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Biblioteka Politechmki Krakowskiei

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Heft 22: Der EinfiuB der Längs- und Querkräfte auf statisch unbestimmte Bogen- und Rahmentragwerke. Von ®r.=3ng. Ruebj Stadt. Ingenieur.

Mit 6 Textabb. u. 3 Tafeln. 1914.

Heft 23: Die Berechnung der freiaufliegenden, rechteckigen Platten. Von $)r.=»3htg. M. Leitz.

Mit 26 Textabb. u. 2 Tafeln. 1914.

geh. 2,60 M.

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geh. 3,60 M.

Heft 24: Der doppelt gekrümmte Träger und das schiefe Gewölbe im Eisenbetonbau. Ein Beitrag zu ihrer Berechnung. Von ®r.=3ug- H. Marcus.

Mit 23 Textabb. 1914.    geh. 2,80 M.

Heft 25: Die Rammwirkung im Erdreloh. Versuche auf neuer Grundlage. Von 2)r.»3«9- K. Zimmermann, Königl. Regierungsbaumeister.

Mit 118 Textabbildungen. 1915.    geh. 6,— M.

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Forscherarbeiten

AUF OEM GEBIETE OES

EISENBETONS

NEUERE METHODEN ZUR STATIK DER RAHMENTRAGWERKE y V UND DER ELASTISCHEN / X BOGENTRÄGER /

HEFT XXVI

PREIS 16 MARK

VON

Ingenieur A. STRASSNER

Mit 157 Textabbildungen

P t MM VERLAG vo^WfLHELM ERNST <£ SOHN fWLJtLJIIl BERLIN W. U?tLHELMSTRASSe 90

Nachdruck verboten.

Alle,Rechte Vorbehalten.

Neuere Methoden zur Statik der Rahmentragwerke und der elastischen Bogenträger

mit Rücksicht auf die Anwendung in der Praxis zur Berechnung der durchlaufenden und der mehrstöckigen Rahmen in Eisenbeton, sowie der eingespannten geienklosen Brückengewölbe.

Mit gebrauchsfertigen Tabellen für die Einflußlinien von Gewölben und ausführlichen Rechnungsbeispielen.

Von

Ingenieur A. ST R A S S N E R

Mit 157 Textabbildungen.

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Berlin 1916

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn.

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Alle Rechte Vorbehalten.

Nachdruck auch auszugsweise verboten.

Copyright 191.6 by Wilhelm Ernst & Sohn, Verlag, Berlin.

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Druck von Oskar Bonde in Altenburg.

Vorwort.

J (1 4- cv)3

8(3YsE Jm -J- l)

11. Bemerkungen.

ein Gesetz, welches mit /1 aus

§ 7.

I. Lotrechte Belastung.

III. Einfluß der Normalkräfte.

46,1 • 1,50

3 * 5 2,2 + 2 15,2 l — 0=5,158 m.

Ta — ccao -f- H aah -[- Ma aa -(- J/g /Tg j

51 E

1) = h0 (m — 1),

Folgende Tabelle erleichtert dessen Ermittlung-

  0,0011

 0,0101

1,0000

Js

Abb. 134.

— 0,0011

Js

II. Verbesserte Grewölbeform.

= 23,73,

1. Elastizitätsgleichungen.

Vorwort.

Wie der Titel schon sagt, hat die vorliegende Schrift die Berechnung der durchlaufenden und der mehrstöckigen Rahmen in Eisenbeton, sowie der eingespannten gelenklosen Brückengewölbe zum Ziel, und ist dabei in einer für die Praxis besonders anschaulichen Form gehalten. Bei der einschneidenden Bedeutung, die diese Konstruktionen im Baufach erlangt haben, scheint eine dementsprechende Darstellung gerechtfertigt, um so mehr deshalb, weil diese einem in der Praxis sich in immer höherem Maße einstellenden Bedürfnis entgegenkommt.

Die Anschaulichkeit und Anpassungsfähigkeit wurde hauptsächlich dadurch erzielt, daß der ganze Aufbau der Methode auf klaren und leicht faßlichen geometrischen Beziehungen erfolgte, die das Verständnis außerordentlich erleichtern. Es ergibt sich dadurch ein einfacher übersichtlicher Rechnungsgang', und die bei der Anwendung verwickelter Elastizitätsgleichungen sich häufenden Fehlerquellen werden vermieden.

Gerade durch die einheitliche Grundlage unterscheidet sich diese Schrift von anderen, deren Verfasser Systeme und Berechnungsarten einander anzupassen suchen. Ob die dadurch angestrebte Einfachheit erzielt wird, und ob der praktisch tätige Ingenieur daran gut tut, sich mit den verschiedenen Methoden zu befassen, soll hier dahingestellt bleiben. Jedenfalls steht fest, daß in der Bureauxpraxis die einfachen geometrischen Anschauungen immer mehr an Interesse gewinnen; sie stellen einen natürlichen übersichtlichen Rechnungsgang in Aussicht, und bilden zweifellos die Grundlage, worauf sich die praktische Statik in Zukunft auf bauen wird.

Im I. Abschnitt wurde der mehrfach gestützte Rahmen und der Stockwerkrahmen behandelt, und dabei das bekannte Rittersche Verfahren mit den Festpunkten (Prof. Dr. W. Ritter, Graphische Statik, III.) besonders in Anwendung gebracht. Neben der Berechnung für lotrechte Lasten enthalten die Ausführungen auch ein Verfahren zur Berücksichtigung seitlicher Lasten. Bei den ersteren wurde nachgewiesen, daß die wagrechten Verschiebungen der Stützenköpfe nur eine untergeordnete Rolle spielen und näherungsweise vernachlässigt werden können. Soll jedoch besondere Genauigkeit erzielt werden, so ist deren zusätzliche Berücksichtigung nebst der Bestimmung des Einflusses der Normalkräfte nach einem einfachen Ver-

fahren durchführbar. Auch bei seitlicher Belastung wurde derselbe Weg eingeschlagen, jedoch tritt dann der Einfluß der Stützenkopf Verschiebungen hervor. Besonders wird auf das beim Stockwerkrahmen gebotene Verfahren aufmerksam gemacht, mit dessen Hilfe sonst schwierige Aufgaben zu lösen sind. Ebenso einfach ist auch die dargestellte Behandlung des zweistieligen Rahmens. Es wurden im allgemeinen rechnerische und zeichnerische, hauptsächlich aber kombinierte Lösungen gebracht, die bei den jeweils vorliegenden Verhältnissen, je nachdem sie sich als zweckmäßig erweisen, angewendet werden können.

Die im II. Abschnitt enthaltene allgemeine Theorie des elastischen Bogenträgers wurde im III. Abschnitt in eine Form gebracht, in der sie sich besonders zur Berechnung der im Eisenbetonbau üblichen Brückengewölbe eignet. Dabei wurde wie beim Balken, die Veränderlichkeit des Querschnittes gesetzmäßig' ausgedrückt, und dem Verlauf der Gewölbeachse mathematische Kurven zugrunde gelegt, mit deren Hilfe es möglich war, geschlossene Formeln zur unmittelbaren Berechnung der statischen Größen herzuleiten.

Für die Praxis wurde eine ganz außerordentliche Erleichterung durch die gebrauchsfertig ausgerechneten Tabellen der Einflußlinien geschaffen, die auch eine unmittelbare Berücksichtigung von gleichmäßig verteilter Verkehrslast, und eine äußerst bequeme Ermittlung der Gewölbeachse gestatten. Dabei können die Einflußlinien auch leicht in solche für die Kernpunktsmomente umgewandelt werden.

Besonders wird noch die beschriebene verbesserte Gewölbeform hervorgehoben, bei deren Anwendung in vielen Fällen sich nicht unerhebliche wirtschaftliche Vorteile ergeben dürften.

Der IV. Abschnitt befaßt sich mit der näherungsweisen Berücksichtigung der Pfeilerelastizität bei Brücken, deren Gewölbe über mehrere Öffnungen durchlaufen.

Die Schrift ist so gehalten, daß zu ihrem Verständnis keine ungewöhnlichen mathematischen und statischen Kenntnisse erforderlich sind, und daß sich die Anwendung ohne Zuhilfenahme von unerfreulicher und zeitraubender Formelrechnung vollzieht. Die Aufgaben sind gewissermaßen zu Aufgaben aus der Geometrie gemacht, und es braucht daher auch auf dem Gebiete der Elastizitätstheorie keine besondere Geläufigkeit vorzuliegen.

In zunehmendem Maße sieht sich der in der Praxis stehende Ingenieur den hier behandelten Aufgaben gegenübergestellt; möge dann das Werk zu deren Bewältigung helfend eingreifen und Zeit und Mühe ersparen.

Frankfurt a. Main, im September 1916.

A. Straßner.

Inhaltsverzeichnis.

I. Abschnitt.

Seite

Theorie und Berechnung der J^ahmentragwerke und der durchlaufenden Balken...............

§ i. Vorbemerkungen.................

§ 2. Theorie des elastisch eingespannten Balkens......

1.    Elastizitätsgleichungen..............

2.    Die Festpunkte................

3.    Die Momente.................

§ 3. Die Formänderungen...............

§ 4. Die Berechnung der mehrstieligen Rahmen.......

1.    Allgemeines.................

2.    Ermittlung der Trägheitsmomente..........

3.    Die Formänderungswinkel.............

4.    Verlauf des Trägheitsmomentes und Werte von cpa und (pj, .

5.    Die Elastizität der Stützen    . '..........

6.    Die Festpunkte und die Übergangszahlen........

7.    Die Festpunkte beim unendlich langen Rahmen......

8.    Die Bestimmung der Momente für lotrechte Lasten .    .    .    .

9.    Der Rahmen mit unendlich vielen Stützen.......

10.    Die Quer- und Normalkräfte............

11.    Bemerkungen.................

12.    Seitliche Bewegungen der Stützenköpfe.........

13.    Wagrechte Kraft in der Balkenachse.......

14.    Die zusätzliche Berücksichtigung der Stützenkopfverschiebungen

bei lotrechter Belastung..............

15.    Die Bestimmung der Momente für seitliche Lasten.....

16.    Der Einfluß von Wärmeschwankungen........

17.    Stützensenkungen................

18.    Die zusätzliche Berücksichtigung der Normalkräfte.....

IH

*-h    CO

00    C\ Co

CO CO CO Co n to Ln \Q OO vj Ln 0\Cn\0''I

O 00 Th rf CO ir> in u->

Seite

§ 5. Untersuchungen für gelenkig gelagerte Rahmenstützen. .    .

5⁶

§ 6. Die Berechnung der mehrstöckigen Rahmen

1.    Festpunkte und Übergangszahlen .

2.    Die Berücksichtigung lotrechter Lasten

3.    Die Berücksichtigung seitlicher Lasten

§ 7. Der zweistielige symmetrische Rahmen .    .

1.    Voruntersuchung..........

2.    Die Berücksichtigung lotrechter Lasten

3.    Die Berücksichtigung seitlicher Lasten.

4.    Der Zweigelenkrahmen........

§ 8. Der kontinuierliche Balken......

Cs Cs Cts    CS

Ul 41    N    tsj

Gn

§ 9- Rechnungsbeispiele.............

1.    Youtenplatte, kontinuierlich über vier Öffnungen

2.    Balkenbrücke, kontinuierlich über drei Öffnungen .

3.    Rahmen mit drei Öffnungen.........

4.    Kranbahn, kontinuierlich über vier Öffnungen .

5.    Zweistieliger Rahmen mit Kragarm.......

6.    Dreistöckiger Rahmen.........!    .

'O o O -f t' CO 00

104

I 20 I 2 6

II. Abschnitt.

Theorie und Berechnung des elastischen elastisch eingespannten Bogenträgers.................

§ 10. Vorbemerkungen................

§ 11. Theorie des Bogenträgers..............

1.    Grundlagen...............

2.    Das statisch bestimmte System und die Unbekannten

3.    Die Kämpferbewegungen..........

4.    Die Lagerbewegungen...........

5.    Elastizitätsgleichungen...........

6.    Die Bestimmung der Angriffslinie der Bogenkraft .

7.    Ermittlung der Balkenmomente ........

8.    Weiteres Verfahren.............

9.    Die Bogenmomente.............

10. Die lotrechten Auflagerdrücke.........

§ 12. Die Formänderungen und die Biegungslinie ....

1.    Berechnung der Formänderungen........

2.    Die Biegungslinie des Bogens.........

3.    Untersuchung über den Einfluß der Normalkräfte .

4.    Bestimmung der Formänderungswinkel am Kämpfer .

5.    Bestimmung der Durchbiegungen........

§ 13. Sonderfälle.................

1.    Der unsymmetrische Bogenträger mit starren Widerlagern .    .    156

2.    Der symmetrische elastisch eingespannte Bogenträger .

141

141

141

142

142

¹43 M3

144

*45

146

148

149

149

I5I

.    .    152

•    •    i54

*54

Seite

III. Abschnitt.

Das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Eisenbeton-Brücken, insbesondere der eingespannten Gewölbe, mit Tabellen der Einflußlinien für die Momente und für die Bogenkraft .    163

§ 14. Vorbemerkungen...............

§ 15. Die Ausbildung von Gewölbe und Aufbau......

§ 16. Die Berechnung des eingespannten Brückengewölbes .    .    .    167

1.    Allgemeines..............

2.    Die Formgebung............

3.    Die Querschnittänderung..........

4.    Berechnung der Balkenmomente........

5.    Berechnung der Bogenmomente. .......

6.    Die Einflußlinien der Kernpunktsmomente ....

7.    Die Beanspruchung durch Eigenlast......

8.    Einfluß von der Wärme und vom Schwinden

9.    Die Bestimmung der verbesserten Gewölbeform

10.    Die Stützlinie für Verkehrslast und die Berechnung der Widerlager 187

11.    Die Berechnung der Scheitelstärke nebst Untersuchungen über

die Wirtschaftlichkeit..............

§ 17. Tabellen der Einflußlinien für eingespannte Brückengewölbe 193

§18. Rechnungsbeispiele. ....

1.    Straßenbrücke mit Hinterfüllung

2.    Berechnung des großen Bogens der Gmündertobel-Briicke bei

Teufen...................

163

163

167

167

17 3

¹75

176

181

182

189

293

IV. Abschnitt.

4.    Das kontinuierliche Gewölbe über unendlich vielen gleichen Öffnungen .

5.    Rechnungsbeispiel

306

307

308

3¹⁰

311

Berichtigung

zu Seite 14, Zeile 4 und 5 von oben.

Statt

J (1+r)³

soll es heißen:

dv

Jm

Jm

{iiy.

0

I. Abschnitt.

Theorie und Berechnung der Rahmentragwerke und der durchlaufenden Balken.

§ i.

Vorbemerkungen.

Die nachstehenden Ausführungen erläutern eine Methode, welche darauf hinzielt, die im Eisenbetonbau gebräuchlichen mehrstieligen Rahmen unter beliebiger lotrechter oder seitlicher Belastung, wie auch die kontinuierlichen Balken und durchlaufenden Voutenplatten auf einfacher leicht verständlicher Grundlage, in übersichtlicher Form zu berechnen.

Um diese Konstruktionen in wirtschaftlicher Hinsicht möglichst rationell auszunutzen, wurde in der Rechnung auf die sich häufig vorfindenden voutenartigen Auflagerverstärkungen Rücksicht genommen, und diese durch Einführung veränderlichen Trägheitsmomentes hinsichtlich ihrer statischen Wirkung zum Ausdruck gebracht. Für die Änderung des Trägheitsmomentes wurden Gesetze eingeführt, die sich den Verhältnissen der Praxis möglichst anpassen, und brauchbare geschlossene Ausdrücke in Aussicht stellen.

2.

Theorie des elastischen eingespannten Balkens.

i. Elastizitätsgleichungen.

Die Berechnung der hier in Frage kommenden Konstruktionen geschieht unter Zugrundelegung der bei der Elastizitätstheorie üblichen Annahme, daß zwischen Spannung und Verformung des Baumaterials ein- festes Verhältnis besteht. Solange sich die Materialbeanspruchungen in zulässigen Grenzen bewegen, führt diese Voraussetzung gemäß der Erfahrung und Beobachtung zu befriedigenden Ergebnissen ; der Aufbau darauf, d. i. die ganze Elastizitätstheorie, fällt aber in sich zusammen, sobald sich die Spannungen derart über das zulässige Maß erheben, daß das elastische Verhalten des Baumaterials aufhört, oder gestört wird. Notgedrungen muß bei der Berechnung dieser Fall der Beanspruchung ausgeschlossen werden. Im übrigen aber lassen sich alle Verformungen hinreichend genau als gradlinige Funktionen ihrer Erzeugungskraft oder ihres Erzeugungsmomentes auffassen.

Strassner, Neuere ^fethoden.    I

-Mo.

dH*

Ta.

Mer 7

&ao

Wir betrachten nun einen Balken, an dem beliebige Lasten und an den Endquerschnitten zwei Momente angreifen (Abb. i), und schreiben dafür die Gleichungen für die Formänderungswinkel an den Auflagen an :

Ta = CC„₀    cc„ -}- Mb ßb \

T'b — abo “f" Mb CCb -|- Ma ßa j

. (ia)

Mar 7

aa0 und abo sind die von der Belastung herrührenden Winkel beim frei drehbar gelagerten Balken. Nach dem Satze von der Gegenseitigkeit der Formänderung kann ßa = ßb — ß gesetzt werden, und es gehen dann obige Gleichungen in

Ta = aao-J-Ma (aa — ß)Mb ß \

Ti = abo -j- Mb (ab — ß) -j- Ma ß \ über, worin

aa Verdrehung am linken Auflager infolge Ma = Mb =

„ rechten r linken \ rechten f ”

Die elastische Verdrehung der Auflager ergibt sich, mit sa und sb als Winkel

la - ~ Sa M a,

n == — sb Mb.

Durch Verbinden mit den Beziehungen x b folgt '

ßa

ab

Abb. i.

für M = i, zu

bestimmen.

ßb

d*¹

Mf7

• (ib)

Ma = Mb= x, Mb = i\ Ma= i /'

Sa Ma —— CCao "T" Ma (CCa ß) —j— Mb ß |

*    — €b Mb — abo 4- Mb {ab — ß) -j- Ma ß j ‘ *

Mit Hilfe dieser Formeln werden wir nun die Festpunkte und die Momente

c)

2. Die Festpunkte.

Wirkt am rechten Ende eines links elastisch eingespannten Balkens das Moment Mb, dann verläuft, wie in Abb. 2 ersichtlich, die Momentenlinie nach einer Geraden, und schneidet die Balkenachse im Abstande a vom linken Auflager. Der Momentennullpunkt, der zugleich der Wendepunkt der elastischen Linie ist, wird als Festpunkt bezeichnet, und spielt bekanntlich bei der Berechnung kontinuierlicher oder elastisch eingespannter Balken eine große Rolle.

Um die Lage dieser wichtigen Punkte festzustellen, knüpfen wir unmittelbar an die letzten Gleichungen an

(Gl. 1 c), die offenbar auch dann noch gelten, nach Art der Abb. 1 auf den gewichtslos gedachten Balken ausschließlich Momente einwirken. Es verschwinden dann nur die Winkel aa0 und abo und es folgt

Sa Ma Ma -/?) —|— Mb ß |

sb Mb = Mb (ctb — ß^ —j— Ma ß j

wenn

nur

(2)

->k-

Tllth

^—h

Drückt man in der ersten dieser Glei-M chungen das Moment Ma durch

Ma = — Mb

l — a

aus, eine Beziehung, die sich aus der Abb. 2 ohne weiteres herauslesen läßt, dann ergibt sich 1^ die von der Größe des angreifenden Moments 3) ) unabhängige Lage des Festpunktes

'Mb?a

Iß

Abb. 2.

a —-i--    .

aa | Sa

(3)

Theorie des elastisch eingespannten Balkens. —- Die Formänderungen.

Um den Winkel der elastischen Linie beim Zustand Mb = 1 zu ermitteln, setzen wir in der zweiten der Beziehungen 1 b

Mb=i,

und erhalten mit rb = y<(

Ma =

und

ccbo — o

7 a = ab — ß

+-

Liegt hinsichtlich des Belästungs- und Lagerungszustandes das Spiegelbild obiger Verhältnisse vor (Abb. 3), dann ergibt sich /i/ in ähnlicher Weise der Abstand des Fest- ' punktes vom rechten Auflager

X-

Iß

■4

.    (5)

ab £b

und für die Verdrehung des linken Endquerschnittes folgt

Wa

i---1:

7b = cc„ — ß

(6)

Man

/£b

Abb. 3.

3. Die Momente.

Sind nach den vorstehenden Ausführungen die Festpunkte ermittelt, dann können die Momente infolge beliebiger lotrechter Belastung sehr leicht bestimmt werden. Wir lösen die Gleichungen 3 und 5 nach ea und eb auf und erhalten

£a--— aa -f" ß~~

'S 'S

— ab + ßßß~'

Damit folgt in Verbindung mit den Gleichungen 1 c nach kurzer Umformung

- + Mb

£b =

a clo

£<z

jJ

JA

-Sa

Bk¹

.-«W

Mb

-j-- Ma

Cr-

b    (%bo

7 V

Ein Blick in Abb. 4 ergibt, daß die linken Seiten dieser Gleichungen die Senkung der Schlußlinie auf den Festlinien darstellt. Führt man hierfür die Bezeichnung Sa und Sb ein, so folgt

Abb. 4.

Sa = ~

(%ao

Sb= —

b CCbo

(?)

§ 3-

Die Formänderungen.

Wie bereits bemerkt, setzen wir voraus, daß zwischen Spannung und Dehnung ein festes Verhältnis besteht. Außerdem wird der Einfluß der Normal- und Schubkräfte zunächst vernachlässigt, hinsichtlich des ersteren jedoch noch später Anlaß zu einer gesonderten Untersuchung genommen, auf Grund deren es möglich wird, denselben im Bedarfsfälle für sich in Rechnung zu stellen und zusätzlich zu behandeln. Zunächst sind nur solche Formänderungen ins Auge zu fassen, die von Biegungsmomenten herrühren ; es steht daher ein übersichtlicher Rechnungsgang in Aussicht.

Wir betrachten ein Balkenelement von der Länge dx, und nehmen an, daß daran ein gegebenes Moment Mx wirke. (Abb. 5.) Die eine Schnittfläche dreht sich, wenn die andere als verhältnismäßig fest angesehen wird, um den Winkel

J dtp

zt d&Q - ” | ■. / d ■ f ‘ f i

---- y

T |

_____

wobei die Dehnungen an der oberen und der unteren Faser

ir

dx

J d iVo ~I⁻ ^ d xu — (o₀ “f“ Gu) p oder mit

/!

1—cc

-r / i'bb b

i_

Go ~j~ Gu

Jx

Ta

Th

1 d Xq —|— / d xu -——

Mx h dx

-M k-

x’AcUp

\fx’Ad<p

E Jx

h stellt die Querschnitthöhe senkrecht zur Drehachse des Moments vor.

Abb. 5.

Durch Verbinden des ersten Ausdrucks mit dem letzten entsteht die bekannte Gleichung für den Formänderungswinkel

zl dcp

Mx d x

EJX

. . (8)

Die Anwendung derselben nimmt man am besten wie folgt vor und drückt die Winkel an den Auflagern eines Balkens durch die allgemeinen Beziehungen

_ ^ f > / i ^ C ® dx

r* = TJmJif ⁼ -iJ-Kir'

¹ r .,    1 rMx x dx

E Jx

aus, die von den lästigen Integrationskonstanten frei sind.

n=TJ-Xäf=TJ^

Es ergibt sich danach

(Mx=i)

aa —

rl

x' dx

(Mx= 1)

ah =

rf

E Jx

x dx

Mx =

>-y

E Jx

x x dx

•    (9)

&ao —

rf

E Jx

M₀ x dx

E Jx

M₀ x dx

• O)

E Jx

Die Integrale sind über den ganzen Balken auszudehnen.

Graphisch ergeben sich diese Winkel wie in Abb. 6 ersichtlich, auf Grund der als Seilkurven ermittelten Biegungslinien.

Um aa zu bestimmen, denkt man sich an dem Balken die Gewichte

, wo w —

EJX

und s eine endliche Balkenlänge, und zeichnet dafür ein

Seileck ; dessen letzte Seiten bilden miteinander den gesuchten Winkel.

dt ergibt sich in ähnlicher Weise, wenn als Belastung w --- angenommen wird. Gleichzeitig wird auch ß bekannt.

Die Formänderungen.

Während sich diese Winkel ausschließlich auf Grund der Tangenten der elastischen Linie an den Auflagern ergeben, sind für die Winkel infolge der Belastung die Biegungslinienordinaten maßgebend. Bezeichnet aao' die Drehung am linken Balkenende infolge der Ursache P = i, und da die Einsenkung unter der Last beim Zustand Ma = i, dann ist nach dem Satze von der Gegenseitigkeit der Formänderung a₍,ö — da. Ebenso muß auch abd — db sein.

Es folgt daher aa0 = 2 P da | ab0 = 2 P db \

Die Einsenkungen öa und öb gehen aus denselben Biegungslinien hervor, die auch zur Ermittlung von aa und ab in Frage kommen.

Zur analytischen Ermittlung des Verlaufes der Biegungslinie dürfte eine weitere Erläuterung nicht erforderlich sein; es tritt nur an Stelle der Seilecke die entsprechende Rechnung. Dabei sind als Belastung die ideellen Gewichte anzusehen, und diese genau wie vor unter Zugrundelegung endlicher Bogenlängen zu berechnen. (Yergl. auch Abb. 105.)

Sollen ausschließlich die durch die Gleichungen 9 gegebenen Winkel bestimmt werden, dann ist es nur erforderlich, diese als Auflagerdrücke für die betreffende Belastung zu ermitteln.

Nachstehend folgen nun noch einige Ausführungen, die den bei Ermittlung der Formänderung zu betrachtenden Querschnitt betreffen, und dabei ergeben, daß entgegen den bei der Spannungsermittlung üblichen Gepflogenheiten, wonach der Beton in der Zugzone ausgeschlossen wird, die der Wirklichkeit am besten entsprechenden Ergebnisse erzielt werden, wenn man dem Trägheitsmoment den vollen Betonquerschnitt zugrunde legt.

Es ist zu bedenken, daß die Verhältnisse bei der Spannungsermittlung eine Sache für sich sind. Sie betreffen das Bruchstadium, während sich die elastischen Formänderungen meist nur unter geringen auch in der Zugzone nicht übermäßig hohen Spannungen vollziehen, die es nicht gerechtfertigt erscheinen lassen, wenn man dabei das Material in der Zugzone, das sich zweifellos an den elastischen Formänderungen noch beteiligt, einfach ausschließt. Jedenfalls sind dabei kleinere Risse unbedeutend.

Um sich darüber klar zu werden, stelle man sich einmal einen Plattenbalken vor, dessen Trägheitsmoment am Auflager kleiner ist wie in Balkenmitte. Selbst bei beträchtlicher Querschnittszunahme ist dieser Fall noch denkbar, weil am Auflager die Platte außer Wirksamkeit kommt. Es scheint aber ausgeschlossen, daß eine stärkere Verformung bei höherem Querschnitt eintritt.

Zudem treten einer solchen Rechnung noch Schwierigkeiten entgegen, da dabei die Kenntnis des Momenten-Nullpunktes vorausgesetzt wird, an welcher Stelle sich eine sprungweise Änderung des Trägheitsmomentes ergibt, und diese ebenso

(ioa)

"urP

I/?

<<

a)

i \l

-Linie fße/asfang

Abb. b.

a)

*)

10

11

12

unwahr erscheint, wie die Auffindung des betreffenden Schnittes verwickelt ist. Da sich der letztere noch mit der Belastung ändert, besteht alle Aussicht auf eine mühsame Rechnung.

Ein nicht zu unterschätzender Stützpunkt bei der Entscheidung dieser außerordentlich wichtigen Frage bilden auch die Versuche. Sie führen ebenfalls zu der Erkenntnis, daß man bei Ermittlung der Formänderungen am besten den vollen Betonquerschnitt betrachtet, denn die auf Grund von gegenteiligen Annahmen berechneten Verformungen sind um ein beträchtliches Maß größer wie die tatsächlichen.

ver-

Es scheint dies aber kaum

Freilich ist trotz alledem zu erwarten, daß sich der wahre Wert vom Trägheitsmoment mit der Belastung ändert, und um so kleiner ist, je höher die Spannungen vorliegen³). Diesen Umstand rechnerisch zu berücksichtigen, ist keine dankbare Aufgabe. Ob sich ein dementsprechender Weg in der Praxis Eingang schaffen kann, wollen wir dahingestellt sein lassen, der Fall zu sein.

und

Schließlich sei auch noch auf die theoretischen Untersuchungen von Prof. Dr. Mörsch hingewiesen (Der Eisenbetonbau. 4. Aufl. Seite 354—360), wobei festgestellt wurde, daß die durchlaufenden Eisenbetonträger und Platten, sofern die Bewehrung den Momenten angepaßt ist, bei gleichbleibendem Trägheitsmoment nach den gebräuchlichen Formeln für kontinuierliche Träger, und bei veränderlichem Trägheitsmoment nach der Elastizitätstheorie unter Zugrundelegung des vollen Betonquerschnittes behandelt werden können. Die in entsprechender Weise ermittelten Formänderungen führen immer zu den einwandfreiesten Ergebnissen. Auch die beim Zusammenhang von Balken und Stütze vorliegenden Verhältnisse bieten keinen Anlaß von den gebräuchlichen Regeln Abstand zu nehmen es wird auch hier der volle Betonquerschnitt in Rechnung zu setzen sein.

Wenn man die Eisen berücksichtigt, so dürften die Ergebnisse, von denen die ohne Berücksichtigung derselben entstehen, nicht wesentlich verschieden sein. Es erklärt sich dies aus dem Umstand, daß das Trägheitsmoment aller Querschnitte sich dabei in nahezu gleichem Verhältnis ändern würde.

§ 4-

Die Berechnung der mehrstieligen Rahmen.

1. Allgemeines.

Zunächst wurde bei den folgenden Darstellungen vorausgesetzt, daß die Stützenköpfe nur Verdrehungen erleiden¹ Verschiebungen in irgend welchem Sinne wurden also vorläufig ausgeschlossen.

mm

Abb. 7.

Schlägt man diesen Weg ein, so ergibt sich eine ganz wesentliche Vereinfachung im Gang der Berechnung, zu der man sich um so leichter entschließen kann, weil, wie noch gezeigt wird, bei der meist in Frage kommenden lotrechten Belastung der durch dieVoraus-setzung unverschieblicher Stützenköpfe bedingte Fehler sehr gering ausfällt, und beim regelmäßigen Rahmen mit mehreren Stützen immer übersehen werden kann. Hierzu kommt noch, daß

sich im Bedarfsfälle die Stützenkopfverschiebung gesondert behandeln und zusätzlich berücksichtigen läßt; es ist demnach immer noch möglich, den Genauigkeitsgrad der Rechnung nachträglich nach Belieben zu steigern.

Auch bei seitlicher Belastung kann derselbe Weg eingeschlagen werden. Es ist dabei jedoch Bedingung, daß der in diesem Falle nicht mehr belanglose Einfluß der Stützenkopfverschiebung in Rechnung gestellt wird.

In dieser Weise vorgehend, kann man für die Berechnung eine einheitliche Grundlage wahren.

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß auch der Einfluß der Normalkräfte noch nachträglich festgestellt werden kann, wenn man von den dadurch veranlaßten Stützenkopfverschiebungen ausgeht.

Die nachfolgenden Ausführungen wurden in allgemeiner Form gehalten. Sie gelten für den Rahmen mit beliebig vielen elastisch eingespannten Stützen und lassen sich leicht beliebigen Sonderfällen anpassen, wie dem zweistieligen Rahmen, dem Rahmen auf gelenkig gelagerten oder fest eingespannten Stützen , und auch dem gewöhnlichen durchlaufenden Balken, der sich ergibt, wenn man das Trägheitsmoment der Stützen gleich Null setzt. Liegt etwa wie beim Stockwerkrahmen eine durchlaufende Stütze vor, dann kann der Wirkung derselben durch Einführung eines entsprechenden Wertes für den gemeinsamen Verdrehungswinkel genügt werden.

ZW,

Es soll hier noch hervorgehoben werden, daß sich die nachfolgenden Ausführungen nicht auf den Rahmen mit horizontalem Balken beschränken , sondern auch dann noch anwendbar sind, wenn ungleich hohe Stützpunkte vorliegen (Abb. 8). Es sind dann immer die wahren Balkenlängen zu betrachten, und die Festpunktab-stände jeweils in Richtung der    (

WZ.

Balkenachse zu messen.

im.

Abb. 8.

Die angewendeten Gesetze ^ verbunden mit der auf dieser Grundlage durchgeführten Ermittlung der Formänderungswinkel, gestatten die Berücksichtigung des veränderlichen Trägheitsmomentes in sehr einfacher Weise, ohne dadurch besondere Verwicklungen zu bedingen und die Berechnung in die Länge zu ziehen. Es wird dadurch eine genaue rechnerische Behandlung möglich, mit der Erzielung restlosester Ausnutzung aller wirtschaftlicher Vorteile.

2. Ermittlung der Trägheitsmomente.

Wie bereits unter Darlegung der Gründe ausführlich beschrieben» wurde, ermittelt man das Trägheitsmoment der Balken und Platten am besten unter Zugrundlegung des vollen Betonquerschnitts unter Vernachlässigung der Eisen. Hierzu dient die bekannte Gleichung

J=J₀ — lV*F,

die in anderer Form

J=J₀--TV

lautet. Darin bedeutet J₀ das auf die obere Faser bezogene Trägheitsmoment, und S stellt das statische Moment der Fläche F unter derselben Bezugnahme dar. Werden in diese Gleichung die gültigen Werte

Neutrale Achse

.....L

F — (b b₀) d —|— b₀ h,

d²    Ä²

S = (b — b₀)--\-b, —,

2    2

Abb. 9.

d³

A³

A₀) h A₀ — 3    3

eingeführt, dann ergibt sich für das Trägheitsmoment des Plattenbalkens der Ausdruck

d³

J=(b — b₀)--f- b₀ —

3    3

[(6 —S„)rf»-|-M⁸]*    ■

4 [(A — b₀) d -|- b₀ A]

oder einfacher

M³

i“

(ii)

worin

•    '    (l²)

" = ⁴tr+('

Um die Bestimmung von /u zu erleichtern , wurde eine graphische Tabelle gebracht (Abb. io), welche die bei Plattenbalken von gebräuchlichen Abmessungen vorliegenden Verhältnisse b₀ : b und d : h enthält, und dafür die Werte von li ohne weiteres entnehmen läßt. Beim rechteckigen Querschnitt ist /u = i.

Ist beispielsweise d = 15 cm, h == 80 cm, b₀ = 35 cm und b = 140 cm, also

15

80

0,188 und

35

140

0,250

so entnimmt man dafür ^< = 0,434, und es wird (Gl. 11)

1,40 • o,8o³

bhs

12

■ 0,434 = 0,0259 m⁴.

3. Die Formänderungswinkel.

Der Einfachheit halber soll angenommen werden, daß innerhalb der einzelnen Balkenfelder Symmetrie besteht. Die Gleichungen 9 lauten dann

aa— ab a ₂ p J':

(13)

x x dx

Jx

Weil sich das Trägheitsmoment im allgemeinen ändert, wurde dasselbe unter dem Integralzeichen gelassen, dagegen aber der Elastizitätsmodul E als konstante Größe davor gesetzt.

Die Gleichungen 4 und 6 nehmen die Form an

ya = a — ß

• • (14a)

7 b ~ cc-ß

•    ■    (14b)

l — b

Sie dienen zur Beurteilung der Einspannung, die beim kontinuierlichen Balken infolge des Zusammenhanges durch die Elastizität der jeweils an die betrachtete

ON

0,60 d

-±£=0,30

h

er

Ci'

$

C>'

Ci'

0,60

ss'o

0,55

31

X

os'o

X X

N \

0,50

0,V5

\

0,¥5

X

0,W

\ X

X

*X X

\

0//o

se'o

&7S

X

ss‘o

■ri uoa 9;i9^\v

07?

XX

\A

oe'o

\\

xxax

0,30

\\\\

XX\

072

0,25

X \\

sz'o

\ X \

0,09

XX

oz'o

008

X

X    \

oz'o

=0,15

"bork=0.Q6

d

H⁼⁰‘³⁰

0,25

oz'o

0,15

0,00

ft =0,15

d

Abh. IO.

\

' V

■

.

/

A

Öffnung angrenzenden Felder gebildet wird. Dazu treten bei Rahmentagwerken noch die elastischen Stützenwiderstände hinzu.

Zunächst handelt es sich um die Bestimmung, der durch die Gleichungen 13 gegebenen, vom Verlauf des Trägheitsmomentes abhängigen Winkel a und ß. Wir setzen dafür allgemein

<fa

(*5>

<fb

6 EJm

und machen die Ermittlung der Koeffizienten cpa und (ßi, die sich nach

Jm

Cpa

dx

Jx

.    (16)

' x x dx

(fb

berechnen, zum Ausgangspunkt der folgenden Betrachtungen.

4. Verlauf des Trägheitsmomentes und Werte von cpa und <p?j.

Nachstehend wird der Verlauf des Trägheitsmoments durch einige Gesetze zum Ausdruck gebracht, die es ermöglichen den Gleichungen 1 6 eine geschlossene Form zu geben. In Verbindung mit den Gleichungen 14 und 15 läßt sich dann die Bestimmung der Formänderungswinkel sehr leicht durchführen.

Da in den Beziehungen 16 das Trägheitsmoment Jx im Nenner steht, scheint die Annahme eines einfachen Verlaufes für den umgekehrten Wert desselben am naheliegendsten ; jedenfalls steht damit eine einfache theoretische Behandlung in Aussicht. Auf einer solchen Grundlage beruhe das

Gesetz I.

Um den in der Praxis vorliegenden Verhältnissen möglichst nahe zu kommen, wird angenommen, daß der Balken teils gleichbleibenden und teils veränderlichen Querschnitt aufweise (Abb. 11).

Für letzteren setzen wir

Ja

Jx

= i -J- [.l xv.

fl geht aus der Forderung

Ja

— ¹ -f- (A If

zu

n (X l)v

hervor, und das Gesetz lautet daher

Ja

Jx

11

XI

Es empfiehlt sich indessen dasselbe in Jm

Jx

= I— (1 — »)(I

XI

■ ■ (17)

-Ja.

Ja

~Jm.

Ä-JU

Gleichbleibendes,

Trägheitsmoment

Ja

umzuformen, worin Jm

ii

XL.

Ja

• • (18)

J771

nx~ Linie,

X l — Voutenlänge

v ist eine von der Voutenform abhängige Zahl, die sich in den meisten Fällen zwischen i und 2 bewegt, oder einen dieser Werte unmittelbar

Trägheitsmomenten - L inie

Abb. 11.

annimmt. Setzt man v = 1, dann entsteht ein Balken von der in Abb. 11. dargestellten Form, mit allmählich nach den Auflagern hin ansteigendem Querschnitt. v = 2 dagegen entspricht weniger einer gewölbten als einer geraden Untersicht.

Bei gegebenem Zwischenquerschnitt läßt sich v mit

nx

Jm

aus

nx — n

XI

berechnen.

Durch Einführen des Gesetzes 17 in die Gleichungen 16 entsteht

7.1

<Pa

Jm

i-

— 2 (r —-

dx

'■ xx dx

Jx

1 — 12(1 —

— x) dx,

oder

<Pa =

2 (1

n)

Cpb = I

(I-

4A

.    .    (19)

■V — 3

Gesetz II.

Unseren weiteren Ausführungen legen wir nun die in Abb. 12 dargestellte Balkenform zugrunde und berücksichtigen die gradlinig ansteigende Voute streng. Das Gesetz für die Änderung der Querschnitthöhe lautet alsdann

hx

XI

X?n

Für die Änderung des Trägheitsmomentes ergibt sich unter der Annahme, daß sich dieses mit der dritten Potenz der Querschnitthöhe ändert,

Jx

Gleichbleibendes

Trägheitsmoment

Jx

• . (²°)

c folgt aus

Ja

Abb. 12.

Jth

= (1 + c)²>

ZU

-n

I.

(21)

kl = Voutenlänge. Bei rechteckigem Querschnitt kann c auch nach

Wie zuvor, ist

ha

h>n

.    . (21a)

berechnet werden.

Die Voraussetzung, daß sich das Trägheitsmoment mit der dritten Potenz der Querschnitthöhe ändert, gilt beim Plattenbalken in Eisenbeton mit sehr großer Genauigkeit. Zum Nachweis dieser Tatsache sei eine kurze Ablenkung gestattet. Wir betrachten ein Balkenstück von den in Abb. 13 ersichtlichen Ab

messungen.

Am Übergang des Balkens in den beständigen Teil ist

IO

tzo

und

o,3

0,2

h 50

wofür aus der graphischen Tabelle auf S. 9 /< = 0,487 hervorgeht. Es ist daher

1 20

a 7

iQ

1,20 • 0,50³

Vs."

1

• 0,487 = 0,006 09 m⁴. Demgegenüber folgt für das Balkenende

Al*i

W *4

0.36

Abb. 13.

36

120

— 0,3,

und

¹²5

0,08,

wofür fi = 0,420 und

Ja

1,20 • 1,25³

• 0,420 = 0,082 03 m⁴.

Man hat somit nach Gleichung 21

-r

Ja

__ 1^0,082 03 '    0,006 09

1 = D379,

und erhält alsdann für irgend einen Zwischenquerschnitt nach Gleichung 20 Jx = 0,00609 (¹ + ¹,379 s)³-

Nun soll andererseits aber auch dem sich hiernach ergebenden Trägheitsmoment eine gerade Untersicht entsprechen. Inwieweit dies der Fall ist, zeigt die nachfolgende Tabelle, die die Querschnitthöhen in sechs gleichmäßigen Abständen, für den gesetzmäßigen Verlauf des Trägheitsmoments sowohl, als auch für die gerade Balken-Untersicht enthält.

Punkt

Gesamt

höhe

Gesetzmäßiger Verlauf. Gerade Untersicht.

0,868

o,875

0,500 0,624

°>5°° 0,625

I

Die Abweichung beträgt nur wenige Millimeter, und läßt sich in der Zeichnung nicht mehr darstellen. Es kann dies als sicherer Beweis dafür hingestellt werden, daß die getroffene Voraussetzung mit sehr großer Schärfe zutrifft, zumal, da den obigen Untersuchungen noch nicht einmal günstige Verhältnisse zugrunde liegen.

In dieser Hinsicht scheint auch die graphische Tabelle (S. 9) interessant. Sie läßt nämlich schließen, daß, wenn das in Frage kommende Kurvenstück aut eine geringe Änderung von fi deutet, die Voraussetzung besonders scharf zutrifft. Dabei braucht aber im gegenteiligen Falle eine erhebliche Ungenauigkeit auch nicht vorzuliegen.

o,744

0,75°

0,992

1,000

1,121    1,250

1,125 1.250

Nach dieser Untersuchung, die nicht nur für den Plattenbalken mit gradlinig verlaufenden Verstärkungen, sondern auch für alle übrigen Balkenformen wichtig ist, kehren wir wieder zur eigentlichen Berechnung zurück und setzen vorläufig

ll

Jm

ll

J dv J'

dv

ll

v dv

v dv

¹

In dem Aufsatz „Die wahre Größe des Trägheitsmoments im Eisenbetonbalken“, Beton u. Eisen 1916, Xr. 6, 7/8 und 9/10, verschafft Dr. Ing. F. von Emperger interessante Einblicke in die hier vorliegenden Verhältnisse. Es bestätigt sich dabei die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes mit den Spannungen im allgemeinen, und im besonderen ergibt sich, daß dasselbe hauptsächlich in der Nähe der Momenten-Xullpunkte einen hervorragenden Wert annimmt, was ja: auch ohne weiteres verständlich ist. In bezug auf die statischen Größen ist indes dieser Umstand kaum von Bedeutung, denn gerade deshalb, daß es sich um die Momenten-Xullpunkte handelt, ist kein wesentlicher Einfluß zu erwarten.

²

Vom Verfasser. Beitrag zur Berechnung mehrstöckiger Rahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes. Berlin 1912, Verlag von Wilh. Ernst & Sohn.

J (1 4- cv)³

0

ll

' v² d v

v² dv

ßi)

=k

Für (fa erhält man (Gl. 16)

l—ll

(fa

Jm

' dv

Jx

oder mit obigen Abkürzungen

<Pa~ 1 — 2 A(i — kt).

<Pb wird der Übersicht halber getrennt ermittelt, nnd zuerst der mittlere beständige Balkenteil betrachtet, welcher dazu den Beitrag (Gl. 16)

l-U

ll

liefert. Für den übrigen Teil von veränderlichem Querschnitt folgt dann, indem man in nachfolgender Gleichung x=)d — v und x = l — ll-\-v setzt

ll

r'

% =

6 Jm

x x dx

■i³

Jx

f-W

x x dx

l-ll

Jx

ll

Jx

oder

cp'¹ = 12 (A² (1 — l) kx — l* (r — 2 /.) k₂ — P k₃\ Insgesamt ergibt sich demnach (Gl. 16)

l³

Jx

<Pb + <P»

1 — 6 Ä² (r — 2 kx -(- 2 k^) -J- 4 l³ (1 — 3 kl

+ ⁶ k₂ — 3 *3).

Zunächst sind nun die Ausdrücke für k in eine geschlossene Form zu bringen, und folgende Integrationen durchzuführen.

In dem Ausdruck für kx

*1 =

J (1 -j- cv)³

setzt man

und erhält

cv = z,

dv =

dz

Damit wird die Integration durchführbar, und es ergibt sich

Ähnlich wird

und

tJ-

³ dz —

vdv

J (I -j- cv)³

c²

k, —J

v² d v

C (- 2) Z² I

0

2 (C + i)²

z~³) dz

— 2 2 ⁸-|-S ³j dz

c³

lgn 2

2 2²

C 0 ~h 3 c)'

2 (C-f- l)²

entsteht

Führt man diese Beziehungen in die Ausdrücke für cpa und <pb ein, dann

Cpcl = I

1 — Ä²

2 7.³ ( 2 -j-

3 (² —f— 3 c — c³)

(22)

Um die Anwendung dieser Gleichungen zu erleichtern, wurde nachfolgend eine Tabelle gebracht, woraus sich für gebräuchliche Werte von l und c die zugehörigen Koeffizienten cpa und <pb unmittelbar entnehmen lassen.

Tabelle der Werte cpa und cpb

cpa = obere Zahl | cph = untere Zahl f Berechnet nach den Gleichungen 22 (Gesetz II; vergl. Abb. 12).

0,2

0,4

0,6 I 0,8

Werte von C (Gl. 21 und 21 a)

1,0

1,2

1,6

1,8

2,0

2,5

3’°

¹12

Ht

0,764

0,814

0,612

0,685

0,508

0,590

°,43²

0,518

o,375

0,460

o,33i

0,414

0,295

0,376

0,266

0,344

0,242

o,3U

0,222

0,294

0,184

0,248

0,156

0,215

00

0,843

0,908

0,742

0,843

0,672

0,795

0,621

0,758

0,583

0,729

0,554

0,705

0,530

0,686

0,511

0,669

0,495

0,655

0,481

0,643

0,456

0,619

0,438

0,601

Hs

-p

V*

:tu

1    */4

0,882

0,946

0,806

0,907

0,754

0,879

0,716

0,856

0,688

0,839

0,665

0,825

0,648

0,813

0,633

0,803

0,621

o,794

0,611 0,787

0,592

0,772

0,578

0,761

⁰

> /o

0,906

0,964

0,845

0,939

0,803

0,920

o,773

0,905

o,75o

0,894

0,732

0,884

0,7x8

0,876

0,706

0,869

0,697

0,864

0,689

0,859

0,673

0,849

0,663

0,842

He

0,921

0,975

0,871

0,957

0,836

0,943

0,811

0,933

0,792

0,925

0,777

0,918

0,765

0,912

0,755

0,907

0,747

0,903

0,741

0,900

0,728

0,893

0,719

0,888

0,933

0,981

0,889

0,968

0,859

0,958

0,838

0,950

0,821

o,944

0,809

o,939

0,799

o,935

0,790

0,932

0,784

0,928

0,778

0,925

0,767

0,920

o,759

0,916

’ls

He

<D ³ ls

CD

0,941

0,985

0,948

0,988

0,903

o,975

0,914

0,980

0,877

0,967

0,891

0,975

0,858

0,961

0,874

0,969

0,844

0,956

0,861

0,965

0,833

o,953

0,851

0,962

0,824

o,949

0,843

0,960

0,817

o,947

0,837

o,957

0,811

o,944

0,832

0,956

0,806

0,942

0,827

o,954

0,796

0,938

0,819

o,95i

0,789

o,935

0,813

0,948

Hio

0,953

0,991

0,922

0,984

0,902

0,978

0,886

o,975

0,875

0,972

0,866 0,859 0,969 ; 0,967

0,853

0,965

0,848

0,964

0,844

0,962

0,837

0,960

0,831

0,958

’/io

Gesetz III.

Wächst, wie hier vorausgesetzt wird, die Querschnitthöhe parabolisch (Abb. 14),

dann gilt

h>n

und der Änderung des Trägheitsmoments entspricht

J))l

(23)

Darin bedeutet wie früher (Gl. 21 11. 21a)

-n

1,

oder

ha

h m

k l = Voutenlänge.

¹—st

i?    P* '-jj

i    ! Gle/M/e/bertdesj

X ₍ ' '*XlV yy^/fheifsmomen^-V ^Xl

-dm 1

Abb. 14.

Es folgt hierfür

*>=/

o (lJrcv2)i

CO

r 3 0+5 I 3 L(c-f r)2 1 y₀

= arc

tan ]/c J

h=J

C -j- 2

J (i+o=)s

4 (c + 0²

v²d v

i I —i

8 L c(c-f- i)²

d]

i-₃ = f- ₃

0    (i-t-CV*)

Durch Verbinden dieser Beziehungen mit den beim Gesetz II bereits hergeleiteten Ausdrücken .

eye

— arc tan

(fa = I

<Pb = I — 6^²(i

K)

2 /'i -j- 2 k₂) —j— 4 Ä³ (i — 3 I'j -f 6    — 3 E})

ergibt sich

= arc

(c+ 0*

tan

%=x

]/ c

— arc tan

Vc) + 7i(³+8c

^±iarctan>T)

c    ⁷ ,

Tabelle der Werte (fa und cpb

f (fa = obere Zahl == untere Zahl

Berechnet nach den Gleichungen 24 (Gesetz III; vergl. Abb. 14).

:X

fl

iS

fl

0,2

0,4

0,6 | 0,8

Werte von c (Gl. 21 und 21a) 1,3

1,0

1,4

1,6

1,8

2,0

2,5 I 3.0

ha

Werte von 7 (7 • l =

Vi

0,992

ansehen.

läßt sich für die Formänderungswinkel anschreiben (Gl. 9)

' x dx

li (2 h — li)

Jx

3 hEJ

•    •    (²5)

Ehf

x dx

h!²

EJX

2 .li EJ

•    •    (26)

ßs

■ r.r

’ dx    li ² (3 h—2 h!)

6 h² EJ

.    .    (27)

J=co

*\*—OCr

Die Integrale sind leicht als statische Momente der Momentenflächen bestimmbar. Die Zeiger von a deuten die Winkel am oberen oder am un-

j -J b)

fj

c)

hJ

Mh#₆ teren Stützenende an.

Gleichung 3 lautet hier sinn-

gemäß

■Mu

Abb. 15.

hßs >

a=-j-

aus \ Fu

und gibt in Verbindung mit obigen Ausdrücken den Abstand des Festpunktes vom Stützenfuß

7/² (3 h — 2 ti)

a=ZJh'(2h — h,)Jr6heuEJ- ‘    •

su hängt von den Lagerungsverhältnissen ab, und bedeutet die Verdrehung an der Einspannstelle beim Zustand M = x (Einspannungsgrad).

Der Winkel am Kopf der Stütze, infolge M^ = 1, ergibt sich unter Bezugnahme auf Gleichung 4 zu

• • (^8)

oder

7s =

ti² (2 ti — 3 a)

6 h EJ (h — a) '

(²9)

Der obere Festpunkt, dessen Bestimmung etwa beim Stockwerkrahmen, oder auch wie sich noch zeigt bei seitlicher Belastung erforderlich wird, liegt in (Gl. 5)

ti² (3 h — 2 ti)

3 A'²-f 6hs₀ EJ’ '    '

h ßs

aos S0

•    •    (3°)

wobei unter e₀ die Verdrehung der am Stützenkopf anschließenden Konstruktion infolge M — 1 zu verstehen ist. Es kann hierbei sein , daß ein einfacher oder ein durchlaufender Balken, unter Umständen auch ein solcher in Verbindung mit einer Stütze vorliegt.

Das Moment Mu = 1 erzeugt am Fuße der oben elastisch eingespannten Stütze den Winkel (Gl. 6)

ti

h'(3h —

7 s &US ßs I

Häufig lassen sich die Stützen am Fuße als fest eingespannt annehmen, und es folgt dann für diesen Sonderfall mit eu= o nach den Gleichungen 28 und 29

ti 3 h ■— 2 ti 3    2 h

— b    6 EJ h

■ (3 0

ti

•    •    (3 2)

7s =

ti³

•    •    (33)

₄EJ(₃h² — ₃hti+ti²) •    •

Wenn man den Ausdruck für den Abstand des Schwerpunktes der eigentlichen Stütze von der Balkenachse

ti

ys = h— —

2

mit Gleichung 33 verbindet, so läßt sich diese in

ti³

EJS (12 i/s² -f- h'²) • ‘

umformen, und stimmt alsdann mit dem umgekehrten Wert des von Prof. W. Ritter (Graphische Statik, Bd. III, S. 128) angegebenen Elastizitätsxnaßes überein.

Im Falle ti = h ergeben sich die bekannten Gleichungen für durchweg gleichbleibendes Trägheitsmoment.

7s =

•    • (33^)

li

7s

4 EJ

Ruhen die Stützen in Gelenken, so folgt dafür mit eu = 00

oder, wenn ti = h

7s =

ti³

₃ h² EJ p

Der untere Festpunkt- rückt an das Lager.

7s

ZEJ

x) Bei veränderlichem Trägheitsmoment unter § 5. An Stelle von J tritt dann das nach den dort gebrachten Ausführungen berechnete Trägheitsmoment J'.

Um von dem Einfluß der Stützenkopfverstärkung ein Bild zu bekommen,

betrachten wir eine fest eingespannte Stütze wofür ti = ⁴/₅ li Gleichung 33

und erhalten nach

7s =

4 EJ

0,4!2

oder bei der Annahme ti = ⁹/₁₀ li

4EJ °,657‘

Aus diesen Resultaten geht hervor, daß bei Bestimmung der Stützenelastizität immer gewisse Vorsicht geboten ist, und es niemals als zulässig angesehen werden kann, wenn man die Verstärkung am Stützenkopf vernachlässigt. Das erste der obigen Ergebnisse zeigt, daß diese, wenn sie sich auf ¹/₅ der Stützenhöhe ausdehnt, den Winkel noch unter das halbe gewöhnliche Maß herabdrückt.

Wird beachtet, daß die Annahme vollständiger Starrheit am Stützenkopf keineswegs in aller Strenge zutrifft, dann läßt sich aus alledem auch andererseits folgern , daß bei aller Sorgfalt und Gewissenhaftigkeit mitunter Ungenauigkeiten im Gang der Berechnung nicht ganz zu vermeiden sind.

7s

6. Die Festpunkte und die Übergangszahlen.

Hinsichtlich des Begriffs Übergangszahl sei vorausgeschickt, daß darunter eine Zahl zu verstehen ist, mit der man ein Angriffsmoment zu multiplizieren hat, um den jenseits eines Widerstandes noch wirksamen Teil davon zu erhalten. Es ist dies so zu verstehen, daß sich beim durchlaufenden Rahmen das eine Stütze passierende Moment verkleinert, und die Multiplikation des vor der Stütze angreifenden Momentes mit der betreffenden Übergangszahl das nach Überwindung des Stiitzemviderstandes im anschließenden Balken noch weitergehende Moment ergibt.

a) Rechnerische Lösung.

Es wird angenommen, ein mit den Stützen verbundener Balken sei knapp rechts neben einer Stütze durchschnitten, und an der steifen Ecke wirke das Moment M — i, an dessen Aufnahme sich der Balken links davon und die Stütze gemeinsam beteiligt (Abb. 16). Zu bestimmen, welcher Teil von dem Moment auf den Bai- ** ken und welcher Teil auf die Stütze entfällt, sei die nächste Aufgabe.

Bezeichnet (irj den auf den Balken entfallenden Teil vom Moment, dann entsteht, da M = i die Drehung ya erzeugt, nur noch der kleinere Winkel ya. Greift M = i an der Stütze allein an, dann liegt die Drehung ys vor. Infolge dem Moment i —(irj, welches nunmehr noch auf den Stützenkopf entfällt, entsteht aber nur (i —uri) ys.

Die Verdrehung ist daher einmal durch

/ rs

a)

l)

Sa (h'l 7ci >

und das andere Mal durch

Abb. 16.

(-Irl) 7s

gegeben. Das gleiche Maß derselben bedingt der innige Zusammenhang Balken und Stütze.

Sa = (i

von

Durch Verbinden dieser Gleichungen entsteht

rl 7a ( ¹ ft rl) 7s >

woraus sich für die Übergangszahl für das im Sinne von rechts nach links fortschreitende Moment allgemein

fhl-

ergibt.

7s

7s -j- 7 ci

Zur Bestimmung der Übergangszahl für das von links nach rechts eine

Stütze überschreitende Moment erhält man in ähnlicher Weise

V-

,/r    3

^s3

Ir

7s

7s + 7 b

Abb. 17.

Für die Festpunktabstände a und die Übergangszahlen f.iri

Unter Bezugnahme auf Abb. i 7 läßt sich nun bei gegebenen Festpunkten ,/' und K im Felde V und / mit Hilfe der Gleichungen 3 bis 6 bestimmen.

l' — a

7a = a —ß

[_iri —

7s 2    7a

(34)

Iß

Für die Festpunktabstände b und die Übergangszahlen f.irj

(3 5)

[<i>-

7 s 2 -f- 7 b

i ß'

a' + mr-7b ,

yS2 ist der Winkel am Kopf der Stütze 2 (Gl. 29 oder 33).

Bei den ersten Gleichungen beginnt man am linken Balkenende und geht nach rechts vor; es ergeben sich dann alle Festpunktabstände a- und alle Übergangszahlen    Bei elastischer Einspannung am linken Balkenende gilt für den

ersten Festpunkt Gleichung 3. Für den Winkel sa, d. i. die Verdrehung am Auflager infolge M= 1, kommt dabei sehr häufig die Elastizität einer Endstütze in Betracht.

Beginnt man am rechten Balkenende, dann werden alle Festpunktabstände b und alle Übergangszahlen j.iir bekannt. Der Festpunkt nächst dem Balkenende bestimmt sich bei elastischer Einspannung nach Gleichung 5.

Der Doppelzeiger der Übergangszahlen gibt den Sinn ihrer Gültigkeit an. Bei Momenten, die von rechts nach links eine Stütze überschreiten, gilt immer /uri und bei Momenten von links nach rechts /u/r. Diese Übergangszahlen werden, wenn man wie oben vorgeht, nebenbei bekannt. Sie sind zur Bestimmung der Momente sehr wichtig.

Schließlich geben wir die vorstehenden Gleichungen noch für beständiges Trägheitsmoment an. Sie lauten

7a'=ß'\3 ~

l jj

.    .    (34a)

3 P* [ " f-h'l 7a

l'ß'

•    (35a)

3 ß “h Lllr 7b

wobei

6 EJm

und (j' =

6 E J'm ‘

Die ersten Ausdrücke für die Übergangszahlen bleiben bestehen.

Anmerkung. Hinsichtlich der Übergangszahlen läßt sich allgemein folgendes bestimmen. Besteht ein durchlaufender Stab aus den Stäben a und b, und greift an diesen ein Moment an, dessen Aufnahme gemeinsam erfolgt, dann wird die Übergangszahl für das Moment im Stab a

am Stab b

/.J-a

< am Stab a + <jC am Stab b

und für das Moment im Stab b

<£ am Stab a

<£ am Stab a + am Stab b

Unter den Winkeln sind dabei jene zu verstehen, die infolge der Ursache M = I an dem betreffenden Stab allein entstehen.

Im Nenner steht immer die Summe von beiden beteiligten Winkeln; der Zähler dagegen enthält immer nur einen Winkel, und zwar denjenigen für den Stab, auf den sich die übergangszahl nicht bezieht.

b) Zeichnerische Lösung.

Im Anschluß an die rechnerische Behandlung soll noch eine zeichnerische

Methode mit demselben Ziel Raum finden , deren Verwendung sehr häufig

zum

Vorteil gereicht.

Um eine größtmöglichste Übersicht zu erzielen, schicken wir die

a) Bestimmung der Diagonalen

der eigentlichen Aufgabe voraus:

Man ermittelt für jedes Balkenfeld die Werte von x)

oder

za — Äfl cc l zb = Kvßl Kr l-

■    ■    (36)

Za =

*b

2 EJm

Kr l'²

<pa

•    (37)

6 EJm

(fb

Kv ist darin ein beliebiger konstanter Faktor, den man am besten gleich EJ0 setzt. Für J₀ empfiehlt sich die Annahme eines möglichst oft vorkommenden Wertes vom Trägheitsmoment vom Balken.

Za einmal auf Grund

U Handelt es sich um unsymmetrische Balkenfelder, dann hat und das andere Mal auf Grund von ab zu bestimmen (Gl. 9). Es sind jedoch nach zwei Diagonalen aufzutragen; die linkssteigende entsprechend

Sonst ist das Verfahren genau dasselbe wie bei

man

von aa

wie vor in jedem Feld nur und die rechtssteigende entsprechend ab-symmetrischen Balken.

aa

cpa und tyb sind von der Balkenform abhängige Zahlen. Sie können aus den Tabellen auf Seite 15 und 17 unmittelbar entnommen werden; auch gelten dafür die Gleichungen 19. Bei durchweg gleichem Trägheitsmoment ist <p„ = <pö=i.

Sind die Werte von ^ bekannt, dann verfährt man damit wie in Abb. 18 ersichtlich ; man zieht in den betreffenden Feldern im Abstande zj, oberhalb und im Abstande za — zj, unterhalb der Balkenachse wagrechte Linien, welche die

L\

X7

Abb. 18.

Auflagerlotrechten schneiden. Dabei kann irgend ein beliebiger Maßstab zugrunde gelegt werden, vorausgesetzt, daß man dann beim Aufträgen der Winkel a (Gl. 38) das Verzerrungsverhältnis berücksichtigt. Hierauf zeichnet man die Diagonalen.

abhängig.

Bis jetzt ist die Konstruktion von der Elastizität der Stützen gänzlich un

ß) Bestimmung der Festpunkte J und der Übergangszahlen f.iri.

Wir setzen den Festpunkt J' im Felde l’ als bekannt voraus und zielen darauf hin, den Festpunkt J im Felde l und die Übergangszahl /.iri für die Stütze 2 zu bestimmen. Dabei kommt der folgende Vorgang in Betracht.

Vom Kopf der Stütze 2 zieht man eine unter

®    yg₂

nach links hin ansteigende Gerade und bringt diese in 0X mit der Auflagerlotrechten 1 zum Schnitte (yS2 nach Gl. 29 oder 33). Legt man die Winkel wie üblich durch einö wagrechte und durch eine lotrechte Strecke fest, so ist zu

(38)

’V

F

\i tan3^ f

Xxl /

Fl /

-o

N

Jz

Ar

c;

zaX

X,

CL%

beachten, daß die erstere im Längenmaßstab und die letztere im Maßstab für z zu messen ist. Um den Tangens des Winkels zu bestimmen, hat man daher den Wert der Gleichung 38 noch durch L. zu dividieren, wobei 'C das Verhältnis vom Längenmaßstab zum Maßstab für z bedeutet. Dasselbe ergibt sich auch durch Abtragen von 1,0 m (Längenmaßstab) im Maßstab für z.

faV(c-±KvCa

Auf der Verbindungslinie von Jx nach dem Auflager 2 bestimmt man den Schnittpunkt Cv der in der Verlängerung von OxJ' liegt, und gelangt dann durch Verbinden mit dem Auflager 1 zu dem wichtigen Teilpunkt J₂' auf der Festlinie (Abb. 19). Legt man von dort aus durch das Auflager 2 eine Linie, so schneidet diese in ihrer Verlängerung die linkssteigende Diagonale des Feldes l senkrecht über dem zu ermittelnden Festpunkt ./. Eine Lotrechte durch den letzten Schnittpunkt ist demnach die gesuchte Festlinie.

Nach

f<rl =

(39)

J' .7/

berechnet sich die Übergangszahl für ein -ff die Stütze 2 von rechts nach links über- £a schreitendes Moment. Es ist indes nicht erforderlich, die Übergangszahlen hiernach alle zu bestimmen. Die Momente können auch zeichnerisch verkleinert werden

JfatyfP

K?

(Abb. 23 u. 24).

Abb. 19 a.

Die Bestimmung des dem Balkenende benachbarten Festpunktes kann bei elastischer Einspannung wie in Abb. 19 a erfolgen. Man zieht vom Endauflager eine unter

•    (40)

CC - Kv 8a

ansteigende Gerade, deren Schnittpunkt mit der linkssteigenden Diagonale in der ersten Festlinie liegt. Dabei ist mit dem Winkel genau so wie mit jenem der Gleichung 38 zu verfahren.

y) Bestimmung der Festpunkte K und der Übergangszahlen f.iir.

Um den Festpunkt K' links neben der Stütze 2 im Felde V festzulegen, zieht man vom Auflager 2 aus eine unter a = Kv yS2 (Gl. 38, genau wie beim Festpunkt J) nach rechts hin ansteigende Gerade bis zum Schnittpunkt 03 mit der Auflagerlotrechten 3 (Abb. 20). Hierauf verfährt man sinngemäß wie bei

/t

ZOL-I

•V

cO

der Bestimmung von .7, indem man in der Verlängerung von Oj K auf der Verbindungslinie von Kl nach dem Auflager 2 den Punkt C:i' bestimmt und diesen mit dem Auflager 3 verbindet. Dadurch ergibt sich der Teilpunkt Ii₂ und damit eine weitere Linie, welche die Festlinie im Felde /' unmittelbar angibt.

KK,

Für die Übergangszahlen zur Verkleinerung der von links nach rechts überschreitenden Momente gilt

(4i)

f.ijr

KKX

Zweckmäßiger ist die Anwendung der zeichnerischen Konstruktion (S. 28). Sobald die elastischen Stützenwiderstände verschwinden und der Balken frei aufliegt, kommt die Bestimmung der Teilpunkte auf den Festlinien in Wegfall ; die Konstruktion nimmt dann eine besonders einfache Form an (Abb. 65).

ö) Beweis.

Auf Grund der Abb. 21 schreiben wir das Verhältnis

« Za-Zb-T-tyl

Zb

welches sich aus den Linienzügen im Felde l leicht herauslesen läßt.

an,

den gültigen Werten (Gl. 36)

Mit

za — Kv a l und zb = Kv ß l

ergibt sich daraus

ßj

Kv

•r

PT

'S >

öT ~"t »

-Oü'l-

ft

za

kl

CSI

Abb. 21.

Da sich der Festpunktabstand nach (Gl. 34)

_Iß

ci —----

a + Vrl Ya'

berechnet, und dieser Ausdruck mit obigem bis auf das zweite Glied im Nenner übereinstimmt, ist nur noch nachzuweisen, daß

Kr

-f-h'l Ya ■

Es ist, wie in Abb. 21 ersichtlich, zß = 0)1' zß — (0) — zß = Kv «' /' zß = I\v ß' l'

sowie (Gl. 36)

O)') (l' — a )

oder kürzer (Gl. 34)

o) = KP ya'.

Beachtet man, daß die beiden Winkel 0/ miteinander übereinstimmen *) (Abb. 21),. dann kann man das Verhältnis

/

zsa

r j;

J' .//

anschreiben, wobei (Gl. 40)

zsa —l'a = Kv yS2V und co' = Kvya'.

Durch Verbinden ergibt sich als Beweis für die Übereinstimmung der Gleichungen 34 und 39

= Uri-

und daraus

io' = Kv (a —ß'

l' — a

7's 2

j' //    yS2-\-ya'

Da aber ferner

J' J₂'

yj

10

= Url

so ist auch

J'

*P = Hfl M = Uri Kv yä

oder

Kr

- f-lrl ya >

was noch zu beweisen war.

Andererseits geht hieraus noch hervor, daß die unter 0/ und xp gegen die Wagrechte geneigten Geraden den Auflagertangenten an die elastische Linie des betreffenden Balkens entsprechen, denn es ist

Kv yd = 0/ und Kv {urj yä = Kv ea = xp.

Dadurch ergibt sich auch die Richtigkeit der Konstruktion zur Bestimmung der Festpunkte nächst den Endauflagern bei elastischer Einspannung.

7. Die Festpunkte beim unendlich langen Rahmen.

Sind bei einem Rahmen die Stützen in gleichen Entfernungen angeordnet und dabei von gleicher Elastizität, dann müssen die Festpunktabstände in den Mittelfeldern untereinander gleich sein. Es ergibt sich dafür nach den Gleichungen 34, durch eine einzige Beziehung ausgedrückt,

p- & -*■

Vs

7w/,

vA//

Abb. 22.

Iß

ys(a — ß

ys + a ~~ ß

woraus

H-D

4 ß (ys. 4- « — ß)

«(2 ys + °0

•    •    (4Ü

’) 00' (l' —- ß ) entspricht auf der Festlinie beide Male ein und derselben Strecke.

Die Übergangszahlen bestimmen sich nach

[■Irl — [* Ir-

Ys

(42a)

Ys a — ß

und sind für alle Mittelstützen gleich.

Diese Ausdrücke lauten bei beständigem Trägheitsmoment

■    •    (43)

8(3YsE Jm -J- l)

9 (4 Ys E Jm ü⁻1)

[lrl — [llr —

6 Ys E J)U

s r.EjM+i (3

(43a)

Verschwinden die Stützenwiderstände, dann folgt mit ys = co für den durchlaufenden Balken

(44)'

ein Ausdruck, der bei durchweg gleichem Trägheitsmoment in

übergeht.

T-Li

= 0,2113 l

(44a)

8. Die Bestimmung der Momente für lotrechte Lasten.

Wenn die Festpunkte und die Übergangszahlen bekannt sind , können die Momente bestimmt werden. Dabei werden wir zunächst noch annehmen, daß die Stützenköpfe keine seitlichen Bewegungen ausführen, und vorläufig nur lotrecht wirkende Lasten berücksichtigen.

Zu diesem Zwecke knüpfen wir an die Gleichungen 7 an. Diese lauten

Sa = ~

a aao

b CCfro

Sb = —

a) Gleichmäßig verteilte Last.

Bezeichnet q die Last für die Längeneinheit, und erstreckt sich diese gleichmäßig über die ganze Öffnung, dann entspricht dieser Belastungsart eine symmetrische parabolische Momentenfläche, und an den Auflagern liegen die Winkel (Gl. io)

&ao — ®bo —

1    C M₀ dx

2    J EJX

M₀ =

vor, wobei

Mit (Gl. 9)

x x dx

EJX

folgt hiernach in Verbindung mit den Gleichungen 7

x x dx

Sa = —

EJX

xx dx

E Jx

x x d x

(45)

s„ = —

E Jx

f/

x x dx

EJX

Wie hieraus hervorgeht, hat der Verlauf des Trägheitsmoments auf die Werte von — Sa : a und —    : b keinen Einfluß. Es kann daher, wenn die Festpunkte

bestimmt sind, zur Ermittlung der Schlußlinie die bekannte graphische Konstruktion von Prof. W. Ritter (Graphische Statik, Bd. III) Verwendung finden,

1 M I 1 i ! 1 I 1 I 1 1 i 1 n I 1 ! 1 1 ! ! iTTT

sin a=£Lrl

=^lr

fU

./

\\i

'/~^a

v_MKy,

r

2L_

ßa/kenmomente

1/

StützenmomerrTe

Abb. 23.

wonach man den Scheitel der Momentenparabel mit den Auflagern verbindet, und die Schlußlinie durch die sich dabei auf den Festlinien ergebende Schnittpunkte legt. Das Verfahren ist genau dasselbe wie beim gewöhnlichen durchlaufenden Balken.

Der einzige Unterschied, der bei Bestimmung der Momente in den unbelasteten Feldern in Frage kommt, liegt in dem Umstand, daß sich diese beim Überschreiten der Stützen um einen gewissen auf die letzteren entfallenden Teil verkleinern. Dabei gehen die Momentenlinien aber genau wie bei gewöhnlichen Verhältnissen rechts vom belasteten Feld durch alle W-Punkte, und links davon durch alle ,/-Punkte.

Um die Momentenverkleinerung festzustellen, hat man die Übergangszahlen. Die dabei erforderlichen Multiplikationen können, wie in Abb. 23 ersichtlich, auch

zeichnerisch erfolgen, soferne man deren Erledigung auf dem Rechenschieber nicht vorzieht.

Die graphische Konstruktion ist indes so zu verstehen, daß das Lot auf eine schräge Gerade , gefällt von der Auflagerlotrechten in Höhe des nicht verkleinerten Moments, das verkleinerte Moment unmittelbar angibt (Abb. 23). Der Sinus des von der Auflagerlotrechten und der schrägen Geraden eingeschlossenen Winkels hat demnach gleich der Übergangszahl zu sein.

Es ergeben sich an jeder Stütze zwei Linien, entsprechend dem von rechts nach links, und dem von links nach rechts fortschreitenden Moment. (In Abb. 23 wurde der Übersicht halber jeweils nur eine Linie eingetragen.)

Außer der Bestimmung der Schrägen auf Grund der Übergangszahlen ist es noch möglich, deren Neigung rein graphisch festzulegen, sofern man sich auch bei der Festpunktbestimmung für den graphischen Weg entschließt.

In der Verlängerung der Verbindungslinie vom Auflager 2 nach Jx bestimmt man den Punkt Ax auf der Auflagerlotrechten 1. Sodann schlägt man um den von man der Konstruktion für die Festpunkte her bekannten Punkt Ox einen das Auflager 1 berührenden Kreis, und legt daran von Ax aus eine Tangente (Abb. 24). Diese gibt die Richtung der Linie an, die zur Verkleinerung der die Stütze 2 von rechts nach links überschreitenden Momente dient; sie kann ohne weiteres nach dorthin verschoben werden x).

0-,V

\i

■2.

3\a,

f-

‘Sr

_y

//

kl ,..-S

Abb. 24.

In gleicher Weise ergibt sich auch die Richtung der /</r-Linie für das Auflager 2, indem man die beschriebene Konstruktion sinngemäß auf der Auflagerlotrechten 3 durchführt.

Schließlich sei noch daraufhingewiesen, daß die Konstruktion für die'//rj-Linie immer auf der Lotrechten links, und die Konstruktion der /</,.-Linie immer auf der Lotrechten links neben dem betrachteten Auflager zu erfolgen hat.

Die Momentenlinien der Stützen bestehen jeweils aus einer Geraden. Sie gehen, da Verschiebungen der Stützenköpfe ausgeschlossen wurden, durch die unteren Festpunkte und sind somit durch das Moment am Stützenkopf eindeutig bestimmt. Das letztere entspricht dem Unterschied der Balkenmomente, unmittelbar rechts und links daneben.

Hinsichtlich des Vorzeichens sei hier ein für allemal bestimmt, daß die Stützenmomente als positiv anzusehen sind, wenn der Krümmungsradius der elastischen Linie nach links zeigt.

>) Wie in Abb. 24 ersichtlich, ist Ä\0\—VKv{ys —(— y«#). Das Lot von Ol auf die schräge Gerade beträgt l'Kvys• Infolgedessen entspricht dem von der Schrägen und der Auflagerlotrechten eingeschlossenen Winkel sin a — ys: (ys + ya'} = f^rl- Dies ist Bedingung.

Erstreckt sich die Belastung über mehrere Felder, dann ermittelt man in der beschriebenen Weise die Momente für die Belastung eines jeden einzelnen Feldes gesondert, und addiert zum Schluß die Momentenflächen. Es ist dies genau derselbe Vorgang wie beim gewöhnlichen durchlaufenden Balken.

b) Einzellasten.

Es liegen hier wesentlich verwickeltere Verhältnisse vor, wie bei gleichmäßig verteilter Last, da sich die Lage der Schlußlinie nicht nur mit der Art der Belastung, sondern auch noch mit dem Verlaufe des Trägheitsmomentes ändert.

Stellt man Untersuchungen an, welche darauf hinzielen, den Einfluß der Querschnittänderung festzustellen, so ergibt sich dabei, daß dieser zwar von untergeordneter Natur ist, sich aber dennoch gewisse Geltung verschafft, so daß die Annahme gleichbleibenden Trägheitsmomentes mit einigermaßen scharfen Ergebnissen nicht verträglich erscheint. Demgegenüber ist es aber als gerechtfertigt anzusehen , wenn man wie in folgendem die Querschnittänderung näherungsweise berücksichtigt.

Wir schalten die den Gesetzen II und III entsprechenden Balkenformen aus unseren Untersuchungen aus, und fassen nur solche Balken ins Auge, die hinsichtlich der Querschnittänderung unter das Gesetz I fallen (Abb. 11). Dasselbe enthält drei beliebig Veränderliche (n, X und v), mit denen eine genügende Übereinstimmung mit den jeweils vorliegenden Verhältnissen erzielt werden kann.

Das Gesetz lautet (Gl. 17)

= !—(!— ”)V -

Bei Aufstellung der betreffenden Gleichungen sind drei verschiedene Belastungsstadien zu betrachten und zu unterscheiden , ob die Einzellast links oder rechts in dem veränderlichen , oder in dem übrigen Balkenteil von beständigem Querschnitt angreift. Infolgedessen wird die Aufgabe etwas verwickelt.

Zur Bestimmung des Winkels aa0 dient die Gleichung (Gl. 10)

Jm

Jx

&ao-

rl

M₀ x äx

worin zu setzen ist:

wenn

M₀ = P— x

x> z,

M₀ = P

X — P(x — z).

Es folgt danach wegen (Gl. 13)

kJ

x x dx

Jx

ß,

&ao

= p^-pwf

(x — z) x dx

Jx

Mit dem gültigen Gesetz (Gl. 17) wird das Integral¹)

(x — z) x d x

J»l f

X YD

Jx

dx.

]) Es wurde davon Gebrauch gemacht, daß Grenzen x mit x' vertauschen kann.

man

bei entsprechender Änderung der

Dasselbe ist von o bis z auszudehnen, wenn P im rechten veränderlichen Balkenteil angreift, und von o bis X l bei P im mittleren beständigen Teil. Liegt jedoch die Last links davon, so ist noch

XI

hinzuzufügen.

Ähnlich gewinnt man auch den Winkel abo, und es folgen dann in Verbindung mit den Gleichungen 7 die wichtigen Beziehungen

Th

jJJ

Sa = — P a

Sb = — Pb

worin :

is

z-£l

>-saL

-A

\z

sma=tuir

P_fU

JO

' J7 S

J

4-' Ba/kenmomente

Stützenmomente

Abb. 25.

[n'(i+r)+r?(i

r — (i —n) c°a

(fa

L)1

St'

(I+Ö + I³(l

q>b

)]

•    •    (46)

bei P im linken veränderlichen Teil

C°a

■)+r(> + r)

6 X v !•

r;

6r

»> -j- I

)] • (47a)

cj = 1

bei P im mittleren beständigen Teil

X²v

Xv (v + 2) (p -j- 3)

I'²

p-j-2

0 X'²V / = “TT“ V

s x

'/r.

(47b)

v -f 2

’Jr/

bei P im rechten veränderlichen Teil 6 <5V

C°n = I

P'(y+ 2) (v + 3)

6 Äv

(47 c)

Dabei ist (Gl. 19) 9>6 =

6 fv+²

// (v -(- 2) V r¹ —(— 1

Al

'frt

3 )] ,

Die Kurven der Abb. 26 geben über den Einfluß der Querschnittänderung Aufschluß. Sie stellen die Werte von Si : b dar und können auch als Biegungslinien aufgefaßt werden, entsprechend einem Moment Mj, am linken Auflager.

Die obere Kurve soll lediglich die Abweichung der Werte S/j : b von denjenigen bei beständigem Querschnitt genauer veranschaulichen.

o-

v \s \e \s'

2' -r

0'

Da sich im Falle der Belastung durch gleichmäßig verteilte Last die Querschnittänderung auf die Werte von Sa : a und Sf, : b keinen Eingang verschaffen kann, so ist es klar, daß die einzelnen Kurven (Abb. 26) mit der Wagrechten gleich große Flächen einschließen. Demgegenüber müssen die Flächen der oberen Kurve ober-

*.7l=\7.    ;    \

i----|-71=^1, Jrfy=2.

//

V /A

0,3-

0,9

Abb. 26.

I Ys

halb und unterhalb der Wagrechten unter sich gleich sein.

Mit n = 1 gehen die Ausdrücke für die Schlußliniensenkung in

über.

kannte graphische Konstruktion.

Ä„ = — Pa ir (■+!’) I

Sb = —Pb^'(: + f) /

(46a)

Sie bilden alsdann die Grundlage für die in Abb. 25 angedeutete, be-

Ti-, A.=j/    v=2

V''»'

genau [nach Tab.) •    ¹    ’    •    ’ .

näherungsweise Abb. 27.

Welchen Fehler man bei deren Verwendung bei veränderlichem Trägheitsmoment begeht, zeigt sich an Hand der Abb. 27. Es sind dort die Einflußlinien

1

für einen durchlaufenden Balken, dessen Form den Werten n = —

und v — 2 entspricht, einmal genau , und das andere Mal näherungsweise dargestellt. Dabei zeigt sich, daß die letzteren sehr eigentümlich verlaufen, und sich stellenweise zwängen.

Tabelle der Werte —

St

und--— für P = 1.

b

Sa

= obere Zahl

Berechnet nach den Gleichungen 46 und 47

= untere Zahl

n =

•Tm

Ja .

V=2.

Gerade Voute (Gesetz I 4 Abb. 12) Lastpunkt

v = 1.

Parabolische Voute (Gesetz III; Abb. 14) Lastpunkt 3    [    4    |    5    |

konst. Tr. M.

1,0

0,146; 0,255    0,328    0,370 0,385 0,375    0,146 ; 0,255    0,328 j 0,370    0,385 ■ 0,375.

0,083 ; 0,162    0,234    0,296 0,344 j 0,375    0,083 ! 0,162    0,234 0,296    0,344 0,375

0,20

0,117 0,220 0,304 0,365 0,401 0,402 0,123 0,230 0,312 0.368 0,396 0,393 0,083 0,165 0,242 0,313 0,369 0,402 0,083 0,164 °,²4I 0,308 0,361 0,393

0,10

0,110 0,212    0,298 0,364 0,405    0,408 0,119    0,225    o,3°9 0,368    0,398    0,396

0,083 0,166    0,244 0,318 0,375    °,4°8 0,083    0,165    0,242 0,311    0,364    0,396

0,05

0,106 0,206    0,294    0,364    0.407 0,412    0,117    0,223    0,308 0,368 0,399    0,398

0,084 0,166    0,246    0,319    0,379 0,412    0,083    0,165    0,243 0,312(0,366    0,398

0,20

0,117 I 0,223 0,083 I 0,165

0,310 0,37010,398 0,395 0,125 0,23410,317 0,371 0,243 0,312 0,364 0,395 0,083 0,164,0,240 0,307

o,394 0,388 0,3,8 0,388

rX = '/₃

0,10

0,1 12 ( 0,218 0,083 0,166

0,307 0,370 0,244 0,315

0,401 0,398 0,122 0,230 0,368 0,398 0,083 0,165

0,315 0,371 0,241 0,309

o,395 0,389 0,360 0,389

l = Voutenlänge.)

i=v.

0,05

0,20

0,10

0,05

0,20

0,305 0,370 0,245 0,316

0,122 0,232(0,318 0,372 0,083 0,165 | 0,242 0,308

0,118 0,229(0,317 0,372 0,395 0,083 0,165 0,243 0,309 0,360

0,110 0,084

0,215

o,x66

0,402 i 0,400 0,120 1 0,229 0,370(0,400 0,083 0,165

0,388 0,129 0,240 0,322 0,388 0,083 0,164 0,239

o,394

0,358

0,390 0,127 0,390 0,083

0,314 0,371 0,396 0,391 0,242 0,309 0,361 0,39 t

0,371 0,391 0,384 0,304 0,353 0,384

0,238 0,321 0,165 0,240

o,37i 0,392 0,305 0,354

0,385

0,385

0,117 0,227    0,316    0,372 0,398    0,391    0,126    0,237    0,321

0,084 0,166    0,243    0,310 0,361    0,391    0,083    0,165    0,240

°,37² 0,392 0,305 0,355

0,385

0,385

0,126 0,239    0,322    0,372 0,391    0,384 0,132    0,245    0,324    0,371    0,389 0,381

0,083 0,165    0,240    0,304 0,354    0,384 0,083    0,164    0,238    0,302    0,350 0,381

o V 010 0,124 0,237 0,321 0,372 0,392 0,385 0,131 0,243 0,324 0,371 0,390 0,382

>    ’    0,083 0,165 0,241 0,306 0,355 0,385 0,083 0,164 0,239 0,302 0,351 0,382

________ _ ________________

0,05

0,20

Va

0,130 0,244 0,324 0,371 0,390 0,083 0,164 0,239 0,302 0,351

0,382

0,382

0,10

0,128 0,243 0,324 0,371 0,083 0,165 0,239 0,303

o,39i o,^ 5 2

0,382

0,382

0,134 0,247 0,083 °,i64

0,325 0,371 0,238 0,301

0,389 0,380 0,349 0,380

0,05

0,20

0,127 0,242 0,323 0,084 0,165 0,240

0,249 0,326 0,164 0,237

o,i34

0,083

0,572 0,391 0,304 0,352

0,371 | 0,388 0,300 0,348

0,383

0,383

o,379

o,379

0,133 0,246 0,083 °,i64

0,325 0,371 0,238 0,301

o,i39 0,251 0,327 0,371 0,083 0,163 0,236 0,299

0,389 j 0,380 o,35o | 0,380

0,387 0,378 o,347 0,378

0,10

0,132

0,083

0,248; 0,326 0,164 i 0,237

0,371

0,300

0,388

0.349

0,379

0,379

0,13810,250 0,083 0,163

0,326 0,371 0,236 0,299

0,387

0,347

0,378

0,378

0,05

0,131

0,083

0,2481 0,326 i 0,371 0,388 0,380 0,16410,23810,301 0,34910,380

0,138

0,083

0,250

0,163

0,326 0,371 0,236 0,299

0,38710,378 o,347J o,378

Zur Erleichterung der genauen Schlußlinienbestiinmung dient die Tabelle Seite 32, aus ^ der sich in Fällen der Praxis die "

Werte von — Sa : a und — S,b : b entnehmen lassen. Für die von der Balkenform abhängige Zahl v ist darin v—i und v = 2 enthalten; es ist dann die Annahme zulässig, daß v = 1 einer parabolischen (Gesetz III), und v = 2 einer geraden Balkenuntersicht (Gesetz II) entspricht.

Bei Anwendung der Tabelle erhält man die Schlußlinie ebenso rasch , wie nach der bekannten graphischen Konstruktion. Um die Multiplikationen mit den Festpunktabständen zu vermeiden, kann man auch, wenn man deren Erledigung auf dem Rechenschieber nicht vorzieht, die Tabellenwerte mit einer runden Zahl (etwa 10) multiplizieren und auf einer Lotrechten in einem solchen Abstand vom Auflager auftragen, daß sich alsdann nach Art der Kreuzlinien verfahren läßt.

Schließlich sei noch auf die genaue graphische Schlußlinienbestimmung von Prof.W.Ritter(Graph. *

Statik, Bd. III) hingewie- • sen, und zu deren Erläuterung Abb. 29 gebracht. Danach hat man entsprechend dem Zustand Ma = 1 die Biegungslinie zu bestimmen (vergl. Abb. 6, S. 5) und ^ erhält dann, wie ersieht- sa-lieh, die Kreuzlinienabschnitte ta und tb, deren Verwertung in der be-kanntenWeise die Schlußlinie ergibt¹).

Bei unsymmetrischem Balken ist außerdem noch die Biegungslinie für Mb=i

erforderlich, auf Grund deren dann ta zu bestimmen ist.

Die Verhältnisse bei den Momenten in den unbelasteten Feldern, wie auch beim Übergang derselben über die Stützen, sind genau dieselben wie beim vorher behandelten Belastungsfall.

a.

Kl

]-Sa.

P~1

Kl

V/.

Abb. 28.

3’ Z' 1'

O'

P-i

z’~ 4'z--

,8    9    10    12

ES

m.

sc'-

\B/e<jurrgs/im'e fM< = ifße/astt/ng    ) !

LI I 1 I

--1

Momente

ftfrt

Abb. 29.

ZaZb

c) Streckenbelastung.

Der Einfachheit halber sei hier beständiges Trägheitsmoment angenommen. Die Ausdrücke zur Bestimmung der Schlußliniensenkung gewinnt man mit Hilfe der Gleichungen 46a durch Integration, indem man sich die Belastung aus lauter Einzellasten von der Größe q dx zusammengesetzt denkt.

J) Siehe auch § 13 unter 1. Es wurde dort neben einer näheren Beschreibung noch die Richtigkeit der Konstruktion nachgewiesen.

Strassner, Neuere Methoden.

Es entsteht

£« = —

c²

Sb = — qbc$

qac£' [j; (i + f')

₄/²

.    .    (48)

Außerdem ist es noch möglich, .die Schlußlinie zeichnerisch zu bestimmen. Dabei kommt der folgende Vorgang in Betracht*).

c von jedem

Man denkt sich an Stelle der Streckenlast eine Einzellast von genau derselben Größe und bestimmt dafür in der bekannten Weise die Kreuzlinienabschnitte. Nachdem diese bekannt sind, zieht man, wie in Abb. 30, in Auflager eine Lotrechte, und legt durch den Schnittpunkt derselben mit den Momentengeraden (C₁ und C₂) nach den Auflagerlotrechten daneben Wagrechte. Damit liegen die mit 1 und 2 bezeichneten schrägen Geraden fest, die in Höhe der betreffenden Schnittpunkte von einer Auflagerlotrechten zum Auflager gegenüber gehen.

N\

•) '

bAA ₇

V-- rr--\

-i'i

/r

2,

% ₂

\«y/2cJ

*r-b

‘Jrfr

TC-l l rr

4,-

Abb. 30.

Jetzt zieht man von jeder Auflagerlotrechten in Höhe der zuerst bestimmten Kreuzlinienabschnitte eine Wagrechte bis zu der Lotrechten in ¹/₂ c davon und legt durch die sich ergebenden Schnittpunkte (JD₁ und Z>₂) die kurzen mit den Zahlen 1 und 2 versehenen Linien, die jeweils zu einer oberen Linie mit der gleichen Zahl parallel laufen. Damit sind die wahren Kreuzlinienabschnitte gegeben.

Schließlich zieht man noch die Kreuzlinien und erhält damit auf jeder Festlinie einen Schnittpunkt, durch den die Schlußlinie hindurch geht.

Um von der Richtigkeit dieser Konstruktion zu überzeugen, geben wir den Gleichungen 48 die Form

ac³§

₄/2 bc³i-4 l² ’

und zielen darauf hin, nur die zweiten Glieder zu betrachten, da die ersten offenbar diejenigen Festlinienabschnitte bedeuten, die bei der als Einzellast gedachten Auflast entstehen (Gl. 46a), und deren Ermittlung als bekannt vorausgesetzt werden darf.

sa = — qac gg’ (1 + g') + Q

Sb= — qbc (1 -j- I) -f q

Vom Verfasser, „Kreuzlinienabschnitte“. Beton u. Eisen 1915, Heft 19/20.

Sie liefern für die Momente die Ausdrücke

a₀ (a + Ys) « (a + ² Ys)

Mt= —

CCqYs

a(a 4- 2 ys)

Mk = +

Die Momentengerade nach dem linken Auflager, deren Richtung durch die Höhe des Momentendreiecks

’C £' b b )

und durch die Schwerlinie der Auflast eindeutig bestimmt ist, schneidet auf der in ¹j/₂ c vom Auflager liegenden Lotrechten die Strecke

M = q cl

Vs c

ir.-

ab. Für den Neigungswinkel der mit der Zahl 2 versehenen Linie findet man daher

c²£'

tan a= — = q

und es folgt für die Strecke, um die der wahre Kreuzlinienabschnitt von jenem für die als Einzellast gedachte Auflast verschieden ist

c³ '

J ti = ¹L c tan a = q-— •

4 l

Der entsprechende Festlinienabschnitt beträgt

ac³£'

*TT-

a

yi. Sa — -J t(j —— —

er re

Z>c³^

Da Übereinstimmung mit den zweiten Gliedern der gültigen Gleichung vorliegt, ist die Konstruktion richtig.

