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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Heft 22: Der EinfluB der Längs- und Querkräfle auf statisch unbestimmte Bogen- und Rahmentragwerke. Von ®r.*2ttg. Rueb, Stadt. Ingenieur.

Mit 6 Textabb. u. 3 Tafeln. 1914.

geh, 2,60 M.

Heft 23: Die Berechnung der freiaufliegenden, rechteckigen Platten. Von ®r.=>2btg. M. Leitz.

Mit 26 Textabb. u. 2 Tafeln. 1914.

geh. 3,60 M.

Heft 24: Der doppelt gekrümmte Träger und das schiefe Gewölbe im Eisenbetonbau. Ein Beitrag zu ihrer Berechnung. Von $)r.=2sttg- H. Marens.

Mit 23 Textabb. 1914.

geh. 2,80 M.

Heft 25: Die Rammwirkung im Erdreich. Versuche auf neuer Grundlage. Von    K. Zimmermann, Königl. Re

gierungsbaumeister.

Mit 118 Textabbildungen. 1915.

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Forscherarbeiten

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EISENBETONS

DER EINFLUSS DER LÄNGS- UND \ QUERKRÄFTE AUF STATISCH X UNBESTIMMTE BOGEN- / X UND RAHMENTRAG- / X WERKE /

HEFT XXII

PREIS 2,60 MARK

VON

STADT. INGENIEUR

MIT $ TEXTABBILDUNGEN UND 8 TAFELN

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te*:    Utijf VERLAG von WILHELM ERNST a SOHN

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Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, Vorbehalten.

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Der Einfluß der Längs- und Querkräfte auf statisch unbestimmte Bogen- und Rahmentragwerke

Von

©v.=3ng. B. RUEB

Stiidt. Ingenieur

Mit 6 Textabbildungen und 3 Tafeln

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BERLIN 1914

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn.

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Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen. Vorbehalten.

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VORWORT;

orliegende Arbeit wurde an der Technischen Hochschule zu Darmstadt als Doktor-Dissertation verwendet; sie befaßt sich im Zusammenhang mit den Beziehungen zwischen den analytischen und graphischen Berechnungsmethoden elastischer Bogen- und Rahmentragwerke insbesondere mit der Untersuchung des Einflusses der Längs- und Querkräfte auf die statisch nicht bestimmbaren Größen.

Es soll in derselben festgestellt werden, inwieweit die analytischen Berechnungsmethoden von elastischen Bogen- und Rahmenkonstruktionen mit den graphischen Verfahren übereinstimmen und namentlich, ob bei der in der Praxis üblichen analytischen Berechnungsweise infolge der Vernachlässigung der Längs- und Querkräfte größere, die Spannungsverteilung wesentlich beeinflussende Fehler auftreten.

Es ist mir eine angenehme Pflicht an dieser Stelle Herrn Professor H. Kayser in Darmstadt meinen verbindlichsten Dank auszusprechen für die wertvollen Ratschläge, die er mir bei der Vornahme dieser Arbeit erteilte. Zu großem Dank bin ich auch Herrn Baumeister Leonhard Moll in München verpflichtet für das Interesse, das er dieser Abhandlung zuteil werden ließ und dafür, daß er mir die Ausarbeitung während meiner Tätigkeit in seiner Firma ermöglichte.

Nürnberg, im Oktober 1913.

Der Verfasser.

m

K

7

■

>

>

INHALT.

Seite

I.    Einleitung..................

II.    Entwicklung der Gleichungen zur Berechnung der statisch

unbestimmten Größen .    .    ............

III.    Ermittlung der Elastizitätsellipsen aus den unter II. entwickelten Gleichungen.............

IV.    Untersuchungen der Beziehungen zwischen den analytischen

13

und graphischen Berechnungsmethoden.......

V.    Untersuchung des Einflusses der Längs- und Querkräfte auf

Ol ^ -N CO

die statisch unbestimmten Größen.........

VI. Schlußfolgerung................

■

4

.

■

■

I. Einleitung.

Die statischen Untersuchungen der in neuerer Zeit vielfach angewandten elastischen Bogen- und Rahmentragwerke aus Eisenbeton werden bald analytisch, bald graphisch durchgeführt. Die analytischen Methoden sind in den letzten Jahren vielseitig ausgearbeitet und für die in der Praxis häufig vorkommenden Bogen- und Rahmenarten Gleichungen zur unmittelbaren Berechnung der statisch unbestimmten Größen, jedoch meistens unter nur teil weiser Berücksichtigung der Längskräfte und ausschließlicher Vernachlässigung der Querkräfte ermittelt worden.¹)

Das rein graphische Verfahren unter Benutzung der Elastizitätsellipsen, wie es in W. Ritter-Culmann, Anwendungen der graphischen Statik, Band IV entwickelt ist, hat nur vereinzelt Aufnahme gefunden,²) dagegen wird nicht selten ein kombiniertes analytisch-graphisches Verfahren, namentlich zur Konstruktion von Einflußlinien, angewandt.¹) Diese letztere Methode zeigt besondere Merkmale, es werden hierbei die Biegungsmomente immer nur graphisch, die Längskräfte dagegen annäherungsweise analytisch behandelt,

Müller-Breslau: Neuere Methoden der Festigkeitslehre, 1904.

Maurer: Berechnung steifer Rahmen. Mitteilungen über Zement, Beton und Eisenbeton 1907, Nr. 8 u. 9.

Ables: Statische Untersuchung einiger im Eisenbeton häufig vorkommenden Aufgaben, Beton u. Eisen 1907, Heft V u. VI.

1. Aufl.

R. Saliger: Handbuch für Eisenbetonbau, Bd. IV.

W. Schaechterle: Berechnung von Bogenstellungen und mehrstieligen Rahmen.

H. Pilgrim: Eisenbetonkonstruktionen mit genauer Gewölbe- und Rahmenberechnung. M. Ritter: Beiträge zur Theorie und Berechnung der vollwandigen Bogenträger. Mörsch: Berechnung eingespannter Bogen. Schweizerische Bauzeitung, 1906, Nr. 7 u. 8. Schönhöfer: Statische Untersuchung von Bogen- und Wölbtragwerken. 2. Aufl.

²) Nast: Turnhalle der Selekten- und Englischen-Fräulein-Schule zu Frankfurt. Beton u. Eisen 1908, Heft VIII.

Maillart: Ein Wettbewerb um Ideen für eine Brücke in Freiburg Beton u. Eisen 1908, Heft XV.

Nr. 7 u. 8.

³) Mörsch: Berechnung eingespannter Bogen.

Schweizerische Bauzeitung 1906;

Schönhöfer: Statische Untersuchung von Bogen- und Wölbtragwerken. 2. Aufl.

mitunter letztere auch vernachlässigt, der Einfluß der Querkräfte bleibt wie bei dem rein analytischen Verfahren stets unberücksichtigt.

Inwieweit diese Vernachlässigung berechtigt ist und welchen Einfluß sie auf die statisch nicht bestimmbaren Größen ausübt, soll in den nachstehenden Darlegungen in Verbindung mit den Beziehungen zwischen den analytischen und graphischen Berechnungsmethoden eingehend untersucht werden.

II. Entwicklung der Gleichungen zur Berechnung der bei elastischen Bogen- und Rahmentragwerken auf tretenden, statisch nicht bestimmbaren Größen unter Berücksichtigung des Einflusses der Längs- und Querkräfte.

Werden von einem durch Lasten P beanspruchten biegungsfesten, an seinen Fußpunkten A und B eingespannten Bogen oder polygonalen Rahmen die Widerlager weggenommen, so müssen, wenn das Gleichgewicht erhalten

bleiben soll, die Reaktionen Ra und Rb, die den

ursprünglich

Kämpfern gewirkt haben, nach Größe, Lage und Richtung wieder angebracht werden.

Zerlegt man RA und Rb in die wagerechten und lotrechten Seitenkräfte HAt Va und (—Hb), Vb (Horizontalschub und Auflagerdruck), so ergibt sich für jeden beliebigen Punkt der Rahmen- oder Bogenachse, wenn mit eA und eB die Entfernungen der Angriffspunkte der Seitenkräfte von A und B bezeichnet werden, das Biegungsmoment

Q''

~Rb

Vb

an

Sr

’Qa

Abb. 1.

-----JT

1)

— 2P (x — a) — HA(y — cos (fA eA) + VA (x + sin <pA eA) o

2)

— -f 2 P {a — x) -f- Hb (y + cos (pB eB) — VB {x — sin ₍fB eB)\

i

die Längskraft

N— IIA cos

(f + (Va — ~ i¹ 2 3) sin (p = — ^Hb cos (p -f (vB

— 2P

j sin r/J ;

auf der Achse beliebig angenommenen Punktes in bezug auf den Ursprung A. HÄ, Va, Qa und (—Hb), Vb, ßß stellen die statisch nicht bestimmbaren Größen dar; dieselben lassen sich zweckmäßig nach dem Satz der kleinsten Formänderungsarbeit ermitteln

4)

rM²ds r

N² ds

2 FF

Q² ds

2 GF

wobei:

M das Biegungsmoment N die Längskraft Q die Querkraft J das Trägheitsmoment F den Elastizitätsmodul F die Querschnittsfläche G den Gleitmodul

ß einen von der Querschnittsform abhängigen Koeffizienten, für

ß

den Rechteckbalken —, 5

bedeutet.

können Ha, Va und ßA oder

Es ist nun nach bekannten Gesetzen der Statik die Abgeleitete der Formänderungsarbeit nach einem statisch unbestimmten Stützwiderstand bei unnachgiebigen Stützen gleich Null. Werden somit aus den Gleichungen 1), 2) und 3) die Werte für M, N und Q in die Gleichung 4) eingesetzt und dann dieselbe teilweise nach den Unbekannten H, V und e differentiiert, so können aus den drei neu erhaltenen Gleichungen die statisch unbestimmten Größen H, V und e ermittelt werden. Bei der Rechnungsdurchführung ist es gleichgültig, ob man mit den ersten oder den zweiten Werten der Gleichungen 1), 2) und 3) rechnet; aus den drei bekannten Bedingungsgleichungen — Summe aller Horizontalkräfte, Summe aller Vertikalkräfte und Summe aller Drehmomente gleich Null (— HB), Vß und es, sobald die einen oder die anderen bekannt sind, unter sich ermittelt werden. Die nachfolgenden Untersuchungen werden mit Hilfe der ersten Werte durchgeführt. Zur Vereinfachung soll bei sämtlichen Faktoren der Zeiger A vernachlässigt, der veränderliche Winkel (p für den Endquerschnitt A mit (p₀ bezeichnet werden. Die teilweise Differentiation nach H liefert

5 a)

931

dH

(y — cos cp₀ e)

er

■dN

9 Ii

-Hb

9Q

9II

= — sin cp.

