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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000300013

Af%l

Tabelle

zur

Berechnung der Stauweiten in offenen Wasserläufen

mit einführenden Erörterungen über die Bewegung des Wassers in geschlossenen und offenen Röhren

für Studierende und Praktiker berechnet von

Danckwerts

Regierungs- und Bauratli

Professor an der technischen Hochschule zu Hannover.

Mit 35 Abbildungen im Texte und 2'besonderen Anlagen.

I öffentlichen Arbeiten

Wiesbaden

C. W. KREIDEL’S VERLAG

1903.

Sonderabdruck aus der Zeitschrift für Architektur und lngenieurwesen 1903. '

Alle Rechte Vorbehalten.

Ueborsetzungen, auch in’s Ungarische, verboten.

BI81IBTEKA POLITECiiHlCZKA

KRAKOW

Druck von Gebrüder Jänecke, Hannover.

Akc. Nr.

XOSSjL; j

T \ie nachfolgende Arbeit

soll keine neuen Wissenschaft-

liehen Entdeckungen mittheilen, sondern verfolgt Lediglich den Zweck, den Studirenden der Technischen Hochschulen und den Praktikern eine anschauliche und übersichtliche Vergleichung der von Rühlmann und von Tolkmitt für die Berechnung von Stauweiten gegebenen Formeln und Tabellen zu ermöglichen.¹)

Bei den rechnerischen Vergleichen zeigt sich nämlich abgesehen von einigen offenbaren Druckfehlern der Riihl-

mann’sehen Tabellen

als ein

f 1,20 =2,500 statt 2,568 f 3,50 = 4,889    „    4,489

Mangel der Tolkmitt’sehen Tabellen die Verschiebung des Koordinaten anfangs um 1,0, wodurch der Vergleich beider Tabellen sehr erschwert wird. Auch sind beide Tabellen gewissermaßen in der Entwickelung stecken geblieben, insofern als sie für den in der Praxis oft wichtigen Vergleich zahlreicher Einzelfälle nicht, wie z. B. die Kutter’sehen Tabellen, ohne Weiteres geeignet sind und der Anschaulichkeit entbehren.

Um die nachfolgende Tabelle (Seite 35) formell anwenden zu können, genügt nun zwar die Durchsicht des dazu Seite 35 gegebenen Beispiels. Um jedoch ein Verständnis und eine kritische Anwendung der neuen

Tabelle zu ermöglichen, ist eine kurze, aber zusammenhängende Entwickelung der einschlägigen Formeln für die ungleichförmige Bewegung des Wassers nöthig, und es dürfte diese Entwickelung auch dem Praktiker er wünscht sein, weil sie unter Beiseitelassung der rein mathematischen Rechnungen von dem allgemeinen Fall der geschlossenen Rohrleitungen zu dem Sonderfall der offenen Wasserläufe fortschreitet, während Rühlmann, der für die Kritik der Rühlmann’schen Tabellen natürlich in erster Linie in Betracht zu ziehen ist, zuerst die Bewegung in offenen Kanälen und dann in einem besonderen Abschnitt die Bewegung in geschlossenen Röhren behandelt.

Bemerkung. Die mir nachträglich bekannt gewordene verdienstvolle Arbeit des SDipl. tng. Dr. H. Walter in der Zeitschrift für Gewässerkunde 1902, Heft 2, „über ein neues analytisch - graphisches Verfahren zur Bestimmung der Stauweite“ macht die nachfolgenden Ausführungen und die diesseitige Tabelle nicht überflüssig, wie sich des Weiteren zeigen dürfte.

Bewegung des Wassers in Röhren,

a) ohne Reibung.

Der senkrechte Wasserdruck auf die Seitenwand eines Gefäßes ist unabhängig von der Gefäßform gleich dem

Gewicht einer Wassersäule, ' “A welche die gedrückte 4, Fläche zur Grundfläche und den Abstand des Schwerpunktes derselben vom Wasserspiegel zur Höhe hat.

Abb. 1.

Ist an ein Gefäß eine Röhre angesetzt (Abb. 1), so ist der Wasserdruck auf die verschlossene Mündungsfläche gleich dem Gewicht der Wassersäule, welche die Mündungsfläche (nicht die Fläche der Rohrwurzel F) zur Grundfläche und den Abstand des

Schwerpunktes der M Undungsfläche vom Wasserspiegel zur Höhe hat — unabhängig von der Gestalt der Röhre und von der Tiefe des Ansatzes der Röhren Wurzel unter der Wasseroberfläche.

Hat die Röhre so glatte Wandungen, dass sie keine

so ist bei

Reibung auf das fließende Wasser ausübt geöffneter Mtindungsfläche die Geschwindigkeit des aus-

strömenden Wassers theoretisch = ]/*2 gh und die zur Erzeugung einer bestimmten Ausflussgeschwindigkeit vi erforderliche Druckhöhe h theoretisch = ——. Praktisch

2 g

Abb. 2.

muss dieser Betrag mit Rücksicht auf die beim Eintritt in die Rohrwurzel entstehende Kontraktion (Abb. 2) des Wassers um einen gewissen Prozentsatz C₀ des theoretischen Betrags der Geschwindigkeit v₂ in der Rohrwurzel v²

20

also um C₀ -7,-- erhöht werden, also die

Größe —-¹ +C₀

20

erreichen.

Ist die Röhre nicht cylindrisch, sondern an der Wurzel weiter als an der Mündung, so entstehen an Wurzel und Mündung verschiedene Geschwindigkeiten umgekehrt proportional den Röhrenquerschnitten und es ist dicht hinter der Röhrenwurzel (Abb. 3) zur Steigerung der Geschwindigkeit von v₂

auf vx eine Druckhöhe

im Gefäße selbst zur Erzeugung von v₂ eine weitere Druck-

Abb. 3.

V²,

vl

20

und ferner

20

höhe (1+C₀)

also insgesammt eine Druckhöhe Uber der

vl

vl

Rohrmündung = -J—hCo⁻?^ erforderlich.

Os

Abb 4.

