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STATIK

DER

HOCHBAITCONSTRUCTIONEN.

ERSTER THEIL :

STEINCONSTRU CTIONEK

Vorwort.

h

/c

sx = s0 sec3 30°

Pa. a, = (« M0 . A0 W„ - a'M0 . A,‘M„) .

Dritter Abschnitt.

Literatur.

STEINCONSTRU CTIONEK

VON

DK WILHELM WITTMANN

PRIVATDOCENT AN DER KÖNIGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN MÜNCHEN.

Mit 7 Kupfertafeln und 51 Holzschnitten.

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Minister/

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BERLIN.

VERLAG VON ERNST & KORN

(Gropius’sche Buch- und Kunsthandlung).

90 Wilhelmstrasse nächst dem Architektenhause.

1879.

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KRAKÖW

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Vorwort.

Vorliegende Arbeit, welcher in zwei weiteren Lieferungen die Lehre von der Statik der Holz- und Eisenconstructionen folgen wird, entstand auf Wunsch der Verlagshandlung und zu dem Zweck, einem bei Letzterer demnächst erscheinendem Werke über Constructionen des Hochbaues

Es sollten in gedrängter Form die für die

zur Ergänzung zu dienen, statisch richtige Anordnung von Hochbauconstructionen wichtigsten Anhalts-puncte gegeben werden, so dass das Buch dem ausführenden Architekten und Ingenieur als Hilfsmittel zur Orientirung in schwierigen Fällen und dem Anfänger zum Gebrauch bei Privatstudien dienen könne. Mit Rücksicht auf die vom Praktiker zumeist erhobene Forderung leichter Anwendbarkeit der von der Theorie gebotenen Hilfsmittel befleissigte sich der Verfasser grösstmöglichster Kürze und wählte bei Behandlung des

gegebenen Stoffes bald die Methode der analytischen Entwickelung bald die der graphischen Statik, je nachdem die eine oder die andere leichter zum Ziel führte.

Wenn es dadurch möglich gewesen ist, einzelne Probleme in einfacherer Weise als bisher zu lösen, so sind doch manche Fragen unbeantwortet geblieben und es kann nicht geleugnet werden, dass die Mechanik der Steinconstructionen des Hochbaues zur Zeit bei Weitem noch nicht im Stande ist, allen Anforderungen zu entsprechen. Um hier zu besserer Erkenntniss zu gelangen, bedarf es des Zusammengehens von Theorie und Praxis und einer weiteren Verbreitung der bisher gebräuchlichen theoretischen Anschauungen in den Kreisen der Letzteren. Sollte diese Arbeit, wenn auch nur in beschränkter Weise, hierzu beitragen, so wird ihr Zweck erfüllt sein.

t

■

Inhalt.

I. Abschnitt.

Statik der einfachen Mauern

Seite

r-H (M CC Zf/i ZJOO cöo

Allgemeine Gl eichgewichtsbedingungen Festigkeit der Steinmaterialien .    .

LO

coo ZOO

A. Mauern unter Einwirkung verticaler äusserer Kräfte.......

B Mauern unter Einwirkung verticaler und horizontaler äusserer Kräfte .

Freistehende unbelastete Mauern und Umfassungsmauern.......

Stützmauern.......................

A.    Erddruck bei unbelasteter ebener Terrainoberfläche.......

B.    Erddruck bei belasteter ebener Terrainoberfläche........

C.    Erddruck bei gebrochener ebener Terrainoberfläche.......

D.    Erddruck bei ebener Terrainoberfläche, welche unter dem Winkel der

natürlichen Böschung gegen den Horizont geneigt ist......

E.    Erddruck auf ebene Mauerflächen, welche kleinere Neigungswinkel als

gewöhnliche Stützmauern mit dem Horizont einschliessen.....

a)    die Mauerfläche ist gegen den Horizont unter dem Winkel 2 (p — y

geneigt.....................

b)    die Mauerfläche schliesst mit dem Horizont den Winkel der natürlichen Böschung ein . . ...............

c)    die Mauerfläche bildet einen kleineren als den Böschungswinkel

mit dem Horizont.................

d)    die Mauerfläche ist horizontal.............

Erddruck auf einzelne Theile der ebenen Wandfläche einer Stützmauer Angriffsort der Resultirenden des Erddrucks auf eine ebene Wandfläche

a)    die unbelastete ebene Terrainfläche schliesst sich unmittelbar an

die Oberkante der hinteren Wandfläche an ......    .

b)    die Terrainoberfläche ist belastet oder überhöht......

H. Stabilität der Stützmauern................

CddCOiOt^C'-^O^O    00    Ci    Ci    O    H    (M (M ^    ^

T-Hr-lrHrHT—lr-HOlC<i    CM    CM    03    CO    CO    CO CO CO    CO    CO CO

II. Abschnitt. Statik der Gewölbe

41

Wo zOo zOo W CO M

Theorie der Mitteldrucklinie..........

Schlusssteinhöhe und Bogenstärke........

Belastung eines Gewölbes von gegebener Mitteldrucklinie

A.    Kreisförmige Drucklinie..........

B.    Spitzbogenförmige Drucklinie........

C.    Elliptische Drucklinie...... ....

41

43

45

46

49

Seite

§ 4. Form und Stärke eines Gewölbes von gegebener Belastung •    .

A.    Die oben horizontal begrenzte Belastung besteht aus einem dem Wölbmauerwerk homogenen Material

B.    Die Belastung besteht aus Mauerwerk, Erdauffüllung und Verkehrslast 55

§ 5. Stabilitätsbestimmung eines Gewölbes von gegebener Bogenform und Belastung .........

§ 6. Stützlinie eines Gewölbes .    .

. 53

. . 58 . . 61 . . 61

§7. Bestimmung der Widerlager- und Pfeilerstärke

§ 8. Stabilitätsbestimmung eines Gewölbes mit Berücksichtigung des Seitenschubes einer lockeren Bogenüber*füllung.............

§ 9. Das Kreuzgewölbe......................

A.    Kreuzgewölbe mit zu den Kappenaxen parallelen Lagerfugen    ... 69

B.    Kreuzgewölbe nach dem schwalbenschwanzförmigen Verband ... 70

65

69

§10. Das Kuppelgewölbe

72

III, Abschnitt.

Druck der Gewölbe auf die Lehrgerüste......

§ 1. Druck der Wölbsteine auf das Lehrgerüst für beliebige Stadien des Gewölbeaufbaues ........................

§ 2. Maximalpressungen des Gewölbes auf bestimmte Theile des Lehrgerüstes .    83

77

77

Erster Abschnitt.

Statik der einfachen Mauern.

C05

Allgemeine Gleichgewichtsbedingungen.

Eine Mauer AB CD (Fig. 1) sei durch äussere Kräfte beansprucht. Um zu untersuchen, ob dieselbe in allen Theilen den erforderlichen Grad von Stabilität besitzt, fasse die Resultirende R der auf das Mauerstück BCEF einschliesslich des Eigengewichtes desselben wirkenden äusseren Kräfte, denke fei'ner die Wirksamkeit des unterhalb der betrachteten Fuge befindlichen Mauerwerks durch an der Fugenfläche angebrachte (innere) Kräfte ersetzt und sehe zu, ob an dem so erhaltenen System von Kräften die angreifenden im Gleichgewichte sich befinden mit den widerstehenden Kräften.

Die Letzteren bestehen :

a)    in der rückwirkenden Festigkeit des Mauerwerks, d. i. in dem Widerstand, welchen dasselbe einer angestrebten Zusammenpressung beziehungsweise Zerdrückung entgegensetzt;

b)    in der Adhäsion des Bindemittels der Fuge BF;

c)    in der längs dieser Fuge stattfindenden Reibung.

Während die gegen Pressung widerstehenden Kräfte normal zur Fugenfläche gerichtet sind, haben Adhäsion und Reibungswiderstand eine zur genannten Fuge parallele Richtung. Berücksichtigt man nun, D dass fast ausschliesslich bei Steinconstructionen wegen der Regelmässigkeit in der Anordnung derselben alle Kräfte symmetrisch zu einer Ebene vertheilt erscheinen, theilung der im vorliegenden Falle gegebenen Verhältnisse die Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in einer Ebene, und bezeichnen :

— (Y) und 2 (X) die Summen der Projectionen sämmtlicher inneren Kräfte auf die beiden Axen eines rechtwinkligen Coordinatensystems, dessen Axe X mit dem Schnitt von Fugen- und Kräftesymmetrieebene zusammenfallt,

Wittmami, Statik.

man

eine beliebige Fugenebene BF ins Auge, bestimme

Cr

Fig. 1.

-\F

-~Lr

’a

so dienen zur Beur-

X (Yx) die Summe der Momente sämmtlicher inneren Kräfte bezüglich eines in der Axe X beliebig angenommenen Drehpunctes, x₀ den Abstand des Sclmittpunctes der Resultirenden R mit der Fugen ebene von demselben Drehpunct,

e den Winkel der Resultirenden mit der Normalen zur Fuge, so finden die Gleichungen statt:

R Cos e —2 ( Y). RSins = 2(X). xQ Pi Cos s = 2 ( Yx)

(1)

(2)

(3).

Aus Gleichungen (1) und (3) geht hervor, dass die Summe der gegen Pressung widerstehenden inneren Kräfte gleich und entgegengesetzt sein muss der zur Fuge normal gerichteten Componente der Resultirenden R, und dass, wenn Letztere die Fugenfläche in ihrem Schwerpunct schneidet, die Yertheilung der Druckspannungen über der genannten Fläche eine gleichmässige ist. Bezeichnet in diesem Falle ß₀ die Druckfestigkeit des Mauerwerks per Flächeneinheit und F den Flächeninhalt der Fuge, so ist

2(Y) = F.ß₀.

Mit Rücksicht auf den von allen für die Dauer hergestellten Bauwerken geforderten Grad von Sicherheit wird indessen der Berechnung der Querschnittsdimensionen nicht das ganze erfahrungsmässige Widerstandsvermögen des Materials, sondern nur ein gewisser Bruchtheil (in der Regel — bis ^ der Bruchbelastung) als zulässige Beanspruchung zu Grunde gelegt. Bezeichnet demnach ß den unter Berücksichtigung dieses nothwendigen Sicherheitsgrades fixirten Coefficient der rückwirkenden Festigkeit per Quadrateinheit, so geht Gleichung (1) über in

(4).

Pi Cos £ — Fß

Gleiches gilt von den inneren Kräften der Adhäsion und Reibung, so dass, wenn £ den auf ebensolche Weise festgestellten Coefficienten der Adhäsion des Bindemittels an den Steinen und /u den meist mit doppelter Sicherheit angenommenen Reibungscoefficienten bezeichnen, Gleichung (2) übergeht in :

(5).

so

P Sine = FC -\- /uP Cos e Wenn in vorstehendem Ausdruck die Adhäsion vernachlässigt wird, erhält man:

(6),

tang e = g

woraus sich, da g gleich der Tangente des Reibungswinkels, ergibt, dass der Winkel der Resultirenden mit der Normalen zur Fuge gleich oder kleiner sein soll als der Reibungswinkel des Materials.

Würde bei gleich mässiger Dru ek verth eil ung eine Verkürzung des Steinprismas, dessen obere Begrenzung FF bildet, eintreten, so würde diese in der Art stattfinden, dass die Fugenfläche F‘F‘ nach eingetretener Verkürzung ihrer früheren Lage parallel bleiben oder mit anderen Worten sich um eine unendlich ferne gelegene neutrale Axe drehen würde.

Entfernt sich aber der Angriffspunct der Resultirenden R vom Schwerpunct der Fugenfläche, so ist Dies gleichbedeutend mit einer ungleichen Ver-theilung der auf Letztere wirkenden Pressungen und im Falle einer Verkürzung des gedrückten Steinprismas würde die Fuge eine zu ihrer anfänglichen

Stellung geneigte Lage annehmen, d. li. die neutrale Axe würde in endliche Entfernung rücken.

Die äusserste zulässige Grenze nun für die Annäherung der neutralen Axe an den Querschnitt ist diejenige Lage derselben, bei welcher sie mit einer der Begrenzungskanten der Fuge zusammenfällt, denn würde sie diese Kanten überschreiten und in die Fugenfläche selbst eintreten, so würden an dem betreffenden Fugenende die Druckspannungen in Zugspannungen übergehen und die Stabilität des Mauerwerks wäre wegen geringer Zugfestigkeit des Steinmaterials und des Mörtels gefährdet.

Wird also angenommen, die neutrale Axe falle beispielsweise mit der Begrenzungskante FF (Fig. 2 und 2a) zusammen, so wird hieraus die Grenze

•z

Pv

P—x-

13

iF

-Y~

™e~

-X-

._±____

Äi

......

\*

'z

Fig. 2.

Fig. 2 a.

bestimmen sein, bis zu welcher sich der Angriffspunct von JR, der Kante FF nähern darf. Die Thatsache, dass (geringe Formveränderungen vorausgesetzt) die Fugenflächen auch bei ungleich vertheilter Belastung Ebenen bleiben, rechtfertigt die allgemein übliche Hypothese, dass die Pressungen der einzelnen Flächenelemente proportional seien den Abständen von der neutralen Faser.

Bezeichnet desswegen ßK die Gesammtpressung eines unendlich schmalen zur Axe ZZ Fig. 2 a parallelen und um x von derselben entfernten Flächen-

die in diesem Streifen per Quadrateinheit herr-

zu

Streifens aßyd, mithin

ßx

zäx

sehende Pressung, bezeichnet ferner ß die Pressungsintensität per Quadrateinheit in dem um die Länge d von der neutralen Axe entfernten äussersten Flächenstreifen, so besteht die Proportion:

ß:

ßx

zdx

oder

ßx = ~■ z x dx d

daher

F Cos s — -^r [zxdx

d J

und

o

während bei gleichmässiger Druckvertheilung nach Gleichung (4)

R Cos e

Daraus geht hervor, dass wenn der Angriffspunct der Besultirenden die oben bezeichneten Grenzlagen einnimmt, die Druckspannung in den am meisten beanspruchten Flächenelementen doppelt so gross ist als im Falle des Zusammentreffens dieses Angriffspunctes mit dem Schwerpunct der Fläche, und da diese

ZG—=--:

folglich

x₀ R Cos e = -~-Jzx^dx,

o

d

fzx^dx

0

d

fzxdx

o

Bei Steinconstructionen hat man es zumeist mit rechteckförmigen Querschnitten zu thun. Für diese aber ist, wenn d die Breite und e die Länge bezeichnen,

de

R Cos £ = ß —

u

• (8)

und

(9).

x₀ —

Lässt man die neutrale Axe mit der Begrenzungskante FF zusammenfallen und sucht für die neue Axe den zugehörigen Werth x₀‘, so erhält man

Xq =

T*'

In beiden Fällen ist nach Gleichung (8)

2 R Cos £

. . (10)

Druckspannung unter keinen Umständen die grösstzulässige Beanspruchung überschreiten soll, so ergibt sich die Noth-wendigkeit, eine nur halb so grosse Kraft R wirken zu lassen als bei gleichmässiger Vertheilung des Druckes über der Fuge.

\fi

Fig. 3.

Wenn sich der Angriffspunct von R zwischen den erwähnten Grenzlagen, d. h. die neutrale Axe in endlicher Entfernung vom Querschnitt und parallel beispielsweise zur Seite e desselben befindet, so ist mit Bezugnahme auf Fig. 3

ß + ß*

• F=RCos£ .

Da nun die Entfernung f des in Rede stehenden AngrifFspunctes vom Schwer-punct des Querschnittes gleich ist:

d ß— ß‘ 6 ß -J- ß

so erhält man,

Pressung der äussersten Flächenelemente

wenn aus

vorstehenden Gleichungen ß‘ eliminirt wird

die

R Cos e

{>+¥}

di),

aus welcher Gleichung bei bekanntem f die Werthe F oder R den obigen Bedingungen gemäss berechnet werden können.

Die im Vorstehenden gewonnenen Resultate können in folgende Sätze zusammengefasst werden:

1)    Der Winkel der Resultirenden der äusseren Kräfte mit der Normalen zur Fuge soll womöglich den Reibungswinkel von Mau er werk auf Mauerwerk nicht überschreiten. (GleichgeAvicht gegen Gleiten.)

2)    Die Resultirende der äusseren Kräfte muss die betrachtete Fuge innerhalb des mittleren Dritttheils der Mau er stärke schneiden. (Gleichgewicht gegen Kanten und Sicherheit gegen Zugspannunge n.)

3)    Der Flächeninhalt der Fuge muss gross genug sein, um der Inangriffnahme auf Pressung zu genügen, ohne dass die grösstzu lässige Beanspruchung des Mauerwerks überschritten wird. Je nachdem der Angriffspunct der Resul-tir enden im Schwerpunct der Fugen fläche oder an den Grenzen des mittleren Dritttheiles der Mauerstärke oder zwischen diesen Grenzen sich befindet, berechnen sich R beziehungsweise F aus den Gleichungen (4), (10) oder (11).

sr~

2.

Festigkeit der Steinmaterialien.

In nachstehenden Tabellen sind eine Anzahl von Versuchsresultaten über die Festigkeit verschiedener Steinmaterialien zusammengestellt, welche zumeist Professor Bauschingers Mittheilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der polytechnischen Schule in München entnommen sind. *)

Zeitschr. d. bay. Arch. u. Ing. Ver. 1874.

Zugfestigkeit der Steinmaterialien.

Kilogr. per qcm

Gesteinsart.

Zugfestigkeit Festigkeitssenkrecht    coefficient

(zulässige Lager (Zer- Spannung bei reissungs- 20 facher gewicht).    Sicherheit).

zum

Granit, schwarzweisser, von Hauzenberg, Niederbayern .    .    .

desgl., gelblich, ziemlich feinkörnig, von Fürstenstein, Niederbayern ...................

desgl., grobkörnig, St. Gotthard, Schweiz........

Grünstein von Ottendorf, Oberfranken..........

Muschelkalk von Randersacker, Unterfranken.......

Dolomit aus dem fränkischen Jura...........

Sandstein, weisser von Coburg............

Grünsandstein von Kelheim, Niederbayern........

Maschinenziegel, sehr hart gebrannt, aus Ziegeleien bei München

Klinker (Trottoirstein) von A.-Wenz in München......

Perlmooser Portlandcement

nach 60 tägiger Erhärtung.

44,5

22

32

50

27

20

12

5—12

20

10

14

13

14

10,5

Druckfestigkeit der Steinmaterialien.

G esteinsart.

Granit, gelber, sehr weicher von Selb, Oberfranken . . . . desgl., grauer, grobkörniger von Selb, Oberfranken . . . .

desgl., schwarzweisser von Reuth, Fichtelgebirge.....

desgl., hellfarbig, feinkörnig von Luisenburg, Fichtelgebirge . desgl., hellfarbig, grobkörnig von Weissenstadt, Fichtelgebirge desgl., gelblich, grobkörnig von Wunsiedl, Fichtelgebirge .    .

desgl., schwarzweisser von Hauzenberg, Niederbayern .... desgl., gelblich, feinkörnig von Fürstenstein, Niederbayern .    .

desgl., grobkörnig, St. Gotthard, Schweiz........

Diorit von Pfeffelbach, Rheinpfalz...........

desgl. von Rammelsbach, Rheinpfalz..........

desgl. von Rosenberg, Rheinpfalz...........

0,2

0,6

0,2—0,6

Kilogr. per qcm

Druckfestigkeit senkrecht zum Lager (Zer-drückungs-gewicht).

Festigkeits-coefficient (zulässige Pressung bei 20 facher Sicherheit).

545

800

910

1090

1430

1070

1020

850—1000

800

1190

1430

27

40

45

54

71

53

51

42—50

40

59

71

Gesteinsart.

Druckfestigkeit senkrecht zum Lager (Zer-drüokungs-gewicht).

Festigkeits-eoefficient (zulässige Pressung bei 20facher Sicherheit).

Diorit von Steinberg, Rheinpfalz...........

Grünstein von Ottendorf, Oberfranken.........

Trachyt von Sohndorf bei Giessen...........

Glimmerschiefer von St. Gotthard, Schweiz.......

Urkalk, weisser Marmor von Schlanders, Tyrol......

Muschelkalk (Schaumkalk) von Münnerstadt, Unterfranken .    .

desgl. von Randersacker, Unterfranken.........

desgl., sehr dicht und hart von Kronach, Oberfranken .    .    .

desgl. vom Tuniberg, Eisass.............

Leithakalk von Fischau-Wollersdorf bei Wien......

Jurakalk, rother von Tegernsee, Oberbayern.......

desgl. aus dem fränkischen Jura, von Pappenhehn.....

Marmor, Untersberger, Oberbayern..........

Kieselkalkstein der Nummulitenschichten (Rosenheimer Marmor),

Oberbayem.................

Dolomit von Pappenheini aus dem fränkischen Jura ....

desgl. von Hersbruck aus dem fränkischen Jura......

desgl. von Abbach ans dem fränkischen Jura.......

desgl. hellgrau und dicht von Oed zwischen Hartmannshof und

Etzelwang.................

Blasendolomit, löcherig und porös, vom Distelwald bei Bergen Grauwacke, schwarzgrau, grobkörnig von Ludwigstadt, Ober-

franken ..................

Buntsandstein, grau, grobkörnig von Kronach, Oberfranken .    .

desgl., roth, feinkörnig, sehr quarzreich, Findling, aus den

Waldungen des Saalthaies, Unterfranken......

desgl., roth, feinkörnig von Bettingen bei Wertheim .... desgl., dunkelroth, feinkörnig von Durlach, Baden .... desgl., weiss, feinkörnig von Heigenbrücken bei Aschaffenburg desgl., roth, quarzreich, ziemlich grobkörnig von Lindenberg,

Rheinpfalz.................

desgl., roth, von Anweiler, Rheinpfalz.........

desgl., gelb, grobkörnig von Trebgast, Oberfranken .... Keupersandstein (unterer bunter Keuper) von Sulz, Württemberg desgl. (unterer bunter Keuper) von Heilbronn, Württemberg desgl. (unterer bunter Keuper) von Lichtenau, Mittelfranken .    .

Bau- oder Semionoten - Sandstein, oberer bunter Keuper von

Eltmann, Unterfranken ............

Burgsandstein, hellroth, oberer bunter Keuper von Nürnberg . Bausandstein, im oberen Keuper oder rhätischen Stockwerk,

gelb, grobkörnig von Bamberg .........

desgl., weiss, feinkörnig von Coburg..........

Grünsandstein von gelber Farbe, feinkörnig von Regensburg .

1650

1500

575

1040

900

571

440

1600

750

770

975

1100

906

745

1300

880

1000

1300

82

75

29

52

45

28

22

80

37

38

49

55

45

37

65

44

50

65

306—370    15—18

1450

340

1855

780

840

280

560

460

263

606

440

180

460

210

CO CO M CO M CO OT 05 O

72

17

68

39

42

14

28

23

13

30

22

23

10

l—i

co Oi cd

Gesteinsart.

Druckfestig- Festigkeits-keit senk-    coefficient

recht zum    (zulässige

Lager (Zer- Pressung bei drückungs-    20 fach er

gewicht). Sicherheit).

desgl., löcherig und leicht von Polling bei Weilheim, Oberbayern Gewöhnlicher Mauerziegel aus der Fabrik Wienerberg bei Wien Mauerziegel ebendaher, mit der Hertel’schen Maschine erzeugt Gewöhnliche Mauerziegel verschiedener Ziegeleien in der Umgebung von Wien..............

desgl. von Coburg................

desgl. von Augsburg................

Hohle Mauerziegel aus der Fabrik Wienerberg mittels der Hertelschen Maschine erzeugt:

a)    mit 3 Hohlräumen in der Längsrichtung des Steines

vom Querschnitt 2,5 X 3,0 cm; die Rippen zwischen den Hohlräumen, sowie die äusseren ungefähr gleich stark; Format: 6,5 X 13,2 X 29,0 cm;.....

b)    mit 4 Hohlräumen in der Breitenrichtung des Steines

von je 3,0 X 4,0 cm Querschnitt; sämmtliche Zwischen-und Aussenrippen ungefähr gleich stark; Format: 7,0 X 15,7 X 24,5 cm;...........

c)    mit 16 in zwei Reihen geordneten Hohlräumen, welche der Breite nach gehen und je 1,7 X 1,8 cm Querschnitt haben; die Zwischen- und Aussenrippen gleich stark; Format: 6,5 X 14,5 X 23,5 cm ...

Klinker (Trottoirstein) von A. Wenz in München.....

Perlmooser Portland-Oement

reiner Cement...........

nach 60tägiger Erhärtung

Luftmörtel, gut erhärtet..............

Gewöhnliches Ziegelmauerwerk, verbunden durch Mörtel von 1 Theil Perlmooser Portland-Cement und 3 Theilen feinem

Isarsand, nach 90tägiger Erhärtung........

desgl. mit Mörtel von 1 Theil Perlmooser hydraulischem Kalk

und 3 Theilen feinem Isarsand.........

desgl. mit gewöhnl. Luftmörtel von 1 Theil Kalk und 3 Theilen Sand

O O

T—I

CM CO

o o o

io O r-H

CO Ci) io

O    O    (M    T-H    t>.    O

CO    CO    OO    00    CO

<X)    ^    r-l    |H    <M

CO    io IO (M ^

H H H ^ Ol CO (N

I> ^ Ci H

100—200

130—200

5— 10

6— 10

160

42-50    2,1-2,5

46

50

650—720

32—36

234

227

193

173

161

36-80

95

12

11

10

1,8—4,0

CO CÜ'

Nachstehende Tabelle gibt nach Rondelet die Belastungen, welche die als am kühnsten bekannten Säulen und Pfeiler zu tragen haben.