Die teilweise Differentiation nach V liefert

6 a)

SM

9V

f (x + sin (f₀ c)

b)

9N

= -f- sin (p

9V

=Z -j- COS (f.

Die teilweise Differentiation nach e liefert

7 a)

SM

9e

= II cos <f₀ -f- F sin (f₀

b)

9N

9e

c)

9Q

= 0.

Diese Werte in die Gleichungen

S .A.    9-A.

Jh' ~Jv

und

9Ä

eingesetzt, gibt

8)

cos

<fo e) + V (x + sin y₀ e)J

V-f-cos yo e)

ds

EJ

-f- j |^/7 cos (f -{- ^ V — 2 P^j sin cp

ds

cos v ef

+'/[(

9)

/H

0

II sin tp\ (— sin y) — 0; — 2 P (oc — a) — II (y — cos q{) e) -f- V (x -f- sin (p₀ e)J

V — 2 P | cos (f —

(,x + sin (f₀ e)

ds

EJ

-}- J |H cos (f -j- ^ V— 3 P^j sin q> sin cp

ds

EF

+ßf\{

V — 2 P ) cos cp —

II sin <p^

COS (f

ds

GE

= 0;

10)

j f— 2 P (x — a) — H (y — cos (p₀ c) -f V(x -f- sin y₀ c)J

(II cos (f ₀ -)- Fsin y₀)

ds

EJ

— 0;

8 a)

P X

I 2 P{x

o

— a)y

ds

EJ

— e cos (f₀

— a)

ds

EJ

+ H fy*

ds

EJ

— 2e

II cos (f₀ j*y

o

ds

EJ

-f- e² H cos² (f

xy

ds

EJ

⁰ f~Wj + H (/cos2* 4t + ß/sin2 V Wf) 0 0 0

l    l

e V sin <p₀Jy    +eFcos <p₀ Jx

0 0

-J- e² Fsin^)₀ cos (p₀ J'

ds

EJ

+ V(f:s[n<P

COS (p

ds

EF

p X

■ I 2 P sin cp

o

COS cp

ds

EF

ßjsitup cos cp -^\

0

l

p X    fl o

+ ßj ZPsinrp cos(p — 0)

o

9 a)

J 2 P(x — a)x

e sin (p₀ f 2P{x — a)    y

hJxij yj +eil cos (p₀fx~~

0 0 l

-\- e² Hcos (p₀ sin (p₀ J

TT .    r    ds

e Hs in    / y

+ ff ^ J' cos (p sin (f-^p—ßj sin<P COS(P 0 0

l

V sin fp₀Jx -f Ve² sin² y₀ J

0    ö

+ vf x²

+ 2e

ds

EF

ßfsPco

= 0;

10a)

- j'2 P{x — a)

EJ

— II

r r ds .    _    /* ds

/ y ~EJ + eHcoS(f° I 0 0

EJ

+ vjx

0

ds

EJ

xr . C ds V sin <p₀ / -

o

EJ

oder nach den statisch unbestimmten Größen II, V und e geordnet

8b> R(fy²4r+f

0 0

COS²

ds

+ f/sin2 9 Gf)

<>

(/

o

ds

xy EJ

- j*sin (p cos (p

ds

EF

+ ßj'sin<p

o

COS cp

ds

GF

ds

e {H cos cp₀ + V sin <p₀) Jy EJ

l

f llF(X~~a)yEJ

ds

j- j'.2 P sin cp cos cp    — ß j"2 sin cp cos cp

ds

Gl

-j- e cos cp | J2P{x

o

ds

⁽^EJ

^fv ds

EJ

vfx

ds

EJ

e {II cos cp₀ -j- Vsin cp₀) J

o

nach Gleichung 10a) gleich Null;

9b) — II

(/

0

xy

ds

EJ

J*sin cp

o

COS (f

ds

₃ ds

-f- f sin² cp

+ V(JX EJ

0

-f- e {H cos cp₀ -\-V sin cp₀) j x

o

ds

EF

{-ßjsitup cos <f

0

0

EF

/» X

: / - P(X

ds

a) x EJ

-j- j¹2 P sin² cp

o

dS -f ß ^2 P cos² cp ds

EF

GF

- f* X

-j-esina>₀ 2P(x—a)

LJ °

ds . -rr r ds

VHJy

EJ

EJ

ds

e (Hcos '/v, + Fsin y₀) j

' ds' EJ

nach Gleichung 10a) gleich Null;

ds

+ vjx dS

EJ

-j- e (H cos

yo+Fsin(fo)/’-Jl

EJ

P{x — a) ds

Aus den Gleichungen 8b), 9b) und 10b) lassen sich 77, V und e berechnen; bei ihnen tritt auch der Maxwellsche Satz von der Gegenseitigkeit der Formänderungen zutage.

Werden für das vorliegende dreifach statisch unbestimmte System die Elastizitätsgleichungen in der bekannten Form

Hdu -|—    2    -J— 6 (77 cos cp -j— Fsin d\3 Em • di

Ild^i -}- T (?22 -f~ b dH cos (fi -j- F sin <^>) d23    ^ Em • d®

Ed₃₁ -|- Vd₃2 -f- b (77cos (f -(- Fsin cp) d₃₃ = 2Pm ■ d3m

angeschrieben, so zeigt ein Vergleich derselben mit den Gleichungen 8b), 9 b) und 10b), daß

j r ds r. d₁₂ = xy FJ — / sin cp

COS (f

ds

EF

-f- ßj sin (p

0

cos <p

ds

GE

— (Z21

, C ds

diz = jy

EJ

d - fx ds

(*23 - f x

EJ

— d3i ist.

+Y

\ALz

+L

P R&-

Eine wesentliche Vereinfachung in der Ermittlung der statisch unbestimmten Größen 77, F und e kann erzielt werden, wenn das Koordinatensystem

nach dem Schwerpunkt S des mit den elastischen Gewichten

ci

/»

<A

-v

Abb. 2.

be

hafteten Bogens oder Rahmenzuges versetzt und als positive rj- Achse die Richtung von F und als positive £ - Achse die entgegengesetzte Richtung von -j- 77 gewählt wird. Sind zugleich die Bogen- oder Rahmenachsen in bezug auf eine durch den Schwerpunkt der elastischen Gewichte gehenden Geraden symmetrisch, welche zu der Achse senkrecht steht,

gegen welche die Neigungswinkel q> gemessen werden, so fallen in den Gleichungen 8b), 9b) und 10b) alle Glieder mit den Faktoren

i

~~ Y

m- />

ds

EJ ’

:>i,

ds

EJ

~Y

f . zte

/ cos sin

~y

und

fort, und man erhält unter Berücksichtigung, daß in Gleichung 1) die Vorzeichen vor den letzten Summanden entgegengesetzten Wert annehmen, die einfachen Gleichungen

~Y

~Y

~Y

f 2P sin (f

J u

COS (f

ds

EF

ß I JZPs'm rp J o

COS (f

Kh! co

8 c) H—

•i

~Y

~Y

f¹? ~E7 + / cos2 f

ds

EF

f- ß Isin² (p

GF

- <N

~Y

~Y

ds

GF

9c) V—

~Y

~Y

~Y

ß²

ds

EJ

-f- j'sin² (f

dS + ßfcos> ds

EF

GF

~Y

12P(a — %) ds

J 0

EJ

10 c)

e (.U cos (f -f- Fsin (f) —

~Y

ds

CM

EJ

Soll in Gleichung 1) eA — eB = 0 werden, so müssen die Kämpferresultierenden durch die Querschnittschwerpunkte gehen. Diese Bedingung wird erfüllt, sobald an den Fußpunkten A und B Gelenke angeordnet werden. Es ist dann

— 2P (x — d) — Hy -f Yx — M\

o

hieraus folgt für x — l und y — 0

P(l- d)—Vl

oder

V—

2P(l — a)

o

also gleich der Auflagerreaktion des frei aufliegenden Trägers. Mit diesem Wert für V ergibt Gleichung 8a)

11)

ds

EJ

-f Ii ( f cos² cf

ds

EF

I,

+ /»/ rin* <f

2P(l — a)

o

j' ds

xy

EJ

2P(l — d)

0

^ sin cp cos cp

ds

EF

ß j'sin cf cos cp

ds

GF

( 2P sin cp

J o

COS cp

ds

EF

-f- ß I 2P sin cp

J o

COS cp

GF

= 0;

es ist aber

2P (l — d)

0

gleich dem Biegungsmoment des frei aufliegenden Trägers und somit 11a)

fmy

o

feji

21 f j sin cf cos cf

V

EF

ß j sin Cf cos Cf ~yy) +J ZPsincf o    o ⁰

cos <f

ds

EF

ß I ZP sin ff o ⁰

cos

ds

ds

l    i    i

/»* 4t +fcos‘*■ w+ßJ"»-0F

uo    o

III. Entwicklung der Elastizitätsellipse aus den unter II. entwickelten Formeln.

Berücksichtigt man bei der elastischen Formänderung eines Stabes die Normalkraft und die Schwerkraft, so wird sich unter der Wirkung dieser

Kräfte ein Stabquerschnitt um die Nullinie drehen und gleichzeitig senkrecht zu seiner Achse verschieben. Diese Verschiebung kann nach den Regeln der Kinematik ebenfalls als Drehung um einen unendlich fernen Punkt aufgefaßt werden. Die Lage des resultierenden Drehpols erhält man aus dem Größenverhältnis der Einzeldrehungen, d. h. aus dem Trägheitsmoment und dem Verhältnis der elastischen Konstanten. Um diese Rechnungen durch eine anschauliche Konstruktionsvorschrift zu ersetzen, hat Ritter die Elastizitäts-

iIm.

y g

ellipse mit den Halbachsen i und i

eingeführt und bewiesen, daß der

resultierende Drehpunkt der Antipol der Kraftrichtung in bezug auf diese Ellipse wird. Um den so bestimmten Punkt dreht sich der Querschnitt gegenüber seiner ursprünglichen Lage. In derselben Weise bildet man die Elastizitätsellipse für ein Stabelement (Ritter, Bd. 4, S. 87).

ßE

Diese Ellipse hat die Halbachsen a — i

Antipol einer bestimmten Kraftrichtung gibt dann den Pol, um den sich die beiden Endquerschnitte relativ zueinander drehen. Ebenso

12

und b = i. Der

Xr

x|

O-

.o.

Cl

v.

\/

ZU

//

a/y

da

Abb. 3.

wie für ein Bogenelement kann man auch die Elastizitätsellipse des ganzen Bogens ableiten. Der Antipol einer beliebigen Kraftrichtung hinsichtlich der Elastizitätsellipse ist dann der Punkt, um den sich der Endquerschnitt dreht.

Die gleichen Ergebnisse lassen sich auch aus den unter II. entwickelten Formeln ableiten.

