WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIGTEKA GLÔWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskie)

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Erddràck auf Stützmauern

Von

Heinrich Müller-Breslau,

Geh. Regierungsrat,

Professor an der Technischen Hochschule in Berlin.

Mit 108 Abbildungen im Text und 4 Tafeln.

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Stuttgart

Alfred Kröner Verlag 1906.

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Vorwort.

Das vorliegende Buch gibt im ersten Abschnitte eine Darstellung der Theorie des Seitendruckes kohäsionsloser Erde auf Stützmauern, mit besonderer Berücksichtigung des unteren Grenzwertes — des sogenannten aktiven Erddruckes.

Den Ausgangspunkt bildet das Coulomb sehe Prinzip, das älteste und bis jetzt noch nicht übertroffene Rüstzeug der wissenschaftlichen Erddruckbestimmung. In Verbindung mit der Annahme einer ebenen Gleitfläche bildet es noch heute die am häufigsten benutzte Grundlage für die Berechnung von Stützmauern.

An die Darstellung der Coulomb sehen Theorie schliefst sich im § 3 die Entwickelung der von der Betrachtung eines unendlichen Erdkörpers mit ebener Oberfläche ausgehenden RanJcine sehen Lehre, wobei der Zusammenhang beider Theorien dargelegt und die zweite, nach Entwickelung des Rankine sehen Hauptsatzes, auf die erste zurückgeführt wird.

Der viel umstrittene Winkel zwischen Erddruck und Wand-fläche wird von vornherein als ein Erfahrungswert bezeichnet, über den sich keine vollständig sichere Aussage machen läfst. Die gebundene Wegweisung der Rankine sehen Theorie, welche diesen Winkel nicht von der Beschaffenheit der Wand, sondern nur von der Neigung des Geländes abhängig macht, mag manchem Anfänger erwünschter sein. Für das Entwerfen von Stützmauern kann aber nur eine Theorie in Frage kommen, welche gestattet, über die dem Erddrucke zuzuweisende Richtung von Fall zu Fall auf Grund der Erfahrung zu entscheiden. Dazu kommt das vollständige Versagen der Rankine sehen Theorie bei unebener oder ungleichmäfsig belasteter Oberfläche des Erdkörpers.

Trotz alledem sind die Ergebnisse der Rankine sehen Theorie ebenfalls von grofsem praktischen Wert. Denn wenn auch die Richtung des Erddruckes von erheblicher Wirkung auf die den Baugrund und die Mauerquerschnitte beanspruchenden Momente ist, so beeinflufst sie doch anderseits, nach den Feststellungen des Verfassers, in vielen wichtigen Fällen die Gröfse des

Erddruckes so wenig, dals zur Bestimmung dieser Gröfse die einfachen Verfahren mit Vorteil angewendet werden dürfen, die sich aus der Theorie des unendlichen Erdkörpers . folgern lassen. Die Zahlenbeispiele auf Seite 85 und 8(5 dürften beweisen, dals die Berechnung des Erddruckes auf gebrochene Wandflächen durch Benutzung dieser Regel erheblich abgekürzt werden kann. •

Am deutlichsten tritt wohl die Überlegenheit der Coulomb sehen Theorie bei den im § 4 behandelten Aufgaben über unstetige Belastung des Geländes und Auftreten mehrerer Maxima des erforderlichen Wandwiderstandes vor Augen. Zwar hat Coulomb selbst diese Fälle nicht einmal erwähnt, man braucht aber nur an seinem Prinzip festzuhalten, um auch hier — immer freilich mit dem Notbehelfe ebener Gleitflächen — zum Ziele zu gelangen.

Das eine darf allerdings nicht aufser Acht gelassen werden. Die Coulomb sehe Theorie, und ebenso die nur einen Sonderfall behandelnde Theorie von Rankine, gibt nur Auskunft über die Grenzwerte des Erddruckes. Für den die Mauer angreifenden (aktiven) Erddruck liefert sie den kleinsten mit den Gleichgewichtsbedingungen gerade noch verträglichen Wert, für den zu den stützenden Kräften gehörigen widerstehenden (passiven) Erddruck gibt sie nur das gröfste noch zulässige Mals an. Da dies aber eine Auskunft ist, die als eine Theorie der günstigsten Möglichkeiten bezeichnet werden mufs, so ist eine tunlichst einwandfreie Ermittelung der Grenzwerte geboten. Die Beschränkung auf die Annahme ebener Gleitflächen ist deshalb für die wissenschaftliche Erforschung des Erddruckes unzureichend und die Ausdehnung der Untersuchung auf krumme Gleitflächen unerläfslich. Es mufs zum mindesten gezeigt werden, dals es von krummen Schnittflächen begrenzte Erdprismen gibt, die zur Sicherung ihres Gleichgewichtes eines gröfseren Wandwiderstandes bedürfen, oder — wenn es sich um den widerstehenden Erddruck handelt — bereits durch kleinere Wanddrucke aus dem Gleichgewicht gebracht werden ' können, als die von den üblichen ebenen Schnitten abgetrennten Erdkörper. Eine strenge Ermittelung des Druckes auf eine krumme Gleitfläche ist, für kohäsionslose Erde und unter der üblichen Annahme eines dem Normaldrucke proportionalen Reibungswiderstandes, bereits im Jahre 1888 von Herrn F. Kötter angegeben worden. Diese wichtige Arbeit hat aber, wegen der geringen Verbreitung des Blattes, in dem sie zuerst veröffentlicht worden war¹), nicht die ihr gebührende Beachtung gefunden. Verfasser lernte sie erst durch eine freundliche Mitteilung ihres

Urhebers kennen, nachdem er selbst auf anderem Wege ein Verfahren gefunden hatte, welches gestattet, mit genügender Annäherung den Druck auf eine krumme Gleitfläche zu bestimmen, deren Gleichung nicht bekannt zu sein braucht, die also beispielsweise durch die Beobachtung gefunden sein kann. Im § (5 sind beide Lösungen mitgeteilt und zur Bestimmung des Druckes auf eine Wand benutzt worden.

Der zweite Abschnitt des vorliegenden Buches berichtet über neue Erddruckversuche, welche der Verfasser in der auf seine Anregung an der Technischen Hochschule zu Berlin entstandenen Versuchsanstalt für Statik der Baukonstruktionen durchgeführt hat. Sie bilden den Anfang einer in die Wege geleiteten umfangreichen Erddruckuntersuchung, über deren Arbeitsplan am Schlufs des Buches eine kurze Mitteilung gemacht wird.

Besonderen Dank schuldet der Verfasser dem Konstruktions -ingénieur der von ihm verwalteten Lehrkanzel, Herrn Professor 2)r.s$ng. H. Reisner, für seine wertvolle Unterstützung bei der Vorbereitung und Durchführung sämtlicher Versuche, sowie Herrn ■*Regierungsbaumeister H. Müller-Breslau für seine Mitwirkung bei den photographischen Arbeiten.

Capri, im April 1906.

H. Müller-Breslau.

/

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Erster Abschnitt.

Theorie des Erddruckes auf Stützmauern,

§ 1. Ermittelung des Erddruckes auf eine Stützmauer nach

dem Coulombschen Prinzip...............

1 Erddruck auf eine ebene Wandfläche.............

2.    Erddruck auf gebrochene und gekrümmte Wandflächen . . . .

3.    Der Bebhannsche Satz...................

4.    Ebene Wand und ebenes Gelände. Die Po nee letsche Kon

struktion des Erddruckes ..................

5.    Belastungsfläche einer ebenen Wand bei ebenem Gelände . . .

6.    Gebrochene Wandfläche und gebrochene Geländefläche . . . .

7.    Der obere Grenzwert des Erddruckes.............

10

16

18

21

§ 2. Bestimmung des Erddruckes auf eine Stützmauer mittels der Bedingung ^ =0, o»iax = p..........

8.    Gröfse und Lage der Drucke Q und E............

9.    Widersprüche infolge der Annahme einer ebenen Gleitfläche . 10. Zahlenbeispiel zur Erläuterung des Einflusses des Winkels o' .

§ 3. Die Grenzzustände des Gleichgewichts einer unendlichen Erdmasse mit ebener, gleich mäfsig belasteter

Oberfläche........................•

¹¹ Hauptsatz. Anwendung des Coulomb sehen Prinzips.....

Anwendung der Involution der konjugierten Kräfte- und Schnittrichtungen .........................

Der Spannungskreis von Culmann und Bank ine......

Die Bankineschen Formeln.................

Literarische Anmerkung...................

Der Spannungskreis von Weyrauch.............

Benutzung der Spannungskreise von Culmann und Weyrauch zur Darstellung der Trägheitsmomente und Zentrifugalmomente ebener Querschnitte................

Anwendung der Theorie des seitlich unbegrenzten Erdkörpers zur Bestimmung des Erddruckes auf feste Wände......

§ 4. Unstetige Belastung des Geländes............

19. Allgemeine Untersuchung...................

20- Einflufs einer Einzellast (Zahlenbeispiel)............

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H r-H

18.

22

22

25

33

35

35

38

43

48

49

53

57

60

67

67

VIII —

§5. Zahlenbeispiele.......................

21. 22. Zahlenbeispiele für gebrochene Wandflächen und gleich-

mäfsig belastetes Gelände.................

23. Gebrochene Wandfläche und Einzellast............

Seite

76

§ 6. Ermittelung des Erddruckes auf eine krumme Gleit-fläche.............................

24.    Näherungsverfahren.....................

25.    Die Kötter sehe Formel für den Gleitflächendruck q.....

26.    Berechnung des Druckes auf eine Gleitlinie, die sich aus einem

Kreisbogen und einer oder zwei Geraden zusammensetzt . .    113

91

91

107

Zweiter Abschnitt.

Neue Versuche zur Bestimmung des Erddruckes.

§ 7. Die Vorrichtung zur Bestimmung der Gröfse undLage des Erddruckes ......................

27.    Entwickelung des Grundgedankens..............

28.    Der Mefsstab.........................

29.    Die Versuchsvorrichtung...................

§ 8. Ermittelung der Werte y, p, p'................

30.    Der Versuchssand......................

31.    Der Winkel p'........................

§ 9. 32. Photographische Versuche...............

§10. Versuche zur Bestimmung des Erddruckes........

33.    Formeln zur Nachrechnung der Versuche...........

34.    Versuche mit rauher Wand. Einflufs einer Einzellast . . . .

35.    Versuche mit rauher Wand. Einflufs einer gleichmäfsigen

Belastung.........................

36.    Versuche mit, glatter Wand.................

37.    Folgerungen aus den Versuchen...............

38.    Arbeitsplan für die Fortsetzung der Versuche........

Literatur

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co    os    co    cc    co    co    o:    to    to    to    co

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158

Berichtig’ung’en.

Seite 16 Zeile 8 von oben: 1,77 statt 177.

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1    „ unten :

75    „ 18 „ oben: G"

„ 82 „

„    77. Im Kräfteplane der Fig. 72 sollen Ex und K\ in ein und der

selben Geraden liegen.

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Erster Abschnitt.

Theorie des Erddruckes auf Stützmauern.

Ermittelung des Erddruckes auf eine Stützmauer nach dem Coulomb sehen Prinzip.

1. Erddruck auf eine ebene Wandfläche. Aus einer unendlich langen Mauer, die nach der wagerechten Längsrichtung gleich-mäfsig mit kohäsionsloser, in allen Punkten gleich beschaffener Erde hinterfüllt ist, sei ein Stück von der Länge 1 herausgeschnitten.

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30°

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Fig. 1.

Von irgend einem Punkte vl der hinteren Wandfläche aus sei durch den Erdkörper ein ebener Schnitt geführt, der das Gelände im Punkte C trifft (Fig. 1). Das Gewicht des Erdprismas ABC, einschliefslich der auf der Oberfläche B C ruhenden, lotrecht angenommenen Belastung sei Cr.

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern.

Dem Gewichte G wird das Gleichgewicht gehalten durch den Widerstand E der Wandfläche AB und den an der Fläche A C

angreifenden Gegendruck Q der unterhalb A C liegenden Erd-

8 und

Es bilde Q mit dem Schnitt A C den Winkel 90⁰

masse.

E mit der Wand den Winkel 90° — 8'.

Wären die Richtungen von Q und E bekannt, so liefsen sich diese beiden Kräfte durch Zerlegung von G ermitteln. Da dies aber nicht der Fall ist, so ist die Aufgabe statisch unbestimmt. Nimmt man jedoch an, es sei der Winkel 8' durch die Erfahrung bekannt, und macht man ferner die Annahme, es sei der Reibungs-winkelj» zwischen Erde und Erde unabhängig von der Gröfse der Fläche AC und von dem auf diese Fläche wirkenden Drucke,

für den Grenzfall onllu- — p der Widerstand

so ist man imstande, denjenigen Widerstand E anzugeben, der mindestens vorhanden sein mufs, damit Gleichgewicht bestehen kann. Es darf nämlich der mit abnehmendem Widerstande E wachsende Winkel 8 höchstens den Wert p annehmen. Bildet also der Schnitt AC mit der Wagerechten den Winkel cp und E mit der Lotrechten den AVinkel <];, so folgt aus dem Kräftedreieck in Fig. 1

1)

G sin (cp — p)

sin (cp

777777777///'

J.

/n+ö‘

*___

Fig. 2.

Zeichnerisch findet man diesen Wert E, indem man in Fig. 2 auf der gegen die Wagerechte unter p geneigten Geraden A N die Strecke AB —G aufträgt und von D aus unter dem Winkel gegen A N eine Gerade zieht, welche A C in J trifft. Man erhält

( G sin (<p — p) \

E — DJ. Wiederholt man dieses Verfahren für verschiedene von demselben Punkte A aus durch den Erdkörper geführte Schnitte, so beschreibt der Punkt J eine Kurve, deren Abszissen die Gewichte Gr und deren Ordinaten die erforderlichen Widerstände E sind. Die gröiste Ordinate gibt die Grenze an, unter welche der Widerstand E der Wandfläche AB nicht sinken darf, ohne das Gleichgewicht zu stören.

Zur analytischen Berechnung dieses unteren Grenzwertes E dient die Formel

2)

\sin (cp — pH- <10/war Eine Schnittfläche A C, in deren sämtlichen Teilen beim Eintreten eines Grenzzustandes des Gleichgewichts der Widerstand gegen Gleiten voll ausgenutzt wird, heifst Gleitfläche. , Diese Bezeichnung ist der Vorstellung entsprungen, dais eine durch den unteren Endpunkt der Wand gelegte Gleitfläche beim geringsten Nachgeben der. Mauer und im ersten Augenblicke der Bewegung die Grenze bildet zwischen dem in Bewegung geratenden und dem in Ruhe bleibenden Teile der Erdmasse.

Der Reibungswinkel p ist gleich dem natürlichen Böschungswinkel, d. h. gleich dem Winkel, den die steilste Böschung einer seitlich nicht gestützten, kohäsionslosen Erdmasse mit der Wagerechten bildet; er kann leicht gemessen werden. Mittelwerte von p enthält die folgende Tabelle ²) :

Erd art

CO ²

Gewicht von 1 cbm

kg

Dammerde, trocken . .    .    .

natürlich-feucht gesättigt-nafs

35°—40°

0,700—0,839

1400

45°

27°

1,000

1600

Sand, trocken .    . .

„ natürlich-feucht

30°—35°

40°

„ gesättigt-nafs Lehmboden, trocken „    nais.    .

Tonerde, trocken . .

nafs . . . Kies, trocken ,. . . Gerolle, eckig 7?« . . „ rundlich

.    25°

40°—45° 20°—25° 400—50° 20°—25°

350—4O⁰

45°

30°

0,510

0,577-0,700

0,839

0,466

| 0,839-1,000 j 0,364—0,466 0,839—1,192 j 0,364—0,466 ’ 0,700—0,839. 1,000 0,577

1800

1580—1650

1800

2000

1500

1900

1600

2000

1800—1850

1800

1800

Über den Winkel 8' läfst sich nur aussagen, dais er bei vollkommen glatter Wand gleich Null ist, sonst aber höchstens, gleich dem Reibungswinkel p' zwischen Erde und Mauerwerk sein darf, wobei p'^p ist, weil sonst der dicht neben der Wand durch die Erdmasse parallel zur Wandfläche geführte Schnitt einen aufserhalb des Reibungswinkels liegenden Druck erfahren würde. Die Gröfse des Winkels 8' hängt von den Bewegungen ab, welche die Mauer und die an die Mauer grenzenden Erdteilchen vor Eintritt des Ruhezustandes ausführen. Die Mauer 4 besteht aus elastischem Stoffe,] wird auf nachgiebigem Baugrunde aufgeführt und mit Erde hinterfüllt. Unter dem Einflufs der auf sie einwirkenden Kräfte ändert sie allmählich ihre Form-, auch sinkt sie etwas in den Baugrund ein. Dabei erfährt sie eine wagerechte und eine Senkrechte Verschiebung und, infolge der ungleiclimäfsigen Belastung des Baugrundes, auch eine Drehung. Die Erdmasse ist selbst nach beendeter Schüttung noch nicht in Ruhe-, es dauert oft geraume Zeit, ehe sie sich vollständig gesackt hat. Die Folge dieser Bewegungen sind Verschiebungen der Erdteilchen längs der Wand. Verschieben sich die Erdteilchen gegen die Wand nach abwärts, so entsteht in der Wandfläche ein aufwärts gerichteter Reibungswiderstand.

Andern sich die auf Mauer und Erdkörper wirkenden Kräfte, so werden neue Bewegungen und neue Widerstände erzeugt. Wird z. B. auf die Mauer nachträglich eine gröfsere Last aufgebracht, welche sich gleichmäfsig über die Sohle verteilt, so senkt sich die Mauer in lotrechter Richtung. Der Reibungs-widerstand in der Wandfläche wird hierdurch verkleinert. Trägt der Erdkörper ein Eisenbahngleis, so bringt jeder Eisenbahnzug eine neue vorübergehende Störung des Gleichgewichts hervor, die mit Verschiebungen . der Erdteilchen gegen die Wandfläche verbunden ist. Welchen Einflufs übt nun diese wechselnde Belastung und Entlastung des Erdkörpers auf die Wandreibung aus? Wie wirken die Erschütterungen? Das sind Fragen, die nur an der Hand von Versuchen beantwortet werden können. Selbst wenn wir alle dynamischen Wirkungen aufser acht lassen, können wir keine sichere Auskunft über die Gröfse der Wandreibung erteilen und sind auf die Schätzung angewiesen. Hierbei spielen die an ausgeführten Bauwerken gesammelten Erfahrungen eine grolse Rolle. Annahmen, die bei der Berechnung bewährter Konstruktionen gemacht worden sind, dürfen auch auf andere, neu zu errichtende Bauwerke, bei denen ähnliche Verhältnisse vorliegen, übertragen werden, und es kann dem Anfänger nicht dringend genug empfohlen werden, sich' durch Untersuchung ausgeführter Bauwerke selbst

ein Urteil zu bilden ; er wird dann bald erkennen, dafs der einflufs-reichste Erfahrungswert der Winkel 8' ist. Wir verweisen schon hier auf das in Nr. 10 durchgerechnete Beispiel. In Fig. 31 haben wir das Gesetz, nach welchem die von der Mauer auf ihre Grundfläche ausgeübte Pressung a sich mit dem Winkel 8' ändert, durch eine Kurve dargestellt, deren Abszissen die Werte 8' und deren Ordinaten die zugehörigen a sind. Von der Wahl des Winkels 8' hängt also sehr viel ab. Eine Überschätzung des Reibungswiderstandes an der Wand führt zu einem unsicheren Bauwerk; eine Unterschätzung verursacht überflüssige Mehrkosten. Dafs die Meinungen über den in Rechnung zu stellenc^>n„,^Vert • 8' sehr auseinandergehen, darf bei dieser Sachlage nicht überraschen. Am sichersten gehen natürlich diejenigen, welche stets 8'= 0 setzen; sie bilden aber die Minderheit. Dafs diese Vorsicht in der Regel übertrieben ist, beweisen zahlreiche Ausführungen von Stütz-die nachweislich hätten Umstürzen müssen, wenn

mauern 8' stets gleich 0 wäre ³)•

Die überwiegende Mehrzahl der ausführenden Ingenieure rechnet mit 8' = p' und nimmt sogar p' = p an, weil bei dem gewöhnlichen Rauhigkeitsgrade der Wände p' p ist. In der Literatm’ wird diese Ansicht 'vertreten von Winkler, Engesser, Häseler. Engesser empfiehlt jedoch die Annahme 8' == p nur bei ruhender Belastung; treten unter dem Einflüsse von Betriebslasten Erschütterungen auf, wie beispielsweise bei Stützmauern unter Eisenbahndämmen, so spricht er sich bei Mauern ohne Überschüttung für 8' = 0 aus und nur bei Mauern mit sehr hoher Überschüttung für 8' = p, weil der Einflufs der Erschütterungen

aus Mauerwerk mit geputzter Rückseite oder bei Holz mit rauhem Sägeschnitt;

anf die Wandreibung mit wachsender Höhe der Überschüttung und der Mauer abnehmen wird. Für dazwischenliegende Uberschüttungshöhen ermittelt er die erforderliche Mauerstärke durch Einschaltung zwischen den für die beiden Grenzfälle gefundenen Mauerstärken*). Möller stellt in seinen Erddrucktabellen (S. 4G) nur einen Teil der Wandreibung in Rechnung und empfiehlt in der Regel:

2

3' == -g- o unter gewöhnlichen Verhältnissen; z. B. bei dickeren '“^Vänden

bei schmalen und glatten Wänden; z. B. bei gemöbeltem Holz und bei runden und daher sehr glatten Pfählen.

Uber einige vom Verfasser angestellte Versuche berichtet der zweite Abschnitt ; sie sprechen selbst bei rauhen Wänden für die Annahme eines Bruchteiles des Wertes p und zeigen deutlich, dafs die Beibringung sicherer Werte 3' das Hauptziel der experimentellen Erddruckforschung bilden muls. Da nun die Wahl des Winkels 8' von Fall zu Fall getroffen werden mufs, so ergibt sich für eine allen Ansprüchen genügende Erddrucktheorie die Bedingung, den Winkel 8' zunächst unbestimmt zu lassen und Verfahren zu entwickeln, die für jedes 8' brauchbar sind. Nur dann ist es möglich, den Ein-flufs dieses wichtigen Wertes zu prüfen und die endgültige Entscheidung von dem Ausfälle dieser Prüfung abhängig zu machen. Das mag vielen selbstverständlich klingen, — es gibt aber noch heute Vertreter einer anderen Theorie, welche dem Ingenieur bezüglich des einflufsreichsten aller Erfahrungswerte die Hände bindet; im § 3 unter Nr. 18 werden wir näher hierauf eingehen.

Durch die in den Figuren 1 und 2 durchgeführte Untersuchung ist die zuerst von Coulomb gestellte und behandelte Frage nach dem Widerstande, den die Wandfläche AB mindestens leisten mufs, noch keineswegs erledigt; denn sie gibt den unteren Grenzwert E nur für Erdprismen an, die durch ebene Schnitte A C ab-getrennt werden. Um zu einem einwandfreien Mindestwerte E zu gelangen, müfste man auch alle möglichen krummen Schoitte in Betracht ziehen. Die genaue Lösung dieser Aufgabe stöfst aber auf grofse Schwierigkeiten und wird sich kaum in voller Strenge für die Praxis verwerten lassen; sie besteht aus zwei

tiberhängende Wände geben Winkler und

*) Ftir stark nach Engesser eine andere Regel, die man im § 3 unter Nr. 18 findet.

vorn

Teilen. Zuerst mufs das Gesetz gefunden werden, nach welchem sich der Druck Q über eine Schnittfläche von gegebener Form verteilt, weil dann erst die Richtung der aus verschieden geneigten Drucken sich zusammensetzenden Kraft Q angegeben werden kann ; und zweitens mufs unter allen möglichen Schnittflächen diejenige ausgewählt werden, welche den gröbsten Wandwiderstand erfordert. Dieser zweite Teil der Untersuchung führt aber auf eine schwierige Aufgabe der Variationsrechnung.

Im § G werden wir uns auch mit krummen Gleitflächen beschäftigen. Vorläufig beschränken wir uns auf ebene Schnitte und zeigen zunächst, wie sich die in Fig. 1 dargestellte Ermittelung von E auch auf den Fall einer gebrochenen Wandfläche übertragen läfst.

2. Erddruck auf gebrochene und gekrümmte Wandflächen.

Die Drucke auf die einzelnen Wandstücke seien _Ej, E₂, Es . . . (Fig. 3). Es genügt, die Ermittelung von E₃ unter der Voraussetzung zu beschreiben, dafs E₁ und E₂ bereits gefunden sind.

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Fig. 3.

Den an dem Erdprisma ABC angreifenden Kräften 6r,    7^,

Vf₂, E₃ mufs ein geschlossenes Kräftepolygon entsprechen. Die Verlängerung der Seite E₃ zerlegt (x in G' nnd G". Der obere Teil (r ist bekannt, denn von El und E₂ kennt man Gröfse und Richtung und von E₃ die Richtung. Die Schlufslinie K' des Kräftezuges E₂EX G' ist ebenfalls gegeben; es ist also die Aufgäbe, Ea zu bestimmen, zurückgeführt auf die in Fig. 3 dargestellte Ermittelung von

K=E, + K'.

Rechnerisch erhält man :

3)

max

G" sin (cp — p) | sin (cp — p + 4₃)J Eine krumme Wandfläche zerlege man in einzelne Teile und betrachte diese als eben ; werden sie klein genug gewählt, so darf man ihre Mittelpunkte als Angriffspunkte der Drucke E ansehen.

Die zur Darstellung von E und K in den Figuren 2 und 3 benutzte Kurve hat Culmann eingeführt-, sie soll in der Folge die Culmannsche E-Linie bezw. K-Linie genannt werden. Die Ordinatenachse AS heilst Stellung slinie ; sie bildet mit der Wandfläche den Winkel p-f 5' (Fig. 2 u. 3).

3. Der Mebhannsehe Satz. Wir fügen jetzt zu den bereits vorgetragenen Voraussetzungen noch die Bedingung, dafs dE\dy eine stetige Funktion von cp sei, dafs also der Widerstand, den die Wand mindestens leisten mufs, durch die Gleichung

4)

dep °

dE dK „

d cp

bestimmt werden darf. Eine unstetige Belastung der Oberfläche des Erdkörpers sei zunächst ausgeschlossen.

Durch eine kurze Zwischenrechnung ergibt sich aus Gleichung 4) die Bedingung :

d G"

G" sin <|i = —

Wir nennen (Fig. 4) :

a den Neigungswinkel der in C an die Geländelinie gelegten Tangente,

h die Länge des von A auf diese Tangente gefällten Lotes, 7 das Gewicht, der’ Raumeinheit der Erdmasse, p die Belastung, welche die Einheit der Oberfläche des Erdkörpers an der Stelle C erfährt, l die Länge der Gleitlinie A C

und schicken voraus, dafs sich das Gewicht eines Erdprismas von der Länge 1, dessen Querschnitt ein Dreieck von der Grundlinie d und der Höhe h ist, und dessen Seite d mit p d belastet ist (Fig. 5), auf die Form bringen läfst

G — Y F¹,

wo F den Flächeninhalt des Dreiecks bedeutet und

5)

3)

d cp

sin (cp — p) sin (cp — p-f <}).

7)

ï=ï+-,₍

Fig. 4.

Jetzt ziehen wir (Fig. 4) von 0 aus eme Parallele zur Stellungslinie A S bis zu ihrem Schnittpunkte I) mit der natürlichen Böschung A N, bezeichnen mit

e die Länge der Strecke CD,

A T)

setzen in Glleichung 5)

Fig. 5.

ist.

Das Gewicht des durch den Winkel dcp bestimmten Erdprismas ACC ist hiernach gleich ^ y7²dcp, und wir erhalten somit

LÀ

ji’P-

Das Minuszeichen ist erforderlich, weil G" mit wachsendem Winkel cp abnimmt.

8)

O-

rr/7777777777j7777,

Jcc

rw ⁴ ■

* Ai-

Vf⁴

s, <>

ri is

,Æi

'<

.E

<?

6’

_ ⁴___le _

sm (cp — p -f c]>) = sm

sin (cp — p) = -y

und erhalten zur Bestimmung der Lage der Gleitlinie die Bedingung

G" =-|~7 f n,

die wir kurz den Rebhannsclien Satz nennen wollen, weil sie zuerst von Rebhann — wenn auch in etwas anderer und weniger allgemeiner Form — aufgestellt worden ist⁴).

Tragen wir nun auf den verschiedenen Schnittlinien AC die

so er-

zugehörigen Strecken AS₁=G" und A S₂ ~~ö 7 fn auf,

halten wir zwei Kurven, durch deren Schnittpunkt die gesuchte Gleitlinie geht.

Zur Berechnung der Kräfte K und Q und der für gewisse analytische Untersuchungen wichtigen Summe der wagerechten Seitenkräfte der auf die Wand AB wirkenden Erddrucke, d. i. H =XE sin t\>, dient die Proportion

K: Q.H: Gr" = e :l : f : n.

Sie liefert :

10)

H)

6=4-y A

cs

12

Das durch die Gleichungen 9) bis 12) beschriebene Verfahren ist weniger einfach als das in Pig. 3 dargestellte. Das letztere verlangt nur die Ausrechnung der Werte G" und die Zeichnung einer Kurve, deren gröfste Ordinate ohne weiteres den gesuchten Wert K und die Lage der Gleitlinie bestimmt. Das zweite Verfahren fordert aufser der Berechnung von G" noch die Darstellung der verschiedenen Strecken f und n und die Ausrechnung der Werte

-d-'y'/’w, sodann die Aufzeichnung zweier Kurven und 'schliefslich

noch die Berechnung von K. Die Gleichungen 9) bis 12) sind aber wertvoll für gewisse Sonderfälle, mit denen wir uns nunmehr beschäftigen wollen.

4. Ebene Wand und ebenes Gelände. Die PonceletsAw Konstruktion des Erddruckes. Ist das Gelände eben und gleichmäfsig belastet, und ist auch die Wandfläche AB eine Ebene, so ergibt sich, mit der Bezeichnung BC=d, Fig. 0,

6T= 6r*= y hd und die Gleichung 9) geht über in

aber als bekannt angenommen, so geht die Gleichung 9) über in G= t) yfn.

Da nun gleich dem Inhalte des Querschnittes ABC des Erdprismas ist,

so folgt, dafs die Gleitlinie AC die Flüche AB CD A halbiert. Dies ist der eigentliche Bebhannsche Satz; er ist später durch Winkler erweitert worden.

--À

K-

np+xx

\<5

v'

₂ hd—-çrfn.

..--■ c " ,-cl"

?«±_

Q-

s'

S \ Jb

AB=s

.V'

Fig. 6.

e'

\y

Sa>-ç+d'

O-

J'\ô'

yL

Yx

u) -

i    ’    r *

*+S - {*-$)■

Fig. 7.

Hiernach sind die Dreiecke ABC und AT)C inhaltsgleich. Wie grofs p und y sind, ist dabei gleichgültig. Die Lage der

c , b —x ₇ und

« Cr~

für x der Wert

a x — a

13)

Gleitlime A C ist unabhängig' von der Belastung p und dem Gewichte

A ABC— AACO sein, und hieraus folgt CO=CB. Wird noch BJ || CB gezogen, und werden die Bezeichnungen eingeführt

AJ—a, AN=b, AB = x, C N = c, so folgt aus den Gleichungen:

T-

Zieht

man nun

B 0 || A C

so mufs auch

x — Vab.

Es ist also AB die mittlere Proportionale zu AJ und AN. Um den Punkt B zu finden, errichtet man über A N einen Halbkreis (Fig. 7), bestimmt dessen Schnittpunkt L mit dem in J auf AN errichteten Lote und macht AB — AL. Nun zieht man

B C || JB, mifst e und f und findet F=--y'/e.

Li

Der Winkel, den BJ mit AB bildet, ist

o> —- p p 8'.

ba

■V

Fig. 8.

Sobald zJBA^>zNBA ist (Fig. 8), mufs der Halbkreis über AJ errichtet werden. Ist ZJBA=*zNBA, so wird BC—CB — e (Fig. 9). Wird die Erde unter dem Reibungswinkel p angeschüttet, so rücken die Punkte C und N ins Unendliche (Fig. 10); es entsprechen allen Punkten der Geländelinie die gleichen Strecken e und f.

sin(0+ p) sin sin œ

sin (h + a) sin (p — a)

s-.—p

und schliefslich

//////?///////

/Q+&

W7777777

Kt- -

Fig. 9.

Auch die analytische Berechnung von E gestaltet sich an der Hand der Poncelet sehen Gleichung 13) sehr einfach.

Bezeichnet (Fig. 6) s die Länge des Wandstückes AB,

D den Neigungswinkel von A B gegen die Wagerechte, e die Länge der Strecke BJ, so findet man

Ca

7-

\Q

Fig. 10.

sin ^

~2 T fe = y T «2 sin ^

Für die Durchführung der analytischen Berechnung von Stützmauern empfiehlt sich in der Regel die Zerlegung des Erddrucks in eine wagerechte SÄtenkraft Ew und eine lotrechte Seitenkraft Ei. Man erhält

t-H iCM

y (e sin

Ew = E sin ^ =

Ew cotg

und ng,ch Einsetzen der oben angegebenen Werte

U)

Et

b) Lotrechte glatte Wand und wagerechtes Gelände (0 = 90°, 8' = 0, a = 0).

21)

E=*E„=.

wo

15)

_ sin (9- + p) v —---

und

C.

sin (p — a) sin o> sin (9 + a) sin 4 ’ w Die Lage der Gleitlinie AC ist bestimmt durch die leicht abzuleitende Formel

lb)

= p + 0', 4 ⁼ 9 — 8'.

17)

BC =

8 - 1

SV sin (p — a)

Sonderfälle.

a) Lotrechte Wand (9 = 90°) und schräges Gelände.

2 T £² ’

18)

Ew =

19)

e — 1 -f-

sin (p — a) sin (p + 8')

cos a cos 0

20)

BC =

$ COS p

sin (p

«)

^45 ⁰    •

22)

BC

45°

Die Formeln 21) und 22) lassen sich auch wie folgt ableiten.

Ist 8'— 0, so bildet BJ mit BA den Winkel p (Fig. 11), und es ist daher BJ 1 4iV. Zieht man nun CB || BJ, so müssen, damit A C die Gleitfläche ist, die beiden Dreiecke ABC und A CB inhaltsgleich sein. Daraus folgt aber : ziBAC=^lCAB

~ und Ä B = A B — h. Nun ist

LU

f — e = CB— h • tg ^

Y t t'e = y i h*fcg2 (

/*tg(45°—0- *

= 45° —

und

45 ⁰ —

45 ° —

ferner ergibt sich:

c) Lotrechte Wand, wagerechtes Gelände (9 = 90°, a = 0), Voraussetzung d' — Q. Es sei also p' = p, und es werde der Reibungswiderstand an der Wand gerade erschöpft.

23)

cos² p

und

(1 4- V 2 sin p)²

E_

Fig. 11.

Nach diesen Zahlenreihen hat die Reibung an der Wand keinen wesentlichen Einflufs auf die Gröfse des Erddruckes. Ist z. B. p = 25 °, h — 10 m, y = 1,8 t/m³, p — 2,5 t/m², also

0,178    0,149

DC

cos p

(1 + V 2 sin p)²

Um den Einflufs der Wandreibung auf die Gröfse des Erd-drucks E zu prüfen, stellen wir die nach den Gleichungen 21) und 24) für verschiedene Werte p berechneten Drucke E einander gegenüber. Es ergibt sich für p = 25 ⁰

nach Gleichung 21)

= 0,203    0,166    0,136    0,109

24)

E = E,„ sec p

T'/*²

30°

35°

40°

i h²

nach Gleichung 24)

0,124    0,105.

Fig. 12.

T = ï + y = 2,3 t/m³,

so findet man für o' = 0 und 8' = p die nur wenig voneinander abweichenden Werte E = 46,5 t und _E7 = 41 t, bei deren Vergleichung man an die noch so wenig gesicherten Grundlagen der heutigen Erddrucktheorie denken mufs. Der Verfasser empfiehlt daher, die Gröfse des Erddruckes auf' eine lotrechte Wand bei wagerechtem Gelände stets mittels der einfachen Formel 21) zu bestimmen, auch dann, wenn bei der Feststellung der jRichtung des Erddruckes mit einem an der Wand auftretenden Reibungswiderstande gerechnet werden darf. Der Sicherheitsgrad der Mauer wird durch diese Rechnungsweise etwas erhöht, und dafs dies wünschenswert ist, lehrt die Berechnung des Erddruckes auf Grund der Annahme gekrümmter Gleitflächen. Wir verweisen auf den Schlufs des § 6, ferner auf die im zweiten Abschnitt, § 10, mitgeteilten Ergebnisse unserer Erddruckversuche.

In ähnlicher Weise darf man bei den meisten für Stützmauern in Frage kommenden Wandneigungen verfahren. Es* sei (Fig. 12),

/ sin p sin (p + 8') sin 0 sin (0 — 8'j

0,500 sin (p + 8')

sin (0 — 8')

COtg h =

r—H ¹ LO

, also fl- = 78° 41, p = 30°, a = 0, 7' — 2,3 t/m³, und es

soll der Einflufs des Winkels 6' auf die Gröfse des Erddruckes geprüft werden. Man erhält nach Gleichung 14 und 15 :

1 s2

25)

E„ =

7 s²

sin² (0 + p)

S²

= 0,448

£²

und für

8' = 0

10°

20°

30°

e = 1,51

1,59

177

Ew

ïs*

= 0,196    0,176    0,159    0,143

E„

sin (ô — 8')

E = o,200    0,189    0,186    0,190.

's²

Ist nun h = 10 m, also s² = 10² + 2² = 104 und 7' s² = 2,3 • 104= 239, so findet man schliefslich :

E = 48 t, 45 t, 44,5 t, 45,5 t. Die Unterscliiede sind wieder unwesentlich.

5. Belastungsfläche einer ebenen Wand bei ebenem Gelände.

,fn h

Fig. 64.

ÿf

0 = <jx cos (2 cp — 8) -f 2 x sin (2 cp — 8)

E1^1 = [S3-S2 + (S5-St)tg^]c

(Ew Elf, y) Sp -f- Elf y -g- —— Elf Su•

*) H. Müller, Elementares Handbuch der Festigkeits

¹

Nähere Angaben auf Seite 107.

²

Vergl. auch: Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Teil I, Band 2, Kapitel III, bearbeitet von Häseler, S,. 208. Möller, Erddruck-Tabellen, Leipzig 1902, S. 49. Ingenieurs-Taschenbuch Hütte, 1905, S. 297.

³

Vergl. die Mitteilung von Flamant in den Annales des Ponts et Chaussées 1882, Juni, S. 616. Beachtenswert sind auch die Stützmauern, welche Leygue konstruiert hat, nachdem er selbst umfangreiche Versuche über die Gröfse und Lage des Erddrucks angestellt hatte ; vergl. Annales des Ponts et Chaussées 1885, II, S. 788. Leygue fand selbst für Glaswände einen von p. nur um etwa 6 v. H. abweichenden Winkel 8'. Allerdings entstanden bei diesen in sehr kleinem Mafsstabe angestellten Versuchen verhältnis-mäfsig grofse Wandbewegungen, die sich mit den Bewegungen von Stützmauern nicht gut vergleichen lassen. Die frei bewegliche Wand war mit einer festen Wand durch Spiralfedern verbunden. Wurden nun diese Spiralfedern durch den Erddruck zusammengeprefst, so traten kleine, auf der beweglichen Wand im Innern der Spiralfedern sitzende Pflöcke durch in der festen Wand ausgesparte Löcher. Aus der Gröfse der Verschiebung der Pflöcke wurde auf die Gröfse des Erddrucks geschlossen. Da die unteren Pflöcke sich stärker verschoben wie die oberen, so neigte sich die bewegliche Wand nach der Erdseite hin, während sich Stützmauern in der Regel nach der entgegengesetzten Seite drehen.

⁴

Ist das Gelände unbelastet, und wird an Stelle der Kraft K die Mittelkraft von Et, E₂ und E? als Unbekannte eingeführt, deren Richtung

5. Belastungsfläche einer ebenen Wand bei ebenem Gelände.

Wir wenden uns jetzt zur Bestimmung des Angriffspunktes des Erddruckes für den Fall ebener Wand und ebenen Geländes und zerlegen den Wert

£=l(lf + T )fe

in den nur von 7 abhängigen Bestandteil

26)

Ey =

\-ife

und den nur von p abhängigen Teil

27)

Ep

__pfe

h

Zwischen diesen auf das Wandstück ÄB — s wirkenden Drucken und den Drucken E'y und E'v auf das Wandstück Ä B = s' (Fig. 13) bestehen die Beziehungen

28)

h'²

E'y=EyW,

29)

h'

E =E*-h

denn es verhält sich

f :f=e’ :e = h' :h = s': s.

Die Drucke E'v kann man also nach Fig. 13 a durch eine Gerade darstellen, die Drucke E'y durch eine Parabel.

Der Druck, den die Einheit der Länge h' an der Stelle A erfährt, sei k. Er setzt sich zusammen aus

dE'p __ Ep

]\p —

dli

und

dE'y _ 2 EyK

h*

Der erste Wert ist konstant, der zweite ist proportional li.

ky —

dh'

\.

■ *>

\Y

(b)

(a)

ja

Er

■r

y,

’i

■p

Fig. 13.

Die Belastungsfläche der Wand besteht also nach Fig. 13 b aus einem Rechteck von der Breite

v=-r-

und einem Dreieck von der Grundlinie

y/'L

30)

b = ~¹ =

h h

Jto?

Müller-Breslau, JKrddruck auf Stützmauern,

'zJï

to

Nun verhält sich

's

: Ä,

b' :b=Ep:2Ey =

und daraus folgt, dafs sich die Seiten des durch Zusammensetzung des Rechtecks und des Dreiecks entstandenen Trapezes in einem

Punkte T schneiden, der vom Gelände den Abstand ^ hat. Die

Belastungsfläche ist also durch die Bedingung bestimmt, dafs sie im Abstande h vom Punkte T die durch die Formel 30) gegebene Breite b besitzt.

Der Druck Ep greift im Mittelpunkte von AB an, der Druck Ey im oberen Endpunkte des untersten Drittels von AB. Der Schwerpunkt des Belastungstrapezes bestimmt den Angriffspunkt von E = Ep + Ey. Will man dieses Trapez nur zur Ermittelung des Angriffspunktes von E benutzen, so darf man die Breite b beliebig grofs annehmen.

6. Gebrochene Wandfläche und gebrochene Geländefläche. Die

in Nr. 3 u. 4 abgeleiteten Gesetze lassen sich auch bei der Untersuchung einer Mauer verwerten, die. auf der Erdseite von verschiedenen Ebenen begrenzt wird und ein von mehreren Ebenen gebildetes Gelände stützt. Es liege der in Fig. 14 dargestellte Fall vor. E₁ und E₂ seien bereits gefunden ; gesucht sei Em. Die zur Gleitfläche A C₀ gehörigen Werte f und n mögen /₀ und n0 heifsen. Das Gewicht des durch den Schnitt A C₀ abgetrennten Erdkörpers, einschliefslich der auf seiner Oberfläche ruhenden Belastung, sei 6r₀; und es möge sein

Ferner sei für die Gleitfläche A C₁ mit den entsprechenden Bezeichnungen :

r-i CM

f fi n\-

Dann trifft die Gleitfläche A C das Gelände innerhalb der gleichförmig mit p belasteten Strecke C₀ C₁. Wird nun in der Verlängerung der Geraden C₀ C₁ ein Punkt B'm so bestimmt, dafs die beiden Dreiecke AB'mC und A CI) inhaltsgleich sind und hierauf B'WJ unter dem Winkel gegen die natürliche Böschung gezogen, so ist offenbar AI) die mittlere Proportionale zu AJ und A N. Für die Gleitfläche A C gilt aber die Gleichung

Gr" = G — 6r' =

und es muis daher der Abstand x des Punktes B m von C₀ so gewählt werden, dafs

Y- A AB'mC= G— G' wird. Das gibt, wenn C₀ C = $ gesetzt wird:

woraus :

31)

B':

HtL

V. ! 2

■ö'

t-H Cd!

