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Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

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Die Anfangsgründe

der

tfieoretisclien Meohanik

mit Anwendungen auf Maschinen zugleich als

Sammlung von Beispielen und Übungsaufgaben.

Mit den einfachsten mathematischen Hilfsmitteln für technische Fachschulen, Werkmeisterschulen und zum Selbststudium bearbeitet

von

R. *Geigenmüller,t

Lehrer für Mathematik und Mechanik am Technikum Mittweida.

Mittweida,

Verlag der Polytechnischen Buchhandlung von R. Schulze.

1888.

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KRAKÓW iiW.b

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Vorwort.

So reich unsere Schullitteratur an zum überwiegenden Teil vortrefflichen Lehrbüchern der Mechanik ist

der Verfasser dieses Werkchens konnte trotz eifriger Nachforschung keines ausfindig machen, welches naclj, Auswahl und Behandlung des Stoffes als Leitfaden für den Unterricht an einer Werkmeister schul e sich eignete, und es wird dieä auch leicht erklärlich, wenn man die Beschaffenheit « des Schülermaterials, sowie die hiermit verbundene Ausnahmestellung, welche eine Werkmeisterschule fast allen andern Bildungsanstalten gegenüber einnimmt, in Betracht zieht.

meist im Alter von 20 bis 30 Jahren —

Nachdem ein junger Mann eine gewöhnliche Volksschule durchgemacht, dann seirfe Lehrzeit als Schmied, Schlosser oder Mechaniker beendet hat und hierauf eine Reihe von Jahren als Maschinenbauer, Monteur etc. praktisch thätig gewesen ist, fühlt er den Drang und die Fähigkeit, in geistiger und sozialer Beziehung eine Stufe höher zu steigen; er fasst

den Entschluss, Werkmeister zu werden und sich die hierzu nötige theoretische Bildung an einer in der Regel zwei bis drei Semester umfassenden Werkmeisterschule anzueignen.

Bedenkt man nun, dass ein solcher Schüler vermöge seines Alters und Bildungsgrades geistig wenig elastisch, dafür aber fast ausnahmelos eisern fleissig ist, dass er von dem früher in der Schule Gelernten wohl manches vergessen, dafür aber im praktischen Maschinenbau auch vieles gelernt hat, so ist es dem Fachmanne klar, warum die bekannten Lehrbücher der Mechanik. als Leitfaden für den Unterricht an einer Werkmeisterschule gar nicht in Frage kommen können: die meisten noch mit elementaren Hilfsmitteln bearbeiteten Werke sind offenbar zu umfangreich und setzen .schon in den ersten Kapiteln einen zu hohen Grad mathematischer Bildung voraus; manche bieten auf der einen Seite zu viel oder zu hohe Theorie, auf der andern aber zu wenig Anwendungen; wieder andre thun zu viel des Guten im Erklären und Beschreiben, bringen aber zu wenig Formeln mit daran sich schliessenden Lösen von Zahlenbeispielen; denn der künftige Werkmeister ist mit dem Aussehen und sogar mit der Wirkungsweise verschiedener Maschinen vertraut, not thut ihm aber besonders die Kenntnis der zahlengemässen Bedingungen für jene Wirkungsweise.

Dazu kommt noch, dass auch auf die Anordnung des Stofles besondere Rücksicht genommen werden muss, weil an den meisten Werkmeisterschulen der mechanische und der mathematische Unterricht zugleich beginnen; es war deshalb nötig, den einzelnen Abschnitten des Leitfadens eine solche Reihenfolge zu geben, dass der Unterricht mit dem jeweiligen mathematischen Wissen und Können des Schülers im Einklänge steht, zugleich aber ohne dadurch den logischen Zusammenhang des Ganzen zu gefährden.

Sollte es dem Verfasser einigermassen gelungen sein, den oben angedeuteten Verhältnissen und Bedürfnissen Rechnung zu tragen, so möchte dieses Büchlein solchen angehenden Technikern etc., welche der niederen Mathematik mächtig sind, auch zum Selbststudium empfohlen werden können; nur dürften Betreffende nicht versäumen, womöglich alle dem Werkchen beigefügten Aufgaben und Beispiele, welche übrigens fast ausnahmslos vom Verfasser selbst gebildet worden sind, gewissenhaft zu lösen, bezw. durchzurechnen — nicht nur, um aus dem Wissen ein Können zu machen, sondern auch, um sich für das Verständnis der einer Aufgabengruppe folgenden Paragraphen besser zu befähigen.

Mittweida, im Januar 1888.

Der Verfasser.

Einleitung.

Der erste Eindruck, welchen wir von einem Körper erhalten, wird darin bestehen, ob derselbe seine Stellung gegen andere Körper ändert oder nicht; im ersten Falle sagen wir: er bewegt sich, im letzten dagegen heisst es: er ist in Ruhe oder im Gleichgewichte.

Die Mechanik kann nun schlechthin als die Wissenschaft

von der Bewegung und dem Gleichgewichte der Körper definiert werden und zerfällt hiernach von selbst in die beiden Hauptteile der Bewegungslehre oder Dynamik und der Lehre vom Gleichgewichte oder Statik. Weil ferner alle Körper in feste, tropfbar flüssige und luft- oder gasförmige eingeteilt werden können, so gliedert sich jeder der beiden Hauptteile der Mechanik

wiederum in drei Abschnitte, und das ganze Gebiet der Mechanik umfasst daher sechs Abteilungen, nämlich:

1. die Lehre von der Bewegung der festen Körper oder Geodynamik,

„ Hydrodynamik, „ Aerodynamik,

„ Geostatik,

„ Hydrostatik,

„ Aerostatik.

2.

>j »    »    .    »    » gasförm. ,,

Hierzu wäre noch zu bemerken, dass man die Abschnitte 1 und 4 unter dem Namen Geomechanik, ferner 2 und 5 unter dem Namen Hydromechanik oder auch Hydraulik, sowie 3 und 6 unter dem Namen Aëromechanik zusammenzufassen pflegt, und dass die Aero~ dynamik auch Pneumatik genannt wird.

CO

5.

6.

JJ

Ausserdem unterscheidet man aber auch zwischen einer theoretischen und einer angewandten oder praktischen Mechanik; die erstere stützt sich auf nur wenige Erfahrungssätze und leitet daraus mit Hilfe der reinen Mathematik sowohl die Bewegungsgesetze als auch die Bedingungen des Gleichgewichts ab; die letztere hingegen zeigt, wie die Resultate der theoretischen Mechanik zur Benützung der Naturkräfte verwendet werden können. Schon hieraus folgt, dass die theoretische der praktischen Mechanik notwendig vorausgehen muss.

Zunächst beschäftigen wir uns mit der Lehre von der Bewegung eines geometrischen Punktes, welche noch als rein mathematische Wissenschaft angesehen werden kann und auch unter den beiden Namen Phoronomie und Kinematik bekannt ist.

Erstes Kapitel.

Die wichtigsten Bewegiingsarteii.

§ 1-

Einteilung der Bewegungen.

Bei einer jeden Bewegung kommen zunächst zwei Grössen in Betracht, nämlich erstens die Zeit, während welcher ein Punkt sich bewegt und zweitens der Weg, welchen letzterer dabei zurücklegt.

Denkt man sich nun die Zeit der Bewegung in eine beliebige Anzahl gleicher Teile, z. B. in lauter Sekunden, zerlegt, so können die zugehörigen, vom Punkte durchlaufenen Räume entweder ebenfalls gleich lang, oder aber von einander verschieden sein; im ersteren Falle nennt man die Bewegung gleichmässig oder gleichförmig, im letzteren ungleichförmig. Die ungleichmässige Bewegung kann wiederum eine beschleunigte oder verzögerte sein, je nachdem die den gleichen Zeitabschnitten entsprechenden Wegstrecken zu- oder abnehmen.

Endlich unterscheidet man nach der Form der vom Punkte durchlaufenen Bahn geradlinige und krummlinige Bewegungen.

Die gleichförmige Bewegung.

Wenn ein Punkt in einer gewissen Zeit, etwa in 2 Minuten, eine bestimmte Strecke, beispielsweise 240 Meter, gleicbmässig zurücklegt, so ergiebt sieb der in jeder Sekunde durchlaufene Weg ganz offenbar dadurch, dass man den Gesamtweg durch die verbrauchte Sekundenzahl dividiert, also für den angenommenen Spezialfall 240 : 120 = 2 Meter.

Dieser bei der gleichförmigen Bewegung in einer Sekunde zurückgelegte Weg heisst die Geschwindigkeit des Punktes und erhält in der Regel die Bezeichnung c oder auch v. Bezeichnet man ausserdem die Sekundenzahl mit t und den in dieser Zeit vom Punkte zurückgelegten Weg mit s, so gilt allgemein die Formel

(1.)

Hieraus folgt weiter

(2.)

coo

po

s — ct

oder in Worten: Bei der gleichförmigen Bewegung ist der Gesamtweg das Produkt aus der Geschwindigkeit und der in Sekunden ausgedrückten Zeit. Endlich ergiebt sich aus 2

(3.)

demnach die Regel: Behufs Berechnung der Zeit, welche ein Punkt braucht, um bei bekannter Geschwindigkeit einen bestimmten Weg zurückzulegen, hat man diesen durch jene zu dividieren.

Mit Hilfe der vorstehenden drei Formeln, resp. Regeln, können alle Aufgaben gelöst werden, welche sich auf gleichförmige Bewegungen beziehen; nur ist im Auge zu behalten, dass die Zeit t stets in Sekunden auszudrücken ist, sowie, dass der Gesamtweg s und die Geschwindigkeit c immer mit derselben Längeneinheit gemessen sind.

§ 3.

Beispiele.

1. Mit welcher Geschwindigkeit lief ein Reitpferd, welches in 32 Minuten einen Weg von 7968 Metern gleichmässig zurücklegte?

Lösung: In diesem Falle ist der Gesamtweg s — 7968 m, die

Zeit t = 32' = 32.60 = 1920" und folglich nach Formel 1

= 4,15 m,

7968

1920

die Geschwindigkeit des Reitpferdes.

2. Welchen Weg in geographischen Meilen (à 7420 m) kann ein geübter Schlittschuhläufer bei 9 Meter Geschwindigkeit während 2 Stunden zurücklegen?

Lösung: Hier hat man c=9m und t = 2 St. = 120' = 7200", mithin ergiebt sich nach Formel 2

= 8,44LMeilen.

s = ct— 9.7200 = 64 800 m = —

64800

7420

3. In welcher Zeit würde ein Schnellzug bei ununterbrochener Fahrt und 12,5 Meter Geschwindigkeit unseren nächsten Himmelskörper, den Mond, erreichen, wenn letzterer gerade 52000 Meilen (à 7500 Meter) von der Erde entfernt ist?

Lösung: Es ist gegeben der Gesamtweg s = 52000 . 7500 m, die Geschwindigkeit e = 12,5 m, und man erhält mittels Formel 3 die Zeit

= 31200000" = 361,11 Tage.

52000.7500

12,5

4. In welcher Zeit gelangt ein Lichtstrahl von der Sonne zur Erde, wenn die Entfernung beider zu 20 Millionen und die Geschwindigkeit des Lichts zu 40 Tausend Meilen angenommen wird?

Antwort: In 8 Minuten 20 Sekunden.

5.    Wie lange braucht eine Brieftaube, um bei 30 Meter Geschwindigkeit einen Weg von 9 Kilometern zurückzulegen?

Antwort: 5 Minuten.

6.    Wie gross ist die Geschwindigkeit eines Dampfschiffes, welches in der Stunde 18 Kilometer zurücklegt?

v Antwort: 5 Meter.

7.    Wenn zum Herausziehen einer Tonne aus einem 210 Meter tiefen Schacht zwei und eine halbe Minute Zeit erforderlich ist, welches ist dann die Geschwindigkeit jener Tonne?

Antwort: 1,4 Meter.

8.    Welche Geschwindigkeit besitzt ein Infanterist, welcher in der Minute 1^2 Schritte à 0,8 Meter macht?

Antwort: 1,6 Meter.^yVv /2^-

9.    Welchen Weg legt derselbe bei ununterbrochenem Marsche pro Stunde zurück?

Antwort: 5,76 Kilometer. /

10.    Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein horizontales Sägegatter, welches 200 Touren oder 400 Schnitte in der Minute macht, wenn jeder Zug 0,69 ^Meter lang ist?

Antwort: Mit 4,6 Meter Geschwindigkeit.

cL

§ 4.

•f «T V

Die gleichförmige Kreisbewegung.

Wenn auch die in § 2 entwickelten Gesetze für die gleichförmige Bewegung von der Form des zurückgelegten Weges ganz unabhängig sind und daher ebensowohl für jede krummlinige als geradlinige Bewegung gelten, so erscheint es dennoch geboten, diejenige gleich-massige Bewegung, welche von einem Punkte auf der Peripherie eines Kreises erfolgt, noch besonders zu untersuchen.

Aus Gründen der Zweckmässigkeit hat man nämlich bei dieser für die Maschinenlehre so wichtigen Bewegungsart anstatt des Gesamtweges und der Zeit die beiden folgenden Grössen eingeführt:

1.    den Durchmesser der Kreisbahn, welcher allgemein mit d bezeichnet wird und

2.    die sogenannte Umlaufs- oder Tourenzahl, welche an-giebt, wie oft mal der Punkt den Kreisumfang in einer Minute durchläuft und welche wir mit n bezeichnen wollen.

Die Geschwindigkeit behält ihre Bedeutung (Weg pro Sekunde) und Bezeichnung (c oder v) bei, wird aber hier aus nahe liegendem Grunde gewöhnlich auch Umfangsgeschwindigkeit genannt.

Die Beziehung, in welcher die vorstehenden drei Grössen c, d und n zu einander stehen, finden wir. durch folgende einfache Schlüsse : die Länge vom Umfange eines Kreises vom Durchmesser d ist bekanntlich

dn,

folglich der vom Punkte auf der Kreisperipherie in einer Minute zurückgelegte Weg

ndn

und mithin sein Weg in der Sekunde, das ist seine Umfangsgeschwindigkeit

ndn

<;<>

Dividieren wir Zähler und Nenner des letzteren Bruches durch die Zahl n = 3,1415926 . . . und runden das Verhältnis 60 : n auf 19,1 ab, so erhalten, wir für die gleichförmige Kreisbewegung die Grundformel

(4.)

(5.)

nd

19,1

Hieraus erhält man leicht die Tourenzahl

19,1c

und den Durchmesser der Kreisbahn

19,1c

(«•>

Es kann füglich dem Leser anheim gestellt werden, die vorstehenden drei Formeln in Wortregeln zu übersetzen; jedenfalls aber ist es unerlässlich, sich bei Anwendungen zu vergegenwärtigen, dass n eine unbenannte Zahl darstellt und dass c und d mit gleicher Einheit gemessene Längen sind.

§ 5.

Beispiele.

11. Wie gross ist die Geschwindigkeit eines Punktes am Rande eines vertikalen Wasserrades, welches 6 Meter hoch ist und sich in einer Minute 4mal umdreht?

Lösung: Bekannt ist d— 6m und n = 4; man findet daher nach Formel 4 die Umfangsgeschwindigkeit

nd

= 1,257 m.'

4 . 6

19,1

19,1

12. Erfahrungsgemäss muss für einen guten Mahlprozess bei 100 Umläufen pro Minute die Umfangsgeschwindigkeit 7.6 Meter betragen; welchen Durchmesser müsste man demnach dem Steine geben?

Lösung: Aus n = 100 und c — 7,6 m folgt nach Formel 6

19,1c _ 19.1.7,6

TÖO~

= 1,45 m. '

13. Wie viele Umgänge in der Minute macht eine Turbine, deren Durchmesser 0,6 und deren Umfangsgeschwindigkeit 11 Meter beträgt?

Lösung: Mit Einsetzung von d — 0,6 und c = 11 in die Beziehung 5 ergiebt sich die Tourenzahl

= 350.

19,1c    19,1.11'

0,6

14.    An einem Göpel von 5 Meter Länge zieht ein Pferd mit 1,2 Meter Geschwindigkeit; wie viel Umdrehungen in der Minute macht die Welle des Göpels?

Antwort: Circa 2,3 Umdrehungen.

15.    Welche Umfangsgeschwindigkeit besitzt ein 5 Meter hohes Schwungrad bei 42 Touren in der Minute?

Antwort: Circa 11 Meter.

bei einer Umfangsgeschwindigkeit von 4 Metern

16.    Wie lang muss der Durchmesser einer Riemenscheibe gewählt werden, um 55 Umläufe per Minute zu erzielen?

Antwort: 1,39 Meter.

17.    Mit welcher Geschwindigkeit fährt eine Lokomotive, deren Triebräder 1,6 Meter hoch sind und in einer Minute 126 Umgänge machen ?

Antwort: Mit 10,555 Meter Geschwindigkeit.

18.    Man berechne die Geschwindigkeit am Umfange eines Schwungrades, welches 4,85 Meter hoch ist und in der Minute 68 Umläufe macht.

Lösung: c — 17,266 m.

19.    In der Rennbahn eines Pferdegöpels läuft ein schweres Zugpferd am vorteilhaftesten mit 0,85 Meter Geschwindigkeit; welchen Durchmesser muss man der Bahn geben, wenn das Pferd in jeder Minute einen Umlauf machen soll? '

Antwort: Einen Durchmesser von 16,235 Meter Länge.

20.    Ein Zahnrad soll mit 2 m Umfangsgeschwindigkeit laufen and 1,8 m Halbmesser erhalten; welche Tourenzahl ergiebt sich für dasselbe?

Antwort: n — 10,6.

//

tH

<N

acn

05

Riemen- und Räderverbindungen.

Wenn zwei um ihre Mittelpunkte drehbare kreisrunde Scheiben durch einen über sie gelegten, straff gespannten und endlosen Riemen verbunden sind, so überträgt sich die Umfangsgeschwindigkeit der einen Scheibe auf die andere. Sind also C und c die Umlaufsgeschwindigkeiten der treibenden, resp. getriebenen Scheibe, so gilt die Beziehung

C = c.

Bezeichnen wir nun die Tourenzahlen und die Durchmesser beider Riemenscheiben mit N und D, beziehungsweise mit n und d, so haben wir nach Nr. 4

ND

, sowie c =

nd

19,1 ’

19,1

und durch GleLchsetzung dieser beiden Werte von C und c er-giebt sich

(7.)

ND = nd

oder in Worten: Das Produkt aus Tourenzahl und Durchmesser ist für die beiden *clurch einen Riemen verbundenen Scheiben dasselbe.

Dieses Gesetz gilt offenbar auch für zwei Zahnräder, deren Zähne genau ineinander greifen; doch kann, man hierbei statt der Durchmesser auch die Zähnezahlen der entsprechenden Räder setzen. Sind nämlich letztere Z, resp. % und bezeichnen wir die Breite eines Zahnes, d. i. zugleich die Breite einer Zahnlücke, mit b, so gelten

die beiden Gleichungen

Dn = 2 hZ und du — 2 bz.

^ Gleichung

Setzen wir diese beiden Werte in die aus Nr. 7 folgende

NDn = ndn

ein, so entsteht

N2bZ = n2bz

oder

(8.)

NZ = n%

d. h.: Die Produkte aus Umlaufs- und Zähnezahl sind für beide ineinander greifende Räder einander gleich.

vH

CO

COO

Beispiele.

21. Von zwei c|urch einen Riemen verbundenen Scheiben hat die erste 1,5 Meter Durchmesser und macht 48 Umdrehungen per Minute. Wie gross muss der Radius der anderen Scheibe gewählt werden, um 100 Touren zu erzielen?

Lösung: Aus N — 48, D = 1,5 m und n = 100 folgt laut

Formel 7

48 . 1,5 = 100 d und hieraus d — 0,72 Meter, die getriebene Scheibe muss demnach einen Halbmesser von 36 cm erhalten.

22. Ein Kegelrad von 108 Zähnen und 22 Umdrehungen in der Minute greift in ein Trieb mit 24 Zähnen, welches auf einer Mühlspindel sitzt. Wie viel Umläufe pro Minute macht die letztere?

Lösung: Mit Einsetzung von Z— 108, N — 22 und n— 24 in Formel 8 ergieb't sich

108 . 22 = 24 . %, mithin ä, = 99,

die Umlaufszahl der Mühlspindel.

23. Auf der mit 75 Umdrehungen laufenden Transmissionswelle einer Maschinenfabrik sitzt eine Riemenscheibe von 84 cm Durchmesser und treibt eine Riemenscheibe von 45 cm Durchmesser auf einer Drehbankspindel. Wie viel Touren macht die letztere in einer Minute?

Antwort: 120.

24.    Wie lang müsste aber der Durchmesser der Scheibe auf der Drehbankspindel sein, wenn letztere nur 100 Umläufe per Minute machen soll?

Antwort: 63 cm lang.

25.    Auf der Welle eines Pferdegöpels, welche sich in 10 Minuten 13 mal umdreht, sitzt ein Rad mit 160 Zähnen und greift in ein Trieb mit 20 Zähnen; man bestimme hieraus die Tourenzahl des Triebes.

Auflösung: n — 10,4.

26.    Eine Ventilatorwelle soll durch eine Riemenscheibe von 2 Meter Durchmesser getrieben werden und mit 1500 Touren laufen. Welchen Durchmesser muss man der auf die Ventilatorwelle aufzukeilenden Scheibe geben, wenn sich die treibende Scheibe 135 mal in der Minute umdreht?

Antwort: Einen Durchmesser von 18 cm.

27. Ein zum Betriebe einer Mühlspindel dienendes Wasserrad macht 6 Umdrehungen in der Minute und trägt an seiner Welle ein Zahnrad mit 150 Zähnen, welches in ein Trieb mit 36 Zähnen ein-' greift. Auf der Welle des letzteren sitzt wieder ein Kegelrad von 120 Zähnen, welches schliesslich ein Trieb mit 30 Zähnen auf der Mühlspindel in Bewegung setzt; man berechne die Umlaufszahlen des ersten Triebes und der Mühlspindel.

Resultate: 25 und 100.

OJO

00

Die mittlere Geschwindigkeit.

Die in § 2 aufgestellte Definition der Geschwindigkeit (als Weg pro Sekunde) gilt lediglich für die gleichmässige Bewegung. Wenn dagegen ein Punkt sich ungleichmässig bewegt und in einer bestimmten Zeit (t Sekunden) einen bestimmten Weg (s) zurücklegt, so spricht man von einer durchschnittlichen oder mittleren Geschwindigkeit und versteht darunter diejenige (gedachte) Geschwindigkeit, welche jener Punkt haben müsste, um in eben derselben Zeit t genau dieselbe Wegeslänge s gleichförmig zurückzulegen, welche doch in Wirklichkeit ungleichmässig durchlaufen wurde.

Es folgt hieraus, dass die mittlere Geschwindigkeit y eines ungleichförmig bewegten Punktes mit derselben Formel 1 bestimmt werden kann, welche das Gesetz für die gleichmässige Bewegung ausdrückt, dass also

(9.)

ist.

Wenn z. B. ein Eisenbahnzug in drei Stunden oder 10800 Sekunden die Strecke von 90 Kilometern zurücklegte, so war während

— 8X/S Meter —

wie auch immer rasche und langsame Fahrt, sowie Stillstand an den Zwischenstationen aufeinander gefolgt sein mögen.

dieser Zeit seine mittlere Geschwindigkeit

90000 10800

Aus der letzten Gleichung ergiebt sich weiter s = yt

(10.)

eine Formel, mittels welcher man den von einem Punkte in der Zeit t ungleichförmig zurückgelegten Weg unter der Voraussetzung berechnen kann, dass die mittlere Geschwindigkeit jenes Punktes innerhalb derselben Zeit bekannt ist.

GOO

Beispiele.

28.    Wie gross war die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Schifies, welches in 50 Stunden den Weg von Calais nach Cork, eine Strecke von 100 deutschen Meilen (à 7500 m) zurücklegte?

Antwort: y =■ 4¹j₆ Meter.

29.    Wie gross ist die mittlere Geschwindigkeit eines Schnellzuges bei 6 deutschen Meilen in der Stunde?

Antwort: 12;5 Meter.

30.    Ein Körper schwimmt auf einem Flusse in 2 Stunden 900 Meter weit; wie gross berechnet sich hieraus die mittlere Geschwindigkeit des Wassers an der Oberfläche des Flusses?

Antwort: 0,125 Meter.

31.    Wenn durch eine mit immer gleicher Umfangsgeschwindigkeit gedrehte Kurbel eine kreisförmige in eine geradlinige Bewegung übergeführt wird, so ist letztere ungleichförmig. Man soll die durchschnittliche Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung aus der Länge l und der Umdrehungszahl n der Kurbel entwickeln.

Auflösung: Nach einer Kurbeldrehung ist der in gerader Linie zurückgelegte Weg dem doppelten Durchmesser des Kurbelwarzenkreises gleich, also 4 l, mithin nach einer Minute 4 ln und daher nach Formel 9

4 ln ln

15 ’

⁷ \ 60

die mittlere Geschwindigkeit deV geradlinigen Bewegung.

32. Man löse die vorige Aufgabe für den besonderen Fall, dass l — 35 Centimeter und n — 42 ist.

Resultat: y — 0,98 Meter.

33. In welchem Verhältnisse steht die mittlere Geschwindig-keit y der 31. Aufgabe zur Umfangsgeschwindigkeit c der Kurbelwarze ?

Antwort: Es verhält sich y : c — 2 : n — 0,6366 ; 1.

34. Der Kolben einer Dampfmaschine macht bei jeder Schwungradumdrehung zwei Hübe. Welches ist nun die mittlere Kolbengeschwindigkeit, wenn die Länge eines Kolbenhubes l Meter beträgt und die Tourenzahl des Schwungrades allgemein gleich n ist?

Auflösung: Der vom Kolben während einer Umdrehung des

Schwungrades durchlaufene Weg ist 21 Meter, demnach während einer Minute 2 ln Meter, und hieraus ergiebt sich nach Formel 9

2 ln

ln

60

TüT Meter’

die durchschnittliche Geschwindigkeit des Kolbens.

35.    Wie gestaltet sich das Resultat der vorigen Aufgabe für die speziellen Zahlenwerte l ~ 1,2 Meter, n — 35?

Antwort: y = 1,4 Meter.

36.    Wie gross ist die mittlere Kolbengeschwindigkeit einer Dampfmaschine, wenn die Hublänge 0,93 Meter und die Umlaufszahl des Schwungrades gleich 50 ist?

Antwort: y = 1,55 Meter.

§ io.

Die gleichförmig beschleunigte Bewegung.

Eine Bewegung, bei welcher die Geschwindigkeit in gleichen Zeiträumen um gleich viel zunimmt, heisst gleichförmig beschleu-nigt; es ist hier das Verständnis für folgende fünf Begriffe nötig:

1.    die Zeit t und

2.    der Gesamtweg 5 behalten die in § 2 angegebene Be-

deutung,

I

3.    die Anfangsgeschwindigkeit ist der Weg, welchen der Punkt innerhalb der ersten Sekunde zurücklegen würde, wenn keine Geschwindigkeitszunahme stattfäpde und soll mit c bezeichnet werden,

4.    die sogenannte Beschleunigung, welche wir immer mit p bezeichnen wollen, ist das Wachstum der Geschwindigkeit pro Sekunde, und

5.    die Endgeschwindigkeit ist die Strecke, welche der Punkt nach der Zeit t in einer, also der (t -j- 1) ten Sekunde durchlaufen würde, wenn die Bewegung nach der iften Sekunde plötzlich in eine gleichförmige überginge; diese Grösse soll in der Folge die Bezeichnung v erhalten.

An die -vorstehenden Definitionen anknüpfend, erhalten wir eine Beziehung zwischen den vier Grössen c, p, t und v durch folgende einfache Betrachtung: es ist offenbar die Geschwindigkeit des Punktes

= c +P, = e + 2 p, = c + 3 p,

zu Anfang der ersten Sekunde — c, am Ende

„ zweiten „ „ di'itten    „

mithin

am Ende der / ten Sekunde = c -}- tp, und weil die Geschwindigkeit nach Verlauf von t Sekunden nichts anderes als die Endgeschwindigkeit v ist, so gilt die Gleichung

(11.)

v — c -f- p t.

Diese Formel lässt uns zwar die Natur der gegenseitigen Abhängigkeit zwischen den vier Grössen c, p, t und v erkennen, giebt aber keinen Aufschluss über den vom Punkte in der Zeit t zurückgelegten Gesamtweg s.

Da aber bei dieser Bewegungsart die Geschwindigkeit von c bis v ganz gleichmässig zunimmt, so ist der in t Sekunden durchlaufene Raum offenbar ebenso gross, als wenn die Bewegung eben so lange gleichförmig vor sich ginge mit einer mittleren Geschwindigkeit .

es ist dah^.’ nach Formel 10

c H- v

(12.)

Setzt man den Wert von v aus 11 in 12 ein, so entsteht eine dritte Beziehung

2 et -f- p t²

c -f- c + pt s —-

oder

Für den Fall, dass ein Punkt vom Ruhezustände aus in eine gleichförmig beschleunigte Bewegung übergeht, ist seine Anfangsgeschwindigkeit Null, und wir erhalten folglich die hierher gehörigen Formeln dadurch, dass wir in den Gleichungen 11 bis 13

c = o

setzen, nämlich

(14.)

und

(15.)

f'²

Die Lösung von Aufgaben, welche aüf gleichförmig beschleunigte Bewegung Bezug haben, erfolgt nun in der Weise, dass man in den vorstehenden Formeln die gegebenen Zahlen an die Stelle der bezüglichen Buchstaben setzt und dann die entstehenden Gleichungen für die gesuchten Grössen auflöst.

§ H-

Beisp iele.

37. Ein Körper beginnt seine Bewegung mit 1,5 Meter Geschwindigkeit, welche mit jeder Sekunde um 0,25 Meter wächst. Wie gross ist seine Geschwindigkeit nach 3 Minuten und welchen Weg hat der Körper in dieser Zeit zurückgelegt?

Auflösung: Durch Substitution von c — 1,5; p — 0,25 und t = 180 in die Formeln 11 und 13 erhält man

v — c + p t = 1,5 -f- 0,25 . 180 = 46,5 Meter als Endgeschwindigkeit, sowie

. 180 -f -I- (180)² = 4320 Meter, 8

CO Cd

s = ct-\-~t² =

den in drei Minuten durchlaufenen Weg des Körpers. Letzteren hätte man auch mit Benützung von v = 46,5 etwas kürzer nach Formel 12 berechnen können.

38. Welches war die Beschleunigung eines Punktes, dessen Geschwindigkeit während einer Minute von 3 auf 123 Meter stieg?

Auflösung: Mit Einführung der gegebenen Werte c — 3, v = 123 und t — 60 in die Beziehung 11 entsteht

123 = 3 p . 60, woraus folgt p = 2 Meter.

39. Wie gross war aber die Beschleunigung eines Körpers, welcher seine Bewegung mit 4 Meter anfing und in einer Minute eine Strecke von 2400 Meter durchlief?

Auflösung: Setzt man s = 2400, c — 4 und t — 60 in Nr. 13 ein und löst die hierdurch entstehende Gleichung für p auf, so er-giebt sich p = 1,2 Meter, die gesuchte Beschleunigung.

40.    Wie lange muss sich ein Punkt bewegen, um bei einer Beschleunigung von 0,01 Meter, von einer Anfangsgeschwindigkeit von 4 Meter auf eine Endgeschwindigkeit von 16 Meter zu gelangen?

Antwort: 20 Minuten lang.

41.    Wie viel Zeit braucht ein Punkt, um bei 3 Meter Anfangs

und 7 Meter Endgeschwindigkeit einen Weg von 4800 Meter zurückzulegen?    ^

Antwort: 16 Minuten. ,

42.    Man beobachtet, dass ein von der Ruhelage aus sich bewegender Körper in 15 Sekunden einen Weg von 45 Metern zurücklegt. Welches war seine Beschleunigung? ^

Antwort: p <= 0,4 Meter.

43.    Welches ist die Geschwindigkeit des Körpers in voriger Aufgabe nach einer weiteren halben Minute?

Antwort: v = 18 Meter.

44.    Auf den höchsten Punkt einer geneigten Ebene von 40 Meter Länge legt man eine Kugel, welche nun herabrollt und in 8 Sekunden am Fusse der schiefen Ebene ankommt. Man bestimme

hieraus die Beschleunigung und die Endgeschwindigkeit der Bewegung. Resultate: p — 1,25 und v — 10 Meter.

§ 12.

Die gleichförmig verzögerte Bewegung.

Unter einer gleichförmig verzögerten Bewegung versteht man eine solche, bei welcher die Geschwindigkeit in gleichen Zeiten um gleich'viel abnimmt. Die Abnahme der Geschwindigkeit pro Sekunde nennt man die Verzögerung und bezeichnet sie, wie die Beschleunigung, mit p. Ausserdem kommen hier die vier

r-

/'

Grössen c, t, v und s genau in derselben Bedeutung vor, wie oben; nur ist im voraus klar, dass hier, im Gegensätze zur beschleunigten Bewegung, die Anfangsgeschwindigkeit c immer grösser sein wird als die Endgeschwindigkeit v.

Weil aber jede Abnahme als eine negative Zunahme und mithin auch die Verzögerung als negative Beschleunigung angesehen werden kann, so ergeben sich die Gesetze für die gleichförmig verzögerte Bewegung, wenn man in den Beziehungen Nr. 11 und 13 — p an die Stelle von -f-p setzt, nämlich

(16.)

v — c — pt

und

(17.)

s = ct —

Die Formel 12, in welcher die Grösse p überhaupt nicht vorkommt, gilt natürlich sowohl für die gleichförmig verzögerte, als auch für die gleichförmig beschleunigte Bewegung. Schliesslich sei noch erwähnt, dass der spezielle Fall c = o selbstverständlich hier ausgeschlossen ist.

§ 13.

Beispiele.

45.    Die Geschwindigkeit eines Körpers ist anfangs 38 Meter, vermindert sich aber aus irgend welcher Ursache per Sekunde um 0,4 Meter; wie gross ist die Geschwindigkeit nach einer Minute und welche Wegeslänge wurde in dieser Zeit durchlaufen?

Resultate: v — 14 Meter und s = 1560 Meter.

46.    Nach wie viel Sekunden, vom Beginn der Bewegung an gerechnet, kommt dieser Körper zur Ruhe?

Lösung: Letztere tritt in dem Momente ein, wo die Endgeschwindigkeit gleich Null geworden ist. Setzen wir daher in Formel 16 c = 38, p = 0,4 und v = 0, so ergiebt sich

0 = 38 — 0,4 t

oder

38

0,4

95;

die Bewegung hört also nach 95 Sekunden auf.

47. Man will die Geschwindigkeit eines Körpers, welche zu einem gewissen Zeitpunkte 30 Meter beträgt, durch allmähliche Verminderung in zwei Minuten auf die Hälfte reduzieren; wie gross muss da die Verzögerung sein?

Auflösung: Man setzt in Nr. 16 c — 30, v — 15, t— 120 und erhält

15 = 30 — 120 p,

folglich

p — 0,125 Meter,

die gesuchte Verzögerung.

48.    Eine auf einer Ebene fortrollende Kugel besitzt zuerst eine Geschwindigkeit von 6 Metern. Wie lange bewegt sich diese Kugel, wenn ihr die Bewegungshindernisse pro Sekunde 3 cm an Geschwindigkeit entziehen?

Antwort: 3 Minuten 20 Sekunden lang.

49.    Wie weit entfernt sich die Kugel vom Anfangspunkt der Bewegung?

Antwort: 600 Meter.

50. Eine Lokomotive hat 15 Meter Geschwindigkeit und soll auf 900 Meter zum Stillstand gebracht werden. Welche Verzögerung muss ihr durch Bremsen erteilt werden?

Lösung: Hier bestimmen wir zunächst die nötige Bewegungszeit, indem wir in Nr. 12 s — 900, c — 15 und v = 0 substituieren, Aus der hierdurch entstehenden Gleichung

15

folgt

t = 120

und mit Einsetzung dieses Wertes und der anderen Zahlen in 17 erhält man

900 = 1800 — 7200 p

oder

p — 0,12 IT Meter,

die gesuchte Verzögerung.

Mit

51. Eine Kugel wird mit einer Geschwindigkeit von 9 Metern//^ eine schiefe Ebene hinaufgestossen und erreicht nach einer halben Ęj Minute die höchste Lage, von wo aus sie wieder umkehrt, welcher Verzögerung bewegte sich die Kugel?

Antwort: p — 3 dm.

52. Wie weit hatte sich die Kugel vom Ausgangspunkt ent

fernt ?

Antwort: 135 Meter.

53. Wann hatte sie eine Geschwindigkeit von 4 Metern? Antwort: Nach 16²/₃ Sekunden.

§ H.

Der freie Fall und der senkrechte Wurf der Körper.

Besonders wichtige Anwendungen der letzten beiden Bewegungsarten haben wir im freien Fall und im senkrechten Wurf der Körper.

Wie die Erfahrung lehrt, bewegt sich nämlich ein seiner Unterstützung beraubter Körper bis zum Eintritte irgend eines Hindernisses in gerader, lotrechter Linie gleichförmig beschleunigt. Die Geschwindigkeitszunahme, hier auch die Beschleunigung oder Acce-larition der Erdschwere genannt, beträgt nach genauen physikalischen Messungen im luftleeren Raume 9,81 Meter und wird allgemein mit g bezeichnet.

Da es nun ausserdem gebräuchlich ist, den nach t Sekunden zurückgelegten Weg, welcher hier Fallhöhe heisst, mit h zu bezeichnen, so erhalten wir zunächst die Formeln für den freien Fall von der Ruhe aus, wenn wir in 14 oder 15

(18.)

g =. 9,81 Meter

statt p und h an die Stelle von s einsetzen, nämlich

(19.)

v — gt

und

(20.)

Lp

2 ’

V

ferner durch Substitution von t — — aus 19 in 20 nach geringer

9

Umformung

(21.)

und hieraus

Wird dagegen ein Körper mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit c vertikal empor geschleudert, so nimmt er eine gleichförmig verzögerte Bewegung an, seine Verzögerung ist g = 9,81 Meter, und wir erhalten nach 16 und 17

(23.)

v = c — gt,

die Endgeschwindigkeit, sowie

co

(24.)

*²,

h — ct---

die Wurf- oder Steighöhe des Körpers nach der Zeit t.

Allerdings ist in vorstehenden Angaben der Luftwiderstand gänzlich unberücksichtigt gelassen und zugleich haben die Formeln 18 bis 24 streng genommen nur Giltigkeit für nicht allzugrosse Fallräume; allein die letzteren sind, soweit sie in der Technik Vorkommen, so klein und hiermit ist auch der Luftwiderstand so gering, dass bei Anwendung obiger Formeln ein nennenswerter Fehler nicht zu befürchten steht.

§ 15.

Beispiele.

54.    Welche Geschwindigkeit erhält und welche Höhe durchfällt ein Körper vom Ruhezustände aus in 5 Sekunden?

Resultate: v — 49,05 und h = 122,625 Meter.

55.    Wie gross ist die Endgeschwindigkeit eines Körpers, der ohne Anfangsgeschwindigkeit eine Höhe von 20 Metern zu durch -fallen hat?

Lösung: Aus Formel 22 ergiebt sich v — Ÿ2 . 9,81 . 20 = V 392,4 = 19,81 Meter.

56.    Die Endgeschwindigkeit eines aus 16,5 Meter Höhe herabfallenden Körpers anzugeben,

Resultat: v= 17,993, also circa 18 Meter.

57.    Ein Dampfhammer wird 1,05 Meter hoch gehoben und fällt dann frei herunter; mit welcher Geschwindigkeit trifft er das zu schmiedende Eisenstück?

Antwort: Mit einer Geschwindigkeit von 4,54 Meter.

58.    Welche Höhe hat ein mit 23,5 Meter Geschwindigkeit an-kommender Körper durchfallen?

Lösung: Für v — 23,5 ergiebt sich aus Formel 21 die gesuchte Fallhöhe h — 28,15 Meter.

59. Ein Körper wird mit einer Geschwindigkeit von 196,2 Meter senkrecht empor geschleudert. Wie gross ist seine Geschwindigkeit nach 15 Sekunden ?

Antwort: v — c — gt = 196,2 — 9,81 . 15 = 49,05 Meter.

60.    "Wie hoch ist der Körper in dieser Zeit gestiegen?

Antwort: 1839,4 Meter hoch.

61.    Wie lange steigt der Körper überhaupt, d. h., wann erreicht er seinen höchsten Punkt, um dann umzukehren?

Lösung: Offenbar in dem Momente, wo seine Endgeschwindigkeit Null ist. Setzt man aber in Nr. 23 v — 0, c — 196,2 und g — 9,81, so entsteht

0 = 196,2 — 9,811

und hieraus folgt t — 20; folglich steigt der Körper 20 Sekunden lang.

62. Bis zu welcher Höhe hatte sich demnach der Körper erhoben ?

Antwort: Bis zu 1962 Meter.

63. Ein Körper wurde vertikal emporgeschleudert und kam nach 50 Sekunden an die Ausgangsstelle zurück. Wie gross berechnet sich hieraus mit Vernachlässigung des Luftwiderstandes die Anfangsgeschwindigkeit ?

Antwort: 245,25 Meter.

Zweites Kapitel.

Das Prinzip der lebendigen Kräfte.

Drittes Kapitel.

Viertes Kapitel.

Schwerpunkte homogener ebener Flächen.

Sechstes Kapitel.

Der Keil.

§ 101.

Der Reibimgswinkel.

§ 128.

Zweites Kapitel.

Grundgesetze lind Grundbegriffe der Mechanik.

§ 16.

Das Grundgesetz vom Beharrungsvermögen.

Wie z. B. die Mathematik, so geht auch die theoretische Mechanik von gewissen Annahmen aus, die unmittelbar der Erfahrung entnommen jsind und welche nun die Fundamentsteine für das Lehrgebäude der Mechanik abgeben. Diese Annahmen heissen die Grundsätze oder Axiome der Mechanik und ihre Richtigkeit wird nachträglich noch dadurch bestätigt, dass keine aus ihnen gezogene Folgerung den in der Natur beobachteten Thatsachen widerstreitet.

Von den vier Axiomen, welche der Mechanik im ganzen zu Grunde liegen, nennen wir als erstes das Grundgesetz vom Beharrungsvermögen od er von der Trägh eit, nach welchem ohne äussere Veranlassung ein Körper weder den Zustand der Ruhe noch seine Bewegung irgend wie ändert: ist ein Körper einmal in Ruhe, so hat er auch das Bestreben, darin zu verharren, und ein bewegter Körper würde unaufhörlich eine gleichmässige Bewegung in gerader Linie verfolgen, wenn eben nicht äussere Ursachen vorhanden wären, welche entweder seine Geschwindigkeit oder seine Richtung oder beides zugleich abänderten.

Dass der erste Teil dieses Gesetzes richtig ist, dürfte ohne weiteres einleuchten; denn es bedarf z. B. für einen Menschen immer einer gewissen Anstrengung, um seinen oder einen anderen Körper in Bewegung zu setzen; für die Wahrheit des zweiten Teiles sprechen wohl auch viele Erscheinungen, so zum Beispiel, dass man beim scharfen Laufen nicht plötzlich einhalten kann, oder dass das Schwungrad einer Maschine noch fortläuft, nachdem der Dampfdruck bereits geraume Zeit zu wirken aufgehört hat u. s. w.; allein die letzte Konsequenz des oben angeführten Satzes zu beobachten sind wir niemals in der Lage, weil es keine einzige geradlinige und gleichförmige Bewegung von unbeschränkter Dauer giebt. Man muss daher den Scharfsinn bewundern, mit welchem der Italiener Galilei das Trägheitsgesetz zuerst richtig erkannt hat.

§ 17.

Entwickelung des Begriffes „Kraft“.

Die im vorigen Paragraphen mehrfach erwähnten Ursachen, dass das Axiom vom Beharrungsvermögen nicht zum direkten und vollen Ausdrucke gelangt, bezeichnet man mit dem gemeinschaftlichen Namen „Kräfte“. Unter einer Kraft versteht man demnach alles dasjenige, was eine Bewegung hervorzurufen oder auch eine bereits bestehende Bewegung (in Bezug auf Richtung und Geschwindigkeit) abzuändern im Stande ist.

Wenn wir z. B. beobachten, dass die Geschwindigkeit eines lotrecht empor geworfenen Körpers beständig abnimmt, bis sie gleich

Null geworden ist — und dass dann der Körper in beschleunigter Bewegung zur Erde zurückkehrt, so muss notwendiger Weise eine Ursache angenommen werden, welche diese Geschwindigkeitsänderungen bewirkt; man nennt dieselbe bezeichnend Anziehungskraft der Erde oder auch Schwerkraft.

Wird ferner ein Körper auf einer horizontalen Ebene mit einer bestimmten Geschwindigkeit fortgestossen, so ist zwar die Schwerkraft aufgehoben und kann demgemäss eine Bewegungsänderung unmittelbar nicht hervorrufen; allein sie bewirkt doch einen Druck zwischen dem Körper und seiner Unterlage und hierdurch entsteht ein Bewegungswiderstand, welchen wir später unter dem Namen Reibung kennen lernen werden und welcher die nächste Ursache ist, dass auch die Bewegung eines auf horizontaler Bahn fortgeschleuderten Körpers eine verzögerte ist und folglich nach einer gewissen Zeit ganz auf hört.

Aber selbst wenn auch die Reibung vollständig beseitigt werden könnte, so bliebe doch immer noch der Luftwiderstand, welcher dem Körper in jeder Sekunde ebenfalls einen, wenn auch kleinen Teil seiner Geschwindigkeit entziehen und ihn demnach schliesslich zum Stillstand bringen würde.

Das führt zu der weiteren Frage, ob es nicht doch Körper giebt, welche weder von der Reibung, noch vom Luftwiderstände hemmend beeinflusst werden, und da dies mit voller Gewissheit von allen Himmelskörpern, also beispielsweise auch von unserer eigenen Erde behauptet werden kann, so kommt es darauf an, wie es sich mit deren Bewegungen verhält. Die Erfahrung lehrt nun, dass sich zwar alle Himmelskörper seit erdenklichen Zeiten bewegen und auch keine bleibende Geschwindigkeitseinbusse erlitten haben, dass dagegen eine ununterbrochene Änderung ihrer Richtung erfolgt, indem die Bahnen ihrer Mittelpunkte sämtlich krumme Linien sind.

Als Ursache für den letzteren Umstand muss auch hier eine Kraft gelten, nämlich diejenige Kraft, mit welcher irgend zwei Körper bestrebt sind, sich einander zu nähern und welcher man den Namen Gravitation beigelegt hat.

Es wird jetzt auch klar sein, warum niemals eine unmittelbare und alleinige Wirkung des Beharrungsvermögens beobachtet werden kann — weil es nämlich unmöglich ist, einen Körper der Einwirkung jeglicher Kraft zu entziehen.

§18.

Einteilung der Kräfte.

Die Ausführungen des vorigen Paragraphen lassen erkennen, dass die Kräfte zerfallen in solche, welche selbständig Bewegung zu ei'-zeugen im Stande sind, wie z. B. die Schwerkraft und in solche, welche keine Bewegung hervorbringen, sondern nur bereits bestehende Bewegung verhindern oder abändern können, wie z. B. die Reibung und der Luftwiderstand.

Bewegende Kräfte sind ausser der Schwerkraft:

1.    Das Beharrungsvermögen bewegter Körper, nach welchem beispielsweise ein abgestossener Billardball einen anderen ruhenden in Bewegung bringt.

2.    Die Wärmekraft, vermöge welcher die Körper bei Temperaturwechsel sich ausdehnen oder zusammenziehen.

3.    Der Magnetismus oder die Kraft, mit welcher sich zwei Magnete anziehen oder abstossen.

4.    Die Elastizität oder Federkraft, welche hervortritt, wenn die Form oder das «Volumen eines festen Körpers geändert wird.