Das Bogen- oder Rahmendifferential ds liefert einen unendlich kleinen Beitrag zum Horizontalschub von

ds

12) dH=

My EJ

(21 + Sp) (sin cp

cos

ds

(p jQjj' ß *P

cos

ds \

2 cls | o d/S 1 u • 0 ds y²    + cos2 V -gTp + P sin² <p

GF

ds

Setzt man in dieser Gleichung das elastische Gewicht - als gemeinsamen

EJ

Faktor voraus, so erhält man für den Nenner

ds (y² + cos2<P i2 + ß^r

EJ

sin² (p i²^j

Die beiden letzten Glieder des Summenausdrucks stellen den mit dem Winkel cp veränderlichen Trägheitsradius dar

cos² cp i² ß^L- sin² q> i² — L².

G

Trägt man im Schwerpunkt S (Abb. 3) eines Bogen- oder Rahmenelementes ds den dem Winkel (p entsprechenden Trägheitsradius iv lotrecht auf und zieht durch dessen Endpunkt eine Horizontale, so werden auf ds und deren Senkrechten durch den Schwerpunkt S zwei Strecken

und q¹ —

13)

p‘ —

'tip

“ttp

COS (f

sin (p

abgeschnitten.

Aus den vorstehenden Gleichungen ergibt sich

<N>.

sin <p =

Führt man diese Werte in Gleichung 13) ein, so erhält man

und cos (p —

P‘

14)

i²ß~gh²

p>2

q‘

— iv² oder

i²

14 a)

p¹²

q‘²

die bekannte Gleichung der Ellipse in Linienkoordinaten. Die kleine Achse derselben deckt sich mit derjenigen der Zentralellipse des Querschnitts, die

kleineren wie ]/ßE : ]/Cr . Die Ellipse

große Achse dagegen verhält sich zur ist demnach abhängig einerseits von der Größe und Form des Querschnitts,

anderseits aber von dem Elastizitäts- und Gleitmodul des Konstruktions

materials und wird daher Elastizitätsellipse genannt.x)

Setzt man im Nenner der Gleichung 12) das elastische Gewicht zweiter

Ordnung

ds

EJ

y voraus, so nimmt er die Form an

cos²(f i²    ßE    sin² (pi² \

V )

ds

EJ y

x) Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, Bd. I, S. 153.

Es sei zunächst der veränderliche Winkel rp gleich Null, so wird

sin *(fi² ^

ßE

COS ²(fi²

— 0 und dH—dP.

Die Kraft dP bewirkt eine Drehung des einen Querschnitts gegenüber dem anderen um eine in der Schnittebene liegende Neutralachse oder Spannungsnullinie; der Abstand derselben von dem Querschnittschwerpunkt 8 ergibt sich aus der bekannten Gleichung

dP -p • zp

dP

zu

16)

P ■ ’ -p -jp

Es stellt somit in Gleichung 15) der Quotient

cos² cp i²

die durch die

Längskraft dP bewirkte Verschiebung der Neutralachse aus dem Querschnittschwerpunkt S auf der von dP entgegengesetzten Seite dar.

Nach Gleichung 16) verhält sich p : i — i : zv oder nach dem Satz der korrespondierenden Subtraktion und Addition

p — i _ p -f- i

i — zp i -f- Zp

Bezeichnet man die Endpunkte der Strecken p — i mit Y, p -j- i mit Y\ i — e mit N und i -J- e mit N\ so ist nach der Theorie der projektiven Geometrie¹)

BY B Y‘ NY: NY¹

= (BNYT) — - 1.

B und N stellen die in bezug auf die Endpunkte Y und YJ der kleinen Achse der Elastizitätsellipse konjugierten Punkte dar. Errichtet man in N die Senkrechte n, so schneidet diese die Elastizitätsellipse in den beiden Berührungspunkten der von B aus gezogenen Tangenten. Sie ist somit der geometrische Ort aller zum Punkte B konjugierten Punkte hinsichtlich der Elastizitätsellipse und heißt Polare des Punktes B.

Es werde nun <^=^90°; dann wird

cos² </> • i²

y — q\ - -

”    y

= 0;

sin² (f i²

ßE ,₂ßE

Gr

und dH—dQ.

Die Kraft dQ bewirkt eine Drehung um eine Achse, deren Entfernung von 8 sich ähnlich wie vor ergibt zu

16 a)

ßE

J G

⁽1 ' ~q j?

= i²

ßE

J) Doehlemann, Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung. Enriques, Projektive Geometrie. Deutsch von Fleischer.

ßE

sin² (f i² --

in Gleichung 15) stellt somit die durch die

Querkraft dQ bewirkte Verschiebung der Neutralachse aus dem Querschnittschwerpunkt S auf der von dQ entgegengesetzten Seite dar.

Nach der Gleichung 16 a) verhält sich wieder

Der Quotient

•n

q + illW

JßE

V G

Zq

oder

AX

AX‘

MX MX'

= (AMXX‘) — - 1.

A und M sind somit konjugierte Punkte hinsichtlich der Endpunkte X und X‘ der großen Achse der Elastizitätsellipse.

Die Senkrechte m in M ist wieder Polare, der geometrische Ort aller zu A konjugierten Punkte hinsichtlich der Elastizitätsellipse.

Der Schnittpunkt D beider Polaren m und n ist konjugiert, sowohl zu A wie auch zu B hinsichtlich der Elastizitätsellipse; es bilden infolgedessen ABD ein Polardreieck, in welchem jede Seite Polare des gegenüberliegenden Eckpunktes ist. Die Wirkungslinie des Horizontalschubes H entspricht somit der Polaren des Punktes D bezüglich der Elastizitätsellipse. Zieht man durch die Punkte M‘ und N¹ die zu den Polaren m und n Parallelen m' und n‘, so schneiden sich letztere in einem Punkt D‘, der dem Pol D diametral gegenüberliegt. D‘ heißt Antipol der äußeren Kraft II hinsichtlich der Elastizitätsellipse; durch ihn geht die Achse, um die sich der eine Querschnitt gegenüber dem anderen infolge der Punwirkung des Horizontalschubes dreht.

Wird in der vorstehenden Untersuchung y durch rj ersetzt, so bezieht sich dieselbe auf die Gleichung 8c). Führt man dieselbe an Hand des Nenners der Gleichung 9c) durch, so findet man den Antipol der nach

ds

dem Schwerpunkt des mit dem elastischen Gewicht behafteten Bogens

£/t/

oder Rahmenzuges versetzten Auflagerreaktion V bezüglich der Elastizitätsellipse.

IY. Beziehungen zwischen den analytischen und graphischen Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Bogen- und Rahmenkonstruktionen.

Bei der graphischen Berechnungsweise von Bogen- und Rahmentragwerken werden für die einzelnen Elemente die Elastizitätsellipsen konstruiert. Hierauf bestimmt man den Antipol der statisch unbestimmten Größen II

und V hinsichtlich der Elastizitätsellipsen. Die Bedeutung der Elastizitätsellipse ist eine rein kinematische. Um sie für die graphische Statik zu verwerten, muß sie mit den Sätzen in Verbindung gebracht werden, welche sich auf die Konstruktion der Durchbiegungen von Stabpolygonzügen aus den relativen Drehungswinkeln der einzelnen Elemente beziehen. Die elastischen Gewichte sind nichts weiter als diese Drehungswinkel. Will man für eine bestimmte Kraft die Formänderung eines Bogens oder Rahmens (den man sich an dem einen Ende frei denkt) bestimmen, so verlegt man daher die elastischen Gewichte in die Gelenke, das heißt in die Antipole der Kraftrichtung in bezug auf die Elastizitätsellipsen. Nachdem in dieser Art der kinematische Teil der Aufgabe erledigt ist, erhält man die statisch unbestimmten Größen aus der Bedingung, daß die Verschiebungen des frei gedachten Kämpfers wieder rückgängig gemacht werden müssen. In den Gleichungen 8c), 9c), 10c) und 11a) sind diese Verschiebungen analytisch ermittelt. Graphisch werden sie mit Hilfe von fünf Seilpolygonen¹) durch den elementaren Satz: „Die Summe der statischen Momente paralleler Kräfte in bezug auf eine ihnen parallele Gerade ist gleich der zwischen die letzten Seileckseiten hineinfallenden Strecke, multipliziert mit der Polweite" dargestellt.

ins ersten Seileck läßt man die elastischen Gewichte

ds

EJ

in den Schwer

punkten der Bogen- oder Rahmenelemente lotrecht, im zweiten Seileck horizontal angreifen. Diese beiden Seilecke bestimmen den Schwerpunkt

der elastischen Gewichte

ds

EJ

und liefern zugleich die statischen Momente

ds

ds

r\ (elastische Gewichte zweiter Ordnung), bezogen auf die

EJ ^ Und Schwerpunktachsen.

Im dritten und vierten Seileck läßt man die elastischen Gewichte

EJ

ds

ds

tj in den Antipolen der senkrechten und

wagerechten Schwerpunktachsen bezüglich der Elastizitätsellipsen senkrecht und wagerecht wirken und man erhält alsdann auf graphischem Wege die Werte der Nenner der Gleichungen 8c) und 9c)

1

zweiter Ordnung

EJ

§ und

EJ

sin² (f i²

ßE cos²(pi²

~T

~Y

M/l

)=ß°£r+fsia’*

ds

EF

•2

ßj*cos2 9

ds

GE

!) Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, Bd. IV, S. 230.

und ebenso

~Y

cos² cp i²

_Y

1J    G

ßE sin² cp i² ^

₂ ds

EJ

cos²

ds

~Y

-f ß Jsm² cp ds

GF

to

{\CO&p

D'

X/

Sl/2<p /■

^ */3E cos²<pi'²

Abb. 4.

Die Werte

sin² cp i²

M/l

und

ßE cos² cp i²

(Abb. 4)

entsprechen den wagerechten Abständen des Antipols der lotrechten Schwerpunkthauptachse von den Mittelpunkten der Elastizitätsellipsen; .

ßE sin ²cpi²

cos² cp i²

und

(Abb. 5)

dagegen den lotrechten Abständen des Antipols der horizontalen Schwerpunkthauptachse von den Mittelpunkten der Elastizitätsellipsen.

Im fünften Seileck läßt man die elastischen Gewichte

ds

in den

EJ n

Antipolen der wagerechten Schwerpunkthauptachse lotrecht angreifen; man erhält somit das Zentrifugalmoment der Bogen- oder Rahmengewichte in bezug auf die beiden Schwerpunkthauptachsen.

