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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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BEITRAG ZUR THEORIE

DER

GÜNSTIGSTEN TRÄGERHÖHE DES PARALLELTRÄGERS

VON

INGENIEUR F. GEBAUER

INGENIEUR-ADJUNKT DER K. K. PRIV. ÖSTERR. NORDWESTBAHN IN WIEN.

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WIEN 1906.

KOMMISSIONSVERLAG VON FRANZ DEUTICKE.

DRUCK VON R. SPIES & Co.

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SONDER-ABDRUCK AUS DER ZEITSCHRIFT DES »ÖSTERR. INGENIEUR- UND ARCHITEKTEN-VEREINES« 1906.

BIBLIOIEKA PßLITEOüliiOZNA

KRAKOW

mm

Akc. Kr.

Einleitung.

In Anbetracht des Umstandes, daß an die Ingenieurbauwerke vom Standpunkte des Verkehres und der Sicherheit immer größere Anforderungen gestellt werden, und in Anbetracht der hohen Kosten, welche diese Bauten überhaupt erfordern, wird die Lösung der Frage immer dringender, mit einem Minimalaufwande an Baukosten irgendeiner vorliegenden Aufgabe gerecht zu werden.

Auch im Brückenbau ist diese Frage von großem Interesse und hat der Verfasser im folgenden versucht, diese Frage für eine der einfachsten und meist angewendeten Trägerformen auf theoretischem Wege zu lösen.

Eine allgemeine Lösung dieser Aufgabe mit genauer Berücksichtigung aller Umstände wäre jedoch sehr schwierig; um also doch eine Übersicht zu bekommen, ist es nötig, zuerst möglichst einfache Bedingungen zu stellen und aus den so erhaltenen Resultaten Schlüsse auf allgemeinere Fälle zu ziehen.

Die in unserer Literatur hierüber bereits enthaltenen Betrachtungen sind spärlich genug, und es darf also auch nicht verwundern, daß sie in der Praxis entweder ganz unbeachtet bleiben oder gar falsch angewendet werden. Die für den Parallelträger fast stets in Anwendung kommende

Regel lautet h =    gleichgültig, ob die Fahrbahn oben

oder unten und die Spannweite groß oder klein ist. Nebst dieser findet man wohl auch noch die von Winkler abgeleitete Regel in Anwendung: Die günstigste Neigung der Diagonalen beträgt 45°. Jedoch auch die allgemeine Anwendung dieses Satzes ist unrichtig. Die diesbezüglichen von Winkler aufgestellten Sätze lauten (Winkler, „Vorträge über Brückenbau“, II. Heft, 1. Lieferung 1874. Seite 81 und 82):

1. „Weder die Trägerhöhe h noch die Teilungszahl n ist auf das Volumen des Gitterwerkes von Einfluß.“

(Hiebei versteht Winkler unter „Gitterwerk“ die Ausfachungsstäbe und unter der Teilungszahl n die Anzahl der zu einem System zusammengelegten einfachen Stabsysteme.)

2.    „Das Gitterwerk beansprucht also möglichst wenig Material, wenn beide Lagen der Gitterstäbe unter 45° geneigt sind.“ (Netzwerk.)

3.    „Für das Fachwerk (der eine Strebenwinkel — 0) ist die günstigste Neigung der Streben (der zweiten Stablage) gegen die Vertikale a = 54° 44' 8".“

Zunächst muß auf den auffallenden Widerspruch des Satzes 1. mit den beiden folgenden Sätzen hingewiesen werden, welche sich gegenseitig ausschließen. Der Satz 1. in obiger Form ausgesprochen, ist falsch.

Em C

>doy1 *

SH

Zf

Abb. 1.

leitet, ist: V

und die zugehörige Zeich-

Die Formel, aus welcher Winkler diesen Satz ab-_ Q (sec² a -}- sec² ß)

K (tg a + tg ß)

nung Abb. 1.

Nun erscheint in dieser Aufschreibung für das Volumen der Ausfachung V allerdings nicht die Trägerhöhe h als solche, sondern nur die Querkraft Q, eine Konstante K und die beiden Winkel a und ß; jedoch darf nicht übersehen werden, daß sowohl die Sekante als auch die Tangente dieser beiden Winkel Funktionen der Trägerhöhe h sind, da doch angenommen werden muß, daß die Feldweite B D des Trägers für diese Untersuchung eine gegebene unveränderliche Größe ist. ln Wirklichkeit ist das Volumen des

halten wir V =

. Aber auch die Teilungszahl n ist auf das Volumen des Gitter Werkes von Einfluß,

Gitterwerkes von der Trägerhöhe sehr bedeutend abhängig, wovon man sich durch eine Umformung obiger Formel leicht überzeugt. Setzen wir B D — a und C E — m, so er-Q (h² -f- a² -f- m²)

da aus konstruktiven Gründen der Gesamtquerschnitt eines Stabes im Verhältnis zum nutzbaren Querschnitte desselben umso größer ist, je kleiner die Stabkraft wird.

Ferner sind sowohl die Teilungszahl als auch die Belastungen und die Konstruktionskoeffizienten für die Bestimmung der günstigsten Strebenneigung von Einfluß. Vor allem ist aber darauf hinzuweisen, daß man ein Fachwerk nie so dimensionieren wird, daß nur ein Teil desselben (z. B. nur die Ausfachung) ein Minimum an Material erfordert.

Die vorliegende Arbeit soll nun ein neuer Beitrag sein zur theoretischen Bestimmung des Eigengewichtes und der günstigsten Trägerhöhe des Parallelträgers. Vor allem sei darauf hingewiesen, daß ^ im allgemeinen ein zu kleines

Pfeilverhältnis für den Parallelträger ist.

Zunächst sei noch ein kurzer Überblick über die in unserer Literatur bereits enthaltenen Angaben über die Berechnung der günstigsten Trägerhöhe hier angeführt:

Die erste Angabe in der deutschen Literatur findet sich in

Winkler, „Vorträge über Brückenbau“, II. Heft, 2. Lieferung 1875, Seite 183, und lautet:

„Die zweckmäßigste Höhe für Parallelträger ergibt sich mit h = Ü500 lu.

Dieses Resultat wird jedoch von Winkler selbst als unbrauchbar verworfen. Im Jahre 1878 findet sich in der „Zeitschrift für Bauwesen“, Seite 203 und f., bereits eine ausführliche Untersuchung von

En gesser, in welcher auch auf die Dimensionierung der Druckstäbe besonders Rücksicht genommen wird. Unter Voraussetzung ähnlicher Querschnitte und mit Benützung der Schwarz-Rankin sehen Formel wird für die Querschnittsfläche gedrückter Stäbe folgende Näherungsformel abgeleitet:

S

f=--(- cl², wobei l die Länge des Stabes, S die

<7

Stabkraft, <7 die zulässige Inanspruchnahme des Materiales auf Druck und c eine Konstante bedeutet, welche von der Befestigung des Stabes (freie Knicklänge), dem Querschnitte und dem Materiale desselben abhängig ist. Der Materialaufwand der einzelnen Stabgattungen wird mit Hilfe einer Formel für die „mittlere Stabkraft“ (durchschnittliche Stabkraft) bestimmt; letztere wird jedoch ohne Rücksicht auf die Anzahl der Felder berechnet, ein Vorgang, der später auch von Winkler und Häseler eingehalten wird. Obzwar man sagt, daß die hiedurch begangenen Fehler sich teilweise auf heben und durch den Konstruktionskoeffizienten ausgeglichen werden, ist dies doch nur ein Näherungsvorgang, welcher sich vermeiden läßt. Ein Nachteil der Ableitungen Engessers ist noch die Annahme eines für alle Stabgattungen gleichen Konstruktionskoeffizienten, welcher als Funktion des Gesamtgewichtes der Brücke angenommen wird. Ferner wird auf die Querverstrebung der Brücke keine Rücksicht genommen, wohl aber der Windverband berücksichtigt. Als Resultat ergibt sich die günstigste Trägerhöhe

Z, und zwar der

bis

6

größere Wert für kleine, der kleinere Wert für große Spannweiten.

für l = 10 bis 100 m mit h = —

Im Jahre 1879 ist auch in

Winkler, „Vorträge über Brückenbau“, IV. Heft,

4. Lieferung 1879, Seite 389 bis 399, schon eine genauere Bestimmung des Eigengewichtes und der günstigsten Trägerhöhe angegeben nebst einer Tabelle mit den Werten von h

— für Spannweiten von 10 bis 100 m. Danach ergibt sich

V

, also für kleine Spannweiten eine ziemlich große Trägerhöhe. Winkler gibt als Schlußformel für das

A + Bh +

Eigengewicht an g =

leider ohne für die

A± — Blh -y

einzelnen Koeffizienten besondere Werte von allgemeiner Gültigkeit zu nennen. Gesagt wird nur, daß stets A± 1, B^~ 0 und G\ __ 0 sind. Winkler sagt jedoch selbst: „Auf die erhaltenen Zahlen legen wir keinen besonderen Wert, weil die Annahmen, auf denen sie beruhen, noch zu unsicher sind. Man ersieht aber doch aus ihnen die folgenden Gesetze:

nimmt mit zu

1. Der zweckmäßigste Wert von

nehmender Spannweite etwas ab; nur wenn letztere eine

gewisse Grenze überschreitet, nimmt

wieder ein wenig

h

zu.

Indes läßt sich bei Spannweiten über etwa 40 Meter -j

konstant annehmen.

2.    Bei zweigeleisigen Brücken ist die zweckmäßigste Höhe um 14 bis 24°/₀ größer als bei eingeleisigen. Überhaupt wächst die Trägerhöhe, wenn die von einem Träger aufzunehmende Last wächst.

3.    Die Höhen in der Mitte bei verschiedenen Systemen werden umso größer, je größer das Volumen der Gurte bei gleicher Höhe in der Mitte ist, oder je größer die Koeffizienten A₀ sind.“

Am Schlüsse dieser Betrachtungen finden wir auch den Hinweis auf die Untersuchungen des englischen Ingenieurs

Baker („Long and short span railway bridges“, London 1873) mit einer kurzen Angabe des Rechnungsvorganges und einigen Resultaten, welche der Vollständigkeit halber hier wiederholt seien.

