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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000300595

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öffentlichön Arbeite« I i

Heft 13: Beiträge zur Theorie der im Elsenbetonbaü gebräuchlichen Form der Rippen-Kuppet. Von Dr. Ing. Karl W. Mautner, Oberingenieur der Firma Carl Brandt. 1911.    geh. 4 M.

rïS

geh. 4'M.

Protohollformulare sind zum Preise von 1 M. zuzüglich Porto für 12 Stück erhältlich.

Heft 14: Eine Güteprobe für Beton System Dr. v. Emperger. Von G. Keumann, Ingenieur.

Mit 9 Abb. 1911.

geh. 4 M.

Heft 15: Eisenbetonkonstruktionen bei Biegung und bei exzentrisch wirkenden Druck- oder Zugkräften. Einheitliche Verfahren zur Bemessung derselben. Für die Praxis bearbeitet von R. Wuczkowski, Chefingenieur im Spezialbureau von Dr. Ing. v. Emperger.

Mit 21 Abb. u. 23 Beispielen. 1911.

Heft 16: Schwimmkörper in Eisenbeton. Von Ingenieur

W. Stroß. Mit 154 Abb. 1911.

geh. 6 M.

Regierungsbaumeister. Mit 91 Abb. 1912 Heft 18: Beitrag zur Berechnung mehrstöckiger Rahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes.

Von Ingenieur A. Straßner.

Mit 21 Textabb. 1912.

Heft 17: Beiträge zur Theorie und Berechnung der im Eisenbetonbau üblichen elastischen Bogen, Bogensteliungen und mehrstieligen Rahmen. Von Dr. Ing. K. W. Schaechterle,

geh. 6 M.

geh. 2,60 M.

Heft 19: Ueber neuere Versuche mit umschnürtem Beton.

(Spiralumwickelte und ringbewehrte Säulen.) Von Dr. Ing. A. Kleinlogel. Mit 25 Textabb. 1912. geh. 3,20 M.

F0RSCHERAR8EITEN

AUF OEM GEBIETE OES

EISENBETONS

BEITRÄGE ZUR THEORIE KONTINUIERLICHER

EISENBETONKONSTRUKTIONEN

V BESONDERS OER MEHRSTÖCKIGEN RAHMEN / \ UND DURCHGEHENDEN BALKEN MIT /

es

HEITSMQMENT

HEFT XVIII

PREIS 2,60 MARK

VON

INGENIEUR A. STRASSNER

MIT 20 TEXTABBILDUNGEN UND i TAFEL

der

&}$ WM VERLAG vow WILHELM ERNST*SOHN pfl fĄ iC-JUtea BERLIN W. WILHELMSTRflSSE 90 feA—tijJi,

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen Vorbehalten.

BEITRAGE zur

Theorie kontinuierlicher Eisenbetonkonstruktionen besonders der mehrstöckigen Rahmen und durchgehenden Balken mit veränderlichem Trägheitsmoment

Von

Ingenieur A. STRASSNER

Mit 20 Textabbildungen und i Tafel

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BERLIN 1912

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn

SS-

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Nachdruck, auch auszugsweise, verboten

Alle Rechte Vorbehalten

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Druck von Oskar Bonde in Altenburg.

THEORIE

kontinuierlicher Eisenbetonkonstruktionen

INHALT.

Seite

Berechnung der Stockwerkrahmen .... Tabelle der Koeffizienten rj und . Unendlich lange Rahmen.....

1.    Die Mittelfelder.....

2.    Die Endfelder......

Die graphische Festpunktbestimmung

Unendlich lange Rahmen.....

Die Wärmewirkung.........

Winddruck............

Beispiel.............

Verschiedene Anwendungen (für Balkenbrücken)

io

io

13

13

20

24

²5

3°

VORWORT.

Der Inhalt der vorliegenden Arbeit beschäftigt sich zum größten Teil mit der Theorie, sowie der Berechnung mehrstöckiger Rahmenkonstruktionen. Bisher wurden die Horizontalglieder dieser Bauwerke wie einfache durchgehende Balken behandelt und die Stützen nur für zentrisch wirkende Lasten bemessen, also Annahmen gemacht, die zu wesentlich falschen Ergebnissen bezüglich der Kräfteverteilung führen mußten. Beabsichtigte man jedoch einen solchen vielfach statisch unbestimmten Rahmen ganz genau zu berechnen , so war wiederum eine umständliche rechnerische Behandlung nicht zu umgehen.

Die vorliegende Schrift erläutert eine einfache analytische und graphische Methode, die sich gegenüber anderen Berechnungsweisen als wohl anwendbar erweisen dürfte. Sie gliedert sich zum Teil an den in „Beton u. Eisen“, Jahrgang 1911/12, Heft 20 und L vom Verfasser veröffentlichten Aufsatz „Berechnung kontinuierlicher Eisenbetonträger mit Rücksicht auf die Wirkung der Vouten“ an. Wegen des genannten Aufsatzes wurde hier am Anfang, um unliebsame Wiederholungen zu vermeiden, kurz auf die eigentliche Berechnung eingegangen. Es sei deswegen an dieser Stelle ausdrücklich auf den bezeichneten Aufsatz hingewiesen.

Die bei den Stockwerkrahmen vorhandenen elastisch eingespannten Balken wurden schon früher zum Gegenstände eingehender Untersuchungen gemacht. Man suchte dabei zum großen Teil nach Koeffizienten, mit denen man die Einspannung bestimmen und somit die wirklich auftretenden Momente in den Balken berechnen kann. Es wäre als Fortschritt zu begrüßen, wenn diese Zeilen zur Bestimmung einheitlicher Koeffizienten beitragen würden.

Dem mit der Berechnung einfacher durchgehender Balken vertrauten Statiker fällt die Anwendung des hier Gebotenen nicht schwer, da keine ungewöhnlichen Kenntnisse der Elastizitätslehre vorausgesetzt sind.

Frankfurt a. Main, im März 1912.

Der Verfasser.

Berechnung der Stockwerkrahmen.

ei Bauten aus Eisenbeton stellen die sich kreuzenden Balken und Stützen mit Rücksicht auf ihren innigen Zusammenhang, der durch die bekannten üblichen Anschlußvouten noch inniger wird, Rahmengebilde dar.

Den vielen Vorteilen, die eine solche Konstruktion wegen ihres einheitlichen Charakters in hohem Maße besitzt, steht in erster Linie die Schwierigkeit einer den tatsächlichen statischen Verhältnissen entsprechenden Berechnung gegenüber.

Die Stützen, welche mit den Trägern in durchaus fester Verbindung stehen, leisten der Balkenachsendrehung elastischen Widerstand und werden somit von Momenten beansprucht, deren Beurteilung die allgemein übliche Annahme, daß der Balken über den Stützen frei aufliegt, ganz ausschließt.

Eine Berechnung nach dieser gewohnten Art und Weise kann, sofern es sich nicht um Endfelder handelt, im Hinblick auf die Sicherheit der Balken als einwandfrei bezeichnet werden, denn die so erhaltenen Feld-und Stützenmomente sind größer als die in Wirklichkeit auftretenden. Zieht man jedoch in Betracht, daß das genannte Verfahren, welches das Vorhandensein gewöhnlicher durchgehender Balken voraussetzt, eine genügende Sicherheit der Stützen in keiner Weise gewährleistet, so erscheint, auch im Hinblick auf die damit erzielten Ergebnisse bezüglich der wirtschaftlichen Konstruktion, dieses Verfahren als nicht gerechtfertigt.

Man hilft sich in vielen Fällen so, daß man die Balken, die, wie dies in den unteren Geschossen der Stockwerkrahmen oft zutrifft, mit verhältnismäßig starken Stützen verbunden sind, als vollständig eingespannt annimmt. Diese Annahme, die je nach dem Einspannungsgrade mehr oder minder großen Fehlern unterliegt, bietet grundsätzlich nichts Neues, ist jedoch in den oberen Geschossen der Stockwerkrahmen, infolge der dort naturgemäß schwachen Stützen, ganz hinfällig. Es ist dann keine Übersicht darüber geschaffen, nach welchen Gesetzen sich der Übergang vom eingespannten in den gelenkigen Fall vollzieht.

