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B.blioteka Politechniki Krakowskie)

100000300596

-f

Heft 22: Der EinfiuB der Längs- und Querkräfte auf statisch unbestimmte Bogen- und Bahmentragwerke. Von ®r.=2jnq. Rueb, Städt. Ingenieur.

Mit 6 Textabb. u. 3 Tafeln. 1914.

geb. 2,60 M.

Heft 23: Die Berechnung der freiaufliegenden, rechteckigen Platten. Von $)r.=2jttfl.

Mit 26 Textabb. u. 2 T

M. Leitz.

afeln. 1914.

geh. 3,60 M.

Heft 24: Der doppelt gekrümmte Träger und das schiefe Gewölbe im Eisenbetonbau. Ein Beitrag zu ihrer Berechnung. Von    H. Marcus.

Mit 23 Textabb. 1914.

geh. 2,80 M.

Heft 25: Die Rammwirkung im Erdreich. Versuche auf neuer Grundlage. Von    K. Zimmermann, Königl. Re-

gierüngsbaumeister.

Mit 118 Textabbildungen. 1915.    geh. 6,— M.

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Forscherarbeiten

AUF DEM GEBIETE DES

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DIE BERECHNUNG DER FREI AUFLIEGENDEN, RECHT-. \ ECKIGEN PLATTEN /

HEFT XXIII

PREIS 3,60 MARK

VON

®i.=Sn₀. HEINRICH LEITZ

Mit 26 Textabbildungen und 2 Tafeln

öffentlichen Arbeiten

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BERLIN W.

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Alle Rechte* insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprache)}, vor behalten.

Die Berechnung

der frei auf liegenden, rechteckigen

Platten

Von

2>r. Sng. HEINRICH LEITZ

Mit 26 Textabbildungen und 2 Tafeln

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öffentlichen Arbeiten )j

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BERLIN 1914

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn.

111-30^3

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, Vorbehalten.

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EINLEITUNG.

Es sind in der technischen Literatur in den letzten Jahren zahlreiche Versuche gemacht worden, die Werte der Momente der frei aufliegenden rechteckigen Platte zu bestimmen, teils auf Grund der Kirchhoffschen Plattentheorie, teils auf Grund mehr oder weniger wahrscheinlicher Annahmen. In dieser Arbeit soll die exakte Lösung des Problems, welche Navier schon 1820 vor Aufstellung der Grundgleichungen der Elastizitätstheorie fand, wieder in Erinnerung gebracht werden und ihre Anwendbarkeit für alle technisch wichtigen Belastungen gezeigt werden. Es zeigt sich, daß die Methode genauer, leistungsfähiger und weniger zeitraubend ist als die sonst angewendeten. Die Ergebnisse sind im Abschnitt D ausführlich diskutiert und mit anderen verglichen.

Karlsruhe, im August 1913.

5)r.=3ätg. h. Leitz.

INHALTSVERZEICHNIS.

Sammlung der Bezeichnungen.

A. Theorie der Biegung¹ ebener Platten.

1.    Allgemeines und Annahmen...........

2.    Deformationsgrößen der Platte..........

3.    Zusammenhang zwischen Deformation und inneren Kräften

4.    Transformationsgleichungen und Hauptmomente ....

5.    Die Querkraft ...............

' 6. Gleichgewichtsbedingungen...........

7.    Randbedingungen..............

8.    Aufstellung der Differentialgleichung........

9.    Verteilung der Querkraft über den Querschnitt ....

10.    Größtwerte der Spannungen und Dehnungen.....

11.    Kritik der Theorie..............

B. Lösungen der Differentialgleichung für rechteckige, frei auf liegende Platten.

1.    Die einfache Lösung lmn.....................

2.    Die Naviersche Doppelreihe und Bestimmung ihrer Koeffizienten........

3.    Berechnung von A für verschiedene Belastungen.............

4.    Gleichungen für Momente und Querkräfte................

5.    Allgemeine Beziehungen......................

6.    Reihen für die Belastung p .....................

7.    Die Levysche Reihe für die einseitig unendliche Platte...........

C. Zahlen werte und Tabellen.

11

12

14

16

17

19

20

1.    Die Durchbiegung..............

2.    Momente bei gleichförmiger Belastung.......

3.    Mittel- und Eckmomente bei Konzentrierung der Belastung

4.    Momente bei Einzellast in der Mitte........

5.    Querkräfte und Auflagerdrücke.........

6.    Anhang..................

23

25

31

33

37

40

D. Zusammenfassung der Ergebnisse.

1.    Die Durchbiegung...................

2.    Ersatz- und Spannungsmomente bei gleichförmiger Belastung ...

3.    Ersatz- und Spannungsmomente bei Konzentrierung der Last . . .

4.    Querkräfte und Auflagerdrücke..............

5.    Das Problem der rechteckigen, frei aufliegenden Platte in der Literatur

41

42

49

52

* ■;

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T ,

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io

Os

Sammlung der Bezeichnungen.

Koordinatensystem in derhorizontalen Ebene, Ursprung in der Ecke der rechteckigen Platte liegend, die X-Achse längs des kurzen Randes, die X-Achse längs des längeren Randes (Abb, 1).

Durchbiegung der Mittelebene der Platte; positiv nach oben.

Abstand eines Punktes innerhalb des Plattenvolumens von der Mittelebene; positiv nach oben.

Durchbiegung der Platte für eine sinusförmig verteilte Last.

Koordinate parallel der langen Randseite, vom Angriffspunkt der Einzellast aus gerechnet.

kurze Spannweite der rechteckigen Platte.

längere Spannweite der rechteckigen Platte.

Seitenverhältnis = — • a

Koordinate des Angriffspunktes einer Einzellast parallel der kurzen Spannweite.

dasselbe parallel der längeren Spannweite. Beide auch als Koordinaten der Ecken eines in dem Plattenrechteck liegenden Belastungsrechtecks benutzt.

ohne Index; Verhältnis der Quadratseite eines innerhalb des Plattenrechtecks befindlichen Belastungsquadrats zur kurzen Spannweite.

Winkel in der ^y-Ebene zwischen der X-Achse und der Normalenrichtung eines Schnittes.

Normalenrichtung eines Plattenquer Schnittes.

Tangentenrichtung desselben Querschnittes, zur n-Richtung liegend wie y zu x.

Höhe der Platte.

deren Trägheitsmoment für eine Längeneinheit der Schnittkurve

h³

12 '

Widerstandsmoment wie eben =

7z²

ohne Index; alle ganzen Zahlen von

1 bis oo.

alle ganzen Zahlen von 1 bis oo. alle ungeraden Zahlen von 1 bis OO; kommt m und jj, in derselben Gleichung vor, so ist = 2 m — 1

und m

₌ »u + 1.

wie vorstehend, y = 2 n — 1 und y-\- 1

Oy

On, Gy, Gz Ixy

'Sy z, Tzx 'Sns

Sx, Sy, Sz

Sn

'' x y, Sy z Szx, Sns

(Gx)

Gi, Gu

der Youngsche Elastizitätsmodul. Verhältnis der Querdehnung zur Längsdehnung (Poissonsches Verhältnis oft mit -i- bezeichnet). m

Schubmodul

2(1-H)

Normalspannung in der Schnittfläche

mit der Normalen parallel x; positiv wie die X-Achse, entsprechend wie vorstehend. Schubspannung in der Ebene mit der Normalen x parallel der positiven X-Achse, oder umgekehrt, sinngemäß wie vorstehend. Dehnungen in der Richtung der Indizes.

Schiebungen der Ebene mit der Normalenrichtung des ersten Index, nach der positiven Richtung des zweiten.

Ersatzspannung = ESx, d. h. diejenige Achsialspannung, die einen Stab um s% dehnen würde. Desgleichen für {Gy), {Gz).

Hauptspannungen.

%, Wjr Winkel der Normalen der von den Hauptspannungen beanspruchten Querschnitte mit der X-Achse. Ersatzhauptspannungen, schiefe Hauptspannung in der Höhe der neutralen Fläche und in einer unter 45° gegen die Mittelebene geneigten Ebene.

schiefe Ersatzhauptspannung wie vorgenannt.

Mx, My Verschiebungen eines Plattenpunktes parallel x und y.

mx, wiy Spannungsmomente der ßx bezw.

für eine Längeneinheit Breite des Schnittes mit der Normalen x

(°l)» (°u)

(tx)

(o⁻)

(woo) Ei

jenige Moment eines einfachen Balkens, das ihm dieselbe Biegung verleihen würde, als in der X-Richtung vorhanden ist. Desgleichen (my).

Ersatztorsionsmoment = jEi ■

d²Z

d²Z

d²z

dx²

d²Z

dy²

dx dy

w)⁼{mx)⁺{my)-

tx

H'-ou

(wix)

bezw. y positiv, wenn oben Druck hervorbringend, und aus-geübt von dem im Sinne der positiven X- oder X-Achse vorwärts liegenden Plattenteil auf den rückwärtigen.

Spannungsmoment der Schubspannungen Txy für eine Längeneinheit des Schnittes mit der Normalen x positiv, wenn eine negative Schubspannung oben hervorbringend, und ausgeübt von dem im Sinne der X-Achse vorwärts liegenden Plattenteil auf den rückwärtigen.

Summe zweier Schnittmomente nix und wiy.

Ersatzmoment = Ei ■

d²Z

dx²’

d. h. das-

da;²

m\, Win Hauptspannungsmomente.

©I, ©ji Richtungen der Schnittnormalen der Hauptspannungsmomente. Hauptersatzmomente.

Querkraft im Schnitt mit der Normalen n; positiv nach oben. Auflagerdruck längs eines Randes mit der Normalen n\ positiv nach oben.

Last für eine Flächeneinheit der Platte, gleichförmig verteilt; positiv nach unten.

Belastung eines Randträgers für eine Längeneinheit; positiv nach unten.

Abkürzung für 0 + 2 00

d‘‘ =J--Sz.

Biegungsmoment eines Randträgers, in jeder Ecke einer rechteckigen Platte auftretende Einzelkraft; positiv nach oben.

Basis der natürlichen Logarithmen.

(wii), (wiu)

dyi

A*

Die inneren Kräfte sind gekennzeichnet durch die Normale der durch sie beanspruchten Schnittfläche (mx, Gx, gm ax usw.) und ersetzen die Einwirkung des im Sinne der positiven Normalen vorwärts liegenden Teils auf den rückwärtigen.

Durch Klammern eingeschlossene Buchstaben bedeuten Ersatzgrößen [(>wx), (tx), (&x) usw.].

Römische Ziffern kennzeichnen Hauptspannungen, Momente usw. und deren Richtungen

[(öl)- w»ii- ©i]-

Ein Stern bezeichnet Größen in der Ecke einer Platte (tx•*> ^4*).

Eine angehängte Null kennzeichnet Größen in der Mitte der Platte [z₀, mXo, (^x)oJ-

Alle Größen, die auf die Längeneinheit des Schnittes bezogen sind, haben kleine lateinische Buchstaben (mx> qxi p), solche, die auf eine Flächeneinheit bezogen sind, deutsche oder griechische (p, 6, r).

A. Theorie der Biegung* eibener Platten.

1. Allgemeines und Annahmen.

Die annähernd ebene Platte werde nur durch Kräfte senkrecht zu ihrer Ebene belastet und nur durch Momente, deren Drehachse in der XY-Ebene liegen.

Das Material folge dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz nach den Gleichungen

£x — E

[öa? — ^ (°</ -i⁻ °a)]

. . 1)

exy — q rxy

usw.

Die Deformation sei so klein, daß jedes Linienelement ds einer Kurve der unverzerrten Plattenmittelebene gleich dem der durchgebogenen gesetzt werden kann.

Es soll ferner eine zur ungebogenen Mittelebene der Platte senkrechte Gerade während der Deformation gerade und senkrecht zur Mittelebene bleiben.

Die Normalspannungen az seien klein und vernachlässigbar.

Gesucht sei die größte Dehnung irgend eines Linienelements des Plattenkörpers, die unter dem Betrage bleiben soll, der für einen in seiner Längsrichtung beanspruchten Stab bei gleichem Sicherheitsgrad als obere Grenze erachtet wird. Aus praktischen Gründen wird aus der Maximaldehnung durch Multiplikation mit E eine ideelle Spannung, die Ersatzspannung, gebildet:

2)

(o) = Es,

die in der Platte nicht vorhanden ist, die aber diejenige Spannung darstellt, die in einem Stab bei einfacher Zug- oder Druckbeanspruchung die Dehnung s hervorbringen würde. (a) soll über die bei ebenen Trägern üblichen Grenzen nicht hinausgehen.

Leitz, Berechnung der Platten.

2. DeformationsgTÖÜen der Platte.

Die Mittelebene der Platte biegt sich zu einer schwach gekrümmten

Fläche durch, deren Tangente in der X-Richtung die Neigung —, in der

3x

Y-Richtung ~ hat.

Die Neigung in beliebiger Richtung n ist

3 z 3 z

3n 3x

in der Richtung s rechtwinklig zu n\

cos 0 -J-

3y

sin 0,

3)

3z

3z

sin 0 -j-

wo 0 der Winkel zwischen n und x ist.

Die Verschiebungen eines Punktes im Abstand £ von der Mittelfläche sind, den gemachten Voraussetzungen zufolge,

3s

3x

3y

cos 0,

ux —

3z

Uy — —

Cu

Uv

. . 4)

Grosse

Sy }

Durch Differenzieren ergibt sich

3ux 3²z

VS

3x

3x²

KleineAchse

3Uy

3*z

Last,punkt

b'

i\Z

ii

xy Ebene

5)

3y²

3UX . 3 Uy _

3y ' 3x

3y

o fz “ 3x3y

In Analogie mit und mit derselben Berechtigung wie in der Balkentheorie betrachten wir die Größe

*xy —

3²z

als die Krümmung eines X-Streifens,

p2 g

c -als die Krümmung eines F-Streifens

3²z 3x²’

die bei einem Balken die

3y

und bezeichnen die Momente Ei

S'z

w

Krümmungen der X- bezw. FStreifen der Platte hervorbringen würden, als Ersatzmomente; diese Momente sind nicht die Spannungsmomente, sondern ausschließlich von den Dehnungen hergeleitet und zur Berechnung der Ersatzspannungen (ff) bestimmt. Es ist

(mx)==Ei

A~~~

Abb. 1.

Ei

3²z

(niy) — Ei

3x2 3²z

3y²

und um einfache Gleichungen zu erhalten, bezeichnen wir als Ersatztorsionsmoment die Größe

(4) = Ei

9²z

9x9y

6a)

3. Zusammenhang zwischen Deformation und inneren Kräften.

Aus den Gl. 1) u. 5) erhalten wir unter Vernachlässigung von az

9²z 9x2 9²z

Sy -

<+>

£ —    (px    Qtiy)

Z <.    1

2 £ — +    (Py:—Q⁶x)    • •

• • 7)

$xy —

G%xy

Hieraus ergibt sich unter Ersatz von G durch

9x9y

2(l + o)

9²z

l-<?²

9x²

9y

Oy -

<>² (

9²z

9y

₂⁻ + Q

9²z

9x

')

in

GO -

Txy —

9²z

1 + q 9 x 9y

Teilen wir die Platte durch einen Schnitt nach der Linie s mit der

Normalen n, so übt der auf der positiven Seite liegende Teil auf den anderen durch seine Spannungen an, rns ein Biegungsmoment um die Achse s senkrecht zu n und ein Torsionsmoment um die Achse n aus. Es ist

'f r

53-

mn =

9)

Die GL 8) u. 9)

wobei m als positiv angesehen wird, wenn es oben Druck hervorbringt, und t, wenn es auf die beanspruchte Fläche gesehen, gegen den Uhrzeiger dreht und also negative Schubspannungen hervorbringt.

h³

ergeben nach ausgeführter Integration und mit der Bezeichnung ^ Trägheitsmoment für eine Längeneinheit der Schnittkurve:

Ei

mx —

(9²z , q² VPa2 Q

9²z

9y

Ei

My =

(9²z 1 — o² \+?/²

9²z

9x

tx =

Ei

9²z

i)₌

V (i-<-²)

1

l(my) + q (mx)]

. 10)

9x9y

a + <?)

(Q

und es ist

dx —

(f*x) —

t

O^x)

>S>.

• '£<    (°v) —

tTY

10a)

4. Transformationsgleichungen und Hauptmomente.

Differenziert man Gl. 3), so erhält man

2~sin²© -|

3²3

( 3*3

3n 3s 2 V 3y²

cos² 0 -f-

3*3

5².e'

3y

3x²

sin 2 © -j-

3²3

3x 3y

sin 2 0

3²3

. . 11*)

3x 3y

cos 2 0

Multipliziert man die Gleichungen mit Ei, so werden aus den Differentialquotienten Ersatzmomente; das Ersatzmoment (mn) für einen Schnitt mit der Normalen n, wo der Winkel zwischen n und x gleich 0 ist,

(mn) — (mx) cos² 0 4- (?%) sin² 0 (tx) sin 2 0

und

(4) —

Cmy) ^(mx) sjn 2 © -j- (Q cos 2 © j

• 12)

In Analogie zu den bekannten Gleichungen über Hauptspannungen schließen wir hieraus, daß es zwei Schnittrichtungen mit den Normalenrichtungen ©j, ©n, berechnet aus

2(4)

. 13)

(mx) — 0%)

gibt, für welche das Ersatztorsionsmoment Null wird, und die Ersatzmomente die ausgezeichneten Werte

(%) =

(mx) -f- (my)

+ ~2    (tx)² + \_(mx) — (my)\²

- y fiW+[(»>*) -(»v)P

. . 14)

(»hl) =

genannt Hauptersatzmomente, erreichen.

Dieselben Gleichungen gelten für die Spannungsmomente. Die ausgezeichneten Richtungen sind für beide die gleichen.

5. Die Querkraft.

Teilen wir die Platte durch einen Schnitt mit der Normalen n, so haben wir die Einwirkung des im Sinne -f-n abgetrennten Teiles außer durch die schon besprochenen Momente auch durch der Z- Achse parallele Kräfte zu ersetzen, deren Wert, bezogen auf die Längeneinheit des Schnittes n, als seine Querkraft in dem betreffenden Punkt qn bezeichnet werde. Das Gleichgewicht der Kräfte an einem kleinen rechtwinkligen

*) Die beiden Größen wurden von Grashoff als Beugung und Drall der Mittelfläche bezeichnet (Theorie der Elastizität und Festigkeit, S. 352).

Dreieck mit den Seiten dx, dy, beansprucht durch qy und qx, und der Hypotenuse ds, beansprucht durch qn ergiebt

16)

qn — qx cos 0 -f- qy sin ©    .    .    .

Demnach wird die Querkraft ein Maximum für die Richtung

17)

tg©0 =

mit der Größe

Qo = j/tf*² + Qy-

Die Querkraft läßt sich also graphisch darstellen als Vektor q von der in Gl. 17) gegebenen Richtung, dessen Projektion auf eine Schnittnormale die Querkraft im Schnitt ergibt. Die Deformation der Platte, die den Querkraftschubspannungen entspricht, ist in unserer Annahme nicht enthalten;

. sie besteht in einer Krümmung und Schiefstellung der materiellen Quer- • schnittsgeraden, die mit demselben Recht und unter denselben Umständen wie in der gewöhnlichen Balkentheorie vernachlässigt wird.

6. Gleichgewichtsbedingungen.

An einem kleinen Rechteck mit den Seiten dx und dy treten folgende

Hy

Schnittkräfte auf: — qx, qx -f 9mx

+ mx +

3ty *

dqx

dx

Qy> Qy +

dy

, und die Momente: —mx,

3tx

3 m,,

und — my, -f my -j-

und — ty,

I ferner — tx, tx + ^ das Rechteck sei durch die Belastung p für eine Flächeneinheit

3x

9y

dy ’

belastet^ positiv in der Richtung nach unten. Die Gleichgewichtsbedingungen liefern dann die Kräftegleichung

3qx

dx

3y

. . 19)

Die Momentengleichungen

dmx._ d ty

3X

3y

{■Qx — O

dm

dtx

20)

~\~ Qy — 0

dy dx

Diese Gleichungen gelten unabhängig von dem Deformationsgesetz des Stoffes, also auch für starre Körper. Ihre Integration über die ganze Platte ergibt die Gleichgewichtsbedingungen, denen die äußeren Kräfte zu genügen haben.

