■*

Profcffot* X^tnricfy ZTliiller

(Einführung in bie Differential³ unb 3ntegralrechnung

gum (Sekraud? an I}öl|mn Schulen

C;f"

Perlag oon 3. (5. Ceubner in £<?tp3tg uttb Berlin \ty07

•>

.3

^OA

</

TA

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298313

PvofclTor Bchmrfj Ulüllevs Bhiflirutattfrljcs Hnfmirijfeh»exlr

(Einführung in bie Differential: unb 3ntegralred?nung

^um (Befcraucfy an l]öf|am Schufen

bearbeitet pon

prof. IMnrirfi Jföüfter

ITItt einer Kurrentafel

S. Z103R0WSKA

Ceip3ig unb Berlin

Drucf unb Perlag non B. (5. üeubner 1907

MO

-U°25)

D r.

€3T

«sc

C£>

C?:

.•*

r'n

CT>

-JCCK:

£:v

SL-

*TZ

Z-

o>

\~ci

2t(Ie Hedjte, etrtfd^Itegltd? bes ÜbBrfetjungsrechts, Vorbehalten*

SSortoort.

2)a§ oorliegenbe 2Berfcf)en oerbanft feine (Entftehung bem SBunfche, ben ©ebntifett, bie ber 33erf. in feiner Arbeit über „^Rechnen unb SJtathematif" in bem bei 35. &. SEeubner erfdhienenen ^anbbucf) für Setjrer bjö^erer ©cEiuten über bie ®urdfnat)me ber £>ifferential= unb gntegralrechnung auf= gefprodfen t»at, burd) eine fdfutgemäfje ©arftellung bef (Sebietef eine praftifdf oerwenbbare gorm P geben. Snfbefonbere wollte 35erf. feine Auffaffuttg, baff bie Aufnahme ber @ruubaufcf)auungen über baf Sßefen unb bie Aufgaben ber Snfinitefimalrechnung in ben Unterricht ber fßrinta fiel) auf ber Stelle ber preufjifcffen 2et)rpläne

2)abet rutrb ftd) (Gelegenheit Meten, ben Schülern ein einge^enbe^ $erftänbnt3 be3 gunftion£üegrtffe3, mit bem fte fd)on auf früheren Stufen betannt geworben finb, erfd)liefen.

fel)r wohl rechtfertigen liege, baburch p unterftütjen fuc^en, bah er geigte, wie ber Stoff fich leicht an bie geforberte eingehenbe SÖcfprecf)iutg bef gunltionf= begriffet anf<f)liefgt unb wie er in einfacher unb allgemein öerftänblicher SBeife aufgebaut werben fann.

33ei ber 33etrachtung einer gunftion unb ihrer graptpifclfen SDarftellung wirb bie ginge, ob bie gunftion oon einem beftimmten SBerte ber 3Seränber= liehen ab weiter^ ju= bjw. abnehmen ober oom ßu= put Abnehmen unb um= gelehrt übergehen wirb, nicht ju oermeiben fein, unb bie SUJöglid^Teit, bie @nt= fdjeibung auf einem anberen 3ßege wie burch jeitraubenbe Aufwertungen treffen ju fönnen, wirb oon ben Schülern freubig begrüfft werben. Soll aber bie herbei erfolgte (Einführung bef 2)ifferentialquotienten in ber 5Eat bie erhoffte (Erleichterung bringen, fo ift bie Verleitung ber Regeln für bie Verfteöung ber Ableitungen einer gunftion nicht p umgehen.

®a ber binomifc^e 2ehrfai3 als betannt ooraufgefeht werben barf, fo wirb bie Aufteilung ber SEaplorfdhen unb ber 9>tac=2aurinf(hen AceiEje an bie neu gewonnenen Senntniffe fich bequem als eine Anwenbung ber 35inomiat= reihe anfdhtiehen unb bamit bie (Srunblage für eine einwattbffreie Ableitung ber algebraifchen Leihen hergeftellt werben.

53ie grage nach ben ©renjwerten, bie bei ber 33etracf)tung ber gunttion halb auftaucht, wirb nun eine juöerläffige Beantwortung finben fönnen, unb ba oucf) bie SSeftimmung ber Söenbepunfte feine ©djwierigfeit mcfjr bietet, fo wirb ber ffforberung ber Sebrpläne, ein eingebenbeS ißerftänbnis beS gunftion§= begriffet ju erliefen, feilt in nad^brüd£ic£)fter Söeife genügt werben fönnen.

211S britte Slnwenbung ber gewonnenen TDifferentiatformetn erfc^eint bann bie ©infübrung in bie Sntegralrecbnung unb beren einfacbfte SOietboben. SBenn $erf. bei ben SlnWenbungen etwas weiter gegangen ift, als es un= bebingt wünfcbenSwert erfcbeinett bürfte, fo gefdfab bieS in ber Stbfic^t, reiferen ©dfülem eine SBorftellung non ber großen grudftbarfeit ber neu gewonnenen Stnfcbauungen bei ber SBebanblung geontetrifdfer unb    Aufgaben

ju geben. Snwieweit bie fdEjwierigeren Scifpiele im Unterricht ju bebanbefn finb, wirb ber Sebrer im ©injelfalle ju entfdfeiben fjabcu.

SBerf. begt bie Hoffnung, baff baS 2Serftf)en als ein brauchbarer Beitrag jur Söfung ber fcbwebenben fragen auf bent ©ebiete ber ©cbulmatbematif betrachtet werben wirb.

©barlottenburg, im gebruar 1907.

3nl)aft34tberjid)t.

ftap. 1. ilnfangsgrünbe ber JHftereitfiafredjmtnß.

9?r.    1.    (S5rapb)ifd)e $)arftellung einer fjunftion...........

s    2.    ®rabl)ifd)e ^fuflöfung oon (Gleichungen...........

=    3.    3Us unb 2lbnal)me einer gunftion. (Sinfüf)rung be3 Sifferentialquotienten .    3

=    4.    OTgemeine 8ä£e über $>ifferentialquotienten

=    5.    3)ifferentialquotienten bejonberer gttuttionen

©eite

®ap. 2. l*(uenbncfje Stellen.

9lr. 6. 3)ie £aqlorfdje unb bie 9ftac=£aurinfd)e Üiei^e . . .

=    7. 2)ie (Sjbonentialreiljen unb bie logaritljntifd)en 9ieil)en

= 8. Üteiben für bie Söinfelfunftionen. ®ie Qabl % . . .

10

11

3. ilusgejeidmefe gSerfe ber grunßfionen.

9ir. 9. ®röf$te unb fleinfte Vkrte.............

5 10. Sßenbepunfte ber ShtrOe y = f(x)..........

= 11. Veftimmuug be3 ttmfjren 2öerte3 unbeftimntter 2lu3brücfe

"-H    iO c£>

1—I    i-H -i—I

4. finfüljrung itt bie gufeötafredjnung.

yix. 12. ^Begriff be£ Integrals. 0ä£e über integrale.......

* 13. 9D7etI?oben ber Qntegralrecfynung.

a)    Umfet)rung ber $)ifferentialformeln.........

b)    Vorbereitung ber Integration burct) eine Subftitution .

c)    partielle Integration...............

18

19

20

21

$ap. 5. Jtnwenbungen aus ber Geometrie unb

9^r. 14. £ange fruntmer Sinien (SReftififation)............

s 15. Veftimmung oon glasen ebener $urOen (Onabratnr).....

= 16. ^auminljatt Oon Umbref)ung3törbern (Kubatur)........

s 17. 2lmoenbungen au3 ber $l)i)fif.

a)    $ie gaflgefe^e nnb ber fd)iefe 28urf..........

b)    (5d)toingung3bauer eine£ matl)ematifd)en ^enbelS.....

= 18. 3)ie $eblerjd)en (55eje^e nnb ba3 97etotonfd)e ®raüitation3ge)eb-

a)    Vorbemerfungen...................

b)    Verleitung be3 feiten ®eplerfd)en ($efe£e3.......

c)    Verleitung be3 erften ®ebler[d)en (55efe^e^........

d)    Verleitung be3 britten ^eplerfcljen (55eje^e^........

e)    Verfettung be3 Sftetotonfdjen ($raoitation3gefe§e3 au3 ben ®eblerjd)en

®efe£en..........................

22

27

29

32

. 32

33

35

35

36

Kapitel 1.

9tnfanpgnrobe bei* Diffcrcnttairerfjnung.

Mi\ 1. @rapl|i|'tfje 9av|tKlhtnit rinn* 3ütnl?fnm.

ir

gig-1.

fRedjuet man für eine 9teif)e beieinanber liegettber SBerte non x bie 511= gehörigen SBerte ber gunftion y = f (x) au3, fo erhält man eine SBerte= tabelle, in ber bie S(bl)ängig!eit ber g'intftion non ber SSeränberlidjen für ben gemähten 23ereid) ju einem beutlidjen StuSbrud gelangt. SDiefe SBerte= tabetle faitn man benutzen, um ben Verlauf ber gunltion grapfjifd) barjuftetten. 3)fan trägt in einem beliebig angenommenen SOtafjftab auf einer wagered)ten ©evabeit (ber x=2ld)fe) oon einem miÜlürlid) gemähten 2lnfang§= fünfte 0 au2 bie SBerte ab, bie man x beigelegt f)at, errichtet in 0 ba§ Sot ju ber X=2lct)fe (bie r=9t<bfe), mifjt auf biefem bie entfprerfjenben SBerte oon y ab uub ber= oollftänbigt jebeSmal ba§ fRec^tecE, beffen Seiten jtoei jufammengeljörige SBerte oon x uub y barftellen. SSerbinbet man bann bie aufeiitanber fotgenben oierteit Sdett biefer fftedjtede brtrefj einen ßinienjug (eine turne), fo erhält man ein Sßitb ber Munition f (x), unb bie§ 93ilb ift um fo genauer, je näfjer bie benutzten SBerte oon x beieinanber liegen.

@ntfpred)en Heineren Slnberungen oon x and) Heinere S3eränberungen oon y (ift bie gunftion ftetig), fo üerlauft bie .turne ftetig unb täfjt an= näl)erung§toeife aud) bie SBerte oon y erfennen, bie ju ben nid)t benu^ten SBerten oon x innerhalb be§ gemäplten S3ereic|§ gehören.

®ie Stellen, an benen bie $uroe bie X=Sld)fe fd^neibet, bejeic^nen bie SBerte oon x, für meldfe bie    V 0 wirb; fie peilen baper

Bin II ft eilen ber gmtftion.

gür bie |>erftettung ber ßeidjming benupt man am beften fogen. Sölitlimeterpabier.

Füller, Differential^ unb fttttegralredfnung.

Br, 2, (©vaplitldjc BufUifumt tum OMrtdjimitcn.

a) 33erbinbet man jtoet fünfte P, unb P₂ ber Sinie, tuelcfje bic gunttion erften ©rabe§ y = ax + b barfteHt, miteinanber, fo ift bie trigonometrijdje Sangente be§ SSinfetö cp, ben bie ©erabe P₁ P₂ mit ber X=2tdjfe bitbet,

gleich bern ©ifferenjenquotienten ■ ®a aber ys - y. = a(xt — xX

atf°    = a f° crfennt man, baff ber SB intet cp ftet§ biefetbe ©rüge

nur

befifct, meldje SSerte man artet} xt rtnb x₂ beitegen mag. 2)ie§ ift aber

-5/

ntöglidj, menn P₁ unb P₂ fidj auf einer ©eraben be= megen, b.f).ba§ geometrifcfje SSitb einer $unf= tion erften ©rabe§ ift eine gerabe Sinie.

0_

SiB- 2.

iJtun täfjt fidj y au§ ber ©teidjung ax + by = c afe. gunftion öon x auSbrüden (enttmcteln); ba§ 23itb biefer g-unftion ift gteic^geitig ba§ S8ilb ber ^ gegebenen ©teidjung. ©ntfpredjenb läfjt fic^ eine jmeite ©teidjung dx -f ey = f bnrd) eine ©erabe barftetlen. ®a aber jmei ©eraben fid) nur in einem ißuntte fdjneibett fönneu unb jeber Sdjnittpuntt einem Sßurjetpaar ber ©teidjungen entfpridjt, fo beftätigt bie grapfjifdje Sarfteßuug bett Sa^, bajj §mei ©ieidjungen erften ©rabes mit jmei Unbefannten nur ein SBurjetpaar befitjen tonnen. ®a ferner jmei ©eraben parallel finb, menn fie mit ber X=5td)fe

gleiche SBinfet bitben, fo fdjneiben fid) bie beibeit ©eraben nidjt, toenn y =

atfo ae — bd = 0 ift, b. t). gtuei ©teidjungen mit jwei Unbefannten befi^en nur bann eine Söfung, menn itjre ®i§triminante oon 0 oerfdjieben ift.

h) Sft bie f5imW°n V oom jmeiten ©rabe unb mit x burd) bie ©teidjung y = x² + ax + b oerbunben, fo fann man y at§ bie Summe ber beiben gimttionen yl = x² unb y₂ = ax + b anfetjett. 3lu§ ben Sinien, metdje biefe gunftionen barftetlen, erf)ött man bie fiuroe für y, menn man bie einanber entfpredjenben SBerte oon yl unb y₃ jebelmat abbiert unb bie ju ber Summe yt + y.₂ gehörigen fünfte burdj einen Sinienjug miteinanber oerbinbet.

Sie Stitie y = x² ift für alle $unftionen öort ber Sorm y = x² -f ax tJ- b bie gleiche; ^at man fie baf)er einmal forgfältig ge$eid)net, fo fann man fie au3fcf)neiben nnb für 2)ar= fteüungen Bennien, meld^e in bem gleiten 9ftaf$ftaB an§gefüf)rt merben foüen.

^>ie Beigefügte STafel Bringt bie ^nroe y = x² auf 9!}UlIimeterBangB^^er-

Sie grapifdje Sttuflöfuttg ber Gleidfung x² + ax + b = 0 geftaltet fid) nun einfad). Grfefü man in ber Gleicpng x² burd) y, fo erhält man y + ax + b = 0 unb weifs, baff ber Sßert oon x, ber ju einem ©djnittpunlt ber Sinien y = x² unb ber Geraben y + ax + b = 0 gehört, eine SBurjel ber Gleicpng x² + ax + b = 0 ift.

c) Gntfpredfenb laffen fid) alle breigliebrigen Gleichungen oon ber $ornt xn + ax + b = 0 nciprungSWeife babnrcfj auflöfen, baff man bie $urOe y = xn unb bie Gerabe y + ax + b = 0 geicEjnet unb auS ber gigur bie SBerte oon x ablieft, bie ju ben ©djnittpunlten ber beiben ßurüen gehören.

Br, 3, 3u- unb Bbnaljntr einer EPunltfiim, (Einführung brs ^ifferenfialguofienfen.

Um beurteilen gu löitnen, ob bie fpnltion f(?) öon ber ©teile x = a ab §u= ober abnimmt, müffte man nadf beut 33iSl)erigen ben Söert ber gunltion für x = a unb für x = a + d berechnen, wo Ö eine int 93erf)ältni§ gu a felg fleine Gröffe begeidjnet. Sft bie gunltion oon pfjerem Grabe, fo wirb bie 9tecpung fep müljfam, unb bapr emgfiefjlt eS ficf), ein weniger geit-raubenbeS Sßerfafjren abguleiten. 2Bir wollen uns aber babei auf bie 93e= tradjtung ftetiger Munitionen befdjrcinfen.

a) 23ei einer ftetigen Munition y = f(x) pt bie SSergröprttng ber 33er-ältberlicfjen x um (ein gtoar jeljr fleine^, aber bod) cnbtidjeS ©tüd) Ax eine ttacf) Gröffe unb Sinn beftimmte Sßer= änberung Ay oon y gur golge, unb

ir

jp,

ber Sifferengenquotient ober bie

Acc

2rtö. 3.

trigonometrifcp Sangente beS 2Bin= lel§ qp, ben bie ©elante PP' mit ber (gofitißert Otidüung) ber XsSlcflfe bilbet, fann als SKaff für bie ein= getretene 33eränberung gelten. SBirb ^ nun bie ©elante um ben ißunlt P gebrefjt, bis fie in bie Sangente in P iibergep, fo rücft P' bem ißunlte P unenblidt) nap; bie Sifferenjen Ax unb Ay werben ttnenblicf) Hein,

unb ip Quotient nimmt bie unbeftimmte 5Drm o cm. Ser SBert beS

Quotienten ift bagegen eine ganj beftimmte Gröffe; er ift gleich ber trigon. Sangente beS SBinlelS a, ben bie Sangente in P mit ber X=21cl)fe bilbet. SBejeichnet man junt Unterfdjieb oon ben Größen Ax unb Ay bie uuenblid) Keinen SBertoeränberungen mit dx unb dy¹) unb nennt biefe nicht mep

Differenzen, fonbern Differentiale itnb bett Quotienten ~~ ben Differential quotienten ber gunWon y ⁼ f(x), fo folgt:

X£f|r)af| 1, Der Differenttalquotient ber gunftion y = f(x)

ift gleid) ber trigonometrifdjen Dangente be§ 28infel§, ben bie geo= ntetrifdfe Dangente ber Äuroe y — f{x) mit ber pofitioen IRidjtung ber X=ütcf)fe bilbet.

dy

ber

dx

2» Der SBert be§ Differentialquotienten

gunltion y = f(x) für x = a ift ba§ ÜDiaf? für ben ©rab unb ben ©inn ber SSeränberung, bie y erfährt, menn x oon a ab um eine unenblid) Heine ©röfje junimmt.