Die genaue Berechnung ist umständlich. Meistens wird hierbei vom Satze von der Formänderungsarbeit ausgegangen, und es läßt

Straßner, Berechnung mehrstöckiger Rahmen.

sich nicht leugnen, daß die so gewonnenen Gleichungen auf allgemeine Anwendbarkeit keinen Anspruch machen können, denn im Grunde genommen lassen sie sich jeweils nur ganz bestimmten Gebilden bezüglich der Stockwerk- und Felderanzahl anpassen.

Im Folgenden sei ein Verfahren entwickelt, das auf wesentlich anderen Grundlagen beruht und das in allen vorkommenden Fällen sich als anwendbar erweist.

Besondere Beachtung erfuhr auch der unendlich lange Rahmen, wobei ebenso wie auch bei den anderen Gleichungen auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes Wert gelegt wurde. Wenn man es mit Rahmen zu tun hat, deren Felderanzahl vier oder größer als vier ist, so können für die Mittelfelder die einem solchen unendlich langen Rahmen entsprechenden Gleichungen angewandt werden.

Führt man noch für die Stützen ein besonderes Elastizitätsmaß ein, so ist die Berechnung auch für solche Bauwerke anwendbar, deren Material nicht überall die gleichen elastischen Eigenschaften besitzt. Dies könnte dann in Frage kommen, wenn die Träger im Mauerwerk eingeklemmt sind, doch soll über die Zulässigkeit einer solchen Annahme hier nichts gesagt sein.

Nachfolgende Darlegungen stellen in Kürze die Grundzüge der Theorie dar.

Denkt man sich an einem Büschel von Stäben, wie dies Abb. 1 zeigt, irgend einen durchschnitten, und läßt an dessen Ende ein Moment angreifen, so wird zu dessen Aufnahme ein jeder der übrigen Stäbe seinen Teil beitragen. Die Summe dieser Beiträge muß gleich dem angreifenden Moment, also

ei

M=2M'

£7

Abb. 1.

sein, wobei die Größen der einzelnen M' von dem Wider-stände abhängen, den die Stäbe der Drehung um ihren unverschieblich gedachten Kreuzungspunkt entgegensetzen. Zur Ermittlung dieser in die einzelnen Stäbe gehenden Momente M' benutzt man den Widerstandsgrad. Dieser bedeutet den reziproken Wert des Ausschlagwinkels eines Stabendes, wenn daran M — 1 angreift, und wird auch nach Professor W. Ritter Elastizitätsmaß genannt.

Mit der Erkenntnis, daß der Ausschlagwinkel eines Balkenendes dem ihn erzeugenden Moment proportional ist, läßt sich das Verhältnis

jr _ m

X X

anschreiben, woraus mit x~

folgt. Daraus erhält man

M' — M —

• (1)

wobei e den Widerstandsgrad desjenigen Stabes bedeutet, für den das Moment erpiittelt werden soll, während e die Summe der Elastizitätsmaße

für diejenige Stäbe darstellt, die sich an der Aufnahme des Momentes beteiligen.

Beispielsweise nimmt dann der Stab 3, wenn am Stab 1 M wirkt, das Moment

auf.

M,

M-e,'

Wir gehen nun in der Weise vor, indem wir das ganze Bauwerk als ein kontinuierliches System auffassen. Zuerst sind hierin die Festpunkte zu bestimmen, deren Lagen nicht, wie man wohl erwarten könnte, mit denen des gewöhnlichen durchgehenden Balkens übereinstimmen. Die genaue Berechnung der Festpunkte erfordert lediglich die Kenntnis des Einspannungsgrades , für dessen Ermittlung obige Gleichungen nicht ohne Wert sind.

Setzt man in der allgemeinen Gleichung¹)

Irf

!■

so folgt

Iv

(2)

le

wobei rt und rf von der Balkenform abhängen und aus der angeschlossenen Tabelle zu entnehmen sind.

In bezug auf die Bezeichnungen der Abb. 2 läßt sich anschreiben

e'z

s\

6,"

&1 J K 6?| £z

ei

Abb. 2.

Irf

(3)

rj +

l'8l

(4)

worin und s₂ die Summen der Elastizitätsmaße für diejenigen Stäbe bedeuten, welche mit dem Ende des Stabes, für den a oder b in Frage kommt, in Verbindung stehen.

gl - £1 4~ U + G •

s-i = £i ~r s2 ~f~ s3

Also beträgt

Denkt man sich das ganze System um 90 ⁰ gedreht^ so können diese Darlegungen auch zur Bestimmung der Festpunktabstände in den Stützen herangezogen werden.

Aus Gleichung 2 findet man mit der Beachtung, daß s den reziproken Wert des Ausschlagwinkels an dem Balkenende bedeutet, wo M— 1 angreift, mit a = l — a

(J)

Bei konstantem Trägheitsmoment ist rj — 1 und rj — 3. Damit ergibt

sich, bei fester Einspannung des Trägerendes, mit a —    1

6

. (8)

und mit a — 0 bei freier Lagerung

(9)

Hat ——- immer denselben Wert, dann ergibt sich für mehrere Stäbe

v Ct

⁶(

1

. . . (10)

r‘-r‘~a

Viel einfacher gestaltet sich die Berechnung nach dieser Gleichung nicht, denn man hat für jeden Knotenpunkt vier Festpunkte (bei Außenstützen bloß drei) und somit auch vier Elastizitätsmaße zu berechnen, die sich jeweils aus den einzelnen 8 leicht bilden lassen.

Wird der Knotenpunkt von Träger und Stütze von einem Moment M = 1 in Angriff genommen, dann lassen sich auf Grund der Abb. 3 allgemeine Gleichungen für Koeffizienten anschreiben, mit denen man das

und in Stab 4

■ • (13)

angreifende Moment nur zu multiplizieren braucht, um dasjenige für die angeschlossenen Stäbe zu erhalten.

e't

ei

Abb. 3.

In den Stab 1

kommt das Moment

M e‘

und für M = 1

tg

In Stab 2

usw.

s bedeutet hierbei jeweils die Summe aller Elastizitätsmaße, vermindert um dasjenige für den Stab, an dem das Moment an greift, d. i. die Summe der Elastizitätsmaße für die Stäbe, welche sich an der Aufnahme des Momentes beteiligen.

Die Anwendung lehrt, daß man bei Ermittlung der Verkleinerungskoeffizienten f.i zweckmäßig so verfährt, indem man, wenn sich zwei Stäbe kreuzen, [x nur für einen Stab berechnet und dann 1 — /², das von den übrigen Stäben aufgenommen wird, in diesen verteilt.

Greift im Stab 2 der Abb. 3 ein Moment an, dann geht in den Stab 1

. (11)

In die Stäbe 3 und 4 geht zusammen 1 — f.i, und zwar in den Stab 3

£3

£3 r«₄

r (1    (-¹)

(12)

Diese Gleichungen zeigen anscheinend keine Vereinfachungen, gestatten aber ein sehr rationelles Arbeiten.

Die Werte rj und ?/, welche in den Gleichungen für die Elastizitätsmaße enthalten sind, hängen von der Trägerform ab. Folgt die Querschnitt-

Jn    J m • ^

Jm «² l²

änderung der Vouten dem Gesetze Jx — so ergibt sich²)

Ja

1 -f- cx²

-, worin c

0,100 0,125 ⁵⁰    0,150

!    0,175

0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,325 0,350 0,375 0,400

0,00

00 8,00‘T

1,00 3,00

1,00 3,00

h-¹    h—¹

© © © © © © © © © © © ©©©©©©©©_©©©

03    03

© © © ©

3,00

3,00

3,00

03

1,00    3,00

0,9773 2,680 0,9650 2,600 0,9503 2,520 0,9334 2,440 0,9136 2,360 0,8941 2,280 0,8710 2,200 0,8452 2,120 0,8185 2,040 0,7905 1,960 0,7608 1,880 0,7304 1,800 0,6976 1,720

0,9754

0,9600

0,9461

0,9279

0,9063

0,8853

0,8592

0,8323

0,8035

0,7730

0,7410

0,7080

0,6725

1,00

2,6532

2,5666

2,4798

2,3931

2,3064

2,2397

2,1333

2,0466

1,9599

1,8732

1,7865

1,7000

1,6131

3,00

1 : 7,5

0,9744 2,640 0,9586 2,550 0,9441 2,460 0,9251 2,370 0,9035 2,280 0,8808 2,190 0,8438 2,100 0,8259 2,010 0,7959 1,920 0,7642 1,830 0,7309 1,740 0,6967 1,650 0,6598 1,560

1,00

3,00

1 : 10

0,9735 2,6268 0,9571 2,5335 0,9421 2,4402 0,9224 2,3469 0,8992 2,2536 0,8764 2,1603 0,8483 2,0671 0,8194 1,9737 0,7884 1,8804 0,7555 1,7871 0,72101,6938 0,68551,6005 0,6472 1,5072

1,00

00‘8

1 : 15

0,9730 2,620 0,9564 2,525 0,9410 2,430 0,9209 2,335 0,8974 2,240 0,8742 2,145 0,8456 2,050 0,8163 1,955 0,7845 1,860 0,7511 1,765 0,71601,670 0,6799 1,575 0,6409 1,480

1,00

3,00

1 :20

0,9727 2,616 0,9550 2,520 0,9404 2,424 0,9201 2,328 0,8963 2,232 0,8729 2,136 0,8440 2,040 0,8142 1,944 0,7732 1,848 0,7485 1,752 0,71301,656 0,6765 1,560 0,6371 1,464

1,00

3,00

rj

1 : 25

Tabelle der Koeffizienten rj und rj

0,9725 2,6136 0,9557 2,5170 0,9400 2,4204 0,9196 2,3238 0,8856 2,2272 0,8719 2,1306 0,8429 2,0340 0,8130 1,9374 0,7808 1,8408 0,74651,7442 0,7110 1,6476 0,6742 1,5510 0,6346 1,4544

1,00

3,00

1 : 30

0,9723

0,9553

0,9395

0,9189

0,8947

0,8709

0,8416

0,8113

0,7789

0,7446

0,7085

0,6714

0,6315

1,00

2,6100

2,5125

2,4150

2,3175

2,2200

2,1225

2,0250

1,9275

1,8300

1,7325

1,6350

1,5375

1,4400

3,00

1:40

1,00    3,00

0,9716 2,608 0,9551 2,510 0,9381 2,412 0,9185 2,314 0,8942 2,216 0,8693 2,118 0,8409 2,020 0,8104 1,922 0,7777 1,824 0,7432 1,726 0,7070 1,628 0,6697 1,530 0,6296 1,432

1:50

dx P

rj, wo rj — 3 — 4 a (1 — n)

.    .    (14)

rj, wo^=l—a²(l— n) (3 — 1,6 a) (15)

ô' = — I (l-x) X

tß x Ö t/ ^

wobei a • l die Voutenlänge ist, während n • Jm = Ja bedeutet.

Das zugrunde gelegte Gesetz kommt den Verhältnissen der Praxis sehr nahe. Eigentlich erfährt das Trägheitsmoment seine Veränderlichkeit nicht nur durch die Vouten, sondern auch durch die Stützen. Es ist interessant, zu untersuchen, inwieweit das in der Nähe vom Auflager unendlich große Trägheitsmoment die Festpunkte beeinflußt.

Jm

-Ar l

ocP

Abb. 4.

Demgemäß folgt

„_ i r dx

~yJjx

0

ô = — J(\ -j- ex²) dx

J(ldk

Z, d\₂

2J,

l —— Cif %

J dx

Z, + dj₂

6 4 r‘

(16)

wobei

z? = 3 (1— aj) — 4a(l — n) . .

.    .    (17)

Wenn a₁ = 0, so entspricht dieser Ausdruck der Gleichung 14 und mit a = 0 folgt

n = ³ (i — ai)

(17a)

¹TJ(1-X)xp

0

y- f (J — X) X (1 -f- CX²) (7« -f- y f (l — x) xdx -f-a J    v ru J

dl 2    h -f- dl 2

1-dU

-|-    f d ~ x) x (1 -f- cjl--- — xj2) dx.

I² ,

6 V • • * *

Ô' =

Ï dj^

I    d\ 2

Die Integration ergibt

r)'

(18)

worin

4 = 1--~~ (3 + «i) — (1 — n) a [a (3 — 3 aj — 1,6 a) -f- 2 at (2— aj)] (19)

Wenn ax = 0, so geht dieser komplizierte Ausdruck in Gleichung 15 über und mit a = 0 folgt einfach

(19a)

. GO

v — i--jr~ 4" ai)

d\.t

dx

=— und

dx

wird mit Jx= oo Null werden und ist deswegen bei Ableitung der Gleichungen 16—19 gar nicht erwähnt.

Ir;

Folgendes Zahlenbeispiel dient der Übersicht und zeigt deutlich, in welchem Maße sich der Einfluß der Stützen bemerkbar macht. Da die Resultate durch die Wahl des Einspannungsgrades nicht beinflußt werden, so ist der Einfachheit wegen volle Einspannung angenommen, wofür sich mit s = oo

ergibt.

1,4

Es sei

womit Gleichung 17 das genaue Resultat

liefert, ebenso Gleichung 19

7]' — 1

31    12,6 / 1,4 • 69,8 ,    18

2000    60 V 180

100

-) = 0,7907

0,7907 • l

1,860

0,4251 1.

1,7

Nach den einfachen Gleichungen Nr. 14 und 15 folgt mit a = —

³-⁴(¹-üir = ¹'⁹⁸⁰'

1,7 • 1,6

9    1,7²

10* 36

-) = 0,8153.

Hiermit ergibt sich

= 0,4118 l.

0,81531

1,980

Stellt man beide Resultate einander gegenüber, so zeigt sich ein Unterschied von nur 3 v. H. Das Beispiel zeigt also, daß die Änderung des Trägheitsmomentes in der Nähe des Auflagers keine wesentliche Verschiebung der Festpunkte bewirkt. Die Richtigkeit der einfachen

Gleichungen 14 und 15 ist jedoch größer, als man etwa annimmt, denn die Tatsache, daß man nicht berechtigt ist, eine sprungweise Änderung des Trägheitsmomentes in Rechnung zu stellen, beeinflußt diese günstig.

Die tabellarisch festgelegten Werte für rj und rj können in jedem Falle als gültig betrachtet werden , und es wäre hierzu nur noch zu bemerken, daß die Voutenlänge von der Stützenachse aus zu messen ist.

Sind einmal die Festpunkte bekannt, dann gilt für die weitere Berechnung die allgemein bekannte graphische Konstruktion von Professor W. Ritter (Graphische Statik, III. Band), wobei nur zu beachten ist, daß sich ein Moment beim Überschreiten der Stütze nach drei Richtungen hin zerlegt.

Die Festpunkte kommen als solche nur dann in Betracht, d. h. sie behalten nur dann ihre Lage bei, wenn sich die Stützenenden in bezug auf horizontale Bewegungen in Ruhe befinden, was nur dann zu erwarten ist, wenn Konstruktion und Belastung symmetrisch sind. Der Anwendung bei unsymmetrischen Konstruktionen stehen, da sich die Resultate nicht wesentlich ändern dürften, keine Bedenken gegenüber.

Die Horizontalglieder der einzelnen Stockwerke haben, wie dies aus Abb. 5 hervorgeht, unter sich selbst keinen großen Einfluß ihrer Kontinuität zu erwarten.

Abb. 5.

Werden die Stützen selbst von Momenten in Angriff genommen, was infolge von Kranlast geschehen kann, so ermittelt man diese zuerst für die an beiden Enden frei drehbar gedachte Stütze und benutzt für die Kreuzlinienabschnitte die bekannte Beziehung

wobei m das Moment der Momentenfläche bedeutet, und zwar auf die Auflagerlotrechte bezogen, wo t gesucht wird. Es ist

Mh²

.    .    (20a)

tu

Mh²

-Ä

Abb. 6.

Die Schlußlinie geht dann durch den Schnittpunkt der Kreuzlinie mit den Festlinien.

Unendlich lange Rahmen.

1. Die Mittelfelder.

Beachtet man, daß die Einspannung eines jeden Trägerendes gleich groß ist, dann lassen sich für die Festpunktabstände geschlossene Ausdrücke aufstellen. Es ist

Ir/

6 Jm ’

worin

£ = s" -j-

6 Jm

lyi - V

s" ist dabei das Elastizitätsmaß für beide Stützen.

lg

'S

JJm K

--1

J tfm K J Jjn K

.b,„~

>• v*

Si

«» T~

s

SÉl

Abb. 7.