Ist die Röhre an der Wurzel enger als an der Mündung (Abb. 4), also fx und v₂ vx, so muss, da die Geschwindigkeit von a bis b abnimmt, das Wasser gewissermaßen in die Höhe geworfen werden. Es wird dann die

Druckhöhe

negativ und liegt bei a (nämlich

2 9    2 g

bei glatter Röhre) tiefer als der Mündungs-Schwerpunkt. Im Gefäß tritt dazu dann noch zur Erzeugung von v₂ in

v²

der Rohrwurzel die Druckhöhe (1 -f- C₀) ir- und die ge-

² 9

sammte zur Erzeugung von vx an der Mündung erforder-

<___«i_\

2 9 V2 9    2 g)’

. Da bei gleichbleibendem

vx im zweiten Falle (enge Rohrwurzel) v₂ erheblich größer ist als im ersten Falle (weite Rohrwurzel), so ist auch die mit Rücksicht auf die Kontraktion des Wassers that-sächlich erforderliche Gesammtdruckhöhe im zweiten Falle größer als im ersten, während sie theoretisch für beide Fälle

D²

gleich groß = ist.

liehe Druckhöhe ist (1 -j- C₀)

also wieder =

vl

vl

b) Mit Reibung.

Setzt die Rohrwandung der Bewegung des Wassers

einen Reibungswiderstand entgegen (Abb. 5), so ist, um in der Rohrmündung eine Geschwindigkeit vt zu * erzeugen, zu der theore-tischen Druckhöhe noch /1 ein weiterer Prozentsatz i derselben hinzuzufügen,

I welcher für jedes Rohrener 2 element proportional mit | der reibenden Fläche J px dx (p benetzter Umfang) und umgekehrt proportional dem Röhren*

dt

Abb. 5.

querschnitt Fx, also C

pxdx

vl

Fx

und also für das

ganze Rohr

r' pxdx vl

ist. Die gesammte Druck-

höhe im Gefäße Uber dem Mündungs-Querschnitte beträgt dann also:

v\

Px. dx vl_

F, 29

Anmerkung. In Wirklichkeit ist die zur Ueber-windung der Reibung erforderliche Druckhöhe nicht genau umgekehrt proportional dem Querschnitte Fx. Bleibt px konstant (was man mit einem Gummischlauch durch Zu-sammendriicken probiren kann) und li konstant, so ändert

sich die theoretische Geschwindigkeitshöhe

nau umgekehrt proportional mit Fx, es ist also nicht

: Fx = konstant, sondern variabel und demgemäß

auch nicht C konstant sondern variabel. C ist vielmehr variabel mit v und F — nach welchem Gesetz, darüber ist man nicht einig. Weisbach setzt empirisch

² ff

vl

J„[c

]•

vl

nicht ge-

und Darcy und Bazin C = a -\--

Vv

- a+~T-

Für das Endergebnis unserer Untersuchungen ist diese Differenz belanglos, weil bezw. soweit C bei den Berechnungen eliminirt wird.

Gleichförmige Bewegung in geschlossenen Röhren.

Wenn das Rohr cylindrisch ist, also px, Fx und vx konstant sind, so ist die zur Ueberwindung der Reibung

erforderliche Druckhöhe ==

und die gesammte

r

F 2 g

zur Erzeugung von vx erforderliche Druckhöhe

2g{¹⁺ C, + Ct)’ .

das ist die Weisbach’sehe Grundformel.

H-)h

l-* v~

Innerhalb des Rohres bleibt die Geschwindigkeit konstant und ist daher zu einer Beschleunigung des Wassers hier keine Druckhöhe erforderlich. Ist das Rohr reibungslos (Abb. 6), oder kann die Reibung als belanglos vernachlässigt werden, so ist die Druckhöhe im Piezometer an der Rohrwurzel = 0.

Abb. G.

Eine Druckhöhe wird dann nur beim Eintritt des Wassers in das Rohr erforderlich.

Druckhöhe C

ist bei konstantem p, F und v und

Die zur Ueberwindung der Reibung erforderliche

pl vj T 2 g

\,

TV*

Iw

A'

-f

Abb. 7.

also C abhängig nur von l und zwar direkt proportional demselben (Abb. 7).

Die Wasserstände in den auf die Röhre aufgesetzten Piezometerröhren ergeben, miteinander verbunden, eine gerade Linie.

Ist der Rohrquersehnitt kreisförmig, so wird pl _ l F ~ d

und h =

v'¹

2 g'

Betrachtet man zwei im Abstand Z, von einander liegende Rohrquerschnitte, so ist, da das Wasser bei konstanter Geschwindigkeit eine Beschleunigung nicht erhält, eine Druckhöhe h nur erforderlich zur Ueber-

Windung des Reibungswiderstandes h — C

, welclie

V h v2

1    29

Formel mich durch Umstellung geschrieben wird:

Vs

v = y^Fh

r C p l,

v = k ]/ R • J Chezy - Eitelwein’sche Formel.

nach Darcy-Bazin,

so ist

SO

Gleichförmige Bewegung in offenen Wasserläufen.

Vorstehende Gleichungen gelten unabhängig von der Höhenlage der Rohrwurzel im Gefäße.

Vorausgesetzt ist nur, dass das Rohr keine starken Krümmungen (Abb. 8) besitzt, welche eine centrifugal

Abb. 8.

nach der Konkave hin gerichtete Bewegung und eine Querschnittsverengung des Wassers erzeugen und also noch eine besondere Steigerung der Druckhöhe erforderlich machen, welche nach Erfahrungsergebnissen als ein Prozentsatz von h v²

ig

mit C₂ -z— einzusetzen ist.

»TS

0+S-)

Ks>f\

jbl.v-

Abb. 9-

Wird die Rohrwurzel so hoch (Abb. 9) in die Höhe geschoben, dass die Mittellinie des Rohrs mit der durch

die Reibung erzeugten Drucklinie zusammenfällt, so ist in den aufgesetzten Piezometerröhren ein Druck nicht wahrnehmbar.

Die Wandungen des Rohrs haben dann lediglich das lothrecht nach unten wirkende Gewicht des Wassers zu tragen. Das auf die Ausflussmündung drückende Gewicht

wird durch die

der Wassersäule von der Höhe £

pl v²

~F2g

Eine Be

Reibung an den Rohrwandungen gehalten, schleunigung des Wassers wird im Rohre nicht weiter erzeugt.

ist der Rohrquerschnitt in seiner Decke durch eine horizontale- Ebene (Abb. 10) begrenzt, so ist der innere Druck gegen diese Decke = 0. Die Decke wird von der unteren Schale nicht abgehoben, kann also lose aufliegen und auch in der Längsrichtung aus lauter einzelnen unver-

Abb. 11.

Abb. 10.

bundeneu Platten bestehen.

