v, y = u sinv, z = z(u)

und bezeichnen wir die Differentialquotienten von z nach u durch z, z", • so wird

E=1 -M'², G = w², «" =

z’

r-o,

(48)

z"

yi+2'*’

D" =

UZ

y i 4-V* ’

1/1 + 2”’

P² = M² -f- Z²,    £ =

z — uz'

1/1 + 2'’’

sodaß nach (38)

(49)

2 0 -    + .4) (v‘i- + u+is + »>²) - ,¥

+ (C-Ä)(vvcc"+ny'y=: Pw²4- #£² 4- 2Z»n 4- Jh²

ist, wobei die Koeffizienten P, (), P, J Funktionen des Argumentes m sind. Außerdem haben wir augenscheinlich:

U — Funct (m).

Wir sehen also, daß im gegebenen Falle die Koordinate v auch zyklisch wird, folglich ergeben die Bewegungsgleichungen (45) oder (40), nach Elimination der Zeit t mit Hilfe des Integrals der lebendigen Kraft,

29

Mathematische Annalen. LXX.

zwei Differentialgleichungen erster Ordnung, welche die Variablen p2 und pz resp. v und n als Funktionen von u bestimmen.

Existiert noch das Integral (46), oder ist irgend ein anderes Integral der erwähnten Gleichungen bekannt, so lassen sich diese Gleichungen durch Quadraturen lösen. In der Tat fällt es nicht schwer nachzuweisen, daß im gegebenen Falle die Form des letzten Jacobischen Multiplikators M sich im voraus angeben läßt.

Wie bekannt, genügt der Multiplikator M des Systems

dxn

, X₁, X„ •> funct. (cCy, x₂₎ • • •, xn)

dx.    dx,

x7⁼

der Formel

8 x%

dlgM 1 idX, dx. ' X, \da:. '

Wenden wir diese Formel auf das System (45) an, so wird dt '    ? du \dp₁ dps² cps dp₁dps)

l M h PJ⁴ _ dE d⁴H \

⁺    ® dvXdPz dp,⁴ ~dps dp, dpä)

8H d²H _ dH. 8²H 8Pt dp,dp% 8p, dp. dps

Nach (48) und (49) ist aber q eine Funktion von u allein und ü ist in 0, folglich pt in H nur in der zweiten Potenz enthalten.

Wir haben also nach (45):

e-fn“)d",

+ -»(<>

d lg M

Bq dXH du dps

sodaß d'H

ist.

dPi 8 Pi

So löst sich z. B. das Problem der Bewegung eines Rotationskörpers, der teilweise oder ganz von einer Kugelfläche begrenzt ist und der auf einer unbeweglichen Kugel ohne Gleitung rollt, bei Kräften von der im Anfänge des Kapitels angeführten Art durch Quadraturen auf.⁴)

Wir wollen nun die zwei Differentialgleichungen erster Ordnung, nach deren Integration die Veränderlichen u, v, n durch Quadraturen erhalten werden, wirklich aufstellen.

Die beiden letzten Bewegungsgleichungen (40) ergeben nach (48)

und (49):

jd do dt dv

d d® _

dt dn

- - YEG (-

DD"

EG

p

R₁ p

vü —

H    Jnü + MeVGfinü,

« + Mq d-l nu - Ms('YEv +YGii)vü.%

Diese Gleichungen lassen die partikuläre Lösung

v = v₀, v = v₀t + v₀,

wo u₀, n₀, v₀,v₀ Konstante bezeichnen, zu, und die erste der Bewegungsgleichungen (40) gibt die Bedingung an, der diese Konstanten genügen müssen, damit eine solche Bewegung des Körpers möglich wäre. Die Bestimmung der übrigen Koordinaten wt, vt nach den Formeln (47) macht in diesem Falle keine Schwierigkeiten, und wir überzeugen uns leicht, daß der Berührungspunkt M auf der Oberfläche der Kugel einen großen Kreis

oder einen kleinen Kreis beschreibt, je nachdem der Ausdruck w₀ -f-gleich Null oder von Null verschieden ist.

Schließen wir diese partikuläre Lösung aus, so ergeben die aufgestellten Gleichungen, wenn wir in ihnen u zur unabhängigen Variablen wählen:

d d® du dv

A ₌ Ai-YÄ J_£? ₊ Mo-

du cn    Rx fi    Rx v dv '    * du

ü = 0, u = w₀, n — n₀

= - y eg (

DD

EG

w)

Cu

⁺ ~iT Jn + MsV®(*»,

Ms (y~E v -f- y~G fi) v.

ÖQ

c-¹ n

Sind aus diesen Gleichungen v und n als Funktionen von u bestimmt, so erhalten wir aus dem Integrale der lebendigen Kraft u als Funktion der Zeit t durch Quadraturen. Eine zweite Quadratur bestimmt dann v durch t.

