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PROFESSOR AN DER KÖNIGE. TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU BERLIN

MIT 25 ABBILDUNGEN IM TEXT.

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BEITRAGE

ZUR

THEORIE HÖLZERNER TRAGWERKE DES HOCHBAUES

I. HÄNGE- UND SPRENGEWERKE

VON

SIEGMUND MÜLLER

PROFESSOR AN DER KÖNIGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU BERLIN

MIT 25 ABBILDUNGEN IM TEXT.

BERLIN 1907

VERLAG VON

NST& SOHN

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Nachdruck verboten.

Erweiterter Sonderdruck aus der Zeitschrift für Bauwesen Jahrgang 1906.

BIBLIOTEKA PQUTEGHHIGZHÂ

KRAKÓW

H3TT03

Inhalt.

Seite

I. Kinematische Gesetze ............

II.    Statische Berechnung beliebig geformter Hänge- und

Sprengewerke...............

III.    Unsymmetrische Hänge- und Sprengewerke mit wagerechtem Riegel............

IV.    Symmetrische Hänge- und Sprengewerke .    .

Y. Tragwerke mit drei gleichen Feldern ....

VI. Zahlenbeispiele............

VII. Durchbiegungen doppelter Tragwerke ....

VIII. Dreifache Tragwerke..........

Anhang: Kurze Übersicht der Regeln und Formeln für symmetrische Hänge- und Sprengewerke......

12

19

29

. . 33

38

40

48

52

53

Die Genauigkeit statischer Berechnungen ist bei hölzernen Tragwerken im allgemeinen erheblich geringer als bei eisernen Baukonstruktionen. Die geringe Gleichförmigkeit des Holzes, seine große Empfindlichkeit gegen Witterungseinflüsse können selbst bei einfachen, statisch bestimmten Systemen größere Abweichungen von dem berechneten Zustande verursachen, als sie bei richtig gebauten Eisenkonstruktionen möglich sind. Bei den hölzernen Tragwerken des Hochbaues leidet die Genauigkeit der Eechnung überdies nicht selten durch Unklarheiten der Ausführung, häufig selbst durch Unklarheiten des Entwurfs. Unklarheiten der Ausführung liegen vornehmlich in den Verbindungen. Bei den einfachen Verzapfungen, den leichten Versatzungen läßt sich selten genügend klar beurteilen, ob in ihnen Zug- oder Druckwirkungen auftreten, und ob Biegungsmomente aufgenommen werden können. Unklarheiten des Entwurfes finden sich gewöhnlich in derGliederung des Tragwerkes. Eiserne Tragwerke zeigen in ihrem Aufbau einen scharfen Unterschied zwischen den lediglich in der Mittellinie beanspruchten Fachwerkstäben und den auf Biegung beanspruchten, vollwandigen Traggliedern. Dieser Gegensatz tritt im Aufbau hölzerner Tragwerke des Hochbaues, besonders in den leichten Dach Stühlen weniger klar hervor. — Die meisten Tragwerke sind gemischte Systeme, in denen neben den nur axial beanspruchten Stäben einzelne Glieder auf Biegung beansprucht werden müssen — wenigstens bei ungleichmäßiger Belastung. In der Regel wird das Stabwerk der gewöhnlichen Holzbinder auch heute noch nur den Längskräften aus Eigengewicht und voller Belastung durch Schneedruck angepaßt: geschlossene Fach werke, deren Glieder allein mit zentrischen Längskräften auch einseitigen Belastungen aus Winddruck und Nutzlasten Widerstand leisten können, sind selten. Den Fortschritten der Fach werklehre ist der Aufbau einfacher Holztragwerke des Hochbaues nicht in gleichem Schritt gefolgt.

Es liegt vom geschichtlichen Standpunkt aus nahe, die rasche Entwicklung eiserner Baukörper im Verlaufe eines halben Jahrhunderts zum Vergleiche heranzuziehen. Die Anfänge des Eisenbaues fallen zeitlich mit dem Beginn der wissenschaftlichen Erkenntnis in der Fachwerktheorie zusammen. Es ist nur natürlich, daß die im Anfänge ebenso unklaren eisernen Tragwerke der weiteren Entwicklung unmittelbar gefolgt sind, so daß heute im Eisenbau Unklarheiten in der Stützung, wie in der Gliederung schon lange beseitigt sind.

Anders im Holzbau! Dort war die viele Jahrhunderte geübte Nachbildung einzelner, auf der Grundlage einfacher Erfahrung entstandener Tragwerke ein Hemmstein für die Anpassung an eine schnell fortgeschrittene Theorie: in der eingewurzelten Gewohnheit liegt auch der Hauptgrund dafür, daß zum Teil noch heute die frühere grob empirische, ja handwerksmäßige Behandlung in der Bestimmung der erforderlichen Holzstärken selbst für größere Spannweiten als genügende Unterlage angesehen wird. Solch unzulängliches Verfahren wird bei unklaren Systemen um so eher geübt, als die Unbestimmtheiten der genauen Untersuchung besondere Schwierigkeiten entgegensetzen.

Daß im Holzbau Biegungsbeanspruchungen zentrisch gespannter Fachwerkstäbe eher zugelassen werden als im Eisenbau, hat freilich auch eine innere Berechtigung. Ein Holzgurt mittlerer Abmessungen (20-20 cm) kann ein etwa dreimal so großes Biegungsmoment aufnehmen als ein Eisengurt gleicher zulässiger Längskraft ; hölzerne Stäbe sind also in diesem Sinne biegungsfester als Eisenstäbe. Trotzdem werden aber vom Standpunkte der Wirtschaftlichkeit und der Standfestigkeit auch im Holzbau klare, steife, geschlossene Fach werke solchen mit offenen Gelenkfachen, welche bei einseitigen Belastungen erst durch Verbiegungen einzelner Glieder standfest werden, vorzuziehen sein. Freilich ist im Hochbau für manche Tragwerke die Fortlassung eines zum vollständigen Fachwerk erforderlichen Stabes durch bauliche oder künstlerische Gründe geboten. Beim doppelten Hängewerk kann das offene Mittelfeld zur Verbindung benutzter Räume einen Wert erhalten: als Binder im ausgenutzten Dachgeschoß ist dieses System seinem Wesen nach berechtigt. In Kirchendächern über Kreuzkappen, in offenen Hallenbindern (Abb. 21) sollte das Hängewerk durch Aussteifung des Mittelfeldes zum Fachwerk vervollständigt werden. Forderungen dieser Art sind neuerdings mehrfach erhoben worden. (Vgl. Landsberg, Handb. d. Arch. III, 2,4 S. 104.)

Eine Grundbedingung für Fortschritte in diesen Bestrebungen ist die genaue statische Untersuchung der üblichen unbestimmten Holzwerke: die hier aufgenommenen Untersuchungen werden sich vorzugsweise mit denjenigen hölzernen Tragwerken des Hochbaues beschäftigen, deren statische Berechnung für die dem Hochbau eigentümlichen Lastzustände noch nicht oder wenig behandelt worden ist.

Die vorliegende Abhandlung erstreckt sich auf die Untersuchung der für den Hochbau wichtigsten Grund system e, der

Hänge- und Spreu ge werke.

Einfache Hänge- und Sprengewerke. Systeme einfacher Mittelstützung, d. h. Balken mit einem unterstützten

Mittelknoten können aus diesen Betrachtungen entfallen. Sie sind in allen Fällen für Kräfte in den Knotenpunkten steif, selbst wenn im Tramen Biegungsmomente nicht aufgenommen werden.

Die elastischen Formänderungen des Stabwerkes können auch hier, wie später für das doppelte Tragwerk ausgeführt, vernachlässigt werden. Der mittlere Stützpunkt erleidet keine Senkungen; der Tramen ist daher als durchgehender Träger auf drei starren Stützpunkten anzusehen. Lasten im oberen Knotenpunkt, auch schräge Windlasten ergeben keine Biegungen des Steifbalkens : das System Avirkt als statisch bestimmtes Fach werk, dessen Berechnung, ebenso wie die des durchgehenden Balkens auf starren Stützen geläufig ist.

Statische Deutung doppelter Hänge- und Sprengewerke. Doppelte Hänge- und Sprengewerke bestehen aus einem an den Enden gestützten, biegungsfesten, geraden Balken (Streckbalken, Steifbalken, Streckbaum, Tramen) (Abb. 1) und einem gegliederten Stab werk, welches den Balken in zwei mittleren Knotenpunkten unterstützt. Das Stabwerk

Ql

zwei

23--

~Q~~

1b

■O-

_o

1c

-6

Abb. 1.

enthält einen doppelt geknickten Gurt (Mittelriegel, Seitenschrägen) und zwei lotrechte Stiele in den mittleren Stützpunkten. Ob die Stiele auf Zug (Hängesäulen im Hängewerk) oder auf Druck (Ständer im Sprengewerk) beansprucht werden, gibt für die stützende Wirkung des Stabwerkes auf den Steifbalken keinen wesentlichen Unterschied. Im Grunde zeigt auch der doppelt bewehrte (armierte) Balken gleiche statischeWir-kung wie die Hänge- und Sprengewerke (Abb. lc). Doch spielt der Unterschied in der Gurthöhe eine erhebliche Rolle in dem elastischen Verhalten des Stabwerkes; die für die Sprenge - und Hängewerke in den nachfolgenden Untersuchungen grundsätzlich angenommene Vernachlässigung elastischer Formänderungen im Stabwerk gilt bei bewehrten Trägern geringer Gurthöhe nicht mehr. Das in Abb. 1 d dargestellte sogenannte „vereinigte Hänge- und Sprengewerk“ gehört immer dann unter die hier behandelten Tragwerke, wenn die Verbindungen

zwischen Seiten schrägen und Balken nicht besondere Stützpunkte bilden; einfache Bolzen genügen hierzu nicht.

Die Tragwerke sollen für die Berechnung als in einem festen und einem beweglichen Endlager gestützt angenommen werden; freilich ist in den Holzträgern des einfachen Hochbaues diese Voraussetzung nie genau erfüllt. Beide Enden werden in der Regel gleich fest in die Stützmauer eingebunden ; bei gleicher Nachgiebigkeit des Mauerwerkes nehmen sie die wagerechten Seitenkräfte der schrägen Lasten in gleichen Anteilen auf, wenn die Längenänderung des Tramens vernachlässigt werden kann. Diese Voraussetzung gilt aber für alle nachfolgenden Untersuchungen. Im übrigen hat die Unbestimmtheit solcher halbfester Lager nur Einfluß auf den Streckbalken; es ändern sich die Längskraft und damit in geringem Maße die gleichförmigen Längsbeanspruchungen.

Bei offenem Mittelfeld lassen sich die Stabkräfte der Hänge- und Sprenge werke für gegebene Belastung statisch bestimmen, wenn eine Stabkraft bekannt ist; ebenso ist alsdann der Steifbalken statisch bestimmt. Die doppelten Hänge-und Sprengewerke sind demnach einfach innerlich statisch unbestimmt.

Genaue Berechnung mit Berücksichtigung der elastischen Formänderungen in dem Stabwerk. Die genaue statische Berechnung kann nach den allgemeinen Arbeitsgesetzen statisch unbestimmter Tragwerke durchgeführt werden. Von Müller-Breslau sind hierfür die allgemeinen Formeln zur Berechnung der statisch unbestimmten Größe angegeben (Müller-Breslau, Neuere Methoden der Festigkeitslehre, III. Aufl.). Als statisch unbestimmter Wert ist dort der Druck im Spannriegel X = H aufgefaßt; das statisch bestimmte Hauptsystem ist ein einfacher Balken. Die Momenten-fläche für den Zustand X — — 1 wird durch die Fläche zwischen Steifbalken und Stabwerk gebildet.

