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Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

100000300595

öffentlichen Arbeiten

b I i otW^

é

geh. 4 'M.

liehen Form der Rippen-Kuppel. Von Dr. Ing. Karl W. Mautner, Oberingenieur der Firma Carl Brandt. 1911.    geh. 4 M.

Heft 14: Eine Güteprobe für Beton System Dr. v. Emperger. Von G. Neumann, Ingenieur.

Mit 9 Abb. 1911.

Protokollformulare sind zum Preise von 1 M. zuzüglich Porto für 12 Stück erhältlich.

geh. 4 M.

Heft 15: Eisenbetonkonstruktionen bei Biegung und bei exzentrisch wirkenden Druck- oder Zugkräften. Einheitliche Verfahren zur Bemessung derselben. Für die Praxis bearbeitet von R. Wuczkovvski, Chefingenieur im Spezialbureau von Dr. Ing. v. Emperger.

Mit 21 Abb. u. 23 Beispielen. 1911.

Heft 16: Schwimmkörper in Eisenbeton. Von Ingenieur

W. Stroił. Mit 154 Abb. 1911.

geh. 6 M.

Regierungsbaumeister. Mit 91 Abb. 1912..

Heft 18: Beitrag zur Berechnung mehrstöckiger Rahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes.

Von Ingenieur A. Straßner.

Mit 21 Textabb. 1912.

Heft 11: Beiträge zur Theorie und Berechnung der im Eisenbetonbau üblichen elastischen Bogen, Bogenstellungen und mehr8tieligen Rahmen. Von Dr. Ing. K. W. Schaechterle,

geh. 6 M.

geh. 2,60 M.

Heft 19: Ueber neuere Versuche mit umschnürtem Beton.

(Spiralumwickelte und ringbewehrte Säulen.) Von Dr. Ing. A. Kleinlogel. Mit 25 Textabb. 1912. geh. 3,20 M.

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FoRSCHERARßElTEN

EISENBETONS

20

3000 -5-500

/-•

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FoRSCHERARßElTEN

AUF OEM GEBIETE OES

EISENBETONS

DIE BEMESSUNG

DER

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PREIS 4 MARK

EISENBETON-KONSTRUK-V TIONEN À

VON

RICH. WUCZKOWSKI

CHEFINGENIEUR IM SPEZIALBUREAU VON DR. ING. F. v. EMPERGER

MIT ai ABBILDUNGEN, 24 BEISPIELEN UND 12 TAFELN

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if§ VERLAG von WILHELM ERNST*SOHN

BERLIN W. UHLHELMSTRASSE90 fe

Nachdruck, auch auszugsweise, verboten.

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Alle Rechte Vorbehalten.

exzentrisch wirkenden Druck- oder Zugkräften

Einheitliche Verfahren zur Bemessung derselben

Für die Praxis bearbeitet von

RICH. WUCZKOWSKI

Chefingenieur im Spezialbureau vou I)r. lug. Fritz von Emperger

Mit 21 Abbildungen, 24 Beispielen uud 12 Tafelu

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BERLIN 1911

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn

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Nachdruck, auch auszugsweise, verboten.

Alle Rechte Vorbehalten.

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VOHWOHT.

In vorliegender Schrift hat der Verfasser seine, während langjähriger beruflicher Tätigkeit entworfenen Verfahren zur Bemessung der Eisenbetonkonstruktionen gesammelt und in einheitlicher Form zum Abdruck gebracht. Die Verfahren, mitten im Getriebe der Praxis entstanden, tragen ausschließlich den Bedürfnissen derselben Rechnung.

Die theoretischen Erwägungen beschränken sich auf jenes bescheidene Maß, welches zur Begründung der Ausführungen unumgänglich nötig erschien. Ein Hauptaugenmerk wurde jedoch der Anwendung auf praktische Fälle gewidmet, was schon die hohe Zahl der Beispiele erkennen läßt.

Um das gesteckte Ziel zu erreichen, durften auch die so wichtigen wirtschaftlichen Momente, welche in theoretischen Schriften unbeachtet bleiben, nicht aus dem Auge gelassen werden. Die gebrachten Vorschläge zur Vermeidung der heute allerorts herrschenden Vielrechnerei bei den einfachsten Ausführungsformen, erachte ich als ausreichenden Grund um die Arbeit in den Zyklus der herausgegebenen Forscherarbeiten aus dem Gebiete des Eisenbeton aufzunehmen, und bin überzeugt, daß die Schrift nicht nur in Konstruktionshureaus, wo man heute noch gezwungen ist, auf die Heranbildung des Nachwuchses wertvolle Zeit aufzuwenden, sondern auch in den einschlägigen Schulen Eingang finden wird.

WIEN, im Juni 1911.

Dr. F. von EMPERGER.

INHALTSVERZEICHNIS.

Auf Biegung in Anspruch genommene Querschnitte mit einfacher Bewehrung..............

I.    Spannungsnachweis.........

1.    Platten- oder Rechteckquerschnitte

2.    Plattenbalkenquerschnitte ....

II.    Die Bemessung der Querschnitte . . .

1.    Platten- oder Rechteckquerschnitte

2.    Plattbalkenquerschnitte.....

Auf Biegung in Anspruch genommene Querschnitte mit Zug- und

Druckbewehrung, die Bemessung zugleich Spannungsnachweis 27 Verteilung der Schrägeisen uud Bügel. Für ständige Last .... 40

Für ständige Last mit Verkehrslast........

Lagermittlung der Bügel und Schrägeisen......

Die Bemessung der Querschnitte mit exzentrisch angreifenden Zugoder Druckkräften..................

. 12

13

19

44

40

48

Die Bemessung der Kasten- und Zellendecken Anhang.

59

A.    Zusammenstellung der Feld- und Stützenmomente für

durchlaufende Konstruktionen.........

B.    Tabellen für die Erfordernisse der Kasten- und Zellen

decken, 12 Typen...............

C.    Rundeisen-Tabellen...............

6G

G8

Auf Biegung in Anspruch genommene Querschnitte mit einfacher Bewehrung.

I. Spannungsnachweis bezw. Nachweis des Sicherheitsgrades.

1. Platten- oder Rechteckquerschnitte.

Zur Berechnung der Biegungsspannungen in Plattenoder Rechteckquerschnitten sei hier ein Verfahren angeführt, welches die umständliche Zwischenberechnung der Lage der Neutralen ausscheidet.¹)

Jedem Querschnitt kommt ein bestimmtes, berechenbares kleinstes Trägheitsmoment J zu. Ist dieses unter Beachtung der durch die Vorschriften festgelegten Spannungsverteilung auf die Verbundmaterialien bestimmt, so lassen sich die Spannungen: Beton an der Kante

Tx

und Zug im Eisen

•Qi — x) • n

Öe —

berechnen. Aus dieser allgemeinen Anschrift läßt sich eine wichtige Beziehung des Randspannungsverhältnisses zu den Querschnittsabmessungen ableiten, nämlich ae _ Qi — x) • n woraus allgemein

n ,

-i--h

n-\-v

1)

gefunden wird. Diese Anschrift besagt, daß für jedes gegebene Randspannungsverhältnis der Abstand der Nullachse von der Druckkante ein abhängiger konstanter Anteil der Nutzhöhe h ist.

erhalten wir eine Beziehung zwischen Bewehrung und Randspannungsverhältnis. In Prozenten ausgedrückt, ist

100

fe =

Die angeschriebene Beziehung zwischen fe und v führt einerseits bei gegebenem Bewehrungsprozentsatz p zum zugeordneten Randspannungsverhältnis anderseits bei gegebenem Randspannungsverhältnis v zu den zugeordneten Bewehrungsprozenten

3)

Aus dem Gleichgewicht der Innenkräfte b • x • G&

Z—D oder fe • <re =

bezw. ft'v —

50 • n

V —-?-:-r

v ■ (n -j- v)

Besonders für n — 15 lauten diese Gleichungen :

und

7,5 + |/56,25 + ~

.    .    2 a)

750

3 a).

v - (15 v)

Der Hebelarm des inneren Kräftepaares, dessen Größe

ist, läßt sich nach Berücksichtigung der Gl. 1 auch

, 2

m — h'

V + Y’n

v -j- n

schreiben und zur Berechnung der Eisenzugspannung aus

°e fe m- fe verwenden. Man erhält so den Ausdruck

°e ——

M • (v -f- ri)

' • 4),

’h'fe

welcher für n — 15

15)

(V + 10 )-h-fe ' '

lautet. Die Kantenpressung im Beton wird sodann zu

Ge =

.    .    4a)

Oft =

« LP

5)

berechnet.

Der Vorgang bei der Berechnung sei durch folgende Beispiele erläutert:

1. Beispiel: Eine Platte mit h — 10,5 cm Nutzhöhe ist für 1 m Breite mit 8 R.-E. 10 mm = 6,28 cm² bewehrt und hat das Moment von 55000 kgcm aufzunehmen. Welche Spannungen kommen dem Querschnitt zu?

Wir berechnen die Bewehrungsprozente

= 0,6 vH.;

6,28

10,5

nach Gl. 2a das Randspannungsverhältnis:

7,5 + ]/56,25 +

750

0,6

= 28,6

und somit die Spannungen nach Gl. 4a:

55 000 • 43,6

38,6 • 6,28 • 10,5

= 940 kg/cm²

und nach Gl. 5:

Oft —

940

28,6

= 33 kg/cm².

2. Beispiel : Ein Rechteckbalken von der Breite b — 20 cm, der Nutzhöhe li — 30 cm ist mit 3 R.-E. 18 mm = 7,63 cm² bewehrt und hat das Moment M— 138000 kgcm aufzunehmen.

Zum Spannungsnachweis ermitteln wir

= 1,27 vH.;

7,63

nach Gl. 2a:

0,2 • 30 7,5 + ]/56,25 +

750

1,27

somit sind die Spannungen nach Gl. 4a:

138000-32,9

= 17,9,

Ge —

27,9 • 7,63 • 30

= 711 kg/cm²

und nach Gl. 5:

Oft —

711

17,9

= 39,8 kg/cm².

Mit Hilfe der vorstehenden Ausführungen lassen sich auch Tabellen aufstellen, welche die zur Berechnung der Spannungen erforderlichen Beiwerte enthalten. Vorteilhaft ist es, die Tabellenwerte für die Eisenzugspannung ae — 1000 kg/cm² und die Plattenbreite b = 100 cm auf-zustellen.

Aus Gl. 4 folgt nämlich

_L 2

V + ₃ • n v -J⁻ n

und mit fc—pli erhalten wir

, 2

v + ~%'n v —)— n

bezw. mit Berücksichtigung von Gl. 3 auch

•h-fe• 1000,

M—

• 1000 •p • h²

M—

50 • n

(y -f- n)²

• 1000 • h² = ß ■ h? . 6).

Für n — 15 haben wir

750000

■ h²=zß-h² .    .    6a),

v -j- 10

(v+ 15)²

welche Werte in Tabelle I eingetragen wurden.

3. Beispiel: Für die Platte des 1. Beispiels wäre mit Hilfe der Tabelle I der Spannungsnachweis zu erbringen.

Die Bewehrungsprozente sind 0,6 vH., das aufzunehmende Moment ist M— 55 000 kgcm. Die Tabelle I zeigt den Wert p = 0,61 vH., so daß wir von einer geradlinigen Einschaltung absehen können. Dieser Bewehrung entsprechen ß — 533 und v — 28,5, die Spannungen sind somit

55 000

ae — 1000 •

ß-h²

= 1000-

533 • 1Ö,5²

' 940 kg/cm²

und

(,e

940

b~~ v ~~ 28,5

= 33 kg/cm².

zu

iO

— Ôe

co^

418    = ß

0,47 =p vH.

Qe

Gb

= ôe

(ïb‘

p vH.

71,4

114,5

0,109

31

32,2

440

0,50

iO

CD^

CD

O

05

CM

Tabelle I. Plattenquerschnitte mit einfacher Bewehrung.

1000 kg/cm²

0e =

CM

CO

C0

g «.

-f

486

0,545

cT

a    ^    § S

•°    S    o~

t- s s

CO CM    r*

00

CO

CO    O

CM    CO

CD CM

S g g

0,73 0,695

1000 kg/cm²

41

42

24,3

23,75

682

710

0,79

0,825

52    co    «

^    CM    L—    O

3    5*    8    §

^    CM    I>-    O

p vH. =

ae =

16

62,2

145,5

0,16

5    00    8    *-

^    lO    rH

GO

<=>    o

CM    O

214

0,215

0,23

0,275

S § s o‘

CO

CM

GO    CO ^

CO    CO O

c~    t~    £2    S

<M    CO    55    o'

28

35,7

373

0,415

⁰⁵    ^    o?

⁰⁴    eo    co    o⁻

é \?|io

p vH. =

Rechteck yon der Breite B und der Nutzhöhe h. Drücken wir die Bewehrung in Prozenten dieser Fläche nach

loo • /;

B-h

aus, so erhalten wir mit Gl. 2 bezw. 2 a das zukommende RandspannungsVerhältnis und erhalten mit Hilfe der Gl. 1 Aufschluß, ob x gleich, kleiner oder größer als die Druckgurtdicke d ist. In den ersteren beiden Fällen gelten für die Berechnung der Spannungen dieselben Regeln, wie sie zu 1 gegeben wurden.

Fällt jedoch die Nullinie in den Steg des Plattenbalkens, ist also x > d, so wird für die Annahme, daß im Druckgurt nur die schraffierte Fläche der Abb. 1 mitwirke, die Spannungsberechnung vorteilhafter als nach den bekannten Formeln der preußischen ministeriellen Vorschriften nach folgender Methode³) durchgeführt, deren theoretische Begründung hier vorangeschickt wird.

Aus der Gleichheit der statischen Momente beiderseits der Nullinie (Abb. 1) folgt: n • fe - w — B • d • s und, da w — e — s ist, auch n- f₆- (e — s) — B • d • s. Drücken wir die Bewehrung in Prozenten ą der schraffierten Fläche der Abb. 1 aus, so wird mit

H"³ s> H

-B

_L.

•f-

ur

\^05d

Abb. 1.

fe =

(f • B • d

100

der Abstand s zu

n • (f • e

100 -f- 7l(f

gefunden. Der Abstand der Nullinie vom gedrückten Plattenrande ist somit

. d x = £-j-~2

n • (p

100 -j- n (f

INS

. . 7).

Der Druckmittelpunkt des Spannungstrapezes liegt von der Druckkante, wie leicht zu ermitteln, im Abstande

3 x — 2 d d 2 x — d 3 ’

der Hebelarm des inneren Kräftepaares ist somit durch m—h — z — h

2 x — d 3 ausgedrückt. Die Eisenzugspannung wird nun aus

. . 8)

o« =

m-fe

und mit Hilfe des Randspannungsverhältnisses

9)

15 • iv

Ö6

. . 10)

die Kantenpressung

(Sh — —

11)

ermittelt.

4. Beispiel : Mit bezug auf Abb. 1 sei für einen Querschnitt mit B — 1,50 m, d — 8 cm, h— 35 cm und fe=z4: R.-E. 20 mm = 12,57 cm² der Spannungsnachweis für das Biegungsmoment M — 390 000 kgcm erbracht.

Wir ermitteln nach der Feststellung, daß die Nullinie in den Steg fällt, den Prozentsatz 12,57 • 100 150 • 8

ferner mit Hilfe der Gl. 7 bis 11:

15 • 1,05 100 +15 • 1,05

3 • 8,22 — 2-8

2 • 8,22 — 8

m — 35

und mit

(p —

390000

32,26 • 12,57

= 1,05 vH.,

.35 + 4 = 8,22

cm.

*. -g- = 32,26 cm,

= 960 kg/cm²

15 • 26,78

8,22

schließlich die Druckspannung 960

= 48,8

48,8

= 19,65 kg/em².

Im Brückenbau pflegt man das Stegrechteck oberhalb

Der

der Nullinie (Abb. 1) nicht zu vernachlässigen. Spannungsnachweis wird hier vorteilhafter mit Hilfe des

Trägheitsmomentes des Querschnittes durchgeführt, da man auf anderem Wege zu endlosen Formeln gelangt.

Der Vollständigkeit halber sei diese an sich bekannte und in der Praxis geübte Methode an der Hand eines Beispiels durchgeführt.

5. Beispiel: Der in Abb. 2 skizzierte Querschnitt hat ein Moment von M—l 227 500 kgcm aufzunehmen.

Zur Spannungsermittlung be rechnen wir zunächst aus der Gleichheit der statischen Momente beiderseits der Nullinie (x — 18)²

170

I V.W

T~ wz

h-93

,1

T

5595

4$36190mm=11133 cm *

Abb. 2.

170 • 18 • (# — 9) + 40 •

— 15 *111,33-(93 — x) = 0

oder

x²-j- 200,5 x - 8818 = 0

den Abstand derselben zu

— 100,25 + V100,25² -f 8818 = 37,05

cm.

Das Trägheitsmoment in bezug auf die Nullinie ist nun 170 • 37Q)5³

J=

130 • 18,95³

-f 15 • 111,33 • 55,95²

• 37,05 = 34,3 kg/cm²

Ö6 =

= 7 810 500 cm⁴. Die Spannungen sind also 7 227 500 J 'X~ 7 810 500

und

7 227 500

7 810 500

. 55,95 • 15 = 775 kg/cm².

Von dem Bestreben geleitet, die Spannungsberechnung im Plattenbalken so einfach als möglich zu gestalten, hat der Verfasser im Jahre 1905 Diagramme aufgestellt, welche sich im praktischen Gebrauch bewährt haben.

des Plattenbalkens und für die Kanten-

Unter der Annahme, daß im Druckgurt nur die nach Abb. 1 gekennzeichnete Fläche mitwirke, wurden unter Verwendung der Formeln 7 bis 11 für die verschiedenen Höhenverhältnisse hi —

Pressungen cfy = 15 bis 45 kg/cm² die entsprechenden Momente für eine Druckgurtbreite i?=100 cm (Abb. 1) in der Form fi₀₀ =. ]c% ■ d² zum Ausdruck gebracht. Das Diagramm ist für die Eisenzugspannung oe — 1000 kg/cm² aufgetragen und gibt die genau entsprechenden Bewehrungen in Prozenten (p der Fläche B-d an, gleichgültig, ob die Nullinie in den Steg oder in die Platte fällt.⁴) Die Auftragung erfolgte in der Weise, daß die Höhenverhältnisse der Plattenbalken

als Ordinaten und die Werte &₂ ——als Abszissen

erscheinen. In dieses Achsensystem sind die mit der zugehörigen Kantenpressung bezifferten Kurven eingetragen. Eine zweite ebenso beschriebene Kurvenschar hat die ifcj-Werte als Ordinaten und die Bewehrungsprozente (p als Abszissen.

Die Tabelle II stellt einen Auszug des Diagramms dar, welche jedoch gegenüber der schaubildlichen Darstellung den Nachteil hat, daß zwischenliegende Werte geradlinig eingeschaltet werden müssen. Der Vorgang ist aus Beispiel 6 ersichtlich.

6. Beispiel: Ein Plattenbalken der Abb. 1 mit B— 1,8 m, h — 44 cm, d — 8 cm und fe — 24 cm² hat ein Biegungsmoment von M — 920 000 kgcm aufzunehmen. Es sind die Spannungen zu ermitteln.

Dem Plattenbalken kommen das Höhenverhältnis

44

*1 =

— 5,5

und der Bewehrungssatz

(p —

fe

24

B ■ d '    1,8 • 8

— 1,67 vH.

Aus Tabelle II entsprechen hierfür ab‘ 1000 kg/cm² und h₂ — 8500.

Die Eisenzugspannung ist daher 920000

zu.

25 kg/cm² bei

(fe =

M•1000

1,8- 8500 -8²

• 1000 = 940 kg/cm²

und die Kantenpressung im Beton

25 • 940

Ob —

1000

1000

23,5 kg/cm².

Es ist bekannt, daß die Eisenzugspannung im Plattenbalkenquerschnitt zutreffend gefunden wird, wenn in der Formel zur Berechnung derselben

10

Tabelle II. Plattenbalkenquerschnitte mit einfacher Bewehrung.

Eisen Zugspannung öe— 1000 kg/cm².

t=“; v-

15

20

25

30

35

40

JO

ist

b*

wT co *    o    ©>

bi

Ol

O'

r.

J"⁴

-1

bi

ao

00

b'

JO

© c«

itfioo —

k₂- d² =

rp — VH.

Mm = rp = vH.

Mioo = <p> = vH.

^100 = cp = vH.

^100 = <p = vH.

Mim = <p = vH. Mm = (p = vH.

-Mioo — <jp = vH.

M₁₀₀ — cp = vH.

^100 = vH.

-^100 = <jp = vH.

#100 == qp = vH.

#100 — = vH.

#100 — 7 == vH.

#100 = 7 = vH.

#100 = 7 = vH.

#100 = 7 = vH.

510 d²    900 d² 1 250 d²

0,27

0,46

0,68

800 d²    1 350 d² 1 950 d²

1    700 d²    2 100 d² 2 600 d²

0,91    1,205    1,485

2    575 d²    3 350 d² 4 100 d²

0,34

0,58

0,85

1,14

1,51

1,36

1150 d² 1 900 d²    2 800 d²

3 750 d² 4 755 d²    5 800 d²

0,41

0,69

1,02

1,37

1,81

2,21

1 550 d²    2 600 d² 3 800 d²

5 000 d² 6 300 d² 7 600 d²

0,48

0,81

1,19

1,59

2,05

2,48

2 050 d² 3 400 d² 4 900 d²

6 350 d² 8 000 d² 9 500 d²

0,55

0,92

1,36

1,78

2,23

2,67

2 600 d² 4 250 d² 6 050 d²

0,62

1,04

1,48

3 200 d² 5 150 d² 7 250 d²

0,69

1,13

1,58

3 850 d² 6 100 d² 8 500 d²

7 800 d² 9 650 d³ 11 350 d2 1,93    2,47    2,815

9 250 d² 11 350 d² 14 500 d2 2,03    2,475    2,93

10 700 d² 13 000 d² 15 200 d²

0,76

1,20

1,67

2,12

2,57

3,03

4 600 d² 7 050 d² 9 700 d²

12 175 d² 14 675 d² 17 150 d²

0,82

1,26

1,74

2,19

2,65

3,11

5 300 d² 8 000 d² 10 900 d²

0,87

1,32

1,80

6 050 d² 9 000 d² 12 100 d²

13 625 d² 16 400 d² 19 150 d2 2,25    2,71    3,18

15 125 d² 18 100 d² 21 125 d²

0,91

1,37

1,85

2,30

2,77

3,24

6 800 d² 10 000 d² 13 375 d²

16 600 d² 19 800 d² 23 100 d²

0,95

1,41

1,89

2,35

2,82

3,29

7    500 d² 10 900 d² 14 600 d²

10 450 d² 14 800 d² 19 500 d²

18    050 d² 21 550 d² 25 100 d²

22 425 d² 26 800 d² 31 050 d²

2,49

2,97

3,44

23 900 d² 28 550 d² 33 000 d²

1,08

1,55

2,04

2,51

2,99

3,46

11

12)

0"e —    /.    •

m-fe

der Hebelarm m des inneren Kräftepaares zn m — h--oder m == 0,925 h

Là

eingeführt wird.

