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Beitrag zur Berechnung rechteckiger Silozellen

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Beitrag¹ zur

Berechnung rechteckiger Silozellen

in Eisenbeton.

Von der

Grossit. Technischen Hochschule zn Darmstadt zur

Erlangung der Würde eines Doktor-Ingenieurs genehmigte

Dissertation.

Vorgelegt von

Dipl.-Ing. Alfred Hitter aus Zürich.

Referent: Professor H. Kayser. Korreferent: Geh. Baurat Professor A. Koch.

Tag der Einlieferung: 18. Dezember 1918. Tag der mündlichen Prüfung: 30. April 1914.

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4 öffentlichen Arbeit*»

Druck der Union Deutsche Verlagsgesellschaft in Stuttgart.

KRAKÓW

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Diese Arbeit erscheint gleichzeitig als selbständiges Buch im Verlag von Konrad Wittwer in Stuttgart.

Akc. Kr.

Hilfst

Meinen Eltern

in Dankbarkeit gewidmet.

Lebenslauf.

Alfred Ritter wurde am 23. Februar 1888 in Zürich geboren, besuchte daselbst Vorschule, Gymnasium und Oberrealschule und erwarb sich im Jahre 1906 das Reifezeugnis. Im Herbst 1906 begann er an der Abteilung für Bauingenieurwesen der Großh. Technischen Hochschule Karlsruhe das Hochschulstudium, woselbst er im Frühjahr 1911 das Diplomexamen bestand. Hierauf erhielt er eine Anstellung bei der Bauunternehmung Wayß & Freytag A.-G., Neustadt a. d. H. Nach zweijähriger praktischer Tätigkeit wurde er für das Sommersemester 1913 Hilfsassistent für Festigkeitslehre bei Herrn Geh. Hofrat E. A. Brauer, Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe.- Im darauffolgenden Wintersemester war er im Ingenieurbureau Dr.-Ing. A. Kleinlogel, Darmstadt, beschäftigt.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Erster Abschnitt:

§ 1. Einleitung....................

§ 2. Grundlegende Voraussetzungen............

§ 3. Übersicht und allgemeine Bemerkungen.........

Zweiter Abschnitt:

§ 4. Voruntersuchungen.................

Dritter Abschnitt: Das einreihige Zellensystem.......

§ 5. Erste Lösungsmethode................

§ 6. Beispiel.....................

§ 7. Zweite Lösungsmethode...............

§ 8. Beispiel.....................

§ 9. Die unendlich lange Zellenreihe mit gleich großen Zellen .    .

§ 10. Die Mittelzelle der unendlich langen Reihe........

§ 11. Die Endzeile der unendlich langen Reihe........

§ 12. Zusammenfassung.................

Vierter Abschnitt: Das zweireihige Zellensystem........

§ 14. Die Mittelzelle des unendlich langen Systems.........

Fünfter Abschnitt: Das unendlich große Zellensystem......

§ 15. Die Mittelzelle....................

§ 16. Die Randzelle, deren längere Seite am Rand liegt.......

§ 17. Die Randzelle, dereh kürzere Seite am Rand liegt.......

§ 18. Die Eckzelle.....................

§ 19. Graphische Darstellung der Momente............

§ 20. Zusammenfassung und Vergleich der ein-, zwei- und vielreihigen Systeme untereinander....................

45

45

54

54

66

71

71

77

81

Sechster Abschnitt: Berechnung der Normalkräfte.......

§ 21. Voruntersuchungen...................

§ 22. Das einreihige Zellensystem...............

§ 23. Das unendlich große Zellensystem......... .    .    .    .

§ 24. Einfluß der Deformation infolge der Normalkräfte auf die Berechnung

Siebenter Abschnitt: Veränderliches Trägheitsmoment......

§ 25. Trägheitsmoment konstant über eine Seite..........

§ 26. Berücksichtigung der Eckverstärkungen...........

Achter Abschnitt: Einfluß der Temperatur...........

§ 27. Gleichmäßige Erwärmung einer Außenwand.........

§ 28. Ungleichmäßige Erwärmung einer Außenwand ........

Neunter Abschnitt:

§ 29. Beispiel.......................

§ 30. Hauptergebnisse....................

►—* >—»    * —

ooo o ® to to «O 00 00 oo to w    i—‘ODoo    aooosjxji.

CO I—‘

H-¹ O

Bezeichnungen.

a — lange Seite einer Zelle.

b = kurze Seite einer Zelle.

n (/c) =    — Seitenverhältnis.

*    Ja, Jb — Trägheitsmomente der Seiten a, b.

E = Elastizitätsmodul.

p = gleichmäßig verteilter Innendruck pro Längeneinheit.

Mn = Momente im geschlossenen Rechteckrahmen (Einzelzelle) bei gleichmäßig verteiltem Innendruck.

M„, Mb = Momente in den Mitten der Seiten a, b.

M„, Mb — Momente an den Enden der Seiten a, b.

MJ, MJ', MfJ, Mnx* = Unterscheidung der Momente Ma bei verschiedenen Belastungen (Grundbelastungen).

m — Gelenkmoment, d. h. Moment an Stelle eines in einem Knotenpunkt gedachten Gelenkes.

ml2 = von einem Gelenkmoment erzeugtes Nebenmoment und zwar am Ende 1 der Seite 1—2.

Na, Nb = Normalkräfte in den Seiten a, b.

a — elastische Drehung eines Knotenpunktes im Hauptsystem infolge des Materialdruckes.

ß, y = elastische Drehungen auf beiden Seiten eines Knotenpunktes im Hauptsystem infolge der Wirkung sämtlicher Gelenkmomente. i — Fixpunktsabstand.

$ = Elastizitätsmaß.

Literaturverzeichnis.

E. Mörsch: Der Eisenbetonbau, Stuttgart 1912, Konrad Wittwer.

W. Ritter: Anwendungen der graphischen Statik. 3. Band. Zürich 1900. A. Raustein. A. Straß ner: Beitrag zur Theorie kontinuierlicher Eisenbetonkonstruktionen. Berlin 1912, W. Ernst & Sohn.

Handbuch für Eisenbetonbau, Band IV. Teil 2, Berlin 1909. W. Ernst & Sohn.

K. Arnstein: Zur Dimensionierung einreihiger Silozellen. „Armierter Beton“ 1913, Heft 3.

„ Beton und

W. Frank: Kontinuierlicher Träger mit fester Stützenlagerung.

Eisen“ 1912, Heft 12.

H. Marcus: Statische Untersuchung von Silowänden. „Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen“ 1911, Heft 1 und 4.

E. Reich: Zementsilo in Eisenbeton. „Beton und Eisen“ 1908, Heft 7.

A. Ritter: Zur Berechnung von Silozellen. „Armierter Beton“ 1913, Heft 1.

M. Ritter: Der kontinuierliche Balken auf elastisch drehbaren Stützen. „Schweizerische Bauzeitung“ 1911, Heft 4.

A. Straß ner: Berechnung kontinuierlicher Eisenbetonträger mit Rücksicht auf die Wirkung der Vouten. „Beton und Eisen“ 1911, Heft 20.

Erster Abschnitt.

§ 1. Einleitung.

Der Kampf zwischen Eisen und Eisenbeton im vergangenen Jahrzehnt führte dazu, gewisse Probleme der Statik, die früher mehr wissenschaftliches Interesse hatten, in der Praxis nützlich zu verwerten.

Um nicht unnötig starke Dimensionen zu erhalten, sucht man die Berechnung der in den Konstruktionsteilen wirkenden Kräfte möglichst genau durchzuführen, indem man verschiedene Umstände, welche auf die Ergebnisse von geringerem Einfluß sind, mit in die Berechnung einführt.

Oft wird dabei zu weit gegangen, indem Berechnungsweisen entwickelt werden, die für den praktischen Gebrauch zu umständlich sind.

Umgekehrt werden aber auch oft Vernachlässigungen gemacht, die über die Kräfteverteilung ein ganz rohes, manchmal direkt unrichtiges Bild ergeben. Es kommt dies z. B. bei der Berechnung vielfach statisch unbestimmter Konstruktionen vor, bei welchen das System so weit vereinfacht und zurechtgestutzt wird, bis ein dem Berechnenden bekannter Fall entsteht.

Die vorliegende Abhandlung, welche sich mit der Berechnung von in Gruppen zusammenhängenden Silozellen beschäftigt, versucht in der Aufstellung von Berechnungsmethoden und gebrauchsfertigen Gleichungen einen Mittelweg einzuschlagen, der für die Praxis nicht zu umständlich ist, aber doch möglichst genaue Ergebnisse liefert.

Es werden dabei nur sog. Zellensilos (für Getreide usw.) ins Auge gefaßt, d. h. solche Behälter, welche durch Zwischenwände in hochgestreckte, röhrenartige Räume geteilt sind, im Gegensatz zu den großräumigen Silos (für Erz, Kohle usw.). Die Arbeit behandelt auch nur die Berechnung von Zellen mit rechteckigem und quadratischem Grundriß, welche ihrer Einfachheit halber weit häufiger hergestellt werden, als z. B. Zellen mit rundem oder sechseckigem Horizontalschnitt.

Rechteckige Zellen werden in der Praxis häufig als kontinuierliche, freigelagerte Träger oder als in sich geschlossene Rahmen berechnet, d. h. unter Vernachlässigung des Widerstandes, den die anschließenden Zellenwände der Deformation entgegensetzen. Bei Berücksichtigung des Zusammenhangs der einzelnen Zellen werden die auf die genannte einfache Art berechneten Biegungsmomente an gewissen Stellen verringert, was eine Ersparnis zur Folge hat, an andern Stellen aber, was wichtiger ist, vergrößert.

Es ist klar, daß die alleinige Belastung der zu untersuchenden Zelle nicht die ungünstigste ist, sondern daß vielmehr die Belastung gewisser anderer Zellen die zu berechnenden Momente vergrößert. Auch werden verschiedene Stellen der Zellenwände verschiedene ungünstigste Belastungen haben. Die Untersuchung der Einflüsse des Zusammenhangs

Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

der Zellen und verschiedener Belastungsweisen auf die inneren Kräfte ist der Hauptzweck der Arbeit.

§ 2. Grundlegende Toraussetzungen.

Der Untersuchung wird ein Traggebilde zugrunde gelegt, das durch zwei, durch den ganzen Silo geführte Horizontalschnitte erhalten wird. Die in diesem Schnitt wirkenden Biegungsmomente, Normal- und Schubkräfte bleiben unberücksichtigt, das System wird also als ein ebenes betrachtet, was um so eher zulässig ist, je größer das Verhältnis zwischen Silohöhe und Zellenweite ist, und je weiter der Schnitt von den Zellenenden entfernt liegt. Infolge der versteifenden Wirkung der Silotrichter am untern Ende und der mitunter vorhandenen Versteifungen (Decken, Lisenen) am obern Ende der Zellen werden die horizontal wirkenden Momente verringert, und zwar am stärksten in der Nähe dieser Versteifungen. Dort hat die Dimensionierung hauptsächlich auf Grund vertikal drehender Momente zu geschehen, auf deren Berechnung in dieser Arbeit nicht eingegangen wird.

Dem der Untersuchung zugrunde liegenden Traggebilde fehlt somit jegliche äußere Stützung; die auftretenden Belastungen halten sich gegenseitig im Gleichgewicht.

Besteht dieses Traggebilde aus zwei oder mehreren Zellenreihen, so ist es so vielfach statisch unbestimmt, daß eine genaue Bestimmung der inneren Kräfte als für die Praxis zu umständlich bezeichnet werden muß. Die Berechnung wird wesentlich vereinfacht, wenn man annimmt, das System erstrecke sich nach der einen oder nach beiden Richtungen ins Unendliche, welche Annahme, wie gezeigt werden wird, zu Ergebnissen von hinreichender Genauigkeit führt.

Wenn man aus einer beliebigen Zellengruppierung eine Zelle herausgreift und ihren Zusammenhang mit den übrigen Zellen untersucht, so erkennt man, daß jede Zelle in ihren Ecken sowohl elastisch drehbar als auch elastisch senkbar gelagert ist.

Wenn wir von der gegenseitigen Verschiebung der Ecken infolge der Ausbiegung der Wände und infolge der Deformation durch die Normalkräfte absehen, haben wir es in den Fällen, die hier untersucht werden sollen, mit un verschieblichen Knotenpunkten zu tun. Die Frage der elastisch senkbaren Lagerung fällt deshalb außer Betracht, und es ist nur der elastische Drehwiderstand zu untersuchen, der den Ecken einer belasteten Zelle von den anschließenden Wänden geleistet wird.

§ 3. Übersicht und allgemeine Bemerkungen.

Die vorliegende Arbeit ist in acht Abschnitte geteilt. Im zweiten Abschnitt werden verschiedene Aufgaben gelöst, deren Resultate durch die ganze Abhandlung hindurch gebraucht werden. Die Abschnitte III—V beschäftigen sich mit der Berechnung der Biegungsmomente bei ein-, zwei- und vielreihigen Zellensystemen, während die Abschnitte VI, VII und

VIII die weniger in Betracht kommenden Einflüsse der Normalkräfte, veränderlichen Trägheitsmomentes und der Temperatur behandeln. Der letzte Abschnitt zeigt die Anwendung der gewonnenen Resultate auf ein Beispiel aus der Praxis. —

Der in der Praxis häufig vorkommende Fall gleich großer Zellen wird besonders eingehend behandelt. Es werden dafür Gleichungen aufgestellt, aus welchen die zur Dimensionierung hauptsächlich erforderlichen Momente und Normalkräfte direkt berechnet werden können. Diese Gleichungen sollen außerdem dazu dienen, verschiedene Fälle von Zellenzusammensetzungen miteinander zu vergleichen und den Einfluß der Lage der Zellen auf die Größtmomente zu untersuchen.

Auf die Dimensionierungsmethoden und die Anordnung der Eiseneinlagen bei Eisenbetonsilos wird nicht eingegangen, sondern die gestellte Aufgabe soll mit der Ermittelung der Größtmomente und Normalkräfte als gelöst betrachtet werden. Es wird aber vorausgesetzt, daß die Ausführung der Zellen so beschaffen ist, daß die Zellenwände tatsächlich fest Zusammenhängen, d. h. daß die rechten Winkel an den Knotenpunkten auch nach der Deformation rechte sind. Es sei hier erwähnt, daß Versuche an einem Getreidesilo in Genua auf das bestimmteste auf die kontinuierliche Wirkung der Wände hindeuten¹).

Wie in den meisten Fällen von Berechnungen statisch unbestimmter Systeme, ist es auch bei der Berechnung von Silozellen angängig, den Einfluß der Normalkräfte auf die Formänderungen zu vernachlässigen. Der Nachweis hierzu wird in Abschnitt VI an einem Beispiel erbracht. Dasselbe ist von den Schubkräften zu sagen.

Um die Entwicklungen nicht zu umständlich zu gestalten, wurden zuerst die Trägheitsmomente aller Wände als gleich groß angenommen. Der Einfluß veränderlichen Trägheitsmomentes und die dafür notwendigen Änderungen werden in Abschnitt VII gezeigt.

Die Außenwände werden vom Winddruck als horizontal liegende, kontinuierliche Träger beansprucht, deren Auflager von den senkrecht an die Außenwand stoßenden Wänden gebildet werden. Da die Windbeanspruchung im Vergleich mit der vom Materialdruck herrührenden gering ist, kann die Einspannung der Wände vernachlässigt, d. h. der kontinuierliche Träger als frei gelagert betrachtet werden. Hierauf wird nicht näher eingegangen. —

In der über die Berechnung rechteckiger Silozellen vorhandenen Literatur werden nur ein- und zweireihige Systeme behandelt. Mehr als zweireihige Gruppen, speziell das unendlich große Zellensystem sind meines Wissens noch nicht eingehender untersucht worden²).

Zweiter Abschnitt.

§ 4. Voruntersuchungen.

1. Ein Stab von der Länge l, dem Elastizitätsmodul E und dem konstanten Trägheitsmoment J sei in festem Zusammenhang mit beliebigen andern Stäben. Ist der Momentenverlauf auf die Länge des Stabes bekannt, so ist nach einem in der Statik bekannten Satz der Drehwinkel a am Ende des Stabes gleich dem dortigen Auflagerdruck A₀ der als Belastung des frei aufliegenden Trägers l gedachten Momentenfläche dividiert durch EJ.

M,

('

Fig. 1.

A.

Für den speziellen Fall (Fig. 1), in welchem an den Enden des Stabes zwei verschieden große Momente Mx und M₂ angreifen und der Stab selbst nicht belastet ist, ist nach genanntem Satz

EJ • a = A₀ =

oder

und entsprechend

EJ-a=-jr(2M₁ + M₂)

• • (1)

£J-ß=j(M₁+2Ms) j

2. Der in Fig. 2 dargestellte rechteckige, geschlossene Rahmen mit den Seitenlangen a und b und dem überall gleichen Trägheitsmoment J

sei mit einem gleichmäßig verteilten Innendruck p pro Längeneinheit belastet. Die Momente M an den Ecken sind wegen der symmetrischen Ausbildung und Belastung alle gleich groß.

~2

■a

Fig. 2. Einzelzelle Ibei gleichmäßig verteiltem Innendruck.

Die Symmetrie verlangt, daß die Summe der Verdrehungen von der Mitte einer Seite bis zur Mitte der anliegenden Seite gleich Null ist, woraus sich die Größe von M bestimmen läßt. In einem beliebigen Abstand x von einer Ecke hat das Moment die Größe

^ + M.

Ls

Dabei ist angenommen, daß ein Moment positiv ist, wenn es eine nach außen konvexe Verbiegung hervorruft. Diese Annahme soll auch in den späteren Entwicklungen beibehalten werden. Die Summe der Verdrehungen von 1 bis 2 (Fig. 2) ist

ß ⁼ f dx = ~EJ

«1:2

1 r /pt

U J \ 2

o

Hi

i r (2Ł ~ _ jl*²

EJ J \ 2

o

l±x_Pśf ₊ M)dx +

f- + &) dx = 0.

Durch Integration folgt pa³ pa³

pb³    pb³

f 1-0=0

{a² — ab -f- &²) .    .    .    (2a)

Wird das Seitenverhältnis ~ = n gesetzt, so wird das Eckmoment

ir₌₌_₍i_n+n2₎_    .    .

Die Momente in den Seitenmitten werden nun pa²

und daraus

16

48

+ !■*+ 16

p a³ + b3 12 a + b

48

pa²

(2)

Ma

pa²

pb²'-,

-f- M— (1 -f 2n — 2n²) —^

p b²

• .    (3)

Diese „Momente der Einzelzelle“, welcher Ausdruck nur für die hier untersuchte, gleichmäßig verteilte Belastung gelten möge, werden gelegentlich mit M₀ bezeichnet.

Der Winkel a, um den sich die Ecke verdreht, ist nach dem unter 1. angegebenen Satz gleich dem -^-fachen der Momentenfläche von der Ecke bis zur Seitenmitte, also

1 r 2 pa²

~ËT ' LT '

A.

Darin M aus (2) eingesetzt, führt zu

EJ ■ a

EJ • a

pa³

(4 a)

. •    (4)

3. Ein rechteckiger, ’geschlossener Rahmen mit konstantem Trägheitsmoment sei, wie Fig. 3 a zeigt, durch vier an seinen Ecken angreifende, verschieden große Drehmomente mx bis m₄ belastet. Nach den in § 2 gemachten Voraussetzungen seien die Eckpunkte, abgesehen von den kleinen Verschiebungen infolge des Verbiegens der Seiten fest. Das System ist äußerlich einfach und innerlich dreifach statisch unbestimmt, weshalb vier Elastizitätsgleichungen zur Lösung der Aufgabe erforderlich sind.

Wir haben die vier Bedingungen, daß an jeder Ecke ß'= ß sein muß (vergl. Ecke 1 in Fig. 3 a). Nach Gleichung (1) werden die absoluten WTerte der Drehwinkel der 1. Ecke (vergl. Fig. 3 b)

m,

(X-

W,--¹"

Qi

m₂

6/2

'*wV

J'» 1    2^23

ćŹą Momente

m3v

Jtr

Tîlq

ms

3 mJ2

Fig. 3 a.

Fig. 3b.

EJ- ßx'

EJ-$

'a o* as j a

(2»i2 + nhi)

(2 mu + m₄₁)

= ß, und mit

woraus mit der Bedingung ß/

41

und

die Gleichung folgt

= w₄₃ + m₄

2 am₁ — 2 am₁₄ — am₂₁ = 2 bmu -f-    + bm₄.

Wird die Gleichung geordnet und dasselbe für die drei andern Ecken wiederholt, so entstehen die vier Gleichungen

b m₄₃ = — bm₄-\-2am1 — am₁ — 2 bm2 a m₄₃=-bmi-\-2a m3 am₃g -j-2 (a-j-b) mi3 = am, — 2 bm₄

a m2l

amu -f- 2 (a -f- ö) m2l +

2 (a -j- b) mu -j-

bmä 2

b m2l -f- 2 (a -f- b) m₃₂ +

b mu

Die Auflösung dieser Gleichungen nach den unbekannten, inneren Momenten führt mit den Abkürzungen

und

(1 + n) (3 + n) (1 + 3m) = 3 + 13m + 13m² + 3m³ = N

zu den Werten

mu =    [(3 -j- 9n -f- 4m²) • ml + 2n (1 -f- n) ■ m₂ -j- m (1 — n) •

m₃

— 2 m (1 -j- n) • mi\

m2l =    [2n (1 -f n)- mi — n (4 -j- 9m -j- 3m²) • m₂ — 2m (1 + n) ■ m₃

-f- n (1 — m) • ?m₄]

m₃₂ = [m (1 — m) • ?m₄ — 2m (1 -j- m) • m₂ -f (3 + 9m + 4m²) • m₃

-f- 2 m (1 -j- m) • m₄]

w₄₃ = -^r [— 2m (1 -j- w) • m₄ -j- m (1 — m) • m₂ -f- 2 m (1 -f- n) • w3 — m (4 -(- 9m -j- 3m²) ■ m₄]

(6)

Durch diese Werte ist der gesamte Momentenverlauf festgesetzt. Für die Verdrehungen ß der Ecken folgt durch Einsetzen der m-Werte in Gleichung (5) unter Annahme, daß rechtsdrehende Winkel positiv genommen werden,

EJ • ß₄ = -^r [2 (3 -f- 8m + 3m²) m₁ -j- m (5 -f- 3m) m2 -f- 4 m • m₃ -f- (3 -j- 5 m) ?m₄]

~ [n (5 -j- 3m) ml + 2 (3 -f⁻ Sm -f- 3 m²) m2 -f (3 -j- 5m) m₃ -f 4m • ?m₄]

EJ• ß₃ ⁼ En [4m • mx -f-(3-f-5M) îm., + 2 (3-\-8n-\-3n²)nis -j- m (5 -j- 3 m) îm₄]

^ [(3 —J- 5 m) m₁ -f- 4 m • w₂ -f- m (5 -|- 3 m) ?m3 -f- 2 (3 -f- 8m + 3m²) m₄]

AV-ß₄ =

61V

6IV

•    (7)

Diese für den allgemeinen Fall gültigen Gleichungen lassen für die nun folgenden Spezialfalle die Ausdrücke für die Momente und Winkeldrehungen leicht berechnen.

4. Fig. 4 zeigt den Fall, wo je zwei Momente einander gleich sind. Setzt man in den Gleichungen (6) und (7) ml — ?m₄ = m und m.₂ = m₃ — m , so folgt

ni\₂=miü =

(2 + 8n)m' n’ (1 + M) (1 + 3«)

— m' + (2+3n)m" m-21 — mu — n- (1 + W) (i ₊ sn)

— m"

mu=mil=înb

m₂o=m₃₂=mh

(l + 2n)?n'+nm"

(1+M) (1 + 3M)

TT j    (1 + 2m)m' + nm"

2    (1 + m) (1 + 3m)

n-m'+(l + 2n)m ~~    (1+M) (1 +3m)

b n-m' + {l + 2n)m"

(1 +m) (1 + 3m)

„ (8)

•    (9)

Diese Gleichungen sind zur Kontrolle auch auf direktem Wege hergeleitet worden.

5. Setzen wir in den Gleichungen (6) und (7) m₁ = m₂ = m und m₃ = mi — m", so erhalten wir den Belastungsfall der Fig. 5 und dafür die Gleichungen

m₁₂ = mai = ma =

= »»43 = ma

(2 + n) m' + m" n (1 + ri) (3 +n)

m'+ (2+n)m" /)/) ---

(l + w)(3 + «)

mu = m₂₃ =

(3 + 2 n) m! — n m"

(1 + n) (3 + n)

— n-m'+{3+2n)m (l + ri) (3 + n)

„ (10)

■p Y & à (2 + n)m'+m" J p ~ 2 ‘ (l + »)(3 + n)

EJ- ß" = -

b m' + (2 + n) m"

2    (1+m)(3+w)

• (H)

z\,n"

r-

73

"g

tę

³Jm

ß”

Vm.

Fig. 4.

6. In dem noch spezielleren Fall, in welchem alle vier angreifenden Momente der Größe nach einander gleich (= m) sind und den Drehsinn wie in Fig. (5) haben, sind die Momente in allen Schnitten der Seiten a bezw. b einander gleich, nämlich

ma =

Ejp = -EJß" =

Fig. 5.

(12)

2(l+n) '

• - (13)

jmi

/l

ä*

jUm

Fig. 6.

■j \    7. Der in Fig. 6 abgebildete,

) m rechteckige, dreiseitige Rahmen ¹ ^    wie eingezeichnet durch 4 Drehmomente

belastet. Voraussetzung ist, daß die Ecken 1 und 4 ihre Lage nicht ändern können, wohl aber eine Verdrehung q j in. der langen Seiten zulassen. sei ein * kleiner, echter Bruch.

Nach Gleichung (1) ist

sei

EJ' S = T (“ ²    + m)

EJ- 8'=j(2 mb + mb).

Mit à = o wird

Ferner ist

a (— 2 mu -f m) — b • 3 mô. w₆₄ = [i.*m + w₆.

Aus diesen zwei Gleichungen ergeben sich mit Momente

- n die

gesuchten

1 + 8 n • a

*51 = *64=    2 + 3w

und daraus die Verdrehungen (absolut genommen)

mh =

_ 1 -2p.

2 + 3 n

. - (14)

JSJ-8

b (1 — 2 p.) m

2 (2 + 8 w)

EJ • y

a (1 + 2 n — n • p.) m

2 (2 + 3w)

• • (15)

Dritter Abschnitt.

Das einreihige Zellensystem.

§ 5. Erste Lösungsmethode.

In Fig. 7 ist ein einreihiges Zellensystem mit ungleich großen Zellen dargestellt. Es soll der Momentenverlauf gesucht werden, der entsteht, wenn eine der Zellen, z. B. die %te, mit einem gleichmäßigen Innendruck p pro Längeneinheit belastet wird. Die Belastung wird hier und auch später durch Schraffur der Zelle angedeutet.

Das System ist bei beliebiger Belastung innerlich 3 £-fach statisch unbestimmt, wenn z die Anzahl der Zellen bedeutet. Nach der allgemein bei Rahmenkonstruktionen üblichen Methode hätten wir jede Zelle aufzuschneiden und an jeder Schnittstelle die drei unbekannten Schnittkräfte anzubringen, welche sich aus gewissen Bedingungen bestimmen ließen. Legen wir die Schnitte dorthin, wo die Längssymmetrieachse die Querseiten schneidet (Fig. 7), so wird ein Drittel der drei unbekannten Schnittkräfte

n-2

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/7 '/

i-i

i©

I®

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[D

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Haupt System

■dP

"U,

mn

m„,

no

Fig. 7. Einreihiges Zellensystem. Belastung der «ten Zelle.

wegen der in unserem Fall in bezug auf diese Achse symmetrischen Belastung gleich Null. Wir haben es dann noch mit 2 z Unbekannten zu tun.

Es ist nun nicht notwendig, so viele Schnitte zu legen, daß das dann entstehende sog. Hauptsystem statisch bestimmt ist. Es wurde in der Literatur schon öfters darauf hingewiesen, daß es möglich und oft von Vorteil ist, statisch unbestimmte Hauptsysteme zu verwenden. Die Zahl der Unbekannten kann sich dabei bedeutend verringern. Da sich dieses Verfahren für unseren Fall besonders eignet, soll es hier Verwendung finden.

Man denke sich an den Stellen, die in Fig. 7 mit Ringen bezeichnet sind, ideelle Gelenke so angebracht, daß die Eckpunkte ihre Lage nicht verändern, wohl aber sich ungehindert drehen können. Es werden also

m,

m₂

mn.₂ m

dadurch Momente, die infolge der Belastung oder durch ein an einer Ecke angreifendes Drehmoment an einer Zelle auftreten, auf diese beschränkt, die Nachbarzellen werden nicht in Mitleidenschaft gezogen. Das so entstehende System sei unser Hauptsystem¹).

An jedem Gelenk haben wir nun, um das System wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückzubringen, als unbekannte Kräfte zwei entgegengesetzt gleiche Momente anzubringen, welche der Bedingung genügen müssen, daß die Verdrehungen auf beiden Seiten des Gelenkes, hervorgerufen durch diese Momente und die Belastungen, einander gleich sind. Bei z Zellen haben wir 2 (z — 1) Gelenke, also infolge der obengenannten Symmetrie nur (z — 1) Unbekannte, während wir es bei Annahme eines statisch bestimmten Hauptsystems mit 2 z Unbekannten zu tun hätten.

Es soll hier die Bezeichnung der an den Ecken auftretenden Verdrehungswinkel definiert werden, wie sie in der Folge beibehalten werden soll.

a bedeute den Drehwinkel, der an der Ecke einer Zelle infolge Belastung derselben mit konstantem Innendruck p entsteht, ist also nach Gleichung (4) zu berechnen.

Mit ß und y werden die Drehwinkel bezeichnet, welche auf beiden Seiten eines Gelenkes entstehen, und zwar infolge des an Stelle des Gelenkes wirkenden inneren Momentes. Schließt auf der einen Seite des Gelenks ein geschlossener Rahmen an, so sei ß der Drehwinkel der Rahmenecke und y derjenige des auf der anderen Seite anschließenden Stabzuges.

Alle diese Drehwinkel werden dann positiv angenommen, wenn sie durch eine Drehung im Sinne des Uhrzeigers entstehen.

Die Bedingung, daß die Drehungen der Gebilde auf beiden Seiten des Gelenkes gleich groß sind, liefert, wenn die drei Winkel sich auf dasselbe Gelenk beziehen, die in der Folge oft zu verwendende Gleichung

(16)

Wir erhalten nun im allgemeinen Fall (z — 1) solcher Gleichungen, welche zur Bestimmung der (z — 1) Unbekannten genügen, a wird, wie schon bemerkt, mit Hilfe der Gleichung (4) berechnet. Zur Bestimmung von ß dienen in dem Fall des einreihigen Zellensystems die Gleichungen (9) resp. (15), je nachdem das Gelenk an der belasteten Zelle liegt oder nicht, y berechnet sich auch aus (15).

Sind die Unbekannten durch Auflösung der (z — 1) Gleichungen gefunden, so gestatten die Gleichungen (2), (8) und (14) die Berechnung der Momente an jeder gewünschten Stelle.

Diese Berechnung kann durch abwechselnde Belastung jeder Zelle £-mal durchgeführt werden, woraus dann für jede Stelle das größte und kleinste Biegungsmoment leicht bestimmt werden kann.

9 Dr. Arnstein verwendete in seinem Aufsatz „Zur Dimensionierung einreihiger Silozellen“ (Armierter Beton 1913, Heft 3) das gleiche Hauptsystem.

§ 6. Beispiel.

Für /;ä <«<7^: (7^ = 0,6605; 7^ = 0,648 aus Af6'=0

Das unendlich große Zellensystem.

§ 17. Die Raiidzelle, deren kürzere Seite am Band liegt.

§ 23. Bas unendlich große Zellensystem,

§ 28. Ungleichmäßige Erwärmung einer Außenwand.

¹

)    Handbuch für Eisenbetonbau* Band IV, Teil 2, Seite 89, Berlin 1909.

²

)    Während der Drucklegung dieser Arbeit'veröffentlichte Dr.-Ing. K. Arnstein in der „Zeitschrift für Betonbau“ 1914, Heft 5 einen Aufsatz, in welchem ein System von 3X3 Zellen unter Berücksichtigung des Zellenzusammenhangs untersucht wird.

§ 6. Beispiel.

In folgendem soll als Beispiel zu obigem Verfahren der in Fig. 8 dargestellte Fall zweier aneinander liegender, gleich großer Zellen behandelt werden.

Zelle 1 sei gleichmäßig mit p belastet. Es ist beim Gelenk

nach (4)

EJ • a =

n(l — n),

nach (9) wird mit m — 0, m" = m und ß” = ß

EJ ■ ß = —

to O'

(1 + ri) (1 + 3 n)

und nach (15) mit |x = 0

w-r = T

• m.

Die drei Winkel in (16) eingesetzt gibt

pa³

24

■ n (1 — n) — y •

(1 + n) (1 + 3 n)

und daraus

pa²

n (1 — ti²) (1 + Sn) (2 + 3ft)

12

(1 + 2n) (1 + 6n+ 6w²)

.    . (17)

Da das Resultat positiv herauskommt, wirkt m in dem Drehsinn, wie er in Fig. 8 angegeben ist. Der Drehsinn des Momentes, das an Stelle irgend eines Gelenkes wirkt, kann in den meisten Fällen im voraus ohne

Fig. 8.

Rechnung angegeben werden und zwar durch folgende Überlegung: Das Moment wirkt immer der Verdrehung entgegen, die von der belasteten Zelle her ausgeübt wird, liegt es nun an der belasteten Zelle selbst oder in einem andern gedachten Gelenk. Die Verdrehung der Zellenecke bei Belastung der Zelle ist immer so, daß die lange Seite nach außen dreht (vgl. Fig. 2). Geht man also von der belasteten Zelle aus, so kann man fortschreitend die Drehsinne aller dieser „Gelenkmomente“ angeben, was als Probe der Berechnung und besonders auch zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungsweise irgend einer Stelle dienen kann.

Mit Hilfe des Wertes m und der Gleichungen (2), (8), (14) können nun an jeder Stelle die Biegungsmomente berechnet werden. Es ist z. B. im Schnitt A nach (8) und (8), wenn M₀ das Moment der belasteten Einzelzelle bedeutet

n (1 — n~) (1 + Zn) (2 + Zn)    pa²

(1 + n) (1 + 3n)    (1 + 2n) (1 + 6n + 6rc²)    12

2 (1 — n) (2 + Zn) pb2 (1 + 2n) (1 + 6n + ßn²) ' 24

Mb = M₀ +

= 0 + 1

z. B. wird für n = — = 0,8:

a ’

Mi = (0,375 + 0,07022)    = 0,018 551 • pb².

n²)

pb²

24

• (18)

Der erste Ausdruck in Gleichung (18) stellt das Moment der für sich allein bestehenden Zelle 1 dar, während der zweite Ausdruck als ein „Nebenmoment“ aufgefaßt werden kann, welches infolge des Zusammenhangs mit Zelle 2 entsteht und eine Korrektion des Momentes der belasteten Einzelzelle bedeutet. Diese beiden Ausdrücke werden besser nicht zusammengezogen, sondern bei Beispielen einzeln berechnet, da man dadurch eine Vorstellung von dem Größenverhältnis dieser Nebenmomente erhält und auch grobe Fehler leicht erkennen kann.

§ 7. Zweite Losungsmetliode.

Der Aufbau der nach dem beschriebenen Verfahren aus der Bedingung (16) entstehenden Gleichungen hat Ähnlichkeit mit demjenigen der Clapeyronschen Gleichungen beim kontinuierlichen Träger. Gleichung hat drei Unbekannte, mit Ausnahme der ersten und letzten, welche nur deren zwei haben. Zur Auflösung eines derartigen Systems von Gleichungen bestehen sowohl rechnerische wie auch graphische Verfahren, doch wird die Lösung bei mehr als drei Unbekannten (d. h. bei mehr als vier Zellen) umständlich und erfordert bei der zahlenmäßigen Durchführung eine peinliche Genauigkeit, um gute Resultate zu geben. Es wird deshalb in folgendem eine Methode zur Bestimmung der unbekannten Gelenkmomente gezeigt, welche nicht die Aufstellung der ('z — 1) Gleichungen erfordert und ihrer Einfachheit halber schon bei mehr als drei Zellen den Vorzug verdient.

Wir stellen uns vorerst die Aufgabe, die Verdrehung zu berechnen, welche unter der Einwirkung der beiden Momente von der Größe m an der in Fig. 9 dargestellten beliebig langen Zellenreihe mit ungleich großen Zellen entsteht. Die Zellen seien hier nicht wie in der vorhergehenden Entwicklung durch Gelenke getrennt gedacht, sondern fest zusammenhaltend. Trotzdem hat der Winkel y„_i dieselbe Bedeutung wie früher, er wird hier nur auf eine andere Art bestimmt werden.

TTl.jUn -2 /U- n -3    (^ri'2

y„-2-jUn2 - -y»

rrin-3

©.

-z

mn-2

Fig. 9.

Jede

Wir denken uns vorübergehend in n — 2 zwei Gelenke, an deren Stelle die für uns unbekannten Momente m • g.„_₂ wirken. Der Drehsinn dieser Momente kann leicht angegeben werden, er ist in Fig. 9 gekennzeichnet, und es werden die Momente positiv in die Rechnung eingeführt. Unter der Voraussetzung, daß der Winkel y«-2 (mit derselben Bedeutung wie Winkel Y»-i, also hervorgerufen durch Momente von derselben Größe m) bekannt ist, berechnet sich y»-i als Funktion von y»-2 wie folgt.

Nach (15) ist

JEJ • d =

2(2 + 3 n)

welche Verdrehung auf der linken Seite des Gelenks gleich sein muß, also, da infolge m die Verdrehung = y»-2 ist?

EJ-d =

— EJ ■ Y»-2 ' fb» - 2*

Daraus folgt

b (1 — 2 • 1ulw_₂) m

2 (2 + 3n)

2& + 2(2 + 3n) EJ

Tn-2

• • (19)

und unter Annahme, g„_₂ sei bekannt, nach (15)

EJ ■ y„

-1

a (1 + 2 n — n • |j.„ _2) m

2(2 + 3«)

■ • (20)

Setzt man (i„_₂ aus (19) in (20) ein, so wird

■mb+ 2 (1 + 2n) EJ- x„-₂ am mb + (2 + Zn) EJ T„_₂    4

Diese Gleichung läßt jeden Y"Wert aus dem vorhergehenden bestimmen.

Für das erste Gelenk (z. B. am linken Ende der Zellenreihe anfangend, Gelenk 1 in Fig. 7) ist nach Gleichung (15) mit |A₀ = 0

EJ - y„-i =

. . (21)

a (1 + 2 n) m

. (22)

EJ- Yi =

(Dieser Wertfolgt auch aus der allgemeinen Gleichung (21) mit Y»-2 — Yo = °°*) Der zahlenmäßig berechnete Wert von Yi (21) eingesetzt liefert Y₂, und so folgen fortlaufend alle Y"Werte bis Y»-i-

Schließt nun z. B. in n — 1 die belastete Zelle n an (Fig. 7), so liefern die zwei Bedingungsgleichungen (16) für die Gelenke n — 1 und n, die nun leicht aufgestellt werden können, die unbekannten Momente m„-i und mn. Es ist dann ferner (vgl. Fig. 9) mn-₂ =    • |i„_₂

mn.s — mn-i ■ i+,_₂ • [g,-₃ = w„_₂ • [A,_s usw.

worin g aus (19) berechnet wird und immer ein echter Bruch ist (in gewöhnlichen Fällen 00 ^s). Damit sind nun die Unbekannten alle ge-

2(2 +8 n)

• • (23)

funden, und es kann mit Hilfe der Gleichungen (2), (8) und (14) das Biegungsmoment an jeder beliebigen Stelle berechnet werden.

Das zuletzt beschriebene Verfahren ist gleich einfach für ungleich große wie für gleich große Zellen. Die Werte a, b, n beziehen sich in der ganzen Entwicklung der Seite 14, also besonders in den zu benutzenden Gleichungen (19) bis (21), auf Zelle n — 1 (Fig. 9). Zum besseren Verständnis des Verfahrens soll nun die zahlenmäßige Durchführung eines Beispiels folgen.

§ 8. Beispiel.

In Fig. 10 ist ein System von 5 zusammenhängenden, gleich großen Zellen gezeichnet, dessen äußerste Zelle 5 belastet sei. Gesucht werde das Moment in A. Das Seitenverhältnis sei n = 0,8.

i*

-b -

(D

5,

W,

a —*■

f-

J“₂

f*3

Pt

Fig. 10.

Zur Bestimmung von m₄ nut Hilfe von y₄ fangen wir am linken Ende der Reihe an und berechnen zuerst nach (22)

EJ- Tl

a (1 + 2 • 0,8) m

2 (2 + 3 • 0,8)

— 0 ,295455 • a • m — 0,369318 • b ■ m,

wo m vorläufig beliebig groß sein mag. Durch abwechselnde Anwendung der Gleichungen (19) und (20) [oder auch nach (21)] folgt

\h =

2ö + 2 (2 + 3-0,8)-0,369318-0

= 0,190476

EJ- t₂ =

a (1 + 2 • 0,8 - 0,8 • 0,190476) m

2 (2 + 3 • 0,8)

0,347673 -b-m

[l₃ = 0,197647 EJ- y₃ = 0,346858 -b-m ^3 = 0,197928 EJ - y₄ = 0,346826 - b- m.

Im Eckpunkt 4 stellen wir nun die Bedingung (16) auf. Es ist

nach (4)

EJ- a₄ = —    • n (1 - n) = - 0,0130208-pb³-

und

E J • y₄ = — 0,346826 • b • m₄

nach (9)

EJ ■ ß₄ + 2 ' (1 + n) (l + 3n)

m₄ = -f 0,212418 -b - mL

mit a₄ + ß₄ = Y₄ folgt nun

Es ist ferner nach (23)

m₄ = 0,0232829-^1

ma — mi ■ [r₃ = 0,004608 • pb2 m₂ = m₃ • |x₂ = 0,000911 • pb2 mt — m.₂ •    = 0,000174 ■ pb²

Das Moment in A wird mit Gl. (3) und (8)

24 n

-M‘=[¹+|-^ + ⁰-⁰²³²⁸²⁹-

= [0,375 + 0,07306] ^- = 0,018609piK

(1 + w) (l + 3w)

pb²

] 24

Ist nicht die äußerste, sondern eine innere Zelle belastet, so sind die Y" und |i-Werte von beiden Seiten her aufzustellen, und es folgen dann die beiden unbekannten Momente m neben der belasteten Zelle zusammen aus zwei Gleichungen.

§ 9. Die unendlich lange Zellenreihe mit gleich großen Zellen.

Für eine Mittelzelle einer unendlich langen Zellenreihe ist Y» +1 — also nach (21)

EJ- Y„ —

woraus folgt

mb + 2{l + 2n)EJ- y» am mb + 2(2 + 'óri)EJ-'(„    4 ’

EJ Yh =

1 +1/(1+ 2n) (1+6n) .

4 (2 + 8w)

- - (24)

Dieser Wert in (19) eingesetzt, gibt

- • (25)

1 + 4t n — \/(l + 2n) (1 + 6n)

Zum Beispiel wird für n = 0,8

und

EJ- y„= 0,346825 -b

^=0,197939 = 0= i/s.

Das in § 8 berechnete Moment m₄ (Fig. 10) wird bei derselben Belastung und denselben Abmessungen, wenn die Reihe sich nach der linken Seite hin bis ins Unendliche erstreckt,

m = 0,0232829 •pb²,

was wieder aus a + ß = 7 folgt. Das Moment im Schnitt A wird für den Fall der unendlich langen Zellenreihe

pb²

Mb — 0,018669|;&² = ~ 0,45

24 •

Es zeigt sich, daß diese beiden Werte bis auf die gerechnete Stellenzahl gleich denjenigen der fünfzehigen Anordnung sind.

In der folgenden Tabelle sind die vorberechneten Werte zusammengestellt und noch die entsprechenden für drei und vier Zellen eingeschoben.

Alle Werte gelten für n = — = 0,8.

CL

Zeilenzahl

V-z-2

KJ

—-T-1

0,190476

0,197647

0,197928

oo

0,369318

0,347673

0,346858

0,346826

0,015625

0,018551

0,018664

0,018668

0,018669

oo

0,197939

0,346825    0,018669

Diese Tabelle soll veranschaulichen, welchen geringen Einfluß Zellen auf die zu untersuchende Stelle ausüben, welche von ihr durch eine oder mehr Zellen getrennt sind. Es kann aus der Tabelle gefolgert werden, daß schon ein System von drei Zellen mit genügender Genauigkeit als ein unendlich langes behandelt werden kann.

Da die Berechnung unendlich langer Systeme einfacher ist und zum Teil sehr einfache, theoretisch genaue Gleichungen zur Bestimmung der zur Dimensionierung wichtigen Momente liefert, so sollen in der Folge sowohl für ein- wie auch für mehrreihige Zellensysteme die wichtigsten Formeln für unendlich weit ausgedehnte Reihen aufgestellt werden. Diese Formeln werden für erste Dimensionierungen und Kalkulationszwecke nützliche Dienste leisten, während für genaue Berechnungen, bei denen auch die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes und eventuelle Ungleichheit der Zellen zu berücksichtigen sind, das in § 7 beschriebene genaue Verfahren zu verwenden ist.

§ 10. Die Mittelzelle der unendlich langen Reihe.

Es ist klar, daß die alleinige Belastung der zu untersuchenden Zelle nicht die ungünstigste ist, sondern daß vielmehr die Belastungen gewisser anderer Zellen die zu berechnenden Momente vergrößern. Verschiedene Eit ter, Silozellen in Eisenbeton.

Stellen der Zellenwände werden im allgemeinen auch verschiedene ungünstigste Belastungen haben.

Für die bis jetzt entwickelten Gleichungen war es gleichgültig, ob a^>b oder umgekehrt, d. h. ob die längere Zellenseite in der Richtung der Zellenreihe verläuft oder senkrecht dazu. Dies trifft aber für die Art der ungünstigsten Belastung nicht mehr zu; es sind deshalb die beiden Fälle für sich zu behandeln.

Es ist selbstverständlich, daß die ungünstigste Belastungsweise nie nur zum Teil gefüllte Zellen enthält, weshalb die Materialdrücke p in allen gefüllten Zellen als gleich groß angenommen werden können.

a) Die kurze Seite ist (Juerseite.

1. Mittenmoment der langen Seite.

Diejenigen Zellen, durch deren Belastung in Ma (Fig. 11) ein positives Moment entsteht, finden sich durch folgende Überlegung:

Die Ecken eines rechteckigen Rahmens drehen sich bei gleichmäßiger Innenbelastung in der Weise, daß die längeren Seiten nach außen gebogen werden (vgl. Fig. 2), sie üben daher auch ein Drehmoment in diesem Sinne auf die Nachbarzellen oder anschließende Stabteile aus. Dieses Moment überträgt sich nun nach den Regeln des kontinuierlichen Trägers über die einzelnen Seiten, d. h. das Moment wechselt sein Vorzeichen nach Durchlaufen einer Seite. Mit dieser Überlegung folgt, daß z. B. in Fig. 11 die Belastung jeder zweiten Zelle in Ma ein positives Moment hervorruft. Diese in Fig. 11 durch Schraffur der belasteten Zellen angedeutete, für das Maximalmoment in Ma maßgebende Belastung wollen wir mit „Wechselbelastung“ bezeichnen. Die entgegengesetzte Belastung gibt dann natürlich das Minimalmoment.

Zur Berechnung von Ma denken wir uns, wie in Fig. 11 angedeutet, Gelenke so angebracht, daß das System in einzelne Rahmen und Stabstücke zerlegt wird. Unsere Unbekannten sind dann die Momente m, die an Stelle der Gelenke wirken. Sie sind aus Symmetriegründen alle gleich groß. Es ist nun an jedem Gelenk

• n (1 - n)

EJ • a = —

2(1 + n)

EJ • ß = -f-

und nach Bedingung (16)

pa³

24— * n (1 - n) ^

oder

2.(l + w)

_ n (1 — n²)    pa²

1 + 2 n 12

(26)

Daraus und mit (3) und (12) folgt das Maximalmoment in der Mitte der langen Seite zu

l + 4w — 2n³ pa²

z=M--—

1 + n

Das Minimalmoment daselbst ist gleich — m, also

a max

24

• - (27)

-M-amin —

n (1 — n²)

pa

12

(28)

₊ Ma

Mh

VA

Z:

Fig. 11.

Eine Probe kann darin bestehen, daß beide Belastungen zusammen die „Vollbelastung“ geben, und es muß dann das Moment in Ma demjenigen des eingespannten Stabes entsprechen, also

pa2 24 ’

Mamax +

amin

was auch zutrifft.

2. Mittenmoment der kurzen Seite.

die Belastung nach Fig. 12 maßgebend,

b max

Bei den Größt- und Kleinstmomenten in Mh müssen hier wie auch später zwei Fälle unterschieden werden. Bei Zellen, die sich der quadratischen Form nähern, ist für Mt was aus der Art der Eckverdrehungen der belasteten Zellen und der Übertragung derselben nach Mh hervorgeht. (Die zu untersuchende Zelle ist stärker gezeichnet, ein positives Moment in Mb entspricht demnach einer Ausbiegung nach links.) Bei kleiner werdendem Seitenverhältnis n wird Mb infolge alleiniger Belastung der Zelle z ebenfalls sich vermindern und für ein gewisses n, welches wir mit h bezeichnen wollen, verschwinden, um für n Je negativ zu werden. Die Belastung der Fig. 12 ist deshalb nur für    hie ungünstigste, während für n die Zelle z zu entlasten

und dafür Zelle z' zu belasten ist. Es werde zuerst der Fall n h behandelt.

Fig. 12.

Die Belastung nach Fig. 12 kann man sich entstanden denken aus der Wechselhelastung (Fig. 11) unter Weglassung der Belastung von z* und Hinzufügung der Belastung z. Auf diese Art soll auch das Moment in Mb zusammengestellt werden. Wir haben deshalb vorerst Mb für zwei

verschiedene „Grundbelastungen“ (wie wir sie nennen wollen) zu berechnen, einmal für die Wechselbelastung, dann für die Einzelbelastung der Zellen. Die Einzelbelastung z erzeugt natürlich in Mb ein Moment von gleicher Größe, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen wie die Belastung z.

Die Wechselbelastung haben wir in der vorhergehenden Nummer behandelt und es ist für sie mit Gleichung (12)

wo m =

[-M0+

Ml^!).£2!ialsoJf; ₌

m;=-

].

1 +n

2«³ + 3n² —2 pb2 (l + 2n)n²

Für die Einzelbelastung von z folgt mit der Bedingung a-J-ß = T

[T aus (24)]

hm'

l + \/(l + 2w)(l + 6w)

—    • n (1 — n) i

wo m die Größe der Momente an Stelle der vier Gelenke bedeutet, die man sich an den Ecken der belasteten Zelle angebracht denkt. Es folgt daraus

2 (1 + n)

4 (2 + 3 n)

• am',

pb²

24 •

• • (29)

und für die Einzelbelastung der Zelle z

Mb" = M₀i

m'

— n² -j- w³

pb²

24n³ ‘

1 + 71

Setzen wir nun die beiden Werte Mb und M" für die Grundbelastungen entsprechend Fig. 12 zusammen, so wird das Maximalmoment in der Mitte der kurzen Seite für n^>li:

Mhmax = Mh'-(-Mb") + Mb"

2 + 6/1 — 2n² — 5nz + 2n⁴ — 2 (1 — n²) \/(1 + 2n) (1 + (>n) pb²

(1 + 2 n)n³

24

(30)

Den Grenzfall n = Jc findet man aus der Bedingung Mb'= 0, welche zu folgender Gleichung führt:

2w⁶ — 3w⁵ — 6n⁴-j-4«³-f-10w² — 4 = 0. Durch Probieren ergibt sich als Lösung

n = k = 0,6446.

Für    wird Mb negativ, und es ist für solche Fälle, wie schon bemerkt,

die Wechselbelastung die ungünstigste, also für n<^^-

• . (31)

max — Mb

2 — 3w² — 2ti³ pb2 (1 + 2 n) 11²    2F

Der Fall n<^Jc hat mehr theoretisches Interesse, da in der Praxis so stark rechteckige Zellen seltener Vorkommen.

Bei allen Innenwänden, welche im Zellensystem symmetrisch liegen, kann die Berechnung des Minimalmomentes wegfallen, da Mmin = — Mmax.

Die Momente Ma in den Mitten der langen Seiten werden stets als Funktion von pa², die der kurzen Seiten als Funktion vonpb^ angeschrieben, was in den später folgenden graphischen Darstellungen einen anschaulicheren Vergleich ermöglicht. Die nun folgenden Größt- und Kleinstwerte der Eckenmomente werden alle als Funktion vonpa² angegeben; wo es wünschenswert erscheint, braucht man ja den Ausdruck nur durch n² zu dividieren, um ihn als Funktion von pb² zu erhalten.

3. Die Eckenmomente.

Für das Minimalmoment in    (Fig. 13) ist die Wechselbelastung

(Fig. 11) maßgebend; es ist deshalb mit (12)

1 + n'

Mb min — M{) -j-

wo M₀ aus (2) und m aus (26) zu entnehmen ist, also

1 + 2 n³ pa2 1 + 2 n 12    ‘    •

A

ist wieder^ gleich — Mimin.

Die Stelle Ma hat als ungünstigste Belastung diejenige der Fig. 13²). Wir müssen hier den Einfluß jeder belasteten Zelle auf Ma für sich betrachten und dann diese Einflüsse addieren.

min

(32)

bmax

P,

3’

Fig. 13.

pa²

(1 — n + nr) ₁₂

Infolge Belastung von Zelle 1 wird Ma =

wo m' nach (29) zu berechnen ist.

Infolge Belastung 2 wird einfach

_ Ma = — m .

fl Der Winkel über dem M soll andeuten, daß das Moment sich auf eine Zellenecke bezieht, der Index b deutet wie bisher auf die kürzere Seite hin.

²) Die in den Fig. 11 und 18 dargestellten Belastungen entsprechen den ungünstigsten Belastungen beim kontinuierlichen Träger.

Die Belastung 3 ruft in Pt das Moment mf hervor, in P₂ (nach § 7) das Moment {x • m\ beide Momente absolut genommen mit dem in Fig. 13 eingezeichneten Drehsinn, |x ist für die unendlich lange Reihe nach (25)

^-..1 + 4” l^⁽l + 2w> (1 + 6w) . In Ma wird das Moment infolge Belastung 3

Ma = — [x² • vri,

denn der Absolutwert des Momentes verringert sich von Zelle zu Zelle um dasselbe Verhältnis |x (vgl. § 7).

Belastung 4 gibt deshalb

--f

JA

Ma = — jx⁴ • m .

Man erkennt, daß die Summe der Einflüsse der Wechselbelastung links von Ma eine unendliche, konvergierende Reihe mit dem Quotienten [x² darstellt, deren Summe wir bilden

m)u

Fig. 14.

»___können. Dasselbe gilt von den rechtsseitigen

, Belastungen 2\ 3". . . Infolge der Belastung 2' ist die zu untersuchende Zelle nach Fig. 14

beansprucht.

Es folgt deshalb mit Gleichung (14):

Sia = ~

und analog infolge Belastung 3':

Ma = --

Mit Hilfe der Summenformel für die unendliche, konvergierende Reihe wird nun die Summe aller Einflüsse

— (1 -n-j-n²)^-

worin m aus (29) zu berechnen ist.

Nach dieser Gleichung kann der theoretisch genaue Wert von Ma berechnet werden, allerdings etwas umständlich. Es soll deshalb für den praktischen Gebrauch eine empirische Formel für Ma aufgestellt werden, deren Genauigkeit geprüft werden wird.

Bei graphischer Darstellung (n = Abszisse, Ma = Ordinate) ist Gleichung (33) eine Kurve höherer Ordnung, von der für praktisch vorkommende Fälle nur ein gewisses Stück gebraucht wird. Das Seitenverhältnis n = ~ wird hauptsächlich zwischen 0,6 und 1 schwanken und

seltener unter 0,6 sinken. Wir ersetzen deshalb das Stück der Kurve zwischen n — 0,6 und n = 1,0 durch eine Parabel von der Gleichung

M — a + bn -j- cn²

1 + 3 71 * [J.

• {x • m

• [x³ • m.

M.

a min

1 + Sn jLc

mll+n ¹ 1 — p.² V 2 + 3w

(33)

(34)

Diese Gleichung hat drei unbestimmte Koeffizienten, welche wir so bestimmen, daß die Parabel mit der gegebenen Kurve drei Punkte gemeinsam hat. Diese Punkte sollen die Abszissen w = 0,6; 0,8; 1,0 haben. Die Koeffizienten a, b, c werden nun aus den drei Gleichungen bestimmt, die entstehen, wenn man die drei obigen Werte für n und die zugehörigen Momentenwerte aus (33) in (34) einsetzt. Diese Berechnung wird einfacher und genauer, wenn nur das „Nebenmoment“ [zweiter Ausdruck in Gleichung (33)] empirisch entwickelt wird, da dieses für n = 1 verschwindet. Es wird auf diese Weise

— (1 — n -f- n²)

oder zusammengefaßt

M.

amin

(0,00794 -f 0,11172 • n - 0,11967 • n²) •pa²,

amin = - (0,09127 + 0,02839 n - 0,03633 • n²) • pa². . (35)

Aus der ersten dieser Gleichungen kann der Einfluß des Nebenmomentes auf den angenäherten Wert gezeigt werden. Es ist z. B. für n = 0,8

— (1 — n + n²)

Hauptmoment:

Nebenmoment:

0,0700 • pa²

— 0,0207 • pa²

Mamin = — 0,0907 • pa²

Es folgt nun die Prüfung der Genauigkeit bei Anwendung der empirischen Gleichung. Der größte dabei gemachte Fehler wird dort auf-treten, wo die Parabel am stärksten von der richtigen Kurve abweicht. Das wird aller Wahrscheinlichkeit nach in der Nähe von n — 0,9 und n = 0,7 sein, denn bei n — 0,6, 0,8, 1,0 haben die beiden Kurven gleiche Ordinaten. Eine in diesem Sinne angestellte Berechnung zeigt folgende Resultate:

-M

— M ■

xrj-a min

Nach der genauen Gleichung (33)

a min

Nach der em-pirischenGlei-chung (35)

1,0

0,08333 - ~

0,08739 0,09074 0,09334 0,09523 •pa²

0,08333

0,08738 0,09074 0,09341 0,09523 •pa²

Der Fehler, der durch Anwendung der empirischen Gleichung entsteht, ist also für die Praxis von keiner Bedeutung. Es soll später noch öfters von solchen Gleichungen Gebrauch gemacht werden, besonders da, wo das Aufstellen einer theoretisch richtigen Gleichung gar nicht möglich ist.

wird, da für ihn gerade die entgegen-

0,9

0,8

0,7

0,6

Der Ausdruck für M

a max

gesetzte ungünstigste Belastung wie für Mr die Vollbelastung Ma gespannten Balkens)

maßgebend ist, und da für

CL^

(d. b. gleich dem Stützenmoment des ein-

a min

a max

12

a max

= (0,00794 + 0,02839 n - 0,03633 n*) pa\

• (36)

Für n — 1 wird M

a max

= 0, was auch sein muß. Bei quadratischen Zellen mit gleichen Wandstärken übertragen sich nämlich die Momente, die durch Belastung einer Zelle in dieser entstehen, von dem geringen Einfluß der Deformation durch Normalkräfte abgesehen, auf keine der andern Zellen, da die Momente m an Stelle von gedachten Gelenken an den Ecken der belasteten Zelle gleich Null werden (Eckverdrehung der belasteten Zelle a = 0).

Bei quadratischen Zellen beschränkt sich nicht nur der Einfluß der Belastung einer belasteten Zelle auf diese allein, sondern es wird dieselbe auch durch keine der anschließenden Wände beeinflußt.

Quadratische Zellen mit konstantem Trägheitsmoment werden daher immer, ob sie nun einem ein- oder mehrreihigen System angehören, abgesehen vom Einfluß der Normalkräfte, richtig berechnet, wenn man sie als geschlossene, für sich allein bestehende Rahmen betrachtet.

Alle Gleichungen, welche zur Bestimmung von Gelenkmomenten m dienen, müssen daher für n— 1 den Wert m = 0 ergeben; sie enthalten alle den Faktor (1 — n). Sämtliche Gleichungen für Maximal- und Minimalmomente müssen für n = 1 die Momente des geschlossenen, quadratischen Rahmens oder einfach des eingespannten Stabes ergeben, die Nebenmomente müssen überall verschwinden, d. h. den Faktor (1 — n) besitzen. Dies sind alles schätzenswerte Proben für die Richtigkeit der abgeleiteten Formeln.

Um die Werte der Größtmomente an verschiedenen Stellen und an ein- und mehrreihigen Systemen miteinander vergleichen zu können, sollen für Fall a für verschiedene Werte n die Momente ausgerechnet und graphisch dargestellt werden als Kurven von der Gleichung M=f(n). In der folgenden Tabelle auf Seite 25 sind die berechneten Werte zusammengestellt.

Daß für n = k = 0,6446 aus beiden Gleichungen (30) und (31) derselbe Wert sich ergibt, kann als Probe für die Richtigkeit derselben gelten.

b) Die lang-e Seite ist Querseite.

Es sollen hier die Bezeichnungen der Fig. 15 eingeführt werden, was gewisse Vorteile mit sich bringt gegenüber einer im Hinblick auf Früheres vielleicht konsequenteren Bezeichnung. Es muß dann natürlich

Tabelle 1.

Momente bei einer Mittelzelle der unendlich langen Reihe

(kurze Seite = Querseite).

(Vgl. Fig. 11 und 13.)

b m in

a m in

= 0,6446

M.

a max

■Mamin

■^b max— ~M.\

b min

n>k n<zk

0,9

0,8

0,7

0,04107

0,04676

0,05090

0,05406

0,04167 (-0,04167)    0

0,00406 0,00739

0,6446

0,6

0,5

0,4

0,05621 0,05729 0,05722 •pa²

0,00509    0,03758

0,00923    0,03074

0,01240    0,01933    (-0,00553)    0,01001

■pa'²’    ■pb²

0,08333 0,01305 0,20139 0,01348 •pb²    •pa²

0,08333

0,08739

0,09072

0,09334

0,09523 0,09638 0,09681 • pa²

0,08383

0,07315

0,06487

0,05854

0,05424 0,05208 0,05222 • pa²

28

30

31    36

35

32

Gleichung i 27

in den früheren Formeln für n das Verhältnis 4r- eingesetzt werden, und b    .    ⁰

da wir hier wieder — — w, setzen wollen, so ist der frühere Wert n durch

— zu ersetzen. n

Die ungünstigsten Belastungen sind aus Fig. 15 ersichtlich. Die Ableitung der Gleichungen geschieht analog dem erstbehandelten Fall und wird deshalb weggelassen. Die Resultate sind die folgenden:

Infolge WTechselbelastung :

1 — n²

n>

pa²

12

2 + 3w —2w³ pa²

max

a min

24

— 2 + 4 n² + n³    pb²

(2 + n) n²    24

Mb' =

Infolge Einzelbelastung :

4 + n — j/ (2 + n) (6 + n)

(1 -»*) |^3 + n — (1 + n) \/ 2 + Jr]

pb²

ii²

24

pb² <

’ 24 n²

Die Gleichung Mb" = 0 liefert den Wert n = Je — 0,6096. Mit Hilfe des Belastungsschemas in Fig. 15 wird für n>h:

Mbmax —    —

_ 4 + n — 2n² — (1 — n²) y (6 + n) (2 + n) pb²

(2 + n) n²

24

71/T    _ 71/T'    7I,/"_⁴ + W-4w2-w3-(l-w2)l/(6 + W)(2+W) pb²

Xy±bmin —    lub —

Für n <CTc:

(2 + w) w²

24

= »» =

1 —«²    £>ö²

{2 + n)n² ' 12

2 —4w² —ws pö2 (2 + w) n² 24

Die Knotenpunktsmomente werden

= - Mamax = - (0,08902 - 0,04297 • * + 0,03729 • w²)

Ąm.;) = - (0,13956 - 0,18603 ■ n + 0,12980 • n²) pa²

Ma

Ma.

■f

Be/asfuncfSjchema

Fig. 15.

j n >k

rt<k

max y

Mbma,

Mbm.n

max

min

ûmi.

-K

mm

§ 11. Die Endzeile der unendlich langen Reihe.

Auch hier werden wieder zuerst die Momente für gewisse Grundbelastungen berechnet, aus denen sich die ungünstigsten Belastungen zusammensetzen (vgl. Fig. 18, Seite 31).

a) Kurze Seite = (Juerseite.

1. Endzeile belastet.

Die Bedingung a -f- ß = Y liefert mit (4), (9) und (24) die Gleichung

pa% b (1 + 2n)m _ l + [/{l + 2n) (l+6w)

2    (1 + n) (1 + 3 n)

4 (2 + 3 n)

■ a-m,

worin m an Stelle der Gelenke zwischen Zelle 1 und 2 (Fig. 16) wirkt. Es folgt daraus

(1-w²) (1 + 3«)

(2 + 3«) «¹

. [l + 8« + 17«² + 12«¹-(l + 4« + 3«²) K(1 + 2w) (1 + 6»)]-^(37) und mit (8) (vgl. Fig. 16)

M' = M₀Ą

(l + n) (1 + 3«)

(1 + 2«) m

(1 + «) (1 + 3«)

Das Mittenmoment der kurzen Innenseite der Endzeile wird dabei positiv genommen, wenn die Seite sich gegen die Endzeile hin ausbiegt (Fig. 16).

2. Zweite Zelle belastet.

Wenn m/ und die Gelenkmomente auf beiden Seiten der belasteten Zelle 2 bedeuten, so ist

— «(! — «) ^L

b (1 + 2ri)mt'+nm₂' __ a (1 + 2«)

2    (1 + «) (1 + 3«)

2 (2 + 3«)

b « ?»/+ (1 -f~ 2«) m/ _ 1 + \f(1 + 2«) (1 + 6«)

2"°    (1 + «) (1 + 3«)

(38)

n (! - n)

welcbe Gleichungen zur Bestimmung von m/ und m₂/ dienen. Wenn diese Werte bekannt sind, wird

4(2 + 3«)

• a-m

M” — M₀

(1 + 2«) m/+ n m„'

(1 + «) (1 + 3«)

Fig. 16.

An Stelle der Gelenke wirken die statisch unbestimmten Momente «+, m₂ . . ., welche durch ebensoviele Gleichungen (16) bestimmt sind. Wir haben es hier genau genommen mit unendlich vielen Unbekannten zu

tun. Die Werte m nähern sich aber immer mehr einem konstanten Wert, je weiter man sich von der Endzeile entfernt, und zwar geschieht dies, wie gezeigt werden wird, sehr rasch, und es gibt das folgende Annäherungsverfahren für die Praxis hinreichend genaue Gleichungen.

Es ist allgemein für das Gelenk r nach der run Zelle, falls dieselbe eine von den gefüllten ist

paz

JEJ-a = u (1 -n) ₂₄

b n • m,

EJ-$

AV-T = |(2m,+ mr+1),

+ (1 -f 2 n) m,.

(1 + «) (1 + 3«)

also nach (16):

b n ■ mr-1 + (1 + 2n) mr

(1 + «) (1 + 3»)

f y (2mr+ mr+1) = n (1 — n)

Für das Gelenk nach der rten leeren Zelle muß anstatt mr+l das Moment mr-1 gesetzt werden und umgekehrt.

Setzen wir alle Momente m einander gleich (= m₁), so erhalten wir aus der Gleichung für Gelenk 1 eine erste ziemlich rohe Annäherung von mv Wird bei einer neuen Berechnung m₃, m₄ . . . =m₂ gesetzt, m.₂ aber nicht gleich mv so erhält man aus den zwei Gleichungen für die Gelenke 1 und 2 eine zweite, bessere Annäherung für mv Wird endlich erst m₄, mh ... —m.i gesetzt, so Avird die Annäherung noch besser, und aus den Differenzen dieser drei Annäherungen läßt sich das Näherungsgesetz leicht erkennen und der wahre Wert von ml recht genau (bis zur sechsten Dezimalstelle) angeben. Diese Überlegung wird für die ZAvei Seitenverhältnisse n = 0,8 und 0,6 zahlenmäßig durchgeführt. Aus obiger Gl. folgt für das Gelenk r— 1 und mit mr-1 = 0 und mr+1 = mr (in₂ = inj

b_    (1 + 2 n) ■

2    (1 + ») (1 + 3«)

oder als erste Annäherung:

f y • 3 ml = n ( 1 - 11)

in

11 (1 — n²) (1 + 3») pa²

1 + 5 n + 5«²

12 '

Ferner erhalten wir für r= 1 und r= 2 und mit m₀ = 0 und mä = m2 zwei Gleichungen, Wj und m₂ enthaltend. Aus diesen wird m₂ eliminiert, und es wird die zweite Annäherung

12 '

11 (l —11²) (1 + 3«) (1+4«) pa2 1 + 9« + 24«² + 19«³

Einen analogen, noch umständlicheren Ausdruck erhält man für mx, Avenn mv m₂ und «^₃ verschieden genommen Averden und erst «^₄ = m₃ gesetzt wird. Diese drei Näherungsgleichungen geben für » = 0,8 und 0,6 folgende ZahlenAverte :

Werte inv

w = 0,8

Differenz w = 0,6

Differenz

0,015448 0,015913 0,015957 •pa²

Der wahrscheinlichste Wert von m₁ wird daher

fürw=0,8: m₁=0,010336+0,000040[^-+(^)² + . . .] = 0,010341 -pa2 fürw=0,6: m,=0,015957+0,000044[-^|- + (^)³+- - -] = 0,015962-pa²

1. Annäherung

2.

3.

0,009951

0,010296

0,010336

■pa'²

345

465

40

44

Die dritte Annäherung ist also schon sehr genau. Diese beiden Spezialwerte benötigen wir später bei der Aufstellung von empirischen Gleichungen der Größtmomente. Für mx selber wird die empirische Gleichung:

mx = (0,00450 + 0,05450 • w - 0,05900 -n²)-pa².    .    . (39)

Es wird nun, mL als bekannt vorausgesetzt (Fig. 16)

Ma* = M₀

w • m₁

n (2 + 3 w) • m,

(l + w)(l + 3w) i (1 + n) (1 + 3m)'

In diesem Fall tritt das Maximalmoment nicht in der Mitte der Seite a auf, es kann aber aus dem Moment M₀ der gefüllten Einzelzelle und aus den an den Enden der Seite wirkenden Nebenmomenten berechnet werden, was später geschehen soll. Die beiden Ausdrücke links und rechts der vertikalen, punktierten Geraden sind die Nebenmomente am linken und rechten Ende der Seite a der Endzeile.

Es wird ferner

f

Sr = m₀ +

ii • m.

(l + w) (ld-3w) (1 + 2 n) • m, (l+w) (1 + 3w) (l + w) (1 + 3w)

4. Wechselbelastung II.

Bei Belastung der Zellen 2, 4, 6 usw. (Fig. 16) geschieht die Auflösung ähnlich wie im vorhergehenden Abschnitt. Man erhält die Resultate :

//

m"

[So

OO CO

o o

0,013342 0,021520 ■ pa²

0,008751 0,013814 • pa²

und hierfür die empirischen Gleichungen

m" = (0,01507 + 0,04948 m - 0,06455n²) •pa2 m₂" = (0,00690 + 0,03916m - 0,04606m²) •pa²

M™ =

=

Mr = M₀i

mV

2 + 8n m."

2 +3m

(1 + 2m) «m," + nm”

(1 +n) (1 + 3m)

Afxx

m"

2 + 3m ‘

5. Gleichung zur Berechnung des Größtmomentes.

Bevor wir die Momente der ungünstigsten Belastungen aus den eben berechneten Grundbelastungen zusammensetzen, soll eine Gleichung abgeleitet werden, die für unsymmetrische Fälle anzuwenden ist, d. h. in Fällen, bei denen das Maximalmoment nicht mehr in der Seitenmitte auftritt. u-A4 «_j

—+m.

max

+171"

JÏ

Vo

Fig. 17.

Die Gleichung soll das Maximalmoment Mmax (Fig. 17) berechnen lassen,

— M für einen symmetrischen

Fall (Moment der Einzelzelle), und die an den Enden der Seite a wirkenden, ungleichen Momente (Nebenmomente), m' und m", welche die Symmetrie stören.

wenn

gegeben sind das Moment M₀ =

pa²

Die Gleichung der Parabel, bezogen auf die x- und «/-Achse, lautet

(p ist hier nicht der Parabelparameter, sondern die Belastung pro Längeneinheit).

Die Neigung einer beliebigen Tangente gegen die «/-Achse wird

tgn

dx

dy

p-y.

Die Neigung der in Fig. 17 eingezeichneten, zur Schlußlinie allelen Tangente, welche die Lage von Mmax bestimmt, ist

par-

m'--m"

woraus folgt

m' — m"

Aus Fig. 17 läßt sich folgende Gleichung herauslesen:

m' + m" ,    1

-2--X-^Vo'tg *₀,

= -Mo -t

ap

woraus mit obigen Beziehungen das Maximalmoment folgt:

{vri — m")²

. - (40)

m' + m"

2 pa²

6. Maximal- und Minimalmomente.

In Fig. 18 ist das Schema für die ungünstigsten Belastungen dargestellt, die sich aus den vier vorberechneten Grundbelastungen zusammensetzen lassen. Es werden nun die Gleichungen der Größt- und Kleinst-

M. + Mg    _

Mb

ßelastungsschema

^ama. ) M„,n

n <h

< n<h,

n < k₂

% ma,

Mi min

Mt

maß

min

M±m.,

Mb min

Mb matM

Mb m m Mb mm»

Mb,

Fig. 18.

momente durch Addition der entsprechenden Momente der Grundbelastungen gebildet und mit Hilfe der für n — 0,8 und 0,6 berechneten Gelenkmomente empirische Gleichungen aufgestellt.

Die Gleichungen für die Mittenmomente der kurzen Seiten gelten wieder nur bis zu einem gewissen Yerhältnis n = Je, welches jeweils bestimmt wird. Für den Fall n<^Je, der in der Praxis nur seltener vorkommt, wird das Aufstellen von empirischen Formeln unterlassen, wohl

aber werden für einige dieser n-Werte die Momente berechnet, um den Verlauf derselben auch dafür in den noch folgenden graphischen Darstellungen einzeichnen zu können.

Mit Benützung der Gleichung (40) und des Belastungsschemas in Big. 18 wird nun

9 «²

in,²

= Ma*=M₀-

2 (1 + n)

oder mit den Werten mx aus (39) empirisch entwickelt

a max

.    2(1 + 3 n)- pa²

[^(l + 2«-2«²)-(-0,00415- + 0,02354-«-0,01939-«²)] •pa 3Iamax = (0,04582 • + 0,05979 • n - 0,06394 ■ n²) • pa²    . (41)

Die größten negativen Momente der langen Seite sind durch die geradlinig zu verbindenden Momente ilfa*x an den beiden Enden der Seite bestimmt. Für    wird

Mhmax = Mi' + Mb*t = M₀-]

m,"

oder

¹ (1 + n) (1 + 3«) ¹ 2 + 3«

(0,02651 + 0,08569 • ±- 0,07053 ~) • pb²    . (42)

71T    _

max

Die Gültigkeitsgrenze dieser Gleichung berechnet sich aus Mb' = 0 zu

Ferner wird

n = k = 0,714.

oder

(1 + «) (1 + 3«)

mx und m aus (39) und (37)

• (mx — m)

(-0,00221+0,00100~ + 0,00121 ~) pb² . (43)

Diese Gleichung, die ebenfalls nur bis n = 0,714 gültig ist, muß mit Rücksicht auf das in § 10 (Seite 24) für quadratische Zellen ausgesprochene Gesetz für n = 1 den Wert Null ergeben.

1/

M b min

Mbmin = Mb' + Mr-Mb” =

= -iJ4o

1+2 n

(1 +«) (1 + 3«)

{in — m” -j- ml)

« (m./ — m")

(! + «)(! +3«)

oder

31

-LT-Lbmin

'Gültigkeitsgrenze für Mb

= - (0,02604 + 0,07787 • ± - 0,06224 ~) • pb² . (44)

aus Ml = 0: n = A, = 0,6605 •

max

und M,

b min

M

b max

31

b max

= MH + Ml'-Ml

= (0,02305 + 0,07117 ~ - 0,05255 ~) pb*.

• (45)

bedeutet dabei das größte Moment im Sinne einer in Fig. 16 einpunktierten Durchbiegung, M

max

b min

das entgegengesetzte.

Für n<^lc wird: (k = 0,714)

Mbmax = Mr =

(m” aus 39 a) = M*= (w²+2w-2) •

in. "

(46)

-^4 min

pb²

n • vi,

24« ²

(1 + «) (1 + 3«)

. (47)

¹

Wecbselbelastung I.

Bei der Wecbselbelastung der Fig. 16 wird durch die eingezeichneten Gelenke, entsprechend den früheren Methoden, ein Hauptsystem hergestellt, das aus einzelnen Rechteckrahmen und geraden Stäben besteht.

Für /;ä <«<7^: (7^ = 0,6605; 7^ = 0,648 aus Af₆'=0 und A/₆" = 0)

Mbmiu=M: +Mh"

Für «    Z\> :

Mhnmx = MT

Mbmin — Mb .

Endlich werden die Gleichungen für das Eckmoment M

= M* = - (1 - « + n *) •    H

worin »i, aus (39) zu entnehmen ist, oder

(0,0840 - 0,0911 n -f 0,0904 ■ n²) ■ P<* “    •    • (48)

m"

2 + 3 « ’

«m.

(1 + w) (1 + 3n) ’

/\

M

min

{m" nach Seite 30).

In der folgenden Tabelle 2 (Seite 34) sind die Werte der Gleichungen (41) bis (48) für verschiedene Seitenverhältnisse zusammengestellt.

b) Lange Seite = (Jnerseite.

a max

min

max

Die Ableitung dieser Gleichungen ist dieselbe wie für Fall a. Es wird (0,03826 + 0,08198 • n - 0,07857 • n²) ■ pa2 (0,00117 + 0,01358 • n - 0,01475 • n²) pa2 (0,03643 + 0,05715 • n - 0,05191 • n²) ■pa2 Mamin = - (0,03713 + 0,06827 • n - 0,06373 • n²) • pa².

Für «^>£=0,669:

M —

b max

m in

( 0,05626 — 0,01459 •    ■pb²

= - (0,08855 - 0,06631 • n + 0,06109 • n²) -pa².

§ 12. Zusammenfassung.

Das in § 5 beschriebene Verfahren zur Berechnung der Biegungsmomente des einreihigen Zellensystems beruht auf der Ermittlung der statisch unbestimmten Größen, deren Zahl durch die Wahl eines statisch unbestimmten Hauptsystems (Fig. 7) auf n — 1 (bei n Zellen) verkleinert werden konnte, aus ebensovielen Elastizitätsgleichungen, die mit Hilfe Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

min

-M

0,0833

0,0758

0,0690

0,0645

0,0618

0,0610

•pa²

48

Tabelle 2.

Endzeile der unendlich langen Reihe (kurze Seite = Querseite). (Vgl. Fig. 18.)

M

•Lrj-ntax

10,0016 ! 0,0030

0,0044

0,0056 0,0068 • pa²

b tnin

-M

max

M„

min

kt = 0,6605 k₃ = 0,648

kt = 0,6605 k₂ = 0,648

k — 0,714

(- 0,0126)|

0,0008

0,0165

0,0665

■pb'²

\kl>n>k₃\

n < k₂

kl>n>kJ

II

n <^k

0,0417

0,0357

0,0262

0,0417

0,0373

0,0299

(- 0,0417)

0,0012

0,0008

0.0103

0,0012

(- 0,0034)

(- 0,0169)

0,0113

0,0295

0,0889

0,0104

0,0113

0,0175

0,0104

(- 0,0042)

(-0,0184)

0,0016

0,0044

0,0429

0,1124

■pb²

■pb'¹

■ pb²

■pb'²

■pb²

44

45

47

Momente bei einer

max

qK

k = 0,714

ii > k \ n<^k

(0)

— ij 0,0004 (0,0047) : 0,0009 0,00S2 II 0,0016 0,0090 jj (0,0017)

0,0156 jj — 0,0270 I — ■Pb¹ i •pb²

48

46

0,0417

0,0346

0,0234

0,0082

(0,0050)

■ pb¹

42

max

VH

0,0417

0,0478

0,0527

0,0563

0,0587 0,0597 •pa²

41

0,9

0,8

0,714

0,7

0,6605

0,648

9*0

0,5

Gleichung

₌&ŚO‘l 6'0 S'o

- H7,06

- 72'»

-0,06

OL'O-

bnnn

\K'

I—°n»w—f—

Wtf.v;

0,z

A4

•cf

<s>v

ÔV---

TÜIUq V

§tr

4il

N//

'S

/7W

•W

0,7    0,8    0,9    7,0

7«

n 4-0,0

fr

V\

//

7?

Js

v\

'X

Vi-

JT

ff

m +0,10

0,6

*0,05

-0,10'

y/ A

ig* : ^r

Milteizelle

paz

+0,05

+ Vz*

7Ą-

Ol'o-

o'i

0,8    0,9

Fig. 20. Momente der Querseiten.

und eine Endzeile des einseitigen, unendlich langen Systems (kurze Seite = Querseite).

ria-T.

M%,

Endzeile

77 dcrEjhzeizelJe^

•^W

jlfC ~7~~\

jyjmax.

..

vlW\

---X -

paz

+ 007

~0,05

fWderEjni efzWÖM - -

0,7

MZ

mtn

0,6

°'s

Fig. 19. Momente der Längsseiten. Größtmomente für eine mittlere

-0,10

Um die Verschiedenheit der Wandstärken zu berücksichtigen, ist Abschnitt VII zu beachten, doch bleibt die Berechnung dabei gleich einfach, wie auch ungleich große Zellen die Berechnung kaum umständlicher gestalten.

der Voruntersuchungen direkt angeschrieben werden können. Nach Bestimmung der statischen Unbekannten erlauben die Gleichungen in § 4 die Berechnung der Biegungsmomente in jedem beliebigen Schnitt.

Nach dem zweiten Verfahren (§ 7) können diese Unbekannten jede für sich aus je einer Gleichung berechnet werden, weshalb dieses Verfahren besonders bei mehr als drei Zellen zu empfehlen ist (vgl. das folgende Beispiel).

Mit den Gleichungen der §§ 10 und 11 für die unendlich lange Zellenreihe mit gleichen Zellen und konstanter Wandstärke können die für die Dimensionierung wichtigsten Maximal- und Minimalmomente direkt berechnet werden. Die Unterschiede dieser Momente gegenüber denjenigen des gegebenen, endlichen Systems sind bei mehr als zwei Zellen äußerst gering (man vergleiche z. B. die ausgezogenen und punktierten Kurven in Fig. 21). Bei ungleich großen Zellen oder bei stark veränderlichem Trägheitsmoment sind diese Gleichungen für eine vorläufige Dimensionierung, besonders für Kalkulationszwecke, genügend genau.

Seite 35 enthält die graphische Darstellung der Tabellen 1 und 2, d. h. die Größtmomente in verschiedenen Schnitten einer mittleren und einer Endzeile der unendlich langen Reihe als Funktion des Seitenverhältnisses.

Die beiden ungünstigsten Belastungen für M”‘max und    geben

zusammen Vollbelastung und deshalb für M™ bei jedem Seitenverhältnis

den Wert    da sich die langen Seiten dann verhalten wie eingespannte

Balken. Die Addition der Kurven M"‘max und M„min gibt deshalb eine Horizontale im Abstand von der n-Achse¹).

Die Kurven Ml\nax, Mehmax und Mehmax (Fig. 20) zeigen eine Abnahme der Maximalmomente in den Mitten der Querseiten von der Mitte der Reihe gegen die Enden hin. Dasselbe ist auch bei den Minimal-iifj-Momenten der Fall.

Die Kurven M“ und M*b sind nur wenig von einander verschieden, was dafür spricht, daß schon die zweite Querseite ziemlich genau mit den Gleichungen für die Mittelzelle berechnet werden kann, und zwar zu ungünstig, wie die Kurven zeigen. Noch mehr trifft dies für die dritte Querseite zu.

Die 71/^-Kurven haben alle einen Knick an der Stelle, wo die ungünstigste Belastung plötzlich ändert. Nach diesem Knick (bei kleiner

0 Bei kontinuierlichen Trägern mit gleichen Feldweiten sind die Maximalmomente der Endfelder wesentlich größer als diejenigen der Mittelfelder. Die Kurven und M„

Mm

a max

(Fig. 19) zeigen diese Tatsache auch hier, doch in viel schwächerem Maße, was von der Einspannung der Endseite herröhrt.

max

werdendem n) wachsen die Größtmomente sehr rasch, Avas zeigt, wie unwirtschaftlich Zelleneinteilungen sind, die stark von der quadratischen Form abweichen.

§ 13. Beispiel.

In der Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen (Jahrgang 1911, Heft 1) behandelte Herr Dipl.-Ing. H. Marcus den Fall des einreihigen Zellensystems mit anschließendem Beispiel. Es wird hier dasselbe Beispiel gewählt, um eine Kontrolle für die Resultate zu haben.

Es sei deshalb eine fünfteilige Reihe gleich großer Zellen gegeben. Die längere Zellenseite mißt 4,5 m und verläuft in der Richtung der

3,0

4,5

Reihe, die Länge der kürzeren Seite beträgt 3,0 m, so daß n — —

,    ^    (b

= 0,667 (= -yj. Der größte, gleichmäßige Innendruck betrage p = 4 t/qm.

Das Trägheitsmoment sei durchweg konstant (Fig. 21, Seite 39).

Wir behandeln die Einzelbelastungen aller Zellen für sich und addieren dann die ungünstigsten Einflüsse. Der Symmetrie wegen können wir uns auf die Belastungen der Zelle 3, 4 und 5 beschränken.

Zuerst werden die oft gebrauchten Werte der Voruntersuchungen (§ 4) berechnet. Es wird in der ganzen Berechnung EJ = 1 gesetzt. Die Momente der Einzelzelle werden nach (2) und (3)

= — 5,2500 111t .

.17 =

Mm =

4 • 4,5²

2    - 4 \    4 • 4,5²

3    ¹ 9 / ’    12

- 5,25

= + 4,8750 mt

. . (2)

Mh =

4 • 3,0²

-5,25

= — 0,7500 111t

• - (3)

Nach Gleichung (4) ist die Eckverdrehung der gefüllten Einzelzelle (die Einheiten sind Meter und Tonnen)

1 4 'lf-= ³’375 • • • (4)

3    3

Die Gleichungen (8) und (9) lauten für unsern Fall (vgl. Fig. 4)

a = n (1 - n) = ²

»h2 =

2    4 m' — m"

mu =

⁷/3 ni' + ²,3 m"

⁵/3 • 3

m-23 =

+ 1F”¹+W,M

15

. • (8)

•2

73-3

ß"

+10“ + 0 - 4- Am"

w"

• (9)

10

Aus den Gleichungen (14) und (15) folgt mit Fig. 6

1    + 2 [x

2    + 2

1-2(1 —4--m

3,0 (1 — 2(i) on 2^1

Die Gleichungen (19) und (20) werden

-2 ⁼

(1+1)

»'s

3,0

(t⁻1) m

(ł-T«*)

(15)

(19)

Y.,-1

4,5 (n-----y - (1» — 2^ ni

2-4

(~

\ 16

00 ! zo

•^-2)

(20)

1. Zelle 3 belastet.

Wir fangen am linken Ende an und berechnen nach (20) den Winkel Yi im Punkt 1 infolge eines dort wirkenden Moments m ((jl„_₂ = 0):

21

ri = l6m-

Nach (19)

!Jn

11

e+8-fß

(1

Im Gelenk 2 ist ferner nach (4) u. (9)

|3=(^V+l),"=4-,"•

Die Verdrehungswinkel sind alle absolut angeschrieben, die Bedingungsgleichung lautet daher a — ß = y oder ß -p 7 = a :

~m₁+ 1,2443 m, = 3,375

on₂ = 1,5739 mt.

Nach (20)

Y₂ =

a — 3,375;

Nach (23) wird dann

y • —^ m — 1,2443 m.

= m₂ •    = 0,2862 mt.

und mit (14) (vgl. Fig. 21)

— on, — 0,0716 4    ¹

= mx = 0,2862.

(Die Vorzeichen lassen sich sehr einfach bestimmen, indem man sich den Drehungssinn der Gelenkmomente und on₂ klar macht, vgl. Seite 12.)

Jf2,=(ł+'t‘)™*=⁰’⁵³⁶⁶

— M₂ = m₂ = 1,5739.

-y-) 1,5739 = 0,2504

Die Nebenmomente der Zelle 3 werden nach (8)

M.r’ = M,” = (+ + + i», = y . 1,5739 = 0,9444

- M,' = + - + >% = I ' 1,5739 = ».6295, die Gesamtmomente daher mit (2) u. (3)

M₂m = - 0,7500 + 0,9444 = + 0,1944 M₂° = - 5,2500 + 0,9444 = - 4,3056 3I.J = - 5,2500 - 0,6295 = - 5,8795.

Diese Resultate sind in Tabelle 3 (Seite 43) zusammengestellt.

U,¹ M, Mf-Uj Ms Aff M3    \M:s_±_I

©i

—4

+1

r"| I 5-

©

cc=ï,jm

b= 4 Orn

I©

ii

Fig. SI.

2. Zelle 4 belastet.

Wieder am linken Ende anfangend, erhält man (die ersten Werte von vorher)

21

^=16 m

= 1,3125 • m ;

Ï2

= 1,2443 •#»; |i₂

^ = ©-=0,18182 = 0,18804

6 + 8- Ï2-

Ys =

(-

\ 16

m = 1,2420 • m ; [x₃ =

= 0,18825

7₄ =

(-

\ 16

GO ! CO

m.

Nach (9) wird

fl —    ¹    i ⁷

F4 — “i-- m3 + ÎQ mi-

Mit der Gelenkbedingung ß -f- y = a wird (a wie vor) für Gelenk 3:

für Gelenk 4:

«H2

#»₄ + 1,2420 • w₃ = 3,375,

#»₄ + l,3125 -w₄ = 3,375,

woraus folgt

~5~    +

#»₃ = 1,5810 #»₄ = 1,5199 m₂ = (x₂ • w₃ = 0,18804 • 1,5810 = 0,2973 = H-J • #»₈ = 0,18182 • 0,2973 = 0,0541.

M₀m = Ml = — — 0,0135 - M{ = mx = 0,0541

Nach (14) wird nun

^."=(1—1) »% = 0,0473

= 0,2973

-    J/s'=(| + |) »»2 = 0,1014 Jf₂'- = m₂

M- = 11’ = (i - I) nh = 0,2466

-«,' = (| + f) »»₃ = 0,5439

= 1,5810.

-    M./ = m₃

Die Nebenmomente der Zelle 4 werden nach (8) M« = M/ = -L m, + 4* ^ = 0,9405

= - jg- m₃ —jg- mi = 0,6405 (= ?n₃ — M₃m') - M/= - ~ ms + -~mt = 0,5998

M~ = M/ = A+    = 0,9201 (= m₄ + M/).

Mit (2) und (3) folgt somit

— Mam= — 0,7500 + 0,9405 = + 0,1905,

- Ma° = - 5,2500 + 0,9405 = - 4,3095,

Ml = - 5,2500 - 0,6405 = - 5,8905,

Ml = - 5,2500 - 0,5998 = - 5,8498,

Ml = - 5,2500 + 0,9201 = - 4,3299,

M™ =- 0,7500+ 0,9201 = + 0,1701.

Es wird ferner mit (14)

M;> ~ mi

= 1,5199 Ml = M-’H = ~    = 0,3800.

Auch diese Werte tragen wir in Tabelle 3 ein, und zwar ergeben diejenigen für Zelle 4 und 5 der Symmetrie wegen auch die horizontale Reihe für die zweite belastete Zelle.

3. Zelle 5 belastet,

Die Y" und g-Werte sind auf Seite 39 berechnet. Für Zelle 5 wird in Punkt 4 nach (9)

und mit

woraus folgt

ß + T = a,

~«h+ 1,2419 ■)«, = 3,375,

mt = 1,7380 mä = {i₃ • m₄ = 0,3371 0,0615

Nach (14) wird nun

m₂ = m . m3 rn₁ = jjl₁ • m₂ = 0,0112.

-Mp» = -Mp

=0,0028

4

= 0,0112

Mr = Mr = (i - f) m₂ = 0,0098

+ J4'=(| + |) »% = 0,0210

— Mp— m₂

- M,r = - M,r = (4 - f ) »»3 = 0,0510 -J£,'=({ + §) ,«, = 0,1125 = 0,3271 m₄ = 0,2709

j/₄'=(4 + |) »3 = 0,5980

— Mp = mi

Die Nehenmomente in Zelle 5 sind nach (8)

- 31/ = m₄ = 0,9269,

+ Mp = m

= 0,0615

¹¹ ■    y. = (t - t)

= 1,7380.

tnf

= pp — 0,8111,

= M-m = -jP m₄ = 0,2317.

Mit (2) und (3) folgt somit

-    M₄m = - 0,7500 + 0,8111 = + 0,0611,

-    31p =

5,2500 + 0,8111 =- 4,4389,

Mp = - 5,2500 - 0,9269 = - 6,1769,

Mp = - 5,2500 + 0,2317 = - 5,0183,

Mp'= - 0,7500 + 0,2317 = - 0,5183.

Mit diesen Werten wird Tabelle 3 vervollständigt. Durch Addition der Werte gleichen Vorzeichens werden die Maximal- und Minimalmomente erhalten. Die Größtmomente der langen Seiten, die nicht in den Seitenmitten auftreten, können nach Gl. (40) berechnet werden.

In Fig. 22 sind die Maximal- und Minimalmomente aus Tabelle 3

nr) (i²    Y) J) ²

aufgetragen. Mit Hilfe der Parabelpfeile L—~ und lassen sich dann

die Kurven der Größtmomente bis auf kleine Ungenauigkeiten (in den Punkten, wo die Parabeln von den Geraden geschnitten werden), die für die Dimensionierung belanglos sind, einzeichnen. Um die Kurven ganz genau zu zeichnen, geht man am besten nach der beim kontinuierlichen Träger üblichen, graphischen Methode von Prof. W. Ritter vor¹), indem man die Momentenlinien für jede der fünf Einzelbelastungen einzeichnet und an jeder Stelle die Ordinaten gleichen Vorzeichens addiert. In Fig. 22 ist dies geschehen, es wurden aber nur die Kurven der Größtmomente ausgezogen.

Für M₀n‘nax ist Zelle 1 nicht zu belasten (dies folgt auch aus n<Ck, k = 0,714), weshalb die Maximal linie der Endquerseite geradlinig verläuft (Fig. 22). Die Momente der Querseitenmitten sind verhältnismäßig klein,

2

was aber nur in der Nähe des Seitenverhältnisses der Fall ist (vgl. Fig. 20).

In der Reihe „Vollbelastung“ der Tabelle 3, die aus    M.

entstanden ist, läßt sich eine Probe anstellen: Die Summe aller Momente um einen Knotenpunkt muß =• 0 sein; es ist also

min

M{ - MJ + Mx° = 0 und - M ₃* + 3I₂° = 0.

Diesen Gleichungen müssen auch die Werte der Einzelreihen 1 bis 5 genügen.

Die Größtmomente der langen Seiten berechnen sich nach (40) wie folgt. Ihre Lage ist aus Fig. 22 ersichtlich, kann aber auf Grund der Ableitung auf Seite 30 leicht berechnet werden.

jf    ₌ Ł _²

1 max    y

m₂

max

+    = ^ mt.

= 4,3536 mt.

Mj 4- M.,r . (MJ — M./ )²

2 pa²

=    + M'

H max    g I 3

Es ist von Interesse, die Gleichungen für die unendlich lange Zellenreihe auf dieses Beispiel anzuwenden, und die daraus sich ergebenden Momente mit den genauen Werten zu vergleichen:

Mittelzelle.

M.

= 4,4601 mt.

Moment

Ma

min

bnuix

A/b min

m in

min

Ma

max-

Unendliche

Reihe

Gleichungen

27

28

80

30

35

32

36

4,447

-1,071

0,498

0,498

-7,618

-4,607

Aus

Tabelle 3

Zelle 3

4,460

-1,037

0,441

0,512

-7,573

-4,628

0,868

0,871

Zelle 2

4,354

-1,109

-7,689

-7,526

-4,377 0,558 J 0,895

0 W. Ritter, Anwendungen der graph. Statik, 3. Band, Zürich 1900, Raustein.

§ 13. Beispiel.

o ZW

-    0,2709 + 4,3095

-    4,3056 + 0,2466 -0,0510

Tabelle 3.

Zusammenstellung der Momente des in § 13 behandelten Beispiels, vgl. Fig. 21.

(Sämtliche Momente in Metertonnen.)

olH

mW ! m°W

M.J

Ms

i'w

- 5,0183    -6,1769    -1,7380    +0,5980    +0,3271    -0,5183    -0,0611    —    0,2709    ji    + 4,4889

+ 0,3800    - 1,5199    - 5,8498    -5,8905    - 1,5810    +0,3800    + 0,1701    -    0,1905    jj    - 4,3299

-0,0716    +0,2862    +0,5366    - 1,5739    - 5,8795    -0,0716    +0,2504    +    0,1944    |;    + 0,2504

+ 0,0135    -0,0541    —0,1014    +0,2973    +0,5439    +0,0135    -0,0473    +    0,2466    jl    — 0,0473

0,0028 +0,0112 +0,0210 -0,0615 -0,1125    -0,0028 +0,0098 -0,0510 ji +0,0098

+ 4,6991 j +4,5561

1+3+5    2+4

- 4,8772 - 4,6275

2 + 4    11 + 3 + 5

+ 0,3935 +0,2974 +0,5576 +0,8953 + 0,8710 ji + 0,3935 + 0,4303 +0,4410

f+ 2 S + 8 + Z\ f + Z

2 + 4;    3 + 5    3 + 5

-0,5927 - 0,1084 -0,5124

-5,0927 - 7,7509 - 7,6892 - 7,5259 - 7,5730

1+4    1+2+5

1+3+5 1+2+4 1+2+4 2+3+5 2+3+5.1+3+5

-4,6992 -7,4535 -7,1316 -6,6306 - 6,7020    -0,1992 + 0,3219 - 0,0714 ; + 0,3219 -0,0714

- 5,0927 - 5,8795 -5,9512 -5,5932 - 5,6649

1 + 3 + 51 + 3 + 5    2 + 4

+ 0,3935 -1,5740 - 1,1804 -1,2374 - 1,0371

2 + 4    1 + 3+5! 1+3 + 5    2 + 4

3 max

Belastete Zelle

(M CO    »C>

nax

Belastete Zellen

M^min

Belastete Zellen

Vollbelastung

Eckmomente zur Berechnung von Mv Mo, M.

Belastete Zellen

Eckmomente zur Berechnung von Mv Ma, M3min

Belastete Zellen

Moment

M

a max

Mn

min

Endzeile.

Mh

m ax

■M-b min

M-b nicix

Mb

m in

Unendliche

Reihe

41

46

47

44

45

48

4,638    0,392 i — 1,569    0.392    -0,592    0,416    -0,101

- 5,144

Zelle 1 aus Tabelle 3

Die Werte für die unendliche Reihe sind in Fig. 22 durch die punktierten Kurven dargestellt. An den meisten Stellen, besonders im Endfeld, ist auf der Zeichnung ein Unterschied nicht wahrzunehmen. Man erkennt

4,643

0,393    1,574

0,393    -0,593    0,430    -0,108 1-5,093

L anpcnmasstab

Momentenmasstab

10 mt

-f-

3, o m

3nnendrucfi p

= 4o ł/ym.

= Momente des 5-zeitigen Systems "    . unendlich t n ’’

Fig. 22.

daraus, mit welch großer Genauigkeit man ein gegebenes Beispiel nach den einfachen Formeln für die unendlich lange Reihe berechnen kann.

Aber auch die genaue Methode, die vor allem bei ungleich großen Zellen und bei veränderlichem Trägheitsmoment anzuwenden ist, ist, wie das Beispiel zeigt (es wurde kein Rechnungsgang übersprungen) für die Praxis nicht zu umständlich.

Vierter Abschnitt.

Das zweireihige Zellensystem.

In der Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen (Jahrgang 1911, Heft 4) behandelt Herr Dipl.-Ing. H. Marcus den Fall des zweireihigen Zellensystems unter Zugrundlegung eines aus Zweigelenkrahmen und geraden Stabstücken bestehenden Hauptsystems. Das Verfahren wird auf ein Beispiel einer zehnzelligen Anordnung angewendet, aber nur für einen bestimmten Belastungsfall durchgeführt. Wenn man nun bedenkt, daß für die vollständige Durchführung der Berechnung im allgemeinen bei n Zellen n Belastungsfälle (hier der Symmetrie wegen nur drei) zu untersuchen sind, so muß man das Verfahren, das für den einen Belastungsfall schon eine große Rechenarbeit erfordert, als ziemlich umständlich bezeichnen.

Es wurde nun versucht, auch hier wie im dritten Abschnitt vorzugehen, d. h. das Hauptsystem aus geschlossenen Rahmen und geraden Stäben zu bilden. Die Berechnung zeigte sich aber gerade so kompliziert wie die oben genannte Behandlung, insbesondere führte das in § 7 beschriebene, für einreihige Systeme so einfache Verfahren, nach welchem die Drehwinkel Y und die Verkleinerungskoeffizienten g fortlaufend ein Wert aus dem andern berechnet werden, hier zu sehr umständlichen Gleichungen. Es wurde deshalb vorgezogen, einen Weg einzuschlagen, der angenäherte Resultate liefert, wobei aber jede gewünschte Genauigkeit erreicht werden kann.

m’

⁺ \Mä\

Fig. 23.

§ 14. Die Mittelzelle des unendlich langen Systems.

Wir haben hier zwei verschiedene „Grundbelastungen“ zu untersuchen, aus denen sich die ungünstigsten Belastungen zusammensetzen.

a) Wechselbelastung.

Die Momente dieser Belastung können genau und auf sehr einfache Weise berechnet werden. Wir denken uns in allen Ecken (Fig. 23) Gelenke

so angebracht, daß das System in rechteckige Rahmen und gerade Stabstücke zerlegt wird. In den Gelenken 2 verdrehen sich die dort anstoßenden Zellenecken aus Symmetriegründen um den gleichen Winkel, die Gelenkmomente 2 sind demnach gleich Null. Wir haben es somit nur mit dem einen unbekannten Gelenkmoment m in den Gelenken 1 und 3 zu tun, welche Gelenke wegen der Symmetrie gleichartig sind.

Für die Gelenke 1 und 3 ist*)

nach (4) nach (11) iV-ß = + 4-

EJa. = -n (1

• in {in" = 0),

2 + w

2 (i + n) (8 + n)

nach (1) und mit a -f ß = Y folgt

in

w(l —w²)(3 + n) pa-

T2~*

8 + 6» + 2»³

Mit (3) und (10) folgt

Ma' = M₀-

nun

(2 + n) n

(1 + w) (3 + n)

■ in'

(1 + w) (3 + n)

in

ii

■ in

(1 + n) (3 + n)

Die horizontale, punktierte Gerade trennt wieder die Nebenmomente am obern und untern Ende der Seite b. M₀ ist das Moment der gefüllten Einzelzelle im gefährlichen Querschnitt.

mc; = Mn -Mb' = M₀ +

■ in'

(1 + w) (3 + n)

(3 + 2 n)_

(1 + w) (3 + n)

b) Belastung nur einer Zelle.

Das Hauptsystem wird durch Anbringen von vier Gelenken hergestellt (Fig. 24). Die statisch unbestimmten Größen sind die zwei Gelenk-momente inx und m₂, die aus zwei Bedingungsgleichungen (16) zu berechnen sind.

Die Winkel a und ß darin sind leicht anzugeben, während zur Bestimmung von Y ein Annäherungsweg eingeschlagen wird, der später noch öfters Verwendung finden wird. Zuerst sollen einige allgemeine Formeln und Sätze abgeleitet werden.

Es sei l die Länge eines Stabes AB (Fig. 25), der mit andern Stäben in fester Verbindung steht, und dessen Enden unverschieblich sind. Es sei ferner i der Abstand des Fixpunktes F vom Endpunkt A, mit der-

• ui.

³) Über die Bedeutung der Winkel a,-ß, y vgl, Seite 11.

selben Bedeutung wie beim kontinuierlichen Träger, daß also Momente, die über B in den Stab AB gelangen, sich geradlinig so fortpflanzen, daß das Moment in F verschwindet (vgl. Fig. 25). Denkt man sich den Stab l in B von den übrigen Stäben losgetrennt und läßt dort ein Moment von der Größe 1 wirken, so berechnet sich die Verdrehung ß in nach Gleichung (1) unter der Annahme, daß i bekannt ist, zu

£/•? = ■!■ (2- jé-A

rrif

rri,

ia

VT

V •*

C/v

WM

'h-m

r.

h-.....•*

Mit „Elastizitätsmaß“ des Stabes l in Punkt B sei der reziproke Wert des Drehwinkels ß gemeint, der am unverschieblichen Ende B unter Einwirkung eines dort angreifenden Momentes von der Größe 1 entsteht¹).

Fig. 24.

Es ist daher mit obiger Gleichung das Elastizitätsmaß des Stabes l im Endpunkt B

1 _ 6 {l - i) EJ l (21-8<)

(49)

I)

-o-

F'

■9-

M:ët\

■r

'A

A.

\B

Da sich ein von G nach B gelangendes Moment in B proportional den Elastizitätsmaßen der Stäbe BA, BD und BE in dieselben verteilt, so ist auch das Gesamtelastizitätsmaß dieser Stabgruppe in B gleich der Summe der Elastizitätsmaße der einzelnen Stäbe²), also

J/l

Fig. 25.

und F gesucht. Gleichung (1) liefert die Beziehung

sx — eA + -f e£ . (50) Es sei nun sx bekannt

EJ

E*

0 Vgl. Prof. W. Ritter, „Anwendungen der graphischen Statik“, Band 3.

Zürich 1900.

²) Vgl. Straßner, „Beitrag zur Theorie kontinuierlicher Eisenbetonkon-gtruktionen“, Seite 4. Berlin 1912.

Daraus folgt der Fi xp link tab stand

sx • V-

0 2? ,7 + 3sxr

Mit Hilfe obiger drei Formeln lassen sich fortlaufend sämtliche Elastizitätsmaße und Fixpunktabstände berechnen. Bei geschlossenen Stabsystemen, wie sie in unserm Fall Vorkommen, muß zuerst an irgend einer Stelle eine Schätzung eines der Werte i oder e vorgenommen werden, die dann im Laufe der Rechnung korrigiert wird. Auf diese Weise können diese Werte bis zu jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden.

Diese Berechnung wird an dem System der Fig. 24 vorgenommen, wobei aber die schraffierte Zelle wegzudenken ist. Es ergeben sich dann aus den reziproken Werten der Elastizitätsmaße an den Gelenken die in den Bedingungsgleichungen notwendigen Winkel y.

Die Berechnung der i- und s-Werte, die natürlich nur für einen gegebenen Fall vorgenommen werden kann, geht bei einiger Übung in der Schätzung des ersten Wertes sehr schnell vor sich. Um diese Schätzung leichter zu machen, sind in Tabelle 4 für einige Seitenverhältnisse n die Werte i und £ berechnet worden, und zwar für das unendlich große Zellenfeld mit gleich großen Zellen, bei welchem diese Werte überall gleich sind. Wie aus den Gleichungen (49) und (51) ersichtlich ist, verändern sich für das gleiche Seitenverhältnis i proportional der Seitenlänge, £ umgekehrt proportional zu derselben, aber proportional zum Trägheitsmoment, so daß die Tabellenwerte für jeden Fall zu benützen sind. Bei ungleich großen Zellen und bei nur zweireihigen Systemen sind die Werte entsprechend zu korrigieren, doch ergibt sich die Korrektur im Laufe der Rechnung auch von selber.

Eine nähere Betrachtung von Tabelle 4 zeigt, daß sich die Größen i und £ als Funktion von n beinahe linear ändern, weshalb zwischenliegende Werte recht genau durch lineare Interpolation gefunden werden können.

Beispiel zur Berechnung von Tabelle 4:

— = 0,6.

« ’

Um zu zeigen, wie auch ein ganz roh geschätzter Anfangswert bald zu den richtigen Werten führt, sei die erste Schätzung ia =    = 0,33

und 4 = ”

Nach (49) wird mit KJ = 1 :

a = 1,0;

^ = 0,6;

0,6

=0,2 (wie bei voller Einspannung).

6(1-0,33)

2-1.0

— 4,00;

£ft =

6 (0,6-0,2)

0,6 (1,2-0,6)

6,67;

nach (50): sa* = nach (51): ra —

2 eł-fe#= 17,33;

= 0,299;

£ftX — 2 e, +    — 14,67;

17,33

14,67 • 0,6²

6 + 3- 17,33

6 + 3- 14,67-0,6

0,163

Tabelle 4.

Fixpunktabstände und Elastizitätsmaße für das unendlich große Zellensystem mit gleichen Zellen und konstantem Trägheitsmoment.

S I O*

<s>.

<&■

co

1,0

0,28287073

3,7370345

~rr = 0,909

1,1

0,8

0,7

0,6

0,5

0,1

0,28552

0,28900

0,29251

0,29638

0,30070

0,3246

0,3333

(b=0)

0,28016

0,27651

0,27266

0,26819

0,26295

0,2277

0,21132

(a = oo)

3,7491

3,7651

3,7818

3,8004

3,8216

3,950

4,0000

3,7248

3,7086

3,6918

3,6730

3,6514

3,5211

3,4641

■b

EJ

EJ

Nun folgt die Wiederholung der Rechnung für diese genaueren Werte i; es wird nach mehrmaliger Wiederholung:

h = 6,15 = 13,77 0,2967    4 = 0,1609

«. = 3,81

e«x = 1M1

K =

h = 6.121 z* = 13,725 4 = 0,16092

= 6,1218 s₆* = 13,7226 = 0,160913

s = 3,802 = 16,044 ia = 0,29638

sa = 3,8004 sa* = 16,0440 i = wie oben i

e₆ = 6,1217

Es sei noch bemerkt, daß die allgemeine Bestimmung der i- und e-Werte auf zwei quadratische Gleichungen mit je zwei Unbekannten führt. —

Für das Seitenverhältnis n = 0,8 ergaben sich nun durch Anwendung der Gleichungen (49) bis (51) mit a =1,25 und 5 = 1,0 die Elastizitätsmasse in 1 und 2 (Fig. 24) zu

e₁ =2,9400 ^ = < + h =6,5736.

Mit Beachtung, daß z. B. das Moment mx auch auf Winkel ?₂ (im Gelenk 2) einen wenn auch geringen Einfluß hat (dieser Einfluß kann

Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

Mit a + ß = y, angewendet auf die Gelenke 1 und 2 entstehen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, welche die Lösungen haben

mx = 0,01943^? 5 ²1 ,    n

= 0,03226+) (m = °’⁸⁾-Für n= 0,5 ergibt sich auf dieselbe Weise mx = 0,08533^ b2 w₂ = 0,17712 pb'².

Mit (10) wird nun:

Mb" = M₀ +

(3 + 2n) m₁ — nm₂

(1 + «) (3 + w)

— nm₁ + (3 + 2w) m₂

fl + ») (3 + n)

(Über die Bedeutung der punktierten, horizontalen Geraden vgl. Seite 46.)

Die Übertragung der vier Gelenkmomente nach Mb (Fig. 24) geschieht mit Hülfe der gerechneten Elastizitätsmasse und Fixpunktsabstände. Es wird

für w = 0,8: Mb" = — 0,00583^?b², Einfluß von m₂ (links) + 0,00060 „

-0,00001 „

durch Verfolgen des immer kleiner werdenden Momentes mx über die Seiten s nach Gelenk 2 hin und mit Hilfe der Gleichung (1) berechnet werden), wird

— EJ- Yj

2ÄÖ + °’⁰⁰¹⁸⁷“’

■f- 0,00221 mx + 0,00157 m₂.

m₂

6,5736

Nach (4) und (11) wird ferner

— EJ- ocj = -f- EJ- a₂ = n (1 — n)

pa¹

EJ-^=    \

1,8 -3,8

₂₄ =0,013021 pb² (5=1) 0,2047 m₁ + 0,0731 m₂

1 mx + 2,8 m₂

1,8-3,8

= — 0,0731 m₁ — 0,2047 m₂

„ m₂ (rechts) „ mx (links)

„ mx (rechts)

= — 0,00524

ebenso für n = 0,5: Mb — — 0,02861 pb².

c) Maximal- und Minimalmomente.

Dieselben entstehen bei den in Fig. 26 dargestellten Belastungen. Es ist somit

pa²

a max

= Ma' = (l + 2n-2n>) 24

w²(2 + n)(l — n) pa2 3 + 6rc + 2n²    ' 12

3 + 6W + 2«²

Mbmof

Mmin ) Mtmax für n < k für n >k

für n > k

Mt>mm f“r n <A‘

Fig. 26.

^~bmax — Mbmin ⁼    ^4 *

Für n <C£ wird:

Für das Moment Mb kann die ungünstigste Belastungsweise nicht von vornherein angegeben werden. Die beiden möglichen Größtbelastungen sind im Schema der Fig. 26 eingetragen und mit a und b bezeichnet.

₌ - (0,09163 -0,10233 -« + 0,09403 n*)pa* .    . (56)

n (1 — n²) (3 + n) pa2 3 + 6W + 2«²    ' 12

= ü: = (X + 2»- 2»²) • ^ -

— ni — —

.    . (53)

w²(l — w) pa2 3 + 6w + 2w²' 12

_ 3 + 12m + 6w² — 6m³ — 4m⁴ pa²

3 + 6w + 2n²

24

• • (54)

Für n>Jc wird: Mlmax = — Mf — (— Mb") + Mb'\ mit Gleichung (40) gibt:

Mhmax =

Je berechnet sich aus Mi" = 0 zu £ = 0,582.

"Mff Ma +

was

bmin

(0,06888 - 0,04531 • \ + 0,01810 •    . pb² (55)

Ą-

Ma

Belastungsschema

Belastung b:

Hierfür wird oder

Belastung a (vgl. Fig. 27):

Wir kommen für die Berechnung von Mh am schnellsten zum Ziel, wenn wir die folgenden drei Bedingungen aufstellen, indem wir uns vergegenwärtigen, daß der Knotenpunkt 2 keine Drehung erfährt, und wir es somit mit einem kontinuierlichen Rahmenträger mit in 2 eingespannten Ständern zu tun haben.

1.    Summe aller Verdrehungen von 2 bis 4 gleich Null

= 0;

+ 4 (X₂ + Mt) + (M₁ - Mb) £

2.    Summe aller Verdrehungen von 3 bis 4 gleich Null:

+ -~ = 0;

3.    Verschiebung von 1 gegenüber 2 gleich Null:

+    X + -$-T-T = °-

Die Auflösung dieser drei Gleichungen mit drei Unbekannten führt zu den einfachen Ergebnissen

(57)

b»,in = -(¹-n + n²)    .

= - (2- n-f-n²)

M₂

= -(-l+» + 2»*)^-Mbmin wird also gleich dem Eckmoment der Einzelzelle [Gleichung (2)].

Ci

VA44

**-. -3 "T"

Fig. 27.

Bei der Ausrechnung der Tabelle 5 zeigte sich nun, daß für Werte n^>Je Gleichung (57) zu benützen ist und für n <iJe Gleichung (56), und Je folgt aus der Gleichsetzung dieser beiden Gleichungen zu n = Je = 0,776. Neben dieser Lösung der sich ergebenden quadratischen Gleichung folgt als zweite Lösung n— 1,0, was nicht anders zu erwarten war, da dafür

zn /Y 2

beide Gleichungen denselben Wert aufweisen müssen, nämlich--^—

Die Verwertung dieser Ergebnisse erfolgt in § 20. Dort wird sich zeigen, daß die Beanspruchung der Zellenwände in zweireihigen Systemen sich nur unwesentlich von derjenigen von Zellen unterscheidet, die am

Tabelle 5.

Momente einer Mittelzelle des unendlich langen, zweireihigen Systems (vgl. Fig. 26).

M

a max

a min

M.

a max —

-M.

amin

■^b max —'    min

n>k

xs.

M

b max —

n>k'

— M,

bmin

n<^k'

k = 0,582

k' = 0,776

1,0

0,9

0,8

0,04167

0,04722

0,05171

0,00555

0,01004

0,04167

0,04850

0,05383

0,04167

0,04088

0,04052

(-0,04167)

0,776

0,7

0,6

0,05512

0,05741

0,01346

0,01574

0,05767

0,06003

0,582

0,5

0,05850 ■pa²

0,01683 •pa²

0,06090 •pa²

0,04108

0,04364

0,04451

(0,05064)

(0,00103)

(0,03645)

0,04451

0,10086

0,08333

0,07583

0,07000

0,06885

(0,06583)

(0,08333)

(0,07569)

(0,06995)

0,06885

0,06607

0,06408

■pb²

•pb²

(0,06250) •pa²

0,06398 •pa²

Gleichung

52

53

54

55

57

56

Rand von unendlich großen Systemen liegen. Die für solche Zellen aufgestellten Gleichungen können daher mit genügender Genauigkeit auch auf zweireihige Systeme angewendet werden, um so eher, da eine solche Berechnung in allen maßgebenden Punkten zu ungünstige Ergebnisse liefert. Die Berechnung der Endzeilen des zweireihigen Systems wird deshalb übergangen. Hierfür sind die Gleichungen des § 19 zu verwenden.

Fünfter Abschnitt.

¹

+ \2n + 4n² — 6n¹ — 2n² pa²

²

' ~24~

Das unendlich große Zellensystem.

Schon die genaue Berechnung zweireihiger Zellensysteme ist recht umständlich, die Rechenarbeit wächst aber bei drei- und mehrreihigen Systemen so an, daß an eine genaue Lösung derselben nicht zu denken ist. Es sei nur darauf hingewiesen, mit welcher Sorgfalt man die Koeffizienten bei einer größeren Anzahl von Elastizitätsgleichungen bestimmen muß, um einigermaßen genaue Resultate zu erhalten.

Es wird in § 20 gezeigt werden, in welch hohem Maße die Momente des zweireihigen Systems sich denjenigen der Randzellen eines sich nach drei Richtungen unendlich weit erstreckenden Systems nähern. Die Momente drei- und mehrreihiger Systeme liegen zwischen den erstgenannten, weshalb solche Systeme um so eher mit den Gleichungen dieses Abschnittes berechnet werden können.

Ein solches gedachtes, unendliches Zellensystem mit gleichartigen Zellen läßt sich seiner Gleichmäßigkeit wegen leichter lösen als z. B. ein dreireihiges System, weshalb es im folgenden einer eingehenden Untersuchung unterworfen werden soll.

Für gleich große Zellen werden nun gebrauchsfertige Gleichungen abgeleitet, die aber auch bei ungleichen Zellen brauchbare Ergebnisse liefern.

§ 15. Die Mittelzelle.

Mit „Mittelzellen“ seien alle nicht am Rand liegenden Zellen bezeichnet. Die ungünstigsten Belastungen der in Betracht kommenden Momente in den Seitenmitten und den Knotenpunkten setzen sich aus drei Grundbelastungen zusammen, die zuerst untersucht werden sollen.

a) Wechselbelastung.

Das System sei schachbrettartig gefüllt, d. h. so, daß an keiner Stelle zwei leere oder zwei volle Zellen direkt nebeneinander liegen. Denken wir uns das ganze, unendlich weit ausgedehnte Feld bestehend aus einzelnen geschlossenen, mit gleichmäßigem Innen druck belasteten Rahmen, die unter sich an ihren Ecken durch Gelenke verbunden sind, so drehen sich alle Eckpunkte aller Rahmen infolge der Belastung um denselben Winkel. Die in Wirklichkeit bestehende, feste Verbindung der Zellen an den gedachten Gelenken kann deshalb wiederhergestellt werden, ohne an den Zellenwänden irgendwelche Verbiegungen vornehmen zu müssen, d. h. das Moment, welches an Stelle des Gelenkes wirkt (die statisch unbestimmte Größe), ist gleich Null. Es folgt dies auch aus der Bedingungsgleichung (16): a-f-ß = Yx)? wo

cn.

a-f-m*ß₁ =    — m • t

2 m • ßi = 0

und da ßj ={= 0, ist m — 0.

Die Momente für diesen Belastungsfall berechnen sich daher nach den Gleichungen (2) und (3) (Fig. 32):

Jf.' = (l + 2n-2»*) ^

M' = (l +

2 \ pb2 «V 24

ir₈' = #; = -(i — » + n²)

Es sei schon hier bemerkt, daß diese Belastung für Ma die ungünstigste ist, und deshalb Mamax = Ma'. Für Mh ist, solange n^> 0,5585 die Belastung nach Fig. 32 die ungünstigste, weshalb hierfür Fall b zu untersuchen ist.

b) Eine Zelle belastet.

Für diesen wichtigen Fall ist, obgleich er durch doppelte Symmetrie begünstigt wird, eine genaue Lösung entweder gar nicht oder nur in äußerst komplizierter Form möglich. Die hier verwendete Methode beruht auf einer langwierigen Zahlenrechnung, und es sind deshalb, um Gewißheit über die Richtigkeit derselben zu erlangen, verschiedene, zum Teil in der Praxis gebräuchliche Näherungsmethoden angewendet worden, die zugleich zu einem Vergleich untereinander Veranlassung geben. Es sollen zuerst die verschiedenen Annäherungsverfahren, die natürlich auch für andere Zellengruppierungen (auch für ungleich große Zellen) zu gebrauchen sind, erläutert und dann zu der möglichst genauen Bestimmung der Momente übergegangen werden. Die verschiedenen Methoden werden nur so weit durchgeführt, bis das Gelenkmoment m (Fig. 28) bestimmt ist, das an allen vier Ecken der belasteten Zelle (an Stelle von dort zu denkenden Gelenken) in derselben Größe angreift. Die weitere Berechnung ist dann einfach [Gleichungen (2), (3), (12)].

Erste Näherung. Das System wird unter der Annahme berechnet, die acht Seiten s seien in den Punkten A (vgl. Fig. 28 a) durch Gelenke mit den in A anschließenden Seiten verbunden, d. h. die tatsächlich vorhandene elastische Einspannung bleibe unberücksichtigt.

Wir berechnen m aus der Bedingung a -j- ß = y, wo a und ß aus

(4) und (13) folgen und — gleich der Summe der Elastizitätsmaße zweier

aneinanderstoßender Seiten s ist. Auf diese Weise erhält man nach einfacher Rechnung

pa²

m = (1 — n²)

Über die Bedeutung der Winkel a, ß und r vgl. Seite 11.

Zweite Näherung. Die Seiten s seien in den Punkten A fest eingespannt. Es wird auf dieselbe Weise

pa²

(59)

m = (1 — w²).-jg

Der wirkliche Wert von m wird, da die Einspannung in A weder fest noch gelenkig, sondern elastisch ist, zwischen diesen beiden Werten liegen, und voraussichtlich näher am zuletzt berechneten.

Dritte Näherung. Eine weitere, genauere Näherungsmethode beruht auf dem Gedanken, anstatt der obigen vereinfachenden Annahmen des Einspannungsgrades in A, den richtigen Wert desselben zu bestimmen, und die Berechnung mit diesem durchzuführen. Dies kann nach den Entwicklungen im IV. Abschnitt geschehen unter Benützung der Tabelle 4. Es ist dann (Fig. 28)

Fast scheint es, daß diese Methode zu dem genauen Werte von m führen müßte. Es ist dies aber nicht der Fall und zwar aus zwei Gründen. Erstens sind die Tabellenwerte für das vollständige, unendliche Zellensystem

berechnet, während wir

—    - hier die Elastizitätsmaße

£a und e₆ für das System der Fig. 28a benötigen. Diese unterscheiden sich

-

O-

? ³r_

rnç*-

TTL

•A i f-J m

Fig. 28b.

nun allerdings erst etwa in der 5. Dezimale von den Tabellenwerten. Zweitens sind die kleinen Zusatzverdrehungen Y zu berücksichtigen, die an jeder Ecke (Fig. 28 a) infolge der drei Momente der anderen Ecken entstehen, was z. B. auch auf Seite 50 geschehen ist. Es wäre dann

Fig. 28 a.

£5

M,

wo Y etwas umständlich, aber so genau wie erwünscht berechnet werden kann. Y ist, wie aus Seite 50 ersehen werden kann, nur ein kleiner Korrekturwert, und auch ohne seine Berücksichtigung wird die Annäherung, wie an einem Beispiel (Seite 62) gezeigt wird, sehr gut.

Ohne Berücksichtigung von Y berechnet sich das Moment m folgender

maßen:

Nach (4): Nach (13):

EJ ■ a = — n (1 — n) EJ-p=-f

bm

2 (1 + n)

pa³

24 •

Mit a -f- ß = y folgt

1 — n²

pa²

2 (1 + n) EJ~ ' 12    •    *

. . (60)

b (e» + El)

z. B. wird für n = 0,8 (ej und e₂ aus Tabelle 4)

1 -0,8²

2-1,8

12

0,01953^a².

3,7651-0,8 + 3,7086

Die Gleichungen (58) und (59) lassen vermuten, daß, wenn man Gleichung (60) in der Form der Gleichung (61) anschreibt, der Wert c für verschiedene Seitenverhältnisse ziemlich konstant sein wird; er muß jedenfalls immer

zwischen —und liegen [Gleichung (58) und (59)]

m — c - (1 — n²) pa2 In der Tat schwankt c für praktisch hauptsächlich vorkommende Fälle von n — 0,6 bis n — 1,0 nur zwischen 0,05420 und 0,05428. In Fig. 29 sind die c -Werte dieser Näherungsrechnung als Funktion von n c= dargestellt (ge- o,os* strichte Linie).

Diese Kurve, sowie die später zu berechnende genaue Kurve der c verläuft in n = 1,0 parallel zur n -Achse, denn für w)>l ergeben sich naturgemäß dieselben Werte c.

Es entspricht sich z. B. n —1,2 und n = */i,2 ebenfalls n = oo und n = 0.

Es könnten nun die kleinen Zusatzverdrehungen v'für

____C=üj

05406

- (61)

0,053

0,052

n'a

0,5

1,0

1,2

ju\hert\ —

—--

fr

0,5

-o-

■O „

- 0,0Sb

0,053

0,052

1,2

Fig. 29. Darstellung der Werte c.

verschiedene Seitenverhältnisse möglichst genau berechnet und damit eine genauere Gleichung für m aufgestellt werden. Es wird aber vorgezogen, letztere Gleichung nach einer, von den beschriebenen Methoden ganz unabhängigen Art zu ermitteln. Die folgende Rechnung liefert eine Schlußgleichung von der Form der Gleichung (61), welche das Moment m sehr genau bestimmen läßt, sie hat aber auch den Zweck, die drei beschriebenen Annäherungs verfahren auf ihre Genauigkeit zu prüfen und ihren Wert für die Praxis darzulegen. Die folgende Methode, welche wegen ihrer Umständlichkeit in der Praxis wohl kaum zu verwenden ist und hier nur den Zweck einer genauen Bestimmung des Wertes c hat, soll deshalb nur kurz erläutert werden.

Vierte Näherung. Die Seiten des unendlichen Zellensystems werden als kontinuierliche Träger auf elastisch drehbaren Stützen aufgefaßt und die hierfür übliche, graphische Konstruktion von Prof. W. Ritter ins Rechnerische umgesetzt. Mit Hülfe der in Tabelle 4 berechneten Fixpunkte läßt sich das Stützmoment berechnen, das durch die Belastung einer Seite erzeugt wird. Es ist nach der oben genannten, graphischen Konstruktion (Fig. 30)

pia a

pa² ia

8 ’ ~ö/ä

^12

Dieses Moment verteilt sich vom Schnitt S₁₂ aus nach den drei anschließenden Seiten und zwar im Verhältnis ihrer Elastizitätsmaße. Aus diesen können wir deshalb die Verkleinerungsmaße |x berechnen. Wir wollen mit fxa6 das Verkleinerungsmaß bezeichnen, um das sich das Moment aus der Seite a kommend verkleinert, bei Übergang in eine Seite b usw. Es ist mit dieser Bezeichnung

la

ff

\a

2_

ea

sa -f- 2 • sb

S«

{**« =

^bb

.

Fig. 30.

Jedes dieser so verkleinerten Momente (x • 9)i₁₂ verbreitet sich nach den Regeln des kontinuierlichen Trägers geradlinig über die anschließende Seite, und zwar so, daß das Moment im Fixpunkt gleich Null ist. Aus dem Fixpunktabstand ia kann demnach das am Ende der Seite wirkende Moment 9J1₁₂ berechnet werden. Es verhält sich z. B. für die anschließende Seite a (Fig. 30)

- wi3' : txaa • awi3 = ia : {a - ia)

oder

9»,/ =

ia

a -ia

wo mit 8o der echte Bruch gemeint ist, mit dem ein an einem Ende der Seite a auftretendes Moment multipliziert werden muß, um die absolute Größe des Momentes am anderen Ende zu ergeben.

ia

Es ist also

b~i„-

und entsprechend

Das Moment 9JÎ₁₂' verteilt sich nun wieder wie 9ft]2 in die drei anschließenden Seiten, womit sich der beschriebene Vorgang wiederholt.

Die Größen jx und 8, welche aus i und e für ein bestimmtes Seitenverhältnis zu berechnen sind, genügen nun, um die Momente zu bestimmen. Im unendlich großen Zellensystem verteilt sich 9Jî₁₂ auf allen möglichen, also unendlich vielen Wegen durch das System hindurch, da aber die Werte [x und 8 echte Brüche sind, so verkleinern sich die Momente in ihrem Verlauf und können, nachdem sie einige Seiten durchlaufen haben, vernachlässigt werden, was sich besonders bei der graphischen Durchführung (analog derjenigen beim kontinuierlichen Träger) deutlich zeigt. Die Anzahl dieser Seiten richtet sich natürlich nach der gewünschten Genauigkeit.

12

Es sei nun die Aufgabe gestellt, den Einfluß von 9JÎ₁₂ auf den Schnitt 5₁₂ zu untersuchen. 30t₁₂ kann diese Schnittstelle nur nach Durchlaufen von 0, 4, 6, 8 . . . Seiten erreichen. Bei Vernachlässigung des Einflusses nach Durchlaufen von sechs und mehr Seiten wird das Moment in $₁₂, herrührend von 9JÎ

■ w₁₂ =2^12 [1 + 2 • 8J • V • [Lab² • |x4a² (1 — 2 • |OJ.

(Es ist zu beachten, daß [xaa • [x₄₆ = jxo6 • jx6a.)

Der zweite Klammerausdruck stellt den Einfluß von 30î₁₂ nach Durchlaufen von vier Seiten und zwar auf die sechs verschiedenen Möglichkeiten dar.

Auf diese Weise können die Einflüsse aller acht Momente 3DÎ der vier Seitenbelastungen (vier von der Größe 30= 30î₁₂ und vier Momente

au^    ^12 bestimmt werden. Z. B. wurde der Einfluß

des Momentes 2Jł₄₃ = (Fig. 80) auf Schnitt S₁₂

ttt₄₃ = —    [8₆ • fxo4 • |x4a (1 + 8a² • fxaa²)].

Dieses Moment 301 kann (mit Durchlaufen von weniger als sechs Seiten) nur auf zwei verschiedene Arten nach 1 gelangen. Die Anzahl der 8 stellt in jedem Ausdruck die Anzahl der durchlaufenen Seiten dar.

Die Addition der acht Ausdrücke m gibt das im Schnitt Sl2 herrschende Moment Jf₁₂ infolge der Einzelbelastung. Um ein Maß der Genauigkeit des Resultates zu bekommen, wurden auch noch die Werte bei Berücksichtigung des Durchlaufens von weniger als fünf Seiten ausgerechnet. Es ergaben sich z. B. für a = 1,2; b — 1,0; p = 1 die folgenden Zahlen:

Mm = - 0,130178 - 17 +

0,130180.

Die Summe der acht Werte m gibt für den speziellen Fall n = 1, da mit e„ = e₆ : p. = -j

Der stetige Verlauf des Klammerausdruckes, welcher eine geometrische, konvergierende Reihe darstellt, kann als Kontrolle für die Ausdrücke m gelten, vor allem würde sich dabei das Vergessen eines der von durchlaufenen Wege deutlich zeigen. Mit der Summenformel für die unendliche, geometrische Reihe folgt der theoretisch genaue Wert für n— 1

api

M₁₂

und mit

Diff.

Bei Berücksichtg. des Durchlauf, von 0 Seit.: Af₁₂ = — 0,118663

M1S = - 0,126380 Mu = - 0,130827 M₁₂ = - 0,130073 M₁₂ = - 0,130195 M1S = - 0,130178

Die Differenzen nehmen stetig ab und wechseln das Vorzeichen, d. h. der richtige Wert wird von dem angenäherten immer mehr eingeschlossen. Sein wahrscheinlichster Wert kann daher leicht bestimmt werden. Er ist

11

+ 4447 -754

+ 122

11

11

-17

(ż = 0,282871 • «, aus Tabelle 4)

i (a— i)pa

3a-2i

0,083333 • pa²

pa²

12 •

Daraus folgt das schon auf Seite 24 ausgesprochene Gesetz, daß sich die belastete Zelle im unendlich großen Zellensystem mit quadratischen Zellen von konstanter Wandstärke genau so verhält, wie die für sich allein bestehende quadratische Zelle, daß also der Zusammenhang keinen Einfluß auf die zu untersuchende Zelle hat.

Aus obiger Gleichung kann nun auch der Fixpunktsabstand i für n— 1 auf direktem Wege, aus einer quadratischen Gleichung berechnet werden.

Nach beschriebener Methode sind nun für verschiedene Seitenverhältnisse n die Momente M₁₂ berechnet worden, aus denen sich alle übrigen Momente in der belasteten Zelle leicht ermitteln lassen. Des Vergleiches mit Früherem wegen wurde aber aus M₁₂ das Gelenkmoment m bestimmt nach welche Gleichung aus (2) und (12) entstanden ist. m wurde nun wieder in die Form der Gleichung (61) gebracht, und für die durchgeführten Beispiele wurden die Werte c ausgerechnet, welche nun auf 5 Dezimalen genau angegeben werden konnten. Sie sind in Fig. 29 eingezeichnet (ausgezogene Kurve).

Mit Beachtung, daß die Ordinaten dieser Kurve stark vergrößert sind, erkennt man, daß c für in der Praxis hauptsächlich vorkommende Seitenverhältnisse von n = 0,6 bis w=l,0 fast konstant ist, nämlich nur zwischen c = 0,05402 und c = 0,05406 schwankt. —

Für den allerdings nur theoretisch interessierenden Wert n = 0 = ^-=—,

der für b — 0 dem eingespannten Balken von der Länge a und für a= oo dem unendlich langen, kontinuierlichen Träger mit der Spannweite b entspricht, wird

oo a

3-1/3

h =

(ib — Fixpunktabstand des unendlich langen, kontinuierlichen Trägers mit

gleichen Öffnungen).

Daraus mit Gleichung (49):

4 EJ e“ a

2 (3 +1/3 ) EJ £*⁼ u + t/rił ■

Ferner wird:

*.=ł

3-1/3

3 + I/3

l^aa - \^ba - 0, l^ab - 1 \^bb - 1*

Analog Gleichung (62) wird mit (61)

(\ + n)[ + Mu + (l-n + n*)?jf\ = c(\-n¹)Va

c ■ pa²,

M +£2l

lu-u I 12

worin mit obigen Werten i, 8 und jr und nach den früher hergeleiteten Gleichungen für m

■^14 = ^12 + ^21 +.....+ m₁₄ =    +«6 — l^ab ■ S&) +    • 1 x)

iapa

oder für n — 0:

3». = - ₄

ibpb __

-(3-K3)

Das Gelenkmoment m für den zweiten Belastungsfall (Belastung einer Zelle) ist nun bekannt, nämlich

m = c( 1 — n²) pa²,

wo c der Fig. 29 zu entnehmen ist.

Da c beinahe konstant ist, so soll für die weitere Entwicklung die Gleichung gebraucht werden

(63)

m = 0,05406 (1 — n²) pa Es wird dann damit für die Belastung nur einer Zelle und mit (2), (3) und (12)

1 +n

JK." = (l + 2»-2»»)^--

tl + l-1) .£»1..+

\    ~ n »V 24 T

j)fl² /1 12 \2

1    3-1/3

2    ' 3 + 1//

Es wird also, M₁₄ in die obere Gleichung eingesetzt

L 3-1/3"

2 ' 3 + I/3“

Dividiert man durch pa² und setzt -^ = 0, so folgt

= 0,05283.

also

■^14

pb²

pa² / 1 12 \"2

für n = 0 :

C    4 (3 +1/3)

M" =

1 +« 1 + n '

Es folgt nun ein Vergleich der verschiedenen Näherungsmethoden für m. Für w = 0,8 wird:

1. Bei Annahme eines Gelenkes in A (Fig. 28), Gleichung (58):

m = 0,01800 pa², c = /r = 0,05000.

2.    Bei Annahme fester Einspannung in A (Fig. 28), Gleichung (59) : = 0,02000pa², c = -jg — 0,05556.

3.    Unter Berücksichtigung der richtigen Einspannung in A (Fig. 28), aber unter Vernachlässigung der Korrekturwerte 7', Gleichung (60):

m = 0,01953 pa², c = 0,05427.

4.    Nach der zuletzt beschriebenen, genausten Methode, Gleichung (63):

m — 0,01946pa², c = 0,05406.

Wenn man bedenkt, daß m nur ein Nebenmoment ist, welches die Momente der Einzelzelle korrigiert, so muß man die zweite Annäherungsmethode als befriedigend bezeichnen. Sie ist in Fällen von ungleich großen Zellen, ihrer Einfachheit wegen, am ehesten zu empfehlen. Wendet man die beiden Methoden 1 und 2 an, so läßt sich der richtige, dazwischen liegende Wert ziemlich genau ahschätzen.

Man sieht aus obigem Vergleich auch, wie genaue Resultate das dritte Verfahren, auch ohne Berücksichtigung der Korrekturen 7', liefert, es wird deshalb bei der Untersuchung der Rand- und Eckzellen verwendet werden.

c) Halbseitige Wechselbelastung.

Diese dritte Grundbelastung ist in Fig. 31 dargestellt und wird zur Bestimmung der größten Eckmomente gebraucht.

Es wirken an dem durch gedachte Gelenke vom belasteten Teil getrennten unbelasteten Teil die Momente m in dem eingezeichneten Drehsinn, und wir wollen versuchen, die überall gleiche Verdrehung Y der Ecken zu bestimmen.

Das Moment m verringert sich in der Pfeilrichtung von Ecke zu Ecke um einen bei gleichgroßen Zellen und unendlicher Ausdehnung konstanten Wert (x (vgl. § 7), so daß in den Punkten A die Momente |x . m, in B |x² • m wirken usw. Betrachten wir nun einen der Punkte A, so ist die Verdrehung der rechts von einem vorübergehend in A gedachten Gelenk liegenden Ecke nach (9), (EJ= 1)

m'

Si

-v~

in’M² m!/u

J*

g?

V ni '

y⁷²'

m’./U²

r,

-y

Fig. 31.

;>

2a

ß' =

b (1 + 2 ri) ix —n 2 ' (1 + n) (1 + 8 n) ‘

die Verdrehung links

,_ b n\y. — {\ + 2n)

^    2 ’ (1 +n) (1 + 3w)

• [xm',

welche Werte einander gleichgesetzt (nach a -j- ß = 7, a = 0) die für jx quadratische Gleichung

n |x² — 2 (l-(- 2 n) [x -(- n — 0

ergeben, woraus folgt = X [l + 2«-1/(1+ re)(i+ 3«)] .... (64)

Nach (9) ist nun die gesuchte Verdrehung (Fig. 81)

(1 + 2 n) — n\i.

T “ 2" ‘ (! + »)(! +8»)

Die Verdrehung der Ecken der andern, belasteten Hälfte infolge m allein ist (absolut genommen) genau gleich groß :

b (l + 2n) — Wfj.

2"* (l + n)(l + 3n)

ß=-

und infolge der Belastung (wie bei Belastungsfall a) :

pa3 ~24~'

a = w (1 — w) •

Mit a -f ß = Y folgt

m'

und mit Gleichung (8)

fl— w²)(l + 3w) pa2 1 + « (2 - fx) ' 24

.    . (65)

MJ" =

(2 + 3w) + 1 W ' (l + n)(l + 3w)

d) Maximal- und Minimalmomente.

Für Ma ist die Wechselbelastung die ungünstigste und deshalb wird das Maximalmoment in der Mitte der langen Seite

pa²

i max

= Ma' = (l + 2n-2n²)

24

• • (66)

Für die Mittelzelle ist natürlich an jeder Stelle das Minimalmoment gleich dem negativen Wert des Maximalmomentes.

entsteht bei der Belastung nach Fig. 32, aber nur für die

Werte n = 1 bis n = Je, wo Je aus Mb" = 0 zu k = 0,5585 folgt.

Für n <C Je ist die Belastung der Zelle 1 nach 2 hin zu verlegen, welcher Fall der unter a behandelten Wechselbelastung entspricht, nur mit umgekehrten Vorzeichen. Es wird also das Maximal-moment in der Mitte der kurzen Seite

ZA

M

max

Y////A

V////A

YAAAAA

y2.

VAZA

für n A Je: M,

b max

M///.

VA

Y/

Fig. 32.

"Z

A/a/a

(l + —---%)

\ ¹ n    n² /

pb²

71/    —

aJ-Lbtnax

wo c aus Fig. 29 zu entnehmen ist. Wenn für c der annähernd konstante Wert 0,05406 gesetzt wird, ist

= (0,04167 - 0,02479.-L + 0,02479 . pb* . . (67b)

Es ist dies keine empirische Gleichung im Sinne der früheren, sondern sie gibt Resultate in dem Grade genau, als der Wert c genau ist.

Für n A Je:

pb²

^ = -3C=Gr-v-l)-24

. . (68)

Für den Minimal wert in Ma ist das System nach Fig. 33 zu belasten, welche Belastung sich aus der zweiten und dritten Grundbelastung (Fälle b und c) wie^folgt zusammensetzt:

V///A

Y///AY////A

'/////,

m.

Zs

2:

4L

'44

Za

'////A

Fig. 33.

Mami„ = Ma"' (YVechselbelastung der rechten Hälfte nach Fig. 31) -f- Ma'" — M (Wechselbelastung der linken Hälfte)

— (— Ma") (Wegnahme der Belastung z)

-j- Ma" (Belastung z)

Mamin = 2 (M”' + Ma")-M (2 + 3w)n + l (l + n)(l + 3w)

+ ^f(¹-n + n²),

Ma

min

2 {ra

• m -f

^f-(l — w + w²) —

wo die Werte m, [i, w' den Gleichungen (63), (64), (65) zu entnehmen sind. Diese Gleichung gibt

= — 0,083333 - 0,096429 -0,103708,

für n = 1,0 M„ n = 0,8 n = 0,6

womit die folgende empirische Gleichung gebildet wird:

Mamin = - (0,09064 + 0,06541 • n - 0,07272 • n²) p«- . . (69)

Auf ähnliche Weise wird (die Grundbelastungen bestehen hierfür aus zwei halbseitigen Wechselbelastungen)

2 (3 + 2n) fi + w * (l + w)(3 + w)

bmin

min

• m'

worin

und

oder

4/

[i. = 2 -f n — |/ (1 -j- n) (3 + n)

(1— w²)(3 + «) P a ~

24 ’

- (0122,07 - 0,10333 n + 0,06459 n²) pa². (70)

m' —

2 + n — [j.

6 min

Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

Tabelle 6.

Momente einer Mittelzelle des unendlich großen Zellensystems.

(Vgl. Fig. 32.)

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,04167

0,04917

0,05500

0,05917

0,06167

0,5585

0,5

0,06250 • pa²

Gleichung j

66

k = 0,5585

n^> k

n<^k

a min

b min

0,04167 0,04473 0,04941 0,05684 0,06923 0,07678 (0,09125) • pb²

67 b

(- 0,04167)    0,08333

—    0,09061

—    0,09643

—    0,10080

(0,05093) [    0,10371

0,07678 0,12500

• pb²

0,10516 • pa²

0,08333

0,08139

0,08075

0,08139

0,08333

0,08655 •pa²

68

69

70

§ 16. Die Randzelle, deren längere Seite am Rand liegt.

Mit „Randzellen“ seien alle am Rande des Systems liegenden Zellen bezeichnet mit Ausnahme der die Ecken bildenden, welche „Eckzellen“ heißen mögen. Die beiden Arten von Randzellen, bei denen entweder die lange oder die kurze Seite die Außenwand bilden, müssen getrennt behandelt werden, da die Momente an entsprechenden Stellen verschiedene ungünstigste Belastungen haben.

Zur Berechnung der Momente Ma und Mh kommen wir mit zwei Grundbelastungen aus, welche zuerst untersucht werden.

a) Wechselbelastung.

Dieser Fall ist zum Teil schon in § 15 unter c behandelt worden. Wir berechneten dort in Gleichung (64) den Wert p, um den die Momente in den gedachten Gelenken nach innen zu stetig abnehmen (vgl. Fig. 31). Dort lag zwar der Fall in dem Sinne anders, als die Abnahme in der Richtung der längeren Seite untersucht wurde, während es hier umgekehrt ist. Wir haben deshalb in Gleichung (64) die Werte a und b miteinander zu vertauschen und erhalten

• • (71)

|A = 2 -f-n—\/r(1 -f-ri) (3 -j-n) .    .

Das Moment in an Stelle der äußersten Gelenke berechnet sich nun

wie folgt: nach (4): nach (11) und (1) (vgl. Fig. 34):

■p j p_b (2 + n) m — n m

Jj,J ' r — y (1 + n) (3 + n)

EJ v

ma

Mit Gleichung (16) folgt:

rb

m [- ■

(2 + 11) - p.

pas

(1 + n) (3 + n)

und mit u. aus (71)

n (1 — n)

pa²

H-

11

12

■    ■ (72)

l/ (1 + w) (3 + n)

(X_

-x mn

Vf\

■JL

\ß

\v

üf

rMbS

///

nyj

'TfV*

il

mit

Fig. 34.

Mit Hilfe der Gleichungen (3) und (10) wird nun

M' = l\ r - « • (2 + w)m-;im

n 0    (l+»)(3+-n)

(Fig. 34):

J/₀

n² (l — m)

pa²

Mr; = -m

K' = M₀

« + l/(l + w) (3 + w) *12 n² (1 — n) [2 + » — l/(l + *0 (3 + w)]    p«²

11 + [/{! + ») (3 + «)

12

n² (1 - n) [2 + w — \X(1 + w) (3 + w)] pa2 + 1/(1 + •») (3 + w)

Dieser letzte Wert wird gleich groß wie — MJ was auch sein muß, da die entgegengesetzte Belastung in Ma das Moment M/ erzeugt und beide Belastungen zusammen Vollbelastung gehen, welche Belastung in Ma kein Moment hervorruft, also Mr' -|- Jl' = 0 sein muß. Dieses letztere sieht man ein, wenn man sich klarlegt, daß die Belastungen aller Innenseiten bei Vollbelastung sich gegenseitig aufheben, daß dann also nur die Außenwand des Systems belastet ist. Bei einer solchen Belastung können aber bei gleich großen Zellen keine Momente in die Innenseiten gelangen.

Es wird ferner

12 •

»ij

m,:

Mt'=M₀ +

(m₂-/ und m,₎₂' aus Gleichung 10).

Da hier das Maximalmoment nicht in der Seitenmitte auftritt, bedeuten der Wert M₀ wieder das Moment der Einzelzelle im gefährlichen Querschnitt und die Ausdrücke über und unter der punktierten Horizontalen

die Nebenmomente am oberen und unteren Ende der Seite b (Fig. 34). Das Maximalmoment kann nach (40) berechnet werden, was aber erst später bei der Zusammenstellung der Grundbelastungen geschieht.

b) Belastung einer Bandzelle.

Hierfür werde Fig. 24 benützt, wobei das System auch nach unten bis ins Unendliche fortgesetzt zu denken ist.

Mit Hilfe von zwei Bedingungsgleichungen (16) können die Momente mx und m₂ (Fig. 24) berechnet werden. Die Verdrehungen a und ß darin ergeben sich aus (4) und (11), während für y eine fertige Gleichung nicht besteht. Es wird hier so vorgegangen wie in § 14, d. h. es werden fortlaufend mit den Gleichungen (49) bis (51) die Fixpunktabstände und Elastizitätsmaße der Seiten berechnet bis zu den Gelenken hin, wo dann der reziproke Wert des Elastizitätsmaßes mit m multipliziert den Winkel Y liefert. Die Aufgabe kann natürlich allgemein nur mit äußerst komplizierten Ausdrücken durchgeführt werden, weshalb hier wieder die Beispiele w = 0,8 und 0,6 durchgerechnet und damit empirische Gleichungen aufgestellt werden.

Es wurde, wie bei den Mittelzellen, so auch hier versucht, annähernd konstante Werte c zu finden, weshalb die Zahlenrechnung auch für n = 0,909 und 0,7 durchgeführt wurde. Wenn dieser Versuch auch mißlang, so bieten die gerechneten Werte wenigstens wieder eine Kontrolle für die Genauigkeit der empirischen Gleichungen.

Die folgende Tabelle 7 gibt die Resultate der ziemlich langwierigen Rechnung, deren Wiedergabe hier zu weit führen würde. Der Gang der Rechnung wird an einem Beispiel (neunter Abschnitt) gezeigt werden.

Tabelle 7.

(Fig. 24.)

1,0

0,909

0,8

0,7

0.6

0,26223

0,26501

0,26870

0,27254

0,27732

£2 = £./+S,"^ ¹ 7i 2    2    -

3,6484

3,6598

3,6758

7,4740 7,1331 6,7207 3,6914    6,2760

3,7124    5,9547

j:j

ej

0,00760

0,01949

0,03432

0,05506

• pb²

m.₂

m.,"

0,01215

0,03280

0,06092

0,10547

• pb²

0,00343

0,00927

0,01722

0,02917

■ pb²

0,00692

0,01978

0,03881

0,07117

• pb²

Die ersten vier Kolonnen obiger Tabelle berechnen sich aus den Gleichungen (49)—(51). Nachdem auch die Winkel a und ß für die beiden Gelenke nach (4) und (11) berechnet worden sind, ergab die Bedingung (16), angewendet bei den Gelenken 1 und 2, die beiden Momente m₁ und mr Es ist z. B. für n — 0,6 nach (4):

EJ- a.x

-0,6(1 - 0,6).

p-b*

24 • 0,6:i

nach (11):

nach Tabelle 7 :

2,6 m, + m₂ _

b m, -f- 2.6 m»

1,6-3,6

1,6 • 8,6

0,6 • 8,7124 Die Bedingungsgleichungen lauten:

2,6 m, + m₂ .

•&; EJ ■ y₂

5,9547

• 6.

m,

10

2 -1,6 - 3.6 ¹ 2,22744

m, + 2,6m₂

m₂

2 • 1,6 • 3.6 ¹    5,9547

gTl^²

¹⁰ w 2 03 V * 1

woraus folgt:

mx = 0,05506 pb2 m₂ — 0,10547 pb².

Es kann nun mit Hilfe der Gleichung (10) die Berechnung der Nebenmomente m₂₃" und m₃₂" an den Enden der Seite b folgen, so daß dann

m₂₃" my"

J/₀ = Moment der Einzelzelle, m₂₃" und m₃₂" aus Tabelle 7.

Mb" = M₀ +

c) Maximal- und Minimalmomente.

Die unter a behandelte Wechselbelastung ist die ungünstigste Belastung für Ma und Ma, es wird deshalb (Fig. 34)

n°- (1 — ri)

pa

Mamax = M’ — (1 + 2n - 2ii²) ₂₄

3/

pa²

n + l/(l + w) (3 + n)

pa2 ' 12

• (73)

= Tłf; = (1 +    - 2n²) ₂₄

n² (1 — n) [2 + w — l/(l + n) (3+ n.) ]

-M-a min    71f-c

n + [/(1 + n) (3 + n) n (1 — n )

pa2 12

■ . (74)

pa²

12

(75)

1/(1 + n) (3 + n)

Für 1I^> k ist die ungünstigste Belastung für das Maximalmoment der Seite b in Fig. 35 dargestellt. Sie läßt sich wie folgt zusammensetzen: Mbmax = Mb" + (- M') - (- Mb")

2m₂" - m₂/

2 m₃₂"--m₃₂'' ++

wo m₂₃" und m₃₂" aus Tabelle 7 und ^ m₂₃ und m₃₂ mit (72) und (10) zu berechnen sind. Nach dieser Gleichung folgen mit (40) die speziellen Werte ^

»=1,0: Mbmax = 0,04167-pb² %

0,04171 .pb2 0,04669 -pb²

max•

= 2 Mb" — Mb' = M₀ -f-

Mb

n = 0,8

m = 0,6

Fig. 35.

und aus diesen die empirische Gleichung

Mbmax-(0,06355 — 0,03953    -f- 0,01764 pb ‘ . . (76)

Die Gültigkeitsgrenze dieser Gleichung folgt aus Mb" = 0 zu n = /»• = 0,586.

Für n<^Jc wird, da dafür die Wechselbelastung maßgebend ist (in Fig. 35: Verschiebung der Belastung 1 nach Zelle 2),

Mbmax = — Mb' (s. Seite 67).

Die folgende Zusammenstellung dient zum Vergleich der empirisch gerechneten Werte von Mbmax nach (76) mit den genauen, aus Tabelle 7 ermittelten Werten.

Mbmax

Empirisch nach (76)

Genau nach Tabelle 7

1,0

0,90909

0,8

0,7

0,6

0,0417 0,0414 0,0417 0,0431 0.0467 •pb²

0,0417 0,0415 0,0417 0,0429 0,0467 •pb²

b max

Wie dieser Vergleich zeigt, hat es keinen Wert, die Momente M in der folgenden Tabelle 8 genauer als auf 4 Dezimalen anzugeben, doch ist diese Genauigkeit für die Praxis ausreichend.

Tabelle 8.

Momente einer Randze Ile im unendlich großen Zellensystem, deren längere Seite am Rand liegt.

(Vgl. Fig. 35.)

^f-bmax—    47bmin

M

a m ax

a min

a m in

k — 0,586

n>k

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,04167

0,04731

0,05188

0,05534

0,05767

0,00564

0.01021

0,01367

0,01600

0,04167

0,04884

0,05442

0,05843

0,06087

0,586

0,5

0,05876 • p a²

0,01709 • pa²

0,06172 • pa²

0,0417 0,0414 0,0417 0,0431 0,0467 0,0474 (0,0551) • pb²

(-0,0417)

(0,0407) 0,0474 0,1095 • pb²

Gleichung

II

II

73

75

74

76

Die ungünstigsten Belastungen für die Eckmomente sind ähnlich derjenigen der Fig. 33. Da die Berechnung der dieser Belastung entsprechenden Grundbelastungen bei der Randzelle sehr umständlich ist, soll von der Berechnung der Eckmomente Abstand genommen werden. Es ist anzunehmen, daß sie um weniges kleiner werden als die der Mittelzelle, da dies bei den Knotenpunktsmomenten der Eckzelle der Fall, und bei den Mittenmomenten ein stetiges Abnehmen von der Mittelzelle über die Randzellen zur Eckzelle wahrzunehmen ist. Mb kann angenähert mit Gleichung (56) und (57) des zweireihigen Systems berechnet werden (vgl. § 20).

¹

) Die übrigen Ausdrücke verschwinden alle wegen = 0.

§ 17. Die Raiidzelle, deren kürzere Seite am Band liegt.

Die Ableitung der Gleichungen hierfür geschieht genau auf dieselbe Weise wie in der vorhergehenden Nummer; es sollen deshalb nur die Schlußresultate angeschrieben werden, mit welchen dann Tabelle 9 gerechnet wird:

Mamax= ~ M.

a min

= (0,03926 -j- 0,07514 n — 0,07273w'²) pa² . .    (77)

w ]> Je (Je — 0,601):

Mb

Mb max

(0,03635- 0,01028 + 0,01560 i)pb* . . (78) entsteht bei der Belastung der

(— 0,00532 — 0,01028 ~ -f- 0,01560 ph* .    . (79>

max

Fig. 36.

Fig. 36.

'A

Afft win

Mb

max

+ (0,04016-0,02116 £ + 0,02267    pb². . . (80)

Afft min    17^, m(,r •

Da der F all n < Je nur theoretisches Interesse hat, sind hierfür nur wenige Punkte berechnet worden, um den Verlauf der Kurven in Fig. 42 (Seite 79) feststellen zu können.

§ 18. Die Eckzelle.

Die Berechnung der Momente geschieht hier wieder nach den Entwicklungen in § 14, und zwar für die Seitenverhältnisse n = 0,8 und 0,5. Diese beiden Werte geben einen Anhalt für den Verlauf der Kurven M—f {n). Es kommt dabei das Ergebnis heraus, daß alle Maximalmomente kleiner werden als die entsprechenden Momente der in den §§16 und 17 behandelten Randzellen. Da der Unterschied gegenüber diesen aber gering ist, lohnt es sich aus praktischen Gründen kaum, die Eckzellen schwächer zu dimensionieren als die Randzellen, weshalb auch das

Fünfter Abschnitt.

Tabelle 9.

unendlich großen Zellensystem, deren kürzere Seite am Rand liegt. (Vgl. Fig. 36.)

n C k₂

(- 0,0417)

(- 0,0168)

(0,0468)

0,0783 0,1178 • pb²

b min

b max — M-t

-M-b min

M-bmax

= 0,56; k.₂ = 0,55 k₂ <C n <C ft,

n^>k₁

Ä = 0,601

n<Zk

n>k

(0,0157)

0,0417

0,0446

0,0491

0,0562

(- 0,04167)

0,0747

0,0788

(0,1009)

■pb²

0,0678

0,0747

(0,0885) •pb²

80

(- 0,00613) 0,02078 0,02121

0,00252

0,00620

0,01183

0,02078

(0,02088)

0,06824

■pb²

(0,03652)

■pb²

79

fc = 0,601

ii<.k

(0)

(0,03554)

0,06245

0,06288

0.10991 • pb²

Momente einer Randzelle im

n>k

0,04167

0,04419

0,04787

0,05350

0,06245

(0,06255)

(0,07819) • pb²

78

max

Ma

0,04167

0,04797

0,05282

0,05622

0,05816

0,05866

• pa²

77

1,0

0,9

0,8

0,7

0,601

0,6

0,56

0,55

0,5

Gleichung

a) Wechselbelastung I.

Aufstellen von empirischen Gleichungen unterlassen wird. Solche können aber an Hand der im folgenden sich ergebenden Werte für n = 0,8 und 0,5 leicht hergestellt werden.

Es folgen nun zuerst die Berechnungen der vier erforderlichen Grundbelastungen.

Hl

Diese Belastung ist in Fig. 37 dargestellt. Bei der Berechnung der Randzellen konnte für diese Belastung von dem gesetzmäßigen Abnehmen der Gelenkmomente ins Innere des Systems nützlicher Gebrauch gemacht werden, es Avar dadurch eine theoretisch genaue Lösung der Aufgabe möglich. Auch hier werden diese Momente gesetzmäßig abnehmen, und zAvar ins Innere gegen den Wert Null und nach den beiden Außemvand-

ub

richtungen gegen die Werte m hin, Avelche wir bei den Randzellen berech-

net haben. Dieses Gesetz genau an- ^ zugeben, dürfte nur mit komplizierten Gleichungen gelingen. Es Avird deshalb vorgezogen, auch für diese Belastung nach dem Verfahren des § 14 vorzugehen.

VA.

VA

kannten Gelenkmomente m₂, m₃, mL    Flg-³⁷-

(Fig. 37) aus drei Bedingungsgleichungen (16) unter Benützung der Ta-

Wir berechnen die drei unbe-

bellen 4 und 7 (Seite 49 und 68). Für n = 0,8 Avird in Gelenk 2

EJ-aa =0,8-0,2-^-E J• ß₂ = — (0,1297 • m₂ -f- 0,0401 • m?> -f- 0,01834 •    • a;

nach (4):

0,00667 pa³;

nach (7):

8,6758 ' a‘

nach Tabelle 7: EJ■ y₂=-^~

^2

Dasselbe Avird für die Gelenke 3 und 4 gemacht, und es folgt dann nach Gleichung (16)

Gelenk 2: 0,00667 pa² - 0,1297 m₂ - 0,0401 m?> - 0,01834 m₄ = 0,2720 m2 Gelenk 4: 0,00667pa² — 0,01834m₂ — 0,03393 m?t — 0,1297= 0,2208m4 Gelenk 3: — 0,00667pa² -j- 0,0401 m₂ + 0,1297 m₃ -j- 0,03393 mL ==—0,1190 m₃ - (0,00667 - 0,00019)pa².

Die Größe 0,00019 der letzten Gleichung ist eine Korrektur, der Verdrehung oc = 0,00667 | aus Gleichung (4)] auf der Innenseite von Gelenk 3, herrührend von den Widerständen der Stäbe s. Die Gleichungen haben geordnet die typische Form Aron Elastizitätsgleichungen, was für

Diese Nebenmomente, wie auch diejenigen für n — 0,5 sind in Tabelle 10 (Seite 77) eingetragen.

b) Wechselbelastung II.

Mit dieser Belastung wird die umgekehrte Belastung der Fig. 37 verstanden (Fig. 38).

Die Momente m und m werden nach den §§ 16 und 17 berechnet (Gleichung 72), was eine das Ergebnis kaum beeinflussende Ungenauigkeit ist, da diese Momente auch nur geringen Einfluß auf die Eckzelle haben. Moment m,, könnte angenähert als Summe von (m₂ • (F) und (m₄ • [F') bestimmt werden. Da diese Momente aber angenähert gleich sind und in Gelenk 3 entgegengesetzten Drehsinn haben, werden sie sich fast aufheben. Die Berechnung wird daher für ms = 0 durchgeführt und dann nachgesehen, ob die Drehwinkel der beiden in Gelenk 3 zusammenstoßenden Zellenecken stark voneinander verschieden sind. Je weniger dies der Fall ist um so eher ist m₃ = 0.

Es müssen hier die Winkel y₂ und y₄ und der Momentenverlauf (Fig. 39) berechnet werden, welche in dem zweiseitigen Stabeck unter Angriff zweier Momente m₂ und mx entstehen. Die Ecken seien unverschieblich.

171₇

rT

die Richtigkeit der angewandten Gleichungen der Voruntersuchungen spricht. Sie geben die Lösungen

HÄ

m' .

V_X V

m, //

m\a‘

m",

/.

■22

222222\

Fig. 38.

m., = -j- 0,01620^>«.² (m = 0,8)

?n.ä = — 0,00439jpa2 mx ■= -f- 0,01865pa².

Nach Gleichung (6) werden die durch diese Gelenkmomente hervorgerufenen Nebenmomente (vgl. Fig. 3 b)

mu = — 0,00033 pa2 ₂₁ = — 0,00664 pa²

m₃₂ = — 0,00211jpa²

m₄₃ = — 0,00885 pa².

m₂

i’»

à),

îllfy

Fig. 39.

In der Ecke 1 denken wir uns vorübergehend ein Gelenk angebracht, an dessen Stelle das zu berechnende Moment ml wirke. Die Verdrehungen

0,4168 • m₂ -j- 0,03705 •    = 0,006355 • pa²

Mit (16) folgt, wenn dasselbe auch für Gelenk 4 gemacht wird, Gelenk 2:

Gelenk 4: und daraus

0,03707 • m₂ + 0,3668 • m₄ = 0,006225 -pa¹, m₂ = 0,01387 • pa² (« = 0,8) m₄ = 0,01556 •pa².

Mit (6) und (81) können nun die Nebenmomente an den gewünschten Stellen berechnet werden. Sie sind in Tabelle 10 zusammengestellt.

3 N 0 ist.

auf beiden Seiten des Gelenkes müssen gleich groß sein, was mit (1) die Gleichung gibt:

a>\ »

(2 mx + mg) = — -j (2 ml + m₄)

woraus folgt

m., + nmi

2 (1 + n)

• ■ (81)

Aus (1) folgt dann weiter

T,=

(3-f in) vu — nm^

12(1+«)

Ï4

m, + (4 + 8«) m₄ , 12 (1 +w)    °

• • (82)

In Gelenk 2 wird nun für n = 0,8 nach (4):

nach (7):

EJ• a₂ = — 0,00667 ■ par“, EJ- ß₂ =

a • 0,8

nach (82): EJ y₂

(22,64 • m₂ + 5,92 • 0,01021 - 3,2 • 0,00189) ■= (0,1298 • m₂ + 0,000312) • a ;

6,2 (~-₁^⁾₁~₈°’8łn4 • a=- (0,2870 • w₂ +0,03706 • m₄) • a.

6 • 23,27

Es soll nun noch nachgewiesen werden, daß das Gelenkmoment in Die Verdrehungen der Ecken in 3 berechnen sich aus (7) für EJ=a = 1 und n — 0,8 zu:

ß₃ = 0,006667 -f

0,8

(- 7 • 0,01387 - 3,2 • 0,01021 + 5,92 • 0,00189)

= 0,00599

(- 5,92 • 0,01556 + 7 • 0,00187 - 3,2 • 0,01186)

= 0,00600.

Die Verdrehungen sind also tatsächlich beinahe gleich groß, weshalb auch 7)i., = 0 gesetzt werden darf. Dasselbe gilt für « = 0,5; es wird dafür

ß,v-fc = 0,00004.

ß/ = 0,006667

6 • 23,27

0.8

6 • 23,27

c) Belastung der Eckzelle.

Die Gelenkmomente berechnen sich aus den drei unter a aufgestellten Gleichungen (Seite 73), nur muß in diesen der unterstrichene Wert, der von der Belastung der Innenzellen herrührt, weggelassen werden.

Es ergeben sieb dann für î& = 0,8 die Werte 111% ⁼ -J- 0,01363 m₈ = + 0,02243 m₄ — + 0,01614.

Der Drehsinn dieser Momente ist in Fig. 37 eingetragen. Die daraus entstehenden Nebenmomente sind aus Tabelle 10 ersichtlich, wo auch noch die Momente der vierten Grundbelastung d eingeschrieben sind.

d) Maximal- und Minimalmomente.

Durch Zusammensetzung der Grundbelastungen zu den ungünstigsten werden die Größtmomente erhalten, welche in Tabelle 11 zusammengestellt sind. Die notwendigen Grundbelastungen sind jeweils durch die betreffenden Buchstaben a, &, c, d gekennzeichnet. Die Maximalwerte, die nicht in den Seitenmitten liegen, ergeben sich mit Hilfe von

Um die zur Dimensionierung erforderlichen Maximalmomente der Außenseiten zu erhalten, trägt man sie am besten graphisch auf. In den Reihen „links“ und „rechts“ bzw. „oben“ und „unten“ der Tabelle 11 sind die unterstrichenen Werte die dazu notwendigen Momente an den Seitenenden, welche geradlinig zu verbinden sind. Hierzu kommen die Minimaleckmomente M, Ma und Mb: welche mit den „zugehörigen“ Eckmomenten in den Ecken 1, 2 und 4 durch Parabeln verbunden werden pa²

Gleichung (40).

(Pfeilhöhe

bzw.

p b²

, vgl. auch Fig. 51).

Da nun die Nebenmomente für n= 1,0; 0,8; 0,5 bekannt sind, können zwischenliegende Werte mit genügender Genauigkeit parabolisch interpoliert werden (vgl. § 11). Doch ist dies, wie schon bemerkt, nicht notwendig,

da dieser Paragraph zeigt, daß alle Momente der Eckzelle, mit Ausnahme der Mini-

Ma

Ma

%'■

malmomente an den Knotenpunkten der Außenseiten, kleiner sind als die entsprechenden Momente der Randzellen. Das „entsprechend“ ist so zu verstehen, daß die lange Außenseite und die kurze Innenseite der Eckzelle derjenigen Randzelle entsprechen, deren lange Seite außen liegt, und umgekehrt. In Fig. 41 und 42 sind die für n = 0,8 und 0,5 berechneten Momente der Eckzellen eingetragen. (Erklärung dieser Figuren in § 19.)

Fig. 40.

-Mh

Mit den Minimal-Eckmomenten verhält es sich umgekehrt. Mmin kann der Tabelle 5 verglichen werden, da das unendlich große Zellen-

mit 31,

feld sich nur wenig von dem zweireihigen System unterscheidet (vgl. § 20). Wir sehen dabei, daß die Ecke der Eckzelle etwas stärker beansprucht wird, als die der Randzelle.

b min

Tabelle 10.

Nebenmomente der Eckzelle im unendlich großen Zellensystem. (Ygl. Fig. 40.) (Sämtliche Momente sind mit pa² zu multiplizieren.)

Belastungsfall n = -

»»14

vi₂₁

»»*3

m₃₂

m₃₄

»»43

i~

c3

-0,00033 -0,00664 -0,00193 -0,00789

-0,00963 +0,00211 -0.02002 +0,00467

- 0,00228 - 0,00528

+ 0,00885 + 0,01582

+ 0,00980 + 0,02781

i_! U,

i i b

I V//////\ W'

OO io

o o

+ 0,00040 -0,01387 + 0,00223 -0,02426

+ 0,00887 -0,00188 + 0,01760 -0,00286

+ 0,00224 + 0,00493

-0,00851

-0,01558

+ 0,01556 + 0,03512

-0,00015 -0,00882 -0,00092 -0,01262

-0,00481 -0,01261 -0,01003 -0,03221

+ 0,00982 + 0,01470

+ 0,00441 + 0,00777

+ 0,01173 + 0,03071

0,5

+ 0,00580 + 0,01218 + 0,01175 +0,03100

•pa²

§ 19. Graphische Darstellung der Momente.

(Fig. 41 und 42.)

Wie bei dem einreihigen System, so wurden auch hier die Tabellenwerte (Tabellen 6, 8, 9, 11) als Funktionen von n aufgetragen und durch Kurven verbunden.

In Fig. 41 sind die Mittenmomente Ma der längeren Seite und die Eckmomente M dargestellt, und zwar sind sämtliche Ordinaten mit pa2 multiplizieren (auch Mb).

Betrachten wir einmal die Kurven M Ł und Ml

das Moment Ma von der Mitte gegen den Rand hin stetig abnimmt und zwar nur um ein geringes Maß.    liegt viel näher an

M™ als an Mf, die Zellen zunächst den Randzellen können demnach schon sehr genau als Mittelzellen berechnet werden. Da die ungünstigsten Belastungen für M„max und Mfmin zusammen Vollbelastung geben, welche das

erzeugt, muß die Addition dieser Kurven an jeder Stelle geben, oder die Kurven liegen symmetrisch zu einer Horizontalen im Abstand —von der n-Achse. Bemerkenswert ist, wie schnell das Eckmoment

• R/> min

pa* dargestellt.) Für n — 1 ist Mbmin pb²

zu

max *i

Moment Ma

24

48

ni

a m ax *i

]\fJi und MI;

a max    a max*)

dann

so können wir aus dem Verlauf derselben folgern, daß

bei kleiner werdendem n wächst. (Die Kurve ist als Funktion von

pa2 ~ 12,4

, was sehr gegen die Aus-

-, für n = 0,5 wird sogar M”min — -führung allzu rechteckiger Zellen spricht.

7,9

pb³

2.9

pa~

M' k

■%,    ’ Eckzelle "X

X~

Ml

He »d

Sandzelle

M*

*ua

■Sandzelle

\Kl

J 1 lllide/zeHe

OS 0,8

Qn

0,9

Si

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-0/0-

W ■

“trust.

n=fi= ü,6

Momente der langen Seiten und der Knotenpunkte.

Fig. 41. Größtmomente für eine mittlere, zwei Rancl-uncl eine Eckzelle des unendlich großen Systems.

Os

0,8    0,9

1,0

-44-

pb

+ 0/2

n=i = 0,6

0,7

QJL

s=

+ 0>f2

+ 0,fO

+0/O

\&

+ 0,05

Aim

1 -*■ *6 mnj

ke

+ 0/5 + '/2+

⁺.^<?

bmar >-

#/

#--f—-

!/

* /W

\V

min

-r

Ï7

-0/j £_

1 ^ .

-6- - -"mm

vj/*

Omin

-0/5

-0/8

U.

1-71

0,6

OJ

0/i

0,9

-0/2

Momente der kurzen Seiten.

Fig. 42. Größtmomente für eine mittlere, zwei Rand-und eine Eckzelle des unendlich großen Systems.

GO

b min

-    0,07000

-    0,06250

co co

CO 05

O T-ł

o o o o o o

+ 0,00980 + 0,02731

Tabelle 11.

Maximal- und Minimalmomente der Eckzelle im unendlich großen Zellensystem.

(Vgl. Fig. 40.)

a min

min

a max

M,

b min

b max

M₀

xma

b+c

+ 0,01562 j- 0,01562 +0,05500 -0,05500 -0,07000 -0,07000 — 0,12500 ! + 0,12500 +0,06250 — 0,06250 i — 0,06250 -0,06250

+ 0,00025 + 0,00131

- 0,00286 - 0,00562

+ 0,00885 + 0,01582

- 0,00851 -0,01558

+ 0,01562; -0,12500;

-    0,02269

-    0,03688

-0,01068 - 0,01465

- 0,00228 -0,00523

+ 0,00224 + 0,00493

-0,09269 -0,06020 - 0,09988 ! - 0,03519

(oben)

-    0,07033

-    0,06443

(links)

-    0,06975

—    0,06119

- 0,00286 - 0,00562

- 0,00272 -0,01672

+ 0 00153 + 0,00704

-0,00027

-0,00404

+ 0,00039 + 0,00524

; + 0,02627 j + 0,06296

+ 0,04203 - 0,04165 + 0,271521-0,26428

09810 0-10800 0-

+ 0,04262 + 0,25532

-0,05165 -0,07286 -0,05689 -0,06812

+ 0,05192 + 0,05744

+ 0,03874 -0,03858 + 0,04670 ! — 0,04632

+ 0,03800 + 0,03654

(unten) (rechts) -0,04373 -0,08068 + 0,00046 ' — 0,07715

pa²

pb²

min

Ma

a max

n =—I M.

+ 0,05500 + 0,06250

cc o

o o

+ 0,00040 + 0,00223

-    0,01387

-    0,02426

- 0,00033 -0,00193

-    0,00664

-    0,00789

+0,05149! + 0,05688;

pa²

00 >-0

o o

00 »O    00 lO

o o    o o

00 iC

00

O Ö

Grundbelastungen

Mp-Momente der Einzelzelle nach Gleichung (2) u. (3)

S3PÏÏ

s^qo9.x ueqo

Summe der Nebenmomente (aus Tabelle 10)

U8^nn

Maximalmomente aus M₀- u. Nebenmomenten nach Gleichung (40)

Zugehörige

Momente

In Fig. 42 sind die Mittenmomente Mb der kürzeren Seiten dargestellt. Vor allem sei hier auf den Unterschied der Kurven Mb und M™max hingewiesen, welch erstere das Moment in der Mitte der kurzen Seite der Einzelzelle darstellt, während Kurve M™max den wirklichen Wert dieses Momentes bei einer Mittelzelle zeigt. Während Mamax genau dem Werte Ma der Einzelzelle entspricht, weicht Mhmax, je kleiner das Seitenverhältnis wird, um so mehr von dem Moment der Einzelzelle ab. Die in der Praxis oft verwendete Annäherung der Berechnung der Zellen als für sich allein bestehend (vgl. Handbuch für Eisenbetonbau, Band IY, Teil 2, Silos), führt in diesem Punkt zu einem ganz falschen Ergebnis¹).

Auch hier kann wieder die Abnahme der Momente von der Mitte gegen die Ränder wahrgenommen werden. Moment Mb ist auch hier wieder kaum verschieden von M™. Die Stellen n = k, wo die ungünstigsten Belastungen plötzlich ändern, machen sich in den Kurven durch einen Knick kenntlich. Das steile Ansteigen der Kurven nach diesem Knick zeigt wieder deutlich, wie unrationell Zellen sind, deren Seitenverhältnis kleiner als etwa 0,6 ist. Die Kurven Mbmax und Mbmin liegen

auch hier symmetrisch zu einer Horizontalen in Höhe. Mbmax und

Mbmin sind natürlich symmetrisch zur n-Achse oder, anders ausgedrückt: Die Summe ihrer Ordinaten ist überall gleich Null, d. k. die Vollbelastung verursacht in ~Mb kein Moment. —

Trotz der geringeren Versteifung der Rand- und Eckzellen werden die Größtmomente bei diesen kleiner als bei den Mittelzellen, das Fehlen der Belastungen außerhalb des Systems hat demnach einen größeren Einfluß auf die Größe der Momente.

§ 20. Zusammenfassung und Vergleich der ein-, zwei- und vielreihigen Systeme untereinander.

Die Gleichungen des fünften Abschnittes ermöglichen die direkte Berechnung der Größtmomente in den wichtigsten Punkten des unendlich weit ausgedehnten Zellensystems mit gleichen Zellen und konstantem Trägheitsmoment bei gegebenem Seitenverhältnis. Das System wurde als ebenes betrachtet, d. h. vertikal zur Bildebene auftretende Kräfte infolge verspannender Wirkung des Silounterbaus blieben unberücksichtigt.

Die Untersuchung zeigt die Ungenauigkeit einer Berechnung der Zellen als geschlossene Rahmen, hauptsächlich bei den kürzeren Seiten und den Ecken. (Vgl. Fig. 41 und 42.)

Der Fehler einer solchen Berechnungsweise oder, was dasselbe ist, die Nebenmomente infolge des Zusammenhangs der Zellen wachsen mit

fl Auch der in der Literatur öfters zu findende Wert —gibt für rechteckige Zellen zu kleine Momente.

Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

B*

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Z, PQ

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1»

äs

CO

i-

kmax i

>1

SS

J.

Mamin

-0,05

-0,05

Mmin

oo

s?

lö-

Äs

ÄS

'W

Oe

-'■x

Fig. 43. Vergleich einiger Größtmomente bei unendlich langen ein-, zwei- und vielreihigen Systemen.

kleiner werdendem Seitenverhältnis. Bei quadratischen Zellen sind sie gleich Null, bei solchen ist daher die genannte Berechnungsweise genau.

Die Größtmomente entsprechender Schnittstellen nehmen von der Mitte des Systems gegen die Ränder hin ab. Yon den am Rand liegenden Zellen sind die Eckzellen die am wenigsten beanspruchten. (Vgl. Fig. 41 und 42 und § 19.)

In Fig. 43 sind einige Momentenkurven M = f.(n) für verschiedene Systeme zusammengestellt. Die drei Kurven Mbmax stellen die Maximalmomente der kurzen Seiten von Mittelzellen des unendlich langen ein- und zweireihigen Systems und von einer Randzelle des unendlich großen Zellensystems dar. Man erkennt einen stetigen Übergang der Momente vom einreihigen zum unendlich vielreihigen System, und zwar liegt Kurve 2 sehr nahe an Kurve oo, was den in Abschnitt IV gemachten Vorschlag der Berechnung zweireihiger Systeme mit den Gleichungen für das unendlich große Zellensystem rechtfertigt, um so mehr, da eine solche Berechnung etwas zu große Momente gibt.

Beim Moment Ma der langen Seiten ist der Unterschied der Kurven 2 und oo so gering, daß er in dem Maßstab der Fig. 43 nicht mehr wahrzunehmen ist. (Man vergleiche die Zahlenwerte dieser drei Kurven in den Tabellen 1, 5 und 8.)

Da schon die Momente der zweireihigen Systeme wenig verschieden sind von denjenigen des unendlich großen Zellensystems, um so eher können die Rand- und Eckzellen von drei- und mehrreihigen Systemen mit den Gleichungen des V. Abschnittes berechnet werden. Aber auch für die Mittelzellen dieser Systeme werden die Gleichungen für die Mittelzelle des unendlichen Feldes gute Ergebnisse liefern.

Sechster Abschnitt.

Berechnung der Normalkräfte.

Auch die in den Zellenwänden auftretenden Normalkräfte werden durch den Zusammenhang der Zellen beeinflußt, wenn auch in wesentlich geringerem Maße, als dies bei den Biegungsmomenten der Fall ist. Mit „Nebennormalkraft“ oder kurz „Nebenkraft“ soll wie bei den Momenten der Unterschied der wirklichen Normalkraft gegenüber derjenigen der Einzelzelle bezeichnet werden.

Wie Beispiele zeigen, haben die Normalkräfte auf die Dimensionierung einen wesentlich geringeren Einfluß als die Momente. Es werden deshalb in diesem Abschnitt hauptsächlich diejenigen Normalkräfte berechnet, die bei den, den Größtmomenten entsprechenden ungünstigsten Belastungen entstehen, und nicht die größtmöglichen, da diese mit den zu ihrer Belastung gehörenden Biegungsmomenten aus genanntem Grund wohl selten für die Dimensionierung ausschlaggebend sind.

Den für die Dimensionierung hauptsächlich wichtigen Maximal-momenten der Seitenmitten und Minimalmomenten der Ecken entsprechen immer Normalzugkräfte, während den Minimalmomenten der Mitten der Außenseiten Normaldnick- und -Zugkräfte entsprechen können. Da diese Minimalmomente nur dazu dienen, die innere Bewehrung der Außenwände zu berechnen, und durch sie die zulässige Betonbeanspruchung lange nicht erreicht wird (die Dicke der Wände wird mit dem absolut weit größeren Maximalmoment berechnet), so sind auch die bei der gleichen Belastung auftretenden Normaldruckkräfte in dieser Hinsicht nicht gefährlich, besonders da es nur Nebenkräfte sind, welche die Betonspannung nur um ein geringes Maß erhöhen.

Dasselbe ist von den im Verein mit diesen Minimalmomenten in gewissen Zellenanordnungen auftretenden Neben z u gkräften zu sagen. Es kann deshalb das Aufstellen von Gleichungen für Normalkräfte, die diesen Minimalmomenten entsprechen, unterbleiben.

§ 21. Voruntersuchungen.

Für die im zweiten Abschnitt behandelten Aufgaben sollen die Normalkräfte berechnet werden. Da der jeweilige Momentenverlauf bekannt ist, ist die statische Unbestimmtheit gehoben, weshalb die Normalkräfte sich aus Gleichgewichtsbedingungen ergeben müssen.

pb

Bei der mit gleichmäßig verteiltem Innendruck p belasteten Einzelzelle werden die Normalkräfte (Zug = positiv)

■ ■ (83) .    . (84)

pu

in den Seiten a : JV0 in den Seiten b: JV₀

Für die Belastung der Einzelzelle, wie sie in Fig. 4 dargestellt ist, berechnen sich die Normalkräfte folgendermaßen:

Die Zelle wird in S₁₂ (Fig. 4) aufgeschnitten und die Summe der Momente um Ecke 4 aufgestellt. In Schnitt S₁₂ wirken das Moment m₁₂, die Normalkraft AT₁₂ und eine Querkraft, deren Hebelarm in bezug auf Ecke 4 gleich Null ist. Es wird

w4i = + m> + mls -f N₁₂ ■ b.

Die entsprechenden Gleichungen für die übrigen Ecken lauten :

)U12 ⁼ ~ m" 4" m23 4" -^23 ’ a ,U2S — 4“    4- W34 4" -^34 ■ b

— ~ m' 4- ^-414-    • ».

Nach Einsetzen der Momente aus den Gleichungen (8) folgen die Normalkräfte

in den Seiten a : W₁₂ = in den Seiten b: JSf₂₃ — — N4l

311 im" — rn')

.    . (85)

a( 1 + 3 n)

Auf dieselbe Weise werden die Normalkräfte für den in Fig. 5 dargestellten Belastungsfall

3 (m" — in')

in den Seiten a : iV₁₂ = — W₃₄ = -

in den Seiten b: N2n —    W₄₁ = 0

Sind alle vier Momente einander gleich und haben den in Fig. 5 eingezeichneten Drehsinn,, so werden alle Normalkräfte gleich Null.

Für den dreiseitigen Stabzug (Fig. 0) folgt mit Aufschneiden in der Mitte der kurzen Seite b und Aufstellen der Momentengleichung um Ecke 1 :

b (3 + n)

. . (86)

Mit    und mb aus (14) wird

3 (1 + ii + ii\j.) m

a (2 + 3 n)

(87)

Na wird aus Symmetriegründen Null.

Der Horizontalschub, der an den Gelenken in der Richtung 1—4 infolge der in Fig. 6 eingezeichneten Belastung ausgeübt wird, ist nach der Gleichgewichtsbedingung

H=-Nh =

a (2 + 3 n)

. . (88)

Dieser Schub verursacht in einer in 1 und 4 etwa anschließenden Zellenseite eine Normalzugkraft, die neben den Nebenkräften infolge der Gelenkmomente zu berücksichtigen ist. (Vgl. folgendes Beispiel.)

Aus den abgeleiteten Gleichungen kann gefolgert werden, daß die Nebenkräfte aller derjenigen Seiten gleich Null werden, die parallel zu einer Symmetrieachse der AngrifFsmomente liegen. Da nun in einem beliebigen Zellensystem, in welchem die Belastung symmetrisch zu einer

Mittenachse (—Achse durch die Mitte einer Zelle) angeordnet ist, auch alle Gelenkmomente zu dieser Achse symmetrisch liegen, folgt das Gesetz :

Bei einem zu einer Mittenachse symmetrischen und symmetrisch belasteten System von rechteckigen Zellen sind die Normalkräfte in denjenigen Seiten, die parallel und zunächst dieser Achse liegen gleich den Normalkräften der betreffenden Einzelzelle oder die Nebenkräfte solcher Seiten sind gleich Null.

§ 22. Das einreihige Zellensystem.

Sind die an Stelle der Gelenke wirkenden Momente bekannt, so lassen sich die Normalkräfte aller Stäbe mit den Gleichungen des § 21 leicht berechnen. Es soll dies an den im dritten Abschnitt behandelten drei Beispielen gezeigt werden.

Für das in § 6 behandelte Beispiel (Fig. 8) wird nach (84) und (85) die Normalkraft in der Querseite A

Sn m

a (1 + Sn) ’

-\r _ V &

^ ’ 1    2

m aus (17) eingesetzt gibt

• pa.

n² (1 — n²) (2 + 3n)

4 (1 + 2n) (1 + ßn + (in²)

Die Normalkraft in der mittleren Querseite wird mit (85) und (88)

3 (1 + n) in _pa . n (1 — n²)

~~~2~ r 4(1 + 2n)

jy = — 4-

Sn m

a (1 + 3«)

a (2 + 3 n)

• pa

und diejenige in der dritten Querseite nach Gleichung (87) ((J. = 0) 3 (1 + n) m

n (1 + «) (1 — n²) (1 + 3«)

a (2 + 3 n)

4 (1 + 2«) (1 + 6« + 6«²)

• pa.

Für n = 0,8 wird A+= (0,500 — 0,010)^;« =-f-0,490^;«

Ar₂ = (0,500 + 0,028) pa = + 0,528 pa

— 0,018^a.

Die Summe dieser drei Normalkräfte muß natürlich gleich der Belastung der Längswand sein, d. h. gleich pa, was als Probe gelten kann.

Für das Beispiel des § 8 (Fig. 10) wird z. B. die Normalkraft der Querseite 5 nach (84) und (85)

3 n mA

a (1 + 3») ’

was mit m₄ = 0,02328 pb* (Seite 16) gibt

N, = (0,500 - 0,011)pa = + 0,489+;«.

Wie der Vergleich der Werte Kl und AT- dieser beiden Beispiele zeigt, werden auch die Normalkräfte nur wenig von entfernt liegenden Zellen beeinflußt.

Bevor das dritte Beispiel behandelt wird, sollen die Gleichungen der Normalkräfte für die unendlich lange Reihe aufgestellt werden. Es kann dabei an Hand der Voruntersuchungen allgemein gesagt werden, daß die

Normalkräfte der Längsseiten immer gleich denjenigen der Einzelzelle sind, d. h. entweder gleich (resp. beim Fall der Fig. 15), wenn

die Seite einer belasteten Zelle angehört, oder gleich Null, wenn die betreffende Zelle nicht belastet ist.

a) Mittelzelle, kurze Seite = Querseite.

groß sind,

Für die Wechselbelastung ist, da die vier Gelenkmomente gleich

N'

pb

pa

W

Für die Belastung nur einer Zelle wird mit (88)

Pa i 3(1 + n + nn)m'

— 2    ' a (2 + ?,n) - ¹

wo ja aus (25), m aus (29) zu berechnen ist.

Bei der ungünstigsten Belastung für Mamax wird demnach

pb

n«=n: =

für Mbmax (vgl. Gleichung 30 und Fig. 12)

ifs=jv;-ivs"+Ą"= pa

Es wird also auch bei der Belastung nach Fig. 12 die Normalkraft in der zu untersuchenden Querseite gleich derjenigen der Einzelzelle, was auch daraus folgt, daß es für unsere Normalkraft gleichgültig ist, ob Zelle z oder z' belastet ist.

Die zu Mamin (Fig. 13) gehörende Normalkraft wird, da die Seite in der Längswand liegt,

pb

Na =

Für M

b min

ist die Wechselbelastung maßgebend, also

Nb =

pa

Die größte in der Querseite überhaupt mögliche Zugkraft tritt bei der Belastung nach Fig. 13 auf, entsprechend der Belastung für den größten Stützendruck beim kontinuierlichen Träger. Infolge Belastung der Zelle 2 wird mit (88)

PJL i ■ 2 ‘ '

3 (1 + 11 + 11 fj.) m

a (2 + 3Ti)

infolge Belastung 3 nach (88) und (87) :

3 (14-7i +nii) m'

N=

3 (1 + 71 + n^) 771'

a(2 + 3n)

a (2 + 3w)

.[T.

Infolge aller Belastungen der Fig. 13 wird demnach

)]

A« = 2[-^- +

3 (1 + n + Tiii) 77i' a (2 + 3 7i)

b) Mittelzelle, lange Seite = Querseite.

.    JJ ff

Auch hier ist für die kurze Seite immer Nh = —^~, wenn die betreffende Zelle belastet ist, im andern Fall ist Nb — 0.

pb

Die Normalkräfte, die den Momenten Mamax und Mamin (Fig. 15) entsprechen, sind N„

Die in der Querseite überhaupt mögliche größte Zugkraft berechnet sich wie unter a als Summe einer unendlichen, geometrischen Reihe.

Es wird

I 6 (1 + w + fi) m'

Hl CM

—    ö (3 + 2n) (1 — fi) ’

wo (JL und ni aus Seite 25 folgen. Für w = 0,8 wird:

= 1,0785 ■ pb.

c) Endzeile, kurze Seite = Quer seite.

Zur Berechnung der Maximalmomente waren die Momente von vier Grundbelastungen notwendig. In der folgenden Tabelle 12 sind die Normalkräfte der beiden äußersten Querseiten für diese vier Grundbelastungen zusammengestellt. Die Berechnung dieser Werte erfolgte nach den Gleichungen (85), (87), (88) mit den Momenten werten des §11. Es werden wieder wie bei den Momenten die speziellen Seitenverhältnisse n = 0,8 und 0,6 durchgerechnet, worauf dann die Aufstellung von empirischen Gleichungen erfolgen kann. Wie schon bemerkt, ist es nur notwendig, die Querseiten zu behandeln, da die Normalkräfte der Längsseiten gleich denjenigen der Einzelzelle sind.

max

und mit der Summengleichung für die unendliche, geometrische Reihe:

6 (1 +n + n\j.) m'

Nntas — pa-\-

wo (r und m' aus (25) und (29) zu berechnen sind. Es wird z. B. für = 1,0444^«.

a (2 + 3 «) (1 — fi)

(89)

n — 0,8: N,

nctx

Es wird mit Tabelle 12 die, der ungünstigsten Belastung für Mb (Fig. 18) entsprechende Normalkraft der äußersten Querseite

(0,3829 + 0,0955«+ 0,0216w²).p« .... (90) Die dem Moment Mbmax entsprechende Normalkraft der zweiten Querseite wird

Die zu M} genommen auch Mbmin<^ M nicht in Betracht.

Die dem Moment M.

b min

Nb — (0,5914 — 0,2539« + 0,1625n²)^a .... (91) gehörige Normalkraft ist kleiner als Nb, und da absolut kommt sie bei der Querschnittsbestimmung

b maxi

min

Querseite wird

entsprechende Normalkraft der äußersten

Nb = (0,5070 - 0,0615«-f0,0545«²)pa .... (92)

Die Gleichungen (90) und (91) gelten alle nur für n )> 1c (/.; = 0,714 für Gleichung (90) resp. 0,6605 für Gleichung (91)). Der Fall n<^ b ist selten, doch können auch dafür die Normalkräfte einfach bestimmt werden, indem man die hierzu gehörigen Grundbelastungswerte in Tabelle 12 addiert. (Vgl. Belastungsschema in Fig. 18.)

Tabelle 12.

Normalkräfte der Endzeile eines einreihigen, unendlich langen Systems. (Kurze Seite = Querseite.) (Vgl. Fig. 18, Seite 31.)

Grundbelastungen

Nb

Nb

a) Endzeile belastet

0,8

b) Zweite Zelle belastet

0,6

0,8

0,6

c) Wechselbelastung I

0,8

0,6

d) Wechselbelastung II

0,8

0,6

+ 0,48948 + 0,48483 -0,01572

-    0,03514 + 0,49269 + 0,48974

-    0,01637

-    0,03688

+ 0,53042 + 0,54703 + 0,51540 + 0,53445 + 0,50731 + 0,51026 + 0,51888 + 0,54184

Größtmomente

Zugehörige Normalkräfte

Mb

max •

0,8

0,6

+ 0,47311 + 0,44795

Mb min • Cl + d — b

0,8

Mbmax: c + b-a

0,6

0,8

Mmin - C

0,6

+ 0,48883 + 0,48309 + 0,49229 + 0,49758

0,8

(Vgl. Belastungsschemain Fig. 18.)

o,6 ;

+ 0,49269 + 0.48974 ■ pa

■pa

d) Beispiel des § 13.

Für das in § 13 behandelte Beispiel werden nun mit Hilfe der Gleichungen (85), (87) und (88) die Normalkräfte berechnet. (Vgl. Fig. 21.)

1. Zelle 3 belastet.

Die Gelenkmomente m₂ . . . und die p.-Werte werden aus § 13

entnommen.

Nach (87) mit p. = 0:

• 0,2862 = -j- 0,080 t.

3    • ⁵h

4    • 4,5

Nach (87) und (88):

3 (⁵/3 + ~/3 • a/n)

4 • 4,5

• 1,5739 - 0,080 = - 0,469 - 0,080 = - 0,549t.

Nach (84), (85) und (88):

=    + 0 + 0,469 = 4- 9,469t.

nl=itv jst₅=n₀.

In Tabelle 13 sind diese Werte und diejenigen für die Belastungen der übrigen Zellen zusammengestellt und entsprechend Tabelle 3 (Seite 43) die zu den Größtmomenten gehörigen Normalkräfte berechnet worden.

Tabelle 13 a.

Zusammenstellung der Normalkräfte für das Beispiel in § 13.

(Sämtliche Normalkräfte in ton.)

Belastete

Zelle

]l

No

JV,

N₂

+ 8,742

-    0,422 + 0,080

-    0,015 + 0,003

+ 9,777 + 9,413

-    0,549 + 0,103

-    0,021

-0,617 + 9,415 + 9,469 -0,494 + 0,116

Vollbelastung

+ 8,388    +18,723    +17,889

Ly =45,0001.

Tabelle 13 b.

Momente

I! M₀"

M»¹

M.₂m

M₀⁰

Belastete Zellen für M, Normalkraft

nax

2 + 4    2 + 8 + 5

-0,447 +8,848

3+4

+ 8,975

-0,447

1 + 3 + 5 + 9,207

+ 8,921

Belastete Zellen für Mmin    1+3 + 5    1+4

„ j +8,825    +9,880

Normalkraft

1 + 2 + 5 1 + 3 + 5 + 8,914 ! +8,825

+ 9,516

1 + 3 + 5 +8,968

Für Vollbelastung muß sein:

}ljY= 5 ■ pa — 5 • 4 • 4,5 = 90 t.

0

§ 23. Bas unendlich große Zellensystem,

a) Mittelzelle.

Aus dem auf Seite 86 genannten Satz folgt, daß alle für uns in Betracht kommenden Normalkräfte der Mittelzelle gleich denjenigen der Einzelzelle sind. Für die Normalkräfte, die Mamax entsprechen, ist dies ohne weiteres klar, da die dieses Moment erzeugende Wechselbelastung symmetrisch ist zu einer Mittenachse, die parallel zu a liegt (Mittenachse = Achse durch die Mitte einer Zelle). Aber auch für die zu Mbmax, Mamin und Mbmin gehörenden Normalkräfte ist dies der Fall, wenn beachtet wird, daß die Normalkraft einer Zellenseite gleich groß ist, ob die Belastung auf der einen oder anderen Seite derselben sich befindet. Wenn man z. B. in Fig. 32 die Belastung der Zelle 1 nach 2 verlegt, so wird an der Normalkraft der uns interessierenden Seite s nichts geändert, wohl aber wird die Belastung dann symmetrisch zu einer zur Seite s parallelen Mittenachse. Dasselbe gilt auch für die für Mt die Belastung z nach z' verlegt werden kann, ohne die Normalkraft in der Seite s zu ändern.

maßgebende Belastung (Fig. 33), wo

a min

Trotzdem sie für die Dimensionierung nicht in Betracht kommen, ist es doch von Interesse, die größtmöglichen Zug- und Druckkräfte in den Seiten einer Mittelzelle zu kennen.

In der kurzen Seite s (Fig. 31) entsteht die größte Zugkraft bei einer Belastung, deren eine Hälfte in der Figur eingezeichnet ist, und deren andere Hälfte symmetrisch zu dieser in bezug auf s liegt. Die eingezeichnete Belastung gibt demnach die Hälfte von Nbmax.

Es ist nach (65)

,_(1 — w²)(l + 3w) pa²

m - ' l + »(2-|4    • “24 •

worin

{j. = -i- [1 + 2h — I (I + n) (1 -1- än) J

und demnach mit (84) und (85) — Pa

3n (in' + \im') _pa

n (1 + M-) (1 — n‘J) Pa

bmctx

oder

z. B. für n = 0,8:

K,

bmax

pa\} “!

a (1 + 3n) n(\ +fx)(l — ri’)

4 [1 + 11 (2 — ja)]

(93)

^bm«x =pa (1 -f- 0,0337) = 1,0337 pa.

Man erkennt hier wieder, wie gering der Einfluß des Zusammenhangs der Zellen (zweiter Ausdruck in der Klammer) auf die Normalkraft ist.

Mit der entgegengesetzten Belastung wird die größte Druckkraft mit (65) und (85)

_ _ MÜ + lO (1 — 1l²)

~    4 [1 + n (2 — ;x) |

6».;» = — 0,0337 pa.

b in i n

■ pa.

Für n — 0,8 wird Für Yollbelastung folgt daher

N:

A b ^bmax^T Nb min V ⁽U

was nicht anders zu erwarten war.

Ganz ähnlich wird ({jl aus Gl. 71)

pb [l 4

N.

a max

(1 + H-) (1 -n²)

und für w = 0,8:

4 (2 + n — a) n-

. • (W)

Namax = pb (1 + 0,0637) = 1,0637 pb.

b) Randzelle, lange Seite = Querseite.

Die kurzen Seiten der Randzelle verhalten sich wie die der Mittelzelle, d. h. die dem Größtmoment Mb entsprechende ungünstigste Belastung erzeugt in der kurzen Seite die Normalkraft

A4

pa

Anders verhält es sich bei den langen Seiten. Es wird die Normalkraft in der langen Außenseite, die dem Moment chung (86)

a max

entspricht, nach Glei-

p b 3 (— fr — 1) m b (3 + n)

Mit |J. und m aus Gleichung (71) und (72) folgt

(1 — n) (\/(l + n) (3 + n) — 1 — n) 4 n (n + [/ (1 + n) (8 + n) )

.    . (95)

Für n = 0,8 wird: Na= pb (0,5000 - 0,0148) = 0,4852^5.

und M.

der langen

Den beiden gleich großen Momenten M₍

Innenseite entsprechen zwei verschiedene Normalkräfte, von welchen die-

a max

a min

a min

jenige aus der Belastung für Mt Es wird

die größere, also maßgebend ist.

(t - n) (t/(l + n) (3 + n) — 1 - n ) 4 n (n + \/(l + n) (8 + n) ) Für n = 0,8: Ntt =pb (0,5000 + 0,0148) = 0,5148 pb.

Na =

•    • (96)

c) Randzelle, kurze Seite = Außenseite.

Hier sind bei den langen Seiten die Nebenkräfte gleich Null, also

pb

Die Normalkraft der kurzen Außenseite s ist für die Belastung der Fig. 36 (Seite 71) zu bestimmen, bei welcher Af*

Von dieser Belastung erzeugt nur die Belastung von Zelle 1 in s eine Normalkraft, während die übrigbleibende Wechselbelastung Seite s nicht beeinflußt. Für die alleinige Belastung dieser Zelle wird nach (85)

3 n (m' — m") a(l+3w) ’

avo m' und m" die Gelenkmomente an der belasteten Zelle bedeuten. Diese wurden in § 17 für n = 0,8 und 0,6 berechnet, womit sich folgende Gleichung ergibt:

bmax

entsteht (für n i> h = 0,601).

pa

Nb = (0,5016 - 0,0249 « + 0,0233n²)pa .... (97) Für n = 0,8 wird Nh = 0,4957pa.

Für die kurze Innenseite kann aus der für M

ungünstigsten Belastung durch Verschiebung einer Zellenbelastung wie bei der Mittelzelle die Wechselbelastung hergestellt werden, was an der Größe der Normalkraft nichts ändert. Ähnlich wie unter b wird dann dafür

b max

(1-tt) (i/(1+»)(1 + 3m)-1-«)

4 (l + 1/(l + »)(l + 3w))

Für n = 0,8: Ą = (0^5000 - 0,0096)^« = 0,4904pa.

entspricht eine kleinere Normalkraft, welche deshalb nicht maßgebend ist. Gleichung (98) gilt auch nur für n i> Je = 0,56.

^=[i

pa

. (98)

Dem Moment Mb

min

d) Eck zelle.

Hierfür wurde in § 18 gezeigt, daß die Maximalmomente alle um weniges kleiner sind als die entsprechenden Momente der Randzellen, weshalb sich eine besondere Berechnung derselben erübrigt, indem man die Eckzelle einfach mit den Maximalmomenten dimensioniert, die sich bei den Randzellen ergeben. Mit den Normalkräften verhält es sich umgekehrt, d. h. diese werden etwas größer als die entsprechenden der Randzellen, was aber keine Bedeutung hat, da die in § 23 berechneten Spezialwerte für n — 0,8 gezeigt haben, wie gering die Nebenkräfte im Verhältnis zu den konstanten Normalkräften der Einzelzelle sind. Die genannten Umstände wirken einander entgegen, weshalb die Dimensionierung der Eckzellen um so eher mit den Maximalmomenten und Normalkräften der Randzellen geschehen kann.

Im Verein mit den, bei den Außenseiten der Eckzellen besonders zu berechnenden Minimalmomenten sind die Normalkräfte ungefährlich.

§ 24. Einfluß der Deformation infolge der Normalkräfte auf die

Berechnung.

Die vorliegende Berechnung der Momente und Normalkräfte erfolgte unter Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte auf die Deformationen.

Es gibt Fälle von statisch unbestimmten Systemen, bei denen bei Berücksichtigung dieses Einflusses die Kräfteverteilung wesentlich geändert wird. Als solche sind zu nennen: eingespannte oder Zweigelenkbogen mit geringem Pfeilverhältnis, niedere Rahmenkonstruktionen, also solche „gedrückte“ Konstruktionen, die im Verhältnis zu den Biegungsmomenten große Normalkräfte aufzunehmen haben. Bei gleichmäßiger proportionierten Tragwerken ist der genannte Einfluß so gering, daß er in der Praxis meistens vernachlässigt wird.

Auch bei gedrückten Zellenformen, die erheblich vom Quadrat abweichen, werden die Normalkräfte ihren Einfluß mehr geltend machen als bei annähernd quadratischen Zellen. Doch werden stark rechteckige Zellenformen gerne vermieden,^ da sie wegen der großen Biegungsmomente unwirtschaftlich sind.

Mit dem folgenden Beispiel soll gezeigt werden, welch geringen Einfluß die Deformationen durch Normalkräfte auf die Biegungsmomente bei Zellen haben, deren Seitenverhältnis nicht stark von 1 abweicht, und daß deshalb solche, in der Praxis hauptsächlich vorkommenden Zellenformen genügend genau mit den abgeleiteten Gleichungen berechnet werden können.

In Fig. 44a ist eine zweizeilige Anordnung dargestellt, deren eine Zelle mit dem gleichmäßigen Innendruck p = 2,5 t/qm belastet ist. Das

4,0

= 0,8. Der Querschnitt wird im

5-,0

Seitenverhältnis beträgt n —

Fig. 44 b.

Verhältnis zu den Momenten stärker gewählt, als notwendig, da dann bekanntlich der zu untersuchende Einfluß besser zur Geltung kommt, denn

der Einfluß ist proportional dem Verhältnis stärken d = 30 cm.

d²

— -jÿ-. Es seien alle Wand-

Es ist dann für einen Streifen von 1 m Höhe

der Querschnitt

F = 0,3 qm, 0,3³- 1,0

das Trägheitsmoment J

Der Elastizitätsmodul wird durchweg = 1 gesetzt. Die Berechnung wird zuerst unter Berücksichtigung der Normalkräfte durchgeführt.

₁₂    = 0,00225 m⁴.

AL

yji

1.0

\\<*

Haupt -System

a>

o'G

'//////.

!f*

Fig. 44 a.

Das vierfach statisch unbestimmte System wird so aufgeschnitten, daß das in Fig. 44 b dargestellte Hauptsystem entsteht. Als unbekannte Schnittkräfte wirken das Moment M und die Querkraft Q. Das Hauptsystem ist in sich zweifach statisch unbestimmt, die statisch unbestimmten Größen seien m und n (Fig. 45). Durch Wahl dieses Hauptsystems gegenüber einem statisch bestimmten wird der Weg über vier Gleichungen mit vier Unbekannten umgangen.

a) Wirkungen der Belastung p.

Die Verlängerung der Zelle 1 in der Dichtung Q infolge p ist

* _N■ a_

“    — F- E ~

2,5 ■ 2,0 ■ 5,0

0,3 • 1

= 83,333 in.

Die Verdrehung der Ecke in der Dichtung 31 infolge p wird nach (4), welche Gleichung sich infolge Berücksichtigung der Normalkräfte nicht ändert:

OLp = — n{ 1 — n)

pa³

= - 0,8 (1 - 0,8)

2.5 ■ 5,0³

= - 925,9259.

‘24 • EJ

b) Wirkungen von Q— 1 an Zelle 1.

Der geschlossene Dahmen (Fig. 45) wird in der Mitte der langen Seite aufgeschnitten, an welcher Schnittstelle die statischen Unbekannten m und n wirken mögen. Die Querkraft an dieser Stelle ist wegen der Symmetrie gleich Null. Die Verschiebungen und Verdrehungen an der Schnittstelle infolge der drei Kraftwirkungen von der Größe 1 berechnen sich als Summen und statische Momente der Momentenflächen wie folgt:

24 • 1 • 0.00225

S,„„= + 2(5,0 + 4,0)-J7 8 =8

18

EJ

mn

. 'i

86

+ 2 (2,5- 4,0+ i- 4,0*+ + 2 (2,5 - 4,0* J--|-4,0²-|-4,0) -J-

»m

122.667

EJ

10

EF

*„«=0

1-5,0

EF •

Aus der Bedingung, daß die Summe der Drehungen und Verschiebungen an der Schnittstelle gleich Null ist, folgen die Elastizitätsgleichungen

18

~=rF ~j~

JtL/J

36

EJ

Q:1

86

122,667 .    10

EF

\    5,0 A

I n —^=r = 0

EF

18 m -f- 36 n = 0 36 m + (122,667 + 10-) «

- ₁₂ =.0,0075 folgt

#» = — 0,001 478 075 » = + 0,000 739 038.

Es wird nun die Verdrehung bei Q infolge Q— 1, wenn #»' das

über die ganze, lange Innenseite der Zelle 1 (Fig. 45) konstante Biegungsmoment bedeutet mit

oder

bF•

m J⁷¹

.nLJ¹-

)r+

Mi*    »-S*

12

GL--1

Fig. 45.

#»' = m + n ■ 4,0 = + 0,001 478 075 ni- 2,5

ni' a/₂

1,642 306.

2a?1

Die Verkürzung ôçi dieser Seite infolge Q = 1 wird mit »' = 1 —» = 0,999 260 962

EJ

1 • 0,00225

n' • a_ n' ■ 5,0

EF 1 • 0,3

16,654 349 ni.

c) Wirkungen von 31= 1 an Zelle 1.

Die Untersuchung dieser Wirkung geschieht auf dieselbe Weise wie diejenige yon Q, weshalb hier nur die Ergebnisse folgen mögen. Es wird (Fig. 45)

#» = +0,116 3756 » = — 0,197 0767

ni = m + 4,0 » + 1 = + 0,328 0688 »' = + 0,197 0767 rri ■ a

ni • 5,0

= + 729,042

EJ    1 • 0,00225

n' • a_ ti • 5,0

EF    1 - 0,3“

Nach Maxwell muß sein = aQl, was auch zutrifft.

= +3,284 612 m.

d) Wirkungen von 31 = 1 an Zelle 2.

Diese Wirkungen, die an dem statisch bestimmten Dreiseit 2 (Fig. 44 b) entstehen, können aus der infolge 31=1 entstehenden Momentenfläche berechnet werden. Es wird

aüf2

2 b -f- d_2 • 4,0 T" 5,0

EJ

1 • 0.00225

+ 5777,778

16 000m.

2 b • h/2 + a ■ b

f3j

4,0² + 5,0 • 4,0

1 • 0.00225

e) Wirkungen von Q = 1 an Zelle 2.

4,0² + 4,0 • 5,0

2 • .b + b • a

EJ

1 • 0.00225

16000

b² ■ 2b/s + b • n • b . a

EJ

EF

54 518,519 m.

Nach Maxwell muß wieder o

m = aQ2 sein.

Damit sind alle notwendigen Koeffizienten zur Aufstellung der Elastizitätsgleichungen berechnet.

Diese lauten

oder

4 ~h (àçi + ^<?a) Q “I“ (ö.vi + 'bvj AT— 0 ai> 4" (a§i 4- a$s) Q 4- («An 4- aJß) 31= o

- 83,333 4- (16,654 4- 54 518,519) Q -f (3,2846 - 16000) 31= 0 - 925,9259 4- (3,2846 - 16 000) Q 4- (729,042 + 5777,778) M = 0 woraus die statischen Unbekannten folgen

Q = 0,304 8415 ton M= 1,034 0404 mt.

Mit diesen Werten können nun alle Momente und Normalkräfte berechnet werden. Die Momente der Einzelzelle [Gleichungen (2) und (3)] ändern sich nicht bei Berücksichtigung der Deformation durch Normalkräfte, die Gleichungen (2) und (3) geben also genaue Werte, zu denen die Einflüsse von 31 und Q zu addieren sind.

Bei Vernachlässigung der Deformation durch Normalkräfte berechnet sich 31 wie im Beispiel des § 6 zu

M = + 1,023195 mt.

Der genaue Wert ist um rund l°/o größer, doch ist zu beachten, daß 31 nur ein Nebenmoment ist. Die Unterschiede der Momente in der belasteten Zelle sind wesentlich geringer, wie aus der folgenden Zusammenstellung ersehen werden kann. Der Unterschied der Werte 31 ist übrigens mit Rücksicht auf die Größe der Zelle auch nur sehr gering, nämlich

p b²

OO —-

3700 '

(Fig. 44 a)

Mi

Mo

N,

mt

mt

mt

mt

ton

genau . . . angenähert

1,034040

1,023195

3,317614

3,317828

-    4,494886

-    4,494672

3,097813 j 4,49160 3,102418 I 4,49777

Unterschied

1%

0,006°/o    0,005°/o

0,15°/«

0,14e/o

Der Einfluß des Zusammenhangs der Zellen auf die Größe der Normal-; kräfte ist, wie dieser Abschnitt zeigt, nicht bedeutend. Die Nebenkräfte, d. h. die Unterschiede der genauen Werte gegenüber denjenigen der belasteten Einzelzelle, sind gering und nehmen ab, je mehr sich die Zellenform der quadratischen nähert, für welche sie (wie die Nebenmomente) verschwinden.

Da nun auch die Normalkräfte für die Dimensionierung erst in zweiter Linie in Frage kommen, genügt es in den meisten Fällen, sie für die belastete Einzelzelle, d. h. nach den Gleichungen (83) und (84) zu berechnen.

t'.

Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

Siebter Abschnitt.

Veränderliches Trägheitsmoment.

Obschon die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes auf die Verteilung der Momente keinen großen Einfluß hat und ungefähr geschätzt werden kann, indem der Momentenverlauf sich so ändert, daß die Inanspruchnahme von Konstruktionsteilen mit größerem Trägheitsmoment sich vergrößert, während schwächere Stellen entlastet werden, so muß bei einer Berechnung, die möglichst genaue Resultate geben soll, der Unterschied verschiedener Wandstärken doch berücksichtigt werden.

In diesem Abschnitt wird gezeigt, in welcher Weise die bisher abgeleiteten Gleichungen dafür zu ändern sind. Zuerst wird der Fall behandelt, bei welchem die Wandstärken der langen Seiten verschieden sind von denjenigen der kurzen, wobei aber die Stärke einer Seite über ihre ganze Länge als gleichbleibend angenommen wird.

§ 25. Trägheitsmoment konstant über eine Seite.

a) Gleichungen der Voruntersuchungen.

Die Ableitungen dieser Gleichungen sind dieselben wie im zweiten Abschnitt, es mögen deshalb nur die Resultate folgen. Es werde mit Ja das Trägheitsmoment der langen Seite a bezeichnet, mit Jb dasjenige der kurzen Seite &, ferner sei zur Abkürzung

b -Ja

a- Jb'

— und n'

Dann wird für die mit konstantem Innendruck p belastete Einzelzelle (Fig. 2)

(2'>

_    1 + n² • ri p a~

¹ —    1 + ri 12

1 + Sri — 2ri² • ri pa²

1 + ri

24

ri- ■ ri + Sn² — 2 pb1 24

.    .    (30

Mh =

».    1 — n² p a³

1 a ~ ¹¹ ' 1 + n'    ........

Für n' — n nehmen natürlich alle Gleichungen die frühere Form an. In den Gleichungen (6) bis (15), aus welchen die Momente und Verdrehungen der mit äußeren Momenten belasteten Einzelzelle zu berechnen, sind, ist einfach zu setzen n =■ ri,

J = r/a, wenn in der Gleichung der Faktor a vorkommt,

J = Jh, wenn in der Gleichung der Faktor b vorkommt.

1 + ri

(4'>

b) Einreihiges Zellensystem.

In den wichtigen Gleichungen für die Werte Y und [Gleichungen (19) bis (21), (24), (25)] sind ebenfalls die eben erwähnten Änderungen vorzunehmen, da ja diese Gleichungen aus denjenigen für den dreiseitigen Rahmen abgeleitet wurden.

In dem Beispiel des § 6 sind in Gleichung (17) für m außer dem Klammerausdruck (1 — n²) alle Werte n durch ri zu ersetzen.

Die Gleichungen für die unendlich lange Reihe, vor allem die empirisch gebildeten, lassen sich für veränderliches Trägheitsmoment nicht mehr anwenden, auch nicht bei Ersetzung von n durch ri. Diese Formeln «ollen auch nur für erste Dimensionierungen (z. B. für Kalkulationszwecke) angenäherte Momente liefern. Die genaue Berechnung einreihiger Systeme kann ja mit den entsprechend abgeänderten Gleichungen nach der Methode des § 7 ebenso rasch wie mit konstantem Trägheitsmoment durchgeführt werden.

c) Das unendlich große Zellensystem. Schreibt man die Gleichungen (49) und (51) in der Form

tl

(49')

6 (Z — Ï)

EJ

6 + 8£' EJ'

EJ

£ l

6 + 3-ft-

EJ

■ri

• • (510

l'-J

n' =

so erkennt man, wenn man in Gleichung (510 den Wert aus Gleichung (490 einsetzt, daß -jr direkt von ri abhängt, welcher Wert bei

l'    ^    £ i

konstantem J zu n = ~j wird. Da auch umgekehrt direkt von ri

abhängig ist, so kann daraus gefolgert werden, daß die Werte i und £ auch für veränderliches J aus Tabelle 4 (Seite 49) entnommen werden können, wenn gesetzt wird

worin

l-

EJ

Bl

n — n' =

bJa

aJb

ia

Der Wert für das Seitenverhältnis n ist gleich dem Wert für —, weshalb Tabelle 4 auch für n i> 1 benützt werden kann, welcher

n    7

Fall mit Ja i> Jh nun auch möglich ist. Z. B. ist für ri — 2 : —= 0,26295 (= für n = ~^r = 0,5; vgl. Tabelle 4). Dasselbe gilt für das Elastizitätsmaß £.

Für die Mittelzelle wurde auf Seite 62 gezeigt, welch gute Annäherung Gleichung (60) zur Bestimmung des Gelenkmomentes m liefert. Diese Gleichung lautet für veränderliches J (Fig. 28):

pa~

* ~\ rri'

(1 - ri)

2 (1 + ri) Jb

(600

wo ea und sb unter Vornahme der oben genannten Änderungen aus Tabelle 4 entnommen werden können.

Für die Belastung nur einer Zelle wird dann mit (3') n²-?i' + 3n² — 2

Mb"

pb²

l + n'

' 24 n²

1 + w' ‘

Für die Wechselbelastung gelten die Gleichungen (2') und (3'), während bei der halbseitigen Wechselbelastung die Ausdrücke jx und m' gleich denen der Gleichungen (64) und (65) sind, wenn alle n außer (1 — n²) durch n' ersetzt werden.

Es ergeben sich damit für die Mittelzelle die folgenden Gleichungen für die Größtmomente (vgl. § 15 d).

1 + Sn' — 2n² • n' pa2 - ‘ 24

1 + n'

(66')

Mh

max

_n² • n' + 3na — 2 pb²

24 n²

1 + n'

1 + n'

.    . (67')

Hierin folgt m aus Gleichung (60').

Diese Gleichungen haben so länge Gültigkeit, als obiger Wert Mb" >* 0. Wenn Mb < 0, ist (— Mbmax)

l + n²-?i' pa²    ₀ ,    (2 + 3w') fr + 1

1 + n' ‘ H2 n ' (1 +n') (1 + 3»')

[l + 2 n'~ 1/\l+n) (1 -f- 3w')]

(1 — n²) (1 + 3w') pa2 1 + n' (2 - fi)

wonn

worin

Mri

min

m'

m aus (60').

il?

6 min

m'

aus

Gleichung (3') zu berechnen.

l + w².w' jj«²

1 +«' ’ IV"

m' —

2 n'm

. (69')

24

o (B + 2 m') ,u. + n' ,

( 1 + w') (3 + n') m ’

.    . (70')

[x=2 + w'-K(1+ n') (3 + wO (1 — n²)(3 + n') pa2 2 + n' — [x '    24

m aus (60').

Für die Rand- und Eckzellen werden fertige Gleichungen zu umständlich. Man geht hier am besten schrittweise vor, indem man entsprechend den §§ 16, 17 und 18 die Momente für die Grundbelastungen berechnet und aus diesen die Größtmomente (vgl. § 29).

Für die Wechselbelastung werden die Gelenkmomente (vgl. Fig. 34) Randzelle, lange Seite = Außenseite :

n’ (1 — n²)

1/

l + n' + n'

Randzelle, kurze Seite = Außenseite :

1 — n²

1 + n'

3 + n'

pa²

' HT ' *

1 + n' +

1 +n'

pa²

1+3 n'

Für die Belastung nur einer Zelle kann Tabelle 7 (Seite 68) benützt werden.

Der ganze Rechnungsvorgang wird in § 29 an einem Beispiel zahlenmäßig durchgeführt.

d) Normalkräfte.

Ersetzt man in den Gleichungen (83) bis (88) des § 21 n durch so gelten die Gleichungen auch für veränderliches Trägheits-

bJa

aJb ’

moment. Da diese Gleichungen für die genaue Berechnung des einreihigen Systems ausreichen, ist hierzu nichts mehr zu sagen.

Für die Mittelzellen des unendlichen Zellensystems werden die Normalkräfte, die den Belastungen der Größtmomente entsprechen, gleich denen der Einzelzelle, und da diese sich bei verschiedenen Wandstärken

_pa

nicht ändern, ist auch hierfür Na = — und Nb

u

Bei den Randzellen (vgl. § 23b) sind die Nebenkräfte klein im Verhältnis zu den Normalkräften der Einzelzelle und werden bei Berücksichtigung verschiedener Wandstärken nur wenig geändert, so daß die Gleichungen (95) bis (98) auch für veränderliches Trägheitsmoment mit hinreichender Genauigkeit zu gebrauchen sind, besonders wenn man noch den geringen Einfluß der Normalkräfte auf die Dimensionierung im Auge behält. In den genannten Gleichungen darf aber nicht n durch n' ersetzt werden, was zu ganz unrichtigen Werten führen würde. Mit derselben Entwicklungsweise könnten übrigens Gleichungen (95) bis (98) leicht auch für veränderliches Trägheitsmoment abgeleitet werden.

§ 26. Berücksichtigung der Eckverstärkimgen.

Die bei den meisten Konstruktionen an den Knotenpunkten vorhandenen Verstärkungen (Vouten) beeinflussen die Verteilung der Momente im allgemeinen in der Weise, daß die Seitenmittenmomente ge-geringer werden, während die Eckmomente zunehmen.

Um diesen Einfluß rechnerisch zu bestimmen, muß das Trägheitsmoment als Funktion von der Variabein x unter dem Integralzeichen gelassen und mit integriert werden. Bei geradlinig verlaufenden Vouten ergehen sich dabei Ausdrücke, die sich nur umständlich integrieren lassen, und die Schlußformeln werden für den Gebrauch zu kompliziert. Von allen den Versuchen, die gerade Voute durch eine Kurve zu ersetzen, die erstens leicht integrierbar ist und zweitens der Wirklichkeit möglichst nahe kommt, ist die Methode von Straßner¹) wohl als die geeignetste zu bezeichnen.

Straßner hat für die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes im Teil V der Seite l (Fig. 46) das Gesetz aufgestellt

J'

, wo c

1+C X²

9 Vgl. A. Straßner: Berechnung kontinuierlicher Eisenbetonträger mit Rücksicht auf die Wirkung der Vouten. „Beton und Eisen“ 1911, Heft 20.

J'-J J-V²'

worin zur Abkürzung gesetzt wurde (vgl. Fig. 46; die Indices beziehen sich auf die beiden Seiten a und b)

y\ — 3 — 4a (1 — ri)

■*)'= 1 — a¹ (3 — 1,6a) (1 -n)

\J' -

\j

J'

.1—

Z’

L-

Die Momente der Seiten-

Fig. 46.

Dieses Gesetz entspricht einer Voutenform, die sich eng linige Youte anschmiegt, und ist, da die Variable x im Nenner steht, für die Integration vorteilhaft.

Für die Einzelzelle wird hiermit das Eckmoment²)

«³ •']/ + b* yjj'

an

die gerad-

M=-

Jb p

Ja

Clrla + b T\b —

(2")

Jb

mitten ergeben sich nun analog den Gleichungen (3).

Was hier für die Einzelzelle bei gleichmäßiger Innenbelastung gezeigt wurde, ließe sich nun für alle im zweiten Abschnitt gerechneten Aufgaben durchführen, womit dann die Grundlagen für die weitere Berechnung gegeben wären. Die angeführten Methoden hierfür bleiben sich natürlich genau gleich. Der Vollständigkeit wegen seien hier auch noch die für variables J gültigen Gleichungen (49) und (51) für das Elastizitätsmaß und den Fixpunktabstand wiedergegeben (Abkürzungen yj und rf wie oben).

.    . (49")

V-h

6 Jx

^77

Der Index 1 bezieht sich auf eine an l anschließende Seite lv

(51")

■'ll +

Achter Abschnitt.

Einfluß der Temperatur.

Eine gleichmäßige Temperaturänderung aller Längs- oder aller Querwände erzeugt keine Spannungen, da infolge der gemachten Vernachlässigung der Kräfte in horizontalen Schnitten und durch das Fehlen jeder horizontalen Stützung die Längenänderungen der Wände sich ungehindert vollziehen können. Erst eine ungleichmäßige Wärmeänderung der verschiedenen Wände ruft Verbiegungen derselben hervor, und dabei ist der am häufigsten vorkommende Fall derjenige, bei dem sich die Außenwände stärker erwärmen oder abkühlen als die Innenwände. Ein ausschließliches Erwärmen eines Teiles der Innenwände ist bei einem Füllmaterial mit Eigenwärme denkbar, doch wohl sehr selten. In diesem Abschnitt werden deshalb nur die beiden Fälle gleichmäßiger und ungleichmäßiger Temperaturänderung einer Außenwand behandelt. Tritt eine Wärmeänderung zugleich bei zwei oder mehr Außenwänden ein, so können die für die Einzelfälle errechneten inneren Kräfte einfach addiert werden.

Inwieweit die gemachte Vernachlässigung der in Horizontalschnitten auftretenden Kräfte der Wirklichkeit entspricht, entzieht sich der Berechnung. Infolge der Festhaltung des Silounterbaus im Erdboden werden aber die errechneten Biegungsmomente eher verringert, wie dies auch bei den Momenten infolge des Materialdruckes der Fall ist, so daß die Berechnung in beiden Fällen zu ungünstige Werte liefern wird.

Marcus hat den Einfluß der Temperatur an ein- und zweireihigen Systemen untersucht¹), es soll deshalb hier nur der Berechnungsvorgang am vielreihigen System gezeigt werden. Im neunten Abschnitt folgt die Anwendung auf ein Beispiel.

§ 27. Gleichmäßige Erwärmung einer Außenwand.

In Fig. 55 (Seite 118) ist die Deformationsfigur einer Zellengruppe von vier auf fünf gleich großen Zellen gezeichnet, bei einer gleichmäßigen Erwärmung der Außenwand um £=15°. Dabei verschieben sich die Knotenpunkte dieser Wand um Strecken S, deren Summe (bei Vernachlässigung der Deformation durch Normalkräfte) gleich sein muß

SS = w • t • ha,

worin w den Ausdehnungskoeffizienten des Wandmaterials, t den Unterschied der Temperatur der Außenwand gegenüber den übrigen Wänden und a die Länge der an die Außenwand stoßenden Zellen bedeuten.

fl H. Marcus: Statische Untersuchung von Silowänden. „Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen“ 1911. Hefte 1 und 4.

Eliminiert man aus diesen Gleichungen ÆT, so wird

. . (101)

Wir denken uns die Außenwand von den senkrecht an sie stoßenden Wänden b durch Schnitte an der Anschlußstelle so getrennt, daß die Enden der Wände b sich frei bewegen können (im Gegensatz zu der bisher verfolgten Methode des Verwendens von gedachten Gelenken). Die Außenwand werde so festgehalten, daß die Knotenpunkte sich nur in der Richtung derselben verschieben können. Es entsteht auf diese Weise ein Hauptsystem, bestehend aus an ihren unteren Enden, d. h. in der Mittelwand, elastisch eingespannten Stäben und einem kontinuierlichen Träger mit den Spannweiten a. Die statischen Unbekannten sind die an den (n-\- 1) Schnittstellen wirkenden Momente m₀, m₁, .... mn, welche aus den (n -f- 1) Bedingungen erhalten werden, daß die Drehungen auf beiden Seiten der Schnittstellen einander gleich sind ¹).

a) Der elastisch eingespannte Stab b ist in Fig. 47 dargestellt. Die angreifenden Kräfte H und m seien in dem eingezeichneten Sinn positiv.

Wird mit e das Elastizitätsmaß der Einspannstelle bezeichnet, so ist a' = —, wo tri = m -f- Hb.

hoc-

b<

///

Fig. 47.

Ferner ist nach Gleichung (1)

«" = (2 m' + m)

«» = («.' +2

Somit wird die Kopfverdrehung

7 = a' + a" + ri" —-    -f" (tri + m)

2 EJ ■

Die Kopfverschiebung § wird

Mit trri =m-j- Hb wird T —

ô = (a' -f a") b = b + (2 tri -f- m) ~^j .

m + Hb .    ,₀ i rr.s b

—+ (2 m + • •

;-b + (Sm + 2Hb)jm . .

.    .    (99)

. . (100)

5² (AEJ+eb) m + QEJt (2EJ+zb)

iEJ b (8EJ + eb)

0 Vgl. M. Ritter: Der kontinuierliche Balken auf elastisch drehbaren Stützen. „Schweiz. Bauzeitung“ 1911, Heft 4. — W. Frank: Kontinuierlicher Träger mit fester Stützenlagerung. „Beton und Eisen“ 1912, Heft 12.

2EJ so — b (2EJ + tb) m

Aus Gleichung (100) folgt H= 3-

■ . (102)

2b² {SEJ + sb)

b) Der kontinuierliche Balken als zweiter Bestandteil unseres Hauptsystems ist in Fig. 48 dargestellt. Er wird ebenfalls durch die Schnittkräfte H und m belastet, Avobei die ersteren aber keine Verdrehungen der Auflagerpunkte hervorrufen. Als weitere Belastung ist die Wärmewirkung anzusehen, welche auch keine Verdrehungen, wohl aber die Verschiebungen S erzeugt. Es sind an diesem Träger die Auflagerdrehungen ß zu berechnen infolge der Wirkung der Momente m. Rechtsdrehende Winkel seien wieder positiv.

Durch Aufschneiden des Trägers über den Auflagern entsteht das statisch bestimmte Hauptsystem (Fig. 48). Die Verteilung der Momente m auf dieses Hauptsystem kann nach Belieben vorgenommen werden. In diesem Fall wird jeweils das ganze Moment nach einer Seite hin wirkend gedacht.

Die unbekannten Stützmomente M ergeben sich aus folgenden in — 1) Clapeyr on sehen Gleichungen, welche aus der Gleichsetzung der Verdrehungen ß und ß' auf beiden Seiten der Auflager entstehen [Gleichung (1)].

ßi = ßi':

Jo

- [- m₀ - 2 J/J ■£-=[- 2 (ą + M.) - M₂]

ßn-l - ß«-l :

- [— (m

Wi)-2JŁ] y = I- 2 (m,+M.)-

Jo

J₃

• (103)

o«-1

[— (ffl'u-2 -j- A/m_₂) — 2

= [— 2 (mn_i -j- Jfn_i) -f mj ~y~

Jn — 1

Sind hieraus die Stützmomente M als Funktion der Momente m gefunden, so geben die linken Seiten der Gleichungen (103) die Auflager-

Verdrehungen ß₁₅ ß2 mit Fig. 48.

ß₀ und ß„ folgen aus Gleichung (1)

n'

,an ,

a,

m₀

/n,

Hauptsystem

m₂

I /unr

Wir stellen nun für jede Stütze die Gleichung (10): a-f-ß = Y auf, Avorin a = 0, und erhalten somit (n -f-1) Gleichungen, woraus die (n -j- 1) Kopfmomente m bestimmt werden können. Die Verschiebungen S, welche zur Bestimmung yon Y aus Gleichung (101) bekannt sein müssen, sind bei symmetrischen Fällen leicht zu berechnen aus 8 = co • t ■ L, wo L die Entfernung des betreffenden Knotenpunktes von der Symmetrieachse bedeutet.

Wenn beim allgemeinen Fall mit ungleich großen Zellen und verschiedenen Trägheitsmomenten einer der Werte 8 bekannt ist, so sind es auch alle übrigen. Wir müssen deshalb hierbei noch eine Gleichung zu Hilfe nehmen, die sich aus dem Satz der kleinsten Formänderungsarbeit ergibt, der in diesem Fall besonders klar als eine unbedingte Notwendigkeit hervortritt.

Für den am häufigsten Amrkommenden Fall, avo a und J konstant sind, Averden die Gleichungen (103), yon denen der Symmetrie wegen nur noch halb so viel gebraucht werden (vgl. Fig. 49):

4Ml -{- M₂ = — m₀ — 2m,

Mx -j- 4ilf₂ -f- il/., — — mx — 2 m₂

Mitte

KLA

m,.,

KM

«V,

rrt'O

I "V.

n* c/e rade

Mitte

n* ungerade

Tin,    ;

O.

"h;

Fig. 49.

(n = gerade,

bzw. Mv_i -f- 5 Mv — — mv-i — 3 mv (il = ungerade,

Die Verdrehungen ß werden:

6EJ 0    0

— • ßo = - ² Wo

_ n\ ? “ 2/

(103')

~MX

n — 1\ 2 /

(104)

(> EJ

• ß, =

(n = gerade, v

t)

bzw.

6EJ

TO

"5

— 3 {mv -f Mg) (n — ungerade, v —    )

Mit den Gleichungen (103') und (104) wurde Tabelle 14 berechnet, aus welcher bis zu einer Anordnung von n = 5 Zellen die Werte M und ß entnommen Averden können.

Tabelle 14.

Stützmomente und Verdrehungen der Stützen quer schnitte unter dem Einfluß von Momenten m an den Stützen.

(Vgl. Fig. 48.)

5 Zellen

-Mi

— (m₀ + 3m,)

D

y (2 m₀ + 3 m,)

-m₂

y (~ m₀ + 2m₁)

-~-(5m₀+ 9m ~ (- m₀ + 2 m, + 12m,)

— 3 m,)

a »>n

amn

y^-(3 m₀-m,)

^h«₀ + 2m,)

^(4 m₀-m,) (- m₀+2m₁)

-gg-(llm₀-3m, + m₂)

d

— (- 3 m₀ + 6 m, - 2 m,)

-gg- (m₀ - 2 m, +7m,)

Wenn die Momente m ausgerechnet sind, so, werden die Stützmomente M zahlenmäßig bestimmt, und die Biegungsmomente der Außenwand können dann an Hand der Fig. 48 (bzw. 49) leicht angegeben werden.

Um die Momente der Seiten b zu erhalten, berechnet man H nach Gleichung (102) und erhält das Fußmoment m' aus m' = m-{-Hb (Fig. 47). Letzteres verteilt sich nach drei Richtungen und zwar proportional den Elastizitätsmassen der drei anschließenden Seiten. Diese Momente haben auf den Winkel Y einen sekundären Einfluß, entsprechend dem auf Seite 56 erwähnten (y'), wodurch diese ganze Ableitung nur angenäherte Resultate liefert. Es ist jedoch dieser Einfluß so gering, daß er vernachlässigt werden kann, besonders wenn man bedenkt, auf wie rohe Schätzungen man bei der Angabe des Temperaturunterschiedes angewiesen ist.

Die infolge gleichmäßiger Erwärmung der Außenwand entstehenden Normalkräfte sind einfach zu berechnen. Diejenigen der Außenwandseiten a sind gleich den Horizontalkräften H, die der Innenwände b gleich den Auflagerdrücken des kontinuierlichen Trägers. Die Normalkräfte sind jedoch so gering, daß sie nicht zu berücksichtigen sind.

-EJ-%

¹

Berechnung von Silozellen. „Armierter Beton“ 1913, Heft 1.

²

) Über die Ableitung dieser Gleichung vgl. den Aufsatz des Verfassers : Zur

§ 28. Ungleichmäßige Erwärmung einer Außenwand.

Bei einer Erwärmung der Außenkante, die gleich ist der Abkühlung der Innenkante einer Außenwand, wobei also die Mittelfaser unter der Annahme einer linearen Temperaturverteilung keine Längenänderung erfährt, entsteht die in Fig. 58 (Seite 118) dargestellte Deformationsfigur.

Zur Berechnung benützen wir dasselbe Hauptsystem wie im vorhergehenden Paragraph.

Da die Knotenpunkte sich nicht verschieben, können wir hier wieder die früher gebrauchte Gelenkmethode verwenden. Die Kopfverdrehung

der Innenseite b ist daher einfach y = wenn mit s das Elastizitätsmaß der Seite b bezeichnet wird.

Die Verdrehungen ß am kontinuierlichen Träger infolge der Momente m, die hier wieder als Gelenkmomente bezeichnet werden können, berechnen sich genau wie in § 27.

Der in der Gleichung a -j- ß = 7 gebrauchte Winkel a, der am kontinuierlichen Träger infolge der Belastung (= Erwärmung) entsteht, berechnet sich wie folgt:

Der in Fig. 50 dargestellte Träger wird wieder durch Aufschneiden über den Auflagern statisch bestimmt gemacht, wobei die Achsen der einzelnen Freiträger infolge der Erwärmung Kreisbogenform annehmen. Die Biegungsmomente dieses Hauptsystems sind gleich Null.

+t°

<*/

Tzv

!*

ar

■*U-

■*7*-

->1

- - Jläupfsysfem

1IL--0

X'Z

Mri

„I.

•7/

Fig. 50.

w • A t ■ cls

Winkel t wird mit Fig. 51 dz =

r d>- At-ds Z~ J h

At- a

. .    (105)

wobei die Wandstärke 7^ als über die Seite gleichbleibend angenommen wurde.

Die Stützmomente M! berechnen sich wieder aus den Clapeyron-schen Gleichungen, die aus der Gleichsetzung der Winkel links und rechts der Stütze entstehen:

“> = <:    + PT

<h b Jo

(106)

a₂ = a₂' : E• ~ -f (il// + 2 il//)

— 1 _

6 Jn — 1

Sind die Stützmomente il/' bekannt, so können die Winkel a, welche durch die linken Seiten der Gleichung (106) dargestellt sind, berechnet werden.

Die Bedingung (16): a + ß = T liefert, (11Ą- l)mal aufgestellt, die Gelenkmomente m₀, m₁ . . . mn, womit wiederum sämtliche Biegungsmomente berechnet werden können. (In den Seiten b mit Benützung der Fixpunkte.)

M’

n— 1

a„

SJn

- (107)

und

-V aj.&t.ds

ds yA ■

4 m; + m₂' = M/ + 4M₂' + M₃' =

G EJz

6 EJz

. . (106')

Für a und J konstant wird:

----

dt!

Fig. 51.

Aus (106') und (107) wurde Tabelle 15 berechnet.

Tabelle 15.

Stützmomente und Verdrehungen der Stützen quer schnitteunter dem Einfluß von ungleichmäßiger Temperaturänderung.

(Vgl. Fig. 50.)

5 Zellen

6 ÈJ t

■ M.'

6 EJz

■ M./

£|w SU

«0

-ToT ;

15

14

38

“i

j--. x ! -j--x

10    14

38 T

a.,

Wie das folgende Beispiel zeigt, rufen Wärmeschwankungen ganz bedeutende Zusatzkräfte hervor, so daß in den meisten Fällen ein Schutz dagegen wirtschaftlicher und sicherer sein wird, als eine Verstärkung der Wände, um so eher, als durch letzteres Mittel die Temperaturkräfte bekanntlich noch vergrößert werden.

Vor allem ist auf die infolge ungleichmäßiger Wärmeänderung in der betreffenden Außenwand auftretenden Minimalmomente aufmerksam zu machen, die im folgenden Beispiel etwa das Dreifache der Minimalmomente infolge des Materialdruckes betragen, so daß bei der Berechnung der inneren Bewehrung der Außenwände die Temperaturkräfte in erster Linie zu berücksichtigen sind.

Neunter Abschnitt.

§ 29. Beispiel.

Es soll der in Fig. 52 in seinem Grundriß dargestellte Getreidesilo für den, von einer gewissen Tiefe ab konstanten Maximaldruek p rechnet werden. Die 4x5 Zellen sind gleich groß und es ist ihr Seitenverhältnis

be-

b 8.51

4,22

0,832.

Der maximale Seitendruck wird nach Mörsch¹)

P,

nax

f U tg?, • -y

Hand zelle R

0,82

0,25 •

15,46

4,22 • 3,51

= 3,15 Om.

Lang swand

Querwand

Die Berechnung geschieht für einen Streifen von 1 m Höhe, und es seien durchweg m und t die Einheiten.

Randze!le r

3,51

Zur angenäherten Bestimmung der Wandstärken erfolgt zuerst die Berechnung der Momente und Normalkräfte für

'J.2Z

Fig. 52.

1. Trägheitsmoment konstant.

Es sind die immer wiederkehrenden Ausdrücke

pa² = 3,15 • 4,22² = 56,1 mt pb² = 3,15 -3,51² = 38,8 „

a) Einzelzelle.

56,1

M=- (1 -0,832 + 0,832²) ₁₂ -Jf.= (1 + 2-0,832- 2-0,832²) ₂₄

JIb = (l + U;83.₂ “ 0,832² ) 24 3,15 8,51 _ g 53 ton

₂    =ö,65 „

4,02 mt

. . (2)²)

Nb =

3,15 • 4.22

38,8

56,1

-j- 2,99 mt

j- 0,83 m t

•    (3)

(83)

9 E. Mörsch: Der Eisenbetonbau, IV. Auflage, Seite 601 (Stuttgart 1912, Konrad Wittwer).

²) Die Gleichungsnummern sind dieselben wie diejenigen der allgemeinen

Gleichungen.

b) Mittelzelle.

Mit den Gleichungen für die Mittelzelle werden die in Fig. 52 mit Kreuzen bezeichneten Wände berechnet, während alle übrigen Wände Rand-und Eckzellen angehören.

« max

(n > Je) Mt

= (wie unter a) = -j- 2,99 mt .

0,02479 . 0,02479

......(66) (3)

-) 38,8 = +1,85 mt (67b)

= (0,04167

0,882²

0,832

Mamin = - (0,09064 + 0,06541 • 0,832 - 0,07272 • 0,832²) 56,1 = — 5,31 mt

= - (0,12207 - 0,10333 • 0,832 + 0,06459 • 0,832²) 56,1 = — 4,54 mt

Die Normalkräfte Na und Xb sind gleich den unter a berechneten Wei ten.

b max

Sl

b m in

Mamax=2,99-

a min

(69)

(70)

c) Randzelle R. (Vgl. Fig. 52.)

1/(1 n) (3+ n) = 2,649

2,649

0,50 mt

(75)

min

(0,06355

= 2,99

=    2,96 mt .    .

0,03953 . 0,01764

0,832²-0.168-0.188    56,1

3,481

0.832 0,168 (2,649- 1,832)

=2,99-0,03

12 ’ ’

) 38,8 = + 1,61 mt .... (76)

(74)

0,832*

] 3,15 -3,51

*=[t

_ = (0,5000 - 0,0119) 3,15 • 3,51 = 5,39 t Na = (0,5000 + 0,0119) 3,15 • 3,51 = 5,67 t Nb = (wie unter a) = 6,65 t.

4 • 0,832 • 3,481

CO CO

05 Ox

d) Randzelle r.

Dafür werden die Gleichungen (77) — (80) und (97), (98) benützt. Die Ergebnisse sind in Tabelle 16 (Seite 116) zusammengestellt.

e) Eckzelle.

Für die Eckzelle werden nur die Minimalmomente der Außenwände berechnet. Die Bestimmung der Koeffizienten geschieht am schnellsten durch Aufträgen der Werte für n = 1,0; 0,8 und 0,5x) und ungefähres Einzeichnen der Kurve M=f{}i), aus welcher der gesuchte Wert für n — 0,832 abgemessen werden kann. Es kommt dabei auf große Genauigkeit nicht an, da die Momente klein sind.

Mamin : MUn1cs = + 0,0003 • 56,1 = + 0,02 mt MreeMa = - 0,0122 - 56,1 = - 0,68 „

Mhmin:MobeH =-0,0002 -38,8 = - 0,01 „

Muntm = - 0,0023 - 38,8 = - 0,09 „

-¹) Fettgedruckte Zahlen in Tabelle 11, Seite SO.

- 0,15

Aus Fig. 41 (Seite 78) folgt durch Verbinden der ausgerechneten Punkte (0,5; 0,8 und 1,0):

Mamin = - 0,0914 • 56,1 = - 5,13 mt (MUnka = - 0,0713 • 56,1 = - 4,00 „ ) »)

Ą,mn = -0,0633.56,1 =-3,55 „

{Moben = - 0,0721 • 56,1 = - 4,04 B )

Mmin = — 0,0740 • 56,1 = — 4,15 ,

(Mrecht, = - 0,0810- 56,1 = -4,54 „ )

(Munten = - 0,0500 • 56,1 = - 2,80 , )

Mit diesen Momenten läßt sich der Verlauf der Minimalmomente der Eckzelle festlegen (Fig. 53). Er dient zur Berechnung der inneren Bewehrung und der Größe der Vouten an der Eckzelle.

2. Trägheitsmoment veränderlich.

Mit den unter 1. berechneten Werten erfolgt nun eine vorläufige Dimensionierung der Wände auf Biegung mit Axialzug. Die Innenwände könnten dabei trotz der etwas größeren Momente schwächer gehalten werden

als die Außenwände, da sie doppeltarmiert werden müssen. Man erhält jedoch bei einer solchen Ausnützung derzulässigen Betondruckspannung mit den heutigen Materialpreisen unwirtschaftliche Dimensionen, so daß es zweckmäßiger erscheint, die Innenwände annähernd gleich stark zu wählen wie die Außenwände und dafür die Eiseneinlagen zu verringern.

-- Die Berechnung der

Trägheitsmomente erfolgt für den homogenen Betonquerschnitt unter Vernachlässigung der Eiseneinlagen, was in den meisten Fällen ähnliche Werte gibt wie die vorschriftsmäßige Berechnung unter Vernachlässigung des gezogenen Betons und Berücksichtigung der Bewehrung. Die erstgenannte Berechnungsweise hat den Vorzug, daß sie die Kenntnis der ja erst zu berechnenden Eiseneinlagen nicht voraussetzt. Sie entspricht der Wirklichkeit in genügender Weise, da es hierbei nicht auf die absoluten Werte, sondern auf die Verhältnisse der Trägheitsmomente ankommt. —

]) Die Koeffizienten in den Klammern folgen aus Tabelle 11: Zugehörige Momente (Seite 80).

-O.is

-5,13

hOh-

'3,55

2,88

0,68

'0,02

0,83

\l

a-Oji’Tn

ó'

10 mt

b-351171-

Fig. 53. Minimalmomente einer Eckzelle.

Berücksichtigt man auch noch die Temperaturspannungen schätzungsweise, so erhält man die Stärke aller Längswände zu h — 0,26 m, die der Querwände zu h = 0,22 m. Die Trägheitsmomente für Streifen von 1 m Höhe werden dann

J« =

0,26³ • 1,0

12

= 0,001465 m⁴

Damit wird

T _ 0,22³ ■ 1,0

~ 12

= 0,000887 m⁴.

b • Ja _ 3,51 • 0,001465

1,373 (:

0,728

Bevor zu der Berechnung der inneren Kräfte übergegangen wird, werden zuerst die erforderlichen Elastizitätsmaße bestimmt.

Für das unendliche Zellensystem wird, wenn man in Tabelle 4 den

Wert ^ =0,728 proportional einschaltet (die Kolonne für sb gibt für —, die Werte e₀, vgl. Seite 99)

£« = 3,697-

a- Jb

4,22 • 0,000887

0,001465

4,22

• E = 0,001284 E

s₆= 3,777-

0,000887

8,51

■E = 0,000955#

Um diese Werte noch genauer zu erhalten, werden aus ihnen nach Gleichung (49)—(51) die Fixpunktabstände i berechnet und aus diesen wieder die s-Werte.

Nach (50):

Nach (51):

£«x = £« + 2 • s, = 0,003194 E s,x = 2 eB -j- e₆ = 0,003523 E 0.003194-4,22²

6 • 0,001465 + 3 • 0.003194 • 4,22

1,156 m

0,003523-3,51²

6 • 0,000887 + 3 • 0,003523 • 3,51

= 1,022 m.

6 • (4.22 - 1,156) 0,001465 E 4,22(8,44-3-1,156)

6 • (3,51 - 1,022) 0,000887 E 3,51 (7,02- 3-1,022)

Man sieht, daß die aus Tabelle 4 geradlinig interpolierten Werte sehr genau sind, und daß die ausgeführte Nachrechnung entbehrlich ist. Aus Tabelle 7, welche die Elastizitätsmaße der langen Außenwände

(Randzelle B) enthält, werden wegen n'^> 1 mit = 0,728 diejenigen der

kurzen Außenwände erhalten (Randzelle r), während diejenigen der langen Außenwände für n' = 1,373 nach dieser Tabelle nur geschätzt werden können und deshalb nachgerechnet werden müssen.

Es wird also Randzelle r:

Nach (49):

®« =

= 0,0012837 E

= 0,0009541 E.

3,687-

0,000887

3,51

■E== 0,000932^.

Ritter, Silozellen in Eisenbeton.

Die damit folgende genauere Berechnung nach den Gleichungen (49) bis (51) liefert

Randzelle R:

ib = 0,9526 m s₆ = 0,0009317#

0,001465 E

e„ = 3,60 •

Genauer wird mit Gleichungen (49) bis (51)

ij = 1,0702 m s„ = 0,0012546#

4,22

0,001248 jE".

a) Einzelzelle. l + 0,832²-1,373    56,1

Ma =

pa²

1 + 1,373

12

— 3,84 mt .    (2')

3,84 = -f 3,17 mt

Mb =

p b²

3,84 = -f-1,01 „

(3')

Die Normalkräfte ändern sich infolge verschiedener Wandstärken nicht.

b) Mittelzelle.

1 -0.832²

56.1

max

2 • 2,373 • 0,000887 3,51 (0,0012837 + 0,0009541) = (wie unter a) = -J- 3,17 mt 2 • 0,9368 1 + 1,373

Mbmax = 1,01 -f

— 0,9368 mt

Lu

(66')

Mit

1,80 mt......

j=r [1 + 2 • 1,373 - +2,373-5,119 ] = 0,190

• (67')

und

wird

Ma

1,373

(1 -0.832²)-5,119    56,1

— 1 + 1,373 (2 - 0,190) ‘ 24 = — 3,84 — 0,513 — 1,085 = — 5,44 mt .    .

1,052 mt

min

. - (69')

Mit

und

[i = 2 -f-1,373 — fX2,373 • 4,373 =0,153 (1 - 0,832²) • 4,373    56,1

2 + 1,373 -0,153 ‘ 24

0,972 mt

wird

bmin —    3,84    0,422 —    4,26 mt

c) Randzelle JR. (Vgl. die Entwicklungen der Seiten 66 bis 71.)

(70')

Für die Wechselbelastung wird nach Gleichung (72)

m = 0,581 mt.....

und mit (3') und (10')

Ma' = 3,17 - 1,373 •

M' = — m = — 0,581 mt

Me' = 3,17 - 0,247 • [X = 3,17 - 0,247 • 0,153 = (3,17 - 0,038) mt

(WrsSD

3,373 - 0,153

2,373 • 4,373

• 0,581 = (3,17 - 0,247) mt

Mb' =

mt.

(72')

Für die Einzelbelastung wird

— E = -j- E — 1200    ....

-j- JE ßj = 642,8 mx + 190,6 m — E ß₂ = 190,6 mx -f- 642,8 m2 j    m

+ Ei,

(4')

(110

■E

m₂

£2 + S2

Nach Gleichung (16) wird nun

0,0012546

797,1 mx

77 E

0,0012837 + 0,0009541

447,0 m₂.

1439,9 ml -f 190,6 m₂ = 1200 190,6 mx -j- 1089,8 w₂ = 1200,

woraus folgt

mx — 0,703 mt m₂ = 0,978 „

und damit nach Gleichung (10')

53!

///

2.99

«* V, 5 '/

////,

"    0,260 mt

₃₂" = 0,449 ,

Es ist also für diese Be----

lastung

Aus den Werten der beiden Grundbelastungen werden nun die Größtmomente

mt.

min

_y

»0

V.'

it

55 --

10mt sa

Æ - Lr,22 m

Fig. 54. Maximalmomente einer Mittelzelle.

= Ma' = + 2,92 mt......

= 5/ = +3,13 „.....

= M: = - 0,58 „    ......

-^' = (l’»l +S) mt-

max — 2 Mb

mit Gleichung (40) gibt

lfSmra = l,01+i|12 1 °'⁸⁴°!

Dasselbe wird für Randzelle r gemacht. Die Ergebnisse sind in Tabelle 16 zusammengestellt.

was

2*56,1

{-1,62 mt.

Tabelle 16.

Zusammenstellung der Größtmomente. (Vgl. Fig. 52.)

J — veränderlich

J — konstant

Zugehörige Normalkräfte [J— konstant)

M

±yj-a max

Mittelzelle (Fig. 54)

TUbmax

TU"a min -IR min

+ 2,99 +1,85 -5,31 -4,54

+ 3,17 +1,80 -5,44 -4,26

5,53

6,65

5,53

6,65

Randzelle .R

+ 2,83 -0,50 + 2,96 + 1,61

+ 2,92 -0,58 + 3,13 +1,62

Oi OT    OT

05    05    o CO

OT «<]    zo

M

■J~r-Lamax

Randzelle r

Uft min ■M-b max

Einzelzelle

+ 2,89 + 1,80

—    0,19 + 1,84

+ 2,99

JJ + 0,88

-    4,02

li

mt

+ 3,08 + U7 -0,16 + 1,79

+ 3,17 + 1,01 -3,84

mt

5,53

6,60

6,54

5,53

6,65

ton

3. Temperatureinfluß.

Es sei der Fall zu untersuchen, wo eine der Längsaußenwände sich außen um 20°, innen um 10° erwärmt. Der Symmetrie wegen kann die Berechnung auf die eine Hälfte beschränkt werden. Die Untersuchung wird unter Berücksichtigung der verschieden großen Wandstärken durchgeführt.

a) Gleichmäßige Erwärmung.

Es ist £ = 15°, ferner sei der Ausdehnungskoeffizient w = 0,000012, der Elastizitätsmodul E = 2100000 t/qm.

Die Verschiebungen der Knotenpunkte berechnen sich folgendermaßen (Fig. 55) :

= — 0,000380 m = — 0,001139 „ = — 0,001899 „

₈ = - 0,000012-15.

3 • 3₂

i —

5.8«

o ⁼

Mit Hilfe der unter 2. berechneten Elastizitätsmaße wird

so =

ej = e₂ = 2 • 0,0012837 E+ 0,0009541 .£ = 0,003521 E 0,0012837 E + 0,0009317 E = 0,002215 E

Aus Gleichung (101) folgt mit b = 3,51 und J — 0,000887

E. t₂ = 1048 m₂ — 321 ^•Yi = 1048 mx — 9G5 E • y₀ = 1074 m₀ — 1560.

Nach Tabelle 14 wird für fünf Zellen

-4,22

(11 m₀ 3 mx -j- m₂)

= — (833,8 m₀ — 227,4 nij-j- 75,8 m₂) — (— 227,4 m₀ + 454,8 mx — 151,6 m₂) — ( 75,8 m₀ — 151,6 mx -f- 530,6 m₂).

38 • 0,001465

E-ß ₀ =

ebenso E ■ ß₁ =

E.ß₂ =

Mit ß = y folgen die drei Gleichungen

1907,8 m₀ - 227,4    +    75,8 m₂ = 1560

- 227,4 m₀ + 1502,8 mx + 151,6 m₈= 962 75,8 m₀ + 151,6 mx -f-1578,6 m₂ = 321,

woraus sich die unbekannten Kopfmomente berechnen lassen:

m₀ = 0,903 mt mx = 0,801 „ m₂ = 0,237 „

Damit werden nach Gleichung (102) die Horizontalkräfte

H₀ = — 0,536 ton. H₁ = — 0,443 ton. H₂ — — 0,136 ton.,

womit sich die Momente an den unteren Einspannstellen der Querseiten b ergeben :

M₀ = m₀ + JR₀-b = 0,903 - 0,536 • 3,51 = - 0,979 mt M₁ = m₁ + Hl-b. = 0,801 - 0,443 • 3,51 = - 0,754 „

M₂ = m₂ + H₂-b = 0,237 - 0,136 • 3,51 = - 0,241 „

Diese und die Kopfmomente sind in Fig. 55 an den Enden der Querseiten b aufgetragen und geradlinig verbunden worden. Um nun auch die Momente der Außenwand eintragen zu können, müssen die Stützmomente M nach Tabelle 14 berechnet werden. Es wird yL (5 • 0,903 + 9 • 0,801 - 3 • 0,237) = + 0,580 mt

M₂

₁₀ ( - 0,903 + 2 ■ 0,801 + 12 • 0,237) = + 0,197 „ i y

Diese Stützmomente (Fig. 57) werden zu den Momenten m der frei aufliegenden Träger (Fig. 56) addiert, wodurch man die Biegungsmomente der Außenwand erhält.

Die an den inneren Enden der Querseiten b wirkenden Momente

Momente und Deformationen infolge ungleichmäßiger Erwärmung einer Außenwand. Erwärmung der Außenkante = 20°, Erwärmung der Innenkante = 10«. (Vgl. S. 116 u. ff.)

fl.

-y-

ÄS

Ä.

<r

LJŁ

+ 15°

•>

<■

+ 15°

+ <-

-dt--

*o

Symmetrie ajçe

i.

Fig. 55. Gleichmäßige Erwärmung.

SJ

Fig. 56. Verteilung der Kopfmomente m auf das statisch bestimmte System.

Fig. 57. Verteilung der Stützenmomente M.

<-

4-

*??

r-4’

Y-

■9

⁺ _i

Fig. 58. Ungleichmäßige Erwärmung.

Fig. 59. Verteilung der Kopfmomente m auf das statisch bestimmte System.

Fig. 60. Verteilung der Stützenmomente M, hervorgerufen durch die Kopfmomente.

•>

3

'js

werden proportional den Elastizitätsmassen der anschließenden Wände m dieselben verteilt, welche Momente sich dann nach den Regeln des kontinuierlichen Trägers über diese Wände fortpflanzen, d. h. so, daß die Momente in den Fixpunkten verschwinden; die Fixpunkte wurden auf Seite 113 ff. berechnet. In Fig. 55 sind nur die Schlußlinien eingetragen.

Um die Deformationsfigur zu der jetzt bekannten Momentenver-teilung zu zeichnen, wählt man ein passendes Verzerrungsverhältnis (in unserem Fall 1:500) und trägt die Verschiebungen 8 verzerrt auf. Dann geht man am raschesten so vor, daß man in derselben Verzerrung die Knotenpunktverdrehungen einzeichnet, welche Geraden die Tangenten an die elastische Linie in den Knotenpunkten darstellen. Diese Tangenten schneidet man mit den zu den Balkenachsen senkrechten Linien durch die Schwerpunkte der Momentendreiecke, welche Schnittpunkte unter sich verbunden die Tangenten in den Wendepunkten und die Lage derselben ergeben. Nun läßt sich die elastische Linie leicht einzeichnen. Die Knotenpunktverdrehungen der Außenwand können aus den Gleichungen für ß oder Y (Seite 117) leicht berechnet werden, die übrigen Eckverdrehungen nach Gleichung (1).

b) Ungleichmäßige Erwärmung (Fig. 58).

Mit A£=10° wird nach Gleichung (105)

= 0,001948

0,000012 • 10 • 4.22

0,26

und damit nach Tabelle 15

15

l\

+ 20°

3 — + 10°

_±_

Fig. 62. Gesamtwirkung der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Erwärmung.

■i

3 mt

Maßstab der Längen.

Maßstab der Momente. (Verzerrungsverhältnis = 1: 500.)

Maßstab der Deformation.

a₀ = —Lj- t = — 0,0007689

OO

^ = + -55-* = + 0,0001588

öO

a ---Lz = - 0,0000518.

ć    Oö

Die Winkel ß sind dieselben wie unter a, und die Kopf Verdrehungen der Querseiten b werden

m₀

0,0009317

= 1073,4 m₀

E^

m.

0,0009541

Mit a + ß = Y folgt

E Ys =

—1047,7 mx 1047,7 m₂.

75,8 m₂ = - 0,0007689 151,6 m₂ = +0,0001538 151,6 nij + 1578,3 m₂ = - 0,0000513,

1907,2 m₀ — 227,4 nij-f-- 227,4 m₀ + 1502,5 mi-75,8 m₀ —

welche Gleichungen die Werte ergeben

m₀ = — 0,8355 mt mi = + 0,0865 „ m₂ = — 0,0198 „

Nach Tabelle 14 ward damit

und aus Tabelle 15 folgt

Jfj = -f- 0,176 mt M₂ = - 0,041 „

4    6 • 2100 000 • 0,001465 • 0,001948

'cd

4,22

= — 1,794 mt

M'

CO

19

[wie oben]

— — 1,344 „

Die einzelnen Einflüsse dieser Momente auf das statisch bestimmte

System sind in den Fig. 59 bis 61 dargestellt, welche nun addiert die Biegungsmomente der Außenwand ergeben (Fig. 58). Die Kopfmomente m pflanzen sich durch die Fixpunkte der Querseiten b fort.

Um hier die elastische Linie zu zeichnen, wird folgende Überlegung

angestellt :

Um die infolge der ungleichmäßigen Erwärmung entstandene Krümmung der Balkenachse zum Verschwinden zu bringen, muß ein Moment M0 ihr entgegenwirken, dessen Größe sich wie folgt berechnet:

Nach Gleichung (105) ist

u>- At-ds_ Mn

EJ

ds

und daraus der absolute Wert von M0 EJ- ui-At

M₀ =

2100000 • 0.001465 ■ 0,000012 • 10

= 1,42 mt.

An denjenigen Stellen, an denen das Moment der Außenwand den Wert M₀ erreicht hat, befinden sich demnach die Wendepunkte. Zieht man an jeder Stelle von dem tatsächlichen Moment der Außenwand das Moment M0 ab (Fig. 58), so entsteht die Momentfläche, für welche die elastische Linie auf die unter a angedeutete Art gezeichnet werden kann. Aus Fig. 58 kann

0,26

ersehen werden, wie rasch sich das Außenwandmoment gegen die Symmetrieachse hin dem konstanten Wert M₀ nähert. Bei einem unendlich langen System mit einer beliebigen Anzahl Reihen (auch beim einreihigen System) wird bei der hier behandelten Temperaturänderung wegen des Verschwindens aller Kopfmomente m die elastische Linie eine Gerade und das konstante Biegungsmoment der Außenwand

w • A t • EJ

M₀

In Fig. 58 schneidet die gestrichte Horizontale im Abstand M₀ von der Achse die Momentenlinie in den Abständen a der betreffenden (auf Seite 114 berechneten) Fixpunkte, was aus der Definition der Fixpunkte hervorgeht, da wir es in diesem Fall mit unverschieblichen Knotenpunkten zu tun haben. Es ist dies eine schätzenswerte Probe.

In. den Fig. 55, 58 und 62 muß natürlich die Summe aller Momente um jeden Knotenpunkt verschwinden. Wenn dies nicht überall genau zutrifft, so ist es auf die Vernachlässigung der klein gewordenen Momente bei der Verteilung derselben in die Innenwände zurückzuführen.

c) Vereinigung der beiden Fälle von gleichmäßiger und ungleichmäßiger Erwärmung.

Die Momentenfläche der Fig. 62 ist aus der Summierung der Momente der Fig. 55 und 58 entstanden und gibt an jeder Stelle das endgültige Moment infolge der Erwärmung der Außenwand um 20° (Außenkante) bzw. 10° (Innenkante).

Ein Vergleich dieser Zusatzmomente mit den vom Füllmaterial erzeugten Momenten zeigt den bedeutenden Einfluß von Wärmeschwankungen. Z. B. beträgt das vom Materialdruck hervorgerufene Minimalmoment der Außenwand Mamin = — 0,58 mt (Tabelle 16, Randzelle R), während an dieser Stelle infolge des Temperaturunterschiedes das Moment Mt— oo — 1,40 mt entsteht (Fig. 62).

§ 30. Hauptergebnissex).

Als Hauptergebnisse sind kurz folgende zu nennen:

Die Berechnung eines Systems von zusammenhängenden, rechteckigen Zellen als einzelne in sich geschlossene Rahmen führt an verschiedenen Stellen zu unrichtigen Resultaten. Die Nebeneinflüsse infolge des Zusammenhangs der Zellen und infolge der Belastung von umliegenden Zellen sind in bezug auf die Biegungsmomente nicht unbedeutend, während die Normalkräfte dadurch wenig beeinflußt werden.

Diese Einflüsse werden um so größer, je mehr sich die Grundrißform der Zelle von der quadratischen entfernt. Da bei quadratischen Zellen mit konstantem Trägheitsmoment die Nebeneinflüsse verschwinden, so liefert bei denselben eine Berechnung der Biegungsmomente und Normal-

0 Die Ergebnisse sind ausführlicher am Schluß jedes Abschnittes zusammengefaßt.

kräfte mit den Formeln des in sich geschlossenen, quadratischen Rahmens (oder des eingespannten Stabes) genaue Ergebnisse.

Eine allzu starke Abweichung von der quadratischen Form führt zu unwirtschaftlichen Dimensionen, was sich besonders durch das plötzliche, starke Anwachsen der Momente in den kurzen Seiten nach Überschreiten eines bestimmten Seitenverhältnisses kennzeichnet.

Die für die Berechnungen verwendeten Methoden beruhen alle auf der Verwendung statisch unbestimmter Hauptsysteme, deren einzelne Teile in § 4 behandelt wurden.

Beim einreihigen Zellensystem ist eine, mit Rücksicht auf die Vernachlässigung der Deformationen infolge von Normal- und Schubkräften genaue Berechnung der Biegungsmomente und Normalkräfte mit der in § 7 beschriebenen Methode für die Praxis nicht zu umständlich. Die dazu erforderlichen Formeln sind in den §§ 4 und 7 enthalten. Für angenäherte Berechnungen sind die Gleichungen für die Maximal- und Minimalmomente der §§ 10 und 11 zu verwenden, welche besonders bei gleich großen Zellen und konstantem Trägheitsmoment den wirklichen Momenten sehr nahe kommen.

Eine genaue Berechnung des zweireihigen Systems ist im allgemeinen zu umständlich; hierfür geben die Gleichungen der Momente und Normalkräfte für die Randzelle eines unendlich weit ausgedehnten Zellensystems gute und zwar zu ungünstige Näherungswerte (§§ 16 und 17).

Die Ersetzung des gegebenen Falles durch ein unendliches System gibt bei Zellengruppen mit drei und mehr Reihen naturgemäß noch bessere Näherungswerte, und es ist dieses System verhältnismäßig einfach zu behandeln. Bei vielreihigen Systemen ist im allgemeinen eine Abnahme der Momente von der Mitte des Systems gegen die Ränder hin wahrzunehmen, ebenso an den Rändern gegen die Ecken hin.

Der Einfluß der Normal- und Schubkräfte auf die Berechnung der statisch unbestimmten Größen ist bei nicht allzu rechteckigen Zellen zu vernachlässigen; ihr Einfluß auf die Dimensionierung ist untergeordneter Art.

Die Berücksichtigung verschiedener Wandstärken macht die genannten Berechnungsmethoden kaum umständlicher, falls die Wandstärken im Verlauf einer Seite als konstant angenommen werden. Die Momentenverteilung ändert sich dabei in demselben Maß und derselben Art, wie dies allgemein bei Rahmenkonstruktionen der Fall ist.

Der Einfluß der Temperatur auf die Dimensionierung ist bedeutend. Zum Beispiel ist die Innenbewehrung der von der Wärmeänderung betroffenen Außenwand hauptsächlich von den Temperaturmomenten abhängig und erst in zweiter Linie von den Momenten infolge des Materialdruckes. Eine Schutzvorkehrung gegen Wärmeschwankungen wird in den meisten Fällen wirtschaftlicher und sicherer sein, als eine Verstärkung der Wände.

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