WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

.S

fcT'¹

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299245

.' >j«.

..............■sfilipM

fflBtteùffi*; k‘. :

Sa

1

i^tesü^w»¹ IEShp

i^s^pag^SfiSfelateSgaMiisj^a^iiwgHBafłife

iÄÄ

il

r-

mam

«

Igi

liSll

ÄBs

M äflH

mByl

îf,%

y.

wm

te*S

TMRM

iàiS‘VT;M :

lüf

!J-

fe

5-23

H

■■11,

P®

ifÉ»

ilÉt;

■B

;s

II'

m ra*!

n

(< !

kS

$ÉË|R{0hf,

MM

«If

lift

$Ë»I

~:ïï£h

-

aM—

-1 § ¹    P®,'    *

■ MHMi ';?»4,:-.\r.%r JPlJffi

:>X

*wm

■ma

Bl^lÉffiiÉI

spfl

iii

jjj'

*TÊræ*Ë5

HB

t

«g|M

•i.

*2~~X

tp

gaspRB

.---âSiSS-

—ïs,-*'.

■hbh |

sali

»a

sa

as

«M»i3

Bll

l®Bi

WBMsmSsM

KSf»

SEe

g

nHH

MS!

aassaa^

StlpSf

~3

Ifes ijsfejjl- “ fÉsæsü^i

-S

wmgm

WÈkz£*i-."±\

9 i 9

o cl

BIBLIJOTEKA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA.

MECHANIKA TEORETYCZNA.

PLAN BIBLIJOTEKI MATEMATYCZNO-FIZYCZNEJ.

Seryją PIERWSZA (12-mo).

Tom I. Początki arytmetyki M. Berkmana. Str. X-j-266 ; z drzeworytami w tekście, W oprawie kop. 65.

Tom II. Wiadomości początkowe z fizyki S. Kramsztyka. Książeczka I. wydanie 2-ie Str.

XII-f-105; drzeworytów 61. W oprawie kop. 40.

Tom III. Toż. Książeczka II. Wydanie 2-ie. Str. XI-j-171; drzeworytów 77. W oprawie kop. 65.

Tom IV. Wiadomości początkowe z gieografii fizycznej i meteorologii A. W. Witkowskiego.

Str. VIII-f-108; drzeworytów 22, litografij 4. W oprawie kop. 45.

Tom V. O najprostszych figurach geometrycznych.

SERYJĄ DRUGA (12-mo).

Tom

Tom

I. Arytmetyka

II. Gieometryja elementarna w wykładzie przystępnym. Tom III. Krótki wykład początków algiebry.

Tom IY. Przystępny wykład fizyki.

Tom V. Kosmografija i gieografija fizyczna z eteoroloaiia. Tom VI. Nauka rysunków technicznych.

Sery ja trzecia (8-vo).

Tom

I. Arytmetyka, kurs teoretyczny M. A. Baranieckiego, z przypiskami A. Żbikowskiego i J. N. Frankego. Str. LVIII-f-875; z drzewoi-ytami w tekście. Rub. 1 kop. 70.

Tom    II.    Zadania arytmetyczne.

Tom    III.    Algiebra elementarna i    Teoryja    przybliżeń    liczebnych.

Tom IV. Gieometryja elementarna I. Badowskiego. Wkrótce wyjdzie z druku.

Tom    V. Krótki wykład syntetyczny elementarnych własności przecięć stożkowych. A. M. Ba

ranieckiego, str. XVI+131. drzeworytów 63 kop. 85. "

Tom    VI.    Trygonometryja płaska    i    kulista    A. Czajewicza.    W. u\ z d.

Tom    VII.    Miernictwo.

Tom VIII. Zasady fizyki A. W. Witkowskiego. W. w z d

Tom

Tom XI. Mechanika elementarna.

Tom IX. Kosmografija i gieografija fizyczna z meteorolrgiją J. Jędrzejewicza. Ze wstępem historycznym H. Merczynga str. XVIII-}-400 drzew. 215 tab. X Rub. 3 k. 80.

X. Gieometryja wykróślna.

Se RYJA CZWARTA (8-vo Lex.).

Tom I. Wstęp do analizy M. A. Baranieckiego. W. w. z d.

Tom II. Rozwiązywanie równań liczebnych J. Sochockiego. Str. XII-j-212; drzew. 9. Rub. 2. Tom III. Teoryja równań algiebraicznych J. Sochockiego. U⁷, w. z d. *)

Tom IV. Gieometryja analityczna AV. Zajączkowskiego. Str. XLI 4-511; drzeworytów 85. Rubli 3.

Tom

V. Gieometryja syntetyczna. **)

Tom VI. Rachunek różniczkowy i całkowy.

Tom VII. Ćwiczenia z rachunku różniczkowego i całkowego. ***)

Tom VIII. Rachunek waryjacyjny.

Tom IX. Rachunek prawdopodobieństwa i Metoda najmniejszych kwadratów.

Tom X. Mechanika teoretyczna. J. N. Frankego str. XXXI4-645. drzew. 72. Rub. 3. Tom XI. Rachunki wykróślne.

Iom dodatkowy «Bibeijoteki». Słownik matematyczno-fizyczny.

Jako uzupełniające seryją IV «Bibl.mat.-fiz.» należy uważać następujące dzieła, ogłoszone przez

BIBLIJOTEKĘ KÓRNICKĄ:

*) Teoryja wyznaczników, kurs uniwersytecki M. A. Baranieckiego. Paryż, 1879. 8-vo, str. XX-f-600. Marek 12.

**) Wykład gieometryi wykréslne'j E. Sągayey. Paryż, 1882. 4-to, str. 444 z bardzo wielu drze-.

worytami w tekście, oraz LXII tablice (in folio fracto) miedziorytów. Marek 24.

* ) Wykład nauki o równaniach różniczkowych W. Zajączkowskiego. Paryż, 1877. 8-vo, str XXIV+902. Marek 20.    ł

BIBLUOTEKA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA,

WYDAWANA

Z ZAPOMOGI KASY POMOCY DLA OSÓB, PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWYM, IMIENIA JOZEFA MIANOWSKIEGO.

TOM X.

SERYJA IV.

MECHANIKA TEORETYCZNA

NAPISAŁ

JAN NEP. FRANKE,

Wrawiwiwr

CZŁONEK AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI W KRAKOWIE, PROFESOR SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

'Ö

REDAKTOR i WYDAWCA CZASOPISMA «BIBL. MAT.-FIZ.»

A. CZAJEWICZ.

WARSZAWA.

W DEÜKAENI NOSKOWSKIEGO.

1880.

fo/a

^ftUOT

KRAKÓW

iltOÏÎ

,H03B0aeH0 II^eH3ypOK). Bapmaßa, 5 ftHBapa 1889 ro,a;a.

Drzeworyty ciął W. Bojarski. Papiér z papiérni w Mirkowie,

CT"

J:c. Nr.

SPIS RZECZY.

Str.

Przedmowa autora . . Zarys historyi mechaniki

IX.

XIII.

WSTĘP

str. 1 — 3.

MECHANIKA CIAŁ SZTYWNYCH CZĘŚĆ PIÉRWSZA. KINEMATYKA CIAŁ SZTYWNYCH.

str. 4 — 55.

ROZDZIAŁ I. RUCH BEZWZGLĘDNY PUNKTU

1. Prawo niezależności ruchów. — 2. Rodzaje ruchu punktu. — 3. Ruch jednostajny. — 4 — 5. Skład i rozkład prędkości. — 6. Ruch zmienny. — 7. Ruch jednostajnie zmienny. — 8. Spadek pionowy i ukośny punktu. — 9. Ruch niejednostajnie zmienny. — 10 — 11. Ruch krzywolinijowy. — 12. Skład i rozkład przyśpieszeń. — 13. Przyśpieszenia rzędów wyższych. — 14. Hodograf.— 15—17. Ruch centralny. — 18. Drganie proste. — 19. Zastosowania do gieometryi, — Przykłady i ćwiczenia.

str. 56 - 88.

ROZDZIAŁ II. RUCH POSTĘPOWY I RUCH OBROTOWY UKŁADÓW NIEZMIENNYCH

20. Określenie ruchu wogólności. — 21. Rodzaje ruchów. — 22. Prędkość kątowa i przyśpieszenie kątowe obrotu. — 23—24. Skład obrotów około przecinających się osi. — 25—26. Momenty obrotu. — 27. Skład obrotów około osi równoległych. — 28. Para obrotów. — 29. Skład obrotu z ruchem postępowym. Skręt chwilowy. — 30. Spółrzędne obrotu chwilowego. — 31. Spółrzędne skrętu chwilowego. — 32 — 33. Skład skrętów chwilowych. — 34. Oś centralna dwu obrotów około skośnych osi. — 35. Obroty sprzężone. — 36— 37. Spółrzędne jednorodne skrętu. — ćwiczenia.

str. 89—109.

ROZDZIAŁ III. OGÓLNA TEORYJA RUCHU UKŁADÓW NIEZMIENNYCH

38—40. Ruch chwilowy układu niezmiennego. — 41. Ruch ciągły układu niezmiennego.—42. Rzęd swobody układu. — 43—44. Analiza ruchu układu.— 45. Warunki, określające ruch układu. — 46. Ruch linii prostej. — 47. Ruch płaszczyzny i ruch powierzchni. — Przykłady i ćwiczenia.

ROZDZIAŁ IV. KUCHY SZCZEGÓLNE UKŁADÓW NIEZMIENNYCH . sin 110—130. 48—50. Kręcenie się około punktu. — 51—52. Ruch posuwisty. — 53 — 54.

Analiza ruchu posuwistego. — 55—56. Wykreślenie środka krzywizny. — 57.

Ruch linii prostej na płaszczyźnie. — Przykłady i ćwiczenia.

ROZDZIAŁ V. RUCH WZGLĘDNY

58. Cechy ruchu względnego.—59—60. Prędkość względna.—61 — 62. Przy-śpieszenie względne. — 63. Przyśpieszenie spadku pionowego. — 64 — 65.

Zboczenie ciała, spadającego na ziemię. — Literatura kinematyki. —•

str. 131 — 147.

CZĘŚĆ DRUGA.

DYNAMIKA CIAŁ SZTYWNYCH.

ROZDZIAŁ VI. DYNAMIKA PUNKTU

66. Prawa zasadnicze dynamiki. Pojęcie siły. — 67. Masa i gęstość. — 68.

Miara siły i miara masy. — 69. Siły ciągłe i siły popędowe. — 70. i rozkład sił. — 71. Momenty sił. — 72. Równowaga punktu nieswobodnego.—

73 — 74. Zasada prac przygotowanych. — 75. Równania różniczkowe ruchu.—

76. Równania różniczkowe Lagrange’a. — 77. Zasada Hamilton’a. — 78.

Inna postać równań Lagrange’a. — 79. Równania ruchu Hamilton’a (Równania kanoniczne,).

ROZDZIAŁ VII. CIĄG DALSZY DYNAMIKI PUNKTU (KINETYKA PUNKTU)

80. Rozwiązania ogólne równań ruchu.—81. Zasada pól. — 82. Zasada pracy.—

83. Zasada energii i zasada zachowania energii. — 84. Przykłady sił zachowujących. — 85. Zasada energii dla punktu nieswobodnego. — 86. Zasada najmniejszego działania — 87. Ruch punktu na torze danym. — 88. Równania różniczkowe ruchu względnego.

ROZDZIAŁ VIII. ZAGADNIENIA Z KINETYKI PUNKTU .    .

89. Spadek pionowy przy oporze powietrza. — 90. Rzut ukośny. — 91. Ruch centralny.—92, Wahadło proste (matematyczne).—93. Wahadło sferyczne. —

94. Tautochrony. — 95. Brachistochrony. — 96. Ruch względny: 1) Pozorny ruch wahadła przy uwzględnieniu obrotu ziemi; 2, Ruch punktu na obracającej się płaszczyźnie. — ćwiczenia. — Literatura dynamiki punktu.

ROZDZIAŁ IX. TEORYJA ŚRODKA MASY I MOMENTU BEZWŁADNOŚCI str. 230-257. 97. Określenie i własności środka masy. — 98. Sposoby wyznaczenia środka masy. — ćwiczenia. — 99. Momenty bezwładności. — 100. Elipsojda bezwładności. — 101. Sposoby wyznaczenia momentów bezwładności. — Przykłady i ćwiczenia. — Literatura.

ROZDZIAŁ X. STATYKA UKŁADÓW MATERYJĄLNYCH . .

102—103. Zasada prac przygotowanych. — 104. Równowaga układów sztywnych. — 105. Przekształcenie układów sił. — 106, Układy sił, równoważne z jedną siłą.—107. Siły leżące na jednej płaszczyźnie. — 108. Siły równoległe.

Si’odek ciężkości.—109. Układy sił, równoważne z parą sił.—110. Skrętnik.—

111. Układy sił, równoważne ze skrętnikiem.— 112. Dwoistość w mechanice. ROZDZIAŁ XI. DOKOŃCZENIE STATYKI I ZAGADNIENIA STATYCZNE str. 280-300. 113—114. Rodzaje równowagi. — 115. Reakcyje linij i powierzchni. — 116. Równowaga nici nierozciągliwćj. — 117. Linija łańcuchowa. — 118 Równowaga wrazić, gdy uwzględniamy tarcie. — Przykłady i ćwiczenia. — Literatura statyki.

str. 148—177.

Skład

str. 178—198.

.    . Str. 199—229.

.    . str. 258—279.

119.

ItOZDZIAŁ Xir. TEORYJA PRZYCIĄGANIA

str. 301—343.

120. Określenia ogólne— 121. Przyciąganie punktu wewnętrznego. — 122.

Obliczanie składowych przyciągania. — 123. Przyciąganie kuli. — 124 — 125. Potencyjał przyciągania (Funkcyja potencyjalna).—126. Twierdzenia Laplace’a i Poisson’a. — 127. Potencyjał kuli. — 128 — 131. Przyciąganie elipsojdy.—

132. Potencyjał elipsojdy. — 133. Przyciąganie sferojdy. — 134—135. Przyciąganie ziemi.—136. Przyciąganie dwu ciał. — ćwiczenia — Literatura.

ROZDZIAŁ XIII. KINETYKA UKŁADÓW MATERYJALNYCH . . . str. 344-369. 137. Zasada d’Alemberta. Równania różniczkowe ruchu.—138. Zasada Ha-milton’a. Drugi układ równań Lagrange’a —139. Kanoniczne równania ruchu Hamilton’a. — 140. Zasada ruchu środka masy. — 141. Zasada pól. — 142.

Inne wyrażenia powyżej podanych zasad.—143. Zasada pracy i zasada energii.—

144. Zasada zachowania energii. — 145. Ruch względny. — Literatura.

str. 370—398.

ROZDZIAŁ XIV. KINETYKA UKŁADÓW SZTYWNYCH

146.—147. Obrót około osi stałej. — 148. Środek uderzenia. — 149. Osi swobodne obrotu. — 150—152. Kręcenie się ciała sztywnego około punktu. —

153—154. Polodyja i herpolodyja. — 155—156. Precesyja i nutacyja. — 157.

Ruch posuwisty. — 158. Ruch układu swobodnego. — Ćwiczenia.

ROZDZIAŁ XV. ZAGADNIENIA Z KINETYKI UKŁADÓW MATERYJALNYCH

str. 399—433.

159. Ruch przy uwzględnieniu tarcia. — 160 — 161. O uderzeniu się ciał. —

162. Wahadło fizyczne.—163. Ruch kuli na płaszczyźnie. —164. Ruch walca na płaszczyźnie. — 165. Ruch bąka, — 166. Kręcenie się ciała obrotowego.—

167. Ruch względny. Giroskop. — ćwiczenia. — Literatura.

ROZDZIAŁ XVI. CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH RUCHU 434-460. 168 — 172. Całkowanie równań Hamilton’a. — 173. Twierdzenie Poisson’a i Jacobi’cgo. — 174. Zagadnienia. — Literatura.

MECHANIKA CIAŁ NIESZTYWNYCH.

str, 461 — 504.

ROZDZIAŁ XVII. TEORYJA SPRĘŻYSTOŚCI

175—176. Pojęcia zasadnicze teoryi sprężystości.—177. Odkształcenie elementu ciała. — 178—179. Wydłużenia główne. — 180. Ruch elementu odkształconego.— 181. Natężenia elementu ciała. — 182. Natężenia główne. — 183.

Równania równowagi i równania ruchu elementu.—184. Związki między natężeniami a odkształceniami. — 185. Spółczynniki sprężystości.— 186. Ciała równokierunkowe.—187. Równania ruchu i równania równowagi ciał równokie-runkowych. —188. Wyciąganie graniastosłupa.—189. Skręcenie walca.—190. Równowaga walca pustego (rury). — 191. Przewodzenie drgań. — 192. Drgania błony wyprężonej. — Ćwiczenia. — Literatura.

ROZDZIAŁ XVIII. STATYKA CIECZY (HYDROSTATYKA).....str. 505-622.

193. Pojęcie cieczy doskonałej. — 194 — 195. Równania równowagi. —

196. Ciśnienie cieczy materyjalnej. — 197. Zasada Archimedesa. —198. Równowaga ciał pływających. — 199 — 200. Kształt równowagi obracającej się cieczy. — Ćwiczenia. — Literatura.

ROZDZIAŁ XIX. KINETYKA CIECZY (HYDROKINETYKA) .... str. 523—552. 201—202, Równania ruchu cieczy doskonałej. — 203—204. Ruch w elemencie cieczy. — 205. Ruch wirowy i ruch niewirowy. — 206. Zachowanie ruchu wirowego. — 207 — 208. Łinije wirowe i wiry elementarne, — 209. Prąd

i krążenie cieczy. — 210. Równania ruchu niewirowego. — 211. Wielowar-tośeiowość potencyjału prędkości.—212—213. Własności jedno wartościowych potencyjałów prędkości. — 214. Linije prądu i strugi cieczy.

ROZDZIAŁ XX. KINEYTKA CIECZY (DOKOŃCZENIE) . .

215. Ruch trwały cieczy materyjalnej. — 216. Ruch cieczy równoległy do płaszczyzny. — 217. Zagadnienia. —« 218—219. Ruch ciała sztywnego w cieczy. — 220. Zagadnienia: 1) Ruch cieczy w wydrążeniu elipsojdalnym. 2) Ruch elipsojdy w cieczy nieskończonej. — 221—222. Ruch falowy cieczy. —

. . sir. 553—585.

223. Równania ruchu cieczy lepkich. — 224. Ruch cieczy w prostej rurze walcowej.—Ćwiczenia. — Literatura.

ROZDZIAŁ XXI. MECHANIKA GAZÓW

sir. 586—604.

225. Równania równowagi.—226. Równania ruchu.— 227. Drgania głosowe powietrza.—228. Teoryja kinetyczna gazów.—229. Twierdzenie Maxwell’a.— 230—231. Własności gazów. — 232. Mieszanina gazów. — Literatura. — Wskazówki do ćwiczeń

sir. 605—634.

Spis terminów mechanicznych Errata.........

sir. 635—643. sir. 644—645.

PRZEDMOWA.

W szeregu nauk matematyczno - fizycznych zajmuje mechanika bardzo ważne i wybitne stanowisko, albowiem owe nauki polegają głównie na prawach ruchu i działania sił. Zasady mechaniki znajdują liczne zastosowania także w takich naukach, które nie używają analizy matematycznej, jak np. w chemii i w naukach biologicznych, które wyjaśniają zjawiska życia na podstawie praw dynamiki. Zbytecznem byłoby dowodzić ważności mechaniki dla nauk technicznych; dość wskazać na to, że w zagadnieniach, w których inżynier, mechanik lub budowniczy stosuje wiedzę matematyczną, wypada przede wszystkim rozważać równowagę pewnych sił, lub ruch i pracę, przez siły wytworzoną.

W dziele niniejszym starałem się opracować mechanikę teoretyczną w takim zakresie, żeby ją przedstawić jako naukę samoistną, a zarazem podać materyjał pożądany dla innych nauk pokrewnych i dla nauk stosowanych. Uwydatniając cechę mechaniki jako nauki przyrodniczej, wypadało na czele postawić prawa zasadnicze ruchu, wynikające z umiejętnej obserwacyi przyrody, a określające zarazem granice, których w badaniu ruchu przekroczyć nie możemy. Jeżeli dla pewnej gromady zjawisk nie umiemy podać prawa zasadniczego, wtedy czynimy przypuszczenie, które tym pewniej zastępuje owo prawo nieznane, im częściej i dokładniój sprawdzić się daje. Na tych podstawach polegają wszelkie badania w nauce o ruchu, których wyniki streszczamy bądźto w postaci zasad ogólnych, bądźtćż w postaci twierdzeń, stosujących się do przypadków szczególnych.

W opracowaniu oddzielnych części mechaniki doprowadziłem rzecz tak daleko, jak tego cel, poprzednio zaznaczony, wymagał. Mechanika ciał sztywnych, jako nauka odrębna i podstawowa, zajmuje najwięcej miejsca; w teoryi sprężystości, tudzież w mechanice cieczy i gazów trzymałem się ściśle tych granic, poza którymi leży pole badania fizyki matematycznej, teoryi wytrzymałości i hydrauliki, a tylko w zagadnieniach poszedłem niekiedy dalej w kwestyjach ważniejszych. Kinematyka została opracowana stosunkowo dość obszernie; raz dlatego, że o niéj dotąd bardzo mało po polsku pisano, powtóre dlatego, że na kinematyce polega dynamika, której wykład mógł być w niejednym miejscu skrócony, zyskując na przejrzystości.

W porównaniu z innymi kursami mechaniki wyróżnia się ten wykład większą obfitością i różnorodnością materyjału naukowego. Gdyby ta różnorodność materyjału miała być powodem zarzutu, natenczas pozwalam sobie zauważyć, że w innych językach najwięcej szczegółowe kwestyje nauki mają swoje literaturę, podczas gdy u nas długo może czekać wypadnie na liczniejsze prace specyjalne, a do tego czasu literatura naukowa posiadać będzie z konieczności pewną cechę encyklopedyczną.

Obiedwie główne metody badania, analityczna i syntetyczna, znalazły zastosowanie, chociaż przewaga jest po stronie metody pierwszej. Mając na uwadze stan nauki w uniwersytetach i szkołach politechnicznych, dla których ten kurs jest głównie przeznaczony, przyjmuję, że czytelnik posiada znajomość gieometryi analitycznej, rachunku różniczkowego i całkowego, tudzież głównych zasad rachunku waryjacyj-nego i nauki o całkowaniu równań. Zastosowanie funkcyj eliptycznych do mechaniki nie wchodzi w zakres tego wykładu.

Program seryi IV Biblijoteki matematyczno-fizycznej wymaga oczywiście, żeby każde dzieło téj seryi stało na wysokości nauki według jéj stanu dzisiejszego. Starałem się wszędzie przestrzegać téj zasady bez względu na to, że w wykładzie szkolnym wypada w niejednej kwestyi ograniczyć się zaznaczeniem myśli głównych, pozostawiając resztę własnej pracy studenta. Gdyby ta książka stała się pomocną przy takiej pracy, cel jéj byłby osiągnięty. W téj myśli umieszczałem w texcie często wezwanie do czytelnika, żeby dopełnił badania pewnej kwestyi, i podałem zbiór zadań klasycznych, metodycznie rozwiązanych, tudzież liczne ćwiczenia, na których czytelnik może spróbować sił własnych i zaprawić się stopniowo do pracy samodzielnej.

W téj myśli wreszcie umieściłem w stosownych miejscach notatki o literaturze przedmiotów, traktowanych w tym kursie. Te wskazówki literackie odnoszą się przedewszystkim do prac źródłowych lub takich opracowań, które mogą ułatwić należyte zrozumienie źródeł nauki. Uwzględniłem w nich także nieliczne prace w języku polskim.

Nie potrzebuję nadmieniać, że w wyborze materyjału korzystałem z każdego źródła dostępnego, aby tylko odpowiedzieć zadaniu, które sobie założyłem; co jest moją własną pracą, nie widzę potrzeby podnosić, a świadomy rzeczy czytelnik łatwo tego dopatrzeć się potrafi.

We Lwowie, we wrześniu r. 1888.

ZARYS HISTORYI MECHANIKI.

W rozwoju historycznym mechaniki rozumowej można rozróżnić trzy okresy następujące: okres pierwszy od czasów najdawniejszych do Galileusza, okres drugi od Galileusza do Lagrange’a, wu-eszcie okres trzeci od Lagrange’a do naszych czasów. W okresie pierwszym tworzyły się najprostsze pojęcia kinematyki i statyki, a metoda badania była czysto gieometryczna. W okresie 2-gim, do którego należą przedewszystkim prace Galileusza i Newtona, powstała kinetyka punktu i układów sztywnych, która mogła się dopiero wtedy rozwinąć należycie, kiedy już prawo bezwładności zostało ogólnie sformułowane. Galileusz i Newton używali w⁷ swoich badaniach wyłącznie metod gieometrycznych starożytnych Greków; dalsze postępy mechaniki w⁷ tym okresie polegały na rachunku nieskończenie małych. Na początku okresu 3-go ustaliła się metoda analityczna w dynamice, następnie doskonaliły się sposoby całkowania równań ruchu, kinematyka rozwijała się sposobem syntetycznym i analitycznym, a nadto powstały nowe gałęzi nauki, jak teoryja sprężystości, hydrokinetyka i mechanika gazów⁷.

Okres pierwszy. U ludów, zamieszkujących najstarsze siedziby cywi-lizacyi w dolinach Nilu, Eufratu i Tygru, nie znajdujemy żadnego śladu badań naukowych w zakresie mechaniki, chociaż trudno przypuścić, żeby doświadczenia i potrzeby życia codziennego, tudzież obserwacyje nieba i budowanie gmachów monumentalnych, wymagające użycia wielkich sił, nie w⁷ytworzyły w bystrzejszych umysłach pewnych pojęć najprostszych o ruchu i siłach. Jedynym narodem starożytnym, który zajmował się mechaniką jako nauką, pokrewną matematyce, byli Grecy.

Filozofowie ze szkoły Pitagorasa byli prawdopodobnie pierwsi, którzy stosowali gieometryją do zadań mechanicznych. Diogenes z Laerty (pisarz z 3-go w. po Chr.) podaje wiadomość, że Archytas z Tarentu, znakomity mąż stanu i filozof szkoły pitagorejskićj, żyjący między 430 a 365 r. przed Chr., pierwszy uprawiał mechanikę metodycznie, używając zarazem sposobów mechanicznych do rozwiązywania zadań z gieometryi. Z innego źródła wiemy, że Archytas podał sposób stereometryczny rozwiązania sławnego zadania o podwojeniu sześcianu; jakimi zaś były jego prace o mechanice, na to odpowiedzieć nie możemy, ponieważ pisma jego, z wyjątkiem kilku fragmentów wątpliwej wartości, nie doszły do naszych czasów.

Szkoła Eleatów zajmowała stanowisko odporne względem wszelkiej nauki o ruchu, główną bowiem zasadę téj szkoły stanowiła hipoteza o jedności wszechbytu, niedojiuszczająca żadnej zmiany miejsca i kształtu, lecz uznająca wszystko, co jest, za całość jednolitą, która wiecznie pozostaje w⁷ równowadze. W duchu téj zasady Zenon z Elei, jeden z najznakomitszych przedstawicieli téj szkoły, podał cztery dowody przeciwko możliwości ruchu, z których się okazuje, że przestrzeń i czas pojmował jako zbiór części oddzielnych bez ciągłości, tudzież, że nie uznawał różnicy między ruchem bezwzględnym a ruchem względnym. Po nim podał Melissus z Samos nowy dowód przeciw możliwości ruchu. Według niego ruch jest niemożliwy bez próżni, a ponieważ próżnia byłaby niebytem, a niebytu niema, przeto ani próżnia, ani ruch istnieć nie mogą,.

Dowodzenie Melissa było skierowane przeciw nauce atomistów, którą w w. 5-tym przed Chr. rozwijał Demokeyt z Abdery. Przeciw jedności wszechświata postawił ten filozof teoryją atomów, których przyjmował nieskończenie wiele, przypuszczając między nimi różnice niezliczone co do kształtu i wielkości. Wszystkie atomy są ciężkie i mają tenże sam ciężar właściwy; ponieważ jednak różnią się co do wielkości, przeto mają rozmaite ciężary bezwględne. Stosunek ciężkości dwu ciał zależy tylko od stosunku ich mas, a jeżeli ciała większe są lżejsze, to pochodzi stąd, że mają więcej miejsc próżnych. Atomy są w ruchu nieustannym; ich ruchem pierwotnym jest spadanie wskutek ciężkości. Z powodu różnych swych ciężarów spadają atomy z różnymi prędkościami i spotykają się wzajemnie; wskutek tego atomy lżejsze bywają popychane w górę przez atomy cięższe, które schodzą na dół, a z tych dwu ruchów powstaje ruch po kole i wirowanie. Działanie jednego ciała na drugie jest mechaniczne, t. j. polegające na ciśnieniu i uderzeniu; gdzie zaś zdaje się zachodzić działanie dynamiczne z odległości, tam należy przyjąć, że ono jest mechaniczne i odbywa się za pośrednictwem dotykania się tych ciał, które przenoszą działanie.

Szkoły filozoficzne, które nastąpiły po atomistach, przyczyniły się bardzo mało do utworzenia pewnych pojęć o ruchu; dopiero w pismach Arystotelesa ze Stagiry (384 — 322 przed Chr.) znajdujemy pierwsze usiłowania, żeby uporządkować luźne wiadomości o ruchu i sprowadzić je do pewnych zasad ogólnych. Do tych pism Arystotelesa należą przedewszystkim: Fizyka w 8-iu księgach, i dzieło O niebie w 4-ch księgach. Już w określeniu ruchu spostrzegamy wyraźnie stanowisko metafizyczne nauki Arystotelesa. Ruch jest urzeczywistnieniem tego, co przedtym było tylko in potentia, czyli ową czynnością, przez którą przychodzi to do bytu, co przedtym istniało tylko jako możliwość. Należy rozróżnić trzy rodzaje ruchu, mianowicie ruch ilośęiowy, ruch jakościowy i ruch w przestrzeni czyli miejscowy; ostatecznie jednak wszystkie ruchy dają się sprowadzić do ruchu w przestrzeni, którego pojęcie jest najważniejsze dla filozofii przyrody. Arystoteles zwraca uwagę na to, że przy ruchu należy uwzględniać ciało poruszające się, ciało, które porusza, miejsce i czas; podnosi ciągłość ruchu; określa ruch jednostajny i zmienny, tudzież prędkość ruchu jednostajnego; uważa, że może zachodzić ruch bez zmiany miejsca (np. ruch kuli lub koła), a co do ruchów miejscowych rozróżnia ciągnienie, popychanie, jechanie i wirowanie. W pojęciu Arystotelesa ruch i spoczynek przedstawiają dwa stany przeciwne materyi, a każde ciało ma pewne miejsce „naturalne”, do którego zdąża, aby w nim pozostać. Ruch ciała ku owemu miejscu nazywa się ruchem „według natury”, ruch zaś od tego miejsca zowie się „gwałtownym” czyli „wbrew naturze”. Ciała dzielą się na ciężkie i lekkie; ciężkimi nazywamy te ciała, które zdążają ku środkowi świata, lekkimi zaś te, które zdążają ku jego okręgowi. Arystoteles nie znał prawa bezwładności. Ruch gwałtowny, jako przeciwny naturze, jest właśnie z tego powodu przemijający i dokonywa się z prędkością coraz mniejszą; ruch po kole jest pierwotny i najdoskonalszy, on stanowi miarę wszelkich ruchów, ponieważ jemu nie wskazała natura żadnego celu i uczyniła go nieskończonym. Ciało poruszające się musi się stykać z tym, co go porusza, a przeto jest wykluczone trwanie ruchu poza chwilę dotknięcia się; jeżeli zaś ruch trwa dalej, należy to przypisać działaniu środka (powietrza lub wody), w którym on zachodzi.

Oprócz dzieł przytoczonych znamy jeszcze traktat pod tytułem Quaestio-ncs mechanicae (najlepsze wydanie przez van Cappelle, Arnstclodami, 1812),

uważany przez jednych za pismo Arystotelesa, przez innych zaś zaliczany do literatury pseudoarystotelesowéj. Autor tego dzieła okazuje z wszelką ścisłością składanie dwu ruchów, wzajemnie prostopadłych, zapomocą prostokąta prędkości; wytwarza ruch po linii krzywej z dwu ruchów prostoliniowych o zmiennych prędkościach; rozkłada ruch po kole na ruch styczny (według natury) i na ruch ku środkowi (wbrew naturze); rozważa rozmaite proste przyrządy mechaniczne i przypuszcza, że można je sprowadzić do dźwigni; zastanawiając się wreszcie nad stosunkiem sił w dźwigni, rozważa prędkości, z którymi poruszają się punkty przyłożenia sił, i przypuszcza, że większej prędkości odpowiada mniejsza siła. Oprócz prostokąta prędkości nie znajdujemy w tym traktacie twierdzeń dowiedzionych, lecz pytania (aporyje) dla ćwiczeń dyjalektycznych i uwagi, zdradzające ciekawy i bystry umysł autora. To dzieło jest najdawniejszym pomnikiem zastosowania gieometryi do mechaniki; a chociaż znajdujemy w nim kilka trafnych uwag o dźwigni, to przecież nie można wnosić z tych uwag, jak to czynili niektórzy pisarze nowocześni, że Arystoteles znał zasadę momentów przygotowanych i stosował ją do zagadnień statycznych.

Najznakomitszym przedstawicielem nauk mechanicznych u Greków był Archimedes z Syrakuz (287 — 212 przed Chr.), po którym zostały dwa dzieła o statyce, mianowicie: O równowadze płaszczyzn czyli o środkach ciężkości płaszczyzn (De planorum aequïlïbriis sive de centris gravitatis planorum) i O ciałach pływających (De iis, quae in humidu vehuntur). Każde z tych dzieł dzieli się na dwie księgi; między 1-szą a 2-gą księgą pierwszego dzieła jest umieszczony traktat O kwadraturze paraboli, w którym pole poraboli jest wyznaczone sposobem statycznym i sposobem gieometrycznym. W 1-ym dziele zajmuje się Archimedes przedewszystkim środkiem ciężkości figur. Nie określając tego środka, którego pojęcie było widocznie znane, wychodzi w księdze l-ćj z kilku postulatów, między którymi podaje, że środki ciężkości figur podobnych mają w nich położenia podobne. Następnie bada równowagę dźwigni dla ciężarów równych i ciężarów nierównych, spółmiernych i niespółmiernych, z czego wyprowadza zasadę dźwigni, mianowicie, że siły są odwrotnie proporcyjonalne względem ich odległości od osi, i na tej podstawie wyznacza środek ciężkości prostokąta, trójkąta i trapezu. Zasada dźwigni służy w traktacie o kwadraturze paraboli do obliczenia pola parabolicznego. Opierając się na téj kwadraturze, wyznacza Archimedes w księclzie 2-ćj dzieła O równowadze środek ciężkości odcinka parabolicznego, zawierającego wierzchołek, a w końcu środek ciężkości pola paraboli, ograniczonego dwiema cięciwami równoległymi. — W traktacie O ciałach pływających podaje Archimedes w księdze 1-éj określenie cieczy; dowodzi, że powierzchnia cieczy w równowadze jest kulą, spółśrodkową z ziemią; okazuje zasadę pływania ciała sztywnego, noszącą jego nazwisko, i rozważa warunki pływania odcinka kuli. W księdze 2-éj zajmuje się pływaniem konojdy porabolicznćj, t. j. parabolojdy obrotowej, ściętej prostopadle do osi. Dowodzenia Archi-medesa są wzorami ścisłości, a w zastosowaniu gieometryi do statyki nikt go nie prześcignął. Archimedes słynął w starożytności z rozmaitych wynalazków, jak śruby bez końca, śruby wodnej, wieloklubów (zestawień bloków) i innych przyrządów, a Grecy uważali go za protoplastę wszystkich mechaników. Miał jeszcze napisać dzieło o wadze czytćż dźwigni, którego jednak nie znamy. Najlepsze wydanie dzieł Archimedesa sporządził uczony duński I. L. Heiberg p. t.: Arćhimedis opera omnia cum commcntariis Eutocii, Lipskie, 1881, w 3-ch tomach.

Godnym takiego mistrza następcą był Héron z Alexandryi (żył prawdopodobnie w 1-ym w. przed Chr.), uczeń Ktesibiusa, niepospolitego

Po tysiącletnim zastoju wraca mechanika do nowego życia we Włoszech, gdzie rozwija się prawie wyłącznie przez dwa wieki. Leonard da Vinci (1452 — 1519), spółczesny Kopernikowi, znakomity malarz, rzeźbiarz i inżynier, zajmuje się gorliwie teoryją dźwigni prostej i łamanej, tudzież innych maszyn ; wyprzedza Galileusza w odkryciu kilku twierdzeń o spadku ciał po kole; określa dokładnie istotę uderzenia; rozważa wpływ tarcia na ruch i usiłuje wyznaczyć wielkość tarcia; a zajmując się pracami hydrotechnicznemi, podaje zasady ruchu falistego wody. Prace tego genialnego męża, który mechanikę nazywał „rajem nauk matematycznych, bo w niej dojrzewają owoce tych nauk”, pozostawały niestety przez więcej niż dwa wieki w rękopisach i niebyły znane nikomu ; dopiero przy końcu w. XVIII zaczęto ogłaszać z nich skąpe wyciągi. Z tego powodu nie wywarły prace jego żadnego wpływu na postęp mechaniki.

mechanika. Sława Herona trwała przez długie wieki i uczyniła z niego osobistość legiendową. Z pism jego, których część tylko znamy, okazuje się, że pracował przeważnie w mechanice praktycznej, mniej zajmując się teoryją. Pappus, matematyk z 4-go w. po Chr., przechował wyjątki z Mechaniki He-rona i z drugiego dzieła jego, zwanego Barulkus, t. j. dźwigacz ciężarów. W Mechanice zajmował się Heron tak zwanymi pięcioma maszynami prostymi, jakoto: dźwignią, kołowrotem, wieloklubem, klinem i śrubą. Ze skąpych wskazówek Pappusa można wnosić, że Heron sprowadzał niektóre z tych maszyn (np. kołowrot) do dźwigni. Z Pneumatyki Herona okazuje się, że znał prężność gazów i używał jej jako siły poruszającej.

Z późniejszych gieometrów greckich Pappus z Alexandryi zajmował się statyką. Jego zbiory matematyczne (Pappt Älexandrini Collectionis quae super-sunt ed. F. Hultsch, Berolini 1878) w 8-iu księgach, z których nie wszystkie są zachowane, zawierają wiadomości urywkowe o mechanice, a w księdze 7-éj jest podany sposób wyznaczenia objętości brył obrotowych za pośrednictwem środka ciężkości ich figur tworzących. To twierdzenie odnowił Paweł Guldin w w. XV LI.

O zajmowaniu się mechaniką w wiekach średnich mamy bardzo skąpe wiadomości. Arabowie tłomaczyli i objaśniali matematyków greckich, uprawiali algiebrę samodzielnie, lecz o ich pracach nad statyką znajdujemy tylko słabe i niewyraźne ślady. Uczeni chrześcijańscy zwracali mało uwagi na Zagadnienia mechaniczne Arystotelesa, komentując natomiast wywody jego o doskonałości ruchu po kole, o tak zwanym primum mobile, o niemożliwości istnienia próżni, o ciałach ciężkich i ciałach lekkich i tym podobnych pojęciach, które stanowiły właśnie najsłabszą stronę nauki owego wielkiego myśliciela.

W w. XVI pojawiają się we Włoszech coraz liczniej wydania dzieł Archimedesa i Herona, które pobudzają uczonych przedewszystkim do stu-dyjów nad statyką. Franciszek Maurolico (1494—1575), Fryderyk Comman-dino (1509 — 1575) i Łukasz Valerio (um. 1618), zajmują się środkiem ciężkości rozmaitych brył. Jan Benedetti (1530 — 1590) twierdzi, że ciało, samemu sobie zostawione, porusza się dalej w kierunku stycznym do toru i usiłuje dowieść, że ciała o różnych ciężarach w tymże samym czasie spadają na ziemię. Wreszcie sławny algiebraista Mikołaj Tartaglia (urn. 1559) zajmuje się balistyką, nie umie jednak wyznaczyć toru pocisku, nie mając dokładnego wyobrażenia o prawie bezwładności, lecz opierając się na pojęciach scholastycznych o ruchu „naturalnym” i o ruchu „gwałtownym”.

Ostatnim uczonym włoskim tego okresu, który z powodzeniem uprawiał statykę w duchu gieometrów greckich, był Gwido Ubaldo Del Monte (1545 — 1607). Z licznych pism jego zasługuje najwięcej na uwagę dzieło: Mccha-nicorum liber, Pisauri, 1577, w którym wykłada syntetycznie teoryą wagi, dźwigni, bloka, wieloklubów, kołowrotu, klina i śruby. Znajdujemy w tym dziele pierwszą myśl zasady prac przygotowanych, którą autor spostrzega i dokładnie wyraża dla dźwigni, bloka, wieloklubów i kołowrotu. Teoryja tych maszyn prostych jest ścisła, chociaż sposób jéj przedstawienia jest nad-miarę rozwlekły i gubiący się w rozlicznych szczegółach ; stosunku sił w klinie i w śrubie nie umie autor wyznaczyć, lecz poprzestaje na tym, że te obiedwie maszyny proste sprowadza bądźto do dźwigni, bądźteż do tak zwa* uéj równi pochyłej. Del Monte napisał także cenny komentarz do dzieła Archimedesa o rów nowadze figur płaskich.

Okres drugi. Na czele tego okresu stoi Galileo Galilei (1564 — 1642), wielki reformator nauk fizycznych. Z licznych dzieł Galileusza tylko pewna część ukazała się w druku za życia autora, z których należy wymienić przedewszystkim dwa dzieła następujące : Dis corso intorno alle cose, che stan-noin su Vacqua, b che in quclla si muovono, Firenze, 1612 i Discorsie dmostra-sioni matematiche, intorno à due nuove seien ze, attenenti alla Meccanica e i mo-vimenti locali, con un appendice del centro di gravita d'alcuni solidi, Leida, 1638; po jego śmierci wyszło dzieło: Della ścierna meccanica e delle utilité, che si traggono dalii strumenti di que*la, con un frammento sopra la forsa ćlella percossa, Ravenna, 1649. Dla historyi mechaniki ważne są nadto listy Galileusza i jego traktat Sermones de motu gravium, wydane dopiero w r. 1854-ym we Florencyi.

Galileusz zajmował się głównie tymi ruchami, w których widocznem jest działanie siły ciężkości, a więc spadkiem prostolinijowym i krzywolinijo-wym, tudzież ruchem pocisków. W tych badaniach nie postępował jednak drogą swoich poprzedników, którzy gubili się w próżnych abstrakcyjach, usiłując poznać od razu przyczyny ostateczne wszelkich zjawisk, lecz łączył myślenie logiczne z obserwacyją i doświadczeniem, odrzucając wszelkie przyczyny metafizyczne. Tym sposobem utworzył metodę badania przedmiotowej, która jedynie mogła do celu doprowadzić. Odrzuciwszy podział ciał fizycznych na ciężkie i lekkie, przekonał się zapomocą prostych doświadczeń, że spadek ciał na ziemię nie zależy ani do ciężaru, ani od żadnych innych własności szczególnych tychże ciał, lecz że prawo przyśpieszenia jest we wszystkich przypadkach tożsamo. Z początku przypuszczał, że prędkość ciała spadającego wzrasta proporcyjonalnie względem drogi opisanej ; przekonawszy się jednak później, że taki ruch istnieć nie może, przyjął hipotezę, że prędkość wzrasta proporcyjonalnie względem czasu. Na téj podstawie utworzył teoryją spadku jhonowego, a rozwinąwszy ją dla spadku ukośnego i krzywolinijowego, sprawdzał ją przez doświadczenia, czynione bądźto z wahadłami, bądźteż z kulami, spadającymi na płaszczyznach pochyłych.

Teoryja spadku bez prędkości początkowej nie wymagała jeszcze dokładnej znajomości prawa bezwładności ; przechodząc jednak do ruchu pocisków, musiał Galileusz zdać sobie sprawę z tego prawa zasadniczego. Owóż z pism Galileusza okazuje się, że miał pełną świadomość tego prawa tylko dla ruchów w kierunku poziomym, co się zaś tyczy ruchów w innych kierunkach, nie wyrobił sobie pojęcia całkiem jasnego o tym, czy one trwałyby bez końca, gdyby ciało samemu sobie było pozostawione. W traktacie więc o ruchu pocisków przyjmował poziomą prędkość początkową, a stosując prawo niezależności ruchów, okazał, że pocisk opisze połowę paraboli ; zadanie zaś o rzucie ukośnym rozwiązał następnie sposobem gieometrycznym i dowiódł, że doniosłość rzutu jest największa dla elewacyi 45°. Aby należycie ocenić zasługi Galileusza około wyjaśnienia głównych zasad dynamiki, dość powiedzieć, że astronom Tycho Brahe i matematyk H. Cardano sądzili, że dwa

Bibi, mat.-fiz., S. IV, X. T.

ruchy, jednocześnie ciału udzielone, muszą sobie nawzajem przeszkadzać. — Galileusz używał często wahadła do badań naukowych i na podstawie wielorakich doświadczeń przyszedł do wniosku, że małe wahnięcia są jednoczesne, chociaż sądził mylnie, że owa jednoczesność stosuje się do wszelkich wahnięć bez względu na ich obszerność. W pismach Galileusza, w których po raz pierwszy została podana nauka o ruchu niejednostajnym, pojawiają się, lubo niewyraźnie, pojęcia momentu ruchu i energii, które, w dalszym rozwoju kinetyki zyskały znaczenie pierwszorzędne.

W małym traktacie o maszynach stosował Galileusz z całą świadomością zasadę prac przygotowanych, chociaż jéj nie wyraził tak ogólnie, jak jego następcy. Zastanawiając się nad równowagą sił w maszynach, wypowiedział twierdzenie, że, co zyskujemy na sile, to tracimy na czasie, a to twierdzenie, ujęte w postać zwięzłą i popularną, przyczyniło się najwięcej do zrozumienia właściwej istoty maszyn. Przekonawszy się o doniosłości zasady powyższej, zastosował ją do równowagi cieczy i dowiódł nowym sposobem twierdzeń Archimedesa o ciałach pływających, zbijając mniemanie niektórych uczonych ówczesnych, że możliwość pływania zależy od kształtu ciała, zanurzonego w cieczy.

Uczeń Galileusza Ewangielista Torricelli (1608 —1647) rozszerzył pojęcie bezwładności na ruchy we wszystkich kierunkach i na tej podstawie dowiódł bezpośrednio, że pocisk, rzucony ukośnie, opisuje parabolę. Zajmując się ruchem ciał fizycznych, podał ważne twierdzenie, że układ ciał ciężkich jest w równowadze, jeżeli jego środek masy ani się nie podnosi, ani się nie zniża wskutek bardzo małej zmiany położenia tego układu; a przez doświadczenia okazał, że prędkość wypływu wody z małego otworu w ścianie naczynia jest proporcyjonalna względem pierwiastka głębokości tego otworu pod powierzchnią wody. Jego prace mieszczą się w dziełach: Opera geo-metrica, Florentiae 1644 (mianowicie w części 2-ćj : De motu gravium) i Le-zioni accademiche, Firenze, 1715.

Niezależnie od Galileusza i jego szkoły pracował w Belgii Szymon Steyin (1548 — 1620), uprawiając głównie statykę ciał stałych i statykę cieczy. Prace jego wyszły 1586 r. w języku holenderskim, a w latach 1605 — 1608 wydał je w Leyden w tłomaczeniu łacińskim podtyt. : Hypomnemata Mathematica w 5-ciu częściach, z których 4-ta zawiera statykę. (Tłom. francuskie przez W. Girard^, Leide, 1634). Stevin dowiódł nowym sposobem zasady dźwigni, okazał po raz pierwszy związek między siłami, równoważącymi się na tak zwanej równi pochyłej, polegając na niemożliwości ruchu wieczystego, a chociaż nie podał dowodzenia równoległoboku sił, używał tego równoległoboku do rozwiązania wielu zagadnień, a między innymi do tak zwanych wieloboków sznurowych, w których daną siłę trzeba rozłożyć w kierunkach danych. Atoli główne zasługi położył około statyki cieczy. Wyznaczył ciśnienie na dno poziome naczynia i okazał, że ono nie zależy ani od objętości cieczy w naczyniu, ani od kształtu ścian naczynia; obliczył ciśnienie boczne cieczy przez podział ściany linijami poziomymi i wprowadził pojęcie środka dla ścian prostokątnych, jakkolwiek nachylonych do poziomu. Metoda badania SïEYiN’a jest gieometryczna ; pomimo tego, że wyprzedził Galileusza w niektórych kwestyjack statycznych, nie może być z nim porównany ani pod względem doniosłości poglądów, ani pod względem wpływu na postęp nauki.

Spółczesny Galileuszowi René Des Cartes (1596 — 1650), znakomity filozof i twórca gieometryi analitycznej, przyczynił się także do rozwinięcia niektórych zasad mechaniki. Wywody tego uczonego o ruchu mają przeważnie cechę metafizyczną, trzeba jednak podnieść, że w swoich Principia philosophiae, Amstelodami, 1644, postawił prawo bezwładności na czele praw

przyrody, pojmując je tak, źe każda rzecz, oile jest niepodzielona, zostaje zawsze w tym samym stanie i tylko przez przyczyny zewnętrzne zmienia się ; dalej, źe część materyi, sama rozważana, nigdy nie dąży do przedłużenia swego ruchu po linii krzywej, lecz wyłącznie po linii prostej. Co do uderzenia ciał wypowiedział zasadę, stanowiącą według niego 3-cie prawo natury, że suma ilości ruchu dwu ciał nie zmienia się przez ich uderzenie się. Descaktes określił dokładniej pojęcie siły, upatrując jéj miarę w ilości materyi i w prędkości ciała poruszonego; a na podstawie pewnych rozumowań filozoficznych wyraził zdanie, że całkowita ilość ruchu wszechświata nie zmienia się. To twierdzenie było poniekąd zarodkiem nowoczesnej zasady zachowania energii. Dla wytłomaczenia ruchu planet utworzył teoryją wirów, która jednak nie długo utrzymała się. Przecząc istnieniu próżni, miał Descaktes prawa spadku, przez Galileusza odkryte, za nieprawdziwe; w swoich mniejszych pracach o mechanice zajmował się elementami statyki.

Powstałą wskutek prac Galileusza kinetykę rozwijał dalej Kkystyjan Huygens (1629 — 1695), wynalazca zegarów wahadłowych. W znakomitym dziele Horologium oscillatorium, Parisiis, 1673, opisał zegar z wahadłem cyklojdalnym i podał teoryją ruchu punktu ciężkiego po cyklojdzie odwróconej, okazując, że ta linija jest tautochroną w próżni. Określiwszy następnie wahadło fizyczne, wyznaczył jego długość zredukowaną i środek wahania, przy czym zajmował się pierwszy obliczaniem momentów bezwładności rozmaitych brył i figur płaskich. Z wahadła cyklojdalnego wyprowadził teoryją wahadła prostego o bardzo małych wahnięciach, z którym robił doświadczenia, aby wyznaczyć przyśpieszenie prędkości ciał spadających. Z tych doświadczeń obliczył, źe ciało, spadające w Paryżu ze spoczynku, opisuje w pierwszej sekundzie drogę 15-tu stóp i jednego cala paryskiego. Teoryją środka wahań oparł Huygens na tej zasadzie,, że środek masy układu ciał ciężkich nie może się wznieść wyżej, jak do wysokości pierwotnej, z której rozpoczęło się spadanie. Huygens zajmował się także wahadłem stożkowym ; wyznaczył wielkość i wpływ siły odśrodkowej na cząstki ciała, obracającego się około osi, a w dziele Discours de la cause de la pesanteur, Leide, 1690 wypowiedział ważne twierdzenie, że wypadkowa sił, działających na cząstki cieczy w równowadze, jest w każdym punkcie normalna do powierzchni cieczy. Dowodzenia HuYGENs’a celują ścisłością i porządkiem w postępowaniu od rzeczy najprostszych do zawiłych, i należą do arcydzieł syntezy gieometrycznćj.

Gdy w połowie w. XVII założono akademije nauk w Londynie i w Paryżu, liczny zastęp uczonych rozwijał nieustannie naukę o ruchu ciał fizycznych. Na czele tych badaczy stoi Izaak Newton (1642 — 1727), którego sławne dzieło Philosophiae naturalis principia mathematica (1-e wydanie w Londynie 1686, 2-gie tamże 1713, 3-cie tamże 1726) wprowadziło do nauki ważne pojęcia przyciągania powszechnego i siły centralnej, wyjaśniające ruchy ciał niebieskich. Treść tego dzieła pomnikowego, które Newton wypracował w latach 1685-ym i 1686-ym, jest następująca. Na czele postawił autor jedenaście definicyj, określających ilość materyi i ruchu, bezwładność, siłę przyłożoną, siłę dośrodkową i jéj miarę, a dodatkowo także czas, przestrzeń, miejsce, ruch bezwzględny i ruch względny. Potym idą trzy prawa zasadnicze ruchu (prawo bezwładności, prawo niezależności sił i prawo wzajemności działania), z których dwa pierwsze są wyraźnie przypisane Galileuszowi. Z tych praw wyprowadza Newton równoległobok sił, zasadę zachowania ruchu środka masy i prawo niezależności ruchów. Po tym następuje właściwy tekst dzieła, podzielony na trzy księgi, z których dwie pierwsze traktują o ruchu ciał fizycznych, trzecia obejmuje mechanikę nieba (De mmi-di systemate). Księga pierwsza jest podzielona na 14 sekcyj, które zawierają teoryją ogólną ruchu centralnego; naukę o “ruchu centralnym po przecięciach stożkowych, gdy środkiem ruchu jest ognisko; ruch po danej linii krzywej i na danej powierzchni; teoryją przyciągania kul, brył obrotowych, a w szczególności sferojdalnych; nakoniec rzecz o ruchu punktu, przyciąganego przez pewne ciało. Wtéj księdze okazuje Newton główne własności ruchu centralnego; podaje teoryją tego ruęliu dla przyciągania, odwrotnie proporcyjonal-nego względem kwadratu odległości; okazuje kinetycznie prawa Kepplerr; dowodzi tautochronizmu na cyklojdzie, gdy siła centralna jest proporcyjonalna względem łuku, mającego b)ć opisanym ; wreszcie podaje główne twierdzenia o przyciąganiu według prawa, przez siebie odkrytego. W księdze drugiej, podzielonej na 9 sekcyj, zajmuje się Newton ruchem w środku, którego opór zależy od prędkości; wyznacza w przybliżeniu tor pocisku w powietrzu; dowodzi tautochronizmu na cyklojdzie przy oporze środka, proporcyjonalnym względem prędkości; rozważa równowagę i ruch cieczy doskonałej; a w końcu rozwiązuje niektóre zagadnienia o ruchu cieczy lepkich, przypuszczając, że tarcie wewnętrzne jest proporcyjonalne względem prędkości względnej dwu cząstek przylegających cieczy. W księdze trzeciej dowodzi, że wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie w prostym stosunku mas, a w odwrotnym stosunku kwadratów odległości, i że wskutek takiej siły poruszają się planety około słońca, a satelity krążą około swoich planet. Na mocy tego prawa ogólnego oblicza stosunki mas Słońca, Jowisza, Saturna i Ziemi; wywodzi kształt sferojdalny planet; oblicza spłaszczenie ziemi; wyznacza stosunek siły odśrodkowej na ziemi do siły przyciągania, i podaje długość wahadła sekundowego w rozmaitych miejscach na powierzchni ziemi. \V końcu wykłada zasady mechaniki nieba. Dzieło Newton^ wywarło ogromny wpływ na postęp wszystkich nauk ścisłych, a przedewszystkim astronomii i mechaniki; chociaż Newton był jednym z dwu twórców rachunku nieskończenie małych, polegał w dziele swoim prawie wyłącznie na metodzie syntetycznej Starożytnych.

Mniej lub więcej wyraźne ślady pojęcia przyciągania powszechnego spotykamy wcześniej u niektórych uczonych, jak Krzysztof Wren (1632 — 1723), Robert Hooke (1635 — 1703) i Edmund Halley (1666 — 1724), atoli żaden z nich nie uczynił go, jak Newton, podstawą badań naukowych. Hooke podał zasadę teoryi sprężystości, mianowicie, że odkształcenia ciała sprężystego są proporcyjonalne względem siły odkształcającej, a Wren, Jan Wallis (1616 — 1703) i Huygens odkryli w r. 1668-ym niezależnie od siebie główne prawa uderzenia, się ciał doskonale sprężystych.

Do rzędu uczonych, którzy uprawiali mechanikę bez używania rachunku różniczkowego, należą jeszcze Idzi Roberval (1602 — 1675), Błażej Pascal (1623 — 1662) i Piotr Yarignon (1654 — 1722). Roberval podał metodę prowadzenia stycznych do wielu linij krzywych, polegającą na zasadzie składu ruchów; zajmował się środkiem wahania figur płaskich, i jest znany jako wynalazca wagi, noszącej jego nazwisko. Jego najważniejsze prace mieszczą się w wydaniu: Oeuvres de Mathématiques de M. de Roberval, Amsterdam, 1736. Pascal, wynalazca maszyny do rachowania, zalecającej się na swój czas znakomitym mechanizmem, w Traité de Véquilibre des liqueurs, Paris, 1663, sformułował dokładnie prawo niezmiennego rozchodzenia się ciśnień w cieczy i badał warunki równowagi cieczy, polegając na zasadzie prac przygotowanych. Yarignon ogłosił w r. 1687-ym traktat p. t.: Projet d'une nouvelle méchanique, który był podstawą dzieła Nouvelle mécanique ou statique, wydanego po śmierci autora w dwu tomach w Paryżu 1727 r. W tych dziełach rozwinął obszernie naukę o składzie i rozkładzie sił, okazał rozmaite związki gieometryczne między siłami składowymi a siłą wypadkową, rozwinął znacznie teoryją wieloboku sznurowego, wprowadzoną przez Stevin’r, i podał pierwszy teoryją śruby i klina.

Po wynalezieniu rachunku różniczkowego i całkowego rozszerzył się od razu widnokrąg wszystkich nauk, używających analizy matematycznej, a przedewszystkim mechaniki. W miarę szybkiego postępu analizy pojawiały się nowe zagadnienia kinetyki, których dawniejsze metody nie pozwoliłyby rozwiązać; z drugiej strony kwestyje mechaniczne stanowiły właśnie najsilniejszy bodziec do rozwijania nowej metody rachunku. Tym sposobem wytworzyła się ścisła łączność między matematyką a mechaniką, z której obie nauki odnosiły znakomite korzyści.

Jak w w. XYI algiebraiści włoscy wzywali się publicznie do walki, której przedmiotem bywały równania stopnia 3-go i 4-go, tak przy końcu w. XVII i w pierwszych dziesiątkach w. XVIII matematycy pierwszorzędni, jak Newton, Gotfryd Wilhelm Leibnitz (1646 — 1716), bracia Jakub Bernoulli (1654 — 1705) i Jan Bernoulli (1667—1748) i inni zadawali sobie wzajemnie trudne kwestyje mechaniczne, których rozwiązania pojawiały się potym w czasopismach Journal des Savants i Acta Eruditorum, lub w publikacyjach akademickich, stając się nieraz przedmiotem gorącej polemiki. Nauka rozwijała się znakomicie skutkiem takiej polemiki, a z zadań izoperimetrycznych, przez braci Bernoulli podniesionych, powstał w owym czasie rachunek waryjacyj-ny, którego zastosowanie do mechaniki stanowi wybitną cechę ostatnich lat okresu drugiego.

Przecząc twierdzeniu ÜESCARTEs’a, jakoby ilość ruchu wszechświata była niezmienna, utworzył Leibnitz dwie różne miary siły, zowiąc jednę siłę martwą, a drugą żywą. Pierwszą mierzył przez iloczyn masy i prędkości, drugą przez iloczyn masy i kwadratu prędkości poruszającego się ciała, a co do siły żywej miał pewne, lubo niejasne, wyobrażenie o jéj zachowaniu. Spe-kulacyje filozoficzne Leibnitza wywołały spór długoletni między uczonymi ; w toku tego sporu wyjaśniała się stopniowo właściwa treść pojęcia energii kinetycznej, które Jan Bernoulli usiłował oczyścić z domieszek metafizycznych.

W r. 1690-ym pojawuło się w Acta Eruditorum zadanie: wyznaczyć kształt nici nierozciągliwćj, swobodnie zawieszonej. Po upływie pewnego czasu podali Huygens, Leibnitz i Jan Bernoulli rozmaite rozwiązania linii łańcuchowej ; Leibnitz okazał jéj konstrukcyją za pomocą linii logarytmicznej, Bernoulli za pomocą paraboli. Wkrótce potym Jakub Bernoulli postawił zadanie o linii łańcuchowej, utworzonej przez nić niejednorodną, które Jan Bernoulli rozwiązał. Ten ostatni zajmował się gorliwie liniją łańcuchową, okazując między innymi jéj własnościami, że jéj środek masy leży najniżej, i podał równanie różniczkowe linii łańcuchowej sprężystej.

Wymienieni matematycy zajmowali się również brachistochroną, którą Jan Bernoulli obrał za przedmiot konkursu publicznego, ogłoszonego w czerwcu 1696 r. W następnym roku ogłosił Newton rozwiązanie bez bliższych wyjaśnień; Leibnitz i Jakub Bernoulli stosowali w swoich wywodach rachunek różniczkowy. Między obudwoma braćmi Bernoulli przyszło do namiętnej polemiki literackiej o brachistochronę i o zagadnienia pokrewne, a w toku téj polemiki powstał rachunek waryjacyjny. Rozmaite zagadnienia klasyczne o synchronie, o synchronie paracentycznéj, o krzywej żaglowej, o linii, według której skrzywia się płótno, napełnione wodą, o południku bryły obrotowej, doznającej w wodzie oporu najmniejszego, i bardzo wiele innych powstało w tym czasie, wzbogacając nietylko zasób wiedzy, lecz doprowadzając zarazem metodę badania do wysokiego stopnia doskonałości.

Do największych zasług Jana BERNOULLi’ego należy zaliczyć ogólne sformułowanie zasady prac przygotowanych, którego udzielił VARiGNON’owi bez dowodu w liście z 26-go stycznia 1717 r., umieszczonym w tomie 2-gim Nouvelle mécanique tego pisarza. Jan Bernoulli używa w tym liście po raz

pierwszy wyrażenia „prędkość przygotowana” (vitesse virtuelle), a nazywając iloczyn siły i téj prędkości „energiją siły”, wypowiada owę zasadę w słowach następujących : En tout équilibre de forces quelconques, en quelque manière qu'elles soient appliquées, et suivant quelques directions qu’elles agissent Vune sur Vautre, ou médiatement ou immédiatement, la somme des Energies affirmatives sera égale à la somme des Energies négatives prises affirmativement.

Leonard Euler (1707 — 1783) zasłużył się znakomicie w ułożeniu nauki o ruchu w pewną całość systematyczną. W r. 1736-ym wydał w Petersburgu dwutomowe dzieło p. t. : Mechanica sive motus scientia analytice exposita, w którym po mistrzowsku przedstawił kinetykę punktu swobodnego i nieswobodnego, posługując się rachunkiem infinitezymalnym i używając rozkładu siły w kierunku stycznej i w kierunku normalnej do toru punktu. To dzieło posiada jeszcze dzisiaj wartość pierwszorzędną. Gdy Colin Mag-laurin (1698 — 1746) w dziele A complété system of fluxions, Edinburgh, 1742 okazał korzyści, wynikające z rozkładu siły w kierunkach trzech osi prostokątnych i na téj podstawie wyprowadził równania ruchu punktu, wydał Euler w r. 1765-ym dzieło Thcoria motus corporum solidorum seu rigidormn, Bo-siochii et Gryphisiraldiae w jednym tomie, w którym stosował metodę spół-rzędnych, rozciągając ją na kinetykę ciał sztywnych. Podał pojęcie i wyrażenie momentu bezwładności, rozłożył ruch ciała na ruch postępowy środka masy i na kręcenie się około tego środka, wyprowadził równania różniczkowe dla ruchu ciała, kręcącego się około punktu, wykazał istnienie i własności osi główmych i wyjaśnił ich znaczenie jako osi swobodnych obrotu, rozwiązał wiele zagadnień szczególnych o ruchu ciał obrotowych i badał ruch przy uwzględnieniu tarcia. W licznych rozprawach akademickich zajmował się Euler kwestyjami mechanicznymi. Przez użycie znaku odpowiedniego na ciśnienie cieczy dał równaniom hydrostatycznym postać właściwą i wyprowadził równania zasadnicze hydrokinetyki ; wydoskonalił rachunek waryjacyjny i przez zastosowanie go do zadań o ruchu pocisków odkrył zasadę najmniejszego działania, którą Piotr Maupertuis (1698 — 1759) usiłował podnieść do wysokości naczelnego prawa natury. Długo trwała polemika w akademii berlińskiej o właściwe znaczenie téj zasady, którą dopiero później Lagrange zakończył.

W wielu punktach stykały się prace Eulera z pracami Daniela Bernoulli’ego (1700—1782), syna Jana. Najważniejszym dziełem BERNOüLLi’ego jest: Hydr ocly namica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii, Ar-gentorati, 1730, w którym badał prawa ruchu cieczy na zasadzie zachowania energii kinetycznej, wyraziwszy tę zasadę nieco odmiennie, niż to dziś czynimy. “Wprawdzie nie wszystkie rezultaty jego rachunku są dokładne; rozwiązał jednak wiele zagadnień o wypływie wody i o ciśnieniu, które woda płynąca wywiera na ściany naczyń. Znajdujemy w tym dziele także pierwsze ślady teoryi kinetycznej gazów.

Zasada prac przygotowanych sprowadziła statykę do zagadnienia analizy; trzeba jeszcze było uczynić tożsamo dla kinetyki. Tego dokonał Jan d’ÂLEMBERT (1717 — 1783) w niewielkim dziele, wydanym 1743 r. w Paryżu p. t. : Traité de dynamique, gdzie podał następującą zasadę ogólną dla rozwiązywania zadań kinetycznych: „Jeżeli oddzielnym ciałom układu materyjal-nego zostały nadane ruchy (prędkości) A, B, O,..., to rozłóżmy każdy z tych ruchów odpowiednio na takie dwa ruchy a, a; b, ß; c, y;....., że, gdyby tym cia

łom nadano ruchy a, b, c,..., mogłyby się poruszać swobodnie, nie przeszkadzając sobie wzajemnie, a gdyby im dano ruchy a, ß, y,...., układ pozostałby w spoczynku. Wtedy ciała tego układu przyjmą ruchy a, b, c...” W téj prostej postaci jest owa zasada oczywistą, to też d’ALEMBERT nie dowodzi jej, lecz

okazuje w dalszym ciągu dzieła, jak zagadnienia z kinetyki mogą być rozwiązywane na podstawie owéj zasady. Biorąc bardzo czynny udział w ówczesnym ruchu naukowym, zajmował się d’ALEMBERT między innymi także drganiem strun, a w jednej z rozpraw swoich dowiódł ważnego twierdzenia, że dla danej prędkości obrotu masy płynnej istnieją dwie różne sferojdy jako możebńe kształty równowagi kinetycznej.

To twierdzenie było wielkiej wagi dla teoryi kształtu ziemi, która od czasu Newton^ polegała na prawach przyciągania powszechnego. Newton podał naukę o przyciąganiu punktu przez kulę, obliczył przyciąganie, które sfe-rojda wywiera na punkt wewnętrzny, a kwestyją przyciągania punktu zewnętrznego rozwiązał w tym przypadku, kiedy ten punkt znajduje się na osi sferojdy. Po NEWTo’nie zajmował się Maclauein teoryją przyciągania. W pracy De causa physica fluxu et refluxu maris, uwieńczonej w r. 1740-ym przez akademiją paryską, podał twierdzenie, że przyciągania, które dwie elipso jdy obrotowe i spółogniskowe wywierają na punkt, znajdujący się zewnątrz nich, bądźto na osi obrotu, bądźtóż na płaszczyźnie równika, są proporcyjonalne względem mas tychże elipsojd; następnie wywiódł odpowiednie twierdzenie dla przypadku dwu elipsojd trójosiowych i spółogniskowych, w razie gdy punkt zewnętrzny znajduje się na jednej z osi tychże elipsojd. Adryjan Legendre (1752— 1833) w rozprawie Recherches sur Vattraction des sphéroïdes homogènes, Paris, 1785 uogólnił twierdzenie MACLAURiN’a dla elipsojd obrotowych, biorąc punkt zewnętrzny w którymkolwiek miejscu, a w końcu znakomity Piotr Szymon Laplace 1749 — 1827) uzupełnił powyższą teoryją, okazując w rozprawie Théorie du(mouvement et de la figure elliptique des planètes, Paris, 1784, że przeciągania, jakie dwie elipsojdy trój osiowe i spółogniskowe wywierają nâ punkt zewnętrzny, znajdujący się gdziekolwiek, są proporcyjonalne względem mas tychże elipsojd.

Zastosowaniem praw równowagi cieczy tudzież teoryi przyciągania do kształtu ziemi zajmował się Alexy Clairaut (1713 — 1765), który w dziele Théorie de la figure de la terre, Paris, 1743 wyprowadził kształt ziemi, uważając ją za bryłę w równowadze, i obliczył związek między spłaszczeniem niejednorodnej sferojdy ziemskiej a siłą ciężkości.

Okres trzeci. W okresie poprzedzającym powstały prawie wszystkie główne zasady mechaniki; pomimo tego jednak nie stanowiły one jeszcze właściwej nauki, bo nie były połączone w całość jednolitą, w której by każde zagadnienie można było rozwiązać metodycznie według stałych prawideł. Ujęcie bogatego materyjału, nagromadzonego od czasów Galileusza, w doktrynę naukową, jest dziełem jednego z największych uczonych w XVIII w., Józefa LAGRANGE’a (1736 — 1813), od którego rozpoczyna się najnowszy okres hi-śtoryi mechaniki.

Lagrange sprowadził całą dynamikę, w dzisiejszym jéj znaczeniu, do jednej zasady prac przygotowanych, która wyraża wszystkie związki między masą ciała, przestrzenią, czasem i siłami, i daje równania równowagi lub równania ruchu, których rozwiązanie jest następnie rzeczą analizy matematycznej. Przed Lageange’iü używano w mechanice tylko spółrzędnych prostokątnych i biegunowych ; nauka wymagała jednak koniecznie wprowadzenia jakichkolwiek od siebie niezależnych wielkości, przez które, jako spółrzędne, ruch układu materyjalnego mógłby być określony. Owóż w ujednostajnieniu metody analitycznej i we wprowadzeniu spółrzędnych ogólnych należy upatrywać największe zasługi Lagrange’r około rozwoju mechaniki. Nie mogąc wchodzić w rozbiór licznych prac jego, ograniczymy się krótką wzmianką o jego głównym dziele Mécanique analytique (1-sze wyd. w Paryżu 1788, 2-gie tamże 1811, 3-cie przez J. Bertrand^ tamże 1853), które na długie lata pozostanie jakoby księgą podstawową mechaniki teoretycznej. Langrange utworzył pojęcie i nazwę mechaniki analitycznej, a dzieło jego niema żadnej figury, bo rozwiązanie danego zagadnienia nie wymaga zgoła konstrukcyi gieometrycznéj. Każdy rozdział główny poprzedził autor wstępem historycznym, w którym dał pogląd na rozwój zasad, odnoszących się do przedmiotu, a ta okoliczność dowodzi, że dokładna znajomość wszystkiego, co przed nim w nauce zdziałano, była dlań bodźcem do postępu. Szerokie zastosowanie rachunku waryjacyjnego w mechanice, sposoby, za pomocą których otrzymujemy równania ruchu przy danych warunkach, wprowadzenie do teoryi przyciągania bardzo ważnego pojęcia potencyjału sił przyciągających, ujęcie mechaniki cieczy i gazów w też same prawa ogólne, jak w mechanice ciał stałych — to wszystko należy do trwałych nauki nabytków od czasu ukazania się wielkiego dzieła Lagbange’r. Do tego dzieła należy także odnieść podział mechaniki na statykę i dynamikę, i wyłączenie statyki z gieometryi, do której ją przedtym zaliczano. Dopiero w najnowszych czasach przyjęto inny podział nauki, który lepiej odpowiada istocie rzeczy.

Jeszcze za życia Lagrange’a pojawiły się pierwsze prace innego uczonego, Ludwika Poinsot (1777— 1859), a mianowicie Elements de statique, Paris, 1803, który z wielkim powodzeniem uprawiał mechanikę według metody syntetycznej. Poinsot wprowadził pojęcie pary sił i okazał korzyści, wynikające z tego pojęcie w statyce i kinetyce. Prawdziwym tryumfem metody syntetycznej było rozwiązanie trudnego zadania o kręceniu się ciała sztywnego około punktu bez działania jakichkolwiek sił, które Euler Usiłował rozwiązać analitycznie, a które Poinsot w rozprawie Théorie nouvelle de la rotation des corps (1884 i 1851) sprowadził do ruchu elipsojdy bezwładności, toczącej się na pewnej płaszczyźnie stałej. Przejrzytość i zręczny układ celują wszystkie prace tego znakomitego gieometry.

Metodzie syntetycznej, która w pierwszych dziesiątkach lat wieku bieżącego dała popęd do świetnego rozwoju gieometryi, zawdzięczamy utworzenie nowej nauki o ruchu, bez względu na siły, które go wywołują. Na potrzebę takiej nauki zwrócił pierwszy uwagę filozof J. Kant, który w dziele swojem Me-tapliysiche Anfangsgründe der Naturwissenschaft 1786 r. podzielił całą naukę o ruchu na cztery części, mianowicie : na foronomiją, uważającą ruch jako czystą ilość, na dynamikę, uważającą ruch jako jednę z własności materyi, na mechanikę, rozważającą związek między materyją a siłą, i na fenomenologiją, która uważa ruch tylko jako zjawisko, przedstawiające się zmysłom naszym.

L. M. N. Carnot w swojéj Géométrie de position 1803 r. zachęcał uczonych do zajmowania się tak zwanym „ruchem gieometrycznym,” podnosząc korzyści, jakie z takiej nauki wyniknąć muszą. J. Hoene - Wroński w pierwszym numerze czasopisma Sfinx, wydanym 1818 r., przyjął nazwę foronomii, wprowadzoną przez KANT’a i w artykule System architektoniczny bezwzględny encyklo-pedyi wiedzy ludzkiej podzielił matematykę czystą na gieometryją, algorytmiją i foronomiją (*). Nazwa „foronomiją,” używana szczególnie w Niemczech, utrzymywała się dość długo, aż A. M. Ampère w swoim Essai sur la philosophie des sciences, Paris 1834, wprowadził nową nazwę „kinematyka” (cinéma tique od xivyjp, a, ruch), która odtąd powszechnie przyjętą została.

Pewne wiadomości kinematyczne znajdujemy już u Arystotelesa; teory-ja spadku Galileusza była przeważnie kinematyczna; Descartes, Huygens,

") Ob. artykuł A. Tbansona : Prawo szeregów Wrońskiego, jego foronomiją w Pamiętniku Tow, Nauk Ścisłych w Paryżu T. VIII, 1876, str. 15 — 16.

Jan Berno ui. li i Euler podawali luźne twierdzenia, które zaliczano do gieometryi ruchu; atoli dopiero Michał Chasles (1793 — 1880) z całą świadomością uprawiał kinematykę, która rozwijała się z niezwykłą szybkością, zyskując nieustannie na znaczeniu. We Francyi O. Rodrigues, A. Transon, K. Bresse, E. de Jonquières, H. Resal, Mannheim uprawiali kinematykę gorliwie ; w Niemczech A. F. Moebius był przez pewien czas jedynym jéj przedstawicielem, a później pracowali nad nią Stegmann Sgiiönemann, Aronhold, Schell, Burmester iiuni; w Anglii R. St. Ball, dzisiejszy astronom królewski w Dublinie, przyczynił się znakomicie do jéj rozwoju. Gdy Plücker utworzył tak zwaną gieometryją linii prostej i teoryją komplexôw promieni, przedstawiła się kinematyka w nowym świetle, powstało bowiem pojęcie spółrzędnych obrotu i pojęcie komplexu ruchów chwilowych, a przez przeniesienie tych pojęć do układów sił ustanowiono ważną zasadę dwoistości między ruchem a siłą, która pozwala z twierdzeń kinematycznych wyprowadzić odpowiednie twierdzenia statyczne.

Wspomnieliśmy, że Lagrange podał metody najogólniejsze do otrzymania równań różniczkowych ruchu ; William Rowan Hamilton (1805 — 1865) zaś i Karol Gustaw Jacobi (1804— 1851) położyli największe zasługi około całkowania tych równań, wzbogacając jednocześnie matematykę i mechanikę teoretyczną. Hamilton wyszedł z odmiennie pojętej zasady najmniejszego działania, podając tak zwane „prawo zmiennego działania (law of varying action),” które wyprowadził naprzód dla sił centralnych. Z tego prawa wynikła owa zasada, która nosi nazwisko Hamilton^ i prowadzi do tak zwanych równań kanonicznych ruchu. Jacobi pojął wielką doniosłość powyższej zasady, pokazał sposoby wyprowadzenia równań kanonicznych, i, korzystająoz prac Szymona PoissoN’a (1781 —1840) o całkowaniu równań różniczkowych, stał się właściwym twórcą metody ogólnej całkowania równań ruchu, która coraz więcej się rozwija.

Zakres tego przeglądu historycznego nie pozwala nam wchodzić w hi-storyją szczegółową tych licznych zagadnień, które stanowią treść mechaniki ciał sztywnych; czytelnik znajdzie zresztą w miejscach odpowiednich téj książki chronologicznie uporządkowaną literaturę, która pozwoli mu śledzić postęp nauki aż do czasów najnowszych. Dla dopełnienia zaś naszego zarysu historycznego zaznaczymy jeszcze historyją najważniejszych zagadnień teoryi sprężystości i hydrokinetyki, a w końcu zwrócimy uwagę na rozwój stopniowy jednego z najważniejszych praw fizyki ogólnej, mianowicie prawa zachowania energii.

Pierwsze poszukiwania nad równowagą, w których nal

(2) cechujące ruch jednostajnie zmienny, gdzie S oznacza tę odległość w czasie

(2)

(4)

dx

y. — co1co2. mi2 .

= Xł -p a\ £ -p ci12^1 d~ ,

ROZDZIAŁ IY.

\,

CZĘŚĆ DRUGA.

Z równania zatyra (6) mamy

f (V-V) = U2-ü,

(7)

Ponieważ dy jest dowolne, przeto pierwszemu warunk

wskutek czego F = 3nr2, \ix — 3ji¥, (JLy = — nr3;

_1+JL = 4(A+JA

ÉX + iïY==S(X,a* + Y(y<)i

0)

ROZDZIAŁ XII.

,, , ()« <)& Ó r,

= °>003466 = 2»hr

(1)

+* |(x*- * wh+(Y‘- w) ‘+(Z

xl — qZi — ry{, yl — rXi — pzl} z] = pyi— qXi,

»=».§=«. ?-».

(3) z czego wynika, żer >3, a zatym środek wahań znajduje się poniżej środka masy. Redukując wahadło fizyczne do matematycznego, rozwiązujemy tym samym zadanie o trwaniu wahnięcia na podstawie wzorów, podanych w art. 92*im.

(6)

170. Zastanowimy się nad rozwiązaniem równania Ham

[?r, ?*J = O, [<p/, cpP] = 0, O*', tpr] = 0, [tp/, tpr] = 1.

a nadto <pt = 0, cp2 == 0, <p3 — 0, więc X = X! a2

§n = au + §w,

(12)

ROZDZIAŁ XVIII.

ROZDZIAŁ XIX.

Obliczmy krążenie po krzywej nieskończenie małej,

x-u+!=c’

żamy za funkcyją x i t, którą oznaczmy przez <p (x

ROZDZIAŁ XXI.

r2 = 3Rr,

)-/ |[£+ £(£•-£)]

(1+Pi2 + ?,2)2*

Środek kręcenia się (21); Drehungsmittel- Układ fi

Pierwsze poszukiwania nad równowagą, w których należało uwzględnić sprężystość ciała, poddanego działaniu sił, robił Galileusz, wszelako nie uwzględniwszy sprężystości, doszedł do rezultatów błędnych. Dopiero Hoo-ke zastanawiał się nad odkształcaniem ciał sprężystych i podał zasadę, że one są proporcyjonałne względem sił, które je wywołują. Zwyczajem swego czasu wyraził tę zasadę w r. 1660-ym pod postacią anagramu ceiiinosss ttuu, co miało oznaczać: ał tensio sic vis. Rozmaitymi zadaniami natury praktycznej o wytrzymałości zajmowali się Mariotte, Vàrignon i wielu innych; Jakub Bernoulli podał równanie różniczkowe tak zwanej linii sprężystej, Euler rozróżnił rozmaite rodzaje téj linii i razem z Danielem Ber-NOULLi’m, D’ALEMBERï’em i innymi matematykami zajmował się teoryją drgania strun, rozwiązując tymsamym takie zadania, w których układ cząstek ciała sprężystego jest najprostszy.

Właściwym twórcą teoryi sprężystości był Ludwik Nayier (1785 1836), który w r. 1821-ym przedstawił Akademii paryskiej rozprawę, Mémoire sur les lois de Véquilibre et du mouvement des corps solides élastiques, będącą

punktem wyjścia dla wielu znakomity cli prac o tym przedmiocie, które wkrótce potym Poisson i Augustyn Cauchf (1789 — 1857) przedstawili tejże Akademii, Polegając na tym, że ciało sprężyste składa się z cząstek, a między dwiema cząsteczkami sąsiedniemi działają siły, proporcyjonalne względem zmiany odległości wzajemnej tych cząsteczek w stanie naturalnym, wyprowadził Xavier równania równowagi dla każdego punktu wewnętrznego, tudzież te równania, które zachodzą na powierzchni ciała, wyrażające4ak zwane warunki krańcowe. Z licznych prac Poissona zasługują na szczególną uwagę dwie następujące: Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques Paris, 1829 i Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides, Paris 1831, które należą do najlepszych prac tego znakomitego matematyka. Poisson odrzucał metody rachunku, polegające na przypuszczeniu ciągłości materyi ciała sprężystego, chociaż nie zawsze udawało mu się przeprowadzić swoje myśli konsekwentnie; jemu zawdzięczamy ścisłą teoryją drgania strun, prętów i błon sprężystych, tudzież rozwiązanie wielu zadań z teoryi sprężystości, którymi zajmowano się dotąd zbyt pobieżnie. Cauchy umieszczał prace swoje nad teoryją sprężystości w dwu publikacyjach, wyłącznie jego pracom poświęconych, mianowicie w Exercices de mathématiques i w Exercices d'analyse et de physique mathématique. W nich znajdujemy najważniejsze twierdzenia teoryi sprężystości, po raz pierwszy przezeń podane, jak np. związki między natężeniami w danym punkcie ciała, wyrażenie ogólne na wydłużenie i posunięcie się w funkcyjach wydłużeń głównych i posunięć w kierunkach osi spółrzędnych,-elipsojdę odkształcenia i t. d. Cauchy zajmował się także skręceniem walców, rozwiązując to zadanie dokładniej, niż to przed nim czyniono.

Uczeń Cauchye’go, Barré de Saint-Venant (1797 — 1886) określił przedewszystkim dokładnie pojęcia zasadnicze teoryi sprężystości, co do których zachodziła pewna niejasność i dowolność; podał metodę, pozwalającą rozwiązać wiele trudnych zagadnień o ciałach sprężystych bez całkowania bezpośredniego wszystkich równań i dopełnił teoryją skręcenia, uważając skrzywienia, jakich doznają przekroje płaskie walca skręconego. Alfred Clebscii (1833 — 1873) uogólnił metodę Saint-Venant^, rozwiązując następujące zadanie ogólne: Wyznaczyć układy sił, jakie trzeba przyłożyć do przekrojów krańcowych graniastosłupa, żeby w razie, kiedy jego ściany boczne są swobodne, wewnętrzne przekroje podłużne nie doznawały natężeń, prostopadłych do krawędzi, i podać przesunięcia, które wynikają z przyłożenia tych sił. To zagadnienie nazwał Clebsch zagadnieniem Saint-Venant^.

Gustaw Kirciihoff (1824— 1887) rozważał bezpośrednio przesunięcia, których punkty ciała sprężystego doznają w przestrzeni i utworzył tyin sposobem kinematykę ciał sprężystych ; prace jego nad sprężystością ciał, których rozmiary poprzeczne są nieskończenie małe, okazują mistrza w zastosowaniu analizy do najtrudniejszych zagadnień mechanicznych. Znakomite zasługi około nauki o sprężystości położyli jeszcze Gabryjel Lamé (1795 — 1870), Piotr E. Clapeyron (1799 — 1865), Jerzy Green (1793 — 1841) i P. E. Xeumann (1798 —1877).

Przytoczyliśmy wyżej, że Euler i Lagrange podali równania konieczne i wystarczające do określenia ruchu cieczy doskonałej. Całkowanie tych ró • wnań s]irawia jednak wielkie trudności, to też pomimo rozmaitych przekształceń tych równań można było tylko niektóre przypadki najprostsze ruchu trwałego cieczy w przybliżeniu rozwiązać. Dopiero Gustaw Lejeune - Di-richlet (1805 — 1859) i H. Helmholtz otworzyli dla badań hydrokinetyki nowe drogi; pierwszy przez rozważanie ruchu ciała stałego w cieczy, drugi zaś przez rozkład ruchu cząstek cieczy, podobny do tego, którego Kirchhoff

używał dla ciał sprężystych. Dirichlet rozwiązał zadanie o ruchu kuli w cieczy i wskazał na zadanie ogólniejsze o ruchu elipsojdy, które Clebsch rozwiązał, polegając na wyrażeniu potencyjału elipsojdy, podanym przez Di-niCHLET’ego. Te dwa zagadnienia stały się bodźcami do licznych prac nad ruchem ciał, rozmaicie ograniczonych, w cieczach doskonałych, czym zajmowali się Thomson, Tait, Hoppe, Bjerknes, Kirchhoef, i wielu innych. Z tych badań wynikło wiele rezultatów nowych i niespodziewanych, z których najciekawszymi są rezultaty, odnoszące się do zjawisk, zależnych od ruchu względnego dwu pierścieni w cieczy, a mające wiele podobieństwa do niektórych zjawisk elektrokinetycznych.

Svanberg na podstawie równań EuLEiVa pierwszy wykrył ruch obrotowy cząstek cieczy, atoli dopiero w klasycznej pracy EEumoLTz’a z r. 1858-go: Ueber die Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen, pojawiła się teoryja ruchu wirowego, który wtedy zachodzi w cieczy, kiedy tak zwany potencyjał prędkości nie istnieje, to znaczy, kiedy składowe prędkości cząstek nie są odpowiednio równe pochodnym funkcyi ich spółrzędnych. Helmiioltz odkrył główne prawa tego ruchu, między którymi jedno z najważniejszych jest prawo: cząstka cieczy nigdy nie traci ruchu wirowego, raz jéj nadanego, a cząstka, która kiedykolwiek tego ruchu nie posiadała, nigdy go nie nabędzie, dopóki teżsame siły zachowujące na ciecz działają. Teoryją ruchu wirowego rozwijali dalej Belframi, Grobli, William Thomson i inni, a ten ostatni fizyk usiłował na podstawie trwałości wirów utworzyć nową teoryją budowy materyi.

Równania ruchu cieczy lepkiej podał Xavier w rozprawie: Mémoire sur le mouvement des fluides en ayant égard à Vadhésion des molécules, Paris, 1826, wychodząc z hipotezy Xewton’u, że tarcie w cieczy nie zależy od ciśnienia i jest proporcyjonalne względem prędkości względnej ; na tójźesamój podstawie polegały sposoby wyprowadzenia tych równań, podane przez PoissoN’a i Sto-KEs’a. Stefan i Kirchhofe otrzymali równania ruchu, stosując do tarcia cieczy lepkich zasady, podobne do tych, które stosujemy do sił wewnętrznych w ciele sprężystym. Całkowanie tych równań udało się dotąd przeprowadzić tylko dla niewielu przypadków, jak np. dla przepływu cieczy przez rury proste o bardzo małej średnicy, dla ruchu kuli, wahającej się w cieczy, dla wahnięć poziomych płyty okrągłej i tym podobnych. Tych ruchów, które można badać sposobem doświadczalnym, używano do wyznaczenia spółczynnika tarcia, do czego najwięcej przyczynili się Poiseuille i O. E. Meyer.

Wskazywaliśmy na to, jak w czasach rozmaitych i pod rozmaitymi postaciami pojawiała się myśl, że nietylko ilość materyi, ale także inna wielkość, której nie umiano wprawdzie bliżej określić, lecz która miała być zależna od ruchu materyi, jest w przyrodzie niezmienna. Wyrazem téj myśli była między innymi zasada filozofii DESCARTEs’a, że ilość ruchu we wszechświecie nie zmienia się, a którą Descartes wywodził z niezmienności Boga. Gdy w miarę rozwoju nauki występowała coraz dobitniej różnica między pojęciem siły, jak je Newton określił, a pojęciem téj wielkości, którą według LEiBNiTz’a zwano siłą żywą, nasuwały się zagadnienia, z których analizy można było wnosić, że owa niezmienność przeczuwana odnosi się raczej do siły żywej, niż do jakiejkolwiek innej wielkości, zależnej od ruchu materyi. Dzięki pracom EuLER’a, Jana i Daniela BernoulliMcIi rozwijała się nauka o sile żywej dość szybko, tak, że z końcem w. XVIII zasada zachowania sił żywych była nietylko powszechnie znana, lecz okazała się zarazem wielka jéj doniosłość w badaniu rozmaitych rodzajów ruchu. Ta zasada wyrażała, że jeżeli na układ punktów materyjalnych działają siły, mające potencyjał, wówczas siła żywa tego układu zależy tylko od wielkości potencyjału; jeżeli więc siły dzia

Do treści głównej tego twierdzenia późniejsi fizycy dodali niewiele, tylko nazwy uległy zmianom odpowiednim. Idąc za YouNG’iem fizycy angielscy wprowadzili wyraz „energija,” dając mu owo znaczenie, w jakim Helmholtz użył niewłaściwie wyrazu „siła;” dawny zaś wyraz „siła żywa” zastąpił Ranione wyrazem „energija kinetyczna,” a zamiast „napięcia” wprowadził „ener-giją potencyjonalną.”

łają tylko między punktami układu, natenczas siła żywa tego układu zostaje zachowaną, gdy punkty jego przyjmują tożsamo położenie względne.

Nowy popęd do dalszego rozwinięcia tej zasady dały prace teoretyczne Sadi-Carnot^ i CiiAPEYRON’a nad ciepłem, tudzież znakomite pomiary Jou-LÉ’a, z których urosła dzisiejsza termodynamika. W r. 1847-ym ogłosił Helmholtz swój wykład w Towarzystwie Fizycznym w Berlinie: Ueber die Erhaltung der Kraft, i w téj rozprawie wypowiedział z wszelką ścisłością prawo zachowania energii, dając mu nazwę prawa „zachowania siły,” niezupełnie odpowiednią. Helmholtz wyszedł z równania wiadomego, które wyraża, że różnica siły żywej układu materyjalnego i pracy sił przyłożonych jest stała, a nazywając „napięciem” (Spannkraft) owę pracę sił, wziętą ujemnie, wyraził prawo zachowania siły w postaci: suma sił żywych i napięć jest wielkością stałą.

Ścisłe i ogólne określenie energii, któreby zawierało cechy konieczne i wystarczające tego pojęcia, jest z wielu względów dość trudne. Stosownie do zapatrywań dzisiejszych można je tak wyrazić: Energiją układu materyjalnego w danym stanie, względem pewnego stanu odniesienia, nazywamy sumę wszystkich skutków, mierzonych w jednostkach dynamicznych, które zewnątrz układu zostają wywołane, gdy on przechodzi ze stanu danego do stanu odniesienia. Na mocy tego określenia tak wyraża się prawo zachowania energii: Energija układu materyjalnego w danym stanie, względem pewnego stanu odniesienia, jest funkcyją jednowartościową owego stanu danego.

.Każde odkrycie nowego związku między zjawiskami w przyrodzie stwierdza doniosłość tego prawa. Uważając je za jedno z praw podstawowych przyrody, musimy przypuścić, że owe trzy prawa zasadnicze Newtona, na których polega dzisiejsza dynamika, dadzą się wyprowadzić z praw ogólniejszych jako wnioski. Czy takie uzasadnienie całej nauki o ruchu byłoby możliwe i korzystne, tego dziś przesądzać nie możemy.

MECHANIKA W POLSCE.

Nie mieliśmy sposobności wspominać w powyższym zarysie historycznym o uczonych polskich, ponieważ u nas zajmowano się bardzo mało mechaniką teoretyczną. Przy końcu w. XYII pojawiło się pierwsze dzieło polskie o mechanice, mianowicie Stanisława Solskiego (1622 — 1701) Architekt polski. To iest nauka ulżenia wszelkich, ciężarów i używania potrzebnych Machin, ziemnych y wodnych. W Krakowie roku 1690, in fol., 1 karta nie liczbowana

i str. 200, z licznymi drzeworytami w tokście i na osobnych tablicach. Autor miał zamiar napisać mechanikę i budownictwo w trzech księgach, a wydał tylko jednę księgę, podzieloną na trzy tak zwane „zabawy.” Pierwsza zabawa obejmuje naukę o zmniejszeniu i ulżeniu ciężarów, tudzież o 15 rozmaitych maszynach, do tego celu służących; przedmiotami zabawy drugiej są młyny wodne, bydlęce, wietrzne, piły wodne, zegary i t. p.; w zabawie trzeciej jest rzecz o wodzie i maszynach wodnych. Dzieło Solskiego jest podręcznikiem praktycznym ; kwestyje teoretyczne są zaledwie w kilku nrejscach poruszone. W dowodzeniu zasady dźwigni idzie za STEViN'ew i HuYGENs’era, w opisywaniu własności wody korzysta także z Archimedesa. O maszynach ma nieco dziwne pojęcie, twierdzi bowiem, że one dlatego „gubią” część ciężaru, że przenoszą ją na „podstawek,” i tym sposobem usiłuje wyjaśnić zysk na sile. Podaje opis dwu maszyn o „biegu nieustannym,” t. j. perpetuum mobile, przez siebie wynalezionych, o których wydał także osobne pisma po łacinie. Dzieło Solskiego jest przedewszystkim ciekawe ze względu na język ówczesny w mechanice stosowanej.

W czasie zupełnego upadku nauk w Polsce w pierwszej połowie w. XVIII, kiedy kandydaci na profesorów w Akademii Krakowskiej pisywali rozprawy pro loco obtinendo na temat o ruchu ośmiu sfer, polegając wyłącznie na Ptolemeuszu i Arystotelesie, a nieznając zgoła Kopernika, KEPPLER’a i Newton^, nie znajdujemy żadnego śladu naszej nauki w literaturze. Dopiero w r. 1765-ym ksiądz Józef Rogaliński wydaje w Poznaniu tom pierwszy swego dzieła : Poświadczenia skutków Rzeczy pod zmysły pod-padaiącycli na publicznych Posiedzeniach w Szkołach Poznańskich Societatis Jesu na widok ivystaivione i icykładane, którego dalsze trzy tomy wychodzą w latach 1767, 1770 i 1776. Te wykłady tyczyły się przeważnie mechaniki ; niektóre myśli zdrowe i niektóre trafne wywody matematyczne giną niepo-strzeżone w obec rozwlekłego i napuszystego sposobu traktowania rzeczy prostych i w obec dziwactw językowych, w jakie to dzieło obfituje.

Reforma wychowania publicznego przez Komisyją Edukacyjną wywołała żywszy ruch w literaturze nauk przyrodniczych. Na wezwanie Komisyi Edukacyjnej napisał Toruńczyk Michał Jan Hube (1737 — 1808) w języku łacińskim kurs fizyki, który na język polski przełożony i wydany został. Mianowicie w r. 1783-ym wydała Komisyją Edukacyjna w Krakowie tegoż autora: Wstęp do Fizyki dla Szkół Narodowych (2-gie wyd. tamże 1788), a później drugie dzieło jego : Fizyka dla Szkół Narodowych. Część I Mechanika. Krakóio 1792, 8° 1 k. nl., str. 536 i 13 tablic z 176 figurami. Wykład jest podzielony na 5 ksiąg, które obejmują rzecz o biegu (ruchu w ogólności), o sile ciężkości o dalszych przyczynach ruchu, niezawisłych od ciężkości, o biegu i siłach płynów, nareszcie o biegu ciał niebieskich. J est to dzieło niepospolitej wartości, którego autor znał gruntownie literaturę przedmiotu i był wytrawnym pedagogiem. Nauka nie jest traktowana dogmatycznie, wszędzie bowiem podane są sposoby sprawdzenia głównych praw mechaniki, a punktem wyjścia nie jest pojęcie gieometryczne siły, lecz prędkość i przyśpieszenie ruchu. Jędrny i czysty język tego podręcznika był źródłem dzisiejszego słownictwa w mechanice. Do późniejszych podręczników szkolnych należy Wykład Statyki dla Szkół Wydziałowych i Wojewódzkich przez Gr. Monge, prze-tłómaczony z piątego wydania przez Onufrego Lewockiego. Warszawa 1820, 8°, 2 k. nl., str. 199 i 5 tablic, zawierających 100 figur. Według aprobaty Komisyi rządowej wyznań i oświecenia był ten podręcznik przeznaczony dla klasy 4-tój szkół wydziałowych i dla klasy 6-ój szkół wojewódzkich.

W dawniejszych Rocznikach Towarzystwa Naukowego Krakowskiego znajdujemy drobną rozprawę profesora Romana Markiewicza: O naturze

Między r. 1850 a 1860 ukazało się kilka podręczników francuskich i niemieckich o mechanice w przekładzie polskim. Tu wymienić należy Mechanikę dla użytku inżynierów Juliusza Weisbachr, której tom Uszy spolszczył Stanisław Bakka (Warszawa 1866).

i wielkości siły odśrodkowej (Tom IV 1819. str. 196 — 204 z 1 figurą) i tegoż autora: llozprawę o naturze i gatunkach sił, odmiany fizyczne sprawuiących (Tom VI 1821 str. 74— 142), obie małej wartości. W tomie XIII Boczników (1829 str. 91 — 216) pomieścił Karol Hube, profesor matematyki w Uniwersytecie Jagiellońskim, cenną i obszerną pracę p. t. Kozprawa o fenomenach niektórych pochodzących z ruchu wirowego ciał, z przydaniem uwag nad przerobieniem u spółrzędnych i niektóremi twierdzeniami tyczącemi się momentów, czytaną na posiedzeniu Towarzystwa d. 15 Maja 1826 r. Okazawszy prostym sposobem zmianę spółrzędnych prostokątnych i związki między spółczynni-kami transformacji osi, stosuje autor swoję metodę do przekształcenia momentów układu sił z jednego układu osi na drugi, i wyznacza oś momentu największego w danym punkcie. Następnie wywodzi istnienie osi głównych z elipsojdy JBiNET’go i podaje wiadome wzory na moment bezwładności ciała względem prostej dowolnej. Na podstawie tych wywodów i równań Eulerr bada kręcenie się ciała ciężkiego obrotowego (bąka) około punktu na osi, oblicza dokładnie stałe w równaniach ruchu i zajmuje się szczegółowo ruchem oscylacyjnym takiego ciała; potym rozważa oscylacyje elipsojdy ciężkiej na płaszczyźnie pochyłej, a w końcu toczenie się krążka po jego krawędzi. Boz-prawa HuBE’go zawiera wiele rzeczy nowych, mianowicie dokładne obliczenie stałych dla ruchu bąka, i rozwiązania dwu ostatnich zadań, o elipsojdzie i o krążku, którymi się przed nim nie zajmowano; ta okoliczność, tudzież ścisłość dowodzenia, opartego, na analizie wyższej, stawia tę rozprawę na czele prac polskich z kinetyki. Żałować wypada, że była w swoim czasie mało znana.

Alfons Puchewicz, starszy nauczyciel gimnazyjum realnego, napisał kurs elementarny, który p. t. Mechanika ogólna wydany został przez Zarząd Okręgu naukowego Warszawskiego w Warszawie w r. 1861 (8° str. 503 i XIII z 183 drzeworytami w tekście). Kurs jest podzielony na cztery części, traktujące kolejno statykę i dynamikę ciał stałych, tudzież statykę i dynamikę ciał płynnych. Wykład elementarny jest obszerny i celuje prostotą i jasnością w przedstawieniu rzeczy, a chociaż w niektórych miejscach zachodzą pewne niedokładności i dobór przykładów nie jest ze wszystkim odpowiedni, przecież podręcznik Puchewicza jest najlepszym kursem elementarnym mechaniki, samodzielnie ułożonym, jaki posiadamy.

Do zakresu wykładu uniwersyteckiego należy Kurs Mechaniki rozumowej G. H. Niewęgłowskiego w dwu tomach, wydany nakładem lir. Jana Działyńskiego w Paryżu 1873—1876. Tom 1-szy (8° str. XVI i 544) obejmuje w 7-miu rozdziałach statykę i dynamikę punktu, tom 2-gi (8° str. XV i 882) w 8-iniu rozdziałach kinematykę, dynamikę układów materyjalnych, hy-drostatykę i hydrodynamikę. Przy końcu tomu 2-go (str. 823—S79) podał autor obszerną notę, zredagowaną starannie przez syna swego, Bolesława Niewęgłowskiego, o sposobach ogólnych całkowania równań ruchu. Autor tego Kursu zebrał skrzętnie bogaty materyjał, który ułożył według dawniejszego systemu nauki. Wykład polega na metodzie analitycznej, a w ostatnim rozdziale są traktowane liczne zagadnienia praktyczne z hydrauliki, należące właściwie do mechaniki stosowanej. Słownictwo pozostawia niestety wiele do życzenia; utworzone przez Niewęgłowskiego wyrazy nie uwzględniają właściwości naszego języka i nie mogą zastąpić wyrazów powszechnie przyjętych, a pochodzących przeważnie z czasów Komisyi Edukacyjnej.

-Na stanowisku nauki dzisiejszej stoi Zarys mechaniki analitycznej jako wstęp do fizyki umiejętnej przez D-ra Oskara Fabiana, profesora w uniwersytecie lwowskim (Lwów, nakładem Towarzystwa Pedagogicznego, 1886 8°, str. 239). Ten podręcznik nie zawiera mechaniki analitycznej w całości, lecz przedstawia zasady kinematyki i dynamiki, oi!e ich znajomość jest nie- *■ zbędnie potrzebna do zrozumienia wywodów fizyki matematycznej.

Kończąc ten krótki przegląd literacki, dodajemy, że nowsze prace polskie o mechanice, ogłaszane w rozmaitych publikacyjach naukowych, przytaczamy w literaturze w odpowiednich miejscach téj książki.

MECHANIKA TEORETYCZNA.

W S T Ę P.

Jeżeli znamy położenie każdego punktu ciała A względem ciała B, tymsamym jest wiadome położenie ciała A względem B. Aby określić położenie punktu dowolnego m względem ciała B, możemy obrać trzy płaszczyzny, przecinające się w jednym punkcie i stale z ciałem B połączone, i wyznaczyć, według pewnej umowy, odległości punktu m od tych płaszczyzn; układy wartości, wyrażających odległości od owych płaszczyzn wszystkich punktów ciała A, określają jego położenie względem ciała B.

Zmianę położenia ciała względem ciał innych nazywamy jego ruchem względem tych innych ciał; pozostawanie zaś względem nich w pewnym położeniu nazywamy spoczynkiem owego ciała. Zmianie położenia towarzyszy najczęściej zmiana miejsca, atoli niezawsze tak być musi. Jeżeli np. powierzchnią obrotową obracamy około jej osi, to zmieniamy położenia jej punktów, a zatym położenie powierzchni względem innego ciała, chociaż powierzchnia ciągle toż samo miejsce w przestrzeni zajmuje. Jeżeli podobnie zwykłą liniją śrubową, nieograniczenie przedłużoną, skręcamy około jéj osi tak, iż nie zmieniamy miejsca, przez nią zajętego, to jednak wówczas każdy punkt zmienia swe położenie względem ciała, zewnątrz będącego. Z tych przykładów okazuje się, że właściwym kryteryjum ruchu ciała jest zmiana jego położenia względem innego.

Buch nie jest własnością ciał, lecz tylko zjawiskiem, jakie spostrzegamy co do ich wzajemnego położenia. Ciało bowiem A może się poruszać względem .B, nie zmieniając swego położenia względem C — pozostając przeto w spoczynku względem tego ciała.

Mechanika jest nauką o ruchu ciał. —

Przy badaniu ruchu na trzy rzeczy zwracać należy uwagę, mianowicie na: ciało poruszające się, zachowywanie się jego w przestrzeni i zachowywanie

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. X.

się jego w czasie. Nie będziemy tu określali przestrzeni i czasu; zadaniem naszym będzie tylko szczegółowe zbadanie udziału, jaki tym pojęciom przypada przy dokładnym poznawaniu zjawiska ruchu. Związki, zachodzące między wielkościami, które służą do określenia ciała, jirzestrzeni i czasu, stanowią właśnie wiedzę naszę o ruchu. Takie związki nazywamy w przyjiadkach ogólniejszego znaczenia prawami ruchu, albo zasadami ruchu; w przypadkach zaś szczególnych uważamy je jako twierdzenia o ruchu, wyrażające pewne jego własności. Dochodzenie i sformułowanie tych związków jest głównym zadaniem mechaniki.

Do utworzenia pojęcia ciała materyjalnego są konieczne i wystarczające dwa pojęcia, mianowicie: pojęcie jego ustroju gieometrycznego i pojęcie jego treści materyjalnój. Zależność zatym ruchu od poruszającego się ciała objawić się może w dwu tylko kierunkach. Popiérwsze, rozważamy związki, zachodzące między ustrojem ciała, przestrzenią i czasem, i tym sposobem rozpoznajemy te własności ruchu, które są niezależne od treści materyjalnój poruszającego się ciała, Powtóre, dochodzimy zależności ruchu od materyi (masy) ciała o wiadomym ustroju gieometrycznym, a to dochodzenie stanowi drugą część naszego zadania.

Na tej podstawie dzielimy mechanikę na dwie części, któro zowiemy kinematyką i dynamiką. Kinematyka zajmuje się badaniem ruchu ze względu na ustrój gieometryczny ciała poruszającego się, na przestrzeń i na czas. Dynamika, polegając na wynikach kinematycznej analizy ruchu, zajmuje się badaniem ruchu ze względu na materyją ciała.

Kinematyka nie wymaga żadnych wiadomości o własnościach fizycznych ciała; z tego powodu niekiedy zaliczano ją do gałęzi matematyki teoretycznej, uważając ją jako część gieometryi. Nazywano ją często «gieometryją ruchu». Atoli takie jej pojmowanie nie jest właściwe. Gieometryją, badająca własności figur w przestrzeni, nie ma nic do czynienia z pojęciem czasu, które wchodzi do dochodzeń kinematyki, a właśnie to pojęcie oddziela kinematykę od gieometryi i wskazuje właściwe jej miejsce w mechanice.

Już sama nazwa «dynamika» zapowiada, że ta część mechaniki bada działania sił, rozważanych jako przyczyny ruchu. Przyjmując to określenie, którego właściwe znaczenie później wyjaśnimy, możemy kinematykę pojmować także jako naukę o ruchu bez względu na siły, ruch sprawiające. Takie było pierwotne określenie tej nauki, przez Ampèr’a podane. —

Siły, przyłożone do ciała materyjalnego, wpływają, wogóle mówiąc, na ruch jego; mogą jednak zachodzić przypadki szczególne, w których, pomimo sił przyłożonych, ruch ciała trwa dalej tak, jakgdyby tych sił wcale nie było. W tych przypadkach mówimy o siłach, źe się równoważą. Stosownie da tych dwu możebnych rodzajów skutku działania sił, w dynamice rozważanych, dzielimy tę naukę na dwie części. Pierwsza, zwana statyką, zajmuje się dochodzeniem warunków równowagi sił i własności układów sił w równowadze; druga, zwana kinetyką, bada ruch ciała materyjalnego, sprawiony przez siły. —

Ustrój gieometryczny ciała może podczas ruchu pozostawać niezmiennym, lub ulegać zmianom według pewnych praw. Aby bliżej określić zmianę ustroju ciała, uważajmy ciało gieometryczne, odpowiednie danemu ciału mate-ryjalnemu, jako układ punktów. Wtedy zmiana ustroju polegać będzie na zmianie wzajemnej odległości każdych dwu punktów tego układu.

Każde ciało materyjalne posiada zdolność doznawania zmian swego ustroju. Te zaś zmiany w odległości każdych dwu punktów ciała mogą niekiedy być tak nieznaczne stosunkowo do pierwotnej ich odległości, iż je opuszczamy, a wtedy dochodzimy do wyników przybliżonych. Takie postępowanie wystarcza przy rozważaniu wielu zagadnień o ruchu, a przy innych pozwala osiągnąć wyniki bliskie prawdy, aby potym, wmiarę postępu nauki, coraz więcej doskonalić tak otrzymane wyniki.

Ciała materyjalne, których ustrój gieometryczny przyjmujemy jako niezmienny, nazywamy ciałami sztywnymi, wszystkie zaś inne nicszty-wnymi. Do pierwszych należą tak zwane ciała stałe, których sprężystość, jako bardzo małą, pomijamy w wielu zagadnieniach; do ciał niesztywnych należą ciała sprężyste, ciecze i gazy.

Stosownie do tych określeń, tyczących się stanu skupienia poruszającego się ciała, ustanawiamy odmienny podział mechaniki na mechanikę ciał sztywnych i mechanikę ciał niesztywnych. Ostatnia bywa jeszcze dzielona na mechanikę ciał sprężystych i mechanikę cieczy i gazów.

MECHANIKA CIAŁ SZTYWNYCH.

CZĘŚC PIERWSZA.

KINEMATYKA CIAŁ SZTYWNYCH.

ROZDZIAŁ I.

RUCH BEZWZGLĘDNY PUNKTU.

1. Prawo niezależności ruchów. Ciało matematyczne, wyobrażające ustrój ciała sztywnego, możemy przyjmować jako układ punktów, linij, lub powierzchni, których wzajemne położenie jest dokładnie określone i podczas ruchu żadnej nie ulega zmianie. W tym znaczeniu ciało matematyczne, którego ruchem się zajmujemy, nazywamy układem gieo metrycznym niezmiennym, albo krócej układem niezmiennym. Takie określenie obejmuje także kształty gieometryczne, których elementy nie następują po sobie w sposób ciągły.

Jako element układu przyjmujemy punkt, w którego pojęciu tkwi samo tylko wyobrażenie miejsca w przestrzeni. Znając położenie każdego punktu układu, znamy położenie układu samego; z ruchów zatym oddzielnych punktów rozpoznajemy ruch całego układu. Z tego wynika, że w nauce o ruchu należy się przedewszystkim zająć ruchem punktu. Ponieważ punkt nie może z jednego miejsca przenieść się do innego, nie zajmując kolejno miejsc pośrednich, przeto ruch punktu ze względu na przestrzeń jest zjawiskiem ciągłym.—

Miejsce punktu wyznaczamy przez oznaczenie jego położenia względem . innych punktów. Ponieważ zaś jedynym związkiem między dwoma punktami jest ich wzajemna odległość, przeto ze zmiany odległości punktu uważanego od innych punktów sądzimy o jego ruchu. Z tego wynika, że pojęcie ruchu punktu, a tymsamym ruchu każdego układu punktów, jest pojęciem względnym. Skądinąd wiemy, iż w naturze niema ciała, o którym moglibyśmy twierdzić, że nie porusza się względem innych ciał, z czego należałoby wnosić, iż przy badaniu ruchu punktu musimy zważać jednocześnie na ruch układu, względem którego ten ruch ma być wyznaczony, a który nazywać będziemy układem odniesienia. Atoli doświadczenie pozwala w pewnych przypadkach uważać układ odniesienia jako zostający w stanie spoczynku, a to na podstawie prawa, które zowiemy «prawem niezależności ruchów».

Jakimikolwiek byłyby cechy ruchu układu niezmiennego, możemy sobie już teraz przedstawić taki jego ruch, podczas którego w ruchach oddzielnych punktów tę tylko zaznaczyć można różnicę, iż one zachodzą w różnych miejscach w przestrzeni, wrszystkie zaś inne cechy ruchów tych punktów są im spólne. Taki ruch układu niezmiennego nazywamy «postępowym». Później (art. 21) ten ruch określimy dokładniej; tymczasem powyższe objaśnienie wystarczy do zrozumienia następującego prawa :

Prawo niezależności ruchów. Jeżeli uMad niezmienny razem z punktem, do niego nie należącym, odbywa ruch postępowy i prostolinijowy, a nadto ten punkt porusza się względem układu, to ruch tego punktu względem układu odbyiva się tak, jakgdyby owego spólnego ruchu postępowego nie było.

Na mocy tego ważnego prawa możemy w wielu zagadnieniach o ruchu punktu pominąć ruch spoiny tego punktu i układu odniesienia, przyjmując, że układ odniesienia pozostaje w spoczynku. To postępowanie stosujemy do takich zagadnień, w których wiadomo, że układ odniesienia nie posiada innego ruchu, prócz ruchu sjiólnego z jednym z ruchów punktu uważanego. Od takich zagadnień są odmienne zagadnienia o ruchu punktu względem układu odniesienia, jeżeli, prócz owego ruchu spólnego, układ odniesienia ma jeszcze ruch inny (co sprawdzamy zapomocą innego układu odniesienia), lubtćż, jeżeli ów ruch spoiny układu odniesienia i poruszającego się punktu nie istnieje, a układ odniesienia ma pewien ruch.

Gdyby w kinematyce chodziło tylko o porównanie z sobą rozmaitych ruchów ze stanowiska gieometrycznego, to wybór układu odniesienia byłby rzeczą obojętną. Ponieważ atoli przedmiotami kinematyki są ruchy, rzeczywiście w naturze spostrzegane, przeto w tych zagadnieniach, do których prawo niezależności ruchów ma być stosowane, układ odniesienia winien być tak dobierany, jak tego owo prawo wymaga. Umówmy się zatym, aby jako układ odniesienia obierać dowolny układ niezmienny, odbywający ruch prostolinijowy postępowy (o którego cesze, zależnej od czasu, niżej w art. 66-ym będzie mowa). Taki układ odniesienia nazywać będziemy układem zasadniczym.

Powyższe uwagi pozwalają zagadnienia o ruchu punktu podzielić na dwie grupy. Jeżeli układ zasadniczy porusza się razem z pewnym punktem, a nadto ów punkt porusza się względem tego układu, natenczas ten ostatni ruch punktu nazywamy ruchem bezwzględnym. Jeżeli zaś układ zasadniczy nie odbywa ruchu spólnego z punktem, lub oprócz ruchu spólnego posiada własny ruch postępowy, lub nakoniec jeżeli układ odniesienia nie jest zasadniczy, natenczas ruch punktu nazywamy ruchem względny m. Pra-

wo niezależności ruchów pozwala ruch bezwzględny tak rozważać, jakgdyby układ zasadniczy znajdował się w przestrzeni w spoczynku, jakkolwiek tak istotnie nie jest. Nazywanie ruchu bezwzględnym nie zgadza się wprawdzie z określeniem ruchu wogólności; będziemy jednak używali tej utartej nazwy, rozumiejąc ją zawrsze w znaczeniu tu określonym. Np. w zagadnieniach o ruchu punktu na ziemi lub w małych od niej odległościach, a zwłaszcza dla ruchów krótkotrwałych, możemy ziemię przyjąć za układ zasadniczy, pomijając jej obrót dzienny. Jeżeli pominiemy ruchy własne tak zwanych gwiazd stałych, to możemy układ odniesienia przyjąć w niezmiennym połączeniu z gwiazdami stałymi, i tym sposobem dochodzić ruchów bezwzględnych ziemi. W każdym razie pamiętać należy, że powyższe układy odniesienia tylko w przybliżeniu za zasadnicze uważane być mogą, że przeto wyniki badania tylko w przybliżeniu są prawdziwe. Dla ruchów na ziemi otrzymamy dokładne rezultaty dopiero po uwzględnieniu jej obrotu dziennego.

2. Rodzaje kuchu punktu. Aby określić ruch bezwzględny punktu, należy znać zachowywanie się tego punktu w przestrzeni (t. j. względem układu zasadniczego) i w czasie. Zachowywanie się punktu w przestrzeni określa linija, łącząca miejsca, po sobie następujące, któro on podczas tego ruchu zajmuje. Tę liniją nazywamy drogą albo torem punktu. Jeżeli tę liniją uważamy tylko pod względem jej kształtu i położenia, to nazywać ją będziemy torem punktu, jeżeli zaś mieć będziemy na względzie jój długość, wówczas używać będziemy wyrazu droga. Przy takim pojmowaniu mówić będziemy np. o drodze punktu, na pewnym torze opisanej. Tór punktu jest liniją prostą lub krzywą, i według tego odróżniamy ruch pr ostolinij owy od ruchów kr z y woli ni j owy ch. Tor punktu m będziemy oznaczali symbo

lem (m).—

Zajmiemy się naprzód ruchem prostoliniowym. Określamy ten ruch zapomocą położenia prostej w przestrzeni i zachowywania się punktu w⁷ czasie. Pierwsze wyznaczamy tak, jak to czyni gieometryja; co do drugiego, należy przedewszystkim podać kryteryjum równości dwu czasów, aby z niego wyprowadzić sposób pomiaru czasu, pozwalający stosować do niego też same działania, jakim podlegają wielkości matematyczne.

Dwa przedziały czasu nazywamy równymi, jeżeli dwa punkty, znajdujące się w tych samych warunkach na początku każdego z tych przedziałów, odbywają w tych samych warunkach też same ruchy do końca przedziałów, a to względem tego samego układu odniesienia. Skoro po upływie jednego przedziału czasu następuje jakikolwiek drugi, przyjmujemy przedział czasu od początku 1-go do końca 2-go jako sumę obudwu przedziałów. Na podstawie tych określeń wymierzamy przedział czasu zapomocą innego, za jednostkę obranego, otrzymując tym sposobem liczbę, mierzonemu przedziałowi odpowiadającą. Ta liczba, wyobrażająca wielkość przedziału czasu, może być poddana rozmaitym działaniom, a dla krótkości wysłowienia wyrażamy się o tych działaniach często tak, jakgdybyśmy czas uważali jako liczbę, tym działaniom podlegającą. Czas (tempus) będziemy oznaczali literami t, T, t.

Kierunek prostej, łączącej miejsce wcześniejsze punktu z miejscem późniejszym, określa kierunek ruchu prostoliniowego tego punktu. Aby ruch określić co do czasu, porównywamy z sobą drogi, w równych czasach opisywane, które mogą być równe albo nierówne, co daje dwa rodzaje ruchu. Ruch prostoliniowy punktu nazywamy ruchem jednostajnym, gdy punkt w równych czasach, bez względu na ich długość, równe opisuje drogi. Każdy inny ruch nazywamy niejednostajnym, czyli zmiennym. Jeżeli więc w następujących po sobie jmzedziałach t czasu punkt opisuje równe drogi, w innych zaś przedziałach t' już to nie zachodzi, to ruch punktu jest zmienny.

3. Ruch jednostajny. Z podanego określenia wynika, że przy ruchu jednostajnym punkt opisuje w następujących po sobie jednostkach czasu, dowolnie zresztą obranych, równe drogi, — że zatym stosunek drogi do czasu jest stały. Ten stosunek, czyli — co na jedno wychodzi — tę drogę, którą punkt opisuje w jednostce czasu, nazywamy prędkością (chyżością, szybkością) ruchu jednostajnego prostoliniowego. Ruch jednostajny jest określony co do czasu przez prędkość, którą oznaczać będziemy literami v, c (velocitas, celeritas).

Jeżeli punkt m w czasie t (to znaczy: do końca przedziału t czasu) opisał drogę s, to wyrażenie na drogę będzie :

0)

s = vt,

gdzie v oznacza prędkość tego ruchu. Wartość liczebna prędkości zależy od jednostek, użytych do mierzenia długości i czasu. Wybrawszy pewną jednostkę czasu, wyrażamy prędkość przez liczbę, mianowaną według użytej jednostki długości. Jeżeli przyjmiemy sekundę, t. j. 86400-ną część średniego dnia słonecznego, jako jednostkę czasu, a centymetr jako jednostkę długości, natenczas prędkość wyrazimy przez ilość centymetrów, przebytych podczas sekundy, czyli, jak się krócej mówić zwykło, w centymetrach na sekundę.

Równanie (1), wyrażające związek między drogą a czasem, zowiemy «równaniem ruchu» jednostajnego prostolinijowego. Możemy ten ruch wyrazić także tym sposobem, że wyznaczamy w każdej chwili odległość poruszającego się punktu od punktu stałego, dowolnie na torze obranego. Niechaj O będzie takim punktem, od którego rozważamy ruch punktu rn, a M miejscem poruszającego się punktu, od którego liczymy czas, to, kładąc OM — S, otrzymamy

(2)

s = S -f v t,

jako równanie tego ruchu. Ono bowiem określa w każdej chwili miejsce punktu przez odległość jego od punktu O, i wyraża zarazem warunek, że w każdej jednostce czasu taż sama droga v =    — S) : t opisaną została.

Gdyby punkt m poruszał się ku M, natenczas s = S — vt byłoby równaniem ruchu, Punkt M wyobraża tak zw⁷ane miejsce początkowm, czyli położenie początkowe punktu m*

Z powyższych dwu postaci równania ruchu jednostajnego okazuje się, iż droga, opisana podczas ruchu jednostajnego i prostoliniowego, jest funkcyją linijową, t. j. stopnia 1-go, względem czasu, i że, nawzajem, związek linijowy między drogą prostolinijowTą punktu a czasem wskazuje, że ruch tego punktu jest jednostajny. Spółczynnik czasu w równaniu ruchu przedstawia prędkość tego ruchu. —

Rzucajmy punkt m w każdym położeniu podczas jego ruchu jednostajnego prostolinijowego prostopadle na daną prostą ab, która z torem jego (m) tworzy kąt a, i niechaj M' i ni będą rzutami punktów M i m. Wtedy droga rzutu m' wyrazi się przez równanie = MW — Mm . cos a = s . cosa— = v cos o.. t, z którego się okazuje, że rzut punktu m porusza się na prostej ab jednostajnie z prędkością Tcosa, co wyrażamy krótko, mówiąc, że prędkość rzutu jest rzutem prędkości. To twierdzenie jest także prawdziwe dla rzutów ukośnych na prostą.