Bezüglich der Betonkantenpressung Gb führt der gleiche Weg zu keinem Ergebnis, indem dieser Wert als das 1,2-bis 2 fache der mittleren Pressung cm, welche aus

(Abb. 1)

m-B- d

gefunden wird, erhalten werden kann. Ein eingehendes Studium meines früher beschriebenen Diagramms belehrte mich, daß die mit den Kantenpressungen Gb bezifferten Strahlen dem Gesetz

Üm-

jfc₉ = 98    —6140 .... 13)

mit jener belanglosen Abweichung folgen, daß die nach dieser Gleichung ermittelten Geraden sich um so schärfer mit den Diagrammstrahlen decken, je größer Gb gewählt wird, und daß für den Bereich der zulässigen Spannungen, d. i. um Gb — 40 kg/cm², die vollständige Deckung eintritt. Dieser Umstand begünstigt die Anwendung dieses Gesetzes, da wir gerade für jene Fälle, wo wir hart an der Grenze der zulässigen Spannung sind, die volle Genauigkeit der Rechnung brauchen, während es bei den zumeist vorkommenden unterbeanspruchten Balkenquerschnitten gleichgültig ist, wenn diese Rechnung etwas größere Werte Gb liefert, als solche bei Gebrauch einer umständlicheren Berechnungsmethode erhalten werden.

Aus obigem durch Gl. 13 ausgedrückten Gesetz erhält man die Kantenpressung

o& —

&₂ -j- 6140 __ B-d²

f 6140

oder als Merkformel

98 kx

. .    14)

Gb —

B-d²

+ 6000

100 \

M

f- 6000 d

.    .    14a)

bezw.

Gb —

B-d

100 h

.    .    14b).

12

Die Formeln 14 und 14a gelten dann, wenn nach Gl. 12 die Eisenzugspannung ae — 1000 kg/cm² erhalten wurde.

Weicht das Ergebnis aus Gl. 12 von 1000 kg/cm² ab, so berechnen wir die Kantenpressung schärfer nach

B-d²

f 6140

öb —-

oder nach der Merkformel

98 Je,

1000 '

■ .    15)

Gb =

B-d²

f 6000

100 000 h

-ae .    .

.    .    15 a)

bezw.

B-d

+ 6000 d

100 000 h

• <re .    .    .    .    15b).

7. Beispiel: Es wären die Ergebnisse des im 6. Beispiel behandelten Plattenbalkens zu überprüfen.

Es sind

44

*i =

= 5,5, m — 0,925 • 44 = 40,7 cm

somit nach Gl. 12

ae —

920000

40,7 • 24

= 940 kg/cm²

und nach Gl. 15a

920000

ab =

1,8 • 64

f 6000

100 000 • 5,5

• 940 i= 23,9 kg/cm².

Wir ersehen, daß bei Anwendung der vereinfachten Formeln 12 bis 15 b mit ausreichender Genauigkeit der Nachweis bezüglich des Sicherheitsgrades der Konstruktion erbracht werden kann. Die auf einen umständlicheren Nachweis aufgewendete Arbeit könnte viel ersprießlicher zur Durchbildung der Konstruktion in ihren sonstigen Belangen sowie zur Herstellung von Detail- und Biegeplänen verwendet werden, welche heute kaum in den statischen Berechnungen, noch weniger aber auf den Baustellen zu finden sind.

II. Die Bemessung der Querschnitte.

Als Grundsatz zur Bemessung der Eisenbetonkonstruktionen gilt dem in der Praxis arbeitenden Ingenieur die Erreichung des Kostenkleinstwertes

13

innerhalb der aus Sicherheitsgründen gebotenen Grenzen der Inanspruchnahme der Verbundstoffe. Im folgenden werden wegen der Wichtigkeit dieser Frage die Bedingungen für die am häufigsten vorkommende Aus-führungsform, den Plattenbalken, abgeleitet werden.

Den wesentlichsten Teil der Belastung des Plattenbalkens bildet das Platten gewicht. Man wird daher in erster Linie zu trachten haben, die Platte so leicht als möglich, d. h. bei Vollausnutzung der zulässigen Spannungen zu bemessen. Bei den stets kontinuierlich verlaufenden Platten der Plattenbalken wird man die Bemessung derselben für die größten Momente, d. i. in den Bandfeldern, in der eben beschriebenen Art vornehmen, für die Plattenzwischenfelder jedoch die im Randfelde ermittelte Plattenstärke beibehalten und die Bewehrung entsprechend den kleineren Momenten-werten, wie später im 10. Beispiel gezeigt werden soll, verändern.

Die Vollausnutzung beider Materialspannungen in den Randfeldern ergibt, wenn wir die Kosten der Platte allein betrachten, für diese nicht in allen Fällen auch einen Kleinstwert; der Mehraufwand an Kosten für die so bemessene Platte wird aber durch die Ersparnisse, welche in der Gesamtkonstruktion, also im Plattenbalken, durch die Erleichterung des Eigengewichts erzielt werden, reichlich aufgewogen.

von besonderer

14

aus Tabelle I den zugehörigen ß-Wert sowie den Prozentsatz j) ab und ermittelt

ß‘ =

•ß • •

. .    17).

1000

Die statische Höhe für Eisenzugspannungen ae, welche von 1000 kg/cm² abweichen, ergäbe sich daher zu

18).

Um nun die Bemessung der Platte, ohne vorheriges Einschätzen des Eigengewichts derselben, nur mit Hilfe der gegebenen Fremdlast f durchführen zu können, drücken wir das Eigengewicht g der Platte für 1 m2 durch g = 24 li -|- 24 a aus. Hierin sind die statische Höhe h und die Deckschicht a in cm ausgedrückt, so daß g in kg erhalten wird. Für die Deckhöhen 1 cm, 1,5 cm und 2 cm ergeben sich die Eigengewichte zu

g — 24 h -f- 24 \ g = 24: h-\- 36 g — 24 h + 48 )

. . 19).

Die folgende Berechnung ist besonders für a = 1,5 cm durchgeführt, so daß sich die Gesamtbelastung für 1 m² der Platte zu

<1 = 9 + f=(f+ 36) + 24Ä ... 20)

ergibt.

Für die Stützweite von l m ergibt sich das Moment, das

nach der Formel    ermittelt sei, zu

k

M=ß' • h² =

^[(/•+36) + 24Ä]-?² . 21).

Nach entsprechender Umformung erhalten wir die quadratische Gleichung

h² —

2400 h • l²    100

k-ß'

•(/•+ 36)-Z* = 0 22),

aus welcher die entsprechende statische Höhe zu

10 - Z

\ •    20 l + ]/14 400 • P + * • ß' ■ (/• + 36) j

23)

erhalten wird. Die anzuordnende Bewehrung ist nun für 1 m Breite

fe—P'h

24).

8. Beispiel : Es ist die Platte im Bandfelde einer Plattenbalkendecke in Stärke und Bewehrung zu ermitteln.

15

Die Verlagsweite der Balken beträgt 2,5 m, die auf liegende Fremdlast beträgt für 1 m² /’= 336 kg, und die zulässigen Spannungen sind 950/40 kg/cm².

40 =²³'⁷⁵

Für das gegebene Randspannungsverhältnis 950

ergibt die Tabelle I

ß — 110 und p = 0,825 vH.

Gemäß der Gl. 17 ist zunächst 950

ß' =

+ — 0,95-710 = 675.

Mit a — 1 cm ist in Gl. 23 statt 36 (Gl. 19) der Zuschlag 24

1000

Zll

machen, die Gl. 23 ergibt dann, wenn wir

das Moment im Randfelde zu h = 10 gebrauchen,

ermitteln, d. h. den Wert

2,5

675

• [ 120 • 2,5 + V14 400 • 2,5² + 10 • 675 • (336+24) 2,5 • 1888

= 7 cm.

675

Es genügt somit eine äußerliche Plattenstärke von h + a = 8 cm, und nach Gl. 24 sind fe = 0,825 • 7 = 5,72 cm², d. s. 9 R.-E. 9 mm, anzuordnen.

In Fällen, wo nach der eben angeführten Methode eine geringere Plattenstärke erhalten wird, als dies die geltenden Vorschriften oder das eigene praktische Ermessen billigen, greift man zu der entsprechenden Plattenstärke und ermittelt lediglich die Bewehrung hierzu. In diesen Fällen ist das Eigengewicht der Platte von vornherein gegeben, und die Berechnung gestaltet sich in der Weise, wie es die folgenden Beispiele erläutern.

9. Beispiel: Eine beiderseits freiaufliegende Platte von l = 2,10 m Stützweite hat eine Fremdlast von 250 kg/m2 aufzunehmen. Es gelten beispielsweise die preußischen ministeriellen Vorschriften, also die Spannungen 1000/40 kg/cm² und die statthafte Mindeststärke der Platte 8 cm.

Die Gesamtlast der Platte beträgt für 1 m2 q — 250 + 0,08 • 2400 = 442 kg.

Das Moment ist

M=

442 • 2,1 • 210

— 24 400 kgcm.

16

Da die statische Höhe mit a — 1,5 cm h — 8 — 1,5 = 6,5 cm

— 577,5

beträgt, so ermitteln wir nach Gl. 6 oder 6a M _ 24 400

6,5

h² —

und suchen diesen Wert in Tabelle I auf bezw. schalten

geradlinig ein.

Für die Zwecke der Praxis machen wir die Ablesung in jener Spalte der Tabelle I, welche die größere Kantenpressung und den größeren Bewehrungssatz liefert. Es entsprechen hiernach für ß — 582 die Werte

ab — 37 kg/cm² und p — 0,67 vH.

Die geradlinige Einschaltung hätte nur geringfügig abweichende Ergebnisse, nämlich

ob — 36,8 kg/cm² und p — 0,664 vH.

ergeben.

Man ordnet in vorliegendem Falle auf 1 m Breite die Bewehrung

fe =p - h — 0,67 • 6,5 ~ 4,35 cm², d. s. rund 7 B.-E. 9 mm, an.

10. Beispiel : Im 8. Beispiel wurde für das Bandfeld einer kontinuierlichen Platte die Stärke und Bewehrung derselben ermittelt. Unter den gleichen Voraussetzungen wie dort ist nun die Bemessung der Platte für die Zwischenfelder durchzuführen, wobei zu beachten sei, daß von der Fremdlast f— 336 kg/m² der Anteil b — 250 kg/m² auf bewegliche Last entfalle.

Aus praktischen Gründen wird man jene Plattenstärke beibehalten, wie diese im 8. Beispiel für das Bandfeld ermittelt wurde, und sich darauf beschränken, eine entsprechende Bewehrung zu ermitteln. Dies geschieht am zweckmäßigsten mit Hilfe der Tabelle I.

Unter Benutzung der im Anhänge gegebenen Zusammenstellung A ergibt sich unter der Annahme eines nur dreifeldrigen Zusammenhanges der Platte das größte Feldmoment zu

—    0,025

1 -f- 3 a

1 -j- cc

Die bewegliche Last für 1 m² beträgt b — 250 kg, die ständige Last s = 336 — 250 -j- 0,08 • 2400 = 278 kg.

— 0,9,

Das Verhältnis a ist demnach b 250

s — 278

17

so daß sich mit q = b -J- s — 528 kg das größte positive Feldmoment zu

M₂

3,7

+ 0,025 •    • 528 • 2,5 • 250 = + 16 100 kgcm

1, J

berechnet. Wäre die Eisenzugspannung ae = 1000 kg/cm2 zulässig, so würden wir weiter genau wie im 9. Beispiel verfahren. Da die zulässige Eisenzugspannung ae von dieser Tab eilen grundlage ab weicht, so ermitteln wir unter Beachtung der GL 17 und 18 den in Tabelle I aufzusuchenden ß-Wext nach

M 1000 h² <Je

. . 25)

also zu

= 345,

fi =

16100 1000

950

welchem mit hinreichender Genauigkeit die Tabellenwerte rrb' = 27 und p = 0,39 entsprechen. Die tatsächliche Kantenpressung wird nach

1000

. . 26)

zu

ab — 0,95 • 27 = 25,6 kg/cm²

berechnet, und die anzuordnende Bewehrung ist für 1 m Breite /; = 0,39 • 7 = 2,73 cm².

Wie ersichtlich, wäre es zwecklos, sich der Mühe einer geradlinigen Einschaltung zu unterziehen, welche geringfügig abweichende Werte, nämlich

950

1000

ab —

•(²⁶+f-¹’⁰)

= 25,3 kg/cm²

und

15

p — 0,37 + ~ • 0,02 = 0,389 vH.

ergeben hätte.

Ein wünschenswertes Hilfsmittel für den Praktiker sind Tabellen, welche Angaben über die Stärken, über die Anordnung und Menge der Bewehrung für oft wiederkehrende Randspannungen enthalten und die Ablesung dieser Bestimmungsstücke für das ermittelte Größtmoment gestatten. Vorteilhaft ist die Anwendung solcher Tabellen insbesondere im Brückenbau, wo das Auftreten großer Einzellasten eine Momentenwirkung hervorruft, die sich nicht in so einfacher

Wuczkowski, Bemessungsverfahren.

18

Tabelle III. Fahrbahnplatten.

Anordnung der Bewehrung

Skizze

Moment in kgcm, erfordert. Eisen querschnitt in cm2 für 100 cm breiten Platten streifen bei den zulässigen Spannungen

800/33 kg/cm²

750/33 kg/cm²

1000/40 kg/cm²

-^100

fi

fi

ff

M₁₀₀

ff

Einfach bewehrt

L4J UJ !JJ $1 iS i.1 #J

23 200

31 000

MH

MH

MH

M>l

MH

MH

CO

—>

MH

39 800

49 700

59 400

71 500

84 500

98 600

112 300

5,12

5,91

6,70

7,48

8,20

8,98

9,77

10,56

11,27

24 050

32 000

41 200

51500

61600

74 000

87 700

102 200

116 500

5,70

6,58

7,46

8,32

9,12

10,00

10,87

11,75

12,55

27 700

37 000

47 500

59 300

71000

85 300

101 000

118 000

134 000

4,875

5,63

6,38

7,12

7,80

8,55

9,30

10,05

10,74

bf

L-N U

kH

MH

M *1

MH

128 700

146 000

162 500

182 000

12,05

12,85

13,55

14,35

133 300

151 500

168 700

189 000

13,42

14,30

15,10

15,95

153 500

174 200

194 000

217 000

11,48

12,23

12,90

13,65

jä

<— CM

MH

202 500

15,14

210 000

16,85

242 000

14,40

««H

ksH

224000

15,93

232 500

17,70

268 000

15,15

19

Anordnung der Bewehrung

Skizze

Moment in kgcm, erforderl. Eisenquerschnitt in cm3 für 100 cm breiten Plattenstreifen bei den zulässigen Spannungen

800/33 kg/cm² 750/33 kg/cm² 1000/40 kg/cm²

Mio«,

n ft

Vioo

n ft

n ft

= 3 bewehrt, 4=4'

r*-

A<->

ksSd

67 500    9,30 3,10    71000 10,55 3,52    80100    8,83 2,95

kw>l

Md

<£>

81000 10,20 3,40    85 300 11,57 3,86    96 300    9,70 3,23

96 000 11,10 3,70 101000 12,60 4,20 114 000 10,53 3,52

112 000 12,00 4,00 118 000 13,60 4,53 133 000 11,40 3,80

Zug- und Druckgurt im Verhältnis

l<cn>l

131200 13,12 4,37 137 800 14,82 4,94 155 000 12,41 4,14

öi

T“

Md

150 200 14,05 4,68 157 800 15,85 5,28 178 000 13,30 4,43

CO 1

r-f

r;

JTÎ

<M i

• ro

Kto>I

r cd >\

Md

Md

170 800 14,95 4,98 179 000 16,90 5,64 202 000 14,15 4,72

192 000 15,90 5,30 202 000 18,00 6,00 227 500 15,06 5,02

215 000 16,80 5,60 226 000 19,05 6,35 254 000 15,95 5,32

239 500 17,73 5,91 251600 20,10 6,70 283 000 16,81 5,60

264 500 18,70 6,22 278 000 21,13 7,04 313 500 17,70 5,90

Gestalt ausdrücken läßt, als dies für die gleichförmigen Lasten des Hochbaues vorwiegend der Fall ist. In dieser Erkenntnis wurde vom Verfasser die Tabelle III aufgestellt, deren Gebrauch sich ohne weiteres erklärt.

2. Plattenbalkenquerschnitte.

Wie eingangs erwähnt, wird sich der Konstrukteur bei der Bestimmung der Abmessungen innerhalb der aus Sicherheitsgründen gebotenen Grenzen von wirtschaftlichen Grundsätzen leiten lassen. Die wirtschaftlich günstigste statische Höhe h ergibt sich aus dem Kostenminimum des Balkens.

¹

Vgl. den Aufsatz des Verfassers in Beton u. Eisen 1909, Heft XI, S. 268.

Wilczkowski, Bemessungsverfahren.

²

Plattenbalkenquerschnitte.

Sind die Spannungen für einen in Abmessung und Bewehrung gegebenen Plattenbalkenquerschnitt (Abb. 1) ermitteln, so denken wir uns vorerst den Querschnitt als

³

Vgl. den Aufsatz des Verfassers in Beton u. Eisen 1909 Heft XI, S. 268.

⁴

Die Diagramme nebst Gebrauchsanweisung und durchgeführten Beispielen sind vom Verfasser erhältlich.

20

Bei der Ausführung von Plattenbalken stellt sich der Fall zumeist so, daß die Verlagsweite der Balken von vornherein gegeben ist, indem sich die Balkenteilung der Fensterachsenentfernung u. dgl. m. anzupassen hat. Eine Untersuchung, welche bestrebt ist, die zur Erreichung des Kostenminimums erforderliche Balkenhöhe und überdies die hierzu günstigste Verlagsweite der Balken zu ermitteln, hat für den Praktiker geringen Wert. Die nach solcher Rechnung ermittelte veränderliche Balkenteilung berücksichtigt die Nebenumstände nicht und stellt somit tatsächlich nicht das Kostenminimum dar; es stellt sich bei derselben z. B. die Notwendigkeit der Anordnung von Fenster- und Türüberlagen heraus, wrelche bei einer nach praktischen Gesichtspunkten frei gewählten, den Bauverhältnissen angepaßten Verlags weite der Balken vermieden werden können und die Decke in dieser Form zu einem wirklichen Kostenminimum herzustellen gestatten. Die Wahl gleicher Balkenverlagsweiten für mehrere Deckenspannweiten gibt die Möglichkeit zur Wiederverwendung der Schalungen am selben Bau, unter Umständen auch für mehrere Gebäude, wodurch die Herstellungskosten in ausschlaggebenderer Weise ermäßigt werdeu, als dies durch stetigen Wechsel der Verlagsweiten zu erreichen ist. Nach dem Angeführten ergibt sich, daß die Verlagsweite nicht nach wirtschaftlichen Gesichtspunkten berechnet werden soll, sondern deren freie Wahl dem praktischen Ermessen anheimgestellt bleiben muß.

• • »J

ft

Abb. 3.

Da die Kosten der Platte bei gegebener Belastung und schließlich festgelegter Verlagsweite keiner Aenderung mehr unterworfen sind, so kommen dieselben bei der Ermittlung der günstigsten statischen Höhe li des Balkens nicht mehr in Betracht. Dasselbe gilt für die Kosten der Schalung des Balkenrechtecks. Die Schalungen sind, um unnützen Holzverschnitt zu vermeiden, so eingerichtet, daß durch bloßes Höher- oder Tiefersetzen des Schalungsbodens dieTräger-liöhe ohne Kostenmehraufwand in weiten Grenzen geregelt werden kann. So veranschaulicht Abb. 3, daß der Schalungsaufwand derselbe bleibt, ob man den Trägerboden in der Lage L oder L' verschraubt.

21

Unsere Aufgabe beschränkt sich somit auf die Ermittlung des Kostenkleinstwertes für den Materialaufwand im Balkenrechteck, welches unterhalb der Platte liegt.

Bezeichnen wir mit Pß den Preis für 100 kg Eisen und mit PB den Preis für 1 m³ Beton, so entfallen auf 1 cm2 Bewehrungsquerschnitt die Kosten Pe — 0,0078 • Pß und auf 1 cm² Betonquerschnitt des Balkens Pb — 0,0001 • Pß. Die Querschnittsfläche der Bewehrung beträgt fe cm², jene des Balkenbetons b (ha— d). Es sind also die zum Vergleich verschiedener Trägerhöhen maßgebenden Kosten

K=fe-Pe-\-b(h-\-a—d)-Pb . . 27).

Auf den Balken wirkt das von der Gesamtbelastung herrührende Moment M in kgcm ein. Setzen wir mit gut zutreffender Annäher un g wie früher den Hebelarm des inneren Kräftepaares im Balken mit m — 0,925 h ein, so wird für die zulässige Eisenzugspannung der erforderliche Bewehrungsquerschnitt nach Gl. 12 zu

ft —

0,925 h • (7g

erhalten. Führen wir diesen Wert in Gl. 27 ein, so ergibt sich:

K_ M-Pe

-}- b • (h a — d) • Pb . . 28).

0,925 • (7e

Die Kosten werden ein Kleinstwert für

dK

M-Pe

dh

-\-b-Pb = 0 . . 29).

0,925 h² • (7g

Die Bedingung 29 ergibt die dem Kostenkleinstwert entsprechende statische Höhe h des Balkens zu

Ä=l/-

M-Pe

. . 30). ¹

0,925 (7g b Pb ' ‘

Das Moment M des Balkens von der Stützweite l m und der Gesamtbelastung q kg für 1 lfd. m ergibt sich in kgcm aus

M= 100 •

qP

. . 31)

sofern nicht der Ermittlung des Momentes nach der Zusammenstellung A des Anhanges der Vorzug gegeben wird. Die Belastung q setzt sich aus der Gesamtbelastung des auf den Balken entfallenden Plattenstreifens, welche aus der vorangegangenen Plattenberechnung bekannt ist, und aus dem Eigengewicht des Balkens zusammen. Dieses letztere muß eingeschätzt werden; am zutreffendsten geschieht dies mit der Formel 3,5 • Z², welche das Balkengewicht für 1 lfd. m in kg gibt, wenn l in m eingesetzt wird.

22

Führen wir den Ausdruck des Momentes M nach Gl. 31 in die Gl. 30 ein, so haben wir

h = 10-Z-

q-JPe

0,925 -k- oe-b • Pb

. . 32).

Für die besonderen Werte k = 8, Ge = 1000 kg/cm² und der Balkenbreite b cm = 3 • hn wird daraus

. . 33).

q-l-Pe 222 -Pb ‘ ‘

11. Beispiel: Es wäre die wirtschaftlichste statische Höhe des im Beispiel 6 der preußischen ministeriellen Bestimmungen vom 24. Mai 1907 gegebenen Plattenbalkens unter der Annahme eines Eisenpreises von 16 Mark für 100 kg und eines Betonpreises von 30 Mark für 1 m³ zu ermitteln.

