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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000300595

öffentlich«! Arbeite®

AMAAäa.

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Heft 13: Beiträge zur Theorie der im Eisenbetonbau gebräuchlichen Form der Rippen-Kuppei. Von Dr. Ing. Karl W. Mautner, Oberingenieur der Firma Carl Brandt. 1911.    geh. 4 M.

geh. 4'M.

Heft 14: Eine Güteprobe für Beton System Dr. v. Emperger. Von G. Neumann, Ingenieur.

Mit 9 Abb. 1911.

Protokollformulare sind zum Preise von 1 M. zuzüglich Porto für 12 Stück erhältlich.

geh. 4 M.

Heft 16: Schwimmkörper in Eisenbeton. Von Ingenieur

geh. 6 M.

Heft 17: Beiträge zur Theorie und Berechnung der im Eisenbetonbau üblichen elastischen Bogen, Bogenstellungen und

Heft 15: Eisenbetonkonstruktionen bei Biegung und bei exzentrisch wirkenden Druck- oder Zugkräften. Einheitliche Verfahren zur Bemessung derselben. Für die Praxis bearbeitet von R. Wuczkowski, Chefingenieur im Spezialbureau von Dr. Ing. v. Emperger.

Mit 21 Abb. u. 23 Beispielen. 1911.

W. Stroß. Mit 154 Abb. 1911.

mehrstieligen Rahmen. Von Dr. Ing. K. W. Schaechterle, Regierungsbaumeister. Mit 91 Abb. 1912. geh. 6 IVL Heft 18: Beitrag zur Berechnung mehrstöckiger Rahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes.

geh. 2,60 M.

Heft 19: Ueber neuere Versuche mit umschnürtem Beton.

Von Ingenieur A. Straßner.

Mit 21 Textabb. 1912.

(Spiralumwickelte und ringbewehrte Säulen.) Von Dr. Ing. A. Kleinlogel. Mit 25 Textabb. 1912. geh. 3,20 M.

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Forscherarbeiten

AUF OEM GEBIETE OES

EISENBETONS

BEITRAG ZUR THEORIE

DES

EISENBETONS

HEFT XX

PREIS 2 MARK

VOX

DR. ING. A. FRUCHTHÄNDLER

OBER-IXGENIEUR DER FIRMA PAUL KOSSEL & CIE.. BREMEN

MIT 40 TEXTABBILDUNGEN

IT³⁵¹

VERLAG vo» WILHELM ERNST&SOHN p! BERLIN W. WILHELMSTRASSE 90

vy.

Alle Rechte Vorbehalten.

Nachdruck, auch auszugsweise, verboten.

Beitrag

Theorie des Eisenbetons

8. Plattenbalken. Theorie.

Versuchsdecken der Firma Kossel & Cie., Bremen.

Beitrag

zur

Theorie des Eisenbetons

von

Dr.-Ing. A. Fruchthändler

Ober-Ingenieur der Firma Paul Kossel & Cie., Bremen

Mit 40 Textabbildungen

Berlin 1912

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn

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Alle Rechte Vorbehalten.

Nachdruck, auch auszugsweise, verboten.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

1.    Einleitung........■............

2.    Besprechung von einigen Versuchen .........

3.    Folgerungen aus den Versuchen. Neue Theorie ....

4.    Balken rechteckigen Querschnittes.........

5.    Berechnungsbeispiele...............

6.    Grenzfall...................

7.    Bemerkungen über den Verlauf der Deformationsdiagramme

8.    Plattenbalken. Theorie..............

9.    Beispiele...................

10.    Deformationsdiagramme bei Plattenbalken.......

11.    Reine Betonbalken................

12.    Parabelförmige Deformationskurve..........

13.    Anwendungen der neuen Theorie..........

14.    Schlußbemerkungen...............

Tabelle I und II................

Anhang....................

10

10

*3

17

19

20

22

24

25

29

33

Beitrag zur Biegungstheorie elastisch veränderlicher, insbesondere der Eisenbetonkonstruktionen.

1. Einleitung.

Die Theorie der Biegung von Konstruktionen, die in bezug auf die Zug- und Druckelastizität ein verschiedenes Verhalten aufweisen, zu denen auch vornehmlich die Verbundkonstruktionen zählen, ist noch nicht derartig geklärt, wie es heute in der Fachwelt ziemlich allgemein angenommen wird. Noch nicht als ganz befriedigend gelöst gilt zurzeit die Theorie der Schub- und Haftspannungen der Verbundskonstruktionen, die Biegungstheorie dagegen unter Zugrundelegung des Hookschen und des Bernoulli -Navierschen Gesetzes wird allgemein als mit der Wirklichkeit genügend übereinstimmend angesehen.

Daß dem nicht so ist, namentlich nicht im sogen. Stadium IIb, wo also die Zugfestigkeit des Betons erschöpft ist und die Konstruktion sich der Bruchgrenze nähert, ist schon früher von einzelnen Forschern erkannt worden; insbesondere erkannte dieses klar und deutlich der sonst auf dem Gebiete des Eisenbetons bahnbrechend wirkende Forscher Dr. v. Emperger. Schon im Jahre 1903 fand er anläßlich der Bearbeitung eines Versuchsmaterials, daß die dem Eisenbeton zugrunde gelegte Theorie für die Beurteilung der Tragfähigkeit einer Eisenbetonkonstruktion nicht maßgebend sei, jedenfalls für die Beurteilung der beim Bruch in beiden Materialien der Verbundkonstruktion auftretenden und für den Bruch maßgebenden Spannungen nicht brauchbar sei.

Dr. v. Emperger hat auch in Erkenntnis dieser Tatsache eine Faustregel vorgeschlagen, die die Spannungsverteilung der Betondruckzone in der Nähe des Bruches als Rechteck berechnet.

In Kombination mit den sonst nach der üblichen Theorie sich ergebenden Lage der Nullinie, findet Dr. v. Emperger die Spannungen, die in der Nähe des Bruches im Beton auftreten, in guter Übereinstimmung mit den direkt gemessenen Würfelfestigkeiten des Betons. Diese Erscheinung erklärt Dr. v. Emperger dadurch, daß in der Nähe des Bruches die getroffene Annahme, daß die Querschnitte nach der Biegung eben bleiben, nicht mehr ganz zusagt und auch sonst Umstände auftreten, welche die Theorie nicht berücksichtigt.¹

Was die Bedeutung der angeschnittenen Frage anbetrifft, so kann auf die Worte von Prof. Mörsch¹ hingewiesen werden: „Der Zweck jeder statischen Berechnung ist weniger die genaue Ermittlung der in einer Konstruktion bei irgendeiner Belastung auftretenden Spannungen, als vielmehr der Nachweis eines hinreichenden Sicherheitsgrades“.

Nun mögen die sich bei irgendeiner Belastung nach der heute geltenden Theorie ergebenden Spannungen mehr oder weniger mit der Wirklichkeit übereinstimmen, solange dies nicht auch für die oberen Belastungsgrenzen, wenigstens näherungsweise zutrifft, muß die statische Berechnung in bezug auf den Sicherheitsgrad sowohl der ganzen Konstruktion, worauf es in erster Linie ankommt, als auch der einzelnen Materialien der Verbundkonstruktion ein falsches Bild liefern. Prof. Mörsch ist diesbezüglich der Meinung, daß zwar die Spannungen in der Nähe des Bruches maßgebend, da jedoch die Verhältnisse im Bruchstadium (Stadium III) schwer theoretisch zu verfolgen sind, müsse man sich mit der Behandlung des Stadiums II zufriedenstellen.

Daß eine solche Resignation nicht befriedigen kann, insbesondere wenn die Abweichung von der Wirklichkeit ganz erheblich wird, liegt auf der Hand.

Im folgenden sollen nun auf Grund des vorhandenen Versuchsmaterials die Verhältnisse nach Erschöpfung der Zugfestigkeit des Betons bis zum Bruch untersucht werden. Ich habe gefunden, daß diese Verhältnisse gar nicht so kompliziert sind, wie bis jetzt stets angenommen wurde, daß nur die angewandte Theorie nicht stimmt. Die von der älteren Eisentheorie ziemlich vorbehaltlos angenommenen Voraussetzungen, passen eben nicht ganz für Materialien, die ein verschieden elastisches Verhalten bei Zug- und Druckbeanspruchungen aufweisen, also auch nicht bei Verbundkonstruktionen.

Verführerisch bei dieser Übernahme der Grundlage der Eisentheorie war der Umstand, daß bei Belastungsversuchen bis zu gewissen Grenzen, die nicht viel von den zulässigen Belastungsgrenzen abweichen, eine gute Übereinstimmung gefunden worden war. Bei Belastungen bis zum Bruch fand man schon erhebliche Abweichungen der Theorie und Wirklichkeit, doch suchte man sich über diese Abweichungen durch Hinweis auf Kompliziertheit und sonstige Umstände allgemeiner Natur hinwegzusetzen; mitunter behauptete man, die direkt gemessene Würfelfestigkeit gebe aus verschiedenen Gründen kein Bild der wirklichen Druckfestigkeit des Betons des untersuchten Balkens.² 3

Die bisher bei verschiedenen bis zum Bruch belasteten Eisenbetonkonstruktionen ganz eklatante Abweichung der Theorie von der Wirklichkeit werde ich auf Grund der darüber Vorgefundenen Literatur besprechen. Auch werde ich über einige mit stahlbewehrten Betonplatten ausgeführten neuen Versuche¹ kurz berichten, eine eingehende Veröffentlichung dieser Versuche mir für später vorbehaltend.

2. Besprechung von einigen Versuchen.

Versuch mit einem Eisenbetonbalken zu Watergraafsmeet

pergers.

Spannweite von 6,8 m.

bei Amsterdam.² Ich entnehme folgendes aus der Besprechung Dr. v. Em-Der Versuchsbalken hatte eine

Die Dimensionen des Balkens waren

Höhe - 65 cm,

Breite =100 cm,

« = 4 cm, f₆ = 97 cm² = 1,58 % des Betonquerschnittes.

Die Bruchlast war mit Einschluß des Eigengewichtes Q — 216,6 t.

Nach den Bestimmungen berechnet sich für obige Werte die Lage der neutralen Faser mit

-1=6,80

Abb. 1.

■ZOO

Abb. 2.

x = 30 cm,

und die zugehörigen Spannungen

ob = 241 kg/cm², oe = 375° kg/cm².

Die mit 12 Betonwürfeln ermittelten direkten Druckfestigkeiten des Betons ergab im Mittel aus 114 bis 150 142 kg/cm².