Nach der Theorie der elastischen Gewichte stellt dasselbe die Einflußlinie des Horizontalschubes dar. Besteht in Gleichung 8 c) die Belastung nur aus einer Einzellast P — 1, so lautet der Zähler derselben

ßKi2

Rahmen mit konstantem Trägheitsmoment J und gleich

trm

¹

die Querkraft

²

^ VA — 2 cos (p — HÄ sin cp = — ^ Vß — 2 pj cos (p

³

In diesen Gleichungen bedeuten y, die Winkel der Horizontalen mit den Bogentangenten oder der Rahmenachse, x und y die Koordinaten des

ßKi²

9>

/'M~-

\ ßK.svJv

rf\-

coszc?C²

//

y Siz

COS >p

/'P±_

Abb. 5.

cos

^jyT~2 sin^<°s ?

i D'/

y.

V.

' //

'S

KJ '

Abb. 6.

>A ÄFl²

fia

— %)y

la

ds

-(- jsin (f

a

l

\f ^ lEJ ~ ^

COS (J)

ßs m <P

ds

GF

cos (p sin (p i²

ßE sin (p cos (p i²'

wo

cos (f sin (f i²

und

ßE sin cp cos cp i²

(Abb. 6)

Abstände des Antipols der horizontalen Schwerpunkthauptachse von den in den Mittelpunkten der Elastizitätsellipsen errichteten Lotrechten darstellen. Bei der vorhandenen Belastungsart ergibt der Zähler der Gleichung 9c)

wo

ds

EJ

, C • 9 ds

-j- / sin² (fi

sin² (f i²

EF

+ ßf

COb² (f

ds

GF

tS¹ SL

(a — £) +

sin² (f i²

ßE cos² ?'²'

UW

und

cos² i²

jjji

(Abb. 4)

Abstände des Antipols der senkrechten Schwerpunkthauptachse von den in den Mittelpunkten der Elastizitätsellipsen errichteten Lotrechten darstellen.

Bei unsymmetrischen Bogen- und Rahmenformen zeichnet man wie bei symmetrischen die fünf Seilpolygone. Vereinigt man die Elastizitätsellipsen der einzelnen Elemente zu einer Gesamtellipse und konstruiert die zu beiden Schwerpunktachsen H und V konjugierten Durchmesser, so lassen sich an Hand der aus den Seilecken gefundenen Werte für H und V durch entsprechende Zerlegung nach den konjugierten Durchmessern die Kämpferresultierenden ¹) aufzeichnen. (Vergleiche graphische Berechnung eines unsymmetrischen Rahmens auf Tafel II.)

Verschiebt man in Gleichung 8 b) und 9 b) den Koordinatenursprung

behafteten

ds

EJ

nach dem Schwerpunkt des mit den elastischen Gewichten Bogens oder Rahmenzuges, so ergibt sich

~Y

8d)

(/ia3^+/COSf <f    /sin2 ⁹ Ä)

-4-

~¥

+ v (/h    — Jsin <fcos <p FF —Jsin <p

COS (fl

ds

GF

J 2P(ci -£) f j ZPsirupcosfß

ds

FF

ß 12Psin (f cos (f

ds

GF

~T

_y

9d)

COS (f

ds

EF

~y

_y

~Y

EJ

+^^Psin²y

EF

-f- /?y*2Pcos²(p

ds

GF

Sind sämtliche Polweiten — 1 so wird

_y

ds

ds

PP

(rP

t-2 }

~¥

l/W

ds r.

-ßj — / sin <f cos 7

ds

_y

EF

-f- /S/sin (p cos ^

ds

GF—*'

~¥

.fsP(a-f)n

ds

EJ

-j- j 2Ps\rufCOS(f

ds

~y

EF

ßJ 2P sin <p cos (f

ds

Gl

= ~Pz₂\

~T

/ £² j +/sin² <p ^ + ßjcos² y

N a,

ds

(?p

.1

~y

~y

~y

■ f2 P(a-$S

^ + J'zPsin²?^- ßJ‘^Pcos²(f dS

EJ

GE

= 2Pgx.

Mit diesen Werten erhält man

E 4 + V t — z₂; Ilt -\-Vtx=. 2X\

80

Zjt\ —Z\t.

t₂ tx — t²

90

v=

t₂tx — t²

7/ und F bedeuten die wagerechte und lotrechte Komponente der linken Kämpferresultierenden PA, wohingegen bei der graphischen Berech-

nungsweise II — —— und V—

*\

Größen darstellen, die durch Zerlegung

von Ra parallel der £- und rj¹- und ij- und Achse erhalten werden. Bezeichnet man diese letzteren zum Unterschied der in den Gleichungen 8f) und 9f) angeführten II und V, mit X und Y, so verhält sich¹)

X:H—(V-\-iv):w, oder H+V+ w) _ Vt

IV

+ 11.

Werden die Werte für II und V aus Gleichung 8f) und 9f) eingeführt, so ergibt sich

Vi —Z\t

4 k — t² 4

der beim graphischen Verfahren ermittelte Wert; es ist auch

Ht

oder

r=

(*2 4 — Z\f)t

4 ’

gleich dem beim graphischen Verfahren ermittelten Wert.

Bei dem Zweigelenkbogen läßt man die elastischen Gewichte zweiter Ordnung in den Antipolen der Kämpfersehne hinsichtlich der Elastizitätsellipsen erst lotrecht, dann wagerecht wirken und zieht die zugehörigen Seilecke; das erstere stellt wieder die Einflußlinie des Horizontalschubes dar.²)

Für eine Einzellast P~ 1 lautet der Zähler der Gleichung 11a)

44 — t²

(44 — t²) 4

ds

xy

EJ

31

sin cp

0

COS (f

ds

EF

ß^sin cp cos cp    j

o

ds

xy

EJ

Jsin <p cos cp

ds

EF

+ ßjsin cp

COS (p

ds

GF

oder

sin cp cos <p i²

)]

■- r f„—(x i[Jy ej r 0

ßE sin cp cos cp i²

ßE sin cp cos (p i²

r ds f

J» str

sin p cos (pi i²

sin cp cos cp i²

und -

ßE sin (p cos cp i²

x) Tafel II. Berechnung eines unsymmetrischen Rahmens nach Ritter. ²) Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, Bd. IV, S. 62 u. 88.

entsprechen den Abständen der Antipole der Kämpfersehne von den in den Mittelpunkten der Elastizitätsellipsen errichteten Lotrechten. Das zweite Seileck stellt den Nenner der Gleichung 11a) dar; denn es ist

fy2

ds

EJ

-j- j*COS² (f

o

ds

EF

+ ßjsin2 <P dS

OF

ß-sr(»+

0

cos² cp i²

ßE sin²(f i²

worin

cos² y i²

und

ßE sin² y i²

den Abständen der Antipole der Kämpfersehne von der in den Mittelpunkten der Elastizitätsellipsen errichteten Horizontalen entsprechen.

Die analytischen Berechnungsmethoden von elastischen Bogen- und Rahmenkonstruktionen stimmen somit mit dem graphischen Verfahren vollständig überein. Die Anwendung der Elastizitätsellipsen bietet ein Mittel, um bei dem graphischen Verfahren den Einfluß der Längs- und Querkräfte zu berücksichtigen. Sobald diese Kräfte vernachlässigt werden, greifen sowohl in den fünf Seilecken der eingespannten, wie auch in den beiden Seilecken der Zweigelenkkonstruktionen sämtliche Gewichte in den Schwerpunkten der Bogen- oder Rahmenelemente ds an. Vielfach wird in der Praxis von dieser Berechnungsweise Gebrauch gemacht, wobei dann der Einfluß der Längskräfte durch analytische Hilfsrechnung teilweise berücksichtigt, derjenige der Querkräfte aber stets vernachlässigt wird.

Auf den beiden Tafeln I und II sind auf graphischem Wege die statisch unbestimmten Größen H und V eines symmetrischen und eines unsymmetrischen Rahmens ermittelt.

Zuerst berechnet man die Fläche der durch die Schwerpunkte gelegten Querschnitte und bestimmt das Trägheitsmoment J dieser Flächen. Hierauf zeichnet man für die einzelnen Elemente die Elastizitätsellipsen. Die große

l/ßE_    _

r G F ^ 12

, die kleine Achse

Als-

Achse iy ist gleich

dann bestimmt man die elastischen Gewichte

ds

und fügt sie zu einem

Krafteck mit dem Pol Ox zusammen. Man zieht dann die beiden Seilecke A₁—Bi und A₂—B-2 und erhält die Schwerpunkthauptachsen. Auf letzteren werden durch die Seilseiten der Polygone A{—B{ und A₂—B₂ die elastischen

EJ

ds

ds

rj abgeschnitten. Nun konstruiert man die Antipole der horizontalen wie auch vertikalen Schwerpunkthauptachsen hinsichtlich

Gewichte ZA % und EJ

EJ

der Elastizitätsellipsen. Hierfür gibt Ritter in Band IV auf Seite 89 zwei Verfahren an. Man findet dieselben auch, indem man vom Schnittpunkt der Ellipsenachsen mit den Schwerpunkthauptachsen an die Ellipse Tangenten legt, die Berührungspunkte derselben durch eine Sehne verbindet und dann den Schnittpunkt dieser Sehnen diametral verlegt (Abb. 3). Sind

£ in den

!    ds

EJ

die Antipole gefunden, so läßt man die elastischen Gewichte

Antipolen der Hauptachse V senkrecht wirken und zieht mit dem Pol 03 ein Seileck A₃—B₃. Dieses Seileck stellt die Einflußlinie der statisch unbe-

Es ist V — —

stimmten Aufiagerkraft V dar.

Hierauf läßt man die

elastischen Gewichte

es

EJ

4

tj in den Antipolen der horizontalen Schwerpunkt

hauptachse horizontal angreifen und zieht mit dem Pol 0₄ das Seileck A₄—Bx. Nun läßt man dieselben Gewichte in den gleichen Antipolen senkrecht wirken und zieht das Seileck A₅—B₅ und erhält die Einflußlinie für den Horizontalschub. Es ist H— ~²

Will man sämtliche Ellipsen zu einer Gesamtellipse vereinigen, so erhält man die große Achse ix als geometrisches Mittel zwischen dem Polabstand Cx und dem Abstand der beiden Endseiten des Seilecks A₃—B₃ tx und endlich die kleine Achse i₂ als geometrisches Mittel zwischen dem Polabstand C₂ und dem Abstand der Endseiten im Seileck Ax—Bx t₂. Zur Berechnung der statisch unbestimmten Größen ist es indes nicht nötig, die Gesamtellipse aufzuzeichnen.

Bei unsymmetrischer Konstruktionsform zieht man genau wie vor die fünf Seilecke und bildet die Werte ix und i₂. Diese stellen jedoch nicht mehr wie vor Hauptachsen der Gesamtellipse dar, sondern Entfernungen der zu den Achsen II und V parallelen Tangenten derselben. Konstruiert man zu einer Achse den konjugierten Durchmesser, so schneidet derselbe nach geometrischen Regeln die Tangente im Berührungspunkt. Es läßt sich alsdann die Ellipse aufzeichnen. Die Richtung der konjugierten Durchmesser kann in einfacher Weise gefunden werden. Es ist nach Mörsch:

tg « —

^EJ

₂ ds '

EJ

wobei a den Neigungswinkel des konjugierten Durchmessers mit der Horizontalen bedeutet.