Winkler sagt hierüber:

„Baker macht die allerdings sehr gewagte Annahme, daß das Volumen des Gitterwerkes, einschließlich gewisser Teile der Querkonstruktion, der Höhe proportional ist. Da er außerdem das Volumen der Gurte der Höhe umgekehrt proportional annimmt, so muß das Minimum der Materialmenge eintreten, wenn das Volumen des Gitterwerkes gleich dem der Gurte gemacht wird. Baker erhält speziell für l = 90 und 200 m Spannweite die folgenden Werte für h

-j-: Blechträger 0T1, 0T2; einfache Parallel - Gitterträger: 0T5, 0T3; Parabelträger: 0T8, 0⁻20.“

Die letzten Untersuchungen erschienen im Jahre 1900 in Hä sei er, „Der Brückenbau“, 1. Teil, 4. Lieferung, 1. Hälfte, § 99. Es wird hier die günstigste Trägerhöhe mit Bezug auf das Minimalvolumen der Tragwände allein, also ohne Rücksicht auf das Volumen der Horizontal- und Querversteifungen bestimmt; das Volumen der Tragwände wird aus Integralen berechnet, und die Felderzahl wird erst im Endresultate in die Rechnung einbezogen. Für die einzelnen Stabgattungen werden, wie dies auch bei Winkler schon der Fall ist, verschiedene Konstruktionskoeffizienten benützt. Im Resultate zeigt sich, daß bei zunehmender Felderzahl die günstigste Trägerhöhe rasch abnimmt, d. h. daß die Trägerhöhe, bezw. das Eigengewicht wesentlich von der Felderzahl abhängig ist.

Die folgende Arbeit hat nun den Zweck, bei der Bestimmung der günstigsten Trägerhöhe des Parallelträgers die Felderzahl gleich von Anfang an zu berücksichtigen und, soweit dies tunlich ist, auch dasGewicht derHorizontal-und Querversteifungen mit in Rechnung zu ziehen. Es werden die Träger mit „Fahrbahn oben“ und „Fahrbahn unten“ getrennt behandelt. Die Untersuchungen werden hier bloß für die gewöhnlich angewendeten Arten des Parallelträgers auf zwei Stützen angegeben. Andere Fälle können analog behandelt werden.

Der Konstruktionskoeffizient.

Eine wichtige Rolle bei allen diesen Untersuchungen spielt der Konstruktionskoeffizient, d. h. jene Zahl, mit der man das theoretisch nötige Gewicht eines Konstruktionsteiles multiplizieren muß, um das tatsächliche Gewicht desselben zu bekommen.

Engesser („Zeitschrift für Bauwesen“ 1878, S. 208) setzt in seinen Ableitungen für diesen Koeffizienten, welcher dort (wie bereits früher erwähnt) für die Brücke als Ganzes angewendet wird:

150

wenn g₀ das theoretische Gewicht

k = 1-353 4

9o '

der Brücke in kgjm ist.

Seefehlner („Deutsche Bauzeitung“ 1878, S. 438) entwickelt aus einer Reihe von praktisch ausgeführten Beispielen den Konstruktionskoeffizienten als Funktion der Totalbelastung q und der Spannweite Z, setzt also k — k₁ — k₂l — k3 für Z > 20 m wird kH = 0, und man hätte also k — k^ — k₂ l. Jedoch auch die Konstanten ki und k₂ haben bei Seefehlner keine allgemeine Gültigkeit; sie ändern ihren Wert mit der Spannweite und können, da sie aus besonderen Beispielen abgeleitet sind, nur wieder für ähnliche Fälle angewendet werden. Eine allgemeine Darstellung des Konstruktionskoeffizienten läßt sich nur durch eine Funktion des theoretisch notwendigen Gewichtes geben, also in einer Form, wie sie Engesser und später auch Winkler („Vorträge über Brückenbau“, IV. Heft 1879, Seite 375

k

bis 377) angewendet haben: k=kx-f--—.

9o

Wie später vom Verfasser gezeigt wird, ist für die Bestimmung der günstigsten Höhe eines Fachwerkes nicht so sehr der Konstruktionskoeffizient als solcher, als vielmehr das gegenseitige Verhältnis der Konstruktionskoeffizienten der einzelnen Stabarten maßgebend. Ist aber für eine bestimmte Trägerform die allgemeine Querschnittsform der verschiedenen Stabarten (Gurtungen, Diagonalstäbe, Vertikalstäbe, Windstreben) gegeben, so ist dadurch auch das gegenseitige Verhältnis der

Konstruktionskoeffizienten dieser Stabarten zueinander auf enge Grenzen beschränkt. Es ist also k = K tj, wobei r\ eine Verhältniszahl und K ein Konstruktionsfaktor ist, welcher von der Größe der Stabkräfte und der Ausnützung der Stabquerschnitte abhängt.

Ist für die einzelnen Stabarten eines Fachwerkes das durchschnittliche gegenseitige Verhältnis der Konstruktionskoeffizienten bekannt, so kann man den Konstruktionsfaktor K auf folgende Weise bestimmen: Bedeutet allgemein P die Stabkraft, X die Stablänge, er, bezw. cq die zulässige Inanspruchnahme, s das spezifische Gewicht des Stab materiales und l die Spannweite der Brücke, so erhalten wir für das wirkliche Eigengewicht des Fachwerkes — Fahrbahnkonstruktion ausgeschlossen — per m Länge

g

den Ausdruck g = K. S P X tj.

Hiebei ist für den Windverband infolge der größeren zulässigen Inanspruchnahme oq eine Reduktion der Stabkräfte P auf die normale Inanspruchnahme o erforderlich,

indem an Stelle von P zu setzen ist P‘ = P. —.

ai

Das theoretische Eigengewicht des Fach Werkes wäre -4-SPX.

9 o =

Nach Engesser ist nun der Konstruktionskoeffizient

k

für das gesamte Fachwerk k == kx -j-Da aber g — k g₀, erhalten wir

und

SPXyj

Für die Konstanten /q und k₂ können wir die von Engesser angegebenen Werte benützen: Aq — L353, k₂ = 150. Über die Verhältniszahlen 7] kann man sich an ähnlichen bereits ausgeführten Konstruktionen Aufklärung verschaffen. Bezeichnet man mit &u, k₀, &d, fcv, &w den Konstruktionskoeffizienten für Untergurt, Obergurt, Diagonalen, Vertikalstäbe und Windstreben, so wurden an ausgeführten Eisenbahn- und Straßenbrücken folgende Verhältnisse gefunden:

K. -£j S PX T) = kt JL- S P X 4- k2 (*iS +

Bei einfachem oder mehrfachem Ständerfach werk mit steif ausgebildeten Zugdiagonalen

o.

«“

lO o

r-i Ol rH H

o o

CU iO

CO lO

Bei Ständerfachwerk mit gekreuzten Diagonalen:

K :k₀: k&: kw : kw = 1: 1-10 : 1T5 : 1‘50 : 3 bis = 1:1-15 :1-20 : 3 00 : 5.

Um einen beiläufigen Begriff von der Größe K zu geben, seien liier einige Werte angeführt, welche aus einer Tabelle Winklers („Vorträge über Brückenbau“, II. Heft, 2. Auflage 1875, S. 236) für den Konstruktionskoeffizienten der Gurte gerechnet wurden. In jener Tabelle ist der durchschnittliche Konstruktionskoeffizient für beide Gurte zusammen angegeben, das ist also der Wert

Nach obigem ist durchschnittlich kü = K =

1-12

folglich

K ==

1-06 ⁹'

Hieraus ergibt sich folgende Tabelle:

10    20    30    40    50    75    100    120,

1-29    1-27.

Spannweite l in Metern Konstruktionsfaktor K l⁻93 1'65 l⁻49 T41 1-37 1-31

Selbstverständlich sind die in dieser Tabelle angegebenen K nur Durchschnittszahlen. In Wirklichkeit ist auch durch die Gleichung von Engesser der Konstruktionskoeffizient eines Fach Werkes als Ganzes nicht allgemein bestimmt. In je mehr Teile man ein Fachwerk zerlegt, desto größer wird der Konstruktionskoeffizient für jeden einzelnen Teil, infolgedessen auch für das ganze Fachwerk.

Winkler hat diesen Gedanken in folgender Weise richtig zum Ausdrucke gebracht (Vergl.: Wink 1 er, „Vorträge über Brückenbau“, IV. Heft 1879, S. 377): Bezeichnet gx und g₂ das theoretische Gewicht der Gurte, bezw. des Gitterwerkes für diejenige Breite der Brücke, für welche das Gewicht bestimmt werden soll, m die Anzahl der auf diese Breite entfallenden Träger und n die Anzahl der zu einem Fachwerke vereinigten Systeme, so ist der Konstruktionskoeffizient für die Gurte

k‘ = kx‘ -f

k% m

9x

und für die Ausfachungsstäbe

= V‘ + -

k‘

₂“ m n

Für die Konstanten k, und k₂ gibt Winkler verschiedene Werte an, je nach der Art des Trägers und der Ausfachung desselben.

Gehen wir nun über zur Berechnung der Oruudformelu

für die theoretisch günstigste Trägerhöhe.

Bezeichnet 2 g₀ das gesamte Eigengewicht des Fachwerkes (Tragwände, Wind- und Querverband, also Fahrbahnkonstruktion ausgenommen), h die Trägerhöhe und a die Feldweite, so läßt sich, wie im folgenden gezeigt wird, das Eigengewicht immer durch die Formel ausdrücken:

²ffo =

AT + Bh + C

Ej

— Fh

wobei die Koeffizienten A bis F abhängig sind von der Konstruktionsart des Trägers, der Felderzahl, dem Gewichte der Fahrbahnkonstruktion und der Verkehrslast und von der Lage der Fahrbahn.

