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Biblioteka Politechmki Krakowskiej

100000298363

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er,

Berechnung der Einsenkung von Eisenbetonplatten und Plattenbalken.

Von 5)r.=3ng. Karl Heintel,

Kegierungsbaumeister.

Mit 37 Figuren.

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mm

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Berlin.

Verlag von Julius Springer. 1909.

CX- X

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, Vorbehalten.

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KEaüÖW

343,33

Druck von Oscar Brandstetter in Leipzig.

Akc. Nr, _

Inhaltsverzeichnis.

Seite

1.    Die Einsenkung' von Platten und Balken beliebigen Materials

2.    Die Berechnung der Formänderungskurve des Betons

3.    Die Eigenschaften der Formänderungskurve des Betons .

4.    Die Formänderungskurve des Balkens 48......

5.    Berechnung der Zusammendrückungen e₀ und Dehnungen eu

bei einer Eisenbetonplatte von gegebenen Größenabmessungen ...............

6.    Einsenkung einer freiaufliegenden Eisenbetonplatte bei gleich

mäßig verteilter Last............

7.    Einsenkung einer an beiden Enden eingespannten Platte

mit und ohne Vouten............

8.    Einsenkung eines Plattenbalkens.........

14

26

IC

CO

CO

CO

O er»

1. Die Einrenkung von Platten und Balken beliebigen Materials.

Ein Balken werde mit beliebigen, aber symmetrisch angeordneten Lasten belastet. Die in den einzelnen Querschnitten hervorgerufenen Momente sind durch die Momentenlinie bestimmt (siehe Fig. 1). Der Balken biegt sich durch (siehe Fig. 2). Ich bezeichne

'M

of

1 I 1 I 1

TTT

Afb\

t !/

/!

Fig. 2.

Fig. 1. Momentenlinie.

vor der Belastung auf dem Balken eine Lamelle von der Länge t zwischen senkrechten Querschnittsflächen. Nach der Belastung hat sich die Lamelle verändert, sie erhält durch die Biegung eine Verkürzung der obersten Betonfaser um 0 und eine Verlängerung der untersten um u. Der Winkel, den die beiden Begrenzungsflächen miteinander einschließen, wird

0 4-u

v>⁼~ir

Der Beitrag der Einsenkung, der durch diese Lamelle hervorgerufen wird, ergibt sich direkt aus Fig. 2 zu

AU = <Pt's

0 4- u

—i— ⁵-li

Bezeichnet man die Verkürzung der obersten Faser einer Balkenlamelle von der Länge 1 bei dem entsprechenden Moment mit f₀, die Verlängerung der untersten Faser mit eu, so wird

0 — t-£₀

u = t-sn,

£0 ~4~ Bu

damit

und

Eo 4~ £u

• t-s.

Um die durch die Biegungsmomente entstehende Gesamt-einsenkung zu erhalten, brauche ich nur den Balken in eine Anzahl Lamellen zu zerlegen und die einzelnen Einsenkungen zu summieren. Man erhält

(1)

• st

Wie sie für einen

Die Werte von £₀ und su sind unbekannt, bestimmten Balken für verschiedene Biegungsmomente berechnet werden können, wird später gezeigt werden. Für mehrere Versuchsbalken sind sie durch Messungen erhoben worden.

So hat Bach im Auf-

trag des Eisenbetonausschusses der Jubiläumsstiftung — der deutschen Industrie zahlreiche Biegeversuche mit Eisenbetonbalken angestellt, und in den „Mitteilungen j über Forscherarbeiten“, herausgegeben vom Verein Deutscher Ingenieure, in den Heften 39 und 45 bis 47 veröffentlicht. Die allgemeine Anordnung dieser Versuche ist aus Fig. 3 zu ersehen. Die 2 m langen Balken wurden mit zwei konzentrierten, gleichen und symmetrischen Einzellasten, welche 1 m voneinander entfernt waren, belastet. Der Balkenteil zwischen den beiden Lasten erhält durch diese Anordnung durchgehends gleiches Moment. Die Schubkraft ist zwischen

1,00

Me/ssfrecke=60cm

-2,00-

+*■

SO cm— -2,00 m,—

Big. 3.

■H

Auflager und Angriffspunkt der Lasten = —, zwischen den beiden

u

Lasten aber gleich Null. Bei den verschiedenen Belastungsstufen wurden nun in einer 60 cm langen Meßstrecke die Zusammendrückungen des Betons an der Balkenoberfläche, sowie die Dehnungen an der Balkenunterfläche gemessen. Mit Hilfe dieser Messungen läßt sich die Einsenkung berechnen.

Beispiel: Der von Bach untersuchte Plattenbalken Nr. 72 Bach-Fig. 223 von 50,9 cm Höhe (siehe Fig. 4) werde mit P= 10000 kg, d. h. zwei Einzellasten von 5000 kg belastet. Wie groß ist seine Einsenkung, hervorgerufen durch die Biegungsmomente?

Bach ermittelte bei einer Belastung von

2000    4000    6000    8000    10000 kg

eine Zusammendrückung der Oberkante von

0,24 0,51 0,80 1,10 1,44 und eine Dehnung der Unterkante von

0,30 0,63 0,97 1,48 2,06.

-1000-

--1000

-1000-•

—I

b- ~ KO

Ir

1020

1020

-L-^3160

r •!/!■!/}

-3000----

\d£*32\

Fig. 4. Plattenbalken Kr. 72 (Bach-Fig. 228).0

Diese Zahlen bedeuten

cm. Da sie außerdem einer Meß-

200

länge von 60 cm entsprechen, so ergeben die auf Grund dieser Zahlen gewonnenen Rechnungsresultate von Längen

1 1

2Öo ’60    12 000

cm.

Den verschiedenen Belastungsstufen entspricht ein Biegungs-P

moment von M— —*100 cmkg, d. h. von

100000,    200000,    300000,    400000,    500000 cmkg.

Den mit P — 10000 kg belasteten Balken teile ich in Lamellen von 20 bzw. 50 cm Länge ein, zeichne die Momentenlinie (Fig. 5), bestimme das jeder Lamelle entsprechende mittlere Moment, sowie den Abstand s von Lamellenmitte bis Auflager, bilde die Werte (e₀-\-£u)st (s. Tab. I) und schließlich

•ii

-?-5000kg    ||

°£°-1

i

-so

150000

(f0 + £u) st-

500000

-000005

Fig. 5.

¹ Forschungsarbeiten Heft 45 bis 47.

Tabelle I.

Gemessen

von

Bach

£o ~r £u

Zwischen

momente

po

Zwischen werte von

4“ su

S • ^ (n3 4- °3)

100 000 2000

200 000    4000

300 000    6000

400 000    8000

500 000 10 000

O O O r—t t-H

^    T-t    O    O

03    iO    00    i—1    ^

O    CO    I>-    00    so

₀    cq    oq    ^

cT    cT    cT    t-T    cf

ö    r—r    r-T cf co

^    !>■ OO O

iO t-h O- iO

50 000    0,27    ¹ 20    10

150 000    0,84    20    80

250 000    1,455    20    50

350 000    2,175    20    70

450 000    3,04    20    90

500 000    3,50    50 125

54

504

1455

3 045

5 472

21 875

Summe: 32 405

Die gesuchte Einsenkung ist dann:

cm

fb

50,9

• 32405

12000

cm

= 0,0535 cm.

Die von Bach gemessene Einsenkung betrug 0,0595 cm. Der errechnete Wert stimmt also mit der Messung ziemlich überein. Der Unterschied von 0,006 cm beruht (abgesehen von etwaigen Messungsfehlern) auf der Wirkung der Schubkräfte.

In nachstehender Arbeit ist von dieser Wirkung abgesehen. Näheres hierüber habe ich in meiner Studie: „Der Schubmodul des Betons“, Zeitschr. Beton und Eisen, Jahrg. 1908, Heft 4, veröffentlicht.

Die Einsenkung läßt sich auch graphisch ermitteln. Bei gleicher Lamellenteilung t ergibt sich die Einsenkung aus Gl. 1 zu

(2)

Der Ausdruck

\ («0 +£«) .

2j b s

läßt sich bei konstantem Ji darstellen als Ordinate eines Seilpolygons mit den Gewichten (r₀ -f- eu) und der Polweite h (siehe später unter Abschnitt 6). Die Einsenkung fh ist dann tfmal größer als die graphisch gewonnene Strecke

Diese kann aber auch direkt als Einsenkung angesehen werden, wenn man sie, als im Maßstab 1 : t gezeichnet, auffaßt. Da die Größen (£₀ -{- ej, h und s auch nicht in natürlicher Größe, sondern in gewissen Maßstäben ME, Mh und Ms(=Ml) aufgezeichnet sind, so ergibt sich schließlich als Maßstab der Einsenkung]

• • (3)

Ist die Höhe h des Balkens nicht konstant, so wird der Aus

druck

dargestellt mit Hilfe eines Seilpolygons mit den Gewichten

und der Pol weite 1. Wird statt 1 eine Polweite g gewählt, so ergibt sich der Maßstab der Einsenkung zu

Qj

• . (4)

Das Seilpolygon selbst stellt die Biegelinie des Balkens dar.

Die graphische Methode wird bei den späteren Beispielen angewandt werden; zunächst soll gezeigt werden, wie die Werte e0 und eu für Eisenbetonbalken berechnet werden können. Hierzu muß vor allem die Formänderungskurve des Betons bekannt sein. Diese wird im nächsten Abschnitt aus Biegeversuchen mit Eisenbetonbalken abgeleitet werden.

2. Die Berechnung der Formänderungskurve des Betons.

Der Elastizitätsmodul des Betons ist nicht konstant, sondern veränderlich.    Das    elastische Verhalten    des Betons    läßt    sich am

einfachsten durch seine Formänderungskurve darstellen. Um diese zu    erhalten,    trägt    man    zu einer    gewissen Beanspruchung o des

Betons    als    Abszisse

die zugehörige Zusam-mcndrückungresp. Dehnung e    der    Längen

einheit in mfacher Vergrößerung¹) als Ordinate auf, wiederholt dies für verschiedene Beanspruchungen und verbindet die Punkte durch eine stetige Kurve, die Formänderungskurve (Fig. 6).

Die zusammengehörigen Werte von o und e müssen durch Versuche bestimmt werden, entweder aus reinen Druck- oder Zugversuchen, oder besser, da es sich im vorliegenden Fall um Biegungsbeanspruchungen von Eisenbetonbalken handelt, aus Biegeversuchen mit solchen Balken.

