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Biblioteka

Aus der Festigkeitslehre

Aus der

Festigkeitslehre

Der Spannungszustand

in den Punkten eines geraden Stabes bei den vier einfachen Fällen der Beanspruchung

Dargestellt

zur Einführung in das Studium der Festigkeitslehre von

Carl J. Kriemler

Ingenieur

Mit 41 Abbildungen und 1 lithographierten Tafel

Vevey (Schweiz) Verlag⁻ von Albert Roth

(Internationale Artistique)

1893

?

KRAKÓW

iîmt

A. Allgemeine Definitionen.

B. Zii(| mul Druck

C. Biegung.

\ 2 /

( bc3^

1). Schub.

E. Torsion.

A. Allgemeine Definitionen.

1)    Gerader stabförmiger Körper.

Ein gerade]¹ stabförmiger Körper entsteh! durch die Bewegung’ einer ebenen Fläche längst einer geraden Linie, und zwar gebt diese Bewegung auf solche Weise vor sich, dass die während derselben im allgemeinen ihre Grösse und Form verändernde ebene Fläche beständig in ihrem Schwerpunkte von jener geraden Linie rechtwinkelig geschnitten wird. Die ebene Fläche bildet in irgend einer Lage den Querschnitt des Stabes, die Leitlinie bildet die Axe desselben.

2)    Körperpunkt.

Unter dem materiellen Punkte A des Körpers verstehen wir eine Fläche F, welche zwei Körperelemente von einander trennt, in dem Augenblicke, wo ihre Grösse die Grenze 0 erreicht. Es ist also der Punkt A die auf einen Punkt zusammengeschrumpfte Fläche F.

3)    Aeussere Kräfte.

Aeussere Kräfte nennen wir die von aussen her auf den Körper als Ganzes sich derart beihäligenden Einwirkungen, dass der Körper durch sie eine Formveränderung erfährt. Sie bilden in ihrer Gesamtheit die Belastung.

Keiemleh, Aus der Festigkeitslehre.

4)    Innere Kräfte.

Innere Kräfte nennen wir die Kräfte, mit denen die unendlich kleinen Elemente des Körpers an ihren Berührungsflächen gegenseitig aufeinander ein wirken unter dem Einflüsse der ins Gleichgewicht gekommenen äusseren Kräfte.

5)    Spannung.

Ist der Zug oder Druck, den zwei Körperelemente in

ihrer gemeinschaftlichen Berührungsfläche F. gleichverleijt

über diese Fläche F. aufeinander ausüben, nach Grösse und

S

Bichlung — *$', so nennen wir den Quotienten - im limes/⁷—0, d.h. in dem Augenblicke, wo die Fläche F, auf welche sich S bezieht., in einen Punkt A zusammenschrumpft, die Spannung p im Punkte A für die Ebene F

p = (hm r — 0)

Die Richtung der Spannung p stimmt natürlich mit der Richtung von S überein.

Rückwärts kann man auch die Spannung p im Punkte A der Fläche F definieren als die auf die Flächeneinheit be-zogene Zug- oder Druckkraft, welche die an die Fläche F beiderseits angrenzenden Körperelemente heim Punkte A gege n sei t ig au fei n a nder au s üb en.

Aus dieser Definition erhellt, dass, sobald man den Punkt A in einer andern Fläche als F. z. B. in der Fläche U liegend sich denkt, die Spannung im Punkte A für (fie Fläche D eine andere sein muss als für die Fläche F.

0) Der Spannungszustand im Punkte t.

Man sagt der Spannungszustand im Punkte A des Körpers ist bekannt, wenn die Spannung p nach Grösse und Richtung bekannt ist für jede beliebige durch ihn hindurchgehende Fläche.

7) Nor mal Spannung und Tangentialspannung.

Die Spannung⁻ p lässt sich in zwei Componenten zerlegen, von denen die eine senkrecht zur betreffenden Fläche, die andere in der Fläche selbst wirki. Dieerstere Componente heisst die Normal Spannung = a, die letztere- die Tangentialspannung = x.

/Ù'Ny

Fig. 1

Bildet die Richtung⁻ von p mit der Richtung⁻ der Normalen auf F im Punkte A den Winkel © (vergl. Fig⁻. 1), dann ist

8) Dehnung.

K—

■I

a!

K----

4<— As —x

Fig- 2

Ist auf der Verbindungslinie der zwei Körperpunkle A

der Belastung um die

und B (vgl. Fig. 2) der Punkt A’ vor

Länge .9 von A entfernt, und ist A.v die durch die Einwirkung' der Belastung hervorgebrachte, also mit der Deformation verbundene Längenänderung der Strecke .v, so nennen wir den im limes .9 = 0, also in dem Augenblicke, wo die Strecke .9, auf welche As sich bezieht, in den Punkt A zusammengeschrumpft ist, die Dehnung z im Punkte A nach der Richtung A B.

A .9

Quotienten

A .9

s = (lim .9

Die Dehnung kann natürlich entsprechend einem Zuge oder einem Drucke positiv oder negativ sein.

Rückwärts kann man auch die Dehnung s definieren als die auf die Längeneinheit bezogene Verlängerung bezw. Verkürzung, welche die Linie AB im Punkte A erfährt.

9)    Querdehnung.

Erleidet der Punkt A nach irgend einer Richtung eine Dehnung s, so ist erfahrungsgemäss das blosse Vorhandensein dieser Dehnung Ursache der Entstehung einer secun-dären Dehnung in der zu der Richtung von s senkrechten Richtung, deren Grösse ist = — “ , und zwar schwankt der Wert von rn zwischen 3 und i. Diese secundäre Dehnung nennt man die Querdehnung.

10)    Elasticitätsmodul.

Die Erfahrung hat gelehrt, dass die Dehnung s innerhalb der in der Praxis vorkommenden Spannungsgrenzen für die meisten Materialien der nach ihrer Richt ung wirkenden

G

Normalspannung proportional ist. Es ist also der Quotient

eine Constante, welcher der Name Elastieitätttmodu/'gegeben worden is! ; sie wird kurz mit E bezeichne!.

Bemerkung. — Für rin Material, das in allen Punkten nach allen Richtungen gleich beschallen ist — isotropes Material — ist /i von der Spannungsrichtung unabhängig; in nur homogenem Material, das zwar in allen Punkten aber nicht nach allen Richtungen gleich beschallen ist, ändert sich E je nach der Spannungsrichtung. Tn unseren Ableilungen setzen wir isotrope Körper voraus.

11) Schiebung.

Mit der Deformation eines Körpers ist eine Bewegung der einzelnen Ebenen in seinem Innern verbunden, welche Bewegung im allgemeinsten Falle in einer Translation und einer Rotation bestellen wird. Projieiert sich ein beliebiger Punkt B des Körpers (vergl. Fig. 3) auf die Ebene F in dem

ń-A>

\L

Ci

Fig. 3

Punkte .1 und gelangt dieser Punkt A infolge der Translation und Rotation der Ebene F in die Lage A , und ist nunmehr der Punkt C die Projection desselben Punktes B auf die Ebene F in ihrer neuen Lage, so nennen wir den Quo-

t ienten

A’C

im limes = 0, d. h. in dem Augenblicke, wo

der Abstand des Punktes B von der Ebene F gleich 0 gw worden ist, die Schiebung der Ebene F im Punkte A.

CB

A’C

BC

Zieht man durch A’ die Parallelen zur Richtung von AB und zur ursprünglichen Lage von F, so sieht man, dass 7= £ ~l~ Z ist ; es lässt sich demnach die Schiebung auch definieren als die Grösse, welche anglebt, um wie viel sich dev rechte Winkel, den die Fläche F mit der materiellen Linie AB ursprünglich bildete, nach der Deformation verändert hat.

12) Schub-Elasticitätsmodul.

= E ist unter

. I y;

ist das Mass für die trigonometrische

Tangente des Winkels A B C = 7, oder auch, da 7 sehr klein bleibt, das Mass für den Winkel 7 selbst, und bezeichnet man die Schiebung kurz mit 7

Der Quotient

CB

Analog dem constanten Verhältnis -gleichen Bedingungen auch

und nennt man die Constante G den Schub-Llasficitätsmodul.

13)    Deformationszustand.

Wir sagen : der Deformationszustand in einem Körperpunkte ist bekannt, wenn wir für alb¹ Richtungen die in ihm vorkommenden Dehnungen und Schiebungen kennen.

14)    Festigkeit.

Die vollständigste Deformation hat ein Körper dann erfahren, wenn seine einzelnen Teile ihren Zusammenhang verlieren; wir sagen dann, die Festigkeit des Körpers sei überwunden.

15)    Festigkeitslehre.

Soll ein Körper als Glied einer Construction belastet werden, so müssen wir jedenfalls zuvor uns vergewissern,

AL LG RM KIN R D RFI NITIO N R \

dass er diese Beanspruchung aushalteii kann, ganz gewiss also, dass er in keinem seiner Punkte eine Ueberwindung seiner Festigkeit erleidet. Wir gehen aber noch weiter und lassen nur eine solche Beanspruchung zu. dass der Deformationszustand in keinem Punkte eine erfabrungsmässig als höchstens zulässig erkannte Grösse überschreitet. Die Gesamtheit der Kenntnisse, welche diese Beschränkung der Belastung ermöglichen, nennt man die Festigkeitslehre.

16) Beanspruchungs-Coëffieienten.

Die Erfahrung hat gelehrt, dass die Deformation in (dnem Punkte so lange unschädlich ist, als der Absolutwert aller Normalspannungen a in demselben kleiner oder höchstens gleich ist einer bestimmten Grösse k, der Absolutweid aller Tangentialspannungen t kleiner oder höchstens gleich einer bestimmten Grösse t ist. Die bestimmten Werte k und / nennt man die zulässigen Beanspruchungs-Coëffieient en.

Bei isotropem Material sind k und t für sämtliche Richtungen gleich, höchstens kann k für positive a einen anderen Wert haben als für negative a. Bei nur homogenem Material sind k und t für jede Richtung verschieden. In der Praxis ist es üblich, die Formeln, welche für isotropes Material abgeleitet sind, auch bei nur homogenem Material anzuwenden, die auf diese Weise gefundenen Spannungen a und t aber mit den richtigen, für die betreffenden Richtungen des Materials geltenden Coëfficienten k und t zu vergleichen.

Bemerkung. — Es giebt übrigens eine ganze Reihe von Fällen, wo nicht aus den Spannungen auf den Deformationszustand geschlossen werden kann, sondern wo die erkannte oder angenommene Deformation erst den Spannungszustand erkennen lässt.

f

.

B. Zii(| mul Druck

Definition eon einfacher Zur/- bezie. Druckbelastung. Wir nennen eine Belastung⁻ Zug bezw. Druck, wenn der gerade Stab an beiden Enden von zwei entgegengesetzt gleichen Kräften angegriffen, wird, die beide nach aussen bezw. beide nach innen gerichtet genau in der Stabaxe wirken.

Diese Definition setzt voraus, dass der Stab gewichtslos sei. Ist sein Gewicht aber nicht zu vernachlässigen, so gehört der durch die zwei Axialkräfte und durch das eigene Gewicht belastete Stab nur dann zu den auf einfachen Zug bezw. Druck beanspruchten Stäben, wenn die Richtung seiner Axe mit der Richtung der Schwere übereinstiinnit. Es sind in diesem Falle die beiden äusseren Kräfte um die Grösse des Slabgewichles verschieden.

V oraussetzungen.

Ist in dem Falle des lotrechten Stabes :

F die Grösse des Querschnittes, der vom oberen Ende um die Länge x absteht D die Grösse der äusseren Axialkraft

das Gewicht der Volumeinheil des Stabmaterials

so wirkt der olx*r<‘ Stabteil in dem Querschnitt F (vergl. big'. 4) auf den unteren Stabteil mit einer inneren Kraft, deren Grösse ist

s* P + fj • Vof

worin F als Funktion von x die mit x im allgemeinen variable Querschnittsgrösse darstellt.

Ai

\i

->

P'

Fig. 4

0 ist, sodass

Ist die Stabaxe nicht lotrecht, dann können wir nur von Zug bezw. Druck sprechen, wenn r/

(.r)

wird.

P und fj j F • dx erhalten positives Vorzeichen, wenn sie als Zug wirken, d. h. den Stal) in dem Querschnitte zu trennen bestrebt sind, negatives Vorzeichen, wenn sie die beiden Stabteile in dem Querschnitte aneinander pressen.

Der Teil

‘x

!/

I F • dx

J ⁰

von der inneren Kraft S\X) wirkt gleich massig⁻ auf den ganzen Querschnitt, und auch der Teil P wird es tliun, ausgenommen bei einigen wenigen Querschnitten in nächster Nähe der Stirnflächen des Stahes, die, streng genommen, nicht mehr einfache Zug- bezw. Druckheanspruchung erfahren.

Wir wollen nun im folgenden für den Punkt A des Stahes den Spannungszustand hei dieser Belastung kennen lernen, d. h. für alle durch A hindurchgehenden Ebenen die Spannungen x und x ermitteln.

Lehrsatz I. Für die Ebene des Querschnitts F, in welchem der Punkt A liegt, ist

= g; t

.v

Beweis. Wir haben gesehen, dass S den ganzen Querschnitt gleichmässig beansprucht, also wirkt auf die den Punkt xl enthaltende Einheit der Fläche eine Kraft und «'s ist diese auf die den Punkt A enthaltende Einheit der Fläche F wirkende innere Kraft nach Definition gleich der Spannung p. Da die Querschnittsebene von der Richtung von S senkrecht geschnitten wird, so steht auch p normal zu derselben, ist also p a und infolgedessen x = 0.

Zusatz. Es ist A ein beliebiger Punkt des Querschnittes, also ist die Spannung p und damit auch a für alle Punkte eines Querschnittes gleich, so dass die sämtlichen Längsfasern des Stahes in dem betreffenden Querschnitte sich ganz gleichmässig verhallen, d. h. sich gleichmässig dehnen etc.; sie können sich also gegenseitig nicht beeinflussen, und folgt hieraus, dass in den zur Kraftrichtung parallelen Ebenen keine inneren Kräfte vorhanden sind. Theoretisch ganz genau ist diese Folgerung nur für die mittelsten Teile eines Stahes constanten Querschnittes, am ungenauesten für einen Stab stark veränderlichen Querschnittes. Bei letzterem sowie- auch in der Gegend der beiden Enden des prismatischen Stabes, wenn die äusseren Kräfte nicht auf den ganzen Stirnquerschnitt desselben gloichmässig verteilt sind, treten sowohl Normalspannungen als auch Schubspannungen auf in den zur Kraftrichtung parallelen Ebenen. Doch pflegen ihre Grössen so gering zu sein, dass sie ohne Cngenauigkeit gegen die Spannungen in den anderen Ebenen vernachlässigt werden können.

Lehrsatz II. Für jede Ebene durch A. welche mit der Querschnittsebene den Winkel a bildet, ist die Richtung der Spannungzur Kraftrichtung parallel.

Beweis. Nimmt man (vgl. Fig. S) die Kraftrichtuiig, also die Stabaxe, zur Richtung derAr-Axe eines Coordinaten-

P

*a

/Z

a.

Fig. 5

Systems, »lie Schnittlinie der Querschnittsebene mit der lumen Ebene zur Z-Axe und die hierzu senkrechte Richtung in der Querschnittsebene zur 1-Axe, und denkt man sich die Ehenen noch nicht ganz in den Punkt A zusammen-geschrumpft, so stellt sich der Punkt A als kleines Prisma dar, gebildet von der Querschnitts ebene, der neuen Ebene und einer beliebigen zur JfŹT-Ebene und zwei zur A l-Ebene parallelen Ebenen. Es wirken nun auf Grund unserer Yoraus-

a • 3 nach der Richtung von o, und auf die Flächt' in der neuen Ebene eint' innere Kraft = h • pa nach der Richtung von pa, worin pa die nach Grösse und Richtung noch unbekannte Spannung der neuen Ebene im Punkte A, a und b noch abzuleitende Coëfficienten sind. Da Gleichgewicht der äusseren Kräfte vorausgesetzt ist, also auch diese inneren Kräfte an dem Prisma im Gleichgewicht, sind, so müssen auch deren, je nach den Coordinaten-axen genommenen Componenten einzeln im Gleichgewicht sein. Nun hat aber die Kraft a ■ a nach der Y- und nach der Z-Axe keine Componente, also kann auch die Kraft b • pa keine solche haben. Es ist also die Richtung von jja senkrecht zur Z- und zur F-Axe, also parallel der A-Axe und damit auch parallel der Kraftrichtung.

Setzungen dit' das Prisma umgebenden Körperteile aut das-selbe nur in der Querschnittsebene und in der neuen Ebene, denn seine anderen Flächen sind der Kraftrichlung parallel. Es wirkt auf die Fläche, welche in der Querschnittsebene liegt, eine innere Kraft

a • 3 und b • pa fallen in eine Richtung, es ist demnach

■ p.

Lehrsatz III. Für jede Ebene durci i A, welche mit der Querscbnittsebene denselben Winkel a bildet, ist die Grösse der Spannung pa gleich, und zwar ist die Grösse ihrer beiden Componenten

• sin2 a

3 • cos² a ;

Beweis. Wählt man hei dem kleinen Prisma, als welches man sich den Punkt A vorstellt, die Grösse der in die Querschnittsebene fallenden Fläche f. so ist die Grösse der

in die neue Ebene fallenden Fläche

cos a

Die innere

Kraft auf diese Flächt' ist dann auf die Querschnittslläche =

P° *

cos a

und diejenige

Es isl demnach

/'

IK

cos a a • cos a

Da ferner dir neue Ebene mil der QuerSclinittsebene den Winkel a bilde!, so bildet ihre Normale mit der Stabaxe, also auch mit pa den Winkel a. und isl infolgedessen die zur Ebene normale Componenlr za von pa

0 • cos² a

cos a

J er.    P a

während die in die Ebene lallende Compounde ta von pa w ird zu

z • sin2a

pa • cos (90—a) = -o • cos a • sina =

Lehrsatz TVu. Die grösste normale Spannung za in dem Punkte A ist diejenige, welche die Querschnittsebene selbst afliciert.

Betreis. Es isl cos²a am grössten für a = s« - o = 1

Bemerkung. — Für diese Ebene isl xa==0 sin 0

sin 2 a

0.

0, d. h. es ist

^max

0, denn

Lehrsatz TVb. Die kleinste normale Spannung za in

dem Punkte A isl diejenige, welche in den zur Querschnilts-ebene senkrechten Ebenen auftritt, und zwar isl oa Beweis. Für a

!»0

0.

0, also aa

Bemerkung.—Für alle Ebenen, welche den Querschnitt in einem Winkel a = sin 180°

0.

90° ist cos² a

0 • z.

90° schneiden, ist xa 0, denn sin2a

Lehrsatz V«. Die grösste Schubspannung ta in dem Punkte A ist diejenige, welche die Ebenen afliciert, die den Querschnitt unter einem Winkel a von 4o° schneiden, und zwar ist

Beireis. Es wird sin2a ein Maximum für 2a •io".

90°,

d. li. a

4-5° schneiden. ist die Normal-

3.

Bemerkung. — Für die Ebenen, welche den Querschnitt unter einem Winkel a Spannung oa=45 = a • cos²-io =

Lehrsatz V4. Die kleinste Schubspannung haben die Querschnittsebene und alle zu ihr senkrecbüm Ebenen, und zwar ist

'■min

lieireis. Vgl. Bemerkungen zu Lehrsätzen IVö und IYZ.

Lehrsatz VI. Für alle Punkte eines Querschnittes sind jeweils die Spannungen gleich, welche gleich geneigte Ebenen afficieren.

Beweis. Es ist für alle Punkte desselben Querschnittes die Normalspannung a für die Querschnittsebene gleich, also sind auch die Spannungen für Ebenen mit gleichem Winkel a unter sich gleich.