T (®4-6)Ä=ö₀ + y7SÄ—

G₀ — 6r'

X 3= - ---------------

+ P

6r₀ — 6r’

[_ i—*

y' h

⁷W

'Xrt

«1

£V

%i">

<7'

)G"

■-11“

iY'H. >

- f? o°— ! f?a°-    *-<?)] "

Fig. 14.

Jetzt kann man die Lage des Punktes D auf die in Fig. 14 angegebene Weise konstruieren und den Erddruck

Em — K — K'

berechnen, wo

K=~ife

ist. Will man die Formeln 14) bis 16) benutzen, so beachte man, dafs an die Stelle von Ew nunmehr die wagerechte Seitenkraft Hm von K tritt, dafs für 6 der Neigungswinkel F„i der Geraden AB'm und für s die Länge sm — AB'm gesetzt werden mufs, schliefslich dafs o> = p + h'm — <j>m ist. Man erhält also :

sm (p — g)

35)

B m G —— sm v —

wo

32)

33)

sin + p)

v =----— i

34)

Ferner ist

sin (p — g) sin (p +

sin (h'm + a) sin <LW

Meistens wird man schnell übersehen, auf welcher Geländestrecke der Punkt C liegt. Für verwickeltere Fälle verdient das in Fig. 3 angegebene Verfahren den Vorzug.

Co

777777777777777777777%

'—■_ P /

77777777/

Ufr

Fig. 15.

Zuweilen empfiehlt es sich, die Lage des Punktes B’ zeichnerisch zu bestimmen. Fig. 15 stellt einen solchen Fall dar. Man findet den in der Verlängerung der Geländelinie C₀C liegenden Punkt B\ indem man BB' \\ A C₀ zieht. Dann sind die Dreiecke ABC₀ und A B'Cq inhaltsgleich. Nun wird B'J\\AS gezogen, die Ermittelung der Strecken e und /' durchgeführt und

berechnet.

Im allgemeinen ziehen wir es vor, x durch Rechnung zu bestimmen; wir haben in der Regel gefunden, dafs Rechenschieber

oder Rechentafel schneller zum Ziele fuhren als das zeichnerische Verfahren, dessen Hilfslinien aufserdem die Übersicht erschweren.

7. Der obere Grenzwert des Erddruckes. Dem unteren Grenzzustande des Gleichgewichts läfst sich nun ein oberer Grenzzustand an die Seite stellen. Man kann fragen, wie hoch darf der Druck E auf das Erdprisma ABC höchstens werden, ohne dafs das Gleichgewicht gestört wird. Die Antwort gibt die in Fig. IG ausgeführte Zerlegung von G. Es wurden die Vorzeichen der Winkel p und o' umgekehrt. Der kleinste der auf diese Weise gefundenen Werte darf nicht überschritten werden.

Um diesen oberen Grenzwert von E handelt es sich, wenn eine Mauer durch eine grölsere Kraft, z. B. den Schub eines flachen Bogens, an einen Erdkörper angedrückt wird und der Wider- # i-stand, den der Erdkörper " höchstens leistet, ermittelt werden soll. Da der Erd-druck jetzt zu den die    /

Mauer stützenden Kräften    '

Fig. 16.

zählt, so darf der Sicherheit wegen nur ein Bruchteil seines oberen Grenzwertes in Rechnung gestellt werden.

Man pflegt aber auf seine Mitwirkung vorläufig nicht zu rechnen ; denn es gibt keinen Widerstand ohne vorangegangene Formveränderung, und zurzeit fehlt noch jede Grundlage für die Beurteilung der Verschiebung, welche die Mauer erleidet, bevor der verlangte Erdwiderstand zur Wirkung kommt.

Der untere Grenzwert von E führt auch den Namen aktiver (iangreifender) Erddruck, der obere Grenzwert den Namen passiver (widerstehender) Erddruck. Wenn in der Folge ohne nähere Bezeichnung nur vom Erddruck die Rede ist, so ist immer der angreifende Erddruck gemeint.

§ 2.

Bestimmung des Erddruckes auf eine Stützmauer mittels der Bedingung

d CD

-0, Omax — p¹

8. Gröfse und Lage der Drucke Q und E. Das Coulomb sehe Prinzip ist trotz seines einfachen und überzeugenden Gedankenganges nicht ohne Anfechtung geblieben. So erklärte Winkler, es lasse sich nicht ohne weiteres einselien, warum der wirkliche Erddruck gerade das Maximum aller, den verschiedenen Lagen des Schnittes AC entsprechenden Werte E sein solle; es sei überhaupt unrichtig, E mit der Lage des Schnittes A C veränderlich anzunehmen, da sich doch nur ein ganz bestimmter, von der Lage des Schnittes A C unabhängiger Druck äulsern könne. — Zu dieser unrichtigen Auffassung ist Winkler durch den wenig glücklich gewählten Namen: Prinzip vom Prisma des gröfsten Druckes, den das Coulomb sehe Prinzip in der Folge erhielt, und den auch Coulomb selbst der Kürze wegen gebraucht hatte, verleitet worden; denn nicht um ein Prisma, welches den gröfsten Druck auf die Wand ausübt, handelt es sich in der Theorie von Coulomb, sondern um ein Prisma, das den gröfsten Widerstand zur Sicherung seines Gleichgewichts verlangt¹).

Die Folge dieses Mifsverständnisses war nun, dafs Winkler einen anderen Weg einschlug, um für einen möglichst allgemeinen Fall die Lage der Gleitfläche und die Gröfse des Erddruckes zu bestimmen²). Er hat dadurch den Grund gelegt zu der folgenden wichtigen Untersuchung.

Im Grenzzustande des Gleichgewichts bildet der Gleitflächendruck Q mit der Normale der Gleitfläche den Reibungswinkel p. Für jede andere durch denselben Punkt A gelegte Schnittfläche wird der Winkel zwischen der Druckrichtung und der Normale einen Wert 8 annehmen, der kleiner ist als p. Werden Cnstctig-keiten ausgeschlossen, so ist 3 eine stetige Funktion des Neigungs-

winkeis <p der Schnittfläche AC, und es kann dann die Lage der Gleitfläche auch mittels der Bedingung

d cp

⁼⁼ 0, 0max ⁼⁼⁼ p

bestimmt werden.

Es sei nun OC'C ein Erdprisma, dessen Begrenzung OC ein Stück einer ebenen Gleitfläche ist (Fig. 17). Der Winkel C OC sei gleich dcp, und die Länge von OC sei z. Auf die Fläche OC wirke der Druck Qz, auf OC' der Druck Q'z\ ersterer bildet der Voraussetzung nach mit der Normale der Fläche OC den Winkel

VÄ

Q/

9z

Vv

(a)

,v

1/

CzV<?

9?''

Fig. 17.

8 = p. Da aber dieser Winkel ein Maximum werden soll, so mufs seine Änderung Null sein, und es schliefst daher Q’z mit der Normale der Fläche OC ebenfalls den Winkel p ein. Daraus folgt, dafs Qz mit Q'z den Winkel d cp bildet.

Von dem Kräftedreieck d G, Qz, Q'z kennt man also die Winkel und die Länge einer Seite ; man ist daher imstande, den Druck Qz auf die Gleitfläche zu berechnen. Man findet

Q* =

d G sin (cp — p)

ferner nach Gleichung 8):

dG 1 , ₂

= 21,=

d cp

d cp

wo hz — z sin (cp — a) die Länge des von 0 auf die Verlängerung .der Seite CC gefällten Lotes bedeutet. Hiernach ergibt sich

~2 Y ³² sil1 (? — p)

und nach Einsetzen des "Wertes y

). sin (? — P).

30)

pz

sin (cp — a)

Die Belastung der Längeneinheit der Gleitlinie A C hat also im Abstande z von C den Wert

37)

sin (cp — a)

und zerfällt in den konstanten Bestandteil

^ sin (cp

p)

38)

p sin (cp — p)

⁽lv —

und den der Länge z proportionalen Teil

qY = yz sin (cp — p).

Die Belastungsfläche setzt sich aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen.

Für die Gleitfläche A C, deren Länge gleich / ist (Fig. 4, S. 9), erhält man

sin (cp — a)

39)

40)

LC I—¹

T ¹² sin (<P — P) = ~2 Y lf'

und nun findet man mit Hilfe der Proportion K : H: G" : Q — e : f: n :l

die Werte

cr-fYfn,

welche mit den in Nr. 3 mit Hilfe des Coulomb sehen Prinzips gewonnenen Werten übereinstimmen.

= 0 liefert nicht nur die Gröfse

d cp

Ein neues auffallendes Ergebnis ist allerdings hinzugekommen. Die Bedingung

des Gleitflächendruckes Q, sondern auch die Lage des Angriffspunktes dieser Kraft ³). Zerlegt man Q in die beiden Bestandteile

so greift Qp im Mittelpunkte der Gleitlinie AC an und Qy im oberen Endpunkte des unteren Drittels von A C. Ist aber der Angriffspunkt von Q bekannt, so kann man auch die Lage des Angriffspunktes von E finden.

Wir haben dieses Ergebnis ein auffallendes genannt, weil es einen Schlufs gestattet, dessen Unrichtigkeit eiideuchtend ist. Die Verteilung des Druckes längs der ebenen Gleitfläche AC ist nach Gleichung 38) und 39) nur abhängig von der im Punkte C wirksamen Belastung p und dem Neigungswinkel a der in C an die Geländefläche gefegten Tangente. Eine nachträgliche Änderung der Form des Erdprismas ABC und des Gesetzes, nach welchem sich die Belastung der Fläche BC über diese Fläche verteilt, würden demnach keinen Einflufs auf die Lage des Druckes Q ausüben, solange das Gewicht G" und die Werte p und a an der Stelle C ungeändert bleiben, was offenbar unrichtig ist. Da nun aber die Ableitung des zu diesem Ergebnis führenden Satzes über die Lage von Q fehlerfrei ist, so müssen wir umgekehrt schliefsen: Die Gleitfläche kann im allgemeinen keine Ebene sein. Die nächsten Untersuchungen werden dies bestätigen.

9. Widersprüche infolge der Annahme einer ebenen Gleitfläche.

Schliefst man nach Nr. 8 aus der Lage von Q auf die Lage von E, so gelangt man zu Ergebnissen, die mit den im § 1 gewonnenen nicht übereinstimmen. Wir wollen dies an dem leicht zu überblickenden Sonderfalle einer ebenen Wand AB, die einen Erdkörper mit ebener, gleiclimäfsig belasteter Oberfläche stützt,

zeigen.

und

Qv

p l sm (cp — p)

sin (cp — a)

Qy —

LC l—i

7 l² sin (cd — p)

AC sei die Gleitfläche (Fig. 18). Ein lotrechter Schnitt AB0 zerlege das Erdprisma ABC in zwei Teile. Die Gewichte dieser Teile seien Gx und tr₂, ihre Belastungen Px und P₂.

Macht man A D —

₂ AB, A N --

r—i CO

AB, AJ~

LC

AC und

AH=

r—l ¹ CO

AC, so ist

]) der Angriffspunkt der Kräfte ]\ und Ep,

Gi „ Er, Eo „ Qp, G₂ „ Q

N „

J „

r>

H „

Setzt man P₂ mit Qp zusammen, ferner Cr₂ mit Qy, so erhält man die auf die lotrechte Schnittfläche AB₀ wirkenden Drucke Eop und Eoy. Dieselben Werte Eop und Eoy mufs auch die Zusammensetzung von Px mit Ep und von Gx mit Ey geben, und daraus folgt, dals E ' EqP mit der Linie DJ und E0 y mit der Linie NH zusammenfallen mufs. Der Druck E₀ auf die , lotrechte Fläche AB0 ergibt sich aus dieser Betrachtung parallel zur Oberfläche.

pz

‘°Y.

Druckes

Die Ermittelung des

w<y

Fig. 18.

Vf

JV

Ef) — Eq p fl- E0 y

¹

— 2 T to eo

kann jetzt nach dem im § 1 angegebenen Verfahren durchgeführt werden, weil seine Richtung von vornherein bekannt ist. Kennt man aber P₀, so erhält man den Druck E auf die Wand AB als die Mittelkraft der drei Kräfte P₀, P₁ und Gx. Die Richtung der Kraft E ist also nicht mehr frei wählbar, sondern eindeutig bestimmt.

E,

Vf'

ï—

vs,

fo

J*

\<X

VP

£1

A x/

\_

----'A

Fig. 19.

In Fig. 19 ist diese Konstruktion des Erddrucks für verschiedene Wandlagen AB₀, ABX, .... durchgeführt worden. Für

die lotrechte Fläche ist 8 = a. Die Stellungslmie B₀J bildet mit der Fläche AB₀ den Winkel p -f a und mit der Normale der natürlichen Böschung AN den Winkel a. Die Gewichte der Erdprismen AB₀B₁, A Bx B₂, . . . . einschlielslich ihrer Belastungen

H Cvl

sind gleich — / hd^ - y'hd₂, . . . Der Kräftemalsstab wurde so

Bilden die Erddrucke E

gewählt, dal's diese Gewichte durch die Strecken 2dl^ 2d₂ ... . dargestellt werden. Für die Wandllächen A Bl, AB₂ ... . ergeben sich die Erddrucke Bl, E₂ ... .\ ihre Angriffspunkte wurden nach

S. 17 durch den Schwerpunkt eines Trapezes mit beliebig angenommener Grundlinie bestimmt.

mit den Normalen der entsprechenden Wandflächen Winkel . . . die kleiner sind als der Reibungswinkel p', so ist Gleichgewicht möglich. Ist die Wandfläche vollkommen glatt, oder liegen besondere Umstände vor, welche es verbieten, mit der Wandreibung zu rechnen, so ist das Ergebnis der Konstruktion nur brauchbar, wenn sich zufällig 8' = 0 ergibt. Die in Fig. 19 durchgeführte Konstruktion des Erddrucks kann deshalb als eine allgemein brauchbare Lösung nicht bezeichnet werden.

Für die weitere Untersuchung des nachgewiesenen Widerspruches werden uns die beiden folgenden, für jeden ebenen Spannungszustand gültigen Sätze der Festigkeitslehre gute Dienste leisten :

1.    Wird in irgend einem Punkte S ein Flächenelement von der Richtung a durch eine Spannung von der Richtung b beansprucht, so hat in diesem Punkte die Spannung in einer Fläche von der Richtung b die Richtung a.

2.    Die durch den Punkt S gehenden Flächenrichtungen bilden mit den zugehörigen Spannungsrichtungen einen involuto-rischen Büschel konjugierter Richtungen.

Die auf die Flächenelemente a und b wirkenden Kräfte mögen mit A und B bezeichnet werden (Fig. 20).

Ist A || b, so mul's B || a sein. Denn wäre B nicht || a, sondern hätte es die Lage B\ so würde ein das Körperteilchen drehendes Kräftepaar entstehen. Damit ist der erste Satz bewiesen.

LB'

Wir betrachten jetzt ein dreiseitiges Prisma von den Abmessungen a, b, c (Fig. 21). Den auf die Flächen «, b, c wirkenden Kräften A, B, C entspricht ein Kräftedreieck. Lassen wir bei ungeändert bleibendem a die Seite b wachsen, so

beschreiben, da B proportional b ist, die von den ç und C gebildeten Strahlenbüschel ähnliche gerade Punktreihen. Die beiden ahlenbüschel sind also projektiv. Fassen wir nun umgekehrt Strahlen C als Flächenrichtungen auf, so geben nach dem ersten Satze die ihnen entsprechenden Strahlen c die Kraftrichtungen an. Damit ist auch der zweite Satz bewiesen⁴).

w

die

B3

Ab

Ql

B,

/C3

V.

C3

Fig. 21.

Legt man also durch den Punkt S einen Kreis mit beliebig gewähltem Mittelpunkte (Fig. 22) und bestimmt die Punkte in denen er die von S ausgehenden Flächen-

1, 2, 3, . . .

richtungen schneidet, ferner seine Schnittpunkte 1', 2', 3', . . . . mit den zugehörigen Druckrichtungen, so treffen sich die Sehnen l'l, 2'2, 3'3 . . . . in ein und demselben Punkte J. -Man nennt diesen Punkt das Involutionszentrum⁵).

Für kohäsionslose Erde ist nun dêr kleinste Winkel zwischen

Druckrichtung und Flächenrichtung gleich 90° — p. Bedeutet also r den beliebig gewählten Kreishalbmesser, so ist der Abstand des Involutionszentrums J vom Kreismittelpunkte M:

JM—r sin p.

Die zur kleinsten durch J gehenden Kreissehne gehörigen konjugierten Flächen sind Gfleitflächen. Ist die Richtung einer der Joeiden Gleitflächen bekannt, so ist auch die Lage des Punktes J eindeutig bestimmt. Man zeichnet zwei konzentrische Kreise,

deren Halbmesser sich zu einander verhalten wie sin p : 1, zieht von dem auf dem äufseren Kreise beliebig angenommenen Punkte S aus eine den äufseren Kreis im Punkte C schneidende Parallele zur Gleitfläche und legt durch den Punkt C an den .

inneren Kreis eine Tangente. Der Berührungspunkt J"ist das Involutionszentrum (Fig. 24). Kennt man umgekehrt

[z-

2,

7'

"b

Fig. 22.

Fig. 23.

die zu irgend einer Flächenrichtung S 1 gehörige Druckrichtung S 1 ' (Fig. 25), verfügt man also über zwei konjugierte Richtungen, so schneidet die durch diese Richtungen bestimmte Sehne des äufseren Kreises den inneren Kreis in den beiden Involutionszentren der beiden Grenzzustände des Gleichgewichts.

..9

Ju

\j°

Tr

S'

Fig. 24.

Fig. 25.

Es liege nun eine nach § 1 gefundene ebene Gleitfläche AC vor (Fig. 2(3). Der Punkt J sei auf die beschriebene Weise bestimmt worden; er gilt für alle Punkte der Geraden AC. Nun erfährt aber im Geländepunkte C das Element der Oberfläche die lotrechte Belastung jo, und es sind deshalb die lotrechte Richtung LS und die zur Geländetangente parallele Richtung SO konjugierte Richtungen. Die Sehne L 0 wird den inneren Kreis im

19"

/9'

/9

- v-/—

/ Y / /'

t>

/ /

// /

0//

l\//y

Fig. 26.

allgemeinen nicht im Punkte J, sondern in einem anderen Punkte J’ schneiden, und dieses neue Involutionszentrum bestimmt auch eine andere Richtung g des von C ausgehenden Gleitflächen-elementes. Im Punkte A dagegen bestimmen die Wandrichtung SB\\ AB und die unter o' gegen die Normale angenommene Erddruckrichtung SE || E wieder ein anderes Involutionszentrum J” und eine andere Richtung g" der Gleitfläche. Die Gleitfläche kann also im allgemeinen keine Ebene sein.

y//7 ////

(/ / /S/ ⁷ / A\/ /// /

/ / / /

’ / ⁷ /

/ / /

7U

s-

[J°

\Xs

• qu /J

fjsu

E°

Die Möglichkeit, die Gleichgewichtsbedingungen mit ebenen Gleitflächen zu erfüllen, liegt aber vor, sobald das Gelände eben ist und die Wand einen bestimmten Rauhigkeitsgrad besitzt. Alle Gleitflächen schneiden das Gelände unter demselben Winkel (Fig. 27). Sind sie eben, so sind für alle Punkte aller Gleitflächen, also für alle Punkte der Erdmasse, die lotrechte Richtung und die Geländerichtung konjugierte Richtungen. Der Druck auf jede lotrechte Fläche ist parallel zur Oberfläche. Für •den Erddruck auf die Wandfläche AB liefern die beiden Involuti’onszentren die Erddruckrichtungen Eu und E° ; die steilere Richtung Eu entspricht dem unteren Grenz-zustande des Gleichgewichts, die andere dem oberen Grenzzustande. Die Gleitflächenrichtung g haben wir in Fig. 27 nur für den unteren Grenzzustand eingetragen.

Fig. 28.

tr Wohin es nun führen würde, den Druck auf eine lotrechte Fläche stets parallel zur Oberfläche anzunehmen, lehrt ein Blick auf die Figur 28. Die in die Wandfläche fallende Seitenkraft

(2)i

r/

'S

VI

fr)

Fig. 29.

von E ist nach oben gerichtet, was augenscheinlich unrichtig ist. Dasselbe gilt für die in Fig. 29 dargestellte, stark nach hinten überhängende Wand A B. In dieser Figur sind (1) und (2) die durch die gröfste Kreissehne bestimmten, sich rechtwinklig

schneidenden konjugierten Richtungen, die sogenannten Haupt-richiungen.

Das Ergebnis der vorstehenden Untersuchung können wir wie folgt zusammenfassen:

Die Annahme einer ebenen Gleitfläche steht im allgemeinen mit den Gleichgewichtsbedingungen in Widerspruch. Sind Wandfläche hnd Geländefläche Ebenen, so läfst sich dieser Widerspruch vermeiden, aber nur unter Verzichtleistung auf die Verfügung über den Winkel 8' und für Wandflächen von bestimmter Rauhigkeit; auch ergeben sich hierbei für wichtige Fälle (Fig. 28 u. 29) unwahrscheinliche Erddruckrichtungen.

Da nun auf die freie Wahl des Winkels 8' aus den in Nr. 1 vorgetragenen Gründen nicht verzichtet werden kann, so will es zunächst scheinen, dals nichts übrig bleibe als die mit sehr zeitraubenden Rechnungen verbundene Einführung gekrümmter Gleitflächen. Es gibt aber einen einfachen Ausweg. Man betrachte die ebene Gleitfläche fecîiglic’fi "als eine Annahme zur Vereinfachung der Rechnung und denke sie nachträglich durch eine gekrümmte Gleitfläche ersetzt. Hierzu genügt es, einzüsehen, dafs es möglich ist, diese Umformung auszuführen, ohne die Gröfse und Lage des für die ebene Gleitfläche erhaltenen Erddrucks zu ändern. Die Hilfsmittel für diese Umformung enthält der § 6. Dort werden wir zeigen, dafs man den Druck Q auf' eine irgendwie geformte Gleitfläche und seine Verteilung längs dieser Fläche angeben kann, sobald nur die Form der Fläche bekannt ist. Nimmt man also eine die Wand und das Gelände unter den vorgeschriebenen Winkeln schneidende Gleitfläche an, deren Gestalt von drei Parametern abhängt., so kann man die Gröfse und Lage des Druckes Q als Funktion der Parameter darstellen und diese drei Unbekannten schliefslich mit Hilfe der drei Gleichgewichts-bedingungen berechnen. Durch diese Betrachtung wird ein Einwand beseitigt, der bis in die neueste Zeit hinein immer wieder gegen die Coulomb sehe Theorie vorgebracht worden ist⁶).

10. Zahlenbeispiel zur Erläuterung des Einflusses des Winkels o.

Eine Stützmauer habe die in Fig. 30 angegebenen Abmessungen.

CO

Es sei a = 30 °, p — 36 °, und es werde geschätzt p' = - p = 27 °.

Es soll der Druck a, den die Mauer an der Vorderkante auf die Flächeneinheit des Baugrundes ausübt, für verschiedene, zwischen 0⁰ und 27⁰ liegende Winkel 8' berechnet werden. Das Gewicht

Co

[---r

ic>

U<

9,0™

28,8t

-H

//

Fig. 30.

der Erde sei y == 1,8 t/m³. Die Oberfläche des Erdkörpers sei unbelastet. Dann ergibt sich nach Gleichung 18)

cos² p _

Ew — — y s²

8²

r-i OJ

• 1,8-9²-

0,654

S²

En =

47,7 t

wo nach Gleichung 19)

e = l +

sin (p — a) sin (p + 0') cos a cos 8'

Um diesen Ausdruck möglichst schnell für verschiedene Werte 8' berechnen zu können, schreiben wir

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern.

sin (p — a) cos a

41)

(sin p + cos p tg 8')

£    1 -j-

= 1 + Vo.071 + 0,098 tg 8'.

Die Tabelle auf S. 35 enthält für 8' = 27 °, 20°, 10 °, 5 °, 0° die Werte s, ferner die Kräfte E,„, El = E,c tg 8' und E—Ew sec 8'. Man erkennt, dafs die Gröfse des auf halbe Tonnen abgerundeten Erddruckes E sich nur sehr wenig mit 8' ändert.

Das Gewicht des Mauerwerks sei 1,6 t/m³. Die Stützmauer wiegt also :

G = -ä-1,6 • 1,8 • 9,0 + 1,6 • 2,0 • 9,0 = 13,0 + 28,8 = 41,8 t.

Là

Das auf die Vorderkante der Mauer bezogene Moment der an der Mauer angreifenden Kräfte ist

Ew • 3,0

M = 13,0 • 1,2 + 28,8 - 2,8 + Et • 3,8 = 96,2 + El • 3,8 — Etv • 3,0.

Der Normaldruck auf die Bausohle ist

K9/cmi

er

15,5

N= 41,8+ iV,

sein Abstand von der Vorderkante der Mauer beträgt

>S

S' = o°

5°

10°

20°

27°

Fig. 31.

Die Tabelle gibt für die verschiedenen Winkel 8' die Werte M, N und c an. Da alle Werte ; kleiner sind als

-ö- (1,8 + 2,0) = 1,27 m,

so liegt der Angriffspunkt von N aufserhalb des Kerns des wage-rechten Mauerquerschnitts. Der Druck N verteilt sich daher nur über ein Rechteck von der Breite 3 % und der senkrecht zur Bildfläche gemessenen Länge 1, und es ergibt sich deshalb für die Baugrundpressung a an der Vorderkante der Wand aus der Gleichung

3•1•3g-

der Wert

3a

tg?/

E²

Eu,

el e m

o' = 27 0 20° 10°

5°

0°

H    CO    l>    00

IO    CO    1—«    o

o    o    o    o    o

CO DO CO CC C0 •d 00 O W Cn

26

27

O CO

28

29

0'

29,5

to to DO to to C O GO CD CO 'b* OT

CO (N OQ I>V C^f

D-' <70 GO L

O IO CO rH

4*-    Ox    Crt

i—    4^    02    i—    4*.

oo    co    œ    oo    oo

CO CO D (N CO

03 O ^ r—

Tonnen

tm

ma

Die in Fig. 31 gezeichnete Kurve zeigt das Anwachsen der Druckspannung a bei abnehmendem Winkel 5'; sie gibt eine deutliche Vorstellung von der Gröfse des Einflusses dieses wichtigen Er fahrungs werte s.

VA

3.

Die Grenzzustände des Gleichgewichtes einer unendlichen Erdmasse mit ebener, gleichmâîsig belasteter Oberfläche.

11. Hauptsatz. Anwendung des Coulomb sehen Prinzips. Die

sogenannte neuere, durch. Hunitine begründete Theorie des Erddruckes geht von der Untersuchung der Gr enz zuständ e des Gleichgewichts einer unendlichen Erdmasse mit ebener Oberfläche aus.

Die Erdmasse sei kohäsionslos und in allen Punkten von gleicher Beschaffenheit. Die Oberfläche sei gleichmälsig mit p belastet. Durch zwei lotrechte Schnitte A B (Fig. 32) und den zur Oberfläche parallelen Schnitt A A sei ein Prisma abgetrennt, dessen Gewicht einschliefslich der auf der Oberfläche ruhenden Last gleich G ist. Die auf die Seitenflächen A B wirkenden Drucke seien nach den Richtungen B B und A B in die Seitenkräfte E0 und E' zerlegt, der an der Fläche A A angreifende Druck nach denselben Richtungen in die Seitenkräfte S und V.

Setzt man

1. die Summe der parallel zu BB wirkenden Kräfte gleich Null,

fi

rt

E'

>1

£' ^ i

Fig. 32.

2. die Summe der parallel zu AB wirkenden Kräfte gleich Null,

so findet man

42)

S=0 und V= G,

während sich aus der Bedingung für das Gleichgewicht gegen Drehen

E' = 0

ergibt. Daraus folgt: Der Druck auf eine lotrechte Fläche ist parallel zur Oberfläche, und der Druck auf eine zur Oberfläche parallele Fläche ist lotrecht. Für jeden beliebigen Punkt der Erdmasse sind also die lotrechte Richtung und die Oberflächenrichtung konjugierte Richtungen.

Durch diesen von Rankine aufgestellten Hauptsatz und durch die früher über den Reibungswiderstand gemachte Voraussetzung ist jeder der beiden Grenzzustände des Gleichgewichts der unendlichen Erdmasse mit ebener Oberfläche eindeutig bestimmt-. Die im § 1 angegebenen Verfahren zur Darstellung des Erd drucks können auch für den jetzt vorliegenden Fall benutzt werden. Der einzige Unterschied ist der: Im § 1 gingen wir von der Annahme aus, es sei die Richtung des auf die Wandfläche wirkenden Erddruckes gegeben ; für die Untersuchung des unendlichen Erdkörpers mit ebener, gleichmälsig belasteter Oberfläche steht die Tatsache zur Verfügung, dafs die Richtung des Druckes auf eine lotrechte Fläche bekannt ist.

Will man z. B. das Coulomb sehe Prinzip benutzen, so betrachtet man den Gleichgewichtszustand eines Erdprismas AB₀C (Fig. 33), dessen eine Seitenfläche lotrecht ist, und legt sich die Frage vor: Wie grofs mufs der auf die Fläche AB₀ wirkende, zur Oberfläche parallele Druck E₀ mindestens sein, und wie grofs darf er höchstens werden, ohne dafs der Gleichgewichtszustand des Erdprismas A B₀C gestört wird.

Fig. 33 zeigt die Ermittelung des unteren Grenzwertes E mit Hilfe der Culmann sehen _E-Linie. Der Kräftemafsstab wurde so gewählt, dafs das Gewicht G — — y h B₀ C des Erdprismas A B₀C

durch die Strecke AD dargestellt wird, wobei CD\\ AB₀ ist. Es ist nämlich G proportional AD, weil es sich auf die Form bringen läfst

wUo cos p AD,

wo s₀ die Länge der Strecke AB₀ bedeutet. Die if-Linie ist eine Hyperbel.

In Fig. 19 ist dieselbe Aufgabe bereits mittels der ebenfalls auf das Coulomb sehe Prinzip sich stützenden Poncelet sehen Konstruktion gelöst worden. Auf die Richtung von E₀ wurde dort auf anderem Wege geschlossen.

Oi\

I,

7)

f\

,f

V'

/VW.

Fig. 33.

§.t - £21 Aß

Ori o<

b - S o <^> o(

jj V 5;y0'°<

ZVV\ ^

<VT3 o

Zï.

S-iD ü.e.

bp*'

Will man E₀ durcli Rechnung bestimmen, so setze man in die auf S. 13 u. 14 abgeleiteten Formeln die Werte ein

ö = a, H = 90 °, ^ = 90° — a. Nach einer einfachen Umformung findet man

cos² p

43)

ibo ^ F₀ cos a = Y 7 s‘²

s²

wo

2p

44)

h ’

8=1 + sec v. /sin (p — a) sin (p + a).

Kennt man aber den Druck E₀ auf die lotrechte Fläche A Bq, so kann man auch den Druck auf eine irgendwie geformte Zylinderfläche AB angeben, indem man E₀ mit dem Gewichte G des Erdprismas AB₀B zusammensetzt (Fig. 34). Schneidet die krumme Schnittfläche AB die Lotrechte AB₀ (Fig. 35), so nehme man zunächst die Schnitte AA' jj BB₀ und A'B'₀ || AB₀ zu Hilfe. Dann ist der Druck E auf A B die Mittelkraft aus dem Drucke E₀, dem Gewichte des Erdprismas BAA'B'₀ und dem auf die Fläche AÄ wirkenden Drucke V. Nun ist aber V gleich dem Gewichte G₃ des Erdprismas AB₀B'₀A\ und daraus folgt, dafs E die Mittel -kraft ist aus E₀ und den Gewichten G₁ und G₂ der beiden in Fig. 35 schraffierten Erdprismen, wobei G₂ von unten nach oben gerichtet angenommen werden mufs.

B'

G, Bn

Gz

A'

Fig. 34.

Fig. 35.

Damit könnten wir eigentlich die Theorie des unendlichen

Erdkörpers mit ebener, gleichmäl'sig belasteter Oberfläche als erledigt ansehen. Wir wollen aber noch eine weitere Reihe von Lösungen dieser Aufgabe beschreiben.

12. Anwendung der Involution der konjugierten Kräfte- und Schnittrichtungen. Gesucht sei der Druck F auf irgend eine ebene Fläche A Ä (Fig. 36) für beide Grenzzustände des Gleichgewichts. Wir betrachten den Gleichgewichtszustand eines Erdprismas, das begrenzt wird von der Fläche A A' und den lotrechten Schnittflächen A B' und A B. Die gleichmäfsige Belastung p der Oberfläche des Erdkörpers ersetzen wir durch eine Erdschüttung, welche — rechtwinklig zur Oberfläche gemessen — die Höhe

Dem Gewichte G des schraffierten Erdkörpers mufs das

Gleichgewicht gehalten werden durch den an der Fläche A A ' angreifenden Druck E und den auf die Fläche A A ” wirkenden Druck E₀. Die Erddrucke auf die Flächen Ä B' und A B heben sich gegenseitig auf. Wir zeichnen zwei konzentrische Kreise, deren Radien sich zu einander verhalten wie sin p : 1 , ziehen von einem beliebigen Punkte S des äufseren Kreises aus S L || A B und S 0 || B' B und bestimmen mit Hilfe der Sehne L 0 die beiden Involutionszentren J" und J°. Nun ziehen wir SB \\ A A und finden mit Hilfe der Sehnen DJ" und DJ° die Richtungen der

£- hat..

Erddrucke Eu und E° für die beiden Grenzzustände des Gleichgewichts. Die Gröfse dieser Drucke erhalten wir durch Zerlegung des Gewichtes G nach den Richtungen von E₀ und Ex\ beziehungsweise E₀ und E°.

r/

\CC

B'

E°

||||

^ zfw-V'i

A'\

<EU

Es

fEu

Fig. 36.

Besonders wichtig ist die folgende Untersuchung. Es sollen — zunächst für den Fall einer unbelasteten Oberfläche — die auf die Flächen A B₀ und A B (Fig. 37) wirkenden Erddrucke E₀ und E durch die Gewichte von Wasserprismen dargestellt werden, deren Querschnitte Dreiecke von der Höhe h und den Grundlinien b₀ und b • sind. Das Gewicht G des Erdprismas ABB₀ und die Drucke E0 und E verhalten sich zu einander wie y d : b₀ : b, wo y das spezifische Gewicht der Erde ist ⁷). Hieraus folgt ohne weiteres die in Fig. 38 angegebene Konstruktion der Grundlinien b₀ und b für den unteren Grenzzustand des Gleichgewichts. Ist die Ober-

fläche des Erdkörpers mit p belastet, so mufs das Belastungsdreieck auf die in Fig. 13 & (S. 17) beschriebene Weise durch ein Trapez ersetzt werden.

Bo.

4'

II

¹

Vergl. Kötter, „Die Entwicklung der Lehre vom Erddruck“, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung II, 1893. In dieser eingehenden, durch eine klare Darstellung des Coulomb sehen Prinzips sich auszeichnenden Arbeit über den Erddruck wird überzeugend nachgewiesen, dafs Winkler und Bebliann (der das Coulomb sehe Prinzip ebenfalls für unrichtig erklärt hat) die grundlegende Arbeit Coulombs nicht gekannt und aus einer fehlerhaften Quelle zweiter Hand geschöpft haben.

²

Einen einfachen Sonderfall hatte bereits vorher Weingarten in dieser Weise behandelt. Zeitschrift für Bauwesen 1870. S. 122.

³

Dies ist in anderer Weise und für p = 0 zuerst von Mohr nach-gewiesen worden.

⁴

Die mitgeteilten Sätze folgen auch ohne weiteres daraus, dafs die Flächenrichtung und die zugehörige Druckrichtung als die Richtungen konjugierter Durchmesser einer Ellipse anzusehen sind. Vergl. auch W. Ritter, Anwendungen der Graphischen Statik. Teil I, S. 5, sowie die zweite Auflage der Graphischen Statik von Cuhnann, S. 529.

⁵

Reye, Geometrie der Lage, I. Aht. Erste Auflage 1866, Fig. 58. Vierte Auflage 1898, Fig. 62.

⁶

Die Annahme einer ebenen Gleitfläche läfst sich vergleichen mit der ebenfalls gegen die Gleichgewichtsbedingungen verstofsenden, trotzdem aber brauchbaren Yoraussetzung, dafs die Querschnitte eines auf Biegung beanspruchten Balkens eben bleiben und ihre Form nicht ändern. In der Erddrucktheorie tritt dieser Widerspruch nur offener zutage, und darum wird er auch so oft hervorgehoben und getadelt, auch von' solchen, die mit ebenbleibenden Balkenquerschnitten rechnen, ohne zu wissen, dafs sie dadurch einen ähnlichen Fehler begehen.

⁷

Wählt man die Tonne und das Meter zu Einheiten, so wird das Gewicht der Raumheit der Erdmasse und das spezifische Gewicht durch dieselbe Zahl ausgedrückt. Der in Quadratmetern ausgedrückte Inhalt der Belastungsfläche gibt dann den Erddruck in Tonnen an.

,fn h

II idb-

Fig. 37.

bt

yd Fig. 38.

Fig. 39 beschreibt ein einfaches Verfahren zur Bestimmung der auf die einzelnen ebenen Stücke einer gebrochenen Fläche wirkenden Drucke E. Die Lotrechte SL und die zur Oberfläche parallele Gerade S 0 bestimmen den Punkt J. Zur beliebig angenommenen Richtung S C wurde die konjugierte Richtung S D ermittelt und nunmehr (im Anschlufs an Fig. 38) mit Hilfe der Strecke SÄ — ~{ä die Grundlinie b₀ des Belastungsdreiecks der lotrechten Schnittfläche SL gefunden. Die Herstellung der Belastungsfläche mit

-J

-,

Fig. 3.9.

Berücksichtigung von p geschah nach Fig. 13?;. Der Druck En auf das ebene Flächenstück II setzt sich zusammen aus dem Ge-wichte Gn des schraffierten Erdprismas und dem parallel zur Oberfläche wirkenden Drucke E₀u, auf die Fläche AA". Die durch A" und A parallel zur Oberfläche gezogenen Geraden begrenzen den Teil KFMN der Belastungsfläche, dessen Inhalt den Druck E₀ n angibt.

Eine andere Darstellung der Verteilung des Druckes über eine gebrochene Fläche zeigt Fig. 40. Der Punkt P wird in beliebigem Abstande h von der Oberfläche angenommen ; er ist der Scheitel eines Strahlenbüschels, dessen Strahlen parallel zu den Flächenrichtungen I, II, III IV, F* sind. Die Fläche IV ist lot-

V'

E,

EJ

IV

£*

a,

NV'

(l.,

a.

a.

(L

\ Vt

y\

_V- - "

a3

s>

'0

r*

'/)

a*

•A

Fig. 40.

recht. Mit Hilfe einer im Abstande 7 h von P parallel zur Oberfläche gezogenen Geraden werden die Strecken p ⁼⁼ 7 dm.    m = 1, 2, 3, 4

bestimmt. Nun wird mittels der Involution für irgend eine Flächenrichtung die zugehörige Erddruckrichtung festgelegt. Wir wählten Fläche J, landen die Richtung E₁, trugen auf der Verlängerung der Geraden LS die Strecke SS' = ax + a₂ + aa ab , bestimmten zunächst die Grundlinien b₄ || S 0 und bx und hierauf mit Hilfe der Strecken a₄, a₂ und a₄ auch die Grundlinien ?>₂, ^3, &5* Die Richtungen der Strahlen b geben die Richtungen der Erddrucke an. Auf einer im Abstande h vom Punkte T parallel zur Oberfläche gezogenen Geraden wurden schliefslich die Strecken

0 — 5 = b₅

0 — 1 = bx, 0 — 2 = b₂, 0 — 3=fta, 0 — 4 = b₄, aufgetragen und die Belastungsflächen gezeichnet.

Es möge noch gezeigt werden, wie sich der involutorische Kreis zur Herleitung einer Formel für E₀ verwerten läfst. Wir bestimmen mit Hilfe des Punktes J (Fig. 41) die Hauptflächen (1) und (2), das sind die sich rechtwinklig schneidenden konjugierten Richtungen. Die ihnen entsprechende Kreissehne geht durch den Mittelpunkt M. Nun zerlegen wir das Gewicht G eines von der lotrechten Fläche AH₀ und der zur Hauptfläche (2) parallelen Fläche AB₂ begrenzten Erdprismas nach den Richtungen von

maf_.

HZ)

L.

\<x+a'

7,

Fig. 41.

H₀ und E₂. Mit den Bezeichnungen A B0 erhalten wir

■% und A ß₂ == st

E₀ =

S2 — ~

G cos a sin (a -j- a')¹

2 T iSo ,<’2 sin V,

s₀ cos a cos (a 4- a) ’

und schliefslich

45)

MJ

q90

o cos a sin 2 a

sin 2 (a + a')

Der Winkel a' ist durch die Gleichung bestimmt:

40)

sin (2 a 4 a)

sin a

^ 4JUk_ jÇ -

sm p

Dais die Formeln 43) und 45) ein und denselben Wert E₀ liefern, ^ lälst sich durch eine Umformung beweisen, deren Ausführung wir

dem Leser überlassen.

Für den Hauptdruck E₂ erhält man

Jr

c/

47)

e₂=e₀

cos a

cos a'

Im Falle ct •— 0 ergibt sich

E₀ = E₂ =

vO

48)

IC

45° —

»•

13. Der Spann ungskreis yoh Cutmann und Rankine. Wir

beziehen den Erdkörper auf ein rechtwinkliges Achsenkreuz ,r, y

Si

so

l/jf

Tros (f >

wS ' *

"i ■

•O

-Sv (p

' r‘

„ b

Ho«-?

\<P

G'

T‘

• l-

je

AA a

67

/•’

Fig. 42.

und schneiden an irgend einer Stelle ein dreiseitiges Prisma von der Länge 1 und den Querschnittsabmessungen dx, dy, äs heraus. Die Normalspannungen in den Seitenflächen dy und dx bezeichnen wir mit cp und a,y, die gleichgrofsen Schubspannungen mit t. Die Spannung in der Fläche ds sei X und sei zerlegt in die Normalspannung a und die Schubspannung x. Die Spannungen cp, <sy und x seien gegeben ; es sollen die Spannungen X für alle möglichen Lagen der Fläche ds dargestellt werden.

Bezeichnet man den Winkel zwischen ds und dx mit cp und setzt man ds= 1, so wirken auf die Fläche dy die Kräfte cp sin cs

und T sin cp, auf die Fläche dx die Kräfte a„ cos cp und x cos 9 und auf die Fläche ds die Kraft X. Wird X nach den Richtungen x und y in die Seitenkräfte und \y zerlegt, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen :

Xx —■ ax sin    1 cos cp

\y = Gy cos cp + x sin cp.

Auf einer Parallelen zur x-Achse tragen wir die Strecken auf:

A ax = ax und A alf — ay,

errichten sodann im Punkte ax auf der Geraden Aax ein Lot von der Länge

ax S — t,

und legen durch den Punkt S einen Kreis, dessen Mittelpunkt M die Strecke a, halbiert. Ziehen wir nun durch S eine Parallele zur Fläche ds bis zu ihrem Schnittpunkte I) mit dem Kreise, so gibt die Strecke A D die Grölse der Spannung X an.

Zum Beweise verbinden wir D mit dem Endpunkte F des Kreisdurchmessers SMF und fällen von A auf DF das Lot AC.

