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Biblioteka Politechniki Kiakowskiei

100000300595

öffentlichen Arbeit«®

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Heft 13: Beiträge zur Theorie der im ETsenbetonbäu gebräuchlichen Form der Rippen-Kuppel. Von Dr. Ing. Karl ÏÏ. Mautner, Oberingenieur der Firma Carl Brandt. 1911.    geh. 4 M.

ver

geh. 4 Al.

Protokollformulare sind zum Preise von 1 M. zuzüglich Porto für 12 Stück erhältlich.

Heft 15: Eisenbetonkonstruktionen bei Biegung und bei exzentrisch wirkenden Druck- oder Zugkräften. Einheitliche Verfahren zur Bemessung derselben. Für die Praxis bearbeitet von R. Wuczkowski, Chefingenieur im Spezialbureau von Dr. Ing. v. Emperger.

Mit 21 Abb. u. 23 Beispielen. 1911.

Heft 14: Eine Güteprobe für Beton System Dr. v. Emperger. Von G. Neumann, Ingenieur.

Mit 9 Abb. 1911.

ff

geh. 4 M.

geh. 6 M.

Heft 17: Beiträge zur Theorie und Berechnung der im Eisenbetonbau üblichen elastischen Bogen, Bogenstellungen und mehr8tieligen Rahmen. Von Dr. Ing. K. W. Schaechterle,

geh. 6 AL

Heft 16: Schwimmkörper in Eisenbeton. Von Ingenieur W. Stroß. Mit 154 Abb. 1911.

Regierungsbaumeister. Alit 91 Abb. 1912.

Heft 18: Beitrag zur Berechnung mehrstöckiger Rahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes.

geh. 2,60 M.

Heft 19: Ueber neuere Versuche mit umschnürtem Beton.

Von Ingenieur A. Straßner.

Mit 21 Textabb. 1912.

(Spiralumwickelte und ringbewehrte Säulen.) Von Dr. Ing. A. Kleinlogel. Alit 25 Textabb. 1912. geh. 3,20 Al.

Forscherarbeiten

AUF OEM GEBIETE OES

EISENBETONS

.<73

IM?

f¹

BEITRAG ZUR THEORIE DER V IM EISENBETONBAU GE- .

Xbräuchuchen form/

X DER RIPPEN- / X KUPPEL /

HEFT XIII — 2f

PREIS 4 MARK

VON

Dr. ing. KARL W. MAUTNER

OBERINGENIEUR DER FIRMA CARL BRAŃDT

MIT

47 TEXTABBILDUNGEN

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VERLAG von WILHELM ERNST&SOHN BERLIN W. WILHELMSTRASSE 90

123

( fs    ' Alle Rechte

insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, Vorbehalten.

BEITRAG ZUR THEORIE DER IM EISENBETONBAU GEBRÄUCHLICHEN EORM DER RIPPENKUPPEL von

Dr. Ing. KARL W. MAUTNER

OBERINGENIEUR DER FIRMA CARL BRANDT

MIT 47 TEXTABBILDUNGEN

A^\.Miai4A des

CifentlicEsu Arbeiten

BERLIN 1911

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

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Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen Vorbehalten.

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V orwort.

Verschiedene

den gebräuchlichen monolithischen Kuppel-

warum von

Ausführungen von Eisenbetonkuppeln ließen es dem Verfasser vorliegender Arbeit wünschenswert erscheinen, die statischen Ver hältnisse dieser Bauwerke einem eingehenden Studium zu unterziehen. Der Grund,

konstruktionen besonders die Rippenkuppel einer Behandlung für wert gehalten wurde, ist darin zu sehen, daß Verfasser der Meinung ist, daß, nach Klarlegung der statischen Verhältnisse dieser, Schlüsse aut die Formveränderungen auch glatter Kuppeln gezogen werden könnten, und daß durch Zerlegung einer solchen Kuppel in gedachte Ringe und Rippen möglichst großer Zahl eher eine für die Praxis befriedigende Lösung auch dieser Kuppelarten zu finden wäre als durch Studium derselben nach den allgemeinen Lehren der mathematischen Elastizitätstheorie. Ferner bildet die Rippenkuppel durch die immer mehr ausgedehnte Anwendung des Eisenbetons zur Überdachung großer Räume eine beliebte und für Monumentalbauten auch architektonisch dankbare Lösung, so daß speziell wegen der Anwendung bei außergewöhnlich großen Spannweiten eine Untersuchung angebracht ist. Uber größere Ausführungsbeispiele dieser Art siehe Prof. S. Müller-Berlin: „Die Kuppel der Friedrichstraßen-Passage, Berlin“ (Armierter Beton 1909) und Aufsatz des Verfassers (Deutsche Bauzeitung 1908, Nr. 11, 12 und 13) sowie Vortrag des Verfassers auf der 12. Hauptversammlung des Deutschen Betonvereins 1909 (Deutsche Bauzeitung 1909, Nr. 13). Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich nur mit der Klarlegung einseitiger Lastangriffe, doch ist sofort einzusehen, daß der einfacheren Berechnung symmetrischer Lastangriffe mit Rücksicht auf die Ringformveränderungen keine Schwierigkeiten mehr im Wege stehen. Es wird nur vielleicht zweckmäßig sein, für die Berechnung der symmetrischen Lastangriffe ein anderes als das der Arbeit zugrunde liegendes Hauptsystem zu wählen, da die Bedingung der Fußeinspannung wohl in den seltensten Fällen streng erfüllt sein dürfte. Wenn diese dennoch in vorliegender Arbeit für die einseitigen Lastangriffe angenommen wurde, so geschah das aus den näher angeführten Gründen.

IV

Es ist selbstverständlich, daß die Behandlung auch auf andere Ringformen (elliptische, rechteckige, polygonale) leicht ausgedehnt werden kann. Außer den in der Arbeit als Fehlerquellen bezeichneten Annahmen ist zu bemerken, daß der Einfluß der Normalkräfte auf Ring- und Rippenformänderungen ausgeschlossen wurde. Es ist klar, daß in Fällen, in welchen diese Vernachlässigung größere Fehler mit sich bringt, diese Berücksichtigung speziell für die Rippen leicht erfolgen kann. Der Verfasser hofft, durch die vorliegende Schrift eine Berechnungsart gegeben zu haben, welche in mehr oder minder scharfer Anwendung derselben die statischen Verhältnisse an Rippenkuppeln mit Rücksicht auf die Formänderung der Ringe und Rippen genügend klarlegt und eine genauere als bisher übliche Dimensionierung solcher Bauwerke zuläßt.

Der Verfasser übergibt die Arbeit der wohlwollenden Beurteilung der engeren Fachkollegen mit dem Wunsche, daß dieselbe auch in praktischer Anwendung bei ihnen Zutritt finde.

Düsseldorf, im Dezember 1910.

Dr. Ing. Karl W. Mautner.

INHALTSVERZEICHNIS.

Vorwort.

1.    Die Ringformveränderungen.......

2.    Das Hauptsystem...........

3.    Voll- und halbsymmetrische Kräfte des Systems

4.    Die vollsymmetrischen Kräfte......

5.    Die halbsymmetrischen Kräfte......

6.    Das Hauptsystem mit Zwischenringen ....

7.    Die vollsymmetrischen Kräfte am Kuppelsystem mit mehreren Zwischenringen .... 18

8.    Die halbsymmetrischen Kräfte am Kuppelsystem mit mehreren (starren) Ringen ... 20

9.    Halbsymmetrische Kräfte und Ringformveränderung.....

A Radiale Kräfte................

B. Tangentielle Kräfte und Ringformveränderungen ....

10.    Ermittlung der halbsymmetrischen Kräfte bei elastischen Ringen

11.    Anwendung des Verfahrens auf die Winddruckberechnung von Rippenkuppeln ...    37

1.    Vernachlässigung der Rippenquerbiegung

2.    Vernachlässigung der Ringformveränderlichkeit für die halbsymmetrischen Kräfte .    40

Rechnungsbeispiel für eine parabolische Rippenkuppel, bestehend aus drei Ringen und acht

Rippen auf einseitigen Lastangrifif...................

Tabellen und Schaubilder der Ringbiegungseinflußwerte.............

Seite

10

. 12

IG

24

24

27

. 30

39

y—(    f'-

-rH —H

Die Eisenbetonbauweise hat neben anderen ihr eigentümlichen Formen auch räumliche Überdeckungen und Tragwerke ausgebildet, welche von den verwandten, gebräuchlichen Formen des Eisenbaues wesentlich verschieden sind. Die im Eisenbetonbau stark entwickelte Form der Rippenkuppel, der Pyramiden und Zelte mit Rippen bezw. Sparren und Ringen ohne Diagonalen bedingt eine sehr abweichende statische Behandlung dieser Gebilde im Vergleich zu den räumlichen Stabsystemen des Eisenbaues.

Eine Rippenkuppel ist ein aus ebenen Trägern und Ringen zusammengesetztes Raumtragwerk, derart, daß die Träger von einer oder mehreren parallelen Ebenen sämtlich durchschnitten und an diesen Schnittstellen an Ringe fest angeschlossen sind. Diese allgemeinste Auffassung führt für allgemeine Lastangriffe auch bei einfachen geometrischen Formen und geringer Ring- und Rippenzahl zu derart verwickelten äußeren Gleichgewichts- und inneren elastischen Beziehungen, daß deren Lösungen wohl kaum für die Anwendung geeignet sein dürften.

Für einen Sonderfall gibt Prof. Max Foerster in ,,Die Eisenkonstruktionen der Ingenieurbauten“ (Engelmanns Verlag, Leipzig 1903), S. 293 die Ermittlung der Querkräfte einer einseitig lotrecht belasteten, äußerlich statisch bestimmten Rippenkuppel als Raumsystem. Bezüglich der Windkräfte ist dort gesagt: „Die Windkräfte lassen auf einfachem Wege keine genaue Behandlung zu, weil durch den S'cheitelring alle Binder in Spannung versetzt werden“.

Für den Eisenbetonbau hätte die Lösung dieser Aufgabe, wenn auch unter vereinfachenden Annahmen, größere Bedeutung:

Ringe und Rippen sind im Eisenbetonbau zumeist vielfach statisch unbestimmte Gebilde, deren Formänderungen wechselseitig von großem Einfluß auf die Spannungen sind.

Die Ermittlung der Ringbeanspruchung setzt die Kenntnis der Formänderungen bei einseitiger Belastung der Kuppel voraus. Ein einfaches, angenähertes Verfahren könnte derart vorgenommen werden, daß jede Rippe für die größte auf sie allein entfallende Belastung berechnet und die Kräfteermittlung ohne Rücksicht auf die übrigen Rippen und die Ringformveränderung vorgenommen wird.

Mautner, Rippenkuppel.

Aus dem Verfasser bekannten Berechnungen ausgeführter Rippenkuppeln ist die Berücksichtigung der Ringformveränderung zumeist nicht ersichtlich. Der Sicherheitsgrad dieser Näherungsrechnung ist dann im Hinblick auf die statische Unbestimmtheit der Rippen nicht allzuhoch einzuschätzen.

Die vorliegende Arbeit stellt sich die Aufgabe, einseitige Lastangriffe auf Rippenkuppeln und verwandte Traggebilde unter Berücksichtigung der Formänderung aller Teile zu behandeln.

Zunächst sei bezüglich des Begriffs der Rippenkuppel eine von der oben gegebenen Begriffserklärung etwas abweichende Annahme gemacht. Die Rippenkuppel bestehe aus einem (belasteten) Haupttragsystem und an dieses angeschlossenen Rippenteilen. Das für sich stabile Haupttragsystem umfaßt zwei irgendwie bestimmt gelagerte, gegenüberliegende Rippenhälften, die untereinander durch einen oder mehrere Ringe mit bestimmter Lagerung an diesen verbunden sind. An dieses Haupttragsystem sind an die Ringe mit gleicher Lagerung je zwei a gegenüberliegende, ebenfalls für sich stabile Rippenhälften angeschlossen.

7T¹

m₂

,-r

Abb. 1.

Das Haupttragsystem empfängt die Last. Die sich durch die Rippenformveränderung des Hauptsystems ergebende Verschiebung sowie die Ringformveränderung versetzen die angeschlossenen Rippen in Spannung.

Diese Annahme ist dem Charakter der monolithisch erbauten Rippenkuppeln im allgemeinen nicht widersprechend.

Was die Lagerung des Hauptsystems und der angeschlossenen Rippen an diesem anbelangt, so wären verschiedene Annahmen möglich.

So die Lagerung mit Fußgelenken und fester Verbindung am Ringe (Abb. 1).

Aus V₁ = V₂ ergibt sich durch die allgemeinen Gleichgewichtsbedin-

Ml + M₂

gungen V

und das Hauptsystem äußerlich einfach statisch

unbestimmt.¹) Das System ist aber wegen der in den Ringen auftretenden Verdrehungen und der damit verbundenen Schwierigkeiten der Formänderungsund Spannungsermittlungen, besonders von Eisenbetonquerschnitten, wenig geeignet.