Folgerungen. Wenn wir die Zug- oder Druckkraft einer solchen Beschränkung unterwerfen, dass für jede durch A hindurchgehende Ebene

<< k und ta /

bleibt, so können wir sicher sein, dass in dem Punkte keine

unzulässige Deformation stattfindet.

Bei einem isotropen Material, für welches t j> k ist, o mit k zu vergleichen, denn wenn

!M. \

genügt es das a a k bleibt, so sind sämtliche aa k und sämtliche xa t.

Ist hingegen bei einem Material an der Festigkeitsgrenze die Schubfestigkeit kleiner als die Hälfte der Normalfestigkeit, so wird hei unbeschränkter Zug- oder Druckbelastung des Stabes die Zerstörung desselben dadurch geschehen, dass er

längst einer zur Stabaxe unter 4S° geneigten Ebene ab-geschohen wird.

Lehrsatz VII. Die grösste Dehnung ist diejenige nach der Richtung der Stabaxe. Ihre Grösse ist

fo

Bewein. Von allen Normalspannungen ist diejenige, welche die Quersclmittsebene afficiert, welche also nach der Stabaxe gerichlet, ist, die grösste, sodassdie ihr proportionale Dehnung nach dieser Richtung die grösste Dehnung ist.

Bemerkung. — Da für alle Punkte eines Querschnittes mit der Normalspannung a auch die Dehnungen gleich sind, so werden unter dem Einflüsse der Zug- bezw. Druckbelastung zwei benachbarte Querschnitte von einander sich entfernen bezw. sich einander nähern, indem sie ihre Parallelität beibehalten.

ist die Längenänderung desselben 1/

so

Lehrsatz VIII. Is! / die Länge eines gezogenen bezw. gedrückten Stabes hei variablem Querschnitte

-l

±J.

A(x)

E F(x)

dx

hei constantem Querschnitte und einem Eigengewicht

Bewein. Im Punkte A eines beliebigen Querschnittes E(x). dessen Abstand von dem einen Stabendex ist, ist die Längenänderung pro Längeneinheit nach der Richtung der Axe

(*)

E [\

es dehnt sich also das den Punkt A enthaltende Differential dx

der Länge um den Betrag

£ • dx

{x)

■ dx

(x)

und stellt diese Grösse auch den Betrag⁻ dar. um welchen zwei um dx von einander entfernte Querschnitte diesen ihren Ahstand verändert haben.

. Summieren wir alle einzelnen Elemente s ■ dx der Ahstandsänderung⁻ je zweier henachharter Querschnitte, so erhalten wir die Armierung' des Abstandes der zwei End-quersclmitte und damit auch die Längenänderung⁻des ganzen Stahes, welche mit A / bezeichnet werden möge

■i

A/

CO

• dx

(x)

E J₀

• dx

Sind hierin S(X) und E\x) constant für den ganzen Stab,

so ist

LI —

dx

1 P E ' ~F

Zusatz. Alit dieser Dehnung im Sinne der Stabaxe ist eine Querdehnung z{q) in jeder zur Stabaxe senkrechten Richtung verbunden, und zwar haben s und 3((/) entgegen-ges(‘tztes Yorzeichen. Diese Querdelinung bewirkt bei einer Zugbelastung eine Querschnitts-Verminderung, bei einer Druckbelastung eine Querschnitts-Yergrösserung.

Lehrsatz IX. Die grösste Schiebung ist diejenige in den Ebenen, welche mit der Stabaxe den Winkel von 45° bilden, ihre Grösse ist

145

( 1 4-------) £

v m worin £ die Dehnung nach der Stabaxe, m einen Wert zwischen 3 und 4 bedeutet.

Kbiemlek. Aus der Festigkeitslehre.

Beireiff. Denken wir uns wieder, wie beim Beweis von Lehrsatz II, den Punkt A als unendlich kleines Prisma, und zeichnen wir (vgl. Fig. (J) dasselbe so, dass die Z-Xxe zur

to

WTt

K'A

FiK. 6.

Bildlläche senkrecht steht, so stellen A B = dx; BC — dy und AC die Spuren der dasselbe bildenden Ebenen mit der X F-Ebene dar.

Unter der Einwirkung von a dehnt sich die Linie A B um s • d.T und die Linie BC um £₍₃₎ • dy = — dy •    , sodass

in dem deformierten Prisma

A B — d.t (1 -f- s) B C = dy (1 —

und die trigonometrische Tangente des Winkels B'A’C — ç ist

fg' s =

B' C

AB

dx (1 -f- s)

Es ist aber, weil a = 45° war, dx — dy. sodass wir

haben

tg £ =

Ferner ist der Punkt B ein Punk! des Normalen im Punkte Bi der Ebene, deren Spur AC ist. ß gelangt durch die Deformation nach B und Bi nach Bi , und zwar ist. ebenso gut wie Bi der Halbierungspunkt von AC war. Bi der Halbierungspunkt von A’C\ denn die Längenänderung von AC verteilt sich gleiclimässig über die ganze Länge.

Es isl also nach der Deformation B’Bi die nunmehrige Lage derjenigen materiellen Linie, welche früher in Bi senkrecht zur Ebene A C stand. Nach der Definition der Schiebung haben wir B auf A’C’ zu projicieren, wodurch wir den Punkt Bi erhalten, und stellt alsdann die trigonometrische Tangente des Winkels Bz B Bi ' — y dit* Grösse der Schiebung dar.

Es ist

Bi B₂’

b.;b-

worin

7t

Bi ’ Bd = A lh ’—A ’Bi ’

Bi B' — dx (1 -(- s) sin z,

also ist

»g⁻ T =

IO¹

cos ç

sm

kürzt man diesen Bruch mit cos z. so wird

!g T

! ïsïj

,rvv

ZC

.vir

und drückt man cos ç durch lg c; aus, so wird

cos² %

= 1 + tg²^

und damit

Iff •( =

IC

—    | p'2    ?

2 lb -

8 \2 m /

Führt man die Division des Bruches aus. wobei man die zweiten und höheren Potenzen von s als unendlich klein höherer Ordnung vernachlässigen kann, so ergiebt sich

Ï45 = Ï45 = (J + ,J, ) £

und da die Schiebungen den Schubspannungen proportional sind, für a — 45° die Schubspannung am grössten ist. ist y45 < 1 ie grösste Schiebung.

Folgerung. Der Sclmb-Elasticilätsmodnl G steht zum Elasticitätsmodul E in der Beziehung

Beweis. Allgemein ist speziellen Falle

— = G, also ist in unserem

"45

Ï45

nun ist aber

PS A

Ï45    — ( 1    -f~--) £ - ( I    ~    )

ni    m

also ist

IC

( I H- )

tJI

2 (1 + —)

w

Lehrsatz X. Die Dehnung nach der Richtung, welche mit der Stabaxe den Winkel a = 45° bildet, hat die Grösse

T £ (1 -------- )

2 v m J

worin £ die Dehnung nach der Stabaxe bedeutet.

Beweis. Das Dreieck B BV C in Fig. fi ist ebenso gut ein gleichschenkliges wie das Dreieck BBXC, weil B{ senkiecht über der Mitte von BC steht, wie B± senkrecht über der Mitte von BC.

cs

__ _J* ixxf

1'^

■-X

O

ta

Legt man nun

(vgl. Fig. 7) diese beiden Dreiecke so auf einander, dass ihre Mittellinien und ihre Spitzen sich decken, so Stellt nach Definition

Winkel BOB Winkel COC den Winkel y dar und da die Figur zur Mittellinie symmetrisch ist, ist

Winkel BOB .== ^ y — W inkel COC

Demnach ist die Länge

cos 45°

»u, = bo =

BB, = U '() =

cos (45---ly)

und für die Dehnung erhalten wir den Ausdruck

£45 -

B By — BB,

(1 + e)

BBl

cos (45 — ¹2 T.)

cos 45

cos 45

— (1 + e)

cos 45

cos (45 —

hierin ist cos (45 — '( ) — cos45 • cos j -|- sin 45 •

und zwar ist sin45 = cos45.

Es ist also

sin

y>

£i5 = (1 + e)

cos

+ sin

Nun hahen wir schon abgeleitet, dass

tg 145 = (1 +

ami können wir, da es sich nur um einen sehr kleinen Winkel 7 handelt

LOi

■) £

setzen.

Drücken wir also in dein Ausdruck für s₄₅ die W erte cos Y und sin durch tg -J- aus und führen wir die sich ergehenden Divisiomni aus, wobei wir alle zweiten und höheren Potenzen von s vernachlässigen, so erhalten wir schliesslich

c45

Denken wir uns den Punkt A als einen unendlich kleinen Würfel, dessen eine Diagonalebene (vgl. Fig. 8) mit der ArZ-Ebene zusammenfällt, so wissen

Anderer Beireis.

ÄV

4-

US.

45

Fig. 8

wir, dass auf die vier Flächen, welche mit der Stabaxe Winkel von 45°bilden, und deren Spuren mit derXF-Ebene gezeichnet sind, je eine Normalspannung    \ o wirki.

Nun bringt das z. 13. nach der Richtung f wirkende <r45 nach dieser Richtung eine Dehnung hervor gleich ~ß-‘> nach derselben Richtung billigt aber noch das nach der Richtung II

£45 —

Zusatz. Wir sehen, dass in der zu einer Ebene, welche mit dem Querschnitt einen Winkel a = 45° bildet, normalen Richtung eine Dehnung vorhanden ist

£45

Diese Dehnung soll aber mit der nach dieser Richtung wirkenden Normalspannung proportional sein, also sind wir genötigt, die zu ihr normale Ebene als von einer virtuellen

Normalspannuiig- afficiert uns zu denken, die wir mit (er) In zeichnen wollen. Es ist dann

(<045

345 K

— vl

(1---) e . E = (1---)-w * = (l---) ^45

m    m 2    m

Es g-ieht natürlich für jede Ebene ein (er)a, und zwar ist allgemein

(er), = er, —

-'<X^$&E=X>---

C. Biegung.

Definition der einfachen Biegungsbelastung.

Wir nennen die Belastung⁻ eines geraden Stabes dann eine Biegungsbelastung, wenn alle auf ihn einwirkenden äusseren Kräfte parallel sind, die Stabaxe senkrecht schneiden und alle in einer einzigen durch die Stabaxe gehenden Ebene liegen, der Belastunc/sebene oder Kraftebene. Diese Delini-tion setzt voraus, dass der Stab gewichtslos sei. Ist aber sein Gewicht nicht zu vernachlässigen, so gehört er nur dann zu den auf einfache Biegung beanspruchten Stäben, wenn seine Axe horizontal liegt, denn nur dann wird diese auch von den Schwerkräften rechtwinklig geschnitten.

V oraussetzungen.

Denken wir uns den Stal» in einem beliebigen Querschnitte auseinander geschnitten und bilden wir die Resultante aller links von dem betreffenden Querschnitte und die Resultante aller rechts von demselben wirkenden Kräfte jede für sich, so müssen, da wir Gleichgewicht der äusseren Kräfte voraussetzen, auch dies»' beiden Resultanten im Gleichgewicht sein. Sie müssen also beide gleich gross, aber entgegengesetzt gerichtet sein, und beide in eine Linie fallen, welche in derselben Ebene mit den Lasten der gemeinschaftlichen Richtung dieser parallel ist. Diese Linie hat im allgemeinen einen Abstand = a von dem Querschnitt, auf welchen sich die beiden Resultanten beziehen (vergl. Fig. 9).

n?r

Fig. 9

Denken wir uns nun von dem Slal> den linken Teil ent-fernt, so kann der rechte Teil nur dann io seiner Lage bleiben, wenn wir in dem Querschnitte ein der Resultanlen der am rechten Teile wirksamen äusseren Kräfte entgegengesetzt gleiches Kräftesystem anbringen, d. h. also, wenn wir in dem Querschnitte ein der Resultanten der am entfernten linken Teile wirksam gewesenen äusseren Kräfte (angrei-

kPi

vC?₃ f'M

Fig. 10

fonde und reagierende) äquivalentes System anbringen. Dies thun wir, indem wir (vergl. big. 10) zu der vorhandenen Resultanten, welche wir öiinks nennen wollen, in dein Schwerpunkte des Querschnitts, und zwar in der Linie des Schnittes der Belastungsebene mit dem Querschnitte, zwei entgegengesetzt gerichtete, unter sich und mit Qimks gleiche Kräfte Qi und Qa anbringen. Dieses neue System ist mit Oiinks aequivalent, denn die beiden neuen Kräfte sind zusammen gleich 0, nur können wir dasselbe deuten als eine in der Ebene des Querschnitts durch dessen Schwerpunkte gehende mit Qimks gleiche und gleichgerichtete Schubkraft Qi, zusammen mit einem Kräftepaare, dessen Axe im Schwerpunkte des Querschnittes zur Belastungsebene senkrecht steht, also mit dessen zur Belastungsebene senkrechten Schweraxe zusammen fällt. Die Grösse dieses Kräftepaares ist a • Qiinks- Die Schubkraft nennen wir die Querkraft = Q. das Kräftepaar das Moment = M der äusseren Kräfte für den betreffenden Querschnitt.

Gewöhnlich brauchen wir den Abstand a der Resultanten Chinks von dem Querschnitt gar nicht zu bestimmen, sondern bezeichnen :

M als die algebraische Summe der Produkte aus jeder links vom Querschnitt angreifenden Kraft mit ihrem Abstand von demselben.

Q als die algebraische Summe der links vom Querschnitt a ngrei fen den Kräft e.

In Wirklichkeit bleibt nun der Stab ungeteilt , das Gleichgewicht des rechten Stabteiles verlangt aber auch in diesem Falle die Erfüllung obiger Bedingungen, es müssen demnach die inneren Kräfte vom linken Stabteil her die Uebertragung der Querkraft Q und des Momentes M auf den Querschnitt be s orgen.

Zum Ausdruck gelangen, wie wir in der Einleitung gesehen haben, innere Kräfte als über die betreffende Kläc.he, hier Querschnittsfläehe, verteilte Spannungen c und -, und zwar stellt das Produkt g df eine innere Normal kraft., das Produkt xdf eine innere Schubkraft dar, die in dem Element df der Querschnittsfläche wirkt. Die Gesamtheit der mit der Belastungsebene parallelen (Komponenten x df der Elementar-Schubkraft xdf stellt die im Querschnitt wirkende Querkraft Q dar, d. b. es ist

f~’ • df — Q

wenn das Integral für die ganze Fläche genommen wird. Die Gesamtheit der Elementar-Normalkräfte g ■ df würde die auf den Querschnitt wirkende innere Normalkraft darstellen; eine solche ist aber nicht vorhanden, also ist, wenn das Integral über die ganze Fläche ausgedehnt wird

f g • df — 0

Damit ist gesagt, dass entweder alb» g ■= 0 sind, oder dass wenigstens, und dies ist der Fall, immer einem positiven g df ein gleich grosses negatives a df entspricht.

Die Gesamtheit der zur Belastungsebene senkrechten Gomponenten t” • df der Elementar-Schubkräfte t • df würde eine im Querschnitt senkrecht zur Belastungsebene wirkende Schubkraft darstellen, eine solche ist aber nicht vorhanden, also ist, wenn das Integral über die ganze Fläche ausgedehnt wird

Damit ist gesagt, dass entweder alle x” — 0 sind, oder dass wenigstens jedem + x” ■ df ein gleich grosses — x" ■ df entspricht; es kommen beide Fälle vor.

Es bleibt nun noch das Moment, welches auch sich darstellt vermittelst der aus den Spannungen gebildeten inneren

Elementar-Kräfte. Eine Einwirkung¹ auf das Moment können aber die Elementar-Schubkräfte ~ • df nicht haben, denn die Momenten-Axe liegt in der Querscbnittsebene, wird also von den Richtungen der t • df geschnitten. Dagegen haben die Elementar-Normalkräfte c • df je einen Hehelsarm im Bezug auf die Momenten-Axe, und zwar ist dieser Hehelsarm gleich dem jeweiligen Abstande v des betreffenden df von der zur Belastnngsebene senkrechten Schwerlinie des Querschnitts.

Es muss demnach die Gesamtheit der Produkte, d. h. der Elementar-Moment.e (c • df) r das auf den Querschnitt wirkende Moment IM darstellen. Integriert man über die ganze Fläche, so muss also sein

\ r • (c • df) —- M

Bemerkung. — Es widerspricht unserer Definition der Biegungsbelastung nicht, wenn ausser den Parallelkräften noch ein äusseres angreifendes Moment in der Belastungsebene vorhanden ist. Man braucht dasselbe nur in ein den übrigen äusseren Kräften paralleles Kräftepaar aufzulösen, dessen eine Kraft im Angriffspunkt des äusseren Momentes verbleibt, während die andere über dem zu untersuchenden Querschnitt ihren Angriffspunkt bekommt. Es werden dann diese zwei Kräfte gerade wie die übrigen behandelt.

Hilfslehrsatz 1. Ist x die Abscisse eines beliebigen Querschnittes des Stahes vom linkenEnde desselben gemessen, ist das auf den Querschnitt wirkende Moment M. die Querkraft Q. und ist unter den Belastungen des Stahes auch eine über seine Länge gleichförmig verteilte Last p pro Längeneinheit vorhanden, so ist

tlM

Barels*. Denken wir uns von dem Stabe alles bis auf den Teil zwischen den Querschnitten bei x und (x -|- dx) entfernt (vergl. Fig. TI), so bat auf den Querschnitt bei x der links entfernte Stabteil mit Q und M, auf den Querschnitt bei x + dx der rechts entfernte Stabteil mit (Q -f- dQ) und (M -j- dM) gewirkt, wobei dQ und dM die unendlich kleine Dillerenz darstellt der Grössen Q und M für die beiden Quer-

o-

Mt

M+dM

-O

k— x+dx

Q+dQ

P'dx

Fig. 11

schnitte. Ausserdem wirkt auf das Stabelement noch die gleichverteilte Last p • dx, deren Resultante den Abstand dx der beiden Querschnitte halbiert. Da (M + dM) und (Q -j- dQ) von dem rechten Trägerteil herrühren, und da dx verschwindend klein ist, so haben sie (nach Einleitung) einen zu dem von Q und M entgegengesetzten Sinn.

Das Stabelement war nun mit dem ganzen Stabe zusammen im Gleichgewicht, also muss es unter der Einwirkung obiger Kräfte und Momente auch im Gleichgewicht sein, d. h. es muss sein

(Q + dQ) + (p • dx) — Q = 0

und

dx

(M + dM) — M -f (Q ■ dx) — (p • dx ■ } )

In letzterer Gleichung, für welche der Schwerpunkt des

Querschnitts bei (x + dx) Momentenpunkt war, kann die

Grösse (p ■ nachlässigt werden, sodass wir eihalten

d.xd

ver-

) als unendlich klein zweiter Ordnung

dQ — — p • dx :

dM = Q • dx;

dM

dx

Zusatz. Greift gerade zwischen den Querschnitten x und (./' dx) eine Einzellast P an, von welcher wir annehmen können, dass sie auf die Länge von dx gleichverleilt wirkt, so ist für diese zwei Querschnitte die Differenz der Querkräfte

dQ = — (p ■ dx + P)

OK-

-o

Q*dQ

p*dx

Fig. 12

Beweis. Auf das Stabelement wirken hier und sind im Gleichgewicht (vergl. Fig. 12)

(Q + dQ) + (P +p • f/a?; — Q = 0

und daraus linde! sich

dQ — — (p ■ dx + P)

Hilfslehrsatz 2. Sind in Figur 13 OX und OY die Spuren zweier zu einander und zur Bild Hache normaler Ebenen, und bildet die Ebene, deren Spur Oh ist. mit denselben die

Fig. 13

Winkel « und ß, und isl ferner in dieser Ebene, deren Spur OK ist., ein Kräftepaar vorhanden = (P • a) = M, so kann man dasselbe ersetzen durch zwei gleichzeitig' wirkende K räftepaare, eines in der Ebene OX, dessen Grösse M • cos a ist, und eines in der Ebene OY, dessen Grösse M • cosß ist.