Wenn die aus den beiden Versuchsmethoden erhaltenen Eesul-tate nicht genau miteinander übereinstimmen, so ist dies nicht weiter verwunderlich, setzt doch die Theorie der Biegung das Ebenbleiben der Querschnitte, sowie völlig gleichmäßiges, homogenes Material voraus. Beim Eisenbetonbalken bringt aber nicht nur die Schubkraft, sondern auch die Haftkraft zwischen Eisen und Beton ein Nichtebenbleiben der Querschnitte hervor, und daß der Eisenbetonbalken kein homogenes, gleichmäßiges Material bedeutet, zeigen die bei Biegung auf tretenden Wasserflecke und Risse im Beton.

— GZug—

!i

I¹

II—

77ieg

uef?/7U/7ge/7

Go

—G Druck—

Fig. 6. Formänderungskurve.

Wenn daher die aus Biegeversuchen abgeleitete Formänderungskurve zum Teil nicht eigentlich richtig wäre, so ergibt sie doch

¹) Ich wähle den Buchstaben m der Einfachheit halber an Stelle von Ms.

bei Biegebeanspruchungen richtige Dehnungswerte (was für die Einsenkung allein in Betracht kommt), da sie die Fehler der Annahmen der Theorie der Biegung eliminiert, wenigstens bei Balken ähnlicher Dimensionen wie die Versuchsbalken.

Die schon genannten, von Bach vorgenommenen Messungen an Versuchsbalken ermöglichen die Berechnung der Formänderungskurven des Betons dieser Balken.¹)

Nehmen wir an, diese Kurve sei bekannt. Der Balken werde P

mit zwei Einzellasten belastet, wodurch zwischen den beiden

u

Einzellasten ein gewisses, durchgehends gleiches Moment M entsteht. Die Dehnungen in Balkenober- und -Unterkante werden gemessen und betragen auf die Maßeinheit (1 cm) umgerechnet (statt 70 cm, was die Meßlänge betrug) £₀ und eu. Da die Balkenquerschnitte bei Biegung als eben angenommen werden, so erhält das Balkenelement AB CD von der Länge 1 die Form AB FE (s. Fig. 7). Um die in einer beliebigen Faser vom Abstand e

C £₀I

II

, E>r^O

'Gg_

*r *

$?

/

/ Ef=

H/ i

cit D

<?IC

Fig. 7.

4,4.

Fig. 8. Spannungskurve.

von der Neutralachse auftretende Biegungsspannung o zu erhalten, entnehme ich der Fig. 7 die der Entfernung e entsprechende Zusammendrückung e, gehe mit der m fachen Vergrößerung dieser Strecke, also mit m ■ e in Fig. 6 als Ordinate ein, und entnehme die zugehörige Abszisse. Diese Abszisse stellt die Beanspruchung n der Faser dar. Diese Größe o trage ich noch in Fig. 8 ein, wiederhole diesen Vorgang für verschiedene Faserentfernungen e und erhalte somit in Fig. 8 die Spannungskurve. Wäre der Maßstab, in welchem der Balken in Fig. 7 gezeichnet ist, zufällig so gewählt, daß die Länge me₀ in Fig. 7 und 6 gleich der Länge e₀ in Fig. 7 wäre,

b Ähnliche Messungen hat Wayß und Freitag 1902 und 1903 durch Bach ausführen lassen, die Resultate sind in Prof. Mörschs Buch „Der Eisenbetonbau“ (S. 103 und 104) veröffentlicht. Die Formänderungskurve des Betons hat Prof. Mörsch durch Probieren zu finden gesucht (siehe S. 106 und 107).

so wäre die Spannungskurve der Fig. 8 genau die gleiche wie die Formänderungskurve (Fig. 6).

Ist die Fläche zwischen Spannungskurve und Ordinatenaxe (Fig. 8) gleich F₀ bzw. Fu, die statischen Momente dieser Flächen bezogen auf die Neutralachse S₀ und Su, so ist bei einer Breite b des Eisenbetonbalkens die vom Beton aufgenommene Druckkraft — b-F₀ und die Zugkraft bFu.

Die Zugkraft Ze des Eisens läßt sich aus der Dehnung ee des Eisens berechnen. Es ist

• • (5)

Ze = fe-ee-Ee •    •    ■

(.Ee Elastizitätsmodul des Eisens).

Die Dehnung ee ergibt sich (Fig. 7) zu

wobei

eu

und

ee = eu — a

(6)

£u

Die Größe Ze ist somit bekannt.

Da die äußeren und inneren Kräfte, die auf den Balkenquerschnitt wirken, im Gleichgewicht sein müssen, so ergeben sich folgende Gleichgewichtsbedingungen:

Summe der horizontalen Kräfte = 0

• • (7)

b-F₀ — bFu — Ze= 0 . .

Summe der statischen Momente = 0

• • (8)

bS₀ + b-Su + Ze-e₉-M=0

Erhält der Balken eine andere Belastung, so ergeben sich andere Dehnungen e₀ und eu. Damit erhält der Balken eine andere Form II (Fig. 7). Die zugehörige Spannungskurve II ist in Fig. 8 gestrichelt eingezeichnet. Zu jeder Belastung gehört eine besondere Spannungskurve. Dies ist umständlich zu zeichnen, und läßt sich dadurch vermeiden, daß man den Maßstab, in dem der Balken gezeichnet wird, so verändert, daß immer e₀ durch eine der zugehörigen Belastungsstufe entsprechenden Strecke me₀ dargestellt wird. Damit ergibt sich als Spannungskurve immer die Formänderungskurve s. Fig. 9.

Bezeichnet man die in diesem Maßstab dargestellten Größen mit dem Index so daß also (Fig. 9) unter Weglassung der Zeiger I resp. II

^o' = w£₀ (==e₀

m e₀

so wird nach Fig. 7

eu=eu

me₀

(,o

(9)

(10)

und

m e₀

m£

ee~—

also

ferner

ee’ = m£e

ti = h^ = e₀f eu' = m£₀-\-mBu    .    .    .    (12)

(11)

~~T~1

mton

e’on

mEol-

'GoJ

e.ol

-fr,

e<* eul

eeE

eull

■M

a’jj

j__l.

Fig. 9.

Tai Irai

ra£    <n

<S nö

Q    e

»»0

eo

so läßt sich der Wert

ist weiter

, nie0 a — a--= a

eo

€e' = ee'

ti

ti

F ' == F —

-¹ 0    ■L 0    7.

F'

U

VIE₀

eo

ti

Fu h

auch ersetzen durch

$>' = 3,

st:=su -

h'\²

und

M' = M\ —

(lb\ ^

Multipliziere ich die Grundgleichungen (7) und (8) mit — resp. (— J

durch, so erhalte ich

h'

ti

ti

bF°k

bS₀

+z‘\

ti

tiV

ti

Bezeichne ich den Wert Ze'T mil Ze', so ergibt sich, indem ich zugleich mit b durchdividierte:

K-K-

•    • (14)

So + Su + -y • ee'--— ⁰

7 t

Z' = Ze • -- = fe • eg • Ee •    . (Nach Gl. 5.) Nun ist (nach Gl. 11)

somit

K-fe-

h'

e h le h

• • (15)

wobei

(10)

ee' = eü — a'

Z^ ist somit bekannt und die beiden Gleichgewichtsbedingungen enthalten, da in Wirklichkeit die Formänderungskurve nicht bekannt, noch vier Unbekannte F₀', Fu', S₀r, Sur.

mE₀

E-o-r

G Zug

a Druck

'CA

Für eine erste Berechnung dieser Größen läßt sich annehmen, daß auf Druckseite die Fläche F₀' als Dreieck berechnet werden kann mit den Seiten me₀ und der unbekannten verglichenen Seite x (siehe Fig. 10). Der Schwerpunkt von F₀' liegt in zwei Drittel der Höhe.

Ai*™

____1___

^u.2

mZu. Fig. 10.

Entsprechend kann bei den anfänglichen Belastungsstufen die Fläche Fu' als Dreieck mit den Seiten meu und yH angesehen werden.

Bei höheren Belastungsstufen muß aber die Fläche Fur in ein Dreieck und mehrere Trapeze zerlegt werden.

a / _£h'VuX 1

_ £ui * y ux

Den Schwerpunkt des bei der nächst höheren Belastungsstufe neu hinzukommenden Trapezes nehmen wir in halber Trapezhöhe an und führen als Unbekannte die Mittellinie des Trapezes ym ein.

Wir erhalten somit nachstehende Werte — wobei der Einfachheit halber me durch e ersetzt ist — (siehe Fig. 10).

_. _„ £o 1 ‘ Xx

2    3    ⁰¹.    3

LI f __ £ox‘xx ⁰¹ 2

Vi =

1**^1 ^

ferner

rn ' _£0 2 ‘ XV

⁰²~~ 2

^u 2 ⁼⁼⁼    X (Eu2 £ux)y

___ £ Ö 2 ' X2

«2 >

Su 2 = Su 1 + (£m2 -£«l) y

£U1

Die Gleichungen (14) gehen über in folgende Gleichungen: Anfängliche Belastungsstufen:

£o i ’xx___£uxVx

£0X’XX I £«1 ’Vul I x

3    3    '    b

. M' n

T = 0

Daraus xx und yul und durch weitere Rechnung F₀\, Ft

S'

Su'x-

Höhere Belastungsstufen:

£ Ö 2 ‘ *^2

f SuX + (£«2 ~ £«l)

>/₂'

fl m 2 I    ' £e 2    ^

(18)

usw.

Beispiel: Berechnung der Form veränderungskurve des Betons bei Balken Nr. 48 nach Bach-Fig. 77 (s. Fig. 11 und Fig. 12).

Die genauen Maße des Balkens Avaren:

Höhe 30,37 cm, Breite 15,11 cm, Eiseneinlage drei Rundeisen von ca. 1 cm Durchmesser und zusammen 2,33 qcm Querschnittsfläche, Abstand des SchAverpunktes der Eiseneinlagen Aron Balkenunterkante

1,0

1,7 cm;

1,2+1

die Meßlänge, auf Avelcher die Dehnungen und Verkürzungen gemessen Avurden, betrug 70 cm.

~7&

~70

Die Untersuchung ergab, daß für Belastungen bis 2000 kg nach den für anfängliche Belastungsstufen angegebenen Gl. 17 gerechnet werden konnte, bei 2500 kg aber nach Gl. 18 gerechnet werden mußte.