Man kann also ein so gestaltetes Rohr als mit lauter einzelnen völlig reibungslosen Spiegelglasscheiben lose abgedeckt (Abb. 11) oder auch ganz offen sich vorstellen und erhält dann einen offenen Wasserlauf, der den vorhin erörterten Gesetzen ebenso folgt wie ein geschlossenes Rohr, dessen obere glatte Abdeckung eine Reibung an dem Wasser nicht

' weiter erzeugt.

Röhren mit sogenanntem natürlichen Gefälle, welche bei Drainagen und städtischen Kanalisationen verwendet werden, können also, weil sie einem inneren Druck nicht zu widerstehen haben, aus Material von geringer Zugfestigkeit (gebranntem Thon) oder selbst aus oben offenen Schalen hergestellt werden.

Wird aber bei einer ringsum geschlossenen Röhre die Druckhöhe im Gefäße (Abb. 12) über das Maß

(1 + Co)

hinaus gesteigert, so nimmt die Geschwin-

-TH.&

A v ! ‘3 y.

Abb. 12.

digkeit v zu, die Drucklinie erhebt sich Uber die Mittellinie des Rohrs und der innere Ueberdruck sprengt die Wandungen des Rohrs.

Ungleichförmige Bewegung in kreisförmigen Röhren.

Die ungleichförmige Bewegung in ringsum geschlossenen Röhren werde nunmehr nur noch weiter verfolgt für den in der Praxis besonders vorkommenden Fall, dass der Rohrquerschnitt ein Kreis ist.

Es soll in der Mündung eine Austrittsgeschwindigkeit v erzeugt werden, wie groß ist die erforderliche Druckhöhe?

•Ou

Cf

'a

-->

/IT

Abb 13.

Abb. 14.

1. Erweitert sieb das Rohr (Abb. 13 und 14) von der Mündung nach der Wurzel hin, so tritt an die Stelle der geraden Drucklinie b — a eine nach unten abgesenkte gebogene Linie bc. In jedem lothrecht ausgeschnittenen Rohrstücke von der Länge dx ist die zur Ueberwindung der Reibung erforderliche Druckhöhe

dx v%

£7 w

Je näher also das betreffende Stück an der Rohrwurzel liegt, und je größer der Durchmesser Dx und je kleiner gleichzeitig vx wird, um so mehr bewirken beide (Dx und «7a;) in gleicher Weise eine Verkleinerung der einzelnen Theildruckhöhen dh nach der Wurzel hin.

dh =

Im Gefäß ist außerdem noch eine weitere Druckhöhe

iL

(1 + C₀)

(1 -f- C₀) erforderlich, die kleiner ist als

des cylindrischen Rohrs.

Dies gilt für den Fall, dass D, und Dv also vx und v₂, nicht wesentlich verschieden sind. Ist dies aber

2g

2<7

der Fall, so muss, um im Rohre die Geschwindigkeit von v₂ auf vx zu erhöhen, der Wasserstand im Piezo-v ² v²

meterrohre c um —— —    ² erhöht werden und es ist

2 9

dann die gesammte Druckhöhe —

dx vl    v\

Dx 2 g    2g

(l + C.) +

vl

vl

V — V<1

2 <J 2jr

~vx

vl

*₂²

_ dx vl

~ x Tfä? ⁺

J v — v ₂

2. Verengt sich das Rohr (Abb. 15) von der Mündung nach der Wurzel hin, so tritt an die Stelle der geraden Drucklinie b — a eine nach oben gehobene

Abb. 15.

gebogene Linie bc, denn die für jedes lothrecht ausgeschnittene Rohrstück von der Länge dx zur Ueber-windung der Reibung erforderliche Druckhöhe

dx vl Dx 2 7

wird, je näher das betreffende Stück an der Rohrwurzel liegt, um so größer, weil dann vx größer und Dx kleiner wird.

dh =

Die im Gefäße weiter erforderliche Druckhöhe

v\

v:

(1 + C₀) ist gleichfalls größer als —— (1 -f- C₀) des

cylindrischen Rohres.

Da aber die Geschwindigkeit im Rohre schließlich von v₂ auf vt herabsinken soll, so ist hierzu eine negative

V'*

Druckhöhe (Wurf) —-

2g 2g

erforderlich, sodass im

Piezometerrohre bei c wieder eine Absenkung eintritt, die bei starker Erweiterung des Rohres die Piezometerhöhe negativ macht und dann den Wasserstrahl von den Rohrwandungen völlig abreißt und das seitliche Ansaugen von Luft bewirkt. Liegt die Mündung bis zur Oberkante des Rohres unter Wasser, so tritt das Abreißen nicht ein, die Druckhöhe vermindert sich dann jedoch um den Radius der Mündung.

Die gesammte im Gefäße über dem Mündungsschwerpunkt, so lange dies Abreißen nicht eintritt, erforderliche Druckhöhe lässt sich ausdriicken durch

h ==

dx vl D, 2 g

2g

(1 +1„) - (

v\

v —

f*V = V\

vl

- X dx

- P W Tg

J v = V2

Ungleichförmige Bewegung in offenen Kanälen.

Beide vorstehenden Fälle kommen nun auch bei offenen Kanälen mit der Einschränkung vor, dass die oben offene Rohrschale an ihrer Wurzel (am oberen Ende) mit ihrer Wasserspiegellinie bis in die Höhe der Drucklinie hinauf geschoben wird und mit dieser zusammenfällt.

Dabei wird in der Praxis zunächst nur die Rohrschale selbst ohne das Gefäß betrachtet und demgemäß nur die Druckhöhe in dem Piezometerrohre c berechnet. Auch wird, um die Durchführung der nöthigen Rechnungen zu ermöglichen, die aus der Abnahme der Geschwindigkeiten von v₂ zu vl entstehende Absenkung der Drucklinie, als

2g

in der Praxis geringfügig, von Rühlmann undTolkmitt außer Acht gelassen und nur die durch die Reibung au der Rohrwand entstehende Erhöhung der Drucklinie ermittelt.

Bemerkung. Thatsächlich ist dies nur für;kleinere Stauhöhen der Fall. Ist dagegen v₂ = 2in, 'Q{— 0,1m, ist also der Mündungsquerschnitt = dem 20fachen Wurzel-

vl

djuerschnitte, so ist h =

3,99

i,    - itei-⁰-²⁰!

I.

II.

(K

Es ergiebt sich dann die Formel

Px dx vl

und da vx —

Q^

2g

Ql

Fl

dh = -

C Q² 3 pxdx

>3    5

-*■ X

<x = l

C Q³ I px dx

Fl *

2g

x = 0

Ferner wird nur der für die Praxis besonders wichtige Sonderfall betrachtet, dass die Sohle der Schale ein gleichmäßiges Gefälle J besitzt.

hat

Ob

III.