Beweis. M isl gleich P ■ a. Wir können das Paar so drehen, dass die eine Kraft P in die Linie OK fällt, und können sie dann zerlegen nach den beiden Schenkeln des rechten Winkels in P- cos a und in P • cosß. Ebenso machen wir es mit dem anderen P in der im Abstande a zur Bildebene parallelen Ebene, so dass wir nun statt des Moments P ■ a in der Ebene OK ein æquivalentes System zweier Momente haben, eines in der OX-Ebene, dessen Grösse ist

Pa- cos a = M cos a

eines in der OF-Ebene, dessen Grösse ist P - a ■ cos ß = M cos ß

Hilfslehrsatz 3. Ist r//‘ein beliebiges, unendlich kleines Element der Fläche einer geschlossenen ebenen Figur, und isl vj der Abstand dieses Elementes von einer Schwerlinie der

Figur, so nennen wir das für die ganze Fläche genommene f ri2 ⁽lf ⁽^as Trägheitsmoment der Figur für die betreffende Schwerlinie und bezeichnen es mit J.

Von den sämtlichen möglichen J giebt es ein grösstes und ein kleinstes, und zwar sind die beiden Schwerlinien, auf welche sie sich beziehen, zu einander senkrecht und heissen die zwei Hauptträgheits-Axen.

Beweis. Nehmen wir in der Figur zwei rechtwinklige Goordinaten- Axen an mit dem Schwerpunkt der Figur als

rl

df

C'/v

y\

jy'

Fig. 14

Ursprung, und ist eine Schwerlinie NX bestimmt durch den Winkel ß, welchen sie mit der y-Axe bildet (vergl. Fig. 14), so ist das Trägheitsmoment für diese Linie

X = / r{² • d f

Drückt man nun yj aus durch die Abstände x und y des Elementes df von den beiden Coordinaten-Axcn, d. h.

Kkiejilek, Aus der Festigkeitslehre

so ist

/jj = j(y • sin ß — x • cos ß)² • d f

,/? = cos²ß \ x-df— 2 ■ sinß • cos ß f xydf -\h sin-'ß j y-df

Nun ist die a?-Axe sowie die y-Axe eine Schwerlinie der Figur, also ist nach Definition

j x² • df = Jv und f y- ■ df = Jx

und bezeichnen wir kurz das Integral Ixy df mit T. so wird unsere Gleichung für J_ zu

,/a = Jy • cos²ß — 2 T ■ sinßcosß + Jx ■ sin²ß

Denken wir uns nun für alle möglichen Schwerlinien SL das Trägheitsmoment J% ermittelt, und denken wir uns ferner

gebildet, und

auf die Richtung einer jeden derselben eine die so gebildete Grösse darstellende Länge vom Schwerpunkte aus aufgetragen (vgl. Fig. 15), und würden die Endpunkte aller dieser Strecken

für jede dieser Schwerlinien die Grösse

\Y

⁷i

setzt man

r₍ = y • sin ß — x ■ cos ß

Air.--

xl

Fig. 15

durch eine Curve verbunden werden, so würden die laufenden Coordinaten dieser Curve die Form haben

Xl

sin ß ;

//i =

cos ß

Aus diesen zwei Gleichungen können wir folgende drei Beziehungen ableiten

sin²ß = 7p •    ; cos²ß = Ą ■ yx*

sin ß • cosß = 7p • xxyx

Führen wir diese Werte in die Gleichung für 7p ein, so haben wir

7p — 7y • 7p • ^²    — / • 7p • -/‘i //i 1 Jx ■ 7p • -/‘j -

1 = -4 • //i² — 2T xxyx + Jx ■ x*

Diese Gleichung ist diejenige einer Ellipse, es liegen also

auf einer Ellipse, so dass

f -h

die Endpunkte aller Strecken

das 7p, welches der kleinsten Haihaxe der Ellipse entspricht, das grösste aller 7ß ist, und das 7p, welches der grössten Haihaxe entspricht, das kleinste aller 7p ist, und da grösste und kleinste Haihaxe zu einander senkrecht stehen, sind auch die beiden Hauptträgheitsaxen zu einander senkrecht.

Zusatz. Macht man die beiden Hauptaxen der Ellipse zu unseren Coordinaten-Axen, so würde in deren Gleichung das Glied mit dem Produkt xxyx gleich Null sein müssen, d. lires wäre dann

T = fxy -df= 0

und

7p = Jy • 7p • yx² + Jx • 7p • xx? = Jy • cos²ß + Jx • sin²ß worin Jy und Jx die beiden Hauptträgheitsmomente sind, und ß der Winkel ist, welchen die betreffende Schwerlinie mit der Axe von Jy bildet.

Hilfslehrsatz 4. Ist in einer von zwei im rechten Winkel sich schneidenden Ebenen eine zur Schnittlinie derselben senkrechte Schubspannung vorhanden, so erfährt die andere Ebene eine ebenso grosse, zur gemeinschaftlichen Schnittlinie ebenfalls senkrechte Schubspannung.

Beireh. Denken wir uns den Punkt A irn Inneren eines Körpers als unendlich kleines Parallelepipedum mit den nach den drei Axen eines Coordinaten-Systems gerichteten Kanten dx, dy und dr, so können wir die vier Ebenen,

Ąxx*drx

Ydxy

»Pa

<-

,rar

4-

dx

Fig. IG

welclie senkrecht stehen zur FX-Ebene, als welche wir die Bildfläche in Fig. 16 nehmen wollen, darstellen durch ihre Spuren mit der Bildfläche.

Es werden auf diesen vier Flächen innere Kräfte vorhanden sein, welclie im allgemeinen Falle den in der Figur eingezeichneten Spannungen entsprechen. Da der Körper als ganzes im Gleichgewicht ist, so ist auch das Element im Gleichgewicht, unter anderem gegen Drehung um seine zur FX-Ebene senkrechte Schwcraxe. Mit Rücksicht auf diese Axe kommen nur in Betracht die Kräfte

xx • (dy • dz ) ;

(“* + dxx) (dy • dz)

Xy ■ (dx • dz) und (xtJ + dxy) {dx ■ dz)

da die gezeichneten Normalspannungen dieselbe schneiden, die sämtlichen anderen Spannungen, bezw. Kräfte, welche nicht gezeichnet sind, auch diejenigen, welche auf den zwei übrigen Flächen wirken, sie entweder auch schneiden oder mit ihr parallel sind. Es müssen demnach die rechtsdrehenden obiger vier Kräfte ein Moment haben, welches gleich gross ist dem Moment der linksdrehenden, es muss also sein

xx ■ (dy • dz) •

dx

dx

Xy ■ (dx ■ dz) ■

₉    + (xx + dxx) (dy ■ dz) — ÿ'-- =

(<:j + (xy A- (hy) (dx • dz) —

dx ■ dy • dz

dx ■ dy • d z

und dx y •

können wir als unendlich klein höherer Ordnung vernachlässigen, und erhalten wir, wenn wir mit dx • dy ■ dz kürzen

Die Glieder dz,. ■

und bleibt diese Beziehung richtig, wie wir aucli das Parallel-epipedum, als welches wir uns den Punkt A vorstellen, im Körper gedreht denken.

Hilfslehrsatz 5. Sind x und y die correspondierenden Coordinaten irgend einer Curve, so ist der Krümmungsradius r der Curve in dem Punkte, dessen Coordinaten x und ij sind

Wj,

dx²

Beweis.

Ist ds (vergl. Fig. 17) ein unendlich kleines Curvenelement, und scbliessen die Normalen, welche in beiden Enden von ds auf die Curvenricbtung gezogen werden

\r

'"\M

---X

Fig. 17

können, den Winkel f/cp ein, so ist, weil ds als Kreisbogen gelten soll, die Länge jeder der Normalen AM und BM

Die Tangente an die Cnrve im Punkte A bildet mit der X-Axe den Winkel cp (dessen Aenderung r/cp darstellt), und es ist

ds

d'o

tgcp =

dx

tgcp =

&JL

dx²

Es ist aber

dx

-6

tgcp •

« *6

COS² cp

o-l -

also ist

= cos²cp

dHj

dx¹

Ferner ist

(7<p

dx

ds

ds

d cp

dx

• cos o = cos³<p •

>J®2

5-1

NS NS

dep

cos::!<p •

d²y

dx²

(/T+tgsf)³

/ (Pg \

Vdhp)

CO !<M

Es ist demnach

<Py

dx²

Lehrsatz I. Esgiebt bei der Biegungsbeanspruchung in jedem Querschnitte eine bestimmte Schwerlinie, für deren sämtliche Punkte die Normalspannung in der Querschnittsebene gleich Null ist.

Für die sämtlichen Punkte jeder zu dieser Schwerlinie parallelen Linie sind die Normalspannungen in der Querschnittsebene gleich gross, und zwar ist die Grösse derselben jeweils proportional dem Abstande der Linie von der Schwerlinie.

Beweis. Unter der Einwirkung der oben definierten Belastung, wird sich der gerade Stab biegen, die Stabaxe wird eine krumme Linie werden, von welcher wir annehmen wollen, dass sie in einer Ebene bleibt, welche wir die Biegungsebene nennen.

Wir nehmen an (in Wirklichkeit ist dies nicht ganz der Fall), dass die ursprünglichen Querschnitte des Stahes auch in gebogenem Zustande desselben immer noch Querschnitte des nun krummen Stabes bleiben, dass sie also ebene Flächen bleiben und die nun krumme Axe senkrecht schneiden. Sie stehen demnach auch senkrecht auf die Biegungsebene.

Wenn wir uns die Biegungsebene als Bildebene denken, so können wir den gebogenen Stab und seine Querschnitte

durch ihre Spuren (vergl. Fig*. 18) darslelleu. Was von irgend einem Punkte der Querschnittsspur gilt, gilt auch für alle übrigen Punkte der den betreffenden Punkt enthaltenden

ix rś^unSargr

Cb

>ene

Fig. 18

zur Bildfläche d. h. Biegungsebene senkrechten Linie des Querschnittes.

Bei der Biegung des Stabes nämlich, werden voraussichtlich zwei benachbarte Querschnittsebenen ihre gegen-

seifige Lage nicht nur durch eine Rotation, sondern auch durch eine Translation ändern. Durch diese Lagenänderung der Querschnitte erfahren alle je zwischen zwei von ihnen eingeschlossenen scheibenförmigen Längselemente des Stabes Dehnungen, und da wir gesagt haben, dass die Querschnitte alle zur selben Ebene (der Biegungsebene) senkrecht bleiben, so haben alle Längselemente, welche durch die Punkte einer zur Biegungsebene senkrechten Linie gehen, je eine gltd che Dehnung. Dies schliesst, ähnlich wie bei der Zug-und Druckbelastung die gleichförmige Verteilung der inneren Kraft auf den ganzen Querschnitt eine Einwirkung sämtlicher Längsfasern aufeinander in allen zum Querschnitt senkrechten Ebenen ausschloss, hier eine Einwirkung der Längsfasern aufeinander aus wenigstens in allen zur Biegungsebene parallelen Ebenen, sodass in keinem Punkte des Stabes die zur Biegungsebene parallele Ebene von einer Spannung afficiert wird.

War vor der Lagenänderung der Abstand zweier noch paralleler Querschnittsebenen, also auch zweier beliebiger gleichweit von der Axe abstehender Punkte derselben gleich <fs, so mögen nun die Punkte Ai und A₂ diejenigen sein, deren Abstandsänderung durch die Dehnung infolge der Translation gerade neutralisiert wird durch eine entgegengesetzte Dehnung infolge der Rotation, sodass nach der Deformation der Abstand Ax A., immer noch ds ist. Ist ferner 0 die Spur derjenigen Linie, in welcher sich nach der Deformation die beiden Querschnittsebenen schneiden, so wollen wir die Strecke OAx = OA₂ — r annehmen, und hat der Punkt Bx von Ax sowie der Punkt B₂ von A₂ den Abstand in der Querschnittsebene = v, und bezeichnen wir die Strecke B B₂, um welche nach der Deformation der Abstand Bx B2 grösser geworden ist als das ursprüngliche d.s, mit Vds, so

ergiebt sich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke 0 A₁ A₂ und

Ä₂ B’ b₂

ds

\v ds

Av d s

ds

Der Quotient

A„ds

ds

ist nach Definition die spezifische deren Abstand von der

Dehnung der Längsfaser BXB nicht gedehnten (neutralen) Faser Ax A₂ gleich v ist.

Es

ist also

A„ds

<*v

ds

worin nv die für sämtliche Punkte der Linie, welche im Abstand v von A zur Biegungsebene senkrecht stellt, constante Span n ung bede utet.

ar =

Es ist also av proportional dem absoluten Werte von v. Nennen wir nun den jeweils im Abstande v von A zur Biegungsebene senkrechten, unendlich schmalen Streifen des Querschnittes dFVi so wird unser früheres f a • df — 0 zu

v = — e”

v = — e”

- E ■ dl<\

nv • dF„ = 0 =

v = e'

v — e'

worin e und e” den Abstand der beiden äussersten Fasern von A (vgl. Fig. 19) bedeuten.

Für jeden Querschnitt ist ausser E auch r eine Constante, also ist

V — — e”

■ dFv — 0

— ist nicht gleich Null, also ist

V —e'

Dies kann nur dann der Fall sein, wenn A der Schwerpunkt des Querschnittes ist, also mit S zusammenfällt, da das Integral ein statisches Moment der Fläche darstellt.

_L

| -s5anSeig

~l^______

i

k-— ö --

Igi

Fig. 19

Es sind also die Punkte des Querschnittes, welche nach der Richtung der Stabaxe keine Dehnung, also für die Querschnittsebene keine Nornialspannung erfahren, diejenigen, welche in der zur Biegungsebene senkrechten Schwerlinie des Querschnittes liegen

nv

Diese zur Biegungsebene senkrechte Schwerlinie bildet die neutrale Faser des Querschnittes. Jede andere zur Biegungsebene senkrechte Linie wollen wir eine Linie gleicher Spannungen nennen.

Ist J das Trägheitsmoment des Querschnittes für seine zur Biegungsebene senkrechte Schweraxe, so ist

Lehrsatz II.

EJ

Beweis.

jetzt zu

Unser früheres f v • (n • d f ) — M wird

v = — e”

V² • d Er

• (<7t. • d Ev) = M —

çv — — e”

Nun ist v² ■ d Fv (lic Grosse, welche wir Trägheits-

J V = e'

moment genannt haben, also ist

• ./

Lehrsatz III. Nehmen wir die Biegungsebene zur Ebene eines rechtwinkligen Coordinaten-Systems, dessen Null-Punkt heim linken Stabende sich befindet, und dessen A-Axe mit der ursprünglichen , geraden Stabaxe zusammenfällt, und ist y die Ordinate der nunmehrigen, durchgebogenen Stabaxe bei dem Querschnitte, dessen Abscisse x ist, d. h. ist y die Ordinate der elastischen Linie für die Abscisse x. so sind x und y verbunden durch die Gleichung

EJ

d²y dx²

Beireis. Die Grösse r stellt nach ihrer Entstellung den Krümmungsradius der durchgebogenen Stabaxe dar, drückt sich also für den Querschnitt bei x vermittelst der Coordi-naten x und y aus als

<M

CO <N

. (,2d

dx²

oder, da wir annehmen, dass die Durchbiegung einen sehr

verschwindend

dl

kleinen Betrag habe, dass also tg<p = -klein sei, so können wir (-y^-)² gegen 1 vernachlässigen und erhalten den einfachen Ausdruck

dx

d*y

Nun war M =    • ./; führen wir hierin obigen Werl r

ein, so ergiebt sich

. (, 2y

dx²

Bemerkung. — Soll aus dieser Beziehung die Durchbiegung der elastischen Linie gegen die ursprüngliche gerade Stabaxe ermittelt werden, so muss zuerst M als Funktion von x ausgedrückt werden; dann erhält man, wenn man beide Seiten nach dx integriert, eine neue Gleichung, deren rechte Seite die Form hat

M — EJ

EJ

. d'L

dx

und deren linke Seite eine Funktion von x ist plus einer unbekannten Gonstanten c\. Die in dieser Gleichung enthaltene stellt die trigonometrische Tangente dar des

Grösse

dy

dx

Winkels, welchen die Tangente an die elastische Linie in dem Punkte, dessen Abscisse x« ist, mit der ursprünglichen Stabaxe bildet, und dient die Gleichung zur Ermittelung eben dieses Winkels.

Integriert man diese zweite Gleichung nochmals beiderseits nach dx, so erhält man eine dritte Gleichung, deren rechte Seite nun die Form hat

EJ ■ y

und deren linke Seite eine Funktion von x ist , plus dem Produkte xex plus einer neuen unbekannten Constanten c.r Aus dieser Gleichung⁻ ergiebt sich die Durchbiegung y der elastischen Linie in dem Punkte, dessen Abscisse x ist.

gegenüber der ursprünglichen Stabaxe.

Die Werte für die beiden Constanten <\ und c₂ können wir nur dann ermitteln,

wenn

irgendwelche zusammengehörige Werte für x und y von vornherein bekannt sind.

Es ist gerade bei der Biegungselasticität, wo hauptsächlich die Fälle Vorkommen, dass man die Spannungen erst ermitteln kann, wenn die Deformation bekannt ist, so z. B. wenn der Stab auf zwei Stützen aufliegt, über deren einer er sich nicht frei bewegen kann, d. h. eingespannt ist; es wird dann in den Ausdrücken für M und Q immer das unbekannte Glied Mq— dem durch die Einspannung hervorgerufenen Momente Vorkommen. Erst wenn wir M₀ mit Hülfe der Gleichung für die elastische Linie bestimmt haben, sind M und Q bekannt.

Lehrsatz IV. Für alle Punkte, weichein einer Linie des Querschnittes liegen, die senkrecht zur Biegungsebene steht und vom Schwerpunkte des Querschnittes den Abstand v hat, ist die Normalspannung in der Querschnittsebene

*•=~rv

Beweis. Wir haben gesehen, dass

av = v •

und ist. also ist

Lehrsatz V. Die Normalspannung gv ist eine Zugspannung., also eine positive Grösse, wenn v nach derjenigen Seite der neutralen Faser genommen ist, nach welcher die Durchbiegung stattfindet, also nach welcher die elastische Linie ihre convexe Seite hat. Dieselbe ist hingegen eine Pressung also eine negative Grösse, wenn v nach derjenigen Seite der neutralen Faser genommen ist, nach welcher die elastische Linie ihre concave Seite hat.

Beweis. Auf der convexen Seite der elastischen Linie sind die Querschnitte von einander entfernt, also die einzelnen Längsfasern gedehnt worden auf der concaven Seite der elastischen Linie sind die Querschnitte einander genähert, also die Längsfasern zusammengepresst worden.

Zusatz. Geben wir nun von vornherein allen Abständen v), die z. B. von der neutralen Faser aus nach unten gemessen werden, das Vorzeichen +, allen denen, die von der neutralen Flaser aus nach oben gemessen werden, das Vorzeichen —, und hat hei irgend einer Belastung die elastische Linie ihre convexe Seite nach unten, so ist

./

G v unten — (H“

./

Gv oben —‘ ( V)

Es ist also richtig die Zugspannung eine positive, die Druckspannung eine negative Grösse.

