WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Biblioteka Politechniki Krakowskie]

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Grundzöge der

fieschichte des Rechnens

nebst kurzen Erläuterungen verschiedener Rechnungsarten der

Kulturvölker alter und neuer Zeit von

£2 K. Z E P F.

Hit einem Titelbild, vier lithographierten Tatein ===== und mehreren Abbildungen. ==

Karlsruhe

Verlag der Hofbuchhandlung Friedrich Gufsch.

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KRAKÓW

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Vorwort.

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Die abendländischen Christen.

Die Erfindung der Dezimalbrttche.

Register.

Text - Bibliothek

Vorwort.

Angeregt durch seine berufliche Tätigkeit machte der Unterzeichnete vor mehreren Jahren auf der hiesigen Universitätsbibliothek nach einer größeren Anzahl fachwissenschaftlicher und kulturgeschichtlicher Werke eingehende Studien über die Geschichte der Mathematik. Im vorigen Sommer unterzog er ihre Ergebnisse unter Berücksichtigung der in der Zwischenzeit erschienenen neuen Auflagen und sonstiger Neuerscheinungen, soweit sie ihm zugänglich waren, einer genauen Durchsicht und entschloß sich, vorliegenden Auszug als „Grundzüge der Geschichte des Rechnens“ herauszugeben. Die kleine Arbeit dürfte dem künftigen Lehrer und der künftigen Lehrerin manche Anregung geben und auch verschiedenen, bereits im Amte stehenden Kollegen willkommen sein, denen keine größeren Werke zur Verfügung stehen, oder die weder Zeit noch Lust haben, umfangreiche Spezialwerke zu lesen, die gewöhnlich das gesamte Gebiet der Mathematik umfassen und die elementare Arithmetik nur nebenbei streifen. Die an vielen Stellen eingestreuten sachlichen Erläuterungen sollen denen, die dem Stoffe etwas fernstehen, das Verständnis erleichtern oder in Vergessenheit Geratenes auffrischen.

Freiburg i. Br., Ostern 1906.

K. Zepf.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

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Einleitung.........................

Die Ägypter........................

Die Babylonier.......................

Die Chinesen........................

Die Griechen........................

Die Börner.........................

Die Israeliten........................

Die Inder..........................

Die Araber.........................

Die abendländischen Christen................

Die Algorithmiker......................

Deutsche Bechenmeister. . . . •..............

Die Erfindung der Dezimalbrüche..............

Die Entwickelung der gegenwärtigen Bechenmethode.

A.    Die Periode des Begelrechnens..............

B.    Beformversuche.....................

C.    Ausgleich der Gegensätze................

D.    Anschauungsmittel.

1.    Materielle.......................

2.    Graphische......................

E.    Die schriftlichen Lösungsarten der angewandten Aufgaben.

1.    Der Proportionsatz. Die Begeldetri..........

2.    Die Welsche Praktik.................

3.    Der Bees’sche Satz. Der Kettensatz..........

4.    Die Basedow’sche Regel................

5.    Das Schlußrechnen. Der Zweisatz...........

6.    Die Grundsätze des heutigen Bechenunterrichts ....

10

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Einleitung.

Die Sinnesorgane melden uns schon in der frühesten Jugend häufig eine Reihe räumlich nebeneinanderstehender Gebilde, eine Anzahl sich zeitlich nacheinander abspielender Vorgänge. Gelangen diese Meldungen zum Bewußtsein, so erwecken sie in uns Vorstellungen, die die Grundlagen für die Erkenntnisse bilden. Aus solchen Erkenntnissen baut sich dann der Verstand seine ersten Zahlbegriffe auf, und die Sprache gibt ihnen die Namen.

Da alle Völker auf die gleiche Weise mit der Außenwelt verbunden sind, so finden sich die Zahlbegriffe überall, selbst bei den auf der niedersten Kulturstufe stehenden Naturmenschen,¹) und alle Sprachen weisen eine bestimmte Anzahl Zahlwörter auf. Bei den Naturvölkern kommen sie freilich meistens nur in ganz beschränktem Maße vor. So haben z. B. die Bewohner der Südsee, die von Mikronesien, nur für die Zahlen 1 und 2 Benennungen. Die Zahl 1 heißt ke-yap, die Zahl 2 pullet. Die Begriffe 3 und 4 unterscheiden sie noch; 3 heißt ke-yap-pullet, 4 pullet-pullet. Was darüber hinausgeht, wird „viel“ genannt. Ähnlich verhält es sich bei einigen Stämmen Zentral-Afrikas. Diese sind zwar auf einer ziemlich hohen Stufe der Zivilisation angelangt, haben feste Wohnsitze, treiben Ackerbau und Viehzucht und stehen seit langer Zeit unter sich und mit Arabern in Handelsbeziehungen; doch fehlen ihnen die über 4 hinaus-gehenden Zahlbegriffe, oder sie sind in deren Handhabung so unsicher, daß sie sie praktisch nicht verwerten. So erzählt ein Forscher, daß ein Eingeborener, der sechs Hammel für je zwei Werteinheiten verkaufte, für jeden Hammel den entsprechenden

i) „Zählen, insofern damit uur das bewußte Zusammenfassen bestimmter Einzelwesen gemeint ist, bildet keine menschliche Eigentümlichkeit; auch die Ente zählt ihre Jungen.“ Cantor, Geschichte der Mathematik. 3 Bände. 1894—1900.

Geldbetrag einzeln verlangte, der Verkauf also nur ein Tausch gewesen sei.

Verschiedene Stämme auf Polynesien kennen die Zahlen 1 bis 7, haben aber für deren Bezeichnung auch nur zwei Wörter, das eine für 1, das andere für 2. Die anderen fünf Zahlen werden durch die additive Wiederholung dieser beiden Zahlen bezeichnet. So ist z. B. 7 = 2 + 2 + 2 + l.

Die Grundidee des dekadischen Zahlensystems findet sich bei den Bantuvölkern Afrikas. Diese besitzen für die Zahlen 1 bis 5 besondere Wörter. Die Zahl 5 wird mit dem Wort für Hand, die Zahl 6 mit Hand + 1, 7 mit Hand + 2 usw., 10 mit Hand-Hand und 20 mit Mensch bezeichnet. Jede ändere Zahl heißt „vieP. Auch die Hottentotten besitzen dieses System, sie zählen aber weiter bis 100 und nennen diese Zahl die große Zehn.¹)

Wird man ähnliche Zustände in den Anfängen des Kulturlebens der klassischen Völker des Altertums suchen dürfen?

In den vorhistorischen Zeiten dürften derartige Verhältnisse Vorgelegen haben, aber schon in den Zeiten der vorwissenschaftlichen Mathematik¹ 2) waren die Zahlbegriffe ziemlich geklärt; es entstanden schon frühe eine Reihe ausgebildeter Zahlensysteme, die auf eine mehr oder minder geistreiche Art bezeichnet und verwertet wurden. Die bekanntesten sind die, die sich an die Anzahl unserer Finger anlehnen. Ein System benützt die Anzahl der Finger einer Hand als Grundzahl, ein anderes die von beiden, und ein drittes die der Glieder der Hände und Füße. Das erste ist das Quinär-, das zweite das Dezimal- und das dritte das Vigesimalsystem.³) Es treten aber auch noch andere Zahlen als Grundzahlen auf. So kennt man ein Achter-, ein Elfer-, ein Zwölfer- und ein

Das Zwölfersystem, Duodezimal-

Sechzigersystem, system genannt, bildete die Grundlage der römischen Maße, und das Sechzigersystem, das Sexagesimalsystem, entstand wahrscheinlich in der babylonischen Astronomie, von wo aus es

zu den andern Kulturvölkern überging. Das bekannteste und gebräuchlichste aller Zahlensysteme ist freilich dasjenige, in welchem je zehn Einheiten als neue Einheit höherer Ordnung zusammengefaßt werden, d. h. das dezimale, das dekadische System. Die Sprachen besitzen für seine Zahlen eine größere oder kleinere Anzahl Wörter. So haben z. B. die modernen

Kultursprachen 18 verschiedene Zahlwörter, 9 für die ersten 9 Zahlen und 4 für 4 Potenzen von 10. Die Sanskritsprache enthält Wörter für die Zahlen 1 bis 9 und für 16 Potenzen von 10; und die Chinesen haben heute noch Namen für 1 bis 9 und für 101 bis 10 *⁸.

Wie weit die buddhistische Phantasie im Ausbau des dezimalen Systems ging, ist aus einer Stelle zu ersehen, die von einem chinesischen Schriftsteller des Altertums stammt: „Buddha lehrt, daß es drei Numerationssysteme gibt. Das erste, das niedere System, läßt die Einheiten um das 10fache wachsen, das zweite um das 100fache, das dritte, das obere System, schreitet nach der mit sich selbst vervielfachten Grundzahl fort und bildet die Methode der 10 großen Zahlen, welche Buddha allein begreifen kann, und welche eine Idee erwecken von dem wTas ist, von der unerschöpflichen, unbegrenzten Natur, von den reinen Verdiensten der Weisen, von den Zeiträumen der Existenzen , welche das Schicksal der unveränderlichen Geister durchlaufen. Die erste der Zahlen ist 1 mit 34 Nullen, die zweite 1 mit 68, die letzte 1 mit 340 Nullen. Diese wTird noch übertroffen von einer, die man gar nicht angeben kann. Ihr Name bedeutet die Anzahl der Atome, aus denen der göttliche Berg Su Meru besteht.“

Es ist höchst wahrscheinlich, daß die Grundidee des dekadischen Zahlensystems bei den meisten Völkern selbständig entstand. Ist doch der Gebrauch der zehn Finger beim Rechnen, der besonders früher eine große Rolle spielte, ein zu natürliches Hilfsmittel, das allen Völkern zu Gebote stund, und welches heute noch von unseren Naturvölkern nicht nur praktisch verwertet, sondern auch, wie wir oben gesehen haben, zur Benennung der Zahlen benützt wird.

Obwohl das dezimale Zahlensystem bei den meisten Völkern Jahrhunderte lang bekannt und im Gebrauch war, wurde es doch nicht Gemeingut. Seine schriftliche Darstellung war nämlich bis zum 4. Jahrhundert n. Chr. so umständlich und schwerfällig, daß es nur wenige beherrschten, und daß selbst von diesen nur einzelne in alle Geheimnisse der vier Spezies ein dringen konnten. Die Kenntnisse und Fertigkeiten des Volkes erstreckten sich auf die Grundidee des Systems, auf das Numerieren, Addieren und Subtrahieren. Noch bei den Römern galten die für Rechenkünstler, die multiplizieren und dividieren konnten.¹) Das dezimale Zahlensystem ist für das gewöhnliche Volk, ja selbst für die Gelehrten, erst dann genießbar und fruchtbringend geworden, nachdem man gelernt hatte, alle Zahlen mit möglichst wenig Zeichen, den (arabischen) Ziffern, bildlich darzustellen, und diesen Zeichen Ziffernwerte und Stellenwerte beizulegen. Diese Doppelwertigkeit der Zahlzeichen findet sich zuerst in Indien, aber erst am Ende des 4. Jahrhunderts n. Chr. Von hier aus verbreiteten sie sich mit ihrer Doppelwertigkeit über Arabien nach Nordafrika., gelangten in das Abendland und fanden im 12. Jahrhundert in Deutschland Eingang und Verwendung.

Was nun die Art der Zahlendarstellung bei den alten Kulturvölkern anbelangt, so wollen wir uns umsehen bei den Ägyptern , Babyloniern, Chinesen, Griechen, Römern, Israeliten, Indern, Arabern und Christen und das Rechnen selbst, soweit uns Material zur Verfügung steht, etwas näher betrachten.

Die Hgiipfer.

Das Niltal ist eine Stätte uralter Kultur und Wissenschaft gewesen. Die noch heute gut erhaltenen Schriftdenkmäler weisen teilweise weit über das Jahr 3000 v. Chr. hinaus. Das ägyptische Reich wurde von 30 Dynastien beherrscht. Mena (Menes), der

i) Numerus = Zahl, addëre = hinzufügen (ad = zu, däre = gehen), subtrahëre = abziehen, multus = viel, multiplicare = vervielfältigen (viele Falten machen), dividëre = teilen.

Gründer der ersten, hat um das Jahr 4500 v. Chr. gelebt. Aus den drei ersten Dynastien fehlen aber alle Denkmäler und Dokumente. Erst mit der vierten betritt man den eigentlichen historischen Boden. Die Könige der vierten Dynastie, seit 3686 v. Chr. am Ruder,¹) sind die bekannten Pyramiden-Erbauer Cliufu, Chafra und Menakara.²) Bis zur 12. Dynastie machten sich keine fremden Einflüsse bemerkbar. Deswegen darf man annehmen, daß die Schrift und die in den Priesterschulen gelehrten Wissenschaften ursprüngliches Eigentum der Ägypter sind.

Um das Jahr 2000 v. Chr. begannen von Osten her Einfälle räuberischer Wüstenstämme, die sich Schus (Räuber) nannten, und denen es innerhalb 200 Jahren gelang, die eingeborene Dynastie zu stürzen. Die 14. und 15. Dynastie gehören nun den Hik-Schus, den Hiksoskönigen an. Unter dem letzten Hiksos-könig wurde von Ahmes, einem Nachkommen der alten Könige, dem es später gelang, die Eindringlinge zu vertreiben und sich an deren Stelle zu setzen, ein Rechenbuch geschrieben, das wir weiter unten etwas näher betrachten wollen. Dieses Rechenbuch ist wohl das älteste, das uns erhalten geblieben ist; um so größeres Interesse dürfte es erwecken. Doch müssen wir uns vorerst etwas näher mit der Schrift der Ägypter befassen.

Die Schrift der Ägypter, bekanntlich Hieroglyphenschrift genannt³), besteht aus etwa 900 kleinen Abbildungen sinnlich wahrnehmbarer Gegenstände. Menschen in verschiedenen Stellungen, Vierfüßler, Vögel, Gerätschaften, Pflanzen, Teile von Menschen, Tieren und Pflanzen spielen dabei eine Hauptrolle. Diese Zeichen sind bald wörtlich, bald symbolisch zu nehmen, manchmal sind es auch Zeichen einer eigentlichen Buchstabenschrift, bei welchen das Bild den ersten Laut des durch dasselbe dargestellten Wortes bedeutet. So bezeichnet z. B. der Löwe ein „L“, weil er auf ägyptisch Labu heißt, der Adler ein „A“ (Achem), die Mütze ein „K“ (Klaft).

Nun besitzen aber viele Wörter denselben Anfangsbuchstaben, deswegen gibt es auch für einen und denselben Laut oft

!) Cantor.

2)    „Die vierte Dynastie beginnt spätestens 2830 v. Chr.u Adolf Ermann, Ägypten.

3)    Hieros = heilig, glyphein = einschneiden (griechisch). .

mehrere Bilder. So wird z. B. das K noch durch eine Schale (Kelol) dargestellt.

Die Hieroglyphenschrift wurde mit der Zeit vereinfacht und hieß dann hieratische Schrift.¹) Beide Schriften waren nur den Priestern bekannt. Aus der hieratischen Schrift entwickelte sich später eine neue, die auch dem Volke gelehrt wurde und deswegen demotische Schrift heißt.

Hieroglyphe :

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Hieratisch: 1. d. mittl., 2. d. neuen Reiches

Kt s

deter

minativ

Merkwürdigerweise überlieferten uns die Griechen, von denen manche in die Geheimnisse der ägyptischen Schriften eingeweiht waren, keinerlei Anhaltspunkte zu deren Entzifferung. Diese war dem Anfang des 19. Jahrhunderts Vorbehalten. Den Anstoß hierzu gab die ägyptische Expedition des ersten Napoleon. Die die Expedition begleitenden Gelehrten entdeckten bei Rosette einen Stein, welcher dreierlei Inschriften enthält. Die erste besteht aus Hieroglyphen, die zweite aus demotischen Schriftzeichen, und die dritte sagt auf griechisch, daß die ägyptische Priesterschaft dem König Ptolemäus Epiphanes im neunten Jahre seiner Regierung (197 v. Chr.) gewisse Ehrenbezeugungen bewilligt habe, welche auf diesem Stein mit heiliger, mit landesüblicher und mit griechischer Schrift aufgeschrieben seien. Gelehrte verschiedener Nationen beschäftigten sich jahrzehntelang mit der Entzifferung dieser Zeichen, und heute kann man alle

i) Hierarchie = Priesterherrschaft, demos = Volk.

Inschriften und Urkunden lesen, welche im letzten Jahrhundert in großer Zahl meistens in gutem Zustande in Pyramidengräbern und sonstigen Totenkammern und in Tempelruinen aufgefunden wurden. Die schriftlichen Überlieferungen geben uns ein getreues Abbild vom Kultur- und Geistesleben der alten Ägypter und machen uns auch bekannt mit dem Stande ihrer arithmetischen Kenntnisse.

Was nun die Darstellung der Zahlen anbelangt, so erfolgt diese auf den ältesten Denkmälern dadurch, daß die Anzahl der Einheiten durch die Anzahl der betreffenden Bilder gegeben wurde. So ist z. B. die Zahl „9 Götter“ durch neun Abbildungen der Gottheit veranschaulicht. Manchmal sind die Zahlwörter ausgeschrieben, meistens aber werden sie durch besondere Zeichen, durch Ziffern, gegeben. Die Schrift besitzt Ziffern für die Zahlen 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 und 10 000000.

I = i,

A = io,

% =1000,

\- 100000, ^ = 1000000,Q 10000 000.

C - loo.

|= 10000,

Die Ziffer für 1 ist eine Meßstange, für 10 ein doppelter Spitzbogen, für 100 ein Palmblatt, für 1000 eine Lotospflanze, für 10000 ein Finger, für 100 000 eine Kaulquappe, für 1000000 ein sich verwundernder Mann, für 10 000000 ein unterstrichener Kreis¹) Es sind also für die Potenzen von 10 besondere Ziffern vorhanden. Beim Anschreiben der Zahlen wird die einzelne Ziffer so oft wiederholt, als Einheiten der betreffenden Potenz anzugeben sind. Die Zahl 24 653 wurde mithin folgendermaßen geschrieben :

imVkCCCCCCAMAAI11 - «603.

Auf den ersten Blick hat es den Anschein, als ob die Ägypter die Zahlen im Prinzip auf die gleiche Weise dargestellt hätten wie wir. Dem ist aber nicht so, denn sie schrieben, wie alle orientalischen Völker, von rechts nach links und nicht von links nach rechts. Besondere Aufmerksamkeit schenkten die ägyptischen Rechenbücher den Brüchen, sie kennen aber, abgesehen vom Bruche ²/₃,

i) „In dem Zeichen für 100 wollten einige einen Priesterstab, in dem für 1000 eine Lampe erkennen.“ Cantor.

nur Stammbrüche; diese werden angeschrieben, indem man die Zahl des Nenners hinschreibt und ein Pünktchen darüber setzt.

Über die Rechenkunst der Ägypter sind wir gut unterrichtet. Einesteils verdanken wir den Römern und Griechen manche wertvolle Mitteilungen, andernteils machen uns ägyptische Rechenbücher, die auf uns gekommen sind, direkt mit ihr vertraut. So kennt man das Rechenbuch des Königs Ahmes, von dem wir schon vorhin sprachen, zwei Papyrushandschriften aus der Pyramide Illahun, die 1889/90 aufgefunden wurden, die Ackerlisten des Tempels von Ed fu und noch manche andere.

Das Rechenbuch Ahmes war nicht für Anfänger bestimmt; ohne Lehrer kann es kaum gedacht werden, da es von Anfang an vorwiegend mit Brüchen rechnet und eine Reihe unklarer Vorschriften enthält. Ahmes stellt Aufgaben verschiedener Art und löst sie, indem er hinzufügt, „macht es also“, oder „gesagt ist dir“, „mache wie geschieht“ usw.

Die Brüche müssen in Stammbrüche zerlegt werden; nur mit Stammbrüchen kann Ahmes rechnen. Sein Buch enthält eine Tabelle solcher Zerlegungen, z. B. ²/₅ = i/₈ + ¹/lb (das Zeichen + kennt Ahmes nicht; er schreibt: ²/₅ — ¹/₃ ¹/₁₆) ²/₇ = ¹j4t + ¹/₂₈;

Das Zerlegen der

²/42 — VsO + V141 + V470 5 ²/99 — V66 + Vl98*

Brüche setzt eine Gewandtheit im Zerlegen der Zahlen voraus und war den zahlentheoretischen Kenntnissen sehr förderlich.

Geben wir einige Aufgaben aus Ahmes !

Nr. 23. Ergänze i/₄, ¹/s, 7io, ¹j₈₀, V45 additiv zu 9.

Nr. 13. Ergänze ¹I1QV V112 multiplikativ zu 1.

Nr. 32. Mache 1¹/₃ und ¹/₄ zu 2.

Der zweite Teil des Rechenbuches enthält sogenannte Hau-Rechnungen und angewandte Aufgaben. Die ersteren entsprechen unseren Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten. So lauten z. B. Nr. 31: Haufen, sein ²/₃, sein ¹/₂, sein ¹j₇, sein 1 Ganzes, es beträgt 33. Nr. 63: Vorschrift, zu verteilen 700 Brote unter 4 Personen, ²/₃ für einen, ¹/₂ für den Zweiten, ¹/₃ für den Dritten, x/₄ für den Vierten.

Die angewandten Aufgaben lehren, wie man Eßwaren als Besoldung zu verteilen hat, wie beim Eintauschen von Brot gegen Bier das Wertverhältnis zu finden ist, wie man die Größe eines Ackers berechnet, den Rauminhalt einer Scheune bestimmt usw. Einige Aufgaben setzen die Kenntnisse der Reihen voraus. So sagt z. B. Nr. 40 : „Brote 100 an Personen 5 ; ¹j₁ von 3 ersten das von Personen 2 letzten. Was ist der Unterschied?⁴⁴

Ahmes will eine arithmetische Reihe von 5 Gliedern gebildet haben von der Form a, a—d, a—2d, a—3d, a—4 d, und es a + (a—d) + (a—2 d)

= (a—3 d) + (a—4d).

soll nun gleich sein

Er sagt nun: „Mache wie geschieht, der Unterschied ö¹^,¹) die Reihe ist: 1, 6¹/₂, 12, IT¹/*, 23“. Die Summe dieser Zahlen beträgt aber nur 60, man muß deswegen jedes Glied l²/₃mal größer machen. Die Reihe heißt nun l²/₃ (10 ²/₃, ¹ /₆), 20, 29^, SS¹^. Ahmes kennt also schon die Regel vom falschen Ansatz, die Regula falsi, der wir im Verlaufe unserer Arbeit noch öfters begegnen werden. Nr. 70 ist eine geometrische Reihe. Sie lautet: 7 Personen besitzen je 7 Katzen, jede Katze vertilgt 7 Mäuse, jede Maus frißt 7 Ähren, aus jeder Ähre können 7 Maß Getreidekörner entstehen. Von wie viel Gegenständen ist hier die Rede? (7 + 7² + 7³+7⁴ + 7⁵. Siehe Leonardo von Pisa.)

Die Ägypter kannten und pflegten das Finger rechnen, das instrumentale Rechnen und das schriftliche Rechnen.

Die Finger der linken Hand bedeuteten, vom kleinen Finger ausgehend, die Zahlen 1—5, der ausgestreckte Daumen der rechten Hand 6, Daumen und Zeigefinger 7 usw.

Uber das instrumentale Rechnen, das Rechnen auf dem Rechenbrett, sagt Herodot, der Ägypten aus eigener Anschauung kennt: „Die Ägypter rechnen mit Steinen und schreiben Schriftzüge, indem sie die Hand von rechts nach links führen⁴⁴. Das Rechenbrett muß also senkrechte Kolumnen besessen haben, denn beim Verschieben von rechts nach links erfahren die Sternchen eine Verzehnfachung ihres Wertes, was ein Rechenbrett, auf dem man mit dezimalen Zahlen rechnet, verlangt. Merkwürdigerweise ist auf den fast unzähligen Wandgemälden bis jetzt noch nirgends ein Rechenbrett gefunden worden.

Das schriftliche Rechnen war sehr schwerfällig. So wird z. B. die Aufgabe 8*8 in manchen Handschriften dadurch ge-

i) Wie er den Unterschied findet, ist nicht zu ersehen.

löst, daß das Multiplizieren nur als Verdoppeln auf tritt 1*8 = 8, 2 • 8 = 16, 4 • 8 = 32, 8*8 = 64. Beim Dividieren wird z. B. nicht gefragt, wie viel mal ist 7 in 77 enthalten, sondern mit welcher Zahl muß 7 multipliziert werden, damit 77 herauskommt. Das Verfahren lautet: 1*7 = 7, 2 • 7 = 14, 4*7 = 28, 8 • 7 = 56, und da 77 = 56 + 14 + 7 ist, so ist der 7. Teil von 77 = 8 + 2 + 1 = 11. Der Rechner unterstreicht die Faktoren 8, 2 und l.¹)

In der Geometrie besaßen die Ägypter mangelhafte Kenntnisse. Da durch die Nilüberschwemmungen jedes Jahr neue Feldausmessungen und Flächenberechnungen nötig wurden, hätte man erwarten dürfen, daß sie diese beherrschten. Dem war aber nicht so. Die Flächeninhalte der Parallelogramme und Dreiecke finden sie, indem sie, ohne Rücksicht auf die Größe des ein-schließendenWinkels, einfach zwei benachbarte Seiten miteinander multiplizieren. — Beim Dreieck wird das Produkt halbiert. — x4.uch für das Paralleltrapez kennen sie den Begriff „Höhe“ nicht. Die Kreisfläche setzen sie gleich einem Quadrat, dessen Seite ⁸/₉ vom Kreisdurchmesser beträgt. J = (Durchmesser — x/9 Durchmesser)² = 3,1605 r².

Die mathematischen Kenntnisse der Ägypter scheinen Jahrhunderte lang auf der gleichen Stufe stehen geblieben zu sein. Die 1500 Jahre nach Ahmes entstandenen Ackerlisten des Tempels von Edfu enthalten noch die gleichen Aufgaben und Probleme wie das Rechenbuch Ahmes und zeigen keinerlei Fortschritte.

„Als theoretische Wissenschaft hatte die Mathematik der Ägypter wenig zu bedeuten; den praktischen Bedürfnissen des täglichen Lebens konnte sie wohl genügen.“¹)

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Die Babylonier.

Das zweite Kulturvolk des Altertums, bei dem sich schon in den ältesten Zeiten ein reiches und vielseitiges Geistesleben zeigte, und von welchem uns die Schriftsprache in sehr gutem Zustande erhalten geblieben ist, war jenes, welches die Länder des Euphrat und Tigris bewohnte. Nur wenige Meilen von

!) Ermann.

einander entfernt standen hier die Weltstädte Babylon, Ninive, Seleucia, Ktesiphon und Bagdad, deren Überreste noch heute Zeugnis geben von alter und ältester Kultur. Die Existenzbedingungen müssen hier für diese so stark bevölkerten Gegenden sehr günstige gewesen sein. Es war „das Land, das von Milch und Honig floß“. Babylon war schon in den frühesten Zeiten ein Hauptmarktplatz der damaligen Welt und spielte in handelspolitischer Hinsicht die Rolle, die Italien im Mittelalter und England im vorigen Jahrhundert ausübten. Aus dem Osten kamen Edelmetalle und Edelsteine (Onyxe, Sarder, Lapis-Lazuli, Rubine, Saphire, Smaragde und Diamanten), die zu Schmucksachen aller Art, zu Siegelringen usw. verarbeitet wurden; ferner Baumwolle, Wolle und Seide, Cochenille und andere Farbstoffe. Der ferne Süden lieferte Perlen, Elfenbein, Gewürze, feine Holzarten zum Ausschnitzen kunstvoller Stäbe; der Norden brachte Getreide, Tierhäute usw. Die Rohmaterialien wurden hier verarbeitet und die Fabrikate, wohin auch wohlriechende Wasser und Parfümerien aller Art zu rechnen sind, nach allen Richtungen wieder in die Welt hinausgeliefert. Besonders waren es die Schiffe der Phönizier, welche diese Produkte als „Sidonische Waren“ nach Westen brachten. Daß unter diesen Verhältnissen das praktische Rechnen sehr gepflegt wurde und gepflegt werden mußte, ist selbstverständlich und durch neue Ausgrabungen direkt bestätigt. Ein amerikanischer Forscher fand vor einigen Jahren eine große Anzahl Urkunden, welche Schuldscheine, Schuldverschreibungen, Mitgiftverträge, Verträge über Kauf und Tausch von Häusern und Sklaven enthalten und auf kleine Ziegelsteine von der Größe unserer Kabinettphotographien niedergeschrieben sind. Sie sind von den Bankfirmen Egibi und Sohn (7. Jahrhundert v. Chr.) und Maruschu und Sohn (5. Jahrhundert v. Chr.) ausgestellt, mit dem Firmensiegel und dem des Partners versehen und lehren, daß sich die genannten Bankhäuser mit fast allen Zweigen des heutigen Bankwesens befaßten. Sie hatten Verbindungen mit allen Handelsplätzen der damaligen Welt, wechselten Geld, liehen solches aus, aber nur zu 20 °/₀, lombardierten, erhoben Gelder auf fremde Rechnung, tilgten Verbindlichkeiten anderer usw.

Auch in wissenschaftlicher Hinsicht waren die Chaldäer weit vorgeschritten, besonders in der Astronomie. Schon im

Jahre 1700 y. Chr. wurde für den König Sargon ein astrologisches Werk verfaßt,¹) in welchem das Eintreffen von Finsternissen für bestimmte Tage gemeldet wird mit eingehenden Erörterungen über die mutmaßlichen Folgen für diese Tage. Für solche Voraussetzungen war aber ein großes statistisches Material notwendig, das nur im Verlaufe von Jahrtausenden hatte gewonnen werden können.

Babylonischen Ursprungs ist die siebentägige Woche, das 360tägige Jahr,²) die Einteilung der kreisförmigen Sonnenbahn in 360 Grad, die Einteilung des Kreises, des vollen Winkels in 360 Grad, des Grades in 60 Minuten à 60 Sekunden. Babylonisch ist ferner die ursprüngliche Einteilung des Tages in 60 Stunden, aus denen später 12, respektive 2 • 12 — 24 Stunden wurden (der sechste Teil von 360 (= 60) wurde wahrscheinlich deswegen als neue Einheit gewählt, weil sich der Radius des Kreises sechsmal auf der Peripherie auftragen läßt). Sonnenuhr, Sanduhr und Wasseruhr seien babylonische Erfindungen.

Besonderes Interesse erweckt das babylonische Maßsystem. In diesem tritt uns das erste Naturmaß entgegen. Seine Einheiten wurden folgendermaßen gewonnen. In einem Gefäß wurde Wasser auf konstanter Niveauhöhe gehalten, indem man es von oben her einerseits zuführte, andererseits ableitete. Im Boden des Gefäßes befand sich eine Röhre von bestimmtem Querschnitt, durch welche Wasser unter gleichem Drucke abfioß. Man sammelte nun das der Röhre in der Zeit von einer Sonnenkulmination bis zur nächsten entströmende Wasser, teilte es in 24 gleiche Teile, füllte einen Würfel mit einem dieser Teile und hatte in seiner Kante die Einheit des Längenmaßes, in der Basis die Einheit des Flächenmaßes, in dem Rauminhalt die Einheit des Hohlmaßes und im Gewichte des Wassers die Einheit des Gewichtes. Die letztere hieß Talent. Das Talent bildete auch die Grundlage der Wertmaße, indem festgelegt wurde, wie viel Werteinheiten aus einem Talent Silber, resp. einem Talent Gold geprägt werden sollten. Die Maßeinheiten erhielten dann duodezimale Gliederung (12 = !/₅ von 60; 5 Finger?).

0 Der Engländer Sayce entzifferte und übersetzte dieses Werk.

²) Die Chaldäer glaubten anfänglich, die Sonne lege in 860 Tagen einen vollen Kreis zurück. Die siebentägige Woche hängt mit den Mondphasen zusammen.

In Babylon tritt uns also ein Zahlensystem entgegen, in welchem je 60 Einheiten einer niederen Ordnung eine Einheit einer höheren bilden: das Sexagesimalsystem. Das Sexa-gesimalsystem wurde vorwiegend in Bezug auf Kreis-, Winkelund Zeiteinteilung verwendet, aber auch noch neben dem Dezimalsystem im bürgerlichen Leben benützt, obwohl hier das letztere, als das ältere, vorherrschte. Dies lehrt uns die im Jahre 1854 bei Senkereh am Euphrat aufgefundene Tafel. Diese Tafel enthält die ersten 60 Quadratzahlen. Es wird darauf gesagt:

1    = 12, 4 = 2

1-4 = 82, i.

2    • 49 = 13² usw. In dem Ausdruck 1 • 4 = 8² kann 1 nur 60 bedeuten, 1 • 4 muß also 60 + 4 = 64 heißen. 2 • 49 = 13 ² = 169 = 2-60 + 49 usw.

Die Zahl 60 ist also in der Tat Grundzahl eines Zahlensystems, das nicht bloß in Bezug auf Grad und Stunden Verwendung fand. Dafür spricht noch der Umstand, daß die Babylonier die Nennwörter Soß, Ner und Sar hatten, die mit dem 60 er System im engsten Zusammenhang stunden, da Soß = 60, Ner = 600 und Sar = 3600 bedeutet.

Wie die Babylonier mit diesem Sexagesimalsystem rechneten, darüber steht uns bis jetzt leider noch kein direktes Material zur Verfügung, aber wir wissen, wie es die Griechen, und nach ihnen die übrigen Kulturvölker, benützten.