5.    Die Muskelkraft der Menschen und Tiere etc.

Von den Kräften der zweiten Art, welche auch hemmende Kräfte oder Widerstände heissen, nennen wir:

1.    Die Trägheit ruhender Körper, nach welcher die Bewegung eines Körpers verzögert, resp. aufgehoben wird, wenn derselbe auf einen ruhenden Körper trifft.

2.    Die Kohäsionskraft, das ist die Ursache, welche die Teilchen eines festen Körpers zusammenhält, so dass letztere einer Trennung widerstreben.

3.    Die Adhäsionskraft, mit welcher zwei verschiedene, in innige Berührung gebrachte Körper aneinander haften (z. B. zwei eben geschliffene und glatt polierte Glasplatten).

Übrigens kann jede bewegende Kraft offenbar auch als Widerstand auftreten, nämlich dann, wenn sie der Bewegung eines Körpers entgegenwirkt.

Früher teilte man die Kräfte ausserdem noch ein in stetig oder dauernd und in momentan (augenblicklich) wirkende

Kräfte; allein genaue Untersuchungen neuerer Zeit haben ergeben, dass es Kräfte der letzteren Art überhaupt gar nicht giebt. Jede Kraft braucht eine bestimmte, wenn auch oft sehr kurze Zeit, um einem Körper eine gewisse Geschwindigkeit zu erteilen; jede Bewegung von der Ruhe aus ist also anfangs immer beschleunigt.

§ 19.

Bestimnmngsstiicke einer Kraft.

Mit dem Begriffe „Kraft“ sind folgende drei charakteristische Merkmale verbunden:

1.    Der Angriffspunkt, d. i. die Stelle eines Körpers, auf welche die Kraft unmittelbar wirkt.

2.    Die Richtung, d. i. die gerade Linie, in welcher die Kraft den Angriffspunkt wirklich fortbewegt oder doch fortzubewegen sucht oder endlich auch, dessen Bewegung zu hindern bestrebt ist.

3.    Die Grösse oder die Intensität der Kraft, d. i. das Mass für ihre Wirkungsfähigkeit. Wie bereits bemerkt, besteht die sichtbare Wirkung jeder Kraft in Bewegung, resp. Bewegungsänderung. Ist aber das Eintreten der Bewegung eines Körpers dadurch verhindert, dass der Angriffspunkt der Kraft durch einen zweiten unbeweglichen Körper gestützt wird, so äussert sich die Wirkung der ersteren durch einen Druck auf den letzteren, und man kann daher die Kräfte messen, indem man die Drücke vergleicht, welche sie gegen feststehende Körper ausüben.

Weil man aber insbesondere den Druck, welchen ein bestimmter irdischer Körper vermöge der Schwerkraft auf seine Unterlage ausübt, das Gewicht dieses Körpers nennt, so können auch alle Drücke und demnach auch alle Kräfte nach Gewichten gemessen werden, es handelt sich nur noch darum, eine passende Gewichtseinheit festzustellen. Damit die Gewichts- und die Raummasse in genauem Zusammenhänge stehen, hat man als solche das Gewicht eines Liters destillierten Wassers bei 4⁰ Celsius gewählt, demselben den Namen Kilogramm und die Abkürzungsbezeichnung kg beigelegt.

Wir werden also im folgenden alle Kräfte durch das Kilogramm messen, ganz gleichgiltig, welcher Art diese Kräfte seien, ob sie sich

nun durch den Druck von Wasser oder Dampf, durch die Muskel-thätigkeit von Menschen oder Tieren, durch die Trägheit bewegter oder ruhender Körper, ob sie sich in der Reibung, im Luftwiderstände etc. äussern.

§ 20.

Das Grundgesetz der Wechselwirkung.

Das zweite Axiom der Mechanik besagt, dass die Kräfte nie einzeln, sondern immer nur paarweise in der Natur auftreten und zwar derartig, dass die beiden Kräfte einander gleich sind und in derselben geraden Linie nach e ntgegengesetzten Seiten wirken.

Der Druck, welchen ein Körper vermöge seines Gewichtes auf eine horizontale Ebene ausübt, ruft einen genau eben so grossen vertikalen Gegendruck hervor; ein an einem Faden hängender Körper erzeugt in ersterem eine Spannung, welche dem Gewichte des Körpers gleich, aber entgegengesetzt gerichtet ist; der Mond zieht die Erde mit derselben Stärke an, wie diese jenen; das Abstossen zweier Magnete ist ein vollkommen gegenseitiges; wenn ein Mensch einen Gegenstand senkrecht auf heben will, so sucht letzterer den ersteren in gleichem Masse lotrecht abwärts zu ziehen u. s. w. u. s. w.

Man könnte dieses Gesetz etwas kürzer auch so ausdrücken: Jede Kraftwirkung erzeugt eine gleich grosse Gegenwirkung, welche der ersteren diametral entgegengesetzt ist.

§ 21.

Mechanische Arbeit.

Jede Kraft, welche einen Körper bewegt, hat Widerstände zu überwinden: beim Heben von Lasten auf gewisse Höhen das Gewicht der ersteren; während des Transportes von Gegenständen auf horizontaler Bahn mittels irgend welcher Fahrzeuge die Reibung; behufs Zersägens von Holz die Kohäsion; bei dem Werfen eines Steines ausser seinem Gewichte den Luftwiderstand und die Trägheit, letztere wenigstens so lange, als die Hand mit dem. Steine in Berührung bleibt u. s. f.

Diese Überwindung eines Widerstandes auf bestimmter Wegstrecke, welche Leistung der Kraft oder auch mechanische Arbeit heisst, ist bei immer gleichem Widerstande einerseits dem letzteren selbst, andererseits aber auch dem vom Angriffspunkte der Kraft durchlaufenen Weg, mithin dem Produkte aus Widerstand und Weg proportional; denn es bedarf beispielsweise einer dreifachen Anstrengung: sowohl wenn die dreifache Last auf dieselbe Höhe — als auch, wenn die einfache Last auf eine dreimal so grosse Höhe gehoben werden soll, und es entspricht einer achtfachen Leistung, ob man nun eine achtfache Last auf die einfache, oder eine vierfache Last auf die doppelte oder aber die einfache Last auf die achtfache Höhe hebt etc.

Bedient man sich nun, wie bisher, des Meters als Weg- und des Kilogramms als Kraft-, resp, Widerstandseinheit, so ergiebt sich ganz naturgemäss als Arbeitseinheit diejenige mechanische Arbeit, welche bei Überwindung des Widerstandes von einem Kilogramm auf der Wegstrecke von einem Meter verrichtet wird; diese Einheit der mechanischen Arbeit nennt man Kilogramm eter oder auch Meterkilogramm und bezeichnet sie zur Abkürzung mit mkg. Wenn z. B. 13 Kilogramm Widerstand 6 Meter weit überwunden wird, so ist die geleistete Arbeit 13 mal 6 gleich 78 Meterkilogramme, folglich 78 mal so gross, als wenn der Widerstand ein Kilogramm und der Weg ein Meter gewesen wäre, oder, was auf dasselbe hinauskommt, als wenn ein Kilogrammstück einen Meter hoch gehoben würde.

Verallgemeinern wir das Gesagte, so ergiebt sich die mechanische Arbeit A, welche zur Überwindung eines Widerstandes von W Kilogrammen längs einer Wegstrecke von s Metern nötig ist, durch die Formel

(25.)

und zwar in Meterkilogrammen.

Unter der Bedingung, dass die bewegende Kraft P in der Richtung des Widerstandes (aber selbstredend entgegengesetzt) wirkt, ist übrigens nach dem im vorigen Paragraphen ausgesprochenen Grundgesetz der Wechselwirkung die erstere dem letzteren gleich, also

P= W,

und man kann daher in diesem Falle für den zu überwindenden Widerstand immer auch die arbeitende Kraft, folglich

(26.)

A = P . s

setzen; wie sich aber die Sache gestaltet, wenn die Kraftrichtung mit der Wirkungslinie des Widerstandes einen Winkel einschliesst, soll an späterer Stelle gezeigt werden.

Hier mache man sich aber noch den Unterschied zwischen den beiden Begriffen „Kraft“ und „mechanische Arbeit“, welche von Anfängern nicht selten verwechselt werden, vollkommen klar: Kraft ist die Ursache, mechanische Arbeit die, jedoch nicht notwendige Wirkung; die Kraft macht nur einen Faktor der mechanischen Arbeit aus, der andere Faktor ist der vom Angriffspunkte der Kraft durchlaufene Weg. Eine Kraft kann also nur dann Arbeit erzeugen, wenn sie den von ihr beeinflussten Körper wirklich zu bewegen im Stande ist, während sie sich im anderen Falle lediglich als Druck oder Zug äussert.

§ 22.

Beispiele.

64.    Welcher mechanischen Arbeit bedarf es, um einen 85 kg schweren Rammklotz 1,8 m hoch zu heben?

Antwort: 153 mkg.

65.    Wie viel mechanische Arbeit ist nötig, um einen Hammer von 45 kg Gewicht 60 cm hoch zu heben?

Antwort: 27 mkg.

66.    Ein Arbeiter trägt auf einer Lauf brücke 28 Ziegelsteine, von welchen jeder 3,5 kg wiegt, circa 6 Meter hoch. Wie gross ist die hierbei geleistete Arbeit, wenn das eigene Gewicht des Mannes 75 kg beträgt?

Antwort: 1038 mkg.

67.    Welche mechanische Arbeit wäre aber bloss erforderlich, wenn die Last direkt an einem Seile empor gezogen würde?

Antwort: 588 mkg.

68.    Zwei Arbeiter schaffen Getreidesäcke, von welchen jeder 57 kg wiegt, in die oberen Etagen eines Magazins und zwar trägt der eine 85 Säcke 9 Meter und der andere 102 Säcke 6 Meter hoch. Welches sind die von beiden verrichteten nützlichen mechanischen Arbeiten (d. h. ohne Berücksichtigung der Eigengewichte) und wie verhalten sie sich?

Resultate: A₁ — 43605 mkg, A.₂ = 34884 mkg, A₁ : A₂ — 5:4.

69.    Man bestimme die Arbeit, welche ein Spaziergänger während eines 7500 Meter langen und horizontal verlaufenden Weges verrichtet unter der Annahme, dass sich sein 65 kg wiegender Körper bei jedem 75 cm langen Schritte um 24 Millimeter hebt.

Resultat: 15600 mkg.

70.    Welche Arbeit leistet ein Infanterist, welcher selbst 72 kg

und dessen gesamtes Gepäck 23 kg wiegt, per Minute, wenn er in der letzteren 110 Schritte macht und seinen Körper bei jedem Schritte um 3 cm hebt?    J

Antwort: 313,5 mkg.

71.    Wie viel Arbeit würde aber dieser Mann in der Minute produzieren müssen, wenn er hei Besteigung einer Anhöhe seinen Körper per Schritt um 16 cm heben müsste, auch wenn er pro Minute nur 100 Schritte macht?

Antwort: 1520 mkg.

72.    Der Gesamtwiderstand eines Fuhrwerks auf horizontaler guter Chaussee kann zu einem dreissigstel der Belastung angenommen werden. Welche mechanische Arbeit ist erforderlich, um einen 4500 kg schweren Frachtwagen einen Meter weiter zu bewegen?

Antwort: 150 mkg.

§ 23.

Krafteffekt. Pferdestärke.

In den Formeln 25 und 26 für die mechanische Arbeit A treten lediglich die Kraft P, resp. der Widerstand W, und der Weg s auf, dagegen kommt die Zeit, während welcher die Arbeit erfolgt, gar nicht in Betracht. Es folgt hieraus, dass die mechanische Arbeit als solche von der Zeit ganz unabhängig ist, und in der That bleibt ja eine Arbeit offenbar dieselbe, ob sie nun in längerer oder kürzerer Zeit ausgeführt wird.

Wenn es sich aber, wie im gewerblichen Leben so häufig, darum handelt, die Leistungen von Kräften unter einander zu vergleichen, so muss man die mechanischen Arbeiten bestimmen, welche jene Kräfte innerhalb derselben Zeit verrichten. Gewöhnlich nimmt man als Zeitraum die Sekunde an und nennt diejenige Arbeit, welche eine Kraft per Sekunde hervorbringt, den Effekt der Kraft.

— 4 mkg-,

Wirft z. B. ein Arbeiter stündlich 5 Kubikmeter Erde vom spezifischen Gewichte 1,8 auf eine durchschnittliche Höhe von 1,6 Metern, so ist die zu bewältigende Last 5 . 1800 kg, die Hubhöhe 1,6 m, mithin die mechanische Arbeit pro Stunde 5.1800.1,6 mkg und folglich die Arbeit pro Sekunde 5 . 1800 . 1,6 3600

der Mann wendet demnach einen Krafteffekt von 4 Meterkilogrammen auf.

Nur nebenbei sei hier

Bei Ausnützung der Naturkräfte durch Maschinen ergeben sich jedoch häufig so bedeutende Effekte, dass bei Zugrundelegung des Meterkilogramms Zahlen zu Stande kommen, welche wegen ihrer Höhe unbequem sind. Dies ist der Grund, warum man eine grössere Arbeitseinheit eingeführt hat, nämlich die sogenannte Maschinen-Pferdekraft, worunter der Effekt oder die sekundliche mechanische Arbeit von 75 Meterkilogrammen zu verstehen ist. Schon aus dieser Erklärung geht hervor, dass der Namen „Pferdekraft“ wenig sachgemäss erscheint, da ja, wie schon erwähnt, „Kraft“ und „Arbeit“ zwei wesentlich verschiedene Dinge sind. Weit besser bezeichnend würden allerdings die Worte „Pferdeleistung“ oder „Pferdearbeit“ sein; allein da diese Benennungen von Niemanden gebraucht werden, so entscheiden wir uns für den öfter vorkommenden und weniger verfänglichen Namen „Pferdestärke“ und bezeichnen letztere zur Abkürzung mit PS. noch erwähnt, dass ein mittelstarkes animalisches Pferd bei angestrengter Thätigkeit und täglich achtstündiger Arbeitszeit einen Effekt von etwa 50 Meterkilogrammen auszuüben im Stande ist, so dass die durchschnittliche Leistung eines gewöhnlichen Pferdes nur etwa

2

—- einer Haschinen-Pferdestärke beträgt, ganz abgesehen davon, dass o ersteres eben nur einen Teil des Tages zu arbeiten vermag.

Nach obiger Definition ergiebt sich nun die Anzahl der Pferdestärken, mit welchen irgend eine Kraft wirkt, einfach dadurch, dass

der in Meterkilogrammen ausgedrückte Effekt der letzteren durch 75 dividiert wird; diese Pferdestärkenzahl wollen wir immer mit N bezeichnen.

Sollen z. B. mittels eines Pumpwerks in der Minute 2700 Liter Wasser 15 Meter hoch gehoben werden, so erfordert dies einen Krafteffekt

E= -

2700 . 15

60 .

= 675 mkg

und mithin ist die Anzahl der nötigen Pferdestärken

675 75

Hierbei, sowie auch in den Beispielen des nächsten Paragraphen sind jedoch die Reibung und sonstigen Bewegungshindernisse vorläufig ausser Acht gelassen.

§ 24.

Beispiele.

73.    Welchen Effekt liefert der in Beispiel 70 angeführte Soldat? Antwort: 5,225 mkg.

74.    Desgleichen der Infanterist im 71. Beispiel?

Antwort: 25,333 mkg.

75.    Ebenso der Spaziergänger in Beispiel Nr. 69 unter der

Bedingung, dass er zu seinem Spaziergange 2 Stunden und 10 Minuten gebraucht?

Antwort: 2 mkg.

76. Wie gross ist der Effekt eines Mannes, der auf den Griff einer Kurbel von l Meter Länge einen fortwährenden Druck von P Kilogrammen ausübt und die Kurbel in der Minute n mal umdreht?

Formel 4, nämlich c —

- Meter und mithin ist

Auflösung: Der vom Angriffspunkt der Kraft in einer Sekunde durchlaufene Weg ergiebt sich durch Einsetzung von d — 21 in 2 ln

19,1

InP

9,55

mkg,

der Effekt des Arbeiters.

7.7. Man löse die vorige Aufgabe für die speziellen Zahlenwerte l — 40 cm, n — 18 und P — 7 kg.

Resultat: Cirka 5,28 mkg.

78.    Der Klotz einer Ramme hat 450 kg und soll in der Minute 16mal auf eine Höhe von 1,4 Meter gehoben werden. Wie viel Arbeiter sind hierzu erforderlich, wenn man von jedem einen Effekt von 7 Meterkilogrammen verlangen kann?

Antwort: 24 Mann.

79.    Wie viel Pferdestärken müsste zu diesem Zwecke eine Dampfmaschine entwickeln?

Antwort: 2,24 PS.

80.    Wie viel Pferdestärken sind zum Betriebe eines Pochwerkes, welches m Stempel besitzt, notwendig, wenn jeder Stempel k Kilogramm wiegt und in jeder Minute wmal auf h Meter Höhe gehoben wird?

Auflösung: Es ist das Gesamtgewicht der Stempel mk Kilo

pro Sekunde

Meterkilogramme oder in Pferdestärken

gramm, die Hubhöhe h Meter, folglich die mechanische Arbeit bei jedem Hub mhk Meter kilogramme, die Arbeit pro Minute mnhk, mnh k

60

„ mnhk ⁼ 60775 '

81.    Wie gestaltet sich das Resultat des letzten Beispiels für die speziellen Angaben m = 24, k - 90 kg, n — 7 und h = 50 cm?

Antwort: N— 1,68.

82.    Wie viel Pferdestärken sind zum Betriebe einer Dampfspritze, welche per Sekunde 36 Liter Wasser 25 Meter hoch werfen soll, erforderlich, wenn die Reibungsverluste unberücksichtigt gelassen werden?

Antwort: N — 12.

83.    Welche mechanische Arbeit in Pferdekräften muss eine Dampfmaschine liefern, um per Stunde 120 Kubikmeter Wasser auf eine Höhe von 15 Metern zu befördern?

Antwort: N = 6,666...

84.    An einem kleinen Wasserfalle stürzen per Minute 15 Kubikmeter Wasser 9 Meter hoch herab. Wie viel Pferdestärken gehen hier verloren?

Antwort: 30 PS.

85.    Ein Fluss liefert an einer gewissen Stelle selbst in der trockensten Zeit noch ein Wasserquantum von 2 Kubikmeter pro

Auf wie viel Pferdestärken kann demnach bei einem Gefälle von 3 Metern unter allen Umständen gerechnet werden?

Sekunde.

Antwort: Auf 80 PS.

der Belastung angenommen

200

86. Welche mechanische Arbeit in Pferdestärken muss eine Lokomotive bei 6 Meter Geschwindigkeit entwickeln, wenn die Last des ganzen Zuges 300000 Kilogramm beträgt, und die Gesamtwiderstände gegen die Bewegung zu

werden ?

= 1500 kg,

Lösung: Es ist der zu überwindende Totalwiderstand _300000 ~ 200

mithin die Arbeit in der Sekunde

75

= 1500 . 6 = 9000 mlcg = ⁹~ = 120 PS.

§ 25.

Mechanische Arbeit durch Maschinen. Wirkungsgrad.

Maschinen sind im allgemeinen Vorrichtungen zur Übertragung der Wirkung von Kräften von einem Körper auf den andern, und man bedient sich derselben, um gegebene Kräfte zur Verrichtung gewisser Arbeiten zu verwenden, wozu sich diese Kräfte unmittelbar nicht eignen würden. So können zum Beispiel die Kräfte des Windes, des Wasser oder des Dampfes nur unter Vermittelung von Mahl-, resp. Schneidemühlen dazu benützt werden, Getreide in Mehl zu verwandeln, resp. Baumstämme in Bretter zu zersägen etc. etc.

Die mechanische Arbeit, welche eine Kraft in einer bestimmten Zeit zu leisten fähig ist, kann jedoch durch eine Maschine nie vollständig nutzbar gemacht werden, weil häufig direkte Kraft- und Wegverluste stattfinden, immer aber Bewegungshindernisse auftreten, welche einen gewissen Teil jener mechanischen Arbeit absorbieren.

Sinkt z. B. an irgend einer Stelle eines Baches in jeder Sekunde */₄ Kubikmeter Wasser 6 Meter tief herab, so ist in dieser fliessenden Wassermenge allerdings ein Kraffceffekt von

1500

250 . 6 = 1500 mkg = —— = 20 PS,

enthalten, allein derselbe könnte vermittelst eines Wasserrades nur teilweise auf die Welle des letzteren übertragen werden. Zunächst entsteht nämlich ein direkter Kraftverlust dadurch, dass ein gewisses Wasserquantum zwischen Rad und Gerinne sich bewegt, ohne auf die Schaufeln des Rades zu drücken, folglich auch ohne zu arbeiten; ferner hat ein Wegverlust seine Ursache in dem Umstande, dass das Gefälle behufs Vermeidung von Stauwasser nicht ganz ausgenützt werden darf, und endlich haben wir Bewegungshindernisse in der Zapfenreibung, in der Adhäsion, vermöge welcher durch das Rad 'Wasserpartikelchen emporgeschleudert werden, dann in Stössen u. s. w. zu suchen. Aus alledem geht hervor, dass die sich drehende Welle wesentlich weniger als 20 Pferdekräfte zu produzieren im Stande sein wird.

Man nennt nun die einer bewegenden Kraft innewohnende mechanische Arbeit die theoretische oder Totalarbeit, denjenigen Teil davon, welcher nach obigen in Kraft-, resp. Wegverlusten bestehen kann und durch Bewegungshindernisse konsumiert wird, die Nebenarbeit und endlich die Differenz beider, also diejenige Arbeit, welche von der Maschine wirklich übertragen wird, die effektive oder Nutzarbeit. Es besteht demnach die Gleichung Totalarbeit = Nebenarbeit -f- Nutzarbeit, und es erhellt hieraus einerseits, dass die Nutzarbeit immer kleiner ist als die Totalarbeit und andrerseits, dass aus zwei gegebenen die dritte dieser mechanischen durch einfache Addition oder Subtraktion berechnet werden kann. Es versteht sich wohl von selbst, dass die obige Gleichung nur gilt, wenn die Total-, die Neben-und die Nutzarbeit für dieselbe Zeit verstanden sind; nur sei noch bemerkt, dass speziell in Beziehung auf die Sekunde die erste und die letzte auch noch die Namen absoluter und relativer Effekt führen.

Weiterhin ist klar, dass eine Maschine um so leistungsfähiger und infolge dessen um so wertvoller ist, in einem je grösseren Verhältnisse die Nutzarbeit zur Totalarbeit steht, und man hat daher dieses Verhältnis zur Beurteilung der Güte einer Maschine unter dem Namen Wirkungsgrad in die Technik eingeführt. Aus der D efinitionsgleichung

Nutzarbeit

Totalarbeit

Wirkungsgrad =

folgt, zum Teil in Verbindung mit obigem, sofort dreierlei: 1. der Wirkungsgrad ist stets ein echter Bruch, also kleiner als eins; 2. eine Maschine ist um so vollkommener, je näher ihr Wirkungsgrad an der Einheit liegt und 3. kennt man die Totalarbeit und den Wirkungsgrad, so ergiebt sich die

Nutzarbeit = Wirkungsgrad x Totalarbeit.

3

So liefert beispielsweise eine Maschine, deren Wirkungsgrad —

5

ist, bei einer Totalarbeit von 25 Pferdestärken eine effektive Arbeit

von

CO io

. 25 = 15 FS.

§ 26.

Bestimmung der Effekte bei Wasserrädern, Turbinen und Dampfmaschinen.

Der absolute Effekt eines fliessenden Gewässers, welches an einer bestimmten Stelle ein Wasserrad oder eine Turbine treiben soll, lässt sich leicht aus der per Sekunde zufliessenden Wassermenge, dem sogenannten Aufschlagwasser und dem Höhenunterschiede zwischen den beiden Wasserspiegeln vor und nach dem Rade, welcher das Gefälle genannt wird, berechnen. Beträgt nämlich das erstere Q Liter und das letztere /î Meter, so ist die sekundliche Totalarbeit des Wassers Qh Meterkilogramme oder in Pferdestärken

Qh

N= —

75

(27.)

Was die Dampfmaschinen anlangt, so beschränken wTir uns hier auf solche, welche ohne Expansion und doppelt wirken, bei welchen der Dampf mit immer gleicher Stärke und abwechselnd gegen beide Seiten des Kolbens drückt; auch in diesem Falle bestimmen wir naturgemäss zunächst die Intensität der bewegenden Kraft in Kilogrammen, hierauf den vom Angriffspunkte der letzteren per Sekunde durchlaufenen Weg in Metern und erhalten sodann den Effekt der Kraft durch Multiplikation beider Resultate und zwar in Meterkilogrammen.

Hat der Dampf im Cylinder einen Überdruck von p Atmosphären, d. h. drückt er mit circa p Kilogrammen auf jeden

Quadratcentimeter der Kolbenfläche, so ist, wenn der Kolbendurchmesser d Centimeter beträgt, der arbeitende Gesamtdruck auf den Kolben

"-4^ Kilogramme.

Bezeichnet ferner l die Länge des Kolbenhubes in Metern und n die Tourenzahl des Schwungrades, so ist, weil der Kolben bei jeder Umdrehung des letzteren zwei Spiele macht, der Kolbenweg pro Minute 2 ln und folglich pro Sekunde

ln

Meter.

E = B4 =

Meterkilogramme

Hieraus ergiebt sich weiter der absolute Effekt des Dampfes d'¹ n p ln

120 oder in Pferdestärken

(28.)

E d²lnpn 75 ⁼    9000

So erhalten wir z. B. die Totalarbeit einer Dampfmaschine ohne Expansion, deren Kolben 40 cm Durchmesser, sowie 75 cm Hub hat, deren Schwungrad 36 Umdrehungen per Minute macht und welche mit 4 Atmosphären Überdruck arbeitet, einfach dadurch, dass wir in letzter Formel

d — 40, l = 0,75, n — 36 und p = 4

setzen, nämlich

N = 60,3

Pferdestärken in der Sekunde.

Hat man aber auf diese Weise die theoretische Arbeit berechnet, und es ist ausserdem der Wirkungsgrad einer Maschine bekannt, so erhält man, wie schon am Schlüsse des vorigen Paragraphen erörtert, die Nutzarbeit der letzteren durch Multiplikation der beiden ersten. Wäre z. B. der Wirkungsgrad der Dampfmaschine im vorigen Beispiel 0,67, so würde sich der Nutzeffekt gleich 0,67 . 60,3 = 40,2 PS ergeben.

Mittels zahlreicher Versuche und genauer Messungen, welche an späterer Stelle beschrieben und erklärt werden sollen, hat man nun den Wirkungsgrad für die verschiedenartigen Kraftmaschinen festge-§ 27.

Beispiele.

87.    Eine Turbine hat 5,5 Meter Gefälle und empfängt 0,6 Kubikmeter Aufschlagwasser. Man bestimme den absoluten Effekt der Wasserkraft.

Resultat: N— 44 PS.

88.    Wie viel Pferdestärken Nutzarbeit liefert diese Turbine, wenn ihr Wirkungsgrad 0,75 beträgt?

Antwort: N' = 33 PS.

89.    Den Wirkungsgrad eines unterschläehtigen Wasserrades zu ermitteln, wenn dasselbe bei 15 Decimeter Gefälle und 0,5 Kubikmeter Aufschlagwasser eine nützliche Arbeit von 3,5 Pferden ergiebt.

Resultat: 0,35.

90.    Welches ist die effektive Arbeit N’ einer hydraulischen Kraftmaschine überhaupt, wenn allgemein das Gefälle h in Decimetern, die pro Sekunde zufliessende Wassermenge q in Kubikmetern gegeben sind und der Wirkungsgrad mit rj bezeichnet wird?

— r] q h P S.

stellt und Resultate erlangt, welche durch die Theorie vollkommen bestätigt wurden.

Unter Voraussetzung guter Konstruktion und Ausführung ist der Wirkungsgrad

1.    für unterschlächtige Wasserräder

Der Konsum an Steinkohlen beträgt bei Dampfmaschinen ohne

Expansion pro Pferdestärke und Stunde 2 bis & Kilogramm.

Weil die vorstehenden Zahlen nur allgemeine Durchschnittswerte sind, so liegt es auf der Hand, dass ihre Anwendung auf einen besonderen Fall nur die Bedeutung einer schätzungsweisen Bestimmung der Nutzarbeit haben kann.

bis

0,65    „

0,5,

0,6,

0,7.

Antwort: N' =

91.    Eine Dampfmaschine arbeitet mit voller Füllung und 3,5 Atmosphären Überdruck, der Kolben hat 25 cm Durchmesser und 50 m Hub.

Wie hoch berechnet sich der Wirkungsgrad dieser

Maschine, wenn bei 45 Umdrehungen des Schwungrades in der Minute eine Nutzarbeit von 11,5 Pferdestärken durch direkte Messung sich herausstellt?

Auflösung: Nach Formel 28 ergiebt sich der absolute Effekt in runder Zahl N — 18 PS; da ausserdem der Nutzeffekt W' = 11,5 PS gegeben ist, so findet sich der Wirkungsgrad

23

n = TF = 86 = °’⁶⁴-

92.    Der Kolben einer einfach wirkenden Pumpe habe 2 dm Durchmesser und mache in einer Minute 27 Hübe von 125 cm Länge. Wie gross ist die zum Betriebe erforderliche mechanische Arbeit, wenn das Wasser auf eine Höhe von 14 Metern gehoben werden soll und durch Bewegungshindernisse ¹ /₄ der Totalarbeit verloren geht ?

Auflösung: Es ist das Wasserquantum

pro Hub = 3,1416 . 12,5 =    39,27 Liter,

„ Minute = 39,27 . 27    = 1060,29 „

„ Sekunde= 17,6715 Liter,

welches zugleich 17,6715 kg wiegt; mithin ist die zum Heben des Wassers nötige Arbeit per Sekunde

17,6715 . 14 = 147,401 mkg.

Hierzu kommt, noch die Nebenarbeit, welche - - der gesamten, dem-

nach

tH CO

der vorstehenden Arbeit ausmacht. Die zum Betriebe der

Pumpe erforderliche Gesamtarbeit ist daher

147,401 .

— 196,535 mlcg oder

2,62 PS.

93.    Eine wie viel pferdige Dampfmaschine wäre aber für vorstehende Pumpe zu wählen, wenn der Lieferant der ersteren einen Wirkungsgrad von 0,66 garantiert?

Antwort: Eine vierpferdige Dampfmaschine.

94.    Für eine Dampfmaschine ist der Kolbendurchmesser 30, der

7

Kolbenhub 60 cm und der Wirkungsgrad —; wie viel Umdrehungen

muss das Schwungrad in der Minute bei 4 Atmosphären machen, um einen Nutzeffekt von 24 Pferdestärken zu erzielen, wenn n zu 22

— angenommen wird?

Antwort: Aus der Beziehung 28 ergiebt sich nach Einsetzung der gegebenen Zahlenwerte n —- 50.

95. Wie viel Atmosphären Überdruck müssten aber auf den Dampfkolben wirken, wenn der Betrieb einer Fabrik eine effektive Arbeit von 18 Pferdestärken und für das Schwungrad die Tourenzahl 60 verlangt?

Antwort: p — 2,5.

§ 28.

Das Grundgesetz der Beschleunigung.

Nach dem dritten Grundgesetze der Mechanik erteilen

welche nacheinander auf ein

2’

irgend zwei Kräfte Px und P, und denselben Körper wirken, letzterem diejenigen beiden Beschleunigungen px und p₂, welche sich genau so verhalten, wie jene Kräfte P₁ und P₂ selbst; es besteht also die Proportion

(29.)

P\ ■ P2 = Pi : P2 Um s’ch eine klare Vorstellung vom Inhalte dieses Erfahrungssatzes anzueignen, denke man sich auf einer vollkommen wagerechten Ebene einen Körper, etwa in Gestalt eines kleinen Wagens; an letzterem sei ein Faden befestigt, welcher in ebenfalls horizontaler Richtung über eine Rolle läuft und an dessen Ende eine Wagschale hängt. Jetzt wird offenbar eine Bewegung des Wagens erfolgen oder nicht, jenachdem die bewegende Kraft, nämlich das Gewicht der Schale, grösser oder kleiner ist als die Bewegungswiderstände, das sind in diesem Falle die Reibung und der Luftwiderstand.

Nun könnte man auf der einen Seit9 durch Mehrbelastung des Wagens die Reibung, auf der anderen Seite durch Auflegen von Gewichten auf die Wagschale die bewegende Kraft beliebig ver-grössern und auf diese Weise einen Zustand herausprobieren, in welchem die bewegende Kraft den Bewegungswiderständen genau das Gleichgewicht hält. Von diesem Momente an verhält sich unser Wagen gerade so, als wenn gar keine Kräfte auf ihn wirkten, z. B. würde ihn' ein Anstoss nach dem Gesetze der Trägheit in eine gleichförmige Bewegung versetzen, und der ganze Apparat ist daher nunmehr für unseren Hauptzweck geeignet.

Bringen wir nämlich auf die Wagschale irgend ein Gewicht J\ und dann an dessen Stelle ein zweites beliebiges Gewicht JP₂, so wird in beiden Fällen eine gleichförmig beschleunigte Bewegung des Wagens erfolgen, und die Geschwindigkeitszunahmen py und p₂ werden sich genau so verhalten wie jene Gewichte Px und P₂, welche sie verursacht hatten.

Bei einem wirklich ausgeführten Versuche würden statt der Beschleunigungen px und p.₂ zweckmässiger die Wege sx und s₂ zu messen sein, welche der Wagen beidemale vom Buhezustande aus und zwar in derselben Zeit t zurücklegt; denn es gelten die Beziehungen

--- ^ und s₂ —t²,

woraus folgt

sl • s2 — Pi : Pü'

Sind also die durchlaufenen Wege ^ und s₂ den aufgelegten Gewichten Pt und P₂ proportional, so ist die Richtigkeit des Grundgesetzes experimentell bestätigt.

Haben wir auf diese Weise ein volles Verständnis für das Axiom der Beschleunigung gewonnen, so erhellt auch leicht die Richtigkeit der Proportion

(30.)

P : G —p : g,

worin P eine Kraft bedeuten soll, welche für sich allein einem Körper vom Gewichte G eine Beschleunigung p erteilt; denn da, wie schon früher erwähnt, das Gewicht eines jeden Körpers für letzteren selbst im luftleeren Raume eine Accélération g ~ 9,81 Meter hervorbringt, so ist die Beziehung Nr. 30 einfach als ein spezieller Fall von Nr. 29 aufzufassen.

§ 29.

Beispiele.

96. Ein bestimmter Körper erfährt jetzt durch eine Kraft von 24 leg eine Beschleunigung von 4 Metern; welche Beschleunigung

wird diesem Körper durch eine später auf ihn einwirkende Kraft von 42 kg mitgeteilt werden?

Lösung: Bezeichnet man die gesuchte Beschleunigung mit x, so besteht nach 29 die Proportion 24 : 42 — 4 : x, woraus folgt x — 7 Meter.

97.    Welche Kraft wäre aber nötig, um demselben Körper eine Beschleunigung von 0,5 Metern zu erteilen?

Antwort: 3 Kilogramm.

98.    Man soll das Gewicht G dieses Körpers ermitteln.

Lösung: Nach Formel 30 folgt 24 : G — 4 : 9,81 und hieraus

G — 9,81 . 6 = 40,86 Kilogramm.

99.    Auf die Wagschale des im vorigen Paragraphen besprochenen Apparats wird ein Übergewicht von einem Kilogramm gebracht. Wie gross berechnet sich nun das Gewicht des Wagens nebst etwaiger Ladung, wenn derselbe in 2 Sekunden einen Weg von 6 Metern zurücklegt?

to VS

Auflösung: Aus der Formel    t² ergiebt sich für t — 2

und s —— 6:

p — 3 Meter,

die Beschleunigung und mit Einsetzung dieses Wertes, sowie P — 1 und g — 9,81 in Nr. 30 1 : G — 3 : 9,81 oder G — 3,27 Kilogramm, das Gewicht des Wagens mit Belastung.

100.    Eine Kugel von 98,1 kg Gewicht bewegt sich auf einer sehr glatten horizontalen Ebene in gerader Linie mit einer Beschleunigung von 3 Metern. Welche Kraft ist die Ursache dieser Bewegung, wenn von Reibung und Luftwiderstand abgesehen wird?

Antwort: Eine Kraft von 30 Kilogramm.

101.    Das Gesamtgewicht eines Eisenbahnzuges beträgt 300000 leg. Wie viel Zugkraft muss die Lokomotive aufwenden, um demselben auf horizontaler Bahn in 2 Minuten eine Geschwindigkeit von 12 Metern zu erteilen, selbst wenn die vorhin genannten Bewegungshindernisse unberücksichtigt gelassen werden?

Nun ergiebt sich leicht nach Nr. 30

0,1 Meter.

Auflösung: Zunächst erhält man mit Einführung von t 120 und z; = 12 in die bekannte Relation v=pt die Beschleunigung des Zuges p

P — 3058,1 kg, die Zugkraft der Lokomotive.

§ 30.

Entwickelung des Begriffes „Masse“.

Denkt man sich einen bestimmten Körper, welchem die Kraft P, die Beschleunigung pt und eine andere Kraft P₂ die Beschleunigung p₂ erteilt, so gilt nach Nr. 29 die Beziehung

Px ■ Pi = Px -Pv w- f- px -Px = p% ’-Pî

oder

£ ₌

Px Pi

Lässt man nun auf denselben Körper die ferneren Kräfte P₃, Pv ... — aber jede für sich allein — wirken und bezeichnet die hervorgebrachten Beschleunigungen mit ps, pv . . ., so ist weiter

—¹- —    -- —³- = _

Px P2 " P3 Px'

Wie viele Kräfte also auch nach einander auf einen und denselben Körper wirken mögen — der Quotient zwischen jeder derselben und der von ihr erzielten Beschleunigung bleibt immer derselbe! Es ist dies eine Thatsache, welche auch aus der Proportion 30 hervorgeht, wenn man sie in der Form schreibt; denn weil für irgend einen Körper das Gewicht G und die Accélération g der Erdschwere genau bestimmbare Grössen sind, so hat auch das Verhältnis P : p für jeden Körper einen ganz bestimmten Wert. Dies Verhältnis heisst die Masse des Körpers und wird gewöhnlich mit M bezeichnet; man hat demnach oder in Worten: Die Masse eines Körpers ist der Quotient aus einer beliebigen auf den Körper wirkenden Kraft und der dem Körper von der Kraft erteilten Beschleunigung, speziell also auch der Quotient zwischen dem Gewichte des Körpers und der Accélération der Erdschwere; man hüte sich aber vor Verwechselungen der beiden Begriffe „Gewicht“ und „Masse“: Das Gewicht eines Körpers ist der Druck des letzteren auf eine ruhende Unterlage und nimmt zu oder ab, je nachdem er sich dem Sitze der

Erdschwere nähert oder sich davon entfernt, während die Masse eines Körpers an allen nur denkbaren Orten die gleiche ist, weil mit dem Gewichte zugleich die Accélération und zwar derart sich ändert dass der Quotient aus beiden der nämliche bleibt.

Um ein passendes Mass für die Masse zu erhalten, liegt am nächsten, als Einheit die Masse desjenigen Körpers festzusetzem welchem von der Krafteinheit (ein Kilogramm) die Einheit der Beschleunigung (ein Meter) erteilt wird ; das Gewicht dieses Körpers ergiebt sich, wenn man in Nr. 31 P= 1, p — 1 und g = 9,81 setzt. Weil hierdurch

M ■= 1 und G — 9,81 lig

entsteht, so ist die Masseneinheit die Masse desjenigen Körpers, welcher bei uns 9,81 Kilogramme wiegt.

§ 31.

Beispiele.

102.    Wie viel Masseneinheiten enthält ein Körper von 775 Kilogramm Gewicht?

Antwort: Zirka 79.

103.    Welches ist die Masse eines Körpers, welchem eine Kraft von P Kilogrammen in t Sekunden eine Geschwindigkeit von v Metern erteilt?

v

Lösung: Aus v —pt folgt p — — und mit Einsetzung dieses

Pt

Wertes in 31: M —

104.    Wie gestaltet sich das Resultat der vorigen Aufgabe für die speziellen Zahlenwerte P = 7,5 kg, t — 2 Minuten und v = 18 m?

Antwort: M — 50.

105.    Man soll das Gewicht dieser Masse bestimmen.

Resultat: G — Mg = 490,5 kg.

106.    Wenn die Beschleunigung des freien Falles auf dem Monde 1,7 m beträgt, wie viel Kilogramm Druck übt eine an der Mondoberfläche befindliche Masse gegen ihre Unterlage aus, welche bei uns ein Kilogramm wiegen würde?

Lösung: Bezeichnen wir die gesuchte Anziehungskraft des Mondes auf die genannte Masse mit x, so gilt nach Nr. 30 die Proportion a? : 1 = 1,7 : 9,81, woraus folgt x — 0,1733 Kilogramm.

107.    Welche Drücke würde aber dieselbe Masse auf dem Jupiter, resp. auf der Sonne gegen ihre Unterlage ausüben, wenn die Beschleunigungen des freien Falles auf diesen Himmelskörpern 26,3, resp. 270 Meter sind.

Resultat: 2,68 und 27,52 Kilogramm.

108.    Welche Beschleunigung erzeugt eine Kraft von 68 ht, welche auf einen Körper von 170 Masseneinheiten wirkt?

Antwort: eine Beschleunigung p — 0,4 m.

109.    Ein Körper von 36 kq Gewicht bewegt sich vom Ruhezustände aus gleichförmig beschleunigt und durchläuft in einer Minute den Weg von 68,67 m. Man ermittele diejenige Kraft, welche diese Bewegung verursacht hat.

Lösung: P= 0,14%.

110.    Wie vex-halten sich die Beschleunigungen undjo₂, welche derselben Masse von zwei verschiedenen Kräften Py und P₂ erteilt werden.

Antwort: Direkt wie die letzteren, es gilt also die Proportion Pi : Pi = Pi : Pr

111. Wie verhalten sich dagegen die Beschleunigungen, welche ein und dieselbe Kraft hei zwei verschiedenen Massen und M₂ erzeugt?

Antwort: Umgekehrt, wie die letzteren, so dass die Proportion besteht

Pi '■ P2 —    : Mv

112. Wie verhalten sich endlich zwei Kräfte P, und P₂, wenn die erstere einer Masse M{ die Beschleunigung px und die letztere einer Masse M₂ die Beschleunigung p₂ beibringt?

Antwort: Wie die Produkte aus Masse und Beschleunigung, also nach der Proportion

: p₂ — P\ • Pi'

§ 32.

Einführung von Kraft und Masse in die Bewegungsformeln.

0

un-

Wirkt auf einen Körper mit der Masse M eine bestimmte veränderliche Kraft P, so geht der erstere in eine gleichförmig beschleunigte Bewegung über und zwar ergieht sich aus Nr. 31 die Beschleunigung

oder in Worten:

Beschleunigung =

Kraft

Masse '

Nehmen wir nun vorerst an, dass der genannte Körper vor Einwirkung der Kraft P im Ruhezustände war, so wird derselbe, wie im ersten Kapitel gezeigt wurde, nach Yerfluss von t Sekunden eine Geschwindigkeit

v — pt

besitzen und den Weg

zurückgelegt haben. Mit Einsetzung des obigen Wertes von p in die beiden letzten Beziehungen entsteht aber

P .    P

— t, sowie s = ——

M ’    2 M

oder, wenn wir

Mv

aus der Gleichung links in die Gleichung rechts substituieren:

Mv²

P M² v² _

S~ 2 !/* P² ~ 2 P rmd hieraus durch Multiplikation mit P:

Ps =

^².

(33.)

Die linke Seite der vorstehenden Gleichung stellt das Produkt aus der Kraft P und dem vom Angriffspunkte der letzteren zurückgelegten Weg s, mithin diejenige mechanische Arbeit dar, welche die Kraft P leistete, indem sie einen Körper von der Masse M durch den Weg s getrieben und ihm die Geschwindigkeit v erteilt hat, eine Arbeit, welche der Körper vermöge seiner Trägheit jederzeit wieder verrichtet, sobald er durch Widerstände irgend welcher Art in den Zustand der Ruhe zurückgeführt wird.

Mv¹, die

Da man nun die rechte Seite jener Gleichung, —

U

lebendige Kraft des Körpers nennt, so versteht man unter der lebendigen Kraft eines bewegten Körpers die Fähigkeit des letzteren, eine ganz bestimmte mechanische Arbeit zu leisten, und man erhält diese Arbeit zahlengemäss, wenn man die halbe Masse des Körpers mit dem Quadrate seiner Geschwindigkeit multipliziert.

Hat z. B. ein Körper von 981 kg Gewicht eine Geschwindigkeit von 2 m, so ist seine Masse

M= ~

G _ 981 g 9,81

= 100,

mithin seine lebendige Kraft

L — — v² = 50.4 = 200 mkg,

u

d. h. dieser Körper kann auf Grund seines Beharrungsvermögens eine mechanische Arbeit von 200 mkg leisten, also z. B. einen Widerstand von 20 kg 10 m weit überwinden.

Man wird bereits bemerkt haben, dass sich auch hier Name und Begriff wenig decken, dass es anstatt „lebendige Kraft“ viel passender „lebendige Arbeit“ oder „Arbeitsvermögen“ heissen müsste.

§ 33.

Beispiele.

113.    Eine 7 kg wiegende Granate verlässt den Lauf das Geschützes mit 720 m Geschwindigkeit; man bestimme die lebendige Kraft dieser Granate.

Resultat: 184954 Meterkilogramme.

114.    Wie hoch würde diese Granate vermöge ihrer lebendigen Kraft im luftleeren Raume steigen, wenn der Geschützlauf vertikal nach oben gerichtet wird?

Lösung: Ist die Steighöhe x Meter, so folgt aus 7 x = 184954, x — 26422.

115.    Wie gross ist die lebendige Kraft eines 10 hg schweren und mit 10 m Geschwindigkeit fortschreitenden Körpers?

Antwort: 50,97 mkg.

116.    Welches ist das Arbeitsvermögen eines Körpers vom Gewichte O, welcher im luftleeren Räume von der Ruhe aus t Sekunden lang gefallen ist?

Antwort: L —

— G g t² Meterkilogramme, wenn G in Kilo-

u grammen angegeben ist.

117.    Ein Körper von 89,64 kg Gewicht gelangt mit 24 m Geschwindigkeit auf eine horizontale Eisfläche und legt auf letzterer ohne jede weitere bewegende Kraft noch einen Weg von 1600 Metern zurück. Wie hoch berechnet sich hieraus der durchschnittliche Bewegungswiderstand ?

Lösung: Aus dem Umstande, dass die zur Überwindung der Bewegungshindernisse (Reibung und Luftwiderstand) W nötige Arbeit gleich der lebendigen Kraft des Körpers sein muss, ergiebt sich W= 0,72 kg.

118.    Wie weit würde aber dieser Körper nur kommen, wenn der Bewegungswiderstand fortwährend 2 kg betrüge?

Antwort: 576 Meter.

119.    Man bestimme das Arbeitsvermögen eines Schwungradkranzes, für welchen der äussere, resp. innere Durchmesser D, resp. d Dezimeter und die Breite b Dezimeter betragen, wenn die Umlaufszahl pro Minute n ist und das spezifische Gewicht des Eisens mit y bezeichnet wird.

Auflösung: Der Kranz des Schwungrades ist ein Hohlzylinder und mithin sein Volumen

— (D² — d²) b n Kubikdezimeter,

sein Gewicht

G = (D -\- d) (D — d) byn Kilogramme

und seine Masse

M=. T~ (D -f- d) (D — d)b.