Ebenso folgt

4Bt =

9. Der Rahmen mit unendlich vielen Stützen.

Handelt es sich um die Berechnung von Rahmentragwerken mit mehreren gleichen -Öffnungen und Stützen von gleicher Elastizität, so löst man diese Aufgabe häufig unter der Annahme eines unendlich langen Rahmens. Dieser Weg scheint besonders zweckmäßig, wenn einfache Belastungsfälle vorliegen, für die es gelingt, kurze Ausdrücke zur unmittelbaren Berechnung der statischen Größen herzuleiten.

Wir setzen nun voraus, daß jedes zweite Feld eines solchen Rahmens beliebig, jedoch symmetrisch belastet ist, betrachten demnach einen Zustand, der den Grenzwerten der Balken- und

^\Pi

■7¹

Stützenmomente entspricht.

T~l

Die Bedingungsgleichungen betreffen die Winkel an einem Auf-

7.

’Z,'?/.

\M*

MWtm

lager und lauten

% = aa Ml a t — — M₂ a % =

4*

— {Ml — M₂) ys.

Abb. 31.

■CC₀

~~ a -r ² Ys

a₀ ist darin der Winkel an die Biegungslinie beim frei aufgelagerten Balken infolge der Belastung, a ist durch die erste der Gleichungen 13 gegeben, und ys berechnet sich nach Gleichung 29 oder 33. In der letzten Gleichung gilt -j- für das Stützenkopfmoment rechts vom belasteten Feld, und — für jenes links davon.

Mit einer ziemlich belanglosen Ungenauigkeit, die zudem noch bei gleichmäßig verteilter Last verschwindet und bei beständigem Trägheitsmoment überhaupt nicht in Frage kommt, hat man für a₀ den Ausdruck

a₀

3 ßF₀

wo Fo die Momentenfläche beim frei aufgelagerten Balken bedeutet.

F₀

L Px (l — x)

(49)

Damit kann man den Gleichungen für die Momente die Form geben

M-, =

3 F₀ _ ß (a -f- ys) a(a-f- 2 ys)

■    ■    (5°)

3 F₀

« (a + ² ys)

Mjc= +

a-\- 2 ys

Für ß gilt die zweite von den Gleichungen 13.

Verschwinden die Stützenwiderstände, so entsteht der durchlaufende Balken, wofür mit ys =■ co

M₁ = M₂ = —

3 F₀ß

la

■    •    (5oa).

folgt. Dagegen ergibt sich beim fest eingespannten Balken mit ys = o

₃Fl

Mx = + Mf. = —

und M₂ = o .

.    .    (50b)

Bei symmetrisch angeordneter Last über allen Feldern, muß die elastische Linie des Balkens über den Stützen wagrecht verlaufen, und es liegen demnach die Verhältnisse wie beim fest eingespannten Balken. Demzufolge können die letzten Gleichungen auch noch zur Berücksichtigung von Eigenlast, soferne diese für alle Felder gleich ist, Verwendung finden.

Meistens besteht jedoch die Belastung aus ständiger und aus zufälliger Last zugleich. Wir geben daher noch einigen Ausführungen Raum, mit dem Ziel der unmittelbaren Bestimmung der diesem Zustand entsprechenden Momente.

Die Momentenfläche des Balkens auf zwei Stützen sei für ständige Last F0(J, jene für zutällige Last Fop. Mog und Mop bezeichnen die entsprechenden Momente in Balken mitte.

Es wird dann

3ß

la

\F0fj + Fop —

— 2 y₈

d-fmin - 31og

3ß

ys

la

a-\- ² ys

max :—- -j-min

3 Fop

a-j-2 ys

Bei beständigem Trägheitsmoment nehmen diese Ausdrücke wegen

6 EJm

und ß =

die Form an

Für (pa und cp^ gelten die Tabellen auf S. 15 und 17, sowie auch die Gl. 19. Bei durchweg gleichem Trägheitsmoment folgt (cpa = cpb = 1)

M —

iUmax-

(ß -b ² P)

• (53)

24

(9 — p)

Verwickeltere Belastungsfälle werden am besten mit Hilfe der Festpunkte und. der Übergangszahlen berücksichtigt, die sich für den Rahmen auf unendlich vielen Stützen nach den Gleichungen 42 bis 44 leicht bestimmen lassen.

v»y*

^max — Mog ~j“ Mop

l |' Fog “f“ F'op

l -j- 4 EJm ys

37min M₀g

l \Fo₉ f~ Fop

2 EJmys

•    ■    (5¹ a)

= ± F0P

I ~j“~ 4 F Jm ys

Wir geben nun noch die Gleichungen für den durchlaufenden Balken unter gleichmäßig verteilter Last (g = Eigenlast, p = zufällige Last — für die Längeneinheit), die sich besonders zur raschen Berechnung von Voutenplatten als zweckmäßig erweisen dürften. (Es ist ys = go)

min

M =

•‘“max-

24

SL(2

<pa

s' + p)]

z²

24

Ä₍₂

(pa

Z7 + Z>)]

(52)

Es wird noch darauf hingewiesen, daß man den vorbeschriebenen Weg auch beim mehrstöckigen Rahmen noch in Aussicht nehmen kann, soferne man in den betreffenden Gleichungen für ys einen Wert einführt, der den Verhältnissen bei der durchlaufenden Stütze Rechnung trägt. Dies ist der Fall, wenn man diesen Winkel nach (Gl. 137)

ys+ys'’

berechnet, und dabei unter ys wie vor dem Winkel am Kopf der Stütze unterhalb, und unter ys' jenen am Fuß der Stütze oberhalb des Balkens (Gl. 31) versteht. Wie diese Gleichung entsteht, kann bei den offiziellen Ausführungen für den Stockwerkrahmen verfolgt werden. Auf jeden Fall geht hieraus hervor, daß bei einfachen Verhältnissen eine bequeme rechnerische Behandlung des Stockwerkrahmens noch möglich ist.

10. Die Quer- und Normalkräfte.

Wie die Bestimmung der Momente für den mehrfach gestützten Rahmen unter enger Anlehnung an das zur Behandlung kontinuierlicher Balken gebräuchliche Verfahren erfolgen kann, so läßt sich auch die Ermittlung der Quer- und Auflagerkräfte nach denselben Gesichtspunkten durchführen. Das Wesentliche sind dabei lediglich die Momente , oder bei der graphischen Untersuchung die Momenten-linien und die Schlußlinien , die, wenn sie einmal beim Rahmen bekannt sind, in der üblichen Weise auch hier noch Verwendung finden können.

Im Grunde genommen liegt hier die gleiche Aufgabe vor wie beim Balken; es handelt sich um die Bestimmung der Quer- und Auflagerkräfte bei gegebener Belastung und gegebenen Einspannmomenten. Da die Querkräfte zur Normalkraft immer senkrecht gerichtet sind, dasselbe aber auch bei den Stützenachsen in bezug auf die Balkenachse der Fall ist, sind die Querkräfte im Balken zur Berechnung

Die Normalkraft in einer Stütze findet man als Auflagerkraft vom Balken, indem man zu der Querkraft unmittelbar rechts neben der Stütze jene links davon mit umgekehrtem Vorzeichen addiert.

Die Bestimmung der Querkraftlinien und der Einflußlinien für die Auflagerkräfte (Normalkräfte in den Stützen) kann in der bekannten Weise unter Zugrundelegung der Momentenlinien erfolgen.

Die Querkraft in den Stützen berechnet sich nach

•    (55)

44 Mu

°)

der Normalkraft in den Stützen, und umgekehrt auch die Querkräfte in den Stützen zur Berechnung der Normalkraft im Balken maßgebend.

Ist ein Balken durch die Momente Ma und Mb eingespannt, und ist Q₀ dessen Querkraft bei freier Auflagerung, dann entsteht nunmehr

Ma — Mb

Q=Q₀ —

(54)

Elin positiver Wert hiervon besagt, daß die Querkraft bestrebt ist, einen Querschnitt links von jenem rechts davon nach oben abzuscheren. Es folgt danach für die Querkräfte am Auflager

Qa — Qao

Ma — Mh

Qb — Qbo

Ma — Mh

■    ■    (54a)

Liegt dabei keine seitliche Belastung vor, dann entsteht in allen Schnitten (Q₀

44

oder

44

Q=-~

(55a)

wo z den Abstand des Momentennullpunktes vom Stützenkopf bedeutet. Dem Bestreben eines Querschnitts, sich von dem darüber nach links abzuscheren, entspricht ein positiver Wert von Q.

N= — 2Q

(56)

Die Querkräfte in den Stützen geben zugleich auch die Normalkraft im Balken an. Es ist

wobei unter das Summenzeichen die Querkräfte der Stützen links von dem betrachteten Balken zu fallen haben. Soferne man das Vorzeichen ändert, gelten jedoch auch die Werte von Q in den Stützen rechts davon. Bei unmittelbarer seitlicher Belastung sind die Querkräfte am Stützenkopf maßgebend.

Anmerkung. Beim Ralimen mit ungleich hohen Stützenköpfen ist in den Gleichungen 54 und 54a unter l die wagrechte Entfernung der Stützpunkte des Balkens zu verstehen. Um die Normalkraft im Balken zu erhalten, hat man die nach den Gleichungen 55 oder 55 a berechnete Werte noch durch den Cosinus des Neigungswinkels der Balkenachse zu dividieren.

11. Bemerkungen.

Stellt man das statische Verhalten der Balken bei den durchlaufenden Rahmen demjenigen des gewöhnlichen kontinuierlichen Balkens gegenüber, dann erkennt man, daß die Stützen in der Hauptsache eine Entlastung des Balkens hinsichtlich der positiven Biegungsmomente zur Folge haben. Es scheint deshalb die Berücksichtigung der Stützenwiderstände besonders angebracht, wenn die verfügbare Konstruktionshöhe beschränkt ist. In demselben günstigen Sinn wie die Stützen, äußert sich dabei auch die Querschnittzunahme des Balkens.

Hinsichtlich der negativen Biegungsmomente kann eine wesentliche Abweichung, nach irgend einer Seite, gegenüber den Verhältnissen beim gewöhnlichen durchlaufenden Balken nicht festgestellt werden, soferne man dabei von den Momenten nächst einer Endstiitze absieht.

Mit zunehmender Steifigkeit werden die Stützen zur Aufnahme von Biegungsmomenten empfänglicher. Sind sie schlank und biegsam, so ertragen sie Verformungen leichter als solche von großer Starrheit bei entsprechend geringeren Momenten .

Durch seitliche Kräfte erfahren die Stützen oft' außerordentlich hohe Spannungen. Dabei kommt es weniger auf deren Elastizität, als auf deren Höhe und Anzahl an.

Belastungsfälle solcher Art werden wir nun den nachfolgenden Ausführungen zugrunde legen und dabei auch zeigen, wie der Einfluß der Stützenkopfverschiebungen bei lotrechter Belastung noch nachträglich in Rechnung gestellt werden kann. In derselben Weise stellen wir auch noch die nachträgliche Berücksichtigung des Einflusses der Normalkräfte dar, und bieten somit die Möglichkeit, den Genauigkeitsgrad der Rechnung im Bedarfsfälle beliebig zu steigern.

12. Seitliche Bewegungen der Stützenköpfe.

a) Voruntersuchung.

Ji ₌ XI' — Mk r -I- Xh² su

Am Kopf einer elastisch eingespannten Stütze wirke die wagrechte Kraft X und das Moment 3/* (Abb. 32). Es vollzieht sich alsdann am Stützenkopf eine Verschiebung um

und eine Verdrehung um

x = Xd — Mk a" -f- Xh eu,

wobei

X — Jr (aus — ßs) und X' — a =ha

Für aus und ßs gelten die Gleichungen 25 und 27. Durch Verbinden entsteht

Ji = Xh² (ccus -f- eu — ßs) — Mk h a x= Xh (aus -f- eu) — Mk a".

Indessen empfiehlt es sich aber, den folgenden Weg einzuschlagen und den x=x₀ — Mk ys

auszudrücken, wobei x₀ die Drehung am Stützenkopf infolge der Verschiebung beim Zustand Mk = o, und ys den Winkel für Mk — 1 (Gl. 29 oder 33) bei unverschieblichem Stützenkopf bedeutet. Um x₀ zu ermitteln, setzen wir in obigen Gleichungen Mk = o, und erhalten

41 =r X h² ((Xus ~j~ £u-ßs)

x₀ = Xh (aus -f eu)

"Winkel durch

/ WA

Lt

7/r ^ /

Mk

Mk

//

g/

wonach

Li

h ßs

~MU0

ro

und wegen (S. 17)

Abb. 32.

h ßs

ans “j“

a,

h — a.

Jl

Folglich ist

wobei a den Festpunktabstand vom Stützenfuß bedeutet.

Somit ist die Verdrehung nach

A4 "/s

bestimmbar.

Das Moment am Stützenfuß läßt sich in ähnlicher Weise zu

A4 = AT

uo

— MkT~—

h — a

bestimmen, wobei Muo dem Zustand A4 — o entspricht (Abb. 32, Mom. inf. Versch.), während das zweite Glied den durch das Stützenkopfmoment bedingten Anteil darstellt (Abb. 32, Mom. inf. A4). Man erhält

Muo= — X.h

To

aus 4~ £u

(Ji Ct) (CCUS —J- £u)

hßs - )

oder, da

azli

uo —

(li — a) h ßs

Es ist sonach allgemein Mu =

Jlßs

f A4

•    •    (58)

b) Verschiebung eines einzelnen Stützenkopfes.

Wir nehmen an ein einzelner Stützenkopf verschiebe sich um eine gegebene Strecke z4, und alle übrigen Stützenköpfe bleiben dabei in Ruhe. Ist diese Verschiebung positiv, wenn sie wie in Abb. 33 erfolgt (nach rechts), dann kann für die Verdrehungen an dem betreffenden Stützenkopf bestimmt werden

j'

Ys

i’

k—-5 —*i

i-

R^

Abb. 33.

A4 ;a-

i = — Mb ya t = Mayb Yh •

/-

Danach ergibt der Ausschlagwinkel vom Knotenpunkt

(Ti a) (1 ^

7s , 7s

7b

■    •    (59)

ya' und yb sind die Winkel der Öffnung l' und l. (Gl. 34 u. 35). ys bedeutet die Drehung am Kopf der Stütze 2. (Gl. 29 oder 33.)

Ist der Winkel x bekannt, dann werden die Momente

Mb' =

Ma =

•    •    (6q)

Mk =

— Mbr

f Mk

Mu =

h — a \ h (3s

ßs berechnet sich nach Gleichung 27.

Handelt es sich um eine Stütze am linken Balkenende

so sieht man das

Trägheitsmoment des fehlenden Balkens als unendlich klein, oder die betreffende Öffnung als unendlich groß an. Es folgt dann ya' — oo, und das von diesem Winkel abhängige Glied im Nenner der Gleichung 59 verschwindet. Dagegen ist yb = 00 zu setzen, wenn eine Endsttitze rechts in Frage kommt.

Sind nach diesen Ausführungen die Momente bestimmt, dann gestaltet sich die Ermittlung der Momentenfläche für den ganzen Rahmen sehr einfach. Da keine lotrechten Bewegungen der Stützpunkte vorliegen, müssen die Momentengeraden rechts von der betrachteten Stütze durch alle AT-Punkte, und links davon durch alle J-Punkte gehen. Dabei äußern sich die Stützen in bezug auf die sie überschreitenden Momente genau in derselben Weise wie bei lotrechter Belastung (Seite 27 und 28).

Verschieben sich mehrere Stützenköpfe auf einmal, dann ermittelt man in der beschriebenen Weise den Einfluß einer jeden einzelnen Stützenkopfverschiebung für sich, und addiert zum Schluß die Momentenflächen.

Bei alledem wird voi’ausgesetzt, daß es sich um gegebene Stützenkopfverschiebungen handelt, eine Annahme, die in den meisten Fällen nicht zutrifft. Demzufolge stellt sich noch die Notwendigkeit einer Zwischenrechnung heraus, aut die wir später noch zurückkommen werden.

daß die

In den nächstfolgenden Ausführungen soll bestimmt werden, wie sich eine durchlaufende Stütze verhält; auch sollen noch Gleichungen für die gleichzeitige Berücksichtigung der Verschiebung mehrerer Stützenköpfe hergeleitet werden, ein Weg, der bei einfachen Verhältnissen mitunter von Vorteil ist.

Bei Berücksichtigung der durchlaufenden Stütze nehmen wir an obere Stütze sich jeweils parallel verschiebt, so, daß der Stützenkopf mit dem Stützenfuß in einer Lotrechten bleibt (Abb. 34).

Der Winkel x₀, der infolge der Verschiebung allein bei fehlender oberer Stütze am Stützenkopf entsteht, verringert sich nunmehr um Mys

TÖ = r[o — Mys,

und muß dann mit dem Winkel am Fuß der oberen Stütze (ys' nach Gl. 31)

xß = My^

übereinstimmen. Verbindet man diese Gleichungen, und drückt man noch x₀ durch die gültige Beziehung

aus, dann entsteht

xß =

(Ji a) (i +'|t)

(61)

Mk =

Mu

Anmerkung. Gleichung 63 kann man auch wie folgt ableiten. Man betrachtet den Winkel den der durchlaufende Balken in Verbindung mit der oberen Stütze bildet, wenn daran M = 1 angreift, und bestimmt dafür auf Grund der Anmerkung Seite 63

¹ + — + —

Y Ya Yb Ys

Da nun einerseits die Verdrehung am Stützenkopf durch r = Mk r',

z' —

und andererseits durch

Die Verdrehung der durchlaufenden Stütze beträgt t — xd — M y,

oder, wegen dem in Frage kommenden Moment M—Ma — Mb ,

(Ma— Mb)y, ....    (62)

Mi

(*—°)(i+ 77)

wobei (Gl. 137)

YsYs

7s + 7s

ungen

Außerdem hat man "noch die Beding

rJ

nsfS:

mk

r = — Mb ya'

Ma 7b

Mu 7s

Ma — Mb -}- Mu und ist damit in der Lage, für den Verdrehungswinkel vom Knotenpunkt die Gleichung

Mk =

Mi

(⁶3)

(h — a)(i +

Ys

7s

7s

Ya 'Yb Ys

herzuleiten. Sie unterscheidet sich von Gleichung 59 nur durch das letzte Glied im Nenner.

Für die Momente folgt

Mb= — - T

Abb. 34.

Ma =

7b

Mu =

(⁶4)

7s

h — a ' MkYs

gegeben ist, so gelangt man auch auf diesem Wege zu

Ys

(h — a) 1 +—r +

Ya

Ys Ys

Yb

Ys

d. i. Gleichung 63. Überdies hätte sich dieselbe auch unmittelbar anschreiben lassen, bei der Überlegung, daß in vorliegendem Falle der oberen Stütze genau dieselbe Bedeutung beizumessen ist wie einem Balken, und demnach das letzte Glied im Xenner gegenüber Gleichung 59 noch hinzu-

treten muß. Es gilt demnach allgemein, wenn sich am Stützenkopf beliebig viele Stäbe anschließen

(h    ysZ -yj

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß die Ausführungen für den Stockwerkrahmen ein noch einfacheres auf den Festpunkten beruhendes Verfahren enthalten, welches die obigen der Vollständigkeit halber gebrachten Darlegungen sehr vorteilhaft ersetzt.

c) Gleichzeitige Berücksichtigung der 'Verschiebung mehrerer Stützenköpfe.

Unter Bezugnahme auf die in Abb. 35 eingetragenen Bezeichnungen können für die Verdrehungen die folgenden Beziehungen aufgestellt werden :

Ma (ß — ß ) Mb ß

Stütze 1 :

Mk 7s₂

Stütze 2 :

h₂ — a₂

r₂= — Mb' (a-ß')- Ma'ß' Ma (a — ß) -f⁻ Mb ß

Stütze 3 :

Außerdem ist noch

^2 =

t₃ — — Mb (a — ß) — Ma ß. Mk =

Ma — Mb.

Ermittelt man hieraus die Formeln für Ma und Mb, und bringt diese unter Benutzung der letzten Gleichung mit dem ersten Ausdruck für r₂ in V er-bindung, dann entsteht die nachfolgende wichtige Beziehung, die drei aufeinanderfolgende Winkel enthält, und sich in Bauart und Anwendung an die bekannte Clapeyronsche Dreimomentengleichung anlehnt.

z,

Zi

OL)

V-

As

r3

-Ml

Mk

m;<

Maß

W.

-Mu,

Abb. 35.

(i —[- Ys-i i^a y‘b "j⁻ *a xbj)    7S2 y-b ~f~    7s2 xb

li₂ a₂

•    (⁶5)

wo

y-a

a — 2 ß'

y-b =

ß'

ß'

a («'- 2 ß')

y-ß

■ (66)

y-b =

a(a— 2 ß)

y.a

a -

jene der Öffnung l zu

Unter a und ß' sind darin die Winkel der Öffnung l', und unter a und ß verstehen (Gl. 15). yS2 betrifft den Ausschlagswinkel am Kopf

der Stütze 2. Man hat für jedes Feld die Werte von x.a und xb auszurechnen, und kann dann Gleichung 65 für jede Stütze anschreiben. Sie liefert alle un bekannten Winkel.

Steht die Stütze 2 am linken Balkenende, so setzt man das Trägheitsmoment des Balkens der Öffnung l' gleich Null, und erhält dann xa' = xb = o. Hingegen folgt, wenn die Stütze 2 am Balkenende rechts steht, xa = xb = o.

Nachdem die Winkel bekannt sind, bestimmt man die Momente nach

(67)

t₂ (xa — xb) -f T₃ xh Ma — Mb

f Mk

Mu =

ct₂

a-2 ' ^2 ß*2

Handelt es sich um Konstruktionen mit konstantem Trägheitsmoment, so können nachfolgende Gleichungen verwendet wrerden.

Für die Winkel

wo

*2 (l + ² y*2 (* + *')) + H 7*2* + H Ys₂* = y

¹¹2

x' =

2 EJm

— a₂

. . (68)

• (69)

Für die Momente

•    (7o)

Mb =—    (2 x₂ —rt) ^

Ma = x (2Tä —r₃)i

Für Mk und für Mu gelten die beiden letzten der Gleichungen 67.

Um die durchlaufenden Stützen zu berücksichtigen, drücken wir den Winkel derselben gemäß Gleichung 62 durch (Abb. 36)

{Ma Mb) y ₂

aus, wobei (Gl. 137)

7₂ =

7si 7*2

7s2    7*2

■ (71)

Alle übrigen Bedingungsgleichungen haben hier genau dieselbe Form wie zuvor, jedoch mit dem einzigen Unterschied, daß» nunmehr

Mk = Ma — Mb' + m;

wo

MJ-

(72)

Mit Rücksicht darauf ergibt sich ähnlich wie zuvor die drei aufeinanderfolgende Winkel enthaltende Gleichung

Xb)) + u 72 Xb + h 72 Xb =

7%

(73)

Ö2 a2^ 7s₂

Zur Berechnung von x gelten die Gleichungen 66; ySo' folgt nach Gleichung 31. Die Momente folgen nach den Gleichungen 67, jedoch mit Ausnahme von ; dafür und für My gelten die Gleichungen 72.

In der Praxis vermag die zuletzt beschriebene Art der Behandlung nicht immer Vorteile zu bieten, zumal dann nicht, wenn es sich um Konstruktionen mit mehr als drei Stützen handelt, und dabei keine Symmetrie vorliegt. Demgegenüber wird dann die erstere Methode, wonach man den Einfluß einer jeden

*4z*

a)

V-

*?

l3

t) <{

’^rrrrffff

Mk

__

.-Mb

w*

ZV/.

ZV/.

-Mu.

Abb. 36.

Stützenkopfverschiebung für sich bestimmt, und dann die Summe der Momenten-flächen bildet, immer vorzuziehen sein.

Es soll nun die praktische Verwertung des Gebotenen näher beschrieben werden. Zunächst betrachten wir den einfachsten Belastungsfall.

13. Wagrechte Kraft in der Balkenachse.

An einen Rahmen wirke eine Kraft H als äußere Last in Höhe und Richtung der Balkenachse. Infolge dieser Belastung wird der Balken eine seitliche Bewegung ausführen, und, da seine Länge dabei unverändert bleibt, eine gemeinsame Verschiebung aller Stützenköpfe veranlassen. Die Größe dieser Verschiebung ist unbekannt. Um zu Anhaltspunkten zu gelangen, nimmt man datiir zunächst einen beliebigen Wert an und ermittelt auf Grund der vorstehenden Ausführungen die Winkel und die Momente.

Die letzteren, einem beliebig angenommenen Verschiebungszustand entsprechenden Momente werden wir in der Folge kurz als Stamm-Momente, und ihre Erzeugungskraft als Stammkraft bezeichnen.

Die Stammkraft setzt sich aus den Schüben in den Stützenköpfen zusammen und berechnet sich, nachdem die Stamm-Momente bekannt sind, nach dem Ausdruck

M.

~W/.

Abb. 37.

Mjc Mu

^rrtrrnTfllffiT

•    (74)

Dividiert man die Stamm-Momente durch die Stammkraft ZS, so erhält man die Momente entsprechend einer Kraft H — 1 in der Balkenachse. Will man nun die Momente für eine bestimmte Kraft H ermitteln, so hat man demnach die Stamm-Momente mit

(75)

ZS

zu multiplizieren. „Damit kann die Aufgabe als gelöst betrachtet werden.

Wir wollen noch einmal kurz auf den in Frage kommenden Vorgang hin-weisen. Man nimmt eine beliebige Verschiebung aller Stützenköpfe an (etwa Ezli— 1000 t/m) und bestimmt dafür auf Grund der Ausführungen unter 12. die Winkel und die Stamm-Momente. Hierauf ermittelt man nach Gleichung 74 die Stammkraft und schließlich nach Gleichung 75 den Faktor /u, mit dem man die Stamm-Momente nur zu multiplizieren braucht, um jene für eine gegebene Kraft H zu erhalten.

Wenn die angenommene Verschiebung mit der tatsächlichen zufällig übereinstimmen sollte, so wird f.i= 1, und die Stamm-Momente bleiben bestehen.

(76)

Der Stammkraft ZS entspricht die angenommene Verschiebung zli. Infolgedessen entsteht beim Zustand H= 1 die Verschiebung Ji: ZS, und die tatsächliche Verschiebung ergibt sich durch Multiplizieren der letzteren mit H. Es ist demnach

Die betrachtete Belastung kommt hauptsächlich bei der Berücksichtigung von Bremskräften in Frage. Diese verursachen in der Regel beträchtliche Momente und erfordern eine besonders kräftig ausgebildete Konstruktion, sofern man es nicht vorzieht, der Wirkung derselben durch Anordnung von Streben zu begegnen.

14. Die zusätzliche Berücksichtigung der Stützenkopfverschiebungen bei lotrechter Belastung.

Wird ein durchlaufender Rahmen belastet

so wird der Balken in der Regel kleine seitliche Bewegungen ausführen und damit den Stützenköpfen Anlaß zum Vollzug von gemeinsamen gleichwertigen Verschiebungen geben. Wir zielen nun darauf hin, deren Einfluß zu bestimmen, und stellen dazu folgende Betrachtungen an.

Bei dem unter der Voraussetzung unverschieblicher Stützenköpfe behandelten Rahmen wird stets auf Grund der entsprechenden Momente nach dem Ausdruck

ZS' = z

MjI - m;

(77)

eine positive oder eine negative Kraft festzustellen sein. Diese Kraft, welche das Bestreben hat, die Stützenköpfe in Ruhe zu halten, ist in Wahrheit nicht vorhanden. Man kann demnach folgern, daß die Reaktion davon als äußere Last dieselbe Wirkung hervorruft, wie die Verschiebung der Stützenköpfe bei freiem Spielraum vom Balken.

Es ist dies wie folgt zu verstehen. Mit der Annahme fester Stützenköpfe setzt man in der Balkenachse gewissermaßen eine Kraft voraus, von der durch Gleichung 77 gegebenen Größe. Der dadurch begangene Fehler kann alsdann durch Berücksichtigung der Reaktion davon wieder ausgeglichen werden.

Man bestimmt somit nach Gleichung 77 die Summe der Schübe in den Stützenköpfen, denkt sich an dem Rahmen die Reaktion davon als äußere Last, und berücksichtigt diese nach den unter 12. und 13. gegebenen Regeln. Da in der Balkenachse die Kraft —ZS' in Frage kommt, ergibt sich der Einfluß der Stützenkopfverschiebung, indem man die Stamm-Momente mit (Gl. 75)

(78)

ZS'

ZS

multipliziert. In dieser Weise kann der Einfluß der Stützenkopfverschiebung bestimmt und zusätzlich berücksichtigt werden.

Schließlich sei noch auf die Gleichung

Mk'

ZS' = Z

•    (77a)

hingewiesen, die zur Ermittlung der Schübe in den Stützenköpfen der Gleichung 7 7 oft vorzuziehen ist. z bedeutet darin den Abstand des Momenten-Nullpunktes vom Stützenkopf.

Sollen nach den vorstehenden Ausführungen die Einflußlinien richtig gestellt werden, so daß sie 'auch den Einfluß der Stützenkopfverschiebung in sich schließen, so ist es erforderlich, daß nach Gleichung 77 oder 77a die Summe der Schübe in den Stützenköpfen bei jeder betrachteten Stellung der Einzellast gebildet wird. Dies scheint umständlich ; es ist deshalb nachfolgend noch ein zweckmäßigerer Weg dargestellt worden, der bei Einflußlinien bequemer zum Ziele führt.

Bezeichnet die Vershhiebung des Balkens bei der Belastung durch P = 1, und d₀i die Einsenkung unter dieser Last beim Zustand H = 1 (H wirkt in der Balkenachse), dann muß sein (wegen der Gegenseitigkeit der Formänderungen)

^lo ^Ol

Wir werden nun nachfolgend diese Verschiebung feststellen, und damit bezwecken, daß an Stelle der Gleichung 78 zur Berechnung von f.i die handlichere

Tats. Versch. ang. Versch.

treten kann, die sich durch einfaches Umstellen der Gleichung 76 ergibt.

Nach den Gleichungen 10a ist für P — 1

öa — CGo und dfr — cci₀ >

und es folgt daher, indem man die Winkel auf Grund der Gleichungen 7 bestimmt, (Zust. Ma — 1) da

Beziehung

Sa

Iß

(79)

•    .    (80)

(8l)

(Zust. Mi =1) öi = —

Es handelt sich jedoch hier um die Bestimmung der Einsenkung d0l infolge von H= 1. Diese ergibt sich mit Ma und Mi als Stamm-Momenten, da links das Moment Ma :-2S, und rechts das Moment Mi : 2S vorliegt, zu

Iß

ö₀i =

— {Mada + Midi).

In Verbindung mit Gleichung 81 folgt nun bei Beachtung von Gleichung 79

(-T^-T*) '

dlo =

Iß

2S

•    • (82)

Hiernach kann die Einflußlinie für die Stützenkopfverschiebung unschwer festgelegt werden , indem man cfre Werte von — Sa : a und -—- Si: b für die in Frage kommende Balkenform der Tabelle Seite 32 entnimmt. Nach Gleichung 80 ergeben sich für die verschiedenen Laststellungen die Werte von /c Sind diese bekannt, dann erhält man die als zusätzlich aufzufassenden Einflußlinienordinaten, durch Multiplizieren des Stamm-Momentes in jenem Schnitt, worauf sich die Einflußlinie bezieht, mit dem ^-Wert der zu einer Last an der betreffenden Stelle gehört.

Die nach den Einflußlinien oder unmittelbar bestimmten Momente müssen bei Berücksichtigung der Stützenkopfverschiebung von solcher Alt sein , daß die Summe der Schübe in den Stützenköpfen zu Null wird ; sie müssen demnach der Forderung

Mk — Mu

(83)

genügen/ die besagt, daß der Balken von seitlichen Kräften frei ist.

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß die Einflußlinie für die Stützenkopfverschiebungen mit der Biegungslinie des Balkens beim Zustand H — 1 übereinstimmt. Demnach kann dieselbe auch graphisch als Seilkurve ermittelt werden, wenn man als Belastung die den Stamm-Momenten entsprechende durch EJX2S dividierte Momentenfläche auffaßt.

15. Die Bestimmung der Momente für seitliche Lasten.

Wie bei lotrechter Belastung, werden auch hier die Momente zunächst unter der Voraussetzung unverschieblicher Stützenköpfe ermittelt; erst hierauf wird der Einfluß der Stützenkopfverschiebung bestimmt, der natürlich nunmehr wesentlich mehr hervortreten wird.

Der Rechnungsgang gestaltet sich in dieser Weise viel übersichtlicher wie bei der Verwendung verwickelter Elastizitätsgleichungen, und erscheint umso zweckmäßiger, da man die Festpunkte und die Übergangszahlen, deren Kenntnis dabei erforderlich ist, von der Berechnung für die lotrechte Last her bereits kennt.

Eine einzige Ausnahme bildet dabei der obere Festpunkt in den Stützen, der zur Berücksichtigung der Last bei unverschieblichen Stützenköpfen noch bestimmt werden muß. Man hat dazu Gleichung 30

h!² (3/1 — 2 h')

wo €₀ die Einspannung am Stützenkopf betrifft (Verdrehung des durchlaufenden Balkens), und sich nach (Gl. 137, sinngemäß)

So =

yd 7b

(84)

7 a + 7b

berechnet. Das Stützenkopfmoment geht teilweise nach rechts und teilweise nach links in den Balken über, auf Grund der Übergangszahlen (Gl. 139)

t*r

7a

7a' -f 7b

7b

•    • (85)

7a + 7b

1 — jitr

Bei einer Endstiitze bestimmt sich der obere Festpunkt etwas einfacher, da für s₀ der Winkel am Balkenende in Frage kommt; auch die Bestimmung der Übergangszahlen nach der Gleichung 85 fällt dann weg.

Sind alle Festpunkte und die Schlußlinie für die belastete Stütze bestimmt, dann ergibt sich die Momentenfläche für den ganzen Rahmen sehr einfach. Die nach links fortschreitenden Momente sind in allen /-Punkten, und jene rechts davon in allen iT-Punkten gleich Null (Abb. 38, a). Beim Überschreiten der Stützen liegen dabei keine besonderen Verhältnisse vor.

Zu den so bestimmten Momenten ist noch der Einfluß der Stützenkopfverschiebung zu addieren. Zur Ermittlung desselben kann man genau wie bei lotrechter Belastung vorgehen, wenn man dabei als einzigen Unterschied betrachtet, daß nunmehr an Stelle der Gleichungen 77 und 77a der Ausdruck¹-)

Md — Md

2S’ = — A₀-j-2

(86)

tritt. Derselbe gibt genau wie bei lotrechten Lasten die Kraft an, deren Reaktion als äußere Last hinsichtlich ihrer statischen Wirkung dem Einfluß der Stiitzen-kopfverschiebung gleichkommt. A₀ bedeutet darin die Kraft, welche von der Stütze bei freier Auflagerung auf den Balken übertragen wird.

Gleichung 86 kann auch in der Form

Md—Md

2S'. = — 4,4

Md

.    .    (86 a)

J) Diese Kraft ist nichts anderes wie die Summe der Querkräfte (Schübe) an den Stützenköpfen.

wobei die Momente über dem Bruchstrich jene bei der be-

geschrieben werden

lasteten Stütze bedeuten, während unter das Summenzeichen die Momente der

übrigen unbelasteten Stützen fallen.

Ist diese Kraft bekannt, dann berücksichtigt man diese bezw. die Reaktion davon nach dem unter 12. und 13. gegebenen Regeln. Dabei hat der Faktor, mit dem man die Stamm-Momente zu multiplizieren hat, gemäß Gleichung 78

den Wert

ES'

'ES

Sk

cr’

■f¹

tr’

-K

-So

Momente f. d. Betastung    ^

Mu₃

~C$4

^ - bei um/ersch/ebt/chen Pi1 ötützenköpfen

'vx'/s.

Jv_

’T

+,

E/nf/ufs der Stützen^ tropfVerschiebung

Vz

iTFFTTl_

TP 1441111111111111 irr.

ST

c)

Endgü/tige Momente

S H?1TTTrTrr>^

Ws

Abb. 38.

Nachdem die betreffende Momentenfläche bestimmt ist (Abb. 38, b), fügt man sie zu derjenigen für die Belastung bei unverschieblichen Stützenköpfen hinzu. In dieser Weise gelangt man zu den endgültigen Momenten (Abb. 38, c).

Um sich von der Richtigkeit der Rechnung zu überzeugen, kann man Gleichung 86 oder 86a anwenden. Jede derselben muß nämlich mit den endgültigen Momenten zu Null werden.

Strassner, Neuere Methoden.

Schließlich wird noch auf eine weitere Methode hingewiesen, wonach sich der Wert von /u mitunter etwas einfacher bestimmen läßt, was besonders bei größerer Stützenanzahl der Fall zu sein scheint.

Bezeichnet ö die Verschiebung des Angriffspunktes von P bei Verschiebungszustand Ji mit der Erzeugungskraft ZS (Abb. 39), dann nimmt die erstere Verschiebung (cf) beim Zustand H=i den Wert d:ZS an. Wegen der Gegenseitigkeit der Formänderungen ist d : ZS aber auch gleich der Verschiebung der Balkenachse infolge der seitlichen Last P = 1. Demnach gilt für die tatsächliche

Verschiebung der Balkenachse durch die Ursache P

J=00~-'—

- Mo

'"i

Tats. Versch. =

Pö

•4-

■ . (87)

->■

cT

\P

ZS '    '

Wir verfolgen hier dasselbe Ziel wie bei der zusätzlichen Berücksichtigung der Stützenkopfverschiebung, indem wir nunmehr den Wert von /c nach (Gl. 80)

Tats. Versch.

'*u

ang. Versch.

WZ

berechnen.

Abb. 39.

Es ist dabei erforderlich, daß man die Größe von ö kennt. Diese geht

für £ h <; ti

aus

= Tu IÄ -f

(AD²

6 EJ

Urf

-Mu

)]. ■ (88)

hervor, wobei der Winkel am Stützenfuß Tu ——    Mu Su

(89)

Bei fester Einspannung verschwindet derselbe. Liegt jedoch gelenkige Stützenfußlagerung vor, dann läßt einem die angegebene Gleichung im Stich, und es ist dann die Beziehung

(89 a)

~ + Mkßs .

anzuwenden. Dort, wo bei der Stütze der als starr vorausgesetzte Teil beginnt, wird

Tu

d₀ = Ttili -f

A'2

6 EJ

ll    ~\

— 3 Mu — j (Mk — Mu)j .

(9°)

• (9 0

(92)

und darüber

wobei x der Winkel am Stützenkopf

Pli- $0

ll — ll

oder (Gl. 57)

Pli

li — a

Mkys.

(₉°a)

Häufig ist dieser Winkel bereits schon bekannt. Dann ist es auch zweckmäßiger an Stelle von Gleichung 90 die Beziehung d₀ = Jj — x(h — h') .

anzuwenden.

Liegt gleichmäßig verteilte Last vor, dann folgt

j ö dx

Tats. Versch. = f ödx = F,

und F die von der elastischen Linie und der Balkenachse eingeschlossene Fläche. (Abb. 39.)

2S

•    •    (93)

wo

su — —

h ßs

WT0

wo

Es ergibt sich dafür

h ( li — ti

7 v    ¹¹    h

h'³

24 EJ

{M₀ -|- Mu) ....    (94)

M₀

ti , h — ti

(95)

Bei durchweg gleichem Trägheitsmoment gilt

Ji3

(Mk -f Mu) .

— di -j-

2

24 EJ

Bei Dreiecksbelastung im Sinne der Abb. 43 (S. 53) wird

Tats. Versch. = -7 J ' ödx

U:

(94^)

•    (9⁶)

1?

fgSdx = Se-jV

M₀ -h

(s h ,\(Ä — Ä)³ I Ä'⁸

VT -J')—Tk--<"57

AV-M«

Ä M5 ' 5U4

24

)]■

• (97)

Einfacher ist bei gleichbleibendem Trägheitsmoment

Mk Mu

ft d da = Jj ~

EJ

■    • (97 a)

5D4    45

Nachstehend werden wir nun noch einigen Ausführungen Raum geben, die ausschließlich die belastete Stütze betreffen, und die Bestimmung des Auflagerdruckes A₀ (in Gl. 86 oder 86a), sowie die Ermittlung der Schlußlinie zum Ziel haben. Es finden dabei die gebräuchlichsten Belastungsarten Berücksichtigung.

Die Gleichung 7 lautet hier sinngemäß

w⁷obei

So = -

SH

ßs

®UO -

-[

hJ

M₀ x d, x

“⁰⁰ liJ

EJX M₀xdx

.    (98)

EJX

für ßs gilt Gleichung 27.

Es ist bei der Bestimmung der Schlußlinie geboten, die Verstärkung am oberen Teil der Stütze zu berücksichtigen. Die bei durchweg gleichem Trägheitsmoment sich ergebenden Festlinienabschnitte sind zwar von den genauen nicht wesentlich verschieden, durch den Umstand aber, daß die Unterschiede von ungleichem Vorzeichen sind, ergibt sich eine beträchtliche Drehung der Schlußlinie, die man nicht ohne weiteres vernachlässigen darf.

a) Gleichmäßig verteilte Last. (Abb. 40.) In Gleichung 86 oder 86a ist für die Auflagerkraft der Wert

A₀ =

•einzuführen.

Gleichung 98 hat man unter Einführung von

xx

M₀— p-

zu integrieren. Es entsteht in Verbindung mit den Ausdrücken für die Festlinienabschnitte

Su= —

s₀ = —

pa 6 h² — 8 hti -j- 3 h'2 3 h — 2 ti pb h! (4 h — 3 ti)

3 h — 2 ti

(roo)

Verschwindet die Verstärkung der Stütze,

Ti

JZ/V’

m-

so folgt

■ pah

-4'

S₀ =

job h

100 a)

⁷IC

Abb. 40.

4

An Stelle der letzten Gleichungen kann auch die in Abb. 40 angedeutete Konstruktion verwendet werden.

b) Einzel lasten. (Abb. 41.) Es wird

und für £h<ti folgt

(101)

-Mh\

Su = — Pa

'/

+r)+rs

(ti — Äf)²(₃Ä — 2 ti — §h) ti'² (3 h — 2 ti)

.    .    (102)

Pzz\

S₀ = — Pb

[ir (1+1)+s³

{i r:

x\\

//² (3 h —

ti

ti—

Einfacher wird bei durchweg gleichem Trägheitsmoment

Ei

S«=-Pa

S„ = -PS£f (■+1) j ' '

.    . (l02a)

Abb. 41.

An Stelle der letzten Ausdrücke kann man auch die in Abb. 41 ersichtliche Konstruktion anwenden.

V/

c) Dreiecksbelastung.

Hierfür wird p s²

(Abb. 42.)

Ao

•    •    (103)

B₀

CO

M₀]

Hä

*__

Ji

7m°\

-A4,

Bei freier Auflagerung entstehen die Schnitt-

WM

ns²

mo mente für x > s,

„ x < «,

Abb. 42.

wo

l/^o — -4-0

J/₀ = (ä — .1?) — Af₀'

—— (s — ,r)3 6s { ti

.    (104)

Mo

Sie erreichen den Größtwert in

sz

(I05)

Für die Integrale zur Bestimmung der Winkel (Gl. 98) erhält man

M₀ x dx

Äo

EJX EJ

J\h-*f

dx

Ij f K (h — .r) d.v

fi

h'

' M₀ x dx

EJx

/\h

EJJ K

— x) x dx

j J'M-o x dx ,

und gelangt schließlich zu den Ergebnissen (shf

= — pa

6 K² (3 h — 2 li)

[•

I,5 ~k 0,3

S₀ = — pb

s²

[■

— °>3

s² h

hf 2 (3 h —

2 ti) ]

(106)

Dabei ist Bedingung, daß die Last nicht in den verstärkten Teil der Stütze hineinreicht (s < li).

Bei beständigem Trägheitsmoment folgt

Su — — pa

s²

[•

— D5

1 + °’³ (

)1

S₀ = — pb

s²

— °,3

(t)1

.    . (1 o 6 a)

Schließlich sei noch der Sonderfall s = h betrachtet. (Abb. 43.) Es wird

Äo

ph

•    (io7)

0,577e-A

und bei freier Auflagerung entsteht das Moment p h²

6 s s mit dem Größtwert pli²

^5,6    •

in x = 0,5 7 7 h.......

Die Festlinienabschnitte betragen

M₀

(x + r)

(108)

S,

M —

0 max -

(xog)

(110)

Abb. 43.

Su — p a

h²

7i,'b

OO 1 Gn.

H( -y-|()’]

Hs HS

S₀= — pb

h h'

• (ui)

3 h —

oder bei konstantem Trägheitsmoment

Su= —

pa h

• (uia)

So = —

8,57

Trapezförmige Belastung kann durch Verbinden von Dreiecksbelastung mit gleichmäßig verteilter Last berücksichtigt werden.

d) Kranlasten. (Abb. 44.)

TT⁻

Die Momentenfläche bestimmt sich bei freier Lagerung wie in Abb. 44 ersichtlich.

Die Auflagerkräfte betragen

li

CL->i

-£J~--.

---->

Abb. 44.

(112)

und für die Festlinienabschnitte folgt bei gleichbleibendem Trägheitsmoment

‘"('-in

M

S₀ = -b — (i- 3?)

A₀= — B₀ =

Su =

•    •    (IJ3)

16. Der Einfluß von Wärmeschwankungen.

Bei einer gleichmäßigen Erwärmung um t⁰ C. verlängert sich ein Eisenbetonbalken von der Länge l um

(TI4)

^2 = 0,000 012 lt°

Gelingt es bei dem vorliegenden Rahmentragwerk von einem Stützenkopf oder von einem Punkt in der Balkenachse auszugehen, von dem man entweder aus Konstruktions- oder aus Symmetriegründen annehmen kann, daß er keine seitlichen Bewegungen ausführt, dann können die tatsächlichen Verschiebungen der Stützenköpfe, und daraufhin nach den unter 12. gebrachten Ausführungen die Momente bestimmt werden.

«‘pp’

'W/

Wb

Wl7/-

Abb. 45.

Wenn hingegen kein fester Punkt bestimmbar ist, dann ist man darauf angewiesen einen solchen zunächst beliebig anzunehmen. Hat man daraufhin die Momente berechnet, so wird sich herausstellen, daß die Summe der Schübe in den Stützenköpfen eine gewisse Kraft darstellt. Diese hat dieselbe Bedeutung wie jene, die bei der zusätzlichen Berücksichtigung der Stützenkopfverschiebungen vorliegt (Gl. 77), und kann unter Umständen noch dementsprechend in Rechnung gestellt werden.

Eine Änderung des Wärmegrades der Stützen kann nach den folgenden Ausführungen berücksichtigt werden. Gleichmäßige Wärmeänderungen aller Stützen bleiben ohne Einfluß, wenn die Stützen von gleicher Höhe sind.

17. Stützensenkungen.

Mit den Stützensenkungen sind in der Regel auch Stützenkopfverschiebungen verknüpft. Wir betrachten hier indessen ausschließlich nur die ersteren, und verweisen hinsichtlich der letzteren auf die vorausgeschickten Ausführungen (S. 40 bis 47), wonach diese auf Grund der Schübe in den Stützenköpfen in Rechnung gestellt werden können.

Mb —

Bei einer Senkung der linken Endstütze folgt {yd = 0°)

(¹¹5 a)

•    .(H5b)

Mh

und wenn es sich um eine Endstütze rechts handelt (yb = cc)

M%

keine Senkung der angrenzenden Stützen vor-

In denjenigen Feldern, wo liegt, verlaufen die Momente in der bekannten Weise, und sind mittels der Festpunkte und der Übergangszahlen leicht bestimmbar. Die Momentengeraden der Stützen gehen jeweils durch den unteren Festpunkt, da seitliche Bewegungen der Stützenköpfe außer Frage stehen.

Senken sich mehrere Stützenköpfe auf einmal, dann berücksichtigt man eine

jede einzelne Senkung für sich,

Dabei hat man jeweils die der betrachteten Stütze benachbarten Auflager als verhältnismäßig fest anzusehen, und für Jh immer die Senkung in bezug auf die ursprüngliche Höhenlage der Balkenachse einzuführen.

Wir nehmen an, eine einzige Stütze habe sich um J]t ge-, senkt. Es lauten dann die Bedingungsgleichungen *)

r= — Mk ys

J’

yA

Ji

l' — a

1--

Mb' ya

_-nalk

T--b Ma 7b

0

Ma — üf₆'.

Sie liefern für die Verdrehung

Mk =

V/'

Ahb. 46.

T = Jh ys

[t — g) ya'

(l - b)yb

7s

7s

■    •    (IJ5)

7a 7b

und für die Momente ²)

Mb =

Jn

7a

l' — a

Ma =

7b

(-Ä+b

Mk =

Ma — Mb

• ■ (II6)

m; =

-hi

t — a \ l' ß'

Mb

und bildet die Summe der Momentenflächen.

J) Hinsichtlich der zweiten und dritten Beziehung siehe Gleichung 57, S. 40.

2) Die beiden letzten Ausdrücke ergeben sich durch sinngemäße Anwendung der Gleichung 58, S. 40.

Nunmehr sei noch auf den Umstand hingewiesen, daß die sich mit der Stützensenkung auslösende Verschiebung bei der -Senkung von Endstützen bedeutend sind , hingegen aber bei der Senkung von Zwischenstützen zurücktreten.

Beim Rahmen mit ungleich hoch liegenden Stützenköpfen hat man in den vorstehenden Gleichungen für die Balkenlängen l und für die Festpunktabstände immer den entsprechenden Abriß auf einer Wagrechten einzuführen.

18. Die zusätzliche Berücksichtigung der Normalkräfte.

Wie schon bemerkt wurde, kann im Bedarfsfälle, zur Erzielung eines besonders hohen Genauigkeitsgrades, der Einfluß der Normalkräfte noch zusätzlich berücksichtigt werden. Man schlägt dabei folgenden Weg ein.

Nachdem die Normalkräfte N für die einzelnen Konstruktionsglieder bestimmt sind (s. S. 37 u. 38), stellt man die dadurch erzeugten Längenänderungen fest, die sich , wenn F der Querschnitt und l die Länge von dem betreffenden Stab, nach

NI

berechnen.

FF

■    •    (*¹7)

Durch die Längenänderung des Balkens werden Stützenkopfverschiebungen ausgelöst, die sich ähnlich wie bei den Wärmeänderungen äußern und dabei ebenso wie diese zu berücksichtigen sind. Die Längenänderungen der Stützen indessen können genau nach den für die Stützensenkungen gegebenen Regeln in Rechnung gestellt werden.

Um die seitlicher! Bewegungen zu berücksichtigen, ist es notwendig, daß man einen verhältnismäßig festen Punkt im Balken oder einen festen Stützenkopf annimmt und von dort aus die übrigen Verschiebungen feststellt. Liegt bei Konstruktion und Belastung Symmetrie vor, dann ist dessen Lage in der Symmetrieachse unmittelbar gegeben. Im gegenteiligen Falle ist man jedoch auf eine Annahme angewiesen und kann dabei genau so wie bei den Wärmeschwankungen verfahren (S. 54).

Die in dieser Weise bestimmten Zusatzmomente haben jedoch weitere Normalkräfte im Gefolge, die bei der Berechnung zu neuen Verwicklungen führen und diese als noch nicht abgeschlossen erscheinen lassen, da der Genauigkeitsgrad anscheinend durch Wiederholung noch einer Steigerung bedarf. Eine Untersuchung zeigt jedoch, daß bei dem ohnehin schon geringen Einfluß der Normalkräfte dadurch nur höchst belanglose Änderungen in Frage kommen , und es nicht der Mühe wert ist, diese in Rechnung zu stellen. Die erste Berechnung kann daher in jedem Falle als endgültig betrachtet werden.

Schließlich weisen wir noch darauf hin, daß der Einfluß der Normalkraft in den Stützen gegenüber jenen beim Balken in den meisten Fällen stark hervortritt.

§ 5-

Untersuchungen für gelenkig gelagerte Rahmenstützen.¹)

Ruhen die Stützen am Fuße in Gelenken, dann findet man, daß sich diese häufig nach unten zu verjüngen, eine Form, die durch die statische Wirkung ohne weiteres gegeben ist. Nachfolgend soll nun eine genaue rechnerische Berücksichtigung der Querschnittänderung bezweckt werden, unter der Annahme eines gesetzmäßigen Verlaufes vom Trägheitsmoment.

Man neigt in all diesen Fällen dazu, einen vermittelten Querschnitt anzunehmen und die Stütze dementsprechend als solche von konstantem Querschnitt zu betrachten, ein Vorgang, bei dem der Genauigkeitsgrad von einer mehr oder minder glücklichen Wahl des in Rechnung gestellten Querschnitts abhängt.

•j Die nachstehenden Ausführungen finden sich in etwas anderer Fassung in dem Aufsatz vom Verfasser „Zur Berechnung der Rahmen“, Beton u. Eisen 1916, Heft 6 u. 7/8.

Jx •

Die angenommene Belastung ist in bezug auf die Formänderung der Stütze gleichbedeutend wie die Wirkung der Kämpferdrücke beim Rahmen , sofern man dabei von dem belanglosen Einfluß der Normalkraft absieht.

FTm geschlossene Ausdrücke für J oder für die Tage des diesem vermittelten Trägheitsmoment entsprechenden Schnittes zu erlangen, drücken wir nun die Änderung des Trägheitsmomentes gesetzmäßig aus. Das erste Gesetz beruhe auf einem einfachen Verlauf des umgekehrten Wertes von Jx. Wie beim Balken bringen wir dann weiterhin noch Lösungen unter Zugrundelegung von gradlinig oder parabolisch sich änderndem Querschnitt.

Gesetz I.

Das Trägheitsmoment ändere sich nach

•4

Nachfolgend zielen wir nun darauf hin

das vermittelte Trägheitsmoment bezw. den demselben entsprechenden Querschnitt mathematisch genau festzulegen. Dadurch führen wir die Berechnung gewissermaßen auf ein einfacheres Stadium zurück.

Es wird hervorgehoben, daß das nach den hier gebotenen Ausführungen berechnete Trägheitsmoment in allen Formeln für Rahmen, die unter der Annahme gleichmäßig starker Stützen hergeleitet wurden, bei strenger Gültigkeit derselben Verwendung finden kann.

Anzahl vorliegen.

Bogen in Verbindung stehen Ausgenommen ist nur der Fall einer unmittelbaren Belastung der Stützen durch seitliche Drücke oder durch Momente. Bedingung ist auch ferner, daß die Stützen eine lotrechte Achse besitzen.

'S

II

Abb. 47.

Die Stützen können dabei in beliebiger Auch ist es gleichgültig, ob diese mit einem Balken oder und im letzten Falle, welche Form dieser hat.

Man denke sich nun eine Stütze am Kopf fest eingespannt und am Fußgelenk derselben senkrecht zur Stabachse eine Kraft X (Abb. 48). Der obere Teil der Stütze soll starr sein.

In x vom Stützenfuß entsteht das Moment Mx = X x, und es folgt daher die Verschiebung in der Kraftrichtung

h'

*-/

Mx x dx    XJ x² dx

~T"

EJX

<4

oder mit J als vermitteltem Trägheitsmoment h

Xf

EJ

x² dx

XP .

ASr

3EJ

±±__

Äi-

entsteht

Durch Gleichsetzen dieser Beziehungen

Abb. 48.

li

' x² dx

•4

h‘³f

•4

woraus

h \³

ti

(n8)

Pdi

1 -(- (.1 xv,

ein Gesetz, welches mit /1 aus

~T    --

'"X

in

Jx

(IJ9)

übergeht, worin

Ju

d„Y

Jo

cl₀

(120)

v ist von der Balkenform abhängig und liegt etwa zwischen 0,25 und 5.

Man erhält hiernach

n) ?') £²d£

i/(-<

1    ^ n —|— v

3 Ju 3 v

und in Verbindung mit Gleichung 118

• (I20

Ju

3 n -j- v

wonach man das vermittelte Trägheitsmoment berechnen kann.

Es ist jedoch zweckmäßig, nach der Lage des diesem Trägheitsmoment entsprechenden Querschnittes zu forschen und dabei von dem oberen starren Teil der Stütze zunächst abzusehen. Wenn J’ das sich hierbei ergebende Trägheitsmoment bezeichnet, gilt dann zur Berechnung des wahren Wertes davon, der auch den Einfluß der Verstärkung am Stützenkopf in sich schließt,

(i22)

Ist z der Abstand des dem Trägheitsmoment J’ entsprechenden Querschnittes vom Stützenfuß, dann muß einmal (Gl. 1 19)

1-0

J=

Ju

n)

und das andere Mal (Gl. 121

in Verbindung mit Gl. 122)

sein. Mithin ist

oder einfacher

Ju

J’

1 — (1 — n)

3« + v

Y+-

f 3 ~T“ ^

Wie ersichtlich folgt die Lage dieses Querschnittes von n unabhängig. v kann bei gegebenem Zwischenquerschnitt nach

und

(1 2 3)

¹ -nx

ti

I —11

ermittelt werden, wobei

Ju

=-r-

Liegt der Man verbindet

erq

CD

■)-

•s

r.

rO

n>

p-

er

er

0>

in

r~t-

'S

n>

mit

und erhält

\ 3 n)

3 -\~v

woraus

ni

Jll

(124)

Der Umstand, daß hierbei die Kenntnis von z vorausgesetzt wird, ist nicht von Belang, da sich bei den gebräuchlichen Stützenformen das Verhältnis z : li nur wenig ändert. Um die Bestimmung desselben zu erleichtern, geben wir die folgende

Tabelle der Werte von z : h'.

(Berechnet nach Gleichung 123; Gesetz I.)

0,25

0,3°

o,35

0,40

o,45

o,5

0,6

o,7

0,8

0,9

z : h!

0,726

0,728

o,73o

o,73i    0,733 0,735    o,738    0,741

o,744

o,747

1,0

1,2

i,4

1,6

1,8

2,0

²,5

3,o

4,o

5,°

z : li

0,75°

0,756

0,761

0,766    0,770 0,775    ⁰,758    0,794

0,809

0,82 2

Um v zu bestimmen, geht man zweckmäßig von Gleichung 124 aus und legt der Bestimmung von J’ den Querschnitt im oberen Viertelpunkt der Stütze zugrunde. Unter Umständen kann dann die Berechnung für das genauere Verhältnis von z : li wiederholt werden.

Ist das Trägheitsmoment J' von dem auf diese Weise festgelegten Querschnitt bestimmt, .dann findet man das wahre vermittelte Trägheitsmoment «7, das auch dem oberen starren Teil der Stütze Rechnung trägt, nach Gleichung 122.

Wie schon hervorgehoben wurde , hat diese Berechnung von J den Zweck, daß man Stützen mit'diesem Trägheitsmoment durchweg, in statischer Hinsicht als gleichwertig ansehen darf, wie Stützen von veränderlichem Querschnitt.

Beispiel. Es sei d₀ — 90 cm und 4=3° cm. Im oberen Viertelpunkt der Stütze sei dx = 00 d' = 48 cm. Nach den Gleichungen 120 und 124 wird

= 0,037

und m =

/ du\³_/ 30 \³

\ d') ~~ V 48 /

= 0,244

m — 7i

-= 3 •

0,244 — 0,037

= 0,82.

1 — 0,244

Nach der Tabelle liegt somit der vermittelte Querschnitt in z : ti = 0,744. Demselben entspricht das vermittelte Trägheitsmoment J'. Nach Gleichung 122 ergibt sich der wahre Wert davon.

Die Querschnitte sollen sich nach dem Gesetz

I -771

(~r) = 1 — (* — w) = ¹    °»9⁶3 b°’⁸²

ändern.

schnitt.

Gesetz II.

Die Stütze sei von prismatischer Form bei gleichbleibender Breite vom Quer-

Es folgt

---\f₀---

sowie

dx = du (i + cg) . dx = du(i -{-cf}³

wo

d₀

du

(¹²5)

(126)

C¹² 7)

it:fn

m

Weiterhin wird (S. 15)

Ju

Abb. 50.

.4/

/ (1 -f cb)³

“T [lgn (« +

*)-

~r_p J

und (Gl. 118 und 122)

du

c(r,5 c-f- i)l

sowie (Gl. 126)

• *r + cy

Mithin entsteht

1 -j-c

c³

c(G5c+_0J

(c + 0

woraus

7/

1/ 3lgn(

c+ 1) —

(c + b²

Einfacher ist die Verwendung der Nährungsgleichung

•    .    (128)

4_y

4 / ’ '

die bei gewöhnlichen Verhältnissen (5,0 > d₀ : du > 1,3) befriedigende Ergebnisse liefert. Zu ihrer Ermittlung wurde die genaue Kurve (Gl. 128) durch eine Parabel ersetzt, bei Übereinstimmung in d₀ : dM — 2,3 und 4.

Zur Bestimmung des vermittelten Trägheitsmomentes ist Gleichung 122 maßgebend, wobei

TT = 0,784 — 0,0525

ti

d₀

du

f 0,0045

.    .    (129)

¹+cy)

(r3°)

Tabelle der Werte von z: ti.

Berechnet nach Gleichung 128; Gesetz II.)

d₀ ■ du

1,2

D4

1,6    !    1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

z : ti

o,734

0,725

0,714 ; 0,706    0,697    0,691 | 0,684    0,678

0,67 2

do • du

3,o

3,5

4,o

4,5

■5,o

6,0

7,o

8,0

10,0

z : ti

0,667    0,656    0,646 ; 0,637    o,⁶²9    o,⁶¹7    0,606    0,597    0,583

Gesetz III.

•    •    (l31)

•    •    (132)

Die Querschnitthöhe der Stütze soll sich nun parabolisch ändern, entsprechend dx = du{i + c£²)    .    .

Mithin ist

wo (Gl. 127)

d₀

/*

und es folgt (S. 16)

'Ire

1 r c — 1

8 L c (c 4- I

arc tan J/ c J •

IJu

Abb. 51.

Unter Bezugnahme auf Gleichung 118 und 122 wird

Ju

J'

VTg-,

8 c y c L (c -f- i)

1    ,

--h arc tan

\2

G],

und Gleichung 132 gibt

Ju

J'

(■+•(*)?

Somit folgt

2\³

I -h c

A'

³I *f (<,+ o³

arc

tan y c J

und schließlich

1,3867

Vcl/Vc^

•    • (I33)

(c +17 + arc tan v'~e

Näherungsweise ist für 5,0 > d₀ : du 1,3

-~T—    0,824

h!

_ o,₀⁶85 ^+0,0055 (^y    •

•    •    (134)

Nachdem z bekannt ist, wird (Gl. 132)

2\3

•    (r35)

und endlich folgt dann das wahre vermittelte Trägheitsmoment nach Gleichung 122.

Tabelle der Werte von z : 1t.

(Berechnet nach Gleichung 133; Gesetz III.)

d₀ • du

to

"00

to

to

to

to

Os

00

z : h'

o,7 59    o,744    0,731

0,720

°,7°9

0,700

0,691    0,683    0,676

d₀ . du

3,o

3,5

4,o

4,5

5,°

6,0

7,o

8,0

10,0

z : li

0,668    0,652

0,638    0,626    0,615    o,595

o,5 79    °,5⁶4    0,542

§ 6.

Die Berechnung der mehrstöckigen Rahmen.¹)

l. Festpunkte und Übergangszahlen.

Der elastische Widerstand der an den Stützpunkten bei einer Drehung der Balkenachse entsteht, kommt in der Rechnung ausschließlich durch den Winkel y zum Ausdruck, der die Drehung von den den Widerstand verursachenden Konstruktionsgliedern beim Zustand M = i darstellt. Handelt es sich nur um eine untere Stütze, so hat man demnach dafür den Wert ys. Liegt jedoch eine durchlaufende Stütze vor, dann entsteht nur noch der kleinere Winkel y, dessen Größe einmal durch

y = ms,

7 = 0 — [tu)Ya

und das andere Mal •

gegeben ist. Dabei ist unter f.iu derjenige Teil vom Angriffsmoment M = i zu verstehen, der auf die untere Stütze entfällt. Verbindet man diese Gleichungen,

VT

UI

U4

Tr

fw

t\

yi, ys

Abb. 53.

Abb. 52.

dann folgt

Ms = (1 — /g) yä,

woraus

/G

ys

Ys + Ys

(r36)

und sonach

YsYs

+ Ys

Ü37)

Mit dem einzigen Unterschied, daß nunmehr an Stelle von ys der hiernach berechnete Wert von y zu treten hat, gelten die für den Rahmen auf einfachen Stützen gebrachten Darlegungen auch noch hier beim Stockwerkrahmen. Die Ermittlung der Festpunkte und der Übergangszahlen bietet demnach nichts Neues.

Die nach den früheren Ausführungen ermittelten Übergangszahlen bestimmen das auf eine obere und eine untere Stütze insgesamt entfallende Moment, das nunmehr auf Grund der Gleichung 136 noch endgültig zu zerlegen ist.

!) Die nachfolgenden. Untersuchungen, , ausschließlich denjenigen für seitliche Belastung, weisen ähnliche Grundzüge auf, wie die Ausführungen des Verfassers in der Schrift „Beitrag zur Berechnung der Stockwerkrahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes“, Berlin 1912, Verlag von W. Ernst & Sohn.

Um die Festpunkte in den Stützen zu bestimmen, kann man sich das ganze System um 90⁰ herumgedreht denken, so daß die Stützen nunmehr als Balken erscheinen. Dabei hat man als Drehungswiderstand den Wert von

7 a 7b

(J38)

y 7a + 7b

zu betrachten. Bei der endgültigen Zerlegung der von beiden Balken abgelenkten Momenten, gilt für den Teil rechts

f.ir

7a

7a + 7b

(J3 9)

Anmerkung. Wir geben in folgendem zur Ermittlung der Winkel und der Übergangszahlen noch eine allgemeine Darstellung. Zu diesem Zwecke denken wir uns^%in Büschel von Stäben, dessen Achsen sich in einem Punkte vereinigen. Dabei seien die jenseitigen Auflager verhältnismäßig fest, und am Knotenpunkt liege starre Verbindung der einzelnen Stäbe vor.

Bezeichnet y₁, y₂, y₃ . . . yn die Winkel an den einzelnen Stäben infolge M— 1, r die Drehung bei derselben Ursache wenn alle Stäbe gemeinsam wirken, zn — 1 wenn dabei der Stab 1, Zn— 2 wenn dabei der Stab 2, oder allgemein zn — r wenn dabei der Stab r fehlt, dann kann geschrieben werden

woraus

Ferner folgt

U-x

Tn_s=fi»>2 = (1—^2') U-i

woraus

Xn- x

72

Xn-x

Ebenso entsteht

xn-1

7s

U-x

usw. allen Stäben

Durch Verbinden dieser Gleichungen erhält man nun für den Winkel infolge M — 1 an

--1--

7i 72 7a

7n_

oder

Der Stab 1 erhält das Moment

Xn-X

U-X + 71 ’

wo

U-x

E 7 7i

Greift M=i an den übrigen Stäben an (an allen Stäben mit Ausnahme vom Stab 1), dann entfällt davon auf den Stab 2

^2'

rrc-x

x n — 1 — 2 +72 ’

WO

U-x

7    71    72

j:gibt mit (1 — multipliziert den Wert vom Moment an, das bei M — I an allen Stäben, auf den Stab 2 entfällt. Man hat dafür auch unmittelbar

(«2 -

Xn—2

xn — 2 + y2

wo

z---

7    72

Allgemein gilt sonach

xn — r

Tn — r + 7r

wo

xn — r

s ~y ~

Yr

Im allgemeinen wird der folgende Rechnungsgang in Frage kommen. Man beginnt bei den unteren Stützen und bestimmt dafür die /-Punkte. Alsdann ermittelt man in dem unteren Balken die /-Punkte, und daraufhin die FT-Punkte. Es ist dabei zulässig, bei Bestimmung der Elastizität der oberen Stützen, deren Ä'-Punkte vorläufig zu schätzen. Es folgt nun, nachdem die /-Punkte der unteren Stützen und die Festpunkte des unteren Balkens bekannt sind, die Bestimmung der /-Punkte in den nächsten Stützen; daraufhin werden die Festpunkte des zweiten Balkens ermittelt, wie vor, auf Grund von geschätzten FT-Punkten in den Stützen darüber. Fährt man in dieser Weise fort, dann ergeben sich für die Balken alle Festpunkte und alle /-Punkte für die Stützen. Beginnt man daraufhin von oben, so gelangt man schließlich noch zu den letzten unbekannten FT-Punkten.

Für di$ erste Annahme bei den FT-Punkten der Stützen sei b = J/₄ h in Vorschlag gebrachtJ). (Bei konstruktiven Eigenheiten kann jedoch eine hiervon abweichende Annahme mitunter zweckmäßiger erscheinen.)

Werden die so ermittelten Festpunkte für nicht genau genug gehalten, wenn sich am Schlüsse herausstellt, daß bei den geschätzten FT-Punkten erhebliche Ungenauigkeiten vorliegen, und die wahre Lage derselben von der angenommenen wesentlich verschieden ist, so ist die Berechnung auf Grund der letzten W-Punkte zu wiederholen, und unter Umständen sind Annahme und Ergebnis in Übereinstimmung zu bringen. Der Genauigkeitsgrad reicht jedoch bei der zweiten Berechnung immer hin. Sogar diese vermag nur in seltenen Fällen eine merkliche Änderung der Resultate herbeizuführen, und es müssen dabei schon bei den FT-Punkten erheblich von der Wahrheit abweichende Annahmen vorliegen.

Mit der Bestimmung der Festpunkte werden zugleich auch die Übergangszahlen für jene Momente bekannt, die einen Widerstand insgesamt betreffen. Beim Balken ergeben sich demnach die Momente, die auf die obere und auf die untere Stütze entfallen, bei den Momenten, die sich in den Stützen fortpflanzen, erhält man jene, die vom Balken rechts und vom Balken links abgelenkt werden. Diese sind dann auf Grund der Gleichungen 136 und 138 noch endgültig zu zerlegen.

2. Die Berücksichtigung lotrechter Lasten.

Gleich der Ermittlung der Festpunkte und der Übergangszahlen ist auch die Bestimmung der Momente nach den beim einfachen Rahmen bereits festgelegten Regeln auch hier noch durchführbar.

Hat man die Schlußlinie für das belastete Feld in der üblichen Weise bestimmt , dann ist zu beachten , daß sich die Einspannmomente nach drei Richtungen hin zerlegen. Zur Bestimmung der einzelnen Teile schlägt man am besten

*) Liegt der obere Festpunkt in h, so gilt für den Winkel am Stützenfuß bei durchweg gleichem Trägheitsmoment

wo

6 EJ

oder

r»

3,6 EJ

Allgemein ist

y»

Bei fester Einspannung am Stützenfuß folgt für den Winkel am Kopf

r,=

oder

Vs

4 EJ

Die Winkel am Balken sind durch die ersten der Gleichungen 34 a und 34 b gegeben.

den beschriebenen Weg ein und bestimmt zunächst das auf eine durchlaufende Stütze insgesamt entfallende Moment, um erst dann die weitere und endgültige Zerlegung für sich vorzunehmen.

Bei der Anwendung des Gebotenen in der Praxis, stellt sich heraus, daß der Einfluß der durchlaufenden Balken verschiedener Stockwerke unter sich, äußerst gering ist; der Zusammenhang macht sich daher in statischer Hinsicht hauptsächlich nur bei den einzelnen durchlaufenden Balken und den mit diesen sich kreuzenden Stützen bemerkbar, einUmstand, wodurch sich die Ermittlung der Momente erheblich vereinfacht.

J__A

J_K_

'K

7M

Abb. 54.

3. Die Berücksichtigung seitlicher Lasten.

Strenggenommen sollen ganz in Eisenbeton erstellte Bauwerke auch für Windkräfte berechnet werden, besonders dann, wenn diese mehr in die Höhe wie in die Breite gehen, und wenn dabei innere Versteifungen fehlen. Wenn eine derartige Berechnung nicht durchgeführt wurde, so geschah dies, von wirtschaftlichen Gründen abgesehen, bisher nicht zuletzt wegen dem Umstand, daß man die scheinbar verwickelte Berechnung zu umgehen suchte. Die Lösung der Aufgabe ist jedoch nicht allzu schwer.

Man denke sich eine am Fuße elastisch eingespannte Stütze mit gegebenem Festpunkt in a und nehme an, daß sich der Stützenkopf, ohne einem Moment ausgesetzt zu sein, infolge irgend einer Ursache um Jj seitwärts schiebe. Dabei beträgt das Moment am Stützenfuß (Gl. 58, Mjc = o)

aJi

Muo

(h — a) h ßs

und im unteren Festpunkt entsteht

Su = M,

azJf

h²ßs

Ebenso folgt bei der Annahme, daß sich das untere freie Ende einer oben gehaltenen Stütze nach der entgegengesetzten Seite schiebt

S₀ =

b/Ji

h*ßs

Hierbei ist Su von der Verdrehung am oberen, und S₀ von der Verdrehung am unteren Stützenende jeweils unabhängig, aus dem einfachen Grunde, weil sich ein Moment als Ursache derselben einmal auf Su, und das andere Mal auf S0 keinen Eingang verschaffen kann, a) eben deshalb, weil diese Werte jeweils den Querschnitt am Festpunkt betreffen, der nächst dem Balkenende gegenüber vom angreifenden Moment liegt. Demzufolge ist auch die Momenten-fläche der beiderseits elastisch eingespannten Stütze, bei ge-

Strassner, Neuere Methoden.

_JLl

7m

E MKoi -So £

Abb. 55.

fi

e) |SJ s

gebenen Festpunkten, und bei einer Verschiebung des einen Balkenendes um zll gegenüber dem als verhältnismäßig festen anderen, auf Grund der obenstehenden Ausdrücke durch die Momente Su und S₀ in den Festpunkten eindeutig bestimmt. (Abb. 55.)

Indessen scheint es aber immer zweckmäßig, den Momentennullpunkt festzustellen, der sich aus dem Verhältnis

z₀ — b

— Su

h — z₀ — a

zu

2₀—b

ergibt. Führt man in diesen Ausdruck die Werte von Su und S₀ ein, dann entsteht

(I4°)

bh

a b

Bei gegebenen Festpunkten ist demnach die Bestimmung des Momenten-nullpunktes verhältnismäßig einfach.

Graphisch ergibt sich derselbe wie in Abb. 55, a ersichtlich, indem man am Stützenkopf b auf die eine, und am Stützenfuß a auf die andere Seite abträgt, als Schnittpunkt einer entsprechenden schrägen Geraden mit der Stützenachse. Gleichung 140 ist aus dieser Konstruktion unmittelbar herauszulesen.

Da im oberen Festpunkt S (z₀ — b) = S0 sein muß, ergibt sich die Erzeugungskraft der Verschiebung nach

h² ßs z₀ — b

(*40

Das Stützenkopfmoment beträgt Mk= Sz₀

(142a)

und am Stützen fuß entsteht

Mu = — S (h — z₀)......

Bei beständigem Trägheitsmoment geht Gleichung 141 wegen

.    . (142b)

ßs

in

6 EJ 6 EJzll

z₀ — b über.

(J4 3)

/r

*■

V-

-J

-Mu

u⁺

Abb. 56.

Indem man wie beim Rahmen auf einfachen Stützen eine Verschiebung beliebig annimmt, ermittelt man hiernach die Strecke z₀, den Schub S, und damit das Stützenkopf- und das Stiitzenfuß-moment für jede einzelne Stütze. Dann zerlegt man diese Momente auf Grund der Übergangszahlen in der bekannten Weise.

Wie bei den früheren Untersuchungen über den Einfluß der Stützenkopfverschiebungen, wurde auch hier vorausgesetzt, daß die Balken oberhalb von der betreffenden Stütze sich gegenseitig nicht

Die übrigen Balken darunter wurden indes als unbedingt fest be-

verschieben.

trachtet.

Offenbar stehen diese Voraussetzungen mit den Verhältnissen der Wirklichkeit nicht in Einklang; es ist aber dennoch zweckmäßig, in der beschriebenen Weise vorzugehen, und zur Erlangung der endgültigen genauen Momente, das folgende interessante Verfahren zu beachten.

Abb. 57 stellt den linken Teil eines mehrstöckigen Rahmens dar, der sich so verhält, wie oben vorausgesetzt wurde. In Wirklichkeit werden die Stützen bestrebt sein, sich mehr zu strecken, und den Balken zu entsprechenden Verschiebungen Anlaß geben. Um diese Verschiebungen zu verhindern, kann man sich an den einzelnen Balken seitliche Kräfte denken, die das Bestreben haben, dieselben rückgängig zu machen. Diese Kräfte wurden in Abb. 57 allgemein mit 2ZlS bezeichnet. Sie können berechnet werden, sobald man die in der vorbeschriebenen Weise bestimmten Momente kennt. Dabei ist genau so wie beim Rahmen auf einfachen Stützen vorzugehen; immer sind nur die Momente in den Stützen unter dem betreffenden Balken maßgebend, hingegen jene in den Stützen darüber ohne Belang.

Diese Kräfte sind demnach durch

044)

2J S=±2

oder durch

Mk

(144a)

gegeben, wobei in der letzten Gleichung z den Abstand des Momentennullpunktes vom Stützenkopf darstellt. Wir haben diese Ausdrücke mit Doppelvorzeichen versehen, und setzen voraus, daß die Ergebnisse in jedem Falle als positiv aufgefaßt werden. Die Kräfte sind immer wie in Abb. 57 gerichtet.

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß die eigentliche Erzeugungskraft 2S durch die Kräfte an den übrigen Balken nicht beeinflußt wird, und die letzteren voneinander nicht abhängen. Überhaupt scheinen all diese Voraussetzungen und der Gang der Rechnung klarer, wenn man sich entsprechende Diagonalverspannungen denkt, die geeignet sind, die Balken in der vorausgesetzten Lage zu halten.

Es ist nun klar, daß, wenn man die Reaktionen der Kräfte 2? zlS wirken läßt, sich unmittelbar die wirklichen Momente einstellen.

Wir bezeichnen die Momente für 2 S' mit u (Abb. 57, a), für 2 S mit u (Abb. 57, b), und für 2 S" mit u" (Abb. 57, c); die Kräfte, die zu 2 S' gehören, mit 2z/S₁ und 2z/S₁", jene zu 2S mit 2zlS% und A zlS₂", und schließlich diejenigen, die 2S" entsprechen, mit 2 zl S₃ und 2 zl S₃".

Nun betrachten wir Abb. 57, b, wobei sich die Balken 2 gegenüber dem Balken 3 um Ji seitwärts schiebt. Soll sich dabei der Balken 1 und der Balken 4 wie vorausgesetzt verhalten, so müssen die Kräfte 2 zl S₂ und 2z/S₂" vorhanden sein. In Wahrheit fehlen diese. Wir berücksichtigen daher deren Reaktion, und denken uns zu diesem Zwecke an Stelle von 2S' die Kraft 2z/S₂' (Abb. 57, a), und an Stelle von 2S" die Kraft 2zl S₂" (Abb. 57, c). Davon herrührend ergeben sich die Momente

u,

2JS₂'

2S'

2JS₂"

2S"

u".

Durch die Kraft 2 zl S₂ am Balken 1 (Abb. 57, a) werden aber wieder die Kräfte 2z/S₂ • 2JSt : 2S' und 2zlS₂' • 2 JSt"': 2S" an den Balken darunter erregt, die immer dazu vorhanden sind, um die Verschiebungen gemäß der Voraussetzung zu regeln. Man denkt sich nun die Reaktion der ersteren Kraft an Stelle von 2S

(Abb. 57, b), und die Reakdon der letzteren an Stelle von ZS" (Abb. 57, c) und erhält davon die Momente

ZJS₂ ZJS₁

2jx,"

v - ---

Desgleichen ergibt sich von Z z/S₂" herrührend

ZzlS₂ Zz/S₃

~zS'~-‘^s~u’

ZS'

ZS'

u,

zjs₂’ zjs.; ^

ZS

ZS'

Dadurch sind aber die Kräfte Z z/S noch nicht erschöpft; es entstehen immer wieder neue. ZzlS₂' • Z zl S₁ : ZS' am Balken 2 (Abb. 57, b) erregt wieder ZJS₂ • ZzlSl. ZJS₂': ZS' • ZS am Balken 1 und ZJS₂-Zz/S₁ • Z zl S₂ : ZS"-ZS am Balken 3. Auch die Kraft am Balken 3 hat wieder neue Kräfte im Gefolge, die noch berücksichtigt werden müssen.

Es versteht sich, daß die von Z zl S abhängigen Werte bei dieser Steigerung immer kleiner ausfallen. Bei der Zahlenrechnung zeigt sich nun, daß man die Faktoren der Momente u, die allgemein die Form

Zzl S\n

ZS

haben, nur bis zur dritten Potenz zu berücksichtigen braucht. Auch jene Glieder, die von Z zl*Sj" und Z zl S₃ abhängen , dürfen-wegen ihrer Kleinheit stets gestrichen werden.

Durch diese Vereinfachungen büßen die Ergebnisse an Schärfe nichts ein, da man die Faktoren von u im allgemeinen bis zur dritten Dezimalstelle noch genau erhält.

Wir denken uns nun die Kraft Pf als äußere Last am Balken 2, die Reaktion davon am Balken darunter, und zielen darauf hin , die Momente für diesen Belastungszustand zu bestimmen. Den Gleichungen dafür schicken wir das folgende Schema voraus, und glauben damit das Verständnis genügend zu erleichtern.

ZJS₂'

ZJS₂"

~ZS"

u"

= k' u

ZzlS' ZJ&

~ZS' zs ¹¹

ZJS₂"ZJS₃

-V o» v g U = k U

k' -

ZJS₂'

ZS'

u -j- k'

ZJS₂"

ZS

k"

?SS₂'

ZS'

u' -J- k"

ZJS₂"

ZS"

u".

Es entsteht hiernach

wobei

k' -

H{ 1 -f- k' -f k")

ZS

J ?« -j- u

ZJS₂'

ZS

-f- u"

ZzJS^l

zs

Zzl S₂ Z !St

ZS' ZS

und

h" =

ZJS₂" ZJS₃

(x45>

ZS" ZS

Hiernach kann jeder beliebige mehrstöckige Rahmen genauestens berechnet werden, indem man sich den Balken 2 (Abb. 57) jeweils in der Wirkungsgeraden der in Rechnung zu setzenden Last denkt.

Weil immer ein Kräftepaar vorliegt, und die Reaktion einer Last jeweils an dem Balken darunter vorausgesetzt wird, hat man jede äußere Last an allen Balken unterhalb ihrer Wirkungsgeraden erneut zu denken , und entsprechend zu berücksichtigen. Als äußere Lasten hat man demnach immer die denselben zugehörigen Querkräfte zu betrachten.

c)

a)

LS' |

HA

EAS'Z j

ES'

ES l

Mn I---M

xas₃ |

eas:

2AS"

ES

I---

Momente u'

Momente u

j Momente u!’

ES

II

fl

Ahb. 57.

Die Gleichung für die Momente (Gl. 145) hat die allgemeine Form

(146)

M = u c —J- u c -j- u" c"........

und kann für' jede äußere Last bestimmt werden. Mehrere Lasten können zugleich berücksichtigt werden, indem man die Summe der Faktoren von den Momenten bildet, entsprechend

(*47)

Mtol = u2c-f u 2 c -f u"2c"

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß die beschriebene Methode nicht nur dann gilt, wenn die angreifenden Lasten in den Balkenachsen liegen ; sie kann auch noch in Frage kommen, wenn es sich um unmittelbare Belastung bei den Stützen handelt, wenn gleichmäßig verteilte Last, oder Einzellasten in beliebiger Anordnung vorliegen.

Man hat dabei nur den Umstand zu beachten, daß nunmehr an Stelle von H die seitlichen xAuflagerdriicke treten, die infolge der Belastung an festen seitlichen Stützpunkten entstehen würden. Zu diesen Momenten sind dann noch die den festen Stützpunkten entsprechenden zu addieren.

fr

fr

fr

fr

fr

fr

Abb. 58.

Abb. 58 zeigt noch einige Rahmen, bei denen die vorbeschriebene Methode auch angewandt werden kann und einen sehr zweckmäßigen Weg abgibt. Wir verweisen schließlich noch auf das Rechnungsbeispiel auf Seite 126 bis 140, an Hand dessen die vorbeschriebene Methode noch verständlicher wird.

§ 7.

Der zweistielige symmetrische Rahmen.

1. Voruntersuchung.

Wie bisher gehen wir auch hier in der Weise vor, daß wir zunächst die Momente für feste Stützenköpfe bestimmen, um erst daraufhin den Einfluß der Stützenkopfverschiebung nachträglich noch in Rechnung zu stellen. Der letztere wird beim Rahmen mit zwei Stützen beträchtlicher ausfallen wie beim mehrfach gestützten Rahmen, aber einfacher zu berücksichtigen sein.

Wenn sich mit dem Balken beide Stützen eines symmetrischen symmetrisch gelagerten Rahmens an ihrem Kopfe um z!i verschieben, so bestimmt sich die zugehörige Verdrehung gemäß Gleichung 65 mit r₂ = t₃ = t, und (Gl. 66)

a — 2 ß’

y.a —    — oc,

■'T

aus

a)

-ß

t) +

a(a —2 ß)

i-i

Ji

zu

-Mh

(h — a) ( 1

7s

N

i.

a — 2 ß

Das Stützenkopfmoment wird nach Gleichung 67, wegen Mß = o

Mk — Ma

7,

W/.

Abb. 59.

(A — a) (05 — 2 ß-{- y₈) ’

und das Stützenfußmoment beträgt

Mit

Mk ■

h — a \h ßs

Bezeichnet z den Abstand des Momentennullpunktes von der Balkenachse,

— Mu Mk ’

dann verhält sich

und es folgt mit obigen Ausdrücken h — z

a (a

² ß 4-

hßs

■ woraus *)

cc — 2 ß + ys

•    •    (148)

li — a

Für ßs gilt Gleichung 27.

ßs

²) Bei konstantem Trägheitsmoment von Balken und Stütze hat diese Gleichung die ein

fache Form

IJ

wo

u .

1 +    (3 -r k)

Bei fest eingespannten Stützenfüßen ist noch einfacher

Wir haben nun mit z in jeder Stütze einen Punkt, in dem die Momente unabhängig von der Bewegung des Balkens auftreten. Dort müssen sich gleiche Momente ergeben, gleichviel ob dabei der Balken als verschieblich oder als fest angenommen wurde. Wir machen uns nun diese Erkenntnis zu nutze, und bauen darauf die folgende graphisch-analytische Methode auf.

2. Die Berücksichtigung lotrechter Lasten.

Sind die Momente für unverschiebliche Stützenköpfe bestimmt, dann verlängert man die Stützenmomentengeraden bis zum Schnitte (C) und legt durch den so bestimmten Schnittpunkt eine Wagrechte; eine weitere Wagrechte zieht man im Abstande 2 von der Balkenachse, nachdem man z nach Gleichung 148 vorher bestimmt hat. Dadurch ergibt sich, von den Momentengeraden der Stützen eingeschlossen, die Strecke Ä B'. Punkt C', auf der unteren Wagrechten, kommt senkrecht unter deren Mittelpunkt.

Ist nun C' bekannt, dann zieht man die endgültigen Momentengeraden der Stützen, die von dort aus durch Ä und B' laufen, und stellt schließlich noch die Schluß-

SÄ

\Ftt\

*— a.4

linie des Balkens entsprechend den neuen Stützenkopfmomenten richtig. Damit ist die endgültige Momenten-fläche bestimmt.

ft

’~b>a

achse

A'

VzAB\

Wh

VzA’ßL

Um die Richtigkeit der Konstruktion zu erkennen, bedenke man, daß sich die Stützenmomentengeraden um die Punkte Ä und B' drehen, weil in den betreffenden Schnitten das Moment von der Stützenkopfverschiebung unabhängig erscheint, und daß die Momente auf der einen Seite vom Rahmen um den gleichen Betrag zunehmen müssen, als wie sie auf der andern Seite abnehmen, ein Umstand, weshalb sich der Schnittpunkt C längs einer Geraden bewegt. Seine Lage ist indessen durch die Forderung

2M¹

, 11 Sch/ußb'niebei^ ' unverschiebL

!!!

Stützen = ^köpfen /

Verlängerte kjomentengeraden \ j beiunzersck/ebbcken Stützen= /    /    köpfen

C¹'

M/fte unter A'ß'

Abb. 60.

o=2

kl Je    “ 2IU

gegeben, der offenbar dann genügt wird bezug auf eine Wagrechte entgegengesetzt gleich geneigt sind. Dies ist der Fall,

wenn die Stützenmomentengeraden in

wenn C' senkrecht unter der Mitte von A’ B' liegt.

In Abb. 60 wurde noch die Stützlinie eingetragen. Die Bestimmung derselben ist indes nicht unbedingt notwendig. Es ist Bedingung, daß sie durch die Momentennullpunkte geht, und dabei die Wirkungsgerade der Last in einem Punkte schneidet.

Die Normalkraft im Balken gewinnt man aus

(¹4 9>

— Mk -f Mu

Hinsichtlich der Festpunkte sei be-

den

merkt, daß man, um den Punkt .7 im linken Endfeld zu bestimmen Winkel aus am Stützenfuß und bei J im Mittelfeld und im Felde rechts davon jeweils den Winkel aos am Stützenkopf zu betrachten hat.

linken Auflager. Zeichnet man noch das

am

wobei die Momente jene für die linke Stütze bedeuten. Die Normalkraft beträgt

Ma — Mb

in der linken Stütze

N=A₀ —

(150a)

und in der rechten Stütze

N=B₀ +

Ma — Mb .

(¹5 ⁰ fr)

Fällt der Schnittpunkt C der Momentengraden (Abb. 60) soweit nach unten, daß dadurch die Konstruktion erschwert wird, dann kann man auch folgenden Weg in Betracht ziehen. Man zieht von einem Punkte 0, bis zu einer Wagrechten AB in beliebigem Abstand davon, zu den Momentengeraden der Stützen gleichlaufende Linien (Abb. 60a) und lotet den Mittelpunkt von AB nach 0', auf

eine Wagrechte durch 0. Die von 0' nach A und B gerichteten Strahlen geben nun die Richtung der endgültigen Stützenmomenten an. Die letzteren gehen dabei genau wie vor durch Ä und B' (Abb. 60).

Es soll noch eine weitere Methode zur rein graphischen Lösung gegeben werden. Dabei denken wir uns die Rahmenstützen in aufgeklapptem Zustande, so daß em über drei Öffnungen durchlaufender Balken vorliegt.

1/2 Aß

1/zAß

IO' 0

f J, g/e/cb/aufend m/f den J7Stützenmomenten =

" geraden be/festen Stützenköpfen

g/e/cb/aufend mit den entgü/t/gen Momenten* geraden der Stützen

Abb. 60 a.

Wenn die Festpunkte bestimmt sind, dann trägt man auf der ersten Auflagerlotrechten von links a nach unten und auf der zweiten Auflagerlotrechten b nach oben auf, zieht eine schräge Gerade und läßt diese durch die A-Punkte in den Feldern rechts hindurchlaufen. Diese Linie bildet mit der Wagrechten die Momentenfläche für eine Senkung Spiegelbild dieser Fläche, dann entsteht die schraffierte Momentenfläche (Abb. 61, b), welche dem gleichen Verschiebungszustand wie beim Rahmen entspricht, wenn sich dessen Stützenköpfe gemeinsam seitwärts schieben. Die Konstruktion ersetzt demnach die Gleichung 148 und liefert die Schnitte, in denen das Moment von der Balkenachsenverschiebung unabhängig auftritt.

Man berücksichtigt nun die Belastung in der bekannten Weise und bestimmt die Punkte Cj und C₂ in der Verlängerung der Momentengeraden der Endfelder auf einer Lotrechten durch die Mitte vom ganzen Balken (Abb. 61, c). Punkt D liegt in der Mitte zwischen Cj.und C₂ und gibt die Richtung der endgültigen Momentengeraden an, die durch Ä und B' hindurchgehen ¹). Die letzteren Punkte liegen dabei senkrecht unter den Momentennullpunkten der Abb. 61, b. Schließlich ist noch die Schlußlinie des Mittelfeldes auf Grund der neuen Stützenkopfmomente richtig zu stellen.