Setzt man

— — xp, dann folgt

T-l !

rt

woraus man mit dem Werte für s folgende Beziehung erhält

xp — 1 =

ri +

xfjrj'

6 Jm (*] — rf xp)

6 Jm + s" l(r₍ — r/ xp) welche die quadratische Gleichung

y£₂ + ç, = 0

liefert, deren Wurzel

IP =

H'*V'

’/r;

-J I,

lautet, worin

Es ist auch xp =

Il = V ß Jm + «" l [V — ?']).

|₂ =A (¹² Jm -f- e" l rj).

—, womit sich folgende Gleichung a

Ir,

'Ir:

ergibt, die leicht nach a aufgelöst werden kann. Indem man jedoch dem Vorzeichen des Wurzelausdruckes seine Beachtung zuwendet, kann man anschreiben

hb-V'

rr b + V¹

⁴-|

2

■ J ()

■ Jfi

'J r,

fi

Ufl

•Jfi

was an die Forderung geknüpft ist, daß das wirkliche Vorzeichen des Wurzelausdruckes negativ ist, während das positive Vorzeichen nichts anderes als l — a ergibt. Die Richtigkeit dieser Annahme kann man mit Hilfe einer Versuchsrechnung leicht überblicken. Indem man beide Gleichungen dividiert, erhält man

'rr;

S2

i+y'i

woraus endlich

a~~2

(■-Ó

4 rj (To+Jl — rj)

■ ■ (21)

folgt, was wesentlich einfacher aussieht, als der Wert, den man nach unmittelbarer Auflösung der ersten Gleichung erhalten hätte. Bezeichnet man die Elastizitätsmaße der Stützen mit s", so ist darin

le"

■ • (22)

Wenn der Balken in den Stützen fest eingespannt ist, so folgt mit r₀ = 0

“=t( l~V¹

■ (23)

4 rj 4 a/² \ _ l rj

rj '    7]² /

Bei konstantem Trägheitsmoment ist sehr einfach mit rj = 1 und = 3

4 x₀ 4- 8

. . (24)

a=Tb~V¹

Läßt man den Widerstand, den die Säulen der Balkenachsendrehung entgegensetzen, verschwinden, so erhält man den gewöhnlichen kontinuierlichen Balken, für dessen Festpunktabstände die obigen Gleichungen mit x₀ = oo in

2 rj

(25)

übergehen. Bei konstantem Trägheitsmoment ergibt sich hiernach einfach

a = 0,2113 l.

Der Festpunktabstand bleibt bei der Annahme einer freien Lagerung des Balkens über den Stützen vom 4ten Feld ab schon konstant, während sich bei dem Balken, der noch mit seinen Stützen verbunden ist, dieser Grenz-

6,00

«2 =

= 1,775 m.

34

wert eher einstellt. Um dies einzusehen, braucht man bloß zu beachten, daß beim äußersten Fall, d. i. bei einer vollständigen Einspannung des Balkens in den Stützen, die Festpunktabstände in allen Feldern, also sogar auch im Endfeld gleich groß sind. Hieraus folgt auch gleichzeitig die Erkenntnis, daß man die konstante Festpunktentfernung um so eher erwarten kann, je größer die Steifigkeit der Stützen ist.

Aus folgenden Darlegungen geht der Einfluß, den die Stützen auf die Balken ausüben, klar hervor. Da die Trägerform den Zweck der Untersuchung nicht beeinflussen kann, so nehmen wir der Einfachheit halber konstantes Trägheitsmoment an. Ferner sei

hx — h\ = 4,00 m ; l = 6,00 m

Sind die Stützenenden fest eingespannt, so ergibt sich beim

Jl Jj Jm

Fall 1 mit

das Elastizitätsmaß der Stützen zu

git _

2-4.^

Nach den Gleichungen 22 und 24 folgt

6 Jm 1

und

2 Jj • 6    2

2    + 8

3    + 9

Um zu sehen, in welchem Felde dieser genaue Wert erreicht wird, geht man von der ersten Öffnung aus und berechnet dann nacheinander a1? a₂ usw.

Feld 1.

= 1,775 m.

Nach Gleichung 3 ist mit êj = 2 Jx oder ex — 2 Jm

6,00

ax

1,715 m.

Feld 2.

Hier ist

ex = 2 Jm -j—

6(3

4,28

= 2,625 Jm

))l

6 • 2,625 Jm

Wie man sieht, hat der Festpunktabstand hier schon seinen konstanten Wert erreicht. Würde man die Verbindung mit den Stützen außer acht lassen, dann wäre in einem Mittelfeld

a = 0,2113 • 6,0 = 1,268 m,

was die Verschiebung durch die Stützen deutlich erkennen läßt.

Weil in vielen Fällen das Trägheitsmoment der Stützen kleiner als dasjenige der Träger sein wird, so sei Fall 2

Jj = J£ ⁼⁼ -j* Jmi

. a — 1,536 m . a₁ — 1,20 m . a₂ = 1,528 m

wofür sich folgende Abstände ergeben im Mittelfeld .

„ Endfeld.    .

„ Feld 2 .    .

Im Feld 3 erreicht auch a hier seinen Grenzwert, während sich im Feld 2 nur eine Differenz von 8 mm geltend macht.

In vielen Fällen gestaltet sich die Berechnung einfacher und kürzer, wenn man vom Mittelfeld eines unendlich langen Rahmens ausgeht. Die hierfür gültigen Festpunkt-Gleichungen leisten nicht nur für die Dimensionierung große Dienste, sie sind auch zur Massenermittlung sehr willkommen.

Wenn die Spannweiten der einzelnen Horizontalglieder strenggenommen nicht ganz gleich sind, so können die entwickelten Gleichungen, welche dadurch an Richtigkeit nicht viel einbüßen, dennoch verwendet werden. Ihre Anwendbarkeit ist in Kürze durch zwei Beispiele dargelegt, aus welchen man die Vorteile der Berechnungsweise leicht erkennen kann.

2. Die Endfelder.

Es erübrigt sich hierauf nochmals einzugehen, da die Aufgabe im vorhergehenden Abschnitt bereits enthalten ist.

Da sich nach rechts hin unendlich viele Felder befinden, so sind zur Berechnung von bx die für die Mittelfelder entwickelten Gleichungen gültig. Unter Zuhilfenahme des Elastizitätsmaßes für die Endsäulen berechnet man ferner nach bekannten Gleichungen av

Die Festpunktbestimmung bietet also hier nichts Neues.

EndfelcL

Jm

Jm

Jm

TS

J'r

„ II M

¹

Siehe „Beton u. Eisen“, Jahrg. 1911/12, Heft 20 u. Heft 1, vom Verfasser über die „Berechnung kontinuierlicher Eisenbetonträger mit Rücksicht auf die Wirkung der Vouten“.

²

Siehe Beton u. Eisen, 1911/12, Heft 20 u. 1.

JÎ

J'r

Abb. 8.

Die graphische Festpunktbestimmung.

Es soll nicht versäumt werden, im Anschluß an die analytische Berechnung eine graphische Methode zu zeigen, welche die Aufgabe der Festpunktbestimmung in einer ganz überraschend einfachen Weise löst. Die Grundlage, worauf diese Methode beruht, bildet die bekannte Theorie von Professor W. Ritter (Graphische Statik, III. Band), wonach man sich den Balken mit Momentenflächen belastet denkt. Dem Satze von Mohr „Um die elastische Linie eines Balkens zu erhalten, betrachte man die Momentenfläche als Belastungsfläche und zeichne dazu ein Seileck“ ist in unserem Falle noch beizufügen, daß die Momentenfläche durch das Trägheitsmoment dividiert werden muß. Die Voraussetzung lautet, daß dies nicht mehr konstant ist, und es ist dann klar, daß das Seileck wesentlich anders aussieht.

Um auf die „ersten Anhaltspunkte“ zu gelangen, zeichnet man Abb. 9 a, worin der Momentenverlauf mutmaßlich eingetragen ist. Abb. 9b stellt ein Seileck für die durch J dividierte Momentenfläche dar, das unter Beibehaltung des Punktes B so gedreht wurde, daß die Seileckseite B₁ Bt' mit der Balkenachse zusammenfällt. Die Stützenmomente müssen so groß sein, daß der Linienzug durch die Punkte Ä, B und C geht, die eine unter dem Winkel (p geneigte Gerade auf den Auflagerlotrechten bestimmt. Verlängert man die Seileckseiten, so erhält man die Punkte A", B₂",    C", deren Abstände £ von der Horizontalen für die weitere

Untersuchung maßgebend sind.