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to

CO

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!, 16 =4², 25 = 5², 36 = 6², 49 = 7², 1 - 40 = 10², 2 - 1 = 112, 2 - 24 = 122,

Ptolemäus erklärt das Sexagesimalsystem in seinem Lehrbuch der Astronomie, in dem Almagest, und nennt es eine babylonische Erfindung, und verschiedene Kommentare zu diesem Werke lehren seine Anwendungen. In der lateinischen Übersetzung des Almagest werden die 60stel partes minutae primae, die 3600stel partes minutae secundae, die 216000stel partes minutae tertiae¹) genannt, woraus andere Sprachen ihre „Minuten“ und „Sekunden“ hernahmen.

Die Zahl 24, ¹⁷fco, ³⁹/b60O? ⁴³/216000 wurde schon von den Griechen 24° 17' 89“ 43“' geschrieben. Dabei hatten sie nicht bloß Winkel oder Zeitteile im Auge, sondern auch unbenannte, absolute Zahlen. Die Sexagésimal brüche spielten bei ihnen die Rolle, die heute unsere Dezimalbrüche besitzen. Theon, Archimedes u. a. m. multiplizieren z. B. 5° 8' 6“ mit 9° 5' 13“ nach der Formel (a + b + c) (f + g + h) und erhalten 45° 25' 65“ 72' 40“ 104'“ 54“ 30'“ 78'“' = 45° 97' 159“ 134“' 78'“'= 46» 39' 41“ 15'“ 18““ = annähernd 46° 40' = 46 ⁴⁰/₆₀ — 46 2/3. Wenn die Zeichen o? ', ", '“ Benennungen anstatt Stellenanzeiger (Indexe) wären, so

9 minutus, a, um = klein; pars (tes) = der Teil.

hätte die Multiplikation keinen Sinn. Man kann weder 8 Mark mit 5 Mark noch 8 Grad mit 5 Grad multiplizieren.

Die Sexagesimalbrüche mußten auch lange Zeit beim Wurzelausziehen und zum Aufsuchen von Näherungswerten Dienste leisten. Wir werden das Verfahren im 5. Kapitel näher betrachten.

Die Babylonier stellten die Zahlen mit den Zeichen ihrer Schriftsprache dar. Diese heißt bekanntlich Keilschrift, weil ihre Buchstaben aus Keilen und Winkelhaken bestehen.

in

¹

   Hellwaîd, Naturgeschichte des Menschen.

²

   „Die Anfänge der wissenschaftlichen Arithmetik (arithmos = Zahl, techne = Kunst) kann man mit Sicherheit nicht viel vor das 6. Jahrhundert v. Chr. setzen. Ihre Begründer waren die Griechen, welche das Material, das sie von den Ägyptern und Babyloniern übernahmen, wissenschaftlich verarbeiteten und weiter ausbauten.“ Zeuthen, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter.

³

   Quini = je fünf; decimus = der Zehnte; vicesimus == der Zwanzigste; duodecimus — der Zwölfte; sexagesimus = der Sechzigste. Dekadisch nach dem griechischen deka = 10.

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Wie wir schon bei den Ägyptern sahen, übermittelten uns weder die Griechen noch die Römer das Verständnis für die Hieroglyphen. Ähnlich verhält sich die Sache bei der Keilschrift. Auch hier mußte erst die neueste Zeit zeigen, was ihr Scharfsinn zu leisten vermochte.

Im Anfänge des vorigen Jahrhunderts versuchte man, die sich auf verschiedenen Grab- und Baudenkmälern Babylons vorfindenden Inschriften zu entziffern. Im Jahre 1800 entdeckte man den Wortteiler, ein Zeichen, das in jeder Zeile in bestimmten Abständen immer wieder auftritt, und im Jahre 1802 wurde wahrgenommen, daß die Chaldäer von rechts nach links schrieben,¹) und daß eine Buchstabenschrift vorliegt und keine Bilderschrift.²) Die Forscher nahmen dann bald wahr, daß ein bestimmtes Wort auf vielen großen Grabdenkmälern öfters vorkommt und schlossen daraus, daß es „König“ heiße. War dem so, so kannte man den Sinn des Wortes, den Wortlaut aber noch nicht. Auf ähnliche Weise suchte und fand man durch Erraten manche Wörter. Um nun den Wortlaut zu finden, verglich man bekannte Wörter, z. B. Darius und Xerxes. Das dritte Zeichen in beiden ist der Buchstabe „r“ für den Laut „r“. Nun hatte man das Keilschrift-

*) Die Zeilen sind rechts geradlinig abgegrenzt.

2) Ein und dasselbe Zeichen tritt innerhalb eines Wortes wiederholt auf, was bei einer Schrift, in der ein Bild einem ganzen Begriff entspricht, nicht möglich ist.

Zeichen für den Laut r. So gelang es allmählich, für eine größere Anzahl Zeichen die entsprechenden Laute zu finden. Die übrigen wurden dann auf indirektem Wege gesucht.

Das Entziffern der Keilschrift war also eine ungemein mühesame Arbeit, und es gehörte eine bewundernswerte Geduld dazu, es zum Abschluß zu bringen. Es waren die Gelehrten Grotefond, Burnouf, Lassen, Benfey, Oppert, Rawlinson, Hinks, Spiegel, Schräder, Menant u. a., welchen es innerhalb mehrerer Jahrzehnte gelang, diese Geheimschrift ihres Schleiers zu berauben, und seit Ende der 70er Jahre des vorigen Jahrhunderts kann man alle Keilschrifturkunden lesen. Es wurden nun teils auf Kosten europäischer Regierungen, teils auf Kosten von Gesellschaften oder reicher Privatleute auf den Ruinen Babylons, Ninives usw. umfangreiche Ausgrabungen veranstaltet, die ein reiches Ergebnis lieferten. Man fand ganze Bibliotheken — in Tonplättchen eingeschriebene Aufzeichnungen verschiedenen Inhaltes —, die uns einen klaren Einblick in die Leiden und Freuden der alten Chaldäer und in ihre Geistestätigkeiten gestatten.

Die Zahlzeichen der Babylonier sind durch verschiedene Kombinationen ihrer Keile und Haken gebildet. Bei den ersten 9 Zahlen richtet sich die Menge der Zeichen nach der Anzahl der Einheiten; das Zeichen für 10 besteht aus zwei zu einem Winkelhaken vereinigten Keilen, für die übrigen Zehner wird dieses Zeichen wiederholt. 100 wird durch einen horizontalen

und durch einen vertikalen Keil ausgedrückt usw.

y-yyy

111

yy

111

yyy

111

1111

1H

1111

yyyy* yyyyy <

CM

to ^

II

IO

100

200

<t

1000

Der besseren Übersichtlichkeit wegen wollen wir den senkrechten Keil mit a, den wagrechten mit b und den Winkelhaken mit c bezeichnen und die Zahlen durch diese Buchstaben aus-

aa

3 = aaa =

drücken. Wir erhalten 1 = a, 2 = a a oder

10 = c, 12 = c

ca a ca ’

Si

20 = cc oder c, 30 = ccc oder ac, 23 =

ab, c ’

caa c a ’

100 = ab, 223 = ab

aaa abaa , ccaaa c ab    .

a a c a a a

5436 =

aa

1000 =

4000 =

aaa ab

Wir haben hier die überraschende Tatsache, daß die Zahlzeichen Doppelwertigkeit besitzen: sie haben außer den Einerwerten im gewissen Sinne noch Stellenwerte. So

ist 30 = 3 • 10 = ac und 23 = 20 + 3 =

caa

Die Zeichen

haben also bald additive, bald multiplikative Bedeutung. Das erstere ist der Fall, wenn sie nachstehen, das letztere, wenn sie vorausstehen.

Diese Art der Zahlendarstellung ist sehr geistreich und viel sinniger und praktischer als die der Ägypter, Griechen und Römer. Sie ist zweifellos der Vorläufer und Pfadebner der heutigen, aus Indien stammenden Art. Immerhin ist sie noch breit und schwerfällig und für ein rasches, schriftliches Rechnen, wie es das tagtägliche Leben eines so emsigen Handels Volkes verlangte, umständlich. Man muß deshalb bei den Chaldäern den Gebrauch eines Rechenbrette s voraussetzen. Für die Existenz eines solchen hat man bis jetzt freilich nur indirekte Beweise. So weiß man, daß die Rechenmaschine der Chinesen, der Swanpan, seit den ältesten Zeiten bei den meisten Völkern Asiens im Gebrauch war, und daß Babylon schon sehr frühe in regen Beziehungen zu China stund. Dann besitzen wir ein griechisches Vasengemälde, auf dem ein Babylonier mit einem Rechenbrett abgebildet ist, und schließlich schließt man aus dem Vorhandensein der babylonischen Wörter Soß, Ner und Sar auf den Gebrauch eines Rechenbrettes. War nämlich ein solches vorhanden, so muß es sowohl für das dezimale, als auch für das sexagésimale Zahlensystem eingerichtet gewesen sein.

Cantor stellt sich dieses Rechenbrett der Babylonier folgendermaßen vor:

Das hypothetische Rechenbrett der Babylonier.

Sar = 3600

Soß = 60

Einer

III

9 Marken = 9 Einheiten

9 Marken à 3600 Einheiten = 32400 Einheiten

9 Marken à 60 Einheiten — 540 Einheiten

VI

IV

II

5 Marken à 10 Einheiten = 50 Einheiten

5 Marken à 36000 Einheiten = 180 000 Einheiten

5 Marken à 600 Einheiten = 3000 Einheiten

Zehner

? = 36000

Ner — 600

Es besteht aus drei senkrechten Kolumnen, die durch eine horizontale Linie in zwei Abteilungen zerfallen. Die erste Kolumne ist für die dezimalen Einheiten Einer und Zehner die zweite für die sexagesimalen Soß (= 60) und Ner (= 600), und die dritte für die sexagesimalen Sar (= 3600) und ? = 36000 bestimmt. Die Benennung der Einheit 36000 ist bis jetzt noch nicht aufgefunden worden. Für die oberen Hälften der Kolumnen sind je 9, für die unteren je 5 Marken erforderlich. Kam zu den 9 Marken des ersten Feldes noch eine zehnte hinzu, so wurden alle zehn ersetzt durch eine Marke des zweiten Feldes usw. Angenommen, es befinden sich in dem Felde I 6, im Felde II 3, im Felde III 7, im Felde IV 2, im Felde V 8 und im Felde VI 4 Marken, so stellen sie folgende Zahl vor:

6 • 1 + 3 • 10 + 7 • 60 + 2 • 600 + 8 • 3600 + 4 • 36000 = 174456.

Über das Fingerrechnen der Babylonier weiß man auch nichts Bestimmtes, es scheint aber in Gebrauch gewesen zu sein,

denn der Perser Orontes behauptet, der kleine Finger der linken Hand bedeute „eins⁴⁴ und „eine Myriade⁴⁴. Mithin müssen auch die übrigen Finger Zahlenbedeutungen besessen haben. „Die Auffindung und Entzifferung neuer Schriftdenkmäler bringt jedenfalls in den nächsten Jahrzehnten weitere Aufklärungen.“

UTj

Die Chinesen.

Die Chinesen besitzen eine Bilderschrift wie die Ägypter; sie behaupten, ihr erster Kaiser habe sie im Jahre 2950 v. Chr. erfunden. Diese Schrift weist etwa 500 Bilder auf, die einzeln oder verbunden benützt- werden. Flexionen kennt die Sprache nicht.

Unter diesen 500 Bildern befinden sich solche für die Zahlen 1 bis 9, dann für 10, 100 und 1000. Es sind also im ganzen 13 Ziffern vorhanden. Die übrigen Zahlen werden als Summen oder Produkte dargestellt und zwar nach dem Prinzip der Stellenwertigkeit. Ist z. B. a das Zeichen für 5 Einer,

= 15, k aber 50. — Die

er p

b das für 1 Zehner, so bedeutet

Chinesen schreiben von oben nach unten. — Auch in China ist die Schrift des täglichen Lebens, die Kaufmannsschrift, einfacher als die der Gelehrten. In dieser tritt uns zum erstenmal, und zwar schon sehr frühe, ein Zeichen für das Fehlen einer Sorte Einheiten, die Null, entgegen. Es ist dies ein kleiner Kreis. Doch hat die chinesische Null keineswegs die große Bedeutung, welche die viel später auf tretende indische Null erhielt. Der Grund hiefür liegt darin, daß die Chinesen für drei Potenzen von zehn drei Ziffern besaßen, welche verhinderten, daß das Gesetz der indischen Stellenwertigkeit, dem sie nach der Einführung der Null sehr nahe gekommen waren, zum Ausdruck kam. Stellten sie z. B. eine Zahl durch ab, eine andere durch ba dar, so erreichten sie zwar, daß die Werte in dem einen Fall additiv, im anderen multiplikativ auftreten, aber nicht, daß ein und dasselbe Zeichen bald Einer, bald Zehner bedeutet. Das eigentliche Prinzip der Stellenwertigkeit war also damit nicht erreicht.

Swan-pân der Chinesen.

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Wie chinesische Geschichtschreiber berichten, habe ein Minister des Kaisers Huang-Ti, der um das Jahr 2640 y. Chr. regierte, die Rechenmaschine, den Swan-pan, erfunden und ein anderer Minister des gleichen Herrschers das erste Rechenbuch geschrieben. Die chinesische Rechenmaschine hat in ganz Asien Verbreitung gefunden; später wurde sie auch in Rußland bekannt und gelangte von hier aus in das westliche Europa, wo sie heute noch in vielen Schulen als russische Rechenmaschine in Gebrauch ist. Wahrscheinlich sind auch die griechischen und römischen Rechenbretter aus dem Swanpan hervorgegangen.

Der Swan-pan besteht in seiner ursprünglichen Gestalt aus einem Rahmen, in welchen (meistens) zehn senkrecht laufende Drähte eingespannt sind. Ein Querdraht zerlegt ihn in zwei ungleiche Teile. In der unteren Hälfte des Rahmens befinden sich in jedem Drahte fünf, in der oberen zwei Kugeln. Jede untere Kugel des ersten Drahtes bedeutet 1 Einer, jede obere 5 Einer, jede untere Kugel des zweiten Drahtes 1 Zehner, jede obere 5 Zehner usw. (Siehe beistehende Tafel.)

Mit dieser Maschine können alle Rechnungsarten ausgeführt werden, und die Chinesen sollen mit derselben rascher rechnen als wir nach unserer Methode. Jeder Kaufmann hat seinen Swan-pan in der Tasche und löst in kurzer Zeit die größten Multiplikations- und Divisionsaufgaben. Wie ausnahmslos sich die Chinesen ihres Swan-pan bedienten und bedienen, ist schon daraus zu ersehen, daß ihre Rechenbücher alten und neuen Datums keine Regeln über die Addition und Subtraktion geben. Der Chinese löst eben die Aufgaben dieser beiden Spezies mit der Hand und nicht im Kopfe.

Das „Erste Rechenbuch“, von dem wir oben sprachen, war sehr lange im Gebrauch und erschien noch im Jahre 1240 n. Chr., also 4000 Jahre nach seiner Entstehung, unter dem Titel „Die neun Abschnitte der Rechenkunst“. Inwieweit es in diesem langen Zeitraum seine ursprüngliche Gestalt verändert hat, entzieht sich unserer Beurteilung. Die „neue“ Auflage enthält Gesellschafts- und Mischungsrechnungen, behandelte die Quadrat-und die Kubikwurzel, die Binominalkoeffizienten, lehrt das Auflösen von Gleichungen und bringt 24 geometrische Aufgaben, unter denen manche den pythagoräischen Lehrsatz voraussetzen.

Die Griechen.

In Griechenland findet man auf den ältesten Baudenkmälern die Zahlwörter ausgeschrieben, später erfolgte die Bezeichnung der Zahlen durch die Anfangsbuchstaben der Zahlwörter. Man schrieb Jota (J) für die Einheit¹), Pi (pente) für 5, D (deka) für 10, H (hekaton) für 100, X (chilia für 1000, My (myria) für 10000. Die gleichen Zeichen wurden, in- und nebeneinandergesetzt, auch gebraucht, um Vielfache von 5 als Einheiten verschiedenen Ranges darzustellen. Diese Zeichen wurden von dem byzantinischen Grammatiker Herodianus, der um das Jahr 200 n. Chr. lebte, erklärt und hießen von nun an herodianische Zeichen.

Vom Jahre 300 v. Chr. an bürgerte sich von Alexandrien aus der Gebrauch ein, die Zahlen durch die Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen. Die ersten neun Buchstaben bedeuteten die Zahlen 1 bis 9, die zweiten neun die Zahlen 10, 20 bis 90, neun weitere die Zahlen 100, 200 bis 900. Dazu waren also 27 Buchstaben erforderlich ; das griechische Alphabet besaß aber nur 24, es wurden deswegen drei Buchstaben aus einem älteren Alphabet entlehnt; für die Tausender wurden die gleichen Zeichen gebraucht wie für die Einer, nur setzte man links unten einen Strich daneben, a = 1, ,a = 1000, ,b = 2000.    10000 = ä

= Myria = My; 20000 = b = dyo Myriades usw., die Null kannten die Griechen nicht. Um anzudeuten, daß die Buchstaben nicht als Lautzeichen, sondern als Zahlzeichen, als Ziffern, aufzufassen seien, setzte man einen horizontalen Strich darüber (2345 = ,bvne)²). Brüche werden oft benützt. Ihre Bezeichnung erfolgte dadurch, daß man Zähler und Nenner zweimal nebeneinander stellte und den ersteren mit einem, den letzteren mit zwei Accenten versah, z. B. ³/₄ c'd"c'd". Bei Stammbrüchen fiel der Zähler weg, x/₂ = b”b”.

Die große Anzahl Zahlzeichen war der Technik des Rechnens sehr hinderlich. Hatte sich jemand die vier Spezies im Zahlenkreis 1 bis 10 eingeübt, so hatte er für die nächsten

J) „Das Zeichen ,J‘ war vielleicht nur ein gerader Strich, der später als Jota gelesen wurde.“ Cantor.

²) Selbstverständlich muß man sich hier die griechischen Buchstaben

denken.

co

GOO

pt

Kreise wenig gewonnen, weil er immer wieder auf neue Zeichen und auf neue Wörter stieß. Das schriftliche Rechnen trat deswegen im gewöhnlichen Leben in den Hintergrund zu Gunsten des Kopfrechnens, das eine wesentliche Stütze fand einerseits am Finger rechnen, andererseits am instrumentalen Rechnen, am Rechnen auf dem Rechenbrett.

Im Fingerrechnen besaßen die Griechen eine große Gewandtheit. Für die Zahl 1 bog man den 5. Finger der linken Hand einwärts, für 2 den 5. und 4., für 3 den 5., 4. und 3., für 4 den 2., für 5 den 3., für 6 den 4.; für 7 legte man den

5. um, für 8 den 4. und 5., für 9 den 3., 4. und 5. Tat man das Gleiche mit den Fingern der rechten Hand, so bedeutete dies die Zahlen 1000, 2000 bis 9000.

Bog man den Zeigfinger der linken Hand zum Daumen, so war dies das Zeichen für 10; für 20 streckte man den Zeigfinger und bedeckte den Daumen mit den übrigen, für 30 legte man die Zeigfingerspitze an die Daumenspitze und streckte beide vorwärts usw. Führte man die gleichen Bewegungen mit der rechten Hand aus, so bezeichnete man damit die Zahlen 100, 200 usw. bis 900.

Das Rechenbrett finden wir bei allen Kulturvölkern des Altertums. Sein Prinzip haben wir beim Swan-pan kennen gelernt. Der Grundgedanke ist genau der der jetzt üblichen Zahlendarstellung: die materiellen Zahlzeichen haben Zeichenwerte und Stellenwerte (Ziffernwerte und Stellenwerte). Man muß sich wundem, daß Jahrtausende vergingen, bis die hier gegebene Idee der Stellenwertigkeit in der schriftlichen Darstellung der Zahlen Verwendung fand. Dies liegt zum größten Teil darin begründet, daß das Rechenbrett das Fehlen der Einheiten irgend einer Ordnung ohne weiteres andeutet. Nun besaßen aber die Schriftsprachen kein Zeichen für das „Nichts“, keine Null, deswegen konnte man den schriftlichen Zahlzeichen keine Stellenwertigkeit beilegen.

Das Rechenbrett der Griechen hieß „Abax“, Staubbrett (abak — Staub). Die Mathematiker, besonders die Pythagoräer, benützten es nämlich vorwiegend zum Auf zeichnen der Figuren für geometrische und zum Aufschreiben von Zahlen für arithmetische Beweise. Zu diesem Zwecke bestreuten sie es mit blauem Sand, trugen mit Hilfe eines Stäbchens die Figuren, resp. die Zahlen ein und konnten sie so leicht auslöschen und von neuem entstehen lassen. Wichtiger aber waren die Dienste, die der Abax dem praktischen Rechner zu leisten hatte. Zu diesem Zwecke war er in mehrere Kolumnen eingeteilt, die senkrecht auf den Rechner zuliefen, und in welche bewegliche Marken gelegt wurden. Diese Marken hatten, je nach der Kolumne, in der sie sich befanden, verschiedene Stellenwerte, wie aus einer Bemerkung des griechischen Schriftstellers Polybius, der von 203 bis 121 v. Chr. lebte, zu ersehen ist: „Die Höflinge gleichen den Marken des Abax; wie diese nach dem Willen des Rechnenden bald ein Chalkos, bald ein Talent¹) gelten, so sind die Höflinge auf den Wink des Königs bald hoch beglückt, bald tief elend“.

In dieser Zeit war also das Abaxrechnen der Griechen allgemein bekannt. Es wird aber angenommen, daß es schon benützt wurde, als die herodianischen Zeichen in Gebrauch kamen, d. h. um das Jahr 600 v. Chr. Für diese Anschauung spricht die im Jahre 1846 auf der Insel Salamis aufgefundene „Tafel von Salamis“, eine aus Marmor bestehende, 1,5 m lange, 0,75 m breite, in 5 Haupt- und 4 Nebenkolumnen eingeteilte Rechentafel, auf der sich 13 mm hohe Ziffern, die herodianischen Zeichen, befinden. Wie aus der Tafel zu ersehen ist, bedeuten die am weitesten links liegenden Marken Talente, dann kommen weiter nach rechts hin Fächer für 1000, 100 und 10 Drachmen und ein Fach für einzelne Drachmen. Die Nebenkolumnen waren für den Obolus, den halben, viertel und achtel Obolus (Chalkos) bestimmt.

Die in beistehender Tafel veranschaulichte Zahl bedeutet also :

2 Talente, 3426 Drachmen, 3 Oboli, ¹j₂ Obolus, ³/₄ Obolus und 7 Chalkos = 9425 Drachmen, 3, ¹j₂, ³/₄ Obolus und 7 Chalkos.

Wie man mit Hilfe des Rechenbrettes die Rechenoperationen ausführte, wollen wir weiter unten zeigen.

Das schriftliche Rechnen gehört in Griechenland jedenfalls einer ziemlich späten Zeit an. Es soll erst in der alexandrinischen Schule, welche zur Zeit Euklids (um das Jahr 300—200 v. Chr.) ¹

Achtel

Das Rechenbrett der Griechen.

Viertel

Halbe

Ganze

Talente

Oboli

Drachmen

6000

Drachmen

Anmerkung: Ein Querstrich teilt die Kolumnen in zwei Teile. Die in den oberen Abschnitten liegenden Marken bedeuten jeweils 5 Einheiten.

auf der Höhe ihrer Blüte stund, eine höhere Ausbildung erlangt haben¹).

Die Addition und Subtraktion wurden ungefähr nach unserem Verfahren ausgeführt, die übrigen Operationen dagegen in wesentlich anderer Form. Wir wollen vorerst das Multiplizieren an zwei Beispielen erläutern.

1)

2)

265 = 200 + 60 + 5 x 265 = 200 + 60 + 5

40 000 + 12 000 + 1000 12 000 +    3 600 + 300

1 000 +    300 +    25

53 000 + 159 000 + 1325 = 70 225 32 ² 3 4 5/₄ = 30 + 2 + V₂ + i/4 x 32 ⁴/₄ = 30 + 2 + V₂ + V₄

+ 1 + V2 + V4 + Vs

rH

900 + 60 + 15 + 71/2 + 60 +

+ 15 +

+ 7V2+ V2 + Vs + Vi6

900 + 120 + 50 + 4/a + i/₄ + 2/g + i/₁₆ = 1032 ⁹/₁₆ 2)

Aus dem zweiten Beispiel ersehen wir, daß man die Brüche in ihre Stammbrüche zerlegte, wie dies schon das Rechenbuch

BO

Ahmes verlangte. Über die Multiplikation der Sexagesimalbrtiche siehe Seite 19.

Über die Division der dekadischen Zahlen ist nichts näheres bekannt, da man weder eine theoretische Anleitung noch ein ausgeführtet Beispiel besitzt, dagegen kennt man die der Sexa-gesimalbrüche. Diese spielen bei den Griechen die Rolle, die die Dezimalbrüche heute für uns besitzen. Wie wir schon früher sahen, wurden die Zahlen ⁷/₆₀, ¹⁹/₆₀², ⁶ 7 8 9 10 11 12/₆₀³> ⁴⁵/eo⁴ angeschrieben in der Form 7', 19", 37"', 45"" und gelesen: 7 partes minutae primae, 19, p. m. secundae, 37, p. m. tertiae 45, p. m. quartae. Da die Reihen sehr stark konvergent sind, eignen sie sich sehr gut zum Aufsuchen von Näherungswerten der Division und des Wurzelausziehens. Eine sexagésimale Division besitzen wir von Theon, der um das Jahr 360 n. Chr. in Alexandrien lebte. Sie lautet:

1515⁰ 20' 15": 250 12' 10" =

1)    1515° : 25 = 60°, Rest 150; 150 = 900'; 900' + 20' = 920', 920' - 60 • 12' = 200; 200 - 60 • 10" = 190'; Rest 190' 15"

2)    190': 25 = 7, Rest 15'; 15' = 900"; 900"+ 15"=- 915", davon sind abzuziehen 7 • 12' und 7 • 10"; Rest 829" 50'"

3)    829": 25 = 33.

Es ist also 15150 20' 15":250 12" 10"= 60° 7' 33". Auch das Wurzelausziehen hat uns Theon übermittelt. Wir wollen nach seinem Verfahren V 3400 suchen.

1)    V 3400 = 58, Rest 36; 360= 2160';

2)    2160 : 2.58 = 2160 :116 = 18', Rest 72', 72' = 4320"; davon muß 18' • 18'= 324" abgezogen werden, 4320" — 324"= 3996";

3)    3996": 2 (580 18') = 3996: 116» 36', 3996" : 116 = 34", Rest 52"; 52" = 3120'" usw.

Es ist also V 3400 = 58« 18' 34" = 58 i⁷/

I 60

legentlich der Eroberung Ägyptens durch den Perserkönig Kam-byses 525 in die babylonische Gefangenschaft geraten, habe als Grieche besondere Vorrechte genossen, sich mit dem chaldäischen Wissen bekannt gemacht und sei nach zehnjähriger Gefangenschaft freigelassen worden. Diese Reisen wurden aber von Gelehrten alter und neuer Zeit in das Gebiet der Sage verwiesen, da die Glaubwürdigkeit der alten Schriftsteller, die darüber berichten, angezweifelt wurde. Zu diesen Streitfragen äußert sich Cantor dahin, daß der ägyptische Aufenthalt so viel als gesichert dastehe, der babylonische aber eine Sage sei, die jedoch der historischen Wahrheit ziemlich nahe komme. Die pytha-goräische Lehre enthalte eine Reihe babylonischer Elemente, die in hohem Maße rätselhaft seien, wenn man ganz verwerfe, daß Pythagoras oder seine Schüler an die Quelle geraten seien.

Die Pythagoräer unterschieden zwischen Arithmetik und Logistik, d. h. zwischen Zahlentheorie und praktischer Rechenkunst. Die letztere war allgemeines Bedürfnis, nicht Wissenschaft, und wurde theoretisch und praktisch schon lange gelehrt und gepflegt, ehe die Pythagoräer die erstere begründeten. Die Pythagoräer betrachteten die Eigenschaften der Zahlen ohne Rücksicht auf deren rechnerische Verknüpfung und schufen die Begriffe befreundeter, vollkommener, überschießender und mangelhafter Zahlen¹). Die Primzahlen hießen Linearzahlen, Zahlen mit zwei Faktoren Flächenzahlen und solche mit drei Faktoren Körperzahlen.

Eine besondere Aufmerksamkeit wurde dem Summieren

der Reihen gewidmet. Man fand, daß 1 + 2 + 3+_____f n

, 1 + 3 + 5 + ...+(2n — 1) = n² und 2 + 4 + 6 + ..

+ 2n = n • (n + 1) ist und nannte die Summe der ersten Reihe Dreieckzahl, die der zweiten Quadratzahl und die der

n . (n + 1)

*) Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jede aus der Summe der Faktoren der anderen besteht. So hat z. B. die Zahl 220 die Faktoren 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110; ihre Summe beträgt 284. Die Faktoren von 284 heißen 1, 2, 4, 71, 142. Die Summe dieser Faktoren ist gleich 220. Die vollkommenen Zahlen sind gleich der Summe der eigenen Faktoren 6 = 1 + 2 + 3; 28= 1+2 + 4 + 7 + 14. Ist diese Summe größer, so hat man eine überschießende, ist sie kleiner, eine mangelhafte Zahl.

dritten heteromeke Zahl¹) Die Pythagoräer hatten das Bestreben, die Zahlen und die Zahlengesetze geometrisch zu veranschaulichen. Man vermutet, Pythagoras habe dabei den nach ihm benannten Satz gefunden. Das Zahlengesetz (3n)² + (4n)2 = (5n)² war schon lange vor seiner Zeit in Babylon bekannt. Pythagoras soll es dort kennen gelernt haben. Er hat dann auch gezeigt, daß nicht bloß die Zahlen 3n, 4n, 5n als Seitenlangen von rechtwinkeligen Dreiecken auftreten, sondern alle,

der Gleichung (a ^¹) = Q - A)

+ a²

entsprechen. Setzt man in dieser Gleichung für a die ungeraden Zahlen, und in der Gleichung (3n)²+ (4n)² = (5n)² für n beliebige Zahlen ein, so erhält man Zahlen, die pythagoräische Dreieckszahlen genannt werden. Plato (429—347) fand, daß auch

welche den Gliedern

die Gleichung    + lj =    — ljj + a² solche pythagoräische Zahlen liefert.

Die Pythagoräer behandelten auch die arithmetischen, geometrischen und harmonischen Proportionen²) und nannten eine geometrische Proportion die aus zwei Zahlen, ihrem arithmetischen und harmonischen Mittel gebildet ist,

a + b __ 2 • ab 2    ~~ a + b

: b ist eine

musikalische Proportion; a:

musikalische Proportion. Wie wir schon oben gesehen haben, befaßten sie sich wenig oder gar nicht mit den Rechenproblemen des praktischen Lebens. Dagegen soll ein außerhalb ihrer Schule stehender Mathematiker, Hypokrates von Chios, im Jahre 440 ein Lehrbuch für diese Zwecke geschrieben haben.

Vom dritten Jahrhundert v. Chr. ab drückten die Werke des Alexandriners Euklid dem gesamten mathematischen Wissen vieler Jahrhunderte einen charakteristischen Stempel auf. Euklid schrieb verschiedene Werke, unter denen seine „Elemente“ die wichtigsten waren. Diese Elemente bestanden aus 13 Büchern.

!) Stellt man diese Zahlen, durch Punkte oder Kreise veranschaulicht, untereinander, so entstehen dreieckige Figuren.

Hetëros = anders beschaffen.

== harmonisches Mittel.

²) a — x:x — b = a:b = harmonische Proportion. 2 • ab

Die ersten 6 behandelten planimetrische Probleme, das 7., 8., 9. und 10. die Lehre von den Zahlen, die Proportionen, die Reihen und einzelne Gleichungen. Die letzteren wurden aber nicht algebraisch gelöst, sondern geometrisch, d. h. die Größen wurden als Linien dargestellt usw. Das 11., 12. und 13. Buch führt den Leser in die Stereometrie ein.

Die Lehre von den Zahlen entwickelt Euklid im Anschluß an die Proportionen, die im 7., 8. und 9. Buche fortwährend auftreten. Er spricht von der Teilbarkeit der Zahlen, von Primzahlen, vom größten Maß und kleinsten Vielfachen. Angewandte Aufgaben kommen keine vor.

Ein berühmter Mathematiker der nacheuklidischen Zeit war Archimedes von Syrakus, der im Jahre 212 fiel, als die Römer die Stadt eroberten. Archimedes beschäftigte sich vorwiegend mit geometrischen Aufgaben, entdeckte das nach ihm benannte „Archimedische Prinzipu (die Krone des Königs Hiero) und schrieb ein Buch über die Rechenkunst, das er „Grundzüge“ nannte. In diesem teilt er die dekadischen Zahlen in O kt a den ein. Die erste Oktade umfaßt die Zahlen 1 bis 10⁸, die zweite die von 10⁸ bis 10 ¹⁶ usw. Die Einheit der 26. Oktade ist 10²⁰⁰. Diese Oktaden setzt Archimedes fort bis zur 10⁸ und nennt die Zahlen der ganzen Reihe die erste Periode. An diese schließt sich die zweite Periode, deren Einheit 1 mit 800 Millionen Nullen ist, an diese die dritte, die vierte u. s. f. In seiner Sandrechnung zeigte er dann, daß man immer wieder eine Zahl angeben könne, die größer sei als die, welche man bis jetzt für die größte gehalten habe. (Es wird hier die Frage aufgeworfen, wie viele Sandkörner enthält eine Kugel vom Radius Erdmittelpunkt - Fixsternenhimmel (= 20 000 Erdradien), wenn 10 000 Sandkörnchen die Größe eines Mohnkornes besitzen.)

Einen großen Einfluß gewann Eratosthenes, ein Zeitgenosse von Archimedes. Geboren in Kyrene, an der Nordküste Afrikas, verbrachte er den größten Teil seines Lebens in Alexandrien und wurde hier Vorsteher der weltberühmten Bibliothek. Er schrieb verschiedene Bücher, von denen wir die über Geographie, Chronologie und Würfelverdoppelung erwähnen wollen. Eratosthenes war der erste Grieche, welcher Umfang und Größe der Erde genau zu bestimmen versuchte. Auf altägyptische Messungen gestützt, berechnete er die Entfernung der Stadt

Syene (das heutige Assuan in 24° n. Br.) bis Alexandrien (31° n. Br.) zu 800 km, suchte auf Grund der Polhöhen beider Orte die Länge eines Grades und daraus die Größe der Erde. Die Ergebnisse seiner Forschungen verwertete er auch bei der Anfertigung der die Kugelgestalt der Erde voraussetzenden Karte. Diese enthält Meridiane und Parallelkreise und ist das Urbild unseres Gradnetzes.

Eratosthenes kannte die Schiefe der Ekliptik und ist wahrscheinlich der geistige Urheber des Ediktes von Kanopus.¹) Am 7. März 238 v. Chr. veröffentlichte eine in Kanopus bei Alexandrien versammelte Priesterschaft einen Erlaß, welcher das Kalenderjahr mit dem Laufe der Sonne in Einklang zu bringen suchte. Das altägyptische Jahr umfaßte ursprünglich 360 Tage, war also um 5*/₄ Tage zu kurz. Die Festtage durchwanderten deswegen in 70 Jahren das tropische Jahr. Um dies zu verhindern, wurden schon frühe 5 Schalttage angefügt. Dadurch wurde aber noch keine vollkommene Stabilität erzielt. Das neue Jahr war immer noch um 0,24225 Tage zu kurz, und Feste, die im Winter zu feiern waren, fielen nach 720 Jahren in den Sommer hinein und umgekehrt. Das genannte Edikt verlangt nun, daß jedes vierte Jahr einen sechsten Schalttag erhalten soll, an dem das Fest der Euergeten zu feiern sei. Merkwürdigerweise geriet diese Verordnung bald wieder in Vergessenheit. 200 Jahre später wurde ihr der Julianische Kalender gerecht. Ob sein Urheber, der Astronom Sosigenes, das 365^4 tägige neuägyptische Jahr gekannt hat oder nicht, läßt sich nicht mehr entscheiden.

In seinem „Siebproblem“ lehrt Eratosthenes das Aufsuchen aller Primzahlen. Es lautet: Man schreibe alle ungeraden Zahlen in eine Reihe, streiche, von 3 ausgehend, jede dritte, von 5 aus jede fünfte, von 7 aus jede siebente usw., der Rest besteht nun aus den Primzahlen.

Der erste Schriftsteller, der die arithmetischen Lehren der Griechen in logischem Aufbau, ohne Bezug auf die Geometrie, zusammenstellte, war Nikomachus aus Gerasa in Arabien. Dieser lebte um das Jahr 100 n. Chr. und bereicherte auch die Arithmetik um mehrere Zahlengesetze. So zeigte er im Anschluß an das Gesetz: die Summe der ungeraden Zahlen ist stets eine

!) Das Edikt von Kanopus wurde im April 1866 aufgefunden.

Quadratzahl,¹³) daß auch die Kubikzahlen als Summen von ungeraden Zahlen auftreten. So ist 1 = 1³, 3 + 5 = 2³, 7 + 9 + 11 = 3³, 13 + 15 + 17 + 19 = 43, 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53, 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 6³ usw. Sein Lehrbuch wurde bald in das Lateinische übersetzt und dadurch zur Quelle, aus der die Schriftsteller verschiedener Völker jahrhundertelang schöpften. In welchem Ansehen es stund, kann man aus dem Lobe entnehmen, das man das ganze Mittelalter hindurch einem guten Rechner spendete, indem man von ihm sagte, er rechne wie Nikomachus aus Gerasa. Wie man Euklid den Vater der Geometrie nannte, so hieß Nikomachus der Vater der Arithmetik.

Von anderen Mathematikern wollen wir noch kurz erwähnen Ptolemäus Claudius, Diophantos, Theon und Artabastes. Die ersten drei lebten in Alexandria, der letzte in Smyrna. Ptolemäus verfaßte um das Jahr 130 n. Chr. ein Lehrbuch der Astronomie, in welchem er zuerst die arithmetischen Grundbegriffe lehrte. Dieses Buch wurde unter dem Namen Almagest²) bekannt und bildete das ganze Mittelalter hindurch die Grundlage des astronomischen Wissens. Diophantos (350 n. Chr.) schrieb ein Lehrbuch der Arithmetik und gilt als der Erfinder der nach ihm benannten unbestimmten Gleichungen. Theon (400 n. Chr.) gab Erläuterungen zum Almagest und übermittelte uns die Anwendung der Sexagesimalbrüche zur Aufsuchung von Näherungswerten. Artabastes (400—500) verfaßte eine Handschrift arithmetischen Inhalts, in der die Ausdrücke „politische Arithmetik“ und „Regel detri“ zum erstenmal auftreten.

CD

Die Romer.

Die Römer stellten die Zahlen ursprünglich durch einzelne Striche dar, später benützten sie Buchstaben und schließlich die noch heute gebräuchlichen „römischen Ziffern“. Die erste Art findet man vorwiegend auf etrurischen Baudenkmälern ; man nimmt deswegen an, sie stamme aus Etrurien. Über die Bedeutung und das Herkommen der als Ziffern benützten Buchstaben weiß man nichts Bestimmtes, nur so viel scheint festzustehen, daß sie nicht dem Alphabet entnommen waren in dem Sinne, wie es bei den Griechen der Fall war. Es sind aber auch nicht die Anfangsbuchstaben der lateinischen Zahlwörter. Manche vermuten, es seien die der etrurischen; da man aber diese nicht kennt, läßt sich die Frage nicht entscheiden.

Die Frage über die Entstehung und das Herkommen der römischen Ziffern ist ebenfalls noch eine offene. Von verschiedenen Gelehrten wurde angenommen, sie seien aus einzelnen Strichen entstanden. So habe das Zeichen für 5 ursprünglich die Gestalt VT gehabt, und das für 10 sei ein doppelter Fünfer gewesen. Andere stellen dies in Abrede. Das Zeichen X stamme vom Zeichen für 100, vom C (centum = 100), und der Fünfer sei die Hälfte vom Zehner. Das L (= 50) sei die untere Hälfte vom C (= 100) und das D (= 500) die vordere Hälfte vom M (mille = 1000).

In neuerer Zeit wurde aber auch zu beweisen gesucht, daß die römischen Ziffern hervorgegangen seien aus Bildern der Fingerstellungen für die betreffenden Zahlen, daß sie also im engsten Zusammenhänge stünden mit dem Fingerrechnen.

Eine Bruchrechnung, selbst im bescheidenen Umfange der griechischen Logistik, besaßen die Römer nicht. Sie kannten duodezimale Teile der Münzen und Gewichte¹) und hatten zu deren Bezeichnung und Darstellung 11 Bruchnamen und 11 Bruchzeichen. Dem sexagesimalen Bruchsystem der Babylonier steht also hier ein duodezimales der Lateiner gegenüber. Bei uns sind beide ersetzt durch das dezimale.

Was nun das Rechnen selbst anbelangt, so wurde es als Fingerrechnen, als Rechnen auf dem Rechenbrett und als Tabellenrechnen geübt. Das Fingerrechnen hat die älteste Überlieferung für sich. König Numa kannte es schon. Er ließ ein Standbild des Janus errichten, dessen Finger- ¹⁴

!

X

o

S

X  m

Stellung die Zahl 355,*) als Zahl der Jahrestage, andeutete. — Die Finger der linken Hand dienten zur Bezeichnung der Einer und Zehner, die der rechten zu der der Hunderter und Tausender. Auf das Nähere kann hier nicht eingegangen werden.²)

Neben dem Fingerrechnen war das Abakusrechnen üblich und bildete einen Gegenstand des elementaren Unterrichts. Das römische Rechenbrett hatte 8 längere und 8 kürzere Hauptkolumnen und 3 Nebenkolumnen. Zwischen den längeren und kürzeren Kolumnen waren die Überschriften für die Unzen, Einer, Zehner usw. In den Kolumnen befanden sich bewegliche Stifte mit Marken, in der längeren Kolumne der Unzen 5, in den übrigen längeren 4. Jede kürzere Kolumne enthielt eine Marke. Die Marke der längeren Kolumne bedeutete eine, die der kürzeren 5 Einheiten der betreffenden Überschrift. Der kürzere Teil der ersten Kolumne bildete eine Ausnahme, seine Marke stellte nicht 5, sondern 6 Einheiten vor. Die erste Hauptkolumne konnte also 5 + 6 = 11 Unzen veranschaulichen. Kam noch eine dazu, so wurden alle 12 ersetzt durch eine Marke der zweiten Kolumne, die ein As bedeutete. Die drei Nebenkolumnen waren für die Obuli bestimmt. Die unterste enthielt zwei Marken à 1 Obulus, die mittlere eine à 3 Obuli und die oberste eine à 6 Obuli.

Mit diesem Rechenbrett konnten alle Rechenoperationen vorgenommen werden, wenn das Einmaleins beherrscht wurde. Dies wurde in den Schulen eingeübt. Der Vorübergehende hörte das montone: unum et unum duo, duo et duo quattuor im Chore hersagen, das häufig vom Klatschen der Rute und vom Heulen der Knaben unterbrochen wurde. Dem Vervielfachen und Teilen waren aber nur geübte Rechner gewachsen. Minder geübte bedienten sich der Rechen tabeli en, der Rechenknechte,³) denen man eine große Anzahl Produkte oder Quotienten direkt oder indirekt entnehmen konnte. Einer dieser Calculi ist auf uns gekommen, es ist der des Victorius, der im Jahre 457 n. Chr. eine Osterrechnung verfaßte.

J) Numa Pompilius (715—672 v. Chr.) führte ein Mondjahr von 355 Tagen ein. 5 Monate hatten 5 • 29 = 145, 7 Monate 7 • 30 = 210 Tage. Ein 13. Monat (Schaltmonat) suchte dem Sonnenjahr gerecht zu werden.

2)    Siehe Friedlein, Das Rechnen der Griechen und Römer.

³)    Calculus = Rechenknecht, Faulenzer.

Die Römer haben sich weder in der Philosophie noch in der Mathematik als selbständige Forscher gezeigt. In der Zeit der Entwicklung des römischen Weltreiches war für philosophische Spekulationen und zahlentheoretische Untersuchungen überhaupt kein Boden vorhanden. Die Erziehung und Heranbildung der Jugend war den Sklaven überlassen, und diese hatten auch die geschäftlichen Rechenvorfälle des täglichen Lebens zu besorgen. Der praktischen Geometrie wurde mehr Beachtung geschenkt. Jedes römische Heer hatte seinen Feldmesser, welcher die Lager abstecken und einteilen und die eroberten Gebiete unter die Ansiedler verteilen mußte. Erst nachdem Griechenland erobert war, und infolgedessen eine größere Anzahl Griechen in Italien lebten, machte sich ein höheres Streben bemerklich. Besonders war es die Richtung der Pythagoräer, an die sich die Römer anschlossen. Von Gelehrten, die mathematische Werke schrieben oder solche aus dem Griechischen übersetzten, sind zu erwähnen: Marcus Terentius Varro 116—27, v. Chr. — ein Freund Ciceros —, Marcus Yitruvius Pallo, 15 v. Chr., Sextus Julius Frontinus, 80 n. Chr., und Appuleius von Madaura in Numidien. Der letztere übersetzte 150 n. Chr. die Werke des Nikomachus in das Lateinische und erschloß damit den Römern das arithmetische Wissen der Griechen. Er soll auch ein eigenes Rechenbuch geschrieben haben. Ein im Jahre 1540 in Paris erschienenes Rechenbuch sagt nämlich, Appuleius habe den Römern das kaufmännische Rechnen gelehrt. Nach Appuleius gewannen Cassio-dorus und Manlius Boëthius einen größeren Einfluß auf die mathematische Schulung der Römer.

Aurelius Cassiodorus, im Jahre 500 n. Chr. Geheimschreiber und erster Berater des ostgotischen Königs Theodorich, zog sich später in ein Kloster zurück, wo er eine reiche literarische Tätigkeit entfaltete und das Abschreiben der Bücher als eine Gott wohlgefällige Beschäftigung pries. Er erfand besondere Lampen, damit die Mönche auch nachts „arbeiten“ konnten. Auf die Anregung des Cassiodorus hin gelangten viele Bibliotheken in den Besitz wertvoller Schriften der Alten.

Das Hauptwerk von Cassiodorus: de artibus ac disciplinis liberarium litterarium verdient in der Geschichte der Pädagogik ernste Beachtung, weil er in ihm alles irdische Wissen in zwei Plauptgruppen einteilt, in das Trivium Grammatik, Dialektik und Rhetorik und in das Quadrivium Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie. Diese Zweiteilung blieb das ganze Mittelalter hindurch für das gesamte Unterrichtswesen maßgebend.

Manlius Boëthius, ein Zeitgenosse des Cassiodorus, übersetzte viele Werke der Griechen in das Lateinische und schrieb Lehrbücher über Arithmetik, Musik und Geometrie. Die Arithmetik ist nach seinen eigenen Worten eine Bearbeitung des Werkes von Nikomachus. Die Zahlen 1 bis 9 nennt er Finger-zahlen, die Zehner Gelenkzahlen und die übrigen zusammengesetzte Zahlen.¹)

Boëthius behandelte zuerst das Multiplizieren und Dividieren. Er zählt die Produkte auf, die entstehen, wenn man mit Einer, mit Zehner, mit Hunderter vervielfacht. Bei der Division erscheint zum erstenmal die sogenannte komplementäre Division, die dann das ganze Mittelalter hindurch eine Rolle spielt. Wir wollen deswegen ihr Prinzip an einem Beispiel erklären. Der Divisor wird um das „Komplement“ erhöht, d. h. um die Differenz zwischen ihm und der nächst höheren Gelenkzahl. Man dividiert nun durch diese Gelenkzahl und vergrößert dann den Rest um das Produkt aus Quotient und Komplement, z. B. 1745 : 37.

1745 :40 = 40 + 6 + 1 = 47, Rest 6.

1600

145 + 120; 265:40 = 6

265

240

25 + 18 ;    43 : 40 = 1 ;

43

40

3 + 3 = 6.

Zum ersten Reste (145) zählt man das Produkt aus 40 • 3 = 120, zum zweiten (25) das aus 6 • 3 = 18 usw.

In der Einleitung zu seiner Geometrie sagt Boëthius, die Pythagoräer hätten sich, um bei der Multiplikation und Division nicht in Irrtümer zu verfallen, einer Tafel bedient, der mensa Pythagoraea, die später Abakus genannt worden sei. Er beschreibt nun diese Tafel näher, bringt aber an Stelle der

0 Fingerzahlen = digiti, Gelenkzahlen = articuli.

Marken phantastisch geformte Zeichen, Ziffern, die er Apices nennt.¹) Diese Apices signalisieren das Erscheinen der Positionsarithmetik.

Boëthius betont, man könne mit den „pythagoräischen Apices⁴⁴ bald eine bestimmte Anzahl Einer, bald eine bestimmte Anzahl Zehner usw. bezeichnen, je nachdem man sie in eine andere Kolumne setze.

Die Null kennt er nicht, seine Ziffern sind deswegen nur in Kolumnen zu gebrauchen.

Boëthius spricht wiederholt von einem lateinisch schreibenden Architas; seine Apices sollen aus einem Werke dieses Gelehrten stammen. Nun kennt aber die Geschichte nur einen Archytas, der um das Jahr 400 v. Chr. in Tarent einer pythagoräischen Schule angehörte. Dieser lateinische Architas ist deswegen wahrscheinlich nichts anderes als eine lateinische Übersetzung der Werke des griechischen Archytas. Die Apices würden also diesem Griechen Archytas oder einem seiner Schüler zuzuschreiben sein. Dieser Frage werden wir in einem späteren Kapitel näher treten.²) Boëthius beteiligte sich auch an religiösen und politischen Kämpfen ; er stand auf Seite der römischen Geistlichkeit, während Theodorich und seine Anhänger Arianer waren, und suchte dem römischen Senat mehr Freiheiten und größere Rechte zu verschaffen. Theodorich ließ ihn verhaften und nach längerer Gefangenschaft im Jahre 524 n. Chr. hinrichten. Später wurde er heilig gesprochen.

Von nun an tritt das Abakusrechnen in vereinfachter Form auf, da man für die Anzahl der Einheiten der einzelnen Ordnungen immer nur eine Marke (eine Ziffer) nötig hatte. Wir wollen an einigen Beispielen zeigen, wie man jetzt mit Hilfe des Abakus rechnete.

1. Addiere die Zahlen LXXVI und XXXXVIII.

hH

Man setzt die entsprechenden Apices ein, addiert im Kopfe 6 + 8 = 14, setzt die ganze Summe ein, addiert 1 + 4+ 7 = 12, nimmt 1 weg, setzt dafür 12 ein und hat nun 4 Einer, 2 Zehner und 1 Hunderter. Die Summe wird in römischen Ziffern dargestellt = CXXIY.

0 Apex (-icis) = kleiner Kegel.

2) Siehe Seite 47.

2. Multipliziere 34 mit 26.

c$ AH 00

00 ÛÇ (X 03 IO

CD

CD CM

co co tF od

rH

00 CD

Das Produkt enthält 4 Einer, 8 Zehner und 8 Hunderter, heißt also DCCCLXXXIV = 884.

Die Division wird nach dem komplementären Verfahren, das wir oben besprochen haben, durchgeführt. Da die schriftliche Erklärung (der vielen Apices wegen, die wieder weggenommen werden müssen) sehr weitschweifig würde, wollen wir nicht näher darauf eingehen.¹)

GOO

Die Israelîfen.²)

Wie die Griechen, so benützten auch die Israeliten die Buchstaben ihres Alphabets als Zahlzeichen, aber erst von der letzten Hälfte des ersten Staatslebens ab. Vorher bedienten sie sich einzelner Striche oder der Zahlwörter. Die Zahlen 1—9 wurden durch die ersten 9 Buchstaben, die Zahlen 10—90 durch die zweiten 9 usw. dargestellt. Von den Brüchen waren nur V₂> 74; 75; 7io> 7io> ³/io usw- in Gebrauch.

Die Bibel kennt die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation, das Potenzieren und das Dividieren. Eine zusammengesetzte Rechnung befindet sich in 3. Moses 27, 19. Da schon unter der syrischen Herrschaft die gebildeten Juden nur griechisch sprachen, so hörte die hebräische Sprache auf, eine lebende Sprache zu sein. Sie wurde nur noch als Sprache der hl. Schrift und des jüdischen Kultus gepflegt. Aus diesem Grunde kann sich die Arithmetik der Juden nicht wesentlich von der der Griechen unterscheiden. Daß die Juden die theoretische Arithmetik irgendwie gefördert

1)    Siehe Friedlein, Das Rechnen der Griechen und Römer.

²)    Nach Dr. Homburger, Real-Enzyklopädie für Bibel und Talmud.

hätten, läßt sich nicht nachweisen. „Der Tempelabriß in Ezechiel setzt aber nicht unbedeutende mathematische Kenntnisse voraus.“ Siehe auch § 9.

zcn

00

Die Inder.

Um das Jahr 1400 v. Chr. wanderten Arier in das heutige Dekhan ein, unterjochten die eingeborene Bevölkerung und machten ihre Sprache, das Sanskrit, zur Volkssprache. Diese ging aber als solche wieder verloren und war vom 6. Jahrhundert v. Chr. ab nur noch als tote Sprache die Sprache der Schule und der Gelehrsamkeit. In dieser Sprache sind eine große Anzahl Werke verschiedenen Inhalts verfaßt, die uns einen Einblick in das Kultur- und Geistesleben der Hindu, resp. ihrer Gelehrten, der Brahmanen, gestatten. Aus manchem dieser Werke ist zu ersehen, daß Gedanken griechischer Philosophen und Mathematiker schon frühe Eingang in Indien gefunden haben. Umgekehrt läßt sich aber auch nach weisen, daß auch Griechen, besonders die Alexandriner, aus indischen Quellen schöpften. Es fand also schon in den ältesten Zeiten ein geistiger Verkehr zwischen dem Osten und dem Westen statt, der dann durch die Eroberungszüge von Alexander dem Großen noch weiter gefördert wTurde. Für diese geistige Wechselwirkung spricht besonders das astronomische Lehrbuch Surya Siddhanta, welches zwischen dem 3. und 4. Jahrhundert v. Chr. von einem unbekannten Gelehrten verfaßt wurde und verschiedene griechische Ausdrücke enthält, die trotz ihrer indischen Verkleidung leicht zu erkennen sind.

Wenn von den Griechen behauptet wird, die Geometrie sei ein Ergebnis ihrer Geistestätigkeit, so muß von den Indern hervorgehoben werden, daß man es ihnen zu verdanken hat, daß die elementare Arithmetik, die Technik des bürgerlichen Rechnens, Gemeingut der Völker geworden ist. Die Inder sind die Erfinder unserer Ziffern, der Positionsarithmetik und der mechanischen Ausführungen der Berechnungen.

Sie haben sich schon frühe mit großen Zahlen beschäftigt und Namen für die dezimalen Einheiten bis zu 10¹⁷ gebildet.

Buddha habe sogar Wörter für die Potenzen 10¹ bis 10 ⁵⁴ gehabt. Das Bestreben, die Zahlen auf einfache Art schriftlich darzustellen, führte sie zur Erfindung der 9 Ziffern. Diese treten schon auf uralten Inschriften auf. Die Null erscheint viel später. Im 2. Jahrhundert war sie noch nicht bekannt, denn sonst wäre sie damals, als durch den indisch-alexandrini-schen Verkehr die indischen Ziffern nach Westen gelangten und dort als pythagoräische Zeichen, als Apices, Verwendung fanden, gleichzeitig bekannt geworden. Architas, respektive Boëthius, kennt sie aber nicht. Sie ist höchst wahrscheinlich im 4. Jahrhundert n. Chr. erfunden worden. Gesichert ist ihr Vorkommen seit dem Jahre 400 n. Chr. (Siehe Seite 47.)

Wie man jetzt allgemein annimmt, waren die 9 alten indischen Ziffern, aus denen die unsrigen hervorgegangen sind, nichts anderes als die Anfangsbuchstaben der ersten 9 Zahlwörter auf Sanskrit. (Siehe die Tafel, i)

Nach der Erfindung der Null war es möglich, alle Zahlen auf höchst einfache und sinnreiche Weise schriftlich darzustellen: man gab den einzelnen Zahlzeichen Ziffernwerte und Stellenwerte und kam damit zu der sogenannten Positionsarithmetik, die nicht nur der Mathematik, sondern vor allem der ganzen Menschheit in den alltäglichen Vorfällen des praktischen Lebens hervorragende Dienste geleistet hat und in aller Zukunft leisten wird. Erst durch die Positionsarithmetik ist das Rechnen Gemeingut des Volkes aller Nationen geworden. Vorher war es nur privilegiertes Eigentum von einzelnen Bevorzugten.

Eigentliche mathematische Schriftsteller scheint es in Indien nicht gegeben zu haben, dagegen fanden Astronomie und Astrologie ihre berufsmäßigen Vertreter, und da diese genötigt waren, gewisse mathematische Kenntnisse vorauszusetzen, so entwickelten

i) Am 6. Juni 1906 hielt Dr. Mischke in Tokio einen Vortrag über die Herkunft unserer Ziffern, in welchem er auf Grund ihrer Gestalt zu beweisen suchte, daß sie aus den chinesischen Ziffern hervorgegangen, und daß diese aus den Bildern der Fingerstellungen für die Zahlen entstanden seien. Beide könnten aber auch aus einer gemeinsamen Quelle abstammen, von der sich dann die chinesischen Ziffern weniger entfernt hätten als die arabisch-indischen.

sie in den Einleitungskapiteln ihrer Lehrbücher die Elemente der mathematischen Lehren. So besitzen wir Werke von den Astronomen Aryabatta, geb. 476 n. Chr., Brahmagupta, geb. 598 n. Chr., und Bhaskara, geb. 1114 n. Chr., die uns mit dem Bechenverfahren jener Zeiten so nebenbei bekannt machen.

Wir sehen hier, daß es nicht wesentlich verschieden war von dem, das wir heute benützen. So wird z. B. die Aufgabe 835 — 648 gelöst, indem entweder gesagt wird, 8 von 15 bleibt 7, 4 von 12 bleibt 8, 6 von 7 bleibt 1 (Rest = 187), oder es wird das sogenannte Additionsverfahren angewandt: 8 + 7 = 15, behalte 1, l+4=5;+8 = 13, behalte 1, l + 6 = 7;+l = 8. Das folgende Beispiel zeigt, wie die Inder vervielfachten. 23 • 546.

5    4    6 Man schreibt die Faktoren an die Seiten

12    5    5    8

^ 7" eines in Quadrate eingeteilten Rechtecks, /t2 zieht alle Diagonalen, vervielfacht nun, mit einem beliebigen Faktor beginnend, setzt die Produkte auf die in beistehender Figur angedeutete Weise in die Quadrate ein und addiert die in den schiefen Reihen stehenden Zahlen. — Die Resultate aller 4 Spezies werden durch die Neunerprobe geprüft, die in dem zahlentheoretischen Satze begründet ist, daß die Ziffernsumme (Quersumme) einer Zahl den gleichen Rest liefert wie die Zahl selbst. Siehe § 10.

Nachdem die 4 Spezies und das Wurzelausziehen erklärt sind, bringen die Rechenbücher eine Reihe angewandter Aufgaben. Es sind Regeldetri-Rechnungen direkten und indirekten Verhältnisses, Zins- und Zinseszinsaufgaben, Gesellschafts- und Mischungsrechnungen, Permutationen, Reihen, Regula falsi-Aufgaben, geometrische und trigonometrische Probleme und Gleichungen. Bei den Zinsrechnungen beträgt der monatliche Zinsfuß gewöhnlich 5°/₀.

Viele Aufgaben sind in ein poetisches Gewand eingekleidet, welches gewöhnlich dem Stoffe trefflich angepaßt ist. »Von einem Schwarm Bienen läßt sich ¹/₅ auf einer Kadamablüte und ¹/₃ auf der Silindablume nieder. Der dreifache Unterschied der beiden Zahlen flog nach den Blüten eines Kutapa; eine einzige Biene blieb übrig, welche in der Luft hin- und herschwebte, gleichzeitig angezogen durch den lieblichen Duft einer Jasmin und eines Pandamus. Sage mir, süßes Mädchen mit den glitzern-

den Augen, sage mir die Anzahl der Bienen.“ „Bei verliebtem Ringen brach eine Perlenschnur. */₆ der Perlen fiel zu Boden, !/₅ blieb auf dem Lager liegen, ^ rettete das Mädchen, lj₁₀ nahm der Geliebte an sich. 6 Perlen blieben aufgereiht. Sage mir, reizendes Weib, wie viel Perlen hat die Schnur enthalten?“

Die Regeldetri-Rechnungen sind indischen Ursprungs — die Griechen benützten, wie wir früher sahen, die Proportionen zum Auflösen der sogenannten Geschäftsrechnungen — ; sie werden auf direkte und indirekte Verhältnisse angewandt. „30 Balken von 12 Zoll Dicke, 16 Zoll Breite und 14 Fuß Länge kosten 100 Nischkas; was kosten 14 Balken von 8 Zoll Dicke, 12 Zoll Breite und 10 Fuß Länge? Wenn es 8 Drachmen kostet, die ersten Balken eine Meile weit fortzuschaffen, wie viel kostet es dann, die letzten Balken 6 Meilen zu befördern?“ „Eine Sklavin von 16 Jahren kostet 32 Nischkas, was kostet eine von 20 Jahren?“ 16 * 32:20 = 25,60 Nischkas. Die indischen Rechenbücher lösen ihre Aufgaben nach bestimmten Regeln, die ohne weitere Erklärung oder Begründung geboten und angewandt werden. Z. B.: von vier Juwelieren besitzt A 8 Rubine, B 10 Saphire, C 100 Perlen und D 5 Diamanten. Es schenkt nun jeder den drei anderen ein Stück von seinem Eigentum und sie besitzen nun gleich viel. In welchem Wertverhältnis stehen die Edelsteine ? Es heißt nun : ziehe von den Zahlen 8, 10, 100 und 5 die Anzahl der Personen ab, teile den Rest in ihr kleinstes Vielfache und du erhältst 24, 16, 1, 96. Der Diamant ist also 96mal wertvoller als die Perle usw.

Oie Araber.

Die Araber gründeten um das Jahr 2500 v. Chr. unter der Dynastie der Hamyariten ein Reich, das 2000jährigen Bestand gehabt haben soll. Sie standen in den ältesten Zeiten in einem großen Rufe von Bildung und Gelehrsamkeit, so daß Salomons Weisheit von seinen Zeitgenossen mit der der Araber verglichen wurde. Ihre Schrift hatte für die Zahlen 1, 5, 10, 20 einzelne Zeichen. Mit diesen vier Ziffern stellten sie alle Zahlen dar. Durch die Eroberungszüge der Babylonier wurden auch die

Araber in Mitleidenschaft gezogen und infolge dessen mit innerasiatischer und griechischer Bildung bekannt.

Um die Mitte des 7. Jahrhunderts n. Chr. entwickelte sich eine neue Schrift, die sich besonders in der am Euphrat gelegenen Stadt Kufa ausbildete und vor allem zum Niederschreiben des Korans benützt wurde. Die ursprüngliche Schrift verschwand. Die neue Schrift enthält 22 Buchstaben, die von den Phöniziern übernommen seien. Die Zahlen wurden von nun an, nach griechischem Muster, durch diese 22 Buchstaben, zu denen noch 6 alt-arabische hinzukamen, dargestellt und zwar von rechts nach links, weil die Araber, wie alle Semiten, in dieser Richtung schrieben. Im Anfänge des 9. Jahrhunderts n. Chr. tritt nun plötzlich eine andere Zahlenbezeichnung und eine andere Zahlendarstellung auf: die Zahlen werden mit besonderen Ziffern und außerdem von links nach rechts geschrieben. Da diese Schreibart der früheren entgegengesetzt gerichtet ist, und sich außerdem nur auf die Zahlen beschränkt, so ist deren fremdländischer Ursprung unstreitig. Wie ist diese Erscheinung zu erklären?

Unter der Regierung des Kalifen Almansur (754—775) wurden mehrere indische und griechische Werke verschiedenen Inhaltes in das Arabische übersetzt. Seine Nachfolger Hârûn Arraschid (786—809) und Almamün (813—833), die mit Erfolg anfingen, ihre Herrschaft zu erweitern, spornten zu weiteren Übersetzungen an, damit ihre Untertanen den benachbarten Völkern in geistiger Beziehung ebenbürtig würden. So lernten die Araber medizinische, philosophische, astronomische und mathematische Werke anderer Nationen kennen. Aus dem Sanskrit gab AlFazârî die Astronomie Siddhanta unter dem Namen Sindhind in arabischer Sprache heraus, Alchwarizmi übersetzte das Werk des Brahmagupta, andere erschlossen den Arabern Euklid und Ptolemäus und einige andere. Aber auch schon früher kamen die Araber mit der indischen Kultur in Berührung und zwar in persönliche Berührung, als sie unter dem Omaijaden Welid I in den Jahren 705—715 auf* Eroberungszügen bis an den Indus vordrangen.

Sie hatten also reichlich Gelegenheit, sich indische Wissenschaft anzueignen. Von der Zweckmäßigkeit der indischen

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Entwicklung unserer Ziffern.

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Sanskrit - Buchstaben

Apices des Boethius

Gobarziffern der West-Araber .    .    .    .

Ziffern der Ost-Araber

Moderne Ziffern

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Zahlendarstellung überzeugt, nahmen sie die indischen Ziffern mit der Null und der Positionsarithmetik in ihre Sprache auf und trugen sie mit sich auf ihren Eroberungszügen, die sich bald nach allen Richtungen hin erstreckten. Im Verlaufe des 7. Jahrhunderts eroberten sie die Nordküste Afrikas, besetzten unter ihrem Feldherrn Tarik im Jahre 711 auf spanischem Boden jene steile Höhe, die von nun an Tarik’s Höhe, Dschebel Tarik, Giberaltar, genannt wurde, und gründeten dann in Spanien eine Statthalterschaft, die sich bald vom Mutterlande loslöste. So entstand das westarabische Reich.

Sonderbarer Weise besaßen aber die Westaraber andere Ziffern als die Ostaraber, sie nannten sie Gobarziffern, Staub(brett)ziffern. Der Unterschied machte sich besonders in den Zeichen für 5, 6, 7 und 8 bemerklich. (Siehe Tafel.) Man sucht diese Erscheinung folgendermaßen zu erklären:

Im 2. «Jahrhundert n. Chr. gelangten die indischen Ziffern nach Alexandrien, von hier aus nach Rom, Westafrika und Spanien. Boëthius lernt sie aus dem Werke des lateinischen Architas unter dem Namen pythagoräischen Zeichen kennen und benützt sie unter dem Namen Apices zum Kolumnenrechnen. Im

8.    Jahrhundert lernten dann die Araber des Ostens die indischen Ziffern, die sich in der 600 jährigen Zwischenzeit etwas verändert hatten, mit der Null kennen und nahmen sie auf ihren Eroberungszügen mit nach Westen. Der Westen nahm die Null auf, blieben aber den alten Zeichen treu. Diese gingen dann auch auf die eingewanderten Araber über.¹)

Die Geschichte der Mathematik der Araber beginnt mit der Zeit, in der die Werke der Inder und Griechen in ihre Sprache übersetzt wurden. Der erste Gelehrte, der auch mathematische Originalwerke schrieb, ist der bereits oben genannte Muhamed ibn Mûsâ Alchwarizmi. Dieser lebte im Anfang des

9.    Jahrhunderts n. Chr. in Bagdad, lehrte die Positionsarithmatik, benützte die 9 indischen Ziffern nebst der Null und nennt seine Methode indische Rechenkunst. Sein Lehrbuch der Arithmetik fand bei den Arabern des Ostens und Westens große Verbreitung.