7. Randbedingungen.

In den Querschnitten der Platte längs einer Randkurve sollte die Querkraft gleich der äußeren zur if-Achse parallel vorausgesetzten Kraft werden, das Biegungsmoment gleich dem äußeren Kraftmoment um die Randtangente und das Torsionsmoment gleich dem äußeren Kraftmoment um die Randnormale.

Das Problem enthält dann eine Randbedingung zuviel und ist nicht allgemein lösbar.¹)

Man macht daher folgende Annahme: Das längs eines Randes mit der Normalen n auftretende Torsionsmoment tn, dessen Resultante für ein Linienelement ds die Größe tn ds hat, ist statisch gleichwertig mit den Kräften — 4 am Anfang und -f- tn am Ende des Linienelements. Vollzieht man diese Zerlegung längs eines Randstückes s, so erhält man auf der oberen Seite die Kräfte

~tn,

(V₊!^s)usw„ .

tn“

dtn

ds

- 4".

auf der unteren Seite

dt,i

ds

ds^ -j- 4".

Es heben sich die tn heraus, und es bleibt am Anfang eine Einzelkraft 4\ am Ende — tn“ übrig, während die Strecke s mit der verteilten

belastet erscheint, alle Größen

iS

Last

54

<rC/S>*ds

»i-ds *

w

r:

<ds^ds '-ds ⁴’

ds^ds

positiv nach oben gerechnet.

Daraus ergibt sich, daß an einer Ecke des Randes, an der im Sinne von x nach y folgend die Schnitte n‘ und n“ Zusammenstößen, eine Einzelkraft auftritt von der Größe

+ 4'-4" = ^l*).    -21)

-SU

•v?l CO

Wir haben also am Rande n, wenn wir äußere Kräfte mit deutschen Buchstaben bezeichnen.

VXn — mn

1.

d ln

2. t\n

54

54

ds

— ln —

. . 22)

ds

insbesondere bei gestütztem Rande ist die Auflagerkraft

^■s

dtn

an— ln 3s ,    •

Ol

d. h. die Querkraft wird um den Betrag

Abb. 2.

* e

r+O

5 tn

vermehrt.

J) Siehe darüber Love, Lehrbuch der Elastizität, übersetzt von Timpe 1907, S. o26 u. f.

²) Das Auftreten der Eckkraft A* ist im Falle rechteckiger Platten durch die Erfahrung bestätigt. Die Ecken haben das Bestreben, sich unter dem Einfluß der Belastung in die Höhe zu heben und werden durch die Kraft A* auf die Unterlage heruntergedrückt. Zur durchgängigen satten Auflage sind daher die Kräfte A* notwendig.

8. Aufstellung der Differentialgleichung.

Setzen wir die Momente nach Gl. 10) in die Gleichgewichtsgleichung 20) ein, so ergibt sich nach einiger Umrechnung und unter Bezeichnung

mit J²z für die Querkraft

von

SPz 9²z 3x² ' 3y²

dx —

-JÜ___— g

1 — o² 3x

dy — ~

Ei

1-q² 3y

■^-J²z

. 23)

und dies in die Kräftegleichung 19) eingesetzt

Ei

p²

Ei

3y

J² z

)->

-<?³

J²J²z — y — 0

.    . . 24)

wo J^z den Ausdruck

3* Z

3*z

3*#

f2

x- bezeichnet.

4

3x²3y²

Diese Gleichung ist, abgesehen von dem Faktor 1 — q², analog der

d*z_

dx*

Von Bedeutung ist noch für manche Fragen die Summe zweier zusammengehörenden Momente mx und my, die mit m₀₀ bezeichnet sei.

Es ist

3x⁴

3y

Differentialgleichung des Balkens

EJ

m₀₀ — mx + niy

Ei

Ei

J²z . 25)

(1 + (?)    — -j

Die Größe J²z ist für jede Wahl der Richtungen x und y dieselbe

Größe als Summe der Krümmungen

3²z

und

3²z

3y²'

Demnach ist in jedem

3x²

Punkt die Summe der Biegungsmomente zweier aufeinander senkrechten Schnitte unabhängig von der Wahl der Schnittrichtungen. Ebenso ist die Summe der Ersatzmomente (mx), (my), bezeichnet mit (w₀₀), konstant, wie aus

folgt.

(m₀₀) = EU²z = (1 — q) w₀₀ •    •

. . 26)

Mit Rücksicht auf Gl. 23) drückt sich dann q aus durch die Gleichungen

3 (m₀₀)

dx-

1 -e²

dx

dy —

3 ppp)

.    .    27)

3y

! — Q

d. h., trägt man (m₀₀) als Ordinate über der Platte auf, so ist die Neigung der so entstehenden Fläche nach einer Richtung n gleich (1 — q²) mal der Querkraft des Schnittes mit der Normalen n, abgesehen vom Vorzeichen,

und die Höhenlinien dieser Fläche auf die Platte projiziert, geben die Richtungen an, in denen die Querkraft ein Maximum ist, während die Linien stärksten Gelälles querkraftfreie Schnittflächen angeben.

9. Die Verteilung¹ der Querkraft über den Querschnitt.

Wir bestimmen analog wie beim Balken aus den Gleichgewichtsgleichungen des Elements die Schubspannung im Querschnitt. Ein kleines Parallelflach mit den Seiten dx, dy, d£ erleidet auf seinen Seitenflächen die Normalspannungen ox, und die Schubspannungen 7/^, xyz, txz; die Gleichgewichtsbedingungen nach der X- und E-Achse ergeben

9xxy

9^yz

2y

dx

dz

9(SX

3Txy

9xxz

28)

dx

dy

dz

Ersetzt man hierin die Spannungen

mx

CSy

niy_

Txy —

<s>

J-l

so ist unter Benutzung von Gl. 20) und der Beziehung tx — — ty

dm

d'tyz _ f 9tx

dz

dy

dvx

dmx

dz

dy

dX

)i

= — (!*■

Die Integration ergibt unter Berücksichtigung der Randbedingungen tx» — tyz — 0 für £ = ± y für

't-XZ -

_ Qx

ff-,)

Xy*~ 2i

ff-,)

29)

und für die Querschnittrichtung, die die größte Querkraft enthält,

Mt-?) ■ ■

. . 29 a)

T₀z —

Die Querkraft verteilt sich also wie bei einem Balken rechteckigen Querschnitts.

10. Größtwerte der Spannungen und Dehnungen.

Die Spannungen, die den Momenten proportional sind, erreichen ihre 7?

Maxima für £ = ± -ff, d. h. auf der Ober- und Unterseite der Platte. Setzt

u

man

^- — w, d. h. = Widerstandsmoment der Platte für eine Längen-

einheit der Schnittbreite — so werden die Gl. 10a) für eine beliebige Richtung n angeschrieben

mn

^ns —

und

. . 30)

IV

Die größten Werte der Normalspannungen entstehen in Querschnitten, die durch Hauptmomente beansprucht werden.

In der Höhe der neutralen Fläche und dem Querschnitt größter Querkraft erreicht die Schubspannung ein Maximum, während die Normalspannung dort Null ist. Dreht man diesen Schnitt um seine horizontale Achse um ±45°, so erhält man, analog wie beim Balken, die Flächen, die durch die Hauptspannungen beansprucht werden. Deren Größe ist gleich der Schubspannung, nämlich

CO Ol

?max

31)

und ist bei positivem q als Zugspannung unter -f- 45 ° nach aufwärts und als Druckspannung unter — 45 ° nach abwärts gerichtet.

Der Schubspannung entspricht eine Schiebung von

snz — q * Vnz —

$max

2 Cr h ’

32)

wo n die Normale des Schnittes größter Querkraft ist. Wird ein Würfel längs zweier Seitenpaare derart deformiert, so erleiden die zugehörigen Diagonalrichtungen positive und negative Dehnungen im Betrage von

ö’max

£ — g £ns —

die dieselbe Richtung und Vorzeichen haben wie die obigen o. Die zu gehörige Ersatzspannung ist

4 6r h ’

(c) = Ee =

3 E (/max 3 .    .    . q-mi

TG '“T“ ⁼ T(1 + e)T

. . 33)

für deren Richtung und Vorzeichen dasselbe gilt wie von <r.

Eine dritte wichtige Ersatzspannung erhalten wir in der ^-Richtung.

Es ist

S₂ = —

Setzt man dies nach

wobei (Se gemäß den Annahmen vernachlässigt ist.

Gl. 10a) ein, so ergibt sich für die Ersatzspannung an der Oberfläche

der Platte

(O = Q •

Wqq    q

w ~~ (1 — q)

(wqo)

. . 34)

Für positive Momente ist (m₀₀) positiv, und (oQ stellt für die oberen Plattenpunkte eine Zugersatzspannung dar, d. h., das Material hat das Bestreben, nach oben auszuweichen.

Diese Spannung ist nicht zu vernachlässigen, da die Zerstörung der Platten auf der Druckseite nur durch Ausweichen des Materials nach außen vor sich gehen kann, wie auch aus Bruchversuchen ersichtlich ist. (Siehe Mörsch, Der Eisenbetonbau, 4. Auf!., Abb. 148, 149, 155.)

Diese drei erwähnten Ersatzspannungen sind nach der angenommenen Festigkeitshypothese unter den üblichen Spannungsgrenzen zu halten.

Wir haben die Schubspannungen nicht unter die kritischen Spannungen eingeschlossen. Denken wir uns einen Bereich der Platte, hinreichend klein, um den Spannungszustand darin konstant anzunehmen, so können wir uns den Baustoff aus zwei Scharen von Stäbchen zusammengesetzt denken, deren Achsen in die Richtungen der Hauptspannungen fallen. Wir setzen den Bereich noch in der Nähe der Ober- oder Unterfläche gelegen voraus, wo nur zwei Hauptspannungen vorhanden sind. Dann ist die Deformation jedes dieser Stäbchen dieselbe wie die eines einfachen, mit der Ersatzspannung (04) bezw. (ö'n) beanspruchten Stabes, während deren tatsächliche Spannungen al bezw. an sind. In jedem Querschnitt, der diese Stäbchen schief schneidet, ergeben die Stäbchen Komponenten, die im Querschnitt liegen, und solche senkrecht zum Querschnitt. Aus ersteren setzen sich die Torsionsmomente, aus letzteren die Biegungsmomente zusammen. Ist nun die Ersatzspannung (üj) und (ö"n) der Stäbchen unter dem Höchstwert von a bei geraden Stäben, so können jene Schubspannungen keine Bedeutung mehr haben, da gerade Stäbe vom selben Deformationszustand in Versuchen jenen Höchstwert als hinreichend sicher erwiesen haben. Es scheiden daher Schubspannungen vollkommen aus der Sicherheitsbeurteilung aus; sie zeigen nur an, daß der Querschnitt nicht senkrecht zur Achse einer der Stäbchenscharen liegt, die nur auf Zug oder Druck beansprucht sind.

11. Kritik der Theorie.

Die Theorie leidet an demselben Widerspruch wie die Balkentheorie. Die Annahme materieller, gerade bleibender Querschnittgeraden steht mit der durch die Verteilung der Querkraft über den Querschnitt hervorgerufenen Schiebungsdeformation in Widerspruch. Der daraus sich ergebende Fehler wird beträchtlich bei dicken Platten und in der Nähe konzentrierter Lasten. Der Einfluß dieser Schiebungsdeformation auf die Durchbiegung ist gleichfalls nicht zum Ausdruck gekommen.

Die Vernachlässigung von Gz ist nicht in allen Fällen berechtigt. Gz wird recht bedeutend unter stark konzentrierten Lasten, wirkt jedoch dann meist günstig, indem es die Dehnung sz verringert, so daß dann die

dritte kritische Ersatzspannung den Betrag annimmt

(tf») — °z H---

34 a)

(w-oo)

(! — e)

2. Momente bei gleichförmiger Belastung.

Seitenverhältnis. ß — <x

4. Querkräfte und Auflagerdrücke.

(! — e)

Führt man für az den Wert Kraft durch Belastungsfläche F ein, so ist

.    . . 34b)

(wqo)

l — Q

Eine Dehnung der neutralen Ebene wurde gleichfalls nicht in Rechnung gezogen. Sie kann bei einem Biegungspfeil von der Ordnung der Plattendicke und horizontal festgehaltenem Rande sehr wohl mit den Oberflächendehnungen gleicher Größenordnung sein. Ihre Berücksichtigung führt auf bis jetzt ungelöste Differentialgleichungen,J) und ihr Einfluß besteht in einer Vergrößerung der Tragfähigkeit der Platte. Die Vernachlässigung ist also zugunsten der Sicherheit.

Diese Voraussetzungen und Vernachlässigungen sind dieselben wie in der Theorie der gewöhnlichen Balken, stellen jedoch die Anwendung in den meisten Fällen der Praxis, in denen die Voraussetzungen einigermaßen zutreffen, nicht in Frage.

B. Lösungen der Differentialgleichung für die rechteckige frei aufliegende Platte.

1. Lösung“ unter Annahme einer Durchbiegung von der Form

CC    'U

— sin mn---sin nn- v-

Das Koordinatensystem habe seinen Ursprung in einer Ecke der Platte, die positive Seite der X-Achse längs des kurzen Randes a, die positive Seite der Y- Achse längs des längeren Randes b (Abb. 1). Längs des ganzen Randes ist die Durchbiegung s gleich Null, ferner ist mx — 0 für x — 0 und x — a, my — 0 für y = 0 und y = b und demzufolge längs des ganzen Randes nach den Gleichungen 10:

= 0.

9x²    9y²

Ein Ausdruck von der Form

35)

X

— sin mn---sin nn - -

dessen zweite Ableitungen den Wert haben

3²$mn _

3x²

m² n²

■ sin mn-

• sin nn •

cf² 3mn

n² n²

b²

x    . y

• sin mn---sin nn-

a    b

3y²

erfüllt für jedes ganzzahlige m und n sämtliche obengenannten Randbedin-Dieser Ausdruck kann also als Durchbiegung einer frei aufliegenden

gungen.

i) Siehe Enzyklopädie der math. Wissenschaften. Bd. IV, 2, II. Heft 3, S. 3o0.

rechtwinkligen Platte angesehen werden, deren Belastung sich nach Gl. 24) berechnet zu

Ei

i-e²

’ A Qmn

Ei

m² 71²

n² n²

b²

2

sin mn- —

#    . y

— sin nn

a    b

Ei

m² n²

n²n²

36)

&²

Schneidet man die Belastungsfläche also parallel der X- oder X-Achse, so erhält man Sinuslinien, die (m — 1) Nullpunkte innerhalb der Plattenspannweite haben. Ist m eine ungerade Zahl, mit y, bezeichnet, dann ist diese Sinuslinie symmetrisch zur Mitte der Spannweite; ist m gerade, so ist sie in der zweiten Hälfte der Spannweite das negative Spiegelbild des Verlaufs in der ersten Hälfte, wie es die folgenden Abbildungen zeigen.

2. Die Naviersche Doppelreihe und. Bestimmung- ihrer

Koeffizienten.

sin

ungeradem.

m-1

Es liegt nahe, r der vorerwähnten Belastungsflächen mit verschiedenen Koeffizienten Amn multipliziert übereinander zu lagern und der Summe zur Bestimmung der r Stück Koeffizienten Amn r Bedingungen aufzuerlegen, etwa daß in r Punkten die gesamte Belastung vorgegebene Werte annehme. Wir setzen statt dessen unendlich viele Belastungsflächen übereinander, in dem wir die Durchbiegung in der Form annehmen

m= co m— co

gerade m,

m— 1 m — l

Amn$m

. 37)

v>

Abb. 3.

wo m und n je alle ganzen Zahlen durchlaufen, und verlangen, daß die Gl. 24)

Es— j^(l    Q²)

möglichst genau erfüllt werden. Wir drücken dies analytisch aus durch die Forderung, daß die Summe aller Unterschiede im Quadrat der beiden Seiten der Gleichung über die ganze Platte genommen, ein Minimum sei. Hierbei wird das Quadrat der Unterschiede genommen, um zu vermeiden, daß sich positive und negative Unterschiede ausgleichen.

Demnach

J—

j    — e²)) dxdy

o

= Minimum

. 38)

wo

Es ist nach Gl. 36) u. 37)

AiZ 22 AmnJi%mn

W² 5T²

= — 22 m n

n² 7t²^²

6²

mn

mn

«⁴

TT⁴

7» W

(”²+K

n 3»» w

—--r ■ -ß»

a⁴

— = /? gesetzt würde, und die Reihe mit bezeichnet. Gl. 38) wird nun

CI

Kl-?²)

J=z

a 6

//(

0 0

Ei

TT⁴

a⁴

V

I dx dy

— Minimum.

. 38 a)

Die Bedingung dafür ist, daß sämtliche Differentialquotienten nach Amn verschwinden. Also

93

9A

9J

= 0,

9 Am‘n‘

wo m‘ und n‘ beliebige Werte von m und n annehmen kann. Dies ergibt

a b

//[

0 0

Kl-?²)

Ei

a b

'TP (1 - ?²)

ff

0 0

Ei

Es ist nun

7T⁴

a⁴

9R

9R

• E 0 _ 9A-m‘n‘

9 Am> n‘

• dx dy —

Vf

0 0

9JR

9 Am<n<

39)

• dx dy 39 a)

dB

9 Am< n‘

Demnach wird die Gleichung zu

={m‘²+jAf

(-+Jr)y/

0 0

Kl-g²)

Ei

* fon'n' dx dy

TT⁴

(m'M

ß²) ft'flmn {m2+ ß² ) fai\fa‘n‘dxdy 0 0

40)

Bei der gliedweisen Integration der rechten Seite kommen Integrale von der Form

$m'n' dx dy

0 0

vor, welche zerfallen in ein Produkt aus

x .    . x ,

sin mn • — sin m n---dx-

sin n n -

-f-* sin n'n-—-- dy. b    b *

Ein solches Integral läßt sich auf die Form bringen

if

0

dx

und ergibt integriert zwischen den Grenzen 0 bis a

a r

2 n[

sin (m -f- m‘) n

sin (m — m¹) n

Solange m nicht gleich m‘, ist dieser Ausdruck Null, weil es sich um sinus ganzzahliger Vielfache von n handelt. Nur für den einzigen Fall

m — m‘ wird der zweite Summand von der Form

und erreicht den Wert n

nach der Gleichung

sin ra

= r für a gleich Null. Das Integral wird also

für diesen Fall = -f"

allen

Integralen j" j■fanU'n'äx dy 0 0

und das andere Integral in y — - -, so daß von

a b

nur das

Integral j j $ V»' dxdy übrig-o o

ab

bleibt mit dem Wert •

Diese ausgezeichnete Eigenschaft der Integrale ermöglicht es, Am‘n> definit auszudrücken; wäre sie nicht vorhanden, so erhielte man unendlich viel Gleichungen mit unendlich viel Unbekannten.

Gl. 40) wird also

a b

ff

0 0

P (i — e²)

Ei

$m,‘ n' dx dy ,

ab

41)

und allgemein

4 q⁴ (1 — g²) J.

mn —

(™² + J2~)

ab

j    mn- sin nn-^-• dx dy 42)

und

mn

X

• sin mn - -—

<<

• sin nn • -f— • b

mit

In vielen wichtigen Belastungsfällen nehmen die Koeffizienten A wachsenden m und n rasch ab, so daß wenige Reihenglieder ausreichende Resultate ergeben.

Amn

3. Berechnung* von A für verschiedene Belastungen.

Der Koeffizient

= 4-21.