Das wirkliche Biegungsmoment eines Querschnittes wird daher M=M₀ — H y, wobei M₀ das Moment im Haupt- Gl. 1. system darstellt. Für II ergibt sich die Gleichung

3 • f ilI₀ ■ y ■ clx [i ■ y²-(2a 4- 3b) ’ jedoch ist der Sonderfall vorausgesetzt, daß die beiden Außenfelder gleich sind (Abb. 2).

Gl. 2.

11 =

Als Grundlage weiterer Untersuchungen fragt sich zunächst, welchen Einfluß die Wertziffer y für die hier behandelten Holzträger des Hochbaues annehmen kann. Im Werte y sind die elastischen Stablängenänderungen des Stabwerkes und der Einfluß der Längskraft im Streckbalken berücksichtigt.

P

*.¹|

V.

4-1

ITT

5,7

7.

' " 11,0* p 20%    10*/.

-4»

Abb. 2.

Das Hängewerk nach Abb. 2 entspricht mit drei gleichen Feldern von 3 m Länge häufig vorkommenden Abmessungen im Hochbau. Die Elastizitätsziffer F sei unveränderlich; die Stäbe sollen aus vierkantigen Normalhölzern gebildet werden. Es seien: für den Streckbaum (26/28 cm): Trägheitsmoment </=47 563 cm⁴, Querschnittsfiäche F= 728 cm²; für die Hängesäule (16/22 cm): Querschnittsfläche Fv = 352 cm²; für den Spannriegel (22/26 cm) : Querschnittsfläche Fm = 572 cm². In den Seitenschrägen ändert sich die Querschnittsfläche Fs mit der veränderlichen Gurthöhe. Unter Benutzung der Buchstaben in Abb. 2 wird (Müller-Breslau, N. M. d. F.)

J 2a + b

F rj² 2a + 3b

Li

rf-• {2 a -j- 3 b)

^■sec8“⁺^⁺²Ätg% •

- Innerhalb der untersuchten Grenzwerte für die Gurthöhen von 7}=1 m bis^ = 4m fällt der Wert f.i von 1,038 auf 1,004. Der Einfluß auf den Eiegelschub //, und damit auf die Stäbe des Stabwerkes überhaupt, ist also wegen seiner Geringfügigkeit bestimmt zu vernachlässigen. Es fragt sich weiter, wie groß der Einfluß der Stablängenänderungen auf das gefährlichste Biegungsmoment des Streckbalkens wird. Eür volles Eigengewicht und einseitige Nutzlast bis zur Mitte ist der Unterschied des für f.i = 1 berechneten angenäherten Biegungsmomentes in dem Fußpunkt der Hängesäule gegen das genau berechnete Moment in Hundertsteln dieses Wertes bestimmt. In der Abb. 2 sind die Zahlen senkrecht zur Hängesäule für die veränderlichen Höhen derselben aufgetragen. Bei der Ausrechnung wurde als Eigengewicht 1,25 t/m und als Nutzlast 1,75 t/m zugrunde gelegt, Selbst bei größeren Abweichungen in den Abmessungen findet man ähnliche Ergebnisse wie im vorstehenden Beispiel.

Nur für geringe Gurt höhen spielen die elastischen Änderungen der Stablängen eine maßgebende Rolle. Bei bewehrten Trägern mit 1/10 Stich werden sie berücksichtigt werden müssen. Hölzerne Hänge- und Sprengewerke des Hochbaues werden kaum weniger als 1/5 der Spannweite Stich erhalten. Für größere Pfeilhöhen jenseit dieser Grenze könnte in gewöhnlichen Fällen auch für Eisenkonstruktionen die angenäherte Rechnung als genügend genau angesehen werden, für hölzerne Tragwerke sicherlich in allen Fällen. Hier bedingen schon die nicht zu verfolgenden Ungenauigkeiten des Baustoffes und der Ausführung größere Unterschiede als die vorberechneten Werte.

Für die statische Untersuchung der Hänge- und Sprengewerke des Hochbaues gelte also der Satz: Die elastischen Formänderungen des Stahwerkes, ebenso die axialen Längenänderungen des Streckbalkens infolge der Längskräfte können gegenüber den Biegungen im Balken vernachlässigt werden. Die vorangeführte genaue Berechnung kann der Vernachlässigung der Formänderungen im Stabwerk ohne weiteres dadurch angepaßt werden, daß tu = 1 gesetzt wird. Gangbar ist der Weg dieses Verfahrens in allen Fällen der Belastung auch für unregelmäßige Formen ; für unregelmäßige Belastung unmittelbar am Streckbalken wird er in der Begel am schnellsten zum Ziele führen.

Im Hochbau sind die Belastungen sowohl nach ihrer Veränderlichkeit, wie nach ihrer Angriffsweise engen Grenzen unterworfen ; in den meisten Fällen ist am Streckbalken neben gleichförmigem Eigengewicht noch gleichförmige Nutzlast zu berücksichtigen. Überdies wirken die Belastungen selten unmittelbar am Tramen. In der Regel sind in den Fußpunkten der Hängesäulen Unterzüge angebracht, welche die Lasten der gestützten Deckenträger auf das Hängewerk mittelbar übertragen. Dem Hochbau eigentümlich sind ferner-beliebig gerichtete Lasten am Obergurt aus Eigengewicht, Schnee und Winddruck. Es soll in den nachfolgenden Untersuchungen ein Weg angegeben werden, der gerade für diese Belastungen selbst bei unregelmäßigen Formen unmittelbar die Stabkräfte und damit, die Momente des Steifbalkens ergibt; dabei sollen die Lastscheiden und die gefährlichsten Belastungen allgemein festgesetzt werden.

I. Kinematische Gesetze.

Die Längen der Fachwerkstäbe, ebenso die der Balken-mittellinie, gelten für die Berechnung als unveränderlich. Innerhalb der Grenzen der zulässigen Tragfähigkeit sind die elastischen Durchbiegungen des Tramens im Verhältnis zu seiner Länge verschwindend klein. Die Fußpunkte der Hängesäulen und das bewegliche Lager können alsdann wagerechte Verschiebungen gegen das feste Lager nicht erleiden. Nach Abb. 3 kann man sich daher die Fußpunkte der Hängesäulen durch wagerechte Gelenkstäbe an die Lager angeschlossen und das bewegliche Lager in ein Gelenk umgewandelt denken. Das Stab werk bildet alsdann eine kinematische Kette. Die Seitenscheiben Zi und Zu ergeben mit der Mittelscheibe ZU1 und der Widerstandsscheibe W ein Gelenkviereck (Abb. 3). Bei ruhender Widerstandsscheibe liegt der augenblickliche Dreh-

pol der Mittelscheibe Zm = R (Mittelriegel R) im Schnittpunkt der Seitenschrägen (J) (ideeller Firstpunkt = ideelle Spitze). Erteilt man dem Stabwerk irgend eine verschwindend kleine Momentanbewegung, so sind die Bewegungen der beiden oberen Firstpunkte senkrecht zu den Seitenschrägen. Trägt man sie um 90° gedreht auf den Polstrahlen als lotrechte Geschwindigkeiten I—I' und II — II' auf, so ist die Verbindungslinie ihrer Endpunkte parallel zum Riegel. Zieht man die lotrechten I'—1' und II'—2', so stellen 1 — 1' und 2 — 2' die lotrechten Verschiebungen der beiden Fußpunkte dar (Abb. 3). Für die wirklichen Be-

Zi

Zi

Abb. 3.

wegungen der beiden Fußpunkte lassen sich daher ohne weiteres folgende, allgemein gültige Beziehungen festlegen:

1.    Die mittleren Stützpunkte der doppelten Tragwerke bewegen sich nur in senkrechter Richtung.

2.    Die Verschiebungen dieser beiden Punkte haben stets entgegengesetztes Vorzeichen; senkt sich der eine (+), so hebt sich der andere (—).

3.    Das Verhältnis dieser Bewegung ist unabhängig von der Belastung, und zwar:

4.    Verhalten sich die lotrechten Verrückungen der

Mittelknoten wie die Abschnitte, welche die ideelle Spitze im Mittelfelde abscheidet:    : d₂ — —g\h.

Für den Sonderfall wagerechten Mittelriegels gilt weiterhin :

5.    Die Verschiebungen der Mittelknoten verhalten sich Gl. 5. wie die anliegenden Außenfelder: ô₁:ô₂=—a:c.

Zur Bestimmung der Bewegungen läßt sich bei wagerechtem Riegel auch folgender Satz sofort übersehen:

6.    Bei jeder Verrückung des Trag Werkes bleibt das Mittelfeld ein Parallelogramm und die Schlußlinien der Biegungslinien des Tramens in den Außenfeldern sind einander parallel (in Abb. 4 a ist 0 — 1' und 3 — 2' Schlußlinie).

Sind schließlich die Außenfelder gleich und der Riegel wagerecht, so ist:

7. Hebung des einen Fußpunktes gleich Senkung des anderen. Sind an die Gurtknoten oder an die Stützpunkte der Stiele andere Lastknoten angeschlossen, ohne daß die Zwangläufigkeit der kinematischen Kette beeinträchtigt wird, so können deren Bewegungen durch Vervollständigung der Polgebilde nach bekannten Gesetzen leicht ermittelt werden (Abb. 9).

Überhaupt läßt sich der hier eingeschlagene Weg, bei elastischen Verschiebungen von Tragwerken die Kinematik für die Bestimmung der Bewegungen derjenigen Glieder zu benutzen, deren elastische Formänderungen vernachlässigt werden können, allgemein auch für Ingenieurtragwerke verwerten. Bei Balkenträgern können beispielsweise in offenen Feldern, deren fortgelassene Diagonalen durch die biegungsfeste Ausbildung eines Gurtstabes über drei Fache ersetzt sind, die Durchbiegungen ganz entsprechend untersucht werden.

Weg-, Kraft- und Momentenverhältnis in den Mittelknoten unbelasteter Streckbalken:

Die für die Knoten kinematisch untersuchten Verrückungen sind gleichzeitig die elastischen Durchbiegungen

(Î

Es sei für die Folge der Bruch = io

des Streckbalkens.

kurz das „WegVerhältnis“ genannt. Für schrägen Spann-

(Abb. 4).

Gl. 6. riegel gilt also allgemein:

to=— = — d2

Gl. 7.

Als Grundlage für den allgemeinen Fall soll zunächst ein Spannungszustand des Streckbalkens untersucht werden, bei dem äußere Kräfte nur an den oberen Gurtknoten, nicht also an dem Streckbalken angreifen. Bezeichnet man die vom Balken aufgenommenen Kräfte allgemein mit Xx und X₂, so lassen sich die Durchbiegungen ô als Funktionen der X darstellen (Abb. 4):

öx—a- A4 -f- ß ■ X₂ ;

^2 — Y ' -^i + d • X₂.

Hierbei sind die Werte a, /?, y, ô nur von den Feldlängen abhängig. Die Elastizitätszahl

cn

4a

Elastische Linie

4b

-1

ebenso der Querschnitt des Balkens sei ein für allemal

Momentenfläche ^ Abb. 4.

als unveränderlich angenommen. Man übersieht aus den beiden Gleichungen, daß einem bestimmten Weg-

Verhältnis tu ein zugehöriges „Kraftverhältnis“ =-^4 = <jp

X₂

entspricht. Dividiert man die beiden Gleichungen Nr. 7 und drückt das Wegverhältnis durch Längenabschnitte des Balkens nach Gleichung Nr. 6 aus, so erhält man für

g • d² • c² + h • a • c • r2 h-f²-a²+g-a-c-T²

2 x²— l² — a² — c².

Schließlich lassen sich die durch Xx und X₂ in den Querschnitten der Stützpunkte erzeugten Biegungsmomente Mx und M₂ in entsprechender Form ausdrücken:

Gl. 8. (f = -~ -A₂

(Abb. 4), dabei bedeutet:

M₂ = g - X₁N^ - X₂.

Gl. 10.

Die Beiwerte sind auch hier nur von den Feldlängen abhängig. Somit ergibt sich endlich ein zum Kraft- und damit auch zum Wegverhältnis zugehöriges „Momenten-

Mx

Verhältnis“

M.,

= ip. Durch Division der Gleichungen 10

, und durch Ein-

CL C ~1~~ CD • /

Gl 11. erhält man zunächst: ib — -\----₅—■ ■ —

c d + cp ■ a

setzen des Wertes für cp nach Gleichung 8 schließlich:

v>=-

Gl. 12.

g • c • (2 t² + b • d) + h ■ a • f • (/’+ c) h ■ a • (2 T² -f b • f) + g ■ c ■ d • (d -f a)

* u--> i-N

5a

Nm;Nk;Nk

Xi 5b

X,

Nmj i

I—afc-

X*

X, ⁵⁰

2 r² läßt sich wieder nach Gleichung 9 ausrechnen (Abb. 4). Die Verhältnisse sind negativ. Trägt man den Zählerwert im linken, den Nennerwert im rechten Mittelknoten auf und verbindet die Endpunkte, so entsteht für jedes Verhältnis im Mittelfeld ein zugehöriger Nullpunkt (Ns} Nh<, Nm) (Abb. 5). Der Nullpunkt für die Durchbiegungen Ns liegt unter dem ideellen Firstpunkt (Abb.4a). Für die Ermittlung des Nullpunktes für das Momenten-verhältnis Nm aus dem Nullpunkt der Kräfte iV;- und umgekehrt läßt sich eine einfache zeichnerische Konstruktion angeben.

x,

Abb. 5.

Bekannt sei Nk', man soll Nm fin-)££- den (Abb. 5). Zu Nk bilde man den Gegenpunkt Nk im

Mittelfelde. Von einem beliebigen Punkte auf der Senkrechten in Nk ziehe man zwei Strahlen 1—4 und 2 — 5.

Das Linien kreuz 0 — 5 und 4 — 3 gibt die Senkrechte durch den gesuchten Nullpunkt Nm. Der Beweis ist aus der Bedingung abzuleiten, daß Xx und X₂ für Nm entgegengesetzt gleiche Momente ergeben müssen. Daher wird bei gesonderter Betrachtung jeder Kraft:

ax'

-x₂-

c-x

Gl. 13.

Teilt man beide Seiten der Gleichung durch b, so wird aus Abb. 5 c die Richtigkeit der in 5 a ausgeführten Konstruktion ohne weiteres verständlich.

Für das Momentenverhältnis läßt sich eine eigenartige Ableitung geben, wenn man auf die aus der Theorie der durchgehenden Träger bekannten „verschränkten D rittelvertika-len“ zurückgreift.

M,

_±

Die E • J fache elastische Linie ist Seillinie der Mo-mentenfläche bei der ą Polweite 1 (Abb. 6).

Die beiden Drei-

ecke Mx ■

tOl Ra

und

-an

deren

verschränkte Dritbelverti kale n

Abb. 6.

Schwerpunkte in den verschränkten Drittelvertikalen liegen, ergeben als Auflagerkräfte :

A = ~[M₁-d-v + M₂-f w]-, B= — [M₁d u-\-M₂-f’x].G 1.14.

Daraus berechnet sich:

c²

E • J • d, = A • a — Mx • -r- ;

6

Durch Division und Einsetzung erhält man schließlich: gc

die Neigung des Riegels

Hierbei ist in dem Wert e

ha

berücksichtigt. Natürlich läßt sich der Ausdruck in Gleichung 16 auf die Form des Momentenverhältnisses in Gleichung 12 umrechnen.

Bei wagerechtem Riegel wird der vorerwähnte Wert e gleich 1, also auch (s ■ zw) = (v + e-u) = 1, somit

Gl. 17.

Gl. 16.

i/>=-

3d{v 4- £• u)-a-1-1

3 f-c

Gl. 18.

Die für die co, und ^-Verhältnisse abgeleiteten Gleichungen nehmen besonders einfache Formen an, wenn das Trag werk symmetrisch ist. Hier seien nur die Werte angegeben, welche die Verhältnisse bei beliebiger Gurtlinie, aber gleichen Feldlängen « = d = c, annehmen. Es wird:

8 g 4- 7 h 8h+lJ’

10 = —

xf>

3g 4- 2h

3 h 4- 2 g

Es bleibt nunmehr noch übrig, den Weg anzugeben, wie bei bekannten Verhältniswerten die Einzelglieder d, X, M zu berechnen sind. In den weiteren Ausführungen wird sich zeigen, daß man für Lasten am Obergurt, ebenso für Kräfte am Tramen bei mittelbarer Unterzugübertragung einen Kraftplan ohne weiteres zeichnen kann und somit die Einzelkräfte Xx und X₂ findet. Alsdann berechnen sich

^-1 a

ebenso M₂=s₂- X

Ml = sl-Xi, wobei s₁ —

Aus den Momenten finden sich

Q

Gl. 19. wobei s₂ = -j • (d 4- </> • «)•

wieder die Durchbiegungen d< == t, ■ Mx, wobei

• [3d- v • il> — a ■ l- ip 4- 3f ■ w\

und ö₂ = t₂ • M₂, wobei

₆A ,'[3zf-c-l+3d-u-gi] (Abb. 6).

II. Statische Berechnung beliebig geformter Hänge- und Sprengewerke.

Äußere Kräfte wirken nur am Stabwerk. Bei Belastung der Gurtknoten sind die Hängesäulenkräfte mit den auf den Streckbalken ausgeübten Kräften gleichwertig; werden Zugkräfte in den Hängesäulen positiv bezeichnet, so wird -}- F₁ = —    ; -f-F₂= — X₂. Die Hängesäulenkräfte

P₂

stehen also ebenfalls im Verhältnis cp.

S,

S,

V₂

Ô-

Sv

In die

Eine allgemeine zeichnerische Lösung ergibt sich wie folgt : An dem Hängewerk nach Abb. 7 seien zwei beliebige Lasten P₁ und P₂ gegeben.

"L

c£~ *

7p₂

Abb. 7.

zu

Gleichung 8 setzt man die Zahlenwerte ein und erhält das Kraftverhältnis. Die gegebenen Kräfte reiht man aneinander und zieht durch ihre Eckpunkte die Parallelstrahlen zum Gurt in gleichem Umlaufssinn (Kräfteplan in Abb. 7). Durch den Schnittpunkt des Riegelstrahles und der Kraftlinie für die Seitenschräge S₁ ziehe man einen zu St zugeordneten Strahl Tu und zwar so, daß St und Tx auf einer Senkrechten vom Riegelstrahl Strecken im Verhältnis — (p und 1 abschneiden. Der Schnittpunkt von Tx und S₂ gibt F₂ und damit Vv Für die Ausführung dieser Grundlösung, deren Richtigkeit ohne weiteres aus der Abbildung ersichtlich wird, ist beachten, daß Schrägenkraft und zugeordneter Strahl auf derselben Seite der Riegelkraft liegen müssen. Das Kraftverhältnis ist stets negativ, also muß — (p und 1 vom Riegelstrahl nach einer Seite aufgetragen werden. Es könnte

ebenso einfach zur Schrägenseite S₂ ein zugeordneter Strahl I\ gezogen werden. Nur wäre alsdann 1 zwischen Schrägenlinie und Riegelstrahl einzutragen; auf derselben Senkrechten würde jetzt —cp den zugeordneten Strahl T₂ ergeben, welcher nunmehr mit Sl zum Schnitt gebracht werden müßte.

Über die Wirkung der äußeren Kräfte und den Verlauf der inneren Spannungen lassen sich aus der Grundlösung einige allgemeine Beziehungen ableiten:

1.    Ist der Streckbalken unbelastet, so haben die beiden Stielkräfte stets umgekehrtes Vorzeichen.

2.    Wirkt nur eine Last von außen auf einen Gurtknoten, so erhält die Hängesäule des anderen Gurtpunktes Zug, die eigene Druck.

3.    Schneiden sich im Kräfteplan die durch die Eckpunkte der Lasten gezogenen Gurtstrahlen in einem Punkte, so sind die Stielkräfte gleich Null. Die Gurtlinie ist in diesem Falle Seileck der Lasten.

4.    Bei diesem Zustande muß die Mittelkraft der äußeren Kräfte durch den ideellen Firstpunkt gehen. Senkrechte Lasten I\ und P₂ verhalten sich alsdann umgekehrt wie die Abstände g und h.

P,

y;    v

5i Vr.

-Vj

LUU

' T—

""ST NSz

Si

-> B

Àbb. 8.

Auf rechnerischem Wege kann man die Kräfte des Stabwerkes durch den Momentennullpunkt oder mit Hilfe des Kraftverhältnisses bestimmen. Aus dem Momentenver-hältnis ergibt sich der Momentennullpunkt; am besten berechnet man eine der Strecken (Abb. 8):

Nach Berechnung der Riegelkraft können die Stiel- und Schrägenkräfte aus dem Gleichgewicht der Gurtknoten gefunden werden. Bei dieser Berechnung müssen zuerst die Auflagerkräfte bestimmt werden.

Das Kraftverhältnis gibt eine analytische Berechnung ohne vorherige Ermittlung der Auflagerkräfte. Denkt man sich einen wagerechten Schnitt durch Schrägen und Stiele gelegt, so müssen die durchschnittenen Kräfte mit den äußeren Lasten in den Gurtknoten im Gleichgewicht sein.

Stellt man für den ideellen Firstpunkt die Momentengleichung auf, so entfallen die Schrägenkräfte. Es ergibt sich:

Pi •    — P₂ • tj₂ = — V\ • g + V₂ ■ h = — Mi, demnach :

--¹--Gl. 22.

g-cp-h

(Abb. 8). Diese Berechnung gilt auch für beliebige Innenbelastung des Riegels.

Ip

und

Gl. 20.

Denkt man sich durch Nm einen lotrechten Schnitt gelegt, so muß für den links abgeschnittenen Teil beispielsweise das statische Moment der äußeren Kräfte gleich dem Drehmoment der durchschnittenen Riegelkraft R für den Nullpunkt werden.

Mm

Also:

R=-

*-1 I 5»

• A-{a + Qi)-Pfpi =~

Gl. 21.

und V₂ = |i<₂ • Mi ; /.i₂

R»

KS.7)

[IW]

£4—"/’A

Pg

cy£

Zi

[IW]

Vf

‘9 " h

Abb. 9.

'////////w///////.

X₁

X2

[IW]

Sind außer den beiden oberen Gurtknoten andere Stabknoten durch Zwischenstäbe eingeschaltet, so führt eine

kinematische Berechnung zum Ziel. Die von dem Streckbalken auf das Stabwerk ausgeübten Kräfte X₁ und X., sind mit den äußeren Kräften am Stabwerk im Gleichgewicht. Erteilt man der kinematischen Kette irgend eine Momentanbewegung, so ist nach dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten für unelastische Systeme die Arbeit der äußeren Kräfte gleich Null. Man erhält:

0 == — P₆ • c₆ — P₄ • c₄ + P₇ • c₇ -j- Xl ■ g — X₂ • h (Abb. 9).

Hierin bedeuten c die Hebelarme von den Endpunkten der lotrechten Geschwindigkeiten auf die äußeren Kräfte; Rechtsdrehung seL positiv. Also erhält man allgemein:

X₁=-nl-2P c-,

Gl. 23.

———— (vgl. Gleichung 22).

