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Biblioteka Politechmki Krakowskiej

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Die Wertveränderung durch Abschreibung, Tilgung und Zinseszinsen

Formeln und Tabellen

zur sofortigen Ermittlung des Verlaufes und jeweiligen Standes eines Betriebs- oder Kapitalwertes

Zum Gebrauch für Ingenieure, Verwaltungsbeamte, Kaufleute usw.

Aufgestellt und erläutert von

Dipl.-Ing. H. Kastendieck

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Berlin

Verlag von Julius Springer 1914

Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, Vorbehalten.

Copyright by Julius Springer in Berlin 1914-

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KkAKÖW

1151304

Me. Mr.

Vorwort.

Abschreibung und Tilgung.

Allgemeines zu Formeltafel I—IV.

Anhang.

Vorwort.

Der Kampf darüber, ob bei Abschreibungen Zinseszinsen zu berücksichtigen sind oder nicht, will nicht zur Ruhe kommen. Beim Nachdenken über diese Frage ist die vorliegende Arbeit entstanden. Das Ergebnis ist, daß beide Wege gangbar sind, wenn man die Wirkungen klar erkennt. Hierzu sollen die Formeln und Tabellen denen, die gewohnt sind, wissenschaftliche Wirtschaf tslehre anzuwenden, in einfacher Weise helfen. Meines Erachtens ist viel Irrtum dadurch entstanden, daß die zahlenmäßige Erfassung der Vorgänge über Abschreibung nicht immer leicht zur Hand war. Die Formeln über Tilgung und sonstige Zinseszinsrechnung fügten sich zwanglos ein und geben die erwünschte Abrundung zu erschöpfender Benutzung der Tabellen.

Die Formeln sind nicht immer in der mathematisch einfachsten Form geschrieben. Es ist Wert darauf gelegt, daß sämtliche Rechnungen durch einfache Multiplikationen und Divisionen ausgeführt werden können. Auch scheinbar verwickelte Formeln werden durch das Einsetzen der Werte überraschend einfach, so daß elementare Kenntnis in der Benutzung von Formeln vollauf genügt.

Halle (Saale), Juni 1914.

H. Kastendieck.

Abschreibung und Tilgung.

Es bedeutet:

Abschreibung die buchmäßige Darstellung der Wertverminderung bei wirtschaftlichen Werten aller Art, Tilgung oder Amortisation die planmäßige Rückzahlung eines aufgenommenen Kapitals innerhalb einer Reihe von Jahren.

Läßt man grundsätzlich die Abschreibung und Tilgung in Prozenten des jeweiligen Buchwertes außer Betracht, so bleibt für normale Verhältnisse Abschreibung sowie Tilgung in Prozenten des Anfangswertes.

A. Abschreibung.

i. Die Methoden der Abschreibung.

Wenn ein Betriebswert von anfänglich beispielsweise ioo M. im Laufe von z. B. 20 Jahren aus irgendeinem Grunde auf den Wert Null sinkt, so muß das Unternehmen diesen Betrag nach 20 Jahren in Geld oder Geldwert nachweisen können, weil sonst die Gegenforderung des Geldgebers für den ursprünglichen Betriebswert ungedeckt sein würde.

Dabei ist es im Prinzip gleichgültig, ob dieser nachzuweisende Betrag in bar oder in Anlagewerten vorhanden ist oder ob die Beträge im Laufe der 20 Jahre schon ganz oder teilweise zur Bezahlung der Gegenforderung verwandt wurden.

Nach Möglichkeit ist anzustreben, daß die Wertverminderung nicht nur nach Ablauf der 20 Jahre, sondern auch innerhalb dieser Zeit nach ihrem jeweiligen Stande durch einen entsprechenden Gegenwert ausgeglichen ist.

Zinsen aus diesem Betrage bleiben für die Abschreibungen unberücksichtigt.

Ein anderer Weg zu dem gleichen Ziele ist der, daß man nach der Methode der Rentenrechnung jedes Jahr einen bestimmten Betrag zurückstellt, der nach 20 Jahren zuzüglich Zinseszinsen ebenfalls 100 M. ergibt. Im Beispiel beträgt bei 4% Zinsen die jährliche feste Abschreibungsquote 3,36 M.

Die Frage, welche Methode die richtige ist, wird durch folgende Überlegung beantwortet: Jeder für Abschreibungen abgesonderte Betrag besitzt eine normale Ertragsfähigkeit an Zinsen, wobei als Zinsfuß etwa mit dem der mündelsicheren Papiere zu rechnen ist. Demgemäß müssen auch im Fall 1 Zinsen aus den für Abschreibungen zurückgestellten Beträgen anfallen. Läßt man diese Zinsen alljährlich ins Unternehmen zurückfließen, so ergibt sich ein Zurückströmen von Geldmitteln in die jährlichen Einnahmen. Dadurch wird der Überblick über die wirkliche

Verzinsung des arbeitenden Kapitals und über den Anteil der Zinsen an den Abschreibungen behindert. Um dieser Unübersichtlichkeit zu entgehen und um die anfallenden Zinsen aus den Abschreibungen genau zu erfassen, ist es daher erforderlich, die Summe von 5 M. im Beispiel als aus zwei Teilen zusammengesetzt zu betrachten. Und zwar ergibt sich der erste alljährlich aus den Zinsen der bis dahin vorhergegangenen Abschreibungen, während der zweite den Betrag darstellt, den das Unternehmen — in Ergänzung von Teil 1 auf 5 M. — zur Berücksichtigung der Wertverminderung im jeweils laufenden Geschäftsjahr außerdem herausgewirtschaftet haben muß¹).