Bach hat gemessen:

1.    Belastung 2000 kg, Zusammendrückung der Oberkante 1,14, Dehnung der Unterkante 1,06.

2.    Belastung 2500 kg, Zusammendrückung der Oberkante 1,43, Dehnung der Unterkante 1,47.

■7000-

'2_

a?-~7

-Jr

'-v?> y%_

i l

<5>

ff

-L=~ffiO-

Quereisen^

Stab3~-7f^

Sfob2-^?'

.~7i?

£:.. - ^ySfabyf,

f\

d₂iM\d>^0

\dj^fO\

jm+

-2000

'80

\b—;

Fig. 11. Balken Nr. 48 (Bach-Fig. 77).

Diese Zahlen bedeuten 7

cm bei einer Meßlänge von 70 cm. Nehmen wir die £ in lOOOOOfacher Vergrößerung (m = 100000),

•200

so müssen wir die obigen Werte zur Einführung in unsere Rech-

nung mit

100 000

200-70

multiplizieren und erhalten so:

1.    Belastungsstufe 2000 kg, me₀₁ oder f₀₁ = 8,14

2.    Belastungsstufe 2500 kg, £₀₂ = 10,2

7,1 = 7,57.

7,2 = ¹⁰,5.

Biegungsmoment Mx

1. Belastungsstufe 2000 kg. 2000

. 50 = 50 000

M₁ _ 50000 b ~    15,1 1

= 3309.

Nach Gl. 9 bis 16 wird

oder £₀₁ = 8,14

eo 1    ^ £01

7/1 = ^7,1 oder 7,1 = 7,57

= 0,517

h.’ _ 15,71 h _ 30,37

///= 15,71,

m;

¹ =3309-0,517² = 884, b

Zc/sa/nmenarnc/rnngen

ße/asfunqsstt/fen Pin Ag

•'

±::3±T

v-.

8E

W-

ms

<>>

ßennungen

Fig. 12. Formänderungskurve des Balkens Nr. 48 nach Fig. 11 (Bach-Fig. 77).

a/ = a--i= 1,7-0,517 =0,88 li

h'

e’t = eM'₁ — a/ = 7,57 — 0,88 = 6,69,

2,33

-0,517-6,69-

2100000

100000

11,2

15,11

(Elastizitätsmodul des Eisens 2?e zu 2100000 angenommen).

Durch Einsetzen der Werte in Gl. 17 erhält man:

8,14

7,57

2 Xl 2~Vul

— 11,2 = 0

8,14²    7,57²

— ^““8“

::

yul + 11,2-6,69 — 884 = 0.

und

Daraus

FJ

8,14

xx — 20,3, yul — 18,9 8,14²

• 20,3 = 82,6

S₀\ =

20,3 = 448,

7,57

Fu\= ₂

18,9 = 71,5

7,57²

18,9 = 361

-1 = 4136.

2. Belastungsstufe 2500 kg. „    2500

lf₂ = ——50 = 62 500,

e0 2 f0 2- 10,2

ß2< 2 = eu2 ~ 10)5

K’ =20,7

Ä' 20,7

Ä 30,37 = 0,6816.

M!

= 4136-0,6816² = 1921

<=1, 7-0,6816 = 1,16, e/₂ = 10,5 — 1,16 = 9,34,

_ Mi

6    15,11

•0,6816-9,34-

2100000

100000

20,6.

Durch Einsetzen dieser Werte in Gl. 18 erhält man:

- [71,5 + (10,5 - 7,57) j/„,] - 20,6 =0,

10,5 + 7,57]

+-+ [361 +(10,5 - 7,57)2/

+ 20,6-9,34 — 1921=0.

Daraus

x<i — 27,2, ym2 = 16,0 usw.

Die Werte sind in Fig. 12 Formänderungskurve für Balken 48 eingezeichnet.

Dieselbe Rechnung wird für die folgenden Belastungsstufen wiederholt, bei den höchsten Belastungsstufen (von 4500 kg ab) muß schließlich auch F₀' in Dreieck und Trapeze geteilt werden. Die errechneten Punkte werden durch eine stetige Kurve verbunden. Die durch die Annäherungsannahmen gemachten Fehler können durch Nachrechnen beliebig vermindert werden.

Die angegebene Methode läßt sich durch einfache Erweiterung auch auf Plattenbalken anwenden.

3. Die Eigenschaften der Formänderungskurve des Betons.

Nach der in Abschn. 2 angegebenen Methode habe ich die Formänderungskurve der nachstehenden von Bach untersuchten Balken berechnet und in den Figuren 11 bis 27 dargestellt:¹)

1.    Balken 66 und 69 nach Bach-Fig. 84 (s. Fig. 13 bis 15):

Höhe 30 cm, Breite 20 cm, ohne Eiseneinlagen.

2.    Balken 16 und 35 nach Bach-Fig. 2 in Heft 39 und Bach-

Fig. 70 in Heft 45 bis 47 (s. Fig. 16 bis 19),

Höhe 30 cm, Breite 20 cm, Eiseneinlagen 1 Rundeisen von 2,5 mm p, d. h. 0,55 °/₀ Eisenarmierung.

3.    Balken 40 und 48 nach Bach-Fig. 77 (s. Fig. 11,12 und 20).

Höhe 30 cm, Breite 15 cm, Eiseneinlagen 3 Rundeisen von 1 cm p, d. h. 0,52 °/₀ Armierung.

D Die angegebenen Nummern der Balken beziehen sich auf die Veröffentlichungen Bachs in den Mitteilungen über Forschungsarbeiten, Heft 39 und 45 bis 47. Die diesen Heften entnommenen Figuren sind unter ihrer dortigen Nummer unter der Bezeichnung Bach-Fig. angeführt.

4.    Balken 64 und 65 nach Bach-Fig. 80 (s. Fig. 22 bis 24).

Höhe 30 cm, Breite 20 cm, Eiseneinlagen 3 Rundeisen von 1,8 cm <p, d. h. 1,25 °/₀ Armierung.

5.    Plattenbalken 82 und 85 nach Bach-Fig. 228 (s. Fig. 25 bis 27).

6.    Zum Vergleich sind auch die Formänderungskurven der zentrisch gedrückten bzw. gezogenen Körper 6 und 4, bzw. 7 und 8 gezeichnet (s. Fig. 28 und 29).

7000-

L=~2760

Wi

^⁸⁰\.

-2000--

Fig. 18. Balken 66 und 69 (Bach-Fig. 84).

\h=~75d_

e-Qzmm/m

-2000-

E*0,hnm/m

2150

1500

2000

750

1500

<5‘20 1. Wasser/ Bruch

10kh*^-

'ec/rljY-1

750

1500r

G_

750

20

750

frL ’-uc/c

■0.1 mn■,

Bruch

1500

2000

20

Fig. 14. Balken 66 nach Fig. 18.

Fig. 15. Balken 69 nach Fig. 13.

Bei der Rechnung ist durchweg der Elastizitätsmodul des Eisens mit Ee — 2100000 eingeführt. Die verschiedenen Eisen werden aber wahrscheinlich mehr oder weniger von diesem Wert abweichen. Diese Fehlerquelle spielt, wie später gezeigt wird, bei den Anfangsbelastungen keine Rolle, sie kommt aber bei den Höchstbelastungen für die Beurteilung der Mitwirkung des Betons auf Zugseite sehr in Betracht.

Vergleicht man die verschiedenen Formänderungskurven miteinander, so ergibt sich folgendes:

Auf Druckseite stimmen die Kurven der meisten Balken sehr gut miteinander überein, insbesondere auch mit der Kurve des zentrisch gedrückten Primas 4 (Fig. 29). Prisma 6 ist im Vergleich zu 4 ziemlich elastischer, wogegen sich Balken 40 (Fig. 20) im Vergleich zu den anderen Balken und Prismen wesentlich spröder verhält (bis zu 30°/₀).

jsr*l

dj-H2S

13000

C’0.3mm/m

e-0.5mm/m

8000

7000

-eyterwofm-

13000

6000

5000

7ÖOO

10000

ffZuo_10 kg

1.)Vas serf/t c/g.'/- - -%

-A

vooo

5000

5250

20.kg

C’-O.ivm/m

ff OrucR

70

7000

6000

som

vooo

£=QJzl.

6000

ff Zug

10h

ff OrucA

50 kg

S=0.3

mW

7000

6000

8000

£*0.smrn/m

7000

Fig. 17. Balken Nr. 16 nach Fig. 16.

E.=0.5i7m/m

10000

-1000-

-L - ^2760

Ml

==es==dsJ

-2000-

U-£- ~300^~i

Fig. 16. Balken Nr. 16 nach Bach-Fig. 2.

U-b=~300-*

Fig. 18. Balken Nr. 35 nach Bach-Fig. 70.

Fig. 19. Balken Nr. 35 nach Fig. 18.

Auffallend ist die rasche Krümmung nach aufwärts, welche manche Balken nach Erreichung von ungefähr o — 60 kg zeigen, und welche besonders bei den Balken 64 und 65 in Erscheinung tritt (s. Fig. 23 und 24). Ich halte es nicht für wahrscheinlich, daß das

zentrisch gedrückte Prisma bei weiterer Belastung dieselbe scharfe Krümmung zeigen wird, und glaube diese Erscheinung bei der Biegung aus dem Nichtebenbleiben der Querschnitte wie folgt ableiten zu können: Bei höheren Belastungsstufen treten auf Zugseite Risse im Beton auf. Würden die Querschnitte eben bleiben, so müßten die Risse bis zur Oberkante des Balkens gehen und die einzelnen Betonlamellen dürften sich nur noch an einem Punkt der Oberkante des

£•0.5 mm/m

7000 6000

Zug

~SÖÖÖ

7600

7000

3500

3000

2000

-£=0.1

1000

ff OrucA

}Z0 kg 10

w-

1000

SO

100

kg/tgcm

2000

£•0.1

3000

3750

7000

7500

£•0.5

5000

6000

E'lonmjm

7000

Fig. 20. Balken Nr. 40 nach Bach-Fig. 77 (s. Fig. 11).

Betons berühren. Die Druckspannung im Beton würde dann oo (s. Fig. 21). In Wirklichkeit ist dies nicht der Fall. Immerhin ist anzunehmen, daß an den, den Zugrissen gegenüberliegenden Stellen auf Druckseite höhere Druckbeanspruchungen erzeugt werden als in den Mitten zwischen diesen Punkten. Daß aber

Heintel, Eisenbetonplatten.

theoretisch

wirklich

Fig. 21.

zoooo

1SOOO

e~=p-

15000

ooe~-y

£-0.S

Stab 3.