......B

.....

SrRtf

G3

'fit

l)

Zf

UTT

'•Î

<srr

tu

Abb. 9.

Betrachtet man das Dreieck A^' B B, so sind und |₂ statische Momente desselben, und zwar auf die Auflagerlotrechte bezogen, wo § zu finden ist. Dasselbe gilt auch für das Dreieck B B" C. Demnach ist

=    (h-h),

— g-₂- ,

£3 = #3 ‘    »

§ 4 ⁼ ^3 * (h aÙ-

Die Angriffspunkte der Gewichte G liegen bei konstantem Trägheits-

zu-

moment in — und schieben sich, wenn dieses gegen das Auflager hin

nimmt, mehr nach der Balkenmitte zu. Die Folge davon ist, daß die für die Schwerlinie übliche Bezeichnung „Drittellinie“ nicht mehr gerechtfertigt ist, weshalb wir sie künftig, um wenigstens auf ihre allgemeine Benennung hinzuweisen, einfach D-Linie nennen.

Ihre Lage ist, wie dies aus der Abb. 9b hervorgeht, eindeutig bestimmt , wenn die Auflagerlotrechten-Abschnitte f bekannt sind. In der Tat ist dies auch der Fall, denn die errechneten Einsenkungen d sind durch Momentflächen hervorgerufene statische Momente und somit mit den in Frage kommenden § identisch.

Beachtet man, daß ô und ö' auf die Auflagerlotrechte bezogenen statische Momente der durch J dividierten Momentenfläche bedeuten, und zwar auf die Stelle bezogen, wo die Einsenkungen gemessen werden, so kann man anschreiben

!i =

MJl

64 ]’

M₂ L² ,

(v — v)-

m, i;-

n<

Für die weitere Entwicklung kann es gleichgültig sein, ob die ’ Größen £ durch 6 dividiert werden oder nicht, da dieser Nenner keinen Einfluß hat. Setzt man noch M„ = 1 und M₁ = fx, dann folgt

Il = y- (y — y)>

v m 7 ²

-v,

m

h² '

J-Vf

m

i2 *2

Die Kontrolle für die Richtigkeit dieser Ausführungen kann man teilweise darin erblicken, indem man erwägt, daß die D-Linien bei vollständiger Einspannung mit den Festlinien zusammenfallen. Der Beweis hierfür wird noch später erbracht werden. Es ist dann

Aus Abb. 9 b geht das Verhältnis

fc

AL

(1%

a₂

hervor, womit man mit den Werten für £ und a

i²

«o

-y- (v — v)

m

/ 2 '2

h ri

v-v'

erhält, oder

woraus die Richtigkeit zu ersehen ist.

Betrachtet man in obigen Gleichungen

V

— als veränderlich, so bleibt die

J m

Lage der D-Linie unverändert, was die Vermutung zuläßt, daß dieser Faktor wegbleiben kann. Zieht man jedoch in Betracht, daß die Lage des Punktes hiervon abhängig ist, so kann man die Notwendigkeit dieser Multiplikation leicht einsehen. Eine Vertikale durch ist die Schwerlinie von zwei Momentendreiecken, denn die durch sie hervorgerufenen statischen Momente sind dort gleich groß.

Diese vertikale Schwerlinie spielt die Rolle der verschränkten Drittellinie, deren es, wie man sieht, an jedem Auflager zwei gibt. Wenn der Balken über seinen Stützen gelenkig lagert, so rücken beide Linien zu einer einzigen zusammen. Sie brauchen bei unserem Verfahren nicht gezeichnet zu werden.

Endlich erhält man die Festlinie, welche durch den Schnittpunkt der Linie J5j" C/ mit der unter dem Winkel i{j geneigten Graden A" C geht.

Es wäre nun noch eine Konstruktion für die Festpunktbestimmung bei elastischer Einspannung zu erwähnen. Dieser Fall kommt nur bei Endfeldern in Frage, wo die Festlinie, deren genaue Lage vom Einspannungsgrad abhängt, zwischen den Auflagerlotrechten und der D-Linie liegt.

Um sie, wie überhaupt alle Festpunkte, zu finden, geht man in folgender ganz allgemeinen Weise vor.

Zunächst vernachlässigt man den Einfluß der Stützen ganz und bestimmt dann in jedem Feld die Diagonallinien.

Es ist dann

. (26)

l?

(27)

Für jedes Feld hat man das betreffende l und einzusetzen. Die gestrichelten Linien sind natürlich horizontal und die D-Linien, welche man nicht zu zeichnen braucht, gehen durch die Schnittpunkte der Diagonalen mit der Horizontalen.

'S

;§

-,

Af

e\c

(-1

\z

«—di—<'

ei

ar~

l'

Abb. 10.

Um den ersten Festpunkt zu finden, macht man

—n~

. (28)

wobei s" wie immer das Elastizitätsmaß der Stützen ist. Die Linie ABX gibt den Schnittpunkt Jx, durch den die Festlinie geht. Die Richtigkeit der Konstruktion geht aus der Gleichung 2 hervor, welche mit den Beziehungen 26 und 27 das Verhältnis

z-j- y

liefert, was aus der Konstruktion leicht herausgelesen werden kann.

Für die Festpunktbestimmung in der zweiten Öffnung benutzt man gleich den ersten Festlinienabschnitt. Es ist

. (29)

ex — (.i e

Legt man von C durch das Auflager B eine Linie, so geht durch J2 die Festlinie. Diese teilt man wieder und bestimmt so die Festlinie in der dritten Öffnung usw. Die Festpunkte K bestimmen sich in gleicher Weise, indem am rechten Trägerende begonnen wird.

Bei Bestimmung der J-Punkte sind die Festlinienabschnitte mit einem Koeffizienten zu verkleinern , mit dem man ein von rechts kommendes Moment multiplizieren muß, um das nach links weitergehende zu erhalten, während der Verkleinerungskoeffizient, welcher den Teil ausdrückt, der bei einem von links herankommenden Moment nach rechts weitergeht, zur Bestimmung der Abschnitte für die üf-Punkte dient.

Allgemein können hier folgende Gleichungen zur Anwendung gelangen.

Für Bestimmung der J- Punkte

t

ei

(30a)

und für die ÜT-Punkte

S2

(30b)

e" bedeutet das Elastizitätsmaß für die Stützen und e das für die Balken und zwar e/ für das rechte und e₂' für das linke Balkenende der vorhergehenden Öffnung. Wenn der Balken in den Stützen nicht eingespannt ist, dann wird /i = 1 und die Konstruktion ist dann besonders einfach. Bei vollkommener Einspannung des Balkens in den Stützen wird mit e" = cc /i = 0 und die Festlinien fallen dann, wie man sieht, mit den D-Linien zusammen.

Ebenso geht es auch mit der Festlinie im Endfeld. Ist bei A vollständige Einspannung vorhanden, dann wird y = 0, während bei gelenkiger Auflagerung y = co wird. Im ersten Fall ist die Festlinie die D-Linie und im zweiten Fall die Auflagerlotrechte.

Folgendes Beispiel dient dazu, um die Anwendung der Konstruktion darzulegen. Wir nehmen an, daß die Stützen an ihren Enden fest eingespannt sind und daß =    = Die Voutenlänge sei

¹ A    ¹

y und n=w

r! = 0,9035

wofür man aus der Tabelle

rj = 2,28

entnehmen kann.

Für die Diagonallinien erhält man nach den Gleichungen 26 und 27

Feld 1 und Feld 4:

Feld 2 und Feld 3 :

z = 0,9035 • 4,0² = 14,46, z = 2,280 • 4,0² = 36,48, z — 0,9035 » 5,0² — 22,59, z = 2,280 -5,0² = 57,00.

A//A

/////

fl

ilm

dm

tim/

ihn

--Oft

5.0

5,0

■*.0

’m

SS

Kb A

TIEF⁵

-121*

1,00

|l|

pr"" A

l5,00

-77/—

5,00

0,00

15 0    1 Z 3    » 5m

Da sämtliche Trägheitsmomente gleich groß sind, wurden sie einfach weggelassen.