Unter diesen Gesichtspunkten sind beide Methoden im Prinzip

richtig.

Diesen Forderungen wird man gerecht durch die sogenannten Abschreibungen.

In der Praxis wird nun häufig so vorgegangen, daß man in obigem Beispiel jedes Jahr

ioo

20

= 5 M. zurückstellt. Etwaige

x) Vgl. E. Schiff, Die Wertverminderung an Betriebsanlagen, S. 65. Berlin 1909. Jul. Springer.

2. Vergleich der beiden Methoden.

Methode I: Konstante Abschreibung. Der jährliche gesamte Abschreibungsbetrag ergibt sich aus:

Gesamte Wert Verminderung Anzahl der Jahre

ist also in jedem Jahre der gleiche.

Methode II: Abschreibung nach Art der Rentenrechnung.

Der jährliche gesamte Abschreibungsbetrag setzt sich zusammen aus einem festen Prozentsatz des Anfangswertes, vermehrt um die Zinsen des betreffenden Jahres aus sämtlichen bis dahin geschehenen Abschreibungen.

In beiden Fällen handelt es sich um eine Zinseszinsrechnung. Der jährliche Abschreibungsbetrag setzt sich bei beiden zusammen :

a)    aus der eigentlichen Abschreibungsquote. Diese bedeutet den jährlich herauszuwirtschaftenden Betrag, der in Verbindung mit den Jahreszinsen aus den gesamten vorhergegangenen Abschreibungen (siehe b) die Wert Verminderung des Jahres buchmäßig zum Ausdruck bringt;

b)    aus den Zinsen der vorhergegangenen Gesamtabschreibungen. Der Unterschied beider Methoden wird durch nachstehendes

Schema deutlich:

Betrag der jährlichen Abschreibung

Summe a + b

Eigentliche

Abschreibungsquote

Jahreszinsen der gesamten vor hergegangenen Abschreibungen.

Methode I:

Konstante Abschreibung

Methode II:

Abschreibung nach Art der Rentenrechnung

Veränderlich

Veränderlich

Konstant

Veiänderlich

Der wirkliche Verlauf der jährlichen Abschreibungen ist also charakterisiert:

Konstant

Veränderlich

Bei Methode I durch einen veränderlichen Faktor (a), der in Verbindung mit dem ebenfalls veränderlichen Zinsfaktor (b) den konstanten Abschreibungsbetrag (c) ergibt;

bei Methode II durch einen konstanten Faktor (a), der in Verbindung mit dem veränderlichen Zinsfaktor (b) einen veränderlichen Abschreibungsbetrag (c) ergibt.

Die graphische Darstellung der beiden Methoden für das obengewählte Beispiel erläutert den Vorgang zusammenhängend für die betrachteten 20 Jahre.

Methode I.

Methode II.

Mark

iS?

Co

OL

no

0 12    0    6 8 10 12 n 16 18 201 2 V 6    8 10 12 n 16 18 20

Jahre

Abschreibung pro Jahr. K — ioo; n — 20; 4%.

Ordinate a stellt den Betrag dar, der alljährlich aus dem Unternehmen herausgewirtschaftet werden muß, Ordinate b dagegen die Jahreszinsen aus den jeweilig bis dahin an gesammelten gesamten Abschreibungen und c, als Summe von a + b, die gesamten Abschreibungen pro Jahr.

Wenn die Abschreibungen wieder als Anlagewerte im Unternehmen arbeiten, so erscheint'?? allerdings nicht automatisch wie bei Anlegung in Effekten. Die Absonderung von den übrigen Einnahmen ist aber trotzdem zur Gewinnung eines guten Überblickes dringend geboten.

3* Welche Methode ist zu wählen?

Der wirklichen Wertverminderung ist in beiden Fällen durch die Linie ACB (vgl. Abbildung) oder durch den Wert c (vgl. Schema) Rechnung getragen. Es ist damit nicht gesagt, daß die so festgelegten Werte mit der tatsächlichen Wert Verminderung in jedem Jahre übereinstimmen. Es ist dies nur der buchmäßige Ausdruck für die Wertverminderung. Die absolute Übereinstimmung wird sich nie erreichen lassen, da diese buchmäßigen Festlegungen von mathematischen Erwägungen abhängig sind, die Wertverminderung selbst aber durch das wechselvolle Spiel des Lebens bedingt ist.