Quere/senr*

■3760

250

%r%3

Fig. 22. Balken Nr. 64 und 65 nach Bach-Fig. 80.

10000

7000

4000-

5000

WOO

3000

-£=0.1

<>>

&

kJ

O’Z'JQ

3000

WOO

5000

£-0.1

erDrt'cA

57

700.

0000

-7000-

70000-

£ =0.5

Ol~'

m.

V*o I

£⁼ 1,0

mm/m

15000

— \f6700

£ = 1.5 7107/171

=2000000

?woo

£=0.iomm/n'

15000

11000

£=0.5 mm/rr,

~8Ü0(r 6500 6000-

5000

vppp -£=0.imm/m -3000-----

ffZu 7

ff OrccA

51

70C

- -pp— 3000

.1 Yifooo

---- 5000

-    6500

—    7000

8000

£=0.5>7rm/m

—- 11000

—15000

e-toirm/m

ZOOOO

_£- 1.5Wm/m\_L_L_J_L__

Fig\ 24. Balken Nr. 65 nach Fig. 22.

l~15

<sm

w

— -

-i=~7

-1000-

fl

U4=ns

s-l

üi

nt

■L*~3160-

Staä\ 1

Fig. 25. Plattenbalken Nr. 82 und 85 nach Bach-Fig. 228.

-30000

AirOomm/m

31000-

16000--------

-rn700---------

12000 zzrzzzz-. 10000 -

6000-----

<3 Zug

O'Dro cA

50 kg

100 kg

äz.-.z 6000

■ — 1000 ---1-700

-H— 12000

- 1V00Q

16000

£ ■0.5 vm/m

\21O0O

77/ff//r7

Wffl

-3900C Emf'V rnm/m

pe--sn

!rft

8. Einrenkung eines Plattenbalkens.

!rft

2 Zu Eig. 25.

33

at^F

Kui

Wtl

39000

--£•0.: mm/m

30000

£=0.s

2V000 -

19000

nooo -

TTo

10000 -c-oAmm/m

6000

G> Zuit

53

100/ 'y/ycm

6000

51

10000

12000

moo

£~0.5,vm/m

a»

-3000C

<s = 1.0

mm/m

—v39(’00

durch diese Unregelmäßigkeiten in der Druckspannung eine größere Zusammenpressung der Balkenoberkante hervorgerufen wird als durch einen Mittelwert, ließe sich wohl verstehen. Damit wäre auch

<0

^ 0.5/m ipro/i ’

70

| 0.1m w/m

ffOn

SO/rn/qcm

>cfc

70L 'kg/qcn ’

Fig. 28. Zentrisch gedrücktes Prisma 6. Zentrisch gezogenes Prisma 7.

e -0.5mm/m

0.7mm

töZua

e>L 'ruck

fO

50

700

Oomn

Fig. 29. Zentrisch gedrücktes Prisma 4. Zentrisch gezogenes Prisma 8.

die scharfe Aufwärtskrümmung der Formänderungskurve bei Biegung erklärt. Die aus dieser Kurve entnommenen Werte von o würden somit nur noch Mittelwerte vorstellen.

Es wäre interessant, den Verlauf der Formänderungskurve des zentrisch gedrückten Prismas bei noch höheren Belastungsstufen zu kennen und Versuche mit noch stärker armierten Eisenbetonbalken anzustellen. Für die Praxis würden die Resultate allerdings wenig in Betracht kommen, da hier fast ausschließlich nur die ¹/.₂°/0 Armierung angewandt wird.

Auf Zugseite lassen sich bei den Eisenbetonbalken drei Stadien unterscheiden:

Stadium A: Von Null bis zur Erreichung der höchsten Zug

festigkeit.

Die Kurven sehen sich sehr ähnlich und bilden ungefähr die Fortsetzung der aus den zentrisch gezogenen Prismen 7 und 8 abgeleiteten Formänderungskurven.

Diese Prismen ergaben Zugfestigkeiten von 13 kg/qcm. Einen ähnlichen Wert, 13 bis 14 kg, ergaben die nicht armierten Balken 66 und 69, (Fig. 13 bis 15) wogegen die Formänderungskurve der mit mehreren Eisen versehenen Eisenbetonbalken Abszissenwerte d. h. Spannungen resp. Festigkeiten bis zu 18 kg aufweist. Die höhere Festigkeit bei armierten Platten erklärt sich damit, daß bei den nicht armierten Körpern die angegebenen Festigkeitszahlen den 'Zugfestigkeiten an den schlechtesten Stellen der Körper entsprechen, während bei den armierten Körpern, bei welchen bei den Belastungen dieses Stadiums noch keine Risse vorhanden sind, die Mittelwerte der Zugfestigkeit auf die ganze Meßlänge der untersuchten Körper sich ergeben.

Daß Balken 16 und 35 (Fig. 16 bis 19) mit nur einer Eiseneinlage sich den nichtarmierten Balken nähern, ist verständlich.

Auch die Dehnungen bei gleicher Beanspruchung zeigen sich bei den armierten Balken verschieden von den nicht armierten, — die armierten Balken erscheinen spröder. Diese Erscheinung mag vielleicht ganz oder wenigstens bis zu einem gewissen Grad von der zufälligen Beschaffenheit des Betons abhängen, sie läßt sich aber auch auf andere Weise erklären: Werden die Balken Biegungsbeanspruchungen unterworfen, so zeigen sie lange vor dem Eintritt des Bruchs oder der ersten Risse auf Zugseite Wasserflecken (vgl. diese Beobachtungen und deren Erklärung bei Bach). (In den Figuren 11 bis 27 durch punktierte wagerechte Linie mit der Bezeichnung W dargestellt.) Diese Wasserflecken lassen auf eine Lockerung im Gefüge schließen, wodurch an diesen Stellen unverhältnismäßig große Dehnungen stattfinden. Ist der Balken armiert, so setzt der Gleitwiderstand zwischen Eisen und Beton der Lockerung Widerstand entgegen. Dies wird um so mehr der Fall sein, je kürzer die Strecke ist, auf welche sich der Beton selbst überlassen bleibt, d. h. je näher die Eisen beieinander liegen. Die an den Wasserflecken entstehenden Zusatzdehnungen werden daher bei den nicht armierten Balken größer sein als bei den armierten. Erstreckt sich nun die Meßstreeke über mehrere Wasserflecke hinweg, so wird die gemessene Gesamtdehnung durch diese Zusatzdehnungen beeinflußt, und bei dem nicht armierten Balken entsprechend größer als bei dem armierten. Bei der Berechnung der Formänderungskurve aus den Dehnungen ergeben sich daher für die Spannungen bei den nicht armierten Balken kleinere Werte o als bei den armierten. (Bei der Berechnungsmethode des Abschnitts 2 sind diese o mit ym benannt.) Umgekehrt erscheinen für gleiche Werte o beim armierten Balken kleinere Dehnungen. Das elastische Verhalten des homogenen Betons (wenn ich den Beton, in dem noch keine Lockerungen eingetreten sind, so benenne) braucht also trotz der Verschiedenheit der Formänderungskurven nicht durch die Eiseneinlagen beeinflußt zu sein.

Die aus der Formänderungskurve entnommenen Spannungswerte sind wieder nur Mittelwerte.

Stadium B: Von der Erreichung der größten Zugfestigkeit bis zum Auftreten der ersten Risse im Beton. (In den Fig. 11 bis 27 sind die Risse durch eine wagerechte Linie mit der Bezeichnung B dargestellt. Die letzte Belastungsstufe, bei welcher noch kein Riß festgestellt werden konnte, ist jeweils durch eine strichpunktierte Wagerechte gekennzeichnet).

In diesem Stadium findet die Lockerung des Gefüges ihren Fortgang, nur gewinnen hier die Zusatzdehnungen an den Wasserflecken die Oberhand. Je geringer die Entfernung der Eisen voneinander und von den Rändern des Betonquerschnitts ist, um so länger wird eine übergroße Lockerung des Gefüges — aus welcher schließlich der Riß entsteht — hintangehalten (siehe Bach). Bei den Balken 16 und 35 (Fig. 16 bis 19) mit nur einer Eiseneinlage ist dieses Stadium denn auch der Ordinate nach auf ein Minimum zusammengeschrumpft, während die anderen armierten Körper mit mehreren Eiseneinlagen wesentlich größere Dehnungen vor dem Auftreten der ersten Risse zeigen.

Stadium C: Mitwirkung des Betons nach dem Auftreten von Zugrissen.

Nach dem Auftreten von Rissen im Beton üben die einzelnen zwischen den Rissen verbleibenden Betonteile auf die Dehnung des Eisens eine hemmende Wirkung aus, indem der Gleitwiderstand zwischen Beton und Eisen den Beton zu veranlassen sucht, die Dehnungen des Eisens mitzumachen. Die Abszissen der Formänderungskurve können nicht mehr als Spannungswerte des Betons angesehen werden.

Die Kurven verlaufen fast genau gleich bei allen Balken, nur der Körper 64 und die Plattenbalken (Fig. 23, 26, 27) scheinen eine Ausnahme zu machen. In Wirklichkeit ist die Abweichung nicht so schlimm, wie die Kurven scheinen lassen. Balken 64 zeigt z. B. bei Belastung P = 18000kg eine Dehnung von 1,39 mm pro Meter Meßlänge (meM = 139). Die Rechnung ergab für diese Belastungsstufe die Werte

= 876000

-y- — 7430 b

Fu'= 380

Dagegen ergibt die Formänderungskurve des Balkens 48, welche im nachfolgenden Abschnitt 4 ausführlich behandelt ist, bei der Dehnung weM=139 die Werte

Fu' = 794

(Siehe die dortige Tabelle II).

SJ

5800.

Su' = 31 967.

d. i. für

Der Unterschied der beiden Kurven ergibt für

Sj = 26167

Fj eine Differenz = 414

Fj im Vergleich zu ein Betrag von 5,6°/

für

Sur im Vergleich zu    ein Betrag von 3°/₀.

Das sind Abweichungen, welche allein von der Nichtübereinstimmung des Elastizitätsmoduls des verwendeten Eisens mit der Annahme Pc = 2100000 herrühren könnten, zum mindesten aber bei der Verschiedenheit des elastischen Verhaltens verschiedener Betonsorten nicht in Betracht kommen.