Powyższe twierdzenie, przy którego pomocy z prędkości rzutu możemy wyznaczyć prędkość punktu samego, pozwala zastosować metodę spółrzędnych do przedstawienia ruchu jednostajnego. Jakoż, niechaj układ prostokątny osi spółrzędnych Ox, Oy, Oz wyobraża układ odniesienia, a x, y, z niech będą w tym układzie społrzędnymi punktu.w, określającymi miejsce tego punktu w przestrzeni. Jeżeli a, b i c są dostawami kierunkowymi prostej (pi) względem osi, to

vx — av, vy ~ bv, vz = cv

są odpowiednio prędkościami rzutów mx, my, mz punktu m na osiach. Według zatym twierdzenia o rzutach prędkości, mamy

x — X + vxt, y — Y + vyt, z — Z -f vzt,

gdzie X, Y, Z są społrzędnymi miejsca początkowego M. Ruch zatym jednostajny prostolinij owy wyraża się przez trzy równania linijowe między spół-rzędnymi i czasem. — Nawzajem, takie trzy równania określają zawsze ruch jednostajny prostolinij owy. Jakoż, rugując z tych równań czas t, otrzymamy dwa równania między społrzędnymi x, y i z, mianowicie :

*-X__ y-Y _z~rA

Vz

vx

wyrażające, że torem punktu poruszającego się jest prosta, przechodząca przez punkt (X, Y, Z), której kierunek wyznaczają spółczynniki stałe vx, vy, vz. Z pierwotnych zaś równań wynika, że te spółczynniki są prędkościami rzutów punktu (x, y. z) na osi spółrzędnych. Na mocy zatym twierdzenia o rzutach otrzymujemy, jako drogę punktu w jednostce czasu,

V — \/VX~ -f Vy² + V,²,

Wielkość stałą, z czego wnosimy, że ruch jest jednostajny.

Łatwo wniesiemy, iż powyższe dowodzenie stosuje się także do spółrzędnych ukośnokątnych. Jeżeli spółrzędne prostokątne wyrazimy przez spółrzę-

dne biegunowe, to otrzymamy także równania rucłiu linijowe względem czasu; zmiana bowiem spółrzędnych wprowadza do rachunku pewne wielkości, od czasu niezależne, a wyrażające tylko związki gieometryczne między spółrzę-dnymi dawnymi i nowymi.

m,’    \

1%

Fig. 1.

4. Skead i rozkead prędkości. W wielu zagadnieniach o ruchu wypada uważać dwa lub więcej ruchów jednostajnych, prostolinijowych, w których punkt bierze udział jednocześnie, a to wskutek tego, że należy do kilku układów niezmiennych, z których każdy taki ruch posiada. Niechaj punkt m (fig. 1) bierze udział w ruchu jednostajnym prostoliniowym układu A,, którego każdy punkt posiada prędkość vy — ma, a nadto wzglę- m dem tego układu porusza .się jednostajnie i prostolinijowo z prędkością v₂ m b; chcemy wyznaczyć ruch punktu m względem innego układu A znajdującego się w spoczynku. Prędkość v,, jaką posiada układ A,, unoszący punkt m z sobą, nazywamy prędkością unoszenia tego punktu.

Z prawa niezależności ruchów wynika, że punkt m opisze w jednostce czasu drogę mb, niezależnie od tego, że ta prosta, jako część układu A,, przesunie się w tymże czasie równolegle o długość ma. Wskutek drugiego ruchu zajmie prosta mb względem układu A₂ położenie am', równoległe do mb\ ponieważ zaś punkt m opisze wzdłuż niej drogę ąm' — mb, przeto punkt m zajmie względem A₂ położenie punktu m'. Miejsce m" punktu m po upływie czasu t otrzymamy podobnym sposobem, odcinając od m długości mc — vvt, i md — v₂t i kreśląc odcinek cm równy i równoległy do md. Z podobieństwa trójkątów mam¹ i mcm" wynika, że punkty m, m', m",... leżą na tej samej prostej, i że mm" — mm'. t, że zatym ruch punktu m jest prostolini-jowy i jednostajny, a długość mm' przedstawia prędkość tego ruchu.

Opisane powyżej postępowanie nazywamy składaniem, albo składem dwu ruchów jednostajnych; a ponieważ ono sprowadza się właściwie do rozważania dwu prędkości, przeto mamy tu skład dwu prędkości. Dane prędkości mc, mb zowiemy prędkościami składowymi, prędkość zaś mm’ pręd-kością wypadkową. Z figury widzimy, że prędkość wypadkowa co do wielkości i co do kierunku jest przekątną równoległoboku mavi'b, wystawionego na prędkościach składowych; albo inaczej, trzecim bokiem trójkąta mam' lub mbm', którego dwa boki w dowolnym porządku przedstawiają prędkości składowe co do wielkości i co do kierunku. Z tego się okazuje,⁻popiórwsze, że prędkość wypadkowa pozostaje taż sama, którakolwiek z danych prędkości jest prędkością unoszenia punktu, i powtóre, że prędkości składowe i ich wypadkowa leżą na tej samej płaszczyźnie.

Gdyby dana była prędkość mm', moglibyśmy, odwrotnie, wyznaczyć dwie prędkości w kierunkach prostych ma i mb, których wypadkową byłaby właśnie prędkość dana. To postępowanie nazywamy rozkładem prędkości. Długości boków równoległoboku, którego przekątną jest prędkość dana mm’, mających dane kierunki, przedstawiają szukane prędkości składowe. Ponieważ mm' jest przekątną nieskończenie wielu równoległoboków, przeto zadanie o rozkładzie prędkości posiada nieskończenie wiele rozwiązań i wtedy dopiero staje się oznaczonym, gdy dane są bądź kierunki obudwu prędkości składowych, bądź kierunek i wielkość jednej z nich Jeżeli bowiem składowa ma jest dana, to arn' wyobraża drugą prędkość składową. —

Punkt m może brać udział w dowolnie wielu ruchach jednostajnych i prostoliniowych. Niechaj punkt m porusza się względem układu A z prędkością vl: układ A, unosi go z prędkością v₂ względem układu A.,, układ A₂ unosi A, wraz z punktem m z prędkością v₃ względem układu A i t. d., nakoniec układ A„_i unosi układy A1? A₂, A₃,...,A„_₂ wraz z punktem m z prędkością vn względem układu A„. Wypadkowa vi2 prędkości vt i v₂, uważana jako prosta układu A₂, zostaje uniesioną równolegle z prędkością v₃ względem A₃; składając zatym v₁₂ z prędkością v₃, otrzymalibyśmy prędkość vu punktu m względem A₃, gdyby ten układ A₃ był w spoczynku. Ta wypadkowa, uważana jako prosta układu A₃, zostaje uniesioną z prędkością względem A₄, wypadkowa zatym vVk prędkości vu i vt byłaby prędkością punktu m względem A₄, gdyby ten układ był w spoczynku. Postępując podobnie z pozostałymi prędkościami, otrzymamy prędkość vl n—y, która, uważana jako prosta układu A„_i, zostaje uniesioną z prędkością v„ względem układu nieruchomego A». Wypadkowa V\n — v prędkości vl n~t i będzie zatym szukaną prędkością punktu m względem układu A».

Skład powyższych prędkości może być dokonany w ten sposób, iż do prędkości vt = max (fig. 2) przykładamy v₂ — axa₂, do niej v₃ — a₂a₃ i t. d., nakoniec do vn_₁ = a₃a„-i przykładamy vn~an-\an\ wtedy proste ma₂,

«1

'•s

'n

Fig. 2.

?na₃,..., mąn-\ przedstawiają kolejno prędkości vi2, vn,..., Vx n—x, a prosta m an przedstawia prędkość żądaną v. Tę prędkość zowicmy wypadkową danych n prędkości, które są jej składowymi. Prędkość wypadkowa określa ruch bezwzględny punktu m, który, co podobnie jak przy dwu prędkościach okazać można, jest prostolinijowy i jednostajna ny. Z figury okazuje się, że skład ilukolwiek prędkości dokonywa się zapomocą wieloboku, którego następujące po sobie boki przedsta--wiają kolejno prędkości składowe; bok zaś ostatni, czyli zamykający, daje prędkość wypadkową. Taki wielobok zowiemy w i e 1 o b o-kiem prędkości. Z gieometryi wiadomo, iż długość man jest niezależna od porządku, w jakim przykładamy do siebie długości m ax, ata₂,.. prędkość zatym wypadkowa nie zależy od jDorządku, w jakim dokonywamy

składu prędkości danych. Widoczna, że prędkość wypadkową otrzymalibyśmy także, rozdzielając prędkości dane na dwie lub więcej grup i składając wypadkowe tych grup.

W przypadku szczególnym, kiedy ostatni wierzchołek an wieloboku prędkości zejdzie się razem z początkowym m, prędkość punktu względem układu nieruchomego A„ będzie zorem, co oznacza, iż punkt pozostaje w spoczynku względem tego układu. W tym przypadku mówimy, źe dane prędkości wzajemnie się znoszą. Wypadkowa n—1 prędkości jest wtedy równa i o kierunku wprost przeciwnym n-tej prędkości. Dwie prędkości równe i o kierunkach wprost przeciwnych znoszą się.

Nawzajem, dana prędkość v może być rozłożona na n innych prędkości, których ona jest wypadkową. To zadanie jest podobnie nieoznaczone, jak odpowiednie przy dwu prędkościach. Mając n — 1 prędkości składowych vx,..., vlt—i, można wyznaczyć w-tą składową zapomocą wieloboku. —

Prędkość punktu możemy zawsze rozłożyć na trzy prędkości w kierunkach trzech prostych, przez ten sam punkt przesuniętych i nie leżących na jednej płaszczyźnie. Jakoż, niechaj mx, my, mz będą takie proste, a v niech będzie prędkością punktu m. Przesuńmy płaszczyznę przez v i mx, która płaszczyznę y mg przetnie według prostej mi, i rozłóżmy v na dwie składowe: vx wzdłuż mx i Vi wzdłuż mi. Ponieważ prędkość vt leży na płaszczyźnie y mg, przeto możemy ją rozłożyć na dwie prędkości vy i vz, wzdłuż prostych my i mg, i otrzymamy żądane trzy składowe vx, vy, vz prędkości v wzdłuż danych prostych. Gdyby te trzy proste na jednej leżały płaszczyźnie, prędkość v takźeby leżała na tej płaszczyźnie; inaczej rozkład byłby niemożebny.

Przy rozkładzie prędkości v na vx i v~ otrzymujemy vx, przesuwając przez punkt końcowy prędkości v prostą, równoległą do mi, lub, mówiąc inaczej, rzucając prędkość v na prostą mx równolegle do płaszczyzny y mg. Ponieważ podobnym sposobem otrzymujemy vy i vz, przeto każda z trzech składowych danej prędkości jest jej rzutem na odpowiednią prostą, równoległym do płaszczyzny, przesuniętej przez dwie pozostałe proste. A ponieważ, gdy dane są kierunki krawędzi równoległościanu, schodzących się w tym samym wierzchołku, i dana wielkość i kierunek jego przekątnej, przechodzącej przez tenże wierzchołek, wielkości każdej z owych krawędzi są oznaczone, przeto prędkość punktu daje się jednym tylko sposobem rozłożyć na trzy prędkości w kierunkach trzech prostych, nie będących równoległymi do tćj samej płaszczyzny.

5. Podana metoda rozkładania prędkości pozwala obliczyć wypadkową ilukolwiek prędkości punktu m. Wystawmy w tym celu w punkcie O prostokątny układ osi Spółrzędnych Ox, O y i O# i oznaczmy przez aif ß,-, y, kąty kierunkowe prędkości składowej Vi, gdzie wskaźnik i oznacza którąkolwiek z liczb 1, 2, 3,... ,n — 1, n. Rozłóżmy każdą z n danych prędkości na trzy składowe prostokątne vix, viy, viz w kierunkach osi Ox, Oy, Oz\ wówczas

Stosując do wieloboku prędkości znane twierdzenie, że suma algiebraiczna rzutów wszystkich boków wieloboku zamkniętego na dowolną prostą jest ze-otrzymamy dla rzutów vx, vy, vz prędkości wypadkowej następujące

rem, wartości :

Zł

V X Żj r ix , Vy X Vjy , Vz X V j

gdzie znak sumy algiebraicznćj X odnosi się do wszystkich wartości wskaźnika i od i — 1 do i — n. Prędkość zatym wypadkowa będzie

V == }/ Vx² + Vvl -f Vz²,

gdzie pierwiastek ma być pojęty jako dodatny; kierunek tej prędkości wyznacza związek

cos a : cos ß : cos y = vx : vy : i\,

w którym a, ß, y są jéj kątami kierunkowymi.

Obierzmy dowolnie trzy proste, l^, lżb, które nie przechodzą przez ten sam punkt i nie są równoległe do tćj samej płaszczyzny, i niechaj aA, J>x, c, ; «2! &2> O; °3i bai c3 oznaczają odpowiednio ich dostawy kierunkowe względem osi spółrzędnych. Rzućmy prędkość «ą prostokątnie na każdą z tych prostych, i niechaj i\t, r^, będą jéj rzutami odpowiednio na L, lri i natenczas

vą atvix -j- byViy + CjVi

Vjl] a₂Vix ~i~ b'jVjy "j- C₂Vtz ; Vię a₃vix + b₃ViV -f c₃viz.

Oznaczmy odpowiednio |irzez i's, ^ rzuty prostokątne prędkości wypadkowej v na też proste, to

— Evç = «pv + My + Cjtą,

^ = Xvt7] ~ a₂vx + b₂vy -f c₂vz,

= a₃vx 4- b₃Vy 4- c₃vz.

Jeżeli dane prędkości i\ znoszą się, to «=0; będą zatym miały miejsce jednocześnie trzy równania

Xete = 0, X»,-j,:=0, s®ir = o.

I nawzajem, skoro te trzy warunki zachodzą, to zj = 0, a zatym prędkości dane się znoszą. Te trzy równania warunkowe dają także:

X Vit = 0, X vu, = 0, X Viç ~ 0 ;

i nawzajem, skoro ostatnie trzy równania zachodzą, to ^=0,    —0, tąrzzO,

a zatym r — 0, wyznacznik bowiem układu spółczynników

cii >    ? O

A .- Clo , ^2 , C2

rt3 > ^3 J b3

nie jest zerem, gdyż równanie A = 0 wyrażałoby, że powyższe trzy proste są równoległe do jednej płaszczyzny, co się sprzeciwia założeniu. Mamy zatym

następujące twierdzenie:* Aby ilekohviek prędkości znosiło sie nawzajem, potrzeba i wystarcza, żeby suma algiebraiczna ich rzutów prostokątnych na trzy dowolne proste, nierównoległe do tej samej płaszczyzny, była zerem dla każdej prostej zosobna.

wiz

6. Ruch zmienny. Zachowywanie się punktu podczas ruchu zmiennego względem czasu możemy rozpoznać przez porównanie tego ruchu z ruchem jednostajnym. Niechaj prosta (m) (fig. 3) będzie torem punktu m, poruszającego się

niejednostajnie, a mx, m₂, w₃,... niechaj (nö-p

oznaczają jego kolejne miejsca w odstępach

równych, zresztą dowolnych, przedziałów z ^ _i_

Fig. 3.

czasu. Drogi mtm₂, m₂m₃,... są z założenia ni nierówne. Weźmy drugi punkt n, poruszający się razem z punktem m (co na rysunku tak przedstawiamy, jakby tory obudwu punktów były równoległe) ale tak, iż do miejsc mt, m₂, m₃,... przybywa jednocześnie z m, a między dwoma takimi miejscami porusza się jednostajnie. Z tego warunku wynika, że prędkość punktu n na drodze mgn₂ będzie inna, niż na drodze m₂m₃, i t. d., a jeżeli te prędkości oznaczymy przez vit v₂, vs,... i nazwiemy st = mpn₂, s₂ — m₂m₃,..., to

So    £3

v-z = ~, v₃ = — z    z

V‘ = T

Si

T ’    '

Między ruchami obudwu punktów zachodzi zgodność tylko otyłe, że obadwa punkty przybywają równocześnie do miejsc mt, m₂,.... Im mniejszy przedział r czasu obierzemy, tym mniejsze będą drogi, w tym więcej zatym miejscach obadwa punkty razem się z sobą schodzić będą. Jeżeli ten przedział czasu nieograniczenie maleje, to obadwa punkty będą się razem schodziły w nieskończenie wielu miejscach. Możemy przeto osiągnąć zupełną zgodność ich ruchów, uważając te ruchy w przedziałach czasu nieskończenie małych, czyli, jak się wyrażamy, w elementach czasu, z których każdy uważać należy za nieskończenie mały przyrost czasu, po upływie którego obadwa punkty zajmują toż samo miejsce. Jeżeli więc obadwa punkty opisały do końca czasu t drogę s, a ten czas wzrośnie o dt, droga zaś obudwu punktów o ds, to, sto-

cl s

sownie do pojęcia granicy i określenia prędkości, granica stosunku będzie

prędkością, z jaką punkt n opisuje drogę ds. Tę prędkość punktu n należy uważać za odpowiednią temu miejscu, które obadwa punkty zajmują po upływie tego samego czasu. Wyznaczoną tym sposobem prędkość punktu n, poruszającego się jednostajnie i zgodnie z punktem m podczas elementu czasu, nazywamy prędkością ruchu punktu m w tym miejscu, dla którego wyznaczoną została. Używając słownictwa rachunku różniczkowego, możemy dać następujące określenie ogólne: prędkością ruchu prostolinijowego punktu nazywamy pierwszą pochodną drogi względem czasu. Oznaczając prędkość przez v, mamy ogólnie

(1)

ds

V— df

Ruch punktu będzie określony, jeżeli znamy związek między drogą a czasem, pozwalający wyznaczyć miejsce punktu w każdej chwili. Taki związek nazywamy równaniem rue li u, a piszemy je ogólnie :

5 — F (tj,

gdzie F jest znakiem funkcyi dobrze określonej. Różniczkując to równanie względem t, otrzymamy ds — F'(t).dt, a zatym

(2)

v — F '(t).

Podstawiając w funkcyi pocliodnéj F'(t) zamiast czasu t wartość, odpowiadającą miejscu uważanemu, otrzymujemy prędkość punktu w tym miejscu. Prędkość v, dla danego czasu t obliczoną, nazywamy krótko: prędkością punktu w czasie t.

Powyższe określenie prędkości, którego źródłem jest ruch jednostajny, stosuje się także do tego ruchu. Z równania bowiem tego ruchu s — vt,

Ćl S    *

lub s = S -f- vt, wynika -= v. Jeżeli droga punktu nie jest funkcyją lini-

Cl t

jową czasu, ruch jest niejednostajny, i odwrotnie. Prędkość ruchu jednostajnego jest stała, prędkość ruchu niejednostajnego jest funkcyją czasu.

Z równania (1) wynika :

(3)

ds — v. dt\

skoro zatym dany jest związek między prędkością a czasem, v — y(t), to droga s, opisana w przedziale czasu od ty do t₂, wyrazi się zapomocą wzoru

(4)

S—    v .dt — I

Jh Jh

<p(t) .dt.

Możemy więc ruch niejednostajny określić także przez prędkość w funkcyi czasu, a do równania ruchu dochodzimy przez całkowanie. Nakoniec mamy cl s

dt — —-, co pozwala obliczyć czas potrzebny do opisania pewnej drogi,

skoro wiadomy jest związek między drogą a prędkością.

Skład prędkości, któryśmy poprzednio okazali dla ruchów jednostajnych, stosuje się także do ruchów niejednostajnych, z tą jednak różnicą, iż należy te ruchy brać w nieskończenie małym przedziale czasu, w którym je jako jednostajne uważamy. Nieskończenie mały ruch punktu nazywamy jego ruchem chwilowym, lub także ruchem elementarnym. Skład zatym prędkości można uważać ogólnie za skład chwilowych ruchów prostolinijowych, a ponieważ wiadomo, że prędkość wypadkowa nie zależy od porządku, w jakim

tego składu dokonywamy, przeto widzimy, iż ruchy chwilowe punktu mogą być składane tu dowolnym porządku. Skład prędkości możemy także tak pojmować, że punktowi zostają jednocześnie udzielone ruchy chwilowe, a to tym sposobem, że punkt należy do kilku układów niezmiennych , A₂,..., A„_i, z których każdy posiada swój własny ruch względem układu nieruchomego A„. Wskutek chwilowego ruchu każdego z tych układów otrzymuje punkt jednocześnie pewne prędkości v1} v₂,... których wypadkowa jest prędkością ruchu chwilowego tego punktu względem układu A„. Takie pojmowanie składu i odpowiednie pojmowanie rozkładu prędkości jest zupełnie zgodne z prawem niezależności ruchów.

7. Ruch jednostajnie zmienny. Prędkość ruchu zmiennego wzrasta lub ubywa z czasem, co wyrażamy mówiąc, że ruch taki jest odpowiednio ruchem przyśpieszonym lub ruchem opóźnionym. Najprostszy z tych ruchów będzie ruch taki, w którym przyrosty lub ubytki prędkości w równych czasach są równe sobie. Taki ruch nazywamy wogólności ruchem jednostajnie zmiennym. Z określenia tego ruchu wynika, że przyrost lub ubytek prędkości w jednostce czasu jest stały. Przyrost prędkości ruchu jednostajnie przyśpieszonego w jednostce czasu nazywamy przyśpieszeniem, a ubytek prędkości ruchu jednostajnie opóźnionego w jednostce czasu nazywamy opóźnieniem ruchu rozważanego. Ponieważ opóźnienie można uważać jako przyśpieszenie ujemne, przeto mówimy ogólnie o przyśpieszeniu ruchu jednostajnie zmiennego, pojmując je jako dodatne lub ujemne, według tego czy zachodzi przyrost, czytóź ubytek prędkości.

Jeżeli c jest prędkością początkową ruchu (dla t — 0), a y przyśpieszeniem, to prędkość ruchu jednostajnie zmiennego w czasie t wyrazi się wzorem:

(1)

v — c + y t.

Ten związek wskazuje widocznie, że ruch jest jednostajnie zmienny; możemy przeto naodwrót uważać go za równanie tego ruchu. Liczmy czas od spoczynku; to przy t~0 jest c — 0, a zatym r = yt. Równanie (4) art. 6-go daje dla odległości punktu od miejsca początkowego wyrażenie

(2) cechujące ruch jednostajnie zmienny, gdzie S oznacza tę odległość w czasie

— 0. Droga punktu w czasie t wynosi s — S = et -J- A-1². Licząc czas od

spoczynku i obierając początek odległości s w miejscu, w którym ruch się rozpoczyna, otrzymamy S — 0, c — 0, co daje

(3)

jem, jeżeli droga wyraża się zapomocą funkcyi stopnia 2-go czasu, to ruch jest jednostajnie zmienny, albowiem prędkość jest wtedy funkcyją linijową czasu. Rugując czas z wyrażeń na v> i s, otrzymamy:

(3')

2 y ’

co daje związek między drogą a prędkością przy końcu tej drogi. Z równania (3) wynika

v — \/ 2ys,

(3”)

Vt

z czego obliczamy czas, potrzebny na opisanie drogi s. Rozwiązując równanie ogólne (2) względem t, otrzymamy dwa pierwiastki, z których tylko pierwiastek dodatny przedstawia czas, potrzebny na opisanie drogi s — S.

S y £ V

Ponieważ —- =    = —, przeto widzimy, że punkt musiałby się poru-

Z A A

szać jednostajnie z prędkością, równą połowie prędkości końcowej, aby jednocześnie z punktem, odbywającym ruch jednostajnie zmienny, opisał tę sarnę drogę.

Kładąc w równaniu (3) t — 1, oznaczmy przez odpowiednią drogę;

wtedy    , czyli y — 2^; a zatym przyśpieszenie równa się podwójnej

drodze, jakiej punkt, toyszcdszy ze spoczynku, dokony wa to pierwszej jednostce czasu. To twierdzenie pozwala wyznaczyć łatwym sposobem przyśpieszenie ruchu jednostajnie zmiennego.

Drogi, opisywane od wyjścia ze stanu spoczynku do końca jednej, dwu, trzech i t, d. jednostek czasu, są proporcyjonalne względem kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Z równania (3) wynika jeszcze, że drogi, opisywane podczas pierwszej, drugiej, trzeciej i t. d. jednostki czasu, są proporcyjonalne względem kolejnych liczb nieparzystych. Jakoż, podstawmy kolejno za czas wartości: n, n-\-1; wówczas drogi sn, sn±i, opisane do końca tych czasów,

y (n + l)¹ .

; droga zatym, podczas (n + l)-éj jednostki

będą sn = ~~

czasu opisana, wynosi

sn —

Y (2n + ł)> Przy n — 0, 1,2, 3, 4,..

t. j.

Gj .    . Gg • G^ .... —— 1 . 3 . O . 7.....

Przyśpieszenie mianujemy według użytej jednostki długości (np. w centymetrach na sekundę), a rozmaite ruchy jednostajnie zmienne odróżniamy od siebie według wielkości przyśpieszenia.

Jeżeli punkt poruszający się rzucimy w każdym jego położeniu na daną prostą, która z torem jego tworzy kąt a, to droga jego rzutu będzie ■ C^S--rzut poruszać się więc będzie z przyśpieszeniem y cos a, co oznacza, że przyśpieszenie rzutu jest rzutem przyśpieszenia. To twierdzenie pozwala ruch powyższy przedstawić zapomocą spółrzędnych. Niech x, y i z będą spółrzę-dnymi punktu, poruszającego się względem nieruchomych osi prostokątnych, c niech będzie jego prędkością początkową, y zaś przyśpieszeniem. Rzuty cr, cy, cz prędkości c i rzuty y*, yy, y* przyśpieszenia y określają ruchy jednostajnie zmienne trzech rzutów punktu wzdłuż osi. Jeżeli zatym X, Y i Z są spółrzędnymi miejsca początkowego, to otrzymamy :

x = X + c,t + ^f-,

(4)

y = Y + c„t + l£-,

₀ = Z + ctt + ^₂-.

Te równania określają ruch punktu m i dlatego także równaniami ruchu tego punktu bywają nazywane. Jeżeli tor punktu tworzy z osiami spółrzędnych kąty X, {i i v, to

(5)

cx : cy\cz — y* : yy : y* — cos X : cos : cos v.

Można okazać, że trzy równania między spółrzędnymi a czasem, do których czas wchodzi w potędze 2-ćj, mianowicie

(6)

x — X + a xt + a₂t², y — Y -f b tt + ht², z = Z + c \t + c₂t²,

tylko pod tym warunkiem wskazują, że ruch jest prostolinijowy i jednostajnie zmienny, jeżeli między ich spółczynnikami zachodzi związek

(7)

ct\. b\ .Ci — a₂ ■ b₂1 C2 •

Jakoż, pomnóżmy równania (6) odpowiednio przez b₂c₂, c₂a₂, a₂b₂ ; otrzymamy:

b₂c₂(x — X — ait) = c₂a₂(y — Y — bxt) — a₂b₂(z — Z — cxt), albo, po uporządkowaniu,

b₂(x— X) — a₂{y — Y) = t{axb₂ — a₂bx), c₂(y — Y) — b₂(z — Z)=:t(biC₂ — b₂Ci), a₂(z—Z) —c₂(x — X) = t (Cj a₂ — c₂ax).

Pomnóżmy ostatnie równania odpowiednio przez c1} ay i bx i dodajmy je stronami odpowiednimi; wówczas

(8)    (b₂cx—c₂bi ) (x—X) -f {c₂a t—a₂ct)(y—Y) -f (a₂bi—b₂ax )(z—Z)=0.

Z tego równania okazuje się, że punkt porusza się w pewnej płaszczyźnie, przechodzącej przez punkt (X, Y, Z). Jeżeli tor punktu ma być liniją prostą, to powyższa płaszczyzna jest nieoznaczona; i nawzajem, jeżeli ta płaszczyzna jest nieoznaczona, ruch będzie prostolinijowy. A zatym spółczynniki równa-

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. X.

nia (8) są, każdy z osobna, zerami, co ma miejsce, gdy między spółczynnika-mi pierwotnych równań (6) zachodzi związek (7), c. n. d. Z poprzedniego twierdzenia wynika nadto, źe każdy rzut punktu odbywa ruch jednostajnie zmienny, a zatym punkt także taki ruch odbywa, o prędkości początkowej \/«i² +    ² + Ci², a przyśpieszeniu 2}/a./ -J- &2² + c₂².

8. Spadek pionowy i ukośny punktu. Jeżeli ciało materyjalne, samemu sobie zostawione, z niewielkiej wysokości spada pionowo na ziemię, to ruch każdego z punktów ciała j est j ednostajnie przyśpieszony. Przyśpieszenie każdego punktu ciała spadającego jest to samo co do wielkości i kierunku, a przeto rozpoznamy prawa spadania ciała, uważając spadanie pionowe punktu na ziemię. Przyjmujemy przytym, źe punkt spada w próżni.

Galileo Galilei pierwszy okazał, źe spadek pionowy, zwany także wolnym, lub SAYobodnym, jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym i źe przyśpieszenie nie zależy ani od wielkości, ani od własności fizycznych ciała spadającego. Późniejsze doświadczenia stwierdziły doktrynę Galileusza, a nadto okazały, źe przyśpieszenie przy spadku ciał zależy od szerokości gieograficznéj miejsca i od jego wzniesienia nad powierzchnią morza. W szerokości gieograficznéj Paryża np. to przyśpieszenie wynosi w jednej sekundzie 980,9 centymetra; najmniejsze jest na równiku, a największe na biegunach. Później poznamy dokładnie prawa téj zmiany przyśpieszenia; nateraz możemy powyższą wartość liczebną uważać jako przybliżoną wielkość tego jirzyśpieszenia we wszystkich miejscach strefy umiarkowanej w niewielkich wysokościach nad powierzchnią morza. Przyśpieszenie podczas wolnego spadku w pewnym miejscu na ziemi oznaczamy zawsze literą g. W Warszawie wolno puszczony punkt, na ziemię

spadający, przebiega w pierwszej sekundzie drogę ~ — 490,6 cm.

Równanie spadku jest

s — gł2

s- ₂ ,

jeżeli zaś punkt posiada prędkość pionową początkową c, to

9?

S = ct + -T.

Przyjmując w równaniach art. 7-go dla przyśpieszenia y wszędzie wartość g, otrzymamy ogólnie v c + gt, a wrazi®, gdy początkowa prędkość pionowa c = 0, mieć będziemy jako prawa spadku pionowego :

£.2 _______

v=zgti s — --,    v = \/‘2gs

Ruch ciała, podrzuconego pionowo w górę z pewną prędkością początkową c, jest jednostajnie opóźniony, a g jest opóźnieniem tego ruchu. Dla każdego zatym punktu ciała będzie

gt²

v~c, — g t, s—ct —

Punkt rzucony znajdować się będzie wtedy w spoczynku, kiedy prędkość jego v

c

przybierze wartość zero, a zatym po upływie — jednostek czasu. Droga

9

.    c²

opisana podczas tego ruchu opóźnionego wynosi ; jest zatym równa tej

wysokości, z jakiej punkt spadać ma na ziemię, aby przy końcu spadku miał tę sarnę jn-ędkość e, z jaką, zaczynał się podnosić. Punkt spadnie na ziemię w tym samym czasie, w którym doszedł do końca swej drogi przy podno-

2 c

szeniu się; wróci zatym na ziemię po wyrzuceniu go w czasie , a jego pręch

kość końcowa będzie równa początkowej. —

Jeżeli punkt, samemu sobie zostawiony, spada po prostej, która z poziomem tworzy kąt a, to jego ruch jest także jednostajnie przyśpieszony, a przyśpieszenie wynosi (/sina; jest więc ono proporcyjonalne względem wstawy kąta nachylenia drogi do poziomu. Otrzymamy zatym związki między drogą, czasem i prędkością dla spadku ukośnego, kładąc w poprzednich wzorach g sin a zamiast g.

Niech ze szczytu A (fig. 4) kola, zakreślonego z punktu O w płaszczyźnie pionowej promieniem r, spada punkt ze spoczynku wzdłuż cięciwy AB, tworzącej z pionem kąt (p, az poziomem kąt a ; przyśpieszenie spadku ukośnego będzie (/sina = r/coscp. Punkt opisze zatym dro-

gę AB w czasie t =

2. AB

waż

AB

cos<p

gcostp =: AC = 2r, przeto

; a ponie-

=4/.

Fig. 4.

Czas więc spadania jest niezależny od kąta i równy czasowi spadania pionowego po średnicy koła. A zatym : jeżeli punkt spada po rozmaitych cięciwach z najwyższego punktu koła mającego położenie pionowe, to po każdej cięciwie przybywa do okręgu koła iv tym samym czasie (twierdzenie Galileusza). Łatwo okazać, że to twierdzenie może być odwrócone, t. j., że miejscem gieometrycznym punktów, do których punkt, spadający z miejsca A po rozmaicie nachylonych prostych, przybywa w tym samym czasie, jest koło w płaszczyźnie pionowej, dla którego A jest punktem najwyższym. Jakoż, skoro czas t spadku jest

dany, to odpowiednia droga pionowa jest ĄC = d— . Przesuńmy przez

punkt C dwie osi spółrzędnych, oś poziomą Cx i pionową Cy\ wówczas

AB__P^lf/2, skąd dla spółrzędnych x i y punktu B otrzymujemy A

n

x= AB sin cp = ^x-cos <p sin <p, A

y = Ç-^p^=Çsin^.

Rugując z tych równań kąt cp, otrzymamy

x2Jry² — ~y — 0

jako miejsce gieomötryczne tych punktów na płaszczyźnie pionowej, do których punkt, spadając z punktu A, w którym się znajdował w spoczynku, przybywa w czasie t. Miejscem przeto szukanym jest koło, którego średnicą jest odcinek AC linii pionowej.

Prędkość punktu spadającego w punkcie B jest

v = J/ 2g . AB. cos cp — J/ 2g . AD,

zatym taź sama we wszystkich punktach B, Bf, D,..., lezących na tym samym poziomie. Prędkość końcowa punktu, spadającego po linii prostej zdanego miejsca, w którym znajdował się w spoczynku, nie zależy od nachylenia tej prostej do poziomu i dla rozmaitych prostych jest taż sama we wszystkich miejscach, które znajdują się na tym samym poziomie.

9. Buch niejednostajnie zmienny. Tak nazywamy każdy ruch, w którym przyrosty prędkości w równych czasach nie są równe. Niech na fig. 3-ój prosta (m) będzie torem punktu, odbywającego ruch niejednostajnie zmienny, a m,, m₂, m₃,... niech oznaczają miejsca tego punktu iio upływie równych, zresztą dowolnych, przedziałów z czasu. Weźmy pod uwagę inny punkt n, poruszający się jednostajnie z punktem m tak, iź do miejsc ą, m₂,... przybywa razem z ?» i z takąż samą prędkością, jaką punkt m w tych miejscach posiada, a między każdymi dwoma takimi miejscami obdarzony ruchem jednostajnie zmiennym. Jeżeli «?,, v₂,... są prędkościami ruchu obudwu punktów w miejscach w,, m₂, m₃,..., to przyśpieszenia y,, y₂,... punktu n na drogach m₁m₂, m₂m₃,... będą odpowiednio

v₃ — v₂

Yi —

v₂ — v.

Między ruchami obudwu punktów zachodzi zgodność otyłe, że one przybywają po upływie przedziałów z czasu do tych samych miejsc z takąż samą prędkością. Im mniejsze będą te przedziały czasu, w tym więcej miejscach zachodzić będzie zgodność między ruchami obudwu punktów; możemy więc osiągnąć zupełną zgodność między tymi ruchami, uważając je w elementach czasu. Prędkość v, jaką obadwa punkty posiadają po upływie czasu t, wzrośnie w elemencie czasu dt o dv\ granica zatym stosunku będzie przyśpieszeniem

ruchu punktu n, odpowiadającym temu miejscu, jakie obadwa punkty zajmują przy końcu czasu t. Przyśpieszenie ruchu punktu n, odbywającego ruch

jednostajnie zmienny i zgodny z ruchem punktu m przez przeciąg elementu czasu, nazywamy przyśpieszeniem ruchu niejednostajnie zmiennego punktu m. Ponieważ , dt

dv

d /ds\ d²s ,    , .    .    ,

Tlt \dt) ~ dt²’ Prze^° przyspieszenie ruchu prosto-

linijoioego i niejednostajnie zmiennego wyraża się pierwszą pochodną prędkości względem czasu, czyli drugą pochodną drogi względem czasu.

Oznaczając przyśpieszenie punktu m przy końcu czasu t przez y, mamy ogólnie dla każdego ruchu prostolinijowego

O)

_ dv_ <Ps

⁷ “ Tli ~ 1¥

a ponieważ ₇

(l t

(Za (Za (Zs

SJ Su

przeto możemy y wyrazić także wzorem

dv

(2)

Różniczkując dwukrotnie równanie ruchu s=.F(t) względem czasu i oznaczając przez F' i F,f dwie pierwsze pochodne funkcyi F, wyrazimy w każdej chwili prędkość i przyśpieszenie ruchu następuj ącymi wzorami ;

(3)

v = F’(t), y = F "(t),

w których dla t należy nadać wartość odpowiednią.

Powyższe określenie przyśpieszenia stosuje się także do ruchu jedno staj-

Ćl V

nie zmiennego; z równania bowiem v=.c + ąt wynika -y—— y = stałej.

Ci V

Przyśpieszenie ruchu jednostajnego jest zerem; przyśpieszenie ruchu jednostajnie zmiennego ma wartość stałą; przy każdym zaś innym ruchu jest ono funkcyją czasu. Mając przyśpieszenie w funkcyi czasu, otrzymamy z (1):

(4)

dv—y.dt

a więc y=c-j-J*y.dt,    J*c. dt+J*dćJ*y.dt.

Dochodzimy zatym do prędkości ruchu przez jednokrotne, a do drogi opisanej przez dwukrotne całkowanie. Stałe całkowania, pozwalające obliczyć prędkość i drogę dla każdej wartości t, będą wiadome, skoro wiedzieć będziemy tak zwane warunki początkowe ruchu, t. j. prędkość i drogę na początku tego przedziału czasu, od którego ruch zaczynamy rozważać. Rugując czas z wyrażeń dla v i s, otrzymamy związek między drogą a prędkością; rugując go zaś z wyrażeń dla v i y, otrzymamy związek między prędkością a przyśpieszeniem.

Podobnie, jak przez jednokrotne i dwukrotne różniczkowanie drogi względem czasu obliczamy prędkość i przyśpieszenie ruchu prostolinijowego, tak przez różniczkowanie wielokrotne możemy rozpoznać dalsze cechy tegoż ruchu. Przyśpieszeniem rzędu n-go ruchu prostolinij owego nazywamy (n-f-l)-szą pochodną drogi względem czasu, gdzie n jest liczbą całkowitą i dodatną, Oznaczając to przyśpieszenie ogólnie przez y(n\ mamy podług tego :

, ,    (P+'s

•/(»)---

dt

Stosownie do tego określenia prędkość należy przyjmować jako przyśpieszenie rzędu zero, przyśpieszenie zaś w ściślejszym znaczeniu jako przyśpieszenie rzędu pierwszego. Przyśpieszenie rzędu a-go jest granicą stosunku przyrostu przyśpieszenia rzędu («—l)-go w elemencie czasu, do tego elementu czasu, gdy oba wyrazy stosunku zdążają do zera. Przyrost przyśpieszenia rzędu (u — 1) go w elemencie czasu zo-wiemy przyśpieszeniem elementarnym rzędu n-go; możemy zatym przyśpieszenie rzędu n-go określić także jako granicę stosunku przyśpieszenia elementarnego rzędu «-go do elementu czasu. Jeżeli v jest prędkością, to dv jest przyśpieszeniem elementarnćm ruchu rzędu 1-go, a zatym przyśpieszeniem rzędu

1-go. Z wiadomego przyśpieszenia rzędu n-go otrzymujemy drogę wskutek (a-f- 1)-krotnego całkowania, a stałe całkowania wyznaczamy z wiadomych warunków początkowych.

Z powyższych określeń widzimy, iż z danego związku między drogą a czasem możemy rozpoznać wszelkie cechy ruchu, a gdyby ten związek nie był wprost dany, należy go wyznaczyć przez całkowanie, aby potym dochodzić własności ruchu.

10. Ruch kezywolinijowy. Poznajemy cechy i własności krzywolini-jowego ruchu punktu przez rozkład tego ruchu na ruchy elementarne, odbywające się w nieskończenie małych przedziałach czasu.

Granica kierunku prostej, która łączy miejsce punktu w czasie t z bezpośrednio następującym miejscem jego w czasie t-\-dt, wyznacza kierunek ruchu tego punktu. Ponieważ granicą tej prostej jest styczna do toru punktu, przesunięta w miejscu, które punkt zajmuje w czasie t, przeto ta styczna wyznacza kierunek ruchu. W elemencie czasu przyjmujemy ruch jako prostoliniowy; skoro zatym punkt do końca czasu t opisał drogę s, a w czasie dt drogę ds, to prędkość tego ruchu elementarnego w kierunku stycznej według poprzednich określeń będzie :

(1)

ds

dt *

Tę wielkość nazywamy prędkością krzywolinijowego ruchu punktu w tym miejscu na torze, które odpowiada obranej wartości dla t. Drogę s liczymy przy-tym od pewnego, zresztą dowolnie obranego, miejsca na torze poruszającego się punktu. Określenie prędkości, jako pierwszej pochodnej drogi względem czasu, stosuje się zatym do każdego ruchu punktu, jeżeli tylko kierunek ruchu przyjmujemy zarazem jako kierunek prędkości. Jeżeli prędkość jest stała, to ruch nazywamy jednostajnym, bez względu na tor poruszającego się punktu. Wszystkie twierdzenia o ruchu pro sto łinij owym i jednostajnym możemy zastosować do ruchu elementarnego na linii krzywej.

Niech x, y i z będą spółrzędnymi prostokątnymi miejsca m poruszającego się punktu, które on zajmuje w czasie t\ wówczas x -f- dx, yĄ-dyisĄ-dz będą spółrzędnymi jego miejsca sąsiedniego w czasie tĄ-dt, a różniczki dx,

dy i dz oznaczają drogi, jakie rzuty tego punktu opisują na osiach spółrzę-dnycli w przedziale dt czasu. Z tego wynika, że rzuty prędkości v na osi spółrzędnych wyrażają się wzorami

(2)

dx

dy

Vx=dt’ * =dt’ * =

dz

dr

z których wynika nowe wyrażenie prędkości ruchu

(3)

■=KS)'+©‘⁺(§)‘

Ten wrzór daje wartość, a równania (2) wyznaczają kierunek prędkości. Stosujemy powyższe wzory wtedy, kiedy ruch punktu określony jest zapomocą trzech równań

(4)

dozwalających wyznaczyć miejsce punktu w każdym czasie, a które nazywamy równaniami ruchu. Rugując z tych równań parameter t, otrzymamy dwa równania między x, y i z, które wyznaczają tor punktu. Rugowanie czasu nie jest atoli koniecznie potrzebne; możemy bowiem dochodzić własności linii krzywej, której spółrzędne punktowe są funkcyjami pewnego parametru, zachowując ów parametr w toku rachunku. —

cl oc    dy    d z

Pochodne ——, -T-, mają znaczenie składowych prędkości pun-Cl 0    Cl 0    Cl z

ktu, branych w kierunkach osi spółrzędnych. Wyznaczywszy te pochodne z równań ruchu, możemy ruch punktu w każdej chwili rozłożyć na trzy ruchy elementarne w kierunkach osi, i nawzajem, z prędkości tych ruchów możemy wyznaczyć prędkość punktu, składając je wiadomym sposobem (art. 4). Takie postępowanie sprowadza badanie ruchu krzywolinijowego do badania trzech jednoczesnych ruchów prostolinijowych w danych kierunkach, co przedstawia wielkie korzyści.

Każdą z powyższych pochodnych nazywamy prędkością punktu w kierunku odpowiedniej osi spółrzędnych. Jeżeli osi spółrzędnych stanowią układ nieprostokątny, to i wdedy pochodne spółrzędnych względem czasu przedstawiają także składowe prędkości w kierunkach osi (art. 3), a prędkość punktu może być z tych składowych obliczona.

Prędkość punktu możemy także obliczyć, znając jego spółrzędne biegunowe. Niechaj tymi spółrzędnymi punktu będą: promień wodzący r, kąt cp, który promień wodzący tworzy z osią z, i kąt 0, który ślad płaszczyzny, przesuniętej przez r i oś z, na płaszczyźnie xOy tworzy z osią x. Używając

TT

słownictwa gieograficznego, możemy kąt —--<p nazwać szerokością, a kąt 0

A

długością punktu; płaszczyzna, przesunięta przez r i oś z, jest południkiem tego punktu, a płaszczyzna xOz południkiem pierwszym. Co się zaś tyczy kierunków, to r liczymy zawsze od początku układu ku punktowi m, kąt

liczymy od dodatnéj części osi z do promienia r, a kąt 6 liczymy na płaszczyźnie xOy (na równiku) od dodatnéj części osi x ku dodatnéj części osi y. Między spółrzędnymi x, y, z i r, 0, <p mamy związki;

(5)

| X — rcos0 sin<p, y — r sin 0 sin <p,

= r cos <p.

Ttozłóźmy prędkość v na trzy prędkości wzajemnie do siebie prostopadłe; mianowicie na; vr wzdłuż promienia wodzącego r, vp wzdłuż prostopadłej p do tego promienia na płaszczyźnie południka punktu ni, vK wzdłuż prostopadłej iz do tych dwu prostych. Jeżeli przez (l, X) oznaczymy kąt, zawarty między dodatnymi kierunkami dwu prostych l i X, to dostawy kierunkowe prostych r, p i % wyrażą się wzorami :

cos (r, x) = cos 0 sin <p, cos (p, x) = cos 6 cos <p, cosfrc, x) — — sin0,

(6){ cos fr, y) — sin6 sincp, cos(p, y) = sin0 costp, cos(ic, y) = cos0,

cos (p, z) = — sinrp

cos(r, z) = costp,

cos(%, z) — 0.

Różniczkując równania (5) względem t, otrzymamy

dx

dtp

«9

dr

^ r . cos 9 . cos <p .    --r . sin 0 sin cp. -f cos 6 . sin <p . —^

^ . sin 9 cos <p .    + r. cos 0 . sin cp,    -f- sin 0 . sin <p . ^

dt

~h

dr

a obliczając następnie przy pomocy wzorów (6) z tych składowych prędkości v rzuty jéj na proste r, p, tt, otrzymamy nowe składowe prędkości v, wyrażone przy pomocy pochodnych spółrzędnych biegunowych punktu,

dr

r ~~dt’

(7)

Vp -

r.-i-dt ’

«0

Możemy te składowe obliczyć bezpośrednio, bez pomocy spółrzędnych prostokątnych. Prowadząc z punktu m owe trzy proste r, p, %, obierzmy na krzywej (m) punkt nieskończenie bliski m' o spółrzędnych r dr, <p -f Jcp, 0 -f- J0; spółrzędnymi więc punktu m' względem układu owych trzech prostych będą : dr, r. dcp, r . dd . sincp. Te spółrzędne wyobrażają rzuty drogi elementarnej mm' na te trzy proste; dzieląc zatym każdą z nich przez element czasu, otrzymamy odpowiednie prędkości vr, vp, vn.

Jeżeli punkt opisuje krzywą płaską, to w jéj płaszczyźnie obierzmy oś biegunową; wtedy 0 — 0, a zatym vK — 0. Otrzymamy wówczas

dr

r li

dt’

jako prędkości punktu w kierunku promienia wodzącego i w kierunku prostopadłym do promienia.

Ze wzorów (7) i (8) wynika następujące wyrażenie prędkości v,

v°=v'²⁺v+^=(wï+r2 [(4î- Ï+(4fJ sin2,p] ’

a wrazie ruchu po krzywej płaskiej

Równaniami ruchu nazywamy tu równania

(8)

(9)

(10)

au

vr —

dt ’

-f- r².

(©•

r=A(t), <P=//|>,), 8 =/₃ft), określające spółrzędne biegunowe poruszającego się punktu w funkcyi czasu, Między składowymi u*, vyi vz prędkości v, a jéj składowymi vr, vPJ vn zachodzi ta ważna różnica, że kierunki pierwszych są stałe, podczas gdy kierunki drugich składowych zmieniają się ze zmianą miejsca punktu podczas ruchu.

11. Podobnie jak pojęcie prędkości, tak pojęcie przyśpieszenia daje się przenieść z ruchu prostolinijowego na ruch krzywolinijowy.

Przypuśćmy, że punkt opisuje liniją krzywą (m) (fig. 5 a) i przy końcu czasu t znajdzie się w miejscu m, posiadając w kierunku stycznej do toru prędkość v, i że po upływie elementu czasu dt przybywa do miejsca sąsiedniego m’ z prędkością w kierunku stycznej do toru Y = v + dv, różniącą się co do kierunku i wielkości nieskończenie mało od prędkości v. Wykreślmy na fig. 5 b z dowolnego punktu O obiedwie prędkości i rozłóżmy Y na dwie składowe, z których jedna niech będzie v\ wówczas druga składowa będzie nieskoń-czenie mała i ona przedstawi widocznie tę prędkość, której punkt nabywa w elemencie czasu dt i wskutek której prędkość v przybiera co do wielkości i kierunku wartość V.

Ten nieskończenie mały przyrost prędkości w elemencie czasu nazywamy przyśpieszeniem elementarnym ruchu punktu w miejscu m, jakie ten punkt zajmuje przy końcu czasu t, a granicę stosunku przyśpieszenia elementarnego do elementu czasu, w którym ono zachodzi, nazywamy przyśpieszeniem ruchu w punkcie m. Gdy prędkości «; i V rozważać będziemy w ich położeniach właściwych na stycznych do toru w punktach m i m\ to płaszczyzna, przez nie przesunięta, jest płaszczyzną ściśle-

Fig. 5 a.

nn

/df

Fig. 56

Aby wyznaczyć to przyśpieszenie, obierzmy płaszczyznę ściślestyczną do (m) w punkcie m jako płaszczyznę rysunku i wystawmy na niej w punkcie m dwie osi spółrzędnych : oś mt w kierunku stycznej czyli prędkości v, i oś mn w kierunku normalnej głównej ku środkowi krzywizny toru. Prędkość Y czyni z osią mt kąt nieskończenie mały d<p, który liczymy od téj osi ku osi mn; jest on kątem krzywizny toru (m) w punkcie uważanym. Rozłóżmy prędkość Y na dwie składowe, V,; i Yn w kierunkach osi mt i mn; natenczas

styczną do toru w punkcie m; a ponieważ prędkość Y jest wypadkową prędkości v i przyśpieszenia elementarnego, przeto okazuje się, że przyśpieszenie elementarne leży w płaszczyźnie ściślestycznćj do toru punktu poruszające-go się.

Yt⁼⁼ Y . cos d <p, Y„ = Y. sin d cp,

a jeżeli wstawimy Y = v-\-dv i odrzucimy wielkości nieskończenie małe względem elementu czasu dt, to otrzymamy

Yt — v + dv, Yn — (v -f dv)dy — v. dy.

Rozłóżmy podobnie prędkość v na składowe ve i vn; wtedy v₍=v,    0.

Oznaczmy teraz przez dj szukane przyśpieszenie elementarne, a przez djt i djn jego rzuty na osi spółrzędnych; z poprzedniego określenia wynika, że wtedy

(1)

djt = Yr— vt — dv, djn — V» — vn = v . dcp,

a zatym

(2)

dj — p' djt²-}- djn2, — V'dv² -f v² . drf².

Jeżeli (dj,v) oznacza kąt, jaki kierunek przyśpieszenia elementarnego tworzy z kierunkiem prędkości, to

(3)

tang (dj,v) —

djn

v . dtp

djt    d v

a jeżeli przyśpieszenie oznaczymy przez y? to

(⁴)

tang (y,w) =

v . dtp

dv

Z tych równań okazuje się naprzód, że przyśpieszenie elementarne jest wielkością nieskończenie małą tego samego rzędu, co element czasu dt. Dalej widzimy, że kierunek przyśpieszenia elementarnego, który zarazem jako kierunek przyśpieszenia uważać należy, tworzy z kierunkiem prędkości kąt, mający wielkość skończoną, który tylko w przypadkach szczególnych może przyjąć wartość zero. Jeżeli bowiem ruch punktu jest ciągły względem czasu, to kąt (y,v) będzie zerem, gdy d<p = 0, co miejsce mieć będzie dla ruchu prostolini-jowego, a dla ruchu po linii krzywej zachodzić może tylko w punkcie przegięcia. Z wyjątkiem więc tych dwu przypadków nie ma przyśpieszenie kierunku prędkości. Jeżeli przyrost dv prędkości jest dodatny, to kierunek przyśpieszenia przypada wewnątrz kąta prostego tmn, zawartego między kierunkiem

Z tych równań widzimy, że przyśpieszenie normalne jest proporcyjonalne względem kwadratu prędkości ruchu punktu i względem krzywizny jego toru, że zatym do obliczenia tego przyśpieszenia nie wystarcza sama znajomość związku między drogą a czasem, lecz trzeba znać koniecznie kształt toru (mj. Z równania (5) okazuje się, że przyśpieszenie styczne zależy tylko od związku między drogą a czasem.

Przyśpieszenie styczne znika i tylko wtenczas zniknąć może, gdy dv = 0, to znaczy, gdy ruch jest jednostajny. Przy ruchu po linii prostej niema wcale

przyśpieszenia normalnego, bo ~

U)

prędkości a kierunkiem normalnej głównej. Jeżeli zaś dc jest ujemne, wtedy kierunek przyśpieszenia przypada wewnątrz kąta prostego t'm n, utworzonego przez przedłużenie kierunku prędkości z kierunkiem normalnej głównej. Widzimy bowiem z równań (1), że rzut djt przyśpieszenia elementarnego na styczną ma ten sam znak, co różniczka dv, a rzut cljn tego przyśpieszenia na normalną główną ma zawsze znak dodatny.

Rozłożyliśmy przyśpieszenie elementarne na dwie składowe prostokątne. Jedna składowa djt ma kierunek stycznej do toru (m) w punkcie m i dlatego zowiemy ją przyśpieszeniem elementarnym stycznym; druga zaś składowa djn ma kierunek normalnej głównej ku środkowi krzywizny toru i dlatego zowiemy ją p r z y ś p i e s z e n i e m elementarnym normalnym, lub dośrodkowym. Granicę stosunku przyśpieszenia elementarnego stycznego do elementu czasu nazywamy odpowiednio przyśpieszeniem stycznym, a granicę stosunku przyśpieszenia elementarnego normalnego do elementu czasu nazywamy przyśpieszeniem normalnym, albo dośrodkowym ruchu w punkcie m. Oznaczywszy te przyśpieszenia odpowiednio przez yt i y„, mamy

V ,= %

(5)

dv

d²s

(6)

____ .. _ dJn _ ,

dt dt dt²’ n dt d t ’

Y = V Yi² + Yn²*

.Niech ds oznacza drogę elementarną mma p promień krzywizny toru

d cp_ 1 ds v

w punkcie m; wtedy ds = p. Jcp, a zatym nika:

dt

z ozegowy'

<-=f >=IA©'

1 /r('d'ls V, ifdsy

y \dt²) ⁺ pAdt) •

= 0, a przy ruchu krzywolinijowym znika

przyśpieszenie normalne tylko w punktach przegięcia, t. j. w tych miejscach na torze, w których kierunek ruchu pozostaje ten sam przez dwa elementy czasu, po sobie następujące. Gdzie tylko podczas ruchu zachodzi zmiana kierunku prędkości, tam przyśpieszenie normalne zawsze się pojawia. Możemy zatym powiedzieć, iż obie zmiany prędkości od punktu do punktu, zachodzące co do wielkości i co do kierunku, wyrażają się w stosunku do czasu przez

ds²

właściwe sobie przyśpieszenia : przyśpieszenie styczne wpływa tylko na zmianę wielkości, a przyśpieszenie normalne tylko na zmianę kierunku prędkości.

Przejście punktu z miejsca m do m', któremuto przejściu towarzyszy zmiana prędkości, możemy uważać jako skutek dwu ruchów nieskończenie małych, zachodzących w elemencie czasu dt, jednego w kierunku stycznej, a drugiego w kierunku normalnej głównej do toru. Puch po stycznej jest jednostajnie przyśpieszony, a jego prędkość początkowa wynosi v, przyśpieszenie zaŚY«; więc droga, opisana w czasie dt, będzie ds=v . dt -j- y*. dt³, czyli

A

ds — v.dt, gdy opuścimy wielkość nieskończenie małą rzędu 2-go. Ruch po normalnej głównej jest także jednostajnie przyśpieszony, a jego prędkość początkowa jest 0, przyśpieszenie zaś yw; więc droga w czasie dt będzie i yndt² =

A

Droga zatym w kierunku stycznej jest nieskończenie mała

2p *

tego samego rzędu, co element czasu, droga zaś w kierunku normalnej głównej jest nieskończenie mała w porównaniu z tym elementem czasu. Tę drogę nieskończenie małą rzędu 2-go, jaką punkt opisuje w elemencie czasu w kierunku normalnej głównej, zowiemy jego zboczeniem. Wskutek tego zboczenia zmienia się kierunek ruchu; gdyby zboczenia nie było,' ruch punktu byłby prostolinijowy.

niech unosi

12. Skład i rozkład przyśpieszeń, w poprzednim dochodzeniu używany, podobnie polega na jednoczesnym rozważaniu ruchów jednostajnie zmiennych, jak skład i rozkład prędkości na rozważaniu ruchów jednostajnych. Niech punkt m odbywa ruch prostolinijowy jednostajnie zmienny względem układu A, z przyśpieszeniem y,, układ A, unosi punkt m z przyśpieszeniem y₂ względem układu A₂,..., układ nakoniec A, układy Aj,..., A»-* wraz z m z przyśpieszeniem y„ względem układu nieruchomego An ; mamy wyznaczyć ruch punktu m względem A„, znając jeszcze prędkość początkową tego punktu. Rozważajmy ruchy w elemencie czasu dt; wtedy y,. dt, y₂ . dt,... ,y„_i. dt, yrt . dt będą odpowiednimi przyśpieszeniami elementarnymi. Ponieważ przyśpieszenia elementarne określiliśmy jako przyrosty prędkości, czyli jako nieskończenie małe prędkości punktowi udzielone, przeto do nich stosuje się metoda, za której pomocą dokonywaliśmy składu i rozkładu prędkości. Składając zatym zapomocą wieloboku powyższe przyśpieszenia elementarne, otrzymamy wypadkowe przyśpieszenie elementarne punktu m. Z wiadomej zatym prędkości punktu możemy wyzrfaczyć jego ruch wypadkowy. Kreśląc wielobok skończony, którego boki przedstawiają przyśpieszenia y,, y₂,...,y„, otrzymamy bezpośrednio przyśpieszenie y szukanego ruchu punktu, którego stosunek do wypadkowego przyśpieszenia elementarnego będzie równy stosunkowi każdego z przyśpieszeń składowych yt- do odpowiedniego przyśpieszenia elementarnego yi.dt. Obadwa bowiem wieloboki są podobne, a ich boki odpowiednie są równoległe. Z tego nietylko się okazuje, co znaczy skład i rozkład przyśpieszeń, ale zarazem przedstawia się metoda tych działań, nie różniąca się niczym od metody przy składzie i rozkła-

dzie prędkości. Jeżeli przyśpieszenie wypadkowe ma kierunek prędkości punktu, natenczas ruch punktu nie zmieni pierwotnego kierunku; w każdym zaś innym przypadku zmiana taka nastąpi. Płaszczyzna, przesunięta przez prędkość punktu i przyśpieszenie wypadkowe, będzie ściślestyczną do toru punktu. Rozkładając przyśpieszenie wypadkowe na przyśpieszenia styczne

i normalne, możemy z wiadomej prędkości obliczyć krzywiznę — toru, tudzież

P

związek między drogą i czasem. Wszystkie twierdzenia, okazane w art. 4-ym i 5-ym o składzie i rozkładzie prędkości, stosują się bez wyjątku do przyśpieszeń ruchu punktu.

Z tych twierdzeń robimy użytek, aby obliczyć przyśpieszenie, mając równania ruchu. Niech spółrzędne prostokątne punktu (x, y, e) dane będą

cl X

jako funkcyje czasu; wówczas vx =

mi tego punktu w kierunkach osi spółrzędnych, czyli prędkościami jego rzutów, poruszających się wzdłuż tych osi. Ponieważ ruch każdego z tych rzutów jest prostolinijowy, przeto:

dy

ds

•j— dt ’

vz — -jjjj są prędkością-

(1)

d²x

dt²

'(y~ di²

d²0

dt²

będą przyśpieszeniami ruchu tych rzutów, a zatym, na mocy poprzednich twierdzeń, rzutami czyli składowymi przyśpieszenia ruchu punktu. Mamy zatym dla każdego ruchu:

¹

   ² 1 '

Prędkość ruchu jednostajnie zmiennego wyraża się zapomocą funkcyi linijowéj, a droga zapomocą funkcyi stopnia 2-go względem czasu. I nawza-

²

   +ï

(2)

(3)

cos (y,æ) : cos (y,«/) : cos (y,#)

d²x d²y d²g ' dt² dt² ' dt²’

te równania pozwalają z równań ruchu obliczyć wielkość i kierunek przyśpieszenia. Następnie mamy

'WUT, "j⁻ "\yXy d⁻ YZ^z

cos(Y,r) =

(4)

sin (y,v) =

i

[(ïxVt/ ~~ ^yXx)² (;tyVz '    YJ?/)' “t” (YzXx ~~ Y

Y^

a te równania wyznaczają kąt między przyśpieszeniem a prędkością. Z tych równań wynikają następujące wyrażenia na przyśpieszenia styczne i normalne:

Wx + Y yVy + Y zVt

(5)    Y, =: Y. cos (Y ,v) =

(6) Y« = Y • sin(Y,t?) =

[(Ya^y Y?JV)² ~f~ (Yy^g    Y^vŸ d~ (Yz^x    Ya^)²]

to

Przyśpieszenie może być także obliczone ze spółrzędnych biegunowych r, <p i 6, których używaliśmy w art. 10-ym do obliczenia prędkości. Niechaj

TV, i yp, Y« będą składowymi przyśpieszenia, wziętymi w kierunkach prostych r, p i Tc. Różniczkując równania (5) art. 10-go dwa razy względem czasu, otrzymamy :

d²x

dt²

= r. cos 6 cos cp

d²cp

r . sin 6 sin cp

d² 6

dt²

f- cos 6 sin cp

d²r

dt²

dcp

d 6 dr

2 sin 6 . sincp .. ,, dt dt

f2coS6coS?.-^.^

-,.cosesin,[(§)%(§)’]

d²y

dt²

d²cp

— r . sin 6 cos cp . -~₂- + r . cos 6 sin cp .

d² 6

dt²

f sin 6 sin cp

d²r

dt²

+ 2 r. cos 6 cos cp .

de

dr dcp

d£

h8e»9Bmç.4i.-è+Sm#CMT^..

— r. sin 0

dr Z

dt²

- r sin cp .    + cos cp .

d³r

dt²

. dr dtp 2sm!p> -dt--dt-rcos,f

-6

Rzucając te przyśpieszenia na proste r, p, n, otrzymamy

(7)

I    d²cp , _ dr dcp /d0\² .

r”=r-ini-⁺²-dt-w~ridîJ s1”'pcos'p>

d²6 .    dcp d0    de dr .

—sm9 + 2r.₁ft.TtcoS'₍ + 2Ji.Tt.sm'(,

Tr —

d²r

dć²

Y — K Tr² + Y/ + Y*²-

Jeżeli tor punktu jest krzywą płaską, to, obrawszy płaszczyznę krzywej jako

d 6    d²0

południk pierwszy, będziemy mieli wciąż 0 = 0, -y- = 0, -y— = 0, a za-tym Yrt = 0. Otrzymamy więc

zaś

d²r

^    ‘ <ïi3 ⁺ dt’ dt’

jako składowe przyśpieszenia, brane w kierunku promienia wTodzącego i w kierunku do niego prostopadłym. Porównanie wzorów (7) z wzorami (7) art. 10-go okazuje, żeprzyśjiieszenia punktu w kierunkach prostych r,p in: nie są pochodnymi prędkości w tych kierunkach względem czasu, jak to zachodzi dla spółrzędnych prostokątnych. Ta różnica między tymi dwoma rodzajami spół-rzędnych stąd pochodzi, że proste r, p i tt poruszają się wraz z punktem, że zatym układ tych osi spółrzędnych zajmuje inne położenie na początku, a inne

(8)

*/

ir

dt²

przy końcu elementu czasu dt, podczas gdy osi x, y i s zachowują ciągle też same kierunki.

13. Przyśpieszenia rzędów wyższych. Jeżeli x, y i z są spółrzędnymi prostokątnymi punktu poruszającego się, to wielkość dodatną

(1)

Y (») —

1 Z'    Un+ly\² (dnArxz \²

Y \d*»+V ⁺ ld(s+7 ⁺ U/Btv ’

przy n całkowitym i dodatnym nazywamy przyśpieszeniem rzędu n-go ruchu tego punktu.

Kierunek tego przyśpieszenia otrzymujemy, odcinając wielkości

(2)

Y*(w) =

dtn±l

dn+ly

dtn+f

, Ys(,,) —

d"+»z

dtn+x

na odpowiednich osiach spółrzędnych i składając te odcinki zapomocą wieloboku. Każda z pochodnych (2) oznacza przyśpieszenie rzędu n-go w kierunku odpowiedniej osi spółrzędnych. Jeżeli według tego określenia wyznaczymy przyśpieszenia punktu rzędu (a—l)-go wczasach t i t-\-dt, to przyśpieszeniem elementarnym rzędu n-go nazywamy nieskończenie małą wielkość, o jaką przyśpieszenie rzędu (n — l)-go zmienia się w elemencie czasu dt. Przyśpieszenie zaś yW jest granicą stosunku przyśpieszenia elementarnego rzędu (n — l)-go do elementu czasu.

Obliczmy przyśpieszenie rzędu 2-go. Przyśpieszenie Y w punkcie (x, y, z) który nazwijmy m, przypada w odpowiedniej płaszczyźnie ściślestycznćj do toru w punkcie m, a przyśpieszenie T w punkcie nieskończenie bliskim w! (x -f- dx,...) przypada w płaszczyźnie ściślestycznćj w tym punkcie. A zatym przyśpieszenie elementarne rzędu 2-go w punkcie m nie przypadnie, mówiąc wogólności, w płaszczyźnie ściślestycznćj w tym punkcie. Wystawmy zatym w punkcie m trzy proste: mt styczną do toru (m), mn normalną główną i mb dwunormalną, t. j. prostopadłą do płaszczyzny ściślestycznćj; przyśpieszenie rzędu 2-go Y⁽²⁾ możemy rozłożyć odpowiednio na trzy składowe do siebie prostopadłe, y/²\ Y»⁽²⁾j Y&⁽²⁾ wzdłuż tych trzech prostych. Jeżeli p jest promieniem krzywizny w punkcie m, a dla krótkości wprowadzimy oznaczenia

(3)

c — dx d²y — dy <fix

a = dy d²z — dz d²y, b — dzd'²x — dx d²z,

Jc = Z a¹ + b² 4* c²,

to kierunki prostych mt, mn, mb wyznaczone będą przez następujące równania:

dx

COS (t,x) = -

dy

c°SM = —

dz

C°SM = —;

dx

(4)

, dy

d-

dz

COS (n,x) — p ,

ds

ds

ds ⁵

COS (n,z) = P .

ds

ds

cos (b,x) —

ćoa(b,y)

cos (b,z) — ~ .

Rzuty przyśpieszenia y⁽²⁾ na osi x, y i z są

(5)

(fix

(2) _

lX    dfi’

d³y

y/²⁾ —

dfiz

dć³’

będzie zatym

(6)

d³x dx    dfi y dy , dfi z dz

y/2) —---1--— . —— -4--.

dfi ds    dfi ds dfi ds

, dy

d —

dx

dz

y»⁽²⁾ = p

, d-

(fix    d s

dfi ds dfi ds

dfi y

ds

(fiz ^ ds dfi ds

d³a;

* d*³

f b.

di³

-f- c

d³a

‘ dfi:

Lecz

Ic¹ — a² -f" &² -j- c² — [(d²rj² -j- (dfiy)² -j- (dfiz)²] . (dx² + dÿ² -f- dz²) —

— (VA;. da; -f- d²y . dy -{- dfiz . dz)²,

a ponieważ

(7)

A² = dx² -f- dy² -f- ds², a nadto, według równania (7) ustępu 11-go,

(8)

ds⁴

W² +    = W² + W² + (d**)\

przeto

k² = ds²

— /'fix . dx -j- dfiy . dy + dfiz . dz)².

Różniczkując równanie (7), otrzymamy

(9)

ds . dfis = dx . d²x -f- dy . dfiy -f- dz . dfiz

co, pó wstawieniu w k², daje

(10)

ds³

Niech de będzie kątem, zawartym między płaszczyznami ściślestycznymi w punkcie m i w punkcie mK, wielkość

de

ds

nazywamy, jak wiadomo, skręceniem krzywej (m) w punkcie m, długość zaś r promieniem skręcenia. Z teoryi krzywych skośnych wiadomo, że

a . dfix -J- Z> . d³y -f- c . d³z 7 ~ ds² [(dfix)² + (dfiy)² + (dfiz)²—(d²s)²\ ’

czyli, po Uwzględnieniu związku (8),

(U)

— =rp².

a i dfix -f- b . dfiy -j- ć . dfiz

ds⁶

Różniczkując równanie (9), otrzymamy

ds . d³s -j- (d²s)² = dx . <Px -{- dy . d³y dz , d³z -J- (d²x)² -j- (d²y)² -\~ (d²z)²: a z tego równania i równań (8) wynika

(12)

ds*

ds . d³s--— dx . d³x J- dy . d³y + dz . d³z,

P²

Podstawiając tę wartość w pierwsze równanie (6), mieć będziemy

(13)

Y/2)

ds . di³ |_

ds . d³s ---— I

P²J

d³s

d*³

1 / ds \³

Y²\Tt) ’

d²s

^    .    .    ds

a ponieważ Y< — -y-^- jest przyśpieszeniem stycznym rzędu 1-go, zaś » = —

prędkością, przeto

(14)

d²y

P²

dt²

P² ‘

Zważmy, że, bez Względu na zmienną niezależną,

. dy

d-

dx

dz

ds

d s . d²x -— d x . d²s

ds

ds

ds

ds³

ds

ds

co podstawiwszy w drugie z równań (6), mieć będziemy

Y»⁽²⁾ = —J-—- . \(ds. d²x — dx d²s) d³x -f- (ds d²y — dy d²s) d³y -f- (ds . d²z — dz d²s) d³z 1 dsJ.dr

czyli, po uporządkowaniu,

(15) Yn® — - J ₃ [ds (d²#. d³x -f- d²y. d³y -f-d²z. d³2) — das (dx d³x-f- d// d³y -f- dd³^)] » Różniczkując zaś równanie (12), otrzymamy d²s . d³s -j-

! Ä,

-j- (2 p . d²s — ds . dp) — d²a? i d³x -j- d²y * d³y -j- d²z . d³z,

a podstawiając wattości z równań (12) i (16) w równanie (15), będziemy mieli

1 ds dp j

dt dt J

(16)

ds j~ 3

d²S

(18)

CU CO

‘ dl²

d²s

CU

co

czjdi

albo

(19)

Y (*) = -- W-

^ di \ p / ' p dt

d"[n

dt

•o I «

dv

di

gdzie *(n jest przyśpieszeniem normalnym rzędu 1-go. Jeżeli nakoniec wartości z równań (10) i (11) podstawimy w trzecie równanie (6), to wyniknie

(20)

y&⁽²⁾ =

v³

?’p

Równania (14), (19) i (20) wyrażają odpowiednio przyśpieszenia rzędu drugiego: styczne, normalne i dwu normalne, wyrażone przy pomocy prędkości i jćj pochodnych względem czasu, tudzież przez promień krzywizny

i promień skręcenia toru. Dla krzywej płaskiej w każdym punkcie jest — = 0,

a zatym y&⁽²⁾ = 0. Dla ruchu prostolinijowego mamy nadto — — 0, a więc

P

, /.»_ d*u

Yi _ dt² dt³

d³s

—- — y⁽²⁾,

Y/²⁾ = 0, Yó⁽²⁾— o.

Dla zwykłej linii śrubowej promienie r i p są stałe; skoro zatym punkt taką, krzyvVą jednostajnie opisuje, natenczas y/²⁾ i Y&⁽²^ będą wielkościami stałymi.

14. Hodogeaf. Równanie v—f(t), dające prędkość ruchu w funkcji czasu, możemy przedstawić gieomctrycznie; otrzymujemy tym sposobem obraz ruchu co do prędkośch Poprowadźmy w tym celu dwie prostokątne osi

03

AT

Lé

Fig. 6.

Ot, Ou (fig. 6) i, obliczywszy dla danego t odpowiednie u, odetnijmy czas t na Osi Ot, a prędkość u na osi Ou. Otrzymamy w ten sposób punkt p,, który przy ciągłej zmianie argumentu t przebiegnie pewną krzywą [u], którą nazywamy krzywą prędkości ruchu punktu. Równanie tej krzywej jest v = f(t). Dla ruchu jednostajnego ta krzywa jest liniją prostą, równoległą do Ot; dla ruchu jednostajnie zmiennego, gdy v =: c yt, krzywa prędkości będzie liniją prostą, nachyloną do Ot pod kątem, którego styczna jest y? a przecinającą Ou w punkcie v — e. Droga s, którą punkt m opisuje w czasie t₂ — tn wynosi

v . dt

fi

jest zatym proporcyjonałna względem pola tt p,pa t₂, ograniczonego rzędnymi £,p.,, t₂\i.₂ w punktach t₂ i lukiem p.,p.₂ krzywej [u]. Zamieniając to pole na prostokąt o tej samej podstawie i równoważny, otrzymamy wysokość vs tego prostokąta ze wzoru

'k

(i)

Vs    k-t i

u .d t.

Ta wysokość przedstawia prędkość ruchu jednostajnego, wskutek którego punkt m opisałby W Czasie t₂ —1{ tę sarnę drogę, jaką opisuje ruchem zmiennym. Nazywamy ją prędkością średnią ruchu, a wzór (1) służy do obliczenia prędkości średniej> gdy znamy u w funkeyi t. Styczna do krzywej

; widzimy zatym, że nachylenie téj stycznej do osi O t

prędkości w punkcie [X tworzy z osią Ot kąt, którego styczna trygonometryczna wynosi

dv

dt

pozwala obliczyć przyśpieszenie styczne ruchu.

Podobnym sposobem możemy przedstawić gieometrycznie przyśpieszenie ruchu w funkcyi czasu. Każdy zresztą związek między jakimikolwiek dwiema wielkościami, ruch określającymi, np. v — FfsJ, y = F(v) i t. p., daje się przedstawić gieometrycznie. Do takiego przedstawienia gieometrycznego używamy z korzyścią spółrzędnych biegunowych. Przesuńmy przez dowolny punkt O proste, równoległe do następujących po sobie stycznych do toru poruszającego się punktu, i odetnijmy na tych prostych od punktu O długości, pro-porcyjonalne względem odpowiednich prędkości; wówczas liniją, łączącą punkty końcowe tych odcinków, nazywamy, według W. Hamilton’a, hodografem ruchu punktu. Jeżeli tor jest krzywą skośną, to hodograf jest także taką krzywą; dla toru płaskiego hodograf jest krzywą płaską. Hodograf leży na powierzchni stożkowej, mającej tworzące równoległe do stycznych do toru, a płaszczyzny styczne równoległe do płaszczyzn ściślestycznych do toru. Jeżeli ruch punktu jest jednostajny, to hodograf zamienia się na koło po rozwinięciu stożka na płaszczyźnie; jest zatym tak zwaną krzyżownicą prostokątną na stożku; dla ruchu jednostajnego na płaszczyźnie hodograf jest kołem, zatoczonym z punktu początkowego. Jeżeli i [d są dwoma nieskończenie bliskimi punktami hodografu, odpowiadającymi punktom m i m' na torze poruszającego się punktu, to prosta fjp/ jest równoległa do przyśpieszenia elementarnego w punkcie m, a zatym styczne do hodografu są równoległe do przyśpieszeń ruchu punktu. Niechaj x — Fx(t), y — F₂(t), s=.F₃(t) będą równaniami ruchu punktu, a £, y], Ç spółrzędnymi bieżącymi hodografu; wtedy

e = F,' (t),    = F₂’(t), Ç — F₃’(t).

Rugując czas z tych równań, otrzymamy równania hodografu w zwyczajnej postaci. — Jeżeli tor punktu jest krzywą płaską, której spółrzędne biegunowe są r i <p, to, biorąc biegun za początek układu prostokątnego spółrzędnych, a oś biegunową za oś x-ów, otrzymamy spółrzędne hodografu :

dr

dt-cos,f-

d cp

r-w-smf

-=i

-G

-G

œ

r—* •

9-

Wyraźmy r przez <p z równania toru i wyrugujmy z tych równań kąt <p ; otrzymamy wtedy równanie hodografu we spółrzędnych prostokątnych.

15. Ruch centralny. Poznawszy cechy ruchu punktu, zastanowimy się nad niektórymi szczególnymi ruchami, które, bądźto ze względu na osobliwe swe własności, bądźtćż ze względu na swą ważność w licznych zagadnieniach mechaniki, zasługują na szczególną uwagę.

Ruchem centralnym (środkowym) punktu nazywamy ruch taki, przy jakim przyśpieszenie y nieustannie przechodzi przez pewien punkt stały* Ten punkt stały nazywamy środkiem ruchu centralnego.

Aby się przekonać, czy taki ruch jest moźebny i pod jakimi warunkami zachodzi, oznaczmy przez (y, r) kąt, który przyśpieszenie ruchu punktu (%, y, 0) tworzy z promieniem wodzącym r, łączącym ten punkt z początkiem układu spółrzędnych. Z równań (3) art. 12-go wynika

cos(y,ad =

d²x

\/ (Px)² -f- (d-y) ²(d²0) cos (y,z) =

= » cos (yyy) ---

d-y

V (d²x)² +...

d²z

(d²x)² -f-...

a ponieważ r² — x² 4- y² -j- £², przeto, wogólności, dla każdego ruchu

x . d²x + y. dHy -f- 0. d²z ]/"'jc² + y² -j- z² • \/ Cd²x)² -f- (d²y)² -f- (d²z)²

Aby rucli punktu był centralny, a początek układu spółrzędnych środkiem tego ruchu, potrzeba i wystarcza, żeby, bez względu na czas, cos (y,r) — dr 1, czyli cos²("y,r) = ] ; a więc, według (!)> wynika, jako warunek takiego ruchu, równość

(1)

cos/y ,r) —

(y . d²z — 0 . Py)² -f- (0. d²x — x > d²z)² -j- (x. d²y — y . Px)²—0.

Ponieważ każdy z tych trzech składników jest dodatny, przeto jest tu jednocześnie

(2)

y. d²0 — 0 . d²y — 0,

0 . d²x — x . d²z =■ 0, x. d²y — y . d²x — 0.

Całkując zaś te równania i oznaczając stałe całkowania przez A, B, C, otrzy-inamy

(3)

y.dz — 0 .dy = A,

0 . dx — x . dz = B, x . dy — y ,dx — C,

a mnożąc ostatnie równania odpowiednio przez x, y, 0 i dodając iloczyny stronami odpowiednimi, mieć będziemy

A# + By-f- C£ = 0.

Ponieważ to równanie przedstawia płaszczyznę, przez środek ruchu przechodzącą, a spółrzędne punktu poruszającego się temu równaniu zadość czynią, przeto mamy twierdzenie: Puch centralny jest możebny tylko na krzywej płaskiej, której płaszczyzna przechodzi przez środek ruchu.

To twierdzenie pozwala do ruchu centralnego zastosować równania (8) art. 12-go, jeżeli oś biegunową obierzemy na płaszczyźnie ruchu, a środek ruchu za początek. Ponieważ yp jest składową przyśpieszenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego, łączącego punkt ze środkiem ruchu,

(4)

(5)

przeto warunkiem koniecznym i wystarczającym tego ruchu jest teraz: yp — 0, czyli

dr d<f _ Sf>^ df di~

albo

(6)

ł.ip.iU«.

r dt\ dt J

Całkując to równanie przy założeniu, że r nie przybiera wartości nieskończenie wielkich, otrzymamy

(?)

r².dX — 2a

dt

gdzie a jest stałą dowolną. Jeżeli punkt, poruszający się po krzywej płaskiej (m) około środka O, przeniesie się w elemencie czasu z punktu m , (r, cp), do punktu nieskończenie bliskiego m', (r + dr,    to promień wodzący

ę $ (O

zakreśli nieskończenie mały wycinek m O m\ którego pole wynosi —~¹ •

A

gra.

, a równanie (7) okazuje, że stała a ma znaczenie prędkości wycinko-

nicę stosunku tego pola do elementu czasu nazywamy prędkością wycinkową ruchu względem punktu O. Prędkośó zatym wycinkowa wynosi r² d ęp 2 ‘ dt

w ej. Mamy zatym dalsze twierdzenie: podczas ruchu centralnego punktu prędkość wycinkowa ivzgledem środka ruchu jest stała. 1 nawzajem: jeżeli prędkość tvycinkoiva względem pewnego punktu jest stała, to ruch jest centralny względem tego punktu. Przy ruchu zatym centralnym promień wodzący w równych czasach zakreśla pola równe, a pola, zakreślane w czasach nierównych, są proporcyjonalne względem czasów.

ct ęp Q ct

Z równania (7) mamy -jj = — , t. j. wyrażenie pochodnej kąta <p wzglę-

Cl t

dem czasu. Podstawmy je w równania (8) art. 10-go i w pierwsze z równań (8) art. 12-go; zważając, że dla ruchu centralnego mamy Y = Yr, otrzymamy:

dr

r — dt’ Vf — T śpieszenie są

a zatym dla każdego ruchu centralnego prędkość i przy-

(8)

-Ki7

4a²

/y2    1

d²r

4 a²

t = ~d¥

Ponieważ

=-»•40

dr dr dy 2a dr

dt    dy ’ dt    r² d'Z

przeto także

(9)

vm

-j- r², czyli v = 2 a

Ponieważ nadto

d²r

dP

=-*•440

= — 2a.

<P

d cp

cl cp

4 a² d2 dt    r² ‘ dy

przeto

(10)

4 cP

\Jt (r) ⁺ >]’

AVzory (8) i (9) podał I. Newton, wzór zaś (10) I. Binet.

Oznaczmy przez a (fig. 7) kąt, który promień wodzący Oni tworzy ze styczną do toru w punkcie m, spuśćmy z punktu m prostopadłą mu na promień wodzący Om' i oznaczmy przez ß kąt, który prosta mn tworzy ze styczną do toru w punkcie m: nakoniec na tęż styczną z punktu O spuśćmy prostopadłą i przez oznaczmy długość tej prostopadłej. Mamy tu

)}% fl

>x = r . sina = r . cosß =; r .-r, czyli

mm

r. d cp

*=r-7r

, a ponieważ v =

przeto

WY

>!

50°

Fig. 7.

----- y 2

ii

«?

skąd

ds _ ds dtp dt ’ dt

(11)

t. j. prędkość ruchu centralnego jest odwrotnie proporcyjonalna względem długości prostopadłej ze środka ruchu na odpowiednią styczną do toru poruszającego się punktu (twierdzenie Newton’a.).

2 a

Różniczkując równanie ;x = —- względem r, mieć będziemy

d ;x    2 a dv

v² * dr

Różniczkując zaś pierwsze z równań (8), otrzymujemy

4 a² _

r³    d P    r³

(12)

dr

dv dr

V . -

dr

a zatym, według drugiego z równań (8),

dt

—( -)

dr V t/

äj

cPr

4 a²

(13)

dv

V' dr

cl D    V

skąd — — —. Wskutek tego, według równania (12)

d\x

dr

skąd y

dp,

2a ’ dr

albo, po uwzględnieniu równania (11),

(14)

4 a² d [L dr

jj.³

Wzór (13) na przyśpieszenie podał Newton, a wzór (14) A. Moivre. Z równania (13) wynika

V . dv — y . dr ;

jeżeli zatym punkt podczas ruchu centralnego przybył z miejsca mt, (r,, cp,), do miejsca m₂, (r₂, 'f₂)> a yi5 v2 s% jego prędkościami w tych miejscach, to, całkując ostatnie równanie w tych granicach, otrzymamy

r2

(15)

Y. dr.

Przyśpieszenie y nioże posiadać kierunek ku środkowi ruchu, lubtćż kierunek od tego środka. Ponieważ kierunkiem dodatnym promienia wodzącego jest kierunek od środka, przeto w pierwszym przypadku przyśpieszenie jest ujemne, w drugim dodatne. Gdy przyśpieszenie jest ujemne, tor punktu zwrócony jest ku środkowi stroną wklęsłą; jeżeli zaś przyśpieszenie jest dodatne, natenczas tor zwrócony jest ku środkowi ruchu stroną wypukłą. Przy ruchu centralnym prostoliniowym środek ruchu znajduje się na torze. Jeżeli tor punktu jest krzywą zamkniętą, to środek ruchu znajduje się wewnątrz tej krzywej, a przyśpieszenie jest skierowane ku środkowi.

Aby wyznaczyć hodograf ruchu centralnego, przesuńmy przez środek ruchu dwie osi prostokątne i obierzmy oś biegunową za oś a-ów; spółrzędne odpowiedniego punktu hodografu będą według art. 14-go :

, dr    2 a .

(L6)

2 a    , dr .

V — -7-*C0S'f+ ^smT-

Podstawiając z równania toru r w funkcyi ff, i rugując kąt tp, otrzymamy żądane równanie hodografu.

16. Zastosujmy powyższą teoryją ogólną do ruchu planet około słońca, Ponieważ wymiary linijowe planet są bardzo małe w porównaniu z ich odległością od słońca, przeto możemy w pierwszym przybliżeniu rozważać te ciała jako punkty i stosować podaną teoryją do ich ruchu względem słońca. Dla ruchu planet względem słońca podał J. Keppler następujące trzy prawa, które nazywamy prawami Keppler’a.

1°. Środek planety opisuje elipsę, której ogniskiem jest środek słońca.

2°. Promień wodzący, idący ze środka słońca do środka planety, zakreśla równych czasach pola równe.

3°. Kwadraty czasów obiegów gwiazdowych dwu planet około słońca są proporcyjonalne względem sześcianów osi wielkich ich torów eliptycznych.

Z pierwszych dwu praw wynika, źe ruch środka planety względem słońca-jest centralny, a środek słońca jest środkiem tego ruchu. Aby rozpoznać bliżej prawa tego ruchu, obierzmy środek słońca za biegun układu spółrzędnych,. à prostą od środka słońca ku punktowi przy słonecznemu (perihelium) za oś, biegunową; równanie biegunowe toru środka planety będzie wtedy

(1)

p

y — -A-

1-j-e. cos©

gdzie p oznacza parametr, e zaś mimośród tego toru. Możemy poszukiwania nasze odrazu rozciągnąć na wszystkie krzywe stopnia 2-go, biorąc e<l, e— 1, e;> 1 według tego, czy tor (m) jest elipsą, parabolą, lubtćż hiperbolą, zaś e = 0, gdy (m) jest kołem.

Różniczkując to równanie względem czasu, otrzymamy

dr

er¹ . d©

A ponieważ dla ruchu centralnego cinkową, przeto

gdzie a jest prędkością wy

dtp 2a

clt    r²

dr

2ae    . d²r

dt = — -M<f, a zatym

Po podstawieniu tych wartości w równaniu (8) art. 15-go, wyniknie

4 a²

(P — r).

(2)

4 a²

pr³ ’

Ostatnie równanie można także otrzymać z wzoru Binet’go. — Z tego równania okazuje się, że przyśpieszenie ruchu centralnego po krzywej stopnia 2-g o, której ognisko jest środkiem ruchu, posiada kierunek ku ognisku krzyivéj i jest odivro-tme proporcyjonalne względem kivadratu długości promienia wodzącego (twierdzenie JSTewton’a.).

p — A (1 — e²).

Jeżeli T jest czasem obiegu gwiazdowego planety około słońca, to z twierdzenia, że prędkość wycinkowa jest stała, wynika, źe pole elipsy jest iloczynem téj prędkości i czasu T; a zatym

Możemy obliczyć wielkość przyśpieszenia y, skoro znamy mimośród toru planety i połowę jego osi wielkiej. Gdy oznaczymy tę ostatnią przez A, to dla elipsy

skąd

T. a = Tc. A² (1 — e²)

%. A² „A T-(l-e²)₂.

Gdy podstawimy te wartości na p i a w równaniu (2), to

4jt² . A3 ^2^2

T²

gdzie X jest liczbą stałą dla wszystkich planet. Otrzymujemy zatym następujące wyrażenie przyśpieszenia

4tt²X

r2

(4)

z którego wy czytujemy ważne prawo: przyśpieszenie ruchu centralnego planet około słońca ma dla wszystkich planet to jednakowej odległości od słońca tę sarnę 'wartość. To przyśpieszenie więc nie zależy ani od wielkości, ani od natury fizycznej planety rozważanej, podobnie jak przyśpieszenie każdego punktu ciała, spadającego swobodnie na ziemię, posiada tę sarnę wielkość bez względu na objętość i na własności fizyczne ciała spadającego.

W punkcie przysłonecznym i w punkcie odsłonecznym promień wodzący jest normalny do toru środka planety, a zatym w tych punktach znika przyśpieszenie styczne. Ponieważ w tych punktach prostopadła z ogniska na styczną ma wartość najmniejszą lub największą, przeto prędkość ruchu planety będzie w punkcie przysłonecznym największa, a w punkcie zaś odsłonecznym najmniejsza.

Prawo, wyrażone zapomocą równania (4), nazywamy prawem New-ton’a; pierwszy on bowiem wywiódł je z trzech praw Keppler’a i uczynił je podstawą mechaniki ciał niebieskich. .Newton nie poprzestał jednak na powyższym prawie ruchu planet względem słońca, lecz okazał, że takież samo prawo stosuje się także do ruchu księżyca względem ziemi, będącego również ruchem centralnym. Każdy punkt ciała, spadającego na ziemię, posiada przyśpieszenie w kierunku spadania, a zatym ku środkowi ziemi; ruch jego prostoliniowy jest zatym centralny, a środek ziemi jest środkiem tego ruchu. Przypuśćmy, że prawo przyśpieszenia, wyrażone zapomocą równania (4), stosuje się także do spadku ciał na ziemię, jak również do przyśpieszenia ruchu księżyca względem ziemi. W pierwszym przybliżeniu możemy tor księżyca względem ziemi przyjmować za koło, którego środkiem jest środek ziemi, i przyjąć prócz tego, że ruch księżyca jest jednostajny. Przyśpieszenie zatym tego ruchu będzie normalne i stałe. Jeżeli g jest przyśpieszeniem spadku w małej odległości od powierzchni ziemi, a y przyśpieszeniem ruchu księżyca, to według powyższego prawa

^•2

R²

gdzie r oznacza promień ziemi, a R odległość środka księżyca od środka ziemi. Ponieważ R = 60,2703 . r, przeto

g (60,2703)²’

Jeżeli Ar, T' oznaczają odpowiednie wielkości dla innej planety, to, na mocy trzeciego prawa Keppler’a,

A³

A'³

a gdy średnio g — 9,81 m, przeto

9,81

3 632,51

= 0,0027 m,

czyli około 2,7 mm na sekundę. To przyśpieszenie możemy jednak obliczyć z elementów ruchu księżyca. Promień ziemi wynosi r — 6 378.10³m, będzie więc B = 385.10°wî; obwód zatym toru księżyca wynosi 24.10⁸m. Czas obiegu .gwiazdowego księżyca około ziemi — 236.10⁴ sekund, prędkość więc księżyca na sekundę jest

24.10⁸

236.10⁴

m = 1017 m.

Przyśpieszenie zatym ruchu księżyca, według tych danych, wynosi _ _ _ 10172 Y ~ B ~ 385.10°

Widzimy przeto, że przyśpieszenie ruchu księżyca, obliczone według powyższej hypotezy, zgadza się z rzeczywistością, a ta zgodność stwierdza prawo ogólne, że przyśpieszenie ruchu centralnego w układzie słonecznym i w układzie każdej planety jest odwrotnie proporcyjonalne względem kwadratu odległości od środka ruchu. To prawo stosuje się także do przyśpieszenia ciał, spadających pionowo na powierzchnią ziemi. Ponieważ wysokość najwyższej góry .na ziemi wynosi 8840 metrów, przeto stosunek przyśpieszenia g{ na szczycie tej góry do przyśpieszenia g u poziomu morza wynosi

(/, _ 6 366²

~g ~ 6 374²

v-

m — 0,0027 m.

— 0,9974;

jest więc gt = 9,782 m. J eżeli ciało spada na ziemię z małych wysokości, to możemy z dostatecznym przybliżeniem przyjmować przyśpieszenie tego ruchu jako stałe, a tym sposobem otrzymamy wzory przybliżone Galileusza, podane w art. 8-ym.

17. Twierdzenie odwrotne względem twierdzenia Newton’a jest następujące: jeżeli przyśpieszenie ruchu centralnego ma kierunek ku środkowi tego ruchu i jest odwrotnie proporcyjonalne \względem kwadratu odległości od środka, natenczas tor punktu jest krzywą stopnia 2-go, której ogniskiem jest środek ruchu.

Niech bowiem będzie

(1)

k²

^•2

gdzie k jest spółozynnikiem wiadomym, wyrażającym przyśpieszenie w odległości od środka równej jednostce. Bównanie Binefgo daje w tym przypadku

cl²

czyli

d²

(I), a

k²

d’p²

r 4 a² '

Kładąc

(3)

X² =

k²

4tt-

gdzie Ç jest nową zmienną, mamy między C i tp równanie różniczkowe linijowe rzędu 2-go

(4)

d² C

którego całką ogólną jest, jak wiadomo,

Ç = C, cos <p + C₃ sin cp,

gdzie stałe Cn C₂ wynikają z warunków początkowych. Przywracając tu wartość na Ç, otrzymamy

(5)

(«)

r ~ -r-7“--V- .

X² + (J, cos tp + sm cp

Jeżeli promień wodzący z ogniska krzywej stopnia 2-go tworzy z promieniem, idącym ku bliższemu wierzchołkowi, kąt a dowolny promień, przyjęty jako oś biegunowa, tworzy z owym promieniem, przechodzącym przez wierzchołek, kąt <]>₀, i jeżeli nazwiemy — '^o — ff? to równanie biegunowe krzywej będzie

(7)

=_-_Ł

1 + e . cos<p₀cos <p

— e . sin <p₀ sin cp ’

Z zestawienia zaś wzorów (6) i (7) jest widoczne, że torem punktu jest krzywa stojmia 2-go, której ogniskiem jest środek ruchu, c. n. d. — Parametr tej

krzywej jest p = -^, a z równań \²e cos<p₀ = C₁ i — X²esin<f)₀ = C₃ otrzyma-yyKC,²-fC₂² i tg^p₀ = --~. Aby wyznaczyć stałe X, C,, C₂₅

my e —

musimy dla pewnego kąta biegunowego cp = tp₀ znać miejsce punktu, tudzież kierunek i wielkość jego prędkości. Niechaj a będzie kątem, który prędkość tworzy z promieniem wodzącym; wówczas ogólnie

,    r.dy r

tanga = .__x = 7r,

jeżeli oznaczymy

dr

dtp

r = r₀, y = wtedy r'₀ = <P = <Po daje

— r'. Niechaj dla cp — cp₀ będą dane wartości a = a₀, Równanie zaś (9) art. 15-go dla

**0

tanga₀ ’

4 a²

(r₀² + r'₀²),

z którego wynika

(8)

W r₀a-HV

a stąd X² = k² .

r² + r\²

W

- ~ C i oznaczając przez C₀ i C'₀ wartości zmiennej C i jéj poclio-

Kładąc

dnéj przy cp — cp₀, z równania (5) i jego pochodnej względem cp otrzymamy

l₀ — Gl cos cp₀ -f C₃ sin cp₀,

C o — — C, sin cp₀ + C₂ cos cp₀ ;

a zatym

C, — C₀coscp₀ —Co sincp₀, C> = C₀ sincp₀ + C© coscp₀;

ponieważ zaś C₀ — —--X², C'₀ — —

r’₀

>0

r₀³

przeto

(9)

Mi

<

--X²

^)coscp₀-f-

2-smcp₀,

C₃

a stąd

“-cos<p₀+(-y — X») sin «p,,

(10)

e² = 1 -f

__V y₀³

/c² (r₀² -f r'₀²)

%²r₀

( *a

²>

Tor punktu będzie elipsą, parabolą lub hiperbolą, według tego, czy e <C 1 e = 1, lub c> 1, czyli, na mocy wyrażenia (10), według tego, czy

21c²

2 lc²

Zęby punkt zakreślił koło, potrzeba, aby e — 0, a zatym, aby

*o²(V*o — *a)a + XV₀² — 0,

z czego wynikają następujące dwa waruuki :

^o = 0 ¹ V —- -j

(IO

(12)

v<

v=

^0²>

Sa Uf

które oznaczają, że prędkość początkowa jest prostopadła do promienia wodzącego i taką posiada wielkość, jaka odpowiada przyśpieszeniu przy r — r₀ dla ruchu po kole.

Spółrzędne bieżące hodografu ruchu centralnego po krzywej stopnia 2-go są, według wzorów (16) art. 15-go,

Rugując z tych równań kąt cp, otrzymamy równanie hodografu

(13)

pe

— q -f e² = 1 ; a

widzimy zatym, że hodograf jest kołem, którego jednak środek nie przypada w biegunie układu spółrzędnych.

18. Drganie proste. Jeżeli punkt, poruszający się po prostej w obu kierunkach między dwoma punktami A i A' (fig. 8), za każdym razem do oddzielnego punktu tej prostej przybywa z tąż samą prędkością, zmieniającą się od punktu do punktu, prędkości zaś jego ruchu w dwu miejscach m i m’, położonych symetrycznie względem środka O prostej AA', są sobie równe, wtedy ruch punktu nazywamy drganiem prostym. Punkt O zowiemy środkiem drgania. Oddalenie s — Om punktu w dowolnym położeniu m od środka drgania nazywamy jego odchyleniem, a największe z tych odchyleń, to jest odchylenie S = O A = OA', nazywamy obsze rn ością drgania.

Z określenia tego ruchu wynika, że w punktach A i A' kierunek ruchu punktu zmienia się na wprost przeciwny, a zatym w tych punktach prędkość punktu drgającego jest równa zeru. Drganie proste jest określone ogólnie zapomoćą następującego równania:

-4* Tfl¹

Fig. 8.

Ttl

(1)

t,* = 2**. [/.(S)-/(*)]

w którym A² jest wiadomym spółczynnikiem, a / oznacza funkcyją odchylenia* która zadość czyni warunkowi /(S) ;> f(s), skoro S s. Jakoż, to równanie daje na v tylko wtenczas wartość rzeczywistą, gdy s-<S, zaś u=0 przy s = a zatym wskazuje ono, że ruch ma miejsce między krańcami A i A'; jeżeli dodatne s liczymy od środka O, to każdej wartości s odpowiadają dwie wartości bezwzględnie równe a przeciwnego znaku, co być powinno według określenia drgania prostego. Różniczkując to równanie względem czasu, otrzymamy

db

ds

dv

ds

ponieważ zaś dla ruchu prostolinijowego y = a v = — , przeto

(2)

skąd wynika, że drganie proste jest ruchem centralnym, którego środkiem jest punkt O, Przyjmując początek drgania w środku O, widzimy z rówmania (1), że pUnkt drgający Wychodzi z tego środka O z prędkością fi- \/2 .li |//(S)—/(O) w kierunku OA, przybywa do A z prędkością zero, wraca ku O* przechodząc w odwrotnym porządku i w przeciwnych kierunkach przez też same stany ruchu* jakie przedtym posiadał, przybywa do O z prędkością —J/2ÆJ//(S)—/(O), odchyla się następnie ku A', gdzie prędkość jego staje się znowu równą zeru, i, przybywszy do O, powraca do stanu początkowego. Po upływie czasu T, w którym punkt po wyjściu ze środka wraca do niego z pierwotną prędkością, powtarza się ruch punktu. Drganie zatym proste jest ruchem peryjo-dyoznym (okresowym), a czas T jest jego peryjodem (okresem).

Żeby więc rozpoznać przebieg drgania prostego, wystarcza uważać ruch punktu podczas jednego okresu T.

cis

otrzymamy

Kładąc w równaniu (1) v = —jj,

(3)

dt—d

cis

~k\/2 y m-m

gdzie należy brać znak -f lub — według tego, czy punkt drgający oddala się od środka, czy się doń zbliża. W pierwszym bowiem przypadku rośnie droga s wraz z czasem, w drugim zaś ubywa; że zaś przyrost czasu zawsze jest do-datny, przeto pierwiastek należy brać w pierwszym przypadku dodatny, w drugim zaś ujemny. Czas zatym tn w którym punkt drgający opisze czwartą część drogi, od O do A, będzie

ds

O)

Punkt opisze dalszą drogę od A do O w czasie

ds

/U 2 L kRS) —f(s)

ź czego się okazuje, że okres drgania wynosi

(5)

ds

T 4 t\    i ~T7—______-

W* J₀ VfW-fc)

Niech

(6)

Y — — 7c²s,

t. j. niech przyśpieszenie będzie proporcyjonalne względem odległości punktu od środka O; ruch punktu w tym przypadku zowiemy ruchem harmonicznym (drganiem harmonicznym). To założenie daje

f'(s). ds =

s. ds

S² — s²

będzie więc, według (1)₅

(7)

V² = Zł² (S² S²).

Możemy tę prędkość obliczyć także bezpośrednio z równania (6); mamy bowiem według tego równania

krS,

cT~s

dt²

Mnożąc obie strony przez 2 . otrzymamy

Cl 0

ds

— — 2 Je² . s . —jj, czyli

ds d²s dt ' dt²

d / ds'\²_

dt V dt) ~ U -s-

skąd, po scałkowaniu

cisy

cl t

— i'² = — k² S² -j- cc

gdzie a jest stałą całkowania. Ponieważ dla .s“S jest v=0, przeto ci~k-S², a zatym v‘² = k‘² (S²— s²). Nadto mamy

ds

o^⁸*-**    */o

.    .9

arc sin -g- =

TT

a przeto okres drgania będzie

(8)

/o

Okres więc drgania jest niezależny od jego obszerności i od prędkości początkowej w punkcie O, zależy zaś od spółczynnika Ic, dającego wielkość przyśpieszenia przy jednostce odległości od środka.

Jeżeli obszernośó drgania nie jest wiadoma, to możemy ją obliczyć z wiadomej prędkości Y w punkcie O. Wartość stałej a w równaniu v² =— k² s² -f a wyznaczymy wtedy z warunku* że przy s~ 0 jest co daje a — V²; będzie więc

(9)

r² = V² — 7»;²s²,

skąd wynika, że obszerność drgania S — y . Dla drgania harmonicznego* licząc czas od środka O, jest ogólnie

(10)

t—~ arć sin ;

a ponieważ, według równania (8),

(11)

2 TC

przeto mamy ogólnie

(12)

Ï .    5

arc sin

2-jt

skąd otrzymujemy równanie riichu (13)

T •

Z tego zaś równania wynika wyrażenie na prędkość

2ttS 2%i

V — —. COS

(14)

Widzimy zatym, że. obliczywszy z równania (8) okrés drgania, możemy drogę i prędkość wyrazić przez czas.

Gdybyśmy czasu nie liczyli od chwili wyjścia punktu ze środka, lecz od chwili, gdy odchylenie jego w stronę ku punktowi A wynosi a — Om, to byłoby ogólnie

4- arcsin-4 4- C,

ej, czyli

(15)

skąd

(16)

S żrr S . sin

Fig. 9.

19. Zastosowania do gieometryi. a). Prowadzenie stycznych. Jeżeli punkt opisuje pewną krzywą, a warunki ruchu pozwalają wyznaczyć składowe jego prędkości w pewnych, odpowiednio dobranych kierunkach, to skład prędkości posłużyć może do wykreślenia stycznej do toru punktu. Tę bowiem styczną wyznacza wypadkowa rozważanych prędkości. Na téj zasadzie polega metoda kreślenia stycznych, podana przez J. Roberval’a. Okażemy ją na cyklojdzie. — Punkt m (fig. 9) ojnsze cyklojdę Zwyczajną, jeżeli koło tworzące toczy się po prostej, albo inaczej: jeżeli punkt m porusza się jednostajnie po kole tworzącym, a środek tego koła posuwa się z tąż samą prędkością jednostajnie i równolegle do podstawyi Możemy więc podać dwie składowe prędkości, mb — mc, z których pierwsza w kierunku stycznym do koła, druga równoległa do podstawy. Przekątna ma rombu mabc wyznacza prędkość punktu, a zatym styczną do cy-klojdy w punkcie m. Ponieważ trójkąty równoramienne mac i mAO są podobne, a dwie pary ich boków odpowiednich są do siebie prostopadłe, przeto

także bok ma jest prostopadły do mA, z czego wynika, źe styczna do cykloj-dy przechodzi przez punkt B. Cięciwa więc mA, przechodząca przez punkt A, w którym koło tworzące jest styczne do podstawy, jest normalną do cyklojdy w punkcie m.

b). Wyznaczenie środka krzywizny. Mając styczną do krzywej, możemy wyznaczyć kinematycznie jéj środek krzywizny. Jeżeli bowiem y„ jest przyśpieszeniem normalnym, a v prędkością w pewnym punkcie, to promień

v-

krzywizny będzie p — — . Ten wzór pozwala w wielu przypadkach na łatwe Y n

wykreślenie środka krzywizny, co okażemy również na cyklojdzie. — Niechaj punkt m (fig. 9) porusza się jednostajnie z prędkością v po kole tworzącym o promieniu R. Oznaczając wtedy przez w stosunek prędkości v do promienia koła, możemy przyjąć mb — V = o)R. Z podobieństwa trójkątów mac i wAO wynika

m a : m b — m A : m O, czyli v : ü)R= m A : R,

gdzie v oznacza prędkość punktu na cyklojdzie w miejscu m. Z tej proporcyi

v — w . m A = w . y,

jeżeli przez ij oznaczymy cięciwę mA. Prędkość zatym punktu na cyklojdzie jest proporcyjonalna względem długości cięciwy koła tworzącego. Ponieważ w kierunku mc punkt nie ma przyśpieszenia, przeto przyśpieszenie 7 na cy^ klojdzie równa się przyśpieszeniu na kole; będzie zatym

T = -ü^=-œ.

a rzut 7„ tego przyśpieszenia na normalną m A wynosi

„    .    „T* m A w² w

7„    7 . cos O»» A = w²R .    —

Zatym promień krzywizny

7«

PRZYKŁADY I ĆWICZENIA.

na

(1). Przyjmując, iż wedlüg prawa Newtona przyśpieszenie spadku pionowego ziemię jest odwrotnie proporcyjonalne względem kwadratu odległości od środka ziemi, wyznaczyć prawa tego spadku ze znacznej wysokości.

Bibi, mat.-fiz., S. IYT, T. X.

Niechaj punkt m (fig. 10) spada z miejsca M, O oznacza środek ziemi, A zaś punkt na jej powierzchni. Nazwijmy OA = r, OM=;S, M?n=:s, przez y oznaczmy przyśpieszenie w punkcie m, zaś przez g przyśpieszenie na powierzchni ziemi w punkcie A. Według założenia, mamy

• -iw

9 (S “ SY ’

d²s

Ponieważ zaś y =    , przeto

d²s

gr²

Pig .10.

dt²    (S — s)² '

fl g

Mnożąc przez 2 . — i całkując, otrzymamy

2 gr²

— JZTs + a'

(SI

gdzie a jest stalą całkowania, wychodził ze spoczynku, wynika a =

Z warunku, że v — 0 dla s = 0, t. j. że punkt a zatym

2 gr²

v² —

2 g r²

Gdy nazwiemy AM = Ä, prędkość, z jaką punkt przybędzie na ziemię, wynosić będzie dla bardzo zatym małych wysokości h jest V = }/ 2gh, jak z przybliżonej teorjd Galileusza wynika, według której przyśpieszenie jako stałe uważamy. Z wyrażenia na prędkość v wynika :

— *    ii

-. ds} a stąd

-hVlV*.

s—

gdzie l jest nową stałą całkowania. Używając podstawienia-

żna tę całkę obliczyć i otrzymać

V-

s (S — s) — S . arc tang

Licząc czas od punktu M, mamy t = 0 dla s = 0, a więc

»=*..* 1/a.

2 r y ²9

Jest zatym

Ksu)|-

t=z 7--J/ ^ jKs(S — ⁵) + S(y — arctang

(2). Punkt A (fig. 11) porusza się prostolinijowo i jednostajnie z prędkością u; inny punkt mf wyszedszy z miejsca M, porusza się ciągle ku punktowi A z prędkością stalą v: wyznaczyć tor punktu m.

(Taką krzywą opisuje pies, idący za swoim panem).

Niech tor punktu A będzie osią x, A0 położeniem początkowym punktu A, oś y obrana w dowolnym początku O, zaś OA₀={JL. Oznaczmy nadto przez a kąt, który prosta mA tworzy z kierunkiem ujemnym osi x. Z warunków zadania wynika, że

Fig- 11.

tang a. — —

dy

m m'

dx OA₀ -j- A₀A — Om'

|J- + « t — x

gdzie x i y są spółrzędnymi punktu m. Jeżeli wprowadzimy s — M/n , to s — v . t, zxzXgj gdzie \ — —. Otrzymamy więc z poprzedniego

a zatym u . t —

równania

(1)

dx

x — y . — = (x + X

dy

jako równanie różniczkowe krzywej (ni). Różniczkując to równanie względem y, mieć będziemy

ds

Ponieważ zaś -— =

dy

luk

od s, będzie

— y-

d²x

dy²

K,+©’

ds

dy

(należy brać znak —, widocznie bowiem

rośnie przy malejącym y), przeto równanie różniczkowe krzywej, uwolnione

\.yi+q*=

dq

v • ~r dy

d x

dy

gdzie q — —-, Całkując to równanie, otrzymamy

(2) gdzie a jest stalą całkowania. To równanie daje y — a dla q — 0, a więc stała a oznacza rzędną y tego punktu naszej krzywej, w którym styczna jest prostopadła do osi x-ów. Mając spółrzędne xQ i y₀ punktu M i kierunek ruchu w tym pun-

'MU

dy

kcie, możemy z równania (2) obliczyć stałą a. Wprowadziwszy ponownie miast q w równaniu (2), otrzymamy z niego

dx

dy

z a-

,2 X

dx

a stąd, całkując, mieć będziemy

2 (x+b)

yl+1

(X -j- l)eA 1 — X

Obiei’zmy styczną do (rn) w punkcie y —a (a więc prostopadłą do osi a>ów) za nową oś y-ów, wskutek tego x — 0 przy y — o, co dozwala oznaczyć wartość stałej b,

x¹ — r

A zatym otrzymujemy w tym układzie spółrzędnych

(3)

2[x +

Xe \ ykk¹

1/    (X-J- l)flX ^ (X—l)yX->

X¹ —

jako równanie krzywej przy X <; 1.—Dla X=1 mamy ogólnie z pierwotnego równania różniczkowego

2    + 7>J =

?/¹

— o • ty.

Ponieważ zaś w naszym układzie spółrzędnych jest y~a przy # — 0, przeto

(4)

ÿ¹

2a

jest równaniem równoważnej krzywej przy X ~ 1. — Odległość wzajemną jednoczesnych miejsc punktów bieżących w i A, która jest zarazem długością odcinka stycznej do toru (m) w m od punktu styczności do punktu przecięcia się z torem (A) w A, nazwijmy d. Mamy tu

(5)

Gdy punkt m dosięgnie punktu A, będzie y = 0. Jeżeli X>1, to przy y — O z równań (3) i (5) wynika x = od, a d — od, co oznacza, że przy X > 1 punkt m nie dosięgnie punktu A. Wrazie, gdy X <C 1, otrzymamy z tychże równań przy y — 0

\(l

1 — X²’

d — 0,

a zatym punkt m dosięgnie punktu A w odległości

X«

od tego punktu, w którym styczna do krzywej (m) jest prostopadła do prostej (A). Wrazie nakoniec, gdy X    x jest nieskończenie wielkie przy y ■=. 0, a zatym punkt m nie dosięgnie

1 — X²

punktu A. — Wyrażenia na

dx

dy

wskazują,, że przy X 1 oś x-ów jest asymptotą

krzywej (m), co także okazuje, że w tych przypadkach punkty m i A zejść się z sobą razem nie mogą.

(3) . Wiadomy jest czas, po którego upływie usłyszymy uderzenie o wodę kamienia, wrzuconego do głębokiej studni: obliczyć głębokość tej studni.

(4) .    Okazać, że czasy, w których punkt, spadający pionowo ze spoczynku,

opisuje równe drogi, są proporcyjonalne względem liczb \/1 —]/ 0 : }/ 2 — \/ 1 ;

: VY-VT: .

prędkości końcowe względem liczb }/1 : ]/ 2 : ]/ 3 : ...,

(5) . Z danego miejsca M spada punkt ze spoczynku pionowo na ziemię, a jednocześnie inny punkt z danego miejsca N, leżącego na pionie punktu M, wznosi się pionowo z daną prędkością: podać warunki, żeby obadwa punkty się spotkały, tudzież czas i miejsce spotkania, i zbadać rozmaite przypadki, jakie w tym zadaniu zachodzić mogą.

(6) . Punkt porusza się jednostajnie po kole, którego środek posuwa się jednostajnie po danej prostej; wyznaczyć tor punktu i podać warunki, aby ten tor był cykłojdą.

(7) . Punkt porusza się jednostajnie po kole, którego środek opisuje jednostajnie inne koło: wyznaczyć tor punktu i podać warunki, aby ten tor był liniją prostą.

(8) . Prędkość punktu w kierunku każdej z trzech osi prostokątnego układu spółrzędnych jest proporcyjonalna względem iloczynu jego spółrzędnych, równoległych do dwu pozostałych osi: wyznaczyć tor i przyśpieszenie punktu.

(9) . Dane są dwa punkty mx i ?n₂: wyznaczyć miejsce gieometryczne tych punktów, z których spadek prostoiinijowy ze spoczynku ku punktom mx i m₂ dokonywa się w tym samym czasie. (Szukane miejsce jest wogólności powierzchnią rzędu

tym samym pionie, to szukane miejsce jest hi-

3-go, a gdy ml i m₂ znajdują się na perbolojdą obrotową równoboczną.)

(10) . Prostą, po której punkt spada, zadość czyniąc danym warunkom, w najkrótszym czasie, nazywamy prostą najkrótszego spadku. Wyznaczyć taką prostą, jeżeli punkt spada ze spoczynku z ogniska paraboli do jej obwodu, oś paraboli jest pionowa, a wierzchołek ponad ogniskiem

(11) . Wyznaczyć prostą najkrótszego spadku między jakimikolwiek dwiema krzywymi w téj samej płaszczyźnie pionowej.

(12) . Niech prędkość wody w każdym punkcie na powierzchni rzeki będzie proporcyjonalna względem odległości tego punktu od najbliższego brzegu, a pływak (uważany jako punkt) nadaje sobie stałą prędkość, prostopadłą do kierunku biegu wody : wyznaczyć tor pływaka i czas jego przeprawy wpoprzek rzeki.

(13) . Niech prędkość wody na powierzchni rzeki będzie stała, a pływak, wychodzący z danego punktu na jednym brzegu, nadaje sobie prędkość stałą, skierowaną ciągle ku punktowi, leżącemu naprzeciw punktu wyjścia na brzegu przeciwnym : wyznaczyć tor pływaka i czas przeprawy przez rzekę.

(14) . Punkt porusza się na płaszczyźnie tak, że promień krzywizny jego toru opisuje w równych czasach równe pola: okazać, że kwadrat przyśpieszenia y tego punktu wyrazi się zapomocą wzoru: w którym p oznacza promień krzywizny, a c stałą prędkość wycinkową tego promienia.

(15). Jeżeli punkt porusza się na powierzchni, vt i v₂ oznaczają jego prędkości w kierunkach stycznych do linii krzywizn głównych tej powierzchni, a pt i p2 odpowiednie promienie krzywizn głównych, to przyśpieszenie Yn punktu w kierunku normalnym do powierzchni wynosi

V²

Pi

P2

(16) . Wyznaczyć taką krzywą na płaszczyźnie pionowej, iżby spadek po stycznej z każdego punktu tej krzywej do danej prostej poziomej dokonywał się w tymsamym czasie.

(17) . Jeżeli r, cp oznaczają spółrzędne biegunowe punktu, poruszającego się po krzywej płaskiej, to

5 Y« —

r'r^ _j_ ,.2(p*ępU_j_    <2

{/ r'2 _J_r2<p'2

r(r<f>" — cp r") -f- 2 <pV² -f- r² <p'³

\// r² -J- r² tp'²

gdzie rr, r", cp', <p,f oznaczają pierwsze i drugie pochodne spółrzędnych względem czasu.

(18). Okazać, że przyśpieszenie styczne i normalne ruchu centralnego wyrażają się zapomocą wzorów

Y/i — —

(19). Jeżeli przyśpieszenie punktu posiada ciągle ten sam kierunek, to gdzie p jest promieniem krzywizny toru, a X wielkością stałą (twier-

w³

Y .Xp ’ dzenie E. Habicha).

(20) . Przyśpieszenie ruchu centralnego po elipsie ma kierunek ku środkowi elipsy: wyznaczyć to przyśpieszenie w funkcyi promienia wodzącego.

(21) . Wyznaczyć przyśpieszenie ruchu centralnego po następujących krzywych: a) po kole, gdy środek ruchu leży na jego okręgu; b) po krzywej ?-³ — a³cos3<p, c) po spiralnej r — ae^cotsf. W przypadkach b. i c. początek spółrzędnych jest środkiem ruchu.

(22). Na obwodzie koła o promienia r znajduje się n punktów w odstępach równych, a każdy z tych punktów porusza się ciągle ku punktowi sąsiedniemu z prędkością stałą v: wyznaczyć tor każdego punktu i okazać, że wszystkie punkty

/    •    /    f    1

dojdą jednocześnie do środka koła w czasie — .--

sin —

(23). Loksodromą na powierzchni obrotowej nazywamy tę krzywą, która wszystkie południki przecina pod kątem stałym. Niech punkt opisuje loskodromę na kuli; wyznaczyć jego v i y i okazać, że wrazie, kiedy punkt tak się porusza po loskodromie. iż jego długość gieograficzna rośnie jednostajnie z czasem, to prędkość i przyśpieszenie będą proporcyjonalne względem dostawy jego szerokości gieograficznój.

ROZDZIAŁ II.

RUCH POSTĘPOWY I RUCH OBROTOWY UKŁADÓW NIEZMIENNYCH.

20. Określenie ruchu w ogólności. Uważajmy układ niezmierni)' za zbiór punktów; wtedy rozpoznanie jego ruchu polegać będzie na zbadaniu ruchu każdego punktu zosobna. Takie określenie zbadania czyni rozwiązanie jego pozornie niemożebnym; żąda bowiem dochodzenia ruchu nieskończenie wielu punktów. Atoli z ivarunku niezmienności układu wynikają pewne związki między ruchami oddzielnych jego punktów, które pozwalają badanie ruchu układu sprowadzić do jednoczesnego rozważania ruchów skończonej ilości punktów tego układu.

W określeniu ruchu należy mieć wzgląd na przestrzeń i na czas. Nie zwracając narazie w określeniu ruchu uwagi na czas, nazwiemy ruch «dokładnie» określonym ze względu na przestrzeń, jeżeli tor każdego punktu układu jest oznaczony co do kształtu i położenia. Owóż można łatwo okazać, że ruch nieładu niezmiennego jest dolcładnie określony ze względu na przestrzeń, jeżeli znamy tory trzech punktów układu, nie leżących na jednej prostej. Przyjmujemy przy tym, że wiadome jest położenie początkowe układu. Jakoż, niech mu m₂ i m₃ będą takimi trzema punktami, a m niech będzie dowolnym punktem układu, którego odległości od nich są odpowiednio rl} r% i r₃. Mając jednoczesne miejsca tych trzech punktów, zakreślmy z mt1 jako środka, kulę promieniem r, ; na niéj oczywiście punkt m się znajduje. Druga kula, zakreślona ze środka m₂ promieniem r₂, przetnie pierwszą podług koła, na którym jiunkt m leżeć będzie. Jako zaś przecięcie się tego koła z kulą, zakreśloną ze środka m₃ promieniem r₃, otrzymamy na nim dwa punkty, które znajdują się od punktów mt, nu i m₃ w danych odległościach. Obadwa te punkty leżą symetrycznie względem płaszczyzny mlm₂m₃. Czyniąc to samo z każdym punktem, otrzymamy dwa możebne położenia układu, symetryczne względem powyższej płaszczyzny. Ponieważ zaś wiadome jest położenie początkowa układu, przeto możemy, na mocy-zasady ciągłości ruchu, wyznaczyć z owych dwu to położenie, które układ jedynie zająć może. Z tego wynika prawdziwość powyższego twierdzenia. Gdyby punkty mu m₂ i mA leżały na jednej prostej, to każdy punkt na kole, podług którego przecinają się dwie pierwsze kule, znajdowałby się w tej samej od odległości, a przeto położenie punktu m, a tymsamym i całego układu, byłoby nieoznaczone.

Trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, których ruchy służą do geometrycznego określenia ruchu układu, można uważać za wyznaczające ruch, a ich tory nazwiemy kierownicami ruchu tego układu. Jeżeli trzy te punkty są w spoczynku, to cały układ w spoczynku pozostaje.

Niech z układem będą stale połączone trzy prostokątne osi spółrzędnych Aç, A7], i AC, o początku w dowolnym punkcie A tego układu, a poruszające się wraz z układem; spółrzędne £, 7] i C punktu m względem tych osi są wiadome. Niech nadto osi Ox, O y i O z stanowią drugi układ prostokątny o początku w pewnym punkcie O, a nieruchomy w przestrzeni; położenie poruszającego się układu będzie wiadome, gdy oznaczymy położenie osi AC, A 7] i AC względem osi 0%, O y i 0^. Każdy więc punkt poruszającego się układu posiada dwojakiego rodzaju spółrzędne, mianowicie spółrzędne stałe ć, 7] i C względem osi AC, At] i AC, określające jego miejsce w układzie, i spółrzędne zmienne x, y i z względem osi Ox, O y i Oz, określające jego miejsce w przestrzeni. Ponieważ trzy spółrzędne Xi, yL i zt (i — 1, 2, 3) określają miejsce każdego punktu mt, wyznaczającego ruch, a niezmienność układu wymaga, żeby było stale

(1)

(xi — xL)² + y i — y*)a + (ą — zkf —    — O,

gdzie Tik jest odległością punktu mk od mk {k = 1, 2, 3, lecz różne od i), przeto 9 spółrzędnych tych trzech punktów zadość czynią 3 związkom między nimi, czyli 3-m dla nich warunkom (1); pozostaje zatyrn 6 spółrzędnych dowolnych. Obrawszy przeto jeszcze 6 warunków dla tych 9-ciu spółrzędnych, możemy wyznaczyć wartość każdej z nich, a zatym określić dokładnie położenie układu. Z takich warunków wyniknie, wogóle mówiąc, kilka wartości na każdą spółrzę-dną, a zatym kilka różnych położeń układu, z których każde odpowiada danym warunkom. Ponieważ inne położenia układu są wykluczone, przeto okazuje się, że sześć warunków wzajemnie niezależnych określa położenie układu niezmiennego w przestrzeni.

