2^

f

m §

f

Sr»

;

jss^ n- ^ J

BEITRAG

ZUR

1

-

H

.11 VERSTEIFTER BOGENBRÜCKEN.

i

-*= -

Msa

gt!W

i

K

IIP« '•

VON

c

TH. REH BOCK.

'

Lr-

Ö

■>

- .....-■

g§ *

■ '"

•    ..Aö~

m'

fefi'-V ;

@

«iw:.

^SUMSSI

MIT SIEBEN ABBILDUNGEN IN HOLZSCHNITT.

J2r. i&TVV"

*^0j

♦ N*8r'

■ -

iFVs

>

I

4?

B

I

''J

: Ä

■j

’

BERLIN 1892.

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

(VORMALS ERNST & KORN.)

%

i

gry

K;/

f

/

•JS.

Y6.

ätt«

V

mg

.La

•

, 0p*

'• S':' ^

■X

■

'

Sü£v

«5>

jL

’" -:    • ^ " '-%r*

X

i

<*£>■»>-&

.V

> '

? '    -i- I 1-

X.

X

««.•*

.

-3

X

m

-

/

v/äS§§

IsßfX , -

^isy

I

xpr

X

Biblioteka Politechniki Ktak

owskiej

\

V

-

\

v

., \

'

\

\

BEITRAG

ZUR

THEORIE VERSTEIFTER BOGENBRÜCKEN.

2Fb

THEORIE VERSTEIFTER BOGENBRÜCKEN.

YON

TH. REHBOCK.

Sä

MIT SIEBEN ABBILDUNGEN IN HOLZSCHNITT.

ä(r

■»,( öffentlichen Aibeiten Vr

i. .v

- v v wis \ ; •- «

BERLIN 1892.

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

(VORMALS ERNST & KORN.)

( kraköw

chnie*<£

II/3SU&

%

Sonderdruck aus der Zeitschrift für Bauwesen, Jahrg. 1892.

f

Alle Rechte Vorbehalten.

■

f

\

A&c. Nr.

Mlljb'h

Beitrag* zur Theorie versteifter Bogenbriieken.

Da die Berechnung statisch unbestimmter Systeme nach den allgemein gültigen Formeln sehr zeitraubend und ermüdend ist, erscheint es wünschenswerth, für einzelne besondere Fälle möglichst bequeme Näh^ungsverfahren einzuführen. In der folgenden Abhandlung soll ein Näherungsverfahren zur Bestimmung der Einflufslinie für den wagerechten Schub (H) versteifter Bogenbrücken mit obenliegendem Versteifungsbalken bei senkrechter Belastung gegeben werden.

Ist diese Einflufslinie bekannt, so lassen sich sofort die Ein-flufslinien für alle Stäbe des Systems aufzeichnen, da die Spannung eines Bogenstabes . B = H sec a, einer Verticalen .    . F=//(tgoq— tgßj+i),

_ y% (Mo

h \ iji

ytfMo

h \ yk

Qo — H-tga sin ß

ist, wobei Q₀ und M₀ die Querkraft und das Moment für einen einfachen Balken bedeuten.

Der Versteifungsbalken sei ein Gitterbalken, der an den Enden entweder auf Mauerwerk oder auf Endverticalen ruht.

Bei den aus Abb. 1 ersichtlichen Benennungen finden sich

\/\

-X

eines Obergurtstabes

eines Untergurtstabes U —

einer Diagonalen .    . I) = +

Nummer des'/ ICnotenpunktes;:

500

910

— II

—ii

1 190

1 280

ot

Vi

Vi

Abb. 1.

als Ergebnifs der später gebrachten Ableitung die Werthe für die Ordinaten der H-Linie

n m³ (1,6P +1,5 h² c K₂)

Diese Formel gestattet die Festlegung der H-Linie in kürzester Zeit mit hinreichender Genauigkeit.

F₀ + Fi 2 Fb

des Trägers. Die Werthe Ki für die einzelnen Knotenpunkte abhängige Werth K₂ ergeben sich aus den unten-

Es ist c

und der von

/'

stehenden Aufstellungen.

Aufstellung für K,.