Bei den Plattenbalken kommt eine Abweichung des Elastizitätsmoduls von 2100000 zu erhöhtem Ausdruck, da die Armierung im Verhältnis zur Stegbreite wesentlich stärker ist als bei Balken 64. Außerdem fehlt für die Plattenbalken in den Veröffentlichungen von Bach die Angabe des genauen Abstandes der Eiseneinlage von der Balkenunterkante, so daß dieses Maß nur schätzungsweise eingeführt werden konnte. Ein Fehler in diesem Maße ist aber von erheblichem Einfluß auf die Zugseite der Formänderungskure, so daß die Abweichung der Plattenbalkenkurven geringfügig erscheint und sogar die ungefähre Übereinstimmung als glücklicher Zufall angesehen werden kann.

Bei häufiger Wiederholung höchster Belastungen (bei Erschütterungen) wird sich Teil C voraussichtlich stark ändern, da allmählich der Gleitwiderstand zwischen Beton und Eisen geringer werden wird, so daß die Mitwirkung des Betons auf Zugseite immer mehr abnimmt.¹)

4. Die Formänderungskurve des Balkens 48.

(Siehe Fig. 12).

Die in Praxis hauptsächlich vorkommenden Eisenbetonkonstruktionen sind die Platten und die Plattenbalken.

Die Platten zeigen meistens eine Dicke von 10 bis 20 cm und ca. 0,5°/₀ Armierung bei einer Entfernung der Eisen von 7 bis 12 cm voneinander. Die von Bach untersuchten Balken mit ¹/₂°/₀ Ar

mierung haben eine Höhe von 30 cm und eine Eisenentfernung von 5 cm.

05

Die Formänderungskurve der Platten wird daher wegen der größeren Entfernung der Eisen voneinander etwas kleinere Abszissen in den Stadien A und B der Zugseite aufweisen. Auch ist es nicht ausgeschlossen, daß die Balkenhöhe oder das Verhältnis der Balkenhöhe zum Abstand der Eisen von der Platten

unterkante einen Einfluß auf die Formänderungskurve ausübt. Von praktischer Bedeutung werden diese Einflüsse im Vergleich zur Veränderlichkeit der Elastizität verschiedener Betonsorten nicht sein, so daß ich für die nachfolgend berechneten Beispiele die Formänderungskurve des Balkens 48 zugrunde lege.

Diese Kurve stimmt auch mit derjenigen der Plattenbalken Nr. 85 und 86 in den Stadien A und B ziemlich genau überein. In den Plattenbalken der Praxis ist zwar die Entfernung der Eisen voneinander meistens kleiner als in den Probebalken; dieser Einfluß auf die Formänderungskurve wird aber nicht bedeutend werden, und kommt — ebensowenig wie eine Abweichung im Stadium C — praktisch nicht in Betracht, da die Stegbreite im allgemeinen sehr gering ist, ¹/₆ bis x/₁₅ der Plattenbreite.

Für die Kechnung ist es von Wert, die zu den einzelnen Dehnungen und Beanspruchungen gehörigen Werte F₀', Fuf, S₀r, Su' zu kennen.

Diese sind für den Balken 48 berechnet und in Tabelle II zusammengestellt.

x) In meinen Aufsatz: Das elastische Verhalten des Betons bei Biegeheanspruchungen von Eisenbetonbalken (in Heft 2 der Zeitschr. „Beton und Eisen“, 1908) hatte ich den Schluß gezogen, daß im Stadium C die Mitwirkung des Betons hei wachsender prozentualer Armierung geringer würde. Damals hatte ich nur die Kurven der Balken (16), 48, 64 und 85 berechnet gehabt. Von dieser Ansicht bin ich inzwischen abgekommen.

Tabelle II. Formänderungskurve des Balkens 48 (s. Fig. 12).

Druckseite

Zugseite.

«0

100000°m/om

o-Druck

cm/cm

in

GQ

su

kg/qcm

100000

ö-Zug

in | FJ kg/qem !

S«'

in

in

°CO^O(OO^COIM®^CTX^O'!Ha) 10CO_10 IO O IO 2-W

” " °° n *2 2 2 § §f 8 § 8 § 3 3 8 S S 8 $ S S S >> £ 83 8 §8 § SS § § ® S § © § ©

H-^oooo^aocoor

300

445

624

883

10

4    913 6 689 8 840

11 400 14 371 17 795 21 675 25 995 30 797 36 064 41 817 48 107 54 884 62 184 70 014 78 380 87 299 96 775 106 803 117 385 128 523 140 211 152 454 165 262 178 646

15

20

25

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

I—i H-i * t—¹‘    ¹ H—^ I—^ H-* I—I ►—¹

o o o o h-a r—¹ to i>o co ^ Jp¹ -T'¹    ^    j^¹    S° S™

"io ^ "oo "io "os *00 "ca "or -^1 ~OD "to 'üi 'or 00i00co<lt005^000

lOOiO^iCiCOOCO co^

r-T io co ©J* co co" rH co' of oT -

t-h Cvj CO    ZO l>- <J7 o ot>

t-H t-H

278

339

388

472

544

600

650

690

722

747

765

779

789

795

798

800

26

59

110

182

274

389

527

687

1 780

3    192

4    561

5    898 8 826

12 063 15 143 18 393 21 393 24 113 26 488

32    048 32 484 32 648

Die Zahleneinheiten der Tabelle bedeuten für die Beanspruchungen o den Wert 1 kg/qcm,

für die Zusammendrückungen £₀ und Dehnungen eu den Wert

100 000

cm pro 1 cm Meßlänge.

Die Maßeinheit der Zeichnung der Formänderungskurve 48 in Fig. 12 ist 1 min.

1mm Abszisse bedeutet eine Beanspruchung a=l kg/qcm. 1 mm Ordinate bedeutet eine Zusammendrückung oder Dehnung

cm/cm.

100 000

Die Zahleneinheit der F₀f und Fu' in der Tabelle ist in der Zeichnung durch 1 qmm dargestellt.

Um zu zeigen, wie weit sich die Werte der Kurve mit den Beobachtungen an dem untersuchten Balken decken, habe ich für die von Bach bei den verschiedenen Belastungsstufen beobachteten Dehnungen die zugehörigen Werte F₀’, S₀’, Fj, Sn' aus der Tabelle II

Z'    Z ’

entnommen, die Werte und -e/, sowie M' berechnet und die

b    b

Besultate in Tabelle III eingetragen.

Tabelle III. Die Verteilung der Kräfte im Balken 48.

Belastung ^

CO

+    ""

II

l    c*

OS

ZJ

So’

9    =    10

ZJ

Su

+ S₀'

=M’

2000

2500

h-¹ OT> 00 CD

11

80

89

344

75

472

891

894

21

189

138

777

192

3000

3500

3600

3750

W W K ^ 05 cc OO 00 W ^ CO

37

73

94

128

220

857

417

495

4500

584

484

1068

5500

722

1140

1862

6500

777

1936

2713

8000

800

3540

4340

2700    29 700 210 000

4343    32 650 522 000

463

167 060 167 000 325 400 327 000 736 650 736 000

1 875 4 088 4 913 6 689 21 100 49 460 86 400 182 000

Man ersieht, daß die Werte der Spalten 4 und 5, die einander gleich sein sollten, nur ganz wenig voneinander ab weichen. Dasselbe ist bei den Werten der Spalten 9 und 10 der Fall, die Formänderungskurve gibt also die Beobachtungsresulta.te ziemlich genau wieder.

Die Tabelle III gewährt einen interessanten Einblick in die Kräfteverteilung im Eisenbetonbalken.

Bei Belastung 2500 kg zeigt die Tabelle:

y = 21,

der Beton übernimmt also die 5,6fache Zugkraft des Eisens; bei Belastung 8000 kg betragen diese Werte:

Fj = 800,

_JL=3540, b

\ der Zugkraft des Eisens.

Was das statische Moment, bezogen auf die Neutralachse, anbetrifft, so ergibt die Belastung 2500 ein

b e

der Beton übernimmt nur noch

su' = m.

4,5

= 192,

der Beton übernimmt also das vierfache des Eisens, dagegen lauten diese Werte bei Belastung 8000:

Sur = 32 650 und

= 522 000,

b e

der Beton übernimmt nur noch T^= 6,2 °/₀ des Betrags des Eisens.

Aus diesen Ausführungen geht hervor, daß eine geringe Abweichung des Elastizitätsmoduls des verwendeten Eisens von dem der Rechnung zugrunde gelegten Wert Ee = 2100000 bei den anfänglichen Belastungsstufen nur von unbedeutendem Einfluß sein wird, bei den höchsten Belastungsstufen aber eine wesentliche Rolle spielt.

5. Berechnung der Zusammendrückungen e₀ und Dehnungen eu hei einer Eisenhetonplatte von gegebenen Größenahmessungen.

Diese Aufgabe läßt sich nur durch Probieren, allerdings in sehr einfacherWeise, lösen: Zu einem gewissen sH wird das zugehörige e₀ geschätzt und nachgesehen, ob die beiden Werte der Gl. 14 genügen. Ist dies nicht der Fall, so wird für e₀ ein anderer Wert gewählt, so lange bis diese Gleichung erfüllt ist. Hierauf wird das

Moment bestimmt, welches diesen Werten eu und s₀ entspricht mit Hilfe der Gl. 14 bzw. 13:

- S0 + Su + y- • ee

und

M=M'

Diese Rechnung wird für verschiedene Werte eu durchgeführt, und schließlich werden die errechneten Größen graphisch dargestellt, indem die Momente auf einer Senkrechten und die zugehörigen £0 und eu auf Wagrechten aufgetragen werden. Die erhaltenen Punkte werden durch eine stetige Kurve verbunden, und man kann zu beliebigem Moment die zugehörigen Werte von eu und s₀ abgreifen (s. später Fig. 31, Fig. oben links).

Zur weiteren Erläuterung wähle ich ein Beispiel: Eine frei auf-liegende Platte von 3,0 m lichter Weite soll für eine Gesamtlast von 700 kg/qm berechnet und untersucht werden.

Das Moment in der Balkenmitte ist

• 100 = 79000 cmkg.

q? 700-3g

Bei einer zulässigen Beanspruchung von oh= 30 kg, oc— 1000 kg ergibt sich nach der Rechnungsweise der preußischen ministeriellen Vorschriften ein notwendiges

h — <x=l4 cm fe = 6,45 qcm.