An diesem Versuchsbalken wurden die Dehnungen bis zu einer Belastung von 191 t beobachtet. Daraus konnte auf die Spannungen im Balken geschlossen werden. Im Anschluß an diese Mitteilungen sagt Dr. v. Emperger: ,,Bis etwa 131t ist die Übereinstimmung zwischen den Beobachtungen und der gewöhnlichen Berechnung mit n 15 in der gedrückten Faser eine ganz zufriedenstellende, von da aber an nehmen die Randspannungen fast gar nicht zu. Durch eine Verkrümmung des Querschnittes und durch Erscheinungen,

bei 3°/₀ Bewehrung ae = 1970 kg/cm², ab = 211 kg/cm².

Die Druckfestigkeit der Würfel betrug nur 139 kg/cm². Prof. Mörsch meint, die Festigkeit der Würfel wäre wegen der dichtschließenden gußeisernen Formen so gering ausgefallen. Meiner Ansicht nach ist das eine Selbsttäuschung.

1)    Ausgeführt von der Firma Paul Kossel & Cie. in der Materialprüfungsanstalt Groß-Lichterfelde für die Hansa-Gesellschaft für Wand- und Deckenbau.

2)    Vgl. Beton u. Eisen 1907, S. 210.

die die Rechnung nicht zum Ausdruck bringt, tritt eine andere Spannungsverteilung mit dem oben genannten Ergebnis, daß die rechnungsmäßig ermittelte Druckfestigkeit des Betons etwa das Doppelte dessen ergibt, was wir als seine Würfelfestigkeit nachzuweisen in der Lage sind“.

Ich werde noch später auf diesen Versuch zurückkommen.

Beispiel aus den Versuchen von Schiile. (Vgl. Beton u. Eisen, Jahrg. 1908, S. 364.) Versuch Nr. 3 mit einer Bewehrungsziffer. ^ = 3,63%. Das Bruchmoment war M = 149 000 cm kg.

ob =

2-M

bx [h —

Oe =

4Hr)

1/

2bh~

n-fe

i5-5,3i

-12-12,2

12

15-5,31

= 7,7Cm,

2-149 ⁰⁰⁰

12-7,7-

7,7

12,2 — — 3

149 000

5,31 12,2 —

7,7

= 335 kg/cm²,

= 29iokg/cm².

-72.2

Ç=5,3cmz

Abb. 3.

Die Würfelfestigkeit des Betons betrug 264 kg/cm².

Wir sehen also hier ähnlich wie beim vorigen Versuch eine beträchtliche Überschreitung der vorhandenen Würfelfestigkeit

des Betons.

Versuche von Mörsch.

(Der Eisenbetonbau, S. 98 ff., 3. Aufl. 1908.)

Das Bruchmoment war

M = 2060 -75=154 000 cm kg. i5-7,85

2-25-9

25

15-7,85

= 5,65 cm,

i.

Ob —

2-154 000

ÉË

L- 70 -9-1

oe =

25-5,65 (9-

154 OOO

5,^5

= 306 kg/cm²,

25

fe = W(fi ^Otjwv- 7,85 ent²

Abb. 4.

7,85 (9

5,65

= 2760 kg/cm².

Die Würfelfestigkeit des Betons betrug — allerdings waren die Würfelproben 2 Monate alt, wogegen der Balken beim Versuch 13 Monate alt war — 140kg/cm²; wenn man annimmt, daß der Beton in dem einen Jahr um ca. 30 °/₀ an Festigkeit gewann, so ergäbe dieses eine Festigkeit von 140 -f 60 = 200 kg/cm², woraus wieder die Unzulänglichkeit der Berechnung nach den Vorschriften hervorgeht.

Neue Versuche der Firma Kossel & Cie., Bremen.

Als letztes Beispiel sollen die Versuche der Firma Paul Kossel & Cie. mit Eisen- und stahlbewehrten Platten vorgeführt werden.

Im Aufträge der Wand- und Deckenbaugesellschaft „Hansa“ hatte die Firma Kossel & Cie. auf dem Versuchsplatz der Materialprüfungsanstalt u. a. einige Deckenplatten hergestellt, die bei der Belastungsprobe ein recht merkwürdiges Ergebnis geliefert haben. Diese Ergebnisse haben bei dem Verfasser die Überzeugung reifen lassen, daß es ausgeschlossen ist, die Widersprüche zwischen Theorie und der Wirklichkeit einem Versagen der theoretischen Grundlagen im Bruchstadium zuzuschreiben, wie dies bisher von den verschiedenen Eisenbetonforschern gemacht wurde. Das Nachforschen in dieser Richtung haben auch den Verfasser zu der Erkenntnis geführt, die zum Inhalt der folgenden Abhandlung werden soll.

Es sei aus diesen Gründen also gestattet, die genannten Versuche der Firma vorzuführen.

Beschreibung der Versuchsobjekte.

Die 6 Versuchsdeckenplatten hatten mit Ausnahme der verschiedenen Bewehrungen gleiche Abmessungen und sonst in jeder Hinsicht gleiche Beschaffenheit. Die Dimensionen und die Art der Versuchskörper ist aus der angehefteten Zeichnung zu ersehen. Die Deckenstärke war 8 cm, die Spannweite 2 m, die Deckenlänge 2,30 m, die Deckenbreite 1 m. Die Bewehrung der 3 Decken bestand aus 18 Stahldrähten von 0,46 cm Durchmesser.

fs = 18 •

0,4 6²-zr

= 2,99 cm = rd. 3 cm².

7— Mv —

fÿ=7Sÿ> U, ßmm, =j cm? à'ta7d Abb. 5.

Die Bewehrung der übrigen Decken bestand aus 12 Rundeisen von 0,8 cm Durchmesser, somit

0,8²-jt

= 6 cm².

/OCJ

fe=/2p' Stuhl = ßc/rv²J?ösen Abb. 6.

Bei den stahlbewehrten Decken (lt. der Amtsbezeichnung Deckenart I) war der Abstand des Schwerpunktes der Stahleinlage von Unterkante Betondecke 2,5 cm (a = 2,5 cm). Bei den mit Rundeisen bewehrten Decken (lt. Amtsbezeichnung Deckenart II) betrug der nämliche Abstand 2 cm (a = 2 cm).

Die Decken wurden am 11. August 1900 auf dem Hofe der Versuchsanstalt eingestampft.

Die Mischung bestand aus 1 Teil Portlandzement (Marke Alemannia) zu 5 Teilen Kies.

Die Decken wurden am 20. bzw. 21. Oktober, also im Alter von 70 bzw. 71 Tagen geprüft.

Die Bruchlasten der Rundeisendecken betrugen:

Versuch 1    4300    kg,

„    2    5240    kg,

„    3    4050    kg,

also im Mittel:

4300 + 5240 + 4050

4530 kg.

Das maximal auftretende Moment berechnet sich demnach zu

4530-200

= 113200 cm kg.

Für dieses Moment ergeben sich nach den Bestimmungen vom 24. Mai 1907

n-fe

-1 +

i-f

2b(h — a)

n-f₆

mit n — 15, fe— 6 cm², b = 100, h = 8 cm, a = 2 cm,

2 • 100 (8 — 2)

100

15*6

= 2,5 cm,

und die Spannungen im Beton: Ob = -

2-M

2 • 113200

b-x[h—a--250^8— 2

2,5

= 175 kg/cm ²,

im Eisen:

fe Ui — a

113 200

2,5

= 3660 kg/cm².

Laut Prüfungszeugis Nr. 12657 C betrug die Druckfestigkeit des Betons im Mittel aus 10 Würfeln 154 kg/cm².

Die Würfel wurden aus den geprüften Decken selbst entnommen.

Die Streckgrenze des Rundeisens betrug im Mittel 2860 kg/cm², die Bruchgrenze 4050 kg/cm².

Die Ergebnisse der Berechnung nach den amtlichen Bestimmungen und der direkten Messung stimmen also verhältnismäßig gut überein, was nur eine Bestätigung der bekannten Tatsache ist, daß bis zu ca. 1 °/₀ Bewehrung die bisherige Theorie der Verbundkonstruktionen auch im Bruchstadium mit der Wirklichkeit übereinstimmende Ergebnisse liefert.

Die Bruchlasten der stahlbewehrten Platten waren bei

im Mittel:

Versuch 1    5760    kg,

2    5280    kg,

3    5470    kg,

J)

5760 + 5280 + 5470

= 5500 kg.

Dieser Belastung entspricht ein

M =

'S"

Ql = Ą 5500 • 200 = 137 500 cm kg.

Berechnet man für dieses Moment die Lage der neutralen Faser sowie die Spannungen nach den „Bestimmungen“, so ergeben sich:

|A +»•»(»-“>

\    n-fa

für n — 15, b = 100 cm, fs = 3 cm², h = 8 cm, « = 2,5 cm,

LS-3

2-100(8 —2,5)'

100

15-3

= 1,82 cm

2 • 137500

./•

b-xl h — a--

ioo- 1,82 (8 — 2,5

1,82

309 kg/cm²

und

os =

137500

Ąh-a

— 2,5

1,82

= 935° kg/cm².

Daß dieses Ergebnis der Rechnung keine wirklichen Werte liefert, liegt auf der Hand. Die Würfelfestigkeit des Betons war, wie schon früher bemerkt, ca. 154 kg/cm², die Streckgrenze des Stahldrahtes lag bei 7400 kg/cm², die Bruchgrenze bei 8400 kg/cm².⁴

Aus dem Vergleich der Würfelfestigkeit von 154 kg/cm² mit der Betonspannung von 309 kg/cm² nach den amtlichen Bestimmungen geht ohne weiteres die Unzulänglichkeit der diesen Bestimmungen zugrunde liegenden Theorie hervor. Dieselbe Berechnungsmethode liefert bei der Rundeisendecke Betonspannungen, die schließlich nicht wesentlich von der Würfelfestigkeit zugunsten der Sicherheit abweichen. Bei den stahlbewehrten Platten liefert diese Methode Werte, die um ioo°/₀ von der Wirklichkeit abweichen.

Im folgenden ist nun der Versuch gemacht, diese Widersprüche

zu klären.