Um jene Trägerhöhe zu finden, für welche das Gesamtgewicht des Fahrwerkes den kleinsten Wert ergibt (günstigste Trägerhöhe), hat man die erste Ableitung des obigen Ausdruckes nach h gleich Null zu setzen, das ist

— 0 oder Z‘ A = ZN'\

3(2#q) _Z'N—ZN‘

3 li

hiebei ist

a²

Tfi +B'

Z= A j- + B h + C; Z‘ — — A

Ci2    r/2

— Fh: N‘ = E-F — F:

N = l)

et

die Einsetzung dieser Werte in obigen Ausdruck gibt folgende quadratische Gleichung für h:

BE —AF BD+CFh

und die Auflösung derselben

h² — 2 a²

= a²

li²

AD + CE B D + C.F

?E_a2 l

BD-f CF)    ^

AD+CE ₉BE—AF BZ) -\- CF 'a BD + CF

2).

Berechnung der Koefflzienten A bis F. Bezeichnungen:

1 = Spannweite, a = Feldweite, 2 n — Felderzahl, h = Trägerhöhe,

2 <7₀ == Eigengewicht ausschließlich Fahrbahnkonstruktion, /= Gewicht der Fahrbahnkonstruktion, g = 2 go~\- f — gesamtes Eigengewicht, p₁ = Belastungsgleichwert für die Gurte, p₂ — Belastungsgleichwert für die Ausfachung,

| des Eisens: — = a,

I    ff

<7₁₎₂ = 2 g₀ -[- / -f- Pj,₂ = Gesamtlast <7 = zulässige Beanspruchung s — spezifisches Gewicht,

—    — Konstruktionskoeffizient.

I. Einfaches Ständerfaohwerk.

d) Fahrbahn unten.

Für die Bestimmung der Stabkräfte kann näherungsweise angenommen werden, das Eigengewicht des Trägers (ausschließlich Fahrbahnkonstruktion) übertrage sich zu gleichen Teilen auf den Obergurt und Untergurt (Abb. 2). 1. Gewicht des Obergurtes.

Die Stabkraft des Obergurtes im mten Felde ist

om

Wie man sich aus den späteren Berechnungen überzeugen kann, ist der Wert von D so groß, daß man den

vernachlässigen kann.

Ausdruck

BE—AF

BD-f CF

Es ist sodann

jf

AD-+-CE BD+CF '’

. . 3).

Wird hierin C = 0, so ist

a(4

4).

h ~~hqtXm(l~Xm)==hqiw(2w—m)°²

mtesFeld

\m

t = 2 na

-*

.ft

x...

9<Af'P

ma

Abb. 2.

und wenn k₀ der Konstruktionskoeffizient ist, beträgt das Gewicht des Stabes bei der zulässigen Beanspruchung a und dem spezifischen Gewicht s des Materiales

Om &

Gq — k₀

'S =

- yjT m (² ^ — m)-

Für den halben Träger erhalten wir also

n    « h n3 n

£ <9₀ =    :m(2n — m)

l    2, h i

= 2n

S)»(2» - m) — S 2 w m — S m² = 2 w S m —    =

l    i

n {n -f- 1) (2 n -f- 1

daher

|(« + 1)(4»-1)

(„ ₊ 1) (4 » - 1) = a fc„ ~ <?, Jf,

« = j^(» + l)(4»-l).

2. Gewicht des Untergurtes.

Die Stabkraft des Untergurtes im mten Felde ist:

eTi ?i (m —• 1) (2 n — m -(- 1) a².

^ ll

S (jr q - GC

wobei

Um

Mm

3!

Das Gewicht des Stabes ist sodann ~ . 2i (m — 1) (2 n -

Gyx =

m -j- 1).

Für den halben Träger ergibt sich das Gewicht des Untergurtes mit

n    « L- r,& n

1) (2n-m+l)

S (m — 1) (2 n — m -|- 1) = 2 w S (m — 1) — S (m — l)² = l    l    l

(w — 1) M (2 « — 1)

n-1

n— 1

(n—l)n

wobei

2 Ga = aka. j*- tji 1t,

JV = ^ w (w —• 1) (4 w -f 1).

3. Gewicht der Diagonalen.

Die Stabkraft der Diagonale im mten Felde ist

{Qr + max Qp).

J)m = Dg -j- max Dp =

wobei

Qs=

^g{l — 2 xm -f d)— ~ga{2n — 2m-J- 1),

4«² — 4 n m -f- m2 2»— 1

n i    i

max 0p = p₂

2~P2    ~

Das Gewicht einer Diagonale beträgt somit

d²

Gd = x &d j- (Qs + max Qp),

und für den halben Träger wird

(S    + S max Qv)

l    i

n    (J'2 n

S Gd = a kd \ " i    A

wobei

t—1 CM

11

ga

S (2 w -f- 1) — 2hm

g a w²,

S max (>p =

p₂a

2(2 w- 1)

Pa a (7 » — 1) »•

£ Gd = a &d ^ (a? + 7*²) (£ . </ + J>^²).

Setzt man

so ist

1); d'² = a² -f- A²,

4. Gewicht der Vertikalstäbe.

Wir müssen hier unterscheiden: Endvertikale F₀; Mittelvertikale Fn und Zwischenvertikale Vw. Bleibende Last und Verkehrslast seien hier getrennt behandelt.

a) Bleibende Last.

Stabkräfte:

m) — y/a;

hl

r—I GVl

a^oH-/); Fm = ^.a(w

Fn = a;

die Summe der infolge der bleibenden Last der Brücke aufzunehmenden Vertikalkräfte beträgt also für die halbe Brücke

V₀ =

(}) 1 erkehrslast.

Stabkräfte:

max F₀' = ~2 P2 a (2 n — 1);

(2 n — m — l)²

2 n — 1

n—1

Fg=F₀ + SFm +

wobei

- In = <7o-ö!-w(w4-l) + = 2 g₀a R +fci Q,

¥»(» + !)•

2a fn² =

max Fm' = — p₂ a

u

TV = 0;

die Summe der infolge der Verkehrslast aufzunehmenden Vertikalkräfte beträgt also für die halbe Brücke

Fp = max

TV + £ max Fm' -f -i- Vn' =~p₂.aX X n(l n — l)=p₂.a. P.

Daher ist

Fg+ Fp=(2£₀£ + /. <?+p₂P).a.

Das Gewicht sämtlicher Vertikalstäbe beträgt daher für die halbe Brücke:

£ G-y — a kY h a (2 go It / Q jP).

5. Gewicht des Windverbandes.

Wir nehmen an, der Windverband besteht aus gekreuzten steifen Windstreben. Die Beanspruchung derselben erfolgt durch Winddruck (w) und sonstige horizontal wirkende Kräfte (wie z. B. bei Eisenbahnbrücken durch Seitenschwankungen und Fliehkraft), welche wir durch eine gleichmäßig verteilte Ersatzlast berücksichtigen wollen. Es läßt sich somit die ständige Last, bezw. Verkehrslast für die Längeneinheit der Brücke ausdrücken durch g‘ — c h w\ p — cA hxw -J- c und c₁ sind hiebei jene Zahlen, mit welchen die Fläche h . 1, bezw. ht . 1 multipliziert werden muß, um die vom Winde getroffene Fläche der Brücke, bezw. der Verkehrslast für 1 m Länge zu erhalten.

Die Vertikalstäbe des Windverbandes, welche nur eine halbe Knotenlast des Winddruckes aufzunehmen haben, bilden gleichzeitig die horizontalen Riegel der Querverbände, sie werden daher erst dort in Rechnung gezogen.

Die Gewichtsbereclmung für den Windverband erfolgt ebenso wie jene für die Diagonalen der Hauptträger, nur mit Berücksichtigung des Umstandes, daß jede einzelne Diagonale nur die Hälfte der Querkraft aufzunehmen hat. Ist die Breite der Brücke A, die zulässige Inanspruchnahme

s

des Materiales für den Windverband or, und —= a,, so ist

das Gewicht des Windverbandes für die halbe Brücke (analog Punkt 3).

(a² + b²) {g'.Q+p*. P),

(a? 4- b²) (c .h ,w. Q -J- p‘ P).

Auch für zwei getrennte Windverbände gilt dieselbe Formel, gleichgültig, in welcher Weise sich die horizontalen Kräfte verteilen, nur wird sich der Konstruktionskoeffizient &w etwas erhöhen. Sind bei einem doppelten Windverbande auch Querriegel vorhanden, so wird sich das Gewicht des Windverbandes noch um ein Glied vermehren, welches von der Trägerhöhe jedoch nahezu unabhängig ist.

6. Gewicht des Querverbandes.

Ein Querverband ist bei Fahrbahn unten erst ausführbar, wenn die Trägerhöhe A^>A₀, wobei unter h₀ die Summe aus der für die Fahrbahn gegebenen Konstruktionshöhe und der darüber frei zu haltenden Höhe zu verstehen ist.

Eine genaue Berechnung der Querverbände für den vorliegenden Zweck hätte wenig Wert, weil die Dimensionierung selten auf Grund solcher Berechnungen erfolgt.

Das Gewicht derselben ist auch sehr von der Art der Konstruktion abhängig. Um den Einfluß des Querverbandes auf die günstigste Trägerhöhe zu erkennen, genügen folgende Annahmen:

Die Querverbände bestehen erstens aus horizontalen und zweitens aus geneigten, bezw. vertikalen Stäben und den zugehörigen Anschlußknotenblechen. Demnach zerfällt auch das Gewicht derselben in einen von der Tragwand-entfernung und einen von der Querverbandhöhe abhängigen Teil. Ist also die Summe der Querschnittsflächen der horizontalen Stäbe des Querverbandes <pl5 die Trägerentfernung 6, die Trägerhöhe A, die Querverbandhöhe h —- A₀ und <p₂ jene vermittelnde Fläche, welche mit der Länge h — A₀ multipliziert dasselbe Volumen ergibt, wie die geneigten und vertikalen Stäbe des Querverbandes zusammen besitzen, so ist das Gewicht eines Querrahmens 6rq = [<p₁ b -f- cp₂ (A—h₀)\ X s> und für die halbe Brücke ist

s 6r₍₁ = (n + -|-j [91 & + ?2 (/& — Ä₀)] s.

Will man auch das größere Gewicht der Endquerverbände berücksichtigen, so hat man für <pj und <p₂ entsprechende Mittelwerte zu nehmen. <p₂ ist allerdings auch abhängig von der Neigung der Stäbe, jedoch wurde diese hier nicht berücksichtigt, weil sie in jedem besonderen Falle keiner großen Veränderlichkeit unterworfen ist. Wenn die Quer schnittsflächen der einzelnen Stäbe gegeben sind, stellt sich die Rechnung, wie folgt:

z. B. für das einfache Andreaskreuz (Abb. 3) erhält man:

.(Pi

et/

h-hQ

?1 = ² <Pi',

2 JtsL,

cos a

?2 =

r<

•x Abb. 3.

für das doppelte Andreaskreuz (Abb. 4):

X"

h-h₀

.1...

Abb. 4,

?i = ² <Pi'>

?3-

¹    cos a

Bei de:i ausgeführten Brückenbauten schwanken die Werte in folgenden Grenzen:

<p₁ = 20 bis 100 cm²; cp₂ = 40 bis 300 cm³.

Übrigens kann man sich diese Größen für jedes spezielle Beispiel mit Hilfe einer kleinen Querschnittskizze der Brücke und Annahme der entsprechenden Stabquerschnitte genügend genau bestimmen.

Gesamtgewicht des Fachwerkes.

Bezeichnen wir mit G das Gesamtgewicht des Fachwerkes, so ist

G==2wa.2t7₀=:2(2;£₀ + S£u-f££d + £<2v + SGtw4-

+ 2 G₂),

und durch Einsetzung der oben abgeleiteten Werte und Auflösung nach g₀, bezw. h erhält man die vorne angegebenen Grundformeln mit folgenden zugehörigen Koeffizientenwerten:

A — [M r\₀ -j- Atju -j- Q ‘/]d) / -f- {M r\₀ -f- WYjn) -J-

+ P^P2,

B = 0]d -j- K]v) ((?/+ Ppz) + -y («² +

+ &²) e Q w -f (n -f---j

n + i

C — — 7)w ~r

> la).

aK

Ks

1) =

E — M Y]₀ -f- A Yju -)- Q Tjd,

F = Q Y]d -(- -B ^jv

Im folgenden ist eine Tabelle mit den Werten der Koeffizienten angegeben, welche in den Ausdrücken A bis F Vorkommen.

Tabelle A.

NF)

0-5

O H (M CO ■’T lO

rH tH rH rH vH rH

14- 50 1123-75 141-62 1180-00

0-5

0-0

1-5

3-5

30    1-5

9-0

6-5

108-0 101-5 161-5 1540 230-5 222 0 317-0 307-5 423-0 412-5 550-5 5390 701-5 689-0 878-0 864-5 1082-0 1067-5

1416 12-5 15 17-5 20-50 180 21 24-0 28-00 24-5 28 81-5 36-66 32-0 36 40-0 46-50 40-5 45 49 5 57-50 50-0 55 60-0 69-66 60-5 66 71 5 83-00 72 0 78 84-0 97-50 84-5 91 97-5 113-16 98 0105 112-0 130-00 112-5 120 127-5

4-0

7-5

*) iVi ist jener Wert von iV, welcher sich ergibt, wenn man annimmt, daß der erste Untergurtstab (theoretisch unbeansprucht), ebenso stark ausgeführt wird als der nächstfolgende.

Einiges über die Proportionalität der Fachwerke.

Gehen wir nun näher ein auf die Betrachtung der vereinfachten Formel 3:

af

AD+CE

BD+CF

• . 3).

Setzen wir in dieser Formel (7=0, was stets dann der Fall ist, wenn auf die Brücke keine horizontalen Seitenkräfte als Yerkehrslast wirken und kein oberer Quer-verband vorhanden ist (p‘ = 0 und <pt = <p₂ — 0), so erhalten wir für die günstigste Trägerhöhe den Ausdruck

4)

af4

oder mit Benützung der Werte der Formelgruppe Id)

h= a

\Mr\₀ + jW]B + Q ria)/ + (ilf'irio-i-iVry]u)|)₁+P^d • p₂

C»]d+ ijo) (Qf+ Pp₂) + ~^r V -y («² + &²) c Q w

5).

Nehmen wir an p, = p₂, und vernachlässigen wir zunächst das Gewicht des Windverbandes, so können wir, ohne einen großen Fehler, zu begehen, Q = P setzen. Man erhält sodann

Mf\0 -j- W]u -f- Qr\d^  

( n + y] ['fi h + ?2 (h ~ Ao)] ■

Mf\₀ -j- W]u -f- Qr\d^ _

■ . 6).

(^d + M) P

m7]p -f jvt]u + Qm

(■»Id + %) P

Das heißt: Bestimmt man die Trägerhöhe mit Rücksicht auf das kleinste Gewicht der vertikalen Tragwände, so ist dieselbe (mit den oben angegebenen Vernachlässigungen) unabhängig von der Belastung des Trägers und nur abhängig von den Verhältniszahlen der einzelnen Stabarten und von der Felderzahl.

In Formel 6) spricht sich also eine gewisse Proportionalität aller Fachwerke mit derselben Felderzahl aus, welche sagt:

dasselbe.

Für alle Fach werke mit derselben Anzahl Felder und demselben gegenseitigen Verhältnis der Konstruktionskoeffizienten der einzelnen Stabarten ist das günstigste Pfeilverhältnis

h:l

0-42

0-27

0-21

0-17

0-15

0-14

h:l

0-47

0-30

0-23

0-19

0-17

0-15

0-98    1-24

Dieses Gesetz gilt unter den oben gemachten Voraussetzungen auch für alle folgenden Trägerarten. Zahlenbeispiele: für die Werte 7]n = 1-00 Yj₀ = 1-10

f\¹ = l'OO •»lo = 1-15 f\¹ — l'OO

f\o = 110

nimmt h:a, bezw. h:l folgende Werte an:

1.

2.

3.

7jd = 1T5

Yjv = 1-20 7jd = 1-20

y]v — 1-50

7]d    -    1-20

7jv = 2-00

Beispiel

h: a

h:l

h: a

0-49

0-94

0‘31

1.18

1-44

024

1-36

h:a

0-85

1-07

1-24

1-39

1-52

1-63

Hieraus ist ersichtlich:

1.    Die günstigste Trägerhöhe ist umso kleiner, je größer die Anzahl der Felder ist.

2.    Daß man verhältnismäßig sehr große Trägerhöhen erhält, sobald man auf das Gewicht des Wind- und Querverbandes keine Rücksicht nimmt.

Einfluß des Wind- und Querverbandes auf die günstigste Träger-

liölie.

Wind- und Querverband wirken auf die günstigste Trägerhöhe vermindernd ein.

1. Einfluß des Windverbandes.

Um ein beiläufiges Urteil über den Einfluß des Windverbandes zu erhalten, machen wir folgende Annahmen:

— = 1; c = 0 56¹); w = 0-27 ¹/m²;    = 3-00.

Es wird dann in Gleichung 5)

Yjw («² -f- b²) c Q w = 0-0567 ^—J- S b. Für 5 gilt folgende Tabelle:

S 0-2268    0-9072 2-0412

3-6288

5-6700 8-1648

11-1132

10

11

12

13

14

15

14-5152 18-3708 22-6800

27-4428

32-6592 38-3292 44-4528

51-0300

10

11

12

13

14

15

2-78    2-87

0-10    0-096

2-03

0-15

2-16

0-14

2-27

0-13

2-38

0-12

2-49

011

2-59

011

2-69

0-10

1-97

2-04

215

2-25

2-35

2-45

2-54

2-62

2-71

0-14

0-13

0-12

0-11

0-11

010

0-098

0-094

0-090

1-75

1-90

1-95

2-04

2-18

2-22

2-30

2-38

2-46

0-125

0-12

0-11

0-10

0-10

0-093

0-089

0-085

0-082

2. Einfluß des Querverbandes.

r + y)

. Derselbe ist also umso größer, je größer die

In Gleichung 3) kann der Ausdruck C wegen seines geringen Einflusses immer vernachlässigt werden, es ist also nur der von den vertikal und schräg stehenden Stäben des Querverbandes herrührende Teil des Gewichtes (siehe Formelgruppe I«), das heißt, die Fläche <p₂ in Betracht zu ziehen. Der Einfluß des Querverbandes ist enthalten in dem Ausdruck B und wird angegeben durch das Glied ?2 ° aK

Anzahl der Felder, je größer die mittlere Querschnittsfläche <p₂, je größer die zulässige Inanspruchnahme des Hauptträgers und je kleiner der Konstruktionsfaktor K ist.

Um den Einfluß zahlengemäß zu zeigen, diene folgendes Beispiel: l = 50 m\ n — 7; a = 3 57 m; b — 480 m; f— 0-92 tfm\ pt = 6-838 ;t/m\ p₂ = 7-432 t/m\ w = 0-27 £/m²; a = 890 kgjcm²; ^ = 1200 kg/cm², c = 0-56; <p₂ = 60 cm²; ^=1-37; yju = 1-00; y]₀ = 1-10; rld = 1-15; y]v = 1-20; 7]w    4-00.

Nach Formel 6) wäre laut voranstehender Tabelle die günstigste Trägerhöhe

h = 0-15 l = 7-50 m.

Nach Formel 4) jedoch ohne Berücksichtigung des Quer- und Windverbandes erhalten wir:

14

2122

542

— 01411 = 7-05 m.

Berücksichtigt man auch Wind- und Querverband, so lautet die Formel nach Einsetzung obiger Werte:

14 V542 + 81-5 + 81-8

2122

= 0124 l = 6-20 m.

Für <p₂ = 100, bezw. 200 cm² wird h = 0'119 I — 5-95 m, bezw. h — 0*110 l = 5-50 m.

Hiedurch ist nachgewiesen, daß bei der Bestimmung der günstigsten Trägerhöhe eines Fachwerkes der Quer-und Windverband ausschlaggebend ist und daher berücksichtigt werden muß. In dem vorliegenden Beispiele vermindert sich dadurch die Trägerhöhe um 12% bis 22%.