0 Cantor.

Die Lehre von der Positionsarithmetik wurde von nun an nach seinem Familiennamen Alchwarizmi Algorithmus¹) und die, welche sich ihrer bedienten, Algorithmiker genannt im Gegensatz zu den Anhängern des Rechenbrettes, die Abacisten hießen.

Muhammed behandelt zuerst die Darstellung der Zahlen und bemerkt dabei, daß seine Ziffern nicht genau mit den indischen übereinstimmen, und daß auch andere Völker ähnliche besitzen. Dann lehrt er die Addition und die Subtraktion. „Ist die Summe größer als 9, so nehme die Zehner zu der folgenden Stelle und schreibe an die ursprüngliche nur das, was unter 10 noch übrig ist; bleibt nichts übrig, so setze den Kreis,²) damit die Stelle nicht leer sei, und man versucht wäre, die zweite Stelle für die erste zu nehmen.“ Das Addieren und Subtrahieren wird von der höchsten Stelle aus, das Halbieren von der niedersten, das Verdoppeln, Multiplizieren und Dividieren wieder von der höchsten aus begonnen. „Die Arbeit wird so, so Gott will, nützlicher und leichter.“

Das Multiplikationsverfahren ist das der Inder. Die Division wird in der umgekehrten Reihenfolge ausgeführt; der Divisor kommt unter den Dividenden; der Quotient über ihn zu stehen. Im Anschluß an die Division kommt der Verfasser auf die Brüche zu sprechen und bemerkt, die Inder hätten sich der 60igteiligen Brüche bedient. Diese werden nun erklärt und rechnerisch verwertet. Das Rechenbrett kennt Muhammed nicht. Später wurde ihm die Begründung der Lehre von den Gleichungen zugeschrieben, weil er berichtet, der Kalif Almamün habe ihn aufgefordert, ein Werk über Aldschebr und Almukabala zu schreiben, das sich auf das Leichteste und Gebräuchlichste in der Arithmetik und ihren praktischen Anwendungen beschränke. Dem Wortlaute nach heißen jene Ausdrücke Wiederherstellung und Gegenüberstellung, Worte, die ohne weiteres nichts sagen, und die Muhammed auch nicht erklärt.

0 Das Lehrbuch des Alchwarimzi wurde im Jahre 1120 von einem englischen Mönch, namens Atelhart von Bath, in das Lateinische übersetzt. Die Übersetzung beginnt mit den Worten: „Dixit Algorithmi“ es sprach Alchwarizmi.

2) Bei den Indern hieß die Null Cunga = das Leere, das von den Arabern mit Sifra übersetzt wurde. Aus dem Sifra entstand unser „Ziffer“. Das Wort Null kommt vom Lateinischen nullus a. um keiner.

Es muß sich dabei also um etwas handeln, was den Fachgenossen bereits bekannt war. Muhammed kann demnach nicht der Erfinder der Algebra sein. Das, was er als Aldschebr bietet, ist zum größten Teil griechischen, zum kleineren Teil indischen Ursprungs.

Auch bei den Arabern des Westens wurden die mathematischen Wissenschaften gepflegt und gefördert. Ihr Reich stand um das Jahr 1000 auf der Höhe seines Ruhmes. Kunst und Wissenschaften fanden bei den Kalifen Cordovas außerordentliche Wertschätzung und Unterstützung. Besonders waren es die philosophischen und mathematischen Werke der Griechen, denen die Mauren hohe Beachtung schenkten, und die sie in großer Anzahl in ihre Sprache übersetzten. So entstanden umfangreiche Bibliotheken. Die der Hauptstadt soll 600 000 Bände umfaßt haben. Es strömten deswegen aus der ganzen muhammedanischen Welt Wissenbedürftige nach Cordöva, Sevilla und Granada, um sich hier weiter zu bilden. Bald zogen die arabischen Gelehrten die Aufmerksamkeit jüdischer und christlicher Kreise auf sich. Man begann, ihre Arbeiten in das Kastilianische und in das Lateinische zu übersetzen, um sie auch Nichtarabern zugänglich zu machen. So entstanden eine Reihe Übersetzungsschulen. Die hervorragendste war die in Toledo, das in der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts bereits wieder christlich war.

Durch diese Übersetzungen aus dem Arabischen wurde das Abendland eigentlich erst mit manchen wissenschaftlichen Geistesprodukten des klassischen Altertums näher bekannt, da ihm jetzt erst die Quellen in ausgiebigerem Maße zugänglich waren, wenn auch indirekt in doppelter oder in dreifacher Hinsicht.²)

Elia

An diesen Arbeiten beteiligten sich auch verschiedene jüdische Schriftgelehrte, wie Abraham Ibn Esra Mizrachi, Maimonidas, Johannes von Luna (Johann von Sevilla) u. a. m. Der letztere übersetzte ein Rechenbuch und eine Algebra aus dem Arabischen. Das erstere ist für uns insofern wichtig, weil in ihm zum ersten Mal Dezimalbrüche Vorkommen, freilich keine modernen Dezimalbrüche, sondern

i) Griechisch-Arabisch-Lateinisch. Lateinisch-Arabisch-Lateinisch. Griechisch - Lateinisch- Arabisch - Lateinisch. Arabisch - Kastilianisch.

solche der Idee nach. Beim Wurzelausziehen werden nämlich dem Radikanden 2 n Nullen angehängt, dann wird die Wurzel nach dem heutigen Verfahren ausgezogen. Die nach den Ganzen der Wurzel kommenden Stellen bilden dann den Zähler eines Bruches vom Nenner 1 mit n Nullen.

Auch die Westaraber kannten das Abakusrechnen nicht. Der Positionsarithmetik war es eben entbehrlich.

„ Den Arabern ist man großen Dank schuldig, weil sie das Rechnen, die Arithmetik und die Algebra in leicht zugänglichen Formen in das Abendland brachten. Mit ihrer frischen Wüstenkraft waren sie würdige Erben antiker Geistesarbeit, die das anvertraute Gut zu wahren und zu mehren verstanden. Wohin sie auch auf ihren Eroberungszügen kamen, brachten sie, als Krieger und Lehrer zugleich, ihre Wissenschaft mit. Besiegten gaben sie als ersten Tribut ihre Bildung; gezwungen, ein Gebiet zu verlassen, nahmen sie auf der Flucht auch das Wissen mit. So verkümmerten die mathematischen und astronomischen Lehren in Spanien vollständig, nachdem der letzte Maure verschwunden war.“

§ 10.

¹

1 Talent (=4521 Mark) = 6000 Drachmen; !/₆Drachme = 1 Obolus; l/s Obolus = 1 Chalkos.

²

Alexandria, von Alexander dem Großen 382 gegründet, war bald eine berühmte Handelsstadt von nahezu 1 Million Einwohner. Es war die Hauptstadt der Ptolemäer und Sitz einer weltberühmten Gelehrsamkeit. Die von den Ptolemäern gegründete Bibliothek soll 400000 Bücherrollen umfaßt haben. Ein großer Teil davon verbrannte bei der Belagerung der Stadt durch Julius Cäsar. Euklid, der Vater der Geometrie und seine Schüler und Epigonen waren hier die Vertreter der Mathematik, speziell der Geometrie, und verbreiteten von hier aus ihre Lehren, die heute noch einen wesentlichen Bestandteil des mathematischen Wissens aller Völker ausmachen. Im 3. Jahrhundert n. Chr. blühte hier wieder eine Schule, die alexandrinische Katachetenschule, welche das Christentum mit der aristotelischen Philosophie in Einklang zu bringen suchte. Der Hauptvertreter der zweiten alexandrinischen Schule war Origenes.

³

Nach Dr. Günther und Dr. Windel band. Geschichte der

⁴

antiken Naturwissenschaft und Philosophie. (An Stelle der Ziffern hat

⁵

man sich griechische Buchstaben zu denken.)

⁶

/3600-

⁷

Was die wissenschaftliche Arithmetik anbelangt, so gelten

⁸

Pythagoras und seine Schüler als deren Begründer. Py

⁹

thagoras von Samos hat um das Jahr 500 v. Chr. gelebt. Griechische

¹⁰

Schriftsteller, wie Isokrates (400 v. Chr.), Strabon (60 vor bis

¹¹

25 nach Christus) und einige andere berichten, er habe sich in

¹²

die ägyptische Priesterschule Thebens aufnehmen lassen, sei ge-

¹³

   1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42 usw.

²)    Der Titel des Buches hieß: „Lehrgebäude der Astronomie“. Die Araber verstümmelten ihn zu „Almagest“.

¹⁴

1 As = 12 Unzen à 12 Obuli (= 327,45 Gramm Kupfer) = 47 Pf., also 1 Obulus = !/i2 Unze, 1 Unze = 1/12 As.

Die abendländischen Christen.

Wie wir schon bei den Römern gesehen haben, fanden die mathematischen Wissenschaften bei den Christen der ersten Jahrhunderte Vertreter und Förderer. Wir erinnern an Cassio-dorus und an Boëthius. Kurz nach jener Zeit erwarben sich auch verschiedene kirchliche Würdenträger anderer Nationen große Verdienste um die Verbreitung arithmetischer Kenntnisse. Es sind dies:

1. Isidor, Bischof von Sevilla. Dieser wurde im Jahre 570 in Carthagena geboren und gelangte mit 30 Jahren auf den Bischofsstuhl. Er schrieb eine Encyklopädie von 20 Büchern, von denen das dritte die mathematischen Wissen

Raube dem Jahrhundert die Rechnung, und die

schaften behandelte. Die Zahl steht bei Isidor in hohen Ehren ; er sagt: „Nimm die Zahl aus allen Dingen, und Alles geht zu Grund.

Gesamtheit wird von blinder Unwissenheit ergriffen, und nicht kann vom Tier unterschieden werden, wer die Verfahren des Calcüls nicht kennt.“

In seinem Buch spricht er in erster Reihe vom Wesen der Zahl, hierauf behandelt er die Linear-, die Flächen-und die Körperzahlen und lehrt dann die Proportionen. Merkwürdigerweise gibt er keine Auskunft über die 4 Spezies und spricht nur von kleinen Sternchen, welche die Alten in der Hand zu halten und Zahlen daraus zusammenzulegen pflegten. Von den Apices des Boëthius spricht er nicht. Indische Ziffern und Positionsarithmetik sind ihm unbekannt. — Seine Encyklo-pädie war lange Zeit die Hauptquelle des Wissens. — Größere Verdienste als durch-seine Bücher erwarb er sich durch Gründung von Klosterschulen, in welchen den Kindern die notwendigsten Kenntnisse gelehrt wurden.

2.    Beda Venerabilis starb als Mönch in einem englischen Kloster (735). Er schrieb verschiedene Werke theologischen, historischen und mathematischen Inhaltes. In den letzteren lehrte er das Fingerrechnen, das Rechnen mit Unzen und das Bestimmen des Osterfestes. Die Grundoperationen behandelt er ebenfalls nicht. Auch für ihn gibt es keine Apices und keine indischen Ziffern.

3.    Der Angelsachse Alkuin war Leiter der Yorker Klosterschule. Auf einer Romreise kam er im Jahre 780 in Parma mit Karl dem Großen zusammen, der ihn an seinen Hof einlud. Alkuin folgte dieser Einladung. Im Jahre 790 kam er .dann als Abt in das Kloster von Tours; hier gründete er eine berühmte Klosterschule, aus der viele Lehrer hervorgingen, die in seinem Geiste an anderen Orten wirkten. Er starb 804.

Alkuin schrieb verschiedene Bücher, darunter auch arithmetische. Die letzteren enthielten Rechenaufgaben aus allen Gebieten des bürgerlichen Lebens, aber auch solche zur Schärfung des Verstandes, die er Rätselaufgaben nannte, z. B.: 1) Zwei Männer kaufen für 100 Solidi Schweine, je 5 Stück zu 2 Solidi. Die Schweine teilen sie unter sich, verkaufen sie, wie sie sie gekauft haben und behalten doch einen Nutzen übrig. Wie ging dies zu? (Die Anzahl der Schweine beträgt 100.⁵/₂ = 250 Stück. Davon kommen auf jeden Händler 125 Stück. A nimmt 125 fette, B 125 magere. Der erstere verkauft das Stück für */₂ und der letztere für ¹/₃ Solidus. A löst 125 • */₂ und B 125 • i/₃ = 62¹/2 -f- 41²/₃ = 104^0 Solidi. Sie gewinnen mithin 4!/₆ Solidi, obwohl sie die Schweine so verkauften, wie sie dieselben eingekauft hatten, d. h. je 5 Stück für 2 Solidi, denn A verkauft 2 Stück für 1 Solidus und B 3 Stück für 1 Solidus, macht zusammen 5 Stück für 2 Solidi.) 2) 100 Scheffel Weizen werden unter 100 Personen so verteilt, daß ein Mann 3, eine Frau 2 und 1 Kind ¹/₂ Scheffel bekommt. Wie viel Männer, Frauen und Kinder waren es? Die Antwort lautet 11 Männer, 15 Frauen und 74 Kinder. Die Lösung ist aber nicht einmal angedeutet. Es ist hier angezeigt, hervorzuheben, daß dies die erste dio-phantische Gleichung ist, die uns in lateinischer Sprache entgegentritt. 3) Ein Hund verfolgt einen Hasen, der 150 Fuß voraus ist, aber nur 7 Fuß weite Sprünge macht, während der Hund 9 Fuß weit springt. Nach wie viel Sprüngen hat der Hund den Hasen eingeholt? Es wird gesagt, die Losung laute ¹⁵⁰/₂ = 75 Sprünge usw.

Die 42. Aufgabe lehrt das Summieren der arithmetischen Reihen, indem gezeigt wird, daß je zwei zum Anfang und zum Ende symmetrisch liegende Glieder gleiche Summen besitzen. Zwei Stellen seines Werkes lassen vermuten, daß er die Apices des Boëthius kennt, aber nicht zu verwerten weiß. Die indischen Ziffern und die Positionsarithmetik sind ihm unbekannt.

4.    Odo, Abt von Cluny starb 943. In einer im 13. Jahrhundert erschienenen Handschrift wird von Odo behauptet, er habe in einem Lehrbuch der Arithmetik das Abakusrechnen mit Hilfe der Apices behandelt. Dieses Lehrbuch wurde aber bis jetzt noch nicht aufgefunden.

5.    Ein berühmter Gelehrter war der Franzose Gerbert, der im Jahre 999 als Sylvester II den päpstlichen Thron bestieg. Als Scholastiker benützte er in Rheims die Werke des Boëthius und unterrichtete in Philosophie, Rethorik, Mathematik, Musik und Astronomie. Er lehrte die 4 Spezies mit Hilfe des Abakus und der Apices und wird deswegen in einer Chronik von Verdun der zweite Boëthius genannt. Kaiser Otto III. schrieb ihm im Jahre 994 und bat ihn dringend, ihn zu besuchen, um in ihm den Geist der Griechen zu erwecken und ihm das Buch der Arithmetik zu erklären. Gerbert nahm die Einladung an mit den Worten: „Wahrlich, etwas Göttliches liegt darin, daß ein Mann wie dn, Grieche von Geburt, Römer von Herrschermacht, gleichsam aus erbschaftlichen Rechten, nach den Schätzen der Griechen- und Römerweisheit sucht.“

Als Papst verfaßte er eine aus 12 Hexametern bestehende Inschrift für ein Denkmal des Boëthius, mit welchem Otto III. das Grab des berühmten Gelehrten zu Pavia schmückte.

Die realististen Studien, die durch Alcuin in die Klosterschulen kamen, waren vor Gerberts Auftreten wieder verschwunden. Weltliches Wissen wurde nur von einzelnen Mönchen gepflegt. Die Klosterbibliotheken sahen meistens sehr ärmlich aus und bestanden gewöhnlich nur aus 15 bis 20 Bänden, die einzeln angekettet waren. Gerbert brachte neues Leben und neues Streben auf. Durch Abschreiben, das schon Cassiodorus als die verdienstlichste körperliche Arbeit mit begeisterten Worten pries, wurden nun wieder in den meisten Klöstern seltener gewordene Handschriften vervielfältigt, darunter auch die mathematischen. Mit Gerberts wachsendem Ansehen fand das Abakusrechnen im Abendlande allgemeine Verbreitung.

6.    Bernelinus, ein Schüler Gerberts, hat ein Buch über das Abakusrechnen geschrieben, das später durch den Druck vervielfältigt wurde. Er bediente sich der Apices und der römischen Ziffern. Die Null kennt er nicht. Ein besonderer Abschnitt lehrt das Rechnen mit Brüchen, aber nur mit Duodezimalbrüchen.

7.    Hermanus Contraktus, Sohn eines schwäbischen Grafen, lebte als Mönch im Kloster Reichenau, wo er als berühmter Lehrer der Mathematik viele Schüler aus allen Ländern an sich zog. Er war verkrüppelt und konnte nur mit Mühe verständlich sprechen, entwickelte aber seine Lehren mit herzgewinnender Liebenswürdigkeit und meisterhafter Klarheit, so daß die Schüler über seine körperlichen Mängel wegsahen. Hermanus schrieb eine Abhandlung über den Abakus und hat neben Gerbert am meisten zur Verbreitung des Kolumnenrechnens beigetragen. Er beschäftigte sich auch mit astronomischen Arbeiten und verfaßte zwei Bücher über den Nutzen des Astrolabiums. In Hermanus Werken treten uns zum ersten Mal wieder außer den Duodezimalbrüchen auch Brüche mit verschiedenen Nennern entgegen. Er hatte also das Bewußtsein, es gebe auch eine allgemeine Bruchlehre, nicht bloß eine duodezimale, wie man vor ihm, nach römischem Vorbilde, allgemein angenommen hatte. Er starb 1054, 41 Jahre alt.

8. Radulph von Laon, gestorben 1131, benützte beim Abakusrechnen neben den Apices noch eine weitere Marke, die er Sipos nannte und dazu gebrauchte, die Kolumne, in der eben gerechnet wird, zu markieren.

§ u.

Die ftlgorifhmiker.

Im Anfang des 11. Jahrhunderts wurde die Dialektik von den Schülern Gerberts in die Theologie aufgenommen und dadurch für den Begründer derselben, für Aristoteles, größeres Interesse erweckte. Man kannte aber nur einige Werke von ihm, und auch diese lagen nicht im Original vor, sondern in lateinischen Übersetzungen. Nun standen damals die Araber Spaniens in einem großen Rufe der Gelehrsamkeit; es wurde bekannt, daß sie die meisten Werke der Alten in ihre Sprache übertragen hätten. Man suchte nun in der arabischen Literatur nach den Schätzen des klassischen Altertums und begann, eine Reihe arabischer Bücher in das Lateinische zu übersetzen. Bei dieser Gelegenheit wurden auch verschiedene mathematische Werke dem christlichen Abendland erschlossen. So übersetzte AtelhartvonBath die astronomischen Tafeln und die Rechenbücher des Alchwarizmi, Gerhard von Cremona den Almagest, die Bücher des Euklid und verschiedene andere Werke, auf die wir nicht näher eingehen wollen. Durch die lateinische Übersetzung der Werke des Alchwarizmi wurde das Abendland mit den indischen Ziffern und der Positionsarithmetik bekannt, und man hätte erwarten sollen, beide würden überall freudig begrüßt werden. Dem war aber nicht so. Im Gegenteil, es entstanden zwischen den Anhängern des Kolumnenrechnens, den Abacisten, und jenen der neuen Methode, den Algorithmikern, ein hartnäckiger Kampf. Die ersteren hielten das Rechnen ohne mechanische Hilfsmittel, ohne Rechenbrett, für viel zu schwer und erklärten außerdem, es sei für eine neue Art der

Zahlendarstellung kein Bedürfnis vorhanden, da die römischen Ziffern leicht zu schreiben seien und alle Zahlen zur klaren Anschauung bringen. Es gab sogar noch lange Zeit verschiedene Algorithmiker, welche die Rechenprobleme nach der alten Methode ausrechneten und nur das Ergebnis mit arabischen Ziffern anschrieben.

Zwischen den Vertretern der beiden Richtungen bestanden aber nicht nur in der Art der Zahlendarstellung und in der Technik des Rechnens Unterschiede, sondern noch in verschiedenen anderen Punkten. So lehren z. B. die Algorithmiker die Sexagesimalbrüche, die Abacisten die Duodezimalbrüche; die ersteren behandeln das Duplieren und Medieren als besondere Spezies, die letzteren im Anschluß an das Multiplizieren und Dividieren. Die Algorithmiker schenken dem Wurzelausziehen große Aufmerksamkeit, die Abacisten vernachlässigen es ganz oder behandeln es nur so nebenbei usw.

Mit dem Jahre 1200 beginnt für Europa eine neue Epoche. Es ist nun im Besitz der Ergebnisse mathematischer Forschungen verschiedener Zeiten und verschiedener Völker. Die Geometrie des Euklid, die Arithmetik des Nikomachus, die Astronomie des Ptolemäus und die Werke des Boëthius liegen teils im Urtext, teils aus arabischen Werken in lateinischen Übersetzungen vor. Durch Atelhart von Bath und Gerhard von Cremona wurden ihm die indischen Ziffern mit der Null und der Positionsarithmetik, die Algebra als Lehre von den Gleichungen und die Anfänge der Trigonometrie zugänglich. Es bedarf jetzt nur der geeigneten Männer, diesem reichen Wissensstoff allgemeine Verbreitung zu verschaffen, und als solche treten in erster Reihe auf Leonardo von Pisa und Jordanus Nemorarius in Paris.

Leonardo von Pisa lebte um das Jahr 1200 n. Chr. Er wurde in seiner Jugend mit den Abakusrechnen gründlichst vertraut gemacht und lernte auf Reisen, die er als Kaufmann nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und der Provence unternahm, das Rechenbuch des Alchwarizmi, die indischen Ziffern und die indische Rechenmethode kennen. Die großen Vorteile der indischen Logistik erkennend, beschloß er, sie in seiner Heimat zu lehren und zu verbreiten, und schrieb zu diesem Zwecke mehrere arithmetische Werke. Das wichtigste davon ist das liber abaci. Dieses beginnt mit folgenden Worten: „Novem figurae indorum hae sunt 987654321 cum his itaque novem figuris et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus“ und besteht aus 15 Abschnitten. Der erste erklärt die neuen Zeichen; ihren Ziffernwert nennt er significatio accidentalis, den Stellenwert significatio naturalis. Die nächsten 6 Abschnitte behandeln die 4 Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen; vier weitere sind den Geschäftsrechnungen gewidmet; der 12. und 13. bringt „mannigfaltige“ Aufgaben, der 14. das Wurzelausziehen und der 15. geometrische Berechnungen und Aufgaben aus der Algebra und Almu Kabała. Leonardo setzt Tabellen voraus, die das kleine und das große Einmaleins enthalten und auswendig beherrscht werden müssen. Alle Rechnungen sind durch die Neunerprobe zu prüfen.

Wir sind in unseren Ausführungen schon wiederholt auf die Neunerprobe gestoßen und werden ihr auch weiterhin noch öfters begegnen. Nun hat der Verfasser die Wahrnehmung gemacht, daß sie in neuerer Zeit etwas in Vergessenheit geraten zu sein scheint.¹) Es dürfte deswegen angezeigt erscheinen, ihr Wesen, wenn auch nur in der Anwendung auf die Multiplikation und die Division, etwas näher zu erläutern. Wir wollen zuerst eine Multiplikations- und eine Divisionsaufgabe prüfen und dann einen kurzen zahlentheoretischen, elementaren Beweis geben.

I. 583 • 436 = 254188

1.    5 + 8+3 =

2.    4 + 3 + 6 =

3.    4*7 =

ZD ZD ZD

= 16 ; 16 : =1 Best 7 = 13 ; 18 : — 1 Rest 4 = 28 ; 28 :    =3 Rest 1

4 2 + 5 + 4+1 + 8 + 8 = 28; 28:9 = 8 Rest 1 Da die Reste in Punkt 3 und 4 gleich groß sind (Rest 1 = Rest 1), so ist das Produkt richtig.

II. 562 : 43 = 13,06 Rest 42

1.    5 + 6 + 2 =

2.    4 + 3 =

3.    1 + 3 + 6 =

4.    4 + 2 =

ZD ZD ZD ZD ^

Die in Nr. 1 und in Nr. 5 auftretenden Reste sind gleich groß (Rest 4 = Rest 4), deswegen ist die Aufgabe richtig gelöst. ¹

Die in den Rubriken 1 bis 4, resp. 1 bis 5 angeführten Nebenrechnungen werden natürlich alle im Kopf ausgeführt. Man schreibt nur die Reste, mit kleinen Ziffern, neben die entsprechenden Zahlen. Die Neunerprobe versagt, wenn man mehrere Fehler macht, deren algebraische Summe 9 oder ein Vielfaches von 9 beträgt. Sie stützt sich auf folgenden zahlentheoretischen Lehrsatz: Dividiert man die Faktoren und das reelle Produkt durch eine beliebige Zahl, so ist das Produkt der Faktorenreste gleich dem Reste, den das reelle Produkt liefert.

Beweis : 46 : 7 = 6 Rest 4 ; 46 = 6 • 7 + 4

87 : 7 = 5 Rest 2 ; 87 = 5 - 7 + 2_

46 • 37 = (6 • 7 + 4) - (5 . 7 + 2) = 6 . 7 . 5 . 7 + 6. 7-2 + 4.5. 7+4* 2. Dividieren wir beide Seiten durch 7, so erhalten wir

46 . 87    6.7.5.7,6.7.2,4.5. 7,4-2

= 6.7.54-6.2 + 4.5 +    .

Das reelle Produkt kann also nur den Rest liefern, der bei der Division von 4 • 2 entsteht. — Als Prüfstein kann man jede beliebige Zahl nehmen, man benützt aber gewöhnlich 9 (oder 11), weil man bei diesen die Reste leicht findet: Die Ziffernsumme einer Zahl (Quersumme) gibt, durch 9 geteilt, den gleichen Rest, wie die Zahl selbst. (Die algebraische Ziffernsumme einer Zahl gibt, durch 11 geteilt, den gleichen Rest, wie die Zahl selbst.)

Leonardo schreibt bei der Addition die Summanden untereinander, die Summe über sie ; die Zahlen, welche 9 übersteigen, werden an den Fingern vorgemerkt.—Das Subtraktionsverfahren ist aus folgendem Beispiel zu ersehen:

69 461 - 25 894 = 43 567

1.    11-4= 7;

CD lO CO

CD Dl

00 <Ji io

CD Ci

5.    6-2=4.

Diese Art entspricht im Prinzip unserer Subtraktion nach dem Additions verfahren. Nach diesem lösen wir die Aufgabe bekanntlich folgendermaßen :

4.    1    +    5=    6;    6+3=    9;    schreibe    3    an

5.    2+4= 6; schreibe 4 an.

Die Multiplikation wird in 8 Abteilungen gelehrt. Wir wollen nur einen Fall näher betrachten. Es soll 87 mit 56

multipliziert werden.

1.    4* 7 = 28; schreibe 8 an, behalte 2

oo io

2.    4 • 8 = 32 ; + 2 = 34; -h 35 = 69 ; schreibe 9, behalte 6

3.    5 • 8 = 40 ; + 6 = 46 ; schreibe 46 an.

Auch diese Art Multiplikation hat sich bis auf unsere Zeit erhalten. Sie ist unter dem Namen symmetrische Multiplikation bekannt und wird besonders in den südlichen Ländern Europas vielfach angewandt. Sie macht an das Kopfrechnen erhebliche Ansprüche, erzeugt deswegen eine große Gewandtheit darin und führt rasch zum Ziel. Es wäre wünschenswert, daß sie auch bei uns gepflegt würde. Die Schüler bringen ihr, als etwas Neuem, großes Interesse entgegen.

Wir wollen sie an einem Beispiel erläutern:

5 627 x 3 498

i-H ci co ^f¹ io cö

CO CD GO 00 00 00

196 868 246

•    = 56 ; behalte 5

•    ₌    iß;    +    5 == 21;    + 63 =    84;    behalte 8

.    =    48;    +    8 = 56;    + 28 =    84;    + 18 = 102;    behalte    10

.    =    40;    +10 = 50;    +21 =    71;    + 54= 125;    +8 = 133; behalte 13

.    ₌    45;    +    13 ₌ 58;    + 6 =    64;    + 24 = 88;    behalte    8

.    =    20;    +    8 = 28;    + 18 =    46;    behalte 4

•    = 15; + 4 = 19.

Es werden selbstverständlich nur die zwei Faktoren und das reelle

Ül Üi ot Û to *<1

Produkt angeschrieben. Alles übrige wTird im Kopf ausgeführt. Den Namen hat diese Multiplikation daher, weil die Ausführung nach einem symmetrischen Schema vor sich geht. Für zwei dreistellige Faktoren hat das Schema folgendes Aussehen :

y = Zehntausender

CS3

= Tausender

= Hunderter

= Zehner

fei

= Einer

Haben die zwei Faktoren eine ungleiche Anzahl Stellen, so werden Nullen eingesetzt, z. B. 4038 • 573 = 4038 • 0573.

Der Division widmet Leonardo 24 Seiten. Zuerst werden die Zahlen 1 bis 60 dividiert durch 2, 3 usw. bis 13. Die Übungen sind auswendig zu lernen. Bei der Division durch 10 werden die Einer gestrichen und als Zähler eines Bruches vom

Ist

10

Nenner 10 vor die Zahl gestellt, z. B. 2546 : 10 = — 254.

der Divisor mehrstellig, so hat man vorerst die „Regula“ aufzustellen. Unter dieser versteht Leonardo einen Bruch, dessen Nenner aus den Faktoren des Divisors besteht, und dessen Zähler 1 mit so viel Nullen enthält, als der Nenner Faktoren hat. Für

1.0.0

3-5.5

durch 3 dividiert (= 249 Rest 2). Der Rest 2 kommt in die Regula an Stelle von 1. Hierauf teilt man 249 durch 5 (= 49 Rest 4), setzt diesen Rest 4 in die Regula an die Stelle der ersten Null, teilt 49 durch den dritten Faktor (5), erhält 9 Rest 4, setzt den neuen Rest für die zweite Null in die Re-

2.4.4

3.5.5’

die Aufgabe 749 : 75 heißt die Regula =

. Nun wird

gula. Die Regula heißt nun

und der Quotient lautet

3.5.5    5.5    5

75

Die bürgerlichen Rechnungsarten werden auf verschiedene Weise gelöst. Leonardo benützt den „Satz von den drei Zahlen“ (den Dreisatz, die Regeldetri) den Fünfsatz, die Regulakata, die welsche Praxis und die Proportionen.

Im Dreisatz ist von drei Zahlen die Rede, aus denen eine vierte zu bestimmen ist. Zwei Zahlen bestimmen Menge und Preis einer Ware. Diese werden an das obere Ende der Tafel geschrieben und zwar die erste Zahl rechts, die zweite links. Die dritte Zahl wird unter die ihr gleichnamige der beiden ersten gesetzt. Die vierte Zahl wird nun gefunden, indem man die dritte mit der ihr schräg gegenüberliegenden vervielfacht und das Produkt durch die andern teilt. Heißt z. B. die Aufgabe: 5 m kosten 28 Ji, a) wieviel JL kosten 9 m, oder b) wieviel m erhält man für 17 <A, so lauten die zwei Ansätze:

a)

28 Jk 5 m

b) 28 JŁ 17 Jk

-4— = 50,40 Jk 5

5 • 17

28

Bei verschiedenen Aufgaben kommt ein Fünfsatz vor, d. h. aus fünf gegebenen Zahlen soll man eine sechste suchen. So lautet z. B. eine mit indirekten Verhältnissen: Wieviel Tage können 10 Pferde mit 16 Sestern Gerste gefüttert werden, wenn 5 Pferde in 9 Tagen 6 Sester fressen?

Der Ansatz lautet:

9 Tage

6 Gerste 16 Gerste

-5 Pferde 10 Pferde

6.10

— 12 Tage.

Die Regula kata entspricht unserem Kettensatz. Durch diese löst er die Aufgabe: 12 Imperalen gelten 31 Pisaner, 23 Pisaner gelten 12 Januiner, 13 Januiner gelten 12 Turiner, 11 Turiner gelten 12 Barcelloner. Wie viel Barcelloner gelten 15 Imperalen?

Bare.

Tur. 12 _

Jan.

Pis.

Imp.

31

12

11

23

Bare.

Tur.

Jan.

Pis.

Imp.

12.12 . 12.31.15

11 . 13.23.12

Die Regula falsi und die welsche Praktik werden wir später näher betrachten. (Siehe Register.)

Bei den Reihen bringt Leonardo eine Aufgabe, die vom historischen Standpunkte aus sehr interessant ist, weil die gleiche Idee schon im Rechenbuch Ahmes vorkommt. Diese lautet: 7 alte Weiber gehen nach Rom, jede hat 7 Maulesel, von denen jeder 7 Säcke trägt. In jedem Sack stecken 7 Brote und in jedem Brot 7 Messer. Zu jedem Messer gehören 7 Scheiden. Wie viele Gegenstände gehen nach Rom? Wie kommt Leonardo zu dieser Aufgabe, da die Hieroglyphen erst 600 Jahre später entziffert wurden?? Leonardo selbst war ein sehr gewandter Rechner, der seine Landsleute in Erstaunen setzte. Am

Hofe Friedrichs II. gab er Vorstellungen im Lösen schwieriger Aufgaben. Große Bewunderung erweckte die arithmetische Lösung folgender diophantischer Gleichung : Man kauft für 30 Solidi 30 Vögel; 3 Sperlinge kosten 1 Solidus, 2 Turteltauben ebenfalls 1 Solidus, für eine Schlagtaube bezahlt man 2 Solidi.

x — y) • 2 = 30.

