U. C I S 0 T T I

SULL’ IMPIEGO DI FUNZIONI ELLITTICHE

IN UNA QUESTIONE IDRODINAMICA

NOTA

VENEZIA

PREMIATI*: OFFICINE GRAFICHE DI C. FERRARI

1908.

Biblioteka Politechmki Krakowskiej

100000298333

U. Ci SOTTI

SULL' IMPIEGO DI FUNZIONI ELLITTICHE

IN UNA QUESTIONE IDRODINAMICA

NOTA

ss?

VENEZIA

PREMIATE OFFICINE GRAFICHE l)L C. FERRARI

1908.

Atti dei, Rbauk Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti. Anno accademico 1907-908 - Tomo LXYII - Parte seconda.

(Presentata dal prof. T. Levi-Civita, s. e., nelVadunanza del 17 Noe. 1907)

KD 5 if /ss; 53-3.5

r; ?

F' '£

31H Ob

A li

ilJ5l

Nella Memoria “ Vene fluenti „ (¹) ho trattato in due dimensioni il problema generale d’efflusso di un liquido da un’ apertura praticata in una parete rigida, di forma qualunque.

Ho quindi applicato i risultati generali, cui sonò pervenuto in detta ricerca, ad alcuni esempi.

In uno di questi ho esaminato il caso in cui il recipiente (a sezione rettangolare) porti nel fondo un’ imboccatura interna (caso di Borda).

Quando non c’ è 1’ imboccatura, cioè quando l’orifizio è scolpito sul fondo del recipiente, si riesce a valutare il coefficiente di contrazione della vena in modo molto semplice, mediante un integrale che si rende immediatamente razionale.

Quando l’imboccatura interna c’ è, non si presenta altrettanto semplice la valutazione della sua altezza h, e dell’apertura Li dell’ orifizio.

Infatti in tal caso Li ed h sono dati rispettivamente dalle formule

a=¹⁾²-irì-²Jv

(sen o — sen o₍) (sen o₂ — sen a)

(sen o + sen o₄) (sen o₂ + sen o)

tg oc/o

tg oc/o ;

(sen o₄ -f- sen a) (sen o₂ + sen o)

(sen o₍ — sen a) (sen o„ -— sen a)

nelle quali (²) % — grossezza della vena, £2₍ — larghezza del canale che contiene il liquido, e e a₂ sono due parametri che

devono soddisfare alle diseguaglianze 0 ^    < s., — — .

2

(fli integrali che compariscono in 12, e h sono, come facilmente si riconosce, integrali ellittici.

Scopo della presente nota è la loro effettiva valutazione. Tale scopo si raggiunge mediante l’introduzione delle funzioni ellittiche di Weierstrass (³).

1. Introduzione delle funzioni ellittiche di Weierstrass. — Espressione di 12 mediante m e .

Cominciamo a considerare 1’ integrale

> /

JV

(sen a — sen a,) (sen a₂ — sen a)

( sen a -f- sen (sen a., -f- sen a)

Poniamo

sen a = t,

(1)

sen o,

I sen a2 ' sen o₂ = t-a ;

1’ espressione di T diviene

#»

/=

—Q tdt

(t -4- kt₂) [t₂ -f- t) 1 — tÀ

(t — kt₂) {tt — t) tdt

kt^

dalla quale apparisce che 7 è un integrale ellittico.

Le radici dell’ equazione

(«■-eoo:-0 = 0 ,

disposte in ordine decrescente sono

Ciò posto, indichiamo con u una variabile ausiliaria, con uo un valore fisso di u e poniamo

t — t

—2

— pu 0

pu — pua

—    p'ua pu — p\ pu—pu₀pu₀ — ei

—    p'u 0 pu — pu—pua pu₀ — e₂

—    p'uo pu —ea pu—pu₀pua — e₃

dove è la funzione ellittica di Weierstrass i cui invarianti y2 e y₃ lasciamo per ora indeterminati;    e3ì s^no tre costanti

tali che el'^> e3ì e legate fra loro ed alle y., e y₃ dalle relazioni

t 4- t<2 =

(2)

t + kt₂

t — kta

ei + e2 + e3 — ⁰

(3)

eA + eLei + PA — — ^ 9-2

W»=4&•

Osserviamo subito che differenziando una qualsiasi delle (2) si ricava

(4)

dt =

puja

\du .

Ciò significa che le quattro funzioni £ dell’ argomento* u definite dalle (2) differiscono soltanto per valori costanti additivi.

Ci proponiamo di determinare uQ e le costanti e₀ e₂, e₃ [e

quindi per le (8) <)., e <j„ ], in modo che il radicale che comparisce nell’ integrale I venga espresso razionalmente per la pu e la sua derivata p'u.

Sottraendo la prima delle (2) rispettivamente dalla seconda, terza e quarta, si ottengono le relazioni

— A «

(1 + k) t₃ —

pu₀ — el — p'u₀

(1 — k)ta

puti —

— P\

PUo —

che, risolute rispetto ad e , es, es, danno

e‘~n+^r. ’

(5)

\ e‘2 PU0 +

P'u₀

(1 + k) t₂

A„

(1 ^ k)t₃

Sommando queste membro a membro e tenendo presente la prima delle (3), si ricava pu₀ ; abbiamo cioè

—p\ 5 — k%

2ta 1 — k* ’

3 pu₀ =

da cui

p'u₀ 5 — /r*

"6Ta 1 — k*

Riguardo a p'uu, ricordiamo dalla teoria delle funzioni ellittiche,

(0)

pu₀ =

che

A« = ⁴(fmo — eò ÌPUo — *.) CP«o — es)

dalla quale per le (5) si ricava

».

da cui infine

(7)

P\ =

1 —k⁴

tl .

Sostituendo nella (6) a p'u₀ la precedente espressione, avremo

(6')

P»o

12

tì .

Possiamo anche ricavare pu₀ in funzione delle costanti e{, e.d ed assegnare contemporaneamente il val#re dell’argomento m₀, nel seguente modo.

Dalle (5) si ricava

p\

(e, — e₃)(el — es)

da cui

P\

Se (come vogliamo) il radicale del primo membro si intende preso positivamente, allora essendo per la (7) p'u₀ negativo, avremo

V(ei — «»)(«⁴ ~ eò

dove il secondo membro, per la prima delle (5), non è altro che pu₀ — e{ ; sarà dunque

pu 0 =

d’ altra parte essendo

ss-

potremo dire che

CO    ,

u₀ = + —h 2 mo) + 2 mo

2

dove 2(o e 2co' rappresentano al solito i periodi, reale ed immaginario, della pu, e m ed n due intieri qualunque.

Se ci limitiamo a considerare il parallelogrammo 0, co, co 4 co', co', 0 ctei periodi

avremo

co

Mo = 77

Dalle (5), portando al posto di pua e p'uo i loro valori (6') e (7), ricaviamo e₂, e₃ in funzione di k e t., :

(8)

1 4- k¹

6 ² ’

[k — (3 4 2\fZ)][k — (3 — 2J/2)]

12

e₃=—

ti¹ + 6k + 1

12

Portando queste espressioni nelle (3') si avranno g₂ e </₃ in funzione di k e t₂.

Resta con ciò pienamente determinata la funzione pii di Weierstrass.

Osservazioni. — Dalla espressione di e₂ si ricava manife

stamente

e₂ = 0

Per la terza delle (3) sarà l’invariante gà negativo nel primo caso, nullo nel secondo, positivo nel terzo.

Dall’ esame delle (2) si deduce che mentre la variabile / cresce da kt₂ fino a t , la jm decresce da e.{ fino a — ao e quindi

la variabile u assume tutti i valori immaginari da to' fino a 0.

pu

Ricordiamo che in detto intervallo -— è negativo .

i

Facciamo ora constatare che le posizioni (2) ci permettono

/ (t — kts) (t — t)

di esprimere razionalmente il radicale \/--¹--

V (t 4- kt ) (t + t)

per »

mezzo di pu e di pu.

A tal uopo si osservi che il radicando può esprimere nel seguente modo per mezzo delle (2)

(Vuo — Q O*o — g₈) (pu — e,) = (pu — e) {pu — e₂) (pu₀ — e₃)

~PU — e, T (/^o — g₃) (Pun — e»)    — O

_ />w# — J (/>« — e,) A — et)(pu — e») ’

(t +    (^2    0

{t + kt₂) (t₂ +

si

ed essendo

p u = 4(pn — «)(/>« — es) (/>« — es) ,

potremo scrivere

(< + £*2)    — *)

da cui

{t + &#₂) (/₂ + t)

pu — g, A

— e. A

TI primo membro della precedente per sua natura è essenzialmente positivo (valore assoluto di una velocità) ; positivo adunque dovrà essere anche il secondo.

p'u

Per 1’ osservazione fatta sopra,

è negativo nell’intervallo

(0, a/); pu—e₃ è pure negativo; dalla (7) scende che p uti è negativo, e dalla terza delle (5) che /u/₀ — ca è positivo. 11 secondo membro della precedente dev’ essere perciò alletto dal secondo segno.

Pertanto avremo

Pu — g» p'u0 — e₃ V'u

(t — K) (A — *)

(t + kt₂) (£s -4- t)

e per la (4),

(t — £<s) 0₂ — t)

Pu 0

pu — e,

PMo— [i>M —2>M₀] Tenendo conto della prima delle (2) abbiamo

dì = — i

pu—pu₀ {____

2    1(1—Qipu—pu₀)-\-p'u₀    (1 -\-ta){pu—jm₀)—p'uu\ '

e quindi 1’ espressione differenziale

dJ =

diviene

dJ= —

(t — kQ ($s — i) tdt (t + ktd) (t₃ + t) 1 — /"

j_ p\ pu—e?

² PUo — e;t pu—pu₀

1 (1 — AKf^ — 2?m₀) +i?X

Osserviamo che, posto

(1 + *a)ipu—ptiu) — p,uJ0) \

pH{ = />M₀ +

P\

(9)

pua=pua —

1 4- ^

2>'Mo

1“*,

[pu—pu₀J [(1 — t,)(pu— piO+p'u,]

1 —\pu~P^\\pu

Pu*

//m₀ I pii-J9M₀ pu—pu₂ ! ’ i-K \p»—p»A\pu—p'*A

p'uu ( pu—pu{    pu—2)Ui>

e quindi

(1 + Q(pu—pu₀)+p'u₀ )

pu — pu₀ ì ( 1 — 0 ( pu —pu₀) -\-pu₀

-Pu0 ^ pu—pul pu—pu<₂ pu—pu₀ I

Sostituendo in d.J, avremo

dJ=-

* p'U 0

² Pu,—e,

jPu — eP\ <|

pu—pu{ pu-pu«J pu — pu₀ i

du .

Osserviamo che

pu —

pu — pui

1 4-

pu —pu,

(* = 0, 1, 2) ;

avremo quindi in definitiva

dJ= ~ l P'U° S o Pu*> e*

² Puo —“jPw« JPM —Pu

Pui - 4    |

ohi .

Dalla teoria delle funzioni ellittiche si ha

pu — pui

(» = 0, 1,2)

dove 'Qu è-tale che

1 £udu = log au + Costante ,

avremo quindi

(10)

f du

J pu—pui    pud

2 WQlli 4- log

0(u - U;) J

a(w + U,) \

+ cost . {i — 0, 1,2) ,

dove p ul, pu^ sono definite dalle relazioni

(*= 1, 2)

(p'w/),=5= 4(^«,. —    — O

dalle quali, per le (9) e (5), si ricavano le

(i-0(i-*²0

± iPUo~^

(l + O³

A* =

± p'u₀~}J

(i + 4)(i-FO

(i-O³

Per accertare quale segno compete a pu{ e a p'u₂ confrontiamo le (9) colla prima delle (5). Da tale confronto emerge che

Vu*>el ,

le quali, tenendo presente che p(ù = el, ci dicono che (limitandoci sempre al parallelogramma 0, w, co -f- co', co', 0 dei periodi) gli argomenti ul o u₂ sono reali e compresi tra 0 e co. Ciò ci permette di asserire che pul e p’u₂ devono essere entrambi negativi, perciò rammentando che p'u₀ è pure negativo dovremo scrivere

(11)

\ P\=P\

(1-0(1 — k%)

(l + O*

(i - O³

p'u, = p'u o

Integrando 1’ espressione del dJ si avrà per le (10)

— i p'U„ | ²(Plig,) "

² pu—ej    P'uo

o(«—Ki)1 pu—ea

o(m+m) J    p'u

2«£tt +log

pul _

2^M,+ log

2w^₂+log

g(u u₀) ~ o(m+m₀) _ o(w—u.₂)~

o(m+ms)_

+cost.

Per le (9), le (5) e le (11) abbiamo

i Put — e,

pu₀ —

p'ui

p'u 0

(i + *Q(i + Q (i — *0(i — 0

— c \ A*

Ao

(i — H)(i — 0

(i + *0(1 + 0

e se

si tiene presente la relazione

(13)

li — TZ

( 1 + kts) t ! + t.j ( )

(i — *y(i — y ’

avremo sostituendo in J

J=

² <>h + log

rs(u — H₀)

2m£m 4-log

o(u — ut)

8(«+ M )_

— 2«C«s4-log

n(u — u₃) " o(« 4- M,) _

4-cost •

<2

2-qh₀--cw, - —

7Z

12

u₍

~o(u-u₀) lo(w — U{)\ ~ infa(u — us) 8~

_a(u + uti) \a(w + ut)

Osserviamo in fine che l’integrale definito I si ottiene dall’indefinito J, limitando tra co' e 0, cioè

— i log

o(w 4- u₃)

4- cost .

m'

J = 7C 1

2tt

2^)+,w(²c““_4CM~a c’<!)

4- i log

'a (to' — w₀) j a (co' — «,) j 8* j a (to' — u₂) / w₄ ) _a(co' 4- «„) I a (co' 4- m₄) j i 3 (co' 4- «,) )    )

Essendo

a (co' — ut) a^co 4- Mj)

= g-2v)4

(**)

(* = 0, 1, 2)

dove

r/ = Cco'

(*) Cfr. la Memoria “ Vene fluenti „ [§ 13 es. IL]. (**) Halphen, loco cit. pag. 172.

avremo infine

1 = 7C 1

2x 2 Li

^ì + wfaw,--

7C

-e*.—q-cs -

Li

M, •

-tl) 2«„- —

Per questo l’apertura Li dell’orifizio assume l’espressione

Li

(14) li—Li,—2i    2C«u--- C/c,—

Li, %    \

cercata.

2. Espressione di h mediante co ed r\.

Prendiamo ora a considerare l’integrale

*-J v

(sen a, -f- sen a)(sen a₂ 4- sen o)

(sen a, — sen a) (sen a₂ — sen a)

tg ac/a

ìJV

(sena, + sen a) (sen a₂ + sena)

-<n

(sen a, — sen a)(sen a₂ + sen a)

tg ac lo

Per le posizioni (1) esso diviene

kt₂

2j₍i-oV(«F- «■)(«;-o

h =-

-kL₂

da cui apparisce che h è un integrale ellittico.

Notiamo che il radicale che comparisce nella seconda espressione di h diviene nullo per gli stessi valori che rendano nullo il radicale che si ha nella seconda espressione di /. Applichiamo perciò anche qui le posizioni (2) dove la pu ha gli invarianti r/ì e ga definiti dalle (3), essendo le e{, ea, ea date dalle (8); e dove puu e f/uo hanno rispettivamente i valori ^6') e (7).

Dalle (2) si deduce che, quando la variabile t cresce da —kt^

a kt₃ la pu decresce da e₂ fino ad c₃, e quindi la variabile u percorre il lato co + co', co' del parallelogrammo dei periodi da co + co' fino a co'.

(kt₂ -f- t) (t₂ -b t)

Esprimiamo ora il radicale

zionale di pu e di p'u per mezzo delle (2).

Con un procedimento analogo a quello tenuto al numero precedente si perviene alla relazione

(kt₂ — t) (ta — t)

in funzione ra-

(■M, + t){tt + t)

~ ìnK — g₃ nTP'u T

_pn — ej LP'ua_ da cui

(ki₂ -f- t) (t₃ + t)

(kts — t) (ta — t)

puo — e₃ p'u pu —e₃ pu₀ ‘

Il primo membro di questa è essenzialmente positivo (valore assoluto del reciproco di una velocità) ; lo stesso dovrà dirsi del secondo membro.

Nell’intervallo co-f-co', co' è pu positivo e pu — c?₃ è pure positivo ; mentre, come abbiamo già visto pua è negativo e puo — e., è positivo. Pertanto dovremo avere

pu0 — e3 p'u pu — c₃ p\

{kt₂ + t) (ta + t)

(kta—.t){ta — t)

Per la (4) si può scrivere

(ktt + t) {t₃ + t)

(kt₃ — t) (t₃ — t)

dt— —

[pu,— «,]•[/«]*

\pu — «,] .[pn—puj

du

du .

= — 4 [pua — e₃]

[pu — et\[pu — ea]

ipu—puu r

Essendo, per la prima delle (2)

1—f

pu—pu₀ j_____i

²    1(1—t%)(pu—pu,)+p\    (ì-\-t₃){pu—pu,)—p\\

avremo

di =

'{kU_ 4- t) (4 + t) tdt

(kt.₂ — t) (*, — t) 1 - t-

= — 2[    «al

I1j

pu-pu#

da .

/ ( 1 -t₂)(pu-pn₀) +21110    (1+ t₂)(pu-pUo)-p'Uo !

Ora fatte le posizioni (9), come nel numero precedente si ricava

pu—pu₀ \ (1 — ta)(pu—pu.)+p'u₀

(l + ta)(pu—pu₀)—p\) )

—7>\ ( pu—puK Sostituendo in di, avremo

pu — pui

pu—pu₀) ‘

di

2(j»w„-e₈)

ipu—e^^pu—e^y

ì>u₀

Facilmente si riconosce l’identità

[ pu—pu{    pu—pu,.

pu puQ \

du .

(pu—ejipu—e,)

pU -PU;

pu+pur- (e₁+c>)4

(pu—ejipu—ej

. (/=0, 1, 2)

pu—pui

Portando queste espressioni in di avremo in definitiva

di —

2(pu—e!)

p'u o

(pu₃—et)(pu₃—e₃)

pu l~\~ pu^—2pua-\

(pu—ejipu—e,)

pu—pui

₂ (P«, —g») (

du .

pu-—puì

Integrando e tenendo presente le (10) avremo

pu —pu₀

²IPu₀-e₃) [,    n ,

—^— j (l^, +pu~2puo)u +

(purei)(Pure*) "

(Purei)(Pureì) "

/'fi

a(w-rq) a(a+ m₍)_

7>X

2w£ws + log

o{u-u,₂) a(u+uì _

₂(^-o(i»».-or₂    fa)];

pu₀ 1_    o(w + M₀)J)

dove e hanno le espressioni (11).

+ costante

Dalla (9) si ricava

pul 4-pua — 2pu₀ = —p'u₀

e se si osserva ohe

(.Vui — ei) (Pui — eù

PU;

p'Ui

per le (12), tenendo presente la (13), avremo

⁴ {pUi — e₃)

(*' = o, 1,2),

(pul — el)(pul — e₂)

p'“ o

TZ

pul

(.pu, — el){puì — e₂)

p'u₃

4{pu₀ — e₃) tì,

P\

4(pu₀ — e₃) %

Sostituendo queste espressioni in Z) avremo

-4t₃(pu₀-e„)

7C

1-/!