Wir erhalten dann übereinstimmend mit den Gleichgewichtsbedingungen : ax sin cp + x cos cp = X¹

AC — cs,, cos cp -f- x sin cp —

Da nun mit X den Winkel 0 + cp bildet, so ist Z. M A D = 0, und hieraus folgt, dafs X und 0 die Polarkoordinaten, die Spannungen 5', x' die rechtwinkligen Koordinaten des Kreispunktes D sind. Diese Darstellung der Spannungen findet sich zuerst bei Rank ine. Dafs eine durch den Endpunkt D des Fahrstrahles X parallel zur Flächenrichtung gezogene Gerade DS durch einen festen Punkt S des Kreises geht, ist ein Ergebnis der viel vollständigeren Darstellung Culmanns ¹).

of

49)

CD

Die Kreis-

max•

Die Strecken A al und A a._, geben die Hauptspannungen an ; die ihnen entsprechenden Hauptflächen haben die Richtungen Sal und Sa₂ (Fig. 43). Die beiden Hauptflächen bilden ein Paar konjugierter Richtungen. Wählt man also den Punkt S zum Mittelpunkte der Involution der konjugierten Kräfte- und Flächenrichtungen, so liegt das Involutionszentrum J in der Sehne ax o₂ ; sein Abstand J M vom Kreismittelpunkte verhält sich zum Kreishalbmesser wie sin8„MX:l. Daraus folgt, dafs J in der Verbindungslinie der Berührungspunkte 7j, T₂ der durch den Punkt A gehenden Kreistangenten liegt. Die konjugierten Richtungen S 1\ und S Tn bilden miteinander den Winkel 90 ⁰ — 0

sehne D JI)' bestimmt die Richtung I)' S der zur Fläche SI) gehörigen Druckrichtung X.

T,

I)

LÂ/.--A1

Fig. 43.

Für einen im unteren oder oberen Grenzzustande des Gleichgewichts sich befindenden Erdkörper ist omax — p. Tritt noch die Einschränkung hinzu, dafs der Erdkörper von unendlicher Ausdehnung ist und eine ebene Oberfläche besitzt, so läfst sich der Spannungskreis für jeden der beiden Grenzzustände des Gleichgewichts eindeutig bestimmen, weil die Druckspannung Xff für ein zur Geländefläche paralleles Flächenelement nach Nr. 11 von vornherein bekannt ist. Die auf dieses Flächenelement ds wirkende

Kraft ist nämlich (nach Gleichung 42) gleich dem Gewichte yhds der auf ds ruhenden, von lotrechten Schnitten begrenzten Erdsäule (Fig. 44). Es ergibt sich also, wenn die Oberfläche zunächst unbelastet angenommen wird,

50)

G = T h-

Der Winkel 5, den ),₉ mit der Normale von ds bildet, ist gleich dem Neigungswinkel a der Oberfläche. Daraus folgt: zieht man durch den Punkt A unter dem Winkel a gegen die wagerecht angenommene x-Achse die Sekante ASS', so kann man den Strahl AS' oder den Strahl 1(4S als Spannung in der zur Oberfläche parallelen Fläche ds auffassen. Im ersten Falle macht man AS'=yh, im zweiten Falle AS=yh. Der erste Fall entspricht dem unteren, der zweite dem oberen Grenzzustande des Gleichgewichts. Das eine Mal ist S der Mittelpunkt der Involution der

konjugierten Kräfte- und Flächenrichtungen, das zweite Mal ist dies der Punkt S\ Mit Hilfe eines und desselben Kreises kann man also beide Grenzzustände untersuchen ; man braucht nur zwei verschiedene Spannungsmafsstäbe zu zeichnen. Figur 44 zeigt für den unteren Grenzzustand die Darstellung der Spannung X₀ für die lotrechte Flächenrichtung S Ij und der Spannung X für eine zu A B parallele Flächenrichtung S D. Die Spannungen beziehen sich auf Flächenelemente, die durch den Punkt A gehen. Die Belastungs-'wTiVU

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-A,

7?

Tz

Fig. 44.

fläche für den Schnitt A B ist ein Dreieck von der Grundlinie X und der Höhe A B = s. Der Gesamtdruck auf A B beträgt daher

Æ — 2 X

Ist die Oberfläche gleichmäfsig mit p belastet, so mufs dieser Wert noch mit

-*- = 1 +

multipliziert werden.

so trage

Schneidet die Gerade SD den Kreis unter einem sehr flachen Winkel — was ein tritt, wenn I) sehr nahe bei S liegt, man, zur Vermeidung von Ungenauigkeitên, den Durchmesser S M li ein und bestimme 1) mit Hilfe von liD J_ AB. Das ganze Verfahren dürfte übrigens kaum zu empfehlen sein; es ist weniger übersichtlich und auch weniger einfach als das in den Figuren 38,

39 und 40 angegebene. Hingegen darf der folgende, in Fig. 45 beschriebene Weg als ein brauchbares Seitenstück zu Fig. 40 bezeichnet werden.

Der Spannungskreis wird in Fig. 45 nur zur Ermittelung der zu der lotrechten Schnittfläche Â B₀ gehörigen Strecke b₀ benutzt. Die übrigen Werte b₁, 5₂, b₃ ... . werden genau wie in Fig. 40 mit Hilfe der Strecken ax, a₂, a₃ . . . . bestimmt. Die Richtungen

\cc

yh

JV

a,

L'p

\CC

Q\

ßo

az

'A'

a3

Fier. 45.

. . . geben auch die Richtungen der auf die

der Strahlen 5, , b Flächen Ä J5X, Ä B₂ . . . . wirkenden Drucke an. Zur Feststellung des Mafsstabes des Spannungskreises ist zu beachten, dafs zwischen der Spannung X₀ und der Strecke b₀ die Beziehung

- L₀ 4= ^ *o s₀ — 2 ho h besteht, wo s₀ — A B₀ ist. Daraus folgt.

K —    »

L S" .

und es mufs daher für den unteren Grenzzustand die Strecke A S'_=j s₀ (anstatt y h) gemacht werden.

Für den oberen Grenzzustand mufs ÀS = y s₀ sein. Es ergibt

Für den oberen Grenzzustand mufs

AS = lh

cos a -f Vcos² a — cos² p cos a — y cos² a — cos² p Das Verhältnis der Hauptspannungen X₂ = a2 und Xx = a₁ ist

53) yl ,j X₀ — y h

gemacht werden. Es entsteht dann AS'

ÄS

AK

AS', und der Punkt S' wird der Mittelpunkt des

sich dann b0 Büschels der Strahlen b.

14. Die JianJcine scheu Formeln. Trifft eine vom Punkte A aus unter irgend einem Winkel o gegen die Wagerechte gezogene Gerade den Spannungskreis in den Punkten D und D' (Fig. 46),

das Verhältnis der Spannungen X und X'

in den beiden konjugierten Flächen an, deren Richtungsunterschied gleich 90 ⁰ — o ist. Aus den beiden Gleichungen

so gibt der Bruch

AL)

AI)

l~(AD+AD')=AMcosb,

u

und

folgt

AD AD' = AT² = AM² cos² p,

51)

AD

V AD'

cos 8 — Vcos² o — cos² p

cos

b + Vcos² 8— cos² p

S'

JD

. Ca

Ht

•e-

K'

Fig. 46. '

Für den unteren Grenzzustand des Gleichgewichts und für p — 0 ist der Mafsstab des Kreises durch die Bedingung gegeben

Co c A S ' — y h.

Die Druckspannung im lotrechten Flächenteilchen ist also

cos a — Vcos;?_a — cos² p coè a + Vcôs² a — cos² p

52) jCD X₀ =■ T h

AS

AS'

1 — sin p 1 + sin p

Die Werte der Hauptspannungen sind für den unteren Grenz

zustand

55)

Ol

cos oc

y h (1 + sin p)

+ Vcos² a — cos² p

56)

a₂ —

y h (1 — sin p)

cos a

4- Vcos² a — cos² p

und für den oberen Grenzzustand

57)

y h (1 -f sin p)

cos a — Vcos² oc — cos² p

58)

a₂ —

y h( T— sin p) cos oc — Vcos² oc — cos² p

Der untere Grenzwert des auf eine lotrechte Fläche AB₀ = s0 wirkenden Gesamtdruckes nimmt den Wert an

59)    £’₀=yT h = o T V cos oc

cos oc —

cos a

Vcos² oc — cos² p

4- Vcos² a — cos² p

Diese Gleichung geht, wenn Zähler und Nenner des Bruches mit cos a + Vcos² a — cos² p multipliziert werden, über in

77 —    s°²

L° 2 cos a

cos p cos a

coè a -f Vcos² a — cos² p und nach einer einfachen Umformung in

Eo =

T So² V_

2 cos a y]_

sec a

cos p

Vsin (a 4- p) sin (a — p)

)■

Das ist derselbe Wert, der sich auf Seite 37 aus der im § 1 mittels des Coulomb sehen Prinzips entwickelten allgemeinen Formel ergab.

15. Literarische Anmerkung. Den Hinweis auf Ranlcine und Culmann (S. 44) ergänzen wir durch die folgende Mitteilung. In der Abhandlung: On the stability of loose earth, erschienen in den Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1857, Vol. 147, Part. I, hat Ranlcine die neuere Theorie des Erddruckes vorwiegend analytisch entwickelt, aber auch (auf S. 11 in Fig. 1) die folgende graphische Darstellung der Spannungen X angegeben.

Im Punkte A seien die Hauptspannungen und a₂ bekannt,

Millier-Breslau, Urddruck auf Stützmauern,

Gesucht sei die Spannung l in einer Fläche AB (Fig. 47), deren Normale AN mit der Richtung A A der Hauptspannung a₁ den Winkel cp' bildet. Rankine trägt auf der Normale die Strecke

₉ (ah 4- a₂) auf, bestimmt auf A A den Punkt C C AI =- A M ist und macht AID —

A Al

so , dafs

(ai — a₂). Die Strecke AD

c/A‘

s.

.'S

\<P'

\S

h-

H, (6,+ 6z)

Fig. 47.

gibt dann die Gröfse und Richtung der Spannung \ an. Der Winkel DAM ist also gleich 6. Zum Beweise benutzt Rankine die bekannten Gleichungen

60)

^1^2 o '

₉—- cos 2 cp

u

0l «in 2 cp' ²).

Ui

Wiederholt man dieses Verfahren für alle Flächenrichtungen und trägt man die Winkel o an ein und dieselbe Gerade il an, so beschreibt der Punkt D einen Kreis vom Halbmesser ₉ (c^ — a₂)

Ui

und dieser Kreis stimmt mit dem in Fig. 42 auf anderem Wege entwickelten Spannungskreise überein.

Rankine hat den Schritt, die ô an eine feste Gerade anzutragen, erst in seinem Handbuche: A Manual of applied mechanics ³) getan, und zwar zuerst durch Lösung der Aufgabe:

Es sind zwei Spannungen Xx und X₂ nach Gröfse und Richtung gegeben ; gesucht sind die Hauptspannungen ax und a₂. jUanhine trägt an eine beliebige Gerade A N (Fig. 48) die Winkel I)₁AN = 8X und I)₂ A N= o₂ an, macht A Dx — Xx und AD₂ — X₂, verbindet D₁ mit Z>₂ und errichtet im Halbierungspunkte E von E₁D₂ auf dieser Geraden ein Lot, welches A N im Punkte M trifft. Er findet

Ö1 = OM + MD1 a₂= WM—MjDi.

Sind Xj und X₂ die Spannungen in konjugierten Flächen, so ist Oi — o₂ ; es liegen dann die drei Punkte A T)x D₂ in einer Geraden. Uanhine benutzt nur die obere Hälfte des Kreises (Fig. 4(3). Für kohäsionslose Erde setzt er omaJ- — p und für den Fall des unendlichen Erdkörpers mit ebener Oberfläche AS' = ^h oder AS=^h, je nachdem der untere oder der obere Grenzzustand untersucht werden soll.

n,

/;

A.

JV

ui

Fig. 48.

Auf einem ganz anderen Wege hat Culmann in seiner Graphischen .Statik (18(34) den Spannungskreis entwickelt. Er setzt die an dem Prisma äx dy ds angreifenden Kräfte zu einem geschlossenen Polygon zusammen und nimmt hierbei dy — 1 an. In Fig. 40 haben wir diese Darstellung wiedergegeben; sie setzt ungleiche Vorzeichen der Hauptspannungen ax und a₂ voraus. Die Achse ist parallel zu der Fläche, für welche ay = 0 ist. Aus dieser Abbildung folgt auch, dafs die durch die Endpunkte D der Fahrstrahlen X parallel zu den Flächenrichtungen gezogenen Geraden I) S durch einen festen Punkt S des Kreises gehen.

Im Jahre 1871 hat Mohr in der Zeitschrift des Architekten-und Ingenieurvereins zu Hannover einen Beitrag zur Theorie des Erddruckes veröffentlicht, in welcher er den Culmann sehen Spannungskreis — ohne Culmann zu nennen — in derselben Weise entwickelt, wie dies der Begründer der graphischen Statik getan hat. Er setzt ebenfalls die an dem Prisma dx dy ds angreifenden Kräfte zu einem geschlossenen Polygon zusammen und macht

auch die Annahme dy — 1. Der feste Punkt S wird — genau wie bei Culmann — als Schnittpunkt der Kräfte x und x cosec cp gewonnen. Im festen Punkte F schneiden sich <sx und cf cosec cp. In Fig. 50 ist diese Darstellung wiedergegeben worden. Die Hauptspannungen haben gleiche Vorzeichen.

Den Mafsstab

X cotff m

V~*

(J'cosec (p

T‘\h

D 6'

t cotg (p i

r}'

Sv v <{>

- -6' --

ML

A ifir

—j /H ^

zj 1 j jTromÿ?

² V i /

Sills

'S

-4

Fig. 49'50.

des Kreises bestimmt Mohr nach Rankine durch die Angaben t>mnx — p und A S' — yh oder AS— y h. Die Eigenschaft, dals die Verbindungsgeraden konjugierter Punkte I) und D' durch einen festen Punkt J gehen, beweist Mohr, ohne die Involution zu Hilfe zu nehmen.

Auch Rankine wird von Mohr in seiner ersten Arbeit gar nicht und auch später nur unvollständig angeführt. Noch in

seinen erst vor kurzem erschienenen Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik (1906) spricht Mohr von Bankine nur als dem Begründer der neueren Theorie des Erddrucks, mit dem Zusatze, er habe diese Theorie auf analytischem Wege dargestellt. Die Übergehung der Bankine sehen Konstruktionen mufs um so mehr auffällen, als Mohr in seinem neuen Buche zur Entwicklung des Spannungskreises nicht mehr das Culmann sehe Kräftepolygon, sondern die Gleichungen 60) benutzt, mithin gerade den Weg einschlägt, den Bankine im Jahre 1857 angegeben hat ⁴).

16. Per Spannungskreis von Weyrauch. Eine eigenartige Darstellung der Spannungen hat Weyranch (1880) angegeben. Auf einer Parallelen zur x-Achse werden die Strecken AX—ax und XY—d), aufgetragen (Fig. 51). Im Punkte X wird auf der Ge-

⁷A

/:

Öy COS (fl

T cos (p

Tsin Q)

yl

r ,4,

f' %

TW

6xsin (p

⁽P:

J~

7 x

/

*T--__

/    7?->

ït-ÿ'i

Pr<f\

Fig. 51.

raden A Y ein Lot von der Länge XJ—t errichtet. Hierauf wird ein Kreis gezeichnet, dessen Durchmesser die Strecke A Y — ax + (Sy ist. Zieht man nun von A aus zu einer beliebigen Flächenrichtung ds eine Parallele, welche den Kreis in I) trifft, so gibt die Strecke JD die Gröfse der in der Fläche ds herrschenden Spannung X an. Zum Beweise fälle man von J das Lot JJj auf AD. Man erhält dann

JL = ax sin cp -|- x cos cp = Xr LJ) = <3y cos cp -f x sin cp = \y,

das sind die durch die Gloichgewichtsbedingungen 49) vorgeschriebenen Seitenkräfte der Spannkraft X⁵).

Verlängert man nun die Gerade DJ, bis sie den Kreis in E trifft, und bezeichnet den Neigungswinkel der Spannung X gegen die Fläche ds mit ß, so ist Z. E A Y— zl ED Y gleich dem Winkel ß — cp, den X mit X⁵ bildet. Daraus folgt aber, dafs Z.EAD—Q ist, dafs also die Gerade A E die Richtung der zur Flächenrichtung AD gehörigen Spannung X angibt. Der durch die gegebenen Spannungen ax, atJ, x bestimmte feste Punkt J ist also das Involutionszentrum. Es zerlegt die Sehne ED in zwei Strecken JD und JE, welche die in den Flächen AD und AE auftretenden Spannungen darstellen.

(A

'K

Fig. 52.

In Fig. 52 haben wir dieses einfache Ergebnis noch einmal unter Weglassung aller Hilfslinien vorgeführt. Die beiden konjugierten Flächen sind mit a und b bezeichnet worden, die zugehörigen Spannungen mit X« und h>.

a' =

2 (a.r + Oy)--2 Gr — t/) COS 2 Cf

x sin 2 cp

— x> — 2    — %) s⁵n ^ ? — T cos ^ 'f

bringt und die einzelnen Glieder konstruiert.

Fig. 53 zeigt die Ermittelung der Gröfse der Spannungen X' und X" und deren Seitenwerte a, x und a", x für zwei sich rechtwinklig schneidende Flächen A1)' und A I)". Das vom Punkte J auf den

’A'

IVl

A"

ff¹

ff"

À'

T')

ff"

ff

Ar

G'

Fig. 53.

Kreisdurchmesser I)' JD" gefällte Lot zerlegt diesen Durchmesser in die Strecken a und a" ; die Länge des Lotes gibt die Gröfse der Schubspannung x an. Es folgt dies daraus, dafs z£7)'J)"-Z EA D" = 90° — ß'

ist, wo ß' den Winkel bedeutet, den die Spannung X' mit der Fläche A D' einschliefst.

Fig. 54 beschreibt die Bestimmung der Lage der Hauptflächen (1) und (2) und der Gröfse der Hauptspannungen a₁ und s₂.

Soll der Weyrauch sehe Kreis zur Darstellung der Spannungen in einem kohäsionslosen Erdkörper, für den ein ebener Spannungszustand besteht, benutzt werden, so mufs das Involutions-zentrum (nach S. 29) auf einem Kreise liegen, der denselben Mittelpunkt besitzt wie der Spannungskreis und dessen Halbmesser sich zu dem Halbmesser des Spannungskreises verhält wie sin p : 1. Handelt es sich insbesondere um den unendlichen Erdkörper mit ebener Oberfläche, so treten noch die Bedingungen hinzu,! dafs erstens die• lotrechte Richtung und die Oberflächen-

(2)

Mt

6,

V)

Fig. 54.

richtung einander konjugiert sind, und dafs zweitens die Spannung in einer zur Oberfläche parallelen Fläche im Abstande h von der Oberfläche den Wert y h besitzt.

Hieraus ergibt sich die folgende Konstruktion des Spannungskreises für irgend einen Punkt A. Man beschreibe (Fig. 55) zwei konzentrische Kreise, deren Halbmesser sich zueinander verhalten wie sinp:l, und deren Mittelpunkt im Abstande h von der Oberfläche liegt. Nun trage man die der Oberflächenrichtung konjugierte Lotrechte AL ein, bestimme mit Hilfe der Sehne OL

7/

Vo

\ru

/J°

L!

t>

4.

Fig. 55.

die beiden Involutionszentren Ju und J° und wähle für den Spannungskreis den Mafsstab JuO — -y Z>, sobald der untere Grenz-zustand dargestellt werden soll, hingegen den Mafsstab J" O = y h, wenn es sich um den oberen Grenzzustand handelt. Denn der Abstand des Punktes J vom Punkte 0 gibt die Spannung in der zur Oberfläche parallelen Fläche A 0 an, und diese Spannung ist immer gleich y h. Für die lotrechte Fläche erhält man jetzt im Punkte A die Spannungen

X₀M— LJ«, X₀° = L J⁰

und für die Fläche AD:

l" = VJU, 1° = DJ°.

Die Richtungen der Spannungen iu und iP werden durch die Geraden EUA und E°A bestimmt.

17. Benutzuug der Spaimungskreise von Culmcmn und Weyrauch zur Darstellung der Trägheitsmomente und Zentri-fugalmomente ebener Querschnitte. Es möge hier eine wichtige kurze Betrachtung eingeschaltet werden, die allerdings nichts mit der Erddrucktheorie zu tun hat.

Aus dem Kräfteplane in Fig. 42 findet man für die Span-' nungen cf und x' die Werte

cf = \x sin cp -f- \y cos cp \x cos cp — \j sin cp

und mit Beachtung der Gleichungen 49) nach einer einfachen Umformung

cf = gx sin² cp -f Gy cos² cp -(- x sin 2 cp (ax — Gy) sin 2 cp -f x cos 2 cp *).

61)

Nun bestellen aber zwischen deh Trägheitsmomenten und Zentrifugalmomenten ebener Querschnitte ganz ähnliche Beziehungen wie zwischen den a und x. Kennt man die auf das rechtwinklige Achsenkreuz xy bezogenen Trägheitsmomente

Jx = fy¹ d F, J,j= fx²dt

und das Zentrifugalmoment

Jx y —    y d F,

so findet man für das durch denselben Koordinatenanfangspunkt gelegte rechtwinklige Achsenkreuz £ (Fig. 56) die Werte

J.y sin² cp -)- Jx cos² cp -f- Jx y sin 2 cp

Js

62)

Jç >1

r-H CM

( Jy — Jj) sin 2 cp + Jxy cos 2 cp.

Diese Gleichungen haben dieselbe Form wie die Gleichungen 61). Aus dem in Fig. 42 dargestellten Galmann sehen Spannungskreise ergibt sich daher ohne weiteres der in Fig. 56 abgebildete Trägheitskreis. Er löst die Aufgabe, aus den gegebenen drei

*) Fallen die Achsen x und y mit den Hauptachsen (1) und (2) zusammen, ist also x == 0, so gehen die Formeln 61) über in

cf — ö! sin² cp' + a₂ cos² cp' =

a+^? + 5t-1Soos2tfl

2 («i — Og) sin 2 cp'.

x' =

Dies sind die auf S. 50 angeführten Gleichungen 60).

Querschnittsmomenten Jx, Jy, Jxy die Querschnittsmomente J für alle durch S gelegten rechtwinkligen Achsenkreuze zeichnerisch zu ermitteln.

«7

j)

\M

Fig. 56.

Ganz in derselben Weise läfst sich dem Weyrauch sehen Spannung Air e/is ohne weiteres ein Weyrauch scher Trägheitskreis an die Seite stellen. Fig. 57 zeigt die Bestimmung des Kreises und

JC

Jn

-OJ

J,

J*

Fig. 57.

Fig. 58.

Fig. 59.

des Involutionszentrums J mit Hilfe von drei gegebenen Querschnittsmomenten Jjr, Jy, Jxy. Fig. 58 beschreibt die Bestimmung von J;, J,t, für das Achsenkreuz £ tj. In Fig. 59 sind die Richtungen der Hauptachsen und die Hauptträgheitsmomente ermittelt worden. Wir haben diese drei Vorgänge getrennt dargestellt, um möglichst einfache Figuren zu erzielen, die sich auf den ersten Blick übersehen lassen.

Für ein schiefwinkliges Achsenkreuz xrt erhält man nach Fig. 00 das Zentrifugalmoment

Jx>j— f y f\dF =fy (x cos a — y sin a) d F,

Jx )) — Jx y cos a — Jx sin a

und erkennt-, dafs der Wert JX)] durch die Länge des vom Punkte J auf die den Achsen x, yj entsprechende Kreissehne CI) bestimmt

y,

*1

//

'y

Joc

'DC

Fig. 60.

wird. Erwägt man noch, dafs das Trägheitsmoment J- in Fig. 58 auch gleich der Länge des Lotes ist, das vom Punkte J auf die in C an den Kreis gelegte Tangente gefällt wird, so gelangt man zu der in Fig. 61 gezeigten Darstellung der Trägheitsmomente und des Z entrifugalmomentes für das schiefwinklige Achsenkreuz x 7j.

Zur Bestimmung des Weyrauch sehen Trägheitskreises kann man an Stelle der Werte Jx, Jy, JXy auch drei andere Querschnittsmomente benutzen, z. B. drei Trägheitsmomente, oder zwei Zentrifugalmomente

AC

/ T%

/ d.

J,

oc'

/ æTi IL

Fig. 61.

und ein Trägheitsmoment, oder drei Zentrifugalmomente. In allen dem Verfasser in seiner Praxis vorgekommenen Fällen — und ihre Anzahl ist ziemlich grofs — haben sich jedoch die Bestimmungsstücke Jj, J, y als die zweckmäfsigsten erwiesen. Die in den Figuren 57—50 angegebenen Darstellungen haben auch die weiteste Verbreitung gefunden.

Die übereinstimmende Form der Gleichungen 61) und 62) ist lange Zeit nicht genügend beachtet worden. Culmann selbst hat die Beziehungen zwischen den Trägheitsmomenten und Zentrifugalmomenten mit Hilfe der Trägheitsellipse dargestellt; an die Verwertung seines Spannungskreises für die Lösung dieser Aufgabe hat er nicht gedacht. In der 1887 erschienenen zweiten Auflage des ersten Bandes meiner Graphischen Statik ist meines Wissens zum ersten Male darauf hingewiesen worden, dafs diese Abbildung der Spannungen a und x ohne weiteres auch auf die Trägheitsmomente und Zentrifugalmomente ebener Querschnitte übertragen werden kann, da man nur nötig hat, die Bezeichnungen ax, afJ, x zu ersetzen durch J,,, J,, J,Ich fand allerdings den Trägheitskreis auf einem neuen Wege und erkannte erst am Schlufs seine Übereinstimmung mit dem Culmann sehen Spannungskreise. Als ich nun in den späteren Auflagen meiner Graphischen Statik den Culmann sehen Kreis, dessen Durchmesser gleich Jx — J₂ ist, durch den zweckmälsigeren Kreis vom Durchmesser Jx + J₂ ersetzte — unter Festhaltung an den drei Bestimmungsstücken Jx, JX)J — führte ich nur die im Givilingenieur, 1887, S. 43 erschienene Abhandlung von Mohr, „Über die Bestimmung und die graphische Darstellung von Trägheitsmomenten ebener Flächen“ als Quelle an. An die im Jahre 1881 erschienene Arbeit von Weyrauch über die neue Theorie des Erddruckes hatte ich nicht mehr gedacht, und da sich in der Mohr sehen Abhandlung, welche für den Trägheits-kreis ebenfalls eine neue Herleitung gab, kein Hinweis auf Weyrauch findet, so unterblieb die Angabe der ursprünglichen Quelle. Ich benutze die Gelegenheit, dies nachzuholen.

18. Anwendung der Theorie des seitlich unbegrenzten Erdkörpers zur Bestimmung des Erddruckes auf feste Wände. Bankine vertrat die Ansicht, dafs die Gesetze der Druckverteilung im seitlich unbegrenzten Erdkörper ohne Einschränkung zur Bestimmung des Erddruckes auf eine feste Wand angewendet werden dürfen, dafs also der für eine Fläche A B gefundene Druck sich , nicht ändere, wenn der eine der beiden, durch die Fläche AB getrennten Teile des Erdkörpers durch eine Stützmauer ersetzt wird. Nun führt aber die Ersetzung des linken Teiles des Erdkörpers in Fig. 62 auf eine nach vorn überhängende Wand und eine ansteigende Geländefläche, während sich im anderen Falle eine nach hinten geneigte Wand und eine fallende Geländefläche ergibt. Die Rankine sehe Theorie würde für beide Wände denselben Druck E liefern, was offenbar unrichtig ist. Die Anwendung der Theorie des seitlich unbegrenzten Erdkörpers auf den durch eine Mauer oder ein Gewölbe gestützten Erdkörper mufs also zum mindesten gewissen Einschränkungen unterworfen werden. Uber die Grenzen der Anwendung gehen die Meinungen auseinander. Nur in einem Punkte herrscht wohl jetzt Einverständnis, nämlich darüber, dafs die Anwendung dieser Theorie ausgeschlossen ist, sobald sie für den unteren Grenzzustand des Gleichgewichts, auf dessen Betrachtung wir uns hier beschränken, einen Winkel 8' (Fig. 1) liefert, der kleiner als Null ist.

Fig. 62.

Der Verfasser hat zu der vorliegenden Frage bereits in Nr. 1 Stellung genommen und der älteren Theorie aus dem einfachen Grunde den Vorzug gegeben, weil sie die Bestimmung des Erddruckes für jeden beliebigen Winkel 8' lehrt und dem entwerfenden Ingenieur die Möglichkeit bietet, über diesen wichtigen AVert von Fall zu Fall zu entscheiden. Damit soll aber nicht gesagt werden, dafs die in Nr. 11, 12 und 14 beschriebenen Darstellungen des Erddruckes nur wissenschaftlichen und keinen praktischen Wert haben. Im Gegenteil, sie leisten auch bei der Berechnung von Stützmauern gute Dienste, weil nach den in Nr. 4 und 10 mitgeteilten Ergebnissen vergleichender Rechnungen die Grö/se des Erddruckes.. bei den hauptsächlich in Betracht kommenden Wandneigungen so wenig von dem Winkel 8' abhängig ist, dafs die einfachen, in den Figuren 40 und 45 angegebenen Verfahren auch dann mit Vorteil verwendet werden können, wenn man den Richtungswinkel 8' nicht nach der Rankine sehen Theorie, sondern zweck-mäfsiger ganz frei, unter Anpassung an die besonderen Bedingungen der zu. lösenden Aufgabe zwischen den Grenzen 0 und p' wählt. \ Auch darf der Vorschlag von Winkler und Engesser als zweck-mäfsig bezeichnet werden, die Richtung des Erddruckes auf eine nach vorn überhängende Wand nach der Rankine sehen Theorie zu berechnen, sobald deren Neigungswinkel 0 so klein ist, dafs die Wandfläche aufserhalb der beiden Gleitflächen ACX und AG₂ des seitlich unbegrenzten Erdkörpers liegen (Fig. 63). Es handelt sich hierbei aber nur um eine Annahme, die dem praktischen Gefühl

zusagt und die selbstverständlich aufgegeben werden mufs, sobald sie zu einem Werte o' führt, der gröfser als der Reibungswinkel p' ist.

r.

jt

sl

S⁷

Fig. 63.

genommen

Dann geben die Richtungen der konjugierten Geraden SD' und SD die Richtungen der beiden GleitÜächen an, und es lälst sich

Bei Stützmauern dürfte der in Fig. (33 dargestellte Ausnahmefall selten Vorkommen; er spielt aber eine Rolle bei der Berechnung von Gewölben, auf denen eine Erdmasse ruht. Hier wird die in Fig. 39 angegebene Darstellung des Erddruck.es gute Dienste leisten. Die beliebig wählbare Richtung S C haben wir dort so an-dafs die Gerade 1)'D den inneren Kreis berührt.

nun feststellen, welche der Flächen I, II, III.... steiler sind als die Gleitflächen. Dies ist wichtig, denn wenn auch der Einflufs der Winkel 3' auf die Beanspruchung des Gewölbes nicht so grols ist wie auf die Beanspruchung einer Stützmauer, so dürfte es doch nicht zweckmäfsig sein, für alle Gewölbeflächen die nach der Bankine sehen Theorie sich ergebenden Erd druck richtungen als einwandfreie Endwerte, mit denen allein zu rechnen sei, zu betrachten. Es ist vielmehr ratsam, den Drucken auf die steileren Flächen auch noch andere, zwischen 0 und p' liegende Richtungen zuzuweisen und unter dieser Voraussetzung noch eine zweite Berechnung des Gewölbes vorzunehmen.

So werden sich z. B. die Flächen I und VII in Fig. 39 beim Sacken der Erde ganz ähnlich verhalten wie Stützmauern mit geringen eigenen Bewegungen. Der oberste Grenzwert des ReibungsWiderstandes ist deshalb in diesen Flächen nicht ausgeschlossen. Wirkt er ungünstig, Avas ganz von der Form und Stärke des Gewölbes abhängt, so mufs man seinen Einflufs b eriicksichtigen.

Es möge hier die Bemerkung eingeschaltet werden, dafs es in der Statik der Baukonstruktionen auch noch andere Fälle gibt, in denen es ratsam ist, wegen der Unsicherheit der Grundlagen eine Reihe vergleichender Untersuchungen mit verschiedenen Annahmen bezüglich der Erfahrungswerte durchzuführen. Das klarste Bild erhält man, wenn man, soweit dies möglich ist, die im Bauwerk auftretenden Spannungen als Funktion der den grölsten Einflufs ausübenden und auf Schätzung beruhenden Erfahrungswerte darstellt, wie dies in Fig. 31 mit der Bodenpressung a einer Stützmauer und in des Verfassers Graphischer Statik, Bd. I, 1905, S. 100 mit der Beanspruchung a des wagerechten Querschnitts eines Schornsteins geschehen ist. Das eine Mal ist a als Funktion des unsicheren Wertes 3' abgebildet worden, bei der Schornsteinuntersuchung als Funktion des Winddrucks, über dessen Grölse wir ebenfalls keine bestimmten Angaben machen können. Wer sich nur zu der Rankine sehen Erddrucktheorie bekennt und die freie Wahl des Winkels 3' ausschliefst, ist an ein festes Schema gefesselt.

Die Coulomb sehe Theorie besitzt aber noch heute Gegner. Erst ganz vor kurzem hat Molir — in seinen Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik — sich gegen diese Theorie unter Vorbringung einer Reihe von Gründen gewandt, deren Besprechung uns notwendig erscheint. Mohr behauptet ⁶ :

1.    Die Coulomb sehe Theorie liefere drei sich nicht in einem Punkte schneidende Kräfte E, G, Q, widerspreche mithin der Hauptbedingung des Gleichgewichts und sei aus diesem Grunde unbrauchbar⁷). Manche Ingenieure glauben, den Irrtum in der willkürlichen Annahme einer ebenen Gleitfläche suchen zu müssen und halten eine Berichtigung für möglich durch die Wahl einer gekrümmten Gleitfläche, die den Bedingungen der Statik entspricht. Dem sei jedoch entgegenzuhalten, dafs keine einzige der Voraussetzungen, die der Coulomb sehen Theorie zugrunde liegen, mit der Wirklichkeit sich deckt.

2.    Wenn eine Stützmauer einstürzt, so verschiebe sich nicht etwa ein zusammenhängendes Erdprisma auf einer ebenen oder auf einer gekrümmten Gleitfläohe, sondern der gestützte Erdkörper falle in sich zusammen, indem die Erdteilchen in unzähligen Gleitflächen sich gegeneinander verschieben, während

der stehenbleibende Erdkörper nicht von einer Gleitfläche, sondern von der natürlichen Böschung begrenzt wird.

3.    Der Einsturz der Mauer sei gerade das Ereignis, welches verhütet werden soll. Die hierbei auftretenden Kräfte haben für den Baumeister nur ein nebensächliches Interesse. Daher sei auch die Annahme, dafs der Erddruck mit der Normalen der Wandfläche den Reibungswinkel p' einschliefsen müsse, durchaus unbegründet. Reibungswiderstände können nur erzeugt werden durch Bewegung, und vor Eintritt der Bewegung könne von Reibung nicht die Rede sein. Es käme auf die Grölse des Druckes an, den ein ruhender Erdkörper gegen eine ruhende Wand ausübt. Gegen die bisher angestellten Erddruckversuche wendet Mohr ein, dafs sie den Erddruck nicht im Ruhezustände messen, denn bei allen diesen Versuchen habe man den mefsbaren Gegendruck gegen eine bewegliche Wand, die auf ihrer anderen Seite den Druck des Erdkörpers aufnahm, so lange verringert, bis eine sichtbare Bewegung des Erdkörpers, also eine auffällige Störung des Gleichgewichts eingetreten war.

4.    Die Voraussetzung der Bankine sehen Theorie sei in allen Fällen, wo sie zulässig ist⁸), die einfachste und die natürlichste, sie stehe weder mit einer bekannten Erfahrungstatsache noch mit den Gesetzen der Statik in Widerspruch.

Zum Punkte 1 der Mohr sehen Einwände ist zu bemerken, dafs die wichtigste Voraussetzung der Coulomb sehen Theorie in der Beschränkung auf die beiden Grenzzustände des Gleichgewichts besteht. Diese Voraussetzung bildet aber auch die Grundlage der Bankine sehen Theorie. Ebenso machen beide Theorien dieselbe Voraussetzung bezüglich der Reibung im Inneren des Erdkörpers. Wenn man also alle Voraussetzungen der Coulomb sehen Theorie als mit der Wirklichkeit sich nicht deckend bezeichnet, so entzieht man auch der Bankinesehen Theorie den festen Boden. Beide Theorien unterscheiden sich nur durch die Annahme der Richtung des Erddruckes. Bezüglich des Einwandes der nicht im Gleichgewicht befindlichen Kräfte E, G und Q verweisen wir auf die Untersuchung in Nr. 9.

Zu 2. bemerken wir, dafs Coulomb zwar von der Frage ausgeht, wie grofs der Widerstand sein mufs, den die Wand AB mindestens zu leisten hat, um das die gröfste Stützkraft erfordernde Erdprisma ABC am Abgleiten auf der Fläche A C zu verhindern, dafs man aber mit dieser Fragestellung keineswegs die sonderbare

Ansicht zu verbinden braucht, es gleite beim Einsturz einer Mauer ein zusammenhängendes Erdprisma auf einer ebenen oder auf einer gekrümmten Gleitfläche herunter, ohne zu zerfallen. Die Gleitflächen spielen in beiden Theorien genau dieselbe Rolle; sie sind die Flächen, in denen beim Eintreten eines Grenzzustandes des Gleichgewichts der Reibungswiderstand voll ausgenutzt wird. Um diese Übereinstimmung klar hervortreten zu lassen, haben wir in Nr. 9 gezeigt, wie man die Lage der Gleitfläche und die Gröfs'e des Erddruckes auf eine Fläche im unendlichen Erdkörper mit ebener Oberfläche auch mit Hilfe des Coulomb sehen Prinzips bestimmen kann.

Der unter 3. von Mohr gegen die Coulomb sehe Theorie vorgebrachte Einwand mufs zurückgewiesen werden, weil Coulomb die ihm von Mohr zugeschobene Annahme, es müsse stets 8' = p' sein, gar nicht gemacht hat. Im Gegenteil — Coulomb warnt sogar vor der Berücksichtigung des Reibungswiderstandes der Wand. Er beginnt seine Untersuchung, die sich nur mit einer lotrechten Wand und wagerechtem Gelände beschäftigt, mit dem Falle 8'= 0, behandelt hierauf den Einflufs der Wandreibung, wobei er zwischen Erde und Mauerwerk eine von tg p abweichende Reibungsziffer einführt und zeigt dann in einem für den Sonderfall 8' = p gerechneten Zahlenbeispiele den günstigen Einflufs der Wandreibung auf die Standsicherheit der Mauer. Die mittels dieser Rechnung erhaltene Mauerstärke erscheint ihm aber nicht genügend sicher ; er sagt u. a. :

Le frottement des terres contre la maçonnerie n’est pas aussi fort que celui des terres sur elles-mêmes.

Souvent les eaux filtrant à travers les terres, se rassemblent entre les terres et la maçonnerie et forment des napes d’eau qui substituent la pression d’un fluide sans frottement à la pression des terres ; quoique, pour obvier à cet inconvénient, l’on pratique derrière les revêtements des tuyaux verticaux et des égouts au pied de ces mêmes revêtements, pour laisser écouler les eaux; ces égouts s’engorgent, ou par les terres que les eaux entraînent, ou par la gelée, et deviennent quelquefois inutiles.

Dürfte übrigens von der Reibung an der Wand keine Rede sein, wie dies Mohr unter 3. behauptet, so fiele damit wohl die von ihm verteidigte Rankine sehe Theorie, mit Ausnahme des Sonderfalles 8' = 0, nicht aber eine Theorie, die für jeden zwischen 0 und p' liegenden Winkel 8' gilt.

Dem von Mohr gegen die Wandreibung vorgebrachten Grunde: es handle sich um den Druck ruhender Erde gegen eine ruhende Wand, ein Reibungswiderstand sei vor Eintritt einer Bewegung

Müller-Breslau, Erd druck auf Stützmauern.

nicht denkbar, stellen wir die Frage gegenüber: Gibt es denn überhaupt einen Widerstand ohne vorangegangene Bewegung? Sind z. B. die inneren Kräfte einer Brücke mit den Lasten im Gleichgewicht, bevor sich die Brücke bis zur Ruhelage durchgebogen hat? Bei Stützmauern tritt zu der eigenen Formänderung und dem Nachgeben des Baugrundes noch die Bewegung der sich sackenden Erde ; es sind also genügende Ursachen zur Erzeugung von Wandreibung vorhanden, bevor sich Erde und Wand in der Ruhelage befinden.

Am deutlichsten tritt die Hinfälligkeit der Behauptungen Möhrs zutage, wenn der Erddruck auf eine Stützmauer während der Herstellung des Erdkörpers verfolgt wird. Die Wandfläche sei lotrecht, die Erde werde ganz gleichmäfsig in wagerechten Schichten geschüttet. Solange die Oberfläche wagerecht ist, erfährt nach Mohr die Wand nur einen wagerechten Druck, denn — so belehrt er uns unter 3. — von Reibung in der Wandfläche könne vor Eintritt einer Bewegung nicht die Rede sein. Sobald aber die Herstellung der schrägen Oberfläche durch schrittweise Vergröfserung von a erfolgt, nimmt der Erddruck nach Mohr in allen Punkten der Wand eine zur Oberfläche parallele schräge Richtung an. Die hierzu erforderliche Wandreibung wird von jetzt an, unter Aufhebung der unter 3. angegebenen Gründe, nicht nur geduldet, sondern sogar vorgeschrieben, denn — so belehrt uns Mohr jetzt unter 4. — die Voraussetzung des zur schrägen Oberfläche parallelen Erddruckes sei die einfachste und natürlichste und stehe mit keiner bekannt gewordenen Erfahrungstatsache in Widerspruch.

Zu dem von Mohr über die bisher angestellten Erddruckversuche abgegebenen Urteile bemerke ich, dafs der französische Ingenieur Siéglcr nach einem im Jahre 1887 in den Annales des ponts et chaussées XIII, S. 500 erstatteten Berichte mittels einer sinnreichen, jede Wandbewegung ausschliefsenden Vorrichtung nachgewiesen hat, dafs der Seitendruck eines wagerecht abgeglichenen Erdkörpers nicht wagerecht zu sein braucht. Er benutzte einen Kasten (Fig. 64) von 0,15 m Breite, 0,25 m Länge und 0,40 m Höhe, ohne Boden, der auf zwei Schneiden ruhte. Unter der einen Schneide befand sich ein Reibungsdynamometer, an dessen beweglicher Platte eine über eine feste Rolle geführte, ein Gewicht tragende Schnur angritf. Aus der Gröfse des oberen Grenzwertes dieses Gewichtes schlofs Siéglcr auf den die Schneide belastenden senkrechten Druck. Ein vom Kasten unabhängiger Boden ruhte auf einer gleichartigen MefsVorrichtung. Der Kasten wurde sorgfältig in wagerechten Schichten mit reinem

¹

Wir verweisen auf die literarische Anmerkung in Nr. 15.

²

Vergl. die Anmerkung auf S. 57.

³

Die erste Auflage erschien 1858. Der Leser findet die Rankinesehen Konstruktionen in der von Kreuter besorgten deutschen Übersetzung der zwölften Auflage: Rankine, Handbuch der Ingenieurkunst. Wien 1880.

⁴

In seinem neuen Buche weist Mohr auf Seite 219 auf Culmann mit der Bemerkung hin, es habe dieser den Spannungskreis auf anderem Wege entwickelt wie er. Das gilt aber nur für die zweite, den Rankine sehen Weg einschlagende Herleitung Mohrs, nicht aber für seine erste, mit der Cuhnann-schen Entwicklung übereinstimmende Darstellung.

⁵

Weyrauch entwickelt seinen Kreis in der Weise, dafs er die Spannungen a' und t' auf die Form

⁶

Wir haben die Einwände numeriert, um uns bei ihrer Besprechung auf die einzelnen Punkte beziehen zu können.

⁷

Diesen Einwand hat Mohr bereits 1872 in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, S. 67, in einer Auseinandersetzung mit Winkler gegen die Coulomb sehe Theorie erhoben.

