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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

öffentlichen Arbeiten

A*

/é/iotheV

ÜBER BEN EINFLUSS BER VERNACHLÄSSIGUNG BER ACHSIALKRAFT BEI BERECHNUNG VON BOGENBRÜCKEN MIT EINGESPANNTEN KÄMPFERN.

NEBST EINEM    A.X\TG-E-

VON

Dr- TECHN, FRIEDRICH OTTO BINDER

K. K. INGENIEUR IM EISENBAHNMINISTERIUM.

MIT 3 TEXTABBILDUNGEN, 6 TABELLEN UND 3 TAFELN.

öffentlichen Arbeiten

**&miSSSS&S''Æ

WIEN 1910

Druckerei- u. Verlags-Aktiengesellschaft, vorm. R. v. WALDHEIM, JOS. EBER LE & Co,. Wien.

SONDERABDRUCK AUS DER ,ALLGEMEINEN BAUZEITUNG“, HEFT i, JAHRGANG 1910.

ALLE RECHTE VORBEHALTEN.

BIBLIOTEKA POUTECHBICZM

KRAKÓW

Akc. Nr.

wjhs

Inhaltsübersicht.

Seite

Einleitung..............

Ergebnisse vergleichender Berechnungen Beispiel i und 2 .......

55

4 und 5

13

14

55

18

55

21

55

28

55

3°

55

io und II

33

55

12

C 34

Zusammenfassung der Grundgesetze für den Einfluß der Vernachlässigung

der Achsialkraft ..................... .

Zulässigkeit der Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft ....    38

Vereinfachungen der Rechnung und Sätze, welche sich bei Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft ergeben

35

39

Anhang.

Andere Näherungsverfahren zur Berechnung von Bogenbrücken mit eingespannten Kämpfern.....................

a)    Nätierungsverfahren mit Annahme einer parabolischen Bogenachse

b)    Näherungsverfahren zur raschen Orientierung über die in einem Bogen

auftretenden statischen Verhältnisse..............

Lr\ Ln Ln Ln

U ►-« O O

Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkraft bei Berechnung anderer Konstruktionssysteme ......................

d) Zweigelenkbogen......................

b) Bogen mit Zugstange.................. . .

r) Polonceaudachstühle.....................

Ç.

Die ursprünglich nur für eiserne, jetzt auch für steinerne Brücken angewandte Elastizitätstheorie lehrt, Bogenbrücken mit eingespannten Kämpfern als dreifach statisch unbestimmte Systeme zu berechnen.

Zu jenen Sätzen der Elastizitätstheorie, welche die Bestimmung der statisch unbestimmten Größen ermöglichen, gelangt man durch die Betrachtung der elastischen Formänderungen, beziehungsweise der elastischen Formänderungsarbeit eines Systems. Derartige Betrachtungen können wohl von verschiedenen Grundlagen ausgehen und je nach dem Grade der Genauigkeit der theoretischen Annahmen zu verschiedenen Ergebnissen führen, doch wird die rechnungsmäßige Durchführung von Beispielen stets eine für die Zwecke der Praxis hinreichende Übereinstimmung der Resultate zeigen, wofern nicht bei der Entwicklung und Ausführung der Grundformeln Glieder vernachlässigt werden, welche einen bestimmenden Einfluß auf die Endresultate der Rechnung üben.

In der vorliegenden Arbeit soll nun versucht werden, den Einfluß derjenigen Glieder zu beurteilen, welche den Anteil der Achsialkräfte an der Formänderung zum Ausdrucke bringen, und Einblick zu gewinnen, ob und in welchen Fällen eine Vernachlässigung dieser Glieder statthaft erscheinen kann.

Die Achsial-(Normal-)kräfte eines Bogens bewirken kleine Formänderungen und zwar Annäherungen benachbarter Querschnitte, welche zwar im Verhältnis zur Verdrehungswirkung der Momente nur unbedeutend sind, gleichwohl aber nicht von vornherein übersehen werden sollten.

Vorerst seien nun die Grundformeln zusammengestellt, welche von den in der vorliegenden Arbeit wiederholt zitierten und teilweise als Quellen benützten Autoren entwickelt und angewendet wurden.

Professor K. Winkler stellt für kleine Formänderungen die Ausdrücke auf :

Ix — — y

c*x    r.v

Ws -f y Ws -f

\Mx

\y —-

r.v    Cx

X Ws —

X Wds -4-

j:

Vdy

Aÿ —

i:

Ws

wobei s-|] ==

A ds

Nx

Mx

ds

EF ^ EFr

und 9JÎ =*=

A d'f _ AF

Mr

Nx

EFr'

EJ

EFr-

Hierin ist J/r das Angriffsinoment, Nx die Achsialkraft im Querschnitte .r, J das Trägheitsmoment, F die Fläche des Querschnitts, E der Elastizitätsmodul, r der Radius der Bogenachse.

Mit dieser Entwicklung vollständig übereinstimmend sind die von Professor Dr. J. von Weyrauch in dem Werke: »Die elastischen Bogenträger, ihre Theorie und Berechnung« entwickelten Gleichungen:

ds

A.r = —y Aÿ -j-

[XMX

J oEJ

y ds —

Mx \ dx -f- ydf

EF

-f- OLZX

ày ~ x A© —

[XAF

J o~EJ

x ds —

Mx \ dy — xd<f

nF

A© -=

A?o +

[XFF

)oEJ

ds -j-

Mx

ds

EFr

nur mit dem Unterschiede, daß die Druckspannungen hier positiv eingeführt und daher einige Vorzeichen geändert werden ; auch erscheint vorstehend der Einfluß von Temperaturänderungen berücksichtigt.

Durch Anwendung der Gleichungen auf den rechten, unverrückbar und unverdrehbar gedachten Kämpfer und für t = o erhält man die Gleichungen:

Nx -f—— r

Mx \ dx-\-ydcp

EF

Air = o = —

[ AF

J .EJ

x ds —

N,+~

Mx \ dy — xd'ü

¹ Mx

ds

Mx

A? o ~ O —

Castigliano kommt in seinem Werke: »Theorie des Gleichgewichts elastischer Systeme« auf einem anderen Wege, durch Betrachtung der Formänderungsarbeit, zu einer ähnlichen Lösung des Problems. Er findet für die Formänderungsarbeit den Ausdruck:

EJ

ds

*+T

EFr

1    [M**

2    J EJ

ds.

Hierin ist außer den früher gewählten Bezeichnungen 51 eine von der Querschnittsform abhängige Konstante (für rechteckigen Querschnitt =

x und G der Schubelastizitätsmodul.

Die Bestimmung der statisch unbestimmten Größen erfolgt nun durch die Anwendung des Lehrsatzes vom Differentialquotienten der Formänderungsarbeit, welcher lautet:

»Wenn man die Deformationsarbeit eines elastischen Körpers oder Systems in einer Funktion der äußeren Kräfte und der Kräftepaare ausdrückt, so gibt der Differentialquotient dieses Ausdruckes in bezug auf eine dieser Kräfte die relative Verrückung ihres Angriffspunktes und der Differentialquotient in bezug auf ein Kräftepaar die relative Drehung der Verbindungslinie der Angriffspunkte beider Kräfte.«

Demzufolge erhält man durch Differenzieren des obigen Ausdruckes der Formänderungsarbeit nach dem Horizontalschube H\ der vertikalen rechtsseitigen Auflagerreaktion A‘ und dem rechts- und linksseitigen Kämpfermoment M₀‘, beziehungsweise M₀ bei Voraussetzung unverrückbarer Widerlager die drei Bestimmungsgleichungen : dL dH

j, Sx die Schubkraft im Querschnitte

¹ Nx cos cp ds

3fSrsin y

EF

ds

dL

dA

x ds —

f.

Nx sin (f ds

SIS^cos cp

EF

ds

dL

dL

dM,

dM₀

= A<Po' -f Aÿ₀ == o =

[Ml

J oEJ

ds.

Da nun ds cos 9 = dx und ds sin 9 — dy, so unterscheiden sich diese Gleichungen von den vorher entwickelten Weyrauchs nur in unbedeutenden Nebengliedern und zwar einerseits durch Vernachlässigung aller Glieder mit dem Bogenradius r im Nenner*), deren geringfügiger Einfluß im folgenden noch nachgewiesen werden wird, anderseits durch die Berücksichtigung des bei Weyrauch vernachlässigten Anteiles der Schub-

ds und

kräfte an der Formänderung in den Gliedern ¹315* cos 9

¹ %SX sin 9

GF

GF

ds. Auch der Einfluß dieser Glieder ist ein geringfügiger und kann daher ohne Bedenken vernachlässigt werden, zumal die Schubkräfte nicht nur im Verhältnis zu den Normalkräften sehr klein, sondern außerdem noch wechselnd positiv und negativ sind. Castigliano selbst hat in seinem oben zitierten Werke (I. Teil, 10. Kapitel) den Nachweis erbracht, daß der Einfluß der Schubkräfte praktisch stets vernachlässigt werden kann und nur dann eventuell nachträglich berücksichtigt werden könnte, wenn sich die Drucklinie sehr stark gegen die Achse geneigt ergibt (beim Vollbogen).

M. Gros de Perrodil entwickelt in dem Werke: »Resistance des voûtes et arcs métalliques« folgende Grundformeln für die Formänderungen:

dùsx =

d Ay —

(#+T)rf;t-(ś?+Acf)dy ) dy + + At )dx

Nx

d A© =

FF ■ Mx ds

FF

Für t = 0 und mit Einsetzung des Wertes A9 der dritten Gleichung in die beiden ersten ergeben sich durch Integration die folgenden Werte für die horizontale und vertikale Ver-

b Auch die Glieder

yd'i

FF

und

ds

Ja-

xd'f

FF

enthalten, da do

= —, den Bogenradius im Nenner.

Schiebung, sowie für die Verdrehung eines beliebigen Querschnittes x:

\x —

[*Nx ; [X Sx    [xMxds[

\.ËFdx-]₀GFd>-\'-Ëj\

dy

dy

[XNX

J :ef

J oGF

dx -f-

A^ —

CXMX ds

J oËJ

Da nun dx — ds cos

<p,J dy —y, dy = ds sin <p und J dx

= x,

so sind die vorstehenden Gleichungen, wofern sie auf den unnachgiebig und unverdrehbar gedachten rechtsseitigen Kämpfer bezogen werden, mit jenen, welche Castigliano unter Anwendung des Satzes vom Minimum der Formänderungsarbeit erhält, bis auf einen kleinen Unterschied in dem ohnedies unbedeutenden Schubkraftgliede vollkommen übereinstimmend.

Die Vernachlässigung des Einflusses der Schubkräfte erscheint nun sowohl durch das Vorgehen Winklers und Weyrauchs, wie auch durch den Nachweis Castiglianos gerechtfertigt; weniger entsprechend ist dagegen die in der Praxis häufig geübte Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkräfte bei Berechnung von Bogenbrücken nach der Elastizitätstheorie.

Um zunächst von der Größe der Einwirkung der Achsialkräfte auf die Formänderungen und von dem Verhältnisse ihres Einflusses gegenüber den größeren Einflüssen der Biegungsmomente einerseits und den viel geringeren der Schubkräfte anderseits eine Vorstellung zu erhalten, empfiehlt es sich, einige Spezialformeln zu betrachten, welche Castigliano bei dem vorerwähnten Nachweis des geringen Einflusses der Schubkräfte auf die Deformation verwendet.

In der für einen halbkreisförmigen, total und gleichförmig belasteten Zweigelenks bogen gültigen Horizontalschubformel:

3t

r:

4pr EJ

EF

3t

EJ

EF

GF

stellen die Glieder

r²

EJ

den Einfluß der Biegungsmomente,

der Schub-

jenen der Achsialkräfte und

kräfte dar, und es ist leicht zu erkennen, daß das erste Glied weitaus über die beiden anderen überwiegt und das zweite infolge des verschiedenen Vorzeichens im Zähler und Nenner mehr Einfluß üben wird als das letzte Glied.

Ebenso ermöglicht die Formel für den Horizontalschub eines vollbelasteten Halbkreisgewölbes ohne Gelenke:

die Glieder

EF

r3

93

40

EF

13 , st

40 GE

1 o r²

einen Vergleich des Einflusses der Biegungsmomente

AE7f

der Normalkräfte

93

40 EF,

und Schubkräfte

13 5t

Es

ist z. B. für einen rechteckigen Querschnitt mit 5t —

also nur —

40 G F)

⁶-,g = ï-e

das Glied

13 St

40 GE 40 EF

39 i

des Gliedes der

Achsialkräfte, welches wiederum sehr klein ist gegenüber

r²

4 ET

dem Einflüsse der Biegungsmomente. Hiebei ist noch zu beachten, daß der Halbkreisbogen jenen Grenzfall darstellt, in welchem der Einfluß der Schubkräfte relativ sehr bedeutend, dagegen jener der Achsialkräfte ein Minimum ist.

Für Bogen mit ein gespannten Kämpfern, deren Pfeilhöhe im Verhältnis zur Bogensehne sehr klein ist, gilt die folgende Gleichung:

4/

f_L +

45 EJV EF ^

4 P 9t

₃/² GFj

Hierin entspricht das Glied

4/²

Pl²

2/

dem Einflüsse der Biegungs-

momente,

45 EJ

i    .    4/2 5t

— den Achsialkräften und ^S-r'-^-^denSchubkräften.

3 /² G E

EF

Da der Bruch

sehr klein ist, kann das Schubkraftglied gegen-

über den anderen Gliedern ohneweiters vernachlässigt werden, dagegen wird der Einfluß des Achsialkraftgliedes neben jenem der Biegungsmomente umso wirksamer hervortreten, je kleiner die Pfeilhöhe f ist.

Ein so klares Bild geben aber analytische Ausdrücke nur in so speziellen Fällen wie den vorliegenden, und es ist im allgemeinen nicht möglich, die Untersuchung des Einflusses der Achsialkräfte auf rein analytischem Wege erfolgreich durchzu-fuhren. Wohl kann man aus einzelnen Formeln allgemeine Schlüsse ziehen, aber ein richtiges Bild ist nur durch die Betrachtung der Ergebnisse durchgerechneter Beispiele erhältlich.

Es erschien mir daher zweckmäßig, dem Gegenstände durch eingehendere und für eine größere Anzahl praktischer P'älle durchgeführte, vergleichende Berechi^Thgen näherzutreten.

Untersuchungen dieser Art haben vor allem schon Professor von Weyrauch, weiters de P e r r o d i 1 und Castigliano angestellt, und es werden im folgenden auch die Ergebnisse dieser Untersuchungen zur Betrachtung herangezogen werden.

Ergebnisse vergleichender Berechnungen.

Die Tabelle I, Seite 40, enthält die vergleichende Gegenüberstellung der Rechnungsresultate für zwölf unter verschiedenen Belastungsannahmen durchgerechnete Beispiele. Dieselben sind nach dem Pfeilverhältnis der Bogen, welches für den Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkräfte besonders maßgebend ist, geordnet. Die Tabelle gibt nebst den wichtigsten Bogendimensionen die Werte der vertikalen und horizontalen Kämpferdruckkomponenten, der Kämpfer- und Scheitelmomente, Kämpfernormalkräfte und Scheitelschubkräfte, der Stützlinienabstände und Beanspruchungen im Kämpfer und Scheitel einerseits für die genaue Rechnung, anderseits für die Näherungsrechnung mit Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkräfte, schließlich die Differenz beider Werte.

Die Angabe dieser Differenz erfolgte bei jenen Größen, welche unter den gewählten Belastungsannahmen nur positive Werte erhalten können, wie bei den Kämpferdruckkomponenten und Achsialkräften, prozentuell und zwar in Prozenten des genaueren Rechnungswertes, wodurch eine einheitliche Vergleichung der Beispiele untereinander ermöglicht wird. Für jene Werte jedoch, welche sowohl positiv als negativ sein können, das ist für die Angriffsmomente, Stützlinienabstände und Beanspruchungen, würde die Angabe der prozentuellen Differenz kein zuverlässiges Kriterium für die Beurteilung des Grades der Genauigkeit bilden; denn wenn der genaue Wert zufällig Null oder sehr nahe an Null ist, was gerade bei den Momenten und Stützlinienabständen sehr wahrscheinlich, weil anstrebenswert sein wird, so muß die prozentuelle Differenz für jeden beliebigen Wert der Näherungsrechnung unendlich groß werden. Trotzdem kann diese Differenz, praktisch genommen, unbedeutend sein. Es wurden daher in der Tabelle bei den Angriffsmomenten, Stützlinienabständen und Beanspruchungen die abso 1 uten Differenzbeträge ersichtlich gemacht, welche eine richtigere, wenn auch nicht ganz einwandfreie Beurteilung der Unterschiede beider Rechnungsarten ermöglichen.

Für die Fälle unsymmetrischer Belastung wurden die Werte der Vertikalkomponenten der Kämpferdrücke, sowie der Momente, Normalkräfte und Stützlinienabstände in den Kämpfern in der gleichen Kolonne untereinander und zwar für die linke, belastete Seite in die obere, für die rechte, unbelastete Seite in die untere Zeile eingesetzt.

Bei Ausweisung der Beanspruchungen entsprechen die Werte in den oberen Zeilen den Beanspruchungen an der Bogenaußenleibung, jene der unteren Zeile der Bogeninnen-leibung.

Eine zeichnerische Darstellung der untersuchten Bogenkonstruktionen ist auf Taf. Nr. i, 2 und 3 enthalten, worin die Stützlinien der genauen und Näherungsrechnung in schwarzer, beziehungsweise roter Farbe ersichtlich gemacht wurden¹). Die Schnittpunkte beider Stützlinien, deren Ordinaten auf eine ein-

*) Die Stützlinien wurden für die Belastung durch Eigengewicht und halbseitige zufällige Last bei allen jenen Beispielen eingezeichnet, bei welchen die Berechnung für diesen Belastungsfall in Tabelle I ausgewiesen erscheint (das ist bei Beispiel 5, 7, 8, 9, 11, 12); in allen übrigen Fällen erfolgte die Darstellung für Eigengewicht und totale zufällige Last.

fache, im folgenden zu erörternde Weise annähernd berechnet werden können, sind besonders bezeichnet und kotiert. Für Beispiel 3, 6 und 9 wurden außerdem die Stützlinien für die Berechnung unter Annahme einer parabolischen Bogenachse in blauer Farbe eingezeichnet und bei den zwei letztgenannten Beispielen auch die Einflußlinien des Horizontalschubes und der Kämpfermomente zur Darstellung gebracht.

Es soll nun eine kurze Erörterung der einzelnen Beispiele folgen, wobei die Tabelle I, Seite 40, wie auch die Zeichnungen auf Taf. Nr. 1, 2 und 3 zur Betrachtung herangezogen werden mögen. Die Bezeichnung der Beispiele erfolgt nach den Postnummern der Tabelle I, welche mit den Figurennummern der Tafeln übereinstimmen.

Beispiel 1 und 2.

Die Beispiele 1 und 2 sind ebenso wie das dritte Beispiel teilweise dem bereits zitierten Werke de Perrodils entnommen und betreffen zwei sehr flache Gewölbe von gleicher Spannweite und Pfeilhöhe, jedoch verschiedener Querschnittsdimensionierung.

Es soll zunächst auf die Ergebnisse der von Perrodil geführten Untersuchungen eingegangen werden. Von den bereits eingangs aufgestellten drei Grundformeln der sehr klein gedachten Formänderungen ausgehend, gelangt der Autor durch längere Ableitungen zu Ausdrücken für den Horizontalschub und die Momente. Schon zu Beginn der Ableitung erwähnt er, daß eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung

_    Nx Sx

dadurch stattfinden kann, daß die Glieder -g-p und das ist der Einfluß der Normal- und Schubkräfte vernachlässigt werden. Er beschränkt sich jedoch darauf, den Einfluß dieser Vernachlässigung auf den Horizontalschub allein zu untersuchen und nennt den Näherungswert -Hx der vereinfachten Rechnung »la partie principale de la poussée«, den »hauptsächlichen« oder Näherungswert für den Horizontalschub, während der genaue Wert H als »valeur complète« bezeichnet wird. Der Unterschied zwischen beiden Werten ist namentlich bei Spezialfällen in eine leicht übersichtliche analytische Form zu bringen, während bei den allgemeinen Formeln die Betrachtung durch eine Unzahl abgeleiteter Hilfswerte erschwert wird.

Es ist für sehr flache Bogen, für welche die Normalkraft Nx konstant gleich dem Horizontalschube H und die Schubkraft Sx gleich Null gesetzt werden kann :

// =

wobei m

"L

dx

z₀ —

~y~’>

--L

Z-2

_ J" y* da

Noch deutlicher wird die Formel für parabolische Bogen mit konstantem Querschnitte, in welchem Falle:

45 P² ’

4/²

(p = Trägheitsradius, /= Bogenpfeil), woraus unmittelbar folgendes entnommen werden kann:

Die Differenz beider Werte H und ■Hl wird umso kleiner sein,' je P²

kleiner yy, das ist je schlanker der Bogen dimensioniert und je größer

das Pfeilverhältnis ist. Stark dimensionierte und sehr flache Bogen werden daher besonders empfindlich gegen die Vernachlässigung der Achsialkräfte sein. Auch werden Bogen mit relativ großem Trägheitsradius (z. B. eiserne Träger mit Doppel-T-Profil) empfindlicher sein als gemauerte

h

Gewölbe, bei welchen der Trägheitsradius konstant    beträgt.

Diese Grundsätze gelten freilich in erster Linie nur für den oben betrachteten Horizontalschub, weiters aber auch, wie durch die praktischen Beispiele nachweisbar, für die Normalkräfte, Kämpfermomente, Stiitz-linienabstände im Kämpfer und Kämpferbeanspruchungen-, beim Scheitelmoment und den hievon abhängigen Größen dagegen macht sich der Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkräfte oft in gegenteiligem Sinne bemerkbar, doch ist eine eingehendere diesbezügliche Betrachtung umsomehr entbehrlich, als die Spannungsverhältnisse im Scheitel für dit¹: praktische Ausführung des Gewölbes meist nicht von Belang sind.

Ein weiteres, aus obiger Formel nicht zu ersehendes Kriterium für die Beurteilung des Einflusses der Vernachlässigung der Achsialkraft erhält man durch die einfache Überlegung, daß in Fällen, in welchen sich die Achsialkräfte von Querschnitt zu Querschnitt rasch ändern, der Einfluß ihrer Vernachlässigung sich stärker fühlbar machen wird als in jenen Fällen, bei welchen die Normalkräfte vom Scheitel zum Kämpfer stetig und langsam zunehmen. Ersteres wird bei Bogen variablen Querschnittes, letzteres bei solchen konstanten Querschnittes zutreffen.

Wie erwähnt, beschränkt sich Perrodil auf die Betrachtung der Werte H und //,, ohne hieran weitere Konklusionen zu knüpfen: es wird der Einfluß der Vernachlässigung auf die Momente gar nicht in Erwägung gezogen, möglicherweise deshalb, weil er dem Autor als zu groß überhaupt nicht mehr zulässig erschien. Es mußten daher sämtliche Näherungswerte (mit Ausnahme des Horizontalschubes) erst besonders ermittelt werden. Übrigens hat sich namentlich beim zweiten Beispiele auch die Notwendigkeit ergeben, die etwas flüchtig und für den vorliegenden Zweck zu ungenau berechneten Werte Perrodils zu kontrollieren und teilweise richtigzustellen.

Daß bei der genauen Berechnung nach den Perro di Ischen Formeln auch der Einfluß der Schubkräfte berücksichtigt wird, was sonst bei keinem der folgenden Beispiele geschieht, ist kein Grund zu der Befürchtung, daß die Vergleichung der Resultate nicht auf gleicher Grundlage erfolge: denn der Einfluß der Schubkräfte auf die Formänderungen ist, wie bereits erwähnt, fast verschwindend klein und nur bei ungewöhnlich stark dimensionierten Gewölben und bei Vollbogen von einiger Bedeutung.

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen auf die detaillierte Erörterung der gegenständlichen Beispiele übergehend, ergibt sich zunächst bei Vergleichung der DifFei'enzwerte in Tabelle I die Bestätigung der vorhin gemachten Erwägung, daß der Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkraft für Bogen konstanten Querschnittes weniger fühlbar ist als für solche variablen Querschnittes. Die beiden Gewölbe i und 2 haben gleiche Spannweite und Pfeilhöhei während jedoch bei ersterem die Gewölbstärke vom Scheitel gegen den Kämpfer rasch zunimmt (von 2 auf 4 w), ist sie bei letzterem konstant 2'b~] m. Dementsprechend sind nun die Differenzen beider Rechnungsarten im zweiten Falle bedeutend kleiner als im ersteren, mit Ausnahme des Scheitelmomentes und des Stützlinienabstandes im Scheitel, deren gegenteiliges Verhalten bereits bemerkt wurde ¹).

Dagegen ist bei Vergleichung mit den folgenden Beispielen das Gesetz, daß flache Bogen empfindlicher sind als solche von größerem Pfeilverhältnis, deshalb nicht gut erkennbar, weil die Beispiele i und 2 ungewöhnlich schlank dimensionierte Gewölbe sind, wie sie praktisch gar nicht ausgeführt werden könnten (vergl. die hohen Beanspruchungen), und weil der Einfluß der besonders schlanken Dimensionierung über die Wirkung des geringen Pfeilverhältnisses überwiegt. Es darf nicht übersehen werden, daß bei normaler Dimensionierung der betrachteten, weitgespannten Gewölbe sich ganz bedeutend höhere Differenzen ergeben würden.

Außer dem Kämpfer- und Scheitelquerschnitte wurden auch noch fünf mittlere Querschnitte zwischen beiden betrachtet, welche (mit Ausnahme des dem Kämpfer zunächst liegenden Querschnittes) in gleichen Abständen von je 3⁰ Zentriwinkel gewählt wurden. Die bezüglichen Werte der Momente, Normalkräfte, Stützlinienabstände und Beanspruchungen sind aus der Tabelle II, Seite 40/41, zu entnehmen. Es ergibt sich hieraus, daß die Differenzen der Achsialkräfte vom Kämpfer zum Scheitel hin allmählich zunehmen, daß jedoch diese Differenzen gegen-

*) Auch bei den Kämpferbeanspruchungen sind die Differenzen im Falle konstanten Querschnittes etwas größer als bei variablem Querschnitte, was jedoch lediglich darauf zurückzuführen ist, daß infolge der starken Reduktion des Kämpferquerschnittes (von 4 auf 2^67 m) derselbe fast auf das doppelte ausgenützt erscheint.

über den weit bedeutenderen der Angriffsmomente, welche sich namentlich am Kämpfer empfindlich bemerkbar machen, nicht in Betracht kommen.

Die Lage der Stützlinie, aufTaf. Nr. I, Fig. i und 2 ersichtlich, ändert sich bei Durchführung der Näherungsrechnung in den vorliegenden, wie auch in allen folgenden Fällen in gleichem Sinne; sie liegt am Kämpfer oberhalb, am Scheitel unterhalb der Stützlinie der genauen Rechnung. In diesen beiden Querschnitten treten die Grenzwerte der Differenzen auf, während die übrigen Querschnitte, besonders jene im Abstande von etwa ein Viertel der Spannweite (im vorliegenden Falle in Zentriwinkeln von etwa 7*5°, beziehungsweise io‘5°), woselbst die beiden Stützlinien zum Schnitte kommen, nur geringe, beziehungsweise gar keine Unterschiede aufweisen.

Die Schwerpunktsordinate jenes Querschnittes, in welchem der Schnittpunkt der beiden Stützlinien liegt, kann auf Grund folgender Überlegung aus den Werten der Kämpfermomente und Horizontalschübe beider Rechnungsarten annähernd ermittelt werden.

Zu suchen wäre der Querschnitt, in welchem der Stützlinienabstand

der genauen Rechnung 0 =

A'

— gleich ist dem Stützlinienabstande der

Mxt

Näherungsrechnung cXl = jÿ— ¹). Da nun, wie aus den Tabellen zu ersehen, die Differenzen der Normalkräfte Nx in allen Fällen (ausgenommen Beispiel 6) nur geringfügig sind, kann näherungsweise Nx = HXi gesetzt werden, wodurch sich die Aufgabe auf die Ermittlung jenes Querschnittes beschränkt, für welchen Mx = Mx% ist. Nun ist aber:

Mx — M₀ T Ax — Hy — IV P (x — a)

Mx, = Mot + -d\x —    —^X₀p(x — a)

Somit ist, da Mx = MXi, auch M₀ + Ax — Hy = Mai -f A, x — Hty. Die vertikale Auflagerreaktion A differiert im Falle symmetrischer Belastung gar nicht, im Falle unsymmetrischer Belastung nur wenig von dem Näherungswert At ; es kann also A — At gesetzt werden, womit die Ordinate des gesuchten Querschnittes aus der Relation :

Mo — Mo,

H — Hx

resultiert.

Die praktisch durchgeführten Berechnungen haben in allen Fällen das näherungsweise Zutreffen dieser Formel bestätigt. Sollten an Stelle der Kämpfermomente M₀, M₀, die Scheitelmomente Ms} Ms t gegeben sein, so besteht die leicht nachzuweisende Beziehung:

(f—y) =

Ms — Ms,

0 Es werden hier, wie auch in allen folgenden Fällen, die Werte der Näherungsrechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft durch den Index 1 bezeichnet.

Die Beanspruchungen sind in den gewählten Beispielen i und 2 infolge der schlanken Dimensionierung ganz abnorm hoch und selbst für besten Granit zu groß ; es handelte sich dem Autor offenbar nur um ein Schulbeispiel, eine praktische Ausführung war nicht beabsichtigt. Doch ist schon aus diesen Beanspruchungsziffern zu ersehen, daß man sich bei ausschließlicher Benützung der Näherungsformeln sehr leicht ein ganz falsches Bild von dem Spannungszustande des Gewölbes, insbesondere in den Kämpfern, zu machen geneigt sein wird; denn man erhält bei Durchführung der genauen Rechnung einerseits ganz bedeutende Zugspannungen (20'5 beziehungsweise 43 4 kg/cm²) an der Außenseite der Kämpferfugen, während die Näherungsrechnung nur Druckbeanspruchungen ausweist, anderseits sind die maximalen Druckbeanspruchungen an der Innenseite um 44 beziehungsweise 60 kg/cm2 höher als die näherungsweise berechneten Werte¹).

Es ist somit schon jetzt erkennbar, daß die bedeutenden Differenzen der Ergebnisse beider Rechnungsarten in den Kämpferquerschnitten gegen die vorbehaltlose Anwendung der Näherungsrechnung sprechen, während die Unterschiede in den Scheitelfugen meist unbedenklich sind, zumal sie hier, wie auch in den meisten übrigen Fällen zu ungunsten der Näherungsrechnung ausfallen und daher für die Benützung des Näherungsverfahrens größere Sicherheit geben.

Beispiel 3.

Bei diesem Beispiele, der eisernen Brücke über die Rhone bei Taraskon, führt Perrod il zunächst die ganze Berechnung auf Grund des Näherungswertes Hx des Horizontalschubes durch, entwickelt sodann die unter Annahme einer sehr flachen Bogenachse gültigen Grundformeln für die Berechnung des genauen Wertes H (»valeur complète de la poussée dans les arcs surbaissés«), wobei die Normalkraft Nx konstant gleich dem Horizontalschube H und die Schubkraft Sx gleich Null für jeden Querschnitt gesetzt wird, und stellt nun die solcherart erhaltenen genaueren Werte den vorigen gegenüber²).

J) Im P’alle des Beispieles I ergibt sieb allerdings eine gewisse Sicherheit der Näherungsrechnung durch die hohen Scheitelbeanspruchungen, welche sogar die ungünstigste Kämpferbeanspruchung überwiegen, doch ist dies selbstredend ein rein zufälliger Ausgleich, der im allgemeinen nicht zutrifft.

²) Auch in diesem Falle schien eine Nachrechnung und teilweise Richtigstellung der nur flüchtig durchgeführten Berechnungen Perrodils notwendig, wobei festgestellt werden konnte, daß durch einen auf Seite 179 des mehrfach zitierten Werkes unterlaufenen Fehler im Stellenwerte einer Zahl (der Wert lxr D ist 10,207, nicht 1020!) die Näherungsrechnung größtenteils unrichtige Werte ausweist. Es handelt sich hiebei offenbar um ein Flüchtigkeitsversehen, das möglicherweise erst im letzten Stadium der Drucklegung erfolgte, was schon daraus zu erkennen ist, daß bei der Durchführung der genauen Rechnung vergleichsweise die richtigen Näherungswerte zitiert werden.

Das Beispiel betrifft, wie erwähnt, einen eisernen Träger, und es ergeben sich nach Tabelle 1, entsprechend der früher gemachten Bemerkung, infolge des relativ großenTrägheitsradius des Eisenquerschnittes

/    h²    h²    \

^P¹ = —gegenüber ~~ bei GewölbenJ größere Differenzen als in

den beiden vorausgegangenen Beispielen (mit Ausnahme des nicht maßgeblichen Scheitelmoments).

Die Lage der Stützlinie beider Rechnungsarten ist aus Fig. 3, Taf. Nr. 1 ersichtlich. Ganz besonders tritt hier die auch bei einzelnen der folgenden Beispiele bemerkbare Erscheinung hervor, daß sich die Stützlinie der Näherungsrechnung in ihrem ganzen Verlaufe, auch im Scheitel, eng an die Gewölbachse anschließt, während die Stützlinie der genauen Rechnung am Kämpfer weit unterhalb, am Scheitel merkbar oberhalb der Schwerachse gelegen ist²).

Im übrigen bietet das Beispiel keinen Anlaß zu neuen Beobachtungen; es sei nur erwähnt, daß diesmal die genaue Rechnungauch im Scheitelquerschnitte ungünstigere Resultate gibt als die Näherungsrechnung, was bei den ersten beiden Beispielen nicht der Fall ist. Die Differenzen der größten Druckspannungen betragen im Kämpfer rund I$o kg [cm³, im Scheitel rund 80 kg/an³.

Beispiel 4 und 5.

Für die Beispiele 4 und 5 dienten die Angaben des Werkes »Theorie des Gleichgewichts elastischer Systeme und deren Anwendung« von Castigliano³) als Grundlage. Es handelt sich hiebei um eine Stein-und eine Eisenbrücke von gleichen Dimensionen (vergl. Fig. 4 und 5, Taf. Nr. 1). Die Berechnung ist in beiden Fällen für Eigengewicht und totale zufällige Last und bei der eisernen Bogenbrücke außerdem für halbseitige zufällige Last durchgeführt.

Das größere Pfeilverhältnis der vorliegenden Bogen von -y- —-

1

= gqr ließe nach den vorhin abgeleiteten Schlußfolgerungen eigentlich

kleinere Differenzen als in den Beispielen 1 bis 3 erwarten; daß dies nicht zutrifft, ist vornehr liöh der stärkeren Dimensionierung der Bogen, zum Teile auch der Anordnung eines variablen Querschnittes zuzuschreiben.

Die beiden Beispiele lassen einerseits deutlich die bereits erkannte größere Empfindlichkeit eiserner Bogenträger gegenüber gewölbten Bogen

h'¹

erkennen (im vorliegenden Fall ist    für den eisernen Bogen

hs

gegenüber -yj- für das Gewölbe), anderseits ermöglicht Beispiel 5 einen

v er-

Vergleich des Einflusses der Vernachlässigung der Achsialkraft für schiedene Belastungsarten, und zwar für totale und halbseitige zufällige Last.

Letzterer Betrachtung sei hier etwas ausführlicher Raum gegeben. Für die Weite des Horizontalschubes und der Normalkräfte ist, wie aus Tabelle I ersichtlich, die Art der Belastung auf die Größe der Differenz ohne bemerkenswerten Fanfluß.

Bei den Kamp fermo ment en und den Beanspruchungen im Kämpfer sind eigentlich die Differenzen beider Rechnungsarten bei totaler Belastung größer, machen sich jedoch nicht so ungünstig fühlbar, wie bei halbseitiger Belastung, weshalb vor allem diese Differenzen im folgenden noch betraçhtet werden sollen.

Für das Scheitel moment sind im vorliegenden Falle die Differenzen, prozentuell genommen, vollständig gleich, da Eigengewicht und zufällige Last in gleicher Weise über den Bogen verteilt sind. Dies hat auch zur F'olge, daß der Angriffspunkt der Stützlinie im Scheitel für beide Belastungsarten die gleiche Lage hat.

Die Zusammenstellung der Stütz linie nab stände und deren absoluten Differenzen lassen schon hier und noch besser in einzelnen folgenden Beispielen, welche gewölbte Bogenkonstruktionen betreffen, die Erscheinung erkennen, daß die Art der Belastung auf die gegenseitige Lage der Stützlinien beider Rechnungsarten nur sehr geringen Einfluß hat. Es ändert sich zwar die Lage der Stützlinie durch die Art der Belastung insbesondere bei eisernen Bogen sehr bedeutend, aber diese Änderung ist für die Stützlinien beider Rechnungsarten ungefähr gleich, so daß die gegenseitige Lage derselben zu einander fast dieselbe bleibt. Es ist nicht unwichtig, dies, besonders zu betonen, weil auf Grund dieser Flrscheinung die Möglichkpi geboten ist, nach Durchführung der Näherungsrechnung für eine der beiden Belastungsarten die wirkliche Lage der Stützlinie schätzungsweise anzugeben, wofern bereits vergleichende Berechnungen über die andere Belastungsart vorliegen sollten.

Auf Grund der vorstehenden Betrachtungen und bei Vergleichung aller folgenden, in Tabelle I zusammengestellten Fälle halbseitiger Belastung gelangt man zu dem Schlüsse, daß die Differenzen der Resultate beider Rechnungsarten für die halbseitige Belastung kein wesentlich anderes Bild zeigen, als die für Eigengewicht beziehungsweise totale Belastung auftretenden Differenzen, daß also die Art der zufälligen Belastung keinen besonderen Einfluß auf das Verhältnis der Differenzen ausübt. Für gemauerte Gewölbe ist dies von vornherein naheliegend, da ja bei diesen die zufällige Belastung im Verhältnis zum Eigengewicht geringfügig ist; es trifft aber auch bei eisernen Bogenbrücken zu. Allerdings machen sich die Unterschiede beider Rechnungsverfahren bei halbseitiger Belastung empfindlicher fühlbar, weil eben in der ganzen Berechnung ungünstigere Werte erscheinen.

Es soll nun noch auf besondere Beobachtungen, welche sich speziell für die halbseitige Belastung ergeben, eingegangen werden. Die Tabelle I wäre hiebei zum Vergleiche zu benützen, und es wolle auch das Zutrelfen in den folgenden Beispielen halbseitiger Belastung geprüft werden, um die allgemeine Gültigkeit der nachstehenden Bemerkungen bestätigt zu finden.

Der Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkraft auf vertikal gerichtete Kräfte und Kraftkomponenten ist, wie leicht begreiflich, verschwindend klein; es sind daher die Werte der vertikalen Auflagerreaktionen, wie auch der Schubkraft im Scheitel bei beiden Rechnungsarten fast die gleichen.

Bezüglich der Kämpfermomente gibt die genaue Rechnung auf der belasteten Seite meist ungünstigere, auf der unbelasteten Seite günstigere Resultate als die Näherungsrechnung; es überwiegt jedoch

bei flachen Bogen ^

y <C — J als ungünstigstes Moment stets jenes der

genauen Rechnung. Besonders hervorzuheben ist, daß die absoluten Differenz beträge der linken und rechten Kämpfermomente für b eide Rechnungsarten b ei beliebiger Belastung stets annähernd einander gleich sein müssen, was man bei Prüfung der Tabellenwerte dieses und einiger folgender Beispiele hinreichend genau bestätigt findet.

Die theoretische Begründung hiefiir ist, wie folgt, leicht zu

erbringen :

die vertikale linksseitige Auflagerkomponente A und die

Nennt man die bei Durchführung der genauen Rechnung sich ergebenden Kämpfermomente links und rechts des Scheitels M0 und M‘

Abstände beliebiger Lasten /* vom linken Auflager «, so ist:

Mo - M„ '

= 2 P (/ — a) — Al.

O

Ebenso ist für die Näherungsrechnung:

l

Mai — Mo 2 P (/ — a) — Al /.

O

Da aber die vertikale Auflagerreaktion A, beziehungsweise Ax von der Vernachlässigung der Achsialkraft, wie erwähnt, fast gänzlich unabhängig ist, kann A ~AX und somit auch :

Mo — M₀‘ = M0l — Mo

gesetzt werden, das heißt die Differenz der links- und rechtsseitigen

Kiimpfermoniente für die genaue Rechnung ist gleich jener für die Näherungsrechnung. Es ist aber auch:

Mo — Mo₁ = Mo ‘ — Mo

das heißt die Differenz der nach beiden Rechnungsarten sich ergebenden linksseitigen Kämpfermomente ist gleich der DitFerenz der rechtsseitigen, und es läßt sich leicht beweisen, daß diese Differenz gleichgesetzt werden kann :

Mo — M₀₁= Mo'- Mo / = Ms - Ms₁ + f (ff — Hx\ wobei Ms das Scheitelmoment, // den Horizontalschub, / die Pfeilhöhe des Bogens bedeuten.

Ein ähnliches Verhalten zeigen auch die Achsialkräfte, bezüglich welcher die leicht nachweisbare Beziehung:

N₀ — Nax — N₀'— Noi = (ff — Hj) cos fo besteht; auch hier sind also die Differenzen beider Rechnungsarten für beide Bogenseiten einander gleich.

Eine weitere analytische Entwicklung der vorstehenden Differenzgleichungen ist leider nicht durchführbar; es ist nur möglich, die Differenzbeträge einzelner Größen als Funktionen der Differenzbeträge anderer Größen, nicht aber als unabhängige Funktionen darzustellen.¹)

für die Schwer-

Die bereits abgeleitete Formel y =

M o — M oi H — 7/~

punktsordinate jenes Querschnittes, in welchem die Stützlinien beider Rechnungsarten zum Schnitte kommen, gilt selbstredend auch für unsymmetrische Belastung und muß, da eben bewiesen wurde, daß M₀ — Moi~M₀' — Moi für beide Gewölbseiten annähernd gleiche Resultate geben, das heißt die Stützlinien beider Rechnungsarten kommen auch im Falle unsymmetrischer Belastung annähernd in symmetrisch beiderseits des Scheitels liegenden Querschnitten zur Kreuzung. Dies trifft, wie aus der Stützliniendarstellung in Figur 5 der Taf. Nr. 1 ersichtlich, selbst bei eisernen Bogen zu, wiewohl in diesem Falle die Stützlinien eine stark unsymmetrische Gestalt haben.

Was schließlich die Beanspruchungen betrifft, so ergibt die Näherungsrechnung für halbseitige Belastung in den belasteten Kämpfern ganz bedeutend günstigere Resultate als die genaue Rechnung auf Kosten der Sicherheit der Konstruktion. So z. B. resultieren in Beispiel 5 um 340 kg/cm² geringere Zugbeanspruchungen und um 260 kg/cm² weniger Druckbeanspruchung als nach der exakten Methode. Bei eisernen Bogen können derartige Differenzen in Anbetracht der hohen Zugfestigkeit des Eisens noch eher übersehen werden? empfindlicher fühlbar machen sie sich bei Gewölben, da eine, wenn auch

Q Eine Verallgemeinerung der eben abgeleiteten Beziehungen ergibt sich durch die Betrachtung zweier beliebiger, symmetrischer Querschnitte, wie dies bei der Erörterung des Beispieles 8 geschieht.

geringe, für die genaue Rechnung sich ergebende Zugbeanspruchung im Kämpfer, beziehungsweise eine Vermehrung derselben eventuell schon bedenklich erscheinen kann. Wie aus Tabelle I zu ersehen, ist diese Gefahr besonders bei flachen Gewölben (etwa bis zu */₄ Pfeil) zu gewärtigen.

Beispiel 6.

Das Beispiel 6 behandelt einen Bogensektor des in Figur 9 der Taf. Nr. 3 dargestellten Gewölbes, und zwar jenen oberen Teil des Bogens, dessen Zentriwinkel halb so groß ist als jener des ganzen Gewölbes, (vergl. Fig. 6, Taf. Nr. 2).

Die Berechnung erfolgte mit Anwendung des Satzes vom Minimum der Formänderungsarbeit, und zwar mit Hilfe der Konstruktion von Einflußlinien für den Horizontalschub H und die Kämpfermomentsummen (M ₀ -f- Mo') unter Annahme symmetrischer Belastung. Um

|V² d s Jy²

Vds rxds ryds r Integrale J y, J -y-, J y, J

des

zunächst die

Ausdruckes der Formänderungsarbeit durch endliche Summen zu ersetzen, wurde der Bogen in gleichen Entfernungen durch radiale Fugenschnitte in zehn gleiche Teile geteilt, wie aus Figur 6 der Taf. Nr. 2 ersichtlich. Durch Abgreifen der Werte x, y und der

i    J \

Gewölbstärken d j für J    j der einzelnen Abschnitte konnten nun

obige Summen gebildet und in die durch Differenzieren des Ausdruckes der Formänderungsarbeit nach den statisch unbestimmten Größen H und M₀ gewonnenen Gleichungen eingeführt werden. Für die vereinfachende Annahme einer symmetrischen Belastung durch zwei Einzellasten »1« wurden nunmehr die Einflußlinien des Horizontalschubes und der Kämpfermomentsummen (siehe Figur 6 a und 6b in Taf. Nr. 2) konstruiert, wonach für eine beliebige symmetrische Belastung des Gewölbes der auftretende Horizontalschub und das Kämpfermoment leicht ermittelt werden können. Es empfiehlt sich hiezu, die gesamte Belastungsfläche, wie in Figur 6 durchgeführt, durch vertikale Linien in eine Anzahl gleich breiter Lamellen zu zerlegen-, summiert man sodann die Produkte sämtlicher Lamellengewichte und der zugehörigen mittleren Einflußordinaten, so ergeben sich die gesuchten Werte des Horizontalschubes und der Kämpfermomente.

Im vorliegenden Beispiele treten die Wirkungen einer außerordentlich kräftigen Dimensionierung, welche dadurch erklärlich ist, daß man es mit einem Teile eines größeren Gewölbes zu tun hat, mit der Wirkung der Flachheit des Bogens und der Veränderlichkeit des Querschnittes zusammen, wodurch die sich ergebenden Differenzen beider Rechnungsverfahren abnorm groß werden. Bei dem sonst wenig empfindlichen Horizontalschub betragen dieselben über 100%, bei der Kämpfernormalkraft über 60%!

Sehr interessant ist die Lage der Stützlinien in diesem Falle. Die Stützlinie der Näherungsrechnung fällt, da die Momente nur wenig von Null verschieden sind, nahezu mit der Mittellinie des Gewölbes zusammen (in Figur 6 rot eingezeichnet). Die genaue Rechnung ergibt dagegen ein sehr großes negatives Kämpfermoment und ein großes positives Scheitelmoment-, die zugehörige Stützlinie (in Figur 6, Taf. Nr. 2 schwarz)⁴) ist nahezu die sogenannte »Minimalstützlinie«. (Vergl. die Ähnlichkeit im Beispiele 3.)

Aus diesem Beispiele ist somit mit besonderer Deutlichkeit zu ersehen, daß die Näherungsrechnung viel günstigere Resultate als die exakte Methode liefert.

Entsprechend den großen Differenzen beider Rechnungsarten geben auch die aus Figur 6a und Taf. Nr. 2 ersichtlichen Einflußlinien des Horizontalschubes und der Kämpfermomentsummen für beide Berechnungen ein gänzlich verschiedenes Bild.

Die Ordinaten der Einflußlinie des Horizontalschubes für die Näherungsrechnung sind konstant mehr als doppelt so groß wie jene der genauen Rechnung, und die für die Näherung sich ergebende Summenkurve der Kämpfermomente wechselt vom negativen ins positive Gebiet, während die gleiche Kurve der genauen Rechnung ausschließlich bedeutende negative Werte ausweist.

Die Befürchtung, daß derart abnorm große Unterschiede beider Rechnungsarten wie in dem eben behandelten Beispiele in der Praxis mehrfach Vorkommen könnten, wäre nicht begründet, weil größere Gewölbe von der im Beispiele angenommenen Gestalt und überkräftigen Dimensionierung praktisch nicht ausgeführt werden. Es handelte sich im vorliegenden Falle lediglich um die Demonstrierung eines Grenzfalles, bei welchem alle auf die Differenz beider Rechnungsarten wirksamen Einflüsse in einem Sinne auftreten.

Gerade dieser Fall schien aber auch besonders geeignet, eine Beurteilung des Einflusses jener Glieder der genaueren Formeln Weyrauchs zu ermöglichen, welche den Gewölberadius r im Nenner enthalten und bereits eingangs als von geringem Einflüsse bezeichnet wurden. Es wurde daher die Berechnung des Beispieles 6 auch nach den Weyrauchschen genauen Formeln vorgenommen, deren Ergebnisse im Zusammenhänge mit dem folgenden Beispiele besprochen werden sollen.

Es sei noch erwähnt, daß der eben betrachtete Wölbbogen ein interessantes Bild des Überganges zum Problem des geraden, eingespannten, auf Biegung beanspruchten Balkens bietet: es zeigt sich bereits der Übergang der Stützlinie zur Spannungstrajektorie, sowie der Übergang der Momenteneinflußlinie in die nebenstehend dargestellte Einfiußlinie der Summen beider Einspannungsmomente (M₀ -f M₀‘) für den geraden eingespannten Balken.

Textfigur I.

'S?

’V

JŁ

fû=-

JL

j#-

x..}.

■**-

a-

ihn

'S.

k’

iS

An dieser Stelle mag es am Platze sein, einige Bemerkungen über das Problem des geraden eingespannten Balkens, welcher als sehr flacher Bogen vom Pfeilverhältnis Null aufgefaßt werden kann, beizufügen. Man könnte auf Grund der bisherigen Ergebnisse verleitet werden, anzunehmen, daß beim geraden, eingespannten Balken als dem Grenzfall eines sehr flachen Bogens vom Pfeilverhältnis Null eine Vernachlässigung der Achsialkraft bei der Berechnung am stärksten fühlbar würde. Dem widerspricht jedoch die Tatsache, daß in diesem Falle Normalkräfte überhaupt nicht auftreten, weshalb beide Berechnungsarten geradezu identisch werden.

Es ergibt sich also hier eine merkwürdige Diskontinuität, indem das sonst allgemein gültige Gesetz: je flacher der Bogen, desto größer der Fehler der Näherungsrechnung, gerade für den flachsten Bogen vom Bogenpfeil Null nicht zutrilft. Dieses diskontinuierliche Verhalten tritt überhaupt immer dann hervor, wenn man den Versuch macht, von der Bogentheorie auf das Problem des geraden, eingespannten Balkens überzugehen. So z. B. werden bei Berechnung eines Bogens

mit Hilfe der eingangs zitierten theoretischen Formeln stets umso größere Horizontalschübe resultieren, je flacher der Bogen gestaltet ist; die Horizontalschübe wachsen also bei sonst gleichen Verhältnissen mit abnehmendem Bogenpfeil. Für den Grenzfall eines sehr flachen Bogens von der Pfeilhöhe Null resultiert jedoch nicht, wie eigentlich zu erwarten wäre, ein unendlich großer Horizontalschub; derselbe reduziert sich vielmehr unvermittelt auf Null, übereinstimmend mit der Theorie des geraden eingespannten Balkens.

Man muß zugeben, daß es sich hier um eine merkwürdige, jedoch theoretisch einwandfreie Erscheinung handelt, welche übrigens auf dem Gebiete der technischen Mechanik nicht vereinzelt dasteht und durch Gleichnisse, wie auch durch die Vorstellung der Art der Lastverteilung auf die Widerlager⁵) verständlicher gemacht werden kann.

Beispiel 7.

Beispiel 7 ist dem Werke Dr. v. Weyrauchs: »Die elastischen Bogenträger, ihre Theorie und Berechnung« entnommen und bezieht sich auf das vom Gewölbeausschuß des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereines im Purkersdorfer Steinbruche untersuchte Bruchsteingewölbe (vergl. Fig. 7, Taf. Nr. 2).

Die Berechnung erfolgte nach den eingangs zitierten Formeln v. Weyrauchs, und es soll hier zunächst auf die Unterschiede aufmerksam gemacht werden, welche zwischen den bisher benützten Grundformeln Castiglianos (beziehungsweise Perrodils) und jenen Weyrauchs bestehen.

Um vor allem den Einfluß festzustellen, welchen die in den

Mx

Weyrauchschen Formeln enthaltenen Glieder——auf die Endresultate

üben, diene die nachfolgende Zusammenstellung.

Es ergibt sich für das Eigengewicht des Bruchsteinversuchs

gewölbes :

Mit

Berücksichtigung

Mx

der Glieder-

r

2570 ¹

—    4-906 tm + 0424 tm

35-286 t

—    0-139 m

Ohne

Differenz

Horizontalschub

Kämpfermoment

Scheitelmoment

. . . 25-796/

O 004 tm O OO4 tm

• . — 4-902 tm . 4 0 428 tm Normalkraft im Kämpfer .... 35-286 t Stützlinienabstand im Kämpfer . — 0-139 m

Stützlinienabstand im Scheitel . —O'Oi ~j m Beanspruchungen im Kämpfer . j

Beanspruchungen im Scheitel . j

0 8 kg/cm2 5‘6 kg/cm2 5’0 kg jem2 3-6 kg/cm²

— O OIÓ m I O'8 kg/cm2 I 5'Ó hgjcm2 5-O kg/cm2 3 6 kg jem²

O’OOI m

Mx

Der Einfluß der Glieder ~~ ist somit im vorliegenden Falle

verschwindend klein und praktisch ohne Bedeutung; bei sehr stark dimensionierten Gewölben dürfte er sich allerdings deutlicher bemerkbar machen.

Die von Weyrauch verwendeten Formeln unterscheiden sich aber von jenen Castiglianos und Perrodils nicht nur durch Mx

die Glieder--, sondern auch durch die

r ’

j’Nx x do

ÇJV x y d cp

Zusatzglieder J—

PAG d s J li Fr

und

- der Normalkraftintegrale¹). Für die Geringfügigkeit des Einflusses dieser Glieder den direkten Nachweis so wie

F, F

vorhin für die Werte

Mx

zu

erbringen, würde eine sehr umständliche

und zeitraubende Rechnung erfordern, da die Werte (d x + y d ©) und

{dy — x d z>) der eingangs zitierten Grundformeln Weyrauchs bei der

r — f

weiteren Emtwicklung derselben durch die Ausdrücke —— d beziehungsweise — ds ersetzt werden und zur Erbringung des Nachweises daher die Bildung zahlreicher neuer Tabellenwerte erforderlich wäre.

Es ist dies umso leichter vermeidbar, als man auch auf anderem Wege zu der angestrebten Erkenntnis gelangen kann. Schon die Tatsache, daß die betrachteten drei Ausdrücke das Bogendifferential d s

do = — 5 beziehungsweise den Gewölbradius im Nenner enthalten, läßt vermuten, daß ihr Einfluß kein erheblicher sein kann.

Weiters steht fest, daß der Einfluß der betrachteten Glieder nur ein Teil des Gesamteinflusses der Achsialkräfte auf die Formänderungen sein kann, und zwar ist es, wie aus der Ableitung der Weyrau chschen Formeln ersehen werden wolle, jener kleinere Teil des Einflusses der Achsialkräfte, welcher gemeinsam mit der Wirkung der Momente an der Winkeländerung A o der Querschnitte teilnimmt. Dieser Einfluß kann jedoch nur unbeträchtlich sein, denn er ist nicht

x) Auf den weiteren Unterschied der Berücksichtigung von Schubkraftgliedern bei Castigliano und Perrodil soll hier nicht weiter eingegangen werden, da, wie bereits erwähnt, deren Einfluß praktisch stets vernachlässigt werden kann.

nur

viel geringer als der Einliuf3 der Momente auf die Winkel-

änderung A cp, sondern auch geringfügig im Vergleiche mit der Wirkung der Achsialkräfte auf die Längenänderung der Bogenachse A s.

Schließlich konnte die Geringfügigkeit des Einflusses der obbe-zeichneten Glieder noch aus der Durchrechnung eines praktischen Beispieles erkannt werden. Es wurde nämlich das Beispiel 6, welches durch seine ganz ungewöhnliche Dimensionierung als Grenzfall besonders zur Untersuchung geeignet erschien, sowohl nach den Formeln Casti-glianos, wie auch nach den genaueren Gleichungen Weyrauchs für Eigengewicht und totale zufällige Last berechnet. Die Ergebnisse sind folgende :

Nach

Weyrauch Castigliano Differenz berechnet

Horizontalschub ....

Kämpfermoment ....

Scheitelmoment ....

Normalkraft im Kämpfer Stützlinienabstand im Kämpfer . — 0752 m Stützlinienabstand im Scheitel . + 0-330 m

•35\3I9' — 36823 im + IIÓ53/W . 48-991 t

35'423 ' - 34-37Ó '«* + I3'9⁶7 tm 49'081 t - 0700 m 4- 0-394 m

0‘104 ' 2-447 t,n 2-314 im 0-090 t O-052 in O 064 m

I — y^ kg/cm² j— 6'5 kg jem* 108 kg/rm'²

Beanspruchungen im Kampfer . -j ₊ ^ kg/cm, ₎ + ^ kgjcm% ^ k?jcm% Beanspruchungen im Scheitel . j

+ 8'7 kg/cm² ( + 9-8 kg/cm² f i l kg/cm2 — 2"4 kg/cm² | —3-5 kg/cm² (II kg/cm2 Die vorstehenden Differenzen geben ein Bild des gemeinsamen

x d cp EF ⁵

y d o EF ’

sich die genauen Formeln Weyrauchs von jenen Castiglianos unter-

Mx

Einflusses der Glieder-- und Nx

Nx

Nx

ds

EFF

um welche

Mx

scheiden. Diese Differenzen dürften, da der Einfluß der Glieder-, wie

vorhin bewiesen, fast verschwindend klein ist, vornehmlich auf den

xd ą

~£~F

ds

y d o E F ’

sie sind jedoch in Anbetracht des gewählten, sehr ungünstigen Falles eines überstark dimensionierten Gewölbes und im Vergleiche mit jenen Differenzen, welche in Tabelle I, Beispiel 6, für die vollständige Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft nachgewiesen wurden, als nicht beträchtlich zu bezeichnen.

Wenngleich also die Rechnungsergebnisse Weyrauchs auf Grund einer anderen und zwar genaueren Theorie gewonnen sind als jene von Perrod il und Castigliano, kann doch die Betrachtung des Ein- » flusses der Achsialkraft und der Vergleich mit den früheren Ergebnissen ohne Rücksichtnahme hierauf erfolgen, da die Einwirkung der bei Weyrauch noch hinzutretenden Glieder eine geringfügige ist.

Nach diesen allgemeinen Betrachtungen sei nun auf die Erörterung des gegenständlichen Beispieles eingegangen. Das Bruchstein-

Einfluß der Werte Nx

Nx

und N.

x EFr

zurtickzuführen sein ;

versuchsgewölbe wurde sehr schlank dimensioniert,

zwei beliebige Achsen gleich Null sein

über den Einfluss der Vernachlässigung der achsial

¹

Werte der Näherungsrechnung erst ermittelt werden.

²

)    Die mit b 1 aller Farbe angedeutete Stützlinie, welche unter Annahme einer parabolischen Bogenachse berechnet ist, zeigt nur geringe Abweichungen gegenüber der Stützlinie der genauen Rechnung; über den Vorzug dieses Näherungsverfahrens speziell bei flachen Bogen wird noch im folgenden ausführlicher gesprochen werden.

³

)    So wie vorhin Perrodil, rechnet auch Castigliano seine Beispiele stets mit Berücksichtigung des Einflusses der Achsialkraft; es mußten also die

⁴

) Neben den in schwarzer und roter Farbe eingezeichneten Stütz- und Einflußlinien der genauen Rechnung, beziehungsweise der Näherungsrechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft w-urden noch die Stütz- und Einflußlinien für die Berechnung unter Annahme einer parabolischen Bogenachse in blauer Farbe ersichtlich gemacht, welche durchwegs ziemlich nahe an den Kurven der genaueren Rechnung verlaufen. Die Vorteile dieser Berechnungsart werden später zusammenfassend behandelt.

⁵

Eine Vertikalkraft kann wohl in zwei nahezu horizontale Komponenten zerlegt werden, welche einen stumpfen Winkel miteinander einschließen, nicht aber in zw'ei Komponenten von genau horizontaler Lage. Im ersteren Falle sind die Komponenten nahezu unendlich groß, im zweiten Falle gleich Null.

versuchsgewölbe wurde sehr schlank dimensioniert, um »ein Modell zu erhalten, dessen Erprobung einen direkten Schluß auf das Verhalten größerer Gewölbe ermöglichen sollte«. Infolge dieser sparsamen Dimensionierung treten, den bereits entwickelten Grundsätzen entsprechend, nur kleine Differenzen zwischen beiden Berechnungsarten auf.

Die Berechnung des Gewölbes ist für fünf Belastungsfälle durchgeführt, und zwar: i. für das Eigengewicht, 2. für das Eigengewicht und eine totale Belastung mit neun Kräften P = 3430 kg und zwei Kräften

P

zunächst den Gewölbekämpfern = 1715 kg, 3. für das Eigengewicht

und eine halbseitige Belastung mit den Kräften P — 3430 kg (Belastung der Proportionalitätsgrenze), 4. für das Eigengewicht und totale Belastung mit Kräften P — 5574 kg und 5. für das Eigengewicht und eine halbseitige zufällige Belastung mit Kräften P = 5574 kg (kritische Belastung, Entstehen der ersten Risse)¹).

Es wurde absichtlich in Tabelle I von der Darstellungsweise der Resultate, wie sie bei Weyrauch erfolgt, abgegangen und beispielsweise nicht ein Vergleich zwischen den für die mobile Belastung allein sich ergebenden Resultaten angestellt, sondern nur für die vorhin aufgezählten, praktisch wirklich möglichen fünf Belastungsfälle. Denn, wie bereits erwähnt und in diesem Falle neuerdings beweisbar, hat die Art der zufälligen Belastung keinen wesentlichen Einfluß auf die Größe der Differenzen beider Rechnungsarten; es ist somit die Betrachtung des ohnehin nur theoretisch möglichen Falles alleiniger zufälliger Belastung umsomehr entbehrlich. Die Differenzen der Horizontalschübe sind in allen fünf Belastungsfällen rund 4%, jene der Normalkräfte im Kämpfer rund 2%, welche Differenzen also auch für eine beliebige zufällige Belastung ohne Eigengewicht eintreten würden; bezüglich der Momente gelten die bereits bei den vorangegangenen Beispielen gemachten Bemerkungen.

Besonders augenfällig tritt hier die bereits beobachtete Erscheinung hervor, daß die gegenseitige Lage der Stützlinien beider Rechnungsmethoden durch die Art der Belastung keine wesentliche Änderung erfährt; es ist der Abstand beider Stützlinien im Kämpfer fast konstant 0'ic>7 m, im Scheitel 0 034 m in allen fünf Belastungsfällen.

¹) Die meisten der in Tabelle I ausgewiesenen Rechnungswerte konnten unmittelbar dem Buche Weyrauchs entnommen werden; jedoch sind die von Weyrauch für die Verkehrsbelastung angegebenen Werte der genauen

Rechnung infolge eines Übersehens in der Entwicklung des Summengliedes ü ~Ä_ p

o P

(vergl. Seite 249 der Ausgabe 1897 des Werkes) unrichtig, ja sie könnten möglicherweise irreführen, da sie im entgegengesetzten Sinne differieren. Diese Werte mußten bei der vorliegenden Arbeit erst neu berechnet und richtiggestellt werden.

Herr Professor Dr. v. Weyrauch hat eine diesbezügliche briefliche Mitteilung freundlichst zur Kenntnis genommen und deren Zutreffen bestätigt.

Innerhalb des Gewölbes jedoch ändert sich die Lage beider Stützlinien ziemlich bedeutend, und daher zeigen sich auch in den Beanspruchungen insbesondere der halbseitig belasteten Kämpfer bedenkliche Unterschiede : die genaue Rechnung ergibt da Mehrbeanspruchungen auf Zug und Druck von über 3 kg/cm\ eine bei Bruchsteingewölben gewiß zu beachtende Größe.¹)

Zum Schlüsse mögen nun noch die von Professor Dr. v. Weyrauch auf Grund seiner eingehenden Untersuchungen abgeleiteten Ergebnisse über den Einfluß und die Zulässigkeit der Vernachlässigung der Achsialkraft in Kürze zitiert werden²):

»Daß jene Vernachlässigungen« (des Einflusses der Achsialkraft Nx und der Glieder mit r im Nenner) »für Bogen mit zwei Gelenken zulässig sein können, ist im § 32 bewiesen und geht auch daraus hervor, daß der fragliche Einfluß für Halbkreisbogen mit zwei Gelenken verschwindet (wegen f — r). Inwieweit die Vernachlässigung bei Bogen ohne Gelenke gestattet ist, können nur Proberechnungen lehren . . .«

»Hienach« (nach den Ergebnissen der Proberechnungen) »können besonders bezüglich der Momente durch Belastung sehr große Abweichungen gegen die genaueren Werte eintreten. Da nun z. B. die Einsenkungen wesentlich durch die Momente bedingt sind, so wird man bei Berechnung derselben unter den oben erwähnten Vernachlässigungen im allgemeinen keine genügend genauen Resultate zu erwarten haben, was denn auch entsprechende Berechnungen bestätigen (Beispiel 44).

......Indessen kommt es bei der Berechnung von Bogenträgern

in erster Linie auf die Beanspruchungen des Materials an, vor allem auf die Normalspannungen <s₀, a« in den obersten und untersten Querschnittselementen. Wie diese durch jene Vernachlässigungen beeinflußt werden, muß die Fortsetzung vergleichender Berechnungen ergeben. ......Die wichtigsten Resultate enthält die Tabelle des Beispiels 35, welche zeigt, daß die von der gesamten Belastung herrührenden Spannungen a₀, <?», t weit weniger ungünstig als die M, M‘s) durch die fraglichen Vernachlässigungen beeinflußt werden.« (Siehe Seite 142 des Werkes.)

J) Freilich ist im vorliegenden Falle eine gewisse Sicherheit dadurch gegeben, daß für das abgekürzte Verfahren die Beanspruchungen des unbelasteten Kämpfers ungünstiger werden und die Größe ihrer Maximalbeanspruchungen zufälligerweise annähernd jenen der belasteten Kämpfer für die genaue Rechnung entsprechen. Auf einen derartigen zufälligen Ausgleich darf man aber keineswegs im allgemeinen rechnen, wie andere in Tabelle I verzeichnete Beispiele beweisen, bei welchen die genaue Rechnung unter allen Umständen ungünstigere Resultate, und zwar sowohl für Zug- wie für Druckbeanspruchung ergibt.

²) Wörtlich nach der Ausgabe 1897 des Wey r auchschen Werkes, welcher auch die fallweise angeführten Seitenzahlen entnommen wurden.

⁸) M — Moment im linken Kämpfer, M‘ = Moment im rechten Kämpfer.

»Die Übereinstimmung ist für die Gesamtspannungen durch Eigengewicht und Verkehrslast weit besser, als nach den großen . . . bezüglich der Momente nachgewiesenen Abweichungen vermutet hätte werden können (vergl. Beispiel 36). Jedenfalls ist auch die Berechnung mit jenen Vernachlässigungen dem ganz willkürlichen, gewöhnlichen Verfahren bei weitem vorzuziehen.« (Siehe Seite 153.)

»Für Bogen ohne Gelenke kann der Einfluß der Vernachlässigung jenes Beitrages« (der Achsialkraft) »in den Ausdrücken von H, M, M‘ bei beliebiger Achse und beliebigen Querschnitten bedeutend werden, selbst in dem günstigsten Falle rechteckigen Querschnittes (Gewölbe). Zu beachten ist jedoch hier wie bei parabolischen Bogen, daß sich die Abweichungen nicht in gleichem Maße auf die bei der Dimensionierung in Frage kommenden Beanspruchungen fortzupflanzen brauchen.«

»Auch wenn bei Berechnung der Stützenreaktionen und Beanspruchungen die einfacheren Formeln der §§ 16, 34 zur Verwendung kommen, sind die Einsenkungen im allgemeinen möglichst genau zu berechnen, da diese durch Vernachlässigungen selbst dann bis zur Unbrauchbarkeit beeinflußt werden können, wenn die erhaltenen Beanspruchungen für praktische Zwecke noch genügend genau sind.« (Siehe Seite 257.)

Professor Dr. v. Weyrauch betrachtet jedoch nicht nur den Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkraft bei Kreisbogengewölben, sondern auch bei Bogen mit parabolischer Achse, bei welchen die

Vernachlässigung durch die Nullsetzung des Wertes e =

7cos cp F cos ®’

rf

151 (r—f\2

erfolgt, wobei y gleich ist

beziehungsweise einem Mittelwerte

von —p . Er untersucht auch hier das Wiener Bruchsteinversuchsgewölbe

nach beiden Rechnungsverfahren und vergleicht die Resultate derselben mit einander. Einige der Ergebnisse seien wieder wörtlich angeführt :

»Die Abweichungen« (der Resultate beider Rechnungsarten) »können hienach für die Momente schon bei dem kleinen e = o*oo25g erheblich werden. Nun pflegen aber für eiserne Bogen wesentlich größere e als für Gewölbe einzutreten, z. B. für die Dourobriicke 0*004287, für die Öffnung IV der Canstatter Brücke 0*012063, für die Coblenzer Brücke 0 04563, und da der Horizontalschub bei Vernachlässigung von e allgemein (1 -f 6e)mal so groß als nach den genaueren Formeln resultiert (bei Bogen mit Kämpfergelenken nur (1 -f- s)mal so groß), so würde er sich in den letzterwähnten Fällen alsdann um 2*57%, beziehungsweise 7 24%) beziehungsweise 27*38% zu groß ergeben, während für die Momente noch weit größere Differenzen entstünden.

Da für eine Einzellast P bei a nach § 17, g :

(i + Ó s) 2 P

a (/—a)² (5 a — 2 / — 12 z/)

oder mit u. = -y

12 S

PI

I 4- Ó £

so folgen, z. R.:

für

oi

02

04

°'5

mit £ = 0 015    —— 0-06242

Mx

mit e = O ~pj — — 0*06075 Abweichungen in % —    ²'68

— 0-06928

— 004585

001189

4- 0-01834

— 0-06400 — 003675 7-62    19-85

+ 003125

100

70 39

fur — =

o-6

08

°'9

.]/

mit £ — 0015 -pj = + 0-03611

-f 003815

4- o 02672

-j- 0-00958

Mx

mit e = O -pj = -f- 0 04800 4- 0-04725 4- 0-03200 4- 0-01125

23-85

19-76

¹7'43

Abweichungen in % —    3²'93

Ähnliche Abweichungen können für die übrigen Momente Mx entstehen. Wenn sich dieselben nun auch nicht in gleichem Maße auf die Normalspannungen durch die Gesamtbelastung fortzupflanzen brauchen . . so erkennt man doch, daß gerade bei Bogen ohne Gelenke £ im allgemeinen nicht zu vernachlässigen ist, wie es auch bei Berechnung der Einsenkungen durch die Belastung niemals unberücksichtigt bleiben darf, da sonst, z. B. bei gleichmäßig verteilter Belastung auf die ganze Spannweite für parabolische Bogen ohne Gelenke, wie mit 2 und 3 Gelenken die Einsenkung Null sich ergeben würde.« (Siehe Seite ui und fortlaufend.)

Bei der Berechnung der Pruthbrücke nächst Jaremcze (Pfeilver-

hältnis

37

) erwähnt Weyrauch:

»Man sieht hier, daß £ bei steilen Gewölben rechteckigen Querschnittes am ehesten vernachlässigt werden kann; doch macht die Berücksichtigung keine Schwierigkeit.« (Seite 115.)

An anderer Stelle (Seite 199) wird noch über den Einfluß von £

bemerkt :

»Die Unzulässigkeit einer allgemeinen Vernachlässigung von £ zeigt sich auch in den Konsequenzen derselben. So würde danach bei Belastung der ganzen Spannweite durch eine beliebig große, gleichmäßig verteilte Last keine Einsenkung entstehen, während doch z. B. für / = 0 bei Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk dieselben Einsenkungen entstehen sollten, wie bei Balken mit beiderseits frei drehbaren und beiderseits festgespannten Enden. Nebenbei ergibt die Annahme £ = 0 im Falle f — 0 für Bogen mit zwei Gelenken und ohne Gelenk H — 00 statt H — 0, womit bei letzteren auch ganz unrichtige 4/, AP verbunden sind.«

»Der Einfluß von s ist umso geringer, je steiler der Bogen ist, und /

für / = —- hat man e = 0.« (Seite 256.)

Eine Zusammenfassung der Ergebnisse seiner Untersuchungen bringt Weyrauch im § 36 des III. Abschnittes seines mehrfach zitierten Werkes; sie enthält im wesentlichen die bereits vorstehend wiedergegebenen Aufschlüsse.

Beispiel 8.

Das Beispiel 8 entstammt einem in Nr. 30 der Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereines vom Jahre 1894 erschienenen Aufsatze des Ingenieurs Siegmund Kulka¹): »Über die Berechnung großer gewölbter Brücken.« Der Verfasser führt darin unter anderem die Berechnung einer steinernen Wölbbriicke nach dem Verfahren von Castigliano und zwar mit Berücksichtigung des Einflusses der Achsialkraft²) vor.

Der Wölbbogen hat das Pfeilverhältnis -^rp, die Gewölbstärken

entsprechen einer normalen, mittleren Annahme. Nach den bisherigen Erfahrungen kann man also auf mäßige Differenzen beider Rechnungsarten schließen, was auch zutrifft. Vergleicht man die Resultate mit denen des vorhergehenden Beispieles, so sieht man, daß die Prozentwerte der Differenzen für den Horizontalschub in beiden Fällen fast gleich sind: es hält also der Einfluß des größeren Pfeilverhältnisses dem Einfluß der besonders schlanken Dimensionierung im vorigen Beispiele ungefähr das Gleichgewicht. Bei den Kämpfernormalkräften ist dieses Verhältnis bereits mehr zugunsten des Gewölbes mit größerem Pfeil verschoben.

Die Berechnung wurde für drei Belastungsfälle : für Eigengewicht, für Eigengewicht und totale zufällige Belastung und für Eigengewicht und halbseitige zufällige Belastung durchgeführt, und es wurden hiebei, ähnlich wie in den Beispielen 1 und 2, außer dem Kämpfer und Scheitel noch andere Bogenpunkte betrachtet und zwar jene drei Querschnitte, welche die halbe Bogenachse in vier gleiche Teile zerlegen (vergl. Fig. 8, Taf. Nr. 2). Es ist dies jene Teilung, welche im vorliegenden Falle bereits zum Zwecke der Berechnung der Summehglieder der Formänderungsarbeit vorgenommen wurde. Die Werte der Momente, Normalkräfte und Stützlinienabstände der eben bezeichneten Querschnitte für beide Rechnungsverfahren sind aus Tabelle II, Seite 40/41, zu entnehmen.

x) Derzeit k. k. Oberbaurat im Eisenbabnministerium.

²) Es mußten daher die in Tabelle I ausgewiesenen Rechnungswerte für das Näherungsverfahren mit Vernachlässigung der Achsialkräfte, sowie einzelne Werte der genauen Rechnung, die in der genannten Arbeit nicht ausgewiesen erscheinen, ergänzt werden.

Die Ergebnisse dieser Zusammenstellung stehen mit den bereits früher bei Beispiel i und 2 gemachten Beobachtungen in Übereinstimmung; neue Beziehungen ergeben sich jedoch dadurch, daß die Berechnung der Zwischenquerschnitte auch für den Fall halbseitiger Belastung erfolgte. Es läßt sich zunächst konstatieren, daß die absoluten Differenzen der Momente beider Rechnungsverfahren für je zwei symmetrisch gelegeneQuerschnitte annähernd einander gleich sind. Schon früher (Beispiel 5) wurde dieses Gesetz für die Kämpfermomente erkannt und theoretisch begründet. Es kann nun auf ganz analogem Wege die Verallgemeinerung für je zwei beliebige symmetrisch liegende Querschnitte mit den Abszissen x und (/—x) wie folgt nachgewiesen werden.

Es ist unter Beibehaltung der bereits verwendeten Bezeichnungen das Moment im Querschnitte .*:

Mx = Mo + AX—SZP (x-a) — Hy 0

und in dem symmetrisch liegenden Querschnitte (/—■*■)

(i—x)

— AI₀ 4- A (/ — x) — ü P (/—x—d) — IIy.

0

Somit ergibt sich bei der genauen Berechnung:

Mx

Alxx

Da wie früher A = A, gesetzt werden kann, ist :

Mx — M(l—x) — MXl — M{l—xr)t

oder auch: Mx — MXl = My—x) — M(i—X)x, was zu beweisen war.

Aus der weiters leicht abzuleitenden Formel:

Mx — Mx\ — AI (i—x) — M (j—x)i = Q/q — i^oi) — (II—IIx)y kann folgendes entnommen werden: (M₀—M₀₁) ist eine konstante stets negative Größe, — (H—Hx)y ist stets positiv, von Null im Kämpfer bis zu einem Maximalwerte im Scheitel zunehmend. Folglich nehmen die Differenzen der Momente vom Kämpfer gegen den Scheitel zunächst

Mq AIqi

ab, werden fiiry =

gesetzten Sinne rasch wieder zu. Diese allgemein zutreffende Erscheinung wurde bereits bei den Beispielen 1 und 2 aus der Lage der Stützlinien beider Rechnungsarten erkannt und hieraus die Näherungs--'Vp ^01 II—IIx

Ähnlich wie mit den Angriffsmomenten verhält es sich auch mit den Achsialkräften der einzelnen Querschnitte. Auch hier sind die Differenzen der Resultate beider Rechnungsarten für symmetrisch gele

formel y =

U—Hx

gleich Null und nehmen dann im entgegen-

für den Schnittpunkt beider Stützlinien abgeleitet.

Nx — Nxi — -A —x) — A⁷(/—x)i —■    Hi) COS ©.

geile Querschnitte einander gleich, und es ergibt sich die leicht nachzuweisende Beziehung:

Aus diesem Ansätze ist leicht zu erkennen, daß die größten Differenzen im Scheitel, die kleinsten im Kämpfer auftreten und daß letztere für Vollbogen (<? = go°, cos © — o) überhaupt verschwinden.

Im vorliegenden Beispiele gelangt schließlich die bereits erkannte Regel besonders klar zum Ausdrucke, daß die gegenseitige Lage der Stützlinien beider Rechnungsmethoden in verschiedenen Belastungsfällen unabhängig von der Belastung fast völlig unverändert bleibt: es ist der gegenseitige Abstand der Stützlinien im Kämpfer in allen drei Belastungsfällen rund 0110«, im Querschnittei o'OÓ2 w, im Querschnitte 2 Null, im Querschnitte 3 . . . CO45 m und im Scheitel 0 060 m. Auf Grund dieser Erscheinung wird es statthaft sein, bei Untersuchung ähnlicher wie der eben behandelten Gewölbe nach dem Näherungsverfahren einen ungefähren Schluß auf die wahre Lage der Stützlinie, beziehungsweise auf den durch die Näherung begangenen Fehler zu ziehen.

Die Beanspruchungen sind laut Tabelle I bei allen Belastungsfällen für die genaue Rechnung im Scheitel günstiger, im Kämpfer ungünstiger. Letztere sind teilweise nicht unbedeutende Zugbeanspruchungen (4*3 kg/cm² bei halbseitiger zufälliger Belastung), während das abgekürzte Verfahren nur Druckbeanspruchungen ausweist.

Beispiel 9.

Das Beispiel 9 betrifft jenes Gewölbe, dessen oberer Ausschnitt bereits im Beispiele 6 betrachtet wurde. Es ist dies ein stark dimensionierter Bogen von — Pfeil, bei welchem besonders die rasche Querschnittszunahme in der Richtung gegen die Kämpfer merkbar hervortritt. Man muß sich daher auf relativ größere Differenzen gefaßt machen, was auch zutrifft, denn die Differenzen von 12% beim Horizontalschub und 3'3% bis 3'6% bei der Kämpfernormalkraft sind in Anbetracht des großen Pfeilverhältnisses des Bogens recht bedeutend zu nennen. Auch die Kämpfermomente und Stützlinienabstände zeigen größere Abweichungen. Die maximalen Beanspruchungen ergeben sich für die genaue Rechnung durchwegs (auch im Scheitel) um 2 bis 3 kgjcm² größer als die Beanspruchungen der Näherungsrechnung.

Die Durchführung der Berechnung dieses Beispieles und die Darstellung derselben in Tafel 3 (Fig. 9, 9 «, 9 à, 9 c) erfolgte ähnlich wie bei Beispiel 6, jedoch mit dem Unterschiede, daß die Einflußlinien ganz allgemein für beliebige, unsymmetrische Belastung konstruiert, beziehungsweise neben den Kämpfermoment-Summenkurven auch die Einflußlinien des rechts- und linksseitigen Kämpfermoments gesondert ersichtlich gemacht wurden. Es konnte somit der p’all un-symmetrischer Belastung untersucht und in Fig. g die Stützlinie für die Belastung durch Eigengewicht und halbseitige Verkehrslast dargestellt werden.

Söwie bei Beispiel 6 wurden die Stütz- und Einflußlinien in Taf. Nr. 3 für drei Berechnungsarten ersichtlich gemacht:

1.    Für die genaue Rechnung (in schwarzer Farbe);

2.    für die Näherungsrechnung mit Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkräfte (in roter Farbe);

3.    für die Näherungsrechnung unter Annahme einer parabolischen Achse (in blauer Farbe).

Es mögen nun an der Hand der Figur g, Taf. Nr. 3, die beiden erstgenannten Berechnungsarten miteinander verglichen werden ¹). Die gegenseitige Lage der Stützlinien bietet dasselbe allgemeine Bild wie in allen vorangegangenen Fällen. Am linken, belasteten Kämpfer hat die Linie der Näherungsrechnung eine günstigere Lage wie jene der genauen Rechnung; sie ist oberhalb der letzteren und näher an der Schwerachse des Gewölbes gelegen. Im weiteren Verlaufe nähern sich beide Stützlinien zusehends, bis sie ungefähr im Quer-

schnitte 6 zum Schnitte kommen (hier ist y =

= 4'14). Hier-

M o — M o\

H — Ją

= 4'17 ; der Querschnitt des rechtsseitigen Schnitt-

auf entfernen sie sich im entgegengesetzten Sinne bis zu einem Maximum im Scheitel (auch hier hat die Stützlinie der Näherungsrechnung' die günstigere Lage, was jedoch nicht allgemein zutrifft) und nähern sich weiters wieder bis zum Schnittpunkt unweit Querschnitt 14 Mo' — M„\

H — Hx

punktes liegt bekanntlich annähernd symmetrisch zu dem Querschnitt des linksseitigen Schnittpunktes). Vom zweiten Schnittpunkte an divergieren wieder beide Stützlinien, treten an verschiedene Seiten der Gewölbachse und laufen in dieser Lage durch den rechten unbelasteten Kämpfer; die Stützlinie der Näherungsrechnung liegt hier ungünstiger.

Es ist weiters interessant, die in Figur g 0, b und r, Taf. Nr. 3, dargestellten Einflußlinien für den Horizontalschub Af, die Kämpfer

momentsummen {Mo + Mo) und die einzelnen Kämpfermomente M₀, Mo mit einander

zu

ziehen.

vergleichen und einige Schlüsse hieraus zu

Die Horizontalschubkurve der Näherungsrechnung hat durchwegs größere Ordinaten; die Differenzen derselben gegenüber den Ordinaten der genauen Rechnung sind, in Prozenten der letzteren ausgedrückt, nahezu völlig konstant 12%. Es wird also für jede beliebige Belastung der Näherungswert des Horizontalschubes um 12% größer sein als der genaue Wert, wodurch die bereits gemachte Wahrnehmung bestätigt wird, daß die Art der zufälligen Belastung auf die Größe der Differenzen des Horizontalschubes kfeinen Einfluß übt. Es wird z. B. die halbseitige Belastung beziehungsweise eine beliebige partielle Belastung dieselben Differenzen ergeben wie die totale Belastung.

Textfigur 2.

X-----

X-----

erkennen

Ein ganz anderes Bild zeigen die Momentenkurven. Figur 9 b gibt ein Bild der Einflußlinien der Kämpfermomentsummen (ff/₀ 4- M°'), beziehungsweise der Kämpfermomente für symmetrische Belastung, Figur 9 c die Einflußlinien der Kämpfermomente für eine beliebige Belastung. In beiden Fällen liegen die Kurven der Näherungsrechnung in allen Punkten mehr in p osi-tivem Gebiete, beträchtlich oberhalb der Linie für die genaue Rechnung. Diese Er scheinung steht in völliger Übereinstimmung mit den bisherigen Rechnungsresultaten, welche für die Kämpfermomente der Näherungsrechnung eine ausgesprochene Neigung ließen, kleinere negative, beziehungsweise größere positive Werte anzunehmen.

Die Differenzen²) der einzelnen Einflußordinaten der Momente nehmen vom Kämpfer gegen den Scheitel hin stetig zu und erreichen daselbst ein Maximum, woraus geschlossen werden kann, daß Belastungen im Scheitel größere Unterschiede beider Berechnungsarten ergeben als

solche in der Nähe der Kämpfer. Die Art der Belastung ist also bei den Angrilfsmomenten von nicht unbedeutendem Einfluß auf die Größe der Differenzen. Da man aber bei Bogenkonstruktionen meist nur die halbseitige oder eine vom Auflager bis zu einem bestimmten Querschnitte reichende Belastung als ungünstigste untersucht, kommt der Fall des Auftretens der Maximaldifferenzen, welcher z. B. beim Aufbringen einer Einzellast in der Bogenmitte eintreten würde, kaum in Frage.

Bezüglich der in Figur gc dargestellten Einflußlinien mag noch erwähnt werden, daß je zwei gleich weit von beiden Kämpfern abstehende Ordinaten gleich große Differenzen aufweisen, es ist z. B. in vorstehender Textfigur Nr. 2 A = A'.

Der Beweis hiefiir ist einfach aus dem bereits erkannten Gesetze :

Mo — M0x = Mo' — M0l‘

zu liefern, denn es ist A = M₀ — M0l und A‘ = M₀‘ — M0l‘ für eine Einzellast i im Querschnitt .r, somit A = A', was zu beweisen war.

Beispiel io und u.

Die Beispiele io und u sind dem bereits mehrfach genannten Werke Castiglianos entnommen¹) und betreffen die Berechnung einer Eisenbahnbrücke aus Ziegelmauerwerk, der Ogliobriicke, und eines schmiedeisernen Hallenbogens. Beide Bogenkonstruktionen haben ein großes Pfeilverhältnis und sind schlank dimensioniert; der eiserne Bogen hat außerdem konstanten Querschnitt (vergl. Fig. io und u, Taf. Nr. i). Es treffen somit hier jene Bedingungen zu, unter welchen kleine Differenzen beider Rechnungsverfahren einzutreten pflegen.

Die Untersuchung der Mauerwerksbrücke aus Ziegelsteinen erfolgte für zwei Belastungsfälle:

1.    Für den Fall der Abrüstung der Lehrbögen, wobei der Bogen nur sein eigenes Gewicht trägt und eine Nachmauerung noch nicht aufgebracht ist, und

2.    für den Fall totaler Belastung des fertigen Gewölbes mit 1067 kg pro laufenden Meter zufälliger Last.

In beiden Belastungsfällen sind die Differenzen der Achsialkräfte (des Horizontalschubes) bereits sehr klein (07% für die Kämpfernormalkraft, 2'8n/₀ für den Horizontalschub), dagegen zeigen die Momente noch bedeutendere Unterschiede, und dementsprechend kommen bei

*) Castigliano berechnet diese Beispiele mit Berücksichtigung des Einflusses der Achsialkraft, weist jedoch bei Beispiel 11 auf die Geringfügigkeit dieses Einflusses hin und empfiehlt, für die erste Annäherung die Achsialkräfte zu vernachlässigen, hienach den Bogen zu dimensionieren und sodann die Berechnung genau durchzuführen. Übrigens sei in der Praxis im allgemeinen die erste Annäherung genügend.

Durchführung der genauen Rechnung noch Mehrbeanspruchungen von 4‘6 kg/an² vor, eine Differenz, deren Vernachlässigung nicht statthaft wäre. Jedenfalls aber nähert sich dieses Beispiel bereits jener Grenze, von welcher an die Näherungsrechnung unbedenklich an Stelle der genauen Methode akzeptiert werden kann.

Denn bei der Betrachtung des folgenden Beispieles n wird es wohl einleuchtend, daß die erwähnte Grenze bereits überschritten ist; ja es gibt sogar die Näherungsrechnung für die Kämpfermomente und Kämpferbeanspruchungen beträchtlich ungünstigere Resultate als der genaue Rechnungsvorgang, während die Differenzen bei den Achsialkräften (auch beim Horizontalschub) bereits verschwindend klein werden (02, beziehungsweise 2°/o)-

Die Scheitelmomente und Scheitelbeanspruchungen ergeben sich zwar hier nach der genauen Rechnung ungünstiger, kommen aber neben den weit höheren Kämpferbeanspruchungen nicht in Betracht *).

Figur ii der Taf. Nr. i enthält die graphische Darstellung der Stützlinien beider Rechnungsarten für Eigengewicht und halbseitige zufällige Belastung mit den annähernd in symmetrischen Querschnitten gelegenen Schnittpunkten (y I2'2, y' == 127 w).

Beispiel 12.

Zum Schlüsse wurde ein (praktisch nicht ausführbarer) Grenzfall untersucht, bei welchem alle die Wirkung der Vernachlässigung der Achsialkraft beeinflussenden Momente in einem Sinne wirksam sind, und zwar im Gegensätze zu Beispiel 6 im günstigen, ausgleichenden Sinne. Es wurde ein Wölbbogen mit großem Pfeilver

hältnis ^Vollbogen 7 =

schlanker Dimensionierung und konstantem

Querschnitte gewählt; die Differenzen reduzieren sich daher durchwegs, auch bei den sonst sehr empfindlichen Angriftsmomenten auf ein Minimum.

Aus der Tabelle II, Seite 40/41, sind auch die Werte der Angriffsmomente, Normalkräfte und Stützlinienabstände für fünf zwischen dem Kämpfer und Scheitel gelegene Querschnitte bei totaler Belastung des Bogens zu ersehen.

Taf Nr. 2 enthält in Figur 12 die Darstellung der fast miteinander zur Deckung kommenden Stützlinien beider Rechnungsverfahren für Eigengewicht und halbseitige zufällige Last.

!) So wie bei Beispiel 5 sind die Differenzwerte der Scheitelmomente, in Prozenten des genauen Wertes ausgedrückt, für jeden Belastungsfall gleich groß, ebenso die Differenzen der Angriffspunkte der Stützlinie im Scheitel, deren Lage durch Änderung der Belastung keine Verschiebung erfährt; es liegt dies daran, daß Eigengewicht und zufällige Last in gleicher Weise über den Bogen Verteilt sind.

Es darf bei der Beurteilung dieses letzten Beispieles allerdings nicht übersehen werden, daß der Bogen in der vorliegenden Gestalt nicht ausführbar wäre-, er müßte bedeutend verstärkt und ein variabler Querschnitt angeordnet werden, wodurch sich die Differenzen beider Rechnungsarten wieder vergrößern. Praktisch ausführbare Gewölbe werden also jedenfalls größere Differenzen als die eben ermittelten zeigen, doch kann das vereinfachte Verfahren bei Bogen mit großem Pfeil umsomehr unbedenklich angewendet werden, da sich alle für die Dimensionierung maßgebenden Werte, wie in den beiden letzten Beispielen konstatiert werden kann, in diesem Falle ungünstiger stellen als nach der genauen Berechnung, was eine größere Sicherheit der Konstruktion gewährleistet.

Zusammenfassung der Grundgesetze für den Einfluß der Vernachlässigung der Achsialkraft.

Wie bei der Betrachtung der einzelnen Beispiele bereits erkannt wurde, hängt die Größe des Einflusses der Vernachlässigung der Achsialkraft bei Bogenbrücken vor allem von der Bogenform, zum Teile auch von der Art der Belastung ab.

Bezüglich der Bogenform sind sowohl das Pfeilverhältnis, wie auch die Anordnung der Querschnittsdimensionen des Bogens von maßgebender Bedeutung. Es ergeben sich hiefür als Grundgesetze die folgenden:

Flache Bogen sind empfindlicher gegen die Anwendung der erwähnten Vernachlässigung als Bogen von großem Pfeilverhältnisse, ebenso sind stark dimensionierte Bogen empfindlicher als solche von schlanken Dimensionen und Bogen variablen Querschnittes wieder empfindlicher als solche von konstantem Querschnitte. Bogen mit Einzelträgern, z. B. eiserne Bogen, werden gegenüber solchen Konstruktionen, bei welchen der Querschnitt auf die ganze Breite konstant durchläuft (wie bei Gewölben), im allgemeinen stärker beeinflußt und zwar umsomehr, je größer der Trägheits-

JJ

W — des Querschnittes ist.

radius p =

Die Art der Belastung übt auf die relative Größe der Differenzen der Resultate beider Rechnungsverfahren nur gering-

3<5

fügigen Einfluß aus. Die Größe der Differenzen des Horizontalschubes und der Achsialkräfte wird durch die Art der Belastung überhaupt nicht merkbar beeinflußt; bezüglich der Angriffsmomente werden Belastungen der Bogenmitte größere Differenzen hervorrufen als Belastungen der Bogenschenkel.

Im übrigen ist die Art der Belastung nur insoferne von Einfluß, als sich die Vernachlässigungen umso empfindlicher fühlbar machen müssen, je ungünstiger die Belastung gewählt wird, weil eben dann die ganze Rechnung mit ungünstigeren Werten durchzuführen ist. Eingehendere diesbezügliche Erörterungen sind der Besprechung der Beispiele 5 und 9 zu entnehmen, auf welche aber hier nicht weiter eingegangen werden soll. Es mag nur noch der besonders charakteristische Satz hervorgehoben werden, daß die gegenseitige Lage der Stützlinien beider Rechnungsarten zu einander durch die Art der Belastung keine wesentliche Änderung erfährt.

Was schließlich die Beeinflussung der einzelnen Rechnungsgrößen durch die Vernachlässigung der Achsialkraft betrifft, so können die aus den praktischen Beispielen gewonnenen Erfahrungen, wie folgt, kurz zusammengefaßt werden.

Die Vertikalkomponenten der auf den Bogen wirksamen äußeren und inneren Kräfte werden durch Vernachlässigung der Achsialkraft nicht oder nur unwesentlich beeinflußt. Dagegen wird die horizontale Komponente der Achsialkräfte, der Horizontalschub, merkbar beeinflußt, und zwar ergibt die Näherungsrechnung bis zu 2O°/₀ größere Werte, in Ausnahmsfällen (Beispiel 6) noch größere Differenzen. Da nun die Achsialkräfte aus dem Horizontalschube und der jeweiligen Vertikalkraft des Querschnittes resultieren, werden die Differenzen der nach beiden Rechnungsverfahren ermittelten Achsialkräfte im Scheitel am größten, im Kämpfer am geringsten sein, somit vom Scheitel gegen den Kämpfer allmählich abnehmen.

Die Änderung der Angriffsmomente durch Vernachlässigung der Achsialkraft erhellt am besten durch die Betrachtung der gegenseitigen Lage der Stützlinien, welche

sich nach beiden Rechnungsarten ergeben. Die Stützlinie der Näherungsrechnung liegt am Kämpfer oberhalb, am Scheitel unterhalb der Stützlinie für die genaue Rechnung. Da nun das Kämpfermoment für

Bogen von kleinerem Pfeil Verhältnisse als~j- ^ meist negativ ł)

wird, gibt die genaue Rechnung für derart flache Bogen weitaus Ungünstigere Resultate, während bei Vollbogen und Bogen mit

großem Pfeil über ^ infolge des Auftretens positiver Kämpfermomente die Stützlinie der genauen Rechnung näher der neutralen Achse und daher günstiger liegt als bei der Näherungsrechnung.

Die Scheitelmomente zeigen im allgemeinen meist das gegenteilige Verhalten wie die Kämpfermomente; es kann jedoch von vornherein nicht entschieden werden, welches Rechnungsverfahren in einem gegebenen Falle ungünstigere Resultate gibt; dies ist auch insoferne belanglos, als die Scheitelbeanspruchungen meist gegenüber den Kämpferbeanspruchungen nicht in Betracht kommen.

Die für Kämpfer und Scheitel sich ergebenden Differenzen der Momente, der Stützlinienabstände und Beanspruchungen sind zugleich die äußersten Grenzwerte für den ganzen Bogen; in allen Zwischenquerschnitten sind die Unterschiede beider Rechnungsmethoden geringer, und in zwei annähernd symmetrisch zum Scheitel gelegenen Querschnitten verschwinden sie vollständig, nämlich dort, wo die beiden Stützlinien zum Schnitte kommen. Die Schwerpunktsordinate dieser Querschnitte kann nach den Formeln :

y==

. M₀ — MoX

H— Hx

=/-

M,— M, i

H — Hx

(linke Seite)

beziehungsweise

. M₀ — Mox

Ms — Msi

(rechte Seite),

annähernd berechnet werden; es ist somit tatsächlich y==y‘-

H— Hx

H — Hx

-¹) Eine häufige Ausnahme bilden die Momente der unbelasteten Kämpfer im Falle halbseitiger Belastung; es überwiegen jedoch als ungünstigere Momente stets jene der belasteten Seite.

Die absoluten Differenzbeträge der nach beiden Rechnungsverfahren erhältlichen Angriffsmomente und Ach sial kräfte sind für je zwei beliebige, symmetrisch zu einander liegende Querschnitte annähernd einander gleich. (Mx — MX1 == =    — My — X)v Nx — NXI = Ny— X) — Ny — X)v)

Die Kämpferbeanspruchungen zeigen für Bogen

wie

von kleinerem Pfeilverhältnisse als etwa —, für welche,

3

erwähnt, die Stützlinie der genauen Rechnung meist die ungünstigere Lage hat, an der Innenleibung des Bogens höhere Druckbeanspruchungen als für die Näherungsrechnung ; an der Außenleibung ergeben sich häufig bedeutende Zugbeanspruchungen, während die Näherungsrechnung entweder nur Druck oder kleinere Zugbeanspruchungen ausweist. Für Bogen mit größerem Pfeilverhältnis als — zeigt sich das gegenteilige

Verhalten: die Näherungsrechnung gibt ungünstigere Resultate, welche jedoch meist nicht viel von den genauen Werten abweichen.

Die maximalen Scheitelbeanspruchungen reichen gewöhnlich nicht bis zu den ungünstigsten Kämpferbeanspruchungen hinan; eine eingehendere Betrachtung derselben kann daher umsomehr entfallen, als eine einheitliche Zusammenfassung der auf dieselben wirksamen Einflüsse nicht möglich erscheint.

Zulässigkeit der Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft.

Nach der vorstehenden kurzen Zusammenfassung der Resultate, welche aus der Durchrechnung der Beispiele ge~ wonnen wurden, erübrigt die Folgerung, für welche Fälle eine Vernachlässigung der Achsialkraft bei Berechnung von Bogenbrücken ohne jedes Bedenken als zulässig erklärt werden kann.

Der Vorteil einer rascheren, aber angenäherten Berechnung wird durch die Unsicherheit der hieraus erhaltenen Resultate nur zu leicht in Frage gestellt; insbesondere erscheint

die Anwendung näherungsweiser Berechnungen dann bedenklich ,

wenn die Resultate derselben sich erheblich

günstiger als jene einer genauen Ermittlung stellen.

Dies trifft bei der oben geführten Untersuchung bis zu

Pfeilverhältnissen des Bogens von etwa — zu und es wird sich

3

I CO

daher empfehlen, bei Berechnung von Bogen mit geringerem Pfeilverhältnis als ~j-—¹ stets den Einfluß der Achsialkraft zu berücksichtigen¹), zumal dies nur geringe Mehrarbeit verursacht. Insbesondere wird diese Vorsicht zur Notwendigkeit, wenn es sich um besondere Ausführungen (große Spannweiten, ungewöhnliche Belastungen etc.) handelt. Es wird übrigens in vielen Fällen, besonders bei Bogen konstanten Querschnittes, zweckmäßig sein, die erste Rechnung angenähert durchzuführen und erst nach Feststellung der genaueren Dimensionen nach der exakten Methode mit Berücksichtigung des Einflusses der Achsialkraft vorzugehen. Für Bogen mit größerem Pfeilverhältnis

~ kann das Näherungsverfahren mit Ver-nach lass igung des Einflusses der Ach sial kraft unbedenklich angewendet werden.

Vereinfachungen der Rechnung und Sätze, welche sich bei Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft

ergeben.

Die Ursache, weshalb häufig auch größere Bogenkonstruktionen mit Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft berechnet werden, liegt darin, daß die drei Grundgleichungen (bei Annahme eines konstanten Elastizitätsmoduls) die einfache Form annehmen:

= O,

ŸMxds

Jo~~J

*) Es dürfte liiebei in den meisten Fällen, vor allem bei sehr flachen Bogen, genügen, den Einfluß der Achsialkräfte angenähert dadurch zu berücksichtigen, daß deren Größe über die ganze Bogenlänge konstant gleich dem Hoxizontalschube angenommen wird, wie dies Perrodil, Professor Föppl und andere Autoren empfehlen.

P Mx x d s

= o,

¹ Mx y d s

beziehungsweise sich der Ausdruck der Formänderungsarbeit auf:

= i F'-²

reduziert und die Ermittlung der Achsialkraftglieder Nx = = H cos y -f- Vx sin ÿ für die zur Bildung der Integrale betrachteten Querschnitte entfallen kann.

Insbesondere hat man bei Bogenkonstruktionen konstanten Querschnittes (meist eiserne Bogen) den Vorteil, eine Annahme über den Querschnitt, beziehungsweise dessen Trägheitsmoment vor Durchführung der Rechnung nicht machen zu müssen, was gerade bei eisernen Tragwerken die Rechnung wesentlich vereinfacht; der Querschnitt kann nachträglich auf Grund der Rechnungsresultate konstruiert werden, während bei der genauen Rechnung zumindest die Annahme

des Trägheitsradius

| j^ bereits vor Durchführung der Rechnung

getroffen werden müßte.

Professor Winkler hat für den Fall der Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft folgende Sätze aufgestellt, welche sich aus den obigen Grundgleichungen unter der Annahme eines konstanten Trägheitsmomentes und der Näherung d s == d x (Bogendifferential gleich dem Differential der Abszisse) ergeben ') :

Die zwischen Bogenachse und Stützlinie liegenden Flächen gleichen sich aus, das heißt ihre Summe gibt Null, wofern die zu verschiedenen Seiten der Bogenachse gelegenen Flächen mit

entgegengesetzten Vorzeichen eingeführt werden ^M^dx = oj, und es muß auch das statische Moment dieser Flächen für

-¹) Aus dem Vortrage Winklers: »Die Lage der Stützlinie im Gewölbe«, Deutsche Bauzeitung. 1879.

ndimensionen

V ertikalkomponenten der Kämpferdrücke

Honzontalschub

Kämpfermomente

Qiierschnitlshöh*

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

Tabelle I.

Scheitelmoment

Achsialkraft im Kämpfer

Schubkraft im Scheitel

Abstand der Stützhnie von der Schwerachse

Beanspruchungen

im Kämpfer

im Scheitel

im Kämpfer links

im Kämpfer rechts

im Scheitel

ohne

mit

Post-Nummer

Dnstruktion, beziehungsweise Benennung der Brücke

Eventuelle

Quellenangabe

Pogensehne

Pfeilhöhe

in Metern

Pfeilverhältnis

Bogenradius

.2

£ I im Kämpfer

im Scheitel

Art der Belastung

Vernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

ohne

mit

ohne mit

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

ohne I mit

V ernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung

der

Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

in Tonnen

.2

in Tonnen

in ü/n

in Tonnenmetern

in Tonnenmetern

in Tonnen

in /n

in Tonnen in °/n

in Metern

in Metern

in kg pro cm²

in kg pro cm²

in k? pro rm²

Steinerne Bogenbrücke

55

55

M. Gros de Perrodil : »Resistance des voûtes et des arcs métalliques.« (Paris, 1879.)

152-0*)

152-0*)

12-3*)

12-3*)

12

12

263-20

246-45

400

2-00

Eigengewicht u. totale zuf. Last

2854    2854

7196    7733 + 7‘5

7979

2983    + 4996    — 376 — 1483

1107

7716    8229 4" 65

— 1034

— 0 362 4- 0 672 — 0 052 — 0192 — 0-140

2-67

2*67 Eigengewicht u. totale zuf. Last

3192    3192

8191    8560 4- 4-5    — 5966    — 2984    4- 2982    4- 368 — 1128 — 1496

8777

9128 -j- 4'°

— 0680

— 0-327 + 0353 )-0-045 —0132—0-177

Eiserne Brücke über die ⁸ Rhone bei Taraskon

59-446*)

4-902*)

93*397

1-70

*) gemessen am Kreisbogen der Innenleibung

1-70 Eigengewicht u. totale zuf. Last

i°5

105

286

318 4- 11-0

96-0

+ 8-2    4- 104-2    + 55-4    + 3-0

52 4    304-8    334-8 4- io-o —

— 0 315 4- 0 024 4- 0 339 4- 0193 4- 0 010 - 0183

[ —26-5

1230

[ —43'4 [    207-8

228 404-0

²3'5 + 5°'° 794 —436 22-7 4- 661 i48'3 — 59 5 250-7 4- 227-9 2181 — 185-9

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

[ 75’9    41-0—    34-9

1 104 0 152 3 4- 48 3 [ 845    564 — 28-1

l 68 9 103 9 4- 35-0 I 310 3 228 6 — 817 [ 90-6 216 6 4-126 0

Steinbrücke über die Doire bei Turin

5 Eiserne Bogenbrücke

Castigliano : »Theorie des Gleichgewichts elastischer Systeme und deren Anwendung.« (Wien, 1886.)

45-923    5-363

45'9²3    5-363

8-5

8-5

51-937 I 2-oi 1-50

51-937 2-oo 1-50

Eigengewicht u. totale zuf. Last

Eigengewicht u. totale zuf. Last

228-679 228 679 o 324-710 359-361 4 IO'5 — 259-740 — 122-6404- 137-100 4-21-800 — 26-881—48 681    392-827 423-845 4- 7-9

— 0660—-0-2894-0-371 -40067 —0075 —

0142

— 190

82-448    82-448 o

Eigengewicht u. halbs. [ 7I"7°5    7I"7°8

zuf. Last    [ 32-292    32 289

147-630 175-6004- 19-0    — 91-387    4- 17-166 4- 108-553 4-44-749 4- 3-401 —41-348    169-924 194-905 4- 14-7

f—153'498 — 85-100 4- 68-398 1+- 38-218 4-106-753 4- 68-535

93-108 110-746 4- 19-0

4-28-222 -f 2-145 — 26-077

[ 116 223 131-987 4- 13 6 I 98-112 113 858 4- i6-0

10-743 10-740

—    — 0 538 4- 0 088 4- 0 626 -4 0 303 -4 0 019 —

[— 1321 —0-645 4- 0 676

1+ 0-389 4- °'938 4- 0 549

4- 0-303    -4 0 019 —

0284

0-284

00    ^    Ob yn

00 b b in co 00 r—

00    co Ob

•^1

2-9 4- 21-9 39'3 — 188

wie im Kämpfer links

575 5 + 544'7 423-4 — 416-7 — 38-64-343-3    4207    7645

82 2 — i8ro

wie im Kämpfer links

715-1 — 262-4

[ 275    i6-8    — 107

l 15-8    31-1    4- 153

[ 739-0 553 9 —1851 l lS5'² 5°9'2 4-3540 + 343 ⁸    527 5 349 3 —178 2

3⁶'5 321-3 4-284 8

988

Bruchsteingewölbe

10-720

127 6

8-4

11-774

i-44

I '12

Eigengewicht

26-088    26-088

24-428

5o-36i + 105 ^    — 24-192

— 0-631 f 23-561 4- 9-450 — 0-079

— 9'529    34-199

56-658 4- 65-7

— 0-707 — 0 011 4- 0-696 4- 0 387 — 0 002 —

0389

[ — 4-6

94

Eigengewicht u. totale zuf. Last

36-808    36-808

35-423

73'05i +106-2    — 34-376

0139 + 34-237 + i3'9Ö7 + 0-191

13-776    49081

81-668 4- 66-4

— 0-700 — 0 002 4- 0 698 -4 0 394 4- 0 003 —

0391

f -6-5

I3-4

4- 8'4

-    5'3 4- 121

—    77

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

f 67

l— 23

[ 9-8 l— 3’5

22

4- 6-8 — 3'2 + 9 9

Wiener Bruchstein-Versuchsgewölbe (vgl. Bericht des Gew.-Ausschusses des österr. Ing.- u. Arch.-Vereines,

1895)

Dr. J. von Weyrauch : »Die elastischen Bogenträger, ihreTheorie und Berechnung etc.« (München, 1897.)

23-758

4-502

5'3

17-923

I'IO

o-6o

Eigengewicht

24-095    24-095

25796

26-821 4" 4'c

— 4-902

— I-I57    4- 3'745 + 0-428 — 0-463

— 0-891    35-286

36-054 4- 2-i

— 0139 — 0 032 -f 0107 -4 0 017 — 0-017 —

0034

Eigengewicht und totale zuf. Last

Eigengewicht und halbs. zuf. Last

Eigengewicht und totale zuf. Last

Eigengewicht und halbs. zuf. Last

41-245 41-245

[ 38-171 j 38-163 \ 27-169

5¹ *965    51-965

[ 46-970 [ 46-957

{ 29-090

27-177

29-103

49-609

37-703

64-494

45-J45

51-555 4- 4-o

39-189 4- 4-0

67-016 4- 4*0

46-920 4- 4-0

— 2'6io

— 20-867 + I3-35⁸

1*171

[ — 30-846 l 4- 24-772

+ 4'5¹5    + 7-125 4- 2-770 4- 1109

— 15-342 4- 5*525

+ 18-700    + 5-342

4- 1-598 4- 0-318

4- 8-o6o    4- 9-231 4" 4-240 + 2-092

— 24-209    4" 6-637

4- 31-112    4- 6-340

4- 2-333 4- 0 806

i-66i    64484

65'943 + 21

— 0 040 4- 0-068 4- 0108 -4 0-056 4- 0 022

0034

1-280

53-532

46-240

54-639 + 2-o 47-358 4- 2-4

3-074    3082

— 2-148

— 1-527

82-735

[ 64-936

l 53-086

84-626 -f 21

66-257 -f- 2-0 54-423 4- 2-4

4-995    S"⁰⁰⁸

f—- 0-390 — 0-281 4-0109 [4- 0 289 4- 0-395 4- 0106

—    —-0 014 4- 0-095 + 0-109 4- 0 066 4- 0 031 —

f —0-475 —0365 + °'i 10

\ -4 0-467 4- 0 572 4- 0-105

-4 0-042 4- 0-008 —

4- 0-052 4- 0 018 —

0034

0035

0-034

QQ^lLnLn^j-p^Ln Q

« L H CS C\ ob

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

o \o

ÛD CO

5-2

- 2‘6

126

13 6    4- 27 [

- 2-6 \

— 5‘°

wie im Kämpfer links

171

20'4    4- 3-3

— 10-5    — 30

129

104

3*6

89

36

17-8

37

114

3'6

67

71

60

146

77

97

6-4

i-3

4- i-6 — 27 + 31

i-8

4- 2-4

— 3'2 + 4°

22

4- 2-8

8 Steinerne Bogenbrücke

Ingenieur Siegmund Kulka :

»Über die Berechnung großer, gewölbter Brücken.«

(Zeitschr. d. öst. Ing. u. A.-V. 1894, Nr. 30.)

30-0*)

7-26")

4-i

19-126*)

r6o

i-io

Eigengewicht

65-800    65-800

43-269

44-783 4- 3'5    — 22-804

— 14-482    4- 8-322 — 1-890 — 4-637

— 2747    78-460

79-400 4- 1-2

— 0290 — 0-1824-0108—0044 —0104 —

0060

f — 0-9

*) gemessen am Kreisbogen der Innenleibung. Eigengewicht u. totale

zuf. Last

23'5

74-810    74-810 o

Eigengewicht u. halbs. [ 73'²^7    73*267

zuf. Last    I 67-343    67-343

52-617    54-449 -f 3‘5 — 20-523

47-943 49-616 4- 3-5

10-456 4- 10-067 — 0-363 — 3-690 — 3-327

91-325    92-463 -f- 1-2

— 0 225 — o'i 13 4- O'11 2 —0 007 —0-068 —

o 061

20

[— 31-336    — 22-158    4- 9-178

[— 11-990    — 2-781    + 9-209

1-126 — 4-164 — 3-038

[ 87-213 88-252 -f ¹'2 [ 82-572 83-610 4- 1-2

i'543    1-543

f—°'359 — 0-251 4- o-i°8

°

I—0145 — 0-033 + o'¹¹²

— 0023 — 0-084 —

O'OÖI

242 [ — 4'3

294

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

00 Ln

w L

io'5 + 5'1 i3'5 — 4 8

6-8

41

112

10 6

11 4

8-8

11-3

14 7

Ln Ln Ob Ob to

15-1

— 27 + 3'5

34

4- 4 2

— 3'2 + 3-8

Bruchsteingewölbe

19-260    5-00

11-774

2-24

Eigengewicht

73"5¹9    73*5¹9    ⁰    47-557    53-348 4- 12-2    — 26-445    — 2-287 -H 24-158 4- 4-155 — 0-644 — 4-799    87 449    90-345 4- 3-3

— 0 302 — 0 025 4- °'²77 4- 0 088 —0-012 —

Eigengewicht u. totale zuf. Last

92-779    92-779 o

65-324 73-303 -f I2’2 — 27-084

Eigengewicht u. halbs. [89-532    89-545

zuf. Last    I 76-768    76-755

56-441    63-326 4- 12-2

4- 6-074 4- 33*158 4- 7*417 + 0-679 — 6-738    113-012 117-002 4- 3-3

[ — 41-807 — 13-326 4- 28-481 [— 11-624    4- 17-112 4- 28-736

— 0 240 4- 0 052 4- 0 292 4-0114 4- 0 009 —

0105

4- 5-834 4- 0-016 — 5 818

[ 105-758 109-212 4- 3-3 l 94-704    98-I35 + 3’6

3248    3-235

f— 0 395 — °'I22 4- 0-273

°

[ -- O'I 23 4-0-174 -4 0297

-4 0 103 -4 0'0002 -

o-103

i-8

8-3

[ — 0-3

9⁻7

cs    ui    +    cs    +    w

<-n    oJ    ux    Ö    O    CÓ

+ 3'I - 2'8

+ 4’2

— 3-8

+ 3"6

— 3'2

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

E 3’6 — 3 3

Ln

22

23

7-8

22

Ob cs

Tf m md ko m m

i-8

+ ²'9 — 27

+ 3'9

On

+ 3'4

Castigliano : »Theorie des Gleich-

10 Brücke aus Ziegelmauerwerk für die Eisenbahnlinie Mailand—Venedig gewichts elastischer Systeme und deren Anwendung.«

über den Oglio

Eigengewicht d e s 24-479*)    2-38    1-40 Bogens allein

(ohne Hintermauerung)

*) gemessen am Kreisbogen der Innenleibung. Eigengewicht u. totale

zuf. Last

42-000*) 11-90*)

3'5

S¹^⁰ 5r35°

146-020 146-020

38-671    39-724 4- 2-7

4- 9-110    4- 19-199 4- 10-089 4- 5-096 4- 2-593 — 2-503

82-653    84-974 4- 2-8    — 24-930

64000    64-547 4- °'8

-4 0142 -4 0-297 4- 0-155 -4 0-132 -40 065 —

0-067

7-3

34

— 2-695 4- 22-235 4- 1-220 — 4-304 — 5724    167 870 169072 4- 0 7

— 0-152 — 0 016 -4 0136 4- 0 015 — 0 051

o'o66

194

^ vp 00

Ob H-t CO rt*

4- 2-2

2'0

+ 4-8

— 46

wie im Kämpfer links

wie im Kämpfer links

12-6

II-I

co

— 31

+ 3'7

11 Schmiedeisernes Bundgespärre eines Hallendaches

(Wien, 1886.)

48-500

19-22    —

2'5

24-908

1-816

i-8i6

Eigengewicht u. totale zuf. Last

25-442    25-442

Eigengewicht u. halbs. f 23-230    23-232

zuf. Last

¹ I5-538    X5-535

15-606    15-927    4-    2-0    4- 29-742    4-    33-748    4-    4-0044-    14742 4- 12 579 2-163

[ 4- 8-460    4-    11-442    4-    2-982

l 4- 36-861    4-    39-983    4-    3-122

28-148    28 216 4 0 2

11-890    12-135 4- 2-0

4- H'232 4- 9-584 — 1648

f 25 243    25 258 4- 00

l 17-689    17738 4- 0-3

2212    2209

— -f 1-056 4- 1-196 4- 0-140 4- 0 944 -f 0790 —

[ + °'335 4- 0-453 + 0118

1 + 2 083 4- 2 254 4-0171

4-0-944 4-0790 —

0-154

0-154

f 5461 [— 702 —

[    3027

[    1269

590 8 4- 447

1 io⁻8 — 406 333'8 4 311 95'9 — 3¹'⁰

wie im Kämpfer links

I 285 9 266-2 — 197 1-20*5    4-7 4- 25 2

533 5

— 232-7

5665 — 2647

4- 33 ⁰    217 9 203 0 — 14 9

3‘5 4- 19-2

— 320 — 15-7

Steinerne Bogenbrücke

21000    10-50

10-500 I'OOO i-ooo

Eigengewicht u. totale zuf. Last

55-240    55-240

Eigengewichtu. halbs. ( 53"39°    53"39²

l 47*93!    47-93o

zuf. Last

19-872    20 020 4- o-8    4- 32-959    4- 33-949    4- 0-990 4- 10-531 4- 9 966 — 0-565    55 244    55-244 o

[. 53390 53392

⁰

l 47'93I 47930

17-447, 17777 f 08

[ + 24-751 4- 25-609 4- 0-858 l + 31657 4- 32-546 4- 0-889

4- 8-327 4- 7 828 — 0-499

1-854    1-852

—    4- 0-597 4- 0-615 4- 0 018 4- 0 530 4-0 498 —

[■f 0-464 4- 0-480 4- C016 \-f- 0 661 4- 0 679 4- 0 018

f 0-477 4- 0-445 —

0032

0032

f 607 342 — [    48-5

229 —

62-1    4- I '4

l-

35'⁶

1-4

49 7    + 1-2

24-1

12

wie im Kämpfer links

57'²    58-4

— 34-1 - 35'4

200 l-io-4 12    162

1-3— 78

192 — 08

—    9 6 4* °"8 15-5 — °7

—    7-0 4- o"8

Zu Post 1 und 2. Zu Post 8.

Anmerkungen:

D.e Werte der Kämpferdruckkomponenten, Kämpfer- und Scheitelmomente, Achsial- und Schubkräfte sind für 4 m Brückenbreite berechnet.

1)iC ^tunGcht” —-^fipr^chnpt^l<0lrnP0'nenten, J^rnP^er~ und Scheitelmomente, Achsial- und Schubkräfte sind als Verhältniszahlen für ein spezifisches Mauerwerks-Vo’lwerten eingestellt ** "ar6n n°C mit *    28 t!m‘ ’ em Mauerwerksgewichte, zu multiplizieren. Die Stützlinienabstände und Beanspruchungen erscheinen mit ihren

Anmerkungen:

Hiezu gilt die zu Post 8 gemachte Anmerkung mit dem Unterschiede der Annahme eines spezifischen Mauerwerksgewichtes g = 2 0    wofür obenstehende Beanspruchungen

ermittelt wurden.

Zu Post 12. Hiezu gilt die zu Post 8 gemachte Anmerkung, mit dem Unterschiede, daß die Beanspruchungen für ein spezifisches Mauerwerksgewicht g — 2-4 /jma ermittelt wurden.

Zu Post 10.

v -

k

»

\

'

ff

.

::

r

“ff

5

-

c

.

i

i

P

.

■

i

I

I

f

f

;lWW

m

■

" | ;

Tabelle II.

Zu Beispiel Post Nr.

Art der Belastung

Eigengewicht und totale zufällige Last

Eigengewicht und totale zufällige Last

Eigengewicht

Eigengewicht und totale zufällige Last p=v₂j^tjm

<L>

Querschnitt

Bezeichnung

Kämpfer

Scheitel

Kämpfer

Scheitel

Kämpfer

Scheitel

Kämpfer

Scheitel

Winkel

ohne

7.ur

Scheitel-

Verti

kalen

16⁰ 54'

i5°

12°

9°

6°

3°

o°

18⁰ 4'

15°

12°

9°

6°

3°

o°

51° 38'

38° 44'

25° 49'

12° 54'

o«

Momente

Achsialkräfte

Stützlinienabstände

Beanspruchungen

mit

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

Anmerkung

in Tonnenmetern

in Tonnen

in %

in Metern

in kg pro cm²

— 7979

— 2983

4-4996    7716    8229    4-6-65 — 1-034 — 0-362 4-0 672

26-5 123 o

23-5

79‘4

— 3425

4- 283

4- 3708    7506    8024    4- 6-90 — 0-456 4- °'°35 4- 0-491

4- 198

4- 1076

4- 630

70

376

— 5966

— 1199

4- 823

T 1277

4- 981

+ 554

+ 368

— 22-804

i 033

4- 5-106

4- 1-091

1 890

51⁰ 38'    -20 523

38° 44' — 2-664

²5° 49' 4- 4’oii

i2° 54' 4- 1-779

o°

0-363

Kämpfer links 51⁰ 38' — 31 336

38° 44' — 4-034

4- 2179

4- 1710

4- 297

983

— 1483

— 2983

4- 400

4- 1312

4- 900

17

818

— 1128

— 14-482

4- 2 626

4- 5-267

0913

4637

- 10-456

-f 1-760

4*202

— 0-650

3-690

4- 1981    7387    7913    4- 7-12 4- o 027 4- 0 275 4- 0-248

4- 634    7286    7816    4- 7 27 4- 0-148 4- 0 219 4- 0-071

't Tfl ID H

Ć4 Ń i rf-00

« Oh ho id

59‘4

528

1017

297

95‘4

46-4

114-9

37'²

4- 5°'° — 43 6

-f 47'° 39-6

— 28-4

Die Werte der Momente und Achsialkräfte

9 2 sind für 4 m

aj -

OJ

cn

Eigengewicht und halbseitige zufällige •Last p — 1-274 tjm

iS

(D

X

'S

Lj

Eigengewicht und totale zufällige Last p ■=, 2-000 tjm

²5° 49' 4- 7‘574

12° 54' 4- 5'545

Scheitel

O⁰

1 " 126

3'

2'

1'

12° 54' — 2-675

25⁰ 49' 4- I'543

38° 44' 4- 0-338

Kämpferrechts 51⁰ 38'    - 11-990

Kämpfer

90¹    4- 32-959

75°

6o°

45°

4-619

- 13-908

8084

30°    4- 1333

15°

4- 8118

Scheitel

o°

4- 10531

98-9

7230    7764    4- 7-39 4. o-oS7 4- 0-038 — 0-049 I

9x3    7204    7740    4- 7'44 — o-oio — 0-127 — 0-117

-f 7‘47 — 0 052 — 0-192 — 0-140 I

333

6i⁻6

89-6

— 1107

7196    7733

4- 2983    8777

9128    4- 4 00 — o-68o — 0-327 4- 0-353

4- 1599    8546    8902    4- 4'i7 - 0-140 4- o 045 4- o 185

4- 489    8392    8753    4- 4-30 4- 0 098 4- 0-150 4- 0 052

377    8293    8657    4- 4-39 4- 0154 4- 0-104 —- 0-050

998    8233

— 1372

8201

948

77'4

591

1284

+ 158

4' 1 Brückenbreite berechnet.

7 5*9 104-0

4i’o

152-3

—    257

+ 38-8

—    34'9

+ 48-3

/— 434 2078

227 -f 661 1483 — 595

55

92

+ 37

_105

I 96

75

— 30

61

53

104

100

51

62

8599    4- 4'45 4" o’i 19 — 0 002 — o' 121

8569    4- 4'49 4" 0-067 — 0 096 — 0-163

— 1496    8191    8560    4-4-50 4-°'°45 — °'i3²—0-177

4- 8-322 78-460    79-400

4- 3'659 58'377    59'556

4- 0161 47-912 49'275

2-004 44097    457574

2-747 43-269 44-783

4* 10067 9i'3²5

4- 4'424 7°‘i 19

4- 0-191    58-475

2-429 53-781

3327 52-617

— 221584- 9-178 87-213

0-005 + 4-029 65512

4- 7-741 4- 0-167 53-594

4- 3'324 — 2-221 48879

4164— 3-038 47 943

4887 — 2’2I2 49'000

4- 1-727 4- 0-184 52-793

4- 4-391 4- 4-053 62-984

2781 4- 9-209 82-572

i*

4- 33 949 4- 0-990 55-244

4-031 4- 0588 52-235

— 13 696 4- 0 212 42 750

8-194 — o-iio 32-587

4- 0-977 - 0-356 25-145

4- 7 606 — 0-512 21 " I Io

4- 9966 — 0-565 19-872

Oh 00 Oh 00 Ln lQ 00 Ln 00 Oh 00 lC Ln

80

81

63

97

56-4

1039

- Die Werte der Momente und Achsialkräfte sind für 4 nt — 18 Brückenbreite berechnet.

+ 25

—    25 + 32

—    28-1 + 35'°

4- I’2    —0 290 — 0-182

4- 2-0    — 0'0l8 4- 0 044

-4- 2-8 4" 0-107 4~ 0-107

-I- 3'3 T 0-025 — 0 020

4-3-5 —0-044—0104

92 463    4- i'²    —0-225

71-546

60-124

55568

54-449

88252

66-816

55‘i°i

50-511

49 616

50-632

54299

64-286

83-610

55'²44

52-274

42825

32-691

25273

21253

20020

4- o⁻io8

4- 0 062

— o 045

— o⁻o6o

— 0-113 4- O'I 12

09

3'6

23-5

19-2

6-8

4-1

112

14-7

20

24-2

00-4

vO ^4

I + K*

4- 2-o    - 0 038

4- 2-8 4- 0 069

4- 3"3 4- 0-033

4- 3-5    - 0 007

4- 1-2

- 0-359

4- 2-0    — O O62

4- 2-8 -f 0-141

4-3'3 fOH3

4- 3'5    - 0 023

4-3-3    -OO55

4- 2-8 4- 0-029

4- 2-i 4- 0 005

4-1-2 — 0-145

4-0-1

4- 0-2

4- 0 3

+ 0-5

+ 0-7

4- o-8

4- 0-025 + 0 063

4- 0 070 4- 0 001

—■ 0 012 — o 045

— 0068 — 0061

— 0-251

-j- crio8 I

— 0-000 -I- 0 062

4-0141    + o

4- 0 066 — 0 047

— 0 084 — o 061

— 0097 — 0042

4- 0 031 4- 0 002

4- 0 068 4- 0 063

— o033 4- O'I 12

4- 0-597 4- 0-615 + 0 018

- 0 088 — 0-077 4- O'OII

— 0 325 — 0 320 4- 0-005

— O248 — 0'250 — 0'002

4- o 053 4- 0-039 — 0-0x4

4- 0-384 4- 0-358 — o 026

-j- 0 530 -)- 0-498 — 0-032

106

ii-4

Ln ^4

6\ hi

(0

vO

8-8

ii 3

ro

in 00

0-7

24-6

Ln Ln w Oh

105

i3’5

Die Werte der Momente und Achsialkräfte sind für ein

spezifisches

3’4 Mauerwerks-

+    4’2

+ 5'°

4-8

3‘2

+ 3-8

gewicht = I berechnet und wären noch mit £■ = 2'3 tjm3 zu multiplizieren.

I-

607    62' 1

34'2 — 35 ⁶

Die Werte der

Achsialkräfte sind für ein spezifisches Mauerwerksgewicht = 1 berechnet und wären noch mit 2-4 tjm*

20⁻0    192

10-4 — 96

00 00

b o

plizieren.

f

4

m

i

.

:

m

II

’

WW

a

¹

Auf die letztgenannte Berechnungsart wird erst später eingehender zurückgekommen werden; es sei nur gleich jetzt bemerkt, daß die Stütz- und Einflußlinien dieser Näherung, wie aus der graphischen Darstellung zu entnehmen, sich weit enger an die Kurven der genauen Berechnung anschmiegen als jene des Näherungsverfahrens mit Vernachlässigung der Achsialkraft.

²

Man betrachte hiebei die absoluten Differenzen, nicht wie vorhin die prozentuellen Differenzwertc, welche bei den Momenten, wie bereits begründet, kein richtiges Vergleichsbild geben.

zwei beliebige Achsen gleich Null sein

x d x = o,

jjf.y d x = oj

Statt dessen könnte man auch sagen: Die beiden durch die Bogensehnen begrenzten, sowie einerseits durch die Bogenachse, anderseits durch die Stützlinie begrenzten Flächen müssen gleich groß sein und denselben Schwerpunkt haben.

Beide Bedingungen sind in folgender Form von Professor Winkler zu einer einzigen vereinigt worden: »Bei konstantem Querschnitte ist diejenige Stützlinie nahezu die richtige, für welche die Summe der Quadrate der Abweichungen von der Bogenachse ein Minimum wird«. Dieser Satz ergibt sich auch aus dem Prinzip der kleinsten Formänderungsarbeit, wonach

JMxdx ein Minimum

mit den obigen Vernachlässigungen sein muß.

Anhang.

Andere Näherungsverfahren zur Berechnung von Bogenbrücken mit eingespannten Kämpfern.

a) Näherungsverfahren mit Annahme einer parabolischen Bogenachse.

Da die Ergebnisse der vorstehend geführten Untersuchung speziell für flache Bogen zu ungunsten der Näherungsrechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft ausfallen, könnte die Frage gestellt werden, v/elche Näherungsrechnung für flache Bogen zuverlässiger anzuwenden wäre.

Hier erweist sich die Berechnung unter Annahme einer parabolischen Bogenachse und eines mittleren konstanten Querschnittes J) als ganz vorzügliches und einfaches Näherungsverfahren, welches selbst noch bei größerem Pfeilverhältnis der Bogen weitaus genauere Resultate liefert, als die durch Vernachlässigung der Achsialkraft geübte Näherungsrechnung, wie

a) Man wählt bei Geivölben am besten «mittel = Scheitelstärke, dk die Kämpferstärke des Gewölbes bedeutet.

wobei ds die

2 d s -\- d k

aus den Zusammenstellungen der Tabelle III, Seite 46, ersehen werden wolle. In dieser Tabelle sind die bereits vorhin betrachteten Beispiele 3, 6, 7 und 9 aufgenommen, und es werden außer den genauen Rechnungswerten für die kreisförmige Bogenachse und jenen für parabolische Achse auch noch die Näherungswerte für die Berechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft zum Vergleiche angegeben.

Nach den Zusammenstellungen der Tabelle III zeigt sich die beste Übereinstimmung für das erste Beispiel eines flachen

Bogens von Pfeil, zumal die Resultate der parabolischen

Berechnung nicht nur durchtvegs viel genauer sind als jene der Näherungsberechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft, sondern auch etwas ungünstiger als die genauen Werte, was der Sicherheit halber vorteilhaft ist.

Aber auch in den übrigen Beispielen ist die parabolische Berechnung besser zutreffend als die Näherungsrechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft, da sich insbesondere die für die Dimensionierung maßgebenden Kämpferbeanspruchungen weit entsprechender ergeben, trotz der Einführung eines mittleren konstanten an Stelle des variablen Querschnittes und obwohl die Annahme einer parabolischen Achse besonders bei dem letzten Beispiele infolge des großen Pfeilverhältnisses

von

— eigentlich nicht mehr zulässig wäre.

Die größere Genauigkeit des Näherungsverfahrens unter Annahme einer parabolischen Bogenachse gegenüber jenem mit Vernachlässigung der Achsialkraft ist auch aus der in Fig- 3’ Taf. Nr. 1 mit blauer Farbe angedeuteten Stützlinie, insbesondere jedoch aus den für die Beispiele 6 und 9 (siehe Fig. 6, 6 a und b in Taf. Nr. 2, sowie Fig. 9, ga, b und c in Taf. Nr. 3) dargestellten Stütz- und Einflußlinien zu ersehen²), welche sich weit enger an die bezüglichen Kurven

x) Die Resultate der parabolischen Berechnung wurden bei Beispiel 7 dem Weyrauchschen Werke entnommen, in allen übrigen Fällen besonders ermittelt, und zwar bei Beispiel 6 und 9 mit Hilfe der in Taf. Nr. 2 und 3 ersichtlichen Einflußlinien.

²) Für das Beispiel 7 wurde die Stützlinie der parabolischen Berechnung in Fig. 7 der Taf. Nr. 2 nicht eingetragen, um die Figur nicht undeutlich zu machen.

der genauen Rechnung anschmiegen als jene des Näherungsverfahrens mit Vernachlässigung der Achsialkraft.

Dagegen ist ein Nachteil der parabolischen Berechnung, daß sich von vornherein über den Sinn der Differenzen gegenüber der genauen Berechnung und über die gegenseitige voraussichtliche Lage der Stütz- und Einflußlinien beider Berechnungsarten eine bestimmte Angabe nicht machen läßt¹); man kann also nicht so wie bei der Näherungsrechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft aus der Lage der Stützlinie der Näherungsrechnung auf jene der genauen Rechnung, beziehungsweise auf die wahren Werte der Momente, Stützlinienabstände und Beanspruchungen Schlüsse ziehen.

Mit Beachtung der vorstehenden Bemerkungen kann das Schlußergebnis dahin gefaßt werden, daß es sich bei flachen

Pfeilverhältnis stets

Bogen von etwa unter —

empfehlen wird, wenn schon eine Näherungsrechnung der exakten Ermittlung vor gezogen werden soll, die Annahme einer parabolischen Bogenachse ein zu führ en, zumal man bei diesem Verfahren rascher zum Ziele gelangt und genauere Resultate erhält als durch die Näherungsrechnung mit Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft.

Professor Dr. v. Weyrauch untersucht in seinem bereits wiederholt zitierten Werke die Zulässigkeit der Anwendung der Formeln für parabolische Bogen auf Bogen anderer Achsform durch mehrfache vergleichende Berechnungen ; er empfiehlt jedoch, hiebei mit Vorsicht zu verfahren und in Zweifelsfällen (bei nicht ganz flachen Bogen) die Berechnung besser auf Grund der wirklichen Achsform durchzuführen. »Wenn auch die Abweichungen gegen die genaueren Werte für manche Größen wie die Stützenreaktionen //, V, V‘, die Vertikalkräfte Vx und die Normalkräfte Nx in vielen Fällen gering oder gleich Null

b Es sei nur z. B. darauf hingewiesen, daß die gegenseitige Lage der Stützlinien der genauen und der parabolischen Berechnung in den Beispielen 3 und 6, wie durch einen Vergleich der Fig. 3 in Taf. Nr. I mit der Fig. 6 in Taf. Nr. 2 ersichtlich, gerade die entgegengesetzte ist.

sind, so können sie doch für andere Größen wie die Momente Mx, die Normalspannungen er und die Einsenkungen e so groß ausfallen, daß die ganze Berechnung damit unbrauchbar wird.« Weyrauch konstatiert für das Beispiel 7 des Wiener Bruchsteinversuchsgewölbes, daß »die Berechnung nach jenen Formeln« (für parabolische Bogen) »im vorliegenden Falle nicht genügend gewesen wäre.«

Eine weitere vergleichende Zusammenstellung der Rechnungsresultate von Kreis- und Parabelbogen ist im II. Bande des Handbuches der Ingenieurwissenschaften (5. Abt., Auflage 1905) von Hofrat Professor Dipl. Ing. J. Melan für einen Bogen

vom Pfeilverhältnis

— —-• durchgeführt; es werden hierselbst die

Einflußordinaten des Horizontalschubes H, des Wertes X =

C -€

2    1 und des Kämpfermomentes Mfür beide Berechnungen

einander gegenübergestellt. Die graphische Darstellung der Einflußlinien für H und M steht mit den in Taf. Nr. 3 ersichtlichen Ergebnissen in voller Übereinstimmung. Professor Melan kommt zu dem Schlüsse, daß man auch bei Kreisbogengewölben sich meistens mit der Näherung begnügen können wird, nach den einfacheren Formeln des Parabelbogens von konstantem Trägheitsmoment zu rechnen, und daß selbst für ein Gewölbe von dem vorerwähnten größeren Stichverhältnis der Fehler im Horizontalschube nicht groß, dagegen der Fehler in den Momenten beträchtlicher sei.

Daß man jedoch mit Vernachlässigungen und Näherungsrechnungen nicht zu weit gehen daif, erhellt unter anderem aus der schon von Weyrauch gemachten Bemerkung, daß für parabolische, total und gleichförmig belastete Bogen bei Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft die Angriffsmomente sämtlicher Querschnitte (und damit auch die Einsenkungen) zu Null werden, also die Stützlinie sich durchaus mit der Gewölb-achse decken müßte, ein Ergebnis, das wegen seiner Unwahrscheinlichkeit keinen praktischen Wert hat.

Für diesen Fall der Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft bei Parabelbogen bringt Professor Melan im obzitierten Bande des Handbuches der Ingenieurwissenschaften eine

Formel zur Beurteilung des begangenen Fehlers. Besteht der Bogen aus zwei gleichen Gurten vom Abstande h und der Pfeilhöhe f und bezeichnet a die Gurtspannung für eine mit der Schwerachse zusammenfallende Stützlinie (das ist der Fall bei Vernachlässigung der Achsialkraft), so werden die Spannungen mit Rücksicht auf die exzentrische Lage der Stützlinie (das ist für die genaue Rechnung) :

*5

im Kämpfer:

Obergurt

Untergurt aJlk = a

■+Ï-7

45

i6 f*

im Scheitel:

Obergurt aos = c

15 h

8"7

Untergurt <rus = c

45 7. 16 ' f

Im Kämpfer wird die Differenz für die Untergurtspannung am größten für ~

= 0787 (cK =

erhält

der Obergurt Zugbeanspruchung; im Scheitel tritt der größte Wert der Obergurtspannung bei

7 ein (<j„ = 1-25 er),

15

während gu für

-7 > 7. Zugbeanspruchung wird.

Die eben zitierten Formeln können aber auch ganz allgemein bei Bogen beliebiger Achsform und beliebigen Querschnittes dazu benützt werden, sich aus einer fertig vorliegenden Berechnung, welche mit Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft durchgeführt wurde, ein ungefähres Bild von den tatsächlich auftretenden Spannungen zu verschaffen, wobei man

annähernd gute Resultate erhält, wenn h der gesamten Querschnittshöhe gleichgesetzt wird. Z. B. : Gegeben seien die Näherungswerte der Beanspruchungen für das Beispiel i (vergleiche Tabelle I) mit i„k = 23*5, awk = 79'A kg/cm² für den Kämpfer, <j0S = 4i'0,    = 152*3 kg/an¹ für den Scheitel.

—l— ist für den Kämpfer

4-0

12-3

rund

für den Scheitel

2-0

123

Somit ergeben sich als wahrscheinlichere Werte

£5

Gok = 23-5 ~

G uh = 79-4

¹ 4" 16 X +Ü . -i

4    3

— — 4*5 kg/cm¹

15

¹36 kg/cm¹

¹ + 16    •    9

. £5

¹ + 8 ‘ 6

1 il ± ¹ + 16    36

15 I ¹ 8 ' 6

50 kg/cm¹

97 kg/cm¹.

15    . ±

16    ' 36

Es zeigt sich, daß die solcherart gewonnenen Werte weit näher an den wahren Werten: aok =— 26 5 kgjcm²

123-0 kg/cm2 7 5‘9 kg/cm1 104-0 kgjcm²

liegen als die ersten Resultate. In anderen Fällen zeigen sich noch weit bessere Übereinstimmungen.

b) Näherungsverfahren zur raschen Orientierung über die in einem Bogen auftretenden statischen Verhältnisse.

Neben der Näherungsberechnung von Bogenbrücken unter Annahme einer parabolischen Bogenachse möge ferner wegen der besonderen Kürze und Einfachheit des Rechnungsvorganges

Tabelle III.

Postnutnrner der Tabelle I

Pfeilverhältnis des Bogens

Art der Belastung

Vertikalkomponenten der Kämpferdrücke

Horizontalschub

Kämpfermomente

Scheitel moment

Achsialkräfte im Kämpfer

Schubkraft im

genau

für parabolische Bogenachse

Differenz

berechnet

mit V ernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Bogenachse

Differenz

berechnet

der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Bogenachse

berechnet

Differenz

mit V ernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Bogenachse

Differenz

berechnet

mit V ernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Bogenachse

berechnet

Differenz

mit Vernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Bogenachse

Differenz

berechnet

mit Vernachlässig;ung der Achsialkraft berechnet

Differenz

in Tonnen

in %

in

in

in Tonnen

in %

in

Tonnen

in %

in Tonnenmetern

in Tonnenmetern

in Tonnen

in %

in

Tonnen

in °/₀ in Tonnen in °/₀ i. T.

£_a[

CO

¹ Eigengewicht ¹² u. tot.zuf. Last

1050

105 o

105-0 o 2862

2798

— 2-1 317 9    -|- II-O

— 960

1261

3° ¹

4- 8-2

4-104-2 4-55M

4-630    4-76

+ 3-0    —524

304 8

297 9    - 2 3 334 8

V io-o

Ob

i Eigengewicht ( 84 1 tot.zuf. Last!

36 808 36-808 o 36-808 o 35 423

39-523

4- 11• 5 73 051 1106-2

—34-376

— 29719

+4-657

— 0139

+34-237 +13-967

+13-392—0-575

4-0-191 —13776

49081

52 632 4- 7'2 81668

+66-4

24095 o 25796

Eigengewicht 24-095 24095 — Eigengewichtu. 138 171 37-814 — i-o 38-163 halbs. zuf. Last 127169 27 526 -|- 1-3 27177 °

5'3

37 703

25-882

37-614

4- 0-3 26821 4- 4'0

O" 21

39-189 4- 4-0

— 4-902 —20 867

+ 13-358

—    6026

—    19083 + 6-655

— 1 124 + 1-784

-6703

— I-I57 -15-342 +18700

-f- 4*^69 + 0-428

+ 4-525

+ 5-342

+ i-598

— 1083

-0-463

— o 891

- 0-460

-2058

+ 0-318

— 1 280

35-286

I 53-532 I 46 240

35-35° o 36054

53-228 — 0-5 54-639 46-410 4- 0-4 47-358

4- 21

4- 2-o + 2-4

3-074

343I

4- 12-0 3-082

Eigengewicht 73 519 73 519 o Eigengewichtu. 189-532 89170 —0-4 89 545 halbs. zuf. Last \ 76768 77130 4-0-5 76755

73-5*9 o 47557

o 56-441

47920

57830

4- o-8

+ 2-5

53 348 4- 12-2

63 326 4- I 2’2

— 26-445

J-4I-807 \ — I 1624

—    30076

—    44270

—    21 120

-3 631 - 2 463 -9496

—    2287

—    13-326 + 17-112

4-24-158 4- 4-155 4-28-481 + 28 736

+ 5 834

— i 073

- 0 085

-5-228

5-9*9

- 0 644

4-0 016

- 4'799

- 5818

87449

105758

94-704

87630 o 90-345

106 140 4- 0-5 109-212 95-7004-1-0 98135

+ 3*31    •

+ 3'3 + 3'⁶

3 248

3’6!o

4- 11*0 3 235

Postnuminer der Tabelle I

Pfeil Verhältnis des Bogens

Art der Belastung

genau

Abstand der Stützlinie von der Schwerachse

im Kämpfer

im Scheitel

im Kämpfer links

Beanspruch un ge im Kämpfer rechts

im Scheitel

für parabolische Achse

Differenz

berechnet

mit Vernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Achse

Differenz

berechnet

mit V ernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Achse

Differenz

berechnet

mit V ernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Achse

Differenz

berechnet

mit Vernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

genau

für parabolische Achse

Differenz

berechnet

mit "V ernachlässigung der Achsialkraft berechnet

Differenz

in Metern

in Metern

in kg pro cm³

in pro cm²

in kg pro cm²

³ T2

1 Eigengewicht und totale zufällige Last.....

- 0 315 — 0-423

- oto' f o 024 4- °'339 4- 0193 T 0 225 4- 0 032 4- 0 010 — 0183 I

22-8

404-0

41-6 — 64-4    2507 -f 227-9

45⁸ 9 -f 54-9    2181    - 185 9

wie im Kämpfer links

1 3103

\    90-6    709

3209 4- iO'6    228 6 — 817

197    216-6 + 126-0

1 Eigengewicht und totale I 8 4 zufällige Last......[

I — 0700 — 0 565 4- o 135 - 0 002 4- o⁻698 4- 0-394 -f- o 339 — 0 055 4- o 003 —

0-391

- 6-5

5'° + i’5

kp

13'4

12-2

12

10 10

-f I 2' I

7'7

wie im Kämpfer links

100

29

4- 0-2 4- o⁻6

+ 9'9

Eigengewicht......

7    —

5 3 Eigengewicht und halb- j

— 0390 — 0359 seitige zufällige Last \ -j- 0 289 -f- 0144

— 0139 — 0170 — 0 031 — o 032 -|- 0107 -j- o 017 — 0 042 — 0 059 — 0 017 -

+ 0 031 - 0-281 -)- 0109 — 0145 -f 0-395 -j- 0106

-j- o 042 — 0 012 — 0 054 4- 0 008 —

co

00 vo

O 40

02

06

0034

j - 5'4

15 i

6 2    4- 06

— 4-6    4-08

14 3

o-8

27    4-rg

wie im Kämpfer links

7 4 — 3 5 J3 6 + 27 j o'9 + 3'5 — 5 ° — 2 6 \

O VO Cb k0

vn co oo co

lO    40 O

vb N

—    27 + 2-5

—    3 4 + 34

¹ '3

+ I-6

i-8

4- 2-4

Eigengewicht

9 ~

4 Eigengewicht und halb- J —

seitige zufällige Last. \ — 0123

— 0 302 — o 350

°'395 —0400 0220

— 0 048 — 0 025 4-0-277    o⁻o88 — 0 022 — o 110 — 0 012

o

eri oi

— 0-4

4- 0 4

—    0 005 — 0122 4- o 273

—    o 097 4-0-174 4-0 297

+ 0103 — O OOI — 0104 4- 0-000 —

0103

j -- 0 3    —0 3

\    9 7    9'8

4- 01

CO CO CO 40

co T+ CO kO

+ 3 *

— 28

+ 3'6 - 32

Ln tO

Ob 00

wie im Kämpfer links

II

q\

4- i'3

rr CO kb <N

+ 3'6 — 3 3

I 7* 1 2-2

en Ln -p. OJ

w w ob ob

- 2-5 4- 2⁻6

27

4- 29

La Ln Ln 4k

d\ ^4    « m

iS

4- 2 9

21

+ 3'4

iyjy&ti -

-»üai.- - êm\.» 'töifim?

• ''Sk-śĘ.y:'

■

—

.

#

eines Verfahrens gedacht werden, welches Hofrat Professor Joh. E. Brik der k. k. technischen Hochschule in Wien zur raschen Orientierung über die statischen Verhältnisse von Bogenbrücken in seinen Vorlesungen empfiehlt.

Das Verfahren gründet sich auf die Theorie der Stützlinie, welche für den Krümmungsradius im Scheitel die Formel ergibt, wobei qQ die mittlere Belastung pro Längeneinheit im Scheitel bedeutet und für Gewölbe durch das Produkt aus der Belastungshöhe im Scheitel 7)₀, dem spezifischen Mauerwerksgewicht y und der Gewölbebreite b, also durch den Ausdruck 7)₀ y b dargestellt werden kann.

Hieraus ergibt sich für den Horizontalschub H der Wert:

H = P?o = P A)Y^

und es wird empfohlen, für p etwa den Krümmungsradius der Innenleibung des Bogens einzusetzen.

Bei halbseitiger zufälliger Belastung p tritt hiezu noch der

Wert :

i p P 16'Jk’

ein der Theorie des Parabelbogens entnommener Ausdruck, in

45 J

aus den

welchem die Größen ¹) = ^i -j--¹ —

⁸(f

3 \l ) J

Bogendimensionen zu berechnen ist. Die Vertikalkomponenten der Auflagerreaktionen, sowie die Schubkraft im Scheitel können für halbseitige Belastung gleichfalls nach den Formeln für parabolische Bogen :

AJl. ₌

13

32

pl, Ä ₌ Vm = pl

32

mit hinreichender Genauigkeit ermittelt werden.

Zur Konstruktion der Stützlinie denke man sich nun den Horizontalschub im Schwerpunkte der Scheitelfuge oder ein wenig oberhalb desselben wirksam und konstruiere mit Hilfe

*) Für rechteckigen Querschnitt (Gewölbe) :

■+r

00 :

LJ

eines Kräftedreiecks der bekannten Vertikallasten, beziehungsweise mit Berücksichtigung der im Falle halbseitiger Belastung auftretenden Schubkraft im Scheitel das Seilpolygon, welches die Stützlinie darstellt.

Nach eingehender Durchrechnung der in Tabelle I enthaltenen zwölf Beispiele haben sich nun folgende Grundregeln ergeben, bei deren Beachtung in den meisten Fällen die günstigsten Resultate des Näherungsverfahrens erreicht werden dürften:

i. Gewölbte Bogen.

a) Eigengewicht. Bei gewölbten Bogen gibt die Formel H = p v]₀ y b für Eigengewicht stets (mit Ausnahme des Vollbogens) die günstigste Übereinstimmung mit den genauen Resultaten, wenn für p der Wert des Radius der Gewölbachse eingeführt wird. Es resultieren dann in den betrachteten zwölf Beispielen teils um i°/₀ bis 17% kleinere, teils um i°/₀ bis 3% (beim Vollbogen 14%) größere Werte, während man z. B. mit der Annahme p = dem Radius der Innenleibung des Bogens durchwegs viel zu kleine Horizontalschübe erhalten würde.

b) Zufällige Belastung. Den Horizontalschub für eine

totale oder halbseitige, gleichmäßig verteilte Belastung p rechne

I P P

man stets nach den Formeln für parabolische Achse Hp =—

— -4    welche auch bei Bogen von

16 fk

beziehungsweise HlL

2

großem Pfeilverhältnis immer noch genauere Resultate liefern als die Näherungsformeln Hp — p -r\p y b = p/, beziehungsweise

2. Eiserne Bogen.

Bei eisernen Bogen, bei welchen Eigengewicht und zufällige Last fast stets gleichmäßig längs des Bogens, beziehungsweise der Bogensehne verteilt angeordnet zu sein pflegen, erhält man die beste Übereinstimmung mit der genauen Rechnung

durch Anwendung der Formeln des Parabelbogens H(g.+p) =

i (g+p)i-

.. Hiebei

, beziehungsweise +

wäre eine gleichmäßig längs des B ogen s verteilte Belastung vorerst auf eine äquivalente, längs der Bogensehne verteilt

8 fk

fk

gedachte Last umzurechnen, wie dies für die Beispiele 3 und 11

geschah (P Sehne - P Bogen /K

I.Die Differenzen des

Bogenlänge '

Sehnenlänge

Horizontalschubes gegenüber der genauen Rechnung sind nur geringfügig, im Maximum 8°/₀.

Sollte eine der vorhandenen Belastungen nicht gleichmäßig längs des Bogens oder der Bogensehne verteilt sein, so müßte auf die Formel H— p 7)₀ b zurückgegangen werden, wobei 7)₀ y b der spezifischen Belastung im Scheitel und p dem Radius der Innenleibung des Bogens gleichzusetzen wäre, letzteres deshalb, weil die Formel für eiserne Bogen ohnehin stets zu große Werte liefern wird.

Unter Beachtung der vorstehenden Regeln ergeben sich für sämtliche, in Tabelle I behandelten zwölf Beispiele die in Tabelle IV, Seite 50 den genauen Werten gegenübergestellten Horizontal- und Vertikalkomponenten der Kämpferdrücke und Schubkräfte im Scheitel. Die in Prozenten des genauen Wertes angegebenen Differenzen sind in allen Beispielen mit Ausnahme des Beispieles 6 relativ nicht bedeutend; aus dem letztgenannten Beispiel ist zu ersehen, daß die Anwendung der Formel p vi₀ y b des Horizontalschubes auf die Betrachtung eines aus einem größeren Gewölbe ausgeschnittenen Bogensektors unzulässig ist, da sie für denselben die gleichen Werte wie für das volle Gewölbe ergibt.

Konstruiert man nun mit den in Tabelle IV ausgewiesenen Werten auf die bereits geschilderte Art und Weise die Stützlinien, so findet man in der Mehrzahl der betrachteten Beispiele (und zwar bei Beispiel 2, 3, 5, 7, 9, 10 und 11) eine gute Übereinstimmung mit den für die genaue Rechnung erhaltenen, in Taf. Nr. 1 bis 3 ersichtlichen Stützlinien; nur in wenigen Beispielen (1, 4, 8 und 12), und zwar in jenen, bei welchen die Horizontalschübe stärker differieren, ergeben sich größere Abweichungen, wobei das Näherungs verfahren ungünstigere Resultate liefert. So z. B. gehen die für Beispiel 1, 4 und 8 resultierenden Stützlinien in den Kämpfern knapp an den Kanten der Innenleibung vorbei, sie sind nahezu die »Minimalstützlinien«, während die Stützlinien der genauen Rechnung zwar auch außerhalb des Kernes sich bewegen, jedoch nicht an die Gewölbleibung herantreten. Daß beim vollen Halbkrèisgewôlbe (Beispiel 12) größere

Differenzen Vorkommen, ist leicht begreiflich. Für Beispiel 6 würde die vorliegende Näherungsrechnung eine Stützlinie ergeben, welche nahezu mit der in Fig. 6 der Tafel Nr. 2 rot eingezeichneten Stützlinie der Näherungsrechnung mit Vernachlässigung der Achsialkraft zusammenfällt.

Aus den vorstehenden Versuchsberechnungen kann geschlossen werden, daß das erörterte Näherungsverfahren in den meisten Fällen Resultate geben ward, welche in Anbetracht des höchst einfachen und raschen Berechnungsvorganges als recht zutreffend bezeichnet werden können. Aber auch in Ausnahmsfällen bei größeren Abweichungen sind die Resultate des Verfahrens noch geeignet, eine rasche Orientierung über die statischen Verhältnisse des Bogens zu ermöglichen. Zu diesem Zwecke kann das Verfahren bestens empfohlen werden.

Einfluß der Vernachlässigung- der Achsialkraft bei Berechnung anderer Konstruktionssysteme.

ä) Zweigclenkbogen.

Die Anwendung des Näherungsverfahrens mit Vernachlässigung des Einflusses der Achsialkraft ist selbstredend nicht nur bei gelenklosen, beiderseits eingespannten Bogen, sondern auch bei zahlreichen anderen Konstruktionssystemen möglich und teilweise auch zulässig.

Für Zweigelenkbogen wird die Wirkung der Vernachlässigung der Achsialkraft jedenfalls geringer sein als bei gelenklosen Bogenkonstruktionen, da gerade jene Differenzen der Rechnung, welche bei Bogen ohne Gelenk ein Maximum zu sein pflegen, nämlich die Differenzen in den Bogenkämpfern, infolge der Anordnung von Kämpfergelenken gänzlich entfallen. Die Schnittpunkte der Stützlinien beider Rechnungsverfahren, welche bei gelenklosen Bogen ungefähr im ersten, beziehungsweise dritten Viertel der Spannweite liegen, fallen hier mit den Kämpfern zusammen. Es können somit nur im Bogenscheitel erheblichere Abweichungen Vorkommen.

Die Tabelle V, Seite 52, gibt eine Vergleichung der genauen und Näherungsresultate, welche sich für die bereits in Tabelle I,

Post 5, behandelte eiserne Bogenbrücke von einerseits unter Annahme der Einspannung in den Kämpfern,

8'5

Pfeilverhältnis

Tabelle IV.

Gewölbte Bogenbrücken.

Post Nr. der Tabelle I

Bogensehne

Bogendimensionen

Belastungsangaben

Horizontalschub

Vertikalkomponenten der Kämpferdrücke

Schubkraft im Scheitel

Pfeilhöhe

Pfeilverhältnis

Radius der Gewölbachse

Kämpferstärke

Scheitelstärke

Art

der Belastung

im Scheitel

Spezifisches Gewicht des Mauerwerks

Zufällige

Belastung

genau

näherungs

weise

Differenz

genau

näherungs

weise

Differenz

genau

näherungs

weise

Differenz

Anmerkung

berechnet

berechnet

in Metern

in Metern

Yj,₍ in m y in t/m³ p in t/m

in Tonnen

in %

in Tonnen

in %

in Tonnen

in %

1    152-0* 12-3* •— 263-20 4-00 2-oo

I    ¹²

* gemessen am Kreisbogen d. In n e n leibung

2    152-0* 12-3* _L 246-45(2-67 2-67

Eigengewicht u. tot. zufällige Last . . . .

2-30

2-6 “V"-

begriffen

7196

6296

— I2-r

2854

2854 o

Für 4 m Brückenbreite berechnet

Eigengewicht u. tot. zufällige Last . . . .

2-97

2-6i,1T)oin-

begrilTiin

8191

7612

— 7-i

3192

3192

Für 4 m Brückenbreite berechnet.

4 45-923 5-363

8-5

5I"937

2-oi

1-50

Eigengewicht u. tot. zufällige Last

1-882

2-75 o-6oo 324-710

295-917

-8-7

228-679

228-679 o

6 10-720 1-276

8-4

11-774 1-44

112

Eigengewicht......

Eigengewicht u. tot. zufällige Last . . . .

1-70

2-4

24-428

48-038

4- 96-7

26-088

26-088

1-70

2-000    35-423

60-314

+ 70-3

36-808

36-808

7 23-758 4-502

5-3

17-923

i-io o-6o

Eigengewicht......

Eigengew. u. tot. ’ zufällige Last .

> m

Eigengewicht u. halbs. zuf. Last

Eigengew. u. tot. rt-zufällige Last . m

Eigengewicht u. halbs. zuf. Last

o-6o

o-6o

o-6o

o-6o

o-6o

2-4

25-796

25-803

24-095

24-095 o

1-524    49-609

1-524    37-703

2-477    64-494

2-477    45"I45

49'ii3

37A58

63-695

44-749

— i-o

— o-6

— 1-2

— 0-9

41-245

J 38-171

I 27-169 5¹ *96 5 I 46-970

\ 29-090

41-245 o

38-029 — 0-4 27-311 T 0-5

5¹'9^5

46-739 —0-5 29-321 -f o-8

3-074

4-995

3-216

5-226

Für die Berech-- nung der Wirkung d. zuf.Last wurden d. inAb-4~ 4"5 ständen v. 2-25 m wirksamen Einzelnsten durch eine gleicht, verteilte Belastung P

p~-ersetzt

2*25

+ 4'5

30 0* 7-26* i!'" gemessen amKreisbogen d.Innen leibung

4-1

20-353

i-6o

i-io

Eigengewicht .....

Eigengewicht u. tot. zufällige Last . . . .

Eigengew. u. halbs. zufällige Last

i-75

i-75

i-75

2-3

43-269

35-6I7

- I7-5

65-800

65-800 o

1-274    52-617

1-274    47-943

43-998

- 16-5

74-810

74-810 o

Horizontalschub, V ertikalkompo-nenten u. Schubkraft sind noch mit dem Mauerwerksgewicht

39-807

- I7-0

73-267

67-343

73 121 -0-2

67-489 -f O"²

1-543

1-689

4- o-c    zu

"T V a multiplizieren.

19-26

5-00

11-774

2-24

112

Eigengewicht......

Eigengewicht u. tot. zufällige Last . . . .

Eigengew. u. halbs. zufällige Last . . . .

1-70

1-70

I-70

2'4

2-000

47-557

65-324

2-000    56-441

48-038

65-400

56-719

-f i-o

4- o-i

+ 0-5

73" 5¹9

92-779

89-532

76-768

73* 5¹9 o

92-779

89-168 - 0-4

77-I32    4- 0-5

3-248

3-611

4- I1-2

io,

42-00*

I 1-90*

3'5

28-551

2-38

1-40

gemessen amKreisbogen d.Innen leibung

Eigengewicht des Bogens allein .

(ohne Hintermauerung)

Eigengewicht u. tot. zufällige Last

1-40

2-0

38-671

39-971

+ 3‘3

"5¹ *3 5°

5I"35°

Bemerkung wie zu Post Nr. 8 mit g = 2-o i/m'.

2-50

in rjqin-b «griffen

82-653

71-378

— I3-5

146-020

146-020

12

21-00

10-50

10-500

i-oo

i-oo

Eigengewicht u. tot. zufällige Last ....

Eigengew. u. halbs. zufällige Last . . . .

I-70

I-70

2-4

2-ooo 19872

2-000    I7-447

22-212

20-03I

-f- 11-8

4- 14-5

Eiserne Bogenkonstruktionen.

55-240

53-390

47-93I

55-240 O

53-526 4- 0-3

47795 — 0-3

1-854

1-719

— 7'3

Bemerkung wie zu Post Nr 8 mit g = 2-4 t/m'.

Post Nr. der Tabelle I

Bogensehne

Bogendimensionen

Belastungsangaben

Horizontalschub

Vertikalkomponenten der ; Kämpferdrücke

Schubkraft im Scheitel

Pfeilhöhe

Pfeilverhältnis

Radius der Bogeninnenleibung

Querschnitts

höhe

im

Kämpfer

im Scheitel

Größe

der Belastung der Belastung

Art

genau

näherungs

weise

Differenz

genau

näherungs

weise

Differenz

genau

näherungs

weise

Differenz

Anmerkung

berechnet

berechnet

berechnet

in Metern

in Metern

in Tonnen

in °/o

in Tonnen

in % in Tonnen I in °/₀

59-446

4-902 — 92'547

1-70

1-70

Eigengewicht u. tot. zufällige Last

105 ^ gleichm. längs des Bogens ......

j 105 t gleichm. längs I V der Bogensehne ... I

286

280 - 2-2

IO5

105 O

45-923

5-363

8-5

48-773

2'00

I-₅0

Eigengewicht u. tot. zufällige Last

Eigengew. u. halbs. zufällige Last

Eigengew.<7 — 0-1)20t/m 147-630 159-088 -f 7'8 93-108 100-333 + 7-5

Znf.B1slast.7j — 2-G00 ijrn

(gleichm. vert, längs der Bogensehne.)

82-448

1 71-705

I 32-292

82-448 o

71-030 —o-8 32-967 + 2-1

10-743

11-419

4- 6-2

48500

ig-22

2-5

24-000

1-816

1-816

Eigengewicht u. tot. zufällige Last

Eigengew. u. halbs. zufällige Last

Eigengew. g — 0462 tim 15-606 Z11f.Belasl.7j=0*120 t/m

(gleichm. vert, längs d. äußer. Bogenlbg )

15-840 + 1-5

11-890

12-068 + I"5

25-442

I 23-230 \ I5-538

25-442 23-169 —0-3 15-599 +0-4

2-212

2-272

4- 2 6

anderseits bei Anordnung von Kämpfergelenken ergeben¹). Die Differenzen der genauen und Näherungsrechnung sind hienach beim Zweigelenkbogen durchwegs bedeutend geringer als beim Bogen ohne Gelenk, beziehungsweise gleich Null.

Die Zulässigkeit der Näherungsrechnung kann beim vorliegenden Beispiele allerdings noch bestritten werden, da sich im Scheitelquerschnitte immerhin nicht unerhebliche Abweichungen ergeben ; doch wird das Näherungsverfahren bei hochgespannten Zweigelenkbogen zweifellos unbedenklich angewendet werden können, wie dies schon von Professor Dr. von Weyrauch festgestellt wurde. Hiebei wird die Grenze des Pfeilverhältnisses, von welchem ab die Anwendung des Näherungsverfahrens unbedingt statthaft erscheint, erheblich niedriger als bei gelenklosen Bogen mit etwa % bis % Bogen pfeil angenommen werden können.

b) Bogen mit Zugstange.

Castigliano weist in seinem Werke bei Behandlung eines praktischen Beispiels, und zwar der in Textfigur 3 abgebildeten Konstruktion eines Hallendaches darauf hin, daß bei Bogenkonstruktionen mit Zugstangen der Einfluß der Achsialkräfte des Bogens und der Spannung in der Zugstange auf die Formänderungsarbeit gegenüber der Wirkung der Biegungsmomente sehr gering sei und daher für die erste Näherungsrechnung vernachlässigt werden könne. Dies hat bei Bogen konstanten Querschnittes den Vorteil, daß es nicht notwendig ist, den Querschnitt des Bogens oder der Zugstange vorher anzunehmen; vielmehr können die Näherungsresultate zur Querschnittsbestimmung dienen. Castigliano erwähnt schließlich, daß die auf Grund der Näherungsrechnung gefundenen Werte der Biegungsmomente im allgemeinen nicht genügen werden und daß es notwendig ist, nach Annahme der Querschnitte die Berechnung genau durchzuführen.

Letztere Bemerkung könnte wohl zweckmäßig näher präzisiert, beziehungsweise dahin eingeschränkt werden, daß so wie in den früheren Fällen die genaue Berechnung nur bei flachen Bogen erforderlich, dagegen bei hoch gespannten Bogen nicht unbedingt notwendig ist. Denn schon in dem von Castigliano gewählten Beispiele, welches

J) Die Werte der genauen Rechnung sind hiebei dem Werke Castiglianos entnommen, die Näherungswerte besonders berechnet.

einen Bogen vom Pfeilverhältnis ¹/_l betrifft (siehe Textfigur 3), sind die Abweichungen des Näherungsverfahrens nicht gar erheblich, wie aus der vergleichenden Zusammenstellung in der nebenstehenden Tabelle VI ersehen werden wolle¹).

Als »Kämpfer« wurde bei Berechnung des Beispieles ein Querschnitt etwas oberhalb des Angriffspunktes der Zugstange betrachtet; die Differenzen beider Rechnungsarten für diesen

Textfigur 3.

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—I-

Querschnitt sind nur gering und werden für den Angriffspunkt der Zugstange gleich Null. Die größten Unterschiede ergeben sich im Scheitelquerschnitte. Der Fall liegt also ähnlich wie beim Zweigelenkbogen.

c) Polonceaudachslühle.

Für Polonceaudachstühle wäre nach Castigliano der Einfluß der Normalkraft des Hauptsparrens ebenso wie der Einfluß der Strebenspannungen im Ausdrucke der Formänderungsarbeit stets zu berücksichtigen, da man sonst zu stark abweichende Resultate (besonders für die Biegungsmomente des Hauptsparrens) erhält.

Wien, im Juli 1908.

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ł) Die Näherungswerte sind mit Ausnahme der Zugstangenspannung bei Castigliano nicht ausgewiesen, sondern wurden erst rechnungsmäßig ermittelt.

Art der Bogenkonstruktion

Art der Belastung

Vertikalkomponenten der Kämpferdrücke

ohne

mit

Diffe-

V ernachlässigung der Achsialkraft

renz

in Tonnen

Tabelle V.

Horizontalschub

Kämpfermomente

Scheitelmoment

I Achsialkraft im Kämpfer

Schubkraft im Scheitel

ohne I mit

V ernachlässigung i der Achsialkraft

in °/₀ j in Tonnen

Diffe-

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

renz

in %

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

in Tonnenmetern

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

Diffe-

ohne J mit

Diffe-

V ernachlässigung der Achsialkraft

renz

Vernachlässigung der Achsialkraft

renz

in Tonnenmetern

in Tonnen

in %

in Tonnen

in %

Eiserner Bogen ohne Gelenk

Eiserner Bogen mit 2 Kämpfergelenken .

IEigengewicht und totale zufällige Last ! Eigengewicht u. halbseitige zufällige Last j Eigengewicht und totale zufällige Last .

I Eigengewicht u. halbseitige zufällige Last

82-448

I 71-705

1 32-292 82-448 J 67-519

\ 36-467

82-448 o

71-708

32-289

82-448 o

67-519    _

36-467

147-630 175-600    ¹9"°    — 91-387

j— I53-498

H* 38-218

93-108 110-746 4* Ï9-0

167-670 171-654    4* 2-3

105-750 108-259    4- 2-4

Abstand der Stützlinie von der Schwerachse

im Kämpfer

im Scheitel

-f- 17-166

— 85-100 + 106-753

+ io8-553 + 44-749

+ 68-398 + 68-535

4- 28-222

+ 27-953

+ 17-73°

im Kämpfer links

+ 3'4⁰¹

+ 2-145

4- 7102

4- 4-106

—    41-348    169-924

—    26-077 j

—    20-851    187-819

i I25-599

\ iii-3i5

116-223 98-112

— 13-624

194-905 4- 14 7

131-987 + i3'6 113-858 4- ï6-o

191-381 4- i'9

127-842 4-    i-8

II3'558 + 2-0

10-743 10-740

14-920 14-920

Beanspruchungen

im Kämpfer rechts

im Scheitel

Art der Bogenkonstruktion

Art der Belastung

ohne

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

ohne

mit

Vernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

Vernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

V ern achlässigung der Achsialkraft

Differenz

V ernachlässigung der Achsialkraft

Differenz

in Metern

in Metern

in kg pro cm²

in kg pro cm²

in kg pro cm²

Eigengewicht und totale zufällige Last .

Eiserner Bogen ohne Gelenk

— 0-538

4- 0-088

4- 0-626

+ 0-303

4- 0-019

— 0-284

308

840-1

575’5

423-4

Eigengewicht u. halbseitige zufällige Last

— 1-321 4- 0-389

— 0-645

+ 0-938

4- 0-676 + 0-549

4- 0-303

4- 0-019

' — 0-284

J — 3819 1    9775

386

715 i

+ 544’7

—    416-7

+ 343-3

—    2624

wie im Kämpfer links

4207

82-2

764-5

— 1810

+ 3438

I 7390 I 1552 527-5

988

365

Eigengewicht und totale zufällige Last . .

Eiserner Bogen mit 2 Kämpfergelenken .

4- 0-167

4- 0-041

— 0-126

4800

490-4

4- 104

wie im Kämpfer links

Eigengewicht u. halbseitige zufällige Last

4- 0-168

+ 0-038

— 0-130

321-8

3276

4-    58

285-3

291-0

+ 5-7

I 6903 }    3248

I 475 °

1    1662

553-9

509-2

349-3

321-3

5663

4737

363-8

2922

—    185-1

+ 354-0

—    1782 4- 284-8

—    1240

+'1489

- I I I⁻2

-ff I2ÓO

Tabelle VI (für den Bogen mit Zugstange).

Vertikalkomponenten der Kämpferdrücke

Spannung der Zugstange

Kämpfermomente

Scheitelmoment

Achsialkraft im Kämpfer

Schubkraft im Scheitel

Abstand der Stützlinie

von der Schwerachse

im Kämpfer

im Scheitel

Beanspruchungen im Scheitel

Art

ohne j mit

ohne mit

der Belastung

Vernachlässigung der Achsialkraft *)

Differenz

Vernachlässigung der Achsialkraft*)

Differenz

ohne

mit

V ernachlässigung

der

Achsialkraft*)

Differenz

ohne

mit

V ernachlässigung der Achsialkraft*)

Differenz

ohne

mit

Vernachlässigung der Achsialkraft *)

Differenz

ohne mit

Vernachlässigung der Achsialkraft ®)

Differenz

ohne

mit

ohne

mit

V ernachlässigung

der

Achsial kraft*)

Differenz

V ernachlässigung der Achsialkraft *)

Differenz

ohne

mit

Vernachlässigung der Achsialkraft*)

Differenz

in Tonnen

in °/t in Tonnen

in Tonnenmetern

in Tonnenmetern

in Tonnen

in °/₀ in Tonnen in °/c

in Metern

in Metern

in kg pro f;«²

Eigengewicht und totale zufällige Belastung..........

21 228

21-228 o

18-718

18-915

+ i —3-365

— 3-468

— 0-103

410-107

T 7-684

— 2-423    28-324

28-445 +- 0-5

— 0117

— 0122

— 0-005

+ 0-5 35

—- 0-129

1623-1 l 7'5

552-6

- 70-5

84-6

Eigengewicht und halbseitige zufällige Belastung........ . . .

18-982

18-982 o

13912

13-912 o

14.502

14-655

4- i

[— 1-846

l- 3-367

—    1-926

—    3-447

—• 0-080 — 0-080

-f 7-843

+ 5-961

—-1-882

[23-953 l¹9‘93 7

24-047

20-031

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2-246

2-246 o

[— 0-077 [— 0-169

—• 0-082

— 0-172

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—    0-005

+ 0-535

4- 0-406

— 0-129

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*) und der Formänderungsarbeit der Zugstange.

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über den Einfluss der Vernachlässigung der achsialkraft bei Berechnung

VON BOGENBRÜCKEN MIT EINGESPANNTEN KÄMPFERN.

Von Dr. techn. Friedrich Otto Binder, k. k. Ingenieur im Eisenbahnministerium.

Fig. 1.

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Zu Fig. 3a, 5a, ii a (i : 150).

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ÜBER DEN EINFLUSS DER VERNACHLÄSSIGUNG DER ACHSIALKRAFT BEI BERECHNUNG VON BOGENBRÜCKEN MIT EINGESPANNTEN KÄMPFERN.

Von Dr. techn. Friedrich Otto Binder, k. k. Ingenieur im Eisenbahnministerium.

Fig. 6.

Fig. 7.

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Fig. 6 a. Einflußlinien des Horizontalschubes H.

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Längenmaßstab zu Fig. 6, 6 a und 6 b (1 : 75).

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Fig. 12.

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ÜBER DEN EINFLUSS DER VERNACHLÄSSIGUNG DER ACHSIALKRAFT BEI BERECHNUNG VON BOGENBRÜCKEN MIT EINGESPANNTEN KÄMPFERN.

Von Dr. techn. Friedrich Otto Binder, k. k. Ingenieur im Eisenbahnministerium.

Fig. 9.

(zu Post 9 der Tabelle I).

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Maßstäbe.

Längenmaßstab zu Fig. 9 (i : 75).

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Längenmaßstab zu Fig. 9a, 9b und 9c (1 : 150).

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Momentenmaßstab zu Fig. 9b und 9c (1 tm — ^j^cm).

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Fig. 9 b. Einflußlinien der Kämpfermoment-Summen [M₀ -j- M₀‘)

(für symmetrische Belastung).

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Fig. 9 c.

Einflußlinien der Kämpfermomente M₀, M,,' (für beliebige Belastung).

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R. v. Waldheim's art. Anst., Wien.

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