XBf|ll'aff 3. Die tion y = f(oc) wädfft oon ber ©teile a ab, wenn ber Differentiatquotient für x = a pofitiü ift, ttnb fie nimmt ab, wenn er negatio ift.

b) ©ntwicfelt man in ber Ölleitung

-2

y + Ay = a₀ (x + Ax)” ^(x    Ax)”⁻¹ + a₂ (x + Ax)”

bie ißotenjen nadf bem binomifdjen ©afje unb orbnet bie ©lieber nad) ißotenjen üon Ax, fo erhalt man in bem erften (oott Ax freien) ©liebe wieber bie gunftion y felbft, unb bafjer fallt y au3 ber ©teidfung fort. Stuf ber regten ©eite bleiben nur ©lieber, welche ber ffteilje naef) bie gattoren Ax, (.Ax)², (Axf . .. (Ax)n Ijaben. Dioibiert man beibe ©eiten ber ©leidjung

burdj Ax, bilbet man atfo ben Quotienten AJx, fo erhält man red)t§ einen

üon Ax freien §lu§brud, ber mit f'[x) bejeidjnet werben mag, unb weitere ©lieber, bie nod) mit ißotenjen oon Ax behaftet finb. 5lKe biefe ©lieber fallen weg, wenn man Ax = 0 fe&t; f'(x) ift ba^er ber ©renjwert be§

dy

hieraus folgt:

dx'

Quotienten Jj'r für Ax = 0, b. £). ber Differentiatquotient

Xßl|r|a% 4. Der Differentialquotient einer gunftion y = f(x) ift wieber eine gitnltion öon x

gufa^L Der Differentiatquotient wirb aud) atö bie (erfte) Ableitung ber fyunttiou be§eid£)uet.

$ufat; 2. S3ilbet man ben Differentiatquotienten ber erften Stbteitung, fo erfjält man bie jweite Ableitung ber Munition ufw.

gufa^ 3. 3ft bie gunftion oom ©rabe n, fo ift ibjre erfte Slbleitung üom ©rabe n — 1.

Sitfa^t 4. 3ft n eine pofitioe ganje f° ift bie wte Slbleitung ber gunftion üom ©rabe 0, b. t). eine Sonftante.

Br. 4. Bllfirmruir Baffe über BiffrrrnfiaUiunfirnfrn.

a)    §at eine gunftion bie gönn y = fix) + c, wo c eine fonftante ©röfie bezeichnet, fo ^at man: y + xly ==f(x + /Ix) + c, b. I). bei c tritt feine 5Ber= änberung ein. ®emnad) beftef)t ber Sati:

%rljr]'af| 5. ®er ®ifferentiafquotient einer abbitiöen $on= ftanten ift gleich 0.

b)    3ft y = c • fix), jo h°t man:

y + xly — cf (x + /Ix) = c [fix) + f (x) xIx + f" ix) (x1x)² + • • •]

= c ■ f(x) + e-f'{x)Jx 4- • • •,

dy

alfo:

dx~e' f'(x)> b‘ $•

Xrfjrfaf| 6. (Sin fonftanter gaftor bleibt beim ^Differenzieren unoeränbert.

c)    Sft y bie Summe zweier ftetigen gunftionen g{x) unb h(x), ift atfo y = gix) -f h(x), fo h<*t man:

xly = g ix + xlx) — g ix) h ix xlx) — li ix)

= g\x) xlx + h' ix) /Ix + i-xlx)² g>ix),

wo <jp(.r) wieber eine ftetige gunftion oon x unb /Ix ift. @ef)t man jur ©renze über, fo folgt: y' — g\x) + h'ix).

(Sutfprecijenb ergibt fief) au§ y=g(x)—ii(x) bie ©feidjung y'=g'ix)—h'{x). befteht affo ber Sa^:

Xrljrfafl 7. S5er ®ifferentiafquotient einer «Summe ober 2>iffcrenj ift gleict) ber Summe b^w. ber ®ifferenj ber SDifferentialquotienten if)rer ©lieber.

d)    Gs§ fei y ba§ ((Jrobuft zweier ftetigen gwtftionen, aij₀ y = gix)hix). äJtan fjat bann:

xly = g[x + xlx) ■ hix + xlx) — g[x) • h(x),

= [y{x) + 9 ix) /*x + ixlxy^ixf]- [hix) + Kix)xlx + ixlx)²(p₂ix)l

- 9ix) ■ h(x),

= gix) ■ hix) + /tx[g(x) ■ h'ix) + hix) ■ g'ix)\ + (xlxif(p(x) — gix) ■ hix), = xlx [g[x) ■ h'ix) + &(&)• g ix)~\ + i/1x)²(p(x).

®ur<f) Übergang zur ©renze erfjäft man fjierauä:

Xrffrfaü 8*    @3 ift ^Q/O) • Mx)} = g(x)h'ix) + h(x)g'(x).

Br» 5» Biffcrcnfialituotirntru hrfmtlmm⁻ jfunftlitmrn»

SDie .‘Derftellmtg ber erften Stbleitung einer gunltion fix) ift red)t jeit= raubeitb, menn man jebesmal bie ©ifferenj fix + xtx) — fix) bilbeit, biefe burd) xlx biüibiereit unb bann 4x gleid^ 0 feiert mill; e§ empfiehlt fid) baljer, für bie Veftimmung ber SDifferentialquotienten einfacherer gunftionen Siegeln abjuleiten unb biefe im herein mit ben 2el)rfä|en ber sJir. 4 ju benu^en, um bie Slbleitungen ju bilben.

a) 3ft y = xn unb n eine pofitiüe ganje 3ah^ f° liefert bie ülnmenbung be§ 2el)rfa|e§ 10 bie g°nnel

1.

e) ©3 fei y gleid) bem Duotientcn jmeier ftetigen gunftionen tum x,

₌ g@) #

alfo 2/

nad) d), fo erhält man: y • A'(a?) + y' • A(#) = #'(#)

Ä(#)

SSilbet man l)ier bie ©teidjung y • A(#) = #(#) unb oerfaljrt

ober

y' • ä(«) = /(er) — y ■ h'(x) = /O) -

hieraus aber ergibt ficfj:

™P*rfs0.

f) 3ft.im Qmtte d) bie Munition h(x) gleid) g(x), alfo aud) Ji(x) gleich g’(%), fo erl)ält man y' = 2g(x) ■ g'(x). Söenbet man jetjt ben 2eljrfa| 8 auf bie

gunltion y = [g(x)f ■ g(x) an, fo finbet man: j~x[g(x)f = ?j\g(x)f ■ g'(x). ®ie gcirtfe&img biefeS Verfahrens führt auf ben @a|:

*K«) ■ yUjK) — g(x) • h'(x)

PK«)]

Xßf|rl'af| 10» 3ft y gleid) ber ißotenj [g{xj\n unb n eine pofitiüe ganje ßalfl, fo ift y' = n. [g(x)]n~ ² g'(x).

g) 3ft bagegen y gleid) ber nttn Söurjel au§ ber ftetigen fffunftion g(x), ift alfo y = ’ygix), fo l)at man and) yn = g{x). 9cad) 2eljrfah 10 ift aber je^t n ■ yn~ ² y' = g\x), unb barauS ergibt fic^: y' =

g'(x)

g'(x)

nyn-²

SnSbefonbere ift für bie sQuabratmurjel ^[|/gr(x)] =

■ (V<K«))'“‘²

2-Vf7(öc)

®iefe formet bleibt inbeffen aud^ gültig, toenn n eine negatioe ober gebrochene

ift.

a) 3ft sunächft n eine ganje negatioe ßah^ Ult^ gleich — vt fo hat man:

— V • xv

@rfe|t man nun — v burd) n, fo erhält man mieber bie f5ormel 1. « barf alfo aud) eine negatioe ganje ßahl fein.

¹ unb nach 2ehrfah 9: y' =

X

-i

5. ^ifferentialquotienten befottberer gunftiottett.

ß) $ft weiter n eine gebrochene ßatjt unb gteid) —, jo ^at man: y — xv, atfo yv = xf\ unb nun nad) Selfrfah 8: vyv~¹ dy = yxf‘~¹dx. hieraus folgt:

____ ^ _ y • «d‘ ₌ fi

dx vyv~1 v yv ■ x v

©rfetd man je^t wieber ^ burd) n unb y burd) xn, fo erhält man:

'    «"    n_i

n = n • — = n - x .

J    X

®emnadj barf n auct» eine gebrodene 8aht fein.

fo) Um bie Ableitung einer äöinletfunftiou bitben ju fömten, mufj man junädfft bafür Sorge tragen, baff bie f^unttiort y unb bie Seräuber= / tic^e x ©röfjen berfetben 2lrt finb, weit fonft ber    j

Quotient || leine Sebeutung befi^t. $u bem '

ßwede nimmt man ben Sßinfel als 9}iitte(puuft»=

winlet in einem Greife mit bem tpatbmeffer 1 an

unb mifjt ifjn burd) ben Sogen, ju bem er gehört;

bie SBinfetfunftionen treten bann gteid)fattg atg Sängen auf. 3ft aber x

gleich bem Sogen AB unb sin x = BC, bjw. tg x = TA, fo ^at man:

sin x < x < tgx,

¹    >-> j——

sin« x tg x

sin« sin« ^ sinx

x ^ tgx

i . sinai.

1 >---> COS X.

X

atfo:

unb ba^er:

ober:

dy

p-af-¹

M-/CC

M-c

4.

sin^c

Stimmt x big jur ©renje 0 ab, fo Wäi^ft cos x big jur oberen ©renje + 1, unb baraug folgt:

-i. sin x ^ lim------= 1.

x = 0 x

Sft nun y = sin x, fo t)at man: /ly = sin (x + /Ix) — sin x

= 2 sin ~ Ax cos \ (x + Ax)t sin \ Ax i /x

= cos i (« + ^*) •

©et)t man fe^t jur ©renje über, fo erfjätt man: y' = cos x.

Sn gteidfer SBeife flirrt bie Serwenbung ber Slbbitiongtfjeoreme auf bie ^»erftetlung ber S)ifferentiatquotienten ber anberen SBinfelfunftionen. Start finbet:

d (cos x) = — sin xdx,

atfo:

2. d (sin x) = cos xdx,

d (tg x) =

dx

dx

1 + X COS² X ⁹

d (ctg £p) =

dx

dx

1 + ctg² x

sin² x *

8 Äctp. 1. 2(nfnngägri'mbe b. Stfferentialvedjnung. 9tr.5. Xiffcventialguoticnten 6ef. gunftionett.

c) ®ie ®reiSfunftionen ergeben fic^ burd) Umfefjritng ber 28infet= funftionen. Sft g. S3. 2/ = s'ü x< fo tft a; = arc sin y. S3ead)tet man biefe ^Beziehungen, fo finbet man aus ben oorftet»enben 4 g°rmetu letdfjt bie 4 (Gleichungen:

d (arc sin x) =

dx

d (arc cos x) = —

dx

3.

yi—x*’

d (arc tg x)

dx

l + asä’

d (arc ctg x) =

dx

1 + £C2 *

d) SDifferentiatquotienten ber Sgponentialfunftionen.

S8et ben @£ponentiatfunftionen fann nicht mie bei ben oorftetjenben funftionen oorgegangen merben, weit für bie SSerünberungen, welche burd) eine SBergröfserung ber Sßeränbertichen tjeroorgerufeu werben, entfpred)enbe (Gteid)ungen nidjt beftet)en. SDtan muff bat)er, um bie Ableitungen ju bitben, einen anberen Sffieg einfehtagen.

3unäd)ft ift bie 3af)t e< &ie ®runbjat)I ber natürlichen £oga= rittjmen, ber (Grenzwert, bem ber AuSbrud (1 4- mit wadffenbem n juftrcbt.

Ax - l(y + Ay) - ly = l iL~1 l(l+^).

4y \ y I

©efet man hierin =    , atfo    ~ unb fomit -- ■ l (l +

= ~    +-^ =    + i)", unb beamtet, bah n unenbtid) grojf wirb,

wenn y fid) bem SSerte 0 nähert, unb bah ^nnn l (l + ^)” Speich le ober gteid) 1 ift, fo erhält man: ~ = ^ = unb hieraus folgt:

93egeid£)net man ben natürlichen £ogaritf)muS ber 3ahl a mit la, fo tjut man le = 1. fft nun y bie ©jponentialfunftion e®, ift atfo ly = x ■ le = x, fo folgt:

unb hieraus:

Jy

4t.

d(e¹) = e¹' dx.

gft y = ax, atfo x ■la = ly, fo ergibt fidj auf bem gleichen SSege wie eben, bah la • ^    ^ unb fomit || = la ■ ax ift. Sttan ^at bat)er:

5.

d{ax) = la • a'dx.

d{lx) = unb d(log x) = log?-dj-

X    x

Sm engften Anfchtuh an baS bei e* angewanbte Verfahren gewinnt man bie gormetn:

®a aber

-3

f' (x) = nxn~¹ + (n — l)^#"“² + (w — 2)a₂xn f" (x) ==    — l)#w-2 + (n — l)(n — 2)a₁xn~z + (n — 2)(n — 3)a₂xtl~4: + • • •

f"\x) = w(w — l)(w — 2)#w-3 + (n — l)(w — 2){n — ?>)a₁xn~4r + • • •

nfto. ift, jo fiefjt man, ba£ in ber ©nttoicftnng non f(x + h) ber Koeffizient    non    h    gteicf)    f' (x)    ift,

»    „    «    V    H    2\f" (^)    '//

n «    ft    W    ft    hj"'^    U^’

Somit erhält man:

fix + h)=f(x) + \ rix) +1; rc*) + }£ rx*) + ■■■

Kapitel 2.

Uncnblirfjc fllciljcn.

Mv. 6. Mt ®aHl0rfvi|B mtb btt Mac-Xaumtfriit Rt’tfjt. a) $erme£)rt man in ber gunftion

fix) = xn + axxn~¹ + a₂xn~² + a₃xn~³ + • • • + an_ tx + an bie 33eränberlict)e x um bie Heine ©rüfie h, bilbet man alfo 2. f(x-\-y) = (xA)" + ai(p + Ä)”_1 + o^ix + h)n“a + • • • +    + Ä) + anr

ttnb entmidett bie ißotenjen nad) bem binomifcfjen Safje, fo erf)ätt man: fix + h) = x” + a₁xn~¹ -j- a₂xn~² + a₃xn~³ + • • • + an_ tx + an -\-h \nxn_1 + «iin — 1)#M_2 + a₂(n — 2)xn

+*’Pw¹*"

₊yp|.~§⁽*~⁸⁾»-

1.

-2

(w—l)(w—2)

1-2

a±xn

-3

(*««))

-3

(n—2) (n — 3)

1-2

a₂x

-3

(n — 1) (w — 2) (n — 3)

1-2-3

3.

®ie§ ift aber bie Sa^Iorf^e tRei^e.