Wieviel Vögel jeder Art waren es?    + (30 —

Daraus x =

9

18 — — y; da x eine ganze, positive Zahl sein muß,

so kann y nur den Wert 10 annehmen, und man erhält für x = 18 — 9 = 9. Es waren also 9 Sperlinge, 10 Turteltauben und 11 Schlagtauben).

Leonardo lernte bei den Arabern auch die Algebra kennen und führte sie im Abendlande ein. Bei ihm treten zum erstenmal die Ausdrücke plus und minus auf. Später schrieb er auch eine „Praxis der Geometrie“, in der er verschiedene schwierigere Gebiete seines Rechenbuches zu vereinfachen suchte. Bei vollkommener mathematischer Klarheit und Strenge war es nämlich für nicht arithmetisch geschulte Köpfe abschreckend schwierig, und da es doch vorwiegend Probleme behandelte, die für die kaufmännische Praxis wichtig waren, so läßt es sich begreifen, daß es in den Kreisen, für die es bestimmt war, nicht die beste Aufnahme fand. Darin liegt es auch zum großen Teil begründet, daß die Algorithmiker mit Erfolg von den Abacisten angegriffen werden konnten. Koch im Jahre 1500 hielt man das Zifferrechnen mancherorts für viel zu schwer. Man rechnete am Rechenbrett und mit römischen Ziffern und „übersetzte“ dann das Ergebnis in die indische Schreibweise. Die Werke von Leonardo fanden eigentlich erst 200 Jahre nach seinem Tode die rechte Würdigung, nachdem der Boden von anderer Seite für die Positionsarithmetik besser vorbereitet war. „Leonardo war ein gewandter Rechner, ein feiner Geometer, ein geistreicher Algebraiker, wie es vor ihm nur Vereinzelte gab. Er wußte die Algebra auf geometrische Fragen anzuwenden und war geradezu schöpferischer Zahlentheoretiker.“

Jordanus Nemorarius. Wenn wir in Leonardo von Pisa einen Vertreter der bürgerlichen Kreise als Mathematiker kennen lernten, so tritt uns in Jordanus ein solcher des Gelehrtenstandes entgegen. Zu den Gelehrten zählten alle die, welche auf Grund

eines bestimmten Studienganges Kenntnisse im Trivium: Grammatik, Rhetorik und Dialektik und im Quadrivium: Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie nachweisen konnten;¹) das Trivium war unerläßlich, von dem Quadrivium konnte abgesehen werden. Da Leonardo das erstere nicht besaß, so konnte er auch nicht Lehrer an der von seinem Freunde Friedrich II. neugegründeten Universität in Neapel werden, obwohl er im Quadrivium seine Zeitgenossen weit überragte.

Jordanus war aus Sachsen gebürtig und trat im Jahre 1220 in Paris in den Orden der Dominikaner ein. Diese pflegten die Wissenschaften in hohem Maße und besaßen an vielen Orten berühmte Klosterschulen — Hochschulen. Jordanus wurde später Ordensgeneral und starb im Jahre 1250. (?) Er schrieb ein Rechenbuch, Algorithmus demonstratus, eine Arithmetik, eine Algebra und ein größeres geometrisches Werk. Außerdem behandelt er noch andere Fragen, die für uns nicht in Betracht kommen. Man fand Kopien seiner Werke in Basel, Cambridge, Dresden, Erfurt, Mailand, München, Oxford, Paris, Rom, Thorn, Venedig und Wien. Aus diesem Verzeichnis ersehen wir, welch großen Einfluß Jordanus auf ganz Europa ausgeübt hat. In seiner Arithmetik, für die er auch die Werke des Nikomaclius und Boëthius benützte, bedient er sich zur Ableitung zahlentheoretischer Gesetze der Buchstaben und zwar im Sinne unserer allgemeinen Zahlen und wurde damit zum Begründer der heutigen „Buchstaben“-Rechnung. Es kam zwar schon früher vor, daß einzelne Schriftsteller, wie Aristoteles, Pappus, Diophantos und einige Araber auf Buchstaben hinwiesen, die beliebige Zahlen bedeuten können, aber dies war immer nur ein vereinzeltes Vorkommen.

Im Algorithmus demonstratus wird zuerst das dekadische Zahlensystem mit seinen zehn Ziffern erklärt, wobei die Null cifra, circulus oder figura nihili genannt wird. Dann bringt er die Finger-, die Gelenk- nnd die zusammengesetzten Zahlen des Boëthius, behandelt die 6 Spezies — er lehrt nämlich Duplieren und Medieren als besondere Operationen — und prüft die Resultate mit der Neunerprobe. Die Sexagesimalbrüche werden von den gewöhnlichen Brüchen getrennt behandelt und ohne Nenner ² angeschrieben. 3 Ganze ¹⁵/₆₀, ³⁷/₆₀², ⁴⁵/6o³> ⁵²/eo4 == 3° 15' 37" 45"' 52"". Der Algorithmus demonstratus war das erste wissenschaftliche Werk, welches die Positionsarithmetik mit größerem Erfolg in die Welt hinaustrag. Dies hatte zum großen Teil seinen Grund darin, daß der Verfasser General eines weitverzweigten und einflußreichen Ordens war. Auf die zahlreichen übrigen Schriften von Jordanus können wir nicht näher eingehen.

In den nächsten Jahrhunderten entstanden nun in den meisten Ländern Europas algorithmische Rechenbücher, die sich mehr oder weniger an den Algorithmus demonstratus des Jordanus anschlossen, bald die theoretische, bald die praktische Seite mehr in den Vordergrund stellend. Wir wollen uns aber nun vorwiegend nur noch im engeren Vaterland umsehen.

§ 12.

Deutsche Rechenmeister.

Wie wir im vorigen Kapitel sahen, entspann sich zwischen den Abacisten und den Algorithmikern ein harter Kampf, der schließlich mit dem Siege der letzteren endete. Nachdem aber dann der Abakus etwa 200 Jahre lang verschwunden war, tauchte er plötzlich wieder auf in der Form eines Rechenbrettes mit wagerechten Kolumnen und nannte sein Rechen verfahren das Rechnen auf derLinie. Dieses Rechenbrett wurde heimisch in Deutschland, England und Frankreich. In Italien kannte man es nicht.

Das Rechenbrett, Rechenbank genannt, hatte also, wie bereits gesagt, wagerechte Kolumnen, während die des Abakus senkrecht verliefen. Sie waren zur Aufnahme von Rechenpfennigen, „Raitpfennigen“ (franz. jetons, engl, counters) bestimmt, in zwei Hälften eingeteilt und am linken Rande mit E, Z, H, T usw. bezeichnet. In der unteren Hälfte der Kolumne bedeutet der Raitpfennig eine, in der oberen fünf Einheiten. Zur Darstellung von 9 Einheiten brauchte man also 1+4 = 5 Marken, während Boëthius und seine Schüler nur eine nötig hatten. Die in beistehender Figur ausgelegte Zahl bedeutet also 7648.

Rechenbank.

In dem Auftreten der Rechenbank hat man einen Rückschritt erblickt und nach seinen Ursachen geforscht, konnte aber keine befriedigende Antwort erhalten. Dagegen konnte man nachweisen, daß in der Übergangszeit vom Abakus zum Rechenbrett, in der Zeit von 1300 bis 1500, stets Rechenpfennige im Gebrauch waren; es gab in jenen Zeiten sogar ein Gewerbe „Raitpfennigmacher“. Mit den Rechenpfennigen können auch Analphabeten rechnen, und ein italienischer Humanist spricht sich im 14. Jahrhundert hochmütig dahin aus, die Alten hätten sich beim Rechnen der Sternchen bedient, „einer Sitte, die sich heute noch bei ungebildeten Völkern erhalten habe“. Es ist mehr wie wahrscheinlich, daß das Rechnen mit Steinchen, Marken und dergl. seit den ältesten Zeiten bei allen Völkern stets im Gebrauch war, und daß sich die Analphabeten noch zur Zeit des Abakus- und Positionsrechnens solcher materieller Hilfsmittel bedienten. Zieht man in Betracht, daß bis in das späte Mittelalter hinein ein hoher Prozentsatz der oberen Gesellschaftskreise weder lesen noch schreiben konnten, so wird man verstehen, daß das Rechnen mit Marken eine große Rolle spielen mußte. Habe doch selbst Karl der Große erst in seinen späteren Tagen lesen und schreiben gelernt.

Italien kannte die Rechenbank nicht. Dies hat seinen Grund wohl darin, daß durch Leonardo von Pisa und seine

Schüler ein wissenschaftliches Laien- und Kaufmannsrechnen entstand, „während in den übrigen Ländern Europas in jenen Kreisen der alte Schlendrian weiter lebteu.

Wann und wo die Rechenbank zuerst auf trat, läßt sich nicht mehr entscheiden. Wir wissen nur, daß sie am Ende des 15. Jahrhunderts plötzlich in zahllosen Handschriften und Lehrbüchern neben dem Ziffernrechnen beschrieben und empfohlen wird. Wahrscheinlich verdankt sie ihre Entstehung der Anregung irgend eines Pädagogen, der den Unterricht anschaulich zu gestalten wußte, und da die Marken überall vorhanden waren, so war der Schritt bis zur Bank kein großer. Hatte man doch in dem Abakus der Alten ein Vorbild, das zwar der Geschichte angehörte, aber nicht in Vergessenheit geraten sein konnte. Die Rechenbank erhielt wohl deswegen wagerechte Kolumnen, damit man sie in den Schulen an die Wand hängen und so zur Aufnahme von „Rait“pfennigen verwenden konnte. (Rait = reiten.)

Das erste deutsche Rechenbuch, das gedruckt wurde, erschien im Jahr 1482 beim Buchdrucker Heinrich Petzensteiner in Bamberg und war von dem Nürnberger Rechenmeister Ulrich Wagner verfaßt. Es sind aber von ihm nur 9 kleine Pergamentblätter erhalten geblieben. Im nächsten Jahr druckte Petzensteiner ein zweites Rechenbuch, das wir noch heute als „Bamberger Rechenbuch vom Jahre 1483“ besitzen. Es besteht aus 21 Kapiteln. Die ersten 9 behandeln die 4 Spezies mit ganzen und gebrochenen Zahlen. Beim Vervielfachen werden 5 Fälle unterschieden: 1. Beide Faktoren bestehen aus einer Ziffer mit n Nullen; 2. Der eine Faktor ist ein-, der andere mehrstellig; 3. Beide Faktoren liegen zwischen 10 und 20 (das Verfahren folgt der Formel (10 + a) • (10 + b) = ab + 10 • (a + b) + 100); 4. Beide Faktoren bestehen aus zwei „bedeutlichen Ziffern“ (46 • 77);    5. Die Faktoren sind viel

stellig. Die Aufgabe 425*368 wird folgendermaßen gelöst:

4 2 5

1 2 7 5/3

Das 10. Kapitel spricht von der Regeldetri als „gulden Regel die so kospar und nuez ist den all ander regel zu gliechen weys als golt übertrifft alle and metall“.

Die Kapitel 11, 12 und 13 lehren die Umrechnung der Geldsorten, die Gewinn- und Verlustrechnungen. Kapitel 14 bringt die Tolletrechnung.¹) „Sie lehret durch die Rechenpfennig ein metall aus dem andern ziehen.“ (Auf dem Rechenbrett wurde mit Hilfe der Rechenpfennige der Feingehalt der Legierungen berechnet.) Kapitel 15: Warentausch. Kapitel 16: „Soltrechnung“ und „Vom Wandern“. „Es seyn zwen gesellen, die gend gen Rom. Eyner get alle tag 6 meyl, der ander geth an dem ersten tage 1 meyl, an dem andern zwen und alle tag eyner meyl mer dan vor. Nu wildu wissen in wie viel tagen eyner als vil hat gangen als der ander. So nim di zal zwir die der gleych geht“ usw. Die Kapitel 15, 16, 17 und 18 bringen Aufgaben verschiedenen Inhaltes aus dem kaufmännischen Leben und 19, 20 und 21 Tabellen, sogenannte Faulenzer, die ausgeführte Additionen und Multiplikationen enthalten.

Aus seiner ganzen Anlage und seinem Inhalte ist zu ersehen, daß das Bamberger Rechenbuch 1483 weder für Schulen noch für den ersten Unterricht bestimmt war. Nach Leonardos Werken von einem Kaufmann geschrieben, war es sehr wahrscheinlich das Rechenbuch der in der Praxis stehenden Kaufleute.

Im Jahr 1489 ließ Johannes Widmann bei Conradem Kacheloffen in Leipzig ein Rechenbuch drucken unter dem Titel: „Behende und hübsche Rechnung auf allen Kauffmann-schaft“, das sich auf Euklid, Boëthius, Jordanus u. a. beruft, in vielen Punkten aber wörtlich mit dem vorigen übereinstimmt, ohne es namhaft gemacht zu haben. Widmann war Lehrer an der Universität in Leipzig. Sein Buch besteht aus drei Teilen; der erste handelt „vo Kunst und art der zal an yr selbst“, der zweite „vo der Ordnung der zal“, der dritte „als vil höcher dienet“ von „der art des messens, die die geometria genannt ist“. Nach dem Vorgänge des Jordanus bringt er das Duplieren und Medieren wieder als besondere Operationen, was der Verfasser des Bamberger Rechenbuches, als Schüler Leonardos, nicht getan hat. Für alle Rechnungsarten und für eine große Anzahl ³ einzelner Rechnungen gibt Widmann bestimmte Regeln, die aber ohne alle Begründung oder Ableitung geboten werden. So ist die Rede von der Regula pulchra, der Regula inventionis, der Regula legis, der Regula augmenti und decrementi, der Regula sententiarum, der Regula bona, der Regula plurima, der Regula pagamenti, der Regula lucri, der Regula excessus, der Regula cosse oder Regula Algobre genannt, der Regula falsi.

Die Regula pagamenti entspricht der Regula cata des Leonardo. Hier finden wir auch die gleiche Aufgabe wie bei Leonardo: „Eyner gent zu wyen yn eyn wechselpanck und hat 30 Nurmberger also sprechen zu dem wechssler liber Wechsel mir die 30 ^ vnd gieb mir wiener dafür als vil sy dan wert seyn also weiss der Wechsler nicht wie vil er ym wiener ssol geben vnd begert der muncz underrichtung. Also untterweyst yenner de Wechsler und spricht 7 wyener gelten 9 linczer 8 linczer gelten 11 passawer, 12 passawer gelten 13 villshofer vnd 15 villshofer gelten 10 regensperger vnd 8 regensperger gelten 18 neumerker und 5 neumerker gelten 4 nurmberger. Wiltu wissen wie viel wiener kummen umb 30 nurmberger secz die Figur und multiplicier in Kreucz durchaus auf 2 tage vnd 7    9    12    13    8    18    30

8    11    15    10    5    4

13

dividir so cumbt

= 13

7.8.12.15.8.5.30

9.11.13.10.18.4

429 ‘

Die Regula lucri berechnet den Zins. „Eyner leycht dem Andern 25 fl. 2 Jar umb gewin. Nun wen die 2 iar vergangen sein so giebt yenner dem wider sein Hauptsum und für Gewin und Gewinß gewin gibt er ym 24 fl. Nu ist die frag. Wie viel haben die 25 fl. gewonnen im ersten jar.“ Die Regel lautet: „Multiplicier die hauptsum yn den gewin darnach multiplicier die hauptsum in sich selbst quadrate Und addir das product zu dem ersten product Und die wurtzel der ganzen sum so du davon subtrahierest dy hauptsum bericht den gewin.“ Von der Regula falsi sagt er: „Nu soltu wissen das Regula falsi ist eyn regel durch welche man aller Regel machen mag“.

Die Resultate werden mit der Neuner- und mit der Siebenerprobe geprüft.

In Widmanns Rechenbuch treten für die Worte plus und minus, die Leonardo schon gebraucht hat, zum ersten Mal die Zeichen + und — auf. Er ist der erste deutsche Lehrer, welcher auch die Algebra lehrte. Diese wurde Regel Algobre oder Regel cosse genannt.

Vom Anfang des 16. Jahrhunderts ab erschienen sehr viele Rechenbücher, die von Universitätslehrern, Ordensgeistlichen, Lehrern weltlicher Lateinschulen oder Privatschulen verfaßt waren oder aus kaufmännischen Kreisen stammten. Die meisten legten das Hauptgewicht auf die Erzielung mechanischer Rechenfertigkeiten und lösten ihre Aufgaben mit Hilfe einzelner Rechenregeln. Wir wollen nur diejenigen erwähnen, die irgend einen Fortschritt erkennen lassen oder in sonstiger Hinsicht das Interesse erwecken.

Im Jahr 1501 verfaßte Johannes Huswirt ein Rechenbuch in lateinischer Sprache, in welchem das Wort cifra bald die Bedeutung der Null, bald die der Ziffer hatte. Er spricht vom Federrechnen und vom Linienrechnen und schließt beim ersteren das Duplieren an das Multiplizieren und das Medieren an das Dividieren an, beim letzteren dagegen werden beide zwischen der Subtraktion und Multiplikation behandelt.

Im gleichen Jahr erschien in Leipzig von Balthasar Licht der Algorithmus Linealis, und vom Jahr 1513 ab in Krakau ein solcher in 15 Auflagen von Johann von Landshut. Im Jahr 1520 verfaßte Heinrich Stromer in Auerbach ein Rechenbuch, in welchem für die Regeldetri folgende Vorschriften gegeben werden :

1.    Die Fragezahl soll immer rechts stehen.

2.    Die erste und dritte Zahl müssen in Sache und Benennung überein stimmen.

3.    Die vierte, aus der Regel hervorgehende Zahl muß der zweiten entsprechen.

Vervielfache nun die zweite mit der dritten und teile das Produkt durch die erste, so hast du die vierte. (Siehe auch bei Adam Riese!)

Gregor Reisch, Prior des Karthäuserklosters in Freiburg

i. Br., ließ 1503 seine Margaritha philosophika drucken, die in

7 Büchern die 7 freien Künste¹) in Form von Zwiegesprächen behandelt. Auf dem Titelblatt von jedem Buch befindet sich eine symbolische Abbildung. Die des Rechenbuches enthält in der Mitte eine Frau, die Arithmetika, die in jeder Hand ein offenes Buch hält, und deren Kleid die Progressionen 1, 2, 4, 8 und 1, 3, 9, 27 trägt. Links von ihr sitzt Pythagoras, der auf einem Rechen tisch die Zahlen 1241 und 81 mit Rechenpfennigen angelegt hat und die rechte Hand einem Haufen weiterer Rechenpfennige nähert. Rechts von der Arithmetik sitzt Boëthius, mit Ziffern rechnend. Der Inhalt des Buches befaßt sich mit den 4 Spezies, den Brüchen, den Sexagesimalbrüchen, dem Rechenbrettrechnen und der Regeldetri. Die Margaritha wurde in Straßburg und in Paris nachgedruckt und fand eine weite Verbreitung. (Siehe das Titelbild.)

Theoderich Tzwivel bemerkt in seinem 1507 erschienenen Algorithmus, daß das Duplieren und Medieren keine besondern Rechenoperationen seien; er behandelt sie aber dennoch als solche.

Jakob Köbel, Stadtschreiber von Oppenheim, verfaßte 1514 ein „Rechenbuch auf der Linien“ und 1520 ein solches „auf der Feder“. Beide erlebten eine große Anzahl Auflagen und fanden die weiteste Verbreitung.

Im Jahr 1521 erschien von Heinrich Schreiber, der unter dem Namen Grammateus bekannt ist und Lehrer an der Wiener Universität war, ein Rechenbuch, dessen Titel eine vollständige Inhaltsangabe enthält. „Ayn new Künstlich Buech welches gar gewiß und behend lernet nah der gemeinen regel Detre, welschen practic, regeln falsi und etlichen regeln cosse mancherley schöne und zu wissen notdürftig rechnung auff Kauffmannschafft. Auch nach den proportion der Kunst des gesangs jm diatonischen geschlest ausz zutaylen monochordum orgelpfeyffen und andere jnstrument ausz der Erfindung Pytha-gore. Weitter ist hierinnen begriffen buechhalten durch das zornal, Kaps und schuldbuch. Visier zu machen durch den Quadrat und Triangel mit vil andern lustigen stücken der Geometrey.“

9 Siehe Trivium und Quadrivium.

Grammateus bringt nach der Addition sofort die Multiplikation: „in dieser operation werden funden alle aigenschaften der addition“. Duplatio und Mediato schafft er als besondere Operationen ab. Auch Grammateus gibt eine Reihe Regeln ohne alle Beweise. Die Richtigkeit der Lösung wird mit der Neunerprobe dargetan. Von der Regula falsi bemerkt er: „sie ist erfunden von wegen mancherley nutzbarkeit, nach der reguła Cosse die allerkunstreichst“.

Das erste Lehrbuch der Algebra, das in deutscher Sprache erschien, wurde von Christof Rudolff, einem Schüler des Grammateus, herausgegeben. Vom gleichen Verfasser erschien auch ein Rechenbuch (1526), in welchem andeutungsweise von Dezimalbrüchen gesprochen wird. Er sagt nämlich, die Division durch Potenzen von 10 lasse sich auch so ausführen, daß man vom Dividenden so viele Stellen „mit einer virgel“ abschneide, als der Divisor Nullen habe. Doch wurde die Tragweite dieser Bemerkung nicht erkannt, weder von ihm noch von seinen Schülern. Rudolff lehrte nach dem Ziffernrechnen das Rechnen auf den Linien, welches bei einfachen Aufgaben am bequemsten, aber „zu subtilen Rechnungen zum dickermal seumlich sey“. Die Richtigkeit der Rechnung wird mit der Neunerprobe bewiesen, aber nebenbei bemerkt: „die gewissest prob so man gehaben mag, ist wenn ein species die ander probiert“. In dem „Rechenbüchlein“ bringt Rudolff die welsche Praktik und sagt: „in diesen Rechnung ligt vil das du ein zal ordentlich zerstreuest; si ist nichts anders dann ein geschwinder auszug in die regel de tri“. Das „Exempelbüchlein“ verlangt auch den Kettensatz. Rudolff legt besonderen Wert auf die methodische Behandlung des Stoffes und gibt verschiedene Beispiele zur „ erhebung des verstandts“.

Petrus Apianus, Professor der Astronomie in Ingolstadt, ließ im Jahr 1527 ein Rechenbuch erscheinen, das in methodischer und sachlicher Hinsicht allen Ansprüchen genügen sollte. Wesentlich Neues bietet er nicht.

Der populärste Rechenlehrer des ganzen Mittelalters war Adam Riese. Zur mythischen Figur geworden spielt sein Name heute noch eine sprichwörtliche Rolle: „2*3 = 6, sagt Adam Riese“.

Riese wurde 1492 in Franken geboren, trat 1522 in Erfurt als „Rechenmayster“ auf und wurde 1525 Bergbeamter in Annaberg in Sachsen. In beiden Städten gründete er Privatschulen, an denen er selbst den Rechenunterricht erteilte. Er schrieb 4 Rechenbücher. Das dritte und wichtigste hat den Titel : „Rechnung nach der Lenge auff den Linichen und Feder Darzu forteil und behendigkeit durch die proportiones Praktika genannt mit gründlichem unterricht des visirens. Durch Adam Riesen im 1550 Jahr.

Die Rieseschen Rechenbücher erlebten mehr als 100 Jahre lang fortwährend neue Auflagen und drückten dem gesamten elementaren Rechenunterricht dieser Zeit einen charkteristischen Stempel auf. Sie zeigen folgende Gliederuug:

1.    Numération.

2.    Das Rechnen mit dem Zahlenpfennig auf der Linie (Rechenbank).

3.    Das Rechnen auf der Feder (Zifferrechnen).

4.    Regula detra.

5.    Welsche Praktik.

6.    Regula falsi.

Die drei ersten Kapitel lehnen sich inhaltlich mehr oder weniger wörtlich an die Rechenbücher früherer Autoren an. Der Regeldetri gibt Riese folgenden Wortlaut:

„Regula detra ist eine regel von dreien dingen.

setz

hinten, was du wissen willst, wird die frag geheißen, das ihm unter den andern zweyen an namen gleich ist, setz forn, und das einander ding bedeutet, mitten, darauf multiplicier was hinden und mitten, das drauß kompt, theil ob mit dem fordern, so hastu wie theuer das dritte kompt und dasselbig ist an namen gleich dem ersten.

Wenden wir diese Regel auf die Aufgabe an, was kosten 7 m, wenn 2l/₂ m 8,50 JL kosten, so heißen die „drei Dinge“ 7 m, 2¹/₂ m, 8,50 *4, und wir erhalten folgenden Ansatz:

2i/₂ m, 8,50    7 m. Die Lösung lautet nun: 7 • 8,50 : 2V₂

= 23,80 JL

Auch in der Bruchlehre werden die Regeln nicht entwickelt. „Thu yhm also.“ Stimmt die Probe „so haste yhm recht gethan“.

Die Regula falsi tritt, wie wir schon wiederholt gesehen haben, seit den ältesten Zeiten bei den verschiedensten Völkern auf. Sie diente zum Lösen von schwierigen Aufgaben aller Art und hat der Menschheit lange Zeit gute Dienste geleistet. Heute wird sie nur noch zum Lösen höherer Gleichungen benützt. Ihr Wesen besteht im Princip darin, daß man eine Aufgabe durch eine beliebige Zahl als gelöst annimmt, diesen angenommenen Wert einsetzt und untersucht, ob er zu groß oder zu klein ist. Im ersten Fall wird er durch einen kleineren, im zweiten durch einen größeren ersetzt. Durch Probieren findet man schließlich den wahren Wert.

Adam Diese löst folgende Aufgabe mit Hilfe der Regula falsi: Von einer Summe nimmt A = ¹!s, B = */₄, C = ¹/₅, D = !/6 und E den aus 6 fl bestehenden Rest. Wie groß war die Summe? Riese nimmt an, die fragliche Summe sei gleich dem Hauptnenner der Brüche x/₃, */₄,    x/₆, also = 60; es würden

nun erhalten A = 60 : 3 = 20 fl, B = 60 :4 = 15 fl, C = 60 : 5 = 12 fl, D = 60 : 6 = 10 fl und E = 60—20—15—12—10 = 3 fl. Da aber der Anteil des E = 6 fl beträgt, so erhält jeder das Doppelte usw.

Die welsche Praktikx) handelt von den Geschäftsrechnungen der kaufmännischen Praxis. Sie kam von Italien nach Deutschland und fand in den meisten Rechenbüchern des Mittelalters eingehende Beachtung. Italien war damals bekanntlich der Hauptstapelplatz des Warenhandels Europas ; die Großkaufleute Deutschlands waren deswegen genötigt, mit Italien Geschäftsverbindungen anzuknüpfen. Viele schickten ihre Söhne dorthin in die Lehre, damit sie in der Warenkunde und Buchführung ausgebildet und mit der Technik des kaufmännischen Rechnens vertraut wurden. Diese brachten dann die Rechenkunst als „welsche Praktik“ mit nach Deutschland zurück. Sie umfaßte die Warenrechnungen aller Art, die Gewinn- und Verlustrechnungen, besonders aber die Währungsrechnungen. Gerade die letzteren waren von großer Bedeutung, weil jedes Land und jedes Ländchen eigene Maße und eigene Geldsorten hatte.

In Folge dieser Handelsbeziehungen drang nun auch die indische Positionsarithmetik und das neue Rechenverfahren, das

0 Welsch vom althochdeutschen walch = fremd.

bis jetzt immer nur das Privilegium einiger Auserwählten war, in weitere Kreise ein.

Die welsche Praktik spielt noch im heutigen kaufmännischen Rechnen eine große Rolle. Doch versteht man jetzt unter ihr vorwiegend die Lösungsart, welche die Zahlen in Faktoren oder Teilsummen zerlegt, diese Teilwerte berechnet und addiert. Z. B. was kosten 23^4 m, wenn man für 28 m 74,80 JL bezahlt?

28 m =i 74,80 JL.

Auflösung:

14 m = 87,40 JL (die Hälfte) m = 18,70 JL „    „

m = 5,34 JL (V7 von 14 m)

*/₄ m= 0,67 JL 0/s „    2 m)

231/4 m = 62,11 JL

Wie aus der kurzen Inhaltsangabe der Ries eschen Rechenbücher zu ersehen ist, bringen sie weder neue Gedanken noch besondere Rechenvorteile. Der Grund ihres großen Einflusses muß also in anderer Hinsicht gesucht werden. Es ist der „Rechenmayster“, der geborene Pädagoge, der uns in Riese entgegentritt, und dem seine Bücher den großen Erfolg zu verdanken hatten. Riese entwickelt die Zahlbegriffe an den Rechenpfennigen; an der Rechenbank führt er dann seine Schüler in die 4 Spezies ein. Die Pestalozzi’sche Forderung: „erst Anschauung, dann Verarbeitung“ ist also schon bei Riese realisiert. Dann legt Riese ein Hauptgewicht stets darauf, neue Ideen, neue Rechnungsarten an möglichst einfachen Beispielen einzuüben und dies so lange fortzusetzen, bis sie nach allen Richtungen geklärt sind. Erst jetzt geht er zu schwierigeren Aufgaben über. Aber auch hier wußte er zweckdienlich anzuknüpfen und den Stoff sachlich geordnet aufzubauen. Das bereits Erlernte wird immer und immer wieder repetiert. Fünfmal, sechsmal kommt dieselbe Aufgabe mit ganz unwesentlichen Abänderungen. Riese weiß, daß nur Übung den Meister macht. Sein Zeitgenosse Michael Stiefel, der ihn in wissenschaftlicher Hinsicht weit überragte, nennt seine Aufgaben holdselig und nimmt manche davon in sein eigenes Rechenbuch auf.

Michael Stiefel war ursprünglich Augustinermönch und beteiligte sich auf Seite Luthers an der Reformation; später wurde er Pfarrer in der Nähe von Wittenberg. Im Jahre 1545 ließ er eine Arithmetik drucken, in welcher er Potenzreihen für verschiedene Basen aufstellte und damit der Erfindung der Logarithmen sehr nahe kam.

Kaspar Paucer verfaßte im Jahr 1556 in lateinischer Sprache einen kurzgefaßten Lehrgang des Rechnens mit Sexa-gesimalbrüchen und gab darin auch eine Anweisung zur Lösung von quadratischen Gleichungen.

Simon Jakob erklärt in seinem 1565 erschienenen Rechenbuche : „Das Linienrechnen ist zu Hausrechnungen, da man viel Summierens, Ausgebens und Eynehmens bedarff, förderlich aber in Kunstrechnungen offtenmal verhinderlich“.

John Neper (Napier), ein schottischer Edelmann, erfand im Anfang des 17. Jahrhunderts die Logarithmen und einen Apparat zur maschinellen Ausführung der Multiplikation und der Division. Dieser hat sich aber nicht bewährt. Die Jesuiten Cirmann (1640) und Schott (1660) konstruierten ebenfalls Rechenmaschinen, die angeblich gut funktionierten. Ihren Bau kennt man nicht mehr.

Biaise Pascal, der berühmte Mathematiker und Philosoph, erfand 1642 eine Rechenmaschine, bei der durch Kurbeldrehungen ein Räderwerk die Resultate der 4 Spezies „ausrechnete“. Man hatte jeweils nur bestimmte Einstellungen zu machen. Der Theorie nach richtig, versagte die Maschine aber meistens, da die damaligen Mechaniker nicht im Stande waren, sie den Ideen des Erfinders entsprechend präzis genug auszuführen. Spätere Erfinder, wie Leibnitz, Müller, Babbache u. a. hatten mit ihren Rechenmaschinen größeren Erfolg. Am vollkommensten ist das Arithmometer von Thomas aus Kolmar, das jetzt in Paris, Wien und Glashütte fabriziert wird.

Tobias Beutel schrieb 1650 ein Rechenbuch, welches die Regeln in Reimen enthielt und 8 Auflagen erlebte.

Der Engländer Wallis behandelte 1660 das Verwandeln der gemeinen Brüche in Dezimalbrüche und in Sexagesimal-brüche und zeigte, daß die entstehenden Dezimalbrüche entweder endliche oder periodische sind, und daß die Periode höchstens n—1 Stelle haben kann, wenn n der Nenner des gemeinen Bruches ist.

Erhard Weigel, Professor in Jena, wollte 1673 das dezimale Zahlensystem durch das tetradische (Basis 4) ersetzt wissen.

Er nennt sein System Tetractys und behauptet, die Viererteilung sei das Natürliche und Nächstliegende, während „die Zehnzahl ein künstlich Gemachtes“ sei.

François Barême veröffentlichte 1677 in Paris ein Rechenbuch, das viele Auflagen erlebte und den Verfasser in Frankreich sehr populär machte. Wie wir heute von Adam Riese sprechen, spricht der Franzose von seinem Barême.