Die Punkte, die bei der ersteren Methode maßgebend waren, können auch bei der letzteren leicht nachgewiesen werden ; wir sehen deshalb davon ab , die Richtigkeit besonders festzustellen. Diese leuchtet schon dann ein, wenn man erkennt, daß die Punkte Ä und B' tatsächlich auch mit den Momentennullpunkten übereinstimmen. Um davon zu überzeugen, verv,'eisen wir auf die Ausführungen auf Seite 65 und 66.

J) Näherungsweise. Strenggenommen hat man den Unterschied der Momente in A' und B als Strecke mit dem Mittelpunkt in D aufzutragen, und die Momentenlinien von den Endpunkten aus zu ziehen; diejenige nach der belasteten Rahmenhälfte vom unteren und die andere vom oberen.

Abb. 61.

3. Die Berücksichtigung seitlicher Lasten.

Wie zuvor bestimmt man die Momente zunächst unter der Annahme unverschieblicher Stützenköpfe. Dabei muß man den A-Punkt in den Stützen kennen, der sich gemäß Gleichung 30 nach

h'² (3 h — 2 ti)

3 A'² V 6hs₀EJ bestimmt, wobei in vorliegendem Falle s₀ = ya oder y^.

man

punkt aus eine Gleichlaufende zu der Momentengerade der unbelasteten Stütze nach E'. Eine weitere Gleichlaufende zur Schlußlinie, durch den linken Stützenkopf, bestimmt auf der Auflagerlinie den Punkt E. Diese Konstruktion bezweckt

c)

■f

<T'

V,

\"0

^ Mitte zw/scben £, Cz

//

Cü)

i)

festpantrte

Mj /kos ti

Avxush

sT

zof

<>

4*— Kuäosh

Momenfen-

t\tu//pua/d

Momente

-II

fl

T7T

TV

Verlängerte Momenten/geraden be/m kontinu/er/tcben ßa/fren

Durch eine Tangente am Stützenkopf, an die Momentenfläche bei freier Lagerung, bestimmt man auf der Auflagerlinie den Schnittpunkt C. Dort errichtet ein Lot nach I) in Höhe der Balkenachse und zieht von diesem Schnitt-

die Bestimmung der Strecke EE'.

Nachdem diese bekannt ist, verbindet man den Mittelpunkt F mit A₀ und D; die erstere dieser Linien hat dann mit der Schlußlinie der belasteten und die letztere mit der Momentengeraden der unbelasteten Stütze gleiche Richtung.

Dadurch, daß diese noch durch die Punkte Ä und B' auf der Wagrechten in z (Gl. 148) von der Balkenachse gehen, sind die Momente der Stützen eindeutig bestimmt. Die Momentengerade des Balkens richtet sich nach den neuen Stiitzen-kopfmomenten.

Addiert man die Stützenfußmomente mit umgekehrtem Vorzeichen zu den Stützenkopfmomenten (am besten mit dem Zirkel), dann muß sich die Strecke A o ergeben. Dies ist wie folgt zu beweisen.

Ao*—

fi4p§S

a’K'~

I

l!

A I !\ 1SJ.

H— 27

7.

yAF//£.

NJ

g/e/chiaufenct j Sch/u/s/inie bei unterschied/. StäfzenköpEen

w//. c r

Mitte zwischen EE'

Abb. 62.

Mit den endgültigen Momenten muß sein (Gl. 86)

Da aber

A₀h = AC, AC=F(Mk Im Balken wirkt die Normalkraft

so ist auch

Mu)

■    (iS-)

Mu

A$²)

wobei unter den Momenten die der rechten Stütze zu verstehen sind, linken Stütze wird

In der

N= —

Ma — Mb

und in der Stütze rechts

Ma — Mb

■    • (153b)

Ist die Stütze rechts belastet, dann ist die Konstruktion sinngemäß Ebenso auch dann, wenn die in Rechnung zu setzenden Lasten Sind beide Stützen belastet, dann berücksichtigt die Belastung einer jeden Stütze für sich, um dann die Momentenflächen zu addieren. Einfacher wird die Rechnung bei symmetrischer Belastung der Einfluß der Stützenkopfverschiebungen wegfällt.

Die Bestimmung der Schlußlinie bei unverschieblichen Stützenköpfen wurde für die gebräuchlichen Belastungsarten Seite 52 bis 54 gebracht.

zuwenden, innen nach außen wirken.

an

von

man

da dann

4. Der Zweigelenkrahmen.

Die vorstehenden Ausführungen gelten bei beliebiger elastischer Einspannung am Stützenfuß; einfacher erscheinen sie beim Zweigelenkrahmen.

Bei lotrechter Belastung ist die Schlußlinie immer wagrecht gerichtet und geht dabei mit jener, die man bei der Annahme fester Stützenköpfe erhält, auf

der Symmetrieachse durch ein und denselben Punkt.

Die Einflußlinie für die Stiitzen-kopfmomente kann mit großer Genauigkeit als Parabel angenommen werden, mit dem Pfeil

Stüfz/fnie

Vs = ±

■ • 055)

-j- gilt dabei für die rechte und — für die linke Stütze. Die Parabel gilt bei gleichbleibendem Trägheitsmoment streng.

Zur Berücksichtigung von seitlichen Lasten ist die unter 3. beschriebene Konstruktion sinngemäß anzuwenden.

Schließlich sei noch darauf hingewiesen, daß das hier angewandte Verfahren . auch zur Berechnung von geschlossenen Rahmen sehr zweckmäßig ist, und dabei ohne besondereUnterschiede in Frage kommt.

i⁰

achse

Symers'/e =

§1 §?

iit

Abb. 63.

Cd

§ 8.

Der kontinuierliche Balken.

Wird in den Gleichungen für den mehrfach gestützten Rahmen das Trägheitsmoment der Stützen gleich Null gesetzt, so erhält man die Beziehungen finden kontinuierlichen Balken.

Die für die Festpunkte gültigen Gleichungen 34 und 35 nehmen daher hier folgende Form an (Abb. 64): .

b' =

Iß

■    • 056)

a-\-a —ß'

j' ,/r'

,s

l' — a

L.

i ß'

• • (x 57)

Abb. 64.

a -f- a — ß

l — b

Graphisch gestaltet sich die Ermittlung der Festpunkte sehr einfach (Abb. 65).

Bei elastischer Einspannung am Balkenende ergibt sich der erste Festpunkt wie in Abb. 19a (S. 23) ersichtlich. Der Festpunkt rückt bis an das Auflager, wenn gelenkige Lagerung vorliegt; ist der Balken jedoch fest eingespannt, dann fällt der Festpunkt mit dem Schnittpunkt von Diagonale und Balkenachse, nächst dem Endauflager, zusammen.

Sind die Festpunkte bestimmt, dann erhält man die Momente nach den gegebenen Regeln. Bei Einzellasten kann dabei die Schlußlinie nach der Tabelle auf Seite 32 festgelegt werden. Gleichmäßig verteilte Last kann man nach der bekannten graphischen Konstruktion berücksichtigen. Näherungsweise ist diese auch noch bei Einzellasten anwendbar. Für Streckenlasten gilt die Konstruktion Seite 34.

Die Berücksichtigung des veränderlichen Trägheitsmomentes empfiehlt sich besonders dann, wenn die Einhaltung einer möglichst geringen Konstruktionshöhe geboten ist, da die verstärkten Querschnitte nächst den Auflagern zur Aufnahme von Biegungsmomenten empfänglicher sind und somit eine gewisse Entlastung in Balkenmitte bewirken.

Tn"

Abb. 65.

§ 9-

Rechnungsbeispiele.

1. Voutenplatte, kontinuierlich über vier Öffnungen.

Häufig findet man die Eisenbetonplatten zwischen T-Trägern bei verstärkter Ausbildung an den Auflagern. Konstruktiv sind diese Verstärkungen schon gegeben, wenn die Träger mit Beton ummantelt werden sollen. Es wird damit eine Verminderung der positiven Biegungsmomente gegenüber jenen beim gewöhnlichen durchlaufenden Balken erzielt, wodurch sich eine geringe Plattenstärke bei entsprechend schwächerer Bewehrung ergibt. Den größeren negativen Biegungsmomenten steht ein höherer Querschnitt gegenüber, so daß auch an den Auflagern der Eisenbedarf meistens noch sinkt.

Die genaue Ermittlung der Momente fällt unter die hier gebrachten Aus

führungen.

Als Belastung wird angenommen

Ständige Last . . g = 0,35 t/m2 Zufällige Last . . p = 0,50 t/m2 Insgesamt ^ = 0,85 t/m².

a) Bestimmung der Festpunkte.

und beginne in x/₄ l.

Auflager. Theoretisch ist jedoch am Auflager ha = 29 cm.

Die Zunahme der Querschnitthöhe erfolge nach dem Gesetz III (parabolisch) Die Plattenstärke sei 12 cm in der Mitte und 26 cm am

Es wird nach Gleichung 21a und 21

ha

h»i

KO

I = CNJ 1,4,

Voutenlänge Spannweite

Hierfür entnimmt man der Tabelle (S. 17)

cpb — 0,886.

cpa = 0,738 ,

re/of 1

Fe/d Z

26    yd=70cm

Fe/d 3

y 26

Fe/d ¥ ,d-10cm

T'

¥,00

-3,zo

Wj

Festpunkte

Parabel

ß l—

~P

a)

Äi

FI

FFF

i\

IX

y\

tr

TT

•^rx.

*0,82 * <^i,os—>

•*-1,10

^7(7

-<-1,08-

Momente

D'gen/ast

Zufällige Last

I 3z

KN

X\

S-

! >«

¥\

T7

Xl

'0,70(F

1f\

³i i

i_

Grenzwerte der Momente

o)

it

\\

im i

>1_4- 1,76 TTlt

'K

Kl

4

!/

\\

ixm

b\

5I

vll..]v'

kk i i

ff !

\>

f\!

\l

I.

IW

\W

h__r i

L ängenmafistab

1,0 0,s 0

S 778

Momentenmaßstab 0 0,10,z 0,3 Og 0,5

Momente f oeränder/. Trögh. Moment ■"    ” "konstantes "    "    "

7,0771t

Abb. 66.

Die Gleichungen 37 lauten l*Kv

Za

2 E Jm

(fa

Zb

l '² Kv 6 EJm <Pb

und liefern, wenn Kv = EJm gesetzt wird,

für die Endfelder (l = 3,20 m)

3,2²

Za =

• 0,738 = 3,779 in²,

zb = -

und für die Mittelfelder (l 4,°²

Za

2 2 ²

³’ — • 0,886 =

6

= 4,00 m)

• o,738 = 5,904 m²,

4,° ²

—• 0,886 = 2,363    „ .

o

Hiermit konnten die Festpunkte bestimmt werden (Abb. 66, a).

Zb

b) Ermittlung der Momente.

Bei freier Auflagerung wird

Mg = 0,35 •

3,2²

0,448 mt,

Endfelder

Mp = 0,50 •

3,2²

0,640

Mg = 0,35 •

4,°²

0,700 »

Mittelfelder

Mp = 0,50 •

4,°²

1,000 „ .

Hiernach trägt man die Momentenparabeln auf und verfährt weiterhin zur Bestimmung der Momente in der bekannten Weise (Abb. 66, b und c).

Es entstehen folgende Ergebnisse:

.    . M

Endfeld .

= o,68 mt.

^entspr.

Qll

Mittelfeld

max

= 0,63 „

qi\

21,6 /

Stützenmoment

-K*-

Stützenmoment (Mittelst.) Mm-m — — 1,76 „

Der Verlauf der Grenzwerte der Momente ist in Abb. 66, c dargestellt. Um die Wirkung der Youten kenntlich zu machen, sind zum Vergleich noch die entsprechenden Linien bei beständigem Trägheitsmoment eingetragen. An Hand dieser Kurven zeigt sich das günstige Verhalten der Voutenplatten sehr deutlich.

Für die unendlich lange Platte mit l = 4,0 m ergeben sich, bei denselben Abmessungen und derselben Belastung wie vor, die Feldmomente (Gl. 52)

7,7

dfmax

(fl,

(fa

(²0 + p)]

4,°²

24

|^3 • 0,85

0,886

o,738

(2 • 0,35 -f- o,5o)J =0,74 mt. (entspr.

-1

24 L

39

(pb

(fa

4,o²

24

3 • 0,35

0,886

0,738

0,26 mt. ^entspr.

ql²

5 ²,3

Bei beständigem Trägheitsmoment wird (Gl. 53) 4,o²

“(?+2p)

24

24

(o,35 + ² * °,5°)

i²

4,o²

24

24

(0,35 — 0,5°) =

= 0,90 mt. ^entspr. o, 1 o mt. ^entspr. -

q l²

15,¹

ql²

136

2. Balkenbrücke, kontinuierlich über drei Öffnungen.

Es soll hier ein Hauptträger von der in Abb. 67 dargestellten Straßenbrücke berechnet werden.

a) Belastung.

Ständige Last.

.    0,24 • 1,8 = 0,432 t/m²,

.    .    0,15.2,4 = 0,360    „    ,

0,018    „    ,

g — 0,810 t/m².

Bei einer Trägerentfernung von 1,40 m und dem vermittelten Balkenformat 30/80 ergibt sich als Gewicht für 1 lfdm. Hauptträger

1,40 • 0,810

o,35 • 0,80 • 2,4 = 0,67 „ ,

g = 1,80 t/m.

Schotter Platte . Isolierung rd.

Fahrbahn

Balken

1,13 t/m,

Hauptträger

Zufällige Last.

Die gleichmäßig verteilte Last betrage 0,40 t/m².

p = 1,40 • 0,40 = 0,56 t/m.

Sie bringt für den

Außerdem wird noch eine Dampfwalze von 10 t Dienstgewicht in Rechnung gestellt. Die Lasten davon wirken im Abstand von 3,2 m, und haben die

Vorderrad

Größe (Abb. 67)

2,86 t, beide Hinterräder 2,70 t.

b) Trägheitsmomente.

Balkenmitte. d __ i5

Es ist

b₀ 35

140

0,25. (Abb. 67.)

Dafür entnimmt man der Tabelle fi = 0,434 (S. 9) und erhält

1,40 • o,8o³

Jjn

bh³

12

■ o,434 = 0,0259 m⁴.

Auflager.

Es ist

*5

180

= 0,083

35

140

0,25, wofür /u = 0,377

und

Ja

bh³

fi =

1,40 • i,8o³

• o,377 = 0,2563 m4-

-s

il

Querschnitt

(¥Jp.

Ss

<5r*

ipo

W/zM>2m9.

-V‘-\

-1,10-

1,10-

>ji*

-1,10-

17,50

5=:

iE

EEÄ

Längsschnitt (AufZager)

1« .

|E

tüT'

|j:i:

yrrrrr/Ä^^g^m,

'j/////////////////^^//////////////^/.

'///////Sa

S-

s.

1 :j

!•/

_Jf^⁰y^par

-1/12 l

ö&e/

1/3 l

Vizl

-t/izl

SS

Querschnitte

iE

§>

Dampfwalze fio t)

*t-jL

» if_

L-—

* t i_._

-J,20->

N-

¥t

~T

Jl

Ba/kenmifte K-IpO-j-»j

Auf Zager \<—

^w%

-1,20-

U- *l

iE

ra

¥5°

■7ö'ö

/orderrad ^ p = ¥P'¹P. = ZS6t

17 SO

V--'*\y3,ot

fps

opv

3gt

iE

3> Y~

r o

\*

0,975-*r

1,07

Li>

5-

0,75■»

1,70

Beide Hinterräder

p=ißjfifos1'⁰‘3,fS+

0,13'1,335+0,75- 0,375)=2,70t

Schema

ff Jf iJ

2T

///

17,5-

'3P5SQP,73_1-1?¥

)737pgss_

QT

Abb. 67.

Strassner Neuere Methoden.

.

!

\

)

.

\

'

/

c) Formänderungswinkel.

Bei parabolischer Untersicht soll die Zunahme der Balkenhöhe in ¹/₃ l ihren Anfang nehmen. Nach den Gleichungen 21 wird

I = 1,15.

0,2563

0,0259

Voutenlänge

Spannweite

A

Durch Zwischenrechnung gewinnt man dafür aus der Tabelle (S. 17) g)a = 0,677, cpb = 0,826.

Nach Gleichung 15 gilt für die Formänderungswinkel

2 EJm

wonach für die Endfelder (l = 14,5 m)

9>a, ß —

6 EJ,

<Pb,

EJm cc

14,5

• 0,677 = 4,9o8 m,

i4,5

--0,826 = 1,996 m,

6

und für das Mittelfeld (l = 17,4 m)

EJm cc —-

i7,4

. 0,677 = 5,890 m,

17,4

7--0,826 = 2,395 m-

o

d) Die Festpunkte

werden rechnerisch bestimmt, nach Gleichung 156

Iß

l' — a

aa — ß'

Endfeld links a = o.

Mittelfeld

17,4 • 2,395

5,890 -f- 4,908 — 1,996

= 4,734 m.

Endfeld rechts a =

14,5 ’ U99⁶

4,908 + 5,890 — 2,395 '

17,40

= 3,855 m-

i7,4o — 4,734

Die Ermittlung der Festpunktabstände b erübrigt sich, da Symmetrie vorliegt

e) E i n f 1 uß 1 i n i e n.

Wir geben einer Last P= 1 einer Reihe von Angriffspunkten, und bestimmen dafür die Momente. Zur Bestimmung der Schlußlinie benutzen wir die Tabelle (S. 32). Wegen der parabolischen Balkenform kommen dabei die Werte für v — x in Frage; außerdem ist noch (Gl. 18)

Jm

0,0259

Ja 0,2563

10

und X = —-

6*

Tabelle für die Schlußliniensenkung.

Mittelfeld

/ « - 4.734 m \ & = 4734 m Lastpunkt

Endfeld ( a = 0 (links) \ 0 = 3,855 m

Lastpunkt

—    Sa : a

—    Sb:b

0.315 i o.3s9 0,24t 0,241 : 0,389    0,315

0.230    0,371    0,389    0,309    0,165

0,165    0.309    0,38910,371    0,230

| Aus Tabelle

/    (S- 3 2)

— Sb

0,929    1,500

1,214

Sind die Momente bestimmt bekannten Weise.

1,089 : i,75⁶ i 1,842 0,781    1,463- 1,842

dann gewinnt man die Einflußlinien in der

1,463 0,781

i,75⁶    1,089

f) Moment e.

Zur Bestimmung der Momente infolge Verkehrslast wurden die Einflußlinien ausgewertet (Abb. 68). Die Berücksichtigung der Eigenlast erfolgte für sich (Abb. 69).

Schließlich wurden noch die Grenzwerte der Momente bestimmt, und zum Vergleich auch noch diejenigen Kurven gebracht, die beständigem Trägheitsmoment entsprechen.

.Unterschied

Trägheitsmoment

veränderlich

Trägheitsmoment

beständig

Endfelder Mittelfeld .    .

Stützenmoment .

41.2    m/t

27.2    m/t

-37min - 85,6 m/t

M —

irjmax -

3Tmax —

45,4 m/t 38,1 m/t 37mi„ = — 68,3 m/t

M —

iUmax -

M —

irimax -

10 v. H. 40 v. H. 20 v. H,

g) Querkräfte.

Auf Grund der Momentenlinien wurden die Einflußlinien für die Querkräfte in der bekannten Weise ermittelt (Abb. 69). Hat man die Querkraft für Eigenlast durch eine schiefe Gerade dargestellt, dann ergibt sich der Verlauf der Grenzwerte wie folgt. Man bestimmt für Verkehrsbelastung die größten positiven und kleinsten negativen Querkräfte an den Auflagern, und auch noch diejenigen Querkräfte, die dabei jeweils am Auflager gegenüber entstehen. All diese Querkräfte addiert man zu jenen infolge Eigenlast, und verbindet die, die einer Laststellung angehören, jeweils durch eine Gerade. Auf diese Weise ergeben sich in jedem Feld vier Linien, von denen je zwei gleiche Richtung haben. Die Grenzwerte der Querkräfte können nun mit hinreichender Genauigkeit durch parabolische Übergangskurven dargestellt werden, welche die äußersten dieser Linien an den Auflagerlotrechten tangieren.

3- Rahmen mit drei Öffnungen.

Der in Abb. 71 dargestellte Rahmen soll bei lotrechter und bei seitlicher Belastung berechnet werden.

I. Lotrechte Belastung.

Ständige Last. Zufällige „ .

= 1,80 t/m, = ²>4°    „

Insgesamt q — 4,20 t/m.

Fe/d 7

dr

Fe/d 2

Fe/d 3

ÜF

L-

L\

czj Momente

__N

■5T~~

4-

'7

-e-

-7-

6,

Querkräfte

TH

ss ~~C V . /

TI

bj Finf/ujs/inien Schnitt 1

p -0,56 t/77l

Wt

U//>|

Ni

11! 111 ul

11J1 f 11 11t

; I II I I I 11 11 I 11 I 111 M I i I I 1 1 ! 111 lll 1 1 1 1 I ! I ,'

58

<NT I

I.

M=Z,86-Z,1S+Z,70-1,71+0,56(3,0-1,91+6,5-0,53+19tS-0,13)=16,Z9mt M=—Z,86-0,7-7—Z,70-0,77—0,56(l,7-0,25+ 7,7-0,21= —1,1877zt

Schnitt Z

iS

IN"

98‘2

11 i 1111 11 ll 11111111

~TT~~

TT

s-

* -7/=

TTTmT

| I 11 III; | I I III [ 11| IIII

_ I I

M=Z(86-Z,69+Z, 70-1,28+0,66 (Z, 8-0,70+6,7-1,08+11,5-0,25) =17,857711 M= —Z, 86-0,97-Z,70-0,97-0,56 (1,7-0,79+7,7 ■ 0, 73) = —8,377711

58

<u>

Ol“2

\Z,86

IL

TTT

<NT I tsj-l    I    1    1    "    1    ¹

\M=Z,86-1,77+2,70-0,39+0,5e(l,0-0,06+3,0-0,61+11,5-0,38)=9,39JTLt

Stütze JT

M= ~Z,86*7,71—Z,70-1,71-0,56(77-0,7777,7-0,67 75,7-0,07) = -12,767711

---

H---f--

NN

iiil »

I ^ i «TI

58 i

rTTTTTmii³

55

=F

f:ip-

Schnitt 1

M=Z,86-0,7S+Z,70-0,7S+0,56 (l,1-0,39 +5,7-0,35) = 6,ZZmt M=—Z,86-1,88-Z,70-1,88-0,56(1,7-0,98+7,7-0,85+11,5-1,3s)=-27,66J7lt

5§

TT

ntTTEffl

Milli

58

<sT

Schnitt 5

< M=Z,86-7,28+Z, 70 -0,10+0,56(Z, 7-0,7 7+11,5-0,18) = 6,02 7711 \M—Z,86-1,50-Z,70-1,50-0,56(1,1-0,76+5,7-0,69+10,9-0,2l)=—13,69171t

58

Nf

58

(rrnnf

N~rmj

1111111(111 IM 111

TTTTi 11111 tll fl

111 m 111 1} : □ ,T~

«S?

M=Z^86 -2,19 +Z, 70-1,72 +0,56 (5,2-0,91+ 7,2 -0,3+) = 73,30 T7lt

Schhitt 6

| 8 !

T l__1111 i 11111 rrn °nT I

ij 1111 ii cn|| ^ i!|i 111 ii 1111 r

länpenmajsstab ioO 1 Z 3 1 5 6 7 8 9 10m

IM ■    ’ ’ 5    ■ I

Ordinatenmaßstab 1,o 0,5 0 1 Z 3    1 5m

'W^-Z,66-1,OS-Z,70-1,05-0,56(1,1-0,52+5,7-0,73+11,5-0,17)=—9,77771t

\    \    1    |    1    |    |

|_1111111 IM I i I [ 111111111 i --------I    ^—■—

I    7i 1; i 111 n 1111 i 11111 iii|i: 1111¹:111 im i . l~T7~

NN

I VS,

V'i

M=Z, 66-Z,60+Z,70-1,37+0,56 (1,3-0,76+8,1-1,07) = 76,79rnt M=~Z,86-0,63-2,70-0,63-0,56(1,1-0,33+5,7-0,29111,5-0,7j)=— 8,63mt

Abb. 68.

/

y

/

. &

■ Vfc,

Querkrafte

Stützei I

a i

<\T

11:11111in 1111111 m 11111iii

OÜ7

1111111[ 111111I lll I II ! ii~T

11111 iill111111111111ii1111111111111

Stützen

(Zinks)

Qr~Z, 86-1,.0+Z,70-0,70+0,Se(lO,1-0,135+19,5-0,03?) =6,S8t (Qi = ~V,83t) Qr = -Z, 86-0,198—Z, 70-0,198-0,56(9,7-0,0771-8,5-0, 06t)=-1,38t (Qi — t

ni

M"

98 7

Stützen

(rechts)

TTTTTTTTTTnr n i [ i 'n 111 iy 1111111111111111 i;i n t lj-i_u|    p- p— j

Ql=Z, 86-1,0-Z, 70-0,87-0,56(10,1-0,9951-17,1-0, 09s)=-8,63t(Qr = Z,58t) Ql =Z,86-0,05Z1-Z,70-0,052tO,56(9,1-0,0271-S,9-0,029) =0,93t(Qr- 0,93t)

In*

I I I I I 1.1 I I I I M I I I

Momente für Eigen/ast

» jife.....i¹'.......I¹'.....

"'J    I Qr =Z,86-1,01-Z,70-0,8S90,56(13,0-0,373119,2-0,093)=8,72t (Q^-9,12t)

Qr- = -z,86-0,139-Z,70-0,139-0,56(9,1<V,0721-5,1-0,06l)=~7,13t(Qi = - t,13tj JE !

197,31111t

?68,t2TKt    |

Grenzwerte der Momente

. Mqfsstab für Momente    . .

\ ff ¹° 20 30

II i j ! iil

| Eigen/ast

J Stützei \Qr=0,396-18,5-1,8=9,03t

<S SrützeH fL =0,659 ■n,5-1,S‘t^07t Qr =0,50-17,■8-1, 8=15,66t

<r>

«s-

WZ

?$\\

i /

IX

vm

4\

Ni

Vs-

#1

\\

Hl

'Eigenlast

r-i

Grenzwerte der Querkräfte

xttijr/

vt

\|\

\\

\i

i\

/!

90t

ZS, 70

’S

|-*—Z9,38

fE';

Eigen/ast

Längenmaßstab 1 O Z 9    6    8    10m

Momente für veränderliches. Trägheitsmoment konstantes

//

Abb. 6g.

i

>L

i

7

i

I

!

t

•S

n

*

/

i

'!

i

i

!

■

i

}

i

Balkenmitte.

a) Trägheitsmomente.

Es ist

= °;2°,

3°

3°°

= O-IO,

wofür = 0,231 (S. 9).

Folglich wird

J)ii —

bhs

LI =

3»° ’ °>⁶°³

• 0,231 = 0,01247 m4-

Auflager.

Es ist

120

= 0,10,

30

Ja =

bh³

Endstützen (30/50 cm) o, 30 • o,5o³

3°°

3,0 • 1,20®

0,10, wofür /.i = 0,2 16 und

• 0,216 = 0,09331 m⁴.

= 0,003125 m⁴.

= 0,00540 m⁴.

Zwischenstützen (30/60 cm) 0,30 • o,6o³

b) Formänderungswinkel.

Balken (Abb. 70). Es wird (Gl. 21)

vi—y

0,0933!

0,01 247

1 = 0,96,

, Youtenlänge Spannweite

CBa/kenachse fneufra/e Achse)

obel

IS-

Abb. 70.

Da es sich um parabolische Balkenform handelt, gilt die Tabelle Seite 17, wonach durch Zwischenrechnung

folgt.

cpa = 0,702, 9Pj = 0,843

Die Gleichungen 15

— Cpa , ß =

6 EJm (pb

liefern für die Endfelder (l — 7,0 m) 7,0 • 0,702

Ea

Eß =

2 • 0,01247

7-o • 0,843

= 197-03 t/m³,

6 • 0,01247

7⁸-87    „

und für das Mittelfeld (l = 8,5 m) 8,5 * 0,702

239,25 t/m³,

Ea

2 • 0,01247

Eß =

8,5 • 0,843

6 • 0,01247

95,77

h' = 3,95 m)-

Stützen (h = 5,0 m,

Gleichung 27 lautet

ßs -

ti² (3 A — 2 ti)

6 A² EJ

und gibt für die Endstützen

Eßs =

3,95+3. • 5,° ~ 2 -3,95)

6 • 5,°²'0,003¹²5

= 236,32 i/m³,

und für die Zwischenstützen

E ßs

3,95²(3 • 5,° — ² -3,95)

6 • 5,o²- 0,00540

= 136,76 i/m³.

Der Winkel am Stützenkopf (Gl. 33)

ti ³

4 AV(3 A² — 3 hti +A'²) ’

beträgt bei den Endstützen

Eys =

3,95³

4 • 0,003125 (3 • 5,o²

3-5,°-3,95 + 3,95²)

— 156,77 i/m³.

und bei den Zwischenstützen

Eys =

3,95³

4 * 0,00540 (3 • 5,o² — 3 • 5,° • 3,95 + 3,95²)

90,72 i/m³.

c) Festpunkte und Übergangszahlen. Man erhält nach den Gleichungen 34 :

Endfeld (links).

7,o • 78,87

197,03 + 156,77

= 1,560 m (Z — a = 5,440 m),

= 197,03 — 78,87 •

7,°

5,440

— 95,54 7m3,

Stütze II.

j_iri —

90,72

90,72 + 95,54

= 0,487-

Mittelfeld.

8,5 • 95,77

239,25 + o,487-95,54

— 2,849 m — a

5,⁶5 1 m)-

Eya = 239,25 — 95,77 •

8,5°

5,65 ¹

95,20 i/m³,

Stütze III.

Uri =

90,72

90,72 + 95,20

= 0,488.

Endfeld (rechts).

7,0; 78,87

197,03 + 0,488.78,87

= 2,267 m (l — a = 4,733 m),

80,38 ^m³.

Eya = 197,03 — 78,87 •

7,°

4,733

Der untere Festpunkt der Stützen liegt in (Gl. 32) ti 3 h — 2 ti 3    2 h — ti

1,545 m (h — a = 3,455 m).

3,95 3 • 5,° — ² • 3,95

² * 5,o — 3,95

In Abb. 7i,a wurde die Bestimmung der Festpunkte überdies noch graphisch durchgeführt. Auch die Linien zur Verkleinerung der Momente wurden dort besonders ermittelt.

Um die Diagonalen festzulegen, hat man nach den Gleichungen 37 Kvl²

za

^jPa, zb

Kv l²

2 E J

Mit Kv = E Jm, wird für die Endfelder

7,°²

6 E Jm

za

• 0,702 = 17,20 m²,

7,o²

-—•0,843= 6,88 o

und für das Mittelfeld

*a =

8,5²

• 0,702 = 25,36 m²,

Zb =

8,5 ²

— • 0,843 = 10,15    „ .

Endauflager (Gl. 40 ;

am

Für den Winkel am Kopf der Endstütze gilt Eys— 156,77 ¹jm³, und man hat demnach, um den ersten Festpunkt zu bestimmen es ist hier ea = ys)

cc — Ev sa — EJm ys,

= 0,012 47 • 156,77 = 1,95.

Hingegen gilt für die Winkel am Auflager II und III, wegen Eys — 90,72 ¹jm3 (Gl. 38)

cc — Kv y s — EJ,m y s,

= 0,012 47 • 90,72 = 1,13.

Da 1,0 m im Längenmaßstab 2,5 m² im Maßstab für £ darstellt, wird mit dem Verzerrungsverhältnis £=2,5

bei den Endsttitzen

tan a =

U95

²,5

= 0,78,

bei den Zwischenstützen tan a

1,13

²,5

0,45-

Mit diesen Werten können die Festpunkte und die Linien zur Verkleinerung der Momente bestimmt werden. Dabei braucht man nur die ./-Punkte und die firi~Linien zu ermitteln, da die übrigen Festpunkte und die [.iir -Linien sich auf Grund der Symmetrie ergeben.

d) Momente.

Bei freier Auflagerung erhält man

für die Endfelder (l=q,o m)

Mg

1,8 • 7,o²

= 11,03 mt.,

Mp =

2,4 • 7,o²

= *4,7° „

für das Mittelfeld (l = 8,5 m)

Mg

1,8 -8₎₅²

16,26 „

Mp

2,4 ■ 8,5² _

21,68    „ .

Die Bestimmung der Momente erfolgte genau nach den bekannten Regeln, bei Beachtung von dem einzigen Unterschied, daß sich die Momente nunmehr beim Überschreiten der Stützen verkleinern. (Abb. 71, b.) Es ergaben sich dabei folgende Werte: (Abb. 71, c)

Endfeld links :

Maximalmoment . M =

10,6 mt. ^entspr.

qP

Auflager links

M= —

s,3 „

Ql²

24,8 / ’

rechts . AT= —32,. 5 „

gi²

6,3

Mittelfeld :

Maximalmoment . M =

14,0 mt. ^entspr.

qP

21,7

Auflager . . . M = — 29,8 „

qP

10,2

Endstütze I:

Unterkante Youte M— —

5,7 mt. ^entspr.

q l²

36,1 /

Stützenfuß .    . M =

Zwischenstütze II:

Unterkante A^oute M=— 2,5 mt. ^entspr.

q l²

IOI

< 7,9 „

qP

3U9

Stützenfuß

I)6 n ,

.    . M= —

5,° » •

Um die Wirkung der Stützen zu zeigen, wurde schließlich noch der Verlauf der Momente für den gewöhnlichen durchlaufenden Balken eingetragen.

Rahmen über drei Oeffnungen

Querschnitte

Batkenmitte

Auf Zager

$■-

tangX=0,78

\\

<*)

\\

OC'

Pf

r *³'⁰⁰—*\

tP'ZW^

I4»⁴

—-3,oo--

.£

^ ta/K76l=D‘Ür^~ ^

50 Ot—

0,30

-W*

*^2,Z7

4>

\PP

fr

£_

jf

fsjf

W/

ß2,8S,

7,00—'

l>

8,50

58

}> 4—2,Z7

X'SO/60

-7,00

+.

30/80

£.

mt/jL

'Maßst abf d. Strecken z,^

7(7

fwi

g*7,e t/m

Momente

Fe/d 7

.-f."

Feld 2

Feld 3

s*.

V.

3*1

!>

<0

/i

re

Zßx

■3

yTrC

Auflagerdrücke

ZOO

9-

&

Grenzwerte der Momente

PPP

\\

-32,S-UI:,

rti

29,8 |

<55-

i

li

\l

c)

ft

!/

!\

fl

max Aj^O^b glj+0,05 pil-t

n rt

Aj₁=0,e2gl₁+0,6vp.lrc0,s(gt[i) l₂

«s

bi

73_.

1-2,5

\ |\ <6

\>y|

iiay l

\P

Tß ife*

! \T/!

'Figen/ast

‘‘■■iw

1/

n/ast

7,6 |

' \ I /

! i_ / j

i i    “1

'L/nterk.

Voate

Z ängenmajsstab

2    3    ¥ Strh

Momentenmajsstab %P °’s    0

7,0 TTlt

Momente für Rahmen (i£veränderlichj »    " Balken (^konstant)

// n

Abb. 71.

'

• '

\

/

%

>vj

II. Seitliche Belastung.

a) Einfluß der Stützenkopfverschiebung.

Wir schlagen den auf Seite 43 und 44 beschriebenen Weg ein, wonach man die Verschiebung aller Stützenköpfe auf einmal berücksichtigt. Nach den Gleichungen 66 wird für die Endfelder

y-a =

y-b = — y-a = E

197,03 — 2 • 78,87 78,87

= E 0,02545 m³,

197,03

• 0,025 45 = .#0,01019 m3>

und für das Mittelfeld

y~a —

y-b — E

239,25 — 2 • 95,77 95,77

E 0,020 96 m³,

239,25

• 0,020 96 — E 0,008 39 m³.

Gleichung 65 ist zweimal anzuschreiben; für die Stütze I und für die Stütze II. Wir setzen dabei für die Verschiebung EMi — 1000 t/m, und erhalten wegen Ei = En?

Eti[i + ¹5⁶,77 (0,02545 — 0,010 19)] -f#Tn • 156,77 • 0,01019 =

Ex\\ [1 -j- 90,72 (0,025 45 — 0,010 19 -[- 0,020 96 — 0,008 39)]

-j- E%i • 90,72 • 0,010 19 -j- Ern • 90,72 • 0,008 39 =

1000

3,455

1000

3,455

oder

woraus

Exi • 3,3929 + Exu * ¹,597² = 289,44

Ex1 • 0,9244    Exn • 4,2864 = 289,44

Exi —Exiv = 59,568 t/m²,

Exn = Exin= 54,679 » •

Mithin werden die Stamm-Momente (Gl. 67)

= xi (xa — xb) -f- Tn xb

Endfeld

links

= 59,568(0,02545 — 0,010 19)4-54,679.0,010 19= 1,466 mt.

Mb — — tu (y.a — xb) — xi xb

= -- 54,679(°,°²5 45 — o,oi° 19) —59,568.0,010 19 = —1,441 mt.

Mittelfeld

Ma = — Mb = Xu (xa — Xb) 4- Ei Xb = Ei ya = 54,679 • 0,020 96 = 1,146 mt;

Mji = Ma = 1,466 mt.

Stütze I und IV

Mu =

!E(El + Mi)

h — a \hßs *    /

!,545

1000

Stütze II und III

41,466^

= — 1,034 mt.

5,0-236,32

Mk = Ma — Mb = 1,146 + i,44i = 2,587 mt.

3,455

Mu =

1000

3,455

5,0.136,76

f 2,587 ) = — 1,811 mt.

ES ‘2759t ₁

1.966

^rTTl+P

1,198

1,991

zp

2,587

7,966

^-1,039

Abb. 72.

Die Stammkraft beträgt (Gl. 74) Mjc

ZS =

— (1,466 4- 2,587 + 1,034 -j- 1,811) = 2,759 t.

5>°

man

b) Festpunkte K der Stützen.

Um den Einfluß der Belastung bei festen Stützenköpfen zu bestimmen, muß die Jf-Punkte der Stützen kennen. Dieselben bestimmen Sich nach Gleichung 30

h'² (3 h — 2 li)

3 h'² + 6 h s₀ EJ '

Encfstützen.

Der Winkel 8₀ betrifft hier das Balkenende, wofür (S. 91) Es₀ = Eyi = 80,38 i/m³.

3,95² (3 • 5,° — ² ' 3,95)___

.3 • 3,95² + 6 • 5,0 • 80,38 • 0,003 125

Mithin ist b =

= 2,038 m.

Zwischenstützen.

Für das linke Endfeld ist Eyä = 95,54 i/m³ und für das Mittelfeld Eya = Eyi — 95,20 i/m³ (s. S. 90).

Es wird sonach (Gl. 84)

Ee₀ = E

yd yb

95.54 • 95,2°

yd+n

womit

95.54 + 95,20 3,95² (3 -5,° — 2 . 3,95)

= 47,70 1/m³,

3 -3,95² + ⁶ * 5,° • 47,7° • 0,00540

= 2,031 m.

(Gl. 85)

Für den Teil, der vom Stützenkopfmoment in den Balken rechts geht, gilt

f.ir —

yd

95,54

yd + yb 95,54 + 95,20

= 0,501.

Ila. Belastung der Stütze II durch P = 1 t.

a) Momente bei unverschieblichen Stützenköpfen (Abb. 73, a)„ Bei freier Auflagerung entsteht

M= P

XX

= 1,0 •

3-0 • 2,0

5,o

— 1,20 mt.

Die Festlinienabschnitte betragen (Gl. 102)

Su = — Pa

[ir(,+i')+rs

{ti — Ag)²(3 h - 2 h' — i-h)

ti² (3 h — 2 ti)

= — 1,0-1,545

³    (3,95-3,o)²(3-5,o-2-3,95-3,o)

3,95² (3 -5,°

S₀ = -Pb ßr(i + S) + £³

h'² (₃ h —

2 ti) ]

2-3-95)

= — 0,566 mt

= — 1,0-2,031

3,°³

3,95² (3 • 5,o — ² • 3,95)

= — 0,723 mt.

Die Momentfläche bestimmt sich weiterhin nach den bekannten Regeln.

b) Momente für die Stützenkopfverschiebung. (Abb. 73, b.)

Mit Mfr = 2,587 mt., Mu — — 1,811 mt. (Stamm-Momente) und ru = eu = o wird (Gl. 88)

d = tm|A-f

ir

6 ej L

Ir;

— 3 Mu

— £ (Mk — d4) j.

.Ed = o -f

3,°²

6 • 0,005 40

3 * 1,81 1 —

(2,5⁸7 + 1,811

)]

= 776,i t/m.

Damit folgt nach Gleichung 87 (JS"£ = 2,7 59 t.)

1,0 -776,1

Tats. Versch. =

Pö

2,759

282 t/m,

und Gleichung 80 gibt

Tats. Versch.

IL =

282

0,282.

Ang. Versch

Mit diesem Wert sind die Stamm-Momente zu multiplizieren. Man erhält

Ma— 0,282 • 1,466

Mb— 0,282 •(— 1,441) = — 0,406 „ ,

( Ma = 0,282 • 1,146

' \ Mh= 0,282 •(— 1,146) = — 0,323 „ ,

J/# = 0,282 • 1,466 Mu— 0,282 • (— 1,034) = — 0,292

f Mji = 0,282 • 2,587 1 ifM= 0,282 •(— 1,811) = —0,511

Endfeld links .

Mittelfeld .

Stütze I und IV

Stütze II und III

1000

0,413 mt.,

0,323 „ ,

0,413

0,729

c) Endgültige Momente. (Abb. 73,’c.)

n ■>

Die ermittelten Momentenflächen werden addiert.

Die endgültigen Momente sind richtig, wenn sie der Forderung

Mf~ Mu

— 4,-b-

genügen. Man erhält

3,o

5,° 5V

—(0,277 —

0,2 1

9 + 0,605 -f- 0,446 -f 0,232 -f 0,907 -f 0,456 -f

+ 0,307) = ~o.

Momente bet oneerscb/ebt/cben Stützen köpfen 0,007

0,060

-0,736 I/r,

0,773 -0,976

0,Z70\ 0,776

\033

oo's

P=t£t_

all

1,Z0,

oo‘c

0,723

0566

3!^

d-i%br

+- 3, 756— -0,72%.

0,033

0,065

bl

Momente für ot/'e Stützen/rogfeerscb/ebong

0,776t^ O, ¥73

~ 0,706 0,323

~E%3Z3 0,706

-0,773

0,773'

0,729

0,729

0,773

-571 ~ 0,292

m -0,577

-0,292

Enctgü/tige Momente

0,277

0,067

-0,752

-0,033

0,622

N

<5>'

HHnrm

P=i,Ot

t+

0,605

c)

f0,706

=t

— 'Si'

",

s.

V, //.

SX/y

Längen -Mq/ssfab

t OfO t 2    3    0    5    6    7    8    3    70 m

Momenten -Ma/sstab

i Og 0

Z77Lt

Abb. 73.

Abb. 73, a)

Anmerkung. Um die Stützenkopfverschiebung rückgängig zu machen, ist gemäß Gleichung 86 a die Kraft (Momente aüs

ZS' = — m4₀ +

= — 1,0 •

Mk — Mm ( v Mk A " ‘ ^" 0

3,0 ,    —0,948 + 0,396

— 0,136 — 0,124 + 0,033

5.o

5.o

3-455

0,776 t.

erforderlich. Damit gibt Gleichung 78

/*

ZS’

0,776

ZS

2,759

= 0,282,

d. i. derselbe Wert wie vor.

II a. Dreiecksbelastung der Stütze I.

a) Momente bei unverschieblichen S t iitz e n k öpfen. (Abb. 74, a.) Am Stützenfuß sei p = 1,0 t/m. Beim statisch bestimmten Fall wird (Gl. to8)

p h?

M₀

'1 r;

ixn

'(i+n

für |=V₄,

M₀

M₀

1,0-5,o²

H 4-

(1 4-    = 1,368 mt.

— • — I 1 -J---

2    2 \    2

= D5⁶3 » ,

44V    4 /

» b = ³L>

Der Größtwert in x = 0,577 lx= 2,89 m beträgt (Gl. 109)

ph²

15,⁶

Für die Festlinienabschnitte ergibt sich (Gl. in)

M₀ =

r,° * 5,°²

15,⁶

= °,977 ,, •

= 1,605 mt.

Su = — pa

[-

= — 1,0 • i,545 •

5>°²

3-5,0—2-3,95

[■

5    3,95

3 5,°°

j /3,95V    ¹ /3,95V~|

' ^5,0°/    5 ^5,0°^ J

liti

— — 1,136 mt.

3 h — 2 ti = — io- 2,038 - -

5,° • 3,95

l . yi

5    \5,o°/J

[-

L 3

3    3,95

4    5,°°

Damit können die Momente bestimmt werden.

3 • 5,° — ²'3,95

— — 1,128 mt.

b) Momente für die Stützenkopf Verschiebung. (Abb. 74, b.) Nach Gleichung 107 wird

A₀ =

ph

1,0 • 5,0

= 0,833 mt.

-und Gleichung 86a

2S' =

A₀

Mti

gibt mit den Momenten aus Abb. 74, a — i,n6-|- 1,145

2S' =

0,833 4

— o,2744_0,°68 — 0,018

5,0

3,455

0,8921.

womit (Gl. 78)

jil =

2S'

0,892

²,759

0,324-

Mithin betragen die Momente

Endfeld links .

Mittelfeld .

•{

Stütze I und IV

Stütze II und III

Ma= 0,324 - 1,466 Mb = 0,324-(—1,441) = — 0,467 „ Ma= 0,324 • 1,146 Mb — 0,324 •(—1,146) = —0,371    „,

/ Mk = 0,324 • 1,466 \ Mu= 0,324 • (— 1,034) = — 0,325 Mk = 0,324 - 2,587 Mu= 0,324 •(— i,8n) = — 0,587

o,475 mt-,

o,37¹ „ ,

o,475 ,, ,

0,838 „

c) Endgültige Moment e.

Es wird die Summe der bestimmten Momentenflächen gebildet. Auf Grund der Forderung

Mjc

o = —A₀ + Z

erweisen sich auch hier die Momente als richtig, denn es ist

— 0,833 + — (— 0,641 -j- °,5⁶4 + °,9°6 + 0,457 + 1,470 + 0,464+ 0,617+-

5,0    +0,317) =

00 o.

Momente bei umzerscbiebiichen StützenAöpfen

-7,776

0,535\ 0,267

-0,731

-0,069

0,078

V 2,038

-7,776

-7,723

M

SS

— ans Ebb. 77

0,068

-0,078

Ci)

-7,736

-oo'p

7,5954

*?•

/z=7,0 t/m

S.

^ -0,030

800 ‘o G

y.

Momente für die Stütz enAopfierscbiebune

0#92t    0,975

-0,967 0,371

-0,377 0,967

-0,975

SS

0,838

0,833

0,975

b)

~0 3Z5

-0,587

ts

2?

SS

<5T

'/■

'T'⁷/.

S.v,

Endgü/tipe Momente

-SB^flttTnr^Tr^Ä

068

0,632

0,903

-0,697

0,569j

rmj

0,906

cj

RJ-7/170'

SS

fi=7,ot/m    A

Mafsstab wie auf Abb. 73.

Abb. 74

Anmerkung. Auf anderem Wege hätte sich p, wie folgt ergeben. Wegen Ez — Er^ — 59,568 wird nach Gleichung 90a öo = Al — r (h — h')

E6₀ = 1000 — 59,568 (5,0 — 3,95) = 937,5 t/m.

Gleichung 95 gibt (Stamm-Momente)

Mo = Mk

y , h — ii

T +M»~h

1,466 •

3.95

5-00

1,034 •

1,05

5,oo

0,941 mt.

y+PTt-t^_0,957

i'-0,377

Mithin folgt nach Gleichung 97

ft'ddx=cl h

6 h'

Ef%<SAx = 937,5 •

5,o²

6 • 3,95

ih-h')

h'S

K+K

h'

937,5 •

V' CT\

EJ

24

45

5i,4

)]

3,95

1000

Ü05²

6 • 5,0

3,95

0,941 — 1,034    3,95

0,941    1,034

womit (Gl. 96)

0,003 125

24

5,oo

45

5b4

= 893,3 t,

Tats. Versch.

1,0-893,3

ES

Schließlich gibt Gleichung 80

2,759

324 t/m. .

Tats. Versch.

324

Ang. Versch.

1000

0,324,

d. i. der gleiche Wert wie vor.

III. Einfluß der Normalkräfte.

Wir nehmen im Mittelfeld Vollbelastung an, gegenüber den Endfeldern, wo nur Eigenlast wirke. Bei diesem Belastungszustand ist ein hoher Einfluß der Normalkräfte zu erwarten, weil dieser hauptsächlich durch die lotrechten Bewegungen der Stützpunkte zum Ausdruck kommt, und dabei die Zwischenstützen wesentlich mehr zusammengedrückt werden wie die Endstützen.

Die betreffenden Momente wurden der Abb. 71, b entnommen, und in Abb. 75 besonders dargestellt.

pin

y - 1,8 C/m

\w

Aus Abb. 71

A\

-Oy f/=0l2t

20,3 -ZO\

1,16 t

Mo

N“ 0,12 t -0/

N=3,wt

-3,70

3,vss

370

5,00

N-23,39t

TTffnrrrrTTTT^

N=3,Wt Oy

Abb. 75.

Die Normalkräfte betragen nach den Gleichungen 54a, 55a und 56

Endfelder    N

0,12 t,

0,4

3,455

Mittelfeld

.    . JY ~ o, 1 2

3,7

3,455

1,16 t,

End stützen .

7,0.1,8

20,3 — 0,4

7,°

= 3,46 t,

Zwischenstützen

•8,5 -4,2

7,o • 1,8

20,3 — 0,4

7,°

23,99 t.

Mit den Querschnittflächen Balken .... Endstützen . Zwischenstützen

F = 2,7 • 0,12 -j- 0,3 • 0,6 = 0,504 m², F= 0,3.0,5 = 0,150 m²,

F = 0,3 • 0,6 = 0,180 m²,

ergeben sich folgende Längenänderungen (Gl. 117):

0,12 • 7,0

Endfelder

• JEJX =

Mittelfeld

• • EJX =

0,504

1,16 • 8,5

1,67 t/m,

Endstiitze .    . Ezli

0,504

3>4Ö • 5,0

*9,56 „ ,

Zwischen stütze . Edx

0,150 23,99 • 5,°

= 1 15)33    „ ,

o, 180

666,39    ,, •

Da Symmetrie vorliegt, fuhrt der Querschnitt in Mitte des ganzen Rahmens keine seitlichen Bewegungen aus. Es ergibt sich demnach für die Verrückungen der Stützenköpfe

in wagrechter Richtung

Stütze I

!9,5⁶

f L⁶7 = 1 L45 t/m,

19,56

III    .    . Ezli=— 9,78 t/m,

IV    .

• E/Ji = — 11,15    „ ,

in lotrechter Richtung

Stützen I u. IV EJjt =

„ II u. III EJh =

Verhältnismäßige Senkung der

Stützen I u. IV Esljt = — 55 1,06 t/m.

115,33 t/m,

666,39    „ •

a) Einfluß der wagrechten Bewegungen. (Abb. 76.)

Es sind hier dieselben Gleichungen maßgebend, die zur Ermittlung der Winkel bei einer gemeinsamen Verschiebung aller Stützenköpfe bereits angewendet wurden (S. 95). Abgesehen von denVerschiebungswerten ergibt sich auch hier genau derselbe Ansatz, jedoch mit dem Unterschied, daß sich nunmehr, infolge von Tn— — Tm, das Vorzeichen vom letzten Glied in der zweiten Gleichung ändert. Man erhält dann

Eti • 3,3929 + Etii • U5972 =

“>45

3,455

woraus

Eti • 0,9244 -f- Erh • 2,7639 ==

Er1 == — Eriv = 0,585 t/m², Ern— — Exm = 0,826    „    .

9,78

3,455

EJ^ 77,72 t/m

EAz=A,76t/m

JT

EAz=-9,7st/m

EJZ=- 77,72 t/77l

0,077    N=0.12

0/779

0X703

A/=776t

0003 -0,03

xr

TZO'O

xroo--

"0,022

zto'o-1

-0,016

0,016

0,012

Abb. 76.

Die Momente betragen hierfür (Gl. 67)

°>5⁸5 (°,°²5 45 — 0,010x9)-]- 0,826 -o,oio 19 =

Endfeld \Ma = links

0,017 mt,

Mi = — 0,826(0,02545 — 0,01019)— 0,585 • o,01019 = — 0,019

Tl X

Ma = Mi = Tu (xa — y-i) — Tn y-i — — -

Mittelfeld

0,82 6

239,25 Mk — Ma = o, 1 7 mt.

0,003 mt.

Stütze I

Mu = -

D545

m,45

3,455

5,o • 236,32

-j- 0,017) =3: — 0,012 mt.

Stütze II •

Mk = Ma — Mi = 0,003 -f- °,OI9 = 0,022 111t. 9,76

Mu

D545

3,455

5,o • 136,76

-J- 0,022 ) = — 0,016 mt.

b) Einfluß der lotrechten Bewegungen. (Abb. 77.)

Wir betrachten die verhältnismäßige Senkung der Endauflager gegenüber den mittleren {EMk = — 551,06 t/m).

Senkt sich nur die Stütze I, dann entsteht die Drehung (Gl. 115 a)

Tl =

■dh

(f - °)(: + jt)

Eri =

55¹,°6

4,733 (1 t

80,38

76,83 t/m².

156,77

Die Momente betragen (Gl. 1x6) Ma =

hi

7b

551,03

Endfelder links

80,38

4,733

+ 76,83)

= — o,493 mt.

(— Ma)

l—b\lß ¹ J

2,267 4,733

Hiernach kann die gesamte Momentenfläche bestimmt werden. Beachtet man bei der Hebung der Endstütze rechts, die Symmetrie, so folgen dann die endgültigen Momente (Abb. 77).

Mb=~

5 5¹ ,°3

7,0 • 78,87

0,493) = 0,714 mt.

EAh= '/'75,33 t/m

\7 EAfg666,3ät/m.

17

0,6Z9 \ 0,703

W EAh=G$ff,33t/77l

--ff-;

EAh=775t33t/m

nr

-0,W5J

's;

'S

7,00

Momenten/infe für die Senkung der Stütze I Sjf

^ (EAh=-557,06t/m) -5,so-

yoo

«a-

vyn:

W,

YA

Y/,

" Abb. 77.

Anmerkung. Abb. 76 zeigt die Momente in wesentlich größerem Maßstab wie Abb. 77. Dies ist beim Vergleich zu berücksichtigen.

ZV77/77V7/

4. Kranbahn, kontinuierlich über vier Öffnungen.

Es soll nun die in Abb. 78 dargestellte Kranbahn berechnet werden. Der Balken ist über vier Öffnungen kontinuierlich, mit Auskragungen und mit Vouten versehen. Der Zusammenhang von Balken und Stützen wird in Rechnung gestellt.

s^'ss/no

S,80

-r.-------r*'

WB,

PK

85/20

N'

vTv/77,

<'55/110

-a⁻1,70    . „

SS/11Ö\

e,8o

6,80

6,80

SS/80

■■55/80

*Wo

-6,80

ssr

55/80

• -55/80

'V///////7/A

'77/

7/7,

■7/

y/.

Abb. 78.

a) Belastung.

Ständige Last g = 0,55 • 1,1 • 2,4 = r,45 t/m.

Als bewegliche Last gelten zwei Einzellasten von je 36 t im Abstand von 2,4 m.

Balken (55 /110 cm) Jm

b) Trägheitsmomente.

o,55 • Lro³

0,061 o m⁴,

Stütze (55/80 cm)

o,55 • °,⁸°³

°,⁰²35 » •

c) Formänderungswinkel.

Nach den Gleichungen 21 und 21a folgt

/L9⁸

1,10

ha

hm

I = 0,80.

Gleichung 2 7 gibt für die Stützen (A= 7,5 m und ti = 7,50 + 0,50 — 1,7 7 = 6,23 m B)

= 49,13 ¹ I m³,

Eßs =

6,23² (3 • 7,5 ~ ² ' ⁶,²3)

6 • 7,5²- 0,0235

und nach Gleichung 33 wird

Eys -

6,2 3³

4 • 0,0235 (3 • 7,5² — 3 • 7,5 • 6,23^-6,230

38,17 Vm³.

B Die neutrale Achse wurde in 0,50 m unter Balken-Oberkante angenommen.

Der

(P b = 0,856,

Ea =

6,80 • 0,716

2 • 0,061 o

39,91 ¹/m³,

Eß =

6,80 • 0,85 6

6 • 0,06 10

— = I5,9o    „    .

Feld 1

d) Festpunkte und Übergangszahlen. Bei Anwendung der Gleichung 34 erhält man :

____ 6,80 • 15,90

— a~\~7s    39-9¹ +38,17

Iß

1,385 m (l — a = 5,415 m)-

Eya —- Ea — Eß

39-9¹ — ¹5-9°

6,80

5-415

= 19-94 VmS.

Stütze II

f.irj

7s

38,17

7s + 7a

38,17    19,94

= 0,657,

Feld 2

Iß

a^rHri7a E7a = 39-9¹ — ¹5-9°

6,8 • 15,90

39-9¹ + 0,657 • 19,94

2,040 m (l— a = 4,760 m),

6,80

4,760

= 17,20 hm³,

Stütze III

/-lrl-

38,17

38,17 + 1 7-20

= 0,689,

Feld 3

6,8 • 15,90

39-9 ¹ 4- 0,689 • 17,20

2,089 m G — « = 4,7 11 m),

Eya = 39-9¹ — 15-9° •

6,80

4,7n

16,96 ¹/m³,

Stütze IV

/lrj —

38,17

38,17 + 16,96

= 0,692,

Feld 4

6,8 • 15,90

39-9¹ + 0,692 • 16,96

— 2,093 m (l — a — 4,707 m),

Eya = 39-9¹ — 15,90 •

6,80

4-707

16,94 i/m³,

Stütze V

/lrl —

38,17

38,17 + 16,94

== 0,693.

Die Festpunktabstände b und die Übergangszahlen /,iir sind durch die Symmetrie gegeben.

Schließlich ergibt sich noch nach Gleichung 32 für die Stützen li 3 h — 2 li 3    2 h — h'

6-23    3 • 7-5 — ² • 6,23

2-7-5 — 6,23

= 2,377 m.

(li — a= 5,123 m).

e) E i n fl u ß li n i e n.

Die Schlußliniensenkung wird mit Hilfe der Tabellenwerte auf Seite 32 bestimmt. Es ist

/, \³

nm \

I-IO \³

1,98

=    0,17,

l = — und v =

2.

Wir benutzen die Werte für n = 0,20. Zwischenrechnungen anzustellen verlohnt sich nicht.

Tabelle für die Schlußliniensenkung.

Feld 1

fa= 1,385 m

\b = 2,093 „

Feld 2

f = 2,040 m l =2,089 „

Lastpunkt

Lastpunkt

0,318

0,242

0,388

0,388

0,242

0,318

0,318

0,242

0,388    0,242 [Aus Tabelle

0,388    0,318 \ S. 32

— Sa

— Sb

0,440

0,507

o,537    0,335

0,812    0,666

0,649.    °,79²

0,506    0,811

o,494

0,664

Hiernach wurden die Momente bestimmt, und die Einflußlinien in bekannter Weise durch Vertauschen der Ordinaten gebildet (Abb. 79).

f) Momente, Quer- und Auflagerkräfte.

Die Momente infolge zufälliger Last wurden durch Auswerten der Einfluß-linien bestimmt; dagegen wurde die Eigenlast besonders berücksichtigt.

Es folgen nun die Ergebnisse (Abb. 80).

Maximalmoment .

Feld 1 Auflager links

/ Unterk. Voute. . M= 20,6 mt. N =

M =

M=— 51,4 „ M =    65,6 „

47,2 mt.

62.3    t.

67.4    „

Feld 2

Auskr. Stütze I .

Stütze I

Stützen fuß .

. M— — 11,2 „ . M = — 10,2 „ . M =

65,9 t. ⁶7,7 „

3⁸.²    „

76.3    t.

6,8,,

Unterk. Voute

1-0,1 mt.

66,6 t.

Stütze II

Stützenfuß .

•    M=— 13,3 „

. M= —

. M —

5,° „

Stütze III

[ Unterk. Voute 1 Stützenfuß .

M = rb 11,0 mt. •    M=± 5,5 „

N =    66,2 t.

— 13,0 „

mußten besondere Einflußlinien ge-

Um die Auflagerkräfte zu bestimmen zeichnet werden (Abb. 81, S. in). Sie entstehen bekanntlich, indem man die Querkräfte rechts neben einer Stütze, jene links davon mit umgekehrtem Vorzeichen addiert.

a)Momente.

[<p

!<?

Ä. ¹

Jh

___J

Ol tvs

TT?

So

St

•HM

■i¹

w-.

-Zyoss^y

f'

ovo*-*2,

lü SO

6,30

Stütze I (rechts)

6,30

b) D'nf/uß/in/en

03?

Be/asfungsschema.

c*> II

I36,ot W6,o

Schnitt 1

tfragmomenf M=1,s-36=S¥,omt-St.J(rec/ifsj0,zi.36 = B,6mt₎M*-‘/,6S=36= -¥8,6mt St.Zf. Mom. M- 0,v6-36 = 16,6mt, hf=-ü,7e-3S=-2ep m,t

Schnitt Z

M -0,33 -36=33, smt M=-Qee-36=-Z3,sm,t

M-1,ZZ ■36= ¥3,9TTlt

Schnitt 3

M—0,3i-36=-11,zmt

J.

Stützen (Zinks)

M=0, 58-36=Z0,9mt M=—0,53 ‘36- —13,1 mt

Stützen

(rechts)

M =0,27-36= 3, 7771t kt=-1,ss-36=—55, rmt

4-

Stützen

(Stützenkopf)

M= 0,07-36= 1¥, 8 mt M= -1,28-36= —¥6, imt

Schnift ¥ i

M=0,¥3-36=17,3mt M=-0,¥¥ -36= —15, smt

Schnitt 5 \

M=0,s7-36=Z¥,7mt

M=-0,6B-36=-Z¥,smt

F‘

Schnitt 6 I

M= 1,70-36=39,6mt M—0,30-36=—10,8 mt

Stütze nt (Zinks)

M=0,68-36=Z¥, smt M= -0,67-36=-ZZ, omt

Stützern

(Stützenkopf)

M=0,vs-36= 77,3mt M=—7,38-36= — V9,7mt

+•

LS

Sm

/¥I^0,¥¥-36=1S,8771t

1,o O 1    2    3    ¥    S    6    7    8m    M=-0,v*-36=-lS,8mt

_____-1-<-1-1-1

Längenmajsstab

Abb. 79.

‘ ■

;

w

aj Einfiufsiinien für Querkräfte Stütze I (rechts) |    i

4-

JE

JZE

JE

T~

StützeJE (Zinks)

Qr =(/,o1-0,62)-36=68,3t (Qi - -Z3,7 t) Qr-—0,19 -36= — 6,8 t (Qi- — 6,8 t)

Stütze JE (rechts)

Ql —(/,OtO, 7l)-36- - 61,6t (Qr-/0,Ot) Ql =    0,06-36 - Z,21 (Qr-Z,zt)

Stütze IIT (Zinks)

Qr =(/,o*-0,6g) ■36= —60, st (Qi = —Z/,st) Qr —— 0,25-36 = —9,ot (Qi = —Sßt)

b)Momente für Eigenlast (g=/, vst/m)

fr

\f_

zr

je

Ql - — (t,otO,73)-36=— 6Z,zt(Qr=6,8t) Ql= 0,28-36=/0,lt (Qr = /0,lt)

JE \ I i

\£.

\if_

\s,38mt

8,38Ttbt

Qaerkräfte inf Eigenlast

Cj Grenzwerte der Momente

Ql =/,6-/,VS= —Z,2t Qr =0, v t-6, 8■ /, vs=V,ot)

Ql=-0,S9-6,8-/,‘fS=—6,8t Qr=0,66-6, 8-/,IS-5,0t Ql = — O, ¥6-6,8-/, 05—¥,0t St.M

<6

17,z

Ni

-L_.

dj Grenzwerte der Querkrcrfte

15»

läf

8f

lT I

.4

MmL

'*-----

i\

k<h

—%n

—S,5

rl

Li

f-A-

---T—

4---

jL

Momentenmaßstab ■/OSO /    2    3 V SmJ

Maß stab für Querkräfte /O O ZO 00 60 30 tOOt

Des#/ jec/- f. Einfluss/.

t,o os 1    9    3

Abb. 8o.

E/nftufst/n/en für die Auf/agrerkräfte

J StützeJ

ir

JT

Stütze IT

Ar= 1,27-36-7-0,85-38*= %631

Aj=-0,73-36= -6,8t

StützeM

Aff = 1,0-367-0,86-36=66,6t A^ -0,32-36= - 1t,St

Ajff= 1,0-36-7-0,87 -36=66,21 Am = -0,36-36= -13,01

-HM-

I I I

Mq/sstab me auf Abb. 73

Abb. 8i.

g) StützenkopfverSchiebungen.

Wie beim Beispiel 3 nehmen wir auch hier für die Verschiebung Ezli — iooo t/m an, berücksichtigen jedoch die Verschiebung eines jeden einzelnen Stützenkopfes für sich.

Stütze I.

Gemäß Gleichung 59 bestimmt sich der Winkel am Kopf der Endstütze wegen ya' = cc nach

(/, —a)(I + b)

Es folgt hiernach Et\ —

60,01 ³ 4/m³.

16,94

Die Momente betragen (Gl. 60)

Ma =

= 3,542 mt,

Ti 60,01 7b ~ ³6,94 Mk = Ma — 3,542 mt.

1000

2,377

5,¹²3 v 7,5 • 49,³3

Die Momente schreiten nach den bekannten Regeln fort.

Abb. .82, a dargestellt.

Stütze II.

' Nach Gleichung 59 folgt wegen ya' = 19,94 7m3 und yb = 16,96 xjm³

1000

Mu =

3,542

= — 2,903 mt.

Sie sind in

Etn

5,123(1 H-

38,17    38,17

= 37,79 t/m2-

19,94

16,96

Die Momente werden (Gl. 60)

Feld i

Mb' =

»ii

37,79

yd

19,94

— 1,895 mt.

Feld 2

Ma =

»n

37,79

Stütze II

2,228 mt.

16,96

Mk = Ma — Mb = 2,228 -j- 1,895 = 4,123 mt.

' 7b

Mu

2,377

1000

7,5 • 49,¹3

5,¹²3

Der Verlauf dieser Momente ist in Abb. 82, b zu ersehen.

— — 3D72 mt.

Stütze III.

Mit yä — 7b — I7,2o ¹/m³ folgt

1000

Arin

5>I23 ( 1 + ² •

38,17

35,9° V™²-

17,20

Momente (Abb. 82, c) Mb'= —

Feld 1

3-5,9°

1 7,20

— 2,087 mh

Feld 2

Ma =

35,9°

= 2,087 mt.

17,20

Mk — 2 • 2,087 — 4A74 mt.

²,377 5,¹²3

Die Momente für die Stützen IV und V ergeben sich unter Bezugnahme auf die Symmetrie (Abb. 82, d und e).

Stütze III

Mu =

1000

7,5 • 49,¹3

+ 4,174) = — 3,i9⁶ mt.

• h) Seitliche Kraft in der Balkenachse.

Abb. 82, f stellt die Summe der Flächen für die einzelnen Stützenkopfverschiebungen dar (Stamm-Momente). Sie entspricht einer Verschiebung aller Stützenköpfe um das vorher angenommene Maß (E-Ji — 1000 t/m). Um die Momentengeraden der Stützen zu bestimmen, kann man von der Erkenntnis Gebrauch machen, daß das Stützenmoment im unteren Festpunkt jeweils unabhängig von der Verschiebung der übrigen Stützen auftritt. Dadurch ergeben sich die Momente einfacher.

Die Erzeugungskraft (Stammkraft) dieser Momente beträgt (Gl. 74) Mk — Mu

7,5

x—(² (3,901 + 3,070 + 4,869 -j- 3,5i8) -f 4,484 + 3,338) = 5,1381.

Gemäß Gleichung 75 ergeben sich nun die Momente für eine beliebige Kraft H in Höhe der Balkenachse, indem man die Stamm-Momente mit

2S

multipliziert.

i) Einfluß und Einflußlinie der Stützenkopfverschiebungen,

Auf Grund der Gleichungen 79

82 ergibt sich folgende Tabelle (S. 114).

Um zJi₀ infolge einer Last am äußersten Ende der Auskragung zu bestimmen, geht man vom Winkel x beim angenommenen Verschiebungszustand aus, und erhält

xl'

ES ’

wobei unter V die Weite der Auskragung zu verstehen ist. t berechnet sich auf Grund der Momente (Stamm-Momente) im Feld 1 zu

r = Ma (a — ß)-\-Mbß,

Et= 3,901 (39,91 — 1 5,90) — 2,992 • 15,90 = 46,1 ¹jm³.

Momente für die Verschiebung der einzelnen Stützenköpfe (Einnahme EJL =1000t/m)

II    M

Stützei S-

JM

ZT

a) ;—r~E-

'1,51385^

⁺ (3,5VZ

KxT-%587, ~1,093

6, so

ff, so

<E>

o

NE

0,335 ltn ü -0,^-0,03V,J-'\Z,OVO> Z,093^

Z,089j

6,80-

6,80-

02V

Stütze TT

t)

—1,895

,Z,ZZ8

Ir

—0,987

TT

/0,68C[

'Ttr*

0,Z9Z

0,19Z

-0,019

Tr

Stütze m

tfjß£

86

'0,895

-Z,087‘

o

UL

ff

Z,087,

-0,895

f588.

0,151

Stütze TM

d)

+

-0,igy

—0,Z9zt

'0,987,

EZ,ZZ8\

TT

hr

1,895

-0,185

Stütze M

e) >-

-0,a^zv

0,09V

t

'0,1V 9

EL

1,098

ff -0,335 —0,V87

1,587,

TT

'-3,59z

4^-

Momente für die Verschiebung aller Stützenköpfe(E^=lOOOt/m)

ES-S, 13 8 t

3,901

\—Z,99Z 1,877

\-Z,zvz Z,zvz

|-1,877 Z,99Z

-3,901

ft

■y

9,869

9,189

9,869

3,901

f)

n

Ff

fr Moment inf. Versch. eines einz. Stützenh. -jE

y£z-4,903

v/Xf,

Lii

sM- -3,172 £ 7"

ssl

Sä

’W/,

\*Z,377*\

\~ 3,070

SS

Abb. 82.

Da V = 1,50 m und 2S = 5,138 t, wird

¹

outenlänge

²

Spannweite

Wegen den geraden Vouten kommt hier das Gesetz II in Betracht. Tabelle entnimmt man (S. 15)

(fa — 0,716 ,

womit (Gl. 15)

³

OOO

⁴

38,17

13,4 t/m.

EJio =

46,1 • 1,50

5^38

Nachdem die Werte von p bestimmt sind, erhält man die von der Stützenkopfverschiebung herrührenden Einflußlinienordinaten z/rj, indem man das Stamm-Moment in demjenigen Schnitt, für den die betreffende Einflußlinie gilt, mit den verschiedenen Werten multipliziert. Diese Ordinaten sind dann als zusätzlich aufzufassen.

Strassner, Neuere Methoden.

Zusätzliche Einfluß-linienordinaten

Stütze I (Kopf) J rj » II (links) zl t] „ II (rechts) J rj „ II (Kopf) /j ii „ III (Kopf) zl 7?

(Gl. 80) u

(Gl. 82) EJl0 (in m/m) Jlo

qp qwn

v9

Edh

(Gl. 81)

np2

— Sa: a

-Sb:b

—    0,052 0,040

—    0,025

—    0,065

—    0,060

— 0,0134

— 0,00638

T i3,4

Auskr.

Tabelle

0,053

0,049

0,020

0,033

0,043

0,0108

0,00515

10,8

£‘Si —

26,1

26,2

34,4

0,318

0,242

Feld

0,034

l?o‘o

0,014

-0,02 2

0,02g

0,0074

0,00352

7,4

24,4

8‘i£

41,9

41,9

0,388

0,388

0,0001

Soooo'o

20,0

¹9 »9

34,4

2 6,2

0,242

0,318

\Mb — — 2,992 „ Lastpunkt

3,901 mt.

0,005

0,002

0,006

- 0,004

0,005

0,0012

0,00057

1,2

x 1,4

12,6

26,2

34,4

0,242

gi£'o

die Einflußlinie und den Einfluß der

Feld 2

0,015

0,013

0,009 -0,006

0,01 2

— 0,0030

—r 0,024

-0,010

-0,026

-0,02 X

0,016

— 0,0054

°,OOI43 [—0,00257

oT

rs —

S‘8i

£‘Si

4L9

4L9

0,388

0,388

Lastpunkt

= v\

= vw)

o‘S I -

9,6

34,4

26,2

0,242

0,318

1,877 mt. — 2,242 ,,

Oo

= 7/

Stützenkopfverschiebungen.

vO

= ⁰¹ p⁷

Allgemein ist

A rj — u ■ M, wo M das Stamm-Moment in dem Schnitt für die betreffende Einflußlinie.

Mb Öb

2S

E = 2 100000 t/m²

T ats. Yersch.    ■ Ez!i₀

Ang. Yersch.

VP"K

4 8?i‘S = S£

zmh    =

6G1 • §‘9 =

di q

dl~

= ⁹P

0001

qs

Aus Tab. S.

(s. auch S. 106)

32

Bemerkungen

•t

Momente für ZS=S,138 t (Ergebnis bei der Annahme EJi=1000 t/m) (Aus Abb.82)    / R

fff

ftr

3,907

—Z,99Z 1,877

|-Z,Z92 Z,Z9Z

-1,877    Z,99Z

-3,907

3,901

0,869

0,989.

0,869

3,901

7,so

\\1 —3,070

S$-3,338

\>A-3,S7g

IK

Einflußlinie für die Verschiebung der Stützenköpfe

a-

36t

36t

Majs stab f qt. Verschiebungen 0,ooo    0,oo5    0,010 mm

Einfiufs/inien

Stütze x i____i

Größte Verschiebung \ //L =±Z-0,0039 ■36=±0,zvsmm \

erd

Stütze II (links)

/y

Stützen

(rechts)

Stütze n (Stützenkopf)

Stütze IIt (Stützenkopf)

1;

=r

Z ängenmaßstab

1o O 1 Z 3    0 S 6    7    8    3 10 m

Orüinatenmaßstab f Oß 0

Zm

Stützentröpfe uerschieb/ich

"    "    ” fest

Abb. 83.

Da die Achse der Stütze III zugleich Symmetrieachse ist, haben Lasten rechts davon die entgegengesetzten Verschiebungen und die entgegengesetzten Zusatzmomente im Gefolge wie Lasten in gleichen Entfernungen links.

Auf Grund der Einflußlinie ergibt sich die größtmöglichste Verschiebung des Balkens (Abb. 83)

zh — + 2 • 0,0034 • 36 = + 0,245 m/m.

Wie aus den Einflußlinien (Abb. 83) hervorgeht, erreicht der Einfluß der Stützenkopfverschiebungen in vorliegendem Falle keine große Bedeutung. Hauptsächlich kommen dabei die Stützenköpfe in Betracht und die Balkenquerschnitte in deren nächsten Nähe ; auch die Stützenfüße werden davon noch betroffen. Im mittleren Teile eines Balkens hingegen ist der Einfluß der Verschiebungen so gut wie Null. Deswegen wurden auch die betreffenden Einflußlinien in Abb. 83 nicht gebracht, da die Unterschiede wregen ihrer Kleinheit in der Zeichnung nicht mehr darzustellen waren.

daß es stets zulässig ist, beim symmetrischen

Aus alledem geht hervor Rahmen die Verschiebungen der Stützenköpfe zu vernachlässigen, vorausgesetzt, daß die Stützenanzahl keine zu geringe ist. Beim unregelmäßigen Rahmen tritt der Einfluß dieser Verschiebungen hervor.

k) Temperaturmomente.

Der Balken erwärme sich gleichmäßig um 15⁰ C. Die Längenänderung einer Öffnung beträgt dann

di — lat⁰ = 6,80 • o,000012 • 15 = 0,001 224 m.

Der Stützenkopf III in der Symmetrieachse führt keine Bewegungen aus; die übrigen Verschiebungen betragen deshalb :

Stütze I di =— 2*0,001224 = — 0,002448 m,

„ II z!i = — 0,001224 m,

„ III di— o, Tm = o,

„ IV di= 0,001224 m,

„    V ^ = 0,002448 m.

Ursprünglich wurde die Verschiebung der einzelnen Stützenköpfe zu

zh

1000

1000

2100 000

0,000 476 m

Den Einfluß der obigen Verschiebungen erhält man, indem man

angenommen.

die Momente für die angenommene Verschiebung mit

Tats. Versch.

multipliziert.

Ang. Versch.

Stütze I (Abb. 84, a)

0,002 448

Feld 1

0,000 476

da = — 5> x4 ¹ • 3,542

5>¹4¹ •

= — 18,21 mt.

Stütze I

= Ma = — 18,2 1 mt. du =

5,141 • (— 2,903) =

M,92    „

Stütze II (Abb. 84, b)

0,001 224

— 2,570.

Feld 1

Stütze II

0,000 476 db = — 2,570 • (— 1,895) =

da — - 2,570 * 2,228

dk =- 2,570 * 4,123

du = — 2,570 * (— 3,172) =

4,87 mt.

5,73 „

Die Stütze III bleibt in Ruhe. Die Momentenflächen für die Stützen IV und V sind das Spiegelbild jener für die Stützen II und I (Abb. 84, c und d). Die endgültige Momentenfläche ist die Summe der Momentenflächen für die einzelnen Stützen (Abb. 84, e).

Stütze l(/fL*—Z, ¥38 mm)

■,-78,21

J[

JZ

a.)

iE

8.16

S,6S

PL

-2,so

<-1,72

0,79

0,19 ,J~

kpO.iz.

093**

Z,ovo\

\*Z,093 * *Z,0S9 >J

|*Z,om* <-2,093>l

6,90

Stütze    7,zvvmm)

f—,

r V,97>

6,90-

■8,90

\z™s>

1,7V    ,</~

-0,99

—0,7S

ff i 0.13

c)

StützeWf^tzvvmm) qi3_^J_

-0,V9

-0,7S

ff.\    1,7V

-ffrs’⁷³\

y,9i

d)

Stütze ~P(Pi=Z, V9smni) ~0,12,J~_ffi 0,99

PL

ff. ~¹'72_

—Z,50

<T

4_A££,

-18,21,

■4

Momente infolge Erwärmung um 15 °C.

’.1

-19,VS

13,03 —0,09

0,06 0,06

• -0,69

J3

-19,is

-19,V5

s*

e)

Moment inf Versch. "'eines einzelnen Stüfzenkopfes

§■

13,12

■10,60

19. ¥S

\ s*‘St j \*ue‘z-*\

+■

-9.32

-7ö,¥S

t|

-=&m

W.

Abb. 84.

l) Stützen Senkungen.

Stütze I (Abb. 85).

Die Stütze I senke sich um 1 m/m, während alle übrigen Stützen in Ruhe bleiben. Nach Gleichung 115a ergibt sich mit

Ez/h = 0,001 • 2 100 000 = 2 100,

/s=3⁸»i7 Vm³, yb— 16,94 7m3 und l — b — 4,707 m

für die Verdrehung

Ex1 =

2 100

4,7°7 (1 +

38»i7

16,94

309,01 t/m².

Die Momente betragen (Gl. 116)

2 100

Ma =

Feld 1

16,94

4,707

309,01 )= 8,10 mt.

2,093 4,707

Stütze I Mjc = Ma = 8,10 mt.

Mb =

2 100

6,8 • 15,90

8,10] =— 12,24 uit

Stütze II (Abb. 86).

Wie zuvor nehmen wir an zljt

8mJ_

P;

W:

IS

3,77

8eo

I-

%

iS.

7,so

\J

11-2,377*

0,5‘f J

-.0,18 .J

\X| 0,09 ,J

Abb. 85.

1 m/m und erhalten nach Gleichung 115 mit 7a'= 19,94 ^m³, yb — 16,96 ^m³, l’ — a' = 5,415 m und Z — 0 = 4,711 m

5-4I5 • ¹9-94

5°,5¹ t/m².

Ex11 = 2 100 • 38,17 •

4,711 • 16,96

38,17 , 38,17

i9,94

16,96

Die Momente werden (Gl. 116)

2 100

Mb

Feld 1

*9,94

5,4i5

+ so-s¹)

= 21,98 mt.

Ma

1,385

2 100

5,415 \ 6,8 ■ 15,90

-(- 21,98 ]= — 10,59 mt.

Ma

2 100

Feld 2

16,96

4,7n

— 50,5!

= 23,31 mt.

Mh

2,089

2 100

6,8 • 15,90

Stütze II Mk= 23,31 — 21,98= 1,33 mt.

4,7n

+ ²3,3¹ ) = — ¹8,95 mt-

-10A

At

~X33\

- A

SU

S,89

-iA

Abb. 86.

Stütze III (Abb. 87).

Aus Symmetriegründen wird Tm = o. Bei derselben Senkung wie vorher ergibt sich mit yc’ = yb = 1 7,20 ¹j m³ und t — d = l — b = 4,760 m

Feld 2

Mb

1 7’, 2 o

2 IOO

4,760

f ⁰ ) = ²5>⁶5 mt.

Ma

2,040

2100

4,760

Feld 3 Stütze III Mh — o.

6,8 • 15,90 Ma = 25,65 mt., Mh = — 19,32 mt.

+ 25,65 ) = — i9>3² mt.

'¹ -0,63 7, SO--

ji

6,63

-3,Z5

jC

7/> 80 £ "A

sPlTTw,

Abb. 87.

5. Zweistieliger Rahmen mit Kragarm.

Die in Abb. 88 dargestellte Konstruktion soll nach den auf Seite 70 bis 74 gebotenen Ausführungen berechnet werden. Ein jeder der mit Auslegern versehenen Rahmen wirkt in statischer Hinsicht für sich. Der Balken soll beständigen Querschnitt haben und am Stützenfuß liege jeweils feste Einspannung vor.

0,70

0,30

Jr

2,20 ^*\

ft

ft

y?

0fl

Abb. 88.

a) Belastung.

Ständige Last beim Balken Platte Abdeckung rd.

. 0,10 • 2,4 = 0,240 t/m², 0,020    „

g = 0,260 t/m².

Bei der Binderentfernung von 4,0 m und dem vermittelten Balkenformat von 30/50 ergibt sich' für 1 lfdm. Balken Platte und Abdeckung Balken

4,0 • 0,26 = 1,04 t/m •    •    °,3° • 0,50 • 2,4 = 0,36    „

Insgesamt g= 1,40 t/m.

Ständige Last beim Ausleger.

Vermitteltes Balkenformat 30/35

1,04 t/m,

Platte und Abdeckung wie vor Balken

•    •    0,30 • °,35 • ²>4 = 0,25

Insgesamt g— 1,29 t/m.

Winddruck.

Wir nehmen hier wagrechte Wirkung an, und rechnen auf 1 m² senkrcht getroffene Fläche 125 kg. Auf 1 m Höhe entfällt dann

w = 4,0 • 0,150 = 0,50 t/m.

Pg = 0,83 t,

Ständige Last........

Vom Winddruck . . W' = 2,2 • 0,50 Vom Schneedruck . P' = 4,0 • 2,5 • 0,045 = 0,45 „

b) Trägheitsmomente.

Balken (Format 30/50. Wirksame Breite b — 2,0 m bei d= 10 cm) = 0,167 ,

10

3°

60

Jm

bh³

f.1

200 2,0 • o,6o³

OA5,

wofür /1 = 0,306 (S. 9),

• 0,306 = 0,011 02 m⁴.

Stützen (Format 30/60)

J ===

0,30 ■ o,6o³

= 0,005 40 m⁴.

c) Formänderungswinkel.

Balken (Gl. 15)

Ea

6,0

2 • 0,01102

272,2 ¹/m³,

Eß =

6,0

6 Jm

6 • 0,01102

9o,7

Stützen (h= 5,0 m, ti = 4,3 m — Gleichungen 27 und 33) 4,3² (3 • S>° — ² • 4,3)

E ßs —

6 • 5,o² • 0,005 4°

= 146,1

/ m³,

Eys =

4,3°³

4 ■ 0,0054 (3 • 5,o² — 3 • 5»° • 4,3 -f- 4,3²)

= I27,° Vm3-

d) Festpunkte und Momente nnullp unkte.

= 1,363 m (l — a= 4,637 m),

Balken (Gl. 3. Es ist sa = ys) 6,0 • 90,7

272,2 -J- 127,0

Eya ■= 272,2 — 90,7

6,0

4,637

= 154,8 x/m³.

Stütze (Gl. 30 und 32. Es ist e₀ = ya)

b _    4,3²(3 • 5.° — ² * 4,3)

3 • 4,3² +6-5,0

4.3°    3 • 5>° — ² • 4,3

² • 5,0 — 4,3

Von einem Moment an Balken und Stütze (Kragmoment) ergibt sich für • den Teil im Balken (Gl. 34)

• 154,8 • 0,0054

= 1,469 m,

■1

= 1,609 m.

Ts

127,0

0,451-

127,0 + 154,8

Bei einer Verschiebung der Stützenköpfe liegt der Momentennullpunkt in (Gl. 148)

a a — 2 ß -f ys

h — a li

ßs

5,00

5,°°

1,609

272,2 — 2 -90,7 —)— 127,0

= 2,559 m-

5,00 — 1,609

5,0°

146,1

e) Berücksichtigung der Eigenlast. (Abb. 89, a.)

Bei freier Auflagerung entsteht im Balken 6,o²

M₀ = 1,40 •

= 6,30 mt.

Das Kragmoment beträgt

Mk =— 0,83 • 4,0 — 1,29 • 3,3 • 2,45 — 1,29 • 2,2 • 0,45 = — 15,03 mt, und bringt im Balken

— 0,45 1 • 15,03 = — 6,78 mt.

Bei Anwendung der auf Seite 71 und 72 beschriebenen Konstruktion ergeben sich nun die Momente sehr einfach. Sind diese bekannt, dann werden die Normalkräfte (Gl. 54 bis 56)

Balken N = — Q —

¹,5 5 + ¹,6 1

5,°

0,63 t,

Stütze I AT = Qa= 3,0 • 1,4

D55 + 12,41

6,0

= 1,87 t,

„ II N = — Qb -J- P, wo P = Gewicht vom Ausleger, 12,41 + r,55

= 3,o • 1,4 -f

6,0

f (3,3 + 2,2) • 1,29 = 14,45 t.

f) Berücksichtigung vom Winddruck. (Abb. 89, b, c und d.)

Der Übersicht wegen wurden hier drei Abbildungen gezeichnet.

Abb. 89, b zeigt den Einfluß vom gleichmäßig verteilten Winddruck bei der Dabei beträgt das Moment bei freier Auflagerung 0,50 • 5,o²

linken Stütze.

M₀ =

—- 1,56 mt.

Nachdem die Momentenfläche bei festen Stützenköpfen ermittelt ist, erhält man die endgültigen Momente nach der auf Seite 73 und 74 beschriebenen Konstruktion.

t,ss.

a) Eigenlast

pH?

t va

iv frv

II

7,32 t

*,0

111111 l'i 111111 i 1111111111II11

|    \ff.363.

J~ UM — 0,63 t ff -1Z. ¥/

6,00

oe-9

• -JV-

sn

0,83t

~b) Winddruck auf die Unke Stütze

Para/tet zu den endgültigen j p    Momentengeraden

*T 75,03 Thpt A    )

//

HO

&

Ni

0,80

TtlfSchluJslinie \ ff bei um/ersch. Stützend, j

—1,73

'x^

\

VC'

ZI

11

'g!_

0*3

Vßü

VC'

I

\ Paraf/e/zu den cs n \Momen tengeraden j| bei uni/ersch.

( ötützenh.

~Mom. bei um/ersch/ebt. Stützenkößfen

Ml

|

Vv-

mg

YzEE' / f/zEE’ Tangente an die Momentenparabet

«4

3.

Z\Z/

V'

c) Moment MK

(zom tV/nddruck Verrührend)

um

IkMV&E

\    1    ,

\\ I zu cj

dj Gesamtmomente für Winddruck

7; 30 Jj

’o’

Z,559

<xi

]""$

io'Ö'

6,Z8

-3,07

M=-6,637Tlt

\ W=Z,8Qt] ^1==3758 /

Morn, bei um/ersch.

J.

-I

Grützenköpfen 4?

Z cvi“

rz

JT

/Momententinie für W=z,8ot

~v—

K*T

-1Z6

!A

XJ

K*'

-3,Z8

yzdt-

3,7 z

f) Grenzwerte der Momente

\0,7St

e) Schneelast

1,38 t

s=0,3t/m

gO,60

|l'l INI

'Al# %AB

ffl

' 55T

D=-0,zit -3/3

Kzss T\^

Vfr- '

-9,08Tnt

(Darstellung nur in halber Größe)

8,73

—2V,S\

®C?

6SS

yi

*5

II

HO

§

■H:

<N)

in

■d-

^ ffl/

L ängenmafsstab

Z 3    7    /    6    7    8

tgj££0_

Momentenmafsstab

3    10m.

Abb. 89.

Den Einfluß vom Kragmoment, das von dem Winddruck auf den Ausleger herrührt, zeigt Abb. 89, c. Es ist

Mk ==    1,¹ ’ 3,4

°,5° • 3,4²

— 6,63 mt.

Bei festen Stützenköpfen entfällt davon auf den Balken 44'= — 0,451 • 6,63 — — 2,99 mt.

Die weitere Konstruktion erfolgt wie zuvor.

w— 1,1 + 3,4 • o,5° = 2,80 t

hinzutritt. Die Momente hiervon betragen, weil jede Stütze die Hälfte dieser Kraft aufnimmt, und der Momentennullpunkt in z liegt,

In Abb. 89, d sind die Gesamtmomente infolge Winddruck ersichtlich. Dieselben setzen sich aus den vorher ermittelten Momentflächen zusammen (Abb. 89, b und c), zu denen außerdem noch der Einfluß der vom Ausleger herrührenden wagrechten Kraft

2,8

— • 2,559 = 3,5⁸ mt, 2

ir

44 = - — (Ä — Z) =

2,8

— (5,° — ²,559) = — 3,42 mt. 2

Nunmehr kann die Bestimmung der Gesamtmomente erfolgen. Die Normalkräfte betragen :

Balken N = A₀ — Q

5,° • °,5°

6,28 -f- 7,28

5>°

1,46 t,

Stütze I N = Qa = —

6,28    9,04

„ II N= — Qb = -

6,0

6,28 -f- 9,04

— 2,55 t,

6,0

2,55 t.

g) Berechnung für Schneedruck. (Abb. 89, e.)

Bei freier Auflagerung entsteht im Balken °,3 • 6,o²

M₀ =

x,35 mt.

Das Kragmoment wird

44 = — 0,45 • 4,0 — 0,3 • 3,1 • 2,45 = — 4,08 mt

und überträgt auf den Balken

MjJ = — 0,45 1 • 4,08 = — 1,84 mt.

Das-

Die Bestimmung der Momente hat wie in Abb. 89, a zu erfolgen, selbe gilt auch für die Normalkräfte.

h) Grenzwerte der Momente.

In Abb. 89, f sind die Grenzwerte der Momente dargestellt, sie ergeben sich durch sinngemäße Summierung der ermittelten Flächen.

6. Dreistöckiger Rahmen.

Um das Verständnis bei der Berechnung mehrstöckiger Rahmen zu erleichtern, soll noch ein einfaches Beispiel angefügt werden (Abb. 90).

a) Belastung.

Unterer und mittlerer Balken g = 1,60 t/m, p = 3,20 t/m, Oberer Balken .

.    . g= 1,30

V = 0,30    „ .

Für den Winddruck nehmen wir 0,50 t/m (für 1 m Höhe) an, und berücksichtigen denselben einmal durch die entsprechenden Einzellasten an den Balken, und das andere Mal als gleichmäßig verteilte Last.

b) Trägheitsmomente.

Unterer und mittlerer Balken (Format 30/60, b = 2,0 m, bei cl= 12 cm)

= 0,15, wofür /u = 0,306,

d 12

0,167,    -7

0

3°

200

./

2,0 • o,72³

• 0,306 = 0,019 16 m⁴.

Oberer Balken (Format 30/45,    & — 2,0 m und d=io cm)

= 0,15, wofür /u — 0,308,

— = 0,182,    -

55    b

2,0 • 0,55³

30

200

. 0,308 — 0,008 54 m⁴.