3ft w nictjt eine ganje pofitioe 3a^t, fo fjat bie 9teif)e unenbti^ oiel ©lieber unb ift — ebenfo mie ber allgemeine binontifdje Sef)rfa§, auf ben fie fid) ftü^t — nur fo lange gültig, mie bie Sßeränberlidje x jmifdjen ben ©rennen + 1 uttb — 1 eingefd)toffen bleibt.

Kapitel 2. Unettblicfje Steigert.

10

b) Seijt man in ber ^atjlorfc^eu 3leif»e x = 0, betracfjtet h atö 9Ser= änberlidje uttb fd)reibt bann luieber x für ä, fo erhält man bie UJeiljc Hott 9Jiacs8aurtn:

fix) = f(0) + f f'i0) + £ f"i 0) + £L* r (0) + • ■ •

4.

Aud) biefe 9teifje fjat nur bann eine enbücEje @lieberjat)t, wenn n eine pofitiüe ganje 3a0£ ift, unb bleibt in alten anbereit gälten nur bann gültig, wenn x fo Mein gewählt wirb, baf? bie IReifje fonoergiert.

Br. 7. Bie öweptmrniialra^rn mtb bie logartffimirrfircu Keiljcn.

a) ®a alle Ableitungen oon e° gleicl) ex fetber finb unb e° gleicl) 1 ift, fo liefert bie Anwenbung ber ü)iac=2aurinfcf)ett IRei^e:

1.

ex

₁    35    3S² xß xi X» ,35«

= i    —p -^y •f- —r "jy "i—yy "r -yf t * * *

@rfe|t ntan hierin x burd) 1, fo erhält man bie Uteifje:

2.

e=l+T⁺Ä⁺Ä⁺Ä⁺Ä⁺Ä⁺'”

®ie 94ei£)e liefert für e ben SSert 2,7182818 • • •

®ie gunftion y = ax ttat nacl) 91r. 5, ©l. 5 ber Dietlje itacf) bie Ab= leitungen y' = la-ax, y" = (la)² ax, y"r = ila)³ax, ufw.; bie Anwenbung ber 9)iac=Saurinfc|en IReilje füfjrt bafjer auf bie ©ntwicflung:

3.

a® = 1 + la • y + (laf • |y + («et)⁸ • ^ + (Ja)⁴ • -fr + • • •

®ie IReifjen 1 unb 3 finb für jeben enblicfjen SSert oon x fonoergent.

lb) 97adj ben ©leiefjuttgen 6 in Sllr. 5 tritt bei beit Ableitungen ber gunftion Ix bie 3Sei'änberlicf)e x als fjaftor im Sienner auf, unb baljer werben für x = 0 fämtlic^e Ableitungen unenblicf) gro^; eine SSerwenbung ber Süac= 2aurinfcl)eit fReilje ift atfo fjier nodj ausgefd)lo|fen. 0iun ünbern fiel) aber bie gor mein iljrer 33ebcutung itad) in feiner SBeife, wenn ntan überall x burclj 1 + x erfetjt; matt f)at and) bann al§ Ableitungen ber gunftiott y = ?(1 + x):

— 2- 3

ufw.,

(1 + a;)²' ^    (1 +*)

(1 + *)⁴

©rfe|t man hierin x burd^ — x, fo erfjält man:

9fr. 8. SHetfjen für bie Sßinfelfumtionen. Die 3^1

11

®a aber l (1 + x) — l (1 — x) = 11 ©leichungen:

- ift, fo folgt aus ben beiben

4.

. rt+x\_n (v ,    X*    xl    X*    \

¹ \t=z) - ^It + t + t + t + t + • • v

£>ie iJleihe 4 ift nur folange oerwenbbar, wie x fleiner als 1 bleibt.

2)ie ©lieber biefer 9teif)e nehmen nur bei feljr Keinen SSerten üon x £)iit= reicfjenb fdjnett ab, um eine rafcbje ^Berechnung ber natürlichen Sogarithtnen ju

_I Qß

ermöglichen; aujjerbem ift bie .'perftettung ber gorm ₁--_zx aus einer ßalft a

unbequem. 2)af)er empfiehlt eS fid), bie 9teihe burcf) eine ©ubftitution um= gugeftalten. Süian feijt

1 -f- X 1 — X

es ift bann

5. l{n+y)=ly+^i^+Tj

₌ ’1±1 alio x =__-____

n '    ^    2 n-^-y¹

201 ' Utlb

(4f)J Oeeinflrifit fdjon bie 7. ®e§imalftelle

iH I JO

Sft i- 83. 1101 ju beregnen, fo fe|t man n = 100 unb y = 1. (SS ift bann —^— =

2 n-\- y

nicht mehr.

‘Kntncrfung. 3ft ~ eine feljr Meine 3at)l, fo barf näfjenmgäiueife

* (» + y) =    + -f-

gefe|t Serben. Unter berfelben SSorau^fefjung über 0 ift

l(n+z) = ln + ^,

nnb fomit ergibt fid):

[l in + y) — ln]: [l (n    z) — ln] = y : z .

Die gteidje ^Bejie^ung befte^t für bie Logarithmen mit ber ®ruttb§at)l 10. |>iernad) öer= galten fid) bei großen unb nur wenig Ooneinanber abweidjenben 3ahfen bie Differenzen ber Logarithmen wie bie Differenzen ber 3<*hlen felbft. hierauf beruht bei ber Logarithmen* redjnung bie S3ennüung ber Dafein für bie 9froüortionalteite.

Br. 8. Brtljru für Mr Winürlfmtüttxmrn. ^tr 3al|I st.

%SYp2 + y2dy = y Yp2 + y2 + p2 ■ i 0 + Yp2 + y2) + g,

dx d*x dy dPy_ p /xdx ydy\_ p d_,. 2 i,,j\

¹

2)te geilen A unb d finb J)ter uatürlttf) feine gaftoren; obtno^I fie mit x nnb y in gteidjer §ö^e ber geüen fielen, fontmt it)nen bod) nur bie SSebentnng eine§ gnbeg gn.

²

xn) = n • xn~xdx.

Br. 8. Brtljru für Mr Winürlfmtüttxmrn. ^tr 3al|I st.

a) 93ettu|t ntatt bie ©lei^ungett 2 in üftr. 5 unb beamtet, baf$ sinO = 0 nnb cos 0 = 1 ift, fo erhält ntan nac^ ber Saurinfd)en fRei£)e;

X

sin x = y cos x == 1 —

X³

X⁵

31    5!

x² «⁴

2T + 1T

X⁷

X⁹

7! + 9!

a;⁶    *⁸    a:¹⁰ .

_ “öl ⁺ "sT “ löl + ''⁻

Warntet 2. Unenblidje Steifen.

12

fo) 93ejeicf)net ba§ 3al)fjeicf)en & ben Sert ber ©jponentialreilie 1 in ßtr. 7 für x = cpi, fo ift

_ i+<*+,••*;+i*i;+i‘g+<•*?+<•£+*1?+*$+<+•••

<PS , 9⁶ <SP7 ~ 3 ! + 6l “ 7l

+ v*____)

' 9!    )'

-(»-S+S-S+lf—•) +*■(-

unb nun it ad) ben (SleidEfungen 1:

2.

3.

e'f* = cos cp + i sin cp. Sn entfpredjenber Seife ergibt fief»:

e-f¹ = cos cp — i sin cp.

®a sin cp unb cos <p bie ißeriobe 2 n befifcen, fo erioeift fid) & al§ eine periobifdfe gunftion mit ber ißeriobe 2%, im ©egenfaf) ju ber gunftiort e'f, bie für reeße Serte oon <p mit cp jugteid) unertblid) grof; wirb.

2lu§ ©leidfung 2 get)t bat)er bie @leid)uttg Iferoor:

^<p + 2kn)i _ cos (cp 2 kn) + i sin (cp + 2 kn),

unb fomit ertjält man burd) Übergang ju ben Sogaritljmen

ni.

für y — 0:    Z(+l) = (0 + 2Ä;5r)i = 0 + -₁±-⁰

ni.

„ <P =    *(+0-(f + 2kn)i = 0 + ⁴-^±¹

- ni.

„ 9-t: K-1) = (¥ + ²H^° + “F²

-ni.

„ <p = ^: l(-i)~(^ + 2kn)i = 0 + —2t3

97un fann jebe beliebige reelle ßaljl « atö ba§ ißrobuft aus itirent ab= foluten betrag unb bem gdtor + l ober — 1 bargefteßt merben, unb fomit ergibt fid) ber @at):

xviitm ii.

a)    Sebe 3al)l l)at unjü^lig biel Sogaritfjmen.

b)    ißofitiüe 3al)len befi^en einen einzigen reellen £ogarit^mu§.

c)    2)ie ßogaritlfmen negatioer 3a^en finb fämtlid) imaginär.

(Sbeufo ift eine imaginäre 3aÜt gteidE) bem ißrobuft au§ ifjrem pofitio genommenen Koeffizienten unb bem gflftor + * ober — i, unb bal)er befte^t auc^ ber ©a^:

d) ®ie ßogaritffmen imaginärer 3a^en finb imaginär.

c) 2lu§ beit ©leidjwtgen 2 unb 3 folgt burdj 2)ioifion:

i +«tg(jp 1 — «tgqp'

e2cpi ₌

cos cp -f- i sin cp cosqp — fc'sinqp

unb tjierau§ nadj ©leidfjung 4 in 9fr. 7:

2 <p* — r(l

1 -f itgfjp

— **g<jP

alfo:

4.

@e|t man    je|t    tgcp =    x unb    fomit    cp =    arctg#, fo folgt:

/v»8    /yiö    /y*    7    /y>9

I    ti'    *    w    tv    ,    *Aj

arctgx    =    x    - T    +    - -    -    +    - -

xn

li

fpr y = ” wirb tg<jp = l; man ertjätt bann bie fRetlje Don Scibnij:

— + ¹---- -f -¹-----

7 ~ 9    11 ~ 13

— = i — — + -4    3 ~ 5

©e|t man ferner tg cp = y, fo bafj tg2 <p =

(4 ?> — -j) = 239 ft’irb, unb oerbinbet bie ©leidjungen

_L 4.J--    ¹ I ¹

3.5S “ 5.5⁶    7.5’ _r 9.5*

5.

12'

t§⁴9? = l5 unb

unb

A    1t    1

⁴«p-t =

____L_ _l--1—

239    3.239® T 6.239®

¹ | 1 7.239’ “ 9.289*

miteinanber, fo erhält man bie SReilje Don KKadjin:

-—1—¹

3.5S ^ * '

«• 7-⁴(4

SSSäfjrenb bie ©lieber ber öeibrtijfc^en 3teifje feljr langfam abnefjtuen, brauet man öon ber SRadjinfdjett dieitje nur bie erften brei ©lieber ber erften unb ba§ erfte ©tieb ber jtoeiten Summe ju nefjmen, Wenn man % auf fünf ©ejimatftelten beredjnen Witt.

5.5=    7.5’ ⁴    )    (239    3.239³    5.239®    ' ' ')

Kapitel 3.

$u§öe$eidjttete Serie ber iunftioiten.

Br, 9. Oivü^fr mtt» klcinjir B>nh\

(STOajima unb SRittima.)

3e nadj ber Strt ifjrer .gufammcnfefjung fann eine gunltion ins Un= begrenzte loadjfen (wie 3. 93. y = ax-)r ober jmifdjen enblidjen ©renjett eingefdjloffen bleiben, loemt ber SBeränberbicfjen nur reelle Sßerte beigelegt inerben bürfen. @0 lönnen bie gunftionen sin x unb cos x bie ©rennen + 1 nnb — 1 nid)t überfc^reiten, unb bie gunltion y = ]/a² — b²x² fann tneber über + a £)inau§madjfen, nod) unter — a finfen. derartige ©renjlnerte nennt ntan größte bjm. fleinfte SBerte (9Jtajima bgm. üRintma) ber gunltion.

®ie STuroe, welche bie gunltion y = fix) barfteßt, gefjt 00m ©teigen guiit galten bjtn. nom galten junt ©teigen über, tnenn bie gunltion einen

f(a)

NI

Its

m- 5.

größten bjto. einen fleinften SBert er= reicht t)at. Sin ber ÜbergangSftelle ift alfo bie Tangente an bie .ftitrne ber Steife parallel, _x- unb if)r SBinfel mit ber X=Stc^e ift gleich 0° ober 180°. S)a aber tg0° = 0

unb aud) tg 180° = 0 ift, fo erteilt man eine ©leidjung jur Seftimmitng ber tl b er g an g S ft eil e tt, menn man ben erften ©ifferentialquotienten ber gunltion gteief) 0 fetjt (f. sJtr. 3, Seljrjaf} 1). ©omit ergibt fidj ber ©ap:

Xrffrfak 12* ©ine ftetige gunltion f{x) fann für einen 2Bert ber 23eränberlid)en x nur bann ein ÜDtajimum ober SDtinimum be = fi|en, loenn il)r ®ifferentialquotient für biefeit SBert gleich 0 ift.

Sft aber a eine SSttrjel ber ©leidjung f' (x) == 0, fo £>at man naef) ber Saijlorfdjen 9ieif)e:

f (« + Ä) - /■(«) = Yi f («) + Yi f" (a) + iy f" («) + • • •

5Rutt fann man 7^ ftctö jo Mein mahlen, bafs bie @nmme aßer ©lieber, toelcfje auf ba§ erfte ©lieb ber öorfteljenben ©nmnxe folgen, im SSerpttni^ ju biefem mtenblid) Kein luirb, atfo nid)t berüdfidjtigt ju toerben brauet.¹) ®a§ SSorgeidjen ber ®iffereng f(a + h) — f(a) toirb bann öon bem 2$or= geilen oon h (ä²!) unabhängig bietbett. Sft balfer f" (a) pofitio, fo ift fix) unmittelbar öor unb nad) bem SBerte a größer at§ f{a), b. t). bem SBerie a entfpridft ein tötinimum. llmgefe()rt tjat man ein SJlajimunt, menn f" (a) negatib ift. £>ierau§ folgt ber Saig:

pofitiö negatiö Minimum 9Äaj;imum'

, fo entfprid)t bem

Xrf|r|al| 13. 3ft für bie Söurjel a ber @Ieic£)ung f'(a) = 0 bie gtoeite Slbleitung ber gunftion f(x)

SBerte a ber SSeränberlidfen ein

tBeiffiiel. ®§ fei y = «⁶ + 2«⁴ — 41-f- x³ — 65 x² + 600 x — 400. Stuft. ®ie ©teidfung f'(x) = 5«⁴ + 10z³- 125a;³- 130« + 600 = 0 tjat bie SBurgeln +4, +2, — 3 unb — 5. ®ie gtoeite Stbteitung 20 er³ + 30 x² - 250« - 130 toirb für x =

-5

pofitiü    negatio pofitiü negatio;

gu ber SBurgel gehört atfo ein SJiinimum SJiajimum    SOciniutum SJtajimum.

Br. 10. J^rttbBpunftlr brr Burirr y =/ (x).

Sin einer ©teile, an ber bie $uroe y = fix) ein SJiajimnm ber ff-urtfüon fix) barftetlt, let)rt fie ber X- Steife ifjre l)ot)te ©eite gu, unb an einer ©teile, an ber fie ein ÜDtinimum barftetlt, ift fie gegen bie X=3td)fe getoölbt; gtoifdfen gtoei aufeinanber folgenben ©rengftetlen muff fie atfo einmal iljre

©eite umgetoanbt tjaben. ®en ißunft, an bem bie§ gcfdjefien ift, nennt man einen SSenbefiunft.

Sifl. 6.

@tne fturoe fann inbeffen, aud) otine ba§ ©renäftetten oorfjanben fiitb, SBenbefmnfte befi^en. Verfolgt man in ber Slätie einer foldfen ©teile bie SSeränbentngen be§ 3Binfel§, ben bie Tangente mit ber 1= Stdjfe bitbet, fo erfennt man teid)t, ba^ bei bem SBenbefmnfte ber SBinfel einen größten bjw. einen fleinften SBert annimmt, ©oll aber ber SSinlel unb fomit aud) feine trigonometrifdie Tangente, b. fy. bie gunW°n f\x), einen ©renjtoert annet)mett, fo muff f"(x) gleidj 0 fein. §ierau§ folgt;

Xrl|rfaf| 14* Sie Ä’urtie y = f(x) befifjt an benjenigen ©teilen SBenbepunfte, für weldje bie zweite Stbleitung ber Munition f(x) gleid) 0 ift.