⁸

Es handelt sich hier um die Erfüllung der zuerst von Mohr auf-gestellten Bedingung o' 5 0.

Fig. 64.

Sande (p = 33°, y = 1,6 kg/dm³) gefüllt. Zuerst wurden 8 kg Sand hineingebracht, hierauf nochmals 8 kg. Die Messung ergab die folgenden lotrechten Drucke auf die Seitenwände und den Boden :

Gewicht des ’ Sandes

Höhe der Schüttung

Lotrechter Lotrechter Druck auf die Druck auf den Seitenwände

Boden

Summe der beiden Drucke

4,0 kg 5,8 kg

8,4 kg 15,8 kg

G = 8 kg

16 kg

0,18 m 0,36 m

V — 4,4 kg 10,0 kg

Der Unterschied zwischen der Summe der Drucke und dem Gewicht des eingefüllten Sandes beträgt nur 5 v. H. Wegen der Kleinheit der Versuchsvorrichtung lassen sich Schlüsse auf die bei Stützmauern anzunehmenden Winkel 8' nicht ziehen.

•JOT.

4.

Unstetige Belastung des Geländes.

19. Allgemeine Untersuchung. Die m Nr. 3 bis 6 vom

Coulomb sehen Prinzip gemachten Anwendungen setzen voraus, dafs der DifFerentialquotient des erforderlichen Widerstandes JE einer Wandfläche AB eine stetige Funktion des Neigungswinkels 9 der ebenen Schnittfläche A C ist. Die Lage der Gleitfläche wurde mit Hilfe der aus der Bedingung

dE dK

d<p d 9]

5*

gefolgerten Gleichung

6T =

to I -i—i■

f /X

oder anders geschrieben :

63)

G" —

IC i—‘

(t + fn = 0

bestimmt und der Druck E mittels der Formel

64)

FT-

tC i—¹‘

- (t + -f) n

berechnet. In diesen Ausdrücken bedeutet p die Belastung der Einheit der Geländefläche im Punkte C.

Ist nun die Geländebelastung unstetig (Fig. 65), so kann ein Gröfstwert von K auch durch einen Vorzeichenwechsel des

P,

Pz

'V>m

TTL

Eh

GL

Ye

Eü,

Crm

‘2

- ■>

-A-*

Fig. 65.

Differentialquotienten herbeigeführt werden. Geht nämlich die Belastung p an einer Stelle C sprungweise aus px in p₂ über, so gehören zu der Schnittfläche AC die beiden Werte

W|/|,

65)

e:-y(T + -£s)f».

Win.

Sind beide Werte positiv, so liegt die Gleitfläche rechts von dem nach der Unstetigkeitsstelle führenden Schnitt AC, sind sie beide negativ, so liegt die Gleitfläche links von A C. Ist dagegen der erste Wert positiv, der zweite negativ, so entspricht dem

Schnitt A G ein GröIstwert von K. Dieser Gröfstwert darf aber nicht mehr nach der nur für den Fall

dK

d cp

0 gültigen Formel 64)

berechnet werden, was schon daran zu erkennen ist, dafs sich wegen der Zweideutigkeit von p zwei verschiedene Werte ergeben würden. Zur Berechnung von K mufs vielmehr die auf Seite 8 abgeleitete Gleichung

66)

Km =

G”sin (cpm — p)

in[(cpm — p)-f %*)

benutzt werden. Für analytische Untersuchungen empfiehlt sich meistens die Berechnung der Kraft Hm (Fig. 65). Für diese gilt jetzt die Formel :

67)

Hm =

cotg <bm + cotg (9^— p)

Der durch die Unstetigkeitsstelle geführte Schnitt A C ist Gleitfläche, sobald die beiden Werte

68)

Hm - (ï + ^‘) f\

Æ-y(ï + -£²)f„

verschiedene Vorzeichen haben.

Die Werte 65) bezw. 68) können aber auch bei stetiger Belastung verschiedene Vorzeichen besitzen, sobald nämlich der Punkt C mit einem Eckpunkte der Geländelinie zusammenfällt. Es gehören dann zu C zwei Geländetangenten und im allgemeinen zwei verschiedene Strecken h.

Zu den im § 1 durchgeführten Untersuchungen haben wir ferner noch nachzutragen, dafs der erforderliche Widerstand einer Wandfläche für verschiedene Schnitte AC ein Maximum werden kann, und dafs man dann mit dem gröfsten der Werte E

rechnen muls. Dieser Fall kann sowohl bei stetiger als auch bei unstetiger Belastung eintreten. Ein Beispiel zeigt Fig. 66. Die dort gezeichnete Culmannsehe if-Linie besitzt zwei Maxima und führt deutlich vor Augen, wie unrichtig die weit verbreitete Ansicht ist, dafs der Druck auf eine Wand stets unabhängig sei von den Erdmassen und Geländebelastungen, die jenseits einer die Bedingung

max

bezw.

K,

mix

= 0, 8m

dep

erfüllenden, durch den Fufs der Wand gehenden Gleitfläche A C' liegen. Bei derartigen Aufgaben erkennt man den Vorzug des

Coulomb scheu Prinzips mit seiner klaren Fragestellung*). An die Voraussetzung ebener Schnittflächen ist man freilich wegen der grofsen rechnerischen Schwierigkeiten, die im Gefolge gekrümmter Schnittflächen auftreten, auch bei unstetiger Belastung des Geländes vorläufig gebunden, und es gehört daher mit zu den

T⁷⁷

CL

ek

Q\

Fig. 66.

wichtigsten Aufgaben der experimentellen Erddruckforschung, die Brauchbarkeit dieser Voraussetzung zu prüfen. Im zweiten Teile dieses Buches wird der Verfasser die Ergebnisse einiger nach dieser Richtung bereits angestellten Versuche mitteilen.

Wir betrachten noch den in Fig. 67 dargestellten Fall. Das Gelände sei eben und gleichmäfsig mit p belastet. Aufserdem ruhe auf dem Gelände eine Last P, die sich auf einen kleineren Teil der Geländefläche verteilt. Es habe sich herausgestellt, dafs die Gleitfläche das Gelände rechts von der Last P schneidet. Dann kann man mit Hilfe der in Nr. 6 durchgeführten Untersuchung die Kraft Hltl auf die Form bringen, wo und

sin (p — oc) sin (p + ft», — sin (ft'„, -+- a) sin ^

*) Coulomb selbst erwähnt allerdings weder die Unstetigkeiten noch das Auftreten mehrerer Maxima.

Ferner kann man die Lage der Gleitfläche rechnerisch mittels der Formel

sin (p — a)

bestimmen. Die Lage des Punktes B'm ist durch die Bedingung gegeben, dafs das Gewicht eines Erdprismas B'mAm Cm einschlielslich einer von C„, bis B'm reichenden gleichförmigen Belastung p ebenso

\!

V.

/B:

T“

‘m

' ' ~ - -X

\P'

(’

'3

Q\

«.

-/T

e_

v.

iV

Cm /

~JT - ~A“

mw

EL/

T' (/k

* ’

Em

Jm

<pn'£

. __

Fig. 67.

grofs ist wie das Gewicht G m. Die Länge xm der Strecke BmB'm muis also der Gleichung genügen

tc 1—1

- (T + X) (*» + e) hm = G\ =e» — <?’

wo, mit den der Fig. (37 zu entnehmenden Bezeichnungen,

J/i — 1

1 m~¹    l

Gm = P +pld + pc+ —y 2 äh + —*( c h„ t. l    z i    z

Man erhält

69)

xm —

1 m — 1

-s-Y 2 dh + pl d + P —

6 l    i

G'm

9 PP

m — 1    m — 1

70)

worin zn setzen

G ’m = 2 Ec — cotg <}/m 2 PV

Für den in Fig. 68 dargestellten Fall findet man, wenn der Punkt Cm dem mit px belasteten Teile der Geländefläche angehört,

«v~i

Y 2 dh 2h 2 ^ — (Pi —p) u —

l    .1

71)

Xm -

CM

G’m

rc

tu

Fig. 68.

um zu zeigen

20. Einflufs einer Einzellast. Mit dem Namen Einzellast pflegt man der Kürze wegen eine auf verhältnismäfsig kleiner Grundfläche ruhende Last zu bezeichnen. Ihr Einflufs läfst sich mit Hilfe des in Nr. 19 beschriebenen Verfahrens leicht angeben. Wir wollen dies an einem Beispiele zeigen, vorher aber eine von anderer Seite angegebene Lösung dieser Aufgabe kurz andeuten, zu welchem Fehler das Abgehen von dem durch die Coulomb sehe Fragestellung vorgezeichneten einfachen Wege geführt hat.

Professor Mchrtcns stellt in dem im Jahre 1904 erschienenen zweiten Bande seiner Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen auf Seite 291 und 292 folgende Behauptung auf: Hat man zunächst für unbelastetes Gelände eine Gleitfläche AC gefunden (Fig. 69), so ändert sich deren Lage nicht, wenn aufserhalb der Strecke B C eine Einzellast P hinzutritt ; der Einflufs einer solchen Last P auf den die Wand beanspruchenden Erddruck ist gleich Null. Tritt dagegen die Einzellast zwischen den Punkten B und C hinzu, so ruft sie eine steilere Lage A C₀ der Gleitfläche hervor;

Eine glatte, lotrechte Wand (Fig. 71) stütze eine wagerecht abgeglichene Erdmasse, die wir zunächst unbelastet annehmen wollen. Es sei

h = 3,0 m, p = 30°, y = 1,6 tön³.

Die Gleitfläche AC ist nach S. 14 bestimmt durch die Strecke

BC

= h fg (⁴⁵°— 2 )

= 3,0 -0,577 = 1,73 m;

und die Gröfse des Erddruckes ist

der Angriffspunkt des von ihr erzeugten Erddruckes gehört einer Strecke A'A" an, welche von zwei durch den Angriffspunkt D von P gelegten Gleitflächen DA und DA” begrehzt wird. Die Gleitfläche DA' ist parallel zu AC, und die Gleitfläche DA" ergibt sich, wenn die Last P zu dem Gewichte des Erdprismas A ' BD hinzugerechnet wird. Die Gleitflächen bestimmt Mehrtens auf ziemlich umständliche Weise mit Hilfe der Bedingung

Schliefslich hebt er noch hervor, dafs es Einzellasten in Wirklichkeit nicht gibt, und dafs die beiden Gleitflächen nie genau von einem mathematischen Punkte ausgehen, sondern

d <p

= 0, om

= P-

VP

Co

VA

A'

VA" /

Fig. 69.

Fig. 70.

von den Endpunkten der belasteten Strecke (Fig. 70*); er meint aber, dafs die Annahme einer in einem Punkte angreifenden Last insofern berechtigt sei, als dabei die Standsicherheit der Mauer sich immer Meiner, bei gleichem Sicherheitsgrade also ihre Stärke größer ergeben mufs als in Rechnungsfällen, wo Einzellasten über gewisse Strecken verteilt angenommen werden. Dafs diese Auffassung unrichtig ist, leuchtet wohl ohne weiteres ein; zu welch grobem Fehler sie führen kann, mag folgendes Zahlenbeispiel zeigen ¹) :

*) Auch diese Auffassung ist fehlerhaft; denn es ist möglich, durch jeden Endpunkt der belasteten Strecke zwei Gleitflächen zu legen, welche der Be-

= p genügen, weil die Lage der Gleitfläche von der

do

dingung = 0, 8

Belastung abhängt und diese in jedem der beiden Endpunkte die zwei Werte 0 und p besitzt.

max

E= Y y ts² (

P-)

2 /

C. ! I—¹

y h² =

Cl! !—¹

. 1,(3.0 = 2,4 t.

2^33

l I‘Lm-

-m+r

ê ä’

«■

/4

7'

Jy

T-V

.r

-'16,

Fig. 71.

Nim werde auf der Strecke G’C" = 0,60 m eine Last P = 20 t aufgebracht. Nach der Ansicht von Mchrtens wäre diese Last, da sie rechts von der Strecke B C liegt, ohne .Einfinfs auf den Erd-druck E. Nach der von ihm gegebenen Regel müfste sogar zur Erhöhung der Sicherheit die Last im Mittelpunkte der Strecke CC vereinigt werden, woraus dann folgen würde, dals der Einflufs von P auf den Wariddruck E so lange gleich Null ist, als die

tx a ;

Wandhöhe den Wert

Vo :

CC

1,73 + 0,30

1,73

= 3,52 m

(d.'72.fOî) V7 3.

nicht überschreitet.

Führen wir nun den Schnitt AC\ so finden wir, dals das

Erdprisma ABC zur Sicherung seines Gleichgewichtes einen Wandwiderstand E erfordert, der mindestens

ist. Mit

E — G tg (V — P )

cotg <©' =

1,73 + 0,60

3,0

0,777, cp' = 52° 10', tg(<p— P) = 0,41,

i    f- M

4- 1,6 • 2,33 • 3,0 + 20 = 5,6 + 20 t - ä5‘fe t

-j

erhalten wir

E = (5,6 + 20) 0,41 = 2,3 + 8,2 = 10,5 t.

Bei einem kleineren Werte E ist an Gleichgewicht gar nicht zu denken. Es ist sogar wahrscheinlich, dafs es krumme Schnittflächen gibt, die einen noch gröfseren Widerstand E verlangen.

Da die aufgebrachte Last sehr grofs ist, haben, wir ohne weiteres den Schnitt AC als Gleitfläche angesehen, ohne erst die beiden Ausdrücke 65) und 66) auszurechnen. Wir holen dies jetzt nach. Zum Punkte C gehört

fn = 1,4 • 3,5 = 5,

ferner ist

Gl>= G — 25,6 t. Im Punkte C ist

20

also

0,6

= 33,3 t/m², p₂ = 0,

%v 8

IV t

G"-U-< + 2r)fn

5^:0,

•SA

G" —

o-i

- 25,6 —— 1,6 • 5

Là

Daraus folgt, dafs der Fläche A C in der Tat ein Maximum des Wertes E entspricht.

Zur Bestimmung des Angriffspunktes von E scheint es zunächst am einfachsten und zweckmäfsigsten zu sein, E in die Bestandteile Ex = 2,3 t und Ep — 8,21 zu zerlegen und Ey im oberen Endpunkte des unteren Drittels der Wandfläche AB anzunehmen, hingegen Ep im Mittelpunkte der Strecke A Ä, wo Ä der Punkt ist, in welchem eine von C aus unter dem Neigungswinkel p gezogene Gerade die Wandfläche BA trifft. Demi für das Wandstück AB liefert die Coulomb sehe Theorie einen von der Belastung P unabhängigen Erd druck.

Unsere Versuche haben indes gezeigt, dafs der Angriffspunkt von Ep höher liegt, und dafs es sich im vorliegenden Palle empfiehlt, zur gröfseren Sicherheit Ep im Mittelpunkte von AB angreifend anzunehmen.

** l

c;

COO

Cr»

Zalilenbeispiele.

Den Abschlufs der auf der Annahme ebener Gleitflächen beruhenden Theorie des Erddruckes auf Stützmauern mögen drei gröfsere Zahlenbeispiele bilden.

21. Erstes Beispiel. Die in Fig. 72 abgebildete Mauer stützt einen wagerecht abgeglichenen Erdkörper, dessen Oberfläche mit 2,4 t/m² belastet ist. Es ist für die Erde y = 1,6 t/m³, p =30° und für das Mauerwerk ym = 2,1 t/m³. Es soll der Winkel

1°

4^ CO

___

in Rechnung gestellt werden. Besondere Umstände, welche gegen die Berücksichtigung der Wandreibung sprechen, liegen nicht vor. Die Neigungswinkel der die Mauer begrenzenden Ebenen sind gegeben. Die Stärke der Mauer soll so bemessen werden, dals die Pressung auf den Baugrund höchstens 4 kg/cm² beträgt.

Erste Lösung. Wir schlagen den in den Figuren 14 und 07 beschriebenen Weg ein und bestimmen die Strecken xm mittels der Gleichung 69), welche sich auch'wie folgt schreiben läfst.

wo

72)

fc'i-

T-l |<M

T-I CM

>-i j<M

00

co

j-

2,0 m

Zu hm =

gehört ^ y'm = T >n hm —

2,0

1,4

1,2

1,1 Fm³

r- Ol

4,0

5,0

7,2

8,8

Ö'wi —

0,8

0,8

1,2

—I CM

Y m dm-

3,2 t 4,5 t

8,0 t

der Poncelet sehen Kon-

Für die Wandfläche I wurde mittels struktion der Druck

CO i—»

I-⁶

CO

tc

10

CT»

e+-

U.

■v»

V>----

■*i

"V

X 'tt„ \

XXTA '

.1

Y= !,6tyn³

r»

i\

v\

«* »

001

s?

ni

53Î

«&

p = 2, ± tym²

«&

y'

Fig. 72.

r*i

K-

j^lfa

ii

.sy

ls? .A

-*?f! / \

’rm~

Wi.

>xV

\ /I

i/

VH

-si

: ! rX

36'

/i

2,50m

A / V......

■"•-■ •< I

/    /    i y

ft

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IQ

ca

'r— riuZ=‘y —*•

Ymr2J Vm

A -,

"Y

*“¥*,9*

k-

-mil V

=-+»

=cv

TV

U.

mS - V

Cr'₂ = 1,8 t und K'₂ — 3,4 t

bestimmt. Dann* wurden die durch Ex und die Richtung von E2 gegebenen Kräfte

zeichnerisch ermittelt, und nach der Formel 73) der Wert

x₂ =

3,2 —1,8

4,0

0,35 m

mit dessen Hilfe nunmehr

berechnet. Er lieferte den Punkt B' die Kraft

K₂ — 2 T 2/2^2 — 1 »4 • 2,3 • 2,6 ;— 8,4 t

gefunden wurde, worauf sich

E₂ = K₂ — K'₂ = 5,0 t ergab. Nach Ermittelung der Hilfskräfte

Cr 3 = 3,5 t und K'₃ — 7,8 t

und der die Lage des Punktes B'₃ bestimmenden Strecke

3,2 + 4,5 — 3,5

5,6

0,75 m

wurde gefunden:

K₃ = ■f T 3 fa ea = 1,2 • 3,27 * 3,40 = 13,3 t

und

Ea — Ks — K'₃ = 5,5 t.

Schliefslich wurde bestimmt

G\ = 6,1 t, K\ = 12,8 t 3,2 4- 4,5 -f- 5,6/— 6,1

7,2

= 1,0 m,

3,6 t.

^4 = y T 4 /₄ = 1,1 • 3,85 * 3,87 = 16,4 t, E, = h\ — K\

Die Drucke E₂, Ea und E₄ dürfen in den Mittelpunkten der zugehörigen Wandflächen angreifend angenommen werden. Ex mufs in Elr und Elp zerlegt werden. Da sich

Y : y' = 1,6 : 4,0 = 0,4 : 1

verhält, so ist

E1Y = 0,4 • 4,5 = 1,8 t, Elp = 2,7 t.

Elp greift im Mittelpunkte der Wandfläche AxB an, Ely im oberen Endpunkte des untersten Drittels von AXBX.

Ermittelung der oberen Mauerstärke y.

Die Neigung der vorderen Wandfläche B' Ä (Fig. 73) sei vorgeschrieben. Wir

setzen die Erddrucke

ziehen BS\\B'Ä, machen SD = DB

Ex, E

E₃ und E₄ mit Hilfe eines Seilpolygons zu einer Mittelkraft E zusammen und bestimmen deren Schnitt-

B'M._AB

punkt mit der Lotrechten B T. Dann zerlegen wir E in Ew und EL. Wir finden

Etc = 16,2 t, = 7,5 t.

E,„ greift im Abstande 3,27 m von der Sohle der Mauer an. Das Moment des Erddrucks, bezogen auf den Punkt T, ist M— 16,2 • 3,27 = 52,97 tm.

Das Gewicht des rechts von der < y Lotrechten durch B gelegenen Teiles der Mauer beträgt 13,4 t, sein Schwerpunkt liegt im Abstande 0,91 m vom Punkte J). Das Mauerwerkprisma B S S'

wiegt 2,1 • 0,9 • 8,0 •    = 7,6 t. Das auf

Li

den Punkt T bezogene Angriffsmoment ist also im ganzen

M = 52,97 — 7,6 • 0,15 — 13,4 • 0,91

+ 2,1-8,0y

M= 39,64 + 8,4 y\

Die lotrechte Seitenkraft des Druckes auf die Sohle beträgt

Nr= 7,5 + 7,6 + 13,4 + 2,1 • 8,0 y,

N — 28,5 + 16,8 y.

Der Angriffspunkt des Druckes N hat vom Punkte T die Ent-M

fernung und von der vorderen Kante der Sohle den Abstand

? = </ + 0,45 — ~

m,2*l

__

A'

*-

A‘

°°

rz> -

i'i

O l( I XV A N \~09O-%irn

,-d

Fig. 73.

tM

Man findet

für y = „ Jf= „ N — » ? =

1,8 m 66,86 tm 58,7 t

1,11 m

1,5 m 58,54 tm 53,7 t 0,86 m

1,2 m 51,74 tm 48,7 t 0,59 m.

Da für y

1,8 m die Breite der Sohle cl = 3,0 m beträgt, so ist ±W r z^ -g- d.'dDer Druck N greift also noch innerhalb des Kerns

Sein Abstand vom rechten Kernpunkte ist yp = 0,89 m. An der Vorderkante Ä der Sohle entsteht die Pressung

_ 0 Nrir

<3- ~~ß2-Y

Die den übrigen Werten y entsprechenden z sind kleiner als d.

O

Zur Berechnung von 3 ist daher die Formel

2 N

3 = -rr-r-

an.

0 • 58,7 -0,89

9,0

35 hm³ — 3,5 kg/cm³.

3$

3 = 4,2 kg/cm³, 3 = 5,5 kg/cm³.

zu benutzen. Man findet für y — 1,5 m „ y =1,2 m

Durch die drei gerechneten Werte 3 ist die in Fig. 72 gezeichnete a-Kurve genügend genau bestimmt. Sie liefert ein besseres Bild von dem Sicherheitsgrade der Mauer als die Ausrechnung nur des einen Wertes y, der durch die vorgeschriebene Pressung a bedingt ist. Stellt sich heraus, dafs bereits eine geringe Verkleinerung von y eine wesentliche Erhöhung von a hervorbringt, so empfiehlt es sich, mit Rücksicht auf die unsicheren Grundlagen der Erddrucktheorie den Wert a zu er-mäfsigen. Im vorliegenden Falle besitzt die s-Linie eine günstige Form. Zu 3 =4,0 gehört y= 1,55 m. Es entsteht N = 54,5 t.

Ist die Reibungsziffer zwischen der Sohle und dem Baugrunde gleich 0,5, so ist der Sicherheitsgrad gegen eine wagerechte Verschiebung der Mauer gleich

= 1,7.

0,5 N 27,25 16,2

Dieser Sicherheitsgrad ist ausreichend.

Zweite Lösung. Die Umständlichkeit der beschriebenen Ermittelung des Erddruckes steht in keinem richtigen Verhältnis zu den noch nicht genügend geklärten Unterlagen der Theorie. Zu einer wesentlich einfacheren und dabei ebenso brauchbaren Darstellung des Druckes Em auf irgendein Wandstück AmAm—i gelangt man mit Hilfe der Annahme, es sei dieser Druck ebenso grofs wie der Druck Em auf den Teil AmAm—1 einer ebenen Wandfläche Am Em, die ohne Unterbrechung bis zur Oberfläche reicht. Die Belastung p wird hierbei nach Seite 17 (Fig. 13) durch eine

Erdschüttung von der Höhe — berücksichtigt. Um z. B. E₃ zu

erhalten (Fig. 74), zeichne man das zur Wandfläche A₃B₃ gehörige Belastungsdreieck und schneide von diesem mittels der durch die Punkte A₂ und A₃ gelegten wagerechten Geraden das in der Figur schraffierte Trapez ab. Ist seine Höhe gleich a und seine mittlere Breite gleich &'₃, so findet man Es = a b'₃.

T"

f - >'fn

Das Belastungsdreieck aber bestimme man nach Gleichung 30) auf Seite 17 mittels der Formel

----* h‘₃=6,5m

7, _ T e3 fz

⁰³ ~ h ’

wo e₃ und f₃ die für eine beliebig angenommene Wandhöhe h mit Hilfe der Poncelet-schen Konstruktion gefundenen Strecken sind. Durch den Schwerpunkt des Trapezes ist der Angriffspunkt von E₃ bestimmt. Nimmt man aber den Druck E₃ in der Mitte der Fläche A₃A₂ angreifend an, was stets zu empfehlen ist, so braucht man das Belastungsdreieck erst gar nicht zu zeichnen ; man findet dann die Strecke F₃, deren Abstand von der Oberfläche gleich h'3 sei, schneller durch Rechnung. Es ist

Ez ^

öl

Fig. 74.

v".?'

t\

</V

und es ergibt sich daher für E₃ der Wert

Æ--15.

Im vorliegenden Falle empfiehlt es sich, h = 4,0 m zu wählen ; man erhält dann wegen -y = 1 ,G und ß = 2,0m den Ausdruck

E₃ = 0,2 Ji ₃ e₃ f₃.

In Fig. 75 ist die Ermittelung der zu den vier Wandlagen gehörigen Werte e und f mit Hilfe eines und desselben Halbkreises durchgeführt worden. Die Strecken f braucht man nicht einzuzeichnen; sie lassen sich in der bekannten Weise messen, dafs man mit dem Zirkel um die Punkte 1, 2, 3, 4 Kreise beschreibt, welche die natürliche Böschung berühren.

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern,

Die beschriebene Konstruktion und Rechnung ergibt

Es = 5,3 t E± = 5,1 t.

kvS

S'O

Jfi = 4,5 t

E₂ = 4,9 t

Die Mittelkraft dieser Drucke schneidet die Gerade D T (Fig. 73) in der Höhe 3,05 m über der Sohle; ihre Seitenkräfte sind 17,4t (wagerecht) und 7,5 t (lotrecht); ihr Moment in bezug auf den Punkt T ist

M — 17,4 • 3,05 = 53,00 tm. Vorhin erhielten wir M= 52,97 tm.

/\

J    / \.7

l*^rV »

.-    \l «> ’v

■&K7    ^

<s. \

*V\

'/

h^,om

*:v

\\*x.

o k;w

Fig. 75.

Dritte Lösung. Sohr schnell führt auch das folgende rechnerische Verfahren zum Ziele. Für die Breite b des Belastungsdreiecks ergibt sich aus der Bedingung (siehe Gleich. 14—16)

s² v²

bh

£<v

-e-

h² v²

^ sin sin² {>

die einfache Formel b = -^~ fi.²,

sin ^ ¹

wo

74)

__sin (ft + p)

s sin 0-    ’

8= 1 +

sin p sin (p -f 3')

sin ft sin >L

Der Erddruck E auf das Wandstück, dessen lotrechte Projektion gleich a ist, beträgt mithin

75)

E—^ ah'

sin 4

also

Im vorliegenden Falle ist p = 30°, o' = 22

0,397

sin 0 sin 4

Den vier Wandflächen entsprechen die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Werte:

cotg 9

V-

F-²

sin 6

41° 30' 62° 30'

1,82

1,67

74°

85°

1,64

1,65

uj m T# o o ^ 03 so

«O 30 T²

o" © © o

® © © © M M M Ol OO In 03 Oi

es rf². co t>o

Für die Winkel genügt eine Genauigkeit von 10'. Die in den Taschenbüchern sich findenden Tabellen der Sinus und Cosinus reichen also aus. Für diese Werte selbst genügen bereits zwei bis drei Dezimalstellen, so dafs die ganze Rechnung mittels Rechenschieber oder Rechentafel sehr schnell erledigt werden kann.

Aus den Zahlen der letzten Spalte findet man, mit y a = 1,6 • 2,0 = 3,2,

Sind die Drucke E für eine gröfsere Anzahl von Flächen zu

-4—

Y sin ^

bestimmen, so genügt es, einzelne Werte die übrigen zeichnerisch einzuschalten.

u²

In Fig. 76 sind die Werte -,

Y sm

den Verlängerungen dieser Flächen von der Greländelinie aus aufgetragen worden; ihre Endpunkte liegen in einer schwach ge-

zu berechnen und

für zehn Wandflächen auf

krümmten Kurve, die von einer Geraden nur sehr wenig abweicht. Es wurde p = 30° und o' = 22a/2° angenommen. Die Cotangenten der Neigungswinkel der Wandflächen sind

0,4.

cotgD = + 0,5 +0,4 +0,3 +0,2 +0,1 +0 — 0,1 —0,2 —0,3

r¹

h6Z0

4 4

Li l

i 4 4 /■

//

Fig. 76.

22. Zweites Beispiel. Für die in Fig. 77 dargestellte Mauer liefern die zweite und dritte der im ersten Beispiele angegebenen Lösungen (mit y = 1,(3 t/m³, p = 2,4 t/m², p = 30°, o — 22xh °) die Erddrucke

E₁ = 4,0 t, E₂ = 6,4 t, E₃ — 7,1 t, E₄ = 0,0 t.

Da nun alle Wandflächen nach vorn Überhängen, so ist es nach Seite 61 zulässig, die Gröfse dieser Drucke nach dem für den seitlich unbegrenzten Erdkörper angegebenen Verfahren zu bestimmen.

zu den vier Wandflächen. Die Lot-

Fig. 77 ergibt sich ohne weiteres aus Fig. 40. Die Strahlen 1, 2, 3,4 sind parallel rechte SL wurde durch den Kreismittelpunkt M gezogen. Das

Involutionszentrum J liegt dann in der Geraden S L im Abstande J M — L M sin p von M. Es wurde h= 4 m angenommen. Die mittleren Breiten der zu den einzelnen Wandstücken gehörigen Belastungsflächen sind

b' = 2,40 m 3,20 m 3,55 m 4,55 m,

man erhält also

E = ab' = 2,0 b'= 4,8 t 6,4 t 7,1t    9,1t.

Diese Werte stimmen mit den vorhin erhaltenen fast genau

überein.

«t_«2 a3

frt"

jiV

A 2\    3

2,0"'

■?

2/W'^C\

\Y'

*r,6m

- VT-

, .AÆ

Z,Om

“Z

3,20™

- yh-6,*™

oc'

3.5S™

<-

ab>

'A 55

0-1 -0-2 -0-3 -0-* -

Fig. 77.

Nimmt man die Mittelpunkte der Wandflächen als Angriffspunkte der Drucke jE an, so braucht man die Belastungsflächen nicht zu zeichnen. Man findet die Erddrucke dann schneller mit Hilfe der Formel

Ein = a bm~Y’

aber auch nur

Eine Ausnahme bildet höchstens der Druck E dann, wenn die Belastung p verhältnismäfsig klein ist. Zur Bestimmung seines Angriffspunktes kann dann ein Trapez von beliebiger Breite b₁ benutzt werden.

Ein anderes, sehr kurzes rechnerisches Verfahren ist das folgende. Die wagerechte Seitenkraft des auf das Wandstück A A

uo

(Fig. 78) wirkenden Erddrncks ist nach der für den seitlich unbegrenzten Erdkörper geltenden Theorie bei wagerechter Oberfläche

4/

E,v = ab' —

/

a y h' tg² I

45 ° —

!)•

Die lotrechte Seitenkraft ist

Et — G = cy h',

unter c die wagerechte Projektion der Strecke AA' verstanden. Man erhält also

E=r iE,² + E ²

76)

E—y h' j/c² -j- a² tg⁴ ^

45 ° —

!)•

-fr -

ta

k-

if,

V/

et,

b'

- V- _

¹

Ein zweites Beispiel findet sich im § 5.

²

EX= 3,2    •    2,5    •    0,552    =    4,4    t

E₂ = 3,2    •    4,5    •    0,339    =    4,9    t

Ea = 3,2    •    6,5    •    0,254    =    5,3    t

E± = 3,2    •    8,5    ■    0,186    —    5,1    t.

il

ÿf

Fig. 78.

Mit a — 2,0 m und p = 30⁰ ergibt sich

E = 1,6 7/ Vc² + 0,444,

also für und

Wir heben schlielslich noch hervor, dafs die nach den vorstehenden Verfahren berechneten Erddrucke nicht parallel zu den Strahlen b₁, b₂, &₃, b₄ in Fig. 77 angenommen werden (wie dies im seitlich unbegrenzten Erdkörper geschehen müfste), sondern unter dem Winkel 8' — 22¹/2° gegen die Wandnormalen.

23. Drittes Beispiel. Es soll der Erddruck auf die in Fig. 79 dargestellte Wand analytisch bestimmt werden. Der wagerecht abgeglichene Erdkörper trage die gleichmäfsig über die Fläche 2,0 • 1,0 qm verteilte Belastung P— 60 t. Es ist also p = 30 t/m². Weiter sei y =1,6 t/m³, p—30°, 8' = p = 30°.

1. Erddruck auf die schräge Fläche A₁ B

N eigungs winkel Wird zunächst angenommen, die

x*

Oi = 68°,    — 8' = 38°.

Gleitfläche Ax Cx schneide das Gelände links von der Last P, so erhält man -mittels der Gleichungen 14)—17), S. 13 n. 14,

s — 1 -|-

sin p sin (p + 8')

0,50 • 0,87

0,93 • 0,62

1,87,

sin ( }>! + p)_0,990

1,87

0,53, Sj — 4 j — 5,4 m,

B₁Q = sv-.

= 5,4-

0,53 • 0,87

0,50

— 5,0 m.

sin p

Da dieser Wert kleiner als 6,0 m ist, so ist eine die Last P nicht schneidende Gleitfläche zunächst als möglich anzusehen. Ihr entspricht die wagerechte Seitenkraft von E₁ :

Elw =

Tsx² v² = 0,8 • 29 • 0,28 = 6,5 t.

m

Nun nehmen wir an, es liege C₁ innerhalb der belasteten Strecke und bestimmen den Punkt JB\ nach Gleichung 71) mittels

— 30-6

— pu

2“ 7 h + P

0,8 • 5 + 30

— — 5,3 m.

0,66,- yi = 90° + 33°,

tg (»'j — 90°) =

Es ergibt sich dann nach S. 20, Gleichungen 32—35) 5,3 — 2,0

5,0

0,50 • 0,91

sin ffj sin

0,84 • 0,62

= 1,93,

v _ sin({>'i :b p)

0,225, s\ = B'j Aj — 6,0 m,

— 1    6,0-0,225-0,93

2,51 m.

0,50

C\ liegt mithin innerhalb der belasteten Strecke dicht bei Cm. Dieser zweiten Gleitfläche entspricht

sm p

El HI ——

(i7 +1)

Sj² v² =

36 - 0,051 = 12 t,

und dieser Druck ist fast doppelt so grofs als der durch die erste Rechnung gefundene.

Hinsichtlich des Angriffspunktes des Erddruckes auf A₁E1 glauben wir vorläufig, d. h. bis zur Beibringung ausreichender Versuchsergebnisse, mit der Annahme genügend sicher gehen zu

müssen, dals der vor Aufbringung der Last P entstandene Druck

1,7 m hat und

Elw = 6,5 t vom Punkte A₁ den Abstand

der Zuwachs 12 — 6,5 = 5,5 t infolge der Belastung P den Abstand -h = 2,5 m. Für die zugehörigen lotrechten Seitenkräfte _Ej i erhalten wir mit cotg = 1,28 die Werte

1,28 • 6,5 = 8,5 t und 1,28 • 5,5 = 7,0 t, im ganzen rund 15 t.

5,0 m

LC i—

2. Erddruck auf den lotrechten Teil der Wand. Für diesen Teil ist durchweg <|;m = 90o — p = 60°. Zuerst untersuchen wir, für welche der Punkte A₂, A₃ . . . die Gleitfläche durch den Endpunkt Cm der belasteten Strecke geht. Für den Punkt A₂ ist

1,6

G₂ = ^ (2 • 5 + 6 • 7) + 60 = 102 t,

G 2 = Ei i — cotg <b₂ E\ w =15 — 0,58 • 12 = 8 t,

G ₂ = G₂ — G'₂ = 94 t.

Für jeden folgenden Punkt A wächst Gm um

■i 2-6 = 10 t.

Die Zahlentafel enthält die Werte G <pm der Flächen Am Cm, die Kräfte (nach S. 69, Gleichung 67 )

Hm =

G"m

05

die Neigungswinkel

G "m

0,58 + cotg (<pm — p) ’

cotg cotg ((p,n — p) und die Strecken fm, das sind die Lote von den Punkten Am auf eine durch Cm unter p gezogene Gerade. Man findet (mit Ä^n=l₂ = 9,22”')

f₂ = l₂ sin (©2 — p) =. 9,22 • 0,33 = 3,0 m, fm =    + A /', A f— 2,0 cos p = 2,0 • 0,87 = 1,7 m.

Schliefslich wurden in die Tafel noch die Werte

Hm-y Y fj

eingetragen.

VI

G"w

tg cp m

cp »!

cotg (cprn — p)

Hm

4L

to|

—;

> !

05 <OT CO CO

94 t

104 t 114 t 124 t 134 t

l>    o    CO    o    o

H    io    00    H    LO

t-h    t—i    r-H    CA    CA

49° 30' 56° 20' 61° 20' 65° 20' 68° 10'

28 t

40 t

51 t

62 t

72 t

O t> ^ 1-H 00

îo tjT ccT oo o

+ 21

+ 22

+ 11

+ 10

Zum Wandteile JB₁A₂ gehört nun der Ausdruck

/₂²

p~-

K

0 den Wert + 21 t an

= 21 —

21 —

p 7,0 ’

Er nimmt für p =

» P =

Es tritt ein Zeichenwechsel ein; mithin geht die zu A₂ gehörige Gleitfläche durch den Endpunkt Cm der belasteten Strecke. Das gilt auch für +₃, A₄, A₅, und man erhält daher für die Wandteile A₁A2l A₂As, AsA₄, A₄A₅:

E2w = 28 — 12 = 16 t (weil Elw = 12 t),

Eaw = 40 — 28 = 12 t,

Jg!4w = 51_40 = ll t,

Ebw = 62 — 51 = 11t,

Dem Punkte AG entsprechen zwei negative Werte

60

2,0

— 18 t.

li

es wächst also H mit abnehmendem Winkel <p. Die zu A₆ gehörige Gleitfläche schneidet das Gelände rechts von der belasteten Strecke. Wir berechnen (S. 71, Gleichung 69):

~2~ y di hi + P— G ₂

x₆ =

0,8-2-5+60 — 8

0,8 • 15

= 5,0 m,

s₆² = 152 4- 52 ₌ 250, s₆ = A₆    = 15,8 m,

tg (90 0 — h'₆) =    , d'₆

£= 1 +

_sin ( t>'₆ + p)_0,978

72°,    = 90⁰ — p = 60°,

sin p sin ( !>',;+ p — d₆) sin if₆ sin <j;₆

1/ 0,50 • 0,67 | 0,95 • 0,87

1,64,

1,64

= 0,60,

= 15,8 • 0,60

0,64

0,50

= 12,1 m,

sin p

-Hg = -+ y s₆² v² = 0,8 • 250 • 0,36

E6W = 72 — 62 = 10 t.

Die Übereinstimmung des vorstehenden Wertes H₆ mit dem vorhin gefundenen darf nicht überraschen. In der Nähe der Gleitfläche üben geringe Änderungen von <p nur einen unwesentlichen Einflufs auf H aus. Aus der Kleinheit des Wertes

= 72 t.

Hg—y y A²

hätte man ohne weiteres schliefsen können, dafs die zweite Berechnung von H₆ entbehrlich war.

Die zu den wagerechten Seitenkräften E2W bis E6W gehörigen lotrechten Seitenkräfte Ei einzeln zu berechnen, ist nicht nötig,

fr

■JCe= 5, Orm

-ff-

=5.3 m

ofz

1s-

IV.

Cfi

",

r>

si

\-

•v

15)

3,\ um '

5,5t

6,'

T>-°m

>•>5 .

p;

*v">

->i

-m

- ~cv'-----* -

p;

<r

'>v

J/\

*----à

«-ai «-ai

.a

6 . XE=35⁽

?. l

Fig. 79.

da die Kräfte j?₂* bis Egi in ein und dieselbe Linie fallen. Es genügt, ihre Summe anzugeben. Man findet

1Ei = cotg $ 1 Ew = 0,58 (72 - 12) = 35 t.

2 2

Die Berechnung der erforderlichen Wandstärke erfolgt jetzt

genau wie im ersten Zahlenbeispiele. Wir brauchen also hierauf nicht weiter einzugehen.

Fig. 79 zeigt noch die zeichnerische Ermittelung der Werte H. Es wurden auf der von Cm aus unter dem Winkel p gegen die Wagerechte gezogenen Geraden die Strecken

Cm2 = G\, 0.3 = 0",....

abgetragen und durch die Punkte 2, 3 ... . Parallelen zur Stellungs -linie Cm $ bis zu deren Schnittpunkten 2', 3' . . . . mit den entsprechenden Strahlen GmAm gezogen. Die Längen der von den Punkten 2', 3' . . . . auf die Gerade Cm 0 gefällten Lote sind dann gleich den Werten H.

kleineren Winkel 8' ^etwa 8'=-^- p == 15°^)

Schlielslich empfehlen wir dem Leser, das Beispiel noch einmal mit einem

durchzurechnen, um den Einflufs dieses nicht sicher feststehenden Erfahrungswertes zu prüfen.

Dal's alle Verfahren, den Einfluls schwerer Einzellasten zu verfolgen, nur als Notbehelfe anzusehen sind, weil noch zu wenig Erfahrungen vorliegen, haben wir bereits ausgesprochen; wir wollen aber nicht unterlassen, dies nochmals hervorzuheben ¹). Die vom Verfasser angestellten Versuche mit Einzellasten, über die im zweiten Abschnitte berichtet wird, dürften die einzigen bisher ausgeführten sein.

•JOT.

6.

Ermittelung des Erddruckes auf eine krumme Gleitfläche.

24. Mherungsverfahren. Es sei ABC eine Gleitfläche für den unteren Grenzzustand des Gleichgewichts (Fig. 80). Der Winkel 8', den der Druck E auf die Wand mit der Normale zur Wand einschliefst, sei bekannt. Dann bestimmen die Wandrichtung und die Richtung von E das zum Punkte A gehörige Involutionszentrum Jn. Mittels einer in Ja an den inneren Kreis gelegten Tangente findet man die Richtung G der Gleitfläche im Punkte A.

Die Oberfläche des Erdkörpers trage eine lotrechte, stetige Belastung p. Im Punkte C bestimmen die lotrechte Richtung und die Oberflächenrichtung als konjugierte Richtungen das Involutionszentrum und die Richtung tc der Gleitfläche.

Nehmen wir nun an, es liege eine Gleitfläche vor, deren Endtangenten die vorgeschriebenen Richtungen haben, und suchen

wir den an dieser krummen Fläche angreifenden Erddruck zu bestimmen. In einem beliebigen Punkte D der Gleitfläche ziehen wir die Tangente tß und ermitteln mit deren Hilfe einen zum Punkte D gehörigen Punkt Ju. Sodann bestimmen wir zur lotrechten Richtung I die konjugierte Richtung I' und messen oder berechnen den Winkel ß, den I' mit der Wagerechten bildet.

■_JC_

Ci

jOC

li,

,fD

Dy

f.

du äs

lT

Fig. 80.

Zwischen ß und cp besteht die Beziehung

wo

77)

90° —

cp =    (90 ⁰ — p + ß' — ß),

78)

sin ß' _

Es ergibt sich

sin ß

sm p

79)

tg ß = tg p

¹ +tg² p — (tg cp — tg p)²

1 + tg² p + (tg cp — tg p)

Nun betrachten wir an der Stelle D ein dreiseitiges Erdprisma, das begrenzt wird von der wagerechten Fläche dx, der lotrechten Fläche dy und dem Gleitflächenelement ds. Die Druckspannung in ds sei q. In dy herrschen die Spannungen ax und x, in dx die Spannungen csy und x. Zwischen t und csx besteht die Beziehung

80)

t = ax tg ß.

Indem wir die Summe der in der Richtung der Æ-Achse wirksamen Kräfte gleich Null setzen, erhalten wir qds sin (cp — p) — axdy — tdx,

und, wenn wir x mittels Gleichung 80) durch ax ausdrücken,

81)

_ Zx sin (cp — ß)

^ cos ß sin (cp — p)

Die Berechnung von q ist also zurückgeführt auf die Berechnung von 3X.

Die Spannungen ax tragen wir auf den Wagerechten durch die zugehörigen Punkte D von einer lotrechten Abszissenachse aus als Ordinaten auf und nennen die so erhaltene Kurve die (VLinie ; ihre Ermittelung ist das Ziel unserer Untersuchung.

T-dF

ir y

Q'

<²—⁶jc[VdF

9'

hU

r .

--4-!

dG

/s

T-dF

Fig. 81.

<ïcà\

là F

der Fläche

Sei nun 1HS (Fig. 81) ein ebenes Stück einer Gleitfläche und 3xr der Wert von ax im Punkte R. Durch die lotrechte Fläche RR' und durch die beiden, den Winkel dcp einschliefsenden Flächen SR und SR' sei ein Prisma abgetrennt. An den Flächen SR und SR' greifen die Drucke Q und Q' an, an dF—RR' die Kräfte axndF und xdF. Da Q' mit Q den Winkel dcp bildet²), so folgt aus dem Kräfteplane in Fig. 81

{dG F TdF) sin (cp — p) + 3xndFcos (cp — p) = Qdcp ,

worin zn setzen ist:

dG = y s³ 4 d®,

dF =

Man findet

sd cp

cos cp

x = GxR tg ß.

Q = Y 7 s2 sin (? — p) + 3xr

Q —    = T s sin (cp p) + dxR

Nun ist nach Gleichung 81)

und

82)

83)

Gx '—

s cos (cp — p — ß) cos ß cos cp

cos (cp — p — ß)

COS ß COS cp

mithin

cos ß sin (cp — p) ® sin (cp — ß) ’

Cfjr-

Y s cos ß sin⁴ (cp — p)

sin (cp — ß)

sin (cp — p) cos (cp — p — ß)

sin (cp — ß) cos cp

Aus der Bedingung, dafs ax — gxr werden mufs, sobald s = 0 gesetzt wird, folgt

sin (cp — p) cos (cp — p — ß)

sin (cp — ß) cos cp

= 1,

und hieraus ergeben sich zur Berechnung von ß die bequemen Formeln

84 a)

cotg (cp — ß) =

cos cp sec p

sin (cp — p)

tgp,

84 b)

tgP»

cos

t,g[X =

bestimmt ist. Es besteht also zwischen den Winkeln cp und ;x die einfache Beziehung

7 cos ß cotg cp sin (cp — p) COS (cp — p —ßj

7 cotg cp

cotg (cp — p) + tg ß

Diese Gleichung gestattet, zu jeder Gleitfläche, deren Gleichung nicht bekannt zu sein braucht, mit einer für die Praxis genügenden Genauigkeit und in yerhältnismälsig kurzer Zeit die zugehörige a.,.-Linie zu ermitteln.

Man ersetze die krumme Gleitfläche durch ein Polygon von möglichst kleinen Seitenlängen mit geringen Richtungsunterschieden, ermittele ein zugehöriges ax- Polygon und runde schliefslich dessen Ecken ab. In Nr. 25 werden wir eine strenge Lösung mitteilen, welche es möglich macht, die Zuverlässigkeit der Näherungsrechnung zu prüfen.

Ein Zahlenbeispiel möge unser Verfahren und seine Verwendung zur Berechnung des Erddruckes auf eine Wand erläutern.

Eine lotrechte Wand AB (Eig. 82 auf Tafel I) stütze eine wagerecht abgeglichene, unbelastete Erdmasse. Es werde angenommen, dafs der obere Teil CC der Gleitfläche eben sei, der untere dagegen gekrümmt. Die Wand sei rauh, und es möge =- p' = p gesetzt werden. Für die Neigungswinkel der Gleitlinientangenten t\ und tc (siehe Abb. 80) erhält man die Werte

85)

tg[X =

= 45° + -J-p = 60°.

u

Der gekrümmte Teil CA der Gleitlinie sei so geformt, dafs ihm ein Polygon umschrieben werden kann, dessen Seiten die Neigungswinkel 58 °, 56 °, 54 °, .... 32 °, 30⁰ und gleich grofse lotrechte Projektionen a haben. Die lotrechten Projektionen der Gleitlinienstücke C C und C'A mögen yj₀ und riU heifsen. Es ist

r/0 + riu = h und a = ^

In Fig. 82 geben die Strahlen des Büschels I die Richtungen p an ; von ihren Schnittpunkten mit der Lotrechten JK aus wurden die zu den einzelnen Winkeln cp gehörigen Zahlen tgjx/7 als wagerechte Ordinaten aufgetragen. Die Kurve, welche deren Endpunkte verbindet, ist von solcher Art, dafs wenige Punkte zu ihrer Festlegung genügen. Es wurde Gleichung 84 b benutzt ; sie lautet für p — 30 ⁰

'Pa = p = 30 °,

Pc

cotg (cp — ß)

und liefert für = 58 ⁰

0,750 tg cp — 0,433

— 0,577

"cd -G

4°

LO

lc r.

44°

■CO CM

OO OO

⁰ 50'    ⁰ 50' | 24° 40'    ⁰ 30'

CO CM

⁰ 55'

-tgP= Zu cp

0,320 0,285    0,247

0,232    0,167    0,055.

45° +

rH CM

p = 60 ⁰ gehört ß = 0 und

p)

= tg² 30 ⁰ =

45° —

7 =*■(

und zu cp = p — 30 ⁰ gehört tg jx = 0.

Mit Hilfe dieser Werte wurde die tg p, ! y - Kurve gezeichnet. Die Projektionen ihrer Ordinaten auf eine wagerechte Gerade KK' im Abstande 1 von J bestimmen einen Büschel II, dessen Strahlen die Neigungswinkel der Seiten des axl'(- Polygons angeben. In unserer Zeichnung wurde die Strecke KJ nicht gleich 1, sondern gleich 0,5 gemacht. Die dadurch erforderlich gewordene Halbierung der Werte ax / y ist durch die Wahl des Mafsstabes erledigt worden. Der Längenmafsstab der Zeichnung ist a= 1.

Bezeichnet nun $ den Inhalt der zu einem Gleitflächenstück gehörigen axl y -Fläche, so ist der Druck auf dieses Stück nach Gleichung 81) offenbar

g sin (cp — ß) s ₌

cos ß sin (cp — p) a cos ß sin (cp — p) sin cp Zerlegt man A Q nach wagerechter und lotrechter Richtung, so erhält man für die wagerechte Seitenkraft den Wert

86)

*Q = r

T % sin (? — ß)

87)

A H= A Q sin (cp — p) —

T % sin (? ~ ß)

cos ß sin cp

und hierauf für die lotrechte Seitenkraft den Wert

A V == A H cotg (cp — p).

Wir trennen die Fläche $ in zwei durch verschiedene Schraffierung kenntlich gemachte Teile. Mit bezeichnen wir den Inhalt des rechts von der Lotrechten durch den Punkt N' gelegenen Teiles; er ist unabhängig von ri0. Nennen wir die mittlere Breite dieser Fläche 0, so erhalten wir _ %' = za²*).

JK= 0,5 statt 1,0 angenommen wurde, so ist

nun

*) Die Multiplikation mit a² ist erforderlich, weil der Längenmafsstab der Zeichnung a = 1 ist. Die Tafel I wurde ursprünglich im Mafsstabe = 10«»» gezeichnet. Für die zu cp = 50° gehörige Fläche ergab sich = 26,9 »»». Da 1 26 9

~ • a — 1,345 a und == 1,345 a².

Der links von der Lotrechten durch N gelegene Teil der Fläche % hat den Inhalt

$    — 3 ^oai

jpir=v ig* (45 •—!■)

Der Druck A Q ist also bestimmt durch die Seitenkräfte AH— AH' -\- AH"

denn es ist

r—( ' TT

V*).

und

A V = A V + A V",

wo

88)

sin (cp — ß)

cos ß sin cp

7,

89)

90)

91)

_ y a sin (? — ß)

3 ¹⁰ cos ß sin cp AH' cotg (cp — p), AF" = AJT'cotg (cp — p).

AH" =

AV

7»

52° 46° 44° 38° 32°

Es wurden die den Winkeln cp = 58°

entsprechenden Werte

AH'    AHT_    AV    AV"

Y«² ’    Y'/jo«’    y«²    Y rloa

berechnet und die übrigen Werte zeichnerisch eingeschaltet. Zur sicheren Festlegung der in Fig. 82 dargestellten Kurven genügen

AH'

4-

Fig. 83.

wenige Ordinaten. Und diese Ordinaten lassen sich auch leicht konstruieren. Fig. 83 zeigt die Darstellung von AH'lya²-, sie

_ 2

*) Wegen JK = 0,5 ist auf der Zeichnung iV"iV/ = -g-7]o.

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern.

bedarf wohl keiner weiteren Erklärung. Die Konstruktion des Winkels ß haben wir in Fig. 80 angegeben. Da man auch die zur Ermittelung der Werte tg ;x / y erforderlichen trigonometrischen Rechnungen zeichnerisch erledigen kann, so läfst sich fast die ganze Untersuchung mit Lineal und Zirkel durchführen.

Einen einfachen Sonderfall bildet der Druck auf das unter dem Winkel p geneigte unterste Stück der Gleitfläche. Für rp = p wird auch ß =? p. Die Formel 81 geht dann über in

92)

cos p

Der Druck auf dieses Gleitflächenstück ist lotrecht (A H= 0) und hat die Gröfse

93)

V— qs =

ax a

cos p sin p ¹

er setzt sich zusammen aus

94)

AF' =

= 7,13 y a⁵ und

cos p sm p

95)

— CO

rto a y

cos p sin p

0,77 y r/o a-

Yjn, die folgenden Mittelkräfte :

Die Zusammenzählung der an der Gleitfläche AG angreifenden Kräfte liefert, mit a =

1 o

LT =2 AIT = 0,047 Y y, jffw = 2Afiw = 0,169Tij*ij.,

F' = VA F' =0,277 Y V⁶,

F" = 2 A F" = 0,697 y w

Uber die mit Hilfe von Seilpolygonen bestimmte Lage dieser Kräfte gibt Fig. 84 Auskunft.

Wir betrachten nun den Gleichgewichtszustand eines Erdprismas, das begrenzt wird von der Wand, von dem gekrümmten Teile A C der Gleitfläche und von der durch den Punkt C gelegten lotrechten Ebene C C". Der Druck auf die Fläche C C" ist ebensogrofs als im Falle eines seitlich unbegrenzten Erdkörpers ; er ist parallel zur Oberfläche, also wagerecht, hat den Wert

H₀ =

45ü —

i)

Das Gewicht des betrachteten Erdprismas besteht aus den beiden Teilen

G₀ = 1,088 rj₀r](t Gu — 0,642 riu².

Gu hat von der Wand den Abstand 0,396 riu. Der Erddruck E auf die Wand AE setzt sich zusammen aus

und

und

Ew — H₀ + H' + H" = -g- y 7J₀² + 0,047 y rlu² + 0,169 y ri0 t]u

El = Go A Gu — V — V" = 0,891 y 7]₀ yjm + 0,365 y riu².

C"

1,088 qu

"TT

Go

En,

0,39611u _ ^

Gu

*-

H"

Ei

H'

aeastju

0, j20lju

V V"

y.

4.

i 0,480

->

Fig. 84.

Da nun E mit der Normale zur Wand den Winkel p ein-schliefsen soll, so mufs sein

Ei = Ew tg p = 0,577 E, und man erhält daher die Bedingung

0,391 f]₀rllt + 0,365 y]u² = 0,096 ri0² + 0,027 riu² + 0,098 Y]₀rjM,

woraus, wegen ri0 — h — 7jw, die Gleichung folgt:

r|tt²- 9,51 hriu+ 1,88 h² = 0-,

sie liefert

yj« = 0,202 h, 7)₀ = 0,798 h,

H,, = 0,106 y h² G₀ = 0,175 y A² F' = 0,011 y h2 H’ = 0,002 y h² Gu = 0,026 y h² F" = 0,112 y h2 H" = 0,027 y h²

En =0,135 y h²

G — 0,201 y/*²

F = 0,123 y Ä²

7 =0,123 y h²

Et = 0,078 y A²

Das Angriffsmoment des Erddruckes in bezug auf den Fufs A der Wand ist

M— + H₀ --+ H' • 0,529 riu + H'' • 0,695 t]u

+ V • 0,480 riu + V" • 0,618 riu — G₀ ■ 0,544 r/0 — Gu • 0,396 yjm • Man erhält:

M = 0,04734 -yh².

Ew

E,

78

Ew

135

= 0,577 (Probe).

Der Angriffspunkt des Erddruckes E hat von A den Abstand M = 0,350 & > —•

Wir wollen die für EH- und M gewonnenen Werte noch mit denen vergleichen, die sich für eine ebene Gleitfläche ergeben. Nach Gleichung 23) S. 14 ist

El0 =

Y h² cos² p

und für p = 30 ⁰

2 (l + sin p ]/2)²

Ew —

|-T h2 (1,5 — / 2 ) = 0,129 y /i².

Das Moment von Ew in bezug auf A wird

M = EW A = 0,043 T Ä².

O

Die durch riu — 0,202 h bestimmte Gleitfläche ist in Fig. 85 mafs-stäblich dargestellt worden. Die strichpunktierte Gerade gibt die Gleitfläche der Coulombschen Theorie an. Die unebene Fläche liefert Werte Ev, nnd M, die um 6 v. H. bezw. 10 v. H. gröfser sind als die einer ebenen Gleitfläche entsprechenden Zahlen. Durch Änderung der Form des krummen Teiles der Gleitfläche lassen sich noch etwas gröfsere Werte von E und M erzielen; man braucht nur mit der Kurve näher an die beiden Tangenten G und tc heranzugehen. Statt des einen Parameters    den wir mit

Hilfe der Grenzbedingung EilE,r — tg p bestimmten, könnte man deren zwei einführen und den Einfluls des zweiten auf Ew und M und schliefslich auf die Beanspruchung der Wand verfolgen. Dafs es sich aber nicht lohnt, eine solche umständlichere Rechnung anzustellen, geht aus der folgenden Betrachtung hervor.

Wir wollen annehmen, dafs die beiden Tangenten G und tc durch ein ganz kurzes Kurvenstück verbunden seien und dieses

lö,ÜÄ9/i

Fig. 85.

Kurvenstück bei der Rechnung vernachlässigen (Fig. 8(5). Indem .wir zur Abkürzung setzen

Q- Ol

tg² (45°---)

erhalten wir für die Fläche C C" = 1 •-q den wagerechten Druck

H=f

yuV.

und für den Punkt C die Spannung

ax — y s' rr

Der Druck auf die Gleitfläche AC' wird nach Gleichung 93)

cos p sin p

/>

TL

//

//

TT

O.z

y_ Gx (h — 7j) _ ’yß — T))

cos p sin p

und das Gewicht des Erdprismas AC'C' B:

Y T (h + r() (h — >î) cotg P = 0 T (^² — ^î²) cotS P*

Auf die Wand wirkt

Ew = ÆT= -g- y s' •/;² und ü = G — F.

ein, so erhält man

Setzt man diese Werte in die Grenzbedingung Ew = Ei cotg p

(ll² Y,²) COS ² p 7} (Ä — 7]) s'

2 sin² p    sin ² p

und wenn man nach Potenzen von ~q ordnet,

7]² (V sin ² p — 2 s' + cos² p) + 2 e h q — 7*² cos ² p.

C"

7T7

J/

Setzt man

s' =

Zro

LC -d

Ci

r⁷

Fig. 86.

i.

_vi

_v

1 — sin p

cos ² p

1 + sin p

(1 + sin p)² ’

97)

ri =

so geht diese Gleichung zur Berechnung von q über in

9(1) q² (2 sin ² p + 2 sin p — 1) -f 2 Ji -q — h² (1 -j- sin p)² ; ihre Lösung ist:

^ — 1 + sin p / 5 + (1 sin p + 2 sin ² p 2 sin p + 2 sin ² p — 1

Das Angriffsmoment für den Punkt A wird

(!-⁷)•

wo ç den durch die Schwerachse des Trapezes A B C" C bestimmten Abstand der Kraft G von der Kraft V bezeichnet. Beachtet man nun, dafs einerseits Elt, — H ist, anderseits aber Eir = Ei cotg p = ( G V) cotg p, und setzt man noch b — (h — yj) cotg p, so findet man

98)

H=(G — V) cotg p und kann den Ausdruck für M umformen in

99)

M=H

) +GI

Der Abstand e des Angriffspunktes des Erddruckes E vom Punkte A ist nun

und es ergibt sich daher

100)

Setzt man in diese Gleichung:

e -----

. ri

Gi

2 Y (h + V — ri) cot£ P,

b h— 7} 0 h -f- 7j ’

b h -(- 2 rt

3 h + 7)

11=

45 ° —

2)

(1 4- sin p)

'2 ’

so gelangt man zu der Formel

Das dritte Glied darf vernachlässigt werden ; es genügt, mit

101)

102)

05 •—⁷

r^⁾³ (1 ₊ __L_Y.

7;² y ^sinpj

6”⁷⁵

zu rechnen. Für unser Zahlenbeispiel ergibt sich

71 —h{— 2 -f f8,5) = 0,915 /i, h — 7; = 0,085 h (vorhin 0,089 h),

Y y 0,915² h² = 0,140 y Ä² (vorhin 0,135 y 7i²),

e = 0,348 h (vorhin 0,350 h) ⁷).

Ew =

e = 0,349 h.

Aus den geringen Abweichungen erkennt man, dafs die Gestalt der zwischen die beiden Tangenten t\ und tc eingeschalteten Kurve keinen erheblichen Einfluls haben kann*).

Wir wollen noch untersuchen, welchen Einfluls eine auf die Hintertullungserde aufgebrachte gleichmäfsige Belastung p ausübt. Der Druck auf die lotrechte Fläche C C" (Fig. 84) geht über in

45°

2 p) =-g-T rto² + yP'b,

und dem Punkte C entspricht nunmehr

Vx = g T ^0 + -g- P ri0 =    (ty + K),

wo he =p\y die Höhe einer Erdschicht von gleichem Gewichte wie p bedeutet. Der Inhalt der Fläche beträgt jetzt

(r/0 fl⁻ he) a

■g* T⁷)⁰ (r>o+ 2 he),

H' = 0,047 y rlu2 H"— 0,109 y r/M (r/0 + ^e),

T = 0,277 y V,

F" = 0,697 y (ty + ^),

G₀ = 1,088 y (tj₀ + ^),

Gu = 0,642 y riM²,

^w=2T+ir + ir',

El==G₀₊Gu— V- F".

Die aus der Grenzbedingung E, — 0,577 Ew folgende quadratische Gleichung zur Berechnung von rjt( geht über in 'fju,² —~ 9,51 (h -f- he) riu T 1,88 h (h -f- 2 he) = 0.

Es sei z.B. h— 6,0m, he—1,5 m(fürY«=l,6 t/m³ also p =2,4 tön²). Dann ergibt sich

rtu = 1,45 m = 0,242 h ( vorhin 0,202 h), riU —■ 4,55 m,

und man erhält:

A’

r-H ; 00

2,28 y + 3,45 y H' =    0,10 y

AT =    1,48 y

Go = 9,54 y Gm= 1,35 y

V ' = 0,58 y F" = 6,12 y

Eir

£ = 10,89 y F = 6,70 y

F =6,70 y

7,31 y

JE/ 419

= 0,574.

E,r

*) Zahlenrechnungen für verschiedene Kurven unter Anwendung verschiedener Abstufungen der Werte cp haben dies bestätigt. Ein Beispiel, welches die Einschaltung eines Kreisbogens behandelt, steht am Schlufs von Kr. 26.

731

Für die Hebelarme der Kräfte H', H'\ G₀, 6G, V, V" gelten nach wie vor die in die Fig. 84 eingetragenen Vielfachen von rjit. Hie Kraft H ist zu zerlegen in den von p abhängigen Teil 2,28 y

und den Fest 3,45 y. Der erste Teil greift im Abstanderl0, der andere in der Entfernung ^ ri0 von der Oberfläche an. Das Angriffsmoment M für den Fuis A der Wand wird

M= 17,93 y.

Die Annahme einer ebenen Gleitfläche liefert En< = 0,129 yh (h -f- 2 he) = 6,97 y,

0,129 y h (ft — + 2he ■    = 16,25 y.

Um schlielslich noch die angenäherte Gleichung 96) für den Fall einer mit p belasteten Hinterfüllungserde zu erweitern, setzen wir

»S£ ICO

H= T G + -f )s'¹¹²⁼¹ (t¹^’ +h‘r‘s’)

G = Y y — rf) cotg P + 7 (A — >)) cotg p,

Y sr (yj + 7^) (ft — 7j) sin p cos p

und finden aus der Bedingung Ew — Ei cotg p auf demselben Wege, der zu der Gleichung 96) führte :

103)    7|² (2 sin² p fl- 2 sin p — 1) -f 2 yj [h + 2 he sin p (1 + sin p)]

= h² (1 + sin p)² + 2 he h sin p (2 + sin p), welche man zweckmäfsig nicht allgemein, sondern von Fall zu Fall auflöst. Für p — 30 ⁰ erhält man z. B.

7j = — (2 h + 3 he) — y^5 h² + 17The + 9 he².

Bei der Berechnung des Angrilfsmomentes M für den Fufs A der Wand wollen wir gleich von vornherein das Gewicht G im

h —    - (h — yj) cotg p von der Wand annehmen. Der

LI

Druck auf die Fläche C'C" mufs zerlegt werden in Ep — y e he r; und Hr = y e yj².

104)

Abstande

Iv I—¹

Hp greift im Abstande — yj von der Oberfläche an, Hy im Ab-

u

7j. In der Richtungslinie von Hp fügen wir zwei sich

H und erhalten

CM CO

stände

tilgende Kräfte H- hinzu, setzen Ev + H

n(h

to l—‘

V) (Ä — /Jcotgp.

Formel

Wird (Gr -

V) cotg p = i/ gesetzt, so ergibt sieb die einfache

105)

il/

toj 1—¹

Hy-ri.

Für h = (3,0 m und h, = 1,5 m ergibt sich ri — 5,39 m, und man erhält Ht, = 2,70 -p Hr = 4,84 y, H— 7,54 y (vorhin 7,31 y),

M — 18,3 y (vorhin 17,9 y).

In ähnlicher Weise läfst sich auch der Erddruck und sein Angriffsmoment M für eine geneigte Wand und eine geneigte ebene Oberfläche berechnen. Wir verzichten aber fürs erste darauf, allgemeine Formeln abzuleiten und beschränken uns auf die Anführung der aus der geometrischen Konstruktion der Tangenten 0 und /<? sich ergebenden Neigungswinkel <da und cpc (Fig. 80).

Bezeichnet 87 den Neigungswinkel der Wand gegen die Lotrechte (positiv für eine nach der Erdseite überhängende Wand), und sind a und p” Hilfswinkel, die durch die Gleichungen bestimmt sind,

• ot

sin 0 sin p ¹

10(3)

, sm a sin a — —.

sm p

* off

, Sill 0 =

so ist

107)

rpc = 45 ⁰ +

IC i—‘

und

108)

?a = 45°+ yp

Ist 0 =p, so ist t\ parallel zu dem auf die Wand wirkenden Erddruck.

Bei nicht zu grolsem Richtungsunterschiede der beiden Tangenten G und tr darf man wieder eine aus zwei Ebenen bestehende Gleitfläche einführen. Den parallel zur Oberfläche gerichteten Druck E₀ auf die lotrechte Fläche C C" bestimmt man mit Hilfe der Gleichung 43). Hat man z. B. gefunden

.9² v² =

Hq — JfcL|j COS GC- ^ *y

u

so findet man, wegen slh =

-i-Ts²v² + p-|-5v²,

1 / cos a im Punkte C

p v2 cos a

ax = y s v² -f

und kann nunmehr die auf die Gleitfläche A C wirkenden Drucke V und H bestimmen.

Fig. 87.

dy • dx — 0,

Die Gleichgewichts!)edingimgen lauten: 3(3⁸

dx

25. Die Kötter sähe Formel für den Oleitfläcliendruck q⁸).

An der Stelle x y des Erdkörpers denken wir ein Parallelepipedum AB CD abgegrenzt (Fig. 87), dessen Kanten die Abmessungen dx und dy haben. Die Kantenlänge rechtwinklig zur Bildebene sei eins. Die Spannungen in den Flächen AB und CD sind

¹ da),

ax, x und ax + in den Flächen A D und B C :

Gy, x und <sff +

3a)

da), t -f-

3 a)

CO Co

dy, t +

dy

dy.

fco îü

dy

3i/

dy • da) +

3a)

dx • dy — ^ dx dy.

Es gelten also die Gleichungen:

I a.

= 0,

3 a⁸ . 3 x

3a)

Ib.

3?/

— T⁸

Nun betrachten wir das dreiseitige Prisma dx dy ds m Fig. 80, nehmen an Stelle des Winkels p für die Neigung des Druckes q den Winkel 8 an und setzen erst die Summe der nach der Richtung von q wirkenden Kräfte gleich Null, und hierauf ebenso die Summe der rechtwinklig zu q wirkenden Kräfte. Da die vom Eigengewichte des Prismas herrührenden Glieder unendlich klein von der zweiten Ordnung sind, so erhalten wir die für alle Flächenteilchen ds geltenden Gleichungen:

qds—Oxd y sin (cp — 3) + ay d x cos (cp — 8) — xd y cos (cp — 3) — t dx sin (cp — 8),

0 = axdy cos (cp — 3) — afJdx sin (cp — 8) + xdy sin (cp — 3) — x dx cos (cp — 8).

Hieraus folgt : II a.

x sin ( 2 cp — 8)

q = ax sin cp sin (cp — 8)

-f <3y cos cp cos (cp — 8),

IIA

0 = ax sin cp cos (cp — 8) — x cos (2 cp — 8)

— a/y cos cp sin (cp — 8).

Insofern nun die drei Gröfsen ax, x, bestimmte Funktionen von x und y sind, werden durch die Gleichungen IIa und Hb für jedes Linienelement der Druck q und die Druckneigung 8 als Funktionen der drei Gröfsen x, y und cp bestimmt. Die Ableitungen von 3 nach den drei Gröfsen x, y, cp erhalten wir, indem wir auf Gleichung II b die bekannten Gesetze des partiellen Differenzierens anwenden, wobei wir noch sofort bemerken, dafs die partielle Ableitung von II b nach 8 offenbar gleich + q ist. Demnach gelten für die Ableitungen von 8 die drei Gleichungen

III«,

dax

dx

cos (2 cp — 8)

dx

cos cp sin (cp — 8) + q

98

dx’

III b.

CO

dy

dy

cos (2 cp — 8)

dy

cos cp sin (cp — 8) + q

98

dy'

¹

Ein Kennzeichen für den Notbehelf ist die durch den Punkt Cm angenommene Gleitlinienschaar.

²

Unstetigkeiten schliefsen wir aus.

³

otg (cp — ß) =

cos⁴ p tg cp--çr- sin 2 p

u

sie liefern denselben Wert ß wie die Gleichung 79).

Wird nun

sm cp

gesetzt, so geht die für ax gefundene Gleichung über in

ß cotg cp sin (cp —p)

> '    --r GsR-

⁴

COS (cp — p — ß)

Zu einer geraden Gleitfläche gehört eine gerade ax- Linie, deren Neigungswinkel fx durch die Formel

⁵

nd greift im Abstande ~ ri0 von der Oberfläche an.

⁶

o

⁷

Bei Berücksichtigung des dritten Gliedes der Formel 101) erhält man

⁸

Kötter, Die Bestimmung des Drucks an gekrümmten Gleitflächen, eine Aufgabe aus der Lehre vom Erddruck. Sitzungsbericht der Königl. Preufsischen Akademie der Wissenschaften. 1903. Kötter hat diese wichtige Aufgabe bereits 1888 gelöst und in den Verhandlungen der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin, Jahrgang 7, veröffentlicht. Die zweite, in den Sitzungsberichten der Akademie mitgeteilte Lösung ist einfacher und übersichtlicher und wird oben wiedergegeben.

III c.

0 = <jx cos (2 cp — 8) -f 2 x sin (2 cp — 8)

9 3

9 cp

- Gy cos (2 cp — o) + q

Die vorstehend mit römischen Ziffern bezeichneten Formeln gelten für alle Linienelemente; wollen wir zu den Elementen der Gleitfläche übergehen, so müssen wir dem Neigungswinkel 8 seinen

gröfsten Wert p beilegen und gleichzeitig die drei Ableitungen von o nach x, y und cp gleich Null setzen. Diese speziellen Formeln wollen wir durch arabische Ziffern kennzeichnen. Wir erhalten zunächst aus lila—IIIc die Formeln

0)

9 ox

° ⁼ "3^"Sm?C0S^_ P)

cos (2 cp — p)

dx

cos cp sin (cp — p),

(2)

sin cp cos (cp — p) —

cos (2 cp — p)

3a,y

cos cp sin (cp — p),

0 = ox cos (2 cp — p) + 2 x sin (2 cp — p) — ou cos (2 cp — p).

Die Formel II a für g läfst zunächst noch eine leicht vorzunehmende Umformung zu, welche liefert

î = y (a* + ty) cos 3 —    [a* cos (2 cp — 8)

+ 2 x sin (2 cp — 8) — cos (2 cp — 8)].

Setzen wir hierin 8 = p, so erhalten wir mit Rücksicht auf Gleichung (3)

(3)

IV a.

(4)

q = 2 ^ + cos p‘ Endlich erhalten wir aus II & zunächst

I Yb.

0 = [ax sin (2 cp — 8) — 2 x cos (29 — 8)

u

— oy cos (2 cp — S)] H—(ctx + Oy) sin 8,

oder, wenn wir unter Benutzung von (4) auch hier zur Gleitfläche übergehen,

(5)

q tg p = — -g- [ox sin (2 9 — p) — 2 x cos (2 9 — p)

- Oy cos (2 9 — p)].

Die unter (1) —(5) aufgeführten Gleichungen dürfen, da sie nicht mehr für jedes Linienelement gelten, auch nicht mehr partiell nach x, y und 9 differenziert werden, wohl aber dürfen sie, da sie für alle Linienelemente der Gleitfläche gelten, nach der Bogenlänge s der letzteren differenziert werden, und zwar nach der Formel

dü __düdx j_U[dy dU dy

9 9 ds

3 U d<p

3 co ds

ds dx ds

dx

cos 9 +

3« ds

3 U .

dy

sm 9 +

So erhalten wir aus (4) die Formel

(6)

dq__ 1 /3gg 3qy\ ds 2 \3a; dx )

cos cp cos p +

1    /3 a,

2    \ 3 «/ ¹ 3 y

sm cp cos p,

und aus (3)

3 g, 3^

3a;    3a;

^ cos cp cos (2 cp — p) + 2

⁺ (If—17)sin fsin (2 ? — p) +²

CD

3a;

cos cp sin (2 cp — p)

sin cp cos (2 cp — p)

c/ cp

— 2 [g* sin (2 cp — p) — 2x cos (2 cp — p) — a,, sin (2 9 — p)]    ■>

was mit Rücksicht auf (5) die Formel

dy

4gtgp

ds

da y

3a;

CD

3®»

<x>

^ cos 9 cos (29 — p) — 2

\    3 x .    •

J sin 9 cos (29 — p) — ^d~y s*n ? sln ^ V — P)

cos 9 sin (29 — p)

ergibt.

Aus (6) und (7) ergibt sich dann weiter:

-2gtgP^ =

(8)

cos² 9 cos (9—p) +

3cr,/

3 ax

cos 9 sin 9 sin (9 — p) + cos 9 sin (29 —p) 3 (5

sin 9 cos 9 cos (9 — p) + —sin² 9 sin (9 — p)

3a;

3x

dy

sin 9 sin (2 9 — p).

Indem wir hierin für

3 s,/

3 a;

cos 9 sin (9 — p)

und für

CD CD

sin 9 cos (9 — p)

die beiden Werte setzen, welche sich aus (1) und (2) ergeben, nämlich

d*l

3a;

cos 9 sin (9 — p)

3 g, .

dx

sm 9 cos (9 — p) —

3t

CD

cos (2 9 — p)

und

3 a*

sin 9 cos (9 — p)

da,,

dy

cos 9 sin (9 — p) +

CD CD

cos (2 9 — p),

so erhalten wir die Gleichung

dx

Sb

öl' CC

2 q tg p

cos(cp—p) (cos² cp+sin² cp) f

dx

[sin(2cp p)coscp —cos(2cp-p) sin cp]

3 or    w w

dy

+    sin (cp -p ) (cos² cp + sin² cp)+~ [cos (2 cp — p) cos cp + sin( 2 cp—p) sin cp],

oder wenn wir die Glieder mit Hilfe bekannter trigonometrischer Beziehungen vereinfachen,

d cp    / 3

CO

dx

cu

3x_    3 ay

3#

dy

sin (cp— p).

Benutzen wir noch die Gleichungen I a und I b, so erhalten wir schliefslich folgende Differentialgleichung zur Bestimmung des Druckes an der Gleitfläche:

(9)

dq

= i sin (<p — p),

deren Lösung sich unmittelbar hinschreiben läfst.

109)

q = y e²*'/’tg2(/) tg' sin (cp — p) ds.

Die erforderliche Quadratur gestaltet sich besonders einfach, wenn die Bogenlänge, wie z. B. bei der Zykloide und ähnlichen Kurven, durch ein einzelnes Glied von der Form

A sin (21 cp + a)

oder ein lineares Aggregat von solchen Gliedern dargestellt ist. Jedem solchen Gliede entspricht dann ein Bestandteil von der Form

ax sin (cp — p) cos (21 cp -f cx) + a₂ cos (cp — p) cos (21 cp -f a) + bx sin (cp — p) sin (21 cp + a) + b₂ cos (cp — p) sin (21 cp 4- a),

dessen Koeffizienten sich leicht bestimmen lassen. Zu diesen Gliedern tritt dann noch das mit einem willkürlichen Faktor C behaftete Glied

y(7e2,/,tg?.

An die vorstehend wiedergegebene Entwicklung von Kötter knüpfen wir die folgende Betrachtung.

Die Seitenkräfte Ew und Ei des

zu einer gekrümmten Gleitfläche A C gehörigen erforderlichen Widerstandes E der

Wandfiäche AB sind mit den in die Fig. 88 eingetragenen Bezeichnungen

<p i

E,r = / q sin (cp — p) ds,

(pQ

P (a + «)

Ei = ydx -f

Yah

wo

- /"q cos (cp — p) ds,

⁽po

⁺ ~2

y =    2<rts<> sin (cp — p) ds + Cj.

k-------^-------'

cos a

—a----*!

//

lJ

g..

Ew

>»

£■

Fig. 88.

Zur Bestimmung der Integrationskonstante C dient die Bedingung, dafs der Druck q im Endpunkte C der Gleitfläche den Wert

sin (cpo — p) ¹ sin (cp₀ — ac)

<1 =

annehmen mufs.

Der Winkel, den der Erddruck mit der Wand bildet, sei vorgeschrieben. Es ist also ein bekannter Wert. Zwischen En, und Ei besteht die Beziehung

Eu, — Ei cotg ,

und man erhält daher den erforderlichen Wandwiderstand E,

wenn man die eine der beiden Seitenkräfte von E zu einem Maximum macht.

Nun mufs allerdings hervorgehoben werden, dafs sich mit der Gestalt der Gleitfläche nicht nur die Gröfse des erforderlichen Widerstandes E ändert, sondern auch die Lage seines Angriffspunktes. Will man sich also beim Entwürfe einer Stützmauer mit der ungünstigsten Möglichkeit abfinden, so mufs man andere Werte zu Maxima machen. So könnte man z. B. die Frage aufwerfen: Bei welcher Gestalt der Gleitfläche übt die Mauer den gröfsten Druck auf den Baugrund aus? An eine strenge Lösung derartiger Aufgaben ist aber nicht zu denken. Schon die Ermittelung des gröfsten Wertes E führt zu einer schwierigen Aufgabe der Variationsrechnung, und es ist wmlil nicht zu erwarten, dafs eine für die Praxis brauchbare Lösung erhalten wird. Selbst wenn die Anwendung der Variationsrechnung dadurch umgangen wird, dafs die Gestalt der Gleitfläche von einer endlichen Anzahl von Parametern abhängig gemacht wird, ist die zu leistende Rechnungsarbeit sehr ’grofs; sie würde nicht im richtigen Verhältnis zu den noch nicht genügend gesicherten Grundlagen unserer heutigen Erddrucktheorie stehen. Der Hauptwert der Theorie der gekrümmten Gleitflächen liegt, daher auf wissenschaftlichem Gebiete ; welch wichtige Dienste sie hier leistet, haben wir bereits am Schluis von Nr. 9 (S. 32) gesehen.

26. Berechnung des Druckes auf eine Gleitlinie, die aus einer oder zwei Geraden und einem Kreisbogen besteht. In Nr. 24 zeigten wir die angenäherte Berechnung des Druckes auf eine Gleitlinie, deren oberer Teil gerade und deren unterer Teil gekrümmt ist. Den einzigen Parameter, von dem die Gestalt der Gleitlinie abhing, bestimmten wir mit Hilfe der Bedingung 8' = p. Eine ganz ähnliche Aufgabe wollen wir jetzt mit Hilfe der genauen Gleichung 109) auf Seite 111 lösen.

Die Gleitlinie bestehe nach Fig. 89 aus der Geraden CC und dem diese Gerade im Punkte C berührenden Kreisbogen C'A. Die Winkel <p₀ und seien nach S. 106 mit Hilfe der Formeln berechnet worden:

ï, = 45» + wo a' und 8" bestimmt sind durch

sin a' —

sm a

sm p

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern.

• »ff

sm ù = —

sin 8'

sm p

q = xr [$ tg p sin (9 — p) + cos (9 — p)] -f- Ce²⁽Ptgv.

Da nun 9 = 90 den Wert q~q₀ liefern mufs, so ergibt sich

C = e~²⁽ro^Q ! q₀ — xr [2 tg p sin (<p₀ — p) + cos (90 — p)]|, und man findet daher :

110) q = xr [2 tg p sin (9 — p) + cos (9 — p)] -f q e~²^’o—

wo

111) q' — q₀ — x r [2 tg p sin (y₀ — p) + cos (9^ — p)].

Die Summen der lotrechten Seitenkräfte der auf die krumme Gleitfläche wirkenden Drucke qds ist

<Pi

- fq cos (9 — p) ds

(f Q

Der Druck r/ hat an der Stelle C nach den Gleichungen 38) und 39) auf Seite 24 den Wert sin (9₀_— p) sin (9,, — a)

unter s₀ die Länge der Strecke CC verstanden.

C"

<h =P

+ 7 s₀ sin (cpo - p),

./•

?"

rC

x-

Hu

\?>

Jr_

Je.___*__

Fig. 89.

Für die kreisförmige Gleitlinie C'A gilt, wenn 7 = 1 gesetzt und der Halbmesser mit r bezeichnet wird, die Formel

q = e²⁽pt«Q [— r f    sin (9 — p) d9 + C].

Setzt man zur Abkürzung

so erhält man

1 + 4 tg² p

J~e — 2</>tgn sjn ^-p) rfy

— x e~²<i⁾ tg£ [2 tg p sin (9 — p) + cos (9 — p) |

und

r J q cos (9 — p) d 9,

•Pt

und die Summe der wagerechten Seitenkräfte:

<p<>

ry*q sin (cp — p) d cp.

<pi

Führt man die leichte Integration aus und setzt man sin² (cp₀ — p) — sin² (cpx — p) = sin (cp₀ -f cpx — 2 p) sin (cp₀ — cpx) sin 2 (cp₀ — p) — sin 2 (cpx — p) —- 2 cos (cp₀ -f cpx — 2 p) sin (cp₀ — cpx), so erhält man

112) V=

[sin ( cp₀ - 9i) {2 tg p sin (cp₀ -f cpx —2 p ) -f cos (cp₀ -f cpx—2 p)J

+ cp₀ — cpx J -f X g' r [2 tg p cos (cp₀ — p) -f- sin (cp₀ — p) • —e —2(f/>o —yOtg?|sin (cpx - p) -f 2 tg p

cos

und

(?i— P)}]

113)

~ [sin (cp₀ — 9X) {sin (cp₀ + cpx — 2 p)

2 tg p cos (cp₀ + cpx — 2 p)J 4- 2 tg p (cp₀ — cpx)J + xgV [2 tg p sin (cp₀ — p) — cos (cp₀ — p)

{2 tg p sin (cpx — p) — cos (cpx — P)jJ*

Um die Lage des auf das Gleitlinienstück C'A wirkenden Gesamtdruckes bestimmen zu können, berechnen wir noch das Moment dieses Druckes bezogen auf den Kreismittelpunkt 0 als Drehpunkt. Zu dem Zwecke zerlegen wir den auf ds wirkenden Druck in eine durch den Kreismittelpunkt gehende Seitenkraft und eine hierzu rechtwinklige Seitenkraft gdssinp. Erstere ist ohne Einflufs auf das gesuchte Moment. Da nun alle Seitenkräfte gdssinp am Hebelarme r wirken, so entsteht *

ipi    rpn

r sin p f gds = r²sinp fqdcp.

<r>)    <pi

Man erhält :

114) M = 2 xr³ sin p sin y (cp₆ — ?i) [cos -i- (cp₀ + cpx — 2 p) + 2 tg p sin y (?o + cpx — 2 p)J + y q r² cos p ^1 — e

— 2 (ipo — f/)l) tg Q

)•

Nun untersuchen wir den Gleichgewichtszustand eines Erdprismas, das begrenzt wird von der Wandfläche BA, der kreisförmigen Gleitlinie Ä C und dem lotrechten Schnitte C" C. Das

Gewicht des Prismas einschliefslich der auf der Oberfläche jB C ruhenden Belastung sei G. Auf die Schnittfläche C" C wirkt parallel zur Oberfläche ein Druck E₀, der mittels der Gleichung 43) berechnet werden kann. Für die Seitenkräfte des Wandwiderstandes E finden wir die Werte

und

E,„ = E₀ cos a + H,

El

G -f E₀ sin a — V.

Der Gleitlinienparameter r ist durch die Bedingung gegeben: E,„ — Ei cotg cp.

Mit Hilfe der Momentengleichung in bezug auf“ den Kreis-mittelpunkt 0 läfst sich schliefslich der Angriffspunkt von E bestimmen.

Zahlenbeispiel. Die Wand sei lotrecht, die Geländefläche wagerecht nnd unbelastet, der Winkel 8' sei gleich p. Dann ist

cpo — 45⁰

P und <p! = p,

und man erhält, wenn man zur Abkürzung setzt

45⁰--^ p = co,

für y —1 die folgenden Werte: 115) q₀ = s₀ sin (cp₀ — p) = r/0

sin (cp₀ — p)

sm cp₀

sin eu + cos co^,

116)    q ~ rl0 tg <0 — x r

117)    V— x r² ^tg p sin² tu + ~ sin 2 co + ~ tu

+ x qr

(2tgp

cos ai + sin <0 —

2 tgpe-2wt&A ,

00

Io

sin 2

<o) + Y sin2 ,,J J

(2 tg p

sin eu — cos <0 +    ,

+ xffV

119) M = xr³ sin p [2 tg p (1 — cos o>) -f sin tu] + g'r² cos p ^

1 _e-2«utgA

r\u

cos c■p₁ — cos cp₀

Ist, wie in dem in Nr. 24 gerechneten Zahlenbeispiele, p =30°, so wird (Fig. 90)

tgp

1 + 4 tg² p 7 ’

9o = 60°,

?i — ³⁰ °>

y]u

0,366 ’

O) =

30°

e—2wtgç _ o,547

g₀ = 0,577 7j₀,

F =0,586 i,₀i,„ + 0,272 V, H— 0,174 7]₀ -qu + 0,056 7]i(².

4 = 0,577 ri0 — 1,69

„ _ . 9,200

: c"

Aj

09/ 0

>'

<r

0,107/

1,0

---K~

0M73

i*-

'•00°

⁷("

j.