3. Folgerungen aus den Versuchen. Neue Theorie.

Bei Beobachtung der Brucherscheinungen der oben geschilderten Versuche mit eisen- und stahlbewehrten Platten ist mir die Tatsache aufgefallen, daß bei den stahlbewehrten Platten der Bruch auf diese Weise erfolgt ist, daß die Stahldrähte sämtlich auf einmal gerissen sind; bei den Rundeisendecken kam der Bruch durch Überwindung der Betonspannungen, es konnte jedoch ohne weiteres geschlossen werden, daß unmittelbar vor dem Bruch die Streckgrenze des Eisens überschritten sein dürfte und die Druckspannungen des Betons gleichzeitig mit dem Fließen der Rundeisen überwunden sind. Ich habe aus dieser Beobachtung den Schluß gezogen, daß beim Bruch einer Verbundkonstruktion beide Materialien gleichzeitig ihre Festigkeiten erschöpfen; diese Schlußfolgerung,

die bei symmetrischen Querschnitten aus homogenen Materialien mit gleichen elastischen Eigenschaften für Zug und Druck ohne weiteres zutrifft, glaubte ich auch für Materialien wie Stein, Gußeisen usw., die verschiedene Zug-und Druckfestigkeiten aufweisen, anwenden zu dürfen. Obige Folgerung ließ sich nicht recht mit den Fundamenten unserer heutigen Theorie vereinbaren. Zum Glück brauchte aber nicht alles umgestoßen zu werden. Die Annahme vom Ebenbleiben des Querschnittes konnte mit leichtem Herzen fallen gelassen werden. Bekanntlich hat ja die strenge mathematische Theorie die Bernoullische Annahme vom Ebenbleiben des Querschnittes auch für homogene Materialien, die dem Hookschen Gesetz von der Proportionalität zwischen Spannung und Dehnung strenge folgen, nicht bestätigt. Um so weniger kann diese Annahme für Materialien, die dem Hookschen Gesetz nur näherungsweise folgen, und für Verbundkonstruktionen als bindend erachtet werden.

Viel wesentlicher ist nun das Verhältnis der gemachten Annahme über die gleichzeitige Ausnützung der Zug- und Druckfestigkeiten des Materials zu dem sogenannten Navierschen Gesetz, welches einen geradlinigen Verlauf der Spannungen fordert. Dieses Gesetz, das von Navier nur als Hypothese aufgestellt wurde, ist nachträglich durch die strenge mathematische Theorie als richtig erwiesen worden.

Dieses als unanfechtbar zu bezeichnende Gesetz ließ sich aber nur dann mit der von mir gemachten Folgerung in Einklang bringen, wenn der Spannungsverlauf als gebrochene Gerade angenommen werden konnte. Nun ist gegen eine solche Annahme meiner Ansicht nach nichts einzuwenden; die Gleichung der Geraden — das Schlußergebnis der mathematischen Elastizitätstheorie für reine Biegung — ist auf Grund der Verschiebung zweier unendlich benachbarter Elemente eines Querschnittes aufgebaut; dieses schließt nicht aus, daß die Gerade der Spannungen der Druckfasern unter Umständen anders zur x- Achse geneigt ist wie die Spannungsgerade der Zugfasern.¹ Jedenfalls war in dieser Richtung Vorsicht geboten.

Die Untersuchung der Formänderungsarbeit lieferte folgendes Ergebnis. Solange keine der Randspannungen ihre obere Grenze (etwa die Bruchspannung) erreicht hat, läßt sich nachweisen, daß ein Minimum Formänderung an Arbeit geleistet wird, wenn die Zug- und Druckspannungslinie eine Gerade bilden (dieselbe geht durch den Querschnittsschwerpunkt). ⁵

7t

Hat eine der Randspannungen ihre obere Grenze erreicht, dann ist eine fernere Formänderung zwar noch möglich, aber für ein Minimum sind nicht mehr die nötigen Bedingungen vorhanden. Da eine Steigerung der Formänderung, solange die zweite Randspannung ihre Grenze nicht erreicht hat, möglich ist und damit eine Steigerung der Tragfähigkeit der Konstruktion verbunden ist, so ist anzunehmen, daß die Natur den einzigen möglichen Weg beschreiten wird, um die Leistungsfähigkeit der Konstruktion zu erhöhen.

Wir wollen nun einen Schritt weiter gehen und untersuchen, wie sich die theoretischen Grundlagen der Berechnung ändern, wenn man die oben gemachte Annahme gelten läßt, daß die Tragfähigkeit eines auf Biegung beanspruchten Balkens noch nicht erschöpft ist, wenn die eine Randspannung ihre obere Grenze erreicht, daß erst, wenn auch die andere Randspannung sich ihrer Grenze genähert hat, die Tragfähigkeit des Balkens aufhört.

Es genügt in diesem Falle zur Ermittlung der Lage der neutralen Faser nur eine Gleichung, und zwar diejenige Gleichung, die das Gleichgewicht im horizontalen Sinne ausspricht.

i)

foclF = osfe

Da

o : On -= y :x,

« re

\*-0ß

so folgt aus i):

jydF = Osfe

IJ

fydF

und

X = °-

Os

mit = K.

ua~

Ob

Ob

Abb. 8.

fydF

X-=°-

2)

feK

Die obigen Gleichungen erhalten erst dann ihre besondere Bedeutung, wenn man annimmt, daß darin öb die Bruchspannung des Betons, os etwa die Streckgrenze des Eisens bedeutet. Gleich an dieser Stelle möchte ich hervorheben, daß in den meisten Fällen der Praxis das os den Wert der Streckgrenze des Eisens überschreiten, jedoch unter der Bruchgrenze desselben bleiben wird. Die Ursache dürfte meiner Ansicht nach darin liegen, daß nach Überschreiten der Streckgrenze größere Dehnungen auftreten, die eine freie Bewegung der Nullinie erschweren bzw. unmöglich machen, auch dürfte durch eine Kontraktion des Eisenquerschnittes eine Lockerung vom Betongefüge eintreten, so daß dadurch die Keime der Zerstörung gegeben sind.

4. Balken rechteckigen Querschnittes.

Wenden wir obige Gleichung 2) auf einen Balken von rechteckigem Querschnitte an.

X    X    /> • '7*2

fydF — bfydy —

0 0 *

'/////////

2fcK

und

2 fe

irK

.    2*)

6^,

Abb. 9.

Diese Beziehung ist äußerst einfach. Die Beziehung zwischen dem Moment und den Spannungen in der Nähe des Bruches ist wie nach der üblichen Theorie zu ermitteln durch

an -

2-M

bx{h~f)

3)

Eigentlich ist eine Ermittlung der Spannungen ein Widerspruch, nachdem man die Spannungen oben in der Formel für x als bekannt und gegeben voraussetzt; die Beziehungen 3) haben dennoch ihre Bedeutung insofern, daß sie bei gegebenem Bruchmoment erkennen lassen, wieweit die Übereinstimmung der gemachten Annahme mit der Wirklichkeit übereinstimmen; auch lassen die Gleichungen 3) bei gegebenem Querschnitt die Größe des Bruchmomentes errechnen.

Es fragt sich nun, wie stimmen die oben gemachten Annahmen und die sich daraus ergebenden Beziehungen mit dem vorliegenden Versuchsmaterial überein; dies ist doch bekanntlich der beste Probierstein für die Brauchbarkeit einer neuen Theorie. Ich habe nun an vielen Beispielen von Versuchsbalken, die mir in die Hand fielen, obige Formeln angewandt und stets eine vortreffliche Übereinstimmung der Theorie und Praxis gefunden, einen Widerspruch habe ich nirgends gefunden.

Einschränkend muß ich jedoch hervorheben, daß nur Versuche in Frage kommen können, die tatsächlich durch das biegende Moment zugrunde gegangen sind, wo nicht etwa die Lockerung des Verbundes durch mangelhafte Verankerung der Eisen, bzw. die Überwindung der Schubspannungen störend in den Vollzug der Biegungsspannungen eingegriffen haben.

5. Berechnungsbeispiele.

Wir wollen nunmehr auf einige der oben berechneten Beispiele die Formeln 2) und 3) anwenden.

Versuche von Schüle.

Wir beginnen mit dem oben berechneten Versuch von Schüle (vgl. S. 4). Die Würfelfestigkeit des Betons war oB = 264 kg/cm².

Die Beanspruchung der Eisen:

t) ["die Streckgrenze os = 2800 kg/cm2 die Bruchgrenze oB = 4000 kg/cm²

os = 3200 kg/cm

3200

2 64

= 12,

—S7.7

2 • 5,3

12

• 12 = 10,6 cm.

Das Bruchmoment war M— 140000 cm kg.

2•149000

U-72-^

Abb. 10.

oB =

bx[h-f)

12 • 10,6

12,2

10,6

— 270 kg/cm²,

os —

149000

10,6'

= 3240 kg/cm².

5,3 (^12,2

Die Übereinstimmung ist also eine sehr gute.

Versuch von Watergraafsmeer (S. 3).

Es war M= 18500000 cm kg.

Das Eisen hatte eine Streckgrenze von 3900 kg/cm² und eine Festigkeit von 5800 kg/m. Die Würfelfestigkeit des Betons war rd. 140 kg/cm². Der Wert der Konstante

4400

140

= 3i-

VI

Nach Formel 2) ist

fK-

2 • M

2 ‘97

1 < in

.31 =60 cm,

—7-700 —

fe=y7crn²

Abb. II.

oB =

2•18500000

bx l h — —

60

150 kg/cm²,

6000 61--

18500000

60

= 4600 kg/cm².

61---

Die Übereinstimmung mit den wirklichen Materialfestigkeiten ist danach eine ganz gute im Vergleich zu den obigen Ergebnissen auf S. 3.

Versuche von Kossel & Cie.

Wir kommen nun auf die oben schon besprochenen Versuche der Firma Kossel mit Rundeisen und stahlbewehrten Platten zurück und wenden auf diese Objekte die oben entwickelten neuen Formeln an.

2-113 ⁰⁰⁰

= 167 cm²,

<0

-*7-700-

fe - G,ocmz Jtu/idei&en Abb. 12.

ab = 154 kg/cm², K =

b = i oo, Il = 8 cm, h = H — a — 6 cm,

M = 113 000 cm kg.

Die Streckgrenze des Eisens war 2860 kg/cm², die Bruchgrenze 4050 kg/cm². Die Würfelfestigkeit des Betons war 3400

145

= 22.

2 • fs

■K =

100

• 22 = 2,64 cm,

bx{h~f) ²⁶⁴ (⁶"^f⁴)

Oe =

113 000

⁶(⁶

2,64

= 3650 kg/cm².

Stahldecken.

/OO

Sem2 Abb. 13.

I) == 100 cm, H = 8 cm, h = 5,5 cm M= 137500 cm kg.