©cifpicl 1. ©§ fei y = 3 xz + 4x² - 17 * - 36.

'zr

Stuft. 9Kan tjat t)ter: f (x) = 9x² + 8x — 17 itn    f" (x) = 18 ,r + 8 .

Sie ©teidjung f (x) = 0 tjat bie SSurjein + 1 unb — y, unb biefen entfpridjt ein SDiinimum bjw. ein SJlajimum. Sie ©teidjung f" (x) = 0 tjat

bie SSurjel ------, unb ba + 1 > — * > — y ift, fo fiept man, bafj ber

SSenbepunft jroifcpen ben beiben ©renjftetten liegt.

©ctfpicl 2. ©ept man bei bem 93eifpiel in Sir. 9 bie jmeite Stbleitung gleich 0, fo erhält man eine ©(eidjung mit ben SBurjeln \ (— 1 + f/53), — \ unb (— 1 —1/53). Sen brei SBurjetn entfpredjen brei jwifdjeit ben ‘oier ©renjftetten gelegene SBenbepunfte.

©eifpiel 3. fei y = xs - 12 x² + 48 x - 45.

Stuf!. Sie ©leidjung f{x) = 3x² — 24« -f- 48 = 0 pat nur bie SBurjel + 4, unb bie jtoeite Stbleitung f" (x) = 6 x — 24 nimmt für x = 4 ben SBert 0 an; bem SSerte + 4 entfpricpt baper fein ©ren^wett. Sa bie ©teicpung f" (x) = 0 ebenfalls nur bie Söurjel + 4 fiat, fo gehört ju biefer SBurjet ein SSenbepunft, bei bem bie Sangente ber X>3tcpfe parallel ift.

Br* 11. Brjthnmunfl fces ntaljrru Hicrfe» mt&rl'fimmfrr

ilitsiuürftr.

fpüufig fommt e§ oor, bafj ein au§ jroei Munitionen einer SSerättber= licken x gebitbeter Stu^bruct eine ber unbeftimmten gormen y, 0 • oo ober

5§ annimmt, wenn man x einen gewiffen SBert beitegt. ©ntwidelt man bann bie Munitionen nad) bem binomifdjen @a|e, fo gelingt e§ in ben meiften Malten, burdj ©renjübergänge ben wahren Sßert ber StuSbrüde ju beregnen. SÖe= quemer ift e§ febod), fic^ aud) ^ier ber Stbteitungen ju bebienen.

a) Sie M°rttt y-

SSerben für x = a bie beiben Muuftiütien f (;x) unb 9 (x) gteidj 0 unb entwidett man f(a + h) unb y (a + h) nadj ber Satjlorfdjen Steife, fo er=

f(a)

gleicfi bem ©renjwert

9(a)

fennt man, baf; ber wapre SBert be§ öuotienten ift, ben ber Quotient

9tr. 11. SBejiimmung be3 ttmfimi SSerteS unbeftiintuter StuSbriicfe.

17

Är(«) + ^r(«) + ^r(») + ---

%'(«) + yr/'O) + fr#'" («) H----

für /< = 0 annimmt. ®a ber 33ru<f) fich burd) h türjen täfjt uttb an ber ©renje im 3ät)ter unb Stenner mit Ausnahme ber erften alte ©lieber oer=

fdjminben, fo ift ber wat)re SBert beS Quotienten rjteicf)

/»

g («)

• @iitb aber

and) bie erften Ableitungen für x = a gleich 0, fo ift ber matjre Söert gleich bem Quotienten aus ben Ableitungen f" («) unb g" (a) itftt).

x* — 14 x² — hx -f- 6

an. ®a aber ber Quotient ber erften Ableitungen

©ciffwt 1. ©er Quotient

nimmt für x = 2 bie gorm °

3*s + 3 2 a? — 5

für x = 2 ben

SEBert — 15 befi|t, fo ift ber mat)re SBert beS gegebenen Quotienten für x = 2 gteid) — 15.

tBcifüiet 2. ©er Quotient e> ~cos x ~

an. ©er Quotient ber erften Ableitungen ■ ~

ebenfalls bie gönn y au. ©er Quotient ber jmeiten Ableitungen 2

toirb gleich “ , unb bemnad) ift ber toahre SBert beS gegebenen Quotienten für x = 0 gteid) oo.

t>) ©ie gorm 0 • ao .

SEBirb für x = a bie gunftion fix) gleich uttb bie gunftion g (x) gleich °°f fo t)ut uian mieber f (a):

aus f (aj unb ~ ju unterfucheu.

— sin x

* g(a)

- nimmt für x = 0 bie gornt ~

ex -f- sin x — 1

— cos x

nimmt für x = 0

ex -f- cos x sin x

= J* ; bemnad) ift f)ier bei' Quotient

©ciffitcl 3. ©aS ißrobutt (a* — 1) ctg x nimmt für * = 0 bie gorm 0 • oo an. ©ibt man ihm bie gorm a’t~x ¹ unb bitbet bie Ableitungen, fo erhält

la • a° l+tg²0

c) ©ie gorm

ISBerben bie gunttionen f(x) unb g (x) beibe für x = a unenbtid) groh,

bitbet

man atS ©renjwert

ober la.

fo merben ihre rejiproten SBerte für x = a beibe gleich 0. AnS man balfer    , um an ber ©renje bie gorm y ju erhalten

©er Quotient ber Ableitungen ift fnei gleich

g(x)

man ben gefuihten ©renjwert mit W, fo ift W =

Füller, ^Differential* unb ^ntegratredfuung.

[/(«)]8 f\x) ■ [jf(«)]⁴

• TT²; in bem gatte,

• SSegeichnet

g'ifl)

f («)

®a|»tet 4. Sinfüfjrung in bie Qntegralredjnung.

18

baff W nid)t bie ©röfie 0 befi|t, fanit mau burd) W fürjett uub erffält bann mieber wie in Abfatg a) für ben gefugten ©renjwert ben Quotienten

©etffiicl 4. 2>er Quotient    nimmt für x = 0 bie gornt §q

₅    i

®a d(ax + 1) = — la -~-₂dx unb d (ctg x) = — (1 + ctg²#) dx — — ^x

ift, fo nimmt ber Quotient ber Ableitungen bie ©eftalt ift lim s— = 1, unb baffer erffält man ben ©renjioert lim (Ja • ax) ober oo.

x = 0 X    x=0

la- ax sin²#

f(«)

g'(a)

an.

sin²#

an. 9tun

$a:pM 4.

in Me Sittegrntrcrfjmutß.

Br. 12. Brgriff tu'® Jfnfrgral». Säfjr iiftrr Integrale.

a) SGSie bei ben elementaren ÜiedfnungSarten burcb Umfelfrung neue 9iedfnung§arten entftefjen, fo tritt and) f)ier ber Aufgabe, ben Differential quotienten einer gegebenen grate⁰¹¹ ju beftimmen, bie umgefeffrte Aufgabe an bie ©eite, eine gunftion ju ermitteln, beren Ableitung belannt ift, b. 1). eine gegebene gunftion alg Ableitung einer anberen anjufef)en unb biefe aufjufinben.

©teilt man bie gegebene gunftion f (x) grapf)ifdf bar, unb entfpridjt bem SBerte x = a bie Qrbinate AB, fo ift ba§ glädjenftüd, ba§ bie ßuröe,

Af

JB

Srlfl. 7.

z bie X*Adffe unb AB mit einer jmeiten Qrbinate A'B' begrenzen, eine be= ftimmte gunftion f(x) oon x. ®a§ ^Differential biefer gunftion ift bie ©röffe f'(x)dx, unb bie Summe aller gtoifdjen A B unb A' B' gelegenen gladjenelemente ift gleich fix) ■ Sßälflt man ftatt be§ ©ummeitjeidjens ^ — ba§ Beidien J, fo erfennt man in /■(#)= Jf (x) dx eine gunftion, beren erfte Ableitung gleid) f (x) ift. .§ier-nac^ ermeift fid) ff' (x) dx al§ eine Summe au§ unenbli^ oielen unenblid) fleinen Seilten; man bejeicfinet bie gunftion baljer al§ integral (integrum = gang, unBerfetjrt), unb bie 91ed)uung, welche jitr S8e=

Wx. 12. begriff beSQfttegraB. ®ü£e über integrale, Sftr. 13.5[Jletb)oben berQntegralred^ttung. 19

ftimmung einer gunftion auS itjrer 9lbleitung füf)rt, wirb Sntcgralrcdjnung genannt.

b) 9cacf) ßef)rjat5 5 in 9tr. 4 rnadjt fict) eine abbitioe fiouftante einer gunf= tion bei iljrer Slbleitung nidjt bemerflidj. hieraus folgt umgefeljrt, bafs ju jeber gunftion f'(x) unjälilig oiele Sntegrale gehören, bie fidj Iebiglid) burd) bie @rö^e ber abbitiüen Äonftante unterfcfjeiben. 9)?an f)at alfo:

ff (x) dx = f (x) + C.

1.

S)ie SntegrationSfonftante C ift jebodj beftimmt, toenn man Weif}, melden SBert bie gunltion für einen gegebenen SBert ber 93eränberlid)en x anneljmen muff. giifM ¹¹¹⁽¹¹¹ bett ljierauS berechneten ÜBert üon C in bie ©leidjung 1 ein, fo erljält man aus bem allgemeinen Sntegral ein befonbereS (partifu= läreä) Sntegral.

91uS bem unbeftimmten Sntegral get)t bas bcftimmtc ^uteflrat £)eröor, wenn für bie SSeränberlicfie ©rennen gefegt werben. Soll j. 93. nur baS glädjenftüd gtuifcEjen ben Drbinaten AB unb A' B’ (f. gig. 7) ermittelt werben, fo wirb bie gmdtion burdj bie ®ifferenj auS ber bis A' B' unb ber bis AB reidjenben 5^d)e bargeftellt. SDtan gibt in biefem gaKe bei bem SntegrationSjeidjen bie untere (Srenje unten unb bie obere ©renje oben an, fcf»reibt alfo

2.

ftf (x)dx = f(x)-f(a).

c) S)a d[c ■ f(x)] = c ■ f (x) dx, alfo Jc ■ f (x) dx = c ■ f (x)

unb audj

c ■ J f (x)dx = c ■ f(x)

ift, fo beftefjt bie ©leidjung (f. Seljtf. 6 in 9h. 4):

3.

Je ■ f (x)dx = c ■ Jf (x) dx,

b. !)• ein lonftanter gaftor law¹ öor baS Sntegraljeidjen gefegt werben. Sn gleicher Sßeife läjjt fid) ber Seljrfa^ 7 in 9tr. 4 umfeljreu.

Uv. 13. Bli'tltotuut bvv Jittfi'itvalvvrltmtng.

a) Umfe^rung ber Sifferentialformeln.

®ie Sntegration wirb am einfacfiften, wenn bie gegebene Munition oon oorne herein in eine ber befamtten ©ifferentialformeln Ijineinpafjt, ober wenn nur Heinere 93eränberungen oorjune^men finb, um eine befartnte gorm ljer= jufteKen. Sft j. 93. y' = 7 xb, fo wei§ man, bafs in ber gunftion y bie ißotenj x⁶ fteljt, unb ba beren Slbleitung gleid) 6 x⁵ ift, fo muff man 7 a;⁵ fo

b) Vorbereitung ber Sntegration burdf eine ©ubftitution.

Sn nieten gatten, in benen eg nictjt mögtid) ift, burdj eine einfachere Umgeftattung ber gegebenen gunftion bie Sntegration oorpbereiten, wirb bie Einführung einer neuen Veriinberlidjen auSreidfen, um ju einer befannten ©ifferentiatformet jit gelangen.

©eignet 2. fei dy = (ax + b)ndx.

@e£t man ax + b = t, jo fjat man a ■ dx = dt, atfo

(ax + V)ndx = - - • tn dt

unb fomit

I *(ax + b)ndx = * • fitndt =

tn + l

a(n + 1)

+ C.

umgeftatten, baß ber gattor 6 auftritt. SDiart fe|t batjer y’ =    • 6 a;⁵ unb

Ifat bann:

lJ =\ d(x*)t atfo: y = yj d(x⁶) = — a:⁶ + C.

©ciffiiel 1. 9tug y = (4 xs + 5 x² — 3 x + 8) <2*

y = (4    + y • 3 a:² — y • 2* + 8) rfa;

y =    + y a;⁸ —-- a;² + 8 a; + C.

bitbet man:

unb hieraus:

{ax + b)n

a (n + 1)

©eijbitl 3. @g fei dy = dx

x -f- CO

@e|t man x + a = t, fo f)at man dx = dt unb

dx

x-\- a

unb fomit folgt:

dx =U+C-l(x + a) + C.

dx

©ciffiitl 4. @g fei y =

€>e|t man -- = t, fo erhält man y = in Sir. 5: y = arc sin t + C = arc sin x + C.

©etffiicl 5. ®g fei y' =

y«²—x‘!

r dt

J i

yi=r*

unb bann nadj ©teidjung 3

bx

Sn bem Stugbrud a² + b²a;² ober a² |~ 1 +( ₍*)"] fe|t man y = <; man hat bann: dx = y dt, atfo: y' dx = ^    , unb fomit nach

©teidjung 3 in Sir. 5: y = -y arc tg t + C = --y arc %    + C.

j/5 ix— #²

Um f)ier eine ber befannteren formen ju bitben, bringt man ben 9iabi= fanben auf bie gorm a² — (b — x)² uitb erfefjt ----- burd) t\ man fiat bann:

dt

dx = — adt; a² — (b — x)² = a² (1 — t²), y' dx= —

unb bafjer mieber nad) (Sfeidjung 3 in 9lr. 5:

y = — arc cos t + C = — arc cos ⁶ -- x + C.

Sn bent oorftetjenben Söeifpiel fjat man 5 burd) 9 — 4 ju erfeijen, um auf bie entroicfelte gorm ju gelangen; e§ ift alfo

dx

■j/ö ix — xs

= — arc cos

“    + G (ober = arc sin *^    C).

©cifoicl 7. @3 fei y' =

®a§ Differential £>at feine ber befannten formen unb läfjt ficf) aud) uidE»t burd) eine einfadje ©ubftitution auf eine non biefen bringen, meil unter ber SBurjef x- mit bem ©orjeidjen + ftebt. SCber aud) f)ier läfgt fid) burd) eine ©ubftitution, bei ber ba§ Quabrat ber ©eränberlidjen x oerfd)Winbet, eine Söfung tferbeifüfjren. @et)t man nämtidj yV + xs ₌ t — x, fo erhält

unb t—x (ober yV -f x²) =    ,

= j ■ $ierau8 aber folgt:

man: a² = t² — 2tx, atfo x = t ₂"

a² + <²

unb ba dx = \ •

ift, fo ergibt fid):

dx

]/<*² -)- #²

J’ya- + *² ~ fT = tt + G = l (Yä² + a;² + #) + C.

c) ^partielle Sntcgration (Stnwenbung be§ Sefjrfafseg 8 in Sir. 4). @inb u unb v jwei gunftionen non x, fo f»at man nad) Seljrfa^ 8 d (u • v) = u • dv + v ■ du; e§ ift alfo f u ■ dv =

J v - du.

Diefe (Steigung fann oft üertoanbt werben, um ein Sutegral oon ber gönn Judv auf ein befannteg Sntegrat oon ber gornt Jvdu ju bringen.

©ciffiitf 8. fei y' = x sin«.

SJiait ^at y'dx = x sin xdx = — xd (cos*)

atfo

= — d (x cos x) + cos x dx, y = — x cos x + sin x + C.

Scifjnet 9.    @3 fei y' = x² cosrr.

9Äan t)at ^ter y'dx = x²cos xdx = x²d(smx)

91ad) 93eifpiet 8 ergibt fid) bab)er:

= d (x² sin #) — sin x d (x²)

= d (x² sin x) — 2 x sin x dx.

y = x² sin x + 2 # cos x — 2 sin x + C.

atfo

©cifpiet 10. fei y' = cos2 SJian fjat hier

y' dx = cos² xdx = cos x • d (sin x) = d (cos x sin x) + sin² x dx, = d (cos x sin x) + dx — cos² x dx,

2 cos² xdx = d (cos x sin x) + dx,

J* cos² xdx = \ (cos x sin x + x) + G.

unb fomit

Kapitel 5.