Feld 1:

* Nach Gleichung 8 beträgt das Elastizitätsmaß der Stützen

⁴(ï+"£5)

= 2,143.

_

Dann wird nach Gleichung 28

_ 6 • 4,0 y ~ 2,143

11,18.

Feld 2 :

Nach Gleichung 30 a ist für die J-Punkte

f‘~ *" + < ’

wobei nach Gleichung 7 für den Balken

r

£i =

beträgt, somit

4,0(2,28- 0,9035.^) = 0,412

1,5

= 1,50

und

^    2,143 + 1,5

ex = 0,412 e.

Feld 3:

G' =

5 (2,28

— 0,9035 •

5,0

= 1,38,

3,28

= 0,391,

1,38

^    2,143 4- 1,38

ex = 0,391 e.

Feld 4 :

5 (2,28 — 0,9035 •

5,0

= 1,32,

3,29

= 0,381,

1,32

~ 2,143 + 1,32 ex = 0,381 e.

Es ergeben sich folgende Abstände :

ax — bi = 1,21 m, a₂ = &₃ = 1,72 m, as=\ = 1.71 m, ai = bx = 1,33 m.

Die errechneten Koeffizienten fi können bei der weiteren Momenten-ermittlung zweckmäßig verwendet werden. Die Konstruktion gestaltet sich, wie man sieht, besonders einfach, wenn der Balken mit den Stützen nicht in Verbindung steht, denn* dann ist immer fi = l und die durch das Auflager gehende Linie schneidet sich jeweils mit der vorhergehenden Diagonal- und Festlinie.

Unendlich lange Rahmen.

Folgende Ausführungen zeigen kurz, wie die Festpunktbestimmung erfolgen kann.

l4"

7/

t{

V‘K

k'

Abb. 12.

Man trägt die Größen iq und ?/, ⁵ wie Abb. 12 zeigt, auf und zieht die Linien Ä B' und A" C. Der Abschnitt t kann zum erstenmal nur annähernd ermittelt werden. Es ist

t =    —    • • (31)

wobei /i einen Verkleincrungskoeffi-zienten für das Moment bedeutet, der jedoch wieder vom Festpunktabstand abhängt. Nimmt man vorläufig an,

ist, dann folgt nach

daß dieser

rf-

Gleichung 30 a

/i =

(31a)

Hierauf zieht man CB" und die Linie, welche auf Â' C den Festpunktabstand bestimmt, wobei nur zu beachten ist, daß a = b sein muß, was man auch durch einiges Probieren leicht findet. Wenn der Balken auf seinen Stützen frei gelagert ist, dann folgt mit s" = 0 /i — 1.

Erachtet man die gewonnenen Resultate für nicht genau genug, dann kann man den Abschnitt t nach der Gleichung

ff

SN

--1 78—7+

6,00

Rs/'

14

r?

RS

SS

ąmg-Ą

•-1.78--

l s" £

6 Jm

(31b)

nochmals ermitteln, wobei £ nach der ersten Bestimmung aus der Zeichnung entnommen werden kann.

Für das analytisch behandelte Beispiel erhält man mit s" — 2 Jm

t = /I (7; — rj)

3,6 (7J — rf)

3,6+ 2-6,0

Wie man sieht, liefert diese Konstruktion den Festpunktabstand mit großer Genauigkeit.

Die Wärmewirkung.

Erfährt ein Glied des Stockwerkrahmens infolge von Wärmunterschieden eine Längenänderung, so entstehen dadurch in der ganzen Konstruktion Biegungsspannungen, deren Ermittlung uns zunächst beschäftigen soll.

Um diese Aufgabe nicht unnötig schwierig zu machen, nehmen wir an, daß das Trägheitsmoment der Stäbe konstant ist und daß ihre Enden fest eingespannt sind.

Verlängert sich der in Abb. 14 mit 4 bezeichnete Stab, so erfahren dadurch die Knotenpunkte Verdrehungen um den Winkel t, sowie Verschiebungen, die sich, wenn sie einmal bekannt sind, für eine rasche Mo-mentenermittlung verwerten lassen. Wir fassen nun die Berechnung des kleinen Winkels ins Auge und gehen zu diesem Zwecke von folgenden bekannten Gleichungen der Festigkeitslehre aus.

Mi

\i

3_

Abb. 14.

Greift am Ende eines fest eingespannten Kragträgers P an, dann ist mit M = P'l die unter der Last gemessene Senkung

MP

■MPI

3 EJ’

woraus

3 ô EJ

r-

Abb. 15.

Das Balkenende dreht sich um den Winkel

M-l

Ol ICO

womit man die Stelle, an der sich die an die elastische Linie gelegten Tangenten schneiden, zu

findet. Ist das Trägerende in vertikalem Sinne unverschieblich, dann ist dort der Auschlagwinkel, wenn ein Moment angreift,

Ml

Wir gehen nun in der Weise vor, indem wir uns vorerst an den Knotenpunkten eingeschaltete Gelenke denken, und bringen dann nacheinander die Stäbe in solche Lagen, daß sich ihre stetig verlaufenden elastischen Linien rechtwinklig kreuzen.

Nach den Bezeichnungen der Abb. 16 ist

daraus

T'

G

ri 2Äj

«VS

ähnlich

M'a

T2 =

SX

M' i

yl~

4*

2 K

Wenn die elastische Linie der Stützen bei A stetig verlaufen soll, dann muß sich das obere Stützenende um Tj -Ą- t und das Ende der unteren Säule um t₂ — % drehen. Beachtet man, daß die Momente, welche diese Verdrehungen hervorrufen, einander gleich sein müssen, so findet man

, <N C

G ^

W*

Abb. 16.

Setzt man für t₁ und t₂ die gefundenen Werte ein, so ergibt sich

r(T‘+T)=

(*a — *)•

Beteiligen sich außerdem noch die Balken, so entsteht der kleinere T = T - t" (M₃ + Uf₄),

Winkel

wobei t" den Winkel bedeutet, um den sich die fest miteinander verbundenen

Stützen drehen, wenn daran M = 1 angreift. Dieser ist

Mit

4 EJt

und r₂

/<₂

±EJ₂

folgt nach einiger Umformung

z:

4 E (Jj /?₂ -j- J₂ hj) '

^3+^4=^-+—-

Da der Ausschlagwinkel dem ihn erzeugenden Moment direkt proportional ist, folgt

worin wieder

4 EJ,

und im Hinblick auf die elastische Linie, die in ¹j₂ l horizontal sein muß,

WA 'M‘z

Abb. 17.

Die Momente betragen

Mit diesen Werten erhält man

T = x - 2 Jl₂-

Diese Gleichung liefert endlich

24 4

X

4 (Ji Ä₂ + J-₂ Ät) •

¹ l V (Ą \ + Jx h₂) 4- ht h₂ (2 J, l -\-J₄ Ï)

Erwärmt sich der Stab 4 um ± t₀ Grad gleichmäßig, dann ist

l — ±at₀~........

X ist die Länge des Stabes 3 und l diejenige für den sich verlängernden Stab 4

(33)

M/pi

-14.....

'Ms

Wi

^ = -(64 + 4*/.,)^

M₂ = — (61    4 r h₂)

EJ₂

h₂²

m₃

4xEJz

2 r EJi

^' = -2

3 IEJ\

M₂ 2

M₂ 3 l EJ₂

Diese Gleichungen reichen zur Ermittlung sämtlicher Momente aus. Je mehr Jx • hx von • \ voneinander verschieden ist, desto größer sind die Biegungsmomente in den Balken.

Die Darlegungen beschränken sich nicht nur auf die Berücksichtigung der Temperaturdifferenzen, sondern können auch zur Berechnung von Balken, die mit elastisch senkbaren Stützen verbunden sind, herangezogen werden.

In diesem Falle ist nur für l die Stützensenkung und für t₄ = setzen.

4 J\E

zu

Winddruck.

Die hierdurch bei Stockwerkrahmen auftretenden Spannungen erreichen nur dann wesentliche Beträge, wenn die Rahmen hoch und schmal sind. Das ganze Bauwerk wirkt dabei als Kragträger und es entstehen Momente und Schubkräfte. Wenn das Kragmoment ermittelt ist, berechnet

4 M

man aus o = dt -===

W

An der Windseite entstehen Zugspannungen und an der Leeseite Druckspannungen. Bei Berechnung der Spannungen in den Stützen, die nicht am Rande stehen, braucht man nur zu beachten, daß sich diese wie ihre Abstände von der Nullinie verhalten.