Die Streckgrenze des Stahles lag bei 7400 kg/cm², die Bruchgrenze bei 8400 kg/cm².

8000

Ob= 154 kg/cm²,

154

= 52,

2 • fs

f-K-

100

• 52 = 3,12 cm,

Ob =

2•137000

³I²(⁵’⁵“³-f)

= 195 kg/cm²,

Ge =

137000

3,12

= 10200 kg/cm².

Vergleicht man dieses Ergebnis mit den obigen auf S. 7 nach den amtlichen Bestimmungen, so sieht man bei den Rundeisendecken eine ebenso gute Übereinstimmung, bei den Stahldecken eine wesentlich bessere Übereinstimmung mit der Wirklichkeit. Die Tatsache , daß für die schwach bewehrten Rundeisenplatten, die Berechnung nach den Bestimmungen ziemlich befriedigende Ergebnisse liefert, ist bekannt und war eigentlich die Ursache, warum die Berechnung nach den amtlichen Bestimmungen allgemeine Anerkennung fand.

Die später gefundene Nichtübereinstimmung bei stärker bewehrten Balken rechteckigen Querschnittes konnte an dieser Tatsache nichts mehr ändern, um so weniger als eine befriedigende, für alle Verhältnisse passende Erklärung nicht gegeben wurde. Auch bei Plattenbalken normaler Verhältnisse wurde eine ziemliche Übereinstimmung mit der Berechnung nach den amtlichen Bestimmungen gefunden. Es soll noch eine Erklärung der Tatsache gegeben werden, warum die amtlichen Bestimmungen für die einen Verhältnisse passen, für die anderen aber völlig versagen.

Versuche von Möller.

VI,2

Bevor wir aber noch an diese Frage schreiten, sei noch ein Beispiel aus der Versuchsreihe von Prof. Möller in Braunschweig untersucht. Ich verweise deshalb auf die entsprechende Veröffentlichung im Beton und Eisen 1907, S. 211.

Wir greifen heraus einen der stärker be- r wehrten dort mit Nr. 9 bezeichneten Balken neben- | stehenden Querschnittes:

b = 41,2 cm, H = 19,7 cm, h = 17,5 cm.

—7-;

=ä>' /Smm - YO,6 cm²    ^

Abb. 14.

Das Bruchmoment war M = 512700 cmkg.

Nach den amtlichen Bestimmungen berechnet sich hierfür

ob

1/

2-b-h

n-fe _

15-10,6 '

41,2

V'

2-41,2-17,5

15 • 10,6

= 8,7 cm,

2 • 512 700

8,7

= 195 kg/cm²,

41,2-8,7! 17,5---

Oe

512 700

IO’⁶(I7’⁵“¥)

= 3300 kg/cm².

Nun war die Würfelfestigkeit des Betons im Durchschnitt ca. 163 kg/cm². Nach meiner Methode wäre also in diesem Falle 3200

163

= 20,

2 * fe

ob =

2 • 10,6

--— • 20

41,2

2 •512 700

= 10.3 cm

41,2 • 10,3 17,5

10,3

-    170 kg/cm²,

Oe =

512 700

10,6^17,5

10,3

= 3400 kg/cm.

Wir sehen also auch bei diesem Versuch die Überlegenheit der neuen Methode gegenüber den amtlichen Bestimmungen.

6. Grenzfall.

An dieser Stelle möchte ich noch hervorheben, daß es auch Fälle gibt, wo die obige Theorie keine wirklichen Werte liefert. Bei den sehr stark bewehrten Balken kann es nämlich Vorkommen, daß sich ein x ergibt, das aus dem Querschnitt herausfällt; da in diesem Falle der außerhalb des Querschnittes liegende Teil unwirksam ist, kann eine Übereinstimmung mit der Wirklichkeit nicht erwartet werden. Dieser besondere Fall erfordert eine besondere Behandlung.

Näherungsweise könnte man diesen Fall so behandeln, daß man das x genau so ermittelt, wie im allgemeinen Fall, also nach der Formel

r~ gg

daraus das

au — ob ■

tk<

x — h .    ,

- ermittelt.

Die Druckkraft D =

aB + °u

■ bh = Z = feoe

und daraus

Ob~\~ (Ju b h

Abb. 15.

fe

berechnet.

b au V 2 an

V = — • ----

3    au~\- ob

Das Bruchmoment ist dann gleich

M — fe Oe-7].

Dieser Fall hat aber für die Praxis keine besondere Bedeutung, da es ziemlich selten vorkommt, daß ein Balken so hoch bewehrt wird, daß die Nullschicht bei reiner Biegung aus dem Querschnitt herausfällt.

7. Bemerkungen über den Verlauf der Deformationsdiagramme.

Die oben aufgestellte neue Hypothese über den Verlauf des Spannungsbildes bei einer Verbundkonstruktion hat die ältere Annahme und zwar das Ebenbleiben des Querschnittes fallen gelassen. Die auf Grund der neuen Hypothese aufgestellten neuen Gleichungen haben durchweg zu guten Übereinstimmungen zwischen der Wirklichkeit und den Rechnungsresultaten geführt, im Gegensatz zu den älteren Theorien, die für manche Fälle gut gestimmt haben, für andere dagegen grundverkehrte Ergebnisse gezeitigt haben.

Es ist nun ein leichtes, wenn man sich ein wenig in die Grundlagen der neuen Theorie vertieft, Voraussagen zu können, für welche Fälle die alte Theorie, die Grundlage der amtlichen Bestimmungen, mit der Wirklichkeit gut übereinstimmen wird und wann sie versagen wird.

Zu diesem Zwecke zeichnen wir für den gegebenen Fall das Bild des Deformationsdiagrammes.

Es sei h die Höhe des Querschnittes bis zum Schwerpunkt der Eiseneinlage.

Es sei b die Breite des Querschnittes bh

fe=p- --, wobei p die sogen. Bewehrungsziffer bedeutet.

Die Würfelfestigkeit des Betons sei oB,

die Streckgrenze des Eisens as,

die Festigkeit des Eisens a%.

Nach dem Hookschen Gesetz wird, die Annahme vorausgesetzt, daß zugleich die Würfelfestigkeit des Betons am Druckrande erreicht wird und die Beanspruchung des Eisens gleichzeitig zwischen der Streckgrenze und der Zugfestigkeit liegen muß, die

Eb

Zusammenpressung am oberen Rand 4?r- = JB und die

Os

Dehnung des Eisens J₆ — -=- bis zugleich auftreten.

Ee

->■

Abb. 16.

Die Lage der neutralen Faser wird nach den Gleichgewichtsbedingungen im horizontalen Sinne (vgl. Gl. 2).

2 • fs Os, x j

x = —• -2— oder b oB

Fall a:

X = 2-p •

b-h

Os, x

100 -b Ob

100

s, x •

■    •    3)

Es lassen sich nun drei Grundfälle aufstellen:

Ob E,

Os 2

• - = 11 •

Eb

Oß

Os, x

Iß

< ---

S, X

oder nach Gl 3)

100

S, X

to

100

K:

S, X

IOO

f, %

100

S, X

dß

JC

JO

7o

/>

4?

_____J

Abb. 17.

Abb. 18.

Abb. 19.

2p

Fall b:

Iß

h — x Ie

oder

100

IC

s, x

1 -Mk

100

S, X

in diesem Falle wird die Berechnung nach den amtlichen Bestimmungen gute Ergebnisse liefern.

Der dritte Fall c tritt ein, wenn

co

Iß

le

oder n <

100

•Kl*

S, X

100

Im Falle a und c wird im allgemeinen eine Nichtübereinstimmung mit der Berechnung nach den amtlichen Bestimmungen eintreten müssen, und zwar wird diese Nichtübereinstimmung um so größer, je größer die Abweichung von der Gleichheit.

Zum Falle a.

Derselbe tritt ein:

1.    wenn p klein ist (also bei schwach bewehrten Querschnitten),

2.    wenn Ks>x klein wird (also bei gutem Beton bzw. Eisen mit niederer Streckgrenze.

Es wird in diesem Falle zuerst die Streckgrenze im Eisen erreicht, erst dann tritt eine Verschiebung der Nullinie nach oben ein, wodurch der Beton bis an die Druckfestigkeit herankommt. Es wird jedoch im allgemeinen die Streckgrenze des Eisens nicht viel überschritten, und man wird der Wirklichkeit am nächsten kommen, wenn man in dem Ausdruck

Ks,x =

für o8tX

Os, *

oB

den Streckgrenzwert ansetzt. Zu Fall b.

Die amtlichen Bestimmungen treffen zu. Für den Wert KS) x =

Os, %

Ob

setzt man am besten das Mittel zwischen der Streckgrenze und der Zugfestigkeit ein

°s + o%

------J-

J02AV

7i=(ifO

Os, x —

Als Beispiel zu diesem Fall kann der auf S. 6 angeführte Versuch von Kossel mit der Rundeisenplatte gelten. Der Elastizitätsmodul des Eisens Ee = 2 100000 kg/cm². Der Elastizitätsmodul des Betons EB= 140000 cm kg.

= 0,0011 = 1,1- io⁻³,

154

Ep,

Ą,=7,6-70

Abb. 20.

Os, x

140000

3400

Ee

= 0,0016 = 1,6 • IO⁻³.

2IOOOOO

Wie aus der Abb. 20 zu ersehen ist, stimmt die Deformationslinie fast genau mit einer Geraden, woraus die gute Übereinstimmung dieses Beispiels mit den amtlichen Bestimmungen hervorgeht.

Zu Fall c.

Die Abweichung von den Bestimmungen ist hier die größte.

Der Fall tritt ein,

1.    wenn p (die Bewehrungsziffer) groß ist,

2.    wenn KS)X groß ist (also der Beton eine geringe Festigkeit hat, resp. das Eisen eine hohe Streckgrenze).

Es wird zuerst die obere Grenze, also die Würfelfestigkeit des Betons erreicht, erst dann tritt eine Verschiebung der Nullinie nach unten ein, wodurch bei gleichbleibender Betonspannung eine sukzessive Erhöhung der Eisenspannung zur Streckgrenze und darüber hinaus bis zur Bruchgrenze.

Durch Ausrechnung vieler Beispiele habe ich gefunden, daß in diesem Sonderfall das Eisen sehr weit über die Streckgrenze hinaus beansprucht wird, bei Stahl sogar, wo die Streckgrenze und Bruchgrenze ziemlich nahe liegen, reißt der Stahl, d. h. daß seine Bruchgrenze erreicht.⁶ Daß die Berechnung mitunter sogar auch höhere Werte liefert wie die Bruchgrenze, dürfte noch in der Ungenauigkeit der sonst gemachten Annahmen liegen.