Die Belastung beträgt:

„    „    Pfeilern    des    Pantheon zu Paris

„    „    Pfeilern    des    Thurmes der Kirche    zu St. Mery ,,

,,    „    Säulen in der Kirche St. Paul bei Rom

„    „    Pfeilern    des    Domes St. Paul in    London

„    „    Pfeilern    des    Domes St. Peter in    Rom

Schubfestigkeit der Steinmaterialien.

Richtung

der

v>

•n

1}

Kilogr. per qcm

Gesteinsart.

Schub

kraft

gegen

das

Lager.

Festigkeits-Schub- coefficient festigkeit (zulässige Be-(Abschee- anspruchung rungskraft). bei 10 facher Sicherheit).

Granit, gelblich, grobkörnig von Wundsiedl, Fichtelgebirge ...............

= I—

6,7

desgl., schwarzweisser von Hauzenberg, Niederbayern .

l Lager 67 Lager 100 127 u. 93 12,7 u. 9,3 109 u. 90    10,9 u. 9

10

desgl., gelblich, feinkörnig von Fürstenstein, Niederbayern ....... .........

82 u. 100    8,2 u. 10

60 u. 75    6,0 u. 7,5

Diorit, Rheinpfalz

40

60

Grünstein von Ottendorf in Oberfranken

80

90

Muschelkalk von Kronach, Oberfranken .

desgl. vom Tuniberg, Eisass

Leithakalk von Fischau-Wollersdorf bei Wien .    .

Dolomit von Pappenheim (fränkischer Jura) .    .    .

<1 ^ OT DO ÜT ^ OT O ^ CO    *d o

desgl. von Hersbruck (fränkischer Jura) desgl. von Abbach (fränkischer Jura) .

Grauwacke von Ludwigstadt, Oberfranken.....

Buntsandstein, grau, grobkörnig von Kronach, Oberfranken ...............

© OO 05 oo

co co o o

© oo o 00 I CO CO    ¹

desgl., roth, Findling aus dem Saalthal, Unterffanken desgl., roth von Anweiler, Rheinpfalz.......

H= 1 H =

T—i co o co o

CQ h O 03 CO

05 CO ©

der

Gesteinsart.

Schub

kraft

gegen

das

Lager.

Schub

festigkeit

(Abschee

rungskraft).

Festigkeits-coefficient (zulässige Beanspruchung bei lOfacher Sicherheit).

Keupersandstein, unterer bunter Keuper, roth, feinkörnig von Sulz, Württemberg..........

j. zum Lager 75 II zum Lager 52

Ot

io 'bx

Bausandstein im oberen Keuper oder rbätiscben Stockwerk von Bamberg...........

desgl., weiss, feinkörnig von Coburg.......

15 u. 24    1,5 u. 2,4

16

1,6

18

1,3

Grünsandstein, grünlich, feinkörnig von Kelheim, Niederbayern ................

32

17

desgl., blassgrün, feinkörnig von Abbach, Niederbayern

29

20

Molassesandstein, blau, feinkörnig, Allgäu . .

= I-

43

20 u. 44

CO

N l> 02 O co co t-T cq -tF ^

Kalkt uff, löcherig von Huglfing bei Weilheim, Oberbayern ................

36

II

33

co eq cd co

Maschinenziegel aus der Münchener Actienziegelei, sehr

hart gebrannt.............

desgl. ebendaher, sehr weich, mit deutlich sichtbarer Faserstructur.............

56—66

5,6—6,6

längs der Faser-riclitung 10 quer durch die Fasern 16,5

desgl. aus der Fabrik von Gued in Speier.....

gewöhnliche Mauerziegel aus verschiedenen Ziegeleien

der Umgegend von Augsburg.......

Klinker, Trottoirstein von A. Wenz in München .    .    .

Perlmooser Portland - Oement

‘ reiner Cement........

1 Theil Cement und 1 Theil Sand . 1 Theil Cement und 2 Theile Sand . 1 Theil Cement und 3 Theile Sand . 1 Theil Cement und 4 Theile Sand .

nach 60tägiger Erhärtung

27

JO h-i «<1

17

1,7

37,5—40

3,7—4

18

28

26

25

22

1,8

2,8

2,6

2,5

2,2

Adhäsion der Bindemittel an den Steinen.

Kilogramm per qcm

Bezeichnung der Materialien.

Adhäsion

Adhäsionscoefficient bei lOfacher Sicherheit

für Schub für Zug für Schub für Zug

Ziegelsteine, verbunden mit Cementmörtel

nach ca. 30tägiger Erhärtung bei einem MischungsVerhältnis s von

1 Theil Cement und 1 Theil Sand . 1 Theil Cement und 2 Theile Sand 1 Theil Cement und 3 Theile Sand Ziegelsteine, verbunden mit Luftmörtel

I to I—'1 ¹ © CO OS

O tj*. Ol I—*

CO CO o

^ t-h <M ©~ ©' ©

Reibungscoefficienten der Steinmaterialien.

Nach Versuchen von Boistard beträgt der Reibungswinkel cp für harten Kalkstein mit rauh bearbeiteten Oberflächen auf demselben Materiale 37° 58', daher g = fang cp = 0,78 .

Nach Rondelet ist für feinkörnigen Kalkstein bei guter Bearbeitung <jp = 30°, daher g = 0,577.

Nach Perronet fangen die Gewölbesteine auf den Fugenflächen zu gleiten an, wenn die Steigung derselben gegen den Horizont 39 bis 40° beträgt, daher ^=0,81 bis 0,84.

Nach Morin und R e m i n ist:

fp = 36° 10' und g = 0,74 <p = 36°42/ und ^ = 0,75 cp = 33° 50' und g = 0,67

cp = 3Q° 30* und ^=0,74 <p = 35° 0' und g = 0,7

(p = 33°50; und ^ = 0,67

cp = 33° 26' und ^=0,66 cp = 26° 7' und ^ = 0,49.

für O o 1 i t h auf O o 1 i t h , trocken für Muschelkalk auf Oolith, trocken für Ziegelstein auf Oolith, trocken für Oolith auf Oolith mit einer Zwischenlage von Mörtel, bestehend aus 3 Theilen feinem Sand und 1 Theil hydraulischem Kalk nach 10 bis 15

Minuten Berührung......

für harten Kalkstein auf dergl. für gewöhnlichen Ziegelstein auf hartem Kalkstein, gut behauen für gutbearbeiteten Granit auf

rauhem Granit......

für desgl. mit frischem Mörtel

Die Versuche von Bukowsky sind in nachstehender Tabelle ver

zeichnet :

Reibungswinkel

bei nachstehender Beschaffenheit der Lagerflächen.

Reibungswinkel für Mauerwerk

im

Bezeichnung des Steines und Bearbeitung der Lagerflächen.

Die Steine waren trocken.

Die Steine wurden ruhig in Mörtel gelegt.

Die Steine wurden in Mörtel gelegt und durch einige Ham-merschläge angedrückt.

Minimum.

Maximum.

Platten von weichem Sandstein von Zehrowitz

in Böhmen, rein bearbeitet......

Platten von mittelhartem Sandstein von Zehrowitz in Böhmen, rauh bearbeitet .... Feiner Sandstein von Nehvizd in Böhmen,

rein bearbeitet..........

Granit von Lonnowitz in Böhmen und harter Sandstein von Zehrowitz, gekrönelt . .    .

Platten von hartem rothen Marmor von Sli-

wenetz in Böhmen, gekrönelt.....

desgl. rein geschliffen........

26°30' 31°10'

39°20' 32°40'

34°0' 32°40‘

34°0' 26°30'

35°30' 26°30’ 36°50' 26°30'

57°20‘

43°50‘

43° 20¹

39°20'

28°10‘

26°30'

31°    57°

32°    43°

32°

43°

26°

26°

26°

39°

28°

26°

§ 3.

Specielle Fälle.

A. Eine freistehende Mauer (Fig. 4) von der Höhe h und dem Gewichte g der Cubikeinheit, deren rechteckförmiger Horizontalschnitt die Breite d und die zur Zeichnungsebene senkrechte Länge e=1 hat, ist durch eine in der verticalen Axe MM der Mauer wirkende Kraft P beansprucht.

Da für jeden beliebig angenommenen Querschnitt die Kesultirende der äusseren Kräfte vertical gerichtet ist, so wird man, um die Möglichkeit des Gleitens einzelner Theile des Mauerkörpers über den Fugen auszuschliessen, die Lagerfugen als Horizontalebenen anordnen.

_\j/_

M.

iS'Ä,"

Die grösste Beanspruchung durch äussere Kräfte erleidet offenbar die unterste Lagerfuge AD, deren Fläche Fh sich aus der Gleichung bestimmt:

woraus

(l ß~ha

. (12).

Erhält die Mauer durchaus die constante Breite d, so nehmen selbstverständlich für jede folgende Schichte vom Fundamente an aufwärts gerechnet die Druckbeanspruchungen per Flächeneinheit ab.

-----d->

Fig. 4.

Soll Dies nicht der Fall sein, sollen für jede Lagerfuge die Pressungen per Quadrateinheit gleich gross, nämlich gleich der grösstzulässigen sein, so müssen die Querschnitte in verschiedenen Höhen ver-

schiedene Grösse erhalten und das Gesetz der Veränderlichkeit derselben wird auf folgende Weise bestimmt:

Die Fläche Px irgend eines in der Entfernung x (Fig. 5) von der oberen Begrenzung genommenen Horizontalschnittes ist gegeben durch:

Px=-=

+ffF

Durch Differentiation und nachfolgende Integration erhält man:

"X*

'V

Logn

Px

Po

0

^rX

3C

ix

oder

Px = P₀. h

wobei h die Basis des natürlichen Logarithmensystems und P₀ die Querschnittsfläche der oberen Mauerbegrenzung bezeichnen.

Da

F₀.ß = P

so ist

"Co co

P

F* = --.k    .

.    .    (13).

Fig. 5.

Ist F₀ bestimmt und sollen alle Horizontalschnitte ähnliche Figuren geben, so findet man eine homologe Seite dK zu der für den oberen Schnitt berechneten d₀ aus der Gleichung

(14>

<P =

haben aber alle Querschnitte die constante Länge = 1, so ergibt sich

da

m²

m³

1.2

1.2.3

die Mauerdicke für jeden Werth von x aus der Gleichung:

dx

£./

- X-j-

g²x²

•    (15).

B. Eine freistehende Mauer von der Höhe h (Fig. 6) und dem Gewichte gderCubikeinheit ist durch eine in ihrer Sch wer-axe wirkende Kraft P und eine in der Entfernung a von der Oberfläche angreifende Kraft Ii beansprucht.

Die Letztere sucht eine Abscheerung des Steinmaterials oder auch eine Trennung der zwischen den horizontal angenommenen Fugen befindlichen Mörtelbänder zu bewerkstelligen.

Da die Schubfestigkeit des Steinmaterials im Allgemeinen die Adhäsion des Bindemittels übertrifft, so wird die Gefahr der Trennung an den Fugen grösser sein als im übrigen Mauerkörper und es genügt bezüglich des Widerstandes der Mauer gegen horizontale Verschiebung die Fugenflächen allein in den Bereich der Untersuchung zu ziehen.

Bezeichnet Pb die Fläche der zunächst unterhalb der Kraft H gelegenen Lagerfuge EF und Qb das Gewicht des über derselben befindlichen Maüer-körpers₇ so muss die Gleichung erfüllt werden :

FhZ+/i(P+Qb) = H

'yf\

und weil für alle tiefer liegenden Schichten der Widerstand gegen Verschiebung wächst, so ist, wenn vorstehender Gleichung Genüge geleistet wird, die Stabilität auch des ge-sammten übrigen Mauerwerks gegen Angriff-nahme in dem erwähnten Sinne gesichert.

Kl

K"

Fig. 6.

Wenn Fh und Qb als Functionen der unbekannten Mauerstärke FF ausgedrückt werden, lässt diese sich bestimmen. Für Mauern, deren zur Zeichnungsebene senkrechte Länge = 1 und deren constante Stärke d beträgt, ergibt sich, wenn mit b der Abstand der Fuge FF von der Oberfläche bezeichnet wird,

K—liF

b '

• (iß).

Ausser dem Widerstand gegen Abscheerung muss ferner für jede Lagerfuge genügende Sicherheit gegen die Möglichkeit auftretender Zugspannungen sowie gegen Umkanten vorhanden sein. Es darf zu diesem Ende die Resultirende des gesammten Mauergewichtes Q und der Kraft II die unterste Lagerfuge AD nicht ausserhalb der Puncte K‘ und F“ schneiden, durch welche diese Fuge in drei gleiche Theile getheilt wird. Für den als Momentenpunct gewählten Punct KJ findet daher, wenn k dessen Abstand von der Schwerlinie der Mauer bezeichnet, die Gleichung statt:

H(h — a) — (P+Q)k= 0,

aus welcher die untere Breite der Mauer bei AD bestimmt werden kann.

Der einer constanten Mauerdicke entsprechende Werth von d berechnet sich der in Rede stehenden Bedingung gemäss aus der Gleichung:

Jiq

.    .    (47).

P , H

-—d = ß^~

(li — a)

Ausser den durch Vorstehendes für die Bestimmung der Mauerstärke gegebenen Anhaltspuncten ist schliesslich noch zu berücksichtigen, dass jede Lagerfläche genügende Sicherheit gegen Pressung gewähre. So besteht für die Fläche Fq der oberen Begrenzung die Bedingungsgleichung:

F₀ß = P,

während der Flächeninhalt Fb der Fundamentfläche, wenn beispielsweise die Resultirende dieselbe an der äussersten zulässigen Grenze in KJ schneidet, aus der Gleichung

Fhß = 2(P+Q)

oder

berechnet wird.

Auf graphischem Wege erhält man leicht die den angenommenen Lagerfugen FlF₁, E₂F₂, F.äF₃ und AD (Fig. 7) zugehörigen Resultirenden der äusseren Kräfte, wenn man in einem besonderen Kräftepolygon (Fig. 7 a) 0 0

---

Ä-r

a

2--

<-

-H

Fig. 7.

Fig. 7 a.

nach Grösse und Richtung' gleich H macht und auf einer durch 0 gelegten Verticalen der Reihe nach 0 1 gleich P, 12 gleich dem Gewichte des Mauerkörpers BCF₁E₁, 2 3 gleich dem Gewichte von E₁F₁F₂F₂ u. s. f.; endlich 4 5 gleich dem Gewichte von E₃F₃AD aufträgt.

Die Strahlen 02, 03.... Oh geben die gesuchten Resultirenden; ihrer wirklichen Lage nach erhält man dieselben in den durch den Schnittpunct % von II und der Schwerlinie der Mauer zu den einzelnen Strahlen gezogenen Parallelen.

j5T₄ , in welchen die aufeinander folgenden Fugen von den auf sie wirkenden Mittelkräften geschnitten werden, wird die Stützlinie der Mauer genannt.

Die Verbindungslinie der Puncte Kl, _ZT₂

§ 4.

Freistehende unbelastete Mauern und Umfassungsmauern.

Bei Mauern, welche, abgesehen vom Eigengewicht, keiner oder nur ver-hältnissmässig geringer Inangriffnahme durch äussere Kräfte ausgesetzt sind, ergeben sich meist die auf Grund der rein statischen Gleichgewichtsbedingungen berechneten Dimensionen geringer als es mit Rücksicht auf andere Verhältnisse für die Anwendung rathsam ist. In solchen Fällen bestimmt man die Mauerstärke entweder nach Maassgabe practischer Ausführungsgründe oder mittels

empirischer durch die Erfahrung an ausgeführten Constructionen bewährter Regeln.

So ist für das Minimum der Stärke einer Mauer , soll anders die Herstellung eines regelmässigen Verbandes möglich sein, vor Allem maassgebend die Form und Beschaffenheit des Materials. Während Mauern aus Hausteinen fast in jeder beliebigen Dicke ausgeführt werden können, wird sich bei Backsteinen die Steinbreite als Minimum der Mauerstärke herausstellen. Mauerwerk aus lagerhaften Bruchsteinen kann nicht leicht unter 0,4 m Stärke und nur bei besonders gutem Material und sorgfältiger Arbeit in einer Stärke von 0,3 m hergestellt werden. Bei unregelmässigen Geschiebesteinen beträgt die geringste Mauerdicke 0,6 bis 0,7 m.

Nach den Regeln, welche Rondelet den noch stellenden Mauern in den Ruinen der altrömischen Stadt Adrienne abstrahirt hat, soll die Stärke d einer

bei mittlerer

h

guten Backsteinmauer von der Höhe /^ bei grosser Stabilität —

angenommen werden. Die Stärken von Mauern

— und bei geringer Stabilität

10 S ö 12

aus anderen Materialien sind, wenn die der Backsteinmauern gleich 1 gesetzt wird, nach folgenden Verhältnissen zu bestimmen: Haustein 0,8, lagerhafte Bruchsteine 1,25, Mauern aus Geschieben 1,9.

Es ist erklärlich, dass Eckmauern eine grössere Stabilität besitzen als einfache Mauern. Hienach gibt Rondelet für Backsteinmauern, welche im Grundriss eine geschlossene Figur bilden, folgende Regel:

Man setze die längste Seite ab = l c mit der Höhe b C = h zu einem recht-

Fig. 8.

winkligen Dreieck (Fig. 8) zusammen, theile die Höhe bc in 8, 10 oder 12 gleiche Theile, jenachdem man der Mauer eine grössere oder geringere Stabilität geben will, trage einen solchen Theil -r, cd von c aus auf ca auf, ziehe de parallel zu bc, so bestimmt be die gesuchte Stärke d der Mauer:

hl

v]/'l² + h² *

Für Mauern aus Hausteinen, Bruchsteinen oder Geschieben ist die Stärke nach den angegebenen Verhältnissen zu modificiren.

Für kreisrunde Mauern ist nach Rondelet der vierte Theil des Durchmessers des äusseren Kreises mit der Höhe in gleicher Weise zusammenzusetzen und die Mauerstärke wie vorstehend für gebrochene geschlossene Mauern zu bestimmen.

Was die Stärke der Umfassungsmauern von bewohnten Räumen anlangt, so ist dieselbe unter Anderem von dem Schutze abhängig, den solche Mauern gegen atmosphärische Einflüsse und Temperaturveränderungen gewähren sollen. In dieser Beziehung gilt als Regel, dass Umfassungsmauern aus Backsteinen wenigstens 1 Stein, besser l¹/^ Stein stark auszuführen sind. Ist dabei das Gebäude mehrstöckig, so gelten diese Dimensionen natürlich für die oberste Etage und man vermehrt für jede der tiefer gelegenen die Mauerstärke um V₂ Stein. Sind indessen die einzelnen Stockwerke nicht über 3,5 bis 4 m

hoch und beabsichtigt man nicht Etagenbalkenlagen auf die Mauerabsätze zu legen, so kann man die vorhin angegebene Mauerstärke auch für zwei aufeinander folgende Stockwerke beibehalten und erst beim dritten ¹/₂ Steinstärke zugeben.

Scheidemauern, wenn sie nicht besondere Lasten aufzunehmen haben, in welchem Falle ihre Dimensionen nach Gleichung (12) zu bestimmen sind, gibt man durch mehrere Stockwerke 1 Steinstärke.

Nach Redtenbacher bestimmen sich die Stärken der Frontmauern für Wohn- und Fabriksgebäude, wenn t die zur Frontmauer senkrechte Tiefe des Gebäudes, lix, h₂, Ji₃ die Höhen der Stockwerke in der Richtung von oben nach unten gezählt und dx, d₂, d₃ die Mauerstärken in den einzelnen Stockwerken bezeichnen:

25

dx

d₂

7^l -f- Ji₂

25

25

d>~~ 40

R o n d e 1 e t gibt für die Bestimmung der Stärke von Frontmauern folgende Regeln:

Hat das Gebäude nur eine Reihe Zimmer der Tiefe nach und bezeichnet t die Gebäudetiefe und h die Etagenhöhe, so ist:

₇    27 + 7*

48

Cv

Hat aber das Gebäude zwei Reihen Zimmer der Tiefe nach, so ist

48

d=

wenn d die Mauerstärke des obersten Geschosses bezeichnet.

§ 5.

Stützmauern.

Mauern, welche zur Unterstützung und zum seitlichen Abschluss von Erdmassen dienen, werden Stützmauern genannt. Die richtige Anordnung und Dimensionirung derselben setzt eine hinreichende Kenntniss der Pressungen voraus, welche durch den Erdkörper auf die Mauer ausgeübt werden. Es sollen desshalb im Folgenden zunächst diese Pressungen bestimmt werden. Dass hiebei ausschliesslich die Methoden der graphischen Darstellung Anwendung fanden, möge durch die grössere Einfachheit derselben und mit Rücksicht auf den hier überhaupt erreichbaren Grad der Genauigkeit seine Erklärung finden.

A. Erddruck bei unbelasteter ebener Terrainoberfläche.

Wenn sich ein Körper vom Gewichte Q auf einer schiefen Ebene befindet,

so ist die Kraft S, mit

welche den Winkel a mit dem Horizont einschliesst welcher der Körper unter Berücksichtigung der stattfindenden Reibung abwärts zu gleiten sucht, durch die Gleichung gegeben:

. . (18).

S— Q (Sin a — ju Cos a)    , •

Wittmann, Statik.

denn die Reibung, unabhängig von der Grösse der gleitenden Fläche, ist proportional dem auf die schiefe Ebene wirksamen Normaldruck.

Jener Neigungswinkel a‘ der schiefen Ebene, bei welchem die Reibung ein Gleiten des Körpers gerade verhindert, wird der Reibungswinkel genannt, und da in diesem Falle S im vorstehenden Ausdrucke gleich 0 wird, so ergibt sich

d. h. die trigonometrische Tangente des Reibungswinkels ist gleich dem Reibungs-coefficienten /u.

Aehnliche Verhältnisse wie beim Gleiten fester Körper auf schiefer Ebene treten auf, wenn Theile einer lockeren Erdmasse auf einer geneigten Unterlage sich befinden, welche ebenfalls aus Erdmaterial gebildet ist. Wenn eine solche Erdmasse von verschwindend kleiner Cohäsion auf einer ebenen und festen Unterlage aufgeschüttet wird, so bleibt der dadurch entstehende Körper nur dann im Gleichgewicht, wenn seine obere Begrenzung mit der Horizontalen einen Winkel bildet, bei welchem es die Reibung gerade verhindert, dass die auf der Oberfläche befindlichen Massentheilchen abrutschen. Dieser Winkel, der Reibungswinkel von Erde auf Erde, wird hier auch der natürliche Böschungswinkel genannt.

Befindet sich über der natürlichen Böschungsfläche AN (Fig. 9) ein weiterer Erdkörper AJBN, so wird derselbe, die Cohäsion der Erde als nicht

8,

Fig. 9.

wirksam vorausgesetzt, abrutschen und die Trennungsfläche (Bruchfläche) wird hier die der natürlichen Böschung sein. Denkt man sich nun, um das Erdprisma AHN vor dem Abgleiten zu bewahren, eine Stützmauer AB angelegt (Fig. 10), so wird in Folge des Widerstandes, den die Letztere der Bewegung des Erdkörpers entgegensetzt, die Bruchfläche nicht mehr mit der Ebene der natürlichen Böschung zusammenfallen, sondern eine andere vorläufig noch unbekannte Lage und Form annehmen. Diese Bruchfläche und die grösste Beanspruchung, welche die Stützmauer durch das abstürzende Erdprisma erleidet, zu bestimmen, ist die nächste Aufgabe, zu deren Lösung folgende Voraussetzungen gemacht averden:

1) Die Bruchfläche sei eine Ebene.

Da Dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist, die Bruchfläche vielmehr im Allgemeinen als gekrümmte Fläche auftritt, so können die auf Grund in Rede stehender Hypothese gewonnenen Resultate nur als Näherungswerthe betrachtet werden.

2) Die Erdmasse besitze keine Cohäsion.

Cohäsion und Reibung gelangen innerhalb einer Erdmasse nicht gleichzeitig zur vollen Wirksamkeit, vielmehr tritt die letztere erst dann in Activität, wenn die erstere ganz oder zum grössten Theil aufgehoben ist. Da es nun vor Allem darauf ankommt, der ungünstigsten Beanspruchung einer Stützmauer Rechnung zu tragen und diese bei frisch aufgeschüttetem oder gänzlich durchfeuchtetem Erdreich stattfindet, in welchen Fällen die Cohäsion verschwindend klein wird, so erscheint obige Annahme nicht ungerechtfertigt.

Eine Stützmauer, deren hinteren Begrenzungswand AB (Fig. 10) mit der Verticalen den Winkel ß einschliesst, diene zum seitlichen Abschluss einer Erdmasse, welche nach oben durch eine ebene unter dem Winkel y gegen den Horizont geneigte Terrainfläche begrenzt ist. AN sei die Ebene der natür-

liehen Böschung, welche mit der Horizontalen den Reibungswinkel (f)₁ der Erdmasse einschliesst, cp₂ sei der Reibungswinkel von Erde auf Mauerwerk. Gesetzt ACl wäre die Bruchfläche, so wäre der abrutschende Erdkörper

JV

Cr

.7}

W'

/s"

f/

Pig. 10.

durch ein Prisma gegeben von der Grundfläche AS C± und einer senkrechten Länge, welche jetzt und in der Folge gleich der Längeneinheit angenommen werden soll. Auf diesen Erdkörper, welcher als ein zwischen den Gleitebenen AJB und AC₁ befindlicher Keil betrachtet werden kann, wirken drei Kräfte, nämlich das bekannte Gewicht Qx des Erdprismas und die von den beiden Gleitebenen geleisteten Widerstände Px und T₁, und jeder der Letzteren kann als die Resultirende aus der normalen Reaction N‘ beziehungsweise Nu der Gleitebene und dem längs derselben wirksamen Reibungswiderstand S‘ beziehungsweise Sn betrachtet werden.