Anderseits ist die mittlere Umfangsgeschwindigkeit des Rad

kranzes

oder

19,1

n (D -f d)

38,2

Dezimeter

n(D + d)

382

v =-—-—- Meter

und mithin ergiebt sich die lebendige Kraft des Schwungradkranzes

2 * =

oder, weil der Zahlenfaktor

(D + d) (D — d)b

n² (D + d)2 145924

8 . 145924 . g

= 0,0000002743

ist:

L — 0,0000002743 (D 4~ d)³ (D — d) n'²by Meterkilogramme, wobei, wie schon erwähnt, die Dimensionen D, d und b in Dezimetern verstanden sind.

120. Welches ist die lebendige Kraft vom Ringe eines gusseisernen Schwungrades mit den Dimensionen D = 52 dm, d — 48 dm, b = 2,8 dm, der Tourenzahl n — 57,3 und dem spezifischen Gewichte y = 7,3?

Antwort: L = 73633 mkg.

121.    Wie lange würde dieses Schwungrad lediglich in Folge seiner Trägheit einen Effekt von 16 Pferdestärken auszuüben im Stande sein?

Antwort: 1 Minute 1,36 Sekunden.

122.    Es soll das Arbeitsvermögen eines schmiedeisernen Schwungradringes für D = 32, d = 29, 6 — 2, n = 50 und y = 7,8 berechnet werden.

Antwort: L — 7284,5 mkg.

123.    Mit wie viel Pferdestärken würde der Schwungradkranz der vorigen Aufgabe auf Grund des Beharrungsvermögens eine Minute lang arbeiten?

Antwort: Mit zirka 1,6 PS.

§ 34.

Das Prinzip der lebendigen Kräfte.

Wirkt auf einen Körper mit der Masse M, welcher schon eine Geschwindigkeit von c Metern besitzt, in der Richtung und im Sinne seiner Bewegung eine einzige unveränderliche Kraft von P Kilogrammen ein, so erteilt die letztere dem ersteren eine Beschleunigung

M'

und es hat folglich jener Körper nach t Sekunden die Geschwindigkeit

P

V = C -f- pt = c -f- — . t

erlangt, sowie den Weg

s = ci+f'2 = ci+-2S<2

zurückgelegt. Setzt man nun aus der vorletzten Beziehung

v M

t = (v — c) —

in die letzte Gleichung für s ein, so ergiebt sich

S = c (v — c) — +

p

(v — c)²

und hieraus nach kurzer Rechnung

(34.)

Ps =

- V² — — c² == - (v² — c'}).

In der linken Seite der vorstehenden Gleichung erkennen wir jetzt diejenige mechanische Arbeit, welche die Kraft P leisten musste, um die Trägheit des Körpers mit der Masse M auf der Wegstrecke s zu überwinden, oder, um denselben von der Geschwindigkeit c auf die Geschwindigkeit v zu bringen, und die rechte Seite stellt die Differenz der beiden lebendigen Kräfte dar, welche dem Körper am Ende und am Anfänge der Bewegung innewohnen, das ist die Zunahme des Körpers an lebendiger Kraft.

"Wirkt also nur eine Kraft beschleunigend auf einen Körper, so ist ihre mechanische Arbeit gleich der im letzteren erzeugten lebendigen Kraft.

Nehmen wir ferner an, dass jetzt, wo der Körper die Geschwindigkeit v besitzt, an die Stelle der bewegenden Kraft P ein Widerstand W tritt, so entsteht offenbar eine verzögerte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v und der Verzögerung

P = -Ï7

und mithin erhält man die Endgeschwindigkeit c und den nach t Sekunden zurückgelegten Weg des Körpers mittels der beiden Beziehungen

c — v — p t' und s — v t' — — t'².

2

Durch Elimination von p und t' aus den vorstehenden drei Gleichungen ergiebt sich nach einer der vorigen analogen Rechnung

Ws = ^ (v* — c²).

u

Weil Ws diejenige mechanische Arbeit darstellt, welche unser Körper vermöge seiner lebendigen Kraft bei Überwindung des Bewegungswiderstandes W geleistet hat, und weil die rechten Seiten der letzten und 34. Formel übereinstimmen, demnach auch

Ps = Ws

ist, so gilt der Satz: Die mechanische Arbeit (Ps), welche ein Körper aufnimmt, indem ihn eine Kraft P von einer kleineren Geschwindigkeit (c) auf eine grössere Geschwindigkeit (v) bringt, wird von diesem Körper stets wieder produziert, wenn ihn irgend ein Widerstand W nötigt, auf jene kleinere Geschwindigkeit (c) zurückzugehen.

§ 35.

Wirkungsweise der Schwungräder.

Eine direkte Anwendung des letzten Satzes und damit zugleich eine Gelegenheit, das Prinzip der lebendigen Kräfte anschaulich zu machen, bietet die Wirkungsweise eines Schwungrades dar.

Bei vielen Maschinen ist nämlich entweder die bewegende Kraft, z. B. bei den Dampfmaschinen mit Expansion, oder der zu überwindende Widerstand, wie bei Metall- oder Holzbearbeitungsmaschinen, bei manchen beides zugleich veränderlich; durch die in Folge dessen eintretende ungleichförmige Bewegung würden Stösse hervorgerufen werden und letztere wieder nicht nur Beschädigungen der Maschinenteile, sondern auch Arbeitsverluste verursachen.

Um diese Nachteile zu vermeiden, hezw. zu vermindern, sucht man einen gleichmässigen Gang der Maschine zu erzielen und erreicht denselben wenigstens annähernd, wenn man auf einer mit grosser Tourenzahl laufenden und in der Nähe der zu regulierenden Kraft gelegenen Botationswelle ein Bad mit verhältnismässig grossem Durchmesser und schwerem guss- oder schmiedeeisernem Kranze, ein sogenanntes Schwungrad, anbringt. Bei überschüssiger Kraft wird in diesem Schwungrad mehr Geschwindigkeit und hierdurch auch mehr lebendige Kraft erzeugt, letztere aber wieder in Nutzarbeit umgesetzt, so bald und so lange die Intensität der Widerstände diejenige der bewegenden Kraft übertrifft. "Weil aber das Schwungrad hei seiner bedeutenden Masse und hohen Tourenzahl schon ziemliche Quantitäten Arbeit aufnehmen und abgeben kann, ohne seine Geschwindigkeit wesentlich zu ändern und weil andrerseits die Intensitätsschwankungen der bewegenden Kraft und des Widerstands in der Begel nur von kurzer Dauer sind, so leuchtet ein, dass durch das Schwungrad ein nahezu gleichförmiger Gang der Maschine herbeigeführt werden muss.

Man könnte das Schwungrad nicht unpassend mit einem Ge-fässe vergleichen, in welchem sich ein bedeutendes Quantum lebendiger Kraft befindet und welchem man daher schon ziemliche Mengen mechanischer Arbeit zuführen oder entnehmen kann, ohne es dem Inhalte sonderlich anzumerken.

Selbstverständlich wird für solche Maschinen ein Schwungrad entbehrlich sein, in welchen schon sehr schwere Bäder oder Scheiben mit hinreichender Umfangsgeschwindigkeit laufen und demnach das Schwungrad ersetzen; so wirken beispielsweise die Läufer einer Mahlmühle als Schwungräder.

Aber nicht bloss als Egalisator, sondern auch lediglich als Ar-beitsansammler kann das Schwungrad dienen. Wenn nämlich eine gegebene Arbeitskraft zur Überwindung eines bestimmten und sehr bedeutenden Widerstandes nicht ausreicht, wie dies z. B. bei Walz-und Prägwerken vorkommt, so kann man jene Kraft zunächst nur auf das Schwungrad wirken lassen und hierdurch in letzterem so viel mechanische Arbeit aufspeichern, als zur Überwindung des vorhandenen Widerstandes erforderlich ist. Auch in diesem Falle trifft der Vergleich des Schwungrades mit einem Behälter von lebendiger

Kraft noch vollkommen zu, nur wird hier das Gefäss gänzlich oder doch nahezu entleert, ehe man es von neuem wieder anfüllt.

§ 36.

Gleichförmigkeitsgrad des Schwungrades.

Bezeichnet man die Zunahme an lebendiger Kraft, welche ein Schwungrad erfährt, indem seine Umfangsgeschwindigkeit von c auf v wächst, mit A, so gilt nach Nr. 34 die Beziehung woraus folgt

A = M (v - e)

oder, wenn man die mittlere Schwungradgeschwindigkeit setzt und durch A (v — c) dividiert :

My

V — G

und hieraus nach Multiplikation mit y:

(35.)

My2 ~A‘

Die linke Seite dieser Gleichung, d. i. das Verhältnis zwischen der mittleren und der Differenz aus der grössten und kleinsten Umfangsgeschwindigkeit des Schwungrads, heisst der Gleichförmig-keitsgrad des letzteren und wird gewöhnlich mit d bezeichnet. Wie uns die Formel 85 sagt, ist der Gleichförmigkeitsgrad direkt proportional der Masse M des Schwungradkranzes und dem Quadrate seiner mittleren Geschwindigkeit y, dagegen indirekt proportional der Arbeitsdifferenz A, welche das Rad erleidet.

Nach Grove ist zu nehmen hei Hammer- und Stampfwerken ....

„ Pumpen und Schneidemühlen ....

, Webereien und Papiermaschinen .

„ Mahlmühlen..........

bei Spinnereien mit niedrigen Garnnummern n    »    » hohen    „

= 50 bis 60, = 100.

Für gewöhnliche Dampfmaschinen wählt man

ô = 35 und Ô = 50.

bei Kiemenbetrieb.......

„ Zahnräderbetrieb......

— der Ungleichförmigkeits-o

Schliesslich sei noch erwähnt, dass

grad des Schwungrads genannt wird und dass unter y, c und v auch die entsprechenden Umfangsgeschwindigkeiten des Kurbelzapfens verstanden werden dürfen.

§ 37.

Beispiele.

124.    Wie viel mechanische Arbeit ist erforderlich, um einen 8 kg schweren Körper von 4 auf 7 m Geschwindigkeit zu bringen?

Antwort: Eine Arbeit von 13,456 mkg.

125.    In welcher Zeit bringt eine Kraft von 0,1 kg einen Körper von 10 kg Gewicht von 7 auf 17 m Geschwindigkeit?

Antwort: In einer Minute 42 Sekunden.

126.    Welche Arbeit verrichtet ein Schwungrad von 10000 kg Gewicht vermöge seiner Trägheit, wenn die Umfangsgeschwindigkeit desselben von 15 auf 5 Meter heruntergeht?

Antwort: 101936 mkg.

127.    Wie gross ist der Widerstand, welcher durch genannte Arbeit auf 5 Meter Länge überwunden wird?

Antwort: 20387,2 kg.

128.    Man gebe den Gleichförmigkeitsgrad eines Schwungrades an, für welches die kleinste und die grösste Geschwindigkeit 13,2 und 12,8 Meter sind.

Lösung: Aus v = 13,2 und c — 12,8 folgt y = 13 und mithin der Gleichförmigkeitsgrad = —-— = 32,5.

129.    Der Ring eines Schwungrades, welcher eine mittlere Geschwindigkeit y = 12 Meter und den Gleichförmigkeitsgrad ô — 40 besitzen soll, nimmt periodisch eine Arbeit von A — 720 mkg auf, um dieselbe sofort wieder abzugeben, dieses Schwungrad erhalten?

Welches Gewicht muss nun

Antwort: G =

— 1962 kg.

Agd

y²

130. Die Umfangsgeschwindigkeit eines 2943 Kilogramm schweren Schwungrades schwankt zwischen 9,7 und 10,1 Meter. Man soll den Gleichförmigkeitsgrad d und diejenige Arbeitsgrösse A ermitteln, welche das Schwungrad abwechselnd aufnimmt und wieder abgiebt. Resultate: d — 24,75 und A =■ 1188 mkg.

§ 38.

Vermischte Aufgaben über Kräfte und deren Effekte.

131.    Ein Tourist, welcher samt Kleidern und Gepäck 80 Kilogramme wiegt, ersteigt in 5 Stunden einen Berg von 1600 Meter Höhe. Welchen Effekt muss derselbe durchschnittlich ausüben, wenn man annimmt, dass der Körper bei jedem Schritte um ¹js der vertikalen Erhebung zurücksinkt?

Antwort: Einen mittleren Effekt von 8 Meterkilogrammen.

132.    Eine Wasserpumpe macht z — 25 Hübe in der Minute und liefert bei jedem Hube q =■ 40 Liter auf eine Höhe von H — 9 Meter. Wie viel Pferdestärken sind zum Betriebe nötig, wenn durch Nebenhindernisse '/₄ der theoretischen Arbeit verloren geht?

Antwort: N — -

qJl- = 2,5 PS.

3600

133.    Wie gestaltet sich aber das Resultat der vorigen Aufgabe, wenn statt des Wasserquantums q der Durchmesser d und die Hubhöhe h des Kolbens, und zwar beide in Metern, gegeben sind?

Antwort: N — 0,218 d^hHz Pferdekräfte.

134.    Man löse die vorige Aufgabe für die speziellen Zahlenwerte d = 0,3, h = 1, H — 10, z — 25.

Resultat: N — 4,9 PS.

134. In einem gegen den Horizont geneigten Kanal ist der normale Querschnitt des einfliessenden Wassers 2 Quadratmeter und die Geschwindigkeit des letzteren an der Oberfläche 1,09 Meter, während die Oberflächengeschwindigkeit des Wassers am Ende des Kanales 5 Meter beträgt. Wie viel Pferdestärken sind in dem aus dem

Kanale kommenden Wasser enthalten, wenn die mittlere Geschwindigkeit eines Wasserlaufes nahezu ⁹/₁₀ von derjenigen an der Oberfläche ist?

Lösung: Es ist das Gewicht des am oberen Kanalende per Sekunde zufliessenden Wasserquantums G = 2 . 1,09 . 0,9 . 1000 — 1962 kg, folglich dessen Masse M — 200. Andrerseits ist die mittlere Geschwindigkeit des Wassers am untern Ende v — 5 . 0,9 = 4,5 m und mithin nach Nr. 33 die sekundliche Arbeit = 100.4,5 . 4,5 = 2025 mlcg oder N = 27 PS.

135. Auf die 45 dm langen und 10,9 dm breiten Schaufeln eines Schiffmühlenrades drückt Wasser mit 1,2 m Geschwindigkeit. Wenn nun dieses Rad eine Nutzarbeit von 1,5 Pferdestärken liefert, wie hoch berechnet sich dann der Wirkungsgrad des ersteren?

Auflösung: Auf die Schaufeln wirkt in jeder Sekunde ein Quantum Wasser vom Gewichte

G = 45 . 10,9 . 12 = 5886 kg,

mithin von der Masse

M= —

G 5886

9,81

= 600

und der lebendigen Kraft

1/

L — — v¹ — 300 . 1,2 . 1,2 == 432 mkg.

2

Folglich besitzt das Wasser vermöge seiner Trägheit eine Arbeitskraft von

432

N— — = 5,76 PS

75

und es ergiebt sich der Wirkungsgrad des Schiffmühlenrades

== 0,26.

1,5

5,76

136. Die vier Flügel einer Windmühle haben zusammen eine Fläche von 100 qm. Wie viel Nutzarbeit werden dieselben bei einer Windgeschwindigkeit von 6 m produzieren, wenn der Wirkungsgrad */₂ und die Luft 800 mal leichter als Wasser ist?

In einer

Sekunde wirken auf die Windmühlenflügel 100 . 6 = 600 cbm mit

Lösung: Ein Kubikmeter Luft wiegt

1000

800

137. Man löse die vorige Aufgabe unter der Bedingung, dass die Fläche der Flügel F Quadratmeter, die Geschwindigkeit des Windes v Meter, das Gewicht des Kubikmeters Luft k Kilogramm betragen und der Wirkungsgrad g sei.

Resultat: Der Nutzeffekt beträgt

g Pferdestärken.

fkv"6 150~g

138. Jemand schleudert einen Körper von G — 1,4 kg Gewicht h — 9 m vertikal aufwärts, indem er ihn auf der Strecke s — 0,6 m unausgesetzt forttreibt. Mit welcher Stärke P hat die Hand auf den Körper gedrückt?

Gh

Lösung: Aus Ps — Gh folgt P =-= 21 kg.

139.    An den Enden eines über eine Rolle gelegten Fadens hängen die beiden Gewichte Gx und G₂, von welchen Gt > G₂. Welches ist die Beschleunigung p der entstehenden Bewegung unter der Voraussetzung, dass vom Eigengewicht des Fadens, sowie von der Trägheit der Rolle, ferner von der Reibung und vom Luftwiderstände abgesehen wird?

mithin ist

5

dem Gewichte 600 . — — 750 kg und der lebendigen Kraft

Demnach ist die Arbeitskraft des Windes 750 . 18

750

36 mkg.

180

= 18,346 P S

75 . g

und das Windrad liefert 9,2 Pferdestärken Nutzarbeit.

Auflösung: Hier ist die bewegende Kraft P= Gt — G2 und das Gewicht der bewegten Masse G = G₁ + G nach Nr. 30

(#! — G₂) : (Gt +■ G₂)=p:g, w. f. p — ^ ₊ ^ . g.

140.    Wie gross wird beispielsweise die Beschleunigung, wenn die beiden Gewichte 15,5 und 14,5 kg betragen?

Antwort: 0,327 Meter.

§ 39.

Das Grundgesetz von der Unabhängigkeit der Bewegungen.

Das vierte und letzte allgemeine Grundgesetz der Mechanik lautet: Wirken auf einen Körper zwei Bewegungsursachen, so ist die

Ortsveränderung des ersteren die nämliche, ob nun die letzteren zugleich, oder aber nacheinander auf den Körper übertragen werden; mit anderen Worten: die eine Bewegung erfolgt unabhängig von der anderen.

Um von dem Inhalte dieses Satzes eine richtige Vorstellung zu gewinnen, nehmen wir an, es bewege sich ein Schiff von A nach B (Fig. 1) und schräg über das Verdeck wandere eine Person vom Punkte C nach dem Punkte D. Auf Grund des obigen Erfahrungsgesetzes wird dann die Person unter allen Umständen an die Stelle D' gelangen — ganz gleichgiltig, ob erst das Schiff und dann die Person, oder zunächst die letztere und hierauf das erstere, oder endlich, ob beide gleichzeitig ihre bezüglichen Wege zurücklegen.

Man sieht aber wohl, dass nur von der vollendeten Ortsveränderung die Rede ist, n icht aber von dem Wege, auf dem sie ein-tritt; denn dieser ist in allen drei Fällen ein anderer: im ersten CC'D', im zweiten CDD' und im dritten eine zwischen CC'D' und CDD' liegende Linie CED'.

Wenn übrigens ein Punkt P gleichzeitig zwei geradlinige Bewegungen, z. B. von A nach B und von A nach C (Fig. 2) ausführt, so erhält man seine wirkliche Bahn, indem man die Linie A C parallel zu sich selbst mit A auf A B nach dem ersten und zugleich den Punkt P in der Beweglichen A Cnach dem zweiten Bewegungsgesetze fortschreiten lässt. Sind nun die vom Punkte in den beiden Bewegungsrichtungen AX und A Y in einer, bestimmten Zeit t zurückgelegten Wege gleich A B, resp. A (7, so befindet sich der erstere nach dieser Zeit offenbar im vierten Eckpunkte D eines Parallelogramms mit den Seiten A B und A C.

Betreffs der Form des Weges, auf welchem unser Punkt von A nach D gelangt, beschränken wir uns auf den für später wichtigen Fall, dass beide Einzelbewegungen gleichförmig beschleunigt sind und von der Ruhe aus erfolgen. Bezeichnen wir die Beschleunigungen in den Richtungen AX und A Y mit jo, und p₂, so sind die in t Sekunden durchlaufenen entsprechenden Wege

AB — ^ t² und BD t\

Là    L

woraus durch Division beider folgt

AB : BD — pi :p₂.

Nach einer beliebigen Zwischenzeit x ist aber der Punkt P an einer Stelle mit den zugehörigen Wegen

A E = x — ^ x² und EP — y =    *²,

woraus sich ergiebt

AE : EP = p₁ : p₂.

Aus den beiden vorstehenden erhellt aber die dritte Proportion AE: EP — AB: BD

und hieraus, dass P auf der geraden Linie A I) liegt, dass also die thatsächliche Bewegung des Punktes P auf der Diagonale des Parallélogrammes A B I) C vor sich geht.

Drittes Kapitel.

Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.

§ 40.

Geometrische Darstellung der Kräfte. Zusammensetzung derselben im allgemeinen.

Jede Kraft kann graphisch dargestellt werden als eine Strecke, indem man die Grösse, die Richtung und den Angriffspunkt der ersteren (cfr. § 19) ausdrückt oder geometrisch versinnlicht durch die Länge, die Richtung und einen Endpunkt der letzteren; die Seite, nach welcher die Kraft wirkt, bezeichnet man durch eine an die Strecke oder deren Verlängerung gesetzte Pfeilspitze.

Bei der Darstellung verschiedener Kräfte durch begrenzte gerade Linien kommt es zunächst darauf an, eine passende Länge, welche die Krafteinheit (das Kilogramm) ausdrückt, zu wählen. Diese Länge trägt man auf der Richtungslinie jeder gegebenen Kraft ebenso oft ab, als mit wieviel Kilogramm Druck (oder Zug) die betreffende Kraft wirken soll und erhält hierdurch Strecken, welche jene gegebenen Kräfte veranschaulichen und deren Längen sich genau so verhalten wie die Intensitäten der durch sie repräsentierten Kräfte, folglich aber auch (nach § 28) wio die Beschleunigungen, welche die

Kräfte — jede für sich — dem angegriffenen Körper erteilen und mithin zugleich wie die Wege, welche der Körper unter dem Einflüsse jeder einzelnen Kraft in einer bestimmten Zeit durchlaufen würde.

ver-

Wenn z. B. die drei Kräfte Px = 2 kg, P₂ = 1 kg und P₃ = 4 leg den Körper K (Fig. 3) in den Punkten Ax, A₂ und A₃ angreifen sollen, so zieht man durch letztere drei Gerade, welche die Richtungen der Kräfte angeben und macht nun AXCX — 2, A₂ C₂ = 1 und A₃ C₃ = 4 Längeneinheiten, z. B. Centimeter. Dann sind die Kräfte Pv P₂, P₃ durch die Strecken A₁ Cv A₂ C₂, A₃ (\ geometrisch sinnlicht, und wenn diese drei Kräfte nacheinander auf den Körper K einwirkten, so würde letzterer drei verschiedene Beschleunigungen erfahren, welche sich wie

Aj C, : A₂ C₂ : A₃ C₃ = 2 : 1 : 4

verhielten. Nehmen wir ferner an, dass in einer gewissen Zeit, etwa in drei Sekunden, die Kraft Px den Körper von Ax nach Cx bewegt, so würde ihn in derselben Zeit P₂ von A₂ nach C₂ und P₃ von A nach C₃ bringen.

Wirken nun mehrere Kräfte gleichzeitig und zwar zunächst auf nur einen Punkt A eines Körpers, so kann das Resultat im allgemeinen doch nur darin bestehen, dass dieser Körper während einer gewissen Zeit eine ganz bestimmte Ortsveränderung erfährt und da offenbar dieselbe Ortsveränderung in der nämlichen Zeit auch von nur einer Kraft erzielt werden kann, so ist es eine wichtige Aufgabe der Mechanik, diese letztere zu ermitteln.

Die einzelnen Kräfte heissen auch die Seitenkräfte oder Komponenten, die einzige Kraft, welche in gleicher Zeit dasselbe bewirkt, wie jene zusammengenommen, die Mittelkraft oder Resultante oder resultierende Kraft und die Aufgabe, die letztere aus den ersteren zu bestimmen, das Zusammensetzen der Kräfte.

§ 41.

Das Parallelogramm der Kräfte.

Die Resultante R von zwei Kräften Px und P₂, welche einen Körper im Punkte A angreifen und durch die Strecken A B, A C geometrisch dargestellt sind, wird ihrer Richtung und

Grösse nach ausgedrückt durch die Diagonale AD desjenigen Parallelogramms ABDC (Fig. 4), welches die beiden Linien A B — Py und A C = P₂ zu Seiten hat.

Die Richtigkeit dieses Gesetzes, welches gewöhnlich der Satz vom Parallelogramm der Kräfte genannt wird, kann durch folgende Betrachtungen dargethan werden: die Kraft Px für sich würde dem Körper eine geradlinige und gleichförmig beschleunigte Bewegung erteilen und ihn in irgend einer bestimmten Zeit t von A nach B treiben. Denkt man sich jetzt 1\ weg und dafür die andere Kraft P₂ wirkend, so wird abermals eine gleichmässig beschleunigte, geradlinige Bewegung hervorgerufen und auf Grund des vorigen Paragraphen der Körper während des gleichen Zeitraums t von B nach D geführt. Eine in umgekehrter Reihe hintereinander folgende Wirkung beider Kräfte würde bezüglich der Ortsveränderung zwar dasselbe Endresultat ergeben, nur würde der Körper einen andern Weg einschlagen, nämlich durch P₂ zunächst von A nach G und dann durch Pr von C nach D gelangen.

Wenn aber nun schliesslich beide Kräfte zugleich dieselbe Zeit t hindurch wirksam sind, so muss nach § 39 der Punkt A die Diagonale AD des Parallelogramms A B D C durchlaufen, eine Bewegung, welche der Punkt auch dann genau ausführen würde, wenn nur eine, durch die Strecke A D graphisch dargestellte Kraft t Sekunden lang wirken würde. Mithin drückt die Diagonale jedes Parallelogramms ABDC die Resultierende R zweier Komponenten Py und P₂ aus, welche letztere durch die beiden im Anfangspunkte A der Diagonale zusammenstossenden Seiten A B und A C geometrisch dargestellt sind.

Hiernach kann man mit Leichtigkeit zwei auf einen Punkt A wirkende Seitenkräfte P₁ und P₂ mit Hilfe von Lineal und Zirkel zusammensetzen, indem man sie nach Richtung und Grösse als zwei in einem Punkte A zusammentreffender Strecken darstellt, letztere zu einem Parallelogramm ergänzt und durch .4 die Diagonale zieht, welche dann die gesuchte Mittelkraft von P₁ und P₂ repräsentiert.

Was die Ermittelung der Resultante R durch Rechnung anlangt, so kann dieselbe auf trigonometrischem Wege allgemein und ohne alle Schwierigkeiten erfolgen; hier wollen wir uns aber auf die Erledigung nur dreier, aber besonders wichtiger Spezialfälle beschränken :

1. Sind die beiden Komponenten lotrecht zu einander, so ist das Kräfteparallelogramm ein Rechteck und folglich die Resultante als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten Pt und P₂ nach dem Pythagoräischen Lehrsatz:

(36.)

R = ŸP* +

2.    Lässt man den Winkel C A B — « zwischen den beiden Komponenten (Fig. 5) kleiner werden bis zur Null, so läuft der Endpunkt D der Diagonale nach rechts auf einem Kreise mit dem Centrum B und dem Radius B D — B D' — A C — P₂, die Resultante AD — R wird hierdurch immer grösser und erhält für a — o den Wert AD' = A B BD' — Pi -f- P₂ und mithin ist

(37.)

R =    + R%

oder in Worten: Wirken zwei Kräfte auf einen Punkt in derselben Linie und nach derselben Seite, so ist die resultierende Kraft gleich der Summe der Komponenten.

3.    Wenn man dagegen den Winkel CAB — a wachsen lässt bis zu zwei Rechten, so bewegt sich der Punkt D auf demselben Kreise wie vorhin, aber nach links, die Diagonale DA nimmt in Folge dessen fortwährend ab und erhält bei a = 180° den Wert AD" — AB — BD' — P, — P.z. Demnach hat man

(38.)

R — P₁— P₂

oder in Form eines Lehrsatzes: Die Resultante zweier Komponenten, welche in einer Geraden auf einen Punkt nach entgegengesetzten Seiten wirken, ist gleich der Difierenz beider und geht nach der Seite der grösseren Kraft.

Sind im letzten Falle die beiden Komponenten Pt und P₂ einander gleich, so ergiebt sich- aus 38 die Resultierende

R — o,

mithin erfolgt gar keine Bewegung und es gilt der Satz: Zwei gleiche Kräfte, welche auf einen Punkt in derselben Geraden nach verschiedenen Seiten wirken, halten sich das Gleichgewicht oder heben einander auf.

§ 42.

B e ispiele.

14-1. Han berechne die Mittelkraft zweier zu einander lotrechter Kräfte von 3 hg und 4 kg.

Lösung: R— 5 kg.

142.    Desgleichen, wenn die beiden Kräfte 39 und 52 kg betragen.

Lösung: R — 65 kg.

143.    Auf den Scheitel eines rechten Winkels wirken in dem einen Schenkel zwei Kräfte von 21 und 18, im andern zwei Kräfte von 27 und 53 kg, jedes Paar nach derselben Seite hin; es soll die Gesamtresultante durch Rechnung gefunden werden.

Lösung: R = 89 kg.

144.    In zwei sich senkrecht schneidenden Geraden wirken auf den Durchschnittsqunkt A vier Kräfte von 48, 110, 12 und 33 kg, die erste nach rechts, die zweite nach oben, die dritte nach links und die letzte nach unten; wie gross berechnet sich hieraus die resultierende Kraft?

Antwort: R — 85 kg.

145.    Wenn ein Körper von 159 kg Gewicht durch zwei, einen rechten Winkel einschliessende Kräfte von 28 und 45 kg fortbewegt wird, wie gross ist dann die Resultante P, sowie die durch letztere bewirkte Beschleunigung p?

Antwort: P — 53 kg und p = 3,27 m.

146.    Zwei gleiche Kräfte P bilden nacheinander die Winkel 0°, 60°, 90°, 120° und 180°; man soll für jeden einzelnen Fall die Mittelkraft berechnen.

Resultate: 2 P, P 8, PV2, P und 0.

147.    Zwei Kräfte P₁ = 72 kg und P₂ = 96 kg wirken unter einem Winkel a = 72°; man bestimme durch Zeichnung die Resultierende R, sowie die Winkel oq und «₂, welche R und Px und P2 einschliesst.

Resu ltate : R = 136 kg, a₁ — 42°, a₂ = 30°.

148.    Ebenso, wenn P₁ =111 kg, P₂ 244 kg und a — 109° gegeben sind.

Resultate: R = 233 kg, oq — 82°.

149.    Der Winkel, welchen die beiden Kräfte von 5 und 6 kg mit einander einschliessen, springt von 0° auf 30°, 60°, 90°, 120°, 150° und 180°; man ermittele diejenigen sieben Werte, welche dadurch die Resultante hintereinander annimmt.

Ergebnisse: 11 kg, 10,6 kg, 9,5 kg, 7,8 kg, 5,6 kg, 3 kg undl kg.

§ 43.

Das Polygon der Kräfte.

Um mehr als zwei, z. B. die vier Kräfte AB = Pt (Fig. 6), AG — P₂, AD — P₃ und AE = P₄, welche sämtlich in A angreifen, zusammenzusetzen, braucht man nur den Satz vom Parallelogramm der Kräfte wiederholt anzuwenden. Ergänzt man nämlich AB und A C zum Parallelogramm AB FC, so ist AF die Mittelkraft von Px und P₂‘ konstruiert man sodann aus JFund AD ein Parallelogramm AFGD, so drückt dessen Diagonale AG die Wirkung von AF und P₃, folglich auch von P₁, P₂ und P₃ aus, und vereinigt man endlich mit Hilfe des Parallelogramms A GUE die beiden Kräfte AG und AE zur Resultante AH = R, so stellt letztere die Mittelkraft von allen vier Komponenten f'v P₂, P₃ und P₄ dar.

Lässt man aber die zur Bestimmung von R unnötigen Linien fort und verallgemeinert das vorstehende Verfahren auf beliebig viele in einem Punkte A angreifende Seitenkräfte, so ergiebt sich die Regel: Soll ein System von beliebig vielen (etwa n) auf einen Punkt A wirkenden und durch Strecken dar gestellten Kräften Pv P₂, P₃, . . . Pn zusammengesetzt werden, so ziehe man durch den Endpunkt von Pi eine Linie, die parallel und gleich der zweiten Kraft P₂, dann durch den eben erhaltenen Punkt eine Gerade, welche parallel und gleich der dritten Komponente P₃ ist und fahre so fort, bis man eine Strecke verzeichnet hat, welche parallel und gleich ist der letzten Seitenkraft Pv. Man erhält auf diese Weise eine gebrochene Linie, deren n Teile parallel und gleich sind denjenigen Strecken, welche die Kräfte Pv Pv P₃, . . ., Pn darstellen, und die Verbindungsger ade der Endpunkte dieser gebrochenen Linie drückt die Resultante aller n Einzelkräfte aus.

Wenn sich die gebrochene Linie spezieller Weise in A schliesst, so ist offenbar die Gesamtresultante gleich Null, die n Kräfte haben also in diesem Falle keine (sichtbare) Wirkung, oder, wie der hierfür gebräuchliche Ausdruck lautet: „sie halten sich das Gleichgewicht“.

Die erste Kraft, ferner die Strecken, von welchen jede einer der gegebenen Komponenten parallel und gleich ist, sowie die resultierende Kraft bilden zusammen ein Vieleck, welches das Polygon

der Kräfte genannt wird, und man kann daher auch sagen: Ein System von beliebig vielen in einer Ebene auf den Punkt A wirkenden Kräfte ruft keine Bewegung hervor oder ist im Gleichgewichte, wenn das Kräftepolygon dieselbe Anzahl von Seiten besitzt, als Komponenten vorhanden sind.

§ 44.

Beispiele.

150.    Drei Kräfte von 9,21 und 15 kg, von welchen die beiden ersten einen Winkel von 56° und die beiden letzten einen solchen von 104° mit einander bilden, wirken auf einen Punkt A in einer Ebene. Man soll (durch Konstruktion) Grösse und Richtung der Mittelkraft bestimmen.

Lösung: Letztere ist 23,5 kg und schliesst mit der ersten Komponente einen Winkel von 73°30' ein.

151.    Welches ist die Grösse und Richtung der Resultante aus den vier in einer Ebene auf den Punkt A wirkenden Kräfte P^ = 9,6, P₂ ~ 8, P₃ = 7,2 und P₄ — 10 kg, wenn auf einander folgend je zwei benachbarte Seitenkräfte die Winkel 75°, 30° und 90° bilden?

Antwort: Es ist die Resultante R — 12,1 kg und bildet mit Px einen Winkel von 89°15'.

152.    Aui einen Punkt wirken die fünf Kräfte von 9, 10, 12, 5 und 4 kg, die vier letzteren bilden der Reihenfolge nach mit der ersten die Winkel 70°, 120°, 200° und 240°. Man soll durch Zeichnung die Resultierende R und ihren Winkel « mit der ersten Kraft ermitteln.

Resultate: R = 14,6 kg und « = 91°.

153.    Desgleichen für die Komponenten von 4, 8, 12 und 16 kg mit den Winkeln von 45°, 90° und 135°.

Resultate. R = 29 kg und « = 93° 15'.

154.    Ebenso für die Seitenkräfte von 10, 8, 6 und 2 kg und die Winkel 90°, 165° und 240°.

Resultate: R = 8,5 kg und a = 68°.

155.    Von sechs Kräften, welche in einer Ebene den Punkt A angreifen und der Reihe nach 8, 15, 22, 29, 36 und 43 kg betragen, schliessen immer je zwei benachbarte einen Winkel von 60° ein; man berechne Grösse und Richtung der Mittelkraft.

Lösung: Dieselbe ist 42 lg und fällt in die Wirkungslinie der fünften Kraft.

§ 45.

Zerlegung der Kräfte.

In den vorstehenden Paragraphen haben wir gesehen, wie tnan zwei — oder auch mehrere — Kräfte zu einer einzigen Kraft vereinigen und sich hierdurch Aufschluss über das Gesamtergebnis der ersteren verschaffen kann.

Nicht selten jedoch macht es sich zur Beurteilung der Wirkung einer einzigen Kraft P auch umgekehrt nötig, zwei Kräfte !\ und P₂ ausfindig zu machen, welche beide zusammen genau dasselbe bewirken, wie jene Kraft P für sich allein. Behufs Lösung dieser letzteren Aufgabe, welche das Zerlegen einer Kraft genannt wird, braucht man aber offenbar nur ein Parallelogramm ABCD (Fig. 7) zu konstruieren, welches die als Strecke AG gezeichnete Kraft P zur Diagonale hat; denn es stellen dann AB und AD zwei Kräfte Px und P₂ dar, welche nach § 41 dieselbe Wirkung haben, als AG — P für sich allein. Weil über einer Strecke A G als Diagonale unendlich viele Parallelogramme (wie z. B. AB'CD', AB"CD" etc.) möglich sind, so bleibt die vorliegende Aufgabe so lange unbestimmt, als nicht über Richtung und Grösse der Komponenten Pl und P₂ zwei Bedinguugeu gegeben sind, resp. zwei Bestimmungen getroffen werden. Bekanntlich wird nun jedes Parallelogramm durch eine Diagonale in zwei kongruente Dreiecke geteilt und mithin reduziert sich die Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten konstruktiv auf die Verzeichnung eines Dreiecks, von welchem entweder zwei Winkel und eine Seite oder ein Winkel und zwei Seiten oder alle drei Seiten gegeben sind.

Wenn z. B. in der Längsrichtung eines Dachsparrens AE (Fig- 8), dessen unteres Ende in einen horizontalen Balken AF befestigt ist und welcher mit letzterem einen Winkel a — 25° einschliesst, ein Druck von 800 hg existiert, so übt letzterer eine doppelte Wirkung aus: nämlich erstens einen gewissen Vertikaldruck V, mit welchem dann das den Balken A F tragende Mauerwerk belastet wird und zweitens einen Horizontalschub H, welcher in A F eine bestimmte Spannung erzeugt. Um die Grössen dieser beiden Wirkungen zu erhalten, konstruieren wir den gegebenen Druck von 800 hg als Strecke AG, welche wir etwa 8 m lang machen, sodass jedes Centimeter 100 hg ausdrückt, und verzeichnen nun über A C als Diagonale ein

Rechteck ABCD, dessen beiden Seiten AB und AD in horizontaler, bzw. vertikaler Richtung verlaufen und demgemäss auch die gesuchten Komponenten darstellen. Weil die Abmessungen von AB und AD 7,25 und 3,38 Centimeter ergeben, so ist der Horizontalschub H— 725 kg und der Verdikaldruck V = 338 kg.

§ 46.

Beispiele.

156.    Eine Kraft P = 100 kg soll in zwei Seitenkräfte P₁ und P₂ zerlegt werden, welche mit der Richtung von P bezüglich die Winkel a₁ = 71° und c<₂ = 30°30/ bilden; man ermittele durch Konstruktion die Seitenkräfte.

Resultate: Pt — 51 kg, P₂ — 96 kg.

157.    Eine Kraft P — 233 kg in zwei Komponenten zu zerlegen, von welchen die eine 111 kg beträgt und mit P einen Winkel von 82° einschliesst; man bestimme Grösse und Richtung der anderen.

Resultate: 244 kg und 26°30/.

158.    Desgleichen P= 233 kg, wenn P₁ = 296 kg und nr₂ = 103 gegeben sind ; gesucht P₂ und «,.

Resultate: P₂ — 138 kg, a₁ — 27°.

159.    Man soll eine Kraft von 91 kg in zwei Komponenten von 84 und 82 kg zerlegen, welche Winkel bilden die letzteren mit der ersteren ?

Antwort: Winkel von 56° und 57°30\

160.    Welchen Normaldruck N erleidet eine wagerechte Ebene durch einen 130 kg schweren Körper, wenn an letzterem eine Kraft von 110 kg unter einem Winkel von 65°20' gegen den Horizont aufwärts wirkt, und mit welcher Kraft P wird dieser Körper in horizontaler Richtung fortgezogen?

Resultate: N = 30 kg und P = 46 kg.

161.    Mit welcher Beschleunigung würde sich der in voriger Aufgabe genannte Körper unter der Annahme bewegen, dass der Reibungswiderstand den sechsten Teil des Normaldruckes beträgt?

Antwort: Mit der Beschleunigung p — 3,1 Meter.

162.    Die Hängesäule AB eines einfachen Hängewerks (Fig. 9)

ist auf 10000 kg Zug beansprucht. Man bestimme (durch Konstruktion und durch Rechnung) denjenigen Druck D, welchen jede der beiden unter 45⁰ gegen den Horizont geneigten Streben A C und AE auszuhalten hat.

Resultat: D = 7071 kg.

163.    Die beiden gleich langen Streben -4(7 und BE eines doppelten Hängewerks (Fig. 10) sind unter a = 45° gegen den Horizont geneigt und durch einen wagerechten Spannriegel AB verbunden. Man berechne die Drücke D in den Streben und den Druck P im Spannriegel, wenn an jeder der beiden vertikalen Hängestangen eine Last Q = 6000 kg wirkt.

Lösungen: D — Q = 8485 kg und P = Q — 6000 kg.

164.    Wie gestalten sich aber die Resultate der vorigen Aufgabe, wenn a — 60° ist?

QV3 = 6928 kg, P = i Q VS = 3464 kg. 3

CO

Antwort: D —

165.    Ferner, wenn ct = 30° ist?

Antwort: D = 2 Q — 12000 kg, P = Q 3 = 10392 kg.

166.    An einem mit seinen Endpunkten befestigten Seile hängt eine Last von 100 kg. Wie gross sind die Spannungen in den beiden Seilstücken, welche zum Horizont unter Winkeln von 10 und 20° geneigt sind, wenn vom Eigengewicht des Seiles abgesehen wird?

Antwort: 188, resp. 197 kg.

§ 47.

Verlegung des Angriffspunktes. Gleichgewicht zweier Kräfte mit verschiedenen Angriffspunkten.

Nachdem wir bisher gesehen haben, in welcher Weise beliebig viele auf einen Punkt A wirkende Kräfte zusammengesetzt werden können, wenden wir uns zu solchen Kräften, welche einen festen Körper in verschiedenen Punkten angreifen und beginnen mit dem einfachsten Fall, dass zwei gleiche Kräfte AC = BD = P (Fig. 11) in derselben Linie, aber nach entgegengesetzten Seiten wirken.

Die unmittelbare Folge dieser beiden Kräfte wird allerdings eine Verrückung der einzelnen Körperteilchen sein; denn letztere werden

sich nähern oder von einander entfernen, je nachdem die Kräfte den Körper auf Druck oder Zug beanspruchen und der ganze Körper wird daher im ersten Falle zusammengepresst, im andern ausgedehnt werden. Allein die Formänderung, welche der Körper hierdurch erleidet, ist in den von uns zu betrachtenden Fällen so gering und erfolgt überdies in so kurzer Zeit, dass wir die Körper als vollkommen starr und demnach die gegenseitige Lage der Angriffspunkte als unveränderlich ansehen dürfen.

Nun ist weiter klar, dass sich die Wirkung einer Kraft AC — P in ihrer Richtungslinie fortpflanzt und daher die nämliche sein muss, ob nun P in A oder At oder A₂ oder in B angreift; es gilt mithin der Satz: Die Wirkung einer Kraft bleibt dieselbe, wenn ihr Angriffspunkt in ihrer Richtungslinie beliebig verlegt wird und die Voraussetzung erfüllt ist, dass der neue mit dem alten Angriffspunkt in fester Verbindung steht.

Verschieben wir aber entweder AG nach B oder auch BD nach A, so tritt der am Schlüsse des § 41 erwähnte Fall ein, und es besteht folglich der weitere Satz: Zwei gleiche Kräfte, welche in derselben Geraden auf zwei fest verbundene Punkte nach entgegengesetzten Seiten wirken, heben einander auf.

§ 48.

Kräfte in einer Ebene an fest verbundenen Punkten augreifend.

Jetzt sind wir auch imstande, zwei Kräfte AD = P und BE — Q, welche in derselben Jübene liegen und auf zwei beliebige Punkte A, B eines festen Körpers wirken, zusammenzusetzen: wir verlegen dieselben einfach in ihren Wirkungslinien bis an den Schnittpunkt C der letzteren (Fig. 12), machen also CF=^AD=P, CG = BE—Q und ergänzen FCG zu einem Parallelogramm FCGL, dessen Diagonale CL nach Grösse und Richtung die Resultierende der beiden Komponenten P und Q darstellt. Weil übrigens der Angriffspunkt der Resultante jeder andere Punkt, in ihrer Richtungslinie sein kann, so verlegen wir ersteren nach M, so dass MN = GL — R die Mittelkraft von AD P und BE — Q repräsentiert.

Es ist schliesslich leicht einzusehen, wie man mit Hilfe des vorstehenden Verfahrens beliebig viele Kräfte, welche in einer Ebene

liegen und einen festen Körper in irgend welchen Punkten angreifen, zusammensetzen kann: man braucht nur die Resultante der beiden ersten Kräfte mit der dritten Kraft zu vereinigen, dann die hierdurch erzielte Resultierende der drei ersten Kräfte mit der vierten Komponente zu verbinden und so fortzufahren, bis man auch die letzte Seitenkraft berücksichtigt hat.

§ 49.

Zwei parallele Kräfte in der Ebene.

Nur für parallele Kräfte lässt die soeben angeführte Methode im Stich, weil dann der Schnittpunkt der Angriffslinien in’s Unendliche fällt. Um hier zum Ziele zu gelangen, benützen wir zwei gleiche Hilfskräfte AD =■ S = Ä D' = S', (Fig. 13), welche in der festen Verbindungsger'aden A Ą' der Angriffspunkte beider paralleler Komponenten

AB — P und A'B' = P',

jedoch nach entgegengesetzten Seiten wirken; dieselben heben nach § 47 einander auf und ändern mithin an der Wirkung unseres Kraftsystems nicht das geringste, sodass die Resultante der vier Kräfte P, S, P' und S' zugleich die Resultante unserer beiden parallelen Kräfte ist.

Nun stellen die Diagonalen AB und AE' der Parallelogramme AB ED und A' B' E' D' die Resultierenden von P und S, resp. von P' und S' dar, folglich ist die gesuchte Mittelkraft von P und P' identisch mit der Mittelkraft von AE und A' E', wir könnten daher die letztere nach § 48 erhalten als Diagonale eines Parallelogramms, welches aus den Seiten G F — AD und CF' — A' D' zu verzeichnen wäre; allein da uns für diesen wichtigen Fall eine rein konstruktive Lösung der Aufgabe aus später ersichtlichen Gründen nicht genügen kann, so schlagen wir von hier ab einen anderen Weg ein: wir setzen die beiden Kräfte CF und CF' nicht zusammen, sondern zerlegen jede in zwei Komponenten, wovon die eine parallel zu AA’, die andeie parallel zu AB = P, demnach auch parallel zu Ä B‘ — P' läuft, nämlich CF mittels des Parallelogramms CEF G in die Seitenkräfte CG und CH, sowie CF' durch das Parallelogramm CH' F' G' in die beiden Komponenten C G' und CH'.

Jetzt ist einerseits wegen Kongruenz der Parallelogramme CHF G und A BET)

GG = AD = S, CH = AB = P und andererseits wegen Kongruenz der Parallelogramme CH'F' G' und A' B'E'D'

CG' — A'D'.= S', CH' = A'ß' — P'.

Weil aber nach Voraussetzung S = S', folglich auch CG— CG', so heben die letzteren zwei Kräfte, die in einer Linie und nach entgegengesetzten Seiten auf den Punkt C wirken, einander auf; mithin verbleiben die bewegenden Kräfte CH= P und CH’ — P', welche, als in derselben Geraden und in demselben Sinne wirkend, sich summieren und wir haben als Gesamtresultante

B = P + P'-

Verlegen wir endlich den Angriffspunkt C von R nach M, so lässt sich letzterer Punkt folgendermassen bestimmen: Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke CM A und CHF, sowie ĆMA' und CH' F' folgen die Proportionen

CM: CH = MA : HF und CM : CH' = MA' : H'F\ und hieraus die Produktengleichungen

CM. HF — CH MA und CM.H'F' — CH'. MA', oder, wenn man nach obigem HF <= CG — S, H' F' — C G' = S', CH — P und CH' = P' substituiert:

CM. S—P. MA und CM. S' = P'. MA'.