^ntoenbungeu im8 ber ©eometrie unb ^|jt)fU.

Br. 14. %än$z fnitmturr Xintru (atettififatiou).

DaS Differential ds eines SSogenS ift mit bem Differential dy ber gunftion unb bem Differential dx ber SSeränbertidjen burd) bie ©teidjung

(<Zs)² = (dx)² + (dy)²

üerbmtben; es ift atfo

¹ + CS dx+a

©cifiiict 1. Die Sänge eines Streifes mit bem Jpatbmeffer r $u beftimmen.

Ütuftöfung. SSätjtt man als ®oorbinatenac£)fen jwei aufeiitanber fenf-rec£»te Durdjmeffer beS Greifes, fo fjat biefer bie ©teidjung x² + y² = r²;

eS ift atfo y² — r² — x², 2ydy = — 2 xdx unb fomit ^ = — ---•

9tun ift baS Differential ds beS S3ogenS gteicE» Y(dx)² + (dy)²] man

V%* + y² = r-j-

r arc sin — + C. r

- +(-;r

t)at baf)er ds = "j/l + d#

= r •    unb nun nact) 9ir. 13 93eifpiel 4: s =

dx =

Stuft. Olac^i ben uorftetfenben ©teiefjungen ift

dx = ydep unb dy = ~p2ry — y² d<p\

bemitacf) Ifat man:

(ds)² = (dx)³ + (dy)² = 2ryd<p,

— 2r ■ r( 1 — cos qp) dep

= 4r² sin² ^ dep,

unb fotgtidj:

9h\ 14. Sänge fruntmer Sinien.

93ei bem $atBfreife läuft x öon — r Big -f r; ift baffer ft bte Sänge be£ Äreife§, fo folgt:

23

4- ft = r • (arc sin 1 — arc sin — 1) = r •    — ( — y^] = r-7tf atfo k — % et r.

©ciftml 2, ®ie Sänge ber    ju Beftimmen.

s$orbemerfung. Ütoltt ein ®rei£ auf einer ©eraben G, offne $u gleiten, }o betreibt Y ein $untt P be3 Greifes eine Sinie, njeldje Styfloibe (9tabfuroe) genannt mirb. 2$irb G als X=$td)fe gert)äf)It nnb ber ^tnfangäfmntt in ben $nnft 0 Oerlegt, in bem P gum erften Sftate anf G liegt, fo ift mätjrenb ber $8e=    0

ioegung bei jeber Sage be3 s$unlte3 P ber 23erüf)rung3bunft B auf ber X=$Cdjfe oon 0 ebenfotoeit entfernt toie anf bem Greife oon P.

28irb bafyer ber Söinfet BMP mit cp be^eidjnet, fo ift BP — rcp, unb ba P'B == r sin cp ift, fo erfjält ber $nntt P bie Slbfeiffe:

3T

P' B

(S

gig. 8.

x — OB — P' B = r • <p — r sin <p.

©ntfbred)enb ergibt fidf al§ Drbinate:

y = r — MC = r — r cos cp.

Umgefefjrt folgt ffierauS:

COS Cp

---- unb sin <jp = + y }/ 2 ry —y\

9lu§ x = r • cp — r • sin cp finbet man :

dx — rdcp — rdcp cos cp = r (1 — cos cp) dep

atfo dx=ydcp, nnb ba dy = rd cp sin cp — d cp • \/2ry— y² ift, fo ertfätt man:

dy

dx

= j -Y*ry--y> = • l/"T

ds = 2r sin -y rfqp = 4r sin

= — Ard (cos y) .

SSSirb bafier bie Sänge ber ßhtloibe mit z bezeichnet, jo ergibt fiel) £)ieran§:

2 71    2 7t

2 = j² ds = — Ar I cl (cos 0 0

= — 4r (cos 7t — cos 0)

alfo:

= — Ar (—1 — 1)

2 = 8 r.

©etf^iicl 3. ®te Sange eiltet SogenS ber Parabel y² = 2px ju beftimmen.

Sluflöfung. 2lu§ y² = 2px folgt: 2 ydy = 2 pdx, alfo dx

ds = Y(dxY + (dy)² = y + 1 dy =

Vp² + ?/² dy = d (y ■ Yf + yl)

= d(y Yp² + V²) — Yp² -f /r dy +

y²dy

tVTF

dy -    ¹

Vp² + y²dy. Sftmt ift aber

al jo

2 • Yp² + y²dy = d (y Yp² + y²) +

d (:y Yp² + y²) -

p² dy

>V + y²'

P²dy

Vp²+y² '

y²+p²—p²

Vp² + y²

dy,

=² p² -i(y + Yp² + y²)

unb ba nach Sßeijpiel 7 in Sir. 13 * Y_dy_ Yp²~+y²

ift, fo tjat man:

¹

Sft außer f'ia) audj f"(a) gleid) 0, \o müßte man ba3 SSerßalten ber britten unb vierten Ableitung ujtu. unterfueßen. @tn ©ingeßen hierauf mürbe jebod) bie t)ier gefteefteu ^ren^en überfeßretten.

²

Sie SSeifpiete 4 mtb 5 tonnen übergangen roerben.

%SYp² + y²dy = y Yp² + y² + p² ■ i 0 + Yp² + y²) + g,

unb folglidj:

2p • y Yp² + y² +1- • Hy + Y¥~+ y²) + c.

gür y = 0 mirb auch s = 0; e§ ift bafjer y • Ip + C' = 0, alfo

C' = -

• lp, unb fomit ergibt ficfi:

* - 4 ■ yVWTf +1 f (’+

£)ie Integration mürbe tjier nur baburcf) ermöglicht, baff man y al§ unabhängige SBeränberlicffe mählte.

ft im men.

Sciffiiel 4.¹) ®ie Sänge s ber ©lüpfe b²x² + a²y² = a²b² ju be=

9Jr. 14. Sänge frummer Sirtteit.

25

dy

Sluftöfung. @3 ergibt ficf) leidjt, bafj

1/i^W W-

b*x²

a²(a²b² — fr²#²)

3ft nun e bie numerijdje (Sjjentrisität, jo ift a² — b² = a²e², uitb ber Siabifanb erhält bie ©eftatt

0 bis a; fe^t man baber x = a singe, jo rnufj cp alte SBerte oon 0 bis y

burd)taufeu, unb ba fegt dx = a cos (pd(p unb a² — x² = a² cos² (p ijt, jo entftebt bie @leicf)ung:

unb ds

- dx

dx    a²y

SDer Üiabifanb läjjt jicf» auf bie 30vm

bringen, unb auS biejer gebt

«⁴ — (a² — &V²

a²(a² — xs)

beroor.

CI² — S²#²

a²— x²

• 3m erften üuabrauteit läuft x öoit

1.

2

* s = ccj cos cp d cp "j/ o

1-sWy

COS²qp

= a Jy 1 — s² sin² cp d cp

®a bie£ integral feine ber befannten gornten f)at unb fief) auef) nid£)t auf eine oon biefen bringen täfd, fo mn^ man feinen SBert auf einem anberen

2öege ju ermitteln fudjen. ©ntmiefeft man bie ^otenj (1 — £²sin²<p)- nad) bem binomifd)eu @a|e, fo folgt:

2.    (1 — £²sin²<p)“ = 1--- b² sin² cp —

1-1-3

£⁴ sin⁴ cp bs sin⁸ cp uftt).

Man ereilt alfo eine 9?eif)e für ~sf ioenn man ba§ gntegral fsin™cpdcp

beftimnten fam. $ftun ift aber

sinmcpdcp = sinm_l cp sin cpdcp = — sinwt“¹^p^(cos^))

= — d(sinm_ 1 cp cos cp) + idn — 1) sinm'"² cp cos² cpdcp = — d(sinm_19 cos cp) + (m — l)sinm~²cpdcp — (m — l)sinmcpdcpf

11.35

2 4-6

£⁶ sin⁶ cp

alfo

msinmcpdcp = — df(sinm_1 cos qp) + (w — 1) sin”⁴⁻²^^^,

unb f)iernad)

3.

J sinm cpdcp =

sinJ« -¹ cp cos cp

Somit bat man:

j*sinm cpdcp =

sin™~² cpdcp.

©ang eutfpredienb ergeben fid) bie (Steigungen:

sinm~² cp dcp = —

Iß

0

sin™⁻⁴

cp dcpr

Sm™⁻⁴    ₌ VÜL

T T m

-Iß

0

sin™⁻⁶ (p dcp,

ufw., bi§ fd^tiefeticf» jsin² <pdcp = *

■ Y entfielt. (»» ift t)ier eine gerate 8a()I!)

2Bie fid) leicht erfennen löjjt, erhält man öurdj ^Bereinigung bieder ©leidjungen:

Tt

4.

sinm cp d(p =

(m — 1) (in — 3) (m — 5) (m —7) • • • 5 • 3 • 1

m (m — 2) (ni — 4) (m — 6) (m — 8) • • • 4 • 2

®e^t mau je£t ber ffteiEje nad) m gleich 2, 4, 6 ufw. unb benutzt bie gefnnbenen 9lu§brüde für bie ©leidjungen 2 unb 1, fo erljält man:

¹ •¹ t¹ •³ _ ¹ •¹:³ f6 liL»

2-4    2-4    2-4*6    2-4-6

- C-— £²V — — f¹-—

3 \2 • 4    ;    5 \2 • 4 • 6

5.

= ay(i-(!«)*-

®ie jfteifje fonoergiert um fo fdjneller, je geringer ber Itnterfdjieb jloifdjen a unb b ift.

SBcifjiiel 5. ®ie Sänge s eines SBogenä ber ^>t)per£)el b²x²—a²y = a?b² ju beftimmen.

Sluflöfuttg. Stuf bent gleichen Söege wie bet ber ©llipfe ergibt fidj

r r< 7    ₇    l/f²#²— ar

juna^ft ds = dx y xt~a9■ •

—man bat bann dx =

COS Cp ¹    '

cds²    cos²op\    ₇

⁼ cosV l¹ -    /-)' al,ü dS =

Stutfi f)ier ift nun bie ißotenj (^1

ift wieber gleidj 1, unb ba bie 9teif)e für s mit astgcp. ®ag jweitc ©lieb wirb, wie man leidjt fie^t, gleid) — i yf, unb bie folgenben ©lieber finb färntlicf) mit einem 3a^or

5Da f)ier x oott a bi§ oo läuft, fo fetjt man

sin²qp cos²qp

asm yd cp cos² cp

ÜB dcp

COS²qp

V¹

, x² — a² = a?

r £² x² — a²

COS²qp

T²” ’

dcp

COS² Cp

"’Vf ) v ju entwideln; ba§ erfte ©lieb = dcp (1 + tg² <p) — d (tg cp) ift, fo beginnt

9fr. 15. 93eftimmung üon gtäcfyen ebener Würben.

27

öon ber gontt fcosmq>dcp behaftet, bereit ©röffe fid) aus ber (Sleidjttng 3 ergibt, trenn man barin cp burd) y — cp erfe^t.

Br. 15. BrJJinnnuttjj *umt JUtrljeu r Unter Burimt. (Quabratur.)

SSSie in Sir. 12 bei ber ötnfüfjrung be§ SntegratS bereits bemerft ift, begrenzt bie ebene Ältere y = f (x) mit ber X=9ld)fe unb ben ju jwet SBerten a unb b ron x gehörigen Drbinaten eine glädje, bereit ©röge burd) baS Sntegrat

b

Jydx angegeben wirb. 93on biejer 'Satfadje wollen wir ©ebrautf) machen,

a

um einige ^tddjen ju berechnen.

©cifpicl 1. SDie gläd)e ju beregnen, weldje eine im Slbftanb x = xl auf ber Sldjfe fenfredfit ftefjenbe <Sef)ne ber ißarabet y² = 2px mit biefer begrenzt.

Stuftöfung. SDie Hälfte ber gefugten gKufje ift baS Sntegral Jydx. Sinn ift f)ier

ydx = Y%P ■ x² dx — Y%P ■ d ^ xj ;

man l)at baljer:

unb folglich:

F=i

-g- V\ •

©eifbiel 2. S)en önfjalt eines Greifes mit bem £talbmeffer r ju berechnen.

Sluflöfuttg. 2Bäf)(t man jwei aufeinanber fenfrecfite Sturdjmeffer als Äoorbinatenacfjfen, fo l)at ber ÄreiS bie (Steigung x² + if = r². @S ift alfo

®a aber

y = Y²)'² — x², ydx = ]/V² — x² dx.

Yr²— x² dx = d(x- Yr² — x²) x²dx

yp-x² =

unb

alfo

x • d (]/V²

X*) =d(x- Yr² — x²) + yp

x²dx

r² — (r² — x²)

r²dx Yr² — x²

2 ]/r² — x² dx = d (oc • ]/r² — x²) +

Yr² — x²

dx =

— Yr² — x² dx

r²dx

yV² — x²

tft, fo ergibt fid) nad) Seifpiel 4 in 9h\ 13:

2 ydx = x • ]/r² — x² + r² arc sin ~ + C.

9hm läuft x bei bem |>atbl;reife üoii — r big + r, unb an beiben ©rennen mirb bag erfte ©lieb x ■ ]/r² — x² gieid) 0; eg ift bafjer

}£ J = j ydx = % r² arc sin (+ 1) — r² arc sin (— 1) = k r²    ^ j J = \r² ■ 7t., unb fomit folgt: J = Jt • r-.

©cifpicl 3. S)en Sttfialt J einer ©lüpfe mit ben £atbad)fen a unb b ju beredjnen.

Sfuflöfung. $ug ber ©feicfjung ber ©üipfe b²x² + «²y¹ = oßb² folgt: ^]/a²— x²\ man f)at bafjer nacf) SBeifpiel 2:

, alfo J = nab.

\J=jyäx = \-

©eijpiet 4. ®ie 2däcf)e ju beredinen, metcije bie £>i)perbel b² x² — a²y² = a²b² mit ber @enfrecf)ten x = x, begrenzt.

Sluflöfung. 9Kan fiat ijier für bie §älfte ber gefuchten g^dje bag

x\

Sntegral fydx. 9iun ift y = ~a ]/x² — a², alfo ydx = ~]/a;² — a² dx; ba aber

Yx* — a² äx = d ( x - ]/x² — a²) — x • d (yx² — a²)=d (x • yx² — a²)

x^£±Sdx

Yx²— a²

= d(x- Yx² — a²) — Yx² — a² dx

2]/«² — a² dx = d (x • ]/x² — a²) —

= d ix-Yx²— a²)

a²dx ■j/a;*—a*'

alfo

a²dx ]/x²— a²

xL    xt    x±

ift, fo folgt junädEjft: F = 2J ydx == d {x • yx² — a²) — a²J^

x²dx

V'.c- • • d*

dx

Yx² — a²

i-

t² + a² rc , St⁻' a('° l~x a²dx

©e|t man je|t Yx² — a² = t — x, fo mirb x =

₁ ^² — a² n

-a-

= i- -    -, ß x =

= a² It + C = a² i (* + f/a;² — a²) + C.

Stn ber unteren ©renje (a) mirb ber Stugbrud x - Yx² — «² g(eid) 0; man erhält bafjer

F = x₁ • Yxi — a2'

— ab [l(x₁ + Yx\ ~ a*) — ^«\

ober

xß+yxß —

F=^-x₁- Yx,² — a² — ab ■ l

9h;. 16. fttouminljalt öoit UmbreljungSförpent.

29

Seifpiel 5. Die glätte ju beftimmen, meldfe eine ßpftoibe mit ber X=2ldffe einfdfliefft (@. Sßeifptel 2 in 9h-. 14).