Bezeichnen nun e' und e/J die Winkel, welche Px und Px mit den Normalen zu den betreffenden Gleitebenen einschliessön, so ist

N“

Cos e"

Pi

N‘

Cose‘

und T₁

Da aber gleichzeitig

oder

Pi = }/N‘²-\-S'² und P1 = |/iV//2+ S“²

oder

Pj = NJ |/l + tang² <p₂ und 2\

Nu j/l -f- tang- cpx

A⁷'

JV"

und

Cos rpt

e‘ — cp% und e" = ^ ,

d. h. die Widerstände der beiden Gleitebenen AS und AC± müssen mit den Normalen zu diesen Ebenen die Reibungswinkel cp₂ und <pt einschliessen ¹).

so ist auch

Cos cp₂

Man erhält desswegen die bei angenommener Bruchfläche ACX (Fig. 11) auf Stützmauer und Bruchfläche ausgeübten Drücke, wenn man Q₁ in zwei Compo-

JV

er

C.

V,

*p-

JL

Fig. 11.

nenten zerlegt, welche mit den Normalen zu AGX bezw. AB die Winkel cpx und cp₂ einschliessen. Das Kräftedreieck Q \ xx (Fig. 11a), in welchem 0 1 nach Grösse und Richtung gleich Q₁ aufgetragen ist, ergibt diese Kräfte Tx und Pj als Längen xx 1 und 0 xt ebenfalls der Grösse und Richtung nach. Zugleich erkennt man, dass, wenn vom Schnitt Cx der angenommenen Bruchfläche mit dem Terrain eine Linie C₁D₁ gezogen wird, welche mit der Senkrechten zur Ebene der natürlichen Böschung den Winkel cp% — ß einschliesst, Dreieck ca d also auch Dreieck 0 l xx ähnlich ist dem Dreieck ACXD Winkel ade = 90° — (cp₂ — ß) = ADx Cx und Winkel ca d= 90°—cpx— EACX = C₁AD₁.

Einer weiteren angenommenen Bruchfläche A C2 mit dem Gewichte 0 2 des Bruchprismas entsprechen die Längen 0 x₃ und x₂ 2 im Kräftepolygon als Drücke auf Stützmauer und Bruchfläche und auch hier ist Dreieck 0 2 Xs ähnlich dem Dreieck A C₃ D% .

Fährt man in gleicher Weise fort, indem man eine grosse Anzahl weiterer Bruchflächen annimmt und die denselben entsprechenden Werthe von T und P bestimmt, von welchen die Letzteren alle auf der Geraden 0 X des Kräftepolygons abgesehnitten werden, so wird man in -dem grössten der so sieh ergebenden Werthe 0 xx, 0 x₂ u. s. f. das Maximum des auf die Stützmauer gerichteten Erddruckes erhalten, welchem die wirkliche Bruchfläche entspricht. Dabei bringt man einfacher das Kräftepolygon in eine solche Lage, bei welcher

Fig. 11a.

denn

/

%

/

/

H

«S

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Ir-

ist

Fig. 12.

't'l

4L ^

*5*

i

if

ro

\f*i

%

Rl

«r

der Punct 0 mit A und die Kräfteverticale 0 2 in die verlängerte Gerade ANJ des natürlichen Böschungswinkels zu liegen kommt. Dann fällt 0 x in die Richtungslinie AK, welche mit AS den Winkel cp, -J- <p₂ einschliesst, und die Kräftelinien x, ‘ 1 und x₂ ‘ II der Lagerdrücke auf die Bruchflächen A C, und AC₂ werden parallel diesen selbst. Zur directen Bestimmung der Bruchfläche und des grössten Erddruckes auf die Mauerwand AS dient dann folgende Betrachtung:

Man nehme innerhalb der gestützten Erdmasse ASN (Fig. 12) eine Anzahl beliebiger Bruchprismen an, deren Gewichte proportional sind den Dreiecksflächen ASc,, ASc₂, AScs u. s. f., also auch den Höhen dieser Dreiecke c, 1, c₂ 2, c₃ 3 über der gemeinschaftlichen Basis AS. Die Höhen trage man auf der Geraden AN‘ von A aus auf und ziehe durch die End-puncte der so erhaltenen Abschnitte parallele Gerade zu den jeweiligen Bruchflächen , dann umhüllen die letzterwähnten Geraden eine Parabel, welche zugleich an den Geraden AN/ und AS tangirt.

Der grösste Abschnitt, welcher auf AS von irgend einer der so bestimmten Parabeltangenten gebildet wird, ist gleich dem Maximalwerte von P und es ist klar, dass diejenige Tangente, deren Berührungspun ct auf AS liegt, gleichzeitig die Bruch fläche und den grössten au i AS wirksamen Erddruck ergibt.

Um jene Tangente zu erhalten, berücksichtige man Folgendes :

Wenn durch die Puncte I, II u. s. f. Parallele zu SN gezogen werden, so haben wegen Aehnlichkeit der Dreiecke

iir^ASc,

IIII2' <xi ASc₂ u. s. f.,

ferner wegen Aehnlichkeit der Dreiecke AIV, AIH u. s. f. mit dem Dreieck ASN die Strecken I 1', II 2' u. s. f. alle gleiche Länge und diese Länge, welche mit e bezeichnet werden soll, kann bestimmt werden, wenn NN senkrecht zu AS gezogen wird, denn aus den drei Proportionen :

e : AS — IV: Sc, 11:0,1 = SN: AN 0,1 : Sc, = NN : SN

folgt die weitere:

e: AS = NN: AN,

und wenn die Länge NN von N aus auf NA aufgetragen und EE‘ parallel zu AS gezogen wird, so ist EE‘ = e.

Das Entstehungsgesetz der Parabel kann nun auch dadurch als gegeben betrachtet averden, dass auf der Geraden AS eine Strecke von der Länge e entlang gleitet, deren obere Endpuncte P, I1‘ u. s. f. immer verbunden werden mit den Schnittpuncten I, II u. s. f. der Geraden AN mit solchen Linien, welche durch die jeweiligen unteren Endpuncte der erwähnten beweglichen Strecke parallel zu SN gezogen sind.

Die Durchmesser der umhüllten Parabel sind demnach parallel der Terrainlinie SN und der Berührungspunct irgend einer Tangente liegt auf jenem

Durchmesser, der von der Mitte der zugehörigen Strecke e ebensoweit entfernt ist als diese Mitte vom Schnittpunct A der äussersten Tangenten.*)

Daher berührt die Gerade A H die Parabel indem um die Länge AF=e von A entfernten Durchmesser FG.

Gesetzt nun den Fall, F V wäre diejenige Tangente, deren Berührungs-punct L in der Geraden AD liegt, so würde SJ=e sein und wenn der Durchmesser LH gezogen wird, würde die Mitte M der Strecke SJ den Abstand AH, welcher mit d bezeichnet werden soll, halbiren. In diesem Falle ist auch

HJ=AS

und da &uq\\HJ—JF, so ist Dreieck JLH congruent Dreieck JFV, daher FV=LH.

Wird FV=LH mit a und FS mit b bezeichnet, so ergibt sich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke JFV und JFS

:a = e:b,

ferner aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ASF und AFG

— FG:e.

*) Um das nachzuweisen, sei I' U (Fig. 13) eine beliebige Stellung der beweglichen Strecke e und II‘ die zugehörige Parabeltangente. Man zeichnet nun diejenige Stellung T₀' 1₀' der Strecke e, bei welcher ihre Mitte mit A zusammenfällt. Die . dieser Stellung entsprechende Tangente ist I₀I₀J, sie berührt die Parabel im Schnittpunct m mit dem durch A gelegten Durchmesser und hat die Eigenschaft, dass durch sie alle übrigen Tangenten halbirt werden. Denn zieht man IJc parallel zu AB, so ist Dreieck I₀AI₀J ähnlich Dreiek k II₀, und da I₀‘ A = A 1₀', so ist auch Tcl= 1₀' V — Aus der Congruenz der Dreiecke m‘ kl und m‘ I‘ I₀' ergibt sich jetzt, dass m‘ I— m‘ I', d. h. dass die Tangente II¹ von der Geraden J₉ J₀' halbirt wird. Ein Durchmesser durch m‘ wird durch den Halbirungspunct M der Strecke I‘ 1' gehen und da die durch die Berührungspuncte der zwei Parabeltangenten II‘ und I₀I₀‘ gezogenen Durchmesser gleiche ^

Abstände von dem Tangenten- / schnitt m‘ besitzen müssen, so ergibt sich im Schnittpunct g eines Durchmessers Gg, welchen man erhält, wenn man GM gleich MA macht, mit der Tangente II‘ der gesuchte Berührungspunct derselben.

IgAZ-—

Fig. 13.

-i'x-

Jt.

1/

ü)

Uö

hö

m'X—

___Jm *

_____

.......K

Durch Multiplication vorstehender Gleichungen erhält man :

(19).

b² = a.FG-

Denkt man sich also durch A eine Parallele AC zu der vorläufig noch unbekannten Tangente UV gezogen, so dass F0 = b = BS wird, so muss FO die mittlere Proportionale zwischen FV und FG sein.

Wegen Aehnlichkeit der Dreiecke FJV und FAO besteht jetzt die weitere Proportion:

F J: FA — a: 1)

desshalb nach Gleichung (19)

FJ: FA = FO: FG.

Daher ist die Verbindungslinie JO der Puncte J und 0 parallel zu AG demnach Dreieck FKO ähnlich Dreieck FAG, also

JD

Da LJ =JV,

so

FG : F 0 = AG : KO

(20).

ist auch KF parallel AO, daher Dreieck KFO

ähnlich Dreieck OAG. Hieraus folgt, dass

OG; FO — AG : KO

daher nach Gleichung (20) auch

FG: F0 — OG:FO

oder

mithin

oder auch

FG FG — F'Ö

FO FO—FF

F0²==FG. FF

DC² = DN.D B

C21);

d. h. man erhält die Bruchfläche AC, wenn man zu T)N und DB die mittlere Proportionale construirt.

»!-------

—-F

E’

Wl

IT

9.

\

ir

Nun kann die in AD die Parabel berührende Tangente gezeichnet werden und es ergibt sich das folgende Yerfahren zur Bestimmung des gegen die Wandfläche A £ gerichteten Erddruckes :

1)    Man zieht (Fig. 14) die Linie AN des natürlichen Böschungswinkels und die Gerade AD, welche mit A£ den Winkel q)x -f- cp₂ einschliesst.

2)    Man construirt zu D£ und DN die mittlere Proportionale, indem man über DN einen Halbkreis zeichnet, in £ die Senkrechte £C‘ zu DN errichtet und DC¹ gleich DG macht.

3)    Man errichtet NN senkrecht zu A£, trägt NN von N aus auf NA auf, macht E¹ E parallel zu AE und AF gleich E E durch Ziehen der Parallelen E‘F zu AN.

Wird sodann durch E eine Parallele F‘G zu DN gezogen und durch den Schnittpunct 0 von F'G und AC eine weitere Parallele OJ zu AN gelegt, endlich die Gerade JL parallel AC gemacht, so schneidet letztere Gerade auf AD ein Stück AL ab, welches mit der halben Wandlänge AE, ferner mit der Tiefe = 1 und dem Gewichte der Cubikeinheit Erdmaterial mul-tiplicirt den auf die Wandfläche AE resultirenden Erddruck gibt.

B. Erddruck bei belasteter ebener Terrainoberfläche.

Wenn die ebene Oberfläche einer Erdmasse eine gleichmässig vertheilte Last aufzunehmen hat, welche per Quadrateinheit der Horizontalprojection q

<M>'

B\

JM\

l\ i\

Fig. 15.

beträgt, so kann man sich diese Belastung durch ein Material ersetzt denken, dessen specifisch.es Gewicht dem der Erdmasse gleich ist. Die Höhe h, welche diese Belastungsfläche haben muss, berechnet sich aus der Gleichung

wobei g' das Gewicht der Cubikeinheit Erde bezeichnet. -

In Fig. 15 stelle BB'N'N die so reducirte Belastung vor, dann kann AB'N' als unterstützter Erdkörper angesehen werden, dessen Seitendruck auf die Wandfläche AB nach der im Vorigen angegebenen Methode leicht zu bestimmen ist. Wenn für diesen wie für die folgenden Fälle angenommen wird, dass der Reibungswinkel cpt von Erde auf Erde dem Reibungswinkel <p₂ von Erde auf Mauerwerk gleich *) und gleich cp sei, so zieht man die Gerade AB, welche mit AB den Winkel 2cp einschliesst und construirt zu BN und BB die mittlere Proportionale BC. Hierauf wird NN senkrecht zu AB errichtet, N' N auf N'A aufgetragen, B'JE parallel AB gezogen, AF gleich E'E gemacht und durch F eine Parallele zu BN gelegt. Wird durch den Schnitt-punct 0 dieser Letzteren mit AO die Parallele OJ zu AN und durch J die Parallele JL zu AG gelegt, so schneidet Letztere auf AB das Stück AL

AB' reducirt die Resultante des auf die Wand-

u

ab, welches auf die Basis

fläche gerichteten Erddruckes ergibt.

C. Erddruck bei gebrochener ebener Terrain fläche.

Das Terrain sei im Profil durch die gebrochene Linie BB'N (Fig. 16) begrenzt. Um diesen Fall auf den vorigen zurückzuführen, ziehe man die

*) Nur in den seltenen Fällen, in welchen die hintere Begrenzung der Stützmauer so glatt ist, dass die Reibung zwischen Erde und Mauer kleiner ist, als die zwischen Erde und Erde, müssen die Werthe cp₁ und cp.₂ unterschieden werden. Wenn dagegen, wie in den meisten Fällen der Praxis (bei Herstellung der hinteren Wandfläche aus rauhem Mauerwerk) der Reibungswdnkel von Erde auf Mauerwerk grösser ist, als der von Erde auf Erde, so muss <p₁=9>.₂ gesetzt werden, weil wegen rp₂ )> cp1 im Augenblick der Trennung und des Gleitens des Bruchprismas auf der Mauerfläche eine sehr dünne Erdschichte an der Letzteren adhäriren und somit beiderseits in Wirklichkeit die Bewegung von Erde auf Erde stattfinden würde.

Folgende Tabelle enthält die mittleren Werthe für Reibungswinkel und Gewicht einiger häufig vorkommender Erdarten:

Erdart

Beschaffenheit

natürlicher

Böschungs

winkel

Gewicht in kg per cbm

Dammerde

trocken

natürlich feucht mit Wasser gesättigt

40°

45°

30°

1420

1580

1800

Lehmerde

trocken

natürlich feucht mit Wasser gesättigt

40°

45°

30°

1500

1550

2040

Sand

trocken

natürlich feucht mit Wasser gesättigt

35°

40°

30°

1640

1770

2000

Gerolle

eckig

rundlich

38°

30°

1700

1700

Gerade AD¹ und verwandle das Dreieck AJBD‘ in das an Fläche gleiche Dreieck AB' D‘

dessen Seite B‘B‘ mit der verlängerten Geraden B‘ N zu-

zL,

RI'

iM&i|

Fig. 16.

Dadurch wird der Erdkörper A B J)‘ N durch den gleich

sammenfällt.

grossen AB'N ersetzt, dessen Seitendruck gegen die Wandfläche AB unter

Anwendung des gleichen Verfahrens wie oben in dem auf die Basis — AB'

U

reducirten Längenabschnitt AL erhalten wird.

D. Erddruck auf eine Stützmauer, wenn die ebene Terrainfläche unter dem Winkel der natürlichen Böschung gegen den Horizont geneigt ist.

Die ebene Terrainoberfläche BN (Fig. 17) sei parallel der Richtungslinie AN des natürlichen Böschungswinkels. Die Gewichte der beliebig angenommenen Bruchprismen ABc±, ABc₂, ABc₃ u. s. f. sind proportional

³:--------

ja.

L?

<A

<r

Fig. 17.

den Senkrechten cx1, c₂ 2, c₃ 3 u. s. f. zu AB. Werden diese Letzteren von A aus auf ANt aufgetragen und durch die Puncte I, II, III u. s. f. parallele Gerade zu den zugehörigen Bruchflächen gezogen, so schneiden sich diese Gerade alle im Puncte J.

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke JAI und ABcx folgt:

AJ: AB = 1 : Bc± ,

ebenso, wenn BE senkrecht zu AB errichtet wird, aus der Aehnlichkeit der Dreiecke Bcx\ und ABE

Cy 1 : Bcx —BE: AE AJ: AB = BE: AE.

daher:

Man erhält demnach die Länge AJ, wenn man AK gleich BE macht und durch K eine Parallele KJ zu BE zieht.

Der grösste Abschnitt auf der mit AB den Winkel 2cp bildenden Geraden AID wird offenbar durch eine von J aus zu AN gezogene Parallele entstehen und man erhält somit in der Länge AL den grössten auf die Stützmauer ausgeübten Erd druck.

Der Schnittpunct der Geraden BB und AN rückt in unendliche Entfernung, die mittlere Proportionale zwischen JDB und JDN wird unendlich gross, die Bruchfläche muss also mit der Ebene des natürlichen Böschungswinkels zusammenfallen.

E. Er dd ruck auf ebene Mauer flächen, welche, wie die oberen und rückseitigen Begrenzungen von Gewölben und Widerlagern, kleinere Neigungswinkel als gewöhnliche Stützmauern mit dem Horizont einschliessen.

Es ist leicht einzusehen, dass, unveränderte Lage der natürlichen Böschung vorausgesetzt, der Schnittpunct B der Geraden AB mit der Terrainlinie (Fig. 14) im gleichen Masse von der Stützmauer sich entfernt, die Bruchfläche AG aber derselben näher rückt, je mehr die Wandfläche AB im Sinne von rechts nach links um A gedreht wird.

Eine Grenze in dieser Hinsicht bildet diejenige Stellung der hinteren Wandfläche AB (Fig. 18) einer Stützmauer, bei welcher

a) die Mauerfläche gegen den Horizont unter dem Winkel 2 cp — y geneigt ist.

§§ü

B El

PfF

NI

iS

iS

<p

-a

X'

Fig. 18.

In diesem Falle wird die Gerade AB (Fig. 18) parallel zu BN und da der Schnittpunct B in unendliche Entfernung fällt, so ist die Ermittelung der Bruchfläche aus der mittleren Proportionalen zwischen BN und BB in der bisherigen Weise nicht möglich. Auf Grund des auf S. 22 entwickelten Verfahrens kann dieselbe jedoch auch hier leicht bestimmt werden, wenn man bedenkt, dass unter den gegebenen Verhältnissen die Gerade AD, auf welcher das Maximum des auf AD wirksamen Erddruckes abgeschnitten wird, ein Parabeldurchmesser ist und durch den Schnitt A der Tangenten AD und AN geht. Ist desshalb D J diejenige Parabeltangente, deren Be-rührungspunct D auf AD liegt, so muss auch AJ gleich AS gleich JF sein. Da nun der Schnitt 0 der Bruchfläche mit der wie früher zu bestimmenden Geraden FGr in einer durch J zu AN gezogenen Parallelen liegt, so muss FO gleich OGr oder DC gleich CN sein, d. h. die Bruchfläche hal-birt die zwischen Stützmauer und natürlicher Böschung gelegene Terrainstrecke.

Der auf die Stützmauer gerichtete Erddruck ergibt sich, nachdem die Bruchfläche bekannt ist, wie oben.

Wird die Wandfläche im Sinne von rechts nach links weiter gedreht, so nähert sich die Bruchfläche wieder der Ebene des natürlichen Böschungswinkels und wenn

1/ /

Xi

\\

•'s

7a

s/

Fig. 19.

b) die Wand fläche den Winkel cp mit der Horizontalen bildet (Fig. 19),

Fig. 20.

so fällt die Gerade AD mit AN und die Bruchfläche mit der Ebene der natürlichen Böschung zusammen, das Maximum des auftretenden Erddruckes aber wird dem Gewichte des Erdprismas BAN (Fig. 19) gleich und die Richtungslinie desselben ist die Yerticale.

Auch auf anderem Wege lässt sich dies leicht beweisen; denn bezeichnen (Fig. 20) AB die Wand- und AN die Bruclrfläche, von welchen die erstere mit dem Horizont den Winkel a, die letztere den Winkel pj einschliesse, so erhält man, wenn cp der Reibungswinkel ist, den Erddruck auf AB

Q Sin (ip — cp) Sin (« — ip — 2 cp)

woraus sich, wenn a=cp gesetzt wird,

P=Q

ergibt.

c) Die Wandfläche AB' (Fig. 19) bildet einen kleineren als den Reibungswinkel der Erdmasse mit dem Horizont.

In diesem Falle wird im Augenblick des Nachgebens der Wandfläche längs AB' kein Gleiten der Erdmasse möglich sein, vielmehr wird sieb, sobald eine Bewegung des Erdkörpers auftritt, innerhalb desselben eine Gleitfläche AB bilden, welche gegen den Horizont unter dem Reibungswinkel der Erdmasse geneigt ist. Jenes Erdprisma nun ABB', welches von der Wandfläche und der envähnten Gleitfläche eingeschlossen ist, wird beim Nachgeben des Mauerkörpers nicht abrutschen, sondern durch sein Gewicht in verticalem Sinne die Wandfläche beanspruchen. Dieses Gewicht ergibt sich (Fig. 19)

in der auf die Basis AB reducirten Länge B'D.

Auf die Gleitfläche AB aber und dadurch auch mittelbar auf die Fläche AB' wirkt der verticale an Grösse dem Gewichte des Erdprismas ABN

B-

-bl

7¹

¹

Es wird hier die der älteren Theorie des Erddrucks entsprechende Annahme gemacht, dass im Augenblicke des Nachgebens der Mauer, sei es durch Umkanten oder durch Verschieben, ein Gleiten der Erde längs der Wand eintrete.

/c

Fig. 21.

■i- AB reducirt durch die Länge die beiden erhaltenen Kräfte zu

gleiche Lagerdruck, welcher auf die Basis -NN ausgedrückt ist. Vereinigt man nun

ihrer Resultirenden, indem man sie summirt, so erlxält man nach Grösse und Richtung den auf die Wandfläche AB' thätigen hier verticalen Erddruck

AB .

-ä"®-

B = (BlD + NN) ■

Analog ergibt sich

d) der Erddruck auf eine horizontale Wand fläche AB (Fig. 21). Im Augenblick des Nachgebens der Wand wird sich die Gleitfläche AB' bilden, welche mit dem Horizont den Winkel der natürlichen Böschung einschliesst, und der Erddruck auf den Mauertheil AB' ist nach dem Vorstehenden gleich der Summe der Gewichte der Erdprismen AB'B' und

AB' N, gleich der auf die Basis ~AB' reducirten Länge C'N:

U

AB'

Ii = C'N.

Li

■9'-

ir.

Jh

ff"

Arr

L.

-Ä,

C,

Fig. 22.

F. Erddruck auf einzelne Th eile der ebenen Wandfläche

einer Stützmauer.

A₁ B (Fig. 22) sei die hintere Wandfläche einer Stützmauer, welche zum Abschluss eines belasteten Erdkörpers dient. Die Besultirende des gesammten auf Ax B wirkenden Erddruckes wird wie oben der Grösse nach in dem

Pa.₂b — A₂L₂ —-

A₂B‘

Längenabschnitt A₁L₁ gefunden. Die Wiederholung des gleichen Verfahrens liefert den gegen den Theil A₂B der Wandfläche gerichteten Seitendruck der Erdmasse. Da, wie sich aus der Construction ergibt,

: W$^=: 4B⁷: A^B⁷,

A₂L₂

ferner

oder

JVi'Ni : N' N₂ == ErEx* : EM,

so ist

NxJNi : N' N₂ = AxFx :A₂F₂,

oder

AXB‘: A₂B‘ = AXFX : A₂F₂

AXB': A₂B' = AXJX : A₂J₂ — AtL₁ : A₂L₂,

d. h. diePuncte L1: L₂ u n d BJ 1 i e g e n in einer Geraden.

