*1

,v

V

l

•*

^ * 4

'4#*

W

.

,°3

¹;

7*

rW

&jjß

L S

a

■s.

»t

«

Ä

t>

y,ti>

Blbl'°teka Poli(e,

IfeaüickmAiWtai

/(OST

,y ■ -

• ■

’*• •

i    J

üi

ihigkeit nicht armierter und Von A. Kleinlogei. Geh. Preis 4 Mk.

Heft 2: Graphostatische Untersuchung der Beton-u. Betoneisenträger. Von Dr.-Ing. P. Weiske.

G""Preis 4 Hk-

Heft 3: Die Rolle der Haftfestigkeit im Verbund-

MYStJra

■ lOUMAA 4.

McötlichöQ li-feeStcn

♦

*

HEFT II.

II

yiiui

\m

F“3

kl

Itf

V).

|i

■J '■*

wu

if,

st

Tilfrl

£/V //4

111

w/.yi

mmm

^/'/Asäirt

y~

*4

pf j.

Eq ¹

der

P;

II

[&

■Ü

//

Beton- und Betoneisenträger

WPMk

von

'/

)'■ i

i*¹

lESM

EP

Sr*

Paul Weiske

Diplom-Ingenieur und kgl. Oberlehrer.

r.

Fo» fiter Königlichen l'echnischen Hochschule Hannover sur Erlangung der Würde ein es Doktor-Ingenieurs genehmigte Dissertation.

II

Referent:

Geh. Heg.-Hat Professor Barkhausen. Korreferent :

Professor G. Lang.

///.

// mr

(Hiezu eine Tafel.)

!$

‘U

SJ

■fA

■= WIEN =

lYZ

Verlag von „BETON & EISEN£* (Dr. Fritz v. Emperger)

1904

Q0*K-

i

•ifeW,:-

?'■

4,

V I

t

v.

i M

;,,J^

Mf

$

fe;

GßAPHOSTATISCHE UNTEESUCHUNG

DER

BETON- end BETONEISENTRÄGER

VON

PAUL WEISKE

DIPLOM-INGENIEUR UND KGL. OBERLEHRER.

VON DER KÖNIGLICHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE HANNOVER ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES DOKTOR-INGENIEURS

GENEHMIGTE DISSERTATION

REFERENT: GEH. REGIERUNGSRAT PROFESSOR G. BARKHAUSEN.

KORREFERENT: PROFESSOR G. LANG.

(HIEZU EINE TAFEL.)

WIEN

VERLAG VON „BETON & EISEN“ (DR- FRITZ v. EMPERGER)

1904.

sfm,

KSAKÖW j

INHALT.

Seite

I. Einleitung ..................

II. Der Elastizitätsmodul des Betons..........

III.    Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Norinalspannungen der Beton- und Botoneisenträger

IV.    Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung

der Schubspannungen der Beton- und Betoneisenträger .    .

V. Schlußwort..................

15

17

VORWORT.

Die folgende Abhandlung enthält eine graphostatische Untersuchung der Beton- und Betoneisenträger, welche sich im wesentlichen auf die Grundgesetze der graphischen Statik über die Ermittlung der statischen Momente und Trägheitsmomente von Flächen stützt.

Es wird gezeigt, wie mit Benützung von Versuchsergebnissen über die Veränderlichkeit des Beton-Druck- und Zug-Elastizitätsmoduls die Spannungsverhältnisse für die verschiedenen Belastungsstufen und Armierungen ermittelt werden können.

Möge diese Arbeit mit dazu beitragen, daß die theoretischen Grundlagen der Betoneisenkonstruktionen immer mehr mit den tatsächlichen Verhältnissen in Einklang kommen.

Kassel, im November 1903.

Dipl. Ing*. Paul Weiske

Königlicher Oberlehrer.

#

anspruchung des Stabes P

Kraft P, also g = —.

’    F

oder Verkürzung, also e =

Ferner habe ich bei der Bearbeitung benutzt:

Bach: „Elastizität und Festigkeit“. Berlin, Julius Springer, 1902. Barkhausen: Die Verbundkörper aus Mörtel und Eisen im Bau-Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen“ 1901,

Einleitung.

Zwischen der Dehnung oder Verkürzung e, die ein Stab durch eine auf denselben wirkende Normalkraft P erleidet, und der hierdurch entstehenden Spannung o besteht allgemein die Beziehung:

E = OL . G.

Hiebei ist a die auf die Flächeneinheit bezogene Be-vom Querschnitte F aus der

s ist die auf die Längeneinheit bezogene Dehnung

wenn A l die hervorgerufene

Verlängerung oder Verkürzung des Stabes von der Länge l ist.

a ist ein von der physischen Beschaffenheit des Stoffes abhängiger Koeffizient, der durch Versuche zu bestimmen ist.

Aus Versuchen hat sich ergeben, daß a nur für wenig Baustoffe, wie Schmiedeeisen und Stahl, innerhalb der für die Anwendung im Baufach gegebenen Spannungsgrenzen konstant oder nahezu konstant ist, das heißt von o unabhängig.

Für andere wichtige Baustoffe, wie Gußeisen, Steine, Beton, ist a von der Größe der Spannung abhängig, also

OL —    (g).

Wir wollen unsere Untersuchungen bezüglich der Zahlenwerte auf Betonkörper beschränken, wenngleich der allgemeine Teil derselben auch auf die übrigen Stoffe sich anwenden läßt.

Für die Betonkörper kann aus Versuchen von Bach-Schüle, Grut-Nielsen u. a. mit Sicherheit angenommen werden, daß ol mit der Beanspruchung a wächst.

In dem Produkte e — ol . g muß daher mit wachsendem e der Wert von g kleiner ausfallen, als wenn x eine konstante Größe wäre. Hierbei wird Ebenbleiben der Querschnitte vorausgesetzt.

Bei Betonzugspannungen wächst a noch schneller mit g als bei Betondruckspannungen.

Für auf Biegung beanspruchte Balken folgt für

x =-konstant

Proportionalität zwischen Dehnung und Spannung, also geradlinige Spannungsverteilung.

Aus der Annahme

a = <p (a)

folgt kurvenförmige Spannungsverteilung, u. zw. für Betonkörper eine langsamere Zunahme der Spannungen mit wachsender Dehnung.

Bei einem auf Biegung beanspruchten Betonbalken wirken daher die in der Nähe der Nullinie liegenden Fasern in stärkerem Maße mit und entlasten die äußeren Fasern.

Bei wachsender Beanspruchung des Balkens verschiebt sich die Nullinie aus der ursprünglichen Schwerpunktlage (Spannungszustand Null) nach der Druckseite hin. Daher wird die Druckzone kleiner und die Zugzone größer. Die Betonzugspannungen fallen bedeutend kleiner aus, als es die Berechnung bei Annahme geradliniger Spannungsverteilung ergehen würde, so daß sich der Widerspruch erklärt, daß ein auf Biegung beanspruchter Betonbalken scheinbar größere Zugfestigkeit besitzt, als wenn er auf Zug beansprucht würde.

Ein genaues Urteil über die Art der Spannungsverteilung in Betonträgern kann man sich nur bilden, wenn der Verlauf der gegenseitigen Abhängigkeit von a und a in der Gleichung

ol — <p (<t)

aus Versuchen hinreichend für die verschiedenen Mischungsverhältnisse und ‘Materialien bekannt ist.

Man kann dann nach Konstruktion der Dehnungskurven für Zug und Druck die Aufgabe der Spannungsberechnung rechnerisch oder zeichnerisch weiter behandeln.

Für die rechnerische Behandlung ergibt sich die Notwendigkeit, die aus Versuchen zu bestimmenden Dehnungskurven in eine möglichst einfache mathematische Form zu kleiden, doch so, daß dem Material möglichst wenig Zwang angetan wird. Je weniger letzteres geschieht, um so mehr werden die berechneten Spannungen mit den wahren Spannungen übereinstimmen. Doch werden die Rechnungen außerordentlich verwickelt, bezw. für die Praxis unbrauchbar, wenn man auf volle Genauigkeit Anspruch machen will.

Bei der zeichnerischen Behandlung kann man sich den aus Versuchen gewonnenen Resultaten eher anschmiegen und kann sogar auf die Aufstellung einer Gleichung für die Dehnungskurven verzichten. Durch passende Wahl des Verfahrens kann man die Spannungsverteilung im Betonkörper bei wachsender Belastung verfolgen, soweit das Beobachtungsmaterial reicht, in einem einzigen Schaubilde.

Wir wollen in der folgenden Abhandlung versuchen, dieses Schaubild zu konstruieren für Betonträger und für Betoneisenträger. Teilweise werde ich mich auf frühere Publikationen von mir beziehen. Dieselben sind:

1.    Beitrag zur Berechnung der Beton- und Betoneisenträger. „Dinglers Polyt. Journal“ 1902, Heft 46.

2.    Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Beton- und Betoneisenträger. „Dinglers Polyt Journal“ 1908, Heft 49/50.

wesen. „

Heft 2.

Spitzer: „Über die Versuchsergebnisse bei Erprobung von Beton-und Betoneisenkonstruktionen“. Wien 1901, Selbstverlag. Wayss & Freytag: „Der Betoneisenbau. Seine Anwendung und Theorie.“ 1902, Selbstverlag.

II.

Der Elastizitätsmodul des Betons.

Für die folgenden Betrachtungen empfiehlt es sich nicht den Dehnungskoeffizienten a in die Rechnung einzuführen, sondern seinen reziproken Wert, den Elastizitätsmodul E= .

a

Ist die Endspannung aus einer von Null bis P wachsenden Kraft c>, die aus Versuchen bestimmte Dehnung s, so ist der mittlere Dehnungskoeffiizient in dem Intervalle von 0 bis a

a = Pa . £ = P₀ . s —

E₀

— • s²,

a I

d. h. die Spannung wächst langsamer als die Dehnung, u. zw. parabolisch.

Die Spannung g ist 0 für:

1.    £ = 0, d. h. im spannungslosen Anfangszustand, und

2.    e = a, d. h., wenn der Elastizitätsmodul bis auf Null abgenommen hat.

Zwischen beiden Werten liegt ein Maximum, welches man durch Differenzieren der cr-Gleichung erhält. Es ist:

d <7

Eq —

Eo

. 2 e = Null

oder der mittlere Elastizitätsmodul:

für

E=—.

->i

Eo.a.

Die zweite Abteilung ist negativ, denn es ist: d² g

² F

v •E,r

Der Maximalwert von a ist:

a-£

P₀ a²

öjrnax

--Eof

__ W « — E₀ .

L .......

.....\w

__Äxe_ ___

Fig. 1.

Man trägt in Fig. 1 auf einer senkrechten Achse die Werte e auf, senkrecht dazu als Ordinaten die zugehörigen P-Werte. Dann bilden die Verbindungsgeraden der Endpunkte der E-Werte einen gebrochenen Linienzug, welcher für Beton eine abfallende Tendenz nach der e-Achse hat, u. zw. für Zug stärker als für Druck.

Wir wollen diese Fläche die P-Fläche nennen. Die Form derselben ist wesentlich bedingt durch die Gestalt des Linienzuges, der die Endpunkte derP-Werte verbindet.

Insbesondere ist für die Proportionalität zwischen Dehnung und Spannung E konstant. Dann ist die P-Kurve eine Parallele zur e-Achse und die P-Fläche ist ein Rechteck

von dem Inhalte P. e. Die Spannung, welche der Dehnung e entspricht, ist a = E e. Das Spannungsdiagramm ist geradlinig wegen des konstanten Wertes von E. Ist E veränderlich, so liegt es nahe, die gebrochene P-Linie durch, wenn möglich, eine Gerade oder durch zwei Geraden zu ersetzen; von diesen Geraden kann eine Gerade (gewöhnlich diejenige für niedere Spannungen) sogar parallel zur e-Achse sein. Man rechnet dann annäherungsweise bis zu einer gewissen Grenze (Proportionalitätsgrenze) mit konstantem s und hat innerhalb derselben geradlinig wachsende Spannungsverteilung.

Ist die P-Kurve ersetzt durch eine nach der e-Achse

- T? a Gmax - Ejq -g

also halb so groß, als wie er bei konstantem P = P₀ bei der Dehnung b = — sein würde.

Mit Hilfe dieser Daten ist die Konstruktion des Span-nungsdiagrammes in Fig. 1 ohneweiters ersichtlich.

Die angestellte Betrachtung ist rein theoretisch, insofern, als es kaum einen Stoff geben wird, dessen P-Kurve sich von Anfang bis zu Ende durch eine Gerade ersetzen ließe. Insbesondere ist der Grenzfall a — 0 für s = a, also der Gedanke, daß bei zunehmender Dehnung nach Überschreitung einer Maximalgrenze die Spannung sogar bis auf Null wieder abnehmen kann, wohl mit Versuchsergebnissen nicht in Einklang zu bringen.

Es wird sich später zeigen aus der Betrachtung der P-Fläche Fig. 4 (siehe Tafel), daß man die P-Kurve bei Beton annäherungsweise für Druck durch eine flacher zur s-Achse geneigte Gerade, für Zug durch eine steiler geneigte Gerade ersetzen kann.

Innerhalb der in den Baukonstruktionen einzuhaltenden Grenzen käme für die Druckseite nur der Anfang der Parabel der Spannungen in Frage, während auf der Zugseite, falls Eiseneinlagen vorhanden sind, die Parabel der Spannungen bis zum Werte g haben gezeigt, daß sich der Beton, nachdem er auf der Zugseite die höchste Spannung erreicht hat, ohne wesentlichen Spannungszuwachs weiter dehnt. Im Spannungsdiagramm der Zugseite würde sich also an den Scheitel der Parabel eine senkrechte Tangente anschließen. (Immer Eiseneinlagen vorausgesetzt.) Die entsprechende P-Kurve kann nun natürlich keine fallende Gerade mehr sein. Vielmehr ist die P-Kurve eine gleichseitige Hyperbel, welche die e-Achse zur Asymptote hat und in dem Abstande

£ =

max

benutzt wird. Versuche

fallende Gerade, so erhält man parabolische Spannungsverteilung.

~ an Stelle der Geraden tritt, denn es ist:

ui

g = Pa . s = c konstant, daher

Mit den Bezeichnungen der Fig. 1 ist nämlich:

Pa

oder

Pa : Pq — (CL

e): a

Pa = P₀ —

und

d. h. mit geradlinig zunehmenden e nehmen die P-Werte hyperbolisch ab.

Da die hyperbolische P-Kurve die s-Achse zur Asymptote hat, so wird der Wert Pa — Null bei noch so großen Dehnungen e nie erreicht.

oder

Soll

log Ea = 0

und

Eine derartige Konstruktion des Spannungsdiagramms: steile Parabel auf der Druckseite, flache Parabel auf der Zugseite bis zum Scheitel und daran anschließend eine Tangente parallel zur e-Achse dürfte dem wirklichen Verlauf der Spannungen sehr nahe kommen.

Die analytische Behandlung auf ähnlicher Grundlage ist von Haberkalt angegeben.

Die steile Parabel auf der Druckseite läßt sich innerhalb der zulässigen Spannungsgrenzen durch eine Gerade ersetzen. Ebenso kann man auf der Zugseite zwei Geraden wählen: die erste ersetzt die Parabel, die zweite ist mit der Tangente identisch. Auf dieser Grundlage hat Barkhausen Formeln zur Berechnung der Betoneisenträger auf-gestellt. Haberkalt hat an einem Zahlenbeispiele gezeigt, daß die nach beiden Methoden berechneten Spannungswerte nicht viel voneinander abweichen.

Dem Barkhausen’schen Diagramm entsprechen als F-Kurven auf der Druckseite eine Parallele zur e-Achse, auf der Zugseite ebenfalls eine Parallele bis zur Streckgrenze und von da an eine gleichseitige Hyperbel.

Die Ersetzung der F-Kurve durch Gerade geschieht graphisch durch Interpolation oder analytisch nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Obgleich es bei der nachfolgenden graphischen Behandlung der Beton- und Betoneisenträger für einen einzelnen vorliegenden Fall kein Bedürfnis ist, die F-Kurve durch eine Gleichung auszudrücken, wenn die einzelnen F-Werte aus Versuchen bekannt sind, so ist doch wünschenswert, zu einer Gleichung zu kommen, um auch Schlüsse auf nicht untersuchte Konstruktionen ziehen zu können.

Wir wollen in folgendem nach der Methode der kleinsten Quadrate zwischen die verschiedenen F-Punkte eine Kurve interpolieren, welche sich der F-Linie möglichst anschmiegt, und wählen für den mathematischen Ausdruck derselben die von Bach-Schüle aufgestellte Formel:

S = OCj . <7m

aus Versuchen eine Kurve bestimmt werden, welche sich den Versuchs werten möglichst anschmiegt, so sind in der Gleichung:

log Ei — (m — 1) log <7

die Werte log E\ und (m — 1) als Unbekannte einzuführen und die Werte log er und log Ea aus Versuchen als bekannte Größen zu entnehmen.

Setzt man zur Vereinfachung log Et=x und (m — 1) = y, die gegebenen Größen log <7 = 6, log Ea = c, so lautet die Bedingungsgleichung:

r—by — c — 0.

Dies ist die Gleichung einer geraden Linie. Sind n Messungen für n Belastungsstufen vorhanden, so hat man aus den n Bedingungsgleichungen die zwei Normalgleichungen für die Unbekannten x und y zu bilden nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Die Normalgleichungen lauten:

[a a]x [ab] y [a c] = 0 [a b\ x -j- [b b] y -j- \b c] = 0.

Da die Koeffizienten von x, also alle Werte a — 1 sind, so sind für die n Bedingungsgleichungen:

[ab] = n

[ab] = [b]    = — Elog<7

[a c] = [c] = — E log Ea [b b] = [6²] = S (log a)2 [6 c] = [bc]= E log <7 . log Ea.

Hierin bedeuten die [ ] Klammern die Summen der n Glieder aus den einzelnen Gleichungen. Es ergibt sich aus den beiden Normalgleichungen m[c\-[b] [bc]

n . [6²] — [bf

n [b c] — [6] [c]

n [b²] — [b]²

oder mit Anwendung auf unsere Ausdrücke:

. <7.

Ea

oder

log Ex - -

n E log <7² — (E log c)²

In dieser Gleichung bedeutet Ex den Elastizitätsmodul für das Intervall von <7 = 0 bis <7=1, m ist ein Exponent, der für Beton größer ist als 1.

Die Gleichung besagt also gleichfalls, daß die Dehnungen schneller wachsen als die Spannungen.

Für Zug ist Ex kleiner und m größer als für Druck.

Will man die Gleichung in Beziehung bringen zu den aus Versuchen gewonnenen Werten E für gleiche Spannungen <7 und Dehnungen s, so müssen folgende beiden Gleichungen nebeneinander gelten:

IL.= E

Hieraus folgt:

III. Ea =

Hiebei ist Ea der bei Versuchen bei Eintreten der Spannung <7 bestimmte Wert oder der für einen Betonkörper zu berechnende, einer Spannung <7 entsprechende Wert des Elastizitätsmoduls, wenn Ex und m bekannt sind oder angenommen werden.

Durch Logarithmieren der Gleichung III erhält man:

log Ea = log Et — (m — 1) log <7 log Ex — (m — 1) log <7 — log E* = 0.

E (log s)? E log Ea — E log <7 E log a. log Fa

n. E log <7 . log Ea — E log er S log Ea n E (log er)² — (E log er)².

Dies ist die analytische Bestimmung von Ft und m aus gegebenen Versuchsresultaten.

Einfacher ist es in Fig. 3, die Logarithmen der Spannungen auf einer wagrechten Achse aufzutragen und dazu senkrecht als Ordinaten die Logarithmen der F-Werte. Die Verbindungslinie der Endpunkte ist ein gebrochener Linienzug, zwischen welchen eine Gerade interpoliert wird. Diese Gerade schneidet auf der Senkrechten durch den Nullpunkt der log rr-Achse den Wert log Et ab. Denn es ist in der Gleichung:

log Ea = log Ex — (m — 1) log (7 für a = 1; log <7 = 0, also log Ea = log Ex und Ea = Ev

Ferner ist für <t=10, log E₁₀ = log Ex — (m — 1) log 10 oder (m — 1) = log Ex — log F₁₀, da log 10 = 1 ist.

Um also m — 1 zu erhalten, braucht man nur im Endpunkte von log 10 eine Senkrechte zu errichten bis zum Schnitt mit der log F-Geraden und durch den Schnittpunkt eine Parallele zur log <7-Achse bis zum Schnitt mit der Ordinatenachse zu ziehen. Die Diskussion der Logarithmusgleichung liefert dann noch weiter für <7 = 0 den Wert F₀ = 00 und für <7 = 00 den Wert Em = 0.

Übrigens zeigt auch das Schaubild der Logarithmen der Elastizitätsmodulen, ob es wohl angezeigt ist, für alle

1*

i -l

Versuchswerte eine einzige Ausgleichgerade der Logarithmen zu bestimmen, oder ob man nicht bei zu großen Abweichungen der Punkte untereinander zwei oder mehr Geraden mit verschiedener Neigung gegen die log r>-Achse interpoliert.

&ZfT-;--—

uk-_

o—T

0,0928

H« 0.134

ssro^M

f-f in 0,206

Woof

■e- 0.278

oo 0.309

<r> 0.423

-7SV0 g

0.526

"V8i'0tof

ZS)

7.9

ir.

7.8

7.7

76

SU’C

A23'0 -(''fl

io 0,175

-cd 0.206

042’0

co 0,423

W'O cs,

9W'0 o¹

809'0 £

7.5

699'0 co’

S£8'o6

7,4

i¹³

\\

in.

7.2

7.0

6,9

0,05155

8Z60 0

^Si'o o»

SSl'Orf"

LIZ'O Cn)—

-f 0,278

OO 1---

—fo» 0.3505

8 0.3918

92^ 0 £

E2 0,50s"

95S'0 £

1W0 Cn

£80'tg

OSE'Uj

8GS%cd

6,8

6.7

6.6

6.5

6,4

IV

6.3

r3X°E

! 6.2

6.1---

6,0 -

<7,

5,9

* 0.031

2ZL0D ^

« 0,15<£

m‘o f

^ 0.2784

0.361

£2V0-j

4oo 0,505

\--f 0,566

8 0.588

693'0 £

ZWO ö

5,8

2°

woaf

0£i-v mf

55

2.450

Fig. 2.

5,4

kz-Ed.. h rZonnnp -2&-Cr fj% - ln fr ZSSnnn

\y

±=X:

561

-hwso—

u.KS r

—    \3QQi)oo-

VI

AS

5    6    7    8    9 10^11 12 13 1415 101718 20 22

l

I Fig. 3.

Zunächst soll die Berechnungsmethode an einem bereits vorliegenden Beispiele noch kurz erläutert werden:

Beispiel: Granit (Zug) siehe Bach, Elastizität und Festigkeit, 4. Auflage, Seite 67.

Tabelle.

log.G“ ^Axe

X¹

Also ist

30    35 40 45 50    6 0    70    80 30 WO

•=> 8 = .

235.000

—— <A³⁷.

125    150

ns 7,80 Kg. .

CÜ

log#

logo

log a2

log#. log <7

ipooo

CO Ö- 7—1 tH (M

ScOCOH di äi ob

OKtOOJ

146.900

109.900 87.400 75.900

5-1670    0-5441

5-0410    0-8451

4-9415    1-1461

4-8802    2-3224

0-2960

0-7142

1-3135

1-7487

2-8114

4- 2601

5- 6635

6- 4536

Von Bach ist angegeben E] = 235.000 und m = l⁻374. An gleicher Stelle hat Bach die Beziehungen zwischen Dehnungen und Spannungen von Körpern aus reinem Zement, aus Zementmörtel und aus Beton angegeben, wie sie sich aus Druckversuchen ergeben haben. Beispielsweise ist angegeben für eine Mischung:

1 Zement, 3 Donausand

Gvl6

315.000

kg/rn2

1200-50

20-0297    3-8577    4-0724

19-1876

Es ist:

1 Zement, 4y₂ Donausand c¹⁻¹⁷.

log E₁ ==

undm — 1 = —

Also ist:

£ log v² £ log E — £ log a . £ log <y. log E £ log er² — (£ log er)2 n £ log a . log E — £ log g . £ log E n £ log <7² — (£ log a)²

log E₁ =

4-0724.20-0297 — 3-8577.19-1876 4.4-0724 —3-8577

- =5-371.

E* = 235.000.

4.19-1876 — 3-8577.20-0297 4.4-0724 - 3-8577

= 0-37.

m = 0-37 + 1 =4-37.

230.000

Will man für die Betoneisenkonstruktionen, bei welchen fette Betonmischungen 1 :3 bis 1 :4 angewendet werden, einen Mittelwert für Ex und m einführen, so wähle

E± — 300.000 und m = 1*15, also e —

Gleichung die auch von W a y s s & Frey tag, „Betoneisenbau“ Seite 75, benutzt wird.

Mit Hilfe der Gleichung

log JE = log E₁ — (m — 1) log a

sind in folgenden Tabellen für s =    a¹'¹⁵, also E-, =

= 300.000 und m = 1-15, die zusammengehörigen Werte

300.000

man

ff¹'¹⁶, eine

10

11

12

13

14

15

16

17

18

20

22

25

30

35

40

45

50

60

70

80

90

100

125

150

175

200

Druck (-------Linie, Fig. 3).

feil ►“

: e x' io«

300.000

270.000 254.000 244.000 236.000 * 229.000 224.000 220.000 216.000 212.000 209.000 207.000 204.000 202.000 200.000 198.000 196.000 194.000 191.000 189.000 185.000 180.000 176.000 173.000 170.000 167.000 162.000 159.000 156.000 153.000 150.000 145.000 141.000 138.000 136.000

0-0000033

0-0000037 0-0000039 0-0000041 0-0000042 0-0000044 0-0000045 0-0000045 0-0000046 0-0000047 0-0000048 0-0000048 0-0000049 0-0000050 0-0000050 0-0000051 0'0000051 0-0000052 0-0000052 0-0000053 0-0000054 0-0000056 0-0000057 0-0000058 0-0000059 0-0000060 0-0000062 0-0000063 0-0000064 0-0000065 0-0000067 0-0000069 0-0000071 0-0000072 0-0000074

3-3. f()6

25

7-4

75

11-7

16-4

21-0

26-4

31-5

36-0

41-4

47-0

52-8

57-6

63-7

70-0

75-0

81-6

86-7

93-6

104

117

135

168

200

232

266

300

372

441

512

585

670

863

1065

1260

1480

von a, s und E zusammengestellt, u. zw. in der ersten Tabelle nach den Spannungen, in der zweiten Tabelle nach den Verkürzungen geordnet. Die zweite Tabelle ist aus der graphischen Konstruktion der A-Linie mit Hilfe der ersten Tabelle entstanden. Diese Tabelle enthält auch die zu jeder

. Der Elastizitäts-

E

Verkürzung gehörige Verhältniszahl ——

Eh

modul A’e ist dabei zu 2,000.000 angenommen. Schließlich sind noch die zusammengehörigen, gleichen Verkürzungen entsprechenden Eisen- und Betondruckspannungen angegeben, welche gleichfalls das Verhältnis m haben. Die

E

Eisenspannungen und ⁶

Werte von 2000 kg/cm² an sind

eingeklammert, weil bei der Annahme der Proportionalitätsgrenze des Eisens bei etwa 2000 Ag/cm², nach Überschreiten derselben der Elastizitätsmodul des Eisens ebenfalls abnimmt und die Eisenspannungen langsamer wachsen als die Dehnungen.

E

Für die Bestimmung der Koeffizienten E₁ und m = ——

Eb

aus Zugversuchen waren mir zunächst die Mitteilungen in Wayss & Freytag, „Betoneisenbau“, zugänglich.

In folgendem seien die Resultate der nach den aufgestellten Gleichungen von mir angestellten Berechnungen mitgeteilt; die Berechnungen wurden außerdem graphisch geprüft.

V ersuch I. Mischung 1 : 3, Wasserzusatz 8°/₀, Giltigkeit der Gleichung bis a = 9-2 kg/cm² Zug:

Ex = 293.500, m= 1-17 293.500

Versuch II. Mischung 1:3, Wasserzusatz 14%, Giltigkeit der Gleichung bis r; = 7⁻7 kg/cm² Zug:

also

rH rH

225

275

325

375

425

475

525

575

625

675

725

775

825

875

925

975

1025

1075

1125

1175

1225

1275

1325

1375

1425

1475

Druck (in Fig. 4 oben dargestellt).

cse kgjcmZ

atj kgjcm^

235.000

200.000

188.000

180.000

175.000

170.000

166.008

163.000

160.000

158.000

156.000

154.000

152.500 151.000

149.500 148.000 147.000 146.000 145.000 144.000 143.000 142.000 141.000 140.000 139.000 138.000

137.500 137.000

136.500 136.000

^-'s/'--S

__✓ 'w'    '---' '---------X V_X

50

150

250

350

450

550

650

750

850

950

1050

1150

1250

1350

1450

1550

1650

1750

1850

1950

(2050)

(2150)

(2250)

(2350)

(2450)

(2550)

(2650)

(2750)

(2850)

(2950)

cDGeoo-<ia:csm^o$c#i>©^

oi öi 01 ör o*

tO tH CO O

yH rH t—I y—I -rH rH vH vH y-H vH vH vH yH vH y-H vH G^l

CC

Ex = 245.500, m = 1-15,

___ (J¹'¹⁵ .

245.000

Versuch III. Mischung 1:4, Wasserzusatz 8%, Giltigkeit der Gleichung bis <r = 7-8 kg fern?'.

Ex = 299.000, m₁ = 1-22,

299.000 Crl22*

also

also

E=z

Versuch IV. Mischung 1:4, Wasserzusatz 14%, Giltigkeit der Gleichung bis er = 6-2 kg/cm¹:

E₁ = 294.000, m₁ = 1-23,

(7¹'²³.

also

294.000

Instruktiver sind die Versuche von Grut und Nielsen Dem Vortrag von J. Spitzer „Über Versuchsergebnisse bei Erprobung von Beton und Betoneisenkonstruktionen, Wien 1901“ sind die in Fig. 2, I bis IV dargestellten Dehnungskurven der Versuchskörper entnommen.

Die Berechnung lieferte folgende Gleichungen der Dehn ungskurven:

I. Grut und Nielsen I bis 15 kg/cm¹ Spannung:

£ =

283.000 ffl22‘

II. Grut und Nielsen II bis 14 kg/cm¹ Spannung

(Bruch):

(Bruch):

291.000    ¹⁷'

III. Grut und Nielsen III bis 19 kg/cm¹ Spannung

-ffi-n

212.000

IV. Grut und Nielsen IV bis 18 kg/cm² Spannung:

- ■    ¹    - CT¹'⁸⁹.

342.000

1-09

202.000 *

<A²².

1-39

289.000

c) für das Intervall von 14 bis 18 kgjcm²

a1 11

a351

Aus der näheren Untersuchung der Dehnungsdiagramme ergibt sich, daß sich der ganze Verlauf der Abhängigkeit zwischen Dehnung und Spannung nur schlecht durch eine Gleichung zum Ausdruck bringen läßt.

Die Dehnungen wachsen bei niedrigen Spannungen ziemlich proportional den Spannungen, während sie bei höheren Spannungen viel schneller als diese wachsen. Wir haben die Kurve I zunächst näher untersucht und die Dehnungsgleichungen aufgestellt für die Intervalle von 0 bis 9 kg/cm², für 0 bis 12 kgjcm² und für 0 bis 14 kgjcm². Dieselben lauten:

a) für 0 bis 9 kg/cm?

£ =

b) für 0 bis 12 kgjcm²

£ _____ <yl-01

223.000    ’

c) für 0 bis 14 kgjcm?

- avn.

249.700

In dem Intervall von 14 auf 15 kg/cm? findet ein derartiger Dehnungszuwachs statt (größer als in dem Intervall von 0 bis 14 kg/cm?), daß bei Berücksichtigung dieses Intervalls die Dehnungsgleichung nunmehr sich darstellt in der Form:

283.000

Vergleicht man die berechneten Gleichungen, so zeigt sich ein stetes Wachsen der Werte A’1? je mehr man die höheren Spannungen in die zu berechnende Kurve einschließt:

Der Exponent m wird sehr beeinflußt durch das Schwanken der Dehnungskurve; bald wachsen die Dehnungen schneller, bald langsamer in den Intervallen zwischen den einzelnen kg/cm² Spannungswerten. Ein langsameres Wachsen der Dehnungen bedingt eine Abnahme von m, ein schnelleres Wachsen eine Zunahme von m. Diesen Erwägungen entsprechend haben wir für Kurve IV drei Berechnungen durch geführt:

a) für die ganze Kurve IV von 0 bis 18 kgjcm². Man erhielt, wie oben mitgeteilt, die Gleichung:

£    342.000 *

b) für das Intervall von 0 bis 14 kg/cm²

a¹’²⁶.

Auf der wagrechten Achse sind die log a-Werte, auf der da zu senkrechten Achse die log A’-Werte aufzutragen. Als Maßstab der log ^-Achse ist die untere Teilung des 25 cm-Rechenschiebers benutzt. Der O-Punkt der log A-Achse hat den Anfangswert erhalten log E — 4-5000. Jedem Teilstrich auf dieser Achse entspricht ein Zuwachs von 0*1. Zunächst sind die den einzelnen Spannungen entsprechenden log A-Werte nach log E == log a — log £ aus der Dehnungskurve IV eingetragen. Die Endpunkte der log A’-Werte sind durch einen Linienzug verbunden. Man erkennt, daß der Linienzug von 0 bis 14 kg/cm² Spannung ziemlich stetig zur log cr-Achse abfällt. Von 14 bis 18 kgjcm² erhält der Linienzug einen scharfen Knick nach unten und die log A’-Werte nehmen nun bedeutend schneller ab.

In der Figur sind nunmehr die den oben angegebenen drei Kurven entsprechenden, die Logarithmengleichung zur Darstellung bringenden Geraden eingetragen.

Das Einträgen geschieht in folgender Weise:

Auf der log A-Achse wird der Wert log E₁ aufgetragen. Im Endpunkt von log (10) kgjcm² trägt man den Wert log A₁₀ = log Et — (m — 1) auf. Die Verbindungsgerade von den Endpunkten der Werte log E₁ und log Ei0 ist die verlangte Gerade.

Man erkennt aus der Figur, daß die Ersetzung des gebrochenen Linienzuges durch zwei Gerade genauere Annäherung liefert als diejenige durch eine Gerade. Gleichfalls zeigt die Figur, daß die durch die Berechnung gewonnenen Werte E und m Gerade liefern, welche sich sehr gut dem Beobachtungsmaterial anschmiegen.

Hinsichtlich der Kurve III soll bemerkt werden, daß in der Gleichung

212.000

Am einfachsten ist es, wenn man die Anordnung so w

IV-301081

¹

— GSGi

145,500.000

Die Kurve IV zeigt ebenso wie die Kurven I und III von 14 kg/cm² Spannung ab ein vergleichsweise schnelleres Wachsen der Dehnungen als vorher.

Daher wurde für die durch diesen Spannungswert getrennten Intervalle die Berechnung einer Kurve besonders durchgeführt.

Die zweite Kurve hat einen viel größeren Wert von m. Die Dehnungen wachsen fast mit der vierten Potenz der

Spannungen. Dafür ist aber die Konstante a = bedeutend geringer. Ex würde den Elastizitätsmodul für 1 kgjcm? Spannung bedeuten, wenn die Kurve auch in dem Intervalle von 0 bis 14 kgjcm? Giltigkeit hätte. Sämtliche Gleichungen sind auch noch graphisch kontrolliert.

In Fig. 3 ist nach dem von uns oben abgeleiteten Verfahren die Gleichung:

log Ea = log A₁ — (m — 1) log o für die Kurve Grut-Nielsen IV graphisch dargestellt.

212.000

der Exponent m —141 stark beeinflußt wird durch das langsame Wachsen der Dehnungen in dem Intervalle von a = 8 kg/cm? bis a = 14 kg/cm². Während der Verlauf der Dehnungskurve bis 8 kgjcm² Spannung nahezu derselbe ist wie bei Kurve I, wachsen in dem genannten Intervalle die Dehnungen sogar langsamer als die Spannungen, um dann von 14 kg/cm² Spannung ab sehr stark, wenn auch mit Schwankungen, zuzunehmen.

Trägt man in der beschriebenen Weise die log A’-Werte auf, so erhält man einen Linienzug, der bis 14 kgjcm² langsam gegen die log a-Achse ansteigt, von dieser Spannung aber ab sehr stark gegen die loga-Achse fällt.

Für das erste Intervall heißt die Dehnungsgleichung dementsprechend:

¹    a°-9

200.000

und für das zweite Intervall

177,000.000

Die Richtigkeit beider Gleichungen ist graphisch kontrolliert.

Aus den mitgeteilten Versuchsresultaten scheint hervorzugehen, daß der Beton auf Zug bis zu einer gewissen Grenze, der Streckgrenze, sich ähnlich verhält wie gegen Druck. Von dieser Grenze an wachsen die Dehnungen bedeutend schneller als die Spannungen.

Für reine Betonkonstruktionen ist die Zugfestigkeit die Grenze dieser zweiten Phase.

Bei Betoneisenkonstruktionen aber schließt sich noch eine dritte Phase an.

Nach den C o n s i d ere’schen Versuchen ist der Beton im Verbundkörper, selbst wenn die Spannungen die Zugfestigkeit der reinen Betonkörper erreicht haben, noch bedeutender Streckungen fähig.

£ E ~ 2,000.000 — 1000

nach der Gleichung

Das Eisen hindert im Beton das Entstehen der lokalen Risse oder die Bildung der sogenannten Einschnür-stelle. Hiedurch wird der Zustand des Fließens des Betons verlängert. Es scheint erwiesen, daß Risse erst eintreten, wenn das Eisen seine Proportionalitätsgrenze überschritten hat.

Nehmen wir diese bei 2000 kg/cm² Spannung an und beträgt der Elastizitätsmodul des Eisen Ee = 2,000.000, so ist die entsprechende Dehnung des Eisens:

2000

Aus diesen Gleichungen ergeben sich durch Rechnung folgende Werte, welche tabellarisch zusammengestellt sind.

I. Von 1 bis 15 kg/cm? Zug

£    250.000 a 2

berechnet nach log E = log 250.000 — 0-2 log n.

e~lf ' TÖe

also auf 1 m Meßlänge bezogen ist e = 1 mm.

Da wir im Verbundkörper gleiche Formänderungen annehmen, solange die Konstruktion noch rißfrei ist, so ist die Dehnung des das Eisen einhüllenden Betons dieselbe.

Bei dieser Dehnung befindet sich der Beton in der dritten Phase, in welcher derselbe seine größte Zugspannung (die Zugfestigkeit des reinen Betons) konstant beibehält, da man doch nicht annehmen kann, daß durch die Eiseneinlagen die Zugfestigkeit des Betons als solche erhöht wird.

10

11

12

Für den kritischen Zustand des Anrisses ist daher der Elastizitätsmodul des Betons auf Zug:

13

14

15

250.000

218.000

201.000

189.000

181.000

175.000

169.000

165.000

161.000

158.000

155.000

152.000

150.000

148.000

146.000

0-0000040

0-0000046

0-0000050

0-0000053

0-0000055

0-0000057

0-0000059

0-0000061

0-0000062

0-0000063

0-0000065

0-0000066

0-0000067

0-0000068

0-0000068

4-0. i

10«

9-2

15-0

21-2

27-5

34-2

41-3

48-8

55-8

63-0

71-5

79-2

87-1

95-2

102-0

ttt    ''max

= 1000 a

max*

1000

nach der Gleichung

II. von 14 bis 25 kg/cm² Zug

3-6

Die Zugfestigkeit wird nach den Versuchen von H ani s ch und Spitzer im Mittel zu 25 kg/cm2, angenommen für die Betonmischungen:

1 Zement und 3—4 Teile Sand.

Demnach würde der Elastizitätsmodul des Betons auf Zug bei dem Zustand des Anrisses abgenommen haben bis zu: Ez = 1000.25 = 25.000.

Daher wäre für diesen Fall

150,000.000

berechnet nach log E = log 150,000.000 — 2-6 log

E X ' 10«

2,000.000

Ez

25.000

= 80.

^ iO er

tH -rH tH i-H

In der dritten Phase wird also konstante Spannung des Betons angenommen. Hieraus ergibt sich, wie oben ausgeführt wurde, ein hyperbolischer Verlauf der E-Linie.

Da wir für die weiter folgende Behandlung der Theorie der Beton- und Betoneisenträger einen bestimmten Verlauf der E-Linie annehmen müssen, um überhaupt Zahlenbeispiele berechnen zu können, wollen wir nunmehr folgende Zahlenwerte zugrunde legen:

I. Phase bis ca. 15 kgjcm*

tsD CO CO M ÜIMO00

157.000

131.000

111.000

95.000

82.000

62.000

48.000

35.000

0-0000064 0-0000076 00000090 0-0000105 00000122 0-0000161 0 0000208 0-0000286

ch ^ ^ o cn

CO H *r b* ^1 (M iO 1 tH rH rH CNl CO

in.

Abnahme des Elastizitätsmoduls bei konstanter Spannung crmax = kg/cm2 nach der Gleichung

Ez = —

n    •

— .10⁶.

— in Fig. 3). = 25 kg/cm?

iBtpUöö03 6    in Fig-³⁾-

250.000

E=-l

II. Phase von ca. 15 kg/cm² bis a

max*

-

05 I

25,000.000

= 33.300 25,000.000 _ m

750

a5( *

III. Phase: sz =

abnehmend bis 25.000.

25,000.000

950

26.300

log Ea = log Ey — (m — 1) log <7 entsprechen, gleichfalls eingetragen.

beide anschmiegende kurze Kurve

Für die erste Phase bis zur Streckgrenze ist E₁ etwas kleiner und m etwas größer als wie bei der Dehnungsgleichung der Druckseite angenommen.

Für die zweite Phase sind die Werte höher angenommen, um das schnelle Wachsen der Dehnungen zum Ausdruck zu bringen.

In Fig. 3 sind die Geraden, welche den zugehörigen Gleichungen:

etc.

Mit Hilfe der in den Tabellen I bis III aufgeführten Werte sind die E-Linien aufgetragen. Die den Tabellen I und II entsprechenden E-Linien schneiden sich in einer Spitze, an der Übergangsstelle sind daher die Kurven durch eine dritte, sich an ausgeglichen.

Nunmehr sind, wie auf der Druckseite, die zugehörigen Spannungen und E-Werte nach Dehnungen geordnet in folgender Tabelle zusammengestellt.

E=

*•105

25

75

125

175

225

275

825

375

425

475

525

575

625

t" ö o « o t - CN L— CN SO L— C- GO

875

925

975

Zug (in Fig. 4 unten dargestellt).

Eisenspannung

17

Dieselbe lautet:

de

50

150

250

350

450

550

650

750

850

950

1050

1150

1250

1350

1450

1550

1650

1750

1850

1950

Betonzugspannung

(aufi^A/abgerundet)

oder da a = A. s ist:

ei    eu

[n .df — Ja d f

0 Drück 0 Zug

4⁻5

10-5

14-5

16-5

18-5

19-5

20-5

21

21-5

22

22-5

23

23-5

24

24-5

25

25

25

25

25

In Fig. 4 sind auf einer senkrechten Achse die Dehnungen und in den Endpunkten der Dehnungen die zugehörigen Elastizitätsmoduln und die Spannungen aufgetragen. Man erhält hierdurch die durch die A-Linien begrenzten A-Flächen und die Spannungs-Diagramme auf der Zug- und Druckseite.

Auf der Zugseite ist als untere Grenze die Proportionalitätsgrenze des Eisens angenommen, welche bei 2000 hg/cm² Spannung festgesetzt ist.

Auf der Druckseite ist als obere Grenze die Druckfestigkeit des Betons angenommen, welche auf 200 fy/m2 für guten Beton festgesetzt ist.

Es soll bemerkt werden, daß die berechneten Zahlenwerte nur als ein Beispiel angesehen sein wollen, welches benutzt werden soll, um den nächstfolgenden Untersuchungen als Unterlage zu dienen.

Es muß weiteren Versuchen überlassen werden, die einzelnen A-Werte besonders für die Zugseite für die schiedenen Mischungsverhältnisse noch genau zu bestimmen.

Für schwach armierte Platten, deren Bruch durch Zerreißen der Eisenstangen erfolgt, muß die Figur auf der Zugseite mit Berücksichtigung des nach Überschreiten der Proportionalitätsgrenze veränderlichen Elastizitätsmoduls des Eisens weiter fortgesetzt werden.

Die in der Fig. 4 angegebene untere Grenze auf der Zugseite entspricht dem kritischen Zustand des Anrisses in der Voraussetzung, daß die Risse im Beton erst ein-treten, wenn der Fließzustand des Eisens beginnt, also die Proportionalitätsgrenze desselben überschritten ist.

Soll die Gestalt der A-Fläche durch geradlinige Begrenzung vereinfacht werden, so ersetzt man sie auf der Druck- und Zugseite durch Trapeze. Hiedurch erhält man, oben schon ausgeführt, parabolische Spannungsver-

ver-

wenn

eI

[E .e.df —

0 Druck

fo

Da das Ebenbleiben der Querschnitte vorausgesetzt wird, so ist:

£ : Ei —■. x: ei und £: su = x: en

wenn x den für jedes Flächenteilchen veränderlichen Abstand von der Nullinie bedeutet, und wenn £i und ej, Sn und en die den äußersten Fasern zukommenden Dehnungen und Abstände von der Nullinie sind.

Demnach geht die Grundgleichung über in:

gibt sieb:

ei

en

I Edf.x=^

Druck

en

j E d f. x.

0 Zua

Läßt man die gleichen Größen ~ und — weg, so er

ei

\E.df .x

0 Druck

Zug

. X.

Da die Dehnungen proportional sind den Abständen von der Nullinie, so kann man das Schaubild (Fig. 4) auch auffassen als Darstellung der Spannungsverteilung und der Veränderlichkeit des Elastizitätsmoduls in einem Balken beliebiger Höhe, der auf Biegung beansprucht wird und der in der wagrechten Achse seine Nullinie hat.

Die A-Fläche behält ihre Bedeutung, nur sind die A-Werte in den zugehörigen Abständen von der Nullinie aufgetragen.

wie

teilung.

III.

Die Anwendung' von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Normalspannungen der Beton- und Betoneisenträger. *)

Die Lage der Nullinie eines Balkens wird bestimmt durch die Gleichung der wagrechten Kräfte.

*) In dem Aufsatze: „Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Beton- und Betoneisenträger“ in Dinglers „Polyt. Journal“, Heft 49/50 1903, ist die Behandlung der Beton- und Betoneisenträger auf derselben Grundlage durchgeführt, jedoch mit der Vereinfachung, daß zwar der Elastizitätsmodul auf Druck von dem auf Zug verschieden, aber beide für denselben Querschnitt konstant, und zwar mit verschiedenen Werten für verschiedene Belastungszustände angenommen sind. Unter dieser Annahme werden die A-Flächen Hechtecke verschiedener Breite. Hier ist die Aufgabe auf Grund der vorhergehenden Untersuchungen allgemeiner behandelt.

Insbesondere erhält der Ausdruck \Edfx die Be-

0

deutung des statischen Momentes der A-Fläche in Bezug auf die Nullachse, wenn die Breite der Flächenstreifen df parallel zur Nullinie konstant ist. Ist dies nicht der Fall, so muß man aus der A-Fläche eine neue konstruieren, bei welcher jeder Wert von E mit der zugehörigen Breite des Balkens multipliziert ist.

Wir setzen bei dieser allgemeinen Behandlung konstante Breite, also rechteckigen Querschnitt

Nunmehr zerlegen wir die A-Fläche in parallele Streifen und fassen die Flächengrößen der einzelnen Streifen als Kräfte auf. Wir zeichnen zu beiden Kräftegruppen der Druck- und Zugzone zwei besondere Seilecke mit dem gleichen Polabstand H von der Nullinie ausgehend.

Mit Hilfe dieser beiden Seilecke, die wir H-Linie und und Z-Linie nennen wollen, lassen sich zunächst zusammengehörige Spannungswerte von Zug und Druck für reine Betonkörper bestimmen.

voraus.

Man bestimmt auf der Z-Linie einen Punkt, im Abstand en von der Nullinie und legt durch denselben eine Tangente an die Z-Linie. Dieselbe wird verlängert bis Schnitt mit der Nullachse. Durch den Schnittpunkt legt eine Tangente an die Z)-Linie. Der Berührungspunkt hat von der Nullachse die Entfernung er. Zieht man durch die Berührungspunkte Parallele zur Nullachse in die A-Fläche und Spannungsdiagramme, so werden die zugehörigen Werte:

man

herausgeschnitten.

zum

A, und Au, und gu

In Fig. 5 ist der mittlere Teil der Fig. 4 in doppeltem Maßstab mit kleiner Polweite noch einmal gezeichnet. Mit Hilfe derselben sollen die der Biegungsfestigkeit einer reinen Betonplatte entsprechenden Werte:    und an,

ei und en festgestellt werden.

Die Biegungsfestigkeit ist abhängig von der Betonzugfestigkeit bezw. Dehnungsfähigkeit. Letztere wird 0'3 mm pro m angenommen. Hiedurch ist der Ausgangspunkt der Konstruktion in Fig. 5 bestimmt. Die ermittelten Werte sind:

°1

eII

IjEdfx* -f- jfldfx²

.o

eI

zu

eii

en

-0

Druck

Zug

°II

E.df.x²-f- j E.df.x² .

Druck

Zug

cti Druck = 35 kg/tm2 an Zug = 20 kg/cm?

Man kann weiter setzen:

Ol

Ei

ei Druck

3-9

en Zug 6*1

0-64

und

oder

ei

3-9

Sn —

Oh

ez -j- en

10-0

= 0-39

und

en

6-1

En

Mit diesen Werten geht die Gleichung über in:

10-0

= 0-61.

ei + en

Bezüglich der Konstruktion des Krafteckes ist noch folgendes zu bemerken. Die einzelnen Streifen der A-Fläche werden als Trapeze aufgefaßt, deren mittlere Höhen die angegebenen A-Werte sind. Bei der geringen Breite der Trapeze wird die Schwerlinie als mit diesen mittleren Höhen zusammenfallend angenommen.

Da die Streifen alle dieselbe Breite haben und auch rechteckiger Querschnitt vorausgesetzt ist, so sind die aufgetragenen A-Werte den Inhalten der einzelnen Streifen der A-Fläche, multipliziert mit der Tiefe des rechteckigen Querschnittes proportional.

Wir können auch sagen:

In der Grundgleichung:

M = rn.

ei    ⁶¹¹    1

JEdfx² -f- J Edfx²\ .0    o    J

ei . Ez

und

M=Gn.

r eI    eTI

{E.df.x'² + iEd fx²

-0

eii • EZI

Der Klammerausdruck des Zählers ist das Trägheitsmoment der mit den jeweiligen Querschnittsbreiten multiplizierten A-Flächen streifen auf der Druck- und Zugseite in Bezug auf die Nullinie und werde mit Ja bezeichnet.

Setzt man noch

ei    en

\E. df . x = \ Ed f x

0    Druck 0 Zutr

ist für alle Flächenstreifen df konstant. Setzt man daher 1, so geht die Gleichung über in

und

Ja

ei.Ex

= W!

Ja

= Wn,

ßII

\E.x.

ei

f E. x

0 Druck 0 Zug

en • En

so bedeuten Wz und Wu die Widerstandsmomente für die äußersten Fasern und es ist:

Die A-Werte drücken also gewissermaßen die Leistungsfähigkeit jedes einzelnen der gleichen Flächenstreifen aus.

Im Kräftemaßstab ist als Einheit der E-Werte ge

Ol =

KT

und

°n =

wählt:

Wu

1 cm = 100.000.

Der Polabstand H ist gewählt:

für Fig. 4 H für Fig. h H— 1,000.000.

Zur Bestimmung der Aufnahmsfähigkeit einer bestimmten Belastung, bezw. eines äußeren Momentes ist die Momentengleichung erforderlich.

Dieselbe lautet:

1,500.000

® c-------

o d f. x -f-

o . dfx.

Druck

Zng

Man ersetzt wieder unter dem Integralzeichen die Werte n . df. x durch E. — .df.x oder E. — .df.x.

Druck ei    Zug en

Dann ist:

ei

en

M= —[E.df.x 2 + £n

en

E.df.x².

Die Spannungsberechnung ist hiedurch auf die einfachen Biegungsformeln zurückgeführt.

Wi und W\i haben die Bedeutung der Widerstandsmomente für die äußersten Fasern. Das Trägheitsmoment Ja eines Betonkörpers ist also durchaus abhängig von der Beanspruchung.

Der Ausdruck Ja ist gewählt, um anzudeuten, daß der Begriff des Trägheitsmomentes in obigem Sinne erweitert ist, er ist also nicht mit dem rein geometrischen Begriff J der Festigkeitslehre identisch.

Die analytische Berechnung desselben ist umständlich. Einfacher und vor allem anschaulicher ist die graphische Lösung der Aufgabe.

Nachdem auf dem oben gezeigten Wege die zusammengehörigen Werte az und ad bestimmt sind, erhält man durch die D-Linie, die Z-Linie und die zugehörigen von der Nullachse ausgehenden Tangenten eine geschlossene Figur, deren Inhalt mit F bezeichnet werden möge.

Nunmehr ist:

Druck

Zug

Ja, = 2 F. H.

Daher muß die Achse, von welcher die D-Linie und die i>-Linie ausgehen, die Nullinie eines Balkens sein, dessen äußerste Fasern unter der Spannung <>i und au stehen, und die Werte ei und eu sind die Abstände der äußersten Fasern von der Nullinie.

Wenn auf diese Weise die Lage der Nullinie eines Balkens von der Höhe h=z eL -J- en richtig bestimmt ist, läßt sich nunmehr der zweite Satz von Mohr von der graphischen Berechnung des Trägheitsmomentes ohneweiters an wenden.

Ja

Fi ei '

Mit dem zugehörigen, aus der D-Fläche entnommenen Werte von E\ — 178.000 und mit ei — 3-9 ist:

= 1734 m³.

Wx =

178.000.3-9

1667 cms.

OS

= 36-4 kg/cm².

Hiebei ist:

r ei    en

[Edfx²+[dfx²

L o    o

und H der Polabstand des zur Konstruktion der D-Linie und Z-Linie verwendeten Krafteckes.

Die Ja-Fläche gehört zu einem Balken von der Höhe:

h — ei -f- Gn

und läßt sich leicht auf jede Balkenhöhe reduzieren.

Wir haben bei der Bestimmung der zusammengehörigen Werte ex und en, der Abstände der gewissen zusammengehörigen Spannungen entsprechenden äußersten Fasern von der Nullachse und bei der graphischen Ermittlung des Trägheitsmomentes Gebrauch gemacht von den bekanntesten Sätzen der graphischen Statik:

1. Das statische Moment mehrerer Parallelkräfte in Bezug auf eine parallele Achse ist gleich dem Produkte aus dem Polabstande H und dem Abschnitte y₁ welchen die die Kräfte einschließenden äußersten Seilecksseiten auf der Achse abschneiden:

S = H.y.

2. Das Trägheitsmoment mehrerer Parallelkräfte in Bezug auf eine parallele Achse ist gleich dem doppelten Produkte aus der Fläche, welche von dem die Kräfte einschließenden Seilzuge (einschließlich Schlußseite) und der Achse eingeschlossen wird, und aus dem Polabstande:

r/= 2 II . F.

Der Satz 1 wird benützt zur Bestimmung der Werte ei und eLi.

Das statische Moment der D-Fläche auf der Druckseite muß gleich sein dem statischen Moment der D-Fläche auf der Zugseite für zusammengehörige Werte ad und az. Legt man daher durch einen Punkt der Nullinie zwei Tangenten an die D-Linie und die Z-Linie, so können diese aufgefaßt werden als Schlußseiten von Seillinien, welche auf beiden Seiten der Nullinie Parallelkräfte einschließen. Die statischen Momente dieser beiden Kräftegruppen in Bezug auf die Nullinie sind gleich, weil die Abschnitte zwischen den Seilecksseiten auf der Nullinie gleich sind und weil der Pol H für die D-Linie und Z-Liinie gemeinsam ist.

Die Berechnung der J-Fläche geschieht mittels Planimeters oder mit Hilfe der SimpsoAschen Regel, welche schon mit wenig Teilungen gute Werte liefert.

Es soll noch erwähnt werden, daß zur genaueren Konstruktion der Tangenten die Seilecksseiten der D-Linie und Z-Linie bis zur Nullachse sämtlich verlängert sind, so daß es sehr bequem ist, zwischen diese eine Tangente zu interpolieren, bezw. den Berührungspunat mit großer Genauigkeit anzugeben.

Außer der Figur 4, welche zur Berechnung bei sehr hohen Spannungen benützt werden soll, ist der mittlere Teil der Figur in doppeltem Maßstabe noch einmal dargestellt für die genauere Ermittlung bei niedrigen Spannungen (siehe Fig. 5), wie bereits oben erwähnt.

Bevor wir auf die weitere Behandlung der Beton eisen-träger näher eingehen, wollen wir das Verfahren an einem Zahlenbeispiel erörtern.

Oben wurde die der Zugfestigkeit az = 20 kg/cm¹ entsprechende Druckspannung = 35%/cm² bestimmt. Die zugehörigen Werte ei und en ergeben sich zu 3'9 cm und 64 cm für einen Balken von 10 cm Höhe.

Es soll das Moment berechnet werden, welches dieser Balken aufnehmen kann. Die Tiefe des Balkens soll 100 cm betragen. Zunächst wird die Ja-Fläehe berechnet. Dieselbe kann aufgefaßt werden als Differenz eines Trapezes und einer durch die D-Linie oder Z-Linie begrenzten Fläche, deren Inhalt sich leicht nach der S i m p s o Aschen Regel bestimmen läßt.

Es genügt, die mittlere Ordinate festzustellen.

Dann lautet die SimpsoAsche Regel:

“g" {Vo + ^ ym -J- yt).

In unserem Falle ist y₀ = 0.

Daher ist mit den Zahlenwerten der Fig. 5:

o) auf der Druckseite:

Ft = 39    (35-6 -f 18-5) — ~ (4.21-8 -f 35-6)

= 256-62 *²;

b) auf der Zugseite:

F₂ = 61 y (50 + 18-5) — -g- (4.30-5 + 50-0)

= 340-38 mm².

Die gesamte Fläche hat den Inhalt:

F = 256-62 -f- 340-38 — 597 mm².

Das Trägheitsmoment berechnet sich nach:

J* = 2H.F mit H = 1,000.000 und F — 597 zu

Ja = 1.194,000.000.

Das Widerstandsmoment berechnet sich nach der Formel: Wt =

1.194,000.000 _ 1.194,000.000 694.200

Daher ist das Bruchmoment der reinen Betonplatte:

Mhx = crx. Wi = 35.1734 = 60.690 cm/kg.

Die Höhe des Balkens ist:

h = ex en = 3*9 -|- 6-1 = 10 cm.

Nach den gewöhnlichen Biegungsformeln ist das • Widerstandsmoment für einen Balken von 10 m Höhe:

dh²    100.10²

Daher wäre die Biegungsfestigkeit der Betonplatte, nach dieser Formel berechnet:

M _ 60.690 W ~ 1667

wenn angenommen wird, daß der Beton bei 0-3 mm per m Dehnung reißt, und wenn seine Elastizitätsverhältnisse mit den angenommenen übereinstimmen.

Das Resultat unserer Berechnung stimmt ganz gut mit den Versuchsergebnissen überein. Die größte Zugspannung ist fast halb so groß wie die nach den gewöhnlichen Biegungsformeln ermittelte Biegungsfestigkeit.

Aus dem durchgeführten Beispiele erkennt man, daß die angewendete graphische Methode geeignet ist, die

Spannungsverteilung in einem Träger bis zum Bruche zu verfolgen.

Nunmehr wollen wir die Methode auch auf die Be

rechnung von Betoneisenträgern ausdehnen.

Bekanntlich haben wir in der Einlage von Eisenstäben auf der Zugseite ein Mittel, die Druckfestigkeit des Betons besser auszunützen. Die Zugspannungen des Betons werden durch das Einlegen der Stäbe gewissermaßen in ihrer Wirkung auf den Grad der Sicherheit der Konstruktion unschädlich gemacht, da die Eiseneinlagen das Entstehen von Kissen verhindern, solange die Proportionalitätsgrenze der Eisenspannungen noch nicht überschritten ist.

Es kommt also nach dieser Anschauung auf die Druckfestigkeit des Betons und auf die richtige Wahl der Eisenmenge in erster Linie an. Gleichwohl soll man aber die Zugfestigkeit des Betons nicht ohneweiters bei Seite setzen, denn wenn auch durch das Einlegen von Eisenstäben die Fließgrenze des Betons verlängert wird, so muß sich ein Beton mit höherer Zugfestigkeit immer noch günstiger verhalten als ein Beton mit niedriger Zugfestigkeit, ganz abgesehen davon, daß die Adhäsionskraft des Betons am Eisen bei den fetteren Betonsorten mit größerer Zugfestigkeit größer ist.

In dem Spannungsdiagramm auf der Zugseite ist das Diagramm der Eisenspannungen hinzugefügt (siehe Fig. 4 und 5). Entsprechend der Annahme, daß im Verbundkörper die Formänderungen von Beton und Eisen gleich sein müssen, ist für die Stelle der Eiseneinlage:

Dieser fehlende Beitrag wird durch die Eiseneinlage

h

geleistet. Die Eiseneinlage kann etwa -q- über der äußersten

8

Zugfaser angenommen werden. Hiedurch wird ein Punkt C auf der Tangente der Zugseite bestimmt. Man verbindet noch C mit A. Dann entsteht ein Dreieck. Dieses Dreieck, welches in Fig. 5 schraffiert ist, ist der Beitrag der Eiseneinlage zur «/-Fläche.

Der analytische Ausdruck für die Bestimmung der Nullinie ergibt sich aus der Gleichung der wagrechten Kräfte zu:

ei    en

fEdf.x= fEdfx -1- Ee . fe.xe.

o Druck

Ebenso erhält man den für die Berechnung der Tragfähigkeit des armierten Balkens wichtigen Ausdruck ./a aus der Momentengleichung:

Zug

• ei    en

>4 = SEdfaß+lEdfafi + E../'.«.*.

L o Druck    o Zug

Sind die Eiseneinlagen in Bezug auf die Höhenlage mehrteilig, so erhält man für die Eiseneinlagen ebenfalls Summenausdrücke. In der graphischen Darstellung erscheint dann ebenfalls für die Gerade C A ein gebrochener Linienzug.

°e

ab

Nunmehr wollen wir die Tragfähigkeit des in Fig. 5 festgelegten armierten Balkens bestimmen.

Wir entnehmen aus der Figur 5 folgende Werte. Abstände der äußersten Fasern von der Nullinie:

Ee Eh

oder

ae = ab .    = m . «b.

Eh

In Fig. 4 sind die den Werten Eh und Ee für jede Dehnung s entsprechenden Spannungen ae und sowie

50

die Werte von m — in Intervallen von

10⁶

zu

50

Dehnung — angegeben.

Wir wollen in Fig. 5 die zulässige Druckspannung ad annehmen zu 40 kg/cm². Durch den entsprechenden Punkt der D-Linie ziehen wir eine Tangente an diese bis zum Schnitte der Nullinie. Würde man nun durch diesen Punkt eine Tangente an die Z-Linie legen, so erhielte man eine Zugspannung im Beton, welche einer Dehnung entsprechen würde, die im Beton ohne Armierung eine Sicherheit der Konstruktion einfach ausschließen würde.

Die Proportionalitätsgrenze des Eisens ist bei 2000 kg/cm² angenommen. Dieser Spannung würde eine Dehnung von 1 mm per Meter entsprechen. Durch die Eiseneinlagen wird der Beton befähigt, diese Streckung mitzumachen.

ei = 46 cm, Cu = 5 cm Elastizitätsmodul der äußersten Druckfaser

E₁ = 174.000

größte Druckspannung im Beton: rrd = 40 kg/cm², größte Zugspannung im Beton: nz ~ 1Q-0 kg/cm², Zugspannung der Eiseneinlage: cre = 380 kg/cm².

Die «7-Fläche wird in derselben Weise wie bei reinen Beton trägem berechnet, in der Zugzone kommt noch das Dreieck für die Eiseneinlagen hinzu.

Die «/-Fläche hat einen Inhalt: auf der Druckseite:

Fx = 46

[/-(38 + 24)

= 392-5 mm².

auf der Zugseite

[1(15-4 + 44)

F₂ = 50

= 245 + 163-4 = 408'4 mm², im ganzen

tH ICC

(4.24-2+ 38)]

(4.26-2 + 44)]+ ⁸'1³⁸

F — 800-9 mm² = 8-009 cm².

Für 100 cm Tiefe ist daher

Wir wollen aber in der äußersten Zugfaser unseres Balkens 25°/₀ dieser Streckung, also 0‘25 mm nicht überschreiten.

oder mit H — 1,000.000

Ja = 2 H. F. 100

Hiedurch läßt sich leicht in Fig. 5 der Punkt der Z-Linie bestimmen, zu welchem die genannte Dehnung gehört. Durch diesen Punkt legt man eine Tangente an die Z-Linie, welche die Nullinie in einem Punkte schneidet, welcher zwischen dem Endpunkte der Tangente der Druckseite und dem Anfangspunkte der D- und Z-Linie liegt.

Die beiden Schnittpunkte A und B der Tangenten mit der Nullinie begrenzten eine Strecke y.

Das Produkt H .y — S ist der fehlende Beitrag dem Ausdrucke

Ja =2.800-9.1,000.000,

Ja = 1601,800.000,

wd =

Ja

Fi. Ci

Es ist aber Ei.ei = 174.000.4-6 = 800.400.

Daher ist

Wd =

zu

1601,800.000

800.400

= 2001 cm³.

en

lE dfX5

Hieraus ergibt sich

M = <7d . Wd = 40.2001 = 80.040 cm/kg.

der vorhanden sein müßte, wenn die angenommene Nulllinie richtig wäre.

mierung.

Die Höhe des Balkens ist 9-6 Nunmehr berechnen wir den Prozentsatz der Ar- .

cm.

2*

Im Krafteck für die Zugseite verlängern wir die Gerade, auf welcher die Kräfte aufgetragen sind, und tragen auf derselben zunächst 20 cm ab. Da jeder Millimeter einen Wert E = 10.000 darstellt, so stellt die Strecke von 20 cm Ee — 2,000.000 dar. Als Teil des Kraftecks aufgefaßt, stellt die Strecke aber ein Flächenelement der F-Fläche dar, welches die Höhe E = 2,000.000 hat.

Zieht man nun im Krafteck zwei Parallele zu den Dreiecksseiten CA und CB im Seileck der Figur 5 so, daß sie sich auf einer Parallelen im Abstand der Poldistanz

H von der Kräftestrecke schneiden, so wird auf dieser die Strecke A'B‘ abgeschnitten.

A‘B‘

in cm gibt an, der wievielte

Teil eines Flächenelementes als Eisenquerschnitt hinzugefügt werden muß, um die gewünschte Spannungsverteilung herbeizuführen.

Genauer ist, wenn man von Fe erst den Fz-Wert in gleichem Abstand von der Nullinie abzieht, weil durch das Einlegen der Stäbe der Beton an gleicher Stelle wegfällt.

In unserem Beispiel ist an der Stelle der Eiseneinlage Ex = oo 90.000, demnach Fe — Ez= 2,000.000 — 90.000 = = 1,910.000. Die Strecke A' B‘ ist im Kräftemaßstab gemessen 2*34.100.000 = 234.000.

Das Verhältnis

20

Demnach ist

234.000

1,910.000

= 0-1225 X Flächenelement

Eisenquerschnitt erforderlich.

Der Balken hat eine Höhe von 9-6 cm. Da jedes Flächenelement 1 cm Höhe hat, so enthält der Balken 9-6 Flächenelemente. Die Armierung ist also auf ein Flächenelement bezogen:

01225

9-6

= 0-0127.1. Flächenelement oder 1-27%.

Das Verhältnis des Betonquerschnittes zum Eisenquerschnitt ist also

Man erkennt, daß es nur einmal erforderlich ist, auf Grund von Versuchsresultaten die genaue Berechnung eines Balkens durchzuführen. Man ist dann imstande, auf höchst einfache Weise Plattenbalken derselben Armierung und mit denselben Mischungsverhältnissen unter Zugrundelegung bestimmter Spannungen zu entwerfen.

Es soll noch einmal hervorgehoben werden, daß die abgeleitete Formel nur bedingt richtig ist, nämlich dann, wenn die Gültigkeit des angenommenen Verlaufes der Dehnungen durch weitere Versuche bewiesen ist.

Wir wenden uns jetzt der wichtigen Frage der Höhe der Eisenarmierung zu, mit welcher die Frage der Sicherheit der Konstruktion in engem Zusammenhänge steht.

Auch diese Frage kann auf graphischem Wege beantwortet werden.

Wir beschränken uns auf die Ermittlung der Biegungsmomente in dem kritischen Zustand des Anrisses, wenn das Eisen seine Proportionalitätsgrenze überschritten hat.

Wir nehmen mit anderen an, daß mit der Querschnittsverkleinerung des Eisens die Adhäsion des Betons am Eisen überwunden wird und daß nunmehr der Beton seinem eigenen Naturgesetz folgend reißt.

Die kritische Eisenspannung haben wir zu 2000 hg fern2 angenommen. Wir wollen die Höhe der Armierung bestimmen unter der Bedingung, daß gleichzeitig die Druckfestigkeit des Betons voll ausgenutzt wird. Letztere hatten wir zu 200 kg/cm angenommen.

Wir wollen der Einfachheit halber die Zugspannungen unter der Eiseneinlage vernachlässigen und die durchschnittliche Spannung im Eisen (im Schwerpunkt) zu 1950 kg/cm² annehmen.

In Figur 4 schneidet die letzte Seilecksseite der D-Linie die Nullinie im Punkte P, dieser Punkt wird mit dem Punkte Q der Z-Linie, welchem die Eisenspannung von 1950 kg/cm² entspricht, verbunden. Die letzten Seileckseiten der D- und Z-Linie sind senkrecht zur Nullachse

Fb 100

gewählt.

{h Fe 1-27

78-5.

Nunmehr ist die Berechnung des Balkens auf den Normalbalken von 10 cm Höhe und 100 cm Breite zu reduzieren.

Man erkennt an der Figur 4, wie bedeutend jetzt der Einfluß der Eiseneinlagen geworden ist, so daß ohne großen Fehler die Betonzugspannungen überhaupt vernachlässigt werden könnten.

Unter der Voraussetzung desselben Prozentsatzes der Armierung und der gleichen Höhenlage derselben, also

~ über der Zugkante, verhalten sich die Tragfähigkeiten

O

Zur Bestimmung der ,7-Fläche wenden wir das frühere Verfahren an. Um größere Genauigkeit zu bekommen, haben wir bei der D-Linie vier Zwischenwerte genommen.

Für vier Zwischenwerte lautet die Simpson’sche Regel:

auch der armierten Balken von gleicher Breite wie die Quadrate der Höhen. Nennen wir das Tragmoment des Balkens von 10 cm Höhe M

105

so

gilt also die Beziehung

dinaten.

Hiebei ist h der konstante Abstand der einzelnen Or-

M₁₀^

102

.Mh

Mit den Zahlenwerten der Figur 4 ist die Druckfläche der J-Fläche:

oder für unser Beispiel:

^10 =

Ft = 14-75.22-26 —

14-75

100

4.3

0 + 4.9-82 -f 2.16-72 +

9-62

. 80.040

100

. 80.040 = 86843 cm/kg.

4- 4.20-9 + 22-26 = 14-75 22-26 — ^ . 178-58 = 108-869 cm.

~ 92-16

Ist ein Moment M gegeben und wird die Höhe des armierten Betonbalkens gesucht, so ergibt sich dieselbe zu

Die Zugfläche ist: F₂ = 9-75

[ ~ f 22-26 -f 2-9 j — ~ (4.2-36 -j- 2-9)

h= 10

-Mio 1/86.843 h = 0-034 VM.

= 0-034 VM

= 102-57.

Die gesamte J-Fläche ist also

F= 108-86 + 102-57 == 211-43 cm².

Hiebei ist h die Höhe des ganzen Balkens in cm, <rd = 40 kg! cm*¹, gz= 19 kg/cm², ae = 380 kg fern² und \s. =

Demnach ist für die Tiefe von 100 cm; mit H = = 1,500.000

Fh

— = 78-5.

JA = 2 F. H. 100

Ja = 2.21143.1,500.000 = 63 429,000.000 cm⁴

und

63.429,000.000 _ 63,429.000 136.000.14*75 WA= 31.619 cms.

Demnach ist das Biegungsmoment für den kritischen Zustand des Anrisses:

Ja

Ei. ex

2006

M — 200.31.619 = 6,321.800 cmkcg.

Der Abstand der äußersten Druckfaser vom Eisen-querschnitt ist

hx — 14-75 -f- 9-75 = 24-50 cm.

Schlägt man noch ~^

Abstand der Eiseneinlage von der untersten Zugfaser hinzu, so erhält man die Höhe des Balkens:

^ __ 24-50

— 3⁻5 cm als

h — 24-5 + 3-5 = 28 cm.

Wir wollen das Moment auf einen Normalbalken von 10 cm Höhe mit gleichprozentiger Armierung und derselben Breite von 100 cm reduzieren. Dann ist

werden können, weil der Beitrag der Zugfläclie des Betons nunmehr sehr gering ist, und weil der Zustand des Aufreißens der Betonfläche durch Entstehen kleiner Haarrisse eingeleitet wird, so daß man im Beginne des Anrisses nicht mehr die ganze Betonzugfläche einsetzen kann. Teilweise wurde dies schon oben berücksichtigt, durch Vernachlässigung der Betonzugspannungen bis zur Eiseneinlage.

Die Frage, die wir zu beantworten haben, ist also: Wie groß muß die Armierung bei Vernachlässigung der Betonzugspannu'ngen sein, wenn gleichzeitig die größte Druckspannung ad = 200 kg/cm² und die Eisenspannung g₆ = 2000 kg/cm betragen ? Wie groß ist das Moment, welches der Balken bei dieser Armierung nach dem Aufreißen der Betonzugfläche unter Beibehaltung obiger Spannungen aufnehmen kann?

Der Prozentsatz der Armierung wird etwas größer. Der Beitrag des Eisens zur J-Fläche wird nunmehr dargestellt durch das Dreieck O Q'P.

Die entsprechende Parallele im Krafteck wird jetzt etwas flacher als vorher. Der Abschnitt auf der Kraftstrecke ist 33-7 cm.

10²

■ Mh = -

100

Mio~ h2

= 0-1276 . Mh — 0-1276.6,321.800 == 806.662 cmkg.

784

■ Mh

Demnach ist der Eisenquerschnitt auf 1 Flächenelement bezogen:

33-7

= 0-0298 = 2-98% = rund 3%.

Ohne Berücksichtigung der Armierung hat der Balken nach den gewöhnlichen Biegungsformeln ein Widerstandsmoment von

20.56

Nunmehr ist auch die Größe des Biegungsmomentes bei dem Zustand des Anrisses etwas verändert.

Der Beitrag des Eisens auf der Zugseite zur J-Fläche

ist:

Fz =

22-26.9-75    217.035

= 108 52 cm².

W = -- d h² = -g- . 100.100

— 1667 cm³.

Demnach wäre die Biegungsfestigkeit des Balkens, nach dieser Formel ausgedrückt:

M 806.662

Da der Beitrag der Betonzugseite wegfällt, derjenige der Druckseite unverändert ist, so ist die J-Fläche

F= 108-52 + 108-86 = 217-38 cm².

Also ist:

<3 =

W 1667

= 484 kg/cm.

Diese große Biegungsfestigkeit ist eine Folge der starken Armierung, welche nötig ist, wenn gleichzeitig die Spannungen ad = 200 kg fern² und Ge = 2000 kg fern² auftreten sollen.

und

Ja — 2H.F. 100

V. == 2.217-38.1,500.000.100 = 65.214,000.000

Wd =

Ja

Ex ei

Der Prozentsatz des Eisens berechnet sich nach dem bereits oben angegebenen Verfahren.

Im Krafteck wird auf der den Beitrag der Eiseneinlagen darstellenden Geraden durch die Parallele zu PQ eine Strecke von 29-28 cm abgeschnitten.

Demnach ist das Hinzufügen von

65.214,000.000    65,214-000

14-75.136.000 “    2006

= 32.509 cm³.

Daher

29-28

20

1-464 . 1 Flächenelement

M= 200.32509 = 6,501.800 cmkg.

Dieser Wert bezieht sich auf 28 cm Höhe des Balkens. Das entsprechende Biegungsmoment des Normalbalkens von 10 cm Höhe und 100 cm Breite für die Spannungen von oe = 2000 kgjcm bei 2-98°/₀ Armierung ist demnach

als Eisenquerschnitt erforderlich.

In Fig. 4 hat ein Flächenelement die Höhe von 0'5 cm. Auf die ganze Höhe von 28 cm kommen also 56 Flächenelemente.

M = 0-1276.6,501.800 = 829.630 cmkg.

Die Armierung ist also auf ein Flächenelement be-

Die Biegungsfestigkeit wäre also nach den gewöhnlichen Formeln ausgedrückt:

M 829.630

zogen:

W 1667

= 497 kg/cm².

P464

56

= 0-02614

oder

2-614%.

Das Querschnittsverhältnis des Betons zum Eisen

ist also

100

2-614

= 38-26.

Man kann auch den Standpunkt vertreten, daß bei der Bestimmung der Biegungsfestigkeit im kritischen Zustand des Anrisses die Zugspannungen überhaupt vernachlässigt

Der Eisenquerschnitt ist bei den üblichen Armierungen nicht so reichlich.

Es soll nun eine Methode angegeben werden, wie sich die kritischen Biegungsmomente für jede Armierung berechnen lassen. Wir wollen hiebei die Betonzugspannungen vernachlässigen.

In Fig. 4 wird der Abschnitt der Nullachse innerhalb der J-Fläche OP in sechs gleiche Teile geteilt und die einzelnen Teilpunkte werden mit Q‘ verbunden. Zu den Verbindungslinien zieht man im Krafteck Parallele, welche auch die Kraftstrecke des Eisens von 33*7 cm Länge in sechs gleiche Teile teilen. Die Strecke, vom Anfangspunkt bis zu jedem

Teilpunkt gemessen, stellt einen gewissen Prozentsatz Eisenmenge dar.

Die für diesen Prozentsatz giltige J-Fläche und Druckspannungen der äußersten Faser erhält man, wenn man durch die Teilpunkte auf der Nullachse Tangenten an die //-Linie legt.

h

Nimmt man noch an, daß die Eiseneinlage ~von der

h

Betonzugaußenkante entfernt ist, oder wobei hx der Ab

stand der Druckaußenkante von der Eiseneinlage ist, so berechnen sich die Höhen der zu den einzelnen ./-Flächen gehörigen Balken zu:

h = (5-25 + 9-75).    = 17T4

hn = (7-85 + 9-75).

Mit Hilfe dieser Werte ist in Fig. 1 eine Kurve konstruiert. Senkrecht unter jedem Teilpunkt der Nullachse ist der zugehörige p-Wert aufgetragen. Die Endpunkte sind durch eine Kurve miteinander verbunden, welche man die Eisenprozentkurve nennen könnte. Für jeden beliebigen Punkt der Nullachse kann man nunmehr die zusammengehörigen Werte der Ja-Fläche und des Eisenprozentgehaltes leicht bestimmen, unter der Voraussetzung, daß die Eisenspannung = 2000 hg/cm¹ ist und die Betonzugspannungen vernachlässigt werden sollen. Es ist klar, daß sich das gleiche Verfahren auch auf andere Spannungszustände mit oder ohne Vernachlässigung der Betonzugspannungen übertragen läßt.

Wir wollen nunmehr die Biegungsfestigkeit beim Anriß für den oben berechneten armierten Balken mit

= 20-11

1-27% Eisenmenge berechnen.

Aus den Maßen der Fig. 4 berechnet sich die «/-Fläche: Auf der Zugseite:

= 22-29

hm — (9-75 + 9-75). -ff hiv — (11*5 + 9-75). -A hy =(13-2 +9-75). 1=26-23 hVI = (14-75 + 9-75). A = 28-00

= 24-29

Ein Flächenelement hat die Breite von 0‘5 cm. Daher sind in den verschiedenen Balken an Flächenelementen enthalten:

II

CH

VI

CO (M cp CO 10 ©

Für die ganze Balkenhöhe ist an Eisenquerschnitt erforderlich bei:

33-7

20 ' 6

F,=

9-75.6-6

= 32-175.

Auf der Druckseite:

F₂= 7-375

[A (l6-72 + 6*6j — A (4.9-82 + 16-72)

= 17-184 cm².

Daher F= 32-175 + 17-184 = 49*36 cm². Für 100 cm Tiefe:

F = 4936 cm².

Daher ist: Jak = 2H.F

= 2.1,500.000.4936 = 14.808,000.000.

Für die äußerste Druckfaser ist:

Ei — 149.000 und ei = 7-375. Daher EI. a = 1,098.875

und IFd =

II

33-7

20 ' 6

III

33-7

IV

33-7

20 * 6

33-7

20 * 6

VI

33-7

20 ' 6

-3- = 02775 Flächenelement Eisen,

4- = 0-5550 4- = 0-8325

4 = 1-1100

4 = 1-3875

n

4- = 1-6650

r>

11

11

Auf ein Flächenelement bezogen, ist daher der Prozentsatz der Eisenmenge bei:

0-2775

I Pl

34-3

= 0-0081 = 0-81%

Ei. ei

14.808,000.000 1,098.875 = 13.475 cm³.

Daher ist das Biegungsmoment für den Zustand des Anrisses bei ai = 110 kg/cm² Druck

M = 110.12.290 = 1,482.250 cm/kg.

Die Höhe des Balkens ist hierbei:

h = (7-375 + 9-75) . A = 19-57 cm.

ist daher:

Das Moment für den Normalbalken von 10 cm Höhe

M₁₀ =

10²

19-57²

100

Mh

II

JP2

0-5550

. 1,482.250

40-2

= 0-0138 = 1-38%

III p₃ =

0-8325

“ 383 = 387 010 cmjkg.

44-6

00186 = l-86°/₀

IV p,=

1-1100

48 6

= 0-0229 = 2-29%

Nach den gewöhnlichen Biegungsformeln wäre daher die Biegungsfestigkeit bei 1-27% Armierung für den Zustand des Anrisses:

M 387.010

1-3875

52-5

0-0264 = 2-64%

1667

TTT    1-6650

VI

= 0-0298 = 2-98%.

= 232 kg/cm.

Spitzer gibt an, daß nach Versuchen Bauschingers die Biegungsfestigkeit von Betonplatten mit dem Mischungs-

Verhältnis 1 : 3 bei 1% Armierung 141 /77/m², dagegen bei P45°/₀ Armierung 247 kg/cm² für den Zustand des Anrisses betrug.

Mit diesen Resultaten stimmen unsere Rechnungen gut überein.

Die Bruchfestigkeit liegt nicht viel höher. Bause hing er gibt dieselbe für den ersten Balken zu 178 kg/cm², bei dem zweiten zu 265 kg/cm² an. Sie wäre also bei unserem Balken bei etwa 250 kglcm² zu erwarten.

Für die Beurteilung der Sicherheit dürfte das Verhältnis des Momentes für den Zustand des Anrisses zu dem Moment, für welches die Konstruktion berechnet ist, maßgebend sein.

Das letztere Moment betrug:

M₁ = 86.843 cm/kg.

Das erstere Moment betrug:

üf₂ = 387.010 cm/kg.

versteht, wenn also wieder jeder Flächenstreifen unter dem Integralzeichen mit dem zugehörigen Elastizitätsmodul multipliziert wird.

Die Erweiterung der angezogenen Formel auch auf diese Stoffe läßt sich in derselben Weise herleiten, in welcher die Formel überhaupt abgeleitet ist. (Siehe auch meinen Aufsatz: Graphostatische Untersuchung der Schubspannungen in Beton- und Betoneisenträgern. „Beton & Eisen“ 1904, Heft 1 und 2.)

Die Formel gilt nicht allein für reine Betonträger, sondern auch für Betoneisenträger. Die für die Eiseneinlagen hinzutretenden Glieder Ee./exe und E₀. /e xe² sollen in den allgemeinen Werten [Edf.x und [Edfx² mit enthalten sein.

Der Ausdruck

Die Sicherheit gegen das Auftreten des Anrißzustandes ist also:

387.010

86.843

= 4-45.

[Ed f x

wird graphisch erhalten in dem Produkte H. y.

Hiebei ist H der Polabstand des Krafteckes und y der Abschnitt auf der Nullachse, welcher von den Tangenten an die D-Linie oder Z-Linie, die dem abgeschnittenen Flächenteil entsprechen, eingeschlossen wird.

Der Ausdruck

Würde das Moment allmählich bis zum Aufreißen des Betons erhöht, so würde sich die Druckspannung steigern von a = 40 kgjcm² auf ° = 110 kg/cm², die Eisenspannung von Oe = 380 kgjcm² auf <*e = 2000 kg/cm². Die Betonzugspannungen wuchsen von 19 kg/cm² bis 25 kg/cm² und blieben dann bis zum Reißen des Betons konstant. Der Elastizitätsmodul auf Druck nahm in der äußersten Faser ab von 174.000 auf 149.000, derjenige auf Zug in der äußersten Faser von 90.000 bis ca. 25.000 (siehe Fig. 4 und 5).

[Ed F x²

wird graphisch erhalten in dem Produkte

J =2 H. F.

Hiebei ist F der Inhalt der J-Fläche. Demnach ist:

x .w = Q

Q.H.y Q 2H.F ~ 2

Setzt man noch

IV.

Die Anwendung* von Kraft- und Seileck auf die Berechnung von Schubspannungen der Beton- und Betoneisenträger.

F = — h . y₀,

Die Verteilung der Schubspannungen in einem auf Biegung beanspruchten Träger ist abhängig von der Verteilung der Normalspannungen.

Denkt man sich aus dem Balken ein Körperelement herausgeschnitten, welches durch zwei Querschnitte in der Entfernung der Längeneinheit, die wir uns beliebig klein vorstellen wollen, begrenzt wird, und führen wir in der Entfernung x von der Biegungsachse einen Parallelschnitt zur Nullinie, so berechnen sich die an der Schnittfläche von der Tiefe w und der Breite 1 auftretenden wagrechten Schubspannungen zu:

wobei y₀ der Abschnitt auf Querschnittshälfte entspricht, ist, so ist

5r- bc>    ^ ^

CD SO CD

t-H ts-HM GQ

O: CD

CG

s-i oa

ö ©

cS

^ m ©

₄i‘'rÖ

y wächst für die verschiedenen Parallelschnitte zwischen den Abständen der äußersten Faser und der Nullinie von y = 0 bis y — y₀.

Der Ausdruck x w wird ein Maximum für y = y₀. Dann ist:

(t w)

' J'

_ Q_ y° x

max“ 2 h ' y₀    2

Hiebei ist Q die Querkraft an dem Balkenelemente, welche für die Breite desselben konstant angenommen wird, S das statische Moment des abgeschnittenen Balkenteiles in Bezug auf die Nullinie und J das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes.

Die angegebene Formel gilt zunächst für solche Körper, welche Proportionalität zwischen Dehnung und Spannung besitzen.

Für konstantes w — b ist:

Tmax 2b . h •

Sie gilt aber auch in übertragenem Sinne für Körper, welche einem beliebigen Formänderungsgesetze folgen, mit der Einschränkung des Ebenbleibens der Querschnitte, wenn man unter:

ei

$a den Ausdruck [ E d F. x

Machen wir die Voraussetzung, daß der Elastizitätsmodul für Zug und Druck derselbe ist, so werden bei konstanter Breite b D- Linie und Z - Linie kongruente Parabelstücke, die Nullinie liegt in der Mitte des Balkens. Durch passende Wahl des Pols erreicht man, daß die Endtangenten an die beiden Linien auf der Nullachse senkrecht stehen und zusammenfallen, dann wird die J-Fläche begrenzt von einer senkrechten Geraden und zwei gleichen Parabelstücken, die der Geraden ihre konvexe Seite zukehren. Der Inhalt der J-Fläche ist also:

und unter

ei

Th-

y&

Ja den Ausdruck [E d F x2 en

folglich ist

a = 3,

daher

T _A_2_

2 b h

Die abgeleitete Gleichung verlangt, daß:

eIT

[lJ\ + ^2 "I" V?, ~\~ • • • * yo] — ^ F ist.

gefunden.

Dies Resultat wird durch die Rechnung ebenfalls

eI

Nehmen wir nunmehr für die Druckseite und für die

Zugseite verschiedene Werte EA und Ez an, die aber innerhalb der beiden Teile des Querschnittes konstant sein sollen, so erhält man wieder Parabeln als D-Linie und Z-Linie, jedoch verschiedener Form. Durch passende Wahl des Pols kann man aber wieder erreichen, daß die Endtangenten auf der Nullachse senkrecht stehen und zusammenfallen. Daher ist der Inhalt der J-Fläche:

Das aus der Ja-Fläche konstruierte Diagramm der Schubspannungen hat den^doppelten Inhalt der Ja-Fläche.

Bei dem Rechteck mit konstantem Elastizitätsmodul ist die v w-Fläche parabolisch und hat den Inhalt:

• h.y₀.

-g- ei • Do + -g en Vo — -g* (ßi + en) y — -g- h y₀.

3 _Q_

2 y₀h

erhält man als Summenausdruck für sämtliche vertikalen Schubkräfte:

Fügt man noch den Multiplikator

hinzu, so

folglich ist

St .u — -~-h

O

3 Q

■Va-2 y₀h

= Q-

und

max

_3 Q

~ 2 bh '

Wenn also auch für verschiedene Belastungsstufen die J’-Werte verschieden angenommen werden müssen, wodurch sich die Nullinie bei steigender Belastung nach der Druckseite hin verschiebt, so ändert sich doch nicht der Maximalwert T

in der Höhe der Nullachse, soweit er von den Abmessungen des Querschnittes abhängig ist, er ist also bei den gemachten Annahmen nur mit der Querkraft Q veränderlich.

max

Dasselbe Resultat hat Sanders rechnerisch festgestellt in „Beton & Eisen“ 1903, Heft 3, Seite 204 ff.

Mit Hilfe der y-Werte läßt sich nun das Diagramm der Schubspannungen aufzeichnen. Man trägt von einer senkrechten Achse aus die den verschiedenen Abständen

Ebenso erhält man bei der Annahme verschiedener, aber für die beiden Teile des Querschnittes konstanter Ed und Ez parabolische Verteilung der v.w-Werte, u. zw. mit zwei verschiedenen Parabeln auf der Zug- und Druckseite. Der Inhalt der Schubdiagrammfläche ist wieder doppelt so groß wie der Inhalt der Ja-Fäche.

Dasselbe muß auch Giltigkeit haben bei beliebigem Formänderungsgesetz, da die Gleichung der senkrechten Kräfte bestehen bleibt. Nur sind die Begrenzungskurven der t w-Fläche keine Parabeln mehr.

Wir wollen noch den Koeffizienten a für die verschiedenen Zahlenbeispiele der Abhandlung berechnen:

Es ist:

daher

(T . W)

max

2F

• yo =

von der Nullinie entsprechenden y-Werte auf. Die entstehende Fläche ist das Diagramm der Schubspannungen

t . w. Hiebei ist als Einheit des Maßstabes

gewählt.

In Fig. 6 ist die Konstruktion der Diagramme dargestellt, u. zw. für Betonträger mit und ohne Eiseneinlagen.

Die Eiseneinlage erzeugt auf der Zugseite für jede Höhenschicht zwischen Nullinie und Eiseneinlage einen konstanten Beitrag zu dem Diagramm. Der Beitrag der Eiseneinlage ist also ein Rechteck. Würde man die Zugspannungen des Betons überhaupt Vernachlässigen, so würde das Diagramm auf der Zugseite ein Rechteck sein von der Breite yn der J-Fläche und der Höhe gleich dem Abstande der Nullinie von der Eiseneinlage.

In Fig. 6 sind die Betonzugspannungen nicht vernachlässigt, daher entsteht auf der Zugseite unterhalb der Eiseneinlage ein Sprung im Diagramm.

Da die Schubspannungen immer paarweise am senkrechten und wagrechten Schnitt auftreten, so gilt das Diagramm sowohl für die wagrechten wie für die gleich großen senkrechten Schubspannungen.

Die Summe der sämtlichen Schubspannungen am senkrechten Schnitt muß wieder gleich der Querkraft Q sein, also muß sein:

2 hy₀

_ 2 2/0 • h Q _yo •h

a “ 2 F ’ Q ~ F

d. h. x ist das Verhältnis des der Ja-Fläche umgeschriebenen Rechteckes zu der Ja-Fläche selbst, wenn die Ja-Fläche in eine krummlinig begrenzte Figur mit der Grundlinie h und der Höhe y₀ verwandelt wird. Dieser geometrische Zusammenhang ist in meinem Aufsatz: „Graphostatische Untersuchung der Schubspannungen in Beton- und Betoneisenträgern“ weiter ausgeführt.

Beispiele.

1. Betonplatte bis zum Bruch belastet: Es war:

der Inhalt der J-Fläche F — 5'9 7 cm², y = 1*85 cm.

A = 10 cm,

10.1-85

5-97

== 3-082.

en

Q = E t .w

ei

tNSlrO

4-

eII

+ y<\

-ei

Der Klammerausdruck ist nichts anderes als der Inhalt des graphisch bestimmten Diagrammes der Spannungen t w.

2.    Betonplatte mit 1’27% Eiseneinlage bis zur zulässigen Beanspruchung belastet:

Jfl = 8-009 cm2 h — 9-6 cm = 2-4

y₀ h_ 2-4.9-6

~F ~ 8-009

3.    Betonplatte mit 1'27% Eiseneinlage bis zum Anriß belastet mit Vernachlässigung der Betonzugspannungen.

Jfl = 49-36 cm2 j/q — 6-6 cm, h — 19-57 cm a= yo-A

= 2-875.

19-57.6-6

2-616.

49-36

4. Betonplatte mit 2-614% Eiseneinlage bis zum Anriß belastet ohne Vernachlässigung der Betonzugspannungen: Ja — 211-43 cm²

Denkt man sich einen Schnitt um den Umfang der Eiseneinlage geführt, so müßten zur Herstellung des Gleichgewichtes Umfangsspannungen angebracht werden von der Größe:

n . tu . ue = —

Ja '

h — 28 cm, y₀ = 22-26 cm hy₀ _ 28.22-26 211-43

5. Betonplatte mit 2-98% Armierung bis zum Anriß belastet, mit Vernachlässigung der Betonzugspannungen.

F = 217-38,

a. —

= <x = 2-948.

Hiebei ist Se das statische Moment der Eisenfläche in Bezug auf die Nullachse und J das Trägheitsmoment des ganzen Betonquerschnittes; ferner ist tu die gleichmäßig verteilt gedachte Schubspannung am Umfang, uA der Umfang einer Eiseneinlage und n die Anzahl der Eiseneinlagen.

h =■ 28, y₀ — 22 26,

„ _ hVo & - —

28.22-26

so ist

Da Se = H. ye ist, und ,/a = 2 H. F ist,

nach den früheren Bezeichnungen,

217-38

a = 2-867.

Die berechneten Werte oc gelten für die verschiedensten Armaturen, Belastungszustände und Normalspannungen. Sie bleiben sämtlich um ein Geringes unter dem Wert a = 3, welcher für rechteckigen Querschnitt mit konstantem Elastizitätsmodul für Druck und Zug gefunden wurde.

Es kann daher empfohlen werden, die Schubspannungen so zu berechnen, als wenn der Betonträger konstanten Elastizitätsmodul hätte, und die Eiseneinlagen überhaupt nicht zu berücksichtigen. Man erhält dann die Schubspannungen etwas zu groß.

Bei der reinen Betonplatte ohne Eiseneinlage (Beispiel 1) ist a etwas größer als 3. Dies ist auch nicht anders zu erwarten, weil der Abstand des Druck- und Zugmittelpunktes wegen der kurvenförmigen Spannungsdiagramme kleiner als % h ist. Da jedoch selbst bei der Bruchbelastung sich der Wert von a nicht viel von 3 unterscheidet und oc offenbar mit zunehmender Belastung wächst, weil das Spannungsdiagramm auf der Zugseite immer flacher wird, so kann auch für reine Betonplatten a = 3 beibehalten werden. Für Rippenplatten (ohne Eiseneinlagen) ist dagegen a = 3 zu günstig. Für Rippenplatten mit Eiseneinlagen sinkt a unter 3, so daß auch hier mit y. = 3 gerechnet werden kann. Vergleiche die Schlußbemerkung meines oben genannten Aufsatzes.

Q H.ye _________

2 H. F n .u6 _ 1 Q JU 2 n F ue

Tu =

yü ist der Abschnitt auf der Nullachse, der durch den Beitrag der Eiseneinlage zur J-Fläche F entsteht.

Gewählt sind zehn Eiseneinlagen ä 13 mm fl>, so daß die Eisenmenge

/e = 10.1-327 = 13-27 cm²

beträgt.

Die Armierung ist also l-33°/p angenommen, etwas stärker als l-27°/₀. Der Umfang ue ist 4-084 cm.

Ferner ist für M = 86-843 cmkg,

i/e = 0-86 cm und F — 8-009 cm².

Daher ist

1737    0-86

1TTÖT'M' 4-084 “ ^“653" = oo 2⁻3 kg/cm².

Steigt das Moment bis zum Bruchmoment:

so wird:

und

Tu

1494

i¥br = 387.010 cmkg,

Je — 6-6 cm, F = 49-36 cm², Q = 7740 kg,

Für den Betonträger mit l-27°/₀ Armierung beträgt demnach die Schubspannung bei einem Anflagerdruck von 1737 kg für 100 cm Tiefe und bei einer Höhe des Balkens von 10 cm:

max —

3.1737

2 Fh    2.100.10

= oo 2-6 kgjcm².

gleichung

Hiebei ist der Auflagerdruck Q aus der Momenten-M = 86.843 cmkg

berechnet, wenn die Länge des Balkens zu 2 m und die Belastung gleichmäßig verteilt angenommen ist.

Steigt das Moment bis zur Bruchlast:

ll/br = 387*010 cmkg,

— 7740 kg und die größte Schubspannung

1    7740    6-6

~ 20 49-36'44)84 = 12-2 kg fern².

Nach den Versuchen von Bauschinger, Wayss und F r e y t a g kann die Haftfestigkeit des Mörtels am Eisen zu ca. 40 kg/cm² angenommen werden für die in Frage stehenden Mischungen bei einem Wasserzusatz von (Wayss und Frey tag, Betoneisenbau, Seite 64.) Es ist also anzunehmen, daß die Konstruktion nicht durch Überwinden der Haftfestigkeit des Mörtels am Eisen gefährdet wird.

15%-

so wird Q erhält man zu:

max

3() _ 3 7740

2 Th ~ 2 Tööö

Tmax = OO 11*6 %/cW².

Nach den Versuchen von Wayss und Frey tag kann man bei fetten Betonmischungen 1 : 3 bis 1 :4 mit einer Schubfestigkeit von ca. 30 kg/cm² rechnen, so daß eine Zerstörung am Auflager durch Überwindung der Schubfestigkeit nicht zu befürchten wäre.

Schließlich wäre noch die Umfangsspannung zwischen Mörtel und Eisen zu untersuchen.

max —

V.

Schlußwort.

Das in den vorhergehenden Abschnitten abgeleitete Verfahren ist klargelegt worden an einem rechteckigen Balkenquerschnitt mit Eiseneinlagen auf der Zugseite.

Dasselbe läßt sich ohne weiteres erweitern auf Balken mit mehrteiligen Eiseneinlagen auf der Zugseite und auf Balken mit beiderseitigen Eiseneinlagen auf der Zugseite und auf der Druckseite.

Auf Rippenplatten kann das Verfahren ebenfalls angewendet werden; man muß dann für die Rippe die E-Fläche auf das Verhältnis der Breite der Rippe zu der Breite der Platte reduzieren.

wird das Verhältnis m —

Ab

für den

Ab

Ae

mx =

Ad

E/

Die A-Flächen sind auf beiden Seiten der Nullinie Rechtecke verschiedener Breite. Auf dieser Grundlage beruhen die Methoden von Sanders, Weiske.

IV. Geradlinige Spannungsverteilung in der Druckzone bis zur Streckgrenze, von da ab konstante Betonzug-

Ee

iur

Az

Seite 127, Hannover, Helwings Verlagsbuchhandlung, druck für die Veränderlichkeit des Elastizitätsmoduls mit zunehmender Spannung und Temperatur das Gesetz vor:

(t. a)

Eq — d <3

oder a =

E₀

Hiebei ist Ea

1 -j- £

E₀

ist.

Eq —

und

d— —

Am einfachsten ist es, wenn man die Anordnung so wählt, daß die Nullinie mit der Plattenunterkante zusammenfällt. Im anderen Falle muß man in der Druckzone die Lage der Plattenunterkante versuchsweise annehmen. Auch die Untersuchung mit gedrückter Rippe und gezogener Platte geschieht auf ähnliche Weise.

Auch bei Rippenplatten entwickelt man zunächst einen der zu entwerfenden Anordnung ähnlichen Träger, und kann dann leicht Formeln ableiten für den Träger, welcher dem aufzunehmenden Moment entspricht.

Die Konstruktion des Spannungsdiagramms, der D-Linie und A-Linie, der Inhalt der J-Fläche und demnach auch die Berechnung der Tragfähigkeit der Balken ist wesentlich abhängig von der Annahme der Gestalt der A-Fläche. Je mehr sich die A-Linie den wirklichen Ver

hältnissen nähert, desto größer ist die Genauigkeit der Rechnung.

Wir wollen im folgenden zum Vergleich für einige Berechnungsmethoden die Gestalt der A-Linie angeben.

I. Geradlinige Spannungsverteilung in der Druckzone, Vernachlässigung der Betonzugspannungen, Aufnahme sämtlicher Zugspannungen durch die Eiseneinlagen. Angenommen

Ed

Ee '

Die A-Fläche ist für die Druckzone ein Rechteck. Die A-Fläche für die Betonzugzone fällt weg. (Für die Eiseneinlagen ist die A-Fläche ebenfalls ein schmales Rechteck von m-facher Höhe.) Das Verfahren ist das in der Praxis übliche; siehe auch Wayss & Freitag, Der Betoneisenbau.

II. Geradlinige Spannungsverteilung in der Druckzone und in der Zugzone. Der Elastizitätsmodul des Betons wird als Mittelwert zwischen denjenigen auf Druck und Zug angenommen und entsprechend ist auch m =

ganzen Querschnitt konstant. Die A-Fläche für den Beton ist für den ganzen Querschnitt ein Rechteck. Das Eisen wird mit dem m-fachen Querschnitt eingeführt. Diese Methode ist von Melan angegeben.

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die Wirkung der Eiseneinlage auf den Betonquerschnitt als eine statisch unbestimmte Kraft einführt, die aus der Gleichheit der Formänderungen an der Stelle der Eiseneinlagen von Beton und Eisen sich bestimmen läßt; siehe Walter und Weiske, Statische Berechnung der Träger und Stützen aus Beton mit Eiseneinlagen, Kassel, Kempf 1902.

III. Geradlinige Spannungsverteilung in der Druck-und Zugzone. Der Elastizitätsmodul wird für Druck und Zug verschieden, jedoch für denselben Querschnitt konstant angenommen. Man hat also auch zwei Verhältniswerte: und m =

Spannung bis zur äußersten Faser. Der Wert m =

die Eiseneinlage nimmt mit der Höhe des Teiles der Zugzone, der über die Streckgrenze hinaus gespannt ist, zu.

Die A-Fläche ist in der Druckzone ein Rechteck, in der Zugzone ebenfalls ein Rechteck bis zur Streckgrenze; von da ab geht die geradlinige A-Linie über in eine gleichseitige Hyperbel, wie oben nachgewiesen wurde.

Diese Methode ist von Barkhausen angegeben in dem Aufsatz: „Die Verbundkörper aus Mörtel und Eisen im

Bauwesen“, Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen, 1901, Heft 2.

V. Parabolische Spannungsverteilung in Zug- und Druckzone. Die A-Flächen sind Trapeze. Die A-Linien sind Gerade, welche mit wachsender Dehnung gegen die e-Achse fallen. Die analytische Behandlung ist von Haberkalt angegeben in der Österreichischen Wochenschrift für öffentlichen Baudienst 1902, 29. November.

Für jede der angegebenen Methoden lassen sich nun entsprechende graphische Untersuchungen ableiten, welche auf denselben Grundgesetzen der graphischen Statik beruhen, welche hier benutzt sind. Man kann auch sagen: Das hier gegebene Verfahren ist das allgemeine, aus dem sich die Anwendung auf vereinfachende Annahmefälle ohne-weiters ergibt. Im einzelnen kann man die Methode dann noch praktischer gestalten, wie es beispielsweise für die Methoden I—III angegeben ist in dem Aufsatze: Weiske, Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Beton- und Betoneisenträger.

Die Anwendung auf die Methoden IV und V behalte ich mir für einen besonderen Aufsatz vor.

Auf Anregung meines Lehrers, des Herrn Professor Gr. Lang-Hannover, habe ich mich nach Fertigstellung dieser Arbeit mit dem hyperbolischen Spannungsverteilungsgesetz für Baustoff mit veränderlichem Elastizitätsmodul beschäftigt und gefunden, daß die analytisch-graphische Behandlung desselben schneller zum Ziele führt als diejenige des Potenzgesetzes.

Lang schlägt in seinem Buche: „Der Schornsteinbau“, Heft I,

zum Aus

E = En — c .t — <7.a.

Sehen wir von dem Einfluß der Temperatur vorläufig ab, so erhalten wir für die Dehnung e den Ausdruck:

e —

Eh 1 -f- d e ’ ⁶

= E₀ — d . a.

Ferner ist d — ——, wobei k die Bruchspannung des Materials

Hy

bedeutet, so daß Ea

o    k

Für a — k ist Ea — 0 und e =    = -jr- = oo; durch die letztere

Er;    0

Beziehung wird zum Ausdruck gebracht, daß die Trennung stattfindet, indem die Dehnungen beliebig groß werden.

Trägt man auf einer Achse die Dehnungen s, dazu senkrecht die Spannungen auf, so hat das Spannungsdiagramm eine Asymptote parallel zur e-Achse im Abstand k von der e-Achse. Der Fließzustand des Baustoffes bei hohen Dehnungen bezw. Spannungen wird also gut zum Ausdruck gebracht.

Die Konstruktion des Spannungsdiagramms geschieht sehr einfach auf graphischem Wege mit Hilfe der geradlinig mit der Spannung sich verkleinernden A-Fläche, was ich mir für eine besondere Darlegung Vorbehalte.

Vorher müssen die Konstanten der linearen Gleichung:

Eo — d . o — Ea — 0

-Eo und d mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate aus n Messungen, welche die Werte a und Aa liefern, bestimmt werden.

Zu ihrer Berechnung dienen die Gleichungen:

n . 2 c2 — (2 a)2 »».So. Ea — 2 a. 2 Ea

n 2 o2 — (2 <r)2

Der für einen Träger vorhandene Temperaturzustand t kann berücksichtigt werden, indem man den Anfangswert E₀ durch (E₀ — c .t) ersetzt.

’S

HH

<D

T.W.-max

33J

_S_

E Fläche

136QQ0

izem.

137000

1S7«M

141000

142000

lanofl.

u 144000 ^ 145000 146000 147000 i4!?nno

, <0/152500 ^•/l54 OOP rA /l5600Q 'XlSSnitn

/l66000

A70ÖÖÖ

y^.RROOn

/znonoo

1=4

14:75 mm-proTn. 1-425'_

1-37.5

, :r >

1-225

1125

tj'Vt

1*025

097b'

0-925

0‘875

0825

0675    _

0-575_Q-

JO |052S__

tT 0 475_

0S25    54,

0-275    465/

"^444000_

-V^-S>^16000

''    95000

Qizsps

0 1TCV£S\350

Itas

xA

122£

0425-

>46000

Q-525    225

ghmo_rg < \3SQ0P A ^aASfrflOC o

0625 ES.

: "...

J0_

po00 uir.'j

Beton-

Zuj.

292

4-

Beton-Bruck. IE.

Fig 6

Diagramme den Schub,, Spannungen.

4~r

il

. v\r IF°i.....-

\\

11= 1000000

bi p tfojL > 2

-b

3_

p

'e

• D,

o

"E

pq

//

Fig.4.

Spannungsdia grarnm. X.

2^0tk37fjri\^uolc___30 194/    29

-12L

v.V

J-Fläche T.

22-26

“T

170/

-.;s

14Si

134/

123

HL-

s

13-9 ^ 13-8 15 "7 15-g

aa

4544--l'j h

kk^kkkk

rj

T-

— 9t

75i

•r*vl

5 SO~

G50

7SQ

1450

IEisern-Zug-

.1550--------i_- .

\ 1650____

1RS0

1950

/'Eisen-Zug1./

Li 5 r.vv

nm

!s

!e

.13,2:4.

MD

■-L.

.....115.

..97«........oi.

i «.-75 j i i_________J

Vi.o.

11-7

10 rr_ ly 7

?7

14

17

21

25

2S

32

36

_59_

45

47

50

_£L

56

59

62.

66

70

-24.

78

h:|i

pT\p,s

^7!

^.y//¹

Ai

Z34

.ns.....

\ ä

\ p\

\ ■>

2-ZS*

rw

10,

.....—-H

s'i-s

238%

?7>

ft

b;

;eny

Beton- Zug

Beton- ZugH.

B> 1500000

Beton-Druok I

9    10    11    12    15    14    15    16    17    18    19 '2fl 2)1    22 / 23    2%    25 .    26    27 2S 29    30

Maßtab der Kraftecke: limn. = 10000 AP.

T.W.xnax.

llo, A

1050^

H.-1000000

lh

Dl

c-n

Beton -Druck-

0375 mm.

0'3Z5 „

40-0    5

610

'54'0

'465

's

’S

FM

4-*

<D

bi

• rc

±3

jD

3S0

CO

0-175

350

_4

Q'125 ,    23 5/3

fl'0T5 „ /15 0 2

-W59--C-

31-5    !

3'8

_3_SS.___

im

u>⁻

Jl

“ a-ja._'ZZ

2:40.

■ se.....

Null Äxs

0-035 5'5

50,

Q-025min.

T’

250

650

550.

ISO//IO«

0'07g

0X25

Z_

flo5

1185

:?d

19 0

0X75 „

4_

un

_2 05_

.61.

%

■ts

0-225

0-275

.A

7>

S/ o &

44r

< .2PP--0

20-5

0-325 t

____5-ü._____

750,

210

0-375 „

850

215

0-425 „

950

220

0-475 ■,

10

Ei Sen-Zug-

Spannungs-Diagramm II.

225

Seton-

Zug.

0-525 „

11

J Flachs U.

t

.

.

*

QjDl oo

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

IV-301082

100000316001

WYDZIA:

ILITECHNICZNl

BIBLIOTEKA GLÖWNA

inw.

Druk. U. J. Zam. 356. Jtfooo.

W*'

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

IV-301083

100000316002

IV-301081

owskiej

Biblioteka Politechniki Kiak