Die Belastung q für 1 lfd. m des 7,5 m weiten Balkens

beträgt :

135 kg 500 „ 360 „ 197

Fußbodengewicht 1,5 -90......

Nutzlast für 1 m Balken.......

Plattengewicht 0,1 • 2400 • 1,5.....

geschätztes Balkengewicht 3,5 • 7,5² .    .

Man ermittelt

q — 1192 kg.

daher

und nach Gl. 33:

Pe — 0,0078-16 = 0,125, Pb — 0,0001 -30 = 0,003, P, _ 125 Pb ~ 3

— 41,6,

41,75 cm.

1192-7,8.41,6

222

Die im dortigen Beispiel gewählte statische Höhe von h — 36 cm würde einem Kostenkleinstwert dann entsprechen, wenn für die zuständige Baustelle das Verhältnis der Bau-

= 31, also z. B. die Grundpreise Pe — 16 Mark

und Pß — 40,2 Mark zutreffen würden.

stoffpreise

Pe

Pb

Die Erfahrung belehrt uns, daß für die in Betracht kommenden Kostenverhältnisse dem Kleinstwert der Balkenkosten eine Druckinanspruchnahme des Betons entspricht, welche tief unter dem zulässigen Wert liegt. So kommt

100 cm der Druckgurtbreite das Moment M₁₀₀ =

wobei x>

B in m gemessen ist. Für die Zwecke der Bemessung läßt sich auch beim Plattenbalken die statische Höhe vorteilhafter nach der Formel

100

• - 34),

welche einen ähnlichen Aufbau wie die Gl. 16 und 18 zeigt, ermitteln. Während aber der für Platten und Rechteckquerschnitte gültige ß-Wert der Gl. 16 und 18 einzig nur vom RandspannungsVerhältnis abhängig ist, steht der in Gl. 34 vorkommende Wert r auch zum Höhenverhältnis des Plattenbalkens

]Cl ~~ d

Wie aus

23

beispielsweise der im 11. Beispiel berechneten wirtschaftlichen Höhe nach Gl. 14a eine Kantenpressung von 908000

1,5 • 10²

+ 6000

= 28,9 kg/cm³

Ö6 =

Es darf also im allgemeinen nicht befürchtet werden, daß bei Verwendung der Formel 32 eine Ueberschreitung der zulässigen Inanspruchnahme des Betons auf Druck eintritt. Anderseits führt diese Tatsache zu einer Methode der Bemessung von Plattenbalken, welche, ohne in die Detailpreise jeder Baustelle einzugehen, dem wirtschaftlichen Standpunkt dadurch Rechnung trägt, daß die Bemessung für die diesem Zweck am günstigsten gelegene Kantenpressung ah — 30 kg/cm2 durchgeführt wird.

Hat ein Plattenbalken nach Abb. 1 das Moment M kgcm = l¹)

für die Druckgurtbreite B < -V aufzunehmen, so entfällt auf

3

100 -4,175

zu.

in Beziehung (Abb. 1), wie dies in den bekannten Plattenbalkendiagrammen des Verfassers, von welchen Tabelle II einen Auszug bringt, zum Ausdruck gelangt, jener Tabelle ersichtlich, läßt sich das für 1 m Druckgurt-

24

Gl. 34 M

lim

breite entsprechende Moment nach 4f₁₀₀ = k₂ • d² und nach = rh² ermitteln, welche identische Werte ergeben müssen. Berücksichtigen wir, wie in Tabelle II, das Höhenverhältnis

so läßt sich unschwer mit Hilfe der Tabellenwerte der Beiwert r zu

35)

ermitteln.

Wenn wir also eine allgemein brauchbare Formel nach Gl. 34 erhalten wollen, welche auch in wirtschaftlicher Hinsicht im allgemeinen zutreffende Ergebnisse zu liefern befähigt sein soll, so ermitteln wir für o'h — 30 kg/cm² für die gebräuchlichsten Höhen Verhältnisse im Hochbau: k₁ = 3 bis 7 die zugehörigen Jc₂-Werte und berechnen nach Gl. 35 den Bei wert r.

k% _ 3750

çr=⁴¹⁸’

Die Tabelle II ergibt: bei kx = 3, k₂ — 3 750, daher r —

„ kx — 4, k₂= 6 350,

6350

₁₆    = 396,

„ kx — 5, k₂= 9 250,

9250

25    = ³⁷⁰’

„ h = 6, *3 = 12175,

12 175

3g-= 337,

„ kx = 7, h = 15 125,

15125

49

= 308.

Wir sehen also, daß beim Plattenbalken infolge verschiedener Höhenverhältnisse kx die Beiwerte auch bei ein und demselben Randspannungsverhältnis verschiedene Größe haben.

Die zugehörigen Bewehrungen sind in Tabelle II in Prozenten <p nach der Druckgurtfläche B • d ausgedrückt, für B — 1,00 m Druckgurtbreite ist die Bewehrung somit fei0Q — y • d, wobei fe in cm² für d in cm erhalten wird. Da aus dem Höhenverhältnis

25

gefunden wird, so kann dieselbe Bewehrung auch in der Form wie bei den Platten- und Rechteckquerschnitten zu

fe

(f • h

100

ausgedrückt werden. Der Bewehrungssatz ist also nach der Fläche B • h zu nehmen, was besonders für die Zwecke der Kostenveranschlagung praktischer ist. Auch hier ändern sich trotz desselben Randspannungsverhältnisses die Bewehrungssätze mit dem Höhen Verhältnis kx des Plattenbalkens.

Der Tabelle II entsprechen: bei kx — 3, tp — 1,37 vH.

daher p —

cp_1,37

„ kx — 4, (p —1,78 „

5-=0,464vH.,

D

'■£=- — 0,445 vH.,

Ę-

1,78

,, kx —.), (p — 2,04 „

2,04

= 0,406 „ ,

„ kx — 6, (p = 2,20    „

2,20 nQ£!.

p = —g— = O.060    „ ,

„ kx = 7, (p — 2,30 „

9 qn

P — —j—- — 0,329 „ .

Um erste Anhaltspunkte für die statische Höhe h des Plattenbalkens zu erhalten oder für die Zwecke der Veranschlagung empfiehlt es sich, aus den r-Werten der Verhältnisse kx — 3 bis 7 den Mittelwert r — 366 und in gleichem Sinne einen Mittelwert der Bewehrungssätze p — 0,4 vH. zu gebrauchen.

Hat somit ein Plattenbalken mit der Druckgurtbreite B in m das positive Moment M kgcm aufzunehmen, so ermitteln wir für die oben erwähnten Zwecke mit hinreichender Genauigkeit für eine Eisen zugspann un g von ae = 1000 kg/cm3 die statische Höhe in cm

*=V- *

366 • B

. . 36)

und die Rippenbewehrung in cm² zu

37),

fe=z 0,4 • B * 7i . . . .

wenn in dieser Formel h in cm eingeführt wird.

Zu einer schärferen Berechnung können die voran-geführten, den kx - Werten entsprechenden r bezw. p sinngemäße Anwendung finden.

26

Bei kontinuierlichen Plattenbalken verfährt man in der Regel im gleichen Sinne wie bei den Platten, daß man die für die Randfelder ermittelten statischen Höhen in gleicher . Größe für die Zwischenfelder beibehält und lediglich für den hier geringeren Momentenwert die Bewehrung gemäß Gl. 12 zu

ermittelt.

fe =

0,925 h ■ ae ' '

. . 38)

12. Beispiel : Es sind die durchlaufenden Balken der in den Beispielen 8 und 10 berechneten Platten zu bemessen. Die Stützweite der Balken-Rand- und Zwischenfelder beträgt 6,5 m. Die zulässigen Spannungen sind 950/40 kg/cm².

An der Hand der früheren Beispiele erheben wir die bewegliche Last auf 1 m des Balkens zu b — 2,5 • 250 = 625 kg und die ständige Last auf 1 m

von Platte und Belag .    .    2,5 • 278 = 695 kg,

geschätztes Balkengewicht .    3,5 • 6,5²—150 „

s = 845 kg

so daß die Gesamtlast q = 1470 kg/m' beträgt.

Nach Anhang, Zusammenstellung A ergibt sich für b 625

8 ~ 845

= 0,74

für den dreifeldrigen Zusammenhang im Randfelde 1 + 1,25«

= + 0,08 •

1 -j- « 1,925

•q-l²

• 1470 • 6,5 • 650 = -J- 550 000 kgcm.

1,74

Es ist nun zu beachten, daß dem Moment M in Gl. 36 die Eisenzugspannung 1000 kg/cm² entspricht, während hier der zulässige Wert oe — 950 kg/cm² beträgt. Wir ermitteln also vorerst

1000

1000

950

und dann nach Gl. 36 mit der Druckgurtbreite

*M —

• 550 000 — 579 000 kgcm

6,5

w— — 2.16 m o

die statische Höhe

h—]/-

M'

366 • B

579 000

366 • 2,16

= 27 cm.

27

Die Gl. 37 liefert für die Trägerrippe die Bewehrung /; = 0,4 • 2,16 • 27 = 23,3 cm².

In den Zwischenfeldern ist nach Zusammenstellung A des Anhangs

Ma = + 0,025 •

= 4-0,025-

3,22

1,74

*g*Z² =

a

• 1470 • 6,5 • 650 = 287 000 kgcm.

Aus praktischen Rücksichten behalten wir in den Zwischenfeldern die für das Bandfeld berechnete statische Höhe von 27 cm bei, es ist daher bloß die Bewehrung nach Gl. 38 zu berechnen. Dieselbe ist für die Balkenrippe

= 12,1 cm².

fe =

287 000

0,925 • 27 * 950

Die im 8., 10. und 12. Beispiel durchgeführten Berechnungen, welche sich auf die Feldmomente der durchlaufenden Platten bezw. Balken beschränken, reichen vollkommen aus, um die Veranschlagung der Kosten vornehmen zu können. Das Mehrerfordernis für die ihrem absoluten Wert nach größeren negativen Stützenmomente an statischer Höhe wird leicht durch voutenförmigen Anlauf der Platten und Träger und das etwa nötige Mehrerfordernis an Bewehrung wird durch den Uebergriff der Feldbewehrungen gedeckt. Dieser Mehraufwand wird durch entsprechende Gestaltung der Behelfe für die Veranschlagung berücksichtigt.

Zur endgültigen Ausführung müssen selbstredend auch jene Querschnitte in ihren Abmessungen festgelegt werden, wozu sich eines der hier erörterten Verfahren für einfach oder beiderseits bewehrte Rechteckquerschnitte eignet.

Auf Biegung in Anspruch genommene Querschnitte mit Zug- und Druckbewehrung.

Bemessung zugleich Spannungsnachweis.

Erreicht das von einem Querschnitt aufzunehmende Moment eine solche Größe, daß mit der Anordnung einer einfachen Bewehrung eine Ueberschreitung der zulässigen Kantenpressung im Beton eintreten würde, so ergibt sich in dem Falle, als man an die Querschnittshöhe gebunden ist,

28

Man beschied sich mit diesem

die Notwendigkeit zur Anordnung einer Druckbewehrung. Bei geringer Ueberschreitung der zulässigen Kantenpressung läßt sich die Druckbewehrung noch dadurch vermeiden, daß man für eine geringere Eisen Zugspannung als zugelassen ist die Zugbewehrung bemißt. Man schlug in der Praxis bis in die jüngste Zeit den umständlichen Weg ein, daß man in solchen Fällen zu gewählten Bewehrungen die Spannungen ermittelte und diesen Vorgang mehrmals wiederholte, bis man zu einem halbwegs entsprechenden Querschnitt gelangte. Dabei war es einem glücklichen Griffe zu verdanken, wenn zufällig beide Randspannungen gerade die zulässigen Spannungswerte, d. h. die hier gebotene Vollausnutzung aufwiesen. In den meisten Fällen gab sich der Konstrukteur damit zufrieden, wenn die Kantenpressung im Beton nahe dem zulässigen Wert, die Eisenzugspannung jedoch weit unterhalb der zulässigen Grenze gelegen war.

Ergebnis nur aus dem Grunde, um einer neuerlichen aufreibenden Rechnungsarbeit enthoben zu sein, trotzdem die wirtschaftlichen Vorteile zumeist bei einer gleichzeitigen Vollausnutzung beider Randspannungen zutage treten.

Es wird daher das Bestreben der Konstrukteure erklärlich, für solche Fälle ein Verfahren anzuwenden, welches mit einer Rechnung die Bewehrungen für Vollausnutzung beider Randspannungen liefert. Dieser Vorgang macht den Spannungsnachweis vollständig überflüssig, da doch die Bemessung auf Grund vorausgesetzter Spannungen durchgeführt wird.

Ein Eingehen auf Berechnungsverfahren, welche für gegebene Querschnitte zur Ermittlung der Spannungen führen, ist somit liier nicht allein für den Konstrukteur, sondern auch für den überprüfenden Ingenieur im praktischen Sinne bedeutungslos.

Im folgenden wird die einfache Methode des Verfassers²) theoretisch begründet und durch Beispiele erläutert.

Hat ein Eisenbetonquerschnitt beliebiger Form und beliebiger Anordnung der Bewehrung ein Moment M aufzunehmen, so berechnen sich mit Hilfe des bekannten Trägheitsmoments J die Randspannungen:

• x 39),

M

Beton an der Kante aut Druck: o² =

Eisen auf Zug: ce —

29

Das Verhältnis v der Randspannungen läßt sich hier

nach zu

•(Ji — x) • n

(h — x) • n

Ob

. 41)

ermitteln.

T'x

Aus dieser zuletzt an geschriebenen Beziehung erkennen wir, daß jedem gegebenen Randspannungsverhältnis v ein eindeutig festgelegter Anteil der „Nutzhöhe“ h als Druckgurthöhe x entspricht, denn wir erhalten nach Umformung der Gleichung 41:

n ,

—j--h

v -\-n

. . 42).

X —

Erreicht das von einem Querschnitt aufzunehmende Moment einen so großen Wert, daß die zulässige Betonkantenpressung bei unbewehrtem Druckgurt überschritten ist, so sind wir — im Falle keiner Möglichkeit einer anderen Veränderung des Querschnitts — gezwungen, den Druckgurt durch Einlegen von Bewehrungen derart zu verstärken, daß die zulässige Betonkantenpressung nicht überschritten werde. Die Aufgabe des Konstrukteurs ist also die:

dem in seinen äußerlichen Umrissen gegebenen Querschnitt solche Bewehrungen im Zug- und Druckgurt beizufügen, daß die durch die betreffende Vorschrift gegebenen zulässigen Randspannungen ae und o* nicht überschritten werden.*)

Sind die Randspannungen, somit auch deren Verhältnis v gegeben, so läßt sich für die vorliegende Nutzhöhe h die Lage der Neutralen zu

berechnen. Aus

ob —

ist nun für die gegebenen Größen ilf, Gh und x das erforderliche Trägheitsmoment

J 'X

J—

gegeben.

Ob

*) Unter Umständen wird durch ein freiwilliges Tiefersetzen der Eisenzugspannung de, also durch Vergrößerung des Druckgurtbereiches ein günstigeres wirtschaftliches Ergebnis erzielt.

30

Für den in seinen äußeren Abmessungen vollständig gegebenen Querschnitt (Abb. 4) sind nur die Bewehrungen ff und ff unbekannt. Um die von vornherein bekannten Größen x und J zu den Abmessungen

und Bewehrungen des Querschnitts in Be- ^__

ziehung zu bringen, stellen wir Gl. 43, j WMy welche wir bei einem vollständig in Ab- y iMp!

fe"

M-----—fe²

Abb. 4.

messungen und Bewehrung gegebenen Querschnitt zur Ermittlung der er-Lage, und die Gl. 44, welche wir bei ebenso gegebenem Querschnitt zur Ermittlung des Trägheitsmoments bezüglich der Neutralen benutzen würden, auf. Mit Bezug auf die Querschnittsskizze sind dies die Gleichungen:

n • ff • (x — a) — n • ff • (h—x) —

und

Bx²

-¥ -(x-dy+~

0 43)

n • ff • (x—a)² + n-ff-(h—xy+—^

Bx:—^344).

So wie nun diese beiden Gleichungen bei gegebenen Abmessungen und Bewehrungen zur Ermittlung der Größen x und J dienlich sind, so ist es auch in umgekehrter Weise möglich, diese zwei Gleichungen für gegebene Werte x und J zur Ermittlung beliebiger zwei anderer Bestimmungsstücke des statischen Querschnitts, welche in den beiden Gleichungen in der ersten Potenz Vorkommen, zu benutzen. Es sind dies die Größen B, b, ff und ff, welche in beliebiger Variation als paarweise Unbekannte Vorkommen können, als: B und b, B und ff, B und fff, b und ff, b und ff, ff und ff. Die letzte dieser Kombinationen ist für die Praxis die wichtigste.

Sehen wir aus der Ermittlung

daß x<d ist, so ist Idar, daß die Gl. 43 und 44 jene Glieder, welche mit (Z? — b) multipliziert erscheinen, einbüßen und dann

und

n-ff-(x—a)² + n-ff-Qi — x)² +    = J . 46)

. 45)

lauten.

31

Diese letztangeschriebenen Gleichungen gelten bekanntlich auch dann, wenn es sich um die Berechnung y oll er Rechteckquerschnitte oder Platten B-h handelt.

Von den oben angeschriebenen Kombinationen hat, wie erwähnt, die letzte für die Praxis die größte Bedeutung, da die äußeren Abmessungen in solchen Fällen immer gegeben, die Bewehrungen ff und ff zu suchen sind.

Die umgeformten Gl. 43 und 44 lauten:

n- ff • (x — a) — n- ff • (h — x) —

Bx²

47)

und

n- ff • (x—d)² -f- n • ff • Qi—x)2 Bx³

B — • (x — dy

48).

Ob

Die gemeinsame Auflösung nach ff und ff ergibt nun für den statischen T-Querschnitt (Lage der Nullinie im Steg):

3h—x — 2d Bx²

ff =

Tr--(3 h-x)-\---x

6 v    ^ ab

n* • (x — a) - Qi — a)

49)

und

₂ 3a—2d—x Bx²

f;=

g— (x—3a) + — -x

n • (h — x) • (h — a)

50).

Für den statischen Rechteckquerschnitt (voller Querschnitt von der Breite B und T- Querschnitt mit x<fd) liefern die umgeformten Gleichungen:

n- ff • (x — a) — n- ff 'Qi — x)— —

und

,    M

n- ff • (x—ay -}- n • ff • Qi — x)² = —

Ob

die beiden Unbekannten zu

--x

rd _ Ob

le —

Pr2

^-•(3 h — x)

n* ' (x — a) - (h — a)

32

und

Bx²

n=--

■ ■ 54),

—g— (x — à a)

n • (li — x) • (h — à) welche Werte auch direkt aus den Gl. 49 und 50 erhalten werden, wenn man für den „statischen Rechteckquerschnitt“ in jenen Formeln die Glieder, welche mit (B—b) multipliziert erscheinen, gleich Null setzt.

In manchen Vorschriften ist verlangt, daß die geringe im Druckgurt von den /ed-Eisen verdrängte Betonfläche dortselbst in Abzug gebracht werde. Auch diesem Verlangen kann in einfachster Weise entsprochen werden, indem in den Nennern der Gl. 49 bezw. der Gl. 53 statt des Wertes n* der Wert' (n — 1) ein geführt wird. Ist diese Forderung nicht aufgestellt, so wird für ri* der Wert n eingeführt. Die Gl. 50 bezw. 54 bleiben in allen Fällen hiervon unberührt.

Ein Hauptvorzug dieser Berechnungsweise ist der, daß ein nachträglicher Spannungsnachweis vollständig überflüssig ist, weil die Einhaltung bestimmter Spannungswerte die Voraussetzung der Rechnung bildet. Aber auch die dritte in der Rechnung nicht vorkommende Spannung okann nie eine Ueberschreitung liefern, da dieselbe af cn • ctf sein muß, also nach at < 15 • 45 = 675 kg/cm2 den Wert von 675 kg/cm² nie erreichen kann.

Darüber, ob eine Druckbewehrung nötig ist, oder ob die zulässige Kantenpressung 05 „gerade erreicht“ oder „unterschritten“ wird, gibt der Zähler der Gl. 49 bezw, 53 Auskunft.

Ergibt sich für den Zähler ein positiver Wert, so ist Druckbewehrung erforderlich; ergibt der Zähler Null, so ist die vorausgesetzte Kantenpressung „gerade erreicht“, also keine Druckbewehrung nötig; ergibt sich für den Zähler ein negativer Wert, so deutet dies an, daß ohne Druckbewehrung ein kleinerer Kantendruck erhalten wird, als erlaubt wäre. Die Gleichung (Zähler von Gl. 49):

(B—b)-(x—d)

₂ 3 h—x—2 d Bx²

g—(3h—— -x—Z 55)

bezw. (Zähler von Gl. 53):

Oft

(3 h — x) — Z

. . 56)

33

liefert also, in obiger Weise beurteilt, das wichtige Kriterium für die Druckbewehrung. Es läßt sich aus dieser Gleichung auch jenes Moment M berechnen, welches der Querschnitt ohne Beifügung einer Druckbewehrung für die gegebenen zulässigen Spannungen <s\ und af verträgt, indem wir Z = 0 setzen.

Zwischen jenem Querschnitt mit 21f= 0 und mit Mx läßt sich die Verteilung der Druckbewehrung wie folgt bewirken. Dem M

max

entspricht ff dem Moment M entspricht ff = ff Gl. 49 oder 53

max

maxi

um x

dem Querschnitt mit — z/ ff, wobei nach

Jfi =

(4/inax M) • X

Gb • n* - (x — a) • (h — a)

. 57)

ist.

13. Beispiel: Ein Hauptbahnobjekt vom skizzierten Querschnitt (Abb. 5) mit 4,5 m Lichtweite bezw. 5 m Stützweite hat von Eigenlast herrührend das Moment

4- • 8540.5 • 500 = 2 660 000 kgcm,

o

von Verkehrslast herrührend das Moment

Mv = 42,6 tm = 4 260 000 kgcm, d. i. zusammen M = 6 920 000 kgcm, aufzunehmen.

Nach den geltenden Vorschriften wären die Spannungen ab = 30 kg/cm² und öe = 750 -f- 4 • 4 m = 766 kg/cm²,

ferner das Verhältnis

Mn =

B-50Dcrn

\d-30cm

-fa-lOcm

; ■ ' /■ -fed

~u. f

h-SOcm

Eb

= 15

sowie die Verdrängung ÇæyÇUn b-u,so-mcv des Betons durch die Druckbewehrung zu berücksichtigen.

Die Berechnung wird für den ganzen Querschnitt durchgeführt. Wir erhalten für

= 25,5 zunächst x = 50 •

fez

1-soyvsoA

Abb. 5.

766

15

30

15 -f 25,5

= 18,5 cm

und

J =--x =

6 920 000

Oö

30

• 18,5 = 4 250000 cm⁴.

Da x < d, so gelten die Formeln 53 und 54, bezw. ist in den Formeln 49 und 50 B = b zu setzen. Wegen der

Wuczkowski, Bemessungsverfahren.