Die Linien ACD zeigen, in welchem Maße die Zinsen aus früheren Abschreibungen beteiligt sind.

Methode I hat den Vorteil, daß jedes Jahr in den Bilanzen der gleiche Abschreibungsbetrag erscheint. Die Ermittlung von c ist daher einfach und übersichtlich. Hieraus erklärt sich auch die fast ausschließliche Anwendung dieser Methode in der Praxis. Die Einfachheit in der Ermittlung des gesamten Abschreibungsbetrages c (Schema) ist jedoch teuer erkauft, weil auf der anderen Seite die Belastung des Unternehmens durch a (Schema) bzw. Linie ACD (Abbildung) um so mehr ins Dunkel gerät und vielen kaufmännisch sonst wohl Erfahrenen ständig verborgen bleibt.

Methode II wird fast immer bei Rentabilitätsberechnungen angewandt oder sollte es wenigstens. Der Grund ist klar: Die Einsetzung des konstanten Faktors a (Schema) ermöglicht automatisch, für die gesamten betrachteten Jahre die Ertragsfähigkeit der bereits geschehenen Abschreibungen an Zinsen zu berücksichtigen.

Wird derWertc (Schema) der Methode I in eine Rentabilitätsberechnung an Stelle von a der Methode II eingesetzt, so läßt man die Ertragsfähigkeit der Abschreibungen an Zinseszinsen außer acht, und die Rentabilitätsberechnung wird ungünstig beeinflußt, d. h. es erscheinen zu hohe Ausgaben.

Weit häufiger ist der Fehler, namentlich unter dem Einfluß der Autorität einer vorliegenden Rentabilitätsberechnung, daß a der Methode II in der Praxis, also in den Bilanzen und in den Gewinn- und Verlustrechnungen, als c der Methode I verwandt wird. Die jährlichen Abschreibungen werden dann bedeutend zu niedrig. Es fehlt die Ergänzung der jährlichen Abschreibungen durch Faktor b der Methode II.

Welche Methode in den Bilanzen am zweckmäßigsten gewählt wird oder dem wirklichen Verlauf der Wert Verminderung am nächsten kommt, soll hier unerörtert bleiben. Die besonderen Verhältnisse spielen dabei eine große Rolle. Methode I ist insofern ungünstig, als die Belastung der ersten Jahre groß ist, doch kann auch dieses manchmal geboten erscheinen.

Die nachstehenden Formeln und Tabellen gestatten in bequemer Weise die zahlenmäßige Erfassung der in Frage kommenden Werte und sollen dadurch und unter Umständen auch durch Variationen der hier gegebenen Methoden die Anpassung an die jeweilig vorliegenden Verhältnisse der Praxis ermöglichen.

B. Tilgung oder Amortisation.

i. Die Methoden der Tilgung.

Methode I: Konstante Tilgung. Der Tilgungsbetrag ist in jedem Jahre der gleiche. Die jährlichen Zinsen nehmen ab im Verhältnis der Kapitalverminderung durch Tilgung.

Der jährliche Tilgungsbetrag ergibt sich demnach aus:

Gesamter Tilgungsbetrag Anzahl der Jahre

Die gesamten jährlichen Zahlungen an Tilgung + Zinsen sind veränderlich.

Methode II: Veränderliche Tilgung. Außer einem festen Tilgungssatze werden alljährlich die infolge bereits geschehener Tilgungen ersparten Zinsen zur verstärkten Tilgung benutzt.

Die jährlich zu zahlende Gesamtsumme aus Tilgung + Zinsen ist konstant.

Der Prozentsatz der gesamten jährlichen Zahlungen aus Tilgung -f Zinsen beträgt:

Tilgungquote des ersten Jahres + Zinsfuß (beides in Prozenten des Anfangskapitals).

2. Vergleich der beiden Methoden.

Während bei den Abschreibungen die Beträge aus der eigentlichen Abschreibungsquote und den Zinsen (vgl. Schema S. 7) eng zusammengehören und ihre Summe die gesamte erforderliche Abschreibung ergibt, besteht hier eine solche innere Zusammengehörigkeit nicht. Die Zinsen werden aus ganz anderen Erwägungen gezahlt als die Tilgungen. Nur die Praxis und die Bequemlichkeit der jährlichen Auszahlung vereinigt diese Beträge häufig. Die Ertragsfähigkeit der erfolgten Tilgungen an Zinsen bleibt hier naturgemäß ganz unberücksichtigt, da die Tilgungen mit dem Tage der Auszahlung ausscheiden.

Hier ergibt sich folgendes Schema:

Betrag der jährlichen Zahlung

Summe a + b

an Tilgung

an Zinsen

Methode I:

Konstante Tilgung Methode II:

Veränderliche Tilgung

Methode I hat hauptsächlich dann Bedeutung, wenn Zinsen und Tilgung nicht an die gleiche Person gezahlt werden oder wenn die jährlichen Fälligkeitstermine für Zinsen und Tilgung verschieden sind, z. B. bei Obligationsanleihen. Die Beziehungen zwischen Tilgungsquote und Tilgungsdauer sind sehr übersichtlich.