1Y.

Für einen beliebigen Querschnitt ist

dz — Jdx — dh = Jdx — a • dx Pxdx

F³ '

dh —

dz =

('

2g

dx.

dh

dx

Px

Formel IV dient dazu, um für ^ unregelmäßige Profile (Abb. 17) I durch Theilung der Flusslänge in einzelne Strecken die einzelnen Druckhöhen zu ermitteln und zur Drucklinie zusammenzusetzen.

<4*

Abh. 17

dh

dx

dh

dx

.F³

dh

V.

Px • 2

ctj an der oberen Wurzel = J,

7., an der unteren Mündung (Abb. 18).

V,    F]

2V tt;

Die variablen Größen ^ und lassen sich nun zwar für die mannigfachsten Querschnittformen als Funktionen von z darstellen, aber die Integration der Gleichung III ist nur durchführbar für einzelne bestimmte Querschnittsformen.

7₂ = J

dbx

di

V-

IS

Rechteckiges Profil.

Zunächst ist von Hagen, Weisbach, Dupuit, ßiihlmann ein rechteckiger Querschnitt von konstanter Breite mit rauher Sohle aber glatten Seitenwänden den Berechnungen zu Grunde gelegt (Abb. 19).

Fliegener nimmt nach Walter S. 92,    93 ein Rechteck von

TT

Abb. 19.

konstanter Breite an.

Dann ergiebt sich /

F³

Auch Professor

{a + z)³ b³

C Q²

2 g    b²

u-)"

\ a -j- z J

Va.

(,,U

dz — (J — '/x) dx —

dz

[■'-■'(-.Ml

—y

\a + z)

=■ J dx,

J dx —

(a + z)³

(a -}- z)³ — a³

dz.

Die Integration dieses unechten Bruches ist durch Zerlegung in Partialbrüche durchgeführt und ergiebt nach R ii h l m a n n, 2. Auflage, S. 481:

ddX | . U. ( a ~ ¹³ ~z

dz

+ ²/s

dz

-79

z² dz

⁺

USW.

•z

J dx

Jr=-

Z³ —23 a³

oder nach Z und z geordnet

+ ²;

Z Z +ll9

a

Z² — z*

a-

— V27

+ Vios

Z' — z* a*

K!) - X) K4HX)

Jx

worin jede ausgedrückt ist.

Für die verschiedenen Verhältnisse

durch eine unendliche Reihe

von 0,010

bis 5,0 sind die zugehörigen f {~\ von Rühlmann und Goedecker berechnet und tabellarisch zusammengestellt.

Bemerkung. Man kann sich die einzelnen sekundlich zufließenden konstanten Wassermengen Q als an der Wasserspiegellinie als Seilpolygon (Abb. 20) hängend vorstellen. Die Wassermassen Q $    werden unten durch

die gemeinsame \    gerade Sohlenlinie

mit dem konstanten Gefälle J begrenzt. Daraus ergiebt sich die Bedinguugs-gleichung für das Seilpolygon.

Q = a • V = (a -b z) vx = (a -f Z) vt Q"¹ == a? V²= (a + z)² v], — (a + Z)² v\ für das Rechteck ist 11 — a bezw. a -f- z bezw. a -f- Z.

JX

\ > I 1 ¹ ! • 1:

X'¹'"

X ;'T¹1¹¹¹

'1

i',-¹

'n

Abb. 20.

‘20

V² = k² a * J (V = k ]/R - J) v²x = k²x (a + z) a, v\ — k\ (a + Z) a Q² = k² a³ J — kl (a + z)³ a, = fcj (a + i*)³ at, wenn k, kx, kx konstant für alle Li angenommen wird, so a³ J — (a + 2!)³ a

dz

dx

[dz = J dx — adx]

a³ ,J — (a + z)³ J — (a + z)

3 dZ

dx

{a-\-z)³dz= J dx |(a -f- 2)³ — «³]

Jdx —

(fl + z)³

(a + 2:)³ — a³

dz.

Dies ist wie oben durch Zerlegung in Partialbrüche zu integriren. Ferner ist

a³ J — (a -f Z)³ otj

wie oben.

■■ -■'(4z)'

Nach dieser ersten Annäherungsreclmuug kann man nun noch 1c, kx, kx nach Bazin oder Kutter für den

Abb. 21.

Einzelfall veränderlich machen und die vorstehende Rechnung nochmals durchführen. Es ergeben sich dadurch in der mathematischen Entwickelung keine Aen-derungen. Doch erscheint die vielfache mühsame Wiederholung dieser Ver Suchsrechnungen bei der Unsicherheit der Bazin-sclien und Kutter’sehen k für die Praxis von recht zweifelhaftem Werth.

Parabetprofil.

Tolkmitt hat 1892 (Grundlagen der Wasserbaukunst und Handbuch der Ingenieurwissenschaften) eine Hache Parabel, die sich mit konstantem Parameter von der Kanalwurzel bis zur Mündung von b auf B verbreitert,

Abb. 23.

Abb. 22.

angenommen. Den rauhen Umfang nimmt er, wie bei der Hachen Parabel üblich und zulässig, = der oberen Breite (Abb. 22), wobei man sich die Wassermenge an der oberen Drucklinie gewissermaßen wie an einem Hängeseil in der Luft herabgleitend denken kann (Bemerkung: Walter benutzt S. 96 gleichfalls die Konstruktion eines Seilpolygons zur zeichnerischen Ermittelung der Staukurve) oder nach Abb. 23, wobei man das Profil umgekehrt liegend sich vorzustellen hat.

Bemerkung. Wird für die verschiedenen parabolischen Querschnitte eines Flusslaufes, wie es in der Praxis oft Vorkommen dürfte, die Breite b konstant (also der Parameter variabel) angenommen, so kann man für diese Parabeln Rechtecke von gleichem Querschnitt und gleichem reibenden Umfang b dagegen von ²/₃ der Tiefe setzen, und dann die Formeln für das rechteckige Profil ohne Weiteres verwenden.