7l=72,2

Wir wollen nun Fall c an Hand zwei oben durchgerechneter Beispiele untersuchen.

Zuerst Versuchsbalken von Schüle auf S. 4. Versuch von Schüle.

270

1,93

Eß 140 • io³ io³

■d'e =

3 200

L5⁶

47^7,5/-Ter*

Abb. 21.

2,100 • IO³

IO³

Versuch mit stahlbewehrten Decken von Kossel & Cie.

-3

154

Eß

140-io³ io3 „„    8400

E E 2100 • io³ io3 Durch das im vorangehenden gezeigte Verfahren kann man also mit Leichtigkeit erkennen, ob für einen gegebenen Fall die amtlichen Bestimmungen gute Resultate liefern werden; ebenso läßt sich mit einer ziemlichen und meist hinreichenden Genauigkeit beim ersten Versuch sagen, welcher Wert für oS} % einzusetzen ist, um das Tragmoment eines Balkens Voraussagen zu können.

Oe

4,o

h=6

l% = ‘/,037<r&

Abb. 22.

¹

Vgl. Beton u. Eisen 1907, S. 82.

F ruch thän dl er, Beitrag zur Theorie des Eisenbetons.

²

   Vgl. Theorie des Eisenbetons, 3. Aufl., S. 82.

³

   Vgl. z. B. Mörsch, 3. Aufl., S. 99. Prof. Mörsch findet dort nach den Bestimmungen die Spannungen bei Bruch:

bei 1,4% Bewehrung ag = 3050 kg/cm³, ab= 185 kg/cm³.

⁴

Die Tatsache, daß unter Umständen die Zuggrenze des Stahles überschritten werden kann, ist nicht neu; eine lose Bemerkung darüber finde ich im „Beton u. Eisen“, Jahrg. 1908. Heft. XV, S. 364 unten.

⁵

Übrigens möge an dieser Stelle noch hervorgehoben werden, daß nach der üblichen Theorie der Verbundkonstruktion sich nur ein geradliniger Verlauf der Deformation (Linie der Pressungen und Dehnungen) aufrechterhalten läßt. Ein geradliniger Verlauf der Spannungen selbst ist für Beton und Eisen nicht zu erreichen, wovon man sich leicht durch ein maßstäbliches Aufträgen der Spannungen bei einem beliebigen Eisenbetonbalken überzeugen kann.

Abb. 7.

⁶

Meiner Ansicht nach liegt die Ursache der Erscheinung, i'"r~ daß die Bruchgrenze des Eisens nahezu erreicht wird, darin, daß der Beton nach Erreichung der oberen Spannungsgrenze noch imstande /t . ist, Zusammenpressungen aufzunehmen, und es tritt eine Verbiegung l.„ des Spannungsbildes ein, etwa nach beistehender Abb. 23. Durch „ diese Vorgänge wird das Eisen immer höher beansprucht, bis nahe ße an die Bruchgrenze.

Die Abweichung von dem geradlinigen Verlauf dürfte sich vielleicht dadurch erklären, daß der Beton dem Hookschen Gesetz insbesondere in der Nähe der Bruchgrenze nur näherungsweise folgt.

Fruchthändler, Beitrag zur Theorie des Eisenbetons.

8. Plattenbalken. Theorie.

Die bisherigen Untersuchungen bezogen sich hauptsächlich auf Eisenbetonbalken bzw. Platten rechteckigen Querschnittes. Bei der großen Bedeutung, welche der Eisenbeton-Plattenbalken einnimmt, ist es erforderlich, sich auch mit diesen Balken näher zu beschäftigen und vor allem zu

Abb. 23. .

untersuchen, wie sich die wirklichen Spannungen beim Bruch zu den nach den amtlichen Bestimmungen berechneten verhalten.

Wie bei der sonst heute geltenden Theorie, sind auch bei der neuen Berechnungsgrundlage zwei Grundfälle zu unterscheiden, und zwar:

1.    die Nullinie fällt in die Platte,

2.    die Nullinie geht durch den Steg.

Für den ersten Fall gelten natürlich dieselben Beziehungen, wie für den Balken rechteckigen Querschnittes, da doch die Zugspannungen in der Zugzone keine Berücksichtigung finden.

Hier möge deshalb nur auf den zweiten Fall eingegangen werden, wo die Nullinie durch den Steg geht.

Wie in den amtlichen Bestimmungen, möge hier auch die Annäherung gemacht werden, daß die Druckspannungen im Steg selbst nicht berücksichtigt werden. Zwar bietet die Berücksichtigung dieser Spannungen keine besonderen Schwierigkeiten, auch sind die sich ergebenden Beziehungen nicht sehr kompliziert, die Annäherung wird jedoch aus dem Grunde gemacht, weil der gemachte Fehler nur unwesentlich ist und sich die Beziehungen dadurch doch wesentlich vereinfachen.

qc -T d.

Ur

Die Gleichgewichtsbedingungen im horizontalen Sinne lauten:

Oß + Ou 7    7    n    x

u d — fe * x •    •    4/

x — d

■f

X

da

ou =

• ob,

/;

Abb. 24.

bd ( x — d\

— fe ’ Os< x.

//

Ï______

daraus

2 X — d 2 k ■ fe

bd

mit

Os, »

ob

fe

und

2 I I - T—T K

Abb. 25.

Der Abstand y des Druckschwerpunktes von der neutralen Schicht ergibt sich genau so wie nach den amtlichen Bestimmungen zu

y = x---b --Tr >

2 d (2 x — d)

woraus nach Einsetzung des Wertes x aus Gl. 4*)

x-y=~₂

cl

feK

• 5)

Die Spannungen ergeben sich mit diesen Werten:

GS,x =

fe{h — x + y)

4*-!(

feK) J

7)

„ ffs,x

°b = ~k

Es mögen nun diese Resultate an Hand einiger Beispiele untersucht werden. Hervorheben möchte ich nun, daß die Anzahl der Veröffentlichungen von Bruchversuchen mit Plattenbalken, bei welchen die Überwindung der Zug- und Druckspannungen infolge Biegung erfolgte, nur beschränkt ist, bei den umfangreichen Versuchen z. B. des Deutschen Betonausschusses (Heft IX, X und XII) sind stets die Schub- bzw. die Haftspannungen überwunden, was schon aus den photographischen Abbildungen dieser Veröffentlichungen zu ersehen ist.

9. Beispiele.

Versuche des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton.

Als Beispiel für Plattenbalken möge zunächst die Reihe g aus Heft XII der Versuche des Deutschen Betonausschusses herausgegriffen werden. Reihe g gehörte zu den Vorversuchen und war die Bruchlast durch Überwindung der Streckgrenze des Eisens eingetreten, weshalb — da der Zweck der Versuche die Untersuchung der Schub- und Haftspannungen war — bei den eigentlichen Versuchen noch eine bedeutend verstärkte Eiseneinlage mit einer höheren Festigkeit verwendet wurden. Tatsächlich ist auch bei den Hauptversuchen stets der Bruch durch Überwindung der schiefen Hauptzugspannungen eingetreten.

so

Die Dimensionen des Balkens waren

b = 50 cm, d •= 1 o cm, h = 35 cm², a = 5 cm², /; = 4 0 23 + I 0 14= 18,16 cm².

Abb. 26.

Die Streckgrenze des Eisens war os = 2600 kg/cm², die Würfelfestigkeit des Betons oB — 240 kg/cm².

Nach den Bestimmungen ergibt sich:

bd²    . n .

— + n -fe (h — a)

= 15-65 cm,

bd + n-fe

x — g^ -

d²

2    6(2* — d)

= 4,21,

= 2900 kg/cm²,

°e fe (h — x Ą- g)

oB =

Oe • X

n {h — x)

= 156 kg/cm².

2*

Nach meiner Methode wäre mit

2900 240 d d²

= I2,

x = 17,7 cm²,

feK

= 5 — 0,46 = 4,54 cm²,

Oe =

1615 000

f₆(h—x + y) 18,16(35 — 4,54)

= 2920 kg/cm²,

°b = k

oe 2920

12

= 242 kg/cm².

Versuche von Relia und Neffe, Wien.

Als weiteres Beispiel möge noch ein Plattenbalken aus den Versuchen von Relia & Neffe, Wien, vorgeführt werden (vgl. Beton u. Eisen 1909, S. 64).

Von diesen Versuchsbalken ist der Balken Vb durch Überwindung der Streckgrenze des Eisens zum Bruch gebracht worden. Die Dimensionen dieses Balkens waren

Abb. 27.

b = 35 cm, d = 7,3 cm, h — 29 cm, fe = 3 0 20 = 9,5 cm².

Das Bruchmoment war M = 750000 cmkg.

Die Streckgrenze war os = 2600 kg/cm².

Die Würfelfestigkeit war Ob — 150 kg/cm².

Nach den ministeriellen Bestimmungen ergibt sich:

35-53,3

+ l5-9,5-29

35-7,3 + i5-9,5

== 12,8 cm²,

7,3

53,3

6(2• 12,8 750000 ^”9,5(29 — 3,16

7,3)

= 3P6 cm,

= 3050 kg/cm²,

3050-12,8 15 (29 — 12,8) Nach meiner Methode wäre mit

ob =

= 161 kg/cm².

3100

160

= ¹9,5,

x = 13 cm,

Oe =

d² ₌ 7,3

'feK 2 75000

53,3

9,5 • 19,5

= 3,26,

Ob =

9,5 (29 — 3,26)

3070

= 3070 kg/cm²,

W,5

= 158 kg/cm².

10. Deformationsdiagramme bei Plattenbalken.

Die gute Übereinstimmung obiger Ergebnisse meiner Methode mit den ministeriellen Bestimmungen erklärt sich sofort, wenn man sich hierzu das Deformationsdiagramm des Querschnittes aufzeichnet, ähnlich wie dies

auf S. 14ff. geschehen. Man sieht sofort, daß der Querschnitt bis zum Bruch beinahe genau eben bleibt, weshalb die Bestimmungen in diesem Fall fast ein genaues Ergebnis mit der Wirklichkeit geben müssen.

Fragen wir nun, wo die Grenze liegt, bei der noch die Bestimmungen richtige Werte liefern, so müssen wir ähnlich verfahren, wie das oben für rechteckige Querschnitte schon geschehen.

x > n

A'b

JC

gilt auch hier als Kriterium für die drei Fälle. Für die beiden ersten Fälle, wo

x n h — x ~

Abb. 28.

7i-oc

ist die Differenz gegenüber den amtlichen Bestimmungen entweder nur gering, oder sie ist überhaupt nicht vorhanden, da bis dahin die Eisenstreckgrenze zuerst erreicht wird und der Bruch durch Verschiebung der Nullinie nach oben nur wenig aufgehalten wird, da sich der Hebelarm nur gering ändern kann. Nach Überschreitung der Streckgrenze des Eisens ist der Bruch nicht mehr lange aufzuhalten. Anders natürlich ist es, wenn zuerst die Druckfestigkeit des Betons erreicht wird und durch eine auch nur geringe Verschiebung der Nullinie nach unten bei verhältnismäßig geringer Steigerung der Eisenspannung die Druckkraft bedeutend wächst.

Verfolgen wir weiter obige Beziehung. n ^ x K ⁼ h — x

oder

fe

T d : h--

wenn wir nun

fe

bd

= P 7o.

setzen, so ist

ti

2.(1 — p K) a —

2 (1 —p K)

2 (¹ — p K)a — 1

oder weiter

— 2 p a K— 1 ’ [2 na — 2 p na K — n\ > K,

(2 a — 1) n > (1 + 2pna) K,

(2 a — 1) n 1 + 2pna

wenn wir also z. B. nach dem Beispiel des Deutschen Betonausschusses für

7)

fe

r = bd = °'°⁵⁶

annehmen, so muß

(2-3,5 — i) 15

1 + 2. o,036 • 3,5 • 15 —

damit der erste und zweite Fall eintreten, d. h. es muß K ^ 19 sein.

muß ob =

Bei einem normalen Handelsrundeisen von 3000 kg/cm² Streckgrenze 3000

19

= 158 kg/cm², damit der Querschnitt eben bleibt.

Ist oB> 158 kg/cm², so tritt Fall 1 ein und es wird zuerst die Streckgrenze des Eisens erreicht.

Ist ff# <158 kg/cm², dann würde Fall 3 eintreten, und es wird zuerst die Druckgrenze des Betons erreicht.

Man sieht schon daraus, daß für Plattenbalken im Gegensatz zu Balken rechteckigen Querschnittes in der Regel das Eisen zuerst seine Streckgrenze erreichen wird, denn der Beton wird doch meistens eine höhere Druckfestigkeit haben wie 150 kg/cm².

Nur bei Anwendung von Stahl mit hoher Streckgrenze etwa bei 6000 kg/cm² wird wieder in der Regel Fall 3 eintreten, und da wird bei einem Beton von z. B. 150 kg/cm² Druckfestigkeit die Differenz zwischen Rechnung nach den Bestimmungen und der Wirklichkeit schon recht erheblich. Unter normalen Verhältnissen, etwa bei Rundeisen mit 3000 kg/cm2 Streckgrenze und 240 kg/cm², wird Fall 1 eintreten und zwar um so merklicher, je breiter die Platte des Plattenbalkens ist. Da die Streckgrenze des Eisens zuerst erreicht wird, so kann seine Beanspruchung nicht viel wachsen und man wird der Wirklichkeit am nächsten kommen, wenn man für os in dem Ausdruck K den Wert der Streckgrenze nur um ein weniges übersteigt. So z. B. habe ich gefunden, daß bei einer Streckgrenze von ca. 2800 kg/cm² und einer Zugfestigkeit von ca. 4000 kg/cm² für os am besten der Wert von ca. 3000 — 3200 kg/cm² gewählt wird. Will man für jeden Fall sicher gehen und wählt das o gleich Streckfestigkeit, so weichen die Ergebnisse ein wenig von der Wirklichkeit, aber zugunsten der Sicherheit ab.

11. Reine Betonbalken.

Wir wollen nun noch die gefundene Theorie auf den Fall eines reinen Betonbalkens anwenden, vornehmlich auf den Fall rechteckigen Querschnittes. Die vorgeführte Theorie kann als ganz allgemein für alle Balken homogenen Querschnittes gelten, die ein verschiedenes elastisches Verhalten für Zug und Druck aufweisen. Wenn auch der reine Betonbalken für die Praxis keine wesentliche Bedeutung hat, so ist doch folgende Nachweisführung insofern von Wichtigkeit, als dadurch die bisher ungeklärte Tatsache, daß bei Biegung homogener Betonbalken die Zugfestigkeit wesentlich größer ausfällt als die an Probekörpern direkt gemessene Zugfestigkeit, auf derselben Grundlage Aufklärung findet, wie die Eisenbetonbalken rechteckigen Querschnittes sowie Plattenbalken. Dadurch ist m. A. der Hauptwert der angewandten Hypothese nachgewiesen, denn es werden durch sie alle Erscheinungen der verschiedenen Balkenkategorien nach derselben Erscheinung gleich gedeutet.

= K und das Material möge genau oder annähernd dem Ox

oB

Es sei

Hookschen Gesetz folgen. Nach der Gleichgewichtsbedingung im horizontalen Sinne muß

x    h — x    fj

fodF=fo'dF\ da - =

und

ob

ölt?

Ox

xJy

' d F' oder

crâF

G*

h — x

T fy'dF' ¹ 0

I Sh-x

7t,

1.

■o’dF’

fydF

K Sx

Abb. 29.

Daraus ist x leicht zu finden.

Sx, Sh—x bedeuten die statischen Momente der oberhalb und unterhalb der Nullinie liegenden Teile des Querschnittes in bezug auf die Nullinie. Für den Fall eines rechteckigen Querschnittes ist

Sx = —bx² und Sh—x^—bUi — x)²,

3    3

h — x

<SB

JC

somit

und

Aus der Momentengleichung

Abb. 30.

■ oB ■

C/J I KJ

ist

°B W

wenn

mit W das Widerstandsmoment des rechteckigen Querschnittes

Ob

Ox = ^FF

3)

Als Beispiel für diesen Fall mögen die in Mörsch „Der Eisenbetonbau“, 4. Aufl., S. 33 mitgeteilte Versuchsreihe von Hanisch und Spitzer vorgeführt werden. Wir greifen den Balken Nr. 2 heraus.

Die Bruchfestigkeit oB = 329 kg/cm².

GO

Die Zugfestigkeit ox = 24 kg/cm².

Abb. 31.

Die Dimensionen waren h = 11,5 cm, b = 60 cm.

Das Bruchmoment für eine Querschnittsbreite von 1 cm betrug

955 cm kg.

Nach Navier berechnet sich beim Bruch

= 43.2 kg/cm².

M 955

22,1

Dieser Wert überschreitet fast um das Doppelte den oben angegebenen

Wert der Betonzugfestigkeit.

Nach unserer Methode wäre für den vorliegenden Fall

nach Gleichung 2):

K=⁽^    329

Ox

24 ’

K= i3,7

OB = w

M K+1    955 13,7+1

22

320 kg/cm²,

= 23,2 kg/cm².

Ox =

320 i3,7

Die Übereinstimmung mit den wirklichen Spannungen ist also danach eine vortreffliche.

Ich möchte an dieser Stelle einen Umstand noch erwähnen und klären.

Es könnte leicht der Vorwurf erhoben werden, daß nach meiner Methode die Spannungen vorausgesetzt und dann wieder errechnet werden, was eigentlich ein „Sich-im-Kreis-bewegen“ bedeutet. Nun ist es zwar richtig, daß ich in allen vorangegangenen Beispielen stets die Spannungen vorausgesetzt habe und sie dann wieder zum Schluß berechnete, aber dieses geschah nur, um einen Vergleich mit der alten Theorie zu veranschaulichen. Der richtige Weg wäre eigentlich der, daß auf Grund der vorausgesetzten Spannungen das Moment ermittelt wird, welches der Balken zu tragen vermag und dieses mit dem wirklichen Tragmoment verglichen wird. Anderseits kann man sich aber mit Leichtigkeit davon überzeugen, daß, wenn man in obigen Beispielen andere Werte eingesetzt hätte, die Schlußspannungen von den vorausgesetzten (wirklichen) Spannungen verschieden ausgefallen wären. Gerade in der Übereinstimmung der vorausgeschickten Spannungen mit den aus den Formeln bei dem vorhandenen Bruchmoment errechneten Spannungen ist ein Beweis für die Richtigkeit der Theorie.

12. Parabelförmige Deformationskurve.

Ich habe bis jetzt immer vorausgesetzt, daß in allen behandelten Fällen das Hooksche Proportionalitätsgesetz zwischen Spannung und Dehnung zutreffe, und es wurde folgerichtig dann ein geradliniger Spannungsverlauf eingeführt. Ich möchte nun auf die mitunter nicht zu geringen Abweichungen aufmerksam machen, die dadurch entstehen, daß das Betonmaterial ziemlich erheblich und zwar gerade in der Nähe des Bruches von dem Hookschen Gesetz abweicht. Setzen wir also einen stark bewehrten Betonquerschnitt voraus, so wurde nach obigem angenommen, daß das Spannungsdiagramm wie nebenstehend ausfällt.

Nachdem am oberen Rande die Betonbruchspannung erreicht ist, tritt ein Senken der Nullinie mit einem gleichzeitigen Wachsen der Eisen-

Zugspannung ein, wobei das Gleichgewicht der Spannungen im horizontalen Sinne gewahrt bleiben muß.

Durch den Umstand, daß der Beton dem Hookschen Gesetz nicht folgt, ist noch ein zweiter Vorgang im Spannungsverlauf möglich. Nach der Erreichung der Bruchspannungsgrenze des Betons tritt ein Spannungsbild nach nebenstehender Abb. 33 auf. Man kann die Kurve als Parabel

Off

'3/sx

-D

JC

7i

7v

s/sx

t____

-Z

Abb. 32.

Abb. 33.

Bei diesem Spannungsverlauf ist derselbe

näherungsweise annehmen.

Betonquerschnitt imstande größere Druckspannungen aufzunehmen wie beim dreieckigen Spannungsverlauf.

Die Gleichung für die Nullinie wäre:

daraus

— bxoB = feos

-M*

. 2**)

oB = —

^ bx^h--x'j

3**)

(ls =

Diese Gleichungen liefern für stark bewehrte Querschnitte Ergebnisse, die sich der Wirklichkeit noch besser nähern, wie nach den Formeln 2*), 3) auf S. 10.

Für gewöhnliche Berechnungen genügen aber die Formeln des geradlinigen Verlaufs.