Die aufgestellten Gleichungen bilden ein System von zwei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung. Eliminieren wir aus ihnen z. B. n, so erhalten wir zur Bestimmung von v eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Eine solche Gleichung wird durch die Substitution

• f£du

v = eJ y

wo £ eine neue Variable bezeichnet, auf die Riccatische Form gebracht. Die Bestimmung der zyklischen Koordinaten ff, ulf v₁ führt, wie wir

29*

oben gesehen haben, auch zu der Integration einer Riccatischen Gleichung. Wir dürfen also folgenden Satz aussprechen:

Das Problem der rollenden Bewegung eines starren Rotationskörpers auf einer Kugel unter der Wirkung einer Kraft, die vom Schwerpunkte 0 des Körpers zum Zentrum Ol der Kugel gerichtet und nur von der gegenseitigen Entfernung der Punkte 0 und Ox abhängig ist, läßt sich, ivenn die Bewegung des Körpers ohne Gleitung vor sich geht, auf die Integration von zwei Riccatischen Gleichungen und auf Quadraturen zurückführen.

Der starre Körper sei z. B. ein zylindrischer Stab:

x = R cos v, y = R sin v, z = u.

Wir haben dann:

E = 1, G = jß², a"=l, ß" = 0, y" - 0

D = 0, D" = R,

q² = R² -{■ u², s = — R,

sodaß die kinetische Energie des Stabes nach (49) durch die Formel

20 = ^

B 2 (A + MR² + Mu²) u² + (0+ MR²) (ß- - l) V + 2MR{^- — l^unv + (4L + Mu²)n²

gegeben wird.

Die beiden linearen Differentialgleichungen, die v und n durch u bestimmen, sind von der Form

du

un.

du \MRun + (C+ MR²) (^--ljbj = M ~ (uv -Rxn), [(A + Mu²) n + MR (ß- - l) uvj -    - !) (.C+ME>) -

Eliminieren wir aus diesen Gleichungen n, so wird

iÄ

C-\- MB²

MC

Wir sehen also, daß v eine hypergeometrische Funktion von u ist.

§ 15.

Bewegimgsgleichimgen eines starren Körpers, in dessen Innern sich ein Gyroskop befindet. Rollende Bewegung einer gyroskopischen

Kugel auf einer Kugel.

Die meisten Resultate der vorhergehenden Paragraphen lassen sich leicht auf den Fall verallgemeinern, daß im Innern des starren Körpers, den wir uns hohl denken wollen, ein um seine Achse rotierendes Gyroskop enthalten ist. Wir werden voraussetzen, daß der Schwerpunkt des Gyroskops mit dem Schwerpunkte des starren Körpers und die Symmetrieachse des Gyroskops mit der £-Achse Zusammenfalle.

Die Reibung in den Stützpunkten der Achse des Gyroskops auf die innere Oberfläche des Körpers soll vernachlässigt werden.

Wenn die Größen M, A und B in den Bewegungsgleichungen (40) die Masse und die Trägheitsmomente um die x- und «/-Achsen des ganzen Systems, das aus dem starren Körper und dem Gyroskop besteht, bedeuten, so haben wir, im Falle eines gyroskopischen Körpers, nur zu den auf den Körper einwirkenden Kräften noch ein Kräftepaar⁵) hinzuzufügen. Das Moment dieses Paares ist gleich C coW sin (coW), wo C das Trägheitsmoment des Gyroskops um die 0-Achse, UJ seine konstante Winkelgeschwindigkeit und (D die momentane Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers bezeichnen. Die Achse dieses Momentes steht normal zur momentanen Rotationsachse des starren Körpers und zu der ^-Achse und ist in bezug auf diese zwei Achsen so gelegen, wie die ^-Achse in bezug auf die x-und «/-Achsen.

Führen wir die Bezeichnung

C (0 = x

ein und vergegenwärtigen wir uns die Methode, die in § 11 zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen (40) angewendet wurde, so ist es klar, daß wir im Falle eines gyroskopischen Körpers zu den rechten Seiten dieser Gleichungen (40) die Ausdrücke

/ix(vvy" — na"), vx(nßr'— {.iüy"), xfaüa" — vvß") hinzuzufügen haben.

Machen wir über die Massenverteilung des Körpers und seine Form dieselben Voraussetzungen, wie im vorhergehenden Paragraphen, so wird nach (48) in den rechten Seiten der zwei letzten Bewegungsgleichungen (40) wieder ü als gemeinsamer Faktor enthalten sein. Wir kommen also wieder zu zwei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, welche die Variablen v und n als Funktionen von u bestimmen. Nur werden jetzt diese linearen Gleichungen nicht mehr homogen sein. Folglich erhalten wir, wenn wir aus diesen Gleichungen n eliminieren, eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung von der Form

dH du⁶

Ist außer dem Integrale der lebendigen Kraft noch ein Integral bekannt, so lösen sich die Bewegungsgleichungen durch Quadraturen auf.