34

Verdrängung des Betons durch die Druckeisen ist im Nenner von 53 bezw. von 49 an Stelle von n* der Wert n — 1 — 14 zu setzen. Man berechnet so:

4 250000 —

fi=

⁵?° • 18,5²-131,5 o

— 105 cm²

14 • 8,5 • 40

4 250 000 +    • T8f5² • (18,5 -3-10)

15.31,5-40

welche Querschnittsflächen nun durch entsprechende Rundeisen zu decken sind.

Handelt es sich um die Berechnung der Bewehrungen für kreuzförmige Querschnitte, die zuweilen auch in der Praxis Vorkommen, so ist es vorteilhafter, die Bedingungsgleichungen nicht in allgemeiner Form, sondern mit den tatsächlichen Abmessungen aufzustellen.

und

/? =

= 208 cm²,

52

■fez

14. Beispiel: Der Querschnitt im Viertel der Stützweite einer beiderseits eingespannten Balkenbrücke habe ein Moment von der Größe M — 4 275 OOO kgcm aufzunehmen, wobei die Inanspruchnahmen die Werte ae — 880 kg/cm2 und öb = 38 kg/cm² nicht überschreiten dürfen. Die äußeren Abmessungen des Querschnitts sind nach Abb. 6 gegeben, die Bewehrungen sind entsprechend zu ermitteln.

Dem Verhältnis

<*b

entspricht

x — 89 •

880

38 =²³’¹⁶

89

15

15 + 23,15

= 35 cm,

1,80 T

w    19    " A-

lll |.LFCT|

!3H

710

das erforderliche Trägheitsmoment ist 4 275 000

Abb. 6.

J—

38

• 35 = 3 940 000 cm⁴.

Die Bedingungsgleichungen lauten demnach:

+ 15 • 29 • ff — 15 • 54 • ff — 0

32 - 35²    78 - 2Ö²

2 ' 2

oder

und

940 000 —

32 • 35³

oder

35

78 • 20:i

f 15-29²-/ed+ 15.54²./’;

12 600 • ff -{- 43 750 • /* = 3 275 000 . . 59).

Die gemeinsame Auflösung der Gl. 58 und 59 ergibt als entsprechende Werte fl = 63,9 cm² und ff = 37,7 cm², dementsprechend wurden

für ff-. 3 R.-E. 40 + 2 R.-E. 42 = 65,4 cm²

und

für ff-. 3 R.-E. 40 = 37,7 cm²

angeordnet.

Vom Verfasser wurden gelegentlich Diagramme für Plattenbalken (T-förmiger Querschnitt) mit Zug- und Druckbewehrung für die im Hochbau gebräuchlichsten Spannungen

_    _j (je — 1000 kg/cm² und ab = 40 kg/cm²

Laufgetragen. Dieses Diagramm weist die 5n Hochbau übliche Vereinfachung auf, daß vom Betonquerschnitt im Druckgurt nur die Platte als mitwirkend berücksichtigt wurde; ferner wurde die Annahme gemacht, daß die Schwerlage der Druckbewehrung mit jener der Platte

zusammenfällt, also daß der Abstand d — sei (Abb. 7).

u

—fez

Abb. 7.

Aus dem Verlauf der Diagrammkurven ergibt sich eine analoge Formel, wie solche zur Berechnung der Kantenpressung bei einfach bewehrten Balken aufgestellt wurde.

Mit den Diagrammordinatenwerten und &₂ =

Mb

Bd²

ergibt sich der nach der schraffierten Plattenfläche zu nehmende Prozentsatz der Druckbewehrung pd zu Ją — 3877 Ją + 5749

pd —

586,6 Äq —927

. . 60)

oder in runden Zahlenwerten:

pd —

Ją — 3875 Ją + 5750

590 Ją — 925

. . 61).

36

Die Zugbewehrung wird mit zutreffender Genauigkeit nach

feZ =

. . 62)

oder nach

0,925 -h-ce

.    .    62 a)

ermittelt.

14. Beispiel: Ein T-förmiger Balkenquerschnitt (Abb. 7) mit den Abmessungen 5=1,5 m, h — 52 cm, (1 = 8 cm hat ein Moment von M = 2 450 000 kgcm aufzunehmen. Welche Bewehrungen sind anzuordnen, damit die Spannungen 1000/40 kg/cm² eingehalten werden?

Es sind

f! =

2 450 000

(52 — 4) • 1000

= 51 cm²

und mit

52

= 6.5 sowie /«o ==

8

2 450000

1,5 • 8²

= 25 500

nach Gl. 61 :

pd —

25 500 — 3875 • 6,5 + 5750

590 • 6,5 — 925

= 2,08 vH.,

so daß

fe — 1,50 • 8 • 2,08 = 25 cm²

ermittelt wird. Dementsprechend wird nun die Deckung vorgenommen.

Mit Hilfe der Gl. 61 kann auch die Ermittlung' für andere gegebene Spannungswerte vorgenommen werden, wenn deren Kandspannungsve-rhältnis

= 25

at 1000

Oft

40

dasselbe ist, wie dies für die Spannungen 750    800    825    850

30 ’    32 ’

ec

34

usw.

der Fall ist. Die einzige Aenderung besteht darin, daß der Ordinatenwert k₂ nach

Mb

1000 B • d? (Te

Jc% —

ermittelt werden muß.

37

15. Beispiel: Der im vorigen Beispiel gegebene Balken hätte das Moment M — 1 960000 kgcm unter Einhaltung der Spannungen

G⁻«;

800

aufzunehmen.

Man ermittelt

06

32

/.q —

52

= 6,5 und 7*2 =

1960000    1000

= 25 500:

1,5 - 8²    800

dies ergibt dieselben Bewehrungen wie in jenem Beispiel, da sich die Momente zufällig wie die gegebenen Inanspruchnahmen verhalten:

2 450000 1000 _ 40 1960000 “ 800 “32

Damit ist zugleich eine Bestätigung für die Richtigkeit des Vorganges gegeben.

In ähnlicher Weise, wie wir bei den einfach bewehrten Platten- und Rechteckquerschnitten zur Tabelle 1 gelangt sind, lassen sich auch für den beiderseits bewehrten Querschnitt solche Tabellen aufstellen, deren Nützlichkeit ans den früheren Beispielen zur Genüge erhellte.

Für die Breite des Platten- oder Rechteckquerschnitts von B— 100 cm, die statische Höhe h — 1 cm und für eine

|^ = 0,1 cm erhalten wir aus Gl. 53,

wenn wir /ed —pY • h — p{ und // —p • h—p ausdrücken:

100

obere Deckschicht a —

Pi =

M 15 ah 15 -f- v

15²

6    (15 -f- v)

(s

15

15 -f- v

15-

(¹⁶

woraus

15 -f- v

[0.9. ( ¹⁵

0,1 ) -0,9

63),

15 +y

- 0,i) -ih

100

15

(15 + y)

T* (³

■o

64).

15 + v J

Ebenso erhält man aus Gl. 54:

M 15 ab 15 + v

100

15²

15

6    (15 + v)

0,3)

15-

(■

15

65),

15 + v

•0.9

woraus

38

M= (15 + v) ■ 0,9 -fl —    ¹⁶

)■!>

100

15

15

6    (15 + v)

0,3)

66)

erhalten wird.

Aus der Gegenüberstellung der Gl. 64 und 66 erhalten wir schließlich eine allgemein gültige Beziehung zwischen den Bewehrungssätzen p und px des Zug- und Druckgurtes:

Pi =

oder

0,9-

15

15 -j— v

)■*

100

15

0,9-

V 15 -f- v

nA . 100

6    (15 4- v)²

•2,7

o,0

67)

15

(15 + v)

5-2J

0,9-

15

68).

15 -\-v

Mit Hilfe dieser Gleichungen wurde die Tabelle IV ermittelt. Für die Spannungen 950/40 kg/cm² wurde hierbei folgend vorgegangen:

Dem Randspannungsverhältnis

950

₄₀ =23,75

entspricht nach Gl. 68

p — 0,467 -px -|- 0,815    .... 69),

aus welcher leicht zu erkennen ist, daß 0,815 der Bewehrungssatz für einfache Bewehrung bedeutet. Nach Gl. 66 ist nun für B— 100 cm und h — 1 cm das Moment

M, = ß = 85bp — 22,4 .... 70), worin das aus Gl. 69 gewonnene p zu berücksichtigen ist.

Für£₁= 0 erhalten wir „ p =z8-px (Verhältnis 1:3) £ = 0,966 „

„    £ =2 ‘Pi (

p — 0,815 vH. und ß— 674 * ß— 803 1:2) £ = 1,04    „    „ ß= 874

« P =Pi

Die Tabelle gestattet, für die gegebenen Größen M in kgcm auf 1 m Breite und h in cm die Bewehrungen zu ermitteln, wie dies im 16. Beispiel erläutert ist.

Für Fahrbahnplatten bei Brücken gibt Tabelle III die nötigen Bestimmungsstücke.

1:1) £ = 1,53    „    .. ß—1288.

39

Tabelle IV.

Beiderseitig bewehrte Platten und Rechteckquerschnitte.

950/40 kg/cm²

1000/40 kg/cm²

Druck Zug px vH. p vH.

Druck

vil.

N;

'S

bL K 2 >

•Ob

0,00

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,322

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

r-^    05    CO_ CO_

d cf cf cf O cf r-T d rg r-T 1-g rg H rg rg rg -4 g -g -g rg -g

755

775

794

803

816

894

914

934

956

974

994

1016

1034

1056

1076

1094

1116

1136

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

1,375

1,400

1,423

1,445

1,470

1,493

1,515

1154

1176

1196

1213

1236

1256

1274

1,53

1,530

1288

1,55

1,540

1296

1,60

1,563

1316

1Ô

O o cT o cT o © cT cf cf o cf cf cf d cf d o" cf cf cf -g -g ~ _T -j ^ ^ - ----. - h

0,750 0,794 0,816 0,838 0,860 0,880 0,882 0,904 0,926 0,948 0,962 0,970 0,992 1,014 1,036 1,058 1,080 | 1,102 ! 1,124 1,146 1,168 1,190 1,212 1,234 1,256 1,278 î 1,300 1,322 1,340 1,344 1,366 1,388 1,410 1,432

658

696

716

734

755

773

774

794

815

834

846

853

873

895

912

932

952

972

992

1012

1031

1052

1072

1091

1111

1131

1151

1171

1186

1191

1211

1231

1251

1271

0 815

855 p —

p = 0,44 px -(- 0,75 8= 900p —18,75

40

16. Beispiel: Für eine freiauf liegende Platte von 3 m Stützweite, welche mit 500 kg/m² Fremdlast belegt ist, darf die Konstruktionshöhe nicht mehr als 12 cm betragen. Die einzuhaltenden Spannungen sind 950/40 kg/cm².

Der Gesamtbelastung 500 —{— 0,12 * 2400 = 788 kg/m² entspricht das Moment

M—

788-3,0-300

= 88 700 kgcm,

die statische Höhe ist h— 12 — 1,5 = 10,5 cm, so daß

88 700 ßn,

. ■ » — 80o

10,5²

ist.

und

Nach Tabelle IV entspricht hierfür ungefähr /? = 0,33 -10,5 = 3,46 cm²

fze — 0,97 -10,5 = 10,2 cm².

Die Tabelle IV läßt sich auch für andere Spannungswerte, die dasselbe Randspannungsverhältnis aufweisen, benutzen. Ist die Tabelle für die Eisenzngspannung se berechnet, so ermittelt man in diesem Falle aus den gegebenen Größen M₁ h und ae den aufzusuchenden Wert

. . 71)

h² se

die Bewehrungssätze werden für dieses ß abgelesen und ohne Veränderung benutzt. In dieser Form läßt sich z. B. die linke Spalte der Tabelle IV, welche für die Spannungen 950/40 berechnet ist, auch für die zulässigen Spannungen 1000/42 verwenden.

Verteilung der Schrägeisen und Bügel.

Zwischen der horizontalen Schubkraft S und dem Hauptzuge Z bezw. Hauptdruck D besteht die bekannte Beziehung

•o

Z=D =

/2

In einem Balken erreiche die Querkraft am Auflager den Größtwert Q

max *

so daß für den inneren Hebelarm m

41

und für die Stegbreite b dortselbst die Schubspannung den Wert

_ max

aufweise. Dieser Wert überschreite die zulässige Schubspannung von r₀' = 4,5 kg/cm² um bedeutendes, so daß Schrägeisen (aufgebogene Tragstäbe) bezw. überdies Bügel nötig sind, um den auf den Beton entfallenden Anteil auf ein zulässiges Spannungsmaß herabzudrücken. Der Verlauf der Querkraft bezw. der hiervon abhängigen Schubspannung sei über den Balken so, wie es die Abb. 8 zeigt. Die Schrägeisen seien innerhalb der Strecke X vom Auflager so in Abständen aufgebogen, daß auf jedes der aufgebogenen i- Eisen der gleiche Anteil an Z

Zugkraft— aus der dreieckigen Verteilung abc entfällt. Der Beton und die Bügel zusammen werden also bezüglich Schub Wirkung um das Anteildreieck III 111 der Schrägeisen entlastet. Die der Hauptzugkraft Z entsprechende Schubkraft (Anteil) ist aus dem Dreieck (Prisma) III III berechnet:

AQ • X 2 m

Da nach nebenstehendem Kraftschema (Abb. 9)

AS² — Z* -f D² = Z'² -f D² = 2 ² = 2 D*,

Z—D —

c.»

A____9_,

Abb. 8.

Z-D

t5\As*

so daß

AS —

at₀-x r

2--b

Abb. 9.

AS

l/2

oder mit obigem Wert für AS auch

AQ-X

2 • j/ 2 -

Mit Hilfe der Gl. 72 kann durch Rückrechnung bei bekannten Schrägeisen fe und ihrer Inanspruchnahme (re, d. h. bei bekannter Größe Z — fe ■ o;, die Strecke X berechnet werden, innerhalb welcher die Vollausnutzung (ae — ae zui.) der Schrägeisen erfolgt.

Z= D —

AQ-X

wird.

2,82 • m

. . 72)

42

Es ist zunächst aus Gl. 72:

2,82 • m ■ fe • ae

Aus der Proportion Q

: d — JQ : X folgt JQ — Q

Ml .1 \

max

Dieser Wert eingeführt, liefert

2,82 • m • fe •

max *

a

d. h. die zu suchende Länge ist

X = ll

2,82 • a • m • fe • ae

dmax

Die Gl. 73 setzt voraus, daß die Schrägbewehrung so knapp zur Verfügung steht, daß    > r0zui. = 4,5 kg/cm²

ist. Ist    eui., dann sind überdies Bügel erforderlich;

ist s/tq" <; T₀zui., dann wären keine Bügel erforderlich.'")

Für die Praxis ist es wichtiger, jene Querschnittsfläche fe der Schrägbewehrung kennen zu lernen, für welche — r0zn\. — 4,5 kg/cm² ist. Man ermittelt zu diesem Zweck vorher das der Querkraft z/Q — Q Qzn\ — m • b • r₀ zui. gefunden wird, entsprechende X zu

. . 73).

max

Qzulo wobei

JQ.

I-Ci- Q

und erhält aus Gl. 73 die gesuchte Schrägbewelirung zu

max

fe —

max

• x²

2,82 • a • m • <re

. . 74).

Kann man das Erfordernis der Gl. 74 nicht decken, so verwendet man den Querschnitt fe‘ der tatsächlich vorhandenen Schrägeisen in Gl. 73 zur Berechnung des zugehörigen Abschnitts X. Die übrig bleibende Schubspannung z/r₀" = r0max— ist dann größer als r0zui., so daß also der Unterschied — z/r^— r0zui. als Anteil für Bügel zu betrachten ist. Die Abb. 10 veranschaulicht diese, selbstredend willkürliche Verteilung. Aus Gl. 73 wurde X

berechnet, daher z/r^ —

Tomax’—> ebenso läßt sich

CI

zul. —

Ltmax l0zul. ï 0 max

*) Dieses rein theoretische Ergebnis darf den Konstrukteur jedoch nicht dazu verleiten, Träger ohne Bügel zu projektieren, da diesen Bewehrungsgliedern auch die wichtige Rolle zufällt, den Verbund zu sichern.

gleiche Teile geteilt werden, als schräge Stäbe innerhalb A bis B bezw. Bügel innerhalb B bis C verlegt werden. Werden für jede dieser Teilllächen die Schwerpunkte ermittelt und auf die Nullinie projiziert, so geben diese Punkte die genaue Lage an.³)

17. Beispiel: Ein Träger von 5 m Stützweite ist mit 3000 kg/m' belastet. Der Querschnitt ist in Abb. 11 skizziert. Es sind die Bewehrung in Balkenmitte (T/max) und die erforderlichen Schrägeisen zu ermitteln:

¹

Nach der neuen österreichischen Regierungsvorschrift vom 15. Juni 1911 ist für staatliche Bauten die zu berücksichtigende Druckgurtbreite durch § 5, Punkt 12 festgelegt.

²

(h — x) • n . .    .    40).

*) Beton u. Eisen 1906, Heft VIII, S. 210.

³

Die Bügel werden bekanntlich auf Zug in Anspruch genommen. Die übliche Methode, wonach der Bügelquerschnitt dergestalt ermittelt wird, daß der aus Abb. 10 ersichtliche Anteil der Schubkraft keine höhere Scherinanspruchnahme in den Bügeln erzeugt, als für Eisen zulässig ist, hat stets zu brauchbaren Ergebnissen geführt.

3/max-

= 938 000 kgcm

43

ermitteln. Die Bügel sind von A bis i?, d. h. von 0 bis /, in gleichen Abständen, von B bis (7, d. h. von l bis Azui., in zunehmenden Abständen verlegt. Die Abstände der Schrägeisen innerlialb A bis J5, d. h. von 0 bis A, nehmen nach rechts zu. Die Durchgangspunkte durch die Nullinie für die

Schrägeisen und für die Bügel von B bis C ergeben sich, wenn die bezüglichen Dreiecke in so viel flächen-

-8-100 -^ ,

~ Anteil für Schräg eisen

c max

lîlîlirnL

- Anteil fur Buge!

w»

1.1

Anteil des Betons

1 ho

V

JL

Abb. 10.

3f20+3¹22 mm

Ahb. 11.

3000 -5-500

— 2,5 - 3000 = 7500 kg.

Die Lösung nach Tabelle II ergibt für

die Spannungen d« = 1000 kg/cm², (Ib — 30,2 kg/cm³ und <f = 2,05 vH. Bewehrung; daher fe — 2,05 • 1 m • 10 cm = B m • <jp • d = 20,5 cm².

, h 50

da ~d = 3Ö

Mx

max

= 5 und

938000

Ï0²

= 9380

2 — 250 cm

X = 250 •

— 112,5 cm.

Hebel:

44

Angeordnet in Balkenmitte:

fe = 3 R.-E. 20 + 3 R.-E. 22 938 000

fe ■ dp ~ 20,5-1000

7500 45,8 • 20

Die Ueberschreitung wäre 8,2

20.82 cm²;

*0 max -

max

= 45,8 cm

= 8,2 kg/cm².

4,5 = 3,7 kg/cm².

Qzul = 45,8 • 20 • 4,5 = 4120 kg JQ = 45,8 • 20 • 3,7 = 7500 — 4120 = 3380 kg 3380

7500

Das Erfordernis an Scbrägeisen ist mit at — 1000 kg/cm2 nach Gl. 74:

7500- 112,52 2,82 • 250 • 45,8 • 1000

Man ordnet 1 R.-E. 20 mm = 3,14 cm² an, wobei dann die Beanspruchung desselben

fe, ——

= 2,93 cm².

o/ — 1000 •

2,93

= 935 kg/cm²

wird. Dieses eine Schrägeisen müßte dann so aufgebogen sein, daß es im Abstand

X 112,5 j.

—    — — 37,5 cm

o

vom Auflager die Nullinie unter 45° kreuzt.

3,14

Ständige Last mit Verkehrslast.

Die Umhüllende der Querkraft Q'\ herrührend von Verkehrslast, ist eine über die ganze Spannweite verlaufende Parabel mit dem Scheitel in B. Die Querkraft Q° vom Eigengewicht verläuft nach einer aus der Balkenmitte M gehenden Geraden. In Abb. 12 ist der Verlauf der Querkraft für den Querschnitt A für Verkehrslast oberhalb der Balkenachse, für Eigen- bezw. ständige Last unterhalb der Balkenachse aufgetragen. Der zulässigen Schubspannung im Beton entspricht Qs — m • b ■ r0 zui.

45

Der Parameter der Parabel ist

Qv’

die Gleichung der Parabel:

die Gleichung der Geraden:

oder mit

y = C-\-X- tg»,

C — Qs — Q° und tg ce

wird

y —— Qs Q⁹ “j⁻

2 Qa X

. . 76).

~i

* /¥

'S*

*»>

Ca

'cX

Abb. 12.

Durch Gleichsetzung von Gl. 75 und 76 erhält man die bezüglich X quadratische Gleichung:

(i—xy-Qv

= QS-Q⁹ +

2 Q⁹ -X

deren Auflösung

X ff — l • 1 —J—

.Q? Q?

oder

l/ff + ff » ( Qg\²

(/    Q¹’    ^ V '<$> )

77)

X jf — l • 1 -J-

T⁹

r⁹ + rz

ul.

T°

78)

ergibt.

46

Lageermittlung der Bügel und Schrägeisen.

Wie im vorangehenden erörtert wurde, sind die Lagen der Bügel und der Schrägeisen durch die Schwerpunkte der gleich großen Teilflächen bestimmt.

Bezeichnen wir den Inhalt des Dreiecks 1 II III oder jenen des Dreiecks ab c der Abb. 8 mit F, und ist dasselbe in z flächengleiche Abschnitte zu zerlegen, so bestimmen sich die Abstände A,- (Abb. 13) vom Punkte II bezw. b der Abb. 8 zu

bezw.

Xi — X- j/§;

79)

80)

wenn für £,• nacheinander die Werte

?i - * gesetzt werden (Abb. 13).

~ z' ~~ z' "

b,*J

z—1

er-

Si

Abb. 13.

Abb. 14.

Der Schwerpunktabstand des in Abb. 14 herausgegriffenen Teiltrapezes ist st Xi y oder, da

h 2 5,-₊i -f- bi

&*+i *f bi

Xi = X- ]/$,• und y — --

co

m-

]/ -i-1 + ÿh

81)

sind, so erhalten wir für die Schwerpunkte das Teilverhältnis

. 2-l/g^₁"+l/h

]/?t +1 ~h j/?i

Diese Teilverhältnisse sind in Tabelle Y für z — 2 bis z — IG Teilungen enthalten.

Si

i4-

82).

0,9516 0,9841 0,94811 0,9830 0,94101 0,9820 0,9401 0,9801 0,9367j 0,9791    |

0,9278 ; 0,9776    4_

0,9228 ! 0,9752 0,91031 0,9730 0,9005 0,9678 0,8832 0,9630 0,8655 0,9570 0,8365 0,9480 0,7886 0,9340 0,7035 0,9115 0,4710 0,8620

0,9186

0,9121

0,9026

0,8977

0,8902

0,8752

0,8668

0,8503

0,8281

0,7983

0,7630

0,7060

0,6100

0,3820

Tabelle V. Teilverhältnisse für Bügel und Schrägeisen.

sta

bez w.