Wegen S — S' ist aber auch CM. S = CM. S' und demgemäss P.MA = P'.MA’

oder in Form einer Proportion:

P-.P’ = MA’ : MA.

(39.)

Die Zusammenfassung vorstehender Resultate führt zu dem wichtigen Satze: Die Mittelkraft zweier paralleler Komponenten, welche an den Endpunkten einer festen Strecke wirken, ist gleich der Summe der Komponenten, ausserdem parallel zu letzteren, und ihr Angriffspunkt, auch Mittelpunkt der parallelen Kräfte genannt, teilt die feste Strecke dergestalt, dass sich die Abschnitte umgekehrt verhalten wie die Kräfte, die an den Endpunkten wirken.

§ 50.

Beispiele.

167. Zwei Kräfte P = 7 leg und Q — 10 kg ergreifen die Endpunkte einer festen, einen Meter langen Strecke A B und bilden mit den Verlängerungen der letzteren Winkel von 67° und 48°. Man bestimme auf konstruktivem Wege die Resultante R, ferner den Winkel a zwischen P und R, sowie endlich den Punkt C, in welchem R die Gerade A B schneidet.

Resultate: R — 14,4 kg, a = 39° und A C — 54 cm.

168.    Desgleichen, wenn die beiden Kräfte P = 8 kg, Q = 6 kg, die bezüglichen Winkel 30° und 60°, sowie AB = 120 cm gegeben sind.

Resultate: R — 10 kg, a — 37° und AC— 67,5 cm.

169.    Eine möglichst einfache Konstruktion für den Mittelpunkt M (Fig. 14) zweier paralleler Kräfte A G — P und BD = Q anzugeben.

Auflösung: Macht man AE =■ BD und verlängert BD um BF = A C, so schneidet die Verbindungsgerade EF die Strecke AB im gesuchten Punkte M. Beweis?

170. Wenn in der vorigen Aufgabe allgemein AB — d gesetzt wird, wie gross berechnen sich die Abschnitte AM—x und MB—y?

Pd

und y —

P+ Q'

P+Q

Antwort: x —

171.    Welche Resultate erhält man für die speziellen Zahlen P = 7 kg, Q = 15 kg und d — 44 cm?

Antwort: x — 30 cm, y — 14 cm.

172.    Drei parallele Kräfte von 22, 52 und 26 kg wirken in den Punkten A, B und G einer starren Geraden. Wie weit ist der Angriffspunkt M der Mittelkraft von A entfernt, wenn AB — 50 und BC — 100 cm gegeben sind?

Antwort: A M = 65 cm.

173.    Desgleichen, wenn die Kräfte 7, 3 und 5 kg betragen und die Abschnitte AB — 35 cm, B C — 16 cm sind?

Antwort: A M =24 cm.

Viertes Kapitel.

Ton den parallelen Kräften im Raume.

§ 51.

Statisches Moment einer Kraft.

Wir wenden uns nun zur Betrachtung solcher Krätte, welche im Raume wirken und ein System fest verbundener Punkte, also z. B. beliebige Punkte eines starren Körpers angreifen. Denken wir uns jetzt in beliebiger Lage zum Körper eine Ebene, mit welcher der Angriffspunkt jeder Kraft fest verbunden sei, so kommt es vor allem darauf an, sich die Wirkung einer solchen Kraft auf die Ebene zu vergegenwärtigen und womöglich ein genaues Mass für diese Wirkung ausfindig zu machen.

Eine Kraft AB — P (Fig. 15), deren Angriffspunkt A ausserhalb einer Ebene MN liegt und mit letzterer in festem Zusammenhänge steht, wird aber offenbar das Bestreben haben, die Ebene aus ihrer Lage herauszudrehen, und weil diese Drehbestrebung einerseits der Grösse der Kraft P selbst, andererseits proportial ist der Länge des von A auf die Ebene gefällten Lotes A C = p, ¹) so bietet sich als ein geeignetes Mass für die Gesamtwirkung der Kraft das Produkt P.p dax¹. Zu merken ist hierbei noch, dass das Lot AG=p der Hebelsarm der Kraft P, die Ebene MN Momentenebene und das Produkt P.p das statische Moment der Kraft Pin Bezug auf die Ebene MN heisst.

Zwar ist jedes statische Moment das Produkt -aus einer Kraft und einer Sti’ecke, darf aber keineswegs mit dem Begi’iffe „mechanische

Arbeit“ verwechselt werden. Wenn daher die Kraft in Kilogrammen und der Hehelsarm in Metern ausgedrückt sind, so könnte man als Einheit des statischen Moments ein Kilogrammmeter (Jcym) festsetzen im Gegensatz zur Arbeitseinheit Meterkilogramm (mkg)-t allein in der Hauptsache ist das statische Moment nicht Endzweck, sondern nur Mittel zum Zweck, und es kommt daher auch vorläufig nur daranf an, alle Kräfte mit dem Kilogramm und alle Hebelsarme mit derselben Längeneinheit zu messen.

Dagegen ist bei jeder hierhergehörigen Untersuchung wohl zu beachten, ob die einzelnen Kräfte die Momentenebene in gleichem oder im entgegengesetzten Sinne zu drehen suchen. Ist ein solcher Gegensatz vorhanden, so muss ihm algebraisch dadurch Rechnung getragen werden, das man die Momente der in einem gewissen Sinne drehenden Kräfte positiv und diejenigen der entgegengesetzt drehenden Kräfte negativ einführt. In den nächsten Paragraphen wollen wir nun vor allem einen ungemein wichtigen Satz über die statischen Momente paralleler Kräfte entwickeln.

§ 52.

Zwei parallele Kräfte im Raume.

Es seien Ax B₁ = P₁ und A₂B₂ — P₂ (Fig. 16) zwei parallele Kräfte, deren Angriffspunkte mit der Ebene MN in fester Verbindung stehen und von letzterer um die Strecken

Ni Cx — Pi i -Ag — p₂

entfernt sind. Nun wissen wir zunächst aus § 49, dass ihre Resultante AB = R = P₁ + P₂,

ausserdem parallel zu beiden Komponenten ist und dass der Angriffspunkt A auf der Verbindungsgeraden A₁A₂ letztere nach det Proportion

A A₂ : A At — P₁ : P₂

teilt.

Zieht man aber jetzt durch A die Linie D₁D₂ parallel zu CXCV so entstehen zwei ähnliche Dreiecke D₂AA₂ und DXAAV folglich verhält sich

AA₂ : A Ax — A₂ I)₂ : Ax Dy

und mithin auch

JJi : P₂ = A.l D₂ : AiDx.

Bezeichnet man nunmehr den Hebelsarm A 0 der Resultante mit r, so erkennt man aus der Figur ohne weiteres die Richtigkeit der Beziehungen

A₂ D.j, = A₂C₂ — AC = p₂ — r,

sowie

A{DX =A C — At (\ = r — pl.

Mit Einsetzung derselben in die letzte Proportion ergiebt sich P\ ' P2 — (P₂ — r) : (r — Pl)

oder

(pi + p₂) r =    + P*P2

oder endlich, weil P₁ + p₂ — R ist:

(40.)

Rr = PlP{ -f P₂p₂, in Worten: Sind die Angriffspunkte zweier paralleler Kräfte mit einer Ebene fest verbunden, so ist in Bezug auf letztere das Moment der Mittelkraft gleich der Summe der Momente der Seitenkräfte.

§ 53:

Parallele Kräfte an beliebigen Punkten eines festen Systems.

Der soeben entwickelte Satz lässt sich, indem man ihn wiederholt anwendet, ohne jede Schwierigkeit erweitern auf beliebig viele Kräfte

P\ '    P2' PV PV • • •’ Pn'

deren Angriffspunkte untereinander fest verbunden sind und von einer (beliebig gedachten) Ebene MN die Abstände Pv Pv Vv Pv • • •’ Pn'

besitzen mögen : denn bezeichnen wir die Resultierende der beiden ersten Kräfte mit JRV ihren Hebelsarm in Bezug auf erwähnte Ebene mit dann die Resultierende von Pv P₂, P₃ mit i?₂, ihren Hebelsarm mit r₂, ferner die Resultierende der vier ersten Kräfte Pv P₂, P₃, P₄ mit i?₃, ihren Hebelsarm mit r₃ u. s. f. die Gesamtresultierende aller n Kräfte mit B, den Abstand ihres Angriffspunktes von der Ebene MN mit r, so gelten die n — 1 Gleichungspaare

Ą = Pi + P2 und Pl ri — PiP\ + P2 Pv

-Z?2 = B^ + P,t „ JR₂ r₂ = P, -f- P₃ p₃,

P 3 = ^2 + Pi Und B3 »8 = Ą r2 +    P±,

P - P/i- 2 I x n n Py - Pn- 2 y n — 2 ~t~ PnP n>

Setzt man jetzt die Werte von P, und P, rx aus den ersten beiden Gleichungen in diejenigen der zweiten Zeile, sodann die hierdurch entstandenen Werte in die Gleichungen der dritten Zeile und fährt so fort bis zur letzten Zeile, so erhält man

(41.)

P ⁼ P\ 4“ 1'2 + P$ + Pi + • • • + Pn-

und

Py' P]Pl + P2P2    P3 P'i + • • • + PnPn,

oder, da es gebräuchlich ist, abkürzungsweise

PX *+ P2 + P3 + P* + • • • + Pn = 2 (P)

[gesprochen: „Sigma oder Summe aller Pu] und analog

P\Pl + PzP-2 + P3P3 + • ■ • + PnPa = 2 (Pp)

[sprich: „Sigma oder Summe von Pjo!*] zu setzen:

p = y(P)

(42.)

(43.)

(44.)

(45.)

und

(46.)

Pr — I (Pp).

In vorstehendem liegt der Satz: Für beliebig viele parallele Kräfte im Raume, deren Angriffspunkte untereinander fest verbunden sind, ist die Resultante gleich der Summe aller Komponenten und das statische Moment der Resultante in Bezug auf eine (beliebig gedachte) mathematische Ebene gleich der (algebraischen) Summe der statischen Momente aller Einzelkräfte bezogen auf dieselbe Ebene.

Weil der Angriffspunkt der Resultierenden unabhängig von der Richtung der einzelnen Kräfte ist und demnach auch seine Lage beibehält, wenn sich alle unter sich parallel bleibenden Kräfte um ihre Angriffspunkte herumdrehen, so heisst der erst genannte Punkt auch der Mittelpunkt der parallelen Kräfte.

§ 54.

Beispiele.

174. In den vier Eckpunkten Ay, A.v A₃ und A± eines Quadrates, dessen Seite a — 500 Millimeter lang ist, greifen vier parallele Kräfte von 33, 11, 44 und 12 Kilogramm an. Man soll den Angriffspunkt der Resultante bestimmen, indem man seine Abstände x und y von den Quadratseiten Ax A₂ und Ax A± angiebt.

Lösung: x — 280 und y — 275 Millimeter.

175. Man bestimme den Mittelpunkt dreier paralleler Kräfte P₁ = 80 kg, P₂ = 60 freund P₃ — 110 kg, welche die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten Ax A₃ — 30 und A₂ A₃ — 40 Centimeter angreifen.

Lösung: Der Kräftemittelpunkt ist von beiden Katheten 96 Millimeter entfernt.

176. Drei beliebige Kräfte P₁, Pg und P₃ wirken in den Eckpunkten Ax, A2 und A₃ eines gleichseitigen Dreiecks von der Seite a senkrecht zur Ebene des letzteren. Welches sind die Abstände x, y und * des Kräftemittelpunktes A von den drei Seiten A₂ Av A₃ Ax und Ax A2 ?

a P₃ 13

Antwort: x =

P. V 3    a P„ V 3

2Ä-’y=^Ä-Uad* = worin R — P, -f- Pg -(- P₃.

177.    Wohin fällt aber A, wenn spezieller Weise die drei Kräfte einander gleich sind?

Antwort: ln den Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

178.    In den Eckpunkten, den Seitenmittelpunkten und dem Durchschnittspunkte der Diagonalen eines Rechtecks, dessen Seiten 90 und 120 Centimeter betragen, wirken in fortlaufender Reihenfolge die neun parallelen Kräfte von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 Kilogramm. Es sollen die Abstände x und y des Kräftemittelpunktes von der ersten und letzten Rechteckseite berechnet werden.

Resultat: x — 76 cm, y — 41 cm.

179.    Zehn Kräfte von 2, 4, 6, 8, 10, 9, 7, 5, 3 und 1 Kilogramm wirken in paralleler Richtung und nach derselben Seite; ihre Angriffspunkte sind fest verbunden und haben von einer durch das System gelegten Ebene die bezüglichen senkrechten Abstände von 10, 5, 20, 15, 6, 40, 0, 48, 10 und 40 Centimeter, die ersten fünf liegen vor, die übrigen hinter der Ebene. Man ermittle die Resultante R, ihr statisches Moment in Bezug auf die erwähnte Ebene und ihren Hebelsarm x.

Lösung: R — 55, Rx = — 330, x — — 6 cm, der Kräftemittelpunkt liegt also hinter der Momentenebene.

180.    Acht parallele und nach derselben Seite hin wirkende Kräfte von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Kilogramm ergreifen die Ecken eines Würfel von 9 dm Seite in der aus Fig. 17 ersichtlichen Anordnung. Man lege sich nun drei zu einander lotrechte Ebenen an, von welchen jede den Würfel halbiert und berechne mit Hilfe des Momentsatzes die drei Abstände x, y und z, des Kräftemittelpunktes, indem man die Momente jener Kräfte, deren Angriffspunkte in Beziehung auf die angenommenen Ebenen rechts, vorne und oberhalb sich befinden, positiv, demgemäss die Momente aller übrigen Kräfte negativ setzt.

Lösung: x = o, y — — 1 dm und z = — 2 dm; der Angriffspunkt der resultierenden Kraft liegt also in der ersten, links der zweiten und unter der dritten Ebene.

181.    Wohin würde aber der Mittelpunkt der acht Kräfte zu liegen kommen, wenn letztere gleich gross wären?

Antwort: In den Durchschnittspunkt der drei Momentenebenen (Mittelpunkt des Würfels).

§ 55.

Gleicligewichtsbedingung für parallele Kräfte, welche an einem festen Körper wirken.

Aus Formel 46 des § 53 folgt für den Hebelsarm der Resultante eines Systems paralleler Kräfte

S(Pp)

Suchen nun die einzelnen Kräfte die Momentenebene in verschiedenem Sinne zu drehen, so stellt der Zähler des Bruches rechter Hand eine algebraische Summe dar, und es ist dann spezieller Weise möglich, dass ersterer gleich Null wird. Weil aber in diesem Falle auch r verschwindet, so ist

(47.)

£ ( Pp ) = o

die Bedingung dafür, dass der Angriffspunkt der Mittelkraft in der Momentenebene liegt.

Wenn aber jetzt ausserdem die Momentenebene in der Richtung der Resultante feste Stützpunkte findet, so wird offenbar die Wirkung durch Gegendrücke in diesen Unterstützungspunkten aufgehoben, mit

gleich der Summe der abwärts gerichteten Kräfte sein; in der That erhält man durch Subtraktion der letzten von der drittletzten Gleichung X— F = P + Q.

§ 57.

Beispiele.

182.    Auf eine Eisenbahnschiene, welche in ihren Endpunkten .1 und B unterstützt ist, wirkt ausser dem Eigengewicht von 150 kg, welches im Halbierungspunkte C der Schiene angreift, noch eine Last von 600 kg in D. Man berechne die Drücke X und F, welche in den Auflagerpunkten A und B stattfinden unter der Bedingung, dass AB — 4 m und AD— 1 m ist.

Resultate: X — 525 kg, Y — 225 kg.

183.    Ein eiserner Träger von 300 kg Gewicht und 6,1 m Länge ist an beiden Enden auf 10 cm Länge gelagert und trägt zwei Lasten von 1000 kg und 700 kg, deren Angriffspunkte vom linken Endpunkte 85 cm und 125 cm entfernt sind. Welches sind die Reaktionen X und Y, welche in den Mitten der Auflagerflächen wirken?

Antwort: X= 1576 ²/₃ und F = 423 l/s kg.

184.    Wie gestalten sich aber die Resultate der vorigen Aufgabe, wenn der Träger in seiner ganzen Länge noch mit SO kg pro laufenden Mete** belastet hi?

Antwort: A = 1668 kg, Y = 514 ²/₃ kg.

185.    Eine an ihren Enden gelagerte cylindrische Welle von 200 kg Gewicht misst von Mitte zu Mitte der Lagerung 125 cm. Sie ist beansprucht durch vier Kräfte von 2000, 625, 750 und 1200 lg, deren Angriffspunkte von der linken Lagermitte um 25, 40, 50 und 80 cm ab stehen. Man soll die beiden Drücke in den Zapfenlagern bestimmen.

Resultate: X — 3007 kg, Y = 1768 kg.

186.    Eine Radachse (Fig. 20) ist in A und B gelagert, dagegen in 0 und D durch Q = 800 kg und Q' = 450 kg belastet. Man ermittle die Reaktionen X und F in A und B, wenn AC = 1,1 m, CB— 0,9 m und BD — 1 m gegeben sind.

Resultate: X — 135 kg und F = 1115 kg.

187.    Die vorige Aufgabe wurde unter Vernachlässigung des Eigengewichts der Achse gelöst. Was erhält man aber für X und Y unter Berücksichtigung des Achsengewichtes G = 120 kg, wenn dasselbe in einem Abstande BE — 0,75 m links von B wirkt?

Antwort: X — 180 kg und Y = 1190 kg.

188.    Man löse die Aufgabe 186 unter der allgemeinen Annahme, dass A C — a, G B — b und B D = c sei.

b Q — c Q'

a Q + (a -f- b -f- c) Q'

a -f- b

Lösung: X =

Fünftes Kapitel.

Die Lehre vom Schwerpunkte.

§ 58.

Erklärungen.

Denkt man sich einen festen Körper aus zahllosen und folglich verschwindend kleinen Teilchen — materiellen Punkten — zusammengesetzt, so wirkt auf jedes dieser Teilchen eine Kraft, welche nahe am Erdmittelpunkte ihren Sitz hat und Anziehungskraft der Erde oder Schwerkraft genannt wird.

Bei der im Verhältnis zu den Dimensionen eines ii’dischen Körpers ungeheuren Entfernung des Erdzentrums können alle diese Kräfte als vollkommen parallel angesehen werden, und es wirkt daher auf jeden starren Körper ein System unendlich vieler paralleler Kräfte, deren Angriffspunkte untereinander fest verbunden sind und welche sich mithin zu einer Resultante zusammensetzen. Weil die Grösse der letzteren das Gewicht und ihr Angriffspunkt der Schwerpunkt des Körpers heisst, so kann man den Schwerpunkt eines Körpers definieren als denjenigen Punkt, in welchem das Eigengewicht eines Körpers angreift oder auch als den Mittelpunkt aller parallelen Kräfte, welche vom Erdmittelpunkte aus auf die einzelnen materiellen Punkte eines Körpers wirksam sind.

In der Schwerpunktslehre teilt man alle Gebilde ein in Linien,

Flächen und Körper und versteht darunter mathematische Linien, Flächen und Körper, über welchen aber irgend eine Materie ausgebreitet, resp. welche von solcher erfüllt sind. Gewissermassen als Modell einer materiellen Linie könnte ein sehr schwacher unbiegsamer Metalldraht und als materielle Fläche etwa ein dünnes starres Metallblech gelten. Speziell nennt man nun wieder diejenigen materiellen Linien, Flächen und Körper homogen, von welchen gleiche (Längen-, bezw. Flächen-, bezw. Volumen-) Teilchen an allen möglichen Stellen des Gebildes gleich viel wiegen. So wird beispielsweise ein Metalldraht homogen genannt werden dürfen, wenn er überall gleichen Querschnitt besitzt; denn zerschneidet man ihn in lauter millimeterlange oder noch kürzere Stückchen gleicher Länge, so wiegt eines genau so viel wie alle anderen. Wenn man ferner einen homogenen Körper in noch so kleine aber gleiche Teilchen zerlegt, so müssen alle dasselbe Gewicht besitzen. Dagegen nennt man heterogen ein Gebilde, dessen einzelne gleich grosse Teile ihrem Gewichte nach verschieden sind, z. B. ein als Ganzes aufgefasstes Gebäude oder ein aus verschiedenen Metallen gefertigter Gegenstand, ja selbst ein an den einzelnen Stellen ungleich stark gehämmertes Stück Eisen müsste streng genommen als heterogen betrachtet werden.

Schliesslich wäre noch als hierhergehörig zu bemerken, dass eine Ebene, welche durch den Schwerpunkt eines Gebildes hindurchgeht, Schwer ebene und analog eine Gerade, die den Schwerpunkt enthält,. Schwerlinie oder Schwerachse jenes Gebildes genannt wird.

§ 59.

Fundamentalsatz der Schwerpuuktslehre.

Ein für die folgenden Schwerpunktsbestimmungen besonderswichtiger und äusserst fruchtbarer Satz lautet: Jede Symmetrieebene²) eines homogenen Raumgebildes ist in Bezug auf letzteres zugleich Schwerebene.

Beweis: Denkt man sich das betreffende Raumgebilde in zahllose gleiche Massenteilchen zerlegt und nimmt die Symmetrieebene als Momentenebene an, so entspricht jedem Teilchen auf der einen Seite der Ebene ein solches auf der anderen, welches mit jenem gleiches Gewicht und gleichen Abstand, folglich auch gleiches statisches Moment hat. Da die Momente zweier solcher einander gegenüber liegenden Teilchen mit verschiedenen Vorzeichen versehen werden müssen, so ist die Summe der statischen Momente aller Massenteilchen, aus welchen das homogene Gebilde besteht, in Bezug auf die Symmetrieebene als Momentenebene gleich Null, und mithin liegt nach § 55, Beziehung 47, der Angriffspunkt der Resultante aller parallelen Kräfte, dass ist der Schwerpunkt des Raumgebildes, in der Symmetrieebene.

In vorstehendem allgemeinen Satze ist als Spezialfall offenbar auch die Regel enthalten, dass jede ^Symmetrieachse *) irgend welcher ebenen und homogenen Figur gleichzeitig eine Schwerlinie der letzteren darstellt.

§ 60.

Schwerpunkte homogener geradliniger Gebilde.

a) Der Schwerpunkt einer Strecke ist der Mittelpunkt der letzteren.

Beweis: Denn jede durch die Strecke selbst gehende, so wie die in ihrem Mittelpunkte senkrecht errichtete Ebene ist Symmetrieebene,

b) Der Schwerpunkt eines Winkels liegt auf der Vei’bindungseine Symmetrieebene diejenige, welche durch die Axe eines Cylinders oder eines Kegels oder durch den Mittelpunkt einer Kugel gelegt wird und zwar sowohl für die Oberfläche als für das Volumen des betreffenden Körpers; ferner ist jede ebene Spiegelfläche eine Symmetrieebene zwischen einem beliebigen Gegenstände und seinem Bilde. Zwar teilt hiernach jede Symmetrieebene den Körper in zwei gleich grosse Teile, welche letzteren aber nicht notwendig kongruent zu sein brauchen; beispielsweise besteht ein normal gewachsenes und regelrecht stehendes Pferd wohl aus zwei symmetrischen Hälften, letztere können aber absolut nicht zur Deckung gebracht werden.

*) CJnter Symmetrieachse einer ebenen Figur versteht man einfach eine gerade Linie, welche die Figur in zwei kongruente Stücke scheidet.

strecke der Halbierungspunkte beider Schenkel und teilt die erstere im umgekehrten Verhältnis der letzteren.

Beweis: Die Gewichte der beiden Schenkel greifen in deren Mittelpunkten D und E (Fig. 21) an und verhalten sich direkt wie die Längen³), also wie A B \ A C\ mithin liegt nach § 49 der Schwerpunkt S so, dass die Proportion

SD : S E — A C : A B

erfüllt ist.

Konstruktion: Verbindet man den Halbierungspunkt F von B C mit D und E, so schneidet die den Winkel DFE Halbierende die Linie D E im Schwerpunkte S, denn im Dreiecke DEF verhält sich bekanntlich

SD : SE = FD : FE

oder, weil

FD = AE= i A C und FE = A D = \a B

ist:

SD: SE= \ A G : Î- A B = A C : A B,

U    U

wie es sein soll.

c) Der Schwerpunkt eines Dreiecksumfanges ist der Mittelpunkt vom eingeschriebenen Kreise des Dreiecks DEF (Fig. 22), welches die Mitten der Seiten vom ursprünglichen Dreiecke ABC zu Ecken hat.

Beweis: Betrachtet man vorerst den Umfang des Dreiecks zusammengesetzt aus dem Winkel B A C und der Seite B C, so verbindet die Halbierungslinie des Winkels D F E den Schwerpunkt F der Seite B C mit dem Schwerpunkte G des Winkels B A C, enthält also selbst den Schwerpunkt des Dreiecksumfanges. Nimmt man zweitens an, der Dreiecksumfang bestehe aus dem Winkel B CA und der Seite A B, so ist aus gleichen Gründen die den Winkel ED F Halbierende I) H eine Schwerlinie unseres Gebildes, und mithin bezeichnet der Durchschnittspunkt S zwischen F G und D H den Schwerpunkt vom Umfange des Dreiecks ABC.

d) Der Schwerpunkt eines Vierecksumfanges kann ebenfalls als Schnittpunkt zweier Schwerlinien erhalten werden, indem man ihn zweimal in je zwei einander gegenüberliegende Winkel zerlegt und deren Schwerpunkte St und S₂, resp. S₃ und S₄ durch gerade Linien verbindet; der Schnittpunkt zwischen S₂ und S₃ S₄ stellt den Schwerpunkt des Vierecksumfanges dar. Zur Übung führe man die Konstruktion genau aus.

§ 61.

Fortsetzung.

Haben wir im vorigen Paragraphen die Schwerpunkte von homogenen Linien konstruktiv bestimmt, so soll nunmehr auch gezeigt werden, wie die Lösung derselben Aufgabe aut dem Wege der Rechnung erfolgen kann.

Zu diesem Behufe ist es nur nötig eine Momentenebene — für ebene Figuren genügt eine Momentenachse — in zweckmässig gewählter Lage anzunehmen und in Bezug auf dieselbe das statische Moment der Resultante gleich der Summe der Momente aller parallelen Komponenten, das ist hier: das Moment vom Gewichte des Ganzen gleich der Summe der Momente von den Gewichten seiner einzelnen Teile zu setzen.

Hierbei ist es auch erlaubt, statt der Gewichte die Längen der vor kommenden Linien in Rechnung zu bringen; denn besteht ein Liniengebilde von der Gesamtlänge L aus n Teilen mit den Längen

L — \ +4+4 + • ■ • + ln = A (J), bezeichnen wir ferner den Abstand des Gesamtschwerpunktes von einer bestimmten Ebene mit x, die Schwerpunktsabstände der einzelnen Teile von derselben Ebene mit xv x₂, x₃, . . . xn und das Gewicht der Längeneinheit mit y, so gilt nach dem Momentensatze (§ 54, Formel 42 oder 46) die Gleichung

Lyx = \ yxr + l₂yx₂ + 4 /x₃ + . . . + und hieraus folgt nach Division durch y

L x = 11 x₄ “I⁻ /g x₂ —(— l₃ x₃ —f— . . . —J— ln xn = A (Ix).

Weil ein Punkt in der Ebene durch seine Abstände von zwei

gegebenen Geraden bestimmt ist, so hat man für ebene Gebilde das

vorstehend erläuterte Verfahren im allgemeinen zweimal anzuwenden. Es seien z. B. die drei Seiten eines Dreiecks (Fig. 22) B C •— a, CA = b, AB = o und die zu b gehörige Höhe B K = h. Bezeichnen wir dann den Schwerpunktsabstand des Dreiecksumfangs von b mit x, so haben wir in Bezug auf A C als Momentenachse

(a + b -j- c) x — a •

-f- b . o + c •

to 55-

und mithin

a -f- c

a + b -f- c 2*

Analog ergiebt sich, wenn man A B zur Momentenachse wählt, die Entfernung des Schwerpunktes von ersterer

Je

a + b

a + b 4- e 2’ worin Je die auf der Seite c stehende Dreieckshöhe bezeichnet.

Dagegen reicht bei symmetrischen ebenen Gebilden zur Ermittelung des Schwerpunkts ein einziger Abstand und demgemäss auch lediglich eine Momentengleichung aus, da ja ersterer in der Symmetrieachse liegt. So sei das durch Figur 23 dargestellte Liniengebilde homogen und für AB symmetrisch. Setzen wir nun AB = a, CD = b, EF = c und den Schwerpunktsabstand A S = x, so folgt aus der Gleichung der auf CD bezogenen Momente

a + 2 c a —|— b —j— c    2

wodurch die Lage des Schwerpunktes völlig bestimmt ist.

§ 62.

Beispiele.

189. Wo liegt der Schwerpunkt eines rechten Winkels mit den Schenkeln a und b?

Antwort: Er hat von b und a die Abstände

a a    b

a 4- b

a -j- b

• — und it —

2 J

190.    Die für AB symmetrische Figur 24 besteht aus den Strecken A B — a, CE — D F = b und CD = c; man berechne den Schwerpunktsabstand A S — x.

Resultat:

a² -j- 2 b²

X 2 (a + 2 5 -f- o)'

191.    Was erhält man aus der letzten Formel für die Zahlenwerte a —- 2 cm, b = 1 cw und c = 6 cm?

Antwort: x = 3 mm.

192.    Welcher Wert ergiebt sich aber für c = b = a?

g

Antwort: x = — a.

8

193.    Ein Gebilde ist zusammengesetzt aus einer Strecke CD = 6 a, eines in derem Mittelpunkte A errichteten Lotes A B — 4 a und den Verbindungsgeraden B C und B D. Wie weit ist der Schwerpunkt von A entfernt?

Antwort: Um x — 1,4 a.

194.    Man ermittele die Schwerpunktslage einer Figur, welche aus dem Umfange eines gleichseitigen Dreiecks von der Seite a und einer Höhe besteht.

zugehörigen Seite um x —

a = 0,321a entfernt.

Lösung: Der Schwerpunkt liegt in der Höhe und ist von der

7 V3 + 2

44

§ 63.

Schwerpunkt eines homogenen Kreisbogens.

Wie schon aus dem Bisherigen klar hervortritt, giebt es zwei Grundmittel, mit Hilfe welcher der Schwerpunkt eines homogenen Gebildes ermittelt werden kann, nämlich erstens die Feststellung etwaiger Symmetrieebenen, resp. Symmetrieachsen, und, wenn die letzteren gar nicht oder doch nicht in genügender Anzahl vorhanden sein sollten, die Zerlegung des Gebildes in einzelne Bestandteile, deren Schwerpunkte man bereits kennt.

Was nun irgend einen Kreisbogen A CB (Fig. 25) anlangt, so ist zwar zunächst derjenige Radius O C — r, welcher die Sehne A B = s und damit zugleich die Länge b des Bogens halbiert, eine Symmetrie- und demnach auch Schwerachse; um aber den Abstand

0 S = x des Schwerpunktes von 0 zu erhalten, sind wir genötigt, den Bogen A C B in unendlich viele, am besten gleich lang gedachte, Teilchen zu zerlegen. Diese letzteren, welche wir Bogenelemente nennen wollen, sind dann bei ihrer verschwindenden Länge als geradlinig anzusehen, und es kommt jetzt darauf an, einen mathematischen Hilfssatz zu entwickeln, welcher von jedem solchen Kreisbogenstückchen gilt.

Zu dem Ende greifen wir ein Kreisbogenelement G E an beliebiger Stelle heraus, ziehen durch 0 eine Parallele MN zu AB, ferner EF parallel CO, GII parallel AB und verbinden E mit 0. Hierdurch entstehen zwei bei F und II reehtwinkliche Dreiecke, deren Hypotenusen E 0, GE, sowie deren Katheten E F, GH lotrecht zu einander sind, sodass der Proportion

OE: EF^ EG : GH

Setzen wir hierin den Badius OE = r, das Bogen

genügt wird.

element E G = e, die Projektion des letzteren auf die Sehne, das ist

GH — G' II' = p, sowie seinen Abstand von MN, nämlich EF= y, so folgt

und hieraus

r :y = e :p

e y =■ rp.

Bezeichnen wir nun alle Elemente des Kreisbogens vom Punkte A bis zum Punkte B fortlaufend mit

' ‘ *>

ferner ihre bezüglichen Abstände von der Geraden MN mit

Vv y2’ y%' • • •> y™

so ist in Bezug auf MN als Momentenachse das statische Moment des ganzen Kreisbogens gleich der Summe der Momente aller seiner Teile, also

bX ßj yj —(—    ~^3 “b3 ~I⁻ ■ • * —1~" ®nV n E (ßy\

Jetzt können wir aber diese Summation unendlich vieler Grössen mit Hilfe der oben entwickelten und allgemein gütigen Formel ey — rp wirklich ausführen; denn sind die Projektionen aller Bogenelemente auf die Sehne A B der Reihe nach

V\i P31 • • •) Pn 1

so haben wir

e₁y₁ — rpv e₂y₂ — rp₂, e₃y₃ = rp₃, . . ., enya = rpn,

folglich

bx — rp₁ -f- rp₂ -f- rp₃ -f- • • • + rPn = 2 (rp) = r (p₁ + p₂ +    + . . . +!»*)=

und mithin, weil offenbar

+ P₂ + Ps + • • • + P« — ^0») =' s

ist,

&a; = rs

oder

rs

(48.)

als Schwerpunktsabstand eines Kreisbogens vom Mittelpunkte des letzteren. Speziell für s — 2 r und b — rn entsteht aus 48

7T

(49.)

der Schwerpunktsabstand des halben Kreisumfanges vom Centrum

Die Formel 48 kann übrigens für die Anwendung wesentlich bequemer gestaltet werden, wenn man den Zentriwinkel A OB — cc einführt; denn dann hat man einerseits b = r cc und andererseits,

weil Winkel G O B — ^ ist,

u

~ = sin

BD

OB 2 r

mithin s —

. » 2 r sm — 2

und Nr. 48 geht über in

ö |<N

x = —• sin

eine Formel, bei deren Gebrauch man wohl beachte, dass der Winkel cc als Divisor stets im Bogenmass zu nehmen ist.

§ 64.

Beispiele.

195. Es sollen die Schwerpunktsabstände von sechs Kreisbögen mit dem gemeinschaftlichen Radius r und den Zentriwinkeln 60 °. 90°, 120°, 240°, 270°, 300° angegeben werden.

Resultate:

— = 0,995 r,

2 rV 2

TC

0,9 r,

3 rV3

2 TC

= 0,827 r,

3rV3

4 TC

0,4135 r,

2rV2

3 TC

r

0,3 r und -— 2 TC

0,159 r.

196.    Ein Kreisbogen ist gegeben durch seinen Halbmesser von 789 Millimeter und den Zentriwinkel a — 124° 18\ Welches ist der Abstand des Schwerpunktes vom Mittelpunkte?

Antwort: x — 643,13 mm.

197.    Ein homogenes Gebilde besteht aus einem halben Kreisumfang und einem, den letzteren halbierenden Radius. Wie weit ist der Schwerpunkt vom Zentrum entfernt?

tc -)- 1    2

198. Wie gestaltet sich aber das Resultat, wenn noch der die Endpunkte der halben Kreisperipherie verbindende Durchmesser hinzukommt ?

Antwort: x

TC —j-" 3

Antwort: x — —

199. Um welche Strecke y müsste in Aufgabe 197, resp. 198 der Halbmesser nach der dem Halbkreise entgegengesetzten Seite verlängert werden, damit der Schwerpunkt des Ganzen in das Zentrum fällt? Antwort: Um y — rV5.

§ 65.

¹

Sollte dies nicht ohne weiteres einleuchten, so stelle man sich eine mittels Scharnieren um eine horizontale Achse drehbar gemachte ebene Tafel vor, welche vermöge ihres Eigengewichts eine vertikale Lage annehmen und auf Grund des letzteren, sowie der in den Scharnieren stattfindenden Reibung jeder Bewegung widerstreben wird. Schlägt man jetzt einen Metallstift senkrecht in die Ebene und hängt an sein freies Ende ein Gewicht P, so wird das letztere die Tafel aus ihrer Anfangslage herausdrehen und zwar wird die Wirkung, das ist hier der Ausschlagwinkel, um so grösser sein: 1) je grösser man das angohängte Gewicht nimmt und 2) je weiter der Stift aus der Tafel hervorragt.

²

Die Symmetrie ebene einer Raumfigur ist eine durch letztere hindurch gelegte mathematische Ebene von folgender charakteristischen Eigenschaft: Fällt man von irgend einem Punkte der Raumgrösse ein Lot auf die Ebene und verlängert dasselbe nach der andern Seite um sich selbst, so trifft man stets wieder auf einen Punkt des Gebildes. So ist z. B.

³

Bezeichnet man nämlich die Gewichte zweier beliebiger homogener Linien mit Cf₁ und G₂, ihre Längen mit und I/₂, sowie das Gewicht pro Längeneinheit mit y, so hat man Gt = y Lv G₂ = y L.₂ und mithin Gyi G₂ = y Lj : y L₂ —    : L₂.

Schwerpunkte homogener ebener Flächen.

a) Der Schwerpunkt einer Dreiecks fläche liegt im Durchschnitt der die Seiten halbierenden Transversalen.

Beweis: Denkt man sich die Höhe B G — h des Dreiecks ABC (Fig. 26) in zahllose gleiche Teile geteilt und durch die Teilpunkte Parallele zu A C gezogen, so zerfällt die ganze Dreiecksfläche in lauter homogene Strecken, deren sämtliche Schwerpunkte auf derjenigen Transversale B E liegen, welche alle halbiert, und mithin ist

BE Schwerlinie.¹) Ans gleichen Gründen enthält aber auch die Transversale A D, welche B C halbiert, den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC und obiger Satz ist bewiesen.

Zusatz: Der Schwerpunkt S einer Dreiecksfläche ist von jeder Seite um den dritten Teil der zugehörigen Höhe, also um SE =

co

(51.)

entfernt; denn aus der Planimetrie ist bekannt, das sich ES : EB — 1 : 3

verhält. Nun gilt wegen Ähnlichkeit der beiden Dreiecke ES F und EBO die Proportion

ES: EB — SF-.BG,

mithin

1:3 — x : h,

woraus ohne weiteres die Beziehung 51 folgt.

b)    Der Schwerpunkt eines Parallelogramms ist der Schnittpunkt beider Diagonalen, weil letztere sich gegenseitig halbieren und folglich jede die Schwerpunkte der beiden Dreiecke verbindet, in welche das Parallelogramm durch die andere Diagonale zerlegt wird.

c)    Sind AD — a, B O ~ b die pWallelen Seiten und GH — h die Höhe eines Trapezes AB CD (Fig. 27), so liegt der Schwerpunkt S auf der Verbindungslinie EF der Mittelpunkte beider paralleler Seiten in einem Abstande G S —

(52.)

ci -f- 2 b

a -f- b

von der Seite AD = a.

Beweis: Der erste Teil des Satzes folgt aus dem Umstande, dass E F jede Parallele zu A D halbiert. Zieht man weiter A G und nimmt A D als Momentenachse an, so ist für das Dreieck ABC der

2 . 1

Schwerpunktsabstand KN=-h, der Flächeninhalt ~ — bh,

3    2

— bli¹*) und für das Dreieck A CD der o

Schwerpunktsabstand JP ⁼ \h, der Inhalt = ~ ah, demnach das sta-

Ö    Li

tische Moment ~^ah². Weil nun ferner das auf dieselbe Axe AD o

a -f- b

—-— hx ist, so gilt nach § 53

Li

ah² bh²

das statische Moment

bezogene Moment des Trapezes — die Gleichung

a-à:~hx

2

somit

deren Auflösung für x den obigen Wert liefert.

Konstruktion: Verlängert man B C um BM—a, AD um DL = b und verbindet L mit M, so wird EF von L M im Schwerpunkte S des Trapezes geschnitten; denn aus der Ähnlichkeit der Dreiecke 8EL und SFM folgt die Verhältnisgleichheit der Grundlinien und Höhen

EL : SG — FM: SH

oder

( + b):x

8 CM

(*+ ) : (A — x)

Cr*

und hieraus

a + b ' 3’

wie es Formel 52 verlangt.

d) Der Schwerpunkt eines Kreisausschnittes liegt auf der Halbierungslinie OC des Zentriwinkels A 0 B = a (Fig. 28) in einem Abstande O S =

Ar . a

-— sm —

2’

(53.)

vom Kreismittelpunkte 0, wenn r den Halbmesser des Sektors bezeichnet.

*) Wie in § 61 für homogene Linien kann ohne Schwierigkeit bewiesen werden, dass auch für homogene Flächen an die Stelle der Gewichte die Inhalte gesetzt werden dürfen.

Beweis: Denkt man sich den Bogen AB wiederum in unendlich viele gleiche Teile geteilt und jeden Teilpunkt mit 0 verbunden, so zerfällt die Sektorfläche in kongruente und daher gleich viel wiegende gleichschenklige Dreiecke mit derselben Höhe r und der gemeinschaftlichen Spitze 0, deren Schwerpunkte sämtlich um

Oa' = OB' = —r

von 0 entfernt sind. Wenn man sich nun das Gewicht jedes dieser Dreiecke in seinen Schwerpunkt konzentriert vorstellt, so entsteht ein

homogener Kreisbogen vom Radius und dem Zentriwinkel a,

O

dessen Schwerpunkt S zugleich der Schwerpunkt des Kreisausschnitts

ist, und man erhält mithin x, wenn man in 50 — r für r setzt, hier-,

o

durch ergiebt sich aber die Formel 53. Mit Einsetzung des speziellen Wertes « = 7zr = 180oin Nr. 53 folgt

(54.)

3 n

der Schwerpunktsabstand einer Halbkreisfläche vom Zentrum.

§ 66.

Beispiele.

200.    Den Schwerpunkt eines beliebigen Vierecks durch Zerlegung in Dreiecke konstruktiv zu ermitteln.

201.    Ebenso für eine beliebige Fünfecksfläche, indem man letztere durch Diagonalen zweimal in je ein Viereck und ein Dreieck zerfällt.

202. Man soll den Schwerpunkt eines halben regelmässigen Sechseckes bestimmen, wenn die Teillinie durch zwei Eckpunkte geht.

2

Lösung: Er ist von letzterer um x ■= — a V3 entfernt, unter a die Seite des regulären Sechsecks verstanden.

203. Eine Kreissektorfläche ist bestimmt durch r = 333 mm und a = 77°; man berechne den Abstand des Schwerpunktes vom Zentrum.

Resultat: x = 205,67 Millimeter.

204.    Desgleichen, wenn r ~ 0,876 Meter und « = 192° 46' ist. Resultat: x — 0,345 Meter.

205.    Die Figur 29 besteht aus zwei Rechtecken mit den Seiten JG = a, JK = CE = b und CD — c und ist in Bezug auf A B symmetrisch; wie weit ist der Schwerpunkt von JK entfernt?

''Antwort: Um x —

a² 2 ac bc

2 (a -f- c)

206. Wie gestaltet sich das letzte Resultat, wenn beide Recht

ecke kongruent sind?

Antwort: x — -

3 a -f- b

207. Ein Trapez AB CD mit den parallelen Seiten AD = a und B C —b hat zwei rechte Winkel D A B und ABC-, welches

ist die Entfernung des Schwerpunktes von AB¹?

Antwort: x =

a¹ -f- ab -f- b²

3 (a + b) '

208. Ein reguläres Sechseck von der Seite a wird durch eine zu zwei Seiten senkrechte Gerade halbiert; in welcher Entfernung x von letzterer liegt der Schwerpunkt einer solchen Hälfte?

7

Antwort: In der Entfernung x = —a.

1 O

209.    Wo liegt der Schwerpunkt einer homogenen Fläche, welche aus einem Halbkreise vom Durchmesser A B — 2 r und einem gleichschenkligen Trapeze mit den parallelen Seiten AB = 2r, CD = r und der Höhe OE — r zusammengesetzt ist?

Antwort: Im Mittelpunkte 0 des Halbkreises.

210.    Ein Kreisringstück ist gegeben durch die Radien R, r und den Zentriwinkel 2 «, es soll der Abstand x des Schwerpunktes vom

Mittelpunkte angegeben werden.

2 R² -j- Rr -j- r² sin a

Antwort: x — — o

§ 67.

Schwerpunkte homogener krummer Flächen.

a) Der Schwerpunkt eines Zylindermantels ist der Mittelpunkt seiner Achse.

Beweis: Denn drei zu einander lotrechte Ebenen, von welchen die beiden ersten durch die Achse selbst und die letzte durch den Halbierungspunkt der Axe hindurchgehen, sind Symmetrie- und folglich auch Schwerebenen; dieselben schneiden sich aber im genannten Punkte.

b) Der Schwerpunkt eines Kegelmantels liegt auf der Achse des letzteren und ist von der Basis um den dritten Teil der Höhe entfernt.

Beweis: Teilt man die Peripherie des Grundkreises in unzählige gleiche Teile und verbindet jeden Teilpunkt mit der Spitze D des Kegels (Fig. 30), so zerfällt die Kegelmantelfläche in zahllose kongruente gleichschenklige Dreiecke. Die sämtlichen Schwerpunkte der letzteren bilden aber eine homogene Kreislinie, welche jede Seitenlinie HD des Kegels in dem Verhältnisse

B B' : BD — 1 : 3

teilt und deren Zentrum S zugleich der Schwerpunkt des Kegelmantels ist. Zieht man jetzt SE // DB und setzt zur Abkürzung C S — x, CD — h, so besteht wegen Ähnlichkeit der beiden Dreiecke CES und CBD die Proportion

x : h — B B' : BD => 1 : 3,

woraus folgt

(55.)

c) Der Schwerpunkt eines Kegelstumpfmantels mit den beiden Radien R, r und der Höhe h liegt auf der Achse und zwar in einem Abstande

R + 2r

-SS ICO

(56.)

vom Mittelpunkte des Kreises vom Radius R, gleichgiltig, ob R grösser oder kleiner als r sei.

Beweis: Wir denken uns eine der beiden Kreisperipherien in unendlich viele (n) gleiche Teile geteilt und durch jeden Teilpunkt, sowie durch die Axe Ebenen geführt. Hierdurch zerfällt die Kegelstumpfmantelfläche in n unter sich kongruente Trapeze mit den beiden parallelen Seiten

2rn

2 Rn _

——» o —

und der Höhe s (Seitenlinie des Kegelstumpfs), folglich nach Nr. 52 mit dem Schwerpunktsabstande

OOj Co

jco

a -f- 2 b a -j- b

B + 2r

von der Seite a (Fig. 31). Die Schwerpunkte aller dieser Trapeze bilden auf dem Kegelstumpfmantel eine homogene Kreisperipherie, deren Mittelpunkt S identisch mit unserem Schwerpunkte ist. Ziehen wTir nun D N und B L parallel C M, so verhält sich

D N : B L = A D : AB

oder, weil UN— S M = x, BL — C M — h, A D — % und A B — s ist,

x : h = % : s.

Hieraus folgt

x — —z,

und mit Einsetzung des obigen Wertes von z ergiebt sich Formel 56.

d) Der Schwerpunkt einer Kugelzonen fläche liegt in der Mitte ihrer Axe.