Zu den so erhaltenen Spannungen sind noch diejenigen zu addieren, die infolge der Schubkräfte auf-treten. Die genaue Ermittlung der letzten ist äußerst umständlich, und es soll deswegen nur die Berechnung eines Näherungswertes gezeigt werden.

Es ist

Die Momente betragen

31, = //₂ a.

die auf die einzelnen Stützen entfallenden Achsialkräfte.

Mt

W i Mj

Kfl

Mi Mi Mi Abb. 18.

Der Abstand des Momenten-Nullpunktes ist annähernd

W=HX + H% + HZ

a,\-

während sich, wenn e₀' von sù sehr verschieden ist, der genaue Wert zu

h Sp (3 -f EÙ ^²)

2 h ² e₀ su -J- 3 (e₀ -j— cH )

findet. Zur Berechnung von H benutzt man die Gleichungen

^2 £2 2 J £

H\ —

Jl sx

2 J ex

h₂ =

Hz

2 Je

welche der gern gemachten Annahme Genüge leisten, daß die an einem Stab angreifende Kraft proportional ist dem Trägheitsmoment des Stabquerschnittes multipliziert mit dem Einspannungsgrade.

Sind die einzelnen Kräfte H bekannt, dann lassen sich hiermit leicht die Momente bilden, die sich nach den bekannten Regeln in die Stäbe verteilen.

Für die Praxis liefern diese Ausführungen, die auf Genauigkeit

Ihre An

keinen Anspruch machen sollen, annehmbare Ergebnisse.

Wendung kann im Hinblick darauf, daß in den meisten Fällen eine Berechnung für Winddruck ganz unterbleibt, um so mehr empfohlen werden.

Beispiel.

Es sei hier eine Ausführung gewählt, und zwar ein Binder des Fabrikgebäudes der The Singer Manufacturing Co., Wittenberge. Die Unterlagen sind aus dem Handbuch für Eisenbetonbau, erste Auflage (IV. Band, 2. Teil S. 203) entnommen. Über die in Rechnung gestellte Nutzlast ist dort nichts gesagt. Sie wurde zu 1,2 t/m² angenommen, während die Maße der Balken und Stützen aus der Figur abgegriffen sind.

Berechnung der Trägheitsmomente. a) für die Balken.

1. in Balkenmitte.

Decke I.

Wirksame Plattenbreite b = 200 cm ; Plattenstärke d = 10 cm ; Querschnitt 30 • 60 cm

Decke II bis IV.

Querschnitt 30 • 55 cm ; d = 10 cm ; b = 200 cm

F =‘6 650 cm²,

£ = 71800 cm³, x — 19,7 cm,

Jm = 1 900 000 cm⁴.

Decke V.

Querschnitt 25 • 42 cm ; d = 8 cm ; b = 200 cm .

2. am Auflager.

F =2 610 cm²,

3 = 36 690 cm³, x = 14,1 cm,

Jm = 552 000 cm⁴.

Decke I.

Querschnitt 30-115 cm; <7=10 cm; b = 200 cm

F=ô 450 cm², 3=224 500 cm³, x — 41,2 cm,

Ja = 9 527 000 cm⁴.

Decke II bis IV.

Querschnitt 30 • 105 cm ; d = 10 cm ; b = 200 cm

Decke V.

Querschnitt 25 • 77 cm ; d — 8 cm ; b = 200 cm .

Bei jeder Decke ergibt sich

Jm

F=h 150 cm²,

£ = 20 700 cm³, x = 40,2 cm,

Ja = 6 937 000 cm⁴.

F=3 185 cm²,

£ = 95 740 cm³, x — 27,4 cm,

Ja = 2 529 000 cm⁴.

Ja

rd. -V

; und a = —

und dafür nach den Gleichungen 14 und 15

24

1,6

■) — 0,8781,

>? = 3---j- = 2,250.

ß) Stützen.

1. Innenstützen.

Unter Decke I: J = = • 80⁴ = 3 413 000 cm⁴,

12

II: J =    70⁴ = 2 000 000 „

12

„ III : J —    60⁴ — 1 080 000 „

1 u

„ IV : J — J2‘ 45⁴ = 342 000 „

„ V:    30⁴ =    67500 „

12

2. Außenstützen.

Unter Decke I :    . 70⁴ = 2 000 000 cm⁴,

JL u

II: J = -L . 60⁴ = 1 080 000 „

12

„ III '• J ~ Y2'50⁴ = 52 1 000 „ „ IV: J — 40⁴ = 213000 „ .. V : J =    30⁴ =

12

67 500 „

Hierfür ist bei konstantem Trägheitsmoment ^ = 3 und tj'=\. Lasten :

a) ständige Lasten.

Decke I bis IV q — 2,10 t/m,

g = 2,00    „

ß) Nutzlasten.

Decke I bis IV p — 5,50 t/m, g = 0,70    „

Die Balkenmomente für den frei aufliegenden Balken betragen

2,1 • 6,0²

Decke I bis IV

Mg

9,45 mt,

Mp

5,5 • 6,0²

24,80 mt,

Mg

Decke V

2,0 • 6,0²

9,00 mt,

Mg =

0,7 • 6,0²

— 3,15 mt.

Die Festpunkte

werden hier, um an Raum zu sparen, analytisch ermittelt. Der noch unbekannte Festpunktabstand in den oberen Stützen wurde vorläufig zu angenommen.

Kellerstützen:

330

-— = 110 cm.

3    -

Untere Stütze e

Decke I:

4 • 2 000 000

330

24 300 cm³,

e' =

9 040    „

Obere Stütze

3,6 -1080 000

430

e₁ = 33 340 cm³,

Endfeld

600 - 0,8781 ,

2,25 +

6-2110 000

183 cm.

600 • 33 340

Untere Stütze

4 -3 413 000

330

. = 41 400 cm³,

Obere Stütze

3,6 • 2 000 000

430

. = 16 750    „

Balken .    .

6-2110 000

600 (2,25 — 0,8781 •

21300    „

Mittelfeld .    .

600 • 0,8781

2,25 +

6-2110000

= 79 450 cm³. 209 cm.

600 - 79 450

Für die anderen Felder, sowie für die Abstände b gilt derselbe Wert.

Stützen II (über Decke I):

Untere Stütze e

4 • 2 000 000

330

. = 24 300 cm³,

Balken .

6-2110 000

600

(2,25- 0,8781 -~)

23 500    „

ex = 47 800 cm³.

Endstütze .    . a

430

6-1080000

— = 130 cm.

430 • 47 800

Untere Stütze =

4 - 3 413 000

330

. = 41 400 cm³,

Balken (rechts) e.' =

6-2110 000

Balken (links) é =

600 (2,25 - 0,8781-|j^) 6-2110 000 600 (2,25 — 0,8781 -

= 23 500    „

= 21 300    „

s₁ = 86 200 cm³.

Mittelstützen .

430

6 - 2 000 000

= 129 cm.

430 - 86 200

Decke II.

Untere Stütze e

6 - 1 080 000

430

(³

430

9 600 cm³,

300

Obere Stüzte s' =

3,6 - 521 000

425

4 420    „

= 14 020 cm³,

Endfeld

600 - 0,8781

2,25 +

6 - 1900 000

146 cm.

600 -14 020

Untere Stütze «'

6-2000000

430

430

. = 17 800 cm³,

301

Obere Stütze e'

3,6 - 1080 000

425

= 9150    „

Balken .    .    . e —

6 - 1900000

600(2,25—0,8781 •

600

17 600    „

et = 44 550 cm³.

Mittelfeld .    .

600 • 0,8781

2,25 +

6 • 1 900 000

197 cm.