Kräfte am Streckbalken. Kommen für das zu untersuchende Hängewerk neben Belastungen des Stabwerkes Kräfte am Streckbalken selbst in Betracht, so wird man diese am besten für sich getrennt betrachten. Für alle Lastzustände, bei denen das Stabwerk unbelastet ist, läßt sich für die Stielkräfte ein allgemeiner Satz aufstellen. Denkt man sich den Balken mit seinen Lasten entfernt und bringt die Stielkräfte an den durchschnitten gedachten Stielen als äußere Lasten an, so muß das Stab werk unter ihrem Einfluß im Gleichgewicht sein. Nach dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten gilt alsdann: Bei irgend einer Momentan Verschiebung der kinematischen Kette muß die von den Stielkräften geleistete Arbeit gleich Null sein. Daraus folgt wieder :

1.    Die beiden Stielkräfte verhalten sich umgekehrt wie die Abschnitte, welche der ideelle Firstpunkt im Mittelfelde abschneidet.

2.    Die beiden Stielkräfte haben gleiches Vorzeichen.

Mittelbare Belastung des Streckbalkens. Es sei

zunächst der für den Hochbau besonders wichtige Fall untersucht, bei dem die Belastungen des Balkens durch Unterzüge auf die Mittelknoten übertragen werden.

Die Unterzugslasten seien Yx und Y₂. Die Zugkräfte in den Stielen Vx und V₂, die auf Durchbiegung des Balkens

Gl. 24.

wirkenden Kräfte in den Mittelknoten X₁ und Jl₂, positiv gerechnet,wenn sie nach unten wirken.

Dann gelten zunächst die Beziehungen :

+ V₁+X₁= + Yi

V,

Vz

p, Ir ^Jr,

Sk !

A,

und

+ V₉ + X₉-Yv

Ein zusammenhängendes zeichnerisches Verfahren ergibt die Kräfte im Tragwerk, wie folgt.

Mit beliebigem Pole zeichnet man in das Kraftgebilde ein Seileck ein (Abb.

10); für die drei Felder werden die zugehörigen Schlußlinien gezogen, sie schneiden auf der Kraftlinie die Unterzugslasten Y1 und Y₂ ab. Man denke sich diese Lasten nach den oberen Glurtknoten versetzt und zeichn e in der früher angegebenen Weise (vgl. Abb. 7) das Krafteck der Stabkräfte; zu den hier gefundenen Stabkräften treten in den Stielen noch die Unter-

B.

5,

y, K . r»

p₃

,1

Vi

zn

Abb. 10.

V,

V₂

Sr

\Lł

kRJ

s₂

\l

Abb. 11.

ur

4P—

V₂n

y^y«

-4-f

zugslasten als Zugkräfte hinzu, so daß sich die wirklichen Stabkräfte in den Stielen ohne weiteres auf der Kraftlinie ablesen lassen.

Sollte das Krafteck zeichnerisch ungünstige Schnitte ergeben, so kann ein anderes Verfahren zur Anwendung gelangen. Wie vor, seien die Unterzugslasten bestimmt. Durch ihre Endpunkte im Krafteck ziehe man die Parallelen zu den Schrägenseiten, welche sich in 0 schneiden (Abb. 11). Auf der Kraftlinie trage man weiter hinter Y₂ eine Hilfskraft

an und ziehe den Leitstrahl L. Eine Parallele

yi + y₂

— 1 — 9

L' zu diesem durch ß bringe man mit dem durch 0 gezogenen Riegelstrahl zum Schnitt. Die Senkrechte durch den Schnittpunkt schließt das Krafteck der Stabkräfte. Zum Beweise wolle man sich in Abb. 11 durch den Punkt ß des Kräfteplanes zu den Schrägen seiten die Parallelen Sß und S₂ ziehen; alsdann würden die drei Linien ₁', S.₂\ L’ auf der V-Linie (und zwar von L' aus gerechnet) die vom Streckbalken aufgenommenen Kräfte und X₂ abschneiden, welche in dem zu berechnendem Kraftverhältnis tp stehen. Die drei Linien St, S₂ und L durch den Punkt 0 bilden ein Parallelbüschel zu den drei Strahlen Sl \ S₂ und L' durch den Punkt ß. Daraus folgt, daß ad :yö = _X, : X₂ wird, und damit berechnet sich der Wert yd wie in der Lösung eingeführt.

Ist die Größe cp nicht viel von 1 verschieden, so wird der Strahl L in der Abb. 11 steil. Einen ungünstigen Einfluß auf die Genauigkeit hat solche Neigung jedoch nicht; im Gegenteil wird gerade dann der Schnitt mit der Riegellinie ein scharfer.

Wirkt nur eine Unterzugslast, z. B. Vl5 so vereinfacht sich nach Abb. 12 die Konstruktion noch weiter. Durch die

Endpunkte von Y₁ ziehe man die Parallelen zu den Schrägenseiten.

Ein durch das Verhältnis cp zu S₂ zugeordneter Strahl gibt mit einer Parallelen zu St durch ß die V- Linie.

Bei rechnerischer Ermittlung der vier Unbekannten (zwei Stielkräfte V und zwei Balkenlasten JQ aus den zwei bekanten Unnterzugskräften kommen die gegenseitigen Beziehungen scharf zum Ausdruck; es ergeben sich folgende vier Gleichungen zur Bestimmung der vier Unbekannten.

Zunächst gelten die beiden Begriffsgleichungen Nr. 24.

Abb. 12.

Si

r-Ąl -

I—il

s>

t x>

I. V. + X^Y,,

IL V₂ + X₂=Y₂. Nach dem für Kräfte am Streckbalken abgeleiteten, allgemeinen Satz verhalten sich die Stielkräfte (vgl. S. 688):

III. Vl:V₂ = h:g. Schließlich gilt für die vom Balken aufgenomme-nen Kräfte:

Gl. 25.

Asi

IV. X₁:Xi = (f.

Aus diesen vier Gleichungen bestimmen sich die Einzelwerte:

r>-hR

Yi-cpY₂'

Yx-cp-Y₂

-cp.g

Y\ • g— Y₂-h cp- g — h ’ M\ = {Yl-g— Y₂- h) ■ k\ ; _a f-ę + c '

¹ l g-cp — h'

-cp-g Y.-g-Yyh cpg-h M₂ = ( Yj • g — Y₂ • h) • 1;₂ ; dabei j _ c a-cpĄ-d l ' g.₍p-h '

^2 =

G1.25a.

Die vorkommenden Längenabmessungen sind in der Abb. 4 angegeben.

Sind die Auflagerkräfte ermittelt, so kann man mit Hilfe des Momentennullpunktes zunächst die Riegelkraft nach Gleichung 21 wie folgt bestimmen:

R= —

Yt • Ql]

Gl. 26.

Aus R müssen alsdann die anderen Stabkräfte und die Biegungsmomente durch Gleichgewichtsbedingungen abgeleitet werden.

Ist H die wagerechte

Gefährlichste Laststellungen für mittelbare Unterzugsbelastung des Streckbalkens.

Seitenkraft der Kiegelkraft Ii, so gilt auch IL =--

-•Ml

n

wie aus Gleichung 26 zu ersehen. Hiebei bedeutet Mm das Biegungsmoment, welches im Querschnitt Nm eines einfachen stellvertretenden Balkens auftreten würde. Somit ergibt sich die Einflußlinie für II aus der Einflußfläche für das Balkenmoment Mm, wie in Abb. 13 eingezeichnet; II sei jetzt als

-—4

!\

/R

/ ___

n.

|a

r=H⁺,

W___*j-

-K-

Si; 3,i    ‘ J

H = Fläche

---I«

ç+gz

h +c

M ax. M 1 Min. Mz

L......B+9

-A-

Ml! Fläche

Max. M2; Min. Mi

Abb. 13.

Druck positiv. Man übersieht aus der Einflußlinie, daß volle Nutzlast den gefährlichsten Wert ergibt. Dasselbe gilt natürlich für alle anderen Glieder des Stabwerkes.

Im Streckbalken können die gefährlichtsen Biegungsmomente nur in den Mittelknoten auftreten. Die aus der Grundlösung abgeleiteten Beziehungen (vgl. Seite 20) lassen bezüglich des Einflusses veränderlicher Nutzlasten im Streckbalken folgende Sätze übersehen:

1.    Die Senkrechte durch den ideellen Firstpunkt ist Lastscheide für sämtliche Biegungsmomente des Balkens.

2.    Ist der Ausdruck für das Momentenverhältnis (Gleich. 11, 12, 16, 17) größer (kleiner) als 1, so entsteht das größte maßgebende Biegungsmomenent im linken (rechten) Mittelknoten.

3. Einseitige Nutzlast bis zum ideellen Firstpunkt gibt die gefährlichste Laststellung für die Biegungsmomente.

g-(g + a)

h • (h -j- c)

4. Ist

größer (kleiner) als 1, so ist das linke

(rechte) Dreieck der Einflußfläche größer, und daher die Belastung der linken (rechten) Seite die gefährlichste.

5. Nutzlasten links (rechts) vom Firstpunkt geben im linken (rechten) Mittelknoten positive Biegungsmomente.

Infolge einer gleichförmigen Nutzlast (p kg für die Längeneinheit) erhält man daher bei den gefährlichsten Laststellungen :

Max J/^+p.A.g.(a + g)] Min = -p- ~--h- (c + h),

Gl. 27.

Maxil/₂ = -p.-|-.Ä.(c + Ä); MinM₂ = + p• ^• g - (a + g),

die k? Werte sind in Gleichung 25a angegeben.

Eigengewicht (g kg für die Längeneinheit) ergibt:

A'₂

Gl. 28.

m2=9 • y * to • (a+g) - h' (c+*)]•

zwar :

Unmittelbare Belastung des Streckbalkens. Der Streckbalken sei durch beliebige lotrechte Kräfte P belastet. Der Tramen wirkt wie ein einfacher Balken, an dem neben den gegebenen Kräften P die noch unbekannten Stielkräfte Vl und V₂ angreifen. Zur Bestimmung der Werte V dienen zwei Bedingungen, nämlich: Vl : V₂=h :g vgl. III in Gleichungen Nr. 25, und ô₁:ô₂=— g:h nach den allgemeinen kinematischen Gesetzen. Diesen wirklichen Zustand denke man sich in zwei Teilzustände zerlegt, indem jede Stielkraft in zwei Teile geteilt wird, und

Vx =Yl-\-Xl und V₂ = Y₂ -|- X₂. Hierbei sollen Yt und Y₂ diejenigen Auflagerkräfte sein, welche die Lasten P an einem stellvertretenden durchgehenden Träger auf vier starren Stützen in den mittleren Auflagern hervorrufen würden. Faßt man nun die nach den Gesetzen durchlaufender Träger zu berechnenden Kräfte Y mit den äußeren Lasten P zu einem ersten Teilzustande zusammen, so bleibt für den zweiten Teilzustand nur X₁ und X₂ in den Mittelknoten übrig. Bei dem ersten Teilzustande erleiden die Mittelknoten keine Durchbiegungen; daher hat der zweite Teilzustand die vollen wirklichen Durchbiegungen der Mittelknoten, für welche die kinematischen Gesetze gelten. Die Teilkräfte X, welche diese Durchbiegungen also allein hervorrufen, müssen demnach in dem bekannten Kraftverhältnis stehen. Es gelten daher für die wirklichen Stielkräfte, die Auflagerkräfte des durchgehenden Trägers und die vom Balken beim zweiten Teilzustande aufzunehmenden Kräfte X genau dieselben Beziehungen, welche für Unterzugslasten F in den Gleichungen 25 I bis IV abgeleitet Avorden sind. Somit sind für die Bestimmung der Stabkräfte Unterzugslasten bei mittelbarer Belastung und Auflagerlasten eines stellvertretenden durchgehenden Trägers bei unmittelbarer Belastung in ihrer Wirkung vollständig gleich. Demnach ergibt sich für die Ausführung der Berechnung folgender, leicht zu übersehender Gedankengang:

Man berechne einen durchgehenden Träger unter dem Einfluß der gegebenen Lasten nach den Clapeyronschen Gesetzen.

Die mittleren Stützenmomente aus dieser Rechnung seien 90^ und 9D?2, die Auflagerkräfte F₁ und F₂. Aus den letzten Werten finde man die Stabkräfte entweder zeichnerisch wie in Abb. 10, 11 und 12 angegeben oder rechnerisch aus den Gleichungen 25 a; die zugehörigen Momente seien SDP und 9JP. Dann sind die wirklichen Biegungsmomente in den Mittelknoten Mj_ = 50^ + SD?¹ und M₂ = 9J?₂ -j- dJl². Die wirkliche Momentfläche ergibt sich aus den SD?₀ - Flächen für die

drei Felder und einer gebrochenen Schlußlinie, die durch Aufträgen der wirklichen Momente entsteht.

Im Hochbau sind in den weitaus meisten Fällen die Belastungen so einfacher Art, daß sie aus bekannten Formeln ohne zeichnerische Darstellung Momente und Auflagerkräfte der durchlaufenden Träger ergeben. Überhaupt wird sich dieser hier eingeschlagene Weg nur so lange empfehlen, als die geläufigen Clapeyronschen Gleichungen einfache Gestalt annehmen. Bei wagerechtem Riegel und symmetrischer Ausbildung vereinfachen sich die dargestellten Rechnungen erheblich, wie in den nachfolgenden Untersuchungen gezeigt wird.

III. Unsymmetrische Hänge- und Sprengewerke mit wagerechtem Riegel.

VIII. Dreifache Tragwerke.

III. Unsymmetrische Hänge- und Sprengewerke mit wagerechtem Riegel.

Die kinematischen Gesetze für die Durchbiegungen der Mittelknoten vereinfachen sich wesentlich. Es war bereits an der Gleichung 5 der Satz abgeleitet: Die Verschiebungen der Mittelknoten verhalten sich wie die anliegenden Außenfelder. Das Verhältnis der stets entgegengesetzten Verschiebungen war dabei von der Belastung unabhängig. Daher:

co = —

Das gleichbleibende Verhältnis der auf den unbelasteten Streckbalken wirkenden Kräfte vereinfacht sich dementsprechend. Und zwar wird das Kraftverhältnis c d² + r2 a ’ p + x²

<P = ~

wobei wieder 2 x² = l² — a² — c²

Gl. 30.

(Abb. 4). Wie einfach das Momentenverhältnis bei wagrechtem Riegel wird, ist bereits in der Gleichung 17 abgeleitet.

3b-\-2c 3b + 2a

Ebenso leicht läßt sich der Nullpunkt mit seinen Abständen

In verschiedener Form erhält man : ip = —

3 f-c

• Gl. 30“.

berechnen — — •

b 3 f—c

2 l+2b

?2    2'l + 2b

• Auch zeichne- Gl. 31.

risch kann Momenten- und Kraftverhältnis mit geringer Mühe

gefunden werden. Nach Abb. 14 schlage man den Drittelpunkt 6 um 2 nach 7 ; ebenso den Drittelpunkt 8 um 1 nach 9

Man ziehe das Innenkreuz 1 — 7/2 — 9, alsdann durch 10 das Außenkreuz 0 — 11/3 — 12, schließlich wieder das Innenkreuz 12—1 —13/11 — 2 —14. Damit ergibt sich der verschränkte Kraftnullpunkt und cpv cp2, welche

cp = — — bestimmen.

Kräfte am Stabwerk. Die Kräfte des Stabwerkes lassen sich zunächst, wie im allgemeinen Falle, nach dem zeichnerischen Verfahren finden. In Abb. 15 ist der Kräfteplan für eine lotrechte (15 b) und eine wagerechte (15 c)

A"

/x

L M / O LA.....

•/////////Mlfltfl/Ih

,10,

Ttj

WÏÏ!mÇ/ïïïïn7m>

Abb. 14.

15b

iP,

?13

W-1t

«1

Si

V.Vz

Si

V'

P-It

15a

Vi Vz

15c

<*2

s>

Vz

V1

Jft

'Si

S ïf^ftausAbb 14

Abb. 15.

Last = 11 im linken Obergurtpunkt gezeichnet (vgl. Grundlösung in Abb. 7). Die wagerechte Richtung des Riegels

vereinfacht in höherem Maße die rechnerische Ermittlung.

Die Riegelkraft R wird zu einer wagerechten Kraft H. Bei lotrechter Belastung lassen sich aus H sämtliche anderen Stabkräfte besonders einfach finden. Es ist allgemein:

//=-

M°

—- ;    sece^; S₂ — + H-seca₂ (Abb. 15a). Gl. 32.

Gl. 32a.

Noch einfacher wird die Bestimmung der Biegungsmomente in den Mittelknoten. Man benutzt bei lotrechter Belastung am besten die Querkraft im Mittelfelde. Da sie bei wagerechtem Riegel nur vom Balken aufgenommen werden kann, ist das Moment im Mittelfelde durch den Momentennullpunkt bestimmt. Man erhält: M₁ = — Q • Qt ; M₂ = + Q - q₂.

Für die Lage des Momentennullpunktes ergibt sich aus den Gleichungen für das MomentenVerhältnis : 1. Der Nullpunkt liegt näher am Knotenpunkt des größeren Außenfeldes, daher: 2. Der Knotenpunkt des kleineren Außenfeldes erhält das maßgebende größte Biegungsmoment. Der letzte Satz gilt genau so für beliebige Belastung des Streckbalkens durch Unterzüge in den Mittelknoten.

b-c 36 + 2« 2h-l ' 1+26 ’

Gl. 33.

Mittelbare Belastung des Streckbalkens durch Unterzüge. Die Bestimmung der Biegungmomente in den Mittelknoten aus den gefundenen Unterzugslasten Yx und Y2 verkürzt sich wesentlich, da die in Gleichung 25a eingeführten &-Werte einfachere Formen annehmen. Es wird: b-c 36 + 2c 2h l ' 1+ 2P

demnach also auch:

Qi.

M₂ = -(Y₁-a— Y₂-c)

Gl. 34.

Diese Beziehungen kommen auf die Gleichung 32 hinaus, in der die Momente durch die Querkraft im Mittelfelde ausgedrückt sind (Abb. 4 und 13 erklären die Buchstaben).

Gleichmäßig verteiltes Eigengewicht (g) ergibt nach diesen Formeln:

(c-a)-b    3 f-^c

⁹    2    27+46’

(c — a)-b 3d — a

27+46

dabei • wird der Schub im Riegel : H — — g •

Mi= —

, Gl. 35.

. Gl. 36.

2 • 7]

Für eine gleichförmige Nutzlast (p) gelten zunächst mit einigen Vereinfachungen die allgemeinen Gesetze:

1.    Gefährlichste Laststellung für die Knotenmomente ist einseitige Belastung bis zum ideellen Firstpunkt, und zwar auf der größeren Balkenhälfte.

2.    Bei dieser Laststellung erhält der Mittelknoten des kleineren Außenfeldes (absolut genommen) das größere Moment.

3.    Und zwar ist dieses Moment ein Minimum (negativ). Man erhält für die gefährlichste Laststellung (c sei kleiner als ä) :

Gl. 37.

Min M₂

Unmittelbare Belastung des Streckbalkens. Für gleichmäßiges Eigengewicht lassen sich die Clapeyronschen Gleichungen des stellvertretenden durchgehenden Trägers in einfacher Form aufstellen:

|>+gt)² ff²] b(Sd — n)

2l+±b

2 ‘ L l

Es wird:

2 SOq • (a + b) + 9K₂ • b = — ^ • (a³+b³) W, • 6+2 9K₂ • {b+c) = - | • (6³+c³).

Die Stützkräfte selbst sind:

r;=9'^ r.-B-.rs

(vgl. die Erklärungen für die verschiedenen Momente Seite 28).

Durch Einsetzen dieser .Werte (an Stelle der Unterzugslasten) in die Gleichungen 34 wird also infolge Eigengewichts für den zweiten Teilzustand (vgl. Seite 28) das Moment:

2b■ Q-b-{a-c)+2(m₂-Wl₁)

Bei gleichförmigen Nutzlasten entsprechen für die üblichen Längenabmessungen der Hänge- und Sprengewerke die gefährlichsten Laststellungen für die größten Mittelknotenmomente bei mittelbarer und unmittelbarer!Belastung einander sehr. Für das Biegungsmoment eines Mittelknotens gibt es im

Mittelfelde eine Lastscheide. Nur bei ungewöhnlichen Feldverhältnissen kann auch im anliegenden Felde eine zweite Lastscheide hinzutreten. Für die praktische Bestimmung des gefährlichsten Momentes wird es immer ausreichen, mit einseitigen Laststellungen, vom Endpunkt bis zur Lastscheide im Mittelfelde vorgeschoben, zu rechnen. Aus der Bedingung, daß eine Last 1 im Lastscheidepunkt für den untersuchten Mittelknoten ein Moment gleich Null ergeben muß, lassen sich die Abstände wie folgt ermitteln (vgl. Abb. 18):

₁JS

+1

|co

vi

4c- lĄ-Sb-f—b-c

Gl. 4L

4,a-l+3b-d — ba

b₂ = *2 ±

In der Regel ist das gefährlichste Moment im Mittelknoten am kleineren Außenfelde als ein Minimum zu bestimmen. Die zugehörige Belastung reicht vom entgegengesetzten Lager bis zum voi’berechneten Lastscheidepunkt im Mittelfelde. Ebenso ergibt das Eigengewicht im Mittelknoten am kleinerem Außenfelde einen negativen Wert.

v2

6/

IV. Symmetrische Hänge- und Sprengewerke.

Für symmetrische Tragwerke wird infolge der gleichen Außenfelder und des wagerechten Riegels das Weg-, Kraft-und Momentenverhältnis gleich —1. Schon bei den kinematischen Beziehungen wurde für die Verschiebungen der für jede Belastung gültige Satz aufgestellt: Senkung des einen Mittelknotens ist Hebung des anderen Mittelknotens. In den vorstehenden Verhältnisbestimmungen ist auch für beliebige Belastung der Gurtknoten die Beziehung enthalten: Solange der Balken selbst unbelastet ist, sind die Stielkräfte umgekehrt gleich; ebenso die Biegungsmomente in den Mittelknoten. Die Momentenfläche des Balkens ist symmetrisch.

Kräfte an den Gurtknoten. Die zeichnerische Ermittlung der Stabkräfte ist ohne Vorberechnung für beliebige Belastung ohne weiteres möglich.

Gang der Untersuchung. Man reihe die Lasten aneinander, ziehe durch den Anfangs- und Endpunkt Parallelen zu den Streben, alsdann durch deren Schnittpunkt eine Lotrechte, durch den mittleren Eckpunkt der Lasten eine Wage-rechte. Damit sind alle Stabkräfte bestimmt.

FV

Pa

H.û

SjX Vi +

VzXSl

Si

7-, a

Si

JH

Pz

P,

1Gb

r~a.

S;

Sa

16c

W nbi T'üTÏ

w?

m,4T-

S£lv

V.-41 V4--łł 5,-4i

5.

h-t-

Abb. 16.

Man übersieht aus dieser Konstruktion:

1. Äußere Kräfte an den Gurtknoten und die durch dieselben hervorgerufenen Strebenkräfte bilden ein geschlossenes Krafteck. Daher :

2. Für die Bestimmung der Strebenkräfte kann man die äußeren Kräfte der Gurtknoten nach dem ideellen Firstpunkt verlegen und sie dort nach den Streben zerlegen.

In den Abb. 16 sind für beliebige Belastung (16 a), alsdann für eine lotrechte Kraft P (16 b), schließlich für eine wagerechte Kraft W (16 c) die Kräftepläne gezeichnet.

Mittelbare Belastung des Streckbalkens durch Unterzüge. Ist das Tragwerk unbelastet, so gilt für jede Belastung des Tramens: Die Stielkräfte sind gleich groß und erhalten dasselbe Yorzeichen. Sind die Unterzugslasten bekannt, so berechnet man die Stabkräfte aus der Beziehung; Die Stielkräfte sind gleich der halben Summe der angreifenden Unter zugslasten und daher für alleinige Belastung des Mittelfeldes gleich der halben Summe der Lasten.

Für die Beanspruchung des Balkens durch Unterzugslasten findet man: Die Momentenfläche ist symmetrisch; die Biegungsmomente in den Mittelknoten sind umgekehrt gleich

groß. Somit wird: Mx

Für eine Einzel

Y, — Y₂ a-b

last P in 1 also : Mx —

; M₂=-Mx (Abb. 17 a).

Gleichmäßiges Eigengewicht ergibt in den Stäben den bekannten Zustand der Symmetrie, bei dem im Balken keine Momente entstehen.

Bei gleichförmiger Nutzlast entsteht der gefährlichste Zustand durch einseitige Belastung einer Hälfte. Man erhält (Abb. 17 b)

a-\-b

ri- + v--j

•(«+*);

Mt=-p-

v₂; h=-\>Y («+»);

cs

Gl. 42.

a-b

= -M

; im Mittelfelde Q = + p • — •

Unmittelbare Belastung des Streckbalkens. Für unmittelbare Belastung des Streckbalkens übersieht man zu-

3*

nächst, daß symmetrische Belastung keine Durchbiegung in den mittleren Stützpunkten ergibt. Weiterhin folgt aus der Symmetrie, daß eine Last P in beliebiger Stellung auf der linken Hälfte im oberen Stabwerke dieselben Spannungen ergeben muß, wie eine gleiche Last auf der rechten Hälfte, erkennt man die Richtigkeit folgenden Rechnungsverfahrens : Man füge zu jeder Belastung das Spiegelbild hinzu. Für die nunmehr    symmetrische Be

-ßa

17a

□_ Q-In

i_t£

Daraus

p bT. .......'.lliiilliiiliiniiiiniillllttr.^'T „ I

— ~ Irrïl’lL! !ll I    ll!l' !-!!’ i kH

2- L ;    ! X

X er

17b

SX -V, i V₂X

|    !    xX

i biiiiiiiiiiijipiiliiiiiiiiiïïiîM

A

Die

V7/^77/

lastung werden die Stütz -kräfte eines durchgehenden Trägers auf starren Stützen bestimmt, wirklichen Stabkräfte der Hängesäulen sind halb so groß wie diese Werte.

Abb. 17.

In der Regel gestaltet sich    diese Berechnung

der gleichen Mittelstützmomente des symmetrischen durchlaufenden Trägers einfach. Für    die gewöhnlichen Belastungen des    Hochbaues werden

Sind

die in den Clapeyronschen Gleichungen vorkommenden Momente der M₀- Flächen aus geläufigen Formeln ohne Darstellung dieser Flächen gefunden werden können, dann die mittleren Stützkräfte des ideellen beiderseits gleichen Zustandes berechnet, so    kann    für die    daraus bestimmten

halben Hängekräfte und die untersuchte unsymmetrische Belastung ein gemeinsames Seileck als Momentenfläche gefunden werden. Für Einzellasten und Streckenbeiastungen sind nach den Bezeichnungen der Abb. 18a die bekannten für die Ausrechnung der Clapeyronschen Gleichungen not-

wendigen statischen Momente der M₀ - Flächen zusammen-gestellt.

Lastzustand I

=ö • —— ; Lastzustand II ' 24 ’

L =

R = i^.(2 »-#*)

Lastzustand III

d, |o Dh Ito

Gl. 43.

■ x ■ (a² — x²)

• *' • (a² — a:'³.)

Für gleichmäßige volle Belastung durch Eigengewicht wird

fl a³ + è3 4 ‘ 2 a+36

das Stützenmoment in den Mittelknoten:    —

. Gl. 44.

Somit werden die Hängekräfte als Stützenkräfte

a³+b‘d

r=|- (a + b) +

2 a ■ (2 a + 3 b

Gl. 45.

18 a

X’

X*

-4-

Ml

18b

«U.

b_

A,

T~

Min. Mi    . n

i¹

Abb. 18.

Für gleichförmige Nutzlasten wird auch hier einseitige Belastung vom Auflager bis zur Lastscheide in dem Mittelfelde als gefährlichste Belastung für die größten negativen Biegungsmomente in den Mittelknoten eingeführt. Handelt es sich z. B. um den linken Mittelknoten, so läßt sich aus dem negativen Moment des Eigengewichtes übersehen, daß die Lastscheide im Mittelfelde näher am linken Knoten liegen muß. Es möge für die Anwendung eine genügend genaue

Annäherung zur Bestimmung der Lastscheide angegeben

!    3 l)

Gl. 46. werden in der Gleichung: £, = — •    1 + — • --- .

&    1    2    [ 4a l + 2b

Annäherung ist aus der genauen Formel (Gleichung 41) abgeleitet, indem dort die Unbekannte durch f ₁ = — -j- l • l

2

ersetzt wurde; l² ist alsdann als kleiner Wert gegen 1 vernachlässigt worden (Abb. 18 b). Für die gefährlichste Laststellung bei Nutzlasten berechnet sich daher:

a + b -f- 2    90f?₁ ‘

Die

+ F^2.-

W    a³ + 6s + g;-(36²-4g;s)

¹    4    2a-\-3b

Daraus wird das gesuchte Minimum im linken Mittelknoten : Gl. 48. Min = — V • a -f- ^ f1 ü (Abb. 18b).

u l

Für die üblichen Abmessungen hölzerner Hochbautragwerke wird £' etwa 0,2 b bis 0,25 b. Für die üblichen Fälle gilt ohne weiteres als gute Annäherung:

q³ -f 1,7 b³ 2 -(a+0,756) 2a-(2a+36)

Gl. 47.

Gl. 48®

wobei

-c

. Min=    a+l,5ó-|

2"

Y. Tragwerke mit drei gleichen Feldern.

Bei gleicher Feldweite vereinfachen sich besonders alle analytischen Beziehungen zur Berechnung der Stabkräfte und Momente. Für das doppelte Hängewerk nach Abb. 19 a sind die Stabkräfte und Momente in der auf S. 39 stehenden Tabelle zusammengestellt, und zwar für die Lastzustände A: lotrechte Last P in 1; B: wagerechte Kraft W, nach rechts wirkend, in 1; C: Eigengewicht, gleichförmig, durch Unterzüge übertragen; D: Nutzlast, einseitig vom rechten Lager bis zur Mitte, desgl. durch Unterzüge übertragen.

Bei unmittelbarer Belastung des Streckbalkens ergeben sich für die häufigsten Belastungsfälle folgende Stabkräfte und Momente:

i¥₂

7tr

«O I Ç*

KM

| s-

Cb |cm

8 | S-

+ TF-

a-

"b «

•Al +

a-

Ai

Ai

---B —

s • v

a ■ s

2A

•et-

U-Z

S ■ V

•et -

s-| 8

S-| 8

CM

8 [CM

+ P*

8 |CM

+ P-

1—

cm

A. Eigengewicht (Abb. 19b): li = F!₂ — 1,1 Q • $; i 1    «²

fl ^

Mt = M₂ = — q ;

//=

Gl. 49.

ÆL

IL

ifi

Vi

V₂

Si

tn

fD

QJ

DJ-

çr

ro

QJ----

4-

QJ

ÜJ

JC

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----;

r-~A

[19c]

! 0.7 a

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J//

QizuB

Last-

zustand

+ liliP

B. Nutzlast, gleichförmig (Abb. 19c): Die gefährlichste Nutzlast entsteht durch einseitige Belastung bis zur Lastscheide in dem Mittelfelde, die bei 0,7 a liegt. Das größte Moment tritt in dem nicht belasteten Mittelknoten auf; es wird Min Mx = — 0,182 p • a².

Gl. 50.

Bei diesem Zustande werden die Stabkräfte in den Hängestäben F = 0,664    -a.

YI. Zahlenbeispiele.

Nr. I. Doppeltes Hängewerk als Dachstuhl mit angehängter Decke; drei gleiche Felder; unmittelbare Belastung des Balkens.

1800

Wl\]

1020

' 1800

1020

Si

V-i

I2

20 a.

s**

0J1,1.400.3,0» fl320 N ▼1/1.600.3,0= Il980

1020

l/Wr

1020

°rĆ

_i,__

Min.Mi

20 b.

9,00 j -*

‘“3.0 J ~ 3,0 ~~    3,0    ’

Abb. 20.

Belastungen (Schneelasten sind nicht vorhanden)

E Dachgewicht .

W Wind .    .    .    .

.    . 150 kg/qm Grundfläche,

.    85

D Eigengewicht der Decke . 100 N Nutzlast der Decke .    .    .150

Binderweite 4 m.

Dachfläche, Grundfläche,

Stabwerk: Gefährlichster Lastzustand: (E, W links,

71, N voll; Abb. 20a).

H= — 1800 +

1020 1020

^ +1320 + 1980 =-6120 kg,

S₂ = — 6120 •

0,71

= — 8620 kg,

Tr /1020 , 1020\ r’-+{—⁺~ )

+ 1320 + 1980 = + 4320 kg.

Balken: Gefährlichster Lastzustand: (W rechts, 71, N rechts; Abb. 20 b)

Wr gibt M₁ = —

1020-3,0

u • :—:-

6,0

= —1020 kgm,

71

3,0²

Nr „

„ =-(4-100). 10 „ = — 0,182 • (4 • 150) • 3,0² == — 985

360

Größtes Moment = —2365 kgm. Hierbei tritt im Balken ein Zug auf von 1020 2 ⁺ 2

+ 1800 +

1020

+ 1320 +0,664- (4-150)- 3,0

= 5340 kg.

1 Balken 22/26 cm mit W= 2479 cm³ und F= 572 cm² gibt

5340

236500

2479

572

= 105 kg/qcm.

» h :

I v₂

4,0

3,0

4,0

11,0

w\⁷²⁰

945

± 500

945 f 1000

-2370

945

H=Z=187§\^E^|

Nr. II. Hänge- und Sprengewerk als Dachbinder. Symmetrische Anordnung mit ungleichen Feldern (Abb. 21).

Belastungen: Binderweite = 8,60 m.

E Eigengewicht 75 kg/qm Grundfläche = 270 kg/m Binder,

v    =2(0    „    „

Dachfläche =180    „ Gurt.

S Schnee .    .    75

W Wind .    .    50

Knotenlasten: E = 3,5 • 270 = 945 kg = $;

W= 180-4 = 720 kg.

Kräfteplan I für E, 8 beiderseits, W links gibt gefährlichste Kräfte im Stabwerk:

H= — 2370; St=—2900; S₂=—3400; ^=-500 = -V₂. Kräfteplan II für E, S links, W links gibt gefährlichsten Zustand im Balken: V₁ — —1000= — V₂ :

Max A/₁==1000-3,0-4,0-^- = 1091 kgm; dabei Z=1870 kg.

Nutzbarer Querschnitt Doppelbalken 2 • 10/20

109 100

W = 1333 cm³, _F=400 cm², daher o —

cm mit 1870

1333

400

= 86 kg/qcm.

Nr. III. Symmetrisches Hängewerk mit ungleichen Feldern als Dachbinder mit angehängter Decke (Abb. 22). Fall A. Unmittelbare Belastung des Balkens. Belastungen: Binderweite = 4 m.

Gurt,

Binder,

Stabwerk: Für Spannriegel und Streben entsteht gefährlichste Laststellung aus /£, 8 beiderseits, W links, Z), N voll; Knotenlasten sind in Abb. 22a eingezeichnet. Im Spannriegel wird der Schub H aus

3,5

E,S,D,N: - (1950 +1125+ 1245 +1660)--V=-8372 kg

2,5

aus W

810 3,5    380

~1T ' 2^ ⁺ “2“,

daher größter Riegeldruck Hmin = —9129 kg,

- 757,,

somit in der rechten Strebe

8min = — 9129 •

CO lO

= -11217kg.

In der rechten Hängesäule entstellt größter Zug bei S links, W links, _D, N voll:

c+co

Max F₂ aus D, N voll =+ 1245 + 1660 =+2905 kg „ S links, W links 810 , 380

daher Max V₂ zusammen =+4009 kg. Min V₂ entsteht bei S rechts, W rechts, D\

Min V₂ = — 1090 + 1245 = + 155 kg.

Balken: Gefährlichste Laststellung für Min Mr entsteht durch S rechts, W rechts, D, N rechts: aus S rechts und senkrechter Windkomponente Wl: -(1125 + 810)4.(3,5-4,0)— = -1229 kgm

2 11

aus wagerechter Windkomponente

aus D

1    2,5-4,0

380--.-

300    3,5³ + 4,0³    1

11

- 173    „

4    2-3,5 + 3-4    3,5

aus N rechts berechnet sich Min M wie folgt: 3-4    4,0

4^3+ 11 + 2-4 alsdann ^=0,99 m,

Gl. 46: ^ =

= 6,49 m,

120 „

400 3,5³+4³+0,99-(3-4²—4-0,99²)

Gl. 47:    ---

4

2-3,5+ 3-4,0

= — 793 kgm und

r= i.(4oo.

3,5 +4 + 2-0,99    793\

⁺ 3+7

= 1062 kg, also Gl. 48: infolge Nr wird

Min Mx = - 1062 • 3,5 + 400 •

daher maßgebendes Moment M— — 2559 kgm.

6,49² • 3,5

2-11

= -1037 „

Statt der genauen Ausrechnung nach Gl. 46, 47, 48 hätte kürzer ohne weiteres Gl. 48a benutzt werden können, welche statt 1037 den Wert 1033 ergeben hätte.

ILz

Z. F. B 98 Bl.39

i;

11,0

Abb. 22.

5t¹125 El 1950

; W-8io,

5|l12à El 1950

' W=380

2,50 m

22 a.

0,

4,0

♦1245    ;    D

jl66°    |    N

Si_âiS

1245

1660

11,0

ihliililiiiiiiiilMiiiiiiliiiiiiiiilllllIllIiIlHIIIIi

Als Zug im Balken wird zugunsten der Sicherheit der Wert aus voller Belastung gesetzt, also Z== Min H= 9129 kg. Bei einem Balken 24/30cm mit TF=3600cm³ und Jd = 720cm2 erhält man

255900 , 9129 “3600

Fall B: Mittelbare Belastung des Balkens durch Unterzüge. Stab werk: Im Spannriegel und den Streben ergibt dieselbe gefährlichste Laststellung Knotenlasten aus Z) = 1125 kg, aus N voll == 1500 kg.

720

= 71 + 13 = 84 kg/qcm.

ZZ= -

(    \ 3,5    /810 3,5    380\

(l950+1125 ₊ 1125 + 1500).^-(--.^+lr)

= -8737 kg,

daraus S min in rechter Strebe = — 8738-

4,3

10734 kg.

In der rechten Hängesäule wird entsprechend der größte Zug = 1125 + 1500 + 1090 = -{- 3715 kg;

3,5

Min S₂ wird für S rechts, W rechts und T)\ + 1125-1090= + 35 kg.

Balken: In 1 geben wieder:

84 + 15 = 99 kg/qcm.

F= 572 cm² gibt o

Nr. IY. Doppeltes Sprenge werk mit ungleichen Feldern; mittelbare Belastung durch Unterzüge (Abb. 23).

ZA

4,50

11,80__

^ 3,30 _

4,00

2,80 $

Ff—;

JC

E+Nvoll

5070

/\- 4750

Nmj

'4745

21951

= 800 „

Knotenlasten P₁ = 1300 -(4,5 + 3,3)- ¹ = 5070 kg,

P₂ = 1300-(4,0+ 3,3)- =4745

— (5070 • 7,3 + 4745 • 4,0) = 4750 kg

Kit- ^

Auflagerkraft A₀

11,8

Nullpunkt der Momente im Mittelfelde; Gl. 31 ergibt b_ Sf—a 2 ' l + 2b

Qi =

= 1,56 m; für diesen Punkt ist

M^ = 4750- 6,06 - 5070 -1,56 = 20876 kgm.

20876

Nach Gl. 32 ist der Schub im Riegel H= —

7456

alsdann in der linken Strebe S± = —

4,5

2,8

= - 7456 kg,

• 5,30=—8770 „

„ rechten

7456

4,5

• 4,88=—8076 „

Balken: Gefährlichstes Moment tritt auf im Knotenpunkt des kleineren Außenfeldes, also in 2. Für Min M₂ wird gefährlichste Laststellung: Eigengewicht und links Nutzlast bis zum ideellen Firstpunkt. Man erhält als Knotenlasten:

1    4 5

P₁₌= 500-(4,5 + 3,3)---+800 .-L-+800*

u    u

1,747

3,3

(^)

1,747*

= 4777 kg, = 2195 „

p₂ = 500 • (4,0 + 3,3) •+ 800 ■

u

Gl. 32-; Q •& = Min M₂ =- (4777-4,5 + 2195-7,8)

2-3,3

Î+ -2195

11,8

• 1,74 = — 1874 kgm.

22/26 cmBalken mit W= 2 4 7 9 cm³ gibt o=

187400

2479

= 75 kg/qcm.

Nr. V. Doppeltes Hängewerk als Dachstuhl mit angehängter Decke, unsymmetrisches System mit wagerechtem Riegel. Mittelbare Belastung durch Unterzüge (Abb. 24).

Binder weite 4 m.

Belastungen

E Eigengewicht mit Dach Si Schnee links . . . Sr Schnee rechts .

kg/qm

= 160 Grundfläche

-J üx üx O

kg/m

= 640 Binder, = 200 „

= 300    „

Wi Wind links .    .    .

Wr Wind rechts

. = 77 Dach

. — 54 n

= 308 Gurt, = 216 „

= 600 „

I) Deckeneigengewicht . = 120 Grundfläche == 480 Binder, N Nutzlast der Decke . =150

■-

£=SI

/y

Sv

Vi

2,5

⁴'° n

S- v₂

°TVjää.....

••

ß,5

13,0 _

4,0

1p ‘ 0 US 1,B 1,5 io A

/*çt

p.

1600

Ri= soo

4f

X-1L |_|

Ps*2S0

5>

Mp 1002

zoao

i* H

2SG0

Lit

.Ws =501

S#^⁶"⁰

[Ps=120O

X* 11

A=:Ł H

'Wö’483

s-

H—34p.-738N\""

5Œ

\\! V2 Pt-2862 S\]X

<Si

\VWs=964

Abb. 24.

Die statische Berechnung ist für die verschiedenen Lastzustände in Kräfteplänen durchgeführt. Nach Gl. 30 wird das Kraftverhältnis

(2 t²= 13² — 2,5² —4,0² = 146,75) ;

= -1,34.

9>= -

4    9²+ 73,375

' 10,5² + 73,375

In Abb. 24 gehören die Kräftepläne I zum Eigengewicht E, II zum Schnee rechts Sr, III zum Schnee links Si, IV zum Wind links IFj, V zum Wind rechts IUr, VI zum Deckeneigengewicht D, VII zur einseitigen Nutzlast N vom rechten Lager bis zum ideellen Firstpunkt, welcher hier mit dem wirklichen Firste auf derselben Lotrechten liegt. Die Einzelkräfte der Pläne sind in nachstehender Tabelle (S. 49) enthalten.

Aus JLX= — 6015 folgt Min Mx nach Gl. 19:

6015 1,34

Bei diesem Moment wirkt im Balken eine Zugkraft    335 kg.

Min Mx = — 6015-10,5-

4,oJ

2,5

13,0

8745 kgm.

Ein Doppelbalken 26/32 cm mit IF=2-4437 cm³ und E= 2-832 cm² gibt

98 + 4 = 102 kg/qcm.

874500    7335

1664

8874

VIL. Durchbiegungen doppelter Tragwerke.

Neben der statischen Berechnung ist die Untersuchung der Durchbiegungen bei den Tragwerken mit offenen Mittelfeldern für die Bewertung des Systems von besonderem Vorteil.

Die elastischen Formänderungen des Balkens haben nicht unerhebliche Verbiegungen des ganzen Systems zur Folge, wodurch neben den dynamischen Wirkungen auch die Güte der Verbindungen und somit die Tragfähigkeit des ganzen Baukörpers leidet. Maßgebend sind die Durchbiegungen der Mittelknoten. Es wird zunächst darauf ankommen, dort die größten Verschiebungen zu bestimmen.

Nach Gleichung 5 ist bei wagerechtem Riegel zu übersehen, daß die größte Durchbiegung im Mittelknoten des größeren Außenfeldes entsteht. Angenommen, a>c, so ist öx der größere Wert. Er berechnet sich nach Gleichung 19:

d'j = tx ■ Mx ; tx =

[3 dv- xj.1 — a- /•    3/*- w\

Min

8705

- 17994

— 14305

+ 3218

274

6015

Max

+ 9875

+ 4120

+ 2120

— 2170

^voll

— 2500    —3130

— 3960    —4940

— 3140 : —3920

+ 3080 i +3840

+ 2350

+ 1880

625

’Al

550

250    — 1634

540

— 1315

— 770    + 915

664

+ 552

+ 425    +2500

890

915

| +1045

+ 770

Svo\\

720

Sr

Sl

560    — 160

— 550 ! — 2210

— 1750

— 1730

- 5250 ¹ —1660

— 4180 I — 1300 ! —450

— 232

+ 178

+ 160 !

+ 1140 ! + 900

650

840

+ 1730 ' + 560

— 1140 i — 900

Sind also aus der statischen Berechnung die Bie-gungsmomente bekannt, so ist die Durchbiegung derselben ohne weiteres aus einer Gleichung zu finden. Hierbei ist für Belastungen der oberen Knoten, ebenso für mittelbare Belastung des Balkens das volle Moment des Knotenquerschnitts in die Berechnung der Durchbiegungen einzuführen. Bei mittelbarer Belastung des Streckbalkens dürfen natürlich nur die Zusatzmomente 9}?¹ und 9K2 zu den Stützenmomenten und 9J£₂ der kontinuierlichen Träger angesetzt werden (Seite 28). Für die Berechnung der Durchbiegungen ist das hier durchgeführte Verfahren insofern zweckmäßig, als sich die maßgebenden Momentenwerte getrennt von den einflußlosen Gliedern ergeben.

Kraft

St

Vx

'x

Für Tragwerke mit wagerechtem Riegel vereinfacht sich die allgemeine Gleichung in die Form:

Gl. 52.

Gl. 53.

ôi

M,

b-a- (4 x² + b²)

6 E-J-l 3ô + 2c M₂ b • c ■ (4zr² -f b²)

6 E-J-l 3 b -|- 2 a Für symmetrische Systeme gelten noch weitere Verkürzungen:

(vgl. zu x² Gl. 9).

6 EJ

■a - b = — d₂.

Gl. 54.

Also schließlich für Tragwerke mit drei gleichen Feldern

ö, = -

6 EJ

a².

Gl. 55.

Bei Hängewerken mit Unterzügen, ebenso bei solchen ohne Deckenbelastung kann man für symmetrische Systeme setzen:

ci-b

dl =

2 a-b h 6 E    3 E    h ’

(T

h ist hierbei die Höhe des Balkens. Und, wenn a= 100 kg/qcm,

Gl. 56.