Untere Stütze (Format 45/45) o,45 • o,45³

0,003 42 m⁴.

Mittlere Stütze (Format 40/45) 0,40 • o,45³

0,003 °4 hi⁴.

Obere Stütze (Format 30/45) 0,30 • o,45³

0,002 28 m⁴.

c) Formänderungswinkel.

Der Einfachheit halber nehmen wir für die einzelnen Balken und Stützen beständiges Trägheitsmoment an. Es wird dann für die Balken (Gl. 34a und 35 a)

wo ß =

7 b = ß (3

6 E Jm

und für die Stützen

7s =ß (3

wo ß —

6 EJ

Die Winkel betragen

Unterer und mittlerer Balken Eß =

6,0

6,0 • 0,01916

= 52,2 Vm³.

Oberer Balken .

.    . Eß =

6,0

6,0 • 0,008 54

Untere Stütze

.    . Eß =

4,5

6 • 0,003 42

= 219,3

Mittlere „

.    . Eß

4,5

Obere

.    . Eß

6 • 0,003 °4 ‘ 4,0

= 246,7 „ •

6 • 0,002 28

= 292,4

d) Festpunkte.

Untere Stütze (fest eingespannt) Ä 4,5

1,500 m

h — a = 3,000 m.

•3C Kopf untere Stütze

Eys =

2

/5 = —• 219,3 = 329,0 ¹/m³.

Fuß mittlere Stütze (Annahme A = ¹₍/₄ A)

Eys' =

• 246,7 = 411,7 VmV

Ey — —

329,0 • 411,7

329,0 -f- 411,7

182,9 Vm3-

Festpunkt unterer Balken

6,0 • 52,2

3ß-\- y

l — a— 5,077 m.

3 * 5²,² + i82,9

== 0,923 m

unterer Balken

= 5²,²

(³

6,0

5>°7 7

= 94,9

¹j m³

329,0 • 94,9

3²9,° + 94,9

= 73,7 Vm3-

Festpunkt mittlere Stütze

4,5 • ²46,7

3 • 246,7 + 73,7 A — a = 3,136 m.

1,364 ¹/m³

Kopf mittlere Stütze

Eys = 246,7 (3 —

4,5

3A36

= 386,1 x/m³.

*37 Fuß obere Stütze (A = x/₄ A)

Eys' = -~- 292,4—486,0 ^m³,

Ey —

386,1 • 486,0

386,1 V- 486,0

= 215,2 Vm³.

Festpunkt mittlerer Balken

= 0,842 m

6,0 • 52,2

3 * 5 ²,² + 2 15,2 l — 0=5,158 m.

- -tC mittlerer Balken

E7a = 5²»² ( 3

6,0

5D5⁸

= 95)9 Vm3)

Ey —

386,1 • 95,9

386,1 4- 95,9 = 76,8 ¹jm³.

Festpunkt obere Stütze

= 1,226 m

4,0 • 292,4

3 • ²9²>4 -j⁻ 76,8 h — a= 2,774 m.

Kopf obere Stütze

Eys = 292,4 (3 —

4,0

²,774

= 455)6 VmS-

Festpunkt oberer Balken

= 0,87 1 m

6,0 • 117,1

3 • H7,i + 455,6 l — a = 5,129 m.

•< oberer Balken

E7a = 11 7,¹ (3 —

6,0

5,¹29

-) = ²i4,3 7m3.

Festpunkt obere Stütze

- 1,072 m.

4,0 ■ 292,4

3 • 292,4 + ²¹4,3

li —

.    Ä

b = 2,928 m (Annahme war b —— = 1,00 m).

^ Fuß obere Stütze *)

Eys — 292,4 (3 —

4,0

2,928

)= 47 7,9 Vm3 (486,0 Vm³),

95,9 • 477,9

95,9 + 477,9

79,9 Vm⁸.

Festpunkt mittlere Stütze

4,5 • 246,7

3 • 246,7 + 79,9 A — a = 3,146 m.

= i,354 m

,*3C Fuß mittlere Stütze

246,7 (3

4,5

3,146

) = 3⁸7,2 Vm³

(411,7 7m3)-

76,2 Vm3-

- i,344 m.

94,9 • 387,2

94,9 H- 387,2

Festpunkt untere Stütze

4,5 • 2i9,3

3 • 219,3 + 76,2

x) Die eingeklammerten Werte entsprechen jeweils dem ersten Ergebnis, unter der Annahme b='Uh in den Stützen.

Damit sind alle Festpunkte bestimmt. Auf Grund der genaueren K-Punkte werden wir nun die Festpunkte der Balken erneut bestimmen

Ey —

329,0 • 387,2

329,0 -f 387,2

= 177.9 Vm3

Festpunkt unterer Balken

6,0 • 52,2

3 • 5²>² -f i77,9

= o,937 m

(0,923 m),

l — a = 5,063 m.

-3C unterer Balken

Eya = 5²,2 (3 — Ey =

6,o

5,063

386,1 • 477,9

386,1 -f- 477,9

Festpunkt mittlerer Balken

6,0 • 52,2

)=94,7¹/m3    (94,9 Vm3)-

= 213,6 i/m³

(215,2 7m³).

3 • 52,2 + 213,6

= 0,846 m

(0,842 m),

l — a= 5,154 m.

dC mittlerer Balken

Eya = 52,2 ^3

6,0

= 95,⁸ Vm3

(95,9 7m3)-

5>¹54

Wie ersichtlich, ergeben sich nur geringe Unterschiede, so daß man die Rechnung nicht weiter zu wiederholen braucht.

e) Übergangszahlen.

Unterer Balken.

Bei einem an der durchlaufenden Stütze angreifenden Moment gilt für den Teil in der unteren Stütze (Gl. 136)

yj (mittl. St.)

387,2

yj (mittl. St.) -j- ys (unt. St.)

387,2 + 329,0

o,S4i.

Bei einem von oben kommenden Moment entfällt auf die untere Stütze

ya (unt. Balk.)

94,7

ya (unt. Balk.) -}- ys (unt- St.)

0,2 24.

94,7 -f 329,0

Auf die mittlere Stütze entfällt bei einem Moment von unten kommend

(■IUO -

ya (unt. Balk.)

94,7

ya (unt. Balk.) -f- ys' (mittl. St) 94,7 -f 387,2

= 0,197.

Mittlerer Balken.

Es ergibt sich hier ebenso wie zuvor

Hu =

yj (obere St.)

477,9

ys (obere St.) -)- ys (mittl. St.)

477,9 4- 386,1

= 0,554,

Hoit —

ya (mittl. Balk.)

95-8

ya (mittl. Balk.) -f- ys (mittl. St.) 95,8 —f— 386,1

0,199,

Huo —

ya (mittl. Balk.)

95-8

yß (mittl. Balk.) -J- y₈' (obere St.) 95,8 + 477,9

= 0,176.

I. Berücksichtigung der lotrechten Lasten. (Abb. 90.) Beim frei aufgelagerten Balken wird Ständige Last

6,o²

7,20 mt.

Unterer und mittlerer Balken M₀ = 1,6 •

Oberer Balken .

Zufällige Last

Unterer und mittlerer Balken M₀—r 3,2 •

•    • M₀ — 1,3 •

6,0 ²

5.85 Ti •

6,o²

= 14,40 mt.

Oberer Balken .

• • Mo — 0,3 •

6,o²

U35 » •

In Abb. 90, b, wurden die Momente für ständige Läst bestimmt. Man braucht dabei nur die Übergangszahlen zu beachten, und sich genau an die bekannten Regeln zu halten. Abb. 90, c, zeigt die Bestimmung der Momente für Yerkehrsbelastung, und schließlich sind noch in Abb. 90, d, die Grenzwerte der Momente ersichtlich. Seitliche Bewegungen der Stützenköpfe sind offenbar ausgeschlossen, da es sich um eine symmetrische Konstruktion handelt.

Es ergaben sich folgende Resultate :

Unterer Balken .    . M,

max-

14,3 mt,

^entspr.

q l²

Mittlerer „

.    . M,

nax-

I4>5 »

14,9

Oberer

.    . M,

q l²

max

¹5>°

Untere Stütze (Kopf) Mm-m = — 3,8 „

q l²

Mittlere „ (Fuß) Mmax =

IO

4,3 »

„ (Kopf) ^1/rnin-    4,5 „

max-

Obere

•„ (Kopf) Mmin = — 3,4

Ln

2 1,2

II. Berücksichtigung der seitlichen Lasten.

a) Bestimmung der Momente für die Versehiebun der einzelnen Balken.

Wir bestimmen die Momente infolge der Verschiebung eines einzelnen Stützenkopfes wie in Abb. 55 ersichtlich. Die Ermittlung der Erzeugungskraft kann indessen hier wegfallen, da wegen der Symmetrie, wenn sich beide Stützenköpfe verschieben, gleiche Neigung der Momentengeraden vorliegen muß. Als Momentengerade nehmen wir einfach die Linie an, welche zur Bestimmung des Momenten-■nullpunktes dient.

Abb. 91, a, zeigt die Momente für die Verschiebung der obersten Stützenköpfe. Um diese zu ermitteln, wurden zuerst die Momente für die Verschiebung des linken Stützenkopfes bestimmt (gestrichelte Linien); jene für den Stützenkopf

fl

Festpunkte und GeberpanpszaA/en 7 J- Q,0065Vnt¥ X

_\f7⁷²~

70OOZ26mtW~

VI

_\p-f,350>\*1,226*\

7=0OO3O¥m*^

Ran |

%Pt^oo'07, tg

7 X.

0,167

7=0,01916 m,¹'

7=0,01916 m,*

6,00

66t'O

HZZO

Vf

Momente iroo l/erkenrsfasf

p=0,30t/m

*»

1¥,VO

-i>

0,553

0097

0,5Vf

4-

§=■

-3,5

37

Tfr

M

p

I**

03i\

7,2<\

Z20

Grenzwerfe 7er Momente

7t,5 rifc

ivM

10,3 rt

<5>

M-

o

C\

rechts ergaben sich unter Bezugnahme auf die Symmetrie. Die letzteren Momente, welche zu den ersteren zu addieren sind, wurden nicht besonders dargestellt.

Wir berechnen nun die zugehörige Erzeugungskraft, und erhalten nach Gleichung 74

ZS =

3,80 -f- 4,14 2 .---

4,0

~ = 3,97 t.

Die Kraft, welche dabei den mittleren Balken in Ruhe hält, beträgt ZJS=2. °'8o + °’³⁴

4,5

0,5! t.

In Abb. 91, b, sind die Momente für die Verschiebung des mittleren Balkens ersichtlich. Die Bestimmung erfolgte genau wie vor. Es entspricht denselben die Erzeugungskraft

ZS = 2 •

4,34 + 4,48

4,5

— 3,9² b

am oberen Balken ZzlS — 2 •

0,50 ~f- 0,18

und am unteren Balken

4,o

o,34 t

ZJS =

0,60 -|~ 0,30 2 •-¹--

4,5

0,40 t. .

Abb. 91, c, zeigt die Momente bei der Verschiebung vom unteren Balken. Es wird die Erzeugungskraft

ZS = 2 • -

Am mittleren Balken wirkt dabei

4,44 H⁻ 4,6o

4,5

— = 4,02 t.

ZJS = 2 •

0,16 4- 0,36

4,5

0,23 t.

b) Berücksichtigung des Winddruckes als Einzellasten. (Abb. 91.)

Da wir auf 1 m Höhe 0,5 t rechnen, ergibt sich

4,o

am oberen Balken H

• 0,5 = 1,000 t,

„ mittleren „

_ 4,° 4-4,5

• 0,5 = 2,125 t,

„ unteren „

4,5 4” 4,5

• 0,5 = 2,250 t.

Wir denken uns nun die Kraft H— 1,0 t am oberen Balken, die Reaktion davon am Balken darunter, und ermitteln die Momente nach Gleichung 145.

Zu diesem Zwecke denken wir uns den Balken 2 der Abb. 57 an Stelle vom oberen Balken, und erhalten dann mit

II = 1,000 t, 4*5= 3,97 t,

ZJS₂" = 0,51t, Az/Sg = 0,34 t, ZJS ZJS₂ ZJSx

2S" = 3,9 2 t, 2S' = o, ZzlS₂ =0,

k' =

= °,

k"

0,51 • o,34

ZS"

ZS

3,92 • 3,97

= 0,0 111

und

ZJS₂

ZJS₂"

ZS

ZS'

~ZS"

1,000

3,97

(1 -j- 0,0111

}    -337]

— U1 0,255 + u2 °,°33*

Am mittleren Balken wirkt H= 2,125 Um jedoch die vorher an diesem Balken vorausgesetzte Kraft auszuschalten, rechnen wir mit R= 2,125 --j- 1,000 = 3,125 t.

Wir denken uns nun die Reaktion dieser Kraft am unteren Balken , und erhalten bei der Annahme, daß der Balken 2 der Abb. 5 7 in der Wirkungsgeraden der angreifenden Kraft liege

#— 3,125 t, ZS =3,92 t, ZS'= 3,97 t, ZS" = 4,02 t.

ZJS₂ = 0,34 t, Zz/Sx = 0,31t, ZzlS₂" — 0,40 t, Z/IS₃ — 0,23 t. o,34 * 0,51

k'

3,97 • 3,92

0,0111,

k" =

0,40 • 0,23

4,02 • 3,92

0,0058.

(1 -j- 0,0111 —f— 0,005 8) |^m2 + u\ *

o,34

0,40;

3,92

= U₂ • 0,8 I I U₁ • 0,069 + u3 • 0,080.

3,97

4,02

Schließlich denken wir noch H— 2,250 -j- 3,1 25 = 5,375 t am unteren Balken , und erhalten, wenn wir den Balken 2 der Abb. 5 7 in der Wirkungsgeraden dieser Kraft annehmen,

# = 5,375 t> 2S = 4,02 t, ZS'=3,92 t, ZS"=o,

ZJS₂'= 0,23 t, ^^=0,40 t, ZJS₂" = ZJS₃—o.

0,0058, k" = o.

k'

0,23 • 0,40

3,9² • 4,02

5,375

4,02

(1 + 0,0058)

— m3‘ i,345 + m2⁻°>°79*

Um zu den endgültigen Momenten zu gelangen, addieren wir die Einflüsse der betrachteten Lasten, und erhalten (Gl. 147)

ui • °,²55 + u2 ■ o,o33

• 0,069-j-• 0,811 + m₃ 0,080 + u2 • °,°79 + «3 1,345

M — ux • 0,324 + u₂ ■ 0,923 + uz ■ 1,425.

Danach wird (Abb. 91, d)

Oberer Balken Ma — Mittlerer n Unterer „

Obere Stütze 4/^ =

1,06 mt.

Mittlere „

Untere

3,5² t-

0,34-0,324 —4,48-0,923 -f 0,36 • 1,425 = — 3,52 t.

— 0,60.0,923 + 4,44.1,425=    5,77 t.

+ 0,30 • 0,923— 4,60 • 1,425 = —6,27 t.

Ma =

Ma = — 0,34 • 0,324 + 3,88 • 0,923 + 4,08 • 1,425 = 3,80 • 0,324 — 0,18 • 0,923    .    .    .    .    =

44= —4D4 • 0,324 + 0,50 • 0,923    .    .

44= — 0,80 • 0,324 + 4,34 • 0,923 — 0,16 • 1,425 =

44 =

44=

44=

c) Berücksichtigung des Winddruckes als gleichmäßig verteilte Last. (Abb. 92.)

In Abb. 92, a, wurde der Einfluß der Belastung bei festen Stützpunkten ermittelt. Stellt man sich dabei vor, daß die belastete Stütze wagrecht liegt, so kann man genau so wie beim mehrfach gestützten Balken verfahren.

357t

Verschiebung' des oberen ßa//rens

Verschiebung des mitt/eren Balkens

ir%—

^    -i_ //    *    ___^

0,3¥t -0,18

$ ;+

3,92 t ^ \3,8¥

a.)

b)

'S -Q,3¥

0,¥Ot

-¥,¥8

3,88

TI+

Momente zi^

Momente iez

Wa

W/,

Zn,

Verschiebung des unteren ßa/kens

Momente eom IV/nddruch (Einzef/asfenJ 1,000t tos    ^-lawL^rrrgrTH

o^3t -One

18

h’m-rjg^-Qgst 1,06

et;

S_

N=0,35t

~~-L-uo_a+|_

-0,16

>■=-1,8Zt 352

M'=UgO,32¥+u^ 0,923 *Ug 1,V2S/(

69

(3

Cv

0,36

--F

Oft

L.

vy

^ <Nj

-352

0,29    d=2,69t/V\

iV=1,8Zt

mI

*♦0

Momente ic₃

8? "=/f /

wv •

-¥,60

Wa

~W/,

L an gen - Ma/sstab f QEO 1 Z 3    *

MX?/,

5m,

513210

Momenten -Ma/sstab

WZ,

10

I5mt

Abb. qi.

V

«

.

'S

- 0X3 J\

Momente bet festen Stützen köpfen

(10-fache Gröfse)

0,06 0,9.

Momente für ct/e Einzeltasten

0,928t    0,39

<«•

5 ]

-Onv

'T

~fOO\

*4

—00W

SL

K 0,01

(3,127t) \ | 2,139 t J i *,32

p =0,50 t/m.

tu 111 ii rm

T.8‘0- M 66*0

-i.

4L

0,02

3,52

tu

-os'*,

•51

m/ j

4s~*

-0,01

'-3,52

-So

0,22V

k, -0,8V

6,00

<5>-

5,77'

+•

7,27    ^

5*

«•-

-Ri

«1

ts»%

<5f

____I_

;bl -6,27

Momente vom tV/natüruck ffe/chm. vert. Last)

0,12

0,56

TS

-1,63

*,28 N= 1,57 t

-0,77

2,125t ^

3£3_

<8

0,50 t/m,

M"

3,5*

'+

«*?

c)

VC'

.n

rfr

13,28 t/=2,66t

\-3p3 ff- 1,68t

d)

3,V6

5}

5,77

*2,125t

V>

T/ZZ.

^-6,20 N=*,78t

M= U₇-0,069*u₂-0,811*-ltfO,080

■<

Ma/ssfab rvie auf Abb. 9t.

Abb. 92.

I

- ;

■>

1

■

>r

Die dabei entstehenden Stützdrücke¹) sind nun noch als Lasten an den Balken besonders zu berücksichtigen.

Man erhält (Gl. 54 a)

— Qb

o,5° • 4,0

— 0,83 + 0,43 4- 0,03 4~ o>o8

Obere Stütze

«SO

0,50 • 4,0

4,o

— 0,83 + °,43 + °,°3 + 0,08

0,928 t.

— Qb =

°,5°' 4,5

4,o

— 0,83 -f- 0,87 — 0,01 — 0,02

= 1,072 t.

Mittlere Stütze<

4,5

— r, i 2 7 t.

Qa

o,5° ' 4,5

— 0,83 + 0,87 — 0,01 — 0,02

4,5

1,123 t.

'Untere Stütze — Qj

°,5° • 4,5

— 0,84 -j- 0,84

4,5

= 1,125 l-

Oberer Balken H = — Qö (Ob. St.) = 0,928 t. Mittlerer „

Unterer

11 =

Qa(Ob. St.) — Qi, (Mittl. St.) = 1,072 + 1,127 = 2,199 t. Qa(Mittl. St.) — Qj(Unt. St.) = 1,123 + I»I25 — 2,248 t.

Bei Benutzung der bereits aufgestellten Gleichungen erhält man mit diesen neuen Werten

Oberer Balken (H — 0,928 t).

0,928

3,97

+ 0,0111) I u₁-\-u₂ 0,51 I =ul- 0,236 + w₂ • °,°3 ¹ • L    3,92l

3,127

Mittlerer Balken (H = 2,199 -J- 0,928 = 3,1 27 t).

o,34

(1 +- 0,011 2

0,40

3,92

— u„ • 0,8 11 + u\' 0,069 ■+"    * °,°8o.

3,97

4,02

5-375

4,02

Unterer Balken (11 = 2,248 -J- 3, x 2 7 = 5,3 7 5 t).

= «3 • U345    ‘ °,°79-

(1

+0,0058) r«₃+u₂ • 1

L    3>9² -■

Mithin folgt für die gesamte Belastung (Gl. 147)

Oberer Balken Ma = Mittlerer „ Ma = Unterer

3,80.0,305 — 0,18-0,92 1

Obere Stütze Mk =

3,84-0,921—0,16.1,425 = » Ma~— 0,34 -0,305 + 3,88 -0,921 4 4,o8 • 1,425 =

3,34-o,3o5

0,99 mt. 4,3 2 „ . 9U9 „ •

3,80-0,305 — 0,18-0,921

Mu — — 4,14-0,305 4°,5°-0,921

=    o,99 „

= — 0,80 ,,

Mittlere „

Untere

^4 = — 0,80-0,305 44,34-0,921 — 0,16 -1,425 =

Mu= 0,34-0,305 — 4,48-0,921 40,36-1,425 = — 3,52 „ Mk =

Mu =

— 0,60-0,921 +4,44-1,425 =

+ 0,30-0,921—4,60-1,425 =- 6,27 „

5,7 7 „

9 Es sind darunter diejenigen Stützdrücke zu verstehen, die entstehen würden, wenn sich der ganze Rahmen an feste seitliche Auflager anlehnt.

Diese Momente wurden in Abb. 92, b dargestellt. Sie unterscheiden sich von den Momenten der Abb. 91, d nur unwesentlich.

Um die endgültigen Momente der Abb. 92, c zu erhalten, addiert man schließlich die ermittelten Momentenflächen.

Wie diese Ausführungen zeigen, ist die Berechnung der mehrstöckigen Rahmen für seitliche Lasten nicht so umständlich, wie man etwa annehmen dürfte. Jedenfalls ist das gebotene Verfahren einfacher, und praktisch genommen zweckmäßiger, wie die Anwendung verwickelter Elastizitätsgleichungen.

Schließlich wurden in Abb. 92, d noch die Momente dargestellt für ein Kräftepaar am mittleren Rahmen. Wie sich zeigt, sind dabei die oberen und die unteren Stützen nur äußerst geringen Biegungsmomenten ausgesetzt, und es ist daher zu erwarten, daß bei einer Berechnung des mittleren Rahmens für sich, fast dieselben Ergebnisse entstehen , wie bei der genauen Berechnung. Bei verwinkelteren Rahmenfällen ist diese Einsicht von Interesse, da vereinfachende Annahmen als zulässig erscheinen.

II. Abschnitt.

Theorie und Berechnung des elastischen elastisch eingespannten Bogenträgers.

§ IO.

V orbemerkungen.

Die Entscheidung der Frage ob ein Bogenträger oder ein Balken vorliegt, ist nicht allein von der äußeren Gestalt dieser Konstruktionen abhängig. Soll ein gekrümmter Träger auch statisch als solcher wirken, dann muß derselbe derartige Auflager finden, daß bei lotrechter Belastung schräg gerichtete Auflagerkräfte entstehen. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Widerlager starr sind, oder seitliche Bewegungen der Bogenkämpfer hemmen.

Wo solche Widerstände fehlen, liegt, da die Kämpfer freien Spielraum finden, zu einer Ablenkung der Auflagerkräfte aus der Lotrechten keine Ursache vor, und ein Träger wirkt dann trotz gekrümmter Achse genau wie ein Balken.

Die folgenden Ausführungen setzen voraus, daß es sich um Konstruktionen handelt, die nur solche Formänderungen erleiden, die sich in einer einzigen Richtung, und zwar senkrecht zur Haupt-Längs-Symmetrieebene vollziehen. Außerdem sollen auch alle angreifenden Kräfte in dieser Ebene liegen und Torsionsmomente ausschließen.

§ ii.

Theorie des Bogenträgers.

i. Grundlagen.

Die folgenden Ausführungen befassen sich mit dem massiven unsymmetrisch ausgebildeten Bogenträger, bei elastischer Lagerung und beliebiger Belastung.

ßV"

Abb. 93.

Die Belastung eines solchen Bogens erzeugt die Kämpferreaktionen Ra und (Abb. 93), deren Größe und Lage durch sechs Gleichungen bestimmbar ist. Allgemeine Gleichgewichtsbedingungen hat man jedoch nur drei, und diese reichen nur zur Ermittlung der Hälfte dieser Unbekannten aus. Die restlichen drei Unbekannten zu bestimmen bleibt der Elastizitätstheorie überlassen, und man hat es daher in vorliegendem Falle im allgemeinen mit dreifach statisch unbestimmten Konstruktionen zu tun.

Die Verformungen eines Bogenträgers berechnet man unter der Annahme, daß sie in einem festen Verhältnis zu ihrer Erzeugungskraft stehen. Daß diese Voraussetzung statthaft ist, und die darauf beruhenden Ergebnisse bei zulässigen Materialbeanspruchungen hinreichend genau sind, unterliegt gegenwärtig keinem Zweifel mehr. Dafür zeugen die durchgeführten Versuche. Geringe Ungenauigkeiten lassen sich bei der Berechnung nicht ausschließen; man ist einmal bei der Untersuchung von statisch unbestimmten Systemen gezwungen diese in Kauf zu nehmen. Auf alle Fälle genügt aber die Berechnung, die wir anstellen können, ihrem Zweck und gibt über die Standsicherheit der zu erstellenden Bauwerke Aufschluß.

Die Ungenauigkeiten entstehen nicht nur wegen einer Abweichung des wahren elastischen Verhaltens von dem angenommenen ; es können hierbei auch ungleichmäßige Wärmeschwankungen, unabsehbare Lagerbewegungen, Schwinderscheinungen u. dergl. vorliegen, die alle rechnerisch schwer zu beurteilen sind, und die Zuverlässigkeit der errechneten Spannungen noch mehr in Frage stellen. ,

Nach alledem erscheint es zweckmäßig, wenn man für die in der Praxis vorkommenden Fälle des Bogenträgers zur unmittelbaren Berechnung geschlossene Ausdrücke herleitet, die auf angenommenen mathematischen Krümmungen der Achse, und gesetzmäßiger Änderung des Querschnittes beruhen. Hiervon wird im III. Abschnitt beim eingespannten Brückengewölbe eingehend Gebrauch gemacht.

2. Das statisch bestimmte System und die Unbekannten,

sei zunächst Gegenstend unserer Betrachtungen. Wir denken uns an den Kämpfern Gelenke eingeschaltet, links ein festes Gelenk, und rechts ein solches, . das auf wagrechter Unterlage frei seitwärts gleiten kann. (Abb. 94). Das statisch bestimmte Hauptsystem ist somit der auf zwei Stützen frei aufliegende Bogen.

Um die Rechnung in eine zweckmäßige Form zu bringen, zerlegen wir die Kämpferresultierenden Ra und Rg in

H in su bezw. 5g von den Kämpfern,

die vertikalen Komponenten Va und Fg, die horizontalen die Momente —Ma und — J/g, die Horizontalkraft K.

Dabeb ist die Ivaft II, worunter nicht der eigentliche Horizontalschub, sondern der wagrechte Bestandteil desselben zu verstehen ist, in starrer Verbindung mit den Kämpfern zu denken.

3. Die Kämpferbewegungen

sind bedingt durch die Verformung der einzelnen Bogenelemente infolge der

Kämpferresultierenden Ra und Rg resp. deren Komponenten einerseits, und die Belastung andererseits. Der Sinn dieser Bewegungen, die in jedem Falle ’f rein elastischer Natur sind, wird durch das Vorzeichen ausgedrückt; wir bestimmen, daß eine Innendrehung der Kämpfer, und eine Verringerung der Entfernung Oa 0g als positiv anzusehen ist.

Ri 0*

t.

fz

fs

Om .H

Abb. 94.

Danach wird die wagrechte Bewegungskomponente der Punkte Oa und Dg

Mia -f- Mib —    — Ji₀ -j- H d -j- Ma aa' sa -j- d/g aß 5g .    .    .    (1)

Die

wobei sa und 5g den Hebelarm der Kraft H an den Kämpfern bedeutet. Verdrehung der Letzteren beträgt:

Ta — ccao -f- H aah -[- Ma aa -(- J/g /Tg j

Tb — O-bo Habh -f Mb ab -f“ Ma ßa j

Für die Bewegungen infolge der Belastung läßt sich nach dem Satze von der Gegenseitigkeit der Formänderungen anschreiben

(3)

Jlo = 2Pdh\ tta0 = A P da ( abo=-2Pdb)

Außerdem ist noch

ßa —- ßb — ß} cta sa — ttaji und <xb sb -— ttbji und die Beziehungen 2 lauten nunmehr

•    •    (4)

M1 = 2 P dk —|— H d -j- Ma ccaji -J- Mb abu Ta ⁼⁼ P$a ⁻r M cca7^—|— Ma aa -j- Mb ß xb — 2 P db -f- H abk -j- Mb ab -j- Ma ß

öjl} da und öb sind unter der Last in deren Richtung gemessene Einsenkungen, infolge der Ursachen H= 1, Ma = 1 und Mb= 1.    ()’ ist die wagrechte Ver

schiebung der.Punkte 0a Ob infolge H = 1 ; aajt und abb bedeutet die Kämpferverdrehungen bei demselben Zustand, aß entspricht der Verdrehung am Auflager A infolge Ma — 1 ; Mb = 1 erzeugt den Winkel aß am Auflager B. ß entsteht dabei jeweils am Kämpfer gegenüber.

4. Die Lagerbewegungen.

Wird die Reaktion der betrachteten Kämpferkräfte bei weggenommenem Bogen an den Widerlagern gedacht, H wie vor mittels starrer Stäbe, dann kann angeschrieben werden

—    sasa (Hsa-f- Ma) — e.bsb (Hsb -j- Mb) -j- Ll La sa Lb sb |

—    sa (JLa -j- Mn) -j— La    ( •

Mi =

(5)

T« =

£b (Hsb -j- Mb) -(- Lb ea und €b sind darin elastische Lagerverdrehungen für die Momenteneinheit. Unter L dagegen sind unelastische Bewegungen zu verstehen, a. h. solche, die sich unabhängig von den wirksamen Kräften vollziehen. Li bedeutet eine Verringerung der Spannweite, und La und Lb sind Innendrehungen an den Widerlagern A und B.

Als elastische Bewegungen wurden der Einfachheit halber nur Drehungen eingeführt. Lotrechte Widerlagerbewegungen (Senkungen) wurden nicht in Rechnung gestellt, da deren Einfluß nicht beträchtlich ist, und ganz verschwindet, wenn sich beide Widerlager gleichmäßig senken. Zudem können dieselben auch durch Einführung entsprechender Verdrehungen berücksichtigt werden.

5. Elastizitätsgleichungen.

Dieselben ergeben sich nach den vorstehenden Untersuchungen, durch Verbinden der Gleichungen 4 und 5. Man erhält nach kurzer Umformung

H (d' -f easa² + sbsb'²) = — ZPdh — Ma(aah -f sasa) — Mb (abh sbsb)

~}~ Li -f- La sa -)- Lb sb

- - — P <S>a - H (ttah -(- £asa) H⁻ L

= — 2Pdb—H (abh 4- £bsb) -j- L

(6)

Ma(aa “f" sa) -f⁻ Mb ß Mb (ab -j- £b) -j- Ma ß

Diese Gleichungen vereinfachen sich wesentlich, wenn man statt willkürlicher Annahme die Strecken sa und sb so wählt, daß sie der Forderung ^    tta]i —)— sa sa —

ttbh + &bsb =

0}

•    (7)

genügen. Sie lauten dann

— — P 4" Li -j- La sa -j- Lb sb -ZPda + La

M (d -{- £asa² H⁻ £bsb²) ⁼

Ma (tta -j- £'«) Lfb ß =

Mb (aß -f sß) -4- Maß = — 2Pdb + Lb

6. Die Bestimmung der Angriffslinie der Bogenkraft.

hat auf Grund der Forderung 7

aah “f~ £asa — °>

Übh + Sb sb = ⁰

zu erfolgen. Da a und s gegenseitig voneinander abhängig ist, scheint die Aufgabe verwickelt; doch läßt folgender Kunstgriff eine einfache Lösung zu.

Man denkt sich die Kräfte H an den Kämpfern, und stellt den ursprünglichen Belastungszustand durch Hinzufügen zweier Momente von der Größe sa und sb wieder her. Bezeichnet aao' und abo' die Kämpferverdrehungen infolge der Kräfte H= 1 an den Kämpfern, dann läßt sich für die Winkel anschreiben

aah — Mao 4~ sa &a “4 sb ß> abh ⁼ ccbo *-f- Sb ab -j- Sa ß,

• (74

Para/le/e

womit die Forderung 7 in H sa (aa 4" £a) ~j~ sb ß CCao = ° |

^ sb (ab 4“ £b) ~h sa ß -f- CCbo = ⁰ J

\B

übergeht.

Nun drückt man, von einer Lotrechten in la bezw. lb ausgehend, die in obigen Gleichungen enthaltenen, auf den Auflagerlotrechten liegendeStrecken,durch

Abb. 95.

sa — sm 4“ lg

sb ~= sm iß lb

aus (Abb. 95) und bringt damit die Gleichung 7a in die Form

(act 4- 4 4- e«) 4- V' 0« (a<* 4" Sa) hß) aao = O, •

sm («S "4 44” eb) — 1p (lb (&b 4- eb) — laß) 4“ abo

sm

- O.

Die Strecken la und lb können darin beliebig groß angenommen werden. Jedoch empfiehlt es sich darüber so zu verfügen, daß sie dem Verhältnis

■    •    (9)

lg _ ab~\-ß~\~£b

lb

aa 4“ ß 4“ £a

genügen, bei dessen Beachtung

sm —

®ao 4~ ^bo

■ ■ (IO)

aa 4" £a 4“ ab 4~ £b

abo (aa 4“ £a) -f aao (ab “4 £b)

(aa 4~ £a) (ab “4 eb) ß (aa 4“ £a 4~ ab 4“ £b)

wird. Darin sind aa und ab die Winkel am Kämpfer A und B, infolge Ma — Mb = Die Lotrechte, worauf man sm zu messen hat, ist nach

ip l

(n)

la =

aa 4“ £a

.    (12 a)

ab 4~ £b

oder

lb

ab 4- £b

= l — la

.. .    (I2b>

aci 4“ £a

festzulegen.

Es wird noch hervorgehoben, daß der Winkel xp (Gleichung n) in bezug auf eine Gleichlaufende zur Kämpfergeraden zu verstehen, und positiv anzusehen, ist, wenn er wie in Abb. 95, rechts neben der Lotrechten nach unten fällt.

7. Ermittlung der Balkenmomente.

Als Balkenmomente bezeichnet man die Momente infolge der Belastung, beim Zustand H = o. Sie sind von der Form der Bogenachse nur insofern abhängig, als dadurch das Bogendifferential ds beeinflußt wird. Für ihr Zustandekommen ist Bedingung, daß mindestens ein Kämpfer frei seitwärts gleiten kann.

Zur Bestimmung der Balkenmomente dienen die beiden letzten der Gleichungen 8,

-Mb

---ß

Ma 4« 4 Sa) 4 Mb ß —-A Pda 4 La,    /

(ab -j- sb) -J- Maß = — — P<h> -f- Li,

die nachfolgend in eine für die Anwen- -Ma,J& düng geeignete Form gebracht werden.

Wir führen die neuen Unbekannten

la

Xl = Ma-f+Mi

4 = Ma - Mh

ein, drücken die alten durch die entsprechenden Beziehungen

•    •    (i3)

-Ma

Mb*

Ma — Xx -j-- X₂

la

la

j4

• • (14)

Mb— >< c

Mbjr~r

+.

Abb. 96.

Mi = Xx — X₂

aus, und erhalten

4 (aa' + ß -f Sa) -1- ■— (la 4« 4 £a) ~ k ß) = — ^Pda 4 La,

(jb 4& 4 ⁸b) la ß') ⁼⁼ L PÖfj 4 Ljf.

4 4& 4/?4 £b)

x₂

Legt man wie zuvor die Bestimmung der Strecken la und lb das \ erhältnis

la

ab 4 ß 4 ⁸b aa 4 ß 4 ⁸a

zugrunde, dann ergeben sich auf elementarem Wege die wichtigen Ausdrücke

• • 05*)

la (APda - La 4 2Pdb — Lb)

la (AP4 — Lg) — h (AP4 - Lb)

la 4a "4 ⁸a) lb ß

• • (15 b)

In Verbindung mit Gleichungen 12a und 12b entsteht hiernach für die Belastung allein

.V

2Pd₁

(16 a)

APd₂

4a 4 Sct) (ab 4 £b)

(16b)

CCa 4 ⁸a 4 ab 4 ⁸b)

worin dj und ö₂ die Einsenkungen unter der Last infolge der Ursache Ma — Mb = 1 und Ma = la: l, Mb — — lb : l.

Strassner, Neuere Methoden.

10

Die unelastischen Lagerverdrehungen erzeugen

La -f- Lb

aa ~\~ Sa CCb -f- Sb

La    ~T~ Sfr) Lj) (<Xa -|— €a)

• (17a)

(aa H⁻ Sa) (ab -f- sb) — ß (&a ~j- Sa -j~ «S Sb)

■    (‘7b)

Mit M₀ als Bezeichnung für das Moment beim frei verschieblich und zugleich frei drehbar gelagerten Bogen, lautet die Gleichung für das Balkenmoment im Abstand x von der linken Kämpferlotrechten

• (‘8)

Mß = M₀ -f Xx ~f A 2 la bestimmt sich nach Gleichung 12 a.

8. Weiteres Verfahren.

Es soll noch einem weiteren Verfahren Raum gegeben werden, welches auf den Festpunkten beruht, und sich zur Bestimmung der Strecken sa und sb, sowie zur Ermittlung der Balkenmomente als sehr übersichtlich erweist.

a) Festpunkte.

Setzt man in den Gleichungen 2 H = o, und streicht man die von der Belastung herrührende Winkel, dann erscheinen dieselben in der Form

Ta = Maaä + Mbß, rb = Mb ab + Ma ß,

während die beiden letzten der Ausdrücke 5 in

Ta —    Ma Ea

I'b ⁼⁼    Mb

übergehen , wenn dabei von drehungen abgesehen wird.

Durch A erbinden dieser Gleichungen entstehen die im I. Abschnitt enthaltenen Beziehungen 2 (S. 2), und es folgt daher, beim Balken, die Festpunkte in (Gl. 3 u. 5, I. Abschnitt)

der Berücksichtigung der unelastischen Lagerver

daß auch hier genau wie

Iß

aa Sa

•    .    (19a)

Iß

■    • (r 9 b)

liegen.

b) Die Strecken sa und sb. Bestimmt man auf Grund der letzten Gleichungen sa und

sa =

sb

-aa~h ß >

•    a

Sb =

— Ub -f- ß -y ,

und führt man diese Ausdrücke in die zur Ermittlung der Strecken sa und sb maßgebende Beziehungen (Gl. 7 a) ein, dann folgt nach kurzer Umformung

<x aao

sa

a    a

—r sb    =

sb

b    b

“+S»T

b abo

Wie man gleich sieht, stellen die linken Seiten dieser Gleichungen die auf den Festlinien liegenden Abschnitte sß und sß dar (Abb. 97).

Demnach gilt

Cl (%ao

T"

(20 a)

sb =

b ccbo

(20b)

Leu.

'Sa

Sind diese Abschnitte berechnet, dann werden jene auf den Auflagerlotrechten

-CL

-~7~"

Abb. 97.

sa —

sß (l —    — sb a

sb =

l — a — b sb (l — a) — sß b

.    (21a)

l — a — b

Einfacher ergeben sich dieselben graphisch.

•    (21b)

c) Bestimmung der Balkenmomente.

Werden für ea und eb die aus Gleichung 19a und 19b hervorgehenden Ausdrücke, genau wie im I. Abschnitt, in die beiden letzten der Gleichungen 8 •eingeführt, dann entsteht nach kurzer Umformung

a 2Pöa — La

Ma

a , a -+Mb — =

Mb

b- + Ma~ =

b 2Pdb — Lb

■oder, da die linken Seiten dieser Gleichung, wie in Abb. 98 ersichtlich, die Senkung der Schlußlinie auf den Festlinien bedeuten,

a 2Pda — La

£«=-

(22 a)

Sb = —

b :?pdb - Lb

(22 b)

JC

-Mb

geht aus

Wie vorauszusehen war -dieser Untersuchung hervor, daß die Bestimmung der Balkenmomente beim Bogen ähnlich erfolgen kann wie beim elastisch eingespannten Balken.

Sind die Festlinienabschnitte Sa und ,Sb bekannt, dann ergeben sich die Momente an den Kämpfern leicht graphisch. Analytisch gewinnt man dieselben aus

-Ma,

-Mas

OL

-Sa

Jw

~Mt

Abb. 98.

M„ =

Sa (l — b) — Sba

Mb =

l — a — b Sb (l — a) — Sab

(23 a)

(23b)

In x vom linken Kämpfer entsteht das Balkenmoment

l — x

Mß = M₀-\- Ma

Mb

(24)

•oder

Mj — M₀ -j-

Sa(l — b — x) Sb (x — a)

•    •    (24a)

Das zuletzt mitgeteilte Verfahren verdient gegenüber dem ersteren namentlich dann den Vorzug, wenn man beabsichtigt, die Lösung auf graphischem Wege herbeizuführen. Bemerkenswert scheint noch der Umstand, daß sich sogar die im

I. Abschnitt gebrachten Tabellen zur Bestimmung der Schlußliniensenkung benutzen lassen, sofern das Trägheitsmoment multipliziert mit dem Cosinus vom Neigungswinkel der Bogenachse, entsprechend einem dort beschriebenen Gesetz verläuft.

9. Die Bogenmomente

werden durch die Kraft H erzeugt, die infolge der seitlichen Kämpferwiderstände entsteht. Sie berechnet sich gemäß der ersten der Gleichungen 8 nach

A_    — B<ht Lj -f- Lasa -(- Ljjsb

$ + ea*aa-\- ZbSb²'

und erzeugt das Schnittmoment (Bogenmoment).

M= — Hy

Im Bogenträger wirkt daher endgültig Mx = Mä — Hy .    .

Die eigentliche Erzeugungskraft liegt, in der Richtung 0a 0b, und hat die Größe H' = Hcosec a.

Sie wird in der Regel als Horizontalschub bezeichnet. Da uns diese Bezeichnung höchst unzweckmäßig erscheint, weil dieser Schub ebensogut wie horizontal auch schräg gerichtet sein kann, führen wir, wie Prof. Mehrtens (vergl. auch Dr. Max Ritter, Forscherarbeiten auf dem Gebiete des Eisenbetonbaues, Heft XI), die treffendere Bezeichnung Bogenkraft ein, und glauben damit auf die in ihrem Gefolge entstehenden Bogenmomente besser hinzuweisen.

ft

fl

> (²5>

L-r —-jr'"':

\/i.cosec tx

_.&UL

(2 6)

______+•

Abb. 99.

•    •    (²7>

10. Die lotrechten Auflagerdrücke.

Bei gegebenen Balkenmomenten und gegebener Bogenkraft lassen sich dieselben nach den aus den Gleichgewichtsbedingungen

o =

hervorgehenden Ausdrücken

o = — A₀l -\-Val -j- Ma — Mt — Hl tan a B₀l — Vjjl -j- Ma —• Mfr — Hl tan a

Va=A₀ 4

— Ma -f Mb

4- H tan a .

(28 a)

Vb=B₀

-Mg 4" AIj)

Htan a

(28 b)

berechnen. A₀ und B₀ bedeuten die Auflagerreaktion bei frei drehbaren Kämpfern.. a ist der Neigungswinkel der Bogenkraft.

Wegen Ma — Mb == X₂ (Gl. 13) kann auch geschrieben werden

Va = A₀ —

.    .    (29a).

-j- H tan a

Vh = B₀ 4

H tan a .

■    (²9b)>

§ 12.

Die Formänderungen und die Biegungslinie.

l. Berechnung der Formänderungen.

Von vornherein sei betont, daß die Bestimmung der Formänderung des gekrümmten Stabes, wenn dessen Krümmungshalbmesser im Vergleich zu den Abmessungen groß ist, nach den gebräuchlichen Gleichungen genau wie beim Stab mit gerader Achse erfolgen kann. Um von dieser Tatsache zu überzeugen werden folgende Darlegungen gebracht.

Auf ein Bogenelement von der Länge ds wirke das Moment M und die Normalkraft N (Abb. xoo). Der Gleichgewichtszustand fordert, daß

f oä dF = i\T    und Jgz zdF — M.

Die Achse des betrachteten Bogenelements verkürzt sich infolge Aum z/ ds, während M den Winkel dcp und zlclcp verringert.

fl

Es ist

4>

ds e — z/ ds und dsz sz — z/ ds weshalb die spezifische Verkürzung in der Achse

z/ ds

'S?

\\

ds ’

und in der Faser z

zl dsz

//

\iK\

dsz

oder wegen

z/dsz = z/ds -f- zzldcp dds -]- zz/clcp

l'K

Abb. xoo.

dsz

beträgt. Setzt man dse = (r -j- z) dcp = ds -f~ zdcp, und erweitert man mit r,

dann entsteht

rlFF\,

oder

ez = e--

Da aber

Gz

~E’

ist auch

Gz

r -\-z V

rz1 dcp

ds

Durch Verbinden mit den Gleichgewichtsbedingungen folgt

r zl dcp

ds

)fvi

dF =

efzcll —

z*

r ziel cp

ds

)h

dF =

Wird

f z* —~r

J r -f- z

dF — Z

gesetzt und beachtet, daß

f dF— F, J'zdF = o,

daß ferner

r-\-z

r (r -f- z) ’

und demnach auch r^J—r

<FF =

rfzdF—fZ2 '

so entsteht

r2

(    rJdq>\ Z

\ ds J r*

Er

Daraus gewinnt man die wichtigen Gleichungen z/ ds —eds

Jdcf = (ß + ßz)

ds

(3°)

wo

Tf(n+ t)

(3 0

Der Krümmungsradius war vor der Formänderung

ds

d cp

und beträgt nach der Formänderung

ds — z! ds ® dcp — z! dcp Führt man in den Ausdruck

1 dcp—zldcp dcp ds — z! ds    ds

die für zfds und zldcp ermittelten Werte ein, dann folgt die bekannte Beziehung

EZ{ 1 — e)

(32)

s berechnet sich nach Gleichung 31.

Um nun zunächst davon zu überzeugen, daß man bei der Anwendung dieser Gleichungen Z stets durch das Trägheitsmoment J ersetzen darf, entwickeln wir die Reihe

•2

r -j- z

und erhalten

Z=fz*-±— J r -f- z

dF

=J-vß3dF+^fz>dF—zßSdF+ ■ ■

Für den rechteckigen Querschnitt von der Breite b und der Höhe h wird danach¹)

Z—J

Setzt man beispielsweise r — 5 h, dann folgt

Z = J • 1,006

und man sieht, daß die Verwendung des Trägheitsmomentes an Stelle von Z immer zulässig ist.

Wir wenden nun unsere Untersuchungen dem Wert von e zu (Gl. 31). Unter Zugrundelegung einer Normalspannung von 30 kg/cm² ergibt sich für den

*) H. Müller-Breslau. „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und Statik der Baukonstruktionen“. IV. Aufl. S. 242.

Anteil der Normalkraft, wenn für den Elastizitätsmodul    210000 kg/cm² ge

setzt wird,

3°

EF E

0,000 143.

210 000

Dagegen bringt das Moment M, indem man die davon herrührende Randspannung wie die Normalspannung zu 30 kg/cm² annimmt, bei r=$li,

oli

3°

r E F    "6 Er

Insgesamt wird demnach (Gl. 31)

6*210 000 • 5

= 0,000 006.

EF

= 0,000 143 -f- 0,000006 = 0,000 149.

Diese Zahl kann gegenüber Eins gestrichen werden. Gleichung 32 lautet dann, wenn noch Z = J gesetzt wird,

EJ ......

und der Ausdruck für den Formänderungswinkel (Gl. 30) geht in

Mds

• ' •    (33)

1 d cp

EJ

•    •    (34)

Wird weiterhin noch berücksichtigt, daß der Einfluß von M auf e gegen

über.

über jenem, den N bringt, klein ist, dann kann gesetzt werden (Gl. 30)

1 ds =

Nds

EF

(35)'

2. Die Biegungslinie des Bogens.

Abb. 101 stellt ein unendlich kleines Bogenelement vor und nach der Verformung dar.

Es soll nun zunächst die lotrechte Verschiebung d d des Punktes B infolge der Ursache M und N festgestellt werden. Wird die untere Schnittfläche des Bogenelementes als verhältnismäßig fest angesehen, dann folgt,” wenn cp den Neigungswinkel der Achse bezeichnet,

’d d = d x /J d cp -|- /I ds sin (cp — J d cp).

Das erste Glied rührt von der Verdrehung durch das Moment und das zweite Glied von der Verkürzung infolge der Normalkraft her. Weil Jds sin (—/Idcp) als unendlich kleines Glied zweiter Ordnung wegfallen kann, ergibt sich etwas umgeformt

ps—(Lx—**

ß-

i

sjöfX >

9    \/

J ds

~irtan v-

Differentiiert man diesen Ausdruck nach dx, dann entsteht

dd

dx

= J dcp

Abb. 101.

zJ dcp

d(4rtanX

dx²

und hiernach folgt in Verbindung mit den Gleichungen 34 und 35 die Differentialgleichung der Biegungslinie

dx

dx

d²ö

d{/F tanX

dx²

EJ cos cp

dx

•    •    (36)

Auch hier ergibt sich bei näherer Untersuchung, daß das zweite von der Normalkraft abhängige Glied nur eine untergeordnete Rolle spielt. Sofern es sich

um die Ermittlung von lotrechten Einsenkungen nach Art der Abb. 102 handelt, kann man dasselbe stets vernachlässigen. Bei der im Nenner .des Ausdruckes für H (Gl. 25) vorkommenden Verschiebung d' hingegen, hat die Normalkraft einen geringen Einfluß im Gefolge, der sich besonders bei flachen und steifen Bögen bemerkbar macht.

Ohne Rücksicht auf die Normalkraft lautet die Differentialgleichung der Biegungslinie d¹ö _

dx¹

und für den Anteil der Normalkraft folgt

HA.

ft

ft

P₂

x-

Abb. 102.

EJ cos cp

(3 7)

dx

EF

tan cp

(38)

3. Untersuchung über den Einfluß der Normalkräfte.

Nachstehend wird eine kurze Untersuchung gebracht, die eine Gegenüberstellung des Einflusses vom Moment und von der Normalkraft bei der Formänderung des gekrümmten Stabes bezweckt.

Wir betrachten einen an den Kämpfern frei drehbar gelagerten, parabolisch

\P

Q*7zP>

gekrümmten Träger und legen dessen Pfeilverhältnis durch 4f=l fest (Abb. 103). Die Querschnitthöhe sei derart, daß J cos cp einen festen Wert (/) annimmt.

l=vf

V*

Da das eine Auflager als frei beweglich vorausgesetzt wird, stimmt die Momentenfläche mit der des gewöhnlichen auf zwei Stützen aufliegenden Balkens überein, und es entsteht daher bei der in Abb. 103 ersichtlichen Belastung in z vom Scheitel das Moment

Mithin ist zur Bestimmung der durch das Moment allein verursachten Einsenkung die Differentialgleichung (Gl. 37) d¹ S

P {1— 2 z)

cLv¹

4 EJ

EJ cos cp

maßgebend, deren zweimalige Integration bei Berücksichtigung der Integrationskonstanten für die Scheitelsenkung

PP

48 EJ

liefert.

Die Gleichung zur Berechnung der Randspannung bei Biegung lautet

M Mel

Da M

PI

läßt sich die Spannung im Scheitel des betrachteten Bogens durch Pld

ausdrücken, und es folgt alsdann in Verbindung mit der Gleichung für <3

c)

6 dE

Dem Zweck der Untersuchung gemäß soll diesem Wert von d noch derjenige, der dem Einfluß der Normalkraft entspricht, gegenüber gestellt werden.

Die betrachtete Belastung erzeugt am Kämpfer (Abb. 103)

sin cpk

4/

oder, da 4f=l

Nk

~² (₄/)2 ~ o,35 p-

Die Gleichung

N=coNk

00 0,7

Pz

gibt annähernd die Normalkraft in z vom Scheitel. Ferner ist noch

und es folgt daher (Gl. 38)

EF

tan cp

1,4 Pz²

l'² EF ’

wonach bei der ungünstigen Annahme, daß F = beständig

ö = 00

PI

1 7 EF

Die Umformung des zur Ermittlung der Biegungsspannung gültigen Ausdruckes

Pld

J= F

führt wegen

zu

3 PI

2 Fd ’

und es ergibt sich hiernach in Verbindung mit der Gleichung für d der Einfluß der Normalkraft auf die Scheitelsenkung zu

2 od

d = 00

¹

bb. 103.

5¹ E

In nachfolgender Tabelle ist die Kleinheit des Einflusses von der Normalkraft gegenüber jenem vom Moment ersichtlich.

Verhältnis d : l

1 : 10    1:15    1 :20 | 1:30

Einfluß vom Moment

„ von der Normalkraft

0,8333

0,0065

1,666 7

0,0039

2,5000

0,0026

3,3333

0,0020

5,oooo

0,0013

Werte von

ÖF

Gl

Demnach bietet die gekrümmte Balkenform keinen Anlaß, von der gebräuchlichen Bestimmung der Formänderung Abstand zu nehmen. Bei kleinerem Pfeilverhältnis wird der Einfluß der Normalkraft noch geringer.

4. Bestimmung der Formänderungswinkel am Kämpfer.

Bestimmt x und x die Lage eines beliebigen Querschnitts, dann werden die Winkel der elastischen Linie an den Kämpfern (Abb. 104)

ff

«?

= —fx'Jdcp, ti, = — J’x z! dcp.

i?""'

-x’-

Drückt man den Formänderungswinkel durch Gleichung 34

Abb. 104.

aus, dann folgt mit der Abkürzung

J dcp

Mds

EJ

dio —

ds

dx

allgemein

EJ EJcoscp %a = — f Mx die

■    •    (39)

.    .    (40 a)

—J Mx cl w

.    .    (40b)

Mithin ergeben sich für die zur Berechnung der Bogenträger erforderlichen Winkel die Ausdrücke

(M= 1)

(M= 1)

(M

f)

(M=-y₀)

Mao

aa=^j-fxdw. . ah = —fx dw .    .

ß = -ysr J"XX d IV

\-fyoX dw

•    •    (4 r a)

•    (4ib)

(4ic)

■    (42 a)

(.M=-y₀)

&b0 -:

—fy₀xdw .    .

•    •    (42 b)

y₀ ist d'ie lotrechte Bogenordinate in bezug auf die Kämpfergerade. Die Integrale sind über den ganzen Bogen auszudehnen.

5. Bestimmung der Durchbiegungen.

Die Bestimmung der Durchbiegungen hat nach der Differentialgleichung (Gl. 37)

d²d

dx²

zu erfolgen. Man erhält danach

d²dh dx2 d²d dx2 z \ d² ö₂

0M=-y)

(M=i)

lax

hx

dz²

EJ cos cp

EJ cos (p

■    ■    (43 a)

EJ cos cp

•    •    (43 b)

IEJcos cp

(43 c)

d*da

dx²

IEJ cos cp

•    (43 d)

d²öb

•    •    (43 e)

IEJ cos cp

Unter y ist die lotrechte Bogenordinate in bezug auf die Wirkungsgerade der Bogenkraft zu verstehen.

dx²

\¹'

to.

na

■V

3*

om |

—L- —

i.

is

i_4i

I“ f⁴i

III

h?-i

)—CB'-

eih-Linie (Belastung - irj y=-my)

-4=dy-1-i-k—h-4—I-f-

a)

if

Ui

Uw,

H ⁵

»5 ff

s

zf~i£^p%

, 1 1 * ' ' s 4/v '44 +e*-sEmy +    j

Marl

Linie (Belastung -j^j

}1

1Mri

O    5

hr    3

b)

b)

fe

ff

-Zul -Zz:l -Z₃:l

t/ l( l _

* ey-swv

y-njjc'

v!

s

10

11

12

t h^l" d,-Linie (Belastung-pß-j■ 4- ’s-Wyy.

iiu^r;

*-h

. h u~

\~T

c)

I¹

⁷ff

ff

//

KTfTTfnrfay

rTTjhijl i[r

af ~y£~ Linie (Belastung fj'J=nf)

d) jNkf ! i >4! j I

i RK. i yeJ ii i ^

_L

!4.1

z?;

i /T

ff

! Km

>4ysrc£Aj+ev_sZ7vf+ev_s 7uyj?

'4

Abb. 105.

Außer diesen Einsenkungen ist noch die Kenntnis der wagrechten Verschiebung der Punkte 0a 0b erforderlich. Daliir gilt

ö' = fy J d cp -J- fjds cos cp cos cp dx EF ~

Im allgemeinen krümmt sich die Achse des Bogenträgers beliebig, und der Verlauf des Trägheitsmoments entspricht keiner bestimmten Regel. Es hat daher

oder

cV =

fy2 dw + f

(44)

die Ermittlung der Durchbiegungen und der Winkel der elastischen Linie an den Kämpfern unter Zugrundelegung endlicher Bogenlängen zu erfolgen.

Handelt es sich beispielsweise um dann sind an dem Bogen die lotrecht wirkenden ideellen Kräfte —iv y zu denken (io = s:EJ, wo s eine endliche Bogensehne), und es ergibt sich alsdann die gesuchte Biegungslinienordinate an beliebiger Stelle, als statisches Moment für die gedachte Belastung, bei frei drehbaren und frei verschieblichen Kämpfern. Man kann also genau wie beim geraden Stab nach der hinlänglich bekannten Mohrschen Methode verfahren, und, falls man die Biegungslinie vollständig erhalten will, deren Verlauf als Momentenlinie graphisch oder analytisch festlegen (Abb. 105). Es ist dabei zweckmäßig von Punkten auszugehen, die mit den Angriffspunkten der Gewichte in einer Lotrechten liegen und gleichen Abstand voneinander haben. Außerdem ist es auch bei der analytischen Bestimmung immer angebracht, jedes folgende Moment unter Benutzung des vorhergehenden zu ermitteln und dabei die Aufiagerkraft an jener Seite, an der man beginnt, vorerst gleich Null zu setzen. Es liegt dann immer ein frei auskragender Träger vor, und die sich ergebenden Einsenkungen beziehen sich demnach auf eine Tangente an die Biegungslinie am freien Balkenende. Ist man in dieser Weise am Kämpfer gegenüber angelangt, dann sind die wahren Ordinaten der Biegungslinie sehr leicht bestimmbar (Abb. 105). Bei d/t kann auch unter Umständen die Auflagerkraft gleich Null sein (bei fester Einspannung am Kämpfer ist dies Bedingung); es ergeben sich dann die richtigen Ordinaten unmittelbar.

Um dj zu ermitteln, hat man als Lasten die Werte von w zu benutzen; hingegen kommt zur Ermittlung von d₂ die Belastung durch —wz:l in Frage, wo z der Abstand der einzelnen Bogenpunkte von einer Lotrechten in la bezw. lb. (Rechts davon positiv.) Soll öa ermittelt werden, dann ist genau wie vor zu verfahren, nur sind an den Bogen die Kräfte wx’.l zu denken; ^benso ergibt sich d/j, wenn als Belastung wx : Z angenommen wird.

Schließlich sei noch auf die Beziehungen hingewiesen

la

db

•    (45 a)

•    (45 b)

Wenn einmal diese Biegungslinien bestimmt sind, dann sind damit auch, mit Ausnahme von aao' und abo', alle Winkel der elastischen Linie an den Kämpfern gegeben, und deren besondere Ermittlung nach den Gleichungen 41 ist alsdann überflüssig.

§ 13-

Sonderfälle.

1. Der unsymmetrische Bogenträger mit starren Widerlagern.

In der Praxis liegen die Verhältnisse meist einfacher wie vor, und es wird sich nun noch darum handeln, die allgemeinen Ausführungen in passenden Formen wiederzugeben. So sei zunächst angenommen, daß ein unsymmetrischer Bogenträger mit starren Widerlagern vorliegt (ea = eb — o).

Nach Gleichung 12a folgt

oder

la=.

cca

ab

la — l lb

Z ab

ab aa

fd w

(46)

Ist die Lotrechte hiernach festgelegt, dann gewinnt man die Lage der Bogenkraft aus (Gl. io und ii)

sm —

aao "j- abo

fyo d w

aa ab

•    (.47)

fy₀zdw

•    •    (48)

■ tan ip

&ao &b &bo

ß(aa + ab))

l (aa ab

Die letzte Gleichung entsteht, indem man in die Beziehungen für die Winkel x = la -(- z und x'= lb— ^ einführt, wobei unter z der Abstand der Bogenpunkte von der nach Gleichung 46 bestimmten Lotrechten zu verstehen ist. (Rechts davon positiv.)

Hinsichtlich der Ordinaten y₀ ist zu bemerken, daß man nicht daran gebunden ist, diese auf die Kämpfergerade zu beziehen. Es ist auch zu lässig, von einer beliebig angenommenen Geraden auszugehen, wenn unter cp der Winkel derselben mit der gesuchten Angriffslinie der Bogenkraft verstanden wird.

Für die Balkenmomente liefern die Gleichungen 16a und 16b

ZPÖ

Xl = ~

2PÖ

aa ~\~ ab

ZPd₂

J d iv

(49)

PZPÖ

cca cib

f z² die

•    •    (5°)

aa~\~ab

An beliebiger Stelle wird (Gl. 18)

(5>)

MJ = M„ + X₁~ X, j

Zur Ermittlung der Bogenkraft dient (Gl. 2 5)

2Pdh

H= —

cos cp dx

• • (52)

EF

Das zweite Glied im Nenner hat nur untergeordnete Bedeutung ; näherungs

weise ist

cos

cp dx

EF

=■ 00

EFS

• (53)

wo Fs der Scheitelquerschnitt.

Das endgültige Schnittmoment hat die Größe (Gl. 2 7)

(54)

Mx = Mx' — Hy.....

und die lotrechten Komponenten der Auflagerdrücke betragen (Gl. 29a und 29b)

(5 5 a)

X₂

Vb = B₀ ~\--F — R tan a

•    ■    (55b)

Das Aufträgen der elastischen Linien ist nicht unbedingt notwendig, und erfolgte in Abb. 106 nur, um eine bessere Übersicht zu schaffen, und um das \rerständnis zu erleichterm Außerdem erklärt sich dabei noch die graphische Behandlung der Aufgabe, wobei die Biegungslinien als Seilkurven für die angegebene Belastung zu ermitteln sind.

F=1

Yj

-«5

ys

9    70

” i

77. 7Z

{y

«?

Ar

äs

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*)

c/Jb-Z /nie (ße/asVung -ßj=- y=-,wy)

a) |

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ti

rl

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tt

-fh

nT¹

70

77

TZ

M=-h³

iv

6"

72

77.

c)

70

Abb. 106.

Außer diesem Verfahren ist auch eine Lösung auf Grund der Festpunkte möglich, welche zweifellos in vielen Fällen sich vorteilhaft erweisen dürfte.

Nach Gleichungen 19 a und 19 b liegen die Festpunkte in

(56 a)

l ß    f xx dw

ab

Jxx dw

jx dw

•    •    (56b)

Schließlich ist noch möglich, die Festlinien und die Schlußlinie rein graphisch zu bestimmen. Wie man dabei vorzugehen hat, zeigt Abb. 107 *).

Man ermittelt die Biegungslinien als Seilkurven für die dort eingetragene Belastung. Die Festlinien gehen durch die Schnittpunkte der letzten Seilzugseiten und die Schlußlinie ergibt sich mittels der Kreuzlinienabschnitte ta und tb. Diese entsprechen den Abschnitten, die in Höhe von da bezw. d§ von den längsten der Seilzugseiten und den Auflagerlotrechten eingeschlossen werden (Abb. 107).

Um sich von der Richtigkeit dieser Konstruktion zu überzeugen, verfolge man den nachstehenden Beweis.

(«« — ff) a = ß(l — a)

Da die Biegungslinien an den Auflagern die in Abb. 107 eingetragenen Winkel bildet, muß sein

woraus

Für die Angriffslinie der Bogenkräfte wird nach den Gleichungen 20a und 20b

fy₀ x dw _fy₀ x dw

fxx dw    f x dw

j < Jvo xdw _ fy₀ x dw

fxx dw

Sa =

(5 7^)

Sb' —

J x dw

•    • (57b)

Die Abschnitte der Schlußlinie auf den Festlinien infolge der Belastung betragen (Gl. 22a und 22b)

Sa= — al

2Pda

Sb = —bl

f xx dw

2Pdb

Jx dw

■    •    (5⁸a)

2Pdb

Jxx dw

f x dw

■    •    (58b)

ßl

ßfl

Folglich ist auch

ßl

ab

und es besteht demnach Übereinstimmung mit den gültigen Gleichungen (Gl. 56a und 56 b).

Die Lage der Schlußlinie ist durch die Kreuzlinienabschnitte ta und tb gegeben. Man hat das Verhältnis (Abb. 107, c)

— Sa

tb

woraus

Weiterhin ist (Abb. 107, a)

tb

-y- = COt ß

da

oder, da ß sehr klein,

tb —

d«

Es entsteht demnach

*?a = -

a da

b db

und ähnlich

x) Prof. W. Ritter, Graphische Statik, Bd. III.

Mit La = Ljj = o lauten die Gleichungen 22a und 22b wie die obigen; damit ist die Richtigkeit der Konstruktion bewiesen.

Verschieben sich die Widerlager eines Bogeriträgers, ohne sich dabei zu drehen, wagrecht nach innen, so, daß die Spannweite um zli kleiner wird, dann ergibt sich als einzige davon herrührende Auflagerkraft die Bogenkraft (Gl. 25)

■«9«

Ji

£-0

‘“Cu

w:Si\

M ä |

-U-t'

P=1

Li

fy²dw -f- J

' cos cp dx

■    •    (59)

EF

--3

4-r--T

I__4---4"

ftfl I

Lu

TT

— "T

£-0

ft#

hi

I x'Z

x'

y (5orLinie(ße/astung ~=7z/-j-J

a)

ßz

aa~ß I

a)

*)

c)^

ßa/kenmomente

4t -

xZ

ab~ß

>*?

10

10

11

1Z

*)

Abb. 107.

Außer diesen unelastischen Verschiebungen kommen auch noch Längenänderungen der Bogenachse in Betracht, die sich in ebenderselben Weise äußern. Die Ursache können dabei Wärmeschwankungen, Formänderungen durch die Normalkräfte oder auch Schwinderscheinungen sein.

//

■y

(62)

• • (6l)

Erwärmt sich ein Bogenträger um t° C. gegenüber einer Temperatur, für welcher er als spannungslos anzusehen ist, dann entsteht wegen der Verlängerung Li = a t° l die Bogenkraft

atH

f y² dw -j- J

cos cp dx

•    .    (60)

EF

und das Bogenmoment Mx = — Hty

2. Der symmetrische elastisch eingespannte Bogenträger.

Es ist ea = Sb = €. Nach Gleichungen 12a und 12b wird

\smy°

£'*

Zzl

f/zl

Abb. 108.

Die Bogenkraft wirkt horizontal, in (Gl. io)

•    •    (⁶3)

f y₀ dw

J’dlV 2 S

von der Kämpfergeraden. Für die Balkenmomente (Gl. 17a und 17b) folgt

XPd,

• • (64)

/ div -j-

sowie (Gl. 18)

X,=

Jz² dw -J--

• • (65)

M’ = M₀ -f X, — X₂

. (66)

Sollen die Balkenmomente mit Hilfe der Festpunkte bestimmt werden, dann wird (Gl. 19 a und 19 b)

Iß

f xx dw

— f dw -j- l s

•    •    (67)

und (Gl. 22a und 22 b)

Sa = — a l

XPÖa

Jxx dw

(68 a)

Sh = —bl

XPdb

Jxx dw

(68b)

Strassner, Neuere Methoden.

Die Bogenkraft hat die Größe (Gl. 25)

2Pdh

fy2 dw -h

2 SS

s+y

■ • (69)

EF

und das endgültige Moment beträgt

Mx — Mx Hy.

Die Ausdrücke für die lotrechten Auflagerkräfte lauten

und

Vb=B₀~\~

Die Erwärmung um t° erzeugt

Ht

x₂

a t° l

fy2 dw + 2 ssm² + J

Mx = — Hty

(70 a)

■    ■    (70b)

•    •    (7i)

•    (7²)

III. Abschnitt.

Das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Eisenbeton-Brücken, insbesondere der eingespannten Gewölbe, mit Tabellen der Einflußlinien für die Momente und für die Bogenkraft.

§ 14.

Vorbemerkungen.

Sollen große Weiten überspannt und dabei Zwischenpfeiler vermieden werden, dann greift man, wenn sich Balkenkonstruktionen als zu unwirtschaftlich und als zu massig erweisen, gerne zu dem zweckmäßigeren gefälligeren Bogenträgern. Mit dem Erstellen der Bogenträger in Eisenbeton als Brückengewölbe eröffnete sich diesem Baustoff ein AUrwendungsgebiet, in dem er es bisher zu seinen schönsten und kühnsten Ausführungen gebracht hat. Das steigende Interesse, das man diesen in jeder Hinsicht befriedigenden Bauwerken entgegengebracht hat und noch entgegenbringt, berechtigt zu der Erwartung, daß der Eisenbeton zum Bau von Bogenbrücken mehr und mehr herangezogen wird und einer großen Zukunft entgegengeht.

Die in Eisenbeton erstellten Brücken sind wirtschaftlicher als solche aus Stein oder Eisen, erfordern fast keine Unterhaltungskosten und dienen noch künftigen Geschlechtern. Dabei zeichnen sie sich durch ein klares statisches Verhalten aus und haben ein ruhiges gefälliges Aussehen. In ihrer leicht geschwungenen wohltuenden Gestalt passen sie vorzüglich in die Landschaft und verschönern das sich darbietende Bild : Man sieht klassische Flachkurven, wuchtige Umrisse, Linien von Zweck und Bedeutung, und hat dabei nicht den Eindruck des- massigen Steinbaues, nicht den des Wirrwarrs der Eisenkonstruktionen.

§ *5-

Die Ausbildung von Gewölbe und Aufbau.

Obwohl es nicht in den Rahmen dieser Schrift gehört, eine ausführliche Darstellung der Eisenbeton-Bogenbrücken im allgemeinen zu geben, so scheint es uns dennoch gerechtfertigt, die gebräuchlichsten Ausführungen zu erwähnen und auf die Punkte kurz hinzuweisen, die beim Entwurf hervortreten.

Sehr treffend bemerkt Prof. Dr.-Ing. Mörsch am Eingang dieses Kapitels in seinem Werk ,,Der Eisenbeton“: „Bei den gewölbten Brücken kann der Eisenbeton entweder nur zu den Gewölben oder zur Konstruktion des Aufbaues nebst

der Fahrbahn oder aber zur Herstellung aller dieser Bauteile verwendet werden. Die Eiseneinlagen im Gewölbe geben bei kleinen Spannweiten die Möglichkeit, die Druckfestigkeit des Betongewölbes auszunützen, da auf der anderen Seite auch Zugspannungen aufgenommen werden können. Bei mittleren Spannweiten von 40 bis 50 m ist die Verwendung des armierten Betons als Wölbmaterial seltener, und zwar aus dem Grunde, weil hier bei richtiger Formgebung Zugspannungen infolge der höheren Eigengewichtsspannungen nicht auftreten. Dagegen eignet sich der Eisenbeton wieder mehr für die großen Spannweiten. Soll nämlich hier die zulässige Druckbeanspruchung im Gewölbe nicht überschritten werden, so ist es notwendig, das Gewicht des Aufbaues möglichst zu beschränken, was man durch entsprechende Verwendung des Eisenbetons leicht erreichen kann. Dadurch wird dann die Beanspruchung infolge Eigenlast bedeutend reduziert, die kleinsten Randspannungen infolge Verkehrslast sinken aber bis auf Null, so daß wieder die Notwendigkeit einer Armierung vorliegt. “

Aus diesen Ausführungen läßt sich schließen, daß keine Ursache vorliegt, den Aufbau von Brücken, falls die Spannweite nicht sehr groß ist, leicht zu halten. Gegenseitige Ausführungen können aus ästhetischen Gründen in Frage kommen oder wenn der Baugrund keine große Belastung erträgt. Bei jeder Spannweite kann die Einhaltung eines leichten Aufbaues auch dann geboten sein, wenn die Gewölbe in aufgelöstem Zustande als Rippenbögen zur Ausführung kommen.

Die Gewölbe, die man am meisten trifft, sind mit Stirnmauern ausgebildet und dazwischen befindet sich die übliche Erdaufschüttung. Bei sehr kleinen Spannweiten erscheint mitunter ein massiver Aufbau aus Füllbeton vorteilhaft, da derselbe den Seitendruck der gewöhnlichen Erdaufschüttung ausschließt, und außerdem noch eine leichte Entwässerung der Fahrbahn ermöglicht.

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Abb. 109 a.

Abb. 109 b.

109 c.

Die Ausbildung eines gegliederten Aufbaues kommt in . der mannigfachsten Art vor. Häufig findet man die Brückengewölbe mit senkrecht zu den Stirnen angeordneten Querwänden, auf denen dann die Fahrbahn ruht. Dabei können die Querwände auch ausgespart oder durch Säulenreihen ersetzt sein, eine Anordnung , die man am meisten bei Brücken von sehr großer Spannweite findet, weil dadurch ein möglichst leichter Aufbau erzielt wird. Nach Belieben kann man dabei die Ansichtsflächen der Säulen an den Gewölbestirnen verbreitern und damit das ruhige Aussehen dieser Bauwerke noch erhöhen.

El

Abb. 109 d.

Abb. 109 e.

Abb. io9f.

Statt der Querwände sind auch Längswände denkbar, die ebenso wie die querverlaufenden die Fahrbahn gemeinsam unterstützen und sich dabei leichter wie diese ausführen lassen. Bei Brücken mit solchem Aufbau kann je nach der Breite auch eine Trennung des Gewölbes in zwei oder mehr Streifen erfolgen-

Durch Auflösen des Gewölbes in sehr schmale Streifen entstehen die bekannten Rippenbögen, die untereinander versteift werden und in Verbindung mit den Stützen die Fahrbahn tragen. Dabei läßt sich auch an Stelle der Versteifungen eine durchgehende Verbindungsplatte anordnen, so daß eine gekrümmte Rippenplatte entsteht. Der Platte gibt man dabei am besten eine größere Krümmung wie den Rippen und legt diese am Scheitel an Rippenoberkante und am Kämpfer an Rippenunterkante (Moselbrücke bei No-vöaut). Derartige Konstruktionen eignen sich besonders für Brücken mit kleinem Pfeilerverhältnis ; sie ertragen die Verformungen durch das Eigengewicht leichter als massive Gewölbe und sind auch bei einem Temperaturabfall weniger empfindlich.

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Abb. 109 g.

Ist die verfügbare Konstruktionshöhe beschränkt, so daß sich ein zu kleines Pfeilverhältnis ergibt, dann kann die Fahrbahn auch an zwei Rippenbögen aufgehängt werden. Diese können teilweise oder ganz über der Fahrbahn angeordnet werden und im letzten Falle mit oder ohne Zugband versehen sein. Die Bögen mit Zugband erweisen sich besonders zweckmäßig , wenn wenig tragfähiger Baugrund vorliegt und können dabei unter Umständen noch in Frage kommen, wenn die Erstellung anderer Eisenbetonkonstruktionen wegen zu großen Bodenpressungen ausgeschlossen ist. Außerdem haben dieselben noch den Vorteil, daß Widerlagerbewegungen auf die inneren Kräfte ohne Einfluß bleiben und daß Temperaturspannungen wegfallen oder nur wenig zur Geltung kommen. Soll der Bogenschub auf die Widerlager entfallen, so wird diesem Umstand um so sicherer Rechnung getragen, wenn man in der Fahrbahn eine quergerichtete Fuge anordnet, die das Zustandekommen von Längskräften verhindert. Zur besseren Aufnahme der Windkräfte bringt man bei solchen Ausführungen in möglichst hoher Lage zwischen den Bögen Verbindungsrippen an, die seitlichen Bewegungen entgegenwirken und die Knickgefahr vermindern.

Die Gewölbe und die Bögen sind entweder fest eingespannt und gelenklos auszuführen, oder es sind Kämpfer- und Scheitelgelenke anzuordnen, so daß der bekannte Dreigelenkbogen entsteht. Davon abweichende Ausführungen, wie der Zweigelenkbogen oder der Bogen mit einem einzigen Gelenk im Scheitel, sind möglich, kommen aber im Eisenbetonbau als Brückengewölbe nur selten vor.

Neben der einfachen Berechnungsweise haben die Dreigelenkbögen noch den Vorteil, daß sich Wärmeänderungen und Schwinderscheinungen, sowie Lagerbewegungen in der Drehachse der Gelenke keinen Eingang verschaffen können. Es erklärt sich hieraus, daß ihre Erstellung besonders dann in Frage kommt, wenn die Tragfähigkeit des Baugrundes mit Sicherheit nicht festgestellt werden konnte.

Eingespannte Gewölbe erfordern als erste Bedingung für ihre Stand Sicherheit festen unnachgiebigen Baugrund, so daß die Widerlager und die Gewölbekämpfer unbedingt in ihrer Lage verharren. Wie außerordentlich wichtig diese Forderung für den dauernden Bestand solcher Bauwerke ist, geht schon daraus hervor, daß die einzige Ursache für das Zerstören von eingespannten Brückengewölben in dem seitlichen Ausweichen der Widerlager liegt und dieses schon bei geringen Beträgen ungewöhnlich hohe Materialbeanspruchungen veranlaßt. Bei unbedingt festen Widerlagern sind die Eisenbeton-Brtickengewölbe unverwüstlich. Sie besitzen einen viel höheren Sicherheitsgrad als den, den die Berechnung ergibt. Diese Tatsache wird durch Versuche bewiesen , bei denen keine Last groß genug sein konnte, um den beabsichtigten Bruch herbeizuführen, die von Enttäuschung zu Enttäuschung führten , dabei aber ein glänzendes Resultat für die Festigkeit der Brückengewölbe in Eisenbeton hinterließen.

Unter Umständen kann die Anordnung von eingespannten Gewölben auch dann angezeigt sein, wenn eine wesentlich schiefe Achse vorliegt und eine Drehachse für die Gelenke schlecht gefunden werden kann.

Der Einfluß der Lagerbewegungen läßt sich bei festem und zugleich preß-barem Baugrund sehr wirksam ausschalten, wenn im Scheitel und in den Kämpfern provisorisch wirksame Gelenke angeordnet werden, die man später, nachdem sich die Bewegungen der Widerlager vollzogen haben und die Gewölbekämpfer in Ruhe sind, ausgießt. Auf diese Weise läßt sich dennoch die Ausführung von eingespannten Gewölben erzielen, in denen überdies noch die Spannungen, die nach dem Ausrüsten durch die Verkürzung der Achse entstehen, in Wegfall kommen.

Beim Entwerfen von unbewehrten Gewölben hat man in der Regel weniger Freiheit wie bei solchen mit Eiseneinlagen. Es ist zu bedenken, daß sich dabei immer und immer wieder Zugspannungen ergeben, die ein rationelles Ausnutzen der Druckfestigkeit des Materials erschweren. Gewöhnlich ist ausschließlich die Zugfestigkeit maßgebend.

Diejenigen Gewölbe, in denen Zugspannungen vorherrschen, nennt Engesser Z-Gewölbe, jene mit maßgebenden Druckspannungen D- Gewölbe.

Bewehrte Gewölbe haben eine tiefere D-Z-Grenze als solche ohne Eiseneinlagen, d. h. bei den ersteren liegt die Möglichkeit, daß Druckspannungen vorherrschen , näher wie bei den letzteren. Die Ursache dieses Umstandes liegt in der geringen Gewölbestärke, einem Hauptvorteil der Ausführungen in Eisenbeton, demzufolge sich eine hohe Grundpressung (Druckspannung) ergibt. Zudem können die Zugspannungen in beliebiger Größe ausschließlich der Bewehrung zugewiesen werden. Die dünnen biegsamen Eisenbetongewölbe ertragen auch sehr leicht Wärmeänderungen und sind bei Widerlagerbewegungen geringeren Spannungen ausgesetzt als solche aus Beton oder Stein.

Im allgemeinen wird man den Gewölben einen so hohen Pfeil geben, wie es die örtlichen Verhältnisse zulassen. Eine Abweichung von dieser Regel und eine Änderung der Grundform zugunsten höherer Normalpressungen erscheint kaum angebracht, da dann der Einfluß einer Wärmeänderung und die Beanspruchung durch die Formänderung der Normalkräfte hervortritt. Um die Grundpressungen zu erhöhen , ist man daher immer auf eine schwerere Gestaltung des Aufbaues angewiesen.

Zur Erstellung von eingespannten Brückengewölben mit dem Pfeilverhältnis ¹/g und darunter kommt als einziges Baumaterial der Eisenbeton in Frage; es sei denn, daß für Ausführungen in anderem Material eine mangelhafte Berechnung geliefert wird ¹).

um

Weitgespannten Gewölben wird man in der Regel immer eine Bewehrung geben, sogar auch dann, wenn diese theoretisch überflüssig ist (schlaffe Armierung), damit Zugspannungen begegnen zu können, deren Entstehen durch ungenaue Ausführung nicht unbedingt ausgeschlossen ist.

Die Versuche geben immer zu bedenken, daß die Risse die nach einer gewissen Belastung eintraten, wohl augenblicklich bedeutungslos waren, für die Folge aber sich in unliebsamen Erscheinungen geäußert hätten. Dauernde Risse sind in jedem Falle zu vermeiden, weil sie die Zerstörungsarbeit des Wassers, und bei Brücken über Verkehrsstraßen noch die der Rauchgase, erleichtern. Es wird dies am sichersten erreicht, wenn man den Gewölben keine zu schwache Bewehrung gibt, und keine zu hohen Materialbeanspruchungen zuläßt. Kleinere Risse bei außergewöhnlicher Belastung, die mit dieser sofort wieder verschwinden, sind unbedenklich.

Wenn auch, wie bereits gesagt wurde, die Brückengewölbe in Eisenbeton einen unverhältnismäßig hohen Sicherheitsgrad besitzen, so liegen dennoch verschiedene Umstände vor, bei deren Betrachtung gewisse Vorsicht als angebracht erscheint.

*) Das kleinste zulässige Pfeilverliältnis kann nach den Ausführungen auf Seite 189 bis 193 bestimmt werden.

§ 16.

Die Berechnung des eingespannten Brückengewölbes.

1. Allgemeines.

beton

Wegen der großen Bedeutung des eingespannten Brückengewölbes in Eisenerscheint uns eine ausführliche Darstellung der Berechnung desselben gerechtfertigt. Dieselbe fällt in ihrer Art unter die bereits behandelten Bogenträger, und es wird sich nur noch darum handeln, die hergeleiteten Gleichungen in eine für die Praxis geeignete Form zu bringen.

Wie bereits bemerkt wurde, führt die übliche Berechnung, die sich bekanntlich auf der Annahme eines festen Aerhältnisses zwischen Spannung und Dehnung aufbaut, zu keinen streng richtigen Resultaten; wohl wird aber damit dem Zweck der statischen Berechnung genügt und eine hinreichend genaue Beurteilung der Standsicherheit gewährleistet.

Es werden nun einfache geschlossene Ausdrücke hergeleitet, die eine bequeme genaue Berechnung der Brückengewölbe bei äußerst geringem Zeitaufwand ermöglichen. Zu diesem Zwecke werden für die Gewölbeachse mathematische Kurven angenommen, und der Verlauf des Trägheitsmoments durch Gesetze ausgedrückt, die sich einerseits dem jeweils vorliegenden \⁷erhältnisse gut anpassen, und andererseits für die Praxis geeignete Ausdrücke in Aussicht stellen. Dieser Weg scheint umsomehr berechtigt, weil die Ungenauigkeiten, die bei der genauen Berechnung durch das Rechnen mit endlichen Bogengrößen entstehen, mindestens ebenso hoch anzuschlagen sind wie jene, die bei den nachfolgenden Untersuchungen zugelassen wurden. Dieselben enthalten demnach keine besonderen Fehlerquellen.

Schließlich wurde die Berechnung noch besonders erleichtert, durch das Einschalten von gebrauchfertigen Tabellen für die Einflußlinien, die Momente und die Bogenkraft, die alle in der Praxis vorkommenden Fälle umfassen.

2. Die Formgebung.

Die richtige Form der Gewölbeachse ist beim Eisenbetongewölbe von großer Bedeutung. Es soll nun zunächst mit Vorbehalt auf eine spätere genauere Untersuchung, entsprechend dem A'orschlag von Prof. Dr.-Ing. Mörsch, nach dem Verlaui der Gewölbeachse als Stützlinie für Eigenlast geforscht werden ¹). Weil das Gewölbegewicht von der Form der Gewölbeachse, und diese wieder von dem Gewölbegewicht abhängt, wird die Lösung dieser Aufgabe erschwert.

Alsdann zeichnet

In der Regel wird der Weg der ATrsuchsrechnung eingeschlagen, und die Gewölbeachse zunächst so angenommen, wie man glaubt, daß diese endgültig ausfällt. (Etwa als Kreisbogen oder als überhöhte Parabel), man für die dadurch festgelegte Belastung eine Stützlinie, und eine weitere für die veränderte Belastung. Unter Umständen ist dieses Verfahren zu wiederholen, bis die Gewölbeachse mit der Stützlinie übereinstimmt.

Ein allgemein gültiger mathematischer Ausdruck für die Gewölbemittellinie läßt sich nicht aufstellen, weil keine Belastungslinie alle Eigenheiten des jeweils besonderen Aufbaues umfaßt, und diese deutlich wiedergibt. Läßt man aber geringe Ungenauigkeiten zu, dann verschwinden diese Schwierigkeiten, und der Verlauf der Gewölbeachse wird durch einfache Gleichungen ausdriickbar. Wie die diesbezüglichen Untersuchungen ergaben, sind diese bei Brücken mit Hinterfüllung sehr verläßlich; auch bei Brücken mit gegliedertem Aufbau liefern sie noch befriedigende Resultate.

Zerlegt man das Gewölbegewicht in zwei Teile, einen für das ganze Gewölbe beständigen Teil (g), und einen solchen der nach den Kämpfern hin zunimmt,

*) Prof. E. Mörsch. Berechnung von 1906, Bd. 47, S. 98.

eingespannten Gewölben. Schweizerische Bauzeitung

g — beständiges Gewicht für die Längeneinheit, g/c — Gewicht am Kämpfer „    „    „

worin

Strenggenommen hat diese Gleichung zur Bedingung, daß g gleich dem Scheitelgewicht (wegen y = o). Bei Brücken mit Hinterfüllung wird man auch stets einen dementsprechenden Wert in Betracht ziehen. Dagegen ist es aber bei Brücken mit gegliedertem Aufbau gewöhnlich zweckmäßiger, dafür einen Wert einzuführen, der sich aus dem Fahrbahngewicht (einschließlich unmittelbarer Tragkonstruktion jedoch ohne Stützen) und dem Scheitelgewicht (ausschließlich nur dem Gewicht des Gewölbes) zusammensetzt.

Es scheint nicht uninteressant festzustellen, daß die noch zu ermittelnde Gewölbemittellinie (auf Grund der Gl. i) mit der Kettenlinie bis zu gewissem Grade übereinstimmt, und bei den in Frage kommenden Belastungsgesetzen eine gemeinsame Eigenschaft vorliegt. Es sei dazu an den Neigungswinkel der Kettenlinie erinnert¹).

cos w = —

y

dann ergibt sich, daß der letztere, falls man den ersten entsprechend groß annimmt, mit großer Genauigkeit in bezug auf y (auf die Scheitelwagrechte bezogene Bogenordinate, Abb. iio) durch eine Funktion vom ersten Grade aus-•9k gedrückt werden kann.

Die entsprechende Beziehung 9b —9 +

Am Kämpfer muß sein 9k =9 + fi,f,

9k — 9

ßeJastungs/inie

Sk

■rUz

Z¹l-

lautet

typ.

Vk

woraus /i

___

Abb. iio.

Damit folgt als Gleichung der Belastungslinie der Ausdruck

9z — 9 + -T-

(9k— 9)    •    •    (i)

wonach sich mit

9b

COS (f

die Beziehung

ergibt. Weil y = li -j- y, wo y der Abstand der einzelnen Punkte von der Scheitelwagrechten, kann auch geschrieben werden

A + y'

9z — g

9-\-g- -»

und man erkennt, daß hier ein ähnliches Belastungsgesetz vorliegt wie beim Gewölbe, da es sich genau wie dort um einen beständigen Teil vom Gewicht handelt, und um einen solchen, der zu y eine Funktion vom ersten Grade ist. Die Gleichungen für die Kettenlinie lauten allgemein ²) :

Ur

e h -j- e h ) = h₀ (£of

z = h lgn

(i±//(i)²-x)

\y₀ r \y₀'    /

h 2Irc ßoj pp ’

• • (0

dy

tan cp = —— ^ dz

h₀

)=E@inA.

Um nun zu der Gleichung der Gewölbeachse zu gelangen, gehen wir von dem Verhältnis

9z

Z = h%xz ©of —,

9

lx = h 5Irc ©of !,k

f- 2lrc ©of —•

li    9

Damit folgt in Verbindung mit der ersten der Gleichungen 2

aus, wonach

und für 2 = l

oder um geformt

y = h₀ ©of 2lrc ©of >

oder wegen y —y — h₀

y = K (©of £k — 1)

worin

'c_

b —

und

9k

(3)

k bestimmt sich aus

©of k = m

für |=i wird y = f; folglich

(4)

¹

Siehe „Hütte“ 22. Auf!., Bd. I, S. iio. Berlin 1915. Verlag von W. Ernst & Sohn. ²) Die deutschen Schriftzeichen weisen daraufhin, daß es sich um Hyperbelfunktionen handelt.

f = K (©Df k

1) = h₀ (m — 1),

woraus der Parameter

h₀ —

m — 1

Die Gleichung der Gewölbeachse erhält daher die Form l)

— (©of £ k— 1),

(5)

.    m —

Die Werte von ©of £ k ergeben sich näherungsweise aus der Hütte. (Bd. I, 22. Aufl., S. 30—34.) Genauere Werte liefern die Tafeln der Hyperbelfunktionen von Dr. Ligowsky, Berlin 1889, eine Schrift, in der außer den Tabellen noch eine ausführliche Darstellung der einschlägigen Theorie enthalten ist.

m = 1 entspricht einem parabolischen Verlauf der Gewölbeachse. Wächst m, so erhebt sich dieselbe immer mehr über die Parabel.

Im Interesse der Sicherheit ist mitunter eine analytische oder eine graphische Kontrolle und Richtigstellung der nach Gleichung 5 ermittelten Gewölbemittellinie geboten, da bei weitgespannten Brücken mit gegliedertem Aufbau das vorausgesetzte Belastungsgesetz von der Wahrheit abweichen kann.

Wird der vorbeschriebene Weg eingeschlagen, dann liegen in jedem Falle nur geringe Differenzen vor, und es ergibt sich immer noch der Vorteil, daß man nach der genauen Gewölbeachse nicht lange zu suchen braucht. In. der Regel kann schon die erste genauere Mittellinie als endgültige Gewölbeachse gelten.

Handelt es sich um Brücken mit wagrecht abgeglichener Hinterfüllung, bei denen sich die Gewölbestärke nach dem Gesetz

d = ds 1

y    \

— tan cp J

cos cp

ändert, so liegt, da das Belastungsgesetz streng erfüllt ist, weichung der genauen Gewölbeachse von der Kurve der Gleichung 5 kein Anlaß vor, und eine Kontrolle kann daher wegfallen. Unter g ist dabei das Scheitelgewicht für die Längeneinheit zu verstehen.

zu

irgend einer Ab-

Dr.-Ing. R. Färber, „Neues Verfahren zur raschen Ermittlung der Formen und der Nofmalkräfte in Gewölben“.

Deutsche Bauzeitung 1915, Nr. 3. Gl. 5 wird dort auf anderem Wege hergeleitet. Auch hinsichtlich der Ausdrücke für die Kämpferkräfte besteht Übereinstimmung.

Die vorstehenden Gleichungen gestatten überdies auch die Herleitung sehr einfacher Ausdrücke für die Kämpferkräfte infolge Eigenlast.