Dies empfiehlt sich aus folgenden Gründen:

1.    Da die einseitig angreifenden Kräfte zumeist Windkräfte sind, so spielt die Übertragung der im Verhältnis zu den symmetrischen Eigengewichtskräften kleinen lotrechten Seitenkräfte keine bedeutende Rolle;

2.    liegt der Schwerpunkt der vertikalen Seitenkräfte zumeist nahe dem Auflager, daher die Annahme der Wirklichkeit nahe kommt;

3.    wird die Behandlung durch die nur einfache Unbestimmtheit des Hauptsystems und durch die Ausschaltung vertikaler Ringbiegungen einfacher.

1. Die Ringformveränderungen.

Für den in Abb. 3 dargestellten Ringbelastungsfall ergibt sich das Moment bei B (vergl. Müller-Breslau, ,,Neuere Methoden“)

a InS

Verläßt man den festen Anchluß der Ringe, so ist, um bei einem stabilen, symmetrischen Gebilde zu bleiben, die Fußeinspannung notwendig.

Der Anschluß der Ringe kann hierbei entweder durch feste Gelenke, welche auch Querkräfte übertragen \    können, oder durch Rollenlager, welche

\ nur horizontale Kräfte übernehmen ^ Xs) können, gedacht werden. In vorliegender Arbeit ist die letztgenannte Art des Anschlusses gewählt (Abb. 2).

\P

P.

M,

//

Abb. 2.

Mb =

und der Verdrehungsmomente Md,<p als Funktionen der Unbekannten H Die zu dieser

des Systems nötig.

Darstellung erforderlichen Ringunbekannten können in analoger Weise ermittelt werden, wie dies in Mliller-

yi

C/

7/

Breslau „Neuere Methoden“ für den halbkreisförmigen, beliebig exzentrisch belasteten

eingespannten Ringträger Als Unbekannte wären

gezeigt ist. somit die Schnittkraft bei S, N,

ferner das vertikale Ringbiegungsmoment an der Schnittstelle S, und das horizontale M°. einzuführen

<y

'V,

V₀

und die Integration über den ganzen Ring durchzuführen, führung der Aufgabe unterbleibt hier aus den oben angeführten Gründen.

Die Durch-

, Abb. la.

1*

Daher ein Moment im Punkte C Runter dem variablen Winkel cp <    ^

vc a

i¥c=-

a i te

(1

COS <£>) := —

Hr f

2 V

COS cp —

a vc

1)

Hr

JL

Im nachfolgenden sollen die Verschiebungen von Punkten des Umfanges D, die unter dem beliebigen Winkel cp₀ zu den angreifenden diametralen Kräften liegen, berechnet werden.

M'ds

/*:./,

Die Momente M‘ bestimmen sich an dem statisch bestimmten Hauptfall, der durch Aufschneiden des Ringes bei s — s entsteht, wie folgt:

2-*F0 =

II

Abb. 3.

Teil B—A:    a = cp₀ -f-

te a

— ff —

M' — r • sin a — r • cos {cp — cp₀)

=0 bis 2

Teil A—D: W — -r- sin

— (ff o + ff)

- — r> cos {cp o + cp-)

von

(Î-»)

bis A

Teil B—D: M' = r- sin

k rM

- (ff 0 + ff)

= r • cos (cp₀ -f cp)

von

cp —; 0 bis

k I'M

— (f o

J4=.—

COS (f —

a vc

somit

TT

2 EJr • du —

•> to]

COS cp —

a vc

) cos (ff — ff o') dff +

(t " ' °)

^ cos (cp₀ -J- (f') dcp — J ^cos cp —

/(

0

COS y —

a . vc

j COS (c/o + (f) d(f ■

G-")

Nach Ausführung der Integration ergibt sich

4.—

Hr* ' 4 EJr _

-j- cos y₀

IC a

Im besonderen ergibt sich aus 2):

Hr3 4 EJr

für (fo —

to a

: ä« =

'2

Hr3 2 EJr

• 3)

ä₀ —

Hr³

Hr⁸

2 EJr \ 4 Tr

C- )

to a

für </?₀ = 0 :

Über letztgenannten Sonderwert vergl. Müller-Breslau,,,Neuere Methoden“. Zur Kontrolle seien die Sonderwerte ô- und ö₀ auch unmittelbar

4 EJr

4)

ermittelt:

Mf — —

COS (p —

CM I R

M‘ — 1 • r ■ sin q

(Abb. 4)

//

//

"A

//

<7/

<?•

-w

Abb. 5.

//

Abb. 4.

2 EJr • dK

(M

co

.s

'7)

S'

i.

S'

Hr³

77

2 EJr

to

• 3)

Me —

CM

'S

(1 — COS (f)

(Abb. 5)

wj ?!

EJr • d'₀ —

tO

CO

2 \

— 1 (1 —- cos (f) d(f>

d₀ —

Hr³

2 EJr

4)

2. Das Hauptsystem.

Für einen starr gedachten Ring ergibt sich die Bogenkraft als Unbestimmte aus

dL

I Mx dX EJb dX

dMx

• ds — 0

EJb

/<

0

— M₀ y + 2 Xif) ds ;

für konstantes E und Jh

b

IM₀ y ds

5)

2 j y² ds o

M₀ als das Moment des statisch bestimmten Hauptfalls ist das einer am Auflager eingespannten Konsole Mb,x=^P[x-(b-o)\    ^

Um für eine der Integration schwer zugängliche Bogenform bei variablem Trägheitsmoment eine graphische Ermittlung der Unbekannten vorzunehmen, kann mit Vorteil eine Teilung nach der „Methode der konstanten Bogengrößen“ durchgeführt werden.

Ę f²

\r

Ur

2r-

Abb. 6.

a —*■

%

''‘t

*-v^\

fl

Die Einflußlinie des Schubes ergibt sich als Seilpolygon der „Kräfte“ y (Abb. 7).

Das Seilpolygon der horizontal wirkend gedachten y gibt die Maßstabeinheit mit der Strecke 2v:

fl

-Vr

//

Tn

-Vi.

2v

Abb.

l-

fur die Annahme einer Hachen Parabel mit der Näherung ds — dx ergibt sich die Einflußlinie X

aus y —

b²

a⁴

y il/₀ x² dx — -gg 0

zu Xa =

5 • a² (q⁸ — 4 <%& -f 6 /;²)

Für einen elastischen Ring bestimmt sich die Bogenkraft des Hauptsystems nach Castigliano :

dL

jjj — — 2 d₀ (Abb. 8)

— EJb • 2 ó₀ = I (— M₀ y -j- 2 Hy²) ds

//

—H.

11 —

2 EJh ■ d₀ -\- I Mo y ds 0

5)

2 • J y¹ ds

o

Abb. 8.

oder für elastischen Kopf- und Fußring:

H—

2EJb(â, + ôu) + jM₀ydS

0

b

2Jy² ds

Wird für die elastische Verschiebung d₍₎ aus 4) eingeführt,*) so ergibt sich

H=

I M₀ y ds o

2-fy‘ds + J„-    -(-J

²)

n )

*) Absoluter Wert, Vorzeichen bereits berücksichtigt.

für elastischen Kopf- und Fußring somit

IM₀ yds

11=

Jb

Jb

f/j»

Jb

• E³

r = Kopfringradius; Jh = konstantes Rippenträgheitsmoment; K = r -f- b = Fußringradius; Jr und JR die konstanten Trägheitsmomente des Kopf bezw. Fußringes.

Bei einseitiger Belastung erfahren die Ringe des Haupt- ‘ systems (mit Ausnahme des Fußringes) auch Verschiebungen nach der unbelasteten Seite zu. Da Übertragungen von Querkräften zufolge der Systemwahl nicht stattfinden, so bleiben die Ringe in ihrer Horizontalebene.

Der vorläufig absolut starr gedachte Kopfring verschiebe sich um J (Abb. 9).

Der Starrheit des Ringes wegen ist die Verschiebung beider Ringanschlußpunkte gleich groß.

Nach dem Satze von den virtuellen Verschiebungen ist

Kj-t

//

x\

Ç "f/2

■7z

72

Abb. 9.

b

EJh • J = 2-1 Mx M‘ ds,

0

die Momente Mx sind links:

Mx = M₀ — H- y, rechts : Mx = — H-y.

Die Momente des statisch bestimmten Hauptfalls M‘

sind links:

M‘ = + -§

rechts : M‘ =--'{

EJb ■ zt =

H-y²

io

~ł~

ds

2 EJb-J =

J M₀-y ds

o

7)

und die Beziehung zwischen Schub und Verschiebung .</ aus 5) und 7)

EJb • J

H—

b

I y² ds o

3. Voll- und halbsymmetrische Kräfte des Systems.

Das in der Einleitung näher beschriebene System erfährt im wesentlichen seine Beanspruchungen durch zwei Kräftegruppen. Eine dieser Gruppen umfaßt die Kräfte, welche in bezug auf zwei Achsen, die zueinander rechtwinklig stehen, symmetrisch sind, und eine Gruppe die Kräfte, welche nur in bezug auf die eine dieser Achsen Symmetrie zeigen. Die Achsen sind:

Die Achse des (belasteten) Hauptsystems und die Normale desselben. Die beiden an den Ringen des Hauptsystems angreifenden gleichen Schübe bringen Formänderungen der Ringe hervor, welche auch bezüglich der Normalen der Hauptsystemebene symmetrisch sind. Diese Formänderungen erzeugen in den unbelasteten, an das Hauptsystem angeschlossen gedachten Nebenrippen Kräfte, welche gleichfalls bezüglich beider Achsen symmetrisch sind.

Die Verschiebung der Ringe des einseitig belasteten Hauptsystems [für starren Kopfring J nach 7)] bringt in den Rippen der unbelasteten Kuppelhälfte Zusammendrückungen hervor, während die Rippen der belasteten Kuppelhälfte Verlängerungen erfahren.

Abb. 10 zeigt die durch J hervorgerufenen Lagenänderungen der Nebenrippen und die dadurch von den Rippen auf den (starr gedachten)

Ring ausgeübten Reaktionen. Die----Lage der Rippen

für den Fall, daß diese auf seitliche Biegung nicht beansprucht werden sollten, was man sich durch eine horizontale Beweglichkeit der Fußlager, die im vertikalen Sinne die oben beschriebene Lagerung beibehalten sollen, erreicht denken kann (Abb. 11). Die

im wagerechten Sinne feste Einspannung am Fuße voraus. In diesem Falle üben die Nebenrippen neben den radialen auch tangentielle Reaktionen auf die Ringe aus.

Abb. 10.

Jt

[—~i

Abb. ll.

Lage der Rippen setzt eine auch

Der starre Ring überträgt diese Reaktionen (sowohl die radialen als auch die tangentiellen) auf das Hauptsystem und bewirkt so eine Formänderungsverminderung desselben, indem die belastete Hälfte eine Krümmungsverschärfung der Rippe, die unbelastete eine Streckung erfährt.

Ebenso gerichtete Kräfte treten durch die Verschiebung J auch bei elastisch nachgiebigen Ringen auf, deren Größe sich aber auch nach den Formänderungsanteilen der Kräftegruppe für die Ringe und die Rippen richtet.

Durch Superposition der Wirkungen der voll- und halbsymmetrischen Kräfte bestimmen sich die Auflagerkräfte des ganzen Systems.

4. Die vollsymmetrischen Kräfte.

Es bezeichne: d^\ d⁽[\ dty die resultierende Formänderung bei angeschlossenen Nebenrippen; ô₀, d<p, d- usw. die Ringdeformationen des von

T

Nebenrippen freien Ringes im Sinne der Gleichungen 2), 3) und 4)

H’

P H₀

Æ.

Hr*

â(p~ 4 EJr

ff”

—i/w

Ć2

Ho I

Abb. 11.

— + cos <p yp

£ 01

— sin y

Es bezeichne:

K<f —

— + COS (f ( (f -

— sin (f

d<p ==

Hr³

2 EJr

U(m) — X|w). 12,1 + Xi(m) • Yu ! i

[Für die Aufstellung der Verschiebungsgleichung v^

¹

Innerlich ist das System durch Einschaltung des Ringes dreifach unbestimmt. Zur Ermittlung der Auflagerunbekannten des Systems ist die Einbeziehung der Ringbiegung im horizontalen und vertikalen Sinne und der Ringverdrehungen in die gesamte Formänderungsarbeit und die Darstellung der vertikalen Ringbiegungsmomente Mu, <fi der horizontalen Mv,f

2 EJr

Or =

Hr³

Hr³

2 EJr

‘K*

3'o =

Hr³

Hr³ ( 7t 2 \

" 2 EJr V 4    TI ) ~ 2 EJr

• Kn.

Es bezeichne:

tj «

T-i 'M

(f + p) 2

+ cos

Sk

+ <p—

V.