Im fünften Seileck fallen infolge der Unsymmetrie des Rahmens die Schlußseiten nicht mehr zusammen. Ihre gegenseitige Entfernung t stellt das

Zentrifugalmoment j*C^S

EJ

dar.

4 entspricht dem Wert J*§²

ds

EJ' Es

• Der Winkel a läßt sich geometrisch leicht dar

ist demnach tg cc =

stellen durch ein rechtwinkliges Dreieck, in dem t und tx die Katheten bilden. Es ist hierbei zu beachten, daß, wenn die Polabstände in allen Kraftecken nicht den gleichen Wert beibehalten, tx mit den Werten

ds

multipliziert werden müssen (Cx und C₂

Cx2

ds

und t mit den von C₂2 „ T JhJ

sind Polabstände in den Kraftecken 0X und 0₂). In ähnlicher Weise erhält man mit den Werten t und t₂ den zur horizontalen Schwerpunktachse konjugierten Durchmesser. Nun bestimmt man gleich wie beim symmetrischen

EJ

Bogen die Werte H— —

4

und V— — • Bildet man aus diesen beiden

Werten die Resultierende und zerlegt diese in die horizontale und eine zu dem konjugierten Durchmesser parallele Komponente, so erhält man den Plorizontalschub. Zerlegt man die Kämpferresultierende in eine vertikale und eine zum konjugierten Durchmesser §' parallele Komponente, so erhält man die vertikale Auflagerreaktion.

V. Untersuchung des Einflusses der Längs- und Querkräfte auf die statisch unbestimmten Größen.

Wie die Gleichungen 8 c), 9c) und 11a) zeigen, ist der Einfluß der Längsund Querkräfte auf die statisch unbestimmten Größen in erster Linie von den Trägheitsradien i abhängig; es ist daher, um für die verschiedenen Stichverhältnisse gleichartige Ergebnisse zu erhalten, erforderlich, die Bogen-und Rahmenstärken so zu wählen, daß für alle Stichverhältnisse bei gleichartiger Belastung konstante Materialbeanspruchung hervorgerufen wird. Bei Eisenbetonkonstruktionen wird immer die Betonbeanspruchung grundlegend sein.

Dieselbe beträgt im Scheitel

ob =

M _ H M-6 W ~~ bd ⁺ bd²

Hieraus ergibt sich für die Breite 1

17)

Bei eingespannten Bogen mit parabolischer Achse wird nach M. Ritter Beiträge zur Theorie und Berechnung der vollwandigen Bogenträger ohne Scheitelgelenk, angenähert für ständige Last

5 9s + 9k

48 f

l²\ gk angenähert 3 g,\

somit

9s P .

für bewegliche Last

6f

Ms — 0;

R=z

pl²

IW

Mit diesen Werten ergibt sich:

und Ms =

pP

186

l'a) d =

— 4

6 ^ 16,8

\_ü . i i/r(i i p w2 J 2af    ^ 16,8 ) 2a f

² I P l²

⁺ 3la]

beim Zweigelenkbogen wird wieder für ständige Last

gl²

und Ms—=0;

für bewegliche Last kann im Sinne der vorstehend angeführten Abhandlung II und Ms ermittelt werden. Es ist nach Gleichung 64) in Engeßers Autographie, Bogenträger, Neudruck Februar 1908,

6/'

r,

bf(iP-2 i³l + ?)pd$

5p

8 fl³

~ 8 fP

,1    ,5

jS’dg +p¹d?)

0 0

P d²

8 fP

7wl+4⁵)

s=

i-z

Ms = m — iif=

Durch Differentiation ergibt sich

dMs _ 7

M/l

128

Hieraus wird

10 +-J7)

(26P—10|* + |1)/:

~~ 128 fl

25 P —

128 fl

_+i5m²

4 r 61 U J

Ir:

128 \ l

— 0;

5 = 0,305 l.

Mit diesem Wert erhält man für

II —

pl²

17,43

und schließlich die Bogenstärke zu

und Ms —

138

17,43

2 af_

23 a

Bei den Rahmenkonstruktionen tritt die größte Materialbeanspruchung bei voller Belastung auf. Nach Abeies (Beton u. Eisen 1907, Heft V, S. 129) ist für gleichmäßige Lastverteilung

gP

4 h (2 l -f- h)

und Ms —

gP (3 M-\-2l) 24(2Z + A) ’

mit

wird

gh

und Ms —

g (3 X 4 2) 1P 48 I² 4 24 A³

Mit diesen Werten liefert die Gleichung 17) eine Rahmenstärke von

17 c) d —

(8 A² + 4 A³) a

(8 A² + 4 A³) 2 tf

gh

(8 A² -f 4 A³j 2 er

y h² (3 A + 2) .

bei Zweigelenkrahmen beträgt der Horizontalschub nach Müller-Breslau, Neuere Methoden der Festigkeitslehre, III. Aufl,, S. 115.

gl²

gh

12 h

(    ~~ 12.A² + 8 A³

V ⁺ 3 l J

und

gl²

12 h

0+14)

g li² (2 A -J- 1) . ~ 16A³-f 24 A²’

somit wird

17 d) d =

gh

gh

gh² (2 A -{-1)6

(24 A² —f- 16 A³) er

( 24 A² -f 16 A³) a

(24 A² -j- 16 A³) a

Aus den Gleichungen 17 a) bis 17d) können die Bogen- und Rahmen stärken ermittelt werden; sind diese bekannt, so wird in Rücksicht auf die Bewehrung nach der in der Praxis vielfach angewandten Näherungsformel

d²

gesetzt.

Ausführung der in den Formeln 8 c), 9 c) und 11a) vorkommenden

Integrationen.

Für den parabelförmigen Bogen gilt

4/‘ n

mit

— a wird

und

y — alx — ax2 ~dx — v‘ —    ^ ax\

hieraus ergibt sich

y‘

und

al²

'2

dx = —

2 a dy'''

nun ist

ds = ]/dx² -\- dy² = dx]/l -j- y‘²

=-i

demnach die Bogenlänge

— al

18) 8 =

2¥/V'+^

dy' =

dy‘\

-hol

— al

[2 al ]/l -f a² P + lg nat (l + 2 a²l² -f 2 a l |/l + a² Z²)]

COS

dx

l/l+V²

sin cp =

</'

Es wird somit

^5    ]/l -4- //'²

19)

fcos^äs=^f

dy‘

7rT?r-2¥lgnat(!/'+,/1+J,,!)

— “2“ lg nat (l -f- 2 a²l² 2 al j/l -)- a² ü²);

20)

jsint(pds=j_j.

y dy‘

l/l + S/'⁸

— -^-[2 aZj/l + a²l²- lg nat (l -f 2 a² Z² + 2 aZj/l-f- a² Z²)].

Weiter ist

• 21)

-4- fl Z

fl Z

H- fl Z    *+• fl Z

JV /i+y2 dv' + J?/⁴    + y‘²

al    —al

—vj^+y'dy

[2 ]/l + a* P (- 3 al — 10 a³ Z³ + 8a⁵ Z⁵) -f 3 (1 + 4a² Z² + 8a⁴ Z⁴)]

lg nat (l + 2 a² Z² + 2 al ]/i-\-a²l²). Bei eingespannten Bogen ändern sich die Werte für

- 2 a² Z²

— «/

j cos² ^ ds

0

und

J'sin²^, cZs

0

nicht, dagegen müssen zur Ermittlung der Integrale

und

J rj ds

0

vorerst die Koordinaten u und v des Schwerpunktes S bestimmt werden. Es ist

~ Cll

SU =

fxds=f(i

y[

~2a

— al

ds

und

SV =

fyds=f(^

ds

=    [(4 «s P - 2 «0 |/1 + «² «²(1 + 4 «² P)]

lg nat (l 2 a* l² -\-2 al ]/1 -\- a²l²}.

Führt man nun ein neues, dem alten paralleles Koordinatensystem | und rj durch den Schwerpunkt S des Bogens ein, so wird

y — ^ + v und « = § + -|-'

Diese Werte in die Parabelgleichung eingesetzt, geben mit der Ab

kürzung

al²

r —

fl— Y — a §².

Nun wird, ähnlich wie beim Zweigelenkbogen,

— r‘ — — 2

drj

D/

und

§= —

d§ = —

d rj'

ds — —

y 1 -j- rj'² dt]'.

Weiter ergibt sich durch Substitution von § und rj

Y — V²

i\ —

und schließlich

— al

22)

fr-äs=f(

0    -T- CL l

.1

]/l+y'² drf

₃ [(4 a³ P -f- 2 a 1) ]/l + «² P — lg nat (l -j- 2 a²1² -j- 2 al j/l -f- «² 2²)]

und

— aZ

23)

/I+yiV)

ds

~ 32 a³

[("?+

1 — 48 a y

12

a³Z³ —

1 -j— 16 a ^ — 128 a² y²

al^j ]/l -\-a²P

Die entsprechenden Formeln für rechteckige Rahmen sind erheblich einfacher; es wird

24)

j'cos² (f ds

25)

26)

j'sin² cp ds — 2 h

o

i

j iy*ds=lh² +

CM CO

h³

für Zweigelenkrahmen, und nach Müller - Breslau, Neuere Methoden der Festigkeitslehre, III. Auf!., S. 125 für den eingespannten Rahmen

27)

28)

h³

3 (2 h + l)

(2 l -f Ji).

An Hand der Gleichungen 17) wurden die Bogenstärken unter Annahme einer ständigen Last von g — 2,0 t/m², einer Verkehrslast von p — 1,0 t/m2 und einer Betonspannung von er = 300 t/m², die Rahmenstärken unter Annahme einer gleichmäßig verteilten Belastung von g — 3,0 t/lfd. m und einer Betondruckspannung von a — 400 kg/m² berechnet.

Der Gleitmodul ergibt sich aus der bekannten Formel

mit m — 4 : 0,4 E

Ein

und somit wird

2 (m -f- 1)

ß E _ 6    1

— 5 0,4

Die Zunahme der Bogenstärken gegen die Kämpfer und die Verstärkungen der Rahmen in den Eckpunkten und Stielen hat auf die Schnittkräfte nur geringen Einfluß;¹) es wurden daher zur Vereinfachung der Berechnung die Trägheitsmomente J und ebenso der Elastizitätsmodul E für sämtliche Bogen- und Rahmenelemente ds als konstant angenommen. Den vorstehenden Belastungsannahmen entsprechend sind in den Zählern der Gleichungen 8c), 9c) und 11a) die Lasten P durch eine stetige Belastung aus unendlich vielen Einzellasten dP — gdx zu ersetzen.