”    b~ — 2 p • a,

B² = 2 p (a -f- Z),

4-

Wieder durch Zerlegung in Partialbrüche und Integration ergiebt sich eine Reihe, die, vonTolkinitt nach

a + 2

2/

Jx

F\    (²/₃ aby

'P₂ _ ²⁷

F\ 8

=    = J-

p, ^

* = (J-c)dx = J.[i_(-A_)]

= J'dx

a2

J dx =

2jt>

(« -j- -Z)

4?

i — (—    )

\a + zj

(« + *)⁴

(ia + 2)⁴ — a⁴

dz.

anders als von Riihlmann nacli ~ gruppirt, gleichfalls auf die Form der Gleichung führt = F

Halbkreisprolil und halbes Quadrat.

Als Querschnittsform kleinsten Widerstandes und also als theoretisch günstigstes Kanalprotil sind der Halbkreis, die ihm umschriebenen Polygone und das halbe Quadrat bekannt (Abb. 25):

Abb. 25.

Entwässerung»-, Bewässerung»- und Kraftwerkkanäle weiden annähernd in diesen Profilen ausgeführt, und es erscheint deshalb angezeigt, wenigstens den Halbkreis und das halbe Quadrat als äußere Grenzfälle des Polygons in diese Erörterungen hineinzuziehen.

a,\

a.

Abb. 26.

Dabei ist der Praxis annähernd entsprechend ein allmähliches Anwachsen der oberen Breite wie bei der Parabel zu beachten.

Kreis.

(a f- Z) Tr

(a + zy•

sy

(« +£)⁵

Halbes Quadrat.

41a + Z)

f j ~ (2 (ä 4* zyy = ; 2 ’ (a + Z f

« =:

••—{■Ali

Die Integration der Gleichung für die Staukurve ist aus dem später angegebenen Grunde nicht weiter durchgeführt.

Wetterführung der Untersuchungen.

Das Bestreben, die Rühlmann’sehen und Tolkmitt’ sehen Gleichungen und Tabellen miteinander in Beziehung zu setzen und ihre praktische Anwendbarkeit gegen einander abzuwägen, führt nun weiter zu folgenden Ergebnissen:

Bekanntlich werden zur Auflösung der Gleichung verschiedene z angenommen und

dafür die Stauweiten x berechnet.

Nimmt man nun die z so an, dass

oder ein Vielfaches von 1, also 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, 1,2, 1,4, 1,6, 1,8, 2,0 . . . 3,0 . . 6,0, also allgemein

— n • 1 wird, so wird x —    • n.

tJ

Darnach ist die beifolgende Tabelle (S. 35) berechnet, indem für die obigen verschiedenen n und verschiedenen Stauhöhen Z die zugehörigen z aus der Rühl mann’scheu Tabelle entnommen bezw. aus einer zeichnerischen Darstellung interpolirt sind. Die zugehörigen Stauweiten sind

n-j

dann x =

Ou

ft

CU

du    \ i 1/

•h

JA

±___J * 4

CU

Wesentlich ist hierbei die Einführung von a als Höheneinheit an Stelle der Metereinheit.

Es ist dann zweckmäßig, durch Addition von (w -f- 1) • a zu z unmittelbar die Wasserspiegelordinaten der Staukurve als Vielfaches von a anzugeben, um dadurch eine fortlaufende Verfolgung dieser Ordinaten stromaufwärts zu ermöglichen und Druckfehler sofort sichtbar zu machen. Durch Multiplikation dieser Ordinaten mit a werden dann die absoluten Wasserspiegelordinaten in Meter ermittelt, wie aus dem der Tabelle beigegebenen Beispiel ersichtlich ist.

Die zugehörigen Abscissen werden aus x =

leicht berechnet, namentlich wenn J in der Form 1 : m, z. B. 1 : 2600, ausgedrückt ist und x dann die Form annimmt = n • 2600«.

Um sodann auch für andere n und Z als diejenigen, welche der Tabelle zu Grunde liegen, die Wasserspiegelordinaten leicht einschalten zu können, sind auf Blatt 1 die berechneten Ordinaten zeichnerisch aufgetragen. Dabei

ist der Längenmaßstab ~ = a • 1 so gewählt, dass die

Flusssohle unter 45° ansteigt und dadurch die Schnittpunkte mit dem Millimeternetz möglichst deutlich werden. Es kann aber auch jeder andere Längenmaßstab gewählt werden, ohne dass dadurch Aenderungen in den Zahlen eintreten, wie ja bei jedem Längenprofil die Aenderung des Verhältnisses der verzerrten Längen und Höhen keine Aenderung in den rechtwinklichen Koordinaten liervorbringt.

Tabelle und Zeichnung dürften sich wegen ihrer Anschaulichkeit und bequemen Verwendbarkeit sowohl für die Uebungen der Studirenden als auch für die mehr mechanischen Arbeiten bei der Projektirung von Bewässerungsgräben etc. meines Erachtens besser eignen als dieRiihl-mann’sche Tabelle und dadurch die für die Praxis willkommene Veranlassung geben, sich über die Staulinien besser, als bisher üblich ist, Rechenschaft zu geben.

Die-Tolkmitt’schen Tabellen sind durch die Vor

rg

Schiebung des Koordinatennullpunktes um = 1,0 gegen

(X

z + a

llühlmann’s Tabellen

(2 +

\ «

statt

mit letzteren

schwer vergleichbar. In der vorliegenden Tabelle sind beide Tabellen auf ein gemeinsames Koordinatensystem umgerechnet und es ist daher ein direkter Vergleich beider Staulinien sofort mit dem Auge möglich.

2. Fall. Auch für die Senkungskurven sind die Wasserspiegelkoordinaten nach Rülilmann berechnet und

— Z

wie bei

aufgetragen. Dabei sind jedoch nicht die ——

den Hebungslinien, sondern die F    ^ in vollen

Zahlen angenommen, weil bei den geringen Differenzen für die Ordinaten sonst zu gi’ofie Ungenauigkeiten entstehen. Die Interpolation ist aber dadurch nicht erheblich erschwert. Augenfällig ist die geringe Erstreckung der Senkungen Üussaufwärts gegenüber den gleichwerthigen Hebungslinien.

Von einer Einschaltung der Tolkmitt’schen Senkungskoordinaten ist Abstand genommen nicht nur wegen der Uebersichtlichkeit sondern auch, weil die Stauweite nach

Tolkmitt noch mit

2

und mit J

variabel sein

soll. Dies bedingt eine Berechnung für die verschiedensten J und macht eine zeichnerische Darstellung auf nur 2 Koordinatenachsen unmöglich, eine tabellarische Darstellung sehr unübersichtlich.

Auch die weiter folgende Erörterung wird die Fort-lassung der Tolkmitt’sehen Senkungszahlen gerechtfertigt erscheinen lassen.