.s

rH CM

-+ ¹ fe*

(p sin (p — cos j

7t

(i-? - 2

n+COS\-2

Sk

Sk

b'

COS </) .

Daher K

(t+0

(t-0

JSTo = Ł

Es sind die resultierenden Formänderungen:

1    • r³

2    EJr

7/₀ • A'₀ 4- 2 77' A' + 77" K

b

2    • à'V + I'm₀ y ds

(1)

H0 —

b

2 • ! y² ds

b

d⁽i⁻⁾ =

1    • r³

2    EJr

S₀ • K, + -S' « + K2f) + if"it

(2) . 8)

//' =

EJb • d,(?

b

(y² ds

dV =

1 • r⁸

— 2 EJr

R ■ K- -f 2 //'ft

G-0

+ S"fTo

Ru —

(3)

b

f y² ds

Aus diesen n Gleichungen sind w Bogenkräfte der Rippen bestimmbar.

(10 -80

2 EJb ■ ô -f- j M₀ y ds

Eo =

b

2 -jy² ds

usw.

5. Die halbsymmetrischen Kräfte.

Wie in 3. ausgeführt, entstehen diese Kräfte durch die Verschiebungen des Systems nach der unbelasteten Seite. Diese Wirkungen seien zunächst unter der Voraussetzung absolut starrer Ringe und seitlich nicht biegungsfähiger (entsprechend gelagerter) Rippen untersucht. Durch die Verschiebung der Ringe (in Abb. 12 des Kopfringes) werden von diesen auf je zwei diametral liegende Rippenhälften gleiche und, absolut genommen, gleich gerichtete Schübe II₂, Hz . . . ausgeübt.

Abb. 12.

Die Widerstände der Rippen werden in ihrer Resultierenden durch die starren Ringe auf das Hauptsystem übertragen.

Das ganze System sei unter der Wirkung aller Rippen bei der resultierenden Ringverschiebung Jr im Gleichgewicht.

Die Verkürzung bezw. Verlängerung einer Rippenhälfte ergibt sich aus ab a durch ab = Jr • cos tp.

Die resultierende Verschiebung des Hauptsystems besteht aus der Verschiebung des Hauptsystems allein b

j M₀yds

Jo —

Sind Kopf- und Fußring elastisch, so ist

rf⁽? =

r³

2E \ Jr

Rs

Jr

H₍₎ • Zo + 2 //'J4 + H"Kx

o

2 EJb

und der rückschiebenden Wirkung der am Hauptsystem angreifenden Widerständeresultierenden R:

RJ

0

y² ds — (n.H₂ cos (f<₂ -f- n Hz cos

b

ff3 + • • ■) y

0

² ds.

Diese resultierende Ringverschiebung ist zufolge der Starre der Ringe für alle Punkte derselben gleich Jr. Der für eine beliebige Rippe m in deren Achse entfallende Verschiebungsteil Jm — ab — 4r cos rp

E Jb • /i m — Hm •

f y²ds;

Hm

cos (f m    EJb cos (pm

■Jy²ds. 0

Daher

2 EJb \

j M₀ yds

_ n (H₂ cos (f₂ -j- H₃ cosjps -f , . . Hm cos ym)

EJb

I ißds

H,

EJb cos (p₂

• J y² ds —

H,

E Jh cos (f.

J ißds = .

Hm

-•/ y²ds 9)

m J

EJbcos(p

n — Anzahl der auf jeder Kuppelhälfte unter dem gleichen Winkel cp zur Hauptsystemachse liegenden Rippenhälften. (Bei einfachen Rippen

n = 2, bei Doppelrippen

n = 4 usw.)

Aus den m Gleichungen 9) ergibt sich zunächst

n₃ = H₂

COS (p3 COS (p, ’

Hi = H.

cos

I⁴ = II,

cos

⁽h - H

— . . . JJ-m

³ COS (fu

Die zur Bestimmung von Hm aus der Gruppe 9 dienende Gleichung kann somit auch geschrieben werden:

COS (f <>

,fMoyds-«(

Hm-

COS² (f 2

COS (fm

+ llm •

COS² ^3 COS (pm

-j- . . . IIm • cos (f

")'J

0

iß ds

Hm

?Jfj • cos (p

iß ds

Hm =

b

J M₀ y ds

o

2 • ^?/² ds n ( cos (pm -j- . . .

COS²

cos (pm

COS (p,

cos (pm _

und unter Berücksichtigung, daß

b

j M₀ y ds o

²ds

der Schub des Hauptsystems mit starrem Ringe, ist

Hm

X • cos cp

1 -f- n (cos² (p^ -j- cos² <®₃ -|- . . . cos² (fm)

. 10)

Wenn nur ein Rippenpaar außer dem Hauptsystem vorhanden ist:

Hę —

X • cos (f

1 -f- 2 • cos² (f

für — H, — 0

y>=o

dt

.i

für w uz 0: Hc rz: - •

'    ■    3

Die Wirkung auf das Hauptsystem ist

sich gegen die

auch hier nO, da H — 2

CO

Abb. 13.

beiden auch am Hauptsystem angreifenden Schübe von je Hę —

aufhebt.

Die Frage nach max Hę wird gelöst durch d Hę

d (f

— X-

(1 -f- 2 cos² y) sin cp -j- 4 sin tp • cos² qp (1 —f- 2 cos² <jp)²

— sin cp -)- 2 sin cp • cos² <p — 0

COS (p —

l/2’

<P =

o-, a

max Hę —

Ol

Im vorstehenden waren stets Rippen vorausgesetzt, welche vermöge ihrer Fußlagerung keine Biegungen im wagerechten Sinne erfahren sollen. Die Rippen müßten in diesem Falle durch

die Verschiebung des starren Ringes um air parallel zu ihrer Anfangslage verschiebbar sein (Abb. 10).

t₂

M/f Ipsi

4//IL

90-(y>ta,)

V !

L/

(7i

T₂sirLÿ>\\ \

Der allgemeinere und mit der Wirklichkeit besser übereinstimmende Annahmefall ist der

mit seitlich biegungsfähigen Rippen.

In Abb. 14 bezeichne

Ar die resultierende Verschiebung des Ringes,

Abb. 14.

U die Verkürzung der unter (p gelagerten Rippe, v die tangentielle Verschiebung derselben am Ringe.

Es ergibt sich aus den geometrischen Beziehungen unter Annahme einer sehr kleinen Verschiebung Jr\

Jr • sin ip

(R — r) — Jr • cos (f a — ]/ Jr² -j- (R — r)² — 2 Jr (R — r) cos ą

Jghi) . . . . tg a =

und unter Vernachlässigung von Jr²\

a — (R — ?■) -j-

2 (R — r) a — (R — r) — Jr • cos w.

— 2 Rr (.R — r) cos g]    .

a • tg a — [(it - - r) — /1r • cos tp] •

Jr • sin cp

■ CB-r)

(.R — r) —'Jr • cos (f Jr - sin <p

(.R — r) — Jr • cos (f

R r • sin (f

v — Jr • sin cp (R — r) — a — Jr • cos y

\h₃

Tr\T₂

#&/

'r

*3

Über die Elastizitätsverhältnisse der Rippen für die seitliche Biegung sei folgendes festgesetzt:

Js sei das konstante, für alle Rippen gleiche Trägheitsmoment in bezug auf die vertikale Hauptachse des Rippenquerschnitts.

Abb. 15.

Ferner

b — (R — r) (vergl. Abb. 6).

Ebenso wie unter 5a, ergibt sich die Verkürzung der Nebenrippe ,,mu:

Um — 4r • COS (pm —

Hm

EJb

• I y² ds

und die seitliche Ausweichung:

vm — Rr • sin (pm —

VI

EJS

x²dx —

Tmb3 ?>EJS

Die unter cp.₂ geneigte Rippe habe den Schub II₂ und die Tangentialkraft T-ż

>t    Hz » »    > »

> »    Hm ,,

yy

<h

yy

T,

(Abb. 15).

Analog den Gleichungen 9) ergeben sich zur Bestimmung aller Kräfte H und T folgende 2 m Gleichungen:

Ar =

2 EJb

b

■ j M₀ y ds

--EJb * ^² " C0S ^    ^ ’ C0S 4"----H™ ' cos Vm + A • sin f₂ -j- T₃ • sin qp₈ + ... Tm • sin fm) • j y² ds

ÈJb

H₂

COS f₂

b

• Jy²ds —

EJb

iE

cos f₃

b

• j y²ds = .

b

Hm

cos fm

b

• j y² ds

To Ir

Ir

Tm

b³

EJs sin f₂ 3 EJS sin œ₃ 3    EJs sin fm 3

H₃ = H₂ ■ -C0S4³- . . . Hm = Hy • COS <f 2

sin f3 sin f₂

T, = A

Hm =

b

3 • j y² ds 5

cos (f m COS f₂

'fm sin (f₂

Unter Einführung des Schubes X des Hauptsystems allein nach 5):

.X • cos fm

. • Tm = T.y ■

sin

Tm • sin f m — Ef

!r

14)

1 A n (cos² f g A cos³ 'H + • • • cos² fm) A n (sin² 'te + sin³ f₃ + ... sin² fm) •    ■j y²

Ir

Tm =

X • sin (f m

bs f Jb\ (l -j- w ‘ cos² 'fi 4 n ’ c°s² 'f 3 4" • • • n ' c°s² fni) 3 ‘ \Js) '

b

j y²ds o

+ n (sin³ f₂ -f- sin² f₃ A ■ • • sin² fm)

15)

In vorstehenden Abschnitten 2 bis 5 war das Vorhandensein nur eines Ringes (Kopfringes), mit Ausnahme der Behandlung der vollsymmetrischen Kräfte, angenommen. Im folgenden sollen nun für mehrere Ringe (Vorhandensein von Zwischenringen) die vollsymmetrischen Kräfte und Formänderungen von elastischen Ringen sowie die halbsymmetrischen Kräfte bei starren Ringen untersucht werden. Die Behandlung der halbsymmetrischen Kräfte für elastische Ringe soll für einen und mehrere Ringe getrennt erfolgen.

6. Das Hauptsystem mit Zwischenringen.

Bei der getroffenen Annahme über das Hauptsystem ist dasselbe bei n Zwischenringen (n 4-1) fach statisch unbestimmt.

6a. Die Ringkräfte bei starren Ringen.

links :

M ²

. ds-EJb as'

dL

= 0;

von B—A\ ]\ly — — A₂y ~I⁻ M0 von A—D : My — — X₂ y -Xx(y— h) -f M₀ ;

dXx

dX,

= 0;

rechts :

von B—.4: My — — X₂y

von A—D: My — — X₂y — Xx (y — h)

von B—D:

dMt

dX₂

- — — y\

von A—D:

äM,

d±=-^-h)'

von B—A:

dM

dXx

LJr

U.

x,

!4

y,* L

X' A~

S,

[X+X₂)

(xąx₂)

Abb. 16.

dL

dX₂

= i X, ■ [y» ds - fu„ y ds + 2 X, -fy (y

B    B    A

— h) ds — 0

T)

dL

dXx

= 2 Z₂ •

j y (y — h) ds — f i/o (?/

- /t) ds + 2 Z, •

— hy ds = 0.

Es bezeichne

y yi •ds= Fl, 2; yx — y — h

1)

I y² ds

= F₂,2 ;

yyds—i\û

I M₀y ds = 1*2,2]

— y ui

2 Z₂ • F₂,2 + 2 Zx • 14,2 = y>2,21 2 Z₂ • Fi, 2 -J- 2 Zi • Fi, ! = ! )

16)

y’2,2 • Fi, 1 — yx, 1 • Fi, 2 .

y 1, 1 • F, 2 — y'2,2 • Fi, ₂

rł,..ri,i-F₁%

Die Größen Fi, 1, Fi,₂, F2,2, f*i,i und ^2,2 können, ebenso wie in Abschnitt 2 für das Hauptsystem mit einem Ringe gezeigt, durch Seilpolygone der Kräftepläne der „Kräfte“ y bezw. yx konstruiert werden, auch für inkonstantes Jh der Rippen.

Z₂ =

Xx =

6 b. Die Ringkräfte des Hauptsystems für elastische Ringe

werden durch Anwendung des Satzes von Castigliano erhalten:

dL

dX*

— — 2 d₂;

dL

dXx

—— 2 d₁\

die Gleichungen 16) gehen dann über in

. 16')

2 X₂• F₂,₂ + 2Xf r₁₎₂ - iW2,2 = - 2 EJb • d₂1 2 X₂ • Fi,2 + 2 Xt • Fi.i —    — — EJb ■ d, | ' ’

Es bezeichne rx, r₂, Jr<i und t/r)2 die Radien und Trägheitsmomente der Ringe (Fußring nicht vorhanden oder starr), so ist nach 4):

F₂-r₂³

2 EJr> 2

►H a

2 EJr, !

■(

Es bezeichne wieder .Kj, =    ^ [absolut genommen, Vorzeichen

ist in 16') berücksichtigt]:

X₂.

2 F₂.2 -f-

Jr, 2

•r₂³F₀

+ 2X₁.r₁₎₂ = ^2

•rSK₀

2X₂.F₁₍₂ + X₁. 2Fi,i

Ist der Fußring auch elastisch (Radius R, Trägheitsmoment J/;), so ist die Gesamtverschiebung zwischen Ring 2 und Fußring, absolut genommen:

d₂ —

X₂

(f + f)

\ or, 2 ff R )

•X₀; dx

Fi

~2 E

•æ+f)*

und somit die zwei Gleichungen zur Ermittlung der Ringkräfte:

Jb

M2r"+[(£)

2z₂.r₁,₂ + x₁.{2r₁,I + [(.A-).ll3 + (*)

• î*2³ +

«fr

• E³ .Ä₀i+2Z₁.r,,2 = fl2,2

• -ß³ • X₀/ — fj, 1,1

17)

Ebenso für n Zwischenringe die (n -f- 1) Gleichungen 17) zur Bestimmung der Ringkräfte für das Hauptsystem allein bei elastischen Ringen.

7. Die vollsymmetrischen Kräfte am Kuppelsystem mit mehreren Zwischenringen.

Für im ganzen n Ringe, deren einer der Fußring ist, und m Rippen ergeben sich m (n — 1) Doppelgleichungen zur Bestimmung der vollsymmetrischen Ringformveränderungen und der Schübe. Die am Fußring angreifenden Schübe sind für diese vollsymmetrischen Kräfte gleich der algebraischen Summe der einzelnen Ringkräfte jeder Rippe.

in

■V”

'(3)

"(3)

lim.

'teh

xr

X,/X₂

Abb. 17.

Es bezeichne im folgenden: die Schübe des obersten Ringes, je nach der Rippe:

y(l).    v(²).    y(³)-

die Verschiebungen an diesem Ring und dem Fußring, je nach der Rippe:

<?f; df; 4³⁾;

die Schübe am Zwischenring, je nach der Rippe:

Zf; Zf»; Zf;

die Verschiebungen:

df; dp>; â[>\

Die Schübe am Fußring sind sodann

[Zf + Zf]; [Zf + Zf]; [Zf + Zf],

Die (n — 1) m Doppelgleichungen, die sich durch Anwendung von 8) und 16') ergeben, lauten:

df'

( r₂³    , R³

2 EJh • 4° == —1*2,2 + 2 Af • F₂,2 + 2 Xf • F1; 2

) • [Af¹¹ • X₀ + 2 Z{²⁾ • Kv, ! + 2 Xf ■ K,, J

4b

) • W¹'

.X₀ + 2Af⁾.AVi + 2Af .X,₎₂]

(1)

( r³ R³

V «4,1 +

Rippe 1 (Hauptsystem)

2 E ‘

2 EJb • 41} = - ui, 1 + 2 Xf • K1 + 2 Xf. F f)

Tr

f(2)

4²⁾=

»V

• [Af • (A₀+Z-2yi0 + Af • (Zj 2 A4 • 4²⁾ — + 2 Af • F₂, 2 + 2 Af • Fi, ₂

4,2 4ij

₁₎ + A₍,)2 + ,,₁))+Af-7^₁]

(3)

18)

4²⁾ =

f ri³

V 4,1

A>3) • [Af • (Ao+A₂,₍₁)+Af * (X, 2 EJh • 4²⁾ = + 2 Xf • F₂₎ ! + 2 Xf • F,

i)+A(v., 2+ę, i)) + Af • Kv, 1]

(4)

Rippe 2

4³⁾=... 1

2 EJb • 4³⁾ =... j

Hieraus die (n — 1) m unbekannten vollsymmetrischen Kräfte.

(5)

4³⁾ =.

2EJb-0{?⁾ = .... I

' ' ! (6)    .    .    . Rippe 3

*) r2;i=ri,2.

8. Die halbsymmetrischen Kräfte am Kuppelsystem mit mehreren (starren) Ringen.

Es bezeichne (siehe Abb. 18)

/1₂ die Verschiebung des obersten Ringes nach der unbelasteten Seite zu am Hauptsystem allein,

/!x dieselbe Verschiebung des Zwischenringes,

Xx und X₂ die Ringkräfte nach 16), am Hauptsystem mit starren Ringen.

Es bestimmen sich sonach die Verschiebungen nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen

/vru-

//

Df Ÿ2 (Xj+Xz)

Abb. 18

X,

(X,+X₂) >/\d

und

EJi, • A ₂ — j MyM₂ ds -j— j MyMd ds 0 0 b    b

I MyMx ds -f- j MyMids,

worin die Momente M₂ die am statisch bestimmten Fall, bei Wirkung von 1 am Kopfring bedeutet Mx die des statisch bestimmten Falles für 1 am Zwischenring.

Es ergeben sich die My wie in 6a):

links :

von B-D: M^= + -| von A—D: M₃‘= + -|

Mi = 0

Md

_ i (y —_ . y i

— "T"    2    — ^ 2

rechts :

von i?—D : Md —

z- Mi

2 ¹

von A—D: M₂' = — \ Md —

Çâs+fÆf

B

Çds + Xi-

EJh • z/₂ =

-x₂-

+ fx, ■

Vi

ds —

fxiy

■h ds

■ 'ij- ds -,

2 EJb ■    —

— f*2,2 ;

^2 -

,“'2, 2

2 EJb

. . 19)

~ '2EJ„

ebenso ergibt

Es bezeichne wie in 7), nur mit der Änderung, daß es sich hier um die halbsymmetrischen Kräfte handelt:

X₂²⁾ • X₂³⁾. .. X^ die halbsymmetrischen Kräfte am oberen Ring,

,, Zwischenring,

y(²) y (3)    y(»»)

Ai • Ai ... Ai ,,

berücksichtigt man ferner aus 16) und 19) - _ X₂ • 12,2 -j- Xi • Kl, 2

/I-2 -

EJ,

_ x₂-r₂,i + x^n,!

EJb

. .    190

Die resultierende Verschiebung am oberen Ring unter Mitwirkung von m Nebenrippen sei    am Zwischenring    so ist wie in 5):

y(m>

E Jb " COS (pm

jj(m)

Jr, 2 -

^2

(m)

COS Cf m

(m)

y(w») y i y(»») y _ A2 • -*2,2 ~t~ -A-l ' J-1,2

EJb ■ cos (jpm

J r, 1 -

y:m) y i y(ro) ’TT’

— ^2    ‘ J 2,1 ~T -Al ‘ -* 1,1

EJb • cos ₍pm

EJb ’ COS

f*2,2    __ fh    / tt(2)

2XJb EJh'y

cos

<f, + r|3) • cos <p, + ... Tr(wl) • cos <p„)

y(²)

17(3)

XJj • cos y₂    • cos (pA    EJb • cos (pm

V'¹’1    n .(tJ²K

2 EJh    EJb K

COS

U⁽²⁾

ü{3)

y₂ + f/⁽³⁾ • cos (p₃ + ... U(m)

jj(m)

EJb • cos (fm

• COS

<fm)

EJb • cos (p₂ EJb • cos (p-A -ÿ- • cos r/>m — V(m) [1 + n (cos² y₂ + cos² y₃ -f . . . cos² ym)] = 0

• cos t/TO — U(m) [1 -f n (cos² </>₂ + cos² rp.d -f . . . cos² (fm)] = 0

20)

gruppen

m.

Die Gleichungen 20) ermöglichen die Bestimmung der Unbekannten-U[m\ V[m) für die Rippe

Diese bekannt, bestimmen sich die Schübe Xin>) und l}'"¹ aus

. . 20')

y(m) _ X(m) . y₂ * _|_ ybn) . y g |

U(m) — X|w). 12,1 + Xi(m) • Yu ! i

Die Gleichungen 20) ergeben die halbsymmetrischen Kräfte unter Voraussetzung von seitlich nicht biegungsfähigen und dementsprechend gelagerten Rippen.

Im nachfolgenden mögen die halbsymmetrischen Kräfte unter Berück sichtigung der seitlichen Biegung der Rippen bei mehreren Ringen behandelt werden. Es bezeichne:

Ilf\ Hp ... H2 die halbsymmetrischen Schübe am oberen Ring der Rippen II, III... m,

Œf\ T-P. .. Tt] die Tangentialkräfte am oberen Ring (Ring 2),

H?\ H?].. . Il[m) desgl. die Schübe Ring 1,

T?\ 7f ... Tlm) desgl. die Tangentialkräfte am Ring 1, und    die resultierenden Ring

verschiebungen der Ringe 2 bezw. 1,

vp, vP ...vp^ die tangentiellen Verschiebungen der Anschlußpunkte der Rippen II, III .. . m an den Ring 2,

.. Vi

am

ft

rptrnj

Abb. 19.

rptmj

vf\ Vp .

desgl. an den Ring 1,

(2)    (3)

U\ , U\ .

Jr, 2-

(m)

die achsialen Verschiebungen der Anschlußpunkte der Rippen II, III.. . m an den Ring 2,

(2)    (3)

u\ ,    _

. . U-2

. desgl. an den Ring 1.

Ul . .

Entsprechend den Gleichungen 19') ist die achsiale Verschiebung einer Rippe durch die achsialen Kräfte derselben

y _ 3i₂.F₂₎₂ + ii₁.r₁,2 ²“    EJb

hierin ist unter und 2Xx die Projektion aller am Ring 2 bezw. Ring 1 angreifenden Schübe auch der Tangentialkräfte auf die in Betracht gezogene (Haupt-)Rippe zu verstehen.

Ferner ist entsprechend den Gleichungen 12)

uP _    r₂,₂+//f-rj,₂

COS (f .j

u[> _ «f. y^ + h?-rM

COS <f ;;

EJh ' COS (f.₂

EJb • cos (-f-.

EJb

(2)

u\

COS (f..

Hp- 12> 1 -f- Hp •

EJh • cos (f ..

u->

(ui)

//•]

(m)

• r₂,2 +/fi

(tn)

cos <f m

E Jb • cos (f>m

1,2

Jr, 1 —

Ul

(m)

sjr- rM + g}w|.Ti

EJb • cos ąm

28 —

Die Beziehungen zwischen den Tangentialkräften einer Rippe m und den seitlichen Verschiebungen und bestimmen sich wie folgt (siehe Abb. 19):

EJS •

I Mx M/ dx

von 0 — b

J Mx — T₂-x i M₂‘ = Î-x

von by—b

Mx—To-x-\- Tx (x—by) M₂ —1-x

EJS • di

x² dx —-

b

by • I Ty x dx ;

bi

hieraus

6 EJS • vt] — 2 Tt] • b³ + T[m] (2 ft³ + by³ — 3 b² ftx)

.    21a)

ebenso

My dx

von Ö — ft

{Mx = T₂-x \My' = 0

von by—

\ Mx—T₂‘X-\-Tx{x, — bx) ° j Mi —l(x — 6j)

/;

EJa-Ą

(m) _

T₂ ■ I X (x - by) dx -f- Ty • ! (x

fei    fei

— by)² dx\

hieraus

6EJS'Vi^— T1to)(2&³ + &i³ —3ô²ôj) + Tiw)(2ft³ —2&i³ —6ft²ft, +66&t²) 21b)

Es bezeichne zur Abkürzung

2ft³ + ft₁³ —3ft²ft

(2ft³ + ft₁³ — 3ft²&0 .

(2 b³-2 by³ —6 b² by + 6 b by²)    _ (ft — ftQ³.

Entsprechend den Gleichungen 11) ergibt sich:

'd ,r. 2-

J2)

i'2

sin    EJs ■ sin y₂

J r. 1 —

,(2)

'fe?i

sin (f₂

EJ g • sin ff..

sin (f m

4¹" _ <p ■ ijm) + x • yj”¹

sin tpm — EJS • sin (pm

v{?]    _ o' • T|w) + r • T|m)

E Js • sin «>m

dr, 2 -

r, 1 -

Entsprechend Gleichungen 13) ergeben sich folgende Gleichungsgruppen:

p j--YdYT    1 f^ ^ • cos (p2 -|- ... H• cos (fm -|- 7 2 ' • sin cp.₂ -j- ... T₂ ^ • sin </)OT] • 12,2

P2,2

-f- [T7i * • cos f/>2 -f- ... //i" * • cos cpm -|- T[^ • sin y₂ ~j~ • • •    • sinr^,,,] • I i^J

IIP - E>2+ //P’ Ü.2

TJJfe • COS </)₂

^•Tf + X.7f

777,5 • sin (p.₂

rata + /fi(m)-r₁,2

EJb • cos <pm

. tf-ïT’ + x-îï

(»0

22)

- ₂^₇- -    • {[//f • COS Vl + ... Him) ■ cos y„ + 7? -sin Va + ... 21"' ■ sinyj • Y,,₂

+ [Sf '• cos <f₂ +...H[m)■ cos ,pm + 7f >■ sin <p, + ... T[m)■ sinyJ • Yt

_ 7/f • r»,i + gf ■ Yt

EJb • cos cp*,

_tf. + - 7f}

777s • sin cp₂

77im) • F₂₎₁ + 77/m) • F,

EJb • cos (pm

_ <j. Tp] + z>Tlm)

EJS • sin

m Rippen und r Ringen (Fußring mitgezählt) enthalten die Gleichungsgruppen 22) 2 • m (r — 1) voneinander unabhängige Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten.

.1/

Bei

In den Abschnitten 5 und 8 waren für die Behandlung der halbsymmetrischen Kräfte starre Ringe vorausgesetzt. Im nachfolgenden sollen diese Kräfte unter Berücksichtigung der Ringelastizität ermittelt werden. Dazu ist vor allem wieder die Kenntnis der Ringformveränderungen unter der Einwirkung von Gruppen halbsymmetrischer, im Gleichgewicht befindlicher Kräfte nötig. Sind diese Formveränderungen bekannt, so können sie, zu den Rippenformänderungen in Beziehung gebracht, die halbsymmetrischen Kräfte bei elastischen Ringen finden lassen.

9. Halbsymmetrische Kräfte und Ringformveränderung.

A. Radiale Kräfte.

a) Ermittlung der Überzähligen.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen:

21- Y • 2 r — 0;

c.

'1

[Y

X ergibt sich aus

•jcc

S\— —s

Yp

Zjcosju>₇ ■

^4

z.

Ml ■

d Me

FY

: -ds — 0;

Abb. 20.

links: von 0—(pt:

My — Zy- cos (f₁ r - sin y — I r (1 — cos y>) -f- X ; My — X • cos (p -j- Zy • cos (pi r - sin (p ;

3 My

dX

— cos (p ;

von cp{—

te: a

: My—X- cos (p> -j- Zi • cos (py r • sin rp — Zlr- sin ((p — ąx);

dM,

±v

dX

z= COS (p’f

rechts: von 0—(px:

My — — X • cos (p — Zy • cos tp{ r - sin (p;

von (ft—

analog.

dMy

~dT-~C°sr<

I cos² (p ■ dip -f- Zy r2 0

• COS (Pi •

j sin (p • cos cp - d(p o

ZyT² ■ j sin (cp — (px) • cos (p - dcp.

fi

Nach Durchführung der Integration und Reduktion ergibt sich:

• sin tpx (n — 2 (py) .    .

X— — Zy •

. . 23)

für (py — 0 ; X — 0 ;

für (fi H= y ; X

= 0.

b) Ermittlung der Verschiebungen d₂.

Diese kann durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen geschehen.

Wird das Hauptsystem durch Aufschneiden des Ringes (S—S) erhalten,

so ist es vorteilhaft, vier Kräfte 1 an diesem anzubringen. Man erhält dann als Arbeit der äußeren Kräfte 4 • ä.2 ■r-j-rS wegen der im System herrschenden Symmetrie. Die Momente My (vergl. Abb. 21a) ergeben sich unter Benutzung von Gleichung 23):

Z/coiwi

c/X

VCOStp,

c.

Abb. 21 b.

Abb. 21a. von 0—(fy‘.

V

My hu — Zy    (n — 2 (py) • sin (py • cos q    Zy cos (py r • sin (p — Zxr - sin (pp — <py)

für <p — a y bis

ei 'M

2t;

M :    von    A —B:    M — -f- 2 cos qx r • sin q

von    j?—D :    ikT' = -f- 2 cos qx r • sin ^ —    1    r •    sin (</ — (/ t)

von    E—D :    1/' = -j- 1 r • sin (y —

Nach Aufstellung der Produkte (Mv M'dq)    und    Reduktion    derselben:

4 EJr ■ö,=z2Zi r³ •

^    • sin² (fi • ^ cos² q • d(p

(n — 2 (f\) sin 2 qx

7T

Pi    fi *

sin 2 <p • dq -j- 2 cos² <jx • ^ sin² cp ■ dtp

Nach Auswertung der Integrale und Reduktion:

Zx r3 2 EJr

ä₂ —

tpx — sin (px • ( cos(px -\---— • sin qx

. . 24)

Wegen der in jedem Quadranten gleichen Arbeitsbeiträge ist es auch statthaft, als Hauptsystem nur einen solchen Quadranten zu wählen. Wie im folgenden ausgeführt, wird die Verschiebung gleichlautend erhalten.

i- -I

■AB M₂'

EJr

ds.

Für den statisch bestimmten Fall der Momente Al₂ uos siehe Abb. 21c.

Wie unter b) ist von 0—qx

1sinp,

zrsmy, Abb. 21 c.

• (n — 2 (px) • sin qx • cos (p -j- Zx • cos qx • r • sin q

und von 0—ql

M₂ — r ■ cos qx • sin (p — r • sin qx • cos q

ÜJ Jr • ö₂ — Zx • r³

) (tt— 2qi)

4 71

fi

J sin² <p

(n — 2 </, )

• sin 2 tpx J sin 2 q • d q -f- cos² qx *

—I ^¹ .) sin 2 q • d (p j

•fi

sin²(px • J cos² q - dq

Nach Integration und Reduktion ergibt sich

r^Zx

~ 2 /•;,/,

— sin <px • ^cos qx -j- —• sinyt^

. 24)

wieder für qx — 0;

^ = 0;

; d, = 0.

B. Tangentielle Kräfte und Ringformveränderungen.

a) Ermittlung der Überzähligen.

Es gelingt nachzuweisen, daß das System nicht, wie in Abb. 22 erkenntlich gemacht, dreifach, sondern nur einfach unbestimmt ist.

Aus dem Gleichgewicht im vertikalen Sinne folgt Yx— Y₂\ im horizontalen ZX~Z₂.

Momentengleichung auf B

X₁+Z₁ + 2r₁.r + 2T,.r±=0 «)

Moment M obere Hälfte (Schnitt s— s)

M— Xx -f Yx • r + Zx-r

+ T₂ • r (sin² cpx -f cos² cpx) ß)

Moment M untere Hälfte (Schnitt s'—s'; umgekehrte Schnittkräfte)

M— — X - Yx • r + X, • r — T₂ • r

T₂smyt

zĄ

T₂cos(//,

Aus ß) und y)

0 =: 2 J[ -j- 2 Yx ■ r -f- 2 T₂ • r Aus «) und ö)

X₁=X₉.

ff

-*-z₂

~S *

Abb. 22.

r)

<*)

Zx ergibt sich aus

EJr \

My *

dM,

d Z\

f ■ ds — 0.

von 0—(fx

links

My — Xx + Zx r sin cp + Yx r (1 — cos cp) -j- T₂ sin cpx r sin cp rechts

My — — Xx -j- Zx r sin <p — Yx r (1 — cos (p) — T., sin cpx r sin cp

dM,

d,Zx

f — r siny ;

von (fx--j-

links

My = Xx + Zx r sin cp -f Yx r (1 — cos cp) -j- T₂ sin cpx r sin cp + T₂ r [1 - cos (cp - cpx)]

rechts

My — — Xx -j- Zx r sin cp —...........

d Mv

\-d£=r*a*■

rr

dMv

d Zx

ds — 0

77

— Xx r² sin y 4- ••• .) ^ y

=J 2 Zx r³ sin² y d y 4" (Xx r² sin y

o

77 2

^ {^2 ?*³ [1 — cos (y — yj] sin y — T₂ r³ [1 — cos (y — yt)] sin y ) d y

ergibt

25)

P₁₌0

Wird Gleichung y (entsprechend dem 4. Quadranten) für    minus

geschrieben

M— + Xt + Pi r -Zxr + T\ r

Aus ß) und y')

2 / Mv

dM,

dXx

ds=z0.

Nach Aufstellung von Mv unter Berücksichtigung von Zx — 0 und Gleichung «) und

dM,

dXx

ergibt sich:

/(

o

A₁ 2 1" d(p X₂

(Xi+X₂)

r—1 'AÏ

(1 — cos y) r d y -f-

(X₁+x₂)

(1 — cos y) r d y    0

x, = xt.

Somit ist das System auch nur einfach unbestimmt. Aus a)

Ytr = — (Xi T₂ r)

von (0—(fi) : links

M<p — Xx cos(f — T% v 4~ T-2 v cosy 4- T₂ r sinyj siny;

dM,

9X.

- = COS (f

links

ebenso

J/ç = Xi cos y — rL\ r + T₂ r cos y -f- 7⁷₂ r — Tj r cos y cos rpx ; rechts mit umgekehrten Vorzeichen.

77

2 ^ (X, cosy -f- T₂ r cosy) r cos y 7y — 2 ^ T₂ r² cos y 7 y -f-

<P\

rechts

Mç — — Xx cos y -f- 7 2 r — 7 2 r cosy — 7₂ r sin yx siny;

7XŁ

1=2 — cosy

von

(T,‘ )

-f- 2 / T₂ r² sinyt    7 y — 2 / d\ r2 cos7i cos²y 7y.

Nach Integration und Reduktion ergibt sich

sin y. .    / Tr

—2^+cos (fry-Ą

=x.1 = ^r-

²    TI

>h a

26)

2T₂

für yt =0, X: = 0;

UZ-u

für (px —

, Xt — — Tj)'' (l — -)

(vergl. hierzu den Wert ilTjg der radialen Angriffe, Abschnitt 1).

Abb. 23.

b) Die Verschiebung d₂ (an einer Nebenrippe.

M<p siehe oben

von 0—(px:

t₂.

T₂cosft

r( r-cos %)

M₂ — — r -j- r • cos <p₁ • cos y -j--|- r • sin (fx • sin y,

von 0—yx :

Mç — Ä\ • cos y — T₂ r -j--j- T₂ r • cos y -(--j- T₂r - sin yx • sin y,

T₂siroft

Abb. 24 a.

Abb. 24 b.

von (fx—

M₂‘ — 0.

ä₂ =

Nach Bildung der Produkte MVM₂' ds und Integration sowie Einführung von Xl nach 26) ergibt sich

T,r3 EJr

7T

7T

+ <Pi • cos2 fh ( 2 “ ^r) + <?i - 2 sin 9i

27)

Durch die Beziehungen 23), 24), 26) und 27) sind die Ringformveränderungen durch Gruppen halbsymmetrischer Schübe und Querbiegungskräfte der Rippen bekannt.

10. Ermittlung der halbsymmetrischen Kräfte bei elastischen Ringen.

Die in Gleichung 7) errechnete Verschiebung des starren Kopfringes des Hauptsystems ist direkt proportional der Bogenkraft. Da die halbsymmetrischen Kräfte der Nebenrippen von dieser Verschiebung Jr ab-hängen, so ergibt sich nach Gleichung 10) bezw. den Gleichungen 14) und 15) direkte Proportionalität zwischen den halbsymmetrischen Kräften (Bogen- und Tangentialkräfte der Nebenrippen) mit der Bogenkraft X des Hauptsystems mit starren Ringen. Für mehrere starre Ringe bestehen die analogen Beziehungen der Gleichungen 22).

Sind die Ringe elastisch, so tritt durch zwei Umstände eine Veränderung der halbsymmetrischen Kräfte ein:

1.    Tritt an die Stelle der Bogenkraft X des Hauptsystems mit starrem Ringe (bezw. an Stelle der Ringkräfte Xx, X₂ . . . bei mehreren Ringen) die Bogenkraft (bezw. die Ringkräfte), welche unter Berücksichtigung der vollsymmetrischen Ringformveränderung unter Mitwirkung aller Rippen nach den Gleichungen 8) bezw. den Gleichungen 18) errechnet wird (Schübe H0 bezw. X}¹’, Xf]. . .)■

2.    Wird ein Teil der halbsymmetrischen Kräfte oder, besser ausgedrückt, der Reaktionen der Nebenrippen (im achsialen und tangentiellen Sinne) zur Formänderung der Ringe aufgewendet und wird diese Reaktion nur teilweise als stabilisierende Kraft durch den Ring dem Hauptsystem übertragen.

Zur Berechnung der halbsymmetrischen Kräfte bei elastisch veränderlichen Ringen soll die Wirkung dieser zwei Ursachen getrennt, nacheinander erfolgend, gedacht werden.

Im folgenden sei

1.    Querbiegung der Rippen vorläufig ausgeschaltet;

2.    zunächst nur ein Kopfring und die Nebenrippen m nebst dem Hauptsystem vorhanden.

die halbsymmetrische Bogenkraft der Rippe m bei elastischem Ring (die weiter unten behandelten mehreren Nebenrippen entsprechend ...772.e, 773)e...).

Es bezeichne entsprechend Abschnitt 5 ... 77

m, e

Die Ringformänderung an der Anschlußstelle der Rippe m ist entsprechend Gleichung 25)

r³H

àm —

m, e

2 EJr

•    — sin (^jjj • ^cos m —|—

ic

sin <fn

71

. 28)

En, m

\ ‘ 1'¹

/

Vf

yr(ffrn g Cos$Pm, * " ^2 e V*z)

s'

Abb. 25.

bezeichnet.