Es wird dann in Gleichung 11a)

29)

f My ds = gj (J^x 0 0

yds

— '2a J— ax<1) y ds

y- ds

0 M. Ritter, Beiträge zur Theorie und Berechnung der vollwandigen Bogenträger, S. 21.

j'cos² (p i² äs    3 Jsin² cf i² ds

i+-

+ ^

j y² ds

_    Ü

in Gleichung 8 c) bei eingespannten Bogen

ds

31)

und

30)

II—

II—

j Tj² ds -f- j cos² (p i² ds -(-    1 sin² y i² ds

o i

g I (cilx — ax²) rj ds

ßE

cos² cf i² ds -j-

I sin² cp i² ds^j

es ist aber

I (alx — ax²) ij ds — j rj² ds o    5

und somit wird

31a)

II —

I co.s² cf i² ds 3 j sin² cf i² ds + -°

rj² ds

I rj² ds

In Gleichung 9 c) ergibt sich der Zähler für stetige Belastung zu

32)

YfrAS

0

und schließlich der Auflagerdruck

33)

V=

j sin² cf i² ds 3 jcos²cf i²ds

0    I    0

Bei den Rechteckrahmen entwickelt sich die Gleichung 8c) zu

h² P

34)

H=

12 (2A + l)

1P (2 l + Ä)

3 (2 h + 1)

+ li² -f 6 hi²

Gleichung 9c) zu

35)

V—

g^d + eh)

~(l + 6h) + 2hi² + 3li²

und Gleichung 11a) zu

36)

H=

⁹ 12

Ih

-f- li² -f- 6 hi²

Bei der Berechnung in einem gegebenen Fall ist die Frage: Darf die Längskraft L, darf die Querkraft Q oder darf sogar L und Q unberücksichtigt bleiben? Also wie groß ist der Fehler am wahren Wert Hlq, wenn nur IIL oder IIq oder Ii₀ berechnet werden? Hierbei bedeutet Hlq den Schub, der unter Berücksichtigung von L und Q,

IIl denjenigen, der unter Berücksichtigung von L und Vernachlässigung von Q,

Hq denjenigen, der unter Berücksichtigung von Q und Vernachlässigung von L, und

1I₀ denjenigen, der unter Vernachlässigung von L sowohl als auch Q berechnet wurde.

Es sind dann die Fehler in Prozenten:

I. 100

Hlq-Hl

Hlq

und

II 100 Hlq — hq Hlq

IH. 100

Hlq- H,

HLq

Eine zweite Frage ist, ob nicht durch prozentische Abzüge an den

gerechneten Werten Hl, Hq oder II₀ der richtige Wert Hlq wenigstens annähernd erhalten werden könnte. Die Zuschläge in Prozenten wären ausgedrückt durch

IV. 100

Hl-Hlq

Hl

V. 100

HQ-Hlq

Hq

VT. 100

Ho-HLq

H₀

SO

Bezeichnet man in der Formel 8c) den Zähler mit Z, so erhält man für

oder für

HLq =

ds

EF

ds

EF

4- ßJ sin² (p

ds

OF

11

Q~- r-

H₀ =

ff

I. 100

ds

EJ

FF

ßj sin² (p

ß j sin² cp

ds

GF

ds

GF

ds

ds

EJ

EF

II. 100

J*COS² (p

ds

EF

ds

EJ

sin²

ds

III. 100

j*COS² (p

(f GF

+ ßj sin2 <P

ds

GF

f*

ds

EJ

IV.

100

ß    ⁽P

ds

GF

/'■

ds

ds

ds

EJ

EF

GF

V.

100

fcos2vm?

ds

COS (p

VI. 100

j COS² (p

ds

EF

-f- ßj sin² cp

+ ßj sin2 <f

EF

GF

ds

GF

ds

EJ

4- J COS² (p

ds

EF

+ ßj sin2^

ds

GF

In den nachstehenden

Führt man in den vorstehenden Gleichungen die Werte aus 9c) an, so gilt die Untersuchung für den statisch unbestimmten Auflagerdruck F, für die Werte der Gleichungen 11a) gilt dieselbe für den Horizontalschub einer Zweigelenkbogen- oder Rahmenkonstruktion.

Tabellen sind für symmetrische parabelförmige Bogen und rechteckige

VI

Ho -aLQ

0,00

0,12

0,24

0,43

0,61

1,10

1,60

2,25

3.10

4.10

100

Hn-H

LQ

100

AI

, lL ~ HL q

100

Ho

III

Ö7 TT

--#7—001

~⁰⁷h

II

HLQ~H

II

LQ

100

Kq

100

o

sp#J>zms J

ßE

l    1.

j'>j² ds I cos²(f>i²ds 0 0

der Längs- und Querkräfte auf den Horizontalsclmb beim eingespannten symmetrischen parabelförmigen Bogen mit konstantem Trägheitsmoment und gleichmäßig verteilter Belastung.

0,0000

0,0003

0,0005

0,0009

0,0014

0,0019

0,0026

0,0034

0,0043

0,0054

0,00

0,03

0,10

0,23

0,45

0,78

1,22

1,82

2,00

3,54

0,00

0,09

0,14

0,20

0,26

0,32

0,38

0,43

0,47

0,52

0,00

0,12

0,24

0,43

0,61

1,11

1,61

2,30

3,21

4,30

0,00

0,00

0,03

0,10

0,23

0,45

0,78

1,23

1,85

2,70

3,72

0,09

0,14

0,20

0,26.

0,32

0,38

0,44

0,50

0,57

beim eingespannten Rechteckrahmen mit konstantem Trägheitsmoment und gleichmäßig verteilter Belastung.

0,06

1,90

4,20

7,40

11,20

16,20

21,70

28,00

34,00

40,50

0,50

1,40

2,90

5,10

8,10

11,70

16,00

20.50

25.50

0,06

0,06

1,40

1,92

0,23

2,80

4,50

6,10

8,10

10,00

12,00

13,50

15,00

4,50

7,80

12,60

19,30

27,80

39,00

52,10

68,50

1,50

3,05

5,35

8,70

13,20

19,00

27,00

34,00

0,0000

0,0001

0,0003

0,0010

0,0023

0,0046

0,0084

0,0140

0,0224

0,0344

Einfluß

I 0,2143 0,2825 . 0,3560 0,4298 0,5081 0,5877 0,6721 0,7552 0,8304 0,9229

der Längs- und Querkräfte auf den Horizontalschub

COCOLOOOOOOOO O^Oi>iOC-HlOCOO o r-T c4~ rjT co qo th co' lcT co

t—H tH r—I ’-H

0,0019 0,0064 0,0137 0,0236 0,0364 0,0523 0,0713 0,0940 0,1199 0,1499 *

COHGOh-mcOtMh-0(MOßONCOiQ0503 OOOMCOiOQOiNI^'f.

O^OOOOOOi—i T-i (M O cd cd ö ö o o cd o cd

OC> CI

0,333

0,417

0,467

0,500

0,524

0,542

0,556

0,567

0,576

0,583

.=

COOiOOlOOlOOiOO

cd o <d <d d’ <d d' <d cd o'

VI

H₀

HCOl^OO^'lNCOCO

DOOHHOlCOTilCOCO

cT cf cf cf cT cf cf cT cT o"

'M .C

100

it)

:c

•F*

OiHCOCOOOCDOOCOlM O O O O ■>-< r- !N CO iO t-

cT cf cf cf o~ cf cf cf cf cf

001

LQ

AI

H, -H 100 -

III

HLQ Ho

XLQ

100

II

II

LQ

100

HLQ-BL

hLQ

100

o

spriI,zmsjV

ßE

r r

SPzlJ>₅S°o spsfi 1 1

^ lO 00 CO l— ^ «o HCOiOQOHiOCSi<J3M' ''h h of of Cff

mit konstantem Trägheitsmoment

Ol CO o '-H -H

O O Ol CO iO

cT cf cf cf cf ©

■    -* 00 LO iO

■    O CO L"^ T-1^

oi

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2    "S HCOl^OCO-f'+N'^il 'S

*g ® OOCHHNCOt#COCO ^

'S ^ cf cf o" cf cf cf cf cf cT ©" ®

li

der Längs- und CJuerkräfte auf den Horizontalschuh beim

Td

0,04

lO CO r— GO 05 O OOOOO^-I

cf cf cf cf cf cf

HO

s-

"©

Belastung.

Ol CD 00 H CO l> !M CO l- O h Ol CO lO CO I' 02 O « co^

o~ cT o~ cT cT cT cT h

TfOCOcOf-TliOiOO^ H CO lO^CO^    <©_    ©_

ö' cf cT cT t-T t-T of oT co crf

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fl

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5 o" cf cf cf cd cT cT cf cf cT •-

-fl

fl

fl

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il;

EH

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fl

©^

0,025

-11 O CO 1- OO 02

o o o o o o cf cT cf cT cf cT

0,10

0,0000

0,0003

0,0007

0,0011

0,0017

0,0024

0,0031

0,0040

0 0050

00000

0,8962

0,0001

0,0005

0,0012

0,0029

0,0056

0,0099

0,0166

0,0261

1,3241

1.7771

2,2763

2,7826

3,3103

3,8157

4,3419

4,8816

■/

JÜ

fl

n, .2

0,0062

0,0398

5,4832

■-

-r

_©

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fl

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Hco-tcoooooicot-o .g

«O O w⁵ O O ▼“* r-H r—i i—i fT'l jy

o“ cT cf CD cf o" cf ©~ cf' cf

und gleichmäßig verteilter

0,02

0,09

0,20

0,34

0,54

0,77

1,05

1,40

1,80

2,20

0,12

0,26

0,38

0,51

89 0

LL‘ 0

0,95

1,05

1,20

1,34

0,0020

0,0069

0,0142

0,0242

0,0368

0,0522

0,0711

0,0915

0,1161

0,1438

0,0003

0,0230

0,0071

0,0161

0,0307

0,0522

0,0822

0,1220

0,1741

0,2347

1.667

2.667

3.667

4.667

5.667

6.667

7.667

8.667

9.667

10.667

900

0,11

0,15

0,20

0,25

0,30

0,34

0,39

0,44

0,50

VI

V VLQ

V₀

Oco^ococ'-coaiO-ri

OOOOOOOOrHrH

©" o" o" o" o" o" O CD o" Ö

OS CO c—

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AI

VL VLQ

-5

QD

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100

III

vLQ-v»

VLQ

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100

&

aß

II

L^~VQ

LQ

•5

100

-VL

©

CJ)

LQ

VLQ

001

-c

o

sp₇i4>₇soo I -Q-

mit konstantem Trägheitsmoment und gleichmäßig verteilter Belastung.

oco^iocDt'-coaicD'r-i

OOOOOOOOtHtH

cd" ©" o" ©" ©" ©" ©" cd o" o"