600 • 44 500

Die Berechnung ist in ähnlicher Weise weiterzuführen. Die sich ergebenden Festpunkte und Elastizitätsmaße sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

I. Für Balken.

Felder

Elastizitätsmaße cm³

Festpunkte cm

links

rechts

links

rechts

Endfeld :

Degke I

II

„ HI „ IV

23 500 20 400 19 200 18100 5170

21800 17 800 16 000 14 800 4 220

183

146

102

57

53

209

197

182

169

165

Mittelfeld :

Decke I

II

„ HI „ IV

23 500 20 400 19 200 18100 5170

23 500 20 400 19 200 18100 5170

209

209

197

197

182

162

156

182

169

165

II. Für Stützen.

Elastizitätsmaße cm³

Stützen

Festpunkte cm

unten

oben

unten

oben

Endstützen :

II

III

IV

9 300 4 650 2 080

24 300 9 600 4 730 2 090

110

79

130

117

131

128

125

126

700

710

123

117

Mittelstützen :

II

III

IV

17 250 9 600 3 350

645

41 400 17 800 9 800 3 350

650

110

82

129

119

130

128

137

125

127

146

Auf Grund der Elastizitätsmaße läßt sich für die Verkleinerungskoeffizienten folgende Tabelle aufstellen :

Von links kom. Momente

Von oben kom. Momente

Von unten kom. Momente

Decke Stütze BCD Stütze A

Stütze A

Stütze B

Stütze A

Stütze B

n. rechts

n. oben n. unten rechts n. unten

n.

n. oben

n. unten

n. rechts n. links

n. unten

n. rechts n. links

n. oben

n. rechts n. links

n. oben

n. rechts n. links

i—i

0,286

l>- CO t> ßl ß] t>

o ö

0,510

I—

°©

0,481

0,526

0,474

0,283

1,0

0,278

|—j

0,427

o ©

iß iß CO © ©~ ©~

pp

CO CO

■O co

0,320

rH

°©

0,318

CO CO CO t> Iß 'Cb

cf o

0,185

1,0

0,201

© © © © k* Cn fp* cn © cc co © I cn cn

CO o Iß 'Ch

ßl t>-© ©"

© © Tt< © Iß

©~ cf

T—I

1,0

0,218

© © Ip- Ol Cn

Cn o>

0,108

1,0

0,087

© ©

Cn

Cn

hP^ ©

hH

f.

00

r-H ©i

© CO 1-1 00 ©' ©'

iß iß CO © CO ©

o~ ©'

1,0

0,092

0,550

0,450

0,036

0,019

pp A cn pn cn

© ©

V 0,897

0 ¹'°

Iß

ßl 00

im Mittelfeld

Die Momente wurden auf graphischem Wege ermittelt, wobei die Maximal- und Minimalmomente in übersichtlicher Weise dargestellt sind. Zu ihrer Beurteilung seien noch in Kürze die Maximalwerte betrachtet. Sie entsprechen, wenn q = g -j- p, im Endfeld

Decke 1 M=

ql²

CO

Decke I M —

ql²

„ II M

„ II M

„ III M =

16,5

„ III M

„ IV M

ql²

14,5

„ IV M

q l²

17

„ V M=

50

Die bei der üblichen Rechnungsart unterlaufenden Fehler lassen sich an Hand der Winklerschen Tabellen leicht überblicken.

Bisher wurde nur auf die Berechnung von Stockwerkrahmen hingewiesen. Es sollen nur noch kurz

andere Anwendungen

betrachtet werden, die vorzugsweise die rechnerische Behandlung von Balkenbrücken bilden. Bei solchen Konstruktionen ist man wohl mehr als sonst aus konstruktiven wie auch aus ästhetischen Gründen geneigt, dem Balken eine gewölbte Untersicht zu geben. Es wird damit nicht nur ein schlankes Aussehen des ganzen Bauwerkes erzielt, sondern man kommt auch dem häufig gemachten Anspruch auf eine im Scheitel möglichst geringe Konstruktionshöhe entgegen.

Meistens wird das für die Querschnittänderung zugrunde gelegte Gesetz nicht mehr streng gelten. Man hilft sich dadurch, indem man in der von vornherein gewählten Grundgleichung

Ja

1 -j- CX²

statt x² allgemein xv setzt. Dann folgt

Ja

. (34)

wobei

n av P

. (35)

[Ja

'/c:

•Jm

iJy

dl

Abb. 19.

Für die Einsenkungen à erhält man hiernach einfache Gleichungen, deren Integration ohne Schwierigkeit erfolgen kann.

i

..    / r dx

b = ^Jih

i—it

ô — -4 / (1 —1— cxv) dx

a J

J,

dx

6 Jm

ri

wobei

6av

(36)

Ô'

1 h    ₁ i-h

y— 1(1 — x) (1 4- cxv) x dx-f- , T - j (l — x) x dx -J-

Ja J    t Jm J

0    lv

— xf] X dx

i-il

d' =

wobei

1} = 1 -Û5² V (1

. (37)

(38)

Der Koeffizient v hängt von der Voutenform ab und liegt in den meisten Fällen zwischen 1 und 2. Setzt man v = 1, so entsteht der Balken, den Abb. 19 zeigt. Für diese bei Balkenbrücken zweckmäßige Form ergibt sich

. . (39)

t] = 1 — a² (1 — n) (2 — a)    .    .

Macht man zur Bedingung, daß in x = -~ die Kurve des Trägheits-

Lj

momentes durch einen ganz bestimmten Punkt geht, so kann man, wenn dort Jx — J₀ genannt wird, zur Berechnung von v sehr leicht einfache Gleichungen aufstellen. Es ist:

Ja *+•(¥)•

woraus

i—¹•

v'=

i-(5 + 3w) .

• (41)

Wird noch a —

dann ist einfacher

Ja Jm

Ja    Jv

folgt und

fr:

0,20 103

(42)

wo

’c_

wenn

Jm

Für gebräuchliche Werte § ist folgende Tabelle aufgestellt, aus der v hervorgeht.

•JJl

IC

4-

CO

00

to

to

to

tr-

0,00    0,26    0,49    0,68    0,85    1,00    1,14    1,26

•'J/l

JO

CC

JO

co"

co"

05

+-

1,38    1,49    1,59    1,68

1,77    1,85    1,93    2,00

Zl

>Z'

jt

z\

\Z'

j\

j\

a₃--

ls

C‘

Abb. 20.

Am einfachsten bestimmt man die Festpunkte graphisch, wie dies Abb. 20 zeigt. Wenn der Balken noch mit seinen Stützen verbunden ist, dann fallen nur, wie dies zuvor erläutert wurde, die Punkte Ä B' C nicht mehr zusammen. Hat man einmal die Festpunkte bestimmt, dann ist es leicht, die Einflußlinie für einen beliebigen Schnitt zu zeichnen.

Das sehr dehnbare Gesetz, welches für die Änderung der Querschnitte zugrunde gelegt wurde, läßt an Vollkommenheit nichts zu wünschen übrig. Die Gleichungen 36 und 37 enthalten drei beliebig Veränderliche, mit denen der wirklichen Balkenform in weitestgehender Weise entsprochen werden kann.

Schließlich sei noch auf die Materialersparnis hingewiesen, die bei Berücksichtigung des veränderlichen Trägheitsmomentes erzielt werden kann. Es würde zu weit führen, auch hierauf noch einzugehen, man sieht dies aber bei einem Versuch bald ein.

JM

ni

'N

>k

--i

•k

\yy//

.]

70    5 O

h t ■ t-I M-t4=

2ZT

iJ n_

4.

JLiäjiqejb Maßs lab.

1 ** Z    3

Momenten, Maßs lab ■

10

zo

30

00

5rrv

50m

K,

K¹

JY

4-

==é

6,00

Ï50

Kl.

JF

—O-

■4

■o—

Minimal -Momente

Aj

K\

C*

6,00

-O—

yy/y/Ą///////

-4-

■o—

-Ch

6,00

■O—

Maximal -Momente.

H⁶

JT

-K

N'

Ai

1/

-K-

■4

SV

6,00

- 6,00

y/y///\// y/l y

yyy/yyy, Vyyyyyy

yy/yysyy, 77~MZ-

B‘

A‘

Biblioteka Politechniki Kr akowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

111-307034

100000316003

f,’    *

il

111-307041

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

-m wm i T

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

'äm

L. i

111-307035

Tuk. Ij

100000316004

316010

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

III-307036 100000316005

A ..

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

fil

III-307037

100000316006

Biblioteka Politechniki Kr akowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

III-307038 100000316007

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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li

NI-307039 100000316008

Biblioteka Politechniki Krakowskie;

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

s,

III-307040

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000300595

NI-307033