Puch układu będzie zupełnie określony ze względu na przestrzeń i ze względu na czas, jeżeli możemy w każdej chwili podać miejsce każdego punktu ruch wyznaczającego w przestrzeni. W tym celu potrzeba mieć wyrażenia sześciu spółrzędnych tych punktów w funkcyjaęh czasu, lub określić ruch układu przez takie sześć warunków, zawierających także czas, żeby z nich można było wyznaczyć owe sześć spółrzędnych jako funkcyje czasu.

21. Podzaje RUCHÓW. Pozmaite szczególne rodzaje ruchów układu niezmiennego różnią się od siebie warunkami, które przyjmujemy dla ich określenia.

a) . Trójkąt punktów wyznaczających ruch porusza się tak, że każdy jego bok jest wciąż do siebie równoległy. Wtedy wszystkie punkty układu opisują jednocześnie równe i równoległe drogi, ich zatym tory są linijami przystającymi, ich prędkości i ich przyśpieszenia są sobie równe w każdej chwili. Taki ruch układu niezmiennego nazwaliśmy ruchem postępów y m. Kuch postępowy może być prostolinijowy lub krzywoliniowy. Do jego określenia wystarcza znajomość ruchu któregokolwiek punktu układu, a przeto teoryja tego ruchu jest zawarta w nauce o ruchu punktu.

b) . Dwa punkty wyznaczające ruch pozostają ciągle w spoczynku; wtedy prosta, łącząca te dwa punkty, jest nieruchoma, a każdy punkt układu, nie leżący na tej prostej, opisuje koło, którego środek leży na tej prostej, w płaszczyźnie prostopadłej do tejże prostej. Taki ruch układu zowiemy ruchem obrotowym, albo obrotem, a nieruchomą prostą osią obrotu.

Ruch postępowy i ruch obrotowy są jedynymi ruchami układów niezmiennych, które są dostatecznie określone przez ruch jednego punktu takiego układu.

c) . Jeden punkt wyznaczający ruch jest nieruchomy; wtedy każdy punkt układu porusza się po kuli, której środkiem jest punkt nieruchomy. Kierownice dwu pozostałych punktów wyznaczających ruch są .krzywymi kulistymi, a także każdy punkt układu opisuje krzywą kulistą. Taki ruch zowiemy kręceniem się układu około punktu stałego. Punkt stały jest środkiem kręcenia się. Określamy kręcenie się przez dwie kierownice kuliste.

cl). Środek kręcenia się przypada w pewnym kierunku nieskończenie daleko; wtedy pozostałe dwie kierownice stają się krzywymi płaskimi, których płaszczyzny będą prostopadłe do owego kierunku, a toż samo zajdzie dla toru każdego punktu układu. Wszystkie punkty układu będą się więc posuwały równolegle do pewnej płaszczyzny. Taki ruch układu zowiemy ruchem posuwistym, albo ruchem równoległym do płaszczyzny, a płaszczyznę, do której układ posuwa się równolegle, płaszczyzną kierującą tego ruchu. Ruch po-suwisty jest określony przez dwie płaskie kierownice. Możemy go uważać jako złożony z ruchów w dwu kierunkach; prędkość bowiem i przyśpieszenie każdego punktu daje się rozłożyć na składowe w dwu kierunkach, równoległych do płaszczyzny kierującej.

22. Prędkość kątowa i przyśpieszenie kątowe obrotu. Zajmiemy się przedewszystkim ruchem obrotowym. Przesuńmy przez oś obrotu dowolną płaszczyznę stałą, i niech <p będzie kątem, który ta płaszczyzna tworzy z płaszczyzną, przesuniętą przez dowolny punkt m obracającego się układu i przez oś obrotu. Jeżeli w położeniu początkowym, przy którym t — 0, kąt <p ma wartość <î>, a po upływie czasu t przybierze wartość cp = <ï> -|- 0, to punkt m obrócił się około osi o kąt 0. Z warunku niezmienności układu wynika, że cały układ obrócił się w tym czasie o kąt 0. Ten kąt nazywamy odchyleniem obrotu. Jeżeli r jest odległością punktu od osi, to rd jest drogą jego

w czasie t, a zatym r .    — r. jest prędkością tego punktu. Dla każde-

d<p_ d 6

go punktu w odległości jednostki od osi prędkość wynosi

Pręd-

dt cZ if

kość punktu obracającego się układu, obranego w odległości jednostki od osi, nazywamy prędkością kątową obrotu tego układu. Prędkość kątowa jest pochodną odchylenia względem czasu. Kładąc

(1)

fZcp d 6

dt    dt    W wyrazimy prędkość v dowolnege punktu w odległości r od osi zapomocą wzoru v — r.io. Z tego widzimy, że ruch obrotowy jest określony ze względu na prędkość przez prędkość kątową; mając prędkość v dowolnego punktu, możemy obliczyć prędkość kątową ca tego obrotu ze wzoru 10==^. Jeżeli prędkość

kątowa jest stała, to obrót jest jednostajny; w każdym innym przypadku obrót jest niejednostajny. Prędkość kątową obliczymy, mając wyrażenie kąta w funkcyi czasu, <p = F(t); będzie bowiem co = F'(t). Równanie obrotu jednostajnego jest cp =    -f-toć, gdzie ca jest wielkością stałą. A jeżeli odchy

lenie liczymy od położenia początkowego punktu, to ^> = 0, a więc równanie tego ruchu będzie cp = oit.

Jeżeli Yt i oznaczają przyśpieszenie styczne i przyśpieszenie normalne dowol nego punktu m, to

(2)

d²Q

d ca

v²

V» —— = rca². r

’li=r-jp =

Pochodna prędkości kątowej względem czasu nazywa się przyśpieszeniem kątowym obrotu układu. Możemy je określić także jako drugą pochodną odchylenia względem czasu, czyli jako przyśpieszenie styczne punktu w odległości jednostki od osi. Mając przyśpieszenie kątowe, obliczymy przyśpieszenie styczne każdego punktu zapomocą pierwszego ze wzorów (2); przyśpieszenie normalne każdego punktu ma kierunek ku osi obrotu i jest proporcyjonalne względem kwadratu prędkości kątowej.

Prędkość kątowa ruchu obrotowego daje się gieometrycznie przedstawić, a to przedstawienie uskuteczniamy następującym sposobem. Na osi obrotu obieramy punkt dowolny, i z tego punktu, jako początkowego, odcinamy na osi długość, proporcyjonalną względem prędkości kątowej, w takim kierunku, iżbyśmy, patrząc z punktu końcowego tego odcinka osi na płaszczyznę, przesuniętą przez jego punkt początkowy prostopadle do osi, widzieli na tej płaszczyźnie obrót około danej osi w kierunku obiegu wskazówek na zegarze. Kierunek odcinka, przedstawiającego prędkość kątową, można uwidocznić strzałką, zwróconą ku jego punktowi końcowemu. Taki odcinek prostolinijowy daje dokładne pojęcie o ruchu obrotowym, albowiem jego położenie określa położenie osi obrotu, jego długość przedstawia wielkość prędkości kątowej, a jego kierunek pozwala rozpoznać kierunek obrotu. Jeżeli według podanego prawidła wypadnie prędkość kątową odciąć na osi w tym kierunku, który uważamy

dt2 f ' dt

za dodatny kierunek téj osi, to taką prędkość kątową będziemy również przyjmowali jako dodatną; w przeciwnym zaś razie jako ujemną. Obrót układu niezmiennego około danej osi O z prędkością kątową to będziemy nazywali krótko «obrotem to około osi O

23. Skład obrotow około przecinających się osi. Układ niezmienny może być częścią składową dwu lub więcej układów, z których każdy obraca się około pewnej osi; wtedy układ bierze udział jednocześnie w kilku obrotach i zachodzi pytanie: jakim będzie wskutek tego ruch układu? Zagadnienia tego rodzaju prowadzą do tak zwanego składu obrotów. Rozwiążemy te zagadnienia z wyraźnym zastrzeżeniem, że będziemy składali obroty nieskończenie małe, czyli chwilowe, t. j. takie obroty, które rozważamy w nieskończenie małych jirzedziałach czasu.

Niech będą dane (fig. 12) dwa nieskończenie małe obroty jednoczesne około- osi Oj i 0₂, przecinających się w punkcie o, a odcinki w, = oay

0,

mĄ\

X'-.

fe

(0

Fig. 12.

i to₂ — oa₂ niech przedstawiają ich prędkości kątowe (art. 22); układ niezmienny bierze udział w obudwu obrotach, a mamy wyznaczyć jego ruch nieskończenie mały. Z kierunków obu obrotów okazuje się, że każdy punkt m, znajdujący się między ramionami kąta a,oa₂, porusza się chwilowo wskutek tych obrotów w dwu kierunkach wprost przeciwnych i prostopadłych do płaszczyzny tego kąta. Oznaczmy odpowiednio przez i r₂ odległości punktu m od danych osi, prędkości tego punktu wskutek danych obrotów będą odpowiednio <D₁r₁ i w₂r₂. Jeżeli przeto obierzemy ten punkt wewnątrz kąta cf.to a₂ tak, żeby to₁r₁ = w₂r₂, to prędkości, jakich punkt nabędzie wskutek obudwu obrotów, zniosą się i punkt pozostanie w spoczynku. Niech dane prędkości kątowe, odcięte na osiach, czynią kąt <p, i niech prosta o m czyni z prędkością co, kąt a z prędkością co₂ kąt cp₂; wówczas ry : r, = sinvy :sincp₂. Żeby zatym równanie to,r, =zoo₂r₂ zachodziło dla punktu m, należy ten punkt tak obrać, iżby to, : oo₂.= sincp₂ : sintp,. Temu ostatniemu warunkowi czyni zadość każdy punkt na przekątnej o a równoległoboku o aia«₂, wystawionego na danych prędkościach kątowych, z czego wynika, że ta przekątna pozostanie chwilowo w spoczynku wskutek obu danych obrotów. Ponieważ żadna inna prosta układu nie ma téj własności, przeto okazuje się, że szukany ruch układu będzie obrotem chwilowym około powyższej przekątnej. Dla krótkości oznaczymy tę przekątną przez O.

Aby wyznaczyć prędkość kątową to tego obrotu, obierzmy na osi Ot punkt dowolny my i oznaczmy przez r jego odległość od osi O, a przez r'₂ jego odległość od osi 0₂. Ponieważ ten punkt ma wskutek obrotu to około O nabyć téj saméj prędkości, co wskutek obrotu to₂ około 0₂, przeto rio = r'₂co₂;

a gdy r = om{. sincp,, r'₂ — om,. sincp, zatym

r'2 sincp

r    sin rp₄ ’

Gdybyśmy na osi 0₂ obrali punkt dowolny m₂, otrzymalibyśmy podobnie

w sin<p

wt    siinp₂ ’

co₂

A zatym

(Ol

(O ₂

sin<p₂ sincp! '

Z równości tych stosunków wynika, że przekątna o a równoległoboku o a,aa2 przedstawia gieometrycznie szukaną prędkość kątową a..

Obrót co około osi O, wynikający z obudwu danych obrotów, nazywamy obrotem wypadkowym tych obrotów, które są jego obrotami składowymi. O obrocie wypadkowym mówimy, żejest równoważny obudwu obrotom składowym; to znaczy, że wskutek tego obrotu każdy punkt układu niezmiennego nabywa téj saméj prędkości, co wskutek obudwu obrotów składowych. Możemy zatym powiedzieć, że dwa obroty chwilowe około przecinających si§ osi są równoważne jednemu obrotowi chivilowemu, którego prędkość kątową, przedstawia gieometrycznie przekątna równoległoboku, ivystaiuionego na prędkościach kątoiuych obudicu obrotem.

Skład takich dwu obrotów dokonywa się więc według téj saméj metody, co skład prędkości, temu samemu punktowi jednocześnie udzielonych. Stosując zatym powyższe postępowanie do ilukolwiek obrotów, otrzymujemy twierdzenie ogólne: ilekoliciek obrotów chivüoivych układu niezmiennego około osi, przecinających się w jednym punkcie, możemy zastąpić jednym obrotem chwilowym, którego prędkość kątoiua jest przedstawiona przez ostatni bok wie-loboku, wystawionego na prędkościach kątoimych tych obrotów. Z togo twierdzenia wynika, że wypadkową obrotów chwilowych około spólnej osi jest obrót około téj saméj osi, którego prędkość kątowa jest sumą algiebraiczną prędkości składowych. Jeżeli wielobok prędkości kątowych jest zamknięty, natenczas prędkość kątowa obrotu wypadkowego będzie równa zeru, a zatym układ po • zostanie w spoczynku wskutek danych obrotów. Mówimy wtedy, że dane obroty nawzajem się znoszą. — Nadto z powyższego twierdzenia wynika, że obrót chwilowy około pewnej osi może być rozłożony na obroty około innych osi, przecinających ją w tym samym punkcie. Metoda rozkładania pozostaje taka sama, jaką stosowaliśmy do rozkładania prędkości ruchów postępowych.

Niech będzie dany obrót z prędkością w około osi O; przesuwając przez dowolny punkt A na téj osi trzy proste Ax, Ay, Az, nie leżące na jednej płaszczyźnie, możemy ten obrót rozłożyć na trzy obroty, z odpowiednimi prędkościami kątowymi S, H i Z, około tych trzech prostych. Niech osi spółrzę-dnych stanowią układ prostokątny i niech a, b i c oznaczają dostawy kierunkowe prędkości kątowej w, odciętej na osi O; wówczas

Z = eoi.

sincp

(o

S — «co

Jeżeli danych jest n obrotów co,, o>₂,..., w,,..., cort około osi O,, 0₂,..., Oi}... ...,On, przecinających się w punkcie A, których dostawy kierunkowe są cin bi i Ci, (i — 1,2,..., n), to możemy rozłożyć każdy obrót w, na trzy obroty : E,- — cti(Oj, H, = w,, Z, = Cj co/ około osi spółrzędnych. Wypadkowa obrotów E,- będzie obrotem E = 2IE; około osi a:, a podobnie otrzymamy obroty H — £ H;, ïi — YiLi około osi y i z. Sumy E, H i Z są składowymi prędkości kątowej co obrotu wypadkowego; a więc otrzymamy

(2)

co = |/ E² + H² -f Z²,

a dostawy kierunkowe tej prędkości, odciętej na osi obrotu wypadkowego, są

(3)

a — —,

co

co

(4)

Dane obroty znosić się będą, jeżeli co = 0, z czego wynika, że równania SEj = 0, SHi — 0, SZj = 0

wyrażają warunki konieczne i wystarczające, aby się dane obroty znosiły.

24. .Rozkład obrotu na trzy obroty około osi spółrzędnych pozwala obliczyć prędkość każdego punktu układu niezmiennego, który obraca się chwilowo około danej osi. W tym celu obierzmy tak osi spółrzędnych, żeby obrót dodatny około osi o?-ów o ćwiartkę koła przywiódł dodatną oś y-ów ku dodatnćj osi 2-ów, żeby obrót dodatny około osi y-ów o ćwiartkę koła przywiódł dodatną oś z ku dodatnćj x i żeby nakoniec obrót dodatny około osi £-ów o ćwiartkę koła przywiódł dodatną oś x ku dodatnćj y. Rozłóżmy nieskończenie    mały    obrót    o    kąt    dy — w .    dt około osi O na trzy obroty nieskończenie małe    z    odchyleniami:    Jcp, =E    . dt, dy₂ = H . dt, dy₃ = Z . dt około

osi Ax,    Ay, Az. Wskutek obrotu dcp prze-

z    sunie się    punkt m o spółrzędnych x, y, z, nie

!"

y-

Fig. 13.

leżący na osi O, o długości dx, dy, dz w kierunkach osi spółrzędnych; te trzy przesunięcia należy obliczyć. Rzućmy punkt m na płaszczyznę A y z\ rzut m, (fig. 13) opisze skutkiem obrotu dtp, taką sarnę drogę, jak punkt m. Jeżeli p, jest odległością punktu m, od osi x-ów, a a, oznacza kąt, który p, czyni z osią spółrzędnych Ay, to w sąsiednim położeniu m'J (y\, z\) po obrocie Jcp, będzie

y\ — Pl. cos («! + d <pj), z\ = p₁. sin (a, -f d <p,).

Opuszczając nieskończenie małe rzędu 2-go i wyższych, otrzymamy stąd

y\=zpl cos a*— p, sina, . dyt = y — z . f7œ1? z\ — p, sina, -f- p, cos a, .dtp, — z + y . J<p,;

nieskończenie małe przesunięcia punktu m w kierunku osi y i osi z wskutek obrotu dcp, będą przeto

y\ — y = — s • dcc,, —* = y.d<p,.

Podobnym sposobem otrzymamy przesunięcia tego punktu w kierunkach osi z i osi a? wskutek obrotu df₂?

— x. d ,    # . (I (p₂

tudzież przesunięcia tego punktu w kierunkach osi a? i osi y wskutek obrotu

— y.dy₃, x.dy₃.

Dodając przesunięcia w kierunku tej samej osi, otrzymamy

(1)

\dx — z. dy.₂ — y.dy₃, dy — x . d<p₃ — 3 . d<p,, dz = y . d <p, — x . d cp₂,

czyli, wstawiając wartości na dtp,, d?p₂ i d<p₃ i oznaczając przez a, b i c dostawy kierunkowe prędkości kątowej w, gieometrycznie przedstawionej,.

(2)

dx — (H. 0 — Z . y) . dt = o)(bz — cy) dt — {bz ■— cy)dy, dy = (Z . x — S . z) . dt = w(ca?— az)dt — (ca? — az)dy, dz = (S • y — H. a?). dt = w (a?/— bx)dt — {ay— bx)dy.

A jeżeli obie strony podzielimy przez dt, to otrzymamy prędkości punktu w kierunkach osi spółrzędnych

dx

-j- — Uz — ly = a {bz — cy),

dy

(3)

— rLx-—E z = to(cx — as),

Cl v

= Ey — Hx — cù(ay— bx).

Jeżeli układ niezmienny obraca się chwilowo około n osi O,, 0₂,...,0W, które przecinają się w punkcie A, to S = H = SH,;, Z = SZ, są składowymi jego obrotu wypadkowego. Otrzymamy zatym następujące wyrażenia na prędkości punktu (x, y, z):

¹

. dx —

dx

dt

(4)

dz

^J = y> SSi — a?. SHę,

z których się okazuje, że prędkość każdego punktu układu w kierunku każdej osi spółrzędnych jest sumą algiebraiczną prędkości, jakich mu oddzielne obroty w kierunku téj osi udzielają. —

Możemy obliczyć przesunięcia dx, dy, dz wskutek obrotu, jeżeli początek osi spółrzędnych nie leży na osi tego obrotu. W tym celu na osi obrotu w dowolnym punkcie (x, y, z) wystawmy trzy osi spółrzędnych, równolegle do poprzednich, i oznaczmy przez xx, yx i zx spółrzędnepunktu (x, y, 0) względem tych osi. Mamy tu x — ’X.Ą-xx, y~Y-\-yx, z—ZĄ-zx, a zatym dx — dxx, dy — dyx,dz — dzx. Ponieważ dxx — {bzx— cyx)do — [b{z— Z)— c{y — — Y)]d'z — [c(Y — y) — b{Z — z)]dy, i podobne wyrażenia otrzymamy dla dyx i dzx, przeto będzie ogólnie

dx

-jj = co[c(Y — y)— b{Z — z)\, — oi [a (Z — z)— c(X — x)], 4 = <#( X-æ)-o(Y-y)].

dx — [c(Y — y) — b(Z — z)\dy:

(5)

dy = [a (Z — z) — c (X — x)] d <p,

dz — [b (X — x) — a(Y — y)] d <p,

25. Momenty obrotu. Iloczyn prędkości kątowej obrotu i odległości danego punktu od osi tego obrotu, nazywamy .momentera obrotu tego względem punktu danego, a ten punkt dany nazywamy biegunem momentu. Moment obrotu jest równy zeru, jeżeli biegun leży na osi obrotu. Przedstawmy sobie biegun momentu stale połączony z osią obrotu; natenczas prędkość, której ten biegun nabywa wskutek obrotu około téj osi, równą się momentowi obrotu względem tego bieguna (art. 22). Ta uwaga pozwala moment obrotu względem punktu przedstawić gieometrycznie. W tym celu przesuwamy płaszczyznę przez biegun momentu i oś obrotu, wystawiamy w biegunie prostopadłą do téj płaszczyzny i na téj prostopadłej odcinamy od bieguna wielkość momentu w tym kierunku, w którym biegun przesuwa się wskutek danego obrotu.

Niech x, y i z będą spółrzędnymi dowolnego punktu na osi O obrotu, zaś a, b i c dostawami kierunkowymi téj osi. Odległość początku układu spółrzędnych od prostej O wynosi

A

d = [(cy — bz)² -f (az — cx)² + (bx ■— ay)²]¹ ;

jeżeli więc co jest prędkością kątową obrotu około prostej O, a 3, H, Z są składowymi téj prędkości, to moment [A tego obrotu względem początku układu spółrzędnych będzie

p = wS = [(Zy — Hz)² + (Ez — Zx)² + (Ha; — 3 y)²f.

0)

Przesuńmy płaszczyznę przez początek układu spółrzędnych i przez oś obrotu, i niechaj a\ V i c’ oznaczają dostawy kierunkowe prostopadłej do téj płaszczyzny, wystawionej w początku; wiadomo, że

cy — bz

(2)

az — cx

c¹ =

bx — ay

, V =

Odetnijmy na téj prostopadłej od początku układu spółrzędnych moment rzućmy ten odcinek na osi spółrzędnych x, y i Z i oznaczmy te rzuty odpowiednio przez A, M, N; mamy tu

A = a¹ ii-=rZy—W z, M = &'fA=30—Z#, N~c'|A=Ha’—3y,

(3)

^iecli jjoczątek układu spółrzędnych (biegun momentu jx) obraca się około osi O z prędkością kątową w; rzuty vx, vv, vz jego prędkości otrzymamy z równań (5) art. 24-go, kładąc w nich x—0, y = 0, 2 = 0 i podstawiając spółrzędne x, y i z punktu na osi O zamiast X, Y, Z. Tym sposobem otrzymamy

vx\Vy\vt — cy — bz \az— cx:bx — ay = A : M : N,

z czego się okazuje, że długość |x, której kierunek wyznaczają równania (3), została odciętą na prostej (a\ b\ cj według poprzedniej reguły.

Z równań (3) wynikają dwa następujące:

(4)

SA + HM + ZN = 0, Aa>'+My + N* = 0,

wyrażające związki, jeden między rzutami prędkości kątowej obrotu a rzutami jego momentu względem początku układu spółrzędnych, drugi między rzutami momentu a spółrzędnymi dowolnego punktu na osi obrotu.

Niech w punkcie (x, y, z) przecinają się osi n obrotów jednoczesnych, a przez A*, M;, N* oznaczmy rzuty momentu [x, obrotu w/ około osi O, (z = 1, 2,... ,n) względem początku spółrzędnych; wówczas

A* = ZjZ/ — H;z, Mj = 3iZ — ZjÆ, Nj = H\x —- Ssy.

Jeżeli przez S, H, Z oznaczymy rzuty prędkości kątowej obrotu wypadkowego, a przez A, M, N rzuty momentu }x tego obrotu wypadkowego wzlędem początku, to

A = ly — Hz = y. SZj — 0. SHj = S Aj, a ponieważ podobne wyrażenia otrzymujemy na M i N, przeto będzie zawsze

(5)

A = SAj, M = SMj, N = SNj.

Wystawmy w początku osi wiązkę prostych, wyobrażających gieometrycznie momenty |x₍- danych obrotów składowych, tudzież prostą jx, przedstawiającą moment obrotu wypadkowego. Wtedy z ostatnich trzech równań okazuje się, że rzut odcinka ;x na każdą prostą w przestrzeni równa się sumie algiebraicz-iiéj rzutów wszystkich odcinków [x₄- na tę sarnę prostą, z czego wnosimy, że, jeżeli odcinki przyłożymy do siebie takim samym sposobem, jak przykładaliśmy poprzednio (art. 4) do siebie prędkości składowe punktu, to odcinek [X będzie bokiem zamykającym wielobok, utworzony z odcinków ;Xj. Możemy ten związek gieometryczny między momentami (Xj a momentem |x tak wyrazić: jeżeli osi ilukólwiek obrotów 'przecinają sie w jednym punkcie, natenczas moment obrotu wypadkowego względem danego punktu jest wypadkową, momentów tych obrotów iozględem tego punktu. Początek układu spółrzędnych mógł być dowolnie obrany, przeto podane twierdzenie jest prawdziwe dla każdego punktu. Skład momentów takich obrotów względem punktu dokonywa się wTięc podobnie, jak skład obrotów; figurę, której bokami są powyższe momenty, zo-wiemy w i e 1 o b o k i e m momentó w. Jeżeli biegun obierzemy na osi obrotu wypadkowego, natenczas moment wypadkowy będzie równy zeru; dla takiego zatym bieguna wielobok momentów będzie zamknięty. Oś więc obrotu wy-

Bibl. müt.-fiz., S. IV, T. X.

padkowego jest miejscem gieometrycznym biegunów, względem których wie-lobok momentów składowych się zamyka.

Jeżeli osi obrotów składowych leżą, na jednej jiłaszczyźnie, na której także obieramy biegun momentów, to z powyższego twierdzenia wynika, że moment obrotu wypadkowego będzie sumą algiebraiczną momentów obrotów składowych.

Znając moment g danego obrotu względem początku osi, możemy obliczyć jego moment ja, względem dowolnego punktu (ê, 73, Ç). Przesuńmy w tym celu przez ten punkt trzy osi spółrzędnych y{,    równoległe do

pierwotnych, to będzie xy=x— $, yy—y—73, zy — z — Ç; jeżeli zatyin A,, M, i N, oznaczają rzuty momentu względem punktu (£, 73, C) na osi spółrzędnych, to

A, = Zy, — H#, — L{y — 73)— H(*- C) = A — (Z73 — Ht). Postępując podobnie z rzutami M, i Nn otrzymamy

(5)

(6)

Aj—A — (Z73—H£)• M^M—(SĆ—Z6), N|=N—(Hl-Sr;);

i«., =Va^+W+W-

26. Iloczyn najkrótszej odległości dwu prostych i wsta-wy ich kąta nachylenia wzajemnego nazywamy momentem tych prostych. Jeżeli jedna z dwu prostych jest osią obrotu z prędkością kątową w, to momentem obrotu tego względem drugiej prostej nazywamy iloczyn momentu obudwu prostych i prędkości kątowej tego obrotu. Prosta, względem której wyznaczamy moment pewnego obrotu, nazywa się osią momentu tego. Moment obrotu względem danej prostej jest równy zeru, jeżeli oś obrotu jest równoległa do téj prostej, lub ją przecina.

JMiecli prosta O będzie osią obrotu w, L daną prostą, względem której mamy wyznaczyć moment tego obrotu, 8 oznacza najkrótszą odległość tych prostych, a <p kąt, który one z sobą tworzą. Wyznaczmy punkt a, w którym najkrótsza odległość 8 przecina prostą L, i przyjmijmy, że prosta L jest stale połączona z osią O i około niej się obraca. Wtedy punkt a. nabędzie w elemencie czasu prędkość S . io, a kierunek téj prędkości będzie z prostą L two-

TC

rzył kąt —--cp, a więc rzut téj prędkości na prostą L będzie 8w. sincp, ró-

wny zatym momentowi obrotu 00 względem prostej L. Z téj uwagi wynika następujący sposób gieometrycznego przedstawienia momentu obrotu w względem prostej L : od punktu a odcinamy na prostej L (na osi momentu) długość, proporcyjonalną względem rzutu prędkości tego punktu na prostą L, i mającą kierunek tego rzutu; ta długość przedstawia moment gieometrycznie. Możemy tę długość odciąć także od dowolnego punktu na osi momentu, dając jéj przy tym właściwy kierunek, a ona wciąż będzie gieometrycznie przedstawiała moment uważanego obrotu względem téj prostej.

Obliczmy momenty danego obrotu 01 około osi O względem osi spółrzędnych. W tym celu obierzmy na osi obrotu, której dostawy kierunkowe niecli

będą a, b i c, punkt dowolny (x, y, z)\ najkrótsze odległości prostej O od osi x-(m, y-ów i z-ów są odpowiednio, jak wiadomo,,

cy — bz

az — cx

bx — a y

V1 — c² ’

\/l — b²

momenty zatym tej prostej względem osi spółrzędnych są odpowiednio cy —; bz,

Mnożąc je przez co, otrzymamy odpowiednie momenty danego obrotu względem osi spółrzędnych,

(/ 1 — a²

O)

az — cx

bx — ay.

(2)

u>(cy— bz), &(az — cx), co (bx — ay).

A ponieważ S = a co, H = óco, Z = cco są rzutami pręcłkości kątowej co na te trzy osi, przeto okazuje się, że wńelkości

A = ly — Hz, M == Ez — Zx, N = Rx — Ey,

w art. 25-ym rozważane* są odpowiednio momentami danego obrotu względem osi spółrzędnych x, y i z. Każda z tych wielkości jest zarazem (art. 25) rzutem momentu danego obrotu względem początku układu spółrzędnych na odpowiednią oś spółrzędnych. Te zaś osi dowolnie obrane zostały, przeto mamy twierdzenie : moment obrotu względem danej prostej jest roimy rzutowi na nią momentu tegoż obrotu iczględem dowolnego jéj punktu. A zatym możemy otrzymać moment obrotu względem danej prostej, przedstawiając gieo-metrycznie moment tego obrotu względem punktu, dowolnie obranego na prostej, i rzucając ten moment na też prostą; rzut ten przedstawia moment szukany. Odwracając zaś to postępowanie, możemy powiedzieć: moment obrotu względem danego punktu jest równoważny momentom tego obrotu względem trzech prostych, przecinających się prostokątnie w tym punkcie.

Z równań (5) poprzedniego ustępu wynika twierdzenie: jeżeli osi ilukol-wiek obrotów przecinają się iv jednym punkcie, natenczas moment obrotu wypadkowego względem danej prostej równa sie sumie algiebraicznéj momentów tych obrotów względem tejże prostej.

27. Skład obrotów około osi równoległych. Udzielmy układowi niezmiennemu dwu chwilowych obrotów co, i co₂ około dwu osi równoległych O, i 0₂: mamy wyznaczyć jego ruch wypadkowy. Przyjmijmy naprzód, że obadwa obroty mają ten sam kierunek (fig.

14 a); natenczas każdy punkt, obrany na płaszczyźnie P, przesuniętej przez obie osi, i leżący między tymi osiami, porusza się wskutek obudwu obrotów w dwu kierunkach wprost sobie przeciwnych. Jeżeli odległości takiego punktu od danych osi oznaczymy odpowiednio przez r, i r₂, to możemy ten punkt tak obrać, żeby r, co, = r₂ co₂ ; wtedy dwie prędkości, których punkt nabywa wskutek

(3)

0,

Ot

Fig. 14«.

purx

Oi

Oz

Fig. 146.

A2,

yn

tych obrotów, zniosą się i punkt pozostanie w spoczynku. Ponieważ miejscem gieometrycznym takich punktów, pozostających w spoczynku wskutek danych obrotów, jest pewna prosta O, leżąca na płaszczyźnie P między danymi osiami i do nich równoległa, przeto (art. 21) widzimy, że obadwa obroty chwilowe są równoważne obrotowi chwilowemu około téj prostej O. Ta prosta dzieli wzajemną odległość danych osi odwrotnie proporcyjonalnie względem odpowiednich, prędkości kątowych; każdy punkt układu niezmiennego nabywa wskutek obrotu wypadkowego około prostej O tejże samej prędkości, co wskutek obudwu obrotów chwilowych około danych osi. Aby wyznaczyć prędkość kątową w obrotu wypadkowego, wyraźmy warunek, że prędkość dowolnego punktu, obranego na osi 0I? wskutek obudwu obrotów, ma być równa prędkości tego punktu wskutek obrotu wypadkowego; otrzymamy równanie r,o> = (ri-f-^₂)w2‘ A ponieważ r{ : r₂ — g)₂ : w,, przeto w — w, + w₂.

Niech (fig. 14bj dano obroty mają kierunki wprost sobie przeciwne, w, niech będzie prędkością kątową obrotu około O], a co₂ = — (w, + s), gdzie £ jest liczbą o takimźe znaku, jak co,, prędkością kątową obrotu około 0₂; nadto obierzmy na płaszczyźnie P dowolny punkt m. Prędkość, udzielona temu punktowi przez każdy z danych obrotów zosobna, będzie miała kierunek bądźto strzałki 1, bądźteż strzałki 2; przyjmijmy tę prędkość w pierwszym przypadku jako dodatną, w drugim zaś jako ujemną. Niech rt i r₂ oznaczają odpowiednio odległości punktu m od danych osi O, i 0₂, S wzajemną odległość tych osi, a v prędkość wypadkową punktu wskutek obudwu obrotów. Jeżeli punkt m znajduje się zewnątrz obudwu osi i bliżej osi O,, to prędkość jego będzie

(1)

v = — r₁ö)₁+r₂(a)₁4-£)z=(r₂ — r,)(o, -f r₂e == § co,-{-r₂s ; jeżeli został obrany między osiami, to

v = ląw, + r₂ (w, -f s) = (r, + ra)w, + r₂e = do)t + r₂e, a jeżeli leży zewnątrz tych osi i bliżej osi 0₂, to otrzymamy

v = r, w, — r ₂ (w, -f- s) = (r, •— r₂) w, — r₂s = 5 co, — r₂ s.

Z tych równań widzimy, że v może być równe zeru tylko w ostatnim przypadku, że zatym miejscem punktów, które wskutek danych obrotów pozostają w spoczynku, jest pewna prosta, równoległa do danych osi, leżąca na płaszczyźnie P zewnątrz tych osi, a bliżej téj z nich, której odpowiada bezwzględnie większa jorędkość kątowa. Odległości rt i r₂ owej prostej O, będącej osią obrotu wypadkowego, od danych osi otrzymujemy z równania (3), kładąc w nim v — 0; mieć będziemy naprzód

■^k, wskutek czego r, —

Te więc odległości są odwrotnie proporcyjonalne względem odpowiednich prędkości kątowych. Gdy oznaczymy przez w prędkość obrotu wypadkowego, mającą kierunek prędkości bezwzględnie większej w₂, to podobnym sposo-

(2)

(3)

r₂ ~

ó(co, + s)

tak iż — —

W, -f £

r₂

w,

as-

be id, jak poprzednio dla obrotów o spólnym kierunku, przekonamy się, źe =    — (tó, + s)=: — e, t. j., że ta prędkość równa się sumie algiebraicznéj

danych prędkości kątowych. — Jeżeli e —0, wtedy prędkości kątowe obrotów składowych są bezwzględnie równe i mają kierunki wprost przeciwne. Wtedy , co = 0, a rx i r.z przybiorą wartości nieskończenie wielkie, a zatym oś obrotu wypadkowego o prędkości kątowej zero będzie prostą w nieskończoności płaszczyzny P. Aby zrozumieć ten wynik, przyjmijmy s = 0 w równaniu (1),

(2) i (3); wtedy dla każdego punktu płaszczyzny P otrzymamy tę sarnę prędkość v — aoii, z czego wnosimy (art. 21), źe ta płaszczyzna, a wraz z nią i układ niezmienny, do którego ona należy, wykona chwilowy ruch postępowy : z prędkością d —Sco,. Prędkość bowiem v (fig. 14ó) jest prostopadła do płaszczyzny P i ma tenże sam kierunek, co odcinek, przedstawiający moment każdego z dwu obrotów, rozważanych względem punktu, obranego dowolnie na osi drugiego obrotu.

28, Paba obrotów. Dwa obroty chwilowe około dwu osi równole^ :głycli, których prędkości kątowe są bezwzględnie równe a o przeciwnych kie^ minkach, nazywamy parą obrotów. Płaszczyznę, przechodzącą przez osi obudwu obrotów, nazywamy płaszczyzną pary, a iloczyn wzajemnej «odległości obudwu osi i prędkości kątowej obrotów nazywamy momentem pary obrotów. Łatwo spostrzeżemy, że moment pary obrotów jest także równy momentowi każdego z dwu obrotów tej pary względem punktu, obranego dowolnie na osi drugiego obrotu tejże pary. Parę obrotów o prędkościach co i —co oznaczać będziemy symbolem (w, —co). Wyniki, otrzymane w art, poprzedzającym, możemy teraz sformułować w twierdzeniu: jeżeli diva obroty chivilowe około osi równoległych nie stanowią pary obrotów, to są równoważne obrotowi chwilowemu; jeżeli zaś takie diva obroty stanowią parę, ivtedy są równoważne ruchowi postępowemu; prędkość tego ruchu jest równa momentoivi pary, a jego kierunek jest ten sam, co odcinka, przedstawiającego moment każde-* go z dwu obrotów' tej pary względem punktu, obranego doivolnie na osi drugiego obrotu tejże pary.

Z tego wynika, że dwie pary obrotów, wywołujące ten sam ruch postęp powy, są równoważne i mogą się nawzajem zastąpić. Dla danej pary obrotów można podać nieskończenie wiele par równoważnych. Weźmy bowiem na płaszczyźnie P parę obrotów (co, —co) o momencie ^ = d co i, przesunąwszy w przestrzeni dowolną płaszczyznę P' równoległą do P, obierzmy na niój do’ wolnie dwie równoległe proste O', i 0'₂ w odległości wzajemnej 6' i te proste przyjmijmy jako osi dwu obrotów chwilowych z takimi prędkościami kątowymi co' i —co', żeby [r = S'co' i żeby ruch postępowy, wywołany przez parę (cor, — co'), miał ten sam kierunek, co ruch postępowy, odpowiedni parze (co, —co); natenczas pary (co, —co) i (co',—co') będą równoważne, albowiem wywołują ten sam ruch postępowy.

Podane wyżej twierdzenie daje możność przedstawienia gieometrycznego pary obrotów. W tym celu wystawmy w dowolnym punkcie prostą w kierunku ruchu postępowego, równoważnego danej parze, i na niej weźmy odcinek

o długości odpowiadającej Avielkosci momentu pary; ten odcinek będzie oczywiście przedstawiał gieometrycznie daną parę obrotów.

Pary obrotów, udzielonych temu samemu układowi niezmiennemu, można składać z sobą. Jeżeli mamy danych n par obrotów (w,, —co, ),..., (cow, —co„) o momentach    to przedstawmy te pary gieometrycznie zapomocą

odcinków, wychodzących z tego samego punktu, a następnie przykładajmy te odcinki do siebie takim sposobem, jak przy prędkościach ruchów postępowych; z nich więc utworzymy wielobok. Natenczas prosta, zamykająca ten wielobok, przedstawiać będzie moment pary wypadkowej. Jeżeli wielobok momentów par składowych sam się zamknie, to dane pary znoszą się. Parę obrotów można zawsze rozłożyć na dwie pary lub więcej, a to tym samym sposobem, jakiego używaliśmy do rozkładania prędkości punktu, lub do rozkładania obrotu chwilowego na inne obroty, których osi przecinały w tym samym punkcie oś danego obrotu. Puch postępowy można zastąpić parą obrotów, która jest gieometrycznie przedstawiona zapomocą odcinka, wyobrażającego prędkość ruchu danego.

29. Skład obeotu z ruchem postępowym. Skręt chwilowy. —

a). Mając obrót to około osi O i ruch postępowy z prędkością v w kierunku prostopadłym do tejże osi, chcemy złożyć te dwa ruchy chwilowe. Zastąpiwszy ruch postępowy parą obrotów (art. 28) o momencie v, możemy prostą O obrać jako oś, a wielkość — co jako odpowiednią prędkość kątową jednego z dwir obrotów tej pary; wtedy oś S drugiego obrotu téj pary znajduje się na płaszczyźnie, jirzechodzącćj przez O prostopadle do v; odległość prostej S od O jesfe 8 = v : co, a co jest prędkością kątową obrotu około S. Obroty co i — co około prostej O znoszą się, a zatym ruchem wypadkowym jest tylko obrót chwilowy co około osi S. — Możemy to inaczej tak uzasadnić. Dowolny punkt m w odległości p od osi O (fig. 15) otrzymuje dwie prędkości, prostopadłe do tej

-7-V

sk

Fig. 15.

osi, mianowicie: prędkość pco wskutek danego obrotu i prędkość v wskutek danego ruchu postępowego. Punkt pozostanie w spoczynku, jeżeli pco=v i jeżeli kierunki obudwu prędkości będą wjmost przeciwne. Kreśląc zatym z punktu O (leżącego na osi O) koło o promieniu p — v: w i obierając na tym kole taki punkt S, żeby kierunki jego obudwu prędkości były wprost sobie przeciwne, otrzymamy ślad osi S na płaszczyźnie rysunku, a obrót chwilowy co około téj osi będzie równoważny obudwu danym ruchom.

Nawzajem, można obrót chwilowy co około danej osi S rozłożyć na obrót co około innej osi O, równoległej do S, i na ruch postępowy z prędkością t’=:Sco, gdzie 8 oznacza wzajemną odległość prostych O i 8.

CO,\

b). Niech będzie dany obrót w około osi O (fig. 16) i ruch postępowy v w kierunku, tworzącym kąt 9 z tą osią; mamy złożyć te dwa ruchy chwilowe, Rozłóżmy prędkość v na dwie prędkości v' i vskładowa ■v' niech będzie równoległa do osi O, a v" niech będzie prostopadła do tej osi. Wtedy otrzymamy v’— y.coscp, v" — v . sin <p. Dany obrót co wraz z ruchem postępowym v" sprawiają obrót co około pewnéjTosi S, równoległej do O? którą według a. wyznaczyć możemy. Ruch zatym wypadkowy będzie się składał z obrotu chwilowego co około tej osi S i z chwilowego ruchu postępowego v’ w kierunku osi O, a więc także osi S.

Ruch układu niezmiennego, składający się z obrotu chwilowego około pewnej osi i z chwilowego ruchu postępowego w kierunku tej osi, nazywamy skrętem chwilowym tego układu, tak iż obrót chwilowy wraz z ruchem postępowym chwilo-icym, który wic jest prostopadły do osi obrotu, sa równoważne skrótowi chwilo-Gdy skręt zachodzi, rozróżniamy dwie prędkości, mianowicie: prędkość

/ ^_____

V'

~>v”

Fig. 16.

wemu.

obrotu i prędkość ruchu postępowego. Jeżeli żadna z tych prędkości nie jest równa zeru, to skręt składa się z dwu ruchów chwilowych. Jeżeli prędkość obrotu jest równa zeru, to skręt sprowadza się do chwilowego ruchu postępowego; jeżeli zaś prędkość postępowa jest równa zeru, to skręt redukuje się do samego obrotu chwilowego.

Roz-

30. Spólrzędne obbotu chwilowego. Niech będzie dany obrót chwilowy co około pewnej osi O, której położenie względem trzech prostokątnych osi spółrżędnyeh jest wiadome. Poprowadźmy przez początek A spółrżędnyeh prostą O', równoległą do O, i nadajmy układowi niezmiennemu dwa obroty chwilowe co i —co około tej prostej O'; nie zmienimy przez to jego ruchu chwilowego. Obrót dany co razem z obrotem — w około prostej O' tworzą parę obrotów, której moment p. równy jest momentowi pieiwvotnego obrotu względem punktu A (art. 28). Tym sposobem zastąpiliśmy obrót pierwotny obrotem z tą samą prędkością kabową, lecz około prostej O' (przechodzącej przez początek spółrżędnyeh), oraz ruchem postępowym o prędkości p.. łóżmy teraz (art. 23) obrót co około prostej O' na trzy obroty S, H i Z około osi spółrżędnyeh Ax, A y i Az, a ruch postępowy p, (art. 5) na trzy A, M i N w kierunkach tych osi; widzimy, że obrot chwilowy układu niczmienneyo jest równoważny trzem obrotom chwilowym około trzech prostokątnych osi spółrz§-dnych wraz z trzema ruchami chwilowymi postępowymi iv kierunkach tychże osi. To twierdzenie pozostaje widocznie prawdziwym dla układu ukośnokątne-go spółrżędnyeh.

co na

Prędkości kątowe 3, H i Z trzech obrotów chwilowych około osi spółrzę-dnych, tudzież prędkości A, M i N trzech ruchów chwilowych postępowych w kierunkach tych osi, nazywać będziemy s pół rzędnymi obrotu chwilowego danego. Spółrzędne 3, H i Z są rzutami danej prędkości kątowej

osi spółrzędnych, a spółrzędne A, M i N są (art. 26) momentami danego obrotu względem tychże osi.

Według art. 25-go, między spółrzędnymi obrotu chwilowego zachodzi związek następujący:

(1)

SA + HM + ZN — 0,

a można okazać, że nawzajem między powyższymi wielkościami zachodzi ten związek, jeżeli one mają być spółrzędnymi obrotu chwilowego. Jakoż, dokonajmy składu obrotów S, H i Z około osi A cc, A y i As na jeden obrót w około osi Or, przez początek A przechodzącej,

(2)

co = |/ 3² + H² -j- Ź², a wtedy dostawy kierunkowe ci, b i c téj osi będą

(3)

CO

CO

C CO ’

składając podobnie ruchy postępowe A, M, N w kierunkach osi Ax, Ay, As w jeden ruch postępowy chwilowy u,

(4)

l A² -f M² + N²,    . '

jako wyrażenia dostaw kierunkowych a', V i c' tego ruchu postępowego mieć będziemy

(5)

b' = —

Żeby obrót co około osi O' wraz z ruchem postępowym (i dał obrót chwilowy około osi O, równoległej do Or, potrzeba, aby ruch postępowy \i był prostopadły (art. 29) do osi O', a zatym aa’ + bb’ -f- cc’ = 0. Jeżeli w tym równaniu podstawimy wartości z równań (3) i (5), to otrzymamy podane powyżej równanie warunkowe (1).

Obierzmy na osi O danego obrotu co dowolny punkt (x, y, s)\ według wzorów (3) art. 25-go, otrzymamy następujące trzy równania:

(6)

Z y — H s — A = 0, E# — Lx—M = 0, Iix — Ey — N = 0,

które, wskutek warunku (1), sprowadzają się do dwu równań niezależnych. Te równania wyznaczają rzuty osi O na płaszczyzny spółrzędnych.

Sześć spółrzędnych S, H, Z, A, M i N, między którymi zachodzi związek

(1), określają zupełnie obrót. Jakoż, z równania (2) możemy obliczyć prędkość kątową obrotu, równania (6) wyznaczają jego oś, a równania (3) pozwalają rozpoznać kierunek obrotu chwilowego.

31. Spóerz^dne skrętu chwilowego. Niech będzie dany skręt chwilowy z prędkościami kątową co i ruchu postępowego v. Rozłóżmy obrót co na trzy obroty E, H i Z około osi spółrzędnych i na trzy ruchy postępowe A', M' i Nf w kierunkach tych osi; rozłóżmy podobnie ruch postępowy v danego skrętu na trzy ruchy postępowe A", M" i N" w kierunkach tychże samych osi. Trzy prędkości kątowe E, H i Z wraz z trzema prędkościami ruchów postępowych, A = A'+ A", M = M' -f M", N = N' + N" nazywamy spółrzędnymi skrętu chwilowego względem danych osi spółrzędnych. A zatym skręt chwilowy można rozłożyć na trzy obroty około osi spółrzędnych i na trzy ruchy postępowe w kierunkach tych osi, a prędkości tych sześciu ruchów są właśnie spółrzędnymi skrętu. Ponieważ E, H, Z, A', M' i N' są spółrzędnymi obrotu, stanowiącego jeden z ruchów składowych skrętu, przeto

EA'-f HM' + ZN'—0, z czego łatwo wyciągnąć wniosek, że funkcyja

(1)

% = EA + HM + ZN,

utworzona ze spółrzędnych skrętu chwilowego, nie może być równa zeru. Podstawiwszy bowiem w tej funkcyi wartości spółrzędnych skrętu, otrzymamy

(2)

z = SA" + HM" + ZN,f;

ponieważ zaś E, H, Z, A", M” i N" nie są spółrzędnymi obrotu chwilowego, przeto ta funkcyja nie może przybrać wartości równej zeru. Wielkość %, utworzoną według wzoru (1) ze spółrzędnych skrętu chwilowego, będącą fun-kcyją jednorodną stopnia 2-go jego spółrzędnych, nazywamy parametrem skrętu chwilowego.

Niech a, b i c oznaczają dostawy kierunkowe osi skrętu i niech

(3)

co = KS2 + H² + Z²;

wówczas

(4)

— b — — (O ’    co

co

Suma rzutów prędkości A", M", N" na oś skrętu daje prędkość v ruchu postępowego skrętu; będzie zatym

EA" + HM" + ZN"

co

v =. a A” -f &M" -f cN'

czyli, po wstawieniu wartości z (2) i (3),

_ EA + HM + ZN _

° — |/E2 + H² + Z* “ ‘

Z ostatniego równania okazuje się, że parametr skrętu jest iloczynem obudwu jego prędkości, z czego także wynika, że ów parametr nie może być równy zeru, dopóki skręt chwilowy nie zredukuje się do samego obrotu lub do samego ruchu postępowego. Stosunek

X = A

(5)

—, a zatym % = v .

co.

SA + HM + ZN E² + H² + Z²

prędkości ruchu postępowego skrętu chwilowego do jego prędkości kątowej, nazywać będziemy wskaźnikiem skrętu chwilowego. Jeżeli wskaźnik skrętu jest zerem (v — 0), natenczas skręt redukuje się do samego obrotu

(6)

co

około swej osi; jeżeli wskaźnik przybiera wartość nieskończenie wielką (oi—0), to skręt redukuje się do samego ruchu postępowego wzdłuż swej osi. Wskaźnik skrętu może przybierać wszelkie wartości rzeczywiste od —oo do -j-oo.

Z równania (5) obliczmy prędkość v; otrzymamy

Ar = A — av = A — a A co — A — AS; taksamo dla innych spółrzędnych mieć będziemy

(7)

A' — A — A3, M' = M — AH, N'=N —AZ.

Jeżeli zatym punkt (x, y, z) jest punktem dowolnym na osi skrętu, to, według art. 30-go,

(S)

( ly — Hz— (A— AE) = 0,

Es — Lx — (M — AH)=0,

( Hæ—3y — (N ■— AZ) = 0.

Sześć spółrzędnych 2, II, Z, A, M i N określają zupełnie skręt chwilowy. Równania bowiem (3) i ÇL) dają obie prędkości skrętu, a równania (8), redukujące się, jak poprzednio okazano, do dwu równań niezależnych, określają oś tego skrętu.

Jeżeli mamy sześć spółrzędnych skrętu chwilowego, to możemy obliczyć prędkość dowolnego punktu (x, y, z) układu niezmiennego, któremu ten skręt został udzielony, dodając do siebie prędkości, jakich ten punkt nabywa w kierunku każdej osi spółrzędnych wskutek obrotu i wskutek ruchu postępowego. Żądane zatym prędkości tego punktu będą, według równań (3) art. 24-go,

CC

Su

CS

*=S

CS

-r

SU

32. Skład skrętów chwilowych Udzielamy układowi niezmiennemu jednocześnie n skrętów chwilowych około n osi, mamy zaś wyznaczyć jego ruch wypadkowy. Niech S;- będzie osią i-go skrętu składowego, a to,, vt niech oznaczają jego prędkości. Wystawmy w dowolnym punkcie A prostokątny układ osi spółrzędnych Ax, Ay, Az i wyznaczmy spółrzędne 3,, H,, Z,, Aj, Mt- i Ni (art. 31) tego skrętu względem tychże osi. Czyniąc to samo z każdym skrętem, złóżmy zosobna obroty i ruchy postępowe chwilowe, odpowiadające każdej osi spółrzędnych. Prędkości sześciu ruchów chwilowych, otrzymanych tym sposobem, będą równe sumom algiebraicznym spółrzędnych danych skrętów; otrzymamy więc

Z=SZi, A = SAi, M=SMi, N —SNi.

Ponieważ wielkość y.r=E A Ą- HM -j- ZN nie będzie wogólności równa zeru, przeto prędkości 2, II, Z, A, M i N będą spółrzędnymi pewnego skrętu chwilowego, przedstawiającego właśnie szukany ruch wypadkowy, który jest równoważny danym skrętom.

Uekolwiek skrętów chwilowych, jednocześnie rozważanych, nazywamy układem skrętów, a sumy algiebraiczne spółrzędnych odpowiednich

(1)

ii

II—III

ii

wszystkich skrętów tego układu nazywamy spółrzędnymi układu skrętów. Mamy zatym twierdzenie: układ skrętów jest równoważny skrętowi chwilowemu, którego spółrzędnymi są spółrzędne tego układu. Oś skrętu wypadkowego układu skrętów nazywamy osią centralną układu skrętów. Wielkość x — 3 A 4- HM -j- ZN, utworzoną ze spółrzędnych układu skrętów,

SA + HM -f ZN

nazy-

E² + H² -f- Z²

wamy wskaźnikiem układu. Parametr i wskaźnik układu skrętów są odpowiednio równe parametrowi i wykładnikowi skrętu wypadkowego.

Sposobem wyżej wskazanym możemy także wyznaczyć wypadkową ilu-kolwiek obrotów chwilowych, układowi niezmiennemu jednocześnie udzielonych. Wyznaczmy spółrzędne każdego z danych obrotów względem osi Ax, A y i A z, dodajmy do siebie ich spółrzędne odpowiednie, a otrzymamy według (1) prędkości sześciu ruchów chwilowych, z których możemy wyznaczyć ruch wypadkowy. Ponieważ z równania warunkowego dla każdego z danych obrotów, mianowicie z tego, że xf = E* A,- -f- II, M; -f- Z;N₍- = 0, nie wynika wogólności, aby wielkość SA + HM + ZN była równa zeru, przeto (art. 31) mamy twierdzenie: układ obrotów jest wogólności równoważny skrętowi chtvi-lowemu, którego spółrzędnymi są spółrzędne tego układu. Co zaś należy rozumieć przez układ obrotów i przez spółrzędne układu obrotów, to widoczne jest z poprzednich określeń dla układu skrętów.

nazywamy parametrem układu, a wielkość \z=.

Skład ilukolwiek skrętów (lub obrotów) chwilowych nazywamy inaczej przekształceniem albo tran sfor macy ją układu ruchów owych, to znaczy sprowadzeniem tych ruchów do innej, prostszej postaci, im równoważnej i lepiej się nadającej do rozpoznania prędkości każdego punktu układu niezmiennego, któremu tych ruchów udzielono. Ten skład nazywamy także redukcyją czyli sprowadzeniem układu ruchów owych do tego punktu A , który został obrany jako początek układu osi spółrzędnych. Ponieważ skręt jest dokładnie określony, jeżeli znamy jego spółrzędne względem jakichkolwiek trzech osi spółrzędnych prostokątnych (art. 31), przeto otrzymamy zawsze ten sam skręt wypadkowy niezależnie od tego, do którego punktu redukujemy dany układ skrętów lub obrotów, i jakiego układu osi spółrzędnych używamy do téj redukcyi.

Wynik przekształcenia układu skrętów może być rozmaity, stosownie do wartości spółrzędnych tego układu. Jeżeli każda spółrzędna układu jest równa zeru, natenczas dane skręty znoszą się. Jeżeli parametr układu skrętów jest równy zeru, a spółrzędne jego S, H i Z nie są wszystkie równe zeru, wtedy ten układ jest równoważny obrotowi chwilowemu. Jeżeli każda ze spółrzędnych E, H i Z jest równa zeru, a spółrzędne A, M i N nie znikają jednocześnie, natenczas układ jest równoważny ruchowi postępowemu chwilowemu. Układ skrętów, którego parametr nie jest równy zeru, jest równoważny skrętowi. Podane tu twierdzenia stosuję się także do układu obrotów chwilowych.

Jeżeli dwa układy skrętów (lub obrotów) dają ten sam skręt wypadkowy, wtedy są równoważne i mogą się nawzajem zastąpić. Spółrzędne odpowiednie takich dwu układów są sobie równe. I nawzajem, jeżeli spólrzędne odpowiednie takich dwu układów są sobie równe, to układy te są równoważne, bo każdy z nich daje ten sam skręt wypadkowy. A zatym, do równoważności dwu układów skrętów (lub obrotów) chwilowych potrzeba i wystarcza, aby ich spółrzędne odpowiednie były równe sobie.

33. Parametr układu obrotów ma ważne znaczenie gieometryczne. Aby je okazać, weźmy dwa obroty, jeden (3,, Ił,, Z,, A,, M,, N,), a drugi (3₂, H₂, Z₂, A₂, M₂, N₂). Niech a,, bx, c, będą dostawami kierunkowymi, a *i? ßu Ti momentami osi Ox pierwszego obrotu względem osi spółrzędnych; jiodobne znaczenie niech mają ct₂, b₂, c₂, a₂, ß₂ i y₂ dla drugiej osi 0₂. Obierając na prostej Ox punkt dowolny (a?,, yx, zx), mamy, według art. 26-go,

(1)

«i = clyl — bxZi, ß, — axzx — clxl, yl = blxl—a,y,

i podobnie dla punktu (x₂, y₂, z₂) na osi 0₂. Między tymi wielkościami zachodzi związek

00

+ &ißi +c,Yi —0,

konieczny i wystarczający na to, aby te wielkości należały do tej samej prostej. Pisząc równania osi Ot w postaci

(3)

—— Z 4" »h

ci

Td + n‘

otrzymamy łatwo

Dli —

CQ-I 7*

*i .

równania zatym osi Ox i U₂ są

(4)

— («i« — ßi)

°i

~T (b\Z + «,),

7- («2* — ßj), c₂

) V — 7- (M + aa)-

c₂

Z nich się okazuje, że wielkości a, b, c, a, ß i y, zadość czyniące warunkowi a³ 4- ó³ 4- c³ — 1 i warunkowi (2), zupełnie wyznaczają prostą, tak iż możemy je przyjmować za spólrzędne prostej.

Niech §J2 będzie najkrótszą odległością wzajemną osi O, i 0₂; wia

domo, że

g _ (c-jbi — Ci b₂) (ot, — m₂) 4- (fl₂c, — a,c₂)(nx — n₂)

V(c₂bi — c,ó₂)² + (a₂cl — a,c₂)²-f (b₂ax— M2)²

Ponieważ mianownik tego ułamka jest wstawą kąta, który z sobą tworzą obie proste, przeto moment ml2 tych osi (art. 26) wynosi

»*l2 — (c₂by — c,b₂)(ml — m₂) 4- (a₂ć, — alc₂)(nl — n₂).

Podstawiając wartości m1} ni₂, nx, n₂ i uwzględniając warunki (2), otrzymamy

(ö)

*», 2 — ai«a + 6ißa + CiTa + öfaai + ^ßi+CaTi»

jako wyrażenie momentu dwu prostych, z których każda jest określona zapo-mocą sześciu spółrzędnych. Wyrażając spółrzędne osi Oj przez spółrzędne obrotu chwilowego około niej, mamy według równania (2) art. 26-go

Si

H,

Z,

P, = £

wi

co,"J Cl~Wl’ ai—to, ’

Wl = i/s7+iv+v,

i podobnie dla osi 0₂, z czego się okazuje, że spółrzędne osi obrotu chwilowego są proporcyjonalne względem spółrzędnych tego obrotu. Podstawiając te wartości w (5), mieć będziemy

Ti ——

Wj

(7)

ml2 —

w,co₂

(-i A₂ p Ił i M₂ p Z] AT₂ P S₂A, -f H₂M, p Z₂Ni),

czyli

(3)

co, o)₂. nii 2 — — i A₂ p Hj M₂ p j A 2 -f- ■P A , -|- lT₂Mt -(- Z₂A Parametr układu dwu danych obrotów wynosi

1*

X = (E, + E₂)(A, p A₂) + (H, + H₂)(M, p M₂) p (Z, p Z₂) (N, + N₂); a ponieważ, jak wiadomo, dla tych obrotów mają miejsce Związki

(9)

3t A, P H,M, p Z,Ń, = 0, E₂zV₂ p H₂M₂ 4- Z₂N₂ = 0, przeto % = E,A₂ p H,M₂ p Z(N₂ p E₂Aj p H₂M, p Z₂N,;

z czego wynika, że

(10)

y. — co₁co₂. mi2 .

Odetnijmy na każdej osi obrotu odpowiednią prędkość kątową (art. 22); otrzymane tym sposobem cztery punkty końcowe tych odcinków możemy przyjąć jako wierzchołki czworościanu, którego krawędziami przeciwległymi są owe odcinki wt i co₂ na powyższych osiach. Wiadomo, że objętość tego czworościanu wynosi-g-co₁to₂. mJ2, wielkość bowiem m₁₂ jest iloczynem najkrótszej

odległości dwu krawędzi przeciwległych i wstawy ich kąta nachylenia. Poró-wnywając to wyrażenie z równaniem (10), widzimy, że parametr nieładu dwu obrotów chwilowych równa się sześciokrotnej objętości czworościanu, którego krawędziami przeciwległymi są prędkości kątowe tych ohrotow, na ich osiach odcięte. Parametr % może być dodatny lub ujemny; należy zatym ustalić pe-prawidło, według którego objętość tego czworościanu ma być brana dpowiednim znakiem, aby miało miejsce równanie (10). Zważmy, że mo-

wne z o

żerny napisać x = X w₁₂w₂ = to₂ X f%2wi 5 parametr zatym dwu obrotów około osi Os i 0₂ równy jest iloczynowi prędkości kątowej co, obrotu około Oj i momentu obrotu co₂ względem tejże osi, lub także iloczynowi prędkości kątowej co₂ obrotu około 0₂ i momentu obrotu co, względem tejże osi. Przedstawmy gieometrycznie (art. 22) obiedwie prędkości kątowe co, i coa na odpowiednich osiach, tudzież (art. 26) moment jednego z tych obrotów względem osi innego obrotu; na tej osi, względem której braliśmy moment, otrzymamy dwa odcinki, z których jeden przedstawia prędkość kątową, odpowiedniego obrotu około téj osi, a inny przedstawia moment pozostałego obrotu względem tejże osi. W przypadku, kiedy te dwa odcinki mają ten sam kierunek, należy parametr i objętość czworościanu przyjmować jako dodatne, a kiedy odcinki mają kierunki wprost sobie przeciwne, przyjmować je jako ujemne.

Niech będzie dany układ n obrotów (Ej, Hj, Z*, A,-, Mj, Nj), gdzie i = 1, 2,..., n ; to parametr tego układu będzie:

% = ES*. E p EH*. EMf + SZ,. EN₄,

Przekształcając stronę prawą tego równania i uwzględniając warunek

Si A* -f- HjMj p ZjNj = 0,

otrzymamy

(11)

x = SS(S»Ajfe P HjM* + ZjxN, + S,. A,- -f H,. Mj p Z*. Nj),

wyrazów. To równanie wyraża następujące twierdzenie: parametr

gdzie sumowanie podwójne rozciąga się na wszystkie kombinacyje z danych n wskaźników po dwa; suma przeto na prawej stronie równania (11) ma n(n — 1)

ÏT2

układu obrotów chwilowych równa się sześciokrotne) sumie algiebraicznéj objętości czworościanów, wystawionych, jako na krawędziach przeciwległych, na każdych dwu prędkościach kątowych tych obrotów, odciętych na ich osiach.

Stosując to twierdzenie także do przekształcenia układu obrotów (art. 32), otrzymamy następujące twierdzenie: układ obrotów chwiloiuych jest równoważny jednemu obrotowi, jeżeli suma algiebraiczna objętości czworościanów, wystawionych na każdych dwu prędkościach kątowych tych obrotów', odciętych na ich osiach, jest równa zeru (twierdzenie Chasles’a).

Obierzmy prostą dowolną o rozważanych powyżej spółrzędnych a, b, c, a, ß i y; moment obrotu co₄ względem téj prostej, według (8), wynosi

a Aj -p b Mj p c Nj -{- oc ą- -j- ß H\ p y 4 •

Odetnijmy na prostej długość dowolną 8 i wystawmy czworościan, którego krawędziami przeciwległymi są długość 8 i prędkość kątowa co,, odcięta na osi obrotu Oj, natenczas sześciokrotna objętość tego czworościanu będzie

§ (a Aj p b Mj p cNj P aüj P ßHj p y Zj).

Gdy uczynimy toż samo z każdym obrotem danego układu, to sześciokrotna suma algiebraiczna objętości takich czworościanów, których spoiną krawędzią jest prosta 8, a krawędziami przeciwległymi są prędkości kątowe danych obrotów, będzie

o {a . S Aj P b . S Mj p c . ENfp a . ES, pß . EH, P Y •

Jeżeli dane obroty znoszą się, to każdy wyraz sumy w nawiasie jest równy zeru, jakkolwiek obierzemy prostą 8; będzie przeto

(12)

E8(a A, p bMi P c . Nj P a . Ej p ß . HjP y . Zf) = 0,

t. j. jeżeli ilekolwiek obrotów chwilowych nawzajem się znosi, to suma algielra-iczna objętości czworościanów, wystawionych, jako na krawędziach przeciwległych, na dowolnej prostej i na prędkości kątowej każdego z tych obrotów, jest równa zeru (twierdzenie Möbius’a).

34. OŚ CENTRALNĄ DWU OBROTÓW OKOŁO SKOŚNYCH OSI. Niech będą dane dwa obroty oj, i o>₂ około skośnych względem siebie osi Oj i 0₂ ; wówczas objętość czworościanu,, wystawionego na ich prędkościach kątowych, nie może być równa zeru, a zatym takie dwa obroty są równoważne skrętowi (art. 33). Z równania (1) art. 31-go okazuje się, że jeżeli prędkość kątową tego skrętu przedstawimy gieometrycznie na osi centralnej, to rzut jéj na każdą z osi sjoół-rzędnych jest równy sumie algiebraicznćj rzutów prędkości danych obrotów na tę oś. Jeżeli więc z dowolnego punktu wykreślimy równoległobok, którego boki są równe i równoległe do prędkości kątowych danych obrotów, to przekątna tego równoległoboku będzie miała kierunek i długość odcinka, mającego przedstawiać gieometrycznie prędkość kątową skrętu około osi centralnej, a zatym oś centralna będzie równoległa do tej przekątnej.

Aby wyznaczyć położenie osi centralnej, nakreślmy najkrótszą odległość obu osi, która je przecina odpowiednio w punktach o, i o₂, i odetnijmy na osiach od tych punktów odpowiednio ich prędkości kątowe w, i oj₂. Obierzmy punkt o, jako początek układu osi spółrzędnych, prostą Oj w kierunku odciętej prędkości co, jako oś a;, a najkrótszą odległość w kierunku o,o₂ jako oś z. Oznaczmy jeszcze przez 8 najkrótszą odległość o,o₂, a przez <p kąt, który z solni tworzą odcinki oj, i co₂ ; wówczas spółrzędne obrotu oj, będą

0)

üi — wi i H, — 0, Z, — 0, A, = 0, M, = 0, N, = 0, a spółrzędne obrotu oj₂ będą

(2)

E₂ = oj₂ cos<p, H₂ — oj₂ sin<p, Z₂ = 0, A₂ — — 3oj₂ sincp.

M₂ = 8 oj₂ cos cp, N₂ = 0.

Z tych wartości wynikają spółrzędne skrętu wypadkowego

(3)

E = oj, + oj₂ cos cp, H = oj₂ sin cp, Z = 0, A = — 8 oj₂ sin «p,

M — 8 oj₂ cos cp, N = 0.

Ponieważ dla skrętu wypadkowego mamy Z = 0 i N = 0, przeto okazuje się naprzód, że oś centralna przecina najkrótszą odległość osi obudwu obrotów pod kątem prostym. Niech oś centralna S przecina tę najkrótszą odległość w punkcie s, i przyjmijmy 8iz=o,s, 8^ — so^', wdedy §, i S₂ przedstawiają odpowiednio najkrótsze odległości osi S od osi O! i od osi 0₂. Aby wyznaczyć o, i 8₂, szukajmy, według 1-go z równań (14) art. 30-go, równania rzutu osi centralnej na płaszczyznę xz\ to równanie będzie: IIS, -{-(A—X.E) = 0, gdzie X jest wskaźnikiem skrętu wypadkowego. Niech % będzie parametrem, oj prędkością kątową, a v prędkością ruchu postępowego tego skrętu; mamy tu

(4)    %=EA-f-HM+ZN=—8 . oj,w₂skup, oj² = oj,²-f oj₂²-j-2 . w,oj₂costp,

(5)

CD--

O)    ¹⁷

a więc

z czego wynika

Sj = — co₂ (co₂ -f- CO, coscp),

4 • W1 (tól + W2 • C0S 9)1

a przeto

(6)

81

co₂

C0₂ -j- CO, cos cp

ó₂ co,

Oznaczmy odpowiednio przez cp, i cp₂ kąty, które S tworzy z O, i 0₂ ; wtedy

co, 4- co₂ cos cp

tang cp, =

co₂ sincp

co, -f- co₂ cos Cp

tang cp₂ =

co, sin cp

C0₂ 4* co, cos cp

Wstawiwszy stąd co, 4-co₂ cos cp i co₂ -|- co, cos cp w równanie (6), otrzymamy ostatecznie ciekawy związek

(?)

5, _tangcp,

tang cp₂

który pozwala wyztiaczyć punkt s, a tyrasamym położenie osi centralnej w przestrzeni, jeżeli jéj kierunek został poprzednio wyznaczony.

Dwa obroty około osi skośnych możemy z sobą złożyć bez użycia spół-rzędnych. Niech O, i 0₂ (hg. 17) będą danymi osiami, 5 — o₁o₂ ich najkrótszą

odległością, a odcinki co, = o,«, i co₂ = o₂a₂

o,

A*

Sj

■Ol

niech przedstawiają odjDOwiednie prędkości kątowe. Poprowadziwszy przez o₂ prostą O' równoległą do O,, dodajmy do danych ruchów dwa obroty co, i — co, około prostej

O'..

Obroty co₂ około 0₂ i co, około O', wytworzą obrót z prędkością kątową co = o₂o' około przekątnej O' równoległoboku o₂a\o'a₂\ obrót — (Oj około O', i obrót % około O, wywołają ruch postępowy (parę obrotów) z prędkością 5co,. Obrót co wraz z ruchem postępowym 5 co,, który nie jest prostopadły do osi obrotu, sprawi skręt wypadkowy około prostej S, równoległej do Of, będącej zatym osią centralną danych obrotów. Każda prosta układu niezmiennego, ulegającego danym obrotom, zmienia miejsce swoje w przestrzeni, a oś centralna S jest jedyną prostą, posuwającą się wzdłuż siebie samej. Wskutek obrotu chwilowego około O, opisze prosta S element powierzchni hiperbolojdy obrotowej, której osią jest 01? i zajmie pewne miejsce S'; prosta S', wskutek obrotu około 0₂, opisze element powierzchni drugiej hiperbolojdy obrotowej, której osią jest prosta 0₂ . Ponieważ prosta 8',

/ /«%

Ol

Fig. 17.

skutkiem tego ostatniego ruchu, schodzi się razem z prostą S, przeto obie hi-perbolojdy są do siebie styczne wzdłuż tworzącej S. "Wiadomo, że koła szyjne dwu liiperbolojd obrotowych, stycznych do siebie wzdłuż tworzącej, przecinają się yv tym punkcie, w którym ta tworząca przecina najkrótszą odległość ich osi pod kątem prostym. Z tego wynika, że prosta 8 przecina w pewnym punkcie s najkrótszą odległość danych osi pod kątem prostym i że odcinki OiS i o₂s przedstawiają promienie kół szyjnych tych hiperbolojd. Aby wyznaczyć punkt s, trzeba zauważyć, że on jest jedynym punktem na prostej , posuwającym się równolegle do przekątnej O'. Z tego warunku można wyznaczyć podany stosunek odcinków oxs i o₂s, tudzież prędkość ruchu postępowego skrętu chwilowego. Pozostawiamy to dochodzenie czytelnikowi.

35. Obroty sprzężone. Skręt chwilowy lub układ skrętów (albo obrotów), którego parametr nie jest równy zeru, daje się nieskończenie wieloma sposobami zastąpić przez dwa obroty chwilowe około osi skośnych. Jakoż, niech S, H, Z, A, M i N będą spółrzędnymi danego układu skrętów, zaś S',...,N'; E",...,N" niech będą odpowiednio spółrzędnymi dwu obrotów około osi skośnych O' i O". Te dwa obroty będą równoważne danemu układowi skrętów, jeżeli dają ten sam skręt wypadkowy, co dany układ. Warunki zatym konieczne i dostateczne równoważności są:

(1)

E' + E" =E,    +    Z' 4-Z” = Z,

A' + A"=A, M'-ł-M"=M, N' + N"=N, przyczyni

(2)

E'Ar p H'M' p Z'N' = 0, E"A'r + H"M" P Z"N" = 0.

zn

mu

na

Do wyznaczenia tych dwu obrotów potrzeba 12-u spółrzędnych, między którymi zachodzi tylko 8 związków, wyrażonych zapomocą równań (1) i (2); możemy zatym 4 spółrzędne dowolnie obrać, a wtedy obadwa obroty będą wyznaczone. Z tego okazuje się, że możemy nieskończenie wieloma sposobami wy-aczyć takie dwa obroty około dwu skośnych osi, które są'równoważne dane-układowi skrętów. Równania (1) pokazują, że parametr tych dwu obrotów jest równy parametrowi danego układu skrętów.. Uwzględniając znaczenie gieometryczne parametru, możemy powiedzieć: jakimkolwiek sposobem zastąpimy układ skrętów lub obrotów, którego parametr nie jest rôivny zeru, dwoma obrotami około osi skośnych, objętość czwór ościami, wystawionego, jako na krawędziach przeciwległych, na prędkościach kątowych tych dwu obrotów, odciętych ich osiach, jest stała (twierdzenie Chasles’a).

Dwa obroty około osi skośnych, które łącznie są równoważne pewnemu układowi skrętów lub obrotów chwilowych, nazywamy obrotami sprzężonymi względem układu ruchów, a ich osi sprzężonymi osiami obrot u.

Parametr dwu obrotów rozważanych wynosi

(3)

x = E'A"p H'M"+ Z'N,fp E"A'p H"M' + Z"N'.

Wyrugujmy z tego równania spółrzęclne obrotu około osi O" za pośrednictwem równań (1) i (2); otrzymamy

(4)

EA'+HM'+ZNI+AE,+ MH'+NZf— x = 0;

jeżeli zaś z równań (3) wyrugujemy podobnie spółrzędne obrotu około osi O' to mieć będziemy

(5)

3 A”+IIM" + Z N '"+A 3" + M H" + NZ" — x = 0.

Między spółrzędnymi dwu obrotów sprzężonych względem danego układu skrętów (lub obrotów) a. spółrzędnymi tego układu i jego parametrem zachodzą powyższe dwa związki (4) i (5).

Aby rozpoznać wzajemne położenie osi sprzężonych obrotu, przypomnijmy sobie, że moment dwu prostych, z których każdą określamy zapomocą 6-u spółrzędnych, wynosi (art. 33)

(6)

mn — a i«₂ + bi$2 + (hYu + ci₂a₁ -f- b₂ßi + ćVfi 5

jeżeli więc dwie proste przecinają się, to prawa strona tego równania jest równa zeru. Niech O' i O", tudzież O/ i Oj" oznaczają dwie pary osi sprzężonych obrotu względem danego układu skrętów (lub obrotów). Poprowadźmy prostą (a, b, c, a, ß, y), przecinającą trzy osi Ü', O"-i O/, i niech (3/, H/, Z/, Aj', Mj', Nj') i (3j", H,", Zj", At", Mt", Nj") oznaczają odpowiednio obroty około osi Oj' i Oj". Na mocy tylkoco wypowiedzianej uwagi otrzymujemy trzy równania następujące:

(7)

0;

aM +6M' -f cNr -f «3' + ßH' + yZ' 0, a A" + bW + cN" + aS" + ßH" -f y Z" O? aAj'-f &Mj'+ cNj'+ a3j'+ ßHj'+ yZj'

wiadomo bowiem (art. 33), że spółrzędne osi obrotu są proporcyjonalne względem spółrzędnych obrotu samego. Z dodania dwu pierwszych równań i uwzględnienia związków (1) wyniknie równanie

a A    &M -f- eN -j- a 3 + ßH -|- y Z = 0.

(8)

A jeżeli od niego odejmiemy ostatnie z równań (7), to otrzymamy aAj"+ftMj"+cNj" + aSj"+ßHj"+yZj"=0,

z czego się okazuje, że powyższa prosta przecina także oś Ot". A zatym cztery proste O', O", Oj' i Oj" mają takie położenie, że każda poprzeczna dla trzech z nich przecina także czwartą, t. j. cztery proste, Móre po dwie są osiami sprzężonymi obrotu, należą do tegoż samego układu tworzących hiperbo-lojdy jednopowłokowej.

36. Spółrzędne jednorodne skrętu. Niech prosta S o spółrzędnych a, b, c, a, ß i y będzie osią skrętu o prędkości kątowej co i prędkości ruchu postępowego v\ gdy X oznacza wskaźnik skrętu, jest ■y = Xco. Rozłóżmy obrót co na trzy obroty, a co, b co i cco, około osi spółrzędnych i na trzy ruchy postępowe, occo, ßco i y co, w kierunkach tych osi, a ruch postępo-

wy A (o rozłóżmy na trzy, a A w, 6 A co i c A co, w kierunkach tych samych osi; wówczas spółrzedne skrętu wyraża się zapomocą wzorów

(1) E — am, H = &co, Z = cm, A =: (a -f- Aa)co, M = (ß + A&)co,

N=(y + Ac)co.

Kładąc A = 0, otrzymalibyśmy odpowiednie wyrażenia dla spółrzędnych obrotu.

Obierzmy w przestrzeni dowolnie sześć prostych O¹, («¹, hi, ci: af-, ß», y,), gdzie i —- 1, 2, 3, 4, 5, 6; łatwo okazać, że dany skręt można wogólności rozłożyć na sześć obrotów około tych prostych. Jakoż, jeżeli co¹ oznacza prędkość kątową obrotu składowego około prostej Oj, do równoważności takich sześciu obrotów z danym skrętem potrzeba i wystarcza, żeby zachodziło następujących sześć równań (art. 32):

ci oi — cii®>i d" $2^2    $30)3 -j-    -j- ci^O)-t -f- OgWg,

1) co = Z404 + &₂co₂ -f &₃w₃ + bitoi + ó₅co₅ + è₆coc,

(2)

Clii Cl O), + c₂0)₂ -f- C3CO3 -j-    0)4    -j- C₅C0₅ 4~ Cf)C0₀ ,

(a -j- A a) co = atcot + a₂w₂ 4- a₃oi₃ -f a₄co₄ 4~ a₅-w₅ + a₀coc,

(ß 4~ A h) m — ß,^! -f- ß₂a>₂ -j- ß₃co₃ -f- ß₄co₄ + ß₅w₅ + ß₆cor,,

(y + A c) co = Yiû>t 4- Y2W2 J Y3W3 + T¹®¹ 4- Ï5w5 + Ygwo •

.leżeli ten układ równań linijowych rozwiążemy względem niewiadomych co,-, to otrzymamy prędkości kątowe szukanych sześciu obrotów około powyższych prostych, któreto obroty są równoważne danemu skrętowi. Gdyby skręt miał być rozłożony na mniej, niż na sześć obrotów, natenczas rozwiązanie byłoby niezawsze możebne, ponieważ jiowyższe sześć równań zawierałyby mniej niż sześć niewiadomych, a możliwość rozłożenia skrętu zachodziłaby tylko przy szczególnych położeniach danych prostych.

Atoli dany skręt da się -tylko wtedy rozłożyć na sześć obrotów około powyższych prostych, kiedy układowi skończonych wartości na stronach lewych równań (2) odpowiada także układ skończonych wartości sześciu niewiadomych w,-, a do tego potrzeba i wystarcza, aby wyznacznik tego układu równań nie był równy zeru ¹). Jeżeli więc oznaczymy

(3) a sześć prostych O, tak obierzemy, żeby ten wyznacznik, utworzony z ich spół-rzędnych, nie był równy zeru, natenczas możemy dany skręt jednym tylko

sposobem rozłożyć na sześć obrotów około tych prostych. Równania (2) wyznaczają wtedy prędkości kątowe tych obrotów. Gdy przyjmiemy X —0, to otrzymane wówczas z powyższych równania posłużą do rozłożenia danego obrotu na 6 obrotów około takich 6-u prostych. — O 6-u prostych, dla których powyższy wyznacznik A, utworzony z ich spółrzędnych, nie jest równy zeru, powiemy, że stanowią one układ osi niezależnych obrotu. Z powyższego więc wynika twierdzenie : sJcręt (lub obrót) chwilowy daje się tylko jednym sposobem rozłożyć na sześć obrotów około sześciu osi niezależnych.

Prędkości kątowe takich 6-u obrotów około osi niezależnych nazwiemy spółrzędnymi jednorodnymi danego skrętu (lub obrotu) względem układu tychże osi. Dotąd rozkładaliśmy skręt (lub obrót) na 6 ruchów chwilowych, które jednak nie miały wyraźnej cechy jednorodności, chociaż one wynikały, jak zaraz okażemy, wskutek pewnego szczególnego sposobu rozkładania skrętu na 6 obrotów. Spółrzędne bowiém A, M i N oznaczały prędkości chwilowych ruchów postępowych w kierunkach osi spółrzędnych, a ponieważ (art. 28) ruch postępowy chwilowy jest równoważny parze obrotów, czyli obrotowi około osi nieskończenie dalekiej z prędkością kątową równą zeru, przeto widzimy, że spółrzędne A, M i N można rozważać jako prędkości (lecz nie jako kątowe) trzech ruchów obrotowych około prostych w nieskończoności na płaszczyznach spółrzędnych. Trzy osi spółrzędnych razem z tymi trzema prostymi w nieskończoności stanowiły układ osi niezależnych obrotu.

Zamiast lewych stron równań (2) przyjmijmy w nich zera; otrzymane wtedy równania będą wyrażały warunki konieczne i wystarczające, aby sześć obrotów około prostych O, się znosiło (art. 32). Jeżeli te proste stanowią układ osi niezależnych obrotu, natenczas otrzymanym równaniom uczynią zadość tylko wartości co*=:0 dla każdego wskaźnika t. Wynika stąd twierdzenie: około sześciu osi niezależnych nie może istnieć sześć obrotów, któreby się wzajemnie znosiły, co możemy także wyrazić inaczej: obrót około jednej z 6-u osi niezależnych nie da się rozłożyć na 5 obrotów około 5-u pozostałych osi. Sześć osi niezależnych ma zatym taki kierunek, że nie można wykreślić sześciokąta zamkniętego, któregoby boki były do nich równoległe, chociaż ta własność nie jest dostateczna do rozpoznania, czy 6 prostych stanowi układ osi niezależnych.

Z powyższego dowodzenia wynika także twierdzenie : jeżeli około sześciu prostych nie może istnieć sześć obrotów, któreby się wzajemnie znosiły, natenczas te proste stanowią układ niezależnych osi obrotu, a wtedy każdy skręt (lub obrót) można rozłożyć na obroty około tych prostych.

37. Przyjmijmy w równaniach (2) art. poprzedniego A = 0 ; wówczas będziemy mogli użyć tych równań do obliczenia spółrzędnych jednorodnjmh obrotu chwilowego co około danej prostej O. Oznaczmy przez m,i moment prostej O (osi obrotu co) względem prostej O i (osi obrotu składowmgo co,), a przez mi]c moment prostej O, względem prostej O*; )% = w*tó, a m!t — 0. Pomnóżmy równania (2), po przyjęciu w nich X = 0, odpowiednio przez spółrzędne a1? ßx, y1? ax, bx i ct prostej i dodajmy je następnie do

siebie, i uczyńmy toź samo ze spółrzędnymi każdej z tych prostych; otrzymamy w ten sposób następujący układ równań:

(1)

m₁₂ co₂ -j- ml3 w₃ + mu w₄ -f- f»₁₅w₃ + w₁Gcoc,

?%3W3 +    + W₂₅0)₅ + W₂₆tóc ,

w₃₄(o₄ + m₃₅ w₃ -f m₃Gco₆,

?W₄CO rz: WC44CO4 -f- W₄₂(*)₂ n?4₃0J₃ -j-    W45CO- -}- WiG(0G ,

m₅0) = ^540)4 -f- fn₅₂U>2 + W%3W3 -j- łW₃₄0)₄ -f-    ?%GÜ)G -j

WGW = m₆₁(Oi + mG2io₂ + m₀₃co₃ + mCłco₄ +.m₆₃co₃

mtw =

m₂co = ?w₂₁co4 +

0*3® = WgtWj + ?w₃₂co₂ +

Z tych równań można obliczyć spółrzędne jednorodne danego obrotu, znając momenty osi tego obrotu względem osi obrotów składowych, tudzież momenty tych osi względem siebie. Wyznacznik układu równań (1) jest symetryczny.

Pomnóżmy równania (2) art. poprzedniego odpowiednio przez spółrzędne a, ß, y, a, b i c osi O obrotu co i dodajmy iloczyny; wyniknie stąd związek między spółrzędnymi obrotu

-f- m₂co₂ + m₃co₃ -f- co₄ + m₅co₅ -fi, m₆co₀ = 0.

Jeżeli zaś to równanie pomnożymy przez co i oznaczymy przez a, moment danego obrotu co względem osi O;, to otrzymamy nowy związek,

1x4(04 + Paw2 + P3W3 + P4W4 + fi₅ws + fio^o = 0.

Obierzmy w przestrzeni dowolną prostą (a', b', c\ a', ß', y'), pomnóżmy iwna-nia (2) art. poprzedniego odpowiednio przez jej spółrzędne a', b', c\ a', ß' i y' i następnie te równania do siebie dodajmy; oznaczywszy przez M moment osi O, a przez Mf moment osi O, względem tej prostej, otrzymamy równanie

M CO M4CO4 -fi M₂(0₂ -fi M₃(0₃ -fi ÄX₄(0₄ -j- l^XgCOg -)- MßCOß ,

które wyraża znane twierdzenie, że moment danego obrotu względem jakiejkolwiek prostej jest równy sumie algiebraicznój momentów jego obrotów składowych względem tejże prostej.

Do rozkładu obrotu można użyć jakiegokolwiek czworościanu, albowiem 6 krawędzi tej bryły stanowi zawsze układ osi niezależnych obrotu. Jakoż, niech ABCD (fig. 18) będzie czworościanem dowolnym; oznaczmy odpowiednio przez 1, 2; 3, 4; 5, 6 jego krawędzi przeciwległe AP, CD; BC, DA ; BD, AC. Trzy obroty około krawędzi 1, 3 i 5, schodzących się w wierzchołku B, dają obrót wypadkowy około osi, która przechodzi przez ten •wierzchołek; a trzy obroty około krawędzi 2, 4 i 6, leżących na ścianie ACD, dają obrót wypadkowy około osi, która znajduje się na tej ścianie. Ponieważ osi tych dwu obrotów wypadko • wych nie mogą stanowić jednej prostej, przeto te dwa obroty nie mogą się znosić, a zatym

(2)

(3)

(4)

[5

Fig. 18.

,3

nié może istnieć 6 obrotów około krawędzi czworościanu, któreby się znosiły, z czego wnosimy (art. 36), że te krawędzi stanowił}, układ niezależnych osi obrotu.

Spomiędzy momentów mik względem krawędzi czworościanu tylko mi2, m3i i m₅₆ są różne od zera, a wszystkie inne są równe zeru. Otrzymamy zatym z układu (1) następujące równania dla krawędzi czworościanu:

Wito = m₁₂to2 nił to — m3i to₃

(6)

m₂to = m₁₂to₁, m₃co r= ?H₃₄to₄ , m₅to — w₃₀toG, mt(o — m₅₆to₅,

z których możemy obliczyć spółrzędne jednorodne tot danego obrotu to względem krawędzi czworościanu.

Pomnóżmy te równania odpowiednio przez m₄, co₂, co₃, to₄, co₅ i to0 j dodajmy iloczyny; otrzymamy oi(wpo, + m₂io₂ + m₃to₃ -f w₄o>₄ -j- m-to- -f m₀o>₀) —

= 2(to,to₂ . w₁₂ -f tt>₃(*>₄ . w₃₄ 4- to₅co₀ . WSG),

a zatym, według (2),

(6)

toito₂ . ml2 -f- to₃o>4 . /w₃₄ -f- w₅to₆. w₃₀ — 0.

Równania (5) możemy tak napisać :

(7)    m₁₂(ö₄, p₂—m₁₂to₂, |i₃—w₃₄o)₃, ti₄—u?₃₄(o₄, [r₃=J%cto₃, >n₃Coi₆ ;

a jeżeli wartości na t*)f z tych równań wstawimy w (6), to wyniknie związek między momentami,

(8)

(^1^2

ml2

-*»34

*»50

= 0.

Oznaczmy przez Y objętość czworościanu; jak wiadomo

6V = ;w₁₂ . AB . CD = w₃₄ . BC . DA = w₃₀. BD . AC. Podstawmy m₁₂, m3l i m₅₀ z tych równań w równania (6) i (8); otrzymamy

(9)

to J    to₂

0)₃

to₄

to₃

— Oj

(10)

AB ' CD ² BC ' DA ⁺ BD * AC B-i • AB X • CD + }i₃. BC X [i₄. DA + p₃. BD X (rG • AC = 0.

Ćwiczenia.

pewnej osi O, przechodzącej przez punkt o. Osi Ot, 0₂ i O tworzą kąt bryłowy,

którego kąt dwuścienny przy Oj — —- w kierunku przeciwnym obrotowi <p₄, a kąt

Z

cp₂

dwuścienny przy 0₂ — A— w kierunku obrotu cp₂, licząc obadwa kąty od ściany,

przechodzącej przez osi Ot i 0₂. Odchylenie wypadkowe jest równe podwójnemu kątowi dwuściennemu zewnętrznemu przy krawędzi O. Dowieść tych twierdzeń i wyprowadzić z nich skład obrotów elementarnych.

(2) . Dokonać składu dwu obrotów z odchyleniami skończonymi około równoległych osi, i na mocy tego okazać, że para takich obrotów sprawia ruch postępowy. —-

Następujące zadania odnoszą się do ruchów chwilowych.

kty Aj, A₂ i A₃

(3) . Na płaszczyźnie, przesuniętej dowolnie przez oś obrotu, obierzmy 3 pun-na jednej prostej i oznaczmy odpowiednio przez [Aj, [A₂ i [A₃ momenty tego obrotu względem tych punktów; okazać, że

[Aj . A₂A₃ -f- |1₂ . Ag Aj 4- [k? • AjA₂ = 0.

(4) . Obierzmy na powyższej płaszczyźnie 4 punkty At, A₂, A₃ i A₄, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej, i oznaczmy momenty odpowiednio przez [Aj, [A₂, [A₃ i [A₄; wówczas

[Aj . A₄A₂A₃ -f- [a₂ . A₄A₃Aj -j- [A₃ . A₄AjA₂ -f- ja₄ . A₃A₂Aj — 0,

gdzie A₄A₂A₃ i t. d. oznaczają pola odpowiednich trójkątów, a porządek wskaźników określa obieg trójkąta i znak jego pola.

(5). Dowieść twierdzenia, że moment wypadkowy momentów dwu obrotów, stanowiących parę obrotów, względem każdego punktu w przestrzeni jest stały i równy momentowi tej pary obrotów. I nawzajem, jeżeli moment wypadkowy momentów dwu obrotów względem każdego punktu w przestrzeni jest stały, to te obroty stanowią parę obrotów.

(6) . Okazać, że punkty końcowe odcinków, przedstawiających momenty danego obrotu względem punktów tćj samej prostej, leżą na pewnej prostej, a punkty końcowe odcinków, przedstawiających momenty obrotu względem punktów tejże samej płaszczyzny, leżą na pewnej płaszczyźnie.

(7) . Okazać, że proste, przez dany punkt przechodzące, względem których układ obrotów posiada ten sam moment, tworzą stożek rzędu 2-go, i znalćść warunek, aby ten stożek stawał się płaszczyzną.

(8) . Okazać następującą własność osi sprzężonych obrotu: jeżeli jedna oś obrotu przechodzi przez punkt dany, to oś sprzężona leży na pewnej płaszczyźnie, przez ten punkt przechodzącej.

(9) . Dane są dwie proste St i S₂, przecinające się pod kątem prostym w punkcie a; prosta Sj jest osią skrętu o stałym wskaźniku Xj, a prosta S₂ jest osią skrętu o stałym wskaźniku X₂. Przyjmując, że układowi niezmiennemu około tych osi udzieliliśmy skrętów chwilowych ze zmiennymi prędkościami kątowymi (jednak przy stałych wskaźnikach Xj i X₂), wyznaczyć miejsce gieometryczne osi skrętów wypadkowych. [Szukanym miejscem jest powierzchnia skośna rzędu 3-go, nazwana przez

Cayley’ego cylindrojdą, a należąca do tak zwanych powierzchni konojdalnych. Jeżeli proste St i S₂ obierzemy odpowiednio jako osi x i y, a prostopadłą do nich w punkcie s jako oś z, to równanie cylindrojdy będzie

*(*² + f) — (^1 — ^2 )*y = 0 •]

(10). Okazać następujące własności cylindrojdy: a) cylindrojda rozciąga się do

nieskończoności między płaszczyzną z = -f- —----- a płaszczyzną zz=z —

Ji

b) płaszczyzna, prostopadła do osi z, przecina cylindrojdę podług dwu prostych tworzących; c) płaszczyzna, styczna do cylindrojdy, przecina tę powierzchnią podług elipsy, której rzut na płaszczyznę xy jest kołem. Różnica kwadratów osi każdej takiej elipsy jest stała.

^1 ^2 .

.ROZDZIAŁ III.

OGÓLNA TEORYJA RUCHU UKŁADÓW NIEZMIENNYCH.

38. Euch chwilowy układu niezmiennego. Przywiedziemy układ niezmienny z danego położenia do położenia nieskończenie bliskiego, udzielając mu ruchu takiego, żeby trzy punkty ruch wyznaczające zajęły jednocześnie położenia nieskończenie bliskie, przez dane warunki określone. Niech mt, m2 i m₃ (fig. 19) będą wiadomymi położeniami owych trzech punktów w czasie t, a m\, m'₂ i m'₃ ich położeniami odpowiednimi po upływie elementu czasu dt. Nadajmy trójkątowi m\m\m'₃ nieskończenie mały ruch postępowy m\m wskutek czego ten trójkąt przyjmie położenie trójkąta    Połączmy    ₇

z sobą punkty m₂ i |r₂ prostą, a przez środek prostej m₂[r₂, t. j. przez punkt a, poprowadźmy płaszczyznę Pa, prostopadłą do m₂ fLj ; podobnie przez środek ß prostej m₃ |r₃ poprowadźmy płaszczyznę Pß, prostopadłą do m₃ [r₃.

Ponieważ obiedwie płaszczyzny, Pa przechodzą przez punkt , przeto przetną się podług pewnej prostej Ol5 przez ten punkt przechodzącej.

Możemy teraz łatwo okazać, że trójkąt m₃m₂m₃ można przywieść do położenia fMi{j.₂[L₃ przez nieskończenie mały obrót około prostej Oj. Aby tego dowieść, poprowadźmy przez punkt n, dowolnie obrany na prostej Oj, płaszczyznę prostopadłą do tej prostej ; ta płaszczyzna przetnie proste mlm₂, ml (t₂ , mxm₃ i (jl3 odpowiednio w punktach n₂, v₂, n₃ i v₃. Ponieważ proste m₁m₂ i są tworzącymi stożka obrotowego, którego osią jest Ot, przeto »»₂ = wv₂; po-

0,

m fi

•j

y\x

\vi

Tu

»3

mj

ß’

Fig. 19.

nieważ podobnie proste mxm₃ i mx\r₃ są tworzącymi innego stożka obrotowego, którego osią jest także Ot, przeto nn₃ — wv₃. Nadto mamy mxn₂ = mxv2 i mxn₃ ~nixy₃, a ponieważ trójkąty mxm₂m₃ i mx ;r₂ ;r₃ są równe, przeto także n₂n₃ = v₂v₃. A zatym i dwa trójkąty    i wv₂v₃ są równe, a więc kąt

n₂nn₃ jest równy kątowi v₂»tv₃, z czego wynika, że kąt nieskończenie mały n₂ny₂ równa się kątowi n₃nv₃. Jeżeli zatym obrócimy trójkąt mxm₂m₃ około prostej Oj o kąt nieskończenie mały d'fx — n₂nv₂ = n₃nv₃ w kierunku od n2 ku v₂, to punkt n₂ zejdzie się razem z v₂, a jednocześnie punkt % z punktem v₃, a zatym prosta w?zajmie położenie ?%{r₂, a jednocześnie prosta mxm3 położenie mx jJt₃, z czego się okazuje, że wskutek obrotu o kąt dyx około prostej Oj trójkąt mxm₂m₃ przyjmie położenie trójkąta mx \±₂ ;r₃, c. n. d. Przy-wiódszy tym sposobem trójkąt mxm₂m₃ do położenia mx ;j.₂ tr₃, udzielmy mu z tego położenia nieskończenie małego ruchu postępowego mxm\\ wdedy trójkąt zajmie położenie m'xm'₂m'₃, jakie miał właśnie zająć po upływie rozważanego elementu czasu.

Ponieważ jakiekolwiek trzy punkty układu niezmiennego, nic leżące na jednej prostej, mogą służyć do wyznaczenia jego ruchu, a opisane powyżej postępowanie daje się zastosować do któregokolwiek z tych punktów, przeto mamy następujące twierdzenie : ruch chwilowy układu niezmiennego może być nieskończenie wieloma sposobami wywołany przez obrót chwilowy układu i jednoczesny ruch chwilowy postępowy tego układu.

Oznaczmy przez dsx drogę mxm\ punktu mx w czasie dt, i niech

ojj —    ? Vj —    5 jest więc u)x prędkością kątową chwilowego obrotu

układu około prostej Ox, a vx prędkością jego ruchu postępowego chwilowego w kierunku ruchu punktu mx. Obrawszy inny punkt m₂, możemy podobnym sposobem wyznaczyć prędkość kątową w₂ obrotu około pewnej osi 0₂, przez tenże punkt przechodzącej, który razem z ruchem postępowym o prędkości v2 tego punktu przywiedzie układ również z danego położenia w czasie t do położenia w czasie t-\-dt. Wszystkie połączenia dwu ruchów chwilowych, tym sposobem wyznaczone, są równoważne, ponieważ wywołują ten sam ruch układu niezmiennego.

Kierunek ruchu postępowego układu nie będzie wogólności prostopadły do osi odpowiedniego obrotu, a przeto takie dwa ruchy są równoważne skrętowi (art. 29). A ponieważ połączenia ruchów obrotowych z postępowymi, do których się odnosi poprzednie twierdzenie, są z sobą równoważne, przeto dają one zawsze ten sam skręt wypadkowy. Dochodzimy więc do twierdzenia ogólnego : ruch chwilowy układu niezmiennego może być tylko jednym sposobem tvy-wołany przez skręt chwilowy układu (twierdzenie Chasles’a). Oś tego skrętu, który układ przenosi z pewnego położenia do położenia nieskończenie bliskiego, nazywamy osią centralną ruchu, albo także osią chwilową ruchu tego układu w chwili uważanej.

39. Aby wyznaczyć skręt chwilowy układu z wiadomych ruchów 3-ch jego punktów, zważmy, że oś skrętu, wynikającego ze składu obrotu

z ruchem postępowym, jest równoległa cło osi tego obrotu, że prędkość kątowa skrętu równa się prędkości kątowej danego obrotu i że nakonicc prędkość ruchu postępowego skrętu równa się rzutowi prędkości danego ruchu postępowego na oś obrotu (art. 29). Z tego się okazuje, że osi obrotu On 0₂,.. rozważane w artykule poprzednim, przechodzące przez punkty m1} są równoległe do osi chwilowej ruchu układu, tudzież, że rzut prędkości vx, v₂,... któregokolwiek z punktów mx, m₂,... na kierunek tej osi daje prędkość ruchu postępowego skrętu chwilowego. Widzimy więc, że rzut prędkości każdego punktu układu niezmiennego ncl oś chwiloiuą ruchu jest stały co do wielkości i co do kierunku. Jeżeli zatym w punkcie dowolnym A wystawimy trzy odcinki, przedstawiające prędkości trzech punktów ruch wyznaczających, i poprowadzimy płaszczyznę przez punkty końcowe tych odcinków, to prostopadła, spuszczona z punktu A na tę płaszczyznę, jest równoległa do osi chwilowej, a długość tej prostopadłej przedstawia prędkość ruchu postępowego skrętu chwilowego. Na podstawie więc twierdzenia poprzedzającego mamy nowe: punkty końcowe odcinków, wystawionych w punkcie dowolnym i przedstawiających prędkości jednoczesne tvszystkich punktów układu niezmiennego, leżą na płaszczyźnie, prostopadłej do osi chwilowej ruchu tego układu.

m₂,..

Niech m będzie punktem dowolnym układu, v prędkością tego punktu, a P jakąkolwiek płaszczyzną, prostopadłą do osi chwilowej; oznaczmy przez M rzut punktu m, a przez Y rzut jego prędkości v na płaszczyznę P. Rzut V przedstawia widocznie prędkość, której punkt m nabywa wskutek obrotu układu około osi chwilowej, a prosta, przechodząca p>rzez M prostopadle do Y i leżąca na płaszczyźnie P, przechodzi przez ślad osi chwilowej na tej płaszczyźnie. Jeżeli przeto z prędkości vx, v₂, v₃ trzech punktów mx, m₂, ms wyznaczymy, według twierdzenia poprzedzającego, kierunek płaszczyzny P, a następnie rzucimy te punkty i ich prędkości na jdaszczyznę P, z rzutów zaś Mj, M₂, M₃ tych punktów wyprowadzimy na płaszczyźnie P odpowiednio prostopadłe do rzutów Yt, Y₃, Y₃ prędkości tychże punktów, to te trzy prostopadłe przetną się w jednym punkcie, który jest śladem osi chwilowej na płaszczyźnie P. Dzieląc nakoniec rzut Yj prędkości przez odległość punktu Mt od tego śladu, otrzymamy prędkość kątową skrętu chwilowego. Tym sposobem wyznaczyć możemy skręt chwilowy układu.

40. Ruch chwilowy układu niezmiennego możemy jeszcze innym sposobem wywołać. AViadomo (art. 35), że skręt można nieskończenie wieloma sposobami zastąpić dwoma obrotami około dwu osi sprzężonych, które względem siebie mają położenie skośne. A zatym ruch chwiloivy układu niezmiennego może hyć nieskończenie wieloma sposobami icywołany przez dwa obroty około osi skośnych. Aby takie dwie osi wyznaczyć z wiadomych ruchów trzech punktów, połączmy punkty i m\, wystawmy w środku prostej mpn\ płaszczyznę Pjt, prostopadłą do tej prostej, i poprowadźmy podobnie przez środek prostej m₂m'₂ płaszczyznę P₂, prostopadłą do tejże prostej. Obie płaszczyzny przetną się podług pewnej prostej 0₁₂, a łatwo okazać (co pozostawiamy czytelnikowi), że obrót chwilowy około 0₁₂ przywiedzie prostą mpn% do położenia m\m'₂, jakie ona ma zająć w czasie t-\-dt. Niech wskutek tego obrotu punkt m₃ zajmie miejsce m"₃; wówczas, obróciwszy trójkąt m\m’₂m"₃ około prostej m\m'₂, możemy punkt m"₃ przywieść do położenia m'₃. Widzimy zatym, że dwa obroty około prostych 0₁₂ i m\m'₂ przywodzą układ do położenia żądanego, z czego się okazuje, że te dwie proste są dwiema osiami sprzężonymi obrotu. Jeżeli element czasu dt nieograniczenie zdąża do zera, to elementy linijowe mpn\ i m₂m’₂ będą stycznymi do kierownic (mt) i (m₂), a zatym P* i P₂ będą płaszczyznami normalnymi do tych kierownic w punktach mx i m₂.

Wystawiwszy w punkcie dowolnym układ spółrzędnych prostokątny, możemy skręt chwilowy rozłożyć na trzy obroty około osi tego układu i na trzy ruchy postępowe w kierunkach tychże osi. A zatym ruch chwilowy uMadu niezmiennego może być nieskończenie wieloma sposobami wywołany przez trzy obroty około trzech prostych, wzajemnie do siebie prostopadłych w jednym punkcie, i przez trzy ruchy postępoiee iv kierunkach tychże prostych. (Gdyby nawet te proste nie przecinały się z sobą pod kątami prostymi, to jednak twierdzenie prawdziwym pozostanie.)

Możemy nakoniec wypowiedzieć twierdzenie : ruch chwilowy układu niezmiennego może być nieskończenie wieloma sposobami wywołany przez sześć obrotów około sześciu osi niezależnych.

41. Puch ciągły układu niezmiennego. Wyznaczywszy podług art. 38-go prostą Ot, przechodzącą przez punkt mx, obróćmy układ nieskończenie mało około téj prostej i przesuńmy go o długość nieskończenie małą mpn\ 5 układ zajmie położenie odpowiednie po upływie czasu t + dt. Uczyńmy toż samo w następnym elemencie czasu, t. j. obróćmy układ około pewnej osi O' przechodzącej przez punkt m\, i przesuńmy go o dalszy element m\m'\ drogi punktu mt. 11. d. Wskutek tych ciągłych ruchów chwilowych punkty ruch wyznaczające będą się przesuwały po swoich kierownicach, a zatym układ wykona ruch, przez dane warunki określony.

Poprowadźmy przez punkt dowolny A proste równoległe do następujących po sobie osi O i, 0'a, 0'j,...; te równoległe utworzą stożek o wierzchołku A, który oznaczmy symbolem [O]. Jakoż, dla każdego skończonego przedziału czasu otrzymamy pojedyńczą nieskończoność osi Oł; 0'j,..., tudzież prostych do nich równoległych, z czego wynika, że dowolna płaszczyzna przetnie układ tych równoległych w pojedyńczćj nieskończoności punktów, a więc podług linii krzywej; miejscem zatym gieometrycznym tych równoległych jest powierzchnia stożkowa. Przyjmując punkt jako wierzchołek tego stożka, widzimy, że ruch ciągły układu daje się wywołać przez posuwanie się stożka razem z układem wzdłuż kierownicy (mj) i obrót układu około następujących po sobie tworzących tegoż stożka, przy czym każda tworząca jest tylko przez chwilę osią obrotu. Gdybyśmy za wierzchołek obrali inny punkt, niż m otrzymalibyśmy ten sam stożek, widzieliśmy bowiém (art. 38), że osi obrotu, przechodzące przez rozmaite punkty układu, są do siebie równoległe. Możemy zatym stożek [O] przesuwać wzdłuż toru któregokolwiek punktu układu, jeżeli

tylko prędkość kątową obrotu wyznaczymy w każdej chwili odpowiednio dla tego punktu (art. 38); tym sposobem wywołamy zawTsze żądany ruch układu. Osi 01? O'

O"!,... zajmują nietylko ]}ewne położenie w przestrzeni

ale zarazem każda z nich ma pewne położenie względem poruszającego się układu. Jeżeli w czasie t wierzchołek stożka [O] znajduje się w m₁. a prosta jest osią obrotu, to pewna prosta o\ układu, skutkiem obrotu chwilowego około Ox, zejdzie się razem z następującą osią obrotu Oj. W czasie t + dt znajduje się wierzchołek stożka w punkcie m\, a 0't jest osią obrotu; w układzie znajdziemy znowu pewną prostą o"t, która wskutek obrotu około 0't razem się zejdzie z prostą 0"1} i t. d. Wystawmy w punkcie mt (lub w jakimkolwiek innym punkcie) proste, równoległe do powyższych prostych o\, o",,...; te równoległe utworzą także pewną powierzchnią stożkową [o]. Stożek [O] jest zbiorem wszystkich prostych, w przestrzeni, stożek zaś [o] jest zbiorem wszystkich prostych w poruszającym się układzie, które stają się kolejno osiami chwilowymi obrotu tego układu i przechodzą przez wierzchołek spoiny tych stożków. Obadwa stożki są styczne do siebie w każdej chwili wzdłuż tej tworzącej, która jest właśnie osią obrotu układu. Jakoż, skoro prosta O) jest osią obrotu, to tworząca o\ schodzi się z nią razem, a sąsiednia tworząca o", stożka [o] skutkiem tego obrotu schodzi się z sąsiednią tworzącą O", stożka [O] ; z tego wynika, że obadwa stożki są do siebie styczne wzdłuż prostej O',. Stożek [o] posuwa się więc w ten sposób na stożku [O], iż jest doń stycznym wzdłuż jednej tworzącej, obracając się chwilowo około tejże tworzącej. Ponieważ taki ruch stożka [o] nazywamy toczeniem się tego stożka, przeto mamy twierdzenie: ruch ciągły układu niezmiennego może być wywołanyjprzez to, że pewien stożek, do układu nie należący, a którego tcićrzchołkiem jest dowolny punkt układu, posuwa się po torze tego punktu, a inny stożek o tym samym wierzchołku, lecz stale połączony z układem, toczy się po pierwszym stożku (twierdzenie Poinsofa).

Wyznaczmy w każdej chwili oś S skrętu układu; te osi S, 8r, S",... utworzą pewną powierzchnią skośną [S], dokładnie oznaczoną, będącą zbiorem tych prostych w przestrzeni, około których należy układ skręcać chwilowo, aby tym sposobem wywołać jego ruch ciągły. Weźmy pod uwagę, podobnie jak wyżej, skręt chwilowy w czasie t około prostej S; w układzie znajdziemy pewną prostą s', która wskutek tego skrętu razem się zejdzie z prostą S' i w chwili następnej stanie się osią skrętu tego układu. Czyniąc to samo w każdej z chwil, otrzymamy proste s', s", s'",..., które utworzą drugą powierzchnią skośną [,s], będącą zbiorem tych prostych w układzie, które stają się kolejno osiami chwdlowymi jego ruchu. Łatwo okazać (co pozostawiamy czytelnikowi), że obie powierzchnie [S] i [5] są styczne do siebie chwilowo wzdłuż tej tworzącej, która jest właśnie osią skrętu układu. Każdą z tych powierzchni nazywamy powierzchnią centralną ruchu układu, a mianowicie powierzchnią [S] zowiemy powierzchnią centralną w przestrzeni, zaś [5] powierzchnią centralną w układzie. Ruch powierzchni [s] względem [S] składa się z obrotu około tworzącej styczności i z ruchu

postępowego wzdłuż tej tworzącej, czyli z toczenia się i ślizgania. A zatym ruch ciągły układu niezmiennego może być wywołany przez to, że powierzchnia centralna w nieładzie toczy się ze ślizganiem na powierzchni centralnej w przestrzeni (twierdzenie Poncelet’go). Poprzednio przeto rozważane stożki [O] i [o] są tak zwanymi stożkami kierunkowymi, odpowiednimi powierzchniom

LS] i W.

42. Rzęd swoeody układu. Układ niezmienny nazywamy swobodnym, jeżeli z danego położenia może przyjąć wszelkie położenia sąsiednie. Ponieważ najogólniejszy ruch chwilowy układu niezmiennego jest skrętem, a każdy skręt daje się rozłożyć na 6 obrotów około 6-u osi niezależnych (art. 36), a nadto, ponieważ z obrotów około takich 6-u osi można utworzyć każdy skręt chwilowy, jeżeli tylko prędkości kątowe tych obrotów odpowiednio obranymi zostaną, przeto możemy wypowiedzieć następujące ważne twierdzenie: układ niezmienny jest swobodny, jeżeli daje się obracać około sześciu osi niezależnych. Używając zaś trzech osi spółrzędnych prostokątnych, możemy cechy swobody układu ująć w twierdzenie: układ niezmienny jest swobodny, jeżeli daje się obracać około trzech prostych, wzajemnie do siebie prostopadłych w jednym punkcie, i zarazem przesuwać w kierunkach tychże prostych ³).

Wystawmy w dowolnym punkcie w przestrzeni trzy osi układu spółrzędnych prostokątnego i rozłóżmy skręt chwilowy układu niezmiennego na trzy obroty z prędkościami kątowymi S, H, Z około tych osi, tudzież na trzy ruchy postępowe z prędkościami A, M, N w kierunkach tychże osi; te sześć prędkości S, H, Z, A, M, N nazywamy spółrzędnymi ruchu tego układu w chwili rozważanej względem powyższych osi. Te wielkości przedstawiają spółrzędne skrętu chwilowego układu (art. 31). Znając spółrzędne ruchu, możemy według równania (9) art. 31-go obliczyć składowe prędkości każdego punktu układu, które wyrażają się, jak widać z tych równań, przez funkcyje linijowe spółrzędnych prostokątnych tego punktu.

Jeżeli sześć spółrzędnych ruchu układu mogą przybierać wszelkie wartości, natenczas układ jest swobodny, a każdy z jego punktów może się z danego położenia poruszać w przestrzeni we wszystkich kierunkach. Jeżeli zaś między spółrzędnymi ruchu zachodzą jakiekolwiek związki, natenczas swoboda układu będzie ograniczona, a układ nie będzie już mógł być obracany około sześciu osi niezależnych.

Stosownie do ilości związków, zachodzących między spółrzędnymi ruchu, rozróżniamy rozmaite rzędy swobody układu niezmiennego. Jeżeli między spółrzędnymi ruchu układu zachodzi n związków, przyczyni oczywiście n <6, to powiemy, że układ ma swobodę ruchów rzędu (6 — h)-go. Według

więc tego określenia zmniejsza się rzęd swobody odpowiednio do ilości związków, które tę swobodę ograniczają; zupełna swoboda ruchów jest swobodą rzędu 6-go, a zupełny brak swobody zachodzi wówczas, gdy ona jest rzędu zero; wtedy bowiem wszystkie spółrzędne ruchu są określone przez warunki zadania. Z tego wynika także, że ruch chwilowy układu niezmiennego jest zupełnie określony, jeżeli mamy sześć danych warunków, z których można wyznaczyć sześć spółrzędnych tego ruchu, jak to innym sposobem okazaliśmy w art. 20-ym.

43. Analiza euchu układu. Twierdzenia, okazane w tym rozdziale drogą przeważnie syntetyczną, są tak ważne, że uważamy za potrzebne okazać je także sposobem analitycznym, który pozwoli obliczyć przyśpieszenie każdego punktu układu niezmiennego.

Obierzmy w dowolnym punkcie A układ spółrzędnych prostokątny o osiach Ax, Ay, Az, nieruchomych w przestrzeni, a w dowolnym punkcie M układu niezmiennego, którego spółrzędne względem tych osi niech będą X, Y, Z, wystawmy trzy osi prostokątne M£, Myj, MC nowego układu spółrzędnych, poruszające się razem z naszym układem niezmiennym. Każdy punkt m układu ma teraz dwojakiego rodzaju spółrzędne, mianowicie spółrzędne zmienne, x, y, z, określające chwilowe położenie tego punktu w przestrzeni, i spółrzędne stałe, £, y], C, określające położenie tego punktu w układzie. Jeżeli «i, bt, c,; a₂, b₂, c₂; a₃, b₃, c₃ oznaczają dostawy kierunkowe osi odpowiednio M£, Mtj, MC względem osi A#, Ay, Az, to między nimi zachodzą wiadome związki

a? + b* + c*=z 1, (i =1,2, 3);

O)

«1² + a₂² + Ö3² — 1 > K+h² + h² = l, Cy* + c₂² + caz = l; ci;Cii d⁻ bfi/j -j- CiCjc — 0, (i, Iz — 1,2, 3),

+    +    b,Cy-j-b₂c₂ + b₃c₃=0, Cyax + c₂a₂Ą- c₃a₃=0,

a wyznacznik hdzayb₂c₃ jest równy -p 1 lub — 1 według tego, czy, po obróceniu jednego z układów tak, iżby dodatne kierunki dwu jego osi były równoległe do dodatnych kierunków odpowiednich osi drugiego i w te same zwrócone strony, dodatne kierunku osi pozostałych są w tę same stronę zwrócone, czytćż w strony przeciwne. Wzory na przejście od jednych z tych spółrzędnych do drugich są :

x =    X +    +    a₂Y]    +    asC,    S = ax{x — X) + 5,(y — Y) + ct(z — Z),

(2)

■ y =    Y -p    byi    + ó₂yj +    b₃C,    'ą— a₂{x — X) + b₂{y — Y) + c₂(s — Z),

z =    Z -p    CyC    -p c₂y\ -p    c₃C,    C — O'siß' -Y) d“ b₃(jj¹ Y) d~ c₃(#    Z),

Aby obliczyć prędkość punktu w, różniczkujmy równania (2) względem czasu, dla krótkości oznaczając otrzymywane pochodne zapomocą kresek u góry; składowe więc prędkości punktu (x, y, z) są:

¹

Ob. Teoryją wyznaczników M. A. Baranieckiego, Paryż, 1879, str. 281 i nast.

²

Wypadkowa obrotów o skończonych odchyleniach zależy od porządku, w jakim składu dokonywamy. Niech osi 0₄ i 0₂ dwu obrotów z odchyleniami skończonymi «pj i cp₂ przecinają się w punkcie o, i niech te obroty będą udzielone układowi niezmiennemu w porządku wskaźników; ruch wypadkowy będzie obrotem około

³

W odnóżach przednich człowieka³ od ramienia do kończyn palców, można rozróżniać gześć osi, około którycli każdy palec (oprócz wielkiego) może się obracać, mianowicie w stawie ramieniowym, w łokciu, w przedręczu, w śródręczu i na końcach członków. Nie wiemy, czy powyższe osi stanowią układ niezależny w każdym położeniu odnóża; możemy jednak na podstawie danych fwierdzeń wytłomaczyó doskonałą ruchliwość odnóży, a wszczególności kończyn palców.

l x'

\y'

= Xł -p a\ £ -p ci¹2^1 d~ ,

= Y' -p b\i d- b'₂ri -p br₃C,

lz' = Z'    + ₃C.

jirędkość zaś ruchu postępowego skrętu jest

(U)

Kóżniczkujmy ostatnie z równań (1) względem czasu, wprowadzając jednocześnie oznaczenia:

Vi + hc'₂ + lJ3c'a = —    +    Ór₂c₂ + b'₃c₃) = E,

+ c₂a'₂ + c₃a'₃ — — (c',a, + c'₂a₂ + c₃a₃) — H,

«i + ff₂ó'₂ -f a₃ó'₃ = — {a\ b{ + a'₂b₂ + a'₃b₃) = Z.

Podstawiwszy w równaniach (3) za £, yj, Ç ich wyrażenia (2), otrzymujemy

x' = X!—Z(f/ — Y) + H(^ ■— Z), y' = Y'-S(0-Z)+ Z(â —X), g' =. Z' ■— B(x— X) + S(y — Y);

(4)

(5)

gdy jeszcze nazwiemy

(6)

ZY —HZ + X'= A, EZ — ZX + Y' = M, HX — SY + Z'= N,

to mieć będziemy

(7)

( xl— lig — hy + A \y' = Lx ■— E # 4- M . s’ = E y — Ha; + N

jako najprostsze wyrażenia prędkości punktu (x, y, g) w kierunkach osi odpowiednio Ax, Ay, Ag. Porównywając te wyrażenia z równaniami (9) art. 31-go, widzimy, że wszystkie punkty układu skręcają się w chwili rozważanej około pewnej osi, oraz że wielkości E, H, Z, A, M, N, według wzorów (4) i (6) obliczone, są właśnie spółrzędnymi tego skrętu. Te zatym wielkości przedstawiają, według art. 42-go, sześć spółrzędnych ruchu układu. Spół-rzędne E, H, Z wyznaczają prędkość kątową skrętu i kierunek jego osi. Oznaczając tę prędkość przez ß, mamy:

ß = KE² + H² + Z²,

(8)

Parametr skrętu wynosi

z^SA + HM +.ZN = EX'-f H Yf+ZZ' = Ex' + H y'+ Iz'.

(9)

a wskaźnik

(10)

? _ SX'+HY'₊ZZ'

£i²

EX' + HYf + ZZ'

Jeżeli a. b, c, a, ß, Y oznaczają spółrzędne osi chwilowej ruchu, to (art. 31)

(12) a—

SO M

b—Q’ C~Q

A —XE

N—XZ

M —XH

ß ’ Y" ß *

Ruch chwilowy układu będzie samym tylko obrotem, jeżeli % = 0, a zatym SX' -f H Y' + Z Z' = 0. Ten przypadek nastąpi albo wtedy, kiedy X' = 0, Y'= 0, Z'=z 0, t. j. kiedy punkt M jest w spoczynku, albotóź wtedy, kiedy dla każdego punktu EP+H^/'-j-Zs'^O, t. j., kiedy wszystkie punkty układu posuwają się równolegle do tej samej płaszczyzny.

Równanie % = Ex¹ + H?/ -f- Z#' wyraża wiadome (art. 39) twierdzenie, że rzut prędkości każdego punktu na oś chwilową ruchu jest wielkością stałą, która, według (11), jest równa prędkości ruchu postępowego skrętu chwilowego.

Niech A₀, B₀, C₀, A₀, B₀, T₀ oznaczają spółrzędne osi chwilowej względem osi MS, M7], MC; wówczas A₀ = aaxĄ- óó, -f* cc, i podobnie B₀ i C₀. Podstawiwszy zatym wyrażenia (12), otrzymamy

B₀ =

(13)

A₀ — -g- (a,E + 5,11 -j- CyŁ), (a₂E -f- &₂II + c₂Z), C₀=^-(a₃S + MI + *3Z).

Niech a,, ß,, y, oznaczają odpowiednio momenty osi MS względem osi Ax, Ay, Az\ wtedy a, = c,Y— fr,Z, ßl = atZ ■—c,X, y,=£,IX— a,Y. A ponieważ, jak wiadomo (art. 33),

A₀ — aa, + bß, + cTi + aa, -f- ßä, + yc,

przeto otrzymamy

(14)

A₀ = -g [a, (X¹ — X 3) + 6,(T — X H) + c, (Z' — XZ)], i podobnie B₀ = ~ [a,(X' — X S) + &₂(Y' — X H) + <*(.Z' — X Z)], r₀ == -1 [a₃(X‘ — X S) + i₃(Y' _ X H) + c₃(Z< - X Z)].