0,00

0,03

0,10

t-H

oooooooooo oooooooooo o" o" o" o" o" o" o" o" o" o"

OW^iOcOOOOD

oooooooo o o" o" o" o" o" o" o"

0,0000

0,0002

0,0011

0,0030

0,0069

0,0137

0,0250

0,0421

0,10

0,0673

tH

0,1034

Auflagerdruck beim eingespannten Rechteckrahmen mit konstantem Trägheitsmoment und gleichmäßig verteilter Belastung.

iQ CO i—l ^ t— O 04 CO CO t)h ^ iq iO iO CO

o" o © ö o © Ö' © CD ©

0,10

0,20

0,29

0,10

0,20

0,08

0,07

0,06

0,05

0,05

0,04

0,04

0,04

0,04

0,25

0,30

0,35

0,40

0,44

0,47

0,50

0,53

0,56

0,33

0,37

0,41

0,45

0,48

0,51

0,54

0,57

0,60

0,08

0,07

0,06

0,05

0,05

0,04

0,04

0,04

0,04

0,25

0,30

0,35

0,40

0,44

0,47

0,50

0,53

0,56

’r

1 1

j'^² ds j sin²ff i²ds o    o

cxj

:S

0,0000

0,0001

0,0002

0,0003

0,0005

0,0006

0,0009

0,0011

0,0014

0,0018

Einfluß

0,2446

1,2108

3,2200

6,7215

12,2325

17,3765

31,2793

45,7280

64,2243

87,2062

0,01

0,02

0,04

0,05

0,07

0,09

1V0

0,14

0,16

0,19

Einfluß der Längs- und Querkräfte

0,0010 0,0064 0,0205 ' 0,0472 0,0910 0,1570 0,2499 0,3760 0,5395 0,7497

0,0006

0,0021

0,0046

0,0079

0,0121

0,0174

0,0238

0,0313

0,0400

0,0500

0,5833

2,667

6,750

13.333 22,917 36,000 53,083 74,666 101,250

133.333

0,06

0,10

.0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Rueb. Einfluß der Längs- und Querkräfte.

¹

Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, Bd. IV, S. 234. Rueb, Einfluß der Längs- und Querkräfte.

Rahmen mit konstantem Trägheitsmoment J und gleichmäßig verteilter

¹ w ¹

rb,s io

die Prozentwerte

Belastung für die Stichverhältnisse X — ~ von —

L

der Werte I bis VI zusammengestellt.

YI. Schlußfolgerungen.

Werden aus vorstehenden Tabellen die reziproken Werte der Stichverhältnisse l als Abszissen und die entsprechenden Fehlerwerte, die bei der Vernachlässigung der Längs- und Querkräfte am wahren Wert von H und f entstehen, als Ordinaten aufgetragen (Tafel III), so können aus dem Verlaut der Kurven für symmetrische parabelförmige Bogen und rechteckige Rahmen mit konstantem Trägheitsmoment und gleichmäßig verteilter Belastung die Schluß folgerungen gezogen werden.

I. Im allgemeinen.

1.    Der Einfluß der Längs- und Querkräfte auf die statisch unbestimmten Größen ist bei Rahmen ungleich größer als bei Bogen.

und

Vlq ist stets kleiner als der ohne Berücksichtigung der Längskräfte L und Querkräfte Q.

LQ

2.    Der wahre Wert der statisch unbestimmten Größen H

II. Im besonderen.

1. Der Einfluß der Längskräfte auf den statisch unbestimmten Horizontalschub wächst sowohl bei den Bogen wie auch Rahmen, gleichviel ob mit oder ohne Kämpfergelenk, mit abnehmendem Stichverhältnis parabolisch.

2.    Der Einfluß der Querkräfte auf den statisch unbestimmten Horizontalschub wächst bei den eingespannten Bogen und Rahmen ebenfalls mit abnehmendem Stichverhältnis parabolisch, bei Gelenkanordnung dagegen annähernd linear.

3.    Der Einfluß der Längskräfte auf den statisch unbestimmten Auflagerdruck eingespannter Bogen und Rahmen ist sehr gering und nimmt annähernd linear mit dem Stichverhältnis ab. Derjenige der Querkräfte ist etwas größer und wächst parabolisch mit abnehmendem Stichverhältnis.

4.    Die Einflußkurven der Längskräfte schneiden infolge ungleich starker Krümmung diejenigen der Querkräfte. An diesen Schnittstellen wird der Einfluß der Längskräfte gleich dem der Querkräfte. Die gemeinsamen Schnittpunkte liegen bei parabelförmigen Bogen bei dem Stichverhältnis

Der Ein-

von etwa

, bei dem Rechteckrahmen dagegen bei etwa ~

fluß der Längs- und Querkräfte auf den statisch unbestimmten Auflagerdruck bei den eingespannten Bogen und Rahmen ist so gering, daß er ohne

weiteres vernachlässigt werden kann. Bei Bogenkonstruktionen überwiegt bei den häufig vorkommenden Ausführungen mit den Stichverhältnissen von

etwa -i- bis der Einfluß der Längskräfte denjenigen der Querkräfte, und

die Vernachlässigung der letzteren bei der üblichen analytischen Berechnungsweise erscheint gerechtfertigt; anders ist es dagegen bei den Rahmenkonstruktionen; die in der Praxis häufigeren Stichverhältnisse bewegen sich

i+- t—*■

, hier aber überwiegt der Einfluß der Querkräfte den-

zwischen j und

jenigen der Längskräfte, und obwohl die Stichverhältnisse verhältnismäßig groß sind, wird der Einfluß der Längs- und Querkräfte so groß oder noch größer als bei Bogenkonstruktionen mit sehr kleinen Stichverhältnissen.

Es ist demnach bei der Berechnung insbesondere von eingespannten Rahmenkonstruktionen nicht statthaft, die Längskräfte, noch weniger die Querkräfte zu vernachlässigen.

Angewandte Beispiele.

Im Anschluß an die vorstehenden Untersuchungen sollen nunmehr für einige Bogen- und Rahmenkonstruktionen aus Eisenbeton Horizontalschub und Auflagerdruck ermittelt werden.

1. Gesucht seien Horizontalschub und Auflagerdruck eines eingespannten Brückengewölbes von den Dimensionen

l = 40,00 m f= 4,00 „ d— 0,85 „

/e — fe = 15,0 cm²

und einer Belastung von 3,60 t/m². Nach Gleichung 31a) wird

3,60

a) Uo —

= 180,0 t.

4-4,0

40,0²

= 0,01

85²

;² =

i 2 - 15 - 15,0-37,5²

12 ¹

8500 -f 450

= 0,064;

nach Gleichung 19) wird

und

f cos² (f ds = 39,0 (angenähert o

/

Jcos² (f ds i²

0

= l = 40,0 m)

= 2,496;

nach Gleichung 23) wird

j rj² ds

o

= 59,0656

^angenähert

4.4,0² • 40,0

45

= 56,888j

Hl

3,60

0,02 ^1 -f

2,496

59,0656

= 172,711 t;

nach Gleichung 20) wird

I sin² (f ds = 2,04 (angenähert = 0)

o

und

3J sin² ff ds i²

o

= 0,3917

hq =

3,60

0,02 (l +

0,392

= 178,804 t

59,067

LQ

0,02 (l +

3,60

2,496 + 0,392 ~ 59,062

= 171,625 t.

b) Nach Gleichung 33) wird

F₀ =

3,60 • 40,0

= 7,20 t;

nach Gleichung 22) wird

^angenähert ^ — 5333,333^ 3 f cos² ff ds i² = 3 • 2,496 = 7,488

ds — 5581,197

fr

Vq

3,60 • 40,0

2(l-f

7,488

5581,197

= 71,903 t.

Der Einfluß der Längskräfte auf den statisch unbestimmten Auflagerdruck wird so gering, daß er rechnerisch kaum mehr verfolgt werden kann.

Werden bei vorstehendem Brückengewölbe Kämpfergelenke angeordnet, so ergibt sich nach Gleichung 30)

c) 1I₀ —

- 3,60

2 • 0,01

= 180,0 t ;

nach Gleichung 21) wird

Hl =

3,60

0,02 (l +

2,496

351,925

= 179,733 t

Hq =

3,60

0,02 (l 4

0,3917

351,925

= 179,798 t

Hl q —

3,60

0,02 1 +

2,496 4- 0,3917

= 179,541 1

351,925

2. Gesucht der Horizontalschub eines Brückengewölbes von den Dimen-

I = 60,00 m

f= 12,00 „ d = 0,85 „ fe — fe — 15 cm2 und einer Belastung von wiederum 3,60 t/m².

Nach Gleichung 31a) wird

sionen

a) H₀ —

3,60

— 135,0 t

4-12,0 _ 4 3600,0    300

Nach Gleichung 19) ist

somit

jcos² (f ds o

— 55;0125 (angenähert 60,0),

j cos² (p ds i²

o

= 55,0125 • 0,064 = 3,5208;

nach Gleichung 23) wird

² ds — 876,724 angenähert

4- 12,0² - 60,0

45

— 768,133

Hl =

3,60

2-4

3,5208

= 134,461 t.

300

876,724

Nach Gleichung 20) wird

jsin² (p ds= 10,895 (angenähert

o

l

3 Jsin² (p ds i² = 2,0918 0

= 0)

Hq=

3,60

2-4

300

(1 +

2,0918

876,724

= 134,676 t

HLq =

3,60

2-

(1 +

3,5208 4-2,0918 876,724

= 134,181 t.

b)

60

= 108 t.

V₀ — 3,6 • -g

Der Einfluß der Längs- und Querkräfte auf den statisch unbestimmten Auflagerdruck ist so gering, daß er rechnerisch kaum mehr verfolgt werden kann.

c) Werden bei dem vorstehenden Brückengewölbe Kämpfergelenke angeordnet, so ergibt sich nach Geichung 30)

#o =

= 135,0 t.

3,60

2. ⁴

- 300

Nach Gleichung 21) wird

somit

J y² äs

o

= 4829,712

(angenähert ^

• 12,0² • 60,0 =

4608,0j,

Hl =

3,60

2-4

300

(1 +

3,5208 4829,712

= 134,900 t.

Der Einfluß der Querkraft auf den statisch unbestimmten Horizontal schub ist so gering, daß er rechnerisch kaum mehr verfolgt werden kann.

3. Gesucht seien Horizontalschub und Auflagerreaktion einer eingespannten Rahmenkonstruktion von den Dimensionen li — 1,20 m fe = fe = 30,0 cm²

1= 12,00 m

d — 0,60 m

b— 1,00 m

und einer Belastung von 3,0 t/m².

Rahmen von diesen Dimensionen kommen im Hochbau seltener vor; dagegen können sie oft mit Vorteil bei Ueberbrückungen von Bächen innerhalb des Stadtgebietes bei beschränkter Konstruktionshöhe und rechteckigem Durchflußprofil, wo aus besonderen Gründen Eisenbeton als Konstruktionsmaterial gewünscht wird, Verwendung finden.