Tr⁴ f ₂ . n²\² ab

\m+jy

ff

0 0

Ei

• sin mn-

• sin nn • dx dy

ist für jede beliebige Belastung, auch empirisch gegebene, berechenbar. Für analytisch einfache Belastungsfälle kann das Integral exakt ausgewertet werden.

a) Für Einzellast P ist der sin im Bereich des Lastangriffs nicht ver-

änderlich und

J'J'p dx dy

o o

— P.

Seien die Koordinaten des Lastangriffspunktes a' und b‘, dann ist 4 Pa² (1 — q²)

mn

Ein'ß (m'- +

• sin mn •

• sin nn •

co

b . n 2“, smwy

für gerades m jeweils Null, und es bleiben nur die sin mit ungeradem m, das fi bezeichnet wird. Es ist sin^^L

Rückt die Einzellast in die Mitte, so wird für a‘ —

— b¹ —

2 ’ °

mit

(— l)m + 1, wo m —

es wird

.4

4 Pa² (1 — q²) (—    ⁺ »

mn

Ein*ß (f² + Vß2 )

. . 44)

wo fi —2m — 1 und v — 2n — 1 ist.

b) Sei eine Belastung y gleichförmig verteilt innerhalb eines Rechtecks, gegeben durch x — a\ x — a", y —b\ y = b“.

4 pa⁴ (1 — q¹)

mn-

E i 7i⁶

(    ₂ _i_ n \

mnym- ~r~ö yJ

cos m 7t •

a“

cos m 7t •

a‘

)    45)

b‘

cos n 7t •

b‘\

7--cos n 7t • -y J

Bei zur Plattenmitte symmetrischer Belastung wird a“ — a — a‘, b“ — b — b‘ und für gerade Werte m

a"

cos mn • — — cos mn •

a — a“

a‘

= cos mn • —

d. h., die Koeffizienten mit geradzahligen sin mn-

• sin nn ■ H- fallen

aus,

und es bleiben nur die ungeradzahligen, wobei wir jetzt in den Sinus fi, v statt m, n schreiben und m, n als Nummer des Summengliedes betrachten; dann ist fi—2m — 1, v — 2n — 1.

Es ist

a — a‘

cos [in--— cos fi n---

a    a

a‘

— — cos fi n-    ,

und es wird für zu den Achsen symmetrische Teilbelastung

16 pa⁴ (1 — q²)

mn-

Ei nr> [iv

bei Vollbelastung ist a' — b‘ — 0 und

16 p fl⁴ (1 —g²)

77171

Ei nG pv

(^?y

47)

c) Es sollen nicht alle möglichen Belastungen gezeigt werden; einige weitere Beispiele seien nur genannt.

Bei einer Belastung längs der Geraden x — a‘ von y — 0 bis y — b mit einer Last p für eine Längeneinheit ist

a¹

ab o

nn-^- dy . . . 48)

Bezeichnet den Koeffizienten für die Belastung durch eine Einzei-

last P = 1 im Punkt a\ b¹, so ist der Koeffizient für Belastung durch ein

9 Al

Moment Mx im selben Punkt gleich

mn

9a‘

■Mx.

In allen Fällen einer Symmetrie der Belastung nach der x- oder «/-Achse fallen die Ausdrücke, in denen geradzahlige m bezw. n Vorkommen, aus, und es bleiben nur Ausdrücke, die p, v enthalten, stündlich mit Hinblick auf Abb. 3,

mit ungeradem m oder n symmetrische Belastungen ergeben. In den A kann auch eine Veränderlichkeit des Trägheitsmoments berücksichtigt werden, mit derselben Berechtigung wie in der Balkentheorie.

Dies ist ver-

wo

gezeigt ist, daß nur die Glieder

in n

4. Formeln für Momente und Querkräfte.

sind in folgende Formeln einzusetzen:

z = — 22 Amn sin mnsin nn■-.....

mn    CI    b

x

m cos mn •—-smnn-- -

Die so bestimmten A

mn

49)

7T

— — • 22 A

Cl m n

mn

©■‘■'SS

(mx) — Ei-

(:my) = Ei -

9x2 9²z

9y²

(4) = Ei -

9x9y

(m₀₀) — Pf ^Z²# =

- —    22 Amnn sin mn- —

b mn    a

TT ^

=+*•¥

JT^

= —EiA ' a²

w m n

• cos • -r

. . 50)

ab

•    22 Amn m* sin mrc- — - sin nn —

x . y sin mn---sin nn-A-

tn n

(™²+?)

Qx —

1    9 (m₀₀)

i — q² 3x

1 -O² a‘ ~~A

X .    y

sin mn• — sin nn • ~

1    9(m₀₀)

¹ ~ Q² 3y

Ei

n³

1 — q² a²b

-22 A

m n

mn

*=-

Ei

i'4*8= —

Ei TT⁴

1 — o² A

CO

sin mn--

3x 1 + q 3x

Es ist

53)

Ei

1 -j- f? «² &

-rr¹ .2? .2 Amn m²nsinmn- —

• cos nn--^-

54)

y

x _~2 [O*) -f e (»%)]

[(.my) + Q (♦»*)]

iT^⁽⁴⁾'

Der Auflagerdruck in einem Randpunkt, in dem die Randnormale parallel x bezw. y ist, wird

my —

(1 - ?²) tx - ty -

ux — yx

3tx

ay — 9V 4"

Cb Cb

— ⁽ly

3tx

3x

Diese Auflagerdrücke sind die Belastungen für die Randbalken.

In den Ecken treten Einzelkräfte auf von der Größe der Differenz der Torsionsmomente der beiden in der Ecke zusammenstoßenden Schnitte;

3x

demnach

Al

0.

5. Beziehungen, die für die Ausrechnung von Zahlenwerten von Wichtigkeit sind.

Zunächst ergibt sich leicht, wie auch zu erwarten, die Berechtigung der Maxwellschen Vertauschung. Die Durchbiegung durch Einzellast im Punkt a\ b‘ ist nach Gl. 43) u. 49)

a!

b‘

-4 Pa² (1 -g²)

Ein*ß

, vv,

m n

sin mn--- sin nn--^~

a    b

• sin mn- — -sinnn-~-, 55) a    b

woraus die vollständige Gleichwertigkeit der Lastangriffskoordinaten a‘, b, und der Koordinaten des Durchbiegungspunktes x, y ersichtlich ist. Ähnliche Sätze lassen sich aufstellen für Moment und Winkel, Einzelkraft und mx bezw. my usw.

Einige andere Beziehungen werden von rechnerischem Werte sein, nämlich bei symmetrischer Belastung zwischen solchen Punkten P (’x, y) und P' (a‘, &'), zwischen deren Koordinaten die Be-j ziehung besteht:

Es ist dann

sin y n •

a .

x — -7z---a

2

= (—l)m+i'Cos^7r ---j

— (— 1)»* + ¹ . cos yn- — •

(X

— b‘ (Abb. 4).

Bei symmetrischer gleichförmiger Teilbelastung über ein Rechteck, dessen Seiten gegeben sind durch x=-a\ x = a — y — b‘} y —b — ist nach Gl. 46) u. 51) das Moment in der Mitte (?%)₀ gleich

O.r)o =

Abb. 4.

16 pa²

(l-^²)^.

a‘

,    —g- • COS yn • —— • COS VTC •

4²+f)

2b

— ¹⁶ (1 — ₍,²) 22 •

71    ja v

5-0-1)

a‘

cos yn--

CI

• COS y 7T •

Cs-'j

und das Moment bei Vollbelastung im Punkte a; == ist gleich

0%) =

— 2/ —

ltPpa²    vv,

71    /t v

2 ‘ Sin

?(!-•)

Die beiden sind einander gleich, da

sin

a‘

= (— 1 )OT+1 • cos yn- — •

Bei Einzellast in der Mitte ist die Durchbiegung in einem Punkte x‘, y‘ nach Gl. 44) u. 49)

4P«²

TT⁴ ß Ei

• sin >>n - ~~ b

d. h. proportional dem Ersatztorsionsmoment in dem Punkte — x‘, y — y‘ bei totaler gleichförmiger Belastung, welches nach Gl. 47) u. 51) ist

(-1)

x‘

• sin yn - — Ct

(ßx) -

16 pg²(l —g²)

7T⁴ß

. vv.

• COS

[JiTV

COS

aus dem gleichen Grunde wie oben; es ist also

Cd

— x‘,

rC |<M

-y‘

56)

y‘ —

Eine Menge anderer ähnlicher Beziehungen, namentlich in bezug auf Einflußflächen, scheint nicht der Mühe wert zu sein, verfolgt zu werden.

4P7p

6. Nachprüfung der aus der Reihe sich ergebenden Belastung p.

Nach Gl. 53) ist die verteilte Belastung p gleich

x    .    i<

• sin mn--- sin nn • ~ ■

a    b

nach Gl. 47) ein,

J> =

Ei

ft⁴

(*+?)

i-*?²

Setzt man für gleichförmig verteilte Belastung p A so ergibt sich die Reihe

mn

16 p

n²

—- • sin ii ti • — • — f.i    an

. v V * *•> — *

ß V

. . 57)

die sich spalten läßt in das Produkt

i .

— • sin vn •

«•

. 58)

Jede dieser Einzelsummen nähert sich für jeden Wert xCa bezw. y <b

7t

mit wachsender Gliederzahl dem Wert — ,¹) so daß also das aus der Reihe

4

berechnete p gegen die gegebene Belastung konvergiert und Gl. 58) identisch erfüllt wird.

Den Grad der Konvergenz zeigt nachstehende Tabelle, worin der Summenwert für eine beschränkte Anzahl von Gliedern (5, 6, 7, 8) für den

= 0,1 b

0,2 b

0,3 b

0,4 b

0,5 b

CO uO f- o>

h-⁴- h-¹ h-‘ Cä W H

oooooooo

0,309

0,270

0,200

0,116

0,034

—    0,027

—    0,062 — 0,067

0,809    0,951

0,103    — 0,196

0    — 0,200

—    0,136    +0,044    +0,084

—    0,065    +0,090    —0,106

0,054    — 0,073    + 0,086

0,073    — 0,024    — 0,045

0    + 0,067

0,588

0,317

1,0

— -2 = n u=l

* .5-

1,182

0,895

1,075

0,932

1,062

71

1,148

0,964

0,982

1,041

0,946

4    13    .

— ■ 2 —

71

1,069

1,058

0,952

0,984

1,044

71    ¹⁵

Zr'2=    0

4 i

i) Beweis in den meisten Lehrbüchern der höheren Mathematik unter Kapitel „Fouriersche

0,983

1,058

1,040

0,984

0,960

Reihen“.

4

Ausdruck —

7t

-2-

1    . y

— • sin vn • ~

~~ berechnet ist, welcher gegen 1 konvergiert.

59)

1 .

— • sin vn •

Die Funktion, die durch die Summe dargestellt ist, schwankt also, von 0 schnell ansteigend, mit zunehmender Gliederzahl in immer engeren Grenzen um 1. Geht man also bis y — v=zih, so ist, abgesehen von den Rändern von der Breite 0,1 a bezw. 0,1 b, die Belastung in der Größe schwankend innerhalb 1,058² = 1,12 p und 0,92 p. Dies wäre zwar praktisch immer noch hinreichend genau eine gleichförmige Belastung, zumal sich die Wirkung der stärkeren und schwächeren Lasten ausgleichen wird. Es wird sich jedoch ergeben, daß die Reihen für die Durchbiegungen und Momente erheblich rascher konvergieren, und daß die Summe schon nach wenigen Gliedern auf mehrere Dezimalen sicher ist, was eben durch diese Ausgleichung bewirkt wird.

Die Reihe für Einzellast ist im Angriffspunkt nicht mehr konvergent und ergibt den Wert oo. Dies trifft zu, da die spezifische Belastung am Angriffspunkt einer Einzellast tatsächlich unendlich ist.

Daß die aus der Reihe sich ergebende Belastung p in den anderen Punkten der Platte Null wird, läßt sich dadurch zeigen, daß man p über ein beliebiges, den Angriffspunkt enthaltendes Rechteck integriert, wobei man als Belastungssumme eine Reihe wie Gl. 57) erhält, die für jedes Rechteck gegen den Wert P konvergiert.

Auch für andere Belastungen läßt sich die Richtigkeit der Reihen in ähnlicher Weise prüfen.

7. Die Levysche Reihe für die einseitig unendlich lange Platte.

. Für den Fall/Sr=oo gibt die Naviersche Reihe einen bestimmten Wert

Denn es ist bei gleichförmiger Belastung nach Gl. 47) u. 49)

-;-sinun- — ■ sin vn ²    ‘ a    o

nur für y —

16p a? (1 —q*)

yv

n₆ E i

Setzt man hierin ß — oo, so wird

16 p a* (1 — g²)

• sin vn • -~ b

• 2 • ^ • sin an ■ — • 2 • — • sin vn ■    •

ft t*a    a v    b

Tt

Die letzte Reihe hat den Wert —, demnach wird

4

n⁶ Ei

■22-

fi i/

(M ⁵ V

• sin yn •

16 pa⁴ (1-Q²)

n⁶ Ei

4 pa⁴ (1 — qz)

n⁶ E i

1    . x

—fr'Smy,n--

U/    CI

. . 60)

Diese Reihe stellt die Durchbiegung im X-Schnitt dar, der bei b — oo in der mittleren Partie unabhängig von y ist. Der Zustand in der Nähe des kurzen Randes ist demnach nicht berechenbar.

Für diese Punkte ist die Levysche Reihe*) benutzbar, welche für b — oo und gleichförmige Belastung folgende Form annimmt:

yny

Jpn^-T⁶¹)

für gleichförmige Belastung. Sie soll hier nicht abgeleitet werden, doch geprüft auf Erfüllung der Differentialgleichung mit Randbedingungen. Für x — 0, y — 0 und x — a wird z — 0. Für y — oo wird

.. 5

1    X

Tb • sin yn • —,

V    CI

4pa*(l-e*) v tv* Ei

d. h. dasselbe wie die oben (Gl. 60) zitierte Naviersche Reihe für ß = oo und y — oo.

K) = Ei -g=⁴-^ (1 -«m

(4) = Ei -

(»%) = E i -

^²

2²£

2 pa²

)]

x

• sin an- —

a

62)

dxdy

(w₀₀) = (*%) + (*Wy) =

a -cos yn—

Qj

?(>-•

££»■\    . #

a 1 • sin fj/Tt--

Für x = 0, x~a, y — 0 werden (mx) und (my), wie bei der Navierschen

Lösung schon der Fall, Null. Desgleichen für y — oo (my) = 0. Nur (mx) wird für y — oo

(y^x) —

d. h. der der schon erwähnten Durchbiegungslinie z für y — oo entsprechende Wert.

Es wird

1    3 Noq)

1 —(>² 9x

1    3 (m₀o)

i-<?²

3.

COS fiiTt--

4 pa

a 63)

a - sin yn -

- 2 ■ ~o • e

p l*

und die Differentialgleichung wird identisch erfüllt durch:

3y

71²

. . 64)

'__3gx . 3qy _ 4p ^ 3x ' 3y n

7t

da die Summe, wie mehrfach erwähnt, den Wert — hat.

4 0 Comptes rendus a l’Academie 1899, t. CXXIX, p. 535—539; siehe auch Estanave, Contributionsäl’equilibred’une plaquerectangulaire (These). Paris 1900. Gauthier-Villars. p.21.

Mittels der Gl. 56) ist es einfach, auch die Lösung für Einzellast

abzuleiten.

Es ist

t/ a

— x‘,

Zx‘y‘ —

T-y<))

4Eip

— y‘ auftretende Ersatztorsionsmoment ist. Setzt man letzteres aus Gl. 62) ein, so ergibt sich

wo

Zx‘y‘ = —

1    Pa²(l—£²)    1

2    Ein³

■,73 1+jWTT-U)

to <&■*

kr

___| Kleine Achse

x'

-VJ I___

____Lyp.lL____

x"\

^"vj

y I

o.

b*°~ -I

->!

-*-x

Abb. 6.

Abb. 5.

--y‘ ist die Entfernung von der kleinen Achse der Platte. Wir setzen

u

diese Größe gleich t) und legen die X-Achse in die kleine Mittelachse, also durch den Lastangriffspunkt.

Setzt man noch cos •

^    --x'^j wie früher = (— 1)

m+ 1

x¹

• sin üi7T--,

r a

dann ist die Durchbiegung im Punkt xt) 1 Pa²(l — q²)

(~ 1)

m -t-1

Ei

[i³

a • sin [irr •    65)

Infolge der Symmetrie ist t) nach beiden Seiten der X-Achse positiv

zu rechnen.

Es wird

9Z

9t)

-+y*

TT² Ei

9z

Pa (1 — g²)

9x

2 Ei Ti²

■B M

(-1)

m+ 1

„2

[¹

ßxl) ' x

a • Sin [ITC--

a

X

a -COSflTT- —

ß-'Q

66)

9z

wird Null für 0 und x — 0. Also ist es zulässig, nach beiden Seiten positiv zu rechnen.

(mx) = Ei •

d²z

p5C²

P²£

dy²

p -a-e²)-s-

2 TT

« -sinw7r--

a

(mü0) = Ei J²z —

t*

P -(i-e²)-s-

V-

Für rr = 0 und — 0 ergibt sich

(4) = Ei •

P²?

2 TT

9x9y

2 JT

₍-t)»+Yi

fi v

(— i)w+i _

--—---e

(— l)m+1    _

-----e

^)e

a J

a -sin/iTT--

Ü

/**•>>    .    x

a • sin flTZ •—■

Ct

67)

fi

a *COS fl TC--

(mx) = (niy) — — ,0^

&

wie zu erwarten; in allen anderen Punkten ist die Reihe recht brauchbar.

9(m₀₀)

— oo,

IXTV'S,

0.x —

l-?²

9x

tly —

9(mw)

l-?2 9qx | 9g$

9\)

—    —l)m + 1e a •COS[l7t--

Ct fi    ct

JJ* TT t)

ö~ • sin fijt--

Ct

= + —.2(- l)"+‘«“

W fJL

68)

= 0 mit Ausnahme im Lastangriffspunkt, wie g^und qt).

Es kann bewiesen werden, ebenso wie im Fall der endlichen Platte, daß das Integral von p über ein den Lastangriffspunkt enthaltendes Rechteck bei jeder beliebigen Größe desselben gleich P ist, d. h., daß außer P keine weitere Belastung vorhanden ist.

9x

PQ

€. Zahlenwerte und Tabellen.

1. Die Durchbiegung*.

Bei gleichförmiger Belastung p ist nach Gl. 47) u. 49) die Durchbiegung

x . v

• sin fi ix sin vn • -~

a    b

16 pa⁴ (1 — q²)

n⁶ Ei

22

fi v

fiv

0-+?)*

71)

und für Einzellast in der Mitte

4 Pa²

7T⁴ Ei ß

.(1-g²)^-

(- 1)

!l v

■ sin an • —• sin vn-~-    72)

a    b

Wächst die lange Seite ins Unendliche, so sind die Gleichungen 61) u. 65) zu benutzen.

\ _ Ü£IP] .    X

Je a sin fin • —

V'

1 Pa²

(— l)m+1

2 Ei n

n³

fi

73) x

a «sinfin--74)

Ct

Für die Durchbiegung in der Mitte \st x — -^r-, y — zu setzen; es

u    u

wird dadurch sin pn^- — (—l)m+1, s\nvn~—{—l)n + 1. Im Fall ß — oo

ist y — oo und t) = 0 zu setzen. Die Summe reduziert sich dadurch auf v (— l)m + 1

#/⁵

r

= 0,9962 und ^=1,0516.