Vergleichen wir dieses Beispiel mit einem ähnlichen Beispiel Häselers (Der Brückenbau, I. Teil, 4. Lieferung,

I. Hälfte, Seite 459), so ergibt sich dort für 2 n = 14 der Wert h = 0"112 Z, trotzdem in jener Berechnung auf Wind-und Querverband k e i n e Rücksicht genommen wurde. Der Grund hiefür liegt aber darin, daß Häseler für die Vertikalstäbe einen übermäßig großen Konstruktionskoeffizienten annimmt (&v = 3*0; oder für K — 1-37, yjv = 2-19). Ein so großer Wert kann wohl für kleine Spannweiten oder für die Vertikalstäbe eines Ständerfachwerkes mit durchwegs gekreuzten (auf Zug und Druck zugleich wirkenden) Diagonalen angewendet werden, entspricht aber bei einem so großen Fach werk nicht den tatsächlichen Verhältnissen.

Um Werte zu erhalten, welche sich unmittelbar miteinander vergleichen lassen, wurden für das obige Beispiel die günstigsten Pfeilverhältnisse (h: l) sowohl nach den hier abgeleiteten Formeln als auch nach der Formel von Hä-s e 1 e r berechnet und in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Hiebei wurde allerdings die nicht ganz zutreffende Annahme gemacht, daß das Eigengewicht des Fach Werkes, bezw. der Fahrbahnkonstruktion konstant, also von der Anzahl der Felder unabhängig sei. Da diese Annahme aber in allen Formeln zugleich gemacht wurde, ist das Vergleichen der Resultate für eine und dieselbe Felderzahl vollständig einwandfrei. Die Formel von Häseler lautet mit Benützung der sonst hier angewendeten Bezeichnungen

9+P\

y\

'n y

²/₃ (²0 + ^u)

9 + ¹² Pi ’

k<i H~ ky

-1/

n y -

/3(²]o + 7]u)

9+Pi

9 + 1-2 p₂

n + Yjd

■yjd + ‘»h

Mit genauer Berücksichtigung der Felderteilung ergeben sich folgende Formeln:

-kJ

M 7)₀ + -f Q Yjd

h] h b) r

und

kJ

(Mrio +Arr;u4- ()r,d)/-f (Üf7]₀ +-Vr|a)lh-fPrjd.^2

(Yi d + TQv) ((?/ + -PP2)

. h

C) -T-

-ä\

{Mr\o -f- W/n -f- rid) • / -|~ C3P/)o ~f~ ^ rju) Pi ~f~ -P^la • P2

aK

(Tjd+TTjv) (^/-fPp₂)-f^-7]wy?(«²+&²)c^^-f |w+i)?2<7

h

Das günstigste Pfeilverhältnis -y- des Parallelträgers

mit einfachem Ständerfachwerk ist demnach mit Einsetzung der früher angegebenen Zahlenwerte

bei einer Felderzahl

2n = 6

10

12

14

nach Häseler ²)

„ Formel a)

VI

VI

b)

77

0-241

0-287

0-234

0-185

0-203

0199

0-196

0-163

0-178

0177

0-172

0-146

0-160

0-157

0-155

0-133

0-147

0-144

0-141

0-124

10

12

14

Häseler . . . .

1-30

1-25

1-22

1-20

1-19

Formel a) . .

1-28

1-22

1-21

1-18

1-16

77

b) . .

1-27

1-20

1-18

1-17

1-14

77

c) . .

1-00

1-00

1-00

1-00

1-00

. 24

Hieraus ersieht man:

1.    daß durch die Berücksichtigung des Wind- und Querverbandes die günstigste Trägerhöhe um 14 bis 27°/0 vermindert wird [vergleiche b) und c)];

2.    daß der Fehler, welcher durch die Näherungsrechnung von Hä sei er (ohne Berücksichtigung des Wind-und Querverbandes) begangen wird, gegenüber der genauen Rechnung [nach Formel &)] rund 4°/₀ beträgt, und zwar sind die Werte Häselers um diesen Betrag zu groß;

3.    die Näherungsformel a) gibt um höchstens 2% größere Werte an als die genaue Formel &);

4.    die günstigste Trägerhöhe ist im Minimum (für 2 n = 14) etwa ³/₈ der Spannweite.

Günstigste Neigung der Streben.

Es ist dies jene Neigung, bei welcher der Materialaufwand der Ausfachungsstäbe ein Minimum wird. Dieselbe ist, aus den bereits in der Einleitung angegebenen Gründen, im allgemeinen nicht von praktischem Wert. Nur der Vollständigkeit halber und zum Beweise der vorne (Seite 5) aufgestellten Behauptungen sei dieselbe hier angeführt.

Wir erhalten:

s Gd + s 6, = * id-2- („2 + *S) (Qg + Pp₂) +

-f a hr h a (2 Rg₀ + Qf + P p₂) und hieraus die Bestimmungsgleichung:

4~ i j # 4~    4~ rh (2 E gQ 4- Qf 4- PPz) — 0

1/^ 1 _j_ 3i ^ P 9° 4~ Qf ± Pp? I ’^d

oder

— = tg a =

Für das früher angeführte Beispiel (l = 50 m) würden

Qg + Pp*

wir erhalten-4- = 1*44 oder a = 55° 14', nahezu konstant

für die dort angeführten Werte von n.

Nach H ä s e 1 e r ergibt sich dieser Winkel etwas kleiner

Jcv

1 -j—— = 1-428, und a = 55° 0'.

A'd

1.    Obergurt E G₀= y.k₀ qt M\

i    >l

n

2.    Untergurt £ 6ru — x &a y JV;

3.    Diagonalen S(?d=^^d.-r-(«²-f- ä²) ((? <7 -f- P^)?

i    a

4.    Vertikalstäbe.

Die Beanspruchung der Vertikalstäbe ist bei Fahrbahn oben abweichend von früher, und ist daher die Gewichtsberechnung neu aufzustellen; am besten erfolgt dies wieder getrennt für Endständer, Zwischenvertikale und Mittelvertikale. Die Stabkräfte infolge der bleibenden Last der Brücke sind bei Annahme der in Abb. 5 skizzierten Lastverteilung:

Vo

yn

Cs.-.V...

(n-1)

/ti ⁵ TTLCL

Abb. 5.

~2 91 ~ 9o a =9o a{2n— y-) -j-fn a;

y ff (l - 2 fim) + f

+ /0 — m + -|-J a; Fn = (gö + /) a\

2 Vm= g₀an(n — 1) + /a    (n² — 1).

i    2

Die Summe aller Stabkräfte infolge der bleibenden Last beträgt für die halbe Brücke:

n—1    "1    fy%

= V₀ + s Vm + y- Va=g₀ an (n + 1 )+fa y(rc + 2).

Die Stabkräfte infolge der Verkehrslasten sind gegeben durch folgende Gleichungen:

V₀

Vm =

n—1

max V₀ =

— 2 g₀ (n — m)a -j-

p₂l = p₂an;

(2 n — m)²

max Vm =

max Vn — p₂ a\

n—1

£ max Fn. = —- p₂ a

n (n — 1) (14 n — 1).

Die Summe aller größten Stabkräfte infolge Verkehrslast beträgt für die halbe Brücke:

max Vn =

n-i    i

max V₀ -j- £ max Vm -f- ~n i    4

= P₂ a

14 n³ -f- 9 n² -f- n — 6

12 (2 n- 1)

Das Gewicht der Vertikalstäbe beträgt daher £ Gy = a. ky a h (2 gQ B f S -f- p₂ T),

wobei

4-»(» + l)i S = -i-»(» + 2);

2T —

14 w³ -J- 9 n² -f- w — 6

12 (2 » — 1)

5. Windverband.

Nach der Ableitung für den Fall Ta (Punkt 5) beträgt das Gewicht desselben für die halbe Brücke:

=    (u² + Z>²) (chwQ+p'.Ff

6. Querverband.

Für das Gewicht des Querverbandes können wir ebenfalls die für den Fall Ia) gemachten Angaben benützen, wobei die Bedeutung von h₀ sinngemäß abzuändern ist. Wir erhalten die halbe Brücke

£ Gq = [n + -i ) [<pi b -f <p₈ (h — h₀)\ s.

(Gesamtgewicht des Fachwerkes.

Es ist:

G — 2 g₀.2 n a = 2 (£ 6r₀ -j- £ Gn -(- £ G& -f- £ Gy -f--j- S Gw -f- £ Gq).

Mit Benützung der oben abgeleiteten Werte für £ G ergeben sich aus dieser Gleichung wieder die Grundformeln 1) bis 4) mit folgenden zugehörigen Werten von A bis F.

A — (M 7]o -f- N7]u) (/ + Pi) + v]d (j Q + P2 P) 2    2

B =zr\i(f Q -{-P2 P) + r\v (/ S-{-p₂ T) -f- — y]w —i—

Ka

c Q iv -f-

16).

sK

E — Mv]o    Nr\u Q Y]d,

F = Q Yjd -f R y]v.

Die Werte der Koeffizienten von M bis T sind in der vorn angegebenen Tabelle A enthalten.

Vernachlässigen wir den Einfluß des Wind- und Querverbandes und setzen Q = T und S T, so ist die Trägerhöhe wieder unabhängig von den Belastungen. Zum Vergleich mit dem früheren Fall „Fahrbahn unten“ sei hier die Tabelle der günstigsten Trägerhöhen mit Berücksichtigung obiger Vernachlässigungen für die Koeffizienten unter 1) und 3) des Beispieles auf Seite 20 angegeben.

t-H CO T5

0-34    0-26    0-21    0-18    0-16    0-15    0*14    0-13

0-28    022    0-18    0-16    0-14    0-13    0-12    0-11

13    14 ! 15

9    10

11 12

so jo

5-

0-12 0-115 0-110 0-105 0-100! 0 097 0 093 0-10 0 098 0-094 0 090 0*08g| 0-083} 0-080

Für P aral leiträger mit Fahrbahn oben ist also die günstigste Trägerhöhe schon nach dieser groben Näherungsrechnung kleiner als für solche mit Fahrbahn unten. Berücksichtigt man noch den Umstand, daß die Querrahmen bei Fahrbahn oben immer vorhanden sind und insbesondere bei kleinen Spannweiten eine starke Verminderung der günstigsten Trägerhöhe zur Folge haben, so folgt daraus, daß diese beiden Träger wesentlich verschiedene günstigste Trägerhöhen besitzen.