Für den lotrechten Kämpferdruck führt die Gleichung

h

1 (jo —J 9z d z 0

mit Hilfe des umgeformten Belastungsgesetzes (Gl. 1)

9s=9

(1 +jr (m — O)

= 9 ©of b k,

zu

oder

Vg₀=gl₁f£o\%kd%,

0

©in k

y₉o=gi t —• •

(6)

Der Neigungswinkel der Gewölbeachse bestimmt sich an beliebiger Stelle

zu (Gl. 2)

h₀

tan cp = — ©in h

oder

tan cp =

fk

©in £ k

(7)

Am Kämpfer wird

tan cpk =

/*

©in k

lx (m — 1)

und es ergibt sich daher für den wagrechten Kämpferdruck (Schub)

(3)

H₍jo —

y₉₀

gjfpm — 1)

tan cpk

fk²

•    •    (9)

Die Normalkraft hat an beliebiger Stelle die Größe

Hgo

Ng0

cos cp

HgoV¹ +tan ² 9P.

oder

Ng0 - go

V-+(

fk

Ir,

• ■ (IO)

Am Kämpfer entsteht

(11)

Rgo - kl (jo

Nun soll noch durch Differentiieren der Gleichung 5 das Mittelliniengesetz

d?y

clz²

gebildet werden, von dem bei diesen Untersuchungen eigentlich auszugehen war. Man erhält von (Gl. 5)

kkffo

9z

(©of §k- 1)

ausgehend t)

entspr. Gl. 7

dy

’ clz

tan cp

dy

fk

dz

und

d*y’

(m— 1)

fk²

©in £ k

dz²

©of£ß

i) Es ist

und

k

d©off k = &©ht £ k d£ — -p- ©in £k dz k

d©in Hk = k (£of £ kd£ — ~p- ©of Sk dz

In einem Gewölbe mit der Stützlinie für Eigenlast als Achse, treten jedoch nur dann reine Normalpressungen auf, wenn diese das Gewölbe nicht verformen. Da aber ein derartiges Verhalten den Regeln der Elastizitätstheorie entgegenläuft, und die wirksamen Normalkräfte die Gewölbeachse stets etwas verkürzen

entstehen nach den Ausrüsten neben den Normalspannungen noch Biegungsspannungen, die umso größer ausfallen, je flacher und je steifer ein Gewölbe vorliegt.

Da

<Jz

und (Gl. 9)

Hgof

entsteht

H,jo

d. i. das vorstehende Gesetz.

d²y'

T? = 3‘

Dennoch empfiehlt es sich aber, immer den vorbeschriebenen Weg einzuschlagen, und dem Gewölbe die bekannte Stützlinienform zu geben, entweder unmittelbar für Eigenlast, wie dies in der Regel geschieht, oder für einen derart hiervon abweichenden Belastungszustand, daß günstige Anfangsspannungen in Aussicht stehen. Vom letzteren Punkt wird bei der Bestimmung der verbesserten Gewölbeform noch eingehend Gebrauch gemacht werden.

Bei Ermittlung der Beanspruchung vom Eigengewicht forscht man zuerst nach den Grundpressungen, d. h. nach denjenigen Spannungen, die sich ohne Rücksicht auf die Verformung durch die Normalkräfte ergeben. Erst nachdem diese bekannt sind, befaßt man sich mit der Ermittlung der Biegungsspannungen, die im Anschluß an die Normalkräfte entstehen, und fügt diese den ersteren hinzu. Weicht die der Stützlinie entsprechende Belastung von der Wahrheit ab, dann ist außerdem noch der betreffende Lastunterschied zu berücksichtigen.

Es fragt sich nun ,• welche Belastung man annehmen muß, um zu einer möglichst zweckmäßigen, wirtschaftlichen Gewölbeform zu gelangen, und um möglichst günstige Anfangsspannungen zu erzielen. Wir lassen indessen diese Frage zunächst noch der Beantwortung offen und sehen eine dementsprechende Beschreibung für eine geeignetere Stelle vor, nachdem die in folgendem sich ergebenden Ausführungen Raum gefunden haben, welche das Verständnis dafür erleichtern. Ebenso wird auch noch die Berücksichtigung der Zusatz-Biegungsspannungen, die im Gefolge der Normalkräfte entstehen, einer späteren Beschreibung Vorbehalten.

Das nachstehende Beispiel möge die Anwendung des Gebotenen erläutern. Es soll die Gewölbemittellinie der in Abb. in dargestellten Brücke bestimmt worden, wenn das Gewicht des Wölbmaterials 2,4 t/m³, und das Gewicht der Hinterfüllung 1,7 t/m³ beträgt.

-3.6S—

OOO tj

, (ose'Z) ^ £6£'Z

1351

(1,3*2)

(mz'q) ^ hkd

(m'o) ^ ~IsW

Akt

0,068

(0,068)

A/e/'y. -7:50

\N

S.T

hgv-

k----*,00 ——

•Sä

J/

'A

Abb. m.

irrt

- ⁵ V

y = 0,7576 (£of 2,1035 — i) = o,75 76 (4,1581 „    6 (£ = I), y = 4,000 m

Es ergibt sich für die Längeneinheit bei 1,0 m Breite im Scheitel

im Kämpfer gk= 1,24 • 2,4 -J- 3,68 • 1,7 = 9,23 t. Nach Gleichung 3 wird

g = 0,40 • 2,4 4- <3,30 • 1,7 = x,47 t,

9k _ 9,² 3

6,28,

L47

und k bestimmt sich gemäß Gleichung 4 aus

m = Gof k 6,28.

Die Tafeln der Hyperbelfunktionen geben

©of 2,52 = 6,254 53, ßof 2,53 = 6,316 58.

Danach liegt der wahre Wert von k zwischen 2,52 und 2,53; es ergibt sich durch Zwischenrechnung genau genug k= 2,524.

Die Gleichung der Gewölbeachse (Gl. 5) lautet somit

-(®of $k- l)

4,0

— (ßof £• 2,524 — 1),

oder

6,28 —

y = 0,7576 (<Sof |• 2,524 — 1).

Wir nehmen nun, bei Null beginnend , für if jeweils um ein Sechstel zunehmende Werte an, und erhalten

Punkt o (£ = o), y = o

(°)

'l c;

6 )’

y = 0,7576 (Sof0,4207 —-i) = o,7576 (1,0898

1) = 0,068 m (0,068 m),

• ' ( "T>

y = 0,7576 (Soj0,8413 — 1) = 0,7576 (1,3753

1) = 0,284 „ (0,284 „),

■ >(-t)

I c;

y — 0,7576 (®of 1,2620 —1)^0,7576 (1,9078

1) = 0,688 „ (0,685 »),

y = 0,7576 (So[ 1,6827

¹)=0,7576 (2,7830

1)= I>35¹ „ (G342 »),

1)= ².393 „ (2,380 „ ), (4,000 „ ).

Die in Klammern beigefügten Zahlen ergaben sich unabhängig von vorstehenden Ausführungen, nach dem gewöhnlichen analytischen Verfahren. Es sind die Ordinaten des ausgeführten Gewölbes.

Der größte Unterschied betrifft den Schnitt 5 neben dem Kämpfer und beträgt nur 13 mm, ein Maß, das praktisch ohne Belang ist. Das Beispiel läßt daher die Zuverlässigkeit der Gleichung 5 günstig beurteilen.

Für die Auflagerkräfte ergibt sich nach den Gleichungen 6 und 9 : g ©in k

y₉₀

1,47-9,0

Hgo

^,5²4

gl\ (rn—i)

• ©in 2,524 = 32,49 t (31,64 t).

fk²

24,67 t (24,16 t).

1.47 • 9>°² (⁶.28 — x)

4,0 - 2,5242

Auch hier stellen die Klammerwerte die genauen Ergebnisse dar, die sich auf analytischem Wege unabhängig von vorstehenden Ausführungen ergaben.

3. Die Querschnittänderung.

Um geschlossene Ausdrücke herbeizuführen, ist es, wie bereits bemerkt, notwendig, daß man die Änderung der Querschnitte und den Verlauf des Trägheitsmoments gesetzmäßig ausdrückt.

Es ist in der Praxis üblich, eingespannte Gewölbe so auszubilden, daß der Abriß der Querschnitthöhe auf einer Lotrechten mindestens gleich der Scheitelstärke bleibt. Außer dieser Regel, an die man noch nicht einmal gebunden ist, und die beim Entwerfen der Brückengewölbe große Freiheiten läßt, ist man durch keine zwingende Gründe an die Einhaltung einer bestimmten Gewölbeform gebunden. Es ist demnach zulässig, daß man dem Gewölbe eine passende Form gibt und diese so wählt, daß das Trägheitsmoment einen einfachen Verlauf annimmt.

Ein solches Gesetz für die Änderung des Trägheitsmoments, das den praktischen und den theoretischen Forderungen zugleich entgegenkommt, lautet

Js

J cos cp

1 — fi!-.

Es beruht theoretisch auf der Annahme, daß der umgekehrte Wert von Jcos cp nach einer Geraden verläuft. Nimmt man an Hand von Ausführungen eine Prüfung vor, dann ergibt sich, daß das Gesetz auch in praktischer Hinsicht seinem Zwecke genügt*).

Für z = lx muß sein

___JS_‘

■h cos cpk

I — /u,

X,

's

woraus

Js

A-

Jk cos cpk

und folglich

wobei

Js

J cos cp

i— (x — n)$    .    (12)

Abb. 112.

Js

Jk cos cpk

• (iS)

l) § 18 Gmündertobelbrücke, Tabelle der Gewölbestärken.

Soll an beliebiger Stelle die Querschnitthöhe bestimmt werden, dann hat man, da sich das Trägheitsmoment in der dritten Potenz der Querschnitthöhe ändert, von (Gl. 12)

— (1 —n)

'I e;

• COS (f

auszugehen, woraus

cls

Y(x — (T — ”) 5)C0S^

Bei der Beachtung, daß

cos cp —

j/i -j- tan² <jf)

läßt sich dieser Ausdruck noch in

d — ds c Y1 -f- tan² m

■ (r 4)

umformen, worin

\/¹ — (i —n)

'Je;

(*5)

ds bedeutet die Scheitelstärke.

O J \2 13 \V iS/ \6 7 \S \

jo sind?

TgO-

Um die Anwendung dieser Gleichung zu erleichtern, wurden die nachstehenden Tabellen gebracht, aus denen sich bei gebräuchlichen

Ausführungen die Werte von

z\²

Mt

-P-

Abb. x 13.

tan² und c

entnehmen lassen. Die ersten Werte sind ausschließlich von dem Verlauf der Gewölbemittellinie , und die letzten nur von der Art der Querschnittänderung abhängig. Einmal war deshalb das Verhältnis yv: /, und das andere Mal der Wert von n maßgebend.

■/

er

0)

<u

■Ö

<u

n>

<u

'S

n>

<u

h)

Punkt

Kämpfer

Viertel

789

10    11

12

Scheitel

0,25(1,000) 0,24(1,350) | 0,23(1,755)

E =0 0,22(2,241) ®|I 0,21(2,815)

I 0,20(3,500)

'S

°||    0,19(4,325)

ah °,i8(5,322)

|    0,17(6,532)

0,16 (8,027) 0,15(0,889)

.1

I

CD

Ja

CD

16,000

17,792

i9,7H

21,846

24d57

26,677

29,441

32,479

35,796

3 9,489 43,573

¹3,444 14,455

15,500

n,ui 11,580 12,048

9,000 7,111 9,114 7,023 9,223 6,927

5,444

5,258

5,067

4,000

3,787

3,580

2,778 1,778 1,000 0,4440,111 2,586 1,633 0^904

2,403 1,496 0,823

0,424 0,100 0,360 0,089

16,622 12,525 9,321 17,800 13,010 9,406 19,036 13,498 9,486

20,349

²b744

23,203

U,995 G,493 ¹4,985

6,8174,875 3,371 2,223 1,362)0,741 6,703(4,674 [ 3,165 2,0481,2370,664 6,579 4,477 2,965 1,8821,1170,592

9,548 6,441 9,598 6,295 9,629 6,136

4,272

4,064

3,857

2,766

2,570

2,378

0,321

0,286

0,253

0,080

0,070

0,062

OOO OOO

o,25

0,24

0,23

0,22

0,21

0,20

1,719 1,004 0,526 0,222 1,565 0,897 0,462 0,193 1,416 0,796 0,404 0,166

0,054

0,046

0.040

OOO

0.19

0,18

0,17

24,761 15,484 9,641

26,420 15,984 9,635

5,963 3,644 5,774)3,426

2,187

2,002

1,272 0,701 1,1340,612

o,35o

0,300

0,143 0,034 0,120 0,029

0,16

OA5

Punkt

Tabelle der Werte von c. (Berechnet nach Gl. 15.)

Kämpfer ¹

Viertel ^

10

11

12

Scheitel

’Ts

•b/j soo A*

o o M bv ~00 o

1,077

1,186

Werte von n

o o p

-1- Ul

0,25

0,2

0,15

1,145 1,122 1.186 1,154 1,233 1,191

1,101    1,081 1,063

1,126    1,101 1,077

¹ ?¹54    1,122 1,093

1,000 1,000 1,000 1,000

o o j-t 'bs '00 "b

0,25

0,2

0,15

Die Querschnittänderung des in Abb. 113 dargestellten Gewölbes entspricht genau dem beschriebenen Gesetz. Schließlich sei noch auf den Umstand hingewiesen, daß die Querschnitthöhe, falls man sich die Gewölbeachse in aufgerolltem Zustande denkt, nahezu parabolisch zunimmt.

4. Berechnung der Balkenmomente.

Die Balkenmomente sind von der Form der Gewölbeachse gänzlich unabhängig ; hingegen ist aber die Art der Querschnittzunahme von wesentlicher Bedeutung. Zu ihrer Berechnung dienen die Gleichungen (Gl. 49 — 51, II. Abschnitt)

ZPd₁

P-t

*i =

X, = -

J dw

• • (l6)

-M*

-Mb

•    •    (r7)

Ir

-fz² dw

-MÄ

-Xi \Mq

-Xz

Ma' = M₀ + Xi~X₂j .    .    . (18)

Dabei ist 2 rechts vom Scheitel positiv und links davon negativ.

Das elastische Gewicht eines Bogenelements beträgt (Gl. 39, II. Abschnitt)

Abb. 114.

"Fl

ds

d ,r

’J/i

EJ

EJ cos q

EJ cos q

oder, wenn das Trägheitsmoment nach dem Gesetz 12 verläuft,

dw =

[1 — (1 — n) £] d% ... .

(J9)

EJS

Mithin erhält man zunächst für die von der Belastung unabhängigen Nennerausdrücke der obenstehenden Gleichungen

Jdw

~fz²dw

EJ<

4 EJS 0

/[r — (I — n) s]

/[! —il — U) I]

EJS

1+3»

EJa

48

Zur Ermittlung der Einsenkungen dienen die Differentialgleichungen (Gl. 43 b und 43 c im II. Abschnitt)

d²dx

Zf

EV cos cp

EJS

[¹ ( ! — »)£]

Hl

rr,

To

2 EJ cos cp

die zweimal zu integrieren sind. Es folgt mit Rücksicht auf die Integrationskonstanten

d£²

2 EJS

n) (t — I³)]>

To

[2- (1 —    — (1 — n) (1 — |³)],

96 jEJs

und die Ausdrücke für die Momente lauten daher für eine Einzellast P = 1

12 (1 -j- n)

[3 (1 — £²) — (1 — n) (1 — £³)]    .    (20) t

X₂ = +

Ir,

'Ire

• (2I)

2 (i 4-3 n)

X₂ kann immer als positiv angesehen werden, wenn P rechts vom Scheitel liegt; hingegen kommt bei P links davon stets das negative Vorzeichen in Betracht.

5. Berechnung der Bogenmomente.

Die Bogenmomente werden durch die Kraft H erzeugt, und sind gewissermaßen in doppeltem Sinne unbekannt, da sie sowohl von der Größe, als auch von der Lage dieser Kraft abhängen. In folgendem werden dafür geschlossene Ausdrücke bezweckt.

a) Die Lage der Bogenkraft

legen wir durch den Abstand ys vom Scheitel fest (Gl. 10, II. Abschnitt). Es ist

9 s ;==/    sm

_ fy'dw.......

f die

Für den Nenner wurde bereits

fdw

Zzlr

ilr

9s

(22)

EJS

bestimmt. Die Ermittlung des Zählers, der nicht zuletzt vom Verlauf der Gewölbeachse abhängig ist, ist indessen erheblich verwickelter. Wir drücken, um zu zuverlässigen Resultaten zu gelangen, die Ordinaten y durch die genaue Stützliniengleichung (Gl. 5)

Abb. 115.

*0

— (Sof — 1)

aus, worin

9k

und schreiben zur Integration än fy die =

EJS (ja — 1)

J (Sof §k— i)(i — (1 0

n) g) d £ •

Danach folgt

©in k

fy'div

fl

k²

EJS

und der Ausdruck für ys lautet mithin

(p — i -j- n

©in k

<P

Us= 2/•

(m — i) (n -|- r)

•    •    (²3)

worin

⁽P

k²

Bei gegebener Gewölbeachse ist es immer zweckmäßig über m so zu verfügen, daß die dieser Gleichung zugrunde liegende Kurve jene im Gewölbeviertel schneidet. Bezeichnet yv die entsprechende Ordinate, dann muß sein

(£of 0,5 k — 1

j    •    •

m — 1

wTonach m am besten mittels Versuchsrechnung bestimmt wird.

In dieser Weise erhält man die Lage der Bogenkraft mit großer Schärfe. Ein einfacherer Weg zu demselben Ziel, der zwar weniger Anspruch auf Genauigkeit hat, aber bei Gewölben mit nahezu parabolischer Achse äußerst befriedigende Ergebnisse liefert, ergibt sich in folgendem.

Es ist bekanntlich *)

Vv

• (24)

ßof ip — ¹ -f

ip² ip⁴ ip⁶

4!

6!

Setzt man ip = i;k, so entsteht in Verbindung mit Gleichung 5, wenn die Glieder nur bis zur vierten Potenz berücksichtigt werden

t

y =

(f*)²

Tr;

oder allgemeiner

Soll die durch diese Gleichung gegebene Kurve durch den Scheitel- und Kämpferpunkt gehen, und außerdem noch im Gewölbeviertel die Ordinate yv besitzen, dann sind die Faktoren der Veränderlichen aus

'Ir;

f*i 1 4    ' 16

zu bestimmen. Es ergibt sich dann die Gleichung der Gewölbeachse in der Form

Vv -

f[(

yv

16

Vv

«) •]. • •

Wrc

• • (25)

in der wir sie nun zur Ermittlung der Angriffslinie der Bogenkraft verwenden werden.

fy'dw

Es folgt für den Zähler

Ai'⁶**

lf

3 EJgyJ 0

'l r;

yv

16— —

♦) 1•[*

Tr;

n) J

'fr;

UJ)

lf

16^

180 EJS

4- 1)+ 5 »(l6 y+ 5)]»

und damit wird

Us

90 (1 -f- n)

•IX

yv

16--L 1

) + 5”(i67l + 5)]' ' '

.    .    (26)

12

J) Dr. Ligowsky. „Tafeln der Hyperbelfunktionen“ Verlag von W ilh. Ernst u. Sohn, Berlin. Strassner, Neuere Methoden.

Bei gegebenem yv geht die Bestimmung der Lage der Bogenkraft nach dieser Gleichung sehr rasch von statten, und es werden dabei Resultate erzielt, die mit den genauen der Gleichung 23, nahezu restlos übereinstimmen. Um von dieser Tatsache zu überzeugen, wurde nachfolgende Tabelle gebracht, woraus sich die Abweichungen ersehen lassen.

Tabelle der Werte von ys

Obere Zahl genau (Gl. 23)

Untere ,, näherungsw. (Gl. 26) j

yv-f

0,25

0,23

0,21

0,19

0,17

0,15

m = gk : g

6,532    9,889

1,000

1,755

2,815

4,325

Js

Hd) SOO Vj»

°,3333 ¹ o,3i9⁰ I 0,3044 o,3333 j 0,3191 i 0,3049

0,2895

0,2907

0,2743    0,2587

0,2764    0,2622

I 0,2917    0,2783    0,2646

0,2917 | 0,2783    0,2650

0,2507    0,2366    0,2221

0,2517    0,2383    0,2250

55

fl °,3

0,2436

0,2436

0,2313    0,2187    0,2060

0,2313    0,2190    0,2067

0,1931    0,1799

0,1944    0,1821

0    0,2

0,2222    0,2104    0,1983    0,1861    0,1738    0,1612

0,2222    0,2104    0,1985    0,1867    0,1748    0,1630

Wie vorauszusehen war liegt der größte Unterschied bei den am meisten ausgebauchten Gewölbe vor, und betrifft von diesen besonders diejenigen mit beständigem Querschnitt. Er beträgt gemäß obiger Tabelle im höchsten Falle nur rund 1,4 v. H., und es läßt sich daher die einfache Gleichung 26 sehr günstig beurteilen.

Ist die Gewölbemittellinie eine Parabel, dann gilt Gleichung 26 streng, und nimmt in diesem Falle wegen yv\f — 0,25 die noch einfachere Form

Vs

an.

Mit n = 1 ergibt sich hiernach die tiefste Lage der Bogenkraft zu

ys = — ,

3

und für die höchste Lage folgt, wenn als Grenzfall yv :f= n — o, 1 5 angenommen wird

Vs

6,64

b) Die Größe der Bogen kraft

hängt von der Form der Gewölbemittellinie nur wenig ab, und die Annahme des Verlaufes (Gl. 25)

y =

7 [(“7

i)p

)‘

'Ir;

vor.

ist hier in bezug auf die Resultate noch befriedigender wie

aus-

Es wäre auch möglich von der genauen Stützliniengleichung (Gl. 5) zugehen; doch sehen wir davon ab, da dieselbe keineswegs eine erfreuliche Behandlung verspricht und nur sehr umständlich mit sich umgehen läßt. Dabei führt sie praktisch genommen noch nicht einmal zu genaueren Resultaten.

In der einschlägigen Literatur erfreut sich die Annahme der Parabel einer ganz besonderen Vorliebe, und es ist dies auch zu verstehen, wenn man bedenkt, daß dadurch die allerbequemste und elementarste Behandlung in Aussicht steht. Inwieweit den auf dieser Grundlage beruhenden Ergebnissen zu trauen ist, wird durch Abb. nöaund 116b veranschaulicht, wo für verschiedene Werte von yv’.f und n die Einflußlinie der Bogenkraft ersichtlich ist.

T/v:f-0'ZS

j2 i? i» \s i7 j<? i? yoyi

yv:f*0,7S

0'

o \i

n=1,o

7Z - 0,16

I7' \S'\5,\ft'\3'\2'\f 0‘ i L^r

¹ I I I /

I I I i I I \///\

\i

'i

n=i,o_

n = 0,v_

n = 0,n

iS

\_n~lO

J=

_Tl =0,16

yv:f=OzsA^

yv:f=0,ZO-L

yv:f=0,1S_

[_yv:f=0,2S - yu:f=o,2o _yv:f=0,l5

1.1

Abb. ilöa.

Abb. iiöb.

Es wird darauf hingewiesen, daß der Einfluß der Gewölbeachsenform in bezug auf die Bogenkraft, bei Gewölben mit nach den Kämpfern hin stark ansteigendem Querschnitt wesentlich höher anzuschlagen ist, als bei Gewölben von nahezu gleicher Stärke. Eine Prüfung der Parabel rückt diese demnach, soferne sie wie dies meisten geschieht nur an Hand der letzteren Gewölbe allein erfolgt, in ein viel zu günstiges Licht, und läßt sie einwandfreier erscheinen wie sie in -der Tat ist.

Dieser Umstand gibt umsomehr zu Bedenken Anlaß, da gerade kleinere Brücken einer Behandlung auf Grund einfacher Annahmen besonders zugänglich scheinen, und die dabei vorliegenden Verhältnisse den Ungenauigkeiten entgegen-kommen, da es sich meist um Brückengewölbe mit Hinterfüllung und wesentlich ausgebauchter Achse, sowie stark zunehmendem Querschnitt handelt.

Wir schlagen hier einen von diesen Mängeln freien Weg ein, indem wir als Gewölbeachse die durch Gleichung 25 gegebene Kurve annehmen. In Abb. 117 wird die Abweichung derselben von

der genauen nach Gleichung 5 er- ^    %i§ |]^ |||

mittelten Gewölbeachse besonders | dargestellt. Der Einfluß des geringen Ausschlages ist in bezug auf die Größe der Bogenkraft belanglos, und ^ praktisch genommen gleich Null.

■Gleichung 25 gibt für die auf die Wirkungsgerade der Bogenkraft be- ^ zogene Gewölbeordinaten wegen

y—Vs — y

1 /1

i—T—1

genau näherungsweise

-h

L-i

Abb. 117.

'“ft³

Ve

16 —— 1

'lr;

+    16

y*

4)1*] •

.    .    (28)

12*

//

Jh\

Die Größe der Bogenkraft folgt aus (Gl. 52, II. Abschn.)

£ f f

X~

2Pdh

WL

J*

oder

fy²dw -\-J

cos (p dx

EF

*—/vl

¹/zlr

rß

ZPdh

Jy- dw (1 +/<)

Abb. 118.

worin

cos cp dx

cos cpdx

(.i

EF

EF

f y ² dw

Mit Hilfe der Ausdrücke für die und y (Gl. 19 und 28) ergibt sich der Nenner N= J'y² dw

lf²

Vv

9 E Js

lf²

M-b

n) i]

Vv

-(I-

• {~J (263 -f 704    + 2048    — 63 ~ (7 4- 32 j-fj

--— V*3+S6y+ “*yr

16——

Vs

/    .    y<r,

( 37,5 + ¹²⁰ -r

))] • (³°>

Zur Ermittlung des Zählers geht man von der Differentialgleichung (Gl. 43 a, II. Abschn. Es ist z — gl: 2, mithin dz² =

d² tfÄ

72

- df*) 4    '

'fr.-

4 EJ cos cp

aus, die mit den gültigen Ausdrücken d²dh

fl²

[>M

⁴) ⁴] * fI_C¹—

,!/?■

16

16

■Jl 1

Ir;

d ²    12 E Js

lautet, und bei Berücksichtigung der Integrationskonstanten nach zweimaligem Integrieren

'fr,

⁽hi

fl²

!Jv

24 EJS 3 (1—n)( 1 —i;⁵))

16--

(* —4y) (rC¹— f⁶) — 5 (1— »)(i — £⁷))]

(3i)

io5

liefert. Die erste Integrationskonstante ist gleich Null, da die elastische Linie in der Mitte wagrecht verläuft, und die zweite folgt aus der Erwägung, daß für £ = 1 dh verschwinden muß.

Der einheitlichen Grundlage wegen, ist anzuraten, daß man zur Ermittlung von ys Gleichung 26 (nicht Gleichung 23) anwendet.

Die Zahl /.i berücksichtigt den Einfluß der Normalkräfte. Sie tritt nur bei flachen und steifen Gewölben hervor und ist näherungsweise nach

=

zu berechnen.

EFSN .

(32>

> dann entsteht auf elemen-

Setzt man in vorstehenden Gleichungen tarem Wege für die Bogenkraft beim Parabelbogen infolge einer Einzellast P = 1 H = l_ 3°(I—I²)²—5(r—»)(4—9§'² + ²l³+3§⁴)—3 (1—«²)(2—5 £³ + 3b⁵)

6/

(j+ 14»+ 5«²) (x -WO

(33)

worin genau genug

i \²

120

(1 4-n)

i² =

Js

Fs

■    •    (34)

moment

trägers

Ist die Größe und die Lage der Bogenkraft bekannt, dann wird das Bogen-M” = - Hy

Es gibt mit dem Balkenmoment das endgültige Schnittmoment des Bogen-Mx = Mx’ -[■-Mx" = Mj — Hy

(35)

(36)

6. Die EinfluDlinien der Kernpunktsmomente.

Soll die Beanspruchung durch Verkehrslast bestimmt werden, dann bedient man sich zweckmäßig der Einflußlinien der Kernpunktsmomente. Dieselben haben im allgemeinen die in Abb. 119 dargestellte Form und bilden mit einer Wagrechten positive und negative Flächen. Zu ihrer Berechnung dienen die Ausdrücke

•    •    (37^)

•    •    (37b)

s-i

\° 1

1+

Mjco — Hx Hy ko Mkn ⁼ Mx Hyku

Die Kernpunktsordinaten lassen sich aus der Zeichnung herausmessen. Genauer gewinnt man dieselben aus

yk =y ±

COS ff

Für recheckigen gleichartigen Querschnitt ergibt sich danach wegen e = ¹/₆ d

yieo = y +

6 • cos ff

(38 a)

Abb. 119.

•    (38 b)

yku — y

6 • cos ff

Um die Ermittlung der Einflußlinien für die Kernpunktsmomente durchführen zu können, ist es erforderlich, daß man diejenigen für die Balkenmomente und für die Bogenkraft kennt. Dieselben werden nach den vorstehenden Gleichungen bestimmt, indem man zu diesem Zwecke einer Einzellast P = 1 eine Reihe von Angriffspunkten gibt, und diese am besten in gleichmäßigen Abständen voneinander annimmt.

Werden die Einflußlinien wie in Abb. 119 aufgetragen, die positiven Ordinaten nach unten, und die negativen nach oben, dann verläuft die Einflußlinie für den oberen Kernpunkt über derjenigen für den unteren. Durch Anordnung der Belastung in der jeweils ungünstigsten Stellung ergeben sich die größten positiven und kleinsten negativen Kernpunktsmomente. Sind diese bestimmt, dann berechnet sich die Beanspruchung durch Yerkehrslast:

die Größe

oder

■ Druckspannungen M-ku

G₀ =

max

Zugspannungen

Mku min

G₀ =

Gjt

min

Gu =

Mjco

max

Die Normalkraft, deren Kenntnis im allgemeinen nicht erforderlich ist, hat

-N =    {Fdko    Mku)

N =    (Mro    Miai)

•    •    (4°)

7. Die Beanspruchung durch Eigenlast

ermittelt man am besten getrennt; zuerst die Grundpressungen, alsdann die von der Formänderung durch die Normalkraft herrührenden Zusatzspannungen. Von den durch eine besondere Formgebung bedingten günstigen Anfangsspannungen wird hier zunächst abgesehen.

Die Bestimmung der Normalkräfte kann als bekannt vorausgesetzt werden. (S. 167 bis 170).

Die Zusatzspannungen haben als einzige Ursache eine in Höhe der Bogenkraft wirksame Kraft Hg von der Größe

Hg =

Li

Li

Jy*dw -f /

cos (p dx

N{i + M)

EF

Zur Berechnung von dient die Gleichung

Li= —

zl ds

cos cp

= ~Hgo

dx

EF cos q)

womit

dx

Hg' = — Hgo. Da sich näherungsweise

EF cos cp

• (40

I-

dx

E F cos cp

setzen läßt, wird genau genug bei Vernachlässigung von im Nenner

Hg₀ • [i .    .    .

ist aber gewöhnlich von der Ermittlung

Hg - Hg₀ •

E FSN

EFS

•    • (42)

(.1 berechnet sich nach Gleichung 32 der Bogenkraft her schon bekannt.

Die Zusatzkraft wird immer negativ und wirkt deshalb von innen nach außen. Oberhalb der Angriffslinie entstehen positive Biegungsmomente mit Druckspannungen am Gewölberücken und Zugspannungen an der Leibung, hingegen erzeugen unterhalb derselben negative Biegungsmomente Zugspannungen am Gewölberücken und Druckspannungen an der Leibung.

Zur Ermittlung der Gesamt - Beanspruchung durch Ligenlast dienen die

Gleichungen

G₀ =

Hgo

Hg yjcu

G/i —

F cos cp Hgo

Hg yko

■    •    (43 a)

F'cos cp

■    ■    (43 b)

Ebenso wie der Einfluß der Normalkraft bei Verkehrsbelastung äußert sich auch die Zusatzkraft besonders bei flachen und reichlich bemessenen Gewölben.

Soll die Abweichung rj der Stützlinie von der Bogenachse festgestellt werden, dann geht man von der Bedingung

(Hgo + Hff')V = -Hg'y

aus und erhält

Hg

Hgo + H’ ¹¹

oder wegen

Hg

Hgo Hg

Abb. 120.

v = ßy .............

Danach läßt sich der Verlauf der Stützlinie bestimmen, der Bogenkraft, wegen y = o, die Gewölbeachse schneiden.

(44)

Sie' muß in Höhe

8. Einfluß von der Wärme und vom Schwinden.

Erwärmt sich ein Gewölbe gegenüber seiner Herstellungstemperatur um t°C. gleichmäßig, dann entsteht infolge dieser Ursache als einzige Auflagerkraft die Bogenkraft

Ht =

at°l

fy²dw -f- J

cos (p cLv

EF

Sieht man von dem geringen Einfluß der Normalkräfte ab (ft = o), dann wird noch einfacher

Ht

at°l

•    (45)

Dabei ist der Wärmeausdehnungskoeffizient a für Beton ungefähr zu 0,000012 anzunehmen.

Das Schnittmoment wird an beliebiger Stelle

M = — Ht y ,

und die Kernpunktsmomente betragen

df/ro — Ht Vko

dhu — — Ht yku

(46 a) (46 b)

Daraus . lassen sich die Randspannungen ermitteln; sie folgen auch unmittelbar aus

Go =

d/ku

Ht yku

■    •    (47^)

Gu

Hko

Ht yko

(47 b)

Je kleiner das Pfeilverhältnis und je größer das Trägheitsmoment vorliegt, desto beträchtlicher wird der Einfluß einer Wärmeänderung ausfallen.

Inwieweit sich Wärmeschwankungen Geltung verschaffen können, hängt von der Art der Ausbildung des ganzen Bauwerkes, von den Abmessungen desselben und nicht zuletzt auch von der Dauer der Wärmeeinwirkung ab.

um

Es wird das Maß von 40⁰ C.

Gewölbestärke) für nötig erachtet; bei stärkeren Abmessungen ist dieses

Von Dr.-Ing. F. v. Emperger wird in dem Aufsatze ,,Der Einfluß der lemperatur auf Bogenbrücken aus Eisenbeton“ (B. u. E. 1909, S. 380) darauf hingewiesen, daß nur lange andauernde (mittlere Monatstemperaturen) sich Geltung verschaffen können und daß die für das ganze Bauwerk gültige Temperaturdifferenz so geringer anzuschlagen ist, je größer die Abmessungen desselben sind.

nur bei schwachen Ausführungen (etwa bis 20 cm

zu verringern , und zwar etwa so, daß bei mittleren Gewölbestärken größer als 20 cm, für je 10 cm Zunahme 1⁰ C. abgezogen wird. Es wäre dann anzunehmen

Mittlere Gewölbestärke 20 cm —{— 2 50 »    »    5° » + ²²°

I OO

,    + *7°

i5°C. entsprechend 40⁰ C., 34° C., 24⁰ C.

12⁰ C.

7°C.

Gewölbe.

Temperaturausgleichend wirkt außerdem auch noch eine Hinterfüllung der

Außer den betrachteten Beanspruchungen entstehen beim Gewölbe in Eisenbeton noch Spannungen durch das Schwinden, die, wenn man das spezifische Schwindmaß zu 0,000 25 annimmt, einem Wärmeabfall um

0,000 25 0,000 012

entsprechen. Der hiernach ermittelte Einfluß des Schwindens scheint jedoch viel zu hoch gegriffen, wenn man . bedenkt, daß die Gewölbe meist in Lamellen betoniert werden , die bereits schon abgebunden haben , ehe das Gewölbe zum Schluß kommt und bevor das Schwinden wirklich Spannungen erzeugt. In Fällen der Praxis darf daher die Beanspruchung durch Schwinden bei zweckmäßiger Ausführung immer vernachlässigt werden.

t° =

tvi 20®

9. Die Bestimmung der verbesserten Gewölbeform.

Dem mit der Gewölbeberechnung vertrauten Statiker ist es eine bekannte Erscheinung, daß im Scheitel eines Gewölbes das zur Bemessung maßgebende positive Moment sich stets über das negative erhebt.

Ein Einblick in die vorausgeschickten Untersuchungen ergibt dies ohne weiteres. Es liegen nämlich bei den nach der Stützlinie für Eigenlast geformten Gewölben die Verhältnisse derart, daß am Scheitel auf der einen Seite das positive Moment infolge der Ursachen

1.    Verkehrslast,

2.    Eigenlast (Zusatzmoment infolge Zusammendrückung der Achse),

3.    Wärmeabfall,

4.    Schwinderscheinungen,

5.    Ausweichen der Widerlager

in Frage kommt, dem auf der anderen Seite nur das kleinere negative Moment infolge

1.    Verkehrslast,

2.    Wärmezunahme

gegenübersteht, gegenüber dem positiven zurück.

Zudem tritt noch das negative Moment durch Verkehrslast

Danach läßt sich schließen, daß bei der Berechnung der Scheitelstärke stets die Druckspannungen am Gewölberücken und die Zugspannungen an der Leibung maßgebend sind.

Um zu bestimmen, wie sich das größte positive Scheitelmoment zum kleinsten negativen Scheitelmoment verhält, gibt es keine allgemein gültige Regel, da dieses Verhältnis zu sehr an den Wechsel der Ausführungen gebunden ist. sich aber feststellen , daß das positive Moment gegenüber dem negativen um so mehr hervortritt, je steifer und je flacher ein Gewölbe vorliegt und je mehr sich dessen Achse über die Parabelform erhebt. Bei sehr flachen und stark ausgebildeten Gewölben ist es möglich , daß diese infolge dem außerordentlich beträchtlichen Einfluß der Normalkräfte ein derart hohes positives Scheitelmoment erleiden , daß Zugspannungen am Gewölberücken überhaupt nicht auftreten ; bei gewöhnlichen Ausführungen dagegen erreicht das negative Scheitelmoment immer nur einen Bruchteil vom positiven.

Soviel läßt

Nach alledem liegt es nahe, die Frage aufzuwerfen : Ist es möglich, einem Gewölbe eine solche Form zu geben, daß im Scheitel von vornherein ein Moment auftritt, das das endgültige positive und negative Scheitelmoment zum Ausgleich bringt. Dabei sollen sich aber auch durch eine solche Formgebung die Verhältnisse in den übrigen Querschnitten nicht zu ungünstig gestalten.

Daß sich diese Frage mit ja beantworten läßt und daß es möglich ist, eine dementsprechende Formgebung durchzuführen, mögen die nachfolgenden Darlegungen zeigen.

Zuvor soll noch darauf hingewiesen werden, daß man bisher an Stelle von Gewölben mit natürlich hervorgerufenen Beanspruchungen unter Umständen Ausführungen mit künstlich erzeugten Anfangsspannungen brachte. Es sind zu diesem Zwecke verschiedene Methoden im Gebrauche. Sofern es sich nicht um Momente infolge bleibender Längenänderungen der Gewölbeachse oder der Spannweite handelt, deren Einfluß durch eine gewisse Formgebung nur teilweise ausgeschaltet werden kann, läßt sich bei Anwendung des folgenden Verfahrens fast genau dieselbe Wirkung erzielen, wie bei einer kostspieligen Behandlung des Gewölbes mit Pressen und Schrauben.

Wir geben nun der Gewölbeachse die Form einer Stützlinie für eine von der Wahrheit abweichende Belastung, wobei der Unterschied bestrebt ist, günstige Anfangsspannungen hervorzurufen. Besonders tragen wir bei der dementsprechenden Formgebung denVerhältnissen am Scheitel Rechnung, so daß vor allen Dingen die Scheitelstärke so gering wie möglich gehalten werden kann.

Bezeichnet M das vorläufig als gegeben vorauszusetzende Scheitelmoment, Jfmax also das größte positive und Mm ;n das /j" kleinste negative, dann muß offenbar, wenn diese Momente gleiche Größe

annehmen sollen, ein weiteres Moment von der Größe

-Rnax “I⁻ -Umin

Be/astangs/inie

9z

\9h

m7

parabe/

/ff Stüiz/iniefür d/e //idee//e Betastung {ertspr. der schraffierter Betast-f/ /

Stütz//nie    '

für d/e n'ir/r/iche Betastung

l-t

Abb. 121.

Ma =

(48)

hinzutreten. Gelingt es, dieses durch entsprechende Formgebung hervorzurufen, so kann die kleinstmöglichste Scheitelstärke erzielt werden.

Die zur Bestimmung der günstigsten Gewölbeform maßgebende Belastung nehme am Scheitel den wirklichen Betrag an und weiche parabolisch von der Wahrheit ab, so, daß der Unterschied am Kämpfer gbeträgt (Abb. 1 2 1). Die Größe von richtet sich nach der Größe des Ausgleichmoments Ma. Bezeichnet das Scheitelmoment bei parabolischer Belastung entsprechend gk’ — 1, dann wird

9k —

Ma

(49)

Als einzige Verwicklung kommt bei diesem Vorgang die von vornherein unbekannte Form der Gewölbeachse in Betracht, deren Kenntnis bei der Bestimmung von Ma Bedingung ist. Da aber das Verhältnis vom Scheitelgewicht zum Kämpfergewicht, das sich nach

9k — 9k

(5°)

berechnet, bei der ideellen Belastung stets geringer ausfällt wie bei der wirklichen, so ergibt sich, daß die verbesserte Gewölbeachse der Parabel immer näher liegt wie jene, die der Stützlinie für Eigenlast folgt.

Die Ermittlung des größten positiven und kleinsten negativen Scheitelmoments kann auf Grund einer schätzungsweisen Annahme von gk erfolgen (Gl. 50). Dabei wird die Verkehrslast am besten mit Hilfe der Einflußlinien berücksichtigt.

Zur Ermittlung von sind die folgenden Gleichungen maßgebend, die durch Integration mit Hilfe der Beziehungen 18, 20 und 31 gewonnen wurden.

Darin ist

ß³

Wl =

48

$Us

7 + 5»

360

Uv

16 — — 1

Uv

4 —16 —

(50

•    •    (5^)

(7 + 5»)

33+

(11 +21«)

(I + 3»)](53)

720EJSN(1 +/<) Lf

Der Wert von yv : / richtet sich nach demjenigen von m (Gl. 24). N ist durch Gleichung 30 gegeben.

Nachdem die Ermittlung von M] stimmt man nach Gleichung 48 das Ausgleichmoment Ma und daraufhin nach Gleichung 49 gk. Unter Umständen ist die Rechnung für den sich nunmehr nach Gleichung 50 ergebenden neuen Wert von m zu wiederholen. Es dürfte jedoch genügen, wenn man dabei nur bis auf zurückgreift. Sobald rn in dieser Weise bestimmt ist, liegt die Belastung flir die verbesserte Gewölbeachse fest.

raax )

Mm-m und durchgeführt ist, be-

-Parabe/

\fO 111

12

Am besten ermittelt man die letztere nach Gleichung 5 (auf Grund von m aus Gl. 50) und läßt alsdann eine graphische oder analytische Kontrolle folgen. Im letzten Falle wird das Schnittmoment , welches von demjenigen für die tatsächliche Last abzuziehen ist,

£4 72 ' b S

•    •    (54)

Abb. 121a.

Punkt

Kämpfer

Folgende Tabelle erleichtert dessen Ermittlung-

Viertel

10

12

Scheitel

0,8333

°,58840,4019 0,2637 0,1646

0,0965

0,0521 0,0251 0,0103 o,0o33

0,0006 0,0000

10

Wenn man für die Belastung jedes folgende Moment wie üblich unter Benutzung des vorhergehenden berechnet, dann geht die analytische Bestimmung der Gewölbeachse sehr rasch von statten.

Zur Berechnung der Beanspruchung durch Eigenlast dienen die Ausdrücke

worin

O₀ =

Hg

M9

F cos (f

•    •    (5 5»)

Hg

Hg

F cos cp

Hg — Hgo ~ Hg -(- gk' und Mg

(55 b)

Hg U + 9 k    •

(56)

Unter E(J0 ist dabei die der ideellen Belastung entsprechende wagrechte Auflagerkraft und unter äli das Schnittmoment an beliebiger Stelle für g=1 zu verstehen *).

Bei der Durchrechnung von praktischen Beispielen stellt es sich heraus, daß die in dieser Weise geformten Gewölbe am Kämpfer hauptsächlich Zugspannungen am Gewölberücken und Druckspannungen an der Leibung erleiden. Da aber das negative Moment, welches dieselben hervorruft, rasch abnimmt und nur äußerst wenig in das Gewölbe hineinreicht, ist dieser Umstand nicht so sehr bedeutend. Man wird am besten das Gewölbe an den Kämpfern kurz ansteigen lassen, so daß übermäßig hohe Beanspruchungen nicht eintreten können. Zudem sind diese Verstärkungen konstruktiv schon ohne weiteres gegeben. Das statische Verhalten wird dadurch nicht merklich beeinflußt.

Die Gewölbe sind in der beschriebenen Form besonders bei kleineren bis mittleren Spannweiten zweckmäßig; sie betreffen also Ausführungen, deren Erstellung in Eisenbeton besonders oft in Frage kommt.

Bei sehr weitgespannten Brücken kann die günstigste Gewölbeachse nicht weit von der Stützlinie liegen, da in diesem Falle die Normalspannungen hervortreten und die Biegungsspannungen nur eine untergeordnete Rolle spielen.

10. Die Stützlinie für Verkehrslast und die Berechnung der Widerlager.

Das Einzeichnen der Stützlinien ist in der Regel nicht unbedingt notwendig. Nachstehend sei dennoch ein Verfahren mitgeteilt, wonach der Verlauf derselben leicht bestimmt werden kann.

Wir legen die Richtung der Kämpferdrücke, wie in Abb. 122 ersichtlich, durch die Abschnitte auf der Wirkungsgeraden der Bogenkraft und auf den Auf-lagerlotrechten fest.

Es muß sein

woraus

Ma

Va

Hya -j- Ma — O,

Ha —

Ma

Vb xi -j- Mb = o,

Xb =

Ml

•    •    (57)

Vi

H Ub + Mb = o,

Ub = —

Mi

Unter Ma und Mb ist dabei das Balkenmoment am Auflager A und B zu verstehen.

Die lotrechten Bestandteile der Kämpferdrücke betragen

Va = A₀

T"

Ar /fi 1 P₃

‘Angriffslinie der -Bogen= '/Fe

5k.

■raft]

.    .    (58 a) U,

x₂

.    .    (58b)

Vb=B₀-\-

worin A₀ und B₀ jene bei freier Lagerung bedeuten. Sind diese ermittelt, dann werden die eigentlichen Kämpferdrücke

Al

As

Abb. 122.

x) Ermittelt man Hg' anstatt nach Gleichung 42 nach Hg — (Ego -j- gk §) (U ,

so dürfen in den Gleichungen 56 unter § und Werte verstanden werden, die die Verkürzung der Bogenachse durch die Normalkräfte nicht berücksichtigen. Bei den Tabellenwerten ist dieser Umstand von Belang.

Ra

cos aa

v-+m

■    •    (59 a)

Rh =

v'-+m

•    •    (59b)

Einfacher findet man dieselben graphisch.

Der Verlauf der Stützlinie zwischen den Lasten kann nach den Regeln der

graphischen Statik festgelegt werden.

muß der Schnittpunkt der Kämpferkräfte in der Wirkungsgeraden der Ersatzkraft aller äußeren Lasten liegen.

Schließlich

V$o

ys

-M

Zur Berechnung der Bodenpressungen . infolge VerkehrsJast schlagen wir die Verwendung der Einflußlinien der Kernpunktsmomente für die Wider-

lagersole vor. Werden die Kernpunkte Kx und Ji,, wie in Abb. 123 ersichtlich, durch die auf die Wirkungsgerade der Bogenkraft und auf die betreffende Auflagerlotrechte bezogene Längen &v a\₂ und yv y₂ festgelegt, dann wird

......(60 a)

......(60b)

Danach lassen sich die Einflußlinien ermitteln und daraufhin können die

Abb. 123.

Mkx — Ma -j—Hy₁    Va .rj

Mjc.₂ = Ma -J- Hy₂ 1 a ‘r2

größten positiven und die kleinsten negativen Kernpunktsmomente bestimmt werden. Von Wärmeschwankungen mit der Bogenkraft Hf rühren die Momente

Mjci Ht¹J\ \

^k -2 := Hty% j

Am besten fügt man diese zu denjenigen infolge Verkehrslast noch hinzu

(61)

her.

und berechnet die Bodenpressungen nach

Druck

Zug

(7₃ =

Mk

2 max

min

a* =

Mk

• • (⁶²)

Die Bodenpressungen infolge Eigenlast werden zweckmäßig mit Hilfe der Stützlinie ermittelt, die man in der bekannten Weise einzeichnet. Der auf ein Widerlager entfallende Kämpferdruck setzt sich aus Hg (Gl. 56) und der lotrechten

Dabei ist derselbe nicht durch den

Auflagerkraft Vgo (Gl. 6) zusammen.

Kämpfermittelpunkt gerichtet, sondern durch einen Punkt, der um

Mgk

Hg

(⁶3)

darunter liegt. Mgk bezieht sich auf den Kämpfer und geht aus der zweiten der Gleichungen 56 hervor.

Nachdem die Resultierende aller äußeren Kräfte bestimmt ist, ergeben sich die Bodenpressungen infolge Eigenlast in der bekannten Weise.

11. Die Berechnung der Scheitelstärke nebst Untersuchungen über die Wirtschaftlichkeit.

Mit Hilfe der hergeleiteten Gleichungen und der berechneten Tabellen konnten für die statisch unbestimmten Größen in einem Gewölbe die folgenden Ausdrücke hergeleitet werden :

Hg₀ = (0,1090 -J- 0,0185 ⁷¹¹ - 0,0005 ⁷¹¹^

Ms = (0,0042 -}- 0,0004 m) Pel* •

0,0035 m)

H = (0,0600

Pe l*

gi*

• • (64)

(65)

(66)

wobei (Gl. 3)

9k

ß.ds

fr

Das Verhältnis n wurde bei den letzten beiden Gleichungen zu n = 0,30 angenommen; bei gewöhnlichen Verhältnissen trifft dies im allgemeinen zu. Die Ausdrücke gelten bei 1,0 m Gewölbebreite¹).

Die Spannungen infolge Wärmeschwankungen und durch Verkürzung der Gewölbeachse durch die Normalkräfte betragen annähernd (Gl. 42 u. 45)

7 o ds t°

Einfluß/, f H *

Einfluß/, f Ms

Tk

Hga

'S

<n = ⁰⁰

t/m²

.    .    (67)

<*0 =

Abb. 124.

wobei Gg die Grundpressung bezeichnet. Demnach entsteht im Gewölbe endgültig

7° *°-{~ 2,5 Gg

G — G₀ -j- ds

G₀ ist dabei die Randspannung vom Eigengewicht und von der Verkehrsbelastung²)

Oo

6 Ms

ds

Durch Verbinden der vorstehenden Gleichungen entsteht mit den Abkürzungen

0,0005 m2) H⁻ Pe (°)°6oo-j-o,oo35 m)]

°i =

- [^(0,1090-(-0,0185

C.2 = pe (0,0252 -J- 0,0024 m)

70 t° 4- ²>5 °ff

(68)

C3 —

Z²

l² ,

d? + C} ‘

woraus bei gegebenem G die Scheitelstärke ermittelt werden kann. Den Verhältnissen bei der verbesserten Gewölbeform wird genügt, wenn man in der zweiten der Gleichungen 68 zur Ermittlung von c₂, m = o setzt.

.?) Für die Ersatzlast pe bei Straßenbrücken macht Winkler folgende Angaben (Hütte, Bd. III) für leichte Wagen .    • pe, = 0,37 -j- (1,7 : /) t/m²,

„ mittelschwere Wagen pe = 0,34 -f- (2,6 : Z) „

„ schwere    „ pe = 0,28 -j- (3,4 : Z) „

²) Bei der verbesserten Gewölbeform hat man zu Jff noch gk’ hinzuzufügen.

o — c 1 ——--[— Cg

ds

(69)

Ermittelt man auf Grund eines geschätzten Wertes von ds

so ergibt sich die Scheitelstärke aus

Go — G Cg ds

■    •    (70)

=^| .+JA

2 o₀ L *

4 O₀ c2 l² e²

Diese Näherungsgleichung liefert äußerst zuverlässige Werte.

Bei flacheren Gewölben, in denen die Wärmespannungen und die Zusatzspannungen vom Eigengewicht hervortreten, ist es möglich, daß bei einer Erhöhung der Scheitelstärke die Randspannungen noch wachsen. Dann müssen sich aber umgekehrt auch bei einer Verringerung der Scheitelstärke bis zu einem gewissen Gerade geringere Spannungen einstellen. Sollen diese zu einem Minimum werden, dann muß (Gl. 69)

dg

•    • (70

do

i²

dds

ds²

— 2 c₂

oder

sein.

2 c₂ l² -f- c₃ dg³ = o .

•    •    (72)

Am einfachsten gestimmt man hieraus die gültige Wurzel durch Versuchs

rechnung.

Es ist bei flachen Gewölben zweckmäßig, sich auf Grund der vorstehenden Gleichung zu vergewissern, ob keine zu starken Abmessungen vorliegen, damit man sicher ist, daß man nicht unwirtschaftlich konstruiert.

Soll entgegen den vorstehenden Ausführungen, nach denen bei gegebener Spannweite die für die Spannungen am günstigste Scheitelstärke erzielt wird, die größte Spannweite und die zugehörige Scheitelstärke bei gegebener Beanspruchung bestimmt werden, dann ist wie folgt vorzugehen.

Nach Gleichung 69 bestimmt sich

l = ds

und durch Umformen entsteht

l / G Cg dg

' °i ds -f- c2

■    ■    (73)

o dg² — c₃ ds3 ci ds -j- c₂

Demnach muß bei einem Maximum von l² oder l

dl² —■ cx G ds² -f- Cj c₃ ds³

(c₂ -f- c₁ dg)²

² ci c3 ds² -j- (3 c» c₃ — Cj (?) dg — 2 c₂ G = o

sein. Mithin bestimmt sich die den kleinstmöglichsten Spannungen entsprechende Scheitelstärke nach

oder

dds

2 Gdg 2 G dg²

C2 ~h C1 ds

ds

¹ -f

wobei

Vi²

■ ■ (74)

<Pi = 3 c₂ G — ciO, cp₂ — 4 Cj Cg und

Bei endlicher Pfeilhöhe ist mit ds auch die erreichbare Spannweite begrenzt. Elieraus erklären sich auch die Beschränkungen , die beim Entwurf von Brücken mit sehr kleinem Pfeilerverhältnis vorliegen.

Bei all diesen Gleichungen wird eine größere Genauigkeit erzielt,

nach .

wenn man c₂

c₂ = 6 M

bestimmt und dabei das Scheitelmoment M l = 1) ermittelt, die sich um die verbesserte Gewölbeform, so ist c₂ nach

s max

•    (7⁶)

auf Grund einer Einflußlinie (für man nach den Tabellenwerten rasch aufträgt. Elandelt es

s max

zu berechnen.

max

•    •    (77)

Beispiel. Die in Abb. 125 dargestellte Brücke soll so ausgebildet werden, daß die Spannungen am Scheitel so gering wie möglich ausfallen. Dabei soll die Verkehrslast pe — 0,50 t/m² und ein Wärmeunterschied von 20 ⁰ C. in Rechnung gestellt werden. Die Scheitelstärke und die zugehörige Spannung ist zu bestimmen.

Z8,00

31jlr

Abb. 125.

Die Gewichte betragen bei den angenommenen Abmessungen (Abb. 125) am Scheitel g = 0,50 • 2,4 -j- 0,30 • 1,7 = 00 1,70 t/m²,

» Kämpfer 0*== 0,80 • 2,4-f-5,i5 • i,7 = ~ 10,70 „ .

10,7

Mithin ist (Gl. 3)

9k

G7

= co 6.

Nach Gleichung 64 wird

Hgo = (0,1090 -f- 0,0185 • ⁶ + 0,0005 • 6²) *

1,70 . 28,o²

4,0

67 t,

womit die Grundpressung

a8

67

°^5

134 t/m².

Die Gleichungen 68 geben

ci =

-- [1,70 (0,1090 -(- 0,0185 ' 6

4,o

cä = 0,50 (0,0252 -J- 0,0024) = 0,020 t/m²,

70 ■ 20 -f- 2,5 • *34

c₃ -

4,o

434 t/m³.

0,0005 • ⁶’²) + °,5° (0,0600 -}- 0,0035 • ⁶)]

= o, 100 t/m³,

oder

Nun folgt nach Gleichung 72

o = — o, 100 • 28,o² ds — 2 • 0,020 • 28,o² -)- 434 dss — 78,4 ds — 3 1,4 4- 434 ds\

o ==

Es wird

für ds = 0,50, 78,4 • 0,50 — 31,4 -(- 434 • o,5o³= — 16,3,

„ ds = 0,60, 78,4 • 0,60 — 31,4 4 434 • o,6o³ = 4- 15,3.

Schließlich findet man ds — 56 cm. Bei dieser Scheitelstärke entstehen die kleinstmöglichten Randspannungen. Sie betragen (Gl. 69)

1,000 • 28²

°,5⁶

Durch eine Erhöhung der Scheitelstärke ist man nicht mehr in der Lage, die Spannungen herabzudrücken; sie werden wie bei einer Verringerung umso höher ausfallen.

Abb. 126a veranschaulicht, wie sich die Spannungen bei wechselnden Scheitelstärken verhalten. Die eine Kurve gilt dabei für die Stützlinienform vom Gewölbe entsprechend den obigen Untersuchungen, und die andere gestrichelte Kurve

ci =

0,020 • 28²

°,5⁶²

f 434 • 0,56 = 433 t/m²

43,3 kg/cm².

entspricht der verbesserten Gewölbeform. (S. 184 bis 187)¹). Dabei war im letzten Falle zur Berechnung von c₂

o maßgebend.

Ookg/qcn?

Aus diesen Kurven geht hervor, daß es nicht viel Zweck hat, die Gewölbe sehr stark auszubil

li:.

——• Stütz/inienform ---verbesserte Gewö/beform

.!

Spannung

-\t

1.

\ // \ -

:......j...

äs

i'.sr::

» :

i..........

' qc ......J-

i-\

y-.....1

T~

j.

■r

3$cm

as=30 W 50    60    70    80    90 fOOcm

Scheite/stärke

Abb. 126 a.

56cm

den, und es zeigen sich deutlich die Vorteile, welche uns die Ausführungen in Eisenbeton bieten. Bei ds = 50 cm ist die Spannung bei der Stützlinienform nur um 0,3 kg/cm² höher wie bei ds = 56 cm. Sogar bei ds — 40 cm beträgt der Unterschied nur 3,4 kg/cm². Bei der verbesserten Stützlinienform liegen die Verhältnisse entsprechend günstiger. Es entsteht dann die geringste Spannung von 4r,2 kg/cm² bei <4=51 cm. Der Beanspruchung von kg/cm² entspricht die Scheitelstärke ds — 38 cm. Durch Anwendung der verbesserten Gewölbeform kann demnach in vor-

43,3

liegendem Falle eine Verringe

rung der Scheitelstärke um rund 18 cm erzielt werden²).

Ist die Spannung von 43,3 kg/cm² bezw. 41,2 kg/cm² unzulässig, dann ist man beim eingespannten Gewölbe darauf angewiesen, das Pfeilverhältnis zu

vergrößern. Wo dies nicht statthaft ist, kann man auch provisorisch wirksame Gelenke anordnen, oder Ausführungen nach Art der Abb. 109 f bringen.

~v

wärme Unterschied

_\

\-

Um zu zeigen, wo die den geringsten Spannungen zugehörige Gewölbestärke bei wechselnden Wärmeunterschieden liegt, wurde Abb. 126b gebracht. Wie bei den übrigen Kurven wurde auch hier verbesserte Gewö/beform für g ein fester Wert vorausgesetzt.

Soll bei gegebener Beanspruchung die größtmöglichste Spannweite nebst den zugehörigen Abmessungen bestimmt werden, dann hat man wie folgt vorzugehen.

¹ I    Wir nehmen für das Gewölbe, dessen

)    ]    . Spannweite noch unbekannt ist, die in vor

stehendem Beispiel betrachteten Verhältnisse an, und erhalten nach den Gleichungen 75 bei der zulässigen Beanspruchung von 433 t/m²

= 3 • °,°²° • 434 — 0,100 • 433 = — 17,36,

<P₂ = 4 • 0,100 • 434 = 173,6, cp₃ — 4 • 0,020 • 433 = 34,6,

Stütz/inienform

ds-w 50    60    70    80

günstigste Scheite/stärke

Abb. 126 b.

OOcm

b Bei Bestimmung der Kurven wurde das Gewicht g als unveränderlich vorausgesetzt. Durch die hierdurch entstehende Ungenauigkeit wird der Zweck unserer Untersuchung nicht beeinträchtigt. Es ergibt sich, daß der abfallende Ast der Kurve in Wahrheit etwas unter, und der ansteigende Ast etwas über jenem der Abb. 126a verlaufen Avird.

²) Die Bestimmung der verbesserten Gewölbeform, Seite 184 bis 187.

und damit nach Gleichung 74

dg

17,36

i-'-V

173,6 • 34,6

(— 17,36)

= 0,5 6 m.

173,6

Das ist die bereits ermittelte günstigste Gewölbestärke. Gleichung 73 gibt die zugehörige Spannweite

433 — 434 • 0,56

1= 0,56

verbesserten Gewölbeform, und zwar gilt die untere für die Beanspruchung

0,100 • 0,56 -f- 0,020

= 28,0 m.

lmaxjZ9iem₁ds=S¥ cm

von 41,2 kg/cm² und die obere für ^ /1/ 43,3 kg/cm². Es zeigt sich, daß sich f^/1/ bei der verbesserten Gewölbeform die .45» ^/'F'

JA

UZSmk^SIcr^- '

TO!

erreichbare Spannweite um rund 1,60 m | vergrößert, und dabei nur eine Scheitel- | cs, stärke von 54 cm erforderlich ist. Wie ^ / J aus Abb. 126a, geht auch hieraus herdaß mit ds = 38 cm bei der verbesserten Gewölbeform dieselbe Spannweite erzielt wird, wie mit ds =

56 cm bei der gewöhnlichen Stiitzlinien-forrn.

vor

71

^-1-

I

&-4

-.....e %

1 1

ixl

VvÄ

--r-WY\£ l V$\\% *

[.....

¹.......

•l\\

•4

4.

1-\

V"

v l\\

In jedem Falle scheint es interessant beim Entwurf von Gewölben im Sinne der Abb. 126a rasch eine Kurve aufzutragen, die über die Spannungsverhältnisse lehrreichen Aufschluß gibt

1    ¹ I I SScm I

ds=30    ¥0 SO 60    70    80 90cm

Scheife/sfärke

SfuZz/in/enform verbesserte Gewö/befbr/n

Abb. 126 c.

§ 17 •

Tabellen der Einflußlinien für eingespannte Brückengewölbe.

Nach den hergeleiteten Gleichungen wurden für die in der Praxis vorliegenden Fälle des eingespannten symmetrischen Brückengewölbes in Eisenbeton, die Einflußlinien berechnet, und in den nachfolgenden Tabellen wiedergegeben.

Die Form der Gewölbeachse wurde durch das Verhältnis Ordinate im Gewölbeviertel

Gewölbepfeil

bestimmt, und als Grenzwerte auf der einen Seite die Parabel mit yv:f = 0,25, und auf der anderen Seite yv:f = 0,15 angenommen. Die Zwischenwerte ändern

sich folgendermaßen: 0,25, 0,24, 0,23, 0,22,

°,¹5-

Der Querschnittänderung liegt das Gesetz

Js

= 1 — (1 — n) £

zugrunde. Für

Js

Jf- • cos cp/i

finden sich die Werte n=i,o, 0,8, 0,6, 0,5, 0,4, 0,3, 0,25, 0,2, 0,15.

13

Strassner, Neuere Methoden.

Es wurde angegeben :

1.    Die Ordinaten der Gewölbeachse (berechnet nach Gl. 5).

2.    Die Ordinaten der Einflußlinien in um ¹/₂₄ der Spannweite fortschreitenden Entfernungen, und zwar

a)    für das Moment im Scheitel, Kämpfer und Gewölbeviertel, sowie für die dazwischenliegenden Querschnitte im Gewölbeachtel,

b)    für die Bogenkraft,

c)    für das Balkenmoment (Seite 265 bis 269),

d)    für die lotrechten Auflagerkräfte (Seite 264).

3.    Die größten positiven und kleinsten negativen Momente für gleichmäßig verteilte Verkehrslast.

4.    Die Lage der Bogenkraft und die Werte von N zur Berücksichtigung der Temperaturänderungen und des Einflusses der Normaikräfte.

5.    Die Auflagerkraft und die Momente zur Bestimmung der verbesserten Form der Gewölbeachse.

Vorgang der Berechnung bei Anwendung der Tabellen.

1. Man bestimmt annähernd (Gl. 3)

Gewicht am Kämpfer

3k

Gewicht am ScheitelJ) und berechnet die Scheitelstärke nach den auf Seite 190 gegebenen Formeln; dann wird das Kämpfer- und Scheitelgewicht schärfer ermittelt und m genauer bestimmt.

2. Nun können die Ordinaten der Gewölbeachse aus den Tabellen entnommen werden.

Will man die verbesserte Form der Gewölbeachse festlegen, so nimmt man für m einen etwas kleineren Wert an und bestimmt auf Grund der Tabellenwerte das größte positive und das kleinste negative Scheitelmoment infolge Verkehrslast M = (Beiwert aus Tabelle) • pe l².

un-

Dann wird das Ausgleichmoment Ma, welches von vornherein bei belastetem Gewölbe vorhanden sein muß, wenn das endgültige positive und negative Scheitelmoment gleich groß ausfallen soll ²), (Gl. 48, sinngemäß)

Ma =

2M

•    •    (78)

Hg₀ Hs ^    •    •

wobei (Gl. 32)

EFSN

Ego wird mit Hilfe der Tabellen oder nach Gleichung 64 ermittelt, N und ys ist in den Tabellen enthalten.

Bei starken Einzellasten, wofür die Ersatzlast pe nicht genau festzustellen ist, ist zur Berechnung von M die Verwendung der Einflußlinien angezeigt.

Jetzt bestimmt man nach den Tabellen den Wert von (für den angenom--Wert) und ermittelt den Lastunterschied (Gl. 49)

menen m

gk

Ma

sowie das für die verbesserte Stützlinienform gültige Verhältnis (Gl. 50)

gk — 9 k

Unter Umständen ist die Berechnung nach einer dem neuen 7??-Wert besser entsprechenden Tabelle zu wiederholen. Meist wird es jedoch ausreichen, mit dem genauen äft-Wert g& festzustellen und damit m zu verbessern.

3.    Ist m bestimmt dann wird die Gewölbeachse festgelegt; zunächst wendet man dabei die Tabellenwerte an und läßt dann eine graphische oder analytische Kontrolle folgen. Jm letzten Falle kann der auf Seite 186 beschriebene Weg eingeschlagen werden bei Verwendung der dort gegebenen Tabelle.

4.    Die Gewölbestärke soll sich nach dem Gesetz (Gl. 14)

d = ds c ft x -f- tan² cp

ändern. Die Werte von tan² cp (Gl. 7) und c (Gl. 15) gehen aus den auf Seite 174 und 175 enthaltenen Tabellen hervor.

5.    Unter Entnahme von aus den Tabellen wird nun die Zusatzkraft (gern. Gl. 42, vergl. auch Fußnote Seite 187)

Hg'=(Hgo+gfc’$) fi

(79)

und beim unbelasteten Gewölbe die Auflagerkraft (Gl. 56)

— Hgo "f ~ Hg H⁻ 9k &,

sowie das Schnittmoment bestimmt.

Mg = — Hg' y -j- gk 'fff}

Bei einer Erwärmung um t° entstehen durch die Bogenkraft (Gl. 45)

a t°l

die Kernpunktsmomente

Mjiu — Hf ]jku,

wobei die Ordinaten (Gl. 38)

yko = y

yku — y

6 • cos cp ’

6. Die Einflußlinien der Kernpunktsmomente kann man entweder für 7=i oder gleich für die wirkliche Spannweite auftragen. Im ersten Falle lassen sich die Tabellenwerte direkt benutzen und es sind nur die Endergebnisse mit der Spannweite zu multiplizieren ; dieser Weg ist oft der einfachere.

6 • cos cp

Um die Einflußlinie der Kernpunktsmomente für einen beliebigen Schnitt zu bestimmen, gehe man nach folgendem Schema vor.

Schnitt XX

Bogenkraft

y= ■ ■

d= . .

COS (p

Y 1 -f- tan² cp

6 • cos cp

H: l

rj

6 • cos cp

Einflußlinie der Kern-punktsmomente

Vko

Vka

Oo fco M o

Ordinate Nr.

Aus den Tabellen

Einflußlinien-Ordinale aus den Tabellen

6 • cos cp

— da •

tel

■yy 4-

7. Bei Berechnung der Randspannungen infolge Eigenlast, Verkehrslast und Temperatur kann das folgende Schema benutzt werden.

Schnitt XX

F=bd

bei²

cos cp =

y 1 -j- tan² cp

■ ' (7) tan2 9

aus Tab. S. 174.

Normalpressung: o₁

Hg

F cos cp

■    • I Hg - Hg₀ 4~Hg ~\~ Qk §•

M

Biegungsspannung: a₂ = ~

.    . \Mg = — Hg'y + gjjm.

Randspannung vom / o₀ — a: -f- g0 Eigengewicht \ ou = o₁ — a₂

Moment durch f Mk₀ = — Ht yk0 FIku — Hf }Jku FI ko

FI tu FI ko FIku

Temperatur

Ht

a t° l

Moment durch Verkehrslast

++I I

Aus den Einflußlinien der Kernpunktsmomente.

FI ko

FIku

Grenzwerte d. Momente durch Temperatur und Verkehrslast J/A.₀

Ou = —

FIku FI ko

Randspannungen durch Temperatur und Verkehrslast

Go =

Ou —

FIku

FIko

FIku

O₀ =

max

max

Grenzwerte der Spannungen

Tabellen der Einflufslinien

für die Momente und für die Bogenkraft der eingespannten Brückengewölbe.

Bezeichnungen:

l Spannweite / Pfeilhöhe

y Gewölbeordinate in bezug auf die Scheitelwagrechte yv Desgleichen im Gewölbeviertel Js Trägheitsmoment am Scheitel „ Kämpfer g Gewicht am Scheitel (siehe auch S. 168)

„ Kämpfer

cp* Neigungswinkel der Gewölbeachse am Kämpfer Der Verlauf der Gewölbeachse wird durch das Verhältnis Ordinate im Gewölbeviertel ' Pfeilhöhe

Gewicht am Kämpfer Gewicht am Scheitel festgelegt. Für die Querschnittszunahme ist der Wert von

■h

gjc

Vv

bew.

9k

Js

Jk • cos cpk

maßgebend.

V— — 0,25.

g=g/ejchb/eibend

y':f

_^ 10000

-----ptfem.

_____

-----

v___^ Ojmi_

X---

\__0.1736

V gOSZ5_ \*£017JL \^ß0070_

M.

hr

Pf

<5T

'yv

Abb. 127.

m = ■— = 1,000.

tan cp — 4,000 — •

g l³ 4 5 6 7 8 9 10 11

Hg0 = 0,12 50 —•

cos Cfk

Vgo — 0,5000 g l.

l 1 + 16,00 {2

f³

Bogenkraft ^Werte H~ (1 -j- ft)\

Js

y‘

*4 • cos <F-k

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

Vs

0,3333

0,3148

0,2917

0,2778

0,2619

0,2436

0,2333

0,2222 ; 0,2101

■f

1.0000

0,0060

0,0057    0,0053

0,0051

0,0047    0,0043

0,0041

0,0037    0,0033    0,8403

Kinflußlinienordinate 1fr.

10

12

0,2311

0,2340    0,2377

0,2401

0,2431    0,2469    0,2494    0,2524    0,2562

0,0070

0,2344

0,2375    0,2415    0,2441    0,2473

0,2516    0,2542    0,2575    0,2616    0,0000

12

0,0889

0,0775    0,0653

0,0588

0,0520

0,0448

0,0410

0,0370

0,0329

■lp:EJs

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

i₉9

Uv

= 0,25.

Moment im Scheitel.

Js

Jk‘

cos

9>t

1,0

o,8

o,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,3333

o,3H8

0,2917

0,2778

0,2619

0,2436

0,2333

0,2222

0,2101

■f

¹

J Brücken mit gegliedertem Aufbau kann unter Umständen ein hiervon abweichender Wert zweckmäßiger sein (vergl. Seite 168).

²

ä) Es wurde angenommen, daß beim Wärmeunterschied eine ebensolche Zunahme wie Abnahme vorliegt. Sollte noch ein weiteres Moment infolge irgend einer Ursache in Frage kommen, so ist der halbe Wert davon mit umgekehrtem Vorzeichen zu Ma hinzuzufügen.

³

,0219    0,0210    0,0199    0,0191    0,0182    0,0169    0,0x61    0,0152    0,0140    0,6944

⁴

,0449    0,0434    0,0416    0,0403    0,0388    0,03.68    0,0355    0,0339    0,0319    0,5625

⁵

,0723    0,0706    0,0683    0,0668    0,0649    0,0625    0,0609    0,0590    0,0566    0,4444

⁶

,1020    0,1003    0,0980    0,0965    0,0947    0,0923    0,0908    0,0889    0,0865    °,34°3

⁷

,1318    0,1305    0,1287    0,1276    0,1262    0,1243    0,1231    0,1217    0,1199    0,2500

⁸

,1601    0,1594    0,1586    0,1580    0,1574    0,1565    0,1560    0,1553    0,1545    0,1736

⁹

,1852    0,1855    0,1858    0,1861    0,1864    0,1868    0,1871    0,1874    0,1878    0,1111

¹⁰

,2060    0,2073    0,2089    0,2100    0,2114    0,2131    0,2143    0,2157    0,2174    0,0625

¹¹

2215    0,2237    0,2266    0,2284    0,2307    0,2337    0,2356    0,2380    0,2409    0,0278

- 0,0011

— 0,0010 — 0,0009 — 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0006 — 0,0005 ■— 0,0004

— 0,0038 — 0,0035 — 0,0031 — 0,0029 — 0,0026 — 0,0023

— 0,0021

- 0,0020

— 0,0018

0,0041

— 0,0072

- 0,0066

— 0,0060 — 0,0056 — 0,0051 — 0,0047 — 0,0044 — 0,0037

— 0,0102 — 0,0095 — 0,0087 — 0,0083 — 0,0077 — 0,0072 — 0,0068 — 0,0064 — 0,0060

— 0,0123 — 0,0116 — 0,0x08 — 0,0103 — 0,0098 — 0,0092 — 0,0089 — 0,0085 — 0,0081

— 0,0127 — 0,0121 — 0,0115 — 0,0111 — 0,0107 — 0,0103 — 0,0x00 — 0,0097 — 0,0093

— 0,0108 — 0,0105 — 0,0102 — 0,0100 — 0,0098 — 0,0096 — 0,0095 — 0,0093 — 0,0091

— 0,0062 — 0,0063 — 0,0064 — 0,0065 — 0,0065 — 0,0066 — 0,0066 — 0,0067 — 0,0067

s ¹⁰

11

12

•r ii'

5    10'

=    9'

W 8'

0,0016

0,0130

0,0280

0,0469

0,0280

0,0130

0,0016

— 0,0062

0,0012

0,0006

0,0003

— 0,0001

— 0,0005

— 0,0008

— 0,0011

— 0,0014

0,0121

0,0111

0,0105

0,0099

0,0091

0,0087

0,0082

0,0077

IO

0,0269

0,0456

0,0269

0,0121

0,0012

— 0,0063

0,0255

0,0247

0,0239

0,0229

0,0223

0,0218

0,0210

11

0,0441

0,0433

0,0423

0,0413

0,0467

0,0400

0,0392

12

0,0255

0,0247

0,0239

0,0229

0,0223

0,0218

0,0210

11'

0,0111

0,0105

0,0099

0,0091

0,0087

0,0082

0,0077

10'

0,0006

0,0003

— 0,0001

— 0,0005

— 0,0008

— 0,0011

— 0,0014

9'

— 0,0064

— 0,0065

— 0,0065

— 0,0066

— 0,0066

— 0,0067

— 0,0067

8'

7‘

— 0,0108

— 0,0105 — 0,0102 — 0,0100 — 0,0098 — 0,0096 — 0,0095 — 0,0093

— 0,0091

7'

6'

— 0,0127

— 0,0121 — 0,01.15 — 0,0111 — 0,0107 — 0,0103 — 0,0100 — 0,0097

— 0,0093

6'

5'

— 0,0123

—'0,0116 — 0,0108 — 0,0103 — 0,0098 — 0,0092 — 0,0089 — 0,0085

— 0,0081

5'

4'

— 0,0102

— 0,0095 — 0,0087 — 0,0083 — 0,0077 — 0,0072 — 0,0068 — 0,0064

— 0,0060

4'

3'

— 0,0072

— 0,0066 — 0,0060 — 0,0056 — 0,005¹ — 0,0047 — 0,0044 — 0,0041

— 0,0037

3'

2'

— 0,0038

— 0,0035 — 0,0031 — 0,0029 — 0,0026 — 0,0023 — 0,0021 — 0,0020

— 0,0018

2'

1'

’s— 0,001 I

— 0,0010 — 0,0009 — 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0006 — 0,0005

— 0,0004

1'

o‘

°‘)

max M 0,0054 0,0052 0,0049 0,0047 0,0046 0,0044 0,0043 0,0041

0,0040

■ pp

zugeh. H

0,060

0,059 0,059 0,059 0,059 0,059 0,059 0,059 0,059

min M

— 0,0054

— 0,0052 — 0,0049 — 0,0047 — 0,0046 — 0,0044 — 0,0043 — 0,0041

— 0,0040

■pP

zugeh.H

0,065

0,066 0,066 0,066 0,066 0,066 0,066 0,066 0,066

— 0,0155

Vv

— 0,25.

Moment im Kämpfer.

Js

Jjc ■ cos cpk

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,6667 — 0,6852

— 0,7083

—■ 0,7222

— 0,7381

— 0,7564

— 0,7667 — 0,7778

— 0,7899

■f

— 0,0343

— 0,0346 —0,0351

— 0,0353 —0,0358

0,0363

— 0,0366

— 0,0371

— 0,0377

— 0,0554

— 0,0564 —0,0578

— 0,0588 —0,0600 —0,0618

— 0,0629

— 0,0641

— 0,0658

3    —0,0658

— 0,0676 — 0,0700

— 0,0717 — 0,0739

— 0,0768 —0,0787 —0,0810

— 0,0839    3

4    — 0,0675

— 0,0698 — 0,0732

— 0,0754 —0,0784

— 0,0823 — 0,0848 j — 0,0879

— 0,0917    4

5    — 0,0626

— 0,0652 — 0,0690

— 0,0716 —0,0749

— 0,0793 —0,0821 —0,0856

— 0,0899    5

6    —0,0528

— 0,0554 —0,0591

— 0,0616 —0,0649 —0,0693 —0,0721 —0,0755

— 0,0796    6

— 0,0396 —0,0419 -0,0451 —0,0474 —0,0502 —0,0539 —0,0563 —0,0591

— 0,0626    7

EinfluKlinicnordinate Ur.

U I 1—1 I O | VO I 00

—    0,0247    —0,0263    —0,0287 —0,0302 —0,0322    —0,0348    —0,0365    —0,0384    —0,0407

—    0,0092    —0,0099    —0,0111 —0,0118 —0,0127    —0,0140    —0,0146    —0,0153    —0,0162

0,0067

0,0059

0,0061 • 0,0063

0,0065

0,0071

0,0074

0,0080

0,0086    10

0,0196    0,0207    0,0222    0,0233    ■ 0,0247

0,0313    0,0331    0,0356    0,0374    0,0397

0,0403    0,0426    0,0458    0,0480

0,0464    0,0489    0,0523    0,0547    0,0577

0,0495    0,0518    0,0551    0,0573    0,0603

0,0494    0,0514    0,0542    0,0562

0,0265

0,0279

0,0295

0,0429    0,0449    0,0475

0,0604 0,0678

0,0509    0,0547    0,0573

0,0618 0,0641

0,0587    0,0620    0,0641

0,0645 0,0666    0,0696

0,0665

0,0317    11

0,0508    12

■l

0,0465

0,0480

0,0502

0,0517

0,0536    0,0561    0,0577    0,0595

0,0616

7'

6'

0,0410

0,0421

0,0435    0,0446    0,0459    0,0474    . 0,0484    0,0495

0,0508

5'    0,0336

0,0342

0,0351

0,0356    0,0363    0,0371    0,0376

0,0381

0,0385    5'

4'

0,0251

0,0253

0,0256    0,0258

0,0260

0,0263

0,0263

0,0263

0,0202

3'

0,0163

0,0162

0,0163

0,0162

0,0162

0,0161

0,0159

0,0157    0,0153

2'

0,0082    0,0081

0,0081

0,0079    0,0079

0,0076

0,0074    0,0073

0,0069

i'

0,0023

0,0023

0,0022

0,0022

0,0021

0,0020

0,0020

0,0020

0,0017    ¹‘

o'

°' I

max M

0,0171

0,0177

0,0186

0,0192

0,0200

0,0211

0,0217

0,0226

0,0236

• p l»

zu geh. II

0,085

0,086

0,086

0,086

0,086

0,086

0,087

0,087

0,087

■pp.f

min M

— 0,0171

— 0,0177

— 0,0186

— 0,0192

— 0,0200

— 0,0211 —0,0217

— 0,0226

— 0,0236

■p l²

zugeh. 11

0,040

0,039

0,039

0,039

0,039

0,039

0,038

0,038

0,038

-pP-.f

— 0,0476

— 0,0493

0,0516

- 0,0532

— 0,0553 —0,0582

— 0,0601 I — 0,0625

— 0,0656

• Z²

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

!/v

~ = 0,25.

Moment im Gewölbeviertel.

Js

Jk . cos 90k

1,0

0,8

o,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,0833

0,0648

0,0417

0,0278

0,0119

— 0,0064

— 0,0167

— 0,0278

— 0,0399

0,0016 0,0016 0,0016 0,0015 0,0014

0,0012

0,0012

0,001 I

0,0010

0,0066 0,0065 0,0062 0,0061 0,0058 0,0054 0,0052 0,0048 0,0044

0,0148

O.OI46 0,0141 0,0138 0,0133 0,0126 0,0121 0,0115 0,0107

0,0264 0,0260 0,0253 0,0248 0,0241 0,0230 0,0223 0,0214 0,0204

0,0412 0,0407 0,0398 • 0,0391 0,0382 0,0368 0,0360 0,0349 0,0336

0,0593 0,0586 0,0575 0,0567 0,0556 0,0541 0,0532 0,0520 0,0505

0,0389 0,0381 0,0368 0,0360 0,0348 0,0333 0,0323 0,0311 0,0297

0,0216 0,0207 0,0194 0,0185 0,0174 0,0159 0,0150 0,0140 0,0127

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0,0004

— 0,0006

10

— 0,0043

— 0,0052 — 0,0063 — 0,0070 — 0,0077 — 0,0087 — 0,0092 — 0,0098

— 0,0104

10

■■■

— 0,0131

— 0,0139

— 0,0147

— 0,0152

— 0,0157

— 0,0162

— 0,0164

— 0,0167

— 0,0169

0 12

— 0,0195

— 0,0200

— 0,0205

— 0,0208

— 0,0208

— 0,0208

— 0,0207

— 0,0206

0,0204

12

•—

— 0,0236

— 0,0238

— 0,0238

— 0,0236

— 0,0234

— 0,0229

— 0,0225

— 0,0220

— 0,0214

— 0,0257

0,0255

— 0,0250 — 0,0245 — 0,0239 — 0,0230 — 0,0223 — 0,0215

0,0205

IO'

- ⁹

i ₈'

— 0,0260

— 0,0254

— 0,0244

— 0,0237

— 0,0228

— 0,0215

— 0,0207

— 0,0196

— 0,0184

9'

— 0,0247

— 0,0238

— 0,0225

— 0,0216

— 0,0205

— 0,0190

— 0,0181

— 0,0169

— 0,0155

8'

— 0,0222 — 0,0211 — 0,0197 — 0,0187 — 0,0174 — 0,0159 — 0,0149 — 0,0138

— 0,0124

7‘

6'

— 0,0188

— 0,0177 — 0,0162 — 0,0152 — 0,0140 — 0,0125 — 0,0116 — 0,0105

— 0,0093

6‘

— 0,0148 — 0,0138 — 0,0124 — 0,0115 — 0,0104 — 0,0091 — 0,0083 — 0,0075 — 0,0064

4'

— 0,0106

— 0,0098 — 0,0086 — 0,0079 — 0,0071 — 0,0061 — 0,0055 — 0,0048

— 0,0040

4'

3'

— 0,0067

— 0,0060 — 0,0653 — 0,0048 — 0,0042 — 0,0035 — 0,0031 — 0,0027

— 0,0022

3'

2‘

— 0,0033

— 0,0029 — 0,0025

— 0,0022 — 0,0019 — 0,0016 — 0,0014

— 0,0012

— 0,0009

2'

I'

— 0,0009

— 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0005 — 0,0004

-0,0003

— 0,0003

— 0,0002

i'

o‘

o'

0,0071

max M

0,0090 0,0088 0,008 5 0,0083 0,0080 0,0076 o,°o74 0,0068

zugeh. H

0,040

0,039 0,038 0,037 0,036 0,035 0,034 0,033

0,031

pl'-f

min M

— 0,0090

— 0,0088

— 0,0085

0,0083

— 0,0080

— 0,0076 — 0,0074

— 0,0071

— 0,0068

•p /²

zugeli. H

0,085

0,086 0,087 0,088 0,089 0,090 0,091 0,092 0,094

Uv

~ = 0,25.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

Jk-c°s <pk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

0,3

o,²5

0,2

0,15

0,2708

0,2523

0,2292

0,2153

o,i994

0,1811

0,1708

o,i597

0,1476

■f

— 0,0001

— 0,000,1

0,0000

0,0000

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0000

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0005

0,0005

0,0005

0,0004    ²

0,0010

C,OOI3

0,0015

0,0016

0,0016

0,0017

0,0017

0,0016

0,0015    3

0,0036

0,0038

0,0040    0,0041

0,0041

0,0040

0,0040

0,0038

0,0037    4

0,0081

0,0083

0,0084

0,0083

0,0083

0,0080

0,0079

0,0076

0,0073

0,0151    0,0151

0,0150    0,0148

0,0146

0,0142

0,0139

0,0135    *0,0131    6

0,0249

0,0246

0,0242

0,0239

0,0235

0,0229

0,0225

0,0220

0,0215    7

Einfliißlinienordinate 5fr.

OO ON O

cr. ^ilcc 'o o i-i to

0,0355    0,0347    °,°34²    0,0336    0,0329

0,0378    0,0373

0,0541    0,0533

0,0366

0,0523

0,0361

0,0516

■l

11'

5'

0,0199 —0,0190 —0,0177 —0,0169 — 0,0160 —0,0149 —0,0143 —0,0135 —0,0126

4'    —0,0150

— 0,0141 —0,0130 —0,0123 —0,0115

— 0,0105 —0,0099 —0,0093

— 0,0085

4'

3'    — 0,0097

— 0,0090 —0,0082 —0,0077 —0,0071

— 0,0064 —0,0060 —0,0055

— 0,0049    3'

2'

— 0,0049

— 0,0045 —0,0041 —0,0037 —0,0034

— 0,0030 —0,0028 —0,0025

— 0,0022    2'

— 0,0014

— 0,0013 —0,0011 —0,0010 —0,0009

— 0,0008 — 0,0007 — 0,0006

— 0,0005 l'

o'

o‘j

max M

0,0079

0,0078

0,0076

0,0075

0,0073

0,0071

0,0070

0,0068

0,0066

■ p l²

zugeh. II

0,061

0,061

0,061

0,060

0,059

0,058

0,058

0,058

0,057

■P I¹ ■ f

min M

— 0,0079

— 0,0078

— 0,0076

— 0,0075

— 0,0073

— 0,0071

— 0,0070

— 0,0068

— 0,0066

zugeh. H

0,064

0,064

0,064

0,065

0,066

0,067

0,067

0,067

0,068

■pl²-f

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

°,²5

0,2

0,15

Uv

= 0,25.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

Js

Jk • cos Vk

1,0

o,8

o,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

o,i5

— 0,2292 — 0,2477 — 0,2708 — 0,2847 — 0,3006 — 0,3189 — 0,3292 — 0,3403

— 0,3524

•/' ■

0,0041 0,0040 0,0038 0,0036 0,0034 0,0031 0,0029 0,0026 0,0023

0,0159 0,0154 0,0147 0,0141 0,0134 0,0125 0,0118

0,011 I

0,0101

0,0342 0,0333 0,0320 0,0310 0,0298 0,0281 0,0270 0,0256 0,0239

0,0166 0,0153 0,0135 0,0122 0,0105 0,0082 0,0066 0,0048 0,0025

0,0038

0,0023

0,0001

— 0,0015

— 0,0034

— 0,0062

— 0,0079

— 0,0101

— 0,0128

— 0,0050 — 0,0065 — 0,0089 — 0,0105 — 0,0125 — 0,0154 — 0,0172 — 0,0194 — 0,0221

— 0,0104 — 0,0119 — 0,0141 — 0,0156 — 0,0x75 — 0,0201 — 0,0217 — 0,0237 — 0,0261

•J

— 0,0131

— 0,0144

— 0,0163

— 0,0175

— 0,0191

— 0,0211

— 0,0224

— 0,0239

— 0,0258

— 0,0138 — 0,0148 — 0,0161 — 0,0169 — 0,0179 — 0,0193 — 0,0201 —• 0,0210 — 0,0220

T.

10

— 0,0130

— 0,0135

— 0,0142

— 0,0145 —0,0149 —0,0154

— 0,0156

— 0,0158

— 0,0159

10

"Z

— 0,0112

— 0,0112

— 0,0111

— 0,0110

•-

— 0,0107

— 0,0103

— 0,0099

— 0,0094

— 0,0086

12

— 0,0088

-0,0083

— 0,0075

— 0,0069

— 0,0060

— 0,0047

— 0,0038

-0,0027

— 0,001 I

12    • l

— 0,0061

0,0052

— 0,0038

— 0,0028

— 0,0014

0,0005

0,0018

0,0034

0,0055

II'

3    10'

— 0,0035

— 0,0023

— 0,0005

0,0008

0,0025

0,0048

0,0064

0,0082

0,0106

io'

=    9'

i 8'

— 0,0011

0,0003

0,0023

0,0037

0,0056

0,0080

0,0096

0,0115

0,0139

9'

0,0008

0,0022

0,0042

0,0057

0,0075

0,0098

. 0,0113

0,0131

0,0153

8'

7'

0,0021

0,0035

0,0054

0,0066

0,0083

0,0103

0,0116

0,0132

0,0150

7'

6'

0,0029

0,004¹

0,0056

0,0067

0,0081

0,0097

0,0107

0,0119

0,0133

6'

5'

0,0030

0,0040

0,0052

0,0060

0,0070

0,0082

0,0090

0,0097

0,0106

5'

4'

0,0027

0,0034

0,0042

0,0047

0,0054

0,0062

0,0066

0,0071

0,0076

4'

3'

0,0020

0,0024

0,0029

0,0032

0,0036

0,0040

0,0042

0,0044

0,0046

3'

. 2'

0,0011

0,0013

0,0015

0,0017

0,0018

0,0020

0,0020

0,0021

0,0021

2'

1'

0,0003

0,0004

0,0005

0,0005

0,0005

0,0005

0,0006

0,0005

0,0005

1'

o'

o'J

max M 0,0035 0,0036 0,0038 0,0040 0,0043 0,0046 0,0048 0,0051 0,0055

zugeh. H

0,039

0,044 0,049 0,052 0,055 0,059 0,060 0,062 0,064

min M

— 0,0035

— 0,0036 — 0,0038 — 0,0040 — 0,0043 — 0,0046 — 0,0048 — 0,0051 — 0,0055

zugeh. H

0,086

0,081 0,076 0,073 0,070 0,066 0,065 0,063

0,061

■pP-.f

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

11

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Abb. 128.

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m = — = 1,350.