V³

Man erhält hiermit für die Durchbiegung in der Mitte von Platten bei verschiedenen ß:

77)

1,25

1,5

1,75

2,0

2,5

Gleichförmige Belastung p 20' =

2₀" =

Einzellast P

Verhältnis

2o'

2u"

— 0,00407 - 0,00603 — 0,00773 — 0,00909 — 0,01013 — 0,01150

I

-0,0116 —0,0139 —0,0153 —0,0161 —0,0165 - 0,0168 0,352    0,434    0,506    0,566    0,615

0,684

3,0

4,0

5,0

oo

Gleichförmige Belastung p f

J

2₀" =

Einzellast P

Verhältnis

— 0,01224

— 0,01283

— 0,0130 —0,01305

— 0,0168

— 0,0169

— 0,0170    0,0170

0,727

0,758

0,767 j 0,767

fl-«*»-Sff

pa²

Es sei bemerkt, daß die Durchbiegung eines gleichförmig belasteten Balkens zj —

Durch Multiplikation der Koeffizienten A erhält man folgende Tabellen:

Durchbiegung der quadratischen Platte für gleichförmige Belastung. 78)

5 pa* _ 38dT‘ EJ~~

— 0,1303-

pa⁴

EJ

beträgt.

mit den zugehörigen sin

y — 0,5 a

0,4 a 0,3 a 0,2 a 0,1 a

— 0,00043

-    0,00150

—    0,00080

—    0,00274

—    0,00203

—    0,00108

— 0,00407

—    0,00382 —0,00390

—    0,00322 —0,00332

—    0,00238 — 0,00246

—    0,00128 —0,00132

0,10 a

0,20 a j 0,30 a

0,40 a

0,50 a

Durchbiegung der quadratischen Platte bei Einzellast in der Mitte

(mit Hilfe von Gl. 69 u. 76, Abb. 11).

79)

y = 0,5 a

0,4 a 0,3 a 0,2 a 0,1 a

— 0,00294

—    0,00278

—    0,00232

—    0,00166 — 0,0085

—    0,00579 — 0,00841 — 0,01055 | - 0,01157

—    0,00545 —0,00785 —0,00973

—    0,00457 — 0,00646

—    0,00321

(i -e²)

Pa²

Ei

Durchbiegung der unendlich langen (5 = oo) Platte bei Einzellast in der Mitte.¹)

t) = 2,0 a 1,8 a 1,6 a 1,4 a 1,2 a

1,0 «

0,9 « 0,8 a 0,7« 0,6 ci

0,5 a 0,4 a 0,3 « 0,2 ci

0,1 «

0,0001

0,0001

0,0002

0,0003

0,0005

0,0009

0,0011

0,0014

0,0018

0,0022

0,0025

0,0032

0,0037

0,0041

0,0045

0,0046

0,0002

0,0002

0,0004

0,0005

0,0010

0,0017

0,0022

0,0027

0,0034

0,0041

0,0050

0,0060

0,0070

0,0081

0,0086

0,0090

0,0002

0,0003

0,0005

0,0008

0,0014

0,0023

0,0029

0,0041

0,0046

0,0057

0,0070

0,0083

0,0098

0,0112

0,0119

0,0128

0,0002

0,0004

0,0006

0,0010

0,0017

0,0027

0,0035

0,0044

0,0055

0,0068

0,0082

0,0098

0,0117

0,0135

0,0144

0,0156

0,0002

0,0004

0,0006

0,0011

0,0018

0,0029

0,0036

0,0046

0,0058

0,0071

0,0086

0,0104

0,0124

0,0143

0,0154

0,0170

₂v Pa²

0,1 «

0,2 a

0,3 «

0,4 ci

0,5 a

Nach Gl. 56) können aus den später für die gleichförmig belastete Platte berechneten Ersatztorsionsmomenten bei verschiedenen ß leicht die Durchbiegungen für Einzellast in den Fällen ß — 1,25 und ß — 2,0 berechnet werden.

2. Momente bei gleichförmiger Belastung.

Die Ersatzmomente sind nach Gl. 47) u. 51) gegeben durch die Formeln für endliches ß:

16 (1 — g²) p«²

(mx) =

71*

'('+9)

(»ly) —

16(1 —g²)pö((

71* ß²

• sin vn-^r-b

• sin an---sin vn • -P-

¹ a    b

=- • sin fiTt •

82)

(k) =

16 (1 — q²) pa²

71* ß

('+£)*

• COS fl 71 • —

• cos vn •

und nach Gl. 62) für ß = oo: 4(1 —g²)pa²

C»**) =

7I³

Oy) =

4 (1 — g²) pa²

7r³

ftr) =

2(1 — g²) p a²

— !L7r

,r

83)

7l³

a • COS (ITt- —

CI

Ooo) =

4(1 -g²)pa² v 1 /

7I³    7 p³ \

y-y \

e ° I

l) Bei der Berechnung wurde die Beziehung e A = (£of oc — ©ttt «X benutzt und die hyperbolischen Funktionen dem Taschenbuch für Bauingenieure entnommen.

No 0,0368 0,0560 0,0728 0,0861 0,0964 0,1100 0,1172 0,1231 0,1245 0,1250, (1 —ea)pa2 (my)₀ 0,0368 0,0334 0,0281 0,0224 0,0174 0,0100 0,0055 0,0016 0,0004 0 | (1 — e²) po³

89)

Aus der Gleichung für (tx) geht hervor, daß es in der Mitte der Platte Null ist, da jeder cos y •    — 0.

Hauptmomente.

Die dortigen Ersatzmomente sind also

In der Ecke treten zwei gleiche Torsionsmomente auf in den recht

winklig zusammenstoßenden Querschnittsflächen, während (mx)* und (my)* Null sind.

Es liegen daher die Hauptmomente unter den Richtungen

<£>ii = 45° und (pi — — 45° nach den Gleichungen 13), 14), und die Hauptmomente sind (mi)* =— (tx)*> Mn* = -f-    Das Torsionsmoment ist

gleich

1 -+£> last A* ist

• (tx)*, und die infolge seiner Zerlegung auftretende Einzel-

A*

—(«*•

Man erhält demnach folgende Tabelle:

Ersatzmomente in der Mitte der Platte (Abb. 12).

88)

\ß = i

1,25

1,5

1,75 I 2,0

2,5

3,0

4,0 | 5,0

oo

Momente in der Ecke x = 0, y = 0.

ß=l 1,25

1,5

1,75

2,0

2,5

(tx)* = — (my)* = (+ Win)* tx* = — Wlj* — + win*

A* =

—    0,0462

—    0,0462 + 0,0924

—    0,0556

—    0,0556

+ 0,1112

— 0,0612 — 0,0612 0,1224

—    0,0643 —0,0659

—    0,0643 —0,0659

0,1286    0,1318

—    0,0672

—    0,0672 0,1344

3,0

4,0

5,0

oo

(**)* = — (>»i)* = (+ *»n)* tx* = — mf = + Win*

A* =

—    0,0674

-    0,0674 0,1348

—    0,0676

-    0,0676 0,1352

—    0,0677

—    0,0677 0,1354

-    0,0677

-    0,0677 0,1354

(1 — ?²)pa2 (1 — Q) P «2 (1 — ?) V «²

Die dazugehörigen Spannungsmomente ergeben sich nach Gl. 10).

Durch Multiplikation der Koeffizienten Amn mit den zugehörigen sin erhält man die folgenden Werte der Ersatzmomente, aus denen sich die Hauptersatzmomente und deren Richtung nach den Gl. 13 u. 14 berechnen.

0,5 a

0,4 a

z-—z—-S ✓—■'S I    z-N    Z-—-N    z—'S /-*S

SIS1&11J3.il

unbest.

H)

0,3 a

{tx)

Ho)

©ii

H)

Hi)

(mx)

H)

0,2 a

H)

Ko)

©II

H)

Hi)

— = /8 = l.

a

Tafel I u. Abb. 13 u. 14.

— 0,0118

45°

0,0118 — 0,0118

— 0,0231

45 0 0,0231 - 0,0231

0,0175

0,0115

0,0278

0,0220

0,0334

0,0299

0,0361    0,0368

0,0351    0,0368

0,0290    0,0498    0,0633

90°

90°

90°

0,0175

0,0115

0,0278

0,0220

0,0334

0,0299

0,0712    0,0736

unbest. 0,0361    0,0368

0,0351    0,0368

90°

0,0169 0,0113 — 0,0112 0,0282

52 ° 30' 0,0256 0,0026

0,0148

0,0108

—    0,0217 0,0256

47° 40' 0,0346

—    0,0090

0,0116 0,0093 — 0,0336    —0,0314

0,0209

46° 05' 0,0418 — 0,0210

45°

0,0336 — 0,0336

0,0266 0,0215 — 0,0093 0,0481

52° 40' 0,0336 0,0144

0,0318 0,0294 — 0,0066 0,0612

50° 10' 0,0373 0,0239

0,0344    0,0351

0,0344,’    0,0361

— 0,0035

0,0688    0,0712

45°

0,0379    0,0361

0,0309    0,0351

0,0230 0,0202 — 0,0181 0,0432

46° 15' 0,0398 0,0034

0,0274 0,0274 — 0,0128 0,0548

45 °

0,0402

0,0146

0,0294 0,0318 — 0,0066 0,0612

39° 50' 0,0373 0,0239

0,0299

0,0334

0,0633

0,0334

0,0299

0,0172 0,0172 — 0,0259 0,0344

45°

0,0431 — 0,0087

•0,0202 0,0230 — 0,0181 0,0432

42° 45' 0,0398 + 0,0034

0,0215    0,0220

0,0266    0,0278

— 0,0093

0,0481    0,0498

37 ° 20'

0,0336    0,0278

0,0144    0,0220

g»d(gd —i)

0,1 a

0,0065 0,0065 — 0,0422    —0,0390

0,0130

45°

45°

0,0422    0,0455

— 0,0422    — 0,0325

0,0093

0,0116

—    0,0314 0,0209

43 ° 55' 0,0418

—    0,0210

0,0108

0,0148

—    0,0217 0,0256

42° 20' 0,0346

—    0,0090

0,0113    0,0115

0,0169    0,0175

0,0112

0,0282    0,0290

37 ° 30'

0,0256    0,0175

0,0026    0,0115

{mx)

(%)

H)

— 0,0462

— 0,0422

— 0,0336

— 0,0231

— 0,0118

Ho)

©II

45°

45°

45°

H)

Hl)

0,0462    0,0422    0,0336

— 0,0462    — 0,0422    — 0,0336

45° 0,0231 — 0,0231

45°

unbest.

0,0118 — 0,0118

Tafel I u. Abb. 13 u. 14.

0,5 b

0,4 b

0,3 b

0,2 b

0,1 b

11$ f£ii ils® fEff f?a® iEJf ff«® fff? ffa® #£ff

0,0236

0,0104

0,0340

unbest.

90°

0,0236

0,0104

— 0,0132

45° 0,0132 — 0,0132

0,0227 0,0103 — 0,0125 0,0330

58° 10' 0,0305 0,0025

— 0,0265

45° 0,0265 — 0,0265

— 0,0391

45° 0,0391 — 0,0391

— 0,0500

45° 0,0500 — 0,0500

— 0,0556

45°

0,0202

0,0102

—    0,0250 0,0304

50° 40' 0,0407

—    0,0103

0,0159

0,0093

—    0,0368 0,0252

47° 35' 0,0497

—    0,0245

0,0091

0,0069

—    0,0467 0,0160

45° 40' 0,0547

—    0,0387

— 0,0512

45°

0,0556    0,0512

— 0,0556    —0,0512

0,0394

0,0198

0,0490

0,0271

0,0544

0,0318

0,0560

0,0334

0,0592

0,0761

0,0862

0,0894

90°

90°

90°

90°

0,0394

0,0198

0,0490

0,0271

0,0544

0,0318

0,0560

0,0334

0,0379 0,0197 — 0,0106 0,0576

65° 15' 0,0428 0,0148

0,0469 0,0270 — 0,0076 0,0739

71 ⁰ 20' 0,0494 0,0244

0,0519 !    0,0535

0,0316    0,0332

— 0,0040

0,0835    0,0867

79° 15'    90°

0,0526    0,0535

0,0308    0,0332

II1S ?!!

-S3S i§ g SS öS ”§S

o o o o ? o o

0,0453 0,0309 - 0,0078 0,0762

66° 25' ■0,0487 0,0275

0,0460

0,0320

0,0780

90°

0,0460    „

0,0320    1 ö

0,0251

0,0175

—    0,0307 0,0426

48° 30' 0,0522

—    0,0096

0,0137

0,0126

—    0,0374 0,0263

45° 25' 0,0505

—    0,0243

0,0304 0,0236 — 0,0218 0,0540

49° 25' 0,0490 -f 0,0050

0,0164

0,0164

—    0,0267 0,0328

45°

0,0431

—    0,0103

0,0331

0,0272

—    0,0113 0,0603

52° 15' 0,0419 0,0185

0,0176

0,0184

—    0,0138 0,0360

44° 10' 0,0318 + 0,0042

0,0341

0,0285

0,0626

90°

0,0341

0,0285

0,0180

0,0190

0,0370

0,0190

0,0180

t-H

— 0,0412

— 0,0286

— 0,0147

45° 0,0412 — 0,0412

45°

0,0286 — 0,0286

45° 0,0147 — 0,0147

unbest.

0,5 b

0,4 b

??H®    ????    ??H® s'rT?

unbest.

(»%)

0,3 b

(tx)

(Woo)

©II

K)

Oll)

- = 2,0.

a

Tafel I u. Abb. 13 u. 14.

0,0365

0,0054

0,0635

0,0103

0,0823

0,0141

0,0932

0,0166

0,0964

0,0174

0,0419

90°

0,0365

0,0054

0,0353 0,0057 — 0,0111 —0,0106 0,0410

72° 10' 0,0387 0,0023

45°

0,0111 — 0,0111

0,0319 0,0068

-    0,0240    — 0,0227

0,0387

45°    59° 25'

0,0240    0,0451

—    0,0240    — 0,0065

0,0738    0,0964    0,1098

0,1142

90°

90°

90°

90°

0,0635

0,0103

0,0823

0,0141

0,0932

0,0166

0,0964

0,0174

0,0614 0,0109 — 0,0090 0,0723

80° 10' 0,0630 0,0094

0,0794 0,0150 — 0,0066 0,0944

84° 10' 0,0801 0,0143

0,0899

0,0176

0,0034

0,1075

87° 20' 0,0902 0,0174

0,0934

0,0187

0,1121

90°

0,0934

0,0187

0,0550 0,0129 — 0,0193 0,0679

68° 50'    76°

0,0626    0,0699

0,0054 I    0,0142

0,0703 0,0176 — 0,0140 0,0879

0,0795 0,0207 — 0,0073 0,1002

0,0825

0,0218

0,1043

83°

90°

0,0727

0,0198

0,0825

0,0218

0,2 b

0,1 b

??h® s r n s?h® s???    § sh® ????

— 0,0389

45°

0,0389 — 0,0389

— 0,0561

0,0257

0,0079

-    0,0370 0,0336

51° 50' 0,0548

—    0,0212

0,0156 0,0083 - 0,0522 0,0239

45°

47°

0,0561 — 0,0561

— 0,0659

45°

0,06p9 — 0,0659

0,0643 — 0,0403

0,0431

0,0149

—    0,0312 0,0580

57° 10' 0,0632

—    0,0052

0,0249

0,0145

—    0,0433 0,0394

48° 20' 0,0633

—    0,0239

0,0548 0,0203 — 0,0226 0,0751

63° 40' 0,0660 0,0092

0,0307

0,0183

—    0,0309 0,0490

50° 40' 0,0561

—    0,0071

0,0611

0,0236

—    0,0119 0,0847

73° 40' 0,0646 0,0202

0,0342

0,0211

—    0,0170 0,0553

55° 40' 0,0459 + 0,0093

0,0631

0,0248

0,0879

90°

0,0631

0,0248

0,0350

0,0220

0,0570

90°

0,0350

0,0220

(1 — (>²) p ft²

— 0,0611    —0,0505

— 0,0350    — 0,0176

45°

0,0611 — 0,0611

45° 0,0505 — 0,0505

45°

45°

0,0350    0,0176

— 0,0350    — 0,0176

unbest.

a b ß — — = oo. a

Tafel II u. Abb. 13 u. 14.

93 a)

2,0 a

1,0 a

0,8 a

0,6 a

ll$j II3J H3| JJ3J

— 0,0009

— 0,0116

0,0448 0,0002 — 0,0009 0,0450

0,0796 0,0004 — 0,0007 0,0800

0,1044 0,0006 — 0,0006 0,1050

0,1193 0,0007 — 0,0003 0,1200

0,1242

0,0008

0,1250

0,0405 0,0027 — 0,0108 0,0432

0,0716 0,0052 — 0,0093 0,0768

0,0932 0,0071 — 0,0069 0,1003

0,1063 0,0084 — 0,0036 0,1147

0,1106

0,0088

0,1194

0,0378 0,0040 — 0,0183    — 0,0175

0,0418

0,0333 0,0057 — 0,0284    — 0,0270

0,0390

0,0664 0,0077 — 0,0163 0,0741

0,0576 0,0109 — 0,0228 0,0685

0,0861 0,0106 — 0,0108 0,0967

0,0743 0,0149 — 0,0166 0,0892

0,0977 0,0125 — 0,0056 0,1102

0,1015

0,0131

0,1146

0,0840    0,0870

0,0176    0,0185

— 0,0087    0

0,1016    0,1055

(mx)

0,5 a

(my)

(tx)

Ooo)

0,0300 0,0066 - 0,0345    — 0,0328

0,0366’

0,0516 0,0127 — 0,0278 0,0643

0,0663 0,0171 — 0,0202 0,0834

0,0741    0,0772

0,0204    0,0210,

— 0,0103

0,0945    0,0982

0,4 a

(nix)

(my)

(tx)

Ooo)

0,0263 0,0073 — 0,0415    —0,0394

0,0336

0,0446 0,0138 — 0,0333 0,0584

0,0566 0,0187 — 0,0242 0,0753

0,0648 0,0205 — 0,0128 0,0853

0,0655

0,0229

0,0884

(! — £²) pa²

0,3 a

0,2 a

0,1 a

||3J Jül 2132

0,0350 0,0077

—    0,0494    —0,0467

0,0292

0,0158 I 0,0073 |

—    0,0572    — 0,0539 !

0,0231

0,0360 0,0143 — 0,0393 0,0503

0,0451 0,0193 — 0,0282 0,0644

0,0497 0,0227 — 0,0147 0,0724

0,0518

0,0232

0,0750

— 0,0618

0,0086 0,0055 — 0,0575 0,0141

0,0254 0,0134 — 0,0450 0,0388

0,0315 0,0176 — 0,0325 0,0491

0,0341 0,0201 — 0,0165 0,0550

0,0359

0,0210

0,0569

0,0135 0,0095 — 0,0475 0,0230

0,0166 0,0121 — 0,0342 0,0287

0,0179    0,0184

0,0136    0,0140

— 0,0179    0

0,0315    0,0324

(%)

(my)

(tx)

— 0,0680    —0,0626    —0,0510

— 0,0358

— 0,0184

Ooo)

= CO.

Tafel II u. Abb. 13 u. 14.

93 b)

2,Da

1,0 a

0,8'a

0,6 a

0,5 a

ZZS ZZS IAs® ZlS IIS

45° 0,0009 — 0,0009

45° 0,0116 — 0,0116

45°

0,0183 — 0,0183

45° 0,0284 — 0,0284

45°

0,0345 — 0,0345

88° 40' 0,0448 0,0002

89 ⁰ 30' 0,0796 0,0004

89 ° 40' 0,1044 0,0006

89° 50'    90°

0,1193    0,1242

0,0007    0,0008

75° 65' 0,0434 — 0,0002

82° 10' 0,0728 + 0,0040

85° 30' 0,0935 0,0065

87 ° 50'    90 °

0,1066    0,1106

0,0082    0,0088

66 ° 40!/

0,0453 - 0,0035

75° 20' 0,0705 + 0,0035

82°

0,0876

0,0090

86° 10'    90°

0,0981    0,1015

0,0121    0,0131

58° 30' 0,0498 — 0,0108

67° 50' 0,0670 + 0,0014

75° 20' 0,0786 + 0,0106

82° 40'    90°

0,0852    0,0870

0,0164    0,0185

54° 50' 00531 — 0,0165

62° 30' 0,0661 — 0,0017

70° 20' 0,0735 0,0099

79° 20'    90°

0,0760    0,0772

0,0184    0,0210    %

0,4 a

©II

(*»l)

45° 0,0415 — 0,0415

51° 45'    57° 25'

0,0573 i 0,0660 — 0,0237    — 0,0076

64°    74 ° 55'

0,0684    0,0682

+ 0,0068    0,0170

vO CTi

O O o § ©“©-

-I)

0,3 a

0,2 a

0,1 a

lls JAA IiS IAA

45°

0,0494 — 0,0494

45° 0,0572 — 0,0572

45° 0,0618 — 0,0618

0,0645    0,0599    0,0487    0,0338    0,0184

—    0,0505    —0,0360    —0,0199    —0,0022    +0,0140

45°

0,0184 — 0,0184

45°

45°

0,0680 0,0626 — 0,0680 - 0,0626

45°

45°

0,0510    0,0358

— 0,0510    —0,0358

unbest.

0,1 a

0,2 a

0,3 a

0,4 a

0,5 a

3. Mittel- und Eckmomente bei Konzentrierung der Belastung (auf kleine Quadrate wirkend).

Die Platte sei mit der Gesamtlast P belastet, die nacheinander auf Quadrate von verschiedener Seitenlange von a bis zu 0,05 a verteilt werde; das Belastungsquadrat liege symmetrisch zu den Achsen der Platte. Es sei hierbei das Verhalten der Mittel- und Eckmomente verfolgt.

Zur Berechnung der Mittelmomente sei die unter B. 5. abgeleitete allgemeine Beziehung verwendet. Demnach ist bei symmetrischer Teilbelastung

über ein Quadrat von der Seitenlänge — a das Ersatzmoment (mx) und (my)

in der Mitte der Platte gleich den entsprechenden Momenten der mit der-

1 a

selben gleichförmigen Belastung total belasteten Platte im Punkt x —---,

£ —.

y~—----. Letztere Werte können leicht den Tabellen des letzten Kapitels

kleine Werte von

direkt entnommen oder durch Interpolation gefunden werden. Nur für — sind die Werte noch zu rechnen. Man erhält dann

• s² die Momente durch

folgende Tabelle und nach Ersatz von p durch die Gesamtlast P ausgedrückt:

Mittelmomeute bei Konzentrierung der Belastung¹ auf ein Quadrat

Abb. 18.

(ea)²

94)

(mx)

(Vly)

ß=l,0    1,25    2,0

00

ß=l,0    1,25 |    2,0

00

»O l>-

oj^

’-H r-T r-T oT iO

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

o o

• Ol

0,1

0,05

0,0368    0,0535    0,0739    0,0772

0,0344    0,0470    0,0611    0,0648

0,0274    0,0352    0,0437    0,0451

0,0172    0,0209    0,0249    0,0254

0,0065    0,0072    0,0084

0,00234 0,00068 !

0,0368    0,0332    0,0236    0,0210

0,0344    0,0310    j 0,0236 | 0,0205

0,0274    0,0250    0,0204    0,0193

0,0172    0,0166    0,0145    0,0134

0,0065    0,0056    0,0056    0,0055

0,00192 0,00061

0,0086 0,00273    0,00234

0,000835    0,00068 :    .

(1 — o²) p a²

Ersetzt man p durch —g-f², so ergibt sich:

M) I—*

O O Ol JsS    t-L h*

"bi bi

O, 00^ «5^    Ol .-i ©

hoo" o cT cT ©

co co    oi    »o    co

CD CO    CD    L-    Ol

co iO    L-    o    O    CO    L-

O O    O    Ol    OJ

o o    o    o"    ö'oö'

0,0534

0,0734

0,0983

0,1307

0,0739

0,0945

0,1212

0,1556

0,18

0,21

0,0772

0,1013

0,1253

0,1588

0,215

0,273

0,334

0,0368

0,0538

0,0762

0,1075

0,1623

0,234

0,272

0,0332 0,0236 0,0484 0,0369 0,0695 0,0567

0,1038 0,0907

0,14

0,14

O ¹    Ol

H (M    CO    CO    Ol    ^

Ol CO    »o    CO    CO    05

O    O    Ö    Ol

cT ©    cT    cT    ©    cT    cT

P(l-P2)

Die Reihen konvengieren mit zunehmender Konzentration der Last schlechter, weil die ersten Glieder mit sehr kleinen Sinus multipliziert sind und daher die späteren Glieder erhöhten Einfluß auf das Resultat haben, so daß die Zahlen bei stärkerer Konzentration nur noch Annäherungswerte darstellen.

Bei symmetrischer gleichförmiger Teilbelastung ist das Ersatztorsionsmoment in der Ecke der Platte

a‘

b‘

(4) =

16 pq²(l — o²)

V V .

/J v

cos yn----cos vn' —

nach den Gleichungen 46) und 51), d. h. dasselbe wie bei Vollbelastung im Belastungseckpunkt a¹, b‘. Wie oben entnehmen wir letztere Zahlen den

p

Tabellen des vorigen Kapitels und ersetzen n durch —--P. Für konzentrierte

or

Einzellast ist die Zahl den späteren Berechnungen entnommen bei der quadratischen Platte, bei den anderen geschätzt. Die Ersatztorsionsmomente sind an Größe gleich den unter 45° gegen die x-Achse liegenden Hauptmomenten    (mn)*.

a in der Mitte der Platte.

Ersatztorsionsinomente in der Ecke der Platte bei Konzentrierung der Belastung-auf ein Quadrat mit der Seite ~

95)

Abb. 19.

1,0

1,0

1,25

1,67

0,8

0,6

© C«

0,4

0,2

oo

£ = 1,0

1,25

2,0

oo

-    0,0462

—    0,0610

-    0,0721

—    0,0800

—    0,0870

—    0,0875

—    0,0500

—    0,0607

—    0,0695

—    0,0757

—    0,0800 (— 0,0810)

—    0,0310

—    0,0355

—    0,0395

—    0,0412

—    0,0410 (—0,0410)

0 (l-^)paa

Die Hauptmomente (mi) unter der Richtung (fi = — 45° sind gleich obigen Werten mit positivem Vorzeichen (mh), unter yn=i45⁰ gleich obigen Werten mit demselben Vorzeichen.

und die Eckkraft in'# = (), y — 0 gleich

Das Torsionsmoment ist

(4)

(i + <?)

2 OW

¹ + e

4. Momente bei Binzeilast in der Mitte.

Befindet sich eine Einzellast in der Mitte, so berechnen sich die Momente nach Gl. 44) u. 51) zu

4 P (l - er)

(W2X)

l)

m i-n

7I²jS>

Qß

₂ • sin yn • — • sin vn •

(4) =

4P(l-?²)

7T²/S²

-22-

;m v

yv (— l)m

-f-n

/    ^Ya-'COS^Tr. —-cosrTr.

0,5 a

0,4 a

imiiu isn

Momente der quadratischen Platte bei Einzellast in der Mitte.

Tafel I u. Abb. 20.

101)

oo

oo

oo

unbest.

oo

oo

0,1080    0,1735

0,1080    0,1017

— 0,0499

0,2160    0,2752

45°

0,1579 ,    0,1735

0,0581    0,1017

90°

(1

0,3 a

I-H >—< iS m iQ

>C “Cj O ©

O y—i

CO O h C

ooo o o o“ ©~

0,1100

0,0448

0,1548

45°

0,1077 — 0,0035

G0° 50'    90°

1115    0,1100

- 0279    0,0448

Ox)

(rr>y)

0,2 a

(tx)

(>»oo)

(»+

(w»n)

0,0224    0,0400    0,0596    0,0695

0,0224    0,0264    0,0254    0,0238

— 0,0729    — 0,0581    — 0,0374    0

0,0448    0,0664    0,0850    0,0933

45°    48° 20'    57° 15' |    90°

0,0954    0,0915    0,0836    0,0695

-0,0505    - 0,0251    +0,0014    0,0238

0,1 a

!l=® lill

0,0059    0,0132    0,0220    0,0310    0,0335

0,0059    0,0095    0,0110    0,0097    0,0088

— 0,0824    — 0,0734

0,0118    0,0227

— 0,0584    — 0,0309

0,0330    0,0407

0,0128

45°    45° 45'

0,0883    0,0847

— 0,0765    —0,0621

o o

O © O

fc £ £

O <X> ^

54 ⁰ 25'    90°

0,0532    0,0335

— 0,0124 +0,0088

(»%)

(tx) -0,0875    —0,0841 ' — 0,0753

— 0,0583

— 0,0338

Ooo)

45°

45°

45°

45°

45°

unbest.

0,0875    0,0841    0,0753    0,0583    0,0338

(wji)

(m»h)    —0,0875    -0,0841    —0,0753    —0,0583    —0,0338

Ersatzmomente für Einzellast in (1er Mitte

oo.

für — — ß

a

Tafel II u. Abb. 21.

102 a)

2,0 a

1,0 a

0,8 a

0,6 a

0,5 a

0,4 a

0,3 a

Ilil iii? üsl 1111 llil lill Ifl J

0,0019

0,0216

0,0322

0,0446

0,0007    0,0013    0,0018

— 0,0005    — 0,0009    — 0,0012

0,0017    0,0015    0,0016

0,0002    0,0004    0,0005

0,0020 — 0,0014 0,0006 0,0006

0,0022 (1 — C;²) P -0,0016

0,0006

0 0089    0,0167    0,0230    0,0271

—    0,0045    —0,0087    —0,0118    —0,0139

0,0205    0,0174    0,0127    0,0067

0,0043    0,0081    i    0,0112    0,0131

0,0138    0,0262    0,0366    0,0433

—    0,0058    —0,0110    -    0,0158    —0,0187

0,0308    0,0263    0,0193    0,0102

0,0080    0,0152    0,0209    0,0246

0,0285 — 0,0147

0,0138

0,0455 — 0,0197

0,0258

0,0207    0,0399    0,0561    0,0674    0,0710

— 0,0059    -0,0117    —0,0171 | —0,0214    —0,0222

0,0428    0,0372    0,0278    0,0149    0

0,0147    0,0282    0,0390    0,0461    0,0488

0,0243    0,0475    0,0678    0,0825    0,0880

0 i    —0,0045    —0,0093    —0,0146    —0,0189    —0,0208

0,0498    0,0481    0,0426    0,0328    0,0180    0

0,0197    0,0382    0,0533    0,0636    0,0671

0,0273    0,0545    0,0803    0,1005    0,1086

0    — 0,0011    —0,0037    — 0,0081    —0,0129    — 0,0154

0,0526    0,0513    0,0470 j 0,0379    0,0218

0,0262    0,0509    j    0,0722    |    0,0875    |    0,0933

0,0290 0    + 0,0048

0,0508    0,0554

0,0338

0,0597 .    0,0921

+ 0,0073    + 0,0057

0,0492    0,0426

0,0670    0,0978

0,1214    0,1343

+ 0,0002    — 0,0033

0,0267    0

0,1215    0,1310

(•War)

0,2 a

(*%)

0,0416

(«uo)

0,0285

0,0133

0,0423

0,0418

0,0604

0,0248

0,0442

0,0851

00 00 c-QO O tH O) CO <N O O O 1-1 © © © ©

0,1437

0,0263

0,0342

0,1700

0,1694

0,0202

0,1895

0,1 a

-S    I    ✓'“'X

!«£££££

0,0265    0,0571    j    0,0948    0,1607

0,0219    0,0441    0,0672    0,0783

0,0238    0,0237 |    0,0292    0,0330    0,0429

0,0483 ;    0,1012    0,1621    0,2390

0,2262

0,0698

0,2960

if»

0,0508

0,0541    0,0907    0,1600

0,0541    0,0907    0,1600

0,1082 i 0,1804    0,3200

so

0,1 a

0,2 a

0,3 a

0,4 a

0,5 a

Ersatzhauptmomente für Einzellast in der Mitte.

'-k

— oo

Tafel II u. Abb. 19.

102 b)

2,0 a

45°

36°

27 °

18°

— 0,0019 + 0,0019

— 0,0018

+ 0,0020

— 0,0017

0,0021

— 0,0016 — 0,0016

0,0022 0,0022

— 0,0016

0,0022

(1 - P

1,0 a

45°

36°

27 °

— 0,0216 + 0,0216

-0,0194    —0,0176

0,0238    0,0256

18°    9 ° 10'

— 0,0160 —0,0150 ! —0,0147 0,0272    0,0282 I 0,0285

0,8 a

45°

— 0,0322 + 0,0322

36 ° 10'    27 ° 10'

— 0,0283 j —0,0248 0,0363    0,0400

18° 10'    9° 15'

— 0,0222 | — 0,0204 j — 0,0197 0,0430    0,0450 j 0,0455

0,6 a

45°

— 0,0446 + 0,0446

36° 20' — 0,0374 + 0,0522

27° 35' — 0,0312 + 0,0594

18° 40' — 0,0265 + 0,0655

9° 20' — 0,0238 + 0,0698

— 0,0222

+ 0,0710

0,5 a

45°

— 0,0498 + 0,0498

36° 40' — 0,0405 + 0,0601

28° 10' — 0,0331 + 0,0713

19° 10'    9° 45'

— 0,0261 —0,0220 [ —0,0208 + 0,0793    +0,0856    0,0880

0,4 a

0,3 a

0,2 a

45°    37°    15'    29°    05'    20° 20'    10° 25'

—    0,0526    —0,0401    —0,0298    —0,0222    : —0,0169    —0,0154

+ 0,0526    +0,0663    +0,0806    +0,0944    0,1045    0,1086

45°    38°    50'    29°    10'    I    22 ° 30'    j    11 ° 55'

—    0,0508    — 0,0400    — 0,0223    — 0,0117    — 0,0053    — 0,0033

+ 0,0508 | +0,0737    +0,0893    +0,1095    +0,1269    0,1343

45°    39°    55'    j    34°    05'    26° 15'    14°55'

—    0,0416    —0,0222    —0,0050    +0,0088    +0,0205    +0,0202

+ 0,0416    +0,0640    +0,0902    +0,1208    0,1495    0.1694

0,1 a-

45°    42° 15'    38° 45' j 33° 40'    23°

— 0,0238    +0,0004    +0,0207    +0,0465    +0,0600    +0,0698

+ 0,0238    + 0,0480    j 0,0805    0,1155    0,1790    0,2262

90°

90°

0,0254

0,0254

t-H r-H

°

8 o o

r- f-© O

o s 8

8 cT cT

O o g

05 05    °

unbest.

co

CO

0,1 a

0,2 a

0,3 a

0,4 a

0,5 a

und für unendliches ß zu

(mx) —

pq-g²)

(— l)m + 1

~ t)

a -sin

0»y) —

(-D

_!X7rt)

2 TT

rt • sin fxn •

(4) =

71

II

(w*oo) =

Pq-Q²)

2--

(— 1)«» + ¹ ^TTl) -

f*

(— 1)» + 1

-----e

a • COS jJi7T ‘

7T

_    /p

a «sinuTr» —

a

Es ist also

a

Die Reihen konvergieren im Angriffspunkt der Last nicht und ergeben unendliche Momente. Sie konvergieren jedoch für die anderen Punkte, und zwar um so besser, je weiter man sich von dem Angriffspunkt der Einzellast entfernt.

P(1-V)

• 2’ (— 1)”‘

/'•

PCI

<?²)

/'■ - i)

97 a)

/>■

5. Querkrafte und Auflagerdrücke.

Die Querkräfte lassen sich ebenfalls nach Gl. 52) durch Reihen berechnen, und der größte Teil der untenstehenden Zahlenwerte wurde so ermittelt. Man erhält sie jedoch schneller und hinreichend genau nach Gl. 27):

⁽ln-

3 Ooo)

3n

wobei die Werte von (m₀₀) aus den Werten der letzten Tabellen genommen werden und aus deren Differenzen der Differentialquotient ermittelt wird. Es seien dazu folgende Hilfsformeln benutzt (Abb. 7):

Sei eine Funktion y durch einzelne Werte in den Abständen h gegeben, dann ist im Anfangspunkt der Kurve

-    • 103)

und in einem mittleren Punkt

(Jf\L

y°.

-h -f

0 h. 2h

Abb. 7.

z/q — y\ 2/o und z/M — z/K+i

Die Querkraft am Rande ermittelt sich also immer mit Hilfe von Gl. 103), in der Platte jedoch mit Hilfe von Gl. 104).

Der Auflagerdruck längs des Randes ist

wo

ax — Cjx

3tx

3y

und

üy - Qy

3 tx

3x ’

wobei in den berechneten Fällen beide Bestandteile jeweils dasselbe Vorzeichen erhalten.

Der Betrag, um den die Summe der Auflagerdrücke die gesamte Beist natürlich gleich den

3 tn

lastung übersteigt, nämlich die Summe aller in den Ecken wirkenden Einzelkräften entgegengesetzten Vorzeichens Ä*.

• 3s

3tn

sollen aus den Randtorsionsmomenten der Tabellen ebenfalls nach Gl. 103) u. 104) ermittelt werden.

Die Größen

Es wurde dann das Moment M₀ in der Mitte des Randbalkens für die lange und kurze Seite ermittelt, unter Voraussetzung der Spannweite b und a bei freier Auflagerung, mit Hilfe der Ordinaten rj der Einflußlinie für den

Querkräfte, Aiiflagerdrücke uud stellvertretende Belastung. Gleichförmige Belastung.

Randseite a (Abb. 20).

105)

0    0,1 a

0,2 a

0,3 a |    0,4 a

0,5 a

Ordinate der Einflußlinie

0,10

0,20    0,25

Q.y

d tx

.= 0

1,0

da;

_a|farp=0,₈₌ o

—    0,17    —0,25    —0,30    —0,33

—    0,071 —0,096 — 0,111 —0,116    —0,120 (l-p)p«

— 0,34

pa

Uy

JM₀ . .

Mo

—    0,05    — 0,07    — 0,08    — 0,08    | — 0,08

—    0,22    —0,32    —0,38    —0,41    —0,42

0,0022    0,0064    0,0114    0,0164    0,0106

0,0470 pa3 0,375 p a

-e -e -ö

d tx

1,25

da;

“Hfur«=o’³⁼

%.....=

jM₀ . . . . —

0    —0,16    —0,25    —0,31    —0,34    —0,34

0    —0,070    — 0,113    —0,132    -0,143    —0,150

0 — 0,05    — 0,08

0 —0,21

0    0,0021    0,0066 j

— 0,33

p«

pa(l-p)

M₀

—    0,09    —0,10    —0,11

—    0,40    — 0,44    — 0,45

0,0120    0,0176    0,0112

0,0495 p a3 0,396 p ci

p«

p«

p«³

(Ly

d tx

da;

0    -0,16    -0,26    —0,32    —0,35    —0,36

0    -0,077    —0,131    —0,164    —0,175    —0,177

(l - (?) P«

d tx

—-r— für (>=0,3 =

2,0 da; ^

ay.....==

JMo •    • • • =

0 —0,05 0 —0,21 0 0,0021

Mo

—    0,09    1—0,11    —0,12    —0,12

—    0,35    —0,43    —0,47    -0,48

0,0070    0,0129    0,0188    0,0120

0,0528 p a3 0,423 p a

p«

pa

pa³

q_y

d tx

co

da;

für (,=ö>3 =

-0,18 — 0,091

—    0,27    —0,33    —0,36    —0,37

—    0,137 — 0,164    - 0,181    - 0,186

(1 -q) P«

Oy

JMo .    .

Mo

0    —0,06    —0,10    — 0,12    —0,13    —0,13

0    —0,25    -0,37    —0,44    —0,49    —0,50

0    0,0025    0,0074    0,0132;    0,0196    0,0125

0,0552 p a3 0,443 p a

pa

p«.

pa³

50

y= o

Ordinate der )    _

Einflußlinie / n ~

d tx

Randseite b (Abb. 21).

106)

0,1 b 0,2 b 0,3 b 0,4 b 0,5 b

0    0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

—    0,19    —0,28    —0,34    —0,36

—    0,066 —0,094 —0,104 —0,106

—    0,38

—    0,106    (1 — (Opa

p«

öy

für Q =0,3

d tx

1,25 by

2,0

1,0

(ly

JM₀ . .

-    0,05

—    0,24 0,0024

M₀

([x

d tx

dy

-^ftrf=0,8=    0

. = 0 — 0,28 . =    0 — 0,067

—    0,07    —0,07    —0,07    —0,07

—    0,35    —0,41    —0,43

0,0070    0,0123    0,0172 j 0,0112 paö²

0,0501 p aö2 0,408 p a

—    0,38    — 0,43    — 0,46

—    0,080    — 0,070 , — 0,060

— 0,45

p«

—    0,47

—    0,051    (1 —(>)pa

p«

dx

JM₀ . .

Mo

—    0,05    —0,06    —0,05    —0,04    —0,04

—    0,33    — 0,44    — 0,48 ¹ — 0,50    — 0,51

0,0033    0,0088    0,0144    0,0200    0,0128 paö²

0,0593 p a&2 0,475 p a

Gleichförmige Belastung-, ß = <x>. Lange Randseite.

y= o o,i«

-0,178 — 0,058

p«

106)

0,2 a 0,4 a j 0,6 ci 0,8 a

—    0,276

—    0,077

0 —0,041 —0,054 0 —0,2191—0,330

1,0 a

1,4 a

1,8 a 2,4 ci

—    0,384 — 0,434 — 0,466 — 0,482 |— 0,495

—    0,074 - 0,060 — 0,041 —0,027 —0,011

— 0,042 — 0,029 — 0,019 — 0,008

—    0,436 —0,476 — 0,495 —0,501 —0,503

—    0,499 — 0,500

—    0,004 — 0,001

p«

(l-^)pa

— 0,052

—    0,003 — 0,001

—    0,502 —0,501

p«

p«

Einzellast in der Mitte. Quadratische Platte. (Abb. 22).

0    0,1 a

0,2 a

0,3 a

0,4 a

0,5 a

107 a)

Einflußlinie y =    0

0,05

0,10    0,15

0,20

0,25

sly

Ö tx

dx

Ö tx

dx

für (> = 0,3

JT1₀ . M₀ .

0 — 0,122    — 0,233

0 — 0,061 - 0,121

0 — 0,043    — 0,090

— 0,328

— 0,208

— 0,389

— 0,380

!■

-0,292    —0,385    (1—(>)

— 0,205    —0,270

0 —0,165 1—0,323    —0,474    —0,594 —0,650

— 0,146

i e Pt,¹ ö

0    0,0016 :    0,0065    0,0142    0,0238

0,0786 P a

0,629 — a

0,0325

Seitenverhältnis. ß — <x

Lange Seite.

107 b)

Mo berechnet für einen Randbalken, Spannweite 4 a. (Abb. 23.)

von t) = — 2,0 bis + 2,0 a ; also von der

oo

<Jx

Ö t .i:

0,2 a

0,4 a

0,6 a j 0,8 a

1,0 a

a 2,0 a

. = —0,471 — 0,410    0,270 —0,153 —0,084 —0,049;—0,012 j 0,002

. = — 0,268j—0,135 +0,005 + 0,057 +0,059 +0,046;+0,022 + 0,010 (1 — q)

+ 0,041 + 0,031 + 0,015 + 0,007 = — 0,6581— 0,505 - 0,260|— 0,113 - 0,043 — 0,018 + 0,003 + 0,005

dy • *

ly für q — 0,3 = -0,187 - 0,095 + 0,004 + 0,040

(Ix

Ordinaten der Einflußlinie t] =

1,0    0,9    0,8 !    0,7    0,6    0,5    0,3    0

JM₀ ...    =    0,1316 0.1818 0,0851 0,0317 0,0103! 0,0054!-0,00091+ 0

Mo . ... = p _ 8 M₀

(4a)² • • “

Mittelquerschnitt. Mit J M₀ wurden die Summanden bei der Berechnung von Wo bezeichnet. Eine stellvertretende gleichförmige Belastung p, die

dasselbe Moment in der Mitte hervorbringen würde, hat die Größe p —

/ Spann-a 1 weite 4 a

Pa

0,4450 Pa

0,223 — a

8

die mit dem Faktor (1 — q) behaftet sind,

wurden mit dem Wert £ — 0,3 eingesetzt. Auf diese Weise ergeben sich die vorstehenden Tabellen.

bezw.

8^o

Die Größen

3tn

2s ’

6. Anhang.

mn*

Die technische Brauchbarkeit der Reihen für eine bestimmte Belastung hängt ganz vom Grade der Konvergenz ab. Und diese wieder ist proportional der Höhe der Potenz der Zahlen m und n im Nenner von A Demnach nimmt die Konvergenz ab von der Reihe für die Durchbiegung bis zur Reihe für die verteilte Belastung je nach dem Grade des entsprechenden Differentialquotienten. Sie nimmt ferner ab mit Konzentrierung der Belastung von gleichförmig verteilter Last bis zur Einzellast und zum

belastenden Moment. Bei symmetrischer Belastung fallen für jede Symmetrie zu einer Koordinatenachse die entsprechenden gerade m bezw. n enthaltenden A

aus. Es sind hier nur Zahlen für symmetrische Belastung berechnet. Jedoch verursacht die Berechnung einer Größe für unsymmetrische Belastung nicht erheblich mehr Arbeit als die der entsprechenden symmetrischen Belastung. Eine systematische Verfolgung der Verteilung der inneren Kräfte für unsymmetrische Belastungen ginge über den Rahmen dieser Arbeit hinaus, bietet jedoch keine Schwierigkeiten.

Im Falle einer schlecht konvergierenden Reihe liegt dies meist daran, daß große Serien positiver und negativer Glieder abwechseln. Geht man bis zum Ende der positiven Serie, so erhält man einen mit Sicherheit zu großen Wert; einen immer noch zu großen Wert, aber innerhalb engerer Grenzen, erhält man, wenn man bis zur Mitte der ersten negativen Serie geht.

Aus den Tabellen sind außer den direkt angegebenen Größen, nach den Beziehungen in B. 5. auch die Größen für symmetrische Teilbelastung in der Mitte, die Durchbiegung bei Einzellast und unter Benutzung der Maxwellschen Vertauschung viele andere zu entnehmen.

I). Zusammenfassung der Ergebnisse.

1. Die Durchbiegung.

Die Durchbiegung in der Mitte der Platte interessiert einesteils im Vergleich zu der des entsprechend belasteten frei aufliegenden Balkens mit der kurzen Spannweite a, andrerseits als Maßstab zur Beurteilung der Steifigkeit der Konstruktion.

Die Tabelle 77) zeigt, wie mit zunehmendem ff die Durchbiegung Zq der gleichförmig belasteten Platte wachst bis zum im⁴

0.015-

0,010

z ö j Durchbiegung fürEinzellast:?) (f-p^Eip

^T^Durchbiegung eines Balkens durch gl vert. LaSl^ßPJ³ ff '    [ Lfürgieichm. vert. Last: '

0170

0.003

Wert

384 Ei

(l-o²), d. h.

RIO

-ß‘1,0    1.5    2,0 2.5    3.0

es o&p-pyffi

_13ß* r* . 7i Pa? z°' 7.4+166+ "~r'4ati

40

derjenigen des Balkens mal dem Faktor (1 — q²).

Die Kurve z₀' läßt sich wiedergeben durch die Gleichung

Abb. 8.

5.0

_£!.___—.    (l — p2)    .    108)

2,2 + ß³ 384 Ei u    ;

Demnach ist die Durchbiegung der quadratischen Platte nur (i _ ^

von der des frei aufliegenden Balkens. Der Faktor (1 — q²) drückt den Einfluß der Querdehnung aus, welcher demnach die Durchbiegung um 16 vH. für q = 0,4 und um 4 vH. für q — 0,2, im Mittel also um 9 vH. verringert, selbst bei der unendlich langen, an zwei Rändern aufliegenden Platte, q kann demnach aus Durchbiegungsversuchen von Balken und Platten bestimmt werden.

Die Durchbiegungskurve für Einzellast in der Mitte läßt sich mit Annäherung darstellen durch

13 ß*

r(i-<?*)•

Pa

48 Ei ’ '

. .    109)

7,4 + 160

die maximal um 4 vH. von den Werten der Tabelle 77) abweicht. Die höhere Potenz von ß drückt ein schnelleres Erreichen des Grenzwertes mit zunehmendem ß aus.

Die Berechnung der Durchbiegung für sämtliche Punkte der Platte ist sehr häufig ein einfaches Mittel, um sich Klarheit über die Momente zu verschaffen, namentlich da die Reihen für die Durchbiegung am schnellsten konvergieren; werden die s etwas genau und an mehr Stellen der Platte berechnet, so kann man, ähnlich wie bei Berechnung der Querkräfte geschehen, aus den Differenzen die Momente hinreichend genau berechnen, wobei man die Differentiale durch Differenzen ersetzt.

jfP

gezeichneten

Die Durchbiegungen der Platte für Einzellast in der Mitte ergeben nach Tabelle 79) die in folgender Abbildung

Durchbiegungslinien nach verschiedenen Richtungen.

Abb. 9.

Die Biegungslinien der Streifen parallel zu den Diagonalen sind demnach ähnlich denen von eingespannten Balken und weisen an den Rändern negative Krümmungen auf. Der kurze Streifen senkrecht dazu zeigt nur positive Krümmung; es läßt sich also daraus schließen, daß die Ecke und der Rand unter 45° gegen die X-Achse eine einspannende Wirkung gegen die Mitte zu ausübt und dementsprechend dort negative Momente unter 45 ° gegen die X-Achse zu erwarten sind.

2. Ersatzmomente und Spannungsmomente bei gleichförmiger

Belastung.

Es sei an die Definition des Ersatzmomentes

9*z

^„„2 »

P²^

(m.)=Si-an

erinnert, welche den Krümmungen und Dehnungen der äußersten Fasern proportional sind, und an die Beziehungen der Spannungsmomente zu den Ersatzmomenten

9n 9 s

und tx —

Der Verlauf dieser Größen und die Abhängigkeit der Größtwerte vom

Seitenverhältnis ß soll hier verfolgt werden.

In der Mitte der Platte sind die Torsionsmomente (tx) Null; die Momente (wx)o und (niy)₀ sind also Hauptersatzmomente. Bei der quadratischen Platte ist außerdem (mx)o — (>%)o — 0,0368 pa² (1 — (r); für ß > 1 ist (mx) größer als

pa²

(my) und strebt dem Wert

(1—o²) zu ^beim Balken

, während

(wiyjo allmählich Null wird. Die Werte für (mx) und (w^) aus Tabelle 88) sind in Abb. 10 aufgetragen und lassen sich durch die folgenden Näherungsgleichungen ausdrücken:

K) o =

ß³ +

t- CO

(i-Y)

pa²

(my) o —

fß

p«³

. . 111)

i*³ +

c— ico

Die erste Gleichung ergibt die Werte von Tabelle 88) mit einer Abweichung von ± 2,5 vH., die zweite in den Werten ß — 1 bis ß = 3 mit ± 4,5 vH. für große ß jedoch zu große Werte, was in jenem Gebiet ohne Bedeutung ist.

(mx)₀ steigt demnach rasch vom Wert der quadratischen Platte

pa²

0,3 (1 — q²)

an und wird für ß — 5 schon praktisch gleich (1 — £²)

pa²

wie bei der unendlichen Platte. Also

0,13

Moment des einfachen Balkens^-²

£Av

„ 0,125(1-p²)yia ²

auch lange Platten haben in der 0,12 X- Richtung nur die (1 — £²) fache 0,10 Krümmung von einfachen Balken der Spannweite a, wo 1 q² etwa von 0,84 bis 0,96 schwankt. (my)₀ fällt erst langsam, dann rascher auf Null ab; d. h., eine sehr lange Platte hat in der Mitte keine Krümmung mehr nach der langen Seite hin.

Während (mx)₀ tatsächlich das größte in den Achsen vorkommende

0,11

0,09

0,08

0,07

0.06

0,05

0.04

0,03

0,02

0,01

EiT7-'gk*r,,-f’

(mr)o =

O.Oc 58(1-

pz'yai

lg-.

ß- 1    1,5 2,0

Abb. 10.

(mr) ist, nach Ausweis der Tabellen 90) bis 93), verschiebt sich bei längeren Seitenverhältnissen das Maximum von ([my) auf der langen Achse gegen den Rand zu und erreicht für ß = 00 eine Grenzlage und einen Grenzwert.

Wir entnehmen aus den Tabellen

0.04

0,03

(ttly)maj-

0,02-

x0,0235(1-p²tyaz

(rny)mas -    ß<2.0

0,01

und seine Entfernung e, vom

(niy)

Rande auf der großen Achse ge

rn ax

ß- 1    1,25

2,0

messen:

Abb. 11.

ß= 1,0    1,25    2,0

= 0,0368    0,0334    0,0250    0,0235 (1 — ?²) pa² 112)

e — 0,5 a 0,55 a 0,35 a Diese Werte von (niy)max sind in folgender Kurve dargestellt und haben also in der Entfernung 0,5 a bis 0,3 a von der Mitte des kurzen Randes auf der großen Achse statt. Sie lassen sich wiedergeben durch

(%)max

(wiy)max —

00

0,3 a

• • • 113)

wobei der Wert für ß — 2 auch für größere ß beizubehalten ist.

Auch in der Ecke ist der Momentenzustand ein ausgezeichneter Fall. Dort ist ([mx) = 0 und (my) — 0, dagegen sind bedeutende Torsionsmomente vorhanden, ein Zeichen, daß die Richtungen unter ±45° gegen die X-Achse

durch die Hauptmomente beansprucht werden. Bezeichnen wir die Ersatz-

0,07 -

0,06

0,05

momente der Richtung -j- 45 ⁰ mit (»n), die der dazu senkrechten Richtung

0.04

0,03

0,02

0,01

lx“-v(1-p )yaz

A*m -Zrj.(i-p)yaz (nil) =    (mu) ebenso groß und negativ.

Kurven, die ihre Abhängigkeit von ß

mit (mi), so ist (mj) stets positiv,

Die

ß‘1    1.5    2    2.5    3

Abb. 12.

gleichung auf ±2 vH. Abweichung berechnen:

ß⁴ — 0,3

veranschaulichen, sind nach Tabelle89) in Abb. 12 aufgetragen und lassen sich etwa nach folgender Näherungs-

«)

(1-?²)T5

. . 114)

rasch auf (1 — q²)    an, den

er schon mit ß = 2,5 praktisch erreicht, und der größte Unterschied ist

30 vH. des größten Wertes für kleine ß, nämlich von ß — 1,0 bis ß= 1,25 ist (mf) größer als das Mittelmoment (mx)₀ und damit das absolut größte Ersatzmoment der Platte; eine quadratische Platte erleidet demnach in den Ecken die größte Dehnung.

In den Abb. 13 u. 14 ist der Verlauf der

Der Wert wächst von 0,7 (1 — q²) ——

JLO

0.125

6,12 - (m*) * 7].(1-p?)ya z 0,11 {my)-rj.(lpz)ya?7

-Im,,) <?/

0,10

0,09

0,08

0,07

0.06

0,05

Ijö-

0,04

0,03

ßzliQ.

0.02

0,01

«-"-f

JC-0 0,1a 0,2a OT3a 0,4a 0,5a Abb. 13.

Ersatzmomente längs der Achsen nach den Tabellen 90) bis 93) aufgezeichnet.

Die Ersatzmomente (mx) können demnach für nicht zu große Seitenverhältnisse (ß < 2) sowohl in den Punkten der großen wie der

-0,4<j>a

-a/

0,1a

0,5a

0,1a

1,25a

1,5 a

2,0a

Abb. 14.

kleinen Achse hinreichend genau durch Parabeln wiedergegeben werden. Bei der unendlich langen Platte ergeben sich die Momente {mx') schon im Abstand

vom

2,0 ci vom kurzen Rande nach Tabelle 93 a) sehr annähernd gleich denen des gleichförmig belasteten Balkens in allen Punkten, abgesehen Faktor (1

q²), und sind von da an von p unabhängig. Die Kurven von (mx) in den Punkten der großen Achse verlaufen für größer werdende ß stark steigend übereinander, so daß bei wachsendem ß ein (mx) in einer festen Entfernung vom kurzen Rand stark zunimmt, z. B. das Moment (mx) in der Entfernung 0,5 a vom kurzen Rand nimmt die Werte an für

1,25

2,0

ß= 1,0

(mx) — 0,0368    0,0535    0,0739    0,0772    (1 -?²)pa²/

wird also mehr als doppelt so groß für ß — oo.

Dementsprechend ist es nicht angängig, eine lange Platte als aus zwei Halbquadraten an den Enden und einem Mittelstück bestehend anzunehmen, wobei man ersteren die Momente der quadratischen Platte, letzteren die des frei aufliegenden Balkens zuteilt, da man für das Halbquadrat viel zu kleine Momente erhält.

Wie die Kurven (m*) übereinander, verlaufen die Kurven der (my) untereinander, und zwar nach ziemlich parabolischen Kurven im Schnitt der kleinen Achse; in der großen Achse verschiebt sich das Maximum jedoch nach dem Rand zu, wie schon oben beschrieben.

Abb. 15 stellt den Verlauf der Hauptersatzmomente im Diagonalschnitt einer quadra- -0.05 tischen Platte dar; in diesem Kall ist die Diagonalrichtung durchgehend Richtung von Hauptmomenten. Die Ersatzmomente (wi), wo die Richtung I unter —45° zur X-Achse läuft, d. h. senkrecht zur Diagonalen, sind ziemlich gleichmäßig über die Diagonale verteilt und immer positiv. Ihr Mittelwert ist nach Tabelle 90) gleich

OO

0.04

0.03

0.02

0.01

115)

(mT)

Mittel

(mI)=r).(1-<?²-)yal

. (mn)= r).(1-pz)ycß/

-0.01

-0.02

-0.03

-0.04

~Q1d 0.2& 0.3d okd J5d

Abb. 15.

^    • 0,0462 -f 0,0455 -j- 0,0431 -f 0,0402 -f 0,0379 + * • 0,0368

= 0,0416=™- (l-jrOpa².

Die in der Diagonalenrichtung liegenden Momente («n) sind in der Ecke negativ und gleich (m-j), werden allmählich positiv und erreichen den Wert -f- (>%)o- Ihr Mittelwert ist,

• 0,0368J

. o,0462 — 0,0325 — 0,0087 -f 0,0146 + 0,0309 -f

= — 0,0004 = 0,

ziemlich angenähert gleich Null. Der Vorzeichen Wechsel erfolgt ungefähr im ersten Viertel der Diagonale, und sie verhält sich also wie ein eingespannter Balken, der in der Mitte Last trägt, in der Nähe der Ecke auf den kurzen übereck gehenden Balken aufgelagert ist und diese dadurch belastet und in der Ecke durch die mehrfach erwähnte auftretende Eck-

kraft A* niedergehalten wird. Bei größerem ß hat der Diagonalenschnitt keine statische Wichtigkeit mehr, da er nicht mehr Hauptachsenschnitt ist.

In den Beilagen sind auf den Tafeln I u. II die Richtungen und Größe der Hauptmomente durch Kurven dargestellt. Längs des Rarides sind die Momente (mx) und (my) Null, daher laufen die Hauptrichtungen unter 45° gegen den Rand um, und zwar sind in den gezeichneten Quadranten der Platte die Richtungen unter —45° durch positive, die unter -j- 45 ° durch negative Ersatzmomente beansprucht. Die Hauptrichtungen 45° sind recht genau vorhanden in dem Gebiet, das durch zwei zusammenstoßende Seiten und die Verbindungslinie der Mitte der kurzen Seite mit dem Punkt y — 0,5 a der langen begrenzt wird, welches Eckgebiet genannt

werden soll; ferner bei längeren Platten außerdem unmittelbar längs des Randes. Im Kern

-Richtung v. (mi) I---Richtung v. (mx,

ifl

k'' O

o./

der Platte sind die Hauptrichtungen parallel den Achsen.

Ähnlich findet man, daß negative

Momente (»n) ungefähr vorhanden sind in dem von den Verbindungslinien der Seitenmitten abgeschnittenen Eckgebiet; bei langen Platten ist die Begrenzungslinie eine gekrümmte Kurve, die, von der Mitte der kleinen Seite ausgehend, sich der großen allmählich nähert, momente (mi), die in der Ecke zu den übereck laufenden Richtungen gehören, sind immer positiv und haben in der Ecke ein relatives Maximum, dessen Gebiet mit zunehmendem ß etwas kleiner wird, sich aber auf das Eckgebiet beschränkt. Das Maximum in der Mitte tritt erst von ß > 1 an auf, sein Gebiet breitet sich mit zunehmendem ß auf den größten Teil der Platte aus. Abb. 16 stellt die Richtungen und Vorzeichen von (mn) schematisch dar.

Die Ersatz-

Abb. 16.

Demnach findet die Lastübertragung in der Ecke hauptsächlich unter 45° statt, also in der Richtung der kürzesten Spannweite zwischen den Auflagern. Die Art der Übertragung ist von dem Spannweitenverhältnis ziemlich unabhängig; das größte Pickmoment schwankt nur um 30® von ß— 1 bis ß— oo und die entlastende Wirkung der Ecke macht sich bei der quadratischen Platte im höchsten Grade geltend, nimmt mit zunehmendem ß rasch ab. Daher das rasche Steigen des Mittelmoments (mx) auf den Wert des einfachen Balkens, abgesehen vom Faktor (1 — £²). Während die Einwirkung ein Faktor ist, der die Deformationen der Platte und damit die Er-satzmomente der Platte vermindert gegenüber der einfachen Balkenlage, ist die Wirkung der Querausdehnung, die sich im Faktor (1—q²) ausdrückt, ein weiterer. Die Tragwirkung von der Art rechtwinklig sich kreuzender, seitenparalleler Balken findet hauptsächlich in den Achsen statt.

Eine zu beachtende Ersatzspannung ist

Q

1 —

(rf*)-“ +

(az) nach Gl. 34-b):

(Woo).

w

p kann bei gleichförmiger Belastung vernachlässigt werden; dann wird (<rz)₀

2 (Woo)o

in der Mitte für die Werte n — 0,2 und 0,4 gleich —(moo)o bjs

s    4 w

im Mittel

3 (wt )

7 ' —w~^ ' (W/°°)0 sc^lwan^t zwischen 2 (w?a)₀ für ß — 1 und (mx)0 4 (j^x)o

für ß = 00, also (<7₃) zwischen — •

o

und

(wU₀

, für ein mittleres

q — 0,3 zwischen % •

iw

^ (wigjo

• Für g > 0,33 ist die Ersatzspannung (tf-Oo bei der quadratischen Platte maßgebend, d. h. größer als die Ersatzspannungen (<fx)₀ =

und

(^x)o

• Mit wachsendem Seitenverhältnis ist bei

den normalen Werten von q (<xr)₀ größer als (o-,)₀.

Für die Dimensionierung sind die Ersatzmomente bezw. Ersatzspannungen maßgebend. Die Spannungsmomente haben demnach nur eine statische Bedeutung. Vernachlässigt man die Wirkung der Querdehnung, so werden alle Ersatzgrößen gleich den entsprechenden Spannungsgrößen (vergl. Gl. 10), also für q z=z 0 wird mx — (mx) usw. und ax—(p^). Die daraus berechneten Momente sind durchweg größer als die Ersatzmomente. Die Querkontraktion hat also die Eigenschaft, die Dehnungen zu vermindern. Die Spannungsmomente setzen sich aus den Ersatzmomenten zusammen

—2 l(mx) "b Q    Sie sind also bei gleichem

1 —

Vorzeichen von (m^) und (mS) bedeutend größer als die entsprechenden Ersatzmomente, was ausdrückt, daß eine Platte bei Momenten gleichen Vorzeichens kleinere Deformationen erleidet als ein stellvertretender, sich kreuzender Balkenrost, namentlich auch kleinere Dehnungen der äußersten Fasern. Für verschiedene Werte von q erhält man:

nach den Gl. 10: mx —

115)

Spaimnug'siiioineiite in Plattenmitte (Abb. 17).

/* =

1,0    1,25    1,5    1,75    2,0

2,5    3.0    4,0 , 5,0

00

»»a-₀ = w2/o =

0,0368 0,0560 0,0728 0,0861 0,0964 0,1100 0,1172 0,1231 0,1245 0,1250 0,0368 0,0334; 0,0281 0,0224^,0174 0,0100; 0,0055 0,0016| 0,0004 0

pa²

pa²

0,2

0,3

= my0 =

0,4

=

}%o -

0,0441 0,0627 0,0784 0,0906 0,0998^ 0,1120 0,1183 0,1234 0,1246 0,1250 0,0441 0,0446 0,0427 0,0396 0,0367j 0,0320 0,0289 0,0262'0,0253 0,0250

0,0478 0,0660    0,0812:0,0928    0,1016    0,1130,'    0,1188    0,1236    0,1246    0,1250

0,0478, 0,0502    0,0499    0,0482    0,0463,    0,0430    0,04071    0,0385|    0,0374    0,0375

0,0515; 0,0694    0,0840    0,095b    0,1034    0,1140    0,1194    0,1238;    0,1247    0,1250

.0,0515 j 0,0558    0,0572    0,0568    0.0560    0,0540    0,0524    0,0506;    0,0502 ;0,0500

pa²

pa²

pa²

pa²

pa²

pa²

0,5

%0 = my₀ =

0,0553 0,0727 0,08681 0,0973 0,1051 0,1150 0,1200i 0,1239 0,1247 0,1250 0,0553j 0,0614 0,0645 0,0650 0,0656 0,0650 0,0641 0,0627 0,0625 0,0625

pa²

pa

Bis zum Wert ß — 2 sind die myo auch die größten vorkommenden my, wenn £>0,2; darüber hinaus liegen die Maxima von mv. zwischen Mitte und Rand auf der langen Achse und werden hinreichend genau wiedergegeben durch den Wert von myo für ß — 2. In Abb. 17 sind die myo daher

v_0J25^a²_

0,12 - yaz 0,11 - ya2 0,10 -0,09-0,08-0,07-0,06-

?:#

W

0,03 -0,02-0,01-

O -1-1-1-L_

J -ß’1 1,25 1,5 1,75 2.0

;.vji

„ 0,l25yaz

0,12 ya²

t-0,11

l.

1-

2,5

~    1-f OL²

m’o ’wrf- *8

myo-

ymgjr 7 m 0,5 MyrTia* 0 * 0,4

I Ol urnax P 0.0

-----1

7TTyo -0,0625ygjf

j- 0.10

r 0.09 i

\-0,08 L 0,07

\0.0d~

■0,05.

I-0,02 I

L 0,01

3.0

4.0

-i

5,0

Abb. 17.

für ß>2 durch gestrichelte Linien wiedergegeben, während mym&x durch eine Horizontale von dem Wert ß — 2 ab dargestellt ist. Aus den früher aufgestellten Annäherungsgleichungen folgt:

m.T₀ -

[ß° -f- o j/ß) \)a²

K³ + i

. . 116)

aß’ + yß

und für ß>2 und £>0,2 wird

///

lAuax

1 +0-5,65 pa²

7,3

Die Momente mXo nähern sich mit zunehmendem ß, unabhängig von £, dem Wert des einfachen Balkens. Bemerkenswert ist, daß für ß — oo in der F-Richtung ebenfalls Momente auftreten in der Größe Qmxi d. h. ^mal den Momenten des geraden Balkens. Die Erklärung dafür ist die, daß bei einer Beanspruchung der Platte nur durch ein Moment mx sie infolge der Querausdehnung eine Krümmung nach der F-Richtung erhalten würde. Das Nichtvorhandensein dieser Krümmung ist nur möglich durch die Wirkung der Momente my — q mx.

Tn der Ecke ergeben sich die Momente zu

mi = K) (1 — {>) = +

— 0,3    *>a²

ein Wert, der für die in Betracht kommenden ^ kleiner ist als das entsprechende Mittelmoment mXo, bei größerem ß jedoch größer werden kannals mym&x.

mx kann über die X-Achse und über die Y-Achse für ß<2, my nur über die X-Achse nach einer Parabel verteilt angesehen werden. Über die Y-Achse nimmt man my am besten als konstant an.

Das mittlere Moment im Diagonalschnitt einer Platte läßt sich aus rein statischen Gleichungen bestimmen; es ist für die quadratische Platte

also unabhängig von o. Da es sich ausdrückt durch die Ersatz-

X>a²

momente nach m₁ —

[(yy/i) Q Ki)], muß das mittlere Ersatz-

1 — o²

i) o?

moment (^n) Null sein und das Mittel von (mx) — (1 — q²) -~j-, was oben

nachgewiesen wurde. Die Verteilung von ml über den Diagonalschnitt wird durch folgende Zahlen gegeben, wobei 6 das Verhältnis der Entfernung von der Ecke zur Gesamtlänge der Diagonale ist:

0    0,1    0,2    0,3    0,4    0,5

% = 0,0462 0,0455 0,0431 0,0402 0,0379 0,0368 0,2    v«x = 0,0370    0,0390    0,0414    0,0431    0,0441    0,0441

0,3    ntj — 0,0324    0,0357    0,0405    0,0446    0,0472    0,0478

Diese Werte sind mit jm² zu multiplizieren.

Die Hauptrichtungen der Momente sind dieselben wie die der Ersatzmomente; das Gebiet der negativen Momente ist infolge der Querausdehnung kleiner.

<? = o

118)

3. Ersatzmomente und Momente bei Konzentrierung- der Last.

Mit zunehmender Konzentration der Belastung auf ein symmetrisch zu

• a wachsen

den Achsen der Platte liegendes Quadrat von der Seitenlänge —

die Momente in Plattenmitte (?%)₀ und (my)₀, wie Abb. 18 für einige Seitenverhältnisse zeigt. Die Kurven für (mx)₀ befinden sich oberhalb, die für K)₀ unterhalb der für die quadratische Platte geltenden Werte, innerhalb des Zwischenraums der Kurven von (m )₀ und (mx)₀ für ß =z oc, welcher mit zunehmendem s prozentual abnimmt. Für kleine Belastungsflächen, etwa von s — 3 an, können die Werte der Ersatzmomente annähernd wiedergegeben werden durch

K)o — i/s •

Alle sind

hß²- 1

4 ß²

•P(l-o²)

9^ + 1

. . 119)

10 ß²

•P(l — o²)

Mit zunehmendem « ist keine obere Grenze für die Ersatzmomente festzustellen.

Die Eckmomente nehmen mit zunehmender Konzentration ebenfalls zu.

daß

0,3 (1-qz)P

Die nach Tabelle 95) aufgezeichneten Kurven von Abb. 19 zeigen

nur bei kleinem ß das Anwachsen der Eckmomente beträchtlich ist (etwa 100 vH.), daß aber mit zunehmendem ß und s diese Momente gegen Null konvergieren-Sie können etwa roh wieder-

oo.

02-

P(1-pz)

P(1-Pz)

gegeben werden durch

015-

(»hT —

0.1

120)

für konzentrierte Belastung und reichen schon bei kleinem s nicht an die Mittelmomente heran. Die Spannungsmomente ergeben sich aus den Ersatzmomenten nach den früheren Gleichungen.

Wichtig in diesen Gleichungen ist die Kenntnis der Fläche, auf welche sich eine Last verteilt. Einzellasten werden im allgemeinen nicht unmittelbar auf einer Platte auf-sitzen, so daß man mit einer Lastverteilung durch die Zwischenschicht rechnen kann. Zu dieser Zwischenschicht kann man auch noch die halbe Deckenstärke zurechnen, so ° daß man bei Annahme eines Verteilungswinkels von 45° in der Platte

als e höchstens den Wert- einzuführen braucht, falls eine konzentrierte Last

unmittelbar auf der Platte aufsitzt.

Zu beachten ist in diesen Fällen die Ersatzspannung

Q Ooo)

l — o

___a² wird

---roo

a= 0,9a 0.8a

0,08 V

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03-

0,02'

0.01

ja*

0.8a

0,6a

0.1a

Abb. 18.

1.Q

0,2a 0.10.05 0

L, qescnätzt1 |7 *    i

(.TTlx)* + r).(1-pz)P

(mn) = -V-f1-pz)P (tjr) = - r).(1-pz) P tjc =- V-fr-p) P A' * -2y/l-p)P ß=2,0

0,6a

0.4a

0,2 a.

Abb. 19.

(O =

welche unter Einsetzen von P — —

wobei (m₀₀) aus 119 berechnet ist.

(*) =

S²

Q C¹ -f g)

43 ß² — 3 '

iv

20 ß²

. . 121)

Bei größeren Verteilungsflächen entnimmt man die Werte der Ersatz

momente besser aus den Tabellen 90) bis 93) in der schon früher erwähnten Weise.

Dehnt sich die Belastung aus über ein Rechteck von der Breite

--a in der X-Richtung und ~‘b symmetrisch zu den Achsen in der

£ £

a , b 27und V=2

2s‘

T Richtung, so ist das Moment in der Mitte gleich dem Moment bei Vollbelastung im Punkt x —

2

Für große s kann man annehmen, daß die Verteilung der Momente über die Platte erfolgt, als ob eine Einzellast in der Mitte angriffe. Für Einzellast konvergieren die Reihen der Momente nicht mehr im Angriffspunkt der Last, da (mx\ und (my)₀ unendlich werden. Für ß — 1 und

0.25

020

0,15

0,10

0,05

J Bei Verleitung /;! von P über ein /11 Quadrat: a2 i■' I    400

— (m)bei Einzel last \ >\D„.    __

(m)dieselbe Last ;,d vonPübJuJ gleicht verteilt ;/ i    100

(1-pVP

(l-p²)P

■d-p*)p

'i

/d

a-pir

gl

0,15

0.10

■o-pyp

i    \

— - -1-------\hP-A = t Qi 12pl1-£z]Pfbei_ g/e/ch£örmiger_

\ Belastung^. ^ über Oie ganze Platte

(1-$P

\\

■f'1-P²)P/

/>/

I.

0,05

m-y

Tüefgteichm.

\y*

£_I_L_____,__L __L

0.1a 0,2a 0.3a 0.4a 0

0,1    02 0,3 0.4 o,5a

y-Oja

0,5a

(myA

0,10a

Abb. 21.

Abb. 20.

ß — oo sind die außerhalb der Mitte entstehenden Momente in Tabelle 101) u. 102) ausgerechnet und in den Tafeln I u. II in Richtung und Größe graphisch wiedergegeben. Abb. 20 u. 21 zeigen die Schnitte der Momenten-fläche in den Achsen für eine quadratische und eine unendlich lange Platte. In der Nähe des Angriffspunktes der Einzellast verlaufen die Hauptrichtungen in Kreisen und deren Radien. Bei der quadratischen Platte bilden sich die Richtungen unter 45° in den Ecken aus wie bei gleichförmiger Belastung.

Das Gebiet der negativen Momente (%) ist bei der quadratischen Platte größer geworden gegenüber gleichförmiger Belastung. Bei der unendlichen Platte sind die Momente (mii), die man als Radialmomente bezeichnen könnte, überall negativ, mit Ausnahme eines ellipsenförmigen Gebietes um den Angriffspunkt der Einzellast, welches die Randseiten berührt.

4. Querkräfte und Auflagerdrücke.

Für die schiefe Spannung in der neutralen Fläche ist die Querkraft maßgebend. Diese ist bei gleichförmiger Belastung am Rand der langen

Seite am größten. Ihr Maximum schwankt in der Mitte der kurzen Seite zwischen 0,34 pa und 0,37 für ß = 1 bzw. ß = oo und in der Mitte der langen Seite von 0,34 pa bis 0,5 pa. Ihre Verteilung über die Auflager ist nach den Werten der Tabellen 105) bis 107) in den Abb. 22 u. 23 aufgetragen. Im Falle einer Einzellast ist das Maximum der Querkraft in der Nähe des

-0,4ya . -0,3^

ßm—

ix

öfo 02a 0,3a 0,4a

Angriffspunktes gegeben durch

, wo r der

Abb. 22.

2 r n

Abstand vom Angriffspunkt; sie verläuft dort annähernd in Kreisen. Im Falle der Einzellast

für ß=l

schwankt q gegenüber der Einzellast am Rand zwischen 0,38

und 0,47 — für ß — oo. a

Fügt man zur Querkraft die durch Zerlegung des Randtorsionsmoments entstehende verteilte Belastung hinzu, so erhält man den Auflagerdruck.

Dieser Zuschlag ist bei den hier behandelten Belastungsnoten nicht gering und beträgt für gleichförmige Belastung bei der quadratischen Platte etwa y₄ der Querkraft, bei Einzellast fast die Hälfte; bei größeren Seiten-

01251? 0.12

₁0125(1- gOyaß

0,11

0,10

0.09

0.08

0,07

—    fmj

—    (my)

e-2

0,06

0.05

,0-1,25

0,04

0,03

Ü02

rrr^3#ltrl/9.1,25

(my)*Tj a-<?z)ya

0.01

y-0    03 02 Q3 Q4 05a 0.6 0.7 0,8 0,9 1,0a 1.1 1.2    1,3 14    0    1.6 1,7 1.8a

Abb. 23.

Verhältnissen ist er auf der langen Randseite geringer, vermindert sogar die Querkraft auf dem langen Rand der unendlichen Platte bei Einzellast in einiger Entfernung von der X-Achse.

In den Abb. 24 u. 25 sind die besprochenen Größen und der sich ergebende Auflagerdruck nach den Ergebnissen der Tabellen 105) bis 107) für Einzellast bei quadratischer und unendlich langer Platte dargestellt.

Wird die Platte an den Rändern durch frei aufliegende Balken von der Spannweite a bzw. b getragen, so kann man nach der gleichförmigen Belastung p fragen, welche dasselbe größte Moment in der Mitte hervor-

-0,6

-as£

~0.4-£    /

-0.3g    7

-o,zg / V''

-0.7£

■M&-

.A.

-°³£

0,1a 0,2 a 0,3 a 0,4 a 0,5 a

0,1a 0.2a

'6.5a-

4,0a-

■(5 a,

Abb. 24.

Abb. 25.

bringt als die Auflagerdrücke der Platte. Für gleichförmige Belastung p der Platte würde erhalten :

ß= 1,0 kurzer Randj/ 0,375 langer Rand pu — 0,375

wobei q — 0,3 angenommen war.

1,25

0,396

0,408

2,0

oo

co o

0,443 p« 122) 0,5 p a

Diese Werte werden durch folgende Annäherungsgleichungen wieder-

gegeben:

P' —

p"={

1 ß³ -15 ' ³ + 1 ³ — 1

8 ¹    8    /?⁸ + l

CO CO

r)

P«

p«

.    .    123)

und sind in den Kurven der Abb. 26 dargestellt.

Bei Einzellast wurde für die quadratische Platte in Tabelle 107) eine

p

stellvertretende Last von p — 0,629—berechnet; für eine unendliche Platte

CI

wurde bei einer Stützweite l — 4 a des frei aufliegenden Randbalkens p zu P

0,89 -j- berechnet, was wohl dem

v

Wert einer Platte mit dem Seitenverhältnis ß — 4 ziemlich nahekommen wird. Für sehr lange Stützweiten der Randträger wird das Moment in deren PI

, deren stellvertretende Be-

0,5ya-

0,4yd-

0,3ya~

0,2ya-

Lan&LSeÜnL-pTrze Sede_p_

_/ 0,5t/a

0,44

p'm (i⁺ihßhi)ya

"={%+iß&i)ya

Mitte

lastung also p — lange Seite b durch einen Träger von

Wird also die

ß=1    1,25

2,0

Abb. 26.

der Spannweite b unterstützt, so kann für verschiedene ß die maßgebende Belastung p zu folgenden Werten angenommen werden:

4,0

oo

ß= 1,0

p — 0,629    0,89    1,0.-

r'0,37)

. . 124)

*=^0,66 +

ß~

HS

dargestellt durch

Für die kurze Seite ist anzunehmen, daß p rasch abnimmt, von 0,63 auf Null. Sind die Ränder durch andere Tragwerke unterstützt, so sind die aus den Tabellen 105) bis 107) zu entnehmenden Werte von a in die Einflußlinien einzusetzen.

5. Das Problem der frei aufliegenden, rechteckigen Platte in der mathematischen und technischen Literatur.

Die Differentialgleichung 24 wurde auf einen Versuch von Sofia Germain hin von Lagrange im Jahre etwa 1813 gefunden. Poisson stellte die Lösungen für polar-symmetrisch belastete Kreisplatten auf, bei denen das Torsionsmoment am Rande Null ist. Die Ausdehnung der Lösung auf andere Umrandungen führte zu Schwierigkeiten in den Randbedingungen, die durch die Arbeiten von Kirchhof, Boussinesq, Levy, Thomson u. Tait Mitte des 19. Jahrhunderts beseitigt wurden, so daß seit der Zeit die Theorie in der im Abschnitt A dargestellten Form vollendet ist. Eine ausführliche Darstellung und Literaturangaben zur Geschichte findet man in Love, Lehrbuch der Elastizität, deutsch von Timpe. Verlag Teubner 1907. S. 6 u. 33 bis 35 der Einleitung, und Darstellung der Theorie im Kapitel XXII, § 294 bis 298 und § 313 und 314.

Die Lösung für die rechteckige Platte wurde aufgestellt von Navier in einer von ihm nichtveröffentlichten, der Akademie 1820 vorgelegten Arbeit, welche B. de St. Venant in seiner Übersetzung der Theorie der Elastizität fester Körper von Clebsch wiedergibt. Die Übersetzung hat den Titel: Theorie de lelasticite des corps solides de Clebsch traduite par Barre de St. Venant etFlamant; Paris, Dunod editeur 1883. und die rechteckige Platte ist behandelt auf Seite 740 bis 752. Es sind darin die Gleichungen für die Durchbiegung und größte Dehnung in der Mitte der Platte aufgestellt, Gleichungen, welche jeweils aus dem ersten Glied der Reihe bestehen, und zwar für gleichförmig verteilte Belastung und Einzellast. Dies ergibt für die Durchbiegung bei gleichförmiger Belastung mit wachsendem ß um 2,5 bis 21 vH. zu große Werte, bei Einzellast werden die Werte für ß z= 1 um 1,3 vH. zu klein, für ß—l,b um 14 vH. und dann um sehr viel, da das erste Glied mit wachsendem ß Null wird, die Gleichung also für unendliche lange Platten die Durchbiegung in der Mitte zu Null ergibt. Für die größte Dehnung sx erhält man unter Benutzung nur des ersten Gliedes um 11,6 bis 31 vH. zu große Werte, entsprechend ß—1 und ß = oo. Für die Dehnung sy dagegen Werte, die rasch das Vielfache der tatsächlichen werden. Für Einzellast sind die Dehnungen unbegrenzt im Angriffspunkt, und der durch das erste Glied erhaltene Wert hat keine Bedeutung, er wird schon bei einer Konzentration

der Belastung auf ein Quadrat von -    - Seitenlänge überschritten. Die

Fehler, die entstehen bei Berechnung von Punkten außerhalb der Mitte, sind wesentlich größer. Genau dasselbe ist zu sagen von einer Veröffentlichung von Lorenz in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 57, Nr. 16, 19. April 1913, der die Durchbiegungsfläche zu einer Sinusfläche annimmt und nach einem Arbeitsprinzip die Werte des ersten Gliedes der Navierschen Reihe erhält. Es gelten also obige Bemerkungen von dieser Veröffentlichung. Das erste Glied der Navierschen Reihe stellt den Belastungsfall einer rechteckigen, frei aufliegenden Platte für eine verteilte Last p • sin n — • sin n '!

a    b

dar, die von einer Einzellast oder gleichmäßig verteilten Last weit entfernt ist und nach der Linie y, — 1 der Figur 3 verläuft. Setzt man die entstehende elastische Arbeit gleich der einer gleichförmig verteilten Last p oder Einzellast P mit der Durchbiegungsfläche der sinusförmigen Belastung, so können keine Beziehungen zwischen P und p und dieser Fläche gefolgert werden.

Eine andere Lösung für rechteckige Platten, die auf mindestens zwei Seiten frei aufliegen, wurde von Levy in den Comptes rendus, 9. Oktober 1899, t. C. XXIX p. 535 bis 539 gegeben und von Estanave in einer Dissertation: Contribution ä l’equilibre elastique d’une plaque rechangulaire. . . Paris, Verlag Gauthier-Villars 1900, ausgearbeitet. Die Reihen scheinen für die zahlenmäßige Berechnung weniger geeignet zu sein, doch wurde die Reihe für ß — oo des Abschnitts B. 7 für gleichförmige Belastung aus der auf S. 21 des letzteren Werkes befindlichen Reihe abgeleitet unter Ersetzung von b durch oo.

2,0

1,75

1,5

1,25

Simic hat in einem ,,Beitrag zur Berechnung der rechteckigen Platten“ in der Zeitschrift des österreichischen Architekten- und Ingenieurvereins Nr. 44 1908 den Fall gleichmäßige Belastung bei freier Auflagerung in der Weise behandelt, daß er die Durchbiegungsfläche durch eine dreigliedrige Summe von Ausdrücken darstellt, welche mit ihren zweiten Ableitungen längs des Randes Null werden, und deren 3 Koeffizienten er derart bestimmte, daß die Belastung p, nach Gl. 24 aus der Durchbiegungsgleichung berechnet, in 5 Punkten gleich den gegebenen war, nämlich in Mitte und den Enden der Mittelachsen. Die Ausdrücke sind Summen von Potenzen in x und y, und die Ableitungen werden etwas kompliziert. Die erhaltenen Werte der Momente in Plattenmitte stimmen mit denen aus Tabelle 115 für q — 0,3 erhaltenen recht gut überein. Er erhält für ß=zl

mx — 0,0488    0,0683    0,0850    0,1010    0,1050    pa²

my — 0,0488    0,0517    0,0513    0,0510    0,0490    pa²,

während die hier erhaltenen Werte sind: mx — 0,0460 mtJ — 0,0460

0,0643    0,0797    0,0911    0,1004 pa²

0,0474    0,0463    0,0439    0,0315 pa².

Die Vermehrung des Auflagerdrucks infolge des Torsionsmomentes ist nicht in Betracht gezogen; die Werte für die Querkraft sind namentlich für kleine ß nicht sehr abweichend. Andere Momente als in Plattenmitte sind nicht betrachtet.

In einem Aufsatz: Uber eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, in dem Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 135, S. 1 u. ff. 1909, stellte Ritz die Lösung von Differentialgleichungen der als Summe von Ausdrücken, die die Randbedingungen erfüllen, und deren Koeffizienten derart zu bestimmen sind, daß die Summe die Differentialgleichung oder ein ihr gleichwertiges Minimumprinzip erfüllt und berechnet auf diese Weise die Durchbiegung einer eingespannten quadratischen Platte.

Das Verfahren führt im Fall der frei aufliegenden Platte auf die Naviersche Reihe. Hager hat in einer Arbeit: Berechnung ebener rechteckiger Platten mittels trigonometrischer Reihen; München und Berlin, Verlag Oldenburg 1911, eine der Ritzschen ähnliche Methode für verschiedene rechteckige Platten verwendet, ohne allgemeine Resultate zu erzielen.

Die Technik verwendet im allgemeinen Gleichungen, die aus anderen Betrachtungen hervorgehen. Eine v. Bach zugeschriebene Methode besteht darin, aus den für symmetrische Belastung nach Lage und Größe bekannten Auflagerreaktionen das Gesamtmoment im Diagonalschnitt zu bestimmen und es über den Schnitt gleichmäßig zu verteilen. Man kommt so zu den Gleichungen

mx₀ —

pa²    ß²

~12~ ' T+~(P

12 1 +/»

Es ist nachgewiesen worden, daß die Annahmen im Diagonalschnitt des Quadrats ziemlich berechtigt sind. Im Schnitt von rechteckigen Platten mit größerem Seitenverhältnis sind die Diagonalmomente ohne Interesse, da sie keine Hauptmomente vorstellen. Die Gleichungen liefern für das Quadrat mXo = 0,0416 pa² und (mx)₀ — mXo (1 — q) — 0,7 mXo = 0,0292 pa², während hier gefunden wurde 0,0478 pa² bezw. 0,0368 pa². Die v. Bachsche Gleichung liefert also schon für das Quadrat zu kleine Werte, die aber für ß> 1 (relativ noch kleiner werden), auch für die unterstzulässige Grenze von q, nämlich q — 0,2 bedeutend kleiner als die gefundenen Momente der Tabelle 115 bleiben. Für ß =. 2 ergibt die v. Bachsche Gleichung mXo — 0,0667 pa², während das kleinste mXo für q — 0 — 0,0964 p a² ist. Versieht man die Gleichung für mXc mit dem Berichtigungsfaktor 1-12, wie er angibt, so kommt

man den Verhältnissen der quadratischen Platte nahe, doch für ß > 1 bleiben die Momente immer noch zu klein.

Die meisten anderen Arbeiten über Platten ersetzen diese durch sich kreuzende Balkenlagen von einem oder mehreren Balken und berechnen die gegenseitigen Auflagerdrücke aus den Bedingungen, daß die Durchbiegungen in den Kreuzungspunkten die gleichen sein müssen. So die sogenannte Christophesche Formel:

mx₀-

pa²

!+j'⁴

pa²

8    1 + ßi

Sie ergibt für das Spannungsmoment der quadratischen Platte 0,0625 pa², nach Tabelle 115 ein recht hoher Wert; für ß — 2 ergibt sich

mXo = 0,1175 pa², myo = 0,0074 pa².

Die Momente mXo werden demnach wesentlich zu groß, namentlich für kleine ß (20 bis 30 vH.). Die Momente mVo jedoch konvergieren, wie bei fast allen technischen Gleichungen, gegen Null, während sie infolge der Querausdehnung nicht kleiner als q mX(j werden können.

Nach den schweizerischen Bestimmungen für Eisenbeton ist das Moment nach der Schmalseite zu berechnen mit einer Belastung

a²

und p“ —

a² -j- b²

•P-

Dies ergibt für freie Auflagerung pa² ß²

mxü-

und

M²

8 ’l-f/S²

und für das Quadrat denselben Wert wie die Christophesche Gleichung, also etwas reichlich viel. Die Gleichungen sollen nur bis zu b < 1,5 a benutzt werden; sie ergeben für diesen Fall: 0,086713a² und 0,385 pa². Der erstere Wert ist etwas zu groß, der letztere zu klein, jedoch nur wenig.

Alle die erwähnten Gleichungen treffen für das Moment nach der langen Seite auch nicht annähernd, da sie gegen Null konvergieren, für das Moment nach der kurzen Seite ergibt das Mittelmoment der Diagonale zu kleine, die anderen Gleichungen zu große Werte.

In einer Arbeit „Berechnung der gekreuzt armierten Eisenbetonplatte und deren Aufnahmeträger“, Dissertation, auch erschienen unter den Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Eisenbetons, hat Bosch die Belastung der Randträger ermittelt, indem er die Platte durch einen Rost den Seiten paralleler Balken ersetzte. Die stellvertretende Belastung der Randträger wird dort für den längeren Träger kleiner, für den kürzeren größer gefunden als hier.

In der richtigen Erkenntnis, daß die Tragrichtungen einer Platte in der Ecke unter 45° gegen die Seiten geneigt sind, hat Danusso in Veröffentlichungen der Zeitschrift ,,I1 cemento“ den seitenparallelen Balken des Rostes noch übereck laufende hinzugefügt; die Arbeit ist von v. Bronneck in den Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Eisenbetons, Heft XXI (1913) veröffentlicht. Es seien hier die Diagramme der Mittelmomente und stellvertretenden Belastung der Aufnahmeträger betrachtet. Die Momente nach der kurzen Seite sind durchweg wesentlich (25 vH.) kleiner als die hier gefundenen, während die Momente nach der langen Seite für mittlere q den Sachverhalt ziemlich treffen. Die stellvertretende Belastung für die Langseite ist dort ebenfalls kleiner ausgefallen als in den Tabellen 105 bis 107. Die für Einzellast gefundenen Werte haben keine große Bedeutung, da sie, wie konstatiert, sehr von der Konzentration der Last abhängen und keine obere Grenze haben.

Die in der technischen Literatur ausgerechneten Momente sind Spannungsmomente, und die Grenze der aus ihnen sich ergebenden Spannung ist gewöhnlich der aus dem Zugversuch mit wfacher Sicherheit abgeleitete Wert. Da die Spannungsmomente bedeutend größer sind als die Ersatzspannung, bleiben auch die oben erwähnten zu kleinen Werte der mx noch häufig über dem wirklichen Ersatzmoment. Es geht dann natürlich nicht an, die Grenze für die entsprechende Spannung a höher zu setzen mit Rücksicht auf die günstige Wirkung zweier Spannungen in zueinander rechtwinkligen Ebenen mit gleichem Vorzeichen. Die hohen Eckmomente und die Ersatzspannung (tfj) wurden bis jetzt in der Literatur nicht beachtet.

Die Randbalken mit einer zu kleinen ersetzenden Belastung zu berechnen, ist unzweckmäßig, da infolge deren Durchbiegung dann die Plattenmomente größer werden und größere Dehnungen erleiden als vorgesehen.

Die Festigkeitsgefahr wurde in dieser Arbeit nach der Größe der Ersatzspannung beurteilt, die sich ergibt nach

(öx) — Q-r Q ipy “j~ &z) •

Die Mohrsche Hypothese sowie die der größten Schubspannung Omin wurden nicht in Betracht gezogen, da für spröde Stoffe

x — er,

die Gültigkeit der Hypothese der größten Dehnung bereits bestätigt ist, für mehr plastische dagegen die Versuche nicht ausreichen, um eine der drei Hypothesen als den anderen überlegen erscheinen zu lassen; jedoch läßt sich jede Kombination von Spannungen leicht durch die Ersatzgrößen ausdrücken. (Siehe hierzu v. Karman in den Mitteilungen über Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, Heft 118, 1912: „Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck“.

Kurz vor Drucklegung der Arbeit kam mir eine Dissertation von Darmstadt von Dr. ing. Hencky: ,,Der Spannungszustand rechteckiger Platten“ zu Gesicht, welche die frei aufliegende und eingespannte Platte behandelt. Statt der Navierschen Reihe, die Ausdrücke benutzt, welche die Randbedingungen streng erfüllen, deren Summe aber nur annähernd dem vorgeschriebenen Belastungszustand entspricht, wurden dort Funktionen benutzt, welche zwar die Differentialgleichung streng erfüllen, deren Summe aber den Randbedingungen nur annähernd entspricht. Der Einfluß der Belastungen wird durch partikuläre Integrale ausgedrückt. Die rasche Konvergenz dieser Reihen wird jedoch in den meisten Fällen verteilter Lasten durch die einfachere P'orm der Navierschen Reihe ausgeglichen. Der in beiden Arbeiten vorkommende Teil der Zahlenwerte zeigte eine gute Übereinstimmung.

Buchdruckerei Gebrüder Ernst. Berlin SW68.

Richtung und Größe der

Quadratische Platte hei gleichförmiger Belastung Jj.

Ja. Richtungen der Hauptersatzmomente (w«l) und (win).

Platte mit dem St

0,5b

II a. Richtungen von (wtj) und (tojj).

~i--------1—r~|

W

---1---r-

Hauptersatzmomente rechteckiger Platten | (rn)

itenveiiiältnis ^ = # = 1,25 hei gleichförmiger Belastung J).

Jlb. Größe von (j«i).

= Ei

dn²

II c. Größe von (mjj).

Q5a

FT

o,5b y,

_ 0, 056

|if._

Quadratische Platte bei Einzellast/' in der Mitte.

IV a. Richtung von (mj) und (mu).

r~

k'

0,4a

/___F

0,4 b'-

-t-

—f-

—i

0,4 b

___003j4

0,5a

0.4a

y._

J TT

k'

et!

7-

7F

-1

0,3 b

_L

QJ<!>

ot

^7

0,2a (

AH

//

;/

0,Zb

\AF

0,2b

o9

,ö9

K'

Q2b

\.........\.....-V

\ \ \

■A

\ %| •=» A %\

\l

'Ztl

0,3a

0,2a

yy

/I

0,1a

IX

0,1b

0,1b

fh

0,1a    02a    0,3a    0,4a

0,5a

^7/

V j/jt,

Af/1

Am

\    % f%\

4 A °4

Q1a

'i

0,1a    0,2a Q3a 0,4a    0,5a

0,5a

Q4a

Ib. Größe der Hauptersatzmomente {m{).

%■

0,1a    022a    0,3a    0,4a    0,5a

0,1a

17

C7!

' Q-0353 (1-pz)ya

•4

Platte mit dem Seitenverhältnis

IJIa. Richtungen von (mj) und

o9

7V

0,5b

Firn

0?

TTTTTTT

iX

0,2a    0,3a    0,4a    0,5a

%k %.

Os v 0.1a

v\

\\

\!x

0,2a    0.3a    0,4a    05a

IVb. Größe von (mj).

<?5a

= # = 2,0 hei gleichförmiger Belastung

III b. Größe von (wtj).

III c. Größe von (wtn).

Q-/a

-00964 o,5b\V

-1

.o

öS

\o'

O'

c>

ß2a

0,1a

.Xf

3ÜÜ.X

0,1a,    0,2a    0,3a    0,4a    0,5a

-oW

//

t;

I c. Größe der Hauptersatzmomente (/au).

\-----T

Fa

0.4b

0.4b

0,4b \

Q/a

o#

.^7

je

J-

as

\0

zl

\Q_

Q/a Q2a Q2a    0,4 a

ofe

0.3 b

-y-

i Ts

/ ^

0.3 b

0,3b

0,5a

IVc. Größe von («ijj).

%•

0,4a

0,2b

0,2b

• zjuat

0,2b

0,0248

\>

0.4a

x'

/

-y-

/

0,2a.

0,1a

Xk

•4, f% %

\ %

o\

<F

\y

<=>>

0,1b

01b

W-—S.

0,1b

2:

K.

V.

x^

Xi

xX

IX

f)

0,1a    0,2a    0,3a    0,4a    0,5a

0.1a

0,2a    0,3a    0.4a    0,5a

«/I*

\ <» ‘X\ %■

0,3a

Q1a 0,2a Q3a Q4a 0,5a

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c3^

■x

X^

AR

\ -4 s!

\ F>x f%x^4

-x

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x\

X.

Q/a 0,2a    0,3a Q4a 0,5a

OJa

xO

o.

o>

vO \

o\

°\\

v-4

Q1a 0,2a Q3a 0,4a    0,5a

Anmerkung: In der Beschriftung der

Kurven ist zu lesen: (1 — p²) p a² statt (1—p²)y«².

I

y# iOIETc^

■

s

V a. Richtungen von (}»i) und (fflu).

Richtung und Größe der Hauptersatzmomente für die unendliche Platte bei gleichförmiger Belastung y.

Vb. Größe von (mi).

Richtung und Größe der Hauptersatzmomente für die unendlich lange Platte

bei Einzellast.

Via. Richtung von (m{) und (?«jj).

Vfb. Größe von (w«j).

VI c. Größe von (»in).

V\

Cli

sm~

1,5a

1,5 a.

1,5a

1.5a

1,5a

CS

ogt

(ml

■s

cvv

cs

•s

/.0aG

1,0a

1,0a

1.0a

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G<5a

Cf

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0,8a

0.8a

A_

Oßa

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\\ \ \ \ X

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In der Beschriftung der Kurven ist zu lesen: (l —(>-) p(i² statt (1 —

Die Zahlen sind mit dem Faktor (1 - (>³j V zu versehen.

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