Teilverhältnis St

0,8102 0,8481 0,8841 0,7957 0,8361 0,8751 0,7776 0,8220 0,8646 0,7553 0,8042 0,8527 0,7343 0,7870 0,8403 0,7056 0,7704 0,8253 0,6693 0,7415 0,8069 0,6211 0,7058'0,7832 0,5568 0,6597 0,7495 0,4602 0,5930 0,7038 0,2730 0,4980 0,6440

—    0,2980    0,5445

—    —    0,3333

0,7702

0,7527

0,7302

0,7053

0,6764

0,6357

0,5900

0,5242

0,4303

0,2535

0,7287

0,7068

0,6786

0,6504

0,6106

0,5610

0,4992

0,4053

0,2348

0,6847

0,6578

0,6238

0,5867

0,5384

0,4691

0,3848

0,2220

0,6374

0,6052

0,5640

0,5168

0,4565

0,3660

0.2100

0,5303 0,5859 0,4823 0,5473 0,4198 0,4970 0,3362 0,4366 0,1933 0,3534 — 0,2000

0,394ó 0,4673 0,3145 0,4074 0,1775 0,3260 —    0,1840

0,3047

0,1720

0,1666

co

O Ci CO

»o

48

Die Ergebnisse der Tabelle Y wurden dazu benutzt, um den in Abb. 15 dargestellten Bügel- und Schrägeisenverteiler zu konstruieren. Derselbe ist ein Vollkreis oder ein Kreisausschnitt aus Karton oder Blech, dessen Halbmesser die Einheit (Strecke X bezw. X') darstellt. Vom Kreismittelpunkt sind Strahlen gezogen, welche die Teilungen tragen und mit der Anzahl dieser Teile beziffert sind. Für den Mittelpunkt und die Teilpunkte erhält die Scheibe Stichmarken. Beim Gebrauch wird der Mittelpunkt der Scheibe

(an

(an

(J

91

Abb. 15. Bügel- und Schrägeisen Verteiler.

über dem Punkte 1) der Abb. 13 u. 14 angestochen, die Scheibe so weit gedreht, bis der Umfangspunkt des mit der gewünschten Teilungszahl bezifferten Strahles in eine unter beliebiger Richtung aus A (Abb. 13 u. 14) gezogene Gerade fällt. In dieser Lage werden die Teilungsmarken auf das Zeichenblatt durchstochen und durch Parallelziehen zur Geraden aus A auf die Balkenachse (Nullinie) übertragen, wodurch die Lage der Bügel bezw. Schrägeisen festgelegt ist.

Die Bemessung der Querschnitte mit exzentrisch angreifenden Zug- oder Druckkräften. )

Bei dem Entwerfen der großen Rahmenkonstruktionen von 20 m Stützweite, die beim Neubau des Lazenhofes in Wien gegenwärtig zur Ausführung kommen, beschäftigte ich mich

*) Beton u. Eisen 1911, Heft IX u. XI.

49

eingehender mit den durch exzentrische Kräfte in Anspruch genommenen Eisenbetonquerschnitten und gelangte dabei zu folgender genauen Methode, die ich wegen ihrer überraschenden Einfachheit der Fachwelt nicht länger vorenthalten will. Das Verfahren ist sowohl für einfach- oder doppeltbewehrte T-förmige, als auch für ebenso bewehrte rechteckige Querschnitte gültig.

I. Exzentrischer Druck.

Der Abstand der Zugbewehrung vom Druckmittelpunkt, d. i. der Abstand der im Querschnitt ausgelösten Kräfte Z

und D ist der Hebelarme. Die erste Gleichgewichtsbedingung lautet nun (Abb. 16,17,18)

N+Z— D — O 83)

----f

td\ tfe¹

r*-^»

:c

(■

Abb. 16.

Wäre derselbe innere Spannungsverlauf, wie er der exzentrisch einwirkenden Druckkraft ent-

spricht, von reiner Biegung herrührend, so würde die analoge Bedingungsgleichung

Zi — D — 0

84)

-T

//

"ed

I"

lauten. Beim Vergleich von Gleichung 83) mit Gleichung 84) erkennen wir, daß in letzterer Gleichung

-4P

SH

“’S

•J

Abb. 17.

Zi

Zi — N Z 85)

geschrieben werden müßte. Dieser ideellen Zugkraft^-würde bei der gleichen Spannung tfe, wie sie dem exzentrisch Querschnitt eigen ist, eine

gedrückten

entsprechen. Der tatsächlich

ideelle Bewehrung von fc— ^

im Querschnitt vorhandenen Bewehrung fez entspricht die Zugkraft Z — fez • und die Normalkraft N in Gleichung 85) kann man sich von der „Ersatz-Bewehrung“ fn herrührend

Wilczkowski, Bemessungsverfahren.

50

ist. Die im exzen

denken, so daß N — fn • (fe bezw. fn —

trisch gedrückten Querschnitt notwendige Bewehrung, um die Spannung oe aufrecht zu erhalten, ist

fe' = fi — f» 36)

-LT

--=«£--2.

x~

Mit Bezug auf den , ;:f7 1 Druckmittelpunkt D muß y die zweite Gleichgewichtsbedingung

Z ' m — N • (ij — ni)

oder

m • (Z -f- N) = iV*

Abb. 18.

bezw.

erfüllt sein.

m • Zi — N • rj — [j, .

.    .    87)

Gleichung 87) sagt uns nun, daß im Falle reiner Biegung das „ideelle Moment“ ^ — N' q es ist, welches denselben Spann ungs verlauf im Querschnitt hervorruft, wie er dem Falle exzentrischen Druckes entspricht.

Die Gleichung 8G) dagegen sagt uns, daß jene, im Falle reiner Biegung für das „ideelle Moment“ fi ermittelte Zugbewehrung /;, in dem Falle exzen-

vermindert

trischen Druckes um den Betrag fn—^

werden muß, um das gleiche Spannungsbild aufrecht zu erhalten und den Gleichgewichtsbedingungen zu entsprechen.

Mit dieser Ueberlegung ist eine einfache und genaue Methode gefunden, welche diese Beanspruchungsart nach den übersichtlicheren und geläufigeren Formeln für reine Biegung zu behandeln gestattet.

Für den Gebrauch ergibt sich folgende Regel:

Man bildet das Produkt aus der Achsialdruckkraft N und ihrem Abstande rj von der Zugeiseneinlage in der Querschnittsebene gemessen. Mit dem so erhaltenen ideellen Moment [i (es ist mit jenem Moment, welches uns die Exzentrizität angibt, nicht identisch) ermitteln wir die für die Spannung <re erforderliche ideelle Zugeiseneinlage f\ und untersuchen, wie der Druckgurt in Anspruch genommen ist, bezw. ob dieser einer Druckeiseneinlage bedarf, um den zulässigen

ver-

schnitt fn —

mehrt werden muß, um

51

Wert ah einzuhalten. In die Zugzone ist nicht die ideelle Bewehrung fa, sondern eine um fn —

Ö'e

wehrung fez einzulegen, sollen die der Biegungsrechnung entsprechenden Spannungen üe und ab auch bei der tatsächlichen Inanspruchnahme des Querschnitts eintreten.

Weicht bei einem T-förmigen Querschnitt nach Abb. 18 die exzentrische Druckkraft N über die Steg unterkante hinaus ab, so ist klar, daß als statisch wirksamer Querschnitt nur das Stegrechteck zu betrachten ist, die Zugbewehrung liegt dann in der Platte, der nach Erfordernis bewehrte oder nicht-bewehrte Steg bildet den Druckgurt.

verminderte Be-

II. Exzentrischer Zug.

Die Berechnung ergibt sich naturgemäß ganz ähnlich wie zu I. An der Hand der Abb. 19, 20 u. 21 finden wir

N-Z^-D — 0 . Z{ — I) zzr 0 .

Zi — Z-N . .

fi'Ge — ff • ö'e — fn ' 0"e    •

ff — fi + fn

tO tO tû QO CO

worin wieder fn =

ist.

Bezüglich des Druckmittelpunktes ist die Bedingung

Z • m — N (in -{- r[) — 0

zu erfüllen. Es ist daher

bezw.

m-{Z—N) = N-ri

m • Zi — N • rj — (i .

.    .    93)

Der Vorgang bei einer Ermittlung ist genau wie zu I,

nur mit dem Unter-

X____

----I    ■

‘Z-fezGe I ^

schiede, daß hier die im Falle reiner Biegung für das Moment — ermittelte Zugbewehrung fi in dem Falle exzentrischen Zuges um den Quer-

Abb. 19.

dasselbe Spannungsbild aufrecht zu erhalten.

Weicht bei einem T-förmigen Querschnitt nach Abb. 21 die exzentrische Zugkraft N über die Plattenseite hinaus ab, so ist nur das Stegrechteck mit Zuggurt in der Platte, Druck

52

gurt im Steg als statisch wirksamer Querschnitt zu betrachten.

Bei der Untersuchung der Bauwerkformen erhalten wir die Exzentrizitätsmomente N-e (siehe Abbildungen) und die Normalkraft N. Die Exzentrizität e ist von der Stabachse, d. li. im Querschnitt vom Punkte S zu messen. Der Punkt S ist dadurch gekennzeichnet, daß eine dortselbstangreif ende Normalkraft N eine gleichmäßig über den Querschnitt verteilte Spannung ab bezw. n • db auslöst, er wird daher als Schwerpunkt der Fläche fb -f- n • (// -J- f₆d) gefunden. Da fez und fed aber erst durch Rechnung ermittelt werden, so darf der Abstand e und « auch — ohne einen nennenswerten Fehler zu begehen Schwerpunkte der reinen Betonfläche fb ge- h j messen werden. Bei der Vw Untersuchung von Ge-wölben und Rahmen ist die statische Form derselben nach der eben definierten Stabachse zu berücksichtigen.

— vom

fi'

JV

Jez

€______j

Abb. 20.

Z-fez-6t \ e

Ä.-t

iN__

/V

-AbL

Z=Jèzt5e I e

c_: _ J_I

A-br

ßd

*J

Abb. 21.

Nachfolgende Beispiele mögen die neue Methode er

läutern.

18. Beispiel: Die Querschnitte eines Tragwerkgliedes von der Querschnittsform der Abb. 16 mit B — 130 cm, h -j- ax = 75 -j- 5 = 80 cm, b = 25 cm, d— 15 cm haben die Druckkraft N = 22 000 kg in Exzentrizitäten von e — 0 bis e — 250 cm aufzunehmen. Die zulässigen Spannungen sind se — 1000 kg/cm² und sb — 40 kg/cm². Wie muß der Querschnitt an der Stelle der größten Exzentrizität bewehrt werden und bei welcher Exzentrizität el genügt der Querschnitt mit einfacher Zugbewehrung?

Der Schwerpunkt der gegebenen Betonfläche liegt von der Plattenoberkante im Abstande von

— 25,6 cm,

130-15 • 7,5 + 65-25-47,5

130 • 15 4- 65 • 25

53

es sind daher « — 75 — 25,6 = 49,4 cm und bei der größten Exzentrizität tj = e -}-« = 250 -f- 49,4 = 299,4 cm, so daß das „ideelle Moment“ [x = 22 000 • 299,4 = 6 590000 kgcm ist. Da wir die Spannung ae — se einlialten werden, so ist der „ Ersatzquerschnitt“

22 000 1000

fn —

= 22 cm².

Nach der auf Seite 28 erklärten Methode des Verfassers*) berechnen wir für [x und a = 5 cm, die den gegebenen Spannungen entsprechenden Bewehrungen wie folgt:

Dem Randspannungsverhältnis

= 25 entspricht x =

v___

1000

15

40

I 5 -f 25

• 75 = 28,1 cm.

das Moment [x erfordert ein Trägheitsmoment von 6 590 000

J—

40

• 28,1 = 4 630 000 cm²,

daher ist nach Gl. 49

ft" ~~

,    -o 166,9    130

4 630 000 + 105 • 13,1“ * —

• 28,l² • 196,9

1 871 000

15-23,1 • 70

= 77,5 cm²

24 200

im Druckgurt anzuordnen, und nach Gl. 50

4 630 000—105 - 13,l² •

43,1

130

• 28,l²- 13,1

fi =

15 - 46,9 • 70

= 96 cm²,

daher

ff = f — fn = 96 - 22 = 74 cm2 im Zuggurt anzuordnen sind.

Mit einfacher Bewehrung genügt der Querschnitt bei Einhaltung derselben Spannungen, wenn die Bedingung (Gl. 55)

_    ——2    166,9    130

105 - 13,r —

f ■ 28, r • 196,9 + -=!- • 28,1 = 0

oder

15 450— 2 759 000 = 0

*) Auch Beton u. Eisen 1906, Heft VIII, Seite 210 und 1908, Heft III, Seite 60; jedoch ist dort das erste Zahlenbeispiel fehlerhaft durchgeführt, weil die Nullinie in die Platte fällt, also in der dort angeführten Formel B = b zu setzen ist.

findet man gemäß der Gl. 12

= 58 cm².

fix —

54

erfüllt ist. Dies ist bei =

2 759 000

= 178,5 cm, d. h. in

15 450

jenem Querschnitt, für welchen die Exzentrizität ex = rjx—« = 129,1 cm ist, der Fall. Das „ideelle Dimensionierungsmoment“ ist hier ^ = N • rji = 22000 • 178,5 = 3 920000 kgcm,

welchem für ^as Trägheitsmoment Jj =

3 920 000

40    -²⁸’¹

— K' X

sb

= 2 760 000 cm⁴ entspricht.

Die „ideelle Zugbewehrung“ berechnet sich demnach analog der Gl. 57 zu

fix =fi —

J—Jx

= 96 — 38,1 = 57,9 cm²,

49 100

und die anzuordnende Bewehrung ist

fei³ —— fi\ fn —— 35,9 cm².

Einfacher mit schätzungsweise m—h —

tO! Ai

= 67,5 cm

3 • 920 000

67,5 • 1000

so daß feiz— 58 — 22 = 36 CIT1² wobei nach Gl. 15a 3 920 000 1 • 3 -15'²

+ 6000

Ö6 =

75

= 38,8 kg/cm²

15

erhalten wird.

Man ordnet demnach im Querschnitt mit der größten Exzentrizität im Druckgurt

fed— 3 R.-E. 34 -f- 5 R.-E. 36 mm = 78,14 cm²,

im Zuggurt

ftz = 4 R.-E. 34 -j- 4 R.-E. 35 mm = 74,8 Cm²,

ferner in jenem Querschnitt, wo die Exzentrizität ^ = 129,1 cm beträgt, nur eine Bewehrung im Zuggurt feiz— 4 R.-E. 34 mm

= 36,32 cm² an.

19. Beispiel: Ein quadratischer Pfeiler nach Schema der Abb. 17 mit b — 30 cm und h a^ — 27-f-3 = 30 cm hat die Druckkraft von N = 6180 kg mit der Exzentrizität e — 34,6 cm aufzunehmen. Da in dem praktischen Falle, dem dieses Beispiel entnommen ist, die Exzentrizität auch

55

nach der Gegenseite um dasselbe Maß ausschlagen kann, soll der endgültige Querschnitt symmetrisch bewehrt werden.

Für die Bewehrung fed= 9,82 cm² und fi — 19,63 cm2 ergibt sich im Falle reiner Biegung

+ j/ 14+25² + 3 • 9,28 -f 27 • 19,63

x— —

15 • 29,45

30

= 13,175 cm

und weiter nach Formel 21) der preußischen Vorschriften [i __ 6180(34,6 -f-12)

7210 — ~

15 • 13,825-40

06 =

7210

= 40 kg/cm²

und üe —

13,175

= 630 kg/cm².

6180

— 9,81 cm², so daß

Der „Ersatzquerschnitt“ ist also fn —

ff — fi — fn = 19,63 — 9,81 = 9,82 cm², d. h. fd= ff — 2 R.-E.25 mm anzuordnen sind.

630

Probe: Es muß die Gleichung 9 auf Seite 129 des Werkes „Der Eisenbetonbau“ von Prof. E. Mörsch, 3. Aufl. erfüllt sein, was auch der Fall ist:

9,82

13,175³ — 13,175² - 3.(15 - 34,6) 4 1 3,175 - 12-34,6-15-

30

_ ₆ . ¹⁵ - ^⁸² (34^.30 _j_ 2 - Ï2²) = 0. ou

20. Beispiel: Der Untergurt eines Brückenträgers System Vierendeel hat ein Biegungsmoment von M — 8 750 000 kgcm und die Gurtzugkraft N — 62 500 kg aufzunehmen. Der Querschnitt entspricht der schematischen Abb. 19, jedoch hat der Druckgurt eine einflüglige Platte. Es sind 5= 140 cm, b = 50 cm, h 4" «i = 130 4* 10 = 140 cm, d— 16 cm und die Spannungen dürfen oe — 860 kg/cm² und ö6 = 37 kg/cm2 nicht überschreiten. Es sind die Bewehrungen zu ermitteln. Die Exzentrizität ist

⁶ N 62 500

8 750 000

140 cm,

der „Ersatzquerschnitt“

f» =

62 500

860

— 72,6 cm²,

der Schwerpunkt S der reinen Betonfläche hat von Plattenoberkante den Abstand

= 59,4 cm,

140-16.8 + 50- 124 - 78

140-16 + 50-124

57 —

demnach liefern die Gl. 53 und 54

239 500

fed =

13,72“. 91,28

96 500

239 500 —

ft =

15 • 8,72 • 30

• 13,72² • 1,28

3920

= 24,6 cm²

237 780

15-21,28.30

9560

= 24,8 cm²,

da weiter

fn =

25 800

860

= 30,00 cm²

ist, so erhalten wir

fe* — 24,8 + 30 = 54,8 cm².

An geordnet wTerden

und

ftd — 4 R.-E. 28 mm = 24,63 cm2 ft* = 4 R.-E. 28 + 4 R.-E. 32 mm = 56,8 cm².

Es braucht wohl nicht besonders hervorgehoben zu werden, daß die Einhaltung der beiden gegebenen zulässigen Spannungen nur in jenen Fällen denkbar ist, wo die Biegungswirkung überwiegend ist. Bei überwiegendem Einfluß der Achsialdruckkraft würde z. B. das Festhalten an den gegebenen zulässigen Spannungswerten zur Folge haben, daß der Druckgurt unverhältnismäßig hoch bewehrt werden müßte. Man erkennt sofort, daß eine Erweiterung des Druckgurtbereichs nottut, und erreicht dies dadurch, daß man unter Beibehaltung des gegebenen zulässigen o&-Wertes ein kleineres Randspannungsverhältnis wählt, d. h. mit anderen Worten: Man geht mit dem o^-Wert, den man der Dimensionierung zugrunde legt, je nach Verhältnissen tief unter den gegebenen zulässigen cre-Wert herab.

Zeigt sich anderseits, daß der in den äußeren Abmessungen gewählte oder gegebene Querschnitt im Falle reiner Biegung für das Moment [x bei Einhaltung des gegebenen zulässigen U«-Wertes eine geringere 0b - Spannung ergibt als zulässig wäre, so ist es selbstverständlich, daß man sich nicht auf die Einhaltung des zulässigen <rb steifen darf, weil dieses nur erreicht werden könnte, wenn u« für die Bemessung größer als zulässig gewählt würde.

Die Beispiele 22 und 23, welche sich auf Abb. 17 beziehen, mögen zur Erläuterung angeführt sein.

22.Beispiel: Gegeben: h—l92,5cm, b — 60cm, a— 7,5cm, Druckkraft N— 77 750 kg, e — 138 cm.

und nach Gl. 86:

= 29,5 cm².

U = fi —

—* 58

Es sind fi = (138 -f 92,5) • 77 750 = 17 900 000 kgcm, für ae = 950 kg/cm² und öb = 40 kg/cm², v = 23,75,

= 74,5 cm, J zzz 17 900 000 •

x = 192,5 i-

15

74,5

38,75

40

— 33 400 000 cm⁴. Demnach sind gemäß den Gl. 53 und 54 33 400 000 — 10 • 74,5² • 503 15 • 67 • 185

33 400 000 + 10- 74,5²- 52

f.* =

= 30,3 cm²,

fi =

15-118-185

= 111,5 cm²,

77 750

950

Angeordnet: fed = f* — 2 R.-E. 48 mm = 30,41 Cm².

23. Beispiel: Querschnittsabmessungen wie Beispiel 22. Druckkraft N= 142 650 kg, e= 75,7 cm, daher

fi — (75,7 + 92,5) - 142 650 = 24 000 000 kgcm.

Hier wird bei der Dimensionierung ab = 40 kg/cm², d. i. der zulässige Wert, eingehalten, die Eisenzugspaunung setzen wir hierbei auf — 335 kg/cm² herab. Daher

335

40

= 8,4, x — 192,5 •

15

= 123,5 cm,

23,4

d. h. der Druckgurtbereich ist bedeutend erweitert worden, und wir erhalten für

J — 24 000 000 •

123,5

40

= 74 000 000 cm⁴

mit den oben erwähnten Gleichungen:

74 000 000 — 10 • 123,5² • 454 15-116-185

74 000 000 + 10 • m,5² • 101

ft" ——

—14,3 cm²,

fi =

fez = 463

15 • 69,5-185 142 650

= 463 cm²,

335

38,0 cm².

Angeordnet:

fed= 2 R.-E. 32 = 16,08 cm², fez = 2 R.-E. 50 = 39,27 cm².

Im gleichen Sinne ist im Falle exzentrischen Zuges zu verfahren. — Bei stetig abnehmender Exzentrizität wird im

59

Falle einer Druckkraft schließlich ein solches „Dimensionierungsmoment ft“ erreicht sein, für welches fez — fi — fn— 0 bezw. ein negativer Wert und in dem Falle einer exzentrischen Zugkraft die Kantenpressung Gb — 0 bezw. ein negativer Wert erhalten wird. In den Querschnitten treten dann nur Druckspannungen bezw. nur Zugspannungen auf, und das vorliegende Verfahren verliert seine Gültigkeit. Die Spannungen im Querschnitt dürfen nun innerhalb dieser Grenze sowie für homogene Querschnitte berechnet werden; man ermittelt im Falle des exzentrischen Druckes die der Betonfläche und der n — 15 fachen Eisenfläche entsprechende ideelle Querschnittsfläche sowie die beiden ideellen Widerstandsmomente und berechnet die Spannungen für die gewählten Querschnitte. Im Falle exzentrischen Zuges wird entweder auf die Zugmitwirkung des Betons verzichtet und die Verteilung der Achsialzugkraft nach dem Hebelgesetz auf die beiden Bewehrungsgruppen durchgeführt, oder aber man bildet bei mitwirkenden Betonzugspannungen die ideelle Querschnittsfläche und die beiden ideellen Widerstandsmomente aus Betonfläche und nx = 37,5 fâcher Eisenfläche und untersucht die Spannungen des gewählten Querschnitts.