-, m bedeutet die Anzahl der Felder

10

11

12

710

1 330

1 780

2 020

10

980

1860

2 540

2 980

3120

11

1 310

2 500

3 480

4170

4 530

12

1 700

3 280

4 620

5 630

6 260

6 480

13

2 170

4 200

5 970

7 380

8 360

8 860

14

2 717

5 280

7 557

9 440

10 850

11 712

12 005

15

3 350

6 530

9 400

11840

13 750

15 070

15 740

16

4 060

7 950

11500

14 590

17 100

18 960

20 100

20 480

17

4 880

9 570

13 900

17 730

20 940

23 430

25 130

25 990

18

5 800

11 390

16 600

21 280

25 280

28 510

30 880

32 320

32 800

19

20

6 820 7 960

13 430

15 700

19 630

23 000

25 260

29 700

30170

34 240

37 380

39 510

40 590

35 630

40 660

44 680

47 620

49 400

50 000

21

9 220

18 200

26 730

34 610

41680

47 790

52 820

56 680

59 290

60 610

22

10 600

20 960

30 840

40 030

48 370

55 680

61850

66 750

70 320

72 480

73 200

23

12 120

23 980

35 340

45 980

55 710

64 360

71 790

77 880

82 530

85 670

87 250

24

13 780

27 280

40 260

52 480

63 750

73 870

82 710

90110

95 980

100 240

102 820

103 680

25

15 580

30 870

45 610

59 560

72 500

84 250

94 630

103 500

110 740

116 250

119 970

121 840

Aufstellung für K₂.

6,5

7,5

8,5

' 9,5

IÖ

11

12

14

16

K,

1,235

1,199

1,170

1,147

1,128

1,113

1,101

1,090

1,081

1,066

1,056

1,041

1,031

Bei Benutzung der Formel werden die Werthe Kx für die einzelnen Knotenpunkte zur Bildung der //-Linie aufgetragen, und zwar für a Einheiten der Aufstellung je 1 cm. Es entspricht alsdann in der Abbildung 1 cm einem Werthe von

, d. h.: Eine Last von 1 Tonne

über einer Ordinate der H- Linie von der Länge 7]₀ erzeugt einen wagerechten Schub von y₀ • « •

f-l

f-l

m³(l,6/“²+ 1,5 h²-c ■ K₂) Tonnen. Das Verfahren ist sowohl bei parabelförmiger als auch bei kreisförmiger Bogenlinie verwendbar.

m³ (1,6 f² + 1,5 h² ■ c • K₂)

Ableitung des Nälierungsverfalirens.

Bei der Ableitung des Näherungsverfahrens wird von der

Für den Zustand H = — 1 ist:

Formel:

Oi = -

Moi — H - yi

und:

My_

My

Mok — H-yk __ yk

h²

- ?/² + 2 j • v - U

ausgegangen, in der My das Moment für einen Balken mit den Lasten y bedeutet. Diese Formel ist selbst eine Näherungsformel, deren Genauigkeit später geprüft werden soll. Es wird daher ihre Ableitung kurz vorausgeschickt.¹)

Für den Belastungszustand H = — 11 und für die wirklich eintretenden Verschiebungen P s ist die Arbeit der äufseren Kräfte = o, da die Angriffspunkte von II feste Auflager sind.

Es ist dann auch die Arbeit der inneren Kräfte 2S'-Ps = o, wobei S‘ die Stabspannung infolge des Belastungszustandes H = — 11 ist.

hk

hk

Es ergiebt sich demnach:

yi • Oi

W-E-Fo’

IV i =

; wk =

yk • Uk

hk² • E■ Fu-

Hierbei ist:

hi = hk = h °i — uk — X.

Es werden ferner die Gurtquerschnitte einander gleich und überall gleich grofs angenommen:

F₀-Fu-F-

F₀ + Fu

S -s

sodafs:

F-F

~k £ • t - S

IVi = iv k = w =

S = S₀ — II SJ, worin S₀ die Stabspannung für den Zustand H = o bedeutet.

h² - E - F

- y, und d'i =

My ■ X

h² - E ■ F

h² -E-F

My

Aus diesen drei Gleichungen folgt:

S₀ - S‘ - s

■ A"

S‘² ■ s

N'

F- F

A S' - s ■ e ■ t

In dem Ausdruck für N ist:

S'²-s

S'² • .s '

S/2-s    „0‘² • o

F-F

F-F

E-F E - F₀

k2-

U‘²-u

B‘²-h

E- FU^~E-Fb

\-2

B‘²d

V‘² • v

E ■ Fd 1_ ² E ■ Fv

Es wird t = o gesetzt, da die Einflufslinie für H nur von der Belastung, nicht von Temperaturänderungen abhängig ist. S₀- S‘-s

0‘=-yi

B‘ — 1 • sec a

EF-

A So - 4s‘

Z7'- + f

h

h = X - sec a.