Seit dem 15. Jahrhundert standen die öffentlichen Schulen und die Klosterschulen ganz unter dem Einflüsse der Humanisten.¹) Diese wollten die klassischen Studien als Hauptbildungsmittel bevorzugt wissen und duldeten die Realien notgedrungen so nebenbei. Durch die im 18. Jahrhundert auftretenden Pietisten und Philantropen⁴ 5) kam allmählich eine andere Anschauung zur Geltung. Es wurde den Realien mehr Beachtung geschenkt und außerdem der ganze Unterrichtsbetrieb wesentlich gefördert. Die Pietisten, die Anhänger von P. J. Spener, 1666 Senior der Geistlichkeit in Frankfurt a. M., faßten die Erziehungskunst im Geiste der christlichen Nächstenliebe auf und wollten die Kinder aller Stände für das praktische Leben gründlichst vorbereiten. Sie legten deswegen den Schwerpunkt des Unterrichts auf die Realien und nannten ihre Schulen Realschulen. Die Philantropen huldigten den Grundsätzen Rousseaus, Basedows, Campes, Salzmanns u. e. a. und verlangten als erstes Prinzip aller Erziehung Naturgemäßheit, Menschenfreundlichkeit und Gemeinnützigkeit.

ver-

a) Pietisten. 1. Christoph Semler (1669—1740) öffentlichte 1705 eine Schrift: „Nützliche Vorschläge von Aufrichtung einer mathematischen Handwerkerschule bey der Stadt Halle“, in welcher er verlangte, daß die Kinder in der Schule für das gemeine Leben „präparieret werden“. Da die wenigsten zum Studieren, die meisten aber „zu andern Professionen und zu Handwerkern gelangten“, so müßte ihnen während der Schulzeit so viel als möglich Anschauung geboten werden. Materialien und Instrumente seien ihnen in natura oder im Modell vorzuzeigen, denn oculare Demonstrationen gäben am

besten deutliche Vorstellungen.“ Die Berliner Akademie pflichtete Semlers Ansichten bei, und die erste Realschule wurde 1708 in Halle eröffnet. Sie hielt sich aber nur drei Jahre lang. Im Jahr 1739 wurde ein neuer Versuch gemacht; dieser hatte aber auch keinen besseren Erfolg als der erste. — Semler darf als der Vorgänger Pestalozzis betrachtet werden.

Die Anschauungen und Vorschläge Semlers wurden mit größerem Glücke verfochten von

2. Johann Julius Hecker, dem Prediger an der Dreifaltigkeitskirche in Berlin. Dieser gründete eine Realschule, die aus mehreren Klassen bestund, von denen eine arithmetische, eine geometrische und eine physikalische hervorzuheben sind. Die Heckersche Schule hatte ebenfalls mit vielen Schwierigkeiten zu kämpfen, fand aber die Beachtung der Bevölkerung und die Unterstützung des Königs von Preußen.

b) Philantropen. Den größten Einfluß auf die Umgestaltung des mathematischen Unterrichts übte

Christian Wolf aus. Er war Professor der Mathematik und Physik in Halle, wurde von Friedrich Wilhelm I. 1723 als Irrlehrer des Landes verwiesen, von Friedrich dem Großen aber 1740 ehrenvoll nach Marburg zurückberufen. Wolf war ein Gegner der Pietisten und bekämpfte sie ihrer frömmelnden Richtung wegen. Seine nüchterne, streng logische Lehrmethode beherrschte lange Zeit den Lehrgeist der deutschen Hochschulen und ist heute noch ein Vorbild exakter Forschung. Wolf war der erste, der das Regelrechnen mit großer Schärfe bekämpfte. Es sei nicht die mathematische Wahrheit an sich, die den Verstand kräftige, sondern der Weg, auf dem diese Wahrheit gewonnen und erkannt werde. Deswegen falle ihr Nutzen als Bildungsmittel fort, wenn sie als Ergebnis einer Gedächtnisarbeit anstatt einer Verstandesarbeit gewonnen werde. „Der Schüler muß jederzeit gefragt werden, warum er dieses so und nicht anders macht, damit er nicht allein den Grund der Rechnung einsieht, sondern sich auch daran gewöhnt, nichts ohne Grund von jemand anzunehmen.“ Die Forderungen Wolfs suchte besonders der Pädagoge

Basedow, das Haupt der Philantropen, zu realisieren. Er wurde 1723 in Hamburg geboren, wirkte einige Jahre als Pro-fessor an der Ritterakademie zu Sorö und am Gymnasium zu Altona. Durch Rousseaus „Emil“ begeistert, trat er als Reformator des Erziehungswesens auf und gab 1774 sein aus 4 Bänden bestehendes „Elementarwerk“ heraus, in welchem er die einzelnen Lehrgegenstände im Sinne Wolfs und Rousseaus behandelte. Im gleichen Jahr gründete er in Dessau die berühmte Musterschule, das Philantropin, trat aber schon nach zwei Jahren von dessen Leitung zurück. Er starb 1790.

Die Forderungen und Vorschläge der Pietisten und Philan-tropen drangen aber nur allmählich durch. Die Rechenlehrer waren in dem Geiste des Regelrechnens erzogen. Dieses stellte keine besonderen Ansprüche an ihr Lehrgeschick und an ihre Lehrtätigkeit. Deswegen fanden Neuerscheinungen, die im Sinne des alten Schlendrians verfaßt waren, noch lange Zeit überall die beste Aufnahme. So beherrschten die nach altem Stil verfaßten Rechenbücher von Christian Pescheck (1676—1747) bis in das 19. Jahrhundert hinein die Rechenmethode vieler deutschen Schulen und „fanden ungeheueren Beifall“. Es erschienen noch 50 Jahre nach seinem Tode neue Auflagen. Einen weitaus höheren Wert als die Pescheck’schen Rechenbücher besaß „die demonstrative Rechenkunst“ von Christlieb von Clausberg (1689—1751). Clausberg erteilte in verschiedenen Handelsstädten (Danzig, Hamburg, Lübeck) Rechenunterricht und war später der Hauslehrer des dänischen Kronprinzen. Sein Rechenbuch enthielt zwar noch eine Reihe Regeln und Rechenvorteile, aber diese waren nicht auf Treu und Glauben für richtig hinzunehmen, sondern sie wurden mehr oder weniger anschaulich entwickelt und begründet. Clausberg ist ein Freund vom Kopfrechnen, findet aber das große Einmaleins für überflüssig. An Stelle der Neunerprobe empfiehlt er die Elferprobe. Von der Regeldetri sagt Clausberg, sie sei die Grundlage des praktischen Rechnens, habe aber nur für jenen Rechner, der denken und in den Geist einer Aufgabe einzudringen vermöge, wirklichen Wert, da sie, wie alles in der Welt, ihre Grenzen habe. Große Aufmerksamkeit schenkt er den Zins- und Wechselrechnungen.

Auf gleicher Höhe, wie die Clausbergsche „Rechenkunst“, steht auch das Rechenbuch von Gotthold Hübsch. Hübsch war Rechenlehrer an der Eürstenschule zu Pforta und ließ 1748 eine Arithmetika portensis erscheinen, in welcher er erklärte, die

Rechenkunst sei ein Schleif- oder Wetzstein, die distinkt ordentlich und vorsichtig denken lehre. Er legt mehr Gewicht auf die Methode als auf Übungen. Das Übungsmaterial ist deswegen beschränkt. Die Erklärungen werden auf ihre Richtigkeit, die Rechenvorteile auf die Anwendbarkeit, und die Proben auf die Zuverläßigkeit geprüft. Das Kopfrechnen sei zwar wichtig, bilde sich aber von selbst, wenn viel mit der Eeder gerechnet werde. Hübsch war der erste, der beim schriftlichen Rechnen auf Sorgfalt in der äußeren Darstellung sah, peinliche Reinlichkeit, Deutlichkeit und Ordnung verlangte.

Wie wir weiter oben sahen, erfand der Schotte Kapier im Anfänge des 18. Jahrhunderts die Logarithmen. Einige Jahre später brachte sie auch, unabhängig von Kapier, der Schweizer Jost Burgi. Beiden waren wahrscheinlich die Potenzreihen des Michael Stifel bekannt. Mithin wäre dieser der eigentliche Erfinder. Übrigens hat schon im Jahr 1484 der Franzose Chuquet in einem arithmetischen Werke gesagt, daß die „Ordnungszahl“ eines Produktes gleich sei der Summe der „Ordnungszahlen“ seiner Faktoren (3².3 ³ = 3⁵).

Kachdem die Logorithmen erfunden waren, wurden sie von den Gelehrten aller Kationen freudig begrüßt. Es entstanden eine Reihe Systeme, von denen das von Henry Briggs, welcher die Zahl 10 als Basis der Potenzreihen annahm, als das zweckmäßigste für die elementare Mathematik anerkannt wurde (1620).

Mit der Erfindung der Logarithmen bricht für die Arithmetik ein neues Zeitalter an. Multiplizieren und Dividieren werden zum Addieren und Subtrahieren, Potenzieren und Radizieren zum Multiplizieren und Dividieren, und die Trigonometrie, die schon vor Jahrtausenden in China und Indien aufkam, erlangte erst jetzt ihre große praktische Bedeutung.

Einige Jahre später führte Kepler die Begriffe der unendlichen Größen in die Arithmetik ein. Borrow, Newton und Leibniz bauten auf ihnen das stolze Gebäude der höheren Mathematik auf, welche in ihrer Anwendung auf Geometrie, Katurwissen-schaft und Technik so ungemein fruchtbringend werden sollte.

In neuerer Zeit ist von seiten verschiedener Gelehrten schon wiederholt in Vorschlag gebracht worden, das dekadische Zahlen-system durch das dodekadische zu ersetzen, weil die Basis 12 vier Faktoren besitze, die Basis 10 aber deren nur 2 habe. Die Rechenoperationen blieben im Prinzip die gleichen, nur könnte man sie öfters vereinfachen. Vor Allem aber müßte man für die Zahlen 10 und 11 zwei neue Ziffern einführen, da die 12 Einheiten des neuen „Zehners“ durch die Zeichen 10 dargestellt werden müßten. Immerhin dürfte aber, falls sich die Vorschläge verwirklichen sollten, die Übergangsperiode mit vielen Schwierigkeiten verbunden sein. Außerdem würden auch duodezimale Maßsysteme nötig werden.

Zahlensysteme. Im Anschluß an oben genannte Vorschläge, das dekadische Zahlensystem durch das dodekadische zu ersetzen, wollen wir an einigen Beispielen zeigen, wie man die Zahlen aus einem System in ein anderes übertragen kann, und wie die 4 Spezies in beliebigen Systemen auszuführen sind.

I. Bekanntlich treten im dekadischen System die einzelnen Zahlen als Summen von Potenzen der Grundzahl (Basis) 10 auf. Die Koeffizienten dieser Potenzen sind die Ziffern des Systems ; sie sind immer kleiner als die Grundzahl. So ist z. B. 6745,389 = 6 • 1000 + 7 • 100 + 4 • 10 + 5

= 6 • 103 + 7 • 102 + 4 • 101 + 5 • 100 + 3 • 10 -1

1000

+ IÖ ⁺ ÏÜ0 +

+ 8 • 10 -2 + 9 • 10 -3.

Stellen wir Potenzreihen irgend einer anderen Basis auf, z. B. der Basis 8, und geben auch ihren Koeffizienten Stellenwerte, wie sie die der dekadischen Zahlen besitzen, so lassen sich auch diese Reihen, den Forderungen der Positionsarithmetik entsprechend, in einfacher Form ausdrücken und anschreiben. Z. B. 5 • 83-J-4 • 82 + B • 8x + 2 • 8° + 7 • 8 —¹ —6 • 8—2 = 5432,76 (Basis 8). Über den „wahren Wert“ dieser oktadischen Zahl 5432,76 besitzen wir vorerst kein klares Urteil, erhalten aber ein solches, sobald wir sie als Potenzreihe darstellen und dann ihre reelle Summe suchen. Es ist: 5432,76 (B. 8) = 5 • 8³ -f- 4 . 8²-[-3 • 81 + 2 . 80 + 7 • 8-1 + 6 • 8-2 = 2560 + 256 + 24 + 2 + 0,875 + 0,09375 = 2842,96875(10).

II. Das Multiplizieren und Dividieren der Zahlen beliebiger Systeme mit reinen Potenzen der betreffenden Basis erfolgt durch ein Verschieben des Kommas.

Beweis zu Nr. 3:

24,357 • 122 ₌ (2 . 12i + 4 • 12« + 3 • 12-1 + 5 • 12-2 _|_ 7 . i2-3j . 122 = 2 • 123 + 4 • 122 + 3 • 121 + 5 • 120 + 7 • 12-1 = 2435,7.

Anmerkung. Ist die Zahl n die Basis eines Systems, so verlangt die Positionsmathematik, daß man die Potenzen ni = 10, n² = 100, n³ = 1000, n⁴ = 10,000 usw. anzuschreiben hat. Es wäre nun vielleicht zweckmäßig, die Zahlen a • n° = Einer, b • n¹ = Zehner, c • n² = Hunderter usw. zu nennen; dabei müßte man sich freilich daran gewöhnen, unter „Zehn“ die erste Potenz der Grundzahl, unter „Hundert“ ihre zweite Potenz usw. zu verstehen. Die Aufgaben Nr. 3 und Nr. 4 müßten also folgendermaßen geschrieben werden:

3)    24,357 • 12 2 = 24,357 • 100 = 2435,7 (B. 12)

4)    5243,6 : 8⁴ = 5243,6 : 10,000 = 0,52436 (B. 8;

in. Das Übertragen einer dekadischen Zahl in ein anderes System.

A. Es soll die dekadische Zahl 2428 im oktadischen System ausgedrückt werden. Da die neue Zahl als Summe von Potenzen der Basis 8 auftreten muß, also als Summe von Produkten vom Faktor 8, so hat man die dekadische Zahl durch 8 zu dividieren. Z. B.

2423 : 8 = 302 Rest 7 302 : 8 = 37 Rest 6 37 :8 =    4 Rest 5

4:8=    0 Rest 4

Aus diesen Gleichungen folgt, daß 8.    37 = 4 • 8 + 5

2. 302 = 8* 37 + 6 = 8- (4 .8 + 5)+ 6 = 4. 82+ 5*8 + 6 1. 2423 = 8 • 302 + 7 = 8 • (4 • 82 + 5 • 8 + 6) + 7 = 4 • 83 + 5.82 + 6*8 + 7 ist.

Es ist also 2423 (Basis 10) = 4567 (Basis 8).

Dividiert man auf die angegebene Weise so lange, bis der Quotient Null auftritt, so hat man im ersten Rest die „Einer“, im zweiten die „Zehner“, im dritten die „Hunderter“ usw. der neuen Zahl.

Probe: 4567 (Basis 8) = 4 . 83+5 . 82+ 6 . 8 + 7= 2048 + 320 + 48 + 7 = 2423.

B. 827 (B. 10) = ? Basis 5.

Auflösung: 827 : 5 = 165 : 5 = 33 : 5 = 6 : 5 = 1: 5 = 0 Rest 2 Rest 0 Rest 3 Restl Restl

Also 827 (B. 10) = 11 302 (B. 5).

Probe: 11302 (B. 5) = 1 . 54 + 1 . 53+ 3 • 52 + 0 • 5^ + 2 = 625 + 125 + 75 + 2 = 827.

C. a) Liegen die dekadischen Zahlen als Dezimalbrüche vor, so hat man mit der neuen Basis zu multiplizieren. Z. B. 0,568 (Basis 10) = ? Basis 5.

Auflösung: 1. 5 • 0,568 = 2,840 (2)

2.    5 . 0,84 = 4,20 (4)

3.    5 • 0,2    =1    (1)

Es ist mithin 0,568 (B. 10) = 0,241 (Basis 5).

Beweis. Die erste Multiplikation lieferte 2 Ganze. Sollten diese in den alten Zustand zurückgeführt werden, müßte man sie durch 5 dividieren, oder, was dasselbe ist, mit 5—¹ multiplizieren. Die 4 Ganzen des

II.    Ganges sind durch die zweimalige Multiplikation mit 5, also durch Multiplikation mit 5² entstanden. Eine Division durch 5² oder eine Multiplikation mit 5—² hebt die Wirkung wieder auf. Die Ganzen des

III.    Ganges sind die Folge einer dreimaligen Multiplikation mit 5; sie

2    4    1

sind also durch 53 zu teilen usw. Es ist also 0,568 = — + -g- + 125“^ * 5-1 + 4 . 5-2+ 1 .5-3 = 0,245 (B. 5).

Probe: 0,245 (B. 5) = y + + _|_ _L = 0,4 + 0,16 + 0,008 = 0,568

(B. 10).

b) Bei gemischten Dezimalzahlen müssen die Ganzen nach dem Divisions-, die Dezimalstellen nach dem Multiplikations verfahren behandelt werden. Z. B.: 547,96875 (B. 10) = ? Basis 8.

Auflösung: 1. 047:8 = 68:8 = 8:8 = 1:8 = 0 Rest 3, Rest 4, Rest 0, Restl.

2. 0,96875 . 8 = 7,75; 0,75 .8 = 6.

Es ist nun 547,96875 (B. 10) = 1043,76 (B. 8).

Probe: 1043,76 (B. 8) = 1 . 83 + 0 • 82 + 481 + 3 . 80 + 7 . 8-1 + 6 • 8-2 = 512 +32 + 3 + -! +

Bei diesen Übertragungen entstehen meistens unendliche Reihen.

= 547,96875 (B. 10).

8754, 9627.

IV. a) Addition. Addiere die duodezimalen Zahlen 5642, 6856, 3962,

to Ol Ol Ol

(N CD (M ^ D-

2(10) 1(11)9

Erklärung. Die Summe der Einer beträgt 21 ; 21 = 1 • 12 + 9; schreibe 9 an, behalte 1 und zähle ihn zu den „Zehnern“ der zweiten Reihe. Die Summe der Zehner beträgt 23 ; 23 = 1 • 12 + Elf. Da wir für Elf keine Ziffer besitzen, müßten wir eine solche erfinden. Wir wollen aber unsere zwei Ziffern für Elf in Klammern setzen usw.

754821

b) Subtraktion. 754 321 (B. 8) - 267 524 (B. 8).

— 267 524

464 575

Erklärung. 4 von 1 kann ich nicht, leihe ich einen „Zehner“. Dieser hat 8 Einer, 8 + 1 = 9; 9 — 4 = 5 usw.

c) Multiplikation. 672 • 438 (B. 9).

672

438

Er klärun g:

6037

2236

8018

■h ci co

CC ÜC 00

^ Ol M

00 05 05

+ + 05

—I co

= 1.9 + 7 = 57 ; = 6 *9 + 8 = 54 ; = 6 • 9 + O usw.

881807

c) Division.

432882 : 534 (B. 6) = 452

3424

4553

4402 1512 1512

§ 13.

¹

Er wurde schon öfters aus verschiedenen Teilen des Landes unter Bezugnahme auf Aufgaben, die er in den Lehrerinnenprüfungen stellte, um nähere Auskunft über die Neunerprobe angegangen.

²

Siehe bei Cassiodorus.

³

Tollet vom italienischen tavoletta == kleine Tafel.

⁴

   Human = menschlich, menschenfreundlich.

⁵

   Piëtas = Frömmigkeit, philos = lieb, anthropos = Mensch.

Die Erfindung der Dezimalbrttche.

Wenn man von der Erfindung der Dezimalbrüche spricht, so kann es sich nur darum handeln, darzutun, von wem und wann sie zuerst ohne Nenner angeschrieben wurden und zwar angeschrieben im Sinne der Positionsarithmetik. Als Brüche waren sie schon längst bekannt und bei den meisten Völkern seit den ältesten Zeiten in Gebrauch, wenn auch meistens in sehr bescheidenem Maße, so daß sie ganz in den Hintergrund traten. Eine größere Bedeutung hatten stets nur die Brüche, die mit den Maß- und Münzsystemen zusammenhingen, und da diese gewöhnlich keine dezimale Gliederung besaßen, so spielten auch die Dezimalbrüche keine Rolle. So waren z. B. bei den Babyloniern die Sexagesimalbrüche die wichtigsten, wenigsten in den wissenschaftlichen Systemen. Diese wurden entweder in Bruchform angeschrieben, oder aber es wurde ihnen, wie wir bereits früher sahen, der Charakter der Stellenwertigkeit verliehen, der den Nenner entbehrlich machte. Statt 24¹⁷/₆₀, ⁴³/₆₀²> ⁵²/₆o³> ²¹/eo⁴ schrieb man 24<>, 17', 43", 52'", 21"". Da diese Brüche von Babylon aus nach Griechenland gelangten, und die Griechen in der Astronomie und in der Kreis- und Zeitmessung das babylonische Maßsystem mit übernahmen, so spielten sie auch hier eine große Rolle. Im bürgerlichen Leben traten sie freilich zu Gunsten der Halben, Viertel, Sechstel und Achtel zurück, weil das Münzsystem Drachmen, V₆ Drachme = 1 Obulus, x/₂ Obulus, x/₄ Obulus und ¹I₈ Obulus = 1 Chalkos enthielt.

Die Römer besaßen das ausgesprochene Duodezimalsystem; sie hatten aber für alle 12 Zwölftel besondere Zeichen und besondere Namen. Es lag deswegen kein Bedürfnis vor, beim Anschreiben auf die Stellung irgendwie Rücksicht zu nehmen.

Der erste Mathematiker, der unseres Wissens wenigstens, andeutungsweise Dezimalbrüche im Sinne der Positionsarithmetik anwandte, war Johann Luna (Johann von Sevilla). Im Jahr 1150 hing er beim Wurzelausziehen n • 2 Nullen an den Radikanden und schrieb dann die nach den Ganzen kommenden Stellen der Wurzel als Zähler eines Bruches an, dessen Nenner 10n hieß, z. B. VÄ378 = 1/4378 - 00000Ö = 66 - 166 = 66 *™l₁₀* = 66 ¹⁶⁶/₁₀₀₀- Ähnlich verfuhr Jordanus im Jahre 1200. Im Jahr 1484 teilte der Italiener Borgi durch a • 10n, indem er im Dividenden von den Einern aus n Stellen abstrich, den Rest durch a dividierte, den dabei entstehenden Rest vor die abgestrichenen Stellen setzte und die Zahl a mit n Nullen als Nenner darunter schrieb. Er verfuhr also folgendermaßen: 235 875 : 6000 = 235 : 6 = 39 Rest 1. Schrieb er nun den Rest 1 vor die abgestrichenen Stellen 875 und setzt den Divisor 6000 darunter, so erhielt er 39¹⁸⁷⁵/₆₀₀₀.

Das im Jahr 1525 erschienene Rechenbuch von Rudolff sagt, man teile die Zahlen durch Potenzen von 10, indem man „mit einer virgl“ so viele Stellen abstreiche, als der Divisor Nullen habe. Rudolff ist mit dieser Regel der Erfindung der Dezimalbrüche sehr nahe gekommen, aber daß eine folgenschwere Erfindung in ihr enthalten sei, erkannten weder er noch seine Zeitgenossen. Immerhin war nun der Boden für das Erscheinen der Dezimalbrüche vorbereitet, und ein in französischer Sprache in Leyden erschienenes Lehrbuch brachte sie im Jahr 1585. Sein Verfasser war ein Niederländer, namens Simon Stevin. Das genannte Lehrbuch besteht aus 4 Teilen. Der erste Teil ist eine Arithmetik, der zweite behandelt die 4 ersten Bücher des Diophant, der dritte die Pratique d’Ariméthique, und der vierte hat den Titel: „La Disme enseignant facilement expedier par nombres entiers sans rompus tous comptes se rencontrant aux affaires des Hommes“. Im vierten Teil lehrt er, wie man alle Rechnungen, die im menschlichen Leben Vorkommen, ohne Brüche ausführen könne, wenn man die Dezimalbrüche einführe und sie, der Positionsarithmetik entsprechend, verwerte. Wir wissen heute, daß sie tatsächlich das leisten, was Stevin versprach. Er selbst war von der Durchführbarkeit seines Vorschlages fest überzeugt und forderte von den Regierungen dezimalgeteilte Maße, Münzen und Gewichte. Er

schreibt, wenn auch die Einführung der Dezimalbrüche nicht so bald in Aussicht stehe, wie er es wünsche, so sei er doch sicher, daß ein künftiges Geschlecht, wenn die Menschennatur die gleiche bleibe, nicht auf die Dauer einen so großen Vorteil außer acht lassen werde. Er ahnte freilich nicht, daß es noch zwei Jahrhunderte dauern sollte, bis man anfing, seine Gedanken und Vorschläge zu verwirklichen. Dies war der großen französischen Revolution Vorbehalten.

Stevin zeigte in seinem „La Disme“, wie man Dezimalbrüche ohne Nenner anschreiben könne, und wie mit ihnen gerechnet werden müsse. — So ganz fällt der Nenner freilich noch nicht fort, da einzelne Stellenanzeiger vorgesehen sind. So schreibt Stevin z. B. statt 37,784 — 37 (ÏÏ), 7 (T), 8 (¥), 4 (¥). Bei den Ausführungen der Rechnungen schreibt er die Stellenanzeiger über die betr. Stellen, dadurch gewinnt die Schreibart an Übersichtlichkeit.

(0) (1) (*) (3)

schreibt er

Statt

48,564

17,358

29,762 95,684

Stevins Stellenanzeiger wurde um das Jahr 1600 von Joost Bürgi, von dem wir schon im vorigen Kapitel sprachen, durch ein Pünktchen oder durch eine, den Einern zugekehrte, Halbklammer ersetzt. Bürgi war ursprünglich einfacher Uhrmachergehilfe, wurde dann Hofuhrmacher in Kassel, kam als kaiserlicher Kammeruhrmacher nach Prag und eignete sich allmählich als Autodidakt umfangreiche mathematische Kenntnisse an. Er konstruierte mehrere wissenschaftliche Instrumente für

Astronomie und Geometrie, schrieb „arithmethische und geometrische Progi eßtabulen“ (Logarithmentafeln) und vervoll-kommnete die trigonometrischen Tafeln, indem er Sinustafeln auf 8 Dezimalstellen berechnete. In Prag lernte er den Astronomen Kepler kennen, und so vereinigte das Geschick zwei hochbegabte Männer: Kepler, ausgezeichnet als theoretischer Mathematiker und wissenschaftlich geschulter Astronom, Bürgi, hervorragend als intelligenter Praktiker und tüchtiger Mathematiker. Über Bürgis Dezimalbruchdarstellung schreibt Kepler im Jahr 1616, sie sei von Joost Bürgen zu der Sinusrechnung

erdacht. Demnach wäre Bürgi, unabhängig von Stevin, der zweite Erfinder der Dezimalbrüche. Dies ist um so wahrscheinlicher, weil er ohne eigentlichen Unterricht aufwuchs, keine fremden Sprachen kannte und deswegen in der Literatur nicht bewandert war. Bürgi kennt schon das abgekürzte Rechnen mit Dezimalzahlen. So vervielfacht er z. B. 1,2358 mit 0,1234 folgendermaßen:

di co

CO luO

Tr 00

1-1 o

o to fcO

CO TP CO o

TP O t'- CD

Merkwürdigerweise kommt hier kein Abteilungszeichen vor.

0 15 2 5

Die Dezimalbrüche fanden bei verschiedenen Mathematikern sofort großen Beifall. Vieta, der größte französische Mathematiker des 17. Jahrhunderts, tritt in seinem im Jahre 1609 erschienenen Canon unter entschiedener Absage an die Sexa-gesimalbrüche zu Gunsten der Dezimalbrüche ein. Er stellt sie in seinem Buche durch kleine Lettern dar. Spätere Auflagen enthalten zwischen den Ganzen und den Dezimalstellen noch einen senkrechten Strich. Der deutsche Astronom Pitiscus aus Grüneberg in Schlesien ließ im Jahr 1612 trigonometrische Tabellen drucken mit Dezimalstellen, die durch einen Punkt von den Gauzen getrennt waren.

Im Verlaufe des 17. und 18. Jahrhunderts wurden die Dezimalbrüche von den Mathematikern aller Nationen übernommen. Das Volk aber, noch nicht im Besitze dezimalgeteilter Maße, brachte ihnen weniger Interesse entgegen. Ihm genügten die gemeinen Brüche. Erst dann, nachdem die große Revolution in Frankreich, dem Drucke der Gelehrten nachgebend, die metrischen Maße und Gewichte mit ihrer dezimalen Gliederung eingeführt hatte, drangen sie, wenn auch vorerst nur in Frankreich, in weitere Kreise ein. Im 19. Jahrhundert gingen dann die französischen Maße in die meisten Staaten Europas über. Infolgedessen waren deren Angehörige genötigt, sich in die Dezimalbrüche einzuarbeiten und sich ihrer tag-täglich zu bedienen, so daß sie nun Gemeingut Aller geworden sind.

§ 14.

Die Entwicklung der gegenwärtigen Rechenmethode.

A. Die Periode des Regelrechnens. Wie wir aus den

Rechenbüchern des Mittelalters ersahen, drehte sich der Rechenunterricht jener Zeit vorwiegend darum, dem Schüler gewisse mechanische Fertigkeiten im Lösen von Aufgaben praktischen Inhaltes beizubringen. Der Rechenlehrer machte die Aufgaben nach bestimmten Schablonen vor und war zufrieden, wenn sie der Schüler nachmachen konnte. Ob dieser in den Geist der Aufgabe einzudringen vermöge, ob er eine Spur Verständnis vom Gange der Lösung besitze, kam nicht in Betracht. Für jede Rechnungsart waren feste Regeln vorhanden, geheiligt durch die Tradition, erprobt durch die Erfahrung; diese hatte sich der Rechner anzueignen, er mußte es lernen, sie anzuwenden. Woher die Regel stammte, auf welche Weise sie mit den Ideen der Aufgabe zusammenhing, warum sie das richtige Resultat lieferte, dies alles war gewöhnlich Nebensache. Die Rechenlehrer wußten dies meistens selbst nicht. Nun dürfen wir freilich nicht vergessen, daß die Lehre vom Unterrichten in jener Zeit eben erst im Entstehen war, und daß gewöhnlich keine Kinder, sondern Erwachsene unterrichtet wurden, die das Rechnen aus rein praktischen Gründen lernen wollten.

Der Haupt Vertreter des Regelrechnens im 18. Jahrhundert war Christian Pescheck, Professor am Gymnasium in Zittau, der ein Rechenbuch für das Gymnasium und ein solches für die Elementarschule schrieb. Auch dieser kleidete, wie

verschiedene seiner Vorgänger, die Regeln in Verse ein, die die Schüler auswendig lernen mußten. So lautet z. B. seine Regeldetri :

„Die letzten zwei multipliciere,

Was kömmt, durchs erste dividiere.“

Als man gegen die Mitte des 18. Jahrhunderts anfing, der durch Spinoza, Locke und Leibniz neubelebten Psychologie mehr Beachtung zu schenken, machte sich eine Strömung gegen das Regelrechnen geltend, die bald weitere Kreise zog und in verschiedenen Schulordnungen zum Ausdruck gelangte. So verlangten z. B. die Schulordnungen von Gotha, Halle und Braunschweig-Lüneburg (1710—1740): „Der Docens hat bei den Scholaren dahin zu sehen, daß er ihnen nicht allein Regeln und Exempel gebe, sondern bei den Exempeln jeder Zeit den rechten Weg der Regel zeige, damit sie diese im Leben so wichtige Wissenschaft mit Verstand begreifen, nicht aber, wie vielfältig zu geschehen pflegt, nur ohne Verstand memorieren.“ Dann waren es aber besonders die Pietisten und Philantropen, die für neuere Anschauungen bahnbrechend zu wirken suchten. (Siehe § 12.)

B. Reformversuche. Unter dem Einfluß dieses neuen Geistes entstanden von der Mitte des 18. Jahrhunderts ab mehrere Rechenwerke, in denen nun auch das formale Prinzip zum Ausdruck kam.

In erster Reihe sind hier zu nennen die von Bernhard Overberg, geb. 1754, gestorben 1826 als Direktor des Priesterseminars in Münster; A. H. Niemeyer, geb. 1754, Direktor der Franckeschen Stiftung in Halle, gest. 1828, und F. G. Dinter, geb. 1760, Seminardirektor in Sachsen, gestorben als Schulrat 1831 in Königsberg.

Diese Rechenbücher waren im allgemeinen nach folgenden Gesichtspunkten abgefaßt :

1.    Der Rechenunterricht darf nicht mit Definitionen und Erläuterungen begonnen werden. „Lehret zählen!“

2.    Pfleget das Kopfrechnen, ehe ihr das schriftliche Rechnen beginnt.

3.    Führet die abstrakten Zahlen auf konkrete zurück.

4.    Gebet keine Regeln. Der Schüler muß diese selber finden.

5.    Das Kind darf nichts rechnen, von dem es den Grund nicht einsieht.

6.    Große Zahlen haben für den Unterricht keinen Wert.

Den größten Einfluß auf die Anbahnung neuer Ideen gewann aber Heinrich Pestalozzi (1746—1827). Nach Pestalozzi bildet die Anschauung die Grundlage alles Erkennens. Nur das, was durch Anschauung gewonnen ist, hat dauernden Wert. Deswegen ist auch im Rechenunterricht das Hauptgewicht auf Anschauung zu legen. Die logischen Begriffe für die ersten hundert Zahlen werden in seiner Schule an einer Tabelle entwickelt, die in zehn Reihen zehn Rechtecke enthält, in welchen sich senkrechte Striche befinden. Jedes Rechteck der ersten Reihe enthält je einen Strich, jedes der zweiten je zwei, jedes der dritten je drei usw. An dieser Tabelle wird die Entstehung der Zahl, ihre Zerlegung in Summanden und Faktoren entwickelt und zwar in streng vorgeschriebener Weise. Auch die vier Spezies wTerden an ihr gelehrt und geübt. Eine zweite Tabelle erläutert das Wesen der Brüche. Diese werden an 36 parallelen, verschieden geteilten Linienpaaren und an 100 gleichen Quadraten, die in Halbe, Drittel, Viertel usw. eingeteilt sind, veranschaulicht. Zu den beiden Tabellen gehörten Rechenhefte, welche mehr als 20 000 Fragen enthielten, die „so gerichtet sind, daß jede vollendete Anschauung die nächstfolgende im Geiste des Kindes begründet⁴⁴ (Pestalozzi). Daß diese maßlose Ausdehnung der Anschauung ihr gutes Prinzip wesentlich heruntersetzte, ja fast annullierte, bedarf keines Beweises. „Der Unterricht artete zur Dressur des so verpönten Regelrechnens aus.44 „Die Knaben sind so dressiert, daß sie die schwierigsten Bruchrechnungen mit einer Gewandtheit und Sicherheit im Kopfe ausrechnen, wie sie der geübteste Rechner kaum auf dem Papier herausbringt.“ Wie weit das Zerlegen und Auf bauen der Zahlen an den Tabellen getrieben wurde, ergibt sich aus folgendem Beispiel: „4mal der 5. Teil einer unbekannten Zahl ist gleich 6 mal dem 7. Teil von 4 mal dem 5. Teil von 70. Wie heißt die Zahl?⁴⁴

Die Schüler wurden mit den Ziffern erst dann bekannt gemacht, nachdem der ganze Rechenstoff durchgearbeitet war. Das schriftliche Rechnen kam also erst dann, nachdem man „die Arbeit hinter sich hatte⁴⁴.

Wenn auch von der Pestalozzischen Rechenmethode im allgemeinen anerkennend gesagt wurde, „sie gründet sich auf Anschauung, schärft die Aufmerksamkeit, übt das Gedächtnis und die Einbildungskraft, veranlaßt Urteile und Schlüsse und darf daher als eine sehr zweckmäßige Vorübung des ganzen Vorstellungsvermögens empfohlen werden⁴⁴, so konnte sie sich in den deutschen Schulen doch nicht einbürgern, oder sie verschwand wieder, wo sie eingeführt war. Aber Pestalozzis Geist verschwand nicht; er wirkte befruchtend auf die Erziehungs-kun st aller Länder ein und wird noch lange der Glanzpunkt in der Geschichte der Pädagogik sein.

Wie man dem Regelrechnen seinerzeit mit Recht vorwarf, es sei kein Zahlenrechnen, sondern nur ein Ziffernrechnen, so hielt man der Pestalozzischen Schule entgegen, sie vernachlässige das Ziffern rechnen zu Gunsten des Za lilen rechne ns und tadelte außerdem, daß sie in dem kindlichen Geiste nur unvollkommene Zahlbegriffe erwecke, weil sie dieselben nur auf geometrische Vorstellungen gründe. Dann wurde dem Pestalozzischen Grundsätze „Bildung der Kraft des Geistes an der abstrakten Zahl“ die Forderung: „Bildung für das Leben an konkreten Beispielen“ gegenübergestellt.

C. Ausgleich der Gegensätze. Unter dem Einfluß der Anregungen Pestalozzis entstanden in der ersten Hälfte des vorigen Jahrhunderts verschiedene Rechenbücher, die die Hauptmängel seiner Methode zu vermeiden suchten und zum Teil auch neue Leitsätze aufstellten. Hierher gehören die Arbeiten von Tillich, Rebs, Hoffmann, Stern, Stephani, Türk, Harnisch u. a. m. Diese verlangten:

1.    Das Rechnen hat die harmonische Ausbildung aller geistigen Kräfte zum Ziel.

2.    Kopfrechnen und schriftliches Rechnen dürfen nicht getrennt behandelt werden, ebensowenig das formale und das materiale Rechnen.

3.    Der Zahlbegriff muß durch Anschauung gewonnen werden, aber er muß so in das geistige Eigentum übergehen, daß er unabhängig von ihr existiert. Die Anschauung muß auch universaler Art sein.¹)

4.    Die Anschauung darf nicht in Spielereien ausarten.

Von einigen Methodikern wurde auch die erzieherische und

sittliche Wirkung des Rechenunterrichts, wie dies schon Pesta- ¹ lozzi und Herbart getan hatten, betont. „Der Rechenunterricht bildet für das Gute, Wahre und Tüchtige; er duldet nur das Wahre, hat also eine sittliche Wirkung.“ (Diesterweg.) „Er fördert nicht nur Verstandes-, sondern auch allgemeine Menschenbildung.“ (Kehr.) Ähnlich äußern sich Stern, Kaselitz, Beetz, besonders aber Grube. Von diesem erschien 1842 eine kleine Schrift unter dem Titel: „Wie wirkt der Unterricht sittliche Bildung?“ in der er ausführte, daß im Reiche der Zahlen unbedingte Gesetze herrschen, die keine Ausnahme gestatten, und daß in der Sprache der Arithmetik eine Bestimmtheit und Knappheit zum Ausdrucke komme, die Sinn für Ordnung entwickle und die Phantasie zügle .... die Zahlen eröffnen Ausblicke in die Großartigkeit und Unendlichkeit der Räume und Zeiten und erwecken deswegen ohne besondere Worte Gefühle der Bewunderung für die Schöpfung .... die Mathematik übt im raschen Erfassen und Verwenden gegebener Bedingungen und kräftigt so eine Eigenschaft, die zum sittlichen Handeln sehr häufig notwendig ist“. Von anderer Seite wird die ethische Wirkung des Rechenunterrichts in Abrede gestellt. „. . . das Rechnen macht den Menschen nicht um einen einzigen höheren sittlichen Gedanken reicher .... die Denktätigkeit ist eine unproduktive, gemüts- und herzlose; es ist sinnloses Geschwätz, wenn Grube dem Rechnen ethische Wirkung beilegt.“ (Körner.) „Es ist ein verfehltes Bestreben, dem Rechnen besonders formal bildende Momente beizulegen .... es hat sich ausschließlich in den Dienst des praktischen Lebens zu stellen, um eine nötige Fertigkeit für Handel und Verkehr zu erzeugen.“ (Knilling.) „Die sittlich bildende Wirkung des Rechenunterrichtes liegt nicht im Rechenstoff und nicht in der Art seiner Verarbeitung, sondern in der Person, dem Geschick und Willen des Lehrers, in den Rechenstunden unbedingte Stille und strenge Aufmerksamkeit zu erzielen.“ (Steuer.)

In methodischer Hinsicht brachte Grube als neuen Gedanken die Forderung, es dürften nicht die einzelnen Operationen im Vordergrund des Unterrichtes stehen, sondern die einzelnen Zahlen; an diesen müßten sämtliche Operationen vorgenommen werden. Die monographische Zahlenbehandlung. Diese Anschauung fand verschiedene Freunde, aber auch scharfe Gegner. Man einigte sich schließlich dahin, daß nicht einzelne

Zahlen im Sinne Grubes zu behandeln seien, sondern Zahlengruppen.

D. Anschauungsmittel. Um der Forderung Pestalozzis, jeder Unterricht müsse sich auf Anschauung gründen, gerecht zu werden, sahen sich verschiedene Methodiker in der Vergangenheit nach Anschauungsmitteln für den Rechenunterricht um, oder sie suchten neue zu erfinden. So entstanden eine Reihe körperlicher und graphischer Lehrmittel.

a.    Materielle Anschauungsmittel.

1.    Stäbchen. Die Schüler haben Stäbchen mitzubringen, die einzeln oder in Bündeln vereinigt, Einer, Zehner, Hunderter usw. vorstellen.

2.    Rechenmarken. Man benützt kleine, mittlere und große Scheiben aus Karton oder Blech zur Darstellung der Einer, Zehner und Hunderter.

3.    Das Löcherbrett von Gersbach. In ein System von horizontalen und vertikalen Lochreihen werden farbige Holzstifte gesteckt. Es tritt in verschiedenen Abänderungen und unter verschiedenen Namen auf.

4.    Tillichs Rechenkasten mit seinem Würfelsystem.

5.    Die russische Rechenmaschine wurde wiederholt „verbessert“ und tritt unter den verschiedensten Namen auf. Hat die weiteste Verbreitung gefunden.

6.    Rechenkästlein und Rechenmaschine von Dr. Lay (siehe unter b 4.).

7.    Verschiedene andere.

b.    Graphische Anschauungsmittel.

1.    Die Pestalozzischen Tabellen in vereinfachter Form.

2.    Die Heerschen Rechenfiguren. Weiße Scheiben in schwarzen Quadraten.

3.    Sterns Quadratfeld. In die Schiefertafel werden 10 • 10 = 100 Quadrate eingeritzt, in welche die Schüler „Ringlein“ eintragen.

4.    Zahlbildertabellen.

Wie die Erfahrung lehrt, ist das Auge nicht im Stande, eine größere Anzahl nebeneinander stehender Gebilde auf einmal zu erfassen. Die Sicherheit der augenblicklichen Auffassung einer Vielheit geht kaum über vier Einheiten hinaus. Dies ist in der physiologischen Beschaffenheit des Auges begründet. Soll eine durch eine Gruppe von Einheiten dargestellte Zahl auf einen Blick erfaßt und erkannt werden, so müssen ihre Einheiten so geordnet sein, daß ein kreisförmiges oder quadratisches Netzhautbild entsteht, welches von der Netzhautgrube des Auges aufgefangen werden kann. In Würdigung dieser Erkenntnis, oder geleitet durch die Erfahrung, brachten verschiedene Rechenlehrer Zahlbilder in den Vorschlag, welche annähernd solche Netzhautbilder liefern. Es waren dies Busse, Born, Böhme, Hentschel, Beetz und Dr. Lay. Der letztere prüfte die einzelnen durch psychologische Experimente und fand, daß die seinigen, die der quadratischen Form am vollkommensten entsprechen, angeblich die besten Resultate lieferten.

An diesen Zahlbildertabellen läßt man nun in vielen Schulen die Zahlen 1—20 durch Addition und Multiplikation entstehen und zerlegt sie wieder durch Subtraktion und Division, z. B. Behandlung der Zahl 8 (nach Dr. Lay).

00 00

7 + 1=8 6 + 2 = 8

8-1 = 7 8-2 = 6

usw.

usw.

usw.

usw.

GO 00 00

^ t\0 00

t-h    05

00 00 00

00 00 00

—vD ■ O

00 00 00

•-O '"O *"0

E. Die schriftlichen Lösungsarten der angewandten Aufgaben.

gelöst. Dabei wurde aber meistens nur das Ergebnis

1. Proportionssatz. Regeldetri. Die angewandten Aufgaben wurden sehr lange mit Hilfe der Proportion a : b = c : x; b • c

angeschrieben, und zwar auf Grund einer mechanisch angelernten Regel, der Regel von den drei Größen, der Regeldetrie. Sind z. B. die Aufgaben gegeben: 1. Was kosten 9 m, wenn 5 m 12 Mk. kosten, und 2. Wie lange brauchen 9 Arbeiter zu einer Arbeit, die von 5 Arbeitern in 12 Tagen beendet wird, so lautet die Regel: Schreibe die Größen der Reihe nach nebeneinander, das Frageglied hinten, „das ihm am Namen gleiche vorn“ und dividiere bei geraden Verhältnissen mit dem ersten,

2.    Die welsche Praktik. (Siehe auch Seite 72.) Kaufmännische Kreise und viele Schulen bedienten sich während des ganzen Mittelalters der welschen Praktik. Diese ist die Vorläuferin des Schlußrechnens ; sie besitzt einen hervorragend bildenden Wert, da sie jeden gedankenlosen Mechanismus aus-schließt und den Rechner fortwährend veranlaßt, sich zu besinnen, wie er die Zahlen am zweckmäßigsten zerlegt. Manchmal ist sie aber mit großen Umständen und Weitläufigkeiten verknüpft, sodaß sie in unserem Schulrechnen nur eine untergeordnete Rolle spielen kann. In den Handelsschulen steht sie aber heute noch im Vordergrund.

3.    Die Rees’sche Regel. Der Kettensatz. Vom Holländer Franz von Rees erschien im Jahr 1720 ein Rechenbuch, welches die Regeldetrie in neuer Form anwandte, die von nun an die Rees’sche Regel hieß.

Nach dieser werden die drei Zahlen so in einer Säule geordnet über- resp. nebeneinander gestellt, daß das Produkt der rechtsstehenden Zahlen durch die linksstehende zu dividieren ist. Wenden wir sie auf die in E. 1 genannten Aufgaben an, so erhalten wir die Ansätze :

2.    ? Tage 9 Arb.

5 Arb. 12 Tage

1.    ? Mk.

12 Mk.

bei umgekehrten mit dem dritten Gliede in das Produkt der beiden andern. (Siehe auch Seite 59, 68, 71.) Also:

; die 9 m kosten

1. 5 m 12 Mk. 9 m

12-9

Mk.

2. 5 Arb. 12 Tg. 9 Arb.; die 9 Arbeiter brauchen —

12*5

-— Tage.

5 m

12 • 9

Nun ist aber, wie uns schon ein flüchtiges Überlegen sagt, die zweite Lösung falsch, und man muß deswegen den Ansatz so schreiben, als ob nach der Arbeitszeit von 5 Arbeitern gefragt wäre. Es muß also heißen:

? Tage 5 Arbeiter 9 Arb. 12 Tage

12 • 5

Die Anwendung des Rees’schen Satzes auf die indirekten Verhältnisse ist demnach sehr gekünstelt!

Aus dem Rees’schen Satze ist der moderne Kettensatz hervorgegangen, der uns übrigens dem Prinzipe nach schon bei Leonardo von Pisa als reguła cata und bei verschiedenen anderen Autoren entgegengetreten ist.

Der Kettensatz eignet sich ganz vorzüglich zur Lösung von Problemen, die eine größere Anzahl Glieder enthalten, welche von einander abhängen. Er wird deswegen besonders in Handelsschulen gepflegt. Wir wollen die Dienste, die er zu leisten vermag, an folgender Aufgabe erläutern: Eine goldene Kette wiegt brutto 21 Gramm; sie ist 14karätig. Der Fabrikant schlägt 80°/o zum Goldwert und der Juwelier 15 o/₀ zum Fabrikpreis. Wie teuer ist die Kette heim Juwelier, wenn 1 kg Gold 2800 Mk. kostet?

Auflösung.

21 g Legierung, wenn 14 g Feingold enthalten, und 2800 Mk. Goldwert besitzen, und 180 Mk. Fabrikpreis sind, und 115 Mk. Juwelier verkauf gelten

? Mk.

24 g Legierung 1000 g Feingold 100 Mk. Goldwert 100 Mk. Fabrikpreis

100 Mk. Fabrikpreis =115 Mk. Juwelierverkauf

115

100

180

115 . 180

100

100 Mk. Goldwert

2800

= 130 Mk. Fabrikpreis = 115 . 130 100 • 100 115 • 130 • 2800

155 . 180

100

100 • 100

1000 g Feingold

= ebensoviel

115 . 130 . 2800

14

100 . 100 . 1000

115 . 130 • 2800 • 14

100 • 100 . 1000

24 g Legierung

= ebensoviel

115 . 130 • 2800 • 14

21

100 • 100 • 1000 • 24 115 . 130 . 2800 . 14 . 21

100 • 100 • 1000 • 24

= 51,30 Mk.

Nach der Rees’schen Regel beginnt man den Ansatz mit dem Fragesatz und reiht dann derart Glied an Glied, daß der nachfolgende Satz immer mit der Zahl beginnt, die die gleiche Benennung hat wie die letzte Zahl des vorausgehenden. Der Ansatz ist beendet, wenn das letzte Glied die Benennung vom Frageglied hat.

Die Auflösung erfolgt anfänglich nach den Regeln des Schlußrechnens, kann aber, sobald die Schüler mit dieser „logischen Lösung“ vertraut sind, durch die rein mechanische ersetzt werden: Die rechte Seite des Ansatzes bildet den Zähler eines Bruches, dessen Nenner aus der linken Seite besteht. Auf die Anwendung des Kettensatzes zur Lösung von Aufgaben mit indirekten Verhältnissen wollen wir nicht näher eingehen.

Es wurde von verschiedenen Methodikern geltend gemacht, der Kettensatz enthalte keine formalbildenden Momente und sinke zu einer mechanischen Regel, zu einer toten Form herab. Dem möchten wir entgegenhalten, daß schon das Anschreiben des Satzes ziemliche Anforderungen an die Verstandeskräfte des Schülers stellt; er muß vollständig in den Geist der Aufgabe eindringen, muß sie zergliedern, die von einander abhängenden Größen aufsuchen und entsprechend zusammenstellen. Das Gedächtnis hat hierbei wenig zu tun, es ist fast alle reine Verstandesarbeit. Und was ist dann die logische Lösung anders als ein fortwährendes Schließen von einer Größe auf die andere? Wenn das so sehr gerühmte Schlußrechnen „die Arbeit des gesunden Verstandes“, „die Verkörperung der geistigen Operation“ ist, so dürfen die gleichen Eigenschaften in noch weit höherem Maße dem Kettensatz zugesprochen werden. Eine andere Frage dürfte aber die sein, ob er nicht über die Bedürfnisse der einfachen Schulen hinausgehe, und diese wird zu bejahen sein.

4. Die Basedowsche Regel diente früher zum Lösen der sogenannten mehrgliederigen Zweisatzrechnungen. Z. B. für wieviel Pferde reichen 40 Zentner Heu 5 Wochen lang aus, wenn man mit 60 Zentner Heu 10 Pferde 3 Wochen lang füttern kann? Die Aufgabe wird zunächst in zwei Zeilen geordnet angeschrieben:

10 Pferde 60 Zentner 3 Wochen ? Pferde 40 Zentner 5 Wochen.

Basedow schreibt jetzt das Frageglied in die linke und das darüber stehende Glied in die rechte Seite des Rees’schen Schemas und legt sich nun die Frage vor, ob die 40 Zentner als Faktor oder als Divisor aufzutreten haben — je mehr Nahrung, desto mehr Pferde — d. h. 40 wird Faktor. Durch ähnliche Überlegung sieht er für jede Zahl nach, ob sie Faktor oder Divisor wird, und erhält folgenden Ansatz:

3 • 40.10

? Pferde 60 Zentner 5 Wochen

10 Pferde 40 Zentner 3 Wochen

= 4 Pferde.

5 • 60

Auch der Basedow’sche Ansatz stammt, wie der Rees’sche, direkt oder indirekt aus dem Werke des Leonardo von Pisa. Während aber der letztere seine Ansätze nur als reine Ge« dächtnisregeln gibt, treten sie jetzt als Folgen von Verstandesschlüssen auf.

5. Das Schlußrechnen. Der Zweisatz. Wenn man für 5 kg einer Ware 60 Pfg. bezahlte und möchte wissen, was 7 kg kosten, so wird man, wenn man auch das eigentliche Rechnen nicht besonders gelernt hat, aber die 4 Spezies notdürftig beherrscht, sagen :

Zahle ich für 5 kg = 60 Pfg., so kostet mich 1 kg = 60 : 5 = 12 Pfg. und 7 kg = 7 • 12 — 84 Pfg.

Bei dieser geistigen Arbeit ist die logische Tätigkeit die denkbar einfachste; auch das Gedächtnis hat dabei nichts besonderes zu leisten, da weder Regeln noch Ansätze nötig sind. Auch die Aufgaben mit indirekten Verhältnissen setzen weiter nichts voraus, als daß man ein volles Verständnis von den darin enthaltenen Dingen und Tätigkeiten besitzt, daß also Voraussetzungen erfüllt sind, die mit dem Rechnen selbst nur lose Zusammenhängen.

Diese Zurückführung auf die Einheit und der nachfolgende Übergang zur zweiten Mehrheit ist gewiß das Rechnen der verständigen Menschen aller Zeiten gewesen, wurde aber erst von der Pestalozzischen Schule in den Vordergrund des Rechenunterrichts gestellt. Dazu nötigte sie der zur Herrschaft gelangte formale Unterrichtszweck; der Schüler sollte von der Anschauung aus zu klaren Begriffen geführt werden, und es sollte das Kopfrechnen im Kernpunkt des Unterrichts stehen. Hierzu eignete sich aber das bisher übliche Schulrechnen nicht, wohl aber das Verfahren des gemeinen Mannes. Das logische Schließen von der Mehrheit auf die Einheit und von dieser auf eine zweite Mehrheit war also eine notwendige Folge ihres

ganzen Unterrichtsbetriebs. Eine äußere Form fand, resp. suchte, sie für ihr Schlußrechnen nicht, da sie überhaupt keinen Wert auf die Rechenfertigkeit für das praktische Leben legte. Soweit sie einen Ansatz anwandte, bediente sie sich der Proportion, und diese führt zur Bruchform des Regelrechnens.

Aus dieser Bruchform und dem Pesfcalozzischen Schlußrechnen entstand nun die Ansatzform, die unter dem Namen Zweisatz bekannt wurde. Es war der Karlsruher Seminardirektor Stern, der die Einseitigkeit des formalen Zweckes erkannte und neben der reinen Geistesschärfung auch den Anforderungen des praktischen Lebens gerecht werden wollte, und dem es im Jahre 1832 gelang, die Vorzüge des Schlußrechnens mit dem Bruchansatz zu verbinden. Er nannte seine Ansatzform Zweisatz, weil sie aus zwei Sätzen bestehe, dem Bedingungssatz und dem Fragesatz; sie ist eigentlich nichts anderes als eine übersichtliche Darstellung der Aufgabe in zwei Sätzen, wie wir sie bei Leonardo, bei Riese u. e. a. kennen gelernt haben. Auch Basedow, Busse 1808 und Schellenberg 1822 bringen sie, verbinden sie aber nicht mit dem Pestalozzischen Schlußrechnen, wie es Stern getan hat.

Die größten Verdienste um die Einführung des Zweisatzes erwarben sich Hentschel und Scholz, die ihn in ihre Rechenbücher auf nahmen und ihm dadurch die weiteste Verbreitung sicherten. So wurde der Zweisatz überall bekannt und geschätzt. Er fand aber auch Gegner. Zu diesen gehörten Diesterweg und Heuser. Diese schrieben: „Der Zweisatz ist ein zudringlicher Fremdling“. „Er bringt einen Rückschritt“. „Er verfährt mechanisch“. „Lehrt das Kürzen der Brüche mechanisch“. „Apage, d. h. weg mit ihm aus dem Bereiche der Lernenden“* Diesterweg wollte die Proportion, die Basedowsche und die Rees’sche Regel beibehalten wissen. Der bekannte Rechenlehrer Scherer hielt den Zweisatz für überflüssig, da man sämtliche bürgerliche Rechnungsarten, die für die Elementarschule in Betracht kommen, durch das einfache Schlußrechnen, ohne bestimmte Ansatzform, lösen könne.

Über das Schlußrechnen selbst, mit oder ohne Ansatz, herrschte am Ende des 19. Jahrhunderts nur eine Stimme: „Es ist die Elementarmethode, die keiner Vorübung bedarf; es ist die Methode der Praxis, die für alle Bedürfnisse des Volkes

ausreicht; es läßt das Ergebnis leicht und sicher finden und fällt nicht der Vergessenheit anheim“ usw. usw.

Werfen wir noch einmal einen Blick rückwärts, so sehen wir, daß in den letzten Jahrhunderten jedes einzelne einen bestimmten Ansatz bevorzugte: das 16. die Regeldetri, das 17. die welsche Praktik, das 18. den Kettensatz und das 19. den Zweisatz. Was wird uns das 20. Jahrhundert bringen?

Es wird behauptet, die gegenwärtige Methode des Schulrechnens dürfe nun als abgeschlossen betrachtet werden. Es sei die Methode, welche den unwandelbaren Gesetzen der Entwicklung des menschlichen Geistes wie dem Wesen des Lehrstoffes angemessen sei, und welche durch formale Bildung zugleich materiellen Gewinn für das Leben erziele. Weder das praktische noch das geistbildende Element dränge sich in ihr in den Vordergrund. Beide würden sich gegenseitig im richtigen Verhältnis durchdringen und beleben, zum Segen des gesamten Unterrichts. Dem dürfte entgegenzuhalten sein, daß auch in der Schule jeder Stillstand einen Rückschritt bedeutet, und daß gerade in der gegenwärtigen Zeit, in der die großartigen Errungenschaften der Naturwissenschaften so tief eingreif en in das Leben des gesamten Volkes, neue Pflichten an die Schule herantreten, welche ihr neue Arbeit bringen und es ihr deswegen stets warm an das Herz legen, immer Mittel und Wege zu suchen, dem jugendlichen Geiste die sich häufenden Arbeitslasten zu erleichtern. Sie wird in ihrem Bestreben auch wesentlich unterstützt werden von der bis jetzt noch in den Kinderschuhen steckenden experimentellen Psychologie, der in diesem Jahrhundert jedenfalls die führende Rolle in der Pädagogik zufallen dürfte.

Schluß. Fragen wir zum Schluß nach den in den letzten Jahrhunderten erprobten Leitsätzen eines rationellen Rechenunterrichts, welche in unsere Lehrpläne und Schulbücher übergegangen sind, so finden wir der Hauptsache nach folgende:

1. Die Schule hat den Zahlbegriff, den das Kind bereits mitbringt, zu klären, zu befestigen und zu vertiefen. Zu diesem Zwecke benützt sie Zahlbilder graphischer oder materieller Art.

2.    An diesen Zahlbildern sind in zweiter Reihe die vier Spezies im Prinzip einzuüben.

3.    Auch auf allen übrigen Stufen muß womöglich stets von der Anschauung ausgegangen werden ; die dezimalen Maßeinheiten (Längenmaße, Geld, Gewichte) sind als Anschauungsmittel ausgiebig zu verwerten, besonders im Dezimalrechnen und in der Bruchlehre.

4.    Die Ergebnisse der Anschauung sind unmittelbar in Übungen und Anwendungen zu verwerten.

5.    Rechenregeln werden nicht gegeben; falls solche nötig werden, sind sie durch Anschauung zu gewinnen und durch Übungen zu befestigen.

6.    Das mündliche Rechnen steht stets im Vordergrund der Übungen, es hat sich aber nur kleinerer Zahlen zu bedienen und dient zum Befestigen der als wahr erkannten Rechengesetze.

7.    Das schriftliche Rechnen ist in stetem Zusammenhang mit dem mündlichen zu behandeln.

8.    Auf allen Stufen ist der Lehrstoff der vorausgegangenen Stufen als Material für das Neue zu verwerten.

9.    Bei neuen Rechnungsarten ist immer ein Normal verfahren einzuhalten, bei dem man bis zur völligen Beherrschung zu verweilen hat. Erst dann ist es angezeigt, auf Kürzungen und Vorteile hinzuweisen.

10.    Mathematische Formeln, über deren Genesis der Schüler nicht sofort jederzeit Aufschluß geben kann, sind unzulässig, da ihre Anwendung nur Gedächtnis-, aber keine Verstandesarbeit voraussetzt.

11.    Der ganze Rechengang muß im einzelnen wie im ganzen genetisch abgestuft sein.

12.    Jede Rechenstunde soll richtiges Rechnen fordern und fördern.

Die Kernpunkte dieser Grundsätze sind in folgende drei .Forderungen kurz zusammengedrängt:

1.    Einsicht in das Verfahren.

2.    Übung bis zur Schlagfertigkeit.

3.    Anwendung auf das praktische Leben und auf die Fächer des Wissens.

¹

Es machten sich aber auch gegenteilige Stimmen geltend. „Die Zahlbegriffe stammen nicht aus Sinneseindrücken, sie sind das Ergebnis einer Erfindung, der Erfindung des Zählens.“ (Tanek.) „Die Zahlhegriffe stammen nicht von außen, sie entstehen durch eine schöpferische Betätigung des Menschengeistes.“ (Knilling.) „Es gibt keine Zahlenvorstellungen, sondern nur Zahlbegriffe, die Zahlen haben absolut keinen konkreten Beigeschmack.“ (Sachse.)

Register.

Fingerrechnen der Ägypter 15. Fingerrechnen der Griechen 27. Fingerrechnen der Römer 36. Fingerzahlen 39.

Flächenzahlen 31.

François Barême 75.

Fünfsatz 59.

Abacisten 48, 54.

Abakus 87, 63.

Abax 27.

Adam Riese 70.

Ahmes 14.

Alcbwarizmi 46, 47, 55. Aldschebr 48.

Alexandria 29.

Alfazari 46.

Algebra 49.

Algoritbmiker 48, 54. Algorithmus 48.

Algorithmus demonstratus 62. Algorithmus Linealis 68. Alkuin 61.

Almagest 35, 54.

Almansur 46.

Apices 40, 47.

Araber 45.

Archimedes 31.

Arithmetik 31.

Artabastes 35.

Aryabatta 44.

Atelhart von Bath 48, 54.

Balthasar Licht 68. Basedowsche Regel 95. Beda 51.

Beetz 90.

Bernelinus 53.

Boëthius 39, 62. Bhaskara 44.

Borgi 85.

Brahmagupta 44. Briggs 78.

Bürgi, Joost 78, 84.

Cassiodorus 88. Clausberg 77.

Chufu 11.

Christof RudolfF 70.

Dezimalbrüche 49, 70, 74. Duodezimalsystem 9. Diesterweg 97.

Dinter 87.

Diophantos 35.

Division, komplementäre, 39. Doppelwertigkeit 10. Dreieckzahl 31.

Dreisatz 59.

Ed fu 14.

Edikt von Kanopus 34. Exibi 17.

Elemente 32. Eratosthenes 33.

Euklid 29, 32.

Gelenkzahlen 39. Gersbach 91. Gobarziffern 47. Grammateus 69. Gregor Reisch 68. Grube 90.

Cafra 11. Calculus 37.

Harnisch 69.

Harun Arraschid 46.

Mischke 48.

Multiplikation, symmetrische 58.

Paskal 74.

Pescheck 77, 86.

Pestalozzi 87.

Petrus Apianus 70. Petzensteiner 65. Philantropen 75.

Pietisten 75.

Pitiskus 85.

Polybius 28.

Positionsarithmetik 42, 64. Probe: Elferprobe 56.

Neunerprobe 44, 56. Siebenerprobe 56, 67. Reziprokeprobe 70. Proportion 32, 45, 92. Ptolemäus 35.

Pythagoras 30.

Quadratzahl 31.

Quadrivium 39, 62. Quinarsystem 8.

Radulf 54.

Raitpfennig 64.

Realschule 75.

Rechenbank 64.

Rechenbrett der Ägypter 15.

„ Babylonier 23. „ Chinesen 25.

„ Griechen 28.

„ Römer 37.

ii

Haurechnung 14. Hecker 76.

Heer 91.

Heinrich Schreiber 69. Heinrich Stromer 68. Henry Briggs 78. Hentschel 97. Hermanus 58. Herodianus 26. Hik-Schus 11. Hieroglyphen 11. Hoffmann 89. Humanisten 75. Hübsch 77.

Inder 42.

Isidor 50.

Jahr, das ägyptische 34.

„    „ babylonische 18.

„ römische 37. Jakob Köbel 69.

John Neper 74.

Johann von Landshut 68. Johannes Huswirt 68. Johannes von Luna 83. Jordanus Nemorarius 61. Joost Bürgi 78.

Karl der Große 51, 64. Kaselitz 90.

Kaspar Paucer 74. Keilschrift 20.

Kepler 78, 84. Kettensatz 93, 94. Knillin g 89, 90.

Körner 90. Körperzahlen 31.

Kufa 46.

Lay 91.

Leibnitz 78.

Leonardo von Pisa 55. Linearzahlen 31. Logarithmen 74. Logistik 31.

Mena 10.

Michael Stiefel 73.

Napier 74, 78. Neunerprohe 44, 56. Newton 78. Niemeyer 87. Nikomachus 84, 62.

Odo 52. Oktaden 33. Overberg 87.

ii ii

Rechenknecht 37. Rechenpfennig 64. Rechentabellen 37.

.Rechnen auf der Linie 70, 71. Rees 93.

Regel detri 35, 44, 45, 59, 68, 71, 92. Regula 59.

Regula cosse 68.

Regula falsi 15, 44, 71, 72.

Regula kota 59.

Riese, Adam 70.

Rudolff 83.

Sachse 89. Sandrechnung 33. Sanskrit 43.

Sargon 18.

Scherer 97. Schlußrechnen 96. Scholz 97. Sechzigersystem 9. Semler 75.

Sexagesimalsystem 19. Sidonische Waren 17. Siebenerprohe 56, 67. Siebproblem 34.

Simon 74.

Sindhind 46.

Sosigenes 34.

Spener 75.

Stein von Rosette 12. Stellenwert 10, 43. Stern 89, 90, 91, 97.

Stevin 83.

Su Meru 9.

Surya Siddhanta 42. Swan pan 22, 25.

Tafel von Salamis 28. Talent 18, 28.

Tanek 89.

Theon 30, 35.

Tillich 89, 91.

Trivium 38, 62.

Türk 89.

Tzwivel 69.

Ulrich Wagner 65.

Yieta 85.

Yigesimalsystem 8. Yictorius 37.

Wallis 74.

Weigel 74.

Welsche Praxis 59, 71, 73, 93. Widmann 66.

Wolf 76.

Zahl, Begriff der, 7, 89. Zahlensysteme 79. Ziffern werte 10, 43. Zweisatz 97. Zwölfersystem 8.

HOF-BUCHDRUCKEREI FRIEDRICH QUTSCH, KARLSRUHE.

Universalapparat Zepf

Lehrmittel zur Einführung in die Grundlehren vom

Elektrischen Strom

Professor C. Bopp’s Verlag Stuttgart.

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Fig. 1.

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Fig. 2.

Fig. 3.

wurde von verschiedenen Behörden amtlich empfohlen und auf der Ausstellung in Baden-Baden mit der goldenen Medaille ausgezeichnet. Eine große Anzahl Atteste betonen die vorzüg-liehen Dienste, die er I im Unterrichte zu I leisten vermag.    w

Der Universalapparat Zepf

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Es sei an dieser Stelle nur auf das beistehende hingewiesen :

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Mit Ihrem Apparat bin ich sehr zufrieden. Alle einzelnen ^

Teile funktionieren ä4| tadellos und entsprechen nach Dauerhaftigkeit undJAnschaulichkeit auch hochgestellten Anforderungen. Die vor den Augen der Schüler ermöglichte Zusammenstellbarkeit der verschiedenen Maschinen weckt und erhöht tatsächlich das Interesse der Schüler und regt auch den Nachahmungstrieb in fruchtbarer Weise an. Partien, die sonst ein Wochenpensum ausmachten, lassen sich mit Ihrem Apparate und Ihrer Methode in einer Stunde abmachen.

St. Bernards-Kolleg Meherau.

