Formeln nnd Lehrsätze

zum Gebrauche

der elliptischen Functionen.

Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor

K. Weierstrass bearbeitet und herausgegeben von

H. A. Schwarz.

Dritte Lieferung, enthaltend Bogen 5 und 6.

Göttingen.

Dieterichsche Universitäts-Buchdruckerei (W. Fr. Kaestner).

1881.

È5

J.

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7.

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Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

100000305796

Art. 28.

V

Bestimmung der Wurzelg

^uor^

c^ff KRAKÓW

c Ko î

CD

specielles Periodenpaar.

1- 00^-15^-

33

2(0j, 2u>₃ entsprechen, ist also entweder ein Rechteck, wenn k² einen reellen Werth hat, oder es hat, wenn dies nicht der Fall ist, die Eigenschaft, durch seine kürzere Diagonale in zwei spitzwinklige Dreiecke zerlegt zu werden.

Diese Eigenschaft ist für das auf die angegebene Weise bestimmte primitive Periodenpaar (2ü>1; 2io₃) charakteristisch, wenn noch die Bedingung hinzugefügt wird, dass — ex, £?u>₃ = e₃ sein und dass der reelle Bestandteil des Quotienten einen p osi tiven Werth haben soll. Denn ausser den beiden

primitiven Periodenpaaren (2u)1? 2u>₃), (—2(i)₁₅—2u>₃) gibt es kein anderes diesen Periodenpaaren aequivalentes Periodenpaar mit derselben Eigenschaft.

Bestimmung der in den Verwandlungsformeln der 6 - Functionen vorkommenden Wurzelgrössen für ein specielles Periodenpaar.

28.

Unter der Voraussetzung, dass die Perioden 2to, 2o>", 2u>', auf welche sich die Formeln des Art. 21 und des Art. 22 beziehen, durch die Gleichungen

2co" = 2toa = 2cüj -f 2co₃ ,

(1.)

2co = 2(Oj,

2u>' = 2co ₃

bestimmt werden, wobei «q und o>₃ die im Art. 27 festgesetzten Werthe haben, ergibt sich, dass der in Art. 21 fixirte Werth der Quadratwurzel sje^-e₃ genau übereinstimmt mit demjenigen Werthe dieser Wurzelgrösse, welcher zur Bestimmung der Grössen «q und u>₃ angewendet wurde und beliebig gewählt werden konnte.

Zur Bestimmung der Werthe der übrigen in den Gleichungen des Art. 21 und des Art. 22 vorkommenden Wurzelgrössen ergeben sich, unter Beibehaltung der im Art. 2 7 festgestellten Bezeichnungen, die folgenden Gleichungen

6au)

0„(O

6 (Ü

= h'

(O

6y 1 ly7 ⁼ ¥’

Ui

Vv-e₃ = k\Je—e₃, \/es—e₁ = —i\Je₁—e₃

6ltp" _

63 cu"

V^i—e₂ =    ’

\ea~ei ==: —iU^el—e₃.

/0

Wenn der Werth von \je—c₃

-ik\Je—e₃,

Vv/e₁ — e₃ beliebig fixirt wird und mit

Art. 29.

Einführung der Grössen E und Er.

s/j, \]Y diejenigen Werthe dieser Wurzelgrössen bezeichnet werden, deren reelle Bestandtheile positiv sind, so gelten die Gleichungen:

\Je ₂—e₃ = S/kfa—e ₃,

34

(3.)

Ve~ e% ='S/V\/e —e₉.

und

Bestimmung der Grössen

eindeutig bestimmter Grössen E und E'.

S(ü₃

mittelst zweier

29.

Unter Zugrundelegung der im Art. 27 erklärten Bezeichnungen sollen die Grössen E und E' die Werthe der bestimmten Integrale

(i-)

s- f%=™a

Jo \Jl-t2 E’= f ~dt

Jo \ll-f

f' ¹~iH* at

J» Vï=?Vï=w ’

1_Z-'²/²

Vi_<’Vx-jrV

bezeichnen, vorausgesetzt dass die Integrationen auf directemWege ausgeführt und den Quadratwurzeln diejenigen Werthe beigelegt werden, deren reelle Bestandtheile positiv sind.

Unter dieser Voraussetzung sind die Grössen ^ = durch die Gleichungen

Tl3 =

S'«>3

6<v₃

(2.)

yii = \/e-e₃\ E

ei e3

ri3 =

— iS/e-e^E' +

es

ei-e₈

K'

bestimmt, aus denen sich

7r==-(?li+’ \e—ea

ergibt. Zwischen den Grössen co Gleichung

(3.)

E' =

(7)3 + 63(1)3)

to₃, TQn % besteht zufolge Art. 7 (5.) die

(4.)

TT i

YjlO)₃—(Üi7i8 = — ,

welche der Legendre’sehen Relation EKJ+ E'K—KK' — ~ entspricht.

u

Darstellung der Functionen 6xu, 6₂u, 6zu durch unendliche Producte.

30.

Die Function (dxu ist ebenso wie die Function <6u durch ein zweifach unendliches Product darstellbar.

Wenn nämlich

w₂ = (2[x -j- l)o> + (2[x + 1)(« ,

gesetzt wird und bei der Productbildung jeder der beiden Zahlen g, g alle ganzzahligen positiven und negativen Werthe, Null eingeschlossen, beigelegt werden, so besteht für jeden der drei Werthe von = l, 2, 3) die Gleichung

(1.)

W₁== (2[x + l)(u +

Ws — 2[xo) -f- (2p. -f- l)(o

(2.)

e-tey U

31.

Die Werthe, welche die Grössen — =

2(u

annehmen, wenn dem Argumente u der Reihe nach die Werthe

2rjtoü²

2r₍(ut>²

a

u “h to j

*+ co"

u + ü/,

beigelegt werden, sind zusammengestellt in folgender Tabelle, in welcher XTzi

T == — und h = e ra die im Art. 6 erklärte Bedeutung haben.

O)

U (0

U + tu

v + |r

ïh s

2ri(0V²

2rjO>ü²+r/w+£7]V+-|-'m+Wrt 27io)ü²+7f,to+|r/V'+iTtî4-iT7rt+i>Tti

e² fiiov² ^u^rno

\Tii

Die Grösse h} hat die Bedeutung el ^ und \J i ist gleich e⁴“v zu setzen. Mit Benutzung dieser Tabelle ergeben sich aus den im Art. 6 enthaltenen

Ausdrücken (7.) (8.) (9.) für die Function 6u folgende Ausdrücke der Functionen (d^i, <d₂u, <o₃m durch einfach unendliche Producte:

J27jou>²....._TT cos(nx —v)u    cos(wt + v)n

Q    COS VK I I    Q II —    - 6

» C0SWT7T    n C0SWT7T

^2rtoiV² z + zr~l rT e    2    n

— e^Tl(ÜV COSPTt n

n

(2-)

(3.)

(4.)

(5.)

(6.)

(7.)

(8.)

(9.)

6tu =

S₂w = e

2y] mV²

1 +h2nz~²

1 +h2nz²

1 +h²

1 + h2n

1 + 2ä2mcos 2vti + Wn

(i+k2n)²

TT cos((w—pr—iQtt e~^rr *-A« C0s(w— |)t7T

COS ((W-^)T + v)tU ^jTZl

cos (n—|-)t7c

= e2r^Un

= e2nmv2nn

1 + h2n~lZ~²

1 +.h2n~¹

n„

1 + h2n~lz²

1 + h²*¹-¹

1 + 2h2n~¹ cos 2vk -j- hin~²

(1 + h2n~l)

6„m =

27]ou>² -pj- sin((w — |-)t—v)k —vki py n sin(w — -Dttt    «

2rt<x,v² pp 1 — h2n~lz~² pp

n 1 — h2n~l n 1 — h2n 1

1 — ä2k_1 £²

1 — 2h2n~l cos 2vtz + hin~²

(1 )    = ^ n„

Durch Entwickelung nach Potenzen der Grösse v und Vergleichung der Coefficienten der mit v² multiplicirten Glieder ergeben sich die Gleichungen

(1 — h2n~¹)²

(11.)

(12.)

⁸+^ft+2„

27ja) = —2e₂u>²-f- Ti² ^

27)0) = —2^(0

4 h2n

(i + ä²")²!’

AJl2n'~¹

U + /1²“-')

47i2n~i

27)o> = —2e₃u>²—ii² 2]

welche der Gleichung (10.) des Art. 6 entsprechen.

Der Zahl n sind bei der Bildung der unendlichen Producte, beziehungsweise der unendlichen Summen, alle ganzzahligen positiven Werthe beizulegen.

(13.)

(1 —Ä2w—1)

Bestimmung der in den Verwandlungsformeln der (o - Functionen vorkommenden Wurzelgrössen durch einfach unendliche Prodücte.

32.

Wenn die Grössen h₀, hx, h₂, A₃ durch die Gleichungen

\ = (1+Ä²)(1+Ä⁴)(1 +Ä⁶)..-, ä* = (1—70 (l-A³)(l-Ä⁵)...

ao

Aa = (l + A) (1 + Ä³)(1 + ^⁵)--*,

definirt werden, in welchen die Grösse h die im Art. 6 erklärte Bedeutung hat, so ist

(2.)

A₀ = A, \ \ h

und es ergibt sich

2u> i-Tjco hi — 6 • «

%o

6a>"=

²“ ^ V'vi

h\

2 a*a; ’

&,'= ^-eir<v;AL.

Die im Art. 21 in eindeutiger Weise bestimmten Wurzelgrössen

Ve2 — ^3,

haben demnach die Werthe

(4.)

\Je~ea = ^-AÎAÎ,

mithin gelten für die in den Verwandlungsformeln des Art. 22 vorkommenden Wurzelgrössen \[ë^ë₃,    sje — ea die Gleichungen

(5.)

V    2 oj

Ve-e> = V

fo-«. =

^    7    7 2

"2ÖT >

in welchen der Werth von Es ergibt sich also

\le₂-ea\le₁~ez\/el~e₂ = y'G =    \/£-2Ä‘Äo,

y/^L. beliebig

fixirt werden kann.

K>

1c

«*“ ß.

(6.) fc² = -^—^=16Ä

(1+Ä*)(1+Ä⁴)(1+Ä⁶)---)»

(l+A)(l+A*)(l+A⁶)-f ’

(1— Ä)(l— Ä³)(l— Ä⁵)- • • i8 (l+fe)(l+Ä³)(l+Ä⁵)---} *

Uebergang von dem primitiven Periodenpaare (2to, 2w') zu einem äquivalenten Periodenpaare (2<ö, 2<ä').

33.

Wenn an die Stelle des primitiven Periodenpaares (2co, 2a>'), auf welches die in den vorhergehenden Artikeln enthaltenen Formeln sich beziehen, ein demselben äquivalentes Periodenpaar (2o>, 2(55') tritt, wo

Ù)' = p'(ji + q'(o\

<S) — pui + Cjio',

so ist in jenen Formeln an die Stelle von

U), tu', U)"= (1) + ü/

y, V» V — ri + V

zu setzen, wobei = P'i) + QJi, r/ — p\ + g'r/.

Bei dieser Vertauschung bleiben die Invarianten g₂, g und die Functionen (du und pu in Folge der Gleichungen

6(u I o>, of) = (3(111 di j u>'),

(h)

beziehlich

pq'— qp' — 1

~ ~ r ~ rr    ^ r

(1) y CD y CD ------ CD "I CU

?/, ?/> r= %+%'

p{u\(ü , «/) = ß(ll |ü>,ü>')

ungeändert. Der Gleichung (17.) des Art. 9 zufolge bleibt mithin bei dieser Vertauschung die Gesammtheit der drei Grössen e₁₉ e₂, e₃, also wegen der Gleichungen (2.) des Art. 18 auch die Gesammtheit der drei Functionen (J₂u, ($₃u ungeändert; dagegen können die Indices der drei Grössen e₁, e₂, e3 und dem entsprechend die Indices der drei Functionen <6vu, <o₃u, ihre Werthe ändern.

Aus den in den Artikeln 6, 8, 9, 18, 21 , 22, 23, 26, 31 , 32 enthaltenen Formeln ergibt sich eine Anzahl neuer gleichfalls gültiger Formeln, wenn in denselben gleichzeitig die Grössen

(2.)

rr

U) ? U)

ri>

rr ri >

(3.)

ei ? e2 >

GjW, 6₂m, 63u

beziehlich durch die Grössen

^ -r<i Si

6aw, <5 u, ovu

~~~ 2«) ’ ⁷ ~

0/

~ r O)

O)

ĆU

ersetzt werden, wobei die Grössen z und h ihre Bedeutung entsprechend ändern. Hierbei sind die Indices X, /u, v, welche den Gleichungen

p*o”= e₂,

eu,

gemäss zu bestimmen sind, von den Besten der Zahlen jo, q, p, q in Bezug auf den Modul 2 abhängig.

Die nachfolgende Tabelle enthält die Werthe dieser Indices für jeden der sechs von einander verschiedenen Fälle, welche ein treten können.

(4.)

= eit

= elt

P“>' = e8 pm = ey

Reste modulo 2

(5.)

II

m|

IV

p I q 1 p' 1 g'

A \ [l \ V

1 1 o | o 1 1 II 1

1 | 1 | 0 | 1 I] 2 | 1 | 3

1 | 0 || 2 | 3 | 1

VI |

0 | 1 | 1 | 1 || 3 | 1 | 2

Hiernach bestehen, wenn für X, /u, v die durch die vorstehende Tabelle

gegebenen Werthe gesetzt werden, die Gleichungen

û), ö/) =    I (O, u/)}

(6.)

6₂(u |œ,û)') = 6^U = 6u (w| u>, «/), 6₃(m|«>,û>') = 6vu = (5v(u\io} u/).

Unter derselben Voraussetzung ergeben sich durch die Vertauschungen (3.) aus den Gleichungen (5.) des vorhergehenden Art. die folgenden Gleichungen,

^ *    (x/

e¹⁷¹¹, t = ~ zu setzen ist, während AQ, Al5 h₂, L die im vorher-

⁷    U)

gehenden Art. erklärten Functionen der Grösse h bedeuten :

in welchen h —

(7-)

(8.)

KK =

rin ( 1 — A2w) ( 1 + h2n~l)²,

(9.)

(10.)

nw(!—a2m)(i—a2h_i)², = 2A*äS =2Ä^n„(l-A²”)s-

Der Werth von

Der Wurzelgrösse y'G- ist der Werth \/e(l~ev\/el~ev)/e]r-e beizulegen. 4/2* Rann beliebig fixirt werden.

e²'¹“*’²

e™.

(U.)

»3 *3

îtttî

2w ’

Der Zahl n sind bei der Bildung der unendlichen Producte alle ganzzahligen positiven Werthe heizulegen.

Die Grösse 2^<S kann mittelst der Gleichung (10.) des Art. 6 oder der Gleichungen (11—13.) des Art. 31 bestimmt werden, nachdem in diesen Gleichungen die angegebenen Vertauschungen (3.) vorgenommen sind.

Einführung der Thetafunetionen. Ausdruck der vier ® - Functionen durch die Functionen 3(»|t) und @(w|&, <5').

34.

Der Werth des unendlichen Productes

(1.)

(n — 1, 2, 3,... co )

Unter der Voraussetzung, dass die Wurzelgrössen durch die Gleichungen (7 —10.) bestimmt werden, bestehen die Gleichungen

G •    ~    ■

(11.)

(12.)

(13.)

ys«

Virv'v::<5»“ = e2?'“’t’² **(*+«“*) n„(i-A²”)(i+/.^-²)(i+A*^)

Virfv-eX» = n„ (i—7»²“)(i+,

Yln (1— h2n)(l— h2nz~²)(1— hr*z-)

F(z) = riw(l— A2h)(1 + Ä2n-1^_2)(l+ h2n~l0²) kann durch eine nach Potenzen der Grösse z² fortschreitende unendliche Reihe dargestellt werden, welche für alle endlichen Werthe der Grösse z, den Werth z — ö ausgenommen, unbedingt convergirt. Für alle Werthe der Grösse A, deren absoluter Betrag kleiner ist als 1, besteht nämlich die identische Gleichung

(2.) nn(l-Ä²*)(l+ Ä*-¹0(1+ ^2M-¹*²) ⁼ 1+A(-2²+£⁻²) + A⁴(^⁴+^⁻⁴) + A⁹(^⁶+^-6)_|----

In Folge dieser Umgestaltung des unendlichen Productes in eine unendliche Reihe ergeben sich aus den Gleichungen (11 —14.) des vorhergehenden Art. folgende Darstellungen der vier (j - Functionen :

werden die Functionen ^(v), 3₂(v), 3s(v), 3₀(v) definirt, welche, wenn viz — x gesetzt wird, bei Anwendung der Bezeichnungsweise, deren sich Jacobi in seinen Vorlesungen (Gesammelte Werke, Bd. I S. 501) bedient hat, mit den Jacobi’sehen Functionen ^(o?, q)₉ ^₂(o?, g), 3s(x,q), $(æ,q) beziehlich übereinstimmen. Die von Jacobi mit q bezeichnete Grösse hat dieselbe Bedeutung, wie die im Vorhergehenden mit h bezeichnete Grösse.

Herr Herrnite bezeichnet (Journal de M. Liouville, 2me série, tome III. p. 26) für fi = 0,1, p = 0,1 den Werth der unendlichen Reihe

«*,<*>•

mit

y (-ire

(3.)

SM = e^^htfsFdhi) = e²‘^*T    (_ i)»/(*<²’‘⁺¹V’'⁺',

V^T^vN⁵*“ = e2?‘”² iïzFtfs)

= «2r>“!

27,<ot;²

V

_ (!² vTjt y

= e2ii“²I

=    (-mV.

Bei der Bildung der vorstehenden unendlichen Summen sind der Zahl n alle ganzzahligen positiven und negativen Werthe, einschliesslich der Null, beizulegen, während z = e!)7ZL zu setzen ist.

Durch die Gleichungen

(7-) i (— l/ At(2m+1)3/w+1 = 2A⁴sin vtt — 2ATsin Bvir + 2h * sin 5z;tt — • • •

S w A4(2,i+I) V/,+1    __ 2A⁴cos vtc + 2A⁴cos 3vtr + 2Aireos 5utt + • • •

= l + 2Acos2t;7r + 2A⁴cos4yTT + 2Ä⁹cos6t;7r+**- = $₃(y),

— 1—2Acos2ü7t4-2A⁴cos4^7r—2A⁹cos6ütt4— = $₀(v)

(4.)

(5.)

(6.)

(8.)

(9.)

(10.)

7 n² 2n

h z

Sn(-1)“Ä’V*

(» = o, ± 1, ± 2,... + oo)

NO)

noo

7 «²    2»

h z

= ^₂(*0

hr[(2m + ii)x-\-\<a (2m + fi)²]

(m = 0,±l,±2,... + oo)

Zwischen der durch die Gleichungen (7 —10.) festgesetzten Bezeichnungsweise der vier Thetafunctionen y, (v) (p = 1, 2, 3 , 0) und der von Herrn

Zum Gebrauche der elliptischen Functionen.

H ermite angewendeten Bezeichnungsweise besteht daher, wenn w = x gesetzt wird, die durch folgende Gleichungen ausgedrückte Beziehung-

00,0 OO = 3₈C&),

0i,o(®) = 3.0*0

0i,i G') = »3,0*0-

Die Functionen 3e(v) sollen im Folgenden, wenn es nöthig ist, eine Angabe hinsichtlich des Periodenpaares (2w, 2<o), auf welches diese Functionen sich beziehen, in die Bezeichnung derselben aufzunehmen, mit

(u.)

(? — 1,2,3,0)

bezeichnet werden.

Aus der angegebenen Definition ergibt sich

(12.)

^sOIT) + ^o(>lT) = ²^sO|4t)

^₃0It) — ^oOIG = 2-3-,(2v| 4t).

Die vier Functionen 3p(F|t) genügen nebst allen ihren Ableitungen der partiellen Differentialgleichung

(13.)

Ô3

1    ö²3

d~

4 TÀ öv²

Werden durch die Gleichungen

(14.)

u — 2«)î;

für g = 1, 2, 3, 0 vier in Bezug auf die drei Argumente u, w, u>' homogene Functionen definirt, so bestehen dem Vorhergehenden zufolge die Gleichungen

~ r (!)

e ,

(15.)

(16.)

(17.)

\/—■ V%~ev= e2r><nv ^₈(v|t) = oi(u\ü,G>'),

\J~^h~eAu

27jù)?;²

- (j

(18.)

2 rfiv2 (i

3,(®[t) = ©„(« |6>, <a').

35.

Durch Entwickelung nach Potenzen der Grösse v und Vergleichung der Anfangsglieder erhält man aus den Gleichungen (15—18.) des vorhergehenden Art. folgende Ausdrücke für die im Art. 33 (7 —10.) bestimmten Wurzelgrössen:

(k)

2&

/P(l —3/d-²+ 5W- 7h3A+ • • •),

(2-)

-e, =

3,(o)

— 27i⁴(l + 7iI,2+ 7i2,3+/i3,4+ • • •),

(3.)

■S-s(o)

= 1+27i + 27i⁴+27i⁹+. .

(k)

3₀(o)    = 1— 2h + 2/i⁴-27i⁹----

Es ergibt sich hieraus das System von Gleichungen

&(0) = it^o(0)^(0)^₈(0),

(6-) ^=|(-^)²(^3(0)+^(0)), et= (^)²(^(0)-^o⁴(0)),

(5.)

^o(0) + ^₂⁴(0) = Ą(0),

t-h i CO

(7-)

*/-¥

2/i⁴ + 2/i⁴ + 2/i⁴ + • • •

vV-*.-

(2/i + 27i⁹+ 27i²⁵-|— •),

(8.)

l/”

T Tr

l+27i + 2A⁴+2/i⁹+.

V/eJ-«r + V/«-e„

(l+27i⁴+27i]6+- ••),

(9.)

\/ä =

2)5+ 27i‘+    ----

l+2A+27i¹+2Ä⁹+---

(io.)

₌ 5.(0 ; -) ₌ l-2h + 2W~~ 2P+- ■ • 1 -f 27i + 2/i⁴+ 2A⁹H— •

^(0|t)

Zwischen der Grösse

(11.)

fc-er-\/ex-eu

i-\/F ₌__

l+v^    +

2/i + 27i⁹+ • • •

■^»(0 I 4t)

1+ 2/i⁴+ 2/i¹⁶H----

(0{4t)

und der Grösse 4t besteht hiernach dieselbe Gleichung, wie zwischen \Jjc und x.

Die Gleichung (11.) ist ein specieller Fall der Gleichung

(12.)

\lex~ ev ⁶ßu —    6vu _ 3₂(2p|4Q _ \/ei—ev — \/ei—ei*    [ <5,4Æ')

\fex— ev (5ßu + \jex— eu6vu 3₃(2ü|4t)    \fe^~ev + \/ex—    ö₂(2m | oi, 4ä') ?

welche sich aus den Gleichungen (12.) des vorhergehenden Art. ergibt.

Durch Entwickelung nach Potenzen der Grösse v und Vergleichung der Coefficienten der mit v³, beziehungsweise mit v², multiplicirten Glieder erhält man aus den Gleichungen (15—18.) des vorhergehenden Art. folgende den Gleichungen (10.) des Art. 6 und (11 —13.) des Art. 31 analoge Gleichungen:

(13.)

29jö> = —

1 Ä"(0) 6 3(0)

îr² 1—3³/d-²+ 5³k²-³— • • •

6    1—3/d-²+ 5Ä²-³----

(14.)

(15.)

(16.)

Tl² l + 3²/d-²+ 5²/i2,3+ • • •

= — 2e <5²+ 4tt²

i₊^+a²-³+...

h + 4 A⁴+ 9/i⁹+ • • •

1+ 2h + 2 Â⁴+ 2/ï⁹+ • ■ •

h — 4A⁴+ 9 h⁹— • •

1— 2/f+ 2/A- 2/i⁹+ • • ~ '

Verwandlungsfornieln für die ^-Functionen.

36.

łx5 ł+łT? l?x5 l +t, beziehungsweise um die

Für die Vermehrung des Argumentes v der Functionen 3₀(v), ^(v), 3a(v), (v) um eine der Grössen Grösse p + q- , wo p und q ganze positive oder negative Zahlen bedeuten, gelten folgende Formeln :

3o00

^o(v + 4) (v +1)

3,0>+i) = -^xW

3,(« + ł)

So(»+l) =    $o(«0

3i(v +¹) = — ^(v) Z₂(v+1) = — $,(»)

S,(*+l) =    3,00

^(v+p+qT) = (—i)i?+gÄ ⁵ e ^‘^O)

h-*'e- 2qV7dzM.

$0 (v+P + q~) =

S₂(y+p + q~) =

$₃(v+p + q-) =

3,(®)

.^oO + łL) = 3i(tf + fO = ^₂(^ + *~) = $₃(v + i~) =

ihr* e~vrd nr* er*™ s₀(v)

ir*e~viziss(v) jrie-v™$a(v)

+    = —h~le~2v™

3>+0 =    r’e-²®”

$₃(v + x) — he

—2v7zi

3,(w)

$s(v)

So(»+*+fO = h le V™S₂(v) ^(v+ł+łT) = r* e~v™$a(v) ^(fl + ł + łT) — — ih~* e~v™3₀(v) 3₈0+4 + K> = ihr* e~V7ti ^(v)

$i(v)

3₂(v + i + t) = —hrle~2v™

5,(P)

Grundformeln der linearen Transformation der Thetafunctionen.

37.

Aus den Gleichungen (2.) und (6.) des Art. 33 ergeben sich in Folge der Gleichungen (15 —18.) des Art. 34 folgende die lineare Transformation der ©-Functionen betreffende Formeln:

(1-)

|»3 I 3

©t(w 1(0,0)') = y/- oa i «>,«>') >

@₈(w|(0,(o') = £3^/    0^(w|(O, O)'),

Oa(u |a>,ô>') = s, \    «0,

e₀(u\ü,co') = £₀y^~@y(w| («,o>').

Die Grössen

In diesen Formeln bedeuten «, ß, y die drei Zahlen 2,3,0 mit der Bestimmung , dass « = ^ + 1ß =    , y = r-f- 1 (mod. 4).

e1? e₂> £3? £0 bedeuten achte Wurzeln der Einheit.

^0IT) = i

fi’

46

Lineare Transformation der Thetafunctionen.

Art. 37.

Die einfachsten linearen Transformationen, aus denen alle anderen linearen Transformationen (Jj zusammengesetzt werden können, sind die Transformationen /j’ und Z

o, 1

-l, o

). Für diese letzteren gelten folgende Grundformeln:

Qx (u | «>, to' ) = i ² Qx (u | (o, «/+ «>) (9₂(m| 00, ü/) = % ~ 0₂(ll | 0) , o/ + 00 )

Q₁{u \ oo, to') = i

(20

<9₈(m| «>,«/) =

0o(w| 00, ü/+0o)

&₃(u\(0,w) =

©o(w I o>, ü/) =

©₈(w| oo, oo'+ oo)

6>oG|o),0)') =

V^©.(“K

Oi)

—(ü)

(3.)

\le

-4v*

$a(v\T) =

Vtc

tu o ~TTV

•?,(

S> I

Uff =

Der Quadratwurzel = y/i- ist derjenige ihrer beiden Werthe beizulegen, dessen reeller Bestandteil positiv ist. Der Grösse f"* ist der Werth beizulegen.

Aus den vorstehenden Formeln erhält man folgende analytische Darstellungen der vier Functionen ^(u|x) :

(4-)

Ufr) = Vtj-¹)

*.(•!*) =    (-D

IJ

Ufr) = y/4s„« *>+B)2

(« = 0, + l,±2,...±oo).

Additionstheoreme der 6- und ©-Functionen.

Additionstheoreme der 6- und ©-Functionen.

38.

Wenn mit u, ux, w₂, w₃ vier beliebige Grössen bezeichnet werden, so ergibt sich aus der identischen Gleichung

(pu — pu,)(pu,— pu₃) + (pu—pu,)(pu₃— pu, ) + (pu-pu₃ )(pu,—pu,) = 0

durch wiederholte Anwendung der Formel (l.) des Art. 11 die Gleichung

6(u + u, )6(u — u,)6(u,+ u₃)6(u,— u₃)

(1.)

+ 6(it + u,)(5(u — u,)6(us+ u,)(5(u₈— u,)

+ 6(u + u₃)6(u—u₃)6(u,+ u,)6(u,— u,) — 0,

welche für alle Werthe der Grössen u, ux, u₂, % Geltung hat.

Durch die Gleichungen

(2-)

u +    = a,

w + u, = a, u + u₃ — a",

u—u, = b, u—u₂ — b', u — us= b",

«*+'««,= C,

= c', W1+ M2 =

u2—u3 =

M,—= d',

— u, = d"

werden drei Systeme von je vier Grössen a, b, c, d; d,b\ c\d'; a , b'\ c", eingeführt, zwischen welchen folgende Beziehungen bestehen :

^(a'+b'+c'+d') i (a'+b'-c’-ä') i(ii'-V+c'-d') d"= i (-a'+b'+c'-ä')

a = %(a + b + c+ d) b' = %(a + b — c—d) Ć = |-(a — b + c—d) d' = %(—a+b+c—d)

a"—

b"=

c"=

$(«"+ &"+c"+Ä") K«"+

|(a"—ö"+ c"—d")

(— a"+ b"-\- c"—d")

(3.)

a = %(a'+b'+ć— d’) b = i (a'+b'-c'+d') c — ^(a'—b'+c'+d')

d = i (a'-y-c'-d')

a"= i(a + b + c—d) b"= ^(a + b — c + d) c"= \(a — b + c + d) d"= \(a — b c—d)

a'= ^(ar'+r+c"-d") b' = *(a"+&"_c"+<r')

e' = i («"-&"+c"+d")

■<*' = \(a"-b"-c"-d")

(3-*)

a ~\~o ~\~ c (l ⁼ ex -f~ 6 c ~t" d — a o t~ c -f⁻ d

Aus den Gleichungen (3.) ergibt sich, dass jedes einzelne der drei Systeme von je vier Grössen er, 6, c, d; a\b\ c, d'; ß",    c", <T als ein System von vier

unabhängig veränderlichen Grössen betrachtet werden kann.

In der Gleichung (1.) mögen nun an die Stelle der Grössen u + ux, u — w15 u₂+u₃, u₂ — u₃ der Reihe nach folgende Grössen gesetzt werden:

[1] a, b,cxdx [2] a + &, &+ û>, c, d ; [3] a + ô>, b + G", c d ; [4] a + G", b + G", c + G', d — G' ; [5] a + G + 2G'X b + û>, c + G j d — Gx [6] a + & ? b G x c Ą- G x d — &,

wobei <I>, <î>", <î>' die im Art. 33 erklärte Bedeutung haben. Dann ergeben sich unter Benutzung der Gleichungen (3.) und der Verwandlungsformeln der (a-Functionen nach jedesmaliger Abtrennung eines den drei Gliedern der entstandenen Gleichung gemeinsamen Exponentialfactors die in der Tabelle [A.] zusammengestellten Gleichungen. Die Indices X, /u, v bedeuten in irgend einer Reihenfolge die Zahlen 1 , 2, 3.

[A.]

GaGbGcGd + G a' GV G c' G d! GxaGxbGc G d + Gxo! Gxb' G ć G d' Gxa G^b Gvc G d +

G^aGßbGvcGvd —

G a" G b" Gc" G d" — 0 Gxa"Gxb" Gc"Gd" = 0 Gxa”G,J)"Gvc"G d" = 0 (,e-ev)Gxa"Gxb,:Gc"Gd" = 0 (er-e^Gva"Gvb"Gvc"Gvd"= 0 Gxa! Gxb'Gxc'Gxd' + (ek—er) (e.— e^) G a" G b" G c" G d"— 0.

Aus diesen Additionstheoremen der (3 - Functionen erhält man vermittelst der Gleichungen (15—18.) des Art. 34 die entsprechenden in der Tabelle [B.] zusammengestellten Additionstheoreme der ©-Functionen. Die Indices a, ß, y bedeuten in irgend einer Reihenfolge die Zahlen 2, 3, 0.

[1]

[2]

[3]

G.a'GJ’G^Gd' G^a'G^b'Gvc'Gvd' +

[5] {e— er) Gxa Gxb Gxc Gxd + (e— ex) Gxla'GJ)'G^c'Gßd' Gxa Gxb Gxc Gxd

[6]

[B.]

[1]

[2]

[3]

[5]

ą « ox b gx c ą d + ą ą b' ą c' ą d'+ ą a" ą b" ą ć'gx d"= o

Gcta Oab Gxc Gxd + 0«a'Gab'Gx ćGxd' + Qaa"Gab"Qxc"Gxd"= 0 Gaa G,b GYc Gxd + Gad'Gpb' GyC'Qxd'+ Gaa"G{ib"GYc"Gxd"= 0 Gpa Gib Gyc Gyd—Grta'Qpb'Gyć&yd'± Gaa” Gab" Gxc" Gxd"= 0 ©₂a G₂b Gsc Q₂d —G₃a' G₃b' G₃c' G₃d' + G₀o!'G₀b"©,₀c"G₀d"= 0 Ga a Gab Gac Gad -Ga a'Ga b'G a c'Ga d' ± Gx a'Gx b" ą c" &t d"= 0.

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KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

C. F. «GAUSS WE]

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HERAUSGEGEBEN VON DER KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

AUSGABE AUF DRUCKPAPIER.

Band :

I. DISQUISITIONES ARITHMETICAE. Zweiter Abdruck 1870. Preis 12 Mark.

II. HÖHERE ARITHMETIK. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

Die Besitzer des ersten Abdruckes von Band II. können die beim zweiten Abdrucke hinzugekommenen Zusätze als „Nachtrag zum ersten Abdrucke des zweiten Bandes“ zum Preise von 1 Mark beziehen.

III.    ANALYSIS. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

IV.    WAHRSCHEINLICHKEITS - RECHNUNG UND GEOMETRIE.

Preis 15 Mark.

V.    MATHEMATISCHE PHYSIK. Zweiter Abdruck. 1877. Preis 15 Mark.

VI.    ASTRONOMISCHE ABHANDLUNGEN. 1874. Preis 20 Mark.

Zweiter Abdruck.

1880.

Die Entnahme von einzelnen Bänden bezw. des vollständigen Werkes erfolgt gegen Baarzahlung von der K. Universitäts-Casse in Göttingen, welche nach wie vor

die

den Vertrieb besorgt.

Versendungen nach auswärts erfolgen ohne Nebenkosten, ausser Porto, wenn Preiszahlung durch Postnachnahme gewünscht wird und zulässig ist ; sonst sind wegen der für Werthsendungen erforderlichen festeren Verpackung pro Band 60 Pfennig Emballagekosten mehr zu zahlen.

Göttingen im Mai 1881.

GAUSS - DENKMÜNZE.

Die K. Gesellschaft hat zur Feier der hundertsten Wiederkehr des Geburtstages von C. F. Gauss durch Herrn Münzmedailleur H. F. Brehmer in Hannover eine Denkmünze

von 70 Millimeter Durchmesser in bronzirtem Kupfer hersteilen lassen. Sie enthält den Kopf von Gauss und die auf ihn sowie auf die Feier sich beziehende Inschrift. Um dieses Kunstwerk allgemeiner zugänglich zu machen, hat die Gesellschaft verfügt, dass es zu dem Preise von fünf Mark vön der K. Universitäts-Casse zu Göttingen bezogen werden kann, von Auswärtigen ohne Nebenkosten.-ausser Porto, wenn Postnachnahme des Preises erfolgen kann.    ’    •.

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