Nach Gleichung 34) wird

3,0-

1,20- 12,0³

a) II₀ =

12 (2-1,20 -f 12,0)

36,0

1.20³ (2 • 12,0 -f- 1,20)

1,008

= 35,714 t

3(2-1,20+12,0)

0,60s

i² —

12

-1,0 + 2-15-0,0030-0,25²

SL =

0,60- 1,0 + 2- 15-0,0030

= 25,389 t

36,0

1,008 + 12 • 0,03424

= 0,03424 m⁴

IiQ =

36,0

1,008 + 6-1,20-0,03424

: 28,685 t

Hlq —

36,0

1,008+0,41 +0,246

21,389 t.

Nach Gleichung 35) wird

b) 7₀ =

³’⁰'~¹ir~⁽¹²’⁰+6,1,20)

4147 • 20

12,0³

12— (12,0 -f- 6 • 1,20)

230,40

18,0 t

= 17,905 t.

4147,20

230,4 + 3 • 12,0 • 0,03424

Der Einfluß der Längskräfte auf den statisch unbestimmten Auflagerdruck ist so gering, daß er rechnerisch kaum mehr verfolgt werden kann.

c) Werden bei der vorstehenden Rahmenkonstruktion Fußgelenke

angeordnet, so wird nach Gleichung 36)

12,03 12,0

3,0-

• 1,20

518,40

IIL =

^1,20* • 12,0-fy • 1,20“)

518.40

18,432

= 28,125 t

18,432 + 0,42

= 27,497 t

— 27,741 t

518,40

18,432 + 0,255

HLQ ——

518,40

18,432 + 0,42 + 0,255

= 27,132 t.

4. Gesucht seien Horizontalschub und Auflagerreaktion eines eingespannten Rahmens von den Dimensionen

l — 15,00 m h— 3,00 „ d = 0,75 „ b = 0,45 ,, ft — ft — 47,0 cm²

und einer Belastung g— 2,50 t/m². Nach Gleichung 34) wird

2,50-

3,0² • 15,0²

a) II₀ =

12 (2 • 3,0 + 15,0)

300,93

3,0² (2 • 15,0 + 3,0)

14,123

= 21,306 t

3 (2 • 3,0 + 15,0)

0,75³ • 0,45

i² =

12

+ 2-15-0,0047 -0,31²

Hl —

0,3475 + 2 • 15 • 0,0047

= 20,067 t

= 0,061 m⁴

300,93

14,123 + 15,0-0,061

IIQ =

300,93

14,123+ 6-3,0-0,061

= 19,770 t

Hlq =

300,93

14,123 + 0,915 + 1,098

= 18,646 t.

Nach Gleichung 35) wird

b) V₀ —

2,50--¹|~⁸-(15,0³ + ⁶-3,0)

15,0²

11601,562

12

(15,0 -j- 6 • 3,0)

618,75

= 18,75 t

= 18,663 t.

11 601,562

618,75-f-3 • 15,0-0,061

Der Einfluß der Längskräfte auf den statisch unbestimmten Auflagerdruck ist so gering, daß er rechnerisch kaum mehr verfolgt werden kann.

c) Werden bei der vorstehenden Rahmenkonstruktion Fußgelenke angeordnet, so wird nach Gleichung 36)

-00 =

Hl —

nQ =

Hl q —

2,50-

15,0³

12 ’3,°

2109,375

3,0² • 15,0 •    • 3,0³

2109,375

153,0 4- 15,0 • 0,061

153,0

= 13,785 t

= 13,705 t

2109,375

153,0 4- 3,0 • 2 - 3 • 0,061

= 13,687 t

2109,375

153,0 4- 0,915 4- 1,098

= 13,605 t.

Zusammenstellung der in den vier vorstehenden Beispielen gefundenen Werte.

Beispiel

Berechneter

Wert

in Tonnen

F ehler zu groß um Tonnen

Prozente des wahren Wertes

Erforderliche Korrektion am berechneten Wert H

um %

um Tonnen

HLQ

hq

Ho

171,63

172,71

178,80

180.00

CO I> I>

o p p p

rP tP od'

— 1,08

—    7,17

—    8,30

^ o ©

"CS '© '<351

lb V

LQ

Vo

71,90

72,00

71,90

72,00

0,10

0,14

— 0,10

— 0,14

0,10

0,14

— 0,10

— 0,14

II

LQ

II

So

2a H

LQ

II

Ho

2b V

LQ

Vo

179,54

179,73

179,80

180,00

134,18

134,46

134,68

135,00

108,00

108,00

108,00

108,00

—    0,19

—    0,26 - 0,46

— 0,10 -0,15 — 0,25

I C- —* O CO CD

ö' cf cf

— 0,28

—    0,50

—    0,82

— 0,20

—    0,36

—    0,60

CO

134,90

134,90

135,00

135,00

21.39

25.39 28,67 35,71

© JO

o o

19

34

67

— 0,10 — 0,10

—    0,07

—    0,07

— 16

—    25

—    40

3b V

LQ

V₀

3c H

II

LQ

S₀

4a H

II

LQ

So

17,95

18,00

17,90

18,00

27.13 27,50 27,74

28.13 18,65 20,07 19,77 21,31

JnO j-i j—    M o    O    JO JD

05 H V    o    O 05    bc    O    o ^ 'o    °

05 tO tO    Ol—    ÜTOO'

00 IO 00

o CO^ Oll o -r CO r:~ o p P

cf cf ©j    —T of cc' tP cf P

-    0,05

-0,10

—    0,05

— 0,28

—    0,35

—    0,28

—    0,37

—    0,61

- 1,00

—    1,42

-1,12

—    2,66

—    1,34

—    2,20

— 3,55

4b V

LQ

18,66

18,75

0,09

0,5

— 0,09

— 0,5

18,66

Vo

18,75

0,09

0,5

— 0,09

— 0,5

^ q O- O

tu tu tu tu

-o

13,61

13,71

13,69

13,79

O GO 00

O    O    T-H

cf cf cf

^ o o o ® w cf cf r-T

xP vP xP °

K o H

00 GO O

—    0,73

—    0,60 — 1,30

Buchdruckerei Gebrüder Ernst Berlin SW68.

.;

*

I

P-13,80 t

Graphische Berechnung eines eingespannten Rahmens nach Ritter.

--6,30 —j— 6,30 —-

9f. 1^8.

g£ = ¹'⁷°?⁸=2,108i/m

Js

b-d³

12

F= b • d

*2

-V

ß E-J 12 G - F*)

Js²

Js

E-J

X~

■ß<

■t

1,98

1,98

1,98

1,86

1,80

2,00

2,00

2,00

2,00

1,80

1,86

1,98

1,98

1,98

800 990 800 990 800 990 800 990 1 000 420 1 000 420 1 000 420 1 000 420 1 000 420 1 000 420 800 990 800 990 800 990 800 990

2275

2275

2275

2275

2450

2450

2450

2450

2450

2450

2275

2275

2275

2275

18,75

18,75

18,75

18,75

20,21

20,21

20,21

20,21

20,21

20,21

18,75

18,75

18,75

18,75

i.o io i.d" of oi

67,5

67,5

67,5

67,5

62,8

62,9

65,8

65,8

65,8

247,2

247,2

247.2

232.2 180,0 200,0 200,0 200,0 200,0 180,0

232.2

247.2 247,2 247,2

4,60

1,80

5,80

2,00

__i_

JA

£70

-----?-----

lz

c,

%’⁷⁴⁶'

2,00

630

6.30

1b

A₂

a₄

ff' /

ff

'O,

fV.

2-

3‘

4-

5’-

------r

F₂ __ 13,80 • 4,60 + 1850 • 18,11 + 2108 • 18,11 _

* 5,40m,¹

7’i

14,92

19,22 m

V=

3 90

13,80 •    1850 • 1922 + 2108 • 5,40

3,90

= 18,92 t.

a₃

■T

x.

*) Siehe S. 27: ß. ■=- = %.

o

i.

ir-18,11m²

Off* -Jz

Ai

r₂= 18,11m²

A5

i m

¹ s I

me*g»

■

.^⁶

x¹

9&

/4

Graphische Berechnung eines unsymmetrischen Rahmens nach Ritter.

!v

9&

'Oy

X'r:

*a!

R;

vh

oc.

-12,60

4,60

iß.

>A,

lr4,55

or

Bl.

3,

r₇- 16,96m²

1,-330 —

v‘

NI

20,26m²    7‘j    r₂-n03m²

Bs

/'

\\

k-

1-^

jr-23.721

7\

iji •

¹3,8° • 3,10+ 1,85 • 20,26 + 2,108-11,03

4,55

= 23,72 t

Y—

13,80 • 1,80 + 16,96 • 1,85 + 2,108 - 5,08

3,30

= 20,25 t.

? &

MM

?<

■

j:

■

'

.1

.

■

OT EKjC

.

Graphische Darstellung der Fehler

am wahren Wert der statisch unbestimmten Größen II und V bei Vernachlässigung der Längs- und Querkräfte an symmetrischen parabelförmigen Bogen und Rechteckrahmen mit konstantem Trägheitsmoment und gleichmäßig verteilter Belastung.

II

Horizontalschub des eingespannten Bogens.

Querkräfte

1_    2    3_    4    5    6_    _7    8_    9_

eCÜ

3.0%

2.0%

1.0%

1Ö°

0,5%

.... 30%

25%

-20%

Horizontalschub des < Rahmens.

15%

—I—

-|NS

—ICo

-l-k

—|Ol

-los

-N

-|os

-|co

-Is

4»

0.5%

Ljin£___

I Querkräfte

II

Vsl—

-I-

-Ins

—|Co

-I*

—!ui

-|o>

-las

—|«s

-ls

Horizontalschub des Zweigelenkbogens.

-sh-

-INS

-l«o

—ItaL

-|o>

—|vs

-I⁰³

t\)

Horizontalschub des Zweigelenkrahmens.

0,10% 0,05%

Querkra5ie_

II

-INS

—ICo

—los

—Ivo

-l<*>

-l<Ö

8h-

Auflagerdruck des eingespannten Bogens.

Querkräfte___

>»|o*

co(v-

Längskräft.e 7    .8

-0.5% 0.4% 0.3% ■ 0.2% 0,1%

-^jco

t₀°

Auflagerdruck des eingespannten Rahmens.

I

3g

~ S

%

m

'

'Z/}L 6X2

.

■

tii

m

Si'fcä’-- ^

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3*- °°

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X

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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III-307043

100000316011

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Druk. U. J. Zam. 35i

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Biblioteka Politechniki Krako

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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HI-307044 100000316012

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Biblioteka Politechniki Ktakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

III-307045 100000316013

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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III-307046

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Biblioteka Politechniki

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