P. Stephan Weixer, Direktor.

Wie die Erfahrung lehrt, besitzen im naturwissenschaftlichen Unterricht diejenigen Experimente und Demonstrationen den größten instruktiven Wert, welche auf die einfachste Art, mit den primitivsten Hilfsmitteln, in Szene gesetzt werden können. Auf diese Weise liegt es ganz in der Macht des Lehrers, die Aufmerksamkeit der Schüler auf die Erscheinung an sich, auf deren Ursache und Wirkung zu lenken, ohne befürchten zu müssen, die Hilfsmittel drängen sich in den Vordergrund des Interesses. — Ausgehend von dieser Erkenntnis hat der Unterzeichnete in seiner langjährigen Praxis vorwiegend mit Apparaten gearbeitet, deren Bestandteile er selbst herstellte und die dann einzeln oder in Zusammensetzungen funktionieren mußten. Auf diesem Wege entstand für die Lehre vom elektrischen Strom der Universalapparat Zepf. Nur für die eigenen Bedürfnisse konstruiert, wurde er infolge äußerer Anregung vor etwa 10 Jahren auf den Markt gebracht. In der Zwischenzeit war der Herausgeber stets bestrebt, ihn zu verbessern und für Unterrichtszwecke immer brauchbarer zu machen. Heute liegt er nun in einer Form vor, die nach dem einstimmigen Urteil seiner Käufer den weitgehendsten Ansprüchen Genüge leistet. Hinsichtlich seines Umfanges gestattet er, die gesamte Lehre vom elektrischen Strom, soweit sie für die Mittelschule in Betracht kommt, zu entwickeln, eine Erscheinung aus der andern hervorgehen zu lassen und einen Apparat in den andern überzuführen.

Ausgehend von der Erscheinung, daß der stromdurchflossene Leiter Eisenfeilspäne anzieht, also magnetisch ist, werden die magnetischen Eigenschaften der Drahtrolle und die des Elektromagneten vorgeführt ; diese werden dann in Verbindung mit verschiedenen anderen Teilen zum Aufbau vieler Apparate und Maschinen benützt. Dann dienen sie zur Entwicklung des Begriffes „magnetisches Feld“. Es werden mit Hilfe des Apparates Fig. 1 (und des Stabmagneten Fig. 2) die Eisenstaubkraftlinien a) ungleicher, b) gleicher Pole vorgeführt und zwar 1. in der zur Polachse senkrechten, 2. in der zu ihr parallelen Ebene. Setzt man nun die Polschuhe auf die ungleichen Pole der Magnetschenkel des Apparates Fig. 1, so läßt sich das „homogene magnetische Fe 1 da sehr hübsch vorführen. Auch die für die Magnetinduktion so wichtige „Permeabilität⁴⁴ wird mit Hilfe eines auf Holz auf geschraubten, kurzen Eisenstäbchens, das man im magnetischen Feld des Apparates Fig. 1 mit Karton bedeckt, auf den man Eisenfeile siebt, gezeigt.

In zweiter Reihe wird dann die für die Praxis so wichtige Wechselwirkung zwischen Magnetpol und stromdurchflossenen Leiter zur Erscheinung gebracht (mit Hilfe des Apparates Fig. 2) und durch eine, von allen Seiten anerkannte Regel, die der Verfasser auf gestellt hat, für das Gedächtnis fixiert. Die gewonnenen Resultate bilden nun die Grundlage für den Aufbau und die Wirkungsweise des Gleichstrommotors (siehe Fig. 8), des Solenoidampermeters, des Galvanoskops und der Tangentenbussole.

Im Anschluß an die magnetischen Eigenschaften des stromdurchflossenen Leiters werden dann die dynamischen Wirkungen zweier Stromsysteme vorgeführt mit dem Hinweis auf die Wirkungsweise der Induktionsmotoren.

Mit Hilfe zweier Drahtquadrate und eines Telephons resp. des Galvanoskops, wird die Lehre von der Elektroinduktion eingeleitet; eine kleine sinusoidale Wechselstrommaschine, bestehend aus einigen Drahtwindungen und einem drehbaren Stabmagneten, dient zur Einführung in die Magnetinduktion. Im Anschluß an diese Erscheinung wird eine neue Magnetinduktionsregel abgeleitet, die vom Lauf der magnetischen und kreisförmigen Kraftlinien aus die Richtung des Induktionsstromes für alle Maschinen und für alle Verhältnisse leicht und sicher — ohne alle Manipulationen — auffinden läßt. Diese neue Induktionsregel wurde überall anerkannt und fand großen Beifall. Nun wird auf das Gestell Fig. 1 die Gleichstrom-, die Wechselstrom- und die Drehstrommaschine aufgebaut. Im Galvanoskop und im Drehstrommotor kommen die entsprechenden Induktionsströme zum Ausdruck. Am Drehstrommotor wird vorher mit Hilfe eines Batteriestromes der Begriff

„Drehfeld“ erläutert. (Ein hängender Magnetpfeil wandert im Kreise herum; dasselbe ist der Fall mit borstenförmigen Eisenstaubgebilden, die auf den Polen des Kingmagneten entstehen.) Daß auch die Bestandteile der Meßinstrumente im Universalapparat Zepf enthalten sind, soll nebenbei bemerkt werden. — Auch die Wärme- und die chemischen Wirkungen können schön zur Vorführung gebracht werden. — So bringt z. B. der Apparat zur Erzeugung des „Bleibaumes“ die Wanderung der Jonen in vorzüglicher Weise zum Ausdruck.

Zum Schlüsse wollen wir nochmals hervorheben, daß in dem Universalapparat Zepf die einzelnen Apparate nicht fertig vorliegen, sondern daß sie während des Unterrichtes vor den Augen der Schüler — und auch von diesen selbst — aufgebaut werden müssen. Dadurch werden die Schüler mit Bau und Wirkungsweise spielend vertraut. Dann haben die Bestandteile in den verschiedensten Zusammensetzungen und bei den verschiedensten Apparaten immer wieder Dienste zu leisten. Daraus ersehen die Schüler in sehr auffälliger Weise, daß der neue Apparat und die neue Erscheinung auf das Engste Zusammenhängen mit Apparaten und Erscheinungen, die dem Verständnis bereits erschlossen sind.

Der Unterzeichnete hat seinen Apparat schon wiederholt in öffentlichen Vorträgen benützt. Er möchte an dieser Stelle nur auf zwei hinweisen, die er seinerzeit in Ereiburg hielt.

Darüber berichteten u. a. die Zeitungen :

„ . . . . Herr Zepf verfügte über eine große Zahl hochinteressanter, eigener Apparate, die durchweg vorzüglich funktionierten, so daß er seine Zuhörer jeweils bis zum Schlüsse seiner mehr als zweistündigen Vorträge in Spannung erhielt, ja sie geradezu zu fesseln verstand.“ . . .

Freiburger Zeitung (Über Vorträge, die im Freiburger Gewerbeverein gehalten wurden).

. . . Der dichtgefüllte Saal lauschte mit der gespanntesten Aufmerksamkeit den 2 inständigen, hochinteressanten Ausführungen des Vortragenden, der mit großer Gewandtheit die verschiedensten Apparate und Maschinen entstehen und arbeiten ließ.“ . . .

Breisgauer Zeitung (Über Vorträge im Lokalverein der Vorstadt Herdern).

Mit dem 1. Oktober d. J. geht der Verlag des Universalapparates Zepf an die Firma Professor C. Bopps Verlag in Stuttgart über. Diese läßt ihn in den Präzisions Werkstätten ihres Verlages anfertigen und ist zu allen weiteren Auskünften gerne bereit.

Die illustrierte Preisliste mit einer kurzen, schematischen Entwicklung des Lehrstoffes kann von dem neuen Verlag gratis und franko bezogen werden.

Karlsruhe i. B., den 26. September 1907.

H). Zepf.

Perlag kr gjofImdjIjanMuug Irirkiit) töutfd) in iarinruijr

Sammlung vaicvl unb gcfcfû^U. Styaufpieie 311 Sd?üler*Kupl)rungen an Ulittelfcfyulen. Die Ąeimfefyr. DramatifĄes Bilb aus Babens Dergangenfyeit. 2. Der Klausner t>on (Serolbsau. Dratnaiifdjes Bilb aus Babens Vergangenheit. 3. Die Hadj* barn. 4. Œfyeobor Körners le (3 te (Tage. S3ene aus ben Befreiungsfriegen. 5. Die Köhler non geringen ZIacfy einer Sage aus beutfdjer Dor3eit. Sämtliche r>on K. Bücfyle

6. Der Sd} m i e b v 0 n B u l a. Dramatise Dichtung oon £eopolb Kip cf e. 3ebes bjeftcfyen brofcbiert 50 pfennig.

Ąeft \ —5 elegant gebunben in einem Banb IÎÎ. 3.—. Bcfon* bers geeignet 311 Sd}üler*prämien.

3eber Schulleiter wirb es fdjon empfunben haben, rote gering bie i>on patriotifd?en ^ejlfpielen ift, bie fid? 3ur Aufführung burd? Sd?üler au unter* Iänbifd?en Feiertagen n?irflid? eignen ; unb foldje Aufführungen tuerben bod? bem üortrag epifdjer unb lyrifcfjer (Schichte infofern mit Hecht uorge3ogen, tueil fie, luenn leiblich gelungen, in entfd?ieben ^öijcrem ©rabe ^eftfHntntuurj 311 er* 3eugen imftanbe finb, unb tueil fie für bie Darfteller einen eigentümlichen, nicht gering 311 fdjäßenben er3iehlid?eu lüert haben. Dem be3eid?neten tTlangel tuirb nun burd? obige Dichtungen abgctjolfen, bie fo redit ben ber h*ramuachfenben Jugenb gemäßen (Ton treffen unb ber Davfiellung feiucrlei f3enifdje Schmierig* Feiten bieten.    (Das bumnnißifche ©ymnaftum. 1904. VI.)

SopÇotte*’ lEragöbien. Überfefct uon <5. IDenbt. 2. Kufi. (. Kias. — 2. Kntigone. — 3. (Eleftra. — 4. (Dbipus. — 5. Die CErad) inierittnen. — 6. Pfyiloftet. — 7. (Dbipus auf Kolo nos. preis: (Ei^elbänbdjen fart, in 0rig.*Decfe je UI. (.50. Hr. (—7 auf ftärferem Papier in 2 Banbe vereinigt, eleg. geb. (SefdjenFbätibe UI. (o.—.

Attläßlid? ber 3ubiläumsfeicr bes Aonftan3er ©ymnaftums (1904) mürbe uon Sdjüleru lüenbts Antigone 3ur Aufführung gebracht, u?03u bie Aonftan3er ttad?rid?ten bemerfen : IDenbt ift beFanntlirh ein anerfamtter UI elfter auf biefem ©ebiete. Überall fmb bie antifen ZTletra im luefentlichen beibehalten, fobaß bas eigenartige ©epräge ber alten Dichtungen glücFIidj erhalten ift, ohne baß im geringften ber Spradje ©eioalt angetan tuirb. Außer einer allge* meinen (Einleitung über bas ZDefen ber antifen ©ragöbie orientieren 3iemlich ausführlich gehaltene Dorbemerfungen unb Fußnoten über bie fjenifth* €in* rid?tung, foruie über alles 311m Derflänbnis unb richtiger ÎDürbigung ©rforber» Iidje. Drttcf unb ©inbanb finb prächtig.

Heben aus ber Schule unb für bie 64>ule. Don <S. IDenbt. Bro* feiert ITT. 2.50.

Deutfcfces £efebu<$. Don <5. IDenbt. (. (Teil für bie beiben unteren Klaffen ber (Symnafien unb Kealfcfyulen. 5. Kuflage. (5e* bunben ITC. (.50. 2. (Teil für bie Quarta, Œertia unb Unter* fefrmba ber (Symnaften unb KealfĄulen. Kuftage. UI. 2.50. 3. (Teil für bie Qberfefunba unb prima ber (Symnafien unb Kealfdjulen. 2. Kufïage. (Sebunben UI. 3.50.

©ebäc^tnisrebe auf Cubwig Uftlanb. Don prof. Dr. Kl b. ID e cf eff er. (geheftet 50 pf.

Unterfu($ungen 3ur ©eograp^ie ber (Dbpffee. Ulit Kbbilbungen unb Kärtchen. Don Prof. Dr. <5. £ang. (gefy. UI. 3.—.

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Die örofd?ürc richtet fleh im tuefentlidjen gegen Prof. Dr. ÎÜ. Dörpfelb, ber beFanntlid? bas honterifche 3U?aFa im 1^**9™ CeuFas tuiebererfennen möchte.

Perlag ber gofbttdjljanblung Iriebridj (Ümtfii) in fiarlsrulfe

Schiller-Spruchbüchlein. Enthaltend die bemerkenswertesten Kernsprüche unseres volkstümlichsten Dichters. In bunter Decke mit Schiller-Silhouette kartoniert 60 Pfg. Sinniges und sehr nettes Geschenkbüchlein, auch für Konfirmanden und als Erinnerungsgabe.

Der ungenannte (Seleljrte, ber bie ^ufammenftellung porgenommen fyat, fudjt befonbers Schiller als perfönlichfeit burd? feine Sprüche 311 3eidjnen, 3U» bem aber aud? jur prüfenden Selbflbetradjtung auf3uforbern. Die Husmahl ifl feinfinnig getroffen unb erfüllt ihren 3u?ecF in erfreulichfler lüeife.

(Sübtpcflbeutfche Schulblätter, 1905 Hr. 2.)

(fiuettenfammlung 31t Stiller* IDil^eim £eU. Don prof. Dr. <Ebm. t>. Sallmürf. Kartoniert 50 Pf.

(Eine porçüglidje Kuslefe aus ben tr»id?tigflen Quellen, aus betten SdjiHerfür feine Dichtung gefdjöpft hat* Hechtfehreibung unb 3nterpunftion ftttb tn ben 2tus3ügen getreu bem (Original bemalet toorben, tr>as bem Stubium einen be* fonberen Hefy perleiht. (Ein fu^es U)örterper3eichnis gibt über Sachen unb Perfonen ben nötigen Huffdjlufj. Das Büdjleitt eignet ftd? fornohl 311m ©e* brauch für bie Schulen, als audj für pripate Ceftüre.

<ß. Iboratiuô plaçais* Satiren. Überfetjt t?on prof. Dr. Hermann £ubmig. Kartoniert IÏÏ. 1.20.

Jm Seiten Biôtuardô. geitgebtcfyte unb polittfcfye Stimmungsbilber non Hobert ^aa§. ÎÏÏit einem £enbacfyfcfyen Btsmarcfbtlb. Büttenpapier, ^ein geb. IÎÎ. 2.-.

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Das fmb Fraftpolle, hcr3?rfreuenbe Klänge, erfrifcbettb unb retnigenb tpie Sturmestpel^en in beutfdjent (Eidjenrualb, mit bem Hobert ^aa§ bas Hnbenfen bes (gewaltigen pont Sachfenroalbe in bit^yrambifdjem SdjtPunge perherrlidjt. ©elegenfyeitsgebidjte im bellen Sinne bes IDorts, entflanben unter ben politifdjen (Einbrücfen ber lebten 3ebn 3<*hre unb 3itfammengel)alten, audi ba, tvo fie nicht Bisntarcf rebett, burd? bie gemeinfame ©runbflimmung, bie, tpie ber Der* faffer Fühnlid? fagen barf, „piele Caufenbe mit ihm teilen". tOer mit ben Dich* tungen, insbefonbere ben i^errlidjen Schrpar3rpalbgefängen pon Hobert Haa§ befannt ifl, ber tueift, bafj mir in ifym einen Cyrifer pon ausgefprodjener €igen* art beft^en; ba ifl nichts pon Schablone, nichts pon fonpentioneüent Bersge* flingel, ba ifl flarfes inbipibuelles €mpftnben unb urfprürtgltdje Kraft, bie in eigenen, djarafteriflifdien (Tönen aus bem 3unerflen brid?t. (Ein Sprüchlein pon Jütten ifl porliegenbem Büdjlcin als Depife gefcfct: unb in ber Cat gemutet es uns, als ob ein £?aud? pon Huttens n?ahrl}eitîünbenbem ^euergeifl uns berührte, roenn bie Bismardlieber pon Hobert Haaft an unferm Q)t\xe porüber3iehen. Hücffld?tsIos unb Fübn, pon h^üigent Begeiflerungs3orne burdjglüijt, branb* tnarft ber Dichter, inbem er bie politifdjen <Erfd?einungen bes letzten 3ahr3e^?nts überfdjaut, bie Schwächen, Halbheiten einer §eit, bie, ängfllid? nad? Vorteil unb Hüt}lid?Feit fdjieleub, in erbärmlicher Ceifetreterei unb fnedjtifchent Streber* tum ben 1Hnt unerbittlicher IDahrheit unb unbeugfamer Über3eugungstreue oft« mais 3U perlieren brol?t.

Lyrische Gänge durch Baden und Fest-Akkorde. Von Th. Keller. Broschiert M. 1.—, geb. M. 1.50.

(Eine Heilje feinftnniger Haturfchilberungen aus ber babifchen He*mat ifl es, tpas ber Derfaffer in anfpredjenber (5ebid?tform feinen Cefern bietet; eine ^ülle lieber (Erinnerungen unb Hnregungen ift in biefer intimen poefte für ben Hatur* unb Daterlanbsfreunb enthalten. Der 2. (Teil bes lüerfchens „^efl* afforbe" enthält eine Hethe patriotifdjer (Sebichte, bie fidj 311m Ceil auf ben ©roffherçog unb bas 3ubelfeft be3ieljen unb fld? ebenfo, tpie bie He*mats* fd?ilberungen, für bie Schulbeflantation fehr tpohl eignen bürften. — Die Hus«

flattung bes IDerFchens ifl hübfdj unb gefällig.

CKonflan3er 3eüung.)

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in itirlerube

0tÄ5te ber Heimat. (Sebidjte non Peter Sàim\\ba&i, (Sefyeftet ÏÏÏ. j.50, elegant gebunben ITt. 2.—.

Sdjnellbad? t)at jtd? als bürgerlicher Dichter einen Hamen unb Unerfennung außerhalb unfrer ^eimat uerfd7afft. Die fefe ©erabheit feines ÎBefens, feine ehrliche Begeiferung unb fein Ha§ gegen bie Hiebertrad?t in jeber ^ornt machen il?n 3um ^reunbe jebes liberal gef nnten ÎÏÏannes. So fnb aud? feine neuefen ©ebid?te 3um preis ber feintât noll inniger Ciebe 3U bem £anb ber Freiheit, als bas wir unfer liebes Baben rühmen bürfen. Die ^orm if bei Sc^neUbad? immer tabellos nnb nerfaüt nie ins ©rioiale. Daburd? werben uns aud? manche ©ebid?te lieb, beren 3ni?alt an fd? uielleidjt bes Sangs nid?t wert wäre. Dilles lief f d? in ber be^erwärmenben Sd?Iid?tbeit äufjerf gemütlich unb anf?eimelnb. So biibet bas fefyr gut ausgefattete Bänbdjett eine ©abe, für bie bie Sd?ule wie bas ^aus giełd? banfbar fein werben, ITlit ber Sammlung bes Kollegen Hofmann (©ebid?te 3ur ^eimatfunbe Babens) 3ufantmen wirb es bem eifernen Befanb einer babifd?en Sd?ule ftd? einreiljen.

(Sübwefbeutfdje Sd?ulblätter, Hr. JO.)

©ebi$te 3Ut* Ibeimatfunbe Habens, t?erausgegeben r>on Profeffor Dr. Karl ßofmann. (Sefy. IÏÏ. *.20, geb. Ht. *.50. Seiner KönigL £?ofyett bem (Srogfye^og ^riebrtd? ron Baben gemibmet.

Kud? bie, a>eld?e jenen fdjönf en tEeil Deutfd?Ianbs nid?t iljre ^einiat nennen, werben bas Bud? mit ^reube Iefen. Da Hingt unb fingt es oon Klt*^eibelbcrg, ba raufdjt ber Schwarçwalb, ba wanbern wir bie ent3ücfenbe Bergfrajje, wir rafen im ©benwalb, es grüßen uns bie Burgen, unb bas ©emäuer ersäljlt uns wunberbare Sagen unb ©efd?id?ten. Unb bie ©efd?id?te biefer (Saue, benen wir alle etwas £?eimatsfe!?nfud?t entgegenbringen, burd?Ieben wir in aus* gewählten (Schichten. IHit glücflid?em (Sriff bjat ber Sammler hier eine Perlen* fette fdjöner (Sebidjte aneinanbergereil?t.

(Heue preußifd?e (Kreisleitung Br. nom 20. September J903.)

Copobunum^abenburg bis |$g$. (Eine ad^efynfyunbertjäfjrige Stabtgefcfyidjte. Don K. 3- Siet)ert. IHit Kbbtlbungen. <Seb. ITCarf <*.—♦

„Kuf ad?t3et?n 3al?rl?unberte gefd?idjtlid?er ©ntwicflung 3urücffd?auen 3U bürfen, bas if ein Borred?t, bas nid?t oiele Stäbte auf bem rechten Ufer bes HI?eins in Knfprud? nehmen fönnen." Das if richtig, £opobununt erhielt nâmlid? i. 3- 98 oon ©rajan als Borort ber civitas Ulpiana Stabtredjte, unb 3aI?Ireid?e ^unbe aus römifd?er Seit gewähren bas Bilb einer belebten <Sren3* unb Beamtenfabt. Dann taud?t ber Rieden unter ben Hterowingern als Königspfal3 wieber auf unb I?at, 3wifd?en geiflid?en unb weltlichen (Sewalten unb nahe an ber Bergfraße gelegen, eine ungemein bewegte Bergangenl?eit, oftmals ber Sd?auplatj wilber Kämpfe bis 3um babifdjen Kuffanb t8^8 unb immer ber treue Spiegel ber auf* unb abfeigenben uaterlänbifdjen ©efd?icfe. Sieuert ébahit bas muferl?aft lebenbig, aus ben Quellen fd?öpfenb unb bod? nie troefen, gefd?icft bie tDelthänbel mit ber (Drtsgefd?id?te oerbinbenb.

(ÏÏTonatfd?rift für (Sottesbienf unb fird?I. Kunf *90$, Heft 5.)

HarteruÇer «Erinnerungen unb Mnfc&e. Don £. r>. pe3oib. (Setj.

IÏÏ!. .

Die Ortsnamen des Großherzogtums Baden. Ein Beitrag zur Heimatkunde. Von Prof. Otto Heilig. Geh. M. 8.—, geh. M. 8.60.

Das ÏDerf wirb in erfer Beü?e ein brauchbares Hilfsmittel für bie Han& bes £el?rers fein, ber ja im beutfdjen, gef(hid?tlid?en, geograpljifchen ober natur* funblidjen Unterricht k^ufg (Selegenkeit nehmen mu§, ketniatliche Hamen* funbe 3u treiben. Doch fann bas Bud?, ba es gemeinfafjlid? gefdjrieben if, aud? allen fonfigen ©ebilbeten empfohlen werben, bie f d? auf bem ©ebiete ber ©rtsnamenfunbe Bats holen wollen. 3tts&*fonbere foHte jebe ©emeinbe, jebe Bolfs*, jebe Sd?üIerbibIiothef fd? bas Bud? anfd?affen.

ütriiig kr iofbaiij^atiMnng Iriföridj fôulMi in änrlöruljE

îüanbfarte be* Greifes Karlsruhe mit ausgefdjriebenen unb mit ab* gefügten ©rtsnamen. Gearbeitet r>on Heallefyrer Karl Hub. Gürtel. iïïagftab 50000. preis aufge3ogen ÎÏÏ. \o—.

Jttt fllai. CEirt Strängten Sdjneeglöcfdjen, Primeln unb Pftngfi* nelten aus bein Sdjma^œalb non îDilfy. Kämmerer. ©itelbilb r>on Prof. ÎD. f? a fern a ntt in (Sutacfy. Grofcfy. ÎÏÏ. . geb. ÎÏÏ. t-50.

3%inger im Dieuft fur laifer unb Heicf). ^iftortfdje ^eftfdjnft non prof. î)r. K. Brunner. Heidj illuftrtert mit Gtlbern non f?ans ©fyoma, (Çerb. Keller, Hntoti non îDerner u. a. Grofcfy. 50 Pfg.

„Das Befe an ber (Sefdjidfe if bie Begeiferung, bie fte erwecft". Un btefes IBort bes KItmeifers (Soetfye würben wir erinnert, aïs wir biefer Cage ein neuerfcfyienenes îBerfcfyeit 3111- ^anb befamen, bas jugleid? eine ^ffd?rift 311m 9. unb 20. September barfeilt. Betitelt if es: „geringer tnt Dienf für Kaifer unb Heidj", unb Berfaffer if Prof. Dr. Brunner fyier. 3« feffelttbcr Krt 3eigt bie Sdjrift, voie es befonbers ^ marfante Perfônlid?feiten bes geringer (Se* fcfyledjts waren, bie in fdjwerer gett aïs fernbeutfdjelïïcinner bas tualjre nationale 3ntereffe 3U förbern bemüfyt waren. <Es waren bies: Fne&nd? non Baben, ber Kampf* unb Cobesgenoffe bes lebten Staufers Konrabin, bann ber friegs* gewaltige ÎTlarfgraf Cubwig îDiltjelm, ber Cürfenbefteger, ber eble Ularfgraf unb (Sroftfye^og Karl (Çriebrid} unb enblid? unfer <SrofI}er3og    ^er

„gute (Senius Deutfdjlcmbs", ber in ber (Einigung Deutfdjlanbs unb bem Kuf* bau bes neuen Heitres eine Hauptaufgabe feines Cebens fal). galfreidje, mit (Sefdjntacf ausge wählte uttb oortrefflidj reprobu3ierte Büber non £)aits Cljoma, Ferb. Keller, Knton r». tüerner, Fe°b°r Ote^ u. ct. begleiten erläuternb ben Cert unb ftitb eine gierbe bes Budjes, beffen Preis — nur 50 Pfennig — entfd?ieben als billig 31t be3eid?nen if. U>ir wüttfcfyen bem gebiegenen Bud?, bas feinem Berfaffer alle Cljre madjt, weite Berbreitung.

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Die „Freiburger geitung" nennt bas lBer!d?en . . . eine feifige unb ge* wiffenljafte Krbeit . . . IBenn aud? in erfer £inie für ben Selbfunterridjt befintmt, if bas Bud? bod? gewifj aud? itt faufmännifd?en Fori^Ubungs* be3w. Hanbelsfdjulen mit Crfolg 3U uerwenbett.

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5tuô öev Jugenö3eit berühmter UTäuner. Ztad? Selbfoeugmffen unb artberen gleid^eitigen (Quellen bearbeitet uon prof. Dr. Karl Brunner. 3nfyalt: DIänner ber Œ a t: Katfer ÏDilfyelm I., Btsmarcf, Xïïoltfe, Hettdbecf. IÏÏanu er b es IDortcs: Krnbt, Seume, (Sortie, Scbtüer, Körner, 3mmermann, Brüber (Srtmm.

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Das Bud? penpirflid?t einen ©ebanfen, ber allgemeine Beachtung in Ein* fprud? neunten barf .... <Etn foftbarer Sd?aß für (Eltern unb (Erjtefyer, gleid?3eitig eine gefdjichtliche Quelle erften Banges .... €s ift unterbaltenb unb in hohem ©rabe perebehtb sugleid?, eine gierbe bes beutfdjcn £)aufes.

(Oglid^e Bunbfdjau, l?. XII. 05).

Das Bud? ift eine ber erfreulichen €rfd?eiuungen auf béni Büd?ermarfte, unb ber Berfaffcr toar ber red?te îtlann, bas jufammemuftellen, was an ftd? groß ift unb barutu oon felbft er3ichenb unb bilbenb rpirft.

(Dolfsbilbuug, 36. 3<ihr9- 23r. 13

(Bab. €anbes3eitung/ \2. XII. 06.)

€in berrlid|es ïDcrf . . . befonbers für bie reifere 3u9^b gefdjrteben, bamit fie baraus eine ^ûlle non Begeifterung fd?öpfe für ifyr liebes Baterlanb, tPte für alles (Eble unb <Erl7abene überhaupt."

„(Ein edfter ^reunb, ein gemütretdjer ©^ieher, ein liebenstperter £ehrmeifter."

(Babifd?e preffe.)

Born babifd?en (Dberfchulrat unb pom preußifd?en Unterrichtsminifterium amtüd? empfohlen.

Die Stellung bes <5äftli<$en 3ur wirtfctyaftl. Bewegung ber ©egen= wart. Von Dr. (Ernft £ef|manit. (Sei). 40 Pfg. ïleue Cieberfammlung 311m (Sebraud) in erweiterten Dolfsfdjuten, Bürger^ unb Ocfyierfdjulen, in ben unteren Klaffen ber IÏÏittel= fd^ulen unb in präparanbenanftalten. ^erausgegeben non Ejeinrid) E?öntg. Brofdjiert 50 pfennig.

£ieberbn$ für S$ule unb £eben. Ejerausgegeben non 3. <S. Pflüger. (Srof$l). Bab. ©berfcfyulrat. Efeft Ktnberlieber 35 Pf. 2. Ejeft Dolfslieber 20 pf. 3. fjeft Dollfstümlicfye lieber ^5 pf.

Der Italenber bev Juben. Dollftänbige Anleitung 3U feiner Bered)* nung für alle geiten. Don prof. Kbolf Kiftner. Brofdjtert IÏÏ. 2.50, gebunben IÏÏ. 3.—.

Ellljährlid? I^ält in pieleń Caufenb pon (Eyemplaren ber jübifdje Kalenber, £uad? genannt, feinen (Ein3ug in bie jübifdjeu Familien. <£r ift ben meiften Familien faft unentbehrlich getporbeu, benn er gibt Elusfunft über bie ntannig* fachften djronologifdjen unb rttueUen fragen. 3eb°a?/ fo pertraut bie meiften Beftßer eines foldjen Kalenbers mit beften f^anbhabung fein mögen, feine (Ent* ftehung tft ihnen oft ein Bud? mit fteben Siegeln. Das oben genannte 2Derf gibt nun eine pollftänbtge unb ausführliche Einleitung 3U feiner Berechnung. 3n ^3 Kapiteln behcmbelt es in überftdjtlicher unb flarer ÏBeife bie ©efd?id?te, bie (Entftehung, bie Berechnung, bie Derfnüpfung bes jübifd?en Kalenbers mit bem djriftlidjen unb bie Bertpanblung eines |übifd?en Datums in ein djriftlidjes unb utngefehrt. ^ür alle Berechnungen gibt es mehrere Beifpiele an. Da* burd? befttjt bas Bud? einen großen Do^ug gegenüber ben anberen Cehrbüdjern auf biefem ©ebiete... Das lOerf, beften Stubium eine hod?intereftante unb an* regenbe Befd?üftigung ift, ift nur 3U empfehlen. (Es eignet fid? insbefonbere gut als €ehrbud? für £ehrerfeminarien. Die Bed?nungsbei)*piele fönnen htcr beim Bed?enunterrid?t benüßt tperben.

(3sraelitifches ^amilienblatt, 1906 Br. 3.)

Utrlag ber iofbndj^anbiung Iriebririj fôutfdj in iarlsrutit

!Huf welche 6$ule foUen mv unfereu 6oÇu Riefen î (Etn lDeg* metfer unb Ratgeber für (Eltern nnb ^ürforger, bie r>or bie (Ent* fcfyetbung gefteüt ftnb, ob fie it^ren Sofpt bem (Symnafium, Re* formgymnafium, Realgymnaftum, ber ©berrealfdjule ober Real* fcfyule in Karlsruhe übergeben fotten. Don profeffor ^ermann iÇtfdjer. Rrofdjtert 50 pf.

Text - Bibliothek

englischer und französischer Meisterwerke

Collection des Auteurs célèbres. Collection of famous Authors.

1.    Chateaubriand, Extraits du Génie du Christianisme et des Martyrs. Durchgesehen und mit Vorwort von Dr. phil. F. Lotsch.

2.    Corneille, Le Cid. Durchgesehen und mit Vorwort von Dr. phil. F. Lotsch.

8. Thomas Moore, Paradise and the Peri. — Irish Mélodies. — National Airs. — Sacred Songs. Durchgesehen und mit Vorwort von Karl Grosch.

4.    Byron, Prisoner of Chillon. — Specimens from Child Harold’s Pilgrimage. — Selected Poems. Durchgesehen und mit Vorwort von W. A. Badham.

5.    Washington Irving, Sketchbook. Durchgesehen und mit Vorwort von Dr. phil. R. Nuck.

6.    Mme de Staël, De l’Allemagne. Durchgesehen und mit Vorwort von Dir. Dr. Gruber.

7.    Jean Valjean, Extrait des Misérables de Victor Hugo. Durchgesehen und mit Vorwort von Emile de Sauzé.

8.    The Merchant of Venice. — King Lear. From Lamb’s Tales with Shakespearian Scenes inserted. Durchgesehen und mit Vorwort von Dr. phil. F. Lotsch.

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9.    Mérimée, Colomba. Durchgesehen und mit Einleitung Dr. phil. R. Nuck.

10.    George Eliot, Silas Marner. Mit einer Skizze über das Leben des Autors von Friederike Hildebrandt.

11.    Dickens, David Copperfield’s Youth. Durchgesehen und mit Vorwort von Dir. Dr. Gruber.

12.    Molière, L’avare. Durchgesehen und mit Einleitung von Gerhard Budde.

18. Contes choisis d’auteurs modernes. Durchgesehen und mit Einleitung von Dr. 0. Gl öde.

14.    Paul-Louis Couriers, Lettres. Durchgesehen und mit Einleitung von Dr. Felix Rosenberg.

15.    Collection of Modern English Tales. Durchgesehen und mit Einleitung von Dr. 0. Gl öde.

Jedes Bändchen kartoniert 80 Pfennig.

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