Methode II, bei welcher der jährlich abzuführende Betrag aus Tilgung und Zinsen stets der gleiche ist, erfordert nicht alljährlich bei Zahlung die Trennung zwischen Tilgung und Zinsen. Durch eine einmalige Rechnung wird ermittelt, wann die Tilgung vollständig durchgeführt ist. Trotzdem ist die getrennte Ermittlung der jeweiligen Beträge für Zinsen und Tilgungen oft erforderlich, da diese Posten für die Bilanzen und namentlich für die Gewinn- und Verlustrechnungen durchaus nicht gleich geordnet sind.

Konstant

Veränderlich

Veränderlich

Veränderlich

Veränderlich

Konstant

Allgemeines zu Formeltafel I—IV.

Die Tafeln I bis IV geben die wichtigsten Daten und Formeln, um die gesamten Vorgänge bei Abschreibung und Tilgung gemäß den oben entwickelten Methoden für alle in Frage kommenden Jahre zahlenmäßig zu erfassen. Durch Benutzung der Tabelle für die /»-Werte ergeben sich einfache Divisions- und Multiplikationsrechnungen .

Sämtliche Formeln gelten für jährliche Zinseszinsen.

Die Formeln ergeben die Werte für das Kapital K. Für K = ioo erhält man die Werte in Prozenten von K.

Häufig ist auch K = Kx — k. Dabei bedeutet:

Kx den Anfangswert eines Kapitals und k den Endwert, bis zu dem abgeschrieben bzw. getilgt werden soll.

In diesem Falle ist für K — ioo der Prozentsatz bezogen auf K₁ — k.

Dann gilt:

i. a Prozent bezogen auf Kx — k sind gleich bezogen auf Kx\

(Kx — k) a

Kx

Prozent

• ioo Prozent.

2. b Mark sind in Prozenten von Kx gleich Es bedeutet ferner:

ioo

ioo -f- q den jährlichen Diskontfaktor bei einem Zinsfuß von q Prozent.¹)

den Tilgungssatz von t Prozent des Anfangskapitals;

ioo

ioo

n die Anzahl der Jahre, innerhalb deren die Abschreibung oder Tilgung im jeweiligen Falle durchgeführt werden soll; n ist also stets eine ganze positive Zahl;

*) Die Werte von p° bis p¹⁰⁰ sind für die hauptsächlich vorkommenden Zinsfüße in der Tabelle ausgerechnet.

x jedes beliebige Jahr innerhalb der durch n für jeden Fall festgelegten Zeit; x ist also durch n jeweils begrenzt und bedeutet ebenfalls eine ganze positive Zahl in den Grenzen x = i bis x = n.

Die Formeln für a bis h ergeben die im Schema der einzelnen Formeltafeln näher bezeichneten Beträge, und zwar für jedes Jahr und jede Abschreibungs- bzw. Tilgungsdauer, je nachdem n und x eingesetzt werden.

Methode 1: Konstante Abschreibung.

Der gesamte jährliche Abschreibungsbetrag ist in jedem Jahr der gleiche. Er besteht:

1.    aus der Abschreibungsquote = a\

2.    aus den Jahreszinsen der gesamten vorhergegangenen Abschreibungen = b. (Vgl. S. 7.)

Schema und Formeln:

Betrag der jährlichen Abschreibung (fällig am Jahresende)

Gesamtbetrag aller Abschreibungen (einschließlich des laufenden Jahres)

Buchwert der Anlage am

Laufendes Jahr

aus der eigentlichen Ab-schrei-bungs-quote

aus den Jahreszinsen der gesamten vorhergegangenen Abschreibungen

Summe

aus j aus

Summe

Jahres

anfang

J ahres-ende

von x= 1 bis x=n

(p — i)(* — i).

*== — (/» — i) — J)»

-J),

! Jo

-)■

f=—x,

Ergänzungen zur Formeltafel I:

Für

^ + I

deckt der Betrag aus b allein die erforderlichen Abschreibungen. Diese Gleichung hat nur praktischen Wert, solange x n ist. Für ein bestimmtes p ist das Jahr festgelegt, in dem die Zinsen zur Abschreibung genügen, und zwar unabhängig von n. Für die noch folgenden Jahre ergibt sich ein Überschuß an anfallenden Zinsen über den Bedarf für Abschreibungen hinaus. Dieser Überschuß steht dem Unternehmen zu anderweitiger Verwendung zur Verfügung.    ^

Die Abschreibungsdauer bei gegebenem c beträgt n = —.

Bei einer gegebenen Abschreibungsquote von c Prozent ist K = ioo zu setzen.

Formeltafel II: Abschreibungen.

Methode II: Abschreibung nach Art der Rentenrechnung.

Der jährliche gesamte Abschreibungsbetrag setzt sich zusammen aus einem festen Prozentsatz des Anfangswertes vermehrt um die Zinsen des betreffenden Jahres aus sämtlichen bis dahin geschehenen Abschreibungen. (Vgl. S. 7.)

Schema und Formeln.

Betrag der jährlichen Abschreibung (fällig am Jahresende)

Gesamtbetrag aller Abschreibungen einschließlich des laufenden Jahres

Buchwert der Anlage am

Laufen- aus der des Jahr eigentlichen Ab-

i schrei-j bungs-quote

aus den Jahreszinsen der gesamten vorhergegangenen Abschreibungen

Summe

aus

aus

Summe

Jahres- Jahresanfang ende

von x— 1 bis x—n

a_K(P~ 1)

pn — 1

b = K(p-i)

pn_

, K(P - 1) C pn — _ d = K(p-i)

~ (P*—¹ — 1) — a (P*—¹ — 1),

px-i = apx-1 ₍

pn - 1

(£-1)

pn— 1

pn— 1

K(px- 1)

pn — 1

g = K + c-f = K + K'£r-^p’— (P* ~ 1)

(:Px - 1)

pn — 1

pn — 1

Die Abschreibungsdauer (n) wird bei gegebenem a angenähert bestimmt aus:

Pn =

K(P- i)

indem man aus der entsprechenden /»-Tabelle dem Werte, welcher dem errechneten fin am nächsten kommt, das zugehörige n entnimmt.

Bei einer gegebenen Abschreibungsquote von a Prozent ist K = ioo zu setzen.

Hier ist der Fall unmöglich, daß die Jahreszinsen (b) allein die gesamten Abschreibungen und mehr liefern, da der jährliche Betrag von a Voraussetzung ist.

Kastendieck, Wertveränderungstabellen.

Methode I. Konstante Tilgung.

Der Tilgungsbetrag ist in jedem Jahre der gleiche. Die jährlichen Zinsen nehmen ab im Verhältnis der Kapitalsverminderung durch die Tilgung. (Vgl. S. ii.)

Schema und Formeln:

Jährliche Zahlung (fällig am Jahresende)

Noch zu tilgendes Kapital am

Gesamtbetrag der geschehenen Zahlungen (einschließlich des laufenden J ahres)

Laufendes Jahr

an Summe Tilgung Zinsen a _j_ b

an

an Summe Tilgung Zinsen d + e

an

Jahres- Jahresanfang ende

von x= i bis x= n

b = K{p — i)--{p — i) (x - i),

n

c-X+Kip-i)-

i!

e — K (p — i) x —

K, , /x² x\ n    V 2    2 /

K    K    / x²

f--x + KU>-I)x—H-ip-i)(T

Ergänzungen zur Formeltafel III:

Das Kapital ist getilgt nach

n — — Jahren.

OL

Bei einer gegebenen Tilgungsquote von a Prozent ist K — igo

zu setzen.

Formeltafel IV: Tilgung.

Methode ii: Veränderliche Tilgung.

Außer einem festen Tilgungssatz (m) werden alljährlich die infolge bereits geschehener Tilgungen ersparten Zinsen zur verstärkten Tilgung benutzt. (Vgl. S. n.)

Schema und Formeln:

Jährliche Zahlung (fällig am Jahresende)

Noch zu tilgendes Kapital am

Gesamtbetrag der geschehenen Zahlungen (einschließlich des laufenden J ahres)

Laufendes Jahr

an

an

Tilgung

Zinsen

Summe a + b

an

an

Tilgung

Zinsen

Summe d -f- e

Jahres- Jahresanfang ende

von x= i bis x— n

a — Km p*—¹,

b — K(p — i) -|-Km — Km px~¹, c = K(p — i) + K m,

px — i

d = Km

e = \K(p — i) -f K m\ x — K m f = [K{p — i) + Km]x, g — K — d a = K — Km

Px — i

px-

P~

px — i

h = K—d = K — Km

Ergänzungen zur Formeltafel IV:

Die Tilgungsdauer (n) wird bei gegebenem Tilgungssatz (m) angenähert bestimmt aus:

Pn =

+ i,

indem man aus der entsprechenden ^-Tabelle dem Werte, welcher dem errechneten pn am nächsten kommt, das zugehörige n entnimmt. (Vgl. Formel auf S. 17.)

Der feste Tilgungssatz m beträgt für n Jahre:

pn — 1

pn

3%

3¹/*%

3¹/ä%

3³/4%

4%

4l/4%

4V>%

4S/4%

p°

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

I ,oooo

p¹⁼p pz pi p⁵

1,0300 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593

1,0325

1,0661

1,1007

1,1365 1,1734 1,0350

1,0712

1,1087

1,1475

1,1877

1,0375

1,0764 1,1168 1,1587 1,2021

1,0400

1,0816

1,1249

1,1699

1,2167 1,0425

1,0868

1,1330

1,1811

1,2313 1,0450

1,0920

1,1412

1,1925

1,2462 1,0475

1,0973

1,1494 1,2040

1,2612

CO

M CO 00    <1

tH    <M    CO    ^    IO

tH    tH    iH    1-4    tH

tO    M    I—‘    M    H»

O    CO    00    <1    05

r4 CM CO    IO

CI CM CI CM CM

CO    !>•    00    O»    ©

CM    CM    CM    CM    CO

2,2788

2,3699

2,4647

2,5633

2,6658

1,1941

1,2299

1,2668

1,3048 i,3439 1,3842

1,4258

1,4685

1,5126

i,558o 1,6047

1,6528

1,7024

i,7535

1,8061 1,8603

1,9x61

1,9736

2,0328

2,0938 2,1566 2,2213

2,2879

2,3566

2,4273

1,2115

1,2509

1,2916

i,3336

1,3769 1,4216

1,4678

1,5156

1,5648

1,6x57 1,6682

1,7224

i,7784

1,8362

1,8958 i,9575 2,0211 2,0868 2,1546 2,2246 2,2969

2,37i5

2,4486

2,5282

2,6104

1,2293

1,2723

1,3168

1,3629

1,4106 1,4600

i,5iii

1,5640

1,6187

i,6753 1,7340

i,7947

1,8575

1,9225

1,9898 2,0594

2,1315

2,2061

2,2833

2,3632 2,4460

2,5316

2,6202

2,7119

2,8068 1,2472 i,2939

i,3425

1,3928

i,445o 1,4992

i,5555

1,6138

i,6743

i,737i 1,8022

1,8698

i,9399

2,0127

2,0882 2,1665

2,2477 2,3320 2,4194 2,5102 2,6043

2,7020

2,8033

2,9084

3,oi75 1,2653

1,3160

1,3686

1,4233

1,4802 i,5395

1,6010

1,6651

i,73i7

1,8009 1,8730

x,9479

2,0258

2,1069

2,1911

2,7725

2,8834

2,9987

3,1187

3,2434 1,2837

1,3382

1,3951

1,4544

1,5162 1,5807

1,6478

i,7i79

1,7909

1,8670 1,9463 2,0291

2,H53

2,2052

2,2989 2,3966

2,4985

2,6047

2,7153

2,8308 2,9511

3,0765

3,2072

3,3435

3,4856 1,3023

1,3609

1,4221

1,4861

1,5530 1,6229

i,6959 1,7722

1,8519

i,9353 2,0224

2,H34

2,2085 2,3079 2,4117 2,5202

2,6337

2,7522

2,8760

3,0054 3,1407

3,2820 3,4297

3,5840

3,7453 1,3211

1,3838

i,4495

1,5184

1,5905 1,6161

i,7452

1,8281

i,9i49

2,0059 2,1012 2,2010 2,3055 2,4151

2,5298 2,6499

2,7758

2,9077

3,0458

3,1904 3,3420

3,5007

3,6670

3,8412

4,0237

pn

5%

5V*%

57.%

574%

6%

674%

672%

674%

p°

1,0000

1,0000    1,0000    1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

px = p    1,0500

1,1025 pz    1,1576

P⁴    1,2155

P⁵    1,2763

1,0525    1,0550    1,0575

1,1078    1,1130    1,1183

1,1659    1,1742    1,1826

1,2271    1,2388    1,2506

1,2915    1,3070    1,3225

1,0600 1,1236 1,1910 1,2625 1,3382

1,0625

1,1289

1,1995

1,2744

1,3541

1,0650

1,1342

1,2080

1,2865

1,3701

1,0675

1,1396

1,2165

1,2986

1,3862

“ö- “G- “sy ^5- ^

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i,34oi

1,4071

i,4775

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40,9565

*0- “Ü-    "Ö-

00    00    00    00    00

Ol    CO IO    t—¹

10,9601 11,2889 11,6276 11,9764 12,3357

13,3381

13,7716

14,2192

14,6813

15,1584

16,2244

16,7922

17,3800

17,9883

18,6179

19,7259

20,4656

21,2331

22,0293

22,8554

23,9718 j 29,1180

24,9307

25,9279 26,9650 28,0436

30,3555

31,6456

32,9905

34,3926

35,3525

36,9433

38,6058

40,3430

42,1585

42,9019

44,9397

47,0744

49,3104

51,6527

^ ■'ö- Ti-

«O    t>*    00    05    o

00    00    00    00    05

12,7057

13,0869

13,4795

13,8839

14,3004

15,6511

16,1598

16,6850

17,2272

17,7871

19,2695 19,9439 20,6420 21,3644 22,1122

23,7125

24,6017

25,5243

26,4814

27,4745

29,1653

30,3320

3i,5452

32,8071

34,H93

35,8543

37,378i

38,9667

40,6228

42,3493

44,0556

46,8130

48,1098

50,2747

52,537i

54,1062

56,6762

59,3683

62,1883

65,1423

Pn

5%

I9,6i3i

20,5938

21,6235

22,7047

23,8399

Zinsfuß

Zinsfuß

5V*%

572%

5³/4%

6%

674%

67₂%

674%

22,6751 23,8655 25,1184 26,4372 27,8251

26,2060

27,6473

29,1679

30,7721

32,4646

30,2763

32,0172

33,8582

35,8050

37,8638

34,9670

37,0650

39,2889

41,6462

44,1450

40,3706

42,8938

45,5746

48,4230

51,4495

46,5936

49,6222

52,8476

56,2827

59,9411

53,7577

57,3864

61,2600

65,3950

69,8092

co    00 o o

co co    co    <0 c-

25,0319

26,2835

27,5977

28,9775

30,4264

29,2859

30,8234

32,4417

34,1449

35,9375

34,2501 40,0410 36,1339 42,3433 38,1213 44,778i 40,2179 47,3528

42,4299 50,0756

46,7937

49,6013

52,5774

55,7320

59,0759

54,6651

58,0816

61,7117

65,5687

69,6668

63,8372

67,9867

72,4058

77,1122 82,1245

74,5213

79,55i5

84,9212

90,6534

96,7725

3i,9477

33,545i

35,2224

36,9835

38,8327

37,8242

39,8099

41,9000

44,0997

46,4149

44,7636

47,2256

49,8230

52,5632

55,4542

52,9550

55,9999

59,2199

62,6250

66,2260

62,6205 74,0209 66,3777 78,6473 70,3604 83,5627 74,5820 88,7854 79,0569 94,3345

87,4626

93,1476

99,2022

105,6504

112,5176

103,3046

110,2777

117,7214

125,6676

134,1502

^ "Ö- "ö-    '•ö-

40,7743

42,8130

44,9537

47,2014

49,5614

48,8517

51,4164

54,h58

56,9569

49,9471

58,5042 61,7219 65,1166 68,6980

72,4764

70,0339

74,0609

78,3194

82,8228

87,5851

83,8003 100,2304 88,8284 106,4948 94,1581 113,1507 99,8075 120,2226 105,7960 127,7365

119,8313

127,6203

135,9156

144,7501

154,1589

143,2053

152,8717

163,1905

174,2059

185,9648

P⁸¹ |j 52,0395 P82 : 54,6415 Psz 57,3736

p&i

P⁸⁵    63,2544

60,2422

63,0943

66,4068

69,8932

73,5626

77,4246

76,4626

80,6681

85,1048

89,7856

94,7238

92,6212

97,9469

103,5789

109,5347

115,8323

112,1438 135,7201 118,8724 144,2026 126,0047 153,2152 133,5650 162,7912 141,5789 172,9656

164,1792 174,8509 186,2162 198,3202 211,2111

198,5174

211,9173

226,2217

241,4917

257,7924

«O 00    00    00    00

© co 00    o

66,4171

69,7379

73,2248

76,8861

80,7304

81,4894

85,7676

90,2704

95,0096

99,9976

99,9336 105,4299 111,2286 117,3462 123,8002 153,1912

122,4937

129,5369

136,9850

144,8617

150,0736 183,7760 159,0781 195,2620 168,6227 207,4658 178,7401 220,4325 189,4645 234,2095

224,9398

239,5609

255,1323

27i,7i59

289,3775

275,1934

293,7689

313,5983

334,7662

357,3630

Zinsfuß

Zinsfuß

3%

3V4%

3*/.%

3®/*%

4%

4‘/4%

4*/s%

4s/4%

14,7294

15,1713

15,6265

16,0953

16,5781 18,3652

18,9621

19,5783

20,2146

20,8716 22,8861

23,6871

24,5162

25,3742

26,2623 28,5048

29,5737

30,6827

31,8333

33,0271 35,4841

36,9035

38,3796

39,9148

41,5114 44,1491

46,0254

47,9815

50,0207

52,1466 54,9013

57,3718

59,9536

62,6515

65,4708 68,2365

71,4778

74,8729

78,4294

82,1548

96

97

98

99

100

17,0755

17,5877

18,1154

18,6588

19,2186

21,5499

22,2503

22,9734

23,7201

24,4910

27,1815

28,1329

29,H75

30,1366

31,1914

34,2656

35,5505

36,8837

38,2668

39,7018

43,1718

44,8987

46,6947

48,5625

50,5049

54,3628

56,6733

59,0819

61,5929

64,2105

68,4170

71,4957

74,7130

78,0751

81,5885

86,0572

90,1449

94,4268

98,9120

103,6104

Zinsfuß

Zinsfuß

pn

5%

5V«%

5¹/a%

5³/4%

6%

6*/4%

6¹/a%

6S/4%

^y    ty    *xy    iy    iy

«D    «©    «O    ®

Üi    U*    CO    tO    h*

84,7669 105,2474 130,6092 89,0052 110,7729 137,7927 93,4555 116,5885 145,3713 98,1283 122,7094 153,366? 103,0347 129,1516161,8019