Hat man also die Resultirende A₁L1 des gesammten auf die Mauer AXB thätigen Erddruckes bestimmt, so sind dadurch auch die auf beliebige andere Wandtlieile A₂B, ASB u. s. f. (Fig. 22a) ausgeübten Pressungen gegeben. Man erhält sie, immer reducirt auf Doppelbasen gleich den Längen der betreffenden Wandtlieile, in den Abschnitten, welche von den Geraden AtB' und LlB‘ auf den durch die unteren Endpuncte der in Rede stehenden Wandstücke zu A₁L1 gezogenen Parallelen gebildet werden. So ist:

G/

IJ-J \

/Kh

Fig. 22 a.

to

H-

CO

c»

kf

CO

05    !

tti

CO

cn

Soll der auf ein beliebiges Flächenelement A₂A₃ (Fig. 22 a) der hinteren Begrenzung einer Stützmauer treffende Erddruck aufgefunden werden, so bestimmt man die auf die Wandflächen A₂ B und A-, B wirksamen Pressungen

IS

CO

<M

t«

tä

to

CO

05

pp

CO

to

ö=>

und die Differenz beider gibt die gesuchte Beanspruchung des fraglichen Mauer-theils. Um diese Differenz graphisch darzustellen, reducirt man eine der beiden Längen auf den Kräftemassstab der anderen, z. B. A?> L₃ auf die Basis Wittmann, Statik,

— A₂B‘ reducirten Erddruck der Fläche A₃B‘

Die Diffe-

den auf die Basis

2

renz der Längen L₂A₂ und L% A% , also der Längenabschnitt Lz" L₂ ist gleich der auf das Wandelement A₂A₃ wirksamen Pressung:

L₂Lz".A₂B' ,

2 ' ⁹ '

Was den Erddruck auf den Theil AAX (Fig. 19) einer Wandfläche AB‘ betrifft, welche einen kleineren als den Winkel der natürlichen Böschung mit

dem Horizont einschliesst, so wird, nachdem in der auf die Basis — AB redu-

u

cirten Länge NA -j- B‘D der Erddruck auf die gesammte Wandfläche AB‘ gefunden ist, in gleicher Weise der auf AXB‘ resultirende Druck als Länge

Nx -j- B'B', jedoch reducirt auf die Basis— AXBX bestimmt. Die Diffe-

2

renz dieser wie oben auf gleichen Maassstab zu bringenden Kraftlängen, gibt den gewünschten Elementardruck.

ver-

Der Erddruck schliesslich auf ein horizontales Wandflächenelement ABX ist gleich der Differenz der Gewichte der Erdprismen AB‘ N und AXD'N mehrt durch das Gewicht des Erdprismas AAXBX. Das Letztere ergibt sich

—- AB' reducirten Länge nc = A C. Im gleichen Kräfte-

U

Man verbindet zu diesem Ende die Puncte A₂ und L₃ durch eine Gerade A₂ L₃ und zieht zu dieser durch As eine Parallele A₃ L3 tere Parallele L$ A% durch Bz zu AXLX liefert, da Lz'Az=L₃A₃.

Eine wei-

A₃B‘

ä₂B':

in der auf die Basis

massstab repräsentirt NA das Gewicht des Erdprismas AB'N. Wird nun auch das Gewicht des Erdprismas AXB'NX auf denselben Massstab l’educirt und von N aus auf NA gleich NM aufgetragen, so erhält man in MC den auf AXBX stattfindenden Erddruck

Pab₁ —

CM. AB'

9'-

G. Angriffsort der Resnltirenden des Erddruckes auf eine

e b e n e W a n d.

a) Die unbelastete ebene Terrainfläche BN (Fig. 23) schliesst sich unmittelbar an die Oberkante!? der hinteren Wand fläche der Stützmauer an.

Man stellt zunächst die Resultirende A₀L₀ des auf A₀B wirksamen Erddruckes der Grösse nach dar, bestimmt die auf die einzelnen Wandstücke AXB, A₂B u. s. f. thätigen Erddrücke AXLX, A₂L₂ u. s. f. und reducirt nach S. 33 alle diese Drücke auf die gemeinschaftliche Doppelbasis A₀B.

Da nach dem Vorhergehenden irgend eine der so reducirten Längen, z. B. AXLX ausgedrückt ist durch:

i*^p

Fio'. 33a.

17?

4c

Ln

■< o

l;.

14

9.

i₂

Fig. 23 u. 23 a.

AXLX -—AXLX

AXB

da aber auch

A₀B

AXLX — AXB •

L₀

A₀B

so ist

AXLX

A₀ Bq

A₀B²

■AXB²

d. h. der Erddruck auf eine beliebige Fläche AXB ist proportional dem Quadrate dieser Fläche und trägt man die reducirten Drücke A₀L₀, AiLi, A2L2 u. s. f. als Ordinaten senkrecht zur Wandfläche A₀ B auf (Fig. 23a), so liegen die Endpuncte dieser Ordinaten in einer Parabel, die ihren Scheitel in B hat. .

Der auf irgend einen unendlich schmal gedachten Flächenstreifen A^A₂ wirkende Erddruck ist gleich der Differenz der Ordinaten A\L\ und A2L2 , gleich dem Längenabschnitt E₁E₂ (Fig. 23 a). Um das statische Moment dieses Druckes in Bezug auf A₀ zu erhalten, berücksichtige man, dass die Richtung des Erddruckes mit der Normalen zur Wandfläche den Reibungswinkel bildet, dass also auch die von A₀ auf die Kraftlinie des Erddruckes gefällte Senkrechte mit der Wandfläche den gleichen Winkel einschliesst, somit

3*

das Moment des auf das Flächenelement A±A₂ wirksamen Erddruckes durch den Ausdruck

Ex E₂ .A₀Al. Cos cp

gegeben ist.

Es ist daher das statische Moment des auf die Gesammtfläche A₀B ausgeübten Erddruckes in Bezug auf A₀ gleich :

Fläche A₀ BL₀ . Cos cp.

Wenn nun 0 der Punct ist, in welchem die Kraftlinie dieser Resultirenden A₀L₀ des Erddruckes die Wandfläche schneidet, so besteht die Gleichung:

oder

A₀L₀ . A₀O. Cos cp = Fläche A₀BL₀ . Cos cp

A₀L₀ .A₀O = Fläche A₀BL₀,

d. h. der Abstand des Angriffspunctes der Resultirenden des Erddruckes von der Unterkante der hinteren Wandfläche ist gleich der Höhe eines Rechteckes, dessen Basis A₀ L₀ und dessen Fläche gleich ist der Druckvertheilungsfläche

Ä₀BL₀.

Da letztere Fläche im vorliegenden Falle durch eine Parabel mit dem Scheitel in B begrenzt ist, so ist:

Fläche A₀BL₀

A₀ B . AqLq

daher:

A₀O

A₀B

d. h. wenn die ebene und unbelastete Terrainfläche sich unmittelbar an die Stützmauer anschliesst, so liegt der A n -griffspunct der Resultirenden des Erddruckes um ein Drittel der Länge der hinteren Wandfläche von dem Fusspunct der Letzteren entfernt.

b) Angriffsort der Resultirenden des Erddruckes bei belasteter oder überhöhter Erdmasse.

A₀L

Die Mauer A₀B CD (Fig. 24) diene zur Unterstützung des belasteten Erdkörpers A₀BN±. Man bestimmt für eine Anzahl beliebiger liier gleichweit von einander entfernten Höhenpuncte A₀, A₁, A₂ u. s. f. die Erddrücke A₁L₁, A₂ L₂ u. s. f. auf die oberhalb derselben befindlichen Wandflächen und reducirt dieselben auf die gemeinschaftliche Basis A₀B.

In Fig. 24a wurden die reducirten Drücke A₀L₀, A\L\, A^Li' u. s. f. besonders aufgetragen. Die Differenz je zweier aufeinanderfolgender reducirter Längen ist offenbar gleich dem Erddruck auf das zwischenliegende Wandstück, also 5P₀=Pa₀a₁? 4 5 = Pa₁a₂> 3 4 = Pa₂a₃ • • • • 0 1=Pa₅b.

Sind die Puncte A₀, A

A₂ ... . nicht zu weit von einander entfernt, so können die auf die einzelnen Wandelemente gerichteten Drücke je in der Mitte derselben wirkend angenommen werden und es stellen demnach die

Fig. 24.

VI gezogenen Geraden die selbstver-

durch die Puncte I, II, III stündlich um 2 (f von rechts nach links zu drehenden Kräftelinien der in Rede stehenden Partialdrücke vor. Indem man nun für einen beliebig angenommenen

Lc

fr*

J>Sy

Lz.

X-,

2/

Ley

mm

f\

/'

•f

K?

./

A₀

7\.

Z,

5'

4'

3'

Pi

•*Sxl

•ÄrX.

Fig. 24 a.

Pol 0 das Kräftepolygon 0 0 1 2 3 . . L₀ und das zugehörige Seilpolygon zeichnet, erhält man im Schnitt Q der äussersten Seilpolygonseiten einen Punct der Resultirenden, deren Ricbtungslinie die hintere Wandfläche A₀ H der Stützmauer im Angriffspunct M der Mittelkraft des Erddruckes schneidet.

& /I

2>

Fig. 25.

Fig. 25 a.

Gewichtes 6r, welches, wenn g das Gewicht der Cubikeinheit Mauerwerk, gegeben ist durch:

q_ \ ~h ^2

H. Stabilität der Stützmauern.

Wenn man die für eine Stützmauer durch den Seitendruck einer lockeren Hinterfüllungsmasse entstehende grösste Beanspruchung ermittelt hat, so kommt es zunächst darauf an, die Dimensionen der Mauer so zu bestimmen, dass sich dieselbe unter Einfluss der auf sie wirkenden Kräfte in stabilem Gleichgewicht befindet. Bezüglich des unbekannten Eigengewichtes wird in der Regel der Untersuchung eine Annahme durch Wahl passend erscheinender Dimensionen zu Grunde gelegt.

Entspricht das Resultat der Stabilitätsuntersuchung den angenommenen Dimensionen, so waren dieselben brauchbar gewählt; wenn nicht, so hat man für geeignet modificirte Annahmen das Verfahren zu wiederholen.

Es sei A₁BCD₁ (Fig. 25) ein Theil einer Stützmauer, auf dessen hintere Wandfläche der nach Grösse, Richtung und Angriffsort bekannte Erddruck

AjLx . Ai B

2 ⁹

wirkt.

Das Mauerfragment, dessen obere und untere Breite mit b₁ und b₂, und dessen Höhe mit h bezeichnet werde, steht ausserdem unter Einfluss seines

/*•

w.

KL—y------JP^-ryr~Q

Fig. 25 a

^o'i0

4_______-N

<?

[Ä

-Vjv-

Ihrer Lage nach wirkt letztere Kraft in der Yerticalen, welche durch den Schwerpunct >S des Trapezes A₁BCD₁ gelegt ist. Diesen erhält man,

wenn man auf der verlängerten Geraden A₁D₁ von A aus rechts den Längen-absclmitt b₁ und auf der verlängerten Linie BC von C aus links 1)₂ aufträgt, als Durchschnittspunct der so bestimmten Geraden FN mit der Halbirungslinie der Strecken AD und BC.

Um die beiden Kräfte P und G als Längen im gleichen Kräftemassstab zu erhalten, verwandelt man das Mauerprisma AB CD in ein gleich schweres und gleich hohes Erdprisma, dessen Basis demnach in demselben Verhältniss

an Grösse die Länge — ist als g'.

¹    —- iibertreffen wird, in welchem g grösser

Li

Man trägt daher auf einer beliebigen durch B gehenden Geraden PP=g und BE=q' auf, zieht EF, sodann JK parallel zu EF, so ist BK die gesuchte Basis und für Cr besteht der Werth

Cf =

KB. h ,

—ä— ⁹'

Wäre nun A₁B gleich h, so würden die Längenabschnitte AlLl und BK in dem nämlichen bekannten Kräftemassstab Erddruck B und Gewicht Cr des Mauerprismas repräsentiren. Da Dies im Allgemeinen nicht der Fall ist, so hat man in allen denjenigen Fällen, in welchen ein erheblicher Längenunterschied zwischen der Höhe des Mauerprismas und der Länge der hinteren Wandfläche besteht, eine besondere Reduction von AtLt auf die Doppelbasis li vorzunehmen. Wenn aber, wie im vorliegenden Fall, die hintere Wandfläche der Stützmauer nur eine geringe Abweichung von der Verticalen besitzt, so kann genau genug AtB gleich h gesetzt und angenommen werden, die Längen A₁L1 und BK seien den Werthen von P und G proportional. Indem man sodann im Kräftedreieck (Fig. 25 a) P = A₁L₁ = 01 und G = BK= 12 zu ihrer Mittelkraft 0 2 vereinigt und durch den Schnitt der Kraftlinien von P und Gr (Fig. 25) eine Parallele zu 0 2 zieht, erhält man die Resultirende P der auf das Mauerfragment AB CD thätigen äusseren Kräfte nach Grösse, Richtung und Lage.

Soll das betrachtete Mauerprisma unter Einwirkung der in Rede stehenden Resultirenden keine Yeränderung nach Lage und Form erleiden, so müssen die oben entwickelten Bedingungen erfüllt werden: Der Winkel der Resultirenden mit der Normalen zu A₁D₁ muss kleiner sein als der Reibungswinkel des Mauerwerks, der Schnittpunct von P mit derselben Fuge muss innerhalb des mittleren Dritttheils der Mauerstärke liegen und die Pressung pro Quadrateinheit darf die grösstzulässige nicht überschreiten.

A₃ Dä und yl₄ Di

a₂d

Als Beispiel wurden in Taf. 1 die Stabilitätsuntersuchungen zweier Stützmauern beigefügt, von welchen die eine (Fig. 1) zum Abschluss einer unbelasteten Terrainauffüllung dient, während die andere (Fig. 2) den Seitendruck eines belasteten Erdkörpers aufzunehmen hat. Beide Stützmauern wurden durch die angenommenen Fugenebenen A₁D (Fig. 1 und 2) in fünf gleiche Th eile getheilt und wie oben die Resultirenden P₁₇ P₂ . . . P₅ der äusseren Kräfte der Reihe nach für die Mauerfragmente A₁BCD₁, A₂BCD₂ .... A₆BCD₆ bestimmt. Die Gewichte dieser Mauerstücke sind ausgedrückt durch die Längen BK₁ = OP, BK₂ = 0 2‘ . . . BKrj = 0 5', die auf dieselben resultirenden Erddrücke durch die Längen A₁L₁ = 01, HgPg == 0 2 . . • J₅P₅ = 05 (Fig. 1 und la, Fig. 2, 2a

und 2 b). Die Kraftlinien P₁, P₂ ... P₅ der Erddrüeke auf die Mauerfragmente A₁B CD₁, A₂BCD₂ . . . AbBCD₅ erhält man in Geraden, welche mit den Normalen zu den hinteren Wandflächen der Stützmauern den .Reibungswinkel g) bilden; die Schnittpuncte Ot, 0₂ ... 0₅ derselben mit A₅B liegen

bei dem in Fig. 1 behandelten Falle je in —

3

B₂ ... B₅

der Höhe der genannten Mauerfragmente , für die belastete Stützmauer dagegen sind sie mit Hülfe eines besonderen Kräfte- und Seilpolygons (Fig. 2 a) zu bestimmen, zu welchem Zweck eine vorherige Reduction der in R.ede stehenden Kräfte auf gleichen Massstab erforderlich ist. In beiden Fällen ergeben sich jetzt, nachdem Gewichte und Erddrücke für die aufeinanderfolgenden Mauertheile nach Grösse, Richtung und Angriffsort bestimmt sind, die Resultirenden P ebenfalls nach Grösse und Richtung als Längen 11', 2 2' ... 5 5' (Fig. la und Fig. 2 b), ihrer wirklichen Lage nach aber in den Geraden 11, 2II. . . 5 V (Fig. 1 und 2). Die Verbindungslinien der Schnittpuncte I, II. . . V der Letzteren mit den zugehörigen Lagerfugen sind die Stützlinien der beiden Mauern.

Zweiter Abschnitt.

Statik der Gewölbe.

cßo

1.

Theorie der Mitteldrucklinie.

Ein Cylindergewölbe mit horizontaler Axe und der zur Stirnebene senkrechten Länge = 1 sei durch verticale, symmetrisch zum Gewölbescheitel vertheilte Lasten beansprucht. Man denke dieselben durch eine dem Gewölbemauerwerk homogene, oben nach mnm‘ (Fig. 26) begrenzte Masse ersetzt, so dass die gesammte Belastung des Gewölbes einschliesslich des Eigengewichtes durch die von Leibungslinie a d a‘ und von der Linie m n m‘ ern-geschlossene Fläche, Belastungsfläche genannt, dargestellt ist.

Man entferne nun die beiden Widerlager des Gewölbes und denke, nachdem man den Gleichgewichtszustand durch die an den Kämpferfugen a b und o! V wirksamen Widerlagerreactionen W und W‘ hergestellt, den Bogen in der Mitte lothrecht durchschnitten, die rechts von der Schnittebene gelegene Gewölbehälfte weggenommen, deren Wirksamkeit aber durch eine an der Schnittfläche angebrachte Kraft H (Fig. 27) ersetzt.

Dabei sind die Schnittpuncte e und i der beiden Resultirenden W und H mit den zugehörigen Fugenfläclien vorläufig noch unbestimmt. Soll das System von ebenen an der Gewölbehälfte ab c d wirkenden Kräften sich im Gleichgewichte befinden, so müssen die Bedingungsgleichungen erfüllt werden :

A,

jV Sin d = Q . WCosd = H . H.y₀ =Qx ₀

sL

'CL

«s

Fig. 26.

nt

x----------f—

■/£'

Fig. 27.

FT

/-*\

CO CO CO CO CO ^ w ■w'

wobei e' den Winkel von W mit der Horizontalen, Q das Gewicht des halben Gewölbes sammt Belastung, ferner y₀ und x₀ die Hebelarme der Kräfte H und Q bezüglich des als Drehpunct angenommenen Schnittpunctes e von Widerlagerreaction und Kämpferfuge bezeichnen.

Man erkennt, dass, weil bei symmetrischer Belastung des Gewölbes die Kräfte Q und WSin e' ein Gegenpaar bilden, auch H gleich und entgegengesetzt der Horizontalprojection der Widerlagerreaction ist, mithin der resultirende Gewölbedruck im Scheitel als horizontale Kraft (Horizontalschub) auftritt. Der Werth dieses Horizontalschubes ist nach Gl. (24) abhängig von der Lage der Puncte e und i. Derselbe wird mit Rücksicht auf die für letztere festgesetzten Grenzen sein Maximum erreichen, wenn der Angriffsort der Widerlagerreaction (kurzweg Drehpunct des Gewölbes genannt) mit der Grenze e± des oberen Drittels der Kämpferfuge zusammenfallt und H die Scheitelfuge an der Grenze des unteren Drittels der Länge derselben schneidet. Dagegen wird der Horizontalschub seinen kleinsten Werth erhalten, wenn der Drehpunct an der unteren Grenze e₂ und der Angriffspunct von H an der oberen Grenze i₂ der mittleren Drittheile der zugehörigen Fugen sich befinden. —

Man denke nun von der betrachteten Gewölbehälfte durch die verticale

Schnittebene MN (Fig. 28) ein weiteres Fragment m' a' än getrennt und durch

Anbringen der Resultirenden Tx in’s freie Gleichgewicht gebracht. Bezeichnet dann s den Neigungswinkel von Tx gegen den Horizont

-x------

-------ssfc:

W

<-*4

Qx das Gewicht des Gewölbefragmentes incl. Belastung, ferner y‘ und x' die Hebelarme von H und Qx bezüglich des Schnittpunctes e' von Tx mit a! b', so bestehen die Gleichgewichtsbedingungen:

2ir

TxSine — Qx .    .    (25)

Tx Cos e — H .

= QxN

Hy'

■ (26)

.    (27).

Fig. 28.

Aus der ersten dieser Gleichungen ist ersichtlich, dass für jeden lothrecliten Schnitt die Verticalprojection des resultirenden Gewölbedruckes Tx gleich ist dem Gewichte des zwischen Schnitt und Scheitel befindlichen Gewölbetheiles sammt Belastung. Die zweite Gleichung zeigt, dass die Horizontalcomponenten von Tx für alle solche Schnitte gleich und gleich H sind, mithin der Horizontalschub für das ganze Gewölbe constant ist. Aus Gleichung (27) endlich geht hervor, dass für einen bestimmten Werth von H die Lage des Schnittpunctes e' von Tx mit a' b' eine vollständig bestimmte ist. Wird daher die Verbindungslinie der Angriffspuncte sämmtlicher Resultirenden Tx für alle aufeinander folgende Verticalschnitte als Mittellinie des Druckes bezeichnet, so ergibt sich daraus der Satz: Für je zwei angenommene Angriffspuncte e und i von W i der läge r -reaction und Horizontalschub oder für einen und denselben Werth des Letzteren ist nur eine Mitteldrucklinie möglich.

Durch Division der Gleichungen (25) und (26) erhält man die Gleichung der Mitteldrucklinie

Qx

tang e= ^

(28).

Wenn z für jeden beliebigen Verticalschnitt die lothrechte .Höhe der Belastungsfläche und g das der Quadrateinheit der letzteren entsprechende Gewicht bezeichnet, so nimmt dieselbe, bezogen auf ein rechtwinkliges Axensystem, dessen Y- Axe mit der Scheitelverticalen zusammenfällt (Fig. 27), die Form an :

dy

dx

zdx

o

(29):

woraus man durch Differentiation erhält:

(30).

d²y _ z

~dx¹—Qll

Diese Gleichung enthält ganz allgemein das Gesetz der Abhängigkeit der Mitteldrucklinie von der Belastung¹). Aus ihr kann für jeden gegebenen Fall der zwischen Belastung und Form der Drucklinie bestehende Zusammenhang entwickelt werden. Will man diesen Zusammenhang durch den Krümmungsradius r der Mitteldrucklinie zur Darstellung bringen, so hat man in den bekannten Ausdruck

M!)²)

d²y

dx²

den aus Gleichung (30) für

d²y

dx²

sich ergebenden Werth einzuführen und

erhält, wenn gleichzeitig

dy

dx

tang s gesetzt wird, sec³ e

r = H-

9^

(31).

Hiebei bezeichnet selbstverständlich e zugleich auch den Winkel, den der Krümmungsradius mit der Yerticalen bildet.

Setzt man e = 0 und nennt man die Belastungshölle im Scheitel z₀, den Krümmungsradius daselbst aber r₀, so ergibt sich die einfache Gleichung:

(32)

#=9¹o¹o

d. h. der Horizontalschub ist proportional dem Producte aus Krümmungsradius und Belastungshöhe im Scheitel.

§ 2.

Schlusssteinhöhe und Bogenstärke.

Bezeichnen:

li die Höhe des Schlusssteines, d. i. die Bogenstärke im Scheitel, ß die grösstzulässige Pressung des Wölbsteinmaterials pro Flächeneinheit, g das Gewicht der Cubikeinheit dieses Materials,

#₀ die Belastungsliöhe im Scheitel,

r₀ den Krümmungsradius der Mitteldrucklinie im Scheitel, r den Krümmungsradius der inneren Wölblinie im Scheitel, so bestehen die Gleichungen:

a) bei gleiclimässiger Druckvertheilung im Gewölbe, wenn H die Scheitel-verticale in der halben Höhe des Schlusssteines schneidet:

oder nach Gleichung (82)

II = hß

h _ 9*0*0

.    .    (33)

und wenn die nicht streng richtige Annahme gemacht wird, dass die Mittel-

ll

drucklinie im Scheitel der Leibungslinie concentrisch sei, so dass r₀ = r -f- —

u

2 9r*o

2/? — 9*o

(34);

b) bei ungünstigst zulässiger Druckvertheilung, wenn H die Scheitelfuge beispielsweise an der unteren Grenze des mittleren Drittheils der Schlusssteinhöhe

schneidet, so dass r₀

, Ä

=r + ¥

■    .    (33')

oder

6qrz₀

3ß —2 q 0O

Die Gleichungen (34) und (3401 deren man sich für die Bestimmung der Schlusssteinhöhe zweckmässig bedient, wenn die Belastung des Gewölbes in darüber befindlichem Mauerwerk bestellt, in welchem Falle die Constructionsdicke, d. i. den Abstand der Oberfläche der Uebermauerung vom Scheitel der inneren Wölblinie vorstellt, bedürfen einer Umformung, wenn die Belastung zusammengesetzt ist aus Erdauffüllung vom Gewichte q' der Cubik-einheit und aus einer zufälligen Last ft) per Quadrateinbeit. Dann ist, wenn mit d die als bekannt vorausgesetzte Constructionsdicke im Scheitel bezeichnet wird, an die Stelle von z₀q der obigen Gleichungen der Ausdruck qh-\- q‘ (d — h) -f- ft) ZU setzen und Gleichung (83) geht über in:

• (34').

oder :

h ß = (g h + 9' (d - /,) + w) (r-+ A),

⁷*²(9 —8') + 7t[²»' (B — 9') + 9'<* + >» — 2/}] + 2r(g'<? + n>) = 0,

Gleichung (330 a^er *n:

oder:

h ß = 2(q h + g' (d - Ji) + ft)) (r + y) ,

!"/*]+3 r(g'<Z+to) = 0

⁷*²(s—9')+⁷» [³ »•(a — 9')+g'<*+ t»

• (350,

aus welchen Gleichungen die Schlusssteinhöhen den angenommenen Verhältnissen entsprechend berechnet werden können.

Setzt man näherungsweise g:=g', so erhält man nach Gleichung (35)

₇    2r(gc?+lh)

2/9 — (gd-f tu)

,    6 r (g d -j- tu)

3/9 — 2(gt?—|-tu)

und nach Gleichung (35')

und die hiebei gemachte Vernachlässigung kann theilweise wieder dadurch

ausgeglichen werden, dass man g₀ = -^-i—

einführt und somit setzt:

beziehungsweise

h== 2r(g₀d+te) 2/9 — (g₀d+tu)

(36)²)

6r(g₀e?-f-to)_

3/9 — 2 (g₀ d -f- tu)

. . (360-

Was die Bestimmung der Wölbstärke zwischen Scheitel und Widerlager anlangt, so ist nach Gleichung (26) der Tangentialdruck Tx für irgend ein den Neigungswinkel e mit dem Horizont einschliessendes Element der Mitteldrucklinie

Tx

CoSE

Bezeichnet nun Ji¹ die Länge einer an derselben Stelle befindlichen normal zur Drucklinie angeordneten Lagerfuge, so ist

und weil

Tx — h'ß,

so ergibt sich

H—hß

•    •    (37),

h‘ Cos e = h

d. h. die Verticalprojectionen sämmtlicher normal zur Drucklinie an geordneten Lager fugen eines Gewölbes von gleicher Widerstandsfähigkeit sollen gleich der Schlusssteinhöhe sein.