Równania (12) wyznaczają położenie osi chwilowej w przestrzeni, równania zaś (13) i (14) wyznaczają jéj położenie w poruszającym się układzie. Wyrażając równania téj osi we spółrzędnych prostokątnych x, y, 0 według

(12) , oraz rugując z otrzymanych dwu równań czas t, otrzymamy równanie powierzchni centralnej w przestrzeni. Postępując zaś podobnie z równaniami

(13)    i (14) co do spółrzędnych £, 7], C, otrzymamy, po wyrugowaniu czasu, równanie powierzchni centralnej w układzie.

Niech    v£ oznaczają składowe prędkości punktu (£,?], C), wzięte

w kierunkach osi ruchomych odpowiednio MS, Mt], MC; wówczas

+ byy' + c,5r, a₂P + btfj' + c₂0f,

= a₃a:' + b₃y' + e₃*'»

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. X.

Jeżeli podstawimy wyrażenia (3) na x\ y\ z' i nazwiemy

(15)

a₃a'₂ + b₃b[ ₂ + c₃c'₂ = — (a₂a’₃ + b₂b'₃ + c₂c’₃) —p aya'₃ + byb'₃-\-clc'₃=—(a₃a\-\-b₃b\ -\-c₃c\) = q a.₂a\ -\-b₂b\ +c₂c\ =—(«,a'₂ + byb’₂ + c,cr₂)= r

to otrzymamy v^ = q^ — rri + Y^

(16)

C + Vr;,

vc=pri—q^ + Y ę,

gdzie V§, Y^, Yę oznaczają rzuty prędkości punktu M na osi MC, Myj, MC. Z tych wyrażeń widzimy, że wielkości p, q, r przedstawiają rzuty prędkości kątowej skrętu chwilowego na osi spółrzędnych odpowiednio MC, Myj, MC, poruszające się razem z układem, podobnie jak 3, H, Z są rzutami tejże samej* prędkości na osi nieruchome Ax, Ay, Az. Z tych rzutów możemy obliczyć spółrzędne osi skrętu chwilowego względem osi MC, Myj, MC, zważając, że

(17)

(18) x=2)Yg+gYYJ+rYc, X =

ß = \/ p¹ + Q² -4- r²,

jp.Yę+g.Y +r.Vc

ß²

V ='

p.Y^+q.V^+r.Yç

Wyrażając prędkości æf, «/r, z¹ przez    mieć będziemy

x’ = «, Vi + a₂v.q 4- a₃v>, y' =    4- b₂v.n + b₃vę,

z' — C|^ + C₂^+ C₃VC,

a jeżeli tu wstawimy wyrażenia (16), to wypadnie

x'— X' + C(a₂r — a₃q) -\-i\(a₃p —ayr)-\-t(ayq — a₂p),

(19)

y'~ Y'4- C(&₂»’ — ftaff) + ''îfep ~ ó,r) 4- C(ó,g — b₂p), z’ — Z' 4-Z(c₂r — c₃q) 4-t\(c₃p — cyr) 4- C(cxą — c₂p).

Z porównania tych wzorów z równaniami (3) otrzymamy następujące wyrażenia pochodnych dostaw kierunkowych osi MC, Myj, MC:

«'i “ a₂r — a₃q,

\a'₂ = a₃i?— a,r,

[a'₃~ayq—a₂p,

44. Obliczmy przyśpieszenie dowolnego punktu układu. W tym celu obierzmy dowolny punkt (X₀, Y₀, Z₀) na osi chwilowej; wtedy

a = cY₀— óZ₀, ß=zaZ₀ — cX₀, q~bX₀ — «Y₀.

A ponieważ, według równań (1) art. 36-go, mamy

A = aß4-uY, M = ßß4-JY, N=ryß4-cY,

(20)

b\ — b₂r — b₃q, c\ = c₂r — c₃q, b’₂ = bsp—blr, c\ — c₃p— cyr, b'₃ — byq— b₂p, c'₃ — cyq — c₂ p.

przeto otrzymamy

(A = (cY₀ — Z>Z₀)fi-f aY,

<M = (aZ₀ —cX₀)ß +&Y,

[N=:(bX₀ — aY₀)Q + cY.

Rzuty zatym prędkości dowolnego punktu (x, y, z) będą

* = [K* ~Z₀)-c(y- Y₀)]. Q + aY, y' = [c(x — X₀) — a (z — Z₀)]. fi + bY, z> [a(y — Y₀) —b{x — X₀)]. Q + cY.

Aby otrzymać składowe x'\ y", z" przyśpieszenia punktu (x, y, 0), różniczkujmy te równania względem czasu i wprowadźmy v~a(X₀— x)-\-+ b (Y₀ — y) + c (Z₀ — z)\ otrzymamy

= P (* - Z₀) ~ c (y - Y₀)J fi' - [a v + (x - X₀)] fi* ₊

+ [b'(e - Z₀) -    - Y₀) + cY'₀ - bZ'₀\Q, + (aY)',

yr= w» — X₀) — a(^ — Z₀)]fi' — [6v + (y — Y₀)]û² +

-f W* ~ xo)~ «'(*— z₀) + «z'o - cX'₀]ß + (ftyy, *" = [a (y - Y₀) - b {x - X₀)] fi' - [c V + (z - Z₀)] fi* 4-

+ [a\y-Y₀)-V(x-X₀) + 6X'₀- aY'₀]fi + (cV)r.

(1)

(2)

(3)

Obierzmy oś chwilową S (fig. 20) w kierunku prędkości Y ruchu postępowego jako dodatną oś #-ów; punkt S, w którym krzywa zwężenia powierzchni [S] przecina prostą Ś, niech będzie początkiem układu spółrzędnych, a najkrótsza odległość So' dwu sąsiednich osi chwilowych S i S' niech będzie osią #-ów; nakoniec niech punkt S będzie punktem (X₀, Y₀, Z₀). W tedy

x₀ — o, Y ₀ ~ 0,

a = 0. b — 0,

y*

z₀~o

c — 1.

Dostawy kierunkowe sąsiedniej osi chwilowej S' są aĄ-a'.dt, b-Ą-b'.dt, c+c'.dt, a spółrzędne punktu £', w którym krzywa zwężenia przecina prostą S', są: X₀-|-X'₀.c^, Y₀-f- Y'₀ . dt, Z₀ -f- Z'₀ . dt. Oznaczmy przez dd najkrótszą odległość So' prostych S i a przez de kąt, między tymi prostymi zawarty. Z uwagi, że element EE'= cZs krzywej zwężenia tworzy z osią x-óvr kąt S'So'='f, mamy: a + a'. dt — 0, a zatym af=0; b -f- b'. dt — sin de = de

a więc V —

Fig. 20.

j (O-

; c + d. d t — cos de = 1, przeto d — 0 — skoro opuszczamy nieskończenie małe względem dt. Wskutek tego: X₀-j-X'₀.dt = dd, ; z trójkąta zaś nieskończenie małego £'So', prostokątnego przy o', wynika Y₀ + Y'₀ . dt=. o'£'. sin de =■ ds . de sin <p, ale Y₀ = 0 ? przeto wielkość Y'₀.dt jest nieskończenie małą względem dt; należy ją opuścić;

a zatym X'₀ —

dd

dt

nakoniec: Z₀ + Z'₀ . dt — a'S' . coście, a gdy oT =. do . tan gę, przeto Z'₀ —    . tangcp. Prócz tego mamy v = — s. Podstawiając te wartości

Ci t

w równania (2) i (3), otrzymamy :

(4)

x'~ — fi?/, y’=Qx, zl=Y,

/«" = —    — Û'y+Û . C?£

(6)

2/" = fi'# — fi²?/ — fi

dt

de

dt

z" = —

de

Q-St-X + Y'’

jako najprostsze wyrażenia składowych prędkości i składowych przyśpieszenia punktu (x, y, z), jeżeli miejsce tego punktu w danej chwili wyznaczamy względem powyższego układu osi spółrzędnych.

Wyrażając w równaniach (2) art. 43-go spółczynniki ai, bi, ci} tudzież wielkości X, Y, Z, jako funkcyje czasu i następnie rugując czas z tych trzech równań, otrzymamy równania toru dowolnego punktu układu. Równania (4) i (5) pozwalają wyznaczyć wszystkie cechy gieometryczne tego toru. RÔAvnanie płaszczyzny ściśle stycznej do toru punktu (x, y, z) jest

(6)    {y'z"—z'y") (xp—x)+(z'x"— x’z") (yp—y)+(%'y"— y'x") (zp—z)=0,

gdzie xp, yp, zp są spółrzędnymi dowolnego punktu téj płaszczyzny, a krzywizna toru wyrazi się wzorem

(7)

1 [(?/'#"— s'y")² + (z'x"— x'z")² + (x'y"— ?/'#")²]²

(P² -f y'¹ + .s'²)²

45. Warunki, określające ruch układu. Okazaliśmy, że ruch chwilowy układu jest wiadomy, jeżeli jest znanych sześć spółrzędnych tego ruchii, które przez tyleż warunków określone być mogą (art. 42). Aby bliżej rozpoznać te warunki, obierzmy trzy punkty w,-, gdzie i =: 1, 2,3, i oznaczmy spółrzędne prostokątne każdego przez xi} y i, zt. Znając prędkość punktu mt, znamy tymsamym wartości pochodnych x\, y\, z¹,; prędkość drugiego punktu m₂ nie jest bezwzględnie dowolna, gdyż pochodne x'₂, y\, z’₂ zadość czynią równaniu {x\—x\)(x₂ — x,)-f(yr₂ — y\)(y*—y,)+(z'₂ — z\)(z₂—zl) — 0, wyrażającemu warunek, iż długość prostej mxm₂ nie zmienia się podczas ruchu. Możemy jednak obrać dowolnie stosunki x'₂ : y'₂ : z'₂ między tymi pochodnymi, czyli kierunek prędkości punktu m₂, a wtedy z równań (5) art. 43-go otrzymamy stosunki E:H:Z. Pozostały punkt m₃ możemy jeszcze poddać warunkowi A₃#'₃ + B₃?/₃ -f C₃z'₃ ==. 0, gdzie A₃, B₃, C₃ oznaczają liczby wiadome, wyrażającemu, że prędkość tego punktu jest równoległa do płaszczyzny Asx -f B₃y -{- C₃z = 0. Tym sposobem otrzymamy sześć warunków, pozwalających wyznaczyć sześć spółrzędnych ruchu układu. A zatym ruch chwilowy układu niezmiennego jest zupełnie określony ze względu na przestrzeń i na czas,

jeżeli wiadome są: prędlcość jednego punktu, kierunek prędkości drugiego punktu, oraz płaszczyzna, do której prędkość trzeciego punktu ma być równoległa. Te trzy punky nie powinny leżeć na jednej prostej.

Aby określić ruch ciągły układu, należy mieć równania ruchu punktu mA, które w każdej chwili dają jego prędkość, tudzież tor punktu m₂, który wyznacza kierunek prędkości tego punktu. W równaniu warunkowym A₃æ'₃4-B₃«/'₃-|-C₃^₃ —0 dla punktu m₃ będą spółczynniki A₃, B₃, C₃ wogólności wiel-kościami zmiennymi, a wtedy kierunek prędkości tego punktu będzie w każdej chwili równoległy do coraz innej płaszczyzny. Ten ostatni warunek możemy gieometrycznie tak wyrazić : punkt m₃ ma się poruszać na pewnej powierzchni danej, która w każdym miejscu ogranicza jego ruch otyłe, iż nieskończenie małe przesunięcie punktu z tego miejsca przypada na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni, a zresztą kierunek jego ruchu pozostaje dowolnym. Tę po-wierzchnią, na której punkt porusza się, zakreślając zresztą dowolny tor natéj powierzchni, nazwiemy powierzchnią toru punktu tego. Mamy więc twierdzenie: ruch ciągły układu niezmiennego jest zupełnie określony ze iczględu na przestrzeń i na czas, jeżeli znane są równania ruchu jednego punktu, tor drugiego punktu i powierzchnia toru trzeciego punktu. Te trzy punkty nie poivinny leżeć na jednej prostej.

Z powyższych danych można, według art. 43-go, obliczyć spółrzędne ruchu układu. Załóżmy, że x\ : y\ : z\ =p₂ :    gdzie p₂, q₂, r% są liczba

mi danymi, i wprowadźmy :

rx21 — x₂    ß'i > 1/21 — y%    y i > £21 — 82    !

^31 — Vs    Vi 5 ^3i — ^3    #15

I /V» ———» /V» /V»

I ^31 “

(1)

J(X₂₁ = p₂%2l 4~ Ç22/2I “H ^2^21 ? ?21 —— % 1^21 d" y 1^21 4“ ^ 1^21 5 j    a = A₃ p₂ + B3Ç2 4“ C₃r?,

I a31 — 1^2^31 + Ç22/3I 4" V2^31 j ?31 — x\x₃i 4" y\Vz\. 4” # 1^31 ?

'    ß — A^! + B₃y\ -|- G₃z\ ;

D — A₃(y₂,*₃i — y^2\) 4- B₃(z₂i%₃i — z3tx2i) + C₃(x2iy3i — x3ly2l).

Dla obliczenia spółrzędnych S, H, Z, A, M, N ruchu chwilowego utworzymy, według równań (4)—(7) art. 43-go, następujące równania:

oc₂₁D . S    — a₂\$(x₃—x₂) — ß₂i<*    -#3i 4~-^-3(^31 p2i    a2i    • ßsi)»

(2)

a₂₁D . H — a₂j ß (?/₃ ■— y₂) — ß₂i«    • 2/314- B₃(a₃₁ ß₂₁ •    a₂₁. ß₃₁),

a₂₁D . Z    — a₂₁ß(#₃ ¹— z₂) — ß2la. Z₃₁ -j- C₃(a₃₁ß₂₁    a₂,    . ß₃₁),

i a2l. D . A    = (a₂,ß — ß₂,a) (z₃y{ —    zly₃) — a₂,ß {z₂yx — zxy₂) 4“

1    4" (a3lß21 ^21 p31 ) (C^/l    ®3^l) 4- 0.2XT) X ,,

(3)

) $₂l • B . M- (0C21 ß-ß₂i&)    *^1^3)    ®21 ß    ^2) 4“

j    4- (a3lß2l ^21p3l) (-^-3^1    Ql^l) 4" a21    15

fa₂,. D . N = (a₂,ß — %\d)(y₃xx — yxx₃) — a.₂^(y₂x{ — y{x^)Ą-'    4- (a3lß21 —‘a2lß3l)(B₃^| A₃?/j) 4" *^-2 Z J.

Jeżeli wszystkie trzy punkty m* poruszają się równolegle do płaszczyzny

A₃æ + B₃ y -j- C₃2 = 0, to wtedy a = 0, ß = 0 ; otrzymamy wskutek tego S : H : Z = A₃ . B₃ : C₃, co oznacza, że oś chwilowa jest prostopadła do téj płaszczyzny. Z równań nadto (2) i (3) wynika w tym przypadku EA + 4- HM + ZN = 0, t. j., że ruch chwilowy układu jest obrotem. Jeżeli trzy punkty układu, nie leżące na jednej prostej, posuwają się równolegle do tejże samej płaszczyzny, to ruch chwilowy układu jest obrotem około osi, prostopadłej do téj płaszczyzny, a zatym każdy punkt układu porusza się równolegle do tejże płaszczyzny.

46. Ruch linii prostej. Niech prosta o spółrzędnych a,b, c, a, ß, 7 wykonywa skręt chwilowy o spółrzędnych S, H, Z, A, M, N: wyznaczmy przyrosty spółrzędnych téj prostej. W tym celu zważmy, że prosta przyjmuje inny kierunek tylko wskutek obrotu i że dwie proste równoległe pozostają równoległymi po obrocie o tenże sam kąt około tejże samej osi. Poprowadźmy zatym przez początek osi spółrzędnych prostą, równoległą do danej prostej, i obróćmy tę równoległą około osi spółrzędnych z prędkościami kątowymi odpowiednio S, H, Z. Gdy na téj równoległej obierzemy punkt o spółrzędnych a, b, c, którego odległość od początku będzie równa jednostce, to otrzymamy, według równań (2) art. 24-go,

(1) da — (\ic — Zb).dt, db — ijia — Sc).dt, dc = (ßb—Ua).dt.

Obierzmy na danej prostej punkt (%, y, z), wyraźmy momenty a, ß, y zapo-mocą a, b, c, x,y, z (art. 33), weźmy ich różniczki względem czasu i wyraźmy da, db, dc, dx, dy, dz według (1) oraz według wzorów (9) art. 31-go; mieć będziemy

(2)

do.~ (Hy— Zß-f-Mc— Nb)dt,

Jß — (Za— Ey-j-Na— A c)dt, dy = (Eß — Ha + Ab ■— Ma)dt.

Obliczmy następnie według równań (9) art. 31-go przesunięcia dx, dy, dz punktu (x, y, z) téj prostej wskutek skrętu, pomnóżmy te przesunięcia odpowiednio przez a, b, c i dodajmy iloczyny; otrzymamy

(3)

a.dx-\~ b.dyĄ- c.dz = («A + öM + cN + aE-f ßH + yZ)dG

Ponieważ lewa strona tego równania przedstawia rzut przesunięcia punktu (x, y, z) prostej na tęż prostą, a strona prawa nie zawiera spółrzędnych punktu, przeto możemy wypowiedzieć twierdzenie: rzut nieskończenie małego przesunięcia każdego punktu poruszającej się prostej na tęż prostą jest stały. Jeżeli przeto dla jednego punktu prostej rzut przesunięcia będzie równy zeru, to toż samo zajdzie dla każdego innego punktu prostej, t. j. jeżeli poruszająca się prosta jest prostopadła do toru jednego ze swych punktów, to jest prostopadła do torów wszystkich swoich punktów.

Równanie płaszczyzny P,, poprowadzonej przez punkt (xn yx, zx) téj prostej, a normalnej do jego toru, jest

Pt = (H ex — Z yx + A)(X — xx) + (Zxx — E *, + M)(Y — yx) +

(Eyi — Ha?, + N)(Z — zj) — 0,

czyli

P, = (H*, — Zy, + A)X + (Z;&,— E*,+M)Y +

+ (jßVi — H#| -f- N)Z — (Kxx + My, -f- N^,) — 0;

podobnie, równanie płaszczyzny P₂, przesuniętej przez drugi punkt (x₂, y₂, #₂) tejże prostej, a normalnej do toru tego punktu, jest

(5)

P₃ = (H*₂ - Zy₂ + A)X + (Zx₂ - S0₂ + M) Y +

+ (Sy₂ — llx₂ + N)Z — (Ax₂ + My₂ -fNć₂) = 0.

Spółrzędne zaś punktu dowolnego (x, y, z) na téj prostej możemy, jak wia-domo, wyrazić linijowo zapomocą spółrzędnych powyższych dwu punktów, kładąc

_ 'x\ P h₂x₂

X, + X₂

X,£,+ k₂z₂

X, + X₂ ,

gdzie X, i X₂ oznaczają spółczynniki zmienne. Wystawmy w punkcie (x, y, z) płaszczyznę P, normalną do jego toru; z równań (4) i (5) wynika równanie téj płaszczyzny,

(6)

P — X,P, -j- X₂P₂ — 0

które wyraża twierdzenie następujące: płaszczyzny normalne do jednoczesnych torów wszystkich punktów poruszającej się prostej przecinają się podług pewnej prostej. Niech L oznacza daną prostą, a Z tę prostą, podług której przecinają się płaszczyzny P; wówczas z podanego twierdzenia wynika, jako wniosek, że prosta L może być przywiedziona do położenia nieskończenie bliskiego przez obrót chwilowy około prostej l.

Rozważajmy poruszającą się prostą w dwu położeniach sąsiednich L i L'. Prosta, łącząca dwa sąsiednie położenia m i m! dowolnego punktu téj prostej, jest styczna do toru tego punktu. Ponieważ każda taka styczna prze* cina obie proste L i L' i, według ostatniego twierdzenia, jest równoległa do płaszczyzny, prostopadłej do prostej l (płaszczyzny obrotu), przeto otrzymujemy nowe twierdzenie : jednoczesne styczne do torów, opisywanych przez punkty poruszającej się prostej są tworzącymi parabolojdy hiperbolicznéj. Proste L i L' są także tworzącymi téj parabolojdy; nie należą jednak do tego układu tworzących, który stanowią styczne do torów, opisywanych przez punkty prostej L. Jedna z płaszczyzn asymptotycznych téj parabolojdy jest równoległa do płaszczyzny obrotu około prostej l, a druga do L i L'; wierzchołkiem parà-bolojdy jest punkt, w którym najkrótsza odległość prostych L i L' przecina prostą L.

47. Ruch płaszczyzny i ruch powierzchni. Niech płaszczyzna P wykonywa ruch chwilowy i niech wrskutek tego ruchu przyjmie położenie P'. Jeżeli te obadwa położenia płaszczyzny przecinają się podług prostej to na płaszczyźnie P znajduje się pewna prosta 7c, która wskutek ruchu chwilowego zajęła położenie prostej tc', z czego się okazuje, że prosta tc posuwała się na płaszczyźnie P podczas ruchu chwilowego téj płaszczyzny. Obierzmy na pro-

stój Tc dwa punkty a i b, które wskutek danego ruchu zajmą na prostej îc' położenia odpowiednio a' i b', wystawmy w jmnkcie a płaszczyznę normalną do aa!, a w punkcie b płaszczyznę normalną do bbK, obie płaszczyzny przetną się podług pewnej prostej O, która jest prostopadła do płaszczyzny P i przecina tę płaszczyznę w pewnym punkcie p. Obróćmy tak płaszczyznę P około prostej O, żeby prosta tc razem się zeszła z prostą tc', a następnie obróćmy tę płaszczyznę około prostej tc'; wówczas dana płaszczyzna przyjmie położenie P'.

Prostą tc', podług której przecinają się z sobą dwa nieskończenie bliskie położenia płaszczyzny P, nazywamy charakterystyką płaszczyzny P, a punkt p, w którym prosta O przecina płaszczyznę P, nazywamy ogniskiem płaszczyzny P, odpowiednio do ruchu chwilowego, jaki tej płaszczyźnie został udzielony. Ruch chwilowy płaszczyzny może więc być wywołany przez obrót około charakterystyki razem z obrotem około prostej, wystawionej w ognisku prostopadle do płaszczyzny. Ponieważ ognisko płaszczyzny bierze udział tylko w obrocie około charakterystyki, a jego tor wskutek tego obrotu jest prostopadły do płaszczyzny, przeto widzimy, że ognisko jest ivogôl-ności jedynym pmiktem na poruszającej się płaszczyźnie, Jdórego tor jest normalny do płaszczyzny.

Obierzmy na płaszczyźnie P dowolny punkt m ; wskutek obrotu około tc' element toru tego punktu, mę., jest prostopadły do P, a wskutek następującego obrotu około O element toru, [j, m', jest prostopadły do O, a punkt m zajmie położenie wH na płaszczyźnie P'. Ponieważ prosta mp, łącząca punkt m z ogniskiem p, jest prostopadła do torów m\i i \unprzeto ona jest także prostopadła do toru wypadkowego mm' tego punktu. Z tego wynika, źe płaszczyzna normalna do toru mm' punktu m, wystawiona w punkcie m, przechodzi przez prostą mp, a zatym także przez ognisko p, t. j. płaszczyzny, normalne do jednoczesnych torów wszystkich punktów poruszającej się płaszczyzny, przecinają się iv ognisku tej płaszczyzny. Pana płaszczyzna jest normalna do toru swego ogniska. —

Niech] powierzchnia F wykonywa ruch chwilowy. Przesuńmy przez każdy punkt tej powierzchni płaszczyznę normalną do elementu toru tego punktu; obwiednią tych płaszczyzn będzie pewna powierzchnia /. Niech F będzie powierzchnią algiebraiczną rzędu n-go; prosta dowolna L przecina tę powierzchnią conajwięcój w n punktach; płaszczyzny normalne do torów tych punktów przecinają się podług pewnej prostej l (art. 46), a każda z tych płaszczyzn jest styczna do powierzchni /. Z tego wynika, że przez prostą dowolną l można do powierzchni / poprowadzić conajwięcój n płaszczyzn stycznych. Mamy więc twierdzenie : płaszczyzny normalne do torów wszystkich punktów poruszającej się powierzchni algichraicznćj rzędu n-go są styczne do peivnéj powierzchni algiebraicznój klasy n-éj. Takie dwie powierzchnie, jak F i/, nazywamy powierzchniami wzajemnymi względem danego ruchu. Proste Lii (art. 46), tudzież płaszczyzna P i jój ognisko p, są w tym znaczeniu wzajemne względem ruchu chwilowego.

Nawzajem, płaszczyzny normalne do torów, które przy danym rucliu chwilowym opisują, punkty powierzchni /, są styczne do powierzchni F. Krańcowym bowiem położeniem płaszczyzny P, przechodzącej przez trzy nieskończenie bliskie punkty m₂, m₃ powierzchni F, jest płaszczyzna styczna do F w punkcie mx. Płaszczyzny normalne do torów punktów m{ 5 m2 : m3 przecinają się w ognisku p płaszczyzny P, a krańcowym położeniem tego ogniska jest punkt, odpowiadający płaszczyźnie P na powierzchni /. Ponieważ płaszczyzna P jest normalna do toru punktu p: przeto płaszczyzny normalne do torów, które opisują punkty powierzchni /, są styczne do powierzchni F.

Widzimy zatym, że każda z dwu powierzchni wzajemnych względem ruchu chwilowego jest miejscem gieometrycznym ognisk, odpowiadających płaszczyznom, stycznym do pozostałej, lub obwiednią płaszczyzn, których ogniska leżą na téj pozostałej powierzchni. Ruch więc chwilowy wywołuje między figurami gieometrycznymi zależność jiodobną do takiej, jaką w gieome-tryi wprowadza metoda biegunowych wzajemnych.

PRZYKŁADY I ĆWICZENIA.

(1). Punkt w, (fig. 21) porusza się jednostajnie z prędkością po osi ai-ów; punkt m₂ porusza się wzdłuż osi y-ów; punkt m₃ porusza się na płaszczyźnie y A z; mamy wyznaczyć ruch układu niezmiennego, który wyznaczają powyższe trzy punkty. Jeżeli aj “ m₂m₃ , a₂ = ?n₃?72t i as~—mim2 oznaczają boki, a a,, a₂, a₃ przeciwległe tym bokom kąty trójkąta mim₂m₃, początek zaś osi A jest położeniem początkowym (dla i = punktu ?nl, to mamy dla t — 0

(1) ar, = 0, ?/i=:0,    x₂=:0, tj₂ = a₃,

z₂=: 0; a;₃=:0, y₃ = a₂ cos a,, z₃~a₂ sina,.

Podczas ruchu, gdy użyjemy znakowania art.

4 5-go, mieć będziemy

mj

«3,

\2

*1

«3

ulg

Fig. 21.

m,

c? £ i¹

»-« B ® ©~ r-r

S5 N O

© cT cT

i? »,

ó~ _T

Spółrzędne ruchu chwilowego będą, według art. 45-go, B = —    Hzz:»,.

y₂z3

y'3    y 2,

(2)

y%’3

y₂

A — vx,

z czego wynika wyrażenie parametru

vft

2/₂

N = v^t. ^—h ytfa

(3)

„at y*—#* — v\ t •    — •

2/2 z3

Ruch więc chwilowy jest skrętem, ponieważ % nie jest równe zeru. Oznaczając przez y\, y 3, 2 3 odpowiednie składowe prędkości punktów ?n₂ i ;tï₃ , według równania (7) art. 43-go mamy naprzód

y₂ =

Vi ²f

y₂

czyli y₂ . dy₂ — — a,²/ . dt.

Całkując to równanie i uwzględniając warunki (1), otrzymamy

y₂ = l/'a₃²—vl²ł²,

jako równanie ruchu punktu m₂ na osi y-ów. Następnie mieć będziemy

V ^ t

AyO/a — 2y₂), *3= —'

2/2

Pierwsze równanie daje, po wstawieniu wartości na y.₂, równanie

Vj²l .

* ‘

całkując je i przytym uwzględniając równania (1), otrzymamy

_ a₂a₃ cos a, — a,² i²

Podstawiwszy zaś y₂ i y₃ w 23, otrzymamy po scałkowaniu

o₃² sin²a₂ — a,²<2 Ö3² — a,²/²

Rugując czas t z równań (5) i (6) i kładąc a — a₃ sin²a₂— a₂ cos a,, otrzymamy równanie toru (m₃) punktu m₃ na płaszczyźnie y Az,

(ca, — 2₃² cosa₂)² — (a,² •— 2₃²) y₃² . cos²a₂ = 0.

Z tego równania okazuje się, że punkt m₃ opisuje krzywą rzędu 4-go, której środkiem jest punkt A, a której osiami symetryi są osi A y i Az. Wyrażenia na y\ i 23 pozwalają w każdej chwili obliczyć prędkość ruchu tego punktu. Pierwsze trzy równania (2) wyznaczają kierunek osi chwilowej; jeżeli zatym przez A przesuniemy równoległą do tej osi, to otrzymamy stożek kierunkowy powierzchni centralnej w prze* strzeni. Równania tworzącej tego stożka są:

xl — 2S — 0, yl — zH = 0,

(4)

(5)

(6)

(7)

2/ 3 =

2/3 =

=,y

»1² *(2/3 — y₂y

yłz%

— — 2 v^t . dt]

czyli, po wstawieniu wartości

vy²t² — z . vyta₃ cosa₂ — 0,

x . \Z~a₃²— vy²t² . \/a₃² sin²a₂

y . J/ a₃² sin²a₂ — vy ²t² . -f- z , a₃\/ a₃² — vt²t² . cosa₂ — 0.

Rugując t z tych równań, otrzymamy równanie stożka żądanego,

(8)

a₃ ². cos ła₂. x²y² — («₃²*² cos ²a₂ — y²) (a₃²z² cos ² a₂—y² sin ²a₂) ~ 0.

Stożek więc kierunkowy jest rzędu 4-go. Ruch ciągły układu otrzymamy, posuwając wierzchołek tego stożka na torze któregokolwiek punktu z prędkością tego punktu, oraz obracając układ około następujących po sobie tworzących tego stożka z odpowiednią prędkością kątową, którą z wzorów (2) z łatwością obliczyć można. — Jeżeli spółrzędne ruchu chwilowego wyrazimy przez czas zapomocą równań (1), (2),

(4), (5) i (6), obliczymy z nich równania osi chwilowej we spółrzędnych prostokątnych, a z otrzymanych dwu równań wyrugujemy czas, to otrzymamy powierzchnią centralną w przestrzeni. Obierając np. punkt ml za początek ruchomych osi spółrzędnych ?/2,£, W2,Y], 7721 C, bok mxm₂ za oś ?n,£, a płaszczyznę trójkąta za płaszczyznę otrzymamy równanie powierzchni centralnej układu, wyrażając równania osi centralnej we spółrzędnych £, 7], Ç i rugując czas. Pozostawiamy to dochodzenie czytelnikowi.

4P

a«:

'cc

cO

/CC

Iß

Fig. 22,

(2). Doskonałym przykładem ruchu podwójnego (postępowego i obrotowego) jest ruch ziemi. Środek ziemi opisuje elipsę na ekliptyce (ruch roczny), a jednocześnie ziemia obraca się około pewnej osi, przez jej środek przechodzącej (ruch dzienny). Jeżeli prostą, łączącą obadwa bieguny ziemi, nazwiemy jej osią gieome-tryczną, to ta oś gieometryczna nie jest zarazem chwilową osią obrotu ziemi, lecz ziemia obraca się w każdej chwili około innej prostej. Oś gieometryczna ziemi nie porusza się równolegle do siebie, a tego skutkiem jest tak zwana precesyja, czyli cofanie się punktów równonocnych. Równik przecina stałą ekliptykę podług prostej, która na sklepieniu niebieskim wyznacza punkty równonocne, lecz te punkty, jak wiadomo, poruszają się na niebie w kierunku przeciwnym obrotowi dziennemu ziemi, t. j. od wschodu na zachód. Równik przeto nie posuwa się równolegle do siebie, a zatym oś gieometryczna, prostopadła do niego, zmienia swój kierunek w przestrzeni podczas ruchu ziemi. — Aby wyznaczyć oś tego obrotu chwilowego, który razem z ruchem postępowym po ekliptyce daje całkowity ruch ziemi, rozłóżmy obrót chwilowy na dwa: jeden około prostopadłej AB (fig. 22) do ekli-ptyki (t. j. około prostej łączącej bieguny ekliptyki), drugi około osi gieometrycznćj NS. Widomym skutkiem obrotu około AB jest precesyja punktów ró- ^ wnonocnych, które obecnie opisują rocznie na niebie łuk, wynoszący przeszło 50 sekund, a więc 0,137 sekundy łuku w średnim dniu gwiazdowym. Każdy punkt na ziemi opisuje w tym czasie około NS obwód koła. Gdy zatym dzień gwiazdowy przyjmiemy jako

jednostkę czasu, prędkość kątowa to obrotu około RS będzie wynosiła 2n. Jeżeli zaś co' oznacza prędkość kątową obrotu około AB, to

to'

to

0,137    360.60.60

360.60.60

skąd

<o' =

0,137

360.60.6Ö ‘ W'

Obi’oty to i to' mają miejsce w kierunkach strzałek; odcinając zatym to od 0 do a ku biegunowi południowemu S, należy to' odciąć od 0 do a. Przekątna s równoległo-boku O ab a! przedstawiać będzie oś obrotu chwilowego ziemi. Oznaczmy przez a kąt, który prosta NS tworzy z prostą AB, a przez kąt osi chwilowej s z osią NS; wówczas, z powodu, że prędkość kątowa obrotu około s bardzo mało się różni od co, można przyjąć

to'

sin cp — — , sin a, to

Wstawiwszy wartości, otrzymamy

sin ~

0,137

360.60.60

. sin23°27'32", a więc =; 0",0087.

Ponieważ tp jest kątem stałym, przeto miejscem gieometrycznym osi chwilowych w ziemi jest stożek, który otrzymamy, obracając oś s około gieometrycznćj osi ziemi. Obracając zaś s około AB, otrzymamy drugi stożek, do którego pierwszy jest styczny wewnętrznie wzdłuż osi chwilowej. Ruch ziemi otrzymujemy, tocząc pierwszy stożek wewnątrz drugiego, podczas gdy ich spoiny wierzchołek O posuwa się po ekliptyce. Stożek osi chwilowych w ziemi jest bardzo wąski; promień jego podstawy na powierzchni ziemi wynosi

6 378 000 ot.

0,0087.2h

360.60.60

= 0,270 m;

możemy przeto z wystarczającym przybliżeniem oś gieometryczną ziemi uważać za jej oś chwilową.

(3) . Wiadomo, że księżyc jest ciągle zwrócony tą samą stroną ku ziemi (gdy pomijamy tak zwaną libracyją jego, czyli ważenie się); na mocy tego można okazać, że ruch księżyca względem ziemi nie jest postępowy, lecz składa się z obrotu jego środka około ziemi i z obrotu księżyca około prostej, przez środek przechodzącej, a obadwa obroty mają ten sam kierunek i okres.

(4) . Obliczyć przyśpieszenie styczne i przyśpieszenie normalne dowolnego punktu układu niezmiennego, oraz wyznaczyć te punkty układu, których przyśpieszenie czyto styczne, czytćż normalne, jest w danej chwili równe zeru.

(5) . Wyznaczyć te punkty układu, których przyśpieszenie jest prostopadłe do osi chwilowej ruchu.

(6) . Okazać, że dwie osi sprzężone (art. 35) i oś chwilowa ruchu należą do tego samego układu tworzących parabolojdy hiperbolicznćj równobocznej, t. j. takiej, której płaszczyzny asymptotyczne są do siebie prostopadłe.

(7). Okazać, że

na poruszającej się prostej nie znajduje się wogólności żaden punkt, będący punktem przegięcia swego toru. Wyznaczyć warunek, aby na prostej znajdował się taki punkt osobliwy.

(8). Okazać, że wogólności osi krzywizny torów, opisywanych przez punkty poruszającej się prostej, są tworzącymi hiperbolojdy jednopowłokowćj.

(9) . Okazać, że wogólności normalne główne torów, opisywanych przez punkty poruszającej się prostej, są tworzącymi powierzchni skośnej rzędu 4-go, której stożek kierunkowy jest rzędu 3-go.

(10) . Na podstawie własności poprzedzającej dowieść, że wogólności miejscem gieometrycznym środków krzywizny torów, które punkty prostej opisują, jest krzywa skośna rzędu 5-go.

2/-Y

(11). Gdy-

- są równaniami prostej, okazać, ko*

rzystając ze wzorów art. 46-go, że wogólności równania prostej wzajemnej są

= A(X — z) + M(Y — y) + N(Z — *),

H,

a j 6 tf c

gdzie S, H, Z, À, M, N są, sj)ółrżędnymi ruchu chwilowego.

(12) . Wyznaczyć równanie charakterystyki danej płaszczyzny i spółrżędne jéj ogniska, gdy są dane spółrzędne ruchu chwilowego.

(13) . Okazać, że charakterystyki płaszczyzn, jjrzOcinających się podług tej samej prostej, są tworzącymi hiperbolojdy jednopowłokowćj, której jedną osią główną jest najkrótsza odległość tej prostej od osi chwilowej.

(14) . Okazać, że jeżeli trzy punkty prostej poruszają się na trzech danych płaszczyznach, natenczas każdy inny punkt téj prostej opisuje wogólności powierzchnią elipsojdy, której środkiem jest punkt przecięcia się danych płaszczyzn.

(15) . Dowieść następującego twierdzenia: jeżeli cztery punkty prostej poruszają się na czterech płaszczyznach, to każdy inny punkt téj prostej będzie się poruszał na pewnej płaszczyźnie. Jaką krzywą będzie ów punkt opisywał na téj płaszczyźnie?

ROZDZIAŁ IY.

RUCHY SZCZEGÓLNE UKŁADÓW NIEZMIENNYCH.

48. Kręcenie się około punktu. Określiliśmy (art. 21) kręcenie się układu około punktu jako taki ruch układu, podczas którego jeden punkt tego układu, zwany środkiem kręcenia się, pozostaje w spoczynku. Jeżeli na fig. 19-téj art. 38-go punkt mt jest środkiem kręcenia się, to każdy z pozostałych dwu punktów, m₂ i ma, będzie się mógł poruszać tylko na powierzchni kuli, zakreślonej z punktu m,, jako środka, promieniem odpowiednio mvm₂ lub m,m₃. Jeżeli więc trójkąt m,ę₂ (j.₃ jest nieskończenie bliskim położeniem trójkąta m{m₂ma, to z dowodzenia, podanego w art. 38-ym, wynika, że obrót chwilowy około osi O, przywodzi układ z położenia, jakie on zajmuje w czasie t, do położenia nieskończenie bliskiego, odpowiadającego czasowi tĄ-dt. Mamy przeto twierdzenie : ruch chwilowy układu niezmiennego, kręcącego się około punktu, jest obrotem około pewnej osi, przechodzącej przez środek kręcenia się, które możemy także tak wysłowić : jeżeli w układzie znajduje się jeden punkt w spoczynku« to iv każdej chwili znajduje się tu tym układzie pewna prosta iv spoczynku, która przechodzi przez ów punkt.

Z tego twierdzenia wynika, że płaszczyzny normalne do torów, które punkty kręcącego się układu jednocześnie opisują, przecinają się podług osi chwilowej obrotu.

Obierzmy środek kręcenia się za spoiny początek dwu układów spółrzę-dnych x, y, z i i, 7], ’Q, z których pierwszy niech będzie w przestrzeni nieruchomy, a drugi niech się kręci wraz Z poruszającym się układem niezmiennym. Wtedy, stosownie do znakowania art. 43-go, będzie X = 0, Y = 0, Z = 0; X' = 0, Yf =0, Z' = Oj z czego wynika, że A = 0, M — 0, N — 0. fSpółrzędne ruchu postępowego są równe zeru, a pozostają tylko spółrzędne E, II, Z obrotu chwilowego* Ponieważ z sześciu spółrzędnych ruchu trzy mają wartości naprzód określone, przeto możemy powiedzieć (art. 42), że układ niezmienny, kręcący się około punktu, ma siuobodę rzędu 3-go.

Równania osi chwilowej ruchu układu są

(1)

E H Z ‘

Osi chwilowe w przestrzeni są tworzącymi stożka [O], który zowiemy stożkiem centralnym w przestrzeni, a miejscem gieometrycznym tych prostych kręcącego się układu, które stają się kolejno osiami jego obrotu chwilo-wego, jest drugi stożek [oj, zwany stożkiem centralnym układu. Środek kręcenia się jest wierzchołkiem spólnym obudwu stożków. A więc: ruch ciążyły układu, kręcącego się około punktu, może być wywołany przez toczenie się stożka centralnego układu po nieruchomym stożku centralnym w przestrzeni. Obadwa stożki są do siebie w każdej chwili styczne wzdłuż osi chwilowej obrotu układu.

Przetnijmy obadwa stożki centralne powierzchnią dowolnej kuli, mającej środek w środku kręcenia się, nj). powierzchnią kuli o promieniu równym jednostce; otrzymamy na téj kuli dwie krzywe, do siebie styczne, z których, podczas ruchu układu, jedna toczy się po drugiej. Takie dwie krzywe kuliste nazywamy centrodyjami ruchu rozważanego. Stożek [O] daje centrodyją w przestrzeni, a stożek [o] centrodyją układu. Jeżeli obie centrodyje są wiadome, to ruch układu jest określony ze względu na przestrzeń; tocząc bowiem centrodyją układu po nieruchomej centrodyi w przestrzeni, nadajemy układowi ten sam ruch, jaki przez toczenie się obudwu stożków centralnych wywołany został. Płaszczyzna, przechodząca przez punkt dowolny m, przez środek kręcenia się i przez punkt styczności obu centrodyj, jest normalna do toru punktu m ; prostopadła zaś do niej w tym punkcie wyznacza kierunek ruchu tego punktu.

Jeżeli wiadomą prędkość jednego punktu układu podzielimy przez odległość tego punktu od osi chwilowej, to otrzymamy prędkość kątową obrotu chwilowego. Z tego wynika, że kręcenie się układu około punktu jest określone ze względu na przestrzeń i na czas, jeżeli znamy prędkość jednego jego punktu i kierunek prędkości drugiego, albo, co wychodzi na jedno, jeżeli znamy równania ruchu jednego jego punktu i lor kulisty punktu drugiego. Te diva punkty i środek kręcenia się nie powinny leżeć na jednej prostej.

Możemy ruch ciągły kręcącego się układu jeszcze inaczej wywołać. Niech O będzie osią chwilową w czasie t, a O' osią chwilową w czasie tj-dt, zaś de niech oznacza kąt między tymi dwiema osiami, a dtp niech będzie odchyleniem obrotu chwilowego około osi O. Wyprowadziwszy ze środka kręcenia się prostopadłą L do prostych O i O', obróćmy naprzód układ niezmienny około osi O o kąt dtp, a następnie oś O około prostopadłej L o kąt ch, tak iż oś O przyjmie położenie O'. Jeżeli O" jest następną osią chwilową, de' kątem między Of i 0,f, a d tp' odchyleniem obrotu około O', to wyprowadziwszy ze środka kręcenia się prostopadłą Lr do O' i O", obróćmy układ około O' o kąt dtp', a następnie oś O' około L' o kąt de', tak iż O' zejdzie się razem z O". 11. d. Takim sposobem także *wywołamy ruch żądany układu. Miej-scem gieometrycznym prostych L jest powierzchnia stożkowa, której tworzące są odpowiednio prostopadłe do płaszczyzn stycznych stożka centralnego w przestrzeni.

49. Spółrzędne E, H, Z obrotu chwilowego, odniesionego do układu spółrzędnych o początku w środku kręcenia się, mogą być innym sposobem obliczone, niż w art. 43-im, sposobem, który w późniejszych zagadnieniach z kinetyki okaże się bardzo przydatnym.

“nr

Fig. 23.

Mech M (fig. 23) będzie środkiem kręcenia się, My, My, M.z osiami nieruchomego układu spółrzędnych, a MC, Myj, MC osiami układu spółrzędnych, kręcącego się razem z układem rozważanym. Mech nadto MCi będzie śladem ruchomej płaszczyzny MC?) na stałej płaszczyźnie Mxy, a cp kątem tego śladu MCt z osią x'ów, liczonym w kierunku obrotu do-datnego około osi M.z. Kąt osi MC ze śla-7~7^y' dem MCi oznaczmy przez 4», licząc go w kierunku obrotu dodatnego około osi MC, a kąt płaszczyzny MC?] z płaszczyzną Mxy, równy kątowi, który dodatna oś MC tworzy z do-datną M#, nazwijmy 0. Przyjmujemy przy-tym, że obadwa układy prostokątne osi są zgodne (art. 43), przez co sposób liczenia każdego z trzech kątów cp, <|>, 0 jest dokładnie określony. Wiadomo z gieo-metryi, że położenie układu spółrzędnych o osiach MC, Mkj, MC względem układu o osiach My, My, M# może być określone przez powyższe trzy kąty; można zatym spółrzędne obrotu chwilowego i ich pochodne względem czasu wyrazić w funkcyjach tych kątów. Układ osi MC, Mv), MC możemy przywieść do nieskończenie bliskiego położenia, które mu nadaje obrót około osi chwilowej, obracając go o kąt dQ około MCj, następnie o kąt dcp około osi M#, a nakoniec o kąt dty około osi MC. Prędkości kątowe tych trzech

obrotów są odpowiednio

, a one przedstawiają składowe obro-

dQ d cp dty dt ’ dt ’ dt

tu chwilowego, brane odpowiednio w kierunku prostych MCi, Mz, MC. Ponieważ S, H, Ż są składowymi tego samego obrotu względem osi My, M y, M z, przeto

Ponieważ

3 = w.coS($ux)l

dy

H = -s-.c°sa„ÿ)4

dQ

dy

COS&, e)+d.

cos(Cx, x) = coscp, cos {z , x) =    0,

. cos(z, y) +

. cos (z, y) +

. cos (z, z)Ą

d ty

dt

-3-

. cos(C, y),

• cos(C, y),

rfT- ⁰⁰⁸^*)-

cos (Ci, y) —■ sincp, cos {s, y) =

cos(C, x) — sin cp sin 0, cos(C, y) =— cos cp sin 6, cos(C, z) = cosb,

0,

cos (Cl, z) — o,

COS(# , z) — 1,

przeto, po wstawieniu tych wartości w równania (1), otrzymamy

de

a=WC0S'P+ sine Sin®,

(2)

TT    dO    d<b . .

H = nt-sm*-it •sm6cos,f>

■©*

. cos 6.

y äff    d

dt ⁺ dt

Możemy podobnie obliczyć spółrzędne obrotu chwilowego w kierunkach osi układu ruchomego, Ml, Mtj, MC, które oznaczymy odpowiednio przezp, ą, r. Otrzymamy bowiem

dB

P—-JÏ' ⁰⁰⁸^ de

<i — itmCOS(^ł ^⁴

dy

. cos (#, £) + -^jr .ćos(C, £), •COS(*, 7]) + -^.COS(C, 7]),

r~lft ' cos^,? + U 'cos^’ c) +    * cos^» ^

(70

a ponieważ

cos(||, I) — cos<{>, cos(I,, 7]) = — sin<J>, cos(|,,C) = 0,

cos (z, I) = sin 0 . sin <|>, cos (0,7]) = sin 0 . cos <{>, cos (z, C) = cos 0,

cos(C, S) = 0, cos(C, ij) = 0, cos(C, C) — 1,

przeto

(70

—-,c°s.h

(7<p

(77

sin0 sin^,

(3)

(70

(7cp

. sint[) + ~ . sin0 cos^, ci t    a z

-    . COS0.

dt dt

50. Aby obliczyć przyśpieszenie dowolnego punktu układu kręcącego się, obierzmy środek kręcenia się za początek osi spółrzędnych, oś chwilową O za oś z-ów, przyjmując kierunek odciętej na téj osi prędkości kątowej ß obrotu chwilowego jako kierunek dodatny téj osi, a prostopadłą L (art. 48) do osi O i O' obierzmy za oś x-óvr. Stosownie do znakowania art. 44-ego, pochodna

teraz prędkość kątową obrotu osi O około prostej L. Dla

7 Ä

kręcenia się mamy =0, Y = 0; składowe więc x", «/", z" przyśpieszenia a z

punktu (x, y, z), według równań (5) art* 44*go, są

x" = — ß²# -— O!y -f- ß uz, y" = Q’x — ß²«/,

z¹¹ — —-- ß (O X i

(7 s

—- = co oznacza

dt

(1)

9.

(7<!>

y -- -L

Bibi, mat.-iiz., S, IV, T. X,

Wypadkowa T przyśpieszeń x" i y" przedstawia rzut przyśpieszenia punktu rozważanego na płaszczyznę, prostopadłą do osi chwilowej. Jeżeli wię p oznacza odległość tego punktu od osi chwilowej, a zatym p² = x² -f y²: to otrzymamy

T²=x"² + y"²=Q²(ù²z² — 2 ß w z (Q²x + ß'y) -fp²(ß⁴-f ß'²), a kwadrat przyśpieszenia tego punktu wyrazi się wzorem (3)    y² = T² + z"² = {x² + £²) ß²w² — 2 ß w 0 (ß²# -f Q'y) -j- p² (ß⁴ + ß'²).

(2)

Jeżeli <p oznacza kąt, który przyśpieszenie T tworzy z promieniem p, wystawionym w punkcie (x, y, z) prostopadle do osi chwilowej, to z powyższych wzorów wynika

ßcu . z y — ßfp²

ß(ö . ZX — ß²p²

Dla punktów, leżących na płaszczyźnie, przechodzącej przez dwie sąsiednie osi chwilowe, a zatym na płaszczyźnie stycznej do stożka centralnego w przestrzeni, jest x=. O, a zatym z"— 0; przyśpieszenie y tych punktów jest więc równoległe do płaszczyzny xy. Dla każdego innego punktu otrzymamy przyśpieszenie, którego rzut z" na oś chwilową nie jest równy zeru.

Rozłóżmy T na dwie składowe, w kierunku promienia p i w kierunku prostopadłym do tego promienia; wówczas

Fp = T . cos$ = (QiùZX — ß²p²),

— (ßto z y — ß'p²).

P

Tym sposobem rozkładamy przyśpieszenie każdego punktu na trzy przyśpieszenia wzajemnie prostopadłe, Fp, i z", z których dwa pierwsze są prostopadłe do osi chwilowej, a ostatnie jest do tejże osi równoległe. Podane wzory pozwalają rozwiązać wszelkie zagadnienia, tyczące się krzywizny torów kulistych, przez punkty układu opisywanych.

51. Ruch posuwisty. Okazaliśmy (art. 45), że gdy trzy punkty układu niezmiennego, nie leżące na jednej prostej, poruszają się równolegle do tejże samej płaszczyzny, to wówczas każdy punkt układu porusza się równolegle do téjsaméj płaszczyzny. Taki ruch nazwaliśmy (art. 21) ruchem posuwistym. Wyobraźmy sobie układ, który takiego ruchu dokonywa, przecięty płaszczyzną kierującą (art. 21); wtedy punkty układu, leżące na téj płaszczyźnie, utworzą pewną figurę, którą jako przekrój układu uważać możemy. Podczas tego ruchu owa figura będzie się posuwała na swojej płaszczyźnie, i nawzajem, jeżeli taki przekrój płaski układu niezmiennego posuwa się na swojej płaszczyźnie, to ruch całego układu jest posuwisty. Ruch posuwisty można także uważać jako kręcenie się około punktu, znajdującego się nieskończenie daleko w kierunku prostopadłym do płaszczyzny kierującej (art. 21), a przeto ten ruch jest określony gieometrycznie, jeżeli

(4)

(6)

tang (p

= T . sin <j> =

r*

• io

znamy tory dwu punktów układu, posuwających się na płaszczyźnie kie-rującój.

Tl?

onf

Fig. 24.

Niech m{ i m₂ (fig. 24) oznaczają położenia dwu punktów, ruch wyznaczających, na płaszczyźnie kierującej w czasie t, a m\ i m'₂ niech będą odpowiednimi położeniami tych punktów w czasie 7-f- dt. Wyprowadźmy ze środka a prostej mxm\ do niej prostopadłą i podobnie ze środka ß prostej m₂m'₂ prostopadłą do tejże prostej, a te dwie prostopadłe niech się przecinają w punkcie O. Z równości trójkątów Omxm₂ i Om\m'₂ wynika, że kąty mxOm2 i m\0 m\ są sobie równe, wskutek czego kąt myOm\ jest równy kątowi m₂0m'₂. Jeżeli przeto z punktu O wyprowadzimy prostopadłą do płaszczyzny i obrócimy układ około téj prostej o kąt =■ mlOm\ — m₂0m'₂, to przywiedziemy układ do położenia, które on ma zająć po upływie czasu dt. Gdy di staje się nieskończenie małą, granicami prostych mxm\ i m₂m'₂ będą styczne do odpowiednich torów punktów m{ i m₂, a granicami prostopadłych a O i ßO będą normalne do tych torów w tychże samych punktach; granicą więc punktu O będzie punkt przecięcia się tych dwu normalnych. Mamy zatym następujące twierdzenia, jedno: ruch ćhwilo-ivy nieładu, poruszającego się równolegle do płaszczyzny, może być wywołany przez obrót około prostej, prostopadłej do tej płaszczyzny; ta prosta jest osią chwilową obrotu tego układu; drugie: płaszczyzny normalne do torów, które podczas ruchu posuwistego punkty układu jednocześnie opisują, przecinają się podług osi chwilowej obrotu.

Jeżeli rozważamy ruch figury płaskiej na swojej płaszczyźnie, to punkt O, w którym przecinają się normalne jednoczesne do torów dwu punktów, ruch wyznaczających, nazywamy środkiem chwilowym obrotu téj figury. Obróciwszy figurę w jéj płaszczyźnie około tego środka, wywołujemy jéj ruch chwilowy, przez dane warunki określony. Normalne do torów, które opisują jednocześnie punkty figury płaskiej, poruszającej się na swej płaszczyźnie, przecinają się u; środku chwilowym. Prędkość ruchu każdego punktu figury jest proporcyjonalna względem odległości tego punktu od środka chwilowego. Z ostatniego twierdzenia wynika, że ruch posuwisty jest zupełnie określony pod względem przestrzeni i czasu, jeżeli znamy wielkość i kierunek prędkości jednego punktu układu, oraz kierunek prędkości punktu drugiego.

Obierzmy płaszczyznę kierującą jako płaszczyznę xy, a z dowolnego punktu stałego A téj płaszczyzny wyprowadźmy do niej prostopadle oś z. Ponieważ ruch chwilowy układu jest obrotem około prostej, równoległej do osi z, przeto spółrzędne E, H i N ruchu chwilowego będą ciągle równe zeru, z czego wnosimy, podobnie jak w art. 48-ym, że układ niezmienny, poruszający

się równolegle do płaszczymy, ma swobodę ruchu rzędu 3-gO. Ten ruch należy więc, pod względem rzędu jego swobody, do ruchów tegoż samego rodzaju, co kręcenie się około punktu.

52. Oś chwilowa jest jedyną, prostą, w układzie, która w chwili uważanej pozostaje w spoczynku. W każdej chwili znajduje się w układzie taka prosta, która nieustannie zmienia miejsce swoje i w przestrzeni i w poruszającym się układzie. Miejscem gieometrycznym osi chwilowych w przestrzeni jest walec, którego tworzące są prostopadłe do płaszczyzny kierującej. Jeżeli ślad tego walca na płaszczyźnie kierującej przyjmiemy jako jego podstawę, to możemy wywołać ciągły ruch posuwisty układu, nieustannie obracając układ około tworzącej tego walca, podczas gdy ta tworząca posuwa się równolegle do siebie wzdłuż podstawy walca. Walec [O], którego tworzące są kolejno chwilowymi osiami obrotu układu, nazywamy walcem centralnym w przestrzeni.

Oś chwilowa atoli zmienia jednocześnie położenie swoje względem układu, t. j. coraz inna prosta układu staje się kolejno jego osią chwilową. Miejscem gieometrycznym tych prostych o w układzie, które stają się jego osiami chwilowymi, jest drugi walec [o], który zowiemy walcem centralnym układu. Obadwa walce są do siebie styczne wzdłuż osi chwilowej. Jakoż, skoro prosta O jest w czasie t osią chwilową, z którą razem się schodzi prosta o w układzie, to sąsiednia tworząca o' walca [o] wskutek obrotu około O razem się zejdzie z sąsiednią tworzącą O' walca [OJ, aby w następnej chwili stać się osią obrotu. Obadwa więc walce mają spólne dwie sąsiednie tworzące O i O', są przeto styczne wzdłuż prostej O, będącej właśnie osią chwilową. A zatym ruch ciągły układu, poruszającego się równolegle do płaszczyzny, może być wywołany przez toczenie się walca centralnego układu na walcu centralnym w przestrzeni.

Jeżeli rozważać będziemy ruch ciągły figury płaskiej na płaszczyźnie, to zamiast powyższych walców otrzymamy dwie linije krzywe na płaszczyźnie, cechujące ruch téj figury. Miejscem gieometrycznym środków chwilowych na płaszczyźnie (uważanej za nieruchomą), na której ruch zachodzi, będzie pewna linija krzywa [O], którą nazywamy centrodyją w płaszczyźnie figury; a miejscem gieometrycznym tych punktów o posuwającej się figury, które stają się kolejno jéj środkami chwilowymi, będzie druga linija krzywa [o], którą nazywamy centrodyją figury. Obie krzywe są do siebie w każdej chwili styczne w tym punkcie, który jest właśnie środkiem chwilowym, a ruch ciągły figury, poruszającej się na płaszczyźnie, może być wywołany przez toczenie się centrodyi tej figury po centrodyi w płaszczyźnie figury. Prosta, łącząca dowolny punkt m figury z punktem styczności obu centrodyj, jest normalna do toru (m) tego punktu w punkcie m.

Określenie gieometryczne ruchu posuwistego figury płaskiej przez tory dwu punktów tej figury nie jest jedyne; można ten ruch także innymi sposobami określić. Niech będzie dana pewna prosta L téj figury, a na téj prostej punkt a; ruch figury będzie określony, jeżeli mieć będziemy pewną liniją

53. Analiza euchu posuwistego. Możemy teoryją tego ruchu rozwinąć także sposobem analitycznym. Używać będziemy spółrzędnych prostokątnych.

krzywą (L), do której prosta L ma być wciąż styczna, tudzież tor (a) punktu a. Jakoż, poprowadźmy w punkcie a normalną do toru (a), a w punkcie X, w którym prosta L jest styczna do linii (L), poprowadźmy normalną do krzywej (Ł); punkt przecięcia się tych normalnych będzie widocznie środkiem chwilowym. Niech będą dane dwie proste L, i L₂ téj figury, linija krzywa (L,), do którój prosta L, ma być wciąż styczna, i krzywa (L₂), do którój L₂ ma być ciągle styczną; wskutek tego ruch posuwisty figury będzie także określony. Zamiast prostych Ll i L₂ mogą być dane dwie linije krzywe M, i M₂, mające być styczne odpowiednio do krzywych (M₄) i (M₂), a przez to ruch figury będzie określony.

Przez punkt A, obrany stale na płaszczyźnie kierującej, poprowadźmy dwie nieruchome osi prostokątne Ax i Ay, a w dowolnym punkcie M poruszającej się figury (w punkcie ruch wyznaczającym) obierzmy na téj płaszczyźnie drugi układ osi spółrzędnych prostokątnych M£, Myj, które poruszają się razem z figurą. Jeżeli x₀, y₀ oznaczają spółrzędne punktu M względem esi Ax, Ay, zaś ax, &, i a₂, b₂ oznaczają dostawy kierunkowe osi odpowiednio M£, Myj względem Ax i Ay, to między spółrzędnymi zmiennymi x, y dowolnego punktu względem tych osi, a spółrzędnymi stałymi £, yj tegoż samego punktu względem osi M£ i Myj, zachodzą związki

(1)

x = x₀ + a£ + a₂ri, +    + Mi

$ == «i(* — a*) + b\(y — y₀)ł yj = a₂(x — x₀) U b₂(y — yp),

przyczym

ax²-\-bx²=-l,    a₂² + b₂² =z 1, a,² 4- a₂² = 1, bx² + b₂²^=l

axa₂ + bxb₂ = 0, ax bx + a₂b₂ — 0.

Oznaczając pochodne względem czasu zapomocą kresek u góry, kładąc £2 = axb\-)r a₂b\ — — (a\bx -f ar₂ó₂), i różniczkując równania (1) względem czasu, otrzymamy

x'=zx'Q — Q(y — ?/₀), y'==-y\₀ + Q(x — x₀),

(2)

(3)

(4)

Kładąc zaś jeszcze

(5)

A ==x\-\-tiy₀, M = yr₀—Qa?₀

mieć będziemy

(6)

x'— —Qy + A, y = £2o?-fM.

Przy x’~0 i y=0 otrzymamy spółrzędne X₀, Y₀ środka chwilowego,

(7)

Wyraźmy z tych równań A i M przez X₀ i Y₀ i wstawmy te wartości w równania (6) otrzymamy

(8)

s» = _Û(y-Y₀), y'= Q(x— X₀).

25 ostatnich równań okazuje się (art. 24), że każdy punkt układu obraca się około osi, przechodzącej przez punkt (X₀, Y₀) i prostopadłej do płaszczyzny kierującej, oraz że ß jest prędkością kątową tego obrotu. Wielkości A, Miß przedstawiają spółrzędne obrotu chwilowego względem osi Ax, A y i prostej Ąz, poprowadzonej przez punkt A prostopadle do płaszczyzny xy.

Oznaczmy przez £₀ i yj₀ spółrzędne względem osi M£ i Myj tego punktu na płaszczyźnie, który jest środkiem chwilowym. Z równań (1) i (7) otrzymamy

(⁹)

So = -fi (M'o — d\ÿo):

rio~

Gdy w równaniach (7) wyrazimy spółrzędne X₀ i Y₀ w funkcyi czasu (z wiadomych ruchów dwu punktów ruch wyznaczających) i z tych równań wyrugujemy czas, to otrzymamy F(X₀, Y₀) — 0, jako równanie centrodyi [O] w płaszczyźnie kierującej. Jeżeli podobnie wyrazimy wielkości po prawych stronach równań (9) jako funkcyje czasu i wyrugujemy z nich czas, to otrzymamy równanie <E>(£₀, yjo):=0 centrodyi [o] figury. Sprawdzenie tego, źe obie centrodyje są do siebie styczne w środku chwilowym, pozostawiamy czytelnikowi.

54. W celu obliczenia przyśpieszenia dowolnego punktu, obierzmy środek chwilowy o jako początek osi spółrzędnych, styczną spoiną do centrodyj [OJ i [o] w kierunku od środka chwilowego O do środka sąsiedniego O', jako oś x, a normalną spoiną do tych krzywych, braną w takim kierunku, żeby oś x po obrocie o kąt prosty około punktu O w kierunku prędkości ß zajęła położenie téj normalnej, obierzmy jako oś y. Wtedy z równań (4) art. 44-go otrzymamy następujące składowe x’ i y' prędkości punktu (x, y) w kierunkach powyższych osi:

(o

x' =— Qy, y'=Qx.

W równaniach (5) art. 44-go dd oznacza najkrótszą odległość dwu sąsiednich osi chwilowych; w naszym więc przypadku dd przedstawia długość elementu 00' centrodyi [OJ. Jeżeli długość tego elementu oznaczymy tu

przez da, i nazwiemy Y =    , to możemy z przytoczonych równań otrzy-

(H §

mać składowe przyśpieszenia punktu (x, y), kładąc V zamiast i biorąc

^    dt

odpowiednio do warunków ruchu posuwistego, ~ — O, s" = 0. Tym sposobem otrzymamy składowe przyśpieszenia,

(2)

x"= —    — Q’y, y"z=.ü’% — Q²y — Yß.

Kładąc x"~ O i y"zzz O, otrzymamy na płaszczyźnie kierującej pewien punkt, którego przyśpieszenie w chwili uważanej jest równe zeru, który zatym podczas dwu elementów czasu, po sobie następujących, posuwa się na téj płaszczyźnie z tąż samą prędkością. Ten punkt nazywamy środkiem przyśpieszenia. Oznaczywszy jego spółrzędne w tymże układzie przez Xt i Y,, otrzymamy z równań (2), kładąc x"= 0 i y" = 0,

(3)

ßß'V

—    ₊ Q>2 »

Yi —

ß³V

ß⁴ + ß'² *

Poprowadźmy przez środek przyśpieszenia osi nowego układu spółrzędnych, równoległe do poprzednich, i oznaczmy przez xx i yx spółrzędne punktu (x, y) w tym układzie; wówczas x~ X, -\-xx, y =.YX + yx. Podstawiwszy te wartości w równaniu (2), otrzymamy inne wyrażenia xx", yx składowych przyśpieszenia uważanego punktu,

(4)

xx    — ß²,r, — ß'y,

yx    Q!xx — Q²y

i*

Kwadrat zatym przyśpieszenia y tego punktu będzie

(5)

Y² = xx'² 4-y,"² = (ß⁴ + ß'²)(r,² + yx²) = (ß⁴ + ß'*)8l»,

gdzie ô, oznacza odległość tego punktu od środka przyśpieszenia. Z tego równania okazuje się, że miejscem gieometrycznym punktów, posiadających w pewnej chwili toż samo (co do wielkości, a nie co do kierunku) przyśpieszenie, jest koło, którego środkiem jest środek przyśpieszenia. Przyśpieszenie każdego punktu jest proporcyjonalne względem odległości tego punktu od środka przyśpieszenia.

Jeżeli przypuścimy, że punkt (xX) yx) obraca się chwilowo około środka przyśpieszenia z takąż samą prędkością kątową ß, z jaką obraca się rzeczywiście około środka chwilowego, to składowe xx', yx jego prędkości wskutek tego obrotu byłyby, według (1),

(6)

xx' — — Qyx, yjz=&xx.

Niech punkt obraca się także w następnym elemencie czasu około środka przyśpieszenia z takąż samą prędkością kątową ß-f- ü’dt, z jaką obraca się rzeczywiście około środka chwilowego, temu elementowi czasu odpowiedniego; składowe jego przyśpieszenia xx" i yj' otrzymamy, różniczkując równania (6) względem czasu. Będzie więc:

(7)

xj'— — Qyj— ßtyi = — ß²#i — %i, ÿx " = ß xx ' -j- Q!xx — Q'xx — ü²yx.

Otrzymujemy zatym xx”=xj\ yx"=zyx". To wyraża następujące twierdzenie: każdy punkt otrzymuje takie przyśpieszenie, jak gdyby podczas dwu elementów czasu obracał się około środka przyśpieszenia z takimiż samymi prędkościami kątowymi, z jakimi obraca się około środków chwilowych, tym elementom czasu odpowiednich.

Jeżeli przez T oznaczymy przyśpieszenie punktu, brane w kierunku promienia S, ku środkowi przyśpieszenia, a przez F, oznaczymy przyśpieszenie tego punktu, brane w kierunku prostopadłym do dn to powyższe równania dają.

(8)

r = —s*«,, r, = o.5

Znak mniej w pierwszym równaniu oznacza, że składowa F jest skierowana ku środkowi przyśpieszenia. Jeżeli przez (y, §,) oznaczymy kąt, który przyśpieszenie y tworzy z prostą §,, braną od środka przyśpieszenia ku punktowi uważanemu, to

i*

F

tang (y,

> -K

F “ SP ’

co oznacza, że przyśpieszenie każdego punktu tworzy kąt stały z promieniem, łączącym ten punkt ze środkiem przyśpieszenia. Ponieważ, według (3),

(9)

(10)

X,

Yj *

przeto widzimy, że ów kąt równa się kątowi, który prosta, łącząca środek chwilowy ze środkiem przyśpieszenia, tworzy z normalną spoiną do centrodyj [O] i [o] w środku chwilowym, braną w kierunku ujemnych ?/-ów. Otrzymujemy zatym kierunek przyśpieszenia każdego punktu podobnym sposobem za pośrednictwem środka przyśpieszeń, jak prędkość za pośrednictwem środka chwilowego.

55. Wykreślenie środka krzywizny, -Niech krzywa [OJ (fig. 25) będzie centrodyją w płaszczyźnie, a krzywa [o] centrodyją figury, poruszającej

się na téj płaszczyźnie; obie krzywe są do siebie styczne w środku chwilowym O. Obierzmy w figurze punkt dowolny nr, prosta m O jest normalną do toru (m) tego punktu w punkcie m. Jeżeli O' oznacza sąsiedni środek chwilowy, a m' sąsiednie położenie punktu m, to prosta m’0' jest normalna do (m) w punkcie ni’, a przeto punkt [T, w którym przecinają się proste »0 i m'0\ jest środkiem krzywizny toru (m) w punkcie m. Punkt m przyjmie położenie m' wskutek obrotu chwilowego około punktu O o kąt nieskończenie mały d (f = m O m’, a ponieważ, wskutek tego obrotu, punkt o', nieskończenie bliski punktowi O

[Ol

iol

te

łig. 25.

na centrodyi figury, zejdzie się razem z punktem Gf, przeto kąt obrotu d<p około środka chwilowego O jest równy kątowi, który styczna do centrodyi figury w punkcie o' tworzy ze styczną do centrodyi w płaszczyźnie w punkcie Or. Niech S będzie środkiem krzywizny centrodyi [OJ w punkcie O, a s środkiem krzywizny centrodyi [o] w tymże samym punkcie, a zatym sS normalną spoiną do tych krzywych w punkcie O; wtedy kąt o's O będzie kątem, który styczna do [o] w punkcie o' tworzy ze styczną spoiną do centrodyj w punkcie O, a O'SO kątem, który styczna do [O] w O' tworzy z tąż samą styczną spoiną. Jeżeli więc centrodyje są do siebie styczne zewnętrznie w O, to kąt d<p = o's O + O'SO. Gdy oznaczymy przez da długość elementu OOr = Oor centrodyi, przez R i r promienie krzywizny centrodyj odpowiednio [O] i [o] w punkcie O, to

(O

Oznaczmy przez ds długość elementu mm' toru (m), a przez 8 odległość Om punktu m od środka chwilowego; wówczas

da.

(2)

Zakreślmy ze środka krzywizny p. promieniem p.0 łuk, który normalną m'\j. przecina w punkcie p, i oznaczmy jmzez kąt krzywizny m\im' toru (m), a przez p promień krzywizny tego toru w punkcie m ; otrzymamy Op = (p — 8) . d(p. Trójkąt nieskończenie mały 0'0p jest prostokątny przy p, a kąt 0'0p jest równy kątowi a, który normalna mO tworzy z normalną sS do obudwu centrodyj; mamy więc z tego trójkąta O p — da . cos a, a zatym

(3)

d a . cos a = (p — S)d<p.

A ponieważ ds — p . d<p, przeto, według (2) i (3),

. cos a,

któreto równanie możemy tak napisać:

(4)

cos a.

K T r \ 5 ⁺ p — 8/

To równanie pozwala obliczyć promień krzywizny p i wyznaczyć środek krzywizny p. toru dowolnego punktu posuwającej się figury.

56. Według ostatniego wzoru można środek krzywizny wyznaczyć za-pomocą wykreślenia linijowego, a to na podstawie pewnej własności prostej, przecinającej ramiona kąta, którąto własność naprzód udowodnimy. Niech będzie dany kąt AvB (fig. 26) i między jego ramionami dowolnie obrany punkt O; przez ten punkt prowadzimy w dowolnym kierunku poprzeczną ab, która tworzy z prostą v O kąt ar, a z prostopadłą AB do v O kąt a. Spuśćmy z punktów a i b prostopadłe aa' i bb' na vO i oznaczmy odpowiednio przez ocj i a₂ kąty avO i b\>O. Mamy tu

1 _ cotgat-f-cotga₂

aa'

W~    vO

Ponieważ strona prawa ostatniego równania jest stała dla wszystkich poprzecznych, przechodzących przez punkt O, przeto strona lewa jest wielkością stalą. Ponieważ a a' = O a . sin a', bb' =. Ob. sin a'? przeto

(o« ⁺ oj)*

~oc/

O a' = a«', co tg a', O J'= J J'. cotga', a zatym 1__cotgocj — cotga'

aa'

vO

1 _ cotga₂ -j- cotga'

⁵ W~

vO

aa'

bb'

, a więc

aa'. cotgat = vO + Oa', JJ'. cotga₂ = vO — OJ'.

tangat

v O -f- O a'

tanga₂ =

vO —OJ'

Z figury wynika, że

= stałej, sin <p'    J

A więc, gdy poprowadzimy przez punkt O poprzeczną AB prostopadle do vO, to

Fig. 26.

(_L₊_Ł)._ł

V a O b) s

_+ J-) _L_.

OA^OB 10« ^ OJ/ cosa

~~ OA ' OB

Ib j czy¹!

Odyby punkt O znajdował się zewnątrz danego kąta, należałoby w obudwu stronach tego równania zamiast sum brać różnice odwrotności odcinków odpowiednich.

Porównywając wzór ostatni z równaniem (4) artykułu poprzedzającego, dostrzeżemy, że środek krzywizny ja można tak wyznaczyć. Wyprowadźmy z punktu O (fig. 25) prostopadłą Ov do normalnej mO, i szukajmy punktu v, w którym ta prostopadła przecina prostą m s, łączącą punkt m ze środkiem krzywizny s centrodyi figury; połączmy następnie prostą punkt v ze środkiem krzywizny S centrodyi w płaszczyźnie. Ta prosta vS przetnie normalną m O w środku krzywizny [i toru (m) w punkcie m. Jakoż proste i sS odpowiadają powyższym poprzecznym, przecinają bowiem ramiona kąta mv S, przechodząc obie przez punkt O, a z nich prosta jest prostopadła do vO. Stosuje się więc do tych prostych tylkoco wyprowadzony wzór, wyznaczający, według związku (4) art. 55-go, środek krzywizny. Powyższe wykreślenie podał L. Euler, a wznowił je Savary. — "W równanie (4) art. 55-go, wprowadźmy, dla krótkości,

_L_i_, 1. K — R ⁺ / ’

wskutek tego owo równanie możemy tak pisać:

K . cos a ‘

-L + _L

8    ^ p„§

(1)

Przyjmując w tym równaniu p = cc, będziemy mogli na prostej w O wyznaczyć ten punkt, który jest punktem przegięcia swego toru. Między odległością A tego punktu osobliwego od środka chwilowego, a nachyleniem a té prostej względem prostej sS, zachodzi, według (1), związek

(2)

cos a

s-,-y

Obierzmy punkt O (fig. 27) jako początek układu osi spółrzędnych; niech styczna do centrodyi w kierunku toczenia się centrodyi [o] będzie osią Ox, a normalna spoina do obudwu krzywych w kierunku Os \

osią Oy. Wtedy =-~-i, a zatym    ^

miejsce gieometryczne punktów, które w chwili uważanej są punktami przegięcia swych torów, według (2), przedstawia równanie

(3)

X¹ Ą-y² — K.X — 0.

(OJ

Jest więc ono kołem o promieniu —, a sty-

A

Fig. 27.

cznym do obudwu centrodyj w środku chwilowym. Punkt P, w którym normalna sS to koło przecina, znajduje się na téj normalnej po stronie środka krzywizny s centrodyi figury. To koło nazywamy kołem przegięcia figury, a punkt P nazywamy biegunem przyśpieszenia. Punkty na kole przegięcia nie mają przyśpieszenia normalnego, a prosta mP, łącząca dowolny punkt m na tym kole z biegunem przyśpieszenia, wyznacza kierunek chwilowego ruchu tego punktu. .Równaniu (1) możemy nadać jeszcze postać

(4)

Obierzmy następnie na prostej Om (fig. 27) dowolny punkt n w odległości b od środka chwilowego i oznaczmy przez y» przyśpieszenie normalne tego punktu; ponieważ oznacza prędkość kątową obrotu około środka chwilowego,

przeto y»=

Q²8²

(5)

—. A gdy, według (4), 3² = p (8 — A), zatym Y» = ŚP(⁵ — A),

co wyraża następujące twierdzenie: przyśpieszenie normalne każdego punktu jest proporcyjonalne względem jego odległości od tego punktu, w którym normalna do jego toru przecina koło przegięcia,

57. Ruch linii prostej na płaszczyźnie. Jeżeli L jest dowolną prostą figury, poruszającej się na płaszczyźnie, to promienie, łączące punkty téj prostej ze środkiem chwilowym O, przedstawiają pęk normalnych do torów, które te punkty jednocześnie opisują. Niech L' będzie nieskończenie bliskim (sąsiednim) położeniem prostej L; promienie, łączące sąsiednie położenia tych samych punktów na prostej L' z sąsiednim środkiem chwilowym O', stanowią także pęk jednoczesnych normalnych do torów tychże punktów. Ponieważ obadwa pęki normalnych są jednokróślne, a punkt, w którym przecinają się dwie sąsiednie normalne do toru tegoż samego punktu, jest środkiem krzywizny tego toru, przeto mamy twierdzenie : środki krzywizny torów, które punkty poruszającej się prostej jednocześnie opisują, tworzą krzywą rzędu 2-go. Ta krzywa przechodzi przez dwa .sąsiednie środki chwilowe jako wierzchołki dwu pęków jednokróślnych; jest ona zatym styczna do obudwu centrodyj w odpowiednim środku chwilowym. Ponieważ punkty, w których prosta L przecina koło przegięcia, opisują tory, których promienie krzywizny w tych punktach są nieskończenie wielkie, przeto krzywa środków krzywizny będzie elipsą, hiperbolą, lub parabolą, stosownie do tego, czy prosta L przechodzi mimo koła przegięcia, czy przecina je, czy też jest styczna do niego. Jeżeli prosta jest styczna do koła przegięcia, to promień, łączący punkt styczności ze środkiem chwilowym, będzie równoległy do osi paraboli; jeżeli ta prosta przecina koło przegięcia, to promienie, łączące punkty przecięcia ze środkiem chwilowym, będą równoległe do assymptót hiperboli. Dla każdej prostej, przechodzącej przez środek koła przegięcia, krzywa środków krzywizny będzie hiperbolą równoboczną.

Jeżeli L jest prostą w nieskończoności płaszczyzny figury, to otrzymamy pęk normalnych o wierzchołku O', przesuwając pęk normalnych o wierzchołku O w kierunku OOr aż do punktu O' i obracając go w tym położeniu o nieskończenie mały kąt obrotu figury. Obadwa pęki normalnych będą więc przystające, z czego wynika, że odpowiednia krzywa środków krzywizny będzie kołem, stycznym do obudwu centrodyj w środku chwilowym.

Łącząc każdy punkt m dowolnej prostej L ze środkiem chwilowym O i wystawiając w punkcie m prostopadłą do promienia m O, otrzymamy styczną do toru tego punktu; łącząc zaś punkt m ze środkiem przyśpieszenia O, i prowadząc przez m drugą prostą, która z promieniem m Oj tworzy takiż sam kąt, jaki prosta OOj tworzy z normalną spoiną do obudwu centrodyj, otrzymamy kierunek przyśpieszenia punktu m (art. 53). Ponieważ obwiednią jednego ramienia kąta stałego, którego wierzchołek porusza się po linii prostej, a którego drugie ramię przechodzi przez punkt stały, jest parabola (twierdzenie Maclaurin’a), przeto mamy twierdzenie: obwiednią stycznych do torów wszy-stkich punktów poruszającej się linii prostej jest parabola, której ogniskiem jest środek chwilowy; a obwiednią prostych, wskazujących kierunki przyśpieszenia ivszystkich punktów poruszającej się linii prostej, jest także parabola, której ogniskiem jest środek przyśpieszenia.

PRZYKŁADY I ĆWICZENIA.

(1). Staw Hook’a składa się z krzyża prostokątnego i równoramiennego, którego ramiona A,B, (fig. 28) i A₂B₂ są osadzone w dwu kabłąkach, stale z osiami O, i 0₂ połączonych. Osi przecinają się w środku krzyża M. Jeżeli oś O, obraca się, to ramię krzyża A,B, obraca się na jiłaszczy-źnie, przechodzącej przez M prostopadle do O,, wprawiając ramię A₂B₂ w obrót na płaszczyźnie, przechodzącej przez M prostopadle do 0₂, wskutek czego przenosi się obrót na oś 0₂. Oś O, nazywramy osią pędzącą, zaś 02 osią pędzoną. Ponieważ każda oś jest stale osadzona w panewce, przeto płaszczyzny obrotu ramion A,B, i A₂B₂ tworzą pewien kąt stały 0. Staw kręci się około punktu M, a mamy wyznaczyć stosunek prędkości kątowych w,, co₂, z którymi obracają się odpowiednio obie osi. Obierzmy prostą, podług której przecinają się płaszczyzny obrotu ramion (fig. 29), jako oś a;-ówr, punkt M jako początek, płaszczyznę obrotu ramienia A,B, jako płaszczyznę Mxy, a oś O, jako oś z-ów. Licząc odpowiednie kąty obrotu cp, i cp₂ osi 0, i 0₂ od osi x, mamy

A%

Ai

Fig. 28.

o,

“>l =

dt ’

<1 <pa

-X

(0₂ — -—

² dt

Ponieważ kąt A,MA₂ jest prosty, przeto z trójkąta sferycznego A,A₂C wynika

cos cp, . cos cp₂ -{-sin cp, sin cp₂ cos 6 = 0, czyli tangep, . tangcp₂ . cos0 = — 1.

Fig. 29.

Różniczkując to równanie względem czasu i rugując 0, otrzymamy

sin cp₂ cos <p₂    sin 2 cp₂

sin 2 cp,

d cp₂__t0₂ _

r/ cp,    w,

Z równania zaś poprzedzającego otrzymamy

sin cp, cosep,

cos cp₂ =

COS0 . tg cp,

\/r 1 -{- cos²0 . tang²cp, ?

sin cp₂ = —

[/ 1 cos ² 0 . tang ² cp,

rugując przeto kąt cp₂, mieć będziemy

to₂

COS0

co, 1 —- sin ² cp, . sin ² 0

— lub będzie max. co₂ = ——. .

Z tego równania okazuje się, że gdy oś pędząca obraca się jednostajnie, to obrót osi pędzonej będzie niejednostajny. Dla cp, — 0 lub % otrzymamy min. tó₂ = w, cos 0;

Między więc tymi dwoma

zaś dla cp, = —

m

2 v    2 cos 0

krańcami zmienia się prędkość kątowa obrotu osi pędzonej.

Osią chwilową obrotu tego mechanizmu jest prosta, podług której płaszczyzna, przechodząca przez ramię MA₁ prostopadle do płaszczyzny obrotu tego ramienia, przecina płaszczyznę, przechodzącą przez ramię MA₂ prostopadle do jego płaszczyzny obrotu. Osi chwilowe utworzą stożek centralny [0]. Niech Pj i P₂ oznaczają odpowiednio powyższe dwie płaszczyzny, przecinające się podług osi chwilowej; równania tych płaszczyzn są

Pj = x sin cp, — y cos cp, — 0,

P₂ = — x sin cp₂ + y cos ^2 cos 0 -f- s; cos cp₂ sin 0 = 0.

Wyrażając cos cp₂ i sincp₂ przez coscp, i sinrp,, i podstawiając te wyrażenia w 2-gim równaniu, otrzymamy

P| EE: x sin cp, — y cos cp, — 0,

P₂ = x cos cp, -j- (y cos 0 -f- z sin0) cos 0 sin cp, — 0,

jako równania osi chwilowej. Rugując z tych równań kąt cp,, otrzymamy równanie stożka centralnego w przestrzeni,

x² -f- y² cos ² 0 -f- y z . sin 0 . cos 0 = 0.

Ten więc stożek jest rzędu 2-go, a obie osi O, i 0₂ są jego tworzącymi. Płaszczyzna, przechodząca przez ramiona MA, i MA₂, jest styczna podczas ruchu do stożka rzędu 2-go

(x² -}- y²) sin ² 0 — (y sin 0 — 2 z . cos 0)² = ().■

Wyznaczenie stożka centralnego w układzie i obliczenie prędkości kątowej obrotu chwilowego pozostawiamy czytelnikowi.

(2). Punkty ruch wyznaczające a i b (fig. 30) posuwają się odpowiednio po dwu prostych (a) i (b), przecinających się w punkcie S i tworzących z sobą kąt cp: wyznaczyć przebieg ruchu posuwistego.

Prostopadłe a O i bO do (a) i (b) przecinają się w środku chwilowym O. Jeżeli

kąt a SO oznaczymy przez a, to z trójkąta SO a mamy SO = — wynika a 0 : a b = sin a : sin cp, a więc

b    Sm a

— SO. A zatym odległość środ-

trójkąta ab O

sin a sin cp

ka chwilowego od S jest stała, centrodyją więc w płaszczyźnie będzie koło [0], zakreślone z punktu S jako środka promieniem SO. Czworobok Sn OJ jest wpisany w koło, a opisane na tym czworoboku koło jest centrodyją figury [o]. Jakoż widzimy, że jeżeli koło [o] toczy się wewnątrz koła [O], to punkty ruch wyznaczające posuwają się nieustannie po swych prostych kierownicach, jak tego zadanie wymaga. Ruch zatym powyższy otrzymujemy przez toczenie się koła [o] wewnątrz 2-go koła o podwójnym promieniu. Wiadomo, że punkt dowolny, stale z kołem [o] połączony,

opisuje w tym przypadku elipsę jako szczególny przypadek hipoeyklojdy; punkty prostej ab opisują elipsy, których środkiem spólnym jest punkt 'S, a dla których

\,

9)

<f

X<P}

CŁ

~vo

Fig. 30.

na

proste (a) i (b) są dwiema średnicami sprzężonymi. Z tego powodu ruch powyższy nazywamy często ruchem eliptyczno-hipocyklojdalnym. Ponieważ punkty a i b opisują tory o krzywiźnie równej zeru, przeto koło [o] jest zarazem w każdym położeniu kołem przegięcia, a punkt S biegunem przyśpieszenia. Każdy przeto punkt tego koła opisuje liniją prostą, a ponieważ kierunek jego ruchu przechodzi ciągle przez punkt S, przeto każdy punkt toczącego się koła opisuje średnicę koła nieruchomego [O]. Torami zatym punktów posuwającej się figury są: proste dla punktów kole [0], a elipsy dla wszystkich innych punktów.

prosta sm

opisujących proste (p) i (q), prostopadłe do siebie. Ponieważ punkt m pozostaje ciągle na prostej pq, przeto elipsa (m) może być utworzona przez posuwanie punktów p i f[ po prostych (p) i (q)\ a wiadomo z gieometryi, że punkt na odcinku prostej, po dwu linijach prostych, do siebie prostopadłych, opisuje elipsę (m),

Obrawszy na aJ dowolny punkt m, możemy wyznaczyć osi elipsy (m). Jakoż , łącząca m ze środkiem s koła [o], przecina to koło w dwu punktach pi?,

posuwanym

której osi są na tych dwu prostych. A zatym proste (p) i (q) są osiami elipsy (m), odcinki mp im? wyznaczają połowy długości tych osi.

Prosta mO jest normalna do elipsy (m) w punkcie m; a ponieważ s i S są środkami krzywizny obudwu centrodyj, przeto możemy wyznaczyć środek krzywizny [A tej elipsy zapomocą wykreślenia Euler’a. Obwiednią prostej ab jest pewna linija krzywa; prostopadła OA do oi z punktu O przecina tę obwiednią w punkcie A, w którym ta prosta jest styczna do swój obwiedni. Jeżeli punkt a posuwa się jednostajnie, to on będzie środkiem przyśpieszenia; możemy więc łatwo wyznaczyć przyśpieszenie każdego punktu.

(3). Wiadomo z art. 52-go, że ruch posuwisty jest określony, gdy dla pewnej prostej L dana jest krzywa (L), do którój ta prosta ma być wciąż styczna, tudzież

tor (a) jednego punktu a tejże prostej. Zamiast krzywej (L) może być dany punkt /, przez który prosta L ma ciągle przechodzić, tudzież tor (a) punktu a tej prostej. Jeżeli wtedy wyprowadzimy z punktu l prostopadłą do L, a przez punkt a poprowadzimy normalną do toru (a), to ta normalna przetnie powyższą prostopadłą w środku chwilowym O. Dowolny punkt m prostej L opisze w tym przypadku liniją krzywą, którą nazywamy wogólności koncliojdą, czyli lininiją muszlową, a z tego powodu nazywamy ruch posuwisty, podanym sposobem określony, ruchem konch oj daln y m. Jeżeli (a) jest liniją prostą, to natenczas punkty prostej L opisują muszle Nikomedesa. Zbadamy bliżej ten ostatni przypadek.

Obierzmy prostą (a) (fig. 31), którą zowiemy podstawą muszli, jako oś x ; a prostopadłą do niej z punktu stałego l jako oś y. Poruszająca się prosta L niech

będzie osią Yj, punkt a początkiem, a prosta a £, prostopadła do L, osią £ ; prosta L tworzy z kierunkiem ujemnych x kąt zmienny cp. Wyprowadźmy z punktu a prostopadłą do (a), a z punktu l prostopadłą do L ; te dwie prostopadłe przecinają się w środku chwilowym O, którego spółrzędnymi są: x =: Aa, y — aO. Oznaczmy przez 8 odległość punktu l od podstawy (a)\ z figury mamy

x = d . cotg cp, y

i Ot)

sin²cp ’

Fig. SI.

rugując przeto kąt cp, otrzymamy równanie cen-trodyi w płaszczyźnie, x² — 8(y — 8) = 0. Ta więc centrodyja jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt /, a osią prosta Al-, jest ona zwrócona do podstawy stroną wypukłą. Oznaczmy przez £ i Y] spółrzędne punktu 0 względem osi Yj, posuwających się razem z figurą. Mamy tu

£ — y. coscp =

d cos cp sin²cp ’

3

Y] = y . sin cp = ——

sin cp

rugując przeto kąt cp z tych dwu równań, otrzymamy

(IMF

jako równanie centrodyi [«] figury. Ta przeto centrodyja jest krzywą rzędu 4-go; tocząc ją po stronie wypukłej paraboli [0], wywołujemy ruch konchojdalny.

Między spółrzędnymi (£, Yj) a spółrzędnymi (x, y) tegoż samego punktu mamy następujące związki

x = 8 cotg cp -f- i sin cp — Y] cos cp, y = £ cos cp --j- Yj sin cp.

Rugując z tych dwu równań kąt cp, otrzymamy równanie toru dowolnego punktu (£, Yj) posuwającej się figury. Jeżeli obierzemy punkt m na prostej L w odległości r od punktu o, to dla tego punktu będzie £ ==: 0, Yj = r, a zatym x — 8 cotg cp — r cos cp, y = r sincp, a rugując kąt cp, mieć będziemy równanie muszli (m),

x²y² ~\~ (y² — r²)(8 — y)² = 0.

rH

to

co

Koło, przechodzące przez środek chwilowy, przez punkt a i przez punkt, w którym normalna do paraboli [0], wyprowadzona z 0, przecina podstawę (a), jest kołem przegięcia.

(4) . Okazać, że miejscem gieometrycznym punktów kręcącego się układu, których przyśpieszenie styczne jest równe zeru, jest stożek rzędu 2-go, którego płaszczyzny przekrojów kołowych są prostopadłe do osi chwilowej.

(5) . Jeżeli stożek obrotowy, którego wierzchołek jest nieruchomy, toczy się na płaszczyźnie, to każdy punkt, stale połączony z tym stożkiem, opisuje cyklojdę sferyczną. Podać równania różniczkowe tój krzywej.

(6) . Obliczyć promień krzywizny toru dowolnego punktu kręcącego się układu i okazać, że miejscem gieometrycznym punktów, dla których promienie krzywizny odpowiednich torów są równoległe do osi chwilowej, jest pewien stożek rzędu 2-go.

(7)    Jeden punkt a posuwającej się figury opisuje liniją prostą, a drugi punkt b opisuje koło, którego środek leży na tój prostej: wyznaczyć centrodyje ruchu, obliczyć stosunek prędkości obu punktów ruch wyznaczających i okazać, że jeżeli punkt a posuwa się jednostajnie z prędkością v (między pewnymi krańcami), to prędkość średnia punktu b wynosi —

7C

(8) . Punkty, ruch wyznaczające, a i J, opisują koła odpowiednio (a) i (b) o równych promieniach i przecinające się pod kątami prostymi: wyznaczyć tor środka prostej ab (ruch łemniskojdalny).

(9) . Dwa boki posuwającego się trójkąta są odpowiednio styczne do dwu danych kół: wyznaczyć centrodyje, tor wierzchołka, w którym te dwa boki się przecinają, tudzież obwiednią 3-go boku trójkąta.

(10) . Dowieść bezpośrednio istnienia koła, o którym jest mowa w art. 57-ym, Czyli tak zwanego koła granicznego, uważając je jako miejsce gieometryczne środków krzywizny tych torów, jakie opisują nieskończenie dalekie punkty posuwającej się figury, i okazać, że to koło ma ten sam promień, co koło przegięcia, i leży po innej, niż to koło, stronie spólnój stycznej do obudwu centrodyj.

(11) . Okazać na podstawie równania (4) art. 54-go, że, jeżeli parabola toczy się po linii prostej, ognisko paraboli opisuje liniją łańcuchową.

(12) . Zbadać analitycznie ruch eliptyczno-hipocyklojdalny i wyznaczyć równanie obwiedni prostej a6, łączącej oba punkty, ruch wyznaczające.

(13) . Jeden punkt a układu porusza się jednostajnie po prostej (a), a układ obraca się jednostajnie około osi, przez a przechodzącej, prostopadłej do (a) i posuwającej się równolegle do siebie: wyznaczyć centrodyje ruchu.

(14) . Jeden punkt układu spada pionowo bez prędkości początkowej, a układ obraca się jednostajnie około osi poziomej, przez ten punkt przechodzącej : okazać, że centrodyj a [0] jest parabolą, a centrodyja [o] spiralną Archimedesa.

(15) . Okazać, że, jeżeli krzywa rzędu 2-go toczy się po jakiejkolwiek krzywej płaskiej, to miejscem gieometrycznym środków krzywizny torów, które punkty toczącej się krzywej opisują jednocześnie, jest pewna krzywa rzędu 2-go, styczna jednocześnie do obudwu danych krzywych w środku chwilowym.

(16) . Środkiem przyśpieszenia rzędu rc-go przy ruchu posuwistym nazywamy

Bibl. mat.-fiz., S. IV. T. X.

taki punkt, którego przyśpieszenie rzędu n-go jest równe zeru. Wyznaczyć ten środek przy dowolnym n i okazać, że składowe przyśpieszenia rzędu n-go każdego punktu, który nie jest środkiem przyśpieszenia tego rzędu, wyrażają się jako funkcyje linijowe spółrzędnych tego punktu.

(17) . Dowieść, że środek chwilowy jest jedynym punktem rzeczywistym posuwającej się figury, który jest punktem zwrotu (promień krzywizny = 0) swego toru.

(18) . Dowieść następującego twierdzenia: jeżeli ml i ?n₂ są dwoma punktami posuwającej się figury, a i odpowiednio środkami krzywizny ich torów; jeżeli M₁ i M₂ oznaczają punkty, w których normalne odpowiednio Om, i 0m₂ przecinają koło graniczne, a prosta mym^ przecina prostą |i,p,₂ w punkcie n, natenczas prosta Or» jest równoległa do prostej MjM₂. Zastosować to twierdzenie do wyznaczenia środka krzywizny muszli Nikomedesa w zadaniu (3), znając koło graniczne i środek krzywizny toru jednego punktu figury.

(19) . Dowieść następującego twierdzenia: gdy centrodyja [c>] toczy się po pewnej krzywej [O'], a przytym punkt m centrodyi [o] opisuje liniją (m), gdy połączymy sztywnie krzywą (m) z krzywą [Of], i toczyć będziemy [O'] po pewnej krzywej [0], to krzywa (m) podczas tego ruchu będzie styczna do tej samej krzywej, do której by była styczna, gdybyśmy centrodyją [o] toczyli po krzywej [O].

ROZDZIAŁ Y.

RUCH WZGLĘDNY.

58. Cechy ruchu 'względnego. Polegając na prawie niezależności ruchów (art. 1), przyjmowaliśmy dotąd, że układ odniesienia jest zasadniczy i że punkt lub układ niezmienny punktów, którego ruchem się zajmujemy, posiada ruch postępowy prostolinijowy i jednostajny wraz z układem odniesienia, a nadto porusza się względem tego ostatniego układu. W zagadnieniach, które będą stanowiły przedmiot tego rozdziału, nie uczynimy powyższych założeń, lecz przyjmiemy, że układ odniesienia ma jakikolwiek wiadomy ruch bezwzględny, tudzież, że układ niezmienny, którym się zajmujemy, posiada także wiadomy ruch bezwzględny, a zadaniem naszym będzie rozpoznanie ruchu tego ostatniego układu względem układu odniesienia.

Aby określić cechy ruchu względnego, rozważmy naprzód ruch jednego punktu m względem układu odniesienia. Jako układ zasadniczy obierzmy prostokątny układ spółrzędnych o osiach Aæ, Ay, A#, wystawionych w dowolnym punkcie A w przestrzeni, a co do tego układu przyjmujemy, stosownie do art. 1-go, że jest nieruchomy. Dla krótkości, będziemy ten układ oznaczali symbolem Axys. W poruszającym się układzie odniesienia obierzmy dowolnie punkt M za początek układu prostokątnego spółrzędnych o osiach M£, Mtj, MC, który się razem z tym układem porusza. Ten układ spółrzędnych, który oznaczymy symbolem M£y)C, może przedstawiać układ odniesienia. Punkt m, nie należący do układu odniesienia, będzie miał podczas ruchu dwojakiego rodzaju spółrzędne, mianowicie spółrzędne x, y, 8 względem Axyz, które określają jego miejsce w przestrzeni, a zatym jego ruch bezwzględny, tudzież spółrzędne i, tj, C względem M£y]C₅ które właśnie określają ruch tego punktu względem układu odniesienia. W dotychczasowych zagadnieniach były spółrzędne £, yj, C punktu m wielkościami stałymi; w zagadnieniach tego rozdziału musimy te spółrzędne uważać za funkcyje czasu.

Niech punkt m zajmuje w czasie t pewne wiadome miejsce w przestrzeni;

wyznaczmy taki punkt jl, którego położenie względem układu A xys byłoby toż samo, co położenie punktu m względem układu M£y]C. Niech po upływie czasu t-{-dt punkt m zajmie w przestrzeni miejsce m'; wyznaczmy znów taki punkt jj/, którego położenie względem A xyz byłoby toż samo, co położenie punktu m' względem    w czasie t-\-dt. Postąpiwszy podobnie w każdej

chwili, połączmy następnie z sobą punkty ja , |i/,    otrzymamy pewną

liniją krzywą (jl), która, pod względem kształtu i wymiarów linijowych, przedstawiać pędzie tor względny punktu m względem układu M£t)£. Jeżeli przedstawimy sobie, że punkt [i porusza się po téj krzywej, podczas gdy punkt m porusza się po swoim torze bezwzględnym (m), i że obadwa punkty przybywają jednocześnie do punktów odpowiednich ja i m, ji' i m\ i m", i t. d., to cechy ruchu bezwzględnego punktu fi będą właśnie cechami ruchu punktu m względem układu odniesienia.

Prędkość punktu fi w miejscu fi, odpowiadającym miejscu m na torze bezwzględnym (m), nazywamy prędkością względną punktu m w miejscu m, przyśpieszenie zaś punktu fi w miejscu fi nazywamy przyśpieszeniem względnym punktu m w miejscu m — względem układu odniesienia. Określamy więc ruch względny punktu zapomocą cech podobnych, jak ruch bezwzględny; rozmaite przeto określenia innych pojęć kinematycznych, podane dotąd dla ruchu bezwzględnego, możemy stosować do ruchu względnego.

Jeżeli zamiast ruchu jednego punktu rozważamy ruch układu niezmiennego względem pewnego układu odniesienia, to otrzymamy dla każdego punktu układu odpowiednio tor względny, prędkość względną i t. d., a te cechy, wzięte dla wszystkich punktów układu, określają ruch względny tego układu.

59. Prędkość względna. Wyobraźmy sobie, że punkt, poruszający się względem układu odniesienia, jest podczas elementu czasu stale połączony z tym układem (a zatym nie posiada ruchu względnego); natenczas prędkość, którćjby punkt przy tym stałym połączeniu nabył wskutek ruchu chwilowego układu odniesienia, nazywamy prędkością unoszenia tego punktu (art. 4). Ponieważ znamy ruch bezwzględny układu odniesienia, tudzież położenie punktu w przestrzeni, przeto możemy, według reguł, podanych w rozdziale III-im, wyznaczyć prędkość unoszenia tego punktu.

Niech długość ma (fig. 32) przedstawia prędkość unoszenia vu, a długość mb prędkość względną vw punktu m w czasie t. Stosując postępowanie, podane w art. 4-ym przy składzie dwu prędkości, widzimy, że* gdyby punkt

XL

cc

VI

Fig. 32.

m nie posiadał ruchu względem układu jf odniesienia, po upływie jednostki czasu ' znajdowałby się w przestrzeni w miejscu a ; ponieważ atoli ten punkt porusza się względem układu odniesienia z prędkością m b, przeto, gdy do długości ma dodamy długość ani’, przedstawiającą prędkość względną, otrzymamy

punkt m’ jako miejsce punktu w przestrzeni po upływie jednostki czasu. Przekątna więc mm’ równoległoboku mam’b przedstawia prędkość bezwzględną v punktu. Mamy zatym twierdzenie : prędkość bezwzględna 'punktu jest teypadkową jego prędkości unoszenia i jego prędkości względnej.

Przesuńmy przez punkt b prostą bd, równoległą do przekątnej m’m i równą téj przekątnej ; otrzymamy równoległobok mm’bd, którego przekątna mb przedstawia prędkość względną. Ponieważ, jak wynika z figury, długość md jest równa prędkości unoszenia ma i posiada kierunek wprost przeciwny kierunkowi téj prędkości, przeto otrzymujemy następujące twierdzenie, pozwalające wyznaczyć prędkość względną punktu: prędkość względna punktu jest wypadkową jego prędkości bezwzględnej i jego prędkości unoszenia, wziętej w kierunku przeciwnym.

Na podstawie więc tego twierdzenia wyznaczamy prędkość względną punktu zapomocą wiadomej metody składu dwu prędkości. Żeby zrozumieć właściwe znaczenie podanego twierdzenia, zważmy, że bezwzględny ruch chwilowy układu odniesienia jest wogólności skrętem około pewnej osi S z pewną prędkością kątową fi i z pewną prędkością Y ruchu postępowego. Aby punktowi udzielić jego prędkości unoszenia w kierunku wprost przeciwnym, połączmy go stale z układem odniesienia, i układowi razem z punktem nadajmy skręt chwilowy około osi S z prędkościami — i — Y. Wskutek tego ruchu układ odniesienia przyjdzie chwilowo do spoczynku, a punkt nabędzie prędkości — vu. Jeżeli do téj prędkości — vu dodamy we właściwym kierunku prędkość bezwzględną v tego punktu, to ze składu tych dwu prędkości jednoczesnych wyniknie prędkość względna vw tego punktu. Widzimy zatym, że powyższe twierdzenie wyraża właściwie następującą regułę wyznaczenia prędkości względnej : aby wyznaczyć prędkość względną punktu, połączmy go z układem odniesienia i układowi teraz z tym punktem nadajmy taki ruch chwilowy, żeby układ odniesienia przyszedł chwilowo do spoczynku; wówczas, składając prędkość, której punkt nabywa wskutek .takiego ruchu, z jego prędkością bez-tezględną, otrzymamy prędkość względną tego punktu.

Kierunek prędkości względnej jest kierunkiem stycznej do toru względnego (|jl) punktu m (art. 58). W przypadku, gdy punkt m jest w spoczynku bezwzględnym, prędkość względna tego punktu jest równa i wprost przeciwna jego prędkości unoszenia. Jeżeli prędkość bezwzględna punktu jest równa jego prędkości unoszenia (co do wielkości i kierunku), to punkt będzie w spoczynku względem układu odniesienia.

60. Podana wyżej reguła ogólna pozwala bezpośrednio wyznaczyć ruch chwilowy układu niezmiennego względem układu odniesienia, jeżeli znamy bezwzględne ruchy chwilowe obudwu układów". Oznaczmy symbolicznie przez Pi ruch chwilowy układu At, a przez R₂ ruch chwilowy układu A₂; według powyższej reguły, ruch układu At względem A₂ jest wypadkową ruchów Rt i —R₂, a ruch układu A₂ względem Ai jest wypadkową ruchów —Rt i R₂. Symbole Ej i — R* oznaczają wogólności dwa skręty chwilowe, znoszące się nawzajem, a zatym dwa skręty około téj saméj osi, przyczym obiedwie prędko-

ści jednego skrętu są odpowiednio równe i wprost przeciwne prędkościom drugiego skrętu.

Według więc tego twierdzenia otrzymujemy ogólnie względny ruch chwilowy układu przez skład dwu chwilowych skrętów tego układu, z czego wnosimy, źe ruch chwilowy układu niezmiennego względem poruszającego się układu odniesienia jest wogólności skrętem. Oś tego skrętu nazywamy osią chwilową ruchu względnego tego układu; ona może być uważana, popiórwsze, za prostą układu, którego ruch względny wyznaczamy, i po-wtóre, za prostą poruszającego się układu odniesienia. Miejscem gieome-trycznym tych osi w pierwszym układzie jest pewna powierzchnia skośna; a miejscem gieometrycznym tych osi w układzie odniesienia jest także pewna powierzchnia skośna, styczna do pierwszej wzdłuż osi chwilowej ruchu względnego. Powierzchnia osi chwilowych w układzie, którego ruch względny wyznaczamy, toczy się po odpowiedniej powierzchni w układzie odniesienia i ślizga się na téj powierzchni wzdłuż osi chwilowej. Przez taki ruch obudwu powierzchni wywołujemy ciągły ruch względny układu rozważanego.

Puch chwilowy układu At względem układu A₂ możemy rozmaitymi sposobami rozłożyć na trzy obroty około osi pewnego układu spółrzędnych i na trzy ruchy postępowe w kierunkach tychże osi. Obrawszy w przestrzeni nieruchomy układ osi spółrzędnych, możemy spółrzędne ruchu względnego w każdej chwili wyznaczyć względem tych trzech osi; możemy także czyto z układem , czytćź z układem odniesienia A₂, połączyć te trzy osi spółrzędnych i brać spółrzędne ruchu chwilowego względem jednego lub drugiego z tych dwu układów osi.

61. Przyśpieszenie względne. Niech (art. 58) trzy osi prostokątne Ax, Ay, Az przedstawiają układ zasadniczy, a trzy inne osi MC, Mtj, MC poruszający się układ odniesienia; punkt m, nie należący do tego układu, ma spółrzędne bezwzględne x, y, z i spółrzędne względne C, i], C. Jeżeli a1} h i, ct ; a₂, b₂, c₂; a₃, b₃₁ c₃ oznaczają dostawy kierunkowe osi odpowiednio MC, Mï], MC względem osi układu Axyz, a x0} y₀, z₀ spółrzędne punktu M, to między obydwoma rodzajami spółrzędnych punktu m zachodzą związki, podane w art. 43-im. Pierwsze pochodne x\ y', z¹ spółrzędnych x, y, z względem czasu przedstawiają odpowiednio rzuty prędkości bezwzględnej v punktu m na osi układu Axyz, zaś pierwsze pochodne Cf, spółrzędnych C, fl, C tegoż punktu względem czasu przedstawiają odpowiednio rzuty jego prędkości względnej vw na osi układu MCijC- Prędkość zatym względna tego punktu jest

(1)

va =    + V³ + C'².

Kóźniczkując równania (2) art. 43-go względem czasu, przy czym wszystkie wielkości, wchodzące w te równania, zmieniają się, otrzymamy

x' = x’₀ + a£ + a₂rj' + n₃C' + a\i + dtf] + a'₃C, y — y'o + bxi’ -f- ó₂t]' -j- b₃C' + b\i + b’^ij -f- b'₃C, z' = zl₀ + cti' + c₂yj' + c₃Cf + c\i + c\y\ -f c ₃C.

Aby otrzymać rzuty vux, vuy, vuz prędkości unoszenia vu tego punktu na osi układu A xyz, należy równania (2) art. 43-go różniczkować względem czasu, uważając w tych równaniach spółrzędne £, yj, £ za stałe. Otrzymamy więc

Vux'- dQ +    4 Cl’2^ + a’3C 1

(3)

Vuy — y’o + V i£ + b'^f] -f- &'₃£,

Vuz = z\ 4* C\i + c'₂yj + c'₃c.

Ponieważ y/, Ç' oznaczają odpowiednio rzuty prędkości względnej vu na osi układu M£yj£, przeto rzuty vwx, vwy, vwz tejże prędkości na osi układu Axyz będą odpowiednio

(4)

vtl>x= a i£'+a₂V+a₃Ç', vwy — bg+b<{fl+b£, vm = cxi'+c₂yi'+c^\

Z równań (3), (4) i (2) wynika

(5)

Vwx X Vux j Vwy j VWz£    VUz •

Te równania wyrażają analitycznie twierdzenie, poprzednio okazane, że prędkość względna punktu jest wypadkową prędkości bezwzględnej i prędkości unoszenia, wziętej w kierunku przeciwnym.

Drugie pochodne x’\ y", s” spółrzędnych x, y, z względem czasu wyrażają rzuty przyśpieszenia bezwzględnego punktu m na osi układu Axyz} a drugie pochodne 4", yj", £'' spółrzędnych i, yj, C względem czasu wyrażają odpowiednio rzuty jego przyśpieszenia względnego na osi układu M£yj£. Wyobraźmy sobie, że punkt m jest połączony z układem odniesienia i bierze udział w ruchu tego układu; wówczas przyśpieszenie, któregoby ten punkt nabył wskutek połączenia z układem odniesienia, nazywamy przyśpieszeniem unoszenia tego punktu. Możemy to przyśpieszenie określić także jako przyśpieszenie bezwzględne tego punktu w układzie odniesienia, z którym punkt m chwilowo się schodzi. Różniczkując równania (2) względem czasu, otrzymamy

(6)

x" = x\+a$’+ a₂yjl'+a₃ C"+di'i+a₂,fY] -f a₃%+2 («/£'+a₂rY/-fa₃ C), y^y'₀+ó^'+5₂Yj''+&₃C,+6₁''4+&A+&3,'C+2(&₁'e,+&₂'Y],-t-&3,C), z" = «',₀4-CiS,,+ca>],,4- CaC'+Ci'^+Cjs"¹/; + c₃"C+2(c₁’£,+ c₂'y/+ c₃'Cr).

Przyśpieszenie względne yw punktu m wyrazi się zapomocą wzoru

(7)

Yib = l/⁷"!"² + V'² 4 C"², a jego rzuty y«w> Y«>y> Y«* ua osi układu Axyz będą odpowiednio (8)    -{wx = a^"4a₂Y]rr4a₃C'rj Y«>y —    tm—cxi”+c₂Yj,r 4 c₃Crr.

Rzuty Ym:j Y«y? Ym2 przyśpieszenia unoszenia y« ua osi układu A xyz otrzymamy według danego określenia, różniczkując równania (3) względem czasu przy stałych wartościach na £, yj, Ç; będzie więc

Y «x =    4 al'i 4 a₂" Y] 4 a₃" C,

Kładąc jeszcze

(10)

Yx — 2(ciii' -f- a₂r( -j- a₃%'), Ty = 2(bi'i' + b₂'r[ + b₃X'), Tz = 2(ci'i’ + c₂'t}' + c₃%'),

z równań (8), (9), (10) i (6) otrzymamy

Æ * Yux ^ J y’ luy 1 y,

z" — Y«* — Tz.

Z tych równań okazuje się, źe przyśpieszenie względne me składa się z samych tylko przyśpieszenia bezwzględnego i przyśpieszenia unoszenia, lecz że do tych dwu przyśpieszeń trzeba jeszcze dołączyć, w odpowiednim kierunku wzięte, pewne przyśpieszenie T, którego rzuty T*, Tz dają równania (10).

62. Aby rozpoznać znaczenie przyśpieszenia dodatkowego T, rzuty £', uf, C prędkości względnej punktu m na osi układu    obliczmy z rzutów

v„x, vwy, vwz tej samej prędkości na osi układu Axyz. Mamy do tego równania następujące:

(1)

£ —- d\Vwx 4~    “1“ C\Vwz,

1} — Cl₂Vwx ~t" b₂Vwy + C₂Vv;z ,

C' = a₃vwx -f b₃vwy + c₃v

Pomnóżmy obie strony tych równań naprzód odpowiednio przez a/, a₂, a₃', następnie przez bt', b₂, b₃, a nakoniec przez c/, c₂, c₃, i za każdym razem dodajmy je do siebie; otrzymane sumy, po pomnożeniu przez 2, przedstawiać będą odpowiednio P*, Ty, P₂. Obliczmy nadto podług równań (4) art. 43-go składowe S, H, Z prędkości kątowej & obrotu chwilowego układu odniesienia i uwzględnijmy wartości tych składowych, tudzież związki między dostawami cii, bi, Ci, podane w art. 43-ira; dojdziemy w ten sposób do równań następujących:

(2)

1 X - 2    (H    .    Vwz    — Z . Vtoy),

Ty ZZZ 2 (Z . VWX Ü • Vwz ), I* 2 (ü . VWy H . VlOX )•

Z nich wynika

(3)

I ² — r^-pPÿ²'!⁻^² — 4[£l²y«,² — (3 . vwxPH . vwy-\-rL . tw)²].

Oznaczmy przez S oś chwilową ruchu bezwzględnego układu odniesienia, a przez (S, vw) kąt, który ta oś, wzięta w kierunku odciętej na niej prędkości tworzy z kierunkiem prędkości względnej vw punktu m\ wówczas

Ü « Vwx 4“ H • Vioy -p Z • Vwz ß • COS (S, Vw),

a zatym, według (3),

T = 2&vw . sin(S, vw).

Grdy zaś pomnożymy obie strony równań (2) naprzód odpowiednio przez

(4)

S, H, Z, a następnie przez v siebie, to otrzymamy

vwy, vm, i za każdym razem dodamy je do

(5)

sr.+Hr.+zr, — o, vwx ■    +• vwy. ry + v

wz

.r, = o.

Z równania (4) przedewszystkiem wynika, że nie byłoby przyśpieszenia T, gdyby ß — 0, t. j. gdyby chwilowy ruch układu odniesienia był tylko ruchem postępowym. W tym zatym przypadku z równań (11) art. 61-go otrzymujemy następujące twierdzenie : jeżeli ruch chwilowy układu odniesienia jest ruchem postępowym, natenczas przyśpieszenie względne punktu jest równoważne jego przyśpieszeniu bezwzględnemu i jego przyśpieszeniu unoszenia, wziętemu w kierunku przeciwnym.

Z tego przeto twierdzenia wynika, że tylko ruch obrotowy układu odniesienia przyczynia się do wytworzenia przyśpieszenia F. Z równań nadto (5) okazuje się, że przyśpieszenie T jest prostopadłe do osi skrętu chwilowego układu odniesienia, a zarazem prostopadłe do kierunku prędkości względnej punktu. Jeżeli więc przez punkt m poprowadzimy prostą O, równoległą do osi chwilowej S, i wyprowadzimy z tego punktu prostopadłą do O i u«,, to ta prostopadła będzie równoległa do przyśpieszenia F. Żeby rozstrzygnąć, który z dwu kierunków téj prostopadłej jest kierunkiem przyśpieszenia T, porównajmy równania (2) z równaniami (3) art. 24-go; otrzymamy stąd następującą regułę : obierzmy na kierunku prędkości względnej punktu m dowolny punkt {j. i obróćmy ten punkt około prostej O w kierunku obrotu ß układu odniesienia około osi S; kierunek prędkości punktu ;j. wskutek tego obrotu będzie kierunkiem przyśpieszenia F.

Według równań (11) art. 61-go otrzymamy przyśpieszenie względne yw, jeżeli do przyśpieszenia bezwzględnego y i do przyśpieszenia unoszenia, wziętego w kierunku przeciwnym, —yM, dołączymy przyśpieszenie — T, t. j. powyższe przyśpieszenie dodatkowe T, wzięte w kierunku przeciwnym. Przyśpieszenie — T, którego wielkość wyznacza równanie (4), a którego kierunek określamy według podanej dopiéroco reguły jako przeciwny kierunkowi prędkości punktu (A, nazywamy przyśpieszeniem odśrodkowym złożonym. Mamy tedy następujące twierdzenie ogólne: przyśpieszenie ivzględne punktu jest wogólności równoważne trzem przyśpieszeniom, mianowicie: przyśpieszeniu bezwzględnemu tego punktu, jego przyśpieszeniu unoszenia, wziętemu w kierunku przeciwnym, t przyśpieszeniu odśrodkowemu złożonemu (twierdzenie Coriolis’a).

Przyśpieszenie odśrodkowe złożone jest równe zeru nietylko wtedy, kiedy ß ~ 0, lecz także w przypadku, gdy kierunek prędkości vw jest równoległy do osi 8, i w przypadku, gdy vw = 0, jak to wynika z równania (4). Jeżeli więc prędkość względna punktu jest równoległa do osi skrętu układu odniesienia, lub punkt jest chwilowo w spoczynku względem tego układu, to przyśpieszenie względne wyznacza się według twierdzenia szczególnego, podanego poprzednio.

Wstawmy w równania (11) art. 61-go dla Tx, Tz wyrażenia (2)5 otrzymamy

Ywx —— 3'    Yux    2 (H    . Vicz '    Z . Vwy),

(6)

\ Ywy —■ y    Ywy    2 (Z    . V«.#    Ü . Vwj),

( "(wz -^    Yuz    2 (ü    . VWy    H • VWxj,

Według tych równań możemy także podać wartości składowych £", tf\ Cfr przyśpieszenia względnego, odniesionych do osi układu M£t]C* Oznaczmy w tym celu przez y^, y^, yę rzuty przyśpieszenia bezwzględnego punktu na odpowiednie osi układu M£t]Ç, przez yu£, yUr[, yu^ rzuty jego przyśpieszenia unoszenia na też osi, a przez p, ą, r rzuty prędkości kątowej & na też same osi; otrzymamy, według (6),

(7)

£" = y^~ Y«4 — 2(gC' — rtf), r/r~ Yt]— Y«y]'— 2(ref —pC'), C" = Yę — Y«c ~ ² V— 2 5')»

przyczym

(8)    Yg =    Yc = «3^'+%" + c₃A

(9)    Y«4 = atY«®+&iYtw+CiY«ł Y«-^ = a₂yUx+b₂yuy-\- c₂yu

y■— a₃yux-ł-

b₃yUy+czy

(10) p —    g r= a₂S4-&₂H+c₂Z, r = a₃E4-&₃H-fc₃Z.

Jeżeli układ odniesienia obraca się jednostajnie około osi stałej w prze strzeni, wtedy przyśpieszenie unoszenia punktu uważanego będzie przyśpieszeniem dośrodkowym (art. 11), ponieważ przyśpieszenie styczne jest równe zeru. Przyśpieszenie zatym unoszenia, wzięte w kierunku przeciwnym, —yu, będzie miało kierunek prostopadłej, spuszczonej z tego punktu na oś obrotu, jednak od osi obrotu ku temu punktowi; z tego powodu nazywamy je w tym przypadku przyśpieszeniem odśrodkowym tego punktu. Jeżeli jeszcze przyjmiemy, że vw = 0, to będzie T — 0, otrzymamy więc następujące twierdzenie szczególne : jeżeli układ odniesienia obraca się jednostajnie około osi stałej, a punkt nie posiada prędkości względnej, to przyśpieszenie względne punktu jest równoważne jego przyśpieszeniu bezwzględnemu i przyśpieszeniu odśrodkowemu.

63. Przyśpieszenie spadku pionowego.. Do najważniejszych zagadnień 0 ruchu względnym należy spadek ciał na ziemię przy uwzględnieniu obrotu dziennego ziemi. Przyjmiemy w tych zagadnieniach, że ziemia ma kształt kuli.

Jeżeli mamy na powierzchni morza punkt m (fig. 33), będący w spoczynku względem ziemi, to dostrzegane w tym miejscu przyśpieszenie g spadku pionowego jest przyśpieszeniem punktu m względein obracającej się ziemi. Ponieważ prędkość względna punktu jest równa zeru, przeto przyśpieszenie g będzie wypadkowym przyśpieszenia bezwzględnego i przyśpieszenia odśrodkowego (art. 62). W teoryi przyciągania dowiemy się (art. 123), że przyśpieszenie punktu m miałoby dokładnie kierunek ku środkowi ziemi, gdyby ziemia była w spoczynku; to zatym przyśpieszenie G przedstawia przyśpieszenie bez-

‘Promień ziemi wynosi 6 378.10³m, a długość dnia gwiazdowego wynosi 86 164 sekundy; jest przeto co

0,000073. Wyraz —^— sin²2X

względne punktu, a tymsamym G przedstawia wielkość przyśpieszenia spadku na biegunach kuli ziemskiej. Obrót dzienny ziemi około jej osi NS jest jednostajny, a przyśpieszenie odśrodkowe punktu ma kierunek promienia równoleżnika tego punktu i jest zwrócone od osi NS nazewnątrz. Składając przyśpieszenie G z przyśpieszeniem odśrodkowym punktu m, otrzymamy żądane przyśpieszenie g w tym punkcie.

Niech co będzie prędkością kątową obrotu ziemi, X szerokością gieogra-ficzną punktu m, R promieniem ziemi, p promieniem równoleżnika, przez ten punkt przechodzącego. Przyśpieszenie odśrodkowe punktu m wynosi co²p (art.

22); jeżeli więc na promieniu mO ode-tniemy długość ma — G, a na prostopadłej do osi NS długość mb — co²p, i wystawimy równoległobok mabc, to przekątna mc będzie przedstawiała przyśpieszenie spadku punktu m. Okazuje się przedewszystkim, że przyśpieszenie g nie ma wogólności kierunku ku środkowi ziemi; w biegunach N i S przyśpieszenie odśrodkowe jest równe zeru, a na równiku EW ma kierunek promienia ziemi; w biegunach zatym i na równiku przyśpieszenie spadku ma kierunek ku środkowi ziemi, a zresztą nie ma go w żadnym innym punkcie.

Z równoległoboku wzmiankowanego wynika

g² — G² + co⁴p²— 2Go)²p.cosX, a ponieważ p = RcosX, przeto G² — 2Gco²R cos²X -f- co⁴R² cos²X — g² — 0.

(1)

f.c

-E

Fig 33.

To równanie daje dwie wartości na G; ponieważ jednak dla X =

jest G—g,

przeto należy brać tylko tę wartość, która odpowiada pierwiastkowi dodatne-mu. Mamy zatym

G = w²R cos²X -f- J/g² — w⁴R² cos²X sin²X

czyli

(2)

G = co²R . cos²X +

y;-

-ï2?rin*SX.