Der starre Körper sei z. B. eine Hohlkugel, in deren Innern sich ein Gyroskop befindet. Dann gilt das Integral (46), folglich lassen sich die Variablen u, v, n im Probleme der rollenden Bewegung einer gyro-skopischen Kugel auf einer Kugelfläche durch Quadraturen bestimmen. Die übrigen Koordinaten ff, ux, vx werden, wie in § 13 gezeigt ist, durch Integration einer Riccatischen Gleichung erhalten.

Das hier angeführte Problem kann als eine Verallgemeinerung des von D. K. Bobylew⁶) gelösten Problemes der Bewegung einer schweren gyroskopischen Kugel auf einer horizontalen Ebene angesehen werden. N. E. Joukowski⁷) hat in seinen geometrischen Untersuchungen über das Bobylewsche Problem vorgeschlagen, im Innern der Kugel einen materiellen Ring, dessen Symmetrieebene mit der #?/-Ebene zusammenfällt, anzubringen. Die Dimensionen des Ringes werden so gewählt, daß das Trägheitsellipsoid des ganzen materiellen Systems in bezug auf den Schwerpunkt eine Kugel ist. In diesem Falle läßt sich die Bewegung der Kugel auf der Horizontal-ebene bedeutend einfacher bestimmen.

Setzen wir in unserem allgemeinen Probleme auch voraus, daß die Hohlkugel mit einem solchen Ringe versehen ist, so läßt sich nach-weisen, daß die zyklischen Koordinaten ff, ux, vx auch durch Quadraturen erhalten werden. Wir wollen auf dieses Problem, das wohl den Gegenstand einer selbständigen Abhandlung bilden dürfte, hier nicht weiter eingehen. Es sei nur bemerkt, daß die im Probleme auftretenden Quadraturen elliptischer Form sind, sodaß selbst eine vollständige Diskussion der Bewegung einer solchen Kugel auf einer Kugelfläche keine Schwierigkeiten macht.

¹

Stahl und Kommerell, Formel (6) § 7.

²

Sousloff, Grundzüge der analytischen Mechanik (russisch), Bd. 1, § 192,

³

Philos. Trans. 1854.

⁴

Vgl. die oben angeführte Abhandlung von Tschaplygin.

⁵

Den sog. Deviationswiderstand. F. Klein und A. Sommerfeld, Über die Theorie des Kreisels, Heft I, Kap. III.

⁶

Bobylew, Über die gyroskopische Kugel, die auf einer Horizontalebene ohne Gleitung rollt, Moskau Math. Sammlung 1891.

⁷

Joukowski, Über die gyroskopische Kugel von D. K. Bobylew, Arbeiten der physikalischen Sektion 1893.

Kapitel IY.

Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer beliebigen Fläche.

§ 16.

Aufstellung der Bewegungsgleichungen.

der Formel (33)

Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer Kugel rollt, sind im vorhergehenden Kapitel aus abgeleitet. Um eine Anwendung der anderen Grundformel des Kapitels II, der Formel (18) zu erhalten, sollen jetzt unter Benutzung dieser Formel (18) die Gleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer beliebigen Fläche entwickelt werden.

Wir werden an den Bezeichnungen und Voraussetzungen der §§ 4 und 9 festhalten und wählen zu den abhängigen Geschwindigkeiten, wie in (12), die Größen ü₁ und v₁. Wir haben dann nach (18) die verallgemeinerten Impulse Kx und K%, die den Geschwindigkeiten üx und vx entsprechen, zu bestimmen.

Setzen wir die Ausdrücke (11) und (10) für die Jc,l, m\p, q, r in die kinetische Energie T (30) des Körpers ein, so wird nach (9)

2T =    + Ap² -\- Bq* -\- Cr² = 2T(u, v, ft, u1} vx, u, v, fr, ux, vß),

folglich haben wir nach (11), (10) und (9):

Kx = ~ = M]/E [— (Jca + • • •) sin fr -f- (7cß -f- • • •) cos tf]

V + • • •]

cos fr

a H----]

dT

dp

und einen ähnlichen Ausdruck für die Derivierte von T nach vx.

Soll die rollende Bewegung des Körpers auf der Fläche Sx ohne Gleitung vor sich gehen, so haben die h, l, m die Werte (13), und wir erhalten nach (10) und (1):

(50)

2T - Jf, V +** ■+.»>) ■- M{₉ ff ^    ^ -+..)*

-\-A(öa-\-Tß + ny)² + B(aa 1ß'-\-ny'y C(öa"ß"ny")‘

= 2 0 (u, v, 6, r, n),

ein, so erhalten wir leicht für die gesuchten Koeffizienten folgende Ausdrücke:

ft -f yG (nd v — vn ) sin ff],

cos

wo wieder

x* -F y² + z* = q², %y -f- yy + zy" = «

gesetzt ist.

Mit Hilfe dieses Ausdruckes 0 für die kinetische Energie des Körpers und mit Hilfe der Formeln (13), die nach (1)

dp n v ]/G’ dp n Q du yjz

ergeben, lassen sich die Größen Kx und K₂ auf die einfachere Form

ICCC -f- 1 Ci fyiCC — — ET -j- Q

kß + Iß' + mß" =

EÖ —

(51)

Kx = MVX [(eö-Q §* ^=) cos ft + (et

_J_ 8E dQ    _A/dÖ    aö .    \

2 yJE₁Gl dvx dn    V-#i\d<J C0S    dt Sin *7

o t, ^)sinÄ]

bringen.

Die Koeffizienten bei den Größen Kx und K₂ in der Formel (18) haben nach (12) die Werte

^ A —Y~E u sin & -f- ~\/G v e°s oA    ^ A YEu cos & -f- YG v sin iA

V"¹    yx / ’ v¹    yK /;

die zufolge § 7 unter Benutzung der Formeln

YEt dux ■== — yE du sin ft -j- ]/67 dv cos tt, yG₁dv₁= yEdu cos# -j- yG-dv sin ft

(52)

zu berechnen sind.

Führen wir wieder der Kürze wegen neben der Größen (9) die Größe

1    (dE x

---    — du —

2yEG \

(53) ri=—d ff +

CV)

j=(|^ du,

<H)

—L= \yE(ndu — mm')

—= []/.E(ndn—mm') sin ff — ]/Cr(ndt; — iw') cos fl],

yG₁

sodaß die Formel (18) für das in Rede stehende Problem die Form (54) J*[d0 + dTJ + K^yjE{ndu — unr) + K₂yG(ndv—vri)~\dt = 0,

i_f³®

Sl/FSU

wo

(55) Kx = -~=l cos fr + sin fr, K₂ — -^4= sin fr--cos ft

VEi    y^i    v^i    yffi

bezeichnet, annimmt. Wir setzen voraus, daß eine Kräftefunktion U existiert. Die kinetische Energie 0 des Körpers haben wir als homogene Funktion zweiten Grades der unabhängigen Geschwindigkeiten u, v, fr auszudrücken. Dazu eliminieren wir aus den Funktionen 6, x, n (9) unter Benutzung der Bedingungsgleichungen (12) die abhängigen Geschwindigkeiten üx und vx:

6 = — A'YEii — A"VGv, x — AyEü + A']/G v,

— fr + AxYEü - A₂YGv,

A ⁼ E + ^ sin2 ® +

^    sin² # + ^ cos² #,

1    8 lg E sin 8 lg E,

yW, dv,

sin fr 8 lg G,

yrrx ° ui

und setzen die so erhaltenen Werte für 6, r, n in die Funktion 0 (50) ein. Dann wird

(56)

A" =

2AX =

2A„ =

YG dv

i di gG YE du

Gx

cos² fr,

A' = (~--sin cos fr,

COS fr 8 lg G,

Y~e; dui * cos 8 lg E,

yG, dvi

0 = 0 (u, V, fr, Ux, Vx, Ü, V, fr) .

Eliminieren wir jetzt aus der Formel (54) die Größe n mit Hilfe von (53) und die abhängigen Variationen öux und mit Hilfe von (52) und setzen die Koeffizienten bei den unabhängigen Variationen du, dv, dfr gleich Null, so erhalten wir die Gleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer beliebigen Fläche: d_ de 8(0 + 17)

dt du du

Ve[

8(0 + V) sind

du, yrrt ⁺

(57)

d_ de _ 8(0 + 17) dt dv

dv

VG

8(0 + 17) coafr dv, Yg,

~(\Kl' + A₁Ka’)VWGi,

8(0 + 17) cos ■9’ ^ 8(0 + 17) sin#

du, YE,

+ (A₂ Kx + Ax K{) YWG- ü,

dv.

VG,

-Kx'fr

Ka fr

d de    8(0 + 17)

dt QQ.

wobei nach (55) und (51)

dfr

= jKx yE u + K₂' y~G v,

(58)

=4e-<fe)-(A"-

D"

IO ! <o

dn

ist.