Ist aber die elastische Linie nach oben convex gebogen, so würden die gv falsches Vorzeichen bekommen; wir müssten also entweder die Vorzeichen der v Umtauschen, was wir aber nicht thun vvollen, oder der Grösse M in diesem Falle der nach der Seite der negativen v convex gebogenen elastische Linie das negative Vorzeichen geben, was wir thun wollen. Es ist dann

-AI

AI

r*v unten- (~ł~ r )

— AI

AI

.1

sodass die gv nun wieder richtiges Vorzeichen haben.

Wenn wir aus irgend einem Grunde ein negatives AI bekommen, so wissen wir, dass damit gesagt ist : die elastische Linie ist nach der Seite der negativen v convex gebogen. Gewöhnlich gieht man denjenigen v das positive Vorzeichen, welche auf der Seite der neutralen Faser liegen, nach welcher die angreifenden Kräfte gerichtet sind.

Im folgenden soll unter AI ohne Vorzeichen der algebraische Wert eines Momentes verstanden werden.

Lehrsatz VI. Ist e der Maximalwert eines positiven v und e” der Maximalwert eines negativen v. so sind

Ge’ =

e und ae” —

AI

die beiden Grenzwerte der im Querschnitte vorkommenden Normalspannungen nach Grösse und Sinn, sobald Al und e hezw. e” mit ihrem Vorzeichen eingeführt werden.

Beweis. Die gv sind proportional der Grösse r, also ist gv auch am grössten für die beiden grössten v.

sind ausschliess-

Zusatz. Die Quotienten lieh durch die geometrischen Verhältnisse des Querschnitts bedingte Grössen und werden die beiden Widerstandsmomente des Querschnitts für die zur Biegungsebene senkrechte Schwerlinie desselben genannt und mit W hezw. W” bezeichnet, sodass

und

Ge> -

Al

W’

und Ge” = J|

wird.

Lehrsatz VII.. Angenommen von einem Querschnitte seien die beiden Hauptträgbeits-Momente .// und Jn sowie dit' Lage der beiden Hauptträgheits-Axen bekannt, und angenommen (vergl. Fig. 20), die Kraftebene bilde mit der

/So-?

4-

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!£\

§

CD

Fig. 20

Axe 1 des Trägheitsmoments .// den Winkel a, so bildet die Biegungsebene mit derselben Axe einen Winkel ß, der bestimmt ist durch die Beziehung

•h

Igß = tga •

Beweis. Wenn die Biegungsebene mit der Axe I den Winkel ß bildet, so bildet die neutrale Faser des Querschnitts mit der Axe II den Winkel (180 — ß), und ist r₍ der Abstand eines beliebigen Punktes des Querschnitts von der neutralen Faser, und x dessen Abstand von der Axe 11, y von der Axe T. dann ist (vergl. Hilfslehrsatz 3)

7j = y • sin (180 — ß) — x • cos (180 — ß)

7] = y • sin ß + x ■ cos ß

Die Normalspannung in dem betreffenden Punkte ist aber nach früherem d. li. mit dem Werte für yj

(y • sinß + x ■ cosß)

Ferner haben wir gesehen, dass das Moment M in einer Ebene, welche mit der Axe I den Winkel a bildet, äquivalent ist (vergl. Hilfslebrsatz 2) mit den zwei Momenten

M • cos a in der Ebene der Axe I

M • sina in der Ebene der Axe II

Mit dem Momente M • cos a muss nun im Gleichgewichte sein die Gesamtheit der Momente der Elementar-Normal-kräfte a.ri • df um die Axe II, d. h. es muss sein

I * (S • df)

— M ■ cos a

oder mit dem Werte für <7„

M • cos a =

E f

j(y • sinß + x ■ cosß) x • df

= —— sin ß \y x df -j--cos ß Jx²df

Mit dem Momente M ■ sina muss im Gleichgewichte sein die Gesamtheit der Momente der Elementar-Normal-kräfte n.,t • df um die Axe I. d. h. es muss sein

= M • sin a

oder mit dem Werte für n .

j(y • sin ß + x • cos ß) y • df 7 sin $jy*df + ~ cos ß j .ryr//‘

A/ • sin a =

Nun haben wir im Zusatz zu Hilfslehrsatz 3 gesehen, dass T = Jxy df = 0

wird, sobald wir die Hauptträgheits-Axen zu Coordinaten-Axen nehmen; dies ist hier der Fall, also ist

M • cos a =

cos ß j x-df

M • sin a =

— sin $ y*.df =

Dividieren wir die zweite Gleichung durch die erste, so erhalten wir .

und daraus

tg« = fgß •

Jl

Jn

Jn

Ji

Jn

sich gleich

Ti

Folgerungen. Wenn das Verhältnis bleibt, wenn also alle Querschnitte des Stabes ähnliche und gleich gelegene Figuren sind, so ist wirklich, wie wir vorausgesetzt haben, die ganze elastische Linie eine ebene Curvc.

Fällt eine der Hauptträgbeits-Axen in die Kraftrichtung, wird also a — 0, so wird auch ß = 0, d. h. wenn die Kräfteebene durch die eine der Hauptträgheits-Axen geht, so biegt sich der Stab in der Kräfteebene selbst durch, es fallen Biegungsebene und Kräfteebene zusammen, und die neutrale Faser liegt in der anderen Ilauptträgheils-Axe.

Lehrsatz VIII. tn dem beliebigen Punkte A eines he-liehigen Querschnittes ist für die zum Querschnitte und zur Biegungsebene senkrechte Ebene die zur Biegungsehene parallele Componente x₃ der Tangentialspanuung

"8 =

Q • St

(/,/■

(4)

worin b die Breite des Querschnitts ist in der durch 1 gehenden Linie gleicher Spannung, M das Moment für den betreffenden Querschnitt, Q die Querkçaft, St das statische Moment des von der betreffenden Linie nach aussen liegenden Teiles der Querschnittsfläche, genommen für die neutrale Faser als Axe, J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes für die neutrale Faser als Axe.

Denken wir uns (vgl. Fig. 21) zwei unendlich nahe Querschnitte, den einen hei x. den andern hei ./• -f- d.r; denken wir uns weiler von dieser Scheibe den ausserhalb der

Beweis.

--x+dæ

|^— ■— b--H — te--*1

--»

~T

"ï

$

!»

neutr. Faser

t_____Ł

t.®*. —i

H. <

S*

Fig- 2 L

Ebene, welche durch .1 senkrecht zu den Querschnitten und zur Biegungsehene gelegt werden kann, befindlichen Teil von dem übrigen Stahe losgelöst, so wirken auf das so begrenzte

Element innere Kräfte, von welchen- uns zwei bekannt sind, nämlich auf die im Querschnitt bei x gelegene Fläche eine Kraft

”*«1

R<x> —

<7 • dF(:) —

(i)

./

tu

V ■ dFa)

und auf dit* im Querschnitte hei x + dx gelegene Fläche eine Kraft

e2

y/₍₂₎ =

g • dF(₂) =

S! «

(2)

• dF( 2)

oder mit

feL    et    /'e₂

I v ■ dF(i) = *S7(]) und / v

• dF,

(2)

e»

= (2)

7/(i) =

-'An

-7(0

»S /(i) und 7/(2) —

d/(₂)

-7(2)

Diese zwei Kräfte haben entgegengesetzten Sinn, sie werden sich aber im allgemeinen nicht das Gleichgewicht halten, sondern es wird ihre Differenz eine endliche Grösse sein, also

7/(2) — 7/(i) — .s*

Es war aber das Element mit dem ganzen Stabe im Gleichgewichte, also muss auch s aufgehoben werden. Dies kann nur durch eine innere Schubkraft in der Ebene dx ■ b

stattfinden, deren Componente nach der Richtung der beiden 7/ gleich s sein muss.

Da die g für alle Punkte der Linie b einander gleich sind, so ist kein Grund vorhanden, warum sich .v nicht gleichförmig auf die Fläche dx • b verteilen sollte, und können wir also, wenn x₃ die betreffende constante Componente der Schubspannung ist parallel der Biegungsebene, setzen

Nun ist

•v = B, — Bi =

M(2) ,,

0/(2) -

St (i)

worin die rechte Seite, da dx unendlich klein ist, das Dille rential darstellt der Grösse

•/(2)

•An

für den Querschnitt bei x. Es ist demnach

~₃ • dx ■ b = d ^

ste

:)

T:i b dx

(4-:)

dM St dx J

dx

(4)

Nach Hilfssalz I ist

also ist

St

dx

(-»]

Lehrsatz IX. ln dem Punkte A des Querschnitts ist die zur Biegungsebene parallele, Gomponente der Schubspannung in der Querschnittsebene gleich der zur Biegungsebene parallelen Componente der Schubspannung in der zur Biegungsebene und zur Querschnittsebene senkrechten Ebene:

“l = "3

St

O-y

dx

(4)

Beweis. Die beiden Ebenen schneiden sich im rechten Winkel; in der einen sieht tx senkrecht zur gemeinschaftlichen Schnittlinie, in der anderen steht t₃ senkrecht zu derselben Linie, also ist nach Hilfslehrsatz 4

*1 .= ^3

Probe zu Lehrsatz IX. Wir wolbm eine Probe anstellen für den Fall, dass

1)    die Biegungsebene mit der Kraftebene zusammenfällt,

2)    der Stab constanten Querschnitt habe,

3)    dieser Querschnitt ein Rechteck sei von der Breite b und der Höhe 2e.

Wegen l) schneidet die Kräfleebene dem Querschnitt in dessen zur Seite 2e parallelen Mittellinie und fällt die zur Kräfteebene parallele Componente der Schubspannung in der

dv

'///z'/zX/z

ijdtF

e"

à.

neutr.

Faser

Fig. 22

Quersclmittsebene mit deren zur Biegungsebene parallelen Componente zusammen. Von der ersteren liaben wir gesehen, dass sie der Bedingung⁻ genügen muss

t" • df — Q

also ist auch

St

dx

W egen 2) ist dass uns bleibt

St

eine Constante, also ist

dx

St

-)= 0, so

<//• e

und da ta für sämtliche Punkte von b gleich ist* können wir das Flächenelement elf ersetzen durch den in die Linie b fallenden Elementarstreifen dF b • dv (vergl. Fig*. 22), so dass endlich

St

b • dv

In unserem Falle ist

4- «

v- • dF

v² ■

r'i

b • dv — b -o

(t)

also ist

CS

(m ;

^ !

/* + e

' e² — /;²

Ol

Ol CO

II

f/r

::

e³

Es ist alter

"» + e

■* + e

/ e² — r² \

\ 2 /

r/r =

e³

e³

/ e'² — v² \

clv richtig = 1

*+<>

V'²

2“)

r³

e³

e³

und damit

\ 2 /

Zusatz. Es soll im folgend on die Spannung t in dei* Quersclinittsebmie dils näheren betrachtet werden. Im all-gemeinen ist die Querschnittshgur eine heliidiige krummlinig begrenzte Figur, doch wollen wir hier den in der Praxis hauptsächlich vorkommenden Fällen entsprechend spezialisieren und voraussetzen, dass die Figur in Bezug auf die Schnittlinie der Biegungsebene mit der Querschnittsebene symmetrisch sei.

Nun haben wir gesehen, dass für alle Punkte einer jeden zu dieser Schnittlinie senkrechten Linie des Querschnittes, z.ß. b (vgl. Fig. 23) die zu der Schnittlinie parallelen, also zur Linie gleicher Spannung b senkrechten Componenten t, der Schubspannungen t einander gleich sind. Wie verhält es sich aber mit den zu der Schnittlinie senkrechten, also zur Linie gleicher Spannung b parallelen Componenten?

Wir erhalten durch folgende Ueberlegung einen Anhalt für die Bestimmung ihrer Grösse. Es muss t an den beiden Enden von b die Richtung der Tangenten an die Querschnitts-figur in diesen Punkten haben, denn hätte r hier eine andere Richtung, so könnte man es zerlegen nach der Richtung der

Tangente und nach der Normalen auf die QuerscJuiittscurve. Dann wäre in dem betreffenden Punkte in der den Stab tangierenden Ebene eine Schubspannung vorhanden, denn die Tangente ist die Schnittlinie der Querschnittsebene mit der den Stab tangierenden Ebene, und es wäre in der Querschnittsebene eine zu dieser Schnittlinie senkrechte Schubspannung vorhanden , was nach Hilfslehrsatz 4 zur Folge hätte, dass auch in der Tangentialebene eine zu dieser Schnittlinie senkrechte Schubspannung vorhanden wäre. Bei der vorausgesetzten Biegungsbelastung kann aber aut der Staboberfläehe keine Schubspannung Vorkommen, also

b--»

+ *r

T1

It T,

___

2r_ £-___

\ «£•'-/

\ JJJ /

Ja

Fig. 23

kann es keine zur Tangente normale Componente der Schubspannung t geben, und muss t selbst in den Endpunkten der Linie b die Richtung der Tangente an die den Querschnitt umgrenzende Gurve haben.

Da wir Symmetrie des Querschnittes vorausgesetzt haben gegen dessen Schnittlinie mit der Biegungsebene, so sel meiden sich die beiden Tangenten in den Endpunkten von b auf dieser Schnittlinie, z. B. im Punkte A. Es bilde die eine der Tangenten mit der Symmetrieaxe den Winkel (+ oQ, dann bildet die andere mit derselben den Winkel (— cpx). Ferner erkennt man gleich, dass für den Schnittpunkt der Linie b mit der Symmetrieaxe r mit zusammenfallen muss, da jede Abweichung von t aus der Symmetrielinie in diesem Punkte der Symmetrie widersprechen würde. Wir sehen also, dass jedenfalls heim Yorrücken des Punktes B auf der Linie b von links nach rechts, die Richtung von r sich um t dreht, und dass der Winkel o, den diese Richtung von t mit der Symmetrielinie bildet, allmälig von -j- öx bis auf 0 ahninnnt und dann im selben Masse wieder wächst bis auf — <px.

Interessiert uns nun aus irgend einem Grunde ausser der Cornponente rt von t im Punkte B auch di«* zur Biegungsebene senkrechte Cornponente desselben, so müssen wir die beiden Tangenten in den Enden der Linie gleicher Spannung b an die Querschnittsfigur zitdien, deren Schnittpunkt mit B verbinden, welche Verbindungslinie dann mit der Symmetrielinie den Winkel <p bildet, der uns die gesuchte Cornponente darstellen lässt als

Ti • ' tg<p = t₂

Wegen der vorhandenen Symmetrie entspricht jeder positiven Elementar-Schubkraft t₂ • df ein ebenso grosses negatives r₂ • df.

Mit dieser Schubspannung t, • tg <p, welche im Punkte B in der Quersclmiltsebene senkrecht zur Biegungsehene wirkt, ist nach Uilfslehrsatz i in der durch B gehenden, senkrecht zur Richtung von t, • tg<p stellenden, also zur Biegungsehene parallelen Ebene eine zum Querschnitt senkrechte Schuhspannung verbunden. Dies steht aber im Widerspruch zu unserer Voraussetzung, «lass in den zur ßiegungsebene parallelen Ebenen keine inneren Kräfte Vorkommen können. Wir müssen also zur Hebung- dieses Widerspruches an-nebrnen, dass die Winkel so verschwindend klein sind, dass tg<p — (I gesetzt werden kann, für welchen Fall unsere Ableitungen richtig sind. Bei Querschnitten, für welche der Winkel eine endliche Grösse hat, machen wir, wenn wir t = T| setzen, einen Fehler, wir thun es aber doch, weil dieser Fehler innerhalb der Genauigkeitsgrenzen liegt, mit welchen die Festigkeitsuntersuchungen zahlenmässig geführt werden können.

Analog entspricht in der durch B senkrecht zum Querschnitt und zur Biegungsebene gehenden Ebene der zur Biegungsebene parallelen Componente t₃ der Schubspannung in derselben Ebene auch eine zur Biegungsebene senkrechte Componente, doch können wir auch hier diese Componente vernachlässigen, sobald der Winkel, welchen die Durchdringungslinien der betreffenden Ebene und der Körperoberfläche bilden mit der Biegungsebene, keinen sehr grossen Wert bat.

V oraussetzungen.

Alle folgenden Untersuchungen beziehen sich ausschliesslich auf solche Stäbe und solche Belastungen, dass

1)    die Kraftebene den Querschnitt in einer Hauptträgheits-axe schneidet, dass also die Biegungsebene zusammenfällt mit der Kraftebene;

2)    die Querschnitte eine solche Form haben, dass die Tangenten an die umgrenzende- Figur einen verschwindend kleinen Winkel mit jener Hauptträgheitsaxe bilden, ihr also annähernd parallel sind ;

3)    Die Durchschnittslinien aller zur Kraftebene senkrechten Ebenen mit der Körperoberfläche sehr w enig nur von einer zur Kraftebene parallelen Richtung abw eichen.

Aus der Erfüllung⁻ dieser drei Bedingungen folgt, dass in den Querschnitten sowie in den zu den Querschnitten und der Kraftebene senkrechten Ebenen nur solche Schuhspannungen vorhanden sein können, die zur Kraftehene parallel sind, es isl also

t'

Tl = TS

und

t" = t₂ = 0

Durch unsere bisherigen Ableitungen sind uns für jeden Punki eines Querschnittes folgende Spannungscomponenten bekannt:

I) In der Querschnittsehene

M

die Normalspannung n =

sowie die Tangentialspannung

T lQ •

St

St

dx J

södass uns für die Querschnittsebene die resultierende Spannung px nach Grösse und Richtung bekannt ist.

2) In der zum Querschnitt und zur Kraftehene senkrechten Ebene,

die Tangentialspannung

ii

-Sw : ,

dx

Wir hätten demnach vier bekannte

Die Normalspannung für diese Ebene ist uns nicht bekannt, also auch p₂ nicht, wir nehmen aber vorderhand an, auch für diese Ebene sei uns die Normalspannung eine gegebene Grösse.

Spannungscomponenten, mit deren Hülfe im folgenden ein Ausdruck gesucht werden soll für die Normalspannung und die Tangentialspannung in einer beliebigen, durch den betreffenden Punkt gehenden Ebene.

Legen wir durch unseren Punkt (er sei der Punkt H in Fig. 24) ein rechtwinkeliges Coordinatensystom, dessen Af-Axe mit der Stabaxe, dessen J-Axe mit der in der Krall-ebene liegenden Hauptträgheitsaxe, und dessen Z-Axe demnach mit der neutralen Faser parallel ist, so können wir uns

y\

äy

dx

ty''

,'B

y'

Fig. 24

denselben vorstellen als ein kleines körperliches Viereck, dessen eine Seitenfläche in die X F-Ebene füllt , also der Kraftebene parallel ist, dessen zweite Seitenfläche in die F^-Ebene fällt, also in der Querschnittsebene liegt, dessen dritte Seitenfläche in die yfX-Fbene fällt. also in der zum Querschnitt und zur Kraftebene senkrechten Ebene liegt, dessen vierte Seitenfläche endlich in diejenige Ebene fällt, für welche wir gerade die Normalspannung und die Tangentialspannung suchen.

Die Lage dieser neuen Ebene können wir uns gegeben denken durch die Winkel, welche die Normale auf dieselbe mit unseren Coordinatenaxen bildet; dieselben seien beziehentlich a, ß und y, welche drei Winkel bekanntlich zu einander in der Beziehung stehen

cos² a -j- cos² ß -f- cos²y = 1

Ist die Grösse der Vierecksfläche, welche in dieser neuen Ebene liegt gleich so ist die Grösse der Seitenfläche

in der YZ-Ebene in der ZX-Ebene in der A I-Ebene

f ■ cos « f • cos ß f ■ cos y

denn es ist z. B. die Z-Axe die Normale auf die XY-Ebene; mit der Z-Axe bildet aber die Normale auf die neue Ebene den Winkel y, also bildet die neue Ebene selbst mit der XF-Ebene, auf welche ihre Grösse durch die beiden anderen Ebenen senkrecht projiciert wird, ebenfalls den Winkel y.

Von den vier Seitenflächen erfährt diejenige, welche parallel der Kraftebene ist, nach Voraussetzung keine Beanspruchung; diejenige, welche in der Querschnittsebene fällt, erfährt eine Beanspruchung, welche den Spannungen entspricht

und

f[«

St

dx

(4)1

diejenige, welche in die ZX-Ebene fällt, erfährt eine Be anspruchung, welche den Spannungen entspricht

= unbekannt

T,, = T

Uo

St

(-

St

■)]

Die neue Ebene erfährt eine Beanspruchung⁻, welche der unbekannten und gesuchten normalen Spannung £ und der unbekannten und gesuchten tangentialen Spannung '( entspricht, welche zusammen die Spannung p zur Resultanten bałam, und zwar möge die Richtung von p mil den Coor-dinatenaxen beziehentlich die Winkel X, g und v bilden.

Lehrsatz X. Die Resultante von £ und £ fälll in die JTF-Ebene, ist also mit der Kraftebene parallel.

Beweis. Die vier Spannungen <rx; xx; <ryund xy schneiden die Z-Axe im rechten Winkel, also haben die ihnen entsprechenden Flächenkräfte keim¹ Componente, welche zur XI -Ebene senkrecht ist, also kann die Flächenkraft auf die neue Ebene, welche ja mit jenen im Gleichgewicht sein muss, auch keine zur JT)-Ebene senkrechte Componente haben, sie muss demnach in die AF-Ebene fallen, d. h. es ist die ihr entsprechende Spannung/j parallel der Kraft ebene.

Folgerung. Es ist der Winkel v == 90° und die Summe der Winkel X und g zusammen ebenfalls = 90°.

Lehrsatz XI. Die resultierende Spannung p für die neue Ebene steht zu den vier gegebenen Spannungscompo-nenten in der Beziehung

p • COS X == <jx • COS a + Ty • COSjS

p • cos g = (Ty • cos ß + tx ■ cos a = p • sin X

Beweis. Die Flächenkraft auf die neue Ebene ist p • f. und deren Componente nach der AT-Axe ist pf ■ cos X. Nach dieser Axe sind aber gerichtet die Flächenkräfte ax{f • rosa) und ty(f • cos/3), es muss also sein

<tx • f •

cos a ~y ■ f ■ cos/3 = p • f • cosX

und ergiebt die Kürzung mit f die erste obiger Gleichungen. Die zweite ist analog entstanden aus

x,j • f - cos 5 ~x • f • cos a — p • f • cos g

Bemerkung. — In Fig¹. 25 ist die FX-Ebene zur Bildebene genommen worden (die drei anderen Ebenen sind durch ihre Spuren angedeutet), so dass die Spannungen,

^p-COS 11

|V

>>

^p-cosX

rx

Fig. 25.

welche in die FX-Ebene fallen, nach Grösse und Richtung richtig eingetragen werden konnten.

Lehrsatz XII. Von allen den Spannungen p, welche eventuell die Richtung 1 und g (cos²). -f- cos² g 1) haben, ist diejenige am grössten, welche eine solche Ebene afficiert, für welche der Winkel y 90° ist, d. h. eine Ebene, welche die Kraftebene im rechten Winkel schneidet.

Beweis. In den Gleichungen

p • cos). = nx ■ cos« + ty • cosß

p • COS g - Gy • COS ß -j- 1X • COS a

wird die rechte Seite am grössten für zusammengehörige Grösstwerte von cos« und cosß. Es entspricht aber z. B. einem bestimmten cos« dann der grösste cosß, wenn cos y gleich 0 ist, d. h. wenn y = 90° ist. Wenn die rechten Seiten der Gleichungen ihren grössten Wert haben, haben ihn die linken Seiten ebenfalls, und zwar hat, weil wir eine einzige Richtung 1; g im Auge haben, also cos). und cos g Constante sind, p selbst für die betreffende Richtung seinen Grösstwert .

Lehrsatz XIII. Die Ebenen, für welche die Normalspannung Ę und die Tangentialspannung *( ihre Grösstwerte erlangen, sind ebenfalls solche, welche die Kraftebene im rechten Winkel schneiden.

Beweis. Die Normalspannung £ bildet nach Voraussetzung mit den Coordinatenaxen der x und y die Winkel « und ß. Nennen wir nun die Winkel, welche die Tangentialspannung ( mit denselben Axen bildet, a’und ß’, und bezeichnen wir ferner den Winkel, welchen p mit ç bildet mit o und den Winkel, welchen p mit '( bildet, mit <|, so ist, weil

ros cp = cos « • cos); -j- cos ß • cos y. -j- cos y • ü

und

ist,

cos']' — cosa‘ • cos"X + cosß’ • cosp. -f- cosy’ • 0

Ç = p • cos cp

p • COS (J/ =

oder wenn wir für p • cos a undp • cos y. die oben abgeleiteten Werte einfübren, so erhalten wir

•    cosX • cos

•    cosl • cos

=L

• cos

• cos

ox . cos²a-f t y . cosß . cos a -f-ay . cos²ß + T* . cos a . cosß

cos a • cos a’ + zy • cosß • cos«' + ay • cosß • cosß’ +

-f- -x • cos « • cos ß"

0 sind, d. h. y = y’ 90°, sobald y es ist, denn p,

Es erreichen demnach £ und Ç ihre Grösstwerte, wenn cos«; cosß; cos«’ und cosß’ zusammengehörige Grösstwerte haben, also wenn cosy und cosy⁻= 90°. Es ist y" notwendig

- 90°

\ und 'C liegen in einer Ebene: ausser p liegt, wenn y ist, auch £ in der XF-Ebene, also muss auch C in der XY-Ebene liegen.

Folgerungen. Da es uns nur auf die Grösstwerte von ç und C ankommt, so beschränken wir im folgenden unsere

Untersuchung auf solche Ebenen, welche die Kraftebene im rechten Winkel schneiden, und können wir, wenn wir, wie in Fig. 26, die Kraftebene zur Bildfläche nehmen, das Prisma,

\p-

Fig. 26

in welches unser bisheriges Viereck übergegangen ist, durch seineSpuren mit der Bildebene, sowie sämtliche Spannungen, also jetzt auch £und nach Richtung und Grösse richtig darstellen .

Lehrsatz XIV. Für eine Ebene, welche die Kraftebene im rechten Winkel und die Querschnittsebene unter einem beliebigen Winkel« schneidet, ist die Normalspannung

1 + cos 2 a

+ (J y

1 — cos 2 a

-j- t • sin2 a

Beweis. Es wird mit ~x ----- it/, und weil hier cosß gleich sina ist, der Ausdruck für ç im Beweis zu Lehrsatz XII [ zu

■ç = ax • cos² a + ay ■ sin²a + 2 • t • sina • cos a es ist aber

cos²a

sin² a —

(1 + cos 2 a)

(1 — cos 2 a)

2sina • cosa = sin2 a

also jst

£

'■s

Ox

I + cos2 a

1 — cos 2 a

-j- t • sin 2 a

Lehrsatz XV. Für eine Ebene, welche die Ivraftebene im rechten Winkel und die Querschniltsebene unter einem beliebigen Winkel a schneidet, isl die Tangentialspannung

.    . sin 2 a

■i N

— t • cos 2 a

Beireis. Es wird der Ausdruck für C in dem Beweise zu Lehrsatz XIII, weil in unserem jetzigen Falle

cos ß = sina

cos a’ = cos (90 — a) = sin a cos ß’ -ist, zu

'C = nx cos a . sina + Tsin²a + i7ysina(— cosa)+ r cos a (—cosa) — (nx — Gy) (cos a • sin a) -(- r (sin²a — cos² a)

Nun is! aber

cos (90 + ß)

— cos (90 — ß) == — sin ß

— cosa

cosa • sin a

-rt Gm

sin 2 a

sin²a — cos²a =

I — cos 2 a

1 + cos 2 a

— cos 2 a

also ist

—t • cos2a

y .    . sin 2 a

C =    — Oy) ₂-

Lehrsatz XVI. Die Normalspannung erreicht ihren grösslen Wert für die Ebenen, welche die Kraftehene im rechten Winkel und die Querschnittsebene unter einem solchen Winkel « schneiden, für welchen die Beziehung besteht

lg 2 a

2t

(OX — Oy)

Beweis. Soll ç (‘in Maximum sein, dann muss

di

sein für den betreffenden Winkel.

(Li 2 + T⁰⁰⁸²⁰ +

bl«

cos2«+t • sin2ftj

0=0 +

(— sin 2a) - 2 —J— 0 —

(—sin 2a) • 2 +. H-t • (cos 2«) • 2

0 = (ay— ox) sin2a + 2t • cos2« und hieraus

(nx — cly) sin 2« = 2t • cos2« sin 2 «

2t

cos 2«

0?* — Sy)

= tg2a

Folgerung. Da es zwei Winkel 2 a giebt, welche die-selbe Tangente haben, und dieselben um 180° verschieden sind, so wird £ zum Maximum für zwei Winkel a, welche um 90° verschieden sind.

Zusatz. Für die beiden Ebenen, für welche ç zum Maximum wird, ist die Tangentialspannung £ = 0.

Beweis. Es war allgemein .

— t • cos 2 a

„    .    . sin 2 a

£= (°* — ay) ₂

daraus erhalten wir durch Umformung

{3X Gy)

(s* — o„)

si n 2 « cos 2 a

£ = cos 2 a

und mit lg2 « =

2t

(s*    °ÿ.)

£ = cos 2 a

(<y* — Gy)

IO

+ x²

die Grösse der anderen ist

Ox + Oy

(px Py?

+ 'f²

Beweis. Es war allgemein

e = -₂

Px

cos 2 a +    ----y- cos 2 a -j- x •

sin 2 a

Pc + Py

+ sin2a |

(Ps ' Oy)

cos 2 a

sin 2 a

+ x]

Die Grösse der einen Maximal-

Lehrsatz XVII.

Normalspannung ist

Hierin ist einzufüliren

cos 2 a

sin 2 a tg2a

(px — <Pj)

2t

sin 2 a =

tg2a

ax - (fy

1 + tg²2«

4 t²

(Px Py?

sodass wir erhalten

£ __

Ox~?Oy

GX    Oy

(px Py)    {p x    Py)

4 T²

2t

(ox-Oy?

Rechnen wir den Ausdruck aus, so ergiebt sich schliesslich

OX    Oy

(0X Oy?

+ X²

Zusatz.

Da wir den Sinn einer Normalzugspannung mit dem positiven Vorzeichen verbunden haben, so ist das-

jenige £, welches sich als eine negative Grösse ergiebt, eine N o ri n ald ruc k sp arm ung.

Lehrsatz XVIII. Die Tangentialspannung C erreicht ihren grössten Wert für diejenigen Ebenen, welche die Kraft-ebene im rechten Winkel und die Querschnittsebene in einem Winkel a schneiden, für welchen die Beziehung besteht

ax — r>\s

2x

Beweis. Soll Ç ein Maximum sein, so muss

dy

sein für den betreffenden Winkel.

da

• sin 2 a — - • cos 2 aj

Gx    G y

• (cos2a) • 2 — x (—sin2a)- 2 — (<yx — <jy) cos 2 « + 21 • sin2 a

und hieraus

— (gx — Gy) cos 2 a = 2 x • sin 2a

(gx Gy)

— tg 2 a

sin 2 a cos 2 a

Folgerung 1. Da es zwei Winkel 2« giebt, welche dieselbe Tangente haben, und dieselben um 180° verschieden sind, so wird £ zum Maximum für zwei Winkel a, welche um 90° verschieden sind.

Folgerung 2. Soll £ ein Maximum sein, so muss , wie wir gesehen haben

tg 2 a’

Gx Gy

und soll Cein Maximum sein, so muss, wie wir eben gefunden haben

(TX

2t

sein, es isl also

tg-2 a = —

— cotg’2a”

lg- 2«

(l. Ii. es isl d(*r Winkel 2«’ um 90° verschieden von 2a”, oder der Winkel a nin 45° verschieden vom Winkel a”. Mil Worten ausgedrückt heisst das: die beiden zu einander senkrechten Ebenen, für welche ç zum Maximum wird, sind gegen die zwei zu einander senkrechten Ebenen, für welche ( zum Maximum wird, um einen Winkel von 45° verdreht.

Lehrsatz XIX.

Tang-eiitialspanmmg’ isl

Die Grösse der einen Maximal-

+ ~¹

Die Grösse der anderen ist

(ax <Ty)¹

+ T¹

Beweis. Es w ar allgemein sin 2 a

£;    (¹⁷x    u,j)

t • cos 2 a

(Tx    <7y

lg- 2 a — tJ

Hierin ist einzuführen

cos 2a —

±)/l + lg¹2a

und

tg-2« = —

( ÙX    (T y )

2t

und ergiebt schliesslich die Ausrechnung

== +

kPx ay)'J

+ ta

Zusatz. Für diejenigen Ebenen, für welche C zum Maximum wird, ist

Beweis. Führt man in den allgemeinen Ausdruck

+ cos 2 a ( a- x.......y-y--f t • (g 2 aj

ax    ¹⁷ y

und

cos 2« = H~

)/ 1 + tg²2«

tg 2«

(Tx

2t

ein, so ergieht die Ausrechnung

Lehrsatz XX. Die Dehnungen, welche der betreffende Punkt des Querschnittes nach der Richtung der Maximal-Normalspannungen erfährt, sind hezw.

Die Dehnung, welche die Normalspannung £t

; nach dieser Rich-

Beweis.

nach ihrer Richtung hervorruft, ist tung ruft aber die zu cx senkrechte Spannung E₂ noch die

² hervor, so dass die Gesaint-m

?2

sekundäre Dehnung —

dehnung nach der Richtung von Ei ist

Si =

Analog ist auch die Ableitung von

•<n-

(«■- -Jr ■)

Lehrsatz XXL Non den Ebenen, welche mit der Quersclmittsebene einen solchen Winkel a bilden, dass

tg 2a =

2t

G x

ist, bat man die eine als im Ganzen afficiert zu betrachten von einer virtuellen Normalspannung

$    + -J-1/

L² + (^ <Ty)²

die andere von einer virtuellen Normalspannung

OC 02

{ffx + Vy)--g-l/'i T² + {ax - (Tyf

Beweis. Die Dehnung senkrecht zu der einen dieser Ebenen ist

(fl _ 7«" &)

Dieser Dehnung entspricht eine Spannung M = E - h = £i — ~ *2

Führen wir die oben gefundenen Werte für und c₂ ('in, so erhalten wir

(^.E - Ay)² + d T~ .

(1+4 )

■v    (i

4, so ergiebt sich schliesslich

und setzen wir m

Ol)

Analog ist auch die Ableitung von

(o.j)

^    (0X-\- Oy)    ^ j, (ox

Oy)² + 4 T ²

Bemerkung. — Wir haben bis hierher mit der unbekannten Normalspannung oy gerechnet. Diese Normal-Spannung,, welche auf die zur Querschnittsebene und zur Kraftebene senkrechten Ebene wirkt, kann von zweierlei Ursachen herrühren. Die erste Ursache sind die angreifenden Lasten jeweils seihst, denn es ist klar, dassz.B. ein Brückenträger, auf dein die Schwellen eines Eisenbahnoberbaues direkt aufliegen, eine verticale Druckbeanspruchung in dein direkt unter der Schwelle befindlichen Teile erfährt, eine Druckbeanspruchung, welche in diesem Falle in der obersten Faser ihrer! grössten Wert, in der untersten Faser den Wert Null hat. Die zweite Ursache ist eventuell die geschweifte Form der oberen und unteren Stabbegrenzung.

In der Praxis pflegt die Einwirkung der direkt aufliegenden Lasten von keiner Bedeutung zu sein und deshalb meist ganz vernachlässigt zu werden. Die Einwirkung der geschweiften Stabbegrenzung ist jedoch, wenigstens für die Punkte der äussersten Fasern, nicht zu vernachlässigen.

Im folgenden soll zur Veranschaulichung für eine Combination beider Ursachen oy abgeleitet werden bei einem Stahe von einfachem rechteckigem Querschnitte, dessen obere und untere Begrenzung in Bezug auf die Stabaxe symmetrische Curven sind.

Lehrsatz XXII. Bei einem Stabe rechteckigen Querschnittes, dessen obere und untere Begrenzung symmetrische Curven sind, und dessen einzelne Querschnitte bei variabler

Hölie constante Breite haben, ist in den Punkten A des Querschnittes bei Abscisse x eine vertikal gerichtete Normalspannung vorhanden, deren Grösse ist

vA — 3 v ■ e²    3 >'?l — 3 v • e-

4 e³

4 el

d!f] +

•HC

% <? +

3 re* — 3 r'°

e¹

4 r³ — 2 r e-

worin bedeutet

v den Abstand der Linie gleicher Spannung, in welcher die Punkte 1 liegen, von der neutralen Faser e den Abstand der äusserstcn Faser von der neutralen Faser b die für den ganzen Stab constante Quersclinittsbreite /) die gleichförmige Belastung pro Längeneinheit /■* eine zwischen den Querschnitten x und x -|- dx, also praktisch über Querschnitt r angreifende Einzellast dx das Differential der Stablänge, auf welches praktisch P gleichförmig verteilt wirkt

dV

dj die halbe Höhendifferenz der Querschnitte hei x und x + dx Q die Querkraft für den Querschnitt bei x M das Moment für den Querschnitt hei x tg<p die Tangente des Neigungswinkels der oberen Stabbegrenzung gegen die Stahaxe im Querschnitte x, also

dx

tg? =

Beweis.

Schneiden wir aus dem Stabe ein Element heraus, das gebildet wird durch die Staboberfläche, die Querschnitte bei den Abscissen x und x + dx, sowie die zum Querschnitt und zur Kraftebene senkrechte Ebene durch die Punkte A, so muss das Element , wie vorher mit dem ganzen Stab zusammen, so auch jetzt im Gleichgewicht bleiben, d. h. die aus Fig. 27 ersichtlichen Kräfte müssen sich das Gleichgewicht halten, und zwar ist

BlEGUXfi

dx • b die gesuchte normale Flächenkraft, welche als Zugspannung eingezeichnet ist, also positives \or-zeichen hat

( p • dx + P) die zwischen den Querschnitten x und x -j- dx angreifende Last, wobei gedacht ist , dass P gerade auf die Länge dx gleichförmig wirkt

P+pdæ

neutr.

K-

dx

—v>

Gÿb-dx

Jî₂

k-

e+dy

Li

Paser

Fig. 27

i x zwischen der

1{X die Resultante der im Querschnitte bei

Linie gleicher Spannung- im Abstande v von der neu-[ raten Faser und der äussersten Faser im Abstande c wirkenden vertikal gerichteten inneren Elementarkräfte t • dF

/L die Resultante der im Querschnitte bei x + dx zwischen der Linie gleicher Spannung im Abstande v \on der neutralen Faser und der äussersten Faser im Abstande

eĄ-dy wirkenden vertikal gerichtet krälte r • dF

en

inneren Elementar-

Es ist demnach

"e.

T- dF

mul zwar ist

T= b

Q.Sh

Jx

+ d/

dx

if»

Für unseren redit eckigen Querschnitt isl

- jj>2

= t -a

,S7,

3    — v²

b e³

’h

e³

d.r

(f)

St, — Stl

r/j?

./

Jx²

In letzterer Gleichung’ ist

und

dSt, = St₂ — St,

d >t] d2    '/j

wenn mit St₂ das statische Moment hezeichnet wird von r his e 4- dy im Querschnitte hei x -p dx und mit ,/₂ das Trägheitsmoment eben dieses Querschnittes. Es ist

s>, = b

J₂ =

! e- + 2 edy 2 b (e + dy)³ = b (e³ + 3 e² dy)

- V²

- V²

wenn liier, wie es auch im folgenden geschehen wird, die zweiten und höheren Potenzen von dy als unendlich klein höherer Ordnung vernachlässigt werden.

Also ist

dSh = b -~e^!/

~ b • 3 e² dy o

d Jx —

— b e dy

2 b e² dy

und somit

dStx

dv

dx

dx

— he Igo

dJ\

dx

- = 2 b e²

d,J

dx

2b e² l g o

dx

Setzen wir diese Werte in den obigen Ansdruck für (S/i ) °’n’ un<^ führen wir die sich ergebende Rechnung aus, so wird

" Æ)

9 V² — 3 c²

dx

& e¹

tg o

und ergiebt sieb endlich

+ MX

tgcp

Berücksichtigen wir nun, dass in

t • dF

dF — b ■ dv isl, so findet man durch einfache Integration

M\=l:

'(2 +

v?‘

e³

:i ) - ii/r. v <

e¹.

Den Wert von Ji, können wir direkt aus dem Werte für //, ableiten, wenn wir entsprechend dem Uehergange vom Querschnitt hei x zum Querschnitt bei x + dx einführen für e den Wert c + dy für tg <p den Wert tg o + d tg cp für Q\ den Wert Qx + dQx = Q2 für Mx den Wert Mx + dMx = M%

Doch können wir, weil die Beträge der zwei Aenderungen d tg <p und dMx praktisch verschwindend klein ausfallen, aucli für den Querschnitt bei x -fi dx als Moment den W ei t M. und als Tangente des Neigungswinkels der oberen Stabbewegung gegen die Stabaxe den Wert tgo beibehalten; es ist demnach

+ ~TM{ë9 (

r3

(e + dyY (e + dy)

t)

(2-\

3 r .    )

(e -f dy) )

(Q + </(?) /

y* 3

(e + dy)»

Rechnen wir die einzelnen Brüche aus, und vernachlässigen wir alle zweiten und höheren Potenzen von dy. so wird

1U =

Q + dQ

v³

23

'I M tg?

e³

ev

y vS

r³

dy +

eA

dy

Das Gleichgewicht an dem herausgeschnittenen Stabelement verlangt nun, dass

R₂ + (p • dx + P ) -|- atJ ■ dx • b — Ft₁ = 0

sei, d. h. es ist

— ny • dx • b = /G — 7^ -f (/? • dx + 7-*)

Ziehen wir von unserem Ji₂ den Wert von Rx ah, so erhalten wir

3 v e- — 3 v³

e⁴

3 v³ — 3 v e²

et

dy +4

dy+ 4

M tg © -

v³ — 3 v e²

e³

4 v³ — 2 v e-

e⁵

dy

und berücksichtigen wir, dass nach Zusatz zu Hilfslehrsalz 1 p dx + 7> —.—

ist. so erhalten wir

<y—¹ +

r³ — 3 r e²    3 r³ — 3 ee²

Ï7⁴~

3 v e² — 3 r³

et

dy +

os

M I g- <p

4 r³ — 2 c e²

e*

<hJ

und

(p + &)

und daraus mil

d'J

dx

= lg' 9

dQ

dx

wobei wir das Minus-Zeichen in die zugeliörige Klammer nehmen

(p ,A,-> [*

v³ — 3 re²

4 e³

3 v³ — 3 v c2 4 cP

d!/\ +

Q 3 v e² — 3 v³

e⁴

lg g +

-j M lg'² 4"

4    — 2 v e²

Folgerungen. Für r — 0 wird

(/> +

dx

)(*

•)

dx

also eine vom Winkel <p unabhängige Druckspannung. Für dx würde man z. B. wenn P durch eine Eisenbahnschwelle übertragen wird, die Schwellenbreite einzuführen haben, wobei zu beachten ist, dass p auf die Masseinheil zu beziehen ist. in welcher b und dx ausgedrückt sind.

Für v — e wird, wenn p und P an dieser Faser angreifen

(/■+£)(*-s

— 2 e3 ïe³ .

lg'² 9

und wenn für den betreffenden Querschnill p und P überhaupt — 0 sind.

¹

cos 2 a

3 M 2 e²

lg?<p = —

( bc³^

lg- ¥

Lehrsatz XXIII. Für den praktischen Gebrauch ist hei einem Stahe beliebigen aber constanten Querschnittes für sämtliche Punkte die Normalspannung — 0 zu setzen; bei einem Stahe, dessen Querschnitte aus rechteckigen Bestandteilen (z. B. ITräger) derart zusammengesetzt sind, dass die verschiedenen Querschnitte nur ihre Höhen ändern und die obere und untere Stabbegrenzung symmetrische Curven sind, ist für ay nur in den Punkten der äussersten Fasern ein endlicher Wert einzuführen, und zwar

tgv

M ■ e

(ly =    —

Beweis. Es isl nur zu beweisen, dass diese Gleichung für o,, auch für einen nicht einfach rechteckigen Querschnitt gilt.

Bei unserer Ableitung von nu für den vollen rechteckigen Querschnitt gingen wir aus von der Formel

Q • St

dx

St — St

dx

./

e. wird diese

Für eine äusserste Faser, also für v Formel zu

dx

St

weil für die äusserste Faser St = 0 ist. Aus dem gleichen Grunde ist auch = 0, und in dem Ausdrucke

n, = /T • d F

Wir

können wir genau genug für r obigen Werl einselzen. haben demnach die Gleichung (worin h die Ereile an d(*r

« + dy

(t y • dx ■ b j - B .) — cf y • dx • b —j—

dx

St

dF= 0

BIEGUNG

83

äussersten Faser ist)

»,

Aus Fig. 28 ersieht man, dass, wie auch der Querschnitt aus rechteckigen Bestandteilen zusammengesetzt sein mag, der Differentialzuwachs des statischen Momentes in der

nêutr.

K—

$■«

.J

__ü_

Faser

Fig. 28

Hauptsache gleich dem entsprechenden Zuwachs hei einem vollen Rechteck ist, dessen Breite der Breite an der äussersten Faser des wirklichen Querschnittes gleich ist.

(e -f- dy) -j- e

= b • edy

dx

St = b e tg

Also ist

(Ty •

dx • b = —

r e -j- dy J e

•e -f dy

<*y

dF = b ■ dy

. ÈL ₌

dx

c tg (p

ctg¹ g

Bcmerkuny. — Der Beweis zu Lehrsatz XXVI wird zeigen, dass in dem vorliegenden Falle auch ax eine Druek-

<;*

Spannung- ist, und dass nv eine Zugspannung- wird, sobald <jx (due solche ist.

Zusatz. Ist die halbe Höhe des Querschnitts hei x + dx um dy kleiner als die halbe Höhe des Querschnittes hei x, so ist natürlich in alle Formeln für tg^> der Wert (— tg<p) einzuführen.

Lehrsatz XXIV. Für Stäbe eonstanten oder variablen Querschnittes erfahren die Punkte der neutralen Faser in den beiden Ebenen, welche die Querschnittsebene unter einem Winkel von 4ö° und die Kraftebene senkrecht schneiden, die grössten Normalspannungen; die grössten Tangentialspannungen erfahren sie in der Querschnittsebene selbst und in derjenigen Ebene, welche zum Querschnitt und zur Kraft-ebene senkrecht steht.

Die Grösse dieser grössten Normalspannungen ist

tv==0 bezw.

Tv = o

l

die Grösse dieser grössten Tangentialspannungen ist

imax — Tp ₌ o

Beweis. Für die Punkte der neutralen Faser ist

'T.r = 0

und nur t hat eine endliche Grösse.

Also wird für die grösste Normalspannung

oo

d. h.

und

2 « = 00° bezw. 270° a — 4-5° bezw. I3ö°

wird zu

(V) =

±T^ = + 4

Für die grösste Tangentialspannung wird tg 2 a = —

ff# ff//

2t

-- o

d. !..

und

2 a = 0 bezw. 180u a = 0 bezw.

90°

^imix

(ff# - Gy)²

+ T-'

wird zu

bmax ■—    = o

Lehrsatz XXV. Für Stäbe constant en Querschnitts erfahren die Punkte der äussersten Faser in der Querschnitts-ebene die grösste Normalspaniiung ; <Ii<* grösste Tangentialspannung erfahren sie in denjenigen beiden Ebenen, welche die Querschniltsebene unter einem Winkel von 45° und die Kraftebene senkrecht schneiden.

Die Grösse dieser grössten Normalspaniiung ist

(ff) = Gx

Die Grösse dieser grössten Tangentialspannung ist

ff#

^max

Beweis.

Für die Punkte der äussersten Faser eines Stabes constanten Querschnitts ist

= au

und nur gx hat eine endliche Grösse.

Es wird also für die grösste Norinalspannung

ff#

tg 2 a

2 a = 0 a = 0

und die Grosse von (<j) ergiebt sich aus

g (ax + 0) +    | (

SC |0C

-U)s + 0> ==|a«+ |

Für die grössten Tangentialspannungen wird

tg 2a = —

Gy

Gx

d. h.

2 a = 1)0° liezw. 270° a = 45° bezw. 135°

und die Grosse von '(max ergiebt sich aus

+ 0> =

riox — 0/

^■max

Lehrsatz XXVI. Für Stäbe mit Querschnitten von variabler Höhe, wobei die obere und untere Stabbegrenzung symmetrische Curven sind, erfahren die Punkte der äussersten Faser in der Ebene, welche zur Stabbegrenzung senkrecht steht, die grösste Normalspannung; die grössten Tangentialspannungen erfahren sie in denjenigen Ebenen, welche mit der Richtung der Stabbegrenzung Winkel von 45° bilden.

Die Grösse dieser grössten Normalspannung ist

(a) =

1

Gx 7,

cos² <p

die Grösse dieser grössten Tangentialspannungen ist

Sinne hinein, wie er dem positiven Vorzeichen derselben entspricht, d. h. gx und Gy als Zugspajnnmgen und die beiden t gegen die Schnittlinie der von ihnen aflicierten Ebenen

Fig. 29

gerichtet» so ersieht mail, dass das Gleichgewicht verlangt, dass sei

und

d. h. es ist

g,j • b • dx —)— t • b • dy 0 g x • b • dy -\- t • b • dx 0

T. ly_ ₌

dx

_ T • lg Cp

und

Aus letzteren zwei Gleichungen folgt, dass, wenn gx in Wirklichkeit eine Zugspannung ist, dann die beiden x von der Kante ihrer Ebenen weggerichtet sind und negatives Vorzeichen haben; wenn aber r negatives Vorzeichen hat, so wird auch gv zu einer Zugspannung.

Nun ist

Gx =

also

Xr = e = - <?x • tg 9 = -

Me

Diese Resultate stehen nicht im Widerspruch mit Lehrsatz XXIII, da dort t positiv angenommen, also gx eine Druckspannung ist. Es haben ax und gv stets gleichen Sinn.

Die Ebene, welche von der grössten Normalspannung afiiciert wird, bildet mit der Querschnittsebene einen solchen Winkel, dass

— 2tg<p

(1 — lg³?)

2 t

GX    Gy

— — tg 2 cp

und

— *v = T • tg 9 = —

Me

tg³ ?

Gy -

Me

tg³ ?

tg2« = ist, es ist also

a =

d. Ii. es bildet die betreffende Ebene mit der Querschuitts-ebene denstdben Winkel, welchen die Stabbegrenzung an der Stelle mit der Stabaxe bildet, und steht demnach senkrecht eben zu der Stabbegrenzung.

Die Grösse von (g) ergiebt sich aus

(g) =

3 Me

, ,    5 | /M³e³

(l + tg³?)+ ₈ [/

(i + ig³?)(    + - ■)

(-1 —tg=*<p)³+ 4

APe-

,p

lg³?

Me l

J COS³ (p

Die Lage der Ebenen, für welche ( zum Maximum wird, ergiebt sich aus Lehrsatz XVIII Folgerung 2.

Die Grösse von

(g) =

Me

./

GC w>

•/

ist

Cmax -— [

/1 AP e³

( ¹ “lg³?)³ +

APe³

,P

lg'³?

Regeln für die Festigkeitsuntersuchung.

Lehrsatz XXVII. Die Beanspruchung der Punkte in den neutralen Fasern eines auf Biegung beanspruchten Stabes von constantem oder variablem Querschnitte bleibt unter der zulässigen Grenze, wenn in jedem Querschnitte für dieselben dem absoluten Werte nach

und zugleich

^max

worin k- der Coefficient ist für normale Zugbeanspruchung, kd der Coefficient ist für normale Druckbeanspruchung und t der Coefficient ist für Schubbeanspruchung

Beweis. Siebe Lehrsatz XXIV.

Lehrsatz XXVIII. Die Beanspruchung der Punkte in den äusserslen Fasern eines auf Biegung beanspruchten Stabes von constantem Querschnitte bleibt unter der zulässigen Grenze, wenn in jedem Querschnitte für dieselben dem absoluten Werte nach

Me

< kz bezw. k,i

(ff) = <*x =

(je nac11 dem J/ positiv oder negativ ist) und zugleich

J/e’.

'îinax

,/

max —

1 Me' J J

Beweis. Siehe Lehrsatz XXY.

Die Beanspruchung der Punkte in den äussersten Fasern eines auf Biegung beanspruchten Stahes, dessen Querschnitte eine derart variable Höhe haben, dass die obere und untere Begrenzung des Stabes symmetrische Curven sind, bleibt unter der zulässigen Grenze, wenn in jedem Querschnitte für dieselben dem absoluten Werte nach

Lehrsatz XXIX.

(a) —

Me

• -5— < kg hezw. < kd

,/    COSz (f

< ka hezw. kz

Me” I

I    COS² (f

und zugleich

Ci

nax —

IC —

cos²y>

1 Me”

^max

~ J J cc

Beweis. Siehe Lehrsatz XXVI.

Hat man für einen Querschnitt des auf Biegung beanspruchten Stabes gefunden, dass in der neutralen, sowie in den beiden äussersten Fasern (d) und unter der zulässigen Grenze bleiben, so ist bei einem

Lehrsatz XXX.

smax

Stabe, dessen Querschnitte in der neutralen Faser eine Breite haben, die nur wenig verschieden ist von der Breite in den äussersten Fasern, damit auch gesagt, dass in allen zwischenliegenden Fasern diese Spannungen unter der zulässigen Grenze bleiben. Bei einem Stabe aber, dessen Querschnitte in der neutralen Faser eine bedeutend kleinere Breite haben

von (o) und £max XIX ermittelt und mit k und t verglichen werden.

als in den äussersten Fasern, müssen für jede Faser, in welcher eine Aenderung der Breite statlbildet, die Werte nach den Formeln in Lehrsätzen XVII und

Beweis. Es mögen hier concrète Zahlenbeispiele als Beweise gelten für Quersclinittsformen> wie sie hauptsächlich in der Praxis Vorkommen.

Ein Stab constanten Querschnittes liege auf zwei 200 cm von einander entfernten Stützen frei auf (vergl. Eig. 30) und sei in der Mitte belastet mit einer Einzellast von 2000 klg, so dass jede der beiden Auflager-Reaktionen 1000 klg ist.

HU

K-5 -H    ¹

->l

-_ioo-->j

200

Fig. 30

5 cm

Es ist dann in dem Querschnitte bei x

1000 klg

+ J000 klg x 5 cm — 5000 klgem 100 cm

und in dem Querschnitte hei x

Q = 1000 klg M = + 1000 k% X 100 cm — 100000 klg cm

1) Der Stab habe einen rechteckigen Querschnitt von

der Breite b = 10 cm der Höhe h = 20 cm

sodass für denselben mil e = 10 cm einzusetzen ist

'’e

J=2 r² (IF = 2 v² ■ h ■ de =

IC

cs

cs

2;

Ol

e²

Querschnitt hei x — 5 cm. Es ist

5000 klg-cm

0666 cm⁴

• 10 cm = 7.5 klg pro cm²

Machen wir also eine vertikale Linie (Fig⁻. 31 Tafel) e cm lang- und eine durch ihren oberen Endpunkt gezogene Horizontale proportional cre, und verbinden wir alsdann den Endpunkt dieser Horizontalen mit dem unteren Endpunkte der Vertikalen durch eine Gerade, so stellt jede horizontale. Ordinate dieser Geraden das <i für das betreffende r dar, also den Wert, welchen wir in unseren Formeln nx genannt haben.

Es ist ferner

1 Q ■ SÇ Q b ~ J

2.7

(e² — Ç-)

(e- — r'²) = 0,075 {e-

>'²) =

1000 2 • 6666 = (7,5 — 0,075 C-) klg pro cm²

.Machen wir eine durch den unteren Endpunkt unserer Vertikalen (Fig.31) g-ehende Horizontale, proportional 7,5 klg-und zeichnen wir eine Halbpara&.d, die den Endpunkt dieser Horizontalen zum Scheitel hat und durch den oberen Endpunkt der Vertikalen hindurch geht, so stellen die Ordinalen dieser Parabel für jedes v das zugehörige t dar.

Nach Lehrsatz XIX war

+ T²

r __ [/    S)²

^max — y    |

hier wo c,, — 0 ist, Iiahen wir

Smax

die Hypotenuse eines rechtwinkligen

es ist demnach Cmax Dreiecks, dessen Katheten ^ und t sind, und können wir

mittelst ihrer Ordinaten auf-

direkt eine Curve für die '(max zeichnen, wenn wir für jedes v mit dem zugehörigen ^ und t ein derartiges Dreieck construieren (Fig. 31“).

Nach Lehrsatz XXI ist, wenn au — 0 wird

(ff) =

CS

!(?)-•

(*)“

1 y ~ j ^max

und können wir rein zeichnerisch die Ordinaten der Curve

3

der (rr) ermitteln, indem wir zu der s fachen Länge der Ordi-naten der <jx Curve jeweils das ₄ fache der entsprechenden Ordinate der Çmax Curve addieren (Fig. 31).

Querschnitt hei x — 100 cm.

Wir verfahren hier ganz analog, nur ist liier (Fig. 31h) 100000

(Te =

6660

10 — 130 klg pro cm²

während

Tj, ₌ o = 7,3 klg pro cm² bleiht. Aus dem Verlaufe der Curven für die 'C

und die (<r)

ersieht man, dass hei beiden betrachteten rechteckigen Querschnitten die Grösse dieser Spannungen ent weder in der neutralen oder in einer äussersten Faser ihre Grösst werte

»max

erreichen.

2) Der Stab habe einen Iförmigen Querschnitt, dessen

2 e = h = 20 cm Flanschenbreite h = 10 cm Flanschendicke d — 2 cm Stegdicke

Höhe

s =0.1 cm

sei, so dass einzusetzen ist

CC| IO

CO IO

:o

05

05

cci io

CO

TO

oc

CO

IO

-f

und für v (e — d)

o,.    ⁸² — ',2

*S t =■ s t-

v    2

10² — 8²

= 3,2 + 180 —

0,1

v- —

= 183,2 —

0,1

v²

für v (/' — fl)

Sf = h

V

(1Q2 — v²)

= 500 — 5 r²

Querschnitt hei x — 5 cm.

(jt! = -

5000

3280

• 10 — 15,3 klgprocm²

und für v (e — d)

Ste

- n ₌

.9 ' ./    0,1 3280

(183,2—-4'-ü*) = 3.(l83,2

0,3

t = (550 —    r²) = (550 — 0,15 v²) klg pro cm²

v (e — (/)

Sf =

v

1 1000 10 3280

• (500 — 5 v²)

t = 0,03 (500 — 5 v²) = (15 — 0,15 ü²) klg- pro cm²

Während sich im vorliegenden Falle ax ganz analog wie im vorhergehenden Falle darstellen lässt (Fig. 32), ändert sich die Curve für die t, welche wir folgendermassen zu konstruieren liahen: wir machen zuerst eine durch den unteren Endpunkt unserer Vertikalen gehende Horizontale proportional 15 klg, und zeichnen eine Halbparabel, die den Endpunkt dieser Horizontalen zum Scheitel hat und durch den oberen Endpunkt der Vertikalen hindurchgehl, alsdann verschieben wir den Teil dieser Parabel, der von v = 0 bis r = (e — d) reicht , parallel mit sich selbst nach aussen um einen Betrag¹, der proportional ist (550 — 15) = 535 klg. Die Ordinalen der so erhaltenen Curve stellen für jedes v die Spannung x dar; für v = (e — d) hat x zwei Werte, welche um 535 klg. verschieden sind.