4

2%

86164

przybiera największą, wartość przy X = —, a ta wartość wynosi 0,00029 m. Ponieważ w średnich szerokościach przyśpieszenie g wynosi prze--

szło 9 metrów na sekundę, przeto możemy wielkość —^—

łą względem g², zaniedbać, t. j. rozwinąć G aź do wyrazów tego rzędu co w², t. j. wziąć z wystarczającym przybliżeniem

G = g + w²R . cos²X, a podstawiając tu wartość co²R i biorąc metr za jednostkę długości, przyjąć

G = g + 0,03399 cos²X.

Ponieważ G jest przyśpieszeniem spadku na biegunach ziemi, przeto z równania

g = G — w²R . cos²X

okazuje się, że przyśpieszenie spadku rośnie jednocześnie z szerokością gieo-graficzną, przybierając na biegunach największą Wartość G. Niech g₀ będzie przyśpieszeniem na równiku; odpowiednio wówczas X = 0 i

g₀ = G — co²R,

sina2X, bardzo ma*

(3)

(4)

(«)

(6)

zatym

(7)

g — g₀ + w²R . sin²X.

To równanie pozwala obliczyć przyśpieszenie g z wiadomego przyśpieszenia na równiku i okazuje, że przyrost przyśpieszenia spadku od równika ziemi ku jej biegunom jest proporcyjonalny względem kivadratu icstaivy szerokości gieo-g rafieznój.

Przyśpieszenie g wyznaczamy zapomocą wahadła, o czym później będzie mowa. Na podstawie takich doświadczeń z wahadłem, czynionych przez bardzo wielu fizyków w rozmaitych miejscach na ziemi, okazała się dla szerokości gieograficznéj X = 45° najprawdopodobniejszą wartość przyśpieszenia

g=. 9,80590 metra na sekundę. Kładąc przeto cos 45° = sin45° otrzymamy

na biegunach G — 9,82290 m\ na równiku g₀ = 9,78891 m.

Obliczając przeto g w metrach na sekundę, mamy dla każdego miejsca na ziemi

(8)

g = 9,78891 + 0,03399 sin²X.

Ponieważ w strefie umiarkowanej to przyśpieszenie mało się zmienia, przeto dla przybliżonego rachunku przyjmujemy zwykle g = 9,81 m.

Z równania (6) widzimy, że przyśpieszenie g₀ na równiku byłobyby ró-

Vw •

Stosunek tej prędkości do rzeczywistej prędkości obrotu jest Ü 1240

wne zeru, gdyby prędkość kątowa obrotu ziemi wynosiła & = = 0,00124.

73

G

w przybliżeniu —-

= 17

z czego się okazuje, źe spadanie na równiku byłoby jednostajne, gdyby się ziemia obracała 17 razy prędzej. Ponieważ przybliżenie

cd²P

Gr G

17²    289

przeto możemy z dostatecznym przybliżeniem przyjąć

(9)

<7 = g(i

cos ²X

17²

64. Zboczenie ciaea, spadającego na ziemię. Jeżeli punkt spada swobodnie na powierzchnią ziemi, bez prędkości początkowej, to jego torem bezwzględnym jest prosta, łącząca położenie początkowe tego punktu ze środkiem ziemi. Ponieważ ziemia obraca się około swój osi, przeto punkt nie spadnie na ziemię w punkcie, w którym powyższa prosta (pionowa) spotyka jej powierzchnią, lecz w innym punkcie, który właśnie chcemy wyznaczyć.

m o''

-"X

r-

Fig. 34.

Niech m₀ (fig. 34) będzie położeniem początkowym punktu spadającego, m₀O pionem tego punktu, który powierzchnią ziemi spotyka w M₀. Punkt M₀ opisuje wskutek ohrotu ziemi obwód równoleżnika; niech M będzie dowolnym położeniem tego punktu podczas spadku. Układ osi spół-rzędnych M£t]C, obracający się razem z ziemią, obierzmy jak następuje: osią M£ niech będzie przedłużenie promienia równoleżnika, od M nazewnątrz; osią Myj styczna do równoleżnika, wzięta w kierunku obrotu dziennego ziemi, a zatym od zachodu na wschód, osią zaś MC niech będzie prosta, równoległa do osi ziemi, a skierowana na północ. Przyjmujemy przy tym, źe punkt m spada na półkulę północną. Niech M₀£₀Yj₀C₀ oznacza położenie początkowe powyższego układu spółrzędnych, a X niech będzie szerokością gieograficzną punktu M. Przyśpieszenie g, odpowiednie tej szerokości, jest wypadkowym przyśpieszenia bezwzględnego i przyśpieszenia odśrodkowego; ponieważ wysokość spadku łt = 'M.₀m₀ jest bardzo mała w porównaniu z promieniem ziemi, przeto możemy g uważać za stałe podczas spadku. W pierwszym przybliżeniu możemy także pominąć zmianę kierunku tego przyśpieszenia względem układu MC'yjt, przyjmując, źe g posiada kierunek m O. Otrzymamy zatym, zachowując znakowanie wprowadzone do równań (7) art. 62-go,

T§ —Y«Ê = —0COSX, Tyj — Y«t) — 0, Yę — Y< — *—# sinX.

Odetnijmy prędkość kątową w obrotu ziemi od O ku biegunowi północnemu N, uważając ten kierunek osi za dodatny (widzimy obrót z punktu końcowego odcinka co w kierunku przeciwnym obrotowi wskazówki na zegarze); mieć będziemy i? = 0j g = r — co; składowe przyśpieszenia odśrodkowego złożonego

— °*

(Zyj

będą przeto odpowiednio 2 w .

Cl o

ruchu względnego punktu m będą zatym, według art. 62-go,

Równania różniczkowe

d²i

dv]

=-ga»\ + am.-ri,

(1)

d²7] _

dt²

di

- 2(0 .

dt

d² C

g. sinX.

jeżeli i₀, yj₀, C₀ oznaczają spółrzędne punktu m₀, to mamy dla Z = 0: i = i₀ — h cosX, Yj = y]₀ = 0, C = C₀ = h . sinX ; a składowe prędkości początkowej są równe zeru. Całkując ostatnie równanie dwukrotnie, otrzymamy

(ä— sinX.

Kładąc zaś    , y/ =    , mamy z równań (1)

g cosX + 2 w y/;

Różniczkujmy ostatnie równanie i podstawmy wartość z pierwszego równania;

— — 2co(—g cosX -f 2wyj'). Całka tego równania jest sin 2 co Z

otrzymamy

di'

dt

d²r( _

dt²

dt²

wnaniu (1), to otrzymamy dla punktu m

cosX

2co

^. Jeżeli podstawimy tę wartość w pierwszym ró-

/ i = h . cos X — g

4 co²

(1 — cos 2co t), z czego wynika

(2)

y] = g (2wt — sin2out), a poprzednio otrzymaliśmy sinX;

składowe zaś prędkości względnej punktu wyrażają się wzorami

di

-jj — — gt . COS X + 2 (0 Y]

dy\

-jj — 2 w (Ji cos X — i)

di

w = -gt.sm\,

które dają kwadrat prędkości względnej vw punktu spadającego

(4)

vw% — 2#[(&cosk — £) cosk + (h sink — Ç) sink].

toczy się po tej podstawie wewnątrz równoleżnika, a cyklojdą jest zwró-

Dwa pierwsze równania (2) dają rzut toru względnego na płaszczyznę równoleżnika, przechodzącego przez punkt M. Z tych równań łatwo okazać (co pozostawiamy czytelnikowi), że ten rzut toru względnego jest cyklojdą zwykłą, której podstawa jest równoległa do osi M₀t]₀; koło tworzące o promieniu g cos X 4 co²

eona stroną wypukłą ku środkowi równoleżnika. Ponieważ w jest bardzo małe, przeto promień koła tworzącego jest bardzo wielki. Koło toczy się z prędkością 2 w po swój podstawie od zachodu na wschód.

"Wystawmy w punkcie M nowy układ prostokątny osi Mxyz, a mianowicie osią M0 niech będzie pionowa od środka ziemi ku M, osią M y oś Mïj, a osią niech będzie styczna do południka, od punktu M ku biegunowi południowemu S. Jeżeli x, y, 3 są spółrzędnymi punktu m względem tych osi, to mamy

a:=:|.sinX — Ç.cosk, y —i], g — 4 . cosX -f- Ç . sink,

a zatym

(5)

« = lJ ^ [2 tfP - (1 - cos 2 « 01 ^eosk

4 O)²

(2 w t — sin 2 w t),

[2w²^². sin²k -|- (1—cos2w£) cos²k].

Kozwiûmy cos 2 w t i sin 2 w ć na szeregi, zważając, że w jest bardzo małó. Jeżeli obliczymy spółrzędne punktu aż do wyrazów tego rzędu co w², to otrzymamy

_ -Ęj wHl cosk sink, o !

(6)

y = -|r wź³ . cosk,

O

(ûH* cos²k.

z — li —    , 3!

Z tych rówńań widzimy, że punkt spadający zbacza od pionu, a to zboczenie jest wypadkowym zboczenia x w kierunku południka na południe i zboczenia y w kierunku równoleżnika na wschód. Pierwsze zboczenie jest rzędu w², drugie zaś rzędu w; zboczenie więc na południe jest znacznie mniejsze od zboczenia na wschód. Obliczając spółrzędne tylko do wyrazów tego rzędu co w, otrzymalibyśmy

gt²

Punkt przybędzie na ziemię, skoro stanie się z — 0, a zatym w czasie

S / 2}1

T = j/ —. Podstawiwszy tę wartość w (7), otrzymamy spółrzędne pun

ktu, do którego punkt spadający przybędzie na ziemię

(8)

2hl/

»=tK

2/1

—. co cosX

0 = 0.

Spółrzędna y tego punktu daje tak zwane zboczenie wschodnie punktu spadającego, t. j. odległość miejsca na ziemi, do którego przybywa punkt spadający, od punktu M₀, liczoną na stycznej M₀2/ do równoleżnika. Zboczenie wschodnie jest proporcyjonalne względem dostawy szerokości gieograficznćj i zależy od wysokości spadku. Dla średnich szerokości gieograficznych zboczenie południowe jest tak małe (mamy bowiem co² = 0,0000000053), że nie daje się dostrzegać.

J. Newton pierwszy (w r. 1679) zwrócił uwagę na zboczenie wschodnie, a J. Gruglielmini w Bolonii (w r. 1790 i 1791), Benzenberg w Hamburgu (w r. 1802) i w Schlebusch (w r. 1804), a następnie F. Beich w kopalni we Freiber-gu w Saksonii (w r. 1831),, czynili spostrzeżenia, aby sprawdzić i wymierzyć to zboczenie, a tymsamym otrzymać dowód oczywisty obrotu ziemi. Wysokość spadku wynosiła w doświadczeniach Keich’a h = 158,50 m, szerokość gieo-graficzna X = 50°53' 23"; zboczenie wschodnie wynosiło, podług obserwacyj, y = 28,396 milimetra. Podstawiwszy h i X w równaniu (8), otrzymamy z rachunku y = 27,512 mm, co okazuje znakomitą zgodność teoryi z obserwacyj ą.

Rugując czas z równań (7), otrzymamy

(9)

-^-cocosX.J/ ^ .{li—0)2

jako przybliżone równanie rzutu toru względnego na płaszczyznę południka. Ten rzut jest parabolą półkubiczną, zwaną także parabolą Neil’a.

65. Jeżeli punkt zostaje wyrzucony pionowo w górę z punktu M0 z prędkością początkową v₀, a obierzemy też same osi spółrzędnych, to równania ruchu zostają niezmienionymi, lecz warunki początkowe będą dla t = 0

£ = 0,    —0, C = 0; -j- = v₀ cos X,    =    ^=v₀sin\\

otrzymamy zatym spółrzędne punktu spadającego

cosX

(1)

7] =

4 co2 cosX

[2 co v₀ sin 2 co t — g (1 — cos 2 co £)]

4 co²

[g(2iùt— sin 2 co £) — 2cou₀(l — cos 2 co £)]

sinX

tudzież składowe jego prędkości względnej

di

(2)

-Ji = Oo “ 9t) cosA + 2wt],

d'q _ dt

— 2w£,

di

-jj = (v₀—gt)ńn\.

Postępując podobnie, jak w ustępie 64-ym, otrzymamy spółrzędne punktu w układzie osi Islxyz

x~

sin X cos X

4 w²

[2 uPgP — g( 1 — cos2 co/) — 2cov₀(2co£ — sin 2coź)]

cosX

[g(2&t — sin2coż) — 2co?;₀(l — cos2coź)],

[2cù²(2v₀t— gt². sin²X) —g cos²X(l — cos2coż) —

— 2o)V₀ cos²X(2co£ — sin2coź)].

Rozwijając cos 2cot i sin 2 wt na szeregi i obliczając spółrzędne aż do wyrazów tego rzędu co w², otrzymamy

(3)

4 co²

(O²

gj (gt* — 4v₀t³) sinX cosX

O)

cosX

gt²

Pionowa prędkość punktu wynosi

w²

gj (gt* — 4v₀t³) cos²X.

(5)

dz

aT=v»

o

— 0Ż + -g- M²(gt³ — 3v₀t²) . cos²X

różni się zatym od tej prędkości, jakąby punkt posiadał względem nieruchomej ziemi, o wielkość tego rzędu, co w². Jeżeli w rozwinięciach ograniczymy się do wyrazów tego rzędu co co, to będzie

(6)    «=0, y —

W(^T~V²)c°sX, z=v₀t—^-, ~ = v₀—gt.

dz

Punkt dosięgnie największej wysokości, skoro będzie — 0, co nastąpi w czasie T — Podstawiwszy tę wartość w drugim równaniu (6), otrzymamy dla najwyższego położenia punktu

2 V .

— co cos X »

to

Bïbl. mat.-fiz., S IV, T. X.

Punkt przeto podczas podnoszenia się zbacza na"zachód; zboczenie w kierunku południka jest tego rzędu co co², jest zatyni poza obrębem obserwacyi.

Literatura kinematyki (Rozdz. I — V).

M. Chasles: Sur les propriétés générales du système de deux corps semblables entre eux, et placés d’une manière quelconque dans l’espace; et sur le déplacement fini ou infiniment petit d’un corps solide libre (Bulletin de Férussac, t. XIV, Paris, 1831); Propriétés géométriques relatives au mouvement infiniment petit d’un corps solide libre (Comptes rendus, t. XVI, 1843); Construction des rayons de courbure des courbes décrites dans le mouvement d’une figure plane qui glisse sur son plan (Journ. des mathém., t. X, 1845); Propriétés relatives au déplacement fini quelconque, dans l’espace, d’une figure de forme invariable (Comptes rendus, t. LI i LII, 1860, 1861).— A. F. Moebius, Ueber die Zusammensetzung unendlich kleiner Drehungen (Journ. v. Crelle, t. XVII, 1838). — O. Rodrigues, Des lois géométriques qui régissent le déplacement d’un système solide dans l’espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements, considérées indépendemment des causes qui peuvent les produire (Journ. des math., t. V, 1840).—A. Transon, Méthode géométrique pour les rayons de courbure d’une certaine classe des courbes (Journ'. des math., t. X, 1845).'—L. Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps (Journ. des math., t. XVI, 1851). — Ch. Bresse, Mémoire sur un théorème nouveau concernant les mouvements plans, et sur l’application de la cinématique à la détermination des rayons de courbure (Journ. de l’école polytechnique, t. XX, 1853). — Schönemann, Ueber die Construction von Normalen und Normalebenen gewisser krummer Flächen und Linien (Monatsberichte der Akademie zu Berlin, 1855; przedrukowane w Journal v. Crelle, t, XC, 1881).—-Mannheim: Constructions des centres de courbure des lignes décrites dans le mouvement d’une figure plane qui glisse sur son plan (Journ. de l’éc. polyt., t. XXI, 1858); Etude sur le déplacement d’une figure de forme invariable; nouvelle méthode des normales, applications diverses (Mém. des savants étrangers, t. XX, 1872); Propriétés relatives aux trajectoires des points d’une figure de forme invariable (Cpts. rendus, t. LXXVI, 1873); Sur les surfaces trajectoires des points d’une figure de forme invariable, dont le déplacement est assujetti à quatre conditions (Journ. des math., 1875); Cours de géométrie descriptive de l’ecole polytechnique (Paris, 1880, 1886). — E. de Jonquières, Mélanges de géométrie pure (Paris, 1856; rozdz. I). — H. Resal, Traité de cinématique pure (Paris, 1862). — E. Habich: Sur le mouvement conchoidal (Les mondes, t. XIH, 1866); Sur le mouvement d’une figure plane dans son plan (w 4-ch częściach; tamże, t. XIV, 1867); Sur le centre instantané de rotation et ses applications géométriques (tamże, t. XVIII i XIX, 1870); Etudes cinématiques (Paris, 1879). — F. Klein, Notiz betreffend den Zusammenhang der Liniengeometrie mit der Mechanik starrer Körper (Mathematische Annalen, t. IV, 1871). — J. N. Franke: Przyczynek do ogólnej teoryi kół zazębionych (Pamiętnik tow. nauk ścisłych w Paryżu, t. IV, 1874); Studyja analityczne nad ruchem ciał stałych (Pamiętnik akad. umiejętności w Krakowie, t. I, 1874); O niektórych zagadnieniach kinematyki na podstawie ruchu powierzchni skośnych (tamże, t. III, 1877); Sur la courbure des surfaces réciproques (Journ. des mathém., 3-e sér., t. III, 1877); Ueber geometrische Eigenschaften von Kräfte-und Rotationssystemen in Verbindung mit Linieneomplexen (Sitzungsberichte der Akad. d. Wissenschaften zu Wien, t. LXXXIV, 1881); O inwolucyi sześciu prostych, uważanych jako osi skrętów chwilowych (Pam. ak. um., t. VII, 1881); Teoryja analityczna komplexôw śrub

chwilowych (tamże, t YII, 1882). — Ch. Brisse, Sur le déplacement fini quelconque d’une figure de forme invariable (J. des math. 3-e sér., t. I, 1875). —R. St. Ball, Theory of screws, a study in the dynamics of a rigid body (Dublin, 1876). — W. K. Clifford, Elements of dynamie; part I, kinematic (London, 1878). — E. Cavalli, Elementi di cinematica teorica (Milano, 1882). — L. Burmester, Lehrbuch der Kinematik (Leipzig, 1886). — G. Schoenfliess, Geometrie der Bewegung in śinthetischer Dai’stellung (Leipzig, 1886).—M. A. Thévenet, Etude analytique sur le déplacement infiniment petit d’un corps solide libre (Paris, 1886).

C. F. Gauss, Fundamentalgleichungen für die Bewegung eines schweren Körpers auf der rotirenden Erde (1803; Werke, t. Y, Göttingen, 1867). — Coriolis : Mémoire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines (Journ. de l’ec. polyt., t. XIII, 1832); Mémoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps (tamże, t. XV, 1835); Traité de la mécanique des corps solides (Paris, 1844).

CZĘŚĆ DRUGA.

DYNAMIKA CIAŁ SZTYWNYCH.

ROZDZIAŁ VI.

DYNAMIKA PUNKTU.

66. Prawa zasadnicze dynamiki. Pojęcie siły. Dotąd rozważaliśmy ruch w ten sposób, iż, mając w danym przypadku warunki kinematyczne konieczne i dostateczne, możemy podać wszystkie cechy ruchu każdego punktu układu sztywnego. W zagadnieniach atoli o ruchu ciała materyjalnego nie są warunki kinematyczne bezpośrednio dane, lecz wiadome są działania, których ciało poruszające się doznaje od innych ciał, a z nich mamy dopiero wyprowadzić równania, określające ruch każdego punktu, jeżeli znamy ustrój ciała, tudzież wszelkie warunki, ograniczające swobodę ruchu jego punktów. W innych zaś przypadkach znamy ruch ciała materyjalnego, a zagadnienie polega na tym, aby rozpoznać działania, jakie w danych okolicznościach mogą ten ruch wywołać,

Przedewszystkim należy określić działania, których skutkiem jest ruch ciał materyjalnych. Wszelkie wiadomości, pozwalające określić owe działania, polegają na doświadczeniu, którego wyniki streszczamy w pewnych prawach zasadniczych, stanowiących podstawę dynamiki.

Od czasów Newton’a przyjmujemy następujące trzy prawa zasadnicze dynamiki, po raz pierwszy przezeń sformułowane:

1) Każde ciało trwa dopóty w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego i prostoliniowego, dopóki wskutek sił przyłożonych nie zmieni tego stanu (p r a-wo bezwładności materyi).

2)    Zmiana ruchu jest proporcyjonalna względem siły przyłożonej i ma miejsce w kierunku prostej, która jest kierunkiem działania siły (prawo niezależności sił).

3)    Wzajemne działania dwu ciał są zawsze równe i mają kierunki wprost przeciwne (prawo wzajemności działania).'—

Aby zrozumieć znaczenie i wyniki tych praw, wypada przytoczyć niektóre pojęcia pomocnicze, ivynikające z ogólnego pojęcia ciała materyjalnego.

Jak punkt gieometryczny, służący do wskazania miejsca w przestrzeni, stanowi granicę w pojęciu przestrzeni, tak punkt materyjalny stanowi granicę w pojęciu wciąż malejącego elementu ciała materyjalnego, To pojęcie nie jest w związku z kwestyją podzielności materyi; gdybyśmy bowiem z jakichkolwiek powodów przyjęli, że rozmiary linijowe najmniejszych części materyi mają pewne granice skończone, to możemy zawsze jeszcze wyobrazić sobie cząstkę o mniejszych jeszcze rozmiarach. Nie należy przeto pojęcia punktu materyjalnego mieszać z pojęciami atomu lub molekuły, które mają inne znaczenie i służą do innych celów.

Z pojęcia punktu materyjalnego tworzymy pojęcie linii materyjah nćj i pojęcie powierzchni materyjalnćj. Możemy także odwrotnie postępować, rozważając naprzód powierzchnią materyjalną jako granicę ciała, potym liniją materyjalną jako granicę powierzchni, a w końcu punkt materyjalny jako granicę linii.

Pierwsze prawo dynamiki wyraża, że punkt materyjalny, samemu sobie zostawiony, a więc nie pozostający pod wpływem innych punktów materyjal-nych, nie zmienia prędkości swego ruchu, ani pod względem wielkości, anitćż pod względem kierunku. Należy jednak ściśle określić układ odniesienia; ruch bowiem jednostajny i prostoliniowy względem układu A może być całkiem inny względem układu B. Rozumieć tu zatym winniśmy rozważanie ruchu punktu względem układu zasadniczego (art. 1), samemu sobie zostawionego, a więc odbywającego ruch postępowy, prostoliniowy i jednostajny, Uzupełniwszy w ten sposób pierwsze prawo dynamiki, nazywamy je prawem bezwładności materyi, upatrując bezwładność w trwaniu każdego punktu materyjalnego w stanie spoczynku lub ruchu niezmiennego, jeżeli ten punkt samemu sobie jest pozostawiony. Z samego wytłomaczenia tego prawa okazuje się, że bezwładności nie należy mieszać z oporem, jaki ciała stawiają innym ciałom, dążącym do ich poruszenia.

Przyczynę zmiany w stanie spoczynku lub w stanie ruchu punktu materyjalnego nazywamy siłą. Z kinematyki wiadomo, że ruch punktu w przestrzeni i w czasie jest określony przez prędkość, tudzież, że zmiana prędkości jest określona przez przyśpieszenie. Według zatym podanego określenia należy siłę uważać za przyczynę przyśpieszenia ruchu punktu materyjalnego.

Według pierwszego prawa dynamiki zmiana prędkości może zachodzić tylko wskutek działania pewnej siły, atoli z tego prawa nie wynika, aby wskutek działania siły miała zawsze wyniknąć zmiana prędkości.

Jeżeli ciało materyjalne zmienia swój ruch, natenczas każda cząstka ciała wogólności doznaje odpowiedniej zmiany swego ruchu, a przeto należy w każdej cząstce ciała wogólności przyjąć działanie pewnej siły.

67. Masa i gęstość. Według drugiego prawa zasadniczego kierunek przyśpieszenia jest zarazem kierunkiem siły, a wielkość przyśpieszenia jest proporcyjonalna względem wielkości siły. Te związki zachodzą, gdy punkt materyjalny jest swobodny, t. j. bez wszelkiej przeszkody i bez wszelkiego ograniczenia poddany działaniu siły. Gdy istnieją jakiekolwiek ograniczenia swobody, natenczas siła jest proporcyjonalna względem takiego przyśpieszenia, jakiebyśmy otrzymali, gdyby owe ograniczenia usunięto.

Z proporcyjonalności siły względem przyśpieszenia wynika, że dwie siły są równe, jeżeli temuż samemu punktowi swobodnemu udzielają tegoż samego przyśpieszenia; tudzież, że stosunek przyśpieszeń, których dwie siły udzielają temuż samemu punktowi swobodnemu, jest równy stosunkowi tychże sił. Możemy więc daną siłę wymierzyć zapomocą innej siły, za jednostkę obranej, jeżeli do pomiaru sił używamy tegoż samego punktu materyjalnego.

Doświadczenie uczy, że jeżeli dwie równe siły przyłożymy do dwu różnych punktów swobodnych, natenczas przyśpieszenia ruchu tych punktów będą wogólności różne. Z tego wynika, że, chcąc ustanowić taki sposób mierzenia sił, przy którego zastosowaniu możnaby użyć jakiegokolwiek punktu materyjalnego, należy koniecznie uwzględnić tę własność punktu, wskutek której ów punkt przy działaniu pewnej siły otrzymuje pewne przyśpieszenie w kierunku tejże siły.

W tym celu wprowadzamy stosunek, który zachodzi między siłą a przyśpieszeniem, udzielonym przez tę siłę swobodnemu punktowi materyjalnemu; ów stosunek nazywamy masą punktu tego. Jako jednostkę masy przyjmujemy tę, której jednostka siły udziela jednostkę przyśpieszenia. Jeżeli zatym siła, równa w-krotnćj jednostce sił, udziela punktowi swobodnemu a tegoż przyśpieszenia, co jednostka siły innemu punktowi swobodnemu ó, natenczas masa punktu a jest w-krotnością masy punktu b. Dwa punkty gieo-metryczne różnią się od siebie tylko pod względem miejsca, które one w przestrzeni zajmują; zaś między dwoma punktami materyjalnymi zachodzi różnica tak pod względem miejsca, jak i pod względem masy, a dwa punkty o równych masach należy uważać za równoważne pod względem dynamicznym, t. j. mogące się wzajemnie zastąpić ze względu na skutki działania sił.

Doświadczeń nie dozwala ani bezpośrednio dostrzegać, ani bezpośrednio mierzyć działania sił na punkty materyjalne, lecz tylko na ciała o rozmiarach skończonych, chociażby bardzo małych. Z doświadczenia jednak wiadomo, że na ciało materyjalne winny działać siły skończone, żeby punktom jego udzielić przyśpieszeń skończonych, a z tego wnosimy, że w każdej nieskończenie małej części ciała należy przyjąć siłę nieskończenie małą tegoż samego rzędu, co nieskończenie mała przestrzeń, przez tę część zajęta. Masa punktu będzie więc wyrażona przez liczbę dodatną i nieskończenie małą tegoż samego rzędu, co przestrzeń, zajęta przez element ciała, którego granicą jest punkt uważany.

Ponieważ element przestrzeni jest zajęty przez element materyi ciała tegoż samego rzędu, co masa i przestrzeń, przeto masa punktu bywa często określana jako granica ilości materyi, w elemencie ciała zawartej, a zatym masa ciała o skończonych rozmiarach jako ilość materyi tego ciała. Takie określenie możnaby uważać za ścisłe, gdybyśmy mogli przyjąć, że wszystkie ciała są utworzone z téj saméj materyi; wtedy bowiem porównywanie różnych ilości téj saméj materyi byłoby bezpośrednio zrozumiałe. Ponieważ takie przypuszczenie nie zgadza się ze znanymi własnościami ciał, przeto podane poprzednio określenie masy należy uważać za jedynie ścisłe.

Sumę mas wszystkich nieskończenie małych elementów ciała materyjah nego nazywamy masą ciała tego. Masa ciała materyjalnego jest wielkością skończoną i dodatną.

Aby poznać rozmieszczenie masy ciała w przestrzeni, szukamy stosunku między masą a objętością każdego z elementów ciała. Granicę, do której zdąża stosunek masy do objętości elementu ciała, jeżeli wymiary linijowe tego elementu dążą nieograniczenie do zera, nazywamy gęstością ciała w tym punkcie, który uważamy za granicę elementu. Aby to określenie miało dokładne znaczenie, należy znać sposób dzielenia objętości ciała na elementy; obrawszy wtedy pewien punkt wewnątrz lub na powierzchni ciała, znamy tymsamym element ciała, którego granicą jest ten punkt. Ponieważ masa i objętość elementu są wielkościami dodatnymi i nieskończenie małymi tego samego rzędu, przeto gęstość jest wielkością skończoną i dodatną,

Wyznaczywszy gęstość w każdym punkcie ciała, którego miejsce określamy przez jego S23Ółrzędne, możemy wyrazić gęstość jako funkcyją spółrzę-dnych każdego punktu. Jeżeli gęstość we wszystkich punktach ciała jest taż sama, to ciało nazywamy jednorodnym; kiedy zaś gęstość nie posiada stałej wartości, zowiemy je niejednorodnym. Z określenia jednorodności wynika, że gęstość ciała jednorodnego równa się stosunkowi masy tego ciała do jego objętości; do wyznaczenia więc gęstości ciała jednorodnego wystarcza uważanie stosunku dwu wielkości skończonych. Znając ustrój gieometryczny ciała i jego gęstość w każdym punkcie, znamy rozmieszczenie masy wewnątrz tego ciała i na jego powierzchni.

Jeżeli x, y, z są spółrzędnymi prostokątnymi punktu, w którym gęstość wynosi a, jeżeli M oznacza masę ciała, Y jego objętość, to w tym punkcie

<3 =

dV

, dM — z.dV,

a ponieważ dV dxdydz, przeto ogólnie:

SIS

a.dxdydz

gdzie całkowanie rozciąga się na całą objętość ciała. Używając innego rodzaju spółrzędnych, należy element objętości ciała odpowiednio obliczyć i wyrazić gęstość cs w funkcyi tych spółrzędnych, aby otrzymać masę ciała.

68. Miara siły i miara masy. W bardzo wielu zagadnieniach dynamiki, jak się to później okaże, otrzymujemy dokładny obraz ruchu ciał, a nawet układów ciał materyjalnych, uważając ruch pewnego punktu, w którym skupiamy wszystkie siły, na oddzielne punkty ciał działające. Aby przyśpieszenie takiego punktu, na który działają siły skończone, miało wartość skończoną, należy temu punktowi przypisać masę skończoną. Tym sposobem otrzymujemy pojęcie punktu materyjalnego o masie skończonej, które, lubo nie odpowiada rzeczywistości, dla dalszego użytku w badaniach dynamicznych przedstawia znakomite korzyści. Ze względu na wielką dogodność tego pojęcia opieramy nawet dynamikę ciał materyjalnych na dynamice punktu o masie skończonej.

Jeżeli, według art. 67-go, za jednostkę masy obierzemy masę takiego punktu, któremu jednostka siły nadaje przyśpieszenie równe jednostce, to miarą masy będzie stosunek siły do przyśpieszenia. Jeźeli zatym siła P nadaje punktowi materyjalnemu przyśpieszenie y, natenczas masa punktu będzie

m ■=.

(1)

z czego wynika odpowiednie wyrażenie siły

(2)

P — m . y.

To wyrażenie siły polega na założeniu, wynikającym ze sposobu mierzenia masy, t. j. na tym, że za jednostkę siły obieramy tę siłę, która punktowi o masie równej jednostce udziela przyśpieszenia równego jednostce.

Do wykonania pomiaru masy możemy użyć jakiejkolwiek siły, na tę masę działającej. Najkorzystniej używamy w tym celu tak zwanej siły ciężkości, pod wpływem której wszystkie punkty ciała, spadającego bez obrotu swobodnie na ziemię, doznają tego samego przyśpieszenia. Wielkość tej siły wyobraża tak zwany ciężar ciała. Ponieważ przyśpieszenie każdego punktu ciała, spadającego na ziemię, jest toż samo, przeto siła ciężkości jest propor-cyjonalna względem masy spadającej, a wielkość liczby, która ich stosunek przedstawia, zależy tylko od miejsca spadku na powierzchni ziemi. Jeżeli Q jest ciężarem masy m, a <j przyśpieszeniem spadku w tym samym miejscu na ziemi, gdzie ciężar Q wyznaczono, to

(3)

Q , , ^    Q

skąd Q — m~g'

Ten związek jest podstawą postępowania przy mierzeniu masy. Stosunek ciężarów dwu mas w tym samym miejscu na ziemi równa się stosunkowi tychże mas; mierzenie ciężaru zapomocą wagi jest przeto mierzeniem masy. W jakimkolwiek punkcie na ziemi mierzymy tym sposobem masę, zawsze otrzymamy ten sam wynik, mimo, iż przyśpieszenie spadku nie jest stałe na powierzchni ziemi. Ciężar i przyśpieszenie spadku zmieniają się jednocześnie bez zmiany ich wzajemnego stosunku. Z powodu ścisłego związku między masą a ciężarem nie używamy nawet osobnej nazwy dla jednostki masy, lecz

mianujemy tę jednostkę tym samym wyrazem, jakiego używamy dla jednostki ciężaru.

W układzie jednostek, który, za przykładem fizyków angielskich, coraz więcej się rozpowszechnia, przyjmujemy centymetr za jednostkę długości, sekundę za jednostkę czasu, a gram, t. j. masę jednego centymetra sześciennego wody czystej przy największej gęstości (4° C.), za jednostkę masy. Jednostką siły w tym układzie jest przeto siła, która, działając na jeden gram, udziela mu w jednej sekundzie przyśpieszenia jednego centymetra. Tę jednostkę siły nazywamy dyną. Używając dla wyznaczenia siły wzoru P = my, wyrażamy wielkość siły w dynach jako jednostkach bezwzględnych, t. j. takich jednostkach, które nie zależą od miejsca na powierzchni ziemi, w którym działanie siły zachodzi.

Pospolicie używamy jednak innej metody mierzenia sił, porównywając je z siłą ciężkości. Jeżeli siła P udziela masie m przyśpieszenia 7, to

(4)

P = my —

Czynnik ~ jest liczbą bezwzględną; możemy zatym siłę wyrazić także w tych

samych jednostkach, w których wyrażamy ciężary ciał. Siła P gramów, przyłożona do masy P gramów, udziela téj masie przyśpieszenia g\ przyłożona zaś

P

do masy P' gramów, nadaje téj masie przyśpieszenie y — ~g.

Mierzenie siły jednostką ciężarów nie jest bezwzględne; wynik bowiem tego mierzenia zależy od miejsca na ziemi, w którym pomiar uczyniono, należy zatym dla dokładnego zrozumienia liczby, dającej wielkość siły, wymienić miejsce pomiaru. Z tego powodu nie nadaje się ta metoda do ogólnych badań naukowych, chociaż jest przydatna i wystarczająca w zagadnieniach natury praktycznej.

Ziemia przyciąga masę jednego grama siłą g dyn, z czego się okazuje, że przyśpieszenie spadku, wyrażone w centymetrach, przedstawia w każdym punkcie na ziemi czynnik zamiany względnej miary sił na miarę bezwzględną. Jeżeli przy mierzeniu sił w gramach chcemy zachować znaczenie równania

= 1, a zatym win-

P = my, to dla P = 1, 7 — 1, winniśmy brać m = ~

niśrny za jednostkę masy uważać tę masę, której ciężar jest wyrażony przez tyle gramów, ile centymetrów wynosi przyśpieszenie spadku. W średnich zatym szerokościach gieograficznych należałoby masę około 981 centymetrów sześciennych wody czystej przy 4° C. brać za jednostkę masy; ta jednostka zmieniałaby się stosownie do szerokości gieograficznéj miejsca. Przedstawia więc niedogodności względna miara sił.

69. Siły ciągłe 1 siły popędowe. Drugie prawo dynamiki daje nie-tylko miarę siły, ale wyraża nadto, że kierunek przyśpieszenia, którego siła udziela punktowi swobodnemu, jest kierunkiem siły. Bez względu na swą prędkość, punkt otrzymuje przyśpieszenie w kierunku działania siły; a gdyby

zachodziło jednoczesne działanie na punkt większej ilości sił, natenczas każda z tych sił wywołałaby przyśpieszenie w swoim kierunku, niezależnie od działania sił pozostałych. W tym pojęciu nazywamy drugie prawo dynamiki prawem niezależności działania sił.

Na podstawie dwu pierwszych praw określamy wszystkie cechy siły, które pozwalają wprowadzić ją w rachunek. Punkt materyjalny, na który siła działa, zowiemy punktem przyłożenia siły; prostą, wzdłuż której ma miejsce działanie siły, jéj promieniem działania. Punkt przyłożenia, wielkość siły i kierunek promienia działania określają siłę dokładnie. Odcinając -wielkość siły według pewnej, zresztą dowolnej, jednostki miary od jéj punktu przyłożenia na promieniu działania, możemy siłę przedstawić gieome-trycznie, podobnie jak prędkość, przyśpieszenie i t. p.

Jeżeli siła działa w kierunku prędkości punktu, natenczas ruch punktu pozostanie prostolinijowym, a ponieważ siła o niezmiennej wielkości daje przyśpieszenie stałe, przeto ruch punktu będzie jednostajnie przyśpieszony. Jeżeli v oznacza prędkość punktu, to mamy

dv

P —my, a ponieważ y —

przeto będzie także:

(5)

dv

dt dt

Ti (mv).

Iloczyn masy i prędkości punktu nazywamy ilością ruchu albo momentem ruchu tego punktu. "Według Newton’a uważamy ilość ruchu mv za dynamiczną (kinetyczną) miarę ruchu punktu. Ostatnie równanie okazuje, że jeżeli siła działa w kierunku ruchu (lub w kierunku wprost przeciwnym), natenczas miarą siły jest pochodna ilości ruchu względem czasu, czyli—jak się także wyrazić możemy—zmiana ilości ruchu w jednostce czasu. W tym znaczeniu pierwotnie Newton podał drugie prawo dynamiki.

Równanie (5) daje ogólnie dla jakiejkolwiek siły, działającej w kierunku ruchu punktu

P . dt — d(m . v).

Przyjmując wogólności siłę zmienną, całkujmy to równanie między dwoma wiadomymi krańcami tx i t₂, którymto czasom odpowiadają prędkości vti v₂\ i otrzymamy

'h

(6)

Żeby całka po lewej stronie tego równania mogła być obliczona, przyjmujemy, że znamy wielkość siły w funkcyi czasu.

Załóżmy, że przedział czasu t — t₂ — tt trwania działania siły nieogra-niczenie maleje, dążąc do zera, a wielkość siły nieograniczenie wzrasta; wówczas powyższa całka dążyć będzie wogólności do pewnej skończonej granicy F, otrzymamy

W nieograniczenie małym przedziale czasu z prędkość vx przybrała wartość v₂, jeżeli przypuścimy, że prędkość posiadała ciągle wartości skończone. Jeżeli Y jest największą wartością skończoną, jaką prędkość przybrała w przedziale z, to punkt opisał drogę mniejszą, niż Vt; jeżeli więc z zdąża do zera, to droga punktu także do zera zdążać będzie. Możemy przeto powiedzieć, że prędkość vx przybrała nagle wartość v₂, podczas gdy punkt nie poruszył się wcale.

Takich sił, któreby w nieograniczenie małym czasie wywoływały skończone zmiany prędkości punktu, niema wprawdzie w przyrodzie; zdarzają się jednak przypadki, że działanie siły trwa przez czas bardzo mały, a skutek jest tak znaczny, że do wywołania jego trzebaby przez czas dłuższy działać bardzo wielką siłą. Takie siły nazywamy siłami popędowymi, a niezupełnie właściwie także siłami chwilowymi. Ponieważ wielkość siły popędowej nie daje się wyznaczyć przez pomiar stopniowych zmian prędkości, a to z powodu, że jéj działanie trwa bardzo krótko, przeto stosujemy do takiej siły równanie (7), polegające na skupieniu działania siły w znikającym elemencie czasu. Miarą więc siły popędowej jest całkowity przyrost ilość ruchu punktu. Jeżeli punkt był w spoczynku, a zatym vx — 0, a v₂ = v, to miarą siły popędowej F jest ilość ruchu mv, nabyta przez punkt, gdy przyjmiemy F = 1 dla m — 1 i v = 1. Siły, których miarą jest iloczyn masy i przyśpieszenia, które zatym wytwarzają zmiany prędkości tego samego rzędu, co czas ich trwania, nazywamy siłami ciągłymi; zapomocą takiego określenia odróżniamy je wyraźnie od sił chwilowych.

Równanie (6) może być także zastosowane do siły ciągłej. Iloczyn siły P i elementu czasu dt nazywamy popędem chwilowym, albo impulsem,

P . dt nazywamy p o-

lubtćź popędem elementarnym siły, całkę zaś

pędem siły w czasie t₂ — tx. Równanie więc (6) wyraża twierdzenie : popęd siły równa się jednoczesnemu przyrostowi ilości ruchu jéj punlctu przyłożenia.

my.

70. Skład i rozkład sił. Jeżeli ilekolwiek sił na punkt jednocześnie działa, to każda z nich nadaje punktowi przyśpieszenie w kierunku swego działania, a wielkość tego przyśpieszenia otrzymamy, dzieląc wielkość owej siły przez masę punktu. Dokonywając składu oddzielnych przyśpieszeń zapomocą wieloboku, otrzymamy przyśpieszenie wypadkowe punktu. To jednak przyśpieszenie możemy zawsze uważać za nadane punktowi przez jednę siłę, działającą w kierunku tego przyśpieszenia, a wielkość téj siły wyrazi się przez iloczyn masy punktu i jego przyśpieszenia wypadkowego. Z tego wynika, że jednoczesne działanie ilukolwiek sił na ten sam punkt jest wogólności równoważne działaniu jednej siły, którą z tego powodu siłą wypadkową nazywa-Dane siły są téj wypadkowej siłami składowymi.

Z dwu pierwszych praw dynamiki wynika, że siłę wypadkową można bezpośrednio wyznaczyć tąż samą metodą, która służy do składu przyśpieszeń. Kreśląc bowiem wielobok, którego następujące po sobie boki przedstawiają,

co do wielkości i co do kierunku, siły składowe, otrzymujemy figurę podobną, do wieloboku przyśpieszeń i podobnie leżącą, a której każdy bok ma m-krotną długość odpowiedniego boku wieloboku przyśpieszeń, jeżeli m jest masą punktu. Ostatni zatym bok téj figury mieć będzie kierunek przyśpieszenia wypadkowego, a długość tego boku będzie równa m-krotnój długości boku, przedstawiającego to przyśpieszenie; ów zatym bok będzie przedstawiał żądaną siłę wypadkową. Taką figurę nazywamy wielobokiem sił. Ona rozwiązuje postawione zadanie o wyznaczeniu wypadkowej sił, które składem sił nazywamy.—Nawzajem możemy daną siłę rozłożyć na inne siły, do tegoż samego punktu przyłożone, stosując postępowanie, podane przy rozkładzie prędkości i przyśpieszenia. Skład sił możemy także uważać za przekształcenie czyli zmianę układu sił, do tegosamego punktu przyłożonych, które pozwala układ sił zastąpić jedną siłą, układowi sił równoważną, a zatym sprowadzić go do postaci najprostszej.

Jak przyśpieszenie punktu przy ruchu krzywoliniowym rozkładamy na przyśpieszenie styczno i przyśpieszenie normalne czyli dośrodkowe (art. 11), tak siłę, sprawiającą to przyśpieszenie, rozkładamy na siłę styczną i na siłę normalną, czyli dośrodkową. Siła styczna nadaje punktowi przyśpieszenie styczne w kierunku ruchu, skutkiem którego prędkość v przyrasta w tym kierunku o dv w elemencie czasu dt\ siła normalna nadaje punktowi przyśpieszenie normalne w kierunku normalnej głównej, ku środkowi krzywizny, wskutek czego punkt zbacza w tym kierunku, a ruch przestaje być pro-stolinijowym. Jeżeli Pc oznacza siłę styczną, P„ siłę normalną, to

d²s

dv

P» — m . —

dt²

Pc = m . -TT — m dt

gdzie inne litery mają takie znaczenie, jak w art. 11-ym. Siła styczna wywołuje tylko przyśpieszenie styczne, siła zaś normalna wywołuje tylko przyśpieszenie normalne, a każda z tych sił działa niezależnie od drugiej. Jeżeli Pn=r; 0, to siła P ma kierunek prędkości, a przeto ruch zostanie prostoliniowym i prędkość zmieni się tylko pod względem wielkości. Jeżeli Pż = 0, to siła P jest normalna do kierunku ruchu; w tym przypadku zajdzie zmiana prędkości tylko co do kierunku, a ruch będzie jednostajny. W każdym przypadku płaszczyzna, przechodząca przez prędkość i promień działania siły P, jest ściślestyczna do toru punktu; znając siłę normalną i prędkość punktu, możemy obliczyć krzywiznę toru.

Dwa układy sił, do tegoż samego punktu przyłożonych, mające tęż sarnę wypadkową, nazywamy równoważnymi, one bowiem nadają punktowi toż samo przyśpieszenie. Takie dwa układy sił mogą się wzajemnie zastąpić pod względem skutku, wywartego na punkt przyłożenia.

Jeżeli wielobok sił składowych jest zamknięty, układ sił nie udziela punktowi żadnego przyśpieszenia, a zatym punkt będzie się tak poruszał, jak gdyby tych sił wcale nie było. Ze taki skutek jest możebny, o tym wspominaliśmy przy pierwszym prawie dynamiki (art. 66). Ü takich siłach mówimy,

że nawzajem się znoszą, lub źe są w równowadze. “Wypadkowa takich sił jest równa zeru, a ten warunek jest zarazem dostateczny, aby się te siły znosiły. — Dwie siły równe i wprost przeciwne, do tego samego punktu przyłożone, znoszą się. Jeżeli do układu sił dodamy siłę, znoszącą wypadkową tego układu, lub dodamy układ sił, którego wypadkowa jest równa i wprost przeciwna wypadkowej danego układu, natenczas zniesiemy ów dany układ sił. Do każdego układu sił możemy dodać układ sił, znoszących się nawzajem, a skutek działania danego układu sił na punkt w niczym się nie zmieni. Równowaga stanowi jedyny przypadek, w którym działanie układu sił na punkt nie daje się zastąpić działaniem jednej siły.

Z powyższego wynika, że siła daje się jednym tylko sposobem rozłożyć na trzy siły w kierunkach trzech osi układu spółrzędnych, które nie są równoległe do jednej płaszczyzny (art. 4). Obierzmy prostokątny układ spółrzędnych x, y, z i oznaczmy odpowiednio przez X, Y, Z składowe siły P w kierunkach tych osi; wówczas

Y=bP.

(1)

X=zaP.

Z=zcP,

gdzie (a, 6, c) oznaczają dostawy kątów, które kierunek siły tworzy z cloda-tnymi kierunkami osi spółrzędnych.

Niech na punkt działa jednocześnie n sił P* (i = 1,2,3,..., w), stanowiących układ sił, który oznaczymy przez (P*); możemy każdą siłę rozłożyć na trzy składowe X< —a,-P,-, Y, — 6,P,, Z i =. c,Pt, gdzie ai} bn Ci są dostawami kierunkowymi siły PWypadkową sił X* będzie siła X = SXt-, działająca w kierunku osi x; podobnie otrzymamy wypadkowe Y = 2Yi, Z — 'LZ4 w kierunkach osi y i osi z. Śumy X, Y, Z przedstawiają odpowiednio rzuty wypadkowej na osi spółrzędnych; a więc wypadkową możemy wyrazić:

(2)

P = J/X² + Y² -J- Z².

Jeżeli przez a, b, c oznaczymy dostawy kierunkowe téj wypadkowej, to

(3)

b = Y-

(4)

Siły znoszą się, gdy ich wypadkowa P jest równa zeru, t. j. gdy

2X, = 0, 2Y, = 0, 2Ä, = 0j

ponieważ, nawzajem, z tych równań wynika P = 0, przeto one wyrażają warunki konieczne i dostateczne równowagi danych sił. Jeżeli w równaniach art. 5-go zamiast prędkości Vt podstawimy siłę P*, to otrzymamy twierdzenie ogólne: aby ilekolwiek sił, do jednego punktu przyłożonych, znosiło się nawzajem, potrzeba i wystarcza, żeby suma algiebraiczna ich rzutów prostokątnych na każdą z trzech doivolnych prostych, nierównoległych do jednej płaszczyzny, była równa zeru. W tym twierdzeniu jest także zawarte twierdzenie, które przedstawiają równania (4).—Jeżeli do punktu przyłożymy drugi układ (P/) sił P/, to warunki konieczne i dostateczne równoważności obudwu układów sił są

(5)

EX, = EX/, SYi = SY/, 2Z« = £Z/»

71. Momenty sie. Iloczyn wielkości siły i odległości danego punktu od promienia działania téj siły nazywamy momentem siły téj względem tego punktu. Punkt ów zowiemy biegunem tego momentu. To określenie jest równobrzmiące z określeniem momentu obrotu względem punktu (art. 25), jeżeli wyrażenia: «prędkość kątowa obrotu» i «oś obrotu» zastąpimy odpowiednio przez wyrażenia: «wielkość siły» i «promień działania siły». — Ponieważ skład sił o spólnym punkcie przyłożenia dokonywa się zupełnie tak, jak skład obrotów chwilowych, których osi przecinają się w jednym punkcie, przeto możemy twierdzenia o momentach obrotów bezpośrednio przenieść na momenty sił. Moment siły względem punktu przedstawiamy gieomet-rycznie takim samym sposobem, jak moment obrotu względem punktu.

Weźmy dowolny punkt (x, y, z) na promieniu działania siły, a X, Y, Z niech oznaczają rzuty siły w kierunkach osi spółrzędnych; moment [x téj siły względem początku osi będzie, według art. 25-go,

(1)

[x — [(Z y — Yz)² + (X* — Zx)² -f (Yx — Xy)²]\

Poprowadźmy płaszczyznę przez początek osi i daną siłę, wyprowadźmy do niej prostopadłą z początku osi, odetnijmy na téj prostopadłej długość [x (według art. 25) i rzućmy tę długość na osi spółrzędnych; wielkości L, M, N tych rzutów będą odpowiednio :

(2)

L — Zy — Yz, M — Xz — Zx, X = Yx — Xy.

Z tych równań wynikają dwa związki następujące:

(3)

XL -J- YM + ZN = 0, xL + yM + zN=0.

Niech do punktu (x, y, z) będzie przyłożonych n sił P,, stanowiących układ sił (P,:); między rzutami L,:, M*, momentów [i* tych sił P, "Względem początku osi, a rzutami L, M, X momentu jx wypadkowej P tego układu, zachodzą związki następujące (art. 25):

(4)

L = £L ^ M = 2M,-,

wyrażające twierdzenie: moment wypadkowej sił, mających spoiny punkt przy* łożenia, względem dowolnego punktu, jest równy wypadkowej momentów tych sił względem tego punktu. Skład momentów sił o spólnym punkcie przyłożenia daje się wykonać zapomocą wieloboku momentów tych sił (art. 25). Jeżeli siły leżą na jednej płaszczyźnie i mają spoiny punkt przyłożenia, natenczas moment siły ivypadkowéj względem punktu, obranego na téj płaszczyźnie* jest równy sumie algiebraicznéj momentów tych sił względem tego punktu (twierdzenie Varignon’a).

Jeżeli xx, yu zt są spółrzędnymi dowolnymi punktu, a Ll5 M1? Nt oznaczają odpowiednio rzuty momentu siły P względem tego punktu, to (art. 25)

L,    = Z(y - y.) - Y(a - *,) = L - (Zy, - Y a,),

M,    = X(a — a,) — Z(% — xx) = M—(Xa, — Z

N,    : Y(x— xt) —X(y — y.) = N - (Yx, -Xy,),

DYNAMIKA PUNKTU.— 72.

05

a zatym moment fi! siły P względem punktu (xt, yt, zt) wyrazi się zapomocą wzoru

H = VW + Mx* + Xt*.

Iloczyn wielkości siły i momentu (art. 26) jéj promienia działania względem danej prostej nazywamy momentem siły téj względem téj prostej, tę zaś prostą nazywamy osią momentu. To określenie jest równobrzmiące z określeniem momentu obrotu względem prostej (art. 26) przy odpowiedniej zmianie wyrażeń. Z tego wnosimy. źe wielkości, oznaczone poprzednio przez L, M, N, oznaczają odpowiednio momenty siły (X, Y, Z) względem osi spół-rzędnych x, y i z. Moment siły względem prostej jest równy rzutowi na nią momentu tejże siły względem dowolnego jéj punktu. Moment siły względem punktu jest wypadkową momentów téj siły względem trzech prostych, przecinających się prostokątnie w tym punkcie. Moment wypadkowej układu sił o spólnym punkcie przyłożenia względem dowolnej prostej jest równy sumie algiebraicznćj momentów sił składowych względem téj prostej. Te twierdzenia wynikają bezpośrednio z art. 26-go.

Aby wyznaczyć moment siły względem prostej, która nie jest osią spół-rzędnych, obierzmy na téj prostej punkt (x, y, z) i obliczmy, według (5), odpowiednie rzuty L1} M1? Nt momentu siły (X, Y, Z) względem tego punktu. Jeżeli a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe danej prostej, to moment pi.r téj siły względem prostej wyrazimy zapomocą równania

aLj -f óMt -j- cN1}

a jeżeli wstawimy wartości za L1} Mu Nt i oznaczymy przez a, ß, y odpowiednie momenty danej prostej względem osi spółrzędnych (art. 33), to

(6)

[j.'— aL-f-óM + cN -f-aX + ßY -j-yZ,

gdzie L, M, X oznaczają odpowiednio momenty danej siły względem osi spółrzędnych.

Jeżeli siły, do jednego punktu przyłożone, znoszą się, natenczas wielo-bok ich momentów względem każdego punktu jest zamknięty.

72. Równowaga punktu nieswobodnego. Jeżeli ilekolwiek sił przykładamy do punktu swobodnego, natenczas do równowagi tych sił potrzeba i wystarcza, aby ich wypadkowa była równa zeru (art. 70). Jeżeli jednak punkt przyłożenia sił nie jest swobodny, t. j. jeżeli on z danego położenia nie może przyjąć wszelkich nieskończenie bliskich położeń w przestrzeni (art. 42), to dla równowagi sił przyłożonych nie potrzeba koniecznie, żeby wypadkowa tych sił była równa zeru.

Analitycznym wyrazem nieswobody punktu są pewne równania, zachodzące między jego spółrzędnymi, które mają być dopełnione, niezależnie od sił przyłożonych. Jeżeli położenie punktu określamy zapomocą trzech spółrzędnych, to między tymi spółrzędnymi mogą zachodzić conajwięcej dwa równania, aby jeszcze ruch punktu był możebny. Niech jedno takie równanie będzie F(x, y, z) — 0; punkt z danego położenia (x, y, z) może zająć tylko takie położenie sąsiednie, którego spółrzędne x + dx, y-\-dy, z-\-dz przywodzą funkcyją F do zera. Możemy wtedy powiedzieć, że punkt pozostaje ciągle na pewnej powierzchni, określonej przez równanie F = 0. W przypadku dwu takich równań, F = 0 i <p = 0, mówimy, że punkt pozostaje na linii krzywTéj, przez te równania określonej, bez względu na siły przyłożone. Do równań warunkowych może także czas wchodzić wyraźnie, może być zatym ogólniej ¥(x, y, z, t) = 0 takim równaniem, a wtedy punkt pozostaje na pewnej powierzchni, poruszającej się w przestrzeni, zaś w przypadku dwu takich równań na pewnej poruszającej się linii krzywej.

W każdym z tych przypadków nieswobody punktu zachodzi równowaga sił przyłożonych, jeżeli wypadkowa tych sił jest normalna do powierzchni lub do linii krzywej, na której punkt ciągle pozostaje. — Jakoż, w przypadku pierwszym, gdy wypadkowTa sił nie ma kierunku normalnej do powierzchni, możemy ją rozłożyć na siłę normalną i na siłę, styczną do powierzchni w punkcie uważanym. Składowa normalna tej siły nie może mieć żadnego wpływu na ruch punktu, gdyż w jej kierunku ruch punktu jest niemoźebny wskutek danego warunku; tylko więc składowa styczna może punktowi udzielić przyśpieszenia, gdyż ruch punktu jest jedynie moźebny na płaszczyźnie stycznej do powierzchni. W razie zatym równowagi znika ta ostatnia składowa, a przeto wypadkowa jest normalna do powierzchni. — Podobnie okazuje się prawdziwość twierdzenia dla linii krzywej.

Ponieważ dostawy kierunkowe normalnej do powierzchni F = 0 w punkcie (x, y, z) są proporcyjonalne względem odpowiednich pochodnych cząstkowych funkcyi F względem spółrzędnych x, y i z, gdy w tych pochodnych podstawimy wartości spółrzędnych punktu, i ponieważ dostawy kierunkowe wypadkowej danych sił są odpowiednio proporcyjonalne względem jej rzutów X, Y, Z na osi spółrzędnych, przeto w przypadku pierwszym warunki równowagi sił są

dF dF dF dx ' dy ' Oz

W przypadku zaś danej linii krzywej załóżmy, że jéj równania są x — Fx(t), y—F₂(ł), z = Fs(t), gdzie t jest pewnym parametrem; wówczas szukany warunek równowagi wyrazi się zapomocą równania

(1)

X: Y:Z =

(2)

dx

dy

dz

X . —TT -f* Y. —^—(- Z . —X— ~ 0.

dt    dt    dt

Powyższe własności prawdziwymi pozostają, gdy warunki zawierają Wyraźnie; wystarczy bowiem do równowagi, żeby wypadkowa sił była normalna do powierzchni lub do linii krzywej w tym położeniu, które ta ostatnia chwilowo zajmuje w przestrzeni. Przy różniczkowaniu należy zatym za czas podstawić wartość, odpowiednią uważanemu położeniu punktu, t. j. wyznaczyć kierunek siły, jakgdyby powierzchnia lub linija krzywa była chwilowo nieruchoma.— Zagadnienia o równowadze punktu nieswobodnego możemy także rozwiązać zapomocą metody spółczynników nieoznaczonych. Niech zachodzi

czas

warunek F = 0; możemy wtedy równania (1) także otrzymać, rugując spół-czynnik nieoznaczony X z następujących trzech równań:

(3)

dF

dF

dF

X + >" dY“⁰’ Y+A-dY-⁰’ z + x'77⁼⁰’

albowiem dwa równania (1) wyrażają warunki konieczne i dostateczne, aby te trzy równania jednocześnie zachodziły. Kładąc Xt = X .

X.4?

dF

= X .

dy

Zi =

widzimy, że równania (3) wyrażają waruuki równowagi punktu

uważanego, gdyby on był swobodny wrazie, jeżeli do niego, oprócz siły (X, Y, Z), byłaby jeszcze przyłożona pewna siła (Xu Yu Z,), normalna do powierzchni F = 0. Wielkość atoli tej ostatniej siły nie jest oznaczona, ponieważ X ma wartość nieoznaczoną. Tę ostatnią siłę nazywamy oporem danej powierzchni, a ona właśnie znosi wypadkową sił przyłożonych. Okazuje się więc, że warunki równowagi punktu, pozostającego na danej powierzchni, dają się także wyznaczyć przez to, że punkt uważamy za swobodny, lecz do sił, rzeczywiście przyłożonych, dodajemy jeszcze opór powierzchni w kierunku normalnym. Wypadkowa sił, rzeczywiście przyłożonych, przedstawia wtedy ciśnienie, którego powierzchnia od tych sił doznaje. — W przypadku danej linii krzywej, określonej zapomocą równania F = 0 i cp — 0, możemy podobnie otrzymać odpowiedni warunek równowagi, rugując dwa spółczynniki nieoznaczone, Xt i X₂, z następujących równań:

X + X.

(4)

Y + X,

Z + X}

hrj & Mrj

dx

+ X₂

à'f

dy

dcp

dz

' dz

Siły dodane, których rzuty przedstawiają się jako iloczyny odpowiedniego spółczynnika i pochodnej cząstkowej danej funkcyi, wyobrażają opory dwu powierzchni, przecinających się podług danej linii krzywej, a wypadkowa tych oporów wyobraża opór tejże linii krzywej. Wypadkowa sił przyłożonych przedstawia wtedy ciśnienie, które te siły wywierają na daną liniją w punkcie uważanym.

73. Zasada prac przygotowanych. Nieskończenie małą drogę, po której opisaniu punkt przenosi się z miejsca pewnego do nieskończenie bliskiego w przestrzeni, nazwaliśmy w art. 24-ym przesunięciem tego punktu. Jeżeli ruch punktu podlega pewnym warunkom, od sił niezależnym (art. 72), to takie przesunięcie punktu z danego miejsca, wskutek którego punkt zajmuje w przestrzeni miejsce nieskończenie bliskie, odpowiadające danym warunkom, nazywamy przesunięciem przygotowanym (albo niekiedy przysposobionym) tego punktu. Przymiotnik «przygotowany» odnosi się tylko do

warunków, które pewne przesunięcie czynią moźebnym, bez względu na to, czy ono punktowi istotnie udzielone zostało. Jeżeli np. punkt ma pozostawać na powierzchni, to każde nieskończenie małe przesunięcie punktu z danego miejsca na téj powierzchni, zachodzące na płaszczyźnie stycznej do powierzchni, jest właśnie przesunięciem przygotowanym; jeżeli punkt ma pozostawać na pewnej linii krzywej, to przesunięcie przygotowane z danego punktu na téj krzywej ma kierunek stycznej do téj linii. Dla punktu swobodnego należy każde przesunięcie uważać za przygotowane.

Iloczyn wielkości siły, do punktu przyłożonej, i rzutu prostokątnego przesunięcia przygotowanego tego punktu na promień działania siły, nazywamy pracą przygotowaną, lub także momentem przygotowanym téj siły. Na oznaczenie przesunięcia przygotowanego używamy symbolu z rachunku waryjacyjnego, d, aby wyraźnie zaznaczyć, że to przesunięcie należy odróżnić od rzeczywistego przesunięcia punktu, przy którym także czas ma być uwzględniony; do tego ostatniego stosujemy symbol z rachunku różniczkowego, d. Oznaczmy więc przez ds przesunięcie przygotowane punktu, do którego jest przyłożona siła P; rzut dp tego przesunięcia na siłę będzie dp =. = ós.cos(P, ds), a zatym P . dp = P . ds . cos(P, Ss) będzie pracą przygotowaną téj siły. Z tego wyrażenia okazuje się, że pracę przygotowaną siły możemy także określić jako iloczyn przesunięcia przygotowanego punktu i rzutu prostokątnego siły na kierunek tego przesunięcia.

Rzut dp przesunięcia ds może mieć kierunek siły samej lub kierunek jéj przedłużenia; w pierwszym przypadku uważamy rzut dp za dodatny, a zatym pracę przygotowaną za dodatną; w drugim zaś przypadku uważamy rzut dp za ujemny, a zatym pracę przygotowaną za ujemną. Praca więc przygotowana siły jest dodatna, jeżeli kierunek przesunięcia ds tworzy z kierunkiem siły P kąt ostry; ta praca jest ujemna, jeżeli te dwa kierunki tworzą z sobą kąt rozwarty. Praca przygotowana siły jest równa zeru, jeżeli przesunięcie przygotowane punktu przyłożenia jest prostopadłe do siły.

Niech do punktu będzie przyłożonych ilekolwiek sił P,-, a temu punktowi nadajmy przesunięcie przygotowane ds, którego rzut na siłę P* niech będzie dp,; łatwo okazać, że praca przygotowana siły wypadkowej jest równa sumie alg icbr aie znój odpoieiednich prac przygotowanych sił składowych. Oznaczmy bowiem przez P siłę wypadkową; wtedy P . cos(P, ds) — SP*. cos(P*, ós); po pomnożeniu tego równania przez ds, otrzymamy, kładąc dp = ds . cos(P, ds), równanie

(1)

P . dp = SPi. dpi,

wyrażające właśnie powyższe twierdzenie.

Niech do punktu (x, y, z) będzie przyłożona siła (X, Y, Z), a dx, dy, dz niech będą rzutami przesunięcia przygotowanego ds tego punktu na osi spółrzędnyck, czyli przesunięciami przygotowanymi tego punktu w odpowiednich kierunkach osi spółrzędnych; wtedy wielkość X . 5#+Y. dy-\-Z . dz wyraża, według powyższego twierdzenia, pracę przygotowaną téj siły. Jeżeli

SX/, SY,-, S Z/ oznaczają odpowiednie sumy rzutów n sił P,, przyłożonych do punktu, na kierunki osi spółrzędnych, to Sa;. SX/-f S?/. S Y/d-S# . SZ/ jest sumą prac przygotowanych tych sił P».

74. Z pojęcia pracy przygotowanej można wyprowadzić ogólną metodę wyznaczenia wai unków równowagi sił, przyłożonych bądźto do punktu swobodnego, bądźtóż do punktu nieswobodnego. Ta metoda polega na następującym twierdzeniu ogólnym : aby ilekohviek sił, do jednego punktu przyłożonych, było w róicnoicadze, potrzeba i wystarcza, aby suma algiebraiczna prac przygotowanych tych sił była równa zeru dla każdego przesunięcia przygotoivanego tego punktu. To ważne twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę prac przygotowanych, albo zasadę momentów przygotowanych dla jednego punktu.

Aby okazać prawdziwość téj zasady, przypuśćmy, że do punktu (x, y, z) jest przyłożonych ilekolwiek sił P₀ których wypadkowa jest P; wtedy

(0

P . S_p = SP/. dpi = dx .ZX-ri-dy .hYi + dz . SZt

będzie sumą prac przygotowanych tych sił dla pewnego przesunięcia przygotowanego tego punktu.

Jeżeli ten punkt jest swobodny, wówczas do równowagi tych sił potrzeba i wystarcza, aby było P = 0, czyli, według (1), aby suma prac przygotowanych tych sił była równa zeru, jakiekolwiek przesunięcie temu punktowi nadamy. Ponieważ w tym przypadku przesunięcia dx, dy, dz są dowolne, przeto ostatnie wyrażenie w równaniu (1) będzie równe zeru, jeżeli SX/r= 0, SY/=;0, hZi — 0, a te warunki, jak wiadomo z art. 70-go, są konieczne i wystarczające dla równowagi.

Niech jmnkt pozostaje na pewnej powierzchni; wtedy każde przesunięcie punktu na płaszczyźnie stycznej jest przygotowane. Ponieważ zaś dla równowagi ma być wypadkowa P normalna do powierzchni, przeto będzie 5jp = 0 dla każdego przesunięcia przygotowanego, a zatym w przypadku równowagi będzie EP/.óp/^O. I nawzajem, jeżeli ten warunek zachodzi dla każdego przesunięcia przygotowanego, to Sp = 0, a zatym wypadkowa P będzie normalna do powierzchni, co zapewnia równowagę. — Podobnie można okazać prawdziwość podanej zasady dla punktu, pozostającego na pewnej linii krzywej. —

W zastosowaniu téj zasady należy w każdym przypadku szczególnym wyznaczyć związki między przesunięciami przygotowanymi punktu, zależne wyłącznie tylko od warunków jego ruchu, a niezależne od sił. Te zwdązki otrzymamy, różniczkując równania warunkowe przy pomocy symbolu d i opuszczając nieskończenie małe rzędów 2-go i wyższych. Zapomocą tych związków należy następnie wyrugować z równania (1) tyle przesunięć przygotowanych, ile jest tych związków; otrzymamy tym sposobem pewne równanie, w którym przesunięcia pozostałe są dowolne. Przyrównywając do zera czynnik każdego z tych Ostatnich przesunięć, otrzymujemy żądane warunki równowagi.

Jeżeli np. zachodzi jeden warunek ¥(x, y, g) — 0, to dla położenia przygotowanego fx-{-dx, y-\~dy, g-\-dg) punktu (x, y, g) mamy warunek

¥(x-{-dx, y-{-dy, £-Fd,0 = F-pöF=F-f

dF

dF

dF

dx

dg

dg — o.

A ponieważ F = 0, przeto szukany związek między przesunięciami przygotowanymi jest

(2)

dF

dF

dy

dy 4

dF

dg

dg — 0.

Jeżeli X, Y, Z są rzutami wypadkowej sił, przyłożonych do punktu, to zasada prac przygotowanych wyraża się zapomocą równania Xd#-{-Ydy-f--j-Zdg = 0. Wyrugujmy dg z tego równania i z warunku (2); otrzymamy

(3)

/V dF y dFY , dF

Ponieważ dx i dy są teraz dowolne, przeto wyrażeniem równowagi są następujące dwa warunki:

(4)

X.~

dF_ dF

dF

dF

dg

dx

dg

Z* dy

które otrzymaliśmy innym sposobem w art. 72-im.

Do uskutecznienia rugowania może także posłużyć metoda spółczynni-ków nieoznaczonych. Niech np. zachodzą dwa rówmania warunkowe, F = 0 i cp = 0; wtedy przesunięcia dx, dy, dg czynią zadość dwu warunkom, oF = 0 i dcpmO. Aby z tych równań i z równania Xdx-j-Ydy-{-Zdg—.:0 wyrugować dwa przesunięcia, dodajmy do lewej strony ostatniego równania wyrazy Xt . £F i X₂.8<p, w których Xt i X₂ są spółczynnikami nieoznaczonymi. Otrzymamy wtedy Xda:+YS//d-Zd^-pX₁.§F4-X₂.dcp = 0, czyli, po rozwinięciu,

⁽⁵⁾    (X+X,^ + X2jf)3æ+(Y+X'^f+K^)Sÿ+

+ (Z + X,17 + X27l)

a w tym równaniu należy teraz przesunięcia uważać za dowolne. Równania zatym równowagi będą

₍₆₎    x+X^+X^O, Y+X,f₊X₂-i=0) Z+K™+^=0.

Jeżeli z tych równań wyrugujemy Xt i X₂, to otrzymamy jeden związek między siłami i spółrzędnymi punktu, który wyraża, że wypadkowa sił jest normalna do linii krzywej F = 0, <p = 0.

Gdyby równania warunkowe zawierały czas wyraźnie, to wtedy należałoby przesunięcia przygotowane obliczać przy stałej wartości na czas t, a zatym różniczkować przy pomocy symbolu d przy stałym argumencie t.

75. Równania różniczkowe ruchu. Zasada d’Alembert’a. Jeżeli siły, do punktu przyłożone, nie są w równowadze, natenczas ruch punktu będzie skutkiem działania tych sił. Załóżmy naprzód, że punkt przyłożenia sił jest swobodny. Aby przy tym założeniu wyznaczyć ruch punktu, obierzmy w przestrzeni nieruchomy prostokątny układ spółrzędnych, rzućmy każdą siłę przyłożoną na kierunki osi tego układu i oznaczmy przez X, Y, Z odpowiednie sumy rzutów sił na te osi. Rozłóżmy podobnie przyśpieszenie punktu (x, y, z) na trzy składowe w kierunkach tychże osi. Wtedy z dwu pierwszych praw dynamiki wynika, że każda z sił X, Y, Z nada temu punktowi przyśpieszenie w swoim kierunku, które będzie równe ilorazowi z podzielenia wielkości tej siły przez masę tego punktu. Jeżeli zatym przez m oznaczymy masę punktu, to otrzymamy następujące trzy równania:

d²y v _ ’dt²’ Z~

d²z

(1)

dt²

d²x dt² ’

które nazywamy równaniami różniczkowymi ruchu punktu swobodnego. Gdyby punkt poruszał się na płaszczyźnie xy, to dwa pierwsze równania wystarczyłyby do określenia jego ruchu; gdyby punkt poruszał się po linii prostej, obranej jako oś x, to pierwsze równanie wystarczyłoby do określenia ruchu.

Niech punkt przyłożenia sił nie będzie swobodny, lecz niech między jego spółrzędnymi zachodzą związki, którym ruch punktu czyni zadość bez względu na siły. W tym przypadku przyśpieszenie punktu nie będzie miało kierunku wypadkowej P sił przyłożonych, a wielkość tego przyśpieszenia nie będzie ró-

d²x d²y d²z dt² ’ dt² ’ dt²

wna ilorazowi tej siły przez masę punktu. Jeżeli

śpieszeniami składowymi przyśpieszenia punktu, to punkt porusza się tak, jakgdyby był swobodny wrazie, jeżeli do niego w kierunkach osi układu spół-

są przy-

rzędnych przyłożono siły odpowiednio m.

d²x

dH)

d²z

Oznaczmy

dt² ’ dt² ’ "r* dt² ' przez Q wypadkową tych trzech sił, i rozłóżmy siłę przyłożoną P na dwie składowe, z których jedna niech będzie Q; wówczas druga składowa Qr będzie dokładnie określona. Ponieważ przyśpieszenie punktu pochodzi tylko od składowej Q, jakgdyby ten punkt był swobodny, przeto składowa Qr nie wpływa wcale na ruch punktu. Gdyby zatym siła Qr została sama przyłożona do tego punktu, to zachodziłaby równowaga wskutek danych warunków.

Z tego więc rozumowania wynika następująca prosta zasada wyznaczenia ruchu punktu nieswobodnego : rozłóżmy siłę, przyłożoną do punktu nieswo-bodnego, na takie dwie składowe, iżby dla jednej z nich zachodziła równowaga punktu przy danych warunkach; natenczas ruch punktu będzie taki, jakgdyby on był swobodny, a druga składowa była doń przyłożona. To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę d’A1 e m b e r t’a dla j ednego punktu.

Gdy X', Y’, Zf są rzutami siły Q' na osi układu spółrzędnych, to z rozkładu siły P na siły Q i Q' mamy

(2)

X' = X —m.

d²x

d²y

d²#

Y'=zY — m

Z' = Z — m.

‘ dP

Jeżeli więc 8x, 8y, 80 są przesunięciami przygotowanymi punktu (x, y, 0), to dla równowagi tego punktu przy działaniu siły Qr otrzymamy związek

dP

dP

(3) (X

d²x

dP

dhy

) 8y + (z

d²0

80 = 0

m' dP

który wyraża analitycznie zasadę d’Alembert’a. —

Siłę Q', której odpowiednie rzuty na osi układu spółrzędnych wyznaczają równania (2), nazywamy siłą straconą dla ruchu punktu nieswobodne-go. Jeżeli siłę P przyłożymy do punktu swobodnego, to cała siła wywrze działanie na punkt i sprawi jego ruch; jeżeli zaś przyłożymy ją do punktu nieswo-bodnego, to tylko jedna składowa Q téj siły sprawi ruch punktu, a druga składowa Q' będzie stracona z powodu nieswobody tego punktu.

Zasada d’Alembert’a pozwala otrzymać równania różniczkowe ruchu punktu nieswobodnego zapomocą postępowania podobnego do tego, które służyło do rozpoznania równowagi takiego punktu (art. 74). Z danych warunków, wiążących spółrzędne punktu, wyznaczamy związki między 8x, 8y i 80, które następnie służą do rugowania pewnej ilości tych przesunięć z równania (3), poczym pozostają w tym równaniu przesunięcia dowolne. Jeżeli czynnik każdego przesunięcia dowolnego przyrównamy do zera, to otrzymamy żądane równania ruchu punktu.

76. Równania różniczkowe Lagrange’a. Załóżmy, że ruch punktu poddany jest jednemu warunkowi F (x, y, 0) — 0. Wtedy z zasady d’Alembert’a, używając metody spółczynników nieoznaczonych (art. 74), otrzymamy następujące równanie:

dP

0) (X

d²x

dP

^8x + (y

d²y

dP

)sy+(z

d²0

dP

^S^-1-X.§F = 0,

albo, po wprowadzeniu wyrażenia dla §F,

)«5* + (y + X.-^

(2) (x + X

dF

(Px

. c—- — m .    —

dx    ćlP

dhj

' dP

-4-

dF

d²0

ds

dP

80 = 0,

gdzie przesunięcia są dowolne, ponieważ warunek F = 0 został uwzględniony. Przyrównywając więc każdy czynnik do zera, otrzymamy następujące równania różniczkowe:

d²x

dF

' dP

-=x+x^

(3)

d²y

dF

dP

d²z

' dP

— Z -f- X

dF

ós

określające ruch punktu na danej powierzchni F = 0. Z tych równań okazuje się, że ruch punktu na powierzchni może być badany w przypuszczeniu, że punkt jest swobodny, jeżeli do siły przyłożonej dodamy jeszcze siłę, normalną do powierzchni, o nieoznaczonej wielkości, a wyobrażającą opór tej powierzchni (art. 72). Ten opór zastępuje właśnie warunek F — 0. Rugując z równań (3) spółczynnik X, otrzymamy dwa równania różniczkowe rzędu 2-go między x, y: z i t, których całki ogólne pozwalają rozpoznać ruch punktu na powierzchni. Obliczywszy nakoniec spółczynnik X, otrzymamy ciśnienie, którego powierzchnia w każdym punkcie doznaje.

Postępując podobnym sposobem w przypadku, gdy dany jest tor (m) punktu, a zatym gdy zachodzą dwa warunki, F = 0 i <p = 0, otrzymamy równania

Ćl²X

' dt²

= X + Xt

(4)

im

d²y

dt²

= Y + X,

d²z

Ci,    ^

îs hrj hrj ^ hrj

CL. <2l, Cl,

*4 -6 *5 -6 5S -6

które, po wyrugowaniu spółczynmków nieoznaczonych Xx i X₂, dają jedno równanie różniczkowe między x, y, z i t. W tym przypadku zastępujemy dane warunki oporem linii krzywej (m), normalnym do niej w każdym punkcie, którego wielkość obliczyć możemy z wartości spółczynników Xt i X₂.

Równania (3) i (4), pozwalające zbadać ruch punktu zapomocą spółczynników nieoznaczonych, podał pierwszy Lagrange; dlatego nazywamy je równaniami różniczkowymi Lagrange’a.

• Ruch punktu, dla którego dane są warunki, niezależnie od sił zachodzić mające, nazywamy ruchem nieswobodnym tego punktu. Wtedy punkt albo pozostaje ciągle na pewnej powierzchni, albotćź tylko na pewnej linii krzywej poruszać się może. W każdym razie może być swoboda tylko tym sposobem ograniczona, że punkt jest połączony materyjaluie z innymi punktami, stałymi lub ruchomymi. Według powyższej metody zastępujemy te ograniczenia swobody pewnymi, niezupełnie oznaczonymi siłami, które służą pośrednio do ustawienia równań różniczkowych ruchu; po scałkowaniu zaś tych równin, możemy owe siły dokładnie obliczyć. Ponieważ te siły uwidaczniają w toku rachunku połączenia, wskutek których zachodzi właśnie ograniczenie swobody, przeto nazywamy je często siłami połączeń. Te siły należy uważać za przyłożone do punktu, a stosownie do zachodzących połączeń, można tym siłom dawać rozmaite nazwy szczególne. Jeżeli np. punkt znajduje się na końcu nici nierozciągliwćj i wskutek tego połączenia opisuje pewną liniją krzywą, to siłę połączeń przedstawia napięcie nici. Jeżeli w innym przypadku pręt sztywny sprawia, iż punkt pozostaje na powierzchni pewnej kuli, to natężenie tego pręta przedstawia siłę połączeń. Według trzeciego prawa dynamiki, zachodzi nietylko działanie połączeń na punkt, lecz także

oddziaływanie punktu na te połączenia, równe i wprost przeciwne odpowiedniej sile połączeń. Wyznaczywszy przeto siły połączeń, otrzymujemy tym samym siły, które materyjalne połączenia punktu wytrzymują, a znajomość tych sił w wielu razach jest potrzebna.

Do utworzenia równań ruchu można także użyć rozkładu siły na siły styczną i normalną, posługując się wiadomymi (art. 70) wzorami,

(S)

v²

dt

P„ = m . —-

ds

Atoli powyższe równania

dt

i wyrażając av nich prędkość jako pochodną

nie nadają się do rachunku, zwdaszcza dla punktu swobodnego, ponieważ kierunki sił Pi i Rn zależą od elementów toru, które właśnie wyznaczone być mają; stosowniejszy użytek można z tych równań zrobić w przypadku ruchu na danej krzywej. W niektórych zadaniach, np. przy ruchu centralnym, można użyć także spółrzędnych biegunowych, aby za ich pośrednictwem otrzymać równania ruchu.

77. Zasada Hamilton’a. Potencyjał siey. Równania różniczkowa ruchu można także wyprowadzić z innej zasady, którą podał W. R. Hamilton. Zważmy, że wielkości 8x, §i/, ds przedstawiają nieskończenie małe przyrosty spółrzędnych punktu, zadość czyniące warunkom jego ruchu, a które zresztą są najzupełniej dowolne. Możemy więc te przyrosty uważać ogólnie za wary-jacyje spółrzędnych, będące funkcyjami czasu t, i obliczać je tak, jak postępujemy w rachunku waryjacyjnym, t. j. uważać je za nieskończenie małe funkcyje argumentu t, który sam żadnej zmiany nie doznaje. Ta uwaga pozwala przekształcić równanie d’Alembert’a (art. 75) i wyprowadzić nową zasadę dla ruchu.

Równanie d’Alembert’a możemy tak napisać :

(0

\HWSx+

d²y

d²s

dt²

dt²

kładąc

X.dx-\-Ydy-\-Zds = W\ gdzie U⁽¹⁾ przedstawia pracę przygotowaną siły (X, Y, Z), mieć będziemy

3y+-grä*)

(2)

(3)

K'«

d²y

dt²

= U«.

możemy ostatnie

tTT ,    .    *.    . dx , dy , ds

Wprowadzając oznaczenia x —    , y —    , z =

równanie napisać w postaci

00

dy'

ds'

dt öyJr dt

= U6).

gdzie v oznacza prędkość punktu. Tę połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości nazywamy en ergi ją kinetyczną, albo także siłą żywą tego punktu. Energija kinetyczna punktu jest zawsze wielkością do-datną i ma wartość równą zeru dla punktu w spoczynku. Waryjacyją energii kinetycznej punktu j est

(8)

ST = m(x'. §x' + y'. dy' 4- z’ • <5z'),

co podstawiając w (6), otrzymamy

~ m(x’. dx-\-y'. dy 4- z' . dz) — ST = U⁽¹⁾, czyli

(9)

Mamy tu

Tt dt

A(^8.r) =

dx'

ddx

dx'

dx

dx'

dt

dt Sx+x’⁵jt’albo

(5)

dx'

dt

dx

dx-\-x'.dx', skąd

— Jt 0^^) — X' ‘ ^x’’

dt

dz'

dy'

i podobnie dla -dy i ^~dz. Podstawiając te wyrażenia w (4), otrzymamy Cl Z    Cl z

f m(x'dx + y'dy -f- z'dz) — m(x'dx'-[-y'dy'-\- z'dz’) =

(6)

UW.

Wprowadźmy oznaczenie

(7)

T = — (x'² + y'² -f z'²) =

A

mv²

ST + U(1) m(x' .dx-\-y' .dy z'. dz).

To równanie zachodzi w każdej chwili podczas ruchu, jeżeli tylko dx, dy, dz zostały wyznaczone według danych warunków. Mnożąc to równanie przez d t i całkując je następnie między dowolnymi lecz stałymi krańcami tx i t₂, otrzymamy dla każdego ruchu :

(10)

(ST + UW) dt —

m(x'. dx + y'. dy-{-0'. dz),

gdzie symbol podstawienia oznacza, jak wiadomo, że po prawej stronie mamy podstawić naprzód t ==. t₂, następnie zaś t — tx, i od wartości tego wyrażenia dla t₂ odjąć jego wartość dla tx. Załóżmy teraz, że waryjacyj dx, dy, dz dla tx i t₂ niema, t. j., że dla t = tx i dla t—t₂ dane są położenia punktu; wtedy prawa strona równania będzie równa zeru i otrzymamy przy tych założeniach dla każdego ruchu

'h

To równanie wyraża analitycznie tak zwaną zasadę Hamilton’a. Wysłowienie tej zasady na podstawie powyższego równania byłoby tylko opisaniem tego równania i dlatego możemy je pominąć.

Znaczenie powyższego równania staje się zrozumialszym, gdy wyraz ST-j-U^ pod znakiem całkowania jest waryjacyją pewnej funkcyi spółrzę-dnych punktu, otrzymaną wskutek nieskończenie małego przyrostu tych spół-rzędnych przy niezmiennym argumencie t. Ten przypadek zajdzie widocznie wtedy, kiedy wielkość U⁽¹⁾, t. j. praca przygotowana sił przyłożonych, jest waryjacyją pewnej funkcyi U = F(x, y, z), która także czas wyraźnie zawierać może. Kiedy zatym

(12)

XSz+YSÿ+Z3s = 8U = -

CS,; ^

dU

dy

dy-\-

dV

dz

8e.

Ponieważ to równanie ma zachodzić przy jakichkolwiek wartościach nieskończenie małych, nadanych waryjacyjom 8x, dy, 8zr od siebie niezależnym, przeto

(13)

dU

dU

dx

dz

Wziąwszy pochodne obu stron pierwszego z tych równań względem y, a drugiego względem x i odejmując je od siebie stronami odpowiednimi, otrzymamy

dX dY

(14)

d Y dZ

dZ__ dX dx dz

.    ,    = 0 ; taksamo —

dy dx    dz dy

Ponieważ te równania wyrażają związki, które niezależnie od funkcyi U zachodzą między pochodnymi cząstkowymi sił X, Y i Z wrazie, gdy mają miejsce równania (13), przeto one przedstawiają zarazem warunki konieczne i wystarczające, aby U⁽¹⁾ = 8 U.

Jeżeli siła, do punktu przyłożona, ma tę własność, że jéj rzuty prostokątne na trzy osi układu spółrzędnych są odpowiednio równe pochodnym cząstkowym pewnej funkcyi spółrzędnych tego punktu, wziętym względem tych .spółrzędnych, natenczas tę funkcyją nazywamy funkcyją siły lub także potencyjałem siły. Potencyjał U jest funkcyją spółrzędnych punktu; jego wyrażenie może także czas t zawierać wyraźnie; nie zależy on atoli od pochodnych tych spółrzędnych względem czasu. Z równań (12) widzimy, że, gdy istnieje potencyjał siły, praca przygotoivana têj siły jest równa waryjacyi tego potencyjału, jeżeli przy obliczaniu téj waryjacyi nie zmieniamy czasu.

Wrazie więc, kiedy istnieje potencyjał siły, jest

a t + u<ł> = aT + au = a(T-ł- u),

z równania (11) zaś otrzymamy nowe równanie,

— = 0.

(15)

(T + U).^ = 0,

wyrażające zasadę Hamilton’a w przypadku istnienia potencyjału siły. Między

dwoma danymi położeniami punktu jest nieskończenie wiele ruchów wogólno-ści możebnych; atoli jeden tylko ruch tego punktu rzeczywiście zachodzi. Jeżeli dla rzeczywiście zachodzącego ruchu punktu wyznaczymy wartość całki

’h

(T -f- U) . dt między danymi krańcami, to waryjacyja téj całki będzie równa zeru, jeżeli z tego ruchu przejdziemy do jakiegokolwiek innego, między tymiż samymi krańcami możebnego ruchu, który różni się nieskończenie mało od tego ruchu rzeczywistego. Wiadomo, że równanie (15) wyraża warunek konieczny, aby powyższa całka posiadała wartość najmniejszą lub największą; zasada więc Hamilton’a to wyraża, iż dla rzeczywistego ruchu punktu między

dwoma danymi krańcami całka

(TArTJ)dt ma, iv ogólności wartość naj-

mniejszą luk największą, jeżeli siła przyłożona posiada potencyjał.

W celu okazania, że zasada Hamilton’a prowadzi istotnie do równań ruchu, podstawmy w równaniu (11) wartości dla 6T i U⁽¹⁾; wówczas

'h

(16)

[m(x'd x' -\-y'óy¹ -{-z'dz')-\-Ç£$x-{-Yóy-\-7józj\ dt~ 0;

a ponieważ

x’dx' — ~ (x'dxj

dx'

dt

Sx —

fr (x’óx) —

d²x

dt

dt²

dx,

grange’a.

swo-

78. Inna postać równań Lagrange’a. Zasada Hamilton’a nadaje się bardzo korzystnie do przekształcenia równań różniczkowych ruchu, jeżeli zamiast spółrzędnych prostokątnych x, y, z chcemy użyć innych zmiennych, mających określić położenie punktu w przestrzeni. Niech punkt będzie

(17)

£[(x-m-Ê)⁵*+(Y

d²y

d²z

' dt²

m ' dt²

^ § z^ d t — 0,

gdyż waryjacyje spółrzędnych są równe zeru na krańcach całkowania. Możemy widocznie waryjacyje zawsze tak obrać, żeby wyraz w nawiasach pod znakiem całkowania stawał się równym zeru dla każdego, z wyjątkiem jednego, elementu czasu od tx do t₂. Aby więc powyższa całka była równa zeru, potrzeba, iżby

d²z

■§) s*+(z

) Sx + (y

co wyraża właśnie zasadę d’Alembert’a, dającą bezpośrednio równania ruchu, jakeśmy powyżej okazali. Zasady d’Alembert’a i Hamilton’a są przeto równoważne, a obiedwie prowadzą do ogólnych równań różniczkowych La-

d²x

dt²

’ dt²

dz =■ 0

bodny, zamiast zaś spółrzędnych x, y, z użyjmy innych trzech zmiennych ą,,    #3? które, uważane za funkcyje czasu, mają, służyć do określenia miej

sca, a zatym i ruchu punktu. Wyrażając x, y, z przez qu ąz, q₃, mieć będziemy

i podobnie y', z' i dy, dz. Podstawiając te wartości w T, otrzymamy na T funkcyją kwadratową i jednorodną pochodnych ął, których spółczynniki będą funkcyjami zmiennych qt. Będzie zatym

dT

(2)

ST =

à (li

°<k-\

dT

dął

Sä/)-

Następnie otrzymamy

(3) TJW=X.dx+Y.dy+Z.dz=z(x

a kładąc

dx

’ dąi

*î<+Y.

dy

dąi

s^+z.

dz

dąt

(4)

Q, = s(x

dx

dy

^ , mieć będziemy

. .    pY.-^ + Z.

dą{    dąi    dąi

üw = £Q Mi,

gdzie sumowanie odnosi się do wskaźników i. Podstawiając wartości z równań (2) i (5) w równanie

(6)

t-z

(ST+ Ü W)cU = 0,

otrzymamy

(«)

dT

dąi

dt — 0.

Ponieważ

dął

S ął .dt —

<?T Ädąi

w di tZ=

d T dd ąi dął ' dt

- dt —

~ dął

Są* —

fiW-

. dt,

przeto, gdy weźmiemy krańce tt i t₂, dla których waryjacyje dąi są równe zeru według założenia, to

r²

A w

dął. dt — —

&(%)•*

. dt.

¹

podobnie dla y i z, przeto, według równania (16),

Z równania zatyra (6) mamy

(7)

dT

àqi

. cl t ~ O ;

ponieważ waryjacyje dq, są dowolne, przeto spółczynnik każdej zosobna wary-jacyi jest równy zeru i otrzymamy równania różniczkowe ruchu w postaci następującej :

(8)

d / dT \ dt \ dqi )

dT

dq>

= Q»j t = 1,2,3.

Jeżeli zachodzi potencyjał U, który wyrażamy także zapomocą nowych zmiennych qi: to zamiast U⁽¹⁾ należy wziąć SU, gdzie

0q,

będzie więc

âU

dqi ’

następujące równania ruchu:

a zamiast równań (8) otrzymamy w tym przypadku

czyli

d / dT \ dt V dq! )

OT _ dli dqi ~ dq<

(9)

d 'OT \ à(T + U) .    .

dt\ćql )    dqi

— 1,2,3.

Równania różniczkowe ruchu w postaci (8), a odpowiednio (9) Lagrange pierwszy podał. Równania Lagrange’a pozwalają ruch punktu określić za pośrednictwem jakichkolwiek wielkości, które ogólnie za spółrzędne tego punktu uważać możemy, a których szczególnym przypadkiem jest układ spółrzę-dnych prostokątnych. Aby zapomocą takich spółrzędnych o znaczeniu ogólniejszym wyrazić ruch punktu, należy przekształcić wyrażenie energii kinetycznej punktu, tudzież wyrażenie potencyjału siły, i podstawić je w równanie

(9), aby tym sposobem otrzymać równania ruchu. Jeżeli potencyjał nie za_ chodzi, natenczas trzeba pracę przygotowaną siły wyrazić przez dane spółrzędne, aby według (8) otrzymać równania ruchu.

Jeżeli punkt nie jest swobodny, lecz między jego spółrzędnymi zachodzi jedno równanie, F = 0, które także czas zawierać może, to najkorzystniej wprowadzić takie dwie nowe zmienne ql i q₂, od siebie niezależne, aby, po wyrażeniu spółrzędnych prostokątnych przez ql i q₂ i wstawieniu tych ich wyrażeń w równanie warunkowe, otrzymać tożsamość. Niech np. punkt porusza się na powierzchni kuli x² + y* -f #² = r²; wprowadzając takie dwie nowe zmienne, qt i q₂, żeby x~r cos qt, y = r sin qt cos q₂, s = r sin qi sin q₂, przywiedziemy dany warunek do tożsamości. Używając takich zmiennych dla przekształcenia równania Hamilton’a, otrzymamy zamiast równania (7) równanie

dT

àqt

àq₂

dt—0

z którego wynikają dwa równania różniczkowe ruchu,

(10)

d (dT\

dt\dqi )

dT

dqx

=y

d / OT \ dt \ 0q₂ )

OT

àq₂

o możliwie najmniejszej ilości zmiennych. W przypadku zaś istnienia poten-cyjału U, otrzymamy

(U)

d / dT \ _ d(T-j-U)

dt

Oqi

d / dT \ dt \dq₂' )

_ d(T+ü)

dq₂

Podobnym sposobem można otrzymać jedyne równanie ruchu, jeżeli punkt porusza się po danej linii krzywej. W tym przypadku możemy spółrzędne punktu x, y, z wyrazić w funkcyjach jednego parametru q, który wystarcza do określenia ruchu tego punktu.

Chcąc np. otrzymać równania różniczkowe ruchu punktu swobodnego we spółrzędnych biegunowych r, 0, cp, wprowadzonych w art. 10-ym, mamy

x~r cos 0 sin cp, y = r sin 6 sin cp, z — r cos cp,

(12) T = [r²cpr2 -j- r²sin²cp . 0'² -f- P²]

--0

de ’

-r— ==. m r². sin cp cos cp. 6'²,

dtp

OT

0<pr

=mr²(p',

OT

OT

dr

=■ mr( <p'²+sin²cp. 0'²),

OT

-jo,—mr²sin²<p. 6', ~r=mr',

0x

dy

Oz

podobne wyrażenia otrzymamy dla Qg i Qr. Podstawiwszy wartości pochodnych spółrzędnych x, y, z względem cp, 6, r, mieć będziemy

= r(X coscp cos0 — Y sin cp sin 6 — Z sin cp),

Q₉ = r(— X sincp sin0 4- Y coscp cos6),

Qr = X. sin cp cos 0 + Y cos cp sin 0 + Z cos cp,

gdzie X, Y, Z oznaczają siły, działające na punkt w kierunkach osi spółrzędnych. Według (8) zatym szukane równania ruchu dla punktu swobodnego są

(13)

• h (** • w) - mrl sin f cos<f ©"=Q

,A(,,sin,T|6)=Q,

[(ffiWŚr)]

d²r

* dt²

mr

= Qr.

79. Równania ruchu Hamilton’a (równania kanoniczne). Niech

* —    *72)? y — ^yifh ? ^2)5 3 = F*(?t, <?₂)    równaniami powierzchni, na

której się punkt porusza, a (X, Y, Z) niech będzie siłą przyłożoną. Wyraziwszy rzuty prędkości x\ y\ z' punktu (x, y, z) linijowo zapomocą pochodnych qx i q2 i podstawiwszy te wartości w wyrażenie energii T, otrzymamy

(1)

T = Tn .    + 2 T„ . ?1V+ T₂₂ . ?₂'²,

gdzie Tu, T₁₂, T₂₂ są funkcyjami zmiennych qx i q₂. Różniczkując T cząstkowo względem qx i q₂\ otrzymamy

dT

(2)

d~p — 2 (Tu . qx -f- T₁₂ . q₂),

dT

j—y —; 2 (T₁₂ . qx -f- T₂₂ . q₂),

a kładąc

(3)

dT

dT

Pl~àti" P*~dtp

możemy, według (2), wyrazić p, i p₂ linijowo zapomocą qx i q₂, przyczym spółczyn-niki tych wyrażeń będą funkcyjami zmiennych r/, i q₂. Podstawiwszy wyrażenia (3) w (2), możemy nawzajem qx i q₂ wyrazić linijowo zapomocą pt i p₂, przyczym spół-czynniki tych wyrażeń będą także funkcyjami zmiennych qx i q₂. Tym sposobem możemy px i p₂ uważać za nowe zmienne zamiast qx i q₂. Podstawiając wyrażenia qx i q₂ zapomocą px, p₂, qt i q₂ w wyrażenie energii T, a ujmując dla odróżnienia w nawiasy pochodne cząstkowe tak przekształconego wyrażenia energii T, mieć bę-dziemj’

(*)

dT —

/dT\    /dT\ , /dT\ , /dT\

\fa) dpi + (diJ dP2 + ( WJ dqi + fe)

dq₂.

Wziąwszy jednak pierwotne wyrażenie (1) energii T, mamy

2T =

dT

91 •+*

dT

czyli

(5)

dT

dT

T = 5ï?ft+35îfc

— T.

Różniczkujmy to równanie względem wszystkich zmiennych qif q₂, qx i q₂\ otrzymamy

ijT

dT

dT

dT

dT

dqx'

+ * d (dT ₇    , dT

UrłłH

d?₂

dq₂

dT , dT A

dq^dd',H + àîjâç*)

czyli, po Uwzględnieniu równań (3),

dT — qx . dpi -f- q₂ . dp₂ —

(6)

CL

dT

w, *²'

Z porównania wyrażeń (4) i (6) wynika

(7)

dT

dqx

m

\dqj

OT

(--l

\ d?₂/

0q₂

Podstawmy te wyrażenia w równaniach ruchu (10) artykułu p oprz ed z aj ą c ego, wyrażając wszystkie wielkości zapomocą nowych zmiennych px, p₂, qx i q₂ ; natenczas nawiasy będą zbyteczne i otrzymamy równania ruchu w nowych postaciach nowicie :

a mia-

(8)

I dqx _ dT

J dt 0px

dq₂ _ dT

dt 0p₂

dP 1

dT

dp₂

dT

+ Q2 •

dqx

Tym sposobem przedstawiamy ruch punktu na danej powierzchni zapomocą czterech równań różniczkowych rzędu 1-go między pięcioma zmiennymi pi} p₂, qx, q₂ i Te równania nazywamy równaniami Hamilton’a, albo równaniami kanonicznymi ruchu. Możemy je bowiem uważać za równania typowe, nadające się do wszelkich badań ruchu na powierzchni.

Jeżeli siła (X, Y, Z) posiada potencyjał U, który zależy od .r, y, z (zawierając lub nie zawierając t): a zatym zależy tylko od qx i y₂, i nie zawiera pochodnych qx i q₂ , a więc jest niezależny od px i p₂, to będzie, jak wiadomo (art. 78),

dt

dt

d?₂

Qi —

\dij

dU

dU

0qx

0q₂

dwa ostatnie przeto z równań (8) będą

dpx

d(T — U) dp₂ __    d(T — U)

dt

0qx

dt

d<?₂

Kładąc

(9)

i zważając, że    — YT1, otrzymamy, w przypadku istnienia poten-

cJpl dpi dp₂ ôp₂

d II

cyjału siły, następujące równania kanoniczne ruchu na powierzchni:

(10)

/ dqx dH

I dt    dpi '

d q₂

dt

«a,

dpi

dH

dp₂

dli

dt

dqx ’ dt

d<h '

Podobnym sposobem można także otrzymać dwa równania kanoniczne ruchu punktu po danej linii krzywej.

I)la punktu, poruszającego się na kuli, będzie (art. 78)

^ — r . cos 0 sin cc, y ~r . sin 0 sin cp,    z—.r. cos >p,

gdzie r jest wielkością, stałą. Jest więc

(70

dt

•)1

Kładąc zatym

0i

dT

()T

dp

rrwr². sin²<p .

Pt =    =zzmr². —¹

T dp    dt

i uważając 0t i pt za nowe zmienne pt i qi, będziemy mieli

d6'

dt ’

<76

0i

dtp __ <pt

dt ?7i?’²sin²cp

SÄ^C»'*

6i²

OT

sin ² <p

0i

dT _ cpi

dQi

m r² . sin ² p ’ dp! mr'²’

Równania zatym kanoniczne ruchu punktu na kuli są

(70

dt mr² sin²cp ’

(70!

dt

mr2 5

—- Qi

dt

/db Y .

\77/ smcPcos? + Q2?

gdzie

dy

dz

Ql~X,^0+Y-^0 +Z-d6’ Qa^X-

dx

dy

dz

<?<p

’ flcp

' (7<p

Bibi mat.-fiz., S.IV, f. X.

•OJ

BOZDZIAL VII.

CIĄG DALSZY DYNAMIKI PUNKTU.

(KINETYKA PUNKTU.)

80. Rozwiązania ogólne równań ruchu. Otrzymawszy według podanych metod równania rucliu? należy się zająć ich całkowaniem. Jeżeli ruch punktu jest prostoliniowy, x oznacza odległość punktu od punktu stałego, obranego na prostej, m masę punktu, a X siłę działającą wzdłuż prostej, to

0)

d²x

‘ dt²

jest jedynym równaniem różniczkowym tego ruchu, w którym X jest wogólno-cl oc

, ści funkcyją wielkości , x i t. To równanie możemy napisać ogólnie pod postacią

(2)

dx

-n /d*X

* \Tt* ’ 11

X, t

)=°

z której się okazuje, że rozwiązanie zagadnienia o ruchu prostoliniowym punktu sprowadza się do całkowania jednego równania różniczkowego zwyczaj-

cl oc

nego rzędu 2-go między dwiema zmiennymi x i t. Kładąc xl — -^j, możemy powyższe równanie zastąpić przez układ równoważny dwu równań rzędu 1-go między trzema zmiennymi,

(3)

dx'

dx

dt    t}’

Całka ogólna równania (1) lub (2), czyli tak zwana całka druga tego równania, którą możemy wyrazić w postaci

f(x, t, ej, c₂) = 0,

jest wyrażeniem x w funkcyi zmiennej niezależnej t, zawierającym dwie stałe dowolne c, i c₂, które można tak wyznaczyć, iżby zmienna x i jej pochodna x' przybrały dane wartości dla pewnej wartości czasu t. Dla wyznaczenia tych stałych, a zatym dla rozwiązania podanego zagadnienia, musimy znać miejsce i prędkość punktu dla jiewnego czasu. Zadanie o ruchu uważamy za rozwiązane, jeżeli wyznaczymy całkę ogólną i wartości stałych. Warunki, pozwalające wyznaczyć owe stałe, nazywamy wogólności warunkami początkowymi ruchu, one wyrażają bowiem zwykle x > x’ dla t — 0.

Używając układu równań (3), uważamy zadanie za rozwiązane, jeżeli wyznaczymy odpowiedni układ równań całkowych, czyli tak zwanych rozwiązań zupełnych, t. j. równań

(5)

fi{x\ x, t, Ci, C₃) — 0, /₂(P, x, /, G\, C₂) — 0,

w których Ct i C₃ oznaczają stałe dowolne. Za rozwiązania zupełne uważamy także dwa równania

(6)

> Ci > Ca), =F ? Ci ? C₂),

wyrażające drogę i prędkość w funkcyjach czasu, w których obliczono stałe stosownie do warunków początkowych. —

Równania różniczkowe ruchu krzywolinijowego punktu swobodnego są

(7)

d²x

d²y

dt²

dt²

— Y, m

d²z

dt²

w których jako X, Y, Z należy wziąć rzuty prostokątne siły przyłożonej) bę-

x, y, z i t. Podsta-

dx dy

dące wogólności funkcyjami wielkości —,

Cl Z Cl Z

î>>

dx dy dz

— odpowiednio nowe zmienne x\ y\ z\

możemy powyższy układ trzech równań różniczkowych rzędu 2-go zastąpić przez układ równoważny sześciu równań różniczkowych rzędu 1-go

wiając zamiast pochodnych,

a z a z ci z

dx'

dz'

(8

dt

a,

^ Sä

X¹

dz

dt ^ ’ dt

z\

Przez całkowanie układu (7) lub (8) otrzymamy składowe prędkości punktu, tudzież spółrzędne jego w funkcyjach czasu. 'Rozwiązania zupełne tych równań będą zawierały sześć stałych dowolnych;« należy zatym zagadnienie uważać za rozwiązane, jeżeli wartości tych stałych zostały wyznaczone. A\T celu wyznaczenia stałych potrzebujemy znać wartości spółrzędnych i ich jiocho-dnych dla pewnej wartości t, t. j. z warunków początkowych wyznaczymy spółrzędne punktu i rzuty jego prędkości dla danego czasu.

81. Zasada pól. Jeżeli równania ruchu (każde z osobna) nie są całkowalne, natenczas, dla scałkowania układu

to całkując te nowe równania, otrzymamy

(3)

d>i = C

(1)

d²x

dHy

d²z

dt²

dt²

dt²

tworzymy z tych równań przez pewne ich połączenia trzy inne równania, mogące je zastąpić, których lewe strony są pochodnymi zupełnymi pewnych fun-

kcyj wielkości    x, y, z i t, a których prawe strony są zerami.

Jeżeli takie połączenia są możebne, jeżeli zatym układ (1) możemy zastąpić przez układ następujący:

d<ł>t

(2)

dt

=0

d<P₃

dt

dt

<P₂ = C₂, $₃ = C

gdzie C1; C₂ i C₃ oznaczają stałe. Równania (3) przedstawiają tak zwane całki pierwsze równań (1). Rozwiązując je względem x', y' i z\ otrzymamy rzuty prędkości punktu w funkcyjach zmiennych x, y, z, t i stałych Ct, C2 i C₃. Jeżeli z tych rozwiązań względem x\ y\ z¹ można podobnie utworzyć trzy nowe równania, np.

(4)

<2 fi

dW₂

dt

to przez całkowanie tego układu otrzymamy całki drugie równań ruchu

(5)

Vx = clt fa = c„ W₃ = c₃,

w których ct, c₂ i c₃ oznaczają nowe stałe. Rozwiązania (5) zawierają sześć stałych dowolnych, które z wartości początkowych na x, y, z, x\ y' i z' mogą być obliczone.

Takie postępowanie z łatwością prowTadzi do celu, jeżeli funkcyje i f ,• łatwo wyznaczone być mogą. Pewne grupy zagadnień o ruchu jmnktu mogą być rozwiązane na podstawie tej metody, która prowadzi do ważnych a ciekawych twierdzeń o ruchu, wynikających z rozważania powyższych całek. —

Możemy otrzymać jeden taki układ trzech równań (2), mnożąc ostatnie z równań (1) przez y i dodając do niego drugie, pomnożone przez —x, mnożąc następnie pierwsze przez z i dodając do niego trzecie, pomnożone przez — x, nakoniec, mnożąc drugie równanie przez x i dodając pierwsze, pomnożone przez — y. Tym sposobem otrzymamy następujące trzy równania:

m (y

-Y *,

d²z

dt²

m yz

d²x

d²z

= X.z — 7aX

= Y x^-Xy,

które możemy tak symbolicznie przedstawić:

= X.Z — Zx

(6)

\dt.m\x-Tt-y-Tt) = Yx-*y-

Prawe strony tych równań wyrażają odpowiednio momenty siły (X, Y, Z) względem osi spółrzędnych (art. 71), a icli lewe strony są pochodnymi zupełnymi względem t. Jeżeli składowe siły zadość czynią warunkom

(7)

Zy — Y a — 0

X z — Z x — 0, Yx — X ?/ — 0,

wtedy

(8)

/    / da dy

yjTt~z-di \ Q dt

•§?)-«.

(4,-41)=»;

dx

otrzymamy zatym następujące całki jiiérwsze równań ruchu:

da dy

dx

da

(9)

S ’ At    'V'dt~G*’

dx

x rh^t/ zz. — c

x'dt y-at~ °3,

Równania (7), wyrażające warunki istnienia tych całek, są od siebie zależne; jeżeli bowiem którekolwiek dwa z tych warunków zachodzą, to trzeci będzie także spełniony. Według więc tego, czy tylko jeden, czytćż wszystkie trzy warunki (7) są spełnione, otrzymamy tym sposobem albo jednę albotóź trzy całki pierwsze.

Każdy zosobna z warunków (7) wyraża, że moment siły względem jednej z osi układu spółrzędnych jest równy zeru, że zatym siła przecina odpowiednią oś. Jeżeli siła, nie leżąca na płaszczyźnie spółrzędnych, przecina dwie osi, to ona przechodzi przez początek układu, a zatym przecina także oś trzecią. Siłę, do punktu przyłożoną, której promień działania przechodzi stale przez pewien punkt, nazywamy siłą centralną, a to z tego powodu, że przyśpie-szenie punktu swobodnego, do którego taka siła jest przyłożona, przechodzi przez punkt stały, a zatym ruch punktu jest ruchem centralnym (art. 15). Dla ruchu przeto centralnego możemy bezpośrednio podać trzy całki pierwsze (9). Jeżeli siła stale przecina tylko jednę z osi układu spółrzędnych, natenczas otrzymamy tylko jednę całkę pierwszą, odpowiadającą tej osi.

Niech m, (x, y, z), i m, (xĄ-dx, yĄ-chj, z-\-dz), będą dwoma nieskończenie bliskimi położeniami punktu; wtedy wielkości dFx — ~ (ydz ■—zdy),

£u

^-(z.dx — x.dzj, dFz =

(x.dy — y,dx) oznaczać będą odpowiednio rzuty prostokątne pola (wycinka) dF — Qmm', którego wierzchoł

dF » =

ek F

kiem jest początek osi O, na płaszczyzny y Oz, zOx i xOy. Pochodną —

Cl z

nazywamy, jak wiadomo, prędkością wycinkową ruchu punktu (art. 15). Rzucając punkt podczas ruchu na płaszczyzny spółrzędnych, otrzymamy dFx clFy dFz

dt

dt

-jj-, jako odpowiednie prędkości wycinkowe ruchu tych rzu-

tów, przyczyna

(10)

dt

Całki zatym pierwsze wyrażają, że prędkość wycinkowa ruchu odpowiedniego rzutu punktu jest stała; jeżeli wszystkie trzy całki istnieją, natenczas prędkość wycinkowa ruchu punktu będzie stała. I nawzajem, jeżeli prędkość wycinkowa punktu jest stała, to zachodzą powyższe trzy całki pierwsze. Całki zatym pierwsze wyrażają zasadniczą własność ruchu centralnego, którą okazaliśmy w kinematyce w art. 15-ym.

Twierdzenie, które przedstawiają równania (7) i (9), możemy tak wysłowić: jeżeli siła, przyłożona do punktu swobodnego, zadość czyni jednemu lub dwu z warunków Z y—Yz~0, Xz— Zx-~0, Yx — Xy = 0, to można mieć odpowiednio jednę lub trzy całki pierwsze równań ruchu tego punktu. Z powodu związków, zachodzących między tymi całkami a polami, które promień wodzący, wychodzący ze środka O opisuje podczas ruchu punktu, nazywamy to twierdzenie zasadą pól.

Lewe strony równań (6) mają znaczenie dynamiczne. Iloczyny m . -j---, d&

m . -jj wyrażają odpowiednio impulsy (czyli siły chwilowe, art. 69),

jakieby na punkt o masie m wywrzeć należało w kierunkach osi, aby mu ze spoczynku udzielić tej prędkości, jaką on rzeczywiście posiada; wielkości zaś

dy

dt

(y

Rj Rj

dx

dt

dz\    / dy dx\

*Tt)>

dx

wyrażają odpowiednio ich momenty względem osi spółrzędnych. Z równań więc (6) okazuje się, że dla każdego ruchu moment siły przyłożonej względem którejkolwiek osi spółrzędnych jest równy pochodnej względem czasu momentu impulsu względem tej osi. Jeżeli zatym moment siły przyłożonej względem jednej z osi spółrzędnych jest równy zeru, natenczas moment impulsu względom tej osi jest wielkością stałą. Takie znaczenie ma każda z całek (9). Dla ruchu centralnego moment impulsu względem środka ruchu jest stały.

Mnożąc równania (9) odpowiednio przez x, y, z i dodając iloczyny ^ otrzymamy

on

Ctx 4* C ₂y + C₃# — 0

jako równanie płaszczyzny ruchu centralnego. Stałe C1} C₂, C₃ są odpowiednio proporcyjonalne względem dostaw kątów, które prostopadła do tej płaszczyzny tworzy z osiami spółrzędnych.

82. Zasada pracy. Otrzymamy inne połączenie równań ruchu, prowadzące także przy pewnych warunkach do całki pierwszej, mnożąc te równa-

,    . , .    dx dy dz . , , .    ..    m    ,

ma odpowiednio przez    , — i dodając iloczyny. Tym sposobem

otrzymamy równanie

dx d²x dy d²y dt ’ dt² dt ‘ di¹

A ponieważ

v² —

) = x-Tt+Y-î+z-Tr

(dx\²    (dy\²    ( dz\²

[dt) ⁺ [lt) ⁺YTt) ’

d²z

' dt²

gdzie v jest prędkością punktu, przeto

1    d ₂ dx d²x    dy d²y    dz d²z

2    dt V dt ’ dt²    dt ’ dt²    dt ' dt²

Będzie więc

dx

2 dt (mv2) — X dt^Y

dy

dz

dt ^ dt

a zatym także

d(±    = X . dx -f Y . dy -\-7i, dz.

Jeżeli X, Y, Z są składowymi siły P, do punktu przyłożonej, której dostawy kierunkowe są a, b, c, a punkt wskutek działania tej siły w elemencie dt przejdzie z położenia m, (x, y, z), do położenia nieskończenie bliskiego m!, (x-\-dx, yĄ-dy, z-\-dz), opisując drogę ds, której dostawy kierunkowe są a, ß, Yj natenczas

X.dx+Y.dy+Z.dz=(aai-b^ + n)P-ds = F .ds.cos(P, ds),

gdzie (P, ds) oznacza kąt, który siła tworzy z kierunkiem ruchu punktu. Iloczyn wielkości siły i prostokątnego rzutu nieskończenie małego przesunięcia jéj punktu przyłożenia na kierunek siły, nazywamy pracą elementarną siły tej. Oznaczając pracę elementarną siły P przez dłl, mamy

dli = P .ds. cos (P, ds) = P . cos (P, ds) . ds,

(1)

00

(3)

a zatym, według (2),

czasu

t?n = X . dx + Y . dy + z . dz.

.Rozważaliśmy w art. 73-im tak zwaną pracę przygotowaną siły; jeżeli w tam-

(4)

tym określeniu zamiast przesunięcia przygotowanego podstawimy nieskończenie małe przesunięcie rzeczywiste tego punktu, to otrzymamy pracę elementarną siły. Twierdzenia o pracy przygotowanej stosują się także do pracy elementarnej. Praca elementarna siły równa się także iloczynowi elementu drogi punktu i rzutu siły na kierunek téj drogi. Znak pracy elementarnej otrzymujemy według takiejże samej reguły, jaka służy dla pracy przygotowanej. Praca elementarna siły jest równa sumie jednoczesnych prac elementarnych jej sił składowych.

Jeżeli siłę P rozłożymy na siłę styczną P* i na siłę normalną P;l, to P,=P cos(P, cls), a zatym dll — Pt.ds. Praca zatym elementarna siły równa się także pracy jéj składowej stycznej do toru punktu przyłożenia.

Jeżeli mt i m₂ oznaczają dwa dowolne położenia punktu na torze (m), których odległości od dowolnego początku, na torze obranego, są odpowiednio Sj i s₂, to całkując równanie (3) między krańcami st i s₂, otrzymamy

*2

(5)

P. ds. cos(P, ds),

«i

Wielkość II, tym sposobem wyznaczoną, t. j. całkę prac elementarnych siły, wziętą między krańcami, odpowiadającymi dwu danym położeniom jéj punktu przyłożenia, nazywamy pracą siły, albo także pracą mechaniczną siły, wykonaną podczas ruchu na torze (m) od punktu mt do punktu m₂. Ponieważ wartość téj całki zależy od wartości funkcyi P. cos(P, ds) między krańcami całkowania i od tych krańców, a wartości owej funkcyi zależą od siły i od drogi opisanej, przeto praca siły zależy od jirawa jéj działania, od drogi jéj punktu przyłożenia i od położenia obudwu punktów, wyznaczających krańce całkowania. Według (4) będzie także

(6)

n=J(X

. dx -\-Y . dy -\-Z . dz),

gdzie całkę należy wziąć między odpowiednimi krańcami. Znając równania toru x~f(z), yz=.y(z): otrzymamy dx—f'(z).dz, dy = y’(z) . dz; jest więc

CO

II —

[X.f'(z)pY .y'(z)Ą-7Ądz.

Z tego wyrażenia pracy, w którym zamiast X, Y, Z należy podstawić ich wartości, okazuje się zależność pracy od drogi punktu między krańcami całkowania. Wyrażamy tę zależność, mówiąc, że całkujemy wzdłuż toru punktu między danymi krańcami, aby obliczyć pracę siły. Jeżeli siła jest stała co do kierunku i co do wielkości, wtenczas

(8)

n = p.

cis. cos(P, ds).

Ponieważ ta całka wyobraża rzut prostokątny drogi punktu między danymi krańcami na kierunek siły, przeto w tym przypadku praca siły jest iloczynem jéj wielkości i rzutu drogi punktu na siłę. Rzut drogi na siłę zależy tylko od położenia punktów krańcowych, i m₂, i od kierunku siły, a nie jest zależny od kształtu ani od długości toru (m); praca więc siły nie zależy w tym przypadku od linii, po której punkt porusza się od m₁ do m₂. Ten przypadek zachodzi np. dla siły ciężkości. Praca siły ciężkości jest iloczynem téj siły i rzutu pionowego drogi opisanej; jeżeli punkt spada, praca siły ciężkości jest dodatna, a jeżeli punkt podnosi się, natenczas praca téj siły jest ujemna.

Jeżeli ruch punktu jest prostoliniowy, a siła niezmienna działa w kierunku ruchu, to jej praca jest iloczynem siły i drogi, przez punkt opisanej.

ÜNTa podstawie podanych określeń, wynika z równania (1), że praca elementarna siły jest równa różniczce energii kinetycznej jéj punktu przyłożenia. Całkując to równanie między dwoma krańcami, dla których i v₂ są prędkościami punktu, otrzymamy

(9)

(X . dx-\-Y . ćlyĄ-Z . cl z),

co przedstawia twierdzenie : praca siły jest równa różnicy energii kinetycznej punktu między dwoma odpowiednimi jego położeniami. To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę pracy. Jeżeli praca siły jest dodatna, natenczas wzrasta energija punktu, a zatym i prędkość jego; jeżeli praca siły jest ujemna, zmniejsza się energija i prędkość punktu. Jeżeli —0, a zatym siła została przyłożona do punktu spoczywającego, to energija nabyta przez punkt, jest równa pracy siły.

83. Zasada energii i zasada zachowania energii. Równanie (1) art. 82-go daje się scałkować, jeżeli znamy drogę punktu; nie możemy zatym otrzymać z niego całki równań ruchu, jeżeli prawa strona tego równania zależy od wartości funkcyi między krańcami całkowania, t. j. jeżeli X.cZæ-f-'    +Y. dy-ł-Z. dz nie jest różniczką zupełną pewnej funkcyi spółrzędnyeh,

bez względu na związki, między tymi spółrzędnymi zachodzące. Jeżeli zaś X . dæ + Y . dy + Z . dz jest różniczką zupełną, niezależnie od związków, zachodzących między spółrzędnymi, a zatym jeżeli

(O

X . dx -f- Y. dy -j- Z . dz = d U,

gdzie U jest funkcyją spółrzędnyeh, nie zawierającą czasu wyraźnie, wtedy otrzymamy równanie

(2)

= dü,

z którego wynika, po scałkowaniu,

gdzie H jest stałą dowolną. To zatym równanie przedstawia całkę równań różniczkowych ruchu. Równanie (1) zachodzi wyłącznie wtedy, kiedy siła (X, Y, Z) posiada potencyjał (art. 77), nie zawierający czasu wyraźnie, a U jest właśnie potencyjałem siły. W tym przypadku różniczka potencyjału siły jest równa pracy elementarnej téj siły. Przy tym założeniu, mamy (art. 77)

(4)

àU

dx

, Y=

dU

dU

dy

dz

równania zaś różniczkowe ruchu są

(5)

d²x

d²y

dU

d²z

dt²    dx

dt² dy

‘ dt²

dz ⁵

a równanie (3) przedstawia ich całkę pierwszą. Mamy zatym następujące twierdzenie: jeżeli siła posiada potencyjał, nie zawierający czasu imyraźnie,

te I-¹

wówczas - mv- =U + H jest całka pierwszą równań ruchu. Możemy to

twierdzenie także tak wysłowić: jeżeli siłą posiada potencyjał, nie zawierający czasu wyraźnie, wóicczas energija kinetyczna punktu różni się od potencyjału siły o wielkość stałą. W téj postaci to twierdzenie przedstawia tak zwaną zasadę energii.

Stosując równanie (3) do dwu położeń punktu, w których vt i v₂ oznaczają jego prędkości, a Uj i U₂ odpowiednie wartości potencyjału siły, otrzymamy

(0

f (V-V) = U₂-ü,

bez względu na drogę punktu, między tymi położeniami opisaną. Różnica energii punktu między dwoma jego położeniami jest równa odpowiedniej różnicy wartości potencyjału siły. Przyrost energii punktu między dwoma jego położeniami zależy tylko od tych położeń, a nie zależy od drogi, między niemi opisanej. Praca siły jest równa różnicy wartości jej potencyjału między dwoma położeniami punktu.

Ponieważ potencyjał siły U jest funkcyją spółrzędnych jéj punktu przyłożenia, przeto miejscem gieometrycznym takich jiunktów, w których potencyjał siły posiada tę sarnę wartość C, jest powierzchnia, której równanie jest TJ—C=0, gdzie C jest stałą. Taką powierzchnią nazywamy powierzchnią potencyjalną, albo także powierzchnią poziomu. Ta ostatnia nazwa powstała przez wzgląd na zastosowanie tych powierzchni w mechanice cieczy. Jeżeli potencyjał jest funkcyją doskonałą spółrzędnych, natenczas w każdym punkcie może posiadać tylko jednę wartość, z czego wynika, że dwie powierzchnie potencyjalne nie przecinają się. W równaniu powierzchni potencyjal-nćj stała C może przybierać wszelkie wartości rzeczywiste od —co do -}-co, a równanie różniczkowe każdej takiej powierzchni jest:

(7)

X , dx -f- Y . dy + Z . dz — 0,

Otrzymujemy więc rzut siły na dowolny kierunek podobnym sposobem z pochodnej potencyjału, jak rzuty téj siły na osi spółrzędnycli.