2Q₄_

2w£W₁ + log

o(m-w.)’i o. r

4 — 2u£u₂+log

OyU+UjJ 2;r

a(u-u₃)

o(u+uJ_

- 2w£w₀4-log

o(m — u₀) ‘

o(m + m₀) _

+ costante

ovvero, essendo

(1 -k)ta

I=— (1 + jfe)

2 tl

il

l-<

4- 2£m — — 'Qu{--L Cu +

4- log

~o(u—u₀)7

-ì

_a(w4-w₀)_

”o(w-yi₍)42i.2,ro(w-— «Jl 2tt j

_o(u 4- w,)J |_o(m 4- w₂)J )

4- costante .

Osserviamo che 1’ altezza h dell’ imboccatura, si ottiene limitando I fra oi 4- to' e co' e dividendo per 2, cioè

<u'

Se si nota che

T! (do' - Ut)

a (co' + Uj)

1 (co + co' — u) O (co H⁻ CO -(- Uj)

— e—⁵('•) +

(⁵)

(i = 0, 1, 2)

si avrà

log

O (m- Uj)

«j'

o(m + M,0

tu + tu'

= 2tjm.

(» = 0, 1, 2);

sarà pertanto

(15) h= (14-A)

2t\

t:

Lì

h2C«.——

,    ⁷¹ Qt )

2»,--j, .

Tale è l’espressione cercata dell’altezza h dell’imboccatura.

S. Sviluppi in serie delle costanti che compariscono nelle espressioni di Q e di h, quando k ^ 3 — 2lX 2, (r/, ^0).

¹

Rendiconti del Ciré. Matematico di Palermo, tomo XXV (1 semestre 1908).

²

Essendosi già fissate opportunemente le unità di misura. [Cfr. la citata Memoria].

³

Il Michelo [“ On thè Theory of Free Stream Lines „ (Phil. Trans. R. S. A. 1840; pgg. 408-11) ( partendo da altri criteri, e nel solo caso iti cui la larghezza del canale è infinita (Q₁ = x), ha dato le espressioni di Q e di h mediante i tre integrali ellittici di Jacobi ; e per h molto piccolo ha assegnate le espressione approssimate di 0 ed h.

⁴

Cfr. Halphen Fonctions elliptiques „ [Paris, 1886, Y. I. pag. 54].

⁵

Halphen, loco citato pag. 188.

S. Sviluppi in serie delle costanti che compariscono nelle espressioni di Q e di h, quando k ^ 3 — 2lX 2, (r/, ^0).

Introduzione e calcolo di una costante q. Introduciamo una quantità q, definita dalla posizione

tu'

(16)

ed occupiamoci del suo sviluppo. Posto

l/e, — e₃ — [/e,

Ve-e%-\-V

lo sviluppo di q secondo le potenze crescenti di —, limitato ai

2

primi quattro termini è (¹)

(16')

D'OHM)

-b • • •

Notiamo ora che la prima delle (3)

et “b “b e3 — 0 »

può essere messa sotto la forma seguente ei — e» ~ 2e₄ 4-    ;

dalla quale, ricordando che per k ^ 3 — 21/2 è    si deduce

la diseguaglianza

<2 .

che portata nella espressione di /!, dà l’altra diseguaglianza

1    1 ]/2 — 1

— < — -—--

2    2 ¹

1/2 + 1

= 0, 0432 ...

Se si nota inoltre che

q ^ e-z= 0, 04321 . .

e che la serie (16') è rapidamente convergente, potremo assumere per valore di q, con grandissima approssimazione, il primo termine della (16') stessa.

Avremo pertanto

(16")

<1

Sviluppo di m e di r\ in termini di q. — Avendo calcolato g, si valuta o), mediante la serie

(17)

O)

2tz

l-h2qi+2ql6-h . " _v 2(l+2g⁴+2^⁶+ . . .)

V (1+&) b + 1/ (1—k)tìi

4 _ 4 _

/ e— e₃-hl/ e—e,

•(²)

Noti (j ed co, si ricava tj dalla forinola (³)

(18)

_ ^ l_3y₊5Y—... rjW — 12 1—8 q¹4-5 ₉⁶

Calcolo di co' e rj'. — Dalla (16) si ricava

(19)

₍₀' = — log (-Ì , ti \qj

mediante la quale si valuta co', essendo già noti q e co .

In quanto a rj', essa è determinata dalla nota relazione

(20)

TjCo' - Tj’(0 = Ì —

71    (⁴ ⁵)

Calcolo degli argomenti ul e u₃. — Determiniamo ora gli argomenti ul e u₃ tali che per pu{ e pui si abbiano le espressioni (9) e per p'a{ e p'u₃ le espressioni (11).

A tal uopo, posto

u — 2cov ,

partiamo dalla relazione

1 Ve,—e₃o₃u— V e— e₃a₃u

q cos 2v7t + q cos 6vtt +...

1 + 2q cos 4v7ì + 2qi6 cos 8vtt +....

2 ⁴ _ ⁴ _

\f et—et oaw-h V et—èsd,W '

la quale, sostituendo a aau e a₃u le loro espressioni date dalle

75 U

= Vpu —

e%

GSU

= 1/~pu — e% ,

diviene

~ P,

4_______ _;

1 |/e₍ — e₃V pu

4..... .

Vet — e₃ Vpu

e K — pu — et

q cos 2vtt -h q cos 6vtt 1 + 2q cos 4v7: + 2qir> cos Bvtt -f- . . .

(³)

100 000 ’

Data la piccolezza di <[ si avrà co 2vir con un errore minore trascurando nel secondo membro tutte le potenze di <]

di

superiori alla terza, quindi chiamando s il primo membro della precedente, avremo

COS 2v7T = —

da cui

v = — are cos — :

quindi

(!)

(21)

u = ± — are cos

— + 2rma -f- 2in»'

designando, al solito, m ed n due interi qualunque.

Ora, tenendo conto delle (5) e bhiamando s, e s₃ i valori di «s corrispondenti ai valori pui e pu₂ di pu, si ha

(22)

2kta

1/ 1 — k*t\

2ktt

e quindi per la ( 10r/)

« IJ*

1 1—1/ 1 — 1c*t\

Vi—k%

K 1 — l / l - F

Sostituendo nella (21) ed osservando che per la solita convenzione circa il parallelogrammo dei periodi è m = n = 0, avremo

i valori di ut e u, a meno del segno :

(tì

ut = ± — arccos

7U

- i    ■

. \ 1-1/1 -k⁶ .

= + (o 1----arccos

| (⁶)

(1-1/I

(O

w₂ = + — are cos

i - i/i - <k

Per stabilire il segno di «q e ws, osserviamo intanto che

1 — l/l — k⁶t\

ci—vi

e quindi w, e w₂ sono reali entrambi ed in valore assoluto minori di (o .

Se si osserva che p'ul e p'u₂, come risulta dalle (11), sono negativi possiamo concludere che u{ e w₂ devono essere positivi, cioè

1 - l/ l —

u{ = co 1--are cos

(23) l

CO

w₂ = — are cos

1 — Vi — iVJ

Sviluppi in serie di 'Qut, £w₂. — Prendiamo a considerare lo sviluppo della funzione in serie rapidamente convergente

C“ =

Yj U

7U

(0

2 co

cot--h

2(o

<0

"1-2

- sen 2«

nuic (⁷)

(0

Facendo in questa successivamente u =

(0

“⁶=2

M = U₍ — (0 — uì

u — e ponendo

(24)

Su =

6

<1

1 —q

2«

⁽1

» se n

co

2//

7

- sen 2»

W?/a7C

(0

si ha

rl

7C

2t:

C“"_2 ⁺ 2<o

CO

8, ,

(25)

1CMS 2x

(0

2(o

2(o

(0

•ny

-H

3 |ìx

C- i

Kll,

2(0

2z

(0

dove u., è dato dalla seconda delle (23) e S₀, St, S₂ come risulta dalle (24) dipendono solamente dai parametri /.• e per mezzo di 7 e di u%.

4. Espressioni di 12 e di h mediante i parametri k e i quando k ^ 3 — 21^2 . - Caso particolare />■ — 0. —

Dalle ( 25) si deduce

il

²C"o--77^=rl

12

rl

12

12

12

are cos

l+4So

7T H 2

oot —

2(0

(1—v\—k')tt

2x il, x

—ìS——S, :

(0

12

mentre per le (23) è

12

jr

12

2 n---u—— n =o) l--¹ H—

12

(o 12

are cos

1— l/‘l— k't\

(i—Ui—k')t,

Portando queste espressioni nella (14) avremo

il 1/Q

12—12 —2 i

Tj(o'—r/(o

77

1—¥l— k’tll

77

77 \ 77

12

(1—14

to'

2i—z ■ l-+48₀——

12 ₍    77 U₃

77

17M,

il

77

Q, ~²J 1 ’

e se si osserva che per la (20) e la (16) si ha rispettivamente

(0

2 rc 2(o    12

2w

77

■/tu

rpo’ — Yi'to = —

-Ì — 77 =

(0

los (i)

= — loS ?

potremo scrivere in definitiva

(14')

12 =

(il

K+ -

\ 77

7:

are cos

1 —\f\— /Stl

(1 —1/1 — Ar*)/,

—2 | 14-4S₀—

1 [12

2    71

7U(₂

2(0

77

+ —cot

"12,

71

12

2(o

4-2 — S—— Sf .log?.

71

12

12

TE

Mediante il cambio di —-nel suo reciproco —, dalle due re-

lazioni scritte in principio del presente numero, si ricavano le due seguenti

77

TE

Kn— Trem

12

77

C^=ri 1—

77

rl

77

12,_

77

_12₄

are cos

1Y1 -kX

aVT-¥yt

- -4-

77

(0

14-4S₀ —

77

77

2w

Tri

12

77

cot

77 U.,

2te

77

12

2(o

(0

12

8,---S,

77

77

il

77

2u „ u=m 1 — +

(0

77

12,1

77    12

are cos

\—¥l—kY

77

(i—i/1— kyt

Mediante queste dalla (15) si ricava per h l’espressione

77 M, ,12,    77 M

(15') /( =

(o4- 77(14-4S₀)—

77

77

cot.

2 12

77

2(o

4-

4- 2t7

12

às-7s- '

Una prima espressione approssimata di 12 e di h si ha trascurando negli sviluppi (24) tutte le potenze di q superiori alla prima. E

allora S₀ — St = S₂ = 0 ; mentre per la (17) è w

Le (14') e (15') danno rispettivamente

2%

(14- 1—■^)tì

„    (il

(14")    12 = tt+ -

\ TU

71

12

are cos

1— lA — kH\

(i —

(    ¹ ro.

— 21----tg

(    2|_rc    2(0

4tu ( 1+Jc) t\₂

(1 + I/T=F)(1—0

dove per la seconda delle (23) è

(15") h =

tg

7UMS

2(0

zu₂

H—— 12

cot

7UM₃~| j 2oTj \

!o gq

IZ il

zu%

2oo

LI

H--- cot

TU

7CM,

2(0 ⁵

1UM,

2 oi

Tn particolare per /r = 0, essendo allora per la (13) e la terza delle (1)

cot

12, = z

_ \ /I + seno,

sen a₂

e per la (16")

lini q — 0 ,

fc = 0

ed essendo inoltre

lini are cos

k = Q

u-Ci-ky.

are cos t₂—---a₂ = 2 aro tg

1— sen s2 1 + sen a₂

— 2 are !«• — ;

12, ’

lini tg

fc — o

2w

- tg

\ -i /l — sen c2 / V 1 4- sen o₂

12

i    i r 12,

lini 1---—- tg —- +

⁾    2 ! ^    2(o

u : zì

cot

"2(o J )

log q = 0 ,

816

F. C1SOTTI

(24)

ed avendosi dalla (17)

TZ

co = —

dalla (15 ) si ricava per li l’espressione

li =

2⁸1

TZ ( TZ⁸

TZ + TU---

Lì⁸

2 \L1⁸

TZ⁸

— 2tz

e dalla (14")

12 — tz 2

[CI «

are tg

TZ

Lì

Si ritrova così, come caso particolare, la relazione già determinata per via diretta, mediante il calcolo di un integrale razionale, nell’ipotesi di assenza di imboccatura interna sul fondo del reci-, piente (⁸).

5. Sviluppi in serie delle costanti che compariscono nelle espressioni di 12 e di h, quando k ^ 8 — 2[/2, (r/ ^ 0). —

Introduzione e calcolo di una costante qr —Introduciamo una quantità qt, definita dalla posizione

(26)

l(x)

— 7T--,

e w

9i =

Ci proponiamo di esprimere q{ in termini del parametro k.

Dal confronto della (16) colla precedente si deduce che q₍ si

ottiene da q collo scambio di to in

di e{, e₃, e₃ in — e„ —e₂

to'

il quale implica lo scambio

(25)

SULL’IMPIEGO DI EUNZiONI ELLITTICHE ECC.

317

Ciò posto, si chiami /₍, quello che diviene l del num. 3, quando nella sua espressione si opera 1’ accennato scambio, avremo

Ve, — #₃ ~ Ve, —

l/ì -f yfc —lA \f'k

[/1 + k +    2 V /e

Lo sviluppo di ^ secondo le potenze crescenti di — , si ottiene

2

dalla (16') cambiando q e l rispettivamente in qt e lt.

Tenendo conto che per k 3 — 2[/^2 è ea^:0, si deduce in modo analogo a quello tenuto al num. 3, la diseguaglianza

eK — exì

- e₃

<2 ,

e quindi

/    1 \f 2— 1

2    2

V 2+ 1

= 0, 0432

Anche qui se si nota che

qi ^ e~n=0, 04321 . . .

e che la serie (16') c rapidamente convergente, potremo ritenere con moltissima approssimazione

(27)

S' ⁼ 2

|/l + 4+ |Z2l^*

Sviluppo di co' e di in termini di qt . — Noto qn si valuta co' mediante la serie

co'

i + 2₂; + 2?;⁶ + ....

1 ₊2q\ + 2q‘:+....

(28)

2'm

\ -i 11 + k

n~s

-f-

che si ottiene dalla (17) cambiando q in q{, co in —; e e , e , in —    — es, — el.

to'

Cambiando nella (18) q in qt ; r| ed co in e co' rispettivamente, abbiamo la relazione

(29)

Tj'co' =

7T* i - 3³?; + 5³s; - 7³?;² +.... 12 1 - 3 q\ + 5 — 7 ₂“-4-....

mediante la quale si valuta r{, noti che sieno e co'. Calcolo di co e di r\. — Dalla (26) si deduce

co'

(30)

co =

T" lo8 —

Ì1c

⁽h

la quale ci dà co.

Per ottenere Tj basta ricorrere alla (20)

Calcolo di u{ e di uì. — Si tratta di esprimere gli argomenti u{ e uì in funzione di k e t2ì per mezzo di qr Si potrebbe a tal . uopo procedere in modo analogo a quello fatto al num. 3, preferiamo però risparmiare il calcolo diretto ed usufruire dei risultati ottenuti al num. 3 stesso.

Basta a tal uopo stabilire la relazione tra q{ e q ed esprimere

quest’ ultimo in funzione del primo.

T-w    •    •    co'

Dalle (16) e (26), eliminando il rapporto—, si ha

log q . log q{ = 7T ,

da cui

TT*

(31)

log

q — e

Portando nella (21) questa espressione, avremo

co

u — ± — are cos s. e lo»?i 4- 2nm 4- 2wco' .

Da questa, portando per s{ e sa le espressioni (22) e tenendo presente, che m —n — 0, e le osservazioni fatte al num. 3 riguardo al segno, avremo

(23') <

ul — co 1--are cos

I    Ti

(0

u, = — are cos

Ti

-\ — V\ — k*t[

-1 -\T\ - ~k%

2/ct₃

7T²

fi log <h

7T²

fi log ?!

Queste ci danno ul e u₃ in funzione di qr

Sviluppi di £w₀, tpi₁. — Indichiamo con S', S'; ciò che divengono S₀, Sg, quando al posto di q poniamo la sua espressione (31). Avremo

•27r²

e,0g?,

67t²

pl°g ?!

2 7T²

67T²

1—elog3u

(24')

1 —elog?‘

2n7T²

2t?7t²

l_etog7«

sen

nupi

CO

00

s; -e.

2m7T²

^log?t

2?f7T²

sen

nupi

CO

Come risulta dalle (25), avremo

Y]    7C    2ft ,

CWo — o +    ^--So

2    2co    co

(25')

= Yi -

rlu*

2tt

co

+ — tg

2 co

2 co

co

z:

27c

Cw2 =--1- — cot

00

2 co

2 co

— s:

0)

le quali ci danno £wu, 'Qu{ e 'Qu₂ in funzione dei parametri k e t3 per mezzo di qt e u₂ .

(>. Espressioni di Q e di h mediante i parametri k e t (piando k ^=3 — 21^2. - (’aso limite k — 3 — 21/2. —

Le espressioni di Q e di h, quando k ^ 3 — 2 [/ 2 si ottengono dalle (14') e (15') mediante la sostituzione a q della sua espressione (31), e a S₀, St, S₂ rispettivamente di S', Sj, S’ .

Avremo così

(14 ) Q = x +

EC fi

are cos

“ì—

7T²

log li

2x*

log a \

H-4Su-

I (M

CI

fi

sT £

XM,

ic

fi EC

EC ( fi

ir

(15"') h=

2(1+£)*,' 1-*;

cc l fi

EC I fi

ÒC

-4^

CI

fi

o_

-L

TU . O. .

ttS--!s ;

dove w ha per espressione la (30) e u₂ è definita dalla seconda delle (23').

Nel caso in cui k — 3 — 2f/2, essendo allora = 0 e quindi gt = 0 si ha e quindi per le (10) e (26)

= 0, 04321 . .. .

Avremo allora

s; = s., s; = s, , s; = s, ;

e le due formule (14') e (14"') danno 1’ unica relazione

(14IV) Q = x +

fO

EC fi

are cos

1— j/l — 0,0294... t\

0, 0148 ...t,

(    1 fU

+2x 1+48,-- -*tg 2 x

XMa

2(o

li

cot

XM,

2(o

fi EC

Li

mentre le (15') e (15 ) divengono entrambi

(15lv) h =

2.843... t\

.+«(1+48₁)-| (JtS^

TZ Ut li

cot

TZ

2co

+ 2rc

/ tu a₄ \

— 8.---S,

U. ‘ « v

Queste in una prima approssimazione, trascurando cioè S₀, 8,, 8, (con clic si vengano a trascurare i termini contenenti q=0, 04321... alle potenze superiori alla prima) danno rispettivamente

li - TZ —|—

TZ

li

are cos

1 — v 1—0, 0294.. . t\

0, 0148 . . . *s

2(o

+ 2x 1--

2

tg----

⁶ 2(o li.

1 -tl

TZ--

7T TZ    TZU

-tg --

2 li. ° 2w

li

H--- cot

TZU^

TZ

2(0

dove

*9

tzk₃

0, 0148 ...ta —

+ V 1 —0, 0294 ...fa

2(o

cot

TiU₂

2mT

0, 0148 . . .ta + 1 — Vi — 0, 0294 ...i\

era

età

r 3

f -3

ta

sue

(Licenziate le bozze per la stampa il giorno 25 dicembre 1907)

f*'

i*

WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GLÓWNA

Bl 314OS

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

Biblioteka Politechmki Krakowskiej

100000298333

¹

Halphen, loco citato, pag. 271.

²

Ibidem, pag. 271.

³

phen, loco citato, pag. 265.

⁴

Ibidem, pag. 150.

⁵

Ibidem, pag. 272.

⁶

Essendo, in generale,

are cos ( — a) = u — are cos a .

⁷

Halphkn, loco citato, pag. 425.

⁸

Cfr. la Memoria “ Vene fluenti „ [§ 18, es. l.j.