i6i,9997 200,8324 248,8476 308,1870 381,4850 171,3147 212,8823264,4006328,2191 407,2352 181,1653 225,6553 280,9256349,5334 434,7236 191,5823 239,1946 298,4834 372,2744 464,0674 202,5983 253,5463 317,1387 396,4722 495,3920

yy yy yy yy ^y

96

97

98

99

100

108,1864 135,9321 170,7010 214,2477 268,7590 336,9598422,2429 528,8309 ”3,5957 143,0685 180,0896226,5669 284,8846 358,0198449,6887 564,5270 H9,2755 150,5796190,0945239,5945 301,9776 380,3960478,9184 602,6326 125,2393 158,4851200,4442253,3712 320,1963 404,1708 510,0481 643,3103 131,5013 166,8055 211,4686 267,9400 339,3021 429,4315543,2013 686,7337

Anhang.

Sonstige Formeln aus der Zinseszinsrechnung¹). Es sei:

Ka — Anfangskapital,

Kn — Wert des Kapitals Ka nach n Jahren, n = Anzahl der Jahre, ioo + q

ioo

ioo

j ährlicher Diskontfaktor bei einem jährlichen Zinsfuß von q Prozent (vgl. Tabellen).

Zur Beachtung: Die Formeln gelten statt für jährliche Zinseszinsen auch für halbjährliche, vierteljährliche, monatliche und alle sonstigen Zinseszinsen, wenn man unter n den betreffenden

Zeitabschnitt und in p = i J—— unter q den hierzugehörigen Prozentsatz versteht.

Beispiel: Bei 4¹/₂% Zinsen pro Jahr und 20 Jahren (= 40 Halbjahren) ist bei halbjährlichen Zinseszinsen zu setzen:

n = 40; p = 1 -f

2,25

100

= 1,0225 •

Der Einfachheit halber ist jedoch nachstehend immer das Jahr angenommen.

Es gilt folgendes:

1. Endwert eines Kapitals Ka nach n Jahren:

Kn = Kapn.

Kn

2. Höhe des Anfangskapitals, welches nach n Jahren den Wert Kn besitzt:

Pn

Ka =

x) Für eingehendere Behandlung der gesamten Zinseszinsrechnung sei verwiesen auf das Formel- und Tabellenwerk von W. M. S. Werker, Die zusammengesetzte Zinsen- und Zeitrenten- oder Annuitätenrechnung.

3- Die Anzahl der Jahre, nach denen Ka auf Kn angewachsen ist, wird bestimmt¹) aus:

Kn

Ka

Pn =

Ergibt sich pn und damit n nicht unmittelbar aus der Tabelle, sondern liegt dieser Wert bei dem betreffenden Zinsfuß zwischen pHl und/)”², wobei pHl<Cpn<Cpn2 ist, so ermittle man zunächst die zu pni gehörigen Jahre.

pn _ pn,

Aus

365

pni _ pn.

erhält man dann die außerdem noch erforderliche Zahl der Tage. Bei halb- und vierteljährlichen usw. Zinseszinsen ist statt 365

der entsprechende Bruchteil zu nehmen

V 2    4

usw. .

Kn

4. Der Zinsfuß, bei welchem Ka in n Jahren auf Kn auswächst, ergibt sich²) aus:

Ka

pn =

Ergibt sich pn und damit p nicht unmittelbar aus der Tabelle, sondern liegt der Wert bei dem betreffenden Jahr zwischen p\ und p\, wobei p\ <Cpn < p\ ist, so ermittle man zunächst den zu p\ gehörigen Zinsfuß (nicht p).

Aus

pi-n 4

erhält man dann angenähert den Zinsfuß, der noch zu dem zuerst ermittelten zu addieren ist. (Der genaue Wert ist stets etwas größer.)

5. Legt man am Schlüsse eines jeden Jahres das gleiche Kapital Ka auf Zinseszinsen, so ist der Endwert am Ende des «ten Jahres:

pn — 1

P~ 1 *

Kn=Ka

6. Legt man am Anfang eines jeden Jahres das gleiche Kapital Ka auf Zinseszinsen, so ist der Endwert am Ende des wten Jahres:

Kn=Ka

pn — i

p-

-t-

7. Das Kapital Ka, welches jedes Jahr zurückgelegt werden muß, um nach n Jahren Kn zu ergeben, beträgt:

, vgl. a) der Formeltafel II;

im Falle 5:

Ka = Kn

P~

Pn~

Ka = Kn

im Falle 6:

(Pn-!)/>*

B1BLIQTEKA P0UTEC88ICZRI

K R A K. 6 W

Druck der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig.

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WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GtÖWNA

(1.31304

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298362

¹

) Durch Aufsuchen des zum Werte pn gehörigen Jahres. a) Durch Aufsuchen des zum Werte pn gehörigen Zinsfußes.