E= 100000 kg/qcm, so wird d = —

o

ab

h ¹

wobei sich ô in mm ergibt, wenn a, /;, h in m eingesetzt werden. Bei gleicher Balkenlänge und gleicher Balkenhöhe wird d zu einem Minimum, wenn & = 2« ist.

Bei den Durchbiegungen ist zu beachten, daß sie in

den beiden Knotenpunkten nach entgegengesetzten Richtungen auftreten. Es ist also die Knotendurchbiegung bei symmetrischen Systemen in Verhältnis zur halben Länge zu setzen. Bei unsymmetrischen Tragwerken ist die Summe beider Knotendurchbiegungen durch die ganze Länge zu teilen. Als Grenze für diese Durchbiegungsverhältnisse empfiehlt sich 1:300. Dabei ist gute Ausführung und in der statischen Berechnung-Berücksichtigung aller Einflüsse, wie hier durchgeführt, vorausgesetzt. Unter solchen Bedingungen folgt für die Balken-

höhe als niedrigste Grenze h>——a>

— 15

Träger mit gleichen Feldern. Bei unmittelbarer Belastung ist aus den Biegungsmomenten für die Querschnittsermittlung zunächst der Einfluß des Eigengewichtes zu streichen. Für die einseitige Nutzlast wird nur das Zusatzmoment anzusetzen

= 45

— I und zwar für

sein; bei gleichen Feldern bleibt von dem Minimummoment = — 0,182 pa² nur 0,9 dieses Wertes übrig, da das Stützenmoment des Trägers auf vier starren Stützen bei der untersuchten Laststellung = —0,0188 p a² beträgt.

Die ausgerechneten Zahlenbeispiele ergeben für die Durchbiegungen folgende Werte: E stets 100 000 kg/qcm.

I. <7=32 225 cm⁴ für Balkenquerschnitt 23/26 cm;

Moment aus Nr = (0,9 ■ 985) = — 887 kgm, desgl. aus Wr : 1020 kgm, zusammen also = —1907 kgm.

Daher ô

190700-300²

6-100000-32225

0,88 cm; und — l

1,64 cm; und —=

L

III. Fall B: <7=32225 cm⁴ für Balkenquerschnitt 2 2/2 6 cm. Jf= 208300 kgm.

also d=

109100-400-300

6-100000-13330

208300-350-400

6-100000-32225

= 1,5 cm und ~

t

1,5    1

550    367

IV. <7 = 32225cm⁴für 22/26 cm; M₂ = —1993 kgm; daraus 199300 • 330-400 -(4zr² -f 330²)

6 -100 000 - 32 225 -1180 • (3 - 330 + 2 - 450)

2t²= 1180² —450² —400².

Hieraus Hebung d₂ = 1,41 cm, und daher Senkung 4+4 __ 3,17 _ 1 /    “ lim — 372 '

1,41-4,5

4,0

= 1,76 cm.

, wobei

Y. ,7= 141664 cm⁴' für 2 - 26/32 - il7x = - 8745 kgm. 874500-650-250- (2-1467500+ 650²)

Somit ô

6-100 000-141 664-1300-(3-650+ 2-400)

1,67-4

Hebung 4= 1,67 cm; und Senkung 4 =

2,5

= 2,68 cm.

Somit

4 + 4    4,35

1300    300

Für die Bewertung der Endergebnisse darf nicht außer acht gelassen werden, daß diese Durchbiegungen nur durch die Momente des Balkens hervorgerufen werden. I11 Wirklichkeit werden eher größere Werte auftreten: bei Holzträgern

vergrößern die unvermeidlichen Mängel der Ausführung die Rechnungsergebnisse ebenso, wie bei Eisenkonstruktionen die starren Verbindungen sie vermindern.

Zum Vergleich mit Fachwerken möge beachtet werden, daß dort unter denselben Voraussetzungen die Durchbiegungen sich gleich Null ergeben müßten, da die Längskräfte in den Stäben nicht berücksichtigt worden sind. Die gefundenen Durchbiegungen können als Maßstab für den Grad der elastischen Nachgiebigkeit gelten, die das Tragwerk durch die offenen Mittelfelder erhält. Berücksichtigt man, welche Nachteile aus der größeren Beweglichkeit für die Tragfähigkeit des ganzen Systems folgen, so kann aus den durchgeführten Rechnungen nur wieder die Überlegenheit der vollständigen Fachwerke gefolgert werden.

VIII. Dreifache Tragwerke.

Hänge- und Sprengewerke höherer als zweifacher Ordnung sind im Hochbau selten. Je größer die Anzahl der

Dreifaches Hängewerk

h-o-----

Ai

-------0-1

Dreifaches Sprengewerk Abb. 25.

offenen Felder, um so größer die Nachteile des Systems. Bei dreifachen Systemen (Abb. 25) ist der mittlere Stütz-

punkt 4 aus der einfachen Ausstrebung ein starres Auflager. Für das doppelte Stab werk gelten dieselben kinematischen Beziehungen. Aus dem Wegverhältnis läßt sich wieder ein Kraft- und ein Momentenverhältnis ableiten; nur ist jetzt der Grundbalken ein durchgehender Träger auf drei starren Stützpunkten.

Die weitaus meisten dreifachen Tragwerke haben beiderseits gleiche Anordnung. Unter dieser Voraussetzung fällt der mittlere Stützpunkt mit dem Momentennullpunkt des zweifachen Systems zusammen. Daher gilt: Die statische Wirkung des doppelten Stabwerkes bleibt vollständig unge-ändert, so lange der Balken nicht unmittelbar belastet wird.

Wirken Lasten unmittelbar am Streckbalken, so ist zunächst der Träger als ein durchlaufender Balken auf fünf starren Stützen zu berechnen. Aus den Stützkräften der Fußpunkte des doppelten Stabwerkes Y werden die Zusatzmomente genau wie für die doppelten Hängewerke berechnet.

Anhang.

Kurze Übersicht der Regeln und Formeln für symmetrische Hänge- und Sprengewerke.

Die weitaus meisten hölzernen Tragwerke des Hochbaues aus dem Gebiete der Hänge- und Sprengewerke sind symmetrisch. Für diesen Sonderfall sind nachstehend eine Reihe von Sätzen zusammengestellt, die für sich selbständig ein Bild über die statische Wirkung dieser Tragwerke ergeben; auch die Beweise lassen sich in allen Hauptgliedern durch die Symmetrie und die Folgerungen aus den voran geführten Beziehungen selbständig herleiten. Für den Sonderfall der symmetrischen Tragwerke gibt somit die nachfolgende Zusammenstellung einen unmittelbaren, begründeten Weg zur Durchrechnung praktischer Beispiele, ohne die Kenntnis der vorstehenden allgemeinen Betrachtungen zur unumgänglichen Voraussetzung zu machen.

I. Allgemeine Regeln und Formeln.

A. Durchbiegungen des Balkens.

1. Die Bewegung der Fußpunkte der Vertikalen ist in allen Fällen der Belastung umgekehrt gleich groß; senkt sich der eine Fußpunkt um den Wert d, so hebt sich der andere um dieselbe Größe.

B. Belastung des Stabwerkes.

2.    Ist der Tramen unbelastet, so sind die Kräfte in den Hängesäulen gleich groß, haben jedoch entgegengesetztes Vorzeichen. Die Momentenfläche des Tramens ist umgekehrt symmetrisch; unter der gedrückten Hängesäule entstehen positive Biegungsmomente.

3.    Die äußeren Kräfte am Stabwerk bilden mit den Strebenkräften ein geschlossenes Krafteck.

4.    Wirkt nur eine Kraft von außen auf einen Obergurtknoten, so erhält die zugehörige Hängestange Druck.

C. Belastung des Streckbalkens.

5. Ist nur der Streckbalken belastet, so sind die Kräfte in den Hängesäulen gleich groß und haben gleiches Vorzeichen.

C'. Mittelbare Belastung des Streckbalkens.

6. Bei indirekter Belastung durch Unterzüge sind die Hängesäulenkräfte gleich der halben Summe der Unterzugslasten.

7. Die Momentenfläche des Streckbalkens ist nur von der Differenz der Unterzugslasten abhängig und wird durch ein Kräftepaar hervorgerufen, dessen Einzelkräfte in den Wirkungsgeraden der Hängesäulen liegen und gleich der halben Differenz der Unterzugslasten sind.

C". Unmittelbare Belastung des Streckbalkens.

8. Bei unmittelbarer Belastung des Streckbalkens durch unsymmetrische Kräfte füge man zu der wirklichen Belastung das Spiegelbild hinzu und bestimme die ideellen mittleren Auflagerdrücke eines solchergestalt symmetrisch belasteten durchgehenden Balkens auf 4 starren Stützen. Die wirklichen Hängesäulenkräfte sind gleich den halben ideellen Stützkräften. Ein Seileck für die äußeren Lasten und die berechneten Hängesäulenkräfte gibt die Momentenfläche des Streckbalkens.

II. Gang der Untersuchung eines symmetrischen Hängewerkdaches.

Die angreifenden Kräfte ergeben sich aus dem Eigengewicht, dem Schneedruck, den Windkräften und der gleichförmig verteilten Nutzlast einer angehängten Decke.

Man bilde die gefährlichsten Lastzustände:

A. Für das Stabwerk des Gurtes.

Eigengewicht des Daches; volle beiderseitige Schnee-belastung des Daches; einseitige Windbelastung; — Eigengewicht der unteren Decke (g); volle Nutzlast der unteren Decke (p).

a)    Bei flacher Dachneigung wird der Winddruck als lotrechter Zuschlag beiderseits zum Schneedruck addiert.

b)    Bei unmittelbarer Belastung der Decke wird die Kraft der Hängesäulen

a³ + b³ ‘

2a-(2a-\-3-b) bei drei gleichen Feldern F— 1,1 -(g -j- p)-a Ein geschlossenes Krafteck aus den ermittelten Lasten des gefährlichsten Zustandes und aus den Strebenparallelen gibt die Strebenkräfte und damit auch die Eiegelkraft.

und für a = b

F=

— • («+/,) +

9 + P

B. Für die Hängesäulen.

Max F wird durch folgenden Zustand hervorgerufen: Schneedruck und Winddruck auf einer Hafte des Daches; (Eigengewicht des Daches ohne Einfluß); Eigengewicht der unteren Decke; volle Deckennutzlast.

MinF: Schnee- und Winddruck auf einer Dachseite; (Eigengewicht des Daches einflußlos); Eigengewicht der Decke;

Nutzlast der Decke bis zur Mitte auf der Seite der Dachbelastung.

Min F entsteht auf der weniger belasteten Seite. Kraftecke für Max F und Min F wie bei À.

C . Für den Streckbalken bei mittelbarer Belastung.

Schnee- und Winddruck auf einer Dachseite (Dach-eigengewiclit für Momente ohne Einfluß, ebenso Deckeneigengewicht) ; Deckennutzlast einseitig bis zur Balkenmitte auf der Seite der Dachbelastung.

Das Biegungsmoment aus Deckennutzlast wird — p

8

Die Biegungsmomente aus Dachbelastung ergeben sich, nachdem die Hängesäulenkräfte aus Kraftecken gefunden worden sind.

C". Für den Streckbalken bei unmittelbarer Belastung.

Zunächst wieder Schnee- und Winddruck auf einer Dachseite; (Eigengewicht des Daches bleibt ohne Einfluß auf die Biegungsmomente des Balkens); Eigengewicht der Decke; Nutzlast auf der Seite der Dachbelastung über die Mitte vorgeschoben bis 0,7 des Mittelfeldes.

Der absolut größte Momentenwert ist das negative Biegungsmoment im Fußpunkt der Hängesäule auf der weniger belasteten Seite. Bei drei gleichen Feldern gibt die Nutzlast Min M= -0,182 p.«².

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