13. Anwendungen der neuen Theorie.

Ich komme nun zu dem letzten Abschnitt meiner Abhandlung, zu den Anwendungen meiner Theorie in der Praxis des Eisenbetons. Ist man zu der Überzeugung gelangt, daß die oben gefundenen Grundlagen der neuen Berechnung richtig sind bzw. sich der Wirklichkeit viel besser nähern, wie die der amtlichen Bestimmungen, so eröffnet sich ein ganz neues Feld der Dimensionierung der Eisenbetonkonstruktionen und zwar in tabellarischer Form.

Wie wünschenswert die Zurückführung der ganzen Bemessungsfrage auf eine einheitliche Tabellenform ist, werden am besten diejenigen Leser empfinden, die entweder selbst häufig in die Lage kommen, Spannungen für Behörden bei statischen Berechnungen nachzuweisen, oder als Leiter von technischen Büros beobachten können, wieviel Zeit solche Spannungsnachweise erfordern.

Es läßt sich auf Grund der oben entwickelten Theorie eine einfache Beziehung zwischen der Höhe der Konstruktion, der Breite, der vorgesehenen Bewehrung und dem Tragmoment aufstellen, ähnlich wie sie nach den amtlichen Bestimmungen für rechteckige, einfach bewehrte Balken vorhanden ist.

Zu den wichtigsten Punkten des neuen Verfahrens gehört die Kenntnis der Materialfestigkeiten. Die Streck- und Bruchgrenze des Eisens bzw. Stahls wird man im allgemeinen kennen, da diese Werte bei der nämlichen Bezugsquelle nicht sehr schwanken. Anders liegen aber die Verhältnisse beim Beton, hier muß stets für jedes Bauwerk beinahe durch Bruchproben mit Würfeln oder Probebalken das zugehörige ob ermittelt werden. Bei größeren Bauwerken, die in verschiedenen Jahreszeiten ausgeführt werden, müßte auch der Einfluß der Temperaturschwankungen auf die Festigkeiten berücksichtigt werden. Es mag sein, daß sich mit der Zeit eine gewisse Norm bezüglich der zu erzielenden Festigkeit gewinnen ließe, vorläufig müßte aber eine genaue Kontrolle der Betonfestigkeit geübt werden.

Jedenfalls wäre eine genaue Einhaltung der garantierten Würfelfestigkeit (im Gegensatz zu dem zurzeit üblichen Verfahren) eine Hauptbedingung. Dieser Erschwerung der Eisenbetonpraxis ständen aber soviel Vorteile in der Einfachheit der Berechnung, sowie — was die Hauptsache ist — die Erzielung eines einheitlichen Sicherheitsgrades für die Eisenbetonkonstruktionen gegenüber, daß man meines Erachtens obige Erschwerung doch mit Genugtuung in Kauf nehmen sollte.

Die Tabellen sind folgendermaßen aufgestellt.

Für Balken rechteckigen Querschnittes gibt

« ro

°n,

*fe

■ K nach Gleichung 2*) auf S. 10.

2p

100

• h K,

{, = -£—-bh

IOO

V

i~— sei die sogenannte Bewehrungsziffer in °/₀.

M = pbh-K ^

100

daraus ist

h = —j—jr.

y pbK^i

jpK^OB

¹ — ypK) °B

Vt-

• I)

M bedeutet darin das Bruchmoment. Es muß nun die gewünschte Sicherheit eingeführt werden. Bisher war beim Beton die geforderte Sicherheit m — 6, für das Eisen war bei o = 1000 kg/cm² m = 3 — 4 gegen die Bruchgrenze. Nach meiner oben entwickelten Theorie werden nun die Bruchfestigkeit des Betons, sowie die Streckgrenze des Eisens (bzw. ein Wert zwischen der Streckgrenze und der Bruchgrenze) gleichzeitig erreicht, so daß es gerechtfertigt erscheint, einen einheitlichen Sicherheitsgrad einzuführen. Die Sicherheit eines normalen Eisenbetonbalkens rechteckigen Querschnitts bewegt sich ungefähr um die Zahl 4. Ich glaube also mit Recht den Koeffizienten m = 4 in Vorschlag bringen zu können. Der Unterschied zwischen meiner Berechnung und der nach den Bestimmungen ist nur der, daß bei mir dieselbe Sicherheit dann für alle Eisenbetonbalken gilt, ohne Rücksicht auf die Bewehrungsziffer, während die Sicherheit nach den Bestimmungen stark schwankt, je nach der Bewehrung zwischen 3 bis 10 und noch mehr.

Führt man nun in obiger Gleichung I statt des Bruchmomentes so lautet die Gleichung

‘-K

pK( 1 — f • pk)oB

1 /SH 1 /SW

VT-r-VT

Die Tabelle erhält nun die Werte des Koeffizienten f.i, so daß aus derselben bei gegebenen K und oB und nach Wahl der Bewehrungsziffer die minimale Höhe ermittelt wird. Die Wahl der Bewehrungsziffer richtet sich nach der zur Verfügung stehenden Höhe; ist dieselbe nicht beschränkt, so wählt man eine geringe Bewehrungsziffer (etwa 0,5 °/₀), bei beschränkter Konstruktionshöhe muß p größer angenommen werden.

Wie aus der Tabelle zu ersehen ist, ist die erforderliche Höhe unter Umständen größer als sie nach den Bestimmungen bei

oB = 240

bei höheren Bewehrungsziffern jedoch sowie bei höherem K bleibt das h unter dem nach den Bestimmungen erforderlichen.

Die Tabelle muß sich erstrecken auf die Gebiete der Bruchfestigkeit des Betons, also etwa für

<Tß = 150, 180, 200, 240, 280, 300 kg/cm².

6 Tafeln würden somit für die meisten Fälle der Praxis genügen; auch die Bewehrungsziffern p genügen in der Grenze von 0,5 bis 1,5 °/₀.

Man wird geringere Bewehrungsziffern unter 0,5 °/₀ wohl aus konstruktiven Gründen nicht anwenden, höhere Bewehrungsprozente werden schon wegen ihrer Unwirtschaftlichkeit vermieden werden.

Für Plattenbalken ließe sich eine Tabelle auf etwa folgender Grundlage aufstellen.

Es war nach Gleichung 6 auf S. 19 das Bruchmoment

x + y) = feOß-K^h---j (

°B

wenn fe =

100

• bd eingeführt wird, so ist

mW

dP

ob-K-

pbd

-— p

100

bd

100

oder mit Vernachlässigung des zweiten Gliedes, das für die Höhe h nicht von Bedeutung ist

o>

(z. B. b = 150, d = 10, K= 15, f = 1 °/

ist

^²

100

I5-I5

= o,45 cm).

100 • K

Ob-

K p bd

100

II)

V ---1--

bd' 2

Die Tafel II ist für die Werte des Koeffizienten v für eine Betonfestigkeit von oB = 240 kg/cm² aufgestellt.

Ähnlich wie bei Balken rechteckigen Querschnittes reichen auch hier 6 ähnliche Tafeln mit

oB == 150, 180, 200, 240, 280, 300 kg/cm2 für die Bedürfnisse der Praxis aus.

Bei bekanntem bd wird die Bewehrungsziffer p nach der zur Verfügung stehenden Höhe des Balkens gewählt und dann mit größter Einfachheit dimensioniert. Ein Spannungsnachweis erübrigt sich.

Ich möchte hier nochmals hervorheben, daß die Dimensionierung nur auf die Überwindung der Biegungsspannungen am Orte des größten Momentes geschieht, daß dabei noch keine Rücksicht auf die Frage der Scher- und Schubspannungen genommen wurde. Diese Frage muß wie in den amtlichen Bestimmungen getrennt behandelt werden und soll hier darauf weiter nicht eingegangen werden.

Es ist vielmehr die Annahme getroffen, daß stets die Schub- und Plaftspannungen durch entsprechende Verbundvorkehrung mit genügender Sicherheit aufgenommen werden.

Auch ist die Frage der Dimensionierung eng verknüpft mit der Annahme der mitwirkenden Plattenbreite. Ich glaube, man läßt es am besten

bei b = — (Ä der Spannweite), wie in den amtlichen Bestimmungen.

Immerhin ist es gut, stets das im Auge zu behalten, daß dieses nur eine nicht ganz geklärte und sichere Annahme und die Sicherheit der Konstruktion damit im Zusammenhänge steht.

Ein Beispiel möchte noch für die Dimensionierung eines Plattenbalkens vorgeführt werden.

150

M. = 800 000 cmkg.

gb = 240 kg/cm², os = 3400 kg/cm², b — 150 cm, d — 10 cm.

K. = 14.

Abb. 34.

h

.1

a) Die Höhe sei beschränkt:

Bewehrungsziffer p — 2 °/₀ , v = 0,0595,

800000

, 9Jl , d h = v'Td ⁺ ~7°‘0,0595 '

IO

150• 10

+ — = 32 + 5 2

= 37 cm

u-

2 • 150• IO

100

— 30 cm².

b) Die Höhe sei nicht beschränkt: P = ¹ %• h — o, 119 •

800 000

150 • 10

io

4--= 64 + 5

2

= 69 cm

fe =

1 • 1500

IOO

= 15 cm².

Bei denselben Balkenhöhen ergibt sich auf Grund der ministeriellen Bestimmungen eine etwas geringere Eiseneinlage. Der Grund hierfür liegt darin, daß in diesen Fällen der nach den Bestimmungen dimensionierte Balken keine vierfache Sicherheit besitzt. Man könnte sich allerdings auch auf den Standpunkt stellen, daß eine dreifache Sicherheit schon genügt; in Eisenkonstruktionen ist tatsächlich kaum eine größere Sicherheit vorhanden. Der große wirtschaftliche Vorteil der neuen Berechnung äußert sich allerdings erst bei hohen Werten von K, also bei Eiseneinlagen mit hoher Streckgrenze.

14. Schlußbemerkungen.

Durch die neue Berechnung wird die ganze Eisenbetontheorie auf eine Grundlage gebracht, die eine gleichmäßig große Sicherheit, unabhängig von der Güte des Betons und des Eisens, sowie unabhängig davon, ob es ein Plattenbalken oder Rechteckbalken ist, verbürgt.

Durch obige Abhandlung wird natürlich das wichtige und schwierige Gebiet der Schub- und Haftspannungen nicht berührt. Gelingt es auch diese Frage einwandfrei zu lösen, dann hätte der Eisenbeton eine sichere, von der Willkür der prüfenden Behörde unabhängige Grundlage gewonnen.