Häufig und besonders wenn ein Bogen weder Füllmaterial noch sonstige Belastung aufzunehmen hat (#₀ = Ji), wird die Gewölbestärke in der Weise bestimmt, dass man zuerst für passend erscheinende Dimensionen von Schlusssteinhöhe und übriger Bogenstärke, Drucklinie und Horizontalschub nach dem weiter unten in § 5 gezeigten Verfahren ermittelt und sich auf Grund der dadurch gewonnenen Resultate von der Zulässigkeit der gemachten Annahmen überzeugt.

§ 3.

Belastung eines Gewölbes von gegebener Mitteldrucklinie.

Ein Gewölbe besitzt um so grössere Stabilität, je gleiclimässiger sich für alle Lagerfugen die Druckvertheilung gestaltet. Desswegen wird als möglichst vollkommene Construction diejenige zu bezeichnen sein, bei welcher Mittellinie des Drucks und Bogenmittellinie zusammenfallen.

Obgleich sich nun die Beantwortung der Frage, welche Lage die Mitteldrucklinie eines Gewölbes nach erfolgter Ausrüstung wirklich einnimmt, der bestimmten Beantwortung entzieht, so unterliegt es doch keinem Zweifel, dass eine gleichmässige Druckvertheilung nur in jenem gewölbten Bogen auftreten kann, in welchem die hiezu nothwendigen statischen Bedingungen gegeben sind. Es soll desswegen zunächst an einigen Beispielen gezeigt werden, wie die einer gegebenen Mitteldrucklinie (diese steht als Bogenmittellinie in gewisser bekannter Beziehung zur inneren Wölblinie) zugehörige Belastung zu bestimmen ist.

A. Kreisförmige Drucklinie.

Wenn r₀ den constanten Halbmesser der Mitteldrucklinie bezeichnet, so ergibt sich nach Gleichung (31)

Hsec³s

9ro

und nach Einführung des aus Gleichung (32) resultirenden Werthes für II

(38)

2 — 2₀ sec³e

oder

.    .    (39).

2 = 0O

r₀³

Y (V₀²

X²)³

Aus welch letzterer Gleichung bei bekannter Scheitelbelastung die jeder angenommenen Entfernung x vom Scheitel entsprechende Belastungshöhe berechnet werden kann. Bei halbkreisförmigem Gewölbe wird für £ = 90° oder x = r0 der Werth von 2 unendlich gross, woraus hervorgeht, dass diejenige Belastung, welche die Mitteldrucklinie zu einem vollen Halbkreis gestalten würde, in Wirklichkeit nicht hergestellt werden kann. Es erscheint somit vortheilhaft, die kreisförmigen Gewölbe nur bis zu demjenigen Werthe von x fortzusetzen, für den sich das in Rede stehende Belastungsgesetz erfüllen lässt, die übrigen Gewölbetheile aber als zum Widerlager gehörig zu betrachten und dementsprechend auszuführen.

Graphische Lösung.

Man denke die zwischen Kämpfer und Scheitel der gegebenen Mitteldrucklinie ei (Fig. 29) befindliche Belastungsfläche durch gleichweit von einander entfernte Lothlinien II', HIV .... VIVI' in Lamellen oder Streifen von gleicher Breite b getheilt, in deren Mittel- oder Schwerlinien die von ihnen repräsentirten Belastungen als concentrirt wirkend betrachtet werden können. Nachdem man sodann auf Grund der gegebenen Belastungshöhe 2₀ — in im Scheitel und entsprechend dem durch die Lamelleneintheilung festgesetzten Kräftemassstab den Horizontalschub

Er_ 9 •    • >o

berechnet, trägt man denselben als Länge 00 im Kräftepolygon (Fig. 29a) auf und zieht durch 0 parallele Strahlen zu solchen Geraden, welche in den Schnittpuncten I, II, III u. s. f. der Lamellengrenzen mit der Drucklinie an

letzterer tangiren. Die genannten Strahlen schneiden auf der durch 0 gelegten Verticalen die Stücke 01, 12, 2 3 u. s. f. ab, welche, da für jeden der Puncte

1, II, III u. s. f. die Bedingung tcmg £ = ~~ erfüllt wird, den Gewichten der

einzelnen Lamellen proportional sind. Trägt man die erhaltenen Abschnitte von den Puncten hlf , ll₃ u. s. f. an den betreffenden Schwerlinien auf, so ergibt sich die der gegebenen Drucklinie und Scheitelbelastung zugehörige Belastungsfläche.

Einfacher gestaltet sich das Verfahren, wenn man, statt das Kräftepolygon Fig. 29a besonders zu zeichnen, dasselbe mit Fig. 29 in der Weise verbindet, dass man den Horizontalschub 0 0 von c aus gleich c a aufträgt und durch a

■'v

vT'

ex

nJ

i r"-'

V'

tr'

m.'

i'

* 71

,0

x.

------

Fig. 29.

Fig. 29 a.

aV, V 2', 2'3' u. s. f. sind

die Horizontale ad zieht. Die Längenabschnitte dann, wie leicht einzusehen, gleich den Lamellengewichten. Da al/ gleich so kann die anfänglich auf rechnerischem Wege vorgenommene Be-

Stimmung des Horizontalschubes leicht dadurch controlirt werden, dass man den Schnittpunct P einer zur Scheitelverticalen parallelen und um die Länge derselben abstehenden Geraden aß mit cl bestimmt und durch V die Horizontale a d zieht, dann ist a c = H.

m von

Eine andere Methode der Bestimmung der Belastungsfläche bei gegebener Scheitelbelastung liefert die geometrische Uebersetzung der Gleich. (39) : Man beschreibt mit dem Radius r₀ + 0O einen der Mitteldrucklinie concentri-schen Kreis und zieht, um die einer beliebigen Verticalen W (Fig. 29) entsprechende Belastungshöhe zu bestimmen, y d senkrecht

d V und e v senkrecht zu £ V, so ist Vv die gesuchte Höhe der Belastungs-

zu

Vy, de senkrecht

zu

fläche.

Wenn statt der Belastungshöhe im Scheitel die gesammte Belastung Q des Bogens vom Scheitel bis zum Kämpfer bekannt ist und gesucht diejenige

welche einer gegebenen Mitteldrucklinie e i

Art der Vertheilung der Last (Fig. 30) entspricht, so trägt man Q als Länge 0 6 'an der Verticalen des

.m

\X\'

d,r-

r**

'hJi. \    \    ,    .

v3-—#

\ \ \ \ ■ \ \ \ \ \ \ \\\

Fig. 30.

Fig. 30 a.

Ml*

nn

\n

K-

3m

-----\{'

3m

ßm

4-.Y-

Fig. 31.

Kräftepolygons (Fig. 30a) auf, zieht durch 6 eine Parallele 6 0 zur Tangente an der Drucklinie im Kämpferpuncte e und erhält dadurch den Horizontal-

schub II = 0 0 , nach dessen Ermittelung die Bestimmung der Belastungsfläche ganz nach oben vorgenommen Avird.

Beispiel: Für einen Bogen, dessen innere kreissegmentförmige Wölblinie 12m Spannweite und 3 m Pfeilhöhe erhalten soll, und dessen auf Mauerwerk reducirte Belastungshöhe im Scheitel 3 m beträgt (Fig. 31), ist diejenige Art der Lastvertheilung zu bestimmen, aveiche ein Zusammenfallen der Drucklinie mit der Bogenmittellinie zur Folge haben Avird.

Man bestimmt nach Gleichungen (34) und (37) die Wölbstärke im Scheitel und Kämpfer und zeichnet die Bogenmittellinie e i. Sodann trägt man die gegebene Belastungshöhe im Scheitel von i aus gleich in auf und bestimmt die zugehörige Belastungsfläche in me- Die obere Begrenzung n‘ m‘ der Avirklichen Belastungsfläche ergibt sich dann, wenn die an jeder Stelle gefundenen Belastungshöhen statt von der Bogenmittellinie von der inneren Wölblinie aus aufgetragen werden.

B. Spitzbogenförmige Drucklinie.

Er

Denkt man ein kreisförmiges Gewölbe abcb'a' (Fig. 32) nach der loth-rechten um x vom Scheitel entfernten Ebene MN durchschnitten, so wird das Gleichgewicht des links oder rechts von der Schnittebene befindlichen Ge-wölbetheils bekanntlich durch eine an der Schnittfläche anzubringende Resxil-tirende hergestellt, deren Horizontal-projection gleich dem Horizontalschub und deren Yerticalcomponente der zwischen Schnittebene und Scheitelbefindlichen Belastung Qx gleich ist.

Fig. 32.

Jedes Spitzbogengewölbe nun abinb“a“, dessen Leibungslinie aus zwei Kreisbögen von gleichem Radius besteht, kann entstanden gedacht werden durch Zusammensetzung zweier zu MN symmetrischer Gewölbeabschnitte abmh und a"b“mh, und es ist klar, dass zur Herstellung einer Drucklinie, welche Bogenmittellinie ist, im Scheitel des Spitzbogens eine concentrirte Belastung 2 Qk nothwendig wird.

für das zwischen Kämpfer e und Scheitel i‘ oder , da Dreieck

Bezeichnet daher l die Spannweite einer spitzbogenförmigen Mitteldrucklinie (Fig. 33) und r₀ den Radius der beiden Kreise ei und e‘i\ welcher hier gleich l angenommen woi’den ist, so gelten die Gleichungen (38) und. (39) der Belastungslinie offenbar nur

des Spitzbogens befindliche Bogenstück des vollen Kreises eie' ein gleichseitiges ist, zwischen den Grenzen £=30° bis £ = 90°, beziehungsweise x = — bis x = r₀, bei gleichzeitiger Voraussetzung, dass im Scheitel' des Spitzbogens eine concentrirte Kraft

io.

wirke.

n³

2 fe = 2 Sfi dx = 2 ₉ s₀ fy=====

Witt mann, Statik.

Wenn die Höhe sx der stetigen Belastung im Scheitel i‘ gegeben ist ₇ so lässt sich hieraus die dem voll gedachten Bogen zukommende Scheitelbelastungshöhe s₀ berechnen.

"\~

feHrhrk 'i\

•’v.

■*«*

...X

.JL....

Fig. 33.

Für £ = 30° oder x = — erhält man nämlich 2

¹

S. Schw^edler, zur Theorie der Gewölbe, Zeitschr. f. Bauwesen 1859.

²

Siehe Bauernfeind’s Vorlegeblätter zur Brückenbaukunde.

sx = s₀ sec³ 30°

oder

also

*1 =#0 •

]/27 ’

S₀ = 0,65 sx

(40),

woraus sich der Horizontalschub

H= 0,65 gr₀ sx.....

und die zwischen den erwähnten Grenzen gültigen Gleichungen

S — 0,65.2h sec³ e] ....

(41)

oder

s = 0,65 Sy

r₀³

(42)

(43)

V{ro² — oc²y

ergeben, mittels derer die einer gegebenen spitzbogenförmigen Drucklinie gehörige Belastungsfläche bestimmt werden kann.

zu-

Graphische Lösung.

Bei gegebener Belastungshöhe sx=i‘nt (Fig. 32) ziehe man n‘ £ senkrecht zu e* i‘, ferner cd senkrecht zu n‘i‘ und Sy senkrecht zu e, so ist i‘ y gleich der Belastungshöhe s₀ im Scheitel, welche dem zum vollen Halbkreis ergänzten Bogenstück entspricht. Mit der so gefundenen Länge 8₀ con-struirt man nach dem sub A) gezeigten Verfahren die Belastungslinie n n‘ m und erhält in der Fläche ei‘ nJ m die Belastung des Spitzbogengewölbes, in der doppelten Fläche iJ nJ n i aber die im Scheitel des Letzteren anzubringende concentrirte Kraft.

Auch beim Spitzbogen lässt sich, weil für £ = 90° 8 = oo wird, die Bedingung nicht erfüllen, dass die Drucklinie innerhalb der Grenzen von ^—30° bis d= 90° mit der Mittellinie des Bogens Zusammenfalle. Man wird daher zweckmässig den Bogen als solchen nur bis zu jener Stelle ausführen, für welche sich das Belastungsgesetz noch realisiren lässt, den übrigen Theil desselben aber zum Widerlager rechnen.

Da nach dem Vorstehenden die Bildung einer spitzbogenförmigen Drucklinie durch das Auftreten einer concentrirten Last im Scheitel bedingt ist, so ist die Anwendung des Spitzbogens nur dann als statisch gerechtfertigt zu betrachten, wenn concentrirte Scheitelbelastungen vorhanden sind, wie z. B. bei Gewölben, welche zur unmittelbaren Unterstützung von Balkenlagen, Mauerpfeilern etc. dienen.

Häufig wird diese Bogenform gewählt bei nicht concentrirter, sondern stetig vertheilter Belastung. Dann wird auch die Drucklinie einen stetigen Verlauf nehmen und nicht Bogenmittellinie sein. Die für jeden speciellen Fall vorzunehmende Stabilitätsuntersuchung (s. S. 59) muss dann zeigen, ob die gewählte Bogenform der Belastung entspricht.

C. Elliptische Drucklinie.

Bezeichnen a und b die horizontale und verticale Halbaxe der Ellipse und wird dieselbe auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem bezogen, dessen An-

*»

Fig. 34.

fangspunct mit dem Scheitel der Ellipse zusammenfällt (Fig. 34), so ist die Gleichung der elliptischen Drucklinie gegeben durch

4*

daher

d²y

ab

dx²

(a² — x²) ]/a² —x²

Wird dieser Werth in die allgemeine Gleichung (30) eingeführt, so gilt für den vorliegenden Fall das Belastungsgesetz :

abH ‘

g(a²—x²)Y a² — x²

oder

MH

Z~§ a²(b — ijY

mithin für den Scheitel, für welchen y= 0 wird,

_ bH gos ’

woraus sich für den Horizontalschub der Ausdruck

a² z₀ 9

.    •    (44);

(45)

ergibt.

Setzt man vorstehenden Werth in Gleichung (44) ein, so erhält man als einfachste Gleichung der Belastungscurve für die elliptische Drucklinie:

(Ju)'

\b-y)

(46).

Aus vorstehender Gleichung sowie aus Gleichung (44) erhält man für den Bogenanfang y = b die Belastungshöhe 0=00, und es gilt desshalb auch bezüglich der Ausführung des elliptischen Gewölbes das bereits bei der kreisförmigen und der spitzbogenförmigen Drucklinie Erwähnte.

Von Interesse ist der Vergleich zwischen dem Belastungsgesetz der elliptischen mit dem der halbkreisförmigen Mitteldrucklinie vom Durchmesser gleich a. Für die Letztere ist nach Gleichung (38), wenn die Ordinaten des Kreises, bezogen auf ein Axensystem wie in Fig. 34, mit y‘ bezeichnet werden:

(——V.

\a — y'J

Dividirt man nun die Scheitelgleichung der Ellipse b — y = —]/a²—x²

Qj

durch die Scheitelgleichung des Kreises a — y'= }/a²—x2 gleiche Werthe von %

so wird für

a — y*

oder

b — y

Für letzteren Werth gestaltet sich die Gleichung (46) um in:

a—y

(rb)'-ty'

dass die Belastungshöhen der elliptischen

und man erkennt

und der kreisförmigen Drucklinie für gleiche Abscissen und bei gleicher Belastungshöhe im Sc h eitel dann übereinstimmen, wenn der Durchmesser des Kreises der horizontalen Ellipsenaxe gleich ist.

Es kann daher leicht die Belastungsfläche der elliptischen Drucklinie unter Zugrundelegung derjenigen des Kreises rechnerisch wie durch Zeichnung gefunden werden.

4.

Form und Stärke eines Gewölbes von gegebener Belastung.

A. Die Belastung ist oben horizontal abgeglichen und besteht aus einem dem Gewölbemauerwerk an specifischem Gewichte gleichen Material¹).

Wenn die halbe Spannweite s, Pfeilhöhe f und Belastungshöhe yQ der Drucklinie im Scheitel gegeben sind, so gilt für jeden Punct e' derselben und mit Rücksicht auf die in Fig. 35 bezeichnete Lage des Axensystems die Gleichung:

dHj _ y dx² ¹ H

Um diese Gleichung integriren zu können, multiplicire man sie mit dy

d¹y __

dx²

und bringe letztere Gleichung auf die F orm :

dy

.ydy ⁹ H

-3F

-ft-

iä²

2 \dx/

ej

, v «.!/

-t£+o.

0 dJ-

•t

woraus durch Integration

(dyY

\dx/

;r

Da für x = ist, so ergibt sich

dx

Fig. 35.

C- g-g-

und

oder

dy

dx

(47)

dx =

V-

H dy

9 Vif—yJ

Aus dieser Gleichung erhält man durch nochmalige Integration :

und da

j/ — logaat {y-\- Vf — Po²) + C

so ist

p = p₀ für %=0

C=-

daher

%nat^/₀ YY

y + Vy² — yo²

Po

.    .    (48).

Mittels vorstehender Gleichung kann die einer horizontalen Belastungsmasse entsprechende Mitteldrucklinie gefunden werden, wenn zuvor H bestimmt ist; der Horizontalschub aber ergibt sich durch Einführung der gegebenen Coordinaten p₀f und s des Bogenanfanges e in Gleichung (48):

S-lognat

Po + f+ Vf² + 2/>p

Po

.    .    (49)

und liat man dann die Mitteldrucklinie durch Abscissen und Ordinaten dargestellt, so bestimmt sich liienach die Form und mit Rücksicht auf die Gleichungen h

-pr- auch die Stärke des Bogens.

Cos e

II

Ji = ~— und h'

Um die Krümmungsverhältnisse einer solchen Mitteldrucklinie näher zu untersuchen, benützt man Gleichung (31)

II sec³s

in welche man den aus Gleichung (47) sich ergebenden Werth

y = p//yo² + ~-tang²s

einsetzt; dann wird :

sec³ e

^ V² + ~ fang² e Für e = 0 ergibt sich der Krümmungsradius im Scheitel:

ro

II

92/o

T

und wenn das constante Verhältnis — mit d bezeichnet wird

Po

daher für diesen Werth von II

r = y₀

ö SCC³ E

(50).

j/l -j- ö fang² e

Da nach vorstehender Gleichung r direct proportional der Belastungshöhe g₀ im Scheitel ist, so werden alle Curven, für welche d sich gleich bleibt,

ähnlich sein. Man wird desswegen bei der Veranschaulichung der Curven-formen, welche unter verschiedenen Verhältnissen durch Gleichung (50) gegeben sind, die Constante y₀ als Maasseinheit annehmen und nur die durch die Verschiedenheit in den Werthen von d hervorgerufenen Veränderungen untersuchen. Diesem Zweck dient die nachfolgende Tabelle, welche für eine Reihe an-V

genommener Wertlie — die Krümmungsradien der zugehörigen Drucklinien für

Vo

je 5 zu 5 Grad ergibt. In lotlirechten Columnen unter einander stehen die zu einer Mitteldrucklinie gehörigen Radien, deren oberster, wie leicht einzusehen , gleich d ist. Man erkennt, dass innerhalb der Grenzen £ = 0 und £ = 40° die Zahlenwertlie der einzelnen verticalen Rubriken wenig von einander verschieden sind, und dass namentlicli für d = 0,1 bis ö—8 sogeringe Differenzen in den aufeinander folgenden Stadien je einer Drucklinie auftreten, dass man die zugehörigen Curven innerhalb der bezeichneten Grenzen als Kreisbögen construiren kann.

Krümmungsradien von Mitteldrucklinien mit horizontal abgeglichener homogener Belastung.

Vo

0,1

0,5

10

15

20

25

Krümmungsradius r

5°

10°

I—

0,50

1,00

3,00

5,00

10,0

0,51

1,01

3,01

4,96

9,7

0,52

1,03

3,02

4,89

9,1

15°

20°

25°

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

-3 CO to DO M H M i—* H-1 OCBOi-Oi-iOOOTMtOH

0,55

1,07

3,04

4,78

8,5

0,58

0,64

0,71

0,82

0,96

1,15

1,43

1,85

2,53

1,14

3,06

4,70

7,9

1,22

1,34

1,41

1,69

1,99

2,40

3,00

4,00

3,13

3,27

3,47

3,75

4,22

4,89

5,90

7,60

4,64

4,70

4,84

5,19

5,70

6,56

7,85

10,00

10,00

12,80

7,5

7,4

7,5

7,8

8,9

9,8

11,4

14,4

co    h    c    w    ^    ^    oo    w    c    t-h    r>

io    ^    W    H    o"    05*    05    05    cT    o    1—T    tH*

t“H    t-H    t-H    t-H    rH    r-H    r-H    r-H    rH

O 0 ^ 0    o    H    h    ^ GO (M    io

O    GO CO ^ Cd    T—T    t-h    rH    T—T    cT GO ZO    o'

Cd rH r—IrHrHr-irHr—I r-H r—irHr—I (M

tOHMHMMMMHMMlOM

03 OO On OS t® to t>0 OS    03    CO On

i—‘Ifi. Ort (» OO 03 Ol OJ “«q OO D5 O

B. Die Belastung besteht aus Mauer werk, Erdauffüllung

und Verkehrslast.

Soll hier bei gegebener Spannweite und Pfeilhöhe der inneren Wölblinie die Form und Stärke des Bogens von gleichem Widerstand bestimmt werden, so wird die Anwendung der Methode der analytischen Entwickelung zu com-plicirteren Formeln führeü als sie für den häufigen Gebrauch wiinschenswerth sind. Man bedient sich desshalb einfacher des nachstehenden graphischen Verfahrens, welches, obgleich nur durch Näherung zum Ziele führend, doch nicht im Missverliältniss steht mit der bei Gewölben überhaupt noch erreichbaren Grenze der Genauigkeit.

Die halbe Spannweite aC = 6 m, die Pfeilhöhe Cd = 4 m und die Con-structionsdicke dh = ^,h m seien (Fig. 5 Taf. 2) im Maassstab 1:100 aufgetragen. Das Gewicht g des Cubikmeters Wölbsteinmauerwerk sei 2400 kg, das des Füllmaterials g'=1600 kg, die zufällige Belastung ft) betrage per Quadratmeter 800 kg und die grösstzulässige Beanspruchung ß des Wölbmauerwerks sei auf 6,5 kg per qcm festgesetzt.

Man denke die zufällige Belastung durch eine aufgebrachte Schichte Füllmaterial gg'lvli ersetzt, deren Höhe Ttk‘ sich aus der Gleichung berechnet.

Sodann bestimme man die Schlusssteinhöhe h nach Gleichung (36), in welche man für den Krümmungsradius r der Leibungslinie im Scheitel vorläufig den einer kreisbogenförmigen Wölblinie entsprechenden Werth r=6,5 m setzt. Man erhält annähernd

2.6,5 (2000.4,5 + 800)

2.65000 — (2000.4,5 + 800) und trägt die gewonnene Länge in Fig. 1 ]i = cJd auf.

Wird die sich jetzt in der Scheitelverticalen ergebende Höhe c/Z;/ = 3,5 m des Füllmaterials reducirt auf die einer gleichschweren aber aus Mauerwerk

9'

bestehenden Füllmasse entsprechende Höhe c,n = &ki. --=2,666 m, so berechnet sich, unter der Voraussetzung, dass die Mitteldrucklinie die Bogenstärke im Scheitel halbire und concentrisch sei der inneren Wölblinie daselbst, der Horizontalschub, weil r₀ = 7,0 m und = 3,666 m nach Gleichung (32), approximativ wie folgt:

H= 7.3,666 . g == 25,662 g.

Man denke nun den zwischen Scheitel und Kämpfervertiealen befindlichen Gewölbetheil sammt Belastung durch lothrechte, normal zur Stirne befindliche Ebenen a\aß, ad, a^aß u. s. f. in eine Anzahl Prismen von gleicher Breite 5 getheilt, deren Gewichte Q₁, Q₂, Q₃ u. s. f. in den Schwerlinien derselben concentrirt wirkend angenommen werden können. Das Gewicht eines jeden dieser Prismen wird proportional sein dessen mittlerer Höhe, wenn zuvor die Homogenität hergestellt, d. h. der aus Füllmaterial bestehende Prismentheil in ein gleichschweres Steinprisma verwandelt sein wird.

Der Kräftemaassstab für die Darstellung der Werthe +, Q₂, Qs u. s. f. möge durch die Annahme festgesetzt werden, dass die Gewichte der einzelnen Prismen repräsentirt seien durch die vierten Theile ihrer mittleren Höhen. Bezeichnet demnach l₁₇ l₂, l₃ u. s. f. den vierten Theil der Höhe des ersten, zweiten, dritten Prismas u. s. f., so bestehen bei vorausgesetzter zur Zeichnungsebene senkrechten Länge des Gewölbes = 1 die Ausdrücke:

Qi = 4(+g

Qs = 4 h h 9 Q₃ = 44&g

Die im nämlichen Kräftemaassstab den Horizontalschub darstellende Länge 0‘ 0 (Fig. 6) ergibt sich dann aus der Gleichung 32

0*0

>'<Go

od.er, da b im vorliegenden Falle gleich 1 m,

0*0 = 6,4155 m.

dn

Der Horizontalsclmb vereinigt sich nun mit dem Gewichte ^=01 = —

welche nach Grösse und

des ersten Prismas zu einer Resultirenden 0‘ 1 Richtung aus dem Kräftepolygon, ihrer wirklichen Lage nach aber in der durch I zu O'l gezogenen Parallelen III (Fig. 5) erhalten wird.

Eine durch Schnittpunct II der in Rede stehenden Kraftlinie mit der Schwerlinie des zweiten Prismas gehende Lagerfuge wird normal zu III und der Grösse nach so anzuordnen sein, dass ihre Verticalprojection gleich der Schlusssteinhöhe h ist.