9luflöfung. 2luS ben ^oorbinaten * = r (cp — sin cp) unb y = r (1 — cos cp) folgt f)ier: ydx = r (1 — cosgp) ■ r (1. —cos cp) dcp = r² (1 — 2 cos cp + cos²cp)dcp. fjür cp = 0 liegt P auf ber ©eraben © unb für cp = 2 a fällt er mieber auf ©; ber fßunft P betreibt alfo einen ganzen Sogen ber Ättroe, wenn cp oon 0 big 2 n mädjft, mtb bentnad) ift baS integral Jydx üou 0 bis 2n ju nehmen. Son ben brei Seftanbteilen beS Differentials ydx liefert ber erfte 2ar* unb ber jmeite 2r²sin2a ober 0; ber britte aber ift nad) Seifpiel 10

j'2

in -Jlr. 13 gleich bem SGßerte, ben ber SluSbrud - (sin cp cos cp + cp) für cp = 2 a annimmt, b. f). gleidt) ar². Demnach erhalt utan für bie gefudffte $lädje:

F = 2 ar³ -\- nr² = '& nr².

Seifpiel 6. Die glädje eines StuSfdjnittS einer Iogaritf)miftf)en (Spirale ju beftimmen.

Sorbemerlungen. a) Sei Senupung üon fßolarfoorbittaten rnirb bie Sage eines fßunfteS P burd) feine ©ntfernung r oon bem Sullpunfte 0 unb ben SSinfel cp beftimmt, ben OP mit ber (poftttoen) X=3ld)fe bilbet. Seftept jmifdjen r unb cp (als Sogen eines Steifes mit bem §aI6meffer 1 auSgebriidt) eine ©leidfung, fo ift beren geometrifdjeS Silb eine Spirale. Sft inSbefonbere r gleich einer ©jponentialfunttion c ■ e"“p beS SBinfelS cp, fo bap biefer als eine logaritpmifdie gunftion oon r entiuicfelt merben fann, fo f)eifgt bie Spirale logaritpmifdje Spirale.

b) Das glädjenbifferentiat einer Spirale fann als ein ftreiSauSfdjuitt

mit bem SJtittelpunftSminfel dep angefepen

merben; eS ift baljer df=--r²dcp.

f.

Sluflöfung. $at bie Spirale bie ©lei= djltltg r = c ■ fo ift df = er me-'"'“ d cp unb bemnaep

3riö-

(Sntfpredjeu ben Sßinfeln cpx unb cp., bie Sabien i\ unb r₂, fo ergibt fid) pierauS für ben oon rt unb r₂ begrenzten 2luSfc|nitt bie ©rö^e ^ (r₂² — rx²).

Br. 16. Baumtnl|alf iron Hmbvcljmutshüvpu'nt. (Subatur.)

SBirb eine .Suroe mit ber ©letdjuttg y = fix) um bie X=3(djfe gebrept, fo befdfreibt fie eine    meti^e einen SotationSförper umfcplie^t. ßmei

auf ber 2ld)fe feufredjte ©betten, beren Stbftänbe oon bem Sullpunfte g(eid) x

unb x + dx finb, fdjttetben au» bem Körper ein 9iaumelement d V tjerauS, baS an ber ©renje atS ein ßptinber mit ber §öfje dx unb ber ©runbftäctje itif angefetjen werben fattn. 9)cait tjat bat)er dV = ny² dx.

©cifpict 1. ®en tRaumintjatt eines geraben ßreiSfegetS ju be =

ftimmen.

Sluftöfung. ®ie erjeugenbe Sinie tjat, wenn man ben ®oorbinatenanfang in ben ©dwittpuntt ber ©eraben unb ber 2)ret)ungSacE)je tierlegt, bie ©teictjung:

y = Ax. ©S ift batjer d V = nA* x² dx = JA² d (x³) unb V = f A² x³ + C.

©etjt bas integral oon 0 bis h, jo folgt pierauS V = y A² liA. SBirb je|t ber ju x = h gehörige SEßert tion y mit r bejeidjnet, jo ijt r = Ah, atjo A² = ~ unb jomit F = |- r² h.

ßujat}. ©ef)t bie Sntegration tion xx bis x₂ unb jinb rx unb r₂ bie jugetjörigen SBerte tion y, jo ertjätt man:

V = y A² (xäs — xxs) = Y A² (xa — xx) (x₂² + a* x₁ + xx²).

9tun ijt — xl gleicE) ber jpöfje h beS ÄegetftumpjS, unb ba A\x₂² + xs xx + xx²) = r₂² + r₂ rx + r²

ijt, jo ergibt fidj bie befannte formet: F = y ä (r₂² + r₂r₁ + >\²).

tBeifpicl 2. ®en 9taumint)att einer ^ugetjcf)ic£»t ju bejtimmen.

Ütuftöfung. Segt man ben Soorbinatenanfang in ben einen ©nbpunft beS SDurcpmefjerS, um ben jid] ber Sogen beS erjeugenben ftreijeS brefjt, jo

y² dx = 2 rx dx — x² dx = rd (x²) —j- d (xs) — = rx³ —xs + C.

7t    6

©et)t bie Integration tion xx bis x₂, jo folgt pierauS juitäcpjt:

- y (W 2 _ y 2\ _ {y 3 _ y 3\

— / ^2    ^    '"l )'

tjat man: unb jomit

9tnn ijt aber biejer SluSbruct gfetcf)

(x₂ — Xj) [r (x₂ + xt) — 3 (x₂² + x₂xx + xj²)];

ferner ijt y,² = 2 rx₂ — x₂ unb y² = 2 rxx — xx², aljo 2 r (x₂ + xx) = y.² + y² + (x₂² + xx²). Seacptet man weiter, bajj bie §üt)e h ber @d)id)t gteicf) x.₂ —    , baf; atjo x₂xA = ^(xf 4- xx² — h²) ijt, jo ertjdtt man:

⁼ ^[i(1/2² + Vi) + -2-(x2² + xi)— y~t+ ^i²) + ir^²J

= Ä(

), atjo F= ^(31/2² + 3yj + h?).

3u}a9lu§ bent allgemeinen Sntegral n (rx² — * xs) ermatt man ben Dauminfiatt eines ®ugetabfdjnitt§ mit ber £>öfje h, wenn man x oon 0 bis h laufen lägt; eS ift batjer Ab = %(rh² - * A³) = f A²(Sr - A). (Sbenfo lafst

fid) aus bem allgemeinen integral bequem bie fjormel für ben Daumintjatt ber ganzen Äuget abteiten.

©eifimt 3. 2>en Daumintjatt eines 3totationSettipfoibeS ju beftimmen.

Stuftöfung. ®ret)t fid) bie (Sltipfe um iljre grofje Steife, unb liegt ber Äoorbinatenanfang in einem ©nbpunft biefer Sldjfe, t)at atfo bie ©tlipfe bie

@Ieid)ung b²x² + a²y² = 2 ab² x, fo erhält man dV =    (2 ax — x²) dx.

hieraus aber folgt:

et⁸ v

b²7t

= ax²—jX*+C. $itr ba§ gan^e ©llipfoib get)t ba$ Sntegral t)on 0 big 2a; man ijat baljer V = tc • ~ ^4a³ —

= —jtctb².

o

®ret)t fid) bie (Sllipfe um itjre Heine ütdjfe, fo fiat man in biefer formet a mit b ju öertaufdfen. Dian ertennt leidjt, bafj baS jmeite ©ttipfoib größer ift atS baS erfte.

©ciftiicl 4. SDen SRaumintjatt eines Körpers ju beftimmen, ber burtf) bie 2)ref)ung eines 23ogenS einer ßb^oi&e um feine @ef)ne e n t ft e £) t.

Sluftöfung. Dian t)at f»ier (fief»e SBeifpiet 2 in Dr. 14) y- = r² (1 — cosqp)2 unb dx = r (1 — cos cp) dep, atfo y² dx = r³(l — cos cp)³ dep. Dun ift (1 — cos qo)³ = 1 — 3 cos cp + 3 cos² cp — cos⁸ cp, unb ba

3

3 cos gpdep = 3 ^(sin gp), 3 cos² cpdcp = - [d (cos cp sin cp') + dcp\

nnb

cos³ cpdcp = cos² gp d (sin gp) = d (cos² cp sin gp) + 2 sin² cp cos cpdcp — d (cos² cp sin gp) + 2 cos cp dep — 2 cos³ gpc2gp, atfo 3 cos³ cpdcp = d (cos² cp sin gp) + 2 cos gp dep

ift, fo folgt:

y²dx=dcp — 3d(sin gp)+ ₂ [d(cos cp singp)+ dgp] —— [d(cos²cp singp)+ 2 d(sin gp)] = y^gp — y d (ßin ^) + y ^ ^cos cPs^ncp)--\d (cos² gp sin gp).

Sei bem Sntegral macfjft cp oon 0 bi£    an beiben ©renjen fallen

bie lebten brei ©lieber fort, nnb e§ bleibt: V= it • |r² • 2a, alfo V = 5jt²rs.

Bv. 17. Ruurnttutmunt au« ttcv

a) Sie gangeje|e unb ber fcpiefe SBurf.

Sie Seränberung ber (Sefcpwinbigfeit eine» frei fattenben Körpers wirb bttrd) bie ?tn§ief)img§fraft ber ©rbe perborgerufen, unb bie ßunapnte feiner @efd)Winbigfeit v in ber ßeiteinpeit ift batier gleicp g\ barauS folgt, bafj

~j = g, alfo dv = gdt unb v = gt + C

ift. ßu ber ßeit t = 0 ift audp v = 0; bemnucp erpält man für bie ®e= fcpwiitbigfeit v eines frei fattenben KörperS: v = g ■ t.

ferner ift bei jeber Seweguttg bie ($efcpwinbigfeit gleicp bent Quotienten au» bent Sifferential ber prüdgelegten ©trede unb bem Differential ber ßeit; eS ift alfo ds = vdt. Seim freien galt pat man baper: ds — g-t-dt = \g ■ d(fi), unb folgtidj: s = %gfi + C'. Slucp f)ier ift bie 3ntegrationS= fonftante gleich 0, meit beim Segintt ber Seweguttg bie ©trede s nocp gleich 0 ift.

.'pat ber Körper in bem lugettblid, in bem er ber SBirfttng ber @cpwer= traft auSgefe^t wirb, bereits bie ©efcpwinbigfeit v0l fo ift C' = v₀t, atfo s = v₀t + \gt².

SSirb ber Körper fenfrecpt in bie £>öpe geworfen, fo ift dv = — gdt, unb wenn bie ÜlnfangSgefcpwinbigfeit wieber mit v₀ bejeicpnet wirb, fo folgt hieraus, baff v = v₀ = gt unb h = v₀t — \gt² ift.

h — v₀t sin a — %gt²-

Sie SBurfpöpe finbet man leidet, wenn man bie Stbteitung bon h gleich 0 fept, ufw., unb ba bie Söurfweite in ber hoppelten ßeit wie bie SBurfpöpe erreidjt wirb, fo lüfjt fid) aucf) bereit Seftimmung bequem burdjfüpreu.

Seim fcpiefen SBurf ift bie poripntale Komponente »Ocos« ber ($e= fd)winbigfeit fonftant, unb bie in poripntaler SRidptung prüdgelegte ©trede x ift gteicfi v₀tcosa. gür bie oertitate (fSefcpwinbigfeit ergibt fiep ?;₀ sin a — gt, unb barauS folgt für bie |)öf)e h, bie ber Körper ttad) t ©efunben er= reicht pat,

b) ©cpwingungSbauer eines matpentatifcpen ißeubets.

Silbet baS Sßenbel pr ßeit t mit feiner Supelage ben SBinlel cp, fo erfährt eS bei feiner ÜBeiterbewegung bon ber Supelage aus bie Sefcpleunigttng

— g sin q). @S ift baper ~ = — ^sin^, unb Wenn man pierauS unb attS ber ©leicpung ds= vdt bie ©röpe dt eliminiert, fo erpält man:

vdv = — g sin cp ds.

Sft aber l bie Sänge beS    pat man ds = Idcp, unb bemitacp ift

vdv = — lg sincpdcp = gld'(cos cp), alfo %-v² = gl cos cp C.

Sft ferner a ber Sßinfel, ben bie meitefte (Entfernung be§ ^Jenbefö non feiner 9?ut)elage mit biefer bitbet, fo muft für cp = a bie ($efdf)toinbigfeit gleid) 0 fein; bie Äonftante C tjat bafjer bie @rö^e — gl cos a, nnb fomit ergibt fiel):

^v² = gl (cos cp — cos a).

Se^t ift ld(lj = jt = v = ]/2gl (cos cp — cosa), nnb t)ieran§ folgt:

dcp

dt

=yi.,_

'    9 y2 (cos cp — cos a)

Sft cc fo Hein, baf$ in ber Steife für cosa (fietye 9lr. 8 ®leid)ung l) nur bie jtoeite 5ßotenj non a berüdfidfjtigt ju toerben braucht, fo §at man:

2 (cos cp — cos a) = a² — cp², atfo dt = l/— •    _____________________

'    9 j/a² — cp²

= arc sin ~ ift, fo folgt für bie ßeit, in ber ba§ fßenbel

in ^r. 13

>/

dcp

]/a² — cp²

dcp

nnb ba (fietje SBeifytel 4

fic§ oon feiner fRuf)etage auS um ben SBinfet a bewegt,

t = ~j/~ (arc sin 1 — arc sin 0) = "j/~ • y • giir bie Steuer ber Bewegung oon einer (Srenjtage jur anberen (bie ©cffwingungSbauer) erfjätt man atfo: T= jt • j/~-

Br. 18. Mt Brplrrfdirn ©Ej’rffß unir fräs BritJftmfdir ©ratriiaiimtsgrj’r^.

a) SSorbemerfungen.

£>ie Bewegung eines fünftes P um einen feften fßunft S fe|t twrauS, baff ber ißunft P eine beftimmte ©igenbewegung befi|t nnb bauernb oon bent fünfte S angejogen wirb.

®ie S3at)n be§ fünftes P fjangt üon ber ®röfie ber wirfenben Kräfte unb ber Sange r ber (Sntfernung PS ab.

JT

AI

SBirb ber ®oorbinatenanfaug in ben ijSunft S gelegt unb bie ©efyne A₂A1 ber Söatjn als X= Steife gewählt, fo finb bie ^oorbinaten x unb y mit bem 9iabiu§=

f5lg. 10.

Seftor r unb bem SBinfet cpr ben PS mit ber pofitioen Xte’tcfjfe bitbet, burct) bie ©teicf)ungen oerbunben:

1. x = rcos(p unb y = rsin(p.

S3efinbet ficfi P jur ßeit 0 in bem fünfte At unb bewegt er fic^ in ber 9tict)tung A₁B₁, fo fönnen r unb cp atS ffurntterara ber ßeit t angefetien werben. 9iai^ bem 9iewtonf(f)en @raoitation§gefe| ift bie 93efcf)teimigung p

SUlüIIer, Differential-- unb ^ntegralredinung.

9lun ift uad) (Sleidfung 1

dx — dr cos qp — rd cp sin qp unb dy = dr sin qp + rd qp cos cp.

ifte^net man fjtentad] bie 2)ifferenj xdy — ydx au», fo erl)ält mau aus ©leidjung 4:

5.

r²dcp = Cdt.

®emtt}t man weiter bie ©leidjungen für dx unb cly, um r unb cp in bie ®leicf)ung v²(dt)² = (dsf = (dx)² + (dy)² eiujufiitjren, fo folgt

6.

(drf + r² (depf = v² (dtf.

ferner folgt au§ ©leidjung 3, bafj

¹

Sie SSeifpiete 4 mtb 5 tonnen übergangen roerben.

²

f=Y V²P ■ x\ — yV²!' • xi ■ xi = gl/2päii ■ xi = iVixit

p d(r²) pdr 2r dt ~

dt

gleicE) bem Duotienten unb bafjev ift audfj p eine gunftioit ber ßeit t. .gerlegt man p in Komponenten, welche ben Steifen parallel finb, fo erhält bei bem angenommenen Sinn ber Bewegung: jt ) = — p cos <p unb

man

d (2)=-^^' aI'o:

dt

2.

g = -i>cosqp

unb = — p sin qp.

3.

®a cos <P = y unb sinqp = ift, jo folgt t)ierau8:

* unb dll =

d²x y dt²

d²x

dt* =~P ' r

2Bie man leidjt erfennt, läfjt fid) au§ biefer (Steigung ableiten, öafj x = 0 ift. ®a aber

dt²

-p.lL.

¹ r

dt

unb

/ dx\ dy dx , d²x

\y -dt) = di ■ dt + y w

alfo

ift, fo pat man:

4.

.....- (x ±y\ =dx.dy

dt \ dt) dt dt

d²y d f dx X dß ⁼ dt V ~dt ~ X

dy dx

xft~yTt = c-

d*x

y it* ~

d*y

dt*'

dx d*x dy dPy___p /xdx    ydy\_ p d_,. 2 i,,j\

dt dt*' dt dt*    r \ dt ' dt )    2 r dt^    ^    ’

ift, unb ba au» bie (S5leicf)ung

folgt, fo ergibt fidj    d (v²) = — 2pdr, alfo v² = — 2 Jpdr + c.

------h c-

7.

r

b) Verleitung be§ jweiten ^epterfdjen @efe|eS.

Seadjtet man, baff ba§ ^Differential ds be§ 93ogen§ gteid) rdcp unb fomit r-ds ober bie gtädje beS ju ds gehörigen StuSfdjnittS gleich © dtp ift, fo erfennt man aus (Steigung 5, baff ber 9iabiuS = 23eftor in ber ßeit t bie §Iäd)e i-J¹ Cdt ober \C -t befdjreibt. TDa für t = 0 aud) bie gtädje gleich 0 ift, fo f)at Vier bie Sntegrationsfonftante bie @rögc 0; fomit ergibt fid) ber @a|:

£>er iRabiu§=®e!tor einer ißtanetenbafin bef<f>rei£)t in gleichen feiten gteide fHücben.

c) Verleitung be§ erften SÜepterfdjen @efefK§.

flcp'^t un^ uncf) ©teidjung 5

9tacf) bem (SratutationSgefeij ift aber p = ^; man tjat baffer

^² = -

unb barau§ folgt:

2 fe

J V

®“ nett % -

dcp

di~V-

ift, fo folgt auö ©leidjung 6:

S, atfo

ä.1 &

dr

d cp

1«! o

c²

ri

= **,

unb nun aus ©teidjung 7:

(*L. C\* C* ₌

\dcp r²) ^ r²

dr = ~j)/cr⁴ + 2 wr® — 6’² r²1/ . @e|t man r = —, fo toirb dr =

^ V¹c + 2

©teicfjung:

§ierau£ aber folgt:

-----b C.

r

dz

]/cr⁴ + 2 mr³ — C² r2 mz—C*8*t unb fomit erhalt man au§ ber oor^erge^enben

~~ F'

— Cdz

dcp =

Unt toeiter ju oeretnfad^en, fe|t man c + 2mz — C²#² == <7² ^ + 2^ — = C² (_p 4- 2 qz — z²)r unb ermatt baburdj:

— dz

yC+2mz—C*z²

dcp =

}/p -\-2qz — z²

3e|t ift p + 2 qz — z² = (p + (f) — (q — ^)²; fefd man atfo q — z = wr fo baff — de = dw unb p + 2 qz — z² = (p + q²) — w² mirb, fo entfielt in

dcp =

dw

Vip + q^ — w

ein Sntegrat, bas nach söeifpiet 4 in 9tr. 13 gleich

arc sin

ift. hieraus aber folgt:

V p + q*

+ c'

smly-cQ- /*■

Vp+q²

c²

Eiun ift w = q — z —    — —

unb p + q² = (c • C² + w²)

man fjat batjer — = m — yc • C² + m*sin(qp — c) unb baraus ergibt fidj:

m--

r rr w _    r

]/p + 2² l/c*C² + ma^

C²

m — ]/c • (7² -f- m² sin (qp — c')

gür

8 9,

= s • clr

unb c' =

c«i a

aljo

sin (cp — c') = sin    ^ = cos cp

geht f)ierau§ bie @leicf)ung r =

^egelfdfnitt bar. ®a bie Sahnen gefdjloffene Suroeit finb, fo muffen fie ©Eipfen fein. @3 beftefjt atfo ber ©a|:

®ie Planetenbahnen finb Sltipfen, in beren einem Srennpunlt bie ©onne ftet)t.

1 + « • cos qp

tjeroor, unb biefe ftellt einen

d) Verleitung be3 brüten Äeplerfc^ett ©efe|e§.

3tad) bent SSorftefjenben läfft ftd) audj bie $eit t als gunftion non r barfteEen. SSerbinbet man bie (Gleichungen 5 unb 7 mit (Gleichung 6, fo

erhält man: (dr)² = (^~ + c — ^ • (dtf unb hieraus:

dt =

r dr

Ycr² -j- 2mr — C²

9'tun ift bei ben borhin gebrauchten Sejeidfnungen bie grofje Sldffe 2 a ; man ha* atfo C² = ma(l — e²).

ber (SEipfe gleich j ferner ift

2 sd ^-£²⁴>

1 -a²--c^, atfo

/i ₂\ m m C = JM (1 — £²) • gj = — •

®er Sluäbrucf r + 2mr — C² lafyt ftd} bafjer auf bte $orm

2 Mf —    — ma (1 — f²) ober ^ [2 ar — r² — a² (1 — £²)]

ober

[a² £² — (a — r)²]

bringen unb fomit folgt:

r m

r dr

ya²£² — (a — r)²

r dr

*• V- - (tt)"

Um bie Integration ju ermöglichen, erfefst ntan ——⁷ burd) es ift bann r = a — aez, dr = — aedz, rdr = — a? sdz + (as)² zdz, unb bemnad)

dt

-m

— adz

aszdz

i/i — ss ' yi—zs hieraus aber folgt:

j = j/ a [— a • d (arc sin z) — asd(y 1 — z³)\-

= — j/-~ (a • arc sin z -f a £ f/l — 2²) + Gv.

Sie f)albe UmtaufSjeit ift nun bie Sifferenj ber beiben Stöerte, bie biefer StuSbrud in ber Sonnenferne (im 9(pf)dj unb in ber Sonnennähe (int ißeritiel) annimmt. 93eacfjtet man, ba§ bte lineare (Sjrjentrijität e gleid) as ift, bah atfo

a er rr

in ber Sonnenferne ber 9iabiu§=Seftor gleich a + e, unb fomit z = — 1 „ „ Sonnennähe „

ioirb, fo fief)t man, bah cm beiben Stetten bie Quabratttmr§et ben SBert 0

hat unb bie Sifferenj ber arc sin z gleich ------* ober — n ift. SÖtan

erhätt baher für bie ganje UmtaufSjeit T:

T= 2 ]/-ai

V m

(Srtjebt man inS Quabrat, fo erhätt man T² = ⁴ * a³; bei jtoei ißtaneten

mit ben llmtaufsjeiten 1\ unb T₂ unb ben groben Valbachfen at unb a2 ihrer Sahnen ift baher 2)²: T₂² = aL³: a₂⁸, b. h-

Sie Quabrate ber UmtaufSjeiten stoeier Planeten oerhatten fid) mie bie Äuben ber groben Stdjfen ihrer Sahnen.

e) Verleitung beS Stemtonfchen ©raüitationSgefehe? auS ben ^epterfdjen @efe|en.

®en Schtnh öon ben Äepterfcfjen ©efeben auf bie wirffamen Urfadjen hat erft Sfteioton (1687) gezogen. Sitbet jur $eit t bie Sangente mit bem fRabiuS=SSeftor ben Sßinfef ß, fo wirft ber Bewegung bie Komponente p cos ß entgegen, unb baffer ift = — P cosß. ferner ift cosß = affo

dv    dr ₇    dr ds

-dT = -VTs> Vdv = ~ P ' ~ds"di

unb fomit

1.

% d (v³) = — p ■ dr.

Stu§ ben ©teidfungen 5 unb 6 in a) folgt weiter:

2.

$)a bie 93af)n eine ©flipfe ift, fo pat man:

sd — r a( 1 — £²)

1 rP .    a( 1—s²)dr    c dr s • sin cp

—, alo sin w = -    ₂ ' unb v₇ == i—

s '    1 T 6 -rzdcp    r²dcp    a( 1 —

$üffrt man biefen 3fu§brucf unb für ^ ben Quotienten (¹~*”vJ0SI3P)" ober (a(i    ^te ®letd^ung 2 ein, fo erhält man

•(²^-l) = affo    =

COS cp

rs

rs

a²(l — s²)

C²dr

a(l — s²)r²

SRacf) (55fet(f)ung 1 entftefjt baljer bte ©leidjung:

C² dr

C²

f unb fomit: p =

25a Cdt = r*d<p, atfo C. T = f rhlcp = 2J=2nab = 2 xa²yT^s2 ift, fo ergibt ficf»:

3.

— p • dr = —

a{ 1 — £²)r²

a(l — £²)r²

47r²a⁴(l — s²) _ a(l~s²Yr²T2 = r²!² ’

4tt² • a³

Sftadf bem britten Kepferfdfen ©efefje ift ber Quotient für affe ^falteten fonftant. Gsrfe^t man jept burcp m, fo folgt: p> — y,

Qamit ift aber ba§ 9tewtonfcf)e ©raüitation§gefef3 bewiefen.

SBcrlag Hon $. ©. «Tculincr tu &ci)j$ig unb «Berlin.

2Jlatl)eiitttttfd)e§ Itntcrridjtgtocrf tum Prof. §eiitr. fötütter.

^itr Ijiiljcrc Sctjranftaltcn.

iHüllrr, ^Srofeffor iJrtnndT, Oberlehrer am $gl. ^aijertn Slugufta=©hmna^uiu p ©harlottenburg, bir $!tatljrmatik auf brn <ä>ptna|trn unk ftralfdjulru* Sftit phlreidjen Xejtfiguren. gr. 8.

2lu§gabe A. fyür ©bntnafien unb Progtjmnafien.

I. Seil:    Sie    Unter ft ufe.    3.Auflage.    [VIII u. 136 ©.]    1905.    geb.Jt 1.60.

II. Seil:    Sie    «Oberftufe.    2. Auflage.    [XII u. 311 ©.]    1902.    geb. JtSAO.

5lu§gabe B. gür reale Slnftalten unb fKeformfdjulen.

I.    Seil:    Sie    Unterftufe.    4. Auflage,    [vm u. 199 ©.]    1908.    geb. 2.20.

II.    Seil:    Sie    Oberftufe,    in 3 tu ei Seilen, föerauSgegeben in Pcrbinbuug

mit Profeffor 21. ,t>ube (ßborlottenburg).

1.    Abteilung: Planimetrie, Sllgcbra, Srtgonometrie unb «Stereometrie.

2.    Sluflage. [VIII u. 223 ©.] 1902. geb. Jt 2.80.

II. Slbteilung: ©bntbctifcbe unb analtttifdje (Geometrie ber $egel= fdfnitte, bar ft eile nbe ©eontetrie. 2. Auflage. [VIII u. 178 ©.] 1902. geb. Jt 2.40.

21 u § g a b e f ii r b a t) e r i f d) e ß e b r a n ft a 11 e n berauggegeben bon Br. 207. $ tt> e r g e r, Profeffor am Ägl. Seiten ©bmnaftunt gu SCßürgburg.

I. Seil: ßebraufgabe ber 5. unb 6. ©bmnafiab, beg. ber 3. unb 4. Ü7ealfcbuH Haffe. [VI u. 138 ©.] 1906. geb. Jt 1.60 II. Seil: ßebraufgabe ber 7. unb 8. ©qmnafiaH, beg. ber 5. unb 6. fRealfdjuI* Haffe. [VI u. 162 ©.] 1906. geb. Jt 2.—

©onber-'Slbbrucf au§ ,,Sie 20?atbematit auf ben ©bmnafien unb Pealfdfitlen":

Sie Sefjre bon beit Äoorbinaten unb $egclfd)nttten. 20iit gablreidben Sepigureu. [III u. 52 ©.] gr. 8. 1899. tart Jt 1.—

SBierfteUige fiogaritbntentafeln. ftür bie £anb ber Spüler gnfammengefteEt. [7 ©.] gr. 8. 1906. geb- Jt —.25.

unb profeffor $utncmaktjf Oberlehrer am sJflcibd)cn=9ieform= realghmnaftum p ^Berlin, Sammlung mn ^lufgabru au# brr 2tritljmrtik, ^riganaurrtiir unb Strrramrtrir mit befonberer $Beritrffid)tigung ber 5lnU)enbungen. gr. 8.

2lu§gabe A. $ür ©tjmnafien unb Progtimnafieit

I.    Seil: 4. Auflage. [VII u. 237 ©.] 1906. geb. Jt 2.20.

II.    Seil: gür bie oberen klaffen. [VIII u. 348 ©.]    1902. geb. Jt 3.20.

--2., öerb. uitb ftart gelürgte Slnflage. [VIII u.273©.] 1905. geb.^. 2.20. 2lit§gabe H. gür reale Slnftalten unb SReformfdfulen.

I. Seil: 4. 2luftage. [Vin u. 301 ©.]    1906. geb. Jt 2.80.

II. Seil: 2. 2luflage. [XI u. 304 ©.] 1907. geb. M. 3.—.

2lu§gabe für baberifdfe ßebranftalten. 3m Slnfcblufj an bie Seile Ai unb An ber Füller unb £httnem§!bfcben 2lufgabenfammlung unb in Per= binbung mit ben Perfaffern l)erau§gegeben bon Dr. $ Berger, Profeffor am ®gl. 97euen ©bmnafium gu SSitrgburg. [VIII u. 276 ©.] 1906. geb. Jt 2.60

(Ser I. Seil, 138 ©., Jt 1.60, ift für Progbmnafien abgetrennt.)

unb profeffor    Oberlehrer am ®t)mnafium p9?orbhaufen.

ürdjruburtr für btr untrrru €la|fru brr häljrrru frljrau|laltru. S5or= ftufe p ben 5lufgabenjammlungen tion s^8arbeh unb 9!ttüHer=®utnem3fhr TOt 2)opeltafel: ^eprobuftion eines OtaatShapierS. gr. 8.

2lu§gabe A. gür ©bbtnafien unb Progbmttafien. 3., berbefferte 2luflage. [VIII u. 254 ©]    1906. geb. Jt 2.40.

2ludf in 3 Seilen. Ji. —.80, —.80, l.—

2lu§gabe B gür reale Slnftalten unb fReformfcbuleu. 3., berbefferte Sluflage. [VIII u. 284 ©.] 1906. geb. Jt 2.60.

2lud) in 3 Seilen. Jt. —.80, —.80, 1.20.

2lu§gabe C. 9flit Permel)ritug ber Slufgaben unb Perminberung ber facblicben unb metbobifclten 3ufä^e. 3u 3 heften, gr. 8. 1906.

1.    £eft. gür ©ejta. [V u. 78 ©.] Jt —.80.

2.    £eft. f^ür «Quinta. [V u. 72 ©.] Jt —.80.

3.    §eft. ftür «Quarta. [V u 102 ©.] Jt 1.—

2lu§gabe für batyerifcfie ßebranftalten bearbeitet bon Br. 207. 3)üer0er/ Profeffor am Ägt. Seiten ©bmnafium gu SSiirgburg. $n 2 Seilen, gr. 8. 1907.

I. Seil: ßebraufgabe ber 1. unb 2. klaffe. [VI u. 144 ©.] Jt 1.60.

II. Seil: ßebraufgabe ber 3. unb 4. Älaffe. [VI u. 100 ©.] Jt 1.60.

------ -------------©rgängung§beft für bie 2D7ittelflaffeu ber fRealfcbulen unb Slnftalte

mit ©rfabunterridit. [IV it. 89 ©.] gr. 8. 1905. fart. Jt 1.20.

aScrtag non SB. ©. Scittner iw Setjijtfl mtb Lettin.

Müller, Profeffor tljrinriih* Oberlehrer am ®gl. fatferin 5lugufta=®bmnaftunt Zu ßhurlottcnburg unb Segger, Sefjrer an ber Vorfd)ule be£ $gl. $aijerin 2Iugufta=®hmnaftum3 zu ©harlottenburg, Hexhenkurij für bie Darfrijule brr Ijüljmu fehranjialten* 3 §efte. 2. Auflage, gr. 8. 1907. lart. je «Ä —.80.

1.    £eft. 5Da§ [Rechnen int 3ublenraum bort 1—100, mit 5lu§fcbluf3 ber fd)toierigeren

Übungen, [IV u. 64 S-l

2.    §eft. Schwierigere Übungen im gat)Ienranm bon 1—100, kopfrechnen int 3ubten=

raum bon 1—1000 nnb Einführung in ba§ fcOriftlidje SRedjiten. [IV u. 72 S-]

3.    $eft. kopfrechnen im 3al)Ienraum bon l—1000. Übungen gum fdjriftlichen

[Rechnen im 3ablenraum bon 1—10000000. [IV u. 58 S]

$ür Se^rcrBilbungSanftottcn.

Müller, Profeffor iljrinrirh, Oberlehrer am $gl. $aiferin 2lugufta=©bntnaftum Zu (£hnrlottenburg, ty* tBaltin, Seminarlehrer in $öbenid, nnb $+ Segger, Sehrer an ber Vorfchule be3 $gl. feaiferin 9lugufta = ©hntnafium3 zu ©harlottenburg, Urdjenkuih für :Präparanbennn)taltrn* Vorftufe §u ber 907üüer= nnb Valtin=9D7ainmibfchen 5lufgabenfammlung. 9D7it Tofüteü tafel: Veprobuftion eines (StaatSpapierS. 2 Auflage, gr. 8.    1906.

Qn 2 Teilen.

I. teil: Sebraufgabe ber britten Pfaffe- [VI u. 178 S.] geb. M. 1.80.

II. Steil: Siebraufgabe ber gtoeiten klaffe. [VI u. 128 S.] geb. M. 1.60.

$ür bie erfte klaffe ift ber Steil I ber $8 a 11 i n n. 9R a i to a l b fdjen Sammlung beftimmt.

nnb W* Mfliwalk, (Seminarlehrer in $önig3berg i. 97m., kur^gefaßte# frljrbuüj ber Mathematik für Seminare nnb Präparanbem anftallen. 97ad) ben Sehrptönen bon 1901.    2., üerbefferte Auflage.

[X n. 218 ©.] gr. 8.    1906. geb. Jt. 2.40.

--------------Sammlung mn Aufgaben ans ber Mathematik, Trigonometrie nnb Stereometrie mit zahlreichen 9lnft>enbungen au3 ber Planimetrie nnb Pbpfif. Unter gngrnnbelegnng ber 9Q7üller= ®utnctt)3ft)fd)en 9lufgabenfammlung. Qn 2 Teilen, gr. 8.

I. Steil: $iir bie l. klaffe ber ^räparantenanftalten. 2. Slujlage. [VI u. 110 S.] 1904. geb. M. 1.40.

II. Steil: gür Seminare. 2. Auflage. [VIII u. 230 S] 1905. geb. Jt 2.20 -— fomplett in einem üöanbe. geb. Jt. 3.20.

nnb Dr. %. JHatl}, Vegierung^ nnb Schulrat in Süneburg, feljr-imdj ber Mathematik, znr Vorbereitung auf bie 9}iittelfd)ullehrer-Prüfung nnb ba3 9lbiturientenej;amen am 97eatgpmnafium. Qm 2ltt= fd)tuj3 an bie Valtin = 907aitoalbfche Seminarau^gabe be3 9Mllerjd)en £ehrbud)e3 nnb in Verbinbung mit Profeffor 90tntler für ben Seik|l-unterriüjt bearbeitet. 9SJUt 121 giguKn im Test [VIII u. 236 S.] gr. 8.    1906. gel). M 3.60, geb. .j< 4.—

-------Sammlung oou Aufgaben zur Vorbereitung auf bie

9Ü7itteljd)ultehrerbrüfung nnb auf ba3 9lbiturientenesamen am 97eat= gt)mnafimn. Qm 9lnfd)lu^ an bie Valtin^9D7aitoalbfche Seminar= au^gabe ber ^tüller^utnemgfhfchen 9lufgabenfammlung nnb in Verbinbnng mit Profeffor 907üller für ben Selbfiunterriiht bearbeitet. [VIII u. 259 ©.] gr. 8.    1906. gel). Jt. 3.60, geb. Jt. 4.—

$ür ^ö^erc SDlöb^eitji^ulcn.

Müll er, Profeffor tftmxitty, Oberlehrer am ®gl. taiferin 9lugnfta^hmnafium Zn ©horlottenburg unb ür. Srljmibt, meil. Oberlehrer an ber höheren 907äbchenfd)ulelzu Shatl°lienburg,lierhenkndj für höhere Mübdjenfihuien^

I. Steil: $ür bic 4 unteren Älöffeit. Unter 9IHtmirfung oou profeffor Füller bearbeitet oon Fräulein i>ebtrig ©üthlein, ßebrerin an ber iilocforofc^en bohren 9Jtäbd)en* fdjule gu (Sbarlottenburg, unb ©egger, Sebrer an ber SSorfcbule be§ Äaiferitt ?lngu[ta=©9ninafium§ gu (Sbarlottenburg. 4 ^tefte. gr. 8. 1904. fart. je JC —.60

1. §eft: 3ablen!reife oon l—io, oou 1 — 20 unb jum 5teil oon l —100 [IV U. 50 s.]

2- fteft: 3ablenfreije oou l—100 unb gum teil oon l—1000. [IVu.58S.]

3.    |>eft: 3ableitfrei§ üon 1—1000 unb [eine Erweiterung bi§ gu ben

9Jiillionern. [IV u. 50 S.]

4.    £>eft: 5Da§^e<bnen im unbegrengten3ablenranm. Einführung in

ba§ fHecbnen mit mehrfach benannten 3nhlen. [IV u. 52 S-]

ÜBettttfl timt 0. ©. Suttner in Seidig unb CBcrtin.

II. Seil: $iir bie mittleren klaffen. [Rechnen mit mehrfach Benannten ßa^Ieit Sezimalzableit unb [Brüchen. [VI u. 116 ©.] gr. 8. 1904. fart. M. 1.40.

III. SetI: $ür btc oberen klaffen, Jgn 2 SlBteitungen.

1.    Stüteitung: Sreifafc, Bürgerliche SRechnunggarten, flächen* unb

Äörüerüerechnung, äBirtf djaf tg» unb Perficherungg* mefen. [VI u. 142 ©.] gr. 8. 1904. geB. M. 1.60.

2.    StBteilung: $ür mat)Ifreie Äurfe. £luabrat« unb ftuBifrourzel mit

Slntoenbung auf bie flächen* unb $ örüerüerecbnuttg, Slugmahl au§ beit SeEtgteicfjungen beg I. Seitg ber Füller unb ®utnemgft)fchen Stuf gaüenfantmlung. [IV u. 104 ©.] gr. 8. 1904. geB. M. 1.20.

4ltüUrr, ^rofeffor iljrinridj, Oberlehrer am ®gl. $aiferin 5lugufta=®hmnafium §u (Sharlottenburg, unb fßrofeffor Dr. X $taljlrrt, Oberlehrer an ber ©obhienjchule §n §annoöer, Crhrlmilj brr Planimetrie für pljere ;$täbrtjenfrijnlem 211S 5Xbfct)Xng beS Rechenbuches für höhere ^Räbchen* faulen üon §. SMIIer unb O. 6<hmibt. RUt 107 giguren im Xegt. [VIII n. 86 @.] gr. 8.    1906. geb. JL 1.20.

gut Änafieumittclfdjulen.

^Hüller, fßrofeffor ^einrirtj, Oberlehrer am ®gl. ^aifertn 91ugufta=®hmnaftum §n ©harlottenbnrg, unb Dr. X Vieler, Re!tor an ber 6täbt. ®naben= mittelfd)nle §n Cottbus, Herhenbndj für ianabenmittelfüju len* gr. 8. 1906. I. Seil:    bie 4 unteren Wnfjen.

1. §eft: Bohlenfreife üon 1 Big 10, üon 1 Big 20 unb §um Xeit üon 1 Big 100. [IV u. 52 ©.] fart. M. —.50.

2. $eft:

56 ©.]

Bahlenfreife üon 1 Big 100 unb pm Seil üon l Big 1000. [IV u. fart. M. —.50.

3.    §eft: 3ahlenfreig üon l Big 1000 unb bereu Erroeiterung Big p ben SRiltioncru. [IV u. 52 ©.] fart. M. —.50.

4.    $eft: Sag Rechnen im unbegrenzten 3ab^nraum. Einführung in bag [Rechnen mit mehrfach Benannttn 3oh*eu- UV u. 52 ©.] fart. Jt. —.50.

II. Seit: giir bie mittleren Älofjett.

5.    &eft unb 6. £eft (in einem Söaitbe bereinigt): Sag [Rechnen mit mehrfach Be= nannten 3ahleu- Sezimalzahlen. [Bruchrechnung, flächen* unb Körper* Berechnung (erfter Seil). [V u. 122 ©.] fart. M. 1.—

III. Seit:    bie oberen Äfaffcn.

I- £>eft: Büfnmmengefe^te SreifatjaufgaBen. — [allgemeine Prozentrechnung. 3iu§* (mit ^ur§=) [Rechnung. 3infegzingrecl)nung, ©üarfaffe. Sigfont^Sßedjfel*) [Rechnung. EefeEfchaftgrechnung. [JRiftfjunggrecbnung. [Berficherungg* rechnungen. — fjfädhen= unb ÄörBerBerechnung (zmeiter Seil). 9Rit Soüüet" tafel: [ReBrobuftion eine§ ©taat§pahier§. [V u. 103 ©.] fart. M. l.—

8. §eft: SIBfchlufc ber Bürgerfidhen [Rechnunggarten. (Äanfmännifcheg [Rechnen.) [IV n. 52 ©.] fart. <M. — 50.

arttljmrtifdjrö frljr- unb Öbung^burij für üuabru-^littdfiljnirn* gr. 8. 1906.

I. Seil: [Big zu ben Elcidpugen zweiten Erabeg mit mehreren UnBefannten einf^fiehlich. 9Jiit Sogarithmentafel. [VI u. 160 ©.] gr. 8. geh. ^.1.60 II. Seit: [Reihenlehre, 3iufegzing=9ied)nung unb Slnfangggritnbe ber Srigonometrie.

9Rit öogarithmentafel. [III u. ©. 161—194.] gr. 8. fart. M. —.40

OP

CS

«um p

KRAK

Verlag von B. 6. Ueubner in Leipzig.

Dr. K. Kraepelin, J^aturftudlen

(mit «geidjunngett von 0. Scfytpinbr03!} et in)

Im Raufe — im Garten — ln Slald und feld.

3.2tuft. <Seb.Jtö.20. 2. 2JufL ©eb. M 3.60. 2. UufT. ©cb. M. 3.60.

,,5U ben tTleiftern ber uolfstümlicfyen Darftellung gehört unflreitig Dr. K. Kraepelin, bei* mit feinen Haturftubien ein Polfsbud? im ltxibren Sinne bes »Portes gefdjaffen tjat; benn .fie finb fo rcdjt geeignet, bie lertxs unb mifjbegicrige 3ugcnb fotuol}! mie aud? ben ermacfyfenen ITTann bes Polfes 511m naturmiffexxfcfyaftlidjen Deufen an^uregen unb ifytien bie Hatur mit ilprem £eben unb IPerben nätjcr ju bringen. ©r beginnt feine „piaubereien" mit bett naturmiffenfdjaftlidjen Idingen unb ©rfdjeinungexx bes Kaufes (tPaffcr, Spinne, Kodjfal3, Sanb, Kanarietxuogel, Steinfol]Ien ui'm.), Tüt^rt bann 311m ©arten (Srüfylingss pflanzen, Waifäfer, ©rasmüd’e, Unfräuter, Sd7ut5mittd ber Pflatt3en, IPärnxe ufm.) unb fcfyliefjt mit ZPalb unb Seft» (Caubfall, 3nfeftc,^e^cn ”n iPtnter, ©efteine, Pers fteinerungen ufrr>.). 3mmer beginnt er feine in ^orm ber Unterrebung gegebenen ©rs örterungen mit bent ein3elncn ^aU unb leitet aümäl]lidj 311 allgemeinen ©cfidjtspunften über bas gefe^mä^ige IPalten in ber Hatur t)in; babei uermeibet er jebe Sd?ablone, fo bafj bie bialogifdje Sorm niemals ermiibenb auf ben Cefer mirft, fonbern im ©egenteil anregenb. Die Uusftattung ift, mie bei allen tPerfen bes befannten Perlags, uo^üglidj; ber Bilberfdjntucf rüljrt ooxx Sd?minbra3i|eim t)er unb trägt fetjr 3ur Peraxxfdjaulicfyung bes Porgefütjrten bei. Deshalb fatxn audj ber preis ein niebriger genannt merbetx."

(Heue Bahnen \ty02, %ft ^.)

Völksa.UQtfa.be ^tue Elustnafyl aus ben 5 norftefyeuben Bättben.

-2-1 Deranftaltet t>om Hamburger 3ugenbfd]riftens

<5eb. Jt. \.—

Elusfcfyug

Der anerfannte iPert ber Haturftubien Ijat ben Hamburger 3u3en^fcf?rtftert= ^lusfdjufj bemogen, eine billige Polfsausgabe 511 ueranftalten, um fo beut Budje eine ttod? größere Perbreitung 3U fidjern. Bei ber ilusmafyl ftnb bie uerfdjiebenen Bänbe ber urfprünglidjen Ausgabe etma gletdjmäfjig berücffidjtigt.

JVatur ftudiemn derSommerfrifcbe.

©eb. Jt 3.20.

Ketfepiaubemeii

3« bem uorliegenben IPerfdjcn 3iet]t ber Perfaffer bie Haturobjefte unb Haturs erfdjeinungen in beit Bereidj feiner Bcfprediung, bie bei ber weit oerbreiteten Sitte ber Serienreifen unb Somnxerfrifdjen uieletx ©aufenben uon S^titilien nabetreten, ofyne bafj babei ber IPunfct? nadj tieferem Perftänbnis bes ©efefyencn befriebigt mürbe, ©r mill fomit ein meitergebenbes 3ntercffe für bie Probleme bes Seins unb ©ef^efyens in ber ^eit ermeefen, bie gerabe ber ungebunbenen ITtufje inmitten einer an neuen urtgemobnteu ©rfdjeinungen fo reidjen Umgebung bient, mie fie bas ©ebirge, bas lUeer für jebett bietet, ber 3unt erftenmal beretx §au^er auf ftcb tuirfen Iäfjt.

Streifziicfe durch 3Hald und flur.

Einleitung 3ur Beobad?tuug ber fyeimifd^cn Hatur in ITiouatsbilberu. Von Prof. B. £anbsberg. 3. Elufl. ITtit 8^ 3^uftr. (5eb. JC5.—

,,3^ßr    ^es ^ud7es merft man es an, bafj ber Perfaffer befeelt ift uon

einer glülienben Ciebe 3ur Hatur unb ba§ er fidj felbft mit uollfter l^mgabe ber Bcobadjs tung bes pflan3lid7en unb tierifdjen Gebens mibmet. Dafj ein llnterrid7t in ber Haturs bef^reibixtxg, mentx er im Sinne ber ,,Streif3Üge" uon einem für feine 2lufgabe bes geifterten Cel7rer erteilt mirb, gatx3 au^erorbentlid? frud7tbringenb fein nxu|, barf moi]l als felbftuerftänblid? tjingeficllt merben./y    (päbagogifdjes Jlrd7iu.)

JSaturgercbicbtUcbe Volksmärchen.

(Sefauttnelt ron Dr. 0. Däbnfyarbt. ITTit Btlbertt non 0. Sd?tt>i 11bra3beim. 2., nerbefferte Eluflage. (Sebuubeu Ji. 2.^0.

Das Biidjlein enthält märd7en, bie Haturcrfd7einungen 311 beuten fud7en, bie finnige Hnfdjauung, biityertfdjes (Empfinben unb Iier3lid7en ^unxor ucreitxigen unb bie geigen, mie eng bie Hatur mit bem ©cmütsleben bes Polfes uermadjfen ift. So mirb jeber Srßun^ ^er Hatur mie bes Polfes bas Bi^Ietn mit Stuben begrüben, befonbers mirb es bie Haturliebe ber3xxgenb 311 förbern geeignet fein unb barunx als ©abe für biefe uon ©Itern unb £etjrern millfomnten gefyeifjen merben.

;

.

.

/

-    ■ 'I

wgm* | " -    ¹

r

WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

mp m

BIBLIOTEKA GLÖWNA

•V' /.

I

(•.31461

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XU. 52. 10.000

_

.

i

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298313