O,<t07

0,200

\io°

OO V

0,Q2o

r ~o,wé\

Fig. 90.

Da im vorliegenden Falle cpo = 90° — cpx ist, so ist die wagerechte Projektion des Kreisbogens AC ebensogrols wie die vertikale Projektion -qu, und es ist daher das Gewicht G des Erd-prismas BACC":

G = 7]₀tjm -f -= %² -f 0,0118 r² = 7pY]ie + 0,588 riu².

Der Erddruck auf die lotrechte Fläche C C ist

folglich ergibt sich

45° —

P)

⁼ ö^’

und

Die Bedingung

liefert die Gleichung

Etc = -jg- Vjo² + 0,174 rjo rlU + 0,056 Tj(<2 Ei = G- V = 0,414 7j₀ Yju + 0,316 -/ja².

Ei = Ew tg p

0,577 Ew

0,314 Tj₀ 7ja + 0,284 Tja² = 0,096 Tjo².

Setzt man vj₀ =    — riu und löst man die Gleichung auf, so

findet man

7)u

0,200 h, Tjo = 0,800 Ä, r= 0,546 Ä,

und schliefslich :

Ei — 0,079 y Ä²,

Ew = 0,137 yA².

und

Um den Angriffspunkt des Erddruckes zu bestimmen, berechnen wir zunächst mittels Gleichung 119) das Moment des an der krummen Gleitfläche AC" angreifenden Druckes, bezogen auf den Mittelpunkt 0 des Kreisbogens AC". Wir erhalten M= 0,0301 -yh². Den Druck auf die Fläche A C" denken wir mit der Wand im Punkte Ä zum Schnitt gebracht; wir zerlegen ihn in H= (0,174 • 0,8 • 0,2 + 0,056 • 0,2²) h² = 0,030 h2 V= (0,586 • 0,8 • 0,2 + 0,272 • 0,2²) h² = 0,105 h²

und fügen im Punkte 0 zwei sich tilgende Kräfte V hinzu, im Punkte 0' (Fig. 90) zwei sich auf hebende Kräfte H. Es entstehen dann zwei Kräftepaare, welche zusammen das Moment M — 0,0301 yh2 ausüben. Mit den in Fig. 90 für die Kräfte und Hebelarme angegebenen Zahlen (welche beziehungsweise mit y h² und h zu multiplizieren sind) ergibt sich für das Angriffsmoment, bezogen auf den Fufs A der Wandfläche, der Wert:

Ma =

[o,107 • 0,467 + 0,030 • 0,473 + 0,0301 — 0,105 • 0,273 — 0,16 • 0,10 — 0,02 •    — 0,0035 • 0,10ôJ y h³.

Ma = 0,0479 yh³.

Der Angriffspunkt des Erddruckes hat also vom Punkte A den

Abstand

MÄ

Ew

= 0,347 h.

Die hier untersuchte Gleitfläche weicht von der in Fig. 85 auf S. 101 dargestellten nur sehr wenig ab. Bei der letzteren war die wagerechte Projektion des gekrümmten Teiles gleich 1,088 riu (statt 7)m); wir fanden in Nr. 24, S. 99 u. 100, die Werte Ei = 0,078 y Ä², Ew = 0,135 T e = 0,350 h, welche mit den jetzt erhaltenen gut übereinstimmen.

Es möge nun zwischen die gekrümmte Gleitfläche und die Wand noch ein ebenes Gleitflächenstück A Ä (Fig. 91) eingeschaltet werden, dessen Neigungswinkel cpx = p ist. Seine Länge sei

s = AÄ =

3__

sm cox    ,

bs

/S

I iS

Ie"

Fig. 91.

Bezeichnet gx den Gleitflächendruck im Punkte A', so gilt für die ebene Gleitfläche A Ä die Formel

120)

2 = 21 + Ÿ s sm (<Pi — P)-Im vorliegenden Falle ist cpx = p, also q = qx. Der Wert ergibt sich aus der für den Kreisbogen gültigen Formel 110), wenn cp = cpx gesetzt wird. Es ist demnach

121) q₁ = x r [2 tg p sin (<px — p) + cos (cpj — p)] -f q e-2(</>°-<yn) tgç und für o₀ — 45 ⁰ -j-

r- i Ol

p und cpj = p :

xr + ç e_2<utg?, also im vorliegenden Falle (o> = p = 30 °) für y = 1 :

122)

2i

2i =

3

7 0,366

+ (0,577 ri0 - 1,69 rJM) 0,547 = 0,316 rt0 + 0,246 rtU.

Auf das Gleitflächenstück AA' wirkt demnach ein lotrecht gerichteter Druck

<hri

= 0,632 yj₀7j + 0,492 r/M7j.

r = qlS = A

sm p

Das Gewicht des zwischen der Wand und dem lotrechten Schnitte A B' liegenden Teile des Erdkörpers beträgt

G' =

n cots p + rt» + y ri)

— 1,732 (rjo + rjw) yj + 0,860 yj².

Die vorhin gefundene lotrechte Seitenkraft Ei — 0,414 yj₀y]m + 0,310 rlH2 wächst um G' — V. Es entsteht also jetzt

Man erhält

Ei = 0,414 Yj₀ y]w + 0,316 Yj(l² + 1,732 (yj₀ -+- yjm) yj + 0,866 yj — 0,632 Yj₀Y] — 0,492 yjmyj.

Ei — 0,414 Yjo Yjw + 0,316 yjm² + 1,100 yj₀vj + 1,240 yj„yj + 0,866 r². Die wagerechte Seitenkraft des Erddruckes bleibt wie vorhin

Ew — -g- Y)₀² -f 0,174 rlortu + 0,056 rlu².

Die Bedingung

liefert die Gleichung

Ei = Ew tg p = Ew 0,577

0,314 y]₀yjm+0,284 rlH² -f 1,100 yj₀ yj +1,240 t]u yj + 0,866 y;² — 0,096r/o² = 0, und, wenn yj = h — rl0 — riu gesetzt wird:

0,294 rlorlu + 0,090 rlU² + 0,632 r[0h + 0,330 r/0² + 0,492 rtJi = 0,866 A². Hieraus folgt

Yj₀² + 2ri0 (0,958 h + 0,445 rJtt) = 2,624 /*² — 1,491 riUh — 0,273 yjm ².

Wird r/0 durch y)m ausgedrückt, so wird schliefslich der Erddruck Ew als Funktion des einzigen noch unbestimmten Gleitflächenparameters Yjl{ erhalten, und es kann nunmehr r/M so gewählt werden, dafs E„, den gröbsten Wert annimmt. Man findet

0,05 h 0,10 h 0,20 h 0,924 h 0,893 h 0,857 h 0,800 h 0,076 h 0,057 h 0,043 h 0

für yiu— 0

ri° =

ri

0,142    0,141    0,138    0,137.

Ew

tA²

Der gröfste Wert A ergibt sich also für rlu — 0; ihm entspricht auch der gröbste Wert r/0. Der untere, nicht mit der Gleitfläche des seitlich unbegrenzten Erdkörpers zusammenfallende Teil der Gleitfläche mufs also, wenn ein möglichst grofser "Wert E erhalten werden soll, so kurz wie möglich angenommen werden, gerade so grofs, als erforderlich ist, um die vorgeschriebene Neigung des Erddruckes gegen die Wandnormale hervorzubringen. Denkt man den gekrümmten Teil der Gleitfläche durch eine Ebene ersetzt, deren Neigung ist, was bei nicht zu grofsem Unterschiede zwischen den Winkeln <p₀ und ©x zulässig ist, so erhält man einen etwas zu grofsen Wert E, da nicht anzunehmen ist, dafs die wirkliche Gleitfläche aus zwei Ebenen besteht. Wir haben hierauf bereits in Nr. 24 hingewiesen. Dort erhielten wir mittels einer sehr einfachen Rechnung (S. 103) den Wert Ew = 0,140 y^², der von dem jetzt gewonnenen fast gar nicht abweicht. Zu dieser Seitenkraft Ew gehört

E= Ew sec p = 0,14 • 1,155 Tft² = 0,162 T h².

Auf S. 15 empfahlen wir, zur Berechnung des Erddruckes E auf eine lotrechte Wand bei wagerechtem Gelände stets die einfache für o' = 0 gültige Formel zu benutzen, den Druck E aber nicht wagerecht, sondern unter dem Neigungswinkel 3' anzunehmen. Im vorliegenden Falle erhalten wir dann

-^TA² = 0,167 TA².

Die Tatsache, dafs es krumme Schnitte gibt, welche gröfsere Wandwiderstände erfordern, als die gebräuchlichen ebenen Schnitte, dürfte also wohl geeignet sein, unseren zu einer grofsen Vereinfachung der Erddruckberechnung führenden Vorschlag zu unterstützen.

Zweiter Abschnitt.

Neue Versuche zur Bestimmung des Erddruckes.

OGD

7.

Die Vorrichtung zur Bestimmung der Größe und Lage des Erddruckes.

27. Entwickelung des Grundgedankens. Aus einer unendlich langen Stützmauer, die nach der Längsrichtung gleichmäfsig mit Erde hinterfüllt ist, sei ein Stück von beliebiger Länge herausgeschnitten. Der Baugrund sei ersetzt durch drei, die Mauer gegen feste Punkte stützende Stäbe 1, 2, 3 (Fig. 92), deren Achsen

(i)

(3)

V///77777777777777777//

Fig. 93.

Fig. 92.

in der die Mittelkraft E des Erddruckes enthaltenden lotrechten Halbierungsebene der Mauer liegen, und deren Abmessungen und Elastizitätsmodel so gewählt seien, dal’s die Verschiebungen ihrer Angriffspunkte A1; A₂, Aa mit den wirklichen, durch die Zusammendrückung des Baugrundes verursachten Bewegungen übereinstimmen. Der Erddruck möge in diesen drei Stäben Spannkräfte Si, S₂, Sa hervorrufen und die Stablängen sx, s₂, s₃ um Asx, As₂, A.s₃ ändern.

Stellen wir uns nun vor, es seien die As durch Beobachtung gefunden und die Stabkräfte S aus ihnen berechnet worden. Dann

kennen wir alle die Mauer stützenden Kräfte und sind imstande, Gröfse, Richtung und Angriffspunkt des Erddruckes anzugeben.    '

Wird z. B. eine lotrechte Wand nach Fig. 92 durch einen wagerecht liegenden und zwei lotrecht stehende Stäbe gestützt, so erhält man, wenn eine Kraft S positiv genommen wird, sobald sie den Stab auf Druck beansprucht, die Gleichungen

EW = S₁,

El = S2 -j- $3

und hieraus

-Elf - $2 d

rl =

S₂

a ~'

Ei*

Erfolgt die Stützung einer lotrechten Wand nach Fig. 93 durch zwei wagerecht liegende und einen lotrecht stehenden Stab, so ergibt sich

Eu--Sx + $2 ,

Ei = Sa,

s\

r‘=aw;

Tritt nun an die Stelle der nach der Längsrichtung ganz gleichmäfsig belasteten Mauer ein irgendwie geformter Körper von endlichen Abmessungen, der einen Erddruck aufzunehmen hat, und soll dieser Erddruck durch die Spannkräfte S von Stützstäben gemessen werden, so ist die Anzahl der Stäbe auf sechs zu erhöhen, weil sechs Gleichgewichtsbedingungen erfüllt werden müssen, beispielsweise bei Einführung rechtwinkliger Koordinaten x₁ y, z die bekannten Bedingungen:

2X=0, 2Y=0, 2Z=0,

2MX = 0, 2214 = 0, 2214 = 0.

Die Lage der Melsstäbe muls so gewählt werden, dafs es möglich ist, die sechs Gleichgewichtsbedingungen eindeutig aufzulösen.

Die auf die Elemente der Oberfläche des Körpers wirkenden Erddrucke lassen sich im allgemeinen nicht mehr zu einer Mittelkraft vereinigen. Die einfachste Form ihrer Zusammensetzung ist ein sogenanntes Kraftkreuz, das sind zwei Kräfte, welche sich kreuzen, ohne sich zu schneiden.

Es werde z. B. eine unregelmälsig belastete ebene Wand von

endlicher Länge auf die in Fig. 94 angegebene Weise durch vier wagerechte Stäbe 1, 2, 3, 6 und zwei lotrechte Stäbe 4, 5 gestützt. Die Achse des Stabes (3 ist parallel zu der den Erddruck aufnehmenden Wandfläche, die Achse des Stabes 1 liege in der die Wand halbierenden, auf der Wand lotrecht stehenden Ebene, die Stabachsen 2 und 3 sind parallel zu der Stabachse 1. Die Angriffspunkte A₄, A₅, A₆ liegen in einer zur Wandfläche parallelen

V,

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0)

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Ci) (5) Y²

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(5)

V/dw////A

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tA

Fig. 94.

Ebene, welche mit der durch die Stabachsen 4 und 5 gelegten Ebene den Winkel ß bildet. Die Stabachsen 1, 2, 3 schneiden diese Ebene in den Punkten Ax, A₂, A₃. Der auf die Wandfläche wirkende Erddruck sei durch drei Kräfte Ex, E₂, Ea ersetzt. El sei parallel zu den Stabachsen 1,2,3. Ea und E₂ liegen in der Ebene A₄ A₅ A₀ ; E₃ sei parallel zur Stabachse 6, E₂ rechtwinklig hierzu. Werden die Stabkräfte S₄ und Ss nach den Richtungen von jEj und E₂ in die Seitenkräfte S₄ tg ß, Sr> tg ß und S₄ sec ß, S₅ sec ß zerlegt, so erhält man für die drei Kräfte Ex, E₂, Eä die Werte :

Ex = 5i +    + 5. + (St + SA tg ß,

E₂ = (St + SA sec ß,

E₃ = 5₆.

Die Lage von _Ej ist durch die beiden Momentengleichungen E!    = Sx a — (S₄ + S₅) tg ß • b

und

E₁^₁ = [S₃-S₂ + (S₅-St)tg^]c

bestimmt.

Die Mittelkraft H aus E₂ und E₃ mufs den mit der Ebene A₄ As A₆ zusammenfallenden Kräften SG, S₄ sec ß und S₅ sec ß das Gleichgewicht halten; sie schneide die Verbindungslinie der beiden Angriffspunkte A₄ und A₅ im Punkte B, und es werde die Strecke A₄ B mit £j₂ bezeichnet. Dann lautet die Momentengleichung in bezug auf den Punkt A₄:

E₂ c₂ == Sb sec ß • 2 c — S₆s.

Damit ist das aus den beiden Kräften Ii und E₄ bestehende Kraftkreuz, welches dem Erddruck auf die Wandfläche gleichwertig ist, bestimmt.

Auf den vorstehenden Betrachtungen beruht nun der vom Verfasser zur Ermittelung des Erddruckes eingeschlagene Weg. Es ist der Versuch gemacht worden, den wirklichen Vorgang bei der Beanspruchung einer Stützmauer durch Erddruck nachzubilden.

Eine auf elastischen Stützen ruhende Wand wird langsam mit Erde hinterfüllt. Die vom Eigengewichte der Wand abhängigen Anfangswerte der Stützenwiderstände wachsen infolge des Erddruckes allmählich an. Die Gröfse dieser Widerstände wird an Spannungsmessern abgelesen und gibt Aufschlufs über den im Zeitpunkte der Ablesung herrschenden Erddruck. Das Verfahren ermöglicht eine dauernde Beobachtung des Erddruckes. Die Bestimmung dieses Druckes kann in einem beliebigen Zeitpunkte nach Beendigung der Füllung, nachdem sich also die Erde gesackt hat, vorgenommen und in jedem Augenblicke wiederholt werden. Das Verfahren gestattet eine bequeme Feststellung des Einflusses von Lasten, die an beliebiger Stelle auf die Oberfläche der Erdmasse gelegt werden. Auch eine Reihe anderer wichtiger Fragen kann auf diesem Wege beantwortet werden. Man kann z. B. feststellen, wie sich der Erddruck ändert, wenn die trocken hinter der Wand aufgefüllte Erde nachträglich mehr oder weniger stark durchnäfst wird. Man kann untersuchen, wie der Erddruck von einer nachträglichen, durch andere auf die Wand wirkende Kräfte erzeugten Bewegung der Wand beeinflufst wird. Man kann die Wirkung von Erschütterungen prüfen usw.

Bislang sind vom Verfasser allerdings nur Versuche mit trockenem, nahezu kohäsionslosem Sande, lotrechter Wand und mit Stützstäben von bestimmter Elastizität, deren Verkürzungen also nicht beliebig geändert werden können, angestellt worden. Die Erledigung des am Schlufs dieser Mitteilungen kurz skizzierten weiteren Arbeitsplanes wird noch viele .Jahre in Anspruch nehmen, da es sich um zeitraubende Dauerversuche handelt, die schliefslich in möglichst grofsem Mafsstabe angestellt werden müssen, wenn sie zuverlässige Schlüsse auf den in der Wirklichkeit auftretenden Erddruck gestatten sollen. Immerhin dürften die bis jetzt gewonnenen Versuchsergebnisse nicht ganz wertlos sein.

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Fig. 95.

28. Der Mefsstab (Fig. 95, 96, 97) besteht aus zwei leicht gekrümmten, 16 mm breiten, 5 mm starken, aus Tiegelgufsstahl gefertigten Blattfedern, 'deren Abmessungen so gewählt wurden, dafs einer Verkürzung der 385 mm betragenden Länge des Mefs-stabes um As eine gegenseitige Verschiebung der Scheitel der Blattfedern um etwa 12 As entspricht. Diese Bewegung der Blattfedern wird in beträchtlicher Ver-gröfserung durch einen Fühl-hebelmechanismus auf einen Zeiger übertragen, der schliefslich an einer Skala die Belastung des Stabes in Kilogrammen angibt. An die Federn f und f sind die Backen b und b' angeschraubt. Die gröfsere, linke Backe b trägt an ihrem unteren Ende einen gelenkartig gelagerten Winkelhebel w, der gegen b durch die zwei Klemmschrauben k und K zwecks Einstellung der Vergröfserung der Federung festgelegt werden kann. Dieser Winkelhebel w ist durch ein Glelenk an seinem wagerechten Ende mit einem Hebel h verbunden, welcher eine Schneide n und eine

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Fig. 96.

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Fig. 97.

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Spannfeder z besitzt, mit deren Hilfe er gegen den Pfannenkörper m gedrückt wird. Von der anderen Seite her legt sich eine zweite, an die Backe b befestigte Schneide n gegen denselben Körper m, der so aus zwei Teilen zusammengesetzt ist, dafs deren Berührungsfläche mit der Ebene der Schneidenkanten zusammenfällt. Den Körper m verbindet nun eine Zugstange t mit einem Ansatz V des Zahnbogens r, und dieser greift in ein mit dem Zeiger fest verbundenes Zahnrad r ein. Der Ansatz t' und die Zugstange t können gegen den Zahnbogen r und gegeneinander zur Regelung der Übersetzung zwischen Körper m und Zahnbogen verstellt werden, während durch Drehung des Winkelhebels w die Schneidenentfernung nri geändert werden kann. Auf diese Weise läfst sich die Vergröfserung von As einstellen. Die Stellschraube K' in der rechten Backe V legt die Anfangs Stellung des Schneidenkörpers und damit die Nullstellung des Zeigers fest, ohne an der Vergröfserung etwas zu ändern.

Ein toter Gang der Vorrichtung wird erstens durch die Zugfeder z verhindert, welche den Körper m gegen die Schneide n drückt, zweitens durch eine den Hebel h an die Stellschraube 1c anpressende Biegungsfeder und drittens durch eine Spiralfeder, die Zahnrad r an Zahnbogen r drückt.

Die ganze Vorrichtung ist in einem Rohrgehäuse aus Messing untergebracht, welches sich zur Aufnahme der kreisförmigen Skala zu einer Trommel erweitert. Das Gehäuse ist an einem Ende an dem Spitzenkörper p unverschieblich, am anderen Ende frei beweglich gelagert. Mit den Spitzenkörpern sind die Stäbe durch Nieten verbunden. Die Spitzen sind eingeschraubt.

Die Mefsstäbe sind nach den Anforderungen des Verfassers von der bekannten Firma 11. Fuefs in Steglitz entworfen und angefertigt worden. Für die Eichung und die von Zeit zu Zeit erfolgende Nachprüfung der Spannungsmesser hat dieselbe Firma zwei besondere Wagen mit dem Hebelverhältnis 1 : 10 geliefert, die auch selbst jedesmal nachgeprüft und eingestellt werden. Die eine Wage eicht die lotrecht stehenden Mefsstäbe, die andere die wagerecht liegenden. Das Eigengewicht der wagerechten Mefsstäbe wurde sowohl beim Messen des Erddruckes als auch beim Nachprüfen auf der Wage durch über Rollen geführte Gegengewichte aufgehoben. Vergleichende Wägungen zeigten übrigens, dafs sowohl das Eigengewicht als auch die Stabrichtung das Ergebnis nur ganz unwesentlich beeinflussen.

Die elastischen Eigenschaften der Mefsstäbe wurden, da in der Versuchsanstalt des Verfassers zurzeit die erforderlichen Vorrichtungen noch fehlen, vom Königl. Materialprüfungsamt in

Gr o fs - L i c ht er fc 1 d e mit Hilfe von Martens sehen Spiegelapparaten festgestellt. Es wurden die Formveränderungen zweier Mefsstäbe untersucht. Beide verhielten sich recht gleichmäfsig sowohl für sich allein als auch im Vergleich miteinander. Bei dem einen ergab sich die Zusammendrückung ohne die Spitzenverdrückung für 10 Skalenteile (das sind 10 kg) zu 4,92 • 10—3 mm, bei dem anderen zu 4,93 • 10⁻³ mm. Die Mefsstäbe sind zur Aufnahme von Drucken bis zu 200 kg bestimmt. Für die Lastanzeige von 30—200 kg betrug die Verdrückung einer Spitze 12,5 • 10~s mm und die gesamte Änderung der Stablänge s:

As = (83,80 + 2 • 12,5) 10~³ = 108,86 • IO“³ mm.

Das gibt also für 100 kg Belastung rund As —- 0,064 mm.

29. Die Versuchsvorrichtuiig ist auf Tafel II dargestellt worden. Zur Aufnahme des Sandes, dessen Seitendruck gemessen werden soll, dient ein oben und vorn offener Kasten von 1015 mm Breite und 1970 mm Länge mit wagerechtem Boden und mit senkrechten Seitenwänden, die zur Verminderung des Reibungswiderstandes mit oxydiertem und mit Graphit eingeriebenem Stahlblech bekleidet sind und deren Oberkante unter etwa 30⁰ ansteigt. Der Boden ist mit vier drehbaren Klappen versehen, die durch je einen Riegel geöffnet und geschlossen werden können. Um Stöfse beim Entleeren des Kastens zu vermeiden, wird der Vorschub und Rückzug jedes Riegels durch einen Spindelbetrieb bewirkt. Auch die Hinterwand enthält eine verschliefs-bare Klappe zum bequemen Einebnen und Herauslassen des Sandes.

Die Vorderwand des Kastens ist beweglich und wird durch vier wagerecht liegende und zwei senkrecht stehende Stäbe auf die bereits in Nr. 27 an der Hand der Textfigur 94 beschriebene Weise gestützt. Der zur Wandfläche parallel liegende wagerechte Stab ist vorläufig noch ohne Spannungsmesser. Die Spielräume zwischen der beweglichen Wand und den festen Wänden des Kastens betragen etwa 2 mm. Damit der bei den Versuchen verwendete feinkörnige Sand, der weiter unten noch genauer beschrieben werden soll, nicht durch diese Spielräume herausrieselt, wurden Winkelstreifen von etwa 30 mm Breite aus dünnem, geöltem Pauspapier lose vor diese Eugen gelegt; sie erfüllten bei vorsichtigem Einschütten des Sandes vollkommen ihren Zweck.

Da sämtliche Stäbe nur imstande sind, Drucke aufzunehmen, mufste die bewegliche Wand mit Hilfe von zwei Gegengewichten

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern.

(40,5 kg und 10 kg) gegen die vier wagerecht liegenden Stäbe angeprefst werden. Auf die senkrechten Meisstäbe übt das Gewicht der beweglichen Wand (rund 00 kg für eine rauhe und 75 kg für eine mit Spiegelglas belegte Wand) einen genügenden Anfangsdruck aus. Aufserdom ist das Eigengewicht jedes wagerechten Mefsstabes durch

einer beweglichen Rolle hängendes Gegengewicht aufgehoben. .Die die bewegliche Rolle tragende Schnur verbindet die Enden des Rohrgehäuses des Mefsstabes und läuft über zwei feste Rollen.

ein an

Die lotrechten Mefsstäbe haben ihre Widerlager auf einem an den vorderen Stützen des Kastens befestigten [[-Eisen. Die drei wagerechten Mefsstäbe stützen sich gegen zwei J-Eisen Nr. 30 und einen sehr steifen Bock von Dreieckform. Das obere T-Eisen kann verlegt werden , so dals sich die bewegliche Wand auch schräg stellen läfst,. Bis jetzt sind aber nur Versuche mit lotrechter Wand gemacht worden. Für die weiteren Versuche mit geneigten Wänden hat der Verfasser eine neue grölsere Vorrichtung erbaut, über welche später berichtet werden soll. Die Auflager der Mefsstäbe sind in gewissen Grenzen einstellbar. Kasten und Bock haben ein gemeinsames festes Auflager. Die äufseren Stützpunkte von Kasten und Bock sind beweglich gelagert, so dafs die ganze Ausdehnung infolge Erwärmung von der Ebene der Mefswand aus nach den Endauflagern hin vorschreitet und der Eintiufs von Temperaturänderungen nach Möglichkeit ausgeschaltet wird.

Die Mefswand besteht aus einer 30 mm dicken, durch Winkeleisen verstärkten Holzplatte und ist mit Pfannenlagern für die Mefsstäbe versehen. Die Innenseite ist mit Schmirgelleinwand Nr. 4, Marke Hirschkäfer, der Vereinigten Maschinen- und Schmirgelwerke zu Hainholz-Hannover überzogen. Für Versuche mit glatter Wand wurde eine 6 mm starke Spiegelglasplatte durch Winkelstücke auf der rauhen Wand festgeklemmt.

Die Schüttung des Sandes erfolgte durch einen Flohrschen, von Hand betriebenen Laufkran mit daran hängendem Blechkasten von 0,75 cbm Inhalt. Die Bodenfläche des Schüttkastens ist schräg. Die Vorderwand besteht aus einem Schieber, der durch einen Hebel geöffnet und auch während der Schüttung geschlossen werden kann.

§ 8.

Ermittelung der Werte y, p, p.

30. Der Versuchssand.

Zu den Versuchen wurde ein feinkörniger von den Berliner Mörtelwerken gelieferter Sand verwendet. Der Sand wurde zunächst im Kesselraume der Zentral

heizung der Technischen Hochschule gründlich getrocknet; er wird seither in dem vollständig trockenen, während des Winterhalbjahrs gut geheizten Versuchsraume auf bewahrt. Um ein Bild von der Korngröfse zu erhalten, wurden 50 kg Sand nacheinander durch sechs verschiedene Siebe gegeben und die Rückstände gewogen. Es lieferte ein

Sieb mit 4 Maschen auf das qcm den Rückstand 20 g,

55

55

55

55

55

55

55

55

55

55

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55

„ 16 „ 25 „ 64 „ 121

55

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55

55

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55

55

55

55

CO (M N

55

55

54

55

55

55

55

55

361.5    g,

940.5    g,

1597,0 g, Rest 48370,0 g,

49967,0 g.

Wurde ein Litergefäfs mit. Sand gefüllt, ohne es zu schütteln, so ergab sich ein spezifisches Gewicht des Sandes von y —1,58; eingerüttelter Sand besafs y = 1,60. Lose in einem Kasten von den Abmessungen 41 • 21 • 20,75 cm geschütteter Sand lieferte y — 1,56. Nun wurde auf den Boden des Kastens der Versuchsvorrichtung eine flache Zinkschale von 40 -40-5 cm Gröfse gestellt, der Sand eingefüllt und vor Beendigung der Füllung dicht unter der wagerechten Oberfläche eine zweite, ebenso grofse Zinkschale eingesetzt. Für den Sand im oberen Kasten ergab sich y —1,58, im unteren y = 1,61. Für die Nachrechnung der Versuche genügt die erste Dezimalstelle, also die Annahme von y = 1,6; die zweite Dezimalstelle ist schon nicht mehr ganz sicher.

Zur Feststellung des Winkels p wurde Sand in den Kasten der Versuchsvorrichtung so eingefüllt, dafs sich eine von der Oberkante der beweglichen Wand ausgehende natürliche Böschung bildete. Nun wurde die hinterste Bodenklappe langsam geöffnet und ein Teil des eingefüllten Sandes herausgelassen. Die dadurch entstehende Böschung nahm sehr regelmäfsig den auf ganze Grade abgerundeten Neigungswinkel p — 32 ⁰ an.

31. Der Winkel p\ Um die Rauhigkeit der mit Schmirgelleinwand bekleideten beweglichen Wand zu kennzeichnen, wurde der folgende Versuch angestellt. Auf einen Kasten von den lichten Abmessungen 49-49-15 cm (Fig. 98) wurde ein die Seitenwände verlängernder Rahmen von 0,5 cm Höhe gesetzt. Nun wurde der Kasten mit Sand gefüllt, die Oberfläche mit einem Lineal glatt gestrichen und der Rahmen vorsichtig abgehoben. Auf die sich bildende, vollkommen ebene Oberfläche wurde eine mit Schmirgel-leinwand bekleidete, mit Gewichten beschwerte Holzplatte gelegt

«NfahJbcmd QfJmmst.

W:

GW

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Stahlband O, U mm at

'    Fig.*98.

und nunmehr untersucht, bei welcher Gröfse einer an der Unterseite der Platte angreifenden wagerechten Zugkraft die Möglichkeit eines Gleichgewichtszustandes aufhört. Dabei mufs natürlich daran gedacht werden, dafs das Entstehen des hier in Frage stehenden Reibungswiderstandes zwischen Platte und Sand mit einer Formänderung der Platte — die aber im vorliegenden Falle vernachlässigbar ist — und einer geringen Bewegung und Lagenänderung der Platte und der in ihrer nächsten Umgebung liegenden Sandteilchen verbunden ist; denn bei nachgiebigen Körpern ist ein Widerstand ohne vorangegangene Bewegung nicht denkbar.

Ein wagerecht liegendes Stahlband von 0,11 mm Stärke verbindet nun die Platte mit einem auf einer Schneide ruhenden gleicharmigen Winkelhebel, dessen Schwerachse durch verstellbare Gegengewichte mit der Schneidenachse zur Deckung gebracht ist und der — wieder an einem 0,11 mm starken Stahlbande — eine Gewichtsschale trägt. Durch langsam in die Schale eingefülltes Schrot wurde ein stetig wachsender Zug auf die Platte übertragen. Die kleinen Bewegungen der Platte waren sehr unregel-mafsig und setzten sich aus allmählich verlaufenden und ruckweisen Verschiebungen zusammen. Der Normaldruck der Platte auf die Sandoberfläche schwankte je nach der Grölse der aufgebrachten Gewichte zwischen 10,95 und 20,95 kg.

Will man die Grenze finden, bei welcher gerade noch Gleichgewicht möglich ist, so mufs man den letzten Teil der Schrotlast sehr langsam aufbringen und ab und zu eine Pause machen, um sich zu überzeugen, dals nach der kleinen Bewegung wieder eine Ruhelage eingetreten ist. Die Dauer eines Versuches betrug 1XU bis IV2 Stunden. Der Mittelwert der Ergebnisse von 13 Versuchen ist tgp' = 0,604, also p' — 31 ⁰ 8'. Nach den auf die Platte aufgebrachten Belastungen geordnet waren die Mittelwerte:

I) p' = 31 ⁰ 38' bei einem Normaldruck von 10,95 kg,

II) p' = 31 ⁰ 15'    „

III) p' = 30 ⁰ 45'    „

»    15,95 kg,

„    20,95 kg.

Die gröfste Abweichung der Versuchs werte untereinander

betrug

bei I (vier Versuche) 9 v. H.,

„ ) 5 v. H.. „ ) 5 v. H.

„ II (drei „ III (sechs

Ein wesentlicher Einflufs der Grölse des Normaldruckes auf den Reibungswinkel p' läfst sich hieraus nicht folgern. Der gröfste unter III gefundene Wert p'=31°17' war gröfser als der kleinste unter I gefundene Wert p'=30°17'. Der von der Platte zurückgelegte Weg betrug rund 4 mm.

§ 9.

Photographische Versuche.

32. Für die Erforschung des Erddruckes ist es nicht unwichtig, festzustellen, welcher Teil einer durch eine Wand gestützten Erdmasse in Bewegung gerät, wenn die Wand etwas nachgibt. Die Beantwortung dieser Frage hat der Verfasser in seinen Arbeitsplan mit aufgenommen.

In einem Kasten von den lichten Abmessungen 000 • 1000 • 500 mm, dessen Seitenwände aus 0 mm (später 8 mm) starkem Spiegelglase bestehen (Fig. 99), wird eine mit grobkörnigem Sande hinter füllte, auf der Rückseite mit Schmirgelleinwand beleimte, 395 mm hohe Holz-wand zum Ausweichen gebracht, und zwar entweder in wagerechter Richtung verschoben oder um ihre untere Innenkante gedreht.

Die Verschiebung der oberen Wandkante betrug bei den bis jetzt angestellten Versuchen 1—6 mm; sie wird durch eine Schraubenspindel von 4 mm Ganghöhe mittels Kurbel geregelt. Der Vorgang wird photograpliiert. Die Geschwindigkeit der Wandbewegung mufs nach der von Lichtstärke und Blende abhängigen Belichtungszeit bemessen werden. Das Licht fällt seitlich ein, damit die Sandkörner kräftige Schatten werfen und Reflexe in der Vorderfläche des Spiegelglases vermieden werden.

Die ersten Aufnahmen wurden im photochemischen Laboratorium der Technischen Hochschule mit einem Voigtländer Apochromat-Collinear von 60 cm Brennweite gemacht. Seit Frühjahr 1905 besitzt

Fig. 99.

das Laboratorinm für Statik der Baukonstruktionen ein eigenes photographisches Atelier. Es wird jetzt mit einem Voigtländer Triple Anastigmat von 60 cm Brennweite und einer Kamera Stegemann scher Bauart, welche die Verwendung von Platten bis zu 70X80 cm Gröfse gestattet, gearbeitet. Auf den Tafeln III und IV sind einige Aufnahmen wiedergegeben worden ; es mufsten des kleinen Mafsstabes wegen solche von stärker bewegten Wänden ausgewählt werden. Der Einflufs der Gröfse der Bewegung der Wand zwischen den oben angegebenen Grenzen auf die Gröfse und die Form der Begrenzung des sich bewegenden Teiles des Sandes war übrigens auffallend gering. Die Figuren 100 und 101 zeigen die Wirkung einer Drehung der Wand um 0,9° bezw. 0,6° bei verschiedenen Neigungen der Wand und der Oberfläche des Sandes. Fig. 102 stellt den Einflufs einer wagerechten Verschiebung der Wand um

4 mm dar. Die eingezeichneten Geraden geben die Richtungen der Coulomb sehen Gleitlinion für den Fall 3'=p = 33° an, wozu noch zu bemerken ist, dais die Gröfse des Winkels 3' keinen erheblichen Einflufs auf die Richtung dieser Linie hat. Für 3' = 0 ist die Gleitlinie steiler als für 3' = p. Fig. 103 stellt den Fall einer auf der Oberfläche der Sandmasse ruhenden Einzellast dar. Die Einzellast, von der unsere Figur nur den untersten Teil zeigt, bestand aus einem ohne Mörtel ausgeführten kleinen Mauersteinpfeiler von 32,5 cm Höhe und den Grundrifsabmessungen 50-12 cm. Der Pfeiler stand auf einem Brett von 50 cm Breite (senkrecht zur Bildfiäche gemessen) und 12 cm Länge.

Die Versuche sollen mit verschieden geformten Wänden fortgesetzt werden; auch soll versucht werden, die Wandbewegungen noch zu verkleinern. Verfasser unterläfst es, schon jetzt Schlüsse aus den Versuchsergebnissen zu ziehen. Er macht nur darauf aufmerksam, dai's die durch die Reibung an den Glaswänden natürlich etwas beeinflufste Grenze zwischen dem in Ruhe bleibenden und dem in Bewegung geratenden Sande in der Nähe der Coulombschen Gleitlinie liegt, und dafs die unteren Teile der in den Figuren 100 bis 102 dargestellten Grenzlinien etwas nach unten gekrümmt sind, ähnlich wie bei der in Fig. 85 auf S. 101 gezeichneten Gleitlinie. In Fig. 103 fällt der untere Teil der Grenzlinie nahezu mit der durch den Fufs der Wand und den hinteren Endpunkt der Last bestimmten Geraden zusammen ; der obere Teil ist gekrümmt.

§ io.

Versuche zur Bestimmung des Erddruckes.

33. Formeln zur Nachrechnung der Versuche. Aus den Spannkräften S₁, S₂ .... S₅ der Mefsstäbe und den Abmessungen a = 810 mm, c = 110 mm, 5 = 13 mm für die rauhe bezw. 19 mm für die glatte Wand ergeben sich mit den Bezeichnungen (Fig. 104)

O = und U = So -+- S₃

die Werte

123)

124)

Ew = 0 + U,

$5,

125)

Su

E,r

— 110 mm.

Es wurden bisher nur Versuche mit lotrecht stehender Wand gemacht. Die Ergebnisse sollen mit denen verglichen werden, welche die Coulombsche, Theorie unter der Voraussetzung ebener

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w / e- T" ;

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"/mmm

Fig. 104.

Gleitfläclien liefert. In die Formeln 18) bis 20), Seite 14, ist .9 — 0,744 m, 7 = 1000 kg/m³ und p = 32° einzusetzen-, auch muls der Wert Etr mit der Wandbreite 1,015 m multipliziert werden. Man erhält

323

s²

wo

e __ 1    ]/sin (p — a) sin (p + 8')

]    cos a cos 8'

Für 8 ist der beobachtete Winkel zu nehmen.

Die Lage der Gleitfläche ist bestimmt durch die Strecke

S COS p £- 1 _

sin ( p — a) £ sin (p — a) £

63

cm.

Ist a = 0, so ergibt sich

£ = 1 + / 0,530

sin (p + 8') cos 8'

und

cm.

= 119 —

Ist a = — p, so wird

lind

1,060

sin (p + o') cos 8'

= 70-

BC =

s £ — 1 2 sin p £

Zu dem bei der Anwendung von Seitenwänden gemessenen Erd druck mufs vor der Vergleichung mit den Ergebnissen der vorstehenden Formeln ein Zuschlag gemacht werden, der die Reibungswiderstände der Seitenwände berücksichtigt. Die zuverlässige Ermittelung dieses Zuschlages ist sehr schwierig. Winkler und Donath stellten bei ihren Erddruckmessungen¹) eine zweite Reihe von Versuchen an, bei der in dem Kasten eine zu . den Seitenwänden parallele dünne Zwischenwand eingebaut wurde, wodurch sich die Reibung nach ihrer Ansicht verdoppelte ; aus dem Unterschiede der Angaben schlossen sie auf den Einflufs der Reibung. Je gröfser nun die Abmessungen der Versuchsvorrichtung sind, desto schwieriger ist die Herstellung einer dünnen eben bleibenden Zwischenwand und die gleichartige Füllung und Belastung der durch die Zwischenwand getrennten Räume. Auch darf man nicht ohne weiteres behaupten, dafs sich die Drucke auf die Seitenwände infolge des Einbaus der Zwischenwand nicht ändern. Beide Forscher kommen zu ganz verschiedenen Ergebnissen. Donath fand, dafs die Reibung an den aus Zinkblech hergestellten Seitenwänden den Erddruck auf eine lotrechte quadratische Wand von 60cm Seitenlänge bei wagerechter Begrenzung des Sandes um etwa 17 v. H. verminderte. Winkler fand, dafs man den bei Anwendung von Seitenwänden gefundenen Erddruck mit

1 +0,116 4 tgp'

multiplizieren mufs, um den Erddruck einer nach der Längsrichtung unbegrenzten Erdmasse zu erhalten, b bedeutet die Breite der beweglichen Wand. Für die von Donath benutzte Mefswand würde hiernach selbst der zu hoch geschätzte Wert tgp' = 0,ö²) nur einen Zuschlag von 7 v. H. liefern.

Der Verfasser ward versuchen, den störenden Einflufs der

Seitenwände auf anderem Wege auszuschalten³). Dies soll eher erst mit Hilfe der neu erbauten gröfseren Versuchsvorriclitung geschehen, die im nächsten Winterhalbjahre in Betrieb gesetzt werden wird. Für die vorläufig aus den Versuchsergebnissen zu ziehenden Schlüsse genügt die folgende Überschlagsrechnung.

Die Oberfläche des Sandes sei gleiclimäfsig mit p belastet. Der Normaldruck auf das Teilchen ydx der Seitenfläche ABC (Fig. 104) des Druckprismas soll gesetzt werden:

dN=-,

y y² dx tg² (45⁰ — ^ = 0,15 dx (7y² + 2py).

Die Summe der Normaldrucke auf die beiden Flächen ABC

ist dann

N = 0,30

r W    71'    -|

I T f 'H²    + 2 p f ydx I =

0,30

= (88,(3 + 0,223p) w kg,

wo w den in Metern ausgedrückten Abstand des Punktes C von der Geraden AB bedeutet.

Für den Reibungswinkel zwischen Sand und Seitenwand wurde mittels der in Nr. 31 beschriebenen Vorrichtung der Wert [j ma x =14° gefunden⁴). Hierzu gehört tg p' = 0,25, und es soll daher der Reibungswiderstand beider Seitenwände auf

li — 22 w + 0,056 pw kg

veranschlagt werden. Indem wir nun annehmen, dafs dieser Widerstand in der Richtung der Gleitfläche AC wirkt, schätzen wir den Einflufs der Seitenwände auf die Gröfso des Erddrucks :

A E = B cos (© — 3').

Der Verfasser ist überzeugt, dafs bei den sehr kleinen und langsam mit der Sand Schüttung anwachsenden Verschiebungen der Wand kleinere Werte AE entstehen werden, als die Rechnung liefert. Der wirkliche Vorgang hängt von der Art der Schüttung des Sandkörpers ab und läfst sich rechnerisch nicht verfolgen.

34. Versuche mit rauher Wand. Einflufs einer Einzellast. In

der folgenden Beschreibung der Versuche ist die Bezeichnung Tn gleichbedeutend mit am nten Tage.

Die Messungen wurden stets zur Mittagzeit zwischen 1211 und 3h vorgenommen. Aufser der um diese Zeit im Versuchsraume herrschenden Temperatur t wurden noch die seit Ausführung der letzten Messung eingetretenen Temperaturen tmax und tmin festgestellt.

Es wurden nur die Längenänderungen der

7)m und rti.

rto

Die wagerechten Verschiebungen der Angriffspunkte der Stäbe 0 und U und die lotrechte Senkung der Wand bezeichnen wir mit

Melsstäbe berücksichtigt; der Einfinis der Formänderungen der die Melsstäbe stützenden Träger darf vernachlässigt werden.

Wir beginnen mit der etwas ausführlicheren Beschreibung eines Versuches, der am 27. Oktober begann und am 27. November (1905) endete.

rj\. Es wurde der Sand unter « — — p langsam eingefüllt und unmittelbar darauf festgestellt :

7«:

Fig. 105.

Eir

Sa • h>

32,7 kg 46,7 kg 79,4 kg 38,2 kg 88 kg 25° 48' 23,0 cm 0,310

7p = 0,012 mm.

Der Erddruck wurde nun einige Tage beobachtet. Es wurde gefunden :

7l0 — 0,021 mm

Tenrp eraturen

()

Et

Sa

rl „ = 0,015 mm

E,r

Ei

kg : kg

kg

kg

kg

o'

hu

cm

Sa : S

16,7°-21° .21,5° 17,3° -22,4° -22,8° 19° -21,6°-22.5°

t-H 04 r—>

§? g g

^

OÎ <1 <1 to V] ~oi

■O GO 00 GO O O 05 'io ^

Tf CO iO MM®

26° 3' 26° 5' 26° 46'

cc cc CO to O M

00 o

Zu o = 26 ⁰ und a — — p gehört

1+1/1,06

0,85

++ = 2,00,

0,90

35 cm,

BC= 70-

w = 0,35 cos p — 0,30 m,

= ~ — tg p = 1,96.

cp = 63 °.

Der Zuschlag für die Reibung an den Seitenwänden beträgt daher rund AE — 5 kg, das sind 6 v. H.

Die Coulombsche Theorie liefert

323 sec 8'

s²

= 89 kg.

Setzt man bei der Berechnung der Gröfse von E den Winkel 8' = 0 — eine vom Verfasser auf S. 15 empfohlene Vereinfachung — so findet man

s = 1 + ]/ 2 sin p = 1,75 und E = 105 kg.

Am achten Tage wurde durch Nachfüllen von Sand die Böschung a — — Va p = — 16° hergestellt. Der Erddruck wurde sofort gemessen und dann wieder einige Tage beobachtet. Es ergab sich :

cc=-/zq

Fig. 106.

Temperaturen

O    U Eir ¹ Et

kg kg kg kg

kg

0'

<S‘m

cm

T₉ 18,1°-20° -20° Tn 18,7°-20,5°-21,3° T1S 18,5° • 21,6° • 21,8°

>»■    hf».

© j-* co o ’ti b b 0

Ol Cn Oi O1 CO ^ Ol 05

Fo ~co ~CO 00

zo CO CD CD 03 ÜT rf». O 05 K) <1

106

108

107

105

26° 41 ' \ 26° 8' ; 27° 12' 26° 50'

«C CO io 00 O) N N (M

1—I 1—1 O CO CO CO SO ÏO o o ö" cT

Die neu aufgebrachte Sandmasse erzeugte die Verschiebungen 7)₀ = 0,006 mm, r/M = 0,0025 mm, rti = 0,0025 mm.

Zu 8' = 26 ⁰ und n — — 16 ⁰ gehört

s — 1,85, B C = 39 cm, tc = 0,37 m, cp = 60 °.

Der Zuschlag für die Reibung an den Seitenwänden beträgt also rund 7 kg, das sind 6 V2 v. H.

7? — 98 kg, JE = 119 kg.

Durch Rechnung erhält man für 8'= 26°,

„ 8' = 0,

Nach Herstellung der wagerechten Oberfläche der Sandmasse ergab sich:

Fig. 107.

TU

Temperaturen

O U kg ; kg

Ew

El

kg kg

kg

5'

Sa

cm

Su'. s

Tu 18,5°-22,3°-22,5° Tro 18,6°-22,2°-23,4° Tu 18,7°-21,5°-23,3° T₁₈ 18,5°. 21,5°. 23,5° Tn 18,6°-22° -23°

q    co    ^    h    w

CO    03    00    07)    r—t

O iO    iO    ^    ^    iO

V—¹ J—¹ t—¹ f—¹ h—¹ H—1 t—i I—i 1—1⁵■ K—i ►—i t—i

p p ^ co a bn co h-¹ Ijs "br lo

io co îo oo io cT o oo os oo

iO iO CO O iO

CO CO CO co co co 05 Cn Ol 03 05 _05

os ho Tf⁵. 7-⁵ cs

© o o © © o "co "io "oo "cc "co "öc

ÜI    ÜT Ol

00 M «3 m ÖD

Die neu aufgebrachte Sandmasse erzeugte

ri0 = 0,008 mm, ru = 0,003 mm, 7p = 0,003 mm.

Zu 6' = rund 26 ⁰ und a = 0 gehört

s = l,71, B C = w — 0,50 m, cp = 56°, A.E=10kg.

Die Rechnung liefert für Ô'— 26° den Erddruck JE — 124 kg und für o = 0

E = — T s² tg² ^45 ⁰ — -0 = 136 kg.

Jetzt wurde auf die Oberfläche des Sandes eine Einzellast von 735,4 kg gebracht, die aus sieben übereinandergelagerten, annähernd gleich schweren Schichten gufseiserner Platten bestand (Fig. 108). Die Länge der belasteten Fläche betrug 27 cm, die Breite war fast gleich der Wandbreite, es blieb nur ein geringer Spielraum. Der Abstand der belasteten Strecke von der Innenkante der Wand betrug 50 cm ; er war gleich B C gewählt worden, um die irrige Ansicht zu widerlegen, dafs eine aufserhalb der Strecke B C aufgebrachte Belastung keinen Einflufs auf den Erddruck E ausübe ⁵).

Die zu einer Schicht gehörenden vier Platten wurden gleichzeitig und ganz langsam mit Hilfe des Laufkranes aufgelegt. Wenige Minuten nach Aufbringung einer Schicht wurde der zugehörige Erddruck festgestellt. Beginn der Belastung 11h 50 ', Schlufs 12h 35'. Der Erddruck wurde hierauf noch eine Woche lang beobachtet.

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-    - /    / v

7'l't

<P-\ç=

12°

(fC\

Fig. 108.

Temperaturen

Ew

Ei

kg

kg kg

kg kg

5'

Su

cm

Su • S

7’,9

Nach Aufbringung der ersten Schicht : zweiten „ dritten „ vierten „ fünften „ sechsten „ siebenten „

64,7

74,9

84,5

95,4

O r—I 03 T-H T—I —I

70.8    135,5 80,6 155,5

87.9    172,4

96,1    191,5

103,5 208,5 111,2 227,3 121,1 250,4

7,0    18,3°-20° -23°

7,2    18,3°-21° -22,8°

T2B    16° -17,5". 17,5°

T₂₆    15,9°. 17,6 °-17,6°

U-⁶    H-à

1—4 l—i ►—¹    H-¹

CC CTT

^ 'br ^

TT¹ 1—l

T—I i—H i-H

CO CO O

111,1

DO CO CO CC co co co co

O⁶ CD ZD Or <1 ÛO tf».

û0COCC^M%]^05CiO5Cl ¹    Ol I CD ‘ 1—4 ZD 00 ^ ^C

I a go b V ^ go k

149 ; 24° 39' 16S ; 22° 38' 185 j 21⁰ 37' 204    19 ° 55'

220 ; 18° 48' 238    17 ° 32'

200    15° 46'

"en CO "cO 1—¹    R) ho ko ko ~CO Vs 05

O    ^    03    O    ^    O    lO    ^ t-    O

GO    OO    Oi    O    O    h    (M    OOOt-h

CO    CO^    CO    ^    ^    ^    ^    ^    ^ ^

O    O    O    O    O    O    O    O    cT O    O

Der Erddruck ist also durch die aufgelegte Emzellast verdoppelt worden; am gröfsten war er unmittelbar nach Aufbringung der Belastung. Am Tage T₁₉ entstanden die Wandverschiebungen r/0 = 0,048 mm, = 0,019 mm, rti = 0,005 mm; sie sind immer noch als sehr klein zu bezeichnen.

Bei der Anwendung des CWow&schen Prinzips darf man die nach dem Endpunkte C der belasteten Strecke CC (Fig. 108) führende Gerade als Gleitlinie ansehen⁶). Man erhält

4—

CO

-6,

CT.

und für 8' = rund 16°= ¹h p mit den in das Kräftedreieck eingeschriebenen Winkeln

E=G

sin 12°

sin 94°

= 0,208 G.

Das Gewicht des Sandprismas ABC' ist

Gy = x/₂ 1600 • 0,744 • 1,015 • BC = 604BC = 465 kg,

und man erhält

E= 0,208 (465 + 735) = 250 kg.

Nimmt man bei der Berechnung der Gröfse von E den Winkel 8' — 0 an, so findet man

E = G tg (<?' — p) — 256 kg.

Auf die Angabe eines die Reibung an den Seitenwänden berücksichtigenden Zuschlages müssen wir verzichten, da jeder Anhaltspunkt hierzu fehlt. Wir müssen uns also vorläufig darauf’ beschränken , festzustellen, dafs der auf Grund der Annahme einer ebenen Gleitfläche für den unteren Grenzzustand des Gleichgewichts berechnete Erddruck kleiner ist als der gemessene. Immerhin darf ausgesprochen werden, dafs diese einfache Rechnung gute Dienste leistet. Nur empfiehlt es sich, um sicher zu gehen, beim Auftreten schwerer Einzellasten möglichst vorsichtige Annahmen zu machen.

E,

ry

Wir stellen noch die folgende Betrachtung an. Wir fänden vor Aufbringung der Last den Erddruck E,nY= 112 kg, unmittelbar nachher E„, = 250 kg. Machen wir nun die übliche Annahme, dafs in der Höhe Ls s angreift, so entsteht die Frage: in welcher Höhe Sp mufs Ewp— 250— 112 = 138 kg angenommen werden, damit das Moment in bezug auf die untere Innenkante der Wand ebenso grofs ist, wie bei Einführung der gemessenen Werte. Es ergibt sich die Gleichung

138    + 112    = 250 • 0,420 s

und hieraus folgt

sp = 0,49 s = rund xk s.

Noch am Tage T₂₆ wurde die Belastung wieder entfernt. Der sich einstellende Erddruck wurde sofort und zwei Tage später gemessen. Dann wurden die Fenster geöffnet, die Heizung abgestellt und die Änderungen des Erddruckes bei gröfseren Wärmeschwankungen in einem Zeiträume von vier Tagen beobachtet. Diese Änderungen bewegten sich innerhalb derselben Grenzen wie bei geschlossenen Fenstern, ein Beweis, dafs gröfsere Messungsfehler infolge der geringen Wärmeschwankungen während der ersten 26 Tage ausgeschlossen sind. Den Einflufs der Wärme und des Feuchtigkeitsgrades vollständig zu beseitigen, ist natürlich unmöglich ; denn sowohl der Kasten und seine Unterstützungen, als auch der Sandkörper ändern innerhalb enger Grenzen unausgesetzt ihre Form. Es wurde gemessen :

Temperaturen

0 U kg | kg

E,o

kg

Ei ' E kg , kg

o'

Su

cm

Su : s

Abnahme der Emzellast in 40 Minuten :

99,0    1100,3    199,3    43,9    *204    12° 25'j 29,4

T2S 15°-16° -17,8° ! 96,2    97,5    193,7    42,5    198    12° 23'I 29,5

5 co

Fenster geöffnet, Heizung abgestellt :

5,5° -9,3°    -16,0°    93,4    99,3 *192,7    48,4 |    199    14° 6'j

7,5 °- 9,0°    • 9,5°    87,9    100,8 ! 188,7    50,2 ,    195    14° 54'

CO CO

-CI 00

ZO r—l

JP o

Fenster geschlossen, Heizung geöffnet :

T₃₂    9,0°-17,6°-19,7°    88,9    100,5 | 189,4 | 55,3 | 197 ! 16° 17'| 27,4 | 0,368

Beachtenswert ist die verhältnismäfsig geringe Abnahme des Erddruckes nach Entfernung der Einzellast; sie zeigt den nachhaltigen Einflufs einer etwa eingetretenen Überlastung der Hinter-füllungserde einer Stützmauer. Die Längenänderungen der Mefs-stäbe betrugen bei Abnahme der Last am Tage T₂₆:

rl0 -- — 0,010 mm riu = — 0,0035 mm rti — — 0,012 mm.

Wenn diese Formänderungen auch sehr gering sind, so bewirken sie doch ein Vordringen der Wand gegen den Erdkörper und rufen einen widerstehenden (passiven) Erddruck hervor. Dieser Fall ist wichtig für Wände, die entweder selbst sehr elastisch sind oder auf einer sehr elastischen Unterlage ruhen, z. B. Bohlenwände oder solche aus Eisenbeton, Stützmauern auf elastischen Pfahlrosten, Stirnmauern gewölbter Brücken und ähnliche Konstruktionen. Hier wird nach der Entlastung der Hinterfüllungs-erde stets ein mehr oder minder starkes Zurückfedern der Wand stattfinden, und es gehört mit zu den wichtigsten Aufgaben der experimentellen Erddrucksforschung, den Erddruck auf elastische

Wände unter dem Einflüsse einer wechselnden Belastung und Entlastung des Erdkörpers zu bestimmen.

Wir lassen nun die bei drei ähnlichen Versuchen gewomienen Werte folgen. Es wurde der Sand in derselben Weise eingefüllt, auch wurde wieder mit oc = — p begonnen , die Schüttung aber ohne Unterbrechung bis a = 0 ausgeführt. Der Abstand der Last von der Innenseite der Wand betrug 51 cm. Die Temperaturen bewegten sich in denselben engen Grenzen wie bei dem zuerst beschriebenen Versuche.

Ew

Ei

kg

kg I kg

kg

kg

8'

Sn

cm

Su : s

I.

Or O* 45- 45-

134,6

124,6

Sand geschüttet bis oc = 0:

CC OT

t-H r—1

30 00

4^ 45,

O O 00 03 05 -O DO 45-

CM CM CM CM

o ©

II.

^ O

£s?

05 00

118,2

117,6

Sand geschüttet bis a = 0 :

134 27° 57' 133 28° 4'

05 05 CO CO

DO ©

0,363

0,352

Einzellast 735,4 kg aufgelegt :

DO

124,8

116,3

228,8

“5, *S xS 00 00

44'

244    20 ° 29'

DO 03

ce o

03 DO

0,406

0,394

III.

ou o tJh" xS

50 50

Sand geschüttet bis a = 0 :

136    28° 11'

136    27° 23' i

64,4

121,0

62,7

DO DO

-a -r

i—¹¹ *45.

® © 03 03 05 05 4*- CO

1—1 cc ZO Cn 4*- 03

126,7    262,0

117,9    237,3

Einzellast 735,4 kg aufgelegt :

274 ; 17° 14' 252    19° 42'

© 03

CO DO

o o 4^ Tt-O DO 05 O

Es wurden noch Versuche mit anderen Lagen der Einzellast angestellt. Für jede dieser Lastlagen liegt allerdings bis jetzt nur ein Versuch vor. Die näher an der Wand aufgelegten Lasten mulsten mit Rücksicht auf die Tragfähigkeit der Melsstäbe kleiner gewählt werden wie bei den vorhin beschriebenen Versuchen. Die Länge der belasteten Strecke betrug wieder 27 cm.

10

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern,

"f

'W

.sqa-

Q\ns

’-qp'-ç

<p' 6'9{5°    !

Fig. 109.

a) Einzellast 314,4 kg in 1 cm Abstand von der Wand.

to

CW

w 8çj

CR S

Ei

kg

kg

8'

Su

cm

Sn : S

7,

Tn

Or On OS 4^

oo ho

co CO CO

Geschüttet bis a = o :

134    | 26° 55'

28° 24'

60,5

63,5

133

Tn

T₉

H-^    H-*

C5 OC *CC ^-4

118,7

119,4

Einzellast aufgebracht :

267,4    139,6    302 27° 34'

265,7    140,6    301 27° 53'

O» °°

CO    -rf ^

CM CM TT TT

g g

«O »

o o

o o "to to

05 05 CC 05

37’rm

zy

C'

V//////////////^/r^7/77^777777777777?

/ ! 28«

7?

<P'-Q

Fig. 110.

b) Einzellast 418,8 kg in 10 cm Abstand von der Wand.

Ew

Ei

kg

kg

kg

kg

kg

8'

Su

cm

Su ■ S

T₃

t*

Tr,

T*,

i—¹    i—‘    i—^

Cn    Cf    Or    On

_0*    tO    OC    ^    rf*.

"bi    "en    hs    "o    to

CM 00 -ch -«F

CD CO

135,2

131,2

Geschüttet bis a — o:

68,6    135    28° 12'

135    28° 19'

118,6

cc to J35 J3Î Or 00

O CD CD 10 CO CO cT o'

OS 00 os JO CO JD

os os 4d

(M 00 ^ co co ^ ^ o o o

--

100rm

JL

Fig. 111.

c) Einzellast 735,4 kg in 100 cm Abstand von der Wand.

Jini)

Ei

kg

kg

kg

kg

kg

8'

Su

cm

Sw : s

oo © us

IO U5

CT CT ^ Cn Ca tc

Geschüttet bis a = o :

121,0    64,5    137 i 28° 4'

119,4    65,6    136 28° 47'

0,364

0,363

Einzellast aufgebracht :

$8£

I—* CT'

cn CD oz cc

os © c- oo

24° 17' 24° 39'

28,4

27,5

0,382

0,370

Für die beiden Belastungsfälle in Fig. 109 und 110 sind die nach dem hinteren Ende der belasteten Strecken geführten Schnitte nach der in Nr. 19 und 20 aufgestellten Theorie Gleitflächen. Ihre Neigungswinkel cp' sind 69,5° und 63°. Man erhält also

cp' — p = 37,5° bezw. 31,5°.

Die Gewichte der Erdprismen ABC' sind

Gy = 604 • 0,28 = 169,1 kg bezw. 604 • 0,37 = 223,5 kg, und man erhält daher

G = 169,1 + 313,4 = 483 kg und G = 228,5 + 418,8 = 642 kg.

Wird für o' der runde Wert 28° eingeführt, so besitzen die Kräftedreiecke die in den Figuren 109 und 110 angegebenen Winkel, und es ergibt sich für den Fall a)

sin 37,5 sin 80,5

£=483

= 483

für den Fall 6)

0,609

0,986

= 295 kg,

sin 31 sin 87

Diese Werte weichen von den gemessenen Drucken nur wenig ab. Zu den letzteren muls aber noch ein Zuschlag für die Reibung an den Seitenwänden gemacht werden. Wir können also vorläufig wieder nur schlielsen, dafs die unter der Voraussetzung ebener

£=642

= 642

dio

CD i

= 331 kg.

Gleitflächen gerechneten Werte E etwas kleiner sind als die gemessenen. Wir wiederholen aber, dafs diese einfache Rechnung ganz brauchbare Ergebnisse liefern dürfte, wenn hinsichtlich der Werte y, p, 6' ungünstige Annahmen gemacht werden.

Zur Berechnung der auf S. 143 erklärten Strecke sn dient die Gleichung

s

¹

Siehe das Literaturverzeichnis.

²

In dem Donath sehen Berichte fehlt die Angabe des Wertes p' für die Seitenwände Bei den Versuchen Winklers war für die bewegliche Wand, für die Seitenwände und die Zwischenwand tg p' = 0,57.

³

Die Seiten wände beeinflussen nicht nur die Gröfse des Erddruckes, sondern auch die Richtung und die Lage des Angriffspunktes.

⁴

Dieser Winkel ist erheblich kleiner als der für eine Glasplatte gefundene Winkel 22°.

⁵

Wir haben diese von Professor Mehrtens in seinem 1904 erschienenen Lehrbuche vertretene Ansicht bereits im § 4 (Nr. 20) besprochen.

⁶

Führt man die Rechnung nach dem im § 4 gezeigten Verfahren vollständig durch, so findet man den Endpunkt der Gleitfläche noch unter der Last, im Abstande von rund 2 cm vom Punkte C. Der Wert A weicht aber von dem oben berechneten nur ganz unwesentlich ab.

(Ew Elf, y) Sp -f- Elf y -g- —— Elf Su•

Man erhält für den Fall a)

(267

OOj Co

= 267 • 0,47 .5,

Sn — 0,58 s

und für den Fall b)

(297

<o.

4°

CO

CO |cc

r.

©•

Co

Co

i!

LO I—‘

ÇO

Es werden noch umfangreiche Versuche nötig sein, um genügende Sicherheit über die Höhenlage des durch eine Ein.zellast erzeugten Erddruckes Ep zu gewinnen.

Eine Nachrechnung des Belastungsfalles c) ist bei dem gegenwärtigen Stande der Erddrucktheorie nicht möglich. Der Neigungswinkel der Schnittfläche A C ist 36 ⁰ 39', also nur um 4 ⁰ 39' gröfser als der natürliche Böschungswinkel.

35. Versuche mit rauher Wand. Einflufs einer gleichförmigen Belastung. Zunächst möge wieder ein Versuch von längerer Dauer beschrieben werden. Die an den Tagen Tx bis T₂₀ gemessenen Erddrucke sind zu vergleichen mit den Ergebnissen der ersten 19 Tage des auf den Seiten 139—141 beschriebenen Versuches.

Ew

Ei

kg

kg

kg

kg

kg

3'

Su

cm

Su : s

GO SO

SS gf

Ol rf*. © _CO

Sand eingefüllt bis a = — p :

27° 7' 26° 34' j

83,2

84,0

so o

93

94

jëjS

O 03

0,304

0,296

US

co oT

© l> US US US

weiter geschüttet bis a = —g p :

114    : 27° 3'

110    ! 26° 37'

■sH Cd

©~ ob

O 05

On CO 03

~co U

Cd CM

o o

CO CO

Ol OT

5°

co Tbc

© IO

cb -rf so co

weiter geschüttet bis a = 0 :

58    129    | 26° 46'

59    132 I 26° 46'

00

LO

r—i i—i

co co

Ol 05 03

LO

o US CO CO

o o

Nun wurde eine gleiclimäfsige Belastung von 362 kg/qm aufgebracht, bestehend aus sieben Querreihen gleich schwerer gufs-eiserner Platten, Die zu einer Querreihe gehörenden Platten wurden gleichzeitig mit Hilfe des Laufkranes aufgelegt. Die Aufbringung der ganzen Belastung dauerte 65 Minuten. Die Last blieb einige Tage liegen und wurde dann abwechselnd entfernt und wieder aufgelegt. Die durch die Last hervorgerufenen Längenänderungen der Mefsstäbe sind

rl0 — 0,026 mm, rtu = 0,011 mm, rti = 0,012 mm.

Es wurden folgende Erddrucke gemessen.

¹    2 ä 4»    5 G y

Fig. 112.

Ew

Ei

kg

kg

kg

kg

kg

8'

Su

cm

Su : s

s S K; w    S k;

0*    ^    ^ os    CO CO    CO ^ to    "    toto

to    tO CI    Cito    tO lO    iO ci    Cl ©

CO CO 03 ©

00 V

OC 00

t—l

"o 03

CO L-CO iO OS OS

CD JO

'os "oo

© c-

3 £

80,5

Belastung von der Wand aus vorschreitend aufgebracht: 98,1    188,5 [    96,6

99,4    193,2    96,7 I 216

212

27° 8' 26° 35'

28,5

29,0

0,385

0,390

Belastung von hinten aus wieder abgenommen :

90.5    |    171,8    52,9    I 179    17° 7'    27,7

83.6    164,6    49,3    172    16° 40'    29,2

0,372

0,392

3 3

Ol To

00 00 00 CO 05 00

LO I—I 00 05 05

Belastung wieder aufgebracht: 189,8 i 91,3 j 211    25° 41';

192,2    94,8    214    26° 15'

Belastung wieder abgenommen:

co

CO CO

C" CD

T—I r-H

OT J35 JO

7»

l-k

3D © p-k

16° 48'

15° 59'

Belastung wieder aufgebracht, 187,5 |    95,7    211    27° 2'

192,8    94,3    215    26° 10'

Belastung wieder abgenommen:

g g

O C5

OO 05

CO CO CD CO

V 00

00 CO

OS o

CO ^ © ©

oo r-iO GO CO CO

cT ©

0,401

0,395

79,9

CO cO

4° 5™ Vj "hü

175,8

172,6

cT oo io ^

CO OS

15° 56' 15° 49'

26,5

26,9

0,356

0,362

Um die für gleiclimäfsige Belastung gemessenen Erddrucke mit denen der Coulomb sehen Theorie zu vergleichen, ermitteln wir zunächst das Verhältnis

= 1,61

|£ = 1 +

2-362

0,744 • 1600

y T's²tg² ^45° ~ -0 = 1,61 • 136 ¹) = 220 kg.

i'p

und zerlegen EIV in

323

(S. 136),

323    197

"g2

Es ist o rund 26°. Hierzu gehört s = 1,71 und s² = 2,92, also EWy = 111 kg, E,rp = 68 kg, Ew = 179 kg,

E= 179 • sec o = 179 • 1,113 = 200 kg.

Dieser Wert ist etwas kleiner als der gemessene Erddruck. Zu letzterem ist noch der Zuschlag für den Reibungswiderstand der Seitenwände zu machen. Unsere Überschlagsrechnung (S. 138) liefert rund \ E— 17 kg, d. s. 10 v. H. Berechnet man die Grölse von E unter der Annahme 8' — 0, so erhält man

und

Ew

y.~

e²

EWp = 0,61

s²

Nimmt man an, dals die für 8' = 26 ⁰ berechneten Drucke E, und Ewy in der Höhe s bezw. s angreifen, so findet man die Angriffshöhe von E aus der Gleichung

111 -2- +68= 179«..

Es ergibt sich su = 0,397 .9, ein Wert, der von dem gemessenen nur wenig abweicht.

Wir teilen noch die folgende Versuchsreihe für wiederholte gleichmälsige Belastung mit.

Ew

Ei

kg

kg

kg

kg

kg

8'

Su

cm

Su : s

Tr

Tn

55,4

64,8    |    120,2

Tn

96,0

97,0

geschüttet bis a = 0:

|    64,8    |    137 | 28° 20'

jj = 362 kg/qm aufgebracht:

216    26° 44'

193,0

27,0 | 0,363

Tn

97,2 entlastet :

29,9 | 0,402

T₉

82,8

90,1

172,9

Tu

99,7 |    93,7

193,4

Tu

Tu

83,6

Tu

84,2    |    167,8

102,0

92,0    |    194,0

Go

85,6 |    82,2

167,8 |

52.8    |    181 | 16° 59' |

belastet:

96,2    |    216 | 26° 24' |

entlastet :

55.9    |    177 | 18° 25' |

belastet:

98,0    |    217 | 26° 48' |

entlastet :

53,4    |    176 | 17⁰ 39' |

28,2 | 0,379

31,4 | 0,422

29,8 | 0,400

32,2 | 0,433

30,7 i 0,413

Schliefslich geben wir noch eine Zusammenstellung von Durchschnittswerten für die bisher untersuchten Fälle. Die auf Grund der gemessenen Winkel 8' berechneten Erddrucke haben wir in Klammern beigefügt. Zu den gemessenen Drucken tritt noch der die Reibung an den Seitenwänden berücksichtigende Zuschlag. Aber auch ohne diesen Zuschlag sind die gemessenen Erddrucke grötser als die berechneten. Von den beiden für gleichmäfsig belastete Oberfläche angegebenen Werten su:s gilt der kleinere für einmalige, der grölsere für wiederholte Belastung.

Oberfläche unbelastet <

cc = 0

«= +

~2P

kg

91 (89) 113 (98) 134 (124) 195 (183)

Ô'

27°

= 0,8 p

Su • S

0,31

0,33

0,36

0,375

Oberfläche mit p = 362 kg/qm belastet

36. Versuche mit glatter Wand. Es wurden auch einige Versuche mit einer mit Spiegelglas belegten Wand angestellt, hauptsächlich um den Winkel o' für glatte Wände zu messen. Die mitgeteilten gut abgerundeten Durchschnittswerte zeigen, was schon Leygue bei seinen Versuchen gefunden hat, dals bei trockenem Sande wesentliche Unterschiede zwischen den Erddrucken auf glatte und rauhe Wände nicht bestehen. Der Winkel o schwankte zwischen 19° und 22|°; er ist also im Mittel 21°.

215 (200)

0,40-0,42

kg

o'

su : s

<x = —p

1

a = -Yp a = 0

90

120

140

200

21°

©    o    o    o

V    cc    ”co    cc

O    00    CO

37. Folgerungen aus (len Versuchen. Die gemessenen Erddrucke waren durchweg gröfser als die mittels des Coulombschen Prinzips unter der Voraussetzung ebener Gleitflächen berechneten Drucke. Dieses Ergebnis darf eigentlich nicht überraschen, denn im § 6 haben wir nachgewiesen, dals es unebene Gleitflächen gibt, welche einen greiseren Wandwiderstand erfordern als die ebenen Schnitte. Dazu kommt, dafs die Coulombsche Theorie überhaupt nur den Mindestwiderstand liefert, den die Wand leisten mufs, damit gerade noch Gleichgewicht möglich ist, und dafs dieser Mindestwiderstand aus der Annahme hervorgeht, es werde der Reibungswiderstand in allen Punkten der in Frage kommenden Schnittfläche erschöpft.

Trotz dieses Ausfalles der Versuche hält es der Verfasser wegen der geringen Unterschiede zwischen den gemessenen und berechneten Werten für zulässig, bei der Ermittelung des Erddruckes auf eine Stützmauer an der einfachen Annahme ebener Gleitflächen und der Beschränkung auf den unteren Grenzzustand des Gleichgewichtes festzuhalten, denn man darf auch nicht aufser Acht lassen, dafs dem Reibungswiderstande in der Regel ein Kohäsionswiderstand zu Hilfe kommt. Es mufs aber durch entsprechende Abmessungen der Mauer dafür gesorgt werden, dafs eine geringe Erhöhung des Erddruckes nicht sofort ein starkes Anwachsen der Pressungen a zur Folge hat — eine wichtige Regel, auf die bereits in dem Zahlenbeispiele in Nr. 21 hingewiesen wurde. Auch empfiehlt der Verfasser, die bei der Berechnung hoher Schornsteine infolge der Unsicherheit über die Gröfse des Wind-druckes eingebürgerte Bestimmung, dafs mindestens die Hälfte des Querschnitts unter Druck stehen mufs — ganz gleichgültig, wie grofs die Pressung a ist — auch auf Stützmauern auszudehnen. Hier ist diese Forderung sogar in noch höherem Mafse berechtigt, weil sich aufser der Gröfse auch die viel einflufsreichere Richtung des Erddruckes nicht mit Sicherheit angeben läfst. Es sollte also der Mittelpunkt des auf einen Mauerquerschnitt wirkenden Druckes von der stärkst gedrückten Kante des Querschnitts mindestens

den Abstand $ = ^ d haben ; besser ist <-mtn — ^ d (Bezeichnungen in Fig. 73 auf Seite 79).

Die Annahme, es bilde der Erddruck mit der Normale zur Wand-fläche den Winkel p, hält der Verfasser nach dem Ausfälle seiner Versuche nicht für ratsam ; es erscheint ihm zweckmäfsiger, diesen Wert selbst bei rauhen Wänden und sorgfältiger Entwässerung

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des Erdkörpers auf etwa o' = p herabzusetzen. Die Versuche mit schweren Einzellasten ergaben zum Teil noch kleinere Werte 8'; es fiel hier o' bis p ; in diesem Falle erscheint daher besondere Vorsicht geboten.

Besonders wichtig ist, dafs — entgegen der Anschauung Hanldnes — der Neigungswinkel a der Oberfläche des Sandes keinen Einflufs auf den Neigungswinkel o' des Erddruekes gehabt hat.

Beachtenswert ist auch, dals durch abwechselnde Belastung und Entlastung der Angriffspunkt des Erddrucks etwas höher gerückt werden kann. Man wird hiermit zu rechnen haben, wenn eine von zwei nahen Wänden gestützte Erdmasse unausgesetzt schwer belastet und wieder entlastet und dadurch immer mehr zusammen-geprefst wird. Als Beispiele fuhren wir an : Eisenbahnkörper zwischen Felshang und Stützmauer, Erdmasse zwischen den Stirnmauern gewölbter Brücken oder zwischen längeren Flügelmauern von Brückenwiderlagern. Die Vorstellung eines unteren Grenzzustandes des Gleichgewichts läfst hier im Stich. Verfasser sind aus seiner Gutachtertätigkeit mehrere Fälle bekannt, wo die bisher übliche Berechnungsweise zu unzulänglichen Abmessungen geführt hat und gefahrdrohende Verschiebungen der Mauern und Rissebildungen eingetreten waren. Es wird noch umfangreicher Dauerversuche bedürfen, um für die sichere Lösung dieser schwierigen Aufgaben eine feste Grundlage zu schaffen. Bis dahin wird man gut tun, sich in derartigen Fällen durch vorsichtige Annahmen vor Mifserfolgen zu schützen.

38. Arbeitsplan für die Fortsetzung der Versuche. Wir schliefsen unsere Mitteilungen mit einer kurzen Anführung der Aufgaben, zu deren Lösung die für die nächste Zeit geplanten Versuche beitragen sollen, und wiederholen zunächst, dafs aufser der bisher benutzten Versuchs Vorrichtung im nächsten Winterhalbjahre eine neu erbaute gröfsere Vorrichtung in Betrieb gesetzt werden soll, welche u. a. gestattet, den gegenseitigen Abstand der Seitenwände innerhalb weiterer Grenzen zu verändern, um durch Vergleichung der bei verschiedenen Abständen gemessenen Erddrucke den Ein-fiufs der Seitenwände zu bestimmen. Es sollen die folgenden Versuche angestellt werden.

1.    Bestimmung des Erddruckes auf schräge Wandflächen bei verschiedenen Neigungen der Oberfläche der Erdmasse.

2.    Erddruck auf eine gebrochene Wandfläche.

3.    Versuche mit verschiedenen Erdarten. Einflufs der Kohäsion.

4.    Dauerversuche zur Erforsehung des Einflusses wiederholter Be- und Entlastung der Hinterfüllungserde.

5.    Einflufs bewegter Lasten. Es soll auf die Oberfläche des Erdkörpers ein Gleis gelegt und auf diesem ein kleiner, schwer belasteter Wagen längere Zeit mittels selbsttätig wirkenden elektrischen Antriebes hin und her bewegt werden²).

6. Einflufs von Erschütterungen. Es sind bereits zwei Vor-versuche gemacht worden, davon der eine im Anschlufs an den auf Seite 148 und 149 ausführlicher beschriebenen Versuch. Wir fanden am Tage T₂₀ vor Aufbringung der gleichmäfsigen Belastung E= 132 kg und 3' = 26 ⁰ 46', hierauf nach mehrfacher Be- und Entlastung am Tage Tu für unbelastete Erde den wesentlich grölseren Druck E= 179 kg und 8' = 15⁰ 49'. Nun wurden am Tage ’1\A fünf Minuten lang mit einem 2,5 kg schweren Hammer gegen die bewegliche Wand leichte wagerechte Schläge von etwa 2 cm Schlaghöhe geführt. Die Schläge folgten schnell aufeinander; ihr Angriffspunkt wanderte in der lotrechten Mittellinie der Wand. Der Erddruck

121 kg, 8'

24° 55'. Gleich, darauf

wie

folgende wagerechte Schläge führten zu E — 126 kg, 8' = 25 ⁰ 47'. Am nächsten Tage wurde gemessen: E= 124 kg, 8' = 27⁰ 10'. Die Schläge wurden wiederholt. Nach Beendigung der lotrechten Schläge ergab sich E= 121 kg, 8' = 24° 20' und nach Aufhören der nun folgenden wagerechten Schläge E Tage später wurde gemessen: JS,= 123kg, 3'= 27° 18'. Einen wesentlichen Einflufs haben bei dem zweiten Versuche die bei der

ging infolge dieser Erschütterung von 179 kg herunter auf 130 kg. 8' stieg auf 25° 35', und zwar erfolgte diese Veränderung bereits in den ersten drei Minuten. Nun wurden, wieder fünf Minuten lang, lotrechte Hämmerschläge auf die Mitte der Oberkante der Wand geführt; sie bewirkten E —128 kg, 8' = 25° 24'. Am nächsten Tage wurde gemessen: K =131 kg, 8'= 24° 33'. Die Erschütterungen hatten also einen günstigen Einflufs ; sie stellten beinahe den Zustand wieder her, der vor der wechselweisen Be- und Entlastung des Erdkörpers bestanden hatte. Nun wurde der Kasten entleert und von neuem mit Sand gefüllt. Es entstand E — 120 kg, 8' = 27⁰ 0'. Lotrechte Schläge von gleicher Art und Zeitdauer vorhin bewirkten E

127 kg, 3' = 25° 10'. Zwei

kleinen Schütthöhe und geringen Wandmasse immerhin beträchtlichen Erschütterungen weder auf die Gröfse noch auf die Richtung des Erddrucks ausgeübt. Bei den weiteren Versuchen wird es sich auch darum handeln, den Einflufs von Stöfsen zu verfolgen, welche unmittelbar am Erdkörper angreifen; besonders mufs die Wirkung lange andauernder Erschütterungen untersucht werden.

7. Einflufs der Art der Schüttung des Erdkörpers. Bei den bisher angestellten Versuchen wurde mit dem Einfüllen des Sandes an der beweglichen Wand begonnen. Der Sand wurde in schrägen, von dieser Wand aus fällenden Schichten geschüttet, um möglichst viele Werte E und 8' für die Fälle a = —p und a zu erhalten.

Nun wird aber die Art der Schüttung nicht ohne Einflufs auf Gröfse und Lage des Erddruckes sein, und es sollen deshalb auch Versuche mit wagerechten Schichten oder mit schrägen, von der hinteren Kastenwand aus abfallenden Schichten gemacht werden. Diese letzte Art der Schüttung wurde bereits einmal — bei dem zweiten unter (5) beschriebenen Erschütterungsversuche — ausgeführt und lieferte den kleinsten der bisher für a Erddrucke, de gröfser übrigens die Abmessungen des Erdbehälters sind, desto weniger darf man selbst bei ein und derselben Schüttweise auf die gleiche Lagerung der Erdmasse rechnen. Gröfse des Schüttkastens und Fallhöhe spielen sicher eine Rolle. Es ist in Aussicht genommen, den gröfseren Behälter auch durch Arbeiter mittels Spaten füllen zu lassen.

0 erhaltenen

8.    Der Sand wird trocken eingefüllt und nachträglich durch-nälst. Diese Durchnässung soll sowohl von oben als auch von unten aus erfolgen. Zu diesem Zwecke sind im Boden des Erd-behälters Öffnungen angebracht, die mittels Rohrleitungen mit einem hochgelegenen Wass erb eh älter in Verbindung stehen. Es kann auf diese Weise der Fall eines bis zu einer gewissen Höhe reichenden Grundwasserstandes im kleinen nachgebildet werden. Um den Sand schnell wieder trocknen zu können, ist eine grölsere, elektrisch betriebene Trockenanlage erbaut worden.

9.    An einer in den Erdkörper eingebetteten Platte greift eine Zugkraft an. Wie grofs ist der widerstehende (passive) Erddruck ?

Eine eingehende Untersuchung des widerstehenden Erddruckes ist besonders wichtig für verschiedene Aufgaben des Grundbaus.

10.    Die bewegliche, auf Melsstäben ruhende Wand wird mit der dahinter liegenden Erdmasse in der bekannten Weise durch eine Zugstange und eine in den Erdkörper eingebettete Platte verankert. Es soll der Erddruck auf die Wand und die Spannung in der Zugstange für verschiedene Lagen der Zugstange und der Ankerplatte gemessen werden.

11.    Druck auf einen Teil einer wagerechten oder geneigten Bodenfläche eines mit Erde gefüllten Behälters.

7/t innerhalb weiterer Grenzen zu ver-

12.    Versuche über den Einflufs der Wandbewegung auf Gröfse und Lage des Erddruckes. Die neue Vorrichtung gestattet, die V er Schiebungen ri 0 ändern. Die Mefsstäbe ruhen an dem einen Ende auf kleinen, durch Schneiden gestützten Balken, deren Spannweite zur Erzeugung gröfserer Verschiebungen verlängert werden kann. Auch soll versucht werden, die Wandbewegung nahezu ganz zu be-

seitigen. Dieses Ziel läfst sich auf verschiedene Weise erziehen. Einmal dadurch, dafs der Melsstab auf dem Kolben eines mit Flüssigkeit gefüllten Gefäfses ruht, und jede Verkürzung des Melsstabes durch Nachfüllen von Flüssigkeit auf elektrischem Wege sofort wieder aufgehoben wird, oder dadurch , dafs der Mefsstab unter einem konstanten Anfangs-

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Fig. 113.

druck gehalten und jede durch den Erddruck hervorgerufene Zusatzbelastung durch einen anderen meisbaren Gegendruck oder eine Änderung der den Anfangsdruck erzeugenden Belastung aufgehoben wird. Nach den vom Verfasser angegebenen leitenden Gesichtspunkten hat die Firma Fuefs bereits Entwürfe aufgestellt. Der eine möge kurz beschrieben werden.

Der Mefsstab S ruht mit seiner unteren Spitze auf dem Kolben K, der den oberen Abschlufs eines mit Glyzerin gefüllten Behälters G bildet. Durch einen seitlich eingeführten Tauchkolben wird der Flüssigkeitsspiegel gehoben oder gesenkt, sobald ein kleiner Elektromotor M eine Drehung des Vorgeleges V in der einen oder anderen Richtung bewirkt. An der den Erddruck aufnehmenden, beweglichen Wand T ist ein Fühlhebelkontakt Fd angebracht, der mit einem Relais elektrisch verbunden ist. Bei einer Abwärtsbewegung der Wand T wird sich das lange Ende des Kontaktarmes gegen den oberen Kontakt d legen und eine Spule des Relais so erregen, dafs der Kontaktarm des Relais sich gegen die beiden Kontakte C legt. Hierdurch wird die Feldwicklung des Motors so geschaltet, dafs der Motor eine den Tauchkolben tiefer in den Behälter G hineinführende Bewegung vollzieht und den Kolben K so lange anhebt, bis der Strom bei d unterbrochen wird. Geschieht dies, so kommt das Ganze zum Stillstehen. Erst bei einer neuen Auf- oder Abwärtsbewegung der Wand wiederholt sich das Spiel in der einen oder anderen Richtung. Temperaturänderungen haben keinen Einflufs auf die Wirkungsweise der Vorrichtung. Mit W ist ein bifilar gewickelter Widerstand bezeichnet, der die Funkenbildung bei d verhindert. B ist die Relaisbatterie, N das Starkstromnetz. Der Kolben K ist als Membrankolben gedacht. Die Vorrichtung ist auch für die wagerechten Mefsstäbe brauchbar.

Es ist ein umfangreicher Arbeitsplan, dessen Erledigung sich die Erddruckabteilung der dem Verfasser unterstellten Versuchsanstalt für Statik der Baukonstruktionen zum Ziele gesteckt hat. Vielleicht führt seine Mitteilung dazu, dafs auch an anderen technischen Hochschulen ähnliche Anstalten ins Leben gerufen werden, um für eines der wichtigsten und noch am wenigsten erforschten Gebiete der Ingenieurwissenschaft sichere Grundlagen zu schaffen.

Literatur.

Coulomb, Essai sur une application des règles de maxhnis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l’architecture. Mém. de mathématique et de physique présentés à l’Acad. Royale des sciences par divers savants. T. VII Année 1773. Paris 1776.

Auch enthalten in :

Coulomb, Théorie des machines simples. Paris 1821. S. 318.

Bankine, On the stability of loose earth. Phil. Transactions of the London Royal Soc. 1857. S. 9.

Bankine, A Manual of applied mechanics. Erste Auflage. London 1858.

Bankine, Handbuch der Bauingenieurkunst, nach der 12. Auflage des englischen Originalwerkes deutsch bearbeitet von Kreuter. Wien 1880.

C. Culmann, Die graphische Statik, Abschnitt XIII, Theorie der Stütz- und Futtermauern. Zürich 1866.

G. Bebhann, Theorie des Erddrucks und der Futtermauern mit besonderer Rücksicht auf das Bauwesen. Wien 1871.

E. Winkler, Neue Theorie des Erddrucks nebst einer Geschichte der Theorie des Erddrucks und der hierüber angestellten Versuche. Wien 1872. Der Hauptinhalt dieser wichtigen Arbeit stammt aus der von Winkler der Universität Leipzig im Jahre 1860 eingereichten Doktordissertation.

O. Mohr, Beiträge zur Theorie des Erddrucks; Zeitschr. des Architekten-und Ingenieurvereins zu Hannover 1871, S. 344, und 1872, S. 67 und 245. — Man vergleiche die literarische Anmerkung in Nr. 15 des vorliegenden Buches.

J. J. Weyrauch, Zur Theorie des Erddrucks; Zeitschr. für Baukunde 1878. S. 193. Unter anderem wird mittels des Poncelet sehen Satzes x— y ab die für jeden Winkel o' gültige Erddruckformel abgeleitet.