Es werden als Armierung Rundeisen von 0,8 cm ff> in Entfernungen 7,8 cm voneinander gewählt. Für a wird 1,5 cm angenommen, so daß die Plattendicke 7i = 15,5 cm beträgt.

Berechnung zusammengehöriger eu und £₀ (s. Fig. 30).

Ich wähle

*it

Az/

eu = 15.

Hierzu schätze ich e₀ ebenfalls = 15.

Die beiden Werte müßten der Gleichung genügen:

Fig 30.

betragen

Die Werte Fu' und F₀' sind der Tabelle II zu entnehmen und

K= 197,

F₀r = 290.

Der Wert von berechnet sich nach Gl. 15 zu

Ze'=fe-

wobei m = 100000.

Nach Gl. 9 bis 13 ist nun ti = eu + e₀ = 15 + 15 = 30

ti

= 1,5-

ti

15,5

0,097 ti = 0,097 • 30 = 2,9

e’ = (eu — a')= 15 — 2,9 = 12,1,

i.fy.

b e h

ti

, 2100000 100000

= 0,0873 • ti • ej = 0,0873 • 30 • 12,1 = 32. Wäre £₀ mit 15 riclitig- gewählt, so müßte sein

Ee= — 6,45 100 '

15,5

. K + fs=F*’

197 _|_ 32 = 290,

229    =290.

Der Wert von s₀ ist also zu groß gewählt. Geht man mit 229 in die Tabelle II unter F₀' ein, so findet man ein zugehöriges

£o = 13,2.

Führe ich diesen Wert schätzungsweise in die Rechnung ein so ergibt sich

ti =15 + 13,2 = 28,2 ar = 0,097 ti — 2,7, ee,==su — «' = 12,3,

30.

-e = 0,0873 • 28,2 • 12,3 = b

Und es soll sein

197 + 30 = 229, 227 = 229.

Die Hauptgleichung ist fast genau erfüllt. Es zeigt sich, daß die erste Annäherungsrechnung sofort einen genügend genauen Wert von e₀ liefert.

= S.' + S,/+f'ej.

Das zugehörige Biegungsmoment ergibt sich mit Hilfe der Gleichung

cc

IC

Berechnung der Zusammendrückungen e₀

fl

fl

'S

fl

erq

a>

c⁵

i> t>-

iO T-H

t-H Oi

03 CO

Tabelle IV. Berechnung zusammengehöriger eu und e₀ für eine Platte von h— 15,5 cm,

f = 6,45 qcm.

160

140

100

50

P— [>-*—* OC> iO t-h OJ CO 03    H

262012630 800 800

3430

3420!

57,4

rH t-h

lO 05

05    00 t-h

t-H    t-H Ol

t-H

391 39,3    50

139] 139,3 190

00 H

r-H 03

Co" CO* t-h 00

io^ i-o^ ! co" cd'

t-h GO

1050 1050 2020.2030 747' 747 795 795

2825

1797 2815

1797

51

39,3

92000    126300

32000    32 600

t-h^ 00    03^

T-H 05 o C0 O    CO

03    03    05 t-h

^ es' <cT ^ co

533 530 650! 650

1180

1188

l‘lS

25,7

75,7

25

75

7,3 7,3 42,7 42,7

280 '283

544 1544

1827

824

25,7

00^ 00_ 00_ OJ^

® C5 ^ »O

rH    03

M § S hT wT

TH    T-H    lO    iO^    f

cd'    cd'    co"    co"

TH    CO    T-H

o    00 00

03    t-h C0

00

co" co" i

109

388

497

JO

i-O

Gewählt su

O 00

t-h 00 t-h CO

54; 52 278 278

498

330

332

19,8

16,1

ffft CO

S g§

iS §

2,9 2,8

12,1 12,2

CD CO 05 H

c:

O O

t-h 03

Oi t-h

14,2! 13,9 32 30 109,3 109,3 197 197

123,2 229 227

123,5

(M <M O O iO⁻ ©" t-T -cjT

^ co co co

o o : IO 05

»» o ,_r ^    -    "

co

Geschätzt e0 h’ = ««-(- £0 a' = 0,097 h'

6i? ^ u    0/

13,3

9,6

03^

2030    3550    6500    13900    24100    45900

1780    3190    5900    .12100    18400    26500

860    2750    12000    32000    91000    I 246000 I    365000

370

4180    7 600    15150    38000    74500    163400    370000    523900

780

069

110

132

110

14

256    1580

co

co

co

*0

58000    99000    124000 140000 146000 157000    175000    202000    243000    268000

14

12,34

oT

03

iO

co"

00

GO

03

03

co"

IO

oi"

co

00

co

03

co

co

tZ

~ = 0,0873-A'-e/ Fu' aus Tabelle II

ZJ

+ FU'

f₀ aus Tab.II zu F₀' f=    -|-fJ\

;«■*

S₀' aus Tabelle II Su aus Tabelle II £•«/

M!

M= 24000

-J- r<

cf

= <b (oooooi)

erhält:

S₀' und Sj werden direkt der Tabelle II entnommen

man

M’

— = 2030 -f- 1780 -j- 30 • 12,3 = 4180.

Das Moment M wird:

M—M'-

SS

SV SS-

M'

= 100-u

15,ö²

h'²

= 24000-^-

Im vorliegenden Fall wird

M = 24000-4180-

h¹² ‘

12 600.

28,2²

Die Berechnung weiterer Werte ist in Tabelle IV vorgenommen.

Die graphische Darstellung der Werte befindet sich auf Fig. 31 links oben. Die errechneten Momente sind auf der Senkrechten, die zugehörigen f₀ und eu auf der Wagerechten nach rechts und links aufgetragen. Die erhaltenen Punkte sind durch eine stetige Kurve verbunden. Die Kurven zeigen dieselben charakteristischen Krümmungen, wie sie die Beobachtungen an den Versuchsbalken ergeben haben.

Die Tabelle IV ist sehr zahlenreich, die Berechnung ist aber sehr einfach und kann in 1 bis 2 Stunden bequem durchgeführt werden.¹)

(>. Einsenkung einer frei aufliegenden Eisenbeton platte bei gleichmäßig verteilter Belastung.

(Hierzu Fig. 31.)

Als Beispiel wähle ich die im vorigen Abschnitt berechnete Platte von 3 m lichter Weite und 700 kg/qm gleichmäßig verteilter Gesamtbelastung.

Die Einsenkung ist für verschieden hohe Belastungen gezeichnet.

Die Platte ist in Lamellen von 10 cm Länge eingeteilt, und in jeder die Mittellinie gezogen. Die durch eine gewisse gleich-

0 Nachträglich erhielt ich Kenntnis von einem Aufsatz von Prof. Ho topp: „Biegungsspannungen in stabförmigen Körpern, die dem Hookeschen Gesetz nicht folgen, sowie in Verbundkörpern“. Zeitschr. des Architekten- und Ingenieurvereins Hannover, Jahrg. 1906, S. 282.

Prof. Ho topp löst die Aufgabe des vorliegenden Abschnitts, indem er die allgemein bekannten Hauptgleichungen 7 und 8 auf graphischem 'Weg behandelt. Diese Lösung erweist sich als etwas umständlicher als die vorgeführte tabellarische Methode.

Heintel, Eisenbetonplatten.

5000 • &

-hj

Kurzen d.e₀u.eu

£\üiu

\ VW X

hvl

1/tJE-

|yM-250000cm kg

i0jsKrJl Belastung JLK*' zyJ\^U0(M0

Mc=5000:1 \ U7 resp.2000--1 tjjl

Y

-ZyClA

in&1tenLuden

150000

100000

mA-*-

-100000

jL.

J- SO 000

z£mZ.

i.

1/2    11/22 21/2,3

\ |l»

** *r\

15

ftst

- 10*

-h=15,5

' Mh=2:1

■KL/

1mm

-I    —$

IT

:: d>o

#4=

/kl

0-1/2 1 1/2 2 2/2 3 fache Beiastu,

10

Einsenkung in

10 Balken mitte

enkdnfsLtn/en

-5mm

|—i5~/77/?7

tx

,-9mm

*15-----

—rntr*²*¹’

zooo-/.

resp. =

io

-25:1

-10mm

515-

—15,5-----—O

Mh= 1:1,25

Fig. 31. Einsenkung einer frei aufliegenden Platte von 3,0 m 1. W. Einfache Gesamtbelastung 700 kg/qm.

(Figur in l/₈ Größe der Originalzeichnung.)

mäßig verteilte Belastung in den einzelnen Lamellenquerschnitten hervorgerufenen Biegungsmomente sind durch die zugehörige Momen-tenlinie (Parabel) gegeben. In der Figur links oben sind die

Kurven der s₀ und eu dargestellt. Die den verschiedenen Momenten entsprechenden elastischen Gewichte (e₀ -(- ej ergeben sich als Sehnen, welche auf den durch die Ordinatenpunkte der Momenten-linie gezogenen Wagrechten durch die Kurven der e₀ und eu ausgeschnitten werden. Die gesuchte Einsenkungslinie ergibt sich als Seillinie dieser elastischen Gewichte (r₀ -f- su) bei einer Polweite gleich der Höhe der Platte (siehe Abschnitt 1).

Zum Schluß muß noch der Maßstab der Einsenkungsordinaten berechnet werden.

(In der Fig. 31 mußten die Kurven der e₀ und eu aus Rücksicht auf den beschränkten Raum des Zeichnungsblattes zweimal aufgetragen werden, und zwar in den Maßstäben 5000 : 1 und 2000 : 1. Entsprechend mußte der Maßstab der Pol weite h verschieden gewählt werden, um die Einsenkung immer in demselben Maßstab zu erhalten.)

Schließlich ist noch die Einsenkung der Balkenmitte bei den verschiedenen Belastungsstufen in einem Linienzug dargestellt.

7. Einsenkung einer an beiden Enden fest gespannten Platte mit und ohne Vouten.

(Hierzu Fig. 32 und 33.)

Beispiel: Eine eingespannte Platte von 3 m lichter Weite sei für eine Gesamtlast von 2100 kg/qm zu dimensionieren, hernach die Einsenkung für verschieden hohe Belastungen zu ermitteln.

Zur Dimensionierung werden für die Momente in Balkenmitte und an den Einspannungsstellen die Werte des eingespannten Balkens von durchgehends gleichem Querschnitt, Trägheitsmoment und Elastizitätsmodul zugrunde gelegt.

Demnach betrüge das Moment in der Balkenmitte

ql²

Mrn 24

das Moment an den Einspannungsstellen:

■ 100 = 79000 cmkg

2100-3²

24

q f-

Ms — — = 158000 cmkg

Der Balkenmitte entspricht die Platte des vorigen Beispiels mit einer Höhe =15,5 cm und einem Eisenquerschnitt fe= 6,45 qcm. An den Einspannungsstellen ist eine stärkere Platte nötig. Geht man von den Gedanken aus, daß an dieser Stelle die gleiche Eisenmenge wie in der Balkenmitte zur Verwendung kommen soll, so ist die Ausbildung¹ einer Voute in der in den Fig. 32 gezeichneten Form erforderlich.

und 33 ein-

„ tp-ffurvert Ml? 7 ff t

750000-

iß'

100000

Uj

My = 700000:1

50000 \

Zoom

| \lS0000cmkg j \(lcm=Z0000cmkg) j j-7OOOOO

ofm^/obte

50000

i'Vi

/Gl

~i—Ti

⁺ ! Jl

50000

cu

UrSOOOO

is-

100000

-100000

tt bu

Ä⁷

4 {*>

A \¹¹*

G---£-5ä_

r * s 5" WS⁻«

•miA kokte

ohnekoute

p=70

-<§HS)

I I

ünsenkurtgslinjen,

\0,3mm

1—

a. b₀ c₀

¹—

MS    -°ä°Tö7e= 100fac/,ekerjtöfierung

smm

eH fä,

s w s

fflf * 11? ¹³ i n 'i-fe

-13 mit k'oute

■#

f)=10-

13

IV

JlS

Fig. 32. Einsenkung einer eiugespannten Platte mit und ohne Yonten. Belastung 2100 kg/qm.

(Figur in ¹/₃ Größe der Originalzeichnung.)

Wird die Voute weggelassen, so kann die eingespannte Platte über der Stütze nur das Moment 79000 cmkg aufnehmen, die Platte genügt damit in ihrer Dimensionierung nur der halben Belastung, also 1050 kg/qm.

Die mit Vouten ausgebildete Platte zeigt nicht mehr durch-gehends gleiche Höhe Lwie die Platte des vorigen Beispiels, zur im Abschn. 1 ausgeführt ist, die elastischen Gewichte cp —

Konstruktion der Biegelinie und der Einsenkung müssen daher, wie

Eo ~f~ £U

verwendet werden. Diese Werte cp sind für die Platte von 15,5 cm Höhe bei 6,45 qcm Eisenquerschnitt in der Tabelle IV (unterste Linie) angegeben.

Die Lamellen 1 bis 4 der Vouten zeigen verschiedene Höhen. Infolgedessen ist für jede Lamelle eine besondere Kurve der Werte £₀ und eu bzw. der elastischen Gewichte cp erforderlich. Die Rcch-nungsarbeit, welche für die Platte von 15,5 cm Höhe durchgeführt und in Tabelle IV niedergelegt ist, muß für jede dieser Lamellen wiederholt werden. Als Formänderungskurve ist wieder die Kurve des Balkens 48 zugrunde gelegt. Ich verzichte darauf, die Rechnungen wiederzugeben und begnüge mich mit der Einzeichnung der 99-Kurven, welche in den Fig. 32 und 33 jeweils links oben zur Darstellung gebracht sind.

Um die Einsenkung bei einer gewissen Belastung 2100 kg/qm zu konstruieren, zeichne ich zuerst die Momentenlinie unter der

q l²

24

Annahme, daß das Moment in der Balkenmitte = — und an der

q l²

sei. Diese Linie ist in Fig. 32 dünn

Einspannungsstelle =

ausgezogen und mit a bezeichnet. Die den Momenten der einzelnen Lamellen entsprechenden elastischen Gewichte cp erhalte ich gleich den Strecken, welche aus den Wagerechten durch die Momenten-ordinatenpunkte a zwischen der zur Lamelle gehörenden 9?-Kurve und der Senkrechten abgeschnitten werden. Diese Strecken können ohne weiteres mit dem Zirkel durch Anlegen an die wagerechte Reißschiene abgegriffen werden.

Aus der Forderung der festen Einspannung geht hervor, daß die Biegelinie an der Einspannungsstelle horizontal verlaufen muß. ln Balkenmitte muß sie wegen der symmetrischen Belastung ebenfalls horizontal verlaufen. Daraus folgt, daß die Summe der positiven elastischen Gewichte gleich der Summe der negativen elastischen Gewichte sein muß.

Vorliegend ist dies nicht der Fall, wie aus der Fig. 32,

q l²

24

unten, a, zu ersehen ist. Die Annahme der Momente mit -—

ql²

und —— ist daher nicht richtig. Die wirklichen Momente müssen

1 u

durch Probieren festgestellt werden. Zu diesem Zwecke schiebe ich die ganze Momentenlinie 1 cm in die Höhe und bestimme die dieser Momentenlinie entsprechenden elastischen Gewichte cp (s. Fig. 32, unten, b₀). (Diese Momentenlinie ist nur durch kurze wagerechte Striche an den Lamellenmittellinien angedeutet.)

Die Forderung, Summe der positiven elastischen Gewichte gleich Summe der negativen Gewichte, ist hier im allgemeinen noch nicht erfüllt. Aus der Fehlerdifferenz zwischen a und b läßt sich aber die notwendige Verschiebung annähernd berechnen. Sie ergibt sich für die Platte mit Voute zu 1,12 cm.

Die um 1,12 cm verschobene Momentenlinie ist in Fig. 32, oben rechts, mit ganzer Linie kräftig ausgezogen. Die zugehörigen elastischen Gewichte sind in der Figur unten, c₀, zusammengestellt. Die Summe der elastischen positiven Gewichte ergibt sich nunmehr gleich der Summe der negativen Gewichte.

Würde diese Forderung noch nicht erfüllt, so wäre eine nochmalige Verschiebung der Momentenlinie notwendig.

ql²

^ war auf der Zeichnung

der Fig. 32 durch eine Strecke von 3,95 cm Länge dargestellt. Die notwendige Verschiebung ergab sich zu 1,12 cm nach oben, d. h. bei der vorliegenden festgespannten Voutenplatte ist das wirkliche

1,12

3,95

dem festgespannten Balken konstanten Querschnitts aus Material von konstantem Elastizitätsmodul.

28

Das wirkliche Moment an der Einspannungsstelle ist ^ = 14%

größer als

Das Moment in der Balkenmitte

Moment in der Balkenmitte um

oder 28% kleiner als bei

12

Werden die Vouten weggelassen, so sind die elastischen Gewichte der Lamellen 1 bis 4 der zu den Lamellen 5 bis 15 gehörigen Kurve zu entnehmen. (Die elastischen Gewichte s. Fig. 32, Mitte links, a, bu, cu).

Die Forderung, Summe der positiven = Summe der negativen elastischen Gewichte wird erreicht durch Verschiebung der Momentenlinie um 0,2 cm nach unten, d. h. bei der festgespannten Eisenbetonplatte ohne Vouten ergibt sich das wirkliche Moment in

oder 5% größer als

Balkenmitte um

0,2

ql²

3,95

spannungsstellen um 2,5% kleiner als

ql²

24

an den E i n -

12 ‘

Die Einsenkungslinie der Platte erhält man als Seilpolygon mit Hilfe der elastischen Gewichte cp bei beliebiger Poldistanz q. Zum Schluß ist der Maßstab der Einsenkungsordinaten nach Gl. 3 und 4 zu berechnen.

500000-\

10

11

12

300000-,

MWrSOOOO:1

-200000 cm kg

feem

Momentenlinien

iiJiU

fr 12

1)2=150 M,= 1:10

* VS*

Zj

9

10

11

10

11

12

13

9 12

13

13 3 3

11

Z\ 15

11

y900000cm kg I (1cm=60000cmkg)

200000

i-

-200000

h nis)

IVi!

v! ! f i ¹ 1

\1 Mg-Mz ₌ 50000-1/10

if-t

-ÖT

/he Vergrößerung

13

3150

1200

6300

kg/qm

915

1

13

-Smm

11

I

nf

l| l|

§•

k10mm

915

2,5mm

Einsenkung in Baikenmifie

Fig. 33. Eingespannte Platte bei Belastung 6300 kg/qm. (Figur in ¹/₃ Größe der Originalzeichnung.)

Dieselben Untersuchungen habe ich für diese Platte für mehrere Belastungen durchgeführt (s. Fig. 33). Für die Momente in der Balkenmitte bzw. den Einspannungsstellen ergaben sich folgende Werte

Die Einsenkung der Plattenmitte ist für die frei aufliegende sowie die festgespannte Platte mit und ohne Vouten für verschiedene Belastungen in Fig. 33 in einer gemeinsamen Figur dargestellt.

8. Einrenkung eines Plattenbalkens.

Die Einsenkung eines Plattenbalkens berechnet sich auf dieselbe Weise, wie die einer Platte.

Als Beispiel wähle ich einen Plattenbalken von 6 m lichter Weite und 50 cm Höhe, sowie einer mittragenden Plattenbreite &₀ = 2m, Plattendicke d=15cm, Stegbreite bu = 25 cm (Fig. 34).

Der Balken soll für eine gleichmäßig verteilte Gesamtlast von 2000 kg pro laufenden Meter dimensioniert werden und erfordert demnach einen Eisenquerschnitt fe— 22 qcm.

4-

r>-b₀=2,oom-

d-15

Belastung in kg/qm

? fache Dimensionierungsbelastung

Das wirkliche Moment

an den E i n s p a n - ' nungsstellen ergibt sich im Vergleich zu

in Balkenmitte ergibt sich im Vergleich zu

q_l

24 Um

qi²

12

um

ohne

Vouten

2100

3150

2    fache

3    fache

5% größer

19%    „

2.5    % kleiner

9.5    %    „

2100

mit

"V outen

3150

4200

6300

1    fache 1,5 fache

2    fache

3    fache

28 % kleiner 28°/o 28°/0 23%

>>

>>

(3

O:

Co

,_L

h=SOcm

¥3

ee

cc=¥cm-

£=22 qcm

• • «.•: < -3cm

b^25^1cm

Fig. 34.

ai.

• •• •

Fig. 35.