Dem Verfasser schien es geboten, seine Ausführungen durch typische Beispiele zu erläutern, um die Einfachheit und Exaktheit seines einheitlichen Verfahrens recht klar vor Augen zu führen und die Umsetzung in die praktische Anwendung zu erleichtern. Handelt es sich schließlich um die Berechnung der Bewehrungen für exzentrisch beanspruchte kreuzförmige Querschnitte, so wird in ähnlicher Art verfahren, als dies im 14. Beispiel gezeigt wurde, wobei jedoch das Bestehen der Gl. 86 bezw. 92 nicht übersehen werden darf.

Die Bemessung der Kasten- oder Zellendecken.

(Hierzu die Tabellen im Anhang.)

Die im Hochbau wegen ihrer Wirtschaftlichkeit verbreitetsten Deckensysteme sind Kasten- oder Zellendecken. Es ist hier nicht beabsichtigt, auf die verschiedenartigen Ausbildungen dieser Deck en typen einzugehen, sondern nur das Gemeinsame aller dieser Systeme: die billigste Art, die in Wohnbauten geforderten ebenen Decken-untersichten herzustellen und die Deckenlast auf ein unumgängliches Mindestmaß zu beschränken, hervorgehoben werden.

60

Dieses Ziel wird bei allen Systemen durch Einfügung von Hohl- oder leichten Vollkörpern aus Holz, Rohr- oder Holzstäbchen-Gewebe, Rohrbündel usw. erreicht, welche zugleich die Gußform für die Deckenrippen bilden.

Ueber die wirtschaftlich günstigste Entfernung der Deckenrippen in Zellendecken liât der Verfasser gelegentlich eine Untersuchung angestellt, deren Ergebnis im wesentlichsten den wichtigen Aufschluß gab, die Stegentfernung, somit auch die Zellenbreiten so groß, als dies durch die Tragfähigkeit der die Stege verbindenden Platte tunlich erscheint, zu wählen. Allzu streng darf aber dieses aus der Kostenformel erhaltene Ergebnis nicht befolgt werden, weil mit einer stetigen Aenderung der Zellenbreite notwendig eine Verteuerung der Herstellung dieser Hohlformen verbunden ist. Es muß also nach diesem Gesichtspunkt an eine Auswahl bestimmter Hohlkör per typen geschritten werden. In den Tabellen des Anhanges wurden die Zellenformen nach praktischen Gesichtspunkten so gewählt, daß für die Deckentypen I bis IV die Stegentfernung A = 75 cm und die reinen Deckenstärken 20 bis 40 cm und für die Deckentypen VII bis XII die Stegentfernung Â = 100 cm und die reinen Deckenstärken 25 bis 45 cm betragen. Die Einrichtung der Tabellen ist so getroffen, daß man nur die auf 1 m² entfallende Fremdlast f zu ermitteln hat und in der Tabelle des gewählten Deckentyps für die vorliegende Stützweite bei teilweiser Einspannimg an den Enden

Moment M— ™

IQ sofort die in jedem Stege anzuordnende

Eisenquerschmttsfläche ablesen kann. Für Veranschlagungszwecke sind die Erfordernisse an Beton und an Eisen für 1 m³ ohne Auflagerzuschlag angegeben. Das Eisenerfordernis ist für die Platte und den Steg getrennt angegeben. Die Angabe der hervorstechendsten Kantenpressungen im Beton soll die Wahl des Mischungsverhältnisses im Sinne der österreichischen, für Staatsbauten gültigen Regierungsvorschrift erleichtern. Platten und Stege werden in einem Mischungsverhältnis, und zwar in jenem hergestellt, wie es sich für die Stege als erforderlich ergibt.

In den Abmessungen der Platte, der Stegbreite und der zu berücksichtigenden Druckgurtbreite wurden die jüngsten österreichischen Regierungsvorschriften vom 15. Juni 1911 beachtet. Entsprechend diesen Vorschriften ist die Plattenstärke mit d-=6 cm, ferner für die Typen I bis VI die Stegdicke 6 = 10 cm und die Druckgurtbreite (da nach § 5, Punkt 12 die Stegentfernung X — lb cm < 86 < 16d ist)

56

daher « m 130 — 59,4 = 70,6 cm und rj — e — s — 140 — 70,6 m 69,4 cm, so daß [i — N • tj = 4 340 000 kgcm gefunden wird.

Nach dem aus dem Jahre 1905 stammenden Plattenbalkendiagramm³) des Verfassers entsprechen der Abszisse h _ !30

— 8,13

und der Ordinate

* — ... t³__

²~~ B-d² oe

1000    4 340 000    1000

860

= 20,4 kg/cm² und ein

nach dem Plattenrechteck zu nehmender Satz der Zugbewehrung von (p — 1,81 vH., so daß also diese Bewehrung zu fi — B • d • cp — 1,4 • 16 • 1,81 = 40,5 cm² ermittelt wird.

In unserem Querschnitt sind demnach tf —    — 40,5 -1- 72,6 = 113,1 Cm², d. s. 9 R.-E. 40 mm

— 113,1 cm²

anzuordnen, es sind dann die Spannungen ae = 860 kg/cm2 und Oft = 20,4 kg/cm².

21. Beispiel: In demselben Brückenträger wird einStänder durch das Moment M = 1 040 000 kgcm und zufolge der Mehrbelastung des Untergurtes der Brücke noch durch eine Zugkraft von N— 25800 kg in Anspruch genommen. Die zulässigen Spannungen sind im 20. Beispiel gegeben. Nach der schematischen Abb. 20 sind b — 50 cm, h -J- ax — 35 -}- 5 = 40 cm, a — 5 cm.

Es sind

1,4 • Ï6²

= 14 050,

die Betonpressung o₆ = 23,8 •

s — 15 cm tj — e — s = 25 cm ju = 25 • 25 800 = 645 000 kgcm 860

v — —— = 23,2

37

15

15 -f 23,2 645 000

• 35 = 13,72 cm

37

• 13,72 = 239 500 cm⁴,

61

zu 75 cm berücksichtigt. Für die Typen VII bis XII ist die Stegdicke 6 = 12 cm und die wirksame Druckgurtbreite mit 16ć7 — Sb — 96 cm berücksichtigt worden. Aufstellung der Tabellen verfolgt der Verfasser aber nicht allein den Zweck, den bei ausführenden Firmen arbeitenden Ingenieuren die Arbeit für das Veranschlagen zu erleichtern, sondern er empfiehlt den Gebrauch derselben auch bei Abfassung von statischen Berechnungen sowie zur Ueberprüfung, wo ein Hinweis auf diese Tabellen den bei einfachen Zwischendecken unangebrachten Formelkram beseitigen soll. Die ersparte Arbeitszeit kann dann den Berechnungen der Unterzüge und sonstigen Konstruktionen gewidmet werden. Wie es derzeit Uebung ist, pflegt man für die Deckenkonstruktionen eines einfachen Hochbaues statische Berechnungen aufzustellen, die den Umfang einer Dissertation erreichen, welche nicht nur eine Last für die ausführenden Firmen, sondern eine noch größere Belastung der Bauaufsichtsbehörden bilden, denen nicht in dem Maße Spezialfachleute zur Verfügung stehen, um für eine ganze Reihe gleichzeitig laufender Bauten umfangreiche Berechnungen zu iiberjmüfen. ln diesem Sinne: zu kürzen und zu vereinfachen, ohne Wichtiges zu vernachlässigen, sollten die angefügten Tabellen der Decken sowie die Ausführungen der übrigen Abschnitte dieser Broschüre gebraucht werden.

Die theoretische Grundlage der Deckentabellen ist kurz skizziert die folgende: Jeder Zellensteg stellt einen Plattenbalken dar, für 1 m Druckgurtbreite hat die Anzahl -^-

Ql    (g + n-P-loo

Mit der

der auf 1m verlegten Stege das Moment ^

10

aufzunehmen. Nach Tabelle II auf S. 10 läßt sich dieses Moment auch üf₁₀₀ — 1c₂’d² ausdrücken. Es besteht also die Beziehung Jc₂ • d² — 10 • (g -(-/)• l², woraus die zulässige Spannweite

Jc₂ • d²

10 (9 + f)

Tco ■ d²

oder mit ^ „    = a₂ und mit g f — q auch

l/^.

' Q.

Jedem Zellentyp kommt nun eine bestimmte statische Höhe h zu, so daß deren Höhenverhältnis kx —

j (vergl. S, 8) ge-

62

geben ist. Wird jeder Steg mit den in den Zellentabellen ersichtlichen Eisenquerschnittsflächen /e versehen, so läßt sich mit Hilfe der jedem Stege zugeordneten Druckgurtbreite B in m der Bewehrungssatz <p =

Typen I bis VI zu

fe

B-d

-, also bei den

<P =

fe

fe

0,75-6 — 4,5 und bei den Typen VII bis XII zu

(f —

fe

fe

0,96-6 ~ 5,76

ermitteln. Mit Hilfe des Höhenverhältnisses Zq und des Bewehrungssatzes (f läßt sich nun mit Hilfe des auf S. 9 erwähnten Plattenbalkendiagramms für die Eisenzugspannung (je — 1000 kg/cm² die Kantenpressung im Plattenbalken und der Beiwert h₂ ablesen, welcher dann in obigem Ausdrucke zur Ermittlung der zulässigen Spannweite benutzt wurde. Für die Spannungen < 15 kg/cm² wurde dagegen die Berechnung der zulässigen Spannweite in der Weise durchgeführt, daß vorerst die auf 100 cm Druckgurtbreite entfallende Bewehrung zu feioo — -j- • /« und der Hebelarm m

ermittelt wurde. Für die Eisenzugspannung ae — 1000 kg/cm2 ist nun das Moment

1000- m-feio0 =

(£ + /> ^-ioo

10

woraus

schließlich die zulässige Spannweite

100 • m- fe

^(.9 f)

oder mit

100 • m • fe

— cq und g -f- f— q auch

erhalten wird.

Bei ein und demselben Zellentyp entspricht jedem Eisen-querschnitt fe eines Steges ein zugeordneter Wert av oder «₂. Für eine konstant bleibende Gesamtlast q — g f verhalten sich die zulässigen Spannweiten für verschiedene Eisenquerschnitte somit wie die zugeordneten Werte ]/ax bezw. ]/a₂. Die zulässigen Spannweiten für einen konstant bleibenden

63

Eisenquerschnitt und veränderliche Gesamtlasten ql — g-\-fv q^—g-Ą-f₂ usw. verhalten sich dagegen wie die Werte

¹

Die Bügel werden bekanntlich auf Zug in Anspruch genommen. Die übliche Methode, wonach der Bügelquerschnitt dergestalt ermittelt wird, daß der aus Abb. 10 ersichtliche Anteil der Schubkraft keine höhere Scherinanspruchnahme in den Bügeln erzeugt, als für Eisen zulässig ist, hat stets zu brauchbaren Ergebnissen geführt.

²

724 500

49 100

³

Bei demselben ist die Mitwirkung des Stegrechtecks von der Höhe x — d im Druckgurt vernachlässigt. Näheres aus Tabelle II.

/-•

' Q.

Dieser Umstand kam einer einfachen Ermittlung der Tabellenwerte sehr zustatten und ermöglicht es auch, die zulässige Spannweite für andere Fremdlasten, als an den Tabellenköpfen ersichtlich ist, zu ermitteln.

Die in den Stegen anzuordnenden Eisenquerschnitts-tlächen sind in jenen Tabellen durch Rundeisenquerschnitte zum Ausdruck gebracht, womit nicht beabsichtigt ist, jene Rundeisen zur Anordnung vorzuschlagen; die Deckung soll vielmehr nach freiem Ermessen des Konstrukteurs am zweckmäßigsten, um die Haftspannung in zulässigen Grenzen zu erhalten, durch Rundeisen erfolgen, deren Durchmesser in mm das 4,5fache der Stützweite in m betragen.

Zwischen der größten, am Auflager im Stege auftretenden Schubspannung, der Bewehrung fe eines Steges und der Spannweite l in m läßt sich eine einfache Beziehung hersteilen.

ql

Für den Auflagerdruck ~ kg berechnet sich mit Hilfe

u

des Hebelarms m und der Stegdicke &, beide in cm, die Schubspannung zu

T₀ =

ql

2 m -b

94).

Die Tabellen sind für das Moment

M—

₁₀ — 10 q-l²

berechnet, und ferner ist denselben die Eisenzugspanmmg ae — 1000 kg/cm² zugrunde gelegt. Der Hebelarm m läßt sich daher aus der Beziehung

M — 1000 • fe - m = 10 • q - P ... 95)

zu

96)

ql²

loo-/;

ermitteln, mit welchem Werte die Gl. 94)

50 • fe

T₀ = -

97)

lautet.

und für die Typen VII bis XH:

. .    105)

64

Für gegebene einzuhaltende Schubspannungen r0 läßt sich jene kleinste Spannweite ermitteln, bei welcher jedwede Belastungsgröße diesen Schubspannungswert ergibt:

50 •/;

b • t₀

besonders für die Typen I bis VI:

5 •/;

. . 98),

99)

und für die Typen YII bis XII:

4,n •/;

100).

Der Gebrauch der Tabellen gestaltet sich einfach: Kann infolge der konstruktiven Anordnungen beim Auflager mit

^ gerechnet werden,

so sind die Ergebnisse einfach aus den Tabellen abzulesen. Hat man für eine im Projekt vorliegende Spannweite l das

Moment mit M — zu berücksichtigen, so erfolgt die Ab-tc

lesung für den Tabellenwert

sogenannter Halbeinspannung ^

n-

. . 101).

Die Gl. 97) und 98) erfahren die Veränderungen

r₀ =

b-l

. . 102)

und

5-Tc-fe

b • t₀

so daß für die Typen I bis VI:

. .    103),

0,5 • k • /;

. .    104)

₇ _ 0,417 - Tc-fe

erhalten wird.

24. Beispiel: Für eine teilweise eingespannte Wohnhausdecke von 6,30 m Stützweite, deren Nutzlast 250 kg/m2 beträgt, sind die Unterlagen für die Veranschlagung zu ermitteln. Für die Deckenkonstruktion, Beschüttung, Blind-und Brettelboden stehen 45 cm Höhe zur Vertilgung.

65

Die Fremdlast setzt sich zusammen aus:

250 kg 112 „ 35 „

Nutzlast..........

8 cm Schuttlage 0,08 • 1400 . Blind- und Brettelboden 0,05*700.

*    Fremdlast f — 397 kg = 400 kg.

Da die reine Konstruktionshöhe der Decke 45 —- (8 —f— 5) = 32 cm beträgt, so kommen für die Anwendung die Typen 1Y und IX in Betracht. Aus den Tabellen im Anhang entnehmen wir folgendes:

Aufwand bei Typ IV einschließlich Auflager:

6,30

Beton:

0,095 •

Eisen: (7,9+0,77)*

ZO *x>

Co o

= 0,10 m³,

6,00

= 9,10 kg.

Aufwand bei Typ IX einschließlich Auflager:

6,30

Beton:

0,0915*

6,00

= 0,096 m³,

Eisen: (7,553 + 1,08) •

6,30

= 9,05 kg.

6,00

Aus diesen Ergebnissen erkennen wir, daß der Typ IX mit größerer Verlagsweite der Stege um geringes billiger zu stehen kommt.

Wuczkowski, Bemessungsverfahren

66

Anhang.

A. Zusammenstellung der Feld- und Stützenmomente für durchlaufende Konstruktionen.

Die bewegliche Last beträgt für 1 lfd. m b.

„ ständige    „

„ Gesamtlast „

u q-

Das Verhältnis der beweglichen zur ständigen Last ist

(X — —-

a) Zwei gleiche Oeffnungen: Feldmoment in 0,4 l:

1 + 1,36 •

1 -j- a

Mittelstütze in l:

— Mi

max —

0,125 • q -1².

b) Drei gleiche Oeffnungen: Feldmoment in 0,4 l:

■q-l²;

1 + 1,25 •«

Zwischenstütze in l:

— AL

max —    0,10 •

1 + 1,17 •«

1 -f - a

•q-l²;

Feldmoment in 1,5 l:

-q-l².

M₂ = + 0,025 •

67

c) Vier gleiche Oeffnungen: Feldmoment in 0,4 l:

1 4- 1,275 •

7^ = 4-0,07714.-

1. Zwischenstütze in l:

1 4- 1,123 •

14~ «

Feldmoment in 1,5 l:

M₂ — 4- 0,03572 •

1 4- 2,25 •

i 4~a

2. Zwischenstütze in 2 l:

m«x = — 0,07143-

14~ L,F> • i 4- «

Beschränkung: Kommt nur ruhende Last in Betracht, so empfiehlt es sich, die Feldmomente mindestens zum Werte -f~ 6,05 • q • l² zu berücksichtigen.

68

B. Tabellen für die Erfordernisse der Kasten- und Zellendecken.

Typ I.

Eigengewicht:

Platte .    . . .144 kg/m²,

Steg.....

Putz und Zelle 32

51

g — 227 kg/m².

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,08 t 3 m³, Konstruktionshöhe 20 cm,

Statische Höhe 17 cm,

Entfernung der Stegmitten 0,75 m,

Stegdicke 10 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M= ,

•Eisenzugspannung <re = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

Bei einer Fremdlast von f = 100 1 200 1 300 1 400 | 500 [ 600 [ 700

in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l —

ąsąą 3 £    s sg 2 ąą 2 ą s ssjs ą s B.ąsąąsą

cT O 1—I 1—I i—l I <M Cd <M CO cd'cd'TiT'•#ifdiCS cd' cd' C'-'c-'od' 00 cd cd cd

0,825

0,995

1,185

1,39

1,61

1,85

^!43443344t!3tJ3

2,10

2,38

2,66

2.97 3;29 3,62

3.98 4.35 4,73 5,13 5,55 6,00 6,44

6.90 7,40

7.90

8,40

8,95

9,50

10,05

10,65

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . Ob —

2.27

2,48

2,73

2,95

3,17

3,32

3,57

3.86

4'06

4.26

4,45

4.63

4,92

5,11

5,30

5,55

5.80

5.98 6^20 6,38 6,55 6,75

6.99 7,18

7,42

7,60

7,86

1,99

2,17

2,39

2,58

1,79

1,96

2,16

2,32

1,64

1,52

1,43

2,77

2,90

3,12

3,37

3,55

3,72

3,89

4,05

4,30

4,47

4,64

4,85

5,07

5,23

5.41

5,58

5,72

5,90

6,10

6,28

6,49

6,65

2,50

2,62

2,82

3,04

3,20

3,36

3,51

3,65

3,88

4,03

4,18

4,38

4,57

4,72

4,88

5,03

5,16

5,32

5,50

5,66

5,85

6,00

6,88 6,20

1,79

1,97

2,13

2,29

2,40

2,58

2,81

2,93

3,08

3,21

3,34

3,55

3,69

3,82

4,00

4,18

4,32

4.48

4,60

4,72

4,87

5,04

5,18

5,35

5,48

5,68

1,66

1,83

1,97

2,12

2,22

2,39

2,58

2/72

2,85

2,98

3,10

3,29

3,42

3,54

3,71

3,88

4,00

4.15

4,27

4,38

4,52

4,67

4,80

4,96

5,08

5,26

in der Platte:

5 <ß 5

5^5

5^5

1,56

1,72

1,85

1,99

2,08

2,24

2,42

2,55

2,68

2,79

2,91

3,09

3,21

3,33

3,48

3,64

3,75

3,89

4,00

4,11

4,24

4,38

4,50

4,65

4,77

4,93

5^5

1,35

1,47

1,62

1,75

1,88

1,97

2,12

2,28

2,40

2,52

2,64

2,74

2,92

3,03

3,14

3,29

3,44

3,54

3,67

3,78

3,88

4,00

4,14

4,25

4,40

4,50

4,65

5^5

Kantenpressung im Rippenbalken zur Auswahl des Mischungsverhältnisses

IO

6^5

0,77

0,77

0,77

0,77

0,77

0,77

0,93

69 —

Typ II.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m².

Steg.....

Putz und Zelle 32

01

g = 237 kg/m²

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,0855 m³, Konstruktionshöhe 25 cm,

Statische Höhe 22 cm,

Entfernung der Stegmitten 0,75 m,

Stegdicke 10 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M =

Eisenzugspannung oe = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Bisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m'²

Bei einer Fremdlast von f= 100 | 200 | 300 1 400 | 500 | G00 | 700

in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l =

1    10 = 0,79 cm²

1 * H = 0,95 „

1 „ 12 = 1,13 „

1 „ 13 = 1,33 „

1 „ 14 = 1,54 „

1 „ 15 = 1,77 „

1 „ IG = 2,01 „

1 „ 17 = 2.27 „ 1,18= 2;54 „

1 „ 19 = 2,84 „

1 „ 20 = 3,14 „

1 „ 21 = 3,4G „

1 „ 22 = 3,80 „

1 „ 23 = 4,18 „

1 ,, 24 = 4,52 „

1 „ 25 = 4.91 „

1 „ 26 = 5,31 „

1 „ 27 = 5,73 „

1 „ 28= G,IG „

1 „ 29 = G,G0 „

1 „ 30 = 7,07 „

1 „ 31 = 7,55 „

1 „ 32 = 8,04 „

1 „ 33 = 8,55 „

1 „ 34 = 9,08 „

1 „ 35 = 9,62 „

1 „ 3G = 10,18 „

1 „ 37 = 10,75 „

1 „ 38 = 11,34 „

0,825

0,995

1.185

1,39

1,61

2,54

2,79

3,04

3,30

3,55

1,85

2,10

2,38

2,66

2,97

3,29

3,62

3,98

4,35

4,73

5,13

5,55

6,00

6,44

6,90

7,40

7,90

8,40

8,95

9,50

3,80

4,05

4,62

4,56

4,79

5,00

5,26

5,51

5,80

6,02

6,24

6,45

6,69

7,00

7,23

7,44

7,70

7,90

8,12

8,38

2,23

2,45

2,67

2,90

3,12

3,34

2,02

2,21

2,41

2,61

2,81

3,01

3,56

3,74

4,00

4,21

4,40

4,61

4,85

5,10

5,28

5,48

5,66

5,86

6,15

6,35

6,54

6,77

6,94

7,13

7,35

3,21

3,37

3,61

3,79

3,96

4,17

4,36

4,60

4,77

4,95

5.10

5,30

5,55

5,72

5,88

6,10

6,28

6,43

6,64

1,85

2.03

2,22

2,40

2.59

2,77

2,95

3,10

3,32

3,49

3,64

3,83

4,02

4,23

4,38

4,55

4,70

4,87

5,10

5,27

5,42

5,60

5,75

5,91

6,10

1,72

1,G1

1,53

1,89

1,77

1,68

2,06

2.23 2.41 2,58 2,74 2,89 3,09

3.24

3,39

3,56

3,74

3,93

4,08

4,23

4,37

4,53

1,93

1,83

2,09

2.25

2,41

2,57

2,70

2,89

3,04

3,17

3,34

1,98

2,13

2,28

2,43

2,56

2,74

2,88

3,00

3,16

Kantenpressung im Rippenbalken zur Auswahl des Mischungsverhältnisses

3,49

3,68

3,81

3,95

4,09

4,23

3,31

3,48

3,62

3,75

3,87

4,01

1„ 39 =11,94 „

10,05

10,65

11,25

11,85

12,50

8,60

8,82

9,10

9,29

7,55

7,75

8,00

8,15

6,81

6,26

6,98

7,20

7,35

9,55 8,38 7,55

6,42

4,74

4,90

5,04

5,22

5,35

5,50

5,68

5,82

5.98

4,44

4,20

6,63 6,16 6,77 6,29 6,95 6,47

Erfordernis in der Platte:

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . Üb —

4,58

4,34

4,71

4,47

4,88

5,00

5,15

5,30

5,45

4,62

4,74

4,88

5,03

5,17

5,58 5,30 5,77 5,46 5,88 5,58 6,05 5,73

5 jzf 5 5jzf5 5jz?5 5 /zf 5 5 .0 5 5 jzf 5

0,77    0,77 0,77 0,77 0,77 0,77

0,93

70

Typ III.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m²,

Steg.....