Die Curven der Cmax und (er) ermitteln sich ebenso wie im vorhergehenden Falle, und haben dieselben, entsprechend den zwei Werten von x, ebenfalls zwei Werte für v — (e — d)

Querschnitt hei x — 100 cm. Das Verfahren ist dasselbe (Fig. 32"), die Curve der x bleibt sich gleich während

(Je =

100 000

3286

. 10 = 305 klg. pro ent’

ist.

Aus dem Verlauf der Curven der Cmax und der (d) ersieht man, dass hei einem Querschnitte, dessen neutrale Faser gegenüber der äussersten Faser eine sehr kleine Breite hat, zwischen diesen Fasern noch solche vorhanden sein können, deren Hauptspannungen denjenigen in jenen Fasern sein-nahe kommen oder sogar grösser sind als dieselben.

Zusatz. Aus diesen Beispielen ist auch ersichtlich, wie das Verhältnis von M zu Q auf den Spannungszustand Ein-lluss hat, da wo M gross ist im Vergleich zu Q ist für die Dimensionierung der Spannungszustand in den äusseren Fasern massgebend , wo aber M sehr klein ist im Vergleich zu Q, kann dçr Spannungszustand in der neutralen Faser der massgebende sein.

KRIEMLER, AUS DER EESTKi K EITSLEII RE

96

Bemerkung. — ln Wirklichkeit hat der Spannungszustand in denjenigen Fasern, in welchen die Armierung der Querschnittsbreite vor sich geht, nicht die einfache Form

Fig. 33

wie in den anderen Fasern, denn es ist z. B. hei dem Ilor-migen Querschnitte (Fig. 33) in den Punkten der untersten Faser des Flansches die zur Kraftrichtung parallele Schubspannung notwendig gleich Null, weil sonst an der unteren Aussenfüäche des Flansches eine Schuhspannung vorhanden wäre (Hilfslehrsatz 4), was nicht der Fall ist. Es werden voraussichtlich in Wirklichkeit die Spannungen sich so verteilen, als oh der Steg noch etwas für sich in den Flansch hineinreichte, sodass er hei der Uebergangsstelle schon der ganzen Schubkraft allein entgegen wirkt.

In der Praxis können jedoch diese Unregelmässigkeiten vernachlässigt werden.

angenonnnen

hogenen Stabe eben bleiben, haben aber gleich erwähnt, dass

Bemerkung. — Beim Beweis von Lehrsatz I haben wir dass die materiellen Querschnitte heim ge-

dies nicht der Fall ist. Der Grund, dass sie sich etwas wölben.

ist folgender: Die Schuhspannung t in derQuerschniltsebene ist am grössten in der neutralen Faser, am kleinsten, oder gleich Null in der äussersten Faser, also ist die Aenderung des rechten Winkels, welchen die Längsfasern des Stabes ursprünglich mit der Querschniltsebene bildeten; am grössten für die neutrale Faser, am kleinsten oder gleich Null für die

Nun bleiben aber die Längsfasern, weil der Krümmungsradius r sehr gross ist, beinahe parallel, so

äusserste Faser.

- - 4- - -

l’

--1--

- -F

-»-4

Fig. 34

dass die Querschnittsebene, welche ja mit denselben (vergl. Fig. 34) in der neut ralen Faser den kleinsten in der äussersten den grössten, bezw. einen rechten Winkel bildet, eine geschweifte Form annehmen muss. Rechnungsmässig ist aber diese Wölbung von keiner Bedeutung.

¹

l St — 6 • dy

²

cos²y>

Beweis. Zeichnen wir für die Punkte der äussersten Faser die der Figur 27 analoge Figur 29, und zeichnen wir in dieselbe die sämtlichen zugehörigen Spannungen in dem

³

cos³ 9

1). Schub.

Definition der Schubbeanspruchung.

Ein Stab ist nie als Ganzes auf Sclmb beansprucht, sondern nur in einzelnen Querschnitten, und zwar ist dies dann in irgend einem Querschnitte der Fall, wenn zu beiden Seiten desselben und ihm unendlich nabe je eine äussere Kraft wirkt, von welchen beide der Querschnittsebene parallel, gleich gross, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Es können diese Kräfte auch je die Resultanten links, bezw. rechts vom betreffenden Querschnitte wirkender Kräfte sein, sofern diese Resultanten keinen endlichen Abstand vom Querschnitte haben, sondern durch dessen Schwerpunkt geben. Wir können demnach die Schubbeanspruchung als speziellen Fall der Biegungsbeanspruchung auffassen, und zwar als den speziellen Fall, dass für den untersuchten Querschnitt das Moment

also auch die Normalspannungen

i x — Oy — 0

sind.

V oraussetzungen.

Die beiden Kräfte Q haben das Bestreben die beiden Teile des Stabes längs des Querschnittes parallel mit sich selbst abzuschieben, welchem Bestreben die inneren Kräfte in der Querscbnittseberie, also Schubkräfte entgegen wirken. Die Resultante aller der Richtung von Q parallelen Compo-nenten der Elementar-Flächenschubkräfte muss natürlich mit Q im Gleichgewicht sein.

Unsere Untersuchung bleibe beschränkt aufSläbe, deren Querschnitte in Bezug auf eine der Hauptträgbeitsaxen wenigstens symmetrisch sind, und auf solche Belastungen, dass die Richtung von Q mit eben dieser Hauptträgheitsaxe zusammenfällt.

0 ist.

Wir haben bei Ableitung unserer Endformeln bei der Biegungsbeanspruchung unsere Untersuchung beschränkt auf Stäbe mit Querschnitten, bei welchen die Tangenten an die Umfangsfigur derselben nur sehr kleine Winkel mit deren Symmetrieaxe bilden (vergl. Zusatz nach C. Lelirs. IX). Diese Beschränkung wollen wir hier fallen lassen und unsere Formeln für einen beliebigen symmetrischen Querschnitt ableiten, sodass die Querschnitte, welche obiger engeren Bedingung doch genügen, als spezielle Fälle erscheinen, hei welchen tg <p

Nun haben wir in dem Zusätze nach C. Lehrsatz IX gezeigt, dass hei solchen Querschnitten, die eine Symmetrieaxe haben, welche Kraftrichtung ist, und deren Figur Tangenten hat, die bedeutend von dieser Richtung abweichen, die Richtungen der Tangentialspannungen der Punkte je einer zur Kraftrichtung senkrechten Linie sieb alle in dem Punkte schneiden, in welchem die beiden Tangenten an die Querschnittsfigur im Endpunkte der betreffenden Linie die Symmetrieaxe, d. h. die Kraftrichtung schneiden. Es lässt sich daher jede dieser Tangentialspannungen zerlegen in eine zur Kraftrichtung parallele, für alle Punkte der zur Kraft-richtung senkrechten Linie constante Gomponente und in eine zur Kraftrichtung senkrechte, variable Gomponente.

Lehrsatz I. In allen Punkten einer zur Kraltrichtung senkrechten Linie des Querschnittes ist die zur Kraftrichtungparallele (Komponente der Schubspannung- in der Querschnittsebene gleich, und zwar hat sie die Grösse.

St

v

worin bedeutet Q die äussere Schubkraft

Sf das statische Moment des ausserhalb der bet reifenden

V

Linie gelegenen Teiles der Querschnittsfigur, bezogen auf die zur Kraftrichtung senkrechte Schweraxe J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes, bezogen auf die zur Kraftrichtung senkrechte Schweraxe b die Breite des Querschnittes längst unserer Linie.

Beweis. Mit Berücksichtigung dessen, dass 31 — 0 ist, aus C. Lehrsatz IX.

Lehrsatz II. In allen Punkten einer zur Kraftrichtung senkrechten Linie des Querschnittes ist in der zur Kraftrichtung senkrechten Ebene die zur Querschnittsebene senkrechte Schubspannung ebenfalls

St

v

~i = -r

Beweis. Aus C. Hilfslehrsatz 4.

Lehrsatz III. Tn einem Punkte des Querschnittes ist die zur Kraftrichtung senkrechte (Komponente der Schuhspannung in der Querschnittsebene

worin bedeutet 4 die zur Kraftrichtung parallele Componente der Schubspannung in der Querschnittsebene für den betreffenden Punkt

'2 = u • t g<p

K RI EMI. KR , AUS DER F EST I(ï K KITS U KH R K

102

ip den Winkel, welchen die Verbindungslinie unseres Punktes mit dem Schnittpunkte der Tangenten in den Endpunkten der durch ihn hindurchgehenden zur Kraftrichtung' senkrechten Linie bildet mit der Kraftrichtung.

Beweis. Aus dem Zusatze nach C. Lehrsatz IX.

Lehrsatz IV. Die Ebenen, welche senkrecht zur Querschnittsebene und parallel zur Kraftrichtung sind, erfahren eine zur Querschnittsebene senkrechte Schubspannung, welche ebenfalls die Grösse hat

^ = h. • tg-<p

Beireis. Aus G. Hilfslehrsatz 4.

Lehrsatz V. Die resultierende Schubspannung in der Querschnittsebene hat die Grösse

Beweis. Es ist

' =• ]/ "i² + "i²t -g*<p

1+tg-²^ =Ti •

cos ip

Lehrsatz VI. Für eine Ebene, welche die Querschnittsebene unter einem beliebigen Winkel a nach einer durch den zu untersuchenden Punkt gehenden zur Richtung der resultierenden Spannung t senkrechten Linie schneidet, ist

£ — t • sin 2 a

Beweis. Aendert man die in den Voraussetzungen zu C. Lehrsatz X ff. angegebene Lage der Coordinatenaxen derart, dass zwar die X-Axe parallel zur Stabaxe bleibt, die Y-Axe aber mit der Richtung von x zusammenfällt und berücksichtigt man, dass — 0 — au ist, so gilt alles dort und in den folgenden Lehrsätzen gesagte anstatt von Ebenen, welche unter einem Winkel a den Querschnitt nach einer zur Kraftrichtung, mit welcher ja dort x zusainmenfällt, senkrechten Linie schneiden, jetzt von Ebenen, welche den Querschnitt unter dem Winkel a nach einer zur variablen Richtung¹ von t senkrechten Linie schneiden.

Lehrsatz VII. Für eine Ebene, welche die Querschnittsebene unter einem beliebigen Winkel a nach einer durch den zu untersuchenden Punkt gehenden, zur Richtung der resultierenden Spannung x senkrechten Linie schneidet, ist

C — — X* • cos 2 a

Lehrsatz VIII. Die Normalspannung ç erreicht ihren grössten Wert für die Ebenen, welche die Querschnittsebene nach der zur Richtung von x senkrechten Linie unter einem Winkel von 45° schneiden, und zwar ist

?max = + ~ heZW. — X

sodass die entsprechende virtuelle Spannung

0) = ± (i +

)ta“± 4

-X

Lehrsatz IX. Die Tangentialspannung £ erreicht ihren grössten Wert für die Querschnittsebene und diejenige Ebene, welche die Querschnittsebene nach der zur Richtung von t senkrechten Linie unter einem rechten Winkel schneidet, und zwar ist

Cmax — T

Lehrsatz X. Bei Querschnitten, bei welchen die Um-fangsfigur Tangenten hat, welche mit der Symmetrieaxe derselben bedeutende Winkel bilden, sind die Punkte längst des Umfanges am stärksten beansprucht und müssen dieselben je einzeln untersucht werden.

Beweis. Wohl ist xx für die Punkte der zur Kraftrichtung senkrechten Scbweraxe am grössten, doch kann selbst bei

einem kleineren ~t die resultierende Schubspannung⁻ t durcli

grösser werden.

den Einfluss des Faktors

cosç>

Folgerungen. Wenn wir die Schubkraft Q einer solchen

Beschränkung unterwerfen, dass dem absoluten Werte nach

t < kz und << kd

sowie

^max - T t

bleibt in sämtlichen Punkten, können wir sicher sein, dass keine unzulässige Deformation stattfindet.

Ist bei irgend einem Materiale so brauchen wir nur die Schubspannungen in der Querschnittsebene mit t zu vergleichen, weil ja in diesem Falle (a) k bleibt.

Ist jedoch bei irgend einem Materiale an der Festigkeits-grenze die Normalfestigkeit kleiner als — derScliubfestigkeit, so wird bei unbeschränkter Schubbeanspruchung die Zerstörung des Stabes dadurch vor sich gehen, dass er längst einer Ebene zerrissen wird, welche unter 45° gegen den Querschnitt geneigt ist.

E. Torsion.

Definition der Torsionsbeanspruchung.

Ein Stab ist daim in einem seiner Querschnitte auf Torsion beansprucht, wenn zu beiden Seiten desselben und ihm unendlich nahe je ein Kräftepaar wirkt, von welchen beide die Stabaxe rechtwinklig schneiden, deren Ebenen also der Querschnittsebene parallel sind, und welche beide gleich gross aber entgegengesetzt gerichtet sind. Es können diese Kräftepaare auch je die Resultanten links bezw. rechts vom betr. Querschnitt wirkender Kräftepaare sein.

V oraussetzungen.

Die beiden Kräftepaare, deren Grösse M sei, haben das Bestreben, die beiden Teile des Stabes längst des Querschnittes bei gleichbleibender Lage der Stabaxe abzuwinden, welchem Bestreben die inneren Kräfte in der Querschnittsebene, also Schubkräfte, entgegenwirken. Die Resultante der Momente dieser sämtlichen Elementar-Flächenschubkräfte um den Momentenpunkt von M muss natürlich mit M im Gleichgewicht sein.

Unsere Untersuchung bleibe beschränkt auf prismatische Stäbe, deren Querschnitt in Bezug auf beide Hauptträgheits-axen symmetrisch ist, und zwar untersuchen wir

KRIEMLER, AUS DER FESTIGKEITSLEHRE

106

a)    den elliptischen und

b)    den rechteckigen Querschnitt.

Bei beiden machen wir Annahmen, welche uns begründet erscheinen, und welche auf kürzestem Wege eine Formel für die Schubspannung in der Querschnittsebene ergeben, und prüfen erst nach der Hand, ob die so gefundenen Werte den allgemein gültigen Gleichgewichtsbedingungen genügen.

a) Der elliptische Querschnitt.

Wir legen die X-Axe eines rechtwinkeligen Coordinaten-syslems in die Axe des Stabes, die F-Axe in die kleine Halb-axe a der Ellipse und demnach die Z-Axe in deren grosse Halbaxe b. Ferner behalten wir im Gedächtnis, dass in den Punkten des Querschnittsumfanges die Schubspannung die Richtung der Tangente an die Querschnittsligur haben muss (vergl. Zusatz nach G. Lehrsatz IX).

ZI

fr

>Tb

,s çL

-vy

—

Ib

'T

Tu

Fig. 35

Denken wir uns nun (vgl. Fig⁻. 35) den Stab in unserem Querschnitte auseinandergeschnitten, und den Zusammenhang zwischen seinen beiden Teilen durch einen Dübel im Mittelpunkt des Querschnittes und je einen Dübel an den

Enden des kleinen Durchmessers la wiederhergestellt,, und geben wir diesen Dübeln einen Querschnittsinhalt gleich der Flächeneinheit, so sind wir wegen der doppelten Symmetrie der Figur berechtigt, von vornherein anzunehmen, dass bei der Verwindung der Mitteldübel den Drehpunkt bildet, also nur die zwei anderen mittelst ihrer Scheerfestigkeit dem Abwinden widerstehen. Ihre zwei Scheerkräfte stehen zu dem Hobelsarm, also der Richtung nach dem Mitteldübel senkrecht, und müssen, wenn ihre Grösse xa ist, der Gleichung genügen

za • la = M;

T« ==

la

Denken wir uns zweitens den Zusammenhang zwischen den beiden Stabteilen hergestellt durch einen Mitteldübel und, anstatt der zwei Dübel an den Enden des kleinen Durchmessers la, durch zwei Dübel an den Enden des beliebigen Durchmessers Ir, so widersteht jeder dieser Dübel dem Abwinden des Stabes mittelst einer Scheerkraft t,., welche zum Hebelsarm, also zum Fahrstrahl r senkrecht steht und der Gleichung genügen muss

Tr • Ir — M;

T,- —

Ir

Es wäre also

T,- = - • T«

Wären nun gleichzeitig an den Enden sämtlicher Durchmesser Ir solche Dübel vorhanden, so .ändert sich natürlich die absolute Grösse der Scheerkräfte, mit welchen sie einzeln Widerstand leisten, es ist aber kein Grund vorhanden, warum sich die Verhältnisse dieser einzelnen Kräfte zu einander ändern sollten, so dass auch jetzt noch, wenn xa die zum Fahrstrahl a senkrechte Scheerkraft in den Dübeln an tlen Enden von 2«, und t,. die gleichzeitige zum Fahrstrahlr senkrechte Scheerkraft in den Dübeln an den Enden von 2 r ist

Tr —-

bleibt.

Denken wir uns drittens die beiden Stabteile längst eines Durchmessers der Ellipse mittelst einer ganzen Anzahl Dübeln zusammengehalten, so wissen wir, dass der Mitteldübel gar keinen Widerstand leistet, während der Aussendübel irgend eine zum Fahrstrahl senkrechte Scheerbean-spruchungxr erfährt. Es ist das nächstliegende anzunehmen, dass die zwischenliegenden Dübeln in einem mit ihrem Abstande vom Mittelpunkt im einfachen Verhältnis wachsenden Masse an dem Widerstande gegen die Verwindung beteiligt sind, also anzunehmen, dass für einen Dübel, der auf dem Fahrstrahl r vom Mittelpunkt den Abstand s hat, die zum Fahrstrahl senkrechte Scheerbeanspruchung sich bildet aus der Beziehung

• Tr

Denken wir uns schliesslich die ganze Querschnittsfläche aus einzelnen Dübeln gebildet, so bleiben, wenn auch nicht die absoluten Grössen der betreffenden Scheerkräfte, welche jetzt zu Schubspannungen werden, so doch ihre Beziehungen zu einander bestehen. Es ist also, wenn xa die zur kleinen Halbaxe der Ellipse senkrechte Schubspannung in dem Endpunkte derselben ist, die zum Fahrstrahl r senkrechte Schubspannung in einem Punkte, der auf r vom Mittelpunkt der Ellipse den Abstand s hat.

~s = - • Tr = —

Tr ist nicht die wirkliche Schubspannung in dem Endpunkte von r, weil diese unbedingt die Richtung der Tangente an die Ellipse in diesem Punkte haben muss, sondern nur eine Componente derselben, wobei der anderen Componente die Richtung des Eabrstrables gegeben werden mag, und zwar soll diese Componente gerade wie rs proportional mil dem Abstande vom Mittelpunkte wachsen, so dass die wirklichen Schubspannungen aller Punkte eines Fahrstrahls unter sich und mit der Tangente an die Ellipse in dessen Endpunkte parallel und dem Abstande vom Mittelpunkte proportional sind.

ln einem beliebigen Punkte des Querschnittes ist die zum Fahrslrahl senkrecht wirkende Elementar-Schuhkraft

ts • d f

wenn df ein Element der Querschnittsfläche ist, und das Moment dieser Elementarkraft um den Mittelpunkt ist

ts ■ df ■ s

Diese Grösse stellt aber auch das Moment der wirklichen Schubspannung dar, weil die andere Componente die Rieli-

Fig. 36

tung des Fahrstrahls, also kein Moment um den Mittelpunkt hat. Es muss also, wenn über die ganze Figur integriert wird,

j Ts • df ■ .S‘

sein.