Für das auf Seite 21 angeführte Beispiel ist für „Fahrbahn oben“ das günstigste Pfeilverhältnis in folgender Tabelle zusammengestellt.

Somit ist unter sonst gleichen Verhältnissen die günstigste Trägerhöhe um 4 bis 8% kleiner als bei Fahrbahn unten. (Vergl. die Werte der Formel c auf Seite 23.)

Günstigste Neigung der Streben.

Hiefür ergibt sich analog der früheren Betrachtung bei „Fahrbahn unten“

fQ+P2P

_ = tg a =

Für das obige Beispiel erhält man bei n — 7 . . . tg a — = 1501, und a = 56° 20' der günstigste Strebenwinkel ist also bei Fahrbahn oben etwas größer als bei Fahrbahn unten.

II. Das Ständerfachwerk mit gekreuzten Diagonalen.

Man kann hier, wie es auch in der Praxis gewöhnlich der Fall ist, der Berechnung des Fachwerkes die Zerlegung desselben in zwei einfache Systeme zugrunde legen. Der Kürze halber seien hier nur die Endresultate ohne Zwischenrechnung angegeben.

a) Fahrbahn, unten. (Abb. 6.)

STo

co=mcL

Abb. 6.

.......... =na

Für die halbe Brücke erhalten wir folgende Gewichte der einzelnen Bestandteile.

1. Obergurt 2 G₀ = a k₀ q₁ 0,

wobei 0 =

h: l

10

12

14

0-171

0-153

0-138

0-127

0-119

w(4»² — 1).

A3

2. Untergurt 2 Gn = x ßu 0. Die Gurtkräfte sind hiebei entsprechend der Zerlegung des Systems in zwei

einfache Systeme als arithmetische Mittelwerte der Gurtkräfte der einfachen Systeme berechnet.

3.    Hauptdiagonalen E Gz = oc kz (a² -f- Ji²) (g Q -f-

u fl

-f- p₂ P), wobei Q und P die bereits früher angegebenen Werte haben.

4.    Gegendiagonalen E Ga = oc kA («² -f- A²) (<7 Q +

fl

+ P2 P)'

5. Vertikalstäbe E Gv — y. kv h a [V (f -f- ^₂) + w ^₀],

wobei F = n--—;

Li

für Eisenbahnbrücken hat man

— xkvh a ng₀ -f F^/+ yi?₂ + der größte Stützendruck eines Querträgers ist. 6. Windverband E 6rw = ocj &w ~ (a²    6²) (c A w ^ -f

( w + -i) [<pi b -f 92 (h ~ K))s.

E Gy

-^max

)]

wobei D

+ yP).

max

7. Querverband E 6rq =

Gesamtgewicht des Fachwerkes.

Aus der Summe der Posten 1 bis 7 ergibt sich das Gesamtgewicht des Fachwerkes:

G = 2 g$ X ^ w a = 2 (E 6r₀ -f- E Gu -f- E Gz -f- E Ga -j--)- £ Gy -j- E Gy, -f~ E Gq).

Hieraus ergeben sich wie früher für das Eigengewicht und für die günstigste Trägerhohe die Grundgleichungen 1) bis 4) mit folgenden Werten von A bis F:

A - (Y]o + 7]u) o (/ -f- pt) + ~2~ ('G + ^d) (/ <2 -f- i>2 -P)

^*) — "2“ (Tb (/ <2 + P2 P) + Vv V (/ + P2) +

^jw

Ka

+ + ”

*) Für Eisenbahnbrücken lautet das zweite Glied des Ausdruckes für B, wenn Dmax der größte auf einen Querträger entfallende Stützen

C= —

II a).

E — (TQo + *]u) 0 + g- (y]z -j- Yjd) Q,

F—y fa + njd) Q + y n ^

Um leichter den Vergleich mit den beiden zuerst betrachteten Fällen ziehen zu können, vernachlässigen wir wieder den Einfluß des Wind- und Querverbandes und setzen Q = P’ es ergibt sich dann, wenn r/n — 1*00; 7j₀ = = 1*10; rjd — 1*15, rly — P50 die folgende Tabelle der günstigsten Trägerhöhen,

0-91

1-28

1-59

1-87

2-12

2-34

2-54

2-73

0-455 0-320 0-265 0234

0-212

0-195 0-181

0171

10

11

12    13

14

15

2-92    308    3-25    340    3 56    370    3’82

0-162    0-154    0-148    0144    0-137    0*132    0-127

Diese Tabelle zeigt, mit den entsprechenden vorne angegebenen (S. 20 u. 27) verglichen, daß für Parallelträger mit gekreuzten Diagonalen die günstigste Trägerhöhe bedeutend größer ist als für das einfache Ständerfachwerk. Dies ist dadurch erklärlich, daß die Vertikalstäbe trotz des größeren Konstruktionskoeffizienten viel weniger Materialaufwand erfordern. Es wird daher der Parallelträger mit gekreuzten steifen Diagonalen leichter als jener mit einfachen (nur auf Zug oder nur auf Druck wirkenden) Diagonalen, natürlich vorausgesetzt, daß bei den Vertikal Stäben keine übermäßige Verschwendung von Material stattfindet.

Beispiel:

Es sei hier derselbe Träger von 50 m Spannweite untersucht wie früher (S. 21), nur muß 7jv entsprechend größer angenommen werden, etwa Y]v = 2-00; ferner sei rjz = rjd. Man

= 47*7, bezw. 423 t und0 145

erhält: für n = 6 und 7. D

bezw. 0T38 (gegenüber — = 0T33, 0T24).

Günstigste Neigung der Streben. Dieselbe ist gegeben durch die Gleichung:

bezw.

= tgoc =

^ v(f + P2) + ng₀

V +    ' Qg JrPp₂ ’

2 Tjy

r(/+y?₂+%)+»^„

?]z + ?]d

Für obiges Beispiel ist tg a = 1-503, bezw. l⁻452 und a = 56° 23', bezw. 55u 27'. Es ist also die günstigste Neigung der Streben für das Fachwerk mit gekreuzten Diagonalen nicht wesentlich abweichend von der des einfachen Ständerfachwerkes.

II6) Fahrbahn oben.

Die Gewichte der Gurte und Diagonalen sind dieselben wie bei II«.

Für die Vertikalstäbe erhalten wir:

E G> = xkvhna{g₀-\- f + p₂).

Für Wind- und Querverband gelten die sinngemäß an gewendeten Formeln von II«).

Für die allgemein gültigen Grundformeln erhalten wir somit auch dieselben Werte von A bis F, nur tritt an Stelle von V der Wert n. Es unterscheiden sich daher unter sonst gleichen Voraussetzungen die günstigsten Trägerhöhen für „Fahrbahn unten“ und „Fahrbahn oben“ nur sehr wenig von einander. Erst die Berücksichtigung des Querverbandes bewirkt größere Unterschiede.

III. Das doppelte Ständerfachwerk.

a) Fahrbahn unten. (Abb. 7.)

Durch Zerlegung in zwei einfache Ständerfachwerke ergibt sich folgende Näherungsrechnung:

1. O b er gurt.

Die Gurtkraft des mten Feldes ist Om —

ferner ist:

Mp

om =.

Mm =

2 h ! qx a² m (2 n — m)

S i¥m = 2i ft2 -g- » (w + 1) (4 » — 1)

tOl M-

qx ci² (m -f- 1) (2 n — m — 1),

SI

m +1 = y ?1 «² [-ß (» + 1) (» + 2) (4 w — 3) — (2 w — 1)

S (i¥m -f- i¥m + i) =y n² . -i- » (8 »® H- 12 n — 14)

Mp

Om =    » (8 w² + 12 w — 14) =    3JJ, wobei

= ya n (8 w² + 12 n — 14).

Das Gewicht des Obergurtes für die halbe Brücke beträgt daher:

a³

S 6r₀ — a Äq -v- ft 3)h

i    «■

2. Untergurt.

Die Gurtkraft des mten Feldes ist Um = Ferner ist:

1- a" O¹¹ — 2) (2 n — m -}- 2),

Li

Mm

ZMm

Mm

Si¥m_

i

Mm — 2 —h i¥m_i

2^

Mp

§-«1 a*±-(n-l) (n — 2) (4^ + 3) qx ci² (w — 1) (2. w — m -(- 1),

= y & ®² "g- w ~ -¹) (4 w + X)

2i a² (w — 1) (8 n²—4 n — 6)

I~ 22 (^ — X) (⁸    — ⁴ ^ “ ⁶) = ^/p M, wobei

= ~ (w — 1) (8 n² -—4 n — 6).

tO l-¹

s(jf„_₂ +^»-0 =

i

n ==

*-/m -

Das Gewicht des Untergurtes für die halbe Brücke beträgt daher:

n    n3

y Gu = y. ka ~Y qt 9h

3. Diagonalen:

a) Beanspruchung infolge der ständigen Last:

Für die Diagonale durch den mteu Knotenpunkt des Untergurtes gilt die Querkraft

(?mg —

daher ist

n + 1

-£9{l~ Zxm-y) = ~g(n — m -f 1) a,

1    n    1

q- g a [n (n -f-1) —E m\ == -r- g a n (n -j- 1). = g a 0, 2    i    4

wobei 0 = ~~n{n-\- 1).

b) Beanspruchung infolge Verkehrslast. Es ist:

max    p₂

n+l

S max Q tnp =

(l — xm- i)²

P₂ a

p₂ a [(» + 1) (14 n + 1)] =p₂ a

wobei -j^-(w-|-l)(14w -f 1).

4 o

48

c) Gesamtinanspruchnahme.