Beweis: Zerlegen wir die Höhe der Kugelzone in zahllose gleiche Teile und denken uns durch sämtliche Teilpunkte ein System von Ebenen lotrecht zur Höhe, so zerfällt die Kugelzonenfläche in unendlich viele Kugelzonen, welche alle dieselbe verschwindend kleine Höhe d und einen gemeinschaftlichen Kugelradius r, folglich auch den gleichen Flächeninhalt 2rnö und demgemäss gleiches Gewicht besitzen. Denkt man sich aber jetzt die Gewichte dieser Zonen in ihre Schwerpunkte, das sind ihre Mittelpunkte, vereinigt, so entsteht eine homogene Linie²), welche genau mit der Achse der Kugelzone zusammenfällt und deren Mittelpunkt daher den Schwerpunkt der letzteren darstellt.

Zusatz. Das vorstehend Gesagte gilt ganz offenbar auch für die Kugelkalotte und mithin ist der Schwerpunkt der letzteren der Halbierungspunkt ihrer Axe.

§ 68.

Beispiele.

211.    Wo liegt der Schwerpunkt eines zylindrischen, oben offenen Gefässes, welches aus überall gleich dickem Metallblech besteht und durch seinen Radius r, sowie seinen Halbmesser r bestimmt ist?

2 h -f- r

Antwort: Auf seiner Achse in einer Entfernung x — vom Boden.

212.    Man bestimme für einen Kegelstumpfmantel den Schwerpunktabstand x von der kleinen Grundfläche, wenn R == 5 a, r = 2 a und h — 3,5 a gegeben sind.

Resultat: x — 2a.

218. Ein homogenes Blechgefäss wird aus einem Kegelstumpfmantel mit den Radien R — 7 a, r — 3 a und der Höhe h — 3 a, sowie aus einer Kreisfläche mit dem Radius r gebildet; es ist der Abstand x des Schwerpunktes von der Bodenfläche anzugeben.

Resultat, x =

ÜT! oo

<X>I Ot

a.

214.    Desgleichen, wenn die seitliche Wandung eine Zone mit

dem Kugelradius r, sowie der Höhe ~r und der Boden ein Kreis

mit dem Durchmesser r ist.

Resultat: x —\r.

5

215.    Ein kesselförmiges Gefäss besteht aus einer Kugelhaube

mit dem Radius r, sowie der Höhe —r und einem sich tangential

~    r

anschliessenden Kegelstumpfmantel von der Höhe man bestimme

U

die Entfernung x des Schwerpunktes S vom tiefsten Punkte der Kugelhaube.

41

Resultat: x — — r.

§ 69.

Schwerpunkte von Prisma und Zylinder, Pyramide und Kegel.

a)    Der Schwerpunkt eines Prismas halbiert die Verbindungslinie der Schwerpunkte beider paralleler Endflächen.

Beweis: Denn denkt man sich wiederum die Höhe des Prismas in unbeschränkt viele gleiche Teilchen eingeteilt und durch jeden Teilungspunkt eine Ebene parallel zur Grundfläche des Prismas gelegt, so wird letzteres in unzählige unter sich kongruente und daher gleich schwere Platten zerschnitten, deren Schwerpunkte eine homogene Strecke bilden, nämlich die oben genannte Verbindungsgerade; der Mittelpunkt dieser letzteren ist demgemäss zugleich der Schwerpunkt vom Prisma.

b)    der Schwerpunkt eines homogenen Vollzylinders liegt in der Mitte seiner Achse.

Beweis wie unter a.

c)    Der Schwerpunkt einer Pyramide liegt auf derjenigen Geraden, welche die Spitze mit dem Schwerpunkte der Basis verbindet, und teilt diese Verbindungsstrecke in dem Verhältnis von 1:3, so dass der kleinere Abschnitt der dritte Teil ist vom grösseren. Bezeichnet h die Höhe der Pyramide, so ist der Abstand ihres Schwerpunktes von der Basis

X — -T

4'

(57.)

Beweis: Die Richtigkeit vom ersten Teil dieses Satzes dürfte nach dem bisherigen ohne weiteres einleuchten ; den zweiten und dritten Teil der Behauptung wollen wir vorerst für eine dreiseitige Pyramide AB CD (Fig. 32) beweisen.

Betrachten wir ABC als Grundfläche und D als Spitze der Pyramide, so ist der Durchschnittspunkt C der die Gegenseiten halbierenden Transversalen B F, A E der Schwerpunkt des Dreiecks^ B C und folglich G D eine Schwerlinie der Pyramide. Sehen wir dagegen B C D als Basis und A als Spitze an, so ist der Schnittpunkt 0 zwischen den die Seiten B C und C D halbierenden Transversalen D E und B J der Schwerpunkt des Dreiecks B C D und demnach O A eine zweite Schwerachse der Pyramide. Mithin ergiebt sich der

Schwerpunkt der Pyramide als Durchschnitt zwischen G D und O A und es kommt jetzt darauf an, die Lage von S durch eine Proportion auszudrücken. Weil aber nach § 65

EG : EA = EO : El) = 1:3

sich verhalten, so ist Dreieck EGO ähnlich EAD und folglich einerseits GO //A D und andererseits

G O : A B =■■ 1 : 3.

Aus der Parallelität von G 0 und A1) erkennen wir wieder die Ähnlichkeit der Dreiecke S G 0 und SDA und hiermit das Bestehen der weiteren Proportionen

SG: SD = GO: AD = 1:3

oder

SG : (SG + SD) = 1 : (1 + 3)

das ist

SG : DG = 1:4.

Wenn wir schliesslich vom Schwerpunkte und von der Spitze auf die Basis der Pyramide die Lote S L — x und D M — h fällen und ihre Fusspunkte mit G verbinden, so entstehen abermals zwei ähnliche Dreiecke G L S und G M D ; mithin verhält sich

SL : DM— SG: DG oder x : h = 1:4, woraus die Richtigkeit von Formel 57 erhellt.

Davon, dass diese letztere auch für beliebig vielseitige Pyramiden gilt, überzeugt man sich leicht durch folgende einfache Betrachtung: Führt man durch die Spitze und die von einem Eckpunkte ausgehenden Diagonalen der Grundfläche ebene Schnitte, so zerfällt die Gesamtpyramide in lauter dreiseitige Pyramiden mit der gemeinsamen Höhe h. Die Schwerpunkte der letzteren liegen sämtlich in einer

h

— parallel zur Grundfläche der viel-

Ebene, welche in der Entfernung

seifigen Pyramide läuft und mithin liegt auch der Schwerpunkt der letzteren in derselben Ebene.

d) Der Schwerpunkt eines Kegels liegt in der Axe und um den vierten Teil der Höhe von der Basis entfernt; denn ein gerader Kreiskegel kann als regelmässige Pyramide mit unendlich vielen Seitenflächen aufgefasst werden.

§ 70.

Schwerpunkte vom Pyramiden- und vom Kegelstumpfe.

a) Der Schwerpunkt einer abgestumpften Pyramide mit den beiden Grundflächen F, f und der Höhe h steht von F um

(58.)

F+2VF.f-{-3f h

rjß .______:__    .    _

F+VYf+f 4

ab, ob nun F grösser oder kleiner ist als f.

Beweis: Denken wir uns zum Pyramidenstumpfe die Ergänzungspyramide mit der Basis de g Im = f (Fig. 33) und der Höhe CN—z, so verhält sich bekanntlich

F : f = (z -f- h)² : z² oder VF : Vf — (0 -f- h) : z und hieraus folgt nach kurzer Rechnung

h Vf

z - —=--—=_ und z + h —

'Vf + V/

h Vf

Vf + V f ’

Nun muss in Bezug auf die untere Endfläche D E Or L M das statische Moment der grossen Pyramide gleich der Summe der Momente aus dem Pyramiden stumpfe und der kleinen Pyramide, also

z h

z —j— h

(F + V Ff + f) . x 4- ~ f (h +

sein und hieraus ergiebt sich mit Einsetzung der obigen Werte von % und z + h nach kurzer Rechnung

(F + VF f -j- f)x =

F² — AfVFf    3f¹

F — 2 VW + f

oder, weil (F² — éfVFf + 3/²) : (F — 2 VFf + /) = F + 2 VFf +3 f ist :

__F + 2 VFf + Bf h

4’

x~ F+V¥j+ 7

w. z. b. w.

b) Der Schwerpunkt eines Kegelstumpfes liegt in der Achse und zwar um

(59.)

B² + 2 Rr + 3r² h

B² + R r + r²

vom Grundkreise mit dem Halbmesser B entfernt, wenn 72, r die beiden Radien und h die Höhe des abgestumpften Kegels bezeichnen.

Beweis: Denn weil ein abgekürzter Kegel nur ein besonderer Fall des Pyramidenstumpfes ist, so erhält man den Schwerpunktsabstand des ersteren durch Einsetzung von F — B² n und f=r²7i in Formel 58. Nach Reduktion mit n ergiebt sich Formel 59.

§ 71.

Schwerpunkte vom Kugelausschnitt und Kugelabschnitt.

a) Der Schwerpunkt eines Kugelausschnitts vom Kugelradius r und der Kalottenhöhe h ist vom Kugelmittelpunkte

entfernt.

CO 00

(2 r — h)

(60.)

Beweis: Denkt man sich die Kugelhaubenfläche in zahllose gleiche Teile zerlegt und betrachtet jedes dieser Teilchen als Basis einer Pyramide, deren Spitze sich in O (Fig. 34) befindet, so zerfällt der ganze Kugelsektor in unendlich viele Pyramiden mit der gemeinschaftlichen Höhe r. Die Schwerpunkte aller dieser Pyramiden sind

nun nach 57 um

CO iTfl

r von 0 entfernt und bilden daher eine homogene Kugelkalotte mit dem Halbmesser OE — — r und der Höhe

3

E F =■ — h. Weil aber der Schwerpunkt S dieser Kalotte, welcher

4

zugleich Schwerpunkt des Kugelausschnitts ist, in der Mitte der Kalottenhöhe liegt, weil also

ES =

2EF =

so findet sich

OS = OE —

-T* = f (2 r~h)-

b) Der Schwerpunkt eines Kugelabschnitts hat vom Kugelmittelpunkte den Abstand

3    (2 r — h)²

X ~ T ‘ Sr— h ’

worin r und h dieselbe Bedeutung haben, wie vorhin.

Beweis: Ein Kugelsektor kann durch eine Ebene AB (Fig. 35) jederzeit in einen Kugelabschnitt und einen Kegel zerlegt werden. Für letzteren ist nun die Höhe

ÖZ)= O C — CD = r — h,

folglich bestimmt sich nach dem Pythagoras sein Halbmesser D B = y aus der Gleichung

y² = r² — (r — h)² = 2rh — h² = h (2 r — h), mithin ergiebt sich weiter sein Volumen

~ Ti h (2 r — h) (r — h)

O

— y² n. O D =

3 y

und weil ausserdem nach 57 der Abstand des Schwerpunktes von der Spitze

OL —

J OD=^(r-h)

beträgt, so ist das statische Moment des Kegels in Bezug auf eine durch 0 normal zu O C gelegte Ebene

V . OL = — nh (2 r — h) (r — h)².

Ferner haben wir für den Kugelsektor den Inhalt

V" =

~ r² n h,

den Schwerpunktsabstand

OK= -

- (2 r — h)

demnach das auf die Ebene MN bezogene Moment V" . O K == j r² n h (2 r — h) und weil endlich das Volumen des Kugel segments

ih²7v (3 r — h)

O

ist, so gilt die Momentengleichung

~ r² n k ( 2 r — h) = \n h (2r — h) (V — h) -j- — h² n (3 r — h) x, 4    4    o

woraus

durch Auflösung nach x die Formel 61 entsteht.

§ 72.

Beispiele.

216. Ein homogener Körper ist aus einem Prisma und einer Pyramide mit gemeinschaftlicher Basis zusammengesetzt. Wie müssen sich die Höhen von Prisma und Pyramide zu einander verhalten, damit der Schwerpunkt des ganzen Körpers in die Zusammenstossungs-ebene seiner beiden Bestandteile fällt?

Wie 1 : V 6.

Antwort:

217.    Man bestimme für einen abgestumpften Kegel den Schwerpunktsabstand von der grösseren Endfläche, wenn die Höhe h ist und der grosse Radius das zwei-, resp. das vierfache vom kleineren beträgt.

tH <M

Resultate:

9

h, resp. — h.

218.    Welches ist der Schwerpunktsabstand x einer Halbkugel zum Radius r vom Zentram?

Antwort: x = -

CO; CO

- r.

219. Ein Zylinder, eine Halbkugel und ein Kegel haben dieselbe Höhe. Wie verhalten sich die Abstände ihrer Schwerpunkte von den Grundflächen?

Antwort: Wie 4:3:2.

220. Es soll für ein Kugelsegment mit dem Kugelradius r und der Kalottenhöhe h die Entfernung x des Schwerpunktes von der Ebene des Begrenzungskreises angegeben werden.

Resultat: x =

4 r — h h

221. Welchen Wert erhält man für den speziellen Fall h — —?

U

20

Antwort: x — —— r.

222- Wie weit ist der Schwerpunkt einer halben Hohlkugel mit den Radien E, r vom Mittelpunkte entfernt?

CO 100

Antwort: Um x —

R* — r⁴

7³‘

223. Speziell, wenn B — 3r ist?

15

Antwort: x ~ — r.

1 ü

224. An einer Halbkugel vom Radius r und dem spezifischen Gewichte s ist ein Zylinder mit demselben Halbmesser und dem spezifischen Gewichte y befestigt. Welche Länge x muss der Zylinder haben, damit der Schwerpunkt des ganzen Körpers mit dem Kugelmittelpunkte zusammenfällt?

rY±-.

f 2 y

Antwort: Die Länge x =

225.    Was ergiebt sich für x, wenn die Halbkugel aus Stahl vom spezifischen Gewicht 7,68 und der Zylinder aus Korkholz vom spezifischen Gewichte 0,24 besteht?

Antwort: x = 4r.

226.    Man löse die beiden letzten Aufgaben für den Fall, dass an der Halbkugel statt des Zylinders ein Kegel angebracht sei.

Resultate: x —

= r V96 = 9,798 r.

§ 73.

Yon den verschiedenen Gleichgewichtszuständen der Körper.

Wie bereits erläutert wurde, ist das Gewicht jeden Körpers eine Kraft, welche im Schwerpunkte angreift und vertikal abwärts wirkt. Findet nun die durch den Schwerpunkt gehende lotrechte Gerade feste Unterstützung — sei es, dass der Körper in einer durch die gedachte gerade Linie gehenden Achse aufgehängt ist oder aber mit einer senkrecht unter dem Schwerpunkte liegenden Stelle auf einer horizontalen Ebene ruht —, so äussert sich das Gewicht durch einen Druck auf den Stützpunkt und wird nach dem zweiten Grundgesetz durch einen gleich grossen Gegendruck aufgehoben, der Körper befindet sich also im Gleichgewichte.

Wenn jetzt dieser Körper durch irgend eine seitlich wirkende Kraft etwas aus seiner Lage herausgebracht wird, so kann der Schwerpunkt hierdurch entweder höher oder tiefer zu liegen kommen oder aber in seiner ursprünglichen Lage verbleiben, im letzteren Falle also entweder seine Lage gar nicht ändern oder sich auf einer horizontalen Linie bewegen.

Nach Wegfall der das Gleichgewicht störenden Kraft wird der Körper im zuerst genannten Falle in seine Anfangslage zurückkehren

(Fig 36 a u. b), und man sagt dann; er war im stabilen Gleichgewichte. Im zweiten Falle sucht sich der Körper eine neue Gleichgewichtslage, und man nennt sein ursprüngliches Gleichgewicht ein labiles (Fig. 37 a u. b). Im dritten Falle ist der Körper in jeder Lage sofort wieder im Gleichgewicht, letzteres war und ist ein indifferentes (Fig. 38 a u. b).

Hiernach ist z. B. im indifferenten Gleichgewicht jede auf einer horizontalen Ebene ruhende homogene Kugel, ferner jeder mit einer Seitenlinie aufliegende homogene Zylinder oder auch Kegel, und irgend ein mit einer Fläche auf horizontaler Ebene stehende Körper befindet sich in stabilem oder labilem Gleichgewichte, jenachdem der Fusspunkt des vom Schwerpunkte auf die Unterstützungsfläche herabgelassenen Lotes innerhalb oder auf die Begrenzungslinie der letzteren fällt.

§ 74.

Beispiele.

227.    Ein aus einer Halbkugel vom Radius r und aus einem Zylinder von gleichem Radius und der Höhe x zusammengesetzter homogener Körper ruht mit dem tiefsten Punkte der Halbkugel auf einer Horizontalebene, so dass die Achse des Körpers vertikal gerichtet ist. Bei welchem Werte von x herrscht stabiles, wann labiles und wann indifferentes Gleichgewicht?

Antwort: Je nachdem x — V2 ist.

228.    Wie gestalten sich aber die Bedingungen, wenn an der Halbkugel statt des Zylinders ein Kegel befestigt ist?

Antwort: x 5> r V 3 .

229.    An eine bleierne Halbkugel vom Radius r ist ein Zylinder aus Korkholz mit demselben Halbmesser konzentrisch angeleimt. Wie lang darf der Zylinder nur gemacht werden, damit sich der Körper aus jeder beliebigen Lage senkrecht aufrichte, wenn die spezifischen Gewichte von Blei und Korkholz 11,35 und 0,24 sind?

Antwort: Nicht über 3,438 r.

230.    Die Achse eines schiefen Zylinders vom Halbmesser r und der Höhe x bildet mit der horizontal aufliegenden Grundfläche einen

Wie gross muss x gewählt werden, damit der Zylinder im labilen Gleichgewichte ist?

Winkel a.

Antwort: a; = 2 rtga.

231. Welchen kleinsten Winkel a darf die Achse eines homogenen schiefen Kegels mit der horizontal stehenden Basis einschliessen, damit letzterer noch im Gleichgewichte sich befindet.

Antwort: Denjenigen, welcher durch die Beziehung tga — ^ bestimmt ist.

¹

Da das Gewicht eines jeden Gebildes im Schwerpunkte angreift, so darf man sich das erstere in den letzteren konzentriert vorstellen, wodurch man statt jenes Gebildes mechanisch genommen einen materiellen Punkt erhält. Die Gewichte der homogenen Strecken, in welche das Dreieck ABC zerlegt wurde, wirken demnach genau so, wie eine gleiche Anzahl materieller Punkte, welche sich auf der Geraden BE in gleichen Abständen aneinander reihen und offenbar eine materielle Linie bilden.

Weil aber die homogenen Strecken ron B aus gegen AC zu immer länger und demnach die materiellen Punkte von B nach E hin immer gewichtiger werden, so stellt BE keine homogene, sondern eine heterogene Gerade dar und es erklärt sich jetzt auch auf diese Weise, warum der Schwerpunkt S des Dreiecks näher an E als an B liegt. Diese A rt der Anschauung wird uns später Dienste leisten.

²

Man vergleiche die Ausführungen in der Fussnote des § 65.

Sechstes Kapitel.

Von den einfachen Maschinen.

§ 75.

Definitionen.

Schon in § 25 wurde der Begriff „Maschine“ festzustellen versucht, jedoch mehr im Hinblick auf ihren technischen Zweck. Rein sachlich könnte man jede Maschine auch bezeichnen als eine Verbindung von festen, beweglichen und unbeweglichen Körpern, an welchen sich zwei oder mehr Kräfte durch Abänderung ihrer Angriffspunkte, ihrer Richtung und Stärke das Gleichgewicht zu halten imstande sind. So ist z. B. ein gewöhnlicher Flaschenzug als Maschine zu betrachten, weil an ihm die Muskelkraft und das Gewicht eines Arbeiters, welche am freien Seilende wirken, einer verhältnismässig grossen, an der unteren Flasche hängenden Last das Gleichgewicht zu halten vermögen.

Jede Maschine heisst nun einfach, wenn in ihr lediglich ein beweglicher Körper vorkommt, oder, was auf dasselbe hinaus läuft, wenn in der ersteren kein Bestandteil selbst wieder Maschine ist. Gewöhnlich zählt man zu den einfachen Maschinen den Hebel, die Rolle, das Rad an der Welle, die schiefe Ebene, den Keil und die Schraube. Als Grundlagen können aber ausschliesslich der Hebel und die schiefe Ebene gelten; denn die Rolle und das Wellrad sind nur besondere Formen des Hebels und der Keil, sowie die Schraube lassen sich leicht auf die schiefe Ebene zurückführen.

§ 76.

Der Hebel.

Es ist dies ein um einen festen Punkt C (Fig. 39) drehbarer Körper, an welchem mindestens zwei Kräfte, z. B. A F — P und B N — Q, wirksam sind. Das Lot, welches vom Drehpunkte auf die Wirkungslinie einer Kraft gefällt werden kann, heisst der Hebels-arm der letzteren, sodass für unseren Fall CD — p der Hebelsarm von P und C E — q derjenige von Q ist. Ferner nennt man das Produkt jeder Kraft in ihren Hebelsarm das statische Moment derselben in Bezug auf den Drehpunkt; man hat also in der Mechanik zwischen statischen Momenten in Beziehung auf eine Ebene, resp. Achse und zwischen solchen in Bezug auf einen Punkt zu unterscheiden. Auch hier hat man die Momente von zwei Kräften, welche den Hebel in entgegengesetztem Sinne zu drehen suchen, mit verschiedenen Vorzeichen zu versehen. Setzt man demnach das statische Moment der Kraft P gleich Pp, so muss dasjenige von Q mit — Qq in Rechnung gebracht werden.

Man kann die Hebel einteilen:

1)    in mathematische und physische, je nachdem man vom Eigengewichte des Hebelkörpers absieht oder dasselbe berücksichtigt,

2)    in geradlinige und Winkelhebel, jenachdem die Kräfte parallel sind oder nicht, jenachdem also die Hebelsarme eine gerade Linie oder Winkel bilden und, wenn nur zwei Kräfte wirken,

3)    in einarmige und zweiarmige Hebel, jenachdem der Drehpunkt innerhalb oder ausserhalb der beiden Punkte liegt, in welchen die Kräfte den Hebel angreifen.

Der Hebel kommt in den mannigfaltigsten Formen zur Anwendung, z. B. als Hebebaum, Wage, Scheere, Bohrer, Pumpenschwengel (zweiarmig), ferner als Schubkarren, Sicherheitsventil, (einarmig), Drücker am Schloss etc. etc.

§ 77.

Gleichgewicht am Hebel.

An jedem Hebel herrscht Gleichgewicht, wenn die algebraische Summe der statischen Momente sämtlicher

am Hebelkörper wirkenden Kräfte in Bezug auf den Drehpunkt gleich Null ist.

Der Beweis dieses ungemein wichtigen Satzes lässt sich zunächst für parallele Kräfte leicht auf die Bedingung 47 des § 55 zurückführen ; denn denkt man sich eine durch den Drehpunkt gehende und zu den Hebelsarmen aller Kräfte senkrechte Ebene, so ist nach obiger Voraussetzung die Summe der statischen Momente in Bezug auf diese Ebene ebenfalls gleich Null und mithin liegt der Angriffspunkt der Resultante in der gedachten Ebene. Da aber letztere durch den Drehpunkt oder die Drehachse des Hebels gestützt wird, so kann keine Bewegung entstehen sondern die Wirkung der Resultante äussert sich blos als einen Druck auf den Stützpunkt des Hebels, welcher der algebraischen Summe aller vorhandenen parallelen Kräfte gleich ist. Trägt z. B. ein in einem festen Scharnier frei beweglicher Stab links vom Drehpunkte die Lasten L, Q und wirkt rechts ausser dem Eigengewichte G des Stabes noch eine Kraft P vertikal abwärts, bezeichnen ferner l, q, a und p die senkrechten Abstände der Wirkungslinien dieser vier Kräfte von der Drehachse, so findet nach vorstehendem Gleichgewicht statt, sobald die Bedingung

Pp -j- Ga — Q q — LI — o

erfüllt ist, und wird hierbei in der Unterstützung ein Druck

D=P+G+Q+L

ausgeübt.

Für Winkelhebel beschränken wir den Beweis obigen Satzes auf den Fall, dass der Hebelkörper von zwei in einer Ebene wirkenden Kräfte A J) — P und BE=Q (Fig. 12) angegriffen wird. Soll hier Gleichgewicht bestehen, so muss die Resultante von P und Q, das ist nach § 48 die Diagonale CL des Parallelogramms FC GL, welches aus den Seiten

CF— A D — P und C G = B E — Q

gebildet ist, oder auch die Verlängerung dieser Diagonale durch den Drehpunkt M des Hebels gehen.

Fällt man jetzt von /'und G die Lote Ff, G g auf CL, ferner MH — p und MI — q

von M senkrecht auf CD, resp. CE und verbindet M mit F und G, so sind wegen

Ff= G g

die beiden Dreiecke CM F und CMC inhaltsgleich, mithin auch, wenn man in denselben G F, bezw. C G als Grundlinien betrachtet : G F . MH= CG . MI

und hieraus ergiebt sich mit Einsetzung der oben stehenden Werte

Pp = Qq

oder

Pp — Qq = o,

die behauptete Gleichgewichtsbedingung. Der Druck in der Drehachse ist auch hier die Resultante CL— M N — R ; bezeichnet man den Winkel PCF, welchen die Richtungen von P und Q ein-schliessen, mit cc, so findet sich, weil    C G L — 180° — cc, ferner

cos (180° — cc) = — cos cc und G L = C F = P ist:

(62.)

R = VP² + Q² + 2 P Q cos ^ wobei aber das Eigengewicht des Hebelkörpes vernachlässigt wurde.

§ 78.

Beispiele.

232.    Unter welcher Bedingung wirkt ein physischer zweiarmiger Hebel genau so wie ein mathematischer?

Antwort: Wenn der Schwerpunkt des Hebelkörpers in der Drehachse liegt.

233.    An den Endpunkten A und B eines gewichtslosen Stabes von der Länge a wirken die beiden Lasten P und Q. In welcher Entfernung von A muss sich der Stützpunkt C befinden, damit Gleichgewicht stattfindet?

PF Q

Antwort: In der Entfernung AC —

234. Eine homogene prismatische Stange CM von der Länge a und dem Gewichte G ist um C drehbar und im Abstande CB — b durch Q belastet. Man bestimme die in A vertikal aufwärts wirkende und zur Herstellung des Gleichgewichtszustandes nötige Kraft P, sowie den im Punkte C heri-schenden Druck P. aQ    G

Resultate: P = —---(- — und P = Q -f- G — P.

b    2

235. Die Länge eines Hebels aus Metall von 12 kg Gewicht und prismatischer Form sei 3 m, sein Stützpunkt von dem mit 80 kg

belasteten Ende 0,6 m entfernt. Welches Gewicht am anderen Ende bringt den Hebel ins Gleichgewicht?

Antwort: 15,5 kg.

236.    Man will einen hartgebrannten Ziegelstein auf seinen Widerstand gegen das Zerdrücken untersuchen und stellt ihn zu diesem Behufe derartig unter einen 3 m langen einarmigen Hebel, dass die obere 20 cm lange and 5 cm breite Ziegelfläche vom Hebelkörper vollständig überdeckt und ihre Mittellinie von der Drehachse um 10 cm entfernt ist, während man das freie Hebelende vermittelst einer Wagschale so lange belastet, bis der Bruch des Ziegels erfolgt. Wenn nun der letztere bei 270 kg Belastung zerdrückt wird, welchen Druck pro qcm kann dann ein Ziegelstein derselben Qualität in der äussersten Grenze vertragen?

Antwort: Einen Druck von 81 kg.

237.    Der Kolben einer Druckpumpe wird vermittelst eines Schwengels durch die Kraft P — 16 kg in Bewegung gesetzt. Wie viel Druck kommt auf den qcm der kreisförmigen Kolbenfläche von 8 cm Durchmesser, wenn die Hebelsarme von Kraft und Kolbenstange 1 m und 15 cm betragen?

Antwort: 2,122 kg.

238.    Die beiden Arme eines Hebelventiles sind 13, resp. 64 cm lang, und die dem Dampfdruck ausgesetzte Fläche des Ventiles hat 21 qcm Inhalt. Mit wie viel kg muss nun das äussere Ende des Hebels belastet werden, wenn sich das Ventil bei 5 Atmosphären Überdruck öffnen soll und das Eigengewicht des Apparats vernachlässigt wird?

Antwort: Mit 21,33 kg.    .

239.    Welches Gewicht dürfte aber blos angehängt werden, wenn man die Eigengewichte der prismatisch geformten Hebelstange und des Ventils, welche 6, resp. 2,5 kg betragen, in Rücksicht zieht?

Antwort: 17,82 kg.

240.    Auf wie viel Atmosphären könnte der Dampfdruck bei der ersten Belastung von 21,33 kg thatsächlich steigen, ehe das Ventil sich öffnen würde?

Antwort: Auf 5,82 Atmosphären Überdruck.

241.    An einem um den Zapfen G drehbaren Winkelhebel hängt eine Last Q mit dem Hebelai'me CB — b und soll im Gleichgewicht erhalten werden von einer am Arme GA = a horizontal wirkenden

Kraft P. Es soll P und der Zapfendruck % in 0 bestimmt werden, wenn die Wirkungslinie vom Eigengewichte G des Hebelkörpers einen senkrechten Abstand CD = c von C besitzt.

Qb + Gc

und der

Resultate: Es ergiebt sich die Kraft P —

Zapfendruck z = VP² -f- (Q + G)².

242.    Man löse die letzte Aufgabe für die besonderen Zahlenwerte Q = 650, G — 150 kg, b — 0,4, a — 0,6 und c — 0,1 m.

Resultate: P — 458^3 kg, % = 922 kg.

243.    Desgleichen, wenn Q — 225, G — 50, b = 9, a ~ 10 und c — 2,5 sind.

Resultate: P= 215 und % — 349 kg.

§ 79.

Stabilität der Körper.

Befindet sich ein fester Körper auf einer (horizontalen oder geneigten) Ebene im stabilen Gleichgewichte, und ist ausserdem ein Verschieben des ersteren in der Richtung der letzteren durch irgend ein Hindernis unmöglich gemacht, so kann dieser Körper durch eine in nicht vertikaler Richtung wirkende Kraft P (Fig. 40) höchstens umgeworfen werden.

Weil nun im Schwerpunkte S das Eigengewicht G des Körpers angreift, so haben wir in letzterem einen Hebel mit der Drehachse, resp. dem Drehpunkte C zu erblicken. Bezeichnen daher GD — a und CB = e die beiden Lote, welche von C auf die Wirkungslinien von P und G gefällt werden können, so herrscht Gleichgewicht unter der Bedingung, dass die Gleichung

(63.)

Pa —- Ge

stattfindet, und es wird demnach ein Umkippen des Körpers eintreten oder nicht, je nachdem

^    Cj o

Pa ^ Ge, folglich P

ist. Man erkennt hieraus, dass die Bestrebung, mit welcher der Körper vermöge seines Gewichtes einem Umstürzen entgegenwirkt, lediglich abhängt von dem Produkte Ge, das ist von dem statischen Momente des Körpergewichtes in Bezug auf die Kippkante. Da aber

das Widerstreben eines Körpers gegen das Umkanten seine Stabilität oder Standfähigkeit (mitunter auch Standfestigkeit) genannt und nach vorstehendem zweckmässig durch das Moment Oe gemessen wird, so ist

(64.)

St — Ge

die Stabilität eines Körpers vom Gewichte G, wenn e den Abstand der durch den Schwerpunkt gezogenen Vertikallinie von der Kippkante bezeichnet. Um Irrtümern vorzubeugen, drücke man stets G in Kilogrammen, e in Metern aus, wodurch man die Stabilität St in Kilogrammmetern erhält.

So besitzt z. B. ein Kegel, dessen Halbmesser r, dessen Höhe h Meter und dessen spezifisches Gewicht y beträgt, das Volumen

— r² 7i h Kubikmeter = —~ r² n h Kubikdezimeter,

3    3

folglich das Gewicht

¹⁰⁰⁰    2 Z, tt-.-i

—-— r* n h y Kilogramm o

und mithin auf horizontaler Ebene die Stabilität St —- Gr oder 1000 „

St — —Q— rA 7i h y Kilogrammmeter, o

Eine Kraft P, welche in der Spitze senkrecht zur Höhe des Kegels wirkt, hat den Hebelsarm h, demnach das Moment Ph und ist also im stände, die Stabilität des Kegels aufzuheben, wenn

Ph > St

oder

1000 3 p > r 71 y•

Für r = 0,1 m und y = 7,5 erhält die rechte Seite vorstehender Ungleichung den Wert 7,854. Wenn folglich P etwas grösser als 7,854 hj ist, so wird der Kegel umgeworfen, wie hoch er auch sei.

hl Kubikmeter — 500 (a -f b) hl Kubikdezimeter.

Ferner habe eine Mauer von der Länge l und dem spezifischen Gewichte y einen trapezförmigen Querschnitt mit den parallelen Seiten AB = a, CD — b und der Höhe BC — h (Fig. 41), sämtliche Dimensionen in Metern verstanden. Dann ist zunächst der räumliche Inhalt dieser Mauer a + b

und ihr Gewicht

G — 500 (a -f- b) hl y Kilogramm.

Andererseits hat man nach dem Resultate der Aufgabe 207 a² + ab + b²

BE —

3 (a -f- b)

Meter

und weil offenbar

2 a2 + 2 ab — b2 3 (a +'&)

Meter

AE — a — BE —

ist, so ergiebt sich leicht

St = G • BE =

— (a² ab b²) hl y Kilogrammmeter,

O

die Standfähigkeit der Mauer gegen das Kanten um B, sowie

St' = G ’ AE =

500

-— (2 a²    2 ab — b²) hly Kilogrammmeter,

ü

die Stabilität derselben Mauer gegen das Kanten um A.

Wäre beispielsweise a = 0,8, b — 0,5, h — 2, l 6 und y — 2,4, so würden wir

St — 6192 und St' — 8784 kym

erhalten.

Zum Schlüsse sei noch erwähnt, dass von dem vorstehend definierten Begriffe wohl zu unterscheiden ist die sogenannte dynamische oder Arbeitsstabilität, worunter man die zum Umstürzen eines Körpers erforderliche mechanische Arbeit zu verstehen hat. Wird nämlich ein Körper um die Kante C (Fig. 42) so weit gedreht, bis sein Schwerpunkt lotrecht über der Drehachse liegt, so bedarf es hierzu einer Arbeit, welche dem Produkte aus dem Gewichte G des Körpers in die Hubhöhe D S' = s seines Schwerpunktes gleich ist ; man hat daher zunächst die Arbeitsstabilität

A= Gs

zu setzen. Bezeichnen aber A S — d den Abstand des Schwerpunkts von der Standebene und A C — e, wie früher, die Entfernung der durch S gehenden Vertikalen von der Kippkante, so erkennt man leicht aus der Figur die Richtigkeit der Beziehungen

CS' = CS = Vd² + e², CD = A S — d

und

D S' = CS' — CD,

mithin auch die Gültigkeit der Formel

₅ = VdÄ~+~T² — d.

Hierdurch erhalten wir die Arbeitsstabilität

(65.)

A = 0 0/d² + e² — d), worin wieder O in Kilogrammen, d und e in Metern auszudrücken sind.

Beispielsweise ist für ein rechtwinkliges Parallelepipedon aus Granit mit dem spezifischen Gewichte y — 2,5, dessen Basis ein Quadrat von der Seite a = 0,72 nt — 7,2 dm und dessen Höhe h — 1,54 m — 15,4 dm sind, zunächst das Gewicht

G = n² h y = (7,2)² • 15,4 • 2,5 = 1995,84 hg.

Weiter ist in diesem Falle

= 0,77 m und e =    — 0,36 m,

U    Li

mithin

V d² + e² = 0,85 m

und folglich

A = 1995,84 • 0,08 = 159,6672 mkg, die dynamische Stabilität des Parallelepipedons, welches mit seiner quadratischen Basis auf horizontaler Ebene steht.

W enn dagegen das erstere mit einer rechteckigen Seiten fl äche aufliegt, so haben wir

— = 0,77 m

Z

a ^ ^    _    h

— = 0,36 m und e —

Z

demnach

Vd² + e² — d = 0,85 — 0,36 = 0,49 m und es ergiebt sich hier die Arbeitsstabilität

A' = 1995,84 * 0,49 = 977,9616 mkg.

§ 80.

Beispiele.

243. Man bestimme die statische und die dynamische Stabilität einer vertikalen Mauer, welche b Meter breit, h Meter hoch, l Meter lang ist und das spezifische Gewicht y besitzt.

mm.

Resultate: Die erstere ist St ==- 500 b²hly und die letztere A — 500 bhly {V b² -\-h² — h) Meterkilogra

244.    Eine abgestumpfte regelmässige Pyramide hat zu Endflächen zwei Quadrate von 2 und 1 dem Seite, 2,8 m Höhe, das spezifische Gewicht 3 und ruht mit der grösseren Grundfläche auf horizontaler Ebene. Welches sind die beiden Stabilitäten gegen das Drehen um eine Basiskante ?

Antwort: St = 19,6 und A = 0,79 mkg.

245.    Welches ist die Standfestigkeit einer treppenförmigen Mauer, deren Querschnitt durch BC — CD = DE — EF — F G — GH — a dcm (Fig. 43) bestimmt ist, pro laufenden Meter und in Beziehung auf die Drehkante A, wenn das spezifische Gewicht des Materiales allgemein mit y bezeichnet wird?

Antwort: 70 (Dy Kilogrammmeter.

246.    Was ergibt sich aber für die statische Stabilität per laufenden Meter derselben Mauer in bezug auf die Kippkante H?

Antwort: 110 (Dy Kilogrammmeter.

247.    Ein beladener Wagen, dessen Vorder- und Hinterräder eine Spurweite von 1,2 m haben, wiegt 2 Tonnen, und sein Schwerpunkt liegt in der Symmetrieebene 1,5 m hoch über dem Boden. Wie gross ist seine Standfähigkeit gegen das seitliche Umwerfen auf horizontaler Strasse?

Antwort: 1200 kgm.

248.    Man berechne die Standfestigkeit eines h = 24 m hohen Schornsteins von kreisförmigem Querschnitt, wenn an seinen beiden Enden die äusseren Durchmesser D= 1,8 m, = 1 «?, die inneren d~ 1 m, b — 0,6 m betragen und ein Kubikmeter Mauerwerk n — 1600 k'j wiegt.

Resultat: St —

| D¹ + Dd -DdD — ($² + 2)b + — 38454 kgm.

b2)]    24

Dnhn

249. Welche horizontalgerichtete Kraft müsste also am oberen Ende des Schornsteins wirksam sein, um letztere umzuwerfen? Antwort: Eine Kraft von 1538,2 kg.

§ 81.

Beurteilung der Stabilität eines Körpers aus seinem Gewichte und der Lage seines Schwerpunktes.

Aus Formel 63 folgt, dass die zum Umwerfen eines um eine Kante C drehbaren Körpers vom Gewichte 0 erforderliche Kraft etwas grösser als

Ge

P— —

sein muss, wenn e und a die beiden Hebelsarme von G und P in bezug auf jene Drehkante darstellen.

Nehmen wir nun speziellerweise an, dass die Kraft P in horizontaler Riehtnng durch den Schwerpunkt geht, so ist a — d die Höhe des Schwerpunkts über der Kippkante und wir erkennen aus der Beziehung

Ge

ohne weiteres, dass die umwerfende Kraft P um so bedeutender sein muss, je grösser G und e, je kleiner dagegen d ist, dass also ein Körper um so fester steht, je schwerer er ist, je weiter seine Falllinie (das durch den Schwerpunkt gehende Lot) von der Kippkante absteht und je tiefer sein Schwerpunkt liegt.

Dieser wichtige Satz lässt sich aber auch — und zwar ohne jede spezielle Annahme — aus der Formel 65 entwickeln, wenn man bedenkt, dass ein Körper offenbar um so fester steht, je mehr es mechanischer Arbeit bedarf,“ihn umzuwerfen. Diese mechanische Arbeit

A = G (Vd² e² — d)

wächst zunächst, wie unmittelbar ersichtlich, zugleich mit G und e; multiplizieren und dividieren wir aber die rechte Seite der letzten Gleichung mit

Vd² -j- e¹ d,

so ergiebt sich

Ge²

Vd² + e² + d

und hieraus geht hervor, dass mit zunehmenden d der Nenner vorstehenden Bruches wächst, während der Zähler ungeändert bleibt, folglich der Wert des ganzen Bruches, das ist die mechanische Arbeit A, abnimmt.

§ 82.

Die Rolle.

Es ist dies eine kreisrunde und um ihren Mittelpunkt drehbare Scheibe, welche am Bande mit einer Aushöhlung versehen ist; letztere dient zur Aufnahme eines Seiles, an dessen Enden Kraft und Last wirken. Man hat hier zwei Fälle zu unterscheiden:

a) Ist der Mittelpunkt der Rolle unbeweglich, so wird dieselbe eine feste genannt, und es herrscht Gleichgewicht, wenn die Last BK — Q (Fig. 44), welche an dem einen Seilende angreift, gleich der Kraft AJ — P ist, welche am anderen Seilende wirkt, wenn also die Gleichung

(66.)

P=Q

besteht; denn die feste Rolle ist ein Hebel mit den gleichen Armen MA = MB — r.

Verlegen wir Kraft und Last an den Schnittpunkt C ihrer Wirkungslinien, machen wir also CE = CF — A J — BK — P — Q, so stellt die Diagonale des Rhombus CEDI¹ den Druck dar, welcher in M stattfindet. Bezeichnet a den Winkel BCA, welchen die nach rückwärts verlängerten Seilenden einschliessen, so haben wir

CH —

C E cos —

Jj

oder, weil CE — P und CD = 2 CH,

R — 2 P cos

ct

(67.)

Für den Fall, dass die Seilenden parallel sind, ist a — o und folglich

(68.)

R= 2 P

b) Wenn das eine Seilende befestigt und die Last Q im Mittelpunkte der Rolle angehängt ist (Fig. 45), in welchem Falle die Rolle

(69.>

eine lose heisst, so erhalten wir die Gleichgewichtsbedingung, indem wir in 67 für den Druck R die Last Q substituieren, nämlich

Q — 2 P cos ~ oder P —

2 cos

2

Man bemerkt, dass man mit derselben Kraft einer um so grösseren Last das Gleichgewicht halten kann, je kleiner der Winkel a ist, welchen die Seilenden bilden. Der grösste Wert für Q tritt ein, wenn a = o ist, somit die Seilenden parrallel sind; dann ist

(70.)

Q — 2 P oder P =

Selbstverständlich ist aber bei der losen Rolle das Eigengewicht der letzteren in der Last Q einbegriffen.

Übrigens kann man auch in 69 statt des Winkels a den Radius ' MA = r der Rolle und die Sehne AB — s des vom Seile umspannten Bogens einführen. Weil nämlich in Figur 44 die Winkel

A L M und M A C Rechte sind, so ist Winkel MAL— M GA = -r-

Ll

und folglich

LA

cos

MA 2 r

Mit Einsetzung dieses Wertes in 69 erhält man aber

2 PJ- =P —

oder in Form einer Proportion

(71.)

P : Q = r : s,

in Worten: Eine lose Rolle befindet sich im Gleichgewichtszustände, wenn die Kraft zur Last (einschliesslich des Rollengewichts) wie der Halbmesser der Rolle zur Umspannungssehne sich verhält.

§ 83.

Beispiele.

250. Man bestimme den Druck auf den Zapfen einer festen , wenn die Last 50 kg beträgt, die beiden Seilenden einen

Rolle

Winkel von 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 150,

170, 180° einschliessen und das Eigengewicht der Rolle unberücksichtigt bleibt.

Resultate: 98,5 kg, 96,6 kg, 94 kg, 90,6 kg, 86,6 hg, 81,9 kg, 76,6 kg, 70,7 hg, 64,3 kg, 50 kg, 25,9 kg, 8,7 kg und 0 kg.

251.    Welchen Winkel müssen die beiden Seilenden einschliessen, wenn der Zapfendruck (ohne Rücksicht auf das Gewicht der Rolle) die Hälfte der Last betragen soll?

Antwort: 151° 2' 42"

252.    Wie gross stellt sich aber der Zapfendruck unter Rücksichtnahme auf das Eigengewicht G der Rolle heraus, sobald die Kraft /' und die Last Q gleiche Winkel mit dem Horizont bilden, nämlich 1. 90°, 2. 60°, 3. 45°, 4. 30° und 5. 0°.

Resultate:    — 2 Q    G, JR₂ = Q V 3    G, B₃ = Q V 2

+ G, Ä₄ = Q + G und Ą = G.

253.    Mittels einer losen Rolle von 10 kg Gewicht sollen 190 kg bei parallel gerichteten Seilenden gehoben werden. Welche Kraft ist hierzu nötig, wenn die Bewegungswiderstände ein Zehntel der Last ausmachen?

Antwort: Eine Kraft von 110 kg.

254.    Der wievielte Teil vom Umfange einer beweglichen Rolle muss durch das Seil berührt werden, damit die Kraft genau gleich der zu hebenden Last ist?

Antwort: Der dritte Teil.

255.    Auf ein horizontal gespanntes, 6 m langes Drahtseil wird in der Mitte eine 8 kg schwere lose Rolle aufgesetzt und letztere mit 72 kg belastet, so dass sich das Seil an dieser Stelle um 1 dem senkt; es ist zu berechnen, um wieviel durch diese Belastung die Spannung des Seiles vermehrt wird.

Antwort: Um zirka 1200 kg.

256.    Wie gross würde aber die Spannung im Seile werden, vorausgesetzt, dass letzteres vor Auflegung der Rolle genau geradlinig gespannt war¹) und eine Ausdehnung des Seiles ausgeschlossen wäre ?

Antwort: Unendlich gross.

bar ist.

§ 84.

Das Rad an der Welle.

Hierunter versteht man einen um seine Achse drehbaren Zylinder, auf welchem ein Rad mit gleicher Drehachse befestigt ist. Um den Zylinder ist ein Seil oder eine Kette geschlungen, an welcher die Last BD — Q (Fig. 46) hängt, und letztere wird im Gleichgewicht erhalten durch eine tangential an der Peripherie des Rades wirkende Kraft AC — P.

Das Wellrad ist nun offenbar ein Hebel mit der Drehachse Af; der Radius der Welle, MB — r, ist der Hebelarm der Last Q, und der Halbmesser des Rades, MA = R, ist der Arm der Kraft P; es besteht daher Gleichgewicht, wenn

(72.)

PR = Qr,

wenn also das Produkt aus Last und Wellradius gleich dem Produkte aus Kraft und Radhalbmesser ist.²)

Diese einfache Maschine tritt unter verschiedenen Formen auf: sie heisst Haspel, wenn die Welle horizontal, und Winde oder Göpel, wenn die Welle vertikal steht; hat bei dem Haspel das Rad eine Auskehlung zur Aufnahme des Seiles, so führt er den Namen Seilrad, und jenaehdem bei lotrecht stehender Welle die Kraft von Menschen oder Pferden ausgeübt wird, nennt man die Vorrichtung Erdwinde (Gangspille, Laufspille) oder Pferdegöpel.

§ 85.

Beispiele.

257. Ein Wellrad besitzt die Radien R = 0,6 m und r= 0,12 m. Welcher Last Q kann durch 65 kg Kraft das Gleichgewicht gehalten werden?

Antwort: Einer Last Q = 325 kg.

258. Wie lang müsste man aber bei sonst gleichen Umständen den Halbmesser R des Rades machen, um einer Last von 500 kg das Gleichgewicht zu halten?

12

Antwort: — —- 0,923 m lang.

1 O

259.    Mittels eines Wellrades, dessen Halbmesser 120 und 80Q mm betragen, soll eine Last von 600 kg gehoben werden. Welche Kraft P ist hierzu erforderlich, wenn die Bewegungshindernisse ¹/4 der Last ausmachen?

Antwort: P = 112,5 kg.

260.    Es soll die allgemeine Gleichgewichtsbedingung für ein Wellrad unter Beachtung der halben Dicke p des Lastseiles angegeben werden, angenommen, dass letzteres in der ersten Lage sich auf die Welle windet.

Lösung: PR — Q(r -f- p)„

261.    Ebenso, wenn sich das Seil in 2, resp. 3 Lagen aufwindet.

Lösung: PR — Q(r + 3p), resp. PR — Q(r -f- 5p).

262.    Für ein Seilrad sind die Durchmesser von Welle und Rad d, resp. D, und die Durchmesser der entsprechenden Seile d', resp. b. Man entwickele die Gleichgewichtsbedingung unter der Voraussetzung, dass das Lastseil in nur einer Lage sich aufwindet.

Lösung: P(D b) — Q(d -f- d).

263.    Man berechne P für den Fall, dass D — 1,985 m, d — 0,17 m, d = 40 mm, b = 15 mm und Q — 500 kg sei, wenn ausserdem festgestellt ist, dass Reibung und Seilsteifigkeit x/₃ der Last in Anspruch nehmen.

Resultat: P — 70 kg.

264.    Mittels einer Erdwinde von 3 m Durchmesser soll durch eine Kraft von 48 kg einer Last von 750 kg das Gleichgewicht gehalten werden. Wie gross muss der Wellendurchmesser sein, wenn die Dicke des Lastseils 35 mm beträgt.

Antwort: 157 mm.

§ 86.

Die schiefe Ebene.

Auf einer unter dem Winkel H G J — a gegen den Horizont geneigten Ebene (Fig. 47) befindet sich eine durch die Strecke ME dargestellte Last Q; letztere soll im Gleichgewicht erhalten werden mittels einer aufwärts wirkenden Kraft MF — P, welche im Schwerpunkte des Lastkörpers angreift und mit der schiefen Ebene einen beliebigen Winkel F MB — ß einschliesst.

Um die Gleichgewichtsbedingung zu erfahren, zerlegen wir sowohl die Kraft als die Last in je zwei Komponenten, wovon die eine parallel und die andere senkrecht zur schiefen Ebene gerichtet ist. Weil der Winkel G OE — MOH sowohl von HGJ — a als von 0 MG zu einem Rechten ergänzt wird, so ist 0 MC = ME A — a und mithin sind die beiden Seitenkräfte der Last ME = Q: MC— Q cos a, MA — Q sin a,

wovon die erste angiebt, wie stark die Last Q auf die schiefe Ebene drückt und die zweite die Grösse des Bestrebens erkennen lässt, mit welcher Q längs der Ebene herunterlaufen will.

Auch die Kraft MF — P zerlegt sich in die beiden Wirkungen MD — P sin ß, MB = P cos ß,

Es herrscht also offenbar Gleichgewicht, wenn MB — MA

wovon die eine den Lastkörper senkrecht von der geneigten Ebene abheben und die andere ihn parallel zur letzteren aufwärts ziehen will.

oder

wenn also die Kraft

P cos ß — Q sin a,

(73.)

p= Q

sin a

cos ß

ist, und es wird hierbei von der schiefen Ebene ein Normaldruck aufgenommen, welcher sich findet

N = MC — MD

oder mit Benützung obiger Werte

N = Q cos a — P sin ß, woraus mit Rücksicht auf (73) folgt

N = Q cos a — Q

sin a

. sin ß,

cos ß

cos a cos ß — sin a sin ß

cos ß

und hieraus, weil bekanntlich cos a cos ß — sin a sin ß — cos (a + ß):

N= Q .

cos

(« + ß)

cos ß

(74.)

Für eine horizontale Ebene ist u = o und folglich erhalten wir aus den Formeln 73 und 74:

P — 0 und N — Q.

dass auf horizontaler

In der That ist leicht begreiflich Ebene zur Erhaltung des Gleichgewichts gar keine Kraft erforderlich und dass dann der Normaldruck der Last selbst gleich ist.

Auf der schiefenen Ebene sind aber bezüglich des Winkels ß zwei besondere Fälle als wichtig hervorzuheben: Ist nämlich erstens ß = o, also die Kraft P parallel zur schiefen Ebene, so ergibt sich wegen cos ß — 1 aus Formel 73

(75.)

_P — Q sin a

als die der Last Q das Gleichgewicht haltende Kraft und aus 74 erhält man

(76.)

N = Q cos cc,

den hierbei auf die schiefe Ebene ausgeübten Normaldruck.

Wenn zweitens ß — — a, mithin P horizontal wirkt, so wird cos ß — cos a und folglich ergeben sich aus 73 und 74 für P und N die Werte

und

P — Q tg a

(77.)

(78.)

== Q sec a.

cos a

Legt man durch den tiefsten und höchsten Punkt der schiefen Ebene eine Horizontale und eine Vertikale GJ und HJ, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck GJH, dessen Seiten GJ—b die Basis, JH = h die Höhe und GH = l die Länge der schiefen Ebene genannt werden. Mit Einsetzung von

sin a —

cos a

b ,    h

— und tg a — —

in die Beziehungen 75 bis 78 erhält man

Aus den beiden ersten Gleichungen folgen die Proportionen P : Q — h : l und N : Q — b : 1,

mithin gilt der Satz: Eine parallel zur schiefen Ebene gerichtete Kraft hält einer Last das Gleichgewicht, wenn die erstere zur letzteren sich verhält wie die Höhe der schiefen Ebene zu ihrer Länge und dabei steht der Normaldruck zur Last in demselben Verhältnis, wie die Basis zur Länge der schiefen Ebene.

(80.)

Aus den beiden letzten obigen Gleichungen erhält man leicht P : Q — h : b und N : Q = l : b, in Worten: Bei horizontal wirkender Kraft herrscht an der schiefen Ebene Gleichgewicht, wenn das Verhältnis aus Kraft und Last übereinstimmt mit dem Verhältnis aus der Höhe und Basis der schiefen Ebene; der Normaldruck auf die Unterlage verhält sich dann zur Last, wie die Länge zur Basis der schiefen Ebene.,

§ 87.

Beispiele.

265.    Eine Last von 1000 kg ruht auf einer unter 20° zum Horizont geneigten Ebene und soll im Gleichgewichte erhalten werden durch eine Kraft, welche einen Winkel von 42° mit dem Horizont einschliesst; wie gross muss diese Kraft sein?

Antwort: P — 368,88 kg.

266.    Man bestimme denjenigen Normaldruck, welchen die schiefe Ebene der vorigen Aufgabe auszuhalten hat.

Lösung: N — 801,5 kg.

267.    Unter welchepa Winkel muss eine Ebene gegen den Horizont geneigt sein, damit eine parallel zur schiefen Ebene wirkende Kraft einer 20 mal so grossen Last das Gleichgewicht zu halten

vermag ?

Antwort: Unter dem Winkel <x — 2° 51' 58".

268.    Um wieviel muss eine schiefe Ebene pro 100 m steigen, wenn eine parallel zur letzteren gerichtete Kraft von 3 kg einer Last von 150 kg das Gegengewicht halten soll?

Antwort: Um 2 Meter.

269.    Bei welchem Neigungswinkel würde ein Körper auf einer schiefen Ebene mit einer Beschleunigung von 2 m herabgleiten, wenn Reibung und Luftwiderstand nicht vorhanden wären?

Antwort: Bei u = 11° 45' 50".

270.    Mit welcher Beschleunigung rollt eine Kugel auf einer Tinter dem Winkel a gegen den Horizont geneigten Ebene ohne Rücksicht auf die Bewegungshindernisse?

Antwort: Mit der Beschleunigung p — g sin cc, worin g ~ 9,81 w ist.

271.    Welche Proportion besteht demnach zwischen den Grössen P, g einer-, sowie zwischen der Höhe h und der Länge l einer schiefen Ebene andrerseits?

Antwort: Die Proportion p : g = h : l.

272.    Auf zwei schiefen Ebenen mit der gemeinschaftlichen Höhe h und den Längen l, resp. V befinden sich zwei Lasten Q und Q', welche durch ein über eine feste Rolle gelegtes Seil derartig verbunden sind, dass die Enden des letzteren parallel zu den Längen des letzteren laufen. Welches ist hier die Gleichgewichtsbedingung?

Antwort: Es muss sich Q : Q' = l : V verhalten.

273.    Man bestimme und vergleiche die beiden Endgeschwindigkeiten, welche ein Körper erhält, indem er von der Ruhe aus : erstens die ganze Länge l einer schiefen Ebene durchrollt und zweitens die Höhe der letzteren frei durchfällt, ohne in beiden Fällen die Be-■wegungs widerstände zu beachten.

Resultat: Sie sind einander gleich, nämlich gleich V2gh.

274.    Wie verhalten sich aber die entsprechenden Bewegungs-z eiten?

Antwort: Wie l zu h, also wie die vom Körper zurückgelegten

Wege.

§ 88.

¹

Was allerdings mathematisch genau in Wirklichkeit unerreich

²

Hierbei ist freilich von der Seilstärke abgesehen worden. Ist diese im Verhältnis zum Halbmesser beträchtlich, so hat man als Hebelsarm von Kraft, resp. Last, dasjenige Lot zu betrachten, welches von der Mitte des aufgewickelten Seiles auf die Drehachse gefällt werden kann.

Der Keil.

In der Mechanik begreift man unter „Keil“ ein dreiseitiges Prisma, dessen normaler Querschnitt entweder ein rechtwinkliges oder ein gleichschenkliges Dreieck ist; im ersten Falle wird der Keil einfach, im anderen Falle doppelt genannt. Diejenige Seite des Dreiecks (eine Kathete vom rechtwinkligen, resp. die Basis vom gleichschenkligen Dreieck), auf welche die Kraft P — und zwar fast immer lotrecht — wirkt, heisst der Rücken, die anderen beiden Dreiecksseiten heissen die Seiten des Keiles; den dem Rücken gegenüberliegenden Winkel nennt man den Keilwinkel und die Entfernung seines Scheitels vom Rücken die Höhe des Keiles.

Bezüglich des Gleichgewichts am Keile unterscheiden wir drei

Fälle:

I. Der Widerstand wirkt senkrecht zur Seite eines einfachen Keiles und ist frei.

Zerlegen wir den durch die Strecke A C (Fig. 48) dargestellten und zur Seite E G = s vertikal gerichteten Widerstand Q in zwei Komponenten AB und AD, welche parallel zur Höhe EF ~ h und zum Rücken FG = b des Keiles sind, so wirkt AD lediglich als Druck auf die Keilunterlage L M, und es besteht daher Gleichgewicht, wenn die normal zum Rücken des Keiles wirksame Kraft JK — P mit AB überein stimmt, wenn also

P = AB

ist. Es folgt aber weiter aus

CAB =. A CB — GEF = a A B — A C sin a, AD = A C cos a oder mit Einführung der obigen Bezeichnungen

(81.)

(82.)

P = Q sin a,

die das Gleichgewicht erhaltende Kraft und

iV — Q cos a,

■der hierbei stattfindende Normaldruck, welchen der Keil auf seine Unterlage ausübt.

Im rechtwinkligen Dreiecke F GH hat man auch = — und cos a —

s in a =

FG

EF

EG

EG

mnd mithin

(83.)

b    h

—, N Q .

die Kraft P und den Normaldruck N, ausgedrückt durch den Widerstand Q und die Dimensionen des Keiles.

II. Zwei gleiche Widerstände wirken senkrecht auf die Seiten eines doppelten Keiles und sind frei.

Hier herrscht offenbar Gleichgewicht, wenn die Resultante der beiden Widerstände FEX — PEç -= Q (Fig. 49), das ist die Diagonale F G des Rhombus E₂GE^F, gleich und entgegengesetzt der Kraft CF — P, wenn also

P=FG

ist. Setzen wir aber wiederum die Seite des Keiles AB — A D — s, den Rücken BD = b und den halben Keilwinkel BAG= CAD = cc

so ergiebt sich wegen FEX H — CAI) = a und FH = FEX sin a — Q sin a:

F G — 2 FH -~- 2 Q sin cc

und mithin

oder, weil

P — 2 Q sin a

sin a —

JD

AD

2s'

(84.)

p=«-7

als Bedingung des Gleichgewichts für den doppelten Keil.

Da sowohl aus der ersten Beziehung von Nr. 83 als aus 84 die Proportion

P : Q — b : s

sich formen lässt, so findet in beiden vorstehenden Fällen Gleichgewicht statt, wenn die Kraft P zum Widerstand Q sich verhält, wie der Rücken b des Keiles zu seiner Seite s.

III. Ein Widerstand oder eine Last wirkt parallel zum Rücken eines einfachen Keiles und ist unfrei.

Der Last A C = Q muss in diesem Falle notwendiger Weiso durch eine Führung KK' (Fig. 50) die feste Wirkungslinie CA vorgeschrieben sein, da ohne jene Führung nur ein Herabgleiten der Last auf der Seitenfläche des Keiles, dagegen kein Gleichgewicht stattfinden könnte.

Um die Bedingung für letzteres zu erhalten, zerlegt man A C — Q in zwei Seitenkräfte A D und A B, von welchen A D senkrecht zum Rücken F G — b und A B senkrecht zur Seite des Keiles gerichtet ist. Die erste Komponente AD wird von der festen Führung KK' aufgenommen, hat also auf den Keil selbst gar keinen Einfluss. Es bleibt demnach als Wirkung auf den Keil nur die Kraft

AB =

cos a

weil ja ^ A CD — G A B — F E G — a, wie früher. Da nun diese Kraft lotrecht zur Seite des Keils und frei wirkt, so ergibt sich die

• sin a = Qtg cc.

cos a

hierher gehörige Gleichgewichtsbedingung dadurch, dass wir in der an die Stelle von Q setzen, nämlich

81. Formel

cos a

GF

— folgt hieraus

Mit Berücksichtigung von tgcc —

P : Q — b : h,

also der Satz: Wirkt eine Last unfrei und parallel zum Rücken eines einfachen Keiles, so besteht Gleichgewicht, wenn sich die Kraft zur Last verhält, wie der Rücken zur Höhe des Keiles.

(85.)

8 89.

Beispiele.

275.    Rücken und Höhe eines einfachen Keiles sind 40 und 399 Millimeter lang. Welchen Bruck normal zur Seite kann man mit 10 kg Kraft lotrecht zum Rücken ausüben?

Antwort: 100,25 kg.

276.    Wie gross ist hierbei der Druck auf die Unterlage des

Keiles?

Antwort: 99,75 kg.

277.    Wie gross muss der Winkel an der Schneide eines doppelten Keiles gewählt werden, wenn man mit einer gegebenen Kraft den 20 fachen Widerstand (senkrecht zur Seitenfläche) ausüben will?

Antwort: 2° 51' 54".

278.    Rücken und Seite eines doppelten Keiles verhalten sich wie 3 : 20. Mit welcher Kraft senkrecht zum Rücken kann man 100 kg Seitenpressung erreichen ?

Antwort: Mit 15 kg.

279.    Man will eine auf einer horizontalen Ebene ruhende Last von 10000 kg mittels einfachen Keiles, dessen Rücken 48 und dessen Seite 577 Millimeter betragen, senkrecht in die Höhe treiben. Welche Kraft ist hierzu nötig, wenn, wie immer, von sämtlichen Reibungswiderständen abgesehen wird?

Antwort: Rund 835 kg.

9*

280. Wie kann man über die Wirkung einer Kraft P Aufschluss erhalten, wenn dieselbe nicht senkrecht, sondern unter einem Winkel a zum Rücken des Keiles gerichtet ist?

Antwort: Indem man P in zwei Komponenten zerlegt, wovon die eine in die Richtung des Rückens fällt und die andere lotrecht zu letzterem ist; die erste, P cos a, sucht den Keil aus seiner Lage herauszudrehen, die zweite, P sin ct, wirkt in der oben angegebenen Weise.

§ 90.

Die Schraube.

Die Form und die Namen der einzelnen Bestandteile einer

Schraube dürfen hier wohl als bekannt vorausgesetzt werden; in ihrer mechanischen Wirkungsweise kann aber diese einfache Maschine offenbar aufgefasst werden als ein auf einen geraden Kreiszylinder aufgewickelter Keil, dessen Rücken A'B' (Figur 51) durch die Höhe A B eines Schraubenganges und dessen Höhe A C durch den Umfang des Schraubenkerns dargestellt wird.

Wenn nun in der Richtung der Schraubenachse ein Widerstand Ç zu überwinden ist durch eine Kraft P', welche tangential am Umfange des Schraubenkernes wirkt, so findet der Fall III des § 88 statt; denn die Last Q wirkt parallel und die Kraft D E — P' senkrecht zum Rücken des Keiles, während die Führung von Q durch die Schraubenmutter besorgt wird. Zugleich wird man aber auch einsehen, dass als Hebelsarm der Kraft P' nicht der Halbmesser des Schraubenkernes, sondern richtiger das arithmetische Mittel aus dem inneren und äusseren Radius des Schraubengewindes zu setzen ist; denn da alle Druckkräfte auf die Schraubenfläche parallel und nahezu gleich sind, so liegt der resultierende Druck fast genau auf der Mittellinie der Schraubenfläche. Wird daher die Ganghöhe mit g und der mittlere Radius des Schraubengewindes mit r bezeichnet, so ergiebt sich die Gleichgewichtsbedingung für die Schraube dadurch, dass man in Formel 85

P — P\ b — g, h — 2rn

setzt und für P' auflöst, nämlich

o— Q-2m

In den meisten Fällen wird mit dem Schraubenbolzen ein Hebelarm B verbunden, an welchem die bewegende Kraft P wirkt.

Aus

Pß = pV

folgt und mit Einsetzung dieses Wertes in die obige Gleichung für P':

—^— Q 2 rn

If=

oder

(86.)

P ==

2 Bn

als Bedingung des Gleichgewichts für die Schraube ohne Bücksicht auf Beibung.

§ 91.

Beispiele.

281.    Für eine Schraube sind der innere und der äussere Badius des Gewindes 60 und 70 mm, die Ganghöhe beträgt 4 mm und das Eigengewicht ist 35 hg. Welche Kraft muss am mittleren Schraubenbolzenumfang wirken, um einer Last von 350 hy das Gleichgewicht zu halten, wenn vom Beibungswiderstande abgesehen wird?

Antwort: Die Kraft P — 3,7706 hg.

282.    An dem 0,8 m langen Hebelsarm einer Schraubenpresse lässt man eine Kraft von 50 hg wirken. Welcher Druck wird bei 35 mm Ganghöhe ohne Bücksicht auf Beibung ausgeübt?

= 7180,8 hg.

Antwort: Der Druck Q =

283. Man hat eine Schraube von 30 mm Ganghöhe und will mittels derselben durch eine Kraft von 25 kg einen Druck von 1000 kg erzeugen. Wie lang muss der Hebelsarm der Kraft genommen werden?

2 BnP

— 191 min.

Antwort: R —

Qg

2 Pn

284. Man bestimme das Verhältnis zwischen Kraft und Last an einer Schraube, deren Bolzen 15 cm Durchmesser hat und deren

Ganghöhe 25 mm beträgt, wenn die Kraft tangential am Umfange des Bolzen wirkt und die Reibung vernachlässigt wird?

Antwort: P: Q = 1 : 18,85.

285.    Welches wäre aber dies Verhältnis, wenn die Kraft an einem 1,57 m langen Hebelsarm angreift?

Antwort: P : Q = 1 : 394,58.

286.    Mittels einer Schraubenpresse, deren Ganghöhe 25 mm beträgt, will man einen Druck von 3000 kg ausüben. Welche Kraft muss an dem 2 m langen Hebel wirksam sein?

Antwort: Die Kraft P — 5,968 kg, also rund 6 kg.

287.    Am Hebelarm derselben Presse lässt man aber jetzt eine Kraft von 50 kg wirken und fragt nach dem hierdurch hervorgebrachten Druck.

Lösung: Q — 25132,7 kg.

288.    Wie gross ist die Ganghöhe g einer G = 100 kg wiegenden Schraube, wenn man mit Hilfe derselben durch eine Kraft P = 80 kg, welche am Hebelsarm R = 1,5 m wirkt, eine Last Q = 16000 kg zu heben im stände ist?

Antwort: g =

= 0,04683 Meter„ also beinahe 47

2 RnP

Millimeter.

§ 92.

Mechanische Arbeit der Kräfte an einfachen Maschinen.

Wenn ein mathematischer Hebel, an welchem die Kraft P mit dem Hebelsarm CA—]) (Fig. 52) der Last Q mit dem Arme CB — q das Gleichgewicht hält, sodass

Pp = Qq

ist, einen Stoss erhält, so wird der Hebelkörper in Bewegung übergehen. Diese letztere muss aber nach dem Grundgesetze vom Beharrungsvermögen so lange gleichförmig sein, als zwischen den am Hebel wirksamen Kräften Gleichgewicht herrscht, so lange also die letzteren selbst unveränderlich sind und gleiche Hebelsarme behalten, d. h. perpendikulär zu CA, resp. <’B bleiben; denn in diesem Falle wird sich der Hebelkörper genau so verhalten, als wenn die beiden Kräfte P und Q überhaupt gar nicht vorhanden wären — alles das aber immer wieder nur unter der Voraussetzung, dass der Hebel weder von Reibung noch von Luftwiderstand beeinflusst wird.

Nehmen wir jetzt an, der Hebel habe sich von seiner ursprünglichen Lage aus um den beliebigen Winkel

A CA' = B CB' = y

gedreht, so sind die von den Angriffspunkten A, B der Kraft P, resp. der Last Q zurückgelegten Wege dargestellt durch die Kreisbögen

AA' —py, bezw. BB' = qY,

und mithin sind die von P, bezw. Q geleisteten mechanischen Arbeiten

P • A A' — PpYi bezw. Q ’ B B' = Q q y.

Multipliziert man aber die Gleichgewichtsbedingung Pp — Qq mit y, so entsteht

Pp Y — QqY

oder

P - AA' = Q • BB’,

und man erkennt hieraus, dass die von P und Q am Hebel geleisteten Arbeiten einander gleich sind.

Dieser Satz, dessen Richtigkeit auch für die feste Rolle und das Wellrad ohne weiteres einleuchtet, gilt aber unter den oben gemachten Annahmen auch für mehr als zwei am Hebel wirkenden Kräfte; denn sind letztere allgemein

PV P2’ PV •    '    •> Pn

und ihre zugehörigen Arme

•» P »

Pv Pv Pv • •

so ist die Bedingung des Gleichgewichts

P\P\ + PzPi + P₃P₃ + •    •    * + Pn Pn — 0,

. . H- Pnp y = 0,

wobei aber die in verschiedenem Sinne drehenden Kräfte mit entgegengesetzten Vorzeichen zu versehen sind. Multipliziert man diese Gleichung mit einem Winkel y (im Bogenmass), um welchen sich der Hebel nach irgend einer Zeit gedreht haben soll, so folgt J\Piï + p2P'iV -t" ptPiY

oder, weil die Kreisbögen

pt y» P2 y> Psï’ ■ ■ •’ p« y

die von den Angriffspunkten der Kräfte beschriebenen Wege

S^, Sg, Sg, .    .    ., Sn

bezeichnen:

P\ S1 4" -P2 S2    ^3 S3 ~K • • ■ + Pn sn 0.

Mithin ist an einem in gleichförmiger Bewegung begriffenen Hebel innerhalb eines beliebigen Zeitraumes die algebraische Summe der mechanischen Arbeiten sämtlicher Kräfte der Null gleich oder mit anderen Worten: die (absolute) Summe der Arbeiten aller bewegenden Kräfte ist gleich der Summe der Arbeiten, welche die zu überwindenden Widerstände konsumieren.

Hieraus geht hervor, dass mittels eines Hebels in seinen verschiedenen Formen niemals ein Gewinn von mechanischer Arbeit zu erreichen ist; denn, wie man sich gewöhnlich ausdrückt, was an Kraft gewonnen wird, geht an Weg verloren, oder auch, weil die Angriffspunkte von Kraft und Last ihre Wege in derselben Zeit zurücklegen: was an Kraft gewonnen wird, geht an Geschwindigkeit verloren und umgekehrt.

wir

Die Giltigkeit dieses wichtigen Satzes ist zwar von bedeutenden Mathematikern für alle einfachen und zusammengesetzten Maschinen und unter allen möglichen Umständen bewiesen worden wollen uns aber an dieser Stelle darauf beschränken, seine Richtigkeit nur noch an der schiefen Ebene zu zeigen.

Hierbei können wir uns unter Vernachlässigung der Reibung auf den günstigsten Fall beschränken, dass die Kraft parallel zur schiefen Ebene wirkt; denn in allen anderen Fällen arbeitet nur die Komponente MB (Fig. 47), welche gleiche Richtung mit GH besitzt und stets kleiner als MF ist, während die andere normal zu GH gerichtete Seitenkraft lediglich den Druck der Last Q auf die schiefe Ebene vermindert.

Wenn nun die zur schiefen Ebene GH parallele Kraft P die Last Q durch die ganze Länge l der ersteren gleichförmig aufwärts bewegt, so ist die von P geleistete mechanische Arbeit

A — PI

oder, weil nach Nr. 79

. h -«T

ist,

• l — Qh.

Die genau gleiche Arbeit müsste aber auch ohne schiefe Ebene aufgewendet werden h direkt vertikal emporzuheben, sodass also vermittelst der schiefen Ebene gleichfalls kein Arbeitsgewinn erzielt werden kann, selbst wenn von der Reibung abstrahiert und der Arbeitskraft P die vorteilhafteste Richtung angewiesen wird.

die nämliche Last Q auf dieselbe Höhe

um

Nach alledem wird es nun völlig klar sein, warum bei jeder Maschine die Nutzarbeit geringer sein muss als die Totalarbeit.

Siebentes Kapitel.

Zusammengesetzte Maschinen.

§ 93.

Heb elverbi u düngen.

Sind mehrere Hebel unter einander so verbunden, dass an den beiden äussersten die Kraft P und die Last Q angreifen, während die Endpunkte von je zwei benachbarten durch Druck (oder Zug) auf einander wirken, so lässt sich die Entwickelung der Gleichgewichtsbedingung leicht auf den einfachen Hebel zurückführen, wenn man bedenkt, dass das ganze Hebelsystem im Gleichgewichte sein muss, sobald es jeder einzelne Hebel ist.

Das Hebelwerk Fig. 53 bestehe zum Beispiel aus drei Hebeln mit den Drehpunkten C, C, C" und den Armen A 6' — p, CD — q, DC' = p\ C/ E — q, EC" — p", C"B -- q", am linken Endpunkte A greife die Kraft P an, welche der in B wirksamen Last Q das Gegengewicht halten soll.

Bezeichnen wir jetzt die Drücke, welche zwischen den Enden der Hebel stattfinden und in den Mittelpunkten D, resp. E der Berührungsflächen angreifen, mit X, bezw. Y, so gelten im Gleichgewichtszustände die Beziehungen

Pp = Xq Xp = Yq’ Yp" = Qq".

Durch Multiplikation folgt

PXYpp'p" = XYQqq'q"

und durch Division mit XY

Ppp'p" = Qqq’q",

die gewünschte Gleichgewichtsbedingung.

§ 94.

Räderwerke.

Eine besonders wichtige Anwendung des im vorigen Paragraphen Gesagten haben wir in den Räderwerken, bei welchen mehrere Wellenräder derartig miteinander verbunden sind, dass von der Peripherie jeden Rades auf die Welle des folgenden Kraft übertragen wird.

Diese Kraftübertragung kann nun bei unmittelbarer Berührung der Maschinenteile entweder (unter starkem Normaldruck) durch die Reibung (Friktionsräder) oder auch durch Verzahnung (Zahnräder) bewerkstelligt werden. Im ersten Falle sind als Hebelsarme in Rechnung zu bringen die Halbmesser der Rad- und Wellenperipherie selbst, im anderen diejenigen beiden Lote, welche vom Druckpunkte zweier ineinander greifender Zähne auf die zugehörigen Drehachsen gefällt werden können. Denkt man sich aber von den Fusspunkten der genannten Lote aus zwei (sich berührende) Kreise beschrieben, so ist klar, dass der zweite auf den ersten Fall zurückgeführt ist.

So zeigt z. B. Figur 54 eine Verbindung von vier Wellrädern mit den Drehachsen Mx, M₂, Mz und ikf₄; die Radhalbmesser seien

Mx A = Ex, M₂ Ax — R₂, M₃ A₂ — Rv ä₃ = R±

und die Radien der Wellen, resp. Getriebe

Afx A^ — ?*j, A₂ — ?₂, AP₃ Ag = r₃, AL^A^ -— ?₄, in .( sei die Kraft P am Hebelsarme I?, und in die Last Q am Arme ?'₄ wirksam.

Um die Gleichgewichtsbedingung zu erhalten, bezeichnen wir die Drücke, welche in den Punkten Ax, A₂, A₃ tangential zu den sich berührenden Kreisen wirken und wovon jeder nach § 20 einen gleich grossen Gegendruck hervorruft, mit X, Y, Z, und haben

PJL — Xru XR₂ = Yr₂,

Y Ho = Zrv ZR, = Qr,.

Durch Multiplikation vorstehender Gleichungen folgt aber PX YZR, R₂ R₃R, = XYZQ r, r₂ r₃ r4 und hieraus mittels Division durch XYZ

PR, R₂ 7?3 Ą = rt r₂ r₃ r₄

oder

P '• Q - rir2 r3 r4 : ^1 ^2 ^'.3 ^4’

in Worten: An einem Räderwerke herrscht Gleichgewicht, wenn die Kraft (am Umfange des ersten Rades) zur Last (an der Peripherie der letzten Welle) sich verhält, wie das Produkt aller Wellenradien zum Produkte sämtlicher Radhalbmesser.

Befindet sich das Räderwerk in gleichförmiger Bewegung und bezeichnet man die Geschwindigkeiten der Punkte A, Av A₂, A₃, A, mit c, v,, v₂, v₃, v, so hat man

vi =

R,

~ C> V2 =

r3

v₃ — —vv V =

R‘3

■H“'*

woraus folgt

cviv₂v₃,

v,v₂v₃v =

V2V4

R\ B2 B3 B\

_ —üWi— c, r,r₂r₃r,

ri r2 r3 r4 : B1 n2 E3 R₄=v: C,

oder, wenn man dies Verhältnis in die obige Proportion einsetzt,

P : Q — v : e,

so dass sich, wenn von allen Bewegungshindernissen abgesehen wird, die am Räderwerke wirksamen Kräfte umgekehrt wie die Geschwindigkeiten ihrer Angriffspunkte verhalten. In anderer Form lautet dieser Satz: Die Effekte von Kraft und Last sind einander gleich; denn aus der letzten Beziehung folgt

Pc — Q v.

Man kann demnach auch durch irgend welche Räder Verbindungen niemals einen Gewinn an mechanischer Arbeit (s. § 92) erzielen; ihr Vorteil besteht vielmehr lediglich darin, dass man entweder mit geringer Kraft grosse Lasten zu heben vermag, wie durch Winden und Krahne, oder darin, mittels vorhandener bedeutender Kräfte sehr grosse Geschwindigkeiten zu erzeugen, wie dies beispielsweise bei Mühlen, Spinnereien etc. beobachtet werden kann; nach obigem verliert man aber dabei im ersten Falle an Geschwindigkeit, im zweiten an Kraft genau so viel, dass die letzte Formel erfüllt ist, wobei jedoch die Bewegungshindernisse noch nicht einmal in Betracht gezogen sind.

Schliesslich sei nur noch erwähnt, dass das vorstehend Gesagte selbstverständlich auch Anwendung auf V er bin dun gen von Riemenscheiben und Kettenrädern finden kann.

§ 94.

Beispiele.

289.    Welche Last kann durch das Hebelwerk Fig. 53 mit einer Kraft von 50 Kilogramm gehoben werden, wenn CA — 85, CD = 17, C'D = 78, C'E — 13, C" E = 120 und G"B — 20 cm sind ohne Rücksicht auf Reibung und Eigengewichte der Hebelköi'per.

Antwort: Die Last Q = 9000 Jcc/.

290.    Man bestimme die Drücke X und Y in den Punkten D und E-

Resultate: X= 250 kg und Y — 1500 kt.

291.    Die allgemeine Gleichgewichtsbedingung anzugeben, wenn alle drei Hebel dasselbe Gewicht G, nach links die Arme p, nach rechts die gleich langen Arme q besitzen und der Schwerpunkt jedes Hebelkörpers links im Abstande d von der Drehachse liegt.

Lösung: Pp³ + Gd (p² + pq + q²) — Q q³.

292.    Wie gross ist P, wenn p = 100, q — 10, d = 40, G = 2,5 kg und Q = 1000 kg?

Antwort: P— 0,111 kg, es müsste also zur Herstellung des Gleichgewichtes eine Kraft von 111 Grammen in A aufwärts wirken.

293.    Wie weit müssten aber die Schwerpunkte von den Drehpunkten der drei Hebel entfernt sein, damit die Eigengewichte der letzteren allein im stände wären, das Gleichgewicht herzustellen?

?³

-= 36⁴/

in-

Antwort: Um d = -— . —---—¥

G pt+pq + q*

294.    Die Enden E und F zweier horizontal liegender und um C und I) drehbarer Hebel AE und CF (Fig. 55) sind durch eine vertikal gerichtete Schnur EF verbunden; in A und B wirken die

Kraft X und die Last Q senkrecht abwärts. Für welchen Wert von X besteht Gleichgewicht, wenn von den Eigengewichten der Hebel, sowie der Schnur abgesehen wird und CB — l, CF — L, DE — r, DA — B ist?

Antwort: Für X —

Ir

LR

295. Man soll die Gleichgewicbtsbedingung und die Spannung y in der Schnur EF unter Berücksichtigung der Eigengewichte G und G' beider Hebel DE und AE angeben, vorausgesetzt, dass letztere durch ihre Schwerpunkte halbiert werden.

Auflösung: Das Ganze ist im Gleichgewichte, wenn

RX =■

R ~ r r'

2 ^

und die hierbei in der Schnur stattfindende Spannung

V ~ ~L Q ⁺ "2~*

296.    In welchem Verhältnisse stehen an dem Räderwerke Fig. 54 Kraft und Last, wenn die grossen Radien 120, 150, 100 und 110, dagegen die Wellhalbmesser 25, 30, 22 und 24 Centimeter lang sind?

Antwort: In dem Verhältnisse 1 : 500.

297.    Bei einer Seilwinde mit zweifacher Räderübersetzung wirkt die Kraft P an einer 37,5 cm langen Kurbel, an deren Achse zugleich ein Getriebe mit 25 cm Durchmesser sitzt. Letzteres greift in ein Zahnrad von 1 Meter Durchmesser, auf dessen Welle wieder ein Getriebe von 8,5 cm Halbmesser befestigt ist. Endlich wirkt letzteres auf ein Rad von 170 cm Durchmesser, aD dessen Welle mit einem Radius von 15 cm mittels eines Seiles eine Last Q emporgehoben werden soll. Wie verhalten sich P und Q im Gleichgewichtszustände?

Antwort: Wie 1 : 100.

§ 95.

Die Differentialwelle.

Mit dem in § 85 beschriebenen Rade an der Welle kann unter sonst gleichen Umständen durch eine bestimmte Kraft eine um so grössere Last gehoben werden, je kleiner der Wellendurchmesser genommen wird. Weil aber die Tragfähigkeit der Welle zugleich mit ihrem Durchmesser abnimmt, so darf man bezüglich des letzteren nicht unter eine gewisse Grenze herabgehen.

Um aber doch den Zweck zu erreichen, bedient man sich einer Maschine, der sogenannten Differentialwelle, bei welcher eine (oder zwei) Kurbeln von der Länge A C — l (Fig. 56) auf zwei fest verbundene Wellen mit gemeinschaftlicher Drehachse aber verschiedenen Halbmessern R und r wirken. Um die letzteren sind nämlich die beiden Enden eines Seiles, welches eine lose Rolle umfasst, in entgegengesetztem Sinne so aufgewickelt, dass die beiden Stücke a und b möglichst parallel sind und es auch während der Bewegung bleiben.

Dann verursacht die am Haken der Rolle befestigte Last Q im

, die Spannung im Seilstück b

Seile nach § 70 eine Spannung

to <©

im Seilstück b abwärts und mithin ist die Gleich-

und die Kraft P an der Kurbel CA drehen aufwärts, dagegen die Spannung gewichtsbedingung

Pl + ~l

n .= o

woraus folgt

(87.)

R — r 21 Q-

Wirkt P an jeder von zwei Kurbeln und will man ausserdem das Rollengewicht G berücksichtigen, so hat man als Gleichgewichts-bedingung

- (Q + G).

Man sieht, dass die Differentialwelle ohne Rücksicht auf Reibung

R — r

wirkt,

genau so wie ein Haspel mit dem Wellenradius

während dabei die Durchmesser der ersteren beliebig gewählt werden können.

§ 96.

Beispiele.

298. An einer Differentialwelle sind die Radien R = 8 cmr r = 6 cm und die Kurbellänge beträgt 360 mm-, welcher Last können zwei Arbeiter das Gleichgewicht halten, wenn jeder mit 10 hg auf den Kurbelgriff drückt?

Antwort: Einer Last Q = 720 h(j.

299. Mit einer Differentialwelle sollen 1200 hg gehoben werden;.

Wie gross ist die nötige Kraft?

der Kurbelradius betrage 0,36 m und die beiden Wellendurchmesser 24, bez. 21 cm.

Antwort: P — 25 hg.

300. Wie gross müsste aber der grössere Durchmesser in der vorigen Aufgabe sein, wenn man mit 25 hg eine Last von 2000 kgt fördern wollte?

Antwort: 22,8 cm.

§ 97.

Der gemeine Flaschenzug.

Auch die zweckmässige Vereinigung loser und fester Rollen durch, ein einziges Seil oder mehrere Seilstücke zu zusammenhängenden Systemen liefert mehrere zum Heben schwerer Lasten geeignete Maschinen. Die Gleichgewichtsbedingung für eine solche Rollenverbindung wird in jedem speziellen Falle leicht aufzufinden sein, wenn man beachtet: 1. dass jede einzelne Rolle für sich im Gleichgewichte sein muss und 2. dass bei Vernachlässigung von Reibung und Seilsteifigkeit ein in sich zusammenhängendes Seilstück, resp. Kette, überall gleich stark gespannt ist.

So besteht beispielsweise der gemeine Flaschenzug (Fig. 57) aus einer beliebigen Anzahl von Rollen, welche in zwei Gehäusen (Kloben oder Flaschen) angebracht sind und über welche ein Seil läuft. Das eine Seilende ist an einem der beiden Kloben befestigt, am andern wirkt die Kraft P; die untere Flasche A ist beweglich und trägt die Last, die obere Flasche B ist befestigt.

Beträgt nun die Anzahl aller Rollen in beiden Flaschen n,„ so ist die für das Gleichgewicht nötige Kraft

(88.)

denn weil die Last Q an genau ebenso vielen Seilstücken hängt als Rollen vorhanden sind, und weil die Spannung in allen Teilen des

Seiles dieselbe, nämlich ----- ist, so muss auch die Kraft P gleich -Q-

n    n

sein, ganz gleichgiltig, ob in der unteren Flasche A ebenso viel

Rollen sind als in der oberen, oder aber eine weniger. Letzteren

Falls heisst der Flaschenzug unsymmetrisch, und es muss das

innere Seilende an dem beweglichen Gehäuse festgemacht sein.

§ 98.

Der Potenzflaschenzug.

Diese Hebemaschine, welche auch Rollenzug heisst und deren Einrichtung durch die Figur 58 veranschaulicht ist, besteht aus einer festen und mehreren beweglichen Rollen; jede der letzteren wird von einem besonderen Seilstücke umfasst, dessen linkes Ende befestigt ist und dessen rechtes Ende am Haken der nächst höheren Rolle hängt; die Last Q wirkt an der untersten losen, die Kraft P an der festen Rolle.

Laufen nun alle Seilstücke zueinander parallel, so ist offenbar die Spannung in den beiden Seilenden der ersten (untersten) Rolle, also in b folglich die Spannung in den beiden Seilenden der zweiten losen Rolle, in d

l:Q

Q — ö3 Q>

mithin die Spannung in den Seilenden der dritten Rolle, in f 1 1 2 ' 2 ²

u. s. w., u. s. w., demnach in den Seilenden der letzten, wten losen Rolle

Diese Spannung pflanzt sich aber durch das letzte Seilstück über die feste Rolle fort und wird aufgehoben durch die ihr gleiche Kraft P; es ist daher

2n

(89.)

die Bedingung des Gleichgewichts für einen Potenzflaschenzug mit n losen Rollen.

§ 99.

Beispiele.

301.    Welche Last kann ein Mann bei 50 leg Zug mittels eines Flaschenzugs von 7 Rollen heben, wenn das Seil 9 und die untere Flasche 16 hg wiegt?

Antwort: 325 hg.

302.    Wie viel Männer wären nötig, um einer Last von 750 hg an einem symmetrischen Flaschenzug von je drei Rollen zu heben, wenn die Kraft eines Mannes zu 30 hg gerechnet und das Gewicht der beweglichen Flasche und des Seiles vernachlässigt wird?

Antwort: Fünf; denn zum Gleichgewicht wären 125 hg, also 4*^ Mannskraft erforderlich.

303.    Welche Kraft P ist erforderlich, um mittels eines acht lose Rollen enthaltenden Potenzflaschenzuges einer Last von 10 000 hg das Gleichgewicht zu halten, wenn man die Gewichte der losen Rollen und Seile unberücksichtigt lässt?

Antwort: P — 39,06 hg.

304.    Ein Rollenzug besteht aus 3 beweglichen Rollen, von denen jede 6 hg wiegt; welcher Last kann man mit 30 hg Kraft das Gegengewicht halten?

Antwort: Der Last Q = 198 hg.

305.    Die n losen Rollen eines Potenzflaschenzuges, welcher mit Q Kilogrammen belastet ist, wiegen je q Kilogramm; wie gross ist im Gleichgewichtsfalle die Spannung P des über die feste Rolle laufenden Seiles?

2n

Antwort: P =

306. Wie gross ist die Anzahl n der beweglichen Rollen an einem Potenzflaschenzuge, wenn jede Rolle q — 6 hg wiegt und durch

10

die Kraft P = 55,25 kg der Last Q — 400 kg das Gegengewicht gehalten werden soll?

Antwort: Aus 2" =

— — 8 folgt n — 3.

q

§ 100.

Der Differentialflaschenzug.

Zur Hebung schwerer Lasten durch Menschenhand eignet sich besonders auch der Differentialflaschenzug. Derselbe besteht aus zwei auf derselben Achse sitzenden und fest verbundenen (gewöhnlich in einem Stück gegossenen) Rollen, welche an ihren Umfängen in gleichen Abständen mit Zähnen versehen sind und deren Radien O A — O C = R, OB — r (Fig. 59) sich nur wenig voneinander unterscheiden. Um diese beiden Rollen (Kettenscheiben) ist eine endlose Kette, deren ebenfalls gleich langen Glieder genau in jene Zähne eingreifen, so gelegt, dass zwei herabhängende Schleifen entstehen. Die Schloife AD FE B trägt eine gewöhnliche Rolle mit der Last Q, während die hebende Kraft P in demjenigen Teile der anderen Schleife wirkt, welcher von der grösseren Kettenscheibe herabfällt.

Die Gleichgewichtsbedingung ergiebt sich leicht, wenn man bedenkt, dass die obere Flasche als ein um die Achse 0 drehbarer Hebel betrachtet werden kann, an welchem drei Kräfte wirksam sind,

und in C

nämlich in A und B die zwei gleichen Spannungen

der Zug P. Da die erste den Hebelkörper links, die beiden letzten ihn aber rechts herum zu drehen suchen, so herrscht Gleichgewicht, wenn

PR +

oder

(90.)

- T

5— Q

ist. An die Stellen der Radien R und r können übrigens auch die Zähnezahlen Z und % beider Kettenscheiben gesetzt werden; denn ist b die Entfernung der Mittelpunkte zweier Nachbarzähne, so haben

wir, weil in beiden Kettenrollen alle Zähne gleich weit von einander abstehen müssen,

2 Rn — b Z, 2rn = bz,

folglich

bz 2 TT

und mit Einführung dieser letzten beiden Werte in die obige Formel für P entsteht nach Abkürzung mit -— :

-Q

(91.)

2 Z

Die Vorteile dieser Hebevorrichtung sind grosse Hubkraft bei einfacher Konstruktion und beliebiges Stillhalten der gehobenen Last ohne jede Kraftaufwendung, da für gewöhnlich die Zapfenreibung genügt, um das freiwillige Zurückgehen der Last zu verhüten. Als Nachteil muss aber die Empfindlichkeit gegen Überlastung genannt werden. Durch letztere können nämlich einzelne Glieder des gespannten Teiles der Kette gestreckt werden; sie passen dann nicht mehr -in die Zähne der Rollen und es ist wenigstens die Kette unbrauchbar geworden.

§ 101.

Beispiele.

307.    Die beiden Durchmesser der Kettenrollen eines Differential-Eiaschenzuges sind 33 und 36 cm lang; wie verhalten sich Kraft und Last im Gleichgewichtszustände?

Antwort: Wie 1 : 24.

308.    Wie muss allgemein das Verhältnis zwischen den beiden

(~ V R

damit man

Kettenscheibenradien r und R

x^ gewählt werden,

durch irgend eine Kraft einer n mal grösseren Last das Gleichgewicht halten kann, wenn Reibung, Ketten- und Rollengewicht unberücksichtigt bleiben?

n

Antwort: x — —

n

309.    Die beiden Scheiben eines Differentialflaschenzuges haben

20 und 18 Zähne. Welche Kraft ist zur Hebung von 4000 hg erforderlich?

Antwort: 200 kg.

810. Für die beiden festen Köllen eines Differentialflaschenzuges die (geringsten) Zähnezahlen anzugeben, wenn sich die Kraft zur Last wie 1 : 100 verhalten soll.

Resultat: 49 und 50.

§ 102.

Die Schraube ohne Ende.

Eine Schraubenspindel kann vermittelst einer Kurbel von der Länge l um ihre (meist horizontal liegende) Achse gedreht werden,, ist aber (durch Zapfen- und Halslager) an der fortschreitenden Bewegung gehindert. Das Schraubengewinde, dessen Ganghöhe g sei,, greift genau in die schrägen Zähne eines Wellenrades mit den Halbmessern R und r.

Soll nun eine die Kurbel bewegende Kraft P der an der Seiltrommel hängenden Last Q das Gleichgewicht halten, und bezeichnen wir den zwischen dem Gewinde der Schraube und den Zähnen des. Wellrades stattfindenden Druck mit X, so ist einerseits nach § 90, Formel 86

2 InP = gX,

andererseits nach § 85, Formel 72

XB=^ Qr.

Durch Multiplikation beider Beziehungen folgt

2 InPXB = gXQr

und durch Division mit X

2 ln B P — g tQ

oder

Q,

gr

2 ln B

die Bedingung des Gleichgewichts an der Schraube ohne Ende.

§ 103.

Beispiele.

311.    An einer Schraube ohne Ende ist die Ganghöhe g — 12 cm, der Halbmesser des Zahnrades R = 0,8 m, der Radius der Seiltrommel r — 10 cm und die Länge des Kurbelarmes l — 48 cm. Welche Kraft ist nötig, um der Last Q — 15000 kg das Gleichgewicht zu halten?

Antwort: 74,6 kg.

312.    Wie müsste das Verhältnis zwischen den Radien r und R x^ gewählt

fr

werden, um mit einer gegebenen Schraube ohne

Ende, deren Ganghöhe g — 10 cm und Kurbellänge l = 50 cm sind, durch eine Kraft P — 30 kg eine Last Q = 6000 kg zu heben ?

n

— —— folgt nahezu

Antwort: Aus x —

2ln P

gQ

20

r : R = 157 : 1000.

313. In welchem Verhältnisse stehen bei einer Schraube ohne Ende während des Gleichgewichts Kraft und Last, wenn sich die Halbmesser des Zahnrades r : R — 1 : 7 verhalten, der Kurbelarm

22

das 6 fache der Ganghöhe beträgt und die Zahl n zu angenom

men wird?

Antwort: In dem Verhältnis P : Q — 1 : 264.

§ 104.

Die Differentialscliraube.

Während der Hebel in seinen verschiedenen Formen (Rolle, Wellrad) und Zusammensetzungen (Hebel- und Räderwerke, Flaschen-und Rollenzüge, Differentialhaspel etc.), sowie auch die schiefe Ebene zur Hebung von Lasten oder zur Überwindung von Widerständen vorwiegend benützt werden, eignen sich Keil und Schraube besonders auch zur Erzeugung eines bedeutenden Druckes. Aus der Formel 86 in § 90 folgt aber

2 Rti P

und man erkennt hieraus, dass durch eine Schraube unter sonst gleichen Umständen ein um so grösserer Druck Q erzielt wird, je kleiner die Ganghöhe g ihres Gewindes ist.

Je kleiner man aber g macht, desto dünner werden naturgemäss die Schraubengänge und man gelangt auf diesem Wege bald zu einer gewissen Grenze, welche nicht überschritten werden darf, wenn man das Abscheren des Gewindes vom Scbraubenkerne verhüten will.

Um nun aber doch den grösseren Druck mit Vermeidung der zuletzt genannten Gefahr zu erreichen, hat man auf ein und derselben Spindel zwei Schraubengewinde mit verschiedenen Ganghöhen g, bezw. h und in gleichem Sinne laufend, eingeschnitten. Die Spindel ist mittels eines Hebelarms R um ihre Achse drehbar, dagegen durch Zapfen- und Halslager an jeder fortschreitenden Bewegung verhindert; die den beiden Schraubengewinden zugehörigen Muttern sind Platten,, welchen eine geeignete seitliche Führung nur eine fortschreitende Bewegung gestattet und die sich nähern oder von einander entfernen, je nachdem am Hebel in dem einen oder dem anderen Sinne gedreht wird.

Erleidet jetzt irgend eine Masse zwischen den beiden Platten die Pressung Q, so entsteht an der oberen Platte ein ebenso grosser Druck, welchen wir positiv setzen wollen und welcher nach § 90 am mittleren Schraubenbolzenradius r eine Drehkraft P, mit dem statischen Moment erzeugt. Dieser Druck ruft jedoch laut Grundgesetz von Wirkung und Gegenwirkung einen gleich grossen Gegendruck — Q hervor, welcher am Spindelumfang eine umgekehrt wie R₁ drehende Kraft-P₂ mit dem Moment

X:Q

2 ^

P₂r — —

entstehen lässt. Mithin ist das resultierende Moment beider Drehkräfte

(Px + P₂) r =

und weil dasselbe aufgehoben werden muss durch das Moment der am Arm R wirksamen Kraft P, so ist

oder

PR = 9-

2 TC

F _ 9 —h

Q 2 Rtc

die Bedingung des Gleichgewichts an der Differentialschraube.

Man sieht, dass die letztere dasselbe Kraftverhältnis bietet, wie eine gewöhnliche Schraube von der Ganghöhe g — h, zugleich aber auch, dass jene eine weit grössere Festigkeit gewährt als diese.

§ 105. Beispiele.

314.    Man bestimme das Verhältnis zwischen Kraft und Last für eine Differentialschraube, an welcher die Ganghöhe des oberen steileren Gewindes g — 25 mm, diejenige des anderen h = 21 mm und die Länge des Hebels R — 0,7 m betragen.

Resultat: Es verhält sich rund P : Q 1 : 1100.

315.    Wie gross sind die Steigungswinkel u und ß beider Schraubengewinde, wenn der Durchmesser des Schraubenbolzens d —. 7 cm ist:

Antwort: Aus tqa = J!

du

5    , , a h

₁₄-und^=-

10 n

folgt

« =- 6° 29'9" und ß = 5° 27' 17".

316. Die Gleichgewichtsbedingung für eine Differentialschraube aus den Steigungswinkeln a und ß beider Gewinde und der Verhältniszahl n zwischen dem Hebelsarm R und dem mittleren Spindelradius r anzugeben.

tga — tgß

Lösung:

317. Was ergiebt sich für den speziellen Fall « --40°, ß — 36°

und n — — = 12?

Antwort: Es ist abgerundet

Q 106,6’

§ 106.

ScMussbetrachtuiig.

Wir haben im vorstehenden die Gleichgewichtsbedingungen für

nicht etwa bloss

einige zusammengesetzte Maschinen entwickelt um der Schlussresultate willen, sondern hauptsächlich auch deswegen, um dem Anfänger zu zeigen, wie er durch einige Überlegung den Gleichgewichtszustand irgend einer zusammengesetzten Maschine auf die Beziehungen für das Gleichgewicht an einfachen Maschinen zurückführen kann: er braucht nur die erstere in ihre letzten Bestandteile zu zerlegen und die Kräfte an den Übertragungspunkten zu ermitteln. Von P oder Q ausgehend, erhält man mit Elimination der fortpflanzenden Zwischenkräfte leicht die gewünschte Gleichgewichtsbedingung zwischen P und Q.

Alle auf diese Weise abgeleiteten Formeln sind nun zwar vollkommen richtig, wenn die Maschine im Ruhezustände sich befindet und müssten es nach dem Gesetze vom Beharrungsvermögen auch bleiben, so lange die einzelnen Maschinenteile sich gleichförmig bewegen (siehe § 92), allein die Erfahrung lehrt, dass dem nicht so ist. Um eine Maschine im gleichförmigen Gang zu halten, ist vielmehr stets eine grössere Kraft erforderlich, als es die bisher entwickelten Gleichgewichtsformeln verlangen und ist die Ursache davon in den Bewegungshindernissen, vor allem in dem Reibungswiderstande zu suchen. Weil die Reibung unter Umständen von sehr wesentlichem Einflüsse sein kann, wollen wir ihre Wirkung im nächsten Kapitel einer näheren Betrachtung unterziehen.

Achtes Kapitel.

Von der Reibung.

§ 107.

Allgemeines.

Wenn zwei feste Körper zusammengepresst werden, so äussert sich gegen das Verschieben derselben in der Richtung der Berührungsflächen stets ein gewisser Widerstand, welcher Reibung genannt wird.

Diese Erscheinung rührt offenbar daher, dass alle Körper an ihren Oberflächen nie absolut glatt, sondern mit geringeren oder grösseren Erhöhungen und Vertieftmgen behaftet sind, selbst dann, wenn letztere auch nicht gefühlt oder mit blossem Auge gesehen werden können. Diese Unebenheiten beider Körper greifen nun ineinander ein und müssen folglich bei stattfindender Bewegung auseinander gehoben, umgebogen oder abgerieben werden.

Aus der obigen Definition folgt, dass die Reibung 1) in der Richtung der Berührungsfläche und 2) der beabsichtigten oder bereits vorhandenen Bewegung gerade entgegen wirkt, also hindernd bei der Erzeugung, fördernd bei der Hemmung der letzteren.

Nach der Art der Bewegung des reibenden Körpers unterscheidet man gleitende und rollende oder wälzende Reibung; bei der ersteren bewegen sich die einzelnen Punkte des Körpers in der Richtung der Berührungsfläche, bei der letzteren haben die Oberflächenpunkte eine drehende und zugleich fortschreitende Bewegung. Eine besondere Art der gleitenden Reibung ist diejenige zwischen einem um seine geometrische Achse rotierenden Zapfen und seinem Lager, die sogenannte Zapfenreibung.

§ 108.

Erfahrungsgesetze nach Morin.

Auf Grund der im vorigen Paragraphen enthaltenen Angabe über Richtung und Grösse des Reibungswiderstandes liegt es sehr nahe, die gleitende Reibung direkt durch folgenden einfachen Apparat zu messen : an einem kleinen Schlitten, welcher durch Gewichte be

man von

stellt das Eigengewicht der Wagschale und deren Belastung diejenige Kraft, welche die gleitende Reibung überwindet, also zugleich den Reibungswiderstand selbst dar.

liebig belastet werden kann und auf wagerechten Schienen ruht, ist eine Schnur befestigt, die in horizontaler Richtung über eine feste Rolle läuft und an deren Ende eine Wagschale hängt. Die letztere wird nun genau so belastet, dass ein Anstoss genügt, um den Schlitten in eine gleichförmige Bewegung zu versetzen. Sieht der sehr geringen Reibung in den Zapfen der Rolle ab, so

Indem man den Schlitten mehr oder weniger belastet, sowie Schienen und Schlittenkufen aus verschiedenen Materialen, mit verschiedenen Breiten und Oberflächenbeschaffenheiten anwendet, hat man es in der Hand, die Reibungswiderstände unter allen möglichen vorkommenden Umständen zu messen.

Coulomb und Morin waren es zuerst, welche auf diese Art zahlreiche Versuche anstellten und aus dem gesammelten Beobachtungsmaterial Schlüsse zogen. Unter der einschränkenden Voraussetzung, dass die sich reibenden Körper an den Berührungsflächen einen gewissen Grad von Ebenheit und Glätte besitzen und sich weder bedeutend erwärmen, noch merklich abnützen, gelangten sie zu folgenden Sätzen :

1.    Der Reibungswiderstand hängt ab von dem Stoffe, aus welchen die reibenden Körper bestehen und von der Beschaffenheit der Berührungsflächen; er ist um so kleiner, je glatter und härter die Körper sind. Die Reibung. zwischen eingeschmierten Flächen ist in der Regel geringer als diejenige unge-schmierter Flächen und richtet sich wieder nach der Art der Schmiere; Öle und Fette vermindern z. B. die Reibung bei Metallen, ebenso Talg, Seife und Graphit bei Holz auf Holz, während Wasser und Öl zwischen den Berührungsflächen zweier Hölzer die Reibung vermehren; ferner zeigt Holz auf Holz eine geringere Reibung, wenn die Fasern parallel und im Sinne der Bewegung, als wenn sie rechtwinklig zueinander gerichtet sind u. s. w.

2.    Der Reibungs wider stand ist unabhängig von der Grösse der Berührungsfläche, wenn letztere nicht so klein ist, dass sich der eine Körper in den andern eindrückt.

3.    Die Reibung aus der Ruhe ist grösser als die Reibung während der Bewegung. Die erstere würde in dem oben beschriebenen Experimente gemessen werden durch die Belastung mit Eigengewicht der Wagschale, welche den Körper aus längerem Ruhezustand in Bewegung versetzt; die Reibung in der Bewegung dagegen nur durch eine horizontale Kraft, welche im standeist, die bereits eingeleitete B ewegung gleichförmig zu erhalten.

4.    Der Reibungswiderstand während der Bewegung ist unabhängig von der Geschwindigkeit.

5.    Der Reibungs widerstand ist proportional dem

Normaldruck zwischen den Berührungsflächen der sich reibenden Körper.

Nach neueren Versuchen von Bochet, ßennie und andern lassen sich aber einige dieser Gesetze nicht unbedingt mehr aufrecht erhalten; wenigstens scheint festzustehen, dass sich die Reibung mit dem Drucke auf die Einheit der Berührungsfläche und mit der Geschwindigkeit, namentlich bei hohen Werten dieser Grössen, beträchtlich ändert.

§ 109.

Reibungskoeffizient.

Man denke sich zwei ganz bestimmte Körper erst mit einem Druck von 1 hg und dann mit einem beliebigen Druck von N Kilogrammen in lotrechter Richtung zur Berührungsfläche zusammengepresst und bezeichne die hierdurch entstehenden Reibungswiderstände mit f bezw. W ; dann gilt nach dem fünften Erfahrungsgesetz von Morin die Proportion

f : W = 1 : N,

woraus folgt

(94.)

oder, weil f der Reibungskoëfflzient für die obigen beiden Körper genannt wird, die Wortgleichung

Reibungswiderstand

Normaldruck

Reibungskoeffizient —

(95.)

Aus der Beziehung 94 ergiebt sich W — f. N,

so dass, wenn für einen bestimmten Fall f und N bekannt sind, der Reibungswiderstand erhalten werden kann, indem man den Normaldruck mit dem Reibungskoeffizienten multipliziert.

§ HO.

Beispiele.

318. Ein Schlitten, welcher samt Belastung 1500 hg wiegt, wird auf horizontaler Bahn durch eine ebenfalls horizontal wirkende Kraft gleichmässig fortbewegt. Zwischen dem Schlitten und der Zugkraft ist eine Federwage eingeschaltet, welche auf 55 hg zeigt. Wie gross berechnet sich hieraus der Reibungskoeffizient in der Bewegung?

11

Antwort: f —    — 0,0367.

319.    Welches war der Reibungskoeffizient in der Ruhe, wenn bei Beginn der Bewegung eine Zugkraft von 105 hg nötig war?

Antwort: f₀ = 0,07.

320.    Eine horizontal gerichtete Kraft P erteilt einem Körper vom Gewichte G auf horizontaler Ebene die Beschleunigung p Meter. Man ermittele den hierbei wirksamen Reibungskoeffizienten unter der Annahme, dass der Luftwiderstand und die Geschwindigkeit ohne wesentlichen Einfluss auf die Bewegung sind.

Lösung: f —

P

— —, worin g — 9,81 m, die Fallbeschleunigung bedeutet.

321. Welches würde demnach der Reibungskoeffizient für den Fall sein, dass auf diese Weise einem Körper von 90 kg durch eine Kraft von 30 kg eine Beschleunigung von 23 Dezimetern erteilt wird ?

Antwort: f — 0,21.

322. Man gebe eine Formel für den Reibungskoeffizienten an, wenn unter den in Aufgabe 320 angeführten Umständen der Körper in t Sekunden vom Ruhezustände aus s Meter zurücklegt.

2s

G gt

üT‘

Lösung: f —

323.    Die letzte Aufgabe für die speziellen Zahlenwerte P = 12 kg, G = 130 kg, s 17,1 m und t = 10" zu lösen.

Resultat: f — 0,057.

324.    Der kleinste aller bis jetzt bekannten Koeffizienten der gleitenden Reibung ist nach Rennie derjenige bei Eisen auf Eis, nämlich 0,0143. Wenn nun ein 80 kg schwerer Schlittschuhläufer in einem gewissen Moment eine Geschwindigkeit von 12 m besitzt, wie lange und wie weit wird er dann noch lediglich in Folge der Trägheit und abgesehen vom Luftwiderstände, dahin gleiten?

Antwort: In zirka t — 100 Sekunden wird er noch s = 600 m weit laufen, doch werden diese Zahlen in Wirklichkeit durch den Einfluss des Luftwiderstandes erheblich verringert.

§ 111.

Koeffizienten der gewöhnlichen gleitenden Reihung nach Morin,

flächen.

325.    Welche Verzögerung erfährt ein beliebiger auf horizontaler Ebene fortgestossener Körper lediglich durch Einwirkung der gleitenden Reibung mit dem Koëffizienten f?

Antwort: p — fg.

326.    Ein Eisenbahnzug hat die Geschwindigkeit v — 12 m er* langt. Welche Strecke s wird er nach abgesperrtem Dampfe auf horizontaler Bahn ohne Rücksicht auf Luftwiderstand noch zurücklegen, wenn der Reibungskoëffizient f ■— 0,005 ist?

Antwort: s —

V²

² 'fg

= 1468 m.

0,0981

327. Wie hoch berechnet sich die Dampfkraft einer Lokomotive, weiche auf horizontaler Strecke einem Zuge in t — 240' eine Geschwindigkeit v — 12 m mitteilt, wenn die Lokomotive und sämtliche Wagen eine Last Q 100 000 kg repräsentieren und der Reibungskoëffizient f = 0,005 ist?

Antwort: JP —

q(/+ ~f) = ¹⁰¹⁰ ty-

328. Mit wie viel Pferdestärken muss die Lokomotive arbeiten, um die in voriger Aufgabe gestellten Bedingungen zu erfüllen?

Antwort: Mit N —

Qv

150

== 80,8 Pferdest.

Aus den Versuchen von Morin ergaben sich die Koëffizienten der gleitenden Reibung für die Körper aus den häufig vorkommenden Materialien in den verschiedenen Beschaffenheiten ihrer Ober-Sie finden sich in jedem Lehrbuch der Mechanik, sowie Ingenieurkalender und wir wollen hier nur einige der wichtigsten anführen. In der folgenden Tabelle, welche der „Hütte“ entnommen ist, bedeutet =, dass die Bewegung in der Richtung der Fasern beider Körper, ^ dass sie normal gegen die Fasern des gleitenden Körpers und X, dass si°h Hirnholz auf Langholz in der Faserrichtung des letzteren bewegt.

Namen der

Lage

Zustand

Reibungskoeffizient

reibenden Körper

der

der

der

der

Fasern

Oberflächen

Ruhe Bewegung

Gusseisen auf Gusseisen oder Bronze Schmiedeeisen auf Schmiedeeisen . Bronze auf Gusseisen . „    „ Schmiedeeisen

„    „ Bronze .

Gusseisen auf Eiche .

Schmiedeeisen auf Eiche'

Eiche auf Eiche .    .

Rindsleder auf Eiche

.<

hohe

Kante

wenig fettig mit Wasser trocken wenig fettig trocken etwas fettig trocken trocken mit Wasser trockne Seife mit Wasser mit Talg trocken trockne Seife trocken mit Wasser trocken trocken mit Wasser

0,16

0,13

0,65

0,11

0,62

0,44

0,54

0,71

0,43

0,43

0,79

0,21

0,16

0,20

0,49

0,22

0,19

0,26

0,08

0,48

0,16

0,34

0,25

0,19

0,33

0,29

Lederriemen auf Eichentrommel .    .    .    .    .

Hanfseil auf Eiche . Lederriemen auf Guss- (

eisen......

Rindsleder als Kolbenliderung .....

trocken

trocken

flach

flach

flach

mit Wasser mit Wasser Öl, Seife

o o cT cT cT cT

0,27

0,52

0,30

0,36

§ 112.*)

Einfluss des spezifischen Druckes und der Geschwindigkeit auf die Reibung.

Wenn das zweite und vierte der Morin’schen Reibungsgesetze unbeschränkte Giltigkeit besässen, so würden die vorhin aufgeführten

*) Die Paragraphen 112 und 113 können auch überschlagen werden, ohne das Verständnis für den Inhalt der darauf folgenden zu gefährden.

Koëffizienten konstante (unveränderliche) Zahlen und unter allen Umständen anwendbar sein. Da aber, wie schon erwähnt, der Reibungskoeffizient auch vom spezifischen Druck (Normaldruck auf die Einheit der Berührungsfläche) und in noch höherem Grade von der Geschwindigkeit der reibenden Körper abhängt, so bedürfen Morin’s Koëffizienten nach dieser doppelten Richtung hin einer Ergänzung, resp. einer Korrektur; v. Reiche rät sogar von ihrer Anwendung auf technische Aufgaben entschieden ab, „da sie unter Verhältnissen ermittelt seien, welche bei Maschinen nur ausnahmsweise Vorkommen*. Jedenfalls ist es bei dem gegenwärtigen Stande der Dinge nicht mehr gut möglich, sich der Rücksichtnahme auf obige Einflüsse auf die Reibung zu entziehen.

Um zunächst einen Einblick in die Wirkung des spezifischen Druckes auf den Koëffizienten der gewöhnlichen gleitenden Reibung zu erhalten, entnehmen wir der „Hütte“ eine Tabelle über die Reibungskoeffizienten nach Versuchen von Rennie:

Druck

pro

qcm

in

Gusseisen

auf

Schmiede

eisen

ky

Schmiede

eisen

auf

Schmiede

eisen

Stahl

auf

Gusseisen

Messing

auf

Gusseisen

Bemerkung

Reibungskoeffizienten der Bewegung:

Die Oberflächen wurden geschmiert und dann abgewischt, so dass keine dazwischen Lage Schmiere die innige Berührung hindern konnte.

befindliche

8,79

13,08

15,75

18,28

20,95

23,62

26,22

31,50

34,10

36,77

47,25

0,140

0,250

0,271

0,285

0,297

0,312

0,350

0,395

0,403

0,409

0,174

0,275

0,292

0,321

0,329

0,333

0,351

0,395

0,366

0,366

0,376

0,166

0,300

0,333

0,340

0,344

0,347

0,351

0,354

0,356

0,357

0,473

0,157

0,225

0,219

0,214

0,211

0,215

0,206

0,208

0,221

0,223

0,233

Während, wie die vorstehende Tabelle zeigt, der steigende spezifische Druck auf die Berührungsfläche den Reibungskoeffizienten mit geringen Ausnahmen vergrössert, hat die wachsende Geschwindigkeit der reibenden Körper die entgegengesetzte Wirkung;

denn nach Versuchen, die Bochet in sehr ausgedehntem Masse durchgeführt hat, nimmt der Koeffizient f der gleitenden Reibung mit grösser werdender Geschwindigkeit ab. Bochet folgerte aus seinen Versuchen die Erfahrungsformel

f=

fo-f

1 —I⁻ 0,3 v

+ r,

(96.)

worin v die Geschwindigkeit einer beliebigen Bewegung in Metern, f₀ und f aber die Werte von f bei einer ganz langsamen, bzw. bei einer sehr schnellen Bewegung bedeuten. Bezeichnet p den spezifischen Druck in Kilogrammen, so hat man zu setzen:

I. für trocknes weiches Holz bei p i> 10 ... f₀ = 06, und f — 0,3, folglich

f-=

0,3

l₊0,3T + 0,3;

II. für trocknes hartes Holz bei demselben Druck . . . f₀ = 0,55 und f — 0,25, mithin

0,3

1 + 0,3 v

+ 0,25;

III. für halbpoliertes, trocknes oder nasses Eisen bei p > 300 . . .. f₀ — 0,3 und f = 0,15, demnach

0,15

1 + 0,3 v

+ 0,15;

IV. für halbpoliertes, trocknes Eisen bei p > 100, für poliertes

und geschmiertes Eisen bei p > 20 und für nicht harziges, genässtes Holz bei p >• 20

f₀ = 0,25 und f = 0,075,

also

0,175 1 “t⁻ 0,3 v

V. für poliertes und angefettetes Holz bei p > 20 . . . fQ = 0,16 und f — 0,06, somit

+ 0,075;

0,1

+ 0,06.

1 -+- 0,3 v

Um den Einfluss der Geschwindigkeit auf den Reibungskoeffizienten näher kennen zu lernen, braucht man nur aus den vorstehenden fünf Formeln / für verschiedene Werte von v auszurechnen und die Resultate zu vergleichen.

Setzt man beispielsweise in der letzten Gleichung unter V für v der Reihe nach

0,    1,    2,    3,    4,    5 Dezimeter,

so erhält man für f die zugehörigen auf drei Dezimalen abgerundeten Werte

0,160; 0,157; 0,154; 0,152; 0,149; 0,147; ferner ergeben sich für die mittleren Geschwindigkeiten 2,    4,    6,    8,    10,    12 Meter

die Reibungskoeffizienten

0,123; 0,105; 0,096; 0,089; 0,085; 0,082 und für die grösseren Geschwindigkeiten von

20,    40,    60,    80,    100 Metern

die entsprechenden Koeffizienten

0,074; 0,068; 0,0653; 0,0640; 0,0632.

Hieraus ist zu erkennen, dass bei gleichmässig wachsender Geschwindigkeit der Reibungskoeffizient zwar beständig, doch immer langsamer abnimmt und dass unter sonst gleichen Umständen der Reibungskoeffizient bei sehr kleinen Geschwindigkeiten zwischen 0 und 2 bis 3 Dezimeter nahezu als unveränderlich angesehen werden kann.

§ HB.

Beispiele.

329.    Ein horizontales, gusseisernes Sägegatter von 100 kg Gewicht läuft in Bronzebahnen. Wie gross ist die Reibung nach Morin, wenn die Berührungsflächen wenig gefettet sind?

Antwort: 15 kg.

330.    Welcher Effekt geht durch die Reibung in voriger Aufgabe per Sekunde verloren, wenn das Sägegatter 0,94 m Hubhöhe hat und während einer Minute 110 Züge macht?

Antwort: 25,85 mkg, also reichlich ¹/₃ Pferdestärke.

331.    Auf horizontaler gusseiserner Bahn bewegt sich ein Schlitten, welcher samt Belastung 3920 kg wiegt und dessen beiden Kufen 1 m lang, sowie 1,5 cm breit sind. Wie hoch bestimmt sich nach

11

Rennie der Reibungswiderstand, wenn die Kufen a) aus Messing, b) aus Stahl und c) aus Schmiedeeisen bestehen?

Lösungen: Zu a) 782 hg, zu b) 1176 hg und zu c) 980 hg.

332.    Wie gross würden aber die Reibungswiderstände in den drei Fällen sein, wenn die Belastung des Schlittens inkl. Eigengewicht

nur

264 hg betrüge?

Antwort: 39,64 hg, 41,45 hg und 39,96 hg.

333.    Man bestimme den Reibungskoeffizienten für trockenes weiches Holz bei

0,    1,    2,    3,    4,    5,    6,    7,    8,    9,    10 Meter

Geschwindigkeit auf die Tausendstel genau unter der "Voraussetzung, dass der Druck auf ein Quadratzentimeter Berührungsfläche mehr als 10 hg beträgt?

Resultate: 0,600; 0,531; 0,488; 0,458; 0,436; 0,420; 0,407; 0,397; 0,388; 0,381 und 0,375.

334.    Wie viel betragen demnach die successiven Abnahmen des Reibungskoeffizienten der letzten Aufgabe, wenn die Geschwindigkeit in zehn gleichen Abständen von 0 auf 10 Meter ansteigt?

Antwort: 69, 43, 30, 22, 16, 13, 10, 9, 7 und 6 Tausendteile.

335.    Bei welcher Geschwindigkeit würde der unter II. angeführte Reibungskoëffizient genau gleich ¹/₂ sein?

Antwort: Bei ²/₃ Meter Geschwindigkeit.

336.    Diejenige Geschwindigkeit zu ermitteln, welche unter den sub IV angegebenen Bedingungen für den Reibungskoeffizienten den. Wert 0,1 verui’sacht.

Resultat: 20 Meter.

§ 114.

Reibung auf horizontaler Bahn.

Eine Last Q ruht auf horizontaler Ebene L M (Fig. 60) und soll fortgezogen werden durch eine Kraft AB — P, welche mit dem Horizont einen beliebigen Winkel B AC = ß einschliesst.

Offenbar ist die Wirkung der Kraft B auf die Last Q insofern eine doppelte, als sie die letztere einerseits auf LM weiter zu bewegen, andererseits vertikal emporzuheben sucht; wir zerlegen daher P nach den genannten Richtungen in die beiden Komponenten AC — Pcosß und AB — Psinß.

Die erstere hat bei der horizontalen Bewegung des Körpers die Reibung zu überwinden und heisst deshalb die Arbeitskomponente; die andere wirkt genau entgegengesetzt der Last Q, es verbleibt daher der Normaldruck

N = Q — AD — Q — Psin ß

und mithin ist, wenn f den Reibungskoeffizienten bezeichnet, der Reibungs widerstand

W — fN — Qf — Pfsinß.

Weil aber dieser Reibungswiderstand im Gleichgewicht gehalten werden soll durch die Komponente AC — P COS ß, so haben wir

P cos ß = Qf — P fsin ß,

woraus folgt

(97.)

Qf

cos ß + fsin ß

als diejenige Kraft, welche der Reibung gerade das Gegengewicht hält.

§ 115.

Reibung auf der schiefen Ebene.

Wir wollen nun die Bedingung des Gleichgewichts, welcher ein Körper auf schiefer Ebene unterliegt, mit Rücksicht auf die gleitende Reibung entwickeln. Wie in § 86 bezeichnen wir zu dem Zwecke den Neigungswinkel HGJ (Fig. 47) der schiefen Ebene mit a, die Last MP auf letzterer mit Q, die Kraft MF mit P und den Winkel F MB zwischen ihr und der schiefen Ebene mit ß und zerlegen Q und P in je zwei Seitenkräfte senkrecht und parallel zur schiefen Ebene, nämlich ME — Q in

M C - Q cos a und M A = Q sin a

sowie MF = P in

MD — Psinß und MB — Pcosß.

Dann ist der auf die schiefe Ebene ausgeübte Normaldruck

N = MC — MD — Q cos a — Psin ß

und folglich der Reibungswiderstand

W —- fN — Q fcos a — Pf sin ß,

wenn bezeichnet.

Soll jetzt eine Bewegung der Last aufwärts erfolgen, so wirkt

f wie gewöhnlich den Koeffizienten der stattfindenden Reibung

11*

die Reibung bindernd, folglich muss für den Gleichgewichtszustand die Arbeitskomponente

MB = MA -f- W

oder

P cos ß — Qsina + Qfcosa — Pfsinß sein. Die Auflösung dieser Gleichung nach P ergiebt

P-Q-

(98.)

sin a f cos a cos ß + fsinß'

worin P so besimmt ist, dass die geringste Vergrösserung eine Aufwärtsbewegung der Last Q zur Folge hätte.

Wenn dagegen eine Abwärtsbewegung der Last Q beabsichtigt wird, so tritt der Reibungswiderstand für die Komponente MB fördernd ein und es ist mithin die Bedingung des Gleichgewichts MB = MA — W

oder

P cos ß — Q sin u — Qfcos a + Pf sin ß,

woraus man erhält

P-Q ■

(99.)

sin a — f cos a cos ß — f sin ß

als diejenige Kraft, welche eben noch ein Abwärtsgleiten der Last Q verhütet. So lange also der Wert von P zwischen den durch die rechten Seiten der Gleichungen 98 und 99 dargestellten Zahlengrössen liegt, kann keine Bewegung entstehen.

Auch hier sind bezüglich der Kraftrichtung die zwei besonderen Fälle wichtig, dass dieselbe parallel zur Länge und parallel zur Basis der schiefen Ebene ist.

I. Wenn P parallel zur schiefen Ebene und folglich ß — 0 ist, so erhalten wir aus 98

(100.)

P = Q (sin a + / cos «), diejenige Kraft, welche die Last aufwärts zu ziehen sucht und dabei die Reibung überwindet und aus 99

(101.)

P = Q (sin a — fcos a), die Kraft, welche gerade noch ausreicht, um mit Hilfe der Reibung die Last vor dem Herabgleiten zu bewahren.

II. Ist P parallel zur Basis der schiefen Ebene, so haben wir ß = — a zu setzen, und es ergiebt sich, weil

cos (— «) — cos a, sin (— a) = — sin a ist, aus 98

19 a ~*r f

— ftg*'

P-Q-j

die Kraft, welche mindestens nötig ist, um die Last aufwärts zu bewegen. Dagegen entsteht aus 99 in analoger Weise

(103.)

P=Q •

oder

P=Q-

sin a -f- f cos a cos a — fsina

tg a — f

1 ftg a

als diejenige Kraft, welche eben noch im stände ist, die Last Q von einem Heruntergleiten auf der schiefen Ebene abzuhalten.

§ 116.

B eispiele.

337.    Auf einer Horizontalebene soll eine Last von 1000 leg durch eine Kraft in Bewegung gesetzt werden, welche mit dem Horizont nach einander Winkel von 0, 10, 20 und 30 Grad einscliliesst. Wie gross muss jene Kraft in jedem einzelnen Falle sein, wenn der Reibungskoeffizient der Ruhe 0,3 beträgt?

Antwort: P₀ — 300 leg, P, — 289,3 leg, P₂ — 287,8 kg und P₃ =. 296,3 kg.

338.    Wie gross würde aber die Kraft sein müssen, wenn ihr Winkel mit dem Horizont 40, 50 und 60° wäre?

Antwort: P₄ — 312,8 kg, P₅ — 344,5 kg und P₆ = 395,9 kg.

339.    Auf einer schiefen Ebene, welche einen Winkel von 12° mit dem Horizont einschliesst, befindet sich eine Last von 500 kg; an letzterer wirkt eine Kraft unter einem Winkel von 23° gegen den Horizont. Wie gross muss diese Kraft sein, um eine Aufwärtsbewegung zu bewirken und wie gross, um ein Abwärtsgleiten zu verhindern, wenn der Reibungskoëffizient 0,2 ist?

Antwort: 197,85 kg, resp. 6,51 kg.

340.    Eine sehr glatte Schlittenbahn steigt um 10°/₀- Wie viel Kraft parallel zur Bahn ist nötig, um eine Last von 2500 kg aufwärts zu befördern, wenn der Reibungskoëffizient zu 0,04 angenommen wird?

Antwort: 340 kg.

341.    Welche Kraft wäre bei nur 2°/₀ Steigung erforderlich? Antwort: 147,1 kg.

342.    Man bestimme die Kräfte, welche in den beiden letzten Aufgaben wirken müssten, um den Schlitten am Zurückgehen zu hindern.

Resultate: Bei 10°/₀ Steigung ist eine Kraft von 160 kg erforderlich, bei 2°/₀ Steigung dagegen gar keine; denn weil sich aus Formel 101 P = — 48,5 ergiebt, so müsste noch eine Kraft von 48,5 kg abwärts ziehen, um den Schlitten zum Zurückgehen zu bringen.

§ 117.

Der Reibimgswinkel.

Ruht ein Körper vom Gewichte G auf einer unter dem Winkel a gegen den Horizont geneigten Ebene, ohne dass eine weitere Kraft auf ersteren wirkte, so zerlegt sich G in zwei Komponenten, nämlich in die parallel zur schiefen Ebene abwärts gelichtete Zugkraft

K — G sin a

und in den Normaldruck

N = G COS cc.

Es ist daher der Reibungswiderstand

W — fGcos ec,

welcher der Zugkraft genau entgegengesetzt wirkt und mithin die Resultante zwischen beiden

K — W = G (sina —f cosa).

wo

Für a —- 0, also auf horizontaler Ebene, wäre K. = 0 und W — fG. Lässt man jetzt a stetig wachsen, so nimmt sin cc zu und coscc ab, folglich wird K—Gsincc grösser, dagegen W — fG coscc kleiner, und es muss mithin einmal der Moment eintreten, K gleich TF wird. Dieser Fall findet aber nach der letzten Gleichung statt, wenn

sin cc — fcos cc — 0

oder

tga = f

ist. Diesen besonderen Wert von cc, bei welchem der Körper zu gleiten beginnen will, nennt man den Reibungswinkel; bezeichnen wir denselben mit q, so haben wir

(104.)

*9Q = f

eine Beziehung, welche uns sagt, dass die goniometrische Tangente des Reibungswinkels dem Reibungskoeffizienten gleich ist und uns ein einfaches Mittel an die Hand giebt, um den Reibungskoeffizienten experimentell zu bestimmen: Man braucht bloss den fraglichen Körper auf eine um eine Achse bewegliche Ebene zu legen und letztere so lange vorsichtig zu drehen, bis der Körper zu gleiten beginnt, resp. sich gleichförmig die schiefe Ebene herunter bewegt. Der gefundene Grenzwinkel ist der Reibungswinkel und folglich nach 104 seine Tangente der Reibungskoëffizient ; natürlich hat dies Verfahren auch noch Geltung für die wälzende Reibung.

Setzt man den Wert von f aus 104 in 98 ein, so folgt

oder

sin a -j- tgqcos a

cosß + tgqsin ß

sin a cos g -f- sin q cos a

cos ß cos q sin q sin ß

sin (a + q)

COS (ß - q)

die Kraft zum Aufwärtsziehen und analog aus 99

sin (a — p)

COS (ß + q)’

die Kraft gegen das Abwärtsgleiten auf der schiefen Ebene.

P=Q

(105)

P=Q

(106.)

§ 118.

Beispiele.

343.    Einer der grössten Reibungskoeffizienten ist derjenige von Kalkstein auf Kalkstein bei gespitzter Oberfläche, nämlich f - 0,78. Bei welcher Neigung zum Horizont würden dieselben anfangen, auf einander hinzugleiten?

Antwort: Bei 37° 57;.

344.    Auf einer unter dem Winkel a gegen den Horizont geneigten Ebene befindet sich eine Last Q, an welcher eine zur Ebene parallel gerichtete aufwäi’ts strebende Kraft P wirkt. Wie gross muss P sein, damit 1) die geringste Vermehrung eine Aufwärts- und

2) die kleinste Verminderung eine Abwärtsbewegung zur Folge hat,

wenn der Reibungswinkel mit q bezeichnet wird?

Antwort: P = Q •

, worin das obere Zeichen für

sin (a + (?)

cos Q

den ersten, das untere für den zweiten Fall gilt.

345.    Die vorige Aufgabe für die Zahlenwerte Q — 369 kg, a — 10° und q — 4° zu lösen.

Resultate: 89,49 kg, resp. 38,68 kg.

346.    Auf einer unter a = 16° zum Horizont geneigten Ebene wird eine Last Q = 1000 kg mittels der zur schiefen Ebene parallelen Kraft P — 467,9 kg gleichförmig aufwärts gezogen. Man bestimme hieraus den Reibungskoeffizienten und den Reibungswinkel.

— tg a ergiebt sich rund

Q cos a

Lösung: Aus f = tg q — —

f— 0,2 und q = 11° 30'.

347. Ein Körper durchläuft die ganze Länge l einer schiefen Ebene, welche mit dem Horizont den Winkel a bildet, in t Sekunden gleichförmig beschleunigt vom Ruhezustände aus. Man soll aus diesen Angaben den Koeffizienten der stattfindenden Reibung berechnen.

21

g t² cos a

348. Was erhält man für f, wenn l =. 25 m, die Höhe der schiefen Ebene h -- 7 m und t — 25" gegeben sind?

Lösung: f — tg a —

Antwort: 0,283.

§ 119.

Reibung an der Schraube.

Die Schraube ist in ihrer mechanischen Wirkungsweise zu betrachten als eine schiefe Ebene, deren Höhe und Basis dargestellt werden durch die Ganghöhe Ä B' — g und den Spindelumfang C A' =z2vrt (Fig. 51) der Schraube; der Winkel der schiefen Ebene mit dem Horizont ist zugleich der Steigungswinkel B’C Ä = cc des Schraubengewindes.

Weil ausserdem die Kraft P'tangential am mittleren Schraubenbolzenumfang, also in Hinsicht auf die schiefe Ebene parallel zur Basis wirkt, so ist auf Grund der beiden Formeln 102 und 103

tg<* ± f ' i + ftg «,

P'= Q

(107.)

die Kraft, welche die Last Q und die Reibung zu überwinden im stände ist oder aber die Schraube mit Hilfe des

ReibungsWiderstandes am Zurückgehen eben noch hindert, je nachdem die beiden oberen oder die beiden unteren Vorzeichen gelten.

Die Formel 107 kann zunächst, je nach dem praktischen Bedürfnis, in zweifacher Hinsicht, umgeformt werden. Will man erstens statt des Neigungswinkels a die Ganghöhe g und den mittleren Bolzenhalbmesser r einführen, so setzt man

tg« =

A'B'

2xn

AC

und erhält

i- + f

P' = Q .

2rn — ¹

fg

2rn

oder

(108.)

P'-Q.

g ± 2frn 2rn + fg ’

Zweitens kann man mittels der Formel 104

f= *9Q

den Reibungswinkel q an die Stelle des Reibungskoeffizienten bringen; Formel 107 geht über in

P'=Q

tga ± tgq

1 + tga tgq

oder mit Benützung sehr bekannter goniometrischer Beziehungen

(109.)

P' — Q tg (a ± q).

Wenn die Umdrehungskraft der Schraube, P, nicht am Hebelsarm r, sondern am Hebelsarm P wirkt, so ergiebt sich aus

PR — Pr

Q = Q tg (« ± e)-

(110.)

und mithin ist nach 108 und 109 r g + 2 fr n R 2 r n ą- f g

Die vorstehenden Gleichungen gelten jedoch nur für Schrauben, mit rechteckigem (flachem) Gewinde. Wie man sich durch Zerlegung von Q in zwei Komponenten leicht überzeugen kann ist bei Schrauben mit dreieckigem (scharfem) Gewinde der Normal-d.ruck auf die Schraubenfläche und mithin auch der Reibungswiderstand, bedeutend grösser und zwar um so mehr, je grösser der Winkel ist, den die Erzeugungslinie der Schraubenfläche mit der Achse des Schraubenbolzens bildet.

Dies ist der Grund, warum sich das rechteckige Gewinde am besten zu den Kraftmaschinen, das dreieckige (trapezförmige) sich dagegen mehr zur Befestigung eignet; bei Befestigungsschrauben kommt aber offenbar ausser der Reibung im Gewinde auch noch diejenige zwischen der Schraubenmutter und ihrer Unterlage in Betracht.

§ 120.

Wirkungsgrad der Schraube.

Bereits in § 25 wurde erklärt, dass für eine jede Maschine der

Wirkungsgrad rj ~

nutzbar gemachte Arbeit aufgewandte Arbeit ist, worin sich beide Arbeiten auf dieselbe Zeit zu beziehen haben.

Da nun offenbar bei einer Schraube als Bewegungshindernis lediglich die Reibung in Betracht kommen kann, so wird die aufgewandte Arbeit geleistet durch diejenige Kraft P', welche die Last Q mit Reibung gleichförmig zu bewegen vermag, dagegen würde die nutzbar gemachte Arbeit produziert werden von jener Kraft P", welche die nämliche Last Q ohne Reibung auf dieselbe Höhe gleichmässig zu heben im stände wäre. Legt der Angriffspunkt jeder dieser beiden Kräfte, welche wir der Einfachheit halber am mittleren Bolzenumiäng wirken lassen wollen, den Weg s zurück, so ist

P's

P's

der Wirkungsgrad der Schraube. Es war aber nach § 90

P"- -/—Q

2rn

oder, da

ist,

~— — tg a 2rn

P" = Q tg cc.

Weil ferner aus Formel 109 mit Benützung¹ des oberen Vor

zeichens

sich ergiebt, so folgt

P' — Q tg O + q)

tgu

tg (« + e)'

Diese Formel sagt uns, dass der Wirkungsgrad rj einer Schraube mit rechteckigem Gewinde, einerseits vom Steigungswinkel a des letzteren und andererseits vom Reibungswinkel p, das ist zugleich vom Reibungskoëffizienten f abhängt. Der Einfluss von rj auf q ist ohne weiteres klar; denn weil für denselben Wert von a der Nenner des obigen Bruches — tg (« + q) — wächst, während der Zähler {tg a) unverändert bleibt, so fällt r\ bei einem bestimmten Steigungswinkel um so geringer aus, je grösser p, je bedeutender mithin auch der Reibungskoeffizient ist, eine Thatsache, die ja von vorne herein feststand.

Nicht so leicht ist zu erkennen, wie der Wirkungsgrad rj bei konstantem q mit dem Steigungswinkel a sieb ändert, weil in der Beziehung 111 mit wachsendem a sowohl der Zähler tg a als auch der Nenner tg (a -|- q) zunehmen. Um doch ein Urteil über die Natur der Abhängigkeit zwischen « und rj zu gewinnen nehmen wir den Reibungskoëffizienten beispielweise zu 0,17 bis 0,18, mithin den Reibungswinkel q rund zu 10° an und setzen für den Steigungswinkel der Reihe nach

0,    10,    20,    30,    40,    50,    60,    70,    80 Grad

in Formel 111 ein. Als zugehörige Werte des Wirkungsgrades rj erhalten wir

0; 0,48; 0,63; 0,69; 0,71; 0,69; 0,63; 0,48; 0 und sehen nun, dass mit wachsendem Steigungswinkel der Wirkungsgrad rj erst zu- und später wieder abnimmt. Da im vorliegenden Falle der grösste Wert von rj, nämlich 0,71, bei a — 40° eintritt, so wäre der letztere der günstigste Steigungswinkel für Bewegungsschrauben unter der Bedingung, dass der Reibungswinkel 10° beträgt.

Für die Reibungswinkel

6,    8,    12,    14,    16    Grad

würden wir auf analoge Weise die respektiven Werte von 42, 41, 39,    38,    37    Grad

welche die höchsten

als diejenigen Steigungswinkel erhalten Wirkungsgrade erzielen, nämlich

0,81; 0,76; 0,66; 0,61; 0,57.

Man sieht, dass zur Erreichung des möglichst grossen Nutzeffektes bei den Bewegungsschrauben sehr erhebliche Steigungen der Gewinde nötig sind. Zu Gunsten grosser Drücke geht man in der Praxis häufig sehr unvorteilhaft hiervon ab.

§ 121.

Beispiele.

349. Unter welcher Bedingung wird eine Schraube mit rechteckigem Gewinde vor dem freiwilligen Zurückgehen bewahrt, wenn der Steigungswinkel a, die Ganghöhe g und der mittlere Spindelhalbmesser r ist?

sein.

Antwort: Es muss der Reibungswinkel q cc oder der Reibungskoeffizient f >    —

350.    Für eine Schraube ist der mittlere Bolzenradius 3 cm, die Ganghöhe des rechteckigen Gewindes 1 cm und der Reibungskoeffizient 0,14. Welcher Druck kann durch eine Kraft von 50 kg ausgeübt werden, wenn letztere am Ende eines durch den Schraubenkopf gesteckten Hebelarmes 0,6 m wirkt?

Antwort: Zirka 5142 kg.

351.    Wie gross würde sich aber der Druck ohne Rücksicht auf Reibung herausstellen?

Antwort: Auf rund 18 850 kg.

= 0,273.

Antwort: rj =

352.    Welches wäre demnach der Wirkungsgrad dieser Schraube? 5142

18850

353. Würde die Schraube am freiwilligen Zurückgehen lediglich durch die Reibung gehindert werden?

weitem kleiner als f — 0,14.

354.    Man bestimme den Steigungswinkel a und den Reibungswinkel q der in Rede stehenden Schraube.

Resultate: « = 3° 2' 12", q = 7° 58' 11".

355.    Den Wirkungsgrad r\ nunmehr nach Formel 111 zu berechnen.

Lösung: rj = 0,277.

356. Wenn q auf 8° abgerundet wird, bei welchem Steigungswinkel würde der grösste Wirkungsgrad eintreten?

Antwort: Bei a — 41° würde rj am grössten, nämlich gleich 0,76 sein.

357. Welches Verhältnis zwischen Kraft und Last würde jetzt bestehen müssen, damit jene imstande ist, diese a) gleichförmig aufwärts zu bewegen und a) eben noch vor dem Zurückgehen zu bewahren?

Lösungen: zu a) JP : Q — 1 : 17,386.

zu

b) P:Q=zl: 31,315.

§ 122.

Zapfenreibung.

Da die Zapfenreibung nur eine spezielle Art der gleitenden Reibung ist, so gelten natürlich für erstere auch die gleichen Gesetze, wie für letztere. Bezeichnet daher (p den Reibungskoeffizienten, so ist, wie früher, der Widerstand bei der Zapfenreibung

W — (p N,

sobald N den Normaldruck zwischen den reibenden Flächen bedeutet.

Was nun den Koeffizienten (p der Zapfenreibung anlangt, so ist derselbe nach Versuchen von Morin bei Zapfen aus Schmiedeeisen oder Gusseisen, laufend in Lagern aus Gusseisen, Glockengut oder Messing, geschmiert mit Talg, Öl oder Schweinefett:

0,07 bis 0,08.

Antwort: Ja; denn es ist

2rn

— = 0,053 . .

6 7T

. bei

bei ununterbrochener guter Unterhaltung, = 0,054 und bei gewöhnlicher Abwartung,

Dagegen ergaben neuere Versuche von Waltjen und Rühlmann,

welche mit einer grossen Anzahl von Schmiermitteln ausgeführt wurden, dass der Wert von (p meist zwischen 0,02 und 0,03 liegt und endlich findet Kirchweger den Koeffizienten der Zapfenreibung bei Schmierung mit Rüböl oder Kohäsionsöl

1.    für Schmiedeeisen auf Bronze = 0,014 und

2.    für Schmiedeeisen auf Weissguss = 0,01.¹)

Stimmen auch die Ergebnisse der letzteren Versuche nicht überein, so zeigen sie doch, dass die Koeffizienten der Zapfenreibung jedenfalls erheblich kleiner sind, als die von Morin angegebenen Werte.

§ 123.

Reibung am zylindrischen Tragzapfen.

(112.)