Die Theorie der Bestimmungen sowie meine neue Berechnung verlangen beide den Nachweis der Materialfestigkeit, der Unterschied ist nur der, daß während nach der älteren Theorie infolge ihrer Unzulänglichkeit dieser Nachweis gewöhnlich unterbleiben konnte, wäre für die neue Berechnung die genaue Kenntnis der zu erzielenden Beton- und Eisenfestigkeiten unerläßlich. Die Baukontrolle wäre viel schärfer zu handhaben, dagegen würde die Rechnungskontrolle bedeutend erleichtert. Für bestimmte Kies- und Zementsorten kann zu einer bestimmten Jahreszeit die Festigkeit des Betons nicht viel schwanken, und da würde sich mit der Zeit sicher ein Weg finden, um das zu viele Versuchen zu ersparen; bei größeren Bauwerken wird jedoch immer eine vorherige Kontrolle der Festigkeiten erwünscht bleiben. Beim Eisen bzw. Stahl wird die Kenntnis der Festigkeiten, der geringen Schwankungen wegen, ohne Schwierigkeiten erzielt.

~ j • w • w • m s* P P P P P

Ui 4^    w'hh o \D CO    Q\ Ui

0,586 0,538 0,497 0,470 0,445 0,422 0,39610,388 0,375 0,362 0,351 0,341 0,332 o,535 0,493 0,458 0,430 0,40710,388 0,370 |o,357 0,345 o,335 0,325 0,317(0,307 o,5oo 0,458 0,425 0,401 0,469 o,43o 0,400 o,377 0,443 0,40610,379 0,356 0,421 0,388 0,362 0.340 0,404 o,372 0,346 0,325 0,396 0,357 0,333 0,316 o,374 0,344 0,322 0,306 0,362 0,333 0,312 0,296 0,352 0,324 0,304 0,287

Tafel II.

Dimensionierungstabelle für Plattenbalken.

(Tabelle des Koeffizienten v.) Sicherheitsgrad m = 4, mit oB — 240 kg/cm²,

, d

V -----.

bd ' 2

IOO • fe b-d ’

Tafel I.

Dimensionierungstabelle für einfach bewehrte Balken rechteckigen

Querschnittes.

(Tabelle des Koeffizienten tu.)

mit oB = 240 kg/cm²,

Sicherheitsgrad m = 4,

100 • fe

*-V

KoB-p( 1 • $pK)

10

12

14    16    18

20

22

24    26    28    30    32    36

10

12

14

16

18

20

22

²4

26

28

30

OOOOO^-^

M M    J“¹    ^    ^ ^ ^ ^    ^ ^ ^

Cn 4* *io ~0 ^00 "cn Ln 4^ (Sj y "h y    CO    Cn

0,128    0,107    0,092    0,080    0,711    0,0641    0,0583    0,0535

0,1195    0,099    0,085    0,075    0,⁶⁶¹    0,0595    0,0541    0,0495

0,111    0,092    0,079    0,070    o,bi6    0,0556    0,0505    0,0460

0,104    ⁰,⁰87    0,0745    0,065    0,0577    0,052    0,0474    0,0435

0,0925    0,0775    0,0665    0,058    0,0515    0,0463    0,0420    0,0387

0,0835    0,0695    0,0595    0,052    0,0463    0,0417    0,0378    0,0347

0,076    0,063    0,054    0,0495    0,042    0,0379    0,0344    0,0315

0,0695    0,0575    0,0499    0,0435    0,0385    0,0347    0,0315    0,0285

0,0665    0,0556    0,0478    0,0740    0,0370    0,0334    0,0303    0,0273

0,174

0,149

0,185    0,167    0,1515 0,139

0,154    0,139    0,1261 0,115

0,132    0,119    0,1081 0,099

0,1155 0,104    0)948    0,0870

0,103    0,0925 0,841    0,775

0,0926 0,0834 o-°757 0,0695 0,084    0,0759 0,0689 0,0630

0,0695 0,0631 0,0575

0,128

0,1068

0,0915

0,0800

0,0712

0,0641

0,0582

0,0534

0,0493

0,0457

0,0426

0,0400

0,0356

0,0320

0,0291

0,0267

0,0560

0,1195 0,1013 0,0999 0,0929 0,0850 0,0795 0,0745 0,0695 0,0665 0,0618 o,o595 o>o556 o,o54    0,0506

0,0499 0,0464 0,0460 0,0428 0,0425 0,0398 0,0395 0,0371 0,0372 0,0347 0,0332 0,0308 0,0297 0,0278 0,0270 0,0253 0,0249 0,0232 0,0299 0,0222

Versuchsdecken der Firma Kossel & Cie., Bremen.

Geprüft durch das Materialprüfungsamt Groß-Lichterfelde.

-Z,=230 -L₂=200-

18StnHdräMe von O,08cm <fi

V Verteäu/iffseisen von 0,8 cm &

imi

1:2

775

700

WT

\51 f

Längenschnitt der Stahlbetondecken.

-700

18 Stuhldrä/ite von o,w cm,<p

O Vertei/iengveisen von 0,8 cm /

-700

Querschnitt der Stahlbetondecken.

200

V/.

mmmmm.

«0

8,0-8/7-0,8

cm

^Rundßisen von 0,8 cm <f> 0,0/7,ocm

Ferteüungsemen von 0,8cm/>

700/1,Ocm-

CNJ?]\7r/o

■2,8 cm/'

V///S.

5).

wmm

-25

-25

Details der Auflagerung.

Versuchsdecken der Firma Kossel & Cie., Bremen.

Geprüft durch das Materialprüfungsamt Groß-Lichterfelde.

-Lz=200

iZBimdeioen von O, s cm &    \    | ł

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Y/aÆ,

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MM

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Längenschnitt der Rundeisendecken.

■700

72Jîu/ideiven von 0,8 cm (p Z

-703

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Querschnitt der Rundeisendecken.

200

w.-

8fl-8,0-0,8

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WM,

Ya

-25

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Verteilunt/seisen von 0,8cm $

70,0/7,y an-

CÆPM:70 •2,8 cm (p

Ya

Y/,

-25

MM

Details der Auflagerung.

Anhang.

Ich habe auf Seite 8 vorliegender Arbeit von der Untersuchung der Formänderungsarbeit eines auf Biegung beanspruchten Querschnittes gesprochen, ohne auf die Beweisführung näher einzugehen. Es sei mir an dieser Stelle gestattet, diese Untersuchung für den Fall eines einfachen rechteckigen Querschnittes vorzuführen.

Es gelten dieselben Bezeichnungen der vorliegenden Arbeit. Die Formänderungsarbeit des Querschnittes lautet dann:

2 ad

0t ' 3 Ed ⁺ 2 '

A = -•

i b(k — x)

(Jx • -

3 Ex

Ex

Es sei -vT-, = n.

Ed

Aus der Gleichgewichtsbedingung im horizontalen Sinne gilt

b (h — x)

bx

<*d -

ox oder

Ox =

OC

h — 'jß

Od

Gleichung i) und 2) verbunden

b • öd² '

A 6®,

Für ein äußeres Moment M ist

nx 4- -—— h — x

3)

ad---h = M oder

Od =

Gleichung 3) und 4) verbunden und vereinfacht 3 • M² 71-h — x(n — i ) x(h — x)

Damit dieser Wert von A zu einem Minimum wird, muß (71— 1 )(h — x) • x + [n h — (71— i)x\ (ih— 2 x) x² • (h — x)²

(71 — 1) (h — x)x-\- [wä — (n— 1) £c] (h — 2 x) = o. x²(7i— 1) — 2 Ti h x + n h² = o

Ti = i (d. h. Ex — Ed),

2 • b ■ Ex

- C-

n-h—x(n — 1)

x (h — x)

dA

dx

= o sein =

Daraus

ist

4)

• • 5)

oder

was also der gewöhnlich gemachten Annahme entspricht, so ist

2 hx — h²,

Das bestätigt also das früher Gesagte, daß für ein gegebenes Moment ein Minimum an Formänderungsarbeit geleistet wird für ein x, das der gewöhnlichen Berechnung entspricht (also x im Schwerpunkt der Querschnittsfläche). Wächst jedoch das Moment so, daß eine der Randspannungen ihren Grenzwert erreicht, also z. B.: ax = oz (Zugfestigkeit)

eindeutig bestimmt.

b (h — x)

= konstant, dann ist x aus der Beziehung ox —

Für ein Minimum sind also die Bedingungen nicht mehr gegeben. Die Formänderungsarbeit wächst noch bei gleichbleibendem oz mit der Größe x, wobei als Grenze das Oß gleich der Druckfestigkeit maßgebend ist.

Ähnlich liegen die Verhältnisse bei einem rechteckigen Eisenbetonquerschnitt. Der Ausdruck für die Formänderungsarbeit lautet hier:

1    bx    2 ob    i feoe

A = ---Ob •---j--• • T , ■

2    2    % Eb    2 E.

Die Gleichgewichtsbedingung im horizontalen Sinne lautet:

bx

— Ob — fe 0e oder

Oe =

bx

2 fe

Ob

Gleichung i) und 2) verbunden

1 bxoh²

JL = —

i b²x²

6 Eb 8 fe Ee 1 b Ob²x

Ob²,

24 Ee

X

Je _

3)

Die Momentengleichung lautet:

bx

ob (h —    = M oder

Ob

2M

bx{h-fj

4)

Gleichung 3) und 4) verbunden und vereinfacht

, 3 b

4 n + -77- x

A= —

I Ul

-j- x

Je

fe

6 bEe

xlh--

x\²

x Ah--

x\²

Damit ein Minimum der Formänderungsarbeit eintritt, muß

dA

dx

= o sein = C-

fe

— 5)

x² I h--

oder

und weiter

—j— æ² -f- 4 w x — 4 n h — o

fe

6)

|/l ₊

nfr

x=-b

-i +

daraus ist

nfe J’

welche Gleichung dem Ausdruck für die Lage der Nullinie nach den amtlichen Bestimmungen vollkommen entspricht. Hat aber eine der Rundspannungen ihre Bruchgrenze erreicht (z. B. die Betondruckfestigkeit), dann ist ein weiteres Wachsen der Formänderungsarbeit, also auch der Tragfähigkeit, nur unter der Bedingung möglich, daß diese Spannung nicht mehr wächst. Dann ist auch das x aus der Beziehung 4) eindeutig bestimmt, wenn darin 07, diese konstante Spannung bedeutet. Für ein Minimum sind also die Bedingungen nicht gegeben und wird notwendig die Nulliuie diese Lage annehmen, welche durch die dem Balken innewohnende größere Tragfähigkeit bedingt ist.

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111-307034

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