Die Summe aller Querkräfte ist nach vorigem für die halbe Brücke

n+l

n+l

2 Q = E <?mg -f E max ^ 1 1

mp

= a {g 0 -f- P2    ihr

h ‘ J

entspricht eine Stabkraft D — HQ sec a = E $

Das Gewicht der Diagonalen für die halbe Brücke ist

demnach

S 6ra = oc ha .

4 a² -f- Aa

a(0 0-fj>₂ $).⁴)

4. Vertikalstäbe.

teu

Wir führen einen Schnitt parallel zur zweiten Stablage und bestimmen die größte Querkraft; für den m Vertikalstab erhalten wir:

a) infolge der ständigen Last:

n— 1

XQg =

Qg — \ in9~W9o — (w + l)/].

—/£ mj a,

— g₀ S in

i

^Qg = -^ aw(3w+l)^ +

O

wobei 31 =

n(n — 1) f—2 31 a gQ-\- & «/?

n(3 n -f-1) und @ =

l-*'

n{n— 1);

b) infolge der Verkehrslast:

(7 - a;m + 1)²

n 1

max (Jp = —

P2a

(2n — m — 1)²=

_ Vza

[(2 n — l)² — 2 (2 n — 1) m -|- m²\

2 max Qp —

p₂°

n (2 n — 1) (7 n — 1) = X a p₂, wobei $ = ^(2»-X)(7»-l).

48

Es ist somit:

2 Gy = a ky h a (2 31+ @/ + Xp₂-

5. Windverband.

a) Besteht derselbe aus einem System von gekreuzten Diagonalen, welche über je ein Feld reichen, so erhalten wir das Gewicht desselben nach der früheren Formel

(a² -|-b²)(ch Q. w -)-p⁴ P).

b) Nehmen wir an, derselbe besteht aus gekreuzten Streben, welche über je zwei Felder reichen, so beträgt die gesamte Anzahl der Felder des Windverbandes nur n, und das Gewicht des Windverbandes für die halbe Brücke ist analog den früheren Formeln

2 fl

2 Gw— a.±    (4 a² -J- b²) (ch Q' w -\-p‘ P‘).

Diese Formel gilt auch für den Halbstrebenverband (K förmiger Verband).

iß

STo

g~o

->■

*>*?

1 = 2rva~

Abb, 7.

1=2 na

Abb. 8.

m+1

■-

T + 1U

>r

cc=ma

m-1

xniL=x

b~*.

-e

•<

Die Werte von P' und Q‘ sind bereits in der Tabelle M für P und Q enthalten, und zwar ist infolge obiger Annahme immer P‘ für den Wert n des Halbstrebenverbandes

gleich P für den Wert des einfachen Systems und Q‘

für den Wert n des Halbstrebenverbandes gleich Q für

71

den Wert — des einfachen Systems. Ist n eine ungerade

Li

Zahl, so können die Werte P‘ und Q‘ näherungsweise geradlinig oder richtig nach der Parabel interpoliert werden.

6. Querverband.

Für das Gewicht des Querverbandes gilt hier dieselbe Formel wie bei allen vorher besprochenen Brückenkonstruktionen, also

¹

Der Wert c ändert sich mit dem Verhältnis der offenen Maschenfläche F₀ zur Gesamtumrißfläche des Trägers F. Ist F₀ ’■ F= die volle Fläche des Trägers Fy — (1— g) F, sind beide Tragwände gleich, und ist der für den Winddruck noch mit in Eechnung zu setzende Teil der zweiten Tragwand v Fy, so ist die gesamte vom Wind getroffene Fläche F’w = (1 -fi v) (1 — g) F. Vernachlässigen wir für diese Betrachtung denünterschied zwischen theoretischer und praktischer Trägerhöhe, so ist also c = (1 -j- v) (1 — u). Den in der neuen Brückenverordnung angegebenen Werten p. = 04, 06, 08; v = 0 2, 04, 1¹0 entsprechen die Werte c = 0'72, 056, 040.

²

Das gesamte Eigengewicht wurde in dieser Formel angenommen mit g = 2-5 tim. px und p₂ sind die Belastungsgleichwerte für die Gurtungen und die Ausfachungsstäbe entsprechend der neuen Brückenverordnung vom 28. August 1904.

Setzen wir die Werte der Formel c) gleich 1, so ergeben sich folgende Verhältnisse:

³

ft) Fahrbahn oben.

Die Berechnung der günstigsten Trägerhöhe erfolgt in gleicher Weise wie bei Fahrbahn unten, und können die Resultate von dort zum Teil benützt werden. Es ergibt sich das Gewicht der einzelnen Teile für die halbe Brücke, wie folgt; für Gurte und Diagonalen gelten die Formeln von früher:

⁴

Es ist hiebei zur Vereinfachung der Rechnung für die erste Diagonale derselbe Neigungswinkel und dieselbe Stablänge angenommen wie für die übrigen Diagonalen.

( n + y] ['fi h + ?₂ (h ~ Ao)] ■

Das Gewicht des gesamten Fach Werkes der Brücke beträgt somit

2 g₀ X 2 n a — 2 S 6r, und das Eigengewicht des Fachwerkes per laufendes Meter ist

a²

e2(jo =

₊ Bh+ C

a²

wobei

D — E -y-

h

A = (31i Yj₀ + f]n) (/ + Pi) + ^    (/ & + P-2 $)

-Ba= >]d (/D + P>$) + ^v(/@+p2^) +

aV~cQ+[n+\) Ar

r, d(/D + ft $) + rj, (/© + ftX) +

7]ww?-|-(4a²-f&²)c£'    +

Cb=    ^-(4:a² + b²)p‘P'+(n + -i-)^ (<Pi*—f2Äo)

+-

Ca— rlwM;

a² -j- b²

f 25

lila)

D ~ Ks ’

E = rja -f- 01 Yja ~j- 4 Yjd Q,

P = D Tld -f- 91 7]v.

Für die günstigste Trägerhöhe gelten die Grundformeln 2) bis 4) mit Benützung der Werte der Formelgruppe lila.) Die Werte der Koeffizienten bis % sind in der Tabelle B enthalten. Der Index a, b bei B und C bezieht sich auf den Fall a, bezw. b in der Durchführung des WTndverbandes.

Bei spiel:

Rechnen wir für das vorne bereits mehrfach angeführte Beispiel eines Parallelträgers von 50 m Spannweite die günstigste Trägerhöhe nach Formel 4) für den Fall a, bezw. 6, so erhalten wir mit Benützung aller unter dem Fall Ia) angegebenen speziellen Zahlenwerte und der bezüglichen Werte der Tabelle B für n = 7. die Trägerhöhe /?a = = 0-168 l = 8-40 m, hb = 0-170 l = 8-50 m.

Dieselbe ist also für das doppelte Ständerfachwerk unter sonst gleichen Umständen wesentlich größer als für das einfache Ständerfach werk. Dies läßt darauf schließen, daß der Materialaufwand in den Ausfachungsstäben beim ersteren kleiner ist als bei letzterem. Der Grund liiefür liegt in der günstigeren Neigung der Streben gegen die Vertikale. Der Vergleich der beiden Trägerhöhen Aa und hb zeigt auch, daß der Materialaufwand für den Windverband beim Halbstrebensystem kleiner ist als bei gekreuzten, nur über je ein Feld reichenden Windstreben.

b) Fahrbahn oben (Abb. 8).

Der Materialaufwand für die Gurten und Diagonalen ist derselbe wie bei „Fahrbahn unten“. Es ist somit nach der früheren Näherungsrechnung

as

3.    „ die Diagonalen £ G& = a k<x -^-(4a²+Ä²) (/DU

+ P-2 $)•

4. Vertikalstäbe:

Für den mten Vertikalstab ist die Querkraft

daher

tM)i S

n²g — g₀ £ m — /’S m

i    ‘ i

wobei

3F = -5- n (3 n -j- 1) und S' — . (n² -j- 3 n — 2).

Tabelle B.

3R

P‘

Q‘

(M CO i(5 50 CO 03

O H « CO lO

i““¹ t-^ tH tH rH rH

198-00    138-25

278-25 ¹ 202-00 377-50    282-75

497-75 ; 382-50 641-00    503-25

809-25    647-00

1004-50    815-75

1228-75 1011-50

1-813

3-583

5-938

8-675

12-396

16-500

21-188

26-468

32-313

38-750

45-771

53-375

61-563

70-333

22-5    11-4375    10-125

27-5    14-1666    12-500

330    17-1875    15-125

39-0    20-5000    18-000

45-5    241042    21-125

52-5 j 28*0000 24-500 6.0*0    32-1875    28-125

5-0

7-5

10-5

14-0

©'

2'

1*75

3-75

6-50

31-50 38-75 46-75 55-50 65-00 75-25 86-25

0-5 | 0-8125    2-0    2-5625

1-5    2-0833    40    4*5833

30    3*9375    6*5    7-1875

6-3750    9-5    10-3750

7-5 j 9-3958    13-0    14-1458

13-0000    17-0    18-5000

17-1875    21-5    23-4375

18-0    21-9583    26-5    28-9583

27-3125    320    35-0625

33-2500    38-0    41 7500

39-7708    44-5    49-0208

46-87501    51-5    56-8750

54-5625    59-0    65-3125

62-8333    67-0    74-3333

22-5

27-5

33-0

39-0

45-5

52-5

Ferner ist infolge der Verkehrslast für den mteu Ver

tikalstab:

max —

P2 -

(/ —    p₂a

(2 n — in 4- 1)² =

[(2» -f l)² — 2 (2 n -j- 1) m -j- mi\

daher

II—1

E max Qp =

P₂ a

n—1    -]

+ E m² I

p₂ci

48

wobei

n (2 n -j- l)² — 2 (2 n -f- 1) E m -f-

i

(14 n°- + 27 n + 13) = p₂ a X',

(14 »5+ 27»+ 13).

Somit ist

E Gy = a h a (2    91' +/@' +jp₂ X')-

5. Wind- und Querverband.

Die früheren Formeln für das Gewicht des Wind-und Querverbandes haben hier sinngemäße Anwendung zu finden. In den folgenden Formeln ist ein Ä-förmiger Windverband angenommen worden.