*'-*(«-* % ^)+A'i- (a-d i- y

l 8 lg 7? 2 \/G dv

Cd! CD

Da in den Bewegungsgleichungen (57) nur der Ausdruck 0 für die kinetische Energie des Körpers enthalten ist, so dürfte es vorteilhaft sein, auch die Funktionen Kf und Kf durch die Derivierten von 0 auszudrücken. Dazu haben wir aus den nach (56) evidenten Gleichungen

de

d&

de i de

dn ⁷ y~E du

i de

yä Sv

4-

<1    <3

> >

to    H-¹

3 I Ol 3 | Ol

die Derivierten von 0 nach 6, t und n zu bestimmen und in (58) einzusetzen:

e;-if(««-<»!* y=)+fi + hiiifsfu-ftfr)

D" A'Aj + AA, 1 g lg GA ge 2 Ye du ) zq.⁷

wobei

iü = AA" — A'² = f

i de

yE sü

/D 4 4, 4

+ {lE B

D A/,A₁+A'A₂

i z> / a" de

B E \yjg du

1 glg.E\go 2 yG Sv ) dQ.

a( ge\

ya Sv)

ED"

EG

AA A A

L , (» A - ^ A

, ^ u

+(l Aff)-²»

bd

G G,

cos² tt

von Null yerscbieden vorausgesetzt wird.

Die Bewegungsgleichungen (57) wwd die nicht holonomen Bedingungsgleichungen (12):

(59)

YJEl üx = — j/E w sin ^ -f- VGr v cos ft y G. V-, = I/jE m COS ft -f ]/ 6r t? sin ft

bilden ein System von fünf Differentialgleichungen, welche die Koordinaten u, v, ft, u1} v₁ des starren Körpers als Funldionen der Zeit t bestimmen.

Enthält die Kräftefunktion U die Zeit t nicht explizite, so lassen die Gleichungen (57) das Integral der lebendigen Kraft,

0 = U + h,

wo h eine willkürliche Konstante bezeichnet, zu.

Eliminieren wir unter Benutzung dieses Integrals die Zeit t aus den Bewegungsgleichungen (57) und den Bedingungen (59), indem wir z. B. die Koordinate d zur unabhängigen Variablen wählen, so erhalten wir zur Bestimmung der u, v, u1} vx durch 11 vier Differentialgleichungen, die in bezug auf u und v von der zweiten und in bezug auf ux und v₁ von der ersten Ordnung sein werden. Sind diese Gleichungen integriert, so ergibt das Integral der lebendigen Kraft die Zeit t als Funktion von ff durch Quadraturen.

§ 17.

Die Bewegungsgleidmngen in speziellen Fällen. Partikuläre Lösungen der Bewegungsgleichungen.

Ist die Fläche Sx, auf welcher der Körper ohne zu gleiten rollt, eine Kugel (Formel 35), und hängt die Kräftefunktion U nur von den Variablen u und v ab, so werden die Koordinaten ff, %, v1} wenn wir in die Bewegungsgleichungen (57) statt ff die Größe n (9) einführen, zyklisch und die Gleichungen (57) fallen mit den Formeln (40) zusammen.

Ein anderer einfacher Fall bietet sich, wenn der starre Körper ein Rotationskörper,

z = Funct. (u),

A — B, x — u cos v, y — u sin v und die Fläche S₁ eine Rotationsfläche,

x₁ = ul cos vly y₁ = ux sin vx, zx = Funct. (m₁),

ist. Wenn außerdem die Kräftefunktion U nur die Variablen u, ff, ux enthält, so sind die Koordinaten v und vx zyklisch. Diese Bedingung für die Kräftefunktion wird z. B. dann erfüllt sein, wenn die wirkenden Kräfte eine Resultante haben, die am Schwerpunkte 0 angreift, parallel der ^-Achse ist und eine konstante Größe hat, oder wenn diese Resultante vom Schwerpunkte 0 zu einem Punkte Ot der Symmetrieachse der Fläche Sx gerichtet ist und nur von der Entfernung OOi abhängt.

In diesem Falle ist es vorteilhaft, in die Bewegungsgleichungen (57) statt v die Geschwindigkeit iix mit Hilfe der ersten der Bedingungsgleichungen (59) einzuführen. Eliminieren wir noch aus den so entstandenen Gleichungen t, indem wir von dem Integrale der lebendigen Kraft

0(w, t)’, uu ü, '9', üx) = U(u, ff, ux) -f- const.

Gebrauch machen, so ergeben sich zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die zwei der Koordinaten u, ff, ux als Funktion der dritten bestimmen. Sind diese Gleichungen integriert, so werden die zyklischen Koordinaten v und vx und die Zeit t durch Quadraturen erhalten.

Wir wollen auf die Entwicklung dieser Gleichungen, die sehr kompliziert ist, nicht eingehen und nur zwei partikuläre Lösungen der Bewegungsgleichungen (57) für den in Rede stehenden speziellen Fall angeben.

ist.

In den oben angeführten Beispielen für die wirkenden Kräfte enthält U, wie leicht zu sehen ist, den Winkel 0 nur in der Form sin 0, sodaß U der Bedingung (60) wirklich genügt.