E. Cramer, Die Gleitfläche des Erddruckprismas und der Erddruck gegen geneigte Stützwände. Berlin. Zeitschr. für Bauwesen 1879, S. 521.

Fr. Engesser, Geometrische Erddrucktheorie. Zeitschrift für Bauwesen. Berlin 1880. S. 189.

J. J. Weyrauch, Theorie des Erddrucks auf Grund der neueren Anschauungen. Allgemeine Bauzeitung. Wien 1881. Einführung des Spannungskreises vom Durchmesser amax + amin.

E. Winkler, Über Erd druck auf gebrochene und gekrümmte Wandflächen, Zentralblatt der Bau Verwaltung.    Berlin 1885. Erweiterung des

Bebhann sehen Satzes.

Adolf Franche, Die inneren Kräfte eines durch Ebenen begrenzten Erdkörpers nebst Anwendung auf die Ermittelung des Druckes gegen Stütz- und Druckwände. Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 1888.

Fr. Engesser, Neuere Versuche über die Richtung und Gröfse des Erddrucks gegen Stützwände. Deutsche Bauzeitung 1893. S. 325.

F. Kötter, Die Entwicklung der Lehre vom Erddruck. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung. II, 1893. Verfasser beschränkt sich nicht auf geschichtliche Mitteilungen und kritische Betrachtungen, sondern liefert auch eigene, interessante Beiträge.

M. Möller, Efddrucktabellen. Leipzig 1902.

F. Kötter, Die Bestimmung des Drucks an gekrümmten Gleitflächen, eine Aufgabe aus der Lehre vom Erddruck. Sitzungsberichte der Akademie der AVissenschaften. Berlin 1903. Im Einverständnis mit dem Herrn Verfasser wiedergegeben im § 6, Nr. 25 des vorliegenden Buches.

(j. Mehrtens, Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre. Bd. II 1904, § 9. Vergl. § 4, Nr. 20 und Seite 141 des vorliegenden Buches.

Haseler, Stütz- und Futtermauern, Handbuch der Ingenieurwissenschaften Teil I, Band II, Kapitel III. Leipzig 1905.

O. Mohr, Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Berlin 1905. Abhandlung VI. Graphostatische Darstellung der neueren Lehre vom Erd druck. Vergl. § 3, Nr. 15 und S. 63—66 des vorliegenden Buches.

Berichte über beachtenswerte neuere Erddruckversuche enthalten die

Schriften :

L. Leygue, Nouvelle recherches sur la poussée des terres et le profil de revêtement le plus économique. Annales des ponts et chaussées (6) X. 1885. II. S. 788. Einen Bericht über die Ergebnisse und Formeln von Leygue enthält die Abhandlung:

G.    Lang, Zur Bestimmung des Erddrucks auf Stützmauern nach Leygue.

Rigaische Industriezeitung, 1888, Nr. 14.

A. I). Donath, Untersuchungen über den Erddruck auf Stützwände. Zeitschrift für Bauwesen 1891.

V. J. Kurdjümoff, Zur Frage des Widerstandes der Gründungen auf natürlichem Boden. Civilingenieur 1892. S. 292. Es werden mittels der Photographie die Bewegungen verfolgt, welche beim Einsinken eines Klotzes in eine Sandmasse entstehen.

H.    Engels, Untersuchungen über den Seitendruck der Erde auf Fundament

körper. Zeitschrift für Bauwesen 1896.

Ausführliche literarische und geschichtliche Angaben finden sich in Kötters Entwicklung der Lehre vom Erddruck.

Altenburg.

Pierersche Hofbuchdruckerei Stephan Geibel & Co.

Beilage.

In seinen vor kurzem erschienenen Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, Berlin 1906, setzt Herr Mohr eine Polemik fort, die sich zwischen ihm und mir im Zentralblatt der Bauverwaltung 1902, 1903 im An-schlufs an Fragen, betreffend die Berechnung räumlicher Fachwerke abgespielt hat. Es geschieht dies in einem Tone, der zwar beweist, dafs Herr Mohr um sachliche Gründe verlegen ist, der mich aber doch zwingt, mit einer Entgegnung nicht zu zögern.

Herr Mohr ist der Meinung, dafs ich das Anwendungsgebiet der Maxwell sehen Theorie des Fachwerks überschätze und dem grofsen englischen Gelehrten Auffassungen zuschreibe, die dieser in Wirklichkeit gar nicht gehabt hat. Er schliefst seine Kritik mit den Worten: „Derartige Bestrebungen, Ergebnisse der deutschen Wissenschaft Ausländern zuzueignen, sind in der literarischen Tätigkeit des Herrn Müller-Breslau nicht neu. In dieser Absicht wurde bei einer früheren Gelegenheit versucht, die Sätze Castiglianos mit allerlei Zutaten auszustatten, an die Castigliano selbst nicht gedacht hatte. Auch die falsche Darstellung des. Wüliot sehen Verfahrens gehört hierher.“

Der in diesem Satze sich ausprägende, sachlich nicht begründete und in der Wissenschaft³ glücklicherw'eise nicht heimische Chauvinismus fand den Beifall des Herrn Professor Mehrtens, dem ich vor einiger Zeit einen recht groben Fehler — von dem am Schlufs dieser Erwiderung die Hede sein wird — nachweisen mufste. Im dritten Bande seiner Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen schliefst er sich Herrn Mohr an und knüpft sogar an seine eine bedenkliche Unkenntnis verratende Angabe¹ über das Anwendungsgebiet 'der Verfahren von Maxwell und Castigliano die Behauptung: mein Ausspruch, „es bilden neben den Maxwell sehen Sätzen die Sätze von Castigliano die Grundpfeiler der gegenwärtigen Theorie der statisch unbestimmten Konstruktionen“, sei unwahr. Sein Angriff fällt damit in die Klasse der Schriften, gegen welche das Niedrigerhängen die beste Abwehr ist.

Ich beginne meine Entgegnung mit einer Besprechung der klassischen Arbeit Maxwells³), wobei ich durchweg — auch dort, wo ich den englischen Text wörtlich wiedergebe — die Bezeichnungen Maxwells durch die von mir benutzten weit verbreiteten Bezeichnungen ersetze. Dies wird manchem

Beilage.

Leser die Vergleichung der Maxwell sehen und der späteren Arbeiten erleichtern.

Nach einer kurzen Einleitung wendet sich Maxwell zur Lösung der Grundaufgabe: Gesucht, ist die Änderung 5 der Entfernung B C zweier Knotenpunkte B und C eines Fachwerks infolge der Änderung As der Länge s irgendeines Stabes A (Fig. I)⁴). Er bringt zwischen den Punkten B und C einen Zug P an, ermittelt die im Stabe A hierdurch hervorgerufene Spannkraft S und betrachtet das Eachwerk als eine Maschine, an welcher die beiden Kräfte P einen Widerstand S überwinden. Das Clapeyron sehe Gesetz liefert die Arb eitsh edingung

I)

g-PB + -g-/S'Z\s = 0-

Fig. I.

Bedeutet nun S' die im Stabe A durch den Zug P— 1 erzeugte Spannkraft, so ist S = PS¹, und es ergibt sich aus I) die Grundgleichung

II)

o — — S' As.

Aus ihr folgert Maxwell den Satz :

Ist S' die Spannkraft im Stabe A infolge einer Zugeinheit zwischen den Punkten B und C, so bringt eine Dehnung des Stabes A von der Gröfse s = 1 die Punkte B und C einander näher um eine Strecke S'. Dieser Satz liefert die zu einer willkürlich gewählten Längenänderung A s gehörige Knotenpunktverschiebung o. Werden sämtliche Stablängen um willkürliche Werte A s geändert, so entsteht

III)

o = -^'As-

Wir wollen dieses Gesetz auf ein in der Arbeit Maxiveils nicht enthaltenes Beispiel anwenden.

Sind B und G die in ein und derselben Wagerechten liegenden Kämpfergelenke eines Zweigelenkbogens, ist ferner A l hie beobachtete Änderung der Stützweite l und X der eine der beiden wagerechten Stützenwiderstände, so ist nach dem bewiesenen Satze

AZ = -2S'As = -2S'(J^ + £fs),

wo S=So+ S'X ist, wenn So die Spannkraft infolge der bekannten Lasten bedeutet. Man findet

— 1S₀S'p — IS'zts — A l

IS⁴² p

Von dieser Lösung, welche Temperatur ander ungen und Stützenverschiebungen berücksichtigt, ohne ein anderes Hilfsmittel zu benutzen als den von Maxiveil aufgestellten Satz, unterscheidet sich die zehn Jahre später von Herrn Mohr in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, 1874, angegebene Lösung nur dadurch, dafs Herr Mohr die Gleichung II) mittels des Prinzips der virtuellen Verrückungen ableitet.

Herr Mohr beginnt seine wegen der wertvollen Anwendungen von mir trotz der Priorität Maxuells stets als bahnbrechend bezeichneten Beiträge zur Theorie des Fachwerks⁵) mit der Berechnung des Horizontalschubes eines

Zweigelenkbogens und bestimmt die von der Längenänderung As⁶) eines Stabes A erzeugte Änderung A Z der Stützweite l wie folgt :

„Man kann diese Bewegung auch hervorrufen durch einen Horizontalschub X gegen die Auflager, welcher in der elastischen Stange A die Spannung S'X erzeugt. Während die Kraft X den Weg A l zurücklegt und sonach die mechanische Arbeit—Xa^ leistet, wird die widerstehende Spannung S'X der Stange A auf dem Wege Is überwunden und dadurch die mechanische Arbeit S'XAs absorbiert. Nach dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeit sind diese Arbeiten gleich grofs und demnach

— X f\l = S'X f\s

oder

-Al = S'As“

Mit der oben von der Gleichung III) gemachten Anwendung vergleiche man nun die Behauptung des Herrn Mehrtens, das Verfahren von Maxwell lasse bei der Ermittelung des Einflusses von Temperaturänderungen und Stützenverschiebungen im Stich, ferner den von Herrn Mehr lens gebilligten Ausspruch des Herrn Molir: Die Natur des Clapeyronschen Theorems gestattet nicht ohne weiteres, die Betrachtung auf die Bestimmung der Tempßratur-einwirliungen auszudehnen. Diese Behauptungen sind falsch und irreführend; denn sobald eine Längenänderung A s = 1 eine Knotenpunktverschiebung § — — S' verursacht, wie dies Maxwell klipp und klar ausspricht, so erzeugt As = zts die Verschiebung 8 — — S'zts. Was hätte wohl Maxwell mit der Gleichung 1) anfangen sollen, wenn er für A « nur die von der Spannkraft S' erzeugte Längenänderung A g = S' p hätte einsetzen dürfen.

Ich lasse nun die wichtigsten Stellen der Maxwell sehen Arbeit folgen:

Theorem. US' be the tension of the piece A due to a tension-unity between the points B and C, then an extension-unity taking place in A will bring B and C nearer by a distance S'.

For let F be the tension and A s the extension of A, S¹ be the tension and 8 the extension of the line BC\ then supposing ail the other pièces inextensible, no work will be done except in Stretching A, or

tC H-¹

Fo + Y, £A s = 0.

8 = — S' A«,

But S = FS', therefore

which was to be proved.

Problem I. A tension Pw( is applied between the points mx and m₂ of a frame, which is sirnply stiff; to find the extension of the line joining n1 and n₂, ail the pièces except A being inextensible, the extensibility of A being p.

Détermine the tension in each piece due to unit tension between m1 and m₂, and let Sm be the tension in A due to this cause.

Détermine also the tension in each piece due to unit tension between nx and n₂ and let Sn be the tension in the piece A due to this cause.

Then the actual tension of A is PmSm and its extension is PmSmp and the extension of the line nxn₂ due to this cause is —PmSmSn p by the last theorem.

Cor. If tlie other pièces of the frame are extensible, the complété value of the extension in ntn₂ due to a tension Pm in m^m₂ is

IV)

= — Pm h Srn Sn p ,

wliere ISmSn p means the sum of the products of SmSn p, which are to be found for each piece in the same way as they were found for A.

Aus dieser Anwendung der Gleichung 1-5 = — S'A s auf den Belastungszustand Pn = 1 und die hiervon unabhängigen, von der Belastung Pm hervorgerufenen Formänderungen 6 und As geht klar und deutlich hervor, dafs Maxwell die As und 8 als virtuelle Verrückungen verwertet, und dafs er die Gleichung II) genau so benutzt hat, wie nach ihm Herr Mohr.

Mit Pm — 1 entsteht

On tn = — 2 Sin Sn p.

Herr Mehrten* schreibt diese Gleichung a. a. 0. S. 88 mit Unrecht Herrn Mohr zu. Die dort von ihm angeführten wichtigen Anwendungen : Ersetzung der Verschiebungen eines Punktepaares durch die gegenseitige Drehung eines Geradenpaares, Gegenüberstellung von Drehung und Verschiebung, habe ich in meinen Neueren Methoden, erste Auflage 1886, angegeben.

Aus dem Ausdrucke IV) folgert Maxwell den bekannten Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen, 8nm — hmn, dem ich den Namen Maxwellscher Satz beigelegt habe, eine Benennung, die sich schnell eingebürgert hat.

Die Gleichungen zur Berechnung der Spannkräfte in den überzähligen Stäben X«, Xb, Xe .... eines statisch unbestimmten Fachwerks, an welchem zwischen irgend zwei Punkten B und C ein Zug P angreift, entwickelt Maxwell wie folgt:

Let Sa, Sb, Sc, .... be the tensions in A due to unit tension in Xu, Xb, Xe, . . ..; also let Xa, Xb, Xe .... be the tensions of X», Xb, Xc.... and pu, pb, pe, .... their extensibilities. Then the tension in A

= PS' + XaSa + XbSb + Xc Sc +....;

the extension of A

A S = p (PS' + Xa Sa + Xb Sb + Xe Sc -f- ....);

the extension of Xa

V)

= — PIS' Sa p — Xa^L Sa² p — Xb 2 SaSb p — Xe L Sa Sc p — .... = Xa pu the extension of Xb

— — PI S' Sbp — Xa 1 Sa Sb p — Xbl Sb² p — Xe I Sc Sb p------ Xb p b

usw.

Hier haben wir die Anwendung der Gleichung 1-6 = — 2.S'As auf die gedachten Belastungszustände X« = 1, X& = 1 . . . ., und die hiervon unabhängigen wirklichen Formänderungen 8 und A s-

Wir knüpfen an die vorstehende Entwickelung noch die folgende Be

trachtung.

Stellt man in den Gleichungen V) auf der linken Seite den Wert A s wieder her, so erhält man

— 1 Sa s ■= Xa pu ; — 1 Sb Ai s — Xb p& J ....

Die Summen erstrecken sich nur über die notwendigen Stäbe. Dehnt man sie über alle Stäbe aus, so findet man:

VI)

S Su As — 0; 2S& As — 0; ....

Der überzählige Stab X« liefert zur Summe X Sa As den Beitrag Xupa und zu allen übrigen Summen den Beitrag 0. Ähnlich verhalten sich X/>, Xc, ... . Stützenbewegungen kann man bei der Anwendung dieser Gleichungen in der Weise berücksichtigen, dafs man die Stützen durch Stäbe ersetzt, deren Längenänderungen mit den vorgeschriebenen Stützenverschiebungen übereinstimmen. Bezeichnet man dann die Spannkräfte in den Auflagerstäben mit C, die Längen dieser Stäbe mit c und nimmt man die Kräfte C positiv an, sobald sie in den Stäben Druckspannungen hervorrufen, so nehmen die Gleichungen VI) die Form an

ICaAc^lSaAs: lCbAc = ZSbAs-, ....

VII)

•'⁷ Das sind die Gleichungen, welche ich in meinen „Neueren Methoden“ 1904, S. 23 mit Fug und Recht Maxwellsche Gleichungen genannt habe. Zu ihrer Herleitung ist weiter nichts er forderlich, als die an der Spitze dieses Berichtes stehende von Maxwell herrührende Gleichung II). Die Auffassung der Verschiebungen von Knotenpunkten als Längenänderungen von Stäben, welche diese Stäbe mit aufserhalb des Fachwerks liegenden festen Punkten verbinden, findet sich ebenfalls bereits bei Maxwell. Die fragliche Stelle lautet :

In structures acted on by weights, in which we wish to détermine the deflection at any point, we may regard the points of support as the extremities of pièces, connecting the structure with the centre of the earth ; and if the supports are capable of resisting a horizontal thrust, we must suppose them connected by a piece of équivalent elasticity ⁷). The deflection is then the shortening of a piece, extending from the given point to the centre of the earth.

Über das Verfahren von Castigliano, welches nach der Behauptung des Herrn Mehrtens ebenfalls versagen soll, wenn es sich um Temperatureinwirkungen und Stützenverschiebungen handelt, kann ich mich mit Rücksicht auf die vorstehenden Erörterungen kurz fassen. Es genügt, auf die Grundlage dieses Verfahrens, den Satz von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit

VIII)

hinzuweisen, der in ähnlicher Weise, unter Umständen mit Benutzung von Auflagerstäben, verwendet wird, wie die 31oxwell sehe Gleichung III). Mit der sonderbaren Behauptung des Herrn Mehrtens, dieser Satz versage bei der Ermittelung des Einflusses der Stützenverschiebungen, brauche ich mich wohl nicht weiter zu befassen. Temperatureinwirkungen erledigt Castigliano in Verbindung mit der Berechnung von Systemen, in denen schon vor der Einwirkung äufserer Kräfte Spannungen vorhanden sind, im Kapitel 1 Nr. 16 und 18 und im Kapitel 10 Nr. 6 des ersten Teiles seines Werkes: Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Dort findet sich auch eine Reihe von Zahlenbeispielen. Die Überschrift von Nr. 6 lautet: Lehrsatz über den Einflufs von Temperaturänderungen.

Der Zusammenhang zwischen den Verfahren von Maxwell und Castigliano ist von mir zuerst ganz kurz in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, 1884, S. 211 und dann ausführlicher in meinen

Neueren Methoden, erste Auflage 1886, durch die AnWendung der Maxwell sehen Grundgleichung 5 = — 2S'/\s auf einen beliebig gestalteten elastischen Körper gezeigt worden. Es entsteht mit den Grashofschen Bezeichnungen a, t, e, y die Gleichung

3 = f(o'xZx + (j'y Zy f a'z tz + l'x'fx + T ’yfy + T ’z ‘(z) d V,

und den Satz von der kleinsten Formänderungs

aus der ich den Satz 5 = arbeit ableitete.

Bald nach dem Erscheinen meines Buches entbrannte zwischen Herrn Mohr und mir im Civil ingénieur 1886 ein Meinungsstreit über Castigliano unter der von Herrn Mohr gewählten Überschrift: Über die Elastizität der Deformationsarbeit. Herr Mohr weist in seinen Abhandlungen S. 434 auf diesen Streit hin. Ich kann ebenfalls auf das dringendste empfehlen, diese Auseinandersetzungen zu lesen und auch von der gegen Herrn Mohr sich wendenden Besprechung dieses Streites im Jahrbuche für die Fortschritte der Mathematik, 1886, S. 952 Kenntnis zu nehmen.

An dieser Stelle begnüge ich mich damit, auf einen Punkt hinzuweisen. Das wird genügen, um die Kampfesweise des Herrn Mohr in das rechte Licht zu setzen. Herr Mohr bestreitet u. a. ebenfalls die Möglichkeit, mit Hilfe des Castigliano sehen Verfahrens bei der Berechnung eines statisch unbestimmten Trägers den Einflufs von Stützenverschiebungen zu verfolgen und bezeichnet die von mir ins Feld geführte Ersetzung der Stützen durch gleichwertige Stäbe, deren Formänderungsarbeit zu der des Trägers hinzuzurechnen ist, als eine unzulässige Dehnung (Elastizität) des Begriffes Deformationsarbeit, trotzdem er selbst in der „Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins“ zu Hannover, 1875, Seite 18, sagt: „Die Bedingungen, welche die Stützenlage der Formänderung der Träger auferlegt, kann man auf einfache Weise in Rechnung bringen, indem man fingierte Konstruktionsteile in die Betrachtung ein führt.¹¹ Jetzt geht Herr Mohr sogar so weit, mir vorzuwerfen, ich hätte durch meinen Hinweis auf dieses Hilfsmittel dem Ausländer Castigliano ein Ergebnis deutscher Wissenschaft zugeeignet — damit meint er natürlich seine eigene Leistung und hängt der Sache nur ein patriotisches Mäntelchen um —, obgleich ihm nicht einmal die Priorität der Einführung fingierter Konstruktionsteile gebührt, wie die oben wiedergegebene Stelle der Maxwell sehen Arbeit beweist.

Bei der Würdigung der Verdienste Castiglianos mufs noch ganz besonders heiworgehoben werden, dal's dieser leider sehr früh verstorbene Forscher sich nicht auf die verhältnismäfsig leichte Theorie des Fachwerks beschränkt, sondern sein Verfahren auch auf wesentlich schwierigere Aufgaben angewendet hat. Das ist auch von weiten Kreisen anerkannt worden.

Noch im Jahre 1900 schrieb Herr Mehrtens in seiner gelegentlich der Pariser Weltausstellung verfafsten Denkschrift: Der deutsche Brückenbau im XIX. Jahrhundert, auf Seite 14 über die Sätze Castiglianos: „Mit den genannten Sätzen über die Formänderungsarbeit elastischer Körper hat Castigliano besonders die analytische Theorie der statisch unbestimmten Konstruktionen in ausgiebigster Weise bereichert, so dafs heute die schwierigsten Aufgaben dieser Art analytisch in einfacher Art zu lösen sind.“ Und auf Seite 36 stellt er sogar die absonderliche Behauptung auf, dafs „Konstruktionen, in denen alle oder einzelne Lasten nicht in den Knoten angreifen, die also nicht mehr als reine Stabwerke aufgefafst werden können, weil auch Biegungen Vorkommen, am einfachsten analytisch nach den Sätzen von der kleinsten Form-

änderungsarbeit berechnet werdenDanach, wäre also das Maxwell sehe Verfahren nur für das Fachwerk brauchbar. Von den umfangreichen Anwendungen, die ich von diesem Verfahren auf die Berechnung biegungsfester Tragwerke bereits in der ersten Auflage meiner Neueren Methoden 1886 gemacht hatte, scheint Herr Mehrtens damals noch keine Kenntnis gehabt zu haben⁸). Der ganze Vorgang ist bezeichnend für die Arbeitsweise und Urteilsweise des Herrn Mehrtens, der heute die Hinzurechnung der Castigliano sehen Sätze zu den Grundpfeilern der gegenwärtigen Theorie der statisch unbestimmten Konstruktionen für eine Unwahrheit erklärt, nachdem er kurz vorher ihren hervorragenden Einflufs auf die Entwickelung der Statik der Baukonstruktionen vor aller Welt in einer Weise bekannt hatte, die sogar nicht frei von Übertreibung war!

Ich schliefse meine Erwiderung in der Sache Castigliano mit einem Hinweise auf das von Herrn Mehrtens erwähnte Gutachten der römischen Akademie über den Prioritätsstreit zwischen Menabrea und Castigliano bezüglich des Satzes von der kleinsten Formänderungsarbeit. Dieses Gutachten erklärt, dafs der Satz älter ist als die Arbeiten der beiden verdienstvollen Forscher, denen beiden die Akademie nur Lob spendet; es bestätigt aber durchaus meine und Anderer Wertschätzung dieses Satzes und nennt ihn ein allgemeines Prinzip, dem es sicher Vorbehalten ist, immer weitere Anwendung zu finden⁹). Dafs Menabrea den Satz früher ausgesprochen hat als Castigliano, habe ich in den geschichtlichen Mitteilungen meiner Neueren Methoden (die Herr Mehrtens in seinem Buche, Band III, Seite 428, Absatz 2, zum Teil beinahe wörtlich benutzt hat) hervorgehoben; ich habe aber auch darauf hingewiesen, dafs bereits Euler infolge einer Anregung seitens Eernoullis eine spezielle Anwendung von diesem Satze gemacht hat.

Ich wende mich nun zum Falle Williot. Im zweiten Bande meiner Graphischen Statik (1892, 1908) wird am Anfang des ersten Paragraphen das bekannte Williot sehe Verfahren entwickelt. Es folgt dann eine Reihe von Aufgaben über die Darstellung von Verschiebungsplänen, zu deren Herstellung aui'ser dem Williot sehen Plane noch bekannte Hilfsmittel angewendet werden, nämlich die Zusammensetzung zweier Verschiebungen, und für schwierigere Fälle Polbestimmungen. Zum Schlufs wird, meines Wissens zum ersten Male, gezeigt, wie man die Knotenpunktverschiebungen eines jeden Fachwerks durch wiederholte Anwendung des Williot sehen Verfahrens und Auflösung eines Systems linearer Gleichungen finden kann. Der § 6 der 1892 erschienenen Auflage brachte ferner u. a. eine Anwendung des Williot sehen Verfahrens auf die Darstellung der Ver-

schiebungspläne kinematischer Ketten. Für den § 1 wählte ich die Überschrift „Williotsche Verschiebungspläne“, weil das von Williot angegebene Verfahren bei Lösung aller Aufgaben herangezogen wurde. Was ich selbst beigetragen habe, hielt ich nicht für nötig, besonders anzuführen. Dafs hierdurch nicht beabsichtigt worden ist, den Inhalt des ganzen Abschnitts als Arbeit Williots auszugeben, hebe ich nur hervor, weil mir Herr Mohr eine solche Absicht untergeschoben hat. Dafs seine Behauptung falsch ist, beweist der Satz am Schlufs des § 3. Dort sage ich, dafs sich die in den §§ 2 und 3 angegebenen Darstellungsweisen auf ähnliche Art erweitern lassen, wie dies im § 1 mit dem von Williot ursprünglich auch nur für einen sehr einfachen Fall angegebenen Verfahren geschehen ist. Dafs die Untersuchungen des ersten Abschnitts des zweiten Bandes meiner Graphischen Statik bereits Ende 1887 fertiggestellt waren und durch eine im letzten Hefte des Civilingenieur von 1887 erschienene Arbeit des Herrn Mohr, die sich nur mit ganz leichten Aufgaben beschäftigt, in keiner Weise beeinflufst worden sind, habe ich Herrn Mohr schon im Zentralblatt der Bauverwaltung erklärt. Ich verwaise auch auf eine von mir in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover, 1888, S. 51 veröffentlichte Arbeit, die sich beim Erscheinen der Mohrschen Abhandlung bereits in den Händen der Schriftleitung befand, was auch in einer Fufsnote hervorgehoben worden ist. In welcher Weise Herr Muhr in seiner Abhandlung das Williotsche Verfahren und meine vorher erschienenen Arbeiten benutzt hat, zeigt Fig. II. In das

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hier gezeichnete Pasknlsche Sechseck habe ich die von mir zum Beweise der vorhandenen Beweglichkeit, die im vorliegenden Falle bekanntlich unendlich klein ist, eingeführte parallellinige Figur A’ B' CI)' E' F', von der im allgemeinen drei Punkte willkürlich gewählt werden dürfen, so eingezeichnet, dafs A' und C zusammenfallen. Daneben habe ich die von Herrn Mohr zur Führung desselben Beweises benutzte Figur A'IV.... angegeben. Man erhält sie, wenn man die parallellinige Figur um 90" dreht; sie stellt in dieser Lage einen Williotschen Verschiebungsplan vor, dessen Pol der Doppelpunkt A'C' ist. Dafs die von Herrn Mohr mit der Figur A' B’ C' . . . vorgenommene Drehung eine Vereinfachung sei, wird wohl niemand behaupten, denn die parallellinige Figur ist leichter zu zeichnen und übersichtlicher als die normallinige.

Eine merkwürdige Bolle spielt im Falle Williot Herr Mehrtens. Im ersten Bande seiner Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen gibt er im § 12 meine auf der Benutzung der lotrechten Geschwindigkeiten beruhende

Theorie des Fachwerks wieder und führt als Quelle in erster Linie--

den Franzosen Williot und aufserdem nur noch die vorhin erwähnte Arbeit von Mohr an, trotzdem keiner der Genannten das von mir in die Theorie des Fachwerks eingeführte wichtige Hilfsmittel der lotrechten Geschwindigkeiten benutzt hat, und die Arbeit von Molir aufserdem später erschienen ist als die meinige. Selbst eigenartige Aufgaben entlehnt Herr Mehrtens meinen Arbeiten, z. B. die kinematische Untersuchung eines über drei Öffnungen gespannten Bogenträgers mit festen Kämpfergelenken, mit Scheitelgelenk und zwei unversteiften Vierecken über den aus Pendelsäulen bestehenden Mittelstützen. Man vergleiche auch Mehrtens, Bd. I, Fig. 263 mit Abb. 18 meiner Abhandlung im Zentralblatt der Bauverwaltung 1902, S. 502.

Dafs Herr Mehrtens meine Darstellung der Einflufslinien in sehr grofsem Umfange ohne Quellenangabe benutzt hat, habe ich schon an anderer Stelle hervorgehoben. Man vergleiche die Figuren: 59 bis 61// — 114//— 142, 143, 144// — 203, 205, 206, 207, 228 /// — 177, 178/// — 188/// des Mehrtens sehen Buches der Reihe nach mit den folgenden Figuren meiner Graphischen Statik (Bd. I 1887, Bd. II 1892): 266 bis 271/— 383/ — 142, 148, 149/ — 221 bis 228 // — 318// eu. — 262//. Die beigefügte römische Ziffer bezeichnet den Band. Der von Herrn Mehrtens vorgebrachten Behauptung, er verdanke diese Darstellung der Einflufslinien Winkler, widerspricht der Inhalt der Winkler sehen Veröffentlichungen. Ich verweise u. a. auf Winkler, Theorie der Brücken, II. Heft, Theorie der gegliederten Balkenträger, 1881. Im Kapitel VI, Balken mit polygonalen Gurten und einteiligem Gitterwerk, findet sich z. B. nur eine einzige Einflufslinie, Fig. 73 ; sie gilt für die lotrechte Seitenkraft der Spannkraft einer Diagonale und wird keineswegs nach dem von Herrn Mehrtens meinem Buche entnommenen Verfahren der Benutzung der Spannkräfte D' und D" für A = 1 bezw. B — 1 dargestellt. Die von Herrn Mehrtens in Fig. 250 in angegebene einfache Konstruktion der Kämpferdruckrichtungen eines gelenklosen Bogens findet sich bereits in einer von mir in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 1884 veröffentlichten Abhandlung auf Seite 637 und in der letzten Auflage meiner Graphischen Statik Bd. II, S. 356. Für die wichtige allgemeine Bestimmung des Gewichtes w eines Stabzugknotens führt Herr Mehrtens (Bd. III, S. 123) als Quelle eine 1889 erschienene Arbeit von Land an, obgleich Land an zwei Stellen auf meine vorher (1885, 1886) erschienenen Arbeiten, denen sich Herr Mehrtens auch bezüglich der Bezeichnungen anschliefst, hingewiesen hat, usw.

Noch drei andere Punkte mufs ich berühren.

Am Schlufs der Abhandlung IX: Die elastische Linie, bemängelt Herr Mohr (a. a. O. Seite 327), dafs ich seine Arbeit: Beitrag zur Theorie der Holz-und Eisenkonstruktionen, Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, 1868, Seite 19, in meiner Graphischen Statik nicht mit aufgeführt habe. Er findet die Hervorhebung seines heute wohl allgemein bekannten Verdienstes um die Darstellung der elastischen Linie in den geschichtlichen Angaben meiner Neueren Methoden. In meiner Graphischen Statik sollen geschichtliche Angaben über die Theorie der elastischen Linie und ihre Verwertung bei der Untersuchung des kontinuierlichen Balkens am Schlufs des noch nicht vollendeten Abschnittes über diesen Gegenstand gebracht werden¹⁰).

Dort wird neben den bekannten Arbeiten von Culmann, Winkler und Weyrauch auch die vorgenannte Abhandlung des Herrn Mohr• gewürdigt werden, wobei ich allerdings hervorheben mui's, dafs Herr Mohr in dieser Abhandlung eines der wichtigsten Hilfsmittel der Theorie der kontinuierlichen Träger, die Fixpunkte, welche vor ihm schon Culmann benutzt hat, verwertet, ohne die Urheberschaft Culmanns zu erwähnen. Ich bemerke noch beiläufig, dafs ich die Deutung der elastischen Linie als Momenten-kurve eines einfachen Balkens in meinem 1875 erschienenen Erstlingsbuche *) auf anderem Wege als Herr Mohr, dessen Arbeit mir damals nicht bekannt war, gefunden habe. Ich hatte mir die Aufgabe gestellt, die elastische Linie elementar zu behandeln und fand ohne weiteres diesen einfachen Weg.

Der zweite Punkt betrifft die Berechnung des räumlichen Fachwerks mittels des Ersatzstabverfahrens ; sie gab die Veranlassung zu der gegenwärtigen Polemik. Meine erste Arbeit über das Raumfachwerk erschien im Zentralblatt der Bauverwaltung 1891 ; sie weist auf eine frühere Arbeit Hennebergs mit den Worten hin: „In anderer Weise macht Henneberg in seinem ausgezeichneten Werke Statik der starren Systeme (Darmstadt 1886) von dem Verfahren der Umwandlung eines Fachwerks Gebrauch, indem er ein statisch bestimmtes, ebenes oder räumliches Fachwerk von n Knoten in ein solches von n—1 Knoten und schliefslich in ein Dreieck bezw. ein Tetraeder überführt.“ Ich schicke dies voraus, um zu beweisen, dafs ich Herrn Hennebergs Priorität der Benutzung der Stabvertauschung nie bestritten habe. Wohl aber habe ich behauptet — und das ist auch von verschiedenen Seiten anerkannt worden —, dafs ich die Stabvertauschung in anderer und viel allgemeinerer Weise handhabe als Herr Henneberg. Mein Verfahren hat unstreitig die weitere Verbreitung gefunden und findet sich — ohne Quellenangabe — auch in dem Buche des Herrn Mehrtens, der die speziellen Regeln Hennebergs nicht einmal erwähnt. Eine Gegenüberstellung der beiden Verfahren findet der Leser in der neuesten Auflage meiner Neueren Methoden 1905. Hier begnüge ich mich, auf die nach festen Punkten aufserhalb des Fachwerks führenden Ersatzstäbe meines Verfahrens hinzuweisen, deren Richtung so gewählt werden kann, dafs die Gleichgewichtsbedingungen eine möglichst einfache Form annehmen.

Gleich das zweite der von mir vorgeführten Beispiele enthält folgenden Sonderfall. An einem Knotenpunkte greifen nur zwei unbekannte Stabkräfte an. Der hinzugefügte Ersatzstab hat die Richtung eines Stabes, dessen Spannkraft S bereits bekannt ist. Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben für die Unbekannte S + Y einen Wert A. Dann liefert die Bedingung

Y = A

eine der Gleichungen zur Berechnung der Spannkräfte der beseitigten Stäbe.

Im Jahrgange 1902 des Zentralblatts der Bauverwaltung hat nun Herr Mohr auf Seite 684 ein Verfahren veröffentlicht, das sich von dem soeben geschilderten Sonderfalle meiner Berechnungsweise nur dadurch unterscheidet, dafs die Hinzufügung des Ersatzstabes unterbleibt, für die bereits bekannte Stab kraft S ein zweiter Wert A berechnet und die Gleichung

S — A

aufgestellt wird. Ich habe diese elementare Sache hier nur erwähnt wegen der Eile, mit der diese Auflage schliefslich gedruckt werden mufste, ist dies leider vergessen worden.

¹

Für jw = 0 fanden wir den Wert E— 136 kg.

²

Der neu erbaute Erdbehälter hat die Grundabmessungen 3,0-3,0 m.

³

Maxwell, On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames. Philosophical Magazine. Vol. XXVII. S. 294.

Müller-Breslau, Erddruck auf Stützmauern,

⁴

Die Maxwell sehe Arbeit selbst enthält keine Figuren.

⁵

Man findet sie in meiner Graphischen Statik II am Schlufs jedes Abschnittes im Quellenverzeichnis.

⁶

Die von Herrn Mohr angewandten Bezeichnungen habe ich durch die oben benutzten ersetzt.

⁷

Beispiel: Verbindung der Kämpfergelenke eines Zweigelenkbogens durch eine Zugstange, deren Verlängerung gleich dem beobachteten Al ist-

⁸

Wie ausgiebig Herr Mehrtens in seinem Buche meine Arbeiten über die Verfahren von Maxwell und Castigliano benutzt hat, lehrt schon eine flüchtige Vergleichung. Es genügt, den Untersuchungen auf Seite 68, 69, auf Seite 220 und auf Seite 234, 235 des dritten Bandes des Mehrtens sehen Buches die folgenden Seiten meiner Neueren Methoden (ich wähle die Auflage von 1893) der Reihe nach gegenüberzustellen: Seite 204, Seite 189, Seite 66—68. Auch verweise ich auf die Einleitung des zweiten Bandes meiner Graphischen Statik.

⁹

Eine beachtenswerte eigenartige Anwendung bringt die soeben erschienene Habilitationsschrift: K. Wieghardt, Über einen Grenzttbergang der Elastizitätslehre und seine Anwendung auf die Statik hochgradig statisch unbestimmter Fachwerke. Berlin 1906. Seite 15.

¹⁰

Wegen der Verzögerung der Herstellung der zweiten Abteilung des zweiten Bandes hatte ich die Absicht, in der letzten, 1903 erschienenen Auflage der ersten Abteilung diese geschichtlichen Mitteilungen zu bringen. In

*) H. Müller, Elementares Handbuch der Festigkeitslehre. Berlin 1875.

der Bemerkungen des Herrn Mohr auf Seite 459 seiner „Abhandlungen“ und wegen der Ausführungen des Herrn Mehrten», nuf Seite 439 des dritten Bandes seines Buches.

Der dritte und letzte Punkt ist folgender:

In der Zeitschrift für Architektur- und Ingenieurwesen, Wochenausgabe 1898, S. 329, hat Herr Mehrtens eine statisch bestimmte mehrteilige Wandgliederung von Gitterträgern angegeben, mit den statisch unbestimmten Anordnungen verglichen und ersteren erhebliche Vorzüge zugesprochen. Im ersten Bande meiner Graphischen Statik, 1901, S. 534, zeigte ich nun, dafs die von Herrn Mehrtens vorgenommenen Vergleichungen unrichtig und die angegebenen Wandgliederungen wertlos seien. Darauf suchte Herr Mehrtens in der Deutschen Bauzeitung 1901, Nr. 80 und 90, 1902 Nr. 12 meine Ein würfe als in allen Punkten unberechtigt zurückzuw eisen. Im zweiten Bande meiner Graphischen Statik, 3. Aufl. S. 469—473, fügte ich zu der im ersten Bande durchgeführten Untersuchung des SpannungsZustandes der fraglichen Träger eine Darstellung der Formveränderungen, die denn auch zu dem erwarteten überaus kläglichen Ergebnisse führte. Ich sprach dabei von Trägern Mehrtensscher Bauart.

Im Zentralblatt der Bauverwaltung, 1905, Nr. 68 S. 426 veröffentlichte nun Herr Bender eine sehr interessante Abhandlung über Netzwerke Mehrtensscher Bauart und brachte Beispiele, durch welche die in meinem Zahlenbeispiele hervorgetretenen ungünstigen Spannungszustände noch übertrumpft wurden.

Daraufhin legte Herr Mehrtens im Zentralblatt der Bauverwaltung 1905, S. 580 Verwahrung ein gegen die Verbindung seines Namens mit den von mir und Herrn Bender untersuchten Trägern. Er habe diese Träger den Fachgenossen niemals empfohlen, sondern nur zum ersten Male nachgewiesen, dafs derartige Wandgliederungen statisch bestimmt angeordnet werden können; er verstehe nicht, warum man von diesen Trägern soviel Aufhebens mache und an deren unfruchtbare Berechnung so viel Zeit und Mühe verschwende.

Die Versicherung des Herrn Mehrtens, jene Systeme niemals empfohlen zu haben, (die er im dritten Bande seiner Vorlesungen wiederholt), steht nun in grellem Widerspruch mit den folgenden Tatsachen, die ich Herrn Mehrtens bereits im Zentralblatt der Bauverwaltung 1905, S. 647 entgegengehalten habe:

1.    Herr Mehrtens hat sich keineswegs damit begnügt, den Nachweis der statischen Bestimmtheit zu führen, sondern er hat der neuen Trägerart die Empfehlung mit auf den Weg gegeben: „Vergleicht man schliefslich die gebräuchlichen mehrteiligen Netzwerke mit den erörterten endlosen statisch bestimmten Netzwerken, so finden sich die mehr als zweiteiligen unbestimmten Anordnungen insofern im Nachteil, als sie stets (t — 2)Vs Viereckzüge (wo t die Teilungsziffer bedeutet) enthalten, die beweglich sind und für die Lastübertragung nicht taugen. Dagegen verteilen die statisch bestimmten mehrteiligen Netzwerke alle Lasten gleichmäfsig über das gesamte Stabwerk der Wand, der Gurte und der Ständer.“

2.    In der Deutschen Bauzeitung schreibt Herr Mehrtens zu seiner Verteidigung u. a. (1902, S. 74) : „Ich füge noch hinzu, dafs man in Amerika mit der von mir vor geschlagenen statisch bestimmten mehrteiligen Wandgliederung Versuche angestellt hat“, und auf S. 75 sagt er von den fraglichen Trägern: „Eine gröfsere Bedeutung haben sie für den Kriegsbrückenbau, und hierfür habe ich sie seinerzeit an mafsgebender Stelle in Vorschlag gebracht“.

B. Im Jahre 1899 hatte Herr Mehrtens sogar den Y ersuch gemacht, sich seine Erfindung patentieren zu lassen. Die Patentanmeldung ist am 20. Februar 1899 unter M. 15152 Kl. 19 ausgelegt worden. Der Patentanspruch lautete: „Statisch bestimmtes mehrteiliges Netzwerk für Träger und Pfeiler, dadurch gekennzeichnet, dafs die rechts- und linksfallenden Wandstäbe einen die ganze Träger- oder Pfeilerwand zwischen Ständern und Gurten ausfüllenden, ununterbrochenen Zug bilden, der von einer Ständerecke ausgeht und in einer anderen Ständerecke endigt.“ In der Erläuterung des Patentanspruches behauptete Herr Mehrtens, dafs eine an einem beliebigen Knoten angreifende Einzellast sämtliche Wandstreben sehr gleichmäfsig spanne, und folgert hieraus, dafs das von ihm erfundene Netzwrerk sich eigne: „für Träger aller Art, bei denen man die Wirkung von Einzellasten möglichst gleichzeitig über die Trägerwand verteilen will, z. B. für Träger von grofsen Stützweiten, in denen man nicht zu grofse Querträgerentfernungen erhalten will, für Windverbände grofser Brücken, für Träger von Hängebrücken, wenn es sich um gleichmäfsige Übertragung von Einzellasten auf Kabel und Ketten handelt“. Auch für Pfeiler sei das Netzwerk mit ununterbrochenem Strebenzuge verwendbar.

Diese öffentlich apsgelegte Patentanmeldung beweist, dafs Herr Mehrtens seine Erfindung nicht nur empfohlen, sondern sogar in recht überschwenglicher Weise empfohlen hat, denn es ist ein wichtiges und umfangreiches AnwendungsgebietJdas er an seiner Erfindung rühmt, uni dem Patentamte die Möglichkeit ihrer gewerblichen Verwertung zu beweisen*). Am meisten aber mufs es befremden, dafs Herr Mehrtens, nach der in der Deutschen Bauzeitung abgegebenen Erklärung, für wichtige Aufgaben der Landesverteidigung an mafsgebender Stelle ein Brückensystem in Vorschlag gebracht haben will, das nach dem jetzt von ihm selbst gefällten, vernichtenden Urteile so unbrauchbar ist, dafs es sich nicht einmal lohnt, „an dessen unfruchtbare Berechnung Zeit und Mühe zu verschwenden“.

Die mitgeteilten Tatsachen reden eine deutliche Sprache; sie kennzeichnen Denkweise und Arbeitswéise des Herrn Mehrtens.

*) § 1, Absatz 1 des Patentgesetzes lautet: „Patente werden erteilt für neue Erfindungen, die eine gewerbliche Verwertung gestatten¹¹.

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