Man mache daher im Kräftepolygon (Fig. 6) 0'a = h, ziehe durch a die Lothrechte a ’C und erhält in dem durch Letztere auf dem Strahl 0*1 gebildeten Abschnitt 0‘ß die Länge der in Rede stehenden Lagerfuge ß¹ ß“.

Letztere wird unter Benützung der Fig. 7, in

Im Puncte II der Schwerlinie des zweiten Prismas vereinigt sich nun die Resultirende O'l mit Q₂. Dieses ist gleich dem Gewichte eines Mauerprismas von der mittleren Höhe II11* und demjenigen eines Erdprismas von der mittleren Höhe II/ 2*.

welcher D F : DE = g': g , in die einem gleichschweren Steinprisma entsprechende mittlere Höhe II“ 2“ verwandelt, sodann mittels Fig. 8, in welcher GM: GL— 1:4, die Länge II2“ auf den oben angenommenen Kräftemaassstab reducirt. Nachdem auf solche Weise Q₂ bestimmt und als Längenabschnitt 12 auf der Kräfteverticalen (Fig. 1 a) aufgetragen ist, ergibt sich 0'2 als die von der Schwerlinie des zweiten Prismas ausgehende Resultirende, welche die Mittellinie des dritten in III schneidet.

Richtung und Grösse der Lagerfuge y‘y“ bestimmt sich wie vorhin und ebenso, nachdem Dies geschehen, das Gewicht 2 3 des dritten Prismas. Dieses wird mit der vorhergehenden Resultirenden zu der weiteren 0* 3 vereinigt und die Fortsetzung des gleichen Verfahrens liefert ein Gewölbe von der Leibungslinie d a! ß‘ y* ö* e‘ v* a', dessen Mitteldrucklinie die Kämpferverticale in dem Puncte e‘ schneidet.

Die erhaltene Bogenform , welche den gestellten Bedingungen noch nicht entspricht, dient zunächst zur genaueren Bestimmung von Horizontalschub und Schlusssteinhöhe.

Eine Verticale nämlich durch den Schnittpunct t der äussersten Seiten des Seilpolygons i*IIIIIIIV V VI ist zugleich Schwerlinie des halben Gewölbes, dessen Gewicht Q sammt Belastung durch 0 6 (Fig. 6) gegeben ist. Da nach Gleichung (24)

II: Q = Xq : y₀ ,

so braucht nur = und 0 u = xQ (Fig. 6) aufgetragen und durch 6 eine Parallele 6 0 zu vu gezogen zu werden, um H=O0 zu ergeben. Hiebei berücksichtige man bezüglich der Bestimmung des Hebelarmes y₀, dass die Mitteldrucklinie des zu bestimmenden Gewölbebogens die Kämpferverticale in einem Puncte e schneiden wird, dessen Entfernung von a approximativ der Länge e* a! gleich sein wird und wähle den so sich ergebenden Punct e als neuen Drehpunct.

Nachdem man nun noch die dem rectificirten Horizontalschub 0 0 entsprechende Schlusssteinhöhe Oy' (Fig. 6) bestimmt und dieselbe (Fig. 5) gleich de aufgetragen, wiederholt man das eben beschriebene Verfahren für die geänderten Werthe II und h und das leicht zu beurtheilende Ergebniss der Construction wird erkennen lassen, ob die jetzt resultirende Drucklinie und Bogenform den gestellten Bedingungen genau genug entsprechen oder ein zweites in gleicher Weise auszuführendes Correctionsverfahren erforderlich ist.

§ 5.

Stabilitätsuntersuclmiig' eines Gewölbes von gegebener Bogenform und

Belastung.

Im Vorgehenden wurde gezeigt, wie die einem gegebenen Gewölbe zugehörige Belastung oder umgekehrt die einer bekannten Belastung entsprechende Bogenform zu ermitteln ist. Es kommt aber auch häufig vor, dass einerseits Rücksichten gewisser Art die Wahl einer bestimmten Gewölbeform erfordern, ohne dass andererseits eine bestimmte vorhandene Belastung vermieden oder geändert werden kann. Man ordnet dann in der Regel die Stärke des Gewölbes nach dem Beispiel ähnlicher ausgeführter und bewährter Constructionen an und prüft die Zweckmässigkeit der Annahme durch Ausführung der Stabilitätsuntersuchung des projectirten Gewölbes.

Da durch Gleichung (37) das Gesetz der Zunahme der Bogenstärke vom Scheitel gegen das Widerlager gegeben ist, so hat man, um die Gewölbestärke zu bestimmen, nur die Schlusssteinhöhe li anzunehmen. Zur vorläufigen und approximativen Bestimmung derselben werden entweder die Gleichungen (34) und (36), oder empirische Formeln benützt, wie solche in grosser Zahl von verschiedenen Baumeistern durch Vergleichung von ausgeführten Gewölben erhalten und aufgestellt worden sind. So ist: nach Lesguiller

h = 0,2 Y s -j- 0,1 m,

wenn s die Spannweite in Metern bezeichnet;

nach Rondelet für halbkreisförmige und elliptische Gewölbe li — 0,0416 $    0,3248 bis

h — 0,0208 s -f- 0,1624 m;

nach Gauthey für Gewölbe von 3 bis 16 m Spannweite li = 0,0208 s -j- 0,406 m;

nach Fontenay für stark belastete Gewölbe mit einem grössten Krümmungsradius r von höchstens 12 m h = 0,7 r -f- 0,32 m.

Nach R a n k i n e soll

für Kreisbogengewölbe 7^=0,346 ]/r

und

für gedrückte Korbbögen Ji= 0,412 j/ r genommen werden, wenn r den Krümmungshalbmesser im Scheitel der Wölblinie in Metern bezeichnet.

Was nach Festsetzung der Bogenstärke die Prüfung des Gewölbes auf seine Stabilität anlangt, so wird dieselbe am einfachsten au graphischem Wege und zwar in folgender Weise vorgenommen:

Es sei (Fig. 1 Taf. 2) ab'cd das gegebene nach oben durch eine abgeschrägte Uebermauerung begrenzte Gewölbe. Dasselbe sei durch eine Erd-

auffüllung vom Gewichte des Cubikmeters g' = 1600 kg und durch eine Verkehrslast ft), welche per Quadratmeter horizontaler Oberfläche 600 kg beträgt, beansprucht. Das Gewicht des Cubikmeters Wölbsteinmauerwerk sei 2400 k. Man ersetze zunächst die Verkehrslast durch eine aufgebrachte Schichte Füllmaterial kk' g' g, deren Höhe sich wie oben bestimmt, und denke durch loth-rechte, normal zur Gewölbstirne befindliche Ebenen das halbe Gewölbe vom Scheitel bis zu der durch die untere Grenze a der Kämpferfuge gelegten Verti-calen in eine Anzahl Prismen von gleicher Breite b getheilt. Sodann ver-Avandle man mit Hilfe der Fig. 3, in welcher DF: DE = g': g, die aus Erde bestehenden Prismentheile in gleichschwere Steinprismen, wodurch sich die Linie n m als obere Begrenzung der auf Steinmaterial reducirten Gesammtbelastung ergibt. Die Flächen dmai'üi, ci\ cii" a^" <fa , a^al' a^" a% u. s. f. sind jetzt offenbar proportional den Gewichten Q der zugehörigen Prismen, und wenn die Breite b der einzelnen Streifen so gering angenommen wird, dass dieselben als Trapeze angesehen werden können, so sind auch ihre mittleren Höhen lx, l₂, l₃ u. s. f. den Prismengewichten proportional. Daher trage man an einer Verticalen (Fig. 2) diese Höhen, oder zur Vermeidung zu grosser Längen aliquote (hier die fünften) Theile derselben zu einem Kräftezuge 0 1 2 3 ... 9 zusammen, so dass bei angenommener Tiefe des Gewölbes = 1

Q₃ u. s. f.

vH <F1

cp Cp

ca ca

tH j(M O ItH

$9 — 5.8 9 • b . g,

und wenn mit Q das Gewicht des halben Gewölbes dm a$' a d bezeichnet wird

Q — 5.09.b . g.

zeichnet man

Um Letzteres auch    seinem Angriffsort    nach zu    erhalten

für einen beliebigen Pol    0',    der am Besten    auf einer    den Kräftezug    in    seinem

01'II'III'...IX'.

Anfangspunct senkrecht schneidenden Geraden angenommen wird, Kräftepolygon Ser Kräfte Q₁ bis Q₉ und construirt das demselben zugehörige Seilpolygon Nachdem man den Schnittpunct t der äussersten Seilpolygonseiten bestimmt, ergibt sich der den angenommenen Angriffspuncten e und i von Widerlagerreaction und Horizontalschub entsprechende Werth von Ii als Länge 0 0, wenn    im    Kräftepolygon    (Fig. 2 a)    0 v = p₀ und    0 u = X₀

aufgeti'agen und durch 9    die    Parallele 9 0    zu vu gezogen wird:

#=5.00.6.g.

Wird der jetzt erhaltene Punct 0 als Pol für ein neues Kräftepolygon mit der Poldistanz gleich dem Hprizontalschub gewählt, so repräsentiren die Strahlen Ol, 0 2 u. s. f. bis 0 9 die von den Mittellinien der einzelnen Lamellen ausgehenden resultirenden Gewölbedrücke, das hiezu gehörige Seilpolygon i III. . . VIIIe aber die Mitteldrucklinie.

Wenn statt der Puncte e und i andere Angriffsorte für Horizontalschub und Widerlagerreaction gewählt worden wären, so würde man einen abweichenden Werth für H und eine andere Mitteldrucklinie erhalten haben. Entsprechen mehrere solche Drucklinien den bekannten Bedingungen des Gleichgewichtes, so ist die Stabilität des Gewölbes in mehrfacher Beziehung als gesichert zu betrachten, jedoch entzieht sich die Lage der wirklich auftretenden Mitteldrucklinie der Beurtheilung. Wenn aber von allen möglichen Drucklinien nur eine einzige so verläuft, dass sie das mittlere Drittel der Bogenstärke nicht verlässt, so wird Dies die wirkliche Drucklinie sein und auch in diesem Falle kann das Gewölbe als hinreichend stabil erachtet werden.

Die günstigste Lage der Drucklinie ist offenbar jene, bei welcher sie mit der Bogenmittellinie zusammenfällt, weil dann die Pressungen über alle Fugenflächen sich gleichmässig vertheilen. Man wird daher bei der Stabilitätsuntersuchung eines Gewölbes zunächst diejenige Drucklinie bestimmen, welche den in der Mitte der Wölbstärke von Scheitel und Kämpferfuge angenommenen Drehpuncten entspricht. Nimmt dabei die erhaltene Drucklinie den gewünschten Verlauf, so ist damit zwar noch nicht die NothWendigkeit, aber doch die Möglichkeit erwiesen, dass die wirkliche Drucklinie eine gleiche Lage beibehalte , denn letztere Möglichkeit ist nur denkbar, wenn die dazu erforderlichen statischen Bedingungen vorhanden sind.

Für die wirkliche Druckvertheilung ist vor Allem von Belang die für die Consolidirung des Gewölbes wichtigste Zeit nach dem Ausrüsten und sie ist abhängig von einer Reihe von zum Theil unberechenbaren Umständen , wie von der Art der Bearbeitung der Wölbsteine, der Sorgfalt, die auf das Versetzen derselben verwendet worden ist, von der Anzahl und Stärke der Mörtelbänder, der Zusammenpressbarkeit des Mörtels und von der mehr oder weniger guten Gonstruction des Lehrgerüstes.

Man hat indessen schon Mittel angewendet, um die Resultirende der Gewölbepressungen im Scheitel und am Kämpfer auf die Fugenmitten zu beschränken, indem man entweder die Wölbsteine hier abrundete und dadurch die Berührung auf die Mitte der Fuge beschränkte , oder indem man das Gewölbe an den erwähnten Stellen mit Stahlplatten armirte und so eine Art von Gelenken construirte, mit Hülfe deren die Drucklinie gezwungen wurde, die geforderte Lage einzunehmen. Durch diesen constructiven Kunstgriff, dessen häufigere Anwendung im Interesse einer rationellen Construction wiinschens-werth ist, verschwindet die oben erwähnte Unsicherheit in der Beurtheilung der Stabilität eines Gewölbes und weil die dann stattfindende Druckvertheilung in allen Theilen des Gewölbes eine möglichst gleichförmige ist, kann dasselbe auch mit dem denkbar geringsten Materialaufwand hergestellt werden.

Es liegt in der Natur der Sache, dass stetig vertheilten Belastungen auch stetig verlaufende Drucklinien, plötzlichen Aenderungen aber im Belastungs-

4''

Fig. 36.

Fig. 37.

gesetz oder concentrirten Kräften Brechungspuncte der Drucklinie entsprechen. Ein Spitzbogen mit symmetrisch zum Scheitel vertheilter stetiger Belastung

wird daher immer eine Drucklinie mit horizontaler Scheiteltangente haben, welche nie Bogenmittellinie sein kann, denn nach § 3B kann nur eine Einzellast im Scheitel eine spitzbogenförmige Drucklinie zur Folge haben. Fig. 2 und 2 a Bl. 3 zeigen die Stabilitätsbestimmung eines spitzbogenförmigen Gewölbes.

Lässt sich bei der Stabilitätsuntersuchung eines Gewölbes keine Drucklinie finden, welche den gestellten Bedingungen entspricht und rückt die günstigste derselben an einzelnen Stellen der äusseren oder inneren Bogenbegrenzung nahe (Fig. 36 und 37), so ist ein Drehen um die der Drucklinie nächste Kante zu befürchten, welche Gefahr je nach Umständen entweder durch Vermehrung oder Verringerung der Belastung oder durch Verstärkung des Gewölbes oder endlich durch Aenderung der Bogenform vermieden werden kann.

Stützlinie eines Gewölbes.

Nach der auf S. 15 gegebenen Definition gilt als Stützlinie eines Mauerkörpers die Verbindungslinie derjenigen Puncte, in welchen sämmtliche auf einander folgende Lagerfugen von den auf dieselben wirkenden Resultirenden der äusseren Kräfte geschnitten werden.

In den vorhergehenden Untersuchungen wurde auf die Anordnung der Lagerfugen des Gewölbes keine Rücksicht genommen, vielmehr eine beliebige Eintheilung in verticale Lamellen der Bestimmung der Drucklinie zu Grunde gelegt. Daher ist Letztere genau genommen nicht Stützlinie des Gewölbes, jedoch kann sie zur Bestimmung der eigentlichen Stützlinie in folgender Weise benützt werden:

Es sei ß d (Taf. 2 Fig. 1) eine beliebige gegebene Lagerfuge. Um die Mittelkraft der auf dieselbe wirkenden äusseren Kräfte zu erhalten, sucht man die ihr vorangehende Lamelle o^a^' Oz“ a% auf, von deren Mittellinie eine nach Grösse und Richtung durch den Strahl 0 3 des Kräftepolygons, ihrer Lage nach aber durch das Element IIIIV der Drucklinie gegebene Resultirende ausgeht. Diese schneidet die Schwerlinie der Lamelle a-z a₃" y d ß im Puncte s, und wird sie hier mit dem Gewichte derselben zu einer neuen Mittelkraft vereinigt, so ist letztere die Gesammtresultante der auf die Lagerfuge ßd thätigen äusseren Kräfte. Man trägt daher auf der verlängerten Seilpolygonseite IIIIV von e aus die Länge 0S = £v an, zieht durch v eine Verticale, auf welcher man in dem für die Darstellung des Kräftepolygons gewählten Kräftemaassstab v f.i gleich dem Gewichte der Lamelle 0,30,3" yd ß macht, so ist ^ e die gesuchte Resultirende, deren Schnitt rj mit ßd einen Punct der Stützlinie ergibt.

coo

7.

Bestimmung- der Widerlager- und Pfeilerstärken.

A) Widerlager.

Die Widerlager eines Gewölbes, welche demselben feste und unverrückbare Stützpuncte bieten sollen, müssen stark genug sein, um weder Verschiebung noch Umkantung noch in irgend welchen Theilen Zerdrückung zu erleiden.

Der vom Gewölbe auf das Widerlager ausgeübte Druck W (Fig. 38) zerlegt sicli in eine horizontale Componente, den Horizontalschub H, und eine Verticalkraft Q gleich dem Gewichte des halben Gewölbes.

K'\ K

-O-1-9-

tl

Fig. 38.

Es liegen hienach die Verhältnisse des auf S. 14 behandelten Falles vor und müssen bei Bestimmung der Widerlagerstärke d folgende Bedingungsgleichungen berücksichtigt werden:

a) Damit eine Verschiebung an der in dieser Beziehung gefährlichsten Stelle unmittelbar unterhalb der Kämpferfuge vermieden werde

b) Damit ein Umkippen nicht eintrete, vielmehr der aus dem Gewölbedruck TU und dem Gewichte P der gesummten Widerlagsmauer resultirende Druck sich über die ganze Fläche AP vertheile

d2+Qd=6^-(l—e).

zg zg

c) Damit genügende Sicherheit gegen Zerdrücken an der in dieser Hinsicht am meisten beanspruchten Fundamentfläche vorhanden sei

20

d ß~2ta’

Der grösste von den dreien aus vorstehenden Gleichungen sich ergebende Werth von d ist der Bestimmung der Stärke des Widerlagers zu Grunde zu legen.

Häufig werden zur Vergrösserung des Widerstandes gegen Verschieben entweder die Lagerfugen des Widerlagers geneigt angeordnet (Fig. 39), so dass sie mit den Normalen zu den auf sie wirkenden Drücken Winkel ein-schliessen, die kleiner sind als der Minimalwerth des Reibungswinkels oder es werden vertical gestellte Steine (Fig. 40) angewendet, deren Schubfestigkeit einer Trennung in horizontalem Sinne entgegen wirkt.

ai

Cd

Fig. 39.

Fig. 40.

Den besten Aufschluss über die Stabilität des Widerlagers gibt die Con-struction der Drucklinie desselben, welche entweder nach dem auf S. 15 gezeigten Verfahren oder im Anschluss an die Stabilitätsuntersuchung des Gewölbes auf folgende Weise ausgeführt wird:

Man setze die angefangene Theilung in Streifen von der Breite b (Fig. 1 Taf. 2) auch für das Widerlager fort und bestimme den Schnittpunct IX der von der letzten Gewölbelamelle ausgehenden Resultirenden mit der Schwerlinie der angrenzenden Widerlagerlamelle a^fM“. Auf den weiteren Verlauf der Drucklinie ist nun vorzugsweise das Gewicht des oberhalb des Punctes IX befindlichen Lamellentheiles von Einfluss und indem man dieses Gewicht, welches in bekannter Weise auf den gewählten Kräftemaassstab zu reduciren ist, als Länge 8 9 im Kräftepolygon aufträgt, erhält man im Strahl 0 9 und in einer hiezu gezogenen Parallelen IX X die von IX ausgehende Resultirende nach Grösse, Richtung und Lage. Das gleiche Verfahren wird für die folgenden Lamellen bis zum Schnitt der Drucklinie mit dem Fundament in Anwendung gebracht. Ist e₁ dieser Schnittpunct und 012 der daselbst resultirende Druck, so bestimmt sich die rückseitige Begrenzung des Widerlagers gemäss der Bedingung, dass zur Aufnahme der hier stattfindenden Pressung noch genügend Mauerfläche vorhanden sein müsse. Wenn daher 0 ci (Fig. 2 a) die dem Horizontalschub mit Rücksicht auf die zulässige Beanspruchung des Mauerwerks entsprechende Wölbstärke im Scheitel ist, so erhält man, weil

0 0 : Oa= 012 : 0£

stattfinden muss, in dem Abschnitt O'C die Länge einer in e₁ normal zur Drucklinie gedachten Fuge, oder in der Strecke 0    — etf die normal zur Druck

linie gemessene Entfernung der Widerlagergrenze von e₁. Bei vorstehender Art der Behandlung braucht an der Forderung, dass ex innerhalb des mittleren

Dritttheiles der Fundamentstärke w w‘ liege, nicht unbedingt festgehalten zu werden, da das Auftreten von Zugspannungen zwischen w‘ und e₁ schon durch das Gewicht des unterhalb der Drucklinie befindlichen und bei Construction derselben nicht berücksichtigten Mauertheils verhindert wird.

B) Pfeiler.

Ein zwei benachbarten Gewölben gemeinsames Widerlager wird Pfeiler genannt. Besitzen beide Gewölbe gleiche Grösse, Höhenlage und Belastung (Fig. 41), so heben sich ihre nach entgegengesetzter Richtung wirkenden hori-

<—ei—->

SYL.

Fig. 41.

zontalen Schubkräfte gegenseitig auf und es hat der Pfeiler nur dem lotli-rechten Druck des Gewichtes zweier Gewölbehälften und seiner Eigenlast zu widerstehen.

Bezeichnet daher d die untere Stärke des Pfeilers, h dessen Höhe und Q das Gewicht eines halben Gewölbes sammt Belastung, so ist nach Gleichung (12)

20

d ß......./(3 '

Ausserdem muss die Pfeilerstärke zum Mindesten gleich der Summe der Hori-zontalprojectionen der beiden Kämpferfugen sein, damit die Kämpfersteine die für ihr Auflager erforderliche Unterstützungsfläche erhalten.

Sind die Gewölbe verschieden gross und verschieden hoch angelegt (Fig. 42), so wird die Stabilität des ihnen gemeinsamen Pfeilers zweckmässig mit Hülfe der Drucklinien beider Gewölbe und deren Fortsetzungen im Pfeiler geprüft. Die Letzteren schneiden sich im vorliegenden Fall im Puncte r und die hier zusammentreffenden Gewölbedrücke 0 8 und 0' 7' vereinigen sich zur Resul-tirenden JR, = O¹8'. Zur Beurtheilung des Gleichgewichtszustandes der Construction sind damit alle Anhaltspuncte gegeben. In Fig. 1, 1 a, lb und lc (Taf. 3) ist die Stabilitätsbestimmung einer ähnlichen Gewölbecombination dargestellt.

Fig. 42.

ccn

4i-U

cv-

5' V 3'    2⁷    /'

,e •>;

o\

f/v

./

iS'

5'

C'

8.

Stabilitätsbestimmung eines Gewölbes mit Berücksichtigung des Seitenschubes einer lockeren Bogenbelastung.

Ein Gewölbe von in Fig. 1 Taf. 4 gegebenen Dimensionen sei durch eine oben horizontal begrenzte Hinterfüllung aus lockerem Erdmaterial vom natürlichen Böschungswinkel = 30° belastet. Das Gewicht g' des Cubikmeters Erde betrage 1600 kg, das des Cubikmeters Mauerwerk sei g = 2400 kg. Um die Stabilität des Gewölbes zu prüfen, hat man die dem Eigengewichte der ein-

Wittmann, Statik.

Pa^b,=

9'

zelnen Steinschichten sowie der Einwirkung der auf dieselben thätigen Erddrücke entsprechende Stützlinie zu bestimmen. Vor Allem sind die auf die obere Bogenfläche und die rückseitige Begrenzung des Widerlagers wirksamen Erdpressungen zu ermitteln und man substituirt zu diesem Zweck dem gekrümmten Theile A₀ A₃ der ersteren die ebenen Elemente A₀ A und A₂ A₃.

Denkt man sich die Wandfläche AbA₄ bis zum Schnitt Bb mit der Oberfläche der Terrainauffüllung verlängert, so erhält man nach oben in dem

reducirten Erddruck auf

Ax A₂

Längenabschnitt Ab Lb den auf die Basis A- Bb Ab Bb :

Pa₅b₅ =

9'-

Man verbindet nun Lb mit Bb, zieht durch die Begrenzungspuncte der nach der angenommenen Fugeneintheilung gebildeten Wandflächenelemente Parallele zu AbLb und erhält die weiteren Erdpressungen :

ÄJÜ-ÄJB,

PA,IBb

9'

PaPbs =

AP LP. AP Bi

9/

Pa, mß₅

AhllILhm.AhmBh

9'

PaJb₅ =

APLP. AP Bi

9'

Pa₄b,

A₄LPi,A,Bi

9'-

Nach demselben Verfahren ergibt sich der Erddruck auf die bis zum Schnitt mit dem Terrain verlängert gedachte Wandfläche A₄B₄

-Pa₄b₄ —

A₄ l₄ • A₄ Ba

9'

und wenn man L₄ mit B₄ verbindet und durch A± , AP und A₃ Parallele zu A₄ L₄ zieht, so findet sich:

PaJb<

A4¹ L/ . A4¹ Bi

9'

PaPb₄

AP LP. AP Bi

9'

A₃LiUI. As B₄

9-

Pasb₄

Die Wandflächenelemente Ag A₃ und A₄A₂, deren Richtungslinien die obere Begrenzung des Erdkörpers in B₃ und B₂ schneiden, schliessen mit dem Horizont einen kleineren als den natürlichen Böschungswinkel ein. Die Resul-tirenden der auf die Wandflächen A₃P₃ und A₂ P₃, ferner auf A₂P₂ und At P₂ treffenden Erddriicke werden desshalb nach dem auf S. 31 angegebenen Verfahren bestimmt.

Man erhält aus Fig. 1 :

und

^asb₃

Pa% B2

Pai b₂

N3Q3 • A₃N₃ ,

Der Erddruck endlich auf das horizontale Wandflächenelement A₀A1 ergibt sich nach S. 34

¹

Siehe Schwedler, zur Theorie der Gewölbe, Zeitschrift für Bauwesen 1859.

Pa. a, = (« M₀ . A₀ W„ - a'M₀ . A,‘M„)    .

P\₆¹b₅, Pa}¹b₆, Pa₅11ib₆ u. s. f., zunächst die diese Werthe repräsentirenden Längen A₅L₅,

hier

A5B5 7

Da die Erdpressungen auf die einzelnen auf einander folgenden Wandflächenelemente A&A}, As¹ Ar}¹, APA}¹¹ u. s. f. erhalten werden als Differenzen der soeben bestimmten Werthe P so hat man

A¹ L}, A}¹ L}! ? A}IlL}]] u. s. f. auf einheitlichen Kräftemaassstab zweckmässig auf denjenigen zu reduciren, welcher der Darstellung der Gewichte der einzelnen Wölbsteinschichten zu Grunde gelegt und welcher im vorliegenden Falle durch die Annahme festgesetzt -worden ist, dass das Gewicht der Schlusssteinschichte gleich sei der halben Wölbstärke im Scheitel¹).

Bezeichnet d diese halbe Wölbstärke, Q das Gewicht des, Schlusssteines und b dessen mittlere Breite, so ist

Q = d. 2 . b. g.

Wenn nun der Erddruck beispielsweise auf eine Fläche AXBX gegeben

ist durch die auf die Basis — AXBX reducirte Länge AXLX:

2

AXLX J JIx

XAxBx

so muss, damit Paxbx in dem nämlichen Maassstab ausgedrückt werde, in welchem d das Gewicht des Schlusssteines liefert, diese Kraft reducirt werden auf eine Basis AJP}, welche aus der Gleichsetzung der in beiden vorstehenden Ausdrücken erscheinenden Factoren von d und AXLX sich ergibt.

5¹

4^.' = «-8-daher im gegebenen Falle

Ax'Bx' = Gb.

Nach vorgenommener, einfach auszuführender (siehe S. 38) Reduction sämmtlicher im Vorigen bestimmten Erddrücke auf die Basis 6 b ergeben sich die Grössen der Pressungen auf die Wandflächen A*, AI, AI AI¹ u. s. f. bis AT A4 als (stark gezogene) Längenabschnitte Vl$, Vlll u. s. f. bis Vv IT; der Richtung nach bilden dieselben mit der Normalen zu A₅ A₄ den Reibungswinkel von Erde auf Erde. Die Erdpressungen auf A4 A4¹, A4 A4¹ und A4¹¹ A3 werden erhalten in den Längenabschnitten IVI4, IVH4 , IV¹¹14¹¹ der Grösse nach; ihre Richtungen bilden mit der Normalen zu Ai As den Reibungswinkel. Der Erddruck auf A₂ A₃, seiner Richtung nach vertical wirkend, wird als Längenabschnitt nl m?} aus Fig. 1 b, ebenso der Erddruck auf A₂At als Länge n-₂ ml aus Fig. lb gefunden, der Erddruck endlich auf A± A₀, ebenfalls in verticaler Richtung wirkend, ist gleich dem Längenabschnitt n₀n₁ (Fig. 1). Sämmtliche auf die angeführten Wandelemente thätigen Drücke können genau genug je in der Mitte derselben angreifend angenommen werden.

Nachdem so die Erddrücke auf sämmtliche Steinschichten, sowie die Gewichte der Letzteren nach Grösse, Richtung und Angriffsort gefunden sind, hat man, um zur Construction der Stützlinie überzugehen, vor Allem die resultirende Fugenpressung im Scheitel des Gewölbes zu bestimmen, welche bei horizontaler Terrainbegrenzung, also symmetrischer Vertheilung sämmtlicher äusserer Kräfte bezüglich der Scheitelverticalen als Horizontalkraft (Horizontalschub) auftritt. Zu diesem Zweck betrachte man zuerst den den eigentlichen Tragbogen bildenden Theil des Gewölbes für sich und trage die auf die Steinschichten 1 bis 5 wirkenden äusseren Kräfte Ql, Px, Q₂, P₂ .. ..

P₅ der Reihe nach zu einem besonderen Kräftezug 0 1 1' 2 2'... 5 5' (Fig. 1 a) zusammen. (Der Maassstab dös Kräftepolygons wurde in Fig. 1 a gegenüber dem oben festgesetzten um die Hälfte verkleinert.) Sodann zeichne man für einen beliebigen, hier auf einer den Kräftezug in dessen Anfangspunct schneidenden Horizontalen, angenommenen Pol 0‘, Kräftepolygon 0‘ 0 1 P 2 2'... 5' 0' und Seilpolygon Ol TII    V V* (Fig. 1), so ergibt sich im Durch-

schnittspunct i der äussersten Seilpolygonseiten ein Punct der Kraftlinie der Resultirenden der an dem halben Tragbogen wirkenden äusseren Kräfte, welche Resultirende nach Grösse und Richtung als Gei’ade 0 5' des Kräftepolygons (Fig. 1 a) gefunden wird.

Wenn nun die vorläufige Annahme gemacht wird, dass der Angriffs-punct v des Horizontalschubes sich in der Mitte der Gewölbestärke am Scheitel befinde, und dass die Widerlagerreaction die Kämpferfuge A± aj ebenfalls in dem Halbirungspuncte w ihrer Länge schneide, so muss, wenn vv' xmd w w‘ die Hebelarme der Kräfte II und P bezüglich des Drelipunctes w bezeichnen, die Gleichgewichtsbedingung

H .vv‘ =R.ivw‘

oder

Man erhält

H: R = wwi :vv‘

erfüllt werden. Stellt man die letztere Proportion geometrisch dar, indem man auf der Geraden 0 5' des Kräftepolygons 0 r gleich vv', ferner auf der Horizontalen 0 r' gleich w w‘ aufträgt und zur Verbindungslinie rr‘ durch 5'

eine Parallele zieht, so schneidet Letztere auf der Horizontalen des Kräftepolygons den den angenommenen Drehpuncten entsprechenden Horizontalschub 0 0 ab und das Seilpolygon v 1 V 2 2' . . . . 5 5', welches jetzt unter Zugrundlegung des neuen Poles 0 construirt werden kann, ist zugleich Mitteldruck- oder Stützlinie des Gewölbes.

Verläuft dieselbe nicht innerhalb der Grenzen des mittleren Dritttheiles der Stärke des Gewölbebogens, so ist für beliebig veränderte, selbstverständlich zwischen denselben Grenzen zu wählende Drehpuncte das Verfahren zu Aviederholen und wenn von Allen auch nur eine so erhaltene Stützlinie den Gleichgewichtsbedingungen entspricht, so ist die Stabilität des Gewölbes als gesichert zu betrachten.

Anschliessend an die jetzt bestimmte Widerlagerreaction des Tragbogens wird in gleicher Weise die in Fig. 1 durch umringte Puncte characterisirte Stützlinie für die übrigen Theile des Gewölbes bestimmt.

Das Kreuzgewölbe.

Für die Stabilitätsbestimmung der Kreuzgewölbe sind dieselben Gesichts-puncte maassgebend, welche der Behandlung der Tonnengewölbe zu Grunde gelegt wurden. Je nach der Anordnung der Lagerfugen, welche entweder den Axen der sich durchdringenden Cylinder parallel laufen oder den Gratbögen parallel (nach dem sog. schwalbenschwanzförmigen Verband) angelegt werden, ist die Kräftevertbeilung in den Kreuzgewölben eine verschiedene und sollen desswegen im Nachstehenden die beiden erwähnten Herstellungsmethoden, von welchen die Letztere die häufiger vorkommende ist, getrennt betrachtet werden.

A. Kreuzgewölbe mit zu den Kappenaxen parallelen Lagerfugen.

Die Kappen verspannen sich hier in normaler Richtung zu ihren Axen und denkt man dieselben durch lothrechte, senkrecht zu den Kappenaxen gestellte und gleichweit (um die Länge d) von einander entfernte Ebenen AlB₁, A₂B₂ . • A₅ J5g, At Cv A₂ C₂ . . • A₅ C₅ u. s. f. (Fig. 2 Taf. 5) in Gewölbestreifen getheilt, welche mit ihren Bogenanfängen auf den Gratbögen als Widerlagern aufruhen, so muss, soll das ganze Gewölbe stabil sein, jeder dieser Gewölbestreifen unabhängig von den übrigen im Gleichgewichte sich befinden.

von einander entfernte Verticalebenen a₀a₀', a₂a₂ u. s. f. in ebensoviel Lamellen, als die Kappen in Gewölbe-

Man überzeugt sich nun von der Stabilität sämmtlicher in Fig. 2 angenommenen Gewölbestreifen, wenn man die Untersuchung für denjenigen AbB₅B^A^ durchführt, welcher sich zunächst an den Stirnbogen anschliesst. (Im Aufriss gegeben durch Fig. 1.) Theilt man nämlich denselben durch gleichweit (um die Länge b) ax %'

streifen zerlegt wurden, und bestimmt man mit Hülfe des Kräftepolygons (Fig. 3) in bekannter Weise Horizontalschub H und Mitteldrucklinie OIII--IVVVI dieses Bogens, so erhält man in den jeweiligen zwischen Scheitel und Gratbogen befindlichen Th eilen dieser Mitteldrucklinie zugleich auch die Drucklinien der übrigen Gewölbestreifen, und in den Geraden 01, 02 ... 05 des Kräftepolygons die auf den Grat in den Puncten I₀ , IIQ . . . V₀ ausgeübten Widerlagerdrücke.

oder

Im vorliegenden Falle wurde die Annahme gemacht, dass die halben Höhen der auf Steinmaterial reducirten Lamellen doCHo“ a\‘a,\, a\d\‘ aA‘ u. s. f. den diesen Lamellen zugehörigen Gewichten proportional seien. Bei dem gewählten Längenmaassstab 1 cm=l m und bei dem Gewichte des Wölbsteinmauerwerks Cj=2400 kg ergibt sich desslialb der Kräftemaassstab der Fig. 3 1 cm = 2.(?.&.g = 4800 kg

1 mm = 480 kg.

f. der Kappe A~ I) (Jh in

u. s.

Die jetzt der Grösse nach bekannten Widerlagerdrücke, welche von den Gewölbestreifen der Kappe AbD13b in den Puncten I₀, II₀ .... V₀ auf den Grat ausgeübt werden, vereinigen sich mit den gleich grossen Drücken, welche seitens der Gewölbebögen AlDG₁, A₁C₁CSA denselben Puncten auf den Grat wirken, zu Resultirenden, deren jede zusammengesetzt ist aus einer verticalen Componente gleich dem Gewichte der beiden zugehörigen halben Gewölbebögen und einer horizontalen Componente 0 0o , die als Hypotenuse des rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks 0 0 w mit Katheten gleich dem Horizontalschub erhalten wird.

Die Längen Ol₀, 0 2₀ . . . . 0 5₀ (Fig. 3) repräsentiren somit nach Grösse und Richtung die den Grat beanspruchenden Einzelkräfte und die Kraftlinien derselben ergeben sich in den Geraden at I₀ , a₂ II₀ u. s. f. der Fig. 4. Man setzt nun diese Kräfte zu einem besonderen Kräftezug g g₂ . . . g5 (Fig. 5) zusammen (der Kraftmaassstab wurde hiebei gegenüber demjenigen der Fig. 3 um die Hälfte verkleinert), und zeichnet für einen beliebigen Pol Q Kräfte- und Seilpolygon. Dadurch ergibt sich die Resultirende R der den Grat beanspruchenden äusseren Kräfte als Gerade g gb , ihrer wirklichen Lage nach aber in der durch J (Fig. 4) zu g gb gezogenen Parallelen.

Zur Bestimmung des den angenommenen Angriffspuncten e und i ent" sprechenden Horizontalschubes H₀ des Grates im Scheitel dient mit Rücksicht auf die in Fig. 4 gewählte Bezeichnung die Gleichung :

Ho Vo z== R • ro

und wenn gw in Fig. 5 gleich y₀ und g v gleich r₀ aufgetragen, ferner durch g₅ die Parallele gb g₀ zu w v gezogen wird, so ist g g₀ = H₀.

Werden die Strahlen g₀ gx , g₀ g₂ u. s. f. gezogen, so stellen dieselben die resultirenden äusseren Kräfte für die Schnitte I₀ , II₀ u. s. f. des Grates vor und das zugehörige Seilpolygon iI₀II₀ ... V₀e dessen Mitteldrucklinie.

Die in bekannter Weise vorzunehmende Fortsetzung derselben im Pfeiler liefert die nöthigen Anhaltspuncte für die Beurtheilung der Stabilität desselben und es wurde für diese letztere Untersuchung der Kraftmaassstab des Theiles g₀g₅'g₈' der Fig. 5 zur Verhütung des Hinausfallens der Zeichnung über die Tafel um das Dreifache verkleinert.

B. Kreuzgewölbe mit schwalbenschwanzförmigem Verband.

Die Grate werden liier als selbständige Bögen ausgeführt und die Lagerfugen der einzelnen Kappen-Wölbschicliten parallel den Graten angeordnet.

Will man die Kappen durch Ebenen in von einander unabhängige Gewölbestreifen zerlegen, so müssen die Theilebenen normal zu den Gratbögen

sich befinden. Wir ersetzen diese Ebenen der Einfachheit wegen und ohne einen grossen Fehler zu begehen durch Lothebenen, deren Spuren b\bi , b^b-I etc. (Fig. 2 Taf. 6) senkrecht stehen zu den Horizontalprojectionen der Grate.

Die Gewölbestreifen a₀ ay b₁, ax b₁ b₂ a₂ u. s. f. bis a₄ b± bb a₅ der Kappenhälfte aö b₆ a₀ stützen sich einerseits auf den Gratbogen, und begegnen andererseits im Scheitel den correspondirenden Bögen der zweiten Kappenhälfte. Den Gewölbestreifen «₅ bb bö a₆, a₆ b₆ b₇ cc₇ etc. dagegen, welche als halbe Spitzbögen auf-treten, dienen tlieils Grat- tlieils Stirnbogen als Widerlager. Man erhält die Mitteldrucklinien sämmtlicher genannter Gewölbestreifen und deren Stiitzenreactionen, wenn man die Stabilitätsuntersuchung für den bis zum Scheitel der Kappe verlängert gedachten Gewölbebogen (I9 ßb ßu, nio (Fig- 2) durchführt. Diese Darstellung zeigt Fig. 3, in welcher die Breite b = 0,65 m der einzelnen Lamellen gleich derjenigen der Gewölbestreifen gemacht wurde. Im Kräftepolygon (Fig. 3 a) wurden die Lamellenhöhen proportional den Lamellengewichten angenommen, so dass 1mm—101,4kg den Kräftemaassstab dieser Figur gibt.

In Fig. 3 repräsentiren der Reihe nach die zwischen Scheitel und den Verticalen I, II bis V befindlichen Theile der Mitteldrucklinie die Drucklinien der Gewölbestreifen a₀a₁b₁, a₁blb₂a₂ bis    die Strahlen Ol, 0 2 bis

0 5 (Fig. 3 a) stellen deren Widerlagerdrücke vor und 0 0 den für alle gleich grossen Horizontalschub. Die Drucklinien der weiteren (spitzbogenförmigen) Bögen ci₆b₅b₆a₆, aßb^b₇ci₇ bis ct₉&₉%₀ ergeben sich in den auf Fig. 3 besonders bezeichneten Theilen der Mitteldrucklinie und ihre Stiitzenreactionen als zugehörige Strahlen des Kräftepolygons (Fig. 3 a). Demnach sind die Längen Ol, 03, 05, 07 und 0 9 die Drücke dieser Gewölbestreifen gegen den Stirnbogen, dagegen die Längen 06, 07, 08, 09 und 0 10 die auf den Gratbogen ausgeübten Pressungen.

Letztere vereinigen sich mit den gleich grossen und symmetrisch entgegengesetzten Auflagerdrücken der correspondirenden Gewölbestreifen der Kappe aßbßciiß zu lothrechten Resultirenden, so dass die an jeder Stelle auf den Gratbogen übermittelte Belastung in dem Gewichte der beiden hier zusammen-stossenden Gewölbestreifen besteht. Dabei ist selbstverständlich für denjenigen Theil des Gratbogens ababd\ß, für welchen die Kappenelemente Spitzbögen sind, die jeweilige Belastung gleich dem Gewichte der beiden bis zum Kappenscheitel verlängert gedachten Gewölbestreifen.

Man setzt jetzt die so bestimmten in den Puncten I, II bis X auf den Gratbogen wirkenden Lasten zu einem Kräftezug (Fig. 4 a) zusammen und berücksichtigt dabei auch das Eigengewicht des Grates, welches auf die Schwerlinien der in Fig. 4 eingezeichneten Lamellen vertheilt gedacht wird. Dann ergibt sich auf Grund des in bekannter Weise zu bestimmenden Horizontalschubes des Gratbogens dessen Drucklinie (Fig. 4) und die Fortsetzung derselben im Pfeiler. Im vorliegenden Falle wurde der Kräftemaassstab der Fig. 4a gegenüber demjenigen der Fig. 3a um das Vierfache verkleinert.

Der Stirnbogen, welchem hier die Function eines Widerlagers zukommt, hat einer horizontalen concentrirten Kraft im Scheitel gleich der fünffachen Länge 0 S (Fig. 3 a) und den in den Puncten VI, VII, VIII, IX und X auftretenden Stiitzenreactionen 01, 03, 05, 07 und 0 9 (Fig. 3 a) mit der nöthigen Sicherheit gegen Umkantung und Verschiebung Widerstand zu leisten. Schliesst sich aber an den Stirnbogen ein weiteres Kreuzgewölbe von gleichen Dimensionen an, so wird den genannten Kräften durch die gleichen und entgegengesetzten des zweiten Gewölbes das Gleichgewicht gehalten.

Aus der Vergleichung der beiden behandelten Fälle geht hervor, dass beim Kreuzgewölbe der sog. schwalbenschwanzförmige Verband gegenüber der zuerst erwähnten Herstellungsweise den Vorzug besitzt, dass durch die Kappen auf den Grat nur verticale Lasten übertragen werden, in Folge dessen ein constanter Horizontalschub und bei sonst gleichen Verhältnissen geringerer Gewölbeschub entsteht. Die Nachtheile der Ausführung des schwalbenschwanzförmigen Verbandes bestehen in dem Auftreten von Pressungen gegen die Wölbstirnen, welche bei Lagerfugen parallel den Kappenaxen vermieden Averden.

§ io.

Das Kuppelgewölbe.

Das Kuppelgewölbe unterscheidet sich von den bisher behandelten Gewölbeformen dadurch, dass es nicht in Elemente zerlegt werden kann, deren Stabilität von dem Zusammenhang mit den angrenzenden Gewölbetheilen unabhängig ist.

Würde beispielsweise der von den Meridianen ACA' und ECB' begrenzte Theil einer geschlossenen Kuppel (Fig. 43) aus der Verbindung mit dem übrigen

W/

Wir"

//

Ae

,,""Ä

\\

'N

Fig. 43.

Gewölbe herausgenommen und als selbständiger Bogen betrachtet, so müsste unter dem Einfluss von verticaler und symmetrischer Belastung im Scheitel C ein Horizontalschub von bestimmter Grösse auftreten. Da nun die Fläche der Scheitelfuge auf eine Linie, also auf Null, sich reducirt, so ist für den Bogen als solcher der GleichgeAvichtszustand unmöglich. Dasselbe gilt für ähnliche GeAvölbeausschnitte oben offener Kuppeln und es geht daraus hervor, dass jeder durch Meridianebenen begrenzte Gewölbetheil AB CB‘A‘ nur durch die gleichzeitigen Reactionen der angrenzenden Gewölbetlieile im Gleichgewicht erhalten werden kann.

Um diese Reactionen zu bestimmen, betrachte man von dem erwähnten GeAvölbeausschnitt ein beliebiges Stück abcdefgh, welches zugleich der ringförmigen auf conischer Basis befindlichen Horizontalschichte DE angehört.

Dieser „Stein“ steht zunächst unter Einwirkung seines Eigengewichtes und derjenigen Pressung, welche von dem oberhalb befindlichen Theile der Meridional-schichte auf ihn ausgeübt wird.

Würde die Resultirende R aus beiden die untere Lagerfläche des Steines noch innerhalb ihres Centralkernes schneiden und einen kleineren Winkel als den Reibungswinkel cp des Mauerwerks mit der Normalen zu derselben bilden, so würde der Stein im Gleichgewichte sein, es würde keine Einwirkung auf die benachbarten Steine der Horizontalschichte auftreten, von dieser Seite also auch keine Reaction und in dem horizontalen Gewölbering keine Spannung entstehen.

Ueberschreitet nun der Winkel von R, mit der Normalen zur Lagerfuge den Reibungswinkel cp oder rückt der Angriffspunct dieser Kraft über den Centralkern der Lagerfläche hinaus, so wird der Stein zu gleiten beziehungsweise zu kanten anfangen und so lange auf die beiden angrenzenden Steine der horizontalen Gewölbeschichte einwirken, bis durch die Reactionen K‘ und 7T" der Letzteren derjenige Zustand, bei welchem gerade noch Gleichgewicht möglich ist, wieder hergestellt ist. Die Kräfte KJ und II“ lassen sich durch eine resultirende Horizontalkraft H ersetzen, wirksam in der durch den Schwer-punct des Steines gelegten Meridianebene. Der Werth von H wird den genannten Bedingungen gemäss bestimmt: Schneidet R die Lagerfläche ausserhalb des Centralkernes, so ergibt sich H aus der Forderung, dass die Resultirende T aus R und H die Grenze des letzteren noch treffe und keinen grösseren Winkel als cp mit der Normalen zur Lagerfläche einschliesse. Befindet sich aber der Angriffspunct von R schon innerhalb des Centralkernes, so hat H der letztgenannten Bedingung allein zu entsprechen. Im ersteren Falle haben die angrenzenden Wölbsteine gegen Umkanten oder auch gegen Umkanten und Gleiten Widerstand zu leisten, im letzteren wird der Reibungs-Aviderstand allein in Thätigkeit gesetzt. Immer Avird der kleinste zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes nothwendige Werth von H diesen Zustand auch wirklich herstellen.

Um beispielsweise die Stabilität eines oben offenen Kuppelgewölbes (Fig. 1 Taf. 7) zu prüfen, betrachte man den von den Meridianebenen AC und R C (Fig. 2) begrenzten Gewölbeausschnitt. Dieser wird durch die Lagerflächen der ringförmigen Wölbschichten in eine Anzahl Bogenstücke (Steine) ax bx b₀ a₀, a₂ b₃ % . . . alä blä b₁₂ a₁₂ getheilt, deren Gewichte als Längen 0 1, 12... ... 12    13 auf der Yerticalen des Kräftepolygons (Fig. 3) aufgetragen werden.

Im vorliegenden Falle wurde die mittlere Stärke b aller Schichten gleich gross angenommen, so dass die GeAvichte sämmtlicher Steine ihren mittleren Längen proportional wären, Avenn nicht die Tiefe verschieden wäre. Um diese Gewichte auf gleichen Kräftemaassstab zu bringen , wurden (Fig. 2) sämmt-liche Steinlängen auf die mittlere Tiefe . 9 9' des neunten Steines, welche gleich der Längeneinheit, gleich 1 m ist, reducirt. Man trägt auf der Linie 9 9" die Steinlängen ß₁, a₂ ß₂ u. s. f. als Längen 9 I, 9 II bis 9 XIII auf, verbindet die Puncte I, il. . . bis XIII mit C und erhält (Aveil für irgend einen Stein, z. B. den siebenten die Proportion 7 7" : 9 VII= Gl: 09 = 7 70 9 9' besteht) in den Abschnitten 11", 2 2" .. . R13" die gesuchten reducirten Steinlängen.

Da ?>=0,6 m, so ergibt sich der Kräftemaassstab der Fig. 3 bei dem Gewichte des Gewölbemauerwerks g = 2400 kg, 1 mm = 72 kg.

Der oberste Stein ax b₁ b₀ a₀ steht unter Einfluss seines in der Schwerlinie wirkenden Gewichtes 0 1 ; damit der Stein im Gleichgewicht bleibe, muss diesem Gewichte eine Horizontalkraft Hx sich so vereinigen, dass die Resul-tirende Tx aus beiden die Fuge ax bx an der unteren Grenze^ ihres mittleren Drittheiles schneide und mit der Normalen zu albJ den Winkel bilde. Man zieht also durch ex (Fig. 1) und durch 1 (Fig. 3) Parallele zur Richtungslinie M₁N₁ und erhält dadurch Kraftlinie e₁t₁ und Grösse 0X 1 von T±, ebenso die Grösse O₁0 von H₁. Der Angriffsort von H₁ ergibt sich in der durch den Schnittpunct ix von ex tx und der Schwerlinie des Steines gelegten Horizontalen.

Für die Lage des Punctes ix existirt übrigens eine gewisse Beschränkung; denn da die Reactionen K! und A⁷' selbstverständlich nicht über den Centralkern der Stossfugenflächen hinaustreten sollen, so kann mit hinreichender Genauigkeit als äusserste zulässige Grenze für die Lage ihrer Resultirenden H eine Horizontale gelten, welche durch die obere Grenze des mittleren Dritt-tlieiles der Halbirungslinie a₁ß₁ des Steines gelegt ist. Würde ix über diese Horizontale hinausfallen, so würde sich die Kraftlinie Tx als Verbindungslinie des Punctes ex und der oberen Begrenzung des mittleren Drittheils von ax ßx ergeben und dies wäre ein Zeichen, dass der Widerstand gegen Kanten in Thätigkeit getreten, bevor die volle Reibung absorbirt war.

h₂ = oxo

Was die zweite Steinschichte anlangt, so wirkt auf sie der Lagerdruck der vorhergehenden und ihr Gewicht 12. Die Resultirende H.₂ aus beiden ergibt sich nach Grösse und Richtung gleich Ox 2 (Fig. 3), ihrer Avirklichen Lage nach in der durch tx zu 0X 2 gezogenen Parallelen tx v₂. Die Resultirende T₂ aus J\₂ und H₂ muss a₂ b₂ unter den mehrfach erwähnten durch die Forderungen des Gleichgewichts bedingten Verhältnissen schneiden. Der kleinste Werth von H₂ , der diesen Forderungen entspricht, wird der wirklich auftretenden Grösse dieser Kraft entsprechen. Es ist derjenige Werth bei welchem T₂ die Lagerfuge a₂ b₂ an der unteren Grenze e2 und die Kraftlinie II₂ die Mittellinie a₂ ß₂ an der oberen Grenze i₂ ihres mittleren Drittheils sehneiden. Wenn man daher durch i₂ die Horizontale i₂ v2 zieht und den dadurch erhaltenen Schnittpunct v₂ von H₂ und ü₂ mit e2 verbindet, so ist v₂ e₂ Kraftlinie und die Parallele 0₂ 2 hiezu im Kräftepolygon Grösse des Lagerdruckes T₂ auf a₂ b₂.