Die übrigen Formeln (57) und (59) ergeben zwei Relationen:

— AaKl'YGi,

1 c{Q + U) 1    0(0 + 17)

du

dux

yjs

Setzen wir

ü = 0, u = m₀,    0 - 0,

0- =

£ <N

V1 = «10* + V10,

ux = 0, ux— w₁₀, v± — v

wo u₀, 7₀, • • • Konstante bezeichnen, so werden die erste der Bedingungsgleichungen (59) uud die beiden letzten der Bewegungsgleichungen (57) erfüllt, wenn

io?

(60)

(—t)

VE,

denen die Konstanten u₀, v₀, • • • genügen müssen, damit die definierte Bewegung des Körpers möglich ist.

Den aufgestellten Formeln zufolge beschreibt der Berührungspunkt M auf der Oberfläche S des Körpers und auf der Fläche Sx mit konstanter Geschwindigkeit Parallelkreise. Die Bewegung ist stationär.

Die andere partikuläre Lösung wird durch die Formeln

7 = 0, v

v₀,    &

0, vt

V10>

wo v₀ und v₁₀ willkürliche Konstanten bedeuten, gegeben.

Die beiden letzten der Bewegungsgleichungen (57) und die zweite der Bedingungsgleichungen (59) werden, wenn U der Bedingung (60) genügt, erfüllt. Die beiden übrigen Formeln (57) und (59) dienen zur Bestimmung der Koordinaten u und ux durch die Zeit t. Ersetzen wir hierbei die Formel (57) durch das Integral der lebendigen Kraft, so erhalten wir die beiden Gleichungen

VEX ux = YEü, (M q²-\-Ä)x² = 277+ const., aus denen sich die Variablen u und ux durch Quadraturen bestimmen lassen.

Der Berührungspunkt M beschreibt auf den Flächen S und Sx Meridiane.

Um eine partikuläre Lösung der Gleichungen (57) zu erhalten, wenn keine der Koordinaten des Körpers zyklisch ist, betrachten wir die rollende Bewegung eines starren Körpers, der von der Oberfläche eines Ellipsoids S begrenzt ist:

Rollbewegung eines starren Körpers. pa² — u |/a² — v

(a²<Lu<^b²<iv<Lc²)

y«² — &² y<i*-c’’

auf einem ruhenden Ellipsoid S± mit denselben Halbachsen:

rr — n V“* — ur Va* ~ ¹ i

¹ yaa — b*yä* — c*’

•••

unter der Wirkung einer Kraft, die vom Schwerpunkte 0 des Körpers zum Zentrum Ox des ruhenden EUipsoids gerichtet ist und nur von der Entfernung ÖÖ₁ der Punkte 0 und Ox voneinander abhängt. Die Kräftefunktion U ist dann eine Funktion von 0 01} wobei

ist.

0 Ox² = 2 (a² + b² + c²) — u — v —    — v₁

a*&*c²

yuv y% vt

1    / sin <9-

2 y~E [yw,

cos &

cos & . sin &

VGi

2 yo \ynt ycy

Wenn wir voraussetzen, daß die Massenverteilung im Körper eine solche ist, daß die Trägheitsmomente A und C um die größte und kleinste der Achsen des Ellipsoids S einander gleich sind, sodaß nach (50)

20 = (Mq² + A) (<j²+t²+n²) - M

(e

dg

⁶    , dg _

du yE^⁹ dv ya

T .

— + an

wird, so ist es klar, daß eine solche Bewegung des Körpers auf dem Ellipsoid möglich sein muß, bei welcher der Berührungspunkt M auf den Flächen S und S₁ zentrale Kreisschnitte beschreibt:

ut = u, v₁ — v,

Da bei dieser Bewegung des Körpers die Projektionen der momentanen Winkelgeschwindigkeit tu auf die mittlere Achse des Ellipsoids S und auf die Richtung OM gleich Null sind, so dürfen wir augenscheinlich beim

u + v = a² -f- e².

Einsetzen in (57) von der einfacheren Form für 0:

2 0 = (Mq² 4- Ä) (<?² + t² + n²),

ausgehen. Es macht also keine Schwierigkeiten, sich zu überzeugen, daß die Gleichungen (57) und (59) wirklich die angeführte partikuläre Lösung zulassen, wobei der Winkel ft und die Zeit t durch die Formeln

&²(a²4-c²) — 2mb

² yuvyu — b^yij- — v’

t = — /    . SU. ¹)ß^_    -j-const.,

“oj y&²—v]/u — fr²)/«²—uyu — c²

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

Höfler, Dr. A., Professor an der Universität Wien, Didaktik des mathematischen Unterrichts. Mit 2 Tafeln u. 147 Fig. [XVIII u.509 S.] gr.8. 1910. Geb. 12.—