In erster Linie müssen wieder die zusammengehörigen eu und f₀ durch Versuchsrechnung bestimmt werden. (Die Neutralachse liegt, wie die Rechnung ergibt, immer innerhalb der Platte. Die

Plattenunterkante wird durch den Index gekennzeichnet.) Die Werte e müssen der Gleichung genügen (entsprechend Gl. 14)

KK^KK’+iK-^^' + z,'

h'

(s. Fig. 35), wobei

(vgl. Gl. 15).

Sind die zusammengehörigen Werte gefunden, so erhält man das zugehörige Moment aus den Gleichungen:

M' = b₀ S₀’ -f bu Su’ -j- (&₀ — bu) SJ + Ze’ • e’ (entsprechend Gl. 14),

und M

M'QJ. (vgl. Gl. 13).

Die Rechnung, die etwas umständlicher ist als bei der einfachen Platte, ist in der nachstehenden Tabelle V durchgeführt. Um die Verdrängung des Betons durch die Eiseneinlagen zu berücksichtigen (fe = 22 qcm) ist der unterste Zentimeter des Betonstegs weggelassen (25 qcm) und für den Plattenbalken eine Höhe = 49 cm eingeführt.

Die Werte eu und e₀ sind dann zusammen gehörend, wenn in Tabelle V die Zahlenwerte in der Horizontalspalte „Druck = b₀F'₀f = 200 F₀'u mit denen der Horizontalspalte „Zug = 2“ übereinstimmen.

. Die Einsenkung des Plattenbalkens ergibt sich in derselben Weise wie bei der einfachen Platte (s. Fig. 36).

Wird der Plattenbalken an beiden • Enden fest eingespannt,

so hat er, wenn das Biegungsmoment in Balkenmitte mit ~—

angenommen wird, eine Tragkraft von 6000 kg pro laufenden Meter. An den Einspannungsstellen ist aber, entsprechend den auf-

die Ausbildung einer starken Voute er-

ql²

ql²

tretenden Momenten

• 12

forderlich (s. Fig. 37).

Die einzelnen Lamellen (l bis 4) der Voute ergeben verschiedene <p - Kurven, für jede Lamelle muß die Rechnung der Tabelle V wiederholt werden. Auf die Wiedergabe dieser Rechnung verzichte ich. Als Formänderungskurve des Betons müßte in diesen Fällen, wo die Platte gezogen, der Steg gedrückt ist, die Formänderungskurve der mit nur einem Eisen armierten Balken 16 und 35 oder der nicht armierten Balken 66 und 69 zugrunde gelegt werden. Ich habe aber der Einfachheit halber auch für diese Fälle die Kurve des Balkens 48 gewählt.

42

Einsenkung eines Plattenbalkens.

Einsenkung eines Plattenbalkens.

43

Tabelle V.

und j

M für Plattenbalken.

Gewählt eu

10

15

25

|

40

70

no

160

Geschätzt £₀

o! =

h' — eu -f- 8₀

öT^49

Ol

4C 5C ^4

13

14

0,8

9,2

0,9

9,1

4,3

0,3

CO

K) ^ CO

05 Tf Tt* of cT i-H

04    r-H

GO

CO

co

40

40

CO

05    05^ CJ

of ©f co

CO o

04    i—t

40

11

51

CO ~co

3,1    3,15

36,85

i—¹    co

Crt    Ob

05    05 co

Ot h*

H—⁴

7k "oo "oo 7-^ 7k 7k

Ox Oi

00 H-i

00 oo

C5 05 t-h CO

CO

JOT

CO LO ^ CO    r—I

40    05

CO ^4    ^

40    05

40    Ol    Ot

07 CO i-O

2 oo"

JJT

40    05

-4

7—* ~oi

PO

CO

CO

►f*

101,6

42

co

<xT

15

27,2

137,2

8,4

101,6

42

14,8

38

39

38,8

198

199

198,8

12,2

12,2

12,2

147,8    147,8

147,8

60,7

22,7

61

22

40    05

40

F₀'

13

K

FJ

aus Tabelle II

1,5

109

co ^ c-

3 5- 5

SbS

lO ^    !>•

C5~ r-T 2

CO

CO CO 05

0° co g§

§ ® g

T-H 04 CO

84,2

6,6

339

159,3 168 29,3    27,6

472    472

171

27,6

472

eo cf o

1—I Ci iO «O

903

916

1692

1772

6756

197

193

765

765

OO CO O H-* O

317

314

800

800

Druck = b₀ FJ — 200 FJ

2600 4540 4000 9960 7000 7900 21 600 17 200 16 840

31 860 33 600

34 200

82 600 91 800 85 400

180 600    183 200

338 400 ; 354 400

351 200

FJ' (fc₀ — fc«) — 175 Fp FJ ■ bu = 25 FJ

262

2743

25 j 25    25

2743: 2743 4925

350

4925

230    510

4925 8475

1150

8475

1150

8475

'J 5 120 4 830    4 830 16 200

11 800 11 800 11 800 16 200

13 900 15 600    34 500 33 800 54 800

16 200 16 200    19 100    19 100 20 000

55 100 20 080

54 800 20 000

Ze'=fc-

■ ej ■

Ec

= 22 •

h’

49

ef-

2100000

100000

h'e'

1,06

1200

1200

1190 2710

2610

2640 7330

7190

7200    |<    17 700 47 800 17 800 53 700

54 000    53 800    131 500    131 600    276 000

277 000

277 000

Zug = 2

4105:3968’ 3950 7660

7885 7795 16 315 16 815 16 825

34 620 34 430 34 430 86100 84100 85 600    185 100    184 500    350 800

352 100

351 800

So'

50,5

Sj/ aus Tabelle II

S,/.

139

0,85

400

9,2

1276

5 140

687

1782

4561

80

500

8826

18 393

16 200 1 780 28 378

44 100 3 950 32 648

^ S'o'

10 100

27 800

(b₀-bu)s;

150

b«Su'

ZJ-eJ

17 200 10 900

44 000 36 300

80 000 1 600 114 000 165 000

255 200 14 000 220 700 655 000

1 028 000 87 500 459 800 3 460 000

3 240 000 202 000 709 500 13 300 000

8 820 000 690 000 816 000 40 800 000

M= M'

M' = 2

h V

38 200

108 000

360 600

1145000

5 035 000

17 452 000

51 126 000

h'

M 2400

h'²

482 000

627 000

800 000

1040000

1 550 000

2 230 000

3 100 000

(100000) <P =

h 49

0,28

0,41

0,66

1.03

1,77

2,74

3,98

3000000

Ai

ZOOOOOL

Mc

--2500:1

V1000000

Akt

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2 1V2 1 1/2

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-k=50

IftSr

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~G

Durchbiegung in ßa/kenmifte \3T\ ¹/2 1    3facheBe/asfun,

f.....i r—4-^i——h-mm,

,xh^i' st

K!

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-6

8 -«*?*

-10

12 mm

Nj\l hH

\ \ Ä, I / i L .~r t r5mm '^t^nsenküngshnien

Kg

IT

i- /S7/TO77

021/2

r 12

0-h=50 cm-

Fig. 36. Einsenkung eines frei aufliegenden Plattenbalkens von 6,0 m 1. W. Einfache Gesamtlast 2000 kg pro laufenden Meter.

(Fig. in ¹/₈ Größe der Originalzeichnung.)

-°3

ql²

ql²

und -- erweist sich auch

Die Annahme der Momente mit

24

hier als nicht richtig- (siehe Fig. 37). Die Momentenlinie muß

12

EU

so lange verschoben werden, bis die Summe der negativen elastischen Gewichte gleich der Summe der positiven Gewichte ist. Das wirklich auftretende Moment in Balkenmitte ist 43 %

ql²

kleiner als

das Einspannungsmoment um 21,5% größer als

3000000 -

2000000 -

= 500000:1

1000-000 -

■5

5-em

'men.

fen/mien

^2000000 cm kg

(1cm=300000 cmkg) IOOOOOO

-<p- .

+ 155

-1000000

----^

T5T1

v°-k?

—0,80—

-0,60- j

H, M

gz_L~r 111

Sk |    l/2--300om\

*rvi /gU/-pr

1000000

uu

-

—* > i,

gi    Qs vj o,

•y V 4 V*¹

0 = 8,33 cm

'°'2ö

.-20^10Ofache Vergrößerung —\-\ov3mm

E/nseftfkä7(k//nie u My-Mt SDOCQ ty⁼~p~^r⁼~q33

10

Fig. 37. Fest gespannter Plattenbalken bei Belastung 6000 kg/m.

Eine weitere Untersuchung desselben Plattenbalkens bei einer Belastung von 12 000 kg pro laufenden Meter ergab das Moment in

Balkenmitte um 50% kleiner als

10    24

spannungsstelle um 25% größer als

ql²

und das Moment an der Ein-

qi²

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Literaturnachweis.

Angewandte Literatur.

C. Bach: Versuche mit Eisenbetonbalken; Heft 39 und 45 bis 47 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten, herausgegeben vom Verein deutscher Ingenieure. Verlag von Julius Springer, Berlin.

Werke, auf welche verwiesen ist.

E. Mörsch: Der Eisenbetonbau, 3. Aufl., Verlag von Konrad Wittwer, Stuttgart 1908.

Hotopp: „Biegungsspannungen in stabförmigen Körpern, die dem Hookeschen Gesetz nicht folgen, sowie in Verbundkörpern.“ Zeitschr. des Architekten- und Ingenieurvereins Hannover, Jahrgang 1906, S. 282.

Heintel: „Der Schubmodul des Betons.“ Zeitschr. Beton und Eisen, Jahrg. 1908, Heft 4.

H e i n t e 1: Das elastische V erhalten des Betons bei Biegebeanspruchungen von Eisenbetonkonstruktionen. Zeitschr. Beton und Eisen, Jahrgang 1908, Heft 2.

Weitere Veröffentlichungen des Verfassers.

„Die Formel von Considere zur Berechnung der Eisenbetonpfeiler mit spiralförmiger Eiseneinlage und die Versuche von Wayss und Freytag, A. G.“ Zeitschr. Beton und Eisen, Jahrg. 1906, Heft 9.

„Haft- und Schubspannungen in Eisenbetonkonstruktionen und die preußischen Bestimmungen für die Ausführung von Eisenbetonkonstruktionen bei Hochbauten.“ Deutsche Bauzeitung, Jahrg. 1908, Nr. 4 und 5.

„Näherungsformeln für Eisenbetonplattenbalken.“ Zeitschr. Armierter Beton, Jahrg. 1908, Heft 7 und II Cemento, Milano 1908, Nr. 8.

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