Der von (pm abhängige Biegungseinflußwert sei mit e (Kür mehrere Nebenrippen sei beispielsweise der Biegungseinflußwert der Nebenrippe 2 auf den Anschlußpunkt der Rippe m mit e₂.m bezeichnet. Dieser allgemeine Einflußwert wird unten berechnet werden.)

Zur Berechnung von 77me denke man sich zunächst ein Hauptsystem, dessen Schub der aus allen vollsymmetrischen Ringformänderungen aus der Gleichungsgruppe 8 errechnete Wert 77₀ ist. Die Verschiebung dieses (gedachten) Hauptsystems nach der unbelasteten Seite zu wäre nach Gleichung 7)

m, m

z/₀ — 77₀ •

und die resultierende Verschiebung der Hauptsystemrippe unter Mitwirkung der Nebenrippen

I y²ds

^r.0 — (77₀ — n • 77,

* COS (f m) •

EJb

Die Verkürzung bezw. Verlängerung einer Rippe m setzt sich zusammen (vergl. Abb. 24) aus Jr>0-cos(pm und der Ringformänderung

m. e

Somit ist die Längenänderung der Nebenrippe m

^r, m — *1 r, 0 ’ COS (pm    dm, ■> —

• (H₀ • cos (fm — n • 11;

m, e

■ cos² (fm) —

m, e

r³ • H,

m, e

2 EJr

* t/fu, m —

b

•j y²ds

EJh

Hieraus wird gefunden

Hm> e —

Ho 'Cos (pm

1 4" n ' COs2 Vm H--c)~ * ^    ’

Gm, m

jy²ds

Ü

und bei vorhandenem elastischen Fußring (siehe Abb. 24)

H₀ • cos (fm

Hm, e —

1 + n ■ cos² (pm -f

(Ä)*³+(iM

Gm, m

. 30)

I y²ds

ü

Für starre Ringe {Jr — JR—<x>) gehen, da auch H₀ — X wird, die

Gleichungen in die Gleichungen 10) über. Für sehr schwache Ringe (lim Jr =. JR — 0) nähert sich H

dem Werte 0.

Jim

—m,e

Sind mehrere Nebenrippen vorhanden, so sind zunächst die oben erwähnten Einflußwerte der Ringbiegung emia zu finden.

Unter der Voraussetzung </>a < <pm folgt aus

f/n

(Abb. 26)

Va

EJr • ôa = j Mf

o

M‘ ds

—    ' da — Um * ” •* COS (<f'm *P<t) ' tya sin <f'a ' (

welche für (pa — (pm in die Gleichung 24) übergeht.

Für (pa — 0 (Auflager) da — 0. Der Ringbiegungseinflußwert eOTj(t ist somit

COS (f m +

rV

Ahb. 26.

29)

2 (pu • <p m

a- [cOS ((pm

— la) ’ (fa — sin (fa ’ (

COS (p[fi -f-

Nach dem Maxwellschen Satze ist e,„ a = ea, m .*)

Gm

TC

sin ₍pm

29)

am Schlüsse.

*) Siehe Tabelle der Ringbiegungseinflußwerte und Darstellung der Ringformänderung

33

Somit ergibt sich für den halbsymmetrischen Schub H handensein mehrerer Nebenrippen:

7ii, e

bei Vor-

b

j y²ds

— ^r, 0 ’ COS ⁽fm •“    2 —

• [II₀ • COS (fm — n • COS cpm ■ (ff₂, e • COS f/2 4- Hs, e • COS (p₃ + . . . if,

EJb

2 EJr

’ (-02, e ' 62, m “I⁻ 03, g • ß3,    -J- . . . Hm. g • ßw, m) —

• !y²ds Û

EJh

ebenso: z. B. für Rippe 3

31)

4r, 8 —

• [ff₀ • cos (pa — n • cos f|)₃ • (7f2! g • cos (p₂ H,

ot, e

r³ *)

~ 2EJr

b

j y²ds

• (02, e ‘ 62, 3 -f- E3, e • ß3, 3 ~h ■ ■ • H,

Hieraus alle Unbekannten U

2, et

H<

3,e •

’ ßj», 3) — 03, e ‘

. . Hm,e bestimmbar.

w, e

EJb

4-

1m.,e

\\ resultierende ßirtff -\\defbrmatwn aus \\radialem u. tang, 'etlem Anyri/f

en=

fm

O'

Abb. 27.

Abb. 27a.

Nunmehr sollen auch die halbsymmetrischen Kräfte unter Berücksichtigung der Querbiegung der Rippen bei elastischen, also jetzt auch tangentiell beanspruchten Ringen berechnet werden.

'•’) Bei elastischem Fußring tritt an Stelle von

^•3

/ R³ . r³ \

\jR ⁺ Jr)'

.    ......m.......* m ppp

Es bezeichne analog oben gewählter Bezeichnung:

Hm,t, Tm_e die beiden halbsymmetrischen Kräfte der Rippe m,

H₀ den aus der Gruppe 8) errechneten Schub der Hauptrippe, unter Berücksichtigung aller vollsymmetrischen Ringformänderungen. Ferner: rm,m den Ringform veränderungseinflußwert der Kraft Tm auf den Anschlußpunkt der Rippe m selbst,

ebenso ta>m den Einfluß wert der Kraft Ta auf die tangentielle Verschiebung des Anschlußpunktes der Rippe m am Ring.

Wie oben ist xa,m — tm,a. Der Einflußwert %

m. m

ist nach Gleichung 27)

m, m

)+

sin 2 cpm

m, a

- ®in (fm J ‘

Der Einflußwert r

-j- cpm • cos² (pm • ^"2 ergibt sich aus

m, a

EJr • i

ÏMpM'ds

unter der (wegen obengenannter Anwendbarkeit des Maxwellschen Satzes) zulässigen Voraussetzung <pa < <pm durch folgende, allerdings umständliche Beziehung:

I" sin cpm

L 2

r»», a — 2

— (fm

1

— Sin^)a + -r • sin (2 cpa

)+ 1-cos^,+ sin-Æt]

+    • sin (2 <pa — tpm) -f- (pa — sin cpa -f 2 sin (pm • (cos ₍pa — 1)

sin 2 (pm

cos (pm • sin (pa —( sin (pm

•fa

f-cos cpm +

• (1 — COS 2 <fa)

i s'|;* '/ . • ( v sinf?i)}

32)

Es sei zunächst wieder nur eine Rippe in jedem Quadranten außer dem Hauptsystem angenommen (cpm, Hm> e und Tm> e).

In Abb. 27 a sind die Formänderungen, bezogen auf die ursprüngliche Rippenlage und deren Normale, kenntlich gemacht.

m₀ — ursprüngliche Rippenlage, m' — Rippenlage bei nicht querbiegungsfähigen (dementsprechend gelagerten) Rippen, m — tatsächliche Rippenlage nach radialer und tangentieller Ringformänderung.

vm = z/r - sin cp

Mr, in V r • COS Cp m    Ô,n ,

IN

Nach Gleichungen 11) und 12) um — /1r • cos (pm ;

Die resultierende radiale Verschiebung

die resultierende tangentielle Verschiebung vr> m — 4r • sin cpm— tm.

Wie oben ist

àm —

r³ ■ Hm 2 EJr

•e

772; m )

trn -

r³ • I

w, e

2 EJr

Mr, m —

b

j y² ds 0

EĄ

m, e

• cos²(pm fl • Tm, e • sin (ßm • cos (pm)

r³ II

m, e

j y² ds o

b

I y²ds Ù

2 EJr

EJh

33)

Hm, e

• (JTq • Sin (ptn n " Jim,e ’ sin (pm, * cos (pm 71 ‘ Jm,e ’ sin (pm)

r³ Tm, e

“ 2 EJr v

Aus Gleichung 32) ist nach vorher aus Gleichung 8) errechneten II0 und T,

Ist auch ein elastischer Fußring vorhanden, so ist

a)    H₀ aus der Gleichungsgruppe 8') vorzubestimmen,

b)    in Gleichung 33) einzuführen:

EJb

m, m

m,e ‘

b³

3 EJS

m, e

zu bestimmen.

dm —

Hm, e • 6

m, m

m, e

m, m

^.3

R³

Jr

Jr

Jr

Sind mehrere Nebenrippenpaare 2, 3, 4 . . . m (r/>₂, r/>₃ . . . (pm) vorhanden

so existiert für jede

mit entsprechenden H₂,e, T₂,e) II3e, T3 Rippe m ein Gleichungspaar ur

.. Hm,e, T, z. B. für Rippe 2:

6

/»

o

²ds

• cos r/)₂ •

EJb

• I //₀ -• (-02, e ' COS <jp₂ -(- i?3! e • COS <jp₃ -j- . . . e • COS (pjin -j-

-j" ^2,e • sin f/>2 “h Js.e ' sin (fs -f- • • • T,

m, e

• sin <pm}\ —

b

jy²ds

2 EJr

• (Ä2,e • e-2,2 + #3,e- es,2 + ... Ilm,, * e*,a) = ß,e' -

EJb

«V, 2 =

b

I y² ds 0

EJb

• sin cp₂ •

■ [1I₀ — w • (/Ja, e • cos cp₂ -)- ... H

w, e

• COS (pm -j- T₂, e • sin r/)₂ -|- ... /)«, e • Sm <p/n)]

2 EJr

• (Ja, e • ^2, 2 H“ Ja, e • ^3,2 -f- • • • Tm> e • r,M) 2) — T%, e

b³

36

Anmerkung: In den Gleichungen 33) und 33') ist eine Vernachlässigung des Einflusses der Tangentialkräfte auf die radialen Verschiebungen und umgekehrt der Schübe auf die tangentiellen Verschiebungen erfolgt, da diese sekundären Verschiebungen sehr klein sind.

Die Biegungseinflußwerte ä— f(Te) und t — fx (//e) sind daher auch nicht ermittelt worden. Der Weg zur Berücksichtigung dieser Einflüsse ist nach dem oben Dargelegten einfach zu finden, doch gestaltet sich die Ermittlung dieser Biegungseinflußwerte recht umständlich.

Es erübrigt nun noch, die halbsymmetrischen Kräfte bei mehreren elastischen Ringen und Rippen aufzusuchen.

Es bezeichne wieder im folgenden:

, Hy die Schübe des Hauptsystems am Ring 2 bezw. 3, errechnet unter Berücksichtigung der vollsymmetrischen Formänderungen nach Gleichungen 18). (In den Gleichungen 38) entspricht der Bezeichnung //₂° der Wert X₂⁽¹*, dem Werte X\] die Bezeichnung H\.)

Die halbsymmetrischen Schübe und Tangentialkräfte der einzelnen Rippen sind bezeichnet

am Ring 2

am Ring 3

\Ht'\

j y^(2, e) jri(9,e)    rp(m,e)

\ III²’e), Hi’e)... H{m’c)

I jn(2, e) rji(3,e)    rp(rn. e)

am Fußring ist sodann H/?’e) = III2,+ Hi’c)

yi(2, e) ___ y’J2, e) _|_ rp(2,e)

Es bezeichne weiter:

u[r\, ^4■! 2.. • die radialen resultierenden Verschiebungen am Ring 2,

,,(2) ,.(8) (*) ₁

lir, 1 > i*r, 1 • • • ar, 1 n    »    n    n    n v

vf!u

4?1, 4?l • •

Für jede beliebige Rippe m ergeben sich bei den (außer dem eventuellen Fußring) angenommenen zwei Ringen 2X2 Verschiebungsgleichungen für die vier Unbekannten //₂(m’e), Hl"¹’e\ T₂(m,e), T}m’e):

— 2H'⁽' e) • C(. m) y u⁽™\ — JrA’ COS (fm — 2H{ • G(. TO)

l 47} = ^,!- sin ym-2T{-e)

Unter Berücksichtigung der Gleichungen 19') ergibt sich:

• Jr,t = [Ui - n ■ (Hł’e) ■ cos ,h + . ..    ■ cos ,fm + jf*> • sin (/,₂ + ... Tt',] ■ sin ,fm)] ■ Y,

+ [77? - n •    • cos ,h + ... 77{“'e) • cos <pm + 2?'e). sin <p, + ...    . sin y»)] • Y,„

.(m)

„ tangentiellen „

ul™2 —    2 • COS (f

vW = Jr,₂-sm

'    »i)

1.

" ^ (• m)

und

nf-'] • COS <f „, + 7f d • sin Vi + ... 7f• sin y,„)] • 3’, .......i.......................• sin • ) •

H'Th • //r, i [//₂ — w • (Hy * • cos (j2 -j-+ [7/l⁰-K-(flf''⁾-COSV2-f

Dann ergeben sich die Verschiebungsgleichungen z. B. für Rippe^m:

Æ■ EĄ = \\₂■ coslfm■ [ff?-n■ (Æf«• cos^ + ... fff'«.cos<pm + jf-«• sin,fl + ... lt'«• sin

..Hi

Jr,

-V[ffP'«-e₂,,„+.

+ Iff ■ cos • [ui

=fff'e)-r₂,₂ + fff'e)-ri,2

« ■ (fff' « • cos y, + ... fff' « ■ cos + 2f « ■ sin Vl + .. Ti”' « • sin *.)]

34a)

analog die übrigen drei Verschiebungen: wfi

jo

4:1 4:?.....34

Die Verschiebungsgleichung für    stellt sich unter Benutzung der

Beziehungen 21a) und 21b) wie folgt dar:

/»•£■ 45 = sin • {[ff₂° - » (af« • cos + ... fff'« • cos <pm + 2f'« • sin ÿ2 + ... If-« • sin ÿ,„)] • r2>2 + [fff - n (fff'« . cos ,/,₂ + . . . + rf>« • sin <p₂ + ... Tf« . sin . ff

■r₂,» + 2,f«-a„ + ...r:

c, d)

2;

ßM£+f-)

(m,e)

‘ ^ »i, m]

34c)

(^) • F ' r""‘ + « ' r”'‘)

¹

X = g, wie dies auch unmittelbar aus dem Maxwellschen Satze folgt.

[Für die Aufstellung der Verschiebungsgleichung v^r sind sinngemäß die Einflußwerte er und x (letzteres nicht mit dem Ringbiegungseinflußwert x zu verwechseln) der Beziehung 21b) an Stelle von und / anzuwenden.]

11. Anwendung des Verfahrens auf die Winddruckberechnung von Rippenkuppeln.

pF

Abb. 28.

Der Winddruck TF kann zweckmäßig mit seiner Richtung in eine Rippenebene fallend angenommen werden (Rippe 1). Die auf die Rippen 2, 3, 4 ... im Grundrisse entfallenden Winddrücke sind dann: TF₂ — W- cos (f₂;

TF, — W• cos (ps . . . usw.

Im Aufrisse ist in den anzunehmenden

Bogenteilpunkten eine Zerlegung in TF₀ — W -sin² «

und

^o =

IF

• sin 2 «

Abb. 28 a.

Wü] — W • sin² a • cos <p.2 F₀⁽²⁾ —    • sin 2 « • cos if>₂ ■ ■ ■ F₀(m) ~

vorzunehmen. Die entsprechenden Seitenkräfte der Nachbarrippen werden erhalten:

TFom) = IF - sin² a • cos <pm W

-g- • sin 2 a ■ cos (ptn.

Es empfiehlt sich nun, die Ermittlung der Windseitenkräfte für die •Mittelpunkte der Bogenelemente vorzunehmen, welche sich durch Teilung nach ,,konstanter Bogengröße“ ergeben (siehe Abschnitt 2).

Es braucht nicht erst erwähnt zu werden, daß sämtliche Entwicklungen der vorigen Abschnitte auch für horizontale Kraftangriffe gelten, da die von der Belastung abhängigen Integral werte ^ (Abschnitt 6, Gleichung 16) ein Konsolenmoment M₀ des statisch bestimmten Falles des Hauptsystems enthalten, das ebensowohl durch horizontalen Angriff entstanden sein kann.

Da die Berechnung stets ein belastetes Hauptsystem und unbelastete Nebenrippen voraussetzt, muß die Berechnung so durchgeführt werden, daß die unbekannten Schübe und Tangentialkräfte hintereinander für folgende Fälle ermittelt und dann algebraisch zusammengelegt werden:

1.    Rippe 1 mit den auf sie entfallenden Belastungen Wq\ Fo^ als Hauptsystem, alle anderen Rippen unbelastet als Nebenrippen;

2.    Rippe 2 mit den auf sie entfallenden Belastungen W}?\ Io²⁾ als Hauptsystem, alle anderen als unbelastete Nebenrippen usw.

Natürlich braucht die Ermittlung der Unbekannten nur für den ersten Fall durchgeführt zu werden, da für die weiteren Fälle dieselben aus den zuerst ermittelten durch Multiplizieren mit cos (p₂, cos (fs usw. erhalten werden.

Der Berechnungsgang selbst wird sich bei strenger Anwendung des ganzen Verfahrens (man beachte die vorgenommene Vernachlässigung zu Gleichungen 32) und 33) wie folgt gestalten.

Nach analytischer oder graphischer Ermittlung der Werte y₂₎₂ (bei mehr als 3 Ringen der entsprechend übrigen) und ebenso der Integralwerte Ti,!, Ti,2» I'2,2 (entsprechend eventuell der übrigen) entsprechend Abschnitt 6a und den ähnlichen Einflußwerten der Querbiegung der Rippen g, i, ip, % der Gleichungen 21a) und 21b) sind die Einflußwerte der vollsymmetrischen Ringformänderung K₀, JQ, Kllf usw. nach Abschnitt 4 zu ermitteln. Hierauf erfolgt die Bestimmung der vollsymmetrischen Kräfte nach Gleichungsgruppe 18) (ohne Zwischenringe nach Gleichungsgruppe 8).

Für die sodann folgende Ermittlung der halbsymmetrischen Kraftgruppen ist (für elastische Ringe wie oben) zunächst die Berechnung der Ringbiegungseinflußwerte e und i nach Gleichungen 29) und 32) vorzunehmen. (Besondere Ausdrücke für e₂.2, 63,3 usw. siehe Abschnitt 10.)

Hierauf sind die halbsymmetrischen Kräfte aus je einer Gruppe von Verschiebungsgleichungen für jede Rippe aus den Gleichungsgruppen 34) zu ermitteln.

Dies geschehen, sind die erhaltenen voll- und halbsymmetrischen Kräfte mit richtigem Vorzeichen zu addieren, und zwar getrennt für jeden der oben beschriebenen Winddruckbelastungsfälle.

Hierauf sind die für die verschiedenen Belastungsfälle erhaltenen Gesamtschübe und -Tangentialkräfte algebraisch für jeden der Angriffspunkte zusammenzuzählen.

Damit sind alle äußeren Kräfte ermittelt. Die Ringmomente sind dann durch Superposition je zweier vollsymmetrischer Kräfte und je eines Paares halbsymmetrischer Kräfte mit Hilfe der Beziehungen 1), 23) und 26) für die statisch unbestimmten Ringgrößen zu ermitteln.

Die genaue Anwendung des Verfahrens ist insbesondere wegen der langwierigen Ermittlung der Ringbiegungseinflußwerte¹) und der großen Zahl von Gleichungen bei mehreren Rippen und Ringen sehr zeitraubend.

Es ist daher von Wichtigkeit, sich darüber klar zu werden, ob in den etwa bei der Berechnung vorzunehmenden Vernachlässigungen größere oder unbedeutendere Fehler als in den Annahmen des Verfahrens von vornherein liegen.

a)    Der erste und wichtigste Annahmefehler des Systems liegt für Fälle der Praxis in der Nichteinbeziehung der zwischen Rippen und Ringe gespannten Decken (zumeist gleichfalls Eisenbetondecken), deren unzweifelhaft stark versteifende Wirkung nicht in der Rechnung erscheint. Die Berücksichtigung dieser Wirkung setzte die Lösung des Problems der glatten, einseitig belasteten, biegungssteifen Kuppel voraus, welche noch nicht existiert.

b)    Die in der Einleitung bereits erwähnten Annahmefehler der gewählten Lagerung, welche von der Übertragung der Querkräfte absieht und die vertikalen Ringbiegungen sowie Torsionen ausschaltet.

c)    Für den im Verfahren eventuell angenommenen Fußring herrscht der Widerspruch, daß er absolut verdrehungsfest, aber im radialen Sinne elastisch angenommen ist.

-J

Der versteifenden Wirkung der Kuppeldecken kann zweckmäßig durch Einbeziehung eines bestimmten Teiles derselben für die Ermittlung der Ringträgheitsmomente Jr, Jr>t, Jr,2 usw. annähernd Rechnung getragen werden.

Abb. 29.

Durch die Entwicklungen der vorhergehenden Abschnitte wird konstatiert werden können, welche Fehler bei folgenden beabsichtigten Vernachlässigungen zu erwarten sind.

1. Vernachlässigung der Rippenquerbiegung. Angenommene Rippenform: flache Parabel.

Kopfring r —2 m; Fußring jR=12 m; èmlOrn; Pteil / = 4 m

Jb

Js

² ds —

P-b __ 16-10

— 32.

Nach Gleichung 15) Tm —

(10)³

3 • 32

Der Fehler der Vernachlässigung durch Tm beträgt somit etwa 9,5 vH.

X- 1

b) (fm - o

max Tm =

= 0,08 X

3X

Der Wert von Hm in a) käme bei Vernachlässigung von Tm auf

X-

j/2

II

! + 2-l

— X- 0,353.

= 0,338 X

X-

i/2

Nach Gleichung 14) llm —

Die auf das Hauptsystem übertragene Kraft wäre bei Vernachlässigung

von Tm:

fl • Hm ‘ COS (pm -X. • 2 •

/2

• 0,353 = 0,499 X,

mit Berücksichtigung von Tm

i/2

i/2

n (ifm • cos (fm -f Tm • Sin </<,„) — 2 • ^ • 0,338 -f- 2 • Q

•0,0323 X=0,524 X.

Die stabilisierende Kraft am Hauptsystem fällt somit bei Vernachlässigung der Querbiegung um etwa 5 vH. geringer aus, während die radiale Nebenrippenbeanspruchung um 5 vH. größer ausfällt. Die Vernachlässigung ist also nicht bedeutend und erhöht die Sicherheit selbst bei Annahme einer

— 1, die gewöhnlich nicht

so großen Seitensteifigkeit der Rippen wie vorkommt.

2. Vernachlässigung der Ringform Veränderlichkeit für die halbsymmetrischen Kräfte.

da die

Zur Untersuchung des Einflusses der Vernachlässigung der Ringelastizität für die Ermittlung der halbsymmetrischen Kräfte ist nur die Veränderung der halbsymmetrischen Schübe zu untersuchen Tangentialkräfte zufolge 1. beim Näherungsverfahren ausscheiden.

— 41 —

Der Einfluß ist erkennbar aus 30):

■m, e

TI

cn

is

"tH O'!

Jr

• Rz +

J rp*

⁽‘m, m

b

J y² ds

für <fm

(i)

Jb

3 ’ \Jr

— 1 ; JS= 12 ; r — 2m

<pm sin (fm ‘ I cos (f m —[■

2 (fvt ■

71

• Sili (pm

— 0,089

N

¹¹ vi, e

H₀ -0,7071

H₀- 0,7071

te i-».

tH ! CO

IC

GO

0,089 — 2 + 0,955

G4

Im Falle angenommener Starre der Ringe —    — oo):

Hm =

i/o *0,7071

Es wird daher bei der Bestimmung der halbsymmetrischen Schübe ein Fehler von etwa 30 vH. begangen und, da der halbsymmetrische Schub maximal etwa ein Drittel des Hauptsystemschubes beträgt, ein Fehler von etwa 10 vH. in bezug auf diesen. Die stabilisierende Kraft am Hauptsystem verändert sich um

» iL jo

2 100

■H₀ =

14

100

-H

05

also um etwa 14 vH. Es wird demnach bei Annahme starrer Ringe für die Hauptrippen zu günstig, für die Nebenrippen zu ungünstig gerechnet.

Die vorliegenden Fehlergrenzen gelten natürlich nur für die eben getroffenen Annahmen.

Bei der Berechnung praktischer Fälle wird es demnach dem Konstrukteur überlassen bleiben, auf Grund einer mehr oder minder möglichen Einschätzung der in Betracht kommenden Ringträgheitsmomente das Verfahren mehr oder weniger weit auszudehnen. Dabei wird er sich stets bewußt sein müssen, daß nur Genauigkeitsgrenzen in Betracht kommen können, die dem Fehlerbereich der Annahmen entsprechen.

Rechnungsbeispiel für eine parabolische Rippenkuppel, bestehend aus drei Ringen und acht Rippen auf einseitigen Lastangriff.

Annahmen:

• X²) R—\h m; i\ — 12 m

b²

Rippenform flach parabolisch: y —

r₂ — 2 m; b — 13 m; f— 7m; h—'^£,₂ • (12 — 2)² = 4,15 m. Laststellung: a— 10 m.

• [(JB — r₂)³ — (fi — r₂)³] -f h² • (Æ — r,) = 6,6

Fi,

2 = / 2/ 2/i dx = i(pr [(Æ — ^₂)⁵ — (n — r₂)⁵] —

ß    jif    ²

3 6²~

Fi

,i —

~~ 5 &⁴

- [(Ä — r,)5 — (rx — ra)a] —

.B

pb

/A

ftf

7l^V,15 /    \

I / Sino 7

jXt-r₂j=72mA² - 7j=.

f=7m

l Dx/srüiff

?Z

7}

z-n-757.

7\æ

Bestimmung der Konstanten und Belastungswerte nach Gleichung 16:²)

' a⁴ .

36 ⁺

JW>,2 —

! M₀y dx

■(- -)1

cs jec

= 206

f M₀y₁dx = I ^

(■R-r,)

(n—r,)

/A • l/₀    ; J/₀ — x — b -f- a

(R—r,)

[Ki =

V-

• (a —

b) • I x² dx -f- !

(R-r,) -

x⁵ dx

(n—r,)

(n — r,)

(R-r,)

— h • (a —

bß j'dxß f

(R-r-r

xdx

= 37

(r\ — r,)    (n —r₂)

m/uLeW

Ri/ig2

Abb. 30.

- ^ iß dx — 128

r • [(22 — rty — (rj - r₂)³] = 24.

Zu Vergleichszwecken seien die Schübe am Hauptsystem (Kippe I) allein, unter der Annahme starrer Ringe, vorerst ermittelt.

Nach Gleichung 16:

256Za + 48Z₁ = 206 )

48 Za + 13,2 Xx = 37 j

hieraus Z₂ = + 0,88; X₁ = — 0,41. Fußring: Xl + Z₂ = 0,47.

Fehlte der Zwischenring 1, so ergibt sich

y_ 1^2,2

206

F₂₎₂    256

= 0,81.

Biegungseinflußwerte der volisymmetrischen Ringformänderung:

*o=-

ü-i)

Ä+ = K,

= — 0,151

* = + (1-V-) = + 0,137

rH -TI

+ COS (/>! ■ 71

+ +>“•

■)

= + 0,0077.

Da das negative Vorzeichen eine Ringbiegung nach innen hier bezeichnet, müssen die Biegungseinflußwerte sämtlich mit umgekehrten Vorzeichen in die folgenden Gleichungsgruppen eingeführt werden. Ein positiv aus diesen Gleichungen erhaltener Schub am Ring 2 oder Ring 1 beansprucht dann diesen Ring auf Druck.

Annahmen bezüglich Trägheitsmomente:

= i;-

Jb

Jr, 2

Unter Einführung der oben ermittelten ^M; ^2 2; T2 2; + ₂; T+ sowie ii₀; K*] K* ergeben sich nach 18) folgende Gleichungen der voll-

symmetrischen Ringformänderungen:

2 EJh-df=:^ ²³

• fO, 151 Zf — 0,015 Zf — 0,137 Zf]

= 206 — 256 Zf —48 Zf

. la)

und 2 EJb ■ r)f =

• [0,151 Zf - 0,015 X}²⁾ - 0,137 Zf]

= 37 — 48 Zf — 13,2 Zf . . .

. . lb)

2 a)

• [(0,151 — 0,137) Zf — 0,0077 Zf — 0,0077 Zf ] = — 256 Zf — 48 Zf

und 2 EJb • dl²⁾ =

f 12s    15³ \

V 3 ’    5 J

• [(0,151 — 0,137) X}²⁾ — 0,0077 Xf} — 0,0077 Xj³⁾] = — 48Xf — 13,2 Xf

2 b)

2 EJb-d⁽? =

(-y- + “y³") • [0.151 Xf — 0,015 X₂⁽²⁾ - 0,137 X^]

— — 256X|³⁾ — 48X|³⁾

3 a)

2EJb-âf]=: ( l|³ +    • [0,151 Xl³⁾-0,015Xl²⁾-0,137Xi1}]

= — 48 Xf — 13,2 Xi³⁾

3 b)

Es ergeben sich durch Auflösung dieser sechs Gleichungen die vollsymmetrischen Schübe

am Ring 2

am Ring 1

am Fußring X₂⁽¹⁾-{-Xi⁽¹⁾= +0,895 X₂⁽²⁾-fX₁⁽²⁾= + 0,245 X|³⁾ + Xl³⁾ = + 0,407 Wären die Ringe starr, so ergibt sich (siehe oben) — -f- 0,88, X{}) =— 0,41; weitere vollsymmetrische Schübe treten nicht auf.

Xf⁾ = + 0,551 Xf = — 0,031 Xf — -f 0,103

Xt⁽¹⁾= + 0,344 Xl²⁾= + 0,276 X[³⁾ = -f 0,304

Die halbsymmetrischen Kräfte mögen an diesem praktischen Rechnungsbeispiel unter Ausschluß der Tangentialkräfte wegen des geringen Einflusses derselben ermittelt werden.

Zunächst sind die Ringbiegungseinflußwerte zu berechnen.

Nach Gleichung 28):

6?n

— 6-2,2 — (fm — sin fjPm • 1 cos <fm “j“

1/2

TT

= 0,0891,

ferner für

(fm —

R -M

. (fa —

nach Gleichung 29):

6m, a — 63j2 —

COS •

2 ⁽fa

• (fa — sin (fa •

cos (f m 4

2 (fa '

R KM

= 0,

ebenso für

(fm —

; (fa — 0;

6|«, a -— 6₂₎ i

2 • 0 • <fm

0) • 0 — sin 0 • ^cos (fm -f-In den Gleichungsgruppen 34) ist iJ₂° = X₂¹⁽ der Gleichung 18) und H\ — Xi⁽¹⁾.

= cos • {(fm

71

• sin (fm

= 0.

Diese Gleichungen sind dann im besonderen Falle ■ EJb = Ti, 2 • (cos (p2 ■ [II°2 - n - 7T₂(2e)

-j- Fl, 2 • {cos <f .₂ ■ [//," — n • 7?fe) • cos r/₂] )

u{?\ ■ EJb = Fi,2 • {cos ,/2 • [tf₂° — « • 77₂(2e)

+ Fm.{cos

• cos

72]

r₂³

r.2

) • i42el ■ c₂,₂ = /42<) • r,.s + //,M • rli2

• COS

• cos

■I

Jb

E³

n³

u⁽r\ • EJb = 128-

) • [H?e) • e», 2] = H?e) • Yi, 2 + ^i(2 ć) * F, ÿ • 0,551-2- ^ -1 Ąu)

• 0,344-

Jr

/2

+ 24 •

15³

1/2

Ol

Jr, 1

• //

(2«)

• 0,0891 • lite)= 128 • H<j?e) + 24 • H?e)

• 0,551 —

H- 6,6 —g“ * 0,344-2-

2 • Jy- • yyi2e)

' -7/K

• 0,0891 • 77(2e) = 24 • Tyj2e) + 6,6 • IIt]-

Hieraus bestimmt sich 77₂2e) = —{- 0,19 ; 7/fe) =-{- 0,026. Auf die Idauptrippe I somit

am Ring 2 : n • cos r/>₂ • 77₂2 e)=2-

ic

F-. 0,19 = 0,269,

TZf e) = 2 • Jy- - 0,026 = 0,0367.

am Ring 1 : n • cos (f ₂ ■

Zum Vergleich seien wieder die halbsymmetrischen Kräfte bei starren Ringen ermittelt:

Nach Gleichung 20):

206

t(2)

IC

co

• cos (f₂ — 2 • F⁽²⁾ • cos² f/>₂ = ^

2 • C/⁽²⁾ • cos² r/)₂ = Z7⁽²⁾

ergibt

somit 128 7/f + 24 • Ht = 36,41 24 77₂²⁾ 4- 6,6 • 77i⁽²⁾ — 6,5 j

—9— • cos r/>₂ —

7⁽²⁾ = 36,4 • ?7⁽²⁾ = 6,5,

77₂²⁾ = 4- 0,315; HF = — 0,16. *)

*) Auf das Hauptsystem wirkt am Ring 2:

ÎÎ • COS (f 2 •

H® = 2-

Vf

•0,315 = 0,448,

am Ring 1 :

n • cos T2 • iï)²⁾ = 2 •

J/2

.(— 0,16) = —0,226.

In nachstehenden Abbildungen sind die resultierenden Schübe der Rippen für diese und die Ringe dargestellt, also die Teilsysteme zur Ermittlung der inneren Kräfte frei gemacht.

Starre Ringe

1,328

0,932

a) Äußere Kräfte der Rippen.

Elastische Ringe

o,m

1

\Jt

920

0,030

0,789

0,387

0,692

0,2¥8

7,207

0,307^\

0,589

Rippe I

(Hauptsystem)

0,375

0,375

0,227

¥ 0,759

0,76

0,76

V .0,755

0,755

/0,250 Ov/ 0,029 ₃

0,703

0,703

Q3Q2'

0,967

Rippe II

0,309

0,309

0,907 y

Rippe III

Ring 2

b) Äußere Kräfte der Ringe.

Ring 1

Fußring

0,907

0,309

0,703

0,295

0,295

0,276

0,276

0/037

0,037

77,557,

37,557

0,399

0,399

0,895

0,895

Vollsymmetrisch

0,031

0,031

0,703

0,276

0,276

0,309

0,295

' '0,907

0,295

0,216

0,026

0,026

0,216

0,19

0,79

0,269

0,269

9,0367

077367

0,3057

0,3057

Halbsymmetrisch

0,79

0,19

0,026

0.026

0,216

0,216

Hiermit ist die Aufgabe gelöst. Die Rippenmomente sind nach

Mx — M₀ — X₂ • y — Xx ■ yx

und die Ringmomente durch Superposition je zweier diametraler vollsymmetrischer Kräfte nach

Mc — —

Er f

2 l

COS <f —

und der halbsymmetrischen nach

/'

X= — Z-

sin œl (n— 2 c/O

71

und den sich mit dieser Unbestimmten ergebenden Winkelwerten der Momente zu bestimmen.

Nachfolgend noch eine Tabelle aller Ringbiegungseinflußwerte für die in der Praxis zumeist verwendeten Winkel der Rippenlagen.

Tabelle für Kv, e und t.

<f°

Kip

Cm, m

Vm, m

fcO

+ 0,1366 + 0,1198 + 0,09954 + 0,0727 + 0,00538 — 0,0668

—    0,0989

—    0,1250

—    0,1488

+ 0,0412 + 0,0704 + 0.0906 + 0,08904 + 0,04695 + 0,0248 + 0.0089

+ 0,0379 + 0,03246 + 0,0258 + 0,0179 + 0,00656 + 0,00123 + 0,00035 + 0,00015

90°

ß/

->■

Abb. für em, a- (fm — 15®.

Im folgenden sind diese Biegungseinflußwerte als Schaubilder der Ringformveränderungen dargestellt und durch em,a — ca,m und aus den Tabellen ergänzt.

Abb. für Kw.

75°

67% °

Tabelle für em,a.

(fa °

60°

45°

30°

22% °

15°

O >C 05 t—

5- o io o N

CD CD •'f CO (M

to

0,0528 , 0,0574 : 0,0784

0,0501

0,0702

0,08444

0,0301 ; 0,0190 0,04266    0,0271

0,0523 0,05964    0,0391

0,0094 0,0134 0,03305 0,0166 0,02076 0,03305 0,01744

^.....

0,01396

90° &I

V,

0

é/

2#

?,y

?m=22⁷/₂°

Pm,

-VS*

\0

Abb. für em,a-

(fm

45°; 30°.

ß \Z

M

// fA

90°

y%ê

Sr.

o-

Po

r°

<67⁷/₂

co-

b=>

Abb. für em,a-

ym = 60°; 67Va°.

■Z

Abb. für em, a- <Pm = rl5°.

Tabelle für rTO) a.

<f a °

90

75

67 V₂

60

45

30

991/

/2

75°    67 V₂ ° I 60°

0,03820 ! 0,03927 0,03150

0,04169

0,03190

0,02499

45°

0,05132

0,03526

0,02639

0,01830

30°    22 V₂ °

0,06223 . 0,04078 0,02980 0,02009 0,00674

15°

0,06302 0,05711 0,04143 0,03743 0,03041    0,02782

0,02344 0,01917 0,00695    0,00675

0,00123    0,00123

0,00034

55

Po

~V

8ä

s

OL

Abb. für Tm,a• ff'm — 30®.

Abb. für TrrijU- (pm—:G0°.

In der zur Darstellung der rm a nötigen großen Verzerrung sind die Verschiebungen für (pm >75° zufolge Überschneiden der Formänderungsstrecken bei (pa — 0 nicht mehr richtig darstellbar.

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111-307034

100000316003

111-307041

ci!

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L.

IM-307035

'ruk. Ij

'00000316004

100000316010

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III-307036

V Sjf *■ JM

V ] l. t V -    -

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' Vv

y-

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0316007

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//

Y 'IF. *r

III-307039

100000316008

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III-307040

100000316009

>■

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100000300595

IH-307033

¹

Für die häufig vorkommenden Winkelwerte ist eine Tabelle der Ringbiegungseinflußwerte am Schluß gegeben.

²

Sämtliche Ausrechnungen dieses Beispiels sind mit dem Rechenstabe durchgeführt, daher mit Genauigkeitsfehlern behaftet. Um die Fehler bei der Berechnung der sehr kleinen Biegungseinflußwerte der Ringe für weitere Fälle der Praxis möglichst einzuschränken, sind Tabellen dieser Werte für die gebräuchlichsten Winkel am Schlüsse angegeben.