Die Berechnung der Ordinaten ist nur auf zwei Dezimalen erfolgt, weil der Gebrauch des Rechenschiebers nur diesen Genauigkeitsgrad zulässt. Man vergleiche übrigens Tolkmitt S. 82. „Eine große Schärfe der Ausrechnungen ist nicht bloß zwecklos, sondern wegen des falschen Scheins wissenschaftlicher Gründlichkeit aucli wenig angemessen, und man wird sie nicht selten als ein Zeichen mangelnder Einsicht ansehen dürfen. Besser ist es, mehrere Formeln oder Regeln versuchsweise anzuwenden und darnach die gesuchte Größe einzuschätzen.“

Für die größeren Stauhöhen schwanken die Ordinaten in der Nähe der Staustelle so wenig, dass man einen horizontalen Spiegel annehmen könnte. Das würde aber den vorhergehenden theoretischen Erörterungen widersprechen. Vielmehr ergeben sich alsWasserspiegelgefälle an

ö +! SS

der Staustelle für das Rechteck a₂ = J

die Parabel J

Halbkreis und halbes Quadrat ./

Desgleichen an der Senkungsstelle _ . / a \³

für Recliteck a2 ' ya_

Parabel J

( a — z)

Halbkreis und halbes Quadrat .7 ^ ^

—ist ein echter, (    ein unechter Bruch, dem-

a + Z    ’ \a — Z)    ⁷

nach ist für die Hebung:

oc, Rechteck > a₂ Parabel >> a₂ Halbkreis für die Senkung:

ol₂ Rechteck <! ot₂ Parabel «< oc₂ Halbkreis.

Sv

a₂ ist stets ein Vielfaches von J und als solches in die Tabelle eingetragen. Die Riihl-mann’schen Tabellen ergeben nach der beistehenden Skizze die größten Hebungen und die größten Senkungen, das Halbkreisprofil ergiebt die geringsten Hebungen und die geringsten Senkungen.

Die Nothwendigkeit einer reichlichen Sicherheit wird in den meisten Fjmen (jer Praxis, insbesondere bei Mühlenange-\\    legenheiten dazu führen,

Abb. 28.

die Kühl mann’ sehen Zahlen anzuwenden.

Erfolgt eine Senkung in einem Parabelprofil, so wird in der Praxis meistens b konstant (also der Parameter variabel) sein und nicht nach der Mündungsstelle hin abnehmen. Für diesen Fall ist dann die Rühlmann’sche Senkungskurve evcnt. unter Einführung von ²/₃ b statt b anzuwenden.

Bemerkung. Interessant ist die von Walter für einen bestimmten Einzelfall ausgerechnete (S. 105) Tabelle der Stauweiten für 0,45 m Stauhöhe nach den Formeln von

Stauweite für 0,45 m Stauhöhe

Rühlmann (Hütte gewöhnliche Formel) 1083,50 m 100    °/₀

Tolkmitt (Handbuch der Ing.-W.). . 1143,00 „ 105,5 „

. 1049,35 „    97,0    „

. 1108,50 „ 102,0 „

. 1152,67 „ 106,0 „

. 1177,00 „ 108,5 „

. 1203,00,, 111,0 „

. 1215,00 „ 112,0 „ Klimpert ohne Faktor von Dubuat, 1631,98,, 150,0 „

„    . 3100,76 „ 286,0 „

Bei der Unsicherheit der den Rechnungen zu Grunde liegenden Voraussetzungen (Parallelismus der Schichten, veränderlich nach Bazin oder Kutter oder konstant usw.) weichen diese Ergebnisse, abgesehen von den beiden letzten, so wenig von einander ab, dass eine weitere sorgfältige Abwägung aller dieser Formeln gegeneinander für die Praxis zur Zeit kaum lohnend erscheint. Hierzu werden erst weitere Versuche an Wasserläufen und im Ingenieurlaboratorium vorhergehen müssen.

Meißner (genaue Formel)

Keck Fliegner Ritter . .

einfache

Hütte korrigirt p.

mit

Bestimmt man für das von Walter gewählte Beispiel

m a + Z

a — 1,80 ra, Z = 1,50 m,

= 1,833, J

12

10 000

die Wasserspiegelordinaten und zugehörigen Abscissen (Stauweiten) aus der vorliegenden neuen Tabelle nach Rühlmann und Tolkmitt einerseits und aus der Walter’sehen Tafel II (Verlauf der Staukurve) andererseits, so ergiebt sich Folgendes:

Stauweite

3300 ™    3000 “    2700“    2400 “ 2100“

Wasser

spiegel

ordinaten

nach Rühlmann + 5,78 “ + 5,43 “ + 5,09 “ + 4,76 “ + 4,45 + 5,77 “ + 5,42 “ + 5,07 ™ + 4,72 “ + 4,38

„ Walter

„ Tolkmitt +5,77“ +5,42“+5,07“+4,72“+4,38

1800“    1500“    1200“    900 “    600“    300“

+ 4,16 “ + 3,92“ + 3,74 “    + 3,57 “    + 3,45 “    + 3,36 “    + 3,30

+ 4,08 “ + 3,84 “ + 3,67 “    + 3,54 “    + 3,42 “    + 3,35 “    + 3,30

+ 4,08“ +3,84 “ + 3,64“    4-3,48“    +3,38“    4-3,34“    -f-3,30

0.

Die Walter’schen Ordinaten decken sich fast überall mit den Tolkmitt’schen, nur bei den Abscissen 1200'“ bis 300¹¹¹ liegen sie zwischen diesen und den Rtihl-mann’schen Ordinaten.

Der Gang der Rechnung dürfte unter Anwendung der diesseitigen Tabelle, einfacher, übersichtlicher und leicliter kontrollirbar sein als bei Anwendung der Walter’schen Methode.

ot₂ wird für Halbkreis, Parabel und Rechteck zu Null erst bei Z =

°°)

also bei einer unbegrenzten Höhe des Aufstaus, 7.₂ wird — .) bei Z = 0 und es wird = ->o bei einer Senkung Z — a.

Denkt man sich Wasser durch

co

Abb. 29.

eine obere feste a und eine untere, um ein Scharnier drehbare Rinne b fließend (Abb. 29), so wird bei genügender Länge von b —, sodass nämlich in b eine gleich -förmige Bewegung des Wassers durch den Reibungswiderstand des Profils erzeugt wird, — die Wassertiefe in b größer sein als in a, solange b nach aufwärts gedreht ist, Sie muss unendlich groß werden, wenn b horizontal stellt, also kein Gefälle und keine Geschwindigkeit vorhanden sind. Ein Fließen in horizontaler oder gar ansteigender Rinne b (Abb. 30) ist nur bei ungleichförmiger Bewegung möglich (festes Ueberfallwehr).

Co

Abb. 30.

Wird umgekehrt die Kinne b allmählich (Flussdurch-stich) in die senkrechte Lage gebracht (Abb. 31), so wird die Wassertiefe in b immer kleiner und schließlich = ü.

Wasser

Das

schließlich rechter Lichtung mit unendlich großer Geschwindigkeit herunter. Denkt man sich zwei derartige gegen einander gestellt

in

fließt loth-

Kinnen a

sondern begrenzt

(Abb. 32) und die Kinne b nicht vollkommen glatt, sondern Keibimgswiderstände leistend, sodass v nicht ⁰⁰ >

Abb. 31.

ist, so bildet sich zwar keine ganz lothrechte aber doch sehr merk bare Absenkung, ähn-

lieh dem bekannten Wirbel.

Die Vorbedingung der mathematischen Entwickelungen, nämlich eine gleichmäßige Geschwindigkeit v in jedem

rx

Punkt eines Profils (Parallelismus der Schichten) ist in der Wirklichkeit nirgends vorhanden und deshalb jede der obigen Formeln nur als eine Annäherung anzusehen.

co

s-

Bemerkung. Dies gilt auch für die übrigen von Walter S. 105 angeführten Formeln.

Abb. 32.

Am nächsten kommt die Wirklichkeit dieser Vorbedingung bei der freien Einmündung eines Baches oder Flusses in einen tiefen See. Stürzt der Bach Uber ein felsiges Ufer steil herab, so entsteht eine große Gcschwin-

digkeit und ein allmähliches Aushämmern der lothrechten Rinne durch die unendlich vielen Stöße der als Fall-hämmer wirkenden Wassertropfen.

Ist der Fluss so tief in das Gelände eingesägt, dass die Einmündung in den See ohne Aufstau, sondern mit gleichförmiger Bewegung, also mit einer bis zum See gleichbleibenden Geschwindigkeit V erfolgt, so entstehen auch hier (Abb. 33) noch beim plötzlichen Uebergang von V auf v — 0 hammerartige Stöße, welche durch das unelastische, ruhende Wasser auf Sohle und Wandungen des Miindungs- Querschnittes fortgepflanzt werden. Die

Abb. 33.

daraus entstellende Zerstörungsarbeit wird so lange fortgesetzt, bis ein ganz allmählicherUeber-gang von V nach v =■ 0 in einem trompetenförmig sicli erweiternden Flussschlauch eingetreten ist. Hat der Wasserstand in dem See nicht eine ganz gleichbleibende Höhe, so ist auch der einmündende Flussschlauch, selbst wenn er eine ganz konstante Wassermenge Q führen, also eine konstante Geschwindigkeit V zeigen würde, nicht im stabilen Gleichgewicht. Jede Hebung des Seespiegels (man vergleiche die Zeichnung auf Blatt 9) verringert das Gefälle und also die Geschwindigkeit in jedem einzelnen Flussquerschnitt und bringt daselbst Ablagerungen von feinem Schlamm hervor. Jede Senkung des Seespiegels vergrößert die Geschwindigkeit in jedem einzelnen Fluss-quersclmitt und reißt die gröberen Sande mit fort.

Bemerkung. Aut die periodischen Schwankungen der Staulinie bei Ebbe und Fluth kann hier nicht weiter eingegangen werden.

Die Absenkungskurve des Wasserspiegels kommt deutlich in dem abfallenden Freigerinne eines ober-schlächtigen Wasserrades zur Erscheinung.

Oberhalb eines Flusswehrs mit hochliegendem Wehr-rücken sind, streng genommen, wie oben schon angedeutet, zwei ungleichförmige Bewegungen, nämlich zuerst ein Stau anf abfallender Sohle und dann eine Absenkung auf ansteigender Sohle vereinigt. Die Wirkung der Absenkung erstreckt sich jedoch, wie aus der Zeichnung Blatt 9 ersichtlich, nur auf eine verhältnismäßig geringe Strecke aufwärts und wird daher nur bei der Bestimmung der Stauhöhe, nicht aber der Stauweite berücksichtigt.

Schließlich möge, um die bei Stauwerken, Brücken-, Buhnenbauten usw. vorkommenden hydraulischen Aufgaben

'»c

Abb. 34.

hier zusammenzufassen, noch eine anschauliche Art zur leichten Aufstellung der recht verwickelt erscheinenden Formel über die Stauhöhe gegeben werden (Abb. 34). Man stelle sich den, eine konzen-trirte Stauhöhe erzeugenden Querschnitt vor als ein mit unendlich vielen und unendlich kleinen Ausflussöffnungen versehenes Sieb, welches oberhalb des Oberwasserspiegels durch eine dichte Wand abgeschlossen wird. Man stelle sich ferner vor, dass das mit der Geschwindigkeit c im Flusslauf ankommende

Wasser auf die Höhe k =

c²

-— emporgeworfen wird, dann ergiebt sich als Durchflussmenge auf die Flussbreite b theoretisch, d. h. unter der Annahme, dass die einzelnen

Wasserstrahlen ihre horizontale Bewegung beibehalten (Inhalt der schraffirten Abb. 35):

Ul

Abb. 35.

V=-b[l (Z + k) V2g{Z + k) - f k |/ 2gk + a ]/ 2 g (Z -f- k) ]

¹

Für eingehende Studien sei namentlich auch Zeuner, Theorie der Turbinen, Leipzig 1899, empfohlen.

²

Fall. Die . untere Miin-

³

düng der 's Schale

^ C* einen größeren y Querschnitt, als ihre obere Wurzel,    die

Tiefe an der Wurzel    sei

= a, an der Mündung —• o, -p Z.

V=-b[l (Z + k) V2g{Z + k) - f k |/ 2gk + a ]/ 2 g (Z -f- k) ]

und thatsächlich mit Rücksicht auf die Kontraktion der sich gegenseitig in Folge der Schwerkraft drängenden und kreuzenden Wasserstrahlen

k -(- a {Z -f- k)*\

Q ⁼ ‘b\/ 2 g [ f- -f- &) - —

[j. für Brücken —- 0,95 bis 0,85.

