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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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A

Neue Methode der Bestimmung der Durchlässigkeit wasserführender Bodenschichten

Ein praktisches Hilfsmittel für wassersuchende Ingenieure

Von

Dr.-Ing. RUDOLF LUMMERT

Direktor der städtischen Gas- und Wasserwerke zu Waldenburg in Schlesien

Mit 3 Abbildungen

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1%

Braunschweig

Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn

19 17

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Vorwort.

Die Vorausberechnung der aus einem wasserführenden Untergründe voraussichtlich gewinnbaren Grundwassermenge ist bei der Vorbereitung von Wasserversorgungen schon lange von großer Bedeutung. Aber auch bei der Vorbereitung von Grundwasserhaltungen für Tiefbauten, bei denen das Grundwasser vor Eintritt in die Baugrube abgefangen werden soll, um gänzlich im Trocknen arbeiten zu können, tritt in zunehmendem Maße die Frage auf, ein wie großer Grundwasserandrang zu bewältigen sein wird. Bei hierauf abzielenden systematischen Voruntersuchungen ist die Ermittelung der sogenannten „Durchlässigkeit“ des Untergrundes unerläßlich.

Die vorliegende Schrift will für die Feststellung der Durchlässigkeit eine neue Methode bieten. Ihr rein praktischer Kern, der darin liegt, auf Grund sehr einfacher Beobachtungen aus Zahlentafeln oder Diagrammen den Durchlässigkeitswert kurz zu entnehmen, scheint zwar hinter zahlreichen Formeln verborgen, der Leser möge aber deshalb nicht vermuten, daß die Methode umständlich sei. Die Entwickelung und Mitteilung der Formeln war notwendig, weil auf ihnen die handlichen Zahlentafeln und Diagramme beruhen; für die praktische Anwendung ist es nicht erforderlich, jedesmal die Formeln zu benutzen, indem ihre Auswertung in den Zahlentafeln gegeben ist.

Gegenüber der Frage, ob ein Bedürfnis nach einer neuen Methode vorliegt, scheint es erforderlich, die bisher bekannten zu überblicken.

Von den letzteren sind die, welche auf Beobachtung des Fortschreitens in das Grundwasser in Lösung eingeführter färbender, chemisch reagierender «oder die elektrische Leitfähigkeit des Wassers ändernder Stoffe (Eosin, Kochsalz, Salzsäure) beruhen, in neuester Zeit als unzuverlässig erkannt worden. Ferner ist die Beurteilung der Durchlässigkeit aus dem Fortschreiten einer

IV

Hoch wasserwelle des Grundwassers vom Zufall abhängig, weil letztere mit Wahrscheinlichkeit dann gerade nicht auf tritt, wenn die Beobachtung erfolgen soll. Bei den genannten Methoden, die zunächst lediglich die Geschwindigkeit des Grundwassers ergeben, ist außerdem die Kenntnis des Porenvolumens des Untergrundes erforderlich, ohne welche die Durchlässigkeit und die Menge des Wassers nicht berechnet werden kann. Die Feststellung des Porenvolumens ohne Störung des natürlichen Lagerungszustandes ist aber au und für sich eine außerordentlich schwierige Aufgabe und viel verwickelter, als die Feststellung der Durchlässigkeit nach anderen Methoden. Das Porenvolumen nur zu schätzen, wäre ein sehr schwacher Behelf. Auch die Durchlässigkeits-bestimmung mittels der Zeit, in der durch Wasserentnahme abgesenktes Grundwasser in und neben einem Brunnen wieder ansteigt, erfordert die vorherige Kenntnis des Porenvolumens. Nicht abhängig von dieser Kenntnis sind dagegen die nachfolgenden Methoden. Man kann die Durchlässigkeit aus der Ergiebigkeit eines in das Grundwasser nur wenig eintauchenden Kesselbrunnens mit halbkugelförmiger oder ebener Sohle feststellen. Bedenken gegen diese Methode können daraus hergeleitet werden, daß eine genaue und nicht auflockernde Herstellung der Brunnensohle schwierig ist und solche Brunnen, lediglich als Untersuchungsmittel angewendet, kostspielig sind; auch können selbst ganz dünne, horizontal eingelagerte tonige Schichten, zumal wenn der Brunnendurchmesser zur Ersparnis klein gewählt wird, das Ergebnis ungünstig beeinflussen. Die Methode setzt ferner voraus, daß die Durchlässigkeit in vertikaler Richtung dieselbe sei wie in horizontaler, was nicht immer zutreffen wird. Eine weitere Methode ♦ bestimmt die Durchlässigkeit durch zwei verschieden große Wasserförderungen aus demselben Brunnen; die hierfür geltende Formel scheint jedoch verbesserungsfähig, worauf in dieser Abhandlung noch eingegangen wird. Theoretisch und bedingungsweise praktisch von großer Vollkommenheit ist die neue f-Methode von A. Thiem, sie ist aber nach der eigenen Ansicht Thiems schwierig zu handhaben und erfordert ganz besondere Umsicht und Sachkenntnis. Auch auf diese Methode wird näher ein-gegangeu werden.

Damit sind die bisher veröffentlichten Methoden im wesentlichen angedeutet; bei Würdigung ihrer Licht- und Schattenseiten

dürfte die Mitteilung einer neuen und einfachen Methode wohl als willkommen angesehen werden.

Noch nicht erwähnt wurde eine ältere Methode A. Thiems, diejenige der spezifischen Ergiebigkeit, auf der die erfolgreichen Vorarbeiten für zahlreiche und größte Wasserversorgungen beruhen, über die aber bis heute wenig in die Literatur gelangt ist, keinesfalls so viel, daß ihre Anwendung allgemein zugänglich wäre; sie beruht auf einem Vergleich mit auf anderen Untersuchungsfeldern tatsächlich erhaltenen Endergebnissen. A. Thiem hielt sie bis zur Aufstellung der s- Methode für die sicherste, und sie besitzt noch heute einen großen praktischen Wert. Bei dem Bedarf einer sehr einfachen Versuchseinrichtung sind die hierbei erforderlichen Beobachtungen und Messungen von so einfacher Art, daß sie auch von solchen Technikern zuverlässig ausgeführt werden konnten, denen die Auswertung der Ergebnisse nicht geläufig war und nicht oblag. Die Methode besitzt also nicht die Sprödigkeit der ^-Methode, deren Ausübung durch nicht ganz erfahrene Ingenieure auszuschließen ist.

In dem Bestreben, die spezifische Ergiebigkeit auf eine theoretische Grundlage zu stellen und allgemein benutzbar zu machen, gelangte der Verfasser zur Aufstellung der vorliegenden neuen Methode, die, in der Beobachtungsart der spezifischen Ergiebigkeit wurzelnd, darin besteht, daß die letztere von der übrigens nur scheinbaren einfachen Proportionalität zwischen ihren Werten und der erhältlichen Gesamtwassermenge eines Grundwasserstromes losgelöst und unter Vervollkommnung des Messungsverfahrens auf einen differenziierten Maßstab gebracht wird, wobei im Gegensatz zu der bisher nur relativen Auswertung sich absolute Werte der Durchlässigkeit ergeben. Auf denselben inneren Zusammenhängen, welche die Methode der spezifischen Ergiebigkeit zu einer besonders zähen und sicheren gestalteten, beruht auch die neue Methode.

Der Verfasser.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. Die alte Methode der spezifischen Ergiebigkeit.....

II.    Analytische Ableitung der neuen Methode........

A.    Freies, nicht artesisch gespanntes Grundwasser......

1.    Das Verhältnis der Durchlässigkeit zu der bei der Absenkung von 1 m ermittelten spezifischen Ergiebigkeit .    9

2.    Das Verhältnis der der Absenkung von 1 m entsprechen

den spezifischen Ergiebigkeit sowie der Durchlässigkeit zu der bei beliebiger Absenkung ermittelten spezifischen Ergiebigkeit, ferner eine andere neue Art der Bestimmung der Durchlässigkeit..............

B.    Artesisch gespanntes Grundwasser.............

1.    Das Verhältnis der Durchlässigkeit zu der bei der Absenkung von 1 m ermittelten spezifischen Ergiebigkeit . 28

2.    Das Verhältnis der der Absenkung von 1 m entsprechen

den spezifischen Ergiebigkeit zu der bei beliebiger Absenkung ermittelten spezifischen Ergiebigkeit.....

III.    Die praktische Anwendung................

Filterkorb zur Bestimmung der Durchlässigkeit........

IV.    Zusammenfassung der Ergebnisse............

V. Erörterung der Gültigkeit der vorausgesetzten Grundformeln ...........................

16

28

29

32

32

36

I. Die alte Methode der spezifischen Ergiebigkeit.

Die hier darzulegende neue Methode der Bestimmung der Durchlässigkeit wasserführender Bodenschichten knüpft an die bewährte, wenn auch mit Mängeln behaftete Methode der spezifischen Ergiebigkeit an.

Der Begriff der spezifischen Ergiebigkeit ist von A. Thiem in die Hydrologie eingeführt worden. In vielen Berichten über seine Arbeiten hat er eine von ihm angewendete Methode der Bestimmung der Ergiebigkeit eines Grundwasserstromes dargelegt. Davon ausgehend, daß nach dem Darcysehen Filtergesetze, entsprechend der Formel Q = li.J.F, die Gesamtergiebigkeit eines Grundwasserstromes als das Produkt aus der Durchlässigkeit der wasserführenden Schicht, aus dem natürlichen spezifischen Gefälle des Grundwasserspiegels und aus dem senkrecht durchströmten Querschnitt der wasserführenden Schicht erhalten wird, wobei die letzteren beiden Größen durch Bohrungen und Nivellement festgestellt werden, äußert er sich z. B. in seinem „2. Bericht über die Wasserversorgung von Waldenburg i. Schl.“ und in gleichem Sinne in vielen anderen Berichten wie folgt:

„Zur Bestimmung der Durchlässigkeit der wasserführenden Schicht wird jedes Bohrloch durch Einsetzen eines Filterkorbes von bestimmten Abmessungen vorübergehend in einen Rohrbrunnen verwandelt, und dieser längere Zeit, etwa 10 bis 12 Stunden, auf seine Ergiebigkeit beansprucht. Die Wasserentnahme bewirkt eine Senkung des natürlichen Spiegels; mit der Größe der Entnahme wächst die Senkung. Um von Bohrloch zu Bohrloch ein gemeinschaftliches Maß für die Durchlässigkeit zu gewinnen, wird der Quotient von Senkung in Menge gebildet, den ich mit spezifische Ergiebigkeit bezeichne.

Lummert, Neue Methode.

In dieser Weise werden die drei Größen, von denen lediglich die Ergiebigkeit eines Grundwasserstromes abhängt: Spiegelgefälle, Querprofil und Durchlässigkeit bestimmt. Die beiden ersten sind in absoluten Zahlen ausdrückbar, die letzte dagegen nur in relativen.

Der erfahrungsreiche Hydrologe wird nun für schon früher von ihm bewirtschaftete und später dauernd aus-gebeutete Felder den Vergleich zwischen Untersuchungsergebnissen und tatsächlicher Dauerleistung angestellt haben, er wird diesen Vergleich auf neue Felder übertragen und dadurch ein Urteil gewinnen.“

Die wörtliche Wiedergabe dieser und weiter unten folgender Äußerungen über die spezifische Ergiebigkeit erschien zu deren Kennzeichnung dem Verfasser angezeigt. A. Thiem nennt also die spezifische Ergiebigkeit ein Maß der Durchlässigkeit und nimmt damit an, daß beide in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen, oder vielmehr, daß dies innerhalb gewisser Grenzen und für Untersuchungsfelder von ähnlichen Verhältnissen in praktisch genügender Annäherung so ist. A. Thiem erhält dann die Gesamtergiebigkeit eines Grundwasserstromes als das Produkt aus der durchschnittlichen spezifischen Ergiebigkeit, aus Gefälle, Querschnitt und aus einer Erfahrungszahl, welch letztere auf anderen vergleichsfähigen Untersuchungsfeldern aus deren tatsächlicher dauernden Gesamtergiebigkeit und dem entsprechenden Produkte gewonnen worden ist. In der obigen DARCYschen Formel tritt also an Stelle der Durchlässigkeit die mit einer Erfahrungszahl multiplizierte spezifische Ergiebigkeit.

Fast alle hydrologischen Untersuchungen von A. Thiem, der als Hydrologe mit unbestreitbar hervorragendem Erfolge gearbeitet hat, beruhen auf der Methode der spezifischen Ergiebigkeit. Ein Mißerfolg ist kaum zu verzeichnen gewesen. Die Kalamität der Breslauer Grundwasserversorgung, für deren Vorarbeiten auch die spezifische Ergiebigkeit angewendet worden war, ist durchaus nicht durch ein Versagen dieser Methode, sondern durch andere Ursachen bedingt worden.

Die spezifische Ergiebigkeit ist in die fachwissenschaftliche Literatur übergegangen. Im Handbuch der Ingenieurwissenschaften, dritte Auflage, sagt z. B. A. Frühling:

„Mißt man bei solchen, meistens durch Handpumpen stattfindenden Entnahmen neben der Wassermenge zugleich die Absenkung des Wasserspiegels, so erhält man, da kleine Absenkungen sich wie die Ergiebigkeiten ver-

halten, in dem Quotienten

, welchen Thiem

Ergiebigkeit Absenkung

die „spezifische Ergiebigkeit“ nennt, einen Maßstab für die Durchlässigkeit der verschiedenen Bodenarten.“

Auch G. Thiem empfiehlt die Anwendung der spezifischen Ergiebigkeit. Er schreibt in „Hydrologische Methoden“, Gebhardts Verlag, Leipzig 1906, S. 4:

„Ein weiteres wertvolles Hilfsmittel, das allerdings k nicht in absolutem Maße erscheinen läßt und darum nur in der Hand eines praktisch geschulten Hydrologen von Wert sein kann, ist die Ermittelung der spezifischen Ergiebigkeit eines in einen Rohrbrunnen verwandelten Bohrloches. Darunter ist diejenige Ergiebigkeit zu verstehen, die ein Rohrbrunnen bei 1 m Absenkung des natürlichen Spiegels zu liefern vermag; sie ist also dargestellt durch einen Quotienten, dessen Zähler die tatsächlich geförderte Menge enthält und dessen Nenner das Maß der Absenkung angibt. Diese Annahme ist jedoch nur vollkommen richtig für Brunnen, die artesisches Wasser liefern, und auch nur, solange die Absenkung sich innerhalb der wasserundurchlässigen Deckschichten hält. Bei freien Spiegeln hingegen vollzieht sich der Ergiebigkeitsgang nach einem parabolischen Gesetz; jedoch kann bei großen Mächtigkeiten der wasserführenden Schichten und entsprechend geringen Absenkungen ohne erheblichen Fehler das Ergiebigkeitsgesetz als ein geradliniges angesehen werden. Jedenfalls ist dem praktischen Bedürfnis durchaus damit gedient. Mit Hilfe der auf diesem Wege gewonnenen Werte für die spezifischen Ergiebigkeiten ist es möglich, auf Grund früherer, auf anderen Feldern gesammelter Erfahrungen, deren hydrologischer Wert durch Tatsachen erwiesen ist, sich ein Urteil über ein neues Feld zu bilden und die fehlende Kenntnis der Durchlässigkeit durch eine vergleichende Erwägung zu ersetzen.“

R. Weyrauch hat in seiner Wasserversorgung der Städte (1914) die rechnerischen Grundlagen der spezifischen Ergiebigkeit erstmalig veröffentlicht und ihr (Bd. I, S. 496) den Vorzug einer raschen und billigen Orientierung über die Ergiebigkeit eines Grundwasserstromes zuerkannt.