Da der Reibungswiderstand W bei einem horizontalen und zylinderförmigen Zapfen in der Richtung der Tangenten am Zylindermantel wirkt, so ist in Bezug auf die Drehachse sein Hebelsarm gleich dem Halbmesser r des Zapfens und sein statisches Moment M — Wr = (p Nr,

das heisst: Das Reibungsmoment für einen zylindrischen Tragzapfen ist gleich dem Produkte aus dem Reibungs-k oëffizienten, dem Normaldruck und dem Zapfenhalbmesser.

Die zur Überwindung der Reibung nötige mechanische Arbeit ist nach § 21, Formel 25 gleich Widerstand mal Weg, also während einer Umdrehung des Zapfens

Ws = W2rn — 2Ttr<pN,

folglich, wenn n die Tourenzahl bezeichnet, innerhalb einer Minute

A — 2nr(pNn

und mithin

2 71

60

rifNn

die Arbeitsgrösse, welche die Zahnreibung während einer Sekunde beansprucht. Wird r in Metern und N in Kilogrammen aus-

gedrückt, so ergiebt sich aus der letzten Gleichung E in Meter-kilogrammen; man erhält daher mittels Division durch 75

2 TC

75

60 • 75

rcpNn

oder, weil

2 TC

60 • 75

— 0,0013962

0,0014

ist:

(113.)

yt ■— 0,0014 r<fNn, den durch die Reibung am zylindrischen Tragzapfen pro Sekunde verursachten Arbeitsverlust in Pferdekräften.

Wäre z. B. der Zapfendruck 8000 kg, der Zapfenradius 6 cm,, der Reibungskoeffizient 0,05 und die Umdrehungszahl in der Minute 7, so hätten wir in der letzten Formel

r — 0,06; (f — 0,05; N = 8000; n — 7

zu setzen und bekämen

yt = 0,0014 • 0,06 • 0,05 • 8000 * 7 — 0,2352; die Zapfenreibung würde also in diesem Falle nicht ganz */₄ Pferdestärke konsumieren.

§ 124.

Zapfenreibung am Wellenrade.

Die Kraft P hat den Halbmesser R des Rades und die Last Q den Halbmesser r' der Welle zum Hebelsarm; das Gewicht des Wellrades sei G, der Zapfendruck N, der Zapfenradius r und der Reibungskoeffizient (p. Dann ist die Bedingung für den Zustand der gleichförmigen Bewegung im Sinne der Kraft:

(114.)

PP = Qr'-f- <pNr.

Der Zapfendruck hängt hierbei offenbar von den am Wellenrade' wirksamen Kräften P, Q, G und den Richtungen derselben ab; wir können uns dies bezüglich auf die Anführung der beiden am häufigsten vorkommenden Fälle beschränken:

1. Sind P, Q und G parallel, so haben wir

N=-Q + G ± P,

je nachdem P vertikal abwärts oder vertikal aufwärts wirkt;, mithin geht 114 über in

PR = Qr' | ÿ(Q + G)r ± epPr,

Qr+ (Q 4- G)rtp

woraus folgt

R + T(f>

als diejenige Kraft, welche sowohl die Last Q als auch die Zapfenreibung zu überwinden im stände ist. Man hat hierbei das obere oder das untere der beiden Vorzeichen im Nenner zu nehmen, je nachdem P lotrecht nach unten oder lotrecht nach oben wirkt; es ist leicht zu übersehen, dass bei allen möglichen Richtungen, die P haben kann, im ersten Fall der Zapfendruck und mithin auch die Reibung — unter sonst gleichen Umständen — am grössten, dass dagegen im letzten Falle N und W am kleinsten ausfallen. Das obere Zeichen liefert daher für P den möglichst grossen, das untere den möglichst kleinen Wert.

2. In der Regel bildet die Kraft P einen rechten Winkel mit Q und G, und man hat daun nach dem Pythagoräischen Lehrsatz

N = I P² p (Q p G)².

Mit Einführung dieses Wertes in die Gleichung 114 würden wir aber eine für P quadratische Gleichung und für die Anwendung viel zu umständliche Ausdrücke erhalten. Wir benützen daher Pon-celet’s Näherungsformel

VP² + (Q pW =. 0,4 P + 0,96 (Q + G), wodurch unter der Bedingung, dass

P<G + Q

wenn

ist, höchstens der Fehler von 4 pro Zent des wahren Werts begangen wird — ein Fehler, welcher kaum in Betracht kommt man an die unsichere Bestimmung des Reibungskoeffizienten und an die vielen Zufälligkeiten denkt, welche letzteren beeinflussen können. Wir setzen den obigen Näherungswert in 114 ein und erhalten PR — Qr -j- 0,4 Prep + 0,96 (Q -j- G) rep

und somit

_ Qr + 0,96 (Q + G) rep R — 0,4 r <p

Wenn die Kraft P an einer Kurbel normal zur letzteren arbeitet, so erleidet der Zapfendruck eine beständige Änderung und schwankt zwischen den beiden äussersten Werten Q + G + P und Q -R G — jP, ist also im Mittel Q -j- G. Für

N-= Q t G

diejenige durchschnittliche Kraft, welche an einer Kurbel die Last Q, sowie die Zapfenreibung überwinden kann.

§ 125.

Zapfenreibung an der Rolle.

Bezeichnet man die Radien der festen Rolle und des Zapfens mit R, bezw. r und nimmt zunächst an, dass P und Q gleich gerichtet sind, so ist bei Vernachlässigung des geringen Eigengewichtes der Rolle der Zapfendruck

N=P+Q,

mithin der Widerstand der Zapfenreibung

W = N(p = (P + Q) (p,

und es folgt aus der Gleichgewichtsbedingung

P R — Q R + (P + Q) r<p -.

(118.)

R + r y n

R — r (p

die Kraft, welche, abgesehen von der Seilreibung, die Last O gleich-massig zu heben fähig ist.

Soll dagegen die Last Q nur am Zurückgehen gehindert werden, so wirkt die Zapfenreibung gegen letzteres und im Sinne von P, es ist daher die Gleichgewichtsbedingung

P R + (P + Q) r (p = Q R,

woraus entsteht

(119.)

ergiebt sich aber aus 114

PR — Q r' -f- (Q + Q) r <p

und folglich ist

Qr' + (Q + G) r<p

p ₌ PPZUt Q

R + rq, ^

die Kraft, welche mit Hilfe der Zapfenreibung und ohne Rücksicht auf Seilreibung, der Last Q nur ein gleichförmiges Herabsinken gestatten würde.

Bilden die beiden Seilenden einen rechten Winkel, so ist der Zapfendruck

n = y P² + Q²,

oder, weil P und Q nur sehr wenig verschieden sind, annähernd

N= Q V2,

mithin das Reibungsmoment

M— r(fQ Ÿ2

und die Gleichgewichtsbeziehung

PR + rcpQ Ÿ2 = QR

oder

(120.)

R + r (p V 2

worin man das obere oder untere Zeichen gelten lassen muss, je nachdem die Last Q gehoben oder vor dem Zurückgehen eben noch bewahrt werden soll.

An der losen Rolle ist der Zapfendruck unter allen Umständen gleich der Last Q, vermehrt um das Eigengewicht G des. Rollenkörpers, folglich das Moment der Zapfenreibung

M — (Q -f- G) r (p.

Sind nun die Seilenden vertikal, so ist das statische Mo* ment der Last mit Rollengewicht (Q -j- G) R und das Moment der Kraft 2 PR, mithin die Bedingung des Gleichgewichts für Aufwärtsbewegung

woraus sich ergiebt

P =-

(Q + G).

(121.)

Wir haben das Eigengewicht G bei der festen Rolle vernachlässigt, dagegen bei der losen berücksichtigt, weil es dort nur die Reibung, hier aber auch zugleich die Kraft P beeinflusst-

§ 126.

Beispiele.

358. Ein 9 Meter hohes Wasserrad wiegt 12000 Kilogramm. Welche Kraft P muss tangential an seiner Peripherie wirken, um das Rad in gleichförmiger Bewegung zu erhalten, wenn der Zapfenradius 8 cm ist, der Reibungskoeffizient 0,03 beträgt und der Ein-fluss von P auf den Zapfendruck als verschwindend betrachtet wird ?

Antwort: P = Q,4 kg.

359.    Wie gross würde sich aber diese Kraft P heraussteilen, wenn man ihre Einwirkung auf den Zapfendruck berücksichtigt und annimmt, dass sie vertikal abwärts wirkt, also diejenige Richtung hat, in welcher sie den Zapfendruck am meisten verstärkt?

Antwort: Es ergiebt sich P — 6,4034 kg, also ein von 6,4 kg äusserst wenig verschiedener Wert.

360.    Man bestimme die sekundlichen Arbeiten, welche an dem Wasserrade einerseits die Zapfenreibung konsumiert und andererseits die Kraft P an der Radperipherie produziert.

Lösung: Für beide erhält man 12,1 mkg.

361.    Mittels eines Wellrades, für welches R — 100 cm, r — 18 cm, r — 4 cm, (p — 0,06 und G — 150 kg gegeben sind, soll eine Last von 1000 kg gehoben werden; man bestimme die hierzu nötige Kraft, wenn dieselbe 1) vertikal abwärts und 2) vertikal aufwärts gerichtet ist.

Resultate: Zu 1) P — 183,25 kg und zu 2) P — 182,32 kg.

362.    Welches sind die Wirkungsgrade des Wellrades in diesen beiden Grenzfällen unter der Voraussetzung, dass von der Seilsteifigkeit abstrahiert wird?

Antwort: 0,982, resp. 0,987.

363.    Was ergiebt sich in Aufgabe 361 für eine Kraft, welche horizontal am Umfange des Rades wirkt?

Antwort: P — 182,84 kg.

364.    Welche Last kann mit Hilfe eines 60 kg wiegenden Haspels, dessen Wellenhalbmesser (einschliesslich der halben Seilstärke) 12 cm und dessen Zapfenradius 2 cm lang sind, gehoben werden, wenn an den beiden 42 cm langen Kurbeln jeder von 2 kräftigen Arbeitern durchschnittlich einen Normaldruck von 10 kg ausübt und der Reibungskoeffizient zu 0,1 angenommen wird?

Antwort: Eine Last von 67,87 kg.

365.    An einer Brunnenwinde ist die Kurbel 40 cm, der Wellendurchmesser 20 cm und der Zapfenradius 2 cm lang; um die Welle ist ein 2 cm dickes Seil geschlungen, welches an dem einen Ende einen 15 kg wiegenden leeren und am anderen Ende einen 75 kg schweren vollen Eimer trägt. Welchen mittleren Druck auf den Kurbelgriff

hat man anzuwenden, wenn der Reibungskoeffizient 0,07 und das Gewicht der Winde 50 kg ist?

17 kg.

Antwort: Den Druck P — 16,99

366. Für eine Differentialwelle sind die beiden Halbmesser der

Welle (incl. der halben Seildicke) dt und r, die Kurbellänge l, der Zapfenradius r und der Zapfenreibungskoeffizient <p. Man entwickele die allgemeine Gleicbgewicbtsbedingung für das Emporzieben der Last Q durch die Kraft P unter Berücksichtigung der Zapfenreibung und mit Vernachlässigung der Seilsteifigkeit.

Lösung: — =

367. Die Bedingung des Gleichgewichts gegen das Zurückgehen der Last anzugeben.

Lösung: ~ =

3t — r + 2 ry

21

21

368. Was ergiebt sich in den beiden vorstehenden Fällen bei Rücksichtnahme auf das Eigengewicht der Differentialwinde?

Antwort: P =

dt —

21

-g±^f(Q + cf).

369.    Zwischen welchen Grenzen von P würde demnach eine Differentialwelle im Gleichgewichtszustände sich befinden für den Fall, dass l — 40 cm, 3t = 12 cm, r = 10 cm, r — 2 cm, y = 0,08, Q = 4000 kg und O — 100 kg sind?

Antwort: Zwischen 116,4 kg und 83,6 kg.

370.    Wie gross ist der Wirkungsgrad dieser Differentialwinde?

Antwort: 0,859.

371.    Vermittelst einer festen Rolle soll eine Last von 100 kg gehoben werden. Welches ist die hierzu erforderliche Kraft, wenn der Zapfenhalbmesser 1 cm, der Rollenhalbmesser 16 cm und der Winkel zwischen den verlängerten Seilenden 60° und der Reibungskoeffizient 0,08 gegeben sind?

Antwort: P = 100,866 kg.

§ 127.

Das Bremsdynamometer.

Um die Arbeitskraft einer Betriebsmaschine genau zu erfahren, bedient man sich eines Apparats, welcher das Bremsdynamometer oder der Prony’sche Zaum genannt wird. Derselbe ist in Figur 62 dargestellt und besteht in der Hauptsache aus einem längeren Hebel BA, an welchem rechts zwei segmentartig ausgeschnittene Holzstücken DI) durch die beiden Schrauben ED befestigt sind und an dessen linkem Ende A eine Wagschale hängt.

Diesen Apparat steckt man nun so auf die vom Motor bewegte Welle C, dass letztere durch die Backen oder Sättel DD genau umschlossen wird und ein Anziehen der Schraubenmuttern DE eine Pressung, infolgedessen auch Reibung zwischen dem Umfange der Welle und den inneren Flächen der beiden Bremsbacken erzeugt; zwei feste Hindernisse G und H, welche oberhalb und unterhalb des Hebels angebracht werden, verhüten ein Umherschleudern des letzteren und gestatten seiner Bewegung einen nur geringen Spielrau m.)

Hat man jetzt alle Arbeitsmaschinen von der Betriebswelle getrennt und zieht die Muttern EE in dem Masse an, dass die Welle diejenige Anzahl n von Umdrehungen per Minute macht, welche sie für den gewöhnlichen Betrieb der Anlage haben muss, so ist die Hutzarbeit unserer Kraftmaschine künstlich in Reibung umgesetzt: es kommt also nur noch darauf an, diejenige mechanische Arbeit, welche durch den Reibungswiderstand W am Umfange der Welle G verbraucht wird, genau zu messen.

Zu dem Ende belastet man die in A aufgehängte Wagschale so lange mit Gewichten, bis der Hebelsarm BA zwischen G und H horizontal frei schwebt. In dem Moment, wo letztere Thatsache eingetreten ist und zugleich die Welle C die vorgeschriebene Tourenzahl n hat, kann das Experiment als glücklich beendet angesehen werden ; denn bezeichnen wir den Halbmesser C J der Betriebswelle mit r, die Belastung des Punktes A mit Q und den Hebelsarm von Q in Bezug auf die Wellenaehse mit l, so sind Wr, Ql die statischen Momente von W und Q in Beziehung auf C, und es er-giebt sich aus der Momentengleichung

Wr — Ql

der Reibungswiderstand

— Q.

r

Mithin ist der Arbeitsverbrauch der Reibung nach einer vollen Umdrehung der Welle

also nach einer Minute

2 r re ' W — 2 u IQ,

A = 2nlnQ

und demnach während einer Sekunde

E=r

60

= ~lnQ,

das ist zugleich der Nutzeffekt der Kraftmaschine in Meterkilogrammen, sobald man nur l in Metern und Q in Kilogrammen ausdrückt. Mittels Division durch 75 entsteht oder, weil

14

2§h = °’⁰⁰¹³⁹⁶

ist,

(122.)

N — 0,0014 InQ, die sekundliche Nutzarbeit der Kraftmaschine (Wasserrad, Turbine, Dampfmaschine etc.) in Pferdekräften.

Bezüglich der Anwendung von Prony’s Zaum in der Praxis sei noch bemerkt:

1.    Wenn die Betriebswelle C zu schwach oder nicht genau zylindrisch, resp. nicht sauber abgedreht ist, so umgiebt man sie mit einem gusseisernen Bremsringe, dessen Achse mit der Rotationsachse der Welle genau zusammenfällt und welcher selbstverständlich an die letztere fest angeschraubt werden muss. Liegt die Tourenzahl der Welle zwischen 15 und 30, so macht man nach Poncelet den Durchmesser des Bremsringes bei einer sekundlichen Arbeit

von 6 bis 8 Pferdestärken 16 Zentimeter,

» 15 „ 25 „ 40 „ 60

30 bis 40 Zentimeter und 65 „ 80

lang, damit der zwischen der Welle und den Bremssätteln notwendige Druck nicht zu gross wird und von einem oder zwei Menschen mit Hilfe von Schraubenschlüsseln bequem hervorgebracht werden kann.

2.    Um einer zu grossen Erhitzung der sich reibenden Körper vorzubeugen, wird vermittelst des Kanals K den Reibungsflächen beständig Seifenwasser zugeführt.

3.    In der Belastung Q ist nicht nur das Eigengewicht der Wagschale, sondern auch das auf den Punkt A reduzierte Eigengewicht des Bremsdynamometers einbegriffen. Wiegt nämlich der ganze Apparat G Kilogramm und ist a der kürzeste Abstand seines Schwerpunktes S von einer durch C gehenden Senkrechten, so wirkt eine Kraft P mit dem Hebelsarm l genau dasselbe wie G, wenn

Pl{= Ga

ist. Folglich haben wir in

Oj

l ² ■das auf den Druckpunkt A reduzierte Eigengewicht vom Prony’schen Zaum; die Länge a kann hierbei experimentell leicht festgestellt werden, indem man den Apparat auf einer scharfen Schneide, z. B. auf einer dreikantigen Feile, so lange verschiebt, bis er frei schwebt;²) denn dann liegt der Schwerpunkt S des Bremsdynamometers lotrecht über der Feilkante.

Übrigens kann man die ganze letzte Operation sparen, wenn man das Bremsdynamometer ausbalanciert, d. h. den Hebel links von C derartig belastet, dass der Schwerpunkt vertikal über der Drehachse C zu liegen kommt; denn in diesem Falle ist a und demnach auch jP gleich Null.

4.    Die Belastung Q kann auch ersetzt werden durch die Spannung eines Seiles,, dessen Enden einerseits in A am Hebel und andererseits an einer Federwage befestigt sind. Ist dieses Seil genau lotrecht gespannt, so zeigt die Federwage direkt den Druck Q an, welcher notwendig ist, um der Reibung in jedem Augenblick das Gleichgewicht zu halten.

5.    Bei vertikal stehender Welle kann zwar das Bremsdynamometer ebenfalls zweckentsprechend benützt werden, es muss aber dann der Endpunkt A des Hebels in einer horizontalen Führung laufen, weil sonst das ;Eigengewicht eine Verdrehung der ganzen Bremse herbeiführen könnte. Die Zugkraft Q in A kann entweder mit einer Federwage oder auch durch ein Gewicht gemessen werden, welches an einem über eine feste Rolle geleiteten Seile hängt; selbstverständ-lieh muss das Seilstück von A bis zur Eollenperipherie genau hori-zontal und ausserdem perpendikulär zum Hebel SA gerichtet sein.

man

6. Offenbar kann man mit dem Bremszaum für ein und dieselbe Kraftmaschine eine ganze Eeihe von Versuchen anstellen, indem den Nutzeffekt bei verschiedenen Umfangsgeschwindigkeiten der Betriebswelle bestimmt. Ein Vergleich der erhaltenen Eesultate lässt, dann erkennen, bei welcher Tourenzahl die Nutzarbeit am grössten ist

¹

Kirchweger schloss ausserdem aus seinen Versuchen, dass der Reibungskoeffizient unabhängig sei vom spezifischen Druck und von der Geschwindigkeit.

²

Noch einfacher findet man den Druck P, welchen das eigene Gewicht 0 des Instrumentes im Punkte A ausübt, wenn man den Sattel D lose auf eine Welle setzt und den Endpunkt A des Hebels an eine Federwage hängt; die Zugkraft an letzterer giebt P an.

§ 128.

Beispiele.

372. Um die Nutzleistung eines Wasserrades, welches in einer Minute 6 Umdrehungen machen soll, zu erfahren, setzt man auf seine Welle ein vorher ausbalanciertes Bremsdynamometer, dessen Hebelsarm 3,6 m lang ist. Nachdem man durch vorsichtiges Anziehen der Bremsbacken durch die Schraubenmuttern die vorgeschriebene Tourenzahl und durch allmähliches Auflegen von Gewichten auf die Wagschale den Gleichgewichtszustand des Instrumentes herbeigeführt hat, addiert man [die aufgelegten Gewichtsstücke zusammen und findet 226,25 kg. Wie gross berechnet sich hieraus der Nutzeffekt des Wasserrades in Pferdestärken?

Antwort: N = 7,2 SS.

373. Welches ist der Wirkungsgrad des Wasserrades in voriger Aufgabe , wenn in jeder Sekunde 850 Liter Wasser zufiiessen und das nutzbare Gefälle 1,5 Meter beträgt?

7,2

Antwort: rj = ~ — 0,42.

374. Die Nutzarbeit einer Turbine zu berechnen, wenn bei 76 Umdrehungen in der Minute der 2,9 Meter lange Hebelsarm des Bremsdynamometers auf die Federwäge einen Druck von 147,5 kg ausübt?

Eesultat: 45,513 PS.

375. WTie hoch stellt sich der Wirkirngsgrad dieser Turbine, wenn das Aufschlagwasser 1,6 Kubikmeter und das Gefalle 3 Meter

beträgt?

Antwort: rj = 0,71.

376. Für das Wasserwerk der Stadt Bern wurden 1878 zwei ganz gleiche Turbinen von zusammen 230 Pferden' ausgeführt (Gf. Meissner, „Wasserräder und Turbinen“), und garantierten die Lieferanten eine Nutzleistung von 70 Prozenten. Vor Übernahme der Motoren seitens der Stadt Bern sollten die Leistungen beider Turbinen von Sachverständigen festgestellt werden und wurden zu dem Ende zwei sorgfältige Versuche mit einem Bremsdynamometer, dessen Hebel genau 4 Meter lang war, vorgenommen.

Die erste Turbine hatte ein totales Gefälle von 1,712 Meter, das Aufschlagwasser betrug 6675 Liter und bei 100 Umdrehungen der Turbinenwelle in der Minute war eine Belastung des Hebels von 180 Kilogramm notwendig; wie hoch berechnet sich hieraus der theoretische und der Nutzeffekt in Pferdestärken?

Antwort: ersterer zu 152,348 und letzterer zu 100,8 PS.

377. Weil aber der Prony’sche Zaum nicht direkt an der Turbinenwelle, sondern erst an einer zweiten Transmissionswelle angebracht werden konnte, so kommt zur gebremsten Leistung von 100,8 PS noch der Arbeitskonsum der Reibuug zweier konischer Räderpaare und der beiden Transmissionswellen in ihren Lagern. Um den Reibungswiderstand zu messen, wurde *lie Turbine gänzlich vom Wasser entleert, jede Belastung der ausbalancierten Bremse entfernt und allmählich auf das Hebelende Gewichte gelegt. Wenn nun bei 13 kg die Transmission samt Turbine sich zu drehen anfing, wie hoch berechnet sich dann der Arbeitsverbrauch durch Reibung und mithin die effektive Leistung der Turbine?

Antwort: Die Reibungsarbeit ist hei hundert Touren pro Sekunde 7,2 PS und folglich die Nutzarbeit der ersten Turbine 108 Pferdestärken.

378. Wie gross ist demnach der Wirkungsgrad der ersten

Turbine?

Antwort: 0,7089 oder rund 71 Prozent.

379. Für die zweite Turbine war das Gefälle 1,69 Meter, die sekundliche Wassermenge 6480 Liter und bei 97,6 Umdrehungen per Minute die Hebelbelastung des Bremsapparates 179,5 kg. Man bestimme hieraus die Totalarbeit, die Nutzarbeit und den Wirkungsgrad der Turbine, wenn der Verlust durch die Reibung der Transmission so gross wie vorhin angenommen wird.

Resultate: Totalarbeit 146 Pferde, Nutzarbeit 98 -f- 7,2 = 105,2 Pferde und der Wirkungsgrad 0,72 oder 72 Prozent.

§ 129.

Reibung am vollen ebenen Spurzapfen.

Wenn eine Wellenachse vertikal gerichtet ist, so entsteht an der kreisförmigen Basis des zylindrischen Zapfens die gewöhnliche gleitende Reibung und sind daher die in §§ 111 und 112 zusammengestellten Koeffizienten anzuwenden.

Was aber das statische Moment dieser Reibungsart in Bezug auf die Drehachse anbelangt, so können wir bei neuen Spur-zapfen annehmen, dass in der der Richtung der Wellenachse wirkende Druck D sich gleichmässig auf die Unterstützungsfläche verteilt und dass daher auf alle Punkte der letzteren gleich grosse und parallele Kräfte wirken.

Zerlegen wir jetzt die Basis des Zapfens durch die Radien OB, OE . . . (Pig. 61) in zahllose Sektoren, welche als Dreiecke betrachtet werden können, so ist der Angriffspunkt der Resultante von allen auf die einzelnen Punkte der letzteren wirkenden Normalkräfte laut der in § 58 angeführten Definition zugleich der Schwerpunkt der homogenen Dreiecksfläche*B OE ; die resultierenden Drücke sämtlicher Sektoren, aus welchen die Kreisfläche besteht, wirken daher in der

OOi fco

Peripherie eines Kreises, welcher mit dem Halbmesser

r um 0

beschrieben wird.

Es ist folglich das Moment des Reibungswider Standes

W = fD

in Beziehung auf die Rotationsachse:

(123.)

1-rfD.

Die durch die Reibung verbrauchte Arbeit ist in vorstehendem Falle während einer Umdrehung des Zapfens

2    4

— m W = — n fr D,

o    o

folglich bei der Tourenzahl n innerhalb einer Minute

nfnrD

ö

mithin während einer Sekunde

E= -

60

- -kfnrD

und zwar in Meterkilogrammen, sobald r mit Meter undjX) mit Kilogrammen gemessen sind. Hieraus ergiebt sich weiter

N=-E-

75

»mfrnD

oder, weil

3^f = °’⁰⁰⁰⁹³⁰⁸

0,000931 ist:

(124.)

N = 0,000931 frnD, der durch die Reibung am stehenden Kreiszapfen verursachte Reibungsvertust in Pferdestärken.

Hierbei ist natürlich die (sehr geringe) Reibung am Mantel des Zapfens, welche durch kleine Schwankungen der Welle und dadurch herbeigeführte seitliche Drücke verursacht werden kann, nicht mit in Betracht gezogen worden.

Fängt der neue Zapfen an zu laufen, so ist die Abnutzung desselben nach der Peripherie zu wegen der grösseren Geschwindigkeit bedeutender als nach dem Mittelpunkte zu und in Folge dessen bleibt die Verteilung des Normaldrucks auf die Grundplatte nicht gleich-mässig, sondern derselbe wird nach dem Umtange der kreisförmigen Basis hin allmählich geringer; hierdurch rückt aber die (kreisförmige) Angriffslinie des resultierenden Druckes mit der Zeit etwas näher an den Mittelpunkt O heran. Diese ungleichförmige Abnutzung des Zapfens dauert aber offenbar nur so lange an, bis zwischen der Einwirkung der Geschwindigkeitsdifferenz und dem Einflüsse des Druckunterschiedes ein Ausgleich stattgefunden hat; von diesem Augenblicke an erfolgt die weitere Abnutzung des Zapfens gleichmässig und man sagt: der Zapfen hat sich eingelaufen.

Durch schätzungsweise Rechnung ward gefunden und die Er-

r

vom

fahrung hat bestätigt, dass die Druckresultante im Abstande —

u

Zentrum O angreift; es wäre demnach für den eingelaufenen vollen Stützzapfen das Reibungsmoment

ütt = -- rfD

und der Verbrauch an Arbeit pro Minute

f'D r n n,

folglich per Sekunde

in.

~ frnD

oder in Pferden

92 =

4KÖO frn^ ~ 0.000698 frnD.

(126.)

an neuen Stützzapfen grös-

³³V₃ °/o ’ denn

Aus den Formeln 123 bis 126 können wir schliessen, dass unter sonst gleichen Umständen die Reibung ser ist als an den eingelaufenen und zwar um setzen wir die Gleichungen 123 und 125, bezw. 124 und 126 ins Verhältnis, so folgt

§ 130.

Zwei allgemeine Bemerkungen über Zapienreibnng.

Wir haben im vorstehenden die Reibung nur für zwei Zapfenformen bestimmt, nämlich für den zylindrischen Tragzapfen, sowie für den vollen ebenen Spurzapfen, und zwar schon aus dem Grunde, weil die Hillsmittel der niederen Mathematik nicht ausreichen, um die Reibung auch für andere, hie und da vorkommende Formen (z. B. konische, Kugel- und Antifriktionszapfen) zu ermitteln.

Glücklicher Weise werden aber die beiden zuerst genannten, die eigentlichen Noimalzapfen, in der Praxis fast ausschliesslich angewendet und zwar mit vollem Rechte; denn wie von Reiche zeigt, verbrauchen sie unter [sonst gleichen Umständen von allen Zaplenfoimen durch die Reibung am wenigsten mechanische Arbeit, eifordern also auch das geringste Mass von Schmiere und verursachen zugleich die unbedeutendste Materialabnutzung.

Die Formeln 113, 124 und 126 lassen erkennen, dass der durch die Zapfenreibung pio Sekunde verursachte Arbeitsverlust mit dem Reibungskoeffizienten /, resp. y, dem Zapfenhalbmesser r, der Umlaufszahl n und dem Zapfendiuck D gleichmässig wächst; man sollte daher, so weit es die praktischen Verhältnisse gestatten, diese vier Grössen immer so klein als möglich zu machen suchen. Hat man dies auch bezüglich der beiden letzten meistens weniger in der Hand, so kann man doch den Zapfenradius stets so geling machen, als es die Festigkeit auf die Dauer erfordert und ist auch imstande, den Reibungs-koëffizienten durch reichliche stetige Zufuhr von gutem Öl oder durch geeignete Schmiermittel auf ein Minimum herabzudrücken.

§ 131.

Beispiele.

380.    Das Gewicht einer Turbine samt Welle und darauf sitzendem Zahrade beträgt 1800 kg, die Stärke des Stiftes an der Basis 2,5 cm und die Anzahl seiner Umdrehungen in der Minute 100. Wie viel Arbeit pro Sekunde konsumiert die Reibung des Stiftes, wenn derselbe a) noch neu und b) schon eingelaufen ist, den Reibungskoeffizienten zu 0,1 angenommen?

Lösungen: a) 15,7 und b) 11,8 Meterkilogramm.

381.    Bei einer anderen 2500 kg wiegenden Turbine, welche während einer Minute 32 Umläufe macht, ist der Halbmesser des ebenflächig-kreisförmigen und bereits eingelaufenen Stiftzapfens 3 cm, der Reibungskoeffizient 0,075, das Aufschlagwasserquantum pro Sekunde 0,6 cbm und das Gefälle 1,6 m. Man bestimme den durch, die Zapfenreibung verursachten Arbeitsverlust im Verhältnis zum absoluten Effekt.

Lösung: Die Reibungsarbeit beträgt 9,425 mkg, die Totalarbeit 960 mkg in der Sekunde, folglich die erstere nahezu 1 °/₀ der letzteren.

382.    Der Läufer eines Mahlganges wiegt 900 kg und macht 100 Umgänge per Minute, während der stählerne und gut eingelaufene Spurzapfen des 80 kg schweren Mühleisens 48 mm Durchmesser hat. Wie viel Reibungsarbeit wird sekundlich aufgebraucht, wenn der Koeffizient zu 0,06 angenommen werden dai'f?

Antwort: 7,24 Meterkilogramm.

383.    Man bestimme für einen noch neuen, stehenden und ebenen Ringzapfen das Reibungsmoment M und die sekundliche Reibungsarbeit E, wenn die beiden Radien R, r der Berührungsflächen in Metern, der Zapfendruck D in Kilogrammen, die Tourenzahl n und der Koeffizient / der gewöhnlichen gleitenden Reibung gegeben sind.

Auflösung: Teilt man den Kreisring durch Radien in zahllose (gleiche) Stücke, so ist ‘nach dem Resultate der Aufgabe 210 für ein jedes solches Ringstück der Abstand des Schwerpunktes vom Zentrum, das ist zugleich der Hebelsarm des resultierenden Zapfendruckes,

2 R² + Er + r²

R -f- r

weil für verschwindende Zentriwinkel die Bögen sich nicht mehr von den zugehörigen Sehnen unterscheiden und folglich aach a — sin a ist; mithin ergiebt sieh als Moment der Reihung eines ebenen Ringzapfens

i/=4

R² 4- Rr + r2 R 4- r

fD.

Leicht erhält man jetzt auch den Reibungseffekt

45

R² 4- Rr 4- r²

R 4- r

fnD Meterkilogramme.

384. Wie hoch, stellt sich aber das Moment 3JÏ und der sekundliche Arbeitskonsum (£ heraus, wenn sich der in voriger Aufgabe genannte Ringzapfen bereits vollkommen eingelaufen hat, so dass man als Hebelsarm des resultierenden Zapfendrucks das Mittel aus den beiden Halbmessern R und r annehmen darf?

R 4- r

fD und

Resultate: Es ergiebt sich —

TC

© = — f(R 4" r)nD Meterkilogramme.

§ 132.

Die wälzende Reibung.

Auch für die rollende Reibung ist noch keineswegs eine definitiv feststehende Theorie vorhanden; es ist aber für die Praxis vorläufig vollkommen ausreichend, wenn man mit Coulomb annimmt, dass der Widerstand dieser Reibungsart direkt proportional dem Drucke Q gegen die Unterlage und verkehrt proportional ist dem Halbmesser R des rollenden Zylinders.

Es lassen sich diese beiden Gesetze sogar theoretisch begründen; denn wenn ein Cylinder mit dem Radius CA — CE — R (Fig. G3) und der Belastung Q auf einer horizontalen Ebene XY an ein Hindernis bei A (welches auch durch Eindrücken der Walze in die Unterlage entstehen kann) stösst, über welches er durch eine in der Walzenachse C angreifende horizontale Kraft P hinweggehoben wer-

den soll, so sind die Hebelsarme von P, resp. Q die Strecken ABy resp. AE und folglich herrscht zwischen beiden Kräften Gleichgewicht, wenn die Beziehung

P-AB = Q . AE

oder

AE

AB

Ist nun das Hindernis hei A im Verhältnis zum Wal-

besteht.

zenhalbmesser sehr klein, so ist AB nahezu gleich CE — R und mithin

P = AE •

Die Strecke AE, welche offenbar lediglich von der Beschaffenheit des Weges ahhängt und selbstverständlich mit derselben Längeneinheit wie R gemessen werden muss, heisst der Koeffizient der wälzenden Reibung. Bezeichnen wir letzteren 'mit ip, so ist

(127.)

P w- R

diejenige Kraft, welche im Mittelpunkt der Walze in horizontaler Richtung wirkt und die rollende Reibung auf wagerechter Bahn zu überwinden imstande ist; geht die Bewegung auf schiefer Ebene vor sich und ist P parallel zur letzteren, so hat an die Stelle von Q der Normaldruck N zu treten.

Wird R in Zentimetern ausgedrückt, so ist nach Versuchen von Coulomb: auf Unterlage von Eichenholz

für Walzen aus Poekholz xp — 0,046 „    ,,    „ Ulmenholz ifj — 0,08

und auf eisernen Schienen

für gusseiserne Räder

ip 0,05.

§ 133.

Reibung bei Fuhrwerken.

An jedem Rade eines Fuhrwerks treten die rollende und die Zapfenreibung zugleich auf. Stellt Q die Belastung nebst dem Eigengewichte des Wagens dar, sind R, r die Halbmesser des Rades,

bezw. des Zapfens und, wie früher, y und ip die Koeffizienten beider Reibungsarten, so haben wir in Beziehung auf die Drehachse als Moment der Zapfenreibung y>rQ und als Moment der wälzenden

Reibung ip • —=r- B = ip Q. Mithin ist das Moment der horizontalen B

Kraft jP

PB == qorQ + *pQ,

woraus folgt

(128.)

Weil r im Zähler und B im Nenner steht, so braucht auf horizontalem Wege die Horizontalkraft P, welche das Fahrzeug bewegt, um so geringer zu sein, je kleiner der Zapfenradius und je .grösser der Radhalbmesser ist. Auf die Anzahl der Räder kommt es hierbei nicht an, weil der Reibungswiderstand derselbe bleibt, ob nun der Druck Q auf einer einzigen Achse lastet oder sich auf beliebig viele verteilt.

Fasst man aber beide Reibungsarten zusammen und setzt die Zugkraft P proportional der Last Q, also

(129.)

P = f*Q,

so ist nach Versuchen von Morin der Widerstandskoëffizient /i

-À- bis -¹

auf sehr guter, trockner und ebener Schotterstrasse auf harter Schotterstrasse mit leichten Geleisen

50

83’

und weichem Kot

L- bis -L

27

45 ’

auf schlechter Schotterstrasse mit hartem rauhen

Grunde

auf sehr gutem Pflaster

¹ u- ¹

TFbls —

A bis A

21 ’

05

108’

auf festem Erddamm .

auf einer Brückenbahn von Holz.    .

W biS 45’

¹ V ¹

—— bis ——

43

71

und

für Eisenbahnwagen

250

370’

Die links stehenden grösseren Zahlen ergaben sich bei Wagen mit 1,25 Meter hohen Rädern, dagegen die rechts stehenden kleineren Werte bei Versuchen mit Wagen, deren Räder 2,1 Meter im Durchmesser massen; für Räder, deren Durchmesser innerhalb dieser Grenzen liegen, könnte man verhältnismässige Zwischenwerte wählen.

§ 134.

Beispiele.

385.    Welche Kraft ist nötig, um die rollende Reibung einer 42 000 hg wiegenden Lokomotive zu überwinden, wenn die Durchmesser der Räder 1,4 Meter betragen?

Antwort: P — 30 hg.

386.    Ein Zylinder aus Ulmenholz von 10 hg Gewicht und 50 cm Durchmesser liegt auf einer horizontalen Bahn von Eichenholz; man bestimme diejenige durch die Axe des Zylinders gehende Horizontalkraft, welche den letzteren gleichförmig zu bewegen im stände ist.

Resultat: 32 Gramm.

387.    Eine Last soll auf horizontaler Bahn XY (Fig. 64) vermittels der Walzen A, B und der Platte CD durch die in C wirkende Horizontalkraft P tortbewegt werden; die Last incl. Platte sei mit Q, der Halbmesser der Walzen mit r, die Koeffizienten der rollenden Reibung, einerseits zwischen Walzen und Unterlage, andererseits zwischen Walzen und Platte, seien mit gj, resp. ip' bezeichnet. Es soll P mit und ohne Berücksichtigung des Gewichtes O beider Rollen ermittelt werden.

Resultate: Man findet P =

ip (Q G) ip Q

bei Berück-

sichtigung und P = (xp -f- xp') bei Vernachlässigung des Eigengewichtes beider Walzen.

388. Ein Körper von 240 hg Gewicht soll mittels hölzerner Walzen von 17,2 cm Durchmesser und einer zwischengelegten Eichenholzbohle auf gutem ebenen Steinpflaster fortgeschafft werden. Wie gross muss mindestens die Zugkraft P sein Reibungskoeffizienten 0,16 und 0,74 sind?

wenn die bezüglichen

Antwort: 12,05 kg.

389.    Ein Wagen, welcher samt Belastung 3000 kg wiegt und dessen Räder 1,675 Meter hoch sind, soll auf guter, trockner und wagerechter Strasse fortgezogen werden. Welcher Zugkraft bedarf es?

Antwort: 48,07 kg.

390.    Wie viel Zugkraft wäre aber bei 3 °/₀ Steigung erforderlich?

Antwort: 198,07 kg.

^o/iłoclno'^

Vorwort

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung...............

Erstes Kapitel. Die wichtigsten Bewegungsarten

§    1. Einteilung der Bewegungen.....

§ 2. Die gleichförmige Bewegung .....

§ 3. Beispiele............

§ 4. Die gleichförmige Kreisbewegung . . .

§ 5. Beispiele............

§    6. Kiemen- und Räderverbindungen .    .    .

§ 7. Beispiele............

§ 8. Die mittlere Geschwindigkeit ....

§ 9. Beispiele............

§ 10. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung

§ 11. Beispiele............

§ 12. Die gleichförmig verzögerte Bewegung .

§ 13. Beispiele............

§ 14. Der freie Fall und der senkrechte Wurf der Körper ...    22

§ 15. Beispiele

Zweites Kapitel. Grundgesetze und Grundbegriffe der Mechanik .    .    24

§ 16. Das Grundgesetz vom Beharrungsvermögen.....

§ 17. Entwickelung des Begriffes „Kraft“........

§ 18. Einteilung der Kräfte.............

§ 19. Bestimmungsstücke einer Kraft..........

§ 20. Das Grundgesetz der Wechselwirkung.......

§ 21. Mechanische Arbeit..............

§ 22. Beispiele..................

§ 23. Krafteffekt. Pferdetsärke............

§ 24. Beispiele..................

§ 25. Mechanische Arbeit durch Maschinen. Wirkungsgrad .    .

§ 26. Bestimmung der Effekte bei Wasserrädern, Turbinen und Dampfmaschin en

10

12

13

14

15

16

18

19

20

23

24

25

27

. 28 . 29

29

31

32

34

. 36

§ 27. Beispiele

40

§ 28. Das Grundgesetz der Beschleunigung

42

43

§ 29. Beispiele..........

45

§ 30. Entwickelung des Begriffes „Masse“

46

§ 31. Beispiele..........

§ 32. Einführung von Kraft und Masse in die Bewegungsformeln 48

49

§ 33. Beispiele............

52

53

§ 34. Das Prinzip der lebendigen Kräfte § 35. Wirkungsweise der Schwungräder .    .    .

55

§ 36. Gleichförmigkeitsgrad des Schwungrades

56

§ 37. Beispiele............

§ 38. Vermischte Aufgaben über Kräfte und deren Effekte ... 57 § 39. Das Grundgesetz von der Unabhängigkeit der Bewegungen 59 Drittes Kapitel. Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte ... 61 § 40. Geometrische Darstellung der Kräfte. Zusammensetzung

61

derselben im allgemeinen........•    .    .    .

62

§ 41. Das Parallelogramm der Kräfte...........

64

§ 42. Beispiele...................

66

§ 43. Das Polygon der Kräfte.............

67

§ 44. Beispiele...................

68

§ 45. Zerlegung der Kräfte..............

69

§ 46. Beispiele...................

§ 47. Verlegung des Angriffspunktes. Gleichgewicht zweier Kräfte

70

mit verschiedenen Angriffspunkten.........

71

§ 48. Kräfte in einer Ebene an fest verbundenen Punkten angreifend ...............

72

§ 49. Zwei parallele Kräfte in der Ebene......

74

§ 50. Beispiele................

. . 75

Viertes Kapitel. Von den parallelen Kräften im Raume .    .

75

§ 51. Statisches Moment einer Kraft........

76

§ 52. Zwei parallele Kräfte im Raume.......

§ 53. Parallele Kräfte an beliebigen Punkten eines festen Systems 77

78

§ 54. Beispiele...................

§ 55. Gleichgewichtsbedingung für parallele Kräfte, welche an

80

einem festen Körper wirken........

. 81

§ 56. Bestimmung von Reaktionen.........

83

§ 57. Beispiele................

84

Fünftes Kapitel. Die Lehre vom Schwerpunkte.....

84

§ 58. Erklärungen...............

. 85

§ 59. Fundamentalsatz der Schwerpunktslehre ....

. . 86

§ 60. Schwerpunkte homogener geradliniger Gebilde . .

88

§ 61. Fortsetzung..............

89

§ 62. Beispiele................

90

§ 63. Schwerpunkt eines homogenen Kreisbogens .    .    .

92

§ 64. Beispiele................

§ 65. Schwerpunkte homogener ebener Flächen ....

ß 66. Beispiele................

ß 67. Schwerpunkte homogener krummer Flächen .    .    .

§    68. Beispiele................

§    69. Schwerpunkte von Prisma und Zylinder, Pyramide und

Kegel...................

§    70. Schwerpunkte vom Pyramiden- und vom Kegelstumpfe . . 103

§    71. Schwerpunkte vom Kugelausschnitt und Kugelabschnitt

§    72. Beispiele.................' .

§ 73. Von den verschiedenen Gleichgewichtszuständen der Körper 107

§ 74. Beispiele..............

Sechstes Kapitel. Von den einfachen Maschinen .    .    .

96

. . 97

100

101

. 104

106

108

ß 75. Definitionen.................

ß 76. Der Hebel..................

ß 77. Gleichgewicht am Hebel.............

ß 78. Beispiele...................

ß 79. Stabilität der Körper..............

ß 80. Beispiele.............-.....

§    81. Beurteilung der Stabilität eines Körpers aus seinem Gewichte und der Lage seines Schwerpunktes .    .

O O

T—i T—!

110

110

112

114

117

. . 119

ß 91. Beispiele.....

120

121

123

123

l—l

CO DO

128

131

132

133

§    92. Mechanische Arbeit der Kräfte an einfachen Maschinen

Siebentes Kapitel. Zusammengesetzte Maschinen.....

§ 93. Hebelverbindungen.............

. ß 94. Räderwerke.................

§ 94. Beispiele..................

§ 95. Die Differentialwelle.............

ß 96. Beispiele..................

§ 97. Der gemeine Flaschenzug.......... .

§ 98. Der Potenzflaschenzug.......... . . .

§ 99. Beispiele..................

§ 100. Der Differentalflaschenzug...........

§ 101. Beispiele..................

ß 102. Die Schraube ohne Ende............

§ 103. Beispiele..................

ß 104. Die Differentialschraube............

§ 105. Beispiele..................

. 134

137

137

138

140

141

143

143

144

145

146

147

148

149

149

§ 106. Schlussbetrachtung ....

152

152

152

153

155

157

Achtes Kapitel. Von der Reibung .    .

§ 107. Allgemeines.......

§ 108. Erfahrungsgesetze nach Morin § 109. Reibungskoeffizient ....

.    . 155

§ 110. Beispiele........

§ 111. Koeffizienten der gewöhnlichen gleitenden Reibung nach Morin...................

§ 112. Einfluss des spezifischen Druckes und der Geschwindigkeit auf die Reibung ...............

§ 113. Beispiele...........

162

§ 114. Reibung auf horizontaler Bahn . . .

163

§ 115. Reibung auf der schiefen Ebene . .

165

§ 116. Beispiele...........

166

§ 117. Der Reibungswinkel.......

167

§ 118. Beispiele......• . . . .

168

§ 119. Reibung an der Schraube.....

170

§ 120. Wirkungsgrad der Schraube ....

172

§ 121. Beispiele...........

173

§ 122. Zapfenreibung.........

174

175

§ 123. Reibung am zylindrischen Tragzapfen § 124. Zapfenreibung am Wellenrade .    .    .

177

§ 125. Zapfenreibung an der Rolle ....

178

§ 126. Beispiele...........

OO 00

§ 127. Das Bremsdynamometer '.....

§ 128. Beispiele...........

186

§ 129. Reibung am vollen ebenen Spurzapfen § 130. Zwei allgemeine Bemerkungen über Zapfenreibung . .    .188

189

§ 131. Beispiele......

190

§ 132. Die wälzende Reibung .

191

193

§ 133. Reibung bei Fuhrwerken S 134. Beispiele......

Bemerkte Druckfehler und Irrtümer,

welche vor dem Gebrauche des Buches zu verbessern sind.

Es ist zu setzen:

Seite 8, Zeile    10    von    oben 8,72 statt    8,46

2    „    unten 120 statt    112

k„    13    „    oben'» statt n

„ n statt »

„ 140 statt 120 „ 4 Meter Geschwindigkeit „ 52 cm statt 50 cm „ 247,401 statt 147,401 ; mithin „ unten 4,4 statt 2,62 und

„ 6,6pferdige statt vierpferdige „ oben 58,86 statt 40,86 „ 39,24 statt 39,64 „ f statt F „ 0,955 statt 0,995

3r    r

„ 5^ ⁼ 0)191 r statt ^ = 0,159 r

„ seine Höhe h statt seinen Radius r,

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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KHAKI 7

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