Hohenner, Dr.-Ing. H., Professor an der Technischen Hochschule zu Darmstadt, Geodäsie. Eine Anleitung zu geodätischen Messungen für Anfänger mit Grundzügen der Hydrometrie und der direkten astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung. Mit 216 Figuren. [XII u. 347 S.] gr. 8. AÜ10. In Leinw. geb. JL. 12.—

Killin g, Geheimer Regierungsrat Dr. W., Professor an der Universität Münster i. W., und Dr. H. Hovestadt, Professor am Realgymnasium zu Münster i. W., Handbuch des mathematischen Unterrichts. 2 Bände, gr. 8. Geb. I. Band. [VIII u. 448 S.]    1909. JL 10.—

Klein, Dr. F., Geh. Regierungsrat, Professor an der Universität Göttingen, und A. Sommerfeld, über die Theorie des Kreisels. 4 Hefte, gr. 8. Mit zahlr.Figuren,

II.

I. Heft. Die kinematischen und kinetischen Grundlagen der Theorie. [IV u. 196 S.] 1897. Geh. Jt 5.60, geb. Jt 6.60.

hi.

— Durchführung der Theorie im Falle des schweren symmetrischen Kreisels. [IV u. 315 S.] 1898. Geh. Jt 10.—, geb. Jt 11.—

— Die störenden Einflüsse. Astronomische und geophysikalische Anwendungen. [IV u. 217 S.]    1903. Geh. Jt 9.—, geb. Jl 10.—

IV. — Die technischen Anwendungen der Kreiseltheorie. Für den Druck bearbeitet u. ergänzt von Fritz Noether. [IV u. S. 761—966.]    1910. Geh. Jt 8.—, in

Leinw. geb. Jl 9.—

Korn, Dr. A., ehern. Professor an der Universität München, über freie und erzwungene Schwingungen. Eine Einführung in die Theorie der linearen Integralgleichungen. [V u. 136 S.] gr. 8.    1910. Geh. JL 5.60.

Kowalewski, Dr. G., Professor an der Universität Bonn, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. Mit 31 Figuren. [VI u. 452 S.] gr. 8. 1909. Geb. JL 12.—

Landau, Dr. E., Professor an der Universität Göttingen, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. 2 Bände, gr. 8.    1909. I. Band.

[XVIII u. 564 S.] Geh. JL 20.—, geb. JL 21.—. II. Band. [IX u. S. 565—961.] Geh. JL 14.—, geb. JL 15.—

Lazzeri, G., und A. Bassani, Professoren an der Marineakademie zu Livorno, Elemente der Geometrie (unter Verschmelzung von ebener und räumlicher Geometrie). Mit Genehmigung der Verfasser aus dem Italien, übersetzt von P. Treutlein, Direktor der Goetheschule zu Karlsruhe. Mit 336 Figuren. [XVI u. 491 S.] gr. 8.    1911. In Leinw. geb. JL. 14.—

II.

Loria, G., Professor an der Universität Genua, spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem ital.Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe von Prof. Fr. Schütte, Oberlehrer am Stiftischen Gymnasium zu Düren. 2. Auflage. In 2 Teilen, gr. 8. I. Teil: Die algebraischen Kurven. Mit 142 Figuren auf 14 lithographischen Tafeln. [XVIII u. 488 S.] 1910. Geh. Jl 16.50, geb. Jt 18.—

Die transzendenten und die abgeleiteten Kurven. Mit 80 Figuren auf 6 lithographierten Tafeln. [VIII u. 384 S.]    1911. Geh. Jt 12.50, geb. Jl. 14.—

Mikami, Y., in Tokio, mathematical Papers from the far East. With 15 Figures. [VI u. 229 S.] gr. 8.    1910. Geh. JL. 10.—, in Leinw. geb. JL 11.—

Minkowski, Dr. H., weil. Professor an der Universität Göttingen, gesammelte Abhandlungen. Unter Mitwirkung von A. Speiser und H. Weyl herausgegeben von D. Hilbert. 2 Bände.

I. Band: Mit 1 Bildnis Hermann Minkowskis und 6 Figuren. [XXXI u. 371 S.] gr. 8. 1911. Geh. Jt 14.—

II.

Mit 1 Bildnis Hermann Minkowskis und 34 Figuren und 1 Doppeltafel. [IV u. 464 S.] gr. 8. 1911. Geh. Jtl6.—

Perry, Dr. J., F. R. S., Professor der Mechanik und Mathematik am Royal College of Science zu London, höhere Analysis für Ingenieure. Autorisierte deutsche Bearbeitung von R. Fricke und F. Süchting. 2. Auflage. Mit 106 Figuren. [XI u. 464 S.] gr. 8. 1910. Geb. JL. 13.—

Poineare, H., Mitglied der französischen Akademie, Professor an der Faculte des Sciences der Universität Paris, sechs Vorträge über ausgewähite Gegenstände aus der reinen Mathematik und der mathematischen Physik. Gehalten zu Göttingen vom 22. bis 28. April 1909. Mit 6 Figuren. [IV u. 60 S. j gr. 8.    1910. Geh. JL. 1.80, geb. JL. 2.40.

Verlag von B. G. Teubner

WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

Pringsheim, Dr. E., Professor an der Univi Physik der Sonne. Mit 235 Abbil gr. 8.    1910. Geh. Jt. 16.—, geb. Jt. 1

BIBLIOTEKA GLÖWNA

Repertorium der höheren Mathematik. Auflage der deutschen Ausgabe. Unt herausgegeben von P. Epstein und I gr. 8. Geb.

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Unter 1

A. Guldberg, H. Hahn, E. Ja linke ding hrsg. von P. Epstein. I. Hall Frühjahr 1911.]

I. Band: Algebra und Analysis.

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

II. — Geometrie. Unter Mitwirkung von L. Berzolari, B. B onola, E. Ciani, M. Dehn, F. Dingeldey, F. Enriques, G. Giraud, G. Guareschi, L. Heffter, W. Jacobsthal, H. Liebmann, J. Mollerup, J. Neuberg, U. Perazzo, 0. Staude, E Steinitz, H. Wieleitner und K. Zindler herausgegeben von H. E. Timerding. I. Hälfte [XVI und 534 S.]    1910. [Die II. Hälfte folgt im Frühjahr 1911.]

Schur, F., Professor an der Universität Straßburg i. E., Grundlagen der Geometrie. Mit 63 Figuren. [X u. 192 S.] gr. 8.    1909. Geh. Jt. 6.—,

geb. Jt. 7.—

Serret-Scheffers, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Nach Axel Harnacks Übersetzung neu bearbeitet von G. Scheffers. In 3 Bänden, gr. 8. Geb.

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I. Band. Differentialrechnung. 4. u. 5. Auflage. Mit 70 Figuren. [XVI u. 626 S.]    1908.    .

Jt. 13

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Integralrechnung. 3. Auflage. Mit 105 Figuren. [XIV u. 586 S.]    1907. Jt 13.—

Differentialgleichungen und Variationsrechnung. 3.Aufl. Mit 63 Figuren. [XII u. 65s S.]    1909. Jt 13.—

Staude, O,, Professor an der Universität Rostock, analytische Geometrie des Punktepaares, des Kegelschnittes und der Fläche zweiter Ordnung. In 2 Teilen, gr. 8.    1910. Geh. u. geb.

I. Teil. Mit 181 Figuren. [X u. 548 S.] Geh. Jt 20

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geb. Jt 22.—

Mit 47 Figuren. [IV u. S. 549—1000.] Geh. Jt. 16.—, geb. Jt, 18.—

Sturm, Geh. Reg.-Rat Dr. R., Professor an der Universität Breslau, Maxima und Minima in der elementaren Geometrie. Mit 32 Figuren. [VI u. 138 S.] gr. 8.    1910. Geh. Jt 4.—, in Leinw. geb. Jt. 4.40.

Tannery, J., Professor an der Universität Paris, Subdirektor der Ecole normale supe-rieure zu Paris, Elemente der Mathematik. Mit einem geschichtlichen Anhang von P. Tannery. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. P. Klaeß, Gymnasiallehrer in Echternach (Luxemburg). Mit einem Einführungswort von F. Klein und 184 Figuren. [XII u. 339 S.] gr. 8. 1909. Geh. Jt 7. —, geb. Jt 8. —

Timerding, Dr. H. E., Professor an der Technischen Hochschule in Braunschweig, Geometrie der Kräfte. Mit 27 Figuren. [XII u. 381 S.] gr. 8.    1908.

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Voigt, Geheimer Regierungsrat Dr. W., Professor an der Universität Göttingen, Lehrbuch der Kristall-Physik (mit Ausschluß der Kristall-Optik). Mit 1 Tafel u. 213 Figuren. [XXIV u. 964 S.] gr. 8.    1910. Geh. Jt. 30. —, in

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Weber, Dr. H., und Dr. J. Wellstein, Professoren an der Universität Straßburg i. E., Encyklopädie der Elementar-Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In 3 Bänden, gr. 8. In Leinw. geb.

I. Band: Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von II.Weber. 3. Auflage. Mit 40 Figuren. [XVIII u. 532 S.]    1909. Jt iö    -

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II.

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Angewand und B. H. W(

Mit einem Bi von B u d o 11 1910. Geb. J

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von H.Weber, J. Wellstein I. Mathematische Physik. ■ und J. Wellst ein. Bearbeitet 254 Figuren. [XII u. 536 S.]

¹

= a² + c²— u,

wo co₀ die konstante Winkelgeschwindigkeit des Körpers bezeichnet, gegeben werden.

März 1910.