Für kleine Stauhöhen Z, wie sie hei Bulinen und Brücken Vorkommen, kann man die dichte Wand bis auf den Unter Wasserspiegel hinabgeschoben denken und erhält dann

oder

Q = gb 1/2 g (Z + k)? • a, = (Z 4- &)*

<5

[x • b • a ]/ 2 g

~~.fi a ⁼ V 2 y {Z + k) — v im Unterwasser, ²    r²

-=Z+k=Z+~

v² — c2 ~2 g •

Danckwerts.

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Danckwerts, Tabelle zur Berechnung

der Stauweiten in offenen Wasserläufen.

Nachdruck verboten!

Seite 35.

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oc co co CO

Tf?Tf?

4,55 i 4,43 4,47 I 4,33

Gleichung der Staukurve:

r. 5,20 p. 5,20

I M ' CO (N

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l 22

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Stauweito nach (r.) Riihlmann x —

-■+>

r. 5,00 p. 5,00

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TT* & I* Z    (i ~Z

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0,0046 • J

0,0060

0,0080 • J

0,0110

0,0156 • J

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0,0008 • J

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0,0016- J

0,0003 • J

0,0024

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0,0039 - J

0,0009 • J

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3,60

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CO CM CM (M cdcd

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0,0214

0,0255

0,0048

0,0013

0,0060

0,0075

0,0017

0,0022

Beispiel: Tiefe des ungestauten Wasserlaufes a = 1,20“.

Ordinate des Wasserspiegels an der Staustelle Z *f- a = 3,12 m. Z + a

r. 4,40 4,22 p. 4,40 4,20

3,12

1,20

= 2,60;

r. 4,20 p■ 4,20

iss Iss

j Tfl Tfi I Tj? Tf?

Gefälle des Wasserlaufes J = 4- = 1,20 • 2500 = 3000

2500'

r. 4,00 p. 4,00

05 05 j

881 8SI 2S

GO CO i CO~ CO'

r. 3,80 p. 3,80

SS SS SS iss

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CO o 05 05 (M CM

CM CM

2,89 2,85 2,83 2,84 2,83 | 2,83

Wasserspiegelordinaten1 nach der Tabelle:

r. 3,60 p. 3,60

3,42

3,40

n = 3,0    2,8    2,6    2,4    2,2    2,0    18    1,6    1,4

1,2    1,0    0,8    0,6    0,4    0,2    0,0

(V.) Kühl mann    (4,00-a    3,82-a    3,63-a 3,45-a    3,28-a    3,13-«    3,00-a 2,90-a    2,82-a    2,76-a    2,70-a    2,68-« 2,64-« 2,62-a 2,61-a 2,60-

1 4,80m    4,58“    4,35m 4,13“    3,94“    3,76“    3,60“    3,48“    3,38“    3,31“    3,24“    3,22“ 3,17“ 3,14“ 3,13“ 3,12

(p.) Tolkmitt    i 4,00-a    3,80-a    3,60-a 3,42-a    3,23-a    3,07-a    2,92*a    2,82-a    2,74-a    2,68-a    2,65-a    2,63-a 2,62-a 2,61-a 2,60-a 2,60-

'4,80“    4,56“    4,32“ 4,10“    3,87“    3,68“    3,50“    3,38“    3,29“    3,22“    3,18“    3,16“ 3,14“ 3,13“ 3,12“ 3,12

Zugehörige Abscisse (Stauweite)

n ■    3000 9000 “ 8400 “ 7800“ 7200“ 6600“ 6000 “ 5400“ 4800“ 4200“ 3600“ 3000 “ 2400“ 1800“ 1200“

r. 3,40 p. 3,40

r.

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0,0058

0,0570

0,0724

0,0940

0,1250 • J

0,1720

0,2440

0,3650

0,0219

0,0302

0,0427

0,0625- J

0,0955

0,1530

0,2610

0,0085

0,0126

0,0194

0,0313-«7

0,0531

0,0957

0,1865

Tabelle der Wasserspiegelordinaten des gestauten und gesenkten Wasserspiegels, in der Einheit a ausgedrückt und auf die

Abscissen bezogen.

Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt in der Sohle des Wasserlaufes unter der Staustelle.

Die Ordinaten sind berechnet für rechteckigen Querschnitt nach Rühlmann (r.) und für Parabelquerschnitt nach Tolkmitt (p.).

Das Wasserspiegelgefälle a₂ = m • J an der Staustelle ist berechnet für Rechteck, Parabel und Halbkreis (= halbes Quadrat).

r. 2,00

r. 2,00

r. 2,00

r. 2,00

i.

r. 2,00

r. 2,00

1,80

1,80

1,80

1,79

1,78

1,78

1,60

1,59

1,58

1,57

1,57

1,57

Tt.

o

GO (N    O

GO GO    (N

tH r-T    j    r-T

1,20

0,5800

0,4840

0,4020

1,05

1,03

1,00 ¹

1,00- J

1,00- J

1,00- J

1,38

1,36

1,35

1,34

1,34

^M

0,98

0,96

0,92

1,29

1,39

1,52

1,13 0,99

0,92

0,89

0,84

1,70

2,02

2,42

1,10

0,95

0,87

0,83

0,77

2,20

2,86

3,70

1,08

0,92

0,82 0,77

0,69

3,10

4,40

6,50

1,07

0,90

0,79 0,74

/CK

0,64

3,80

6,00

9,30

r. 2,00

1,78

1,57

1,33

1,06

0,88

0,76 0,70

0,57

5,40

9,50

16,70

r. 2,00

1,78

1,56

1,33

1,05

0,87

0,74 0,67

f 4-,-

'->Ä>

r. 2,00

1,78

1,56

1,33

1,05

0,85

0,72 0,64

iM

iO

7,10

13,60

26,20

0,44

11,80

26,70

61,00

r. 2,00

1,78

1,56

1,32

1,04

0,84

0,69

0,60

125,00

625,00

3100,00

r. 2,00

1,78

1,56

1,32

1,04

0,84

0,69 0,60

0,00

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Ungleichförmige Bewegung des Wassers,

Hebungs- und Senkungslinien nach Rühlmann (—) und Tolkmitt (----)

berechnet für die Höheneinheit a und die Längeneinheit c| •

g.

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'ruck von Carl Ritter, Wiesbaden.

C W. Kreidel’s Verlag, Wiesbaden.

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WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

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BIBLIOTEKA GLÖWNA

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Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

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Biblioteka Politechmki Krakowskiej

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