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Hg0 = 0,132 I —-

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Bogenkraft ^ Werte H^- (1 -f-

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Js

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1,0

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0,6

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0,2

o,iS

Vs

0,3262

0,3079

0,2850

0,2713

0,2556

0,2374

0,2273    0,2163

0,2043

■f

1,0000

0,0061 0,0058 0,0054 0,0052 0,0049 0,0045 0,0042 0,0039

0,0035

0,8330'

0,0223

0,0214

0,0203

0,0195

0,0186

0,0174

0,0166

0,0156    0,0x44

0,6830

0,0456 0,0442 0,0423 0,0411

0,0396 0,0376 0,0363 0,0347 0,0328 o,5493

0,0733 0,0716 0,0694 0,0679 0,0661 0,0637 0,0621 0,0602 0,0579

0,4312

0,1032 0,1015 0,0994 0,0979 0,0962 0,0938 0,0924 0,0906 0,0883

0,3282

o,i33i 0,1319 0,1302 0,1292 0,1279 0,1261 0,1250 0,1237 0,1220 0,2400

0,1614 0,1608 0,1602 o,i597 0,1592 0,1585 0,1581

0,1576 0,1569 0,1659

0,1864 0,1869 0,1874 0,1878 0,1882 0,1889 0,1893 0,1898 0,1904 0,1058

0,2072 0,2086 0,2105 0,2117 0,2132 0,2152 0,2165 0,2181 0,2201

0,0594

10

0,2226 | 0,2250

0,2281

0,2300

0,2325

0,2358

0,2379

0,2404

0,2436

0,0264

10

0,2322    0,2352

0,2391

0,2417 0,2448 0,2490 0,2516 0,2549

0,2589

0,0066

12

0,2354

0,2387

0,2429

0,2457

0,2491

0,2536

0,2564

0,2599

0,2643

0,0000

12

0,0876 0,0762 0,0641 0,0577 0,0509 0,0437 0,0400

0,0361

0,0320

0,0l8l

0,0178

0,0175

0,0172

0,0170

0,0166 j 0,0163

0,0X61

0,0157

/*:/■

yv

= 0,24.

Moment im Scheitel.

Js

*4-

cos

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,25

°,2

0,15

0,3262

0,3079

0,2850

0,2713

0,2556

0,2374

0,2273

0,2163

0,2043

■f

— 0,001 X —0,0010 —0,0009 — 0,0008 —0,0007

— 0,0007

— 0,0006

— 0,0005 — 0,0005

— 0,0038 —0,0035 —0,0031 —0,0028 —0,0026

— 0,0023

— 0,0021

— 0,0020 — 0,0018

— 0,0071 —0,0065 —0,0059 —0,0055 —0,0051

- 0,0046

— 0,0043

— 0,0040 — 0,0037    3

0,0100 —0,0094 —0,0086 —0,0081 —0,0076

— 0,0071

— 0,0067 — 0,0063 — 0,0059    4

5    —0,0120 —0,0113 —0,0105 —0,0101 —0,0096

— 0,0090

— 0,0087 — 0,0083 — 0,0079    5

6    —0,0122 —0,0117 —0,0111 —0,0107 —0,0104

— 0,0099

— 0,0101 —0,0099 —0,0096 —0,0095 —0,0093

— 0,0091

—    0,0097 —0,0094 —0,0091    6

—    0,0090 — 0,0089 — 0,0087    7

— 0,0052 — 0,0054 — 0,0056 — 0,0057 — 0,0058

— 0,0059 —0,0060 —0,0061 —0,0062

0,0027

0,0022

0,0016

0,0012

0,0008

0,0003

0,0000 — 0,0003 — 0,0006    9

0,0142

0,0293

0,0482

0,0293

0,0142

0,0132    0,0122    0,0115    o,oio8    0,0101    0,0096

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0,0469    0,0454    0,0444    0,0435    0,0424    0,0417

0,0281    0,0267    0,0259    0,0250

0,0132    0,0122    0,0115    0,0108

0,0239    0,0233

0,0101    0,0096

0,0091

0,0085

0,0227

0,0410

0,0220

0,0402

0,0227    0,0220

0,0091    • 0,0085

00 vo O

0,0000 — 0,0003 — 0,0006

0,0008

— 0,0052 —0,0054 —0,0056 —0,0057 —0,0058 —0,0059 —0,0060 —0,0061 —0,0062

0,0027

0,0022

0,0016

0,0012

0,0003

7'    —0,0101 —0,0099 —0,0096 —0,0095 —0,0093 —0,0091 —0,0090 —0,0089 —0,0087

7'

6'

— 0,0122 —0,0117 —0,0m —0,0107 —0,0104 —0,0099 —0,0097 —0,0094 —0,0091

6'

5'    — 0,0120

0,0113 —0,0105 —0,0101 —0,0096 —0,0090 —0,0087 —0,0083 —0,0079    5'

4'    —0,0100 —0,0094 —0,0086 —0,0081 —0,0076 —0,0071 —0,0067 —0,0063 —0,0059

3'    —0,0071 —0,0065 —0,0059 —°>⁰⁰55 —0,0051 —0,0046 —0,0043 —0,0040 —0,0037

3'

2'

— 0,0038 —0,0035 —0,0031 —0,0028 —0,0026 —0,0023 —0,0021 —0,0020 —0,0018

2'

1'

— 0,0011 —0,0010 —0,0009 —0,0008 —0,0007 —0,0007

— 0,0006

— 0,0005 —0,0005    1'

o'

o'

max M

0,0058

0,0055

0,0052

0,0050    0,0048

0,0046

0,0045

0,0043

0,0042

zugeh. H

0,062

0,062

0,062

0,061

0,061

0,061

0,061

0,061

0,061

■ pP :f

min M

— 0,0052

— 0,0050 — 0,0047

— 0,0045 — 0,0043

— 0,0042

— 0,0041

— 0,0039 — 0,0038

zugeh. H

0,064

0,064

0,064

0,065

0,065

■ 0,065

0,066

0,066

0,066

■pP-.f

— 0,0172

— 0,0162 — 0,01501 — 0,0144 —0,0135

— 0,0127

— 0,0121

— 0,0117 —0,0110

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

o,²5

0,2

o,i-5

*-

10

■5

11

12

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•5    10'

- 8'

• 7'

6'

5'

4'

3'

2'

i'

o'

max M

zugeh .H

min M

zugeh. 11

io-gtt

Hr

= 0,24.

1,0

0,8

o,6

Moment im Kämpfer.

o,5

Js

■V

cos

°,4

<Tk

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,6738

— 0,6921

— 0,0342 1—0,0345

— 0,0550 — 0,0560

— 0,7150 j — 0,7287 —0,7444 —0,7626 —0,7727 —0,7837 —0,7957

— 0,0349

— 0,0574

■— 0,0650 — 0,0667 — 0,069²

— 0,0664

— 0,0687

— 0,0719

■f

— 0,0352

— 0,0584

— 0,0709

— 0,0742

— 0,0356

— 0,0361

— 0,0365

— 0,0369

— 0,0374

— 0,0596 —0,0613

— 0,0730

— 0,0759

— 0,0624

— 0,0778

— 0,0637

— 0,0654

— 0,0802

— 0,0830

— 0,0771

— 0,0809 —0,0835

— 0,0866

— 0,0903

— 0,0610

— 0,0510

— 0,0376

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— 0,0069

0,0082

0,0220

0,0336

0,0427

0,0487

0,0517

0,0515

0,0485

0,0428

0,0352

0,0263

0,0171

O.OO87

0,0024

0,0181

0,087

— 0,0166

0,039

— 0,0450

1,0

— 0,0637 —0,0673

— 0,0699

— 0,0732

— 0,0776

— 0,0803 — 0,0837

— 0,0880

— 0,0535

— 0,0399

— 0,0241

— 0,0076

0,0085

0,0232

0,0356

•0,0451

0,0513

0,0541

0,0537

0,0501

0,0440

0,0358

0,0265

0,0171

0,0086

0,0024

0,0187

0,087

— 0,0172

0,039

— 0,0465

0,8

— 0,0572

— 0,0597

— 0,0629

— 0,0672

— 0,0699

— 0,0732

— 0,0773

— 0,0429 —0,0451

— 0,0263 — 0,0278

— 0,0085 — 0,0092

0,0089

0,0248

0,0383

0,0484

0,0549

0,0576

— 0,0478

— 0,0297

— 0,0100

— 0,0514 —0,0537

— 0,0321

— 0,0336

— 0,0564

— 0,0598

— 0,0354

— 0,0376

— 0,0110

— 0,0116 —0,0122

— 0,0128

0,0091

0,0095

0,0102

0,0106

0,0113

0,0122

10

0,0260

0,0275

0,0297

0,0311

0,0330

0,0354

11

0,0402

0,0426

0,0460

0,0481

0,0509

0,0545

12

■l

0,0508

0,0573

0,0599

0,0566 !    0,0587

0,0524

0,0540

0,0537

0,0605

0,0630

0,0612

0,0560

0,0579

0,0649

0,0670

0,0647

0,0586

0,0605

0,0677

0,0696

0,0669

0,0602

0,0639

0,0680

0,0711

0,0728

0,0695

0,0622

0,0754

0,0767

0,0727

0,0644

10'

9'

8'

7'

0,0455

0,0466

0,0479

0,0496

0,0506

0,0518

0,0531

6'

0,0367 ;    0,0372

0,0380

0,0388

0,0394

0,0399

0,0404

5'

0,0269

0,0271

0,0273

0,0276

0,0276

0,0276

0,0276

4'

0,0170 |    0,0170

0,0085 I 0,0084

0,0023

0,0196

0,088

— 0,0181

0,038

— 0,0487

0,6

0,0170

0,0169

0,0168

0,0165

0,0162

3'

0,0083

0,0081

0,0079

0,0077

0,0073

2'

0,0023

0,0023

0,0022

0,0021

0,0020

0,0018

i'

o'

0,0204

0,0212

0,0222

0,0230

0,0239

0,0250

0,088

0,088

0,088

0,089

0,090

0,090

— 0,0187

— 0,0194

— 0,0204

— 0,0211

— 0,0219

— 0,0229

0,038

0,038

0,038

0,038

0,037

0,037

■p P:f

— 0,0504

— 0,0524 ; —0,0552

— 0,0570 —0,0594

— 0,0624

o,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

Vv

~ = 0,24.

/‘

Moment im Gewölbeviertel.

Js

Jk ■ cos <Pu

1,0

0.8

o,6

o,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

0,0862

0,0679

0,0450

0,0313

0,0156 —0,0026

— 0,0127

— 0,0237

— 0,0357

■f

0,0016

0,0016

0,0015

0,0015

0,0014

0,0013

0,0012

0,00 M

0,0010

0,0065 0,0064 0,0062 0,0060 0,0057 0,0054 0,0051

0,0048

' 0,0044

0,0131

0,0146

0,0144 0,0140 0,0136 0,0125 0,0120 0,0114 0,0106

0,0261 0,0257 0,0250 0,0245 0,0238 0,0228 0,0221 0,0212 0,0202

0,0408 0,0403 0,0394 0,0387 0,0378 0,0365 0,0356 0,0346 0,0333

0,0588 0,0581 0,0570 0,0562 0,0551 0,0537 0,0527 0,0515 0,0501

0,0384 0,0375 0,0362 0,0354 0,0342 0,0327 0,0317 0,0305 0,0291

0,0210 0,0200 0,0187 0,0178 0,0167 0,0152 0,0143 0,0132 0,0120

0,0066 0,0056 0,0043 0,0034 0,0024 0,0012

0,0004

— 0,0005

— 0,0014

5j

10

— 0,0050

— 0,0060

— 0,0071

— 0,0078

— 0,0086^

— 0,0095

— 0,0101

— 0,0107

— 0,0113

10

■o

— 0,0139

— 0,0147

— 0,0156

— 0,0161

— 0,016 5

— 0,0171

— 0,0174

— 0,0176

— 0,0178

12

— 0,0203

— 0,0208

— 0,0214

— 0,0216

— 0,0218

— 0,0218

— 0,0217

— 0,0216

— 0,0214

12

■l

© —: —    11

— 0,0244

— 0,0246 — 0,0246 — 0,0245 — 0,0243 — 0,0238 — 0,0234 — 0,0230

— 0,0223

n'

5 io'

— 0,0264

— 0,0262 — 0,0258 — 0,0254 — 0,0248 — 0,0238 — 0,0232 — 0,0224

— 0,0214

10'

— 0,0267

— 0,0261

0,0252

— 0,0245

— 0,0236

— 0,0223

— 0,0215

— 0,0205

— 0,0192

9'

- 8'

— 0,0253

— 0,0245 — 0,0232 — 0,0224 — 0,0212 — 0,0197 — 0,0188 — 0,0176

— 0,0162

8'

7'

— 0,0228

— 0,0217 — 0,0203 — 0,0193 — 0,0181 — 0,0165 — 0,0155 — 0,0143

— 0,0130

7'

6'

— 0,0193

— 0,0182 — 0,0167 — 0,0157 — 0,0145 — 0,0130 — 0,0120 — 0,0110

— 0,0097

6'

5'

— 0,0152

— 0,0142 — 0,0128 — 0,0119 — 0,0108 — 0,0095 — 0,0087 — 0,0078

— 0,0067

5'

4'

— 0,0109

-0,0101

— 0,0089 — 0,0082 — 0,0073 — 0,0063 — 0,0057 — 0,0050

— 0,0042

4'

3'

— 0,0069

— 0,0062

— 0,0054

— 0,0049

— 0,0044

— 0,0036

— 0,0032

0,0028

— 0,0023

3'

2'

— 0,0034

— 0,9030

— 0,0026

— 0,0023 — 0,0020

— 0,0017

— 0,0014

— 0,0012

— 0,0010

2'

1'

— 0,0009 — 0,0008

— 0,0007

— 0,0006

— 0,0005

- 0,0004

- 0,0004

- 0,0003

:— 0,0002

1'

O'

O'

max M 0,0089 0,0087 0,0084 0,0082 0,0079 0,0075 0,0073 0,0070 0,0067

zugeh. H

0,040

0,039 0,038 0,037 0,036 0,034 °,°3‘3 0,032

0,031

.pP:f

min M

— 0,0094

— 0,0091 — 0,0089 — 0,0087 — 0,0084 — 0,0080 — 0,0077 — 0,0074 — 0,0071

zugeh. H

0,086

0,087 0,088 0,089 0,090 0,092 0,094 0,095

0,096

■pP:f

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

= 0,24.

Js

COS cpk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2668

0,2485

0,2256

0,2119

0,19*6 2

0,1780

0,1679

0,1569

0,1449

■f

— 0,0001 — 0,0001

0,0000

0,0000 I 0,0000

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

' 0,0000

0,0002

0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005

0,0005

0,0004

0,0010 0,00x3 0,0015 0,0016 0,0016 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015

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0,0082

0,0084

0,0084

0,0084

0,0083

0,0081

0,0079

0,0076

0,0073

0,0153 0,0152 0,0151 0,0149 0,0146

0,0142 0,0139

0,0136 0,0131

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0,0230 0,0226 0,0221

0,0215

Einfluß]injenordinate \r.

10

12

11'

IO'

9‘

8'

0,0382

0,0377

0,0369

0,0364

0,0357

0,0349

0,0344

0,0338

0,0331

0,0546

0,0537

0,0526

0,0520

0,0512

0,0502

0,0496

0,0489

0,0481

0,0328

0,0145

— 0,0003

-— 0,0116

— 0,0196

— 0,0245

— 0,0266

0,0317

0,0304

0,0296^    0,0287

0,0276

0,0270

0,0263

0,0255 I io

0,0133

0,0119

0,0111

0,0102

0,0092

0,0086

0,0079

0,0072    11

— 0,0015

— 0,0125

- 0,0201

— 0,0246

— 0,0027

— 0,0135

— 0,0206

— 0,0246

— 0,0263 — 0,0258

— 0,0035 | — 0,0042

— 0,0140 — 0,0145

— 0,0209 | — 0,0211

— 0,0245

— 0,0254

— 0,0051

— 0,0056

— 0,0061

— 0,0066

12

■l

— 0,0150

— 0,0153

— 0,0156

— 0,0159

11'

— 0,02 12

— 0,02 12

— 0,0213

— 0,0212

10'

■— 0,0243 — 0,0241

— 0,0239

— 0,0236

— 0,0232

9'

— 0,0249 j — 0,0243

— 0,0238

— 0,0234

— 0,0227

8'

7‘

— 0,0262

— 0,0255 — 0,0246 — 0,0240 — 0,0233 — 0,0224 — 00,218

— 0,0212

— 0,0203

7'

6‘

— 0,0238

— 0,0229 — 0,0218

— 0,0210

-0,0202

— 0,0191 — 0,0184

— 0,0177

— 0,0168

6'

5'

— 0,0198

— 0,0189

— 0,0177

— 0,0169

— 0,0160

— 0,0149 —0,0143

— 0,0136

— 0,0127

5'

4'

— 0,0149

— 0,0140 — 0,0130 —0,0123 — 0,0115 — 0,0105 — 0,0100

—0,0093

—0,0086

3'

— 0,0097

— 0,0090 — 0,0082 — 0,0077 — 0,0071 — 0,0064 — 0,0060

— 0,0055

— 0,0050

3'

2'

— 0,0049

— 0,0045 — 0,0041 — 0,0038 — 0,0034 — 0,0030 — 0,0028

— 0,0025

— 0,0022

2'

1'

— 0,0014

— 0,0013

— 0,0011

— 0,0010

— 0,0009

— 0,0008

— 0,0007 — 0,0006

— 0,0005

1'

o'

o'

max M 0,0081 0,0079 0,0077 0,0076 0,0074 0,0072 0,0071

0,0069 0,0067

zugeh. H

0,062

0,062

‘ 0,061

0,061

0,060

0,060

0,059

0,059

0,058

min. M

— 0,0078

— 0,0077 — 0,0075 — 0,0075 — 0,0073 — 0,0071

— 0,0070 — 0,0068

— 0,0066

■ p Z²

zugeh. H

0,064

0,064 0,065 0,065 0,066 0,066

0,067

0,068

0,069

‘P l '² -f

io-ä»

— 0,0073

— 0,0065 i — 0,0055

— 0,0049

— 0,0042 | — 0,0036

— 0,0032

— 0,0029 — 0,0024

• Z²

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

03

0,25

0,2

0,15

.=

10

■5    ¹¹

12

=    9'

.=

r-‘

6'

5'

4'

3'

1'

o'

max M

'zugeh. H

Uv

= 0,24.

1,0

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

o,8

o,6

o,5

Js

Jk' cos Vk

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,2231 j—0,2414 —0,2643 —0,2780 —0,2937 —0,3119 —0,3220 —0,3330 —0,3450

0,0041

0,0158

0,0341

0,0164

0,0034

— 0,0055

— 0,0110

— 0,0140

— 0,0148

— 0,0141

— 0,0124

— 0,0100

— 0,0073

— 0,0046

— 0,0021

— 0,0001

0,0015

0,0024

0,0027

0,0025

0,0019

0,0011

0,0003

0,0035

0,036

min M — 0,0040

zugeh. H

io -

0,0040    0,0038

0,0036

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024

0,0153

0,0146

0,0141

0,0134

0,0125

o,pi 19

0,01 I I

0,0102

0,0332    0,0319

0,0310

0,0298

0,0281

0,0270

0,0257

0,0240

0,0151

0,0133

0,0120

0,0104

0,0081

0,0066

0,0047

0,0025

0,0020 — 0,0002

— 0,0070 — 0,0093

— 0,0126

— 0,0147

— 0,0017 —o,o°37 —0,0063! — 0,0081

— 0,0102 —0,0128

— 0,0109 —0,0129

— 0,0162 | — 0,0l8l

— 0,0157 i — 0,0175 | — 0,0196

— 0,0206

— 0,0222

— 0,0241

— 0,0222

— 0,0264

— 0,0152

— 0,0171

— 0,0183

— 0,0198

— 0,0218

— 0,0231

— 0,0245

— 0,0263

— 0,0157

— 0,0146

— 0,0124

— 0,0095

— 0,0064

— 0,0034

— 0,0007

0,0014

0,0028

0,0036

0,0036

0,0032

0,0023

0,0013

0,0004

0,0036

0,041

— 0,0041

0,090    0,085

0,0160

1,0

— 0,0170

— 0,0152

— 0,0123

— 0,0087

— 0,0050

— 0,0015

0,0013

0,0035

0,0048

0,0052

0,0050

0,0041

0,0028

0,0015

0,0004

0,0037

0,046

— 0,0042

0,080

0,0157    0,0149

o,8

o,6

— 0,0178

— 0,0156

— 0,0121

— 0,0081

— 0,0040

— 0,0003

0,0028

0,0049

0,0061

0,0063

0,0058

0,0046

0,0032

0,0017

0,0005

0,0038

0,049

— 0,0043

0,077

0,0144

— 0,0189

— 0,0201

— 0,0209

— 0,0217

— 0,0227

— 0,0160

— 0,0119

— 0,0072

— 0,0026

0,0015

0,0046

0,0067

0,0077

0,0077

0,0068

0,0053

0,0035

0,0018

0,0005

0,0040

0,054

— 0,0045

0,072

0,0136

o,4

— 0,0164

— 0,0113

— 0,0058

— 0,0006

0,0039

0,0071

0,0092

0,0099

0,0094

0,0081

0,0061

0,0040

0,0020

0,0006

0,0166

— 0,0167

— 0,0168

10

— 0,0110

— 0,0104

— 0,0095

— 0,0049

— 0,0037

— 0,0021

12

■l

0,0007

0,0054

0,0088

0,0107

0,0112

0,0105

0,0088

0,0066

0,0042

0,0021

0,0006

0,0044    0,0047

0,057

0,059

— 0,0049 — 0,005 ¹

0,069

0,0125

o,3

0,0024

0,0073

0,0107

0,0125

0,0128

0,0117

0,0097

0,0071

0,0044

0,0021

0,0006

0,0051

0,061

0,0045

0,0098

0,0132

0,0148

0,0146

0,0131

0,0106

0,0076

0,0047

0,0022

0,0006

10'

9'

8'

6‘

5'

4'

3'

2'

1'

o'

0,0054 -Jil²

0,063    • P l² ■ f

— 0,0054 —0,0057 • p l²

0,068 :    0,066

0,0117

0,0107

0,0093 • l²

0,2 5

0,2

o,i5

lh'

= 0,23.

in

r o'

4 Ijl]l!l|lll|;ll§-j; j; i j i i;

0 \f g 1? I» \S \7 \a \3 \10 \f1 V2\ff\l0'9' \g'\7'\6‘\s

'v

rl—

OJ

K)

O \Q

+*

Ln

Ln

Abb. 129.

tan 9i

C°s cpk

4-

sO

Bogenkraft (^Werte H~ (1 -j- /<)\

Js

1,0

0,8

0,6

Vs

Jk -cos <pk

°,4

o,3

0,25

0,2

0,15

K.

0,3190    0,3009    0,2783    0,2647    0,2492

0,2313

0,2212 j 0,2104

0,1985

■f

1,0000

0,0063

0,0060

0,0056

0,0053

0,0050

0,0046

0,0043

0,0040

0,0036

0,8256

0,0227

0,0219

0,0207

0,0200

0,0190

0,0178    0,0170

0,0160

0,0148

0,6714

0,0463

0,0450

0,0431

0,0419

0,0404

0,0384    0,0371

0,0356

0,0336

0,5359

jt 4

0,0744

0,0727

0,0705

0,0691

0,0673

0,0649

0,0634

0,0615

0,0592

o,4I79

0,1044

0,1028

0,1007

0,0993

0,0976

0,0954

0,0940

0,0922

0,0900

0,3163

o,i344

0,1332

0,1317

0,1308

0,1295

0,1280

0,1269

0,1257

0,1242

0,2300

0,1626

0,1622

0,1617

0,1614

0,1610

0,1605

0,1602

0,1598

0,1593

0,1584

PN

0,1876

0,1882

0,1890

0,1894

0,1901

0,1909

0,1914

0,1921

0,1930

0,1007

0,2083

0,2099

0,2120

0,2133

0,2150

0,2173

0,2187

0,2205

0,2227

0,0563

10

0,2237

0,2262

0,2295

0,2316

0,2343

0,2378

0,2401

0,2428

0,2331

0,2363

0,2405

0,2432

0,2466

0,2510

0,2538

0,2572

0,2463

0,2616

0,0250

10

0,0062

12

0,2363

0,2398

0,2443

0,2472

0,2508

0,2556

0,2586

0,2623

0,2670

0,0000

12

0,0863

0,0750

0,0629

0,0566

0,0498 ! 0,0428

0,0390    0,0352

0,0312

• l f* : EJS

0,0168 ; 0,0166 J 0,0163

0,0160

0,0183

0,0180

0,0177

0,0175

0,0172

!Jv

= 0,28.

Moment im Scheitel.

J,

COS

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,3190    0,3009    0,2783

0,2647    0,2492    0,2313

0,2212

0,2104

0,1985

■f

—    0,0011    —0,0010    —0,0009    —0,0008    —0,0007    —0,0006    —0,0006 —0,0005    -0,0005

—    0,0038    -0,0035    —0,0031    -0,0028    -0,0026    — 0,0023    — 0,0021 — 0,0020    —0,0018

-0,0070 —0,0065 — 0,0058 — 0,0055 -0,0051 — 0,0046 —0,0043 —0,0040 —-0,0037 — 0,0098 — 0,0092 — 0,0084 — 0,0080 — 0,0075 — 0,0069 — 0,0066 — 0,0063 — °)⁰⁰59 — 0,0116 —0,0110 —0,0102 —0,0098 —0,0093 —0,0088 —0,0085 —0,0081 —0,0078 — 0,0116 —0,0111 —0,0106 —0,0103 —0,0099 —0,0096 —0,0093 —0,0091 —0,0088

—    0,0093    —0,0092    —0,0090 —0,0089 —0,0087    —0,0086 —0,0085    —0,0084    —0,0083

—    0,0043    —0,0045    —0,0048 —0,0049 —0,0050    —0,0052 —0,0053    —0,0054    —0,0056

0,0039 0,0033 0,0025 0,0021 0,0017 0,0011 0,0008

0,0005

0,0001    9

to

0,0154

0,0144    0,0133

0,0307

0,0496

0,0294    0,0279

0,0482 0,0466

0,0120    0,0119    0,0110

0,0270    0,0201    0,0250

0,0457    0,0446    0,0434

0,0105

0,0100

0,0094

0,0244

0,0428

0,0237

0,0420

0,0229

0,0412

to

0,0307

0,0154

0,0294    0,0279

0,0144    0,0133

0,0270    0,0261

0,0126    0,0119

0,0250

0,0110

0,0244

0,0237

0,0229

00 VO o

0,0105

0,0008

0,0100

0,0005

— 0,0043 —0,0045 —0,0048 —0,0049 —0,0050 —0,0052 •—-0,0053 —0,0054

0,0039

0,0033

0,0025

0,0021

0,0017

0,001 I

0,0094

0,0001

0,0056

7'    — 0,0093 — 0,0092 — 0,0090 — 0,0089 — 0,0087 — 0,0086 — 0,0085 — 0,0084 — 0,0083

7'

6'    -—-0,0116 —0,0m —0,0106 —0,0103 —0,0099 —0,0096 —0,0093 —0,0091 —0,0088

6‘

5'

— 0,0116 —0,0110 —0,0102 —0,0098 — 0,0093 —0,0088 —0,0085 — 0,0081 —0,0078

5'

4'    — 0,0098 — 0,0092 — 0,0084

— 0,0080 — 0,0075 •— 0,0069 — 0,0066 — 0,0063 — 0,0059

4'

3'

— 0,0070 — 0,0065 — 0,0058

— 0,0055 —0,0051 —0,0046 —0,0043 —0,0040 —0,0037

3'.

2'    —0,0038 —0,0035 —0,0031

— 0,0028 —0,0026 —0,0023 —0,0021 —0,0020 —0,0018

2'

1'    —0,0011 —0,0010 —0,0009

— 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0006 — 0,0005 — 0,0005

1'

o‘

o'

max M

0,0061

0,0059

0,0055

0,0053

0,0052

0,0049    0,0047

0,0046

0,0044 • p l²

zugeh. II

.0,065

0,064

0,064

0,064

0,064

0,064

0,064

0,063

0,063    • P l'² : f

min M — 0,0048

— 0,0048

— 0,0045

— 0,0043

— 0,0043

— 0,0041 —0,0039

— 0,0038 —0,0036 ■ J) l ²

zugeh.H

0,062

0,063 0,063 0,063 0,064 0,064 0,064

0,065

0,066    • p l² : f

10 •    — 0,0166

— 0,0156 —0,0145

— 0,0138

— 0,0130

— 0,0123 — 0,0117

— 0,0113 —0,0106 ■ I²

iJv

= 0,23.

Moment im Kämpfer.

Js

Jk • cos n

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

— 0,6810

— 0,6991

— 0,7217

— 0,7353

— 0,7508

— 0,7687

— 0,7788

— 0,7896 —0,8015

— 0,0340

— 0,0343 —0,0348

— 0,0351

— 0,0355

— 0,0360

— 0,0364

— 0,0368

— 0,0373

— 0,0546

— 0,0555 —0,0570

— 0,0579

— 0,0592

— 0,0609

— 0,0620 — 0,0633

— 0,0650

- 0,0642--0,0658 - 0,0683

— 0,0700 — 0,0722

— 0,0751

— 0,0770 — 0,0793

- 0,0822

— 0,0651 —0,0674 —0,0707

— 0,0729 —0,0757

— 0,0796

— 0,0821

— 0,0852 — 0,0889    4

5    —0,0595 —0,0621 —0,0657

— 0,0683 —0,0715

— 0,0758

— 0,0785

— 0,0819 —0,0861

— 0,0491 —0,0517 —0,0553

— 0,0576 — 0,0609

— 0,0650

— 0,0677

— 0,0709 — 0,0748    6

— 0,0356 —0,0378 —0,0408 —0,0428 —0,0455 —0,0489 —0,0511 —0,0537 —0,0569

Kiiiflußlinienoi'dfnate Sfr.

°5 I I o. | 1 I I >-> I o j vo I co

- 0,0204 -0,0218 - 0,0239

— 0,0046 | — 0,0052 —o,oo6i 0,0106    0,0109    0,0115

0,0243

0,0359

0,0450

0,0511

0,0540

0,0256

0,0380

0,0274

0,0409

0,0475

0,0510

o,o537

0,0565

0,0575

0,0601

—    0,0253 —0,0271 —0,0294 —0,0308 —0,0325 —0,0344

—    0,0066 —0,0073 —0,0081 —0,0084 —0,0090 —0,0094 0,0118

0,0123

0,0131

0,0138

0,0146

0,0158    10

0,0287

0,0429

0,0535

0,0304

0,0454

0,0566

0,0327

0,0343

0,0363

0,0390    11

0,0490

0,0609

0,0514    0,0543

0,0582    12

■l

0,0637

0,0672

0,0717

11'

0,0537    0,0559

0,0590

0,0600 0,0625 0,0611

0,0634    0,0679    0,0708

0,0657    0,0699    0,0726

0,0639    0,0674    0,0697

0,0744

0,0760

0,0725

0,0789 io' 0,0801    9'

0,0759    8'

7'

0,0505

0,0522

0,0546    0,0563    0,0583

0,0611

0,0628

0,0648    0,0673 l‘

6'

0,0447    0,0458    0,0474

0,0486

0,0500

0,0518

0,0529

0,0541

0,0556    6'

5'

0,0367

0,0374    0,0383    0,0389    0,0397

0,0406

0,0412

0,0417

0,0423    5'

4'

0,0275

0,0278

0,0281

0,0284

0,0287

0,0289

0,0290

0,0290

0,0290

4'

0,0179    0,0179

0,0179    °,OI79

0,0179

0,0178

0,0176

0,0174

0,0170

3'

2'

0,0091

0,0091

0,0089

0,0089

0,0087

0,0085

0,0083

0,0081

0,0077

2'

1'

0,0026

0,0026

0,0025

0,0024

0,0024

0,0023

0,0022

0,0021

0,0020 i'

o'

o'J

max M

0,0192

0,0198

0,0207

0,0215

0,0224

0,0234

0,0244

0,0253

0,0265

zugeli. H

0,089

0,089

0,089

0,090

0,091

0,091

0,091

0,091

0,0^2

min M

— 0,0l6l    — 0,0167

— 0,0175

— 0,0181

— 0,0189

— 0,0198

— 0,0205

— 0,0213 —0,0222

zu geh. II

0,038

0,038

0,038    0,037

0,037

0,037

0,037

0,037

0,036

■pP,f

10 •

— 0,0423

— 0,0438

— 0,0459 — 0,04741 — 0,0494 — 0,0522

— 0,0538

— 0,05621 — 0,0590

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

Vv

/•

= 0,23.

Moment im Gewölbeviertel.

1,0

0,8

0,6

o,5

Js

Jk • COS tpk

0,4

o,3

°,²5

0,2

0,15

0,0890

0,0709

0,0483

0,0347

0,0192

0,0013

— 0,0088

— 0,0196

— 0,0315

■f

0,0010 I

0,0016

0,0015

0,0015

0,0015

0,0014

0,0013

0,0012

0,0011

0,0043    ²

0,0064

0,0063

0,0061

0,0059

0,0057

0,0053

0,0050

0,0047

0,0105    3

0,0144

0,0142

0,0138

0,0135

0,0130

0,0123

0,0118

0,0113

0,0200    4

0,0258

0,0254

0,0248

0,0242

0,0235

0,0225

0,0219

0,0210

0,0404    0,0399

0,0330    5

0,0390

0,0383

0,0374

0,0361

0,0353

0,0342

0,0497    6

0,0584

0,0576

0,0565

0,0557

0,0546

0,0532

0,0522

0,0511

0,0378    0,0369    0,0356    0,0348

0,0336

0,0321

0,0311

0,0299

0,0286    7

F.iiifliißlinienordiiiate \r.

0= Kol ol ~

—    0,0210    —0,0216 —0,0222    —0,0225    —0,0227    —0,0228

—    0,0251    —0,0254 —0,0255    —⁰)⁰²54    —0,0252    —0,0248    —0,0245 —0,0240 —0,0233

7'    —0,0233

— 0,0223 —0,0209 —0,0199 —0,0187 —0,0171 —0,0161 —0,0149 —0,0135

7'

6'    — 0,0198

— 0,0186 —0,0172 —0,0162 —0,0150 —0,0135 —0,0125 —0,0114 —0,0101

6'

5'    —0,0156

— 0,0146 —0,0132 —0,0123 —0,0112 —0,0098 —0,0090 —0,0081 —0,0070

5'

4'

— 0,0112

— 0,0103 —0,0092 —0,0085 —0,0076 —0,0065 —0,0059 —0,0052 —0,0044

4'

3'

— 0,0071

— 0,0064 —0,0056 —0,0051 —0,0045 —0,0038 —0,0034 —0,0029 —0,0024

3'

2'

— 0,0035

— 0,0031 —0,0027 —0,0024 —0,0021 —0,0017 —0,0015 —0,0013 —0,0010

2'

1'

— 0,0010

— 0,0009 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0005 — 0,0004 — 0,0004 — 0,0003

— 0,0002    1'

o'

o'

max M 0,0087 0,0085 0,0082 0,0080 0,0078 0,0074 0,0072 0,0069

0,0066

• p l*

zugeh. H

0,040

0,039 0,038 0,036 0,035 0,034 0,033 0,032 0,031

min M

— 0,0096

— 0,0094 — 0,0091 — 0,0089 — 0,0087 — 0,0083 — 0,0081 — o 0078

— 0,0075

■p 1²

zugeh. II

0,087

0,088 0,089 0,091 0,093 0,094 0,095 0,096 0,098

io-aji

0,0124

0,0128

0,0131

0,0133

0,0134

0,0135

0,0135

0,0133

0,0131

■P

iJv

/•

= 0,23. Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

Jk'

cos

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

0,2627

0,2446

0,2220

0,2084

0,1929

0,1750

0,1649

0,1541

0,1422

■f

- 0,0002

-0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0001

0,0001

0,0001

0,0000

0,0001

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0,0004

0,0010

0,0012

0,0015

0,0016

0,00x6

0,0016

0,0016

0,0015

0,0015    3

0,0036

0,0039

0,0040

0,0041

0,0041

0,0040

0,0039

0,0038

0,0036    4

0,0083

0,0084

0,0085

0,0084

0,0083

0,0081

0,0079

0,0076

0,0073    5

0,0155

0,0154

o 0152

0,0150

0,0147

0,0143

0,0140    0,0136

0,0131    6

0,0255

0,0252

0,0247    0,0243

0,0238

0,0232

0,0227

0,0222

0,0216

.7

Eiiifliißlinienordinate Kr.

^ I 00 I I O | M | W I M

o>°3°7

0,0381

0,0372

0,0367

0,0360

0,0351

0,0346    0,0339

0,0332

0,0551

0,0542

0,0531

0,0524

0,0515

0,0505

0,0499    0,0492    0,0484    9

' 0,0334

0,0323

0,0309

0,0301 0,0116

0,0004 — 0,0008 — 0,0022 — 0,0029

0,0152

0,0109

0,0139

0,0125

0,0291

0,0106

0,0280

0,0095

0,0274

0,0266

6,0258    10

— 0,0119 —0,0129 —0,0135

—    0,0190 —0,0195 —0,0201 —0,0204

—    0,0240 —0,0241 —0,0241 —0,0241

—    0,0261 —0,0259 — 0,0254 —0,0251

—    0,0259 —0,0252 —0,0244 —0,0238

0,0083

—    0,0240    •— 0,0238    — 0,0236    — 0.6234    — 0,0230

—    0,0247    —0,0240    —0,0236    —0,0232    —0,0226

—    0,0231    —0,0223    —0,0217    —0,0211!    — 0,0203

0,0090

— 0,0037 —0,0047 —0,0051

— 0,0141 —0,0147 —0,0149

— 0,0057

— 0,0153

9'

8'

7'

6    —0,0236 —0,0227 —0,0216 — 0,0209 —0,0201 —0,0190 —0,0184 —0,0176! — 0,0168

6'

5'    —0,0197 —0,0188 —0,0176 —0,0169

— 0,0160 —0,0149

— 0,0143 —0,0135—0,0127

5'

4'    —0,0149 —0,0140 —0,0130

— 0,0123

— 0,0115 —0,0106

— 0,0100 —0,0094

— 0,0086

4'

3'    —0,0097

— 0,0091 —0,0082

— 0,0077

— 0,0071    — 0,0064

— 0,0060 — 0,0056

— 0,0050

3/

2'    — 0,0050

— 0,0046 —0,0041

— 0,0038

— 0,0035 —0,0031

— 0,0028

— 0,0025

— 0,0022    2'

1'    —0,0014

— 0,0013 —0,0011

— 0,0010

— 0,0009 — 0,0008

— 0,0007

— 0,0006

— 0,0005    1'

o'

o'j

max M

0,0082

0,0080

0,0078

0,0076

0,0074

0,0072

0,0071

0,0069

0,0067

. zugeh. H

0,063

0,063

0,062

0,062

0,061

0,060

0,060

0,060

0,059

min M

— 0,0077 I — 0,0076

— 0,0074

— 0,0073

— 0,0071

— 0,0069

— 0,0068

— 0,0066

— 0,0065

zugeh. H

0,064

0,064

0,065

0,066

0,067

0,068

0,068

0,069

0,070

— 0,0071

— 0,0063! — 0,0054

— 0,0048 — 0,0042

— 0,0036

— 0,0032

— 0,0029

— 0,0024

• /*

10

12

a :

.2    I!'

.=

2 io'

■B

8'

7‘

6'

4'

3'

2'

1'

o'

max M

zugeh.//

min M

zugeh. H

io-sk

!/v

= 0,28.

/•

1,0

— 0,2169

0,0041

0,0158

0,0340

0,0162

0,0031

— 0,0060

— 0,0118

— 0,0149

— 0,0159

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

o,8

o,6

o,5

Js

cos

0,4

Vk

o,3

0,25

0,2

— 0,2350

— 0,2576

— 0,2712 —0,2867

— 0,3046

o.

— 0,3147 —0,3255

0,0040

0,0038

0,0036

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0153

0,0146

0,0141

0,0134

0,0125

0,0119

0,01 I I

0,0331

0,0149

0,0016

0,0318

0,0309

0,0297

0,0281

0,0270

0,0257

0,0131

0,0119

0,0103

0,0080

0,0065

0,0047

— 0,0005 — 0,0020

— 0,0076 —0,0098 —0,0113

— 0,0133

— 0,0161

— 0,0168

— 0,0039

— 0,0065

— 0,008.2

— 0,0102

— 0,0134

— 0,0160

— 0,0178

— 0,0199

— 0,0154 j — 0,0168

— 0,0179

— 0,0180

— 0,0153 !—0,0158 —0,0164

— 0,0136 — 0,0136 | — 0,0135

— 0,0113

— 0,0085

— 0,0057

— 0,0032

— 0,0010

0,0007

0,0018

0,0023

0,0023

0,0017

0,0010

0,0003

0,0033

0,032

— 0,0044

0,095

0,0153

— 0,0187

— 0,0211

— 0,0227

— 0,0246

— 0,0191

— 0,0206

— 0,0226 j — 0,0238

— 0,0252

— 0,0189

— 0,0199

— 0,0211 — 0,0218

— 0,0226

— 0,0167

— 0,0134

— 0,0171

— 0,0131

— 0,0175 1 — 0,0176 — 0,0177

— 0,0126 j — 0,0121

— 0,0115

— 0,0108

— 0,0076

— 0,0045

— 0,0017

0,0005

0,0021

0,0030

0,0033

0,0030

0,0022

0,0012

- 0,0100

— 0,0094

— 0,0085

- 0,0071

— 0,0061

- 0,0049

— 0,0063 — 0,0052

—- 0,0027

— 0,0014

0,0003

0,0026

0,0041

0,0047

0,0046

0,0039

0,0027

0,0015

0,0004    0,0005

0,0034

0,0035

0,0018

0,0041

0,0054

0,0059

0,0055

0,0045

0,0031

0,0017

0,0005

0,0036

— 0,0038

— 0,0018

- 0,0004

0,0012

0,0003

0,0036

0,0059

0,0071

0,0073

0,0065

0,0052

0,0035

0,0018

0,0005

0,0039

0,0027

0,0062

0,0084

0,0093 I

0,0091

0,0079

0,0060

0,0040

0,0020

0,0006

0,0043

0,0044

0,0079

0,0100

0,0107

0,0101

0,0086

0,0065

0,0042

0,0021

0,0006

0,0046

0,0063

0,0099

0,0119

0,0123

0,0114

0,0095.

0,0070

0,0044

0,0022

0,0006

0,0048

0,037

0,043

0,047

0,050

0,055

•    0,058'

0,060

— 0,0045

— 0,0046

— 0,0047

— 0,0049 —0,0052

— 0,0054 — 0,0056

0,090

0,084

0,080

0,078

0,073

0,070

0,068

0,0151

0,0144

0,0139

0,0131

0,0121

0,0114

0,0104

2I5

0,15

— 0,3374

0,0024

0,0102

0,0240

0,0025

— 0,0129

— 0,0224

— 0,0268

— 0,0268

— 0,0235

— 0,0177

— 0,0106

— 0,0032

0,0035

0,0088

0,0124

0,0142

0,0143

0,0129

0,0105

0,0076

0,0047

0,0022

0,0006

0,0052

0,063

— 0,0059

0,066

0,0091

■f

10

12

11'

IO'

9‘

8'

7'

6'

5'

4'

3'

2'

1'

o'

■p P

■PP:f

1n=z,z*¹3

0,8593

V— = 0,22

I I

O \1 L? 13 W \5 \6 \? 18

Qm*.

Azzoo

<11508

ops3z

silL

'L

Vv

<3v

Abb. 130.

0,

m == — = 2,241.

tan q> = 4,674 —•

Hgo = 0,1484 Vgo = 0,6934 g l

cos <pk =

i -f 21,85

Bogenkraft ^ Werte    (1 -J- <«))•

Js

n = -=--

■ cos 96,

1,0

0,8

o,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

Vs

0,3117    0,2938    0,2714    0,2580

0,2427

0,2250    0,2150 I 0,2043    0,1926

■f

¹

,0064

1,0000

0,0061 0,0057 0,0055 0,0051 0,0047 0,0044 0,0041 0,0037 0,8179

0,0232

0,0223

0,0212

0,0204

0,0195

0,0182 j 0,0174

0,0164    0,0152

0,6593

0,0471 0,0457 0,0439 0,0427 0,0412 0,0393 0,0380 0,0364

0,0345

0,5223

0,0754 0,0737 0,0716 0,0702 0,0684 0,0661 0,0646 0,0628

0,0605

0,4043

0,1056 0,1040 0,1020 0,1007 0,0991 0,0970 0,0956 0,0939

0,0918

0,3041

0.1356 0,1346 0,1332 0,1323 0,1312 0,1298 0,1288 0,1277

0,1263

0,2200

0,1638 0,1636 0,1632 0,1630 0,1628 0,1624 0,1622 o, 1620

0,1617

0,1508

0,1888 0,1895 0,1904 0,1911 0,1919 0,1929

0,1936

0,1944    0,1955

0,0954

0,2093 0,2111 0,2134 0,2149 0,2168 0,2193 0,2209 0,2228

0,2254

0,0532

10

0,2246

0,2273

0,2308

0,2331

0,2360

0,2398

0,2422

0,2451

0,2489

0,0235

10

0,2340

0,2374

0,2418    0,2446

0,2482

0,2529

0,2559

0,2595

0,2642

0,0059

12

0,2372

0,2408

0,2455

0,2486

0,2524

0,2574

0,2606

0,2646

0,2695

0,0000

12

0,0850 0,0738 0,0618 0,0555 0,0488 0,0418

0,0381

0,0343    0,0303

0,0185

0,0182

0,0179

0,0177    0,0175

0,0171

0,0169

0,0166    0,0163

•-

Vv

= 0,22.

1,0

0,8

0,6

Moment im Scheitel.

o,5

Js

cos

o,4

°,3

0,25

0,2

0,15

0,3117 j 0,2938

0,2714

0,2580

0,2427

0,2250

0,2150

0,2043

0,1926

■f

— 0,0011 —0,0010 —0,0009 —0,0008 —0,0007

— 0,0038 —0,0034 —0,0031 —0,0028 —0,0026

— 0,0006

— 0,0023

— 0,0006 —- 0,0005

- 0,0021 - 0,0019

—    0,0069 — 0,0063 — o,°°57 — o,o°54 — 0,0050 — 0,0045 — ⁰,⁰⁰43 — 0,0040

—    0,0096 — 0,0090 — 0,0083 — 0,0078 —0,0073 — 0,0068 — 0,0065 — 0,0062

— 0,0112 —0,0106 —0,0099 —°,⁰⁰95 —0,0091 —0,0086

0,0083 — 0,0079

— 0,0005

— 0,0017

— 0,0036    3

— 0,0058    4

— 0,0076    5

6    —0,0110 —0,0106    —0,0101 —0,0098 —0,0095    —0,0092 —0,0089    —0,0087 —0,0085    6

7    —0,0085 —0,0084    —0,0083 —0,0082 —0,0081    —0,0080 —0,0079    —0,0079!—0,0078    7

— 0,0033 —0,0036 —0,0038 —0,0040 —0,0642 —0,0044 —0,0046 —0,0047 —0,0049

0,0051

0,0044

0,0036

0,0032

0,0026

0,0020

0,0017

0,0014

0,0009    9

0,0168

0,0157

0,0145

0,0138

0,0130

0,0121

0,0116 I 0,01 io

0,0104

0,0321

0,0308

0,0511

0,0496

0,0292

0,0480

0,0283

0,0273

0,0261

0,0255

0,0248

0,0240

0,0321

0,0168

0,0308

0,0157

0,0292

6'

5'

0,0459    0,0446

0,0440 0,0255 0,0116-

0,0470

0,0283

0,0138

0,0273

0,0261

0,0432

0,0248

0,0423

0,0240

0,0145

0,0036

0,0121

0,0110

0,0104

0,0130 0,0026

— 0,0033 — 0,0036 — 0,0038 — 0,0040 — 0,0042 — 0,0044 — 0,0046 — 0,0047 — 0,0049

0,0051

0,0044

0,0032

0,0020

0,0017

0,0014

0,0009

— 0.0085 —0,0084 —0,0083 —0,0082 —0,0081 —0,0080 —0,0079 —0,0079 —0,0078

— 0,0110 —0,0106 —0,0101 —0,0098 —0,0095 —0,0092

— 0,0089 — 0,0087 — 0,0085

6'

— 0,0112 —0,0106 —0,0099 —0,0095 —0,0091 —0,0086

— 0,0083 — 0,0079 — 0,0076

5'

4'    — 0,0096 — 0,0090 — 0,0083 — 0,0078 — 0,0073 — 0,0068

— 0,0065 — 0,0062 — 0,0058

4'

3'

0,0069 —0,0063 —0,0057 •—-0,0054 —0,0050 —0,0045

— 0,0043 — 0,0040 — 0,0036

3'

2'

— 0,0038 —0,00 4 —0,0031 —0,0028 —0,0026 —0,0023

-0,0021 - 0,0019 - 0,0017

2;

i'

— 0,0011 —0,0010 —0,0009 —0,0008 —0,0007 -0,0006

— 0,0006 — 0,0005 — 0,0005

i'

o'

o'

max M

0,0065

0,0062

0,0059

0,0056

0,0054

0,0052

0,0050

0,0049

0,0047 ’P ^

zugeh. II

0,067

0,067

0,067

0,067

0,067

0,067

0,067

0,067

0,067    •pl*:f

min M

— 0,0045

— 0,0045

— 0,0043

— 0,0041

— 0,0040

— 0,0038

— 0,0036

— 0,0036

— 0,0035 •v l²

zugeh. H

0,061

0,061

0,061

0,062

0,062

0,062

0,063

0,063

!/v

= 0,22.

Moment im Kämpfer.

Js

Jk ■ cos ⁽Ik

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,6883

— 0,7062

— 0,7286

— 0,7420

— 0,7573 —0,7750

— 0,7850

— 0,7957

— 0,8074

■f

— 0,0339

— 0,0342

— 0,0347

— 0,0349

— 0,0354

— 0,0359

— 0,0363 —0,0367

— 0,0372

— 0,0541

— 0,0551

— 0,0565

— 0,0575

— 0,0587

— 0,0604

— 0,0615 —0,0629

-— 0,0646    2

3    — 0,0633

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4    — 0,0638

— 0,0662 —0,0694 —0,0716 —0,0745 —0,0783—0,0808 —0,0838 —0,0875

— °>°579 —0,0605 —0,0641 —0,0666 —0,0697 —0,0739 —0,0767 —0,0800 —0,0841

— 0,0473 —0,0497 —0,0533 —0,0557 —0,0587 —0,0628 —0,0654 —0,0685 — 0,0724

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Eiliflnßliiiieuordinate jfP.

^    ^    “ I 'oj O I m| 5 | £ I O I vo I 00

— 0,0182 —0,0196

•— 0,0024 — 0,0029 0,0128    0,0133

0,0266    0,0280

0,0383

0,0404

0,0473    0,0499

0,0533

0,0562

0,0559

0,0561

0,0588

0,0581

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0,0383

0,0390

— 0,0216 —0,0228 —0,0245 —0,0266 —0,0279

•—0,0294 —0,0312

— 0,0036

0,0 r 40

0,0300

0,0435

0,0536

0,0600 0,0626 0,0614 0,0568

0,0494

0,0400

— 0,0040 —0,0046 —0,0052 —0,0055 0,0145    0,0151    0,0162    0,0169

0,0314    0,0332    0,0358    0,0375

— 0,0058 — 0,0059    9

0,0179

0,0397

0,0456    0,0483

0,0561

0,0595

0,0194 IO

0,0427    11

0,0627

0,0651

0.0636

0,0585

0,0662

0,0684

0,0665

0,0608

0,0506

0,0521

0,0521

0,0640

0,0709

0,0729

0,0702

0,0636

0,0540

0,0546

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0,0740

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0,0726

0,0654

0,0551

0,0578

0,0706

0,0777

0,0791

0,0755

0,0676 |

0,0565

0,0618    12 i ■ l

0,0753

11'

0^0825    10'

0,0836

0,0791

0,0701

9'

8'

7'

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0,0406

0,0415

0,0425

0,0430

0,0436    0,0443    5'

4'

0,0288

0,0290

0,0294    0,0297

0,0299

0,0302

0,0303

0,0304

0,0304    4'

3'

0,0188

0,0187

0,0188

0,0188

0,0187

0,0187

0,0185

0,0183

0,0180

3'

2'

0,0096

0,0095

0,0094

0,0093

0,0092

0,0089

0,0088

0,0085

0,0081

2'

1'

0,0027

0,0027

0,0026

0,0026

0,0025

0,0024

0,0023

0,0022

0,0020    1'

o'

o'

max M

0,0203

0,0208

0,0219

0,0227

0,0236

0,0248

0,0258

0,0267

0,0279

zugeli. H

0,091

0,092

0,092

0,093

0,093

0,093

0,094

0,094

0,095

min M

— 0,0156

— 0,0161

— 0,0170

— 0,0176

— 0,0183

— 0,0193 —0,0199

— 0,0206

— 0,0215

• p l²

zugeh. II

0,037

0,036

0,036

0,036

0,036

0,036

0,036

0,036

0,036

■pl²:f

— 0,0396 —0,0411

— 0,0436 — 0,0445 — 0,0465 — 0,0490 I — 0,0507

— 0,0530

- 0,0557

■ l²

!Jv

/’

= 0,22.

Moment im Gewölbeviertel.

Js

Jlc • cos 'Pk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

o,²5

0,2

0,15

0,0917

0,0738

0,0514

0,0380

0,0227

0,0050

— 0,0050

— 0,0157

— 0,0274

■f

0,0015

0,0015

0,0015

0,0014

0,0014

0,0013

0,0012

0,001 I

0,0010

0,0063

0,0062

0,0060

0,0058

0,0056

0,0052

0,0049

0,0047

0,0043    2

0,0142

0,0140

0,0136

0,0133

0,0128

0,0122

0,0117

0,0111

0,0104    3

0,0255

0,0251

0,0245

0,0240

0,0233

0,0223

0,0216

0,0208

0,0198    4

0,0401

0,0395

0,0386

0,0379    0,0370

0,0358    0,0349    0,0339

0,0326    5

0,0579

0,0572

0,0560

0,0552    0,0541

0,0527

0,0518

0,0506

0,0492    6

7    .    0,0372

0,0363

0,0351

0,0342

0,0330

0,0315

0,0305

0,0293

o 0280

KinflulllinitMiorriiiiatc Nr.

O    00

6'

5'

4'

2'

i'

o'

max M

zugelx. 11

min M

zugeh. 11

0,0105    8

0,0164

o.oi i8

0,0138

0,0187

0,0152

0,0008 —0,0005 —0,0012 —0,0021 —0,0031 —-0,0064 —°>°°75 —0,0087 —0,0095 —0,0104 —0,0114 —0,0119 -—0,0125 —0,0132

0,0197

0,0052

0,0042

o,oi73

0,0028

0,0129

0,0019

10

—    0,0153 —0,0162 —0,0173 —0,0178 —0,0184 —0,0190 —0,0193 —0,0196 —0,0198    11

—    0,0218 —0,0224

0,0230 —0,0233 —0,0236 —0,0237 — 0,0237 —0,0236 —0,0234

—    0,0258    —0,0261    —0,0263    —0,0263    —0,0261    —0,0258    —0,0254    —0,0250    —0,0243

—    0,0278    —0,0277    —0,027 4    —0,0270    —0,0265    —0,0257    —0,0251    —0,0243    —°>⁰²33

—    0,0280    —0,0275    —0,0267    —0,0261    —0,0252    —0,0240    —0,0231    —0,0221    —0,0209

—    0,0266    —0,0258    —0,0246    —0,0237    —0,0226    —00212    •—0,0202    —00191    —0,0177

— 0,0239 —0,0229 —0,0214 —0,0205 —0,0193 —°)OI77 —0,0167 —0,0155 —0,0141

— 0,0202 —0,0191 —0,0176 —0,0167 —0,0155 •—0,0139 —0,0130 —0,0119 —0,0106

— 0,0160 —0,0150 —0,0135 —0,0127 —0,0116 —0,0102

— 0,0115 —0,0106 —0,0095 —0,0087 —0,0079 —0,0068

— 0,0073 —0,0066 —0,0058 —0,0053 —0,0047

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— 0,0010 — 0,0009

— 0,0007

- 0,0007 — 0,0006

12

11'

10'

9'

8'

7'

6'

>■1

— 0,0093 — 0,0085 — 0,0074

— 0,0062 — 0,0054 — 0,0046

5'

4'

— 0,0039

— 0,0018

- 0,0005

— 0,0035 — 0,0030 — 0,0025

— 0,0016 —0,0013 —0,0011

--0,0004 - 0,0003 - 0,0002

3'

2'

o'

0,0086

0,0084

0,0081

0,0079

0,0076

0,0073

0,0070

0,0068

0,0064

0,039

0,038

0,038

0,036

0,035

0,034

0,033

0,032

0,031

■pP-.f

— 0,0099

— 0,0098

— 0,0095 — 0,0093 : — 0,0090

— 0,0087

— 0,0084

— 0,0082

— 0,0077

0,089

0,090

0,091

0,093

0,094

0,095

0,097

0,098

0,099

Uv

= 0,22.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

■v

cos

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2585

0,2406

0,2182

0,2048

0,1895

o, 1718

0,1618

0,1511

0,1394

— 0,0002

- 0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,000 I

0,0001

0,0000

- 0,0001

0,0001

0,0003

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004    2

0,0010

0,0013

0,0014

0,0015

0,0016

0,0016

0,0016

0,0015

0,0014    3

0,0037

0,0039

0,0041

0,0041

0,0041

0,0040

0,0039

0,0038

0,0036    4

0,0084

0,0086

0,0086

0,0085

0,0084

0,0081

0,0079

0,0077

0,0073    5

0,0157

0,0156

0,0154

0,0152

0,0149    0,0144

0,0141

0,0137

0,0132    6

0,0259

0,0255

0,0250

0,0246

0,0240

0,0233

0,0229

0,0224

0,0217    7

Eiiiflußliiiienorcliiiate Nr.

> \    M“1    M M    I •-«    I

*^-4^    CO V0 O    ►—1    tO h-< O    \Q OO

0,0392

°,°55⁸

0,0341

0,0159

0,0012

—    0,0102

—    0,0183

— 0,0233

— 0,0257

0,0385    0,0376

0,0548    0,0536

0,0329

0,0146

0,0315

0,0131

.— 0,0001 —0,0015

'—0,0112 —0,0123

—    0,0189 —0,0195

—    0,0235 —0,0236

— 0,0254 —0,0250

0,0370    0,0363

0,0528    0,0519

0,0306    0,0296

0,0354

0,0508

0,0284

0,0348    0,0342

0,0502    0,0495

0,0278    .0,0270

o,o334    ⁸

0,0486    9

0,0261    10

0,0122

0,0112

0,0100

0,0094

0,0087

0,0079    11

— 0,0023

— 0,0129

—    0,0199

—    0,0236

— 0,0247

— 0,0032    - 0,0042

— 0,0047 —o,oo53

— 0,0059    12

— 0,0142 —0,0145 —0,0148

—    0,0202 — 0,0204 — 0,0205 | — 0,0206

—    0,0236 —0,0234 —0,0232 —0,0231

—    0,0244 — 0,0238 — 0,0234 — 0,0229

— 0,0135

— 0,0255 —0,0249 —0,0241 —0,0236!—0,0229 —0,0221 —0,0215 —0,0209 —0,0202

7‘

— 0,0233 —0,0225 —0,0214 —0,0208

— 0,0199 —0,0189 —0,0183 —0,0176

— 0,0167    6'

5'    —0,0196 —0,0187 —°,OI75 —0,0168

— 0,0159 —0,0149 —0,0143 —0,0135

— 0,0127

5'

4'    —0,0149 —0,0140 —0,0129 —0,0123

— 0,0115 —0,0106 —0,0100 —0,0094

— 0,0086

4'

3'    —0,0097 —0,0091 —0,0082 —0,0077

— 0,0072 — 0,0065 — 0,0060 — 0,0056

— 0,0050

3'

2‘

— 0,0050 —0,0046 —0,0041    —0,0038

— 0,0035 —0,0031 —0,0028 —0,0026

— 0,0023 2‘

1'    —0,0014

— 0,0013 -0,0011 -0,0011

— 0,0009 — 0,0008 — 0,0007

0,0006

— 0,0006    1'

o'

o'

max M

0,0084

0,0082

0,0079

0,0077

0,0075

0,0073

0,0072

0,0070

0,0068

zugeh. H

0,063

0,063

0,063

0,063

0,062

0,061

0,061

0,061

0,060

min M

— 0,0076

— 0,0075 — 0,0073

— 0,0071

— 0,0070

— 0,0069

— 0,0068 | — 0,0066

— 0,0065

■p l*

zugeh. II

0,065

0,065

0,065

0,066

0,067

0,068

0,069

0,069

0,070

10 •

— 0,0068

— 0,0061

— 0,0052 — 0,0047

— 0,0041

— 0,0035 j — 0,0031 — 0,0028! — 0,0024

■ Z*

l/v

/•

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer )

Js

n==T--

Jk • COS (fk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

■0,15

y —0,2106

— 0,2285

— 0,2509 —0,2643 —0,2796

0,2973 —0,3073

0,3180 —0,3297

0,0041

0,0039

0,0038

0,0036

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024    ¹

0,0157

0,0153

0,0146

0,0141

0,0134

0,0125

0,0119

0,01 I I

0,0102

0,0339

0,0330

0,0317

0,0308

0,0297

0,0281

0,0270

0,0257

0,0241    3

0,0159

0,0147

0,0129

0,0117

0,0101

0,0079

0,0064

0,0047

0,0025    4

0,0027

0,0012

— 0,0009 — 0,0023 — 0,0042

— 0,0068 —0,0084 —o,OIo5 —0,0130    5

6    — 0,0066

— 0,0081

— 0,0103 —0,0118 ■—0,0138

— 0,0164 —0,0181 —0,0202 —0,0227

er

— 0,0125

— 0,0140

—-0,0161 —0,0175 —0,0193

— 0,0217 —0,0232 ' — 0,025b —0,0272

■-

— 0,0158

— 0,0171

— 0,0188 —0,0200 —0,0214

— 0,0234 —0,0245

— 0,0259 — 0,0275    8

9    — 0,0170

— 0,0179

— 0,0191 —0,0199 —0,0209

— 0,0221 —0,0227

— 0,0235 —0,0243    9

10

— 0,0165

— 0,0170

— 0,0176 —0,0179 —0,0183

— 0,0186 —0,0187

— 0,0188 —0,0187    ¹⁰

.=

— 0,0149

— 0,0149

— 0,0148 —0,0147 —0,0144

— 0,0138

— 0,0133

— 0,0127 —0,0118    11

12

— 0,0126

— 0,0121

— 0,0113 —0,0107 —0,0098

— 0,0084

— 0,0074

— 0,0061

— 0,0044    ¹²

*—

— 0,0089

— 0,0075 —0,0065 —0,0051

— 0,0031

— 0,0017

0,0000

0,0023    ¹¹

— 0,0070

— 0,0058

— 0,0039 — 0,0026

0,0009

0,0016

0,0032

0,0052

0,0078    10'

c 9'    — 0,0043

— 0,0028

— 0,0008

.=

0,0007

0,0026

0,0052

0,0069

0,0090

0,0116

9'

- 8'

— 0,0019

— 0,0004

0,0017

0,0032

0,0051

0,0076

0,0092

7'    — 0,0001

0,0014

0,0034

0,0047

0,0065

0,0087

0,0101

0,0112 0,0118

0,0136    8'

0,0138

7'

6'

0,0012

0,0025

0,0042

0,0054

0,0068

0,0087

0,0098

0,0111

0,0126

6'

0,0019

0,0029

0,0043

0,0052

0,0063

0,0076

0,0084

0,0094

0,0104

5'

4'

0,0020

0,0027

0,0037

0,0043

0,0050

0,0059

0,0064

0,0070

0,0076

4'

3'

0,0016

0,0021

0,0027

0,0030

0,0034

0,0039

0,0042

0,0044

0,0047    3'

2'

0,0010

0,0012

0,0015

0,0016

0,0018

0,0020

0,0021

0,0022

0,0022    2'

1'

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006

0,0006    1'

o‘

o'

max M

0.0031

0.0031

0,0033

0,0035

0,0037

0,0040

0,0044

0,0047

0,0051 • p l“

zugeh. H

0,029

0,034

0,040 ;    0,044

0,048

0,053

0,055

0,058

0,062    •pl²:f

min M

— 0,0049 —0,0049 — 0,0050 —0,0051 —0,0053 —0,0055

— 0,0057

— 0,0059

— 0,0062    ■ p l²

zugeh. H

0,099

0,094

0,088

0,085

0,081

0,076

0,075

0,072

0,068    •pl²:f

10 • Tt

0,0146

0,0144

0,0138

■ 0,0133

0,0126

0,0117

0,0110

0,0101

0,0089 ■ l²

00

II

y':f

toooo

_____^ OßlOO

-----=

----Äbr

\____ 039Q_8__ —

V fß2&0_ —

&L-4&e..=

V    =

fcj

0.0

h:

____

____j>,___

____Af

Abb. 131.

— = 2,815.

tan <Pk = 4,9*5 T‘

Hgo

gl²

= 0,1579 -r-

COS <pt =

V,

(>o

= 0,7763 <7 7.

V~*

+ ²4;¹ 6

Bogenkraft ^ Werte i7-y (1 -j- /<)\

J,

Jk ■ cos 'Pt

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

0,3

0,25

0,2

0,15

0,3044

0,2867

0,2646

0,2513

0,2362

0,2187 j 0,2089    0,1983    0,1867

■f

1,0000

0,0065

0,0062

0,0058    0,0056

0,0053

0,0048 I 0,0046

0,0042    0,0038

0,8100

Fänflußiiiiieiiorriinutc Kr.

10

II

12

A⁷

0,0236

0,0478

0,0227

0,0465

0,0764 ! 0,0748

0,1067

0,1053

0,1368    0,1359

0,1650

0,1899

0,2103

0,2255

0,1649

0,1907

0,2122

0,2283

0,2348    0,2383

0,2380 | 0,2417

0,0838

0,0187

0,0216

0,0447

0,0727

0,1034

o,i347

0,1647

0,1919

0,2147

0,2321

0,2430

0,2467

0,0726    0,0607

0,0184    0,0181

0,0209

0,0435

0,0713

0,1021

o,i339

0,1646

0,1926

0,0199

0,0187

0,0179

0,0169    0,0156

0,6473

0,0420

0,0696

0,1006

0,1329

0,1645

0,1936

0,2164 { 0,2185

0,2345    0,2376

0,2460

0,2497

0,0401

0,0388

0,0373    0,0353

0,5084

0,0674

0,0986

0,1316

0,1644

0,1949

0,2212

0,2416

0,2547

0,2499    0,2539    0,2592

0,0544

0,0478

0,0179 | 0,0177

0,0659

0,0973

0,1308

0,1643

o,i957

0,2230

0,0641    0,0619

0,0957    0,0936

0,1298

0,1642

0,1967

0,2252

0,1285

0,1641

0,1980

0,2279

0,2442 ; 0,2474    0,2515

0,2579    0,26l8    0,2667

0,2626 j 0,2668    0,2720

0,0409    0,0372 | 0,0334    0,0295

0,0174

0,0172

0,0169    0,0166

0,3908

0,2920

0,2100

o,i43²

0,0903

0.0502

0,0221

0,0055

0,0000

IO

12

• l /² : EJS

P:f

Vv

■=0,21.

Moment im Scheitel.

Js

*4 •

cos

Vk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,3044

0,2867    0,2646

0,2513

0,2362

0,2187

0,2089

0,1983

0,1867

■f

- 0,001 I

— 0,0010 —0,0009 -0,0008

— 0,0007

— 0,0006

— 0,0006 j — 0,0005 — 0,0005

— 0,0037

— 0,0034 — 0,0030 — 0,0028

— 0,0026

— 0,0023

-0,0021

— 0,0019 —0,0017

3    — 0,0067

— 0,0062 —0,0057 —o,°°53 —0,0049

— 0,0045

— 0,0042

— 0,0039 — 0,0036    3

4    — 0,0094

— 0,0088 —0,0081 —0,0076 —0,0072

0,0067 — 0,0064

— 0,0060 — 0,0057    4

— 0,0108 — 0,0102 — 0,0096 — 0,0092 — 0,0088

— 0,0083 — 0,0080 — 0,0077 — °,°°74

— 0,0104 —0,0100 —0,0096 —0,0093 —0,0091

— 0,0088 —0,0086 —0,0084 —0,0081

— 0,0077 — 0,0076 — 0,0076 — 0,0075 — 0,0075

— 0,0074 — 0,0074 — °!⁰⁰74 — 0,0073

— 0,0023 —0,0025 —0,0029 —0,0031 —0,0034 —0,0037 —0,0038 —0,0040 —0,0042 0,0063 0,0182

0,0056

0,0047

0,0042

0,0036

0,0030

0,0026

0,0022

o,oo 18    9

0,0336

0,0171

0,0322

0,0x58

0,0305

0,0150

0,0296

0,0142

0,0286

0,0132

0,0273

0,0126

0,0267

0,0X20

0,0259

0,0113 IO

0,0251 II

0,0526

0,0511

0,0493    0,0483

0,0336

0,0322

0,0182

0,0063

0,0171

0,0056

0,0305

0,0158

0,0296

0,0150

0,0472    0,0459

0,0286    0,0273

0,0142

0,0132

0,0451

0,0267

0,0126

0,0443 0,0434 12 0,0259 0,0251 11'

,:l

0,0120

0,0113 io'

0,0036

— 0,0023 —0,0025 —0,0029 —0,0031 —0,0034 —0,0037 —0,0038 —0,0040 —0,0042

0,0047

0,0042

0,0030

0,0026

0,0022

0,0018

9'

8'

7    — 0,0077 — 0,0076 — 0,0076 — 0,0075 — 0,0075 — °)⁰⁰74 — ⁰,oo74 — o,⁰⁰74 — 0,0073

6'    —0,0104 —0,0100 —0,0096 —0,0093

— 0,0091 —0,0088 —0,0086 —0,0084 —0,0081

6'

5' —-0,0108 —0,0102 —0,0096 —0,0092

— 0,0088 — 0,0083 — 0,0080 — 0,0077 — °,⁰⁰74

5'

4'    —0,0094 —0,0088 —0,0081 —0,0076

— 0,0072 — 0,0067 — 0,0064 — 0,0060

— 0,0057    4'

3'    —0,0067 —0,0062 —0,0057 —0,0053

— 0,0049 — 0,0045 — 0,0042 — 0,0039

— 0,0036

3'

2'    — 0,0037 — 0,0034 — 0,0030 — 0,0028

— 0,0026 —0,0023 —0,0021 —0,0019

— 0,0017    2'

1'    —0,0011 —0,0010!—0,0009 —0,0008

— 0,0007 — 0,0006 — 0,0006 — 0,0005

— 0,0005    1'

o'

o'

max M

0,0070

0,0066

0,0062

0,0060

0,0058

0,0055

0,0053

0,0051

0,0049 •pli

zugeh. H

0,069

0,069

0,069

0,069

0,069

0,069

0,069

0,069

0,069    ■ j) l² ■ f

min M

— 0,0044

— 0,0043

— 0,0040 — 0,0039

— 0,0038

— 0,0036

— 0,0035

— 0,0033

— 0,0033 -pl*

zugeh. H

0,060

. 0,060

0,060

0,061

0,061

0,062

0,062

0,062

0,063    • p l² ■ f

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

Uv

/'

= 0,21.

Moment im Kämpfer.

Js

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

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— 0,7487

— 0,7638

— 0,7813 —0,7911

— 0,8017 —0,8133

■f

— 0,0338 —0,0341 —0,0345

— 0,0348 —0,0352 —0,0358 —0,0361 —0,0366 —0,0371

—    0,0536 —0,0546 —0,0560

—    0,0625 —0,0641 —o,o666

—    0,0626 —0,0649 —0,0681

—    0,0564 ■—0,0588 —0,0624

—    0,0569

—    0,0682

— 0,0703

— 0,0648

—    0,0583 —0,0599 —0,0610 —0,0624 —0,0641

—    0,0704 — 0,0733! — 0,0752. — 0,0775 j — 0,0804

— 0,0731 —0,0769

— 0,0794 —0,0824—0,0861

— 0,0679

— 0,0721

— 0,0748 —0,0780 —0,0821

— 0,0455

— 0,0316

—    0,0478

—    0,0335

— 0,0512

— 0,0536

— 0,0566

— 0,0605

— 0,0630

— 0,0661 —0,0698    6

— 0,0564

— 0,0383 - 0,0407

— 0,0439

— 0,0459

— 0,0483 —0,0511

EinfluttlinicnoiMlfnate Ilfr.

H I “ I « ■ I O I w K M I m I P I vo I oo

— 0,0161

— 0,0002

—    0,0174

—    0,0006

■— 0,0192

— 0,0012

— o ,0204 — 0,0219

— 0,0015 — 0,0019

0,0151

0,0289

0,0406

0,0157

0,0304

0,0428

0,0165

0,0326

0,0460

0,0171

0,0340

0,0482

0,0179

0,0360

0,0511

0,0496

0,0556

0,0584

0,0580

0,0523

0,0584

o;o6ii

0,0562

0,0625

0,0650

0,0588

0,0653

0,0677

0,0622

0,0689

0,0711

— 0,0239

— 0,0251

— 0,0023

— 0,0025

—    0,0265 —0,0280    8

—    0,0026 — 0,0026    9

0,0191

0,0388

0,0551

0,0670

0,0738

0,0757

0,0200

0,0407

0,0212

0,0431

0,0577

0,0611

0,0701

0,0740

0,0789    11'

0,0770

0,0787

0,0810

0,0824

0,0861    10'

0,0869

9'

0,0545

0,0604

0,0564

0,0637

0,0660

0,0690

0,0730

0,0755    0,0785

0,0822    8'

0,0590

0,0608

0,0631

0,0662

0,0681

0,0703

0,0730    7'

0,0483    0,0496

0,0514

0,0527

0,0542

0,0562

0,0575    0,0589

0,0606

6'

5'

0,0399

0,0406

0,0417    0,0423

0,0433    0,0444

0,0450

0,0456    0,0463    5'

4'

0,0300

0,0303

0,0307

0,0310

0,0313

0,0317

0,0318

0,0318

0,0319    4'

3'

0,0196

0,0196

0,0197

0,0197

0,0196

0,0196

0,0194

0,0192

0,0188

3'

2'

0,0101

0,0099

0,0098

0,0098

0,0096

0,00)4

0,0093

0,0090

0,0086    2'

i'

0,0029

0,0028

0,0027

0,0027

0,0027

0,0025

0,0025

0,0023

0,0022    1'

o'

o‘

max M

0,0212

0,0218

0,0231

0,0239

0,0248

0,0262

0,0270

0,0282

0,0294

zugeh. H

0,093

0,093

0,094

0,095

0,095

0,096

0,096

0,097

0,098

• pP ■ f

min M

— 0,0.1511-0,0156 —0,0165

— 0,0171

— 0,0177

— 0,0187

— 0,0193

— 0,0200

— 0,0209

■p P

zugeh. H

0,036

0,036

0,035

0,035

0,035

0,035

0,035

0,034

0,034

■pP-.f

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

Uv

— 0,21.

Moment im Gewölbeviertel.

Js

Jk • cos 9>k

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,0944

0,0767

0,0546

0,0413

0,0262

0,0087

— 0,0011

— 0,0117

— 0,0233

■f

0,0015

0,0015

0,0015

0,0014

0,0013

0,0012

0,0012

0,001 I

0,0010 I

0,0062

0,0061

0,0059

0,0057

0,0055

0,005 ¹

0,0048

■ 0,0046

0,0042 2

0,0140

0,0138

0,0134

0,0131

0,0127

0,0120

0,0Il6

0,0110

0,0103    3

0,0252

0,0248

0,0242

0,0237

0,0230

0,0220 0,0214

0,0206

0,0195    4

0,0397    0,0391

0,0382

°,°375    0,0366    0,0354    .0,0346

0,0336    0,0323    5

0,0574    0,0567    0,0555    0,0547    0,0536

0,0522

0,0513

0,0.501

0,0487    6

0,0367    0,0358    0,0345    0,0336    0,0324

0,0308

0,0299

0,0287

0,0274    7

o Ko co

Eiiiflußlinienordinate Nr.

I 00 | \o I o I m I w I 17

0,0191    0,0l8l    0,0166    0,0157

0,0244    —0,0234    —0,0220    —0,0211    —0,0199    —0,0183    —0,0173    —0,0162    —0,0147

0,0145

0,0130

0,0121

0,0110

0,0098

9'

6'

0,0207 —0,0196 —0,0181 —0,0172 —0,0160 —0,0144 —0,0135 —0,0124!—0,0111 S‘ —0,0164 —0,0154

6'

— 0,0139 —0,0130 —0,0120 —0,0106 —0,0098 —0,0088

— 0,0077    5'

4'    —0,0118 —0,0109

— 0,0098 — 0,0090

3'    — 0,0074 — 0,0068

— 0,0060 — 0,0054

—    0,0081 —0,0071 —0,0064 — °,⁰⁰57

—    0,0048 -—0,0041 —0,0037 —0,0032

— 0,0048

— 0,0026

4'

3'

2'

— 0,0037 —0,0033

— 0,0029 — 0,0026

— 0,0022 —0,0019 —0,0016 —0,0014

— 0,0011    2'

i‘ — 0,0010

— 0,0009

— 0,0008 — 0,0007

— 0,0006 — 0,0005

— 0,0004 — 0,0003

— 0,0003 i'

o'

o'

max M

0,0084

0,0083

0,0079

0,0078

0,0075

0,0071

0,0069

0,0066

0,0063 -p l²

zugeh. H

0,039

0,038

0,038

0,036

0,035

0,034

0,033

0,032

0,031    • p l² : f

min M —0,0101 —o,oioi

— 0,0098

— 0,0097 — 0,0094 — 0,0090

— 0,0088

— 0,0085

— 0,0081 ■ p l²

zugeh. H

0,090

0,091

0,092

0,094

0,095

0,097

0,098

0,099

0,101    •pl²:f

0,0110

0,0115

0,0118

0,0120

0,0121

0,0122    0,0122

0,0121

0,0120

1,0

0,8

'ON

0,25

0,2

o,i5

Vv

= 0,21.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

Jk-

cos

9>t

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2542

0,2365

0,2144

0,2011

0,1860

0,1685

0,1587

0,1481

0,1365

-— 0,0002    -— 0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

- 0,0001

0,0001

0,0003

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0010

0,0013

0,0015

0,0015

0,0016

0,0037

0,0040

0,0041

I 0,0016 I

0,0016

0,0015

0,0014    3

0,0041

0,0041

0,0040

0,0039

0,0038

0,0036    4

0,0086

0,0087

0,0087

0,0086 j 0,0084

0,0082

0,0079

0,0077

0,0073    5

0,0160    -0,0159

0,0156

0,0154

0,0150

0,0145

0,0142

0,0138

0,0133    6

0,0263

0,0259

0,0253

0,0248

0,0243

0,0235

0,0231

0,0225

0,02 19

O VO 00

«.liiflußlinienordinate Sr.

^ H I ^ I o I E I W

0,0397    0,0390

0,0564    0,0554

0,0348    0,0336

0,0380

0,0374

0,0366

0,0357

0,0351 •    0,0344

0,0336

0,0167

0,0154

0,0541

0,0321

o,o533

0,0524

0,0512

0,0506

0,0498    0,0489

0,0312

0,0301

0,0289

0,0282

0,0274

0,0265

10

0,0128    0,0118

— 0,0016 —0,0026

0,0137 0,0007 — 0,0008

—    0,0094    —0,0104    —0,0116    —0,0122    —0,0129

—    0,0175    —0,0182    —0,0189    —°,OI93    —0,0196

—    0,0227    —0,0229    —0,0231    —0.0232    —0,0231

—    00251    —0,0249    —0,02461—0,0243    —0,0240

0,0020

0,0106 — 0,0036

0,0099

0,0092

0,0083

— 0,0042 — 0,0048 — 0,0054

12 i • 1,

— 0,0136 —0,0140 —0,0144

— 0,0199 —0,0201

— 0,0230 — 0,0229

— 0,0235 —0,0231

0,0148

11'

0,0202 — 0,0202

0,0^27 —• 0,0225

0,0227 —0,0222

—    0,0251    —0,0246    —0,0238    — 0,0233    —0,0227    —0,0219 — 0,0214' —0,0208    —0,0200

—    0,0231    —0,0223    —0,0213    —0,0206    —0,0198    —0,0188 —0,0182 —0,0175    —0,0166

5;    —0,0194 —0,0186 —0,0174 —0,0167 — 0,0159 —0,0148 —0,0142 —0,0135 —0,0127

4'    —0,0148 —0,0139 —0,0129 —0,0122 —0,0115) — 0,0106 —0,0100 —0,0093 —0,0086

3'    —0,0097 —0,0091 —0,0082 —0,0077 —0,0072 —0,0065 —0,0061 —0,0056 —0,0050

— °,⁰⁰5° —0,0046 —0,0041    —0,0038    — 0,0035. —0,0031    —0,0029    —0,0026    —0,0023

0,0014 —°jooi3 —0,0012    —0,0011    —0,0010 —0,0008    —0,0007    —0,0006    —0,0006

10'

9'

8'

7'

6'

5'

4/

3'

2'

o'

max M

0,0085

0,0083

0,0080

0,0079

0,0077

0,0074

0,0072

0,0070

0,0068

zugeh. H

0,064

0,065

0,064

0,063

0,063

0,063

0,062 !    0,062

0,061

min M

0,0073

— 0,0073 —0,0071

•—• 0,0071

— 0,0070 — 0,0068 — 0,0066 — 0,0064

— 0,0063

■p l²

zugeh. H

0,065

0,065

0,065

0,066

0,067

0,068

0,069

0,070

0,071

■pP-.f

/•

Js

<4 ’ cos <Pt

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,2040 —0,2217 —0,2438;—0,2571

— 0,2722

— 0,2897 —0,2995 —0,3101 —0,3217

■f

0.0041

0,0039

0,0037

0,0036

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024 I

0,0157

0,0152

0,0145

0,0140

0,0134

0,0125

0,0119

0,01 I I

0,0102 2

0,0337    0,0329

0,0316

0,0307

0,0296

0,0280

0,0269

0,0257

0,0240    3

0,0156

0,0144

0,0127

0,0115

0,0099

0,0078

0,0063

0,0046

0,0024    4

0,0022

0,0008 —0,0012 —0,0027 —0,0045 —0,0070 —0,0087 —0,0106 —0,0131

EiiifluKlinienordiuate Kr.

7'    — 0,0009    0,0006    0,0026    0,0040

0,0006    0,0019    0,0036    0,0048

6'

0,0057

0,0063

0,0081

0,0082

0,0095

0,01 12

0,0133    7'

0,0094

0,0107

0,0123

6'

5'

0,0014

0,0025

0,0039

0,0048

0,0059

0,0074

0,0082

0,0092

0,0102

4'

0,0017

0,0025

0,0034

0,0041

0,0049

0,0058

0,0063

0,0069

0,0075    4'

3'

0,0015

0,0019

0,0025

0,0029

0,0033

0,0039

0,004.1

0,0044

0,0047    3'

2'

0,0009

0,001 I

0,0014

0,0016

0,0018

0,0020

0,0021

0,0022

0,0022    2'

i'

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006 i'

o'

max M

0,0031

0,0031

0,0031

°)⁰⁰33

0,0035

0,0038

0,0041

0,0044

0,0048 ■ p L²

zugeh. 11

0,026

0,031

0,037

0,041

0,045

0,051

0,053

0,056

0,060

■pP,f

min M

— 0,0055

— 0,0055 —0,0055 —0,0056 —0,0057

— 0,0059 — 0,0060

— 0,0062

0,0064 • p l²

zugeh. H

0,103

0,098

0,092

0,089

0,085

0,080

0,078

0,075

0,072    ■ p l² : f

io - SR

0,0138

0,0136

0,0130

0,0126

0,0120

0,0111

0,0105

0,0096

0,0085 • l²

1,0

o,8

0,6

°,5

o,4

o,3

o,25

o,i5

>n

•m

s

'WB

Vs

10

1,0

0,2970

0,0067

0,0240

0,0486

0,0773

0,1078

0,1380

0,1661

0,1909

0,8

y^=3,500g

Vv

= 0,20.

j&

Sh

------2

-----'tMM.

K-----

V-----&3771_

Uv ^ Ozonn K ^jQ73S7_ MS_5Z_

t---------Mt::

m — — = 3,500.

gl²

Hg0 r=0,l687 —» ^0 = 0,8713 0*.

0,6

fr

K----

fr

fr

r o'

Abb. 132.

tan cp = 5,165 —•

cos (fk =

4- 26,68

/*

z²

Bogenkraft ^ Werte    (1    /u)\

o,5

71

Js

Jjc ■ cos 9>t

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2795    0,2577    0,2446

0,2296    0,2124    0,2027

0,1922    0,1808

1,0000

■f

0,0064

0,0060

0,0057

0,0054

0,0050

0,0047

0,0044

0,0039

0,8019

0,0232

0,0220

0,0213

0,0204

0,0191

0,0183

0,0173

0,0161

0,6348

0,0472

0,0758

0,1065

o,i372

0,1661

0,1919

0,2112 0,2133 0,2262 I 0,2292

11    0,2355

0,2392

0,0455

0,0443

0,0429

0,0410

0,0397

0,0382

0,0362

o,4944

/_

0,0738

0,1047

0,1361

0,1662

o,i933

0,2160-

0,2332

0,2440

0,0725

0,1035

0,1354

0,1662

0,1942

0,2178

0,2358

0,2472

0,0708

0,0686

0,0672

0,0655

0,0633

°>377I

0,1021

OA345

0,1662

o,i953

0,2201

0,2391

0,2512

0,1001

0,0989

0,0974

0,0955

0,2798

0,1334

0,1327

0,1318

0,1306

0,2000

0,1663    0,1663

0,1664

0,1665

0,1357

0,1968

0,1978

0,1990

0,2005

0,0852

0,2231

0,2250

0,2274

0,2304

0,0472

o,2434

0,2564

0,2462

o,2597

0,2496    0,2539

0,0208

10

0,2639    0,2691

0,0052

12

0,2386

0,2425

0,2477

0,2511

o,2553

0,2609

0,2645

0,2689    °,²744

0,0000

12

0,0827

0,0715    0,0597    0,0534    0,0469

0,0400

0,0363

0,0326    0,0287

■ lf²:EJs

0,0189 1 0,0187    0,0184 I 0,0182    0,0180    0,0176

0,0174    0,0172    0,0169

P:f

Vv

0,20.

Moment im Scheitel.

1,0

0,8

0,6

o,5

Js

Jic • cos 9>t

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2970    0,2795    0,2577

0,2446

0,2296

0,2124

0,2027

0,1922

0,1808

■f

Eiiiflußlinieiioi'dinate \r.

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— 0,0011 —o,oo‘io —0,0009 -0,0008 —0,0007 -0,0006 —0,0006 —0,0005 —0,0005

- 0,0037 -0,0034 -0,0030 -0,0028 -0,0025 -0,0023 — 0,0021 -0,0019 -0,0017 — 0,0066 —0,0061 —0,0056 —0,0052 —0,0048 —0,0044 —0,0041 —0,0039 — °,⁰⁰35 — 0,0091 —0,0085 —0,0078 —0,0075 —0,0070 —0,0065 —0,0062 —0,0059 —0,0055 — 0,0103 —0,0098 —0,0092 —0,0088 —0,0085 ^0,0080 —0,0078 —0,0075 —0,0072 — 0,0097 —0,0094 —0,0090 —0,0088 —0,0086 —0,0083 —0,0082 —0,0080 —0,0078

— 0,0068 — 0,0068 -—• 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068

-0,0011     0,0015     0,0020     0,0022     0,0025     0,0029     0,0031     0,0033     0)0035

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0,0196 !

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0,0196

0,0076

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0,0171

0,0185

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0,0163

0,0163

0,0053

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0,0154

0,0154

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0,0143

0,0040

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0,0131

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0,0279

0,0271

.1

0,0036

0,0032

0,0027

9'

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8'

7    — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068 — 0,0068

7'

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3'

2'

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2'

1'

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1'

o'

o'

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■ p l² : f

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zugeh. H

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yv

Js

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0,8

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o,5

o,4

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•/

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— 0,0636

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0,0703 —0,0729!—0,0761 —0,0800

Ei 11 flu (Ui ui eil ordinale Kr.

o I M ! o I j 00

0,0518

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0,0601

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0,0585

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6'

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0,0206

0,0206

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3'

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0,0105

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0,0028

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o'

o'

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*    0,0260

o,o²75

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■ p i²

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0,035

0,035

0,035

0,035

0,035

0,035

0,034

0,034

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yv

— = 0,20.

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Moment im Gewölbeviertel.

Js

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1,0

0,8

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o,5

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■f

0,0015

0,0015

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0,0014

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0,001 I

* 0,0011

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—• 0,0022

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r.

10

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10

•z

11

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12

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— 0,0257 — 0,0257

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12

•«<

11'

— 0,0272 I — 0,0276

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— 0,0279

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II'

■—

52 io'

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- 0,0292

- 0,0290

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10'

9'

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9'

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8'

7'

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7'

6'

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6'

5'

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5'

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3'

2'

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1'

o‘

o‘)

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co

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4-

i/v

Js

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0,8

0,6

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o,3

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0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

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0,0003

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0,0004

0,0004

0,0004

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0,0088

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EmflußlinieuoiHliiiate Xr.

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6    —0,0228 —0,0220 —0,0210 —0,0204 —0,0196 —0,0187 —0,0181 —0,0174

5'    —0,0192 —0,0184 —°,OI73 —0,0166 —0,0158 —0,0148 —0,0142

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5'

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4'

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3'

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i' —0,0014

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— 0,0007

— 0,0006 I'

o'

°‘,

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0,063

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■ p Z²

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10-Wt

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— 0,0032

— 0,0029

—- 0,0026

— 0,0022

• Z²

Vv

: = 0,20.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

Js

jjc ■ cos 9>t

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,1974

— 0,2149

— 0,2367

— 0,2498 —0,2648

— 0,2820

— 0,2917

0,3022

— 0,3136

■f

0,0041

0,0040

0,0038

0,0036

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024    ¹

0,0156

0,0152

0,0145

0,0140

0,0134

0,0125

0,0119

0,011 I

0,0102

0,0335

0,0327

0,0315

0,0306

0,0295

0,0289

0,0269

0,0256

0,0240    3

0,0153

0,0141

0,0125

0,0113

0,0097

0,0076

0,0062

0,0045

0,0024    4

0,0017

0,0004 —0,0017 —0,0031 —0,0049

— 0,0074 —0,0090 —0,0109 —0,0133    5

— 0,0079 —0,0094 —0,0115 —0,0130 —0,0149 —0,0174 —0,0190 —0,0209 —°,⁰²33

— 0,0143 —0,0157 —0,0177 —0,0191 —0,0208 —0,0231 —0,0246 —0,0263 —0,0283

Einflußliuieiiorctinate Nr.

00 vO O

—    0,0126    —0,0118 —0,0105    -—0,0094    —0,0080 —0,0060    —-0,0046    —0,0027 —0,0004

—    0,0096    —0,0084 —0,0066    —0,0053    —°>°°35 —0,0011

—    0,0067 —0,0052 —0,0032 —0,0017

—    0,0040 — 0,0025 — 0,0003

0,0003

0,0006

0,0012

0,0031

0,0029

0,0058

0,0047

0,0027

0,0068

0,0074    0,0095

11'

0,0053 IO' 0,0095    9'

0,0120

8'

7'    —0,0018 —0,0003

0^0018

0,0032

0,0050

0,0073

0,0088

0,0106

0,0127

6'

— 0,0001

0,0012

0,0030

0,0042

0,0057

0,0077

0,0089

0,0103

0,0120

6'

5'

0,0009    0,0020

0,0035

0,0044

0,0056

0,0070

0,0079

0,0089

0,0101

5'

4;

0,0014

0,0022

0,0032

0,0039

0,0047

0,0056    0,0062

0,0068

0,0075    4'

3'

0,0013

0,0018

0,0024

0,0028

0,0033

0,0038

0,0041

0,0044

0,0047    3'

2'

0,0008

0,0011

0,0014

0,0016

0,0018

0,0020

0,0021

0,0022

0,0023    2'

1'

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006

0,0006    1'

o'

o'

max M

0,0030

0,0030

0,0031

0,0032

0,0034

0,0036

0,0039

0,0043

0,0046

■p l²

zugeh. H

0,022

0,027

0,033

0,037

0,042

0,048

0,050

0,054

0,058

•P*:f

min M

— 0,0061

— 0,0060

— 0,0061

— 0,0061

— 0,0062

— 0,0063

— 0,0064

— 0,0066

■— 0,0068

■ p l²

zugeh. H

0,107

0,103

0,097

0,094

0,089

0,084

0,082

0,079

0,076

1,0

0,8

Vs

0,2895

Kinflullliuieiiordinate Ufr.

10

12

,g^.3zsg

lh = 0.19.

'9k

'.«liiiJtüliä

o 7 [2 \3 w- isp \7 '2 's \ro\n\

I i !    ¹

I i I i ! i !

-T2WWS' [£'\7’\S'\5'W' S'12' 7'

T^CSiTmT

o'

⁽h

Abb. 133.

m = — = 4,325-

tan^*= 5,426 ---

■J

Hg₀ = 0,1809

Vgo = 0,9814 g l.

0,2723

0,0068    0,0065

0,0244

0,0493

0,0783

0,1089

0,1391

0,1672

0,1918

0,2120

0,2269

0,2361

0,2391

0,0815

cos <pk =

y 1+29,44^

Bogenkraft (Werte H ~ (1

Js

Jk ■ cos ⁽Pk

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2507    0,2378

0,2230    0,2060

0,1964    0,1861    0,1748

1,0000

■f

0,0061

0,0059

0,0055

0,0051

0,0048    0,0045

0,0040

0,7935

0,0236

0,0480

0,0768

0,1077

0,1384

0,1673

0,1930

0,2x42

0,2301

0,2399

0,2432

0,0225

0,0463

0,0749

0,1060

0,1375

0,1675

0,1946

0,2172

0,2343

0,0218

0,0208

0,0196

0,0188    0,0178

0,0165    0,6220

0,0451

0,0736

0,1049

0,1369

0,1677

0,1956

0,2191

0,2371

0,2450    0,2483

0,2487

0,0437

0,0418

0,0406    0,0391

0,0372

0,4801

0,0720

0,0699

0,0685    0,0668

0,0647    0,3632

0,1035

0,1017

0,1006    0,0991

0,0973

0,2675

0,1361 | 0,1352

0,1345 ; 0,1338 ; 0,1328

0,1900

0,1679

0,1969

0,2216

0,2405

0,2525

0,2522    0,2566

0,0705    0,0587    0,0525

0,0191    0,0189 o,oi86 0,0184

0,1681

0,1987

0,2248

0,2451

0,2580

0,2625

0,1683 | 0,1686

0,1998    0,2012

0,2270

0,2295

0,2480 I 0,2517

0,2615 j 0,2660 0,2662 | 0,2708

0,0459    0,0391    0,0355

0,0182

0,1689

0,2030

0,2329

0,2563

0,2714

0,2767

0,0318    0,0279

0,0179    0,0177    0,0175

0,0172

0,1282

0,0801

0,0442

0,0194

0,0048

0,0000

10

12

■ l f²: EJS

Vv

= 0,19.

Moment im Scheitel.

Js

Jjc ■ cos 9>b

1,0

o,8

o,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2895 0,2723 0,2507 0,2378 0,2230 0,2060 0,1964 0,1861 0,1748

— 0,0011

— 0,0010

— 0,0009

— 0,0008

— 0,0007 — 0,0006

— 0,0006

— 0,0005

— 0,0004

— 0,0036

— 0,0033

— 0,0029

— 0,0027

— 0,0025 — 0,0022

— 0,002 I

- 0,0019

— 0,0017

— 0,0065

— 0,0060

— 0,0054

— 0,0051

— 0,0047 | — 0,0043

— 0,0041

— 0,0038

— 0,0035

— 0,0088 — 0,0082 — 0,0076 — 0,0072 — 0,0068 — 0,0063 —- 0,0061 — 0,0058 — 0,0054

— 0,0098 — 0,0094 — 0,0088 — 0,0085 — 0,0081 — 0,0077 — 0,0075 — 0,0072 — 0,0069

0,0080

— 0,0090

— 0,0088 — 0,0084 — 0,0082 — 0,0078 — 0,0077 — 0,0075 — 0,0074

0,0059

0,0062

— 0,0058

— 0,0060 — 0,0060 — 0,0061 — 0,0061 — 0,0061 — 0,0062

0,0000

— 0,0004

— 0,0010

— 0,0012

— 0,0016

— 0,0020

— 0,0022 —0,0025

— 0,0027

0,0089 0,0081 0,0071 0,0065 0,0058 0,0051 0,0046 0,0042 0,0036

10

0,0211

0,0199

0,0184

0,0176

0,0166

0,0155

0,0149

0,0142

0,0x35

10

0,0367 0,0352 0,0334 0,0324 0,0312 0,0299 0,0292 0,0283 0,0274

12

0,0558

0,0542

0,0522

0,0511

0,0499

0,0485

0,0477

0,0468

0,0458

12

0,0367 0,0352 0,0334 0,0324 0,0312 0,0299 0,0292 0,0283

0,0274

11'

10' •

0,0211

0,0199 0,0184 0,0176 0,0166 0,0155 0,0149 0.0142

0,0135

10'

9'

0,0089

0,0081

0,0071

0,0065

0,0058

0,005¹

0,0046!    0,0042

0,0036

9'

- 8'

0,0000

— 0,0004

— 0,0010

— 0,0012

— 0,0016

— 0,0020

— 0,0022

— 0,0025

— 0,0027

8'

— 0,0058

— 0,0059

— 0,0060

— 0,0060

— 0,0061

— 0,0061 —0,0061

— 0,0062

— 0,0062

7'

6'

— 0,0090

— 0,0088

— 0,0084

— 0,0082

— 0,0080

— 0,0078 — 0,0077

— 0,0075

— 0,0074

6'

5'

— 0,0098

— 0,0094

— 0,0088

— 0,0085

— 0,0081

— 0,0077 j — 0,0075

— 0,0072

— 0,0069

5'

4'

— 0,0088

— 0,0082

— 0,0076

— 0,0072

—- 0,0068

— 0,0063 i — 0,0061

— 0,0058

— 0,0054

4'

3'

— 0,0065

0,0060

— 0,0054

— 0,0051

— 0,0047

— 0,0043

— 0,0041

— 0,0038

— 0,0035

3'

2'

— 0,0036

0,0033

— 0,0029

— 0,0027

— 0,0025

— 0,0022

0,0021

— 0,0019

— 0^0017

2'

— 0,0011 — 0,0010 — 0,0009 — 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0006 — 0,0005

— 0,0004

1'

o'

o'

max M 0,0079 0,0075 0,0070 0,0068 0,0065 0,0062 0,0060 0,0058

0,0056

■ p i²

zugeh. H

0,074

0,074 0,075 0,075 0,075 0,075 0,075 0,076

0,076

■pV-.f

min M

— 0,0038

— 0,0038 — 0,0035 — 0,0034 — 0,0033 — 0,0033 — 0,0031 — 0,0030 — 0,0030

zugeh. 11

0,056

0,057

0,057

0,057    0,057

0,058

0,059

0,059

0,059

■ p l² : f

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

!Jv

= 0,19.

Moment im Kämpfer.

Js

«4 ’ cos 9>k

1,0

0,8

0,6

o,5

°,4

0,3

0,25

0.2

0,15

— 0,7105

— 0,7277 — o,7493

— 0,7622

— 0,7770 —0,7940

— 0,8036

— 0,8139

— 0,8252

•f

— 0,0334 —0,0338 —0,0342 —0,0345 —0,0350 — 0,0355 —0,0359 —0,0363 —0,0369

2    — 0,0527 —0,0537

— 0,0550 —0,0560    0,0573 —0,0590 —o,o6oi —0,0615 —0,0632

3    —0,0607) — 0,0624

— 0,0647 — 0,0664 i — 0,0685

— 0,0714 —0,0733 —0,0756 —0,0784    3

4    — 0,0601 j — 0,0623

— 0,0654 —■ 0,0676

— 0,0703

— 0,0740

— 0,0764 — 0,0794 — 0,0830    4

5    —0,05321 — 0,0556

— 0,0590

— 0,0613

— 0,0644

— 0,0684

— 0,0709 —0,0741 —0,0780

6    —0,0418

— 0,0441

— 0,0473

— 0,0495

— 0,0523 1—0,0560

— 0,0584 —0,0612 —0,0648

7    —0,0275

— 0,0294

— 0,0320

— 0,0337

— 0,0359

— 0,0388

— 0,0406

— 0,0427 — 0,0452    7

Kinffußlinienordiuate Nr.

10

12

11'

10'

9'

8'

7'

6'

5'

4'

3'

2'

i'

O'

max M

zugeh. H

min M

zugeh. H

io - SW

— 0,0118

— 0,0130

— 0,0145

— 0,0155

— 0,0168

— 0,0184

— 0,0193

— 0,0204 —0,0215

0,0041

0,0194

0,0333

0,0449

0,0540

0,0599

0,0627

0,0039

0,0202

0,0350

0,0474

0,0569

0,0630

0,0037

0,0214

0,0374

0,0509

0,0610

0,0674

0,0656    0,0698

0,0622 I 0,0648    0,0684

0,0585

0,0520

0,0035

0,0222

0,0391

0,0533

0,0639

0,0704

0,0727

0,0034

0,0034

0,0035

0,0037    0,0043    9

0,0233

0,0414

0,0565

0,0677

0,0743

0,0764

0,0709    0,0741

0,0250

0,0446

0,0610

0,0728

0,0797

0,0814

0,0785

0,0261

0,0277

0,0299 IO

0,0468

0,0497    0,0533 11

0,0639    0,0676    0,0725    12

0,0762

0,0806

0,0860    11'

■l

0,0831

0,0875

0,0930 10'

0,0847

0,0886

0,0938    9'

0,0812

0,0845

0,0887    8'

0,0605

0,0634    0,0654    0,0679

0,0534    0,0554    0,0568

0,0430;    0,0439    0,0451    0,0459

0,0325 ,

0,0328

0,0334    0,0337

0,0712

0,0585    0,0608

0,0733    0,0759

0,0790    7'

0,0621

0,0738

0,0756    6'

0,0468 |    0.0481    0,0488

0,0496

0,0504    5'

0,0341

0,0345    0,0347

0,0348

0,0349    4'

0,0214

0,0214

0,0215

0,0214

0,0215

0,0214

0,0213

0,0211

0,0208

3'

0,0110    0,0109

0,0032 | 0,0031

0,0233

0,0240

0,0I08

0,0108

0,0106

0,0104

0,0102

0,0099

0,0095 2'

0,0030

0,0030

0,0029

0,0028

0,0027

0,0026

0,0024 I/

O'

0,0253

0,0262

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0,0287

0,0298

0,0310

0,0325

• p l*

0,096

0,097

0,097

0,098

0,098

0,099

0,100

0,101

0,102

■pP-.f

— 0,0142

— 0,0147

— 0,0155

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— 0,0166

— 0,0175

— 0,0181 [ — 0,0187

— 0,0196

0,034

0,034

0,034

0,034

0,034

0,034

0,034

0,034 |    0,033

' P l* ■ f

— 0,0314 —0,0326

— 0,0344

— 0,0356

— 0,0373

— 0,0395 —0,0409

— 0,0429

— 0,0453

• Z²

yv

0,19.

Moment im Gewölbeviertel.

Js

Jk • cos q>t

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,0995

0,0823

0,0607

0,0478

0,0330

0,0160

0,0064

— 0,0039

— 0,0152

■f

0,0015

0,0014

0,0014

0,0014    0,0013

0,0012

0,001 I

0,0010

0,0009

0,0060

0,0059

0,0057

0,0056

0,0053

0,0050

0,0048 ’    0,0045

0,0041

0,0136

0,0135

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0,0123

0,0117    0,0113

0,0107

0,0100

0,0246

0,0243

0,0236

0,0231

0,0225

0,0215

0,0209

0,0201

0,0191

0,0389

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0,0328

0,0316

0,0565

0,0557

0,0545    0,0537

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0,0512

0,0503

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0,0323

0,0312

0,0296

0,0286

0,0275

0,0261

F.liiniißlinieiiordiiiate Nr.

00 ON o *-« N

M M t-H

00 pü O I hh

0,0 i8o

0,0168

0,0153

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—    0,0084 —0,0096 —0,0111 —0,0120

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0,0021

7    —0,0255 —0,0246 —0,0232 —0,0223 —0,0211 —0,0196

0,0186 —0,0174

— 0,0160

7'

6'

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0,0¹54 —0,0145 —0,0134

— 0,0120

6'

5'

— 0,0172 —0,0161

— 0,0147 —°,oi38 —0,0127 —0,0114 —0,0105 —-0,0095

— 0,0084

5'

4'    —0,0124 —0,0115

— 0,0103 —0,0096 —0,0087

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— 0,0053    4'

3'    — 0,0078 — 0,0072

— 0,0063 —0,0058 —0,0052 —0,0044 —0,0040 —0,0035

— 0,0029

3'

2'

— 0,0039 —0,0035

— 0,0031 —0,0028 —0,0024

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— 0,0012    2'

1'    —0,0011

— 0,0010

— 0,0008 — 0,0007 — 0,0006

—* 0,0005 — 0,0004

— 0,0004

— 0,0003 i'

o'

o'

max M

0,0082

0,0080

0,0077

0,0075

0,0072

0,0069

0,0067

0,0064

0,0061

zugeh. H

0,039

0,038

0,037

0,036

0,035

0,034

0,033

0,032

0,031

■pP:f

min M

— 0,0107

— 0,0106

— 0,0105

— 0,0103

— 0,0101

— 0,0098

— 0,0096

— 0,0093

— 0,0089

■p P

zugeh. H

0,091

0,093

0,094

0,096

0,097

0,099

0,101

0,103

0,104

■pP-.f

2 12

11'

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« ____9‘

K ■ 8'

7'

6'

5'

4'

3'

2'

o'

max M

zugeh. H

min M

zugeh. H

10-91

Vv

= 0,19.

1,0

0,8

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

0,6

0,5

Js

Jk ■ cos 9>i

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

0,2453

0,2281

0,2065

0,1936

0,1788

o, 1618

0,1522

0,1419

0,1306

■f

o ')

— 0,0002

— 0,0001

0,0011

0,0040

0,0090

0,0167

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0,0039

— 0,0076

— 0,0159

— 0,02 12

— 0,0239

—- 0,0001 | -0,0001

0,0001 ! 0,0002

0,0013

0,0015

0,0041    0,0042

0,0090

0,0164

0,0267

0,0401

0,0567

0,0352

0,0170

0,0024

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000 !    0,0000

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0016

0,0016

0,00x6

0,0015

0,0015

0,0014

0,0042

0,0042 I 0,0040

0,0039

0,0038 I 0,0036

0,0089

0,0088

0,0086

0,0083

0,0081

0,0078

0,0074

0,0161

0,0158

0,0154

0,0148

0,0145

0,0140;    0,0135

0,0260

0,0255

0,0249

0,0240

0,0235

0,0229 1    0,0222

0,0390

0,0383

0,0374

0,0364

0,0357

0,0350

0,034!

0,0553

0,0335

0,0153

0,0007

— 0,0088 i — 0,0X01

— 0,0167 I — 0,0176

— 0,0216 ¹ —0,0219

— 0,0239

— 0,0242 —0,0237

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— 0,0146

— 0,0097

0,0544

0,0534

0,0521

0,0514

0,0506

0,0496    9

0,0324

0,0313

0,0300

0,0292

0,0283

0,0274

IO

0,0142

0,0131

0,0117

0,0110

0,0102 j

0,0093

- 0,0002

— 0,0108

—    0,00X2

—    0,0116

— 0,0024

— 0,0030

— 0,0037 I — 0,0044

12

— 0,0125

.— 0,0129

— 0,0134 ! —0,0138

11'

— 0,0180

— 0,0184

— 0,0189

— 0,0191

— 0,0193 i — 0,0194

10'

— 0,0221 —0,0221 —0,0221

— 0,0237 —0,0235

—■ 0,0231 j — 0,0227

— 0,0208

— 0,0171

— 0,0232

— 0,0221

— 0,0221

— 0,0228 — 0,0225

— 0,0214

— 0,0209

— 0,0220 j — 0,0218

-— 0,0221

— 0,0204

9'

- 0,02 17

— 0.0197

8'

0,0202

— 0,0165

— 0,0194

— 0,0157

— 0,0185

— 0,0147

— 0,0179

— 0,0173

— 0,0164

6'

— 0,0141

— 0,0134

— 0,0126

5'

— 0,0138

— 0,0128

— 0,0122

- 0,01 14

— 0,0105

— 0,0100

— 0,0094

—- 0,0086

4'

— 0,0090

— 0,0082 — 0,0077

— 0,0072

— 0,0065

— 0,0061

— 0.0056

— 0,0051

3'

— 0,0050 — 0,0046

— 0,0041 — 0,0039

— 0,0035

— 0,0031

— 0,0029

— 0,0026

— 0,0023

— 0,0014

— 0,0013

— 0,001 I ! — 0,001 I

— 0,0009

— 0,0008

— 0,0007

— 0,0007

— 0,0006

1'

0,0089

0,067

0,0087 J 0,0083

0,0081

0,0079

0,0076

0,0074

0,0072

0,0070

0,067

0,066

0,066

0,065

0,065

0,064

0,064

0,064

— 0,0069! — 0,0069! — 0,0068

— 0,0067

—- 0,6067

— 0,0066

— 0,0064 I — 0,0063 ‘ — 0,0062

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0,063

0,064

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0,071

0,071

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— 0,0058

— 0,0052 — 0,0045 — 0,0040

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— 0,0027 — 0,0025 ; — 0,0021

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Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

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0,2

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— 0,1906

— 0,2078

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— 0,2571

— 0,2741

— 0,2837

— 0,2940

— 0,3053

■f

0,0041

0,0155

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0,0149

0,0012

— 0,0087

0,0039

0,0037

0,0036

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024

0,0151

0,0325

0,0138

— 0,0002

— 0,0101

— 0,0152 —0,0166

— 0,0190

— 0,0206

— 0,0206

0,0144

0,0314

0,0122

-— 0,0021

0,0140

0,0133

0,0124

0,0119

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0,0102

0,0305

0,0294

0,0278

0,0268

0,0256

0,0240

0,0110

0,0095

0,0074

0,0060

0,0043

0,0023

— 0,0035

— 0,0053

— 0,0077

— 0,0093

— 0,0112

— 0,0135

— 0,0122 —0,0136

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— 0,0200

— 0,0155

— 0,0180

— 0,0195

— 0,0214

— 0,0238

0,0217

— 0,0239 ; — 0,0253

— 0,0270

— 0,0290

— 0,0202 — 0,0219

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— 0,0211 —0,0218

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— 0,0169

— 0,0141

-— 0,0110

— 0,0079

— 0,0051

— 0,0027

— 0,0008

0,0004

0,0010

0,0011

0,0007

0,0003

0,0029

0,020

— 0,0067

0,110

— 0,0231

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— 0,0236

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— 0,0192

0,0245

0,0256

— 0,0262

— 0,0269

— 0,0275

— 0,0225

— 0,0189

— 0,0227 — 0,0227

— 0,0228

— 0,0225

10

— 0,0183

— 0,0178

— 0,0170

— 0,0160

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— 0,0120 —0,0107

— 0,0088

— 0,013.3

— 0,0099

— 0,0120

— 0,0081

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Abb. 134.

9t

m = — = 5,322.

tan cfik ⁼ 5>⁶99

gl¹

i?gr₀ - 0,1946    •

F?0 = 1,1093 ^ /.

cos

I 4- 32,48

(1 -j-

Bogenkraft Werte H —

Js

Jk • cos 9>t

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

Vs

0,2820

0,2650

o,2437

0,2309

0,2164

0,1996

0,1901

0,1799    0,1688

■f

1,0000

0,0069 0,0066 0,0063 0,0060 0,0057 0,0053 0,0050 0,0046 0,0042 0,7848

6,0240 0,0229 0,0222 0,0213 0,0201 0,0193 0,0183 0,0170 0,6089

0,0488 0,0471 0,0460 0,0446 0,0427 0,0415 0,0400 0,0381 0,4656

0,0792 0,0778 0,0760 0,0747 0,0732 0,0712 0,0698 0,0682

0,0661

o,349i

0,1100 0,1088 0,1073 0,1062 0,1050 0,1033 0,1022 0,1009

0,0992

0,2552

0,1402

0,1396

0,1388

0,1383

o,i377-

0,1369

0,1364    0,1358

0,1350

0,1800

0,1682 0,1685 0,1689 0,1691 0,1695 0,1700 0,1703 0,1707 0,1712 0,1207

0,1927 0,1940 0,1958 0,1970 0,1985 0,2004 0,2017 0,2033 0,2054 0,075:

0,2127 0,2151 0,2183 0,2204 0,2230 0,2265 0,2288 0,2316 0,2352 0,0413

10

0,2275

0,2308

0,2353

0,2382

0,2418

0,2466

0,2498

0,2536

0,2586

0,0181

10

0,2365

0,2405

0,2459    0,2493

0,2537

0,2595

0,2632

0,2678

0,2736

0,0045

12

0,2396 i 0,2438

0,2495

0,2532

0,2578

0,2639

0,2678

0,2727

0,2789

0,0000

12

AT

0,0805

0,0694    0,0577

0,0515

0,0450

0,0382

0,0347

0,0310

0,0271

■IP-EJS

0,0192

0,0190 j 0,0188

0,0186

0,0184

0,0182 J 0,0180    0,0178

0,0175

l²:f

= 0,18.

Moment im Scheitel.

Js

cos

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

0,2820

0,2650

0,2437    0,2309

0,2164

0,1996

0,1901

0,1799

0,1688

— 0,0011 —0,0010 —0,0009 —0,0008 —0,0007

— 0,0006 — 0,0006 — 0,0005 — 0,0004

— 0,0036 — 0,0032 — 0,0029 — 0,0027 — 0,0025

— 0,0022 —0,0021 — 0,0019 —0,0017

- 0,0063 -0,0058 —0,0053 -0,0050 - 0,0046

— 0,0042 — 0,0040 ■— 0,0037 — 0,0034

— 0,0084 — 0,0079 — 0,0073 — 0,0070 — 0,0066

— 0,0061 —0,0059 —0,0056 —0,0053    4

— 0,0093 — 0,0089 — 0,0084 — 0,0080 — 0,0077

— 0,0074 —0,0071 —0,0069 —0,0066    5

— 0,0083 —0,0080 —0,0078 —0,0076 —0,0075

— 0,0073 —0,0072 —0,0071 —0,0069

— 0,0049 —0,0050 —0,0051 —0,0052 —0,0053

— 0,0054 —0,0054 —0,0055 —0,0056    7

EinfluBIinienordiiiate Xr.

0,0012

0,0103

0,0007

0,0094 0,0226    0,0214

0,0384    0,0368

0,0574    0,0558

0,0384    0,0368

0,0226    0,0214

0,0103

0,0094

0,0001 —0,0002 —0,0006 —0,0011 —0,0013 —0,0016 —0,0019

0,0083    0,0077    0,0070    0,0062    0,0057

0,0198    0,0189    0,0179    0,0168    0,0162

0,0349    0,0339    0,0326    0,0312    0,0305

0,0538    0,0527    0,0514    0,0499    0,0491

0,0349    0,0339    0,0326

0,0198    0,0189    0,0179

0,0083    0,0077    0,0070

0,0012

0,0007

0,0312

0,0168

0,0062

0,0305

0,0162

0,0057

0,005¹

0,0155

0,0296

0,0482

0,0296

0,0155

0,0051

7'    —0,0049 —0,0050 —0,0051 —0,0052 —0,0053 —0,0054 —0,0054 —o,oo55 —0,0056

6‘    —0,0083 —0,0080 —0,0078 —0,0076 —0,0075 —0,0073 —0,0072 —0,0071 —0,0069

6'

— 0,0093 —0,0089 —0,0084 —0,0080 —0,0077 —°,⁰⁰74 —0,6071 —0,0069 —0,0066

—    0,0084; — °)⁰⁰79 —0,0073 —0,0070 —0,0066 —0,0061 —0,0059 —0,0056 —0,0053

—    0,0063 — 0,0058 — 0,0053 — 0,0050 — 0,0046 — 0,0042 — 0,0040 — 0,0037 — 0,0034

4'

3'

2'

— 0,0036 ¹ — 0,0032 -0,0029 —0,0027 — 0,0025 — 0,0022 —0,0021 —0,0019 —0,0017

2'

i'

— 0,0011 —0,0010 —0,0009 —0,0008 —0,0007 —0,0006 —0,0006 —0,0005 —0,0004

i'

o'

o'

max M

0,0084

0,0080

0,0075

0,0072

* 0,0069

0,0066

0,0064

0,0061

0,0059

zugeh. II

0,077

0,077

0,077

0,077

0,077

0,077

0,078

0,078

0,078

min M

— 0,0035

— 0,0035

— 0,0033 —0,0032

— 0,0031 —0,0030

— 0,0029

— 0,0027

— 0,0027

zugeh. Fl

0,054

0,054

0,055

0,056

0,057

0,058

0,058

0,058

0,059

■pl²-f

10 •

— 0,0125 — 0,0119

— 0,0111 — 0,0106

— 0,0101 —0,0096

— 0,0092

— 0,0089 j — 0,0084

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

Vv

/•

n=7T

Js

COS <pk

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,7180 —0,7350 — 0,7563 —0,7691 —0,7836 —0,8004

— 0,8099 —0,8201 —0,8312

■f

— 0,0333 —0,0337 —0,0340 —0,03441 — 0,0348 — 0,0353

— 0,0357

— 0,0362

— 0,0367

— 0,0522 —0,0532 —0,0546

— 0,05551 — 0,05681 — 0,0584

— 0,0596

— 0,0609

— 0,0627

— 0,0598 — 0,0614

— 0,0638

— 0,0654 i —0,0675

— 0,0704

— 0,0723

— 0,0746

— 0,0774

— 0,0589 —0,0610

— 0,0641

— 0,0662 ' — 0,0689

— 0,0725

— 0,0516

— 0,0540

— 0,0573

— 0,0596 ! — 0,0625

— o,⁰75o | — 0,0778

— 0,0815

— 0,0664

— 0,0689 I — 0,0720

— 0,0758

— 0,0400 — 0,0422

— 0,0453

— 0,0475

— 0,0502

— 0,0538

— 0,0561

— 0,0588

— 0,0621

— 0,0256

— 0,0273

— 0,0297

— 0,0315

— 0,0335

— 0,0362

— 0,0379

— 0,0399

— 0,0423

Ki 11fl11 ßl inj eil oi*«l inate Nr.

10 .

11

12

ii'

io;

9'

8'

7'

6'

5'

■ 4'

3'

2'

1'

o'

max M

zugeh. H

min M

zugeh. H

— 0,0098

— 0,0108

— 0,0122

— 0,0131

— 0,0143

— 0,0157

— 0,0165

— 0,0x74

— 0,0183

0,0062

0,0216

0,0353

0,0470

0,0560

0,0621

0,0648

0,0643

0,0605

0,0062

0,0224

0,0372

0,0496

0,0591

0,0652

0,0679

0,0669

0,0061

0,0238

0,0398

0,0533

0,0634

0,0698

0,0722

0,0060

0,0247

0,0416

0,0559

0,0664

0,0060

0,0259

0,0440

0,0592

0,0703

0,0729    0,0769

0,0752 ' 0,0790

0,0707    0,0733

0,0626    0,0656    0,0676

0,0538    0,0553    0,0574

0,0446    0,0455

0,0337    0,0341

0,0222    0,0223

0,0115

0,0033

0,0243

0,098

— 0,0137

0,033

0,0286

0,0060

0,0277

0,0475

0,0638

0,0755

0,0824

0,0842

0,0766    0,0811

0,0703

0,0738

0,0064

0,0068

0,0076    9

0,0291

0,0498

0,0669

0,0308

0,0528

0,0709

0,0793    0,0837

0,0862

0,0876

0,0840

0,0760

0,0334    10

0,0568    11

0,0760    12

■l

0,0894 n'

0,0906

0,0918

0,0875

0,0787

0,0965    10'

0,0971    9'

0,0919    8'

0,0819

0,0588

0,0606    0,0630

0,0645

0,0662

0,0683    6'

0,0468

0,0476    0,0487

0,0500

0,0508

0,0517

0,0526    5'

0,0347    0,0350    0,0355

0,0360

0,0362

0,0364

0,0364    4'

0,0224

0,0225

0,0225

0,0224

0,0223

0,0221

0,0218

3'

0,0114

0,0113

0,0112

0,0111

0,0109

0,0107    0,0105

0,0100    2'

0,0032

0,0032

0,0031 ]

0,0031

0,0030

0,0029    0,0027

0,0026 i'

o'j

0,0251

0,0264

0,0273

0,02#6

0,0300

0,0312

0,0325

0,0341

0,098

0,099

0,100

0,101

0,102

0,102

0,103

0,104

— 0,0142

— 0,0150

— 0,0155

— 0,0161

— 0,0169

— 0,0175 —0,0181

— 0,0189

■p l²

0,033

0,033

0,033

0,033

0,033

0,033

0,033

0,033

— 0,0298

— 0,0314

— 0,0325

j — 0,0341 , — 0,0362 | — 0,0376 , — 0,0394

— 0,0417

• l*

Vv

= 0,18.

Moment im Gewölbeviertel.

Js

■h • cos n

1,0

0,8

o,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,1020

0,0850

0,0637

0,0509

0,0364

0,0196,

0,0101

— 0,0001

— 0,0112

■f

0,0014 0,0014 0,0014 0,0013 0,0013

0,0012

0,0011

0,0010 0,0009

0,0058 0,0058 0,0056 0,0055 0,0052 0,0049 0,0047 0,0044 0,0040

0,0135 0,0133 0,0129 0,0126

0,0121 0,0115 0,0111 0,0106 0,0099

0,0243 0,0240 0,0233 0,0228 0,0222 0,0212 0,0206 0,0198 0,0188

0,0385 0,0379 0,0370 0,0364 0,0355 0,0342 0,0334 0,0324 0,0312

0,0560 0,0552 0,0540 0,0532 0,0521 0,0507 0,0497 0,0486 0,0473

0,0351 0,0341 0,0327 0,0317 0,0305 0,0289 0,0280 0,0268 0,0255

0,0174 0,0162 0,0147 0,0136 0,0124 0,0108 0,0099 0,0087 0,0075

0,0027

0,0015

— 0,0002

— 0,0012 — 0,0023 — 0,0038 — 0,0046 — 0,0056 — 0,0067

10

— 0,0090

— 0,0103 — 0,0118 — 0,0127 — 0,0138 — 0,0150 — 0,0156 — 0,0163

— 0,0171

10

— 0,0180 — 0,0192 — 0,0205 — 0,0212 — 0,0220 — 0,0229 — 0,0232 — 0,0236 — 0,0240

12

— 0,0244

— 0,0254 — 0,0263 — 0,0268 — 0,0272 — 0,0276 — 0,0277 — 0,0277

— 0,0277

12

11'

— 0,0285

— 0,0291 — 0,0295 — 0,0297 — 0,0297 — 0,0296 — 0,0294 -— 0,0290

— 0,0285

11¹

*3    10'

— 0,0304

— 0,0306 — 0,0305 — 0,0302 — 0,0299 — 0,0293 —- 0,0288 — 0,0281

— 0,0272

10'

— 0,0305 — 0,0302 — 0,0296 — 0,0291 — 0,0284 — 0,0273 — 0,0265 — 0,0256

— 0,0244

9'

S 8'

— 0,0289

— 0,0283

— 0,0273

— 0,0265

0,0255

— 0,0241

— 0,0232

— 0,0221

— 0,0207

8'

7'

— 0,0260

— 0,0251

— 0,0238

— 0,0229 —0,0217

— 0,0202

— 0,0192

— 0,0181

— 0,0166

7'

6'

— 0,0221

— 0,021 x —0,0196

— 0,0187

— 0,0175

— 0,0160

— 0,0150

— 0,0139

— 0,0125

6‘

5'

— 0,0176

— 0,0165 — 0,0151 — 0,0142 — 0,0131 — 0,0117 — 0,0109 — 0,0099

— 0,0088

5/

4'

— 0,0127

— 0,0118 — 0,0106 — 0,0099 — 0,0090 — 0,0079 — 0,0072 — 0,0064

— 0,0055

4'

3'

— 0,0080

— 0,0074 — 0,0065 — 0,0060 — 0,0054 — 0,0046 — 0,0041 — 0,0036

— 0,0030

3;

2¹

— 0,0040

— 0,0036 — 0,0031 — 0,0028 — 0,0025 — 0,0021 — 0,0018 — 0,0016

— 0,0013

2'

1'

— 0,001 I

— 0,0010 — 0,0008 — 0,0008

-: 0,0007

— 0,0005 — 0,0005 — 0,0004

— 0,0003

1'

o'

o‘ }

max M 0,0081 0,0079 0,0076 0,0074 0,0071 0,0067 0,0065 0,0063 0,0059

zugeh. H

0,039

0,038

0,037

0,036

0,035

0,034

0,033

0,032

0,031

min M

— 0,0110

— 0,0110 — 0,0108 — 0,0107 — 0,0105 — 0,0101 — 0,0099 — 0,0097 — 0,0093

zugeh. H

0,092

0,093 0,095 0,097 0,099 0,100 0,102 0,104

o,io6

■pP-.f

0,0101

0,0102

!/v

= 0,18.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

Jk • cos <Pk

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2407

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0,2024

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0,1751

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I — 0,0002

— 0,0001

— 0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

— 0,0001

0,0001

0,0003

0,0003

0,0004

0^0004

0,0004

0,0004

0,0003    ²

0,0012

0,0013

0,0015

0,0016

0,0016

0,0016

0,0015

0,0015

0,0014    3

0,0041

0,0042

0,0043

0,0043

0,0042

0,004¹

0,0040

0,0038

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0,0092

0,0092

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0,0171

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0,0161

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0,0142

0,0136    6

0,0277

0,0272

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0,0259

0,0252

0,0243

0,0238

0,0232

0,0224    7

KiiifluiHinicnordinate Yr.

| ^ |o|i-i|ts)ji-l|o|,£>|oO

0,0416

0,0587

0,0374

0,0195 0,0048 — 0,0066

— 0,0150

— 0,0204

— 0,0232

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9'

7'    —0,0237 —0,0233

— 0,0227 —0,0223 —0,0218 —0,0211 | — 0,0206 —0,0201 —0,0194

7'

6'

— 0,0220 — 0,0214

— 0,0205 —0,0199 —0,0192 —0,0183! — °,OI77 —0,0171

— 0,0163    6'

5'    —0,0188 —0,0180

— 0,0170 —0,0163 —o,OI55 —0,0146

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4'    —0,0144 — 0,0137

— 0,0127 —0,0121.

— 0,0113 —0,0105

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4'

3'    — 0,0096 — 0,0090

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3'

2‘    - 0,0050 - 0,0046

- 0,004 ¹ - 0,0038

— 0,0035 —0,0031

- 0,0029

—-0,0026 - 0,0023 2<

— 0,0014

— 0,0013

— 0,0012 -0,0012

— 0,0010 — 0,0008 j — 0,0008

— 0,0007

-0,0006 I'

o'

o'

max M

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0,0089 '    0,0085

0,0083

0,0080

0,0077

0,0075

0,0073

0,0071

zugeh. H

0,968

0,067

0,068

0,067

0,066

0,066

0,066

0,066

0,065

•Pl²-f

min M

— 0,0067 — 0,0067

-— 0,0066

— 0,0066

— 0,0065 1 — 0,0064 — 0,0062

— 0,0061

— 0,0061

■p P

zugeh. H

, 0,063

0,064

0,065

0,066

0,068 |    0,069

0,069    0,070

0,071

10 • m

— 0,0054 — 0,0048 — 0,0042 — 0,0037 — 0,0033! — 0,0029 — 0,0026 — 0,0023 — 0,0020 • p

1,0

o,8

o,6

o,5

Js

Jk • cos <pk

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

•/

— 0,1836

— 0,2006

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'0

0,0040

0,0039

0,0037

0,0036

0,0034

0,0031

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0,0027

0,0024

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0,0150

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0,0m

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0,0304

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0,0277

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0,0146

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— 0,0115

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— 0,0143

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— 0,0220

— 0,0242

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— 0,0226

— 0,0248

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— 0,0220

— 0,0230

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— 0,0259

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— 0,0288

S io

10

— 0,0220

— 0,0226

— 0,0233

— 0,0236

— 0,0240

— 0,0243

— 0,0243

— 0,0243

— 0,0240

*■

— 0,0208

— 0,0209

— 0,0209

— 0,0208

0,0206

— 0,0200

— 0,0195

— 0,0187

— 0,0177

12

— 0,0185

— 0,0182

— 0,0176

— 0,0170

— 0,0161

— 0,0147

— 0,0137

— 0,0124

— 0,0105

12

■Z

11'

— 0,0157

— 0,0149

— 0,0136

— 0,0127

— 0,0113

— 0,0092

— 0,0078

— 0,0060

— 0,0036

3 io'

z

Np

•I-

— 0,0125

— 0,0114

— 0,0096

— 0,0083

— 0,0066

— 0,0041

— 0,0024

— 0,0003

0,0025

10'

9'

— 0,0093

— 0,0079

— 0,0059

— 0,0044

— 0,0024

0,0003

0,0021

0,0043

0,0071

9'

8'

— 0,0063

— 0,0048

— 0,0026

— 0,0011

0,0009

0,0036

0,0053

0,0074

0,0101

8'

7'

— 0,0037

— 0,0022

— 0,0001

0,0013

0,0032

0,0056

0,0072

0,0091

0,0113

7'

6'

— 0.0016

— 0,0003

0,0016

0,0029

0,0044

0,0065

0,0078

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0,0111

6'

5'

— 0,0002

0,0010

0,0025

0,0035

0,0047

0,0063

0,0072

0,0083

0,0096

5'

4'

0,0007

0,0015

0,0026

0,0033

0,0041

0,0052

0,0058

0,0065

0,0072

4'

3'

0,0009

0,0014

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0,0025

0,0030

0,0036

0,0039

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0,0047

3'

2'

0,0007

0,0009

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0,0022

0,0023

2'

1'

0,0002

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006

0,0006

1'

o'

o'

• 2> Z²

max M

0,0027

0,0027

0,0027

0,0029

0,0030

0,0032

0,0035

0,0038

0,0043

zugeh. H

0,017

0,022

0,027

0,031

0,036

0,043

0,046

0,050

0,055

min M

■ p Z²

— 0,0074

— 0,0073

— 0,0073

— 0,0073

— 0,0073

— 0,0073

— 0,0074

— 0,0075

— 0,0076

zugeh.H

0,114

0,109

0,105

0,102

0,098

0,092

0,089

0,086

0,082

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

o,i5

ys 0,2743    0,2576

0,2366    0,2240

0,2097

0,1931

0,1838 j 0,1738 I 0,1628

■f

gP

Eg0 =0,2104 Vgo =

•J

,gK~G,S32g

^ = 0,17.

'3k

y':f

1,0000

^0j7S8_

E!S9SS_

----0£508_

_Q£3S0_

-QJ200.

PQpm.

^ 00

hr—■

fr;

r—

Abb. 135.

m — — = 6,532.

tan 9>t= S,9⁸3 y

C°s cpk =

1,2588 gl

Bogenkraft (jWerte M~- (1 -{-

Js

Jk ■ cos rf'k

1,0000

0,0071

0,0068

0,0064

0,0061

0,0058

0,0054

0,0051

0,0048

0,0043

0,7758

s.*

0,0253

0,0245

0,0234

0,0227

0,0218

0,0205

0,0198

0,0188

0,0175

0,5955

0,0507

0,0495

0,0479

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0,0454

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0,0424

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0,0788

0,0770

0,0759

0,0744

0,0724

0,0712

0,0696

0,0676

o,335o

•—

0,1110

0,1099

0,1085 ! 0,1076

0,1064

0,1049

0,1039

0,1026

0,1010

0,2428

0,1412

0,1408

0,1402

0,1398    0,1393

0,1387

0,1383 j 0,1378

0,1372

0,1700

0,1691

0,1696

0,1701

0,1705

0,1711

0,1718

0,1722

0,1728

0,1735

o,H33

■■

o,i935

0,2133

0,2279

0,1950    0,1969

0,2159

0,2193

0,1983

0,2215

0,1999

0,2022

0,2036

0,2054

0,2077

0,0701

0,2244

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0,2306

0,2336

0,2375

0,0384

o,23H

0,2361

0,2392

0,2430

0,2481

0,2514

0,2555

0,2607

0,0168

10

0,2369

0,2411

0,2466

0,2502

0,2548

0,2608

0,2647

0,2695

0,2757

0,0041

12

0,2399

0,2443

0,2502

0,2540

0,2588 I 0,2652

0,2693    0,2744

0,2809

0,0000

12

0,0794

0,0684

0,0568 | 0,0506

0,0442

0,0374 ! 0,0339

o;o302

0,0264

■ If²: EJS

0,0194

0,0192

0,0190

0,0189

0,0187

0,0184

0,0183    0,0181

0,0178

t*:f

Js

Jk • cos tpb

1,0

o,8

o,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

o,i5

0,2743

0,2576

0,2366

0,2240

0,2097

o,X93i

0,1838

0,1738

0,1628

■f

¹

,0249

²

,0500

— 0,0011

— 0,0010 — 0,0009 — 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0006 — 0,0005 — 0,0004

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0,0019

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0,0004

— 0,0001

— 0,0004

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10

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0,0204

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0,0159

10

.=

0,0401

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12

0,0592

0,0574

0,0554

0,0542

0,0529

0,0514

0,0505

0,0495

0,0484

12

•—

11'

0,0401

0,0384

0,0365

0,0354

0,0341

0,0327

0,0319

0,0310

0,0300

11'

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0,0159

10'

0,0118

0,0108

0,0096

0,0090

0,0082

0,0073

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0,0057

9;

0,0025

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8'

7'

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7'

6'

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5'

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3'

2'

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2‘

i'

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i'

o'

o'

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iJv

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Moment im Kämpfer.

Js

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1,0

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0,6

0,5

°,4

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0,2

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■f

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EinflußlinieiioiMlinate Jfr.

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6'

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4'

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o'

o'

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/•

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Js

«4-

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0,0057

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FJiiflullIinieiiordinulr Nr.

oo vql o I

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_ _*__

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8'

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5'

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o'

o'

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*Jv

/'

J*

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1,0

o,8

o,6

o,5

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o,3

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0,2

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°,I7I3

o,i547

o,i454 , 0,1354

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■f

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- 0,0001

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0,0000

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0,0000

0,0000

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0,0004

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0,0004

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7*

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o,o557

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II'

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10'

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9'

- 8'

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8'

7'

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7'

6'

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6'

5'

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4'

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4'

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2'

1'

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- 0,001 I

- 0,0010

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— 0,0008

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1'

O'

o'

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0,0059

■pl²

zugeh. H

0,06l    :    0,062

0,064‘

0,066

0,067

0,068

0,069

0,070

0,072

■pl²-.f

/'

Js

Jk ’ cos Vk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

o,²5

0,²

0,15

— 0,1765

— o,T93²

— 0,2142

— 0,2268 —0,2411

— 0,2577 —0,2670 —0,2770 —0,2880

■f

0,0040

0,0039

0,0037

0,0035

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024

0,0153

0,0149

0,0143

0,0138

0,0132

0,0123

0,0118

0,01 I I

0,0102 2

0,0329

0,0321

0,0310

0,0302

0,0291

0,0276

0,0266

0,0254

0,0239    3

0,0142

0,0131

0,0115

0,0104

0,0089

0,0069

0,0056

0,0040

0,0020

0,0000

— 0,0013 —0,0032 —0,0045 —0,0063

— 0,0086 —0,0101

— 0,0119 —-0,0141    5

6    — 0,0102

— 0,0117 —0,0137 —0,0151 —0,0169

— 0,0193 —0,0208

— 0,0226 -— 0,0248    6

— 0,0172 —0,0186 —0,0206 —0,0219 —0,0236: — 0,0258 —0,0271 —0,0287 —0,0306

JhiiifliiKliniciiordiiiate Kr.

00 CTN

O M M l—I I H-t I t—l

00 \ql O I

— 0,0214 —0,0227 —0,0244 —0,0255. —0,0269

0,0286 —0,0296 —0,0308 —0,0321

—    0,0234    —0,0244    —0,0257 —0,0265    —0,0274    —0,0285    —0,0290    —0,0295 —0,0302

•—0,0236    —0,0242    —0,0249 —0,0253    —0,0257    —0,0260    —0,0260

—    0,0224 — 0,0226 — 0,0227

0,0260 — 0,0257

0,0226 —0,0224 —0,0218 —0,0213 —0,0206 —0,0195 — 0,0202 —0,0199 —0,0193 —0,0188 -—0,0180 —0,0166 —0,0156 —0,0143 —0,0124

*-H    w    HH I

to    M    o VO 00

— 0,0173 —0,0166 —0,0154 —0,0144 —0,0131 —0,0111 —0,0096 —0,0078 —0,0054

0,0008 0,0057 0,0089

— 0,0140 —0,0130 —0,0113 —0,0100 —0,0083 —0,0058 —0,0041 —0,0020

0,0028 0,0062

0,0.107 —0,0094 —0,0073 —0,0059 —0,0039 —0,0012 0,0075 —0,0061 —0,0039 —0,0024 —0,0004

0,0024

0,0006

0,0041

00 | \D j O j h |

7    —0,0047 —0,0032 —0,0011

0,0003

0,0022

0,0047

0,0063

0,0082

0,0105

7'

6'    —0,0024 —0,0011

0,0008

0,0021

0,0037

0,0058

0,0071

0,0087

0,0105

6'

5'    — 0,0008

0,0004

0,0019

0,0029

0,0042

0,0058

0,0068

0,0079

0,0092

4'

0,0003

0,0011

0,0022

0,0030

0,0038

0,0049

0,0056

0,0063

0,0071

4;

3'

0,0007

0,0012

0,0019

0,0023

0,0029

0,0035

0,0038

0,0042

0,0046

3'

2'

0,0006

0,0008

0,0012

0,0014

0,0016

0,0018

0,0020

0,0022

0,0022    2'

1'

0,0002

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006 • i;

o'

o'

max M

0,0027

0,0026

0,0026    . 0,0028

0,0029

0,0030

0,0033

0,0036

0,0040

zugeh. H

0,015

0,019

0,024

0,028

0,033

0,039

0,043

0,047

0,053

• p l² : f

min M

— 0,0082

— 0,0081

— 0,0080 — 0,0080

— 0,0080

— 0,0080

— 0,0080

— 0,0080

— 0,0081

■p l²

zugeh. H

0,116

o,H3

0,109

0,106

0,102

0,097

0,093

0,090

0,086

•pl²’.f

0,0079

0,0065

9k =8,027#

9- = 0,16.

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1.0000

0,7665

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Abb. 136.

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//¹ + 39,49

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Bogenkraft ^ Werte    (1 -f- /u)J.

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Js

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0,6

o,5

0,4

o,3

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0,2

0,15

Vs

0,2666

0,2501 | 0,2294

0,2170

0,2029

0,1865

o,i774

0,1675    0,1567

■f

1,0000

0,0072 0,0069 0,0065 0,0063 0,0060 0,0055 0,0053 0,0049 0,0044 0,7665

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0,0180

0,5816

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0,0400

0,4356

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0,0690

0,3205

*5

0,1120

0,1110

0,1097

0,1089

0,1078

0,1064

0,1055

0,1044

0,1029

0,2303

©

•m

0,1422

0,1419

0,1414

0,1411

0,1408

o, 1404

0,1401

o,i397

o,i393

0,1600

0,1700

0,1706

0,1713

0,1719

. 0,1726

0,1735

0,1741

0,1748

0,1758

0,1060

cs 8 0,1941 0,1958 0,1980 o,i995 0,2013 0,2038 0,2054 0,2074 0,2100 0,0652

0,2 138 0,2165 0,2202 0,2226 0,2256 0,2296 0,2322 0,2355 0,2397

0,0356

0,2282

0,2319

0,2368

0,2400

0,2441

0,2494

0,2529

0,2572

0,2628

0,0155

10

0,2371 0,2414 0,2472 0,2510 0,2557 0,2620 0,2661

0,2711 0,2776

0,0038

12

0,2401

0,2447

0,2508

0,2547

0,2597

0,2664

0,2706

0,2760

0,2828

0,0000

12

0,0785    0,0675    0,0559    0,0497    0,0433

0,0366

0,0331

0,0295

0,0257

■lp:EJs

0,0196

0,0194

0,0192    0,0191 | 0,0189    0,0187

0,0185    0,0184

0,0181 |

l¹ : f

Moment im Scheitel.

St

Js

Jk' cos <Pt

1,0

o,8

o,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2666 | 0,2501 j 0,2294 ! 0,2170 j 0,2029

0,1865

0,1774    0,1675    0,1567

•f

— 0,001 I

- 0,0010

— 0,0008 — 0,0008

— 0,0007

— 0,0006

— 0,0006

— 0,0005

— 0,0004

— 0,0034 — 0,0031 — 0,0028 — 0,0026 — 0,0024

- 0,0021

— 0,0020 — 0,0018 — 0,0016

— 0,0059 — 0,0055

- 0,0050

— 0,0047 — 0,0044 — 0,0040 — 0,0038

- 0,0036

— 0,0033

— 0,0077 — 0,0073 — 0,0067 — 0,0064 — 0,0061 — 0,0057 — 0,0055 — 0,0052 — 0,0049

— 0,0082 — 0,0078 — 0,0074 — 0,0072 — 0,0069 — 0,0066 — 0,0064 — 0,0062 — 0,0060

— 0,0067 — 0,0066 — 0,0064 — 0,0063 — 0,0063 — 0,0062 — 0,0061 —■ 0,0060 — 0,0060

— 0,0028

— 0,0030

— 0,0033

— 0,0034 — 0,0036

— 0,0038

— 0,0040

— 0,0041 : — 0,0042

0,0038 0,0032 0,0024 0,0020 0,0015 0,0009 0,0006

0,0002

— 0,0002

P,oi33 0,0123 0,0110 0,0103 0,0095 0,0086 0,0080 0,0074 0,0068

10

0,0260

0,0245

0,0228

0,0219

0,0207

0,0195

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0,0180

0,0171

10

’S ¹¹

0,0418

0,0401 0,0381 0,0370 0,0357 0,0342 0,0333 0,0324 0,0314

12

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0,0592

0,0571

0,0558

0,0545

0,0529

0,0520

0,0510

0,0499

12

•—

1i'

0,0418

0,0401

0,0381

0,0370

0,0357

0,0342

0,0333

0,0324

0,0314

11'

£ IO'

0,0260

0,0245

0,0228

0,0219

0,0207

0,0195

0,0188

0,0180

0,0171

io'

0,0133

0,0123

0,0110

0,0103

0,0095

0,0086

0,0080

0,0074

0,0068

9¹

0,0038

0,0032

0,0024

0,0020

0,0015

0,0009

0,0006

0,0002

— 0,0002

8'

— 0,0028 j — 0,0030

— 0,0033

— 0,0034

— 0,0036 i — 0,0038

— 0,0040 —0,0041

— 0,0042

7'

6'    — 0,0967

— 0,0066

— 0,0064 — 0,0063 — 0,0063 — 0,0062 — 0,0061 — 0,0060

— 0,0060

6'

5'

— 0,0082

— 0,0078

0,0074

— 0,0072

— 0,0069

— 0,0066

— 0,0064

— 0,0062

— 0,0060

5'

4'

— 0,0077

— 0,0073 — 0,0067 — 0,0064 — 0,0061 — 0,0057 — 0,0055 — 0,0052

— 0,0049

4'

3'

— 0,0059

— 0,0055 — 0,0050 — 0,0047 — 0,0044 — 0,0040 — 0,0038 — 0,0036

— 0,0033

3'

2'

— 0,0034

0,0031

— 0,0028

— 0,0026

— 0,0024

— 0,0021

- 0,0020

— 0,0018

— 0,0016

2'

i'

- 0,001 I

— 0,0010

- 0,0008

0,0008

--0,0007

0,0006

- 0,0006

- 0,0005

— 0,0004

I'

o'

0,0091

max M

0,0095 | 0,0085 0,0082 0,0078 0,0074 0,0072 0,0069

0,0067

• p l²

zugeh. H

0,084

0,084 0,084 0,084 0,085 0,085 0,085 0,085 0,085

min M

— 0,0030

— 0,0030 — 0,0028 — 0,0027 — 0,0026 — 0,0025 — 0,0024 — 0,0023 — 0,0023

zugeh. H

0,048

0,049 0,050 0,051 0,051 0,052 0,053 0,054 0,055

}Jv

/•

= 0,16.

Moment im Kämpfer.

Js

<4-

cos

Vk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

o,7334

o,7499

— 0,7706

— 0,7830

— 0,7971 — 0,8135 — 0,8226 — 0,8325

0,8433

■f

— 0,0330

— 0,0333

— 0,0338

— 0,0341 —0,0345 —0,0351 —0,0354

— 0,0359

- 0,0365

— 0,0512

— 0,0522 —0,0536

— 0,0545 ! — 0,0558 | — 0,0575

0,0586 —0,0599

- 0,0617    2

3    —0,0580

— 0,0597 — 0,0620

— 0,0635 ; — 0,0656

— 0,0684 —0,0703 —0,0725

— 0,0754    3

4    —0,0563

— 0,0584 —0,0614

— 0,0634! — 0,0660

— 0,0696

0,0719 | — 0,0746

— 0,0782    4

0,0484

— 0,0507 —0,0539

— 0,0560

0,0588

— 0,0626 —0,0650 —o,o6j8 —0,0715

6    — 0,0363

— 0,0384 —0,0413

— 0,0433

— 0,0459

— 0,0491 —0,0513 —0,0538 —0,0569    6

— 0,0217

— 0,0232 —0,0255 —0,0269 —0,0288 —0,0312 —0,0327—0,0344 —0,0364

Eiiftflußliiiieiftordinate TSr.

O v£>    00

00    O I wl    1-1

— 0,0058    —0,0066 —0,0077

0,0103    0,0104    0,0106

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0,0511 0,0601 0,0661 0,0689 0,0683

— 0,0084 ! — 0,0093

__

0,0108    0,0111

— 0,0104 —0,0109 —0,01x5 —0,0120    8

0,01x6    0,0121    0,0129    0,0142    9

0,0539    0,0579

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0,0695    0,0743

0,0721    0,0768

0,0712    0,0752    !

0,0294    0,0310

0,0464    0,0491

0,0605    0,0642

0,0332

0,0348

0,0370

0,0712

0,0753

0,0776

0,0820

0,0529 0,0693 0,0811 0,0880

0,0555

0,0726

0,0850

0,0589

0,0770

0,0898

0,0400    10

0,0635    11

0,0827    12 \-l

0,0961 ix'

0,0919

0,0968

0,1031    10'

0,0800

0,0780

0,0841

o,o8i6

0,0897    0,0933    0,0979    0,1037

0,0865    0,0896 0,0934    0,0983

00 I v£>

7'

0,0644

0,0667

0,0699

0,0722

0,0750

0,0789

0,0813

0,0842

0,0878

7‘

6'

0,0574

0,0591

0,0613

0,0629

0,0650

0,0676

0,0693

0,0712

.0,0735    6'

5'    0,0478

0,0488

0,0501

0,0512

0,0523

0,0539

0,0548

0,0558

0,0569    5'

4'

o 0363

0,0368

0,0374

0,0379

0,0384

0,0390

0,0393

0,0396

. 0,0397    4'

3'

0,0240

0,0241

0,0242

0,0244

0,0244

0,0244

0,0243

0,0242

0,0238

3'

2'

0,0125

0,0124

0,0123

0,0122

0,0121 j 0,0119

0,0117

0,0115

0,0111    2'

1'

0,0036

0,0036

0,0035

0,0034

0,0034

0,0033

0,0032

0,0030

0,0028    1'

o'

o'

max M

0,0263

0,0273

0,0286

0,0297

0,0309 .    0,0327

0,0340

0,0354

0,0372

zugeli. H

0,100

0,101

0,102

0,103

0,104

0,105

0,106

0,107

0,108

■p P:f

min M

— 0,0129

— 0,0134 — 0,0140

— 0,0145

— 0,0151

— 0,0159

— 0,0164

— 0,0170

— 0,0177

zugeh. 11

0,032

0,032

0,032

0,032

0,032

0,032

0,032

0,032 j

0,032

• pl² :f

10 •

— 0,0231

I 71    i 71    i    i

1 — 0,0241 — 0,0255 j — 0,02651 — 0,0279 — 0,0296 — 0,0309 - — 0,03241 — 0,0345

/•

Js

■4 •cos rfk

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1066

0,0901

0,0694

0,0570

0,0429

0,0265

0,0174

0,0075    — 0,0033

■f

0,0014

0,0014

0,0013

0,0013

0,0012 j (3,0011

0,001 I

0,0010

0,0009

0,0056

0,0056

0,0054

0,0053

0,00511

0,0047

0,0045

0,0043

0,0039    2

0,0131

0,0129

0,0125

0,0122 J

0,0118

0,01 12

0,0108

0,0102

0,0095    3

0,0238

0,0234

0,0227

0,0223

0,0216

0,0207

0,0200

0,0193

0,0183    4

0,0378

0,0372

0,0363

0,0356

0,0347!    0,0334

0,0326

0,0317

0,0305    5

0,0552

0,0543    0,0531

0,0522

0,0511 i

0,0496

0,0487

0,0476

0,0462    6

0,0341

0,0330

0,0316 |    0,0306

0,0293    0,0277

0,0267

0,0255

0,0241    7

0,0164

0,0151

0,0134

0,0123

0,0110

0,0094

0,0083

0,0072

0,0059

0,0016

0,0002 —0,0015 —0,0026 —0,0039 —0,0055 —0,0064 —0,0074 —0,0085

— 0,0102 —0,0116 —0,0133 —0,0143 —°)OI55

0,0168 —0,0175 —0,0183 —0,0191 — 0,0192 —0,0205 —0,0220 —0,0228 —0,0238 —0.0247 —0,0252 —0,0257 —0,0262

— 0,0256 — 0,0267

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—    0,0296    —0,0304    —0,0310    —0,0313    —0,0315    —0,0314    —0,0313    —0,0311    —0,0307

—    0,0316    —0,0318    —0,03x9    —0,0319    —0,0316    —0,0311    —0,0307    —0,0301    —0,0292

—    0,0316    —0,0314    —0,0310    —0,0306    —0,0299    —0,0289    —0,0283    —0,0274    —0,0263

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— 0,0300 —0,0294 —0,0285 —0,0278

0,0295 : —0,0297

0,0299 — 0,0299

7'    —0,0270 —0,0262 —.0,0249 —0,0241 —0,0230 —0,0215!—0,0205 —°,OI94 —0,0180

6'

— 0,0230 —0,0220 —0,0206 —0,0197 —0,0185 —0,0170

— 0,0161 —0,0149 —0,0136    6'

5'

0,0183 —0,0173 —0,0159 —0,0150 —0,0139 —0,0125

— 0,0117 —0,0107 —0,0095

5'

4'    —0,0133    —0,0124    —0,0112    —0,0105    —0,0096    —0,0084

3'    —0,0084    —0,0077    —0,0069    —0,0064    —0,0057    —0,0049

— 0,0077 —0,0070 —0,0061

— 0,0044 — 0,0039 — 0,0033

4'

3'

2'

— 0,0042 —0,0038 —0,0033 —0,0030 —0,0027 —0,0023

— 0,0020 —0,0017 —0,0014

2'

— 0,0012 — 0,0010 — 0,0009 — 0,0008 — 0,0007 — 0,0006

— 0,0005 — 0,0004 — 0,0003

1'

o‘

o'

max M

0,0078

0,0076

0,0073

0,0071

0,0068

0,0065

0,0063

0,0060

0,0057 -p l²

zugeh. H

0,038

0,038

0,037

0,035

0,034

0,033

0,033

0,032

0,031 -p l² ■■ f

min M

— 0,0115 —0,0115 —0,0114 —0,0113 —0,0111 —0,0109 —0,0107 —0,0104 —0,0101

'S¹

zugeh. 11

0,094

0,095

0,097

0,100

0,102

o,i°4

0,105

0,107

0,109    •pl'²:f

0,0088

0,0087

!Jv

= 0,16.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

<4-

cos

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2310

0,2145

0,1938

0,1814

0,1673

0,1509

0,1418

0,1319

O, I 2 11

■f

-0,0002 --0,0001    —-0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0001

0,0003

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0003

0,0013

0,0015

0,0016

0,0017!    0,0017

0,0016

0,0016

0,0015

0,0014

0,0044

0,0045

0,0045

0,0045

0,0044

0,0042

0,0041

0,0039

0,0036

0,0098

0,0098

0,0096

0,0094

0,0091

0,0087

0,0084

0,0081

0,0077

0,0179

0,0176

0,0171

0,0167

0,0162

0,0155

0,0151

0,0146

0,0139

0,0290

0,0283

0,0274

0,0268

0,0260

0,0251

0,0245

0,0238

0,0230    7

Kinflußliiifenordiimte Sr.

I”H    HH I H I

CO    O I l-<    I*}    o VO 00

0,0421    0,0408    0,0400    0,0390    0,0378    0,0370    0,0362

o,o6o5    0,0591    0,0575    0,0565    0,0553    0,0539    0,0530    0,0521

°,°395    o,o379    0,0359    0,0348    0,0335    0,0320    0,0311    0,0301

0,0216    0,0199    0,0179    0,0168    0,0154

0,0070    0,0054    0,0035    0,0024

—    0,0044 —0,0058 —0,0074!—0,0083 —0,0093

—    0,0129 —0,0141 —0,0151 —0,0157 —0,0163 —0,0168—0,0172 —0,0175 —0,0177    10'

0,0431

0,0352

0,0510    9

0,0290 xo

0,0139

0,0131

0,0122

0,0111    11

0,0012 —-0,0001 - 0,0009    - 0,0017 - 0,0026    12    . I

— 0,0103    - 0,0108    :— 0,0114    - 0,0120    I i'

-0,0186 0,0192 0,0198 0,0200 — 0,0202 0,0204 0,0204 0,0204 0,0204

- 0,02 I 7 0,02 l8 0,02 I 8

0,0218 -0,0217 -0,0214 —0,0212 -0,0209 -0,0206

9'

8'

l‘    —0,0224    —0,0222    —-0,0217    —0,0214    —0,0210    —0,0204    —0,0200    —    0,0195    —0,0189

— 0,0211    —0,0206.    —0,0198    —0,0193    —0,0186    —0,0178    —0,0173    —0,0167    —0,0160    6'

5'    —0,0182    —0,0175    —0,0165    —0,0159    —0,0152    — 0,0143    — 0,0137    —0,0131    —0,0123

7'

6'

5'

4'    —0,0141

— 0,0134

— 0,0125

0,0119

— 0,0112 —0,0103 —0,0098

— 0,0092

— 0,0086

4'

3'    — 0,0094

—- 0,0088

0,0081

— 0,0076

— 0,0071 —0,0064    —0,0060

— 0,0056

— 0,0051

3'

2'

— 0,0049

— 0,0046

— 0,0041

— 0,0038

— 0,0035

— 0,0031

— 0,0029

— 0,0026

— 0,0023    ²‘

1'

— 0,0014 — 0,0013

- 0,001 I

- 0,001 I

—- 0,0010

— 0,0008

— 0,0008

— 0,0007

— 0,0006    1'

o'

o'

max M

0,0097

0,0094

0,0090

0,0087

0,0084

0,0080

0,0078 |    0,0076

0,0073

zugeh. Fl

0,071

0,071

0,070

0,070

0,069

0,068

0,068,

’ 0,068

0,068

■p P : f

min M

— 0,0063

0,0064 — 0,0064 — 0,0063

— 0,0062

— 0,0060

— 0,0059

— 0,0059

— 0,0058

■p P

zugeh. Fl

0,061

0,062

0,064

0,065

0,067

0,069

0,070

0,071

0,072

■pP-f

!/v

= 0,10.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

Js

Jk ■cos n

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

o,3

°,²5

0,2

0,15

0,1690 —0,1855 —0,2062

— 0,2186 —0,2327

— 0,2491 —0,2582

— 0,2681

— 0,2789

-f

0,0040

0,0039

0,0037

0,0035

0,0034

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024 I

0,0152

0,0148

0,0142

0,0137

0,0131

0,0123

0,0117

0,0*# 11

0,0102 2

0,0326

0,0319

0,0308

0,0300

0,0289

0,0275

0,0265

0,0253

0,0238    3

0,0137

0,0127

0,01 I I

0,0100

0,0086

0,0066

0,0053

0,0037

0,0018

5    - 0,0007 - 0,0020 - 0,0038

- 0,0051 -0,0068 -0,0091 -0,0106 — 0,0123 -0,0145

6    —0,0m —0,0125 —0,0146

— 0,0159 —0,0177 —0,0200 —0,0215 —0,0233 —°,°²55

— 0,0183 —00197 —0,0217

— 0,0230 —0,0247 —0,0268 —0,0281 —0,0297 —0,0315

Ei 11 fliilll inion ordinale Nr.

O vo 00

00 v© O I-I W

—■ 0,0228 —0,0240 —0,0258 |—0,0269 —0,0283 —0,0299 —0,0310 —0,0321 —0,0334

—    0,0249    —0,0259    —0,0272    —0,0281    —0,0290    —0,0301    —0,0307    —0,0312    —0,0318

—    0,0122    —0,0109    —0,0089    —0,0074    —0)⁰⁰55    —0,0028    —0,0010

—    0,0089    —0,0074    —0,0053    —0,0037    —0,0017

0,0010

0,0028

0,0013

0,0049

0,0041    9'

0,0077    8'

7'

— 0,0058 — 0,0044 — 9)0023 — 0,0008

0,0011

0,0036

0,0052

0,0072

0,0095    7'

. 6'

— 0,0033 — o 0020 — 0,0001

0,0012

0,0029

0,0050    .0,0064

0,0079

0,0099

6'

5'

— 0,0014 — 0,0003

0,0013

0,0024

0,0036

0,0053

0,0063

0,0075

0,0088    5'

4;

— 0,0002

0,0007

0,0018

0,0026

0,0035

0,0046

0,0053

0,0060

0,0069

4'

3'

0,0004

0,0009

0,0017

0,0021

0,0^27

0,0033

0,0037

0,0041

0,0045    3'

2'

0,0004

0,0007

0,0011

0,0013

0,0015

0,0018

0,0019

0,0021

0,0022    2'

1'

0,0002

0,0003

0,0004

0,0004

0,0005

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006    1'

o'

o'

in ax M

0,0027

0,0025

0,0024

0,0025

0,0026

0,0028

0,0031

0,0033

0,0037

■ p l²

zugeh. H

0,013

0,016

0,021

0,025

0,030

0,036

0,040

0,044

0,049

min M

— 0,0090

— 0,0089

— 0,0087

— 0,0087

— 0,0087 — 0,0086

— 0,0086

— 0,0086

— 0,0086

■pl²

zu geh. H

0,119

0,117

o,H3

0,110.

0,106

0,101

0,098

0,095

0,091

■p P: f

0,0088

0,0087

0,0084

0,0082

0,0078

0,0073

0,0069

0,0064 1

0,0057

1,0

0,8

0,6

Strassner, Neuere Methoden.

17

1,0

0,8

Vs

^ = 0,15.

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Abb. 137.

— = 9,889.

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gl²

Hg₀ = 0,2499 — *

F?0 == 1,6496 g l.

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43,57 7^

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•Jv

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Moment im Scheitel.

11

Js

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•/'

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12

■l

" II'

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8'

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I'

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i'

o'

o'

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/'

Js

Jk'

cos

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o'

o'

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ifr

/■

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°,4

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'    0,01 I 2

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0,0013

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' 0,0326

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r.i IIIIII Itl in io II ordinal«" \r.

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6'

— 0,0234 — 0,0224

— 0,0211 —0,0202 —0,0190 —0,0175 —0,0166 -—0,0155 —0,0141

6'

5'    —0,0186 —0,0176

— 0,0163 —0,0154 —0,0143 —0,0130 —0,0121 —0,0111 —0,0099

4'    —0,0135 —0,0127

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4'

3'    — 0,0086 — 0,0079

— 0,0071 —0,0065 —°,⁰⁰59 —0,0051 —0,0046 —0,0041 —0,0035

2'

— 0,0043 — 0,0039

— 0,0034 —0,003¹ —0,0028 —0,0023 —0,0021 —0,0018 —0,0015

2'

— 0,0012 —0,0011

— 0,0009 — 0,0008 — 0,0007 — 0,0006 — 0,0005 — 0,0004 — 0,0003

1'

o'

o'

max M

0,0077

0,0075

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0,0070

0,0067

0,0064

0,0062

0,0059

0,0056

■ p l*

zugeh. H

o,o37

0,037

0,036

0,035

0,034

0,033

0,033

0,032

0,031

min M

— 0,0117

— 0,0117

— 0,0117

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— 0,0115

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— 0,0111

— 0,0109

— 0,0106

■p l'-

zugeh. H

0,095

0,096

0,099

0,101

0,103

0,105

0,106

0,108

0,111

•—

10

ii'

}Jv

— 0,15.

/■

1,0

0,8

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

0,6

o,5

Js

n = -f-

Jk •cos n

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,2260

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0,0000

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— 0,0033

~ io' —0,0119

C 9'    —0,0177

- 8'

:—- 0,0209

7'    — 0,0218

6'    — 0,0206

5'    —0,0179

4'    —0,0139

3'    — 0,0093

2'

— 0,0049

1'    —0,0014

o'

max M

0,0100

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0002

0,0015

0,0047

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—- 0,0047

— 0,0129

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— 0,0215

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— 0,0045

— 0,0013

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0,0003

0,0003

0,0004

0,0004

0,0004

0,0004

0,0003

0,0017

0,0017

0,0017

0,0017 |    0,0016

0,0015

0,0014    3

0,0047

0,0098

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— 0,0189

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— 0,0212

— 0,0194

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0,0096

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— 0,0074

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0,0560

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0,0163

0,0021

— 0,0084

— 0,0154

— 0,0195

— 0,0211

— 0,0209 j — 0,0205

— 0,0189

— 0,0183

0,0043

0,0042

0,0039

0,0037    4

0,0089 |    0,0086 I

0,0082

0,0078    5

0,0158

0,0153

0,0148

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0,0255

0,0383

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0,0327

0,0148

0,0248

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0,0537

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0,0139

0,0241

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0,0527

0,0308

0,0129

0,0233    7

0,0356

0,0515    9

0,0296    10

0,01x8    11

0,0007! — 0,0001 —0,0009 —0,0018    12

—0,0094 — 0,0100

— 0,0106

— 0,0113 n'

— 0,0161

— 0,0197

— 0,0209

— 0,0199

— 0,0176

— 0,0164 —0,0168

— 0,0171    10'

— 0,0198

— 0,0207

— 0,0196

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— 0,0199

— 0,0205

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— 0,0165

— 0,0199    9'

— 0,0202    8'

— 0,0186

7'

0,0158    6'

— 0,0157

— 0,0117

— 0,0076

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0,0092

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— 0,0136

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— 0,0122

5'

— 0,0111

— 0,0102

•— 0,0097

— 0,0092

0,0085

4'

— 0,0070

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3'

— 0,0035

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— 0,0010 —0,0008

— 0,0008 — 0,0007

— 0,0006    1'

°'J

0,0086

0,0082

0,0080

0,0077

0,0074

zugeh. H

0,072

0,072

0,071

0,071

0,070

0,070

0,069

0,069

0,069

min M

— 0,0060

— 0,0061

— 0,0061

— 0,0060

— 0,0060

— 0,0059

— 0,0058

— 0,0057

— 0,0056

zugeh. H

0,060

0,061

0,063

0,065

0,067

0,068    0,070

0,071

0,073

■pP:f

10-

— 0,0037 — 0,0033

0,0029    -— 0,0026    - 0,0023 [ - 0,0020    - 0,0018    - 0,0017 1 - 0,0014    ' ^

09

'on

Uv

0,15.

Moment im Gewölbeachtel. (Nächst dein Kämpfer.)

Js

Jk ■ cos ⁽Ik

1,0

0,8

0,6

o,5

0,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,1613 — 0,1776

— 0,1979

— 0,2101

— 0,2240 —0,2401

— 0,2491

— 0,2588 —0,2694

■f

0,0040

0,0038

0,0037

0,0035

0,0033

0,0031

0,0029

0,0027

0,0024

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0,0136

0,0130

0,0122

0,0117

0,01 IO

0,0102 2

0,0323

0,0316

0,0305

0,0297

0,0287

0,0273

0,0263

0,0252

0,0237    3

0,0132

0,0122

0,0106

0,0096

0,008l

0,0062

0,0050

0,0034

0,0015    4

— 0,0014 —0,0026 —0,0045 —0,0058 —0,0075 —0,0097 —0,0111 —0,0129 —0,0150

— 0,0121 —0,0135 —o,OI55 —0,0168 —0,0186 —0,0209 —0,0224 —0,0241 —0,0262

— 0,0195 —0,0209 —0,0229 —0,0242 —0,0259 —0,0280 —0,0293 —0,0308 —0,0326

Emfliillliuieiioi'diiiatc Nr.

OO

O H M H Po "on CO

—    .0,0242 — 0,0254 —0,0272 —0,0283 —0,0297 —0,0314 —0,0324 — 0,0335 —0,034»

—    0,0265 —0,0275 —0,0289 —0,0298 —0,0307 — 0,0318 —0,0324 —0,0330 —0,0335

—    0,0269    —0,0277    —0,0285    —0,0290    —0,0294    —0,0297    —-0,0298    —0,0298    —0,0295

—    0,0259    —0,0262    —0,0265    —0,0265    —0,0263    —0,0259    —0,0254    —0,0247    —0,0236

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—    0,0208

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0,0013

0,0035

0,0024

0,0063

Co J vO j O J

7'    —0,0070 —0,0056 —0,0034 —0,0020 —0,0001

0,0025

0,0041

0,0061

0,0085

6'    —0,0043 —0,0029 —0,0010

0,0003

0,0020

0,0042

0,0056

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0,0091

6'

5'    —0,0021 —0,0010

0,0006

0,0017

0,0030

0,0045

0,0057

0,0070

0,0084

5'

4'    — 0,0007

0,0002

0,0014

0,0022

0,0031

0,0043

0,0050

0,0057

0,0066

4'

0,0001

0,0007

0,0014

0,0019

0,0025

0,0032

0,0035

0,0039

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2'

0,0003

0,0006

0,0010

0,0012

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0,0019

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1'

0,0002

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0005

0,0006

0,0006

0,0006    1'

o'

o'

max M

0,0026

0,0024

0,0023

0,0023

0,0025

0,0026

0,0029

0,0031

0,0034

■p 1²

zugeh. II

0,012

0,014

0,018

0,022

0,027

0,033

0,036

0,041

0,046

min ihf

— 0,0098

— 0,0097

— 0,0096

— 0,0095 —0,0095

— 0,0094

— 0,0094

— 0,0093

— 0,0093

• p l*

zugeh.H

0,120

0,119

0,117

0,114

0,110

0,105

0,103

0,099

0,096

0,0048

!Jv

beliebig:.

Auflagerkräfte (!"„).

11

Js

Jf

cos

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

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0,9894

o,957o    0,9588

0,9612

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0,9650 |    0,9678

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0,9346

o,9377

0,94x8

o,9444    0,9475

o,95i4

5    0,8879

0,8911

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0,9114

o,9i53

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0,8750

0,8804

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0,7982

0,8037

0,8074

0,8121

0,8183

0,8223

0,8269

0,8325

FiiiifliißliiiieiioiMlinate \r.

xo

12

n‘

10'

0,7407

0,6836

0,6238

0,5624

0,5000

o,4376

0,3762

o,7444

0,6867

0,6261

0,5636

0,5000

0,4364

o,3739

0,7496

0.7531

0,7576

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0,7769

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0,6941

0,6980

0,7030

0,7062

0,7100

o,7H5

0,6293

0,5653

0,5000

o,4347

0,6315

0,6344

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10

0,5664

0,5000

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0,5699

o,57n

0,5726    0,5743

11

0,5000

0,5000

0,5000

0,5000

0,5000

12

o,432i

0,4301

0,4289    0,4274    0,4257

11'

0,3707    0,3685    0,3656

9'    0,3164 j 0,3133    0,3089    0,3059

0,3020

0,3620

0,3596    0,3569    0,3536

0,2970    0,2938

0,2900

0,2855

io'

9'

8'    0,2593    0,2556

0,2504

0,2469

o 2424

0,2365

0,2328

0,2284

0,2231

8'

7'

0,2056

0,2018

0,1963

0,1926

0,1879

0,1817

0,1777

0,1731

0,1675

7'

6'

0,1563

0,1526

o,H73    0,1438

0,1392

0,1332

0,1295

0,1250

0,1196

6'

0,1121

0,1089

0,1043

0,1012

0,0972

0,0919

0,0886

0,0847

0,0800

5'

4'

0,0741

0,0715

0,0679    0,0654

0,0623

0,0582

0,0556

0,0525

0,0486

4'

3'

0,0430

0,0412

0,0388

0,0371

0,0350

0,0322

0,0304

0,0283

0,0258

z‘

0,0197

0,0188

0,0175

e,oi66

0,0155

0,0140

0,0131

0,0120

0,0106

2'

i'

0,0051

0,0048

0,0044

0,0042

0,0038

0,0034

0,0031

0,0028

0,0024

o‘

o‘

Uv

/‘

= beliebig.

Balkenmoment im Scheitel.

Js

Jk • COS (fk

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,0009

0,0008

0,0007

0,0006

0,0005

o 0004

0,0004

0,0003

0,0003

0,0035

0,0031

0,0027

0,0025

0,0022

o,ooi8

0,0016

0,0014

0,0012

0,0078

0,0071

0,0062

0,0056

0,0050

0,0043

0,0039

0,0035

0,0030

0,0139

0,0127

0,0112

0,0103

0,0093

0,0081

0,0074

0,0067

0,0059

0,0217

0,0200

0,0178

0,0165

0,0150

0,0133

0,0123

0,0113

0,0101

0,0313

0,0289

0,0260

0,0243

0,0223

0,0200

0,0188

0,0174    0,0159

0,0425

0,0396

0,0360

0,0339    0,0314

0,0285

0,0269

0,0252

0,0233

Eiiiflußliuienordinate \r.

10 ■

12

11'

10'

9'

8'

7'

0,0556

0,0703

0,0868

0,1050

0,1250

0,1050

0,0868

0,0703

0,0556

0,0425

6'    0,0313

5'

0,0217

0,0521

0,0478

0,0453

0,0423

0,0389

0,0370

0,0350

0,0328

0,0664

0,0825

0,1005

0,1204

0,1005

0,0825

0,0664

0,0521

0,0396

0,0289

0,0200

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0,0772

0,0948

0,1146

|    0,0948

0,0772

0,0615

0,0478

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0,0260

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0,0553

0,0703

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0,1111

0,1071

0,0914

0,0739

0,0586

0,0875

0,0703

0,0553

0,0453    0,0423

0,0339    0,0314

0,0243

0,0165

0,0514

0,0492

0,0469    0,0443    9

0,0660

0,0830

0,1026

0,0830

0,0660

0,0514

0,0389

0,0285

0,0637

0,0805

0,1000

0,0805

0,0637

0,0492

0,0370

0,0269

0,061 r

0,0583

10

0,0778    0,0749

0,0972

0,0778

0,0611

0,0469

0,0350

0,0252

0,0942    12

0,0749

0,0583

0,0443

0,0328

0,0233

n'

10'

9'

8'

7'

0,0223

0,0200

0,0188

0,0174

0,0159

6'

0,0150

0,0133

0,0123

0,0113

0,0101

5'

4'

0,0139

0,0127

0,0112

0,0103

0,0093

0,0081

0,0074

0,0067

0,0059

4'

3'

0,0078

0,0071

0,0062

0,0056

0,0050

0,0043

0,0039

0,0035

0,0030

3'

2'

0,0035

0,0031

0,0027

0,0025

0,0022

0,0018

0,0016

0,0014

0,0012

2'

0,0009

0,0008

0,0007

0,0006

0,0005

0,0004

0,0004

0,0003

0,0003

1'

o'

o'

max M

0,0417

0,0393

0,0364

0,0347    0,0327

0,0304

0,0292

0,0278

0,0263

0,0292

0,0263

l/v

= beliebig.

/■

Balkenmoment im Kämpfer.

J»

>h * cos <Pk

1,0

0,8

0,6

0,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

— 0,0383 —0,0385

0,0388

— 0,0390

— 0,0392

— 0,0395

— 0,0397

— 0,0399

— 0,0402 I

— 0,0700 — 0,0708

— 0,0719 —0,0726

— 0,0735

— 0,0745

— 0,0752

— 0,0759

— 0,0768

3    —0,0957 —0,0973

- 0,0994 - 0,1008

— 0,1025 ( - 0,1046

— 0,1059

— 0,1074

— 0,1091    3

4    —0,1157 —0,1182

— 0,1215 —0,1237

0,1263 1 — 0,1295

— 0,1315

— 0,1338

— 0,1364    4

5    —0,1306 —0,1339

— 0,1384 —0,1413

— 0,1448 —0,1491

— 0,1517 —0,1547

— 0,1582    5

6    —0,1406 —0,1448

— 0,1503 —0,1538

— 0,1581 | —0,1634

— 0,1665 —0,1701 —0,1744    6

7    —0,1463 —0,1512

— o,i575 —0,1615 —0,16631 — 0,1723 —0,1759 —0,1799 —0,1846

00

KiiiHuIHiuienordinale Kr.

00 I vo I O I <-• I toi i~i I O ! \o

—    0,1482    —o,i534    —o,i 603    —0,1646    —0,1698

—    0,1465    —0,1519    —0,1591    —0,1635    —0,1687

—    0,1418 —0,1472 J— 0,1542 —0,1585 —0,1636

—    0,1345    —0,1396    —0,14611—0,1501    —0,1548

—    0,1250 —0,1296 j— 0,1354 —0,1389 — 0,1429

—    0,1138    —0,1177    —0,1225    —0,1254

—    0,1761 —0,1799 —0,1842 —0,1891

—    0,1751 —0,1789 —0,1831 —0,1879

—    0,1697 —0,1732 —0,1772 —0,1816

0,1285

—    0,1602 —0,1634 —0,1668

—    0,1474 —0,1500 —0,1528

—    0,1320 —0,1339 —o,i359

— 0,1707

— 0,1558

— 0,1013 — 0)I044 — 0,1082 —0,1103 — O;I 125 : —0,1149 —0,1162 —-0,1174

—    0,1380

—    0,1185

—    0,0879 —0,0902'—0,0929 —0,0943 —0,0958;—0,0971 —0,0977 —0,0982 —0,0984

—    0,0741 — 0,0757 I — 0,0774 —0,0782 —0,07891 — 0,0793 —0,0794 —0,0792 —0,0788

7'    —0,0603 —0,0612)—0,0621 —0,0624 —0,0625 —0,0623 —0,0619 —0,0613 —0,0604

— 0,0466 — 0,0460 — 0,0451 — 0,0440

6'    — 0,0469 — 0,0473 — 0,0476 — 0,0476 — 0,0473

5'    — 0,0344 — 0,0345 —0,0344 —0,0341 — 0,0336

— 0,0327 — 0,0320

— 0,0311 — 0,0299

7'

6'

-j

4'    —0,0231)—0,0231—0,0228 —0,0224 —0,0219

— 0,0210 —0,0204

0,0196 — 0,0185

4'

3'    — 0,0137 )—0,0135 :— 0,0132 —0,0129

— 0,0125

— 0,0118 —0,0113

— 0,0107

— 0,0099    3'

2'

— 0,0064 ) — 0,0063! — 0,0060

— 0,0059

— 0,0056

— 0,0052 —0,0049

— 0,0046 —0,0041    2'

1'    — 0,0017 I — 0,0016 ) — 0,0015

— 0,0015

— 0,0014

— 0,0013 —0,0012

- 0,001 I j - 0,0009 L'

o‘

°'

max M

— 0,0833

— 0,0857 ) — 0,0886

— 0,0903

— 0,0923

— 0,0946 — 0,0958 1 — 0,0972

— 0,0987

min M

— 0,0833

0,0857

— 0,0886

— 0,0903 — 0,0923

— 0,0946 ) — 0,0958

— 0,0972 : — 0,0987

Uv

= beliebig.

Balkenmoment im Gewölbeviertel.

¹

,0257

Js

Jk • cos <Pk

1,0

0,8

o,6

o,S

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

^0,0021

0,0020 o,oot8 0,0016 0,0015 0,0013

0,0012

0,0010 0,0009

0,0084 0,0078

0,0071 0,0066 0,0060 0,0053

0,0049

0,0044 0,0038

0,0186 0,0174 0,0159 0,0149

0,0138 0,0124 0,0115 0,0106

0,0095

0,0324 0,0306 0,0282 0,0266 0,0248 0,0226 0,0213 0,0198 0,0181

0,0497 0,0472 0,0439 0,0418 0,0393 0,0362 0,0345 0,0324 0,0301

0,0703 0,0671 0,0629 0,0603 0,0571 0,0533 0,0511 0,0486 0,0458

0,0523

0,0484

0,0434

0,0404

o,°3«7 ;    0,0323

0,0297

0,0268

0,0235

0,0370 0,0327 0,0271 0,0237 0,0196 0,0147 0,0119 0,0087 0,0052

10

12

0,0244

0,0142

0,0061

0,0000

0,0197

0,0137

0,0101

0,0058

0,0006

— 0,0023

— 0,0056

— 0,0093

0,0093

0,0013

— 0,0046

0,0032

— 0,0048

— 0,0104

— 0,0006

— 0,0085

— 0,0139

—0,0050 —0,0102

— 0,0128 —0,0178

— 0,0x79 —0,0224

— 0,0131

— 0,0164

— 0,0200

IO

— 0,0206

— 0,0237

— 0,0271

— 0,0250

— 0,0278

— 0,0308

12

•«

II'

— 0,0044

— 0,0086

— 0,0139

— 0,0170

— 0,0205

— 0,0245

— 0,0267

— 0,0291

— 0,0316

11'

—    10'

— 0,0072

- 0,01 IO

— 0,0155 — 0,0182

- 0,021 I

— 0,0245 — 0,0263 — 0,0281

— 0,0301

10'

.=

— 0,0088

— 0,0119

— 0,0157

— 0,0179

— 0,0203 — 0,0229

— 0,0242

— 0,0256

— 0,0270

9'

— 0,0093

— 0,0118

— 0,0148

— 0,0165

— 0,0183 —0,0202

— 0,0212

— 0,0221

— 0,0230

8'

ji

— 0,0089

— 0,0108

— 0,0130

— 0,0143

— 0,0156 —0,0169

— 0,0175

— 0,0181 —0,0186

7'

6'

— 0,0078

— 0,0092 — 0,0108 — 0,0116 — 0,0125 — 0,0133 — 0,0136 — 0,0139

— 0,0141

6'

— 0,0063 — 0,0073 — 0,0083 — 0,0088 — 0,0093 — 0,0097 — 0,0099 — 0,0099

— 0,0099

5'

4'

0,0046

— 0,0052

— 0,0058

— 0,0061

— 0,0063

— 0,0065

— 0,0065

— 0,0064

0,0063

4'

3'

— 0,0029

— 0,0032

— 0,0035

— 0,0036

— 0,0037

— 0,0037

— 0,0037

— 0,0036

— 0,0035

3'

2'

— 0,0015

— 0,0016

— 0,0017

— 0,0017

— 0,0017

— 0,0017

— 0,0017

— 0,00 [ 6 ; — 0,0015

2'

1'

— 0,0004

— 0,0004 — 0,0004 — 0,0005 — 0,0004 — 0,0004 — 0,0004 — 0,0004

— 0,0003

1'

o'

o'

max M 0,0132 0,0117 0,0103 0,0094 0,0085 0,0074 0,0069 0,0063 0,0056

min M

— 0,0027

— 0,0036

— 0,005 I

— 0,0059

— 0,0070

— 0,0082

— 0,0089

— 0,0097

— 0,0105

'S¹

i/v

.. = beliebig.

Balkenmoment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Scheitel.)

Js

*4 • cos 9>t

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

o,3

0,25

0,2

0,15

0,0015

0,0014

0,0012

0,0011

0,0010

0,0009

0,0008

0,0007

0,0006

0,0059

0,0055

0,0049

0,0045

0,0041

0,0036

0,0032

0,0029

0,0025

0,0132

0,0123

0,0110

0,0103

0,0094

0,0083

0,0077

0,0070

0,0062    3

0,0232

0,0216

0,0197

0,0185

0,0171

0,0154

0,0144

0,0132

0,0120    4

0,0357    0,0336

0,0308

0,0291

0,0271

0,0248

0,0234

0,0218

0,0201    5

0,0508

0,0480

0,0445    0,0423    0,0397    0,0367    0,0349

0,0330

0,0308    6

0,0682

0,0649

0,0606

0,0579    »0,0549

0,0512

0,0492

0,0468

0,0443    7

I]inIIulUiiiienOrdinate Nr«

H J °£ J ^ j j m I £ J £ | 3 | >0 I 00

o,o88o    0,0841

0,1099    0,1056

0,0922    0,0876

0,0764    0,0717

0,0792

0,1001

0,0818

0,0658

0,0761    0,0726

0,0968 0,0783    0,0743

0,0930

0,0685

0,0885

0,0661

0,0635

0,0606

0,0860

0,0831

0,0800    9

0,0625

0,0503

0,0398

0,0308

0,0232

0,0168

0,0579

0,0460

0,0358

0,0273

0,0202

0,0144

0,0521

0,0623

0,0582

0,0486

0,0446

0,0405 0,0372

0,0308

0,0279

0,0229

0,0204

0,0165

0,0115

0,0335

0,0246

0,0175

0,0144

0,0120

0,0098

0,0079

0,0696    0,0669

0,0640

0,0608    10

0,0535

0,0401

0,0293

0,0208

0,0143

0,0094

0,0058

0,0508

0,0479

0,0447    ¹¹

0,0375

0,0269

0,0187

0,0125

0,0079

0,0047

0,0347

0,0244

0,0165

0,0106

0,0064

0,0036

0,0317    12

0,0216 II'

0,0141    10'

0,0087

0,0049

0,0024

9'

8'

7'

6'

0,0117

0,0099

0,0076

0,0063

0,0049

0,0034

0,0026

0,0017

0,0009

6'

5'

0,0077

0,0064

0,0048

0,0038

0,0029

0,0018

0,0012

0,0007

0,0001

5'

4'

0,0046

0,0038

0,0027

0,0021

0,0015

0,0008

0,0005

0,0001 —0,0002

4'

3;

0,0024

0,0019

0,0013

0,0010

0,0007

0,0003

0,0001

— 0,0001 — 0,0002

3'

2'

0,0010

0,0008

0,0005

0,0004

0,0002

0,0001

0,0000

— 0,0001 —0,0001    2'

1'

0,0002

0,0002

0,0001

0,0001

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000 x

o'

o'

max M

0,0339

0,0315

0,0286

0,0269

0,0249

0,0226

0,0214

0,0200

0,0185

0,0214

Uv

/'

= beliebig. Balkenmoment im Gewölbeachtel. (Nächst dem Kämpfer.)

Js

Jk • cos <pb

1,0

0,8

0,6

o,5

o,4

°,3

o,²5

0,2

0,15

0,0028

0,0026

0,0023

0,0022

0,0020

0,0017

0,0016

0,0014

0,0012

0,0109

0,0102

0,0093

0,0087

0,0080

0,0071

0,0065

0,0059

0,0052 2

0,0239

0,0226

0,0207

0,0196

0,0l8l

0,0164

0,0153

0,0141

0,0127    3

0,0000 — 0,0022

0,0050

— 0,0069

— 0,0090 —0,0118 —0,0134 —0,0153 —°,OI75

— 0,0196 —0,0225 —0,0264

— 0,0289

— 0,0319 — 0,0356 — 0,0378 — 0,0403 — 0,0432

⁶    —0,0352 —0,0389 —0,0437

— 0,0468

— 0,0505 —0,0550

°,°577 — 0,0608 — 0,0643    6

— 0,0470 —0,0514 —0,0570 —0,0606 —0,0648 —0,0700 —0,0731

0,0766 — 0,0805

Eiiiflußliiiienordiiiate Kr,

M    M    H4    m    »H I

00    v£)    0    ^1n) hh 0 'O 00

0,0556 —0,0604 —0,0666 —0,0705 —0,0751 —0,0807 —0,0840 —0,0877 —0,0919

—    0,0610    —0,0661    —0,0727    —0,0767    —0,0815    —0,0873    —0,0906    —0,0944    —0,0986

—    0,0625 —0,0671 —0,0729 —0,0764

—    0,0591    —0,0632 —0,0682    —0,0712    —0,0745 —0,0783 —0,0803    —0,0825    —0,0848    11'

—    0,0543    —o>⁰577 —0,0618    —0,0642    —0,0668 —0,0697 —0,0712    —0,0728    —0,0743    io'

—    0,0483 —0,0511 —0,0543 —0,0561 —0,0580 —0,0600

—    0,0417 —0,0437 —0,0461 —0,0473 —0,0486 —0,0498 —0,0503 —0,0507 —0,0509

0,0610 —0,0619 —0,0627

9' ■

8'

7    —0,0346 —0,0360 --0,0376 —0,0384 —0,0391 —0,0396 —0,0397 —0,0397 —0,0395

6'    —0,0273

— 0,0283

— 0,0292 — 0,0296 —- 0,0299

0,0299 — 0,0298 ■— 0,0295 — 0,0290

6'

5'    — 0,0204

— 0,0209

— 0,0213 —0,0215 —0,0215 —0,0212 —0,0209 —o,⁰²⁰5 — 0,0*99

5'

4'    —0,0139

— 0,0141

— 0,0143 —0,0143 —0,0141 —0,0137 —0,0134 —0,0130 —0,0124

4'

3'    —0,0083

— 0,0084

— 0,0084 —0,0083 —0,0681

— 0,0078 — 0,0075

— 0,0072 — 0,0067

3'

2'

— 0,0039

— 0,0039

— 0,0039 —0,0038 —0,0037

— 0,0034 —0,0033

— 0,0031 —0,0028    2'

1'    —0,0010

— 0,0010

— 0,0010 — 0,0010 — 0,0009

— 0,0009 — 0,0008

— 0,0007 —-0,0006    i'

o‘

max M

0,0016

0,0015

0,0013

0,0012

0,0010

0,0009

0,0008

0,0007

0,0006

min M

— 0,0302

— 0,0325

— 0,0352

— 0,0368

— 0,0386

— 0,0408

— 0,0419

— o,043²

— 0,0446

§ 18.

Rechnungsbeispiele.

1. Straßenbrücke mit Hinterfüllung.

Es soll die in Abb. 138 dargestellte Straßenbrücke berechnet werden.

Als Verkehrslast kommt in Frage

400 kg/m² Menschengedränge, Dampfwalze von 16 t Dienstgewicht.

Die spezifischen Gewichte betragen

Wölbematerial (Eisenbeton) 2,4 t/m³, Aufschüttung (Erde) .    . . 1,7    .

——j/ny

□ oqo QC5 a

.'’äoaqDaoDpqpDOoaonongnooab

fn>

■ : CP;

fir

[\*

fy

%mHr

-23,20-

Abb. 138.

*i

Die zulässige Beanspruchung wird zu 40 kg/cm² angenommen.

Um die Vorteile der verbesserten Gewölbeform kenntlich zu machen, wurde die Berechnung für diese und auch für die gewöhnliche Stützlinienform durchgeführt.

I. Stützlinienform.

9 — o,40 • 2,4 -(- 0,40 • 1,7 = 1,64 t/m², » Kämpfer gk= 1,10 • 2,4 -f- 5,00 • 1,7 == 11,14 „ und damit das Verhältnis (Gl. 3)

Auf Grund der angenommenen in Abb. 139 eingetragenen Abmessungen ergeben sich die Gewichte am Scheitel

9k

11,14

1,64

= 00 6,8.

Neigung 1:100

St

1,7 t/cbm

W-

■^=2,7 t/cbm

SF

I'l

st

K⁻'

12,00

3,SO

1,70^~

Abb. 139.

Abb. 140.

, Es wird angenommen, daß sich die Last der Dampfwalze auf einen Gewölbestreifen von 4,0 m Breite verteilt. Die auf 1,0 m Breite entfallenden Lasten betragen daher für beide Hinterräder P — io : 4,0= 2,5 t und für das Vorderrad P= 6 : 4,0 = 1,5 t (Abb. 140).

Zur Ermittlung der Ersatzlast pe berechnen wir diejenigen Lasten, die auf die Beitragsstrecke für das positive Scheitelmoment (ungefähr das mittlere Bogendrittel von 8 m) zu stehen kommen und erhalten bei der Annahme, daß die Hinterräder der Walze in Gewölbemitte stehen,

Hinterräder .

Vorderrad .

•    •    2,5    t,

•    •    L5    h

Menschengedränge (rd. 2,5 m²) 1,0 t,

Insgesamt 5,0 t.

Demnach istx)

5>°

00 0,63 t/m².

Da die konzentrierten Lasten ungünstiger wirken wie gleichmäßig verteilte Last, multiplizieren wir diesen Wert mit ⁴/.,

Pe = ⁴/₃ • 0,63 =    0,85 t/m².

Wir erhalten nach den Gleichungen 68 mit m = ^7

Pe =

8,0

ci =

—— [ff (o, 1090 + 0,0185 m — 0,0005 m2) Pe (0,0600 -j- 0,0035 m)\

= — [1,64(0,1090 + 0,0185 • 7 — 0,0005 * 7²) --j-0,85 (0,0600 + 0,0035 • 7)]

5’°    = 0,085 t/m³,

Cg ⁼ Pe (0,0252 + 0,0024 rn), = 0,85 (0,0252 4- 0,0024 • 7)

7°t°+ 2,5 Og

c:i

0,036 t/m², (Annahme t° = 20⁰, o₀ = 100

t/m²)

70*20 + 2,5 • 100

5>°

und nach Gleichung 70 folgt bei (7 = 400 t/m² (zulässige Beanspruchung) G₀ — G — c₃ds= 400 — 330 • 0,40 =268 t/m².

— 330 t/m³,

Damit wird die Scheitelstärke nach Gleichung 71 l²cx

2 G₀

[•+V¹

4 60 c2 1

² ü

l² cx

24,o² • 0,085

4 • 268 • 0,036

=    0,39 m.

24,o² • 0,085

Wir behalten die zu 40 cm geschätzte Scheitelstärke bei.

Der dem ermittelten Verhältnis m = 6,8 am nächsten liegende Tabellenwert ist m — 6,532. Dafür gibt die Tabelle auf Seite 174

2 • 268

tan² cpk = 35,796 (y)

= 35>79⁶

= ^ L5⁶-

Gemäß Gleichung 14 ist für das Gewölbe an beliebiger Stelle d = ds c y' 1 + tan² q) dk = ds c f 1 + tan² qk,

= 40c    + 1,56.

und am Kämpfer

24

9 Nach Winkler würde man für schwere Wagen erhalten (S. 189) 2?e = 0,28 + +4 : l) — 0,28 + 8,4 : 24 = 0,63 t/m².

Bei gegebener Kämpferstärke läßt sich hieraus c ermitteln und es kann dann das gültige Verhältnis von n bestimmt werden. Wir nehmen indessen hier an, daß der Querschnittzunahme n — 0,30 entspricht, und berechnen dafür die Kämpferstärke, die sich mit dem aus der Tabelle Seite 175 hervorgehenden Wert c— 1,494 (für 0,30) zu

(1% = 40 • 1,494 f' 1 -)- 1,56 = 00 70 cm

ergibt.

g — 0,40 • 2,4 -j- 0,40 • r,7 =

1,640 t/m²,

Die Gewichte werden nun genauer (Abb. 141) am Scheitel

„ Kämpfer gk= 1,12 • 2,4 -j- 4,92 •1,7 = 11,042 und damit folgt das genaue Verhältnis (Gl. 3)

11,042

1,640

6,739-

Durch Zwischenrechnung ergibt sich gemäß der Tabellen für m = 6,532 und m = 8,0227 (S- 246 und 252) folgende

Tabelle für die Gewölbeform und die Gewölbestärke.

Punkt

Kämpfer

Viertel

Scheitel

IO

12

1,0000

0,5936

0,3330

0,1686    0,0694

0,0166 o

iDurch Zwischenrech-< nung aus Tabelle ( S. 246 u. 252.

(Ord. d.Gew.-Achse)?/'

5,000

2,968 j 1,665

0,843

o,347

0,083

f= 5,° m-

l \²

tan² cp

36,31

15,07

6,12

2,36

o,79

0,17

Aus Tabelle S. 174.

tan² cp

b576

0,654

0,266

0,102

0,034

0,007

ly

24 \²

Cy-

Y I -\- tan² cp

1,¹71

1,087

1,040

1,016

0,006

1,001

1,000

(Gewölbestärke in cm) d

b494    i,339

70,0    58,2

i,233

id54

1,093

1,042

1,000

5b3

46,9

44,o

4b7

40,0

Aus Tabelle S. 175.

(y

d = ds C y I + tan² cp

24, o²

40,22 t,

Weiterhin ergibt sich noch (S. 246 und 252) g l²

Hg₀ = o,2 1 29 • —— = 0,2x29 • 1,640 •

ygo = 1,2833 - gl — 1,2833 • 1,640.24,0 = 50,51 t. Analytische Kontrolle und Richtigstellung der Gewölbeachse.

Ermittlung der Gewichte (Abb. 141).

Querkraft

3,362 t, 7,283 t,

12,579 t,

20,248 t, 31,766 t, >^0 = 49,485 t.

Die lotrechten Schwerachsen dieser Gewichte wurden nicht einfach in der Mitte angenommen, sondern genauer bestimmt.

»    4—2 ; 2,39 • 0,544 • 2,4

„    2 — 0 ; 2,85 • 0,632 • 2,4

2,0 • o 2,0 • o 2,0 ■ o

2,0 • I 2,0 • 2 2,0 • 3

T IG Cb ID

•    L7 = 3,362 t,

•    i,7 = 3,92i t,

•    G7 =

5,296 t, I • 1,7 == 7',66q t, 7 • G7 = ir,5l8 t, 4 • 1,7 — 1 7,7 ¹9 t,

Ermittlung der Momente l).

Punkt x 2 ; IO!

3,328 mt,

3,362 • 0,99.........

3,328-j- 3,362 • 2,0 +    3,921-0,96

6; M —    13,816    7,283- 2,0 -|-    5,296-0,94=    33,360    „

M =

8;

13,816 „

33,360 -4 12,579 • 2,0 4-    7,669.0,93= 65,650 „

2; M= 65,6504-20,248-2,0-1-11,518.0,93=116,850 „ o; M₀ = 116,850-j-31,766 • 2,0-j-17,719 • 0,93 = 196,869’ „

Hgo -

M₀

196,869

5,°

39,374 t.

-2,00

-2,00

-2,00-

-2,00

-2,00-

10 0,99

890 7

5,000

+0,S3->-

,/m

»v

it

¹ÄT%

Htr^ ft#₀=39,37Vt

_xss

-fTVt

nn! \\0,Oi

Neigung 1:100\hm=0,so 5.

f "'

d'7ji~V5iQ

—5:-—

*0,93*

d=SS,2 L

?x

Vgo=¥9gs5t

d=¥6J

‘t>5 dm=¥8,9    *d

5T -I    fcT

W I¹

VT

Abb. 141.

Ermittlung der Ordinaten der Gewölbeachse yj

Hgo

(Gemäß Tab.) Unterschied in mm

Punkt 12 ;

3,328

33

8;

39,374

13,816

0,085 m>

0,083 m,

73

6;

Vv =

39,374

33,36o

= 0,35! „

°,347 „

4;

39,374

65,650

0,847 »

0,843 „

39,374 116,850

1,667 „

U665 „

39,374

196,869

2,968 „

2,968 „

39,374

= 5,00° „

5,00° „

M = M’ + Q’ X + Mi,

rj Allgemein ist

wo üf' und Q‘ das Moment und die Querkraft im vorhergehenden Schnitt, und X die Breite und M). das Moment der darauf folgenden Lamelle.

Wie man sieht, kommt eine Abweichung der Gewölbeachse kaum in Betracht ; es handelt sich im höchsten Falle nur um 4 mm.

Nach den Tabellen ist für das gültige Verhältnis m == 6,739 bezw. yv :f= 0,847 : 5>o = 0,1694 (S. 246 und 252)

Vs

— — o, 192 2,

und es liegt daher die Bogenkraft in

Vs = 0,1922 • 5,0 — 0,961 m

vom Scheitel.

Der Nenner des Ausdruckes für H ergibt sich zu (S. 246" und 252)

N= 0,0367

lp

EJS

= 0,0367 • 5»°² •

EJS

oder

N= 0,9175

womit (Gl. 32)

ILl

o>4°²

0,0145.

EFS N

Gleichung 42 gibt die Zusatzkraft

— Hgofi = — 39,3 74 • 0,0145 = — o,5 72 t.

o,9i75

a t° l

— dr 2,929 t.

Eine Temperaturänderung um i 20⁰ erzeugt nach Gleichung 45 0,000012 • 2 100000 • 20 • o,4o³

0,9175 • 12

Auswertung der Ein’flußlinien (Abb. 142).

• Scheitel (142, a).

(2,5 • 0,049 + 1,5’* 0,001 -f~ 0,40 • 2,3 • 0,011) • 24,0 = (2,5 • 0,056 -j- 1,5 • 0,007 + o,4o • 3,1 • 0,013) • 24,0 =

Mfoo —

M]cil -

Mico = — (2,5 • 0,007 -j— 1,5 • 0,005 + 0,40 • 2,4 • 0,002) • 24,0 = — 1,05 „ Mku = — (2,5 • 0,004 -f- r,5 • 0,003 + 0,40 • 2,4 ■ 0,001) • 24,0 = — 0,65 „ .

3,22 mt,

4,oo „

Kämpfer (142, b).

(2,5-0,073 + 1,5 -0,064+ 0,40-3,5.0,033+0,40.5,9-0,025)-24,0==    9,22 mt.

11,4° „

M]co —-

M/cU— (2^,5 • 0,088 +1,5 -0,082 + 0,40-3,8-0,04 1 + 0,40-6,5-0,02 7)- 24,0=

Mko=—(2,5-0,072 + 1,5-0,044+0,40-1,8-0,030+0,40-1,6-0,01 7)-24,0=—6,70 „ Micu=—(2,5-0,065 + 1,5 -0*0404-0,40-1,4-0,022+0,40-1,3.0,015).24,0=—5,83 „

Viertel (142, c).

(²,5⁻⁰>°48 + 1,5-0,006+0,40-1,9-o,oo2+0,40-i,o-0,009)-24,0=    3.2 2 mt.

Mku= (2,5 -0,052 + 1,5 -0,008+0,40-1,9-0,002+0,40-1,6-o,o 12). 24,0 =

Mkd=—(2,5-0,033 + 1,5 • 0,030+0,40-2,3 -0,014+0,40- 7,8-0,011)- 24,0=—4,19 „

■^ffcu⁼⁼

Mk0=

3,63 „

(2,5-0,025 + 1,5-0,021+0,40-2,2-0,011 + 0,40-7,3-0,011). 24,0=—3,26 „

0,12

Ottp‘S

\ 2,968

,1,661

168*0

0,351

^ ds=¥0,ocno o.w ~7

12 /

l£l

Ateigung 1*100

Igl

kl

0'

y=l,7t/m

cL=¥1,7    \ys-0,9ci

/tngrifs/inie von H

d=S1,3 i \=Z,vt/m

w/

gL=58,z

//r

__

'vrdH=70,o cm

/i#=38,80zt

=¥S,v35t

Sinf/ufs/tnien . der fternpunktsmomeate (1=1m)

<z) Scheite! [    !    !    |

2, so

0,vt/rn

l>0

iXW

*3 V) Ni ' ^ ^    Tn

«NT CVJ    |

0,vt/m

b/tl'ämßfer

Ny

2,st

Z.St

so -o

VS‘7

211

>0

i/

i/

cj Vierte!

HEI

yi 1111 i;l IIIII

-f

■VO so

M'csjl

Opt/m?

Z ängenmafsstab 2    3    ¥

S 6    7    8    9    10m

Ordinatenmqßstab

O,O7^mO^^O7^h^0O3j0OV^0OS^0O6^0O7^QO8 0,03 tj70771

Abb. 142.

!

i

t

*

1‘

O N vMO 00

O N O 00 VO -3-0 O

Tabelle der Einflußlinien für die Kernpunktsmomente und der Momente für Eigenlast und Temperatur (für l — 1 m).

Berechnet auf Grund der Tabellenwerte (S. 246 bis 255) für

= 0,1694 bezw. in = 6,739 und ><==0,30.

0,847

o‘S

Viertel.

CO

VO

Ov

CO

00

S?

d — 0,469 m, tan²® = 0,102,

0,953»

0,0017 m,

0,082 m.

• COS (f

Kämpfe r.

y=—f+ys=— 5,0 + 0,961 =— 4.°39 m, cl = 0,700 m, tan² <pk — 1,576,

S cheitel.

ys = 0,961 m, 0,400 m,

=X> '"ö

|/1 —{— tan² cp

vO

(J) soo

= 0,622,

-3

cos <f.

y u = 0,118 • 0,0145

— 0,0586 m,

— 4,039 ■ 0,0145

3.

0,0139 m,

0,469

6-0,953

6 • cos (p

= 0,188 m.

0,700

i~>»

3.

tc I—

ST

5~

R~

0,0003    0,0045    o.ooS¹

0,0012    0,0197    0,0221

0,0022    0,0478    0,0522

0,0033    0,0068    0,0134

0,0040    —0,0199    —0,0119

0,0043    -0,0329    -0,0243

0,0040    —0,0342    —0,0262

0,0033 —0,0282 —0,0216 0,0022    —0,0X88—0,0142

0,0012 —0,0093—0,0069 0,0003 —0,0025—0,0019

T3

(b soo •

VO

*S> Pcj +

VO^

vO

ö-

tn

^ 8

0,067 m-

VO

cos (p = 1,000, y V = 0,961 -0,0145 0,400 6 • 1,0

d) soo • 9

B ogenkr aft

|~

ST

5~

s-

■f.

bO

ri ß ■ — U

VH

-0,0024—0,0018—0,0580—0,0002    0,0008    —0,0590—0,0574 0,0048 0,0000

0,0010 1—0,0067—0,0047—0,0709—0,0008    0,0027    —0,0744—0,0690    0,0209    0,0000

-0,0576 —0,0476 0,0500 0,0000 0,0224—0,0074    0,0100    0,0001

0,0188 0,0372—0,0160 0,0001 0,0541    0,0737—0,0287    0,0001

0,0736    0,0920—0,0303    0,0001

0,0744    0,0894—0,0250    0,0001

0,0591    0,0691 —0,0166 0,0000

0,0341    0,0395—0,0081    0,0000

0,0105    0,0121 —0,0022 0,0000

0,0003

0,0018 1—0,0081—0,0045—0,0511—0,0015    0,0050

-0,0021 0,0033—0,0126—0,0023 0,0075

0,0157    0,0223    0,0309—0,0029    0,0092

0,0488    0,0558    0,0670—0,0031    0,0098

0,0157    0,0223    0,0857—0,0029    0,0092

0,0027    —0,0021    0,0033    0,0842—0,0023    0,0075

0,0018    —0,0081—0,0045    0,0656—0,0015    0,0050

-0,0067 —0,0047    °,°3 76 —0,0008    0,0027

0,0003    |—o,oo24 0,0018    0,0115—0,0002    0,0008

0,0027

0,0033

0,0035

0,0033

0,0010

—0,0022 0,0001 —0,0059 0,0002 —0,0067 0,0004 0,0000 0,0006 0,0183 0,0007 0,0516 0,0007 0,0183 0,0007 0,0000 0,0006 —0,0067 0,0004 —0,0059 0,0002 -0,0022 0,0001

0,0040

0,0143

0,0264

0,0399

0,0489

0,0523

0,0489

0,0399

0,0264

0,0143

0,0040

0,0205

0,0726

0,1389

0,2024

0,2481

0,2654

0,2481

0,2024

0,1389

0,0726

0,0205

O M vf O CO O m'ooOvO Tt- N 'o

•jjvj eq.'BttxpaoiiQrangnifTiia

■ Mg = — Hcj'y. Mg = 0,572 • 0,961 = 0,55 rnt.

Temperatur-\ Mko = — Utyw i<4₀=±2,929.(0,961 + 0,067) = + 3,01 mt. Ä’jh=±2,929-(-4,039+ 0,188) = + 11,28mt. ^ = ±2,929.(0,118 + 0,082) =+ 0,59int.

f Mtu~ — Hty'ku- Mktl— ±²>9²9-(0,961 — 0,067) = ± 2,62 „ Mku=± 2,929. (-4,039-0,188)=+12,38 „ Mku= + 2,929-(0,118-0,082)= ±0,10 „

Mg— 0,572 • 0,118 = 0,07 mt.

M = — 0,572 • 4,039 = — 2,31 mt.

Eigenlast i Zusatz- ;

moment

Moment

Randspannungen durch Eigenlast und Verkehr, sowie für eine Wärmeänderung um ± 20⁰ C.

Scheitel

Kämpfer i Viertel

IE

F = bei ' bei²

0,400

0,700

0,469

0,0267 ! 0,0817

0,0367

Gewölbe-Breite b = 1 m.

cos

1,000

0,62 2

°,953

Normalspannung

7/

F cos cp

97

89

87

Mg

°,55

2,31

0,07

Aus Tab. S. 277.

f Hg = 39,3 74 — 1 0,5 72=38,802 t.

Aus Tab. S. 277.

A4

Biegungsspannung .    . öl —

W

Randspannung vom \ o₀ = gx -f- er., Eigengewicht \ ou — G₁ — g₂

Mku M]co Mjcu

Mto

Mku Mko Mku

Mjco

^ Mku Mk0

Moment durch

Temperatur j

Moment durch Verkehrslast

Grenzwerte der Momente durch Temperatur und Verkehr

Gu —

28

118

76

± 3,oi

±2,62

3,22

4,00

—    1,05

—    0,65

6,23

6,62

4,06

3,27

233

61

117

dt 11,28 dt 12,38 9,22 11,40

—    6,70

—    5»⁸3 20,50 23,78

—    17,98 — 18,21

00 00

Ln vQ

±0,59 ±0,10 3,22

3,63

—    4A9-

—    3,26

| Aus Tab. S.

277.

Berechnet aus den Einflußlinien (Abb. 142).

3,8i

3,73

4,78

3,36

25¹

104

Randspannungen durch Temperatur und Verkehr

G₀ =

248

291

102

IS²

2 20

130

G₀

— 12 2

223

92

max

Grenzwerte der Spannungen

max

N> OS

IO 00

352

337

CN M

162

in t/m².

> -f- = Druck. — = Zug.

min ¹ 5 7    r34

Die größte Pressung entsteht im Scheitelquerschnitt und beträgt dort 366 t/m3 oder 36,6 kg/cm². Die zulässige Beanspruchung von 40 kg/cm² wird nicht erreicht.

Ermittlung der erforderlichen Bewehrung.

Wir bewehren das Gewölbe so, daß die Eisen den Zug allein aufnehmen können.

z Dreck,

'S

Bezeichnet man die Druckspannung mit Ga, und die Zugspannung mit Gz, dann berechnet sich die Höhe des Zugdreieckes zu (Abb 143)

d Gs

*-o

Gz ~r Ga

und es beträgt daher der von den Eisen aufzunehmende Zug

bdGs²

Für die Gewölbebreite von 1,0 m ergibt sich im Scheitel.

Oben :

00 O.

G₍i= 228 t/m², Gz = 4 t/m²,

0,40 • 42 2 (4 -]- 228)

Eingelegt: 2¹/a <£ 12 mit/e = 2,82 cm².

Unten :    = 366 t/m², (7S = 157 t/m²,

0,4° • ¹572 2 (i57 + 366)

Eingelegt: 5 4> 16 mit/e = 10,05 cm². 9500

9)5 t-

(7 —

10,05

945 kg/cm².

Kämpfer. Oben :

Ga = 33 7 t/m², ff* = 162 t/m².

0,70 • 1622 2 • (162 -f 337)

Eingelegt: 5    20 -j- 2¹j₀ 4> 1 2 mit fe = 18,53 cm²,

18 400

18,4 t.

¹8,53

1000

kg/cm².

Unten :

Od = 35 ² t/m²,    = 134 t/m²,

12,9 t.

0,70 • ¹342 2 (i34 + 35 ²)

Eingelegt 5 4> 16 -[- 21/₂ ^ 12 mit fe = 12,87 cm²,

12900

12,87

1000 kg/cm².

Viertel:

Oben :

3 t/m², Z = mit fe — 2,82 cm².

Unten :

Od = ²¹5 t/m², ff* =

Eingelegt: 2¹/₂    12

= 191 t/m², er- = 19 t/m².

0,469 • 192 2 (19 -f- 191)

Eingelegt: 5^16 mit fe — 10,05 cm², 400

- 0,4 t.

10,05

40 kg/cm².

II. Verbesserte Grewölbeform.

Wir nehmen die Scheitelstärke zu 35 cm an, und erhalten die Gewichte am Scheitel g = 0,35 • 2,4 -j- 0,40 • 1,7 =    1,52 t/m²,

am Kämpfer <7* = (wie zuvor)    —11,14    „

und das Verhältnis

11,14

I»5²

Nach den Gleichungen 68 folgt (bei Ermittlung von c₂ gilt m

°)

ci

^-[1,52 (0,1090 -f- 0,0185 ' 7,3 — 0,0005 ’ 7,3²)

+ 0,85 (0,0600-j- 0,0035 • 7,3)] = 0,081 t/m³.

5,°

c₂ = 0,0252 • 0,85 == 0,02 14 t/m². 70 • 20 -j- 2,5 • 100

C3

5,0

= 330 t/m²(Annahme t°

2 0° Gg

100 t/m², wie vor).

Als zulässige Materialbeanspruchung wurde 350 t/m² oder 35 kg/cm² angenommen. Es wird daher nach Gleichung 70

o₀ = 35° — 33o • 0,35 = 234 t/m².

Gleichung 71 gibt die Scheitelstärke 24,o² • 0,081

ds —

l-+y

4 • 234 • 0,0214 "]

2~ J = ~ 0,35 m.

24,0- • 0,08 1

2 • 234

Diesen Wert, welcher dem angenommenen entspricht, behalten wir bei. Nach den Kämpfern hin lassen wir das Gewölbe so ansteigen, daß dem Verhältnis >2=0,25 genügt wird.

Um zu der verbesserten Gewölbeform zu gelangen, schätzen wir 721 = 5,322 (entspricht dem Verhältnis yv: f = 0,18) und tragen dafür auf Grund der Tabellenwerte (S. 241) die Einflußlinie für das Scheitelmoment auf (Abb. 144), wonach sich für Verkehrslast die Momente

CS

im

■c

ist-*

Lg st

fJL

2,5t

Or<///7cfe/7 Afq/ssfab Oo-r p gor Ooz oros qov gosm

Abb. 144.

(2,5 • 0,049 -f- 1,5 »0,002 -|- 0,40 ■ 2,3 • 0,011): 24,0 = .    •    •    3,26 mt,

M= — (2,5 • 0,006 -)- 1,5 • 0,005 + c>4° • 2,6 • 0,022 -f-

0,40 • 8,3 • 0,043) • 24,0 = — 0,93    »

2M = 2,33 mt

ergeben. Das Ausgleichmoment wird daher (Gl. 78) 2M

Ma =

Ego yS f-¹ —

2,33

Hgo Hs f-¹-

Es ist nach Gleichung 64 (hier nimmt man am besten den ersten Wert von m) IJgo =(0,1090 -f 0,0185 • 7,3 — 0,0005 • 7,3²) • -Aus der Tabelle Seite 240 entnimmt man

,52 • 24,o²

5»°

= 00 38,0 t.

N= 0,0347 •

lp

EJS

und erhält damit (Gl. 32)

!l =

o,35 ²

EFSN

0,0347 • 5,°² • ¹²

= 0,0118.

Außerdem folgt noch (Tabelle S. 240)

Us= 0,1901 •/= 0,1901 • 5,0 = 0,95 m.

Es wird daher (Gl. 78)

Ma

2,33

38,0 *0,95-0,0118 = cx, — I,5° rat.

Nach der Tabelle Seite 241 ist

= — 0,00092 • 24,o² = — 0,53 rnt,

somit (Gl. 49)

9k =

Ma

T,5°

0,53

00 2,80 t/m²

11,14 — 2,80

⁰⁰ 5,5-

und für die verbesserte Gewölbeachse folgt annähernd (Gl. 50) 9k — 9k

G5²

Ursprünglich wurde m -= 5,322 angenommen; es besteht somit genügende Übereinstimmung. Im gegenteiligen Falle wäre die Rechnung auf Grund des letzten m-Wertes zu wiederholen.

Die Tabelle (S. 174) liefert für m = 5,322

tan² (fk = 32,479 • (y)

= 32,479 •

24

= ~ 1,41

und für das angenommene Verhältnis n = 0,25 ist am Kämpfer c — 1,587. (Tabelle S. 175). Danach folgt die Kämpferstärke (Gl. 14)

dk = ds c \ 1 -f tan² cpk

1,587 V1 -j- 1,41 = ^64 cm,

= 35 *

womit sich die genaueren Gewichte (Abb. 145)

am Scheitel g = 0,35 • 2,4 -(- 0,40 • 1,7 = 1,520 t/m², am Kämpfer gk = 1,00 • 2,4 -}- 4,96 • 1,7 = 10,832 „ ergeben. Mithin wird für die verbesserte Gewölbeform genau (Gleichung 50)

5,284.

10,832 — 2,80 1,520

Durch Zwischenrechnen folgt aus den Tabellen für m — 5,322 und m— 4,32 5 die

Tabelle für die Gewölbeachse und Gewölbestärke.

Punkt

Kämpfer

Viertel

Scheitel

IO

12

y'

1,0000

0,6094

0,3496

0,1804

0,0753

0,0181

(Ord. d.Gew.-Achse)?/'

5,ooo

3,047

1,748

0,902

o,377

0,091

Durch Zwischenrechnung aus Tabelle S. 234 u. 240. f— 5,0 m

zy

tan² cp

32,37

14,48 j 6,30

2,58

0,90

0,19

tan² cp

Y I tan² (p

(Gewölbestärke in cm)(i

0,114

1,042    1,018

1,260 I 1,170 45,9    4b7

0,040

0,009

Aus Tabelle S. 174.

²4V

1,007

I.IOI

38,8

1,002

1,046

36,7

1,000

1,000

35,o

Aus Tabelle S. 175. d—ds c Y i+tan²^

Genaue analytische Bestimmung der Gewölbeachse. Ermittlung der Gewichte. (Abb. 145).

Lamelle 12—10:

10 — 8 ; 8—6 ; 6—4; 4—2;

2 — o ;

77

77

7?

2,01 - 0,358 - 2,4 2,02 • 0,377 * 2,4 2,06 • 0,402 • 2,4 2,15 • °,43⁸ • 2,4

•    o,492 • 2,4

•    0,586 ■ 2,4

2,0-0,42-1,7= 3,155 t-2,0 • 0,57 - 1,7 = 3,766 „ 2,0 • 0,92 • 1,7 = 5,115 „

2,

2,0-1,57-1,7= 7,599 » 2,0 •    55 • 1,7 = 11,480 „

2,0 •

N>

• J,7 = ¹7,566 „

Querkraft

3A55 t-6,921 „ 12,036 „ * ¹9,635 » 3i,Ji5 „

I g₀ = 48,68l    „

Momente für die ermittelten Lasten.

Punkt 12 ; 10 ;

77

3,123 mt.

77

8;

6;

=    3,155-0,99 •    •

=    3,123 -f-    3,155 -

=    ¹3,048 -f~    6,9

= 31,698    12,036 . 2,0 -j-

= 62,837 + 19,635 • 2,0 -j- 11,480 - 0,93 = 112,783 „

783 4- 31,115 • 2,0 4- 17,566 • 0,93 = I9G379 »

+ 3,766-0,96= 13,048 „ • 2,0-f-    5,115-0,94= 31,698 „

7,599 • °,93 = 62,837 „

2,0

$3

-2,00-

1.

-2,00

-2,00-

-2,00-

2,00-

2,00-

i?

771=^00

(v^ *^0,33*- ^

iS"

*•0,93*

r#

i«- \Af

11 $

S=2,38

d, =¥S,a

u 766S‘l

"AU?¹

s,nst rVUll

ffr

3,766t qV.L,

w-

N £ 3,isst

\SS6t

WT

77.¥ 60 t

i_

io

d/f

=6¥3

' Vg₀=¥8,68lt

Abb. 145.

Ermittlung der Momente für die ideelle Belastung zur Bestimmung der verbesserten Gewölbeform, unter Benutzung der Tabelle Seite 186. (Gl. 54 wobei gn = 2,8 t/m²).

Punkt 12; M —

n    JO, Tf -

3,123 - 2,8 ■ 0,00006 • I2,Oä =

13,048 — 2,8 • 0,00103 ' ¹ 2,0

3,099 mt.

12,632    „

6 ; M — 31,698 2,8 • 0,00521 ■ 12,0² = 29,597 „

4 ; M = 62,837 — 2,8 • 0,01646 • 12,0

56,200    „

96-578 „

2; M = 112,783 — 2,8> o, 04019 - 12,0 o; J/₀= 191,379 — 2,8 - 0,08333 - 12,o² = 157,781 „

Der ideellen Belastung entspicht die Bogenkraft

157,781

Hgo

3L55⁶ t.

Ermittlung der Ordinaten der Gewölbeachse.

aus Tabelle

Punkt 12 ;

3,° 99

8;

3G 556 12,632

0,098 m

0,091 m

6;

Uv

31,5 56 29.597

0,400 „

°,3 77 »

4;

31,556

56,200

0,938 „

0,902 „

3E55⁶

96,578

D78I ,,

1,748 „

o;

f=-

3 ¹,5 5 ⁶

157,781

31,556

3,061 „

3,047 „

5,o⁰⁰ »

5,ooo „

Danach ist

Uv

0,938

5P

0,1876.

Von einer Wiederholung der Rechnung kann wegen der in Aussicht stehenden äußerst geringen Änderung der Resultate abgesehen werden.

halten

Zwischenrechnungen anzustellen.

Um die dem ermittelten Verhältnis von yv : / entsprechenden Werte zu er-, hat man auf Grund der Tabellen für yv : / = o, 18 und yv \ f — 0,19

Demnach folgt für n = 0,25 der Abstand der Bogenkraft vom Scheitel (S. 234 und 240)

Us = 0,1949 • /— 0,1949 * 5,° = o,975 m-Außerdem wird nach denselben Tabellen

oder

und (Gl. 32)

N= 0,0353

AT= 0,883 ’

lp

EJS

EJS

EFSN

= 0,0353 • 5,o²

0,883

EJS

°,35²

0,0116.

Die dem Wert gü = 2,80 t/m² entsprechende Bogenkraft beträgt (nach den gleichen Tabellen)

Z²

9k &=gk • 0,0178 • — = 2,80 • 0,0178 •

24,o²

5>o

5,742 t.

Wird vom Einfluß der Normalkräfte abgesehen, dann ergibt sich im unbelasteten Gewölbe

Ego | 9k § = 31,556 -f 5,742 =r 37,298 t und es folgt daher tiir die Zusatzkraft (Gl. 79)

Eg —— 37,298 \u = — 37,298 • 0,0116 = — 0,432 t. Demnach entsteht im unbelasteten Gewölbe endgültig (Gl. 56) Hg = 37,298 — 0,432 = 36,866 t.

+ 2,039 t.

Ht = ±

Eine Temperaturänderung um + 20 ⁰ erzeugt (Gl. 45) 0.000012 • 2 100000 • 20 • o,35²

0,883 • ¹²

00

Th'

Temperati

Eigenlast

Einflußlinienordinate Nr.

o to-^<^ooo!^OOoaN-(^to o

WH-=n*w\

=>/

•n

•0

■w?ß =w\.

0,0189

0,0688

0,1350

0,2003

0,2484

0,2666

0,2484

0,2003

0,1350

0.0688

0,0189

±+i)v/7

0,0037

0,0136

0,0267

0,0396

0,0492

0,0528

0,0492

0,0396

0,0267

0,0136

0,0037

r-H

Bogertkraft

fe; fei

: °,43² • 0,975 =

— 2,80 • 0,00097 • ²4-°² = — 1,56 „ Mg~— 1,14 mt. ± ²>°39 (o,975 + 0,052) =-4- 2,09 mt. ± ²,039 (0,975 -0,052) =4. 1,88 „

0,42 lllt.

—0,0021 —0,0061 —0,0076 —0,0020 0,0152 0,0480 0,0152 —0,0020 —0,0076 —0,006l —0,0021

0,0000 0,0002 0,0003 0,0004 0,0006 0,0006 0,0006 0,0004 0,000 3 0,0002 0,0000

0,0002

0,0007

0,0014

0,0020

0,0025

0,0027

0,0025

0,0020

0,0014

0,0007

0,0002

—0,0023

—0,0066

—0,0087

—0,0036

0,0133

0,0459

0,0133

—0,0036

—0,0087

—0,0066

—0,0023

—0,0019

-0,0053

-0,0059

0,0004

0,0183

0,0513

0,0183

0,0004

-0,0059

-0,0053

—0,0019

riß.l

T'ö

• cos 99

11 d

Pko

rhu

6 • cos cp

y = ys = 0,975 m,

= 0,350 m, cos cp = 1,000,

y y — 0,975'0,0116 = 0,0113 m,

= ±350

6 • 1,0

0,052 m.

Scheitel.

?= c

fe! fei

—    0,432*4,025— .... —- 1,74 mt.

= — 2,80-0,0401 • 24,o² = —6,45 „ Mg = — 8,19 mt. =± ²-°39 • (- 4,025 4- 0,163), ±7,87 mt. =± 2,039-(-4,025- - 0,163)^4-8,54 „

0,0268 —0,0023    0,0080

0,0646 —0,0025    0,0086

0,0838 —0,0023    0,0080

0,0819 —0,0018    0,0064

0,0627—0,0012    0,0043

0,0351 —0,0006    0,0022

0,0103 —0,0002    0,0006

-0,0268 —0,0140 0,0165 0,0325 0,0535 0,0707 0,0735 0,0895 0,0737    0,0865

0,0572 0,0658 0,0323 0,0367 0,0095 0,0107

0,0789 -0,0745

—0,0578—0,0012    0,0043 [—0,0633—0,0547

—0,0186—0,0018    0,0064

—0,0600—0,0002 0,0006 — o,o6o8j 0,0596 0,0761 —0,0006    0,0022

-3

riß.

2.1

• COS (p

A.

■Ä

g“

(b soo • 9

6-0,658

0,643

?9i‘o

y y — — 4,°²5 -o,oi 16

r.

— 0,0467 m,

0,658,

0,643 in, tan²cp = 30,17 •

jo

‘i£‘i

V ⁼ “ f + Vs = — 5>o + 0,975 = — 4>°²5 m,

Kämpfer.

Tabelle der Einflußlinien für die Kernpuriktsmomente

0,02 mt.

M = 2,80 • 0,00107 • ²4>o² = . . . 1,72 „ Ma⁼¹’7 4"‘t.

Mk0 = + ²’°39 (0,037 ± 0,074) =± 0,23 mt. Mku=± ².039 (0,037 — 0,074) =± 0,07 „

M= 0,432 • 0,037 — •

0,0048

0,0208

0,0502

0,0104

—0,0149

—0,0269

—0,0279

—0,0227

—0,0146

—0,0070

—0,0018

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0003

0,0010

0,0020

0,0029

0,0036

0,0039

0,0036

0,0029

0,0020

0,0010

0,0003

0,0045

0,0198

0,0482

0,0075

-0,0185

—0,0308

-0,0315

-0,0256

—0,0166

—0,0080

—0,0021

0,0051

0,0218

0,0522

0,0133

-0,0113

—0,0230

-0,0243

—0,0198

—0,0126

—0,0060

-0,0013

d> soo • 9

riß.l

l 6-coscp

Vko

Vka

0,417

6 • 0,945

= 0,074¹¹¹ •

VI ± 0,12

y y = 0,037 • 0,0116 = 0,0004 m,

cos (p =

= 0,945,

nebst den Momenten durch Eigenlast und Temperatur.

Berechnet aut Grund der 'labellenwerte (S. 234 bis 243) für -^-=0,1876 und n = o 25.

Viertel.

~ Vv ± Vs = — 0,938 + o,975= 0,037 m, d = 0,417 m, tan²<p

2,72 ■

\rz

= 0,12,

tä %

Cb"

\ykT O

HT

Hl“

| op00

c>T

0,058

dt£ -35,o 72/    ¥0’

Neigung 7:700

8'

\6_

¥'

\2/_

•hngrffs/inie icpn

y=1,7 t/m.³

d=V1,7

5SS

p (cd=52,7

d=¥Sp

-y=2pt/m³

kr

h?%-

r—r—

+■

4-

.L

Einfiuß/inien der /fernpunktsmonente (1=1)

•Scheite/

tl

**0 .

^ | *>vH

St

I vc-

_U **0 K

<Nf

**s5

<Nf

•s.

/iämpfer

C>j

2,5 t

1,5t

3Zs_t

2,51 2,st

Ist

^0, v t/m

Sj

>1

viertel

.T»

2,51

1.111 Ijl 11111 « ^

2    >0 kf>

0^'csT

0,vt/m\

HO hJ

Vs." VC'

Opt/m/

L ängenmqßstab 1,o0,5 0    1    2    3    ¥ S O 7

■■

8    3    10m

Ordinatenmajsstab

0,01 0    0,0f 0,02 0,O3 O.oi Oos 0,06 0,87

0, 08 0, 09 0,10 m

Abb. 146.

Auswertung der Einflußlinien (Abb. 146).

Mk0=

Mku=

Mko=

Mku=-

Scheitel (Abb. 146, a).

(2,5 • 0,046+ 1,5 ■ 0,000+0,40 • 2,0 • 0,009)-24,0 - - • • (2,5-0,051 +1,5-0,004+0,40-2,7-0,oii)-24,o . . . .

•    .=    2,93111t,

•    -=    3,36 „

(2,5 • o,007 +1,5.0,005+0,40-2,8-0,002+0,40-8,5-0,005)-24,o=—i,o6 » (2,5-0,005+1,5-0,003 +0,40-2,0-0,001 +0,40 - 7,9.0,004)-24,0=—0,73 „

Kämpfer (Abb. 146, b).

(2,5-0,075 +1,5-0,063 +0,40-3,6 -0,034 +0,40- 5,9-0,024)- 24,0=    9,30 mt,

(2,5-0,089+1,5-0,077+0,40.3,8-0,041 +0,40-6,4-0,032)-24,0= 11,39 „ (2,5-0,073 +1,5-0,057+0,40-1,3-0,022 +0,40-2,2-0,024)-24,0 = (2,5-0,066 + 1,5-0,053 +0,40 • 1,0 -o,o 18 +0,40 • 1,8-0,02 i)-24,o =

Viertel (Abb. 146, c).

Mko =    (2,5-0,048+1,5-0,006+0,40-1,9-0,002+0,40- i,i-0,009)-24,0 =

Mku= (2,5-0,052 + 1,5-0,008+0,40-1,9 -o,oo 2+0,40-1,5-0,011)-24,0 =

Mko=—(2,5 -0,031 + 1,5-0,027+0,40• 2,1 -0,013+0,40 • 7,9 • 0,01 o) - 24,0=-Mku=—(2,5 •0,025 + 1,5-0,020+0,40-2,2-0,011 +0,40-7,4-o,oo7)-24,0=-

Mko— Mku-— Mko= Mku=-

7+1 » 6)4° „

3,24 mt. 3,6o „ 4,09 „ 2,95 »

Randspannungen durch Eigen- und Verkehrslast, sowie für eine Temperaturänderung um + 20° C.

Scheitel

Kämpfer

Viertel

F= bei

0,350

0,850

0,417

bd²

= 1,0 m.

0,0204    0,1204    0,0290

COS Cf

1,000

0,658

0,945

Normalspannung o₁ =

F cos cp

Biegungsmomente .    .    . Mg

io5

GM

66

94

8,19    1,74

Aus Tab. S. 284. Hg = 36,866 t. Aus Tab. S. 284.

Biegungsspannung

Spannung durch Eigenlast

fff

56

68

(7₀- °1~\~

Oii — ffj

0-2

i34

Moment durch Temperatur

Moment durch Verkehrslast

Grenzwerte der Momente durch Temperatur und Verkehr

Gu

\ Mjco

\ Mku Mk0 Mku Mko Mku ' Mk0 Mku ' Mk0 . Mku Mk0

± 2,09 ± 1,88

+ 7,87

± 8,54

2,93

3,36

— 1,06

9,3° 11,39

+ 0,23 + 0,07

3,24

3,6o

—    4,09

—    ²,95

3,47

3,6 7

—    4,32

—    3,02

Aus Tab. S. 284.

Berechnet aus den Einflußlinien (Abb. 146).

— 246

— 143

— 120

Randspannungen von Temperatur < und Verkehr

G₀ =

Mku

257

165

127

Gu —

Mk0

!54

¹²5

149

Mku

— 128

124

— 104

Grenzwerte der Randspannungen

max

max

min

306

163

315

259

263

201

—    79

—    96

— 126

32

— 68

in t/m².

-(- = Druck. — = Zug.

Die zulässige Beanspruchung von 35 kg/cm² wird nicht erreicht. Die größte Spannung ergibt sich im Scheitelquerschnitt zu 315 t/m² oder 31,5 kg/cm². Demgegenüber wurde bei der Stützlinienform die Beanspruchung (7max = 36,6 kg/cm2 ermittelt, obwohl dort die Gewölbestärke durchweg um rd. 5 cm höher gehalten wurde.

Am Kämpfer ließen wir das Gewölbe kurz auf die Stärke von 85 cm an-steigen, wie dies konstruktiv schon ohne weiteres gegeben ist (Abb. 147).

Bestimmung der Eiseneinlagen.

Scheitel.

.Oben.

= 2,7 7 t.

od = 315 t/m², ö^=79 t/m². o,35 • 79²

2.(79 + 3i5)

Eingelegt: 3 <£> 1 2 mit fe — 3,39 cm².

2770

820 kg/cm².

Unten.

3,39

(>d = 306 t/m², oa = 96 t/m².

o,35 • 96²

2 (96 -f- 306)

Eingelegt: 3 </> 14 mit fe = 4,62 cm².

= 4,0 i t.

4010

4,62

= 870 kg/cm².

Kämpfer.

Oben.

Gd= 259 t/m², Ga — 126 t/m².

y_ 0,85 -I26'²

2(l26-j- 259)

Eingelegt: 6 <£>184-3 <£> 12 mit /e = 18,65 cm2-

= 940 kg/cm².

= i7,53 b

(7

17 53o

Unten.

18,65

Ga = 163 t/m², Gg = 9 t/m². z _ 0,85 • 9²

2(94-163)

0,20 t.-

Eingelegt: 3 <£> 14 mit /e = 4,62 cm². = 43 kg/cm².

200

4,62

Viertel.

Oben.

Unten.

Z= o, Eingelegt 3 <£> 12 mit /e = 3,39 cm².

0^ = 263 t/m²,    (7a, = 68 t/m².

= 2,92 t.

0,41 7 • 682 2 (68 -[- 263)

Eingelegt: 3 </> 14 mit /e = 4,62 cm².

630 kg/cm².

(7 =

2920 4,62

Die oberen Eiseneinlagen am Kämpfer brauchen um wenig in das Gewölbe hineinzureichen, da das negative Moment rasch abnimmt.

Die Ersparnis

an Material, die bei letzterem Gewölbe gegenüber dem zuerst berechneten erzielt wird, beträgt für 1 m² Gewölbe ungefähr

an Beton 0,05 cbm,

„ Eisen 6 kg.

Bei Annahme von Durchschnittspreisen (1 cbm Beton M. 28,— und 1 kg Eisen M. 0,18) ergibt sich demnach, daß das letztere Gewölbe um rund 0,05 • 28,0 -J- 6 • o, 18 = 00 2,50 M/m²

billiger zu stehen kommt wie das erste nach der Stützlinie für Eigenlast geformte. Außerdem ist dabei in Betracht zu ziehen , daß im letzteren Gewölbe trotz der kleineren Abmessungen auch noch geringe Beanspruchungen entstehen und es demnach nicht ausgeschlossen ist, daß auch noch an Zement gespart werden kann.

Wird die Breite der berechneten Brücke zu 8,0 m angenommen, dann ergibt sich, wenn die Formgebung in der beschriebenen Weise erfolgt, bei der ganzen Brücke eine Ersparnis von ungefähr 530 M. Es verlohnt sich daher in iedem Falle, die Gewölbe in der zuletzt beschriebenen Form auszuführen.

III. Berechnung der Widerlager.

a) Ständige Last.

Der ständig wirksame Kämpferdruck besteht aus der lotrecht gerichteten Kraft Vg0 — 48,681 t und dem Schub Hg = 36,866 t. Außerdem wirkt am Kämpferquerschnitt noch das Moment Mg = — 8,19 mt; demnach geht die Kämpferresultierende durch einen Punkt um

0,222 m

8,19

36,866

unterhalb der Kämpfermitte.

Ermittlung der Gewichte.

Widerlager .

Erdaufschüttung Erddruck

\G₅ = 2,00 • 6,90 • 1,7 = 23,46 t,

. E— ¹jc, • 7,80 • 1,52 • 1,7 = 10,08 t (nach d. graph. Unters.). Aus der graphischen Untersuchung geht die Resultierende zu

Bg— 122 t

hervor. Sie erzeugt wTegen der Verteilungsfläche

F= 1,0 • 5,0 = 5,0 m²

durchweg die Bodenpressung

(7 = —

122

5>°

24,4 t/m².

Die Bodenpressung von

b) Verkehrslast und Wärmeschwankung

ermitteln wir in der beschriebenen Weise; erstere auf Grund der Einflußlinien für die Kernpunktsmomente, letztere nach den Kernpunktsmomenten unmittelbar.

= 0,89 m, U-2 =7,°7 ,

•U = 2,51 m, !h = 6,70 „

Der Abstand der Kernpunkte von der Auflagerlotrechten und der Wirkungsgeraden der Bogenkraft wurde aus der Zeichnung herausgemessen und beträgt (Abb. 147)

Die Temperaturkraft Ht = ± 2,052 t erzeugt

Mkl - ± 2,039 • 6,7° — ± 13,7 mt,

Mk2 = ± 2,039 * 7,o7 = ± 14,4 *

Einflußlinien der Kernpunktsmomente für die Bodenpressung (Gl. 60 a und 60 b).

Mk^ — Ma ~}-    J a

^k-2 — T/j “j⁻    1 a -G •

Tabelle der Kernpunktsmomente.

Aus Tab. S. 266 Ma:l

n. S.284

Ma

H:l

Aus Tab. S. 264

Va

Kernpunkt I

II ■ yY I Va • Tj

Vt.

Kernpunkt 2

H-y*\Va-X*\ Vk₂

Einflußlinienordinate Nr.

(Jv 00 O M O

O rJ-vO 00

-0,0752 -0,1315 —0,1665 -0,1799 -0,1732 —0,1500 —0,1162 -0,0794 —0,0460 —0,0204 —0,0049

-1,805

-3,156

-3,996

-4,3i8

-4,205

-3,6oo -2,789 -1,906 -1,104 -0,490 —o, 118

0,0037 0,0136 0,0267 0,0396 0,0492 0,0528 0,0492 0,0396 0,0267 0,0 r 36 0,0037

0,089 0,326 0,641 o,95o 1,181 1,267 1,181 o,95o 0,641 0,326 0,089

1,000

0,989

0,951

0,880

0,777 0,646 0,500 o,354 0,223 0,120 0,049 0,011

0,00

0,61

2,20

4,33

6,42

7,93

8,52

7,93

6,42

4,33

2,20

0,61

2,51

2,42

2,39

2,21

i,95

1,62

1,26

0,89

0,56

0,30

0,12

0,03

-2,51

-3,61 -3,35 -1,88

0,15

o ! o

0,00

0,64

2,32

4,57

6,77

8,37

0,89

0,88

0,85

0,78

0,69

o,58

o,45

0,31

0,20 0,11 0,04 0,01

-0,89

-2,04

-1,69

—0,21

1,76

3,59

4,93

5,27

4,66

3,36

i,79

0,51

*-• M M

to 4- Cb 00 O o

Es wird angenommen, daß sich die Last der Dampfwalze auf die Fundamentbreite von 6,0 m verteilt. Dann betragen die Drücke von

beiden Hinterrädern,

1,67 t

10,0

6,0

6,0

und vom Vorderrad, -= 1,00 t.

6,0

• I 'S

II

0,

I fa,

zmKi

io

ft

If

1,ff7t ^

-fO' 8' ff' V

ff

I £§

O'

V'

0,ot/n>

dl

V.J

iiiii||iii

167 t

■*o

%

TV*

■zv,oo

'S

Ordinaten -Majsstab l,pOtsO 12 3*

Abb. 148.

Mkl =

Mko =

Auswertung der Einflußlinien (Abb. 148).

r,67 • 4,05 4- 1,0 • 3,74 + 0,40 • 3,8 * i,75 + 0,40 • 6,9 • 1,48 =

¹.⁶7    • 5,°7 + i,° * 4,8o + 0,40 • 4,7 • 2,20 + 0,40 • 7,5 • 1,83 =

0,40 • 2,4 • 1,22 = —-

1.67    • 1,62 — 1,0 • 1,36 — 0,40'0,5-0,25 — 0,40 • 0,9 • 0,40 = —

Mkl=— 1,67 ■ 3,36 — 1,0 ■ 2,93 Mki =

0,40 • 2,4 -1,20

17,3 mt,

²².9    „

¹⁰.9    * 4-5 „

5m

Kräftep/an

Hg-36,866t

K,

<?

=fc

L ängenmaßsPab

600 P

\c/er ßogenkraft

Kräffematssfab

10 20 30 W    50    60    70    80    90 1001

-4-    ■■    > -.....>    .. ■. »..... t ■■    4........I    I    I ----4

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Angriffs/inie

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Abb. 147.

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Bodenpressungen durch Eigen- und Verkehrslast, sowie durch Temperatur.

4,17 m².

Widerstandsmoment W —

5,°²

ai

Grundpressung durch Eigenlast

24,4

24,4

T emperatur

Mk₂

ö₂

Mt,

± 3,3

± 3,5

Verkehr

öi =

Mlc₂

Grenzwerte der Bodenpressungen

ö₂

+ 5>5

- 1,1

4,2

— 2,6

max

P1 min —(“ 2 0,0

ff2 max

= + 32,1

in t/m²

ffg min - H⁻ 18,0

2. Berechnung des großen Bogens der Gmündertobel-Brücke bei Teufen.

Die gebotenen Ausführungen und die Tabellen sollen noch in Kürze bei einem aus der Praxis herausgegrififenen Beispiel, der Gmündertobel-Brücke bei Teufen im Kanton Appenzell, angewendet werden¹). In der Hauptsache haben wir den Nachweis der Zuverlässigkeit des hier gebotenen Verfahrens zum Ziel.

Die der Berechnung zugrunde liegende theoretische Spannweite beträgt l = 79,64 m bei dem Pfeil f — 25,50 m.

Der Gewölbeachse wurde die Form der Stützlinie für Eigengewicht gegeben. Es sei nun zunächst gezeigt, wie man diese am raschesten bestimmt.

Nachdem die Abmessungen des Gewölbes vorläufig festgelegt sind, werden die Gewichte g und g^ ermittelt. Nach den Ausführungen Seite 168 setzt sich in vorliegendem Falle bei gegliedertem Aufbau das Gewicht g aus dem Fahrbahngewicht und dem Gewölbegewicht am Scheitel (ausschließlich fiir die Wölb-konstruktion) zusammen.

9 == ~ 28,3 t/m 9k = ™ 9°,° ,, •

9 0,0 28,3

Durch Zwischenrechnung gewinnt man aus den Tabellen Seite 222 und 228 die

Ordinaten der Gewölbeachse.

Man erhält und am Kämpfer

9k

= 3,i8.

Daher wird (Gl. 3)

Punkt

Kämpfer

' Viertel

Scheitel

10

12

1,0000    0,8056 0,6406    0,5009 0,3834    ⁰,²854 0,2046    0,1392    0,0875 0,0486 0,0214 0,0053    °

25,50    20,54    16,34    12,77    9,78    7,28    5,22    3.55    2,23    1,24    0,55    0,14

Die diesen Maßen entsprechende Gewölbeachse wurde in Abb. 151 gestrichelt eingetragen ; sie liegt der endgültigen Gewölbeachse, die sich auf dem gewöhnlichen analytischen Wege ergibt, sehr nahe. Die genaue Berechnung derselben ist in der eingangs erwähnten Veröffentlichung enthalten (von Prof. Dr.

x) Als Unterlage dient die Veröffentlichung von Prof. Dr.-Ing. E. Mörsch in der Schweizerischen Bauzeitung 1909, Nr. 7, 8, 9 und 10. Daraus stammen auch die Abb. 149 und 150.

Mörsch) und wird deshalb hier nicht vorgeführt werden. Es versteht sich, daß sich die Berechnung viel bequemer gestaltet, wenn man dabei von den oben ermittelten Ordinaten ausgeht.

Im Gewölbeviertel beträgt die Ordinate yv = 5,40 m und es ist deshalb für die Gewölbeform das Verhältnis

Vv

5,4o

maßgebend.

²5>5°

0,21 x8

Zunächst soll nun untersucht werden, wie es sich mit der Querschnittszunahme verhält und wie es in der Praxis mit der Verwendung des Gesetzes 12 aussieht. Es muß dabei in vorliegendem Falle auch noch darauf Rücksicht genommen werden, daß das Gewölbe sich auch in der Breite ändert, indem es von 6,50 m (Scheitel) auf 7,50 m (Kämpfer) ansteigt. Diesem Umstand wird dadurch Rechnung getragen, wenn man anstatt der Gleichung 14 die Beziehung

6/

d = ds c

V 1 -j- tan² (p

anwendet, die gegenüber jener nur noch die Wurzel im Nenner enthält.

(y) tan² <pk

Nach der Tabelle Seite 174 wird für das angegebene Verhältnis von yv\f

= 23,73,

woraus

tan² <pk = 23,73 •

( ²5>5° V V 79,64 /

= 2,433.

Bei der gegebenen Gewölbestärke von 1,20 m am Scheitel und

2,13 m am

Kämpfer ergibt sich auf Grund vorstehender Gleichung für d die Bedingung

ft ¹ + 2,433

2,13 = 1,20 • c •

ft

7,5

woraus

c = 1,516.

⁶,5

Dieser Wert betrifft den Kämpferquerschnitt.

Nunmehr folgt aus der Tabelle Seite 175 durch Zwischenrechnen das für die Querschnittzunahme gültige Verhältnis    n = 0,288,

womit die dem Gesetz entsprechenden Gewölbestärken leicht festzulegen sind. Man erhält folgende

Tabelle der Gewölbestärken.

ly

f,

Punkt :

tan² <p

tan² cp

py~~

y I -j- tan² (p

Kämpfer

Viertel

Scheitel

10

12

23,73

¹7,59

12,92

9,39

6,72

4,7i    3,2i

2,08

1,26

0,67

0,30

0,07

1,325

1,151

i,35o

7,14

0,963

0,689

0,483 0,329

0,213

0,129 0,069

0,031

0,007

/"Aus Tab. S. 174

K7⁼°’²¹¹⁸)

1,119

1,091

1,068

1,290

7,oi

1,239

6,89

1,196

6,79

1,049

1,158

6,71

1,033

1,125

6,65

1,020

1,095

6,59

1,011 1,005 1,067 1,043 6,55 6,52

1,001

1,000

1,020

6,51

1,000

6,50

/AusTab.S. 175 \ (n — 0,288)

¹,¹54

1,128

1,098

1,078 1,060

1,045

1,032 1,023 I,OI4 1,008 1,003

1,001 1,000

1,049 1,041 1,032 1,025 1,020 1,015 1,011 1,008 1,005 1,003

1,001

1,000 1,000

2,13

(2,13)

i,94

0,96)

1,81

(1,80)

1,69

(1,68)

T59

(I,57)

i,5i

(i.49)

¹,44

(1,42)

J,38    i,33    1,29

(i,36) (1,31) (1,26)

1,26

0,24)

1,22

(1,21)

1,20 (x ,20)

sS>

-----------horizontal------------------------------steigt 6,5 A

UM

V.\

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^ V %\

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Ansicht der Ginündertobel-Brücke.

fällt o,5 %

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Oi'SZ-HJd----J

LW. 79,00

\\\

SITTERFLUSS

Abb. 149.

—steigt o,5 %

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Schnitt durch die Fahrbahn

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FunupamaqssuaADa/

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<3>-

S2 theoretische Spannweite 39,82 m — Vz Uchte Spannweite 39,50 m -

Abb. 150.

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950

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u/ut g/ßanpo/qua/i    iduj/jZ/

=/aßng 9Dt9 u/oop 3//tZ    D9S'/3punyffßunc/i/9M9qu9inpg    ^^Jv V

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ßnnuyag unjpuDMao/aquagg apujapajr

Z-OO’Z/-►,

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Die Klammerwerte entsprechen der Ausführung. Es handelt sich demnach nur um äußerst geringlügige Abweichungen, was als Beweis dafür angesehen werden kann, daß das ausgeführte Gesetz den Bedürfnissen der Praxis gut entspricht.

Es wird nun mit der eigentlichen Berechnung begonnen und den dabei sich ergebenden Resultaten jedesmal der entsprechende von Prof. Dr.-Ing. Mörsch ermittelte Wert in Klammer beigefugt.

Die gültigen Verhältnisse betragen

Uv

= 0,2118 und « = 0,288.

Die Bogenkraft liegt in

ys = 0,2174 •/= 0,2174 • 25,5 = 5,544 m (5,434 rn)

vom Scheitel.

Der Nenner des Ausdruckes für H berechnet sich

aus

Js

EN— 0,0407 ■

mit

Js =

6,50 . I,2Q³

0,936 m⁴

zu

EN= 0,0407 •

79,64 • 25,5²

.    0,936

— 2251,7 ¹jm (2221,10 ¹/m).

Es wird damit

79,⁶4

2251,7 • 6,5 • 1,2

0,00453 (0,00438).

Die von der Verformung durch die Normalkräfte herrührende Zusatzkraft Hg’ wird wegen Hgo= 1228,56 t •

Hg = — Hgo/u = — 1228,56 • 0,00453 = — 5,6 t (— 5,4 t).

Für einen Temperaturunterschied von t° = + 20⁰ C. ergibt sich mit a = 0,000012 und E— 2000000 t/m2 a t° l

2000000 • 0,000012 • 20 • 79,64

2251,7

= ± 17,0 *(± 17,2 t).

Die Verkehrsbelastung der Brücke besteht aus gleichmäßig verteilter Last von 450 kg/m² in Verbindung mit einem 20 t schweren Lastwagen. Bei der Berechnung stellte sich heraus, daß die Belastung durch Menschengedränge allein größere Momente erzeugt, als wenn dabei noch der Lastwagen in Rechnung gestellt wird. Es kommt demnach als Verkehrsbelastung ausschließlich nur gleichmäßig verteilte Last in Frage, wofür sich die Momente auf Grund der Tabellen unmittelbar berechnen lassen. Das Aufträgen der Einflußlinien ist nicht erforderlich.

Als Belastung ergibt sich bei der Belastungsbreite von 6,90 m für die Längen-p = 6,9 • 0,45 = 3,1 t/m.

Es ist zweckmäßig, zur Ermittlung der Kernpunktsmomente die Formeln

einheit

(s. 195)

6 • cos cp

Mkil = M -j- Hy (.1 + H

6 • cos cp

die noch die Verkürzung der Bogenachse durch die Normalkräfte

zu benutzen

berücksichtigen. H betrifft natürlich die der Belastung zugehörige Bogenkraft und M bedeutet das aus den Tabellen unmittelbar hervorgehende Schwerpunktsmoment*.

Die Momente werden nun für den Scheitel- und den Kämpferquerschnitt, sowie für drei in gleichmäßigen Entfernungen dazwischen liegende Schnitte berechnet. Mit Ausnahme vom Scheitelquerschnitt stimmen diese mit den von Prof. Mörsch betrachteten Schnitten nicht genau überein. Es ist dies für die Berechnung zwar belanglos, was den bezweckten Nachweis der Übereinstimmung an-

li

l//erte/

Achte/

nl

d-126

•»>

li

d-1V2 , / /

(rächst d Kämpferj

Kämpfer

Gep/ö/beachse aufGrund der 7bbe//enwerfe

25,so

S>>

d «16S cm

%-

'dff=-213an

I-

-----Scbn/fte wofür d/e e/nge/r/a/rtmerfer

Werfe ge/te/7

dff=213cm

Abb. 151.

so wird dieser weniger klar zu erbringen sein. In folgendem ist dieser

betrifft

Umstand zu berücksichtigen und zu beachten, daß der Unterschied bei den erzielten Ergebnissen auch von der verschiedenen Lage der betrachteten Querschnitte herrühren kann. Schließlich sei noch bemerkt, daß unsere Schnitte lotrecht angenommen wurden im Gegensatz zu den schrägen bei den Klammerwerten.

Scheitel.

Berechnung der Momente für Verkehrslast. 0 = 3D t/m).

y — ys= 5>54 m.

d = r, 2 o m

y‘l*= 5-54 • 0,00453 = 0,025 m-

cos (f> — 1,00

1,20

3,1 • 0,0055 • 79,6q² = 0,069 • 79.Ö4²

3,¹ •

25,50

0,200 m

6 • cos cp

108,1 mt. (0,0055 aus Tab. S. 223) (0,069 aus Tab. S. 223)

6 • 1,00

534 t.

M= — 3,1 • 0,0036 • 79,64'² = —    70,8 mt.

47,8 t.

34 •

0,062 • 79,Ö4²

25,5°

Mk0 =

M-f- Hy li — H

6 • cos cp

Io8u 4- 53,2. 0,025 — 53,2 • 0,200 =

98,8 mt. (100,5 nrt.).

Mku —

+ —-

6 • cos cp

Io8,x +    53,2    • 0,025    4- 53,2 •    0,200 =

70,8 4"    47,8    • 0,025    — 47,8 •    0,200 = —

70,8 -(-    47,8    • 0,025    4- 47,8 •    0,200 = —

120,0 mt. ( 123,0 mt ). 79U „    (—74,6    „ ).

60,0 „    (—56,1    ).

Kämpfer.

~/+.7s -    25,50

d = 2,13 m

5,54=—i9,9⁶ m,

y-v

cos (p = 0,539

-19,96-0,00453 =

2,13

0,090 m

6 • cos (p

6 • 0,539

0,659 m

3,1 - 0,0266 • 79,64² = 0,096 - 79,64²

523,0 mt.

3A •

25,5°

74,o t.

M = — 3,1 • 0,0193 • 79,64² = — 379,5 mt. 0,035 * 79,Ö4²

3,¹ •

²5,5°

27,1 t.

523,0 — 74,0 • 0,090 — 74,0.0,659 = 523,0 — 74,0 • 0,090 + 74,0 • 0,659 =

467,5 mt

565,¹ »

Mko =

Mku =

Mk0 = — 379,5 — 27,1 -0,090 — 27,1 -0,659 = — 399,8 „ Mku= — 379,5 — 27,¹ • o,°9° + 27,¹ • 0,659 ~ — 364,0 „

(501,1 mt.).

(55⁶,4 „ )• ( — 402,0 „ ).

(    344,¹ Ti )-

Viertel.

y = — !/v-\~ Us = — 5*4°+ 5,54 = 0,14™, <i = 1,42 m cos (p = 0,82 1

y •,« = 0,14- 0,00453 = 0,001 m 1,42

6 • cos <jp

6 • 0,82 1

0,288 m

A/ =

3,1 • 0,0071 • 79,64² = 0,034 • 79,⁶4²

139,6 mt.

3,¹ •

25^5°

26,2 t.

Jf= — 3,1 • 0,0089 • 79,⁶4² = — 1 79,1 mt-0,097 • 79,64²

3,¹ '

74,8 t.

25,5°

139,6 —]— 26,2 - 0,001 — 26,2 • 0,288 =

139,6-]- 26,2-0,001 -f- 26,2 -0,288 =

179,1 —j— 74,8 • 0,001 — 74,8 • 0,288 = — 200,5 „ Mku =— 1 79,1 -j- 74,8 • 0,001 -j- 74,8 - 0,288 = — 157,5 »

Mko — Mku =

132,0 mt.

U7,2 „

Mi

CO -

(107,3 mt.). . (122,0 „ (—177,3 „ (—i3i,5 „ )•

Achtel. (Nächst dem Scheitel).

y = — xj -|- ys — — 1,26 -f- 5,54 = 4,28 m, y •/< = 4,28 • 0,00453 = 0,0191x1. (i— 1,26 m cos(f — o,q6]

1,26

6 • cos <p

6 • 0,967

= 0,2 1 7 m.

11 =

3,1 • 0,0074 • 79,642 = 0,063 • 79,⁶4²

M5,5 mt-

3,¹ •

48,6 t.

²5,5°

M = — 3,1 • 0,0068 • 79,642 = — 133,7 mt-0,068 • 79,Ö4²

3A •

²5>5°

52,4 t.

145,5 “I⁻ 4⁸>6 • 0,019 — 48,6 • 0,217 = 145,5 — 48,6 • 0,019 -j- 48,6 • 0,217 =

135,8 mt. ¹ 57,° „

M]co —

Mjcu ==r

Mk0 = — 133,7 + 52,4 • 0,019 — 52,4 • 0,21 7 = — 144,1 Mku= — 133,7 + 52,4 • 0,019 -f 52,4 • 0,217 = — 1 2i,3

(133,0 mt.). (¹54,5 » )•

(—137,8    71 )-

„ (—114,2 „ ).

Achtel. (Nächst dem Kämpfer).

y — y -\-ys-= — 1 2,90-j- 5,54 = — 7,36111, y- ft — — 7,3 6 • 0,00453 —    0,033 m.

d= 1,68 m cos <^ = 0,714

1,68

6 • cos (f

6 • 0,714

= 0,392 m.

3,1 • 0,0039 ' 79,Ö4² = 0,052 • 79,64² _

76,7 mt..

²5,5°

40,1 t.

M=— 3,1 • 0,0058 • 79,Ö4² =— 114,0 mt. 0,079 • 79,64²

3,i *

²5,5°

60,9 t.

76,7 — 40,1 • 0,033 — 40,1 • 0,392 =

76,7 40,1 • 0,033 + 40,1 • 0,392 =

59,7 mt.

(106,7 mt.).

(141,0 „).

(—167,5 » )•

Mjco —

Mjcu -

Mko= — n4,° — 60,9 • 0,033 — 60,9 • 0,392 = — 239,9 „

Mjcu = — 114,0 — 60,9.0,033 -f 60,9 • 0,392 =— 192,1 „ (—120,0    ).

9i,i „

Scheitel.

Berechnung der Randspannungen.

F= 6,50 • 1,20 6,50 . 1,2o²

= 7,80 m

= D5⁶ m3

Vko = V 4

6 • cos cp

5,54 + 0,20 = 5,74 m

yku — y

6 • cos cp

5,54 — 0,20 = 5,34 „

cos cp = 1,000.

Hgo = 1 229,0 t, Hg = — 5,6 t und Ht = + 1 7,0 t.

a) Vom Eigengewicht. Hgo

O₀

Hg yku

1229,0

5,6 • 5-34

Ou

F cos cp Hgo

Hg yko

7,80

1,56

177 t/m² • (r 76 t/m²).

12 29,0

5,6*5,74

F cos cp

7,80

DS⁶

I37    *    (i39    „ )•

b) Von Verkehrsbelastung. H-ku

ö₀ =

I 20,0

1,56

77 t/m² •    (79 t/m³).

Hko

79,²

Oo =

Hku

1,56

60,0

(48    „ ).

1,56

38    „ * (—36 „ ).

Ou

Hko

9⁸,8

1,56

— 63 „ * (—64 „ )•

c) Von Temperatur.

Hf yku

o₀ = —

17,0 * 5,34

IT

1,56

= ± 58 t/m² • (+ 58 t/m²).

Ou =

Ht yko

17,0 • 5,74

1,56

= ±62    „    -(±62    „ ).

Kämpfer.

15,83 m

5,62 m³,

yko = — 19,96 -f °,66 = — 19,30 m, yku — —19,96 — 0,66 = — 20,62 „ cos cp = 0,539.

7,43 * ²,i3 7,43 * 2,i3²

a) Vom Eigengewicht.

12 29,0

G₀ =

5,6 • 20,62

Gu

15^3 • 0,539

1229,0

5/⁶²

= 124 t/m² • (127 t/m²).

5,⁶ • *9,3°

15,⁸3 -0,539

5,⁶²

= i63    „

' (i65 „ )•

b) Von Verkehrsbelastung.

565,¹ _

G₀ =

5,⁶²

100 t/m² •

(99 t/m²).

Gu —

399,8

5,⁶²

(7² „ )•

G₀ = —

3⁶4,o

5,62

o\

Gu —

467,5

5,62

c) Von Temperatur.

o₀ = dz

⁸3    „ • (~⁸9 » )•

17,0 • 20,62

5,62

= dz 62 t/m² • (et 62 t/m²).

Gu = de

17,0 • 19,30

5,62

58 t/m² • (zt 60    ).

Viertel.

F— 6,71 . 1,42 = 6,71 • I,42²

9,53 m²,

W=

2,26 „

Vko = 0,14 + 0,29 =

Vku — 0,14 — 0,29 = — 0,15 „ cos cp = 0,82 I.

0,43 „

a) Vom Eigengewicht.

1 2 29,0 9,53 • 0,821 1229,0

G₀ =

5,6 • 0,15

Ga —

2,26

5,6 • 0,43

¹5 7 t/m²-(145 t/m²)

9,53 • 0,821

2,26

== j56 *    -(i54    „ )•

b) Von Verkehrsbelastung.

147,²

o₀ —

2,26

65 tm/² •

(49 t/m²).

Gu —

200,5

2,26

⁸9 „    •    (7²    „ )•

g₀ = —

¹5 7,5

2,26

7° „ -(—53 „ )•

Gu —

132,0

2,26

— 59 „    - (— 43    „ )•

c) Von Temperatur.

cr₀ = de

17,0 • 0,15

2,26

dz 1 t/m² (de 14 t/m²).

Gu = de

i7,o • o,43

= de 3 „ (±12

„ )-

Achtel. (Nächst dem Scheitel).

F— 6,55 • 1,26 = 8,25 m²

6,55 ’ A26²

a) Vom Eigengewicht.

D73 m3

yko = 4,28-f-0,22 = 4,50 m, * Vku— 4,28 -0,22 = 4,06 „ cos cp = 0,967.

G₀ =

12 29,0

5,6 • 4,06

Gu =

8,25 • 0,967 1229,0

V73

5)6 • 4,5°

= 167 t/m² • (169 t/m'²).

8,25 • 0,967

V73

140    „    -(142

, )•

b) Aron Verkehrsbelastung.

VS 7,o

Go =

V73

91 t/m² • (    91 t/m²).

Gu =

144,1

V73

83 „ • (    81 „ ).

G₀ = —

1 2 1,3

V73

— 7°    „ *(—67    „ )•

135,8

Gu —

c) Von Temperatur.

Os = i -

¹,73

— 78    „ .(—78    „    ).

17,0 • 4,06

V73

+ 4° t/m² (± 40 t/m²),

gu = dr

i7,o • 4,5°

V73

Achtel. (Nächst dem Kämpfer).

F =

7,01 • 1,68 = 7,01 • i,68²

11,78 m2 3,30 m³

cos <p — a) Vom Eigengewicht.

yko = — 7,36 + 0,39= — 6,97 m Vku=—7,36 — 0,39 = — 7,75 » 0,714.

G₀ =

12 29,0

5,6 • 7,75

I 1,78 • 0,714

Gu =

1 2 29,0

3,3°

5,6 • 6,97

133 t/m² • (135 t/m²).

11,78 • 0,714

b) A on Verkehrsbelastung.

9¹,¹

3,30

= !5⁸ „ • (164 „ )•

(7₀ =

Gu =

3,30

239,9

28 t/m² • (39 t/m²).

3,3°

73    „    • (46 „ ).

o₀= —

192,1

3,3o

= — 58    „    -(33    „ )•

Gu —-

59,7

— 18

» * (²9 » )•

c) Von Temperatur.

o₀ — ±

*7,o • 7,75

3,3°

= ± 40 t/m² • (+ 48 t/m²).

Ou = ±

17,0 • 6,97

• 3,3o

+ 36    „ • (=L 46    „ ).

Hiermit ergeben sich die

Grenzwerte der Randspannungen (in t/m²).

Schnitt

Eigen

last

Verkehr

T emperatur

Grenzwerte.

Scheitel

+ *77 + 77

+ *3 7 + 5 ¹

Achtel

nächst dem< a° Scheitel °u

+ 167 + 91 + 140 + 83

—    38 +58

—    63    —j— 6 2

—    7° +4°

—    78    + 44

58

62

40

44

Viertel

\Oo

-i57 +

) Ou

+ !5⁶ +

00 CH * \Q Cn

7°

59

Go M

Achtel

nächst dem. G° Kämpfer °u

+ *33 +

+ !5⁸ +

—    58

—    18    +36

_i_

40

40

36

Kämpfer

fo₀

\Ou

+ 124 +

+ 163 + 71

100

— 65    + 62

-83 +₅S

62

58

+312(+3i3)+ 81 (-(-82)

+ ²5°(+ ² 49 j + i2(-j- ¹3)

+ 2₉8(+3°o)+ 5 7 (+62) + 26 7 (+269) + 18 (+18)

+ 223(+ 2o8)+ 86(+78)

+ 248(+ 238) + 94(+₉₉)

+ 20l(+ 22₂) + 35 (+54)

+ 267(^-256) +104 (+ 89) + 286 (+ 288) —    3(+ 4)

-f 2₉2(+297) + 22(+ 16)

Wie ersichtlich, stimmen die Endergebnisse sehr gut mit den von Professor Mörsch ermittelten überein. Es ist beim Vergleich, wie schon bemerkt wurde, darauf Rücksicht zu nehmen, daß nicht alle betrachteten Schnitte genau zusammenfallen, und daß die vorliegenden Differenzen vorwiegend diesem Umstand zuzuschreiben sind.

IV. Abschnitt.

Das durchlaufende Brückengewölbe auf elastischen

Pfeilern.

GOO

-o

'<

CT

<D

O)

Qfl

<L>

' ri

Die Anordnung von Gewölbe neben Gewölbe führt zu der durchlaufenden Gewölbereihe, die man in Verbindung mit elastischen Pfeilern im Brückenbau hauptsächlich bei Talbriicken trifft.

Entgegen den gewöhnlichen Verhältnissen, wobei die Gewölbekämpfer starre Widerlager finden, die Bewegungen derselben ausschließen, liegt hier der Fall vor, daß die elastischen Pfeiler den auf sie wirkenden Kräften etwas nachgeben.

Abb. 152.

Von den in

Die Gewölbe kann man daher nicht als fest eingespannt ansehen.

Betracht kommenden Bewegungen treten hauptsächlich seitliche Bewegungen der Pfeilerköpfe hervor, während Verdrehungen wegen der großen Starrheit der Pfeiler nur von geringer Bedeutung sind. Eine noch untergeordnete Rolle wie diese Verdrehungen, spielen die elastischen lotrechten Bewegungen der Stützenköpfe.

Um die gestellte Aufgabe in recht einfacher Weise der Lösung zuzuführen berücksichtigen wir ausschließlich nur den vorherrschenden Einfluß der seitlichen Bewegungen, und nehmen daher an, daß sich die Pfeilerköpfe nur verschieben; Drehungen dagegen schließen wir aus Durch diese Annahme wird eine äußerst einfache Ermittlung des Einflusses der Pfeilerelastizität erzielt, bei praktisch hinreichend genauen Resultaten. Ein besonderer Vorteil ergibt sich dabei durch den Umstand, daß die Pfeilerelastizität noch nachträglich, wenn das Gewölbe als eingespannt bereits berechnet ist, berücksichtigt werden kann.

x) Dr. Max Ritter, „Beiträge zur Theorie und Berechnung der vollwandigen Bogenträger ohne Scheitelgelenk“. Verlag von W. Ernst u. Sohn, Berlin.

§ 20.

Näherungsberechnung der durchlaufenden Brückengewölbe.

1. Elastizitätsgleichungen.

Wir bezeichnen die der Pfeilerelastizität entsprechende Bogenkraft der Öffnung lr mit d Hr, und die Bogenkraft die bei starren Pfeilern entsteht mit Hr. Im Gewölbe auf elastischen Pfeilern wirkt daher die Kraft Hr -|- d IIr, und es ergibt sich für die Verschiebung der Kämpferquerschnitte (Abb. 153)

dlr “J“ d\r + I — — P <S>hr “l⁻ (Hr -j- / Hr) Ör .

Hr+AHr

fff

Hr>i-AHdt~—¹—

Hr -1

y/X'/y

Hri-AHr

Hr+1+ AHr-t-l

! Alr

7m

T+1

Abb. 153.

Diese Bogenkraft erzeugt mit derjenigen der angrenzenden Öffnungen vereint die Pfeilerkopfverschiebungen

dir = K (Hr-\-dHr — Hr_z — d Hr _ 0, dlr 4- 1 — hr + 1 (df ~j⁻ d Hr    Hr _j_ x ‘ d Hr _j_ j).

Durch Verbinden dieser Gleichungen entsteht

(Hr _ z —|— d Hr — j) kr — (Hr ~j~ d Hr) (dr —f~ hr ö⁻ ö + 1)

-j- (Hr + 1 d Hr q x) hr + 1 - ~ P ^hr ⁼ °-

Hr= -

und wegen

ZPdhr

ö;

folgt

(Hr _ j -j- d Hr _ j) — (Hr -j- JIIr) (dr -f- hr -j- kr + 1)

+ Hrdr' = o .    .    (1)

(H,.

-j- d Hr + ,) Xr

k bedeutet die Verschiebung eines Pfeilerkopfes infolge H = 1 ; der Zeiger gibt dabei den Pfeiler an, um den es sich handelt.

Die entwickelte Gleichung enthält die Bogenkräfte dreier aufeinanderfolgender Öffnungen ; sie läßt sich für jede Öffnung einmal anschreiben, und gestattet daher die Ermittlung aller Unbekannten.

von

Es ist hervorzuheben, daß die hier in Frage kommenden Balkenmomente denjenigen für das eingespannte Gewölbe nicht verschieden sind, da hier ebenso wie dort Lagerverdrehungen ausgeschlossen wurden. Außerdem stimmt auch die Lage der Bogenkraft mit derjenigen beim fest eingespannten Gewölbe überein.

Durch Einführung dieser Ausdrücke in Gleichung 2 entsteht

i 4 n -f- »²

(3)

X' =

h³

EJ₀

1

/(

— (1 — n) ) |² d

J t>

h ³ (1 -j— 3 »)

1 2 EJ₀

X"

h?

EJ₀.

6 EJ₀

— A-

EJ₀ J v

— (1 — n)f) dX

h(¹ +»)

2 EJ₀

CK> .

CO

Die obenstehende Gleichung wird noch eine zweckmäßige Behandlung und Umformung erfahren, so daß sich der Einfluß der Pfeilerelastizität rasch bestimmen läßt. Zuvor sollen jedoch folgende Ausführungen Raum finden.

2. Die Pfeilerelastizität.

Sollen sich die Pfeilerköpfe wie vorausgesetzt verschieben, also ohne sich zu drehen, dann muß außer der horizontalen Kraft am Stützenkopf noch ein Moment vorliegen, damit die Verdrehung verschwindet.

. Es wird

die Verschiebung /1\ = HX' -j- MX", die Verdrehung

Wird beachtet, daß nach dem Satze von der Gegenseitigkeit der Formänderungen a = X" sein muß, dann folgt daraus wegen

Jt = m

x = r

H . ____

r²

o — Ha -f- Ma'.

(2)

Bekanntlich ist

X' — f X* dw, .X" = f x div und a" =f dw.

In der Regel werden die Pfeiler nach oben zu immer schwächer, so daß man das Trägheitsmoment nicht als beständig ansehen kann. Wir berücksichtigen die Änderung durch das Gesetz

Abb. 154.

worin

Jo

Ju

Dasselbe entspricht ungefähr einem Pfeiler von der in Abb. 154 dargestellten Form. Das elastische Gewicht eines Bogenelements beträgt

und es ergibt sich damit

d w = h (1 — (1 — n) g) d £,

;₌_

36 EJ„

Bei beständigem Trägheitsmoment folgt (n = 1)

h³

12 EJ₀

•    •    (4)

3. Berechnung der Zusatzkraft infolge der Pfeilerelastizität.

Denkt man sich die einzelnen Gewölbe gewichtslos, dann entstehen, soferne nicht alle Öffnungen belastet sind, in den unbelasteten Öffnungen Kräfte, die ausschließlich nur von der Pfeilerelastizität abhängen. Für diese außer dem Bereich der Belastung liegende Gewölbe lautet Gleichung i

JHr _ x K - H Hr (dr + lr + K + x) -j- H Hr

Ir-7

lr

Zr+1

•w*

r+1

r-i

Abb. 155.

Wenn man von einem Endwiderlager ausgeht, läßt sich nach dieser Gleichung das Verhältnis einer jeden Kraft zu derjenigen der nächstfolgenden Öffnung bestimmen, Es ergibt sich unter Bezugnahme auf Abbildung 155

-jh₁ (*,'+VHk)-M®A=<<; -fi=h

jh₁ 4 - Jh, (<y+44-x„)+jh₃=0; ^=h

<v+vi-*2

Z₃

(6)

Öh

•    •    (7^)

Allgemein bestimmt sich

JHr-x

JHr

oder von rechts beginnend z/ Iir 4.!

JHr

lr

d/i ,r — 1 1 Z-y —j— lr — i Ö    ö’ ■— i)

lr

~j“ 4+i"f4 + j(I — kr + 2)

Bedingung ist hierbei, daß bei kr die Belastung rechts neben der Öffnung links davon liegt. Folgt einer unbelasteten Öffnung eine be-

lr, und bei kr

lastete, so ist in obigen Verhältnissen (Gl. 7a und 7b) unter der Kraft im Nenner die gesamte Bogenkraft zu verstehen. Um dies einzusehen, braucht man sich nur bei den Gleichungen 6 (in der letzten Reihe) unter J #₄ die Bogenkratt einer belasteten Öffnung H₄ -j- JH₄ vorzustellen.

Ist nur die Öffnung lr belastet, so können demnach die Verhältnisse

*v —

JHr-x Hr -j- J Hr ’

kr

J II

Hr-\- JHr

mit Gleichung 1, die nunmehr wegen Hr _ T = Hr + z = o

JHr_₁lr — (Hr + J Hr) (d/ + lr -f lr + x) + 4 Rr + x K + x + Hrdr’ = O

lautet, verbunden werden. Es entsteht dann

(Ilr-\-JHr) kr K — (Hr -f JHr) (d'/+ lr + lr + ,) + (Hr +JHr) K + x K + x+#r dr'= °

kr + x)) — Hr dr = O ,

oder

(Hr + JHr) (dr' + K (l ~ K) + K

(l

woraus

J Hr = — Hr •

dV

• • (8)

lr (l — kr) -j- l>- + x Ö kr 4- xj

dr' entspricht dem zur Ermittlung der Bogenkraft Hr gültigen Nennerwert N, und kann den Tabellen entnommen werden. In der durch die Gleichungen 6 und 7 angedeuteten Art berechnet man vom linken Endwiderlager ausgehend das Verhältnis kr; in gleicher Weise bestimmt man kr lager beginnt und nach links vorgeht.

indem man am rechten Wider-

+ i)

Die Kraft zl IIr erzeugt in der belasteten Öffnung das Bogenmoment

•    •    (9)

M- — zlHry

Man braucht dasselbe nur zu dem Schnittmoment des unter der Annahme starrer Kämpfer berechneten Gewölbes hinzuzufügen, um das Moment des durchlaufenden Gewölbes auf elastischen Pfeilern zu erhalten. Es zeigt sich hierbei wie außerordentlich einfach sich die Berücksichtigung der Pfeilerelastizität gestaltet.

Die unbelasteten Gewölbe erfahren nur geringe Biegungsmomente, und dies umsomehr, je weiter dieselben von der belasteten Öffnung entfernt liegen. Sie haben als einzige Ursache die Kraft zl II für das betreffende Gewölbe.

Hinsichtlich der Pfeiler läßt sich sagen, daß diese infolge ihrer Elastizität geringeren Kräften ausgesetzt sind, als wie sich bei der Annahme vollständiger Starrheit ergibt.

Gleichung 8 ist umso zuverlässiger, da die Größe der Kraft zl H von den Verhältnissen außerhalb der betrachteten Öffnungen nur wenig abhängt, h ist imlner nur sehr klein und in Gleichung 8 fast belanglos ; die Werte von d' und I aber, die die belastete Öffnung und die Pfeiler daneben betreffen, sind desto bedeutender.

4. Das kontinuierliche Gewölbe über unendlich vielen gleichen Öffnungen.

In der Praxis findet man durchlaufende Gewölbereihen meistens mit gleichen oder nur wenig voneinander verschiedenen Spannweiten, da die Pfeiler, sofern sie einigermaßen schlank sind, keine exzentrische Belastung vertragen.

Es ist dann

ly - ly_, - 1

r -fl

womit nach Gleichung 7a

— 1, d jiy — $ kr — 1 — N)    ky — kr — 1 — k y _j_ — k}

AT4- 2 X — Xk ’

oder

'I 1 vi■

.    .    (10)

In einem Mittelfelde ergibt sich gemäß Gleichung 8

zlH= — H•

AT

.    . (na)

2 X (1 -— k)

oder

.    . (Mb)

AT

In einem Endfeld entsteht

1H— — H-

.    (12 a)

X (1 — k)

oder

J11= — 11.

.    . (ä 2 b)

¹ H- ¹ +

5. Rechnungsbeispiel.

Wir betrachten eine Gewölbereihe auf elastischen Pfeilern von den in Abb. 156 eingetragenen Abmessungen. Über die Anzahl der Öffnungen sei zunächst nichts gesagt; wir werden diese, um später Vergleiche anstellen zu können, verschieden annehmen.

Jfv    ds= 70cm

5,0771

—*------

71=0,25

Hif-0,20

50,0

-50,0-

50,0

= ¥,50

_.b=3,OT7i

Abb. 156.

Bei einer Scheitelstärke von 70 cm und der Gewölbebreite von 5,0 m wird das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts

0,143 m⁴.

JS =

5,° • °,7°³

Für die angenommenen Verhältnisse n — 0,25 und y\f= 0,20 ergibt sich nach den Tabellen (S. 228)

l f²

KN — Kd' = 0,0363 • -4— = 0,0363 •

50,0 - 7,o²

Js

= 622 ¹j m.

0,143

Der Querschnitt des 20,0 m hohen Pfeilers betrage am Kopf 2,5/5,0 m und am Fuß 4,5/9,0 m. Es wird daher

J₀ =

5,° • ²,5³

6,5 m⁴,

J« =

9V • 4,5³

68,3 „ ,

folglich

Jo

11 = —

6,5

Ju

68,3

— °,°95-

Ändert sich das Trägheitsmoment nach dem angeführten Gesetz, dann folgt nach Gleichung 3

Kl

h³

1 -j- 4 n -j- 7i2 1 —|— 11

1 + 4 • o,o95 + °,°95²

36 Jo 20,03 36 • 6,5

Wir denken uns nun ein starres Endwiderlager und berechnen nacheinander das Verhältnis k (Gl. 6)

~b °,°95

= 43 t/m.

am ersten Pfeiler k = —

43

622 + 43

= 0,065,

n zweiten „

43

622 -j- 2 • 43 — 43 • 0,065

0,061.

,, dritten „

= 0,061.

43

522 -f 2 • 43 — 43 • 0,061

Wie man sieht, bleibt der zweite Wert von k schon konstant. Gleichung 10 hätte für einen mittleren Pfeiler

k = 1---

622

unmittelbar geliefert.

2 • 43

b+v

4 • 43 622

— 0,061

In einem Mittelfeld findet man JH nach der Gleichung iia

2/(1 — k)

bei drei Öffnungen mit Je = 0,065 zu

JH= — H •

622

= — H- 0,114,

2 -43-(i — 0,065) und bei unendlich vielen Öffnungen mit k = 0,061 zu

///=—//•

622

== — H • 0,11 5.

2-43 • (I — 0,061)

Für die Endfelder wird auf Grund von (Gl. 12 a) JH= - H-

¹ +T(7^T)

bei zwei Öffnungen mit £=0,065

J H = — II -

622

= — H • 0,061

bei drei Öffnungen mit k — 0,061

43 • (1 — 0,065)

622

— — II • 0,061

43 • (T — 0,061)

bei unendlich vielen Öffnungen mit k = 0,061

62 2

— — II • 0,06 1.

43 • (1 — 0,061)

Wenn die Anschlußöffnungen überhaupt fehlen, dann ergibt sich mit k = o

JH= — II-

8' 6'

0'

622

= — H - o, 11 2.

\;

2 • 43

Es zeigt sich hierbei

/'"'FL—

j\!

V,

daß die Anzahl der Öffnungen fast gar nicht in Betracht kommt.

-Pfe/Jer e/asfisch >

----Pfe//er starr , 1

Abb. 157.

Abb. 157 stellt die Einflußlinien für den Scheitel- und Kämpferquerschnitt einer Mittelöffnung dar. Es wurden zu deren Bestimmung die Einflußlinienordinaten für das Gewölbe mit starren Kämpfern aus den Tabellen (S. 229 und 230) entnommen und dann noch -JH-y oder H-0,115-y hinzugefügt. Auch H ging gleichzeitig aus der Tabelle Seite 228 hervor.

S. 61

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