Ponieważ dn jest grubością warstwy, ograniczonej dwiema nieskoń

Niech powyższy element ds ma kierunek normalnej do odpowiedniej powierzchni potencyjalnćj, a dn niech będzie długością tego elementu normalnej; według (8) wielkość siły w punkcie (x, y, z) wyrazi się przez pochodną dU dn

czenie bliskimi powierzchniami potencyjalnymi, przeto siła jest odwrotnie pro-porcyjonalna względem grubości téj warstwy. Jeżeliby się zatym dwie powierzchnie potencyjalne przecinały, to w każdym punkcie przecięcia byłoby dn — 0, siła zatym przybierałaby w takim punkcie wartość nieskończenie wielką.

z czego wnosimy, że siła w każdym punkcie jest normalna do odpowiedniej powierzchni potencyjalnćj; przyśpieszenie więc punktu jest także normalne do téj powierzchni. Lewa strona tego równania jest pracą elementarną siły, a zatym jeżeli punkt porusza się na powierzchni potencyjalnćj, to praca siły jest równa zeru. Z tego wynika, że ruch punktu na powierzchni potencyjalnćj jest jednostajny, że zatym punkt pozostaje w równowadze w każdym miejscu na téj powierzchni. Dlatego powierzchnią potencyjalną nazywamy także powierzchnią równowagi punktu.

Obierzmy na powierzchni potencyjalnćj punkt dowolny (x, y, zj i poprowadźmy przezeń prostą o dostawach kierunkowych a, b, c. Wówmzas

będzie rzutem siły na tę pro-

aX+bY + cZ —

dU

a. -3— dx

d\J

ł-c

dJJ

dz

dy

stą. Jeżeli na téj prostej obierzemy punkt nieskończenie bliski (x-\-dx

dx

yĄ-dy, z + dz) i gdy ds— J/ dx'¹-}- dÿ¹ + dz², to a — a zatym składowa siły, wzięta w kierunku elementu ds, jest

ds

Kg®

dz

C~~ ds’

(8)

dx

dy

dz

dx ’ ds

dy ' ds

dz ' ds

ds

Niech punkt przy działaniu siły, potencyjał posiadającej, po upływie jakiegokolwiek czasu i po opisaniu jakiejkolwiek drogi wraca do swego położenia pierwotnego, lub niech przybywa do punktu, leżącego na powierzchni potencyjalnćj, temu położeniu odpowiedniej, wtedy w równaniu (6) U₃ —Ut=0, a zatym energija tego punktu odzyska pierwotną wielkość, czyli, jak mówimy, zostanie zachowana.- Mamy więc twierdzenie: jeżeli siła, do punktu przyłożona, ma potencyjał, nie zawierający czasu wyraźnie, natenczas energija kinetyczna tego punktu zostaje zachowana, ilekroć punkt przechodzi podczas ruchu przez tężsamą powierzchnią potencyjalną. To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę zachowania energii.

Ponieważ ta zasada stosuje się tylko do sił, mających potencyjał, przeto takie siły nazywamy częstokroć siłami zachowującymi. Siły, nie mające potencyjału, zowiemy siłami rozpraszającymi. Przy działaniu siły roz-

84. Przykłady sie zachowujących. Zagadnienia o siłach, mających potencyjał, należą do najważniejszych zagadnień kinetyki; dla tego podamy niektóre rodzaje takich sił. Siły zachowujące zależą tylko od miejsca, jakie punkt podczas ruchu zajmuje w przestrzeni, a są niezależne od czasu. "Wszystkie zatym siły, zależne od prędkości punktu, jak np. opór powietrza lub innego środka, w którym ruch zachodzi, należą do sił rozpraszających. Jeżeli więc podczas ruchu uwzględniamy opór środka, natenczas nie istnieje całka, wynikająca z zasady energii.

praszającej punkt nie przybywa do miejsca pierwotnego z pierwotną energiją, lecz energiją jego zmienia się, stosownie do pracy siły, która zależy od drogi, po jakiej punkt powrócił do położenia pierwotnego. Jeżeli całkę, wyrażającą pracę siły, obliczymy dla krzywej zamkniętej, natenczas wartość téj całki jest równa zeru dla siły zachowującej; zaś dla siły rozpraszającej ta całka nie będzie równa zeru, lecz zależy od przebiegu całkowania, czyli od opisanej drogi.

a) Zasada energii zachodzi dla siły, niezmiennej co do wielkości i co do kierunku. Jakoż, mając taką siłę P, obierzmy oś £-ów równolegle do téj siły; jako jéj składowe otrzymamy X = 0, Y — 0, Z = P; a więc

X . dx 4- Y . dy + Z . dz — P . dz ■■= d(Pz){

z czego okazuje się, że U —P^-f stałej jest potencyjałem téj siły. Z sasady więc energii wynika całka równań ruchu

^ = p*+h,

która pozwala obliczyć jirędkość v bez poprzedniej znajomości toru punktu, skoro tylko stała H wyznaczoną zostanie.

Jeżeli w małych odległościach od ziemi uważamy siłę ciężkości za stałą, to dla niej zachodzi powyższa zasada. Dla punktu o masie m będzie mg siłą ciężkości, a zatym U — mgzĄ-c będzie potencyjałem téj siły, gdzie z oznacza pionową odległość punktu od dowolnej płaszczyzny poziomej i stałej. Ta odległość jest dodatna, jeżeli punkt znajduje się pod tą płaszczyzną, zaś ujemna, jeżeli punkt znajduje się nad tą płaszczyzną. Ruch punktu przy wyłącznym działaniu siły ciężkości zowiemy wogólności spadkiem; mamy zatym dla spadku następującą całkę równań ruchu:

(1)

mv²    , TT

-£- = fngz + H.

Biorąc zaś prędkości i\ i v₂ w dwu punktach, których pionowe odległości od płaszczyzny xy są odpowiednio zt i z₂, otrzymamy

m

~2 <>2² — V) = mg O2 — *0

a stąd, kładąc li = z, — zx,

Znając więc prędkość początkową vx i wysokość spadku li, możemy obliczyć prędkość końcową v₂, nie znając krzywej, po której punkt spada. Równanie powierzchni potencyjalnéj dla siły ciężkości jest mgz — C, czyli Z — X₎ gdzie X jest stałą dowolną, z czego się okazuje, że tą powierzchnią jest płaszczyzna pozioma. Układ zatym płaszczyzn poziomych przedstawia układ powierzchni potencyjalnych. Jeżeli punkt spadający przybywa do tej samej płaszczyzny poziomej, natenczas energija a zatym i prędkość jego jest zachowana.

b) Zasada energii zachodzi dla każdej siły centralnej, której wielkość jest funkcyją długości promienia wodzącego, nie zależy zaś ani od kierunku tego promienia, anitćź od czasu. Jeżeli siła centralna ma kierunek ku środkowi ruchu, to nazywamy ją pospolicie przyciąganiem (siłą przyciągającą), a jeżeli ona ma kierunek od środka ku punktowi, nazywamy ją odpychaniem (siłą odpychającą).

Xiech środek ruchu będzie początkiem spółrzędnych, P siłą centralną, r promieniem wodzącym, którego kierunek dodatny liczymy od środka ku punktowi, i niech P = f(r). Jeżeli x, y, z są spółrzędnymi punktu, X, Y, Z składowymi siły centralnej, to

(3)

X — d=

x.f(r)

V • f(r) z_ r

e-f(r)

gdzie znaki więcej stosują się do odpychania, a znaki mniej do przyciągania. Mamy zatym

f(r)

(x . dxĄ-y . dy + 8 • dz).

X . dx -f-Y . dy + Z . dz — ±

A ponieważ r² — x²-Fy'¹ J- z², więc r. dr — x. dx -f- y . dy -f z . dz, wskutek czego

(4)

X . dx -f- Y . dy -f- Z . dz — ± f(r) . dr. Wprowadzając przeto następujące oznaczenie całki nieokreślonej :

(5) mieć będziemy

(G)

X . dx -f Y. dy -j- Z . dz = dh d<&(r).

z czego wynika, że ± <Ê>(Vj -f- stała jest potencyjałem siły centralne], a równanie powierzchni potencyjalnéj jest Q(r) = stałej.

85. Zasada energii dla ruchu nieswobodnego. Zasada energii, którą rozważaliśmy dotąd dla ruchu swobodnego, zachodzi także pod pewnymi warunkami dla ruchu nieswobodnego. Aby to okazać, załóżmy, źe punkt przy działaniu siły (X, Y, Z) opisuje daną liniją krzywą, której równania F(x, y, z) — 0 i y(x, y, z)=z 0 nie zawierają czasu wyraźnie. Równania ruchu będą wtedy (art. 76)

.    / df dx dy dy dy dz\

²\dxdt dy’dt dz' dis

co możemy tak napisać :

-i- d(mv²) — X . dx-\- Y . dyĄ-7i . dz-f-Xx. dF-f-X₂. d<p.

A

Ponieważ dla ruchu punktu mamy wskutek danych warunków ciągle dF ss O, dcp^O, przeto

d m v²^

(2)

= X . dx-\-Y . d«/+Z . dz. '

Otrzymujemy zatym takież samo równanie różniczkowe, jak dla ruchu swobodnego, a z niego wynika jedna całka równań ruchu, jeżeli siła (X, Y, Z) posiada potencyjał. Mamy zatym ważne twierdzenie: zasada energii zachodzi dla rucha punktu niesieobodnego, jeżeli równania warunkowe nie zawierają czasu wyraźnie, i jeżeli sita przyłożona posiada potencyjał. od czasu wyraźnie niezależny.

d²x

dt²

= X + X,

d¥

dx

4 kj •

(1)

’B4r = Y + X‘

= Z -j- X j

d²z

dt²

óF

dF

' dz

+ ^2 •

tO| t-* g

Sj

Sj Sj

ra

s,

Sj

O*

i-i

SJ

O

Sj Sj

"■M

SJ Sj «*•1 îsî

Sj’ Sj

4*

's rs

Sj Sj

a s,

I krj ^

Sj

Sj

tg

8.

'S

'S,

ÎSI

Su Sj fł. ÎSI

Otrzymaliśmy równania ruchu punktu nieswobodnego z równań ruchu punktu swobodnego, biorąc, prócz siły przyłożonej, jeszcze siły połączeń, wynikające z danych warunków. Okazaliśmy w art. 76-ym, że siły połączeń są zawsze normalne do téj powierzchni lub do téj linii, po której punkt się porusza, z czego wynika, że praca elementarna każdej z tych sił jest równa zeru. Okazuje się więc, że siły, przez warunki ruchu określone, nie pojawiają się wcale w równaniu, wyrażającym związek między energiją a pracą; a zatym: jeżeli zasada energii zachodzi dla. siły przyłożonej przy ruchu swobodnym, to ona zachodzić będzie także dla ruchu nieswobodnego, jeżeli tylko warunki ruchu są niezależne od czasu.

Z tego twierdzenia otrzymujemy ważny wynik dla sił) ciężkości. Jeżeli punkt ważki (ciężki) przy wyłącznym działaniu siły ciężkości spada z punktu A z prędkością początkową v₀, to, bez względu na to, czy on spada swobodnie w kierunku pionowej AB, czytóż on spada nieswobodnie po jakiejkolwiek linii krzywej Aą, Aą,..., to do każdego punktu, leżącego z punktem B na tymsamym poziomie, punkt ważki przybędzie z tą samą prędkością (twierdzenie Galileusza). Xieeh 7^ = AB wyobraża wysokość spadku; wówczas, bez

względu na drogę opisaną, prędkość v w punktacli mlf B,    według

wzoru (2) art. 84-go, będzie

(5)

'ü — V v₀²+2gh‘1 jeżeli punkt spada ze spoczynku, to v₀ = 0, a więc

(6)

v — \/2gh.

Ostatnie równanie okazuje, że spadek punktu ze spoczynku z danej wysokości wytwarza pewną, tylko od téj wysokości zależną, prędkość końcową, tudzież, że aby punkt ważki nabył pewnej prędkości określonej, powinien po jakiejkolwiek krzywej spadać z pewnej dokładnie oznaczonej wysokości. Z powodu tego ścisłego związku między v i li nazywamy prędkość v, według wzoru (6)

V2

obliczoną, prędkością odpowiadającą wysokości h, zaś wysokość h = -r— nazywamy wysokością odpowiadającą prędkości v.

80. Zasada najmniejszego DZIAŁANIA. Dla takich ruchów punktu swobodnego lub punktu wciąż pozostającego na danej powierzchni, do których stosuje się zasada energii, zachodzi jeszcze inna zasada, nie prowadząca wprawdzie do całki równań ruchu, pozwalająca jednak, podobnie jak zasada Hamilton’a, wyprowadzić owe równania.

Jeżeli v jest prędkością punktu o masie m, a ds elementem jego drogi, to całkę mv . ds — m ^ v . ds, wziętą względem a między dwoma stałymi krańcami, nazywamy działaniem siły, odpowiednim tym krańcom. Jeżeli zachodzi zasada

..    171 V^¹

energii, to równanie ——— — U -f- H pozwala wyrazić prędkość przez spółrzędne A

punktu bez pomocy czasu; owóż przy obliczaniu działania ma być prędkość wyrażona tym sposobem, a całka ma być brana wzdłuż toru, jaki punkt opisuje między uważanymi krańcami.

Przez równania ruchu, przez położenie początkowe punktu i przez jego prędkość początkową tor punktu jest dokładnie określony. Całki równań ruchu pozwalają jednak wyrugować prędkość początkoAyą i określić ruch przez dwa położenia punktu, z których jedno uważamy za początkowe, a drugie za końcowe. Między tymi dwoma położeniami punktu tylko jeden tor rzeczywiście opisany zostanie, chociaż między tymi położeniami można poprowadzić jeszcze inne nieskończenie bliskie linije, które zadość czynią warunkowi, niezależnie od sił i od czasu zachodzić mającemu. Obliczmy waryjacyją działania, jeżeli z toru rzeczywiście opisanego między danymi krańcami, przejdziemy do innej linii, nieskończenie bliskiej, której każdy punkt czyni zadość także danemu warunkowi. Gdy np. punkt porusza się na pewnej powierzchni między punktami a i &, obliczmy ôA dla krzywej, różniącej się nieskończenie mało od toru punktu a, poprowadzonej także na powierzchni między tymi punktami. Z powodu stałych krańców otrzymamy wtedy

"f

8(v , ds)₎

a ponieważ 8 (v . ds) =z 8v . ds -f- v . 8ds, przeto

(1)

8 A==

mS

8v . ds -j- m j* v . 8ds.

Ponieważ

a nadto

m v²

8 v . ds = rn

— = U + H, zatym

to

a.

Cc

to

a.

(Y)

dt,

<3td ^

a; I p

to

i.

O?

a.

Z zasady energii wynika jednak tak dla ruchu swobodnego, jak i dla ruchu na powierzchni :

dU    dU dTJ

—— o x    r— o ii ł—— o z = m

dx    dy J

dz

(fix

dt²

8x -f

cfiy

d«²

Sy-f

dfiz

di²

§₂),

gdzie §x, ôi/, Oz oznaczają, przesunięcia przygotowane; będzie więc

(2)

<fix

dl²

8x -f

(fiy

dt²

Sy-f

(fiz

dfi

8z\ dt.

Mamy dalej

ds² =z. d.x² -f- dy² -j- dz²,

a z a tym

dx

dy

dz

8 ds — 8dx -j--— 8dy -|--. 5 dz,

ds

ds

ds

skąd

dx

dy

dz

v . 8ds z=z d8x -J--d8y Ą--dâz, więc

dt

dt

dt

(3)

dx

dy

dt

dt

d 8 y -\--d § z V

dt /

Całkując częściowo, otrzymamy

dx

dx

(fix

JëSx-dt’

podobnie dla y i z; wstawiając zaś te wartości w (3), mieć będziemy

(4)

dx

dy

dz

v. 8 ds -8x -j--8y -j--§ z¹—

(fix

dt

dt

dl²

8x -f

(fiy

dfi

-+

(fiz

dfi

8zj dt t

Kładąc wartości z (2) i (4) w (1), otrzymamy ostatecznie

(5)

8A =

m(*i9x+*ŁBy + l±3z)

\dt ^ dt    dt )

przyczym wyrażenie po prawej stronie ma być wzięte między danymi krańcami. Ponieważ te krańce są z założenia stałe, przeto dla każdego z nieb jest SznzO, dy — 0, dz = 0; otrzymamy zatym

(6)

•S

mv . ds 0.

Jeżeli punkt porusza się swobodnie lub na danej powierzchni, a zasada energii zachodzi, i je-żeli z toru punktu, opisanego między dwoma stałymi punktami, przejdziemy do krzywej nie-skpiiczenie bliskiej, którą między tymi punktami, stosownie do danego warunku, można popro-icadzić, natenczas waryjacyja całki, wyrażającej działanie siły, _/esź równa zeru.

Z tego twierdzenia wynika, że całka ^ v . ć/s jest najmniejsza lub największa.

jeżeli ją obliczymy dla toru, jaki punkt między stałymi krańcami rzeczywiście opisuje. Jeżeli punkt jest swobodny, natenczas równanie §Ar=0 może wskazywać tylko na najmniejszą wartość całki; skoro bowiem tylko dwa punkty skrajne są dane, a tor zresztą dowolny, to całka powyższa rmoże rość bez granic, a zatym wartość największa jest niemożebna. Jeżeli punkt porusza się na danej powierzchni, to równanie SA —0 wskazuje wogólności także na minimum działania, atoli wiadomo z rachunku waryjacyjnego, że w takim przypadku minimum zależy także od oddalenia krańców i że poza pewnymi krańcami minimum całki miejsca mieć nie będzie.

nań działa

Zasadę^ powyższym twierdzeniem wyrażoną, nazywamy zasadą najmniejszego działania, jakkolwiek ta nazwa nie odpowiada dokładnie treści tego twierdzenia. Czy równanie (6) wskazuje rzeczywiście na działanie najmniejsze, o tym rozstrzyga, jak wiadomo, znak drugiej waryjacyi całki, a gdyby ta waryjacyja była równa zeru, natenczas rozstrzygają znaki waryjacyj rzędów wyższych.

Załóżmy, że na punkt podczas ruchu nie działa żadna siła, lub że siła normalna do powierzchni; wtedy prędkość v jest stała (art. 85); będzie zatym j*ds “ 0, a więc s będzie wogólności minimum. Punkt przeto opisze między dwoma punktami liniją najkrótszą na powierzchni.

przez

mamy

Z zasady najmniejszego działania możemy otrzymać równania ruchu, a zatym okazać, że linija, dla której waryjacyja działania jest równa zeru i która przechodzi dane punkty j jest istotnie torem punktu. Jakoż, z powodu stałych krańców

drx dt²

,    .    mv²

a z równania —-—

Ji

— UJ- II wynika

to

MECHANIKA TEORETYCZNA.

cy>

CO

« I C|

o?

~r

o?

R.

będzie więc

)a, ₊ (du

. dds ==

J E~S)-+(

dU

d²y

d²z

-v-—- m. —-

dy    dt²

-r--m . —-

dz    dt²

— 0.

Przyrównywając wyraz pod znakiem całkowania do zera, otrzymujemy równanie, wyrażające zasadę d’Alembert’a w przypadku istnienia zasady energii, które, jak wiadomo, prowadzi do równań ruchu.

87. Puch punktu na torze danym. Okazaliśmy w art. 76-ym, że ruch punktu na torze danym może być uważany za ruch swobodny, jeżeli tylko do siły przyłożonej dodamy jeszcze tak zwaną siłę połączeń, przedstawiającą warunek, aby ten punkt opisywał pewną daną liniją. Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie tego warunku, przyjmijmy, że (m) (fig. 35) jest danym

torem punktu o masie m, do którego jest przyłożona siła P, i że ten punkt w miejscu m posiada prędkość v. Poprowadźmy płaszczyznę przez kierunek siły P i przez kierunek prędkości, i rozłóżmy siłę P na dwie składowe prostokątne, z których jedna Pt ma kierunek stycznej do toru, a druga P2 kierunek odpowiedniej normalnej do tegoż toru. Jeżeli przyjmiemy, że punkt nie doznaje żadnego oporu w kierunku ruchu, to siła Pt udzieli punktowi przyśpieszenia stycznego, jakgdyby ów punkt był swobodny, i otrzymamy równanie

'/

//

Cy

s'

my

OL

Fig. 35.

->-N

(W

<S

Gdy p jest wiadomym promieniem krzywizny toru w punkcie m, to punktowi

należy udzielić przyśpieszenia dośrodkowego — w kierunku normalnej głównej

do toru, aby on ten tor opisywał; do tego zaś potrzeba siły dośrodkowej yyi

-. Składowa normalna P₂ siły P nie może punktowi udzielić tego przyśpieszenia, bo ona nie posiada wogólności ani kierunku, ani wielkości, potrzebnej sile dośrodkowćj; widzimy zatym, że oprócz siły P₂ koniecznie działa na punkt jeszcze inna siła, która razem z P₂ wywołuje przyśpieszenie dośrodkowe. Ta druga siła jest właśnie ową siłą połączeń, która zastępuje dany warunek ruchu. Aby ją wyznaczyć, odetnijmy wielkość siły dośrodkowćj na normalnej

głównej do toru od punktu m do d, i rozłóżmy tę siłę na takie dwie składowe, żeby P₂ była jedną z nich; wówczas drugą składową N będzie przedstawiał odcinek me, mający kierunek normalny do danego toru. Ta druga składowa N wyobraża ową siłę połączeń. Z tego postępowania okazuje się, że jej kierunek jest normalny do danego toru, chociaż nie ma kierunku normalnej głównej. Biorąc siłę P₂ w kierunku przeciwnym, otrzymamy równoległobok, którego przekątna jest me, z czego wynika, że siła połączeń jest wypadkową siły dośrodkowej i składowej normalnej P₂ siły przyłożonej, wziętej w kierunku przeciwnym.

Z prawa wzajemności działania wynika, że skoro połączenia fizyczne, sprawiające, iż punkt opisuje tor dany, wywierają na ten punkt działanie X, to siła •— X przedstawia oddziaływanie punktu na te połączenia. To oddzia-

ływanie jest wfięc wypadkową siły

7YIV^

--, równej lecz wprost przeciwnej sile

mv²

dośrodkowej, i składowej normalnej P₂ siły przyłożonej. Siłę —

—, równą

lecz wprost przeciwną sile dośrodkowej, nazywamy siłą odśrodkową. A zatym odclziałyivanie punktu na połączenia jest wypadkową siły odśrodkowej i składowej normalnej siły, do tego punktu przyłożonej. Ponieważ siła odśrodkowa występuje wskutek połączeń, przeto wt zadaniach o ruchu swobodnym nie okazuje się potrzeba utworzenia pojęcia tej siły.

«leżeli składowa normalna P₂ siły P równa się sile dośrodkowej, wtedy znika siła połączeń, a ruch punktu staje się swobodnym; w takim miejscu na torze nie doznają połączenia fizyczne żadnego działania od poruszającego się punktu. —

= UfH

V)% V ^

Jeżeli siła przyłożona ma potencyjał, natenczas z równania ——

ds

możemy także obliczyć prędkość punktu. Kładąc v —    , otrzymamy

ds

- ( dsY

\dt)

(2)

I(tl + H), « = ±]/fVïrFB-

tego punktu, to otrzy-

88. Równania różniczkowe iiuchu względnego. Podaliśmy w rozdziale Y sposoby, według których można wyznaczyć przyśpieszenie względne punktu, znając jego ruch bezwzględny i ruch układu odniesienia. Jeżeli równania (6) i (7) art. 62-go pomnożymy przez masę mamy bezpośrednio równania kinetyczne ruchu względnego, gdy ruch bezwzględny tego punktu jest swobodny. Oznaczając więc przez X1? Yn Zt odpowiednie rzuty siły przyłożonej na osi ruchome układu M£y]C i używając takiego, jak w rozdziale Y, znakowania, otrzymamy następujące równania różniczkowe ruchu względnego:

■m

d²i

d£²

= xt

to

dt)

(1)

cZ²yj

-S

CM

'S

*'Tt

dK

* dć²

VJ*

CM

Su

«"H-S

di

)-

Iloczyn masy punktu i jego przyśpieszenia unoszenia (art. 61) nazywamy odpowiednio siłą unoszenia tego punktu; iloczyn zaś masy punktu i jego przyśpieszenia odśrodkowego złożonego (art. 62) nazywamy siłą odśrodkową złożoną tego punktu. Jeżeli układ odniesienia obraca się jednostajnie około osi stałej, natenczas trzeba wyznaczyć tak zwane przyśpieszenie odśrodkowe punktu (art. 62), aby obliczyć jego przyśpieszenie względne. W tym przypadku iloczyn masy punktu i jego przyśpieszenia odśrodkowego nazywamy siłą odśrodkową tego punktu; ta siła jest prostopadła do osi obrotu układu odniesienia i ma kierunek od téj osi ku punktowi rozważanemu. Czytelnik z łatwością wyrazi wszystkie twierdzenia kinetyczne, wynikające odpowiednio z twierdzeń kinematycznycli art. 62-go. Siłę unoszenia, siłę odśrodkową i siłę odśrodkową złożoną nazywamy siłami pozornymi ruchu względnego; one bowiem służą do tego, aby zagadnienia o tym ruchu sprowadzić do zagadnień o ruchu bezwzględnym.

Jeżeli układ odniesienia obraca się jednostajnie z prędkością kątową oi około osi stałej, to obierzmy tę oś jako oś Ç; wtedy p = 0, ą — 0, r — w, a składowe przyśpieszenia odśrodkowego punktu (£, yj, C) będą odpowiednio w²£, (o²yj i 0, składowe więc siły odśrodkowej będą mo>²£, m w²tj i 0, a wielkość téj siły wyrazi się wzorem mco² J/^² -f- yj² = m co²p, gdzie p oznacza odległość tego punktu od osi obrotu. Kównania różniczkowe ruchu względnego będą wtedy, według (1),

d²i

' dt²

— J- mw²£ Ą- 2mco

di\

dt

(2)

d²-q

; dt²

==. Yt + mu>²ri— 2moi

di

' dt

dK dt²

Jeżeli ruch układu odniesienia jest postępowy, wtedy równania różniczkowe ruchu względnego będą

d²i

— Xt — m ,

(3)

' dt²

— Y _

* dt²~ ¹    ‘“⁷l‘

= Zt — wy<;

dK

’ dt²

jeżeli nakoniec układ odniesienia ma ruch postępowy, jednostajny i prostolini-jowy, wtedy będzie 7„g = 0, rr. 0,    = 0, i równania ruchu względnego

punktu (4, Y], C) będą. takież same, jak równania ruchu bezwzględnego. Z ostatniego więc wyniku okazuje się, źe, jeżeli teoryja ruchu bezwzględnego, w której układ odniesienia przyjmujemy w spoczynku, ma być stosowana do ruchów w przyrodzie, to natenczas należy przyjąć, źe układ odniesienia posia-da ruch postępowy, prostoliniowy i jednostajny.

Gdyby punkt nie był swobodny, t. j. gdyby zachodziły warunki między jego spółrzędnymi względnymi i, y], Ç, natenczas należy po prawych stronach powyższych równań dodać odpowiednio siły połączeń, zastępujące dane warunki. —

di dri . dZ, . , .

- il¹ si’ dodaw

Pomnóżmy równania (1) odpowiednio przez

otrzymane iloczyny i oznaczmy przez vw prędkość względną punktu; otrzymamy równanie

(4)

d    =X₁d£+Y₁tf Yj+Z^ę—w(y„§ . di+7^. <ïij+7*ç. di).

Wyraz pod znakiem różniczkowania po stronie lewej przedstawia względną energiją kinetyczną punktu, t. j. energiją, odpowiednią jego prędkości względnej; trój mian X.±di + Ytdri -f Zp7C przedstawia pracę elementarną siły przyłożonej, a trójmian m(. di -J- 7«^ . d't] -f- 7^ . d'Ç) wyraża pracę elementarną siły unoszenia. Praca elementarna siły odśrodkowej złożonej jest równa zeru, ponieważ ta siła jest prostopadła do prędkości względnej. Całka równania (4) jest

/Kn mvw*

(5) -g- =

[(Xt — m 7 di+(Yx — m 7«^) d Y]+(Zt — m 7«ç) d Ç]-fstałej ;

pozwala ona wyznaczyć energiją względną punktu. Ostatnie dwa równania wyrażają zasadę pracy dla ruchu względnego.

W przypadku, gdy układ odniesienia obraca się jednostajnie około osi stałej, otrzymamy z równań (2)

czyli

(6)

d(^^'\ = X₁âi+Y₁â-q+ZidZ+m^(i.dî+ri. di)).

dCur) = X.aê+Y.drH-Z.dC+d r~(4²+rß]

Przypuśćmy teraz, że siła przyłożona posiada potencyjał U,, będący funkcyją spółrzędnycb i, yj, Ç i nie zawierający czasu wyraźnie; kładąc

(7)

U = U₁ + ^(^ + Yf),

z równania (6) otrzymamy przez całkowanie

(8)

co wyraża zasadę energii dla ruchu względnego. Wielkość U jest sumą, po-tencyjałów siły przyłożonej i siły odśrodkowej. Siła odśrodkowa ma zawsze

mo)²

potencyjał, który wyraża się wzorem

ROZDZIAŁ VIII.

ZAGADNIENIA Z KINETYKI PUNKTU.

89. Spadek pionowy przy oporze powietrza. Punkt m, będący uprzednio w spoczynku, spada pionowo na ziemię i doznaje oporu powietrza, proporcyjonalnego względem kwadratu prędkości; mamy wyznaczyć jego ruch. Obierzmy położenie początkowe punktu za początek osi %, mającej kierunek pionowy ku ziemi, i oznaczmy przez v prędkość punktu; wówczas opór powie-

-, w którym It jest pewnym

fC

spółczynnikiem, zależnym od gęstości powietrza. .Równanie różniczkowe ruchu jest (art. 75)

trza możemy wyrazić zapomocą wzoru

d²x

A ponieważ v =    ,

Cl o

m ' ~d¥ ~ mg

przeto otrzymamy, po skróceniu przez m,

0)

dv

dt

z czego wynika

(2)

ti¹

dv

.    / kĄ-V \‘2g

Iog -

bez stałej, gdyż t = 0 dla v — 0. Z ostatniego równania mamy

2</£

(3)

g—a8t«d e * -R 1

— 1 ₇. ,    _ k²

2gt- dt + Cl -

e k +1

V — Ji.

’igt

gi_

— log \e * + e 9

-V

+ u;

k²

ponieważ zaś % = 0 dla t — 0, przeto a — — — log 2 ; a więc

gi _gt

k² , ek + e k

yIog—

co przedstawia równanie rucłiu w postaci skończonej. Rozwiązując to równanie względem t, otrzymamy

(4)

(5)

X lc ,

T + 7l0g

w równanie (1); otrzymawszy równanie , k² v.dv

u, X ,—    , -    j

g kr — vz

całkujmy je, przyjmując, że # = 0 dla v — 0] mieć będziemy

t / W

X — log I

Wstawmy

dt²

dx

**

(6)

k² •— v²

skąd v

fcoH

Z równania (3) okazuje się, że zawsze v < k. Ponieważ zaś prawa strona tego równania przybiera wartość k dla t=z od, przeto prędkość v przy nieograniczenie rosnącym t zdąża do granicy k. Z równania (1) zaś widoczna, że przyśpieszenie punktu jest ciągle dodatne, a jego wielkość maleje nieustannie tak, iż to przyśpieszenie staje się równym zeru dla    Azatym spadek

punktu zdąża w granicy, przy t — oo, do ruchu jednostajnego. Gdybyśmy po prawej stronie wzoru (5) zamiast x wstawili pierwotną wysokość punktu ponad ziemią, to otrzymalibyśmy czas, po którego upływie punkt spadnie na ziemię. Biorąc k — od, mielibyśmy spadek punktu w próżni.

90. Rzut ukośny. Pocisk, który uważamy za punkt, wyrzucamy w próżni z prędkością c, której kierunek tworzy z poziomem kąt a, zwany elewacy ją rzutu; mamy wyznaczyć ruch pocisku. Przesuńmy pionową płaszczyznę xy (fig. 36) przez położenie początkowe M pocisku, a osią y niech będzie li-nija pionowa w tym punkcie, od niego w górę. Ponieważ na punkt działa tylko w kierunku osi y siła ciężkości — mg, przeto równania ruchu będą

d²x_ d²y

dt² J d t²

III

'0Ł\

Mo

d²0

Fig. 36.

Całkując je, otrzymamy

⁹' dt²

= 0.

dx

dy

ds

dt~Cu dt~~C2 głl dt~~C3’

ponieważ zaś dla t — 0 (w M) rzuty prędkości są odpowiednio c.cosa c.sina, 0, przeto c₁~ccosa, c₂~c sina, c₃ = 0, a więc

= csina — gt, — 0.

(0

dx

cl y

dt c cos a, dt Całkując powtórnie, otrzymamy

x = C* + ct cosa, ?/= C₂ + cć sina

gt²

0= c₃,

a ponieważ dla t — 0 mamy æ = 0, y — 0, 0 = 0, więc C* = C₂ — C₃ = 0 i

(2)

x = c t cos a, y = ct sin a

gt²

0=0.

Z ostatniego równania widzimy, że pocisk porusza się na płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez prędkość początkową; wystarczą zatym pierwsze dwa równania ruchu. Równania (2) okazują, że ruch poziomy punktu jest jednostajny z prędkością c cosa, a ruch pionowy jest jednostajnie opóźniony z prędkością początkową csina. Rugując t z wyrażeń na x i y, otrzymamy równanie toru

(3)

y — x tang a

/v»2

«

2c² cos ² a

z którego wynika, że pocisk opisuje parabolę, której oś jest pionowa. Spół-rzędne X i Y wierzchołka C téj paraboli są

(4)

X — sin 2 a,

2g

Y = —— sin²a.

Obierzmy C za początek nowych osi spółrzędnych x' i y', równoległych do poprzednich, z osią y' pionowo na dół; wtedy równanie paraboli będzie

(5)

y} =

/yJ 2

»A/    •

2 c² cos ² a

Wielkość Y nazywamy wysokością rzutu; ona przedstawia największą wysokość, do jakiej pocisk się wznosi. Kierownica paraboli znajduje się nad

c²

poziomem w wysokości ——, a więc w wysokości odpowiadającej prędkości 2<7

rzutu i niezależnej od elewacyi. Spółrzędne £, 7] ogniska paraboli są

(6)

^2 ^2

£ — X = — sin2a, Y]= — (sin²a—cos²a)——— cos2a.

2#

2g

2#

Parabola przecina poziom w dwu punktach, M i M₀, a pocisk padnie na ziemię w punkcie M₀. Długość X, = MM₀ nazywamy doniosłością rzutu;

c²

kładąc w (3) y = 0, otrzymamy Xt = — sin2a, z czego wynika, że donio-

.    c²

słość rzutu jest największa dla a = 45° i wTynosi wtedy —.

g

Poprowadźmy przez M limją prostą, która tworzy z poziomem kąt ß. Kładąc y = x . tangß, otrzymamy czas po którego upływie pocisk znajdu-

2c

je się na tej prostej, = — (sina — cos a . tangß), w punkcie o spółrzędnych

cos a sin ß cos²ß ’

(7)

2 c²

«ß = — sm(« — ß).

cos a

2c²

00.

doniosłość zaś rzutu na tej prostej będzie

CO

_ 2c²

% = V ^ß²+ yf = — sinO — ß) •

y

cU

cos a cos²ß ’

- = 0, co odpowiada elewacyi

Żeby Sß było największe, musi być

z czego wynika, że kierunek rzutu jest dwusieczną kąta,

który dana prosta tworzy z pionem.

Jeżeli x i y są spółrzędnymi danego punktu, to, kładąc y = x. tangß i wstawiając tę wartość w (3), otrzymamy równanie

gx

cos a . sin (a — ß) =

które pozwala obliczyć elewacyją a, aby przy prędkości c pocisk trafił w punkt (x, y). To równanie daje dwie wartości a' i a" na elewacyją, dla których

2c²

cosß

cos aJ sin (a' •—ß) = cos a" sin (a" >—ß), a więc a"—ß =    --a', czyli

(9)

“"+a'=l-+^=4(ï+0+4(4+p)

więc

“,,_T(y+p)_4(T⁺0⁻“''

Z równań (1) i (2), lub także z zasady energii otrzymujemy wyrażenie kwadratu prędkości v w dowolnym punkcie, v² = c² — %gy, a z tego wzoru wynika, że prędkość pocisku zależy tylko od prędkości początkowej i od jego wysokości nad poziomem.

Ponieważ równanie paraboli zawiera jmzy danym c parametr a, przeto można wyznaczyć obwiednią parabol rzutu dla rozmaitych elewacyj, miejsce gieometryczne wierzchołków, tudzież ognisk tych parabol i t. p. Te zagadnienia pozostawiamy czytelnikowi.

91. Ruch centralny. Najważniejszym ruchem tego rodzaju jest ruch centralny, gdy ma zastosowanie prawo Newton’a, t. j. gdy siła (przyciąganie), sprawiająca przyśpieszenie punktu, jest odwrotnie proporcyjonalna względem kwadratu długości promienia wodzącego. Wiadomo (art. 16), że przyśpieszenie ruchu centralnego planet około słońca jest odwrotnie proporcyjonalne względem kwadratu odległości od środka słońca, z czego wnosimy, że siła centralna słońca działa według tegoż samego prawa. Z prawa zatym Newton’a można otrzymać prawa Keppler’a.

Obierzmy środek ruchu jako początek układu spółrzędnych, a osi Ox

mli²

i O«/ na płaszczyźnie ruchu i niech

wyraża przyciąganie, którego punkt

(x, y) o masie m doznaje od początku osi, bodącego w odległości r. Wówczas równania ruchu tego punktu będą

^•2

(1)

d²x

lc²x

d²y

li¹ y

dt²

dt²    r³ '

Zasada zachowania pól i zasada energii prowadzą do dwu pierwszych całek tych równań. Kładąc x — r.coscp, ?/ —r.sincp, gdzie cp jest kątem, liczonym od dowolnie obranej osi biegunowej Ox, mamy na mocy pierwszej zasady

J ' dt ~    ' dt ~    ’

gdzie a oznacza stałą prędkość wycinkową. Mamy tutaj

X.dx + Y .dy = d(^~^y

JiP

a zatym potencyjał U=-, skąd otrzymamy

v² — v²₀ — 2

wyrażenie prędkości v, gdy dla r — r₀ mamy prędkość v₀. Powierzchniami potencyjalnymi są kule, opisane ze środka ruchu, a koła spółśrodkowe, zakreślone z tego środka na płaszczyźnie ruchu, przedstawiają na tej płaszczyźnie linije potencyjalne. Prędkość więc otrzymuje tęż sarnę wartość, ilekroć punkt

2/i²

—; wtedy

'o

(2)

(3)

dy

X . —~T

dt

f¹-¹)

\ r r₀J

znajduje się w tej samej odległości od środka. Niech b = vQ²

(4)

v² —

2~k²

+ ó:

a ponieważ według art. 10-go

v² —

4 a²

przeto otrzymujemy następujące równanie różniczkowe toru punktu

4 a² 2/c²

-f b, skąd

(5)

4a² , 2h²

^»2

Kładąc

2a

li²

,    r 2 a

<ł> =    _    _=

y‘Hu

i całkując równanie poprzednie, otrzymamy

(6)

cp —    =. arc cos <ï>,

gdzie cpt jest stałą całkowania. Ponieważ $ rośnie z ubywającym r, i dla pewnej wartości r=rt przybiera największą wartość równą jedności, przeto <pt oznacza tę wartość kąta <p, która odpowiada najmniejszemu r — rt. Obierając oś biegunową w kierunku najmniejszego promienia wodzącego rt i licząc od tej osi kąt cp, otrzymamy <pt = 0, a zatym :

<p — arc cos

czyli

k²

(7)

. b cos cp

Z tego równania okazuje się, że punkt opisuje krzywą stopnia 2-go, której ogniskiem jest środek ruchu. Parametr p i mimośród e tej krzywej są:

(8)

4 a¹

k² ’

W art. 17-ym inaczej dowiedziono tego twierdzenia i podano kryteryja rozpoznania natury tej krzywej. Jeżeli punkt opisuje elipsę, której oś główna jest 2A, to^> = A(l— e²), a więc

2a — k\/A(\— e²),

( cl \ ^    4

Dla ruchu centralnego mamy (art. 15) v² = I — \    —— ; będzie więc

(9)

v² —-

2 k² k²

>•

/ dr\2

wj ⁺

4 a²

2k²

r²

(10)

(AV*

4 a²    2 k²

^»2

+ &.

Różniczkując to równanie względem t, otrzymamy

k² , 4 a² k² 4 a² d²r

d²r

dt²

dt² ’

z pierwszego przeto równania (1) mamy

d²x

4a² d²r

dt²

dt²

Kinetyka punktu. — 91.

czyli

d²x

d²r

Y __ r /y»    __

dt² dt²~

d (

dtY

dx

dr

AL..A(Ail₊£

d<L dt Vr,U ⁺ r

albo nakoniec

(U)

) + -.iĄ=0

f r r*

X' dt

_Q r*_ T r² d ( x \1 x

? %a'dt'[.2a'dl\r)\ r

dt

= 0.

d T (7) + 7 = ⁰ 7 a podobnie

d2_ (Ł\a-L ² \ r / r

d cp

c7cp

= 0.

Możemy więc równania pierwotne (1) zastąpić dwoma równaniami różniczkowymi linijowymi. Całkując te równania, mieć będziemy

x = r(at cos cp + bx sin cp), y — r (a₂ cos cp -f b₂ sin cp),

a z tycli równań można także otrzymać tor punktu.

Z równania (10) wynika

(12)

dt

dr

Aa² , 2 tc²

jeżeli tu zamiast a i b wstawimy ich wartości (9), stosujące się do ruchu po elipsie, to otrzymamy równanie

(13)

dt —

Va

r. dr

h ‘ }/A²e² — (A — r)²’

z którego przez całkowanie możemy obliczyć czas w funkcyi promienia wodzącego. W rachunkach jednak astronomicznych nie używa się tego wzoru, lecz wprowadza się, dla uproszczenia rachunku, inną zmienną. Niech O (fig. 37) przedstawia środek śłońca, P punkt przysłoneczny (peri-helium), P’ punkt odsłoneczny (aphelium); wtedy kąt cp o wierzchołku w O, liczony od osi OP, nazywamy anomaliją prawdzi-■wą. Na osi PPr, jako na średnicy, zakreśliwszy koło, z jéj środka wyprowadźmy do niej prostopadłą mN; ona przecina koło w punkcie m\ Kąt u — FMm' nazywamy anomaliją excentryczną, albo anomaliją średnią, i tego kąta, jako zmiennej, używamy w rachubach astronomicznych. Z figury otrzymamy

ON = MN — MO, czyli r . cos cp = A cos w — A e = A (cos u ■— e);

jn*

M JV 0

Fig. 37.

SHP

ponieważ zaś równanie elipsy jest

r(l + e coscp) = A(1 — e²), przeto, po wstawieniu powyższej wartości,

r = A (1 — e. cos u).

(14)

(15)

Wskutek tego, według (13),

dt=^A

^— (1 — e cos u) . du.

Jc

-^r=z i całkując, mieć będziemy nt — u — e sinw-f- Ci.

Ak A

Lecz dla u — 0, ^ = 0, przeto Ct = 0, a zatym

Kładąc jeszcze n —

(16)

nt — u — e sin w.

To równanie wyraża czas przez anomaliją średnią. Z tego wyrażenia okazuje

2 71

się, że czas jest funkcyją peryjodyczną anomalii, i że T =— jest wyrażę-

niem czasu całkowitego obiegu planety około słońca. Po wstawieniu tu wartości w, mamy

(17)

T² =:

47t²A³

li²

a stąd

(18)

lc² =z 4%².

A³

‘

Biorąc centymetr za jednostkę długości, a sekundę za jednostkę czasu, mamy dla ziemi A = 1487. 10¹⁰; T31558118, a zatym A³:T²= 33015X X10²⁰, skąd mamy następującą wartość spółczynnika przyciągania:

(19)

7c² = 13034 X 10²².

Wiadomo, że masa słońca, wyrażona w gramach, wynosi 199.10³¹; dziejąc li² przez ostatnią liczbę, otrzymamy

(20)

13034.10²²

199. 10³¹    1,523.10⁷

dyny?

jako wielkość siły, jaką, według prawa Newton’a, masa jednego grama przyciąga masę jednego grama w odległości jednego centymetra.

92. Wahadeo proste (matematyczne). Tak nazywamy przyrząd idealny: prosta sztywna jest w jednym końcu utwierdzona, a na jéj końcu drugim znajduje się punkt materyjalny, poruszający się na płaszczyźnie pionowej pod działaniem siły ciężkości. Wskutek tego połączenia punkt opisuje koło. Pomijając masę prostej i opór powietrza, wyznaczymy rucli wahadła. Przez punkt zawieszenia C (fig. 38) poprowadźmy oś pionową ?/-ów, a przez punkt najniższy A koła poziomą oś x-óvr. Jeżeli r jest długością prostej,

zwaną, długością wahadła, to mamy warunek ruchu, niezależnie od siły zachodzący, x² -f- y²—2ry~0, który wyraża sztywność prostej. Na mocy twierdzenia Galileusza, wyrażającego w tym zagadnieniu zasadę energii (art. 84), prędkość v wahadła w dowolnym punkcie m otrzymamy z równania

v² = v₀² + 2 g(h — y),

gdzie v₀ oznacza prędkość w dowolnym punkcie M, dla którego y — Ji. Z tego wzoru wynika, że podczas spadku od M ku A prędkość wzrasta i że wahadło posiada w punkcie najniższym A, dla którego y — 0, naj- x większą prędkość Y² = v₀² + 2gh. Odtąd podnosi się wahadło i jego prędkość maleje, a w punkcie m', leżącym z punktem m na tym samym poziomie, przybiera ta prędkość znowu wartość v. Prędkość będzie równa zeru w tym punkcie, dla którego

. Jeźeli zatym wahadło wzniesie się ponad M o wysokość, odpowiednią prędkości v₀ w tym punkcie, natenczas prędkość będzie równa zeru. Ponieważ y<Z2r, przeto ten przypadek

-\-h<i2r, albo, gdy wprowadzimy oznaczenie ii =    -f- h,

^9

dla H <^2r. Jeżeli H< 2r, natenczas wahadło wzniesie się do pewnego punktu N, dla którego y =. H, a odtąd zacznie znowu spadać ku A, podniesie się znowu do punktu Nr w tym samym poziomie, co punkt N, spadnie do A i t. d. bez końca. Taki ruch nazywamy wahaniem się, czyli oscy-lacyją; wahanie się jest ruchem okresowym, a czas, potrzebny do opisania łuku NAN', zowiemy trwaniem wahnięcia.

Jeżeli H — 2r, to punkt m przychodzi do spoczynku’u szczytu koła; a jeżeli H'>2r, to punkt nie przyjdzie do spoczynku, lecz będzie opisywał koło nieustannie w tym samym kierunku. W tych obudwu wypadkach niema więc właściwego wahania się. — Zastanowimy się nad oscylacyją wahadła, przyjmując H <C 2r.

Według (I)

(1)

W*

v -f 2gQi — y) = 0, a więc gdy y = h +

nastąpi dla

v₀²

«V

my.

Fig. 38.

(2)

To równanie, wyrażające zasadę energii dla ruchu punktu po jakiejkolwiek krzywej przy wyłącznym działaniu siły ciężkości, pozwala wyznaczyć czas,

• äyl

jeżeli uwzględnimy równanie danego toru. Kładąc ds² —    -f- j J

(3)

dt — dk.

VI

dy

v,y. ¹

2rVvo² + ²9(h — y)

Ponieważ zawsze dt^> 0, przeto należy po prawej stronie brać znak +, jeżeli wahadło się podnosi (dyz> 0), zaś znak —, jeżeli spada (dy<d 0). Kładąc wartość za H i uważając ruch od JNT ku A, otrzymamy

dt — —

dy

a jeżeli t oznacza czas, potrzebny na spadek od N do A, to

(4)

inr

Jn

dy

dy

Biorąc w (3) znak + i całkując od 0 do H, otrzymamy ten sam czas, potrzebny do opisania łuku ANr, z czego się okazuje, że trwanie jednej oscyla-cyi wynosi

(5)

T — 2t —

KFf

dy

l/H y-y

i-i¹

2r )

y<.2r, przeto możemy ^1 potęg argumentu y, tak iż

Ponieważ

² rozwinąć na szereg podług

(6)

w 9 »=o

rH !

■H

/I yn-dy (2rÿrJo l/Hy—y²’

gdzie

1*3.5... (2n — 1)

2.4.6...2»

Wiadomo z rachunku całkowego, że

fR yn ■ dy _

Jo ,/H^ .

1.3.5.

dy

2.4.ó ... 2n

₀    |/H y — y²

_ 1.3.5...(2n — 1)

2.4.6 ... 2n

H”tc;

mamy zatym

(7) T —

■KtK)

■T

/1.3\2 /Hy /1.3.5VS /H\

\2.4/    \2r/ '(^2.4.6/

a)'-©+4

1.3.5...(2w — 3)(2w —

2.4.6...(2# — 2)2w

Kąt cp = A Cm, który wahadło w danym położeniu tworzy z pionem, zo-wiomy odchyleniem wahadła, a największą wartość tego kąta, a=ACN",

to a

przeto

nazywamy obszernością wahania. Ponieważ H=:2r.sm²

(8) T =

⁺(

CM IQ

².sin⁴

bo| a

1.3.    .. . (2n — 1) y

2.4.6...2»    / '

sin 2/î    +

a to równanie pozwala trwanie wahnięcia obliczyć w funkcyi jego obszerności.

Jeżeli obszerność wahania jest dostatecznie mała, nie przekraczająca 3°, to możemy przyjąć

3 ! \ 2 /    2 V 24/

. a a Sm2 = 2

Wstawmy tę wartość w (8) i rozwińmy szereg, to otrzymamy z wystarczającym przybliżeniem

(9)

■Vi

16

Dla a <C 1° wystarczą dwa pierwsze wyrazy, a wtedy będzie

"K" i(I+#

Dla nieskończenie małych obszerności będzie w granicy a = 0, co daje czas wahnięcia

•KI-

(10)

Z tego wzoru okazuje się, że w wahadle nieskończenie małe wahnięcia są niezależne od obszerności, czyli są równoczesne (twierdzenie Galileusza). Trwanie wahnięcia zależy od długości wahadła i od przyśpieszenia spadku, a zatym od miejsca na powierzchni ziemi, w którym je obserwujemy. Z równań (9) i (10) mamy

T

xO _

TT

- 1__L a2 _1--L_ a4_ . ,

^    ' 3072

16

3072

MECHANIKA TEORETYCZNA-.

to

a stąd

(10')

a²

ał

16 ⁺ 3072

Obserwacyje pozwalają wyznaczyć czas T dla dostatecznie małych wahnięć; nie można z nich jednak bezpośrednio otrzymać czasu T₀ dla wahnięć nieskończenie małych. Wzór (10f) pozwala z obserwowanego czasu T obliczyć T₀.

Możemy zagadnienie o wahadle rozwiązać także zapomocą rozkładu siły na siłę styczną i na siłę normalną (art. 87). Rozkładając siłę ciężkości mg na siłę styczną Pt i na siłę normalną P₂, otrzymamy

Pj — mg . sin <p ; P₂ — mg . cos cp ;

będzie przeto

(U)

dv

dt=°-s inf-Podczas spadania wahadła od N ku A mamy v~ —

cit a t

powyższe zatym równanie prowadzi do równania

. sin cp = 0,

d²cp _ ~r'~dt²’

(12)

d²cp

dt²

■s '<5

dy

zatym

jako równania ruchu wahadła. Jeżeli wahadło podnosi się od A ku W, natenczas siła mg . sincp działa w kierunku przeciwnym prędkości v\ otrzymamy cl V

dt ’

przeto równanie (12) pozostaje niezmienionym. Mnożąc to równanie przez

-j- — — g sincp; ponieważ jednak dla tego ruchu mamy v = r

Cl l

2 . ~ i całkując, otrzymamy całkę pierwszą a ponieważ ^=z0 dla cp = a, przeto c = —    cos a, więc

(13)

fê)²=^(cos,p-cosa)’

co wyraża zasadę energii. Z tego równania wynika

V 2g j/ cos ęp —

co pozwala czas wyrazić przez całkę eliptyczną.

Dla bardzo małej obszerności wahania możemy położyć łuk 9 zamiast sincp i otrzymamy z dostatecznym przybliżeniem

- gy

dt² r

(14)

dy

cos a

jak wyżej.

Dla cprrzO otrzymamy ć —yj/"y, a stąd T₀ =

■KI.

jako równanie ruchu wahadła. Ponieważ dla t = 0, mamy cp — a, —0, przeto z ostatniego równania

cp — a . cos£

(16)

)/f.

l/y

■/    — arc cos —.

V 9

Styczna do koła, poprowadzona w punkcie w?, tworzy z poziomem kąt <p, a z równania (11) widoczna, że przyśpieszenie ruchu wahadła w kierunku tej stycznej wynosi g . sin cp. Jeżcli punkt materyjalny spada po prostej pochyłej, to jego ruch jest jednostajnie przyśpieszony, a przyśpieszenie tego ruchu jest równe rzutowi przyśpieszenia pionowego g na tę prostą.

Wahadło, czyniące w próżni nieskończenie małe wahnięcia, z których każde trwa jednę sekundę, nazywamy wahadłem sekundowym. Kładąc w równaniu (10) T₀ = 1, r~l, otrzymamy

(17)

i = -Ł

TC²

jako długość wahadła sekundowego w tym miejscu na powierzchni morza, w którym g jest przyśpieszeniem spadku. Przyśpieszenie spadku jest propor-cyjonalne względem długości tuahadła sekundowego; możemy więc zapomocą wahadła wyznaczyć w każdym miejscu na ziemi przyśpieszenie spadku. Wahadło sekundowe jest najkrótsze na równiku, najdłuższe zaś na biegunach ziemi, a jeżeli l₀ oznacza długość wahadła sekundowego na równiku, to pod szerokością gieograficzną X otrzymamy odpowiednią długość l wahadła sekundowego ze wzoru (art. 63)

(18)

w²R

TC²

sin ² X

z którego, po wstawieniu wartości z art. 63-go, mamy w metrach

l = 0,99182 + 0,00344 sin²X.

Niech wahadło waha się w środku, którego opór jest proporcyjonalny względem n-tej potęgi prędkości. Oznaczając opór przez Xmvn, otrzymamy równanie ruchu}

(19)

dv

— = 0.-sin<p — Xvn,

czyli, po podstawieniu wartości,

ddl + <- ¹)"⁺' ^ • X* • {lïY⁺7sin,p = °-

l)la małych wahań w powietrzu możemy przyjąć n — 1, a wtedy

+ X . -₇-j + — sin cp = 0, dt r

(20)

d*y

lab, pisząc łuk zamiast jego wstawy,

(22)

d² cp

dt²

il + Łu — n dt^r

Całka ogólna tego równania jest

V X²-^ \

+ C₂ e

gdzie stałe Cx i C₂ wyrażamy z warunku, że dla pierwszego wahnięcia ma

(23)

Cxe

acp

być przy £=() tak cp == cpt jak i -^- = 0, gdzie cpx jest obszernością tego

wahnięcia. Według wartości wyrażenia pod znakiem pierwiastka kwadratowego w równaniu (23), należy rozróżnić trzy przypadki.

wtedy cp =

a) Gdy X²

— o, X —

Ce-^T, C = ^

a więc

(24)

T = Tie

Aby wahadło doszło do położenia pionowego, potrzeba, iżby cp — 0, a wtedy t=zco. Przy takim zatyrn oporze nie dojdzie wahadło do położenia pionowego, ruch przeto jego nie będzie wahadłowy.

b) Gdy X²

i wyznaczając Cx i C₂, otrzymamy

~ !> 0, czyli X >» 2 ~r > ł° kładąc jr³ = X²

4g

(25)

Ti

r    x~!j-

[_(X+^)e    ²

— (X— ii)e

■I

Ponieważ zawsze t > 0, przeto cp = 0 dla

X—fj.

g 2    — Q j

Vî

a ponieważ X —przeto znowu t = Nie otrzymamy zatym także właściwego ruchu wahadłowego.

a zatym pierwiastki w (23)

c) Gdy X² — <C0, czyli X<2

są urojone. Kładąc o =

— X², otrzymamy

(26)

T — Tie

/ ai X . ai\

pos_₊„sm_j,

co przedstawia funkcyją peryjodyczną czasu, okazującą, że ruch wmhadłowy zachodzi. Marny tu

d cp

Jeżeli sin =0, to otrzymamy —^- — 0, co nastąpi dla Ąf-£    d t    2

== 0, 'Ę

2rc,.,, ,wrc; trwanie zatym jednego wahnięcia wynosi

2 TC

T =    = 2îc

■VU'-vP-

= 2îc

VU

XV

Jeżeli rozwiniemy dwumian i zatrzymamy tylko wyraz tego rzędu co X², to mieć będziemy

(28)

A więc nieskończenie małe wahnięcia trwają przy tym oporze nieco dłużej, niż w próżni, i są także równoczesne. Po n oscylacyjach upłynie czas

2 7C %

----- ; podstawiając tę wartość w (26), otrzymamy

7tXrt

(29)

<p» = =k<pie ⁰ ,

jako wielkość kąta, który wahadło po n wahnięciach tworzy z pionem. Z tego widzimy, że obszerności wahań tworzą malejący postęp gieometryczny.

93. Wahadło sferyczne. Udzielmy punktowi m prędkości początkowej v₀, której kierunek nie przypada na płaszczyźnie pionowej mCA; natenczas torem tego punktu będzie krzywa skośna, leżąca na powierzchni kuli o promieniu r, której środkiem jest punkt zawieszenia C. Takie wahadło nazywamy wahadłem sferycznym.

Zastosujemy ogólne równania różniczkowe Lagrange’a (art. 78), aby zbadać ruch takiego wahadła. Obierzmy punkt zawieszenia C jako początek osi, pion CA, z góry na dół, jako oś z-ów, a płaszczyznę xCy poziomo; miejsce punktu określimy przez kąty: cp, który wahadło tworzy z pionem, i 6, który płaszczyzna mCz tworzy z płaszczyzną xGz. Wtedy otrzymamy x — r cos 6 sin <p, y — r sin 9 sin <p, z — r coscp,

a równania ruchu będą

Tt(w)=--rVT+l3>

£($)⁼4(T+q)-

Ponieważ

yyi    am /y*2

T =    (x'² + y'² + z'²) = —— (cp'² -f 6'² sin² cp), U == mg z = cos <p,

J    2

T + U =    (cp'² + 6'² sin²cp) coscpj ,

(T + U) — 0, ~ (T + U) = mr . (r . 6'² coscp —g) sincp,

dT

^    dT

d6'

dcp

= îwr²Q'. sin²cp, -3—y — mr²cp',

przeto otrzymamy równania ruchu

(1)    r²(6r'sin²cp-f-2<p'0'sin<pcoscp) = O, r²y"—r(V0'²cos<p—p)sin<p=0.

Całka pierwszego równania.

(2)

clO

r²6'. sin² cp = r² . sin ² cp = c cc o

gdzie c jest wielkością, stałą, wyraża zasadę pól ze względu na płaszczyznę xCy, a z téj całki wynika, że ruch rzutu poziomego wahadła jest ruchem centralnym względem punktu C. Podstawiając Qf z (2) w drugim równaniu

(1), otrzymamy

C?²<p _ C² COSCp

dt² r² sin³cp

gr. sincp,

a mnożąc to równanie przez 2 . ~ i całkując je, mieć będziemy

^is^⁺²^cos'P’

gdzie 2 Ji oznacza stałą. Rugując c z (2) i (3), otrzymamy równanie

(3)

^*2

/ d(p\2

w;

— 2h

0)

v² — r²

\i%y+c^)2 sin2tf]=^ c°s<f+

które wyraża zasadę energii. Niech dla £=0 będzie 0=0, <p=cp₀, cp' = cp'₀, 0rr=0'o; wówczas

(5) c—r²0'o sin²cp₀, 2h—r²(cp,²₀-f0'²Osin²cp₀) — 2grcos cp₀ = v²₀r²—2grcos cp₀. Kładąc

(6)

R = 2r²(gr coscp -j- 7&) sin²cp — c²,

z równań (2) i (3) otrzymamy

(7)

cZ t = i

r² sin cp d cp

j/r

dO = d=

c. dy

sin (p|/ R

Pierwsze z tych równań pozwala obliczyć czas w funkcyi kąta cp, a drugie jest równaniem różniczkowym toru wahadła. Czas t i kąt 0 dają się wyrazić przez całki eliptyczne. Nie obliczając tych całek, możemy z powyższych równań poznać główne własności ruchu wahadła.

W tym celu zważmy, że # = r coscp może przybierać tylko takie wartości, które znajdują się między —r i 4-r; tudzież, że tylko takie wartości kąta cp uwzględnić należy, dla których wielomian R>:0. Wstawiając w R wartość s — r cos cp, otrzymamy

(8)

R = 2 (r² — z²) {gz-\-k) — c², ą z powyższych uwag wynika, że należy przedewszystkim zbadać pierwiastki

równania R = O w granicach z ~ — r i z~Ą-r. Kładąc kolejno za z wartości następujące:

Z — — co,

— r,

R = -f co, —c², rhp₀'² . sin ² <p₀

z₀ — r cos cp₀ ,    + r , otrzymamy odpowiednio

z czego się okazuje, źe wszystkie trzy pierwiastki równania R = 0 są rzeczywiste i znajdują się między krańcami: —co i —r, —r i z₀, z₀ i +n Pierwszy pierwiastek, jako ujemny i liczebnie większy od r, nie ma dla nas znaczenia; trzeci pierwiastek, który przez a oznaczymy, jest zawsze dodatny i mniejszy od r, drugi pierwiastek ß będzie dodatny lub ujemny według tego, czy R^O dla z~0, a zatym, według tego, czy 2r²h— c²^0. Jeżeli 2r²h—c²-<0, to 0-<ß<;a, wielomian zatym R przybiera wartości do-datne dla ß<C^<Ia, a R będzie równe zeru dla z~$ i dla z = a, Ponieważ £>»0 oznacza, źe wahadło znajduje się na dolnej półkuli, przeto widzimy, że w przypadku, gdy 2 r²h— c²<C0, wahadło pozostawać będzie na dolnej półkuli, a tor jego będzie zawarty między tymi dwoma równoleżnikami, w których płaszczyzny z = ß i z = <z przecinają tę półkulę. W przypadku, gdy 2r²h— c²;>>0, będzie R ;> 0 dla z między krańcami —ß i a; wahadło może się przeto wznieść do górnej półkuli, a jego tor sferyczny będzie się znajdował między dwoma równoleżnikami, z których jeden znajduje się na górnej, a drugi na dolnej półkuli.

Może zajść przypadek, że a = ß; wtedy z — a jest pierwiastkiem podwójnym, a R 0 jest jedynym rozwiązaniem, które odpowiada ruchowi wahadła między danymi krańcami. Wahadło będzie wtedy opisywało koło na dolnej półkuli, którego promień zależy od prędkości początkowej, Ponieważ w tym przypadku będzie cpr— 0, przeto także jest <p₀' = 0; należy zatym wahadłu dać prędkość początkową poziomą. Mamy wtedy v₀² = r²0o'² sin²cp₀, a z (2) widzimy, źe Q' = 0or; ruch więc wahadła będzie jednostajny. Takie wahadło nazywamy wahadłem stożkowym w ściślejszym znaczeniu.

d~R

W tym przypadku będzie dla z = a, R = 0 i -jy równanie (8) względem z, otrzymamy

0 ; różniczkując przeto

ogz² — 2hz—gr² = 0, czyli 3g cos²<p₀ + — cos<p₀ — g — 0 a podstawiając 2h — r²6₀'² sin²<p₀ — 2gr coscp₀, mieć będziemy

gcos²(f₀—g

y-. sin² % cos (p₀

skąd

(9)

gr . sin²cp₀

v₀² —

jako drugi warunek dla wahadła stożkowego. Rozłóżmy ciężar mg wahadła na składowe, jednę w kierunku promienia r i drugą w kierunku prostopadłym do r; ta ostatnia składowa będzie mg sincp₀. Siła odśrodkowa wahadła, opi-

cos (p₀

sującego koło o promieniu rsin<p₀, wynosi m v₀² : r sin cp₀ ; rozłóżmy ją na dwie siły, jednę w kierunku promienia r, drugą prostopadłą do r; ta druga składowa będzie mv₀² coscp₀ : r sincp₀. Ponieważ, według (9), mamy

r sin <p₀

mg sincp₀ =

przeto otrzymujemy twierdzenie: wahadło sferyczne opisuje koło, jeżeli jego prędkość początkowa jest pozioma i jeżeli składowe siły odśrodkowej i ciężaru wahadła, prostopadłe do pręta, na którym wahadło zawieszono, są sobie równe.

Z prędkości v₀ otrzymamy czas wahnięcia T —

Vf

z czego wynika, że wahadło stożkowe obraca się raz około pionu w tymże samym czasie, w którymby wahadło proste o długości z₀ wykonało wahnięcie podwójne.

«Jeżeli kąt cp jest dostatecznie mały, to, kładąc sinrp=:cp, coscp=rl— otrzymamy z równania (7)

2~’

(10)

dt = ±

<p . d '5

]/-*• +>(l + £)ł*

Obliczmy pierwiastki równania — <pł-j- 2 ^1 -f T² ~

c²

gr³

c²

~0 i liczmy t

od chwili, kiedy <p przybiera wartość jednego z tych pierwiastków. Niech <p₀2 będzie jednym z pierwiastków tego równania; drugi pierwiastek oznaczmy przez (pt². Wtedy będzie

gr³

(W

To² + <pi² V 2 ) ’

*⁴⁺²(¹⁺

(J² — ?o²)0p³— ?i²) =

) — (j²

a więc

dt = +

V{sl^e

<p. dtp

ï~(r-

?0² + Tl² V

2 J

Całkując to wyrażenie z uwzględnieniem warunku początkowego, otrzymamy

a stąd

¹ I /" r TT I / — arc cos

* V 9

²<P²—Qpo² + <pr)

To²—?!²

(12)

<p² — cp₀² COS²Ź

Z tego równania okazuje się, że kąt cp jest funkcyją peryjodyczną czasu, i że

jego wielkość pozostaje ciągle zawarta między cp₀ i cpt. Między tymi kran-

cami odbywa się każde wahanie się w czasie % —

(13)

Z równania (2) mamy, kładąc sin cp — <p, c . dt_ c

ÿ'2

dt

VI

<p₀²COS²Ć

VI

— + cpt² sin²^

1/T

Stąd otrzymamy, przyjmując, źe 0 = U dla t ~ 0

r>kV7arCtgtetg<K r)-

Ponieważ zaś z równania (11) wynika

rVg r

przeto

(14)

0 — arc tg

(V PT

a z tego równania możemy’ kąt 0 obliczyć w funkcyi czasu. Widzimy więc, że kąt 0 rośnie nieustannie z czasem i że płaszczyzna wahania, poprowadzona przez wahadło i pion CA, obraca się w czasie % o kąt prosty około pionu, źe

przeto całkowity obrót tej płaszczyzny zachodzi w czasie 2 tt

nik łatwo sprawdzi, źe rzut poziomy wahadła na płaszczyznę xy opisuje elipsę

= 1, której środkiem jest punkt zawieszenia.

X¹

r²<f o²

^*²cp₁²

94. Tautochrony. Tor punktu nazywamy taut ochroną, jeżeli punkt, poruszający się po tym torze przy działaniu wiadomej siły, przybywa do pewnego danego na tym torze punktu O w tymże samym czasie, niezależnie od tego, z którego punktu tego toru ruch się rozpoczyna. Niech M (fig. 39) będzie dowolnym położeniem początkowym punktu, w którym prędkość jest równa zeru, O zaś niech będzie stałym położeniem, do którego punkt zdąża, nadto m niech oznacza dowolne miejsce podczas ruchu; prócz tego przez o oznaczmy łuk OM, przez s dowolny łuk Om, obadwa łuki licząc od punktu stałego O. Jeżeli P* oznacza składową styczną siły przyłożonej w punkcie m, wziętą dodatnie w kierunku ruchu, to zasada pracy daje prędkość w punkcie m, gdy, dla uproszczenia, masę punktu przyjmiemy jako równą jedności. Mamy bowiem

,M

.P

Fig. 39.

(O

Pt.ds=2

P t-ds,

skąd

dt —

ds

vr

czas zatym dojścia od M do O wyraża się

'0

(2)

T= -

ds

ds

j/2

J/2

Kładąc

(3)

P<. ds

ds = y(u). du

otrzymamy T = ~

y (u) .du

V*

o (X — m)2

nową zmienną, mieć będziemy

Y, a podstawiając u = Xz, gdzie z jest

(4)

mjo

¹ (p(Xz)^Xz.    _ 1 f

Jo

i

(> — £²)2

(Z — £⁸)2

przy <P(Xz) = <p(Xz) .}/ Xz. Gdy tor jest tautocbroną, wówczas T jest niezależne od X, a zatym pochodna T względem X jest równa zeru. Różniczkując przeto równanie (4) względem X, otrzymamy warunek dla tautochrony,

<P'(Xz)z.dz

- = 0.

r0

(z ■— Z¹) 2

Powyższa całka, której krańce są stałe, może być równa zeru tylko wtedy, kiedy <P'(X^) = 0; w przeciwnym bowiem razie, rozwijając «^'(X^) na szereg, moglibyśmy zawsze dla X obrać tak małą wartość, iżby ta funkcyja miała stale znak dodatny między powyższymi krańcami, a przeto każdy element całki byłby dodatny, wskutek czego całka nie mogłaby mieć wartości zero. Z warunku <ł>'(X0) = O wynika <ł>(X#) = c, gdzie c jest stałą dowolną, a zatym <p(X«) = —

c. du

Q

czyli ę (#) = —-—, ds —

V u

ponieważ u — 0 dla 5=0. Z tego otrzymamy u — s²‘.4c², a wstawiwszy tę wartość w (o), mieć będziemy

skąd s = 2 c // u

s²

's

Pt.ds, stąd zaś

s .ds

JO

2c²

= Pi. ds,

a przeto

(5)

P< =

2e² ‘

Mamy zatym twierdzenie główne o tautochronie : siła styczna w każdym punkcie tautochrony jest proporcyjonalna względem długości łuku, który punkt ma jeszcze opisać do końca swej drogi (twierdzenie Newton’a). Ponieważ dla s =. 0, Pi=;0, przeto widzimy, źe w punkcie O siła przyłożona jest równa zeru lub normalna do toru, źe zatym punkt końcowy tautochrony jest miejscem równowagi punktu ze względu na siłę przyłożoną.

Z równania (1), po wstawieniu wartości siły P,, wynika

(6)

skąd

o² — s²

2c²

(7)

ds

TU C

vv

a (o² — 5²)2

Tl²

a więc Pt = -^.s.

Jeżeli X, Y, Z oznaczają składowe prostokątne siły przyłożonej, to według (8) otrzymamy, jako równanie różniczkowe tautochrony,

(8)

TU

(9)

X.

dx

dy

ds ‘ ds

fZ

dz

TU²

‘ ds “ 4T² *⁵*

Gdyby ruch zaczynał się już z prędkością v₀, to byłoby

/ds\²

=(«)* awięc

o² — s²

2e²

'0

ds

J/2c²u₀²+a²—s²

— arc cos

2 2

Na tautochronie jest T niezależne od o, a zatym jest —-~-

= k, gdzie k

jest stałą, czyli v₀ — —. jeżeli prędkość początkoioa punktu jest proporcyjonalna względem łuku, który

a. To znaczy, że tor pozostaje tautochroną,

ten punkt ma jeszcze opisać do końca toru.

Niech na punkt materyjalny działa tylko siła ciężkości; wtedy punkt O jest punktem najniższym tautochrony, która do stycznej w tym punkcie będzie zwrócona stroną wypukłą. Obierzmy tę styczną za oś a?, pion w O w górę za oś y, wówczas P — — g jest siłą przyłożoną, której składowa styczna wynosi

Pi = g .    ; będzie więc, według (8),

TU²

. s . ds, a zatym

g .dy —

89T2 ~^² 'y'

Ten związek między łukiem a rzędną y cechuje cyklojdę zwykłą, a zatym tautochroną punktu materyjalnego, spadającego w próżni, jest zwykła cyklojda

yT²

TE² *

95. Brachistochrony. Brachistochroną między dwoma danymi punktami nazywamy taką liniją krzywą, po której punkt przy danych warunkach ma się poruszać, aby z jednego punktu do drugiego przybył w czasie najkrótszym. Wyznaczymy brachistochronę dla punktu materyjalnego, który z danego punktu a bez prędkości początkowej spada do danego punktu 1), lezącego poniżej a, lecz nie na tymże samym pionie. Poprowadźmy płaszczyznę pionową P przez obadwa punkty, obierzmy a jako początek osi x, skierowanej pionowo nadół, prostą poziomą, przechodzącą przez punkt a na płaszczyźnie P, jako oś y\ spółrzędnymi punktu b niech będą xx \ yx. Według art. 92-go czas dt spadku na łuku ds linii krzywej wyraża się wzorem

ds 4T²’S

4T²

(U)

s² =

odwrócona. Promień koła, tworzącego tę cyklojdę, wynosi r —

dt.

VTg=:y¹-^l.dx

pj

y-* •

O

's*

's»

a stąd czas t, potrzebny do opisania łuku ab,

xx

(1)    t]/2g =

V ,dx, gdzie V=

V'-¥-

Poprowadźmy od punktu a do b na płaszczyźnie P inną liniją krzywą, nieskończenie bliską tej linii, której odpowiada czas t, i niech ^ -|- ô^ oznacza czas spadku po téj linii; wtedy

xx

dt. \/ 2g =

dV.dx =

Xi/dV

'o

Jo

Oy'

1

2    ’ dy'¹

$y'²+ ...j

dx\

a ponieważ

dV

d²V

ày' V x(i    dy'² \/x(i -j-y²)³

przeto

(2) st.Vig-

xx

xx

dy' .dx+j

o J/x(i+y'²)

L V*0 +y'²)

Jeżeli czas t odnosi się do brachistochrony, to wtedy dla każdej innej krzywej, nieskończenie bliskiej, jest §£>»0, bez względu na znak waryjacyi dy\

-N

Ponieważ znak waryjacyi dt zależy od znaków dwu pierwszych wyrazów szeregu (2), przeto dla "brachistochrony jest

(3)

*i

*i

’₀ K^a+y²)

dy'.dx = 0 i

J₀ -h y²)

= dy'² . clx >► 0.

Całkując pierwsze wyrażenie przez części, otrzymamy

xi

!₀ V ^C¹ + y'²)

sy. dx —

xi

'₀ K®(i + ya)

doy —

dy —

₀ \/x(l-\-y'²) 'Xl_d

I dx J/^TT+yäj

a że S«/ = 0 dla punktów a i b, a więc dla x — Q i x~xy, przeto

fXlA

)₀ dx’yx{ i₊y₂)

?/

'₀ K«(i + y²)

sy. dx — —

3 2/.

Ponieważ dy jest dowolne, przeto pierwszemu warunkowi (3) stanie się zadość, jeżeli

(4)

0 czyli

Vx{\ +y’*) Va

gdzie a oznacza stałą dowolną. Z ostatniego równania wynika równanie różniczkowe brachistochrony

dx y x{\ + y'²)

(5)

dx

dy

z którego widzimy, że liniją szukaną jest cyklojda zwyczajna, której podstawą jest oś 2/, a punktem zwrotu początek a\ cyklojda ta jest ku osi y zwrócona stroną wklęsłą. Całkując równanie (5) i uwzględniając warunek, że brachi-stochrona ma być poprowadzona przez punkty a i b, można wyznaczyć promień koła tworzącego cyklojdę.

Żeby zachodził drugi warunek (3), potrzeba, aby dla cyklojdy iloraz 1 : \/x(l + y²)³>0. Ponieważ ciągle x>0, przeto pierwiastek jest rzeczywisty, a biorąc go, jak czyniliśmy powyżej, ze znakiem więcej, dopełnimy warunku żądanego. A zatym cyklojda czyni zadość wszelkim warunkom dla brachistochrony w powyższym zagadnieniu.

Gdyby nie zachodził warunek, że brachistochrona ma być poprowadzona przez punkt b, wówczas pierwszemu warunkowi (3) stałoby się zadość tylko wtedy, gdy

CO

co

MECHANIKA TEORETYCZNA.

a zatym gdy y — 0, ponieważ linija szukana ma przechodzić przez początek a. Brachistochroną byłaby w tym przypadku oś x.

Niech 9 oznacza kąt, który styczna do brachistochrony tworzy z kierunkiem siły ciężkości; wówczas, według (5)

tang 9 =

• r—I

CO

ts

-6

a stąd

sin cp _ sin 9 _

\/2gx

^— = stałej

a więc prędkość punktu, spadającego po brachistochronie, jest proporcyjonal-na względem wstawy kąta, który kierunek ruchu tworzy z kierunkiem siły ciężkości.

96. Kuch względny. — 1. Pozorny ruch wahadła przy uwzględnieniu obrotu ziemi. Niech wahadło waha się na półkuli północnej, a punkt zawieszenia A obrany będzie jako początek prostokątnego układu spółrzędnych, którego osią A x niech będzie styczna do południka punktu A, skierowana na północ, osią zaś A y styczna do równoleżnika, skierowana na wschód, osią nakoniec Az pionowa ku środkowi ziemi. Jeżeli r jest długością wahadła, to punkt wahający się czyni zadość warunkowi, zachodzącemu niezależnie od sił, x² -j- y² -f- z² — r² = 0; siły zatym połączeń będą odpowiednio [i#, [iy, \lz, gdzie fi jest S2iółczynnikiem nieoznaczonym. Jeżeli X jest szerokością gieograficzną punktu A, co prędkością kątową obrotu dziennego ziemi, odciętą na jej osi od środka ku biegunowi północnemu, to co cosX, 0, -^•cosinX są odpowiednio składowymi prędkości co w kierunkach osi x, y, z. Ponieważ g przedstawia wypadkową przy ciągania ziemi na punkt wahający się i siły odśrodkowej, jeżeli masa punktu jest równa jednostce, przeto równania ruchu pozornego czyli względnego wahadła będą (art. 88)

(1)

xu ==■ jjlæ •— 2 co y' sinX, y" = \^y + 2u>(x' sinX-j-#' cosX), z" —g-\- pz — 2 co y cosX.

Mnożąc te równania odpowiednio przez 2x\ 2y', 2z', dodając iloczyny i następnie całkując, otrzymamy

(2)

v² — V — 2g(z — z₀),

jako równanie energii, w którym v₀ oznacza prędkość początkową.

Zastosujmy te równania do bardzo małych wahnięć wahadła. Przy takim założeniu możemy zamiast z przyjąć r, a zatym odrzucić wyrazy, zawierające z'. Ponieważ zaś co jest bardzo małe, przeto możemy iloraz — także

opuścić, zwłaszcza dla dostatecznie długiego wahadła. Kładąc przeto w ostatnim równaniu z" 0, .otrzymamy [i = — — ; będzie więc

X¹¹ —

----2 co*/' sinX,

(3)

y"

+ 2 co x' sin X. r

Te równania określają z dostatecznym przybliżeniem ruch rzutu wahadła na płaszczyźnie poziomej (stycznej do ziemi), przechodzącej przez punkt zawieszenia, albo, co na jedno wychodzi, przechodzącej przez punkt, w którym pionowa punktu A spotyka powierzchnią ziemi. Dla scałkowania tych równań wystawmy w punkcie A na poziomie nowy układ spółrzędnych, A£yj, obracających się około pionu Az jednostajnie z prędkością kątową w sinX w kierunku przeciwnym składowej —co sin X obrotu dziennego ziemi, wziętej względem tego pionu i niech przy t = 0 oś A£ razem się schodzi z osią A x, a oś A 7] z osią A y. Dla uskutecznienia zmiany spółrzędnych mamy następujące wzory, kładąc n — co sin X,

x = i cos nt — Y]. sinwż; y — i sinnt-\- yj coswć.

Podstawiając te wartości w (3) i opuszczając kwadrat prędkości kątowej co, otrzymamy

i" cos nt — r" sin nt —

9%

sinwć

i" sin nt + yj" cosnt =

cos nt -f — sin nt — — cos n t,

/'

9l

. )    5" + ^ = 0, ¹i" + ~

jako równania zmienione, z których każde zosobna jest całkowalne. Mamy przeto

i = Ct cost

J/”-f- + C₂smi!

J/"Ł + c₂ sini /"■

Yj = Ct COS t

Wyprowadźmy wahadło ze spoczynku w płaszczyźnie południka o bardzo mały kąt a, i przyjmijmy a = rsina, to dla t — O mieć będziemy £ = a, yj = 0ÿ

0, rf=an. Wskutek tego — a, C₂ — a, cx — 0, c₂ = an

Będzie zatym

(5)

Yj — an

Rugując czas, otrzymamy

(6)

a²

-. a²n²

= 1,

jako równanie pozornego toru, jaki rzut punktu wahającego się opisuje na płaszczyźnie poziomej. Rzut poziomy toru wahadła jest przeto elipsą, której

jedna oś a jest styczną do południka, a druga oś an

równoleżnika; ta elipsa jest bardzo wydłużona, albowiem stosunek długości

J//"~ — w    • sinX, jest zatym wielkością tegoż sa-

~^//ir~ jest styczną do

jéj osi wynosi n .

mego rzędu, co prędkość kątowa to. Rzut poziomy wahadła opisuje owe elipsę pozornie w kierunku obrotu dziennego ziemi, podczas gdy elipsa zdaje się obracać około pionu w kierunku przeciwnym z prędkością kątową to sin X, proporcyjonalną względem wstawy szerokości gieograficznćj. Czas potrzebny

do opisania elipsy wynosi 2rc    Pręt, na którym punkt wahający się

jest zawieszony, opisuje powierzchnią stożka eliptycznego, którego wierzchołkiem jest punkt zawieszenia, a którego podstawą jest elipsa (6). Jeżeli 6 oznacza kąt, który pręt tworzy z pionem, to największa wartość kąta 6 wynosi a; jeżeli zaś ß oznacza jego wartość najmniejszą, to mamy

r. sinß = an

kątów bierzemy łuki zamiast wstaw. Pozorne zatym wahnięcia wahadła na ziemi są stożkowe, a pozorny obrót płaszczyzny wahania stanowi jeden z najwięcej przekonywających dowodów, że ziemia obraca się około swej osi. Wiadomo, że fizyk francuski, L. Foucault, sprawdził powyższą teoryją doświadczeniami, wykonanymi w Panteonie paryskim w r. 1851.

2. Ruch punktu na obracającej się płaszczyźnie. Zastosujemy równania Lagrange’a (art. 78) do następującego zagadnienia: wyznaczyć ruch punktu materyjalnego na płaszczyźnie pochyłej, obracającej się jednostajnie około osi pionowej. Obierzmy ślad osi obrotu na płaszczyźnie jako początek O układu spółrzędnych względnych x, y, z\ oś obrotu pionowo w górę jako oś #-ów; prostą, według której płaszczyzna pozioma, przez O przechodząca, przecina płaszczyznę ruchu, jako oś a?-ów, a oś y-ów prostopadle do obudwu poprzednich osi. Siad obracającej się płaszczyzny na y Oz obierzmy jako oś O7], a oś Ox jako oś 0£. Miejsce punktu na płaszczyźnie wyznaczają spół-rzędne (i, 7j), odniesione do układu 0£t], tudzież spółrzędne x, y, z, odniesione do układu Oxyz\ obadwa układy spółrzędnych obracają się razem z płaszczyzną, która z poziomem O x y tworzy kąt wiadomy fi. Mamy tu x—£ ?

vt

y — y] sos fi, z — f] sin fi; x' ~ i', y' — r/ cos fi, z' — tf sin fi; T =    (i'² + v/²);

VI-

skąd ß = a w .

^ sinX, gdzie z powodu małych

dT

dT

dT

OT

= m i',

di ~ °’ di\ ~ °'

Składowe siły ciężkości w kierunkach osi x, y, z są odpowiednio o, o, —mg; jeżeli w jest prędkością kątową obrotu około osi z, to składowe siły odśrodkowej są odpowiednio moi²i, mo)²rjcos&, o; a składowe siły odśrodkowej złożonej (art. 88) będą 2 m co yf cos łł, —2m<o£', o. Mamy przeto siły

X — m (to²ś-f-2co7/. cos 9-); Y = m (w²7j cos 9-— 2w£r); Z =— mg.

di’

dr(

— m 7j

Mamy więc tu

Qs = x.

dx

di

+Y.

dy

ifn>

fZ

dz

di

= m (w²i+2 w yf. cos 9-),

dx

dz

^=x-^+Y-

Podług wzorów Lagrange’a jest

d (dT\    dT _

dt\di') di ^

-j-Z.    — m(tó²7]. cos²9-— 2co£f. cos-9- — g sin-8-).

d /dT\ dT dt\drf)

dr\

= Qtp

otrzymamy przeto równania ruchu względnego

i" — co² i + 2 w yf cos h-, y/'— m²y] cos²9- — 2coi’ cos9- — g . sin 9-.

Pomnóżmy te równania odpowiednio przez i’ i rf, dodajmy do siebie iloczyny, całkujmy tak powstałe równanie i oznaczmy przez v prędkość względną punktu; otrzjunamy równanie

(7)

v² = i¹² + t/² = (ù²(i² + yf cos²9-) — 2gy\. sin 9- -j- c które wyraża zasadę energii. Z tego widzimy, że równanie

(8)

(9)

<a²(i² + Tj² cos²9-) — 2gr\. sin-8- — X = 0,

gdzie X jest stałą dowolną, przedstawia linije potencyjalne na płaszczyźnie ruchu punktu, Ponieważ wTyróżnik (d⁴cos²9- tego równania jest dodatny, przeto linije potencyjalne są elipsami; punkt przybiera tę sarnę prędkość względną, ilekroć tor jego na płaszczyźnie przecina tę sarnę elipsę. Spół-

rzędne is i y\s spólnego środka S tych elips są is — 0, r\s = -~

sin Ił

, a ich

cos ² 9-

osi główne są równoległe do osi 0£ i Oyj. Obierzmy środek S za nowy początek spółrzędnych 7j1? odpowiednio równoległych do i i tq; wówczas równanie takiej elipsy będzie

(10)

g²

w²(£i² + ^i² cos²9-) — ~ tang²9- — X = 0.

Linije więc potencyjalne stanowią układ elips spółśrodkowych, podobnych i podobnie leżących; stosunek osi tych elips jest stały, mianowicie równy sto-

B!bl. wnt.Oiz., S. IV, T. X.

sunkowi cos9:l. Niech dla £ = 0 będzie 8i=6iOJ Th—''ho* v = v₀\ możemy wtedy stałą c obliczyć i otrzymamy prędkość względną punktu ze wzoru

(U)

V² — vQ² + O)² (|t² — |l0²) + W² cos ² łł. (yjt² — 7]l0²).

Przekształcając podobnie równania (7), mieć będziemy

(12)

~ W²^ + 2 O) 7]i COS li, 7jt" = tó²^! cos² 9- — 2 to . cos 9-,

jako zmienione równania ruchu. Rugując 7]t i jego pochodne, otrzymamy

(13)

SnIV — w²(l — 3 cos² 9) l/'-f co⁴ cos²9. |x — 0.

Kładąc 61 = e!li, mieć będziemy dla wyznaczenia [i równanie [J.⁴ — w²(l — 3 cos²9) [I² + w⁴ cos²9- = 0,

którego wszystkie pierwiastki są rzeczywiste, jeżeli cos²'9-<C-^-. oznaczają pierwiastki dodatne tego równania; wtedy

= Ateał + A₂e~~at + Bte$l + B₂e~ ß*. Podstawiwszy to wyrażenie w pierwszym równaniu (12), otrzymamy a² ■—

Niech a i ß

(14)

(15)    7),=

(A““‘ - A^“‘) + ifirâlF f ^

Stałe A1} A₂, Bx i B₂ zależą od warunków początkowych. Z (14) i (15) widzimy, że |t i wzrastają z czasem, dążąc do nieskończoności, że przeto wogólności punkt wciąż oddala się od punktu S. Jeżeli Aj = 0, Bi = 0, to dla £ = oo jest = 0,    = 0; w tym więc przypadku zdąża punkt asym

ptotycznie do punktu 8, którego jednak w czasie skończonym dosięgnąć nie może. Z danych warunków początkowych łatwo wyznaczyć związki między |l0, 7]i₀, tudzież między wielkością i kierunkiem prędkości v₀, takie, aby powyższy przypadek nastąpił, co pozostawiamy czytelnikowi. Załóżmy, że ilo — °> ''ho = °J vo = 0; Wtedy At = 0, A₂ = 0, Bt = 0, B₂ = 0, a więc = 0, yji — 0; jeżeli przeto punkt znajdował się na początku w spoczynku w punkcie S, natenczas w tym miejscu ciągle pozostawać będzie. Punkt S przeto jest miejscem równowagi względnej punktu na płaszczyźnie.

Jeżeli coś ²9’    —-, wtedy całki równań ruchu będą zawierały funkcyje

peryjodyczne czasu, z których łatwo można okazać, że tor punktu dąży do przybrania kształtu linii spiralnej. Punkt S może być w pewnych przypadkach granicą, do której punkt zdąża asymptotycznie.

Czytelnik przerobi zadanie w przypadku, gdy cos ² 9- =    , tudzież przy

y

założeniu, że '9’ = —, t. j., że ruch punktu zachodzi na obracającej się

A

płaszczyźnie pionowej.

ĆWICZENIA.

przyciąganie jest odwrotnie propor-czas dojścia punktu do tego

(!)• Punkt rozpoczyna ruch po prostej z danej’ odległości od środka przyciągania, znajdującego się na tejże prostej, cyjonalne względem sześcianu odległości: wyznaczyć środka.

(2). Punkt, przyciągany przez dwa punkty w stosunku odwrotnym kwadratów odległości, rozpoczyna ruch z danego punktu między środkami przyciągającymi: wyznaczyć tak prędkość początkową, żeby punkt przyszedł do spoczynku w środku między tymi punktami.

(3). Jeżeli punkt, wychodzący ze spoczynku, od danego środka doznaje przyciągania, odwrotnie proporcyjonalnego względem kwadratu odległości, i w czasie tt opisuje pierwszą, a w t₂ drugą połowę drogi do środka, okazać, że tt: t₂=z

= (tc -h 2) : (tt — 2).

(4). Dwa punkty, będące pierwotnie w spoczynku, przyciągają się wzajemnie proporcyjonalnie względem odległości: wyznaczyć ich położenia po upływie danego

czasu.

(5) . Wyznaczyć prawa ruchu punktu materyjalnego, wznoszącego się pionowo i doznającego oporu, proporcyjonalnego względem sześcianu prędkości. Obliczyć wysokość, do której punkt wznieść się może przy danej prędkości początkowej.

(6) . Punkt, przyciągany od danego środka siłą niezmienną, porusza się ku niemu prostolinijowo ze spoczynku, doznając oporu, proporcyjonalnego względem kwadratu prędkości, a odwrotnie proporcyjonalnego względem odległości od środka: wyznaczyć odległość punktu od środka, gdy prędkość ruchu przybiera wartość największą.

(7). Punkt swobodny, wyrzucony z pewną prędkością, doznaje odpychania od płaszczyzny, prostopadłego do niéj i proporcyjonalnego względem odległości od tej płaszczyzny: wyznaczyć tor punktu i podać warunki, żeby torem punktu była linija łańcuchowa.

(8) . Wyznaczyć elewacyją pocisku, wyrzuconego z daną prędkością, aby pocisk z danego punktu przybył w najkrótszym czasie do danej płaszczyzny, nie przechodzącej przez ten punkt.

(9) . Wyznaczyć prawa ruchu centralnego, przyjmując przyciąganie proporcy-jonalne względem odległości od środka.

(10) . Punkt zostaje wyrzucony w danym kierunku z jednego końca prostej, której każdy punkt przyciąga go proporcyjonalnie względem odległości: okazać, że punkt przejdzie przez drugi koniec prostej.

(11) . Przyjmując, że tor środka ziemi około słońca jest kołem i że kometa opisuje parabolę około słońca na płaszczyźnie tego koła, okazać, że kometa nie może wewnątrz toru ziemi pozostawać dłużej, jak —^-tą część roku.

(13) . Punkt, wyrzucony z daną prędkością i doznający przyciągania, odwrotnie proporcyjonalnego względem sześcianu odległości od danego punktu, opisuje krzywą, którą nazywamy spiralną Cotes’a. Podać równanie tej spiralnej i rozważyć jej rozmaite kształty, zależne od warunków początkowych.

(12). Punkty spadają ze spoczynku ze szczytu koła wzdłuż jego cięciw, a od okręgu koła poruszają się swobodnie: okazać, że miejscem gieometrycznym ognisk ich torów jest koło, którego promień jest równy połowie promienia danego koła.

(14) . Jeżeli dwa pociski wyrzucimy z tego samego punktu z prędkościami « i a, pod elewacyjami a i , to ich parabole rzutu przetną się jeszcze w drugim punkcie: wyznaczyć czas między przejściem jednego i drugiego pocisku przez ten punkt.

(15) . Pod wpływem jak wielkiego przyciągania punkt opisuje lemniskatę Jakuba Bernoulli’ego r² = a² cos 2 cp?

(16) . Okazać, że jeżeli prędkość punktu, przyciąganego przez stały środek, jest odwrotnie proporcyjonalna względem jego odległości od środka, natenczas torem punktu jest spiralna logarytmiczna.

(17) . Okazać, że czas spadku planety ze spoczynku do środka słońca jest równy czasowi, w którymby planeta opisała połowę toru eliptycznego, o osi głównej, równej wysokości spadku (twierdzenie Santini’ego).

(18) . Punkt opisuje spiralną logarytmiczną, której biegun przyciąga go z siłą, odwrotnie proporcyjonalną względem kwadratu odległości: wyznaczyć czas dojścia punktu z danej odległości ze spoczynku do bieguna spiralnej.

(19) . Wyznaczyć liniją, po której punkt materyjalny ma tak spadać, aby jego rzut na liniją pionową poruszał się jednostajnie. Ta linija, zwana podług Leibniz’a izoclironą, jest parabolą półkubiczną.

(20) . Wyznaczyć taką liniją, iżby punkt, spadający wzdłuż niej ze spoczynku z położenia M do A, opisał łuk MA w tymsamym czasie, co cięciwę MA. — Krzywa jest lemniskatą J. Bernoulli’ego (twierdzenie Saladini’ego).

(21) . Z danego punktu M wykreślamy układ cyklojd zwykłych odwróconych, o poziomej podstawie, których spólnym punktem zwrotu jest punkt M: wyznaczyć synchroną tych cyklojd, to znaczy liniją, do której punkt, spadający z M ze spoczynku, przybywa w tym samym czasie, po którejkolwiek spada cyklojdzie. (Syn-chrona przecina każdą cyklojdę pod kątem prostym).

(22) . Okazać, że epicyklojda jest brachistochroną punktu, przyciąganego od środka siłą, proporcyjonalną względem odległości.

(23) . Punkt, opisujący elipsę, doznaje od jej ognisk przyciągań, odwrotnie proporcyjonalnych względem kwadratu odległości, podczas gdy środek elipsy przyciąga go proporcyjonalnie względem odległości: okazać, że ciśnienie na elipsę jest odwrotnie proporcyjonalne względem promienia krzywizny, i wyznaczyć tę prędkość początkową, dla której to ciśnienie byłoby równe zeru.

(24) . Wyznaczyć liniją stałego ciśnienia na płaszczyźnie pionowej, to znaczy taką liniją, któraby od punktu, spadającego po niej, doznawała w każdym miejscu tego samego ciśnienia.

(25) . Wyznaczyć brachistochroną punktu, poruszającego się na danej powierzchni. Stosując wyniki do powierzchni obrotowych, okazać, że początkowy element brachistochrony jest styczny do odpowiedniego południka.

(26) . Wyznaczyć równanie różniczkowe tautochrony punktu, przyciąganego przez dany środek siłą, proporcyjonalną względem odległości.

(27) . Punkt spada po cyklojdzie zwykłej nieodwróconej, doznając oporu, wprost proporcyjonalnego względem kwadratu prędkości i odwrotnie proporcyjonal-nego względem odległości od wierzchołka : wyznaczyć czas dojścia punktu do podstawy cyklojdy.

(28) . Wyznaczyć ruch punktu, spadającego w rurze prostej, której jeden koniec obraca się jednostajnie na płaszczyźnie poziomej, a drugi koniec jest nieruchomy.

(29) . Okazać, że zwykła cyklojda odwrócona jest tautochroną w środku, którego opór jest proporcyjonalny względem prędkości (twierdzenie Newton’a).

(30) . Okazać, że linija łańcuchowa jest tautochroną względem swego wierzchołka, jeżeli siła jest równoległa i proporcyjonalna względem rzędnych, liczonych od kierownicy, i działa ku tej kierownicy.

Literatura dynamiki punktu (Rozdz. VI — VIII).

mou-

C. G. I. Jacobi, De motu puncti singularis (Journ. v. Crelle, t. XXIV, 1842).— V. Puiseux, Note sur le mouvement d’un point materiał pesant sur une sphère (Journ. des math., t. VII, 1842); Sur les courbes tautochrones (tamże, t. IX, 1844). — P. A. Hansen, Theorie der Pendelbewegung mit Rücksicht auf die Gestalt und Bewegung der Erde (Danzig, 1853).—Dumas, Ueber die Bewegung des Raumpendels mit Rücksicht auf die Rotation der Erde (J. v. Crelle, t. L, 1855). — Lindelöf, Leçons sur le calcul des variations (Paris, 1861).—P. Sekret, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes à double courbure (Paris, 1860). — C. Ohrtmann, Das Problem der Tautochronen (Berlin, 1872). — M. Majewski, Traité de Balistique extérieure (Paris, 1872).—H. Resal, Solution élémentaire du problème général de la brachisto-chrone (Nouv. Ann. des math., t. XV, Paris, 1877). — P. G. Tait and J. Steele, A treatise on the dynamics of a particie (London, 1878). — De Sparre, Sur le vement du pendule conique à la surface de la terre (Paris, 1882).—F. Asmodeo, Monografia delle curve tautocrone (Avellino, 1883). —L. B. Carll, A treatise on the calculus of variations (London, 1885).

ROZDZIAŁ IX.

TEORYJA ŚRODKA MASY I MOMENTU BEZWŁADNOŚCI.

97. Określenie i własności środka masy. Iloczyn masy punktu ma-teryjalnego i jego odległości od danej płaszczyzny nazywamy momentem masy tegoż punktu względem tejże płaszczyzny. Przyjmując odległość punktu od płaszczyzny jako dodatną lub ujemną, według tego, czy punkt znajduje się po pewnej czytóź po przeciwnej stronie płaszczyzny, będziemy moment masy punktu uważali odpowiednio za dodatny lub zà ujemny. Moment masy punktu jest równy zeru względem płaszczyzny, która przezeń przechodzi.

Niech będzie dany układ (mi) punktów o masach mi} (i = 1, 2,... ,n), natenczas sumę algiebraiczną momentów masy wszystkich punktów układu względem danej płaszczyzny zowiemy momentem masy układu tego względem tejże płaszczyzny. "Wyprowadźmy z punktu O trzy wzajemnie prostopadłe osi układu spółrzędnych, Ox, O y, Oz, i oznaczmy przez Xi, y i, Zi spółrzę-dne punktu mi, a przez \lx, jj^,, ji* momenty masy układu (mi) względem płaszczyzn odpowiednio O y z, O zx, O xy\ wówczas ^z=z'Lmizi.

Jeżeli &x-\-~E>y Ą-Cz + D — O jest równaniem płaszczyzny dowolnej, di odległością punktu nii od tej płaszczyzny, to [i=Xniio,- jest momentem masy układu (mi) względem tej płaszczyzny, Wprowadźmy p — J/ Ä² + B² + C² ; wtedy

*■=

— (A Xi -j- B yi -j- C Zi-j- D)

a więc

(O

— (A ix* -j- B [ij, -j- C + DM),

gdzie M = hnii oznacza masę układa {mi). Stąd widzimy, że, znając momenty masy układu względem płaszczyzn spółrzędnych, możemy z nich obliczyć moment masy tego układu względem jakiejkolwiek płaszczyzny.

(2)

Y, — jhi    f

' “ M ’    ^    M to punkt S, którego spółrzędne względem osi Ox, O y i O# mają odpowiednio wartości £, 7] i Ç, nazywamy środkiem masy układu materyjalnego (w*). Niecli 6 będzie odległością środka masy od płaszczyzny Ax-j-By-j-Cz-j-D^O, wówczas, według (1),

(3)

Jeżeli oznaczymy

= — (Aê + B7j + CC + D) = M.8.

A zatym : środek masy posiada tę własność, iź moment masy M układu mate-ryjalnego, skupionej w środku masy, względem jakiejkolwiek płaszczyzny, jest równy momentowi masy tegoż układu względem tejże samej płaszczyzny. Bównania (2), które możemy także tak napisać: {Ae = M.£, [A„ = M.7],

M.Ç, wyrażają owę własność środka masy względem płaszczyzn spół-rzędnycb. Z tych równań okazuje się, że układ materyjalny posiada tylko jeden środek masy, dokładnie oznaczony, albowiem £, 7] i Ç nie mogą przybrać ani wartości nieoznaczonych, ani nieskończenie wielkich. Połączmy osi spół-rzędnych stale z układem; natenczas |, 7) i C będą ciągle posiadały te same wartości, jakiekolwiek układowi damy położenie w przestrzeni, a zatym położenie środka masy układu materyjalnego iv tym układzie nie zależy od położenia tego układu w przestrzeni.

Jeżeli punkty układu (mi) znajdują się na płaszczyźnie O xy, to [x^ = 0, a więc C = 0, a zatym środek masy układu płaskiego znajduje się na płaszczyźnie tego układu. Jeżeli punkty układu znajdują się na prostej Ox, wtedy [xy — 0, ^=0, więc 7] = 0, C —0, a zatym środek masy znajduje się także na tej prostej. Jeżeli każdy punkt układu ma tężsamę masę m, wtedy \ix — m. hxi, [iy = m .hyi, pz — m. S^, a jeżeli układ składa się z n punktów, wówczas £ = £#f:w, 7] = w, Ç = S#f:w, 3 = 23*: w; odległość środka masy od każdej płaszczyzny jest średnią odległości wszystkich punktów od tejże płaszczyzny.

Z równania (3) wynika, że dla 5 = 0 jest jx = 0 i nawzajem, jeżeli [i = 0, to 3 — 0. Moment masy układu jest równy zeru względem płaszczyzny, przechodzącej przez środek masy, i nawzajem: jeżeli moment masy układu względem płaszczyzny jest równy zeru, wówczas środek masy znajduje się na tej płaszczyźnie. Z tych twierdzeń wynika, że położenie układu względem płaszczyzny, przechodzącej przez środek masy, jest takie, że pewne punkty układu znajdują się po jednej, a inne po drugiej stronie tej płaszczyzny, nigdy zaś takie, żeby wszystkie punkty znajdowały się po jednej stronie owej płaszczyzny. Podobnie ma się rzecz z płaskim układem mas; jeżeli taki układ obwiedziemy wielokątem wypukłym, którego wierzchołkami są punkty krańcowe układu, wówczas środek masy układu znajduje się wewnątrz tego wielokąta.

98. Sposoby wyznaczenia środka masy. Przy wyznaczaniu środka masy ciała materyjalnego, stanowiącego układ ciągły punktów, należy rozważyć, że masy elementów ciała są wielkościami nieskończenie małymi tegoźsa-mego rzędu, co objętości tychże elementów, wskutek czego przy obliczaniu momentu masy ciała należy sumowanie zastąpić przez całkowanie. Dzieląc moment masy ciała względem pewnej płaszczyzny przez masę ciała, otrzymamy odległość środka masy od téj płaszczyzny. Obierzmy wewnątrz ciała punkt (x, y, z), w którym zachodzi gęstość a, i wydzielmy z ciała równoległo-ścian dxdydz, którego wierzchołkiem, najbliższym początku układu spółrzę-dnych, jest punkt (x, y, z)\ wówczas dm — a. dxdydz będzie masą tego równoległościanu. Spółrzędne środka masy ciała wyrażą się wtedy zapomocą wzorów

x2 i y 2 (z2

Gxdxdyd#]

Jxi

(1)

7J —

x₂

Ü2

Z2

oydxdydz;

4/

i f*x2 Cv2 r

t=~» i I

Jxl Jy, Jz,

z2

nzdxdydz,

w których

i*x2 (*U 2 ć*Z‘2

a dxdydz

Jxi Jy\ Jh

oznacza masę ciała, a całki potrójne rozciągają się na powierzchnią ograniczającą. Dla ciała jednorodnego gęstość a jest stała; jeżeli zatym dV jest objętością elementu o masie dm, zaś Y objętością ciała, natenczas

(2)

x.dY,

y-dV,

z. dV.

gdzie znak całkowania jednokrotnego został użyty przez skrócenie. Ponieważ I, '/] i C nie zależą od o, przeto widzimy, że położenie środka masy ciała jednorodnego nie zależy od gęstości tego ciała, Wzory (2) możemy tak rozumieć, Jakoby gęstość ciała była równa jednostce.

Możemy środek masy wyznaczyć zapomocą spółrzędnych biegunowych. Obierzmy jako spółrzędne: promień wodzący r, kąt $, który ten promień tworzy z osią x, i kąt tt, który płaszczyzna, poprowadzona przez r i oś x. tworzy z płaszczyzną Oxy. Wtedy

x — r cost|), y = r sim{) cos łł, z = r sin tp sinłt, dY = r²sin<f> .drdftdty, dm~ar²sin^.drdd-d^,

r³ sin²$ cos & dr d&dty

(3)

r³ sin²(f) sin ftdrd&dty.

Co do krańców całkowania należy rozróżnić dwa przypadki. Popiérwsze: jeżeli początek okładu spółrzędnych znajduje się wewnątrz ciała, a całkujemy naprzód względem t>, następnie względem ty, wtedy krańcami dla ■& są : 0 i 2 ic, dla <Jj: 0 i 7r, jeżeli całkujemy naprzód względem cp, potym względem łt, krańcami dla <J> są: 0 i 2z, dla łh 0 i z. Powtóre: jeżeli jwczątek znajduje się zewnątrz ciała, wtedy krańce dla $ i ^ należy wyznaczyć ze stożka, stycznego do powierzchni ciała i wystawionego w początku.

Z podanego twierdzenia o środku masy ciała jednorodnego wynika, że, razie, g:ly powierzchnia takiego ciała posiada płaszczyznę symetryi, środek jego masy ziu.j uje się na téj płaszczyźnie, albowiem moment jego masy względem téj płaszczyzny jest widocznie równy zeru. Jeżeli powierzchnia ciała jednorodnego ma oś symetryi, wtedy środek jego masy znajduje się na téj osi. A zatym środek masy jednorodnej bryły obrotowej znajduje się na osi obrotu. Jeżeli ciało jednorodne ma powierzchnią ze środkiem, wówczas ten punkt jest zarazem środkiem masy ciała. To s ierdzenie prowadzi bezpośrednio do wyznaczenia środka masy kuli jtdnorodnéj, brył jednorodnych foremnych, walca obrotowego i ć. p. —

Aby wyznaczyć środek masy powierzchni, przyjmijmy, że z~f(x, y) jest jéj równaniem. Pzut nieskończenie małej części dP powierzchni na płaszczyznę Oxy jest równy dxdy, a jeżeli (N, z) oznacza kąt, który normalna N w punkcie (x, y, z) tworzy z osią z, wówczas dxdy — d¥ . cos(N, z), więc

vd2c=idxdy : cos(N, z). Wprowadźmy p = -^, ą —    wtedy cos(N, z) =

— l:J/"l +p² + q², więc ć2P = J/~l + j?²+ q² . dxdy. Spółrzędnymi więc środka masy będą :

GX

* = i-

(4)

•q ——

Gy\Zl+p²-\-ą².dxdy,

ozlSl + P² + 2²- dxdy,

gdzie m oznacza masę powierzchni. Krańce całek podwójnych zależą od wiadomego ograniczenia powierzchni. Dla powierzchni jednorodnej otrzymamy

(5)

x. dF,

rt = -Y I y-dF,

C = -i

Gdyby równanie powierzchni dane było w postaci f(x, y, z) ~ 0, wtedy trzeba cos(N, z) wyrazić przez pochodne cząstkowe funkcyi /, aby otrzymać i, 7), Ç. Środek masy ciała jednorodnego nie jest, mówiąc wogólności, zarazem środkiem masy jego powierzchni; dla ciał obrotowych i jednorodnych obadwa środki znajdują się na osi obrotu. Środek gieometryczny jednorodnego ciała foremnego jest zarazem środkiem masy jego powierzchni.

Aby wyznaczyć środek masy linii krzywej, oznaczmy przez ds element łuku, przez o gęstość w punkcie (x,y,z) i nadto x' = dx : dz, y' = dy : dz, wtedy i = ~J ox\/ 1 -f-af²+y². dz,

(6)

J cyVi + %'²+y'* ■ dz,

C — ~f    -j-x,2-ł-y'². dz,

a dla krzywej jednorodnej

(7)

xds

zds.

Aby wyznaczyć środek masy jednorodnego pola płaskiego, obierzmy osi Ox i O y na płaszczyźnie tego pola, a wtedy pierwsze dwa równania (5) wystarczą do obliczenia spólrzędnych £ i tj. Podobnie wystarczają dwa pierwsze równania (7) do wyznaczenia środka masy jednorodnej krzywej płaskiej.

•aS"

«V

OL

W bardzo wielu zagadnieniach można środek masy układu materyjalnego wyznaczyć zapomocą następującego twierdzenia, którego udowodnienie pozostawiamy czytelnikowi: jeżeli układ matery-jalny w dowolny sposób podzielimy na części i masę każdej części skupimy w jej środku masy, to środek masy układu tych punktów jest zarazem środkiem x masy danego układu materyjalnego.

JSTiech krzywa płaska ab (fig. 40) obraca się około osi Ox\ wtedy linija a b utworzy powierz-

Objętość bryły obrotowej, utworzonej przez obrót figury płaskiej, jest równa iloczynowi jej pola i długości drogi, którą środek masy tej figury opisuje. Podane dwa twierdzenia nazywamy twierdzeniami Pappusa.

Ćwiczenia. — (1). Trójkąt. Niech będzie trójkąt ABC (fig. 41), którego boki BC, CA, AB oznaczmy odpowiednio przez a, b, c, a spółrzędne wierzchołków przez

(*11 y*i); (*2 5    *2)5 (*35 2/35 zz)‘ Jby wy

znaczyć środek masy obwodu trójkąta, zważmy, że środki: S,, (£t, Y]1? Ci); S₂, ($₂, Yfe, C₂);

S₃, (£₃, Y]₃, Ç3) jego boków są zarazem środ-

'V

kami masy tychże boków, gdzie — X~ ³

i podobnie Yj, Ç.

clinią obrotową, figura zaś aab$ bryłę obrotową. Niech nadto P będzie wielkością tak powstałej powierzchni obrotowej i oznaczmy x^Oa, %=Oß, wtedy

*₂

P = 2îc

y. ds.

*1

.Jeżeli Y] jest odległością środka masy S łuku ab od osi x, to

x₂

x₂

y .äs, s ri-

*1

xx

(8)

P = 2tcy] . s

t. j. poiuierzchnia obrotowa, utworzona przez obrót krzywej płaskiej, równa się iloczynowi długości téj krzywej i długości drogi, którą opisuje środek masy tej krzywej.

Niech V będzie objętością bryły obrotowej; wtedy

x₂

y² ,dx.

*1

Odległość środka masy elementu ydx figury płaskiej aa&ß od osi x wynosi ?/: 2; a więc -dx będzie momentem masy tego elementu względem osi x.

A

Jeżeli więc rf oznacza odległość środka masy S' figury F = aa&ß od osi x, wówczas

x₂

x₂

ri' ~ 2 F

y². dx

2Frj' =

y² c dx

*1

*1

(9)

y — 2 TC Y]' . F.

_ *3 “f" *1 £ _ *1 P *2

2 5 ?3~ 2

Jeżeli S₀ jest środkiem masy obwodu, a (£₀, 7]₀, Ç₀) oznaczają jego spółrzędne, to

6o =

«Si +    _ a(a?₂ -f gą) + ó(*₃ 4~ xt) + c(»i + Są)

a -J⁻ ^ d~ c

2 (a -}- b -j- c)

podobnie 7]₀ i C₀ • — Aby otrzymać środek masy jednorodnego pola trójkąta, podzielmy to pole na elementy zapomoeą prostych, równoległych do BC; wtedy środki masy tych elementów leżą na prostej ASt, a więc na tej prostej leży szukany środek. Dzieląc pole równolegle do AC, otrzymamy BS₂ jako drugą prostą, na której ten środek również leży, azatym punkt przecięcia S obudwu prostych jest środkiem masy pola trójkąta. Ponieważ prosta CS₃ przechodzi także przez punkt S, przeto okazuje się, że proste, łączące środki boków z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta, przecinają się w środku masy. Z podobieństwa trójkątów ABS i S₂S₁S wynika,

że SS₂ =

4-bs₂,

3    ²⁵

że zatym środek masy leży na prostej S₂B

w odległości od

podstawy. Umieśćmy w wierzchołkach A, B, C trzy równe masy m, to S₂ jest środkiem mas, umieszczonych w A i C; skupiając przeto w punkcie S₂ masę 2/n, znajdziemy środek tej masy i masy m w B, jeżeli długość BS₂ podzielimy w stosunku odwrotnym tych mas. Szukanym punktem isst właśnie punkt S, skąd wynika twierdzenie, że środek masy pola trójkąta jest jednocześnie środkiem trzech równych mas, umiesz-czonych w jego wierzchołkach. Z tego twierdzenia wynika, że spółrzędne £, 7], C środka masy S wyrażają się przez wzory

*i -4- *2 + x3

__jx + y<t 4- y 3

*    ??—    3

, c=

(2). Wielokąt. Aby wyznaczyć środek masy pola jednorodnego czworokąta ABCD, dzielimy go przekątną AC na dwa trójkąty ABC i ADC i wyznaczamy icli środki St i S₂ ; wówczas szukany środek leży na prostej . Druga przekątna BD dzieli czworokąt na dwa trójkąty DAB i DCB, których środki masy dają drugą prostą Sr₁Sf₂ ; punkt S leży na przecięciu się prostych S₁S₂ i SjS ₂. — Dany wielokąt o polu F podzielmy na trójkąty Fj, wyznaczmy środki masy S; tych trójkątów, na płaszczyźnie tej obierzmy osi Ox i 0 y\ wówczas z obliczonych spółrzędnycli 7]* punktów Sj otrzymamy spółrzędne (i, 7]) środka masy S, używając następujących wzorów :

F£=SF A,    F.7] = SF,72i.

Jeżeli s i i oznaczają boki równoległe trapezu, a h jego wysokość, to odpowiednie odległości 7ja i yj₆ środka masy pola trapezu od boków a i h wynoszą

h a + 2ł>

‘f]a = T • -rr » o a -f- o

Środek masy trapezu jest tym punktem, w którym prosta, łącząca środki boków a i i, przecina prostą, łączącą środki mas dwu trójkątów, na które trapez może być podzielony.

h 2 a -j- b aĄ-h

(3). Niech linija łamana ABCDEF (fig. 42) będzie częścią wielokąta

foremnego, to jej środek masy leży

na osi symetryi Oz. Oznaczmy przez S,, S

JV

’1

A'

T,

5’

r" vK "V—V”/

—V----\kr—;-

C⁷

—----! ir

F P K

42.

odpowiednio środki boków AB, BC,... O tej Samej długości t; kładąc StTj =-. £ S₂T₂ = £₂ » • • • * OS zzz £, będziemy mieli

gdzie L = n . / oznacza całą długość linii, składającej się z n części l. Na oś O y, prostopadłą do Oz, rzućmy punkty A i B w Af i Bf, spuśćmy z A prostopadłą A a na BBr i połączmy Sj ze środkiem O koła opisanego; otrzymamy dwa trójkąty podobne AB a i SjOTj , z których wynika, że : ArB ’=r:l, gdzie r=:OS₁ = — 0S₂ rz: ... jest promieniem koła wpisanego. Mamy zatym

£j/ = r . A'B'; podobnie Ę,₂l=z r. B'Cf i t. d., więc £L = (A'B'+ BfC'-f ... + E'F')r,

a jeżeli przyjmiemy H ~ AfB'-}~ BrCf+ .. • + ErF' = A'Ff, gdzie H oznacza długość rzutu linii łamanej na oś O y, to

£.L = H .r.

Ten wzór, niezależny od ilości boków n, pozwala wykreślić punkt S. W tym celu wystawiamy prostokąt ArGKFr o polu Hr, odcinamy długość F'M “ L i zamieniamy ten prostokąt na prostokąt równoważny, którego wysokość jest L. Bok PN nowego prostokąta MNPFf przecina oś Oz w środku masy S.

Powyższy wzór może być zastosowany do łuku koła. Środek masy luku jednorodnego ACB (fig. 43) leży na osi symetryi OC. Przez punkt C kreślimy styczną,

odcinamy CD równe długości połowy luku CA, łączymy punkty D i O, prowadzimy AE równolegle do OC aż do przecięcia się z prostą DO; rzut punktu E na OC jest środkiem masy łuku

A’

AB. Jakoż, AC —ES=:-^-, a ponieważ

2i    Z

(0

z podobieństwa trójkątów OCD i OSE wynika,

= 6.

że OS : r =. — :

2

H L    . nQ H r

: —, przeto OS = ——

Powyższa konstrukcyja jest tylko przybliżona, ponieważ łuk koła nie daje się wyprostować. Kładąc kąt AOB = 2 cp, mamy H — 2 r sin cp, L = 2 r cp, skąd

Fig. 43.

«    sincp

S = r .-

Dla półkola jest cp =    , więc £ = —.

Aby wyznaczyć środek masy wycinka koła ACBO, podzielmy łuk AB na elementy; wówczas wycinek może być podzielony na trójkąty elementarne równoważno, których wierzchołkiem spólnym jest środek O koła. Środki masy tych trójkątów leżą

2

na

łuku A'B', opisanym z O promieniem — r, a ponieważ masy trójkątów są równe,

ó

przeto środek masy S tego wycinka jest zarazem środkiem masy jednorodnego łuku

2 f* sm (P

Odległość więc środka masy wycinka od środka koła jest = — . -—— —

2    4r    3 cp

r— — |. Dla połowy koła otrzymamy £r =

3

ArBf.

3 TC ’

Uważajmy wycinek OACB jako sumę trójkąta OAB i odcinka ACB, i oznaczmy przez Fr, <ï>, Frf pola odpowiednio wycinka, trójkąta i odcinka, przez E i S" środki masy ostatnich dwu figur, a przez S i i" odległości tych punktów od środka O, to

<w| to

F'£':=$E + F"4";

r cos cp, F = r².cp,    = r² sin cp cos cp, F,,= Fr—-4>~r²(cp — sin cp cos ćp), więc

sin ³ cp

3 cp — sin cp cos cp

(4). Czworościan. Aby wyznaczyć środek masy czworościanu jednorodnego AB CD (fig. 44), dzielimy go na warstwy płaszczyznami, równoległymi do ściany ABC; prosta DSX, łącząca środek masy Si ściany ABC z wierzchołkiem D, jest miejscem środków masy tych warstw. Gdy połączymy podobnie środek masy S2 ściany BCD z wierzchołkiem A, to środek masy czworościanu będzie się także znajdował na prostej AS₂, a zatym środkiem masy S czworościanu jest punkt, w którym

że zatym

przecinają się froste DSt i AS₂. Z tego łatwo okazać, że SjS U>S₁,

środek masy czworościanu leży ściany ABC. Podobnie jak w trójkącie, można okazać, że środek masy czworościanu jest zarazem środkiem czterech równych

na

prostej DSt w jednej czwartej odległości od

mas,

umieszczonych w jego wierzchołkach. Jeżeli zatym xit Vii zi (*’=11 2, 3, 4) są spółrzędnymi wierzchołków, to dla środka masy czworościanu

g_xi “h x2 “f” x3 "T" x4 __

-    , Tj —

Środek równych

A i C, leży w środku krawędzi AC, i podobnie dla mas w B i D; prosta, łącząca te środki, przechodzi przez punkt S; a ponieważ możemy w dowolnym porządku dokonywać składu mas w wierzchołkach, aby otrzymać S, np. możemy brać masy w A i D, a potym w B i 0 i t. p., przeto otrzymujemy twierdzenie Monge’a: proste, łączące środki przeciwległych krawędzi czworościanu, przecinają się io środku masy tego cziuorościanu.

Środek masy piramidy znajduje się na prostej, łączącej środek masy podstawy

z wierzchołkiem, w — odległości wierzchołka od podstawy. Toż samo zachodzi dla

stożka. Środek masy powierzchni stożkowej otrzymamy, dzieląc tę powierzchnią trójkąty elementarne; środki mas trójkątów leżą na krzywej, podług której płaszczyzna

przechodząca w wysokości i równoległa do podstawy, przecina stożek; szukany

środek masy powierzchni jest środkiem masy tej krzywej, jeżeli bierzemy gęstość w każdym punkcie proporcyjonalną względem pola trójkąta elementarnego. Środek

masy stożka obrotowego leży na osi w — odległości od podstawy, a środek masy powierzchni stożka obrotowego leży na osi w — odległości od podstawy.

o

(5). Środek masy, dowolnie ograniczonej części powierzchni kuli jednorodnej, daje się z łatwością wyznaczyć. Niech x¹ -j- y² -f- z² = r² będzie równaniem kuli;

, dz

mamy tu ^r— — p — —

Ox

art. 98-go,

mas,

skupionych w wierzchołkach

Ak

~?c

Fig. 44.

na

dz

V

—    —— — q — ■--—, będzie przeto, według równań (4)

z dy    z

^ |¹ dx . dy = <ï> jest rzutem powierzchni F na płaszczyznę 0xy, przeto

. dx. dy — —

dx . dy.

A ponieważ

Ç F = <J> r. Odległość więc środka masy dowolnie ograniczonej części powierzchni kuli od płaszczyzny dowolnej jest czwartą proporcyjonalną do rzutu tej części

jpowierzclmi na tę płaszczyznę, promienia kuli i powierzchni samej. Niech będzie dana strefa na kuli o promieniu r, ograniczona płaszczyznami, których odległości od środka są H i    Kwadraty promieni kół, ograniczających strefę, będą wtedy

odpowiednio p!² = r² — H², p₂² — r² — (H -f- 7/)²; nadto mamy F = 2 Tir 7i, m — K (pi² — P2²) ⁼ ft [(H -p 7i)² — H²] = % [/t² -p 2 H 7«J, a zatym

<ï?r

= H + }’

z czego wnosimy, że środek masy strefy leży w połowie jej wysokości na osi symetryi.