Für den dritten Stein wird lt?) = 0₂ 3, wirksam in t₂ V₃, ferner Ha = 0₃ 02 mit der Kraftlinie i₃ v₃ , endlich T₃ = 0₃ 3 , wirkend in v₃ e₃. Das gleiche Verfahren Avird für die folgenden Steinschichten fortgesetzt.

Dabei zeigt sich, dass der Winkel, Avelchen für alle Schichten die Kräfte T und R mit einander bilden, also auch die Wertlie von H vom Scheitel gegen das Widerlager stetig abnehmen.

Beim neunten Stein, dessen untere Lagerfüge von T₈ in e₉ getroffen Avird, fallen i?₉ und T₉ zusammen und es wird für diesen Stein wie für die folgenden H gleich 0, d. h. in den ringförmigen Gewölbeschichten treten keine horizontale Verspannungen mehr auf. Der Verlauf der Stützlinie ist also von hier ab von den Letzteren unabhängig und die schliessliche Wider-lagerreaction des betrachteten Bogenstückes Avird nach Grösse und Richtung als Länge 0₈13 (Fig. 3), ihrer wirklichen Lage nach aber in der Geraden t₁₂1₁₃ (Fig. 1) gefunden.

In der Regel werden oben offene Kuppelgewölbe durch sogenannte Laternen überbaut, wodurch für die oberste der ringförmigen Schichten eine

besondere Belastung hinzukommt.

Es ist dabei für den Constructeur von

Wichtigkeit, die Grenze zu kennen, welche letztere nicht überschreiten darf ohne das Gleichgewicht zu gefährden. Diese Grenze ist aber abhängig von der Widerstandsfähigkeit des Steinmaterials gegen Zerdrückung und kommen hier zunächst die auf Pressung beanspruchten Stoss- und Lagerfugen der obersten Schichte in Betracht.

Beispielsweise beträgt der Flächeninhalt der Lagerfläche des Steines «₁5₁b₀a₀ (Fig. 1) 70 X 25 = 1750 qcm. Wenn nun die grösstzulässige An-griffnahme auf Zerdrückung zu 5 kg per qcm festgesetzt ist, so darf die Gesammtbeanspruchung genannter Fläche für den Fall, dass Tx dieselbe in ihrem Scliwerpunct schneidet, den Werth von 8750 kg, für den hier vorliegenden Fall aber, dass Tx die Fläche an der Grenze ihres Centralkernes trifft, den Betrag von 4375 kg nicht überschreiten. S. S. 4.

Man trägt nun letzteren Werth im gewählten Kräftemaassstab von 1 aus auf der Geraden 1 0₁ des Kräftepolygons auf, so dass ljp=4375 kg, zieht durch p die Horizontale p 0' und erhält in dem Längenabschnitt 0' 0 die Maximalbelastung durch die Laterne, welche der betrachtete Sector des Kuppelgewölbes ausser seinem Eigengewichte aufzunehmen vermag.

Fig. 4 stellt ein Kuppelgewölbe vor, dessen oberer Theil aus zwei getrennten Gewölbeschalen, einer inneren und einer äusseren (Schutzkuppel) besteht. Beide haben oben ringförmige Oeffnungen, welche mit einer Laterne überbaut sind. Das gesammte Gewicht der letzteren im Betrage von 320 t vertheile sich zur Hälfte auf das äussere, zur Hälfte auf das innere Gewölbe, so dass auf die in Fig. 4 und 5 betrachteten Gewölbeausschnitte beider Kuppeln eine Belastung der obersten Schichte von je 4 t kommt. Was den Kräftemaassstab anlangt, so wurden die Gewichte der einzelnen Steine durch ihre halben Längen ausgedrückt und diese Längen (Fig. 4) sämmtlicb auf die mittlere Tiefe nn'=2 des betrachteten Stückes der cylindrischen Umfassungsmauer reducirt. Sonach 1 mm = 576 kg. Mit Hülfe der beiden Kräftepolygone (Fig. 6 und 7), von welchen das erst'ere dem äusseren, das letztere dem inneren Gewölbe zugehört, wurde sonach wie oben die Stützlinie beider Kuppeln construirt und die erhaltenen Widerlagerreactionen T‘ = 0 29 und Tu = ^23, zu ihrer ßesultirenden Hz= Qlß (Fig. 7) vereinigt, zu welch letzterem Zwecke

eine weitere Verkleinerung des Kräftemaassstabes auf —

der früheren Grösse

vorgenommen wurde. Durch die Vereinigung von H mit den Gewichten der Steinschichten des Widerlagers wurde die Stützlinie des Letzteren erhalten.

fr

I

¹

Der Einfachheit der Construction wegen wurde in Fig. 1 Taf. 4 die mittlere Stärke sämmtlicher Steinschichten gleich gross, gleich b angenommen, so dass, dem angenommenen Kräftemaassstab entsprechend, ihre halben mittleren Längen (bei der halben Schlusssteinschichte der vierte Theil der mittleren Länge) proportional den Gewichten sind. Erhalten die Steinschichten verschiedene Stärken, so ist die Fläche einer jeden besonders auf die gegebene Basis zu reduciren.

Dritter Abschnitt.

Druck der Gewölbe auf die Lehrgerüste.

Zur Herstellung der Gewölbe dienen besondere Arten von Gerüsten, welche den Zweck haben, den im Aufbau begriffenen Bogentheilen zur Unterstützung zu dienen, bis deren Schlusssteine eingefügt sind und sie sich selbst tragen können. Solche Gerüste werden Lehrgerüste genannt. Die richtige und zweckmässige Anordnung derselben setzt eine genaue Kenntniss der Pressungen voraus, welche die einzelnen Wölbsteinschichten auf ihre Unterlagen ausüben. Diese Pressungen werden auf folgende Weise bestimmt.

§ 1.

Druck der Wölbsteine auf die Lehrgerüste für beliebige Stadien des G-ewölbe-

aufbaues.

Alle diejenigen Steine eines nicht geschlossenen Gewölbes, deren untere Lagerfläcben einen kleineren Winkel mit dem Horizont einschliessen als den Reibungswinkel von Mauerwerk auf Mauerwerk, werden keinen Druck auf das Lehrgerüste ausiiben. Die erste Wölbsteinschichte über dem Reibungswinkel

T

<1

x\

Fig. 44.

wird schon auf das Lehrgerüste drücken und bezeichnet cct den Winkel, welchen die untere Lagerfuge des Steines 1 (Fig. 44) mit der Verticalen bildet, das

Gewicht dieses Steines Pressung auf das Lehrgerüst, u die Tangente des Reibungswinkels fiü' Mauerwerk, so werden die Relationen stattfinden:

U)

Tx — Ql Sin ax .    .

und

Pj — Qx (Cos ax — [a Sin ax) .    .    .    (a).

Hiebei wurde, gleichwie im Folgenden, die Adhäsion des zwischen den Lagerfugen befindlichen Mörtels vernachlässigt.

Kommt nun zu der ersten Wölbsteinschichte eine zweite hinzu (zweites Stadium des Gewölbeaufbaues), so erhält man , wenn die Bezeichnung analog der vorigen gewählt wird, für den Normaldruck T% des Steines 2 auf seine

\ Ah

"'s

\n

x!\

‘x

Fig. 45.

untere Lagerfläche c d (Fig. 45) und für dessen Pressung auf das Lehrgerüste die Werthe:

• • (S)

■ ■ <#>•

T₂ = Q₂ Sin a₂.......

P₂ = Q₂ (Cos a₂ — fi Sin a₂)    .    .

Unter dem Einfluss der Steinschichte 2 ändern sich aber die von der vorhergehenden Schichte ausgehenden Pressungen, denn diese steht im zweiten Stadium des Gewölbebaues ausser ihrem eigenen Gewichte Qx unter der weiteren Einwirkung des Normaldruckes T₂ des Steines 2 auf sein unteres Lager und der Reibung [i T₂ , mit welcher dieser Stein beim Abgleiten auf c d den Stein 1 in Mitleidenschaft zu ziehen sucht.

Die drei genannten Kräfte zerlegen sich in je zwei zu a b senkrechte und parallele Componenten (Fig. 46), so dass, wenn Tx und Px die Drücke sind, welche der Stein 1 jetzt auf seine untere Lagerfläche und das Lehrgerüste ausübt, für diese Werthe die Ausdrücke bestehen:

und

Tx — Qi Sin ai + Cos (ax — a₂) -f- p T₂ Sin («x — a₂) . (A')

PC — Qi Cos ax — T₂ Sin (ax — a₂ ) -f- u Cos (ax — a₂) — (x Tx oder, wenn für Tx der Werth aus der vorhergehenden Gleichung eingesetzt wird:

Px' = Qx (Cos ax — fx Sin ax) — P₂ (1 -j- fx²) Sin (a, — a₂) .    («')•

Ist der Gewölbebau um eine weitere, dritte Steinschichte vorgeschritten, so gelten für die normalen Pressungen der Schichte 3 auf ihr Lager und auf das Lehrgerüste die Werthe:

Sä

/ä

ft

ff

><\

- V

//

JL.

Fig. 46.

und

rA> = Qd Sin a₃

• • (O

Po — Q?> (Cos «₃ — fi Sin cc₃) .    .

und ähnlich wie oben erhält man die diesem Stadium entsprechenden Drücke der vorhergegangenen Steinschichten auf ihre Unterlagen und auf das Lehrgerüst durch die Gleichungen: für die Schichte 2 :

• • (c)

In dieser Weise fortfahrend erhält man schliesslich; wenn n Steinschichten versetzt sind, die Drücke jeder einzelnen auf ihre Unterlage und auf das Lehrgerüste durch die Gleichungen: für die nte Schichte:

Tn — Qn Sin an

Pn = Qn (Cos an — fi Sin ctn),

für die n — lt0 Schichte:

- Qn — 1

Tn

Sin ccn_i -f- Tn Cos (an_i — «n) + fi Tn Sin (an

P'n_i = Qn—i (Cos «n-1 — fi Sin an-i) — Tn (1 + fi²) Sin (an für die n — 2te Schichte:

— 2—— Qn— 2 SinCCn — 2~j— Pn—1 COS(dn—2-«ii-l) + flTn-lSin(an-i — «n_l)

—2 ( Cos cfn — 2—fi Sin an—2)— P„_i(l fi²) Sin(an^— a„_i)

u. s. f.

Die Drücke der Steine auf ihre unteren Lager flächen nehmen, wie aus vorstehenden Gleichungen ersichtlich ist, mit zunehmender Entfernung vom Widerlager ab, dagegen zeigt die Vergleichung der Normaldrücke, welche eine bestimmte Steinschichte in verschiedenen Stadien des Gewölbebaues auf ihre Lagerfläche ausübt, dass diese sich mit jeder neu liinzukommenden Schichte vergrössern.

Was die Pressungen der einzelnen Steinschichten auf das L e h r g e r ii s t e anlangt, so wachsen dieselben mit zunehmender Entfernung vom Widerlager; dagegen wird die Pressung irgend einer Steinschichte auf das Lehrgerüste verringert durch das Aufbringen neuer Schichten. Jede neu hinzukommende Wölbsteinschichte trägt demnach zur Entlastung der zwischen ihr und dem Widerlager befindlichen Theile des Lehrgerüstes bei, was leicht einleuchtet, wenn man sich vergegenwärtigt, dass jede solche Schichte durch die aufwärts gerichtete Componente ihres normalen Lagerdrucks den Pressungen der vorhergehenden Schichten auf das Lehrgerüste entgegen wirkt.

Diese Pressungen können auch gleich 0 oder negativ werden, wenn in den Gleichungen 51 die negativen Glieder der P-Werthe den positiven gleich oder grösser als diese werden. Aus diesem Grunde bemerkt man zuweilen bei grösseren und rasch ausgeführten Gewölben, dass einzelne Steinschichten, welche anfänglich auf das Lehrgerüste drückten, später keinen Druck mehr auf dasselbe ausüben, ja das leise Bestreben zeigen (durch Lockerwerden der Schalhölzer bemerkbar) sich vom Lehrgerüst zu entfernen.

(52).

Das Maximum der Pi’essung, welche auf irgend einen Punct des Lehrgerüstes ausgeübt werden kann, findet somit dann statt, wenn die an dieser Stelle befindliche Wölbsteinschichte im fortschreitenden Versetzen der Steine gerade die oberste ist. Dieses Maximum ist ausgedrückt durch die Gleichung: Pn = Qn (Cos an —- Sin «„)

Graphische Lösung-.

Cos cp

Man denke sich ein Gewölbe (Fig. 47) in einem beliebigen Stadium des Aufbaues begriffen. Die Gewichte der einzelnen Steinschichten seien an der Verticalen 0 6 des Kräftepolygons (Fig. 47 a) an einander gereiht. Um den Druck der hier obersten Schichte 1 auf das Lehrgerüste zu bestimmen, zerlegt man das Gewicht Qt = 01 derselben in zwei Componenten 01 und 11 , von welchen die eine parallel ist der unteren Lagerfuge a₁ b₁, und die andere mit der Normalen zu ax den Reibungs winkel cp des Mauerwerks einschliesst. Dann ist 01 nach Grösse und Richtung gleich dem Druck Px auf das Lehrgerüste, 11 aber der unter Einfluss der stattfindenden Reibung auf at \ ausgeübte Lagerdruck —

Auf die zweite Schichte wirkt ihr eigenes Gewicht Q₂ = 12 und der Lagerdruck 11 der vorhergehenden. Die Mittelkraft aus beiden erhält man in der Diagonale 12 des Kräftepolygons. Wäre nun das Gewölbe geschlossen, so würde der Druck dieser Steinschichte auf das Lehrgerüste gleich 0 und die Gerade 12 zugleich nach Grösse und Richtung dem Drucke gleich sein, welcher auf die untere Lagerfläche des zweiten Steines ausgeübt wird. Da das Gewölbe nicht geschlossen ist, so wird der Druck des in Rede stellenden Steins auf das Lehrgerüst eine bestimmte Grösse haben, er wird seiner Richtung nach parallel zu a₂b₂ sein und durch den Schwerpunct des Steines gehen. Desswegen wird auch das Kräftepolygon der an dem Steine wirkenden Kräfte

4.

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Fig. 47 und 47 a.

den Reibungswinkel geneigten Geraden und wenn zu dieser Richtungs-

um

kein Dreieck, sondern ein Viereck 112 II sein, in welchem II2 den Lagerdruck und III den Druck auf das Lehrgerüst repräsentirt. Da die Richtung III bekannt ist, so wäre das Kräftepolygon bestimmt, wenn auch die Richtung II2 bekannt wäre. Diese aber erhält man in einer zur Normalen zu a₂b₂

linie durch 2 im Kräftepolygon eine Parallele gezogen wird, so ergeben sich in den dadurch bestimmten Abschnitten III und II2 die Drücke der zweiten Steinschichte auf ihr unteres Lager und auf das Lehrgerüst.

Die fortgesetzte Anwendung des gleichen Verfahrens auf die übrigen Steinschichten liefert auch für diese die genannten Grössen und zwar in der nämlichen Weise auf graphischem Wege, wie Gleichungen (51) dieselben durch Rechnung ergeben, denn dass mit Rücksicht auf die oben gewählte Bezeichnungsweise

Wittmann, Statik.

II2

Tn—i

Cos cp

— | Qn—i Sin an—i —j— Tn Cos (an

— crn) -f- fx Tn Sin (an-i — «n)

Cos cp

und

III-— Pn— i -— Qn—i (Cos an—i    pi Sinccn—i)    Tn CI “|~ f-i “) Sin (a„—i crn)

ist leicht nachzuweisen.

Verlängert man (Fig. 48) die Seiten III und 1 2 des Kräftevierecks 112II bis sie sich schneiden, so ist in dem dadurch entstehenden Dreieck

da ferner Winkel 2 m II = an—i und Winkel

m II2, da 12 = Qn 2 Ilm — 90° -j- cp

II2

(w® 1 + Qn-i) Sinan-1

Cos cp

Aus Dreieck ml 1, in welchem 11

Tn

-f' cp — (an—i — an) , ergibt sich:

m 1 =

Cos cp

Tn    Cos (cp — (an -1 — an))

daher:

Cos cp

Sin an—i

II2 =

In    CoS CCp    («n — 1    Cfn))

Cos cp

Sin an—i

(“ Qn — l f |

Sin

Cos cp

oder:

II2 \ Qn — l Sin ccn — i -f- Tn Cos (ccn — 1 — «n) -j-

—jlt Tn Sin (cca — l «„)

Tn-1

Cos cp Cos cp

Es ist ferner: III—m II — m I. Aus Dreieck ml 1 erliält man:

ml

Tn Cos (an 4- cp)

Cos cp' Sinan—i

Aus Dreieck mH2 ergibt sich, da Winkel w2JJr=90° — ()

oder:

m II=

daher:

111=

m 11=

m 2 Cos (an—i + ⁽P)

/ Tn Cos (cp — («„ \ Cos cp

Sin a„_ i

Cos cp

«n))

6ros cp

Tn Cos (cp — («n -1 — ttn))

Cos Cp

Sin an—i

f- Qn — l

Cos (an—i -|~ cp)

Cos cp

Tn Cos (an q)

Cos cp Sin (an—i) ’

woraus durch Reduction liervorgelit:

III = Qn-i (Cos an—i — fi Sin an—i) — Tn(l fi²) Sin (aa-i — «„) = P„_i-

Hat man (Fig. 47a) die einem beliebigen Stadium des Gewölbebaues entsprechenden Pressungen der Steinschichten auf das Lehrgerüst bestimmt, so ergeben sich auch leicht die jedem vorhergehenden Stadium entsprechenden Pressungen. Zieht man z. B. durch 2 2 III“ parallel %&₃, ferner III“ IV“ parallel a₄ , IV“ V“ parallel a-b₅, endlich V“ VI“ parallel a₆b₆ , so sind 2 III“, III“ IV“, IV“ V“ und V“ VI“ die Pressungen auf das Lehrgerüst für dasjenige Stadium, in welchem die Steinschichte 3 die oberste ist, und III“ 3, IV“ 4, V“ 5, VI“ 6 die zugehörigen Lagerdrücke.

9*

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Fig. 48.

Behufs einfacherer Darstellung der Richtungslinien 11, II2, JJZ3 u. s. f. (Fig. 48) zeichnet man bei kreisförmiger Wölblinie einen Kreisbogen, welchen Sehnen berühren, die auf der inneren Wölblinie von einem Centri-Avinkel 2 cp eingeschlossen sind. Wird von dem unteren Ende einer jeden Fuge eine Tangente an diesen Kreis gezogen, so bildet sie mit der Normalen zur Fuge den Reibungs winkel.

§ 2.

Maximalpressungen eines Gewölbes auf bestimmte Theile des Lehrgerüstes.

Wenn die Dimensionen eines Lehrgerüstes für ein gegebenes Gewölbe zu berechnen sind, so muss die grösste Beanspruchung, welche für einzelne Theile desselben entstehen kann, bestimmt, d. h. die Summe der Pressungen je einer Anzahl von Wölbsteinen auf das Lehrgerüste gefunden werden.

Da nach oben der Maximaldruck, welchem ein Theil des Lehrgerüstes ausgesetzt sein kann, dann stattfindet, wenn die an dieser Stelle befindliche Wölbschichte die zuletzt versetzte, die oberste ist, so wird man die fragliche Summirung unter wiederholter Anwendung der Gleichung (52) vornehmen und dadurch eine ungünstigere als die wirklich stattfindende Belastung zu Grunde legen.

In Fig. 49 sei ein Gewölbe von beliebiger Form der Leibung dargestellt, welches vom Scheitel gegen das Widerlager so verstärkt ist, dass die Vertical-projectionen sämmtlicher Steinfugen gleich der Schlusssteinhöhe h sind. Das Gewicht der Cubikeinheit des Wölbsteinmaterials sei q, e die Entfernung der Lehrbögen von einander. Um unter der erwähnten Voraussetzung den Druck des Gewölbestückes cdfe, dessen Begrenzungsfugen cd und ef um die Bogenlängen a₁ und «₂ vom Scheitel des Gewölbes abstehen, auf das Lehrgerüste zu erhalten, denke man sich ein Gewölbeelement Imno von der unendlich kleinen mittleren Breite su, dessen Begrenzungsfugen den ebenfalls unendlich kleinen Bogentheil da einschliessen.

Wenn r der Krümmungsradius der Leibungslinie für den Ort des be-zeichneten Gewölbeelementes ist, so ist dessen Gewicht:

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und dessen grösster Druck auf das Lehrgerüste :

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dP= q . e.

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2 COS &/

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2 Cos a

2 Cos a

So lange die Fugen einer Anzahl von Gewölbeelementen nicht zu sehr divergiren, um annähernd als parallel zu gelten, können die Drücke dieser Elemente summirt werden und man erhält den Druck 2 (P) des Gewölbestückes cdef auf das Lehrgerüst wie folgt:

2(P)=

«2

qehJ(r — r g tang a -f

filitang a

2 Cos a 2 Cos a

da.

(53)

Hat das Gewölbestück cdef einen Kreisbogen zur inneren Leibungslinie so ergibt sich:

2 Cos a

2(P) = q eh j r a -J- r g logn Cos a -f logn tang (^~ +

oder

Z(P)=

qeh j r £

a, — a.

+ T \}0g"

+ f)

'U (cos aa Cos ax) ] ]

Sind die Bogenlängen ax und a₂ in Graden angegeben und beziehungsweise durch ax ⁰ und a₂ ⁰ ausgedrückt, so ist

ai =ßl“ lfo und “2=<t2°ifö

zu setzen, und wenn gleichzeitig die Neper’schen Logarithmen der vorstehenden Gleichung umgewandelt werden in solche von der Basis 10, so erhält man:

2(P) =

qeh | r [-^(«2 — «1) — 2,3026 fx log

Cosax

Cos a₂

+ -|-[2,3026 %

+f)

^(.Cosaa    Cose^)]}

woraus sich der Druck eines beliebigen kreisförmigen Bogenstückes auf das Lehrgerüste berechnen lässt.

Auf einfacherem Wege führt das graphische Verfahren zum Ziel. Bei gleicher mittlerer Breite der Steine kann annähernd das Gewicht derselben proportional den Längen ihrer unteren Lagerfugen angenommen werden. Man erhält nun die grösste Pressung irgend eines Steines ab cd (Fig. 50) nach oben in der Länge AE des Kräftedreiecks (Fig. 50 a), wenn EA — ab gemacht und EE parallel ab, ferner AE parallel der Richtungslinie mn gezogen wird, welche mit der Normalen zu ab den Reibungswinkel bildet.

Die Construction des erwähnten Kräftedreiecks wird nun vereinfacht, wenn man durch a (Fig. 50) eine Linie zieht, welche mit der Horizontalen den Reibungswinkel einschliesst und diese bis zum Schnittpunct e mit einer durch b gezogenen Verticalen verlängert. Dann ist Dreieck cibe congruent dem Dreieck ÄEE und be = AE ergibt den Druck auf das Lehrgerüste. Um diesen seiner wirklichen Lage nach zu erhalten, trägt man eb von b aus auf ba auf, so dass be‘ = be, und indem man das gleiche Verfahren für alle Steinschichten durchführt und die oberen Endpuncte der so erhaltenen Abschnitte durch eine stetige

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Fig. 60 und 50 a.

Linie (Fig. 51) verbindet, erhält man in der schraffirten Fläche die maximale Belastung des Lehrgerüstes.

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Fig. 51.

Es kann diese Bestimmung aucli unabhängig von der wirklichen Stein-eintheilung durchgeführt werden und das Verfahren lässt sich ebenso leicht auf kreisbogenförmige Gewölbe wie für Gewölbe von variablem Krümmungshalbmesser anwenden.

Literatur.

Scheffler, Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken. Braunschweig 1857.

Schwedler, zur Theorie der Gewölbe. Zeitschrift für Bauwesen. Berlin 1859.

Culmann, graphische Statik. Zürich 1866.

Heinzerling, analytisch - graphische Construction der Brückengewölbe. Zeitschrift für Bauwesen. Berlin 1872.

—    Theorie und Anordnung der Lehrgerüste gewölbter Brücken. Zeitschrift

für Bauwesen. Berlin 1874.

Frauenholz, Baueonstructionslehre für Ingenieure. München 1875.

V. Ott, Vorträge über Baumechanik. Prag 1877.

Navier, Mechanik der Baukunst, bearbeitet von Westphal und Föppl. Hannover 1879.

Wittmann, geometrische Erddrucktheorie. Zeitschrift für Baukunde. München 1878.

—    zur Theorie der Gewölbe. Zeitschrift für Bauwesen. Berlin 1879.

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Druck von Oskar Bonde in Altenburg.

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