Putz und Zelle 32

::

g — 253 kg/m².

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,092 m³, Konstruktionshöhe 30 cm,

Statische Höhe 27 cm,

Entfernung der Stegmitten 0,75 m,

Stegdicke 10 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment Al = ^ ,

Eisenzugspannung (je = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisen-aufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m« ^

100

einer Fremdlast von f

200 | 300 | 400 1 500 1 600 in kg/m²

ie zulässige Spannweite

1 0 10 1 » H 1 „ 12 1 „ 13 1 „ 14

2,75

3,02

3,29

2,43

2,66

2,90

3,57

3,15

1,54

1,61

3,84

3,38

15

1,77

1,85

4,12

3,64

1 „ 16 1 „ 17 1 * 18 1 „ 19 1 „ 20 1 « 21 1 „ 22 1 „ 23 1 » 24 1 „ 25 1 » 26 1 » 27 1 „ 28 1 „ 29 1 n 30 1 „ 31

2,01

2,27

2,10

2,38

2,54

2,84

3,14

3,46

3,80

4,18

4,52

4,91

5,31

5,73

6,16

G,GO

7,07

7,55

2,GG

2,97

3,29

3,62

3,98

4,35

4,73

5,13 5,55 G,00

G,44

6,90

7,40

7,90

4,39

4,66

4,94

5,20

5,48

5,71

5,92

3,86

4,11

4,35

4,58

2,20

2,40

2,62

2,85

3,06

3,22

3,50

3,72

3,83

4,15

4,83

5,04

5,22

6,18

6,54

6,73

7,03

7,28

7,55

7,82

8,10

8,38

5,45

5,76

5.94

6,20

6,42

6,65

4,37

4,55

4,72

4,93

5,21

5,38

5,60

5,80

6,02

6,90

6,73

7,15

6,45

1 „ 32 1 „ 33

8,04

8,40

8,59

7,40

7,57

6,68

6,85

8,55

1 » 34 1 „ 35 1 » 36 1 » 37 1 „ 38 1 „ 39 1 „ 40 1 „ 41

9,08

9,62

8,95

9,50

8,86

9,14

10,05

10,65

11,25

11,85

12,50

13,15

9,42

7,81

8,05

8,30

7,06

7,29

10,18 10,75 „

11,34 „

11,94 „

12,56 „

13,20 „ j 13,80

9,78

8,62

7.52

7,80

2,02 1,88

4.54    4,23 4,80 4,47 4,93 4,60

5.15

5.35

5.54 5.74 5;94

6.15 6,30 6,50 6,70 6,91

7,17

4,82

4,98

5,17

5,35

5,54

5,73

5,87

6,06

6,25

6,45

6,69

10,00

10,20

10,47

10,72

10,98

8,81

9,00

9,22

9,45

9,68

7,97

8,13

8,35

8,55

8,75

1,77

1.94

2,12

2,30

2,47

2,65

2,82

3,00

3,17

3,34

3,53

3,68

3,81

3,98

4,21

4,33

4.52 4,68 4,86 5,03 5.21 5,40

5.52 5,70

5,88

6,06

6,30

7,34

6,85

6,44

7,48 6,98 6,56 7,68 7,16 6.73 7,87 7.34 6,90 8,05 7;50 7,06

. *_ §

i i i Kantenpressung im Rippenbalken zur '    '    ¹ Auswahl des Mischungsverhältnisses

Erfordernis

in der Platte:

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . 06 =

5 0 5 0,77

5 0 5 0,77

5 0 5

0,77

5 0 5 0,77

5 0 5 5 0 5 0,77 0,77

0,93

71

Typ IV.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m², Steg

Putz und Zelle 32

83

y = 259 kg/m²,

Betonaufwand für 1 m³ ohne Auflager 0,095 m³, Konstruktionshöhe 32 cm,

Statische Höhe 29 cm,

Entfernung der Stegmitten 0,75 m,

Stegdicke 10 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M =

Eisenzugspannung (>e — 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

Bei einer Fremdlast von f =

100    200 300 400 500 G00 700

in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l =

U CO 0 0> N CO

§-s

ß

Qj CO

.&SP

0,825

0,995

1.185

1 0 10 = 0,79 cm2 1 „ H = 0,95 „

1 „ 12 = 1,13 „

1 „ 13 = 1,33 „

1„ 14= 1,54 „

1 „ 15 = 1,77 „

1 „ 16 = 2,01 „

1 „ 17 = 2,27 „

1 „ 18 = 2,54 „

1 „ 19 = 2,84 „

1 „ 20 = 3,14 „

1 „ 21 = 3,46 „

1 „ 22 = 3,80 „

1 „ 23 = 4,18 „

1 „ 24 = 4,52 „

1 „ 25 = 4,91 „

1 „ 26 = 5,31 „

1 „ 27 = 5,73 „

1 „ 28 = 6,16 „

1 „ 29 = 6,60 „

1 „ 30= 7,07 „

1 „ 31 = 7,55 „

1 „ 32 = 8,04 „

1 „ 33 = 8,55 .,

1 „ 34 = 9,08 „

1 „ 35 = 9,62 „

1 „ 36 = 10,18 „

1 „ 37 = 10,75 „

1 „ 38 = 11,34 „

2,88

3,10

3,38

1,39

1,61

1,85

2,10

2,38

2,66

2,97

3,29

3,62

3,98

4,35

4,73

5,13

5,55

6,00

3,67

3,95

4,23

4,51

4,79

5,07

5,36

5,61

5,92

6,13

6,37

6,64

6,90

7,25

7,48

2,55

2.75 3,00

3.25 3,50

3.75 4,00

4.25 4,48

4.75 4,98

5,25

5,43

5,64

5,88

6,11

6,43

6,63

2,31

2,49

2,71

2,95

3,17

3,39

3,62

3,84

4,07

4,30

4,50

4,75

4,92

5,12

5,33

5.54

5,82

6.00

2,12

2.96 2,50 2,72 2,92 3,13 3,34 3,54 3,75

3.96

4,15

4,38

4,53

4,72

4,91

5,10

5,36

1,98

1,86

1,76

2,14

2,33

2,53

2,72

2,92

3,11

3,30

3,49

3,69

3,87

4,08

4,22

4,38

4,57

4,75

5,00

2,00

2,19

2,38

2,56

2,74

2,92

3,10

3,28

3,47

3,63

3,83

3,96

4,13

4,29

4,47

4,68

1,90

2,07

2,25

2,42

2,60

2,76

2,94

3,10

3,28

3,44

3,63

3,75

3,90

4,07

4,22

s|

SS

m Z

S*

öS £

UM

4,44

4,58

5,54

5.78 5,98 6,14 6,32 6,58

6.78

5,15

5,38

5,57

5,72

5,88

6,13

6,31

4,84 5;05 5,23 5,37 5,53 5,75 5,93

Erfordernis in der Platte:

6,44

6,90

7,40

7,90

8,40

8,95

9,50

10,05

10,65

11,25

11,85

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m'2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . Oft =

7,81

8,09

8.30

8,54

8,90

9,16

9,44

9,67

9,96

10.30 10,53 10,78 11,05

11.30 11.56

0,77

6,93

7,16

7,35

7,56

7,89

8,12

0,77

6,27

6,49

6,66

6,85

7,15

7,35

4,79

4,95

5,08

5,23

5,45

5,61

5,78

5,93

6,10

6,30

32

6,45 j — 6,60 ! 37 6,77 I — 6,91 — 7,081 42

5 0 5 0,77

5 0 5

0,77

0,77

0,77

0,93

72

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m²,

Steg.....93    „

Putz und Zelle 32    .,

g = 269 kg/m².

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,0986 m³, Konstruktionshöhe 35 cm,

Statische Höhe 32 cm,

Entfernung der Stegmitten 0,75 m,

Stegdicke 10 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M —    ,

Eisenzugspannung Gg = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

Bei einer Fremdlast von f--=

100

200 1 800 [ 400 1 500 1 G00 [ 700

in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l =

U* 00 0 O

N CG

si

II

1 0 10 = 0,79 cm2 1 „ H = 0,95 „

1 „ 12 = 1,13 „

1 „ 13 = 1,33 „

1 „ 14 = 1,54 „

1 „ 15 = 1,77 „

1 „ 16 = 2,01 „

1 „ 17 = 2,27 „

1 „ 18 = 2,54 „

1 „ 19 = 2,84 „

1 „ 20'— 3,14 „

1 „ 21 = 3,46 „

1 „ 22 = 3,80 „

1 „ 23 = 4,18 „

1 „ 24 = 4,52 „

1 „ 25 = 4,91 „

1 „ 26 = 5,31 „

1 „ 27 = 5,73 „

1 „ 28 = 6,16 „

1 „ 29 = 6,60 „

1 „ 30 = 7,07 „

1 „ 31 — 7,55 „

1 „ 32 = 8,04 „

1 „ 33 = 8,55 „

1 „ 34 = 9,08 „

1 „ 35 = 9,62 ,.

1 „ 36 = 10,18 „

1 „ 37 = 10,75 „ 1„ 38 = 11,34 „ 1„ 39 = 11,94 „

1 „ 40 = 12,56 „

1 „ 41 = 13,20 „

1 „ 42 = 13,85 „

1 „ 43 = 14,52 „

0,825

0,995

1,185

2,93

2,59

2,36

1,39

1,61

1,85

2,10

2,38

2,66

2,97

3,29

3,62

3,98

3,21

2,84

3,50

3,80

4,08

4,38

4,67

4,96

5.29

5,55

5,84

6,12

6,39

3,10

3,36

3,61

3,88

4,14

4,40

2,58

2,81

3,05

ßj

£ %

1,81

2,17

2,38

2,60

2,82

3,03

3,25

3,47

2,03

2,22

2.42 2,63 2,82 3,03 3,23

3.43 3,66 3,84 4,03

1,91

2,09

2,28

2,48

1,98

2,16

2,34

SS

2,52

3,28

3,52

3,75

3,98

4,25

4,46

4.68

3,68

2,66

2,86

2,70

3,04

3,23

2,88

3,06

4,68

4.91

5.17 5,42 5,65

5.92

6.18 6,44

4,92

3,93

4,12

4,33

4,55

4,23

3,44

3,62

3,80

3,98

3,26

3,42

3,60

3,78

5,13

5,38

5.60

5,84

6,00

4,74 4,42 4,97 4,63 5,18 4,83 5,40 5,03 5,16 5,42 5,65 5,85

6.90 6,38 5,95 7,20 6,66 6,20 7,45 6,90 6,42 7,68 7,10 6,62 7,88 7,30 6.80 8.10 7,50 6,99 7,20 7,38 7,57 7,78 7,98 8,15 8,34 8,55

Erfordernis in der Platte:

4,35

4,73

5,13

.5,55

6,00

6,44

6,90

7,40

7,90

8,40

8,95

9,50

6,70

6,98

7,27

7,46

7,83

8,16

8,45

8,59

8,96

9,28

9.56

9,82

14.50    12,05 15,20 112,35

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . ö>, =

6,61

6,94

7,23

7,48

7,60

7,94

8,22

8,47

8,70

8,95

9,20

9,45

9,70

9,95

10,20

10.42

10,68

10,93

6,28

6,55

6,79

8,35

8,58

8,80

9,05

9,25

9,45

9,68

9,92

5,55

5,82

6,06

6,28

7,72

7,92

8,13

8,36

8,55

8,75

8,95

9,18

4.16

4,35

4,55

4,73

4,87

5,10

5,32

5,50

5,60

5,84

6,05

6,23

6,40

6,58

6,77

6,95

7,13

7,33

7,50

7,65

7,85

8,05

3,94

4,13

4,31

4,48

4,60

4,83

5,04

5,21

5,30

5,52

5,72

5,90

6,06

6,22

6,41

6,58

6,75

6,95

7,10

7,26

7,43

7,62

; 5 0 5 ; 5 0 5

0,77 0,77 0,77 | 0,77 0,77 ! 0,77

5^55^5

5^55^5

32

37

42

6^5

0,93

73

Typ VI.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m²,

Steg.....109    „

Putz und Zelle 32    „

g = 285 kg/m².

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,1055 m³, Konstruktionshöhe 40 cm,

Statische Höhe 37 cm,

Entfernung der Stegmitten 0,75 m,

Stegdicke 10 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M -    ^ ,

Eisenzugspannung rrg = 1000 kg/’cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisenaufwand in den

Ri

■'PP

ohn

en

Auflager

kg/m²

Bei einer Fremdlast von f-100 | 200 | 300 [ 400 j 500 ! 600 in kg/m²

ist die zulässige Spannweite

1 0 10 — 0,79 cm2 1    11    =    0,95

1 ., 12 = 1,13 1    13    =    1,33

1 „ 14 = 1.54 1 „ 15 = 1,77 1 „ 16 = 2,01 1 „ 17 = 2,27 1 „ 18 = 2,54 1 ., 19 = 2,84 1 „ 20 = 3,14 1 „ 21 = 3,4G 1 „ 22 = 3,80 1 „ 23 = 4,18 1 ., 24 = 4,52 1 „ 25 = 4,91 1 „ 26 = 5,31 1 „ 27 == 5,73 1 „ 28 = 6,16 1 „ 29 = 6,60 1 „ 30 = 7,07 1 „ 31 = 7,55 1 „ 32 = 8,04 1 „ 33 = 8,55 1 „ 34 = 9,08 1 „ 35 = 9,62 1 „ 36 = 10,18 1 „ 37 = 10,75 1 „ 38= 11,34 1 „ 39 = 11,94 1 ., 40 = 12,56 1 „ 41 = 13,20 1 „ 42 = 13,85 1 ., 43 = 14,52

5* 0'? |w*P P PPi° .a -<* r¹ rtp    +* e»çoç» iv io tÆ ;>© ~-r ~p e

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S8sg8ggfeSg^feg585gggg8g8fe8888feg388g8gg ¹¹

Kantenpressung im Rippenhalken zur Auswahl des Mischungsverhältnisses

fei I SS I I ë I

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses .    . Ob =

5 0 5

0,77

5 0 5505505 0,77 0,77 0,77

505505

0,77 0,77

6^5

0,93

74

Typ VII.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m²,

Steg.....55    „

Putz und Zelle 32    „

g = 281 kg/m².

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,083 m³, Konstruktionshöhe 25 cm,

Statische Höhe 22 cm,

Entfernung der Stegmitten 1 m,

Stegdicke 12 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M =    ,

Eisenzugspannung oe ~ 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisen-aufwandj in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

Bei einer Fremdlast von f =

100 1 200 1 300 | 400 | 500 | 600 [ 700

in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l =

1-* 00 0 O» N3 CC

g Î

p <D o t>

pH CO

Ph&>

^ S 2 co £ o c7 o ^^ßßßßßßßßßßßßßßßßßßßßßßßß.

o' cT 1—T1—T r-Ti-TlN

0,62 : 2,27 0,75    2,49

0,89

1,04

1,21

1,39

1,58

1,78

2,71

2,94

3,16

3,39

3,61

3,83

2,72

4,77

2,98

3,26

3,56

4,97

5,16

5,37

5,93

6,32

6,72

7.13

7.55

8,00

8,45

8,90

9,38

9,87

6,87

7,12

7,35

7,55

7,72

7,93

8,14

8,33

8,53

8,77

1,99

1,79

1,64

1,53

2,12

2,37

2,57

2,67

2,96

3,16

3.35

3,56

3,75

3,94

4,18

4,35

4,52

4,70

4,91

5,08

5,28

5,47

5,66

5,72

6,01

6,23

6,43

1,96

2,16

2,31

2,49

2,67

2,85

3,02

3,20

3,38

3,56

3,76

3,92

4,07

4,23

4,42

4,58

4,76

4,93

5,10

5,16

5,41

5,62

5,80

6,60 5,95

6,75

6,93

7,12

7,28

7,45

7,68

6,10

6,25

6,42

6,56

6,72

6,91

1,80

1,96

2,12

2,28

2,45

2,61

2,77

2,94

3,10

3,26

3,45

3,59

3,73

3,88

4,06

4,20

4,37

4,51

4,68

4,72

4,97

5,15

5,30

5.45

5,58

5,73

5,88

6,02

6,16

6,34

1,67

1,82

1,97

2,12

2,28

2,42

2,57

2,73

2,88

3,03

3,20

3,34

3,46

3,60

3,77

3,90

4,05

4,20

4,34

4,39

4,62

4,78

4,94

5,07

5,18

5,32

5,46

5,60

5,73

5,90

1,43 1,35 1,57 1,48 1,71 1,62 1,85 1,75

2,00

2,14

2,28

2,42

2,57

2,70

2,85

3,01

3,14

3,26

3,39

3,54

3,67

3,81

3,94

4,08

4,12

4,33

4,48

4,64

4,76

4,87

5,00

5,14

5,25

5.38

5;53

5.65

5,79

5,91

6,08

12,50    |    9,80    8,58    7,72    7,08    6,5816,18

Erfordernis in der Platte:

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses .    . (fb —

So

1,88

2,02

2,15

2,28

2,43

2,56

2,69

2,84

2,96

3,08

3,20

3,34

3,46

3,60

3,72

3,85

3,90

4,09

4,24

4,38

SS

§ %

4,50 — 4,60 — 4,72

4,85    32

4,96 — 5,08 — 5,22

5,33 37 5,47 ! — 5,58 i 5,74    42

5,84 I —

5 /z? 5 5    5 6jzf5 7^5 9^510^5

0,77 0,77 0,93 1,08 1,40 1,55

11 $ 5

1,70

75

Typ YIII.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m²,

Steg.....69    „

Putz und Zelle 32    „

Beton auf wand für 1 m² ohne Auflager 0,0887 m³, Konstruktionshöhe 30 cm,

Statische Höhe 27 cm,

Entfernung der Stegmitten 1 m,

Stegdicke 12 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M

₌ Ql

g — 245 kg/m².

ÏT’

Eisenzugspannung Ge = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Bisen

Eisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

Bei einer Premdlast von f 200 | 300 1 400 | 500 j G00 in kg/m2 ist die zulässige Spannweite

100

1 0 10 = 0,79 cm2 1 „ H = 0,95 „

1 „ 12 = 1,13 „

1 „ 13 = 1,33 „

1 „ 14 = 1,54 „

1 „ 15 = 1,77 „

1 „ 16 = 2,01 „

1 „ 17 = 2,27 „

1 „ 18 = 2,54 „

1 „ 19 = 2,84 „ 1„ 20 = 3,14 „

1 „ 21 == 3,46 „

1 „ 22 = 3,80 „

1 „ 23 = 4,18 „

1 „ 24 = 4,52 „

1 „ 25 = 4,91 „

1 „ 26 = 5,31 „

1 „ 27 = 5,73 „

1 ,. 28 = 6,16 „

1 „ 29 = 6,60 „

1 „ 30 = 7,07 „

1 „ 31 = 7,55 „

1 „ 32 = 8,04 „

1 „ 33 = 8,55 „

1 „ 34 = 9,08 „

1 ., 35 = 9,62 „

1 „ 36 = 10,18 „

1 „ 37 = 10,75 „

1 „ 38 = 11.34 „

1 „ 39 = 11,94 „

1 „ 40 = 12,56 „ 1„ 41 =13,20 „

1 „ 42 = 13,85 „ 1„ 43 = 14,52 „ 1„ 44 = 15,20 „

1 .. 45 = 15,90 „

1 „ 46 = 16,62 „ 1„ 47 = 17,35 „

0,62

2,46

2,16

0,75

0,89

1.04

1,21

1,39

1,58

1,78

2,00

2,23

2,47

2,72

2,98

3,26

3,56

3,86

4,17

4,50

4,84

5,19

5.55 5,93 6,32 6,72 7,13

7.55 8,00 8,45 8,90

2,70

2,94

2,37

2,59

1,95 1,80 2.14 1.97 2,34 2,15

1,67

1,57

3,19

3,44

3,68

3,92

4,17

4,41

4,66

4,90

5,14

5,41

5,54

5,84

6,04

6,25

6,54

6,78

7,03

7,29

7,50

7,70

7,95

1,84

1,73

2,00

1,88

2,81

3,02

3,24

3,45

3,66

3,88

4,10

4,31

4,52

4,76

4,88

5,14

5,31

5,50

5,75

5,96

6,18

6,40

6,60

6,78

7,00

2,54

2,33

2,17

2,04

2,73

2,92

3,12

3,32

3,50

3,70

3,90

4,09

4,30

4,40

4,64

4,80

4,97

5,20

5,39

5,59

5,79

5,96

6,12

6,32

2,51

2,69

2,34

2,20

2,87

3,05

3,23

3,41

3,58

3,76

3,95

4,05

4,27

4,42

4,57

4,78

4.95

5,14

5,32

5,48

5,63

5,80

2,51

2,67

2,84

3,00

3,17

3,34

3,50

3,68

3,77

3,98

4,11

4,25

4,45

4,62

4,78

4,96

5,10

5,24

5,40

2,36

2,51

2,67

2,82

2,98

3,14

3,29

3,46

3,55

3,74

3,86

4,00

4,18

4,34

4,50

4,66

4,80

4,93

5,08

5,27

5,41

5,48

5,68

5,85

5,97

6,15

6,32

6,50

13,05    11,00    9,68    8,75    8,05    7,48 7,04

13,62    11,22    9,86    8,92    8,20    7,65 7,18

Erfordernis in der Platte:

8,58

Kantenpressung im Rippenbalken zur Auswahl des Mischungsverhältnisses

7,56

7,75

7,90

7,05

6,62

7,20

6,78

7,35

6,90

fei I I £j | I I 60 I I

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . .cf6 =

5 ^ 5 5 0 5 6jÿ5 7^59^510^5 0,77 0,77 0,93 1,08 1,40 1,55

11^5

1,70

76

Typ IX.

Eigengewicht:

Platte . . . .144 kg/m²,

Steg.....

Putz und Zelle 32

75

g = 251 kg/m².

Betonaufwand für 1 ma ohne Auflager 0,0915 m³, Konstruktionshöhe 32 cm,

Statische Höhe 29 cm.