S‘² -s

S‘²-s

EF-

—woriir 'z/s' die Längenausdehnung von s infolge des Belastungszustandes II = — 11 ist. Sind Pi lothrechte äufsere Kräfte und di die durch die Belastung II = — 11 erzeugten loth-rechten Verschiebungen der Angriffspunkte der Pi, so lautet die Arbeitsgleichung für den Belastungszustand H — o und für den Verschiebungszustand H = — 11:

Mithin ist unter Vernachlässigung des Einflusses der Werthe für die Diagonalen und Verticalen:

h²-E -F

sec ³ a - /^² • F

N-

h²- E■ F

k^

yk¹- x

h²- E ■ F ‘ E -

sec ³ a -

/’

N=2y²+ A

³-/*²

.1/

• c;

My

AS₀ • Pis¹ = APi - <V, sodafs:

' <V

A PL - di¹

v_

S¹² - s

und tj =

S'² -s *

Die di-Linie ist unter Vernachlässigung der Längenänderung der End verticalen, die sich bei einem durchgeführten Beiergab, gleich der

spiele als verschwindend klein

Biegungslinie eines Gitterträgers mit parallelen Gurten, und diese ist gleich der Momentencurve für einen Lastenzug w, dessen Lasten für einen Obergurtknoten:

— Joi + Pdi - sec (fi + Pdi q. i sec cpi q_ i

Wi =

für einen Untergurtknoten:

+ Puk — Pdk - sec cpk — Pdk+i - secyfc+i²)

hi

Wk =

hk

sind.

Der Einflufs der Werthe Pd - sec cp auf die Werthe w ist gering und wird vernachlässigt, sodafs:

POi

Wi =

Oi • Oi

hi

Wk = +

Pitk

E-F₀- hi Uk ‘ Uk

hk

E - Fu - hk

1)    Die Ableitung dieser Formel ist die von Professor Müller-Breslau in seinen Vorträgen an der Technischen Hochschule gegebene.

2)    Sieh: Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre S. 26.

2V"

6³ • h2 ~WC

Es kann demnach die H- Linie als Seilpolygon für die Lasten y bei einem Polabstande von N betrachtet werden.

Um bei der Bestimmung von N die erforderliche Zahlenrechnungen zu vereinfachen und bei analytischer Bestimmung der Werthe y zugleich die Berechnung die Momente My zu sparen, wird diese Formel wie folgt umgestaltet.

Zy²+Z

Berechnung von My.

Es wird zunächst ein Parabelbogeil zu Grunde gelegt.

Dann ist:

My

X

2 ' My

tO;

Die • M^j-Linie ist die Momentenlinie für einen ein

fachen Balken mit parabelförmig verlaufender Auflast von der Höhe y und dem Gewichte 1, deren Gleichung abgeleitet werden soll.

Unter Zugrundelegung der auf Abb. 2 angegebenen Benennungen ist:

<—SC——-

Abb. 2.

<P M

dx²

+X

f—z

d² M

clx2 dM

dx

• x¹ + 4

= + 4 y-(*²- X ■ l)

l²

- * g?-T + «)

x⁴

,12

für x = o ( „

= o\C*=°

J(** *⁸, , %il2“T( +

In beiden Fällen sind die Näherungswertlie etwas zu klein,

sodafs, da My im Zähler, 2 y² im Nenner des Bruches steht, ein theilweiser Ausgleich eintritt.

2b³ wird ausgedrückt durch m •    ■ 1L

2’

worin Ii₂ ein

Werth ist, der fast ausschliefslich von - abhängt.

v

Die Zahl der Felder ist auf ihn von sehr geringem Ein-flufs und kommt nur hei sehr hohen Bögen in Betracht. Sie ist indessen auch bei diesen zu vernachlässigen, denn schon bei

Y ¹ +    ■ x + °>)

für x— l"y M = o j l³\ l

2 r

X³ x*\

² p n

l³

= — stellen sich nur sehr geringe Unterschiede heraus.

D

ist nämlich:

Es

f ■ l²\x

~3~U _

Für das nte Feld vom linken Auflager an ist,

, x n da: — = —,

My =

für m =

A₂ =

1,232

10

12

16 und mehr Felder

1,234

1,235

1    ,r

2    My ~~

fr i

3 m⁴ l

1,234

Für die gebräuchlichen Sticlimafse erhält K₂ die in der Aufstellung Seite 1 angegebenen Werthe.

Es ist nun:

n •m³ — 2 n³ • m + r oder,

c • JSA³ =

CD l£J

h²

da:

und

f-»f

3 m²1

n • m³ — 2w³' m + n⁴

\ /‘•*²

j 3 m²

2f-l-Kx

2 fl

•Ki-

3 m² • N

Die Werthe Kx ~ (n • m³ — 2 n³ ■ m + n⁴) wurden für Träger von 8 bis 25 Feldern berechnet und in der Aufstellung Seite 1 zusammengestellt.

Durch die Einführung der stetig nach der Parabel verlaufenden, an Stelle der von Knoten zu Knoten springenden Belastung wird nur ein aufserordentlicli kleiner Fehler erzeugt. Dieser Fehler wächst mit abnehmender Feldzahl, übersteigt aber auch bei nur 10 Feldern an keiner Stelle ¹/

Werthes.

Um zu zeigen, wie genau die aus dieser Formel erhaltenen Werthe mit den aus der Ausgangsformel gefundenen übereinstimmen, wurden zwei Beispiele berechnet, das eine für gewöhnliche Verhältnisse, das zweite für einen recht hohen Bogen mit wenig Feldern, da bei einer solchen Anordnung die gröfsten Fehler auftreten.

Beispiel 1 (Abb. 4).

io.)

des wahren

Fahrbahn-----

<206>

/ ₌ JL

l 8,5

m — 17.

-120

Berechnung von N.

N= 2y²+2

■c2b³.

—1= 3502 -

II- Linie

Mafse in cm

-F

2y²

KJ;

ist der Inhalt der Fläche, begrenzt durch die y²-

?]n

Linie und die Linie AB (Abb. 3).

Malsstab für rj

2,0

Abb. 4.

—y'Mnie

x------

Es werden die Werthe Kx aus der Aufstellung als Höhen der H- Linie unter den Untergurts-Knotenpunkten des Trägers auf-

Abb. 3.

getragen und zwar je 20 000 Einheiten als 1 cm. Es entspricht alsdann 1 cm in der Abbildung einem Werthe von:

412 • 206

y = f—

z²

20000

y*=P

z²

£p²

J=zy‘‘-

co

²l\yt'da~²lkjp

f • z²    z⁴

)dx =

17³ (1,6 • 412² + 1,5 • 120² • c • 1,113) 345500

“ 271590 + 24040 • c

Wird e auf — geschätzt, so ist 1 cm der Zeichnung gleich

1,0

1,2012. Die Einheit des Mafsstabes mufs demnach eine Länge

l³

von

== 0,8325 cm erhalten.

320p²'

l²

Aus der Parabelgleichung folgt: — = 2p • f

12 p

1,2012

Es ergeben sich für die einzelnen Knotenpunkte die Werthe

l²

j-n-jpi+jp-i-, B

VW2 ₌    ¹⁶

15 ' l

Auch hierbei wurde durch die Einführung der Parabel an Stelle des Polygons ein ganz geringer Fehler gemacht, der ebenfalls bei zunehmender Feldzahl abnimmt.

15 m/8'

CO

yn, die in der folgenden Zusammenstellung mit den aus der ’ Ausgangsformel    für einen Parabelbogen berechneten

Werthen yp verglichen wurden:

Knotenpunkt

1,509 1,561 1,514 1,566 0,005 0,005

Die gröfsten Unterschiede betragen noch nicht — Werthe yp.

t]n

VP

0,293

0,294

Unterschied

0,001

0,575

0,576

0,001

0,835

0,837

0,002

1,065

1,068

0,003

1,258

1,262

0,004

1,407

1,412

0,005

der

Beispiel 2. (Abb.) 5). f __ 1

l _ 6

m = 10.

-24-00-

~>!

Zu 1. Der Werth F₀ wurde gleich Fu gesetzt, obsclion unter der Annahme, dafs die Fahrbahn am unteren Gurt liegt, Fu als Theil des Windverbandes gröfser als F₀ ist.

Wie verschwindend klein bei unveränderlichem

F₀ + Fu

W/M

<-240 ->

-400—->|

MaTse in cm,

Abb. 5.

2 Fb

der Einflufs der Gröfse von F₀ und Fu auf das Ergebnifs ist, zeigen wieder die Beispiele, bei denen übertrieben grofse Unterschiede von F₀ und Fu zu Grunde gelegt wurden, während

F₀ + Fu

Für den geschätzten Werth v =

Knotenpunkt

⁰⁰ to|

ergiebt sich:

2 Fb

stets gleich ¹/₂ gesetzt wurde.

i]n

0,355    0,673    0,920    1,078    1,129

Vp

Unterschied

0,358    0,677    0,927    1,087    1,141

0,003    0,004    0,007    0,009    0,012

Die gröbsten Unterschiede betragen nur etwa lj

100

der

Werth yp.

Für Beispiel 1 ist:

für Knotenpunkt

bei F₀ : Fu : Fb =

>1 =

bei F₀ : Fu : Fb =

= 1:1,5 : 2,5 v =

Unterschied

= 1:1:2

co

co

0,298 0,585 0,849 1,083 1,280 1,432 1,536

0,299 0,586 0,851 1,086 1,282 1,434 1,538 0,001 0,001 0,002 0,003 0,002 0,002 0,002

1,589

1,591

0,002

Hat der Bogen kreisförmige Gestalt, so läfst sich

dasselbe Näherungsverfahren anwenden, da die H-Linie auffallende Aehnliclikeit mit der für den Parahelbogen zeigt.

Es wurden für die beiden früheren Beispiele die Wertlie yk aus der Ausgangsformel bei kreisförmiger Bogenlinie berechnet: Für Beispiel 1 ist:

Für Beispiel 2 ist: für Knotenpunkt bei F₀:Fu'.Fb= 1:1:2 bei Fo'.Fu.Fb =1:2:3 Unterschied

r,1    =

0,358 0,677 0,927 1,087 0,361 0,682 0,935 1,096 0,003 0,005 0,008 0,009

1,141

1,151

0,010

für Knotenpunkt

rjk

0,295

0,579

0,840

1,070

1,261

1,409

1,510

1,561

Auch bei diesen aufserordentlicli ungünstigen Annahmen erreicht der Fehler an keiner Stelle Yioo des Werthes y.

Unterschied gegen rjp

0,001

0,003

0,003

0,002

-0,001

-0,003

-0,004 -0,005

Unterschied gegen t]n

Während die -Fläche für den Kreisbogen fast 2 v. H. gröfser als die y-Fläche für den Parabelbogen ist, der Unterschied einzelner Höhen sogar “3 v. H. übersteigt, unterscheiden sich die H-Flächen nur um ¹f₂₀ v. H. und zeigen einzelne Höhen höchstens eine Abweichung von ¹/₂ v. H.

Für Beispiel 2 ergiebt sich: für Knotenpunkt

0,002

0,004

0,005

0,005

0,003

0,002

0,001

Zu 2. Nach Seite 2 war:

—Jüi + Jdi • sec (f i + Jdi+1 • sec (pi+1

IVi =

wk =

+ zluk — Jdk • sec cpk — Eidk+x • sec (ft+i

hk

Bei der Bildung von Mw wurde der Einflufs der Jd vernachlässigt.

Durch diese Vereinfachung erhielt Mw einen um Mw> zu kleinen Werth, wobei:

r)k

0,354

0,669

0,913

1,068

1,121

w‘i =

+ 4di ■ sec cpi+Jdi+i ■ sec(pi+i

Unterschied gegen rjp

-0,004

-0,008

-0,014

-0,019

-0,001

-0,004

-0,007

-0,010

-0,020

0,008

w‘k =

— Jdk-sec(pk — Jdk+i ■ secyfc-pi

Unterschied gegen t]n

Auch hier ist die Annäherung noch eine sehr gute, es zeigt sich sogar, dafs in den beiden betrachteten Beispielen das Näherungsverfahren bei kreisförmigem Bogen noch etwas genauere Ergebnisse als bei dem Parabelbogen liefert.

hk

Wird (pi = (fi-pi = <fic == cfk+i gesetzt, so ist:

A+i \

w‘i -

Untersuchung der Ausgangsforinel y = ^ ihre Genauigkeit.

Nachdem gezeigt ist, dafs sich der Werth

My

stets mit

grofser Genauigkeit auf die besprochene bequeme Weise berechnen läfst, soll auf die bei der Ableitung der Formel:

gemachten vereinfachenden Annahmen zurückgekommen

My

und an der Hand von Beispielen ihre Genauigkeit untersucht werden.

Es waren bei der Ableitung der Formel drei Vereinfachungen eingeführt worden:

1)    wurde F₀ = Fu = F gesetzt;

2)    bei den Werthen w wurde der Einflufs der Diagonalen vernachlässigt;

- wurden die Wertlie für die Diagonalen und die Verticalen vernachlässigt.

3) bei Berechnung von

d ■ sec cp j    Di

h - E    Ed .

d • sec cp I ~h^E l ~ Fdk

Fa.

i+i

Dk

JDk+i \

Fdk

Die Gröfse von Mw< soll wiederum am Beispiel 1 gezeigt werden. Für dieses wurden die Werthe D aus einem Kräfte-

w‘k =

+i

plan ermittelt und die Werthe Fd aus den aufgezeichneten Ein-flufslinien unter Berücksichtigung von Temperaturänderungen und Winddruck annähernd bestimmt. Es wurde dabei eine eingleisige Eisenbahnbrücke mit Schotterbettüberführung für einen Lastenzug, bestehend aus

dreiachsigen Locomotiven von 1,4 m Radstand, 6,8 m Länge und 6,5 t Raddruck,

dreiachsigen Tendern von 1,5 m Radstand, 6,0 m Länge und 4,5 t Raddruck,

zweiachsigen Güterwagen von 3,0m Radstand, 6,0 m Länge und 3 t Raddruck

zu Grunde gelegt. — Es ergab sich:

A = ~ A = — 0,590; A = — A = — 0,514; A = -A = -0,440; A = — A = — 0,362;

A = — Ao = — 0,285; Dl o = — D.‘> = — 0,206; As = ~ Du = -0,137; As == — Ae = ~ 0,068;

At = o.

Die Stäbe dv und cl₂ wurden aus vier Winkeln 80 x 80 x 10 nun gebildet, sodafs Fdi = Fd^ = 00,4 qcm ist, während Es stellen sich hierbei die Wertlie Mw< für

die übrigen Diagonalen aus vier Winkeln 70 x 70 x 9 gebildet wurden, wofür Fd = 47,5 qcni ist.

Knotenpunkt

auf

0,00000153

0,00000322

0,00000467

0,00000586

0,00000680

dagegen (bei F₀= 140 qcm und Fu = 180 qcm) die Wertlie Mw für Knotenpunkt

0,00000748

0,00000793

0,00000846

auf

0,0000426

0.0000836

0,0001215

0,0001 549

0,0001830

0,0002047

0,0002196

0,0002271

Es ergiebt sich sonach für Knotenpunkt

Wie gering die Aenderungen von N und mithin auch von

My

ein Fehler von

3,6

3,8

3,8

3,8

3,7

3,7

3,7

3,7

durchschnittlich 3,7 v. H.

bei verschiedenen Werthen für c sind, geht wieder aus

den Beispielen hervor.

Im Beispiel 1 stellt sich für: c = 1 ?i = 3258000;

Im Beispiel 2 stellt sich für: 1 n= 1831000;

Zu 3. Eine weitere Vereinfachung wurde bei der Berecli-

£'²-s FF

der Einflufs der Diagonalen und Verticalen vernachlässigt wurde.

Um den Fehler, der sich durch diese Vereinfachung für das Beispiel 1 ergiebt, zu bestimmen, wurden auch die übrigen erforderlichen Querschnitte ermittelt, und zwar:

Fb = 240 qcm; Fv -    44 qcm; FVq = 75 qcm;

wobei FVo den Querschnitt der Endverticalen darstellt.

Für diese Querschnitte berechnen sich die einzelnen Summe-

nung von N eingeführt, indem bei der Bildung der 2

wertlie zu:

0'²-o

= 3185000;

c = — w

1,5

1

c — —— n = 3158000;

c = — ^ = 3131000;

1,5 U

= 1789000;

c = — n = 1769000;

u

= 1748000.

Schlufsbetrachtung.

Da die Einflufsflächen für Stäbe des Versteifungsbalkens aus Unterschieden zweier Flächen bestehen, von denen die eine die H-Fläche ist, vergröfsern sich für diese Stäbe die Fehler der H- Linie. Am stärksten ist diese Fehlerzunahme bei den Enddiagonalen, vor allem aber bei den Gurtstäben (für diese ist beim Parabelbogen die Fehlerzunahme überall gleich grofs).

Für Beispiel 1 beträgt sie für die Gurtstäbe das 12,8fache, sodafs ein Fehler der ZZ-Fläche von 1 v. H. ihres Werthes, in den Einflufsflächen der Gurtstäbe Fehler von 12,8 v. H. erzeugt.

Z7'² • u

= 0,00007 838;    2-

- = 0,00006426;

* .h    T)‘² • d

~ F^F^ ⁰’00000811; “ Fi = O,0U0Ö067Ü;

= 0,00000128.

F-F₀

Es ist: A

^ F'² • v ~~FFV Si2-s

= 0,00015 873, während die vernacli-

Als Beispiel sei in Abb. 6 die Einflufslinie für den mittleren Stab Uq des Beispieles 1 gezeichnet.

lässigten Werthe: ZF² • cl

F'² • v

U,? =    H

h\yq

E-Fd

FFV

sodafs der Fehler 5,0 v. H. beträgt.

= 0,00 000 798 sind,

My

ausgeführt wurde, so heben sich

My

verwandt,

Bei den beiden zuletzt unter 2) und 3) betrachteten Vereinfachungen ergab sich ein zu kleiner Werth. Da indessen von diesen Vereinfachungen die erste im Zähler, die zweite im

Nenner des Werthes 7] =

die beiden durch die Vereinfachungen entstandenen Fehler zum Theil auf, und es ergiebt sich für unser Beispiel nur ein Ge-samtfehler von 1,16 v. H., und zwar liefern die beiden Vereinfachungen zusammen für tj einen um diesen Betrag zu grofsen Werth.

Es würde sich demnach empfehlen, entweder beide Vereinfachungen oder keine von beiden zu verwenden.

Aus den seitherigen Ableitungen ist ersichtlich, dafs bei der Bestimmung der H- Linie nur die Schätzung des Werthes

C =    erforderlich ist.

2Fb

Der Werth c erscheint nur im Werthe N, der für Aenderungen der Gröfse c nicht sehr empfindlich ist.

Hieraus geht hervor, dafs die betrachtete Trägerform für Aenderungen in der Querschnittannahme ziemlich unempfindlich ist, sodafs es möglich sein wird, bei auch nur einigermafsen richtiger Schätzung des Werthes c gleich mit der ersten gezeichneten ZT-Linie die Bechnung zu Ende zu führen.

Einflufslinie für Uq

Abb. 6.

Diese starke Zunahme der Ungenauigkeit der Bechnung bei fehlerhafter H-Linie, läfst eine recht genaue Berechnung derselben als wünsclienswerth erscheinen. Dieselbe allzuweit zu treiben, würde indessen zwecklos sein, da die wirkliche H-Linie der theoretischen doch niemals genau entsprechen wird, weil dieselbe durch Nebenspannungen und mancherlei Zufälligkeiten der Ausführung und des Materials beeinflufst wird. Es ist diese Empfindlichkeit eben ein Nachtheil, den die Trägerform bei der eingeschlagenen Art der Berechnung zeigt, und der durch eine geringere zulässige Beanspruchung des Materials ausgeglichen werden mufs.

Bei den gebräuchlichen Anordnungen dürfte die Anwendung der Formel 7] = wohl stets zulässig sein, wie unser Beispiel zeigt, in dem bei gleichmäfsiger Belastung ein Gesamtfehler von 12,8 x 1,16 = 14,85 v. H. für die Gurtstäbe auftritt, der

wohl noch zulässig ist. Wird die Formel =

und zu dem Werthe 2

- im Nenner kommen die Werthe

so wird man sie stets durch das neu abgeleitete Verfahren ersetzen können, das, wie gezeigt, fast vollkommen genau dieselben Ergebnisse liefert, die Eechnung aber ganz bedeutend vereinfacht. Bei besonders hohen versteiften Bogenbrücken wird es sich empfehlen, eine genauere Proberechnung durchzuführen.

Bei der Berechnung versteifter Kettenbrücken läfst sich dasselbe Näherungsverfahren verwenden.

für die Kettenstücke s₀ und für die Kückhaltketten s‘ und s“ hinzu.

(oc'

7XZ

w////////

(X'f

Die Werthe rj erhalten nur entgegengesetztes Vorzeichen &'² -s

EF

Abb. 7.

Es ist für die versteifte Kettenbrücke der in Abb. 7 dar« gestellen Form:

• m² • Ä² • F \ 2 s₀ ■ sec² a₀

s‘ • sec² a‘

Fs>

sIJ • sec² a“ )

⁺    F,:

und bei gleichem Durchmesser der Kette und der Kückhaltketten:

nt

2 s₀ • sec ² a₀ -f- s' • sec ²    -f- s“ • sec ² a“\ ^,

Th. Rehbock.

^öTtq>

KRAKÖW

: ■ .......

Wmmr

Halle a.S., Buchdruckerei des Waisenhauses.

....

- -

.

I

m

'$A

*

■

r.

m

_ < __

l

V •'

-M

■

/

-

.

r

t -

4

-- -—

-

■

.

-

"

-

’

WYDZIAtY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn in Berlin.

J. W. Schwedler,

Geh. Oberbaurath,

IM 35188

Jtr

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

DIE

CONSTRUCTION DER KUPPELDÄCHER.

11 Tafeln mit Text. Zweite vermehrte Auflage. Pol. 1877. steif geh. 14 Mark.

Jf.

WGT“ Handlicher Ersatz für die Rechenmaschine, genauere Rechnung

als mit dem Rechenstab.

D« H. ZIMMERMANN

RECHENTAFEL

NEBST

SAMMLUNG HÄUFIG GEBRAUCHTER ZAHLENWERTHE.

238 SEITEN gr. 8°.

IN DAUERHAFTEM LEINENBAND 5 MARK.

Probebogen mit Beispielen stehen gern zu Diensten.

eß'

Ingenieur.

Berechnung

freitragender Wellblechdächer

von

Theodor Landsberg

Professor an der technischen Hochschule in Darmstadt.

Mit 7 Abbildungen in Holzschnitt- l-gQL . geh, 1.60 Hk.

(Sonderdruck aus der Zeitschrift für Dauwesen iödi.j

Dr. 6f. Hagen,

Kgl. Ober-Landes-Bandirektor, wirkl. Geheimer Rath,

Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dritte, umgearbeitote Auflage. 8.    1882. geh. 6 Mark.

Der Constanten avwahrscheinliche Fehler.

Nachtrag

zur dritten Auflage der Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

8. 1884. geh. 1,60 Mark.

Ueber die Ermittelung' und die gegenseitigen Beziehungen der Einflusslinien für Träger von

Robert Land,

Ingenieur.

gr. 8. 1890. geh. 1,60 Mk.

Ueber die

statische und geometrische

Bestimmtheit der Träger,

insbesondere der Fachwerkträger.

Zugleich ein Beitrag zur Kinematik der Stabwerke.

Von

Robert Land, 8. Mit 25 Holzschnitten. 1887. Pappbd. 1 Mk.

Professor an der technischen Hochschule in Berlin, ordentl. Mitglied der Königl. Akademie des Bauwesens.

Professor an der technischen Hochschule in Darmstadt.

Beiträge zur Theorie

der

ebenen elastischen Träger

von

Heinrich F. B. Müller-Breslau,

gr. 8. Mit 35 Abbildungen in Holzschnitt. 1890. geh. 2 Mk.

Das Eigengewicht der eisernen Dachhinder

von

Theodor Landsberg, gr. 4. 1885. geh. 1,50 Mk.

Heinrich F. B. Müller-Breslau,

Ueber

Form und Stärke gewölbter Bogen.

Von

Dr. Gr. Hagen,

Kgl. Ober - Landes - Baudirektor, wirkl. Geheimor Rath.

Mit einer Kupfertafel. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage, gr. 8.    1874. geh. 3 Mark.

Ueber einige Aufgaben der Statik,

welche auf

Gleichungen der Clapeyron’sclien Art fuhren,

von

Professor an der technischen Hochschule in Berlin, ordentl. Mitglied der Königl. Akademie des Bauwesens.