Verfasser hat die spezifische Ergiebigkeit als langjähriger Assistent des Baurats A. Thiem und später bei selbständigen Arbeiten an einer sehr großen Zahl von Bohrlöchern festgestellt und zur hydrologischen Bewertung von Untersuchungsfeldern mit Erfolg verwendet; ebenso haben dies viele aus der Schule A. Thiem s hervorgegangene Hydrologen erfolgreich getan.

Einen die spezifische Ergiebigkeit völlig ablehnenden Standpunkt nimmt dagegen Smreker ein; er hat die spezifische Ergiebigkeit in einem Vortrage vor einer Versammlung des Deutschen Vereins der Gas- und Wasserfachmänner scharf angegriffen; siehe Verhandlungsbericht aus dem Jahre 1907, R. Oldenbourg, München, 'S. 459; Smreker führte etwa folgendes aus:

A. Thiem habe neuerdings eine Methode zur Ermittelung der Grundwasserdurchflußmenge benutzt, bei welcher er den Quantitätsversuch, d. h. den Versuchsbrunnenbetrieb im großen, vollständig ausschalte, vielmehr die Ergiebigkeit eines Versuchsfeldes lediglich durch die spezifische Ergiebigkeit nachweise. Wassermenge und Absenkung stünden aber nicht in einem linearen Verhältnis, und es sei Smreker trotz seiner Bemühungen nicht gelungen, ziffernmäßig brauchbare Resultate mit Hilfe der spezifischen Ergiebigkeit zu erzielen. Auch sei es schwierig und fast unmöglich, in der verfügbaren Zeit den Beharrungszustand festzustellen, und schließlich sei der in der Absenkung enthaltene Eintrittswiderstand des Brunnenfilters ein Hindernis. Weiter spreche gegen die Methode, daß durch Pumpversuche so kleinen Maßstabes nur das Terrain in der nächsten Umgebung untersucht werde, die Natur sei aber wohl regelmäßig im großen, niemals aber im einzelnen. Man müsse ferner verlangen, daß Näherungsformeln auch auf theoretisch richtiger Grundlage beruhen, dies treffe aber für die von A. Thiem benutzte Formel nicht zu, und deshalb habe die Methode praktisch keine Berechtigung, und er habe sie deshalb verlassen und sei nach wie vor dem Pumpversuch im groben treu geblieben.

Zu diesen Ausführungen, denen Verfasser bereits seinerzeit mündlich entgegengetreten ist (siehe obigen Verhandlungsbericht), sei bemerkt, daß A. Thiem vor 1907 die spezifische Ergiebigkeit nicht neuerdings eingeführt, sondern sie bereits seit Jahrzehnten angewendet hatte. Seine damals neuerdings angewendete Methode beruhte gerade darauf, die spezifische Ergiebigkeit auszuschalten und die Durchlässigkeit auf einem anderen, genaueren Wege zu bestimmen; auf diese neuere, erstmalig 1902 für die Vorarbeiten zur Wasserversorgung von Prag angewendete Methode wird weiter unten noch einzugehen sein. Auch hat A. Thiem die unter Anwendung der spezifischen Ergiebigkeit erfolgten Untersuchungen nie unter Ausschaltung des Quantitätsversuches im großen seinen Wasserwerksentwürfen zugrunde gelegt, sondern sie stets zunächst als Unterlage für die Beurteilung angewendet, ob und an welcher Stelle ein Grundwasserentnahmeversuch im großen zu empfehlen ist. Ohne irgendwelche Vorversuche über die Durchlässigkeit dürfte eine solche Wahl schwierig sein und können die erheblichen Kosten für einen Pumpversuch im großen leicht an falscher Stelle angewendet werden.

In Berichten über die Wasserversorgung der Stadt Liegnitz (1894) sagt A. Thiem:

Das Verfahren der spezifischen Ergiebigkeit „ist nur als eine ganz rohe Annäherung an die Erkenntnis des herrschenden Zustandes zu betrachten, allein solange es nicht gelingt, es durch ein besseres zu ersetzen, muß man sich seiner bedienen“. „Der Betrieb eines Versuchsbrunnens ist erst das letzte Glied einer Untersuchungsreihe, und alle ihm voraufgegangenen Messungen dienen nur dazu, seinen Platz zu bestimmen.“

Im übrigen aber veranlaßten die Ausführungen Smrekers, soweit sie sich gegen die theoretische Grundlage der Methode wendeten, den Verfasser zu eingehenden Untersuchungen über die spezifische Ergiebigkeit, die ihn schließlich zur Aufstellung einer neuen Methode führten, bei welcher zwar die Art der Messungen der bei der spezifischen Ergiebigkeit angewendeten ähnlich ist, die Auswertung der Ergebnisse aber nicht mehr eine relative bleibt, sondern für die Durchlässigkeit absolute Werte ergibt.

Zunächst ist noch die Beschaffenheit des durch Einsetzen „eines Filterkorbes von bestimmten Abmessungen“ aus einem Bohrloch vorübergehend hergestellten Rohrbrunnens zu erörtern.

Zur Vergleichbarkeit der verschiedenenorts ermittelten spezifischen Ergiebigkeiten ist nach A. Thiem erforderlich, daß die Konstruktion des Brunnenfilters einheitlich ist, indem der Filterkorb in allen Fällen die gleiche Länge, nahezu gleichen Durchmesser und ein Filtergewebe von gleicher Beschaffenheit erhält. In der Regel verwendete A. Thiem Filterkörbe von 3 m Länge, die durch Ziehen der Bohrrohre auf 2 m Länge freigelegt wurden, so daß die wirksame Länge des Filterkorbes 2 m betrug. Der äußere Durchmesser des Filterkorbes einschließlich Gewebes -war meist 0,17 m. Zuweilen wurden auch die bekannten gußeisernen Thiem sehen Rohrbrunnenfilterkörbe von 0,19 m äußerem Durchmesser angewendet, da geringe Änderungen des Durchmessers die erhaltenen Beobachtungswerte fast gar nicht beeinflussen. Die Filtergewebe waren meist sehr engmaschige Tressengewebe, die jedenfalls nicht zu vernachlässigende Eintrittswiderstände verursachen; die Gewebe sollten so beschaffen sein, daß sie sowohl bei grobkörnigen als sehr feinkörnigen erbohrten Schichten ihren Zweck erfüllten; eine ganz präzise Bestimmung über das Filter-gewTebe war aber nicht getroffen. Die Absenkung der Wasserspiegel wurde innerhalb des Rohrbrunnens gemessen und enthielt somit die Eintrittswiderstände des Brunnenfilters.

Aus vorstehendem kann folgende Definition abgeleitet werden:

Die spezifische Ergiebigkeit nach A. Thiem ist der Quotient, dessen Zähler die Wassermenge in Sekundenlitern ist, welche ein Rohrbrunnen von 2 m wirksamer Filterkorblänge, 0,17 m äußerem Filterkorbdurchmesser mit engmaschigem Filtergewebe im angenäherten Beharrungszustande liefert, und dessen Nenner durch die gleichzeitig und in Metern gemessene Senkung des Grundwasserspiegels unter den ursprünglichen natürlichen Grundwasserspiegel mit Einrechnung der Eintrittswiderstände des Filtergewebes gebildet wird.

Eine jede Unbestimmtheit ausschließende Definition aufzustellen, ist nicht angängig; die von A. Thiem an den Versuchsbohrungen ermittelten und in den Berichten als spezifische

Ergiebigkeit angesprochenen und mitgeteilten Zahlenwerte entsprechen tatsächlich der obigen Definition. Es ist nicht zu verkennen, daß sich hier Angriffspunkte für Bemängelungen finden lassen, welche aber bei der neuen Methode vollständig ausgeschaltet werden.

II. Analytische Ableitung der neuen Methode.

Es bezeichne:

Q allgemein die einem Rohrbrunnen im Beharrungszustande entnommene Wassermenge in Kubikmetern je Sekunde; die bei der außen am Rohrbrunnen gemessenen Absenkung des natürlichen Grundwasserspiegels um 1 m aus einem Rohrbrunnen im Beharrungszustande entnommene Wassermenge wie vorstehend;

s eine Absenkung des natürlichen Grundwasserspiegels, außen am Rohrbrunnen gemessen, in Metern;

Q, analog &;

ex die spezifische Ergiebigkeit, die bei der Absenkung des natürlichen Grundwasserspiegels von 1 m ermittelt wird, in Sekundenlitern je Meter Absenkung;

es die spezifische Ergiebigkeit, die aus einer Absenkung von s Metern proportional ermittelt wird;

k die Durchlässigkeit, d. h. die von der Bodenbeschaffenheit abhängige fingierte Filtergeschwindigkeit, die dem Gefälle 1:1 entsprechen würde, sofern die Proportionalität des Darcy-schen Filtergesetzes bis zu diesem großen Gefälle Geltung hätte, und die für kleine Gefälle die wirklichen Filtergeschwindigkeiten proportional ergibt, in Metern je Sekunde;

B allgemein einen beliebigen Radius, hier besonders den „Einwirkung sradius“, d. h. eine Entfernung von der Brunnenachse, in welcher im angenäherten Beharrungszustande eine meßbare Einwirkung durch die Entnahme von Q auf den natürlichen Grundwasserspiegel sich verliert, in Metern;

B₁ den Einwirkungsradius für die Absenkung = 1;

Bs analog Bt;

r allgemein einen beliebigen Radius, hier besonders den halben äußeren Durchmesser des Filterkorbes, in Metern;

H allgemein den bei der Entnahme von Q im Beharrungs-zustande in der Entfernung R von der Brunnenachse verbleibenden Grundwasserstand über der wassertragenden Sohle, hier besonders den natürlichen Grundwasserstand über der wassertragenden Sohle, der in der Entfernung des Einwirkungsradius keine meßbare Verminderung erfährt, in Metern;

h wie vorstehend für die Entfernung r, hier besonders den verbleibenden Grundwasserstand über der wassertragenden Sohle an der Außenseite des Filterkorbes eines vollkommenen Rohrbrunnens gemessen, in Metern;

T die Mächtigkeit der wasserführenden Schicht bei artesisch gespanntem Grundwasser, in Metern.

Der Einwirkungsradius ist also eine solche Entfernung von der Brunnenachse, in welcher die eintretende Senkung s = A H so klein wird, daß mit sehr großer Annäherung H = H -j- A H, d. h. gleich dem Grundwasserstaud über der wassertragenden Sohle bei natürlichem Grundwasserspiegel gesetzt werden kann. R wird mithin nicht als genauer Zahlenwert erhalten, sondern nur durch Beobachtung oder Erwägung eingegrenzt werden können. Welchen Einfluß dieser Spielraum des Wertes von R hat, wird sich weiter unten zeigen.

Die folgende Entwickelung wird zunächst auf das DARCYsche Filtergesetz gestützt; auf die gegen dieses neuerdings gerichteten Zweifel wird im Abschnitt V eingegangen werden.

Es wird horizontale wassertragende Sohle, horizontaler Grundwasserspiegel und gleichmäßige Stärke der wasserführenden Schicht vorausgesetzt. Die Einführung eines natürlichen Grundwassergefälles würde bei Anwendung der weiter unten ersichtlichen Grundformeln bekanntlich zu einer Änderung der Ergebnisse nicht führen, da unter sonst gleichen Voraussetzungen anerkanntermaßen an der Gesamtergiebigkeit eines Brunnens nichts geändert wird, mag er sich im ruhenden oder fließenden Wasser befinden¹). Es sei aber hierzu bemerkt, daß dieses Ergebnis auf Vernachlässigungen beruht. Eine präzise allgemeine analytische Ableitung der Absenkungen im geneigten Grundwasserspiegel ist bisher nicht gelungen.

A. Freies, nicht artesisch gespanntes Grundwasser.

1. Das Verhältnis von k zu ex.

Es soll das Verhältnis von k zu ex für freies Grundwasser ermittelt werden.

Für einen vollkommenen, d. h. in ganzer Mächtigkeit der wasserführenden Schicht als Filter ausgebildeten Rohrbrunnen gilt unter den am Beginn des Abschnittes gemachten Voraussetzungen bei eingetretenem Beharrungszustand die bekannte, von Dupuit *) aufgestellte Formel

■ ■ * (1)

Ti .k

IR ~h² =

worin R und r zwei beliebige Radien, II und h die ihnen entsprechenden verbleibenden Grundwasserstände über der wassertragenden Sohle sind.

Diese Formel beruht auf dem DARCYschen Filtergesetz und ist von Smreker ²) für unzutreffend erklärt worden. Gleichwohl wird sie den nachfolgenden Entwickelungen zugrunde gelegt werden; auf die Smreker sehen Einwände wird in Abschnitt V eingegangen.

Für den vorliegenden Zweck erhalten in der Formel die vier Größen Zf, h, R und r die oben angegebenen besonderen Bedeutungen.

Für Absenkung des natürlichen Grundwasserspiegels an der Außenseite des Filterkorbes um 1 m erhält man, indem h — H— 1 gesetzt wird,

ft

• • • (2)

71 . k

l)² =

und hieraus

. . . (3)

V,

*) Forchheimer, Hydraulik, gibt die Quelle der Formel an: J. Dupuit, Etudes theoriques et pratiques, 2 ed. 1863, p. 254 et 261. A. Thiem, Die Ergiebigkeit artesischer Bohrlöcher usw., Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung, 1870, S. 450. Weyrauch, Die Wasserversorgung der Städte 1, 411 u. 412. — ²) Dr.-Ing. 0. Smreker, Das Grundwasser, seine Erscheinungsformen, Bewegungsgesetze und Mengenbestimmung, Leipzig 1914.

Bevor in diesem Ausdruck die spezifische Ergiebigkeit ex ihrem Zahlen werte nach an Stelle von 1000 Qx eingeführt wird, sei besonders betont, daß die bisher übliche Messung der Absenkung bzw. von h innerhalb des Filterkorbes nur dann angängig wäre, wenn das Filtergewebe infolge geeigneter Auswahl einen merklichen Eintrittswiderstand nicht verursacht. Dies ist zwar durchführbar, sicherer aber wirkt eine einfache Einrichtung, welche ein bequemes Messen des an der Außenseite des Filterkorbes befindlichen Wasserstandes ermöglicht, worauf noch zurückzukommen ist. Die Ausschaltung des Eintrittswiderstandes ist eine Vorbedingung für die weitere theoretische Behandlung und für die Erzielung einheitlicher Ergebnisse. Weiter ist zu berücksichtigen, daß der Ausdruck für einen vollkommenen Rohrbrunnen, nicht aber für einen Rohrbrunnen mit nur 2 m langem Filterkorbe gilt. Es wird deshalb erforderlich, die vorhandenen Untersuchungsergehnisse über die unvollkommenen Rohrbrunnen in die Betrachtung zu ziehen.

M. Rother hat im Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1904, S. 937, eine Abhandlung „Ergiebigkeit unvollkommener Rohrbrunnen“ veröffentlicht. Er beschränkt sich aber darauf, nicht die wirkliche Ergiebigkeit, sondern deren Mindestwerte zu bestimmen, was für Entwürfe praktisch sehr wertvoll, hier aber nicht ausreichend ist, und gelangt zu dem Urteil, daß die Theorie bisher nicht imstande sei, die tatsächlichen Vorgänge zu verfolgen. Von derselben Ansicht dürfte Ph. Forch-hejmer ausgegangen sein, als er für ungespanntes Grundwasser die Ergiebigkeit unvollkommener Rohrbrunnen durch Versuche ermittelte und die Beziehungx)

H² — f)² _ H²-li² —

vH

2 t) — t

auf stellte, worin H die obige besondere Bedeutung, h die obige besondere Bedeutung für den vollkommenen, f) die Bedeutung von h für den unvollkommenen Rohrbrunnen hat und t die wirksame, in beliebiger Tiefe befindliche Filterkorblänge bezeichnet. Diese Formel ermöglicht es, den vorliegenden Zweck zu erreichen.

Forchheimer, Hydraulik, S. 440.

Wird in ihr, um wieder auf die Absenkung von 1 m hinauszukommen,

Ij = H — 1 und t = 2

gesetzt, so ergibt sich:

(2i2— 1). ^8.(1?-2)

]/(//—l)³

und wird dieser Wert von h² in Formel (1) eingesetzt und hierbei folgerichtig Q durch Qx und U durch Rx ersetzt, so folgt:

7*² = H²

• • * (5)

ln^-

7 (H- 1)

8.(Ä—2)

(6)

Ein Vergleich der Formeln (3) und (6) zeigt den Einfluß der Verminderung der Filterkorblänge auf 2 m.

Nunmehr darf ex an Stelle von 1000. Qx gesetzt werden;

es ist:

• • • (7)

i7 (g-¹)⁸

r (2H — \).n. 1000 \ 8.(7/—2)

Auf dieser Formel beruhen die nachfolgenden Zahlentafeln. Entsprechend obigem ist hierbei r — 0,085 m. Die geringste Mächtigkeit der wasserführenden Schicht wurde mit 3 m, entsprechend 2m Filterkorblänge und lm Absenkung, angenommen; die Mächtigkeit bis 40m dürfte praktisch genügen; ebenso der Einwirkungsradius Rx in den Grenzen zwischen 12,5m und 1600 m. Die Auswertung der Formel (7) ergibt:

für H = 3 ist

ei

= ln *'¹ • 0,000 063 66 5 „ — = ln^. 0,000 045 21

für H = 30 ist

Bl

„ H — Sb „

„ i/=40 „

= ln — • 0,000 017 43 0,000 016 11 ^•0,000 015 06.

= ln

= ln

Ferner:

für ß =    12,5 ist

147,1 und ln

4,9908

„ ß =    25

294,1

iw

5,6839

„ B —    50

588,2

ln

6,3771

„ ß = 100

1176,5

ln —

7,0703

„ B = 200

2 352,9

ln

7,7634

„ ß = 400

4 705,9

ln

8,4566

„ ß = 800

9411,8

r>

ln

9,1497

„ B = 1600

9,8429

» ~ — 18823,5    „ ln ^

„ ß = 3200

ln — = 10,5360.

» A = 37 647,0    „

b

Die Werte von für verschiedene Werte von ß, und H sind

«i

aus nebenstehender Zahlentafel ersichtlich und durch das umstehende Diagramm veranschaulicht; da die Werte von Bx so angenommen sind, daß jeder das Doppelte des Nächstniedrigen

ist, wird der Wert von ln—1 immer um den Wert von ln 2 ver-

r

größert, und die einzelnen Kurven haben deshalb in der Ordinaten-richtung voneinander gleiche Abstände. Man könnte daher die fehlenden Nachbarkurven, z. B. für Bx — 6,25 und ßx = 3200, leicht hinzufügen.

Das Diagramm zeigt, daß

1. die Durchlässigkeit zur spezifischen Ergiebigkeit keineswegs in einem auch nur annähernd konstanten Verhältnis steht,

1600

Werte von —

für verschiedene Werte von B₁ und H für freies Grundwasser (Formel 7).

800

400

200

100

50

25

12,5

= Xff

0,000 626 6 0,000 445 0 0,000 302 9 0,000 244 9 0,000 211 1 0,000 188 3 0,000 171 5 0,000 158 6 0,000 148 2

0,000 538 4    0,000 582 5

0,000 382 3    0,000 413 7

0,000 260 3    0,000 281 6

0,000 210 4    0,000 227 7

0,000 181 3    0,000 196 2

0,0001618    0,000175    0

0,000 147 4    0,000 159 5

0,000 136 2    0,000 147 4

0,000127 4    0,000137 8

0,000494 2 0,000 351 0 0,000 238 9 0,000 193 1 0,000 166 5 0,000 148 5 0,000 135 3 0,000 125 1 0,000116 9

0,000 450 1 0,000 319 6 0,000 217 6 0,000 175 9 0,0001516 0,000 135 2 0,000 123 2 0,000113 9 0,000 106 5

0,000 406 0 0,000 288 3 0,000 196 3 0,000 158 7 0,000 136 7 0,000 122 0 0,000 111 2 0,000 102 7 0,000 096 0

0,000 361 8 0,000 257 0 0,000 175 0 0,000 141 4 0,000 121 9 0,000 108 7 0,000099 1 0,000 091 6 0,000 085 6

0,000 317 7 0,000 225 6 0,000 153 6 0,000124 2 0,000 107 0 0,000 095 5 0,000 087 0 0,000 080 4 0,000 075 2

01 =

= 15

= 20

= 25

= 30

= 35

= 40

Werte von

für verschiedene Werte von H und R₁ für freies Grundwasser (Formel 7).

e,

0,0005

0,0004

0,0 003

\5S

ISS

0,0002

0,0001

mm.

J)"

oooooomcvT

II OOOOOlflNr tßco^t-cMr

H = 3 5    10    15    20    25    30    35    40

2.    dieses Verhältnis von der Mächtigkeit der wasserführenden Schicht stark abhängig ist und mit deren Wachsen abnimmt,

3.    es in geringerem Maße von dem Einwirkungsradius ab-liängt und mit diesem wächst.

Da die Formel (7) zwei Unbekannte, k und J?:, enthält, kann k nur dann näherungsweise ermittelt werden, wenn es gelingt, den Wert von Bx durch Erwägung oder Beobachtung einzugrenzen. Daß der Einwirkungsradius bei 1 m Absenkung, sofern die Schichten überhaupt hydrologisch untersuchungswürdig sind, allermindestens 12,5m beträgt, ist erfahrungsmäßig stets anzunehmen; übrigens würde eine Verringerung auf 6,25 m nach obigem keinen sehr erheblichen Einfluß auf k haben. Die Kurve für Bx = 12,5 ergibt daher praktisch das Mindestmaß für k. Schon eine solche Mindestfeststellung kann im Einzelfalle nützlich sein. In der Regel werden aber bei hydrologischen Untersuchungen benachbarte Bohrlöcher oder andere Spiegelbeobachtungspunkte vorhanden sein, im Notfälle kann eine Spiegelaufdeckung hergestellt werden. Man wird danach feststellen können, ob sich der Einfluß des Pumpversuches noch in 50, 100 oder noch in 200 m Entfernung zeigte, und wird einen entsprechend erhöhten Wert von k ermitteln. Es ist wiederum eine Erfahrung, daß bei den üblichen kleinen Handpumpversuchen bei Absenkung von 1 m über ” 200 m Entfernung hinaus bei freiem Grundwasser eine Einwirkung in der Regel nicht erfolgt. Mangels besonderer Beobachtungsgelegenheiten wird ein hydrologisch geschulter Ingenieur immerhin auf Grund anderweiter oder auf demselben Untersuchungsfelde bereits gewonnener Erfahrungen in der Lage sein, einen genügend genauen Wert für Bx zu schätzen. Hier kommt auch ferner der Zweck der Untersuchung in Frage. Handelt es sich um die Voruntersuchung für eine Wasserversorgung, so wird man Bx nicht zu groß schätzen, um sichere Mindestwerte von k zu erhalten. Gilt es dagegen, eine Grundwasserhaltung, z. B. für Bauzwecke, vorzubereiten, so wird man Bx nicht zu klein schätzen, um Höchstwerte für k zu erhalten.

Beispiel: Aus einem Bohrloche wurden im angenäherten Beharrungszustande bei einer Absenkung des natürlichen Spiegels von 1 m 5 Sekundenliter gefördert. Die natürliche Mächtigkeit der wasserführenden Schicht war 13 m, in einem 100 m entfernten Bohrloche sank der Spiegel um einige Millimeter, in einem 200 m entfernten Bohrloche war eine Einwirkung nicht zu bemerken. Hiernach wird B₁ = 150 angenommen. Aus dem Diagramm

Tr

wird für diesen Wert von B₁ und für H-= 13 der Wert — = 0,0002

abgegriffen; somit ist k = 5.0,0002 = 0,001. Hätte man Bx nicht beobachtet, sondern irrtümlich auf nur 50 m geschätzt, so hätte sich k = 0,00087, also trotz der erheblichen Abweichung vom genaueren Werte von Bx nur um 13 Proz. zu klein ergeben.

2. Das Verhältnis von ex zu es und von k zu es sowie eine andere neue Art der Bestimmung der Durchlässigkeit.

Nach vorstehendem könnte es erstrebenswert erscheinen, die spezifische Ergiebigkeit mit der Absenkung von genau 1 m zu ermitteln. Das würde aber nicht immer leicht durchführbar sein und auch oft den gleichzeitig zu erfüllenden Zwecken, durch stärkere Entnahme möglichst geeignete Wasserproben für chemische Untersuchungen zu gewinnen, sowie dem interessierten Laien gelegentlich möglichst große Ergiebigkeiten zu zeigen, nicht entsprechen. Man wird daher in der Regel es bei der Absenkung s feststellen. Da die Ergiebigkeiten den Absenkungen bei freiem Grundwasser nicht proportional sind, so ist nicht gleich es. Deshalb soll im folgenden das Verhältnis von e₁ zu es untersucht werden, um aus es den Wert von ex ableiten und sodann wiederum das obige Diagramm benutzen zu können. Wird in der Forch-heimersehen Formel (4)

gesetzt, so ergibt sich:

I) = 11 — s und t = 2

K² = H² — s . (2 H — s).

8 .(iZ — s — 1)

(.ff- s)³

Die Einsetzung dieses Wertes von h² in Formel (1) ergibt:

Qs =

s . (2 H — s) . 7t. k

8.(H— s — 1)

Bs

ln —

(.H—sy

• • * (8)

Für s = 1 folgt, wie Formel (6),

78. (#-2)

(ff-1)³

(9)

q _(2H— l).7i .k

Vi

ln —

Eine Vereinfachung der vorstehenden Formel würde darin liegen, daß der Logarithmenbruch = 1 gesetzt wird, mit der be-

kannten Begründung, daß sowohl als — verhältnismäßig große

Zahlen sind, deren Logarithmen nicht sehr voneinander abweichen und gekürzt werden können. Auf dieser Annäherung beruht z. B. dier,im Handbuche der Ingenieurwissenschaften, 3. Auflage, S. 203 gegebene Formel, die aus Formel (1) folgt und wohl das oben von G. Thiem erwähnte parabolische Gesetz darstellt:

Q»

H² — h²

Qm H² — hi

Diese Kürzung ergibt indes sehr ungenaue Werte und würde für den unvollkommenen Bohrbrunnen bei Formel (11) sogar widersinnig dazu führen, daß e₁ nicht nur bei s << 1, sondern auch bei

s > 1 zumeist kleiner ausfällt als es; das Verhältnis

Ferner ist dem Zahlenwerte nach

mithin:

e₁ = 1000 . Qx, es = 1000- -sQ„

Qi .

Qs

werden hierin Qx und Qs nach Formeln (8) und (9) ersetzt, so folgt:

₇ Rs

1 i⁴/ H— 2    (.H-s)³ r

~ 2H- s ' \ H-s - T {H-iy ’ Rx

2/7-

• • (io)

Bezeichnet man den algebraischen Teil der rechten Seite dieser Gleichung mit A, so ist:

11

ln —

* = A.

ln*1

(ii)

würde

dann nämlich gleich den in der nachstehenden Zahlentafel angegebenen Werten von A sein, deren Vergleich das Gesagte bestätigt.

Es wird daher erforderlich, den Logarithmenbruch genauer auszuwerten. Zu diesem Zwecke soll die Definition von B, als diejenige Entfernung, in welcher eine meßbare Einwirkung auf den Grundwasserspiegel nicht mehr stattfindet, näherungsweise dahin ergänzt werden, daß in ihr ein bestimmtes, aber nicht mehr meßbares Maximalgefälle i herrscht. Dann kann nach der Darcysehen Grundformel gesagt werden:

Qx = lc.i.2 Bx.n.H

und

Qs = 1c. i. 2 Bs. 7t. if,

woraus folgt:

<0*0 6a | m

kl ki

69 I M

und Bx — BS’

Qi

Q.

■ * (12)

d. h. man kann näherungsweise annehmen, daß die Einwirkungsradien sich wie die entnommenen Wassermengen verhalten.

Mithin ist:

ln

- = ln

(”•1)

(13)

Bi

Wird in Formel (11) der Wert von ln --- durch den Wert

aus Formel (13) und hierin Qx und Qs durch die Werte aus Formel (8) und (9) ersetzt, so folgt:

kl

CO

I—I ; eo

k k

I    CO

Br

Auch hierin kann man ln —- wieder nach Formel (13) er-

r

setzen und weiter ad inf. und so eine immer größere Annäherung

ß

an den Wert von — erhalten. Dann ist, wenn man setzt,

Bei der Auswertung der Formel können anstatt der natür-liehen auch die Briggs sehen Logarithmen verwendet werden, da der Logarithmenmodul herausfällt.

Wie man sich durch einige Beispielrechnungen leicht überzeugen kann, weichen die erhaltenen Werte, wenn der Logarithmenbruch in der zweiten Klammer gleich 1 gesetzt wird, kaum noch ab von denjenigen, die eine noch genauere Auswertung der Formel ergibt. Man findet aber auch, daß schon, wenn der Logarithmenbruch in der ersten Klammer gleich 1 gesetzt wird, sich Näherungswerte ergeben, die als praktisch genügend angesehen werden können, sofern die sonstigen der technischen Ausführung der Yersuche anhaftenden Fehlerquellen berücksichtigt werden. Im letzteren Falle entsteht eine sehr wünschenswerte Vereinfachung der Formel; es ergibt sich:

Rs

ln

t—i¹

co

gj

• • (14)

ln —

B-

ln —

B-

ln

ln —

ln

B-

ln

ln

R;

ln B

usw.

ln —

— A--

= A-

ln

ln

— ln—r

‘ • (15)

Auf dieser Formel beruht die umstehende Zahlentafel für die Werte von — • Hierbei sind für H Werte von 3 bis 40, für

Rs Werte von 25 bis 1600 und für s der Wert = 0,1 und die ganzzahligen Werte von 1 bis 8 entsprechend der größten praktisch möglichen Saughöhe angenommen.

2 n-

Die Werte für A =

H-2

(.ü-sy

S    , h-8-1 {H-1)

für ln —j- sind in der Zahlentafel besonders angegeben.

2 H-

3 und

fl

Sh

s, H und Bs (Formel 15).

0,9475

1,6633

1,3395

1,2818

1,2390

1,2059

1,1795

1,1580

1,1402

Sh

fl

'’Ö

rfl

CG

Sh

Sh

:fl

e+H

s

sowie von A und von ln —=

0,1

0,9720

0,9942

1,4147

1,2941

1,2491

1,2151

1,1886

1,1673

1,1498

1,1352

1,1045

© K0 © rH © In © Ol C0 © © © ©

© © IN K0 -tf © rH 01^01^ rH^T—j^ i-^H t-H^ rH t-H t—< rH rH tH rH

1,0236

0,6698

1,1603

1,1437

1,1307

1,1203

1,1117

1,1045

1,0983

0,9991

0,6941

1,1380

1,1211

1,1079

1,0972

1,0884

1,0811

1,0749

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1^0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9538

-2,2553

0,6829

0,7046

0,7231

0,7391

0,7530

0,7652

0,7760

0,9831

-2,2855

Ol IN © K0 © © 00 rH CO Ol OC CO CO In © Ol -3- KO IN 00 © I-“ In In In In I-- In

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©©©©©©©

0,9965

-2,2991

0,7095

0,7324

0,7520

0,7688

0,7835

0,7964

0,8078

ln s/A

25

50

100

es

200

400

800

1600

ln s/A

25

50

100

Es

f =H

es

200

400

800

1600

ln s/A

, 25

50

100

Es

es

200

400

800

1600

Es =

0,8619

2,2281

© 00 KO 00 Ol ^ rH IN 00 00 © © -^ rH Ol K0 © IN © rH © 03 03 rH rH rH

0,9068

2,0438

© KO KO 00 00 © -31 K0 -tf K0 © K0 In -rH rH © IN © © © -31

-3* © Ol Ol rH H rH

^hhhhhh

0,9839    0,9766

1,9621    2,1032

1,5026    1,5502

1,4212    1,4572

1,3618    1,3902

1,3167    1,3395

1,2812    1,2999

1,2525    1,2681

1,2289    1,2420

0,9937    0,9911

1,9523    2,0884

1,5136    1,5668

1,4321    1,4737

1,3728    1,4066

1,3275    1,3558

1,2920    1,3161

1,2632    1,2842

1,2396    1,2580

0,9967    0,9953

0,9440

1,8494

1,3993

1,3296

1,2784

1,2392

1,2082

1,1831

1,1624

0,9896

1,8022

1,4491

1,3794

1,3281

1,2888

1,2576

1,2323

1,2114

0,9958

1,7960

1,4558

1,3862

1,3349

1,2955

1,2643

1,2390

1,2181

0,9978

0,9693

1,6406

0,9991 0,9947 0,9854 0,6941    1,1040 1,4011

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r-H I-H t-H ©> © ©> ©I

0,9997 I 0,9987    0,9967    0,9938

0,6934    1,0999    1,3896    1,6157

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0,9999 0,9994    0,9986    0,9974

0,6933    1,0992    1,3877    1,6120

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rH rH I © © © ©

0,9986

1,6108    1,7940    1,9492    2,0841

1,3935    1,4580    1,5169    1,5715

1,3361    1,3884    1,4355    1,4785

1,2932    1,3371    1,3761    1,4113

1,2600    1,2977    1,3308    1,3605

1,2336    1,2665    1,2952    1,3208

1,2120    1,2412    1,2665    1,2889

1,1940    1,2202    1,2428    1,2626

0,9993

1,3871

© rH Ol IN -tf © Ol rH IN © © K0 IN © 03 IN -tf rH © IN © © CI Ol 01 rH rH rH

1,0000    0,9997

0,6932    1,0989

1,1389    1,2393

1,1220    1,2078

1,1087    1,1837

1,0980    1,1645

1,0893    1,1490

1,0820    1,1362

1,0758    1,1253

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

0,9986

-2,3012

0,7108

0,7338

0,7534

0,7703

0,7850

0,7979

0,8094

0,9997

-2,3023

0,7115

0,7345

0,7541

0,7710

0,7858

0,7987

0,8102

0,9999

- 2,3024

0,7116

0,7347

0,7543

0,7712

0,7859

0,7989

0,8103

0,9999

-2,3024

0,7116

0,7347

0,7543

0,7712

0,7859

0,7989

0,8103

ln s/A

25

50

100

10

es

200

400

800

1600

ln s/A

25

50

100

Es

fe}

es

200

400

800

l1600

ln s/A

25

50

100

Es

fei

es

200

400

800

1600

ln s/A

cT| co

K0 © © o © © © Ol K0 © © © © © rH 03    00 ©

_

«0

P3

fei

= 0; für s = 1 wird — sowie A = 1. es

Für s = 0 wird

Einige Zahlen der Tafel liegen jenseits praktischer Grenzen, insofern für sehr kleine Senkungen niemals sehr große Ein-wirkungsradien eintreten können; z. B. für s = 0,1 wird Ra nie = 1600 sein; es schien jedoch schwierig, eine Grenze zu ziehen, und deshalb erfolgte die Ausrechnung der Tafel vollständig; ihre Brauchbarkeit leidet hierunter nicht.

Wie die Tafel zeigt, ist der Wert von A für größere Mächtigkeiten der wasserführenden Schicht, sowie für kleinere, falls die Absenkung weniger als die Hälfte der Mächtigkeit der wasserführenden Schicht beträgt, nicht sehr verschieden von 1.

Wird unter der vorstehenden Einschränkung A — 1 gesetzt, so geht Formel (15) über in die die Berechnung noch mehr vereinfachende Näherungsformel:

ln

7 n^A

ln

r.s

ln

— Ins

(16)

Diese Formel gibt Werte, die von denen der Formel (15) und der Zahlentafel nicht erheblich abweichen, und dürfte ebenfalls praktisch brauchbar sein.

Beispiel: Aus einem Bohrloche wurden im angenäherten Beharrungszustande bei einer Absenkung des natürlichen Spiegels von 6,5 m 8 Sekundenliter gefördert. Die Mächtigkeit der wasserführenden Schicht war 13 m. In einem 300 m entfernten Bolir-loche sank der Spiegel um einige Millimeter. Der Einwirkungsradius wird danach zu 400 m angenommen.

Aus der Tafel werden folgende Werte interpoliert:

für H = 10 und Rs = 400 ist

für II = 20 und Rs = 400 ist Hieraus wird für H — 13 interpoliert:

| «b

1,2020,

1,2694.

1,2222.

Mithin ist:

ex = 1,2222 •

6,5

= 1,5042.

Entsprechend Formel (12) ist:

1,5042

Bx = 400 •

= 75,21 m.

k

— wird nunmehr für H = 13 und

Aus dem Diagramm für — Bx — 75 abgegriffen:

somit ist:

— = 0,000181, ei

k = 0,000 181 . 1,504 2 = 0,000 272 3.

nur = 200 angenommen, so würde sich

Hätte man B k = 0,000 250 ergeben.

Bei der vorstehenden Art der Aufsuchung von k aus es wurde der mittelbare Weg über ex gewählt, um zugleich das gegenseitige Verhältnis der bei verschiedenen Absenkungen sich ergebenden spezifischen Ergiebigkeiten übersichtlich festzustellen, zumal eine genauere Kenntnis hiervon noch nicht vorlag und darüber mit Äußerungen, daß kleine Absenkungen sich wie die Ergiebigkeiten verhalten, oder daß bei großen Mächtigkeiten der wasserführenden Schichten und entsprechend geringen Absenkungen ohne erheblichen Fehler das Ergiebigkeitsgesetz als ein geradliniges angesehen werden kann (s. oben), hinweggegangen worden war.

Unter Absehung von diesem Zwecke läßt sich k aus es unmittelbar und kürzer, ebenso wie oben aus ex herleiten. Diese k

('S

Ermittelung von — unter Ausschaltung von ex erfolgte gemäß

einer Anregung des Herrn Geheimen Regierungsrates Professor

J. Brix, Charlottenburg, dem für diese und eine weiter unten

folgende Anregung hier ganz besonderer Dank ausgesprochen sei.

Die der Formel (7) entsprechende Formel ergibt sich in gleicher

Ableitung zu:

k ₇ B — = ln —

•f

(■fl-s)³

• ‘ (17)

r    —    1000

Auf dieser Formel, welche für s = 1 in Formel (7) übergeht, beruht die nachfolgende Zahlentafel, die zur Bestimmung von k in erster Linie zu empfehlen ist, da sie die Tafel S. 13 in sich einschließt und wegen Entbehrlichkeit zweier Annäherungen genauere Werte gibt, als die Tafel S. 20 und 21.

('S

8.(H— s — 1)

*>

ic

*>»

13239

15077

16916

18755

20593

22432

24270

26109

27948

10451

11902

13354

14805

16257

17708

19159

20611

22062

08620

09817

11015

12212

13409

14606

15803

17001

18198

r-'OC5GONCD'^'^CM

OOOUC05CONH10C5

^lOiOiOCDCDNNN N* 00 05 O h CM CO ^ O O O O rH rH rH rH r-H rH

COCONlMCDHiOO^    CJH^CDOOrHCO^OO    CO CO ^ Tfi iO lO O CD CD

CMCOC5COCDOCOt^O    (NOiiOHN^OCDfM

OiOOt^l>CDCDiO^^    iOa^C^COCOCON(M    CDOOOCM^CDCOOCM

COONCi H COlO NO    OHCOr^CDNOO(M    00 O H CO O N 00

HHHHCMCMCMCMCM    HHHHHHHdd    OOHHHHHHH

HHHCMCMCOCOCOCO C5CONH0 05CONH

Tf^ .O io CO CD CD N N GO NC0 050hCMCO^iO 0*w0HHHHHH

Werte von —

Cs

für verschiedene Werte von s, H und Rs (Formel 17).

Vor die Ziffern ist 0,000 zu setzen, z. B. 0,000 303 05.

CD

IO

CO

<N

h iO 05 CO H hJI CM qq § CO O K 2 H 00 iO S S CD 2 2 2 00 00

o 8 8 8 S £ o5 © £    8 ro 2    ^ 8 8 qo

hhSScmcmcScmco i-h 2h 2 S 2 Jh 2 S oohhhh2hh

O5Hd^iONG0OH

C5hHCOCMCD0^05CO

^iCiOCDCDr>I>*>00

NQ0C5O*hCMCC^O

O O O rH rH rH rH r-H rH

ooSoSoS^S

CdHiOO^OCOQOCl

NO^iONOC^^N

HCMCMCMCMCMCOCOCO

CDHiOOOO*^05^

OCMCQIOCD00050CM

HCD»hcDhCDthN(M

GOOCOiOOOOCOiOGO

HCMCMCMCMCOCOCOCO

OOOCMOOOCMiOGOh ICH 00^0 NC0 05CD ^OOhNIMCOCO 05

gohcocdoohcocooo

rHCMCMCMCMCOCOCOCO

NiOCOOGOCD^HCi rH 05 G0 CD O CO CM O 05 ^ HCOO HCOOO CO CDHNCOOOHNCM CDOCONrirtiQOCMiO 00 H CO CD 00 H ^ CD 05 CM CO CO CO Tji rfl ^ iO lO rH CM

CM CM CM CO CO CO CO

Illlili 111111111 lliilll

Illlili lliilll lliilll

-*|s

s£ääss&s§§ ssssgssss sssssssss

OOOOO'HCMCICO^ CDhiOOOO^O^ CD GO O (M t}i N O h CO rJlCDOJ H COiO NOi H O CM CO iO CD GO 05 O CM 00 05 H CM CO ^ iO I> GO HHrHCMCMCMCMCMCO H H H H i-H rH H CM CM OOHHHHHHH

CDQOOCM^CDOOrHCO    CD 00    05    h CM    CO    iO CD    00    iO    (N 00    ^    H N    CO    O    CD

COCO^^-^^-rtliOiO    CO TtMM    H 05    N    O CO    H    00    05 Q5OHHCMC0C0

rHCMCO^OCONOOOJ CC H CD H O O O O O CDOOOCOiONC5hCO ON05rHCOON05H    O CM    CO    iO CD    CO    05 H    CM    CO    05 H    CM    CO    iO    t>    00

H H H Ol CM CM CM CM CO    rH rH    rH    rH i—I    H    rH CM    CM    O    O rH    i—I    rH rH    rH    rH    rH

C5HCOION05HCOO    N CM CD O O 05 CO 00 CM    CO O 00 O (M O N ^ CM

NOCMTf^CDOOHCOiO    CONiC^CM005N^    05 C O H Ol CO CO ^ O

(Mt^iOCONOOOhC^    COhcDHCDhiOO»C    cD05hC0iONO5HC0

10N05HC0 1OC0OCM    OCMC00000 05HJM    COC5—‘ClCO^iONOO

HHHCMCMCMCMCOCO    HHHHHHHCMCM    OOrHHrHHHHH

NOOOhCM^iONGO    G0 ^    O    CD CM    00    CO 05    iO    CD ^    CM    O 00    CD    CO rH 05

^NHrJiNOC0CD05    05 00    N    lO rH    CM    H 05    00    05 O    ^    (M (M    CO    ^ iO O

CO^CDNOOCHCMCO    CD h    CD    h CD    h    CD O    O    CD 05    H    CO iO    N    05 h CO

lO t>» 05 rH CO CD 00 O CM    O CM    CO    iO CD    00    05 H    CM    00 05    H    CM CO    ^    iO N 00

H H H CM CM CM CM CO CO HHHHHHHCMCM OOHHHHHHH

rH-^^rH^GOrH^OO    CM00^Ht>COO5<X>CM    OOCD^CMOOOCD^CM

CD05CMCD05C1CD05CM    O CO N CD Tt* CO H O 05    05 O H CM CO CO ^ iO CD

CO^CDNOOOHCM*^    NHCDHCDHCDHiO    CDC5HCOONC5HCO

iONC5HCOCOGOO(M    OCMCOiCCD0005H(M    G005H(MC0^ON00

H H H CM CM CM CM CO CO    HHHHHHHCMCM    OOHHHHHHH

Ö5 05 0500HHHH    C0^OCDCM0CC0O5iO    0 ^ (M O CO CD CO H 05

C0CD05C0CD05CMO00    O500NiO^CMhO5G0    0 O h M (N CO ^ iO iO

CO^iONGO0hCMCO    CDhCDHCDHCDOO    00HCOONO5HCO

iOr>C5HCOOCOOCM    OCMCCOCD00 05HCM    CO0hCMCO^ONGO

h h h CM CM CM CM CO CO    h h h h h h h CM CM    O O h h h h h h h

-sä | £

iONOCMONC5(M^

0^05CONHiCO^

ioiOiocDcDr^r>QOco NOÜOcOHCMCOrJiiO O O O rH rH rH rH rH rH

OCOCDC5CMOCOCMiO

HiOC5COOOO?CDHiO

iO»OiOCDCDC^r>OOGO NG005OrH03C0^i0 O O O rH rH rH rH rH rH

^NH^OOHUOOOCM HiOO^OOCONHCD IO Id CO CD CO N N 0D 00 N GO 05 O r- CM CO'«tO

OOOrHrHrHrHrHrH

1005C0CDO^G0hO rHLOO^HC5COt>CMCD iCOCOCOCDNNQOOO N00 05 OHCMC0^iO

O O O rH rH rH rH rH rH

CDO5C0NHiOO5(MCD

HIOO^C5CON(MCD

lOiOCOCDCDNNOOQO

NG0C5OHCMC0^iO

05 C5 rH rH rH rH rH rH

O 05 CO CD O ^ GO r o hiC0^05CONCMCD

iOiOCOCDCDNNOOOO

N00050hCMCOtjiiO

O^ O O rH rH rH rH rH rH

'CL

££8888888 ££8888888 ££8888888

HN^I CO CD (N    ^S-^QOCOC^

*—< CO    H CO    H CO

-s« |5

2^8888888 ££8888888 §88888888

H^iCOCON H CO

rH (N Tf 00

CD CM I-H CO

H CM Tt<

00

CD CM H CO

(MiOOOOOOOQ HUliOOOOOOO i-h Dl 'S⁴ 00 CD <N r-iCD

p3

«0

ß$

60

Os

ÖÖ

60

ß$

ft?

H= 3

10

20

H = 30

Wird das Beispiel von S. 22 mit Hilfe der letzten

BIBUOTEKA PßLITECHIIiGZNA

¹

) Weyrauch, Die Wasserversorgung der Städte 1, 417.

Wird das Beispiel von S. 22 mit Hilfe der letzten Tafel durch Interpolation gelöst, so ergibt sich k = 0,000 273 6 gegenüber k — 0,000 272 3 auf S. 23.

Qa Ra Qb Rb

Diese große Übereinstimmung besteht jedoch nicht durchweg. Immerhin erweisen beliebige, über die ganzen Tafeln verteilte Stichproben, daß die Abweichungen beider Tafeln im ungünstigen Falle nur wenige Prozente betragen. Wird hierbei beachtet, daß die Tafel S. 20 u. 21 einmal auf der Näherung, den Einwirkungsradius an Stelle aus gleichen s = A H aus gleichen sehr kleinen Spiegelgefällen herzuleiten, und ferner auf der Kürzung des Logarithmenbruches in Formel (14) beruht, und werden schließlich die mancherlei Fehlerquellen der Beobachtung im Gelände berücksichtigt, so scheint der Schluß berechtigt, daß die neue Näherungsformel (12)

praktisch gut verwendbar ist.

Hierauf kann eine anderweite Herleitung von k, die von der Beobachtung des Einwirkungsradius überhaupt unabhängig ist und auf die Herr Geheimer Regierungsrat Professor J. Brix gleichfalls aufmerksam machte, gestützt werden.

Sind zwei Beharrungszustände beobachtet und bei den Absenkungen a und b die Mengen Qa und Qb festgestellt, so folgt nach Formel (1) und (12) für einen vollkommenen Brunnen:

a.(2H — a) .n .k

Qa

= ln

Ra

©*

b.(2H—b).7t Je _

Qb

und hieraus durch Subtraktion:

oder

“(

ln Qa

Qb

a . (211 — a) b ,(2H — 6)\ .

(18)

Qa

Qb

log

0,732 95 •

Qa

a.(2H— a)

b.(2H— b)

Qb

worin k unabhängig vom Einwirkungsradius und vom Brunnenradius ermittelt wird. Die Messung der Absenkungen a und Tj kann hier auch in einem benachbarten Bohrloche erfolgen, und die Formel wird für den unvollkommenen Brunnen verwendbar, sofern die Entfernung dieses Beobachtungsbohrloches vom Brunnen nicht kleiner ist, als etwa die Mächtigkeit der wasserführenden Schicht, da die verstärkte Absenkung des unvollkommenen Brunnens sich nur in dessen nächster Nähe zeigt.

Werden die Absenkungen an der Außenseite eines unvollkommenen Rohrbrunnens mit 2 m langem Filterkorbe, wie er für die obigen Zahlenberechnungen angenommen ist, gemessen, so folgt unter Anwendung von Formeln (8) und (12):

i.«-

Qb

/a.(2H-a) i/8AH-a-

\ Qa r (H-a)

-1) b.(2H-b) i/8.(H-b-l)\

³ Qb V (H-by )

(19)

Beide Formeln scheinen sehr wertvoll für die gelegentliche Nachprüfung der durch die Zahlentafeln gefundenen Werte von k und der geschätzten Werte von B.

Gegenüber der neuen Formel (18) leidet die bisher bekannte Formel¹) zur Herleitung von k aus zwei Beharrungszuständen:

• ln r,

Qi Qi

worin Ti und r ihre allgemeine Bedeutung haben, an der Ungenauigkeit, daß in ihr die Integrationskonstante der Dupüit-schen Formel für verschiedene Werte von Q irrtümlich als gleich vorausgesetzt und durch Subtraktion der für Qx sowie Q₂ angeschriebenen Gleichungen herausgefallen ist. Daß die Integrationskonstante aber von Q abhängig ist, hat Verfasser früher nachgewiesen. Vgl. Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1916, Nr. 39, S. 494.

D Diese Formel findet sich z. B. auch in Weyrauch, Die Wasserversorgung der Städte 1, 420.

B. Artesisch gespanntes Grundwasser.

1. Das Verhältnis von k zu ev

Die der Formel (1) für artesisch gespanntes Wasser entsprechende DüPUiTsche Formel¹) lautet:

• (20)

TT i    Q    ₇ -ß

Ä-Ä = 2^7fJfc!MT

Eine der Forchheimersehen Formel (4) für artesisch gespanntes Grundwasser entsprechende Formel ist bisher nicht veröffentlicht. Auf eine Anfrage des Verfassers hatte Herr Hofrat Professor Dr. Forchheimer, Graz, die Güte, für die ihm hier besonders gedankt sei, die neue Formel

• • ••• (21)

R-\) _

H—h ~~

aufzustellen. Bei von ihm zur Bestätigung der Formel für angezeigt gehaltenen Versuchen hat der Verfasser so geringe Abweichungen gefunden, daß diese als innerhalb der Grenzen der Beobachtungsfehler liegend angenommen werden konnten. Ein anderes Ergebnis war auch bei der inneren Übereinstimmung der Ableitung der Formel mit der der Formel (4), welche durch die Forchheimer sehen Versuche erhärtet ist, nicht zu erwarten. Die Formel scheint daher für den vorliegenden Zweck wohl geeignet.

Wird in Formel (21)

1 und t = 2

gesetzt, so ergibt sich:

und wird dieser Wert von li in Formel (20) eingesetzt und hierbei für Q und Rx für R und ferner ex für 1000.^ gesetzt, so folgt:

ln

ln ll'

■ ■ (22)

Auf dieser Formel beruht die umstehende Zahlentafel sowie das folgende Diagramm. Die geringste Mächtigkeit der wasserführenden Schicht wurde entsprechend 2 m Filterkorblänge mit 2 m, die größte wie oben mit 40 m, der Einwirkungsradius wurde wegen der größeren Fernwirkung artesischer Druckänderungen zwischen 100 m und 3200 m angenommen.

Das oben für freies Grundwasser über die senkrechten Ab-

Tc

stände der Kurven, über die fehlende Konstanz des Verhältnisses —

und über dessen Verhalten zur Mächtigkeit der wasserführenden Schicht und zum Einwirkungsradius Gesagte gilt auch hier.

Tc

Ein Vergleich der Werte für — für freies und artesisch ge-

ei

zu-

spanntes Wasser für gleiche Werte von R und H sowie T zeigt fast gänzliche Übereinstimmung; nur für geringe Mächtigkeiten sind die Werte für freies Grundwasser ein wenig höher. Diese Übereinstimmung ist um so bemerkenswerter, als die Werte auf den ganz verschiedenen Formeln (7) und (22) beruhen. Der entsprechende Vergleich für beliebige Absenkungen ergibt sich aus den Zahlentafeln zu Formeln (17) und (22). Auch hier folgt, mal für praktisch übliche Absenkungen aus gleichen Werten für Q, s, Ra und H bzw. Ty annähernd dasselbe ft, mag man die Spiegel als frei oder artesisch auffassen.

Hieraus darf der Schluß gezogen werden, daß auch da, wo eine strenge Unterscheidung zwischen freiem und artesisch gespanntem Grundwasser nicht möglich ist, d. h. wo sich Übergangszustände vorfinden oder wo beim Pump versuch das Wasser in der Nähe des Rohrbrunnens seine artesische Spannung verliert, indem es unter die undurchlässige Deckschicht gesenkt wird, die Zahlentafeln zu Formeln (7) und (22) sowie (17) praktisch brauchbare Werte liefern. Dies bietet für die Ausübung der Versuche eine sehr willkommene Erleichterung und Sicherheit.

Eine Beispielsrechnung würde der für freies Grundwasser entsprechen und erübrigt sich deshalb.

2. Das Verhältnis von ex zu es.

Aus dem Darcysehen Filtergesetze folgt ohne weiteres, daß für artesisch gespanntes Wasser die Ergiebigkeit der Brunnen

T*

Werte von —

für verschiedene Werte von Rx und T für artesisches Grundwasser (Formel 22).

3200

1600

800

400

200

100

50

Ri =

0,000 838 4 0,000 637 1 0,000 471 5 0,000 391 7 0,000 323 7 0,000 261 9 0,000 225 8 0,000 201 5 0,000 183 6 0,000 169 8 0,000 158 7

0,000 783 3 0,000 595 2 0,000 440 5 0,000 365 9 0,000 302 4 0,000 244 7 0,000 2110 0,000 188 2 0,000 171 5 0,000 158 6 0,000 148 2

0,000 728 1 0,000 553 2 0,000 409 4 0,000 340 1 0,000 281 1 0,000 227 5 0,000 196 1 0,000 175 0 0,000 159 4 0,000 147 4 0,000 137 8

0,000 673 0 0,000 5113 0,000 378 4 0,000 314 4 0,000 259 8 0,000 210 2 0,000 181 3 0,000 161 7 0,000 147 4 0,000 136 3 0,000 127 3

0,000 617 8

0,000 469 4 0,000 347 4 0,000 288 6 0,000 238 5 0,000 193 0

0,000 166 4 0,000 148 4 0,000 135 3 0,000 125 1 0,000 116 9

0,000 562 6 0,000 427 5 0,000 316 4 0,000 262 8 0,000 217 2 0,000 175 8 0,000 151 5 0,000 135 2 0,000 123 2 0,000 113 9 0,000 106 5

0,000 507 5 0,000 385 6 0,000 285 4 0,000 237 1 0,000 195 9 0,000 158 5 0,000 136 7 0,000 121 9 0,000 111 1 0,000 102 7 0,000 0960

k

es, gelten die Werte auch für —

= 10

= 15

= 20

= 25

— 30

= 35

= 40

x) Da hier ex

Werte von

Ci

für verschiedene Werte von T und Uj für artesisches Grundwasser (Formel 22).

0,0009

IIP

44-

t===F

0.0008

0,0007

i=:

0.0006

fff

0,0005

0,0004-

0,0003

iS

u'O.

R«-

0,0002.

0,0001

3200 -1600 8 00 400 2 00 4 0 -50

T=2 3 5 7 10    15    20    25    30    35    40

Da hier e-, = e , gelten die Werte auch für

der Senkung proportional, d. h. e₁ = es ist, deshalb ist Formel (22) auch für —

zu verwenden.

Wird in der Formel (21) l) = H— s, t = 2 gesetzt und danach aus Formel (20) eine der Formel (22) entsprechende Formel

für

k

— gebildet, so ergibt sich aus dieser und Formel (22): Cs

ln

B,

ln —

Da dieser Wert gleich 1 sein soll, kann bei artesisch gespanntem Wasser Bt stets so groß angenommen werden als ein beobachteter Wert von Bs. Im allgemeinen werden für Bx hohe Werte angenommen werden können. Die manometrische Druckfortpflanzung in artesischem Wasser auf weite Entfernungen bedingt eine abweichende Behandlung des Einwirkungsradius von der beim freien Spiegel angewendeten.

Eine Beispielsrechnung dürfte sich auch hier erübrigen.

III. Die praktische Anwendung.

Filterkorb zur Bestimmung der Durchlässigkeit.

Wie bereits oben gesagt, darf der Eintrittswiderstand des Brunnens in der gemessenen Absenkung nicht enthalten sein. Wenn auch durch Verwendung geeigneter Gewebe in jedem Falle die Vermeidung eines merklichen Eintrittswiderstandes möglich ist, so daß die Messung innerhalb des Filterkorbes erfolgen könnte, so bestünde doch über das Fehlen des Eintrittswiderstandes keine Gewißheit, auch müßte eine größere Zahl von Filterkörben zur Auswahl bereit gehalten werden.

Dieser Übelstand wird bei der Verwendung des nachstehend beschriebenen Filterkorbes zur Bestimmung der Durchlässigkeit vermieden.

Auf der nebenstehenden Zeichnung ist dieser Filterkorb dargestellt. Er ist dadurch gekennzeichnet, daß ein schmaler Längsstreifen des zylindrischen Mantelgewebes das Wasser nicht in das

Brunneninnere treten läßt, sondern daß auf diesem Längsstreifen das zur Bestimmung der Durch-äußere Wasser nur in einen abgetrennten rohrartigen Hohlraum tritt, der, allseitig abgeschlossen, nur am oberen Ende des Filterkorbes in einem Gewinde für Anschluß eines Beobachtungsrohres, d. i. eines etwa 20 mm weiten Gasrohres, endet. Beim Einsenken des Filterkorbes werden nach Bedarf solche Gasrohre dicht auf geschraubt; in diesen stellt sich der an der Außenseite des Brunnenfilters herrschende Wasserstand ein und kann dort mit Hilfe eines ]Jf schmalen Stahlbandmaßes, an dessen Ende sich ein mit Kreide zu bestreichender eiserner Meßstab befindet, in der bekannten Weise gemessen werden. Daß durch diese Einrichtung ein Teil des Filterumfanges wirkungslos und der Eintrittswiderstand erhöht wird, ist von äußerst geringem zu vernachlässigendem Einfluß, da der in die Rechnung eingestellte Filterkorbhalbmesser unverändert bleibt. Als Filtergewebe wird zweckmäßig ein feines Tressengewebe verwendet, dessen größerer Eintrittswiderstand nicht in Betracht kommt, und das sowohl für feine als grobe Schichten verwendbar ist; innerhalb desTressen-gewebes ist zu der Unterstützung J vou dessen Tragfähigkeit ein großmaschiges, quadratisches Gewebe erforderlich. Die Maschen der Gewebe "4 beiderseits des Beobachtungsstreifens sind dicht zu verlöten, so daß auch

Filter korb

lässigkeit wasserführender Bodenschichten.

*r

L - J-

iü

Ve rt 51 u. n g der Gewebe.

El

0>'

Lummert, Neue Methode.

innerhalb des Filtergewebes eine Kommunikation zwischen dem Beobachtungsrohre und dem Brunneninneren nicht stattiindet. Der etwa 3 m lange Filterkorb von 0,17 m äußerem Durchmesser ist in jedem Falle vor Beginn des Versuches durch Ziehen der Bohrrohre auf 2 m wirksame Filterlänge freizulegen. Der Wasserspiegel darf nie bis in die wirksame Filterfläche abgesenkt werden.

Die lichte Weite der Bohrrohre soll etwa um 2 cm, jedenfalls nicht erheblich größer sein als der Filterkorbdurchmesser, anderenfalls wäre eine Mitwirkung des obersten, nicht freigelegten Meters des Filterkorbes zu befürchten. Aus diesem Grunde scheint auch eine solche Konstruktion des Filterkorbes vorteilhaft, bei der nur 2 m Gewebelänge vorhanden ist, während der oberste Meter aus dichtem Rohr besteht; ein nicht erwünschter Nebenweg des Wassers ist hierbei unwahrscheinlicher; doch muß die obere Kante des Gewebes so ausgebildet werden, daß sie beim Ziehen des Filterkorbes nicht unter der Unterkante des Bohrrohres hängen bleiben kann¹). Die Verwendung gezahnter Bohrkränze, die öfters noch angetroffen werden, ist auszuschließen, da solche, auch bei Herstellung gewöhnlicher Rohrbrunnen, beim Ziehen durch zwischengefaßte Kiesel usw. das Filtergewebe verletzen. Bei größeren Mächtigkeiten der wasserführenden Schicht empfiehlt es sich, in einem und demselben Bohrloche die spezifische Ergiebigkeit in verschiedenen Tiefen festzustellen und einen Mittelwert für die gesamte Bewertung des Bohrloches zu bilden. Hierbei wird zweckmäßig so vorgegangen, daß erst nach Feststellung der Ergiebigkeit in einer bestimmten Tiefe weiter gebohrt und erst zum Schluß die gesamte Mächtigkeit der wasserführenden Schicht festgestellt wird, da bei einem rückwärtigen Verfahren die Auflockerung der Schichten störend wirken kann. Es ist selbstverständlich, daß wegen des von Natur nie ganz gleichmäßigen Aufbaues der Schichten in verschiedenen Tiefen nie ganz gleiche Ergiebigkeiten ermittelt werden können.

Einem Filterkorbdurchmesser von 17 cm würde nach vorstehendem ein Bohrrohr von 19 cm Weite entsprechen, die Natur des Untergrundes wird aber oft die Verwendung eines Bohrrohres von größerer Lichtweite erforderlich machen, dann ist auch ein

Filterkorb von größerem Durchmesser zur Ermittelung der spezifischen Ergiebigkeit zu empfehlen.

Ist d der Durchmesser des beliebig weiten Filterkorbes, so

~ gemäß Formeln (7), (17) und

(22) aus den zugehörigen Zahlentafeln durch Multiplikation mit dem Faktor

und

Ti

werden die Werte von —

log Rs — log

log Bs — log 0,085

gefunden.

Für einen 20 cm weiten Filterkorb, dem zweckmäßig ein Bohrrohr von 22 cm Weite entspricht, das für alle gewöhnlichen Fälle genügend und empfehlenswert scheint, sind demnach die obigen Tafelwerte zu multiplizieren,

wenn Bs —

Bt

Bt

Bt

0,967 44 0,97141 0,974 52 0,977 01 0,979 07 0,980 78 0,982 24 0,983 49 0,984 58.

Für 20 cm Durchmesser des Filterkorbes sind also die Werte für li um rund 2 bis 3 Proz. niedriger anzunehmen als die aus den Zahlentafeln folgenden Werte, die für 17 cm Filterkorbdurchmesser gelten.

Die vielfach noch übliche Vornahme der Pumpversuche mit Handbetrieb muß als veraltet bezeichnet werden. Die Schwierigkeit, hierfür geeignete und vor allem zuverlässige Gelegenheitsarbeiter zu gewinnen, zwingt in der Regel, den Versuch vor Eintritt der Nacht abzubrechen und den Eintritt des angenäherten Beharrungszustandes anzunehmen. Während A. Thiem die Zeitdauer des Abpumpens mit 10 bis 12 Stunden angibt, waren, wie E. Götze im unten genannten Berichte angibt, bei den Bremer Versuchen in der Regel drei Tage zur Erzielung des Beharrungszustandes erforderlich.

3*

Wesentlich vorteilhafter und im Betriebe billiger als Handpumpenbetrieb erscheint das Abpumpen mittels einer besonders für diesen Zweck einheitlich zusammengestellten fahrbaren maschinellen Einrichtung,

der eine kleine Zentrifugalpumpe mit

zu

Saugrohren, ein dazu passender Verbrennungsmotor, verschiedene Registriereinrichtungen und Meßgeräte, sowie der oben beschriebene Filterkorb mit Gasrohren gehören J).

IY. Zusammenfassung der Ergebnisse.

Wie nach der durch viele Tatsachen erwiesenen unbestreitbaren Bewährung der spezifischen Ergiebigkeit, selbst in ihrer alten mit Mängeln behafteten Handhabung, nicht anders zu erwarten war, ergibt sich aus dem Vorstehenden, vorbehaltlich der in Abschnitt V enthaltenen Darlegungen, daß in der Methode der spezifischen Ergiebigkeit ein brauchbarer Kern enthalten ist, und daß sich auf ihr eine neue Methode auf bauen läßt, die insbesondere bei Benutzung der mitgeteilten Diagramme oder Zahlentafeln unter Vermeidung der früheren Mängel von erheblichem praktischen Werte ist.

Ferner scheint die große Spezialerfahrung und Kenntnis zahlreicher Untersuchungsfelder, bei deren Fehlen die Anwendung der A. Thiem sehen spezifischen Ergiebigkeit gewissermaßen ein Geheimnis des „praktisch geschulten Hydrologen“ blieb, und welche die Vorbedingung für ihre erfolgreiche Handhabung war, wobei es, wie jetzt ersichtlich ist, besonders auf die Berücksichtigung des großen Einflusses der Mächtigkeit der wasserführenden Schicht ankam, bei der neuen Methode wohl nicht mehr in dem früheren Maße erforderlich.

In den angeführten Zahlenbeispielen hat sich gezeigt, daß die Unsicherheit in der Schätzung des Einwirkungsradius einen Spielraum in den Werten von k läßt. Werden aber die Unsicherheiten und Fehlerquellen, welche auch bei anderen Methoden zur Bestimmung der Durchlässigkeit an Ort und Stelle vorhanden sind, in Betracht gezogen, von Laboratoriumsversuchen an Bohrproben ganz zu schweigen, so wird der Methode die Berechtigung und besonders der Vorzug der Einfachheit nicht abgesprochen werden können. Der Spielraum, der für den Wert von k bleibt, ist nicht so groß, daß er eine erhebliche Abweichung in der Beurteilung eines Untersuchungsfeldes verursachen könnte. Die Unsicherheit in der Schätzung des Einwirkungsradius wird durch dessen verhältnismäßig geringen Einfluß auf den Wert von k ausgeglichen a).

Als die bisher relativ genaueste Methode zur Ermittelung der Durchlässigkeit ist wohl die von A. Thiem und G. Thiem erstmalig 1902 für die Vorarbeiten zur Wasserversorgung von Prag angewendete anzusehen. Vgl. G. Thiem, Hydrologische Methoden, Gebhardts Verlag, Leipzig 1906. Dieselbe Methode wurde auch von A. Thiem 1905 für Leipzig²) und von E. Götze anscheinend unter Thiem schem Einfluß für Bremen angewendet. Vgl. E. Götze, Bericht über die Hydrologische Untersuchung des im Süden von Bremen gelegenen Gebietes, als Handschrift 1905 gedruckt. Der innere Zusammenhang dieser Methode mit der hier erörterten der spezifischen Ergiebigkeit möge klargestellt werden.

Diese letzte Thiem sehe Methode beruht ebenfalls auf den Formeln (1) und (20); jedoch sind bei ihr r und R die Entfernungen zweier in derselben radialen Richtung von der Brunnenachse aus angeordneter Beobachtungsbohrlöcher und h sowie H die in diesen gemessenen verbleibenden Grundwasserstände über der undurchlässigen Sohle. Die Gleichungen enthalten dann nur noch die eine Unbekannte 7c, die ziffernmäßig berechnet werden kann. In der vorliegenden neuen Methode wird von den beiden zur genauen Auswertung der Formeln (1) und (20) erforderlichen Beobachtungen der Grundwasserstände in zwei verschiedenen Entfernungen nur der eine unmittelbar gemessen, nämlich h in der Entfernung des Filterkorbhalbmessers, während für den anderen, nämlich den unverminderten oder nur um eine zu vernachlässigende minimale Länge verminderten natürlichen Grundwasserstand LZ, die zugehörige Entfernung R als der Einwirkungsradius geschätzt wird. Dieses Verfahren stellt sich somit als eine Annäherung an die letzte Thiem sehe Methode dar.

Daß dieser theoretisch der Vorzug der größeren Genauigkeit gebührt, ist ohne weiteres klar. Praktisch allerdings ist dies nur zutreffend, wenn ganz ungestörte Schichten vorliegen. Die Quellen der möglichen Täuschungen sind nicht leicht ganz auszuschließen: Nicht immer oder richtiger kaum jemals werden zwei Bohrungen für die Feststellung ausreichen, ob die beobachteten Grundwasserspiegel wirklich einem ganz ungestörten Wasserhorizont angehören, auch wird nicht immer, selbst wenn der Bohrbefund gegen artesisches Wasser spricht, zutreffen, daß ganz freie Spiegel vorliegen, und umgekehrt, wovon aber die Frage abhängt, ob die Formel (1) oder (20) anzuwenden ist. Laufen aber in der einen oder anderen Hinsicht Irrtümer unter, dann kann die Methode trotz ihrer theoretischen Schönheit zu schweren Täuschungen führen Q, und dann kann selbst die alte, immerhin bewährte Methode der spezifischen Ergiebigkeit vor ihr den Vorzug verdienen. Daß Schichtstörungen in beiden vorbezeichneten Richtungen bei der hier vorliegenden neuen Methode weniger ins Gewicht fallen, ist weiter oben gezeigt worden.

Die neue THiEMsche Methode ist teurer und umständlicher, weil sie stets zwei besondere Hilfsbohrlöcher und eine in jedem Falle zu wiederholende besondere Berechnung erfordert. Dagegen besitzt die vorliegende Methode den Vorzug der leichteren Handhabung, die auch theoretisch weniger gebildeten Hilfskräften oft überlassen bleiben kann, den der Billigkeit, da meist nur ein Bohrloch genügen wird oder vorhandene Bohrlöcher einbezogen werden können, sowie den Vorzug der einfacheren Berechnung unter Benutzung von Zahlentafeln oder Diagrammen. Wenn man aber auch annimmt, daß die THiEMsche Methode genauere Werte ergibt, so können doch mit der vorliegenden neuen Methode bei gleichem Kostenaufwande zahlreichere Stellen untersucht werden, und da die Durchlässigkeit von Ort zu Ort stark wechseln kann, so ist die Möglichkeit nicht abzuweisen, daß die neue Methode im ganzen genauere Durchschnittswerte ergibt.

Eine Quelle der Ungenauigkeit bei der neuen Methode scheint in der geringen Größe der Filterkorbhalbmesser zu liegen; sicherlich läßt sich ein größeres r mit größerer Genauigkeit feststellen. Der Verfasser hat jedoch an einem monatelang und sehr genau durch-

geführten Versuche an einem artesischen Einzelrohrbrunnen in Nieder-Salzbrunn die Beobachtung gemacht, daß die Absenkungen in zwei in radialer Richtung befindlichen Beobachtungsbohrungen denselben Wert von k ergaben, der aus der Absenkung am Rohrbrunnen und aus dessen Filterkorbhalbmesser mit Hilfe je eines der beiden Beobacbtungsbobrlöcber ermittelt wurde. Er durfte hieraus den Schluß ziehen, daß die geringe Größe des Filterkorbhalbmessers keine erhebliche Fehlerquelle einschließt.

A. Thiem nannte allerdings den Wert k nicht die Durchlässigkeit, sondern die Einheitsergiebigkeit und bezeichnete sie mit s. Hierin sind ihm G. Thiem und E. Götze in den oben erwähnten Abhandlungen gefolgt.

die Formel

G. Thiem stellte a. a. 0. der bekannten Formel Q = k.i.F

Qz= e.i.f

gegenüber.

In der ersten ist k eine Geschwindigkeit, vgl. die obige Tafel der Bezeichnungen, i ein Zahlenverhältnis und F eine Fläche. Mithin ist Q eine Ergiebigkeit von der Dimension m³.s“x. Als Ergiebigkeit von derselben Dimension spricht Thiem den Wert von £ an. Damit dies möglich wird, darf f keine Fläche bleiben, sondern muß ebenfalls ein Zahlenverhältnis werden, und stellt nach Thiem das Verhältnis der Fläche F zu einer Fläche vom

Werte 1 dar. Dem inneren Wesen und den Zahlenwerten nach besteht zwischen beiden Formeln völlige Übereinstimmung.

Wo es auf eine sehr genaue Ermittelung der Durchlässigkeit, z. B. bei wissenschaftlichen Untersuchungen besonderer Art unter der Voraussetzung völliger Klarheit über den Aufbau der Schichten, ankommt, scheint die neuere Thiem sehe Methode von ganz besonderem Werte. Dagegen dürfte die vorbeschriebene Methode für alle Fälle der technisch-hydrologischen Untersuchungen ausreichend sein. Sie wird immer einen sicheren Anhalt für die vorläufige Bewertung eines Untersuchungsfeldes und für die Wahl der günstigsten Lage einer Wasserfassung bieten, deren endgültige Gesamtergiebigkeit in der Regel durch einen Dauerpumpversuch größeren Maßstabes festzustellen bleibt. Einen solchen wird auch eine genauere Berechnung von k aus mehrfachen Gründen in den meisten Fällen nicht entbehrlich machen.

Es sei noch die Möglichkeit erörtert, daß die wasserführende Schicht durch schwache, weniger durchlässige oder undurchlässige Einlagerungen, die heim Bohrvorgange übersehen werden, stellenweise und ganz oder zum Teil unterbrochen sein kann. In diesem Falle wird mit der ganzen Mächtigkeit eine größere in Rechnung gestellt und sowohl für freies als artesisch gespanntes Grundwasser lc kleiner erhalten, als der Wirklichkeit entspricht. Hierin liegt eine Sicherheit, sofern es sich um Voruntersuchungen für Wassergewinnung handelt; für die selteneren Fälle der Vorbereitung einer Grundwasserhaltung empfiehlt es sich, bei Vermutung störender Einlagerungen einen erhöhten Wert von lc anzunehmen. Das gleiche gilt auch, wenn die zu untersuchende Stelle in der Nähe auskeilender Schichten oder in der Nähe des Randes eines Grundwasserträgers liegt; auch hier wird lc kleiner als sein wahrer Wert erhalten. Diesem Umstande kann man durch Annahme einer dem Auskeilen der Schichten entsprechenden geringeren durchschnittlichen Mächtigkeit der wasserführenden Schicht entgegenwirken. Nimmt jedoch die Mächtigkeit auf der einen Seite des Bohrloches ebensoviel zu, als sie auf der anderen Seite abnimmt, so gleicht sich die Einwirkung ungefähr aus, und die im Bohrloch gefundene Mächtigkeit kann in die Rechnung gestellt werden. In dem allerdings mehr als Grenzbeispiel geeigneten als wahrscheinlichen Falle, daß das Bohrloch hart am Rande einer Terrasse oder Verwerfung in übrigens gleichmäßig starken Schichten stünde, und daß deshalb die eine Hälfte der Umgebung desselben ganz undurchlässig wäre, müßte der gefundene Wert von lc verdoppelt werden. Es kann nur der Beurteilung einzelner Fälle überlassen bleiben, inwieweit bei besonderen Verhältnissen der Wert von lc zu erhöhen ist. Die gleichen Erwägungen gelten aber auch bei anderen Methoden zur Bestimmung der Durchlässigkeit.

Y. Erörterung der Gültigkeit der vorausgesetzten Grundformeln.

Die Entwickelungen der vorausgegangenen Abschnitte beruhen auf dem DARCYschen Widerstandsgesetze v = k.J, welches die Grundlage der angewendeten DüPUiTschen Formeln (1) und (20) ist.

Diese Formeln sind neuerdings von Smreker¹) für unzutreffend und die Anwendung des Darcysehen Gesetzes auf Grundwasser für eine Irrlehre erklärt worden. Es scheint deshalb erforderlich, auf die Smreker sehen Einwände, soweit sie die hier dargestellte neue Methode betreffen können, des näheren einzugehen.

Verfasser hat bereits nachgewiesen²), daß Smreker zu der Auffassung der Unverwendbarkeit der Düpuit sehen Formeln durch eine nicht richtige Bestimmung der Integrationskonstante gelangte, daß die von Smreker an Stelle der DupuiTschen Formeln aufgestellten Gleichungen der Absenkungskurven sowohl wegen einer unzulässigen Substitution in den Differentialgleichungen, als auch wegen einer falschen Bedingung zur Bestimmung der Integrationskonstanten unzutreffend sind, und hat seinerseits neue Formeln allgemeiner Art aufgestellt, von denen die Dupüitsehen die für das DARCYsche Gesetz geltenden Sonderfälle darstellen. Aus der erwähnten Abhandlung des Verfassers sei folgendes kurz wiederholt.

Die mit dem Smreker sehen Widerstandsgesetze von der Form

3

J = a.v² -J- b. v²

aufgestellten Differentialgleichungen sind wegen der Ungleichheit der Exponenten nicht integrabel. Um dies zu beheben, macht Smreker eine „Substitution“, die aber keine solche im Sinne der Integralrechnung, d. h. ein mathematisch präziser Vorgang ist, sondern eine Operation darstellt, die kaum noch als eine Annäherung bezeichnet werden darf. Deshalb scheint es richtiger, von der von Smreker angegebenen Näherungsformel seines Widerstandsgesetzes auszugehen, welche lautet:

3

J = C.v²,

und deren Näherungsgrad sich übersehen läßt.

Nun ist aber von vornherein ebensowenig anzunehmen, daß 3

der Exponent immer == — (Smreker) ist, wie daß er immer = 1

Zi

x) 0. Smreker, Das Grundwasser, seine Erscheinungsformen, Bewegungsgesetze und Mengenbestimmung, Leipzig 1914; Das Widerstandsgesetz bei der Bewegung des Grundwassers, Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1915, Nr. 32 bis 35. — ²) R. Lummert, Neue Formeln für die Absenkung des Grundwassers durch Brunnen und Sammelgalerien, Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1916, Nr. 6, S. 88 und Nr. 39, S. 493.

(Darcy) ist. Deshalb setzte Verfasser den Exponenten = m und stellte (a. a. 0.) die den Formeln (1) und (20) entsprechenden neuen Gleichungen der Absenkungskurven auf:

für freies Grundwasser

(23)

y\ — m_

für artesisches Grundwasser

H—h =

2 nkm T

• • • • (24)

worin die Durchlässigkeit im Sinne des Darcy sehen Gesetzes gemäß der Formel

(25)

bedeutet.

Für m — 1 gehen die Formeln (23) und (24) in die Formeln (1) und (20) und Formel (25) in das Darcy sehe Gesetz

Y1

über, indem der unbestimmte Wert des Bruches —

R

= - nach bekannter Rechnungsart = ln — ermittelt wirdx).

In gleicher Weise, wie oben aus den Formeln (1) und (20) die Durchlässigkeit durch Ermittelung des Verhältnisses k:e₁ für den Exponenten m = 1 berechnet wurde, müßte dies nun für

Exponenten, die zwischen 1 und 1,5 ^d. h. - nach Smreker^ liegen, nach den Formeln (23) und (24) erfolgen. Hierzu müßten diese mit den Forchheimer sehen Formeln (4) und (21) verschmolzen werden. Während diese Verschmelzung für ni = 1 sich ganz zwanglos ergab, stößt sie für gebrochene Werte von m und für freies Grundwasser auf schwer zu überwindende arithmetische Schwierigkeiten.

v) Nachträglich ist dem Verfasser bekannt geworden, daß die Formel (23) schon von Forchheimer aufgestellt war. Vgl. Zeitschr. d. Vereins deutsch. Ingenieure 1901, S. 1787/88. Allerdings ist dort der Übergang für m = 1 in die DüPüiTsche Formel nicht erwähnt.

Für artesisches Wasser ergibt sich die der Formel (22) entsprechende Formel zu

■ ■ • (26)

vyri-m V r

— B\~m

Für m = 1 geht diese Formel in Formel (22) über.

Es ist nun zwar bestimmt zu vermuten, daß, ebenso wie für k

= 1 die Werte von (s. Abschnitt II, S. 29) für freies und

ei

artesisch gespanntes Wasser für gleiche Werte von Bx und H sowie T fast gänzlich übereinstimmen, auch für andere Werte von m diese Übereinstimmung besteht, und diese könnte durch eine Anzahl einzelner Berechnungen bestätigt werden. Man würde so die für freies Grundwasser auftretenden arithmetischen Hindernisse umgehen und Formel (26) näherungsweise auch für freies Grundwasser verwenden können. Dieses Verfahren wäre aber doch mehr praktisch als wissenschaftlich und würde dennoch nicht zum Ziele führen. Denn solange auch m unbekannt ist, könnten keine Werte für k errechnet werden. Die in dem letzten Umstande liegende Schwierigkeit ist aber nur eine scheinbare, da, wie weiter unten noch gezeigt werden soll, überwiegende Gründe dafür sprechen, daß m unter gewöhnlichen Verhältnissen meist nahezu gleich 1 ist.

Zunächst möge aber an Beispielen untersucht werden, welchen Einfluß die Größe von m unter sonst gleichen Umständen auf die Ergiebigkeit von vollkommenen Brunnen überhaupt hat. Zu diesem Zwecke werden die Formeln (23) und (24) auf nachstehende Formen gebracht:

für freies Grundwasser

Q = 2 n km

tu-1

m -f- 1

V/Hm + ¹ — hm +1

* y — m

• • • (27)

für artesisches Grundwasser

• • • (28)

und mit den Düpuitsehen Formeln:

für freies Grundwasser

7t Je (fl² - h²)

ln

für artesisches Grundwasser

2tcJcT.(H — h)

ln

in der Weise verglichen, daß die Mengen Q für bestimmte Werte von H, h, T, U und r sowie m ermittelt werden.

Hierzu ist zunächst noch eine Klarstellung über den Durchlässigkeitswert Je erforderlich. Er wird bei hydrologischen Arbeiten nur aus kleinen Gefällen ermittelt, und es ist fraglich, ob die lineare Proportionalität bis zum Gefälle 1:1, d. h. bis zu einer Grundwasserspiegelneigung von 45°, die in Wirklichkeit kaum vorkommt, besteht; deshalb wurde auch 1c im II. Abschnitt als die fingierte Filtergeschwindigkeit für dieses Gefälle bezeichnet; es soll hier von einem Gefälle von 5 Proz. ausgegangen werden.

Ist nun X die wirkliche Filtergeschwindigkeit für ein Gefälle von 5 Proz., so ist nach Darcy Je — 20 X zu setzen, dagegen ist für beliebige Exponenten m:

also

v    (0,0 5)¹/™

. Jl/m>

Jem =

oder

(0,05)!/™

(29)

k,n (0,01 yi™'

wenn v der X entsprechende Wert für 1 Proz. Gefälle ist. Hieraus folgt:

für    m    =    1,0    ist    km    =    20,000 X

„    m    —    1,1    „    Jem    =    15,232 X

„    m    =    1,2    „    Jem    =    12,139 X

„    m    =    1,3    „    Jem    =    10,018 X

8,498 X

„    m    —    1,4    „    Jem

„ m — 1,5 1em =    7,368 X.

für m — 1,0

Ferner ist, zur Auswertung der Formeln (27) und (28):

m_

= 0,000 00 und ]/m — 1 = 0,000 00

= 0,062 80 „

= 0,123 29 = 0,261 54 = 0,396 09 = 0,519 71 = 0,629 96.

„ tn = 1,1 „ m = 1,2 „ m = 1,3

» m = F⁴

„ m = 1,5

Es ergibt sich nach Formel (27) für freies Grundwasser und für H = 10, r = 0,085, E = 100:

für h — 1

für h — 5

für h = 9

für m

Q = 879,79 X 717,37 586,11 480,48 396,06 328,83

Q = 666,50 X 567,57 480,23 405,07 341,85 289,47

<5 = 168,85 X 166,15 158,50 147,97 136,17 124,28

Für artesisches Grundwasser folgt nach Formel (28) und für T = 10, r = 0,085, E = 100:

für H—h = 9

für H—h = 5

für II—h = 1

Q = 1599,62 X 1289,01 1041,09 844,12 688,47 565,86

Q = 888,68 X 755,45 637,92 537,08 452,42 382,41

Q = 177,741 174,89 166,83 155,73 143,31 130,78

d. i. die

wn

Die vorstehenden beispielsweisen Zahlenwerte von Q zeigen, daß der Einfluß der m-Werte auf Q für kleine Absenkungen nicht unerheblich, für größere dagegen recht bedeutend ist. Mit wachsendem m nimmt Q ab. Bei diesem Zahlenvergleiche ist aber zu beachten, daß es ebenso willkürlich ist, wirkliche Filtergeschwindigkeit für 100 Proz. Gefälle, als A, d. i. dieselbe für 5 Proz. Gefälle als bekannt vorauszusetzen; man

könnte z. B. auch von der wirklichen Filtergeschwindigkeit v, die für 1 Proz. Gefälle ermittelt wird, ausgehen. Würde Q als Vielfaches von km ermittelt, so wäre eine andere, sogar zum Teil steigende Bewegung der obigen Zahlenwerte mit wachsendem m zu verzeichnen, würde aber Q als Vielfaches von v ermittelt, so träte ein schnelleres Abfallen der obigen Zahlenwerte mit wachsendem m als in obiger Zahlentafel ein; dies ist durch das Gesetz der Formel (29) begründet. Die Wahl eines Gefälles von 5 Proz. als Ausgangspunkt scheint aber den wirklich vorkommenden Gefällen durchschnittlich am ehesten nahe zu kommen, und unter dieser Voraussetzung wäre es angängig, aus obigen Zahlenbeispielen den Schluß zu ziehen, daß man aus einem beobachteten Q nach den Dupuitsehen Formeln kleinere Durchlässigkeitswerte ableitet, als nach Formeln, deren Exponent >> 1 ist; hierin würde somit eine Sicherheit liegen, sofern es sich um Wassergewinnung handelt.

Ein weiteres Zahlenbeispiel soll aus Formel (26) abgeleitet

werden.

Für

ergibt sich: für m

T = 10, r = 0,085, R = 100

= 1,0 ist km = 0,000 217 2 und

m = 1,1 „ m = 1,2 „ m =1,3 „ m =1,4 „ m = 1,5 „

= 0,000 010 86

= 0,000 010 40 = 0,000 010 37 = 0,000 010 65 „ = 0,000 011 17 „ = 0,000 01185.

Von den vorstehenden Zahlen ist der Wert 0,000 217 2 aus der Zahlentafel auf S. 30 entnommen und zeigt, zumal bei graphischer Auftragung, somit das glatte Hinüberfließen der Formel (26) in Formel (22).

Die vorstehenden Werte von

— zeigen zunächst anscheinend

im Widerspruch mit dem bisher Gesagten, daß für steigende Werte von m fallende Werte von km ermittelt werden; es ist aber zu beachten, daß nach Formel (29) mit wachsendem m für km der Vielfachwert aus A abnimmt. Werden die vorstehenden Zahlen

auf die Form

gebracht, so ist, wie die obigen Zahlen zeigen,

kein praktisch bedeutender Unterschied der Werte vorhanden, und der Einfluß von m scheint zu verschwinden, man ermittelt für jedes m ungefähr dasselbe A. Aus einem Vergleich der obigen Zahlentafeln der Q-Werte darf geschlossen werden, daß etwa dasselbe Verhalten auch für freies Grundwasser ein trifft. Allerdings ist zu beachten, daß in vorstehendem Beispiel, weil für ex nur eine Absenkung von lm gilt, das durchschnittliche Gefälle nur 1 Proz., sogar wegen der Unvollkommenheit des Brunnens noch weniger als 1 Proz. beträgt, und daß es für den Vergleich noch zutreffender gewesen wäre, anstatt auf A auf den Wert v für 1 Proz. Gefälle zurückzugehen. Leider wird durch das Gesetz der Formel (29) die Vergleichbarkeit sehr erschwert.

Die praktische Anwendung des soeben Ausgeführten würde erst dann möglich, wenn m bekannt wäre. Es ist aber im Rahmen der vorliegenden neuen Methode ausgeschlossen, in jedem Falle durch ein besonderes verwickeltes Verfahren m zu bestimmen.

Diese Schwierigkeit würde, wie oben schon gesagt, sich lösen, wenn es gar nicht zuträfe, daß m im allgemeinen wesentlich von dem Werte = 1 abweichen kann. Dies soll im nachstehenden erörtert werden.

Die neuere Literatur, insbesondere Forchheimer, Hydraulik, und Weyrauch, Die Wasserversorgung der Städte, gibt in den Abschnitten über Grundwassertheorie den auf dem Darcy sehen

Gesetze beruhenden Formeln anscheinend den Vorrang vor anderen, Weyrauch hebt gerade diese Formeln durch starken Druck fortgesetzt hervor; andererseits werden aber von den genannten Autoren auch Beobachtungen mitgeteilt, die ein von der linearen Proportionalität abweichendes Verhalten der Filtergeschwindigkeit ergeben.

Die Formeln von

Seelheim *) Hazen i) .

v = 31,6.d*.J 116 .dl,. J

• d²-J

6714

Slichter 2)

ergeben lineare Proportionalität zwischen v und J. Dagegen gibt

0,8 + d

<&■')

Kröber !)

x) Forchheimer, Hydraulik, S. 421 und 422.

²) Weyrauch, Die Wasserversorgung der Städte, S. 380.

v = 173

0,8 + 2 d

ein Verhältnis, das sich mit wachsender Korngröße dem Werte v = a.    2 nähert.

Forchheimer fand für Kiese vom Marchfeld und Lechfeld (a. a. 0., S. 424) die Beziehung

J = a.u + b.u*,

allerdings bei sehr großen Filtergeschwindigkeiten (bis 1040m/Tag), die bei Grundwasserbe wegungen in der Natur wohl kaum Vorkommen.

Die vorstehenden Formeln, die also zum Teil die lineare Proportionalität, d. h. das DARCYsche Filtergesetz bestätigen, zum Teil andere Exponenten ergeben, beruhen auf Laboratoriumsversuchen, über deren Wert sich sowohl Forchheimer als Weyrauch skeptisch äußern. Weyrauch j) sagt z. B.:

„Schon die Versuche von Hazen haben im Vergleich mit denjenigen von Slichter ergeben, daß sich selbst bei Verwendung eines und dessselben Sandes je nach der dichteren oder mehr lockeren Schüttung desselben sehr wechselnde Werte von h ergeben können und daß sogar die Durchflußmenge wechseln kann, ohne daß vorher eine Umlagerung des Sandes vorgenommen wurde.“ Forchheimer bestätigt dieselbe Erscheinung und erblickt die Ursache unter anderem in ungelöster, in den Poren enthaltener Luft, Sacken des Sandes, Fortschwemmen oder Absetzen von Lehmteilchen und chemischen Veränderungen.

Ein weiterer Umstand, der gegen die nutzbare Anwendung der Kröbersehen Laboratoriumsversuche spricht, ist der, daß sie mit Material von einer ausgesiebten bestimmten Korngröße vorgenommen wurden, d. h. mit einem Material, welches in der Natur kaum vorkommt; denn in natürlichem Zustande finden sich selbst in groben Geschieben meist starke Beimengungen von feinen und feinsten Teilen, wodurch sowohl das gesamte Porenvolumen als auch die Größe der einzelnen Poren wesentlich vermindert wird.

Beim Versuchsbrunnen Wesel wurde von Ehlert, entgegen den vorstehenden Ergebnissen, ein mit v wachsendes Jt gefunden (vgl. Weyrauch, a. a. 0., S. 381). Dagegen ermittelte Smreker aus den Thiem sehen Beobachtungszahlen des Straßburger Versuchsbrunnens die Beziehung (s. Forchheimer, a. a. 0., S. 424):

J = 10,7 ,u*l> -f 31,2 .w².

x) Siehe vorstehende Seite.

Diese beiden, soweit dem Verfasser bekannt, einzigen, nicht auf Laboratoriumsversuchen, sondern auf Beobachtungen im Versuchsfelde beruhenden Angaben der Literatur stehen also miteinander im Widerspruch.

Aus vorstehendem wird man mithin noch keine endgültige und unangreifbare Entscheidung über das Filtergesetz ableiten können.

Folgende zwei gewichtige Gründe sprechen aber für die DARCYsche Proportionalität.

1. Das Verhalten der artesischen Brunnen. Die mit dem Darcysehen Gesetze, d. h. m — 1, für artesische Brunnen abgeleitete Formel ergibt, daß die gelieferte Wassermenge linear proportional der Absenkung H—h = s ist. Wäre m nicht = 1, so könnte diese Proportionalität nicht bestehen, deshalb ist auch die Umkehrung des Schlusses zulässig. Wird umgekehrt an ausgeführten artesischen Brunnen diese Proportionalität tatsächlich beobachtet, so folgt daraus, daß die Voraussetzung der theoretischen Ableitung, nämlich das DARCYsche Gesetz, für den betreffenden Fall zutreffend ist. Vielfache Beobachtungen bestätigen nun diese Proportionalität, die in der Literatur allgemein anerkannt wird. Weyrauch sagt a. a. 0., S. 495, daß bei artesischen Brunnen die Ergiebigkeit tatsächlich linear proportional der Absenkung ist; auch Forchheimer erkennt a. a. 0. in dem Abschnitt über artesische Brunnen diese Proportionalität an. Smreker ¹) sagt, daß die Erfahrung die näherungsweise Proportionalität im großen ganzen bestätigt hat.

Eine künftige Sammlung aller erreichbaren Messungszahlen von artesischen Brunnen dürfte zur Klärung der Frage des Darcy-sclien Gesetzes mehr beitragen als die bisherigen Laboratoriumsversuche. Auch könnte ein umfangreiches derartiges Material dazu dienen, etwaige Modifizierungen des Darcy sehen Gesetzes abzuleiten.

2. Die Feststellungen von R. Biel im Heft 44 der Mitteilungen über Forschungsarbeit, herausgegeben vom Verein deutscher Ingenieure, über das Thema: Druckverlust bei der Fortleitung tropfbarer und gasförmiger Flüssigkeiten. Zunächst weist Biel nach, daß bei laminarer Wasserbewegung, d. h. paralleler

Strömung der Wasserfäden, die wegen geringer Wassergeschwindigkeit noch keiner Wirbelung (Turbulenz) unterliegen, selbst bei nicht mehr kapillaren Rohren (bis 26,6 mm lichtem Durchmesser), die Wassergeschwindigkeit dem Gefälle proportional ist, erst bei Eintritt der Turbulenz, d. h. bei Überschreitung der kritischen Geschwindigkeit geht die Proportionalität plötzlich in ein anderes Gezetz über. Nun ist kein Zweifel, daß die von Biel ermittelten kritischen Geschwindigkeiten weit über den normalen Grundwassergeschwindigkeiten liegen, und daß die Poren eines Grundwasserträgers meist weit kleiner sind, als das Lumen einer Leitung von 26,6 mm Durchmesser. Biel gibt zahlreiche Diagramme, von denen die mit Nr. 1, 6, 12, 13, 16, 18 und 22 be-zeichneten, die sich auf lichte Rohrdurchmesser von 2,72 bis 26,6 mm beziehen, ein Bild von starker Beweiskraft bieten. In

Funktion von v sind dort die Versuchswerte = — aufgetragen.

Die beobachteten Werte bis zum Eintritt des Knickpunktes bei v (krit.) liegen in etwa gleicher Entfernung von der Abszisse,

d. h. die Funktion j — verläuft parallel zur Abszisse v, was gleich-

h

bedeutend damit ist, daß y- — J linear proportional v ist.

Die Übertragung der Verhältnisse solcher enger, aber nicht mehr im eigentlichen Sinne kapillarer Röhren auf das verzweigte Röhrchen- oder Porensystem eines Grundwasserträgers hat weder theoretische noch intuitive Bedenken. Hierzu tritt, daß die oben erwähnten gegen Laboratoriumsversuche mit Filtern möglichen Bedenken gegenüber den Versuchen an Röhren mit merklich großem Lumen weniger gelten können. Die Übertragung der Verhältnisse kapillarer Röhren (Poiseuille) ist allgemein anerkannt, und die lineare Proportionalität des Darcysehen Gesetzes ist für Sandschichten von kapillarer Natur auch nicht ernstlich bezweifelt. Die Versuche von Masoni an feinen Vulkansanden (Forchheimek, a. a. 0., S. 423) kommen in gegenteiliger Beweisrichtung gar nicht in Betracht, denn sie sind mit so großen Gefällen angestellt, wie sie praktisch niemals Vorkommen.

Somit scheint die Schlußfolgerung nicht ungerechtfertigt, daß Grundwassergeschwindigkeiten bis zum Eintritt der etwaigen Turbulenz, die aber bei gewöhnlichen Verhältnissen ausgeschlossen sein dürfte, dem Gefälle linear proportional sind.

Nach dem Vorstehenden darf zusammenfassend behauptet werden, daß das DARCYsche Filtergesetz in seiner Anwendung auf Grundwasserbewegungen durch Laboratoriumsversuche noch nicht widerlegt werden konnte, und daß die an der Natur gemachten Beobachtungen (artesische Brunnen) und die Biel sehen Ergebnisse mehr für das DARCYsche Widerstandsgesetz sprechen.

Wenn Smreker aus den Straßburger Beobachtungen ein anderes Filtergesetz für den dortigen Untergrund herleitete, so möge dieses nicht angezweifelt werden. Es läßt sich aber einwenden, daß die Alluvionen des Rheines ganz abnorme Durchlässigkeiten zeigen. Selbst weit unterhalb bei Köln zeigte das Kheinalluvium noch eine durchschnittliche spezifische Ergiebigkeit von 29,1 und eine maximale von 128 (!), während spezifische Ergiebigkeiten von 2 bis 4 im allgemeinen als nicht ungünstig angesehen werden (Weyrauch, a. a. 0., S. 495 bis 496). Die ungeheure Durchlässigkeit des Rheinalluviums ist dem Verfasser mehrfach von Fachgenossen bestätigt worden, er selbst hat aber in den verschiedensten Gegenden Deutschlands kaum spezifische Ergiebigkeiten über 10 gefunden und durchschnittlich noch weniger als 3. Da für Straßburg, als oberhalb Köln liegend, eine noch größere Durchlässigkeit zu vermuten ist, so ist es wohl denkbar, daß die Grundwasserbewegung dort in so groben Kiesen erfolgt, daß die Bewegungsgesetze des Wassers in Filterschichten versagen und mehr die Gesetze der turbulenten Bewegung des Wassers in Röhren Platz greifen müssen. Es scheint aber dem Verfasser nicht ratsam, gerade das Rheinalluvium, wie Smreker tat, zur Ableitung allgemein gültiger Formeln benutzen zu wollen.

Im vorstehenden ist somit nachgewiesen, daß die im Abschnitt II mitgeteilte neue Methode auf Grund des Exponenten m = 1 vorsichtigere Bewertungen der Durchlässigkeit ergibt, als bei Anwendung von Exponenten m^> 1. Ferner ist gezeigt worden, daß überwiegende Gründe dafür vorhanden sind, daß unter gewöhnlichen Verhältnissen des Grundwasserträgers nahezu m — 1 sein dürfte.

Weder die von Smreker gegen die Formeln (1) und (20) und gegen die Anwendung des DARCYschen Widerstandsgesetzes auf Grundwasser erhobenen theoretischen Einwendungen, noch die wenigen Laboratoriumsversuche, die m 1 ergaben, können dazu nötigen, die oben mitgeteilten Zahlentafeln und die Diagramme

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anstatt auf die formein (1) und (20) auf die Formeln (23) und

sowie ¹, außer für ver-

(24) zu stützen, und die Werte

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schiedene Werte von li, auch für verschiedene Werte von m anzugeben. Für die praktische Abstufung von m wären die bisherigen Versuche und Veröffentlichungen über diesen Punkt auch gänzlich unzureichend.

Wenn wirklich die neue Methode in wasserführenden Schichten von ganz außerordentlicher Durchlässigkeit für zu geringe Werte ergeben sollte, so dürfte dies kein praktischer Nachteil sein, weil die Wasserbeschaffung in solchen Schichten keine Schwierigkeiten bereitet; unter normalen Verhältnissen aber dürfte die neue Methode theoretisch und praktisch zutreffend sein.

Zum Schluß sei bemerkt, daß der Wert aller theoretischen Formeln für Grundwasserabsenkung nur ein bedingter ist. Die fast immer gemachte Voraussetzung, daß die Durchlässigkeit des Untergrundes an allen in Betracht kommenden Stellen gleich sei, trifft praktisch mehr oder weniger nicht zu. Für solche Formeln, die eine Änderung der Durchlässigkeit berücksichtigen, half man sich notwendigerweise mit der Voraussetzung eines Gesetzes dieser Änderung, z. B. der Abnahme der Durchlässigkeit mit der Entfernung von einem Flusse; es ist aber klar, daß der Untergrund eine solche gesetzmäßige Änderung des Aufbaues nicht besitzt. Für felsiges Gestein, welches zwar in seinen Spalten und Klüften dem Wasser Wege bietet, im übrigen aber eine geringe oder verschwindende Durchlässigkeit hat, sind Absenkungsformeln nicht brauchbar. Aber auch in alten fluviatilen Geschieben, die durch mineralische Ausscheidungen oder Druck zum Teil schon konglomeriert sind und dem Wasser nur mehr ein Netz von Adern als Weg lassen, sind solche Formeln mit Vorsicht anzuwenden¹). Das eigentliche Gebiet der Formeln sind die losen fluviatilen, auch äolischen Trümmergesteine, insbesondere die diluvialen und alluvialen Flußgeschiebe. Die hieraus zu entnehmende Einschränkung ist aber nur eine scheinbar große, denn gerade die letzteren Schichten, die meist eine über den ganzen Querschnitt verteilte und nicht in allzu weiten Grenzen schwankende Durchlässigkeit besitzen, sind vorwiegend der Gegenstand hydrologischer Unter-

x) Ygl. Weyrauch, Die Wasserversorgung der Städte 2, 719.

suchungen. Selbstverständlich können auch hier die Formeln nur eine Annäherung an den wirklichen Zustand bieten, und es ist ohne praktischen Wert, Durchlässigkeiten auf eine Anzahl Dezimalstellen genau ermitteln zu wollen. Wenn in obigen Zahlentafeln die Werte mit mehreren Dezimalstellen angegeben wurden, so geschah dies aus theoretischer Rücksicht, um die zum Teil sehr geringen Unterschiede benachbarter Werte der Zahlentafeln zum Ausdruck zu bringen.

Noch sei erwähnt, daß in den Formeln, auf denen die neue Methode beruht, eine ungefähr horizontale Strömung des Wassers vorausgesetzt ist, was in den bei weitem meisten Fällen angängig sein dürfte. In den seltenen, aber praktisch sehr günstigen Fällen, in denen eine wassertragende Sohle erst in so großer Tiefe liegt, daß praktisch der Grundwasserträger nach unten zu als unbegrenzt angesehen werden kann, ist bei Benutzung der Formeln Vorsicht geboten.

¹

Smreker, Das Grundwasser usw., S. 55.

Luminert, Neue Methode.

Daß in solchen Fällen die Verwendung anderer Ableitungen, welche eine von unten aufsteigende Bewegung des Grundwassers berücksichtigen, besser zur Bestimmung von li führt, scheint aber zweifelhaft, zumal in ein und demselben Grundwasserträger wegen der oft etwas abgeflachten und auf der flachen Seite liegenden Geschiebe in horizontaler Richtung dann einen wesentlich größeren Wert haben muß, als in vertikaler. Vgl. hierzu G. Thiem, Lagerungszustände und Durchlässigkeit der Geschiebe, Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1907, Nr. 17, S. 377.

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