Nun ist

Ts -=

as

Ta

und (vergl. Fig. 36)

cif = c/s • (s • dp)

wenn cls das Differential von s, und dp der Different ial-zuwachs <l<‘s Winkels p bedeutet, den der Fahrslrahl s mit der positiven I-Axe unseres Coordinaten-Systems bildet. Demnach ist

p = 360«

= »•

J/ =

<1 ■ Ta

• y>2

s³ • r/.v • dp • — «r„

.V³

y.2

r/.v

fit

s*

y*2

c/s —

y* 2

P = 3G0°

y» 2

M = aza

4 • dP

e = 0

Os

CU

z:

C:

bi

■55

und stellt das Produkt • rć//>) den Flächeninhalt eines

zwischen zwei aufeinander folgenden Fahrstrahlen eingeschlossenen Elementar - Ellipsensectors dar (vergl. Fig. 37), also stellt

/»? — 360

l'i-'r

J P = 0

den halben Flächeninhalt der Ellipse dar. Es isl also

M = a • xa ■

Iw

und daraus ergieht sich die im Endpunkte der kleinen Axe zu derselben senkrechte Schuhspannung zu

2 M

Ta =

und zwar ist ra auch die wirkliche Schubspannung⁻, da seine Richtung ja mit derjenigen der Tangente an die Ellipse überein stimmt.

Fig. 37

Für die Ellipse ist

F = tz • a • b

also ist

__2 M

L a iż a² ()

und für einen beliebigen Punkt, welcher auf einem Fahr-stralde im Abstande s vom Mittelpunkt liegt, ist die zum Fahrstrahle senkrechte Componente der Schubspannung

2 M TZ • ab

Ist nun der Winkel (vergl. Fig. 38), welchen die zum Fahrstrahl senkrechte Richtung mit der Richtung der Tangente in dem Endpunkte desselben bildet, gleich 0. der Winkel, den der betreffende Fahrstrahl mit der positiven F-Axe bildet, gleich />, und der Winkel, den die zugehörige

Ts =

2 AI

y.2

ab

Tangente mit der positiven F-Axe bildet, gleich (—p), so bildet die Richtung von xr also auch von zs mit der positiven F-Axe den Winkel — (90 — p), und der Winkel d ergiebt sich zu

# — (— (p) -f- (90 — p) = 90 — (pp -f- p)

Zi

----jU

I ,^goA'\

__

-*t₂

Fig. 38

h'*

Wir finden nun die wirkliche Schubspannung r in unserem Punkte, indem wir ts zerlegen nach dem Fahrstrahle und nach der Tangente, wir erhalten

T — Ts-

cos 6

Nun ist

cos Ô — cos [90 — (cp -g />)] = sin (p -f- p) tg'<p + tg£_____

cos# =

]/¹+• y¹+tg>

so dass unsere wirkliche Schubspannung wird zu

T =TS-

]/1 + ig²f • y i + tg²#

t gŸ + łg'/°

Die Richtung dieser wirklichen Schubspannung t bildet mit der positiven F-Axe den Winkel (— cp), es sind demnach ihre Componenten nach <len beiden Coordinaten-Axen, wobei wir diejenige Componente, welche zur F-Axe senkrecht stellt, Ty, diejenige, welche zur F-Axe senkrecht stellt, rz nennen wollen,

t, = t • COS (- Cf) = -j— T •

1 + I g²<p

tg£

)/ 1 + %?<P

Führen wir den Wert für r ein, so haben wir

]/ i + tgV

tg<p + tgp *

tg(p j/ 1 + tgV

tgcp + tgp

Beachten wir, dass die Gleichung der Ellipse, wenn deren Umfangscoordinaten yx und zx sinp,

!K

— _i_

«2    h 2

mit

yx — r • cos y

zx — r • sm/)

übergeht in

+ tgV)

& + aHg²p

und dass für einen beliebigen Punkt, der auf dem Fahrstrahl r vom Mittelpunkt den Abstand s hat,

i + tgV

COS p

Kkibmleb, Aus der Festigkeitslehre.

wird, wenn y und z die Coordinaten dieses beliebigen Punkles sind, so lässt sich die Spannung' ~s ausdrüeken als

IM a • b

Damit werden die Gleichungen der Componenten nach den Goordinatenaxen zu

1 + t g'p •

(j- + a~\g² p

a²b²(l + tgV)

tz = y ■

b² + a²tg²p

Tz • cd b'A

• 2M ■

b² + a²ig² p Tz ■ a³ ffi

• 2M ■

+ tgp

_

\gy + tgp

Bei der Ellipse entspricht einem positivem dy, ein negn-lives dzj, sodass

\g<p =

- dz,

dz i

dzx

d!h

erhält man einen einfachen Ausdruck, wenn

d!h

Für

man das Differential bildet von

d!h

!h

er 2 ~1

Es ist

df(U i -i) = ⁰ =

Ih

«²

d!h +

und daraus

dz,

d!/i

6²

!h

Nun ist

also

1g-^ =

cd

Mit diesem Werte von tg<p werden nach entsprechender Umformung unsere Spannungscomponenten zu

2 AI

Ti ■ ab*

2M

r.:    •

a ■ b*

2M

Tz • a ³ • b

Die wirkliche Schubspannung in unserem Punkte ist

jetzt

V + (- Tyf =

7t ab

!f

a±

//>

und zwar bildet deren Richtung mit der positiven F-Axe einen Winkel, welcher bestimmt ist durch die Beziehung

tgg =

Tv

/,²

b) Der rechteckige Querschnitt.

Wir legen den Ursprung eines Coordinatensystems in den Mittelpunkt des Querschnittes, die JST-Axe in die Stabaxe, die F-Axe parallel zur kleinen Seite 2a und demnach die Z-Axe parallel zur grossen Seite 2b.

Denken wir den Stab in dem Querschnitte auseinandergeschnitten und den Zusammenhang zwischen seinen beiden Teilen durch einen Dübel im Mittelpunkt des Querschnittes und je einen Dübel in der Mitte jeder der vier Rechteckseiten wieder hergestellt, so können wir aus denselben Gründen , welche wir beim elliptischen Querschnitte angeführt haben, den Mitteldübel als spannungslos annehmen, während die Scheerkraft ra in den Dübeln in der Mitte der Seiten 2b, deren Abstand also vom Mittelpunkt a ist, und die Scheerkraft r& in den Dübeln in der Mitte der Seiten 2a, deren Abstand vom Mittelpunkt b ist (vergl. Fig. 39) zu einander in der Beziehung stehen

~b

wobei natürlich ra und ih zum Hebelsarm senkrecht stehen, also den betreffenden Rechteck-Seiten parallel sind.

Z\

—9—ff

i⁶

Fig. 39

Denken wir uns zweitens, es wären die beiden Seiten 2a mit einer Reihe von Dübeln besetzt, sodass dieselben einen zusammenhängenden Streifen bilden würden (vergl. Fig-. 40), dessen Breite dz und dessen Höhe 2 a wäre, so würden diese Streifen je als Ganzes der Verwindung ihre Scheerfestigkeit entgegensetzen, und findet man die betreffende Sclieerkraft P, welche die Richtung der Seite 2a bat, aus folgender Betrachtung.

Wenn unser Elementar-Reell teck, dessen Breite dz und dessen Höbe 2a ist, einer Sclieerkraft, Pausgesetzt ist, so isl nach D. Lehrsatz 1 die Schubbeanspruchung in dessen zu P senkrechten Mittellinie

To =

dz

Sf

O

worin

srr

O

s-

dca³

SP

./

to

also ist

dc

-H ' C

i\

*s

Ę —1-> ¹ŒZiZSZZZfezZZ2Z22é z    !

i —i___

yyy/yyyy/yyçyyyy/yyy 4—ę

-P

H-a - >k- - a

4-c/J*

*T“—

H

•O-->*<--SO

Fig. 40

Nun ist aller dieses r₀ identisch mit unserem obigen zh, also haben wir

Tb

dz

und daraus

t b • dz

und wenn wir zb auf ra zurückfüliren

4

p = _ . _

3    6

a²

■ Ta • dz

Ganz analog erhalten wir die zur Seite 2b parallele Scheerkraft S in einem Streifen längs den Seiten 2 b aus

₂ <ly&. sr

Denken wir uns drittens den Zusammenhang liergestellt ausse.r durch die zwei Streifen längs den Seiten 2 a noch durch zwei weitere den Seiten 2a parallele Streifen ebenfalls von der Breite dz und der Höhe 2 a, welche vom Mittelpunkt den Abstand z haben, und tritt gleichzeitig mit der Scheerkraft P in den Aussenstreifen in diesen Streifen eine Scheerkraft Pz auf, so ist für dieselben in den Punkten der Z-Axe des Coordinatensystenis die Schubspannung

dz

Nun sind xb und ~b Schubspannungen, welche zu einem und demselben Hebelsarm bozw. Fahrstrald senkrecht stehen, und können wir aus denselben Gründen wie beim elliptischen Querschnitt annelunen, dass solche Spannungen sich zu einander verhalten, wie ihre Abstände vom Mittelpunkt. Es is also

y

T/, =

und ergiebt sich daraus audi

Pz

Analog ist für einen zur Seite Ht parallelen Streifen im Abstande y die Scheerkraft

S,

Denken wir uns schliesslich die ganze Quersclmiltslläcbe aus einem solchen doppelten Streifensystem gebildet, so ist ein Punkt, dessen Coordinafen y und z sind, als Punkt des zur Seite la im Abstande s vom Mittelpunkte, parallelen Streifens ausgesetzt einer zur Z-Axe senkrechten Schubspannung

St dz

t/

a² — y¹

dz

P. •

St

./

3 a² — y²

(t

In diesen Ausdrücken für die beiden zu den Coordinalen-axen parallelen Spannungscomponenten sind unbekannt Pz und Sy, beide lassen sich aber auf die eine Unbekannte ra zurückführen, und haben wir dann

(Tv

b² — r²

bezw. da

y - ra die Grosse eines ry im Sinne der

ab²

negativen /^-Axe ist, so ist

— Ty =

4² — 52 ab²

Nun müssen die diesen Schubspannungen entsprechenden Elementar-Flächenkräfte in ihrer Gesamtheit ein Moment um den Momentenpunkt haben, das mit dem Torsionsmoment M im Gleichgewicht ist, es muss also sein

f(T* ■ df • - + (— 'H) df- //)

ab²

r„ • r² +

b² — z2 ab²

T« •

j df

= J/

a² • z² ■ df —

y² • r² • df +

-J- a

• y² • df —

— z»

«ô²

y² • ^² • f//‘ +

+ //■ (2 •

2 b a³

= J/

-f- a

Ta

«Ä²    3

a³ // — 2

² ■ rfy ■

z² • dz — M

Ta

aÆ²

a³ — 2 •

kr>

T«

16

J/

und hieraus

T« —-

9 J/ 16 a² 4

Führen wir diesen Wert für zu in die Formeln für r3 und rv ein, so finden wir*

a² — i/²

~z =

ab²

er .

b² — z²

16 a² 4 ’

9 M

ab2 y 16 a²b

a³ 4³

⁹ .!/

16

°² (* - 9

as b3 V

9 J/ 16 «4³

r (1 -

//-

);

— h/

9 J/

16 a³ 4

• //C¹ —42)

Die wirkliche Schubspannung- in unserem Punkte, dessen Coordinaten y und z sind, ist

16 ab

//

y+i-iü

rV²

&

und zwar bildet deren Richtung- mit der positiven Y-Axe einen Winkel o, der bestimmt ist durch die Beziehung

a²

\g₉

// (o* - ~²)

* (a² — </)

Unseren Resultaten dürfen wir aber die Bedeutung erwiesener Tbatsacben erst beilegen, wenn wir gefunden haben, dass sie den allgemein gültigen Gleichgewichtsbedingungen genügen. Diese sind :

1. Die inneren Kräfte in dem Querschnitte müssen mit den äusseren Kräften und Momenten im Gleichgewicht sein.

Eine äussere Kraft haben wir in unserem Falle nicht, also müssen die Resultanten sämtlicher Elementar-Flächen-kräfte nach den Richtungen der Coordinatenaxen gleich Null sein, d. h. es muss sein

Dies Irilft bei beiden untersuch tim Querschnitten zu, da jedem positiven e₂ • df bezw. ry ■ df ein gleich grosses negatives entspricht.

Mit dem äusseren Momente M aber sind die Momente der Elementar-Elächenkräfte per se im Gleichgewicht, da wir sie so ermittelt haben.

z!c

B[

dz

Tz

U'

xz

xy

<r

JP 'A dy

Ï-A

Fig. dl

<*!/

2. Jodes in dem Querschnitte liegende körperliche Element des Stabes muss für sich unter der Einwirkung der inneren Kräfte im Gleichgewicht sein.

Denken wir uns ein kleines Parallelepipedum mil den unseren Coordinatenaxen parallelen Kanten von der Länge dx, dy und de, so wirken auf dessen einzelne Flächen die in Fig. dl eingezeichneten Spannungen, und zwar bedeutet

Ar- die Aenderung von xÄ, wenn // und z constant bleiben, während x sich ändert um dx

A(— -y) die Aenderung von (— xy), wenn y und 5 constant bleiben, während x sich ändert um dx Ax (—x,j) die Aenderung von (— xy), wenn x und y constant bleiben, während r sieb ändert um dz A₂1- die Aenderung von t*, wenn x und z constant bleiben, während y sich ändert um dy

Es ist also, da

drz =

dvz

dX

dx +

2>tz

du

(,H +

dvz

dz

dz

A zz —

dx

dx -f

d Tz

dzz

dy

dz

A₂ rz =

CO CO

L- 0 +

CO

OJ

dU +

dz

und analog

A(— Ty) =

³ (— ry)

dx

• dx

Ai (— Tw) =

³ (— Tv)

dz

Unser Parallelepipedum ist nur dann im Gleichgewicht, wenn die Resultanten der auf dasselbe wirkenden Fläcben-kräfte nach den drei Coordinatenaxenjeweils gleich Null sind.

Nach der Af-Axe muss sich demnach ergehen

rz • dx • dz — (xz -f A„ rz) dx ■ dz — (— xu) dx ■ dy + + ((—    + Ai (— t„)) dx • dy = 0

d. b.

A, zz ■ dx • dz — Ax (— Ty) • dx • dy und mit den Werten für die A

²rz

■ dy • dx • dz =

³ (— Ty)

dz

■ dz • dx • dy

nach der E-Axe

rz ■ dz • dy — (~z -f Arz) • dz • dy = 0

d. h.

ç) X y

— Arz • dz ■ dy 0 — dx • dz • dy

und nach der Z-Axe

d. h.

(— -y) dz ■ dy + ((— T y) + A (•- Ty)) dz • dy = 0

³ (— Tv)

A (— Ty) dz • dy = 0 =

dx

dx dz - dy

Es sind also unsere Annahmen der Wirklichkeit entsprechend, wenn die gefundenen Werte für t. und (— ry) noch folgenden drei Gleichungen genügen dzz

² (— Ty)

dz

dz₃

dx

Für unsere Leiden Querschnitte sind die zweite und dritte Gleichung von vornherein erfüllt, da die Formeln für tz und (—tv) von x unabhängig sind; beim elliptischen Querschnitte ist auch die erste von vornherein erfüllt, denn

es ist für denselben von y und (—zy) von z unabhängig, also

drs

³ (— ry)

dy

dz

aber auch beim rechteckigen Querschnitte ist sie erfüllt, denn es ist für denselben

9 M _

16 a³63 2 ' y: Z —

dzz

² (— xy)

dy

dz

Wir sind demnach jetzt in der Lage, heim elliptischen und heim rechteckigen Querschnitte, also auch in den speziellen Fällen des kreisförmigen und quadratischen Querschnittes, für jeden Punkt die resultierende Schubspannung in der Querschnittsebene finden zu können, und gilt für die weitere Untersuchung das in D. Lehrsätze VI bis IX incl. Gesagte auch liier.

Formt man die für den elliptischen Querschnitt gefundene Gleichung

2ÀT Ti ab

z²

!A

um zu

2M

tz a² b

y² ₊ «² .

r²

a²

b²

b²

so sieht man, dass r, wie schon unsere Ableitung es verlangt, in den Punkten des Umfanges am grössten sein muss, da es mit y und z wächst. Es sind für den Grösst wert von t die Coordinaten y und z diejenigen der Ellipse und genügen als solche der Gleichung

<M

s²

b²

a2

und da wir a <L b angenommen haben, so ist ^ ein echter

Bruch, also unser Radikand

//²

a²

j--

a² b²

z²

b²

Der Maximalwert desselben 1 wird unabhängig von dem Yerliältniss a : b stets erreicht für

y = a ; z = 0

Die resultierende Schubspannung t erreicht also beim elliptischen Querschnitte ihren Maximalwert in den Endpunkten der kleinen Axe, und zwar ist die Grösse derselben in diesen Punkten

2 M 7r a'¹ b

Forint man analog⁻ die für den rechteckigen Querschnitt gefundene Gleichung

16 ab

| e('

y²

<ß

io ic

um zu

~    16alb

(M

r²

b²

LC IC

h

IO i io ;

)*

so ist , weil a <C b ist,

a² r²

ein echter Bruch, also 1,

ebenso ist (l

fß

kanden höchstens gleicli sein kann

Iß Iß

ß

7 ^ F sodass der Grösstwert des Radi-

y² (i _1²\

«2 V ö2/

y²

liierin ist wiederum ’^₂ ^ 1, sodass der Radikand höchstens den Wert 1 erreichen kann. Dies ist unabhängig vom Verhältnisse a : b der Fall, wenn

r = 0 und y — a ist.

Die grösste Schubspannung v ist demnach diejenige in den Mittelpunkten der grossen Seiten 2b und zwar ist hier

\UM

T~ UWßb

Unterwerfen wir das Torsionsmoment M einer solchen Beschränkung, dass heim elliptischen Querschnitte

<f

271/

7za¹ b

bleibt,

beim rechteckigen Querschnitt

<t

2 ■ M

TC a² h

uml

<7 kz und <7 ka

9 M 16 a? b

und

W“±T

9 M 16 a² b

<C kz und < k,i

bleibt., so können wir sicher sein, dass keine unzulässige Deformation statt findet.

und gleichzeitig als Punkt des zur Seite 2 o im Abstande y vom Mittelpunkte parallelen Streifens ausgesetzt einer zur 1-Axe senkrechten Schubspannung

St

z

dy

dU

• sr

fr — z

IS

%•

I

I

.

\/

/l

Q = 1000 klg M — 5000 klg cm

bedeutet die Curve der Normalspannungen a = ox bedeutet die Curve der Tangentialspannungen z bedeutet die Curve der max. Tangentialspannungen bedeutet die Curve der virtuellen Normalspannungen (<r)

max

V.

Vs

fts |<M te |<M

\\

\l

\\

i    ,

/\l

/ \

neutr. Faser

Fig. 31⁶

Kräfte-Massstab für Fig. 31 und 3ł⁶

ft

10

15

20

25

30 klg

ft

Q = 1000 klg M = 100000 klg cm

h-"

11

’]

f.

1\

1«.

.1

ft

neutr. Faser

Kräfte-Massstab für Fig. 32 und 32“

J;

O 10

60

100 kg

\ » i

W/

Fig. 32

O = 1000 klg M = 5000 klg cm

neutr. Faser

Fig. 32“

7n

.

1. V

Q = 1000 klg M — 100 000 klg cm

■■

-Y.

neutr. Faser

1

}.

t- :

!.

•W

i

I

f

V.

»

5

1

J"

;

4

V

\

l

V •

«

-

*

i.

WE

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299474

¹

et - y²

a¹