Für die günstigste Trägerhöhe gelten die Formeln 1) bis 4) mit folgenden Werten von A bis F.

A - (991 Y]₀ -f- 91 Tju) (/ + Pi) ~f~ 4 Yjd (D/ + p₂ $)?

ffi

B= f]i (/D +^2 55) 4*    (/@' +^2 X') + —

(4 a² -j- IA) c Q‘ -f- (» + - g") —

>1116).

. »4 (4«> + »a)p'P'+ (» + 4-)

. (9! i — 92 Ä₀),

sK

F = 991 vj₀ -f- 91    ^ O,

Nach diesen Formeln ergibt sich die günstigste Trägerhöhe des doppelten Fachwerkes größer als jene des einfachen Fachwerkes. Die Erklärung dafür ist dieselbe wie im Falle lila).

Günstigster Strebenwinkel.

Für den günstigsten Strebenwinkel ergibt sich nach der dem Falle I analogen Ableitung der Ausdruck a) bei Fahrbahn unten

TT = ■*“ =

b) bei Fahrbahn oben

, ,    i-/©' + P2

Der günstigste Strebenwinkel des doppelten Fachwerkes ist nahezu gleich dem des einfachen Ständerfachwerkes (das ist etwa 56 °).

Schlußbemerkungen.

Überblicken wir die voranstehenden Untersuchungen, so lassen sich auf Grund derselben folgende allgemeine Grundsätze aussprechen.

1. Über die Trägerhöhe.

Bei Bestimmung der günstigsten Trägerhöhe ist sowohl der Windverband als auch der Querverband zu berücksichtigen.

Ins o lange kein Querverband (bestehend aus Querriegeln und Andreaskreuzen) vorhanden ist, ist die günstigste Trägerhöhe bedeutend größer als im entgegengesetzten Falle. Dieselbe liegt dann zwischen ¹/₆ und Üs der Spannweite; jedoch schon der Umstand, daß der Windverband einerseits einen deutlichen Einfluß auf die günstigste Trägerhöhe ausübt, während derselbe andererseits doch einen untergeordneteren Anteil des gesamten Eigengewichtes bildet, läßt darauf schließen, daß selbst größere Abweichungen von derselben keine bedeutende Vermehrung des Gesamtgewichtes zur Folge haben können. Dies ist auch aus dem Verlauf der Kurve für das

Eigengewicht ersichtlich.

Trägt man nämlich die Trägerhöhen als Abszissen und die Eigengewichte des Fachwerkes als Ordinaten eines rechtwinkeligen Koordinatensystems auf, so ergibt sich für jede Teilungszahl n eine gewisse Kurve, deren Verlauf an dem folgenden Beispiel gezeigt werden soll.

Dmax

= 5⁻8 ifm; w — 0T7 Üm²; y]u = l'O; 7]₀ = 1*1;

rjz = ?jd = 1-2; 7jv = 1*5; rjw = 3-5; K = 1*41; <pi = <p₂ = 0; c = 0T; <^ = 1; A₁=3,0m; <7 = 880kgj= 1200kgjcm²; s = 7-85 t/ms.

Wir erhalten dann mit Benützung der Formelgruppe II a). A— 2-1 (0-95 -f 7-293) 0 + 1*2 (0-95 Q -f 7-987 P),

Wir wählen einen Parallelträger mit gekreuzten Diagonalen und Fahrbahn unten für eine Eisenbahnbrücke von 40 m Spannweite. Ferner sei: 2 n — 10 ; a = 4⁻00 m; b — = 4-70 m; f= 095 tim; pi — 7-293 tfm\ p₂ = 7-987 t/m; 46-4

5.8800

1*41.7-85 E = 21 0 + 1-2 Q,

. 5.15.

1-2 (0-95 Q -f 7-987 P) -f (o-95 +    + 5-8j 1-5 F-f

42 _j_ 4.72

880

1200

3-5

4-7

x o-io x 0-17 (>,

880

1200

• 3-5 •

42 _j_ 4.72

4-7

. 3 0.017 P,

F = 1-2 Q +

Setzt man für 0, P, und F die für w = 5 angegebenen Werte der Tabelle A. nämlich 0 = 41-25; P— 14-16; Q = = 12-5; V = 4"5, so erhält man

H = 864; B = 227 ; C=l50; Z) = 3975; #=101-6;

# = 18-75.

Es lautet sonach die Formel für das Eigengewicht dieses Trägers

864

16

² 9o =

h + 227 h -f 150

16

3975 — 101-6 -7- — 18-75 h

h

¹³^²⁴ -f 227 h -f- 150

3975

162-56

- — 18-75 h

Hieraus ergeben sich folgende Werte des Eigengewichtes für die angegebenen Trägerhöhen :

A m 2m 8 m -Am 5m 6m Im 8m 9m 10m Lim 12m 18m 2g₀t/m 8-74!l-95 1-411'17 1-05 0-995 0-973 0-970 0 985 1-01 1-04 1-08 1-12

bezw. die in Abb. 9 gegebene graphische Darstellung desselben.

Der tiefste Punkt der Eigengewichtslinie liegt für dieses Beispiel etwa bei h = ^ /, allgemein aber umso näher

bei h = Vio Z, je größer die Anzahl der Felder des Fachwerkes ist.

k:

Öl

f₇

Vjo % j %

Vs

\L

Verhältnis h-: L

2    3    'j- S 6    7    8    9    10 11 12 13

(h in Metern)

Abb. 9.

Die Abbildung zeigt, daß das Gewicht des Trägerfachwerkes etwa von ¹/₈ bis ¹/i der Spannweite nahezu konstant ist.

Dies gilt allerdings unter der Annahme, daß die Verhältniszahlen ri sich hiebei nicht ändern. In Wirklichkeit wird bei sehr großen Trägerhöhen der Konstruktionskoeffizient der Ausfachungsstäbe größer, und infolge dessen nimmt das Eigengewicht des Trägers zu. Innerhalb geringer Grenzen (etwa ¹/₁₀ bis ¹/₇) kann derselbe jedoch als konstant angesehen werden, so daß auch innerhalb derselben die günstigste Trägerhöhe zu liegen kommt; jedenfalls ist dieselbe aber größer als 0T0 Z.

Ferner zeigt dieEigengewichtslinie deutlich, daß eine zu kleine Trägerhöhe immer eine größere Gewichtsüberschreitung gegenüber dem Minimalgewicht zur Folge hat, als eine zu große Trägerhöhe. Der Vorteil, der dadurch häufig erreicht werden kann, ist der, daß an Stelle einer „offenen Brücke“ eine „geschlossene Brücke“ tritt.

Bei großen Spannweiten und verhältnismäßig kleiner Vertikalbelastung kann bei „Fahrbahn unten“ zwar der Fall eintreten, daß infolge der zu großen Trägerhöhe die Gurtquerschnitte auf Grund der Hauptspannungen so klein werden, daß durch die Zusatzkräfte infolge Winddruck und allenfalls zu berücksichtigender Seitenschwankungen der Fahrzeuge eine Überschreitung der hiefür zulässigen Inanspruchnahme stattfindet, bezw. eine Verstärkung des Querschnittes nötig wird. Diese spielt jedoch schon wegen der für die Summe aus Haupt- und Zusatzkräften größeren zulässigen Inanspruchnahme des Materiales eine untergeordnete Rolle. Der Nachteil einer zu großen Trägerhöhe für die Standsicherheit einer Brücke mit „Fahrbahn oben“ kann einfach durch entsprechende Verkürzung der Endständer behoben werden.

Die hier ausgesprochenen Sätze gelten nicht nur für das hier angeführte spezielle Beispiel, sondern ganz allgemein. Die Grundform der Kurve ist für alle Trägerarten immer dieselbe.

2. Über das Eigengewicht als Funktion der Felderzahl.

Trägt man als Abszissen die halbe Anzahl der Feldweiten und als Ordinaten die zugehörigen Eigengewichte auf, so ergibt sich bei Annahme einer konstanten Trägerhöhe und unter der Voraussetzung, daß die Konstruktionskoeffizienten und das Fahrbahngewicht ebenfalls konstant, also von der Felderzahl unabhängig seien, die in Abb. 10 dargestellte Kurve; dieselbe fällt von n — 1 ausgehend zuerst ein wenig und steigt dann nahezu nach einer Geraden.

21

Abb. 10.

Abb. 11.

Die Bestimmung der günstigsten Felderzahl erfolgt am besten versuchsweise: Man berechnet für die in Betracht kommenden Teilungszahlen n das Fahrbahngewicht und hierauf nach der Grundformel 1) für eine bestimmte Trägerhöhe das Eigengewicht des Fachwerkes. Bildet man ferner die Summe aus dem Gewicht der Eisenkonstruktion für die Fahrbahn und dem Eigengewicht des Fachwerkes, so tritt das Minimum des Gesamtgewichtes der Eisenkonstruktion stets deutlich hervor.

3. Über die günstigste Neigung der Streben.

Die günstigste Neigung derStreben gegen die Vertikale ist, mit Ausnahme des „Netzwerkes“, bei allen anderen Ausfachungsarten des Parallelträgers durchschnittlich 56°. Nur beim Netzwerk, worunter jene Ausfachung verstanden wird, welche keine vertikalen Ausfachungsstäbe besitzt, beträgt dieselbe 45°. Die praktische Einhaltung des günstigsten Neigungswinkels hat aber nur dann einen Wert, wenn dabei gleichzeitig die günstigste Trägerhöhe eingehalten werden kann. Letztere ist stets in erster Linie zu berücksichtigen. Da, abgesehen vom Netzwerk, die Streben unter der günstigsten Neigung flacher zu liegen kommen als unter 45°, erhält man meist große Feldlängen, folglich große Fahrbahngewichte, welche auf das Gesamtgewicht der Eisenkonstruktion ungünstig wirken. Es ist daher die Anwendung der in Abb. 11 dargestellten Systeme vorteilhaft.

Wien, im Juni 1905.

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