Entfernung der Stegmitten 1 m,

Stegdicke 12 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M =    ,

Eisenzugspannung ße = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

100

ist

einer Fremdlast von f = 200 1 300 j 400 1 500 | 600 [ 700 in kg/m²

b zulässige Spannweite Z =

U GO 0 0) N CO

Ö-2

ss

11

0)

Pncr

.S* SP

10

0.02

11

12

0,75

13

0,89

1,04

2,53

2,77

3.02

3,28

2.02 1,80 1,73 1,62 1,54 2,20 2,03 1,89 i 1,78 1,08 2,40 2,22 2,00 | 1,94 1,83

2,00

11

.2

«S

14

15

1,21

3 53

2,81

2,40

2,59

2,23

2,10

1.99

10

17

1 „ 1 „ 1 „ 1 „

18

19

20

21

22

23

24

25

20

27

28

29

30

31

32

33

34

35

30

37

38

39

40

41

42

43

53

44

1„

45

40

47

1»

48

2,01 „ 2,27 „

2.54    „ 2,84 „ 3,14 „ 3,40 „ 3,80 „ 4,18 „ 4,52 „ 4,91 „ 5,31 „ 5,73 „ 0,10 „ 0,00 „ 7,07 „

7.55    „ 8,04 „

8.55    „ 9,08 „ 9,02 „

10,18 „ 10,75 „

11.34    „ 11,94 „ 12,50 „

13.20    „ 13,85 „ 14,52 „

15.20    „ 15,90 „ 10,02 „

17.35    „ 18,09 „

1.39

1,58

1,78

2,00

2,23

2,47

2,72

2,98

3,20

3.50 3,80 4,17

4.50 4.84 5,19

5.55 5,93 0,32 0,72 7,13

7.55 8,00 8,45 8,90 9,38 9,87

10,38

10,90

11,40

11,95

12,50

13,05

13,62

14,22

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . ßh —

3.78 4,03

4.28

4.53

4.78 5,03

5.29

5.54 5,77 0,04 0,24 0,44 0,71 0,93 7,20 7,47 7,71

7,90

8,22

8,40

8,74

9,00

9,20

9,41

9,06

9,91

10,IS 10,44 10,05 10,90 11.10 11,30 11,58 11,81

5055^5

0,77 0,77

3,01

3,21

3.41

3,01

3,81

4,00

4,20

4,40

4,00

4,80

4.90 5,12 5,34 5,52 5,73 5,95 0,14 0,34 6,55 0,08 0,95

7.10

7.32 7,50 7,70

7.90

8.10

8.32 8,48 8,08 8,84

9,00

9,20

2,77

2,41

2,58

2,27

2,42

2,95

3,14

2,75

2,92

3,32

3,50

3,09

3,88

4,00

4,23

4,43

4,57

4,72

4,92

5,08

5,28

5,48

5,05

5,84

0,03

0,15

0,41

6,00

0,75

0,90

7,08

7,27

7,45

7,65

7,80

8,00

8,15

8,30

8,48

3,09

2,59

2,75

2,91

2,24

2,30

2,45

s-s

3,20

3,43

3,00

3,78

3,93

4,12

4,25

4,39

4,58

4,73

4,91

5.10

5,20

5,43

5,00

5,72

5,90

0,14

0,27

0,42

6,00

0,70

0,94

7,12

7,20

7,44

7,57

7,70

7,90

9,40 8,00 8,05

Platte:

005

0,93

3,00

3,23

2,00

2,75

2,90

3,05

3,39

3,55

3,70

3,87

4,00

3,20

3,30

3,50

3,00

3.79

4,13

4.30

4,45

4,02

4,85

4,95

5,10

5,27

5,38

5,00

5,77

5,90

0,04

0,20

0,30

0,52

0,70

0,82

0,99

7,11

7,25

7.41

7,58

3,91

4,07

4,20

4,37

4,53

4,08

4,83

4,98

5,10

5,30

5,40

5,58

5,71

5,87

0,02

0,17

0,34

0,40

0,00

0.73

0,85

7,02

7,17

70 5 9 05 10 05 1,08 1,40 1,55

11 0 5

1,70

77

Typ X.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m³, Steg

Putz und Zelle 32

ff = 260 kg/m².

Betonaufwand für 1 m³ ohne Auflager 0,095 m³, Konstrukt.ionshöhe 35 cm,

Statische Höhe 82 cm,

Entfernung der Stegmitten 1 m,

Stegdicke 12 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M — ^ ,

Eisenzugspannung = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Bisen- j I

auf wand _____

in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

1 SS 10 = 0,79 cm2 1 „ 11 - 0,95 „

1 „ 12= 1,13 „

1 „ 13 = 1,33 „

1 „ 14 = 1,54 „

1 „ 15 = 1.77 „

1 „ 16 = 2,01 „

1 „ 17 = 2,27 „

1 „ 18 = 2,54 „

1 „ 19 = 2,84 „

1 „ 20 = 3,14 „

1 „ 21 = 3,46 „

1 „ 22 = 3,80 „

1 „ 23 = 4,18 „

1 „ 24 = 4,52 „

1 „ 25 = 4,91 „

1 „ 26 = 5,31 „

1 „ 27 = 5,73 „

1 „ 28 = 6,16 „

1 „ 29 = 6,60 ,,

1 „ 30 = 7,07 „

1 „ 31 = 7,55 „

1 „ 32 = 8,04 „

1 „ 33 = 8,55 „

1 „ 34 = 9,08 „

1 „ 35 = 9,62 „ 1„ 36 = 10,18 „

1 „ 37 = 10,75 „

1 „ 38 = 11,34 1„ 39 = 11,94 1„ 40 =12,56 „ 1„ 41 = 13,20 „

1 „ 42 = 13,85 „

1 „ 43 = 14,52 „ 1„ 44 = 15,20 „

1 „ 45 = 15,90 „ 1„ 46 = 16,62 „ 1„ 47 = 17,35 „

1 „ 48 = 18,09 „

1 „ 49 = 18,86 „

0,62

0,75

0,89

1,04

1,21

1,39

1,58

1,78

2,00

2,23

2,47

2,72

2,98

3,26

3,56

3.86 4,17 4,50 4,84 5,19

5.55 5,93 6,32 6,72 7,13

7.55 8,00 8,45 8,90 9,38

9.87 10,38 10,90 11,40 11,95 12,50 13,05 13,62 14,22 14.80

Bei einer Fremdlast von f 100 j 200 | 300 | 400 | 500 [ 600 in kg/m²

ist die zulässige Spannweite

2,55

2,78

3,01

2,31

2,51

2,72

2,13

2,32

2,51

2,70

1,99

1,86

2,16

2,13

2,34

2,20

2,52

2,36

2,54

2,70

4,97

5.23

5.48 5,75 6,03

6.23

6.49 6,78 7,03

7,28

7,49

7,80

8,07

8,33

8,59

4,41

3,98

3,67

3,42

3,21

4,63

4,85

5,09

5,35

5,52

5,75

6,00

6,23

6,45

6,63

6,91

7,16

7,38

7,60

4,19

3,86

3,60

3,38

4,39

4,60

4,05

3,78

3,54

4,24

3,95

3,71

i i i Kantenpressung im Rippenbalken zur ' ' ' Auswahl des Mischungsverhältnisses

4,83

4,45

4,15

3,90

5,00

5,20

5,43

5,63

5,83

6,00

6,25

6,47

6,68

6,88

4,60

4,79

5,00

5,19

5,38

5,53

5,76

5,96

6,15

6,34

4,29

4,47

4,03

4,19

4,67

4,84

5,02

5,16

5,37

5,55

5,74

5,92

4,38

4,55

4,70

4,84

5,04

5,21

5,38

5,55

Erfordernis in der Platte:

I SS

I & I I 23 I 1

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m3 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . dt) =

5jzf55jzf5 6jz?5

0,77 0,77 0,93

7 /zf 5 9^5 10^5 1,08 1,40 1,55

11 sß 5

1,70

78

Typ XI.

Eigengewicht:

Platte .... 144 kg/m²,

Steg.....

Putz und Zelle 32

98

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,101 m³, Konstruktionshöhe 40 cm,

Statische Höhe 37 cm,

Entfernung der Stegmitten 1 m,

Stegdicke 12 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M =

Ql

g — 274 kg/m².

10 ’

Eisenzugspannung 6 = 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Eisen

Eisenaufwand in den Rippen ohne Auflager

kg/m²

Bei einer Fremdlast von f =

100    200    300 400 500 600 700

in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l —

Ö 1)

<D

a co

0,62    2,76 2,45 2,23 2,06 1,92 1,81

11,60 10,58,9,70 9,10 8,55 11,85 10,801 9,94 9,30 8,72

in der Platte:

1,39 | 4,14 1,58 1,78 II 4,68 2,00    4,95

7,20

4,50 ! 7,50

4,17

14,22 ,113,08 14,80 || 13,36

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Eisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . Ö6 =

5 y? 5 0,77

4,15

4,40

5 yf 5

7 yf 5

9yi5

1,71

1,88

2,04

2,22

2,39

2,56

2,72

2,90

3,06

3,25

3,40

3,58

3,75

3,92

4,08

4,27

4,45

4,63

4,83

4,98

5,13

5,28

5,48

5,65

5,82

5,95

6,10

6,26

6,45

11

.2

'' §*

! o ?

6,58

6,78

6,95

7,13

7,28

7,45

7,60

7,77

7,90

8,08

8,26

10 yf 5

4s £ ö £

oś £

fei I I 31 I fei I I

11 g5 5

0,77

0,93

1,08

1,40

1,55

1,70

79

Typ XII.

Eigengewicht;

Platte .... 144 kg/m², Steg ....'. 112 „ Putz und Zelle 32    „

Betonaufwand für 1 m² ohne Auflager 0,1067 m:î, Konstruktionshöhe 45 cm,

Statische Höhe 42 cm,

Entfernung der Stegmitten 1 m,

Stegdicke 12 cm,

Plattenstärke 6 cm,

Moment M

<j = 288 kg/m².

kT’

Eisenzugspannung or„ — 1000 kg/cm².

In jeder Rippe angeordnetes Bisen

Eisenaufwand ! in den Rippen _ ohne

Auflager jj kg/m² I

Bei einer Fremdlast von f = 10() | 200 | 300 1 400 [ 500 | 600 | 700 in kg/m²

ist die zulässige Spannweite l =

1 gs 10 = 0,79 cm2 1 „ 11 = 0,95 „

1 „ 12 = 1,13 „

1 „ 13 = 1,33 „

0,02    2,91

0,75 !| 3,19 0,-39    3,48

2,59

2,83

3,09

1,04

3,77

3,35

2,36

2,58

2,82

3,06

2,18

2,39

2,60

2,82

2,04

2,23

2,43

2,64

1,92

1,82

2,10

2,30

2,00

2,18

ng im Rippenhalken zur Mischungsverhältnisses

1,21

1 „ 14 = l,o4 „

1 „ 15 - 1,77 „

1 „ 16 = 2,01 „

1 „ 17 = 2,27 „

1 „ 18 = 2,54 „

1 „ 19 = 2,84 „

1 „ 20 = 3,14 „

1 „ 21 = 3,46 „

1 „ 22 = 3,80 „

1 „ 23 = 4,18 „

1 » 24 = 4,52 „

1 » 25 = 4,91 „

1 „ 26 = 5,31 „

1 „ 27 = 5,73 „

1 „ 28 = 6,16 „

1 „ 29 = 6,60 „

1 „ 30 = 7,07 „

1 „ 31 — 7,55 „

1 „ 32 = 8,04 „

1 „ 33 = 8,55 „

1 „ 34 = 9,08 „

1 „ 35 = 9,62 „

1 „ 36 = 10,18 „

1 „ 37 = 10,75 „ , 8,45 1 „ 38 = 11,34 „ { 8,90 1 „ 39 = 11,94 „

1 „ 40 = 12,56 „

4,06

3,61

3,29

3,04

2,84

1,39

4,35

3,86

4,50

4,84

5,19

5,55

5,93

6,32

7,88

8,17

8,46

8,74

8,98

9,26

9,58

4,12

4,38

4,63

4,90

5,15

5,40

5,66

5,94

6,18

6,45

6,70

7,00

7,26

7,52

7,77

7,98

8,23

3,53

3,76

3,99

4,22

4,47

4,70

4,93

5,17

5,42

5,63

5,88

6,12

6,38

6,62

6,86

7,09

7,28

7,51

3,26

3,47

3,69

3,90

4,12

4,33

4,55

4,77

5,00

5,20

5,42

5,65

5,90

6,12

6,34

6,55

6,73

6,95

3,04

3,24

3,45

3,65

3,86

4,05

4,25

4,46

4,67

4,86

5,07

5,28

5,51

5,72

5,93

6,12

6,28

6,48

2,49

2,68

2,87

3,06

3,25

3,44

3,64

3,82

4,02

4,21

4,41

4,60

4,79

4,98

5,20

5,40

5,59

5,77

5,93

6,12

2,36

2,54

2,72

2,90

3,08

3,26

3,45

3,62

3,81

3,99

4,18

4,35

4,54

4,72

4,94

5,12

5,30

5,47

5,62

5,80

ressu

des

i i i i Kantenp ' ' ' ¹ Auswahl

1„ 41 =13,20 „ 1 „ 42 = 13,85 „ 1„ 43 = 14,52 „ 1„ 44 = 15,20 „ 1 „ 45 = 15,90 „ 1 „ 46 = 16,62 „ 1„ 47 =17,35 „ 1 „ 48 = 18,09 „ 1 „ 49 = 18,86 „ 1 „ 50 = 19,63 „

15.41    || 14,33

8,50

8,78

7,76

8,00

9,05

9,28

9,46

9,70

8,25

8,47

8,62

8,85

7,18

6,70

6,32

6,00

7,40

7,61

7,82

7,98

8,20

6,91

6,52

6,18

7,12

7,30

7,45

7,65

10,00 9,12 8,42 7,86 10,20 9,33 8,60 8,05

10.50    9,55 8,84 8,26

10.75    9,80 9,05 8,46 11,00 10,00 9,28 8,65 11,25 10,25 9,47 8,85

11.50    10,50 9,68 9,05

11.75    10,72 9,90 9,25 11,96 10,92 10,10 9,46 12,22 11,15 10,30 9,64

12.50    11,40 10,52 9,83

12.75    11,63 10,75 10,03

Erfordernis in der Platte:

Bewehrung auf 1 m Breite Aufwand an Bisen kg/m2 Zur Wahl des Mischungsverhältnisses . . Ob =

0,77

0,77

6 0 5 7 0 5 0,93 1,08

6,72

6,37

6,90

6,54

7,-03

6,66

7,21

7,43

6,85

7,05

7,60

7,30

7,80

8,00

8,18

8,35

8,53

8,73

8,90

9,08

9,28

7,38

7,57

7,75

7,92

8,10

8,28

8,44

8,60

8,80

9,48 8,97

90 5

1,40

fei I I SSI

10 0 5

11 0 5

1,55

1,70

R.-E.

mm

•DtDO O O d'n h h ofco CO kC CT» çpV «f Ci hcOtJI

80

C. Rundeisen-Tabellen.

Fläche

Stückzahl

10

0,031

0,128

0,28

0,50

0,78

1,13

1,54

2,01

2,54

3,14

3,80

4,52

5,31

6,16

7,07

8,04

9,08

10,18

11,34

12,57

15,21

18,10 19,63

32

8,04 16,08 24,13 32,17 9,08 18,16 27,24 36,32 9,62 19,24 28,86 38,48 36    10,18    20,36    30,54    40,72

34

35

90,48 108,6 98,17 117,8

0,055

0,219

0,063

0,071    0,08

0,25

0,28

0,31

0,49

0,89

1,38

1,98

2,69

3,51

4,46

5,50

6,65

7,92

9,29

10,78

12,37

14,07

15,89

17,80

19,86

21,98

26,61

31,66

34,36

37,17

43,10

49,48

56,30

63,56

67,35

71,25

79,38

87,96

96,97

106,4

111.3

116.3

126,7

0,56

1,00

1,57

2,26

3,08

4,02

5,08

6,28

7,60

9,05

10,62

12,32

14.14 16,08 18,16 20,36 22,68

25.14

30,41

36,19

39,27

42,47

49,26

56,55

64,34

72,63

76,97

81,43

90,73

100.5

110,8

121.6 127,2 133,0 144,8 157.0

Sind Rundeisen, deren Binzeiquerschnitt die Fläche „Maschenweite“ e cm verlegt, so entfällt auf 1 m Breite c

100 • <p

fe =

Die erforderliche Maschenweite berechnet

> cm² liât, in r Querschnitt

sich für die

gegebenen bezw. gewählten Größen fe und <f zu e

fe

81

R.-E.

Umfang

Stückzahl

mm

9    10

COtOlOLO»—

£ 83 £ § 8    ‘8S

(MOCOtM^COOClOCO CM^ 00^ tO ^ ^ Or ÎD (N

cT rn' h cî co' co* to vcT ccT

Oî œ GO^ h; CD    ^ ^

cT i-T of co' »o' ccT qq aT

8,80 11,00 10,04 12,55 11,32 14,15 12,56 15,70

<x> O' 03    ¹

3,1

16,98

18,84

to

CO

O'

16

17

18

20

6,3

9,4

22

24

Wuczkowski, Bemessungsverfahren.

82

I R.-E.

n • fe = (15 • fe)

Stückzahl

10

ooocÜülrfitè o cio g? $2 t* o oc o» rf* to o    S S w w m

0,12

0,24

0,36

0,465

0,93

1,40

0,48

0,60

1,05

1,95

3,00

4,20

5,70

7,50

9,60

11,85

14,25

17,00

19,95

23.10 26,55 30,15 34,05

38.10 42,60

47.10

57,00

67,80

73.65

79.65 92,40

106,05

120,60

136,20

144.30 152,70

170.10 188,40

207,75

228,00

238,50

249.30 271.35 294,45

2,10

3,90

6,00

3,15

5,85

9,00

8,40 12,60 11,40 17,10 15,00 22,50

19.20    28,80 23,70 35,55

28,50 42,75

53.10    79,65 60,30 90,45

68.10    102,15

76.20    114,30

85.20    127,80

94.20    141,30

114,00 171,00 135,60 203,40

147.30    220,95

159.30    238,95 184,80 277,20 212,10 318,15

588.9    ,883,4

1,86

2,33

0,72

2,79

0,84

0,96

1,08

4,20

7,80

12,00

16,80

22,80

30,00

38.40

47.40

57,00

67.80

79.80 92,40

106,20

120,60

136.20

152.40

170.40

188.40

228,00

271.20

294.60

318.60

369.60

424.20

482.4

544.8

577.2

610.8

680.4 753,6

831,0

912,0

954,0

997.2 1085,4 1177,8

5,25

9,75

15,00

21,00

28.50

37.50 48,00

59.25

71.25

84.75

99.75

115.50

132.75

150.75

170.25

190.50 213,00

235.50

285,00

339,00

368.25

398.25 462,00

530.25

603,0

681,0

721.5

763.5

850.5 942,0

1038.8 1140,0

1192.5

1246.5

1356.8 1472,3

6,30

11,70

18,00

25.20

34.20 45,00 57,60 71,10

85,50

101.70

119.70

138.60

159.30

180.90

204.30

228.60

255.60

282.60

342,00

406,80

441.90

477.90 554,40

636.30

723,6

817.2 865,8

916.2

1020,6

1130.4

1246.5 1368,0 1431,0 1495,8 1628,1 1766,7

3,26

7,35

13,65

21,00

29,40

39,90

52,50

67,20

82,95

99,75

118.65

139.65

161.70 185,85 211,05

238.35

266.70 298,20

329.70

399,00

474,60

515.55

557.55 646,80

742.35

844,2

953,4

1010,1

1068,9

1190.7

1318.8

1454,3

1596,0

1669.5

1745.1

1899.5

2061.2

3,72

8,40

15.60 24,00

33.60

45.60 60,00

76.80

94.80

114,00

135.60

159.60

184.80

212.40

241.20

272.40

304.80

340.80

376.80

456,00

542.40

589.20

637.20

739.20 848,4

964,8

1089.6

1154.4

1221.6

1360.8 1507,2

1662,0

1824,0

1908,0

1994.4

2170.8 2355,6

4,19

9,45

17,55

27,00

37,80

51,30

67,50

86,40

106.25

128.25

152.55

179.55

207.90 238,95 271,35

306.45

342.90 383,40

423.90

513,00

610,20

662.85

716.85 831,60

954.45

1085.4

1225.8

1298.7 1374,3

1530.9

1695.6

1869.8 2052,0

2146.5

2243.7 2442,2 2650,1

19,50

30,00

42,00

57,00

75,00

96,00

118.50

142.50

169.50

199.50 231,00

265.50

301.50

340.50 381,00 426,00 471,00

570,00

678,00

736.50

796.50 924,00

1060,5

1206

1362

1443

1527

1701

1884

2078

2280

2385

2493

2714

2945

83

I '³"‘a I

Gewicht in kg für 1 lfd. m Stückzahl

10

0,006

0,024

0,055

0,098

0,153

0,220

0,300

0,392

0,496

0,613

0,740

0,881

1,035

1,201

1,378

1,568

1,770

1,985

2,212

2,450

0,012

0,048

0,110

0,196

0,306

0,440

0,600

0,784

0,992

1,228

1,480

1,762

2,070

2,402

2,756

3,136

3,540

3,970

4,424

4,900

0,018

0,072

0,165

0,294

0,459

0,660

0,900

1,176

1,488

1,839

2,220

2,643

3,105

3,603

4,134

4,704

5,310

5,955

6,636

7,350

0,024

0,096

0,220

0,392

0,612

0,880

1,200

1,568

1,984

2,452

2,960

3,524

4,140

4,804

5,512

6,272

7,080

7,940

8,848

030 0,036 120 0,144 275 0,330 490 0,588 765 0,918 1,100 1,320 1,500 1,800 1,960 2,352 2,480 2,976 3,065 3,678

3,700 4,440 4,405 5,286 5,175 6,210 6,005 7,206 6,890 8,268 7,840 9,408 8,850 10,620 9,925 11,910 11,060 13,272 12,250 14,700

9,646 11,024 10,976 12,544 12,390 14,160 13,895 15,880 15,484 17,696 17,160 19.600

03 bO h-* ^ CD CD CD vO b< b* bi bj bs bs bo b- 4o "©

HfflMOCC-OOOOHO'

6,660

7,929

9,315

10,809

12,402

14,112

15,930

17,865

19,908

22,050

0,06

0,24

0,55

0,99

1,53

2,20

3,00

3,92

4,96

6,13

7,40

8,81

2,965

3,529

3,829

4,141

4,803

5,513

5,930 8,895    11,860    14,825    17,790    20,755    23,720    26,685

7,058 10,587    14,116    17,645    21,174    24,703    28,232    31,761

7,658 11,487    15,316    19,145    22,974    26,803    30,632    34,461

8,282 12,423    16,564    20,705    24,846    28,987    33,128    37,269

9,606 14,409    19,212    24,015    28,818    33,612    38,424    43,227

11,026 16,539    22,052    27,565    33.078    38,591    44,104    49,617

er oo ^    -4 Ci

S "SS

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12,546 18,819    25,092    31,365    37,638    43,911    50,184

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19,604 29,406    39,208    49,010    58,812    68,614    78,416

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Buchdruckerei Gebrüder Ernst, Berlin SW. 6S.

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