(6). Cyklojda. Biorąc podstawę cyklojdy zwykłej za oś z-ów, a punkt 'zwrotu za początek, mamy równania cyklojdy

x — r(cp — sintp) = 2r(a — sina cosa),

2/= r(l— cos cp) = 2 r sin ²a, gdzie a =    ,

à r jest promieniem koła tworzącego. Z nich otrzymamy ć/s ć— 4r . sina (7a, s = — 4r cosa; momenty więc dowolnego luku będą

— J*x . ds —8 r² i*(a. sin a — cos a sin²a) da. —8 r² Ç— a cos a -J- sin a--^ sin³a^ ,

lxy —• ds — 8r²J*sin³a .da — — 8r²^cos a sin²a-f-~ cos³a^ .

Podstawiając w s, |Ar i p.ÿ obrane krańce, otrzymamy spółrzędne £, Y] środka masy

%

łuku cyklojdy. Dla połowy cyklojdy będą krańcami a~ 0 i a — —, a zatym

Dla całego łuku cyklojdy będzie

, ¹⁶ 2 • £ 4 s — 4 r, (l,* = [% — — r², więc g = YJ r= — r.

32

* = 8r, Jl* = 8 îir², [Aÿ = — r²,

Powierzchnia, utworzona przez obrót cyklojdy około podstawy, wynosić będzie, według twierdzenia Pappusa,

64

P = — Tir².

3

Dla wyznaczenia środka masy pola, ograniczonego lukiem cyklojdy, podstawą i dwiema rzędnymi, mamy

£—cosa sin³a-p-^-(a —cos a sin a) J \).x— (xÿ.dæ— 16r³a²— ^ ^cosa sin³a -f- — cos a sina^-p

+

y²dx —    £—cosa sin ⁵a-j-j |—cos a sin³a^ (a — cosa sina) jj

F=J

IV—

y . dxz^L 8r²^*sinła daxzz 2 r²

^?(sin²a+3)

sinGa~j ~6 ⁵

Dla luku cyklojdy od cp = 0 do <p =: 2 tu wartościami krańcowymi a będą 0 i n

15    5

wskutek czego F = 3nr², \ix — 3ji¥, (JLy = — nr³; a zatym i=z%r, 7] — — r. Objętość bryły, utworzonej przez obrót pola cyklojdalnego około podstawy, wynosi

Y = 5 7C²r³.

(7). Elipsojda. Wyznaczyć środek masy ósmej części elipsojdy trójosio-

2    y2l    g 2

wćj, ograniczonej płaszczyznami głównymi. Jeżeli —- -j- — -j—1 jest równaniem powierzchni elipsojdy, to całkując naprzód względem z, mamy

\^X -

x . dx . tly

f/V'

x²

a²

Wielkość pod znakiem całkowania podwójnego przedstawia moment względem płaszczyzny 0yz słupka, mającego za podstawę prostokąt dxdy i ograniczonego powierz-

y2

chnią elipsojdy. Elipsojda przecina płaszczyznę 0xy według elipsy — +• — = 1 ;

a więc

całkując zatym względem .r, mamy, jako krańce, 0 i

dy

Kładąc x=

y²

— — . sin cp, otrzymamy

z . Vi■• dx = «²(l —

a² ( V² \ cos²cpsincp.d<p=y ^1 — —J

a²c

2/²

twa

b²

. dy;

JO

a kładąc y=zb cos rp, mieć będziemy

■&

•o

dy——b

Jo

s:n⁴cp. dy —    / j^cos ({> sin ³

10

3    i

<p + — (<p — C°S cp Sin cp) I:

3 TC b

~ 16 ’

skąd

fta²bc

, , .    %ab²c

; podobnie

Habe²

16

Błbl. mat.-fiz., S. IV, T. X.

Ponieważ objętość ósmej części elipsojdy jest Y =

TZabc

-, przeto będzie

6

T“8

orf

co |oo

001 00

(8) . Środkiem trzech mas, umieszczonych w wierzchołkach trójkąta, a pro-porcyjonalnych względem boków przeciwległych, jest środek koła wpisanego; środkiem trzech mas, umieszczonych w wierzchołkach trójkąta, a proporcyjonalnych względem wstaw podwójnych kątów przyległych, jest środek koła opisanego.

(9) . Środek masy wielokąta, opisanego na kole, środek masy obwodu wielokąta i środek koła leżą na jednej prostej; a stosunek odległości pierwszych dwu środków od środka koła jest 2:3.

(10) . Środek masy wielościanu, opisanego na kuli, środek masy powierzchni wielościanu i środek kuli leżą na jednej prostej; a stosunek odległości pierwszych dwu środków od środka kuli jest 3:4.

(11) . Wyznaczyć miejsce gieometryczne środków masy trójkątów, wpisanych w dane koło, mających spoiny wierzchołek i bok przeciwległy o stałej długości.

(12) . Jeżeli w dany czworościan wpiszemy drugi czworościan, którego wierzchołkami są środki masy jego ścian; w ten czworościan wpiszemy trzeci, którego wierzchołkami są środki masy ścian drugiego czworościanu i t. d., to wszystkie czworościany będą posiadały spoiny środek masy, który jest granicą tych czworościanów.

(13) . Wyznaczyć środek masy wycinka paraboli, ograniczonego dwoma danymi promieniami wodzącymi z ogniska.

(14) . Wyznaczyć środek masy ćwiartki elipsy zapomocą spółrzędnych prostokątnych i spółrzędnych biegunowych.

(15) . Wyznaczyć środek masy wycinka i środek masy odcinka kuli, używając spółrzędnych prostokątnych i spółrzędnych biegunowych.

. 2 2

(16) . Wyznaczyć środek masy ćwiartki krzywej x³ —f- ?/³’ = a .

(17) . Wyznaczyć środek masy parabolojdy ściętej, tudzież środek masy hiperbol oj dy obrotowej.

(18) . Wyznaczyć środek masy bryły, ograniczonej powierzchnią stożka a²z² — (ÿ²-{—2²) — 0, płaszczyznami Oxz, Oxy i płaszczyzną, równoległą do Oyz.

(19) . Wyznaczyć środek masy części walca y² = a;(2a — z), ograniczonej dwiema płaszczyznami, przechodzącymi przez oś y-ów.

(20) . Okazać, że środek masy łuku linii łańcuchowej leży na prostej, przechodzącej równolegle do osi y-ów przez punkt, w którym przecinają się styczne w punktach końcowych tego łuku.

(21) . Wyznaczyć środek masy bryły, utworzonej przez obrót krzywej

y² — x¹. ———, zwanej strofojdą, około osi x-ów. (Początkiem osi spółrzędnych jest punkt podwójny krzywej.)

(22) . Wyznaczyć środek masy strefy parabolojdy obrotowej.

(23) . Wyznaczyć środek masy półkuli niejednorodnej, której gęstość jest w każdym punkcie proporcyjonalna względem odległości tego punktu od podstawy.

(24) . Wyznaczyć środek masy spiralnej logarytmicznej, której gęstość jest w każdym punkcie proporcyjonalna względem jej krzywizny.

(25) . Elipsojda składa się z nieskończenie cienkich warstw, ograniczonych po-wierzchniami elipsójd podobnych i podobnie leżących, a gęstość zmienia się od warstwy do warstwy według danego prawa; wyznaczyć środek masy ósmej części tej bryły.

.4

(26) . Elipsa, której mimośród wynosi ——, obraca się około różnych sty-

ó 7C

cznych; okazać, że objętość bryły, utworzonej przez jednę część, na którą oś mniejsza dzieli pole elipsy, jest odwrotnie proporcyjonalna względem objętości bryły, utworzonej przez pozostałą część pola elipsy.

(27) . Figura płaska porusza się tak, że jej płaszczyzna jest ciągle prostopadła do toru środka masy; okazać, że objętość bryły utworzonej równa się iloczynowi pola figury i drogi jej środka masy.

(28) . Jeżeli wlewamy płyn do naczynia, to środek masy naczynia razem z pły- -nem zajmie wtedy położenie najniższe, gdy znajduje się na powierzchni płynu.

99. Momenty bezwładności. Iloczyn masy punktu materyjalnego i kwadratu jego odległości od danej prostej, nazywamy momentem bezwładności punktu względem prostej danej. Prosta, względem której bierzemy ów moment, nazywa się osią- momentu bezwładności tego punktu. Momentem bezwładności punktu względem płaszczyzny nazywamy iloczyn jego masy i kwadratu odległości tego punktu od płaszczyzny, a momentem bezwładności punktu względem punktu zowiemy iloczyn masy punktu pierwszego i kwadratu jego odległości od punktu pozostałego. Zagadnienia dynamiki wymagają głównie znajomości momentu bezwładności względem prostej; dlatego tym ostatnim się zajmiemy.

Sumę momentów bezwładności wszystkich punktów układu materyjalnego względem danej prostej nazywamy momentem bezwładności układu tego ■względem owej prostej. Z tego określenia wynika, że moment bezwładności układu jest sumą wyłącznie tylko wielkości dodatnych; ten moment może być równy zeru tylko wtenczas, jeżeli układ jest prostolinijowy, a osią momentu jest prosta, na której leżą punkty układu. W każdym innym przypadku moment bezwładności ma wartość dodatną.

Niech prosta L będzie osią momentu bezwładności układu materyjalnego (mi)] obierzmy na tej osi dowolny punkt O, poprowadźmy przez ten punkt trzy prostokątne osi układu spółrzędnych, Ox, O y, Os i niech Xi, y i, Si będą spółrzędnymi punktu o masie mi, należącego do układu (mi). Jeżeli a: b, c oznaczają dostawy kierunkowe osi momentu, to kwadrat odległości S; tego punktu od osi wyraża się zapomocą wzoru

S,-² = a² (iyi² + si²) + l² (si² + xi²) + c² (xi² + yi²)—2ahxiyi—2bcyiSi—2casi xt. Moment bezwładności tego punktu będzie przeto midi². Kładąc

1 .Â. = X nii (yi² -f- si²), D —• — m% y i Si,

<B =Smi (si² + xi²), E = Ii mt Si xt, i C = S mi (xi² + y i²), F = S rnwyt,

gdzie znak £ rozciąga się na wszystkie punkty układu (mi), otrzymamy dla momentu bezwładności I układu względem danej prostej następujące wyrażenie ogólne:

(2)

I Aa² -f B5² Cc² — 2Dbc — 2E ea — 2 F ab.

Moment więc bezwładności jest funkcyją jednorodną stopnia 2-go spółrzę-clnych a, b, c osi momentu, wyznaczających jéj kierunek, a spółczynniki A, B, C, D, E, F téj funkcyi zależą od gęstości w oddzielnych punktach układu i od jego położenia względem osi spółrzędnych. Z równań (1) okazuje się, że spółczynniki A, B i O oznaczają odpowiednio momenty bezwładności układu (mi) względem osi spółrzędnych O x, O y i Os\ te przeto spółczynniki są wielkościami dodatnymi. Spółczynniki zaś D, E, F nie przedstawiają momentów bezwładności, i mogą byó wielkościami bądź dodatnymi, bądź ujemnymi, bądźtćź równać się zeru.

Obierzmy pewien punkt O', o sy»ółrzędnych x, y, s względem powyższych osi, poprowadźmy przez Or prostą L', równoległą do L, i obliczmy moment bezwładności I' układu (mi) względem Lr. Odległość d/ punktu mi od téj prostej wynosi

S/² = (x — %i)² + (y — yt)² + O — s-)'¹ — [a (x — xi) F b (y — yi).+ c(s — si) J², albo także

S/² = di² -f A² + 2 (ax -F b y + es) (axt + byi + es.) — 2(xx{ + yy{ + s si),

gdzie A jest odległością prostej L/ od prostej L. Mnożąc to równanie przez nu i biorąc sumę względem wskaźnika i, otrzymamy F. Jeżeli M = £m, jest masą układu, a

= £MiXi, \xy — £m^i, \xz = £niiSi

oznaczają odpowiednio momenty masy układu (mi) względem płaszczyzn spółrzędnych Oys, Osx, Oxy, to

(3)    I — I+M A² -f 2 (a x+b y Je s) (a \xx+5 [%-j- c    — 2 (x ^xj-y^yj-s ]xz).

Niech prosta L przechodzi przez środek masy układu (mi), który jako początek osi spółrzędnych obieramy. Natenczas [i* = 0,    = 0, \xz = 0 i otrzy

mamy

(4)

r=i+MA².

Ten wzór pozwala bardzo prostym sposobem wyznaczyć moment bezwładności I' względem danej prostej, jeżeli znamy moment bezwładności I względem prostej, równoległej do danej, przechodzącej przez środek masy układu. Dodając do momentu I iloczyn masy układu i kwadratu odległości osi momentu od środka masy, otrzymamy żądany moment bezwładności I'.

Ponieważ MA² jest wielkością dodatną, jakiekolwiek byłoby położenie prostej L, przeto moment P jest większy od I. Moment bezwładności układu względem prostej, poprotvadsonéj prses środek masy tego układu, jest najmniejszy s momentów bezwładności tego układu względem prostych, do niej równole-

gtyćh. Miejscem więc gieometrycznym prostych równoległych, względem których układ materyjalny posiada ten sam moment bezwładności, jest walec obrotowy, którego oś przechodzi przez środek masy; im większy promień tego walca, tym większy moment bezwładności.

100. Elipsojda bezwładności. Podobnie jak twierdzenie ostatnie pozwala rozpoznać zmianę momentu bezwładności, zależną od zmiany położenia osi przy stałym jéj kierunku, tak wzór ogólny (2) artykułu poprzedniego daje prawo zmiany tego momentu wrazie, gdy oś zmienia swoje położenie, przechodząc jednak ciągle przez punkt stały O.

Kładąc

(O

I = M Jc²,

i przedstawiając sobie masę M układu (mj) skupioną w punkcie, którego odległość od osi momentu jest równa Jc, mieć będziemy moment bezwładności tego punktu równy momentowi bezwładności całego układu. Długość

*=]/

jjj-, określoną równaniem (1), nazywamy ramieniem bezwładności układu materyjalnego względem uważanej osi. Parnię bezwładności układu względem pewnej osi jest proporcyjonalne względem pierwiastka momentu bezwładności względem téj prostej. Znając więc moment, możemy wyznaczyć ramię bezwładności, i nawzajem, możemy obliczyć moment z wiadomego ramienia bezwładności. Odetnijmy od punktu O na osi momentu w obu kierunkach długość, odwrotnie proporcyjonalną względem ramienia bezwładności, a zatym długość

e 1 /" M Jc ~ £ * V I

gdzie s jest taką liczbą dodatną, iż stosunek odciętej długości do obranej jednostki jest równy stosunkowi e:Jc. Tym sposobem otrzymamy na osi momentu dwa punkty (x, y, z) i (—x, —y, •—z), dla których

x~ae

a stąd

V*

y— be

K?

(2)

a=7j/ir.

Uczyńmy to samo na każdej prostej, poprowadzonej przez punkt O, biorąc za s ciągle tę sarnę wartość, to na każdej takiej prostej otrzymamy dwa punkty, symetrycznie względem O leżące. Ponieważ I nie jest ani równe zeru, ani wielkością ujemną, przeto obadwa punkty będą rzeczywiste, a żaden z nich ani razem się nie zejdzie z punktem O, ani nie będzie punktem w nieskończoności. Wstawiając wartości dla a, b, c z (2) w równanie I=:Aa²-j--j-Bó²-f-Cc²— 2T>bc— 2Eca — 2F ab, otrzymamy następujące równanie miejsca gieometrycznego punktów, powyższym sposobem wyznaczonych:

(3)

Aa:² -f- B«/² Ą-Gz²— 2 Dy z — 2Ezx— 2Fxy — Me².

Z tego równania okazuje się, źe te punkty tworzą powierzchnią rzędu 2-go, której środkiem jest punkt O. Ponieważ odległość każdego punktu od środka jest skończona, przeto ta powierzchnia jest wogólności elipsojdą; źe zaś w równaniu (3) spółczynnik s jest dowolny, przeto to równanie wyobraża właściwie jakąkolwiek powierzchnią w układzie elipsójd podobnych i podobnie położonych.

Którąkolwiek elipsojdę, takim sposobem otrzymaną, a której wymiary linijowe zależą od wyboru spółczynnika e, nazywamy elipsojdą bezwładności układu materyjalnego względem punktu O. Dla każdego układu materyjalnego, bez względu na jego ustrój, możemy w każdym punkcie wystawić nieskończenie wiele elipsójd bezwładności, podobnych i podobnie położonych. Z określenia wynika, źe średnica elipsojdy bezwładności jest odwrotnie • proporcyjonalny względem pierwiastka odpowiedniego momentu bezwładności, czyli, źe kwadrat średnicy elipsojdy bezwładności jest odwrotnie proporcyjonalny względem momentu bezwładności nieładu względem tejże średnicy. Jeżeli obierzemy e tak, żeby Ms² — 1, to otrzymamy elipsojdę,

(4)

Ax² Ą-Jóy² Ą-Cz² — 2D y z — 2E zx — 2 F xy = 1,

która w późniejszych dochodzeniach kinetycznych znajdzie ważne zastosowanie. Niech kx, ky, kz oznaczają odpowiednio ramiona bezwładności względem osi Ox, O y, Oz] wówczas

(5)

A = M kx²} B = M ky², C — M kz². Możemy więc równanie (3) tak napisać:

(6)

kx². x² + 4². y² + kz². z² — ^ (D. y z + E . zx 4- F . xy) = 1,

uważając je w tej postaci także jako równanie elipsojdy bezwładności w punkcie O. Elipsojdę bezwładności, której środkiem jest środek masy układu materyjalnego, nazywamy elipsojdą centralną tego układu.

Elipsojdą bezwładności daje dokładny obraz gieometryczny związku między momentem bezwładności a położeniem osi, przechodzącej przez środek téj .elipsojdy. Wiadomo, że elipsojdą posiada wogólności jeden układ tak zwanych osi głównych, t. j. trzech średnic sprzężonych i wzajemnie do siebie prostopadłych, z których jedna jest, jak wiadomo, najmniejsza, a inna największa ze wszystkich średnic téj powierzchni. Z tego wynika, że w każdym punkcie w przestrzeni można wystawić jeden układ trzech prostych, wzajemnie do siebie prostopadłych, spośród których jedna jest osią największego i jedna najmniejszego momentu bezwładności danego układu z pomiędzy wszystkich prostych, przez ten punkt przechodzących. Te trzy proste, będące osiami głównymi elipsojdy bezwładności w danym punkcie, nazywamy osiami bezwładności układu w tym punkcie. Najdłuższa oś elipsojdy jest osią najmniejszego, zaś oś najkrótsza jest osią największego momentu bezwładności. Osi główne elipsojdy centralnej nazywamy osiami głównymi bezwładności

układu, albo krócej, jego osiami głównymi, a momenty bezwładności układu względem jego osi głównych zowiemy krótko momentami głównymi tego układu.

Z twierdzenia artykułu poprzedniego (wzór 4) wynika, że każda średnica elipsojdy centralnej jest dłuższa, niż średnica równoległa elipsojdy bezwładności w którymkolwiek punkcie. Nadto otrzymujemy ważny wynik, że najmniejszy z momentów głównych układu jest zarazem najmniejszy ze wszystkich momentów bezwładności tego układu. Gdy obierzemy osi bezwładności w punkcie O jako osi spółrzędnych, to równanie elipsojdy bezwładności będzie, jak wiadomo

(7)

Aa:² 4- B y² + G z² = Me²,

albo także, biorąc e='l

(V)

kx²x² + ky²y² -\-kz²z² —

z czego wnosimy, że dla osi bezwładności układu w punkcie uważanym będzie jednocześnie D = 0, E — 0, F = 0. W każdym punkcie można wystawić jeden układ trzech osi, wzajemnie do siebie prostopadłych, względem których trzy spółczyuniki D, E i F, są równe zeru. Te trzy proste są właśnie osiami bezwładności io uważanym punkcie, a żaden inny układ prostych, przez ten punkt przechodzących, nie posiada téj własności. Względem więc osi bezwładności jako osi spółrzędnych otrzymamy

(8)

I — Aa² + Bb² + Cc²

jako najprostsze wyrażenie momentu bezwładności układu w funkcyi spółrzędnych kierunkowych a, b, c danej osi momentu. Obierzmy e tak, żeby Me² — 1; wtedy powierzchnią, wyrażoną zajiomocą równania

(9)

Ax²-\- By² + C^² = 1

możemy także uważać za elipsojdę bezwładności.

Jeżeli wszystkie punkty układu materyjalnego leżą na jednej płaszczyźnie, natenczas w wielu zagadnieniach dynamiki wystarcza rozważać momenty bezwładności tego układu względem prostych, leżących na téj płaszczyźnie. Obierzmy na téj płaszczyźnie punkt O i poprowadźmy przezeń piostą o spółrzędnych kierunkowych a, b względem Ox i Oy, otrzymamy moment bezwładności układu względem téj prostej

(10)

I = A a² + B &² -— 2 F a &

gdzie

(U)

A = E n%i y i², B = S x?, F = S mi Xi y i.

A i B są odpowiednio momentami bezwładności względem osi Ox i Oy. Postępując opisanym poprzednio sposobem ze wszystkimi prostymi, przechodzącymi na płaszczyźnie przez punkt O, otrzymamy elipsę bezwładności układu płaskiego, której równanie jest

albo także, kładąc e — 1,

2F

(13)

M xy — ¹'

gdzie 7ex i 7cy oznaczają odpowiednio ramiona bezwładności względem osi Ox i Oy. W środku masy układu płaskiego otrzymamy jego elipsę centralną. Dla osi bezwładności w punkcie O będzie F = 0, więc równanie elipsy będzie

(14)

AX¹    By² — M-s², hx². x² + Tcy² . y² — 1

nakoniec otrzymamy

(15)

I = A a² + B b².

Może się wydarzyć, że długości dwu osi elipsojdy bezwładności w punkcie O są równe, wtedy ta powierzchnia będzie elipsojdą obrotową, a trzecia oś bezwładności będzie osią obrotu. Momenty bezwładności względem średnic elipsojdy, prostopadłych do osi obrotu, będą w tym przypadku równe sobie. Jeżeli wszystkie trzy osi główne elipsojdy bezwładności są sobie równe, wtedy otrzymamy kulę jako szczególny przypadek téj powierzchni. Układ ma wtenczas tenżesam moment względem wszystkich średnic téj kuli, a osi bezwładności w punkcie rozważanym są nieoznaczone.

101. Sposoby wyznaczania momentów bezwładności. W zagadnieniach dynamiki idzie przedewszystkim o momenty bezwładności ciał matery-jalnych, których elementy następują po sobie w sposób ciągły. Najwłaściwiej używamy w tym celu spółrzędnych prostokątnych, robiąc użytek z poprzednio okazanych twierdzeń. Jeżeli x, y, z są spółrzędnymi punktu, w którym zachodzi gęstość o, a który obieramy jako wierzchołek równoległościanu elementarnego o krawędziach dx, dy, dz, to w tym elemencie mieści się masa dm = a . dx. dy . dz. Dla ciała materyjalnego otrzymamy stąd

(1)

J    + z²)dxdydz.

^^a(z² + x²)dxdydz, JJJV -f y²)dxdydz,

sss

azx.dxdydz,

. dxdydz.

Dla ciała jednorodnego o gęstości a

(2)

°J

c^(y² + z²)dY. aj(*² -f x²) d V, aj*(æ² + y²)dY,

D = oJÿS.ÆV,

E — oÿzx . dV,

xy. dV,

gdzie dY = dxdydz- Całki w pierwszych trzech równaniach (2) przedsta-

wiają momenty bezwładności ciała jednorodnego o danym ograniczeniu, którego gęstość jest równa jednostce; a iloczyn momentu takiego ciała i gęstości ciała danego przedstawia odpowiedni moment bezwładności przy gęstości a. Obliczając moment ciała jednorodnego, będziemy przyjmowali, że gęstość tego ciała jest równa jednostce, a wtedy, zamiast elementu masy, bierzemy element objętości clV, lub element powierzchni clF, lub nakoniec element długości ds, według tego, czy obliczamy moment bryły, czy powierzchni, czytóź linii. Ponieważ dm jest wielkością nieskończenie małą rzędu 3-go lub 2-go lubtóż 1-go, a to według tego, czy I jest momentem bryły, czy powierzchni, czytćź linii krzywej, przeto moment bezwładności bryły jest wielkością rzędu 5-go, moment powierzchni jest wielkością rzędu 4-go, a linii rzędu 3-go. Wielkości

(3)

—f

x².dm, ß =

y² .dm

ï=l

z² .dm

przedstawiają według art. 99-go odpowiednio momenty bezwładności ciała względem płaszczyzn spółrzędnych Oyz, Ozx, Oxy. Z równań (1) i (3) wynika

C = a + ß;

Ar=ß + Y, B — Y + a

podług tych wzorów można zatym momenty bezwładności względem osi spółrzędnych obliczyć z momentów względem-płaszczyzn spółrzędnych. Z tych równań wynika

(4)

2a = B-fC —A, 2ß = C +A —B, 2T = A + B — O 2(a + ß+T) — A + B-j-C.

Ponieważ a, ß i y s% dodatne, przeto z trzech poprzednich równań okazuje się, że B + C ;> A, C + A > B i A -4- B ;> C, że więc (art. 100) suma odwrotności kivadratôw dwu osi jaJciêjlcolwiek elipsojdy bezwładności jest większa, niż odwrotność kwadratu trzeciej osi tejże elipsojdy. Z tego wnosimy, że nie każda dowolna elipsojda może przedstawiać elipsojdę bezwładności ciała (lub układu) materyjalnego.

Moment bezwładności figury płaskiej względem prostej, poprowadzonej przez dowolny punkt prostopadle do płaszczyzny figury, zowiemy tern biegunowym bezwładności téj figury; obliczamy go przedewszy-stkim względem prostopadłej, wyprowadzonej ze środka masy figury. Jeżeli tę prostopadłą obierzemy jako oś z-ów, to a i ß będą odpowiednio tami figury względem dwu dowolnych prostych, wyprowadzonych z początku prostopadle do płaszczyzny figury. Z ostatniego przeto równania (4) wynika twierdzenie: biegunowy moment bezwładności figury płaskiej jest równy sumie jej momentów bezwładności względem dwu prostych, ivzajemnie do siebie prostopadłych, ivyprowadzanych na. płaszczyźnie figury ze spodka osi momentu.

Znając osi i momenty główne bezwładności ciała, możemy wyznaczyć jego moment bezwładności względem jakiejkolwiek prostej, jak to okazano w art. 99 i 100. Wyznaczenie przeto tych osi i momentów jest głównym

(«5)

mome li

mom en-

zadaniem przy obliczaniu momentów bezwładności danego ciała. Obrawszy jakiekolwiek trzy prostokątne osi układu spółrzędnyck, przecinające się w środku masy ciała, i obliczywszy względem tych osi spółczynniki A, B, C, D, E, F, możemy z równania elipsojdy centralnej według wiadomych reguł gieometryi analitycznej wyznaczyć osi tej elipsojdy, które przedstawiają osi główne ciała. Często można bezpośrednio podać te osi, a to na podstawie twierdzenia, że spółczynniki D, E i F, do nich odniesione, są równe zeru. Jeżeli ii23. bryła ma płaszczyznę symetryi, na której zatym leży środek masy, to prostojiadła do tej płaszczyzny, wyprowadzona ze środka masy, jest jedną z osi głównych téj bryły. Obierając bowiem tę prostą za oś 0-ów, otrzymamy dla. każdego punktu (x, y, s) punkt symetrycznie leżący (x, y, —s)\ będzie więc 0 = 0, E = 0. .Prostopadła przeto do płaszczyzny symetryi jest osią bezwładności względem jej spodka. Jeżeli bryła posiada dwie do siebie prostopadłe płaszczyzny symetryi, a zatym oś symetryi, natenczas prostopadłe, wystawione do tych płaszczyzn w środku masy, są dwiema osiami głównymi, a oś symetryi jest trzecią osią główną. Jeżeli nakoniec bryła posiada środek, w którym przecinają się trzy do siebie prostopadłe płaszczyzny symetryi, natenczas proste, w których te płaszczyzny się przecinają, są osiami głównymi. Osi zatym główne prostopadłościanu przechodzą przez jego środek i są równoległe do krawędzi. Elipsojda zaś centralna jednorodnej bryły foremnej jest kulą, przeto jej osi główne są nieoznaczone. Elipsojda bezwładności jest powierzchnią obrotową dla każdego punktu jednorodnej bryły obrotowej, leżącego na osi téj bryły, a oś bryły jest osią téj elipsojdy.

Jeżeli dwa układy materyjalne mają równe masy, spoiny środek masy, tesame osi i tesame momenty główne bezwładności, natenczas z poprzedniej teoryi wynika, że ich momenty bezwładności względem jakiejkolwiek prostej są równe sobie. Takie zatym dwa układy są równoważne pod względem momentów bezwładności.

PRZYKŁADY I ĆWICZENIA.

(1). Trójkąt. Gdy AC — b (fig. 45) jest podstawą, h wysokością trójkąta * (a = 1), dzielmy jego powierzchnią na elementy, ograniczone prostymi równoległymi do AC; oznaczmy przez u szerokość, a przez do wysokość takiego elementu, wtedy otrzymamy moment bezwładności I₆ trójkąta ABC względem AC,

I&=-

7t

a² . u .do, a ponieważ

Y (li — v), przeto

bh³

v²(h — v) . do =— .

A jeżeli rn = —~ oznacza masę trójkąta (powierzchnią), to

hh

Jt

h²

Podobnie otrzymamy momenty Ic, Ja względem boku BA i boku CB. Poprowadźmy przez wierzchołek A dowolną prostą Aa;, i niech Ar będzie momentem bezwładności trójkąta względem tej prostej. Aby go obliczyć, przedłużmy BC aż do punktu D, i oznaczmy przez A't i A₂ odpowiednio momenty trójkątów ABD i ACD względem Aa;, to A' = A't— A'₂‘ Jeżeli ß' i y' oznaczają długości prostopadłych BBf i CCr, spuszczonych z B i C na Aa;, i jeżeli przyjmiemy § = AD, to

A\ =

_Sß'³

Af₂

_Ôy'³

12 ’

A'=^r+

+p,v+r-)(p,-ï,)>

Fig. 45.

c⁷ B *

a ponieważ 2 m — 8 (ßr — y¹), przeto

Ar =

y (P'²+P' ï'+ï’²) = y [(y-)² +

(D‘+(*¥)•]■

Spuśćmy ze środków sj, s₂, s₃ boków BC, CA i AB odpowiednio prostopadłe a, ß i y

Otrzymamy zatym

na prostą Aa;; wtedy a =

P'+t' ß_r y_JL

2 ’ 2 ’ T— 2 '

A'=|(a2 + ß2 + ₇2),

to znaczy, że moment bezwładności trójkąta względem Aa; równa się momentowi układu trzech równych mas, skupionych w środkach jego boków, z których każda wynosi — jego masy.

(2). Prostopadłościan. Osiami głównymi tej bryły są proste, przechodzące przez środek równolegle do krawędzi. Biorąc te proste jako osi x, y i ?, do których krawędzi odpowiednio <x, d i c są równoległe, otrzymamy

>+ — ~ 2

x² . dm^=- 2

x² . dm, a ponieważ dm = dc . dx, przeto mamy

_ "2

a — 2 dc

x² . dx~

a³ dc 12 ’

gdy zaś przyjmiemy m — a dc, to

ma²

(u.

md²

mc²

a stąd momenty główne

Kr²~

Z/² + c²

12

7 2 _ °² + fl2

ÿ “ 12

a²-M²

Jeżeli a <C 5 <c, to A>B C; równanie zaś elipsojdy centralnej jest tu, bio-rąc $ = 1,

(Z>² -j- c²)x² -J⁻ (c² 4~ a²)y² 4* («² 4* b²)z² — 12.

Najdłuższa oś tej elipsojdy jest równoległa do najdłuższej krawędzi bryły, a oś najkrótsza do najkrótszej krawędzi. Momenty względem krawędzi wynoszą, odpowiednio

I, = |(i²4-c²), h = j (c² 4- «²)? I, = f(«² + 6*;.

m Z¹ 2

Dla sześcianu a = b — c = Z, A^=Bz=C=: — Z² = —. Elipsojda centralna sześcianu jest kulą.

(3). Elipsojda. Osiami głównymi bezwładności są osi główne elipsojdy. Niech a, Z>, c oznaczają połowy osi głównych; w celu obliczenia momentu a dzielmy elipsojdę na warstwy, płaszczyznami prostopadłymi do osi x. Równanie przekroju na płaszczyźnie x będzie

y²

6²(l---r-

X²

a²

masa zatym warstwy o grubości dx wynosi dm=.Tlbc

(•-i)

. dx, skąd

x¹. d m = 2 7t b c

•■(■-S)

dx —

15

Równanie elipsojdy centralnej jest

(b² 4~ c²)x² -j- (c² -f- a²)y² 4" O*² 4“ b²)z² — 5. Stosunek osi głównych tej elipsojdy jest równy stosunkowi

jeżeli zatym a<Zb<^c, to kxkykz. Osi więc najdłuższa i najkrótsza elipsojdy centralnej razem

elipsojdy, chociaż obie powierzchnie nie są podobne. Dla kuli a = b = c = r, więc

■—- Tlp V(p² -f~ v²) a³. Niech będzie dana nieskończenie cienka warstwa, ograni-JL D

czona daną elipsojdą o. osiach a, i, c i nieskończenie bliską elipsojdą podobną. Masa téj warstwy jest dm z=. 4 TT [TV a² . da, a jéj moment bezwładności względem osi a jest

się schodzą odpowiednio z osiami najdłuższą i najkrótszą danej •

mr2 5 4 A

Gdy oznaczymy dla danej elipsojdy

B=:C =

a | a-

A==

dm

dm

d A = — (p² -f- V²) a² — — (b² + c²).

Według tego wzoru można obliczyć moment bezwładności elipsojdy niejednorodnej, składającej się z warstw jednorodnych, ograniczonych elipsojdarni homotetycznymi, jeżeli znamy prawo zmiany gęstości od warstwy do warstwy.

(4). Elipsa. Możemy obliczyć moment bezwładności elipsy z momentu koła. Niech C będzie momentem biegunowym koła względem prostopadłej, wyprowadzonej ze środka; wówczas, z powodu, że A = B, jest C=:2A. Aby wyznaczyć C, dzielmy koło o promieniu r na pierścienie; moment pierścienia, ograniczonego kołami o promieniach p i p -j-rfp, będzie 2îcp³ . dp, a zatym

C = 2tt

p³ . dp =

TCr⁴

mr²

—- , gdzie m — TC r².

Moment więc bezwładności koła względem średnicy będzie

TC 7’⁴ m r²

X²

Aby wyznaczyć moment elipsy — -f — 1 względem osi a, przyjmijmy x = ai,

a"*

7/ := &7]; otrzymamy koło o promieniu równym jedności, I² + ?)² — 1 • Dla elipsy mamy

d?/i = dxdy ssz ab . d&d’f] = a&dp,

gdzie dp, jest masą odpowiedniego elementu koła. Otrzymamy zatym dla elipsy

yZ.dm — ab² I 7]²dp —

aZ>³p

a ponieważ ?n = abp, przeto mamy dla elipsy

771 &²

A = —

7/ł U²

jako momenty główne względem osi a i b} gdzie mz=.%ab. Mamy więc

a²

V=4-

Jeżeli I jest momentem względem średnicy, tworzącej z osią a kąt cp, to I = A cos ² cp -j- B sin ² cp =    (i² cos ² cp -j- a² sin ² cp).

Średnica sprzężona tworzy z osią a kąt cp', przyczyni

tang cp . tang cp' =r —

Z/²

a² ’

obliczając przeto coscpf i sin cp', otrzymamy moment I' względem średnicy sprzężonej

ma²b² Z>²cos²cp-j-a²sin²<p

4    ’ J⁴ cos ² cp -4- a⁴ sin ² cp

Jeżeli & i k' oznaczają odpowiednie ramiona, to otrzymamy

1    ,    \    . ct²Z>²    i² cos²© + o² sin²cp

— (i² cos²cp -j- a²sm²cp), /c/² =—-—. —-——-J-———,

4V T    r'’    4 ó⁴ cos ² cp -J- a⁴ sm² cp .

lc² =

I' =

a stąd

¹

ponieważ m = —nabe, przeto otrzymamy

²

O

_1₊JL = ₄(A₊JA

k- ' k²    a- T V-)

(5). Pierścień kołowy. Tak nazywamy powierzchnią, utworzoną przez obrót koła około dowolnej prostej, leżącej na jego płaszczyźnie. Obierzmy środek O pierścienia jako początek, a jego oś jako oś z-ów, to możemy każdy punkt tej bryły określić przez następujące trzy spółrzędne: przez odległość p od środka koła, przez kąt 0, który p tworzy z osią z, i przez kąt t|), który południk uważanego punktu tworzy z płaszyzyzną xOz. Dla punktu (p, 0, <];) bryły jest

x — (a -J- p sin 0) cos c|>, y — (a -j- p sin 0) sin c}>, z:r=:pcos0,

gdzie a oznacza odległość środka koła tworzącego od osi. Dla punktu na powierzchni pierścienia mamy p — r, gdzie r j est promieniem koła, będzie więc

x =. (a -f~ r cos 0) cos <J>, y = (a -f- r sin 0) sin (p, z — r cos 0.

Tym sposobem przedstawiamy równania pierścienia kołowego przez parametry 0 i cj). Aby otrzymać element masy tej bryły, obierzmy na płaszczyźnie koła tworzącego element pola p . dp . dd; biorąc go za podstawę elementu bryły, ograniczonego'płaszczyznami południków i c{>-f-c/<J), otrzymamy

dm =z pt/p c/0 . —

cos

-e-

= p(a -f- p sin0) dpdO

a na

mocy twierdzenia Pappusa m — 2n²ar². Z tego wynika, iż

mb²

*mc²

**a =

|(i²-ł-c²), B = ^(c²4-a²), C —    (a² 4- Z>²);

^    _    5    .

C² 4" fl2

b²-\-c²    ₂ u ,

5    ’ y ~    5

gdzie krańcami są O i r dla p, 0 i 2n dla 6, 0 i 2% dla <|). Kładąc

’2tc /¹2tc

At =

O JO JO

(¹2~ f¹2iz A

(a -J- p sin6)³ sin²c|> . pdpdGdi? — 7t²nr² ^a² +    ¹’²^ i

A₂ —

ÎT² a ja

(a -j- p sin 6) p³ cos ² 6 c/p d 0 d ó =: —-

otrzymamy

Jo

“(îr + 'lr²)'

Moment bezwładności względem osi obrotu będzie

'2iu /¹2tc

(x² -f- y²) d m =

Jo -'o

(a + p sin 6)³ pdpd0d§~m ^a² + — r²^ „

(6). Jeżeli S — 0 jest równaniem elipsojdy centralnej względem osi głównych, okazać, że równanie elipsojdy bezwładności względem punktu (£, 7], Ç) można napisać w postaci

S 4- m(4² + Y]² + C²)(z² + y² + z²) — »¹(£¹ + '(] y + C z)² = 0,

gdzie 77i jest masą danego układu.

(7). Udowodnić twierdzenie : jeżeli przez punkt dowolny przesuniemy tuiązkę płasz-czyzn; na prostopadłej do każdej płaszczyzny odetniemy długość, proporcyjonalną względem, ramienia bezwładności układu względem tej płaszczyzny, i przez punkt końcowy tego odcinka przesuniemy płaszczyznę równoległą, to płaszczyzny równoległe utworzą elipso]dę, której środkiem jest punkt uważany (elipsojda Binet¹ go). Równanie tej elipsojdy jest

x²

Z²

A² ^ B²

4. — = 1 wrazie, gdy przyjmiemy e = 1. C²

(11). Ramiona główne bezwładności trójkąta o bokach jest F, są pierwiastkami równania

b, c, którego polem

cc⁴

a² -j- b² -j- c²

36

x² -j-

F²

108

= 0.

W następujących ośmiu zagadnieniach k oznacza ramię bezwładności względem danej prostej. Okazać, że

(12). Dla prostej o długości l, względem osi; przechodzącej przez punkt koń-

/2

cowy tej prostej i tworzącej z nią kąt cp, k² — — sin ² cp.

O

(13). Dla prostokąta o bokach b i h, względem osi głównych, równoległych Ti²

do tych boków, kb² =

b²

2 2 ⁵ ^ 12"

(14). Dla wielokąta foremnego o n bokach, z których każdy ma długość L względem osi głównej

2 TC

k²-—-

p ²+cos—

12 "

2 TC

1 — cos ---

1    ( r² l² \

albo także k² z=z — j---)

2    V 2    12/

gdzie r oznacza promień koła opisanego. (15). Dla elipsy,

ax² -f- 2 bxy -f- cy² -J- 2 dx -j- 2 ey -j- 1 = 0,

względem średnicy równoległej do osi z-ów k²~--^

— b²-j- 2bed — ae² — cd² oznacza wyróżnik równania elipsy.

(16). Dla walca obrotowego o promieniu r i wysokości /, względem osi

/<;² = —; względem zaś prostopadłej do osi w środku masy,

(17). Dla stożka obrotowego o wysokości A, którego podstawa ma promień r,

*    3

względem osi k²~ — r², względem zaś prostopadłej do osi w wierzchołku

*=4(*+t)-

(18). Dla łuku koła o promieniu r i kącie środkowym 2 cp, względem osi 2 cp — sin 2 cp

śy metry i k² —

4 cp

. r², względem zaś średnicy, równoległej do cięciwy,

k² —

2 cp -f- sin 2 cp

4 cp

r².

(19). Dla części pola paraboli, ograniczonego cięciwą i prostopadłą do osi

na kuli opiszemy bryłę foremną i masę powierzchni téj kuli rozdzielimy jednostajnie między wierzchołki téj bryły, to układ tych mas; pod względem momentów bezwładności, będzie równoważny powierzchni téj kuli.

(20). Jeżeli

(21) . Na danej prostej wyznaczyć taki punkt, w którym ta prosta jest jedną z osi bezwładności danego układu, i znalćść dwie inne osi bezwładności.

(22) . Okazać, że oś główna układu jest osią bezwładności tego układu w każdym swoim punkcie.

Literatura (Rozdz. IX).

von

J. Binet, Mémoire sur la théorie des axes conjugués et des moments d’inertie des corps (Journ. de l’ec. polyt., t. IX, 1813). —L. Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps (Journ. des math., t. XVI, 1851).—Mac Cullagh, On the rotation of a solid body round a fixed point (Transactions of the Royal. Irish Acad., t. XXII, Dublin, 1855; także: Collected works. Dublin, 1880). — J. N. IIaton de la Gou-billière, Mémoire sur une théorie nouvelle de la géométrie des masses (Journ. de l’ec. polyt., t. XXI, 1858). — R. Townsend, On the principal axes of a body, their moment of inertia and distribution in space (Cambridge & Dublin mathematical journal, t. I i II). — Reye, Beiträge zur Lehre jon den Trägheitsmomenten (Zeitschrift Schlömilch, t. X, Leipzig, 1865).

ROZDZIAŁ 5.

STATYKA UKŁADÓW MATERYJALNYCH.

102. Zasada prac przygotowanych. Nazywamy w dynamice układem materyjalnym czyli układem fizycznym każdy zbiór punktów materyjalnych, między których ruchami zachodzi pewna zależność; ciało zaś materyjalne jest układem ciągłym punktów materyjalnych. Między punktami układu istnieją pewne połączenia, których skutkiem jest właśnie zależność między ruchami tychże punktów; zamiast tych połączeń przyjmujemy niekiedy siły, działające między tymi punktami, o których to siłach z 3-go prawa dynamiki wiadomo (art. 66), że one pojawiają się zawsze po dwie, wzajemnie równe i wprost przeciwne. W tym znaczeniu mówimy np. o układzie słonecznym, zaliczając do niego te ciała niebieskie, których ruchy zależą według tego samego prawa od działania słońca i od wzajemnego działania tych ciał.

Jeżeli układ materyjalny, mający pewne położenie, może przyjąć wszelkie inne położenia w przestrzeni, bez naruszenia połączeń między jego punktami, to zowiemy go układem swobodnym. W każdym innym przypadku zowiemy go układem nieswobodnym (art. 42).

Gdy przyłożymy do punktów układu materyjalnego jakiekolwiek siły, natenczas zajdzie wogólności zmiana w ruchu każdego punktu, zależna od tycli sił, tudzież od połączeń między punktami i od warunków, które dla oddzielnych punktów układu zachodzić mogą. Z praw zasadniczych dynamiki nie wynika jednak, aby zmiana ruchu układu wskutek przyłożenia sił zawTsze nastąpić miała (art. 67); zachodzi tedy pytanie, jakie związki mają zachodzić między wielkościami, określającymi ustrój układu, a siłami przyłożonymi, żeby te siły nie wywołały żadnej zmiany w ruchu tego układu, czyli, żeby zaszła równowaga tychże sił przy wiadomych warunkach ich działania. Wyznaczenie tych związków i zastosowanie ich do zagadnień o równowadze sił, jest zadaniem statyki układów materyjalnych,

Siły, przyłożone do układu materyjalnego, równoważą się, jeżeli one żadnemu z punktów układu nie udzielają przyśpieszenia. To określenie mieści w sobie konieczne i wystarczające kryteryjum równowagi, jakimkolwiek byłby ustrój układu. Według 2-go prawa dynamiki, przyśpieszenie, przez siłę wywołane, nie zależy od prędkości punktu, z czego wynika, źe we wszystkich przypadkach, w których siły nie zależą od ruchu układu, otrzymamy warunki równowagi, przyjmując układ w jakimkolwiek ruchu, zgodnym z danymi połączeniami. Możemy więc układ przyjąć także w spoczynku, a wtenczas do równowagi potrzeba i wystarcza, żeby spoczynek trwał po przyłożeniu sił. Jednak w przypadkach, gdy należy uwzględniać siły, będące funkcyjami prędkości punktu, jak np. opór środka, nie można oczywiście dochodzić równowagi tych sił, przyjmując układ w spoczynku. —

Niech będzie dany jakikolwiek (sztywny lub niesztywny) układ n punktów materyjalnycli nh (i = 1, 2, 3,,n), których spółrzędne prostokątne niech będą yif zi: i do tych punktów niech będą przyłożone odpowiednio wiadome siły (Xi? Y*, Z,). Niech nadto między tymi punktami zachodzą wiadome połączenia, i niech będą dane warunki, które niezależnie od sił ciągle zachodzić mają. Przypuśćmy, że te połączenia i warunki dają się wyrazić analitycznie zapomocą równań między spółrzędnymi punktów. Ponieważ położenie n punktów jest określone przez on spółrzędnycli tychże punktów, przeto ilość równań między spółrzędnymi jest mniejsza niż 3n\ inaczej byłoby położenie układu niezależne od sił. Niech 3 n — s będzie ilością danych równań, które piszemy w postaci

(1)

L i 0

gdzie L* = I\-(a?i, yl:    yi,    #»)• Ponieważ z tych

równań możemy obliczyć wartości 3 n — s spółrzędnych bez względu na siły przyłożone, przeto zadanie nasze polega na wyznaczeniu związków między pozostałymi 5 spółrzędnymi a danymi siłami, zachodzących w przypadku równowagi. Z tych związków obliczymy s spółrzędnych, a równania (1) dadzą potym resztę 3n—s spółrzędnych i pozwolą wyznaczyć położenie każdego punktu układu w przypadku równowagi.

Okazaliśmy w dynamice punktu, źe każdy związek między spółrzędnymi punktu może być zastąpiony przez pewną siłę o wielkości nieoznaczonej, której składowe są proporcyjonalne względem pochodnych cząstkowych funkcyi, wyrażającej ten związek, wziętych względem spółrzędnych tego punktu (art. 72). Przyłożywszy do punktu taką siłę, stosownie do każdego warunku, żerny ten punkt uważać za swobodny. Z tej ważnej zasady wynika, źe gdy funkcyja L* zawiera spółrzędne punktu w», możemy warunek L* = 0 zastąpić

-, X,

mo

dL

dln- , dLk

o kierunkach osi x, y

przez trzy siły nieoznaczone, \k

i £, a następnie już ów punkt należy uważać za swobodny. Postępując podobnie z innymi warunkami, otrzymamy następujące równania równowagi dla punktu mi :

dxi

àyi

Xi

d#i

x, + x

d~L₁

(2)

Yi 4- X

¹ dXi

dht

¹ àÿi

f" ^2

ôJj₂

dh

à Xi

dXi

--f- . . . +X3

d L3n—«

ns

+ X₂

d L₂

dhk

àjji

f Z₄- 4- xt

à Zi

4- X₂

dL₂

d Zi

y 4" ' • • + Xg

dtji

T-- + ...+X3

dL

dzi

t“¹ Orf

0,

3n—s

àyi

0,

d 1^3»—s

à Zi

0.

Każde z tych równań wyraża, że suma algiebraiczna sił w kierunku odpowiedniej osi spółrzędnych jest równa zeru, jak dla punktu swobodnego być powinno. Powyższych równań będzie 3 n, a ponieważ one są konieczne i wystarczające dla równowagi, przeto po wyrugowaniu z nich spółczynników nieoznaczonych X* otrzymamy 5 związków szukanych między spółrzędnymi a danymi siłami. Wnosimy stąd, że ilość spółczynników X* wynosi 3 n — s.

Układ (2) przedstawia 3n równań, które zawierają 3 n niewiadomych spółrzędnych Xi, yi, Zi, tudzież 3n— s niewiadomych spółczynników X*; razem 3n— s niewiadomych. Ponieważ w układach (2) i (1) jest razem 6w—s równań, przeto ilość niewiadomych równa się ilości wszystkich równań, z czego wynika przedewszystkim główne twierdzenie, że dla układu materyjalnego istnieje wogólności skończona ilość położeń równowagi, niebezpośrednio bliskich siebie.

103. Aby rozpoznać położenia równowagi, należy z równań (2) wyrugować spółczynniki X*. Do tego rugowania możemy użyć metody spółczynników nieoznaczonych. Mnożąc równania dla punktu i-go odpowiednio przez spółczynniki nieoznaczone Ci, ?p, Ci, czyniąc toż samo z równaniami, odnoszącymi się do innych punktów, i dodając owe równania stronami odpowiednimi/ otrzymamy następujące równanie:

(1)

1 1?]!

dIJit i dLj âxi'tdyl

4-X^

*]i4

• -hXj£j-}- Y,-7]j-J-2jjCi-b' • • 4"XraçB-f- Ynr\n-{-ZnC dL^^dJj^ , dht

dL

dzx ¹

C1+...4-

à Xi

HS

r\i-\

Orf o.

Cî+. . .+

àXn

L+àÿl'ri'A

àLt

àZn

c.\

4“.

4-

4-

+Xa»_,(<ÎL

3 ns

dXi

Si 4

d L3»—s

dÿt

¹3i4

d L13 n—$

d Zi

C1+...4

d'Lion—s

dXn

ê»4

dL

311—s

dyn

^»4*

d Li3n—s

dZn

ü=o.

Spółczynniki fy-, Ci możemy tak obrać, aby wielomiany, mnożące niewiadome Xi, stawały się równymi zeru. Jakoż, nadajmy układowi nieskończenie mały ruch przygotowany, to znaczy taki ruch, iżby każdy punkt przyjął położenie nieskończenie bliskie, zgodne z danymi warunkami. Jeżeli Sa?,-, 8yi} dzi oznaczają odpowiednio przesunięcia przygotowane (art. 73) punktu w kierunkach osi spółrzędnych, to podstawiając xt 4~ d#», y i Ą-dyi, Zi + dzi w równaniu Li = 0, rozwijając na szereg funkcyją L*4-SL* według powyższych

czyli

(3)

przyrostów i opuszczając wyrazy rzędów wyższych niż 1-szy, otrzymamy 8L* = 0, czyli

« 7£Sx,i

dL

ày i

-*yH

dL

dg₁

dL

-dx -4 dJj

dyn

%yn-\

dL,

d#n= 0.

dxn

Przesunięcia przygotowane zadość czynią 3 n — s takim warunkom, które pozwalają wyznaczyć 3 n — s tych przesunięć w funkcyi s przesunięć pozostałych. Nadajmy spółczynnikom £f, i\tj Ci wartości powyższych przesunięć, przyjmijmy zatym w równaniu (1) ^=dxh yji = 8yif Ci — wówczas z równań (2) znajdziemy, że czynnik niewiadomej X* jest równy zeru dla każdego Jc, otrzymamy więc z równania (1)

+ Yxoyx + Z₁8z₁ + ... + Xndxn-f- Yndyu -f- Zn8zn.— 0,

— (X,:Q Xi + Yjdy, -j- Z i 8 z i) — 0,

jako związek, zachodzący w przypadku równowagi między siłami a przesunięciami przygotowanymi ich punktów przyłożenia. Ponieważ powyższy związek został otrzymany po wyrugowaniu spółczynników X*, pojawiających się z powodu danych warunków, przeto ten związek wyraża zasadę ogólną dla równowagi układów materyjalnych, jeżeli tylko warunki można wyrazić analitycznie przez spółrzędne punktów.

Lewa strona równania ogólnego (3) jest funkcyją jednorodną i linijową przesunięć przygotowanych tych punktów, do których siły są przyłożone, jest więc wogólności funkcyją 3n przesunięć, między którymi zachodzi 3n — s związków linijowych (2). Wyrażając z tych związków 3 n — s przesunięć przez s pozostałych, podstawmy te ich wyrażenia w równanie (3), a otrzymamy funkcyją linijową i jednorodną s przesunięć dowolnych, która ma być równa zeru dla wszelkich wartości tych przesunięć. Z tego wynika, że spół-czynnik każdego z tych s przesunięć ma być równy zeru. Przyrównywając do zera każdy z tych spółczynników, otrzymujemy szukane s związków między siłami a spółrzędnymi w przypadku równowagi. Wyraziwszy z tych związków s spółrzędnych, otrzymamy resztę spółrzędnych z danych 3 n — s warunków (1) art. 102-go.

.Równanie (3) zachodzi również wtedy, kiedy równania warunkowe L*=0 zawierają czas wyraźnie, jeżeli tylko przesunięciom przygotowanym damy odpowiednią wartość. Jakoż, w tym przypadku będzie ogólnie

dL

dL

dL*

àyy

tyrt

dL*-

dzt

dU <>    , dhk Ä

dx

àyn

à ht

d£„

Czynnik przy X* w równaniu (1) będzie równy zeru, gdy spółczynniki -ą, Ci

- nie jest równe

dL

dL

-dt = 0 dla każdego Tc. Ponieważ

tak obierzemy, aby ^

zeru, przeto należy przyjąć 8t = 0, t. j. należy brać przesunięcia przygotowane przy niezmiennej wartości czasu t. W tym przypadku nie oznaczają

te przesunięcia nieskończenie małych dróg oddzielnych punktów układu, lecz oznaczają tylko przyrosty ich spółrzędnych, określone analitycznie przez równania warunkowe. Uważamy je wtenczas za waryjacyje spółrzędnych, odpowiadające stałej wartości argumentu t, podobnie, jak w rachunku waryja-cyjnym obliczamy nieskończenie małe przyrosty zmiennych, nie zmieniając przytym argumentu.

Jeżeli równanie (3) zachodzi dla wszelkich przesunięć przygotowanych, natenczas siły będą w równowadze. Jakoż z tego równania wynika, że

. 0 L3n—s d,

ii—S

(4) £(Xjó#j-|- YjS?/j-f-Zjó^)-|-Ai. SLj-j-... -j-X*.    . .-f-Xs

gdzie X/. są spółczynnikami nieoznaczonymi. Rozwijając waryjacyje SL* i porządkując według dxi, dyi} dzi, mieć będziemy

C)

■i

dlii

dXi

■f" X₂

dh₂

dXi

j- ... + x₃

ll—S ⁰

d~L

3n—s

+    -f- X

+ {%i + X

dL*

¹ dyt

dLt

¹ dsi

h X₂

dL₂

3»—s

I-X

àiji

—— +... + X₃

ii-S *

^ § Xi -j-

dh₂

dL

3n—s

² de*

dzi

— o,

gdzie znak sumy rozciąga się na wszystkie wartości wskaźnika i od 1 do n. Ponieważ w tym równaniu dane warunki zostały uwzględnione, przeto przesunięcia należy już uważać za dowolne, a zatym ich spółczynniki, każdy zosobna, są równe zeru. Wskutek zaś przyrównania tych spółczynników do zera otrzymamy równania (2) art. 102-go, z których wynika równowaga dla każdego punktu, a zatym także dla całego układu materyjalnego.

Wielkość 'KidXi -f- Y,-8y,- -j- Z,-8# wyraża (art. 73) pracę przygotowaną (moment przygotowany) siły, przyłożonej do punktu (x₍, y{, zj)’, lewa strona równania (3) jest przeto algiebraiczną sumą prac przygotowanych wszystkich sił, przyłożonych do punktów układu. Zbiór sił, przyłożonych do punktów układu materyjalnego, stanowi układ sił. Sumę algiebraiczną prac przygotowanych tych sił dla danego przesunięcia układu materyjalnego nazywamy pracą przygotowaną układ u sił dla tego przesunięcia. Mamy zatym następującą zasadę ogólną równowagi: jeżeli do punktów układu materyjalnego są przyłożone siły, a warunki, którym one mają czynić zadość, są ivyraäone przez równania między spółrzędnymi tych punktów, mogące także czas wy.łaźnie zawierać, natenczas do róimowagi tych sił potrzeba i wystarcza, żeby dla icszystkich przesunięć przygotowanych praca układu sił przyłożonych była. równa zeru.

- Tak wyrażamy ogólnie zasadę prac przygotowanych czyli zasadę momentów przygotowanych dla układu materyjalnego. Właściwym źródłem téj zasady są równania (2) art. 102-go, zwane równaniami równowagi Lagrange’a; wyrażają one równowagę w każdym punkcie układu zosobna. Przesunięcia przygotowane należy uważać za służące do utworzenia związków między siłami i spółrzędnymi. W tych związkach ostatecznych, wyrażonych analitycznie przez wielkości skończone, nie pojawiają się wcale owe przesunięcia.

Jeżeli uważamy ruch jednego układu materyjalnego względem drugiego, a siły, do pierwszego układu przyłożone, nie udzielają, żadnemu jego punktowi przyśpieszenia względnego, natenczas ten układ znajduje się w równowadze względnej. Ponieważ zagadnienia o ruchu względnym sprowadzamy do zagadnień o ruchu bezwzględnym przez dodanie tak zwanych sił pozornych (art. 88), przeto zasada prac przygotowanych daje także warunki równowagi AYZględnój, jeżeli w każdym punkcie prócz siły przyłożonej przyjmiemy jeszcze siły pozorne. Do równowagi potrzeba i wystarcza, żeby suma prac tych sił była równa zeru dla każdego przesunięcia przygotowanego.

104. Równowaga układów sztywnych. Praca przygotowana układu sił zależy od tych sił, od ustroju układu materyjalnego i od danych warunków. Obliczymy tę pracę przedewszystkim dla układu sztywnego punktów.

Każdy nieskończenie mały ruch układu sztywnego może być wywołany przez trzy obroty około osi spółrzędnych i przez trzy ruchy postępowe w kierunkach tych osi (art. 40). To zatym twierdzenie stosuje się do każdego ruchu przygotowanego takiego układu. Jeżeli układ jest swobodny, natenczas wszystkie sześć spółrzędnych ruchu przygotowanego, t. j. trzy odchylenia około osi i trzy przesunięcia w kierunkach tych osi będą, dowolne; jeżeli zaś swoboda układu jest ograniczona, natenczas zachodzą pewne związki między spółrzędnymi ruchu przygotowanego (art. 42). Oznaczmy odpowiednio przez Si, §7j i odchylenia nieskończenie małych obrotów układu około osi cc-ów, y-ów, £-ów, a przez SX, Sp i Sv nieskończenie małe przesunięcia układu w kierunkach tychże osi. Udzielając układowi tych sześć ruchów, otrzymamy, według (1) art. 24-go ,następujące przesunięcia dxi} dyi, dZi punktu

(j&i ) t/i 5 %i) •

S Xi=d\ + Sidy\ —

(1)

8yiZ= ôjr + xfit, — #i§ź,

d#i = dv 4- yfih— %idr\.

Mnożąc te równania odpowiednio przez składowe X;, Y *, Z* siły przyłożonej do tego punktu i sumując według wskaźnika i, otrzymamy

• Z(Xidxi + Yi8y< + Z<8^) = 8X.SXf-|-8iŁ.SY< + av.5:Zł +

+    . X(Zw — Yi0i) +• Sr].    — ZiXi) + ÔC . S(YiXi — XiVt).

Ponieważ Lj = Z^yi — YM/ — XtZi •— Z*xi} Ki = YiXi — X,fi oznaczają odpowiednio momenty siły (Xj, Yi} Z,) względem osi spółrzędnych (art. 71). przeto

(2)

S(Xi3a;i + YiS^ + Zi3^)=:SX.SXi + §îi..XYi + 3v.EZi +

+ 8£.£L,+ 8y].£M,+8C.SN,.

To jest ogólne wyrażenie pracy przygotowanej układu sił, przyłożonych do układu sztywnego punktów. Ta praca jest funkcyją linijową i jednorodną nieskończenie małych spółrzędnych ruchu przygotowanego, a spółczynniki tej funkcyi zależą od danych sił,

Zasada przeto prac przygotowanych wyraża się dla układów sztywnych przez następujące równanie:

SX . SX,- + Sjj.. S Yi + Sv . EZ* -f- SC . SU + Syj . SM, J- SC . £X* = 0, a jeżeli przyjmiemy

(3)    Y=EY<, Z = £Z;, L = SLi? M—YM), X=SX,-, to będzie

(4)

X.SX + Y.S{i + Z.óv + L.Se + M.S7] + X.SC=nO.

Jeżeli układ materyjalny jest swobodny, natenczas wszystkie spółrzędne ruchu przygotowanego są dowolne. Żeby zatym równanie (4) zachodziło dla wszelkich ruchów przygotowanych, potrzeba i wystarcza, żeby

(5)

X = 0, Y = 0, Z = 0, L = 0, M = 0, X = 0,

z czego wynika następujące ważne twierdzenie: do równowagi sil, przyłożonych do nieładu sztywnego i swobodnego, potrzeba i ivystarcza, żeby sumy rzutów sił i sumy momentów tychże sił, wziętych w kierunkach trzech osi, wzajemnie do siebie prostopadłych, były równe zeru dla każdej osi zosobna. Z pierwszych trzech równań wynika, że jeżeli wykreślimy z dowolnego punktu wielobok, którego boki w dowolnym porządku są równoległe i proporcyjorialne względem sił w równowadze, natenczas otrzymamy wielobok zamknięty, jakgdyby siły były przyłożone do jednego punktu; z ostatnich trzech równań okazuje się, że jeżeli wykreślimy z dowolnego punktu wielobok momentów sił względem tego punktu, natenczas otrzymamy także wielobok zamknięty.

Jeżeli jeden punkt układu jest nieruchomy, natenczas ruch przygotowany układu jest kręceniem się około tego punktu (art. 48). Obierając wtedy ów punkt nieruchomy jako początek osi, otrzymamy §\ — 0, S[A,r=0, óv = 0 dla każdego ruchu przygotowanego. Ponieważ SC, Si], SC pozostają dowolne, przeto warunki równowagi są L = 0, M = 0, X = 0. Bo równowagi sił, przyłożonych do układu sztywnego, którego jeden punkt jest stały, potrzeba i wystarcza, żeby suma momentów tych sił względem trzech prostych, przecinających się w tym punkcie pod kątami prostymi, była równa zeru dla każdej prostej zosobna.

Jeżeli warunki pozwalają układowi poruszać się tylko równolegle do danej płaszczyzny, natenczas ruch przygotowany jest obrotem około prostej, prostopadłej do téj płaszczyzny (art. 51). Obierzmy wtedy osi Ox i O y równolegle do téj płaszczyzny, to będzie Sv = 0, SC —0, Sij —0; warunki zatym równowagi będą X — 0, Y = 0, X=n 0. Jeżeli układ może się tylko skręcać około pewnej danej prostej, to obierając tę prostą jako oś z-6w, mamy stosownie do tego warunku SX = 0, Sjx — 0, SC = 0, St] = 0; równowaga zajdzie przeto, jeżeli będzie Z = 0, X=0. Jeżeli układ może się tylko obracać około osi z-ów, to będzie dX — 0, §^ = 0, Sv = 0, §i — 0, §rj = 0, a X = 0 jest jedynym warunkiem równowagi. Bo równowagi sił, przyłożonych do uldadu sztywnego, który tylko około stałej osi może się obracać, potrzeba i wystarcza, żeby suma momentów sił względem téj osi była równa zeru.

Warunki równowagi możemy podzielić na dwie grupy. Pierwsza grupa obejmuje równania X = 0, Y = 0, Z :=0, odnoszące się do ruchu postępowego, druga zaś równania L = 0, M = 0, X — 0, odnoszące się do ruchu obrotowego. Dla układu swobodnego zachodzą obie grupy warunków; im mniejsza zaś swoboda układu, tym mniejsza ilość warunków równowagi sił.

-Niech m.i i mk będą dwoma punktami układu sztywnego; do punktu mt-przykładamy siłę P, mającą kierunek prostej mkmi lubtćż kierunek prostej mitnk; do punktu mk zaś siłę •—P, wprost przeciwną tamtej. Jeżeli r oznacza odległość obudwu punktów, to składowe siły P będą odpowiednio

X = d=P . Xi Xk

a składowe siły — P będą: ■— X, — Y, — Z. Suma prac przygotowanych tych sił wynosi

X (Sxt— o xk) -f Y (8 y i — 8 yk) -f- Z (dzi — 8 zk) = dr ~ [(xt — xk) (8 Xi — o xk) -f

+ (!/i — yù) (P y i •— o yj) -f- (z i — zj) (8 &i — § zk)\,

a ponieważ z powodu sztywności (xt — xky -f (yt — yk)² + (#< — zk)² — r² = 0, przeto (xi — xk)(dxi—dxk) + & = 0, co dowodzi, że suma prac przygotowanych obudwu sił jest równa zeru dla każdego przesunięcia. Takie przeto dwie siły równoważą się. Stosując to postępowanie do układu ilukolwiek punktów, mamy twierdzenie: siły przyłożone do punktów układu sztywnego, działające wzdłuż prostych, łączących każde cliva punkty, i po dwie równe a mające kierunki wprost przeciwne, są w rôwnoivadze.

Z tego twierdzenia wynika ważny wniosek. Gdy siły, przyłożone do układu niesztywnego, są w równowadze, to równowaga trwać będzie, jeżeli, dwa punkty układu połączymy liniją sztywną; możemy bowiem taką liniją zastąpić dwiema siłami dowolnie wielkimi, równymi i wprost przeciwnymi, działającymi wzdłuż tejże linii na jéj końcach, a takie siły znoszą się. Czyniąc to samo z każdą parą punktów, widzimy, że siły równoważące się, przyłożone do układu niesztywnego, nie przestają być w równowadze, jeżeli ten układ sztywnym uczynimy. Ponieważ nawzajem nie można twierdzić, jakoby równowaga sił przy sztywności układu pociągała za sobą równowagę tychże sił przy nie-szty wności układu, przeto mamy twierdzenie : warunki równowagi sił, przyłożonych do układu sztywnego, są konieczne dla równowagi układu niesztywnego, nie sei jednak wystarczające.

105. Przekształcenie układów sił. Dwa układy sił, przyłożonych do punktów tegoż samego układu materyjalnego, których praca przygotowana posiada tęźsamę wartość przy tych samych wTarunkach, nazywamy układami równoważnymi. Dwa układy sił, równoważne z trzecim, są z sobą równoważne. Postępowanie, zapomocą którego można wyznaczyć układ sił, równoważny z danym układem, nazywamy przekształceniem, lub t r ans forma cyją tego układu sił. Transformacyja jest wogólności nieskończenie

wieloma sposobami możliwa, a dopiero wtedy jest dokładnie oznaczona, jeżeli damy dostateczną ilość warunków, określających układ równoważny.

Jeżeli symbole (P) i (Q) oznaczają dwa równoważne układy sił, to jeżeli każdej sile układu (Q) nadamy kierunek przeciwny, nie zmieniając ani jej wielkości ani jej jjunktu przyłożenia, natenczas praca przygotowana siły — Q» będzie równa i znaku przeciwnego pracy siły Qź. Praca przygotowana układu (—Q), powstającego z sił —Q,, będzie przeto równa jiracy układu (P), lecz będzie miała znak przeciwny, a zatym suma prac obudwu układów (P) i (—Q) będzie równa zeru. Jeżeli każdej sile jednego z diva układów równoważnych nadamy kierunek przeciwny, nie zmieniając wielkości i punktu przyłożenia tej siły, to otrzymany układ sił jest w równowadze z każdym układem sił, równoważnym z pierwotnym układem. Z tego twierdzenia wynika drugie: jeżeli dwa układy sił są w równowadze, to biorąc siły jednego układu w kierunku przeciwnym bez zmiany wielkości i punktów przyłożenia tych sił, otrzymamy układ sił, równoważny z drugim układem. Te dwa twierdzenia okazują, że między równowagą a równoważnością dwu układów sił zachodzi ścisły związek, który przez jrodobieństwo nazwisk jest dobitnie wyrażony. —

Z ostatniego twierdzenia art. 104-go wynika, że dwie siły równe, mające ten sam kierunek i ten sam promień działania, których punkty przyłożenia są sztywnie ze sobą połączone, są równoważne. "Wyrażamy to twierdzenie, mówiąc, że punkt przyłożenia, siły można, przesunąć do innego punktu jej promienia działania, sztywnie z nim połączonego, nie zmieniając wielkości i kierunku siły. Według tego twierdzenia określamy siłę przez jej promień działania, przez jéj wielkość i kierunek. Jeżeli a, b, c, a, ß, y oznaczają spółrzędne (art. 33) promienia działania siły P, to

0)

Xc=«P, Y = 6P, Z —cP-, L — aP, M=:ßP, N = yP, a więc

*___ _J_ _    .

X Y Z — L M X ’

a ponieważ «a+0ß-f-CY — 0, przeto między wielkościami X, Y, Z, L, M, X zachodzi związek XL + YM+ZX = 0. I nawzajem, żeby te sześć wielkości mogło służyć do określenia siły, winien między nimi zachodzić powyższy związek, albowiem one są proporcyjonalne względem spółrzędnych promienia działania siły, dla którego aa-p&ß + cy = 0. Trzy rzuty X, Y, Z siły na osi spółrzędnych, łącznie z momentami L, M, X tejże siły względem tychże osi zowiemy spółrzędnymi siły względem tych osi. Takie sześć spółrzędnych określają siłę dostatecznie, i są wiadome, skoro siła jest dana. Punkt przyłożenia siły nie jest określony; może nim być punkt dowolny na jéj promieniu działania. Jakkolwiek obierzemy osi spółrzędnych, to spółrzędne X, Y, Z siły nie mogą być wszystkie równe zeru; atoli spółrzędne L, M, X siły mogą jednocześnie przyjąć wartości równe zeru, a to nastąpi, jeżeli początek osi znajduje się na promieniu działania siły. Z sześciu spółrzędnych siły może pięć być równe zeru, a wtedy pozostała spółrzędna będzie równa sile samej. —

Spółrzędnymi układu sił nazywamy sumy algiebraiczne odpowiednich spółrzędnycłi wszystkich sił, ten układ stanowiących. Jeżeli X», Y,-, Zj, L,-, Mi, Ni są spółrzędnymi siły P*• danego układu, to wielkości X=£Xe, Y = SYt, Z = ^Z,-, L = SLi, M — EM,, N —EN; przedstawiają spółrzę-dne tego układu sił. Niech X, Y, Z, L, M, N; X', Y', Z', L', M', N' będą spółrzędnymi dwu układów sił, przyłożonych do tego samego układu sztywnego punktów; równoważność tych układów wymaga, żeby dla każdego ruchu przygotowanego

(2)

X§X + YS[T + ZSv + LS£pMS₇]4-N§ę=:X'SX + Y,S!A + Z,Sv +

+ L'S6 + MrS7]-{-N'êÇ.

Jeżeli układ jest swobodny, to spółrzędne ruchu przygotowanego są dowolne; warunki równoważności będą więc

(3)

X — X', Y — Yf, Z = Zr, L =: L', M — Mf, N —Nr.

Bo równoważności dwu układów sił, przyłożonych do układu punktów sztywnego i swobodnego, potrzeba i ivystarcza, żeby spółrzędne odpotviednie tych układów sił względem tych samych osi były sobie równe. Z tego twierdzenia okazuje się, że spółrzędne układu sił określają zarazem wszelkie inne układy sil, z nim równoważne. Widzimy nadto, że równoważność przy powyższych warunkach nie zależy od ustroju układu materyjalnego, byle tylko ten układ był swobodny i sztywny.

Sumę algiebraiczną momentów wszystkich sił danego układu względem danej prostej nazywamy momentem układu sił względem prostej. Spółrzędne L, M, N przedstawiają odpowiednio momenty układu (P) względem osi x, y, z. Moment wypadkowy momentów wszystkich sił układu względem danego punktu nazywamy momentem układu sił względem punktu tego. Spółrzędne L, M, N przedstawiają odpowiednio rzuty momentu układu sił względem początku osi (art. 71). Z warunków równoważności dwu układów sił wynika twierdzenie: momenty dwu równoważnych układów sił względem tego samego punktu lub iczględem tój samej prostej są sobie równe.

106. Układy sił, równoważne z jedną siłą. Najważniejszym zadaniem przekształcenia sił jest wyznaczenie najprostszego układu sił, który z danymi siłami jest równoważny. Z tego powodu nazywamy przekształcenie także redukcyją układu sił, t. j. sprowadzeniem tego układu do postaci najprostszej.

Najprostszym będzie wynik redukcyi, jeżeli układ sił daje się sprowadzić do jednej siły. Z twierdzenia ogólnego art. 105-go wynika, że spółrzędne układu sił są wtedy odpowiednio równe spółrzędnym jednej siły, jest przeto

0)

XL 4- YM 4- ZN = 0,

gdy X, Y, Z, L, M, N oznaczają spółrzędne danego układu sił. Ten atoli warunek nie jest wystarczający. Wszystkie spółrzędne nie mogą być równe zeru, gdyż zachodziłaby równowaga danych sił, co wyklucza oczywiście

możność żądanej redukcyi. Założenie X = 0, Y~0 Z = 0 jest także niemożliwe, albowiem te trzy spółrzędne siły nie mogą być jednocześnie równe zeru (art. 105). Jeżeli przez początek osi spółrzędnych poprowadzimy siły równe i równoległe do sił danego układu (P), czyli, jeżeli przesuniemy te siły równolegle do tego punktu, to sumy rzutów ty cli sił po przesunięciu na osi spółrzędnych będą odpowiednio równe spółrzędnym X, Y, Z tego układu. Gdyby więc było X = 0, Y=0 i Z — 0, natenczas dane siły, przesunięte do jednego punktu, znosiłyby się. Mamy przeto twierdzenie : układ sił jest równoważny z jedną, siłą, jeżeli jego spółrzędne czynią zadość warunkowi XL + YM -f- ZX ~ 0, a siły tego układu, przesunięte równolegle do jednego punktu, nie znoszą się.

Wielkość k — XL + YM + ZN, utworzoną ze spółrzędnych danego układu sił, nazywamy parametrem układu tego. Podane twierdzenie możemy więc tak wyrazić : układ sił jest równoważny z jedną siłą, jeżeli jego parametr jest równy zeru, a siły tego układu, przesunięte równolegle do jednego punktu, nie znoszą się. Siłę, równoważną z układem sił, nazywamy wypadkową tego układu. Wypadkowa układu sił jest siłą, dokładnie oznaczoną. Jakoż, przenosząc siły danego układu równolegle do dowolnego punktu O, obranego jako początek układu spółrzędnych, i składając je w tym punkcie zapomocą wieloboku, otrzymamy wypadkową sił przeniesionych, równą i równoległą do wypadkowej danego układu, albowiem rzuty téj siły na osi spółrzędnych są odpowiednio równe X, Y, Z. Przyjmijmy U = J/^X² + Y²-f-Z², i obliczmy ilorazy L : R, M : R, X : R, to otrzymamy momenty a, ß, y promienia działania szukanej wypadkowej. Tym sposobem wypadkowa R jest dokładnie wyznaczona. Widzimy zarazem, że wielkość i kierunek siły wypadkowej zależy tylko od wielkości i od kierunku każdej z sił danych, i że te dwie cechy wypadkowej wyznacza się tak, jakgdyby dane siły były przyłożone do jednego punktu. Siła, równa wypadkowej i mająca ten sam promień działania, lecz kierunek przeciwny, przywodzi dany układ sił do równowagi.

Układy sił, równoważne z jedną siłą, nazywamy układami sił pierwszego rodzaju. We wszystkich zagadnieniach, w których trzeba uważać pracę przygotowaną takiego układu sił, można ten układ zastąpić jego wypadkową i tym sposobem najłatwiej rozwiązać takie zagadnienia.

Z równości momentów dwu równoważnych układów sił wynikają dla układów 1-go rodzaju następujące twierdzenia: moment wypadkowej układu sił 1-go rodzaju względem prostej równa się momentowi tego układu względem téj prostej; moment 'wypadkowej takiego układu sił lozględem punktu równa się momentowi tego układu względem tego punktu.

Parametr układu sił jest równy zeru, jeżeli siły działają na jednej płaszczyźnie lub jeżeli są równoległe. Jakoż, obierzmy w pierwszym przypadku osi x i y na płaszczyźnie sił, więc oś z prostopadle do tejże płaszczyzny, wtedy Zi — 0, M* = 0, X* — 0, a stąd k = 0; w drugim przypadku obierzmy oś x równolegle do sił, wtedy Y,- = 0, Z, = 0, L, — 0, a stąd k — 0»

Takie zatym układy sił należą do 1-go rodzaju, jeżeli tylko, przesunięte równolegle do jednego punktu, nie znoszą się.

107. Siły, leżące na jednej płaszczyźnie. Obierzmy płaszczyznę sił jako płaszczyznę Oxy, wtedy Z = 0, L = 0, M = 0. Taki więc układ sił określają trzy spółrzędne X, Y i N. Wypadkowa układu jest R = \f X²+Y²; jeżeli a i b oznaczają jéj dostawy kierunkowe, a y oznacza odległość promienia działania tej wypadkowej od punktu O, to

(1)

o — -,

R’ T—R*

Moment N wypadkowej względem punktu O jest sumą algiebraiczną momentów danych sił względem tego punktu. Niech (x, y) będzie dowolnym punktem na R, to y — bx— ay\ ostatnie przeto równanie (1) daje N = R(ó.-r— ciy)=z ~Yx— Xy, czyli

(2)

Yx — Xy — N = 0

jako równanie promienia działania téj wypadkowej. Niech x-n y i będą spół-rzędnymi punktu przyłożenia siły P,, tworzącej z osią x kąt k₂-, wtedy

Xi = Pi cos k*, Y i = P» sin ki, N,- = Pi(a?i sin — y i cos Xf); równanie (2) więc możemy tak napisać :

x S P* sin ki — y S Pj cos k, — S P₂ (a?* sin kź — yt cos k{) = 0.

(3)

Obróćmy każdą siłę P,, nie wychodząc z płaszczyzny danego układu, około jéj punktu przyłożenia o kąt cp w kierunku od dodatnych x ku dodatnym y. Siła Pi w nowym położeniu tworzy z osią x kąt ki + cp, jéj składowe zatym X/ i Y/ będą

X/ = Pi cos (ki + cp) = Xi cos cp — Yf sin cp,

Y/ = Pi sin (ki -f cp) = Yi cos cp -f X< sin cp,

a jeżeli X', Yr oznaczają spółrzędne nowego układu sił, przez powyższy obrót powstałego, to otrzymamy

X'² + Y'² = (SX/)² + (S Y/)² = X² -p Y²,

skąd wynika, że wypadkowa nowego układu jest równa wypadkowej pier-

Y

wotnéj. Niech pierwotna wypadkowa tworzy z osią x kąt k, to tang k = ^ ;

dla wyznaczenia kąta nachylenia k' nowej wypadkowej otrzymamy równanie

Y' __ Y cos cp -{- X sin cp __ tang k + tang cp Xcoscp—Ysincp 1 — tangktangcp

z którego wnosimy, że wypadkowa nowego układu sił tworzy z wypadkową pierwotną taki sam kąt cp, o jaki każda siła obrócona została. Równanie promienia działania nowej wypadkowej będzie według (3)

x . SP, sin (ki-f-cp) — y. SP,- cos(ki4-cp)—SP Ąxi sin(ki4-cp)—y% cos(ki-j-cp)]=rO,

(4)

(5)

tang k'

Xf

= tang (k -f cp),

czyli

(«)

\_x . S Pi sin Xj — £/. S P* cos X* — X P* (#*■ si u Xi — yt cos Xi:)J cos cp +

+ \x Ya P* cos Xi + y h Pi sin X,- — 2 P₂ (#*■ cos X* + yt sin X*)] sin cp = 0. Oznaczywszy przez £ i yj spółrzędne punktu, w którym przecinają się obiedwie wypadkowe, i wprowadzając X,- i Y,-, otrzymamy dla wyznaczenia tego punktu z (3) i (6) następujące dwa równania:

(7)

£ Y — 7] X = S ('Yi Xi—XiUi),

¹

(8). Układ materyjalny daje się nieskończenie wieloma sposobami zastąpić przez układ równoważny pod względem momentów bezwładności, składający się z czterech punktów. Jeżeli jeden punkt obierzemy dowolnie, to trzy pozostałe punkty leżą na płaszczyźnie biegunowej środka masy układu względem elipsojdy Binet go, odpowiadającej punktowi obranemu (twierdzenie Reyego),

(9). Moment bezwładności układu o masie m względem prostej

——, odniesionej do osi spółrzędnych, które przecinają się prosto-c

kątnie w środku masy, jest:

I=Aa²4-B&²4-Cc²—2D&C—2Ec« —2Faó-|-?7i[4²+71²+C² —(«1+^+cC)²].

(10). Jeżeli wyznaczymy elipsojdę bezwładności układu w każdym punkcie danej prostej, natenczas płaszczyzny średnicowe tych elipsójd, sprzężone z daną prostą, przecinają się z sobą według pewnej prostej.

z których wypada

ÉX + iïY==S(X,a* + Y₍y<)i

(8)

jgrj-ÿS [Y • S(Y,*, - Xfÿ,) + X . S(XÆ- + Y i y i)]

1) = X^TŸ⁵ LY ' S(Xi*'+ Y*2") -X ' S(Y,*,—X,:y,)].

Z tych równań okazuje się, że obie wypadkowe przecinają się z sobą w pewnym punkcie, którego położenie nie zależy od kąta cp obrotu każdej siły około jéj punktu przyłożenia. Punkt o spółrzędnych i i 7] nazywamy środkiem układu sił. Ponieważ X i Y nie są równe zeru, przeto ów środek jest punktem, dokładnie oznaczonym, zależnym od punktów przyłożenia, od wielkości i od wzajemnego położenia danych sił. Jeżeli każdą siłę układu płaskiego obrócimy około jéj punktu przyłożenia o tenżesam kąt w tężsamę stronę, natenczas siła wypadkowa obraca się około środka tego układu o tenże również kąt iv tęż stronę.

108. Siły równoległe. Środek ciężkości. Gdy mamy układ sił równoległych, zaś a, ó, c są dostawami kierunkowymi którejkolwiek siły P, takiego układu, przyłożonej do punktu (xt, y i, zł), to powyżej wprowadzone dostawy stosują się do wszystkich sił, mających kierunek siły Pi? podczas gdy dostawy —a, —b, —c odnoszą się do sił, mających kierunek przeciwny. Spółrzędne układu sił są

(1)

X = a.ZPi, Y — ó . SP*, Z = c.SPff

L = cSPj^ — bliPiZi, M=aZPiZi — chPiXi, N = bhP(Xi—aEPt-^t. Dla wypadkowej mamy R² = X² + Y²-f Z², a stąd R = SP₈; nadto będzie

(2)

X Y Z

z czego się okazuje, że wypadkowa układu sił równoległych równa się sumie algiebraicznój tychże sił i działa równolegle do kierunku tych sił, których suma jest liczebnie większa. Ponieważ L ~(cy — bzjYiPi, M ~(az — c x) X Ib, X — (bx— ay)ZPi, gdzie fx, y, z) jest dowolnym punktem na promieniu działania wypadkowej, przeto równania tego promienia będą

(3)

c(y . EP, - SPiVi) ~b(z. ÏPt - SP«*) = 0, a(z . XP₂ — iPiSi) — c(x . £P— SPiXi) = 0, b(x. ZPt — SPiXi) — a(y. SPf — SP,y,) = 0.

Mnożąc pierwsze równanie przez a, drugie przez b, i dodając iloczyny, otrzymamy trzecie równanie, z czego się okazuje, że powyższe równania wyrażają tylko dwa związki między x, y: z, jak być powinno. Z tych równań widzimy, że na promieniu działania wypadkowej znajduje się pewien punkt, którego położenie nie zależy od wielkości a, b, c, t. j. od kierunku sił danego układu. Obierając bowiem taki punkt (£, 73, C), żeby jednocześnie

(4) e . £P, — ZPiXi =0, T]. SP, — SPiVi = 0, C. SP, — SPtet = 0,

przywodzimy powyższe trzy równania do tożsamości, jakiekolwiek wartości damy spółrzędnym kierunkowym (a, b, cj. To znaczy, że jeżeli wszystkim siłom damy inny, zresztą dowolny kierunek, nie zmieniając ani ich wielkości, ani ich wzajemnego położenia, ani ich punktów przyłożenia, natenczas wypadkowa przybierze nowy kierunek i przetnie pierwotną wypadkową w pewnym punkcie, którego spółrzędne wyznaczają równania (4). Ten punkt zowiemy środkiem sił równoległych. Spółrzędne tego środka są

£PiXi    _ £Piyt

SP₄ ’    SP,

(5)

£Piti

IP. ‘

Środek sił równoległych posiada podobne znaczenie, co środek sił na płaszczyźnie. Jeżeli punkty przyłożenia sił równoległych leżą na jednej płaszczyźnie, to środek leży także na téj płaszczyźnie; skoro bowiem Zi — 0 dla każdego wskaźnika i, to Ç = 0. Niech mt oznacza masę punktu przyłożenia siły P*, i załóżmy, że te siły są proporcyjonalne względem mas swych punktów przyłożenia; natenczas spółrzędne środka tych sił będą

sLmizi Św,- ’

to znaczy (art. 97), że środkiem sił równoległych, proporcyjonalnych względem mas swych punktów przyłożenia, jest środek masy tychże punktów. Z tego twierdzenia wynika, że środek sił równoległych można wyznaczyć takim samym sposobem, jakiego używaliśmy do wyznaczenia środka masy (art. 98). W tym celu należy w punkcie przyłożenia każdej siły przyjąć masę, proporcyjonalną względem téj siły, t. j. obrać dla wszystkich sił ten sam, zresztą dowolny, stosunek między siłą a masą, i wyznaczyć środek tych mas; ten punkt będzie środkiem sił równoległych.

Chcąc jednak powyższe twierdzenie zastosować do jakichkolwiek sił równoległych, musimy uogólnić pojęcie środka masy, przyjmując także masy ujemne. Jeżeli bowiem siły równoległe, działające w jednym kierunku, uważamy za dodatne, natenczas siły, mające kierunek przeciwny, należy uważać za ujemne. Biorąc zatym masy proporcyjonalne względem sił, potrzeba w (6) za mi podstawiać bądź liczbę dodatną, bądźteź ujemną, stosownie do kierunku odpowiedniej siły. Jeżeli zaś znak momentu masy mt względem płaszczyzny spółrzędnych (art. 97) wyznaczymy według znaku tejże masy i znaku odpowiedniej odległości od płaszczyzny, wówczas te określenia i sposoby postępowania, które podaliśmy w rozdziale IX dla samych mas dodatnych, będą

Zmtyi

(6)

*! =

ZwiiXi

Im, mogły być zastosowane do układu, mieszczącego w sobie masy dodatne i masy ujemne. Takie uogólnienie pozwala środek sił równoległych wyznaczyć według tych samych sposobów, które podaliśmy w rozdziale IX.

Z analogii między środkiem masy układu materyjalnego a środkiem sił równoległych wynika, że środek dwu sił równoległych i mających tensam kie-runek, leży na prostej, łączącej ich punkty przyłożenia, i dzieli odległość wzajemną tych punktów wewnętrznie w stosunku odwrotnym sił. Środek dwu sił równoległych, mających kierunki przeciwne, dzieli odległość ich punktów przyłożenia zewnętrznie w stosunku odwrotnym sił. Stosując te dwa twierdzenia do dwu sił układu, następnie do ich wypadkowej i do 3-cićj siły i t. d., możemy łatwo wyznaczyć środek tych sił, w jakimkolwiek przytym porządku postępować będziemy.

Siły ciężkości, przyłożone do elementów ciała materyjalnego, są propor-cyjonalne względem mas tychże elementów, a przyśpieszenie g równa się właśnie stosunkowi siły do masy (art. 67). Promienie działania tych sił przecinają się w środku ziemi; jeżeli zatym rozmiary ciała są dostatecznie małe w porównaniu z rozmiarami ziemi i z odległością jej środka od punktów tego ciała, wtedy możemy siły ciężkości uważać za równoległe i mające kierunek pionu. Z tego wynika, że środek masy ciała materyjalnego jest zarazem środkiem układu sił ciężkości, przyłożonych do elementów tego ciała. Z tego powodu nazywamy środek masy ciała także środkiem ciężkości tego ciała. Nauka o środku ciężkości mieści się w rozdziale IX. Ciężar ciała możemy sobie wyobrazić przyłożony do środka ciężkości; czyniąc ten punkt stałym w przestrzeni, znosimy działanie siły ciężkości. Atoli pojęcie środka ciężkości jest tylko o tyle ścisłym, o ile siły ciężkości można uważać za równoległe.

109. Układy sił, równoważne z parą sił. Jeżeli każda ze spółrzę-dnycli X, Y, Z układu sił jest równa zeru, a spółrzędne L, M, N nie są wszystkie równe zeru, układ nie jest równoważny z jedną siłą (art. 106). Przypuśćmy, że taki układ jest równoważny z dwiema siłami Pr : (Xf,... , N') i Pff : (X",..., N'f), które działają wzdłuż prostych odpowiednio (a',...,?') i (a",... ,r"). Dla wyznaczenia tych dwu sił mamy warunki następujące:

a'F+a"P"= 0 , VP'+b”F'=0 , e'P'-f- c"F" = 0 , a'P'-f-a'T” = L, ß'P'-f ß"P" = M, ï'P+r'T" = N.

Ponieważ dwie siły są określone przez 12 spółrzędnych, między którymi zachodzą związki X'Ij'H-Y'M'+Z'N'—.0 i X,'L"+Y"M"+Z,,N,' = 0, a równania (1) dają tylko sześć związków między owymi spółrzędnymi, przeto widzimy, że można nieskończenie wieloma sposobami wyznaczyć takie dwie siły P' i P", które razem są równoważne z danym układem sił.

Z pierwszych trzech równań (1) otrzymamy

V __ c' a" “ ¥ “ c"

(1)

(2)

ar

P"

P'

to znaczy, że szukane dwie siły są bezwzględnie równe, równoległe i mają kierunki przeciwne. Jeżeli oznaczymy P'= — P" = P, otrzymamy z ostatnich trzech równań (1)

(3)

P(ar — a") = L, P(ß' —ß") = M, P(Y'— T») = N,

a stąd

(4)

(af — a") :L = (ß'- ß") : M == (y' — y") : N,

(5)

P² [(a' — a")² -f- (ß' — ß")² d- (jf — y")²] = L² + M² + N².

Równania (4) i (5) są wynikami algiebraicznymi równań (3), a przeto mogą owe równania zastąpić. Aby poznać ich znaczenie, poprowadźmy płaszczyznę przez siły Pr i P,r; równanie jej będzie

(6)

c' [(af — a") x 4- (ßr — $")y + (Tf — Y,f) ż\ + a'ß" — ß'a" — 0;

oznaczmy nadto przez d odległość wzajemną tych dwu sił, wówczas d² — = (a' — a")² + (ß' — ß")² + (Yr — y")², otrzymamy zatym z równania (5)

(7)

P² S² = U² -f- M² Ą- N² — |r²,

gdzie oznacza moment danego układu sił względem początku spółrzędnych. Równanie (6) wyraża, że płaszczyzna, poprowadzona przez siły Pr i P", jest prostopadła do tego odcinka, który przedstawia gieometrycznie moment danego układu sił względem początku osi; a z równania (7) okazuje się, że iloczyn P . § jest równy owemu momentowi.

Obliczmy moment fi/ danego układu sił względem punktu dowolnego (x, y, g). W tym celu poprowadźmy przez ten punkt trzy proste, równoległe do osi spółrzędnych, oznaczmy odpowiednio przez Lf, Mf, N' momenty układu sił względem tych prostych, i zastosujmy równania (5) art. 71-go; wtedy otrzymamy L' — L, M' = M, N'=N, a zatym    Okazuje się zatym,

owe

siły, ma kierunek stały, prostopadły do odcinka jr, a iloczyn P.ó posiada wielkość stałą, równą Zresztą ani kierunek ani wielkość każdej z tych dwu sił, anitóż ich odległość wzajemna nie jest bliżej określona przez warunki

że moment rozważanego układu sił względem każdego punktu jest stały pod względem wielkości i pod względem kierunku. Z tego wynika na podstawie równań (6) i (7), że lubo nieskończenie wielu sposobami możemy wyznaczać dwie siły P' i P", to przecież płaszczyzna, poprowadzona przez te dwie

równoważności.

Dwie siły równoległe, bezwzględnie równe i mające kierunki przeciwne, stanowią układ, który nazywamy parą sił (fig. 46). Odległość wzajemną dwu sił, stanowiących parę, nazywamy ramieniem pary sił, a iloczyn tego ramienia i wielkości każdej siły nazywamy momentem pary sił. JSTa mocy tych określeń i twierdzenia art. 106-go możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie: jeżeli siły danego układu nie są w równowadze, lecz przesunięte równolegle do jednego punktu, znoszą się, natenczas dany układ jest równoważny z parą sił. Płaszczyzna téj pary jest prostopadła do momentu układu sił? a jej moment jest równy momentowi tego układu. Układy sił, równoważne

z parą, nazywamy układami sił drugiego rodzaju. Parę sił P i —P będziemy oznaczali symbolem (P, ■— P).

Niech będzie dana para sił (P, —P) i punkt dowolny m\ wyprowadźmy z tego punktu dwa odcinki, wyobrażające odpowiednio momenty sił P i —P

\cP

-P

Fig. 46.

względem punktu m, i wystawmy równoległobok na tych odcinkach, natenczas przekątna tego równoległoboku, poprowadzona przez punkt m, przedstawiać będzie moment pary (P, —P) względem tego punktu. Z dowodzenia poprzedzającego wynika, że ów moment jest stały .pod względem kierunku i wielkości, gdziekolwiek punkt m obierzemy, i z tego powodu mówimy wprost o momencie pary sił bez podawania punktu, do którego moment ma być odniesiony. Łatwo spostrzeżemy, że moment pary sił jest także równy momentowi każdej z dwu sił téj pary względem punktu, obranego dowolnie na drugiej sile tejże pary.

Ponieważ spółrzędne X, Y, Z pary sił są równe zeru, przeto para sił jest określona przez trzy spółrzędne L, M, N, a dwie pary sił są równoważne, jeżeli ich spółrzędne L, M, N są odpowiednio równe. Ponieważ te spółrzędne są rzutami momentu pary sił na odpowiednie osi spółrzędnycb, przeto widzimy naprzód, że para sił jest dokładnie określona, jeżeli znamy wielkość i kierunek jej momentu, powtóre, że dwie pary sił są równoważne, jeżeli wielkości i kierunki ich momentów są też same. Z daną parą sił może być nieskończenie wiele par równoważnych. Weźmy bowiem na płaszczyźnie E parę sił (P, —P) o momencie ja —P.8, a poprowadziwszy dowolną płaszczyznę E', równoległą do E, obierzmy na niej dowolnie dwie równoległe proste w odległości wzajemnej 8' i te proste przyjmijmy jako promienie działania takich dwu sił P' i —Pr, żeby [x = P'8' i żeby moment pary (P', —Pr) miał ten sam kierunek, co moment pary (P, —P), natenczas pary (P, —P) i (Pr, —Pf) będą równoważne.

Niech będzie n par sił (P,, —P,) o spółrzędnych L,, M,-, N,- (i — 1,

2,. .. n), to te wszystkie pary stanowić będą wogólności układ sił 2-go rodzaju, który będzie równoważny parze sił (P, —P) o spółrzędnych L —EL,-, M = SMi, N—EN*. Para (R, —P) przedstawia parę sił wypadkową danego układu par. Ponieważ rzut momentu pary wypadkowej na każdą z osi spółrzędnych jest równy sumie rzutów momentów par składowych na odpowiednią oś, przeto moment pary wypadkowej otrzymujemy sposobem następującym. Wyprowadźmy z dowolnego punktu wiązkę odcinków, przedstawiających odpowiednio momenty ja* danych par, i przyłóżmy do siebie te odcinki w porządku dowolnym, natenczas odcinek, zamykający otrzymany wielobok, przedstawiać będzie moment ;a pary wypadkowej. Jeżeli wielobok momentów (A, zamknie się, natenczas pary sił znoszą się nawzajem. Na mocy tego postępowania możemy parę sił rozłożyć na dwie lub więcej par sił.

110. Skrętnik. Siła razem z parą sił stanowi układ, który, mówiąc wogólności, nie należy ani do 1-go ani do 2-go rodzaju. Jakoż, niech X', ...,Nf będą spółrzędnymi siły P, a L", M", Nr' spółrzędnymi pary sił o momencie (J., to parametr k — X'L" -f- YrM" + Z'N" nie będzie wogólności równy zeru. Gdy parametr k jest równy zeru, t. j. gdy X'L" -f- Y'M" + Z'N'r = 0, to siła jest równoległa do płaszczyzny pary, a w tym przypadku posiada układ siłę wypadkową. W celu wyznaczenia téj wypadkowej poprowadźmy płaszczyznę pary jr przez siłę P (art. 109) i obierzmy siłę — P, działającą w tejże samej prostej, co P, jako jednę siłę pary jjl, wyznaczając odpowiednio drugą siłę téj pary. Siły Pi — P zniosą się, a druga siła pary fj. będzie żądaną wypadkową.

Jak w przypadku powyższym możemy siłę i parę sił zastąpić jedną siłą, tak możemy nawzajem daną siłę P zastąpić siłą i parą sił. Obierzmy punkt dowolny m i przyłóżmy do niego dwie siły, Pi — P, znoszące się nawzajem; siła dana P razem z siłą dodaną — P stanowi parę, której moment jest równy momentowi siły danej względem punktu m (art. 109), a pozostaje jeszcze siła P, równoległa do siły danej, lecz przyłożona do punktu m. Widzimy zatym, że siłę można przenieść do punktu dowolnego, dodając jednocześnie parę sil, której moment jest róicny momentowi siły względem tego punktu. —

Niech będzie dana siła P : (X, Y, Z, L', Mr, N') i para sił (Q, —Q) : :(L", M", N") i niech parametr Æ = XL + YM + ZN, gdzie L = L'-ł-Lrr, M=M'+M", N—-N'+N", będzie różny od zera. Przenieśmy siłę P do punktu dowolnego m : (x, y, z); otrzymamy siłę, równą sile danej, o spół-rzędnych X, Y, Z, L'₀, M'₀, Nr₀, i parę sił (S, — S) o spółrzędnych L"₀, M"₀, N"₀, a z twierdzenia poprzedzającego wynika

(O

L'₀—Z y—Y 0, M'₀ = X£—Zx, N'q^Yæ—X</,

L"₀ = L'+Y z — Zy, W₀=U'+Zx—Xz, N,,₀=N,-fXy—Ya?.

Pary (Q, —Q) i (S, —S) dają parę wypadkową (R, —JEt) o spółrzędnych

(2)

L"j = L"+L,r₀, M% = M"+M"₀, X"i = N"+N'f₀.

Tym sposobem przekształciliśmy układ P i (Q, — Q) na układ równoważny

Jeżeli a, b, c

P i (R, —R), przyczym siła P przechodzi przez punkt m.

■ oznaczają dostawy kierunkowe siły P, to rzut momentu pary (R, — R) na tę siłę będzie

XL"+YM"+ZN” _ XL+YM+ZN _ k

(3)

aL"₁+6M"₁+cN'r₁ =

a ponieważ k i P są wielkościami stałymi, przeto widzimy, ze jakimkolwiek sposobem przekształcimy układ, składający się z siły i pary sil, na podobny układ równoważny, rzut momentu pary sił na siłę jest stały.

Z równań (2) okazuje się, że moment pary (R, —R) jest funkcyją spółrzędnych punktu w; przekształcając więc dany układ sił, otrzymamy w każdym punkcie tęźsamę siłę, lecz coraz inną parę. Punkt m może być tak obrany,

Układ sił, składający się z siły i pary sił, której płaszczyzna jest prostopadła do siły, nazywamy skrętnikiem. Jeżeli X, Y, Z, L, M, X oznaczają spółrzędne skrętnika, natenczas moment a pary tego skrętnika wyraża się wzorem następującym :

l _XL -f-YM + ZX

J/X² + Y* + Z²’

(7)

Stosunek Z = [x : P = h : P² momentu jx pary sił skrętnika do siły P, nazy-wskaźnikiem tego skrętnika. Równanie (5) wyraża wskaźnik jako

że moment pary (R, —R) będzie równoległy do siły P, czyli że płaszczyzna tej pary będzie prostopadła do siły. W tym celu należy punkt tak obrać, żeby

L\ : X = M"t : Y = X"t : Z, czyli L-f-Y# — Zy _ M + Zx— Xs

(4)

X + Xy — Yx

Z tych równań widzimy, że miejscem gieometrycznym punktów, w których żądane przekształcenie daje się uskutecznić, jest pewna prosta, równoległa do siły P. Tę prostą nazywamy osią centralną danego układu sił. Z twierdzenia poprzedzającego wynika naprzód, że, przenosząc siłę P do punktu dowolnego na osi centralnej, otrzymamy oprócz tej siły parę sił o momencie stałym i równym 7c : P; powtóre, że takie przekształcenie daje parę sił o najmniejszym momencie, która razem z siłą P jest równoważna danemu układowi sił.

Aby wyznaczyć spółrzędne a, b, c, a, ß, y osi centralnej, przyjmijmy [i. = Je : P i oznaczmy przez l stosunek momentu |x do siły P, więc

7_iji__ A _

P P^ ~” X²+Y² + Z² ’

(6)

XL+YM + ZN

mieć będziemy

L =r- aP -f — a = aP 4

-|^X = aP + ?X, a stąd aP = L — IX

podobnie ßP = M — Z Y, yP= N — ZZ ; otrzymamy zatym dla osi centralnej

(6)

"CO

X Y Z L— IX.

M— IY

N— ZZ '

wamy

funkcyją spółrzędnych skrętnika. Wskaźnik może przybierać wszelkie wartości rzeczywiste od — oo do +<x>- skrętnik o wskaźniku równym zeru ([x = 0) przedstawia siłę, skrętnik o wskaźniku nieskończenie wielkim (P = 0) przedstawia parę sił. Skrętnik może być przedstawiony gieometrycznie przez dwa odcinki na jego osi centralnej, t. j. na sile P, z których pierwszy wyobraża siłę, a drugi moment pary sił; obadwa odcinki mogą mieć początek spoiny, a ich kierunki wskazują kierunek siły i kierunek momentu pary sił. Układ, składający się z siły i pary sił, którego parametr nie jest równy zeru, jest równoważny ze skrętnikiem. Obadwa układy sił mają spoiną oś centralną.

111. Układy sił, równoważne ze skrętnikiem. Możemy teraz dowieść następującego twierdzenia ogólnego: układ sił, którego parametr nie jest równy zeru, jest równoważyli) ze skrętnikiem. Niech będzie dany układ sił, którego spółrzędne są X, Y, Z, L, M, N, przyczyni k = XL-j-YM+ZN nie jest równe zeru. Żeby ten układ sił był równoważny ze skrętnikiem, którego siła P posiada spółrzędne X', Y', Zf, L', M', N', a którego para sił o momencie [X posiada spółrzędne L", M" i N", potrzeba i wystarcza, żeby zachodziły następujące warunki:

(2)

(1) X'=X, Y’ = Y, Z' = Z, L'+L'' = L, M' + M" = M, N' + N" = N, XfL'+ Y'M'+ ZN' = XL'4- YM'+ ZN' = 0,

(3)

L"

M"

N"

X² + Y² + Z²'

Równania (3) wyrażają warunek, że moment [i jest równoległy do siły P. Pierwsze trzy równania (1) dają rzuty X', Y’, Z' siły P na osi spółrzędnych; wstawiwszy ich wartości w (3), otrzymamy LZX, M"=ZY, N"=ZZ, a wskutek tego znajdziemy z ostatnich trzech równań (1) L'=L — ZX, M' — M — lY, N' = N — IZ. Tym sposobem otrzymujemy wszystkie wielkości, określające siłę i moment pary sił skrętnika wyrażone jako funkcyje spółrzędnych danego układu sił. Oś centralną skrętnika, to znaczy owę prostą, w której działa siła P, określają następujące równania:

|M

Kjj c*

ÎS]| -i

>1

la

CEL

Kil

w których l oznacza wskaźnik skrętnika, dający się obliczyć z równania (3). Oś centralną owego skrętnika nazywamy osią centralną układu sił.

O prawdziwości twierdzenia podanego można się także innym sposobem przekonać. Niech do punktów m, będą przyłożone siły P* («=1,2,... ,n)\ obierzmy punkt dowolny O, połączony sztywnie z punktami m», i przenieśmy każdą siłę P* do punktu O (art. 1.10); wypadnie dodać pary sił o momentach {ii, gdzie [Tj oznacza moment siły P₄ względem punktu O. Siły, przeniesione do punktu O, mają wypadkową P, przyłożoną do tego punktu; pary sił ja* mają parę wypadkową o momencie |i/. Rozłóżmy moment ja' na dwa momenty, mianowicie ;x, równoległy do P, i ;x", prostopadły do P; siła P, przyłożona do O, razem z parą o momencie ;j/' dają się zastąpić siłą, równą P i równoległą do tej siły, lecz nie przyłożoną do punktu O (art. 110); ta siła razem z pozostałą parą o momencie [x tworzy właśnie skrętnik, równoważny z danym układem sił P*. Układy sił, równoważne ze skrętnikiem, nazywamy układami sił trzeciego rodzaju.

Układ sił 3-go rodzaju można nieskończenie wielu sposobami zastąpić przez dwie siły skośne. Niech X,..., N będą spółrzędne takiego układu sił zaś X',..., N' i X",..., N" spółrzędne dwu sił P' i P". Żeby tc dwie siły, były równoważne z układem sił, potrzeba i wystarcza, aby X'-j-X"=X, Y'+Y"=Y, Z' + Z"=Z, L'+L"=L, M'+M"=M, N' + N"=N, X'L'-f-Y'M'+Z'N'=0,

X"L"-j- Y"M"d-Z".N":=0. Między dwunastoma spółrzędnymi tych dwu sił mamy tylko osiem związków, z czego okazuje się, że zastąpienie danego układu sił przez dwie siły jest możliwe nieskończenie wielu sposobami.

Parametr danego układu sił wyraża się wzorem

(5)

h = X'L''+Y'M"-f Z'X"+ X"L'-j-T"M'+ Z"N'.

Podstawmy w tym wyrażeniu spółrzędne a',..., y' i a",..., y" promieni dzia-. łania sił P' i P", to

(6)

h = P'P'r(a'ar,+ 0'ßr'+ cY'+ a"a'+ &"ß'+ c'Y), a stąd a'<x"+ &'ß"+ c'y" + a"a'+ &"ß'-f c'Y = h : P'P".

Lewa strona tego równania przedstawia moment tych dwu prostych, w których działają siły P' i P" (art. 33), a ponieważ h nie jest równe zeru, przeto te proste nie mogą się wzajemnie przecinać, a zatym obiedwie siły mają względem siebie położenie skośne. Układ takich cłwu sił jest równoważny ze skrętnikiem.

Wyczerpawszy wszelkie możliwe wypadki przekształcenia układu sił, przekonywamy się, że układ sił może być równoważny z jedną siłą, lub z parą sił, lubtćż ze skrętnikiem. Te trzy rodzaje układów sił różnią się od siebie pod względem swój istoty, a dwa układy sił, należące do dwu rodzajów rozmaitych, nie mogą się wzajemnie znosić.

112. Dwoistość w mechanice. Czytelnik spostrzegł niewątpliwie, że między układami obrotów chwilowych, rozważanymi w kinematyce, a układami sił, rozważanymi w statyce, zachodzi pewna analogija, która najdobitniej wyraża się w ogólnych wypadkach przekształcenia owych układów. Siłę i obrót chwilowy możemy takimzesamym sposobem przedstawić gieometrycznie, mianowicie zapomocą odcinka prostoliniowego; pojęcie momentu stosuje się do obrotu chwilowego i do siły; jak z dwu obrotów chwilowych przy wiadomych warunkach utworzyliśmy pojęcie pary obrotów, tak z dwu sił przy warunkach analogicznych powstało pojęcie pary sił; jak nareszcie układy obrotów chwilowych podzieliliśmy na trzy oddzielne rodzaje, a to według tego, czy one są równoważne z jednym obrotem, czytóź z parą obrotów, czytóź ze skrętem, tak otrzymaliśmy powyżej analogicznie trzy oddzielne rodzaje układów sił, a nazwa «skrętnik» została utworzona na podobieństwo nazwy «skręt». Pojęciu parametru, wskaźnika i osi centralnej skrętu odpowiada pojęcie parametru, wskaźnika i osi centralnej skrętnika. Śledząc uważnie znakowanie, jakiego używaliśmy w rozdziale II i w rozdziale bieżącym, spostrzeżemy, że, jeżeli litery alfabetu greckiego, używane w rozdziale II, a mianowicie: 3, H, Z, A, M, N, u i X zastąpimy odpowiednio literami alfabetu łacińskiego, mianowicie: X, Y, Z, L, M, X, Je i l, to natenczas z wzorów kinematyki obrotów chwilowych otrzymamy analogiczne wzory statyki układów sztywnych, które wyrażają odpowiednie twierdzenia o siłach, przyłożonych do takich układów.

Ta analogija pozwala nam dostrzec następującą «dwoistość», zachodzącą jniędzy obrotem chwilowym a siłą: jeżeli w twierdzeniu o układzie obrotów

chwilotvych, udzielonych układowi sztywnemu, podstawimy siłę zamiast obrotu, a parę sił zamiast pary obrotów, otrzymamy twierdzenie odpowiednie o układzie sił, przyłożonych do układu sztywnego. To podstawienie należy tak rozumieć, że zamiast obrotu podstawiamy siłę, która działa wzdłuż osi obrotu, a której wielkość jest przedstawiona przez tężsamę ilość jednostek, co prędkość kątowa obrotu; podobnie rozumiemy podstawienie pary sił zamiast pary obrotów. Nawzajem możemy z twierdzenia o układzie sił otrzymać twierdzenie odpowiednie o układzie obrotów chwilowych.

Ta dwoistość ma z tego powodu ważne znaczenie, że pozwala wiele twierdzeń statyki wypowiedzieć bez osobnego dowodzenia. Z art. 33-go wynika, że parametr układu dwu sił równa się sześciokrotnej objętości czworościanu, którego krawędziami przeciwległymi są, wielkości tych sił, odcięte na ich promieniach działania. Podobnie wyrazimy twierdzenie Chasles’a o siłach (art. 33): układ sił jest równoważny z jedną siłą, jeżeli suma algiebraiczna objętości czworościanów, wystawionych na każdych dwu siłach, odciętych na ich promieniach działania, jest równa zeru. Podobnie otrzymamy twierdzenie następujące (art. 35): promienie działania czterech sił, znoszących się nawzajem, należą do tegoż samego układu tworzących hiperbólojdy jednopowłokowej.

Określenia osi niezależnych obrotu, spółrzędnych jednorodnych skrętu lub obrotu chwilowego i t. p., podane w art. 36-ym i 37-ym, mogą być bez trudności przeniesione do statyki, i tym sposobem można otrzymać nowe związki między siłami, stanowiącymi układy równoważne. Pozostawiamy czytelnikowi wyznaczenie tych związków.

ROZDZIAŁ XI.

DOKOŃCZENIE STATYKI I ZAGADNIENIA STATYCZNE.

113. Rodzaje równowagi. Jeżeli do układu punktów materyjalnych jest przyłożony układ sił, a rzuty prostokątne każdej siły na osi spółrzędnych są odpowiednio równe pochodnym cząstkowym pewnej funkcyi, wziętym względem spółrzędnych punktu przyłożenia téj siły, natenczas tę funkcyją nazywamy potencyjąłem układu sił. Oznaczmy przez xi} y₍, gt spółrzędne punktu mi: a przez U potencyjał układu sił; natenczas powyższe określenie wyraża się przez równania następujące:

(1) IJ^=E(aą, i/i} Zi,... ,xn, yn, zj); X₄- =

dU

dU

dCJ

dxi

dyt

d8i ’

a stąd

X,- 3 Xi -f- Y< 3 y i -j- Z i 5 3i —

dU

dXi

O X i -i

dU

àyi

8yi-f

dU

dZi

Sgi

więc

(2)

LÇK^idXi -j- Y, S y i Zj 3 z i) — 3 U.

Praca przygotowana układu sił, mającego potencyjał, jest równa waryjacyi tego potencyjału. Gdyby potencyjał zawierał czas wyraźnie i gdybyśmy 3 U obliczali przy stałej wartości czasu, wówczas zachodziłoby równanie (2). Z równania (2) wynika, że 3U^=0 wyraża warunek konieczny i wystarczający równowagi układu sił, którego potencyjałem jest U. Dodając do 3U sumę 2X^.3LA, gdzie LÆ=0 jest wiadomym równaniem warunkowym, a X* spół-czynnikiem nieoznaczonym, możemy według wiadomego sposobu (art. 103) otrzymać równania równowagi.

Jeżeli U nie zawiera czasu wyraźnie, wtedy 5 U jest waryjacyją zupełną potencyjału, a równowaga, niezależna od czasu, zachodzić będzie w tym położeniu układu materyjalnego, dla którego ta waryjacyja jest równa zeru.

Wiadomo, że skoro w funkcyi U wszystkie zmienne doznają nieskończenie małych przyrostów, odpowiednich danym między nimi związkom, to £U— 0 wyraża warunek konieczny, aby funk Ryja U przybrała wartość największą lub najmniejszą. Przypuśćmy, że w pewnym położeniu układu zachodzi maximum potencyjału U; możemy okazać, że jeżeli układowi udzielimy z takiego położenia bardzo małego ruchu, dając każdemu punktowi bardzo małą prędkość początkową, i następnie zostawimy ten układ pod działaniem danych sił, to każdy punkt będzie z położenia równowagi opisywał bardzo małe drogi, a jego prędkość zostanie ciągle bardzo mała. Taką równowagę układu materyjal-nego nazywamy równowagą stałą. Badając, czy równowaga jest stała, należałoby, według tego określenia, rozważać bardzo mały ruch układu po zniesieniu równowagi, a zatym należałoby to dochodzenie umieścić w kinetyce. Podając je w statyce, musimy wyjść z pewnej zasady, która w kinetyce dowiedziona zostanie (art. 143). Niech w* będzie masą, Vi prędkością punktu

Tïl

układu materyjalnego; wielkość T — E—7r~’    znaczy sumę energii kine-

A

tycznych wszystkich punktów układu materyjalnego, nazywamy energiją kinetyczną tego układu. Jeżeli siły przyłożone mają potencyjał U, nie zawierający czasu wyraźnie, a warunki są także niezależne od czasu, wtedy T = U-1-H, przyczym H jest stałą dowolną. Ostatnie równanie służy, według Lejeune-Diricklet’go, do wykazania, że równowaga jest stała, gdy U ma wartość największą.

114. Gdy między 3 n spółrzędnymi n punktów układu zachodzi 3n—s związków, to możemy z nich 3 n — s spółrzędnych wyrazić przez s spółrzę-dnych niezależnych qt, g₂,...,#s, które są dowolne. Wyraźmy podobnie U przez te zmienne, i niech U = cp (qt, q.,,..., qs), to

(1)

T— ?(?i, ç₂,...,çs) + H.

wtedy

Możemy zawsze przyjąć, że funkcyja <p przybiera wartość największą dla qt=zO, q₂ = 0, . .. ,qs = 0, a z powodu dowolności stałej H możemy jeszcze założyć, że największa wartość funkcyi cp jest równa zeru. Oznaczmy przez <2io » %o > •.. ,qs0 wartości początkowe zmiennych qt,. .. ,qs, a przez vi0 prędkość początkową punktu nu i przyjmijmy T₀ = X -i- niiVi0²

(2)

T ~ cp (#1 j •••}?$)    ¥ (*2 io i ?2o ■>•••> ?«o) d⁻ T₀.

Skoro jednak będziemy rozważali tylko

Ponieważ cp(0, Q,...,0) = 0 jest największą wartością funkcyi cp, przeto możemy zawsze obrać tak małe wielkości dodatne Qt, Q₂,*«*;Qs> izby dla każdego układu wartości qi: które nie przekraczają odpowiednich granic Q;, funkcyja cp(gt,... ,qs) była ciągle ujemna, wyjąwszy przypadek, kiedy wszystkie qi są jednocześnie równe zeru. takie układy wartości qi} iżby przynajmniej jedna z tych zmiennych, bez względu na znak, stawała się równa swój granicy Qi? to powyższy wyjątkowy przypadek zostanie wykluczonym. Niech — <ł>, bez względu na znak, będzie

najmniejszą, wartością, jaką funkcyja cp może przyjąć przy powyższym założeniu; skoro zmiennym qt damy wartości liczebnie mniejsze od odpowiednich Qî ? i uczynimy zadość warunkowi    •

(3)

? (?io> fooj • • • >&o) + T₀ < 4>,

natenczas po odchyleniu układu z położenia równowagi żadna zmienna ąi nie dosięgnie swej granicy odpowiedniej Qt. Gdybyśmy bowiem przypuścili, że tak nie będzie, to zważywszy, że wartości początkowe qi0 czynią zadość warunkowi (3), a wielkości qt zmieniają się w sposób ciągły, widzielibyśmy, że po pewnym czasie jedna lub więcej zmiennych qt stawałyby się równymi swoim granicom Qj , podczas gdy pozostałe zmienne nie przekroczyłyby jeszcze swoich granic* W téj chwili przyjęłaby funkcyja —cp(<2i,... ,qs) wartość liczebnie większą niż d>, a prawa strona równania (2) stałaby się ujemną, co być nie może, gdyż T jest wielkością dodatną. Ponieważ granicom Q* zmiennych qi możemy dać wartości dowolnie małe, przeto odchylenie każdego punktu z położenia równowagi daje się uczynić dowolnie małym. Ponieważ av końcu T T₀ — — ? 0?to5 • • • a en ergi ja zależy od prędkości vi} przeto prędkość każdego punktu pozostanie ciągle mniejszą od dowolnie małej wartości, jeżeli była ha początku bardzo mała. Jeżeli siły, przyłożone do układu materyjalnego, mają potencyjał, niezależny od czasu, i warunki są także od czasu niezależne, to równowaga układu będzie stała w takim jego położeniu, dla jakiego potencyjał sił ma icartość największą.

Równowagę nazywamy niestałą, jeżeli po bardzo małym odchyleniu układu z położenia równowagi i pozostawieniu go pod działaniem sił, drogi punktów i ich prędkości nie pozostają w granicach bardzo małych, lecz mogą przybrać z czasem wartości dowolnie wielkie. Równowaga jest niestała, jeżeli potencyjał U przybiera wartość najmniejszą.

Do układów sił, mających potencyjał, należą siły ciężkości. Obierzmy płaszczyznę xy poziomo, a oś z pionowo na dół; dla punktu o masie m* będą rzuty siły ciężkości odpowiednio Xj=0, Y* = 0, Z* u= jeżeli więc Ç oznacza odległość środka ciężkości ciała od płaszczyzny xy, to potencyjał układu sił ciężkości jest

(4)

U — g^niiZi + C = Mg Ç + C,

gdzie M jest masą ciała, a C stałą dowolną. Z tego wyrażenia potencyjału wynika następujące twierdzenie: równowaga ciała materyjalnego pod wpływem sił ciężkości jest stała lub niestała według tego, czy jego środek ciężkości zajmuje położenie możebnie najniższe, czy możebnie najwyższe (twierdzenie Torricelli’ego). Jeżeli środek ciężkości pozostaje po odchyleniu na tymsamym poziomie, to U będzie wielkością stałą, a równowaga będzie zachodziła w każdym położeniu środka ciężkości na tym poziomie. Taką równowagę nazywamy obojętną, 115. Reakcyje linij i powierzchni. Zasada prac przygotowanych pozwala wyznaczyć związki między siłami a spółrzędnymi ich punktów przyłożenia w przypadku równowagi. Ponieważ jednak przez rozważanie przesunięć przygotowanych rugujemy siły połączeń, przeto wyznaczenie tych sił jest

przedmiotem osobnego rozważania. Warunki, ograniczające swobodę punktów układu, wyrażają, że pewne punkty mają się poruszać na danych linijach lub powierzchniach, że pewne powierzchnie mają być styczne do innych powierzchni i t. p. W takich przypadkach nazywamy siły połączeń także reakcyjami czyli oddziaływaniami tych linij lub powierzchni mate-ryjalnych na układ; biorąc te reakcyje w kierunkach przeciwnych, otrzymujemy ciśnienia, których te linije lub powierzchnie doznają w przypadku równowagi.

Reakcyje powierzchni czyli podpór gładkich mają kierunek normalny do tych powierzchni w punkcie odpowiednim. Jakoż, gdy F(x: y, z) — 0 jest równaniem takiej powierzchni, to między przesunięciami punktu (x, y. z)

§0 = 0, a składowe reakcyi

będzie zachodził związek

dF

dx

8æ-f

dF

dy

dyĄ

dF

ds

dF dF ^ dF    ..    .    ,

A .    , A .    , z czego wynika, ze reakcy-

będą odpowiednio równe \ .

ja jest normalna do powierzchni. Podobnie zachowuje się reakcyja linii gładkiej. Kierunek reakcyi należy więc wogólności uważać za wiadomy, wyjąwszy punkty osobliwe, krawędzi, wierzchołki i t. p., w których kierunek normalnej nie jest określony. Zastąpiwszy dane warunki przez odpowiednie reakcyje, możemy układ materyjalny uważać za swobodny, a zatym zastosować do niego wiadome równania równowagi; otrzymujemy tym sposobem związki między siłami przyłożonymi, reakcyjami i spółrzędnymi punktów tego układu. Rugując z tych równań reakcyje, otrzymamy warunki równowagi sił przyłożonych, a rozwiązując te równania względem reakcyj, możemy wyznaczyć ciśnienia na podpory. Taki sposób postępowania pozwala w bardzo wielu zagadnieniach najłatwiej dojść do celu. Może się wydarzyć, że ilość niewiadomych jest większa od ilości równań; wtedy reakcyje nie dają się oddzielnie obliczyć, lecz można tylko wyznaczyć układ sił, równoważny z reakcyjami.

Reakcyje razem z siłami przyłożonymi dają układ sił w równowadze. Jeżeli przeto każdą siłę przyłożoną rozłożymy na siły, działające wzdłuż normalnych do powierzchni podpierających, to te składowe, wzięte w kierunkach przeciwnych, wyznaczają odpowiednie reakcyje wzdłuż tych normalnych. Z tego łatwo wywnioskować, kiedy reakcyje będą nieoznaczone. Nastąpi to wtenczas, kiedy promienie działania reakcyj są zależne (art. 112), to znaczy, mają takie położenie, że można wyznaczyć siły, wzdłuż nich działające, które są w równowadze. Ponieważ więcej niż sześć prostych są wogólności zależne, przeto okazuje się, że reakcyje nie dają się oddzielnie obliczyć, jeżeli pojawiają się w więcej niż w sześciu punktach.

Jeżeli układ, w jednym punkcie podparty, jest w równowadze, natenczas siły przyłożone stanowią układ 1-go rodzaju, a ich wypadkowa działa wzdłuż normalnej do podpory. Reakcyja podpory jest przeto równa i wprost przeciwna tej wypadkowej. Ciało ciężkie jest w równowadze, jeżeli spoczywa na podstawie poziomej, dotykając się jej w tym punkcie, w którym pion, poprowadzony przez środek ciężkości, spotyka tę podstawę. Jeżeli ciało

podpieramy w dwu punktach, w których normalne są skośne względem siebie, to siły stanowią układ 3-go rodzaju, a normalne są dwiema prostymi, z sobą sprzężonymi względem tego układu (art. 35). Gdyby siły stanowiły układ 1-go lub 2-go rodzaju, wówczas równowaga byłaby niemoźebna. Podpierając ciało ciężkie w trzech punktach, w których normalne do powierzchni są pionowe, można sprowadzić równowagę; reakcyja w każdym punkcie jest tu dokładnie oznaczona. Jeżeli zaś takie ciało dotyka się podstawy poziomej w więcej niż w trzech punktach, wówczas reakcyje są nieoznaczone, dopóki ciało uważamy za sztywne. Równowaga będzie zachodziła, jeżeli pion, przez środek ciężkości przechodzący, przecina podstawę ciała wewnątrz wielokąta wypukłego, którego wierzchołkami są skrajne punkty podpierające (art. 97). Jeżeli ściana bryły ciężkiej spoczywa na podstawie poziomej, to nie możemy podać ciśnienia, którego ta podstawa doznaje wT każdym punkcie. Podpierając ciało ciężkie w trzech punktach, w których normalne do podpór przecinają pion środka ciężkości w tymsamym punkcie, sprowadzamy równowagę, a reakcyje będą dokładnie oznaczone. Potencyjał sił przyłożonych nie zależy od reakcyj, atoli waryjacyje jego są funkcyjami przesunięć, zależnych od podparcia układu. Z tego wynika, że równowaga zależy od połączeń zachodzących. Jeżeli ciało materyjalne jest podparte w jednym-punkcie, to należy uwzględnić powierzchnią tego ciała, aby ocenić, czy równowaga będzie stała. Podpierając np. elipsojdę jednorodną w wierzchołku, odpowiednim osi najdłuższej, dajemy środkowi ciężkości położenie najwyższe, równowaga przeto będzie niestała; podpierając ją zaś w wierzchołku, odpowiednim osi najkrótszej, otrzymamy równowagę stałą. Ciało ciężkie, obracające się około stałej osi poziomej, jest w równowadze stałej lub niestałej, według tego, czy środek ciężkości znajduje się pod osią, czy nad osią.

116. Równowaga nici nierozciągliwej. Niech będzie nić, zupełnie giętka lecz nierozciągliwa, utwierdzona w dwu końcach A i B (fig. 47),

mu

Fig. 47.

do której są przyłożone wiadome siły, i niech te siły będą w równowadze: mamy wyznaczyć kształt nici. Obierzmy na nici punkt dowolny (x, y, z), który nazwijmy m i licząc łuki od końca A, oznaczmy łuk A m = s; a ds niech przedstawia element mm' tego łuku. Siły, przyłożone do punktów elementu ds, są nieskończenie małymi tegoźsamego rzędu, co długość tego elementu; redukując przeto te siły do punktu m (art. 111), otrzymamy siłę wypadkową nieskończenie małą tego rzędu, co ds i parę sił, której tak wielkość siły, jak i ramię będą nieskończenie małymi tegoż rzędu, co ds. Moment zatym tej pary będzie nieskończenie małą rzędu tego, co ds², można więc działanie tej pary pominąć. Oznaczmy przez Pds wypadkową sił zredukowanych;

możemy P uważać za siłę, odpowiadającą jednostce długości nici. Z warunku nierozciągliwości nici wynika, że dla każdego elementu nici jest dds = 0] stanowi to jedyny warunek dla przesunięcia przygotowanego. Rozłóżmy siłę P .ds na trzy siły Xds, Yds, Zds w kierunkach osi spół-rzędnych, to z zasady prac przygotowanych otrzymamy następujące równanie równowagi :

0)

w którym X oznacza spółczynnik nieoznaczony. Ponieważ ds=\S dx^+dy¹ -j d0\ przeto, biorąc waryjacyje, otrzymamy

ods —

dx.8dx + dy.8dy-\-a0.8d0

ds

a zatym

(2)

dx

dy

da

ds

Całkując częściowo, otrzymamy

dx

8dx=

ds    ds

8%.

Podobne będą dwa inne wyrazy. Stąd zaś, według (2), mamy

(3)

»•(£*«

dy

d0

ds ds

X.ds —

+ [y

. ds —

Z .ds —

4Mb⁺[

przyczym obadwa wyrażenia po lewej stronie tego równania mają być wzięte między danymi krańcami nici. Ponieważ punkty skrajne są utwierdzone, przeto dla punktów A i B będzie    8y = 0, 80= 0; pierwszy wyraz

w (3) jest tedy z założenia równy zeru. W wyrażeniu pod znakiem całkowa nia waryjacyje 8x, 8y, 80 są dowolne; otrzymamy zatym dla każdego elementu nici następujące równania równowagi:

x-a*-a(x4ï)=0>

(4)

Y.ds — <4!f) = 0>

z.ds-d(x^) = o.

Możemy te równania także otrzymać, rozważając bezpośrednio równowagę każdego elementu nici. Przetnijmy nić w punktach m i m\ i przyłóżmy a mnożąc 3-cie równanie przez «/, 2-gie przez — s, dodając i całkując

(?)

w tych punktach stosowne siły, które zastępują, połączenia nici z częściami m A i m'B; wówczas możemy element mm' uważać za swobodny. Te siły przedstawiają widocznie natężenia T i T' nici w punktach m i m'] one przeto mają przeto kierunki stycznych w tych punktach. .Rzuty natężenia T są odpowie-

, —T-^-, —T-^-; a rzuty natężenia T' = T -j- dT będą

[T|j+«*(*£)]. [tw[T^+a(T^)]’

tym rzutów tych sił wynoszą odpowiednio d^T-^-J,    d^T-^-^.

dnio :

dy

; sumy za-

Jeżeli element ds zdąża nieograniczenie do zera, to siły T, T' i Pds będą miały spoiny punkt przyłożenia; równowaga więc elementu będzie wyrażona przez następujące trzy równania:

(*)

X-** + d(T.g) = 0 Y . ds -{- d    — 0

Z .ds + d(r.j -)=0.

CC    Co

Z porównania równań (4) i (5) okazuje się, że spółczynnik nieoznaczony —X przedstawia w każdym punkcie natężenie nici. Całkując równania (5) między krańcami s’ i s" łuku s, otrzymamy

's"

X.ds +

j, dx

ds

's"

s"

(6)

Y.ds +

T .4^ = 0

's'

s'

ds

.fz'H

s"

ds

T . —~r— = 0

s'

ds

(Z y — Y s)ds +•

i podobnie otrzymamy dwa inne równania. Równania (6) i (7) wyrażają, że natężenia w dwu dowolnych punktach nici równoważą siły, przyłożone między tymi punktami, jakgdyby nić była sztywna (art. 104). Całki ogólne równań

(5) są

X . d s -f- CA,

ds

(8)

rp d y__

ds~

Y . d s -f C₂,

dz

T* ds ~

Z . d s -f C₃ ;

jeżeli z tych całek wyrugujemy natężenia, to otrzymamy równania różniczkowe krzywej, wyznaczającej kształt nici, mianowicie:

CO

dx

dz

CO

f Z . ds -f C₃

dy__

dz

-J

Y. Js-f C₂

Z . ds -f- C₃

w których C1? C₂ i C₃ oznaczają, stałe dowolne. Powtórne całkowanie ostatnich dwu równań prowadzi do wyrażenia % i y w funkcyi z i dwu nowych stałych. Kształt nici zależy więc od pięciu warunków, bez względu na siły zachodzić mających. Ponieważ założenie, że nić przechodzi przez punkty A i B, prowadzi do dwu warunków dla każdego z tych punktów, przeto możemy dać jeszcze długość nici jako piąty warunek, poczym jej kształt będzie dokładnie oznaczony. Według równań (5), mamy,

(10)

x.äs+T.a(^) Y.äs + T.ä(^) Z . ds + T.d[

dx

f- -j- .dT=-0 ds

dy

ds

. dT = 0

dz

ds

.d T = 0.

Pomnóżmy te równania odpowiednio przez i uwzględnijmy wiadome związki,

otrzymamy równanie

dx

ds

dx dy dz ds ’ ds

dodajmy je

dy

dz

ds

ds

Ol)

dT = — (X . dx + Y . dy + Z . dz),

które pozwala wyznaczyć napięcie nici w każdym punkcie, bez poprzedniego wyznaczania jej kształtu. Jeżeli siły przyłożone mają potencyjał U, natenczas będzie dT ~ — JU, a stąd, po scałkowaniu między krańcami,

Jeżeli siły, do punktów nici przyłożone, mają potcncyjał, natenczas natężenie nici wyraża się przez potencyjał, niezależnie od kształtu nici. Ponieważ X.dx + Ydy Ą- Zdz — ~P . ds cos(P, ds), przeto dla cos(P, ds) = 0 będzie dT = 0. Jeżeli zatym siła przyłożona jest w każdym punkcie normalna do nici, wtedy natężenie nici będzie stałe, Napięcia T i T' w dwu nieskończenie bliskich punktach m i m' mają kierunki stycznych w tychże punktach, leżą więc na płaszczyźnie ściślestycznej w punkcie m; a ponieważ one są w równowadze z siłą P . ds, przeto widzimy, że siła przyłożona leży w każdym punkcie na płaszczyźnie ściślestycznej do nici. Z tego wynika, że jeżeli siły przyłożone są równoległe, wtedy nić przybierze kształt krzywej płaskiej.

117. Linjja łańcuchowa. Liniją krzywą, utworzoną przez nić giętką i nierozciągliwą, będącą w równowadze przy działaniu danych sił, nazywamy wogólności liniją łańcuchową. Zwykle stosujemy tę nazwę do linii krzywej, utworzonej przez nić, której elementy są tylko pod wpływem siły ciężkości, a zatym do krzywej, utworzonej przez nić materyjalną, samej sobie pozostawioną. Wyznaczymy liniją łańcuchową w tym znaczeniu ściślejszym.

Ponieważ siły ciężkości są równoległe, przeto, według art. 116-go, liniją łańcuchowa jest płaska i znajduje się na płaszczyźnie pionowej. Niech nić będzie jednorodna o gęstości a, to ~P = og ~ gdzie y oznacza ciężar jednostki długości nici. Obierzmy na płaszczyźnie nici oś x-ów poziomo, oś y-6w pionowo w górę; jest więc X = 0, Y = — y; równania równowagi będą przeto, według (5) art. 116-go,

(1)

= 0, d

(*•£)

= y. ds.

Całkując raz, otrzymamy

ds

T.£ = T, + fc

Poprowadźmy oś y-ów przez punkt najniższy, czyli przez wierzchołek C krzywej, w którym styczna jest pozioma, i liczmy łuki s od tego punktu, to dy—0 dla s = 0, wdęc b — 0, skąd

(2)

m dx

JL .    — a

ds

Z 1-go równania widzimy, że składowa pozioma natężenia jest stała, a zatym równa natężeniu nici w punkcie najniższym; według 2-go równania składowa pionowa natężenia jest proporcyjonalna względem długości nici, liczonej od punktu najniższego. Dzieląc obadwa równania przez siebie, otrzymamy równanie różniczkowe linii łańcuchowej

i»,

a

(3)

dy _ ds

dHy

— ]/ 1 + y²; stąd całkując, otrzymamy

Przyjmijmy    wtedy

z(y+Kï+7~²)==

dx

CL

x, bez stałej, bo y' = 0 dla a: —0. Jest więc

1-X

y'-\-V 1 + y'² = ea . Mnożąc i dzieląc lewą stronę przez y' — \/1-1-y mieć będziemy

<2,

-X*

y> _ J/l + ya =

Z dwu ostatnich równań wynika

(4)

dy

1 c i.

*V

a zatym

/Xæ _Xæ\ Vea +e a )

-f c.

»=27

a

— 0 jest «/=: — , więc c = 0 ; otrzymamy Y

Dla æ = 0 będzie y=z — -fc. Obierzmy początek osi poniżej punktu najniższego w odległości dla x — zatym, kładąc s=

/ _£C    jB \

(5)

V,

jako równanie linii łańcuchowej. Z równania (5) okazuje się, że linija łańcuchowa jest symetryczna względem osi y-ów, którą z tego powodu nazywamy jéj osią; oś x-ó\v nazywamy kierownicą linii łańcuchowej. Ponieważ równanie (5) zawiera tylko jeden parametr, przeto wszystkie linije łańcuchowe są podobne.

Według (3) mamy

(6)

dx

fcol O)

G*

z tego zaś równania i równania (5) wynika

(?)

y² — s² == s², skąd s²~y² — e².

To równanie okazuje, że rzędna y w dowolnym punkcie m jest przeciwpro-stokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są parametr £^=00 i łuk C m=zs. Wykreśliwszy ten trójkąt prostokątny, można liniją łańcuchową wyprostować. Pole figury, ograniczonej łukiem tej linii, kierownicą i dwiema rzędnymi, wynosi

Bibl. wat.-üz., S. IV, T. X.

cc

Ai

CS

8-1 “

Aj

S²

£C

ss,

równa się zatym podwójnemu polu powyższego trójkąta.

dy

Ponieważ promień krzywizny jest

dx

/ X    x\

d²y

cl xL 2 s

przeto

(9)

[<+©T

eZ²?/

dx²

/ X    X \ 2

r⁷] 5

jeżeli N oznacza długość normalnej od punktu na linii łańcuchowej do kierownicy, to

x\    / x    æ\2

N=Z

V = -i-(«T + «"v »

więc N =— p, to znaczy, że promień krzywizny linii łańcuchowej równa się długości normalnej, wziętej w kierunku przeciwnym.

Z równań (2) otrzymamy

(10)

T² = a² -f y²s² — a² -f- Y² (V² — s²) — y²y²>

skąd wynika, że natężenie nici równa się ciężarowi nici, której długość jest równa rzędnej punktu odpowiedniego na linii łańcuchowej.

118. Równowaga wrazie, gdy uwzględniamy tarcie. Rozważając w art. 115-ym reakcyją powierzchni, na której opiera się ciało, pozostające w równowadze, przyjmowaliśmy, że ta powierzchnia jest zupełnie gładka, wskutek czego reakcyja miała w każdym punkcie kierunek normalny do powierzchni. W rzeczywistości niema jednak takiej powierzchni. Ciało mate-ryjalne może się tylko opierać na powierzchni innego ciała, przedstawiającej nierówności, a przeto chropowatej, wskutek czego zachodzi reakcyja także w kierunku płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.

Niech ciało materyjalne dotyka się w pewnym punkcie powierzchni F innego ciała. Jeżeliby ta powierzchnia była zupełnie gładka, zaszłaby równowaga, gdyby siła P, do punktu przyłożona, była normalna do F. Doświadczenie okazuje jednak, że siła P może z normalną tworzyć pewien kąt a>0, a pomimo tego równowTaga nie przestanie zachodzić, jeżeli tylko kąt a nie przekroczy pewnej wartości. Rozłóżmy siłę P na dwie składowe : Pn z~ P cos a. w kierunku normalnym, i Pź^=Psina w kierunku stycznym do powierzchni, natenczas z równowagi wynika, że reakcyją powierzchni można także rozłożyć na dwie siły, mianowicie na siłę — Pn w kierunku normalnym, i na silę —P< w kierunku stycznym do tej powierzchni. Jeżeli kąt a wzrasta i osiąga pewną wartość y, wtedy ciało zaczyna się ślizgać na powierzchni w kierunku siły P,, i odtąd równowaga ustaje; dla a równowaga zachodzi dla każdego kierunku siły P; dla a <p równowaga jest niemożliwa, a wartość a = <p jest krańcową pośród wartości odpowiadających równowadze.

Reakcyją powierzchni materyjalnój w punkcie rozważanym, w kierunku stycznym do téj powierzchni, nazywamy tarciem na powierzchni w tym punkcie. Tarcie możemy zawsze uważać za siłę, co do wielkości równą, a co do kierunku przeciwną, składowej stycznej siły przyłożonej. Tarcie razem z reakcyją normalną przedstawia całkowitą reakcyją powierzchni materyjalnój. Kierunek reakcyi normalnej jest dokładnie określony; kierunek tarcia nie jest jednak określony, lecz zależy od kierunku siły stycznej, a zatym także od kierunku siły przyłożonej. Tarcie przyczynia się wtedy do równowagi, kiedy kąt nachylenia całkowitej reakcyi powierzchni względem normalnej nie przekracza pewnej wartości; wartość tę wyznacza kąt cp nachylenia siły P względem normalnej, od którego rozpoczyna się ślizganie na powierzchni. Ten kąt nazywamy kątem tarcia w punkcie rozważanym na powierzchni. Jego wielkość zależy od własności fizycznych obudwu ciał, dotykających się wzajemnie, od stopnia chropowatości ich powierzchni, a wrreszcie od ruchu względnego tych dwu ciał, jakiby zachodził po zniesieniu równowagi.

Znając wielkość kąta tarcia, wyobraźmy sobie stożek obrotowy, którego wierzchołkiem jest punkt rozważany na powierzchni, osią normalna do tej powierzchni, a tworzące są do normalnej nachylone pod kątem, równym kątowi tarcia. Taki stożek nazywamy stożkiem tarcia w rozważanym punkcie na powierzchni. Ka podstawie tego określenia możemy w tym przypadku, gdy siły, do ciała przyłożone, mają wypadkową, wypowiedzieć twierdzenie następujące: do równowagi danego ciała na powierzchni innego ciała materyjal-nego potrzeba i wystarcza, żeby wypadkowa sił przyłożonych znajdowała si§ wewnątrz lub na powierzchni stożka tarcia w tym punkcie, w którym owa wypadkowa przecina powierzchnią rozważaną.

119. Z twierdzenia poprzedzającego wynika różnica zasadnicza między równowagą na powierzchni gładkiej a równowagą na powierzchni niegładkiój. Aby wykazać tę różnicę, rozważajmy przypadek najprostszy równowagi punktu na powierzchni, przyjmując siłę przyłożoną, równoległą do osi z. Jeżeli F = 0 jest równaniem powierzchni, którą przyjmujemy za zupełnie gładką, wtedy równowaga punktu zajdzie w tych punktach na powierzchni, w których normalna jest równoległa do osi z\ punkty zatym owe oprócz warunkowi

dF

dF

— 0. Ponieważ dla

dx

F = 0 czynią jeszcze zadość warunkom

wyznaczenia takich punktów mamy trzy równania, przeto te punkty będą na powierzchni odosobnione, a ich ilość będzie wogólności skończona. Jeżeli zaś

dF

N. -jj — cos 9 = 0

jako równanie warunkowe dla tych punktów na powierzchni, w których normalna tworzy z siłą kąt tarcia <p. To równanie wyznaczy na powierzchni, mówiąc wogólności, linije krzywe zamknięte; w każdym punkcie wewnątrz obwodu takiej linii tworzy normalna z siłą kąt a *< ę, a między dwiema takimi linijami będzie a;><p. Otrzymamy zatym części powierzchni, ograniczone linijami krzywymi, w obrębie których w każdym punkcie równowaga zachodzić może, z czego się okazuje, że na powierzchni niegładkiój będzie nieskończenie wiele miejsc równowagi punktu, podczas gdy na powierzchni gładkiej istnieje tylko skończona ilość takich miejsc.

W przypadku, gdy punkt jest połączony z punktami innymi, należy te połączenia zastąpić siłami połączeń, a następnie badać równowagę przy uwzględnieniu tarcia, jakgdyby punkt był swobodny. Wypadkowa sił przyłożonych i sił połączeń znajdzie się wewnątrz lub na powierzchni stożka tarcia.

W zagadnieniach o równowadze ciał przy uwzględnieniu tarcia zajmujemy się głównie tymi przypadkami, gdy siła P, w artykule poprzedzającym rozważana, ma wiaśnie położenie krańcowe, a zatym tworzy z normalną do powierzchni kąt tarcia. W tym przypadku będzie Pf Pn . tang <p, a jeżeli oznaczymy /=tangcp, otrzymamy Lt=f.Vn. Poniewraż tarcie jest równe P₀ a P„ przedstawia ciśnienie normalne na powierzchnią, przeto tarcie jest proporcyjonalne względem tego ciśnienia. Liczbę /, wyrażającą stosunek tarcia do ciśnienia normalnego, nazywamy spółczynnikiem tarcia odpowiedniego. Ten spółczynnik jest równy stycznej trygonometrycznej kąta tarcia. Wyznaczenie tego spółczynnika jest rzeczą doświadczenia; dla drzewa,

metali, kamieni i t. p. okazało się /<], a zatym 'f< j, dla sukna zaś

TC

/> 1, a zatym cp >> —.

W zagadnieniach statycznych, w których reakcyją powierzchni przyjmujemy na powierzchni stożka tarcia, możemy stosować zasadę prac przygotowanych. Niech będzie dany układ n punktów* materyjalnych w,- o spółrzę-dnych Xi, y i i zi} pozostających na danych powierzchniach F₍ = 0, a między ich spółrzędnymi niech zachodzi nadto s związków LA —0. Jeżeli X,-, Y,, Z,• oznaczają składowe prostokątne siły przyłożonej, a X/, Y/, Z/ składowe reakcyi powierzchni F,, natenczas rówmania równowagi dla punktu m, będą

dLk

OXi

O)

dL,

óy< ' d L* dzi

Z,- -j- Z/ -j- SyfcX*

Oznaczmy przez a', bj, cl dostawy kierunkowe reakcyi, przez cp* odpowiedni kąt tarcia, i nadto

= 0.

N, = 1 :

pomnóżmy równania (1) odpowiednio przez te przesunięcia i dodajmy iloczyny; wtedy otrzymamy

(5)

wtedy

(2)

, dFt

aiT^

f bl

dF₄

dÿi

¥cl

A F₍

(3)

dZi

«/ : bl : cl = X/ : Y/ : Z/.

= JSTi cos tp,

Obierzmy przesunięcia przygotowane odpowiednie warunkom następującym:

- à = 0 i Oj' o xt + bl ô yt + cl dZi — 0,

dL

dy*

i V , dL - o Ź/H

d**

L (Xj o Xi -j- Y, ô y i -J- Z i ô z l) — 0

jako równanie, wyrażające zasadę prac przygotowanych dla równowagi danego układu punktów. Równania (4) wyrażają, że kierunek przesunięcia przygotowanego punktu nii jest prostopadły do reakcyi powierzchni F* i do odpowiedniej siły połączeń.

PRZYKŁADY I ĆWICZENIA.

(1). Pręt jednorodny AB (fig. 48) opiera się w punkcie A na osi a:, a w punkcie B na osi y, w punkcie E zaś jest przymocowany linką do punktu O: wyznaczyć

iff,

«&■

tai

EX

cp

55

natężenie téj linki. Rozłóżmy natężenie T na składowe — T cos a, — T sm a, gdzie a oznacza kąt EOA, a Q niech będzie ciężarem pręta, przyłożonym do środka masy S o spółrzędnych £, rj. Jeżeli z, y, są spółrzędnymi punktu E, to zasada prac przygotowanych prowadzi do następującego równania:

— T cosa§z — TsinaÓy — Q.Ö7] =: 0.

Niech pręt tworzy z osią x kąt cp i przyjmijmy a = AE, b — EB, to x — ftcoscp, y:=asincp, 2 7] — (a -f- b) sin cp,

dx=z — isincpôcp, dy = a coscpdcp, 2 §7] = (a -J- b) coscpdcp, więc 2T(ó sincp cosa — a coscp sina) = Q(a -j- b) coscp.

Mamy warunek b tang a = a tang cp ; obliczywszy stąd cos a i sin a i podstawiwszy w ostatnie równanie, otrzymamy

e²sin²cp-j-ó²cos²cp

T =---.

2 (b — a)

sin cp

jako szukane natężenie dla danego kąta cp. Gdyby było a — otrzymalibyśmy T = cx); dla b<^a będzie T<<0; trzeba zatym użyć podpory sztywnej zamiast linki.

Możemy zadanie to rozwiązać także przez wprowadzenie odpowiednich reakcyj Rj, Rj w punktach A i B, uważając pręt za swobodny. Wówczas, jako warunki równowagi, mamy : R₂ — T cos a = 0 (rzuty sił na oś x), Rj — T sin a — Q = 0 (rzuty sił na oś y), a nadto R*. AO — R₂. BO — Q . O g = 0 (momenty względem O), czyli (2 Rj — Q) cos cp — 2 R»j . sin cp = 0. Z tych równań wynika

T cos a nr R₂, T sin a =r Rj — Q

Rt — Q

R₂ ’

tang a =r — tang cp — b ¹

a R-j tang cp — b (R* — Q),    2 R^ tang cp 2 Rt — Q,

— 2 b

* 2 (a — b) ’

R₂ — TT

2 (b — aj tangcp ’

z czego możemy nakoniec obliczyć T.

(2). Parabolojda obrotowa o pionowej osi spoczywa na dwu płaszczyznach, jednakowo do poziomu nachylonych: wyznaczyć największy stosunek długości osi

parabolojdy do jej parametru, tak, żeby po rozcięciu parabolojdy płaszczyzną, przechodzącą przez oś i prostą przecięcia obudwu płaszczyzn podpierających, obie części bryły mogły pozostawać w równowadze. Niech x² -f- y² — 2 a z =z 0 będzie równaniem parabolojdy względem układu osi 0 xyz. W punktach podparcia A i A, (fig. 49) wprowadźmy reakcyje R; wtedy, rozcinając bryłę płaszczyzną yOz, potrzeba dla każdej połowy przyjąć w niewiadomym punkcie D na O? reakcyją T, aby sprowadzić równowagę. Jeżeli S jest środkiem masy połowy OCE parabolojdy, to siły T, R i Q działają na płaszczyźnie xOz. Styczna w A tworzy z osią x-ó\v kąt a, więc spół-

Z\S

T<~

>r

/A

pa I

-—~-x

XJ

Fig. 49.

rzędne punktu A są: x — a tang a,    tang ² a.

Dla równowagi każdej połowy mamy następujące równania:

T — R sin a = 0

Rcosa — Q=0, R . O A' — T . OD — Q . £ = 0,

gdzie prosta 0Ar jest prostopadła do R, a £ i Ç oznaczają spółrzędne punktu S. Z tych równań wynika

T =; Q tang a, R = Q sec a

OD . sin a = OA' —£ cos a.

1 + sin ³ a

Z figury zaś mamy OA' = x cos a -j- z sin a = a .

20D . sin²a == a(l -j- sin²a) — 2£ sina cosa.

—__ niech będzie objętością połowy parabolojdy, to

Jj

Przyjmijmy h — OE, a V r=

\/2*

2 sina

; więc

. dV,. dY — (Iz, więc

J/ ah, z czego wypada

z/¹**

15 TE

Z tego widzimy, że OD ubywa wraz z rosnącym h, a ponieważ granicą malejącego OD jest zero, przeto otrzymamy granicę rosnącego h, kładąc 0D~ 0 i obliczając

1 5 TT

2 OD sin ² a = a (1 -f- sin ² a) —

j\/ ah sin a cos a.

H

stąd maximum h ~ II. Czyniąc to i kładąc — — u., otrzymamy

a

(15tc)²    (1+sin ² a)²

sin ² a cos ² a ’

co przedstawia rozwiązanie zagadnienia.

(3). Nić giętka i nierozciągliwa, której ciężar własny pomijamy, tworzy na walcu chropowatym liniją śrubową: wyznaczyć krok téj śruby. Niech mm! (fig. 50) będzie elementem nici; w punktach m i m' działają w kierunkach stycznych odpowiednie natężenia T i T':= T-J-dT. Poprowadźmy płaszczyznę rysunku przez obie styczne, przecinające się w punkcie M, następnie wykreślmy normalną główną do linii śrubowej i prostopadłą do niej w punkcie M. Ponieważ linija śrubowa jest liniją geodezyjną na walcu, przeto normalna głów-wna jest zarazem normalną do powierzchni walca. Rozkładając T i T' wzdłuż powyższych prostych odpowiednio na siły T„, Tj; TJ i T/, widzimy, że -f- T„' jest ciśnieniem normalnym elementu mm' na walec, które sprawia tarcie f. (T,j-p T,/), gdzie / oznacza spółczynnik tarcia. Tarcie zniesie siłę T/— T<5 aby zaszła równowaga, jest przeto dla każdego elementu

ttl*

Mj

Ti/Ą

tJ

'?n

Tn

Fig. 50.

Niech di będzie kątem krzywizny linii śrubowej; T tworzy z T₍ kąt d6 =-; bę-

(li

Ji

dzie więc, pomijając nieskończenie małe rzędu 2-go i rzędów wyższych

T/ — Tż:=:<iT, T„ -f- T„' — 2 T . dQ = T . */e, więc podług (1)

(2)

dT

=/•

Oznaczmy przez k krok śruby, a hzzzlc : 2 Tl niech oznacza jéj krok względny; wtedy równania linii śrubowej będą

. 2

y = r sin —

x =. r . cos —

\/~r² -f- A²

. dz\

ds

rf£² =

r    . z dy    r    z

----- : — sm — , -— -----    — cos — , - - —---

J/    h dS y/ ^2 ^    Ti    d S    J,/ y2 fi2

dz².

dz

r²

A⁹(r² -f- A²)

it =

A r² -J- A2 ©trzymamy zatym, według (2),

(3)

T A j/ r² -f- A²

Całkując przy warunku, że dla z — 0, T~T₀, otrzymamy

(4)

fr

-T₀ A l/r² -f- A²

co przedstawia natężenie nici T w każdym punkcie, jeżeli znamy jéj natężenie T0 w punkcie początkowym. Natężenie rośnie wraz z rosnącym z. Największe natężenie nie może przekroczyć pewnej wartości, zależnój od mocy nici; jeżeli przeto

okręcamy nić n razy około walca, to kładąc dla punktu końcowego z = nk = 2ît«A, możemy z równania

A”

kN

■B

(5)

! T ïg-m-

x0

2 Tlf nr

|/ r² -j- A²

it

obliczyć A, a zatym jfc, jeżeli za T podstawimy największe możliwe natężenie nici.

*fif

Fig. 51.

(4). Na płaszczyźnie AB (fig. 51), two-C rżącej z poziomem AC kąt a, znajdują się dwa walce Q i Q', opasane liną: wyznaczyć warunek równowagi, natężenie liny, tudzież tarcie w punktach dotykania D i E. Niech N i N' oznaczają odpowiednio reakcyje normalne, a R i E¹ reakcyje styczne (tarcia) w punktach D i E, a T natężenio liny. Wprowadzając te siły, możemy podać ró-

wnania równowagi dla każdego walca zosobna. Rozkładając siły równolegle i prostopadle do AB, i biorąc momenty względem środków S i S', otrzymamy następujące równania:

Q sin a — T cos ß — R = 0, Q' sin a -j- T cos ß — R' = 0, Q cos a -f- T sinß — N = 0, Qrcosa — T sinß — N'cr: 0, T = R = R'.

Z pierwszych dwu równań wynika

Q sina = T(1 -f- cosß), Q' sina = T(l — cosß), a stąd

(1)

3._ cotg 2

Qr tg 2’

co jest pierwszym warunkiem równowagi. Stąd wypada

(2)

⁰⁰⁸1 =1/

Q+Q'

-î-KQ1

T = R = R' =

Q -HQ¹

Q+Q'

, i⁷ w

£    —:—^rr

Ponieważ

(3)

N = Q cos a + j/QQ' sin a = ]/ Q ( J/"Q Q' cos a—\f QQ' sina = }/ Q' (j/ Q'

cos a

cos a

+ [/ Qr sin a),

— ]/ Q sina),

a /N i fW przedstawiają największe wartości tarcia w punktach D i E, gdzie / jest spółczynnikiem tarcia, przeto mamy jeszcze warunek równowagi

Q±^-sina</N, lub </N'.

według tego, czy N czy N' jest mniejszą reakcyją normalną.

(5) . Okazać, że układ sił jest w równowadze, jeżeli: 1) jego momenty względem każdego boku czworokąta skośnego są równe zeru; 2) suma rzutów sił na kierunek jednej przekątnej czworokąta jest równa zeru; 3) suma rzutów sił na kierunek prostopadły do téj przekątnej i do jednego boku, jest równa

(6) . Siły, przyłożone do wierzchołków czworościanu, prostopadle do ścian przeciwległych i proporcyjonalne względem ich powierzchni, są w równowadze. Z tego wynika, że cztery wysokości czworościanu są tworzącymi hiperbolojdy jedno-powłokowćj.

(7) . Wyznaczyć warunki, żeby składowe sił danego układu, wzięte w kierunku danej prostej, równoważyły się. Siły układu nie równoważą się przytym.

(8) . Jeżeli trzy siły P, Q i R, przyłożone do środka O koła i działające wzdłuż promieni OA, OB i OC, są równoważne z trzema siłami Pr, Q' i Rf, działającymi wzdłuż boków BC, CA, AB trójkąta wpisanego ABC, okazać, że

R. R'

zeru.

P.P'

Q • Q'

BC

CA ^ AB

= 0.

(9). Cztéry pręty stanowią czworokąt płaski ABCD, którego wierzchołki przeciwległe A i C, tudzież B i D są połączone linkami o natężeniach P i Q ; okazać, że dla równowagi

OB . Ol) . AC 0 ” OA . ocTbd

gdzie O jest punktem przecięcia się przekątnych.

(10) . Wierzchołki trójkąta przyciągają punkt materyjalny proporcyjonalnie względem odległości; wyznaczyć położenie równowagi punktu.

(11) . Dowieść twierdzenia Leibniz’a; jeżeli na kierunkach sił, mających spoiny punkt przyłożenia i znoszących się, odetniemy odpowiednio wielkości tych sił, to środkiem równych mas, umieszczonych w punktach korkowych tych odcinków, jest punkt przyłożenia sił.

(12) . Dowieść twierdzenia Crofton!a: jeżeli siły, przyłożone do punktów mi ) m2> . • •}mi • • • ; a przedstawione jirzez odcinki mi nt, ?n₂n₂,..., m^n,..., są w równowadze, to środek równych mas, skupionych w punktach m,, jest zarazem śi’od-kiem równych mas, skupionych w punktach nt-.

(13) . Siłom równoległym można dać taki kierunek, że będą równoważne z jedną siłą, przyłożoną do punktu danego. Wyznaczyć ten kierunek.

(14) . Parę sił (P, — P), przyłożonych do punktów A i B, można przekształcić na trzy pary (P, —P)t, (P, —P)₂, (P, — i')₃, mające jednę siłę spoiną w punkcie A, przyczyni drugie siły są jirzyłożone do takich punktów B1? B₂ i B₃, że proste ABj, AB₂, AB₃ tworzą krawędzi kąta bryłowego.

(15) . To twierdzenie pozwala okazać, że układ sił jest wogólności równoważny z czterema siłami, przyłożonymi do wierzchołków danego czworościanu.

(16) . Pręt materyjalny jednorodny jest zawieszony na dwu linach o nierównych długościach; wyznaczyć natężenie każdej liny.

(17) . Dwa walce o danych średnicach są spięte taśmą nierozciągliwą; wyznaczyć stosunek ich wzajemnego ciśnienia do natężenia taśmy.

(18) . Krążek jednorodny jest podparty w środku; wyznaczyć punkty na obwodzie, w których trzy dane ciężary mają być umieszczone, żeby krążek był w równowadze w położeniu poziomym.

(19) . Pręt materyjalny jednorodny jest umieszczony w półkuli pustej, której średnica jest mniejsza od długości pręta, a płaszczyzna średnicowa pozioma; wyznaczyć położenie równowagi pręta,

(20) . Dwie kule chropowate znajdują się między dwiema chropowatymi płaszczyznami pochyłymi; wyznaczyć położenie równowagi, reakcyje normalne i tarcia.

(21) . Pręt materyjalny jednorodny spoczywa na dwu płaszczyznach pochyłych; zbadać, czy jego równowaga jest stała czy niestała.

(22) . Końce matoryjalnego pręta jednorodnego są oparte na dwu płaszczyznach, poziomej i pionowej, a na prostej przecięcia się tych płaszczyzn jest środek przyciągania, odwrotnie proporcyjonalnego względem kwadratu odległości, który śro-

dek masy pręta przyciąga siłą ~ ; wyznaczyć położenie równowagi pręta i rozstrzy-

iJ

gnąc, czy równowaga jest stała, czy niestała.

(23). Okazać, że nić matematyczna, której każdy element dźwiga ciężar, pro-porcyjonalny względem długości rzutu poziomego elementu tej nici, tworzy parabolę. Wyznaczyć natężenie nici.

(24) . Wyznaczyć liniją łańcuchową, jeżeli gęstość nici materyjalnćj i nieroz-eiągliwćj jest odwrotnie proporcyjonalna względem pierwiastka długości nici, liczonej od punktu najniższego (łańcuchowa Jana Bernoulli’ego).

(25) . Wóz ma być utrzymany w spoczynku na płaszczyźnie pochyłej przez zahamowanie dwu kół; podać warunek, przy którym dogodniej hamować przednio koła niż tylne, lub przeciwnie.

(26) . Jeżeli nić nierozciągliwa bez końca wisi na dwu nieskończenie małych blokach, to obie linije łańcuchowe, które ona tworzy, mają spoiną kierownicę.

(27) . Wyznaczyć liniją łańcuchową, jeżeli każdy punkt nici jednorodnej doznaje działania siły centralnej, odwrotnie proporcyjonalnćj względem kwadratu odległości od środka tej siły.

(28) . Wyznaczyć kąt u wierzchołka stożka obrotowego z warunku, aby ten stożek był w każdym położeniu w równowadze wewnątrz kuli opisanej.

(29). n punktów {xh yi} zt), przyciągających się proporcyjonalnie względem odległości, jest w równowadze; okazać, że równowaga trwać będzie po każdym takim

przesunięciu tych punktów, dla którego funkcyja n ,

2 (*i² + ył +■ *f²) — 2 (ar/)² —

_2 _2

-—X (t/₍) ""—E (zj) nie zmienia swej wartości,

Literatura statyki (Rozdz. X — XI).

von

L. Ampère, Sur le principe des vitesses virtuelles (Journ. de l’éc. polyt., t. VI, Paris, 1806). — L. Poinsot, Eléments de statique (1-sze wyd. w Paryżu, 1803). — M. Chasles, Mémoire de géométrie pure, sur les systèmes de forces et les systèmes d’aires planes (Correspondance mathém. de Quetelet, Bruxelles, t. VI, 1830); Théorèmes généraux sur les systèmes de forces et leurs moments (Journ. des math., t. XII, 1847); Sur les six droites qui peuvent être les directions de six forces en équilibre (Comptes rendus,* t. LU, 1866).—F. Minding, Untersuchungen, betreffend die Frage nach einem Mittelpunkte nicht paralleler Kräfte (J. v. Crelle, t. XIV, Berlin, 1835); Ueber den Ort sämmtlicher Resultanten eines; der Drehung unterworfenen Systèmes Kräften (tamże, t. XV, 1836); Einige Sätze über die Veränderungen, welche ein System von Kräften durch Drehung derselben erleidet (tamże, t. XV, 1836). — A. F. Moebius, Ueber den Mittelpunkt nicht paralleler Kräfte (tamże, t. XVI, 1837); Lehrbuch der Statik (dwa tomy, Leipzig, 1837). — L. P. Lejeune-Dirichlet, Ueber die Stabilität des Gleichgewichts (J. v. Grelle, t. XXXII, 1846). — O. J. Broch,

Lehrbuch der Mechanik (Berlin, 1854; mianowicie rozdz. VI). — A. Cayley, Théorème relatif à l’équilibre des quatre forces (Cpts. r., t. LI, 1865). — Spottiswoode, Note sur l’équilibre des forces dans l’espace (tamże, t. LIV, 1868). — Mojgno, Leçons de mécanique analytique, rédigées principalement d’après les méthodes d’Augustin Cauchy (Statique, Paris, 1868).—J. H. Jellett, A treatise on the theory of friction (Dublin and London, 1872). — J. M. A. Todhunter, A treatise on analytical statics (London, 1874). — G. Darboux, Mémoire sur l’équilibre asiatique et sur l’effet que peuvent produire des forces de grandeur et de direction constantes, appliquées en des points déterminés d’un corps solide, quand ce corps change de position dans l’espace (Bordeaux, 1877). — Goebel, Die wichtigsten Sätze der neueren Statik (Zürich, 1877). — J. Peteksen, Lehrbuch der Statik fester Körper (Kopenhagen, 1882). — G. M. Minchin, A treatise on statics (Oxford, 1884).

ROZDZIAŁ XII.

TEORYJA PRZYCIĄGANIA.

120. Okbźślenia ogólne. W teoryi przyciągania zajmujemy sie następującym głównym zagadnieniem: dany jest punkt o masie jj. i układ n punktów o masach m>i (» = 1,2,...,«); każdy z punktów mi działa na punkt jt z siłą, która ma kierunek od jj. ku }»,■ lub od m, ku jj., a której wielkość jest funkcyją odległości punktu ja od punktu mt ; wyznaczyć wypadkową tych sił. Jeżeli siła P,, przedstawiająca działanie punktu m,- na ja, ma kierunek od ja ku mt, to mówimy, że punkt m-, przyciąga punkt ja z siłą P,; jeżeli zaś siła P/ ma kierunek od «,• ku ja, mówimy, że punkt m, odpycha punkt ja. Przyjmujemy, że punkt ja doznaje bądź przyciągania bądźtćź odpychania od wszystkich punktów danego układu, a prawo tego działania wyrażamy analitycznie zapomocą funkcyi, określającej wielkość siły, jeżeli wiadoma jest odległość punktu przyciąganego (odpychanego) od przyciągającego (odpychające-ga). Ponieważ odpychanie możemy uważać za przyciąganie ujemne, przeto wystarcza ograniczyć badania nasze do przypadku samych przyciągam Wypadkową przyciągać, jakich punkt ja doznaje od wszystkich punktów danego układu, nazywamy przyciąganiem tego punktu przez dany układ. Punkt przyciągany jest punktem przyłożenia sił Pt, a przeto szukane przyciąganie jest pewną siłą, dokładnie oznaczoną, która przybiera wartość zero, jeżeli siły P* znoszą się wzajemnie.

Jeżeli punkty przyciągające stanowią ciało materyjalne, natenczas masa każdego z tych punktów jest nieskończenie małym elementem masy ciała, a wypadkowa przyciągać tych punktów przedstawia przyciąganie, jakiego punkt u od tego ciała doznaje. Punkt przyciągany może być także częścią składową układu punktów, lub krańcem elementu ciała fizycznego; wtedy możemy dokonywać składu przyciągać, jakich elementy tego ciała doznają od innego ciała. Wogólności otrzymamy skrętnik, jako wynik takiego składu; a w przypadku, gdy przyciągania stanowią układ sił 1-go rodzaju, otrzymamy

przyciąganie wypadkowe, przedstawiające całkowite działanie ciała przyciągającego na ciało przyciągane. Najważniejsze z praw przyciągania jest tak zwane prawo Newton’a, według którego masa m przyciąga masę [A z siłą, proporcyjonalną względem każdej z tych mas i odwrotnie proporcyjonalną względem kwadratu odległości punktów, w których te masy są skupione. Wyrażamy to prawo wzorem

(l)

p_hm [A

^•2

w którym P oznacza przyciąganie, r odległość obudwu mas m i |a, a h wiadomy spółczynnik, pozwalający wyrazić wielkość siły P w odpowiednich jednostkach. Ponieważ P — h dla m — 1, jjl = 1, r — 1, przeto h wyraża wielkość przyciągania, jakiego jednostka masy doznaje od jednostki masy w jednostce odległości. Jeżeli P wyraża przyciąganie dla h>0, to dla fc<0 będzie P wyrażało odpychanie według prawa Newton’a. Zajmiemy się w tym rozdziale głównie przyciąganiem według prawa Newton’a. Aby zaś ujednostajnić znakowanie, oznaczać nadal będziemy przez ja masę punktu przyciąganego, a przez £, tj i Ç jego spółrzędne prostokątne.

121. Przyciąganie punktu wewnętrznego. Jeżeli punkt przyciągany znajduje się w skończonej odległości od każdego punktu ciała przyciągającego, wówczas żadna z sił elementarnych przyciągania, to znaczy siła, z jaką według prawa Newton’a działa element ciała na ten punkt, nie przybiera wartości nieskończenie wielkiej, skoro tylko gęstość ciała przyciągającego jest wszędzie skończona. Jeżeli zaś punkt [a znajduje się wewnątrz ciała lub na powierzchni jego, wtedy odległości jego od punktów sąsiednich ciała zdążają do granicy zero, zdawałoby się przeto, że przyciągania elementarne tych punktów zdążają do granicy nieskończenie wielkiej, że zatym taki punkt doznaje przyciągania nieskończenie wielkiego. Można jednak okazać, że tak nie jest. Opiszmy około punktu p. nieskończenie małą powierzchnią ciągłą i zamkniętą, która samej siebie nie przecina. Odległość s dowolnego punktu na tej powierzchni od p, jest nieskończenie mała; możemy przeto gęstość a ciała w każdym punkcie wewnątrz tej powierzchni uważać za stałą. Wystawmy w p, stożek nieskończenie wązki, który na kuli o promieniu 1 zakreśla pole dto, natenczas pole, jakie ten stożek wyznacza na kuli o promieniu p <C e, będzie p²d(o; masa stożka, zawarta między kulami o promieniach p i p-f-dp, będzie op²Jo)dp, a punkt ja doznawać będzie od tej masy przyciągania h\xadoi. dp.

do). dp = Æ|aos . dco.

Cały zatym stożek przyciąga punkt p. z siłą Æp,o

Jeżeli E jest największą odległością punktu na powierzchni rozważanej od punktu p., wtedy suma przyciągać wszystkich stożków elementarnych, otaczających punkt (a

rozciągająca się na wszystkie stożki, przedstawia powierzchnią kuli o promie-

będzie mniejsza, niż ÄpiaE^do). A ponieważ całka J*

da

mu 1, wynoszącą 4rc, przeto powyższa suma będzie mniejszą niż 4îi#^oE# Z uwagi zaś, że wypadkowa sił przyciągania nie może być większa od sumy tychże sił, wynika, że całkowite przyciąganie, jakiego punkt [A doznaje od sąsiednich punktów ciała, jest mniejsze, niż 4s^,oE. Jeżeli przeto E zdąża nieograniczenie do zera, wtedy przyciąganie, jakiego punkt {a doznaje od punktów ciała, znajdujących się wewnątrz rozważanej powierzchni nieskończenie małej, zdąża do granicy zero. Gdyby punkt (a znajdował się na powierzchni ciała, wtedy nieskończenie bliskie punkty ciała przyciągałyby go z siłą, mniejszą niż 2tc&[aoE; ta siła zdąża do granicy zero dla nieograniczenie malejącego E. Widzimy zatym, że przy obliczaniu przyciągania punktu, znajdującego się wewnątrz ciała lub na powierzchni jego, możemy wyłączyć punkty nieskończenie bliskie i rozważać tylko te punkty ciała, które znajdują się w skończonej odległości od punktu przyciąganego. Gęstość ciała przyciągającego winna być jednak funkcyją ciągłą spółrzędnych.

122. Obliczanie składowych przyciągania. Niech x, y, s oznaczają spółrzędne prostokątne dowolnego jiunktu ciała przyciągającego, w którym zachodzi gęstość a, to dm — odxdydz jest masą elementu ciała, którego krańcem jest ten punkt. Punkt p. o spółrzędnych £, Y], Ç doznaje od tego elementu przyciągania

_    . dxdydz

. dxdyds

^*2

Jx'—i)² + {y — fi)² + O — C)²

a ponieważ zaś ilorazy (x — 6) •’ r, (y — rj) : r, (0 — C) : r wyrażają odpowiednio dostawy kierunkowe téj siły, przeto mnożąc siłę przez te wielkości, otrzymamy odpowiednie przyciągania elementarne JX, dY, dZ w kierunkach osi spółrzędnych. Dodając siły, w tym samym kierunku działające, będziemy mieli

i X — Jc a

/    /    ó(x — I) dxdyds

J J l(x — O² + (y — ïi)²+O — O²]²

Y = k\L

(1)

/    i    o{y— 7])dxdydz

J J [(* — ê)a+(ff —R)³-l-C*-C)T

Z — A’|a

/    /    0(0-—Qdxdydz

J J [(* - w-+(y - •'i)²+(* - ęr-r ’

jako ogólne wyrażenia przyciągania, którego punkt ja doznaje od ciała w kie* runku, równoległym do każdej z osi spółrzędnych. Pierwiastki w mianownikach mają być brane jako dodatne, a składowe cZX, dY, dZ każdego przyciągania elementarnego mają znaki odpowiednich różnic x — £, y—7], 0— £> Całki potrójne rozciągają się na całą masę ciała przyciągającego, a wartości i, 7), £ są stałe.

Możemy wyrażenie I* całkować względem x. W tym celu rzućmy powierzchnią ciała jirzy ciągającego prostokątnie na płaszczyznę yOz, obierzmy wewnątrz rzutu punkt dowolny (y. 0), i poprowadźmy przez ten punkt prostą, równoległą do osi x-ów. Ta prosta przetnie zamkniętą powierzchnią ciała w parzystej ilości punktów, które, poczynając od płaszczyzny yOz, oznaczmy przez 1, 2, 3, 4,...,2n — 1, 2n, a odległości tychże punktów od niech będą odpowiednio r1} r₂, r₃, r₄,... ,r₂„_i, r2n. Ponieważ

(x — i)dx

Możemy X, Y, Z wyrazić we spółrzędnych biegunowych. Niech punkt przyciągany będzie początkiem osi; r, <J>, d- niech będą spółrzędnymi biegunowymi dowolnego punktu ciała, których znaczenie określiliśmy w art. 98-ym. Wtedy

# = r cosy = r sin <f) cosd-,    0 = r sinsind-, dm — ar² sinfydrd$dty\

ïc\rdm

przyciąganie elementarne =

r²

z=zJc\ra smtydrdftdty-, a więc

**S55

o . cos(|) sincp . drd&dty,

(2)

. sin²$ coS'â'. drdftdty,

z =^JW

o. sin²<|> sind- . drdd-dtyT

gdzie gęstość a jest funkcyją spółrzędnych r, <p, łh Wzory (1) i (2) podał Lagrange.

Składowe przyciągania punktu przez ciało jednorodne dają się wyrazić przez całki podwójne, zależne tylko od powierzchni tego ciała. Załóżmy w (1), że o ma wartość stałą, wtedy

X = A ira

(x — i)dxdydz

[O — £)² + {y — rj)² + (z — C)²]

tv}W

[{x—iy+{y—y)²+0—O²]²

przeto biorąc tę całkę przy stałych y i 0, między krańcami odpowiednimi powyższej prostej, weźmiemy wyrażenie po prawej stronie między takimi krańcami: od punktu 1 do 2, od 2 do 3,... , od 2w — 1 do 2w, z czego wynika, że suma

-a

—) — ć— —

rl/ \r₃ r₂/    \ r2n

r-2n-1 y

SĆ- — —)

V r* rt J

przedstawia wartość téj całki. Oznaczając te sumę dla krótkości przez otrzymamy

co

Słupek elementarny o podstawie dyds wycina na powierzchni ciała w punktach 1, 2,... nieskończenie małe pola t7co1? d(d₂,..., których spólnym rzutem na płaszczyznę yOz jest prostokąt dyds. Wystawmy w każdym punkcie i (i:=l, 2, ...,2 n) normalną zewnętrzną X* do powierzchni ciała (w stronę, gdzie niema punktów przyciągających); wrtedy w punktach, oznaczonych wskaźnikiem nieparzystym, w których zatym prosta, równoległa do osi x} wmhodzi do wnętrza ciała, twrorzy normalna z tą prostą kąt rozwarty; w punktach zaś o wskaźniku parzystym, w których ta prosta występuje z ciała, twrorzy normalna zewmętrzna kąt ostry z tą prostą. Otrzymamy zatym

dyds — — dcoj. cos (Ni, x) == dco₂ cos(X₂, x) i t. d., a więc

t7o)₁cos(N₁, oć)

s»

. dz —

d co₂ cos (N₂, x)

»*i

a stąd

(4)

t/co. cos(N> x)

Ponieważ znak E rozumié się sam przez siej gdyż w całce podwójnej wziąć mamy odpowiednie wartości dla wszystkich punktów, w których prosta, równoległa do osi #-ów, przecina powierzchnią ciała, przeto możemy go opuścić. Obliczając podobnie Iy i I₂ przez całkowanie względem y i z, otrzymamy z (1)

X = — li ;jl o

d co . cos (N, x) r ’

(5)

Y =: •— Ji jj, (3

d co . cos (X, y)

Z == — li |r o

d co » cos (X, z)

Te wzory, podane przez K. F. Gauss’a, stosują się tylko do ciał jednorodnych, a normalna X ma być wzięta w kierunku zewnętrznym. Całki podwójne zależą tylko od powierzchni ciała.

Używając spółrzędnych biegunowych dla ciała jednorodnego, uskutecznijmy w pierwszym równaniu (2) całkowanie względem r; mieć będziemy

C0S^ sin 4» r? >0*^7 —li\>.o

— r,) sin»]). cos(r, x)d$dtyi

gdzie rx, r₂ oznaczają odpowiednio odległości od dwu punktów 1, 2,

Bibl. miłt.-fiz., S. TV, T, X.

d co . cos (N, r) . cos (r, #)

123. Pezyciąganie kuli. Obierzmy środek jednorodnej kuli przycią-gającój, o gęstości a i o promieniu R, za początek osi, a oś x poprowadźmy

W*

0\ X

/o

Fig. 52.

w których prosta, poprowadzona pod kątami D-, przecina powierzchnią ciała. Opuściliśmy znak sumowania Ü dla uproszczenia wzoru. Weźmy kulę ze środkiem [A o promieniu r; wtedy, biorąc stałe <ją łt, dty, d$, otrzymamy na niej nieskończenie małą powierzchnią did — r²sin<{).    d^„ Niech dto będzie ele

mentem powierzchni ciała, którego rzutem na kulę jest dta', wtedy tZcor=qpt?w .

. cos(N, r), gdzie (N, r) oznacza kąt, który normalna zewnętrzna do powierzchni ciała tworzy z promieniem r. Znak — ma być wzięty w przypadku, gdy powierzchnia zwrócona jest stroną wypukłą ku |a, a znak -j- wtedy, gdy ta powierzchnia jest zwrócona ku (a stroną wklęsłą. Będzie więc

r² sin <{) d 8- d = qp c?to . cos(N, r),

a stąd

d co.. cos (X₂ , r₂)

di»! .cos(Ni, rt)

(r₃ — r,) sin 4>d& . d‘i =

z'

Podstawiając tę Wartość w X i postępując podobnie z Y i Z, mieć będziemy

»2

X = Z: ja a

dio. cos(N, r) . cos(r, x)

(6)

Y — Zi ja o

d to . cos (Nj r). cos (r, y)

przez punkt ja (fig. 52). Dzieląc kulę płaszczyznami, prostopadłymi do 0%, na warstwy elementarne, widzimy, że przyciąganie każdej takiej warstwy ma kierunek osi % ku środkowi O kuli, z czego wynika, że kierunek prostój -x [AO jest kierunkiem przyciągania puli-ktu ;a . Mamy więc Y = 0, Z = O, a X jest całkowitym przyciąganiem. Aby zastosować wzór Gauss’a, obierzmy dowolny punkt m na powierzchni kuli, przyjmijmy kąt \).Om =z 6; wtedy (N, x) — 0. Poprowadźmy płaszczyznę przez m i Ox, która z płaszczyzną x O y tworzy kąt <p; 6 i tp są spółrzędnymi punktu m. Element powierzchni kuli będzie dto = R² sin 6 d9dcp, a oznaczając 0;a — d, mamy r = ;a m — J R² -f- §² — 2 R d cos 0 ; więc

KH²+ô²— 2R5 cosÖ*

X = — Ä[A0ß²

sin6 cos0d0c2cp

Całkując naprzód względem cp od 0 do 2 rc, mamy

(1)

X = —- 2îcÆR²[xa

r

Jo

sin 6 cos 9 . d 0

J/RH-5²—2 RS. cos 6 *

Z całkowania częściowego wypada

COS0

RB

sin0 . cosO . d0

JXR2+S² — 2RÔCOS0

(R²-f §²— 2RS cos©)² 4*

_J_(ß2 + ä»-2E8cos6)f.

Przy obliczaniu wartości téj całki należy rozróżnić trzy przypadki : . a) Punkt jx znajduje się zewnątrz kuli, §>*R. Wtedy

(R2 ₊ g2₊₂R §)² ₊ (R2 ₊ ą₂_2Ra)

sin0 cosO clO

KR²+S² —2RScosO

R5

(R² -f 5² + 2 R8)² — (R² + 5²— 2R§)² _

(R -f S) + (§ — R)

3 R² §²

RS

(R ₊ g)3_(g_R)3 _ 2 R

3R²S²

3 ' o²

więc

7cM[x

O

4

gdzie M = — 7cR³a jest masą kuli jednorodnej.

O

b) Punkt [X znajduje się wewnątrz kuli, B R;

(R + B) + (R-B)

2)

§2 ’

r

Jo

sin 0 cos 0 d 0

]/R²+§² — 2 RS cos0

Ra

(R + S)³ — (R — S)³ __2_ ~~ 3 *

3 R² o²

(3)

X —--— Tt/cuo . S.

d

c) Punkt ix znajduje się na powierzchni kuli, S.=:R, wtedy z obudwu wzorów (2) i (3) wypada

(4)

---    . R.

Wzory (2), (3) i (4) wyrażają następujące ważne twierdzenia Xewton’a: 1) kula jednorodna przyciąga punkt, znajdujący się zewnątrz niej tak, jakgdyby

jéj masa była skupiona iv środku;    2) kida jednorodna przyciąga punkt wewnę

trzny proporcyjonalnie względem odległości tego punktu od środka kuli; 3) przyciąganie, jakiego punkt wewnątrz kuli jednorodnej doznaje, równa się przyciąganiu kuli spółśrodkowęj, której powierzchnia przechodzi przez punkt przyciąć gany [to twierdzenie wynika z porównania wzorów (3) i (4)].    4) środek kuli

jednorodnej nie jest przez tę kulę całkiem przyciągany. Kładąc bowiem w (3) o = 0, otrzymamy X = 0.

Z 3-go twierdzenia wnosimy, że jeżeli punkt przyciągany znajduje się wewnątrz kuli i jeżeli poprowadzimy przezeń powierzchnią kuli o promieniu §, spółśrodkową z daną, która całą kulę dzieli na kulę pełną o promieniu o i na warstwę kulistą o grubości R — d, to ta warstwa nie wywiera na punkt żadnego przyciągania.

i*

Fig. 53,

To ważne twierdzenie można bezpośrednio okazać. Rozważajmy w tym celu nieskończenie cienką warstwę kulistą jednorodną, której promień wewnętrzny jest p (fig, 53), a promień zewnętrzny p-f-dp; niech punkt ;x znajduje się w wydrążeniu warstwy, a zatym wewnątrz powierzchni kuli o promieniu p. Poprowadźmy przez a nieskończenie wązki. stożek podwójny, który na kuli, zakreślonej promieniem 1, wycina powierzchnią dto, i niech dw, i dw2 oznaczają odpowiednio powierzchnie, jakie ten stożek wycina po obudwu stronach swego wierzchołka na kuli p. Xiech tworzące i r% tego stożka tworzą z promieniami kuli odpowiednio kąty at i a₂; wtedy dtat.

. cos aj —    • d co, d w₂ . cos a., — r₂ ² . d co,

Jeżeli przeto dr jest spoiną grubością elementów warstwy, tymi stożkami objętych, a a gęstością warstwy, to masy tych elementów będą odpowiednio

r₂². dta . clr

s .    -----—--

cos a₂

głości od (X i zważając, że w granicy at = oc₂, widzimy, że obie przeciwległe masy elementarne tej warstwy wywierają na punkt [x przyciągania równe i o kierunkach przeciwnych, które się znoszą. Czyniąc to samo z każdym stożkiem elementarnym, otrzymujemy po dwie siły równe i o kierunkach przeciwnych, z czego wynika twierdzenie: nieskończenie cienka warstwa kulista jednorodna nic przyciąga punktu, znajdującego się wewnątrz jej mniejszej powierzchni. To twierdzenie utrzymuje się także wtedy, kiedy punkt jx znajduje się na powierzchni owej mniejszej warstwy, jak się o tym przekonać można sposobem, używanym w art. 121-ym. — Przyciąganie jednorodnej warstwy kulistej o grubości skończonej jest sumą przyciągali wszystkich warstw elementarnych, na które ta warstwa daje się podzielić, a przeto warstwa kulista jednorodna o grubości skończonej nie przyciąga punktu, znajdującego się wewnątrz jéj powierzchni mniejszej, lub na tej powierzchni. Ponieważ gęstość

. Dzieląc te masy przez kwadraty ich odle-

rt². cl ta . dr

a . -i----

COS

warstwy kulistej może się zmieniać od jednej warstwy elementarnej do drugiej, byleby tylko każda warstwa była jednorodna, przeto warstwa kulista niejednorodna o grubości skończonej, składająca się z jednorodnych warstw spółśrodkowych, nie przyciąga punktu, znajdującego sie wewnątrz jej powierzchni mniejszej lub na tćjpowierzchni.

Otrzymamy przyciąganie nieskończenie cienkiej warstwy o promieniu wewnętrznym R a o grubości iZR na punkt wewnętrzny ;x, różniczkując (2) względem Ii, skąd

a ponieważ dM = 4rcR²a . dR jest masą warstwy, przeto

&{x . d M

(5)

dX —

8²

t. j. nieskończenie cienka warstwa kulista przyciąga punkt zewnętrzny tak, jakgdyby jej masa była skupiona w środku. Z tego zaś wynika nowe twierdzenie, że kula niejednorodna lub warstwa kulista niejednorodna o skończonej grubości, składająca się z jednorodnych warstw spółśrodkowych, przyciąga punkt zewnętrzny tak, jakgdyby jćj masa była skupiona w środku.

Siła, sprawiająca spadek punktu inateryjalnego na ziemię, jest wypadkową przyciągali tego punktu przez wszystkie elementy ziemi. Przyjmując ziemię za kulę, składającą się z warstw jednorodnych, widzimy, że przyciąganie każdego punktu ma kierunek ku środkowi ziemi, a wielkość tego przyciągania oblicza się według danych twierdzeń, stosownie do tego, czy punkt znajduje się zewnątrz czytćż wewnątrz ziemi.

124. Potencyjae przyciągania (eunkcyja potencyjalna). Przyciąganie, na punkt materyjalny wywierane przez ciało, którego elementy przy ciągają ten punkt według prawa Newton’a, posiada zawsze potencyjał, to znaczy, że składowe owego przyciągania w kierunkach osi spółrzędnych, dają się przedstawić jako pochodne cząstkowe pewnej funkcyi spółrzędnych punktu, przyciąganego względem tychże spółrzędnych.

Aby to okazać, oznaczmy ogólnie przez r odległość punktu przyciąganego (t, 7j, Ç) od punktu (x, y, z) ciała przyciągającego, a przez dm element masy tego ciała; wtedy równania (1) art. 122-go możemy tak napisać

Z = ky I -

(1) X = Äp.

dm, Y = k o.

Niech punkt przyciągany znajduje się w odległości skończonej od każdego punktu ciała przyciągającego; natenczas funkeyja

(2)

\J=.ky

dm

a.dxdydz

J [(Y-ï)² + (y-'b)²+{z-m

jest potencyjałem przyciągania tego punktu. Całkowanie rozciąga się na całą masę ciała przyciągającego, a gęstość jest funkcyją ciągłą spółrzędnych. Ponieważ funkcyją U nie zawiera żadnego wyrazu nieskończenie wielkiego, albowiem punkt ;r jest w odległości skończonej od każdego punktu ciała, przeto możemy do U stosować twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całkowania. Otrzymamy tą drogą

dU

= M>.

1 dr

r² ' di

dr

A ponieważ

przeto

-i

d U    ₇ x

di    / r³

dm\ podobnie = ..

AU

Z porównania tych wzorów z wzorami (1) wynika

(3)

dU

X = UJ . Y =

dU

dU

dl

ÓY]

Z tych równań wypada, że U jest potencyjałem przyciągania.

Poprowadźmy przez jr dowolną prostą, której dostawy kierunkowe są a, b, c, i obierzmy na niej punkt w odległości nieskończenie małej dn od •i, którego spółrzędne są 6 + di, Y]-j-(P(j, Ç-j-dÇ. Ponieważ a = di : dn, b — dy: dn, c = di :dn, przeto rzut prostokątny przyciągania na tę prostą będzie

dU di dU dri dU di _ dU di dn * dr{ dn ' dÇ dn dn

(4)

aX + 0Y-feZ

Granica zatym ilorazu

dn

wyznacza przyciąganie w kierunku elementu dn

(art. 83).

Z powyższego dowodzenia wynika, że wyznaczenie przyciągania punktu, znajdującego się w odległości skończonej od każdego punktu ciała przyciągającego, sprowadza się do obliczenia funkcyi

d ni

(5)

która przedstawia sumę mas elementów ciała przyciągającego, dzielonych odpowiednio przez ich odległości od punktu przyciąganego. Funkcyją Y, przez powyższe równanie określoną, nazywamy potencyjałem, albo takżo funkcyją potencyjalną ciała przyciągającego względem punktu przy* ciąganego. Potencyjał przyciągania jest U = 7<;;rY. Z tego wyrażenia okazuje się, że z wiadomego potencyjału ciała otrzymamy potencyjał przyciąga-

nia, mnożąc potencyjał ciała przez czynnik stały /c[x. Wystarcza zatym ograniczyć dalsze roztrząsania do samego tylko potencyjału V.

125. Niech punkt p, znajduje się wewnątrz masy ciała przyciągającego. Obliczając potencyjał V względem tego punktu, otrzymujemy wyrazy nieskończenie wielkie, zależne od tych punktów ciała, których odległość od p, zdąża do zera. Podobnie jak w art. 121-ym, ograniczmy te punkty powierzchnią zamkniętą, którą może być kula, opisana z punktu p. promieniem nieskończenie małym e. Niech Yx będzie potencyjałem téj kuli, a V₂ poten-cyjałem reszty ciała względem p., to Y — V, -f- V₂, przyczyni V₂ posiada wartość dokładnie określoną. Masa elementu stożka (art. 121), wystawionego w [i, wynosi opr cUo . dp; dzieląc ją przez p, otrzymamy potencyjał

opdco.dp elementu; potencyjał więc całego stożka będzie o

dco. pdp —

zzz^&.dw; całkując zatym względem wszystkich elementów dho, zawartych w kuli o promieniu s, otrzymamy

Yx — 2 Tc as².

Jeżeli teraz e maleje bez granic, to Yj = 0, a zatym Y = V₂. Widzimy więc, że ta część potencyjału, która zależy od punktów nieskończenie blizkich ciała, jest równa zeru, a pctencyjał przybiera wartość skończoną, zależną tylko od tych punktów ciała, które znajdują się w skończonych odległościach od punktu p..

Przesuńmy punkt p, w dowolnym kierunku o długość dn, nieskończenie małą względem s, i niech Y + ^Y będzie potencyjałem ciała względem nowego położenia pa tego punktu; wówczas

dY ₌ clYj dY2 dn    dn    dn

Jeżeli wystawimy kulę ze środkiem pa o promieniu e — dn, to z pierwotnej kuli o promieniu e pozostanie warstwa, której największa grubość wynosi dn, Potencyjał kuli o promieniu s — dn względem p.x równa się 27ra(s — dn)²-,

masa

pozostałej warstwy wynosi ^7to[s³—(e — dn)'], jest przeto wielkością

pewnym

nieskończenie małą rzędu 4-go; wskutek tego potencyjał jéj względem p.t jest wielkością rzędu 3-go, jeżeli a nie przestaje być funkcyją ciągłą spółrzędnycb, Potencyjał przeto warstwy możemy przyjąć jako równy Xedn, gdzie X jest spółczynnikiem skończonym. Potencyjał więc kuli o promieniu s względem p.t będzie 2tco(s — dn)² -f- Xe . dn, a stąd

dYx —. 2îio(e — dn)² + Xe . dn — 2t:gs² = (X — 4tio)sdn,

jeżeli zatrzymujemy tylko wielkości rzędu 3-go jako największe. Będzie więc

d V,

dn

zdąża do granicy zero,

zdąża do

jeżeli s dąży do zera. Mamy zatym ==    ; a ponieważ

JV₂

dn

granicy skończonej, przeto pochodna potenćyjału Y, wzięta względem dowolnego przesunięcia punktu ;x, zdąża także do granicy skończonej. Nadajmy

• • i ,    i ,,    , "V d Y₂    •    .7 d V,,

przesunięciu punktu jr wartość s, wtedy--=—a ponieważ A;;x--

£ £ £

jest rzutem przyciągania ciała o potencyjale V₂ na punkt zewnętrzny, przeto widzimy, że pochodna potenćyjału wyraża przyciąganie bez względu na to, czy punkt przyciągany znajduje się zewnątrz, czy wewnątrz ciała.

Wyniki powyższego dochodzenia możemy streścić w twierdzeniu następującym: jeżeli gęstość ciała jest funiccy ją ciągłą spółrzędnyćh, natenczas potencyjał i pierwsze pochodne jego względem spółrzędnych punktu przyciąganego są fimkeyjami ciągłymi tych spólrzędnych, bez względu na położenie tego punktu. Pochodne potenćyjału są proporcyjonalne względem przyciągania punktut Jeżeli potencyjał przybiera w punkcie jx wartość C, to Y — C = 0 jest równaniem powierzchni potencyjalnój, t. j. miejsca tych punktów, względem których potencyjał ciała posiada stałą wartość O (art, 83). Dwie powierzchnie potencyjalne nie przecinają się, potencyjał bowiem posiada w każdym punkcie w przestrzeni tylko jednę, dokładnie oznaczoną wartość. Przyciąganie punktu jest normalne do powierzchni potencyjalnój, przez tenże punkt przechodzącej,

126. Twierdzenia Lapdace’a i Poisson’a. Załóżmy dla uproszczenia rachunku Jc= 1, ;x = ł, to U = Y i otrzymamy w każdym punkcie

O)

dV

dV

dV

di

dvj 1 Z~ â'C ’

Niech punkt jx znajduje się zewnątrz ciała przyciągającego; wtedy odległość r = \/ (x — £)²J- {y — ^)²+ (ż — C)² będzie miała zawsze skończone wartości. Aby obliczyć drugie pochodne potenćyjału, które, według wzorów, wynikających z (1),

(2)

ÔX d²Y dY_d²V dZ    d² Y

dy dvj

di

d'C ~ d'Q

di²

przedstawiają pochodne sił X, Y, Z względem spółrzędnych punktu jx, należy w wyrażeniu funkcyi V różniczkować dwukrotnie względem i, 7}, Ç pod znakiem całkowania. Tym sposobem otrzymamy

d²V

di² “

jUi)

d m, podobnie

d²V d²V

d C² ’

a ponieważ j podobnie

d²

df²

d£ r¹

1    3 (a? — t)

^•5

d²

d>}²

«-H |

__ I ₊ 3 (y — 7])g

d²

dÇ²

(ł)

--.. -+■

3(ä —C)a

przeto

d²

<i)

ponieważ nadto

d²V d²V d²V _ dl²“+    + dC² “

*(ł)+£(ł)^ : f (t)

d‘r\

d²

dÇ²

(!)]

przeto dla punktu (£, vf, Ç), znajdującego się w odległości skończonej od każdego punktu przyciągającego, otrzymamy następujące ważne równanie:

(3)

d²V    ćFV_    d³V    _ dX    dY    dZ

d£³    dr/⁴    d£² dś    drj    dÇ

= 0.

Powyższe równanie wyraża twierdzenie Laplace’a dla punktu, znajdującego się zewnątrz masy ciała przyciągającego.

Jeżeli punkt znajduje się wewnątrz masy tego ciała lub nieskończenie blizko jego powierzchni, to dla punktów sąsiednich będzie r — 0, a przeto różniczkowanie pod znakiem całki, zawierającej elementy nieskończenie wielkie, nie jest dozwolone. Aby w tym przypadku obliczyć sumę drugich pochodnych potencyjału, obierzmy prostokątny układ osi spółrzędnych, poprowadźmy przez [i osi równoległe i oznaczmy przez r, ty, 0- spółrzędne biegunowe punktu (x, y, g) ciała przyciągającego względem tych ostatnich «osi. Wtedy

(4)

# = £ -J-r cos , y — vj 4- r sin <J> cos vł, z == C H~ r sin «J> sin 0-,

a siły X, Y, Z będą wyrażone zapomocą równań (2) art. 123-go, przyczyni 0 i 2z będą krańcowymi wartościami kąta fr, zaś 0 i % kąta ty. Z powodu stałości tych krańców otrzymamy

dX

"2z

di

cos ty sin ty . (/ 0-. d ty .

Cri

o Jo

dKk

a. dr,

(5)

dY

ri

d'(]

0 Jo

dr‘Jo

a. dr,

dZ

'2 TC

sin² iŁ sin ^. d & . d <j>.

rl

a .dr,

gdzie rx jest promieniem wodzącym powierzchni ciała, wyprowadzonym z punktu u. pod kątami «J» i 3-. Ponieważ nietylko gęstość a, ale także

rO

wyższy kraniec r, każdej całki zależy od £, y], Ç, przeto, stosując znany wzór ¹), otrzymamy

tr-.....r

vo    yo

. d r -f o,

dr,

gdzie o — o, dla r .= r,, a zatym o, jest gęstością na powierzchni ciała. Postępując podobnie z drugim i trzecim wyrazem w (5) i dodając je, otrzymamy

dX dY , Z

(6)

’27T

’7t

/O Ł/o

P ³ł (cOS (p

dr i

Jo

dC “

(cos tf)    -j- sin (|i cos 9- — -f sin ^ sin 0- ~ j d r +

A sin (p d& d <{>

de

dvj

-f siu^ cosit

dr,

dr,

dfj

{-sin^ sin 9--^

gdzie dla krótkości oznaczyliśmy przez A sumę wyrazów w nawiasie. Mamy

. dx ,

a ponieważ =1, przeto . da _

] lĘ — dj;

_ da dx dx ’ de

do do

de dx

do

do

podobnie — , r    dïj dy

do

nadto mamy

do óa dx , do dy , do dz ,    „

—s- -p    -f- -—^— = cos d> -T-T- -h siu d> cos d¹

dr dx Or dy dr dz dr    dc,

da

da

da

drj

psin<p sin d —.

Wstawiwszy te wartości w (6), widzimy, że pierwsza część wielomianu A, znajdująca się pod znakiem całkowania, posiada wartość

ri

(7)

do

rt

Jo

-—dr — i dr

o -— o, o₀,

JO

gdzie o₀ oznacza gęstość ciała w punkcie p, a zatym dla r — 0. Aby obliczyć drugą część sumy A, załóżmy, że

F (x, y, z) —- F (e + r, cos »]>, 73 -p r, sin <p cos ił, C -p r, sin <J> sin t>) = 0

^»6

f(x, i)dx —

àfÇx, 4)

da

dè

rfx — /(æ, «)Tr + /'(a:, b) .

di

¹

T. j. wzór

'6

,,    ,    ()«    <)& Ó r,

\V naszym przypadku a = 0, b — rl, więc —r- = 0,    ^ .

jest równaniem powierzchni ciała. Z tego równania wypada

dF dx    dF drx dF t dF drx

dx ' di    drx ’ di    dx ^ drx ' di

drx _

Ti~

= 0, a zatym

dF , dF

dx ’ drx

gdzie

o, o.

_ dF dx    dF j)y_    dF_ _dz

dx ‘ r)rx    dy ' drx    dz ’ drx

dF

dF

t- sin cos 0- -v--J-

dy

-j- sin <{> sin ł>

dF

dz ~ N ’

Będzie więc

drx

dF

di ~

= — X ; podobnie

drx

d>j

dF drx dy ’ dC

dF

N'^r;

jest zatym (8) cos tj>

drx

àrx

+- sin<J> sin 9-

^2L ₌ -_N.-¹

dC    "

^- + 8inłc08»-^ co przedstawia wartość drugiej części sumy A. Mamy przeto, według (7),

A — Ol 0₀ Ox —    3₀,

N=-l.

(9)

z czego wynika

(10)

dX

“37- +

dY . dZ

‘2 7C /*7C

di

di]

di

= — °0

sin'pdü . dty — — 4îta₀

r0

a ponieważ

dX    dY dZ    d² V d²Y d²Y

di ⁺    dr\    ' d'Ç,    dl²    + dY)²    + d £²~⁵

przeto otrzymamy dla punktu (ę, y], Ç), znajdującego się wewnątrz masy ciała przyciągającego,

(11)

(12)

d²Y d²V ■ ^²V__dX ■ dY dZ dC² ~~ ds

= -- 4tto₀.

di² + :

W tym równaniu oznacza o₀ wartość funkcyi, wyrażającej gęstość ciała, a = <p(x, y, ^d, jeżeli w niej zamiast x,    0 podstawimy spółrzędne 4, yj, Ç

punktu przyciąganego. Równanie (12) wyraża twierdzenie D. Poisson’a

d²Y d²Y d²Y dF ⁺>ą² + d£²

cliodnych potencyjału Y względem spółrzędnych punktu, dla którego ten po-tencyjał został obliczony, bywa nazywana parametrem różniczkowym rzędu drugiego tego potencyjału i bywa oznaczana przez AjY,

0 drugich pochodnych potencyjału. Suma

dyj

dC “

drugich po-

Obadwa twierdzenia, Laplace’a i Poisson’a, mogą, być ujęte w jeden wzór ogólny

(13)

.    _ d²Y , d²V . d²V

-sw⁺~-

Jeżeli bowiem punkt (ę, tj, £) leży poza obrębem masy ciała przyciągającego, a zatym w przestrzeni próżnej, której gęstość w każdym punkcie jest równa zeru, wówczas 'f(;, tj, C) ~ 0, co przedstawia twierdzenie Laplace’a; jeżeli zaś punkt stanowi część ciała przyciągającego, to cp(ç, tj, Ç)=-o₀, z czego wynika twierdzenie Poisson’a.

Dowodzenie powyższe polega na przypuszczeniu, że w bezpośrednim otoczeniu punktu ;x gęstość o nie przestaje być funkcyją ciągłą, i że jej pochodne nie przybierają wartości nieskończenie wielkich, chociaż ciągłość tej funkcyi nie potrzebuje koniecznie zachodzić w innych punktach masy przyciągającej. Jeżeli punkt jx znajduje się w takim miejscu, w którym ciągłość funkcyi a jest przerwana, natenczas A₂V może przybierać wartości rozmaite, stosownie do przyrostów spółrzędnych punktu jx ; w takim przeto miejscu osobliwym równanie (13) przestaje mieć miejsce. Wszystkie punkty na powierzchni ciała przyciągającego należą do takich punktów osobliwych, do których równatie (13) nie może być stosowane, ponieważ przejście z wnętrza ciała przez jego powierzchnią nazewnątrz sprawia przerwę w zmianie gęstości, która z wartości oznaczonej przechodzi do zera. Jeżeli punkt ;x znajduje się wewnątrz ciała, nieskończenie blisko jego powierzchni, to A₂V = — 4;ca₀; gdy zaś jx leży zewnątrz ciała, nieskończenie blisko jego powierzchni, to A₂V=:0; a więc na powierzchni samej nie posiada parametr różniczkowy dokładnie oznaczonej wartości.

127. Potencyjał kuli. Rozważymy naprzód warstwę jednorodną nieskończenie cienką, ograniczoną kulami o promieniach p i pĄ-dp. Aby wyznaczyć potencyjał tej warstwy względem punktu u, leżącego zewnątrz powierzchni zewnętrznej, użyjmy figury i znakowmnia art. 125-go. Objętość elementu warstwy wynosi p² sin9 dpdd Jcp; mnożąc ją przez gęstość a i dzieląc przez r = |/ S² + p² — 2opcos6, gdzie o oznacza odległość punktu ;x od środka kul, otrzymamy potencyjał tego elementu. Całkując między odpowiednimi krańcami, otrzymamy stąd potencyjał dV tej wrarstwy

d V — o . p² . d p

sin 9 d 0 d

Jo

I |/> + p2_2§pcos6 «/ "

czyli

tc

d V — 2 nap'². d p

sin9d9

/ Vs* P P² — 2 opcos 9

U

czyli także

(0

dV —

2îrap dp

\o

\/ $2 -f- p² — 2 o p cos 6.

Podstawiając wartości krańcowe i zważając, że dla punktu zewnętrznego długość S + p jest największą, a długość o— p najmniejszą odległością punktu u, od powierzchni zewnętrznej otrzymamy

2îtopdp

(2)

K* + p)-(*-p)] =

4Trap². dp

A ponieważ JM =r4Ttap². dp jest masą warstwy, przeto

(3)

dY =

JM

Potencyjał kuli jest sumą poteocyjałów jéj warstw. Jeżeli więc M jest masą kuli jednorodnej o promieniu R lub składającej się z warstw jednorodnych i spółśrodkowych, potencyjał tej kuli względem punktu zewnętrznego będzie, według (3),

(4)

V = ^

a stąd dla kuli jednorodnej o gęstości a

(5)

„    4 îi a R³

' = 3_6“

Potencyjał kuli jednorodnej lub składającej się z warstw jednorodnych i spółśrodkowych, względem punktu zewnętrznego oblicza się tak, jakgdyby masa tej kuli była skupiona w środku.

Przyjmijmy punkt u. w wydrążeniu uważanej poprzednio warstwy, a zatym 8 <C p, wtedy p-f-o i p — 8 przedstawiają odpowiednio największą i najmniejszą odległość punktu ;j. od warstwy, będzie przeto, według (1),

2Trop . dp

(6)

[(p + 8) — (p — o)] = 4rco . p . dp,

z czego wnosimy, że potencyjał jednorodnej warstwy kulistej względem punktu, znajdującego się wewnątrz jéj mniejszej powierzchni, ma wartość stałą, albowiem dY jest niezależne od 8. Dla warstwy więc kulistej, której powierzchnia wewnętrzna ma promień Rx, a zewnętrzna promień R₂, będzie potencyjał względem punktu, leżącego wewnątrz powierzchni o promieniu Rt,

R₂

(7)

Y = 4 Ti o

p .dp — 27ro(R;,² — Ri²).

J Ri

Potencyjał ma przeto wielkość stałą, gdziekolwiek punkt u. obierzemy w wydrążeniu powyższej warstwy.

Jeżeli punkt znajduje się wewnątrz masy warstwy, ograniczonej powierzchniami kulistymi o promieniach R, i R₂, a zatym R, <Ś 3 <C K.» , to możemy przyjąć Y = Y₁-t-Ył, gdzie Y, jest potencyjałem warstwy,

ograniczonej kulami o promieniach Rt i 8, zaś V₂ jest potencyjałem warstwy, ograniczonej kulami o promieniach 8 i R₂. Ponieważ, według (5) i (7),

V, = 2;co (R,² — §²),

4    3³-Rx³

Vi=3 -f- -

przeto

Tr 2    3R„²o —

V = — ÎTO---

O

Z tego otrzymamy potencyjał kuli jednorodnej o promieniu R względem punktu wewnętrznego, kładąc Rj = 0, R₂ = R.,

|-ico(3R² — S²).

(3)

(9)

Pochodna

dY

2Rp— o³

o#

daje w każdym przypadku przyciąganie punktu w kierunku

prostej d, które wyraża całkowite przyciąganie tego punktu przez kulę lub warstwę kulistą. Oznaczywszy przyciąganie przez P, mamy z (5), biorąc 7c=l, [A — 1,

d8

(10)

dV

4 îioR³

dß

3 Ô²

Ô²'’

w przypadku punktu, leżącego wewnątrz wydrążenia warstwy kulistej, mamy* według (7),

(11)

Kf — 0;

dla punktu, leżącego wewnątrz masy warstwy będzie, według (9)j

d Y    4 d³— Rj³

r =. —rr- =--— 7T a .

(12)

d8

S²

a nakoniec dla kuli pełnej

(13)

tco . 8i

P==

cl Y

do    3

Równania od (10) do (13) wyrażają twierdzenia Newton’a o przyciąganiu kuli, dowiedzione innym sposobem w art. 123-im.

zagadnień tego rozdziału należy rzecz

128. Przyciąganie elipsojdy. Do najważniejszych i najciekawszych

o przyciąganiu punktu przez elipsojdę jednorodną lub składającą się z warstw jednorodnych. Wiadomo z pomiarów geodezyjnych, że ziemia może być uważana z wielkim przybliżeniem za elipsojdę obrotową spłaszczoną (sferojdę); a ponieważ każdy element masy ziemi przyciąga punkt materyjalny według prawa Newton’a, przeto zagadnienia o sile ciężkości na ziemi polegają przedewszystkim na prawach przyciągania elipsojdy. Rozwiążemy to zagadnienie naprzód dla elipsojdy trój osiowej, a następnie dla obrotowej.

|/2 ^2

J eżeli

— -f¹ ~— ⁼⁼ 1 Jest równaniem elipsojdy, to równanie powierzchni spółogniskowój jest. jak wiadomo ¹),

0)

i.

*²

a² + w ' b-Ą-tt n c²d-tt

Niech ffl?    oznaczają połowy osi głównych téj powierzchni; wtedy ró

wnania

(2)

«i² — ar = ót² — ó² — ct² — c² = te,

okrćślające dwie powierzchnie spółogniskowe, wyrażają, że ich przekroje główne mają spólne ogniska. Przez punkt dany można poprowadzić trzy powierzchnie spółogniskowe stopnia 2-go, z których jedna jest elipsojdą, druga hiperbol ojdą jednopowłokową, trzecia zaś hiperbolojdą dwupo włokową¹ Pierwiastki równania stopnia 3-go (1) wyznaczają osi główne tych trzech powierzchni, gdy zamiast x, y, z podstawimy spółrzędne punktu danego. Dwie elipsojdy spółogniskowe nie mogą się wzajemnie przecinać. Jeżeli trzy powierzchnie spółogniskowe przechodzą przez ten sam punkt, wtedy normalne do tych powierzchni w tym punkcie są wzajemnie prostopadłe. Osi główne stożka, stycznego do powierzchni stopnia drugiego, są normalne do trzech powierzchni, z daną powierzchnią spółogniskowych i przechodzących przez

wierzchołek stożka. Jeżeli ^ + ~ -j- — — 1,

stawiają dwie elipsojdy spółogniskowe, to dwa punkty m, (x,. y, z), i |x> (I, 7], C)j z których m znajduje się na pierwszej, »x zaś na drugiej elipsoj-dzie, posiadające tę własność, iż stosunek ich spółrzędnych równoległych jest równy stosunkowi do nich równoległych osi tych powierzchni, t. j., iż

X = y, nazywamy punktami odpowiednimi. Je-

żeli m i ;x, tudzież n i v oznaczają dwie pary punktów odpowiednich, to

Dwie elipsojdy, podobne i podobnie leżące, nazywają się elipsojdami homotety cznymi. Jeżeli a, b, c są osiami pewnej elipsojdy, zaś a' = ï.ctj b' = 'Kb, c’ =\c odpowiednimi osiami spółśrodkowej elipsojdy homotetycznój,

£²

c²

-== 1

to równania tych powierzchni są — -f- ~ -J-

gdzie h jest wiadomym stosunkiem osi. —

Podajemy naprzód twierdzenie Newton’a, przez Laplace’a uogólnione: nieskończenie cienka icarstwa jednorodna, ograniczona powierzchniami dwu clipsojd homotetycznych, nie przyciąga punktu, znajdującego się wewnątrz jej powierzchni mniejszej. Tego twierdzenia dowodzi się podobnie, jak twierdzenia dla warstwy kulistej w art. 123-im. Stosując to twierdzenie do warstwy

o grubości skończonej, ograniczonej dwiema elipsojdami liomotetycznymi, a następnie do elipsojdy pełnej, otrzymamy twierdzenie: przyciąganie punktu wewnątrz elipsojdy jednorodnej jest równe przyciąganiu, jakie na punkt wywiera ta część elipsojdy, którą ogranicza potvierzclmia homotetyczną, przechodząca przez punkt dany. Podane twierdzenie sprowadza przy ciąganie punktu, znajdującego się wewnątrz elipsojdy, do przyciągania punktu, leżącego na powierzchni elipsojdy homotetycznéj. Okażemy, że do jiodobnego zadania można także sprowadzić przyciąganie punktu, znajdującego się zewnątrz elipsojdy.

129. Niech W (fig. 54) oznacza jednorodną warstwę nieskończenie cienką o gęstości a, ograniczoną zewnątrz elipsojdą E o osiach a, h, c,

Vl\

VI

Z,

.ja.

-rti’

kig. 54;

wewnątrz zaś elipsojdą homotetyczną Ë' o osiach al = a(l — s), V — b{\ — s), c’ — c( 1 — s), gdzie e jest nieskończenie małe. Przez punkt , (d₁,y₁,z₁), zewnątrz E obrany, poprowadźmy elipsojdę Et o osiach at, bx, ct, spółogni-skową z E, dla której zatym ax² — bt² =■ d¹ — h², hj² — ej¹ — h² — c2 cp — ax² = c²— a², i niech punkt m, (x, y, z) na E będzie punktem odpowiednim, więc xy\x — ax : a, yt:y = bi: h, zt : z = cx : c. Na Ef obierzmy punkt dowolny m', (x', y\ z'), i wyznaczmy taki punkt (xx, yj, zj), żeby

xt':x,= a₁(l— $):«(!—e.) = ax:a, yj-.y—bx'.b, zx : z' = cxi c,

to gdy przez punkt mj poprowadzimy elipsojdę Et', spółogniskową z E', której zatym osi będą odpowiednio ax=ax(l— s), bj — bx(l—s), cx' = cx( 1 — s), natenczas elipsojdą E/ będzie homotetyczną z Et. Elipsojdy E! i E/ utworzą warstwę VYt. Grubość Dr warstwy W na osi x-ów wynosi Dx — a — a' = z=.$a, zaś grubość D*⁽¹⁾ warstwy Wt będzie    ttl — ax=:eax, a zatym

Dx :    = a:ax. Podobne związki będą zachodziły między odpowiednimi

grubościami w kierunkach osi y i z, z czego wynika, że stosunek grubości obudwu warstw, mierzonych na osiach głównych, jest równy stosunkowi odpowiednich osi głównych ich powierzchni zewnętrznych. Stosunek podobieństwa elipsojd Et i E/, to jest stosunek długości ich odpowiednich osi, równa się stosunkowi podobieństwa elipsojd E i Ef.

Obierzmy na E dowolny punkt ;j., a |it niech oznacza punkt odpowiedni na E,; szukajmy potencyjału V warstwy W względem jj^ , i potencyjału Y, warstwy W, względem u. Masa elementu warstwy W, którego krańcem jest

Gxdxxdyxdzx będzie masą elementu téj warstwy, którego krańcem jest punkt

mx] otrzymamy zatym dVx —

. Z tego wynika

TEORYJA PRZYCIĄGANIA. — 1 BO.

GO

i-—1

punkt ni, wynosi vdxdydz, potencyjał więc tego elementu Względem (ją bę-o.dxdydz

dzie dV =

. Gdy oznaczymy przez Oj gęstość warstwy AVt, to

axdxxdyxdzx

mx ;x

dV o dxdydz mx[x

d\x    gx ' dxxdyxdzx m\xx

(X 1) o

a ponieważ dxxdyxdzx — dxdydz, a mx\*. ~ m, przeto

dV

a więc Yx —

a abc d\x Oj oxbxcx

li, y 4- C.

o ’ abc

gdzie O jest stałą. Ponieważ dla V=.0 także Yj —0, przeto C — 0; otrzymamy więc

a)

abc

A x Oj axbxcx

Potcncyjaly więc obudwu warstw względem dwu punktów odpowiodnicli na ich powierzchniach zewnętrznych są wprost proporcyjonalne względem mas tychże warstw. AVarstwa AV znajduje się wewnątrz AV1? a zatym punkt [j. nie doznaje żadnego przyciągania od AVn z czego wynika, że pochodne cząstkowe potencyjału Vt względem spółrzędnych punktu jx są równe zeru, więc potencyjał Art ma wartość stałą, gdziekolwiek obierzemy punkt jx na powierzchni E. Z równania (1) przeto okazuje się, że V ma także wartość stałą względem każdego punktu a,, obranego na E1? że zatym Ej jest powierzchnią potencyjalną warstwy AV. Powierzchniami potencyjalnymi nieskończenie cienkiej i jednorodnej warstwy elipsojdahiéj, ograniczonej dwiema powierzchniami homotetycznymi, są elipsojdy, spólogńiskowe z jej powierzchnią zewnętrzną. Kierunek przyciągania jest normalny do powierzchni potency-jalnéj, mamy przeto nowe twierdzenie: nieskończenie cienka warstwa elipsoj-dalna, ograniczona dwiema powierzchniami homotetycznymi, przyciąga punkt zewnętrzny w kierunku osi stożka, stycznego do jej powierzchni zeicnętrznćj, którego wierzchołkiem jest punkt przyciągany (twierdzenie Poisson’a).

AVyobrażmy sobie trzecią warstwę AV₂ nieskończenie cienką, leżącą zewnątrz AV i AV1? i ograniczoną powierzchnią E₂, spółogniskową z E i E tudzież powierzchnią E'₂, spółogniskową z E' i E't; E₂ i E₂ będą homote-tyczne. Stosując powyższe twierdzenie, widzimy, że E₂ jest powierzchnią potencyjalną warstw AV i Wj, że zatym obie warstwy przyciągają punkt, zewnątrz tych obudwu warstw leżący, w tymsamym kierunku, a potencyjały tychże warstw względem tego punktu są wprost proporcyjonalne względem ich mas.

130. Niech będą dane dwie elipsojdy jednorodne, ograniczone powierzchniami spółogniskowymi E i Et, i niech będzie dany punkt [i, zewnątrz

Bibl. mat.-fiz., S. IV T. X.

nicli lezący. Gdy podzielimy każdą elipsojdę na warstwy elipsojdalne, ograniczone dwiema powierzchniami homotetycznymi, i stosować będziemy do tych warstw poprzednie twierdzenia, to otrzymamy następujące twierdzenie główne: potencyjały dwu elipsojd, ograniczonych powierzchniami spółogniskowymi, względem punktu, zewnątrz nich leżącego, są wprost proporcyjonalne względem mas tych elipsojd.

Wracając do warstw W i W,, których masy oznaczmy odpowiednio przez d M i d Mt, a których potencyjały względem punktu zewnętrznego niech będą odpowiednio Y i V₁₅ otrzymamy Y :    — ÆM :    . Popro

wadziwszy przez [A normalną do powierzchni potencyjalnéj, obierzmy na niej punkt dowolny, którego odległość od punktu [A oznaczmy przez n. Przesuńmy [A wzdłuż tej normalnej o długość nieskończenie małą dn aż do punktu [Ar; wówczas stosunek potencyjałów tych warstw względem punktu ja' będzie

(1)

(v+

dV

dn

dn

Hv

, dVx

,+ihi

(7wj — dM : (?Mlf

a zatym

(2)

d Y . d\l dn ‘ dn

=zdU:dMt.

Ponieważ pochodne potencyjałów wyrażają przyciągania punktu ja, przeto mamy twierdzenie: dwie nieskończenie cienkie warstwy elipsojdalne, których powierzchnie zewnętrzne i powierzchnie wewnętrzne przedstawiają pary powierzchni spółogniskowych, przyciągają punkt zewnętrzny z silami, proporcyjo-nalnymi względem ich mas. Wystawmy w ja układ prostokątny osi spółrzę-dnych, i niech dX, d Y, drZ oznaczają rzuty przyciągania punktu [a przez warstwę W, zaś f?Xu dYu dZt rzuty przyciągania warstwy "Wt ; wtedy

(3)

dX : dXt — d Y : d Yt = d Z : d Zt = M : d Mt.

Rozważajmy znowu dwie elipsojdy jednorodne, ograniczone powierzchniami spółogniskowymi E i Et, podzielmy je na warstwy, ograniczone elipsojdami homotetycznymi; składowe przyciągali P i Pn punktu zewnętrznego (a elipsojdy, będą według (3)

X _ Y _ Z __ VX² -{- Y² + Z²__ M X, ” Yt “ Zt “ JXXl²TYt* + Zj² “ Mt ⁵

a zatym

(4)

PiP^MiMj.

Dwie elipsojdy jednorodne, ograniczone powierzchniami spółogniskowymi, przyciągają punkt zewnętrzny w tym samym kierunku z siłami, proporcyjonadnymi iczględem ich mas. W takiej postaci ogólnej podał Laplace to twierdzenie, lecz przedtym tak dla elipsojd obrotowych, jak i dla elipsojd trójosiowych w przypadku, gdy \x znajduje się na osi elipsojdy, okazał je Maclaurin.

Powyższe twierdzenie niezupełnie słusznie nazywają, ogólnie twierdzeniem Maclaurin’a, bo dopiero Laplace dał mu powyższą postać ogólną.

To twierdzenie stosuje się do każdego punktu, nie znajdującego się wewnątrz elipsojdy przyciągającej, a więc odnosi się także do przypadku, gdy punkt (j. znajduje się na powierzchni elipsojdy. Widzimy zatym, że twierdzenie Laplace’a sprowadza rzecz o przyciąganiu punktu zewnętrznego do kwe-styi przyciągania punktu, znajdującego się na powierzchni elipsojdy. Wypada nam teraz bezpośrednio rozwiązać to zagadnienie.

El

14/

Fig. 55.

normalnej będzie 2ac?io . p.N . cos

nor-

131. Obierzmy punkt [x na zewnętrznej powierzchni warstwy W, i poprowadźmy z tego punktu stożek elementarny, który na kuli o promieniu 1 wycina powierzchnią <Uo. Masa elementu tego stożka będzie ap²dwcZp, przyciąganie zatym punktu (X przez ten element, wynosi odi»d p. Niech tworząca p stożka przecina wewnętrzną powierzchnią warstwy w punkcie N i Q (fig. 55), a zewnętrzną powierzchnią po raz wtóry w punkcie P; całkując w kierunku tworzącej p, otrzymamy o d co ([x N -j-QP) = 2 a d to . (x N jako wielkość przyciągania punktu p. przez stożek w kierunku téj tworzącej. Gdy poprowadzimy normalną wewnętrzną (xv do elipsojdy, to przyciąganie w kierunku tej

(ixN, jxv) = 2ado>. ;xS, gdzie jxS jest grubością warstwy W w kierunku malnéj. Całkując to wyrażenie w obrębie półkuli, której środkiem jest punkt (x, otrzymamy

(1)

dP = 4ira . jxS

jako przyciąganie, punktu (x przez warstwę W; kierunek tego przyciągania jest normalny do E. Okazuje się zatym, że przyciąganie jest proporcyjonal-ne względem grubości warstwy w punkcie rozważanym. Poprowadźmy przez środek O warstwy płaszczyznę, równoległą do płaszczyzny stycznej w ;x; nor. malna jxv przecina owę płaszczyznę średnicową w punkcie R, a promień przecina elipsojdę E' w punkcie T. Z podobieństwa trójkątów OR[x i TS(x wynika, że jxS : [xR = (xT : [xO, a jeżeli a, b, c i a — da, b — db, c — dco zna-czają odpowiednio połowy osi głównych elipsojd E i E', to z powodu homo-tetyczności mamy

(2)

(xT : (xO = da : a = db : b = dc : c, więc c da    db    dc ^

[XÖ = — [xR = -y (XK = — H R ,

gdzie (xR oznacza odległość punktu jx od płaszczyzny średnicowej,, równole-głej do płaszczyzny stycznej w punkcie ;x. Niech — -f- -f ~ =. 1 będzie

ix

równaniem elipsojdy E; wtedy ₂

(Aj

szczyzny stycznej w fi, skąd

VJ

i z'

.1 — 0 jest równaniem pła-

(3)

(j.R —

V*

É²

-T "ł~ TT + TT

&ł

Cł

1    i² V

s(,zie^ = -s-+l

C²

a zatym

(4)

da

dP = 4ko . —-

1    . db 1    dcl

— = 4îro .    = 4na .-

o y p

c V p

Dostawy kierunkowe normalnej wewnętrznej w punkcie [x są odpowiednio

-r    £

₂yr—i vyr~,--ż ; mnożąc przeto (4) przez te dostawy, otrzy

mamy składowe przyciągania, wzięte w kierunkach osi głównych,

iY=-4«₀#^

ó³ p

Cl \/p

dc i c³ p *

Obierzmy teraz punkt (x zewnątrz elipsojdy E, poprowadźmy przezeń eli-psojdę E!, spółogniskową z E, poprowadźmy wewnątrz Ej drugą elipsojdę E'1? nieskończenie bliską i spółogniskową z E', to E, i E'₁ utworzą warstwę W,, która według (4) przyciąga punkt \i z siłą

(5)    dX — -—4tco

da i

dZ = — 4tzg

a’P ,=4l5.^1.r,=

«■ rp,

gdzie ciu bx, cx oznaczają osi elipsojdy Et; a ax— dax, bx—dbx, cx—dcx oznaczają osi elipsojdy E^, przyczyni, według art. 128-go,

(6)

1    , dbt

= 4 TT a . -,

//.Pi

. d ct 1 - = 47co. —-

(7)

dbx_db

~V

dcx _dc

i²

c²

7]²

op ¹ bx⁴ ¹ cP ’

Jeżeli warstwa W przyciąga punkt p., zewnątrz niej leżący, z siłą dP, to

Ci

Pi

(8)

dP : dPt —abc: axbxcx.

Podstawiając przeto dP, z (6), obliczymy, według (8), przyciąganie punktu |x, zewnątrz W leżącego. Dostawy kierunkowe normalnej wewnętrznej w ;x do Et

będą odpowiednio składowe przyciągania d P

UiVlh ’

VPi ’

c,²Kpi

otrzymamy więc

dX= — 4tto

aÓc Ja, $

■i

d Y = — 4îto

Ci Ci

dZ = — 4 7To

Cïj & | Cj

abc

axb,cx

ci Rj öJ 5 “co

albo

dX — — 4îto

(10)

d Y = — 4-tzg

a{b c, ' b ' bl²pl ’

dc

axbxcx ' c ' c,²i>,

Podane wzory pozwalają obliczyć przyciąganie punktu jx, znajdującego się zewnątrz elipsojdy o osiach A, B, C. Podzielmy tę elipsojdę na warstwy nieskończenie cienkie, ograniczone powierzchniami homotetycznymi z jéj powierzchnią zewnętrzną, a stosunek podobieństwa niech zmienia się od warstwy do warstwy. Jeżeli przez a, b, c oznaczymy osi powierzchni zewnętrznej, zaś przez a — da, b — db, c — dc osi powierzchni wewnętrznej takiej warstwy, to *

(U)

b _ c da_ db _dc

TC ~C’

Poprowadźmy przez jj. elipsojdę o osiach ax, bx, cx, spółogniskową z elipsojdą o osiach a, b, c, dla której zatym a,² — bx² — a¹ — b², bx²— cx² = ó²— c², cx²— ax² — c² — a²; a więc

(12)

bx²—b² — a²-\-ax²,    cx²=-c²— a²-)r a{².

Możemy składową przyciągania téj warstwy wyrazić w funkcyi parametru

X = — ; mamy bowiem

ßi

(13)

a stąd, według (12)

(14) a,= ±,    = ^ I/A»+X«(B*-A*),

4²

Podstawmy te wartości w równaniu —- -f- -stępnie to równanie względem X, otrzymamy

c,²

= 1, i różniczkujmy na-

(15)

da

lh — dl *

Wstawiwszy wyrażenia (13), (14) i (15) w pierwsze równanie (10), mieć będziemy

(16)

dX = — 4rcBC£

oX². dl

KA²+X²(B² —A²) |/A²+X²(Ca—A²) '

Podobnie, gdy parametr X przedstawiać będzie stosunek b : bx, lub stosunek c:cx, otrzymamy wyrażenia składowych d Y i d Z w funkcyi X. Całkując równanie (16) w obrębie danej elipsojdy, otrzymamy X. Aby wyznaczyć

krańce całkowania, poprowadźmy przez u. elipsojdęo osiach An Bn C,, spół-ogniskową z elipsojdą A, B, C; równanie téj elipsojdy będzie

(17)

-rf

C²

= 1, więc

(18)

A² -i- u ¹ B²-tu ¹ C²+ u At* = A H«, B,²=:B² + ż«, C,² —C ² + u

gdzie u oznacza jedyny pierwiastek dodatny równania (17). (Dwa inne pierwiastki ujemne dają obie hiperbolojdy spółogniskowe). Krańcami a są:

jako krańce X.

a — 0, a = A , którym odpowiadają X = 0 i X = Będzie więc ostatecznie

A,

aX². d\

; podobnie

’ !    ' \/ Ä²+X²(B²—A²) |/A²+X²(C²—A²)

* 0

Kr a A / ńi    oX².f IX

' Y~ 4jtCAt1 /    .    ....., V-_==zr---=

/    | B²H-X²(C² — B-)VB²+X²(A² — B²)

o

f    oX². dX

I '|/C²+X²(A²—C²)! 0²+X²(B² —C²)‘

Jeżeli punkt przyciągany znajduje się na powierzchni elipsojdy, to A =. A B — B,, C = C,, a wyższy kraniec każdej całki będzie równy jedności.

Możemy otrzymać stale krańce całkowania dla punktu zewnętrznego, uważając w powyższych całkach odpowiednio

x.4±

(19)

Z=—4rcABÇ

X. AtL i X.KJ-

jako nową zmienną p. Stosując to podstawienie, otrzymamy

X = — 4ît

ABC

a . p². dp

' / }/ Aj² -f p²(B²—A³) V A J²+p²(C²—A²) ’ 0

lxr A ABC (20) / Y = — 4 îc -p— tj

a . p². d p

/ J/B,²-f-p²(C*—B²)(/BŁ²+p²(A²—B²)

J 0

ABC

o . p². dp

/ [/ Ci ²+p²(A²—C²) [/ C,² -f p²(B²— C²) "

» o

132. PoTENcrjAE elipsojdy. Kwadraty osi an bn c, elipsojdy, spół-ogniskowéj z elipsojdą (a, b, c) i przez punkt (c, yj, C) przechodzącej, są a,² — a² + a, bi² = ó² -f w, ct² = c² -f «, gdzie u oznacza jedyny pierwiastek dodatny równania

Gdy podstawimy wyrażenia (4), (5), (6) w równaniach (10) art. 131-go, to będziemy mieli

a. ds

dX — 2^ABC4

(1)

4²

r?

C²

= 1.

a² + u    b² 4- u ' ć² -f u

Przyjmijmy x = A : a = B : b = C : c, t. j. przez x oznaczmy stosunek podobieństwa elipsojd (A, B, C) i (a, b, c). Obliczmy stąd wartości a, b, c, podstawmy je w (1) i przyjmijmy s = x%; otrzymamy nowe równanie

(2)

4²

£²

A² 4- s B² -f s ~ C² 4- s x² '

Różniczkując to równanie względem zmiennych parametrów x i s, i przyjmując

(3)

i²

Tj²

mieć będziemy

q (A²+s)² + (B²+5)²

q.ds = 2-t —

c²

(C² + 5)

_ A .da_

«²x³    x²

2 da

a stąd

(i)

da

Nadto mamy

(5)

Ib

4²

Y)²

C²

id² -f u)²    (b² + u)²    (c² 4- u)²

— xh/

(6)

«j ó, cJ —

iK(As + *)(B» + «)(C* + i); o,* =

A² 4- s

X²

(A² 4- s) V\A² 4- s) (B² 4- s) (C² 4- s)

a kładąc

(7)

\/r \l + ‘h){1 + w)(l + w)

otrzymamy

(8)

dX = 2ni

o. ds

* D (A² 4- s)

który oznaczmy przez i. Zmieniając znak, całkujmy od s — z do s = oo; t otrzymamy

(10)

Z = — 2otC

/»<*>

/    D(A²-f£) ’

%/ X

a. ds

oo

a . ds

't D (B² + s)

OD

o .ds

/ D(C² + 5)'

«/ *

Te wyrażenia stosują się do punktu zewnętrznego. Jeżeli ;j. znajduje się na powierzchni elipsojdy, wtedy z równania (9) wypada z = 0; całki (10) należy zatyrn brać między krańcami 0 i od .

Niech dana elipsojda będzie jednorodna, a V niech będzie jej poteney-jałem względem punktu ;x; z równań (10) wynika

dY

ĆY

0Y

dY =    di + -Ą dr\ +    dÇ — X.di + Y. dy-j-Z . dÇ,

dV = —tco

Co

) ds ) I)

a zatym

/• CK)

(11)

Y — Tc a

7 ("'

Jz

A²+ 5    B²4-s    C²-f-s} D

£²

Tj²

C²

ds

gdzie c oznacza stałą, niezależną od krańców całkowania. Możemy ją obliczyć z warunku oczywistego, że potencyjał elipsojdy względem punktu w nieskończoności jest równy zeru. Dla 4 = 00, yj = od, Ç = od będzie z (9) u — 00, więc t = od, a zatym całka w (11) zredukuje się do jednego wyrazu

(• ⁴²

Y]²

Ç² Y ds

A² + 5 B² 4- 5 C² 4- £

którego czynnik, w nawias ujęty, z powodu warunku (9) ma wartość c — 1. Ponieważ przy założeniach powyższych Y = 0, przeto c = 1. A zatym potencyjał elipsojdy jednorodnej względem punktu zewnętrznego wyraża się wzorem

OD

(12)

Y —to

1__:____:i___^\££

A² 4- s B² -f* 5 C² 4- s) D

Tj²

C²

w którym

4²

C²

>1.

A² ^ B² ^ C²

Niech punkt (£,■ y], Ç) znajduje się wewnątrz masy elipsojdy; popro-wadźmy przezeń elipsojdę o osiach A,, BI? O,, homotetyczną z elipsojda (A, B, C,) wtedy, kładąc,*

otrzymamy

OÛ

a. x,² ds

X = — 2ît£

7    (A² + X,

JO

A jeżeli Xj²s będziemy uważali jako nową zmienną, którą także przez s oznaczyć możemy, to otrzymamy

oa

(13)

X= —

A _ ß _ f

Ai “ B, ~ Ci

A²

a. ds

I D(A² + s) ’

* O

Podobnie otrzymać możemy wyrażenia dla Y i Z. Będzie zatym dla punktu wewnętrznego

(14)

V = za

Ci — i

C²

Jo

\ ds

A² + s B² + s    C² + s / D

A ponieważ wyrażenia (12) i (14) przedstawiają tożsamo Y dla punktu na elipsojdzie, przeto Cj — c = l, otrzymamy więc dla punktu wewnątrz masy elipsojdy

(X)

(15)

C²

ds

B² 4 6- O²+ 67 D

4²

r²

C²

przyczyni -^₂ + ^    < 1. Powyższe wyrażenia potencyjału elipsojdy

jednorodnej podał Lejeune-Dirichlet.

133. Przyciąganie sferojdy. Sferojda powstaje przez obrót elipsy około osi mniejszej. Gdy A i B, przyczym A-<B, oznaczają połowy osi elipsy, obracającej się około osi A, którą obieramy za oś a?-ów, to równanie sferojdy będzie

y² + a'²

x²

A² ^ B²

a równanie sferojdy spółogniskowćj, przechodzącej przez punkt przyciągany (4,    C), zewnątrz niej leżący, będzie

(9)

4²

V]²

C²

A² 4“ w B² 4~ a O² 4~ %

4²

A,²

r² + C²

= 1, gdzie B₁² = C,² = Al² + B² —A².

Ai² A B²—A²

4

Masa danej sferojdy jednorodnej wynosi M = z AB² a. Podstawmy te wyrażenia w równaniach (20) art. 131-go, nie pisząc, dla krótkości, znaków •—, których łatwo się dorozumieć. Otrzymamy bezwzględne wartości składowych przyciągania punktu przez sferojdę jednorodną

3M

(i) x=^e

PO

A,²+p²(B²-A²)’

B,² \ \fBt²+p²(A²-B²)*

3M

P² • dlJ

Całkując i wstawiając krańce, mieć będziemy

„    3M E! 1

X = -T- i

B² —A²

(2)

(B² —A²)

\/ßi— A2 arc taug ---

j Y Z 3M j [ y] ” C ~ B,² j

B,²

. 1/ B² — A²

arc sin--

2 (B² —A²)²

2 (B²—A²) *

j PJ2_

Gdy e —-^- oznacza mimośród elipsy tworzącej, to B² = A²(l+e²),

B,² —A,²+e²A². Oznaczmy przez p odległość punktu przyciąganego od osi sferojdy (osi a-ów), to p² = yj² -f- Ç², a stąd wynika dla obliczenia osi A, równanie następujące:

(3)

4²

P²

Aj²

— 1.

Aj² + e² A²

Okładowa X wyraża przyciąganie punktu w kierunku, równoległym do osi sferojdy, siła zaś S — }/ Ÿ² -j- Z² wyraża przyciąganie tego punktu w kierunku, prostopadłym do tej osi. Wyrażając B przez A i e, i obliczając S, otrzymamy

3M

(4)

C²A²A

£ (l — arc tang

cA

A,

)■

3M

A,² 4- c²A²

2e²A²(Aj² -f e²A²)

eA

arc sin

eA

|/Ai² + e²A²

Zastosujmy te wyrażenia do sferojdy o bardzo małym mimośrodzie e. Przypuśćmy, że mimośród e jest tak mały, że jego potęgi wyższe od drugiej mogą być pominięte, wtedy możemy funkcyje po prawych stronach równań (4) rozwinąć na szeregi, zatrzymując się na wyrazach tego rzędu co e². Postępując sposobem opisanym z równaniem (3), otrzymamy kwadrat połowy osi głównej sferojdy spółogniskowćj

(5)

A,² = r² —

A³e²p²

/y'li

gdzie r = \/£² -f p² = J/£² -j- yj² + C² oznacza odległość punktu przyciąganego od środka sferojdy. Kozwińmy funkcyje kołowe, zachodzące we Avzorze (4), na szeregi i wstawmy A!, to otrzymamy po uproszczeniach

(3)

X ₌ 4^ai[l + (l

3 A² , 3 A²p²

5 r²

2 rl

6 A²

5 r²

W edług tych wzorów możemy z dostatecznym przybliżeniem obliczyć przyciąganie, którego doznaje punkt, odległy o r od środka, a o p od osi sferojdy jednorodnej, która z powodu małego mimośrodu e różni się mało od kuli. Jeżeli jednostka masy przyciąga jednostkę masy w jednostce odległości z siłą a ;jl jest masą punktu przyciąganego, wówczas wyrażenia (6) należy pomnożyć przez Æjr, aby otrzymać składowe całkowitego przyciągania.

134. Przyciąganie ziemi. Redukując ląd stały do poziomu morza, możemy ziemię uważać za sferojdę, której oś mniejsza przechodzi przez oba-dwa bieguny, a której oś większa jest średnicą równika. Jeżeli A oznacza połowę osi ziemskiej, zaś B promień równika, to z najlepszych pomiarów gieo-dezyjnych, gruntownie przedyskutowanych przez B. Listing’a, wynika dla powierzchni ziemi

A = 6355270 m, B = 6377377 m a stąd wynika mimośród sferojdy ziemskiej

J/" B² — A²

⁶ — a

= 0,0834 =

11,98*

wyrażającą stosunek różnicy połów obudwu osi do promienia równika, nazywamy spłaszczeniem powierzchni ziemi. Otrzymamy

T• ,    B—- A

Liczbę i] — ——

¹

Zobacz Gieometfyja analityczną W. Zajączkowskiego, str. od 432 do 14ij.

²

podobne wyrażenia dla d Y i dZ. Widzimy zatym, że dX, d Y, dZ możemy wyrazić jako funkcyje parametru s = v.²u, zależnego od stosunku podobieństwa x i od parametru u elipsojdy o osiach a, b, c. Równanie (8) należy całkować od «=0 do a = A. Dla a — 0 będzie x = oo; dla a = A będzie x — 1, a zatym s będzie pierwiastkiem dodatnym równania

Y] =

= °>⁰⁰³⁴⁶⁶ = 2»hr

Kładąc B ~ A \/ 1 -{- e², mamy

TJ =    .....-¹ = 1 _ ( 1 + ea)

Kl+e²

“7_

tol

^2 ²) c⁴ -f ^3 ²)

e° —..

jeżeli przeto z powodu małego c opuścimy wyrazy tego rzędu co e⁴ i rzędów

e²

wyższych, natenczas - = tj. Ziemia nie jest ciałem jednorodnym. Znaj-

A

nowszych pomiarów otrzymano na podstawie rozmaitych metod następujące wartości średniej gęstości ziemi: Reich (1851) otrzymał 55,832; Cornu i Baille (1878) 5,56; Jolly (1879 — 1880) 5,692; Wilsing (1887) 5,594 dh 0,032. Gęstość średnia skorupy ziemskiej, którą znamy do głębokości, wynoszącej około 1000 metrów, wynosi prawie połowę średniej gęstości ziemi. Z tego wypada wnosić, że gęstość ziemi rośnie od powierzchni ku środkowi, a lubo nie znamy prawa tego przyrostu, musimy ziemię uważać za ciało niejednorodne.

Przypuśćmy, że ziemia składa się z warstw sferojdalnych, spółśrodko-wych, których mimośród i gęstość zmienia się od warstwy do warstwy tak, iż każda warstwa jest jednorodna. Gdy a, s i a oznaczają odpowiednio połowę osi obrotu, mimośród i gęstość takiej warstwy nieskończenie cienkiej, przyczyna s =yt(ą) i o = y₂(a) są nieznanymi funkcyjami parametru a, to, kładąc w równaniach (6) art. 133-go a i s zamiast A i «s, i różniczkując to równanie względem a, otrzymamy przyciąganie punktu o spółrzędnych r, p.

leżący zewnątrz lub na powierzchni takiej warstwy, przez tęż warstwę. Otrzymamy tym sposobem

(O

dX =    ~ i [a²(l + £2) _ ai

4îrÆIx “arP [*0 + $2) — ai(

to Ot

tZa,

_ _5 p2 2 * r⁴

a całkując między krańcami a — 0, « = A i przyjmując

(2)

“=/

/ O

AA

•A

a a² ( 1 -f £²) d a. ß A² —

aah². da

mieć będziemy

Jo

jx = i,łpl[« js =4ir /S|).-£J fa-ßA²^

)]

5 £

(3)

2 r4 5 p2 2 r⁴

Te wyrażenia pozwalają obliczyć przyciąganie punktu przez ziemię niejednorodną, jeżeli mimośród s każdej warstwy przyjmiemy tak mały, iż wyrazy tego rzędu co £³ i rzędu wyższego mogą być pominięte. Spółczynnik ß jest wielkością tego rzędu co £², a zatym tego rzędu co e². Nie znając funkcyj Ti i ?2, n4e możemy obliczyć a i ß; według Lapîace’a możemy jednak niezależnie od praw zmiany mimośrodu i gęstości warstw obliczyć przyciąganie punktu, znajdującego się na powierzchni ziemi, jeżeli uwzględnimy warunki równowagi tego punktu. Obierzmy punkt p. (fig. 56) na powierzchni ziemi,

g.

P'

Os

Al

-y

vX

Fig. 56.

poprowadźmy przez niego południk

X²

y²

= 1, i poprowadźmy

A² A²(l + e²)

przez ten punkt normalną do południka; wtedy kąt X, który ta normalna tworzy z płaszczyzną równika, przedstawia szerokość gieograficzną tego punktu. Dla punktu p. , (p, 4), będzie

p.tangX=r£(l-|-e²), £|/ l-{-e²cos²X = AsinX, pj/l-j-e²cos²X=r A(l-ł-e²)cosX r\' l+e²cos²X = A}/ l-f(2e²+e⁴)cos²X.

.Rozwijając tu pierwiastki kwadratowe na szeregi aż do wyrazów tego rzędu co e², otrzymamy

ę = A ^1--- cos ²X^

p = A[l + e²(l r — A ^1 -f* ~2 cos²X^.

sinX,

?)]

cosX,

Wstawmy te wyrażenia w (3) i rozwijajmy na szeregi podobnie jak wyżej, przyczyni ße² jako wielkość tego rzędu co e⁴ ma być pominięta; otrzymamy po uproszczeniach

(4)

A²

sin X .

— 2e²a

^ cos²xJ

A²

cosX.

j^a(l + c²) — 2ß-f- (jy ß

— 2c²a

^ cos² x] •

Jeżeli punkt ja ma być w spoczynku względem ziemi, obracającej się jednostajnie z prędkością kątową to około osi A, wtedy wypadkowa P sił X, 3 siły odśrodkowej tego punktu jest normalna do powierzchni ziemi, a zatym normalna do południka tego punktu. Wypadkowa P przedstawia ciężar punktu o masie ja. Ponieważ jam²p jest siłą odśrodkową, przeto mamy warunek

(5)

tangX —

- JA tO² p

przyczym siła odśrodkowa punktu wynosi

(6)

ja to² p = ji to²A j^l + e² ^1

cos ² X\~j

2/J

cosX.

Podstawiwszy (4) i (6) w (5), otrzymamy wrarunek równowagi punktu

t)}

4tt 7c

(a e² — ß) = w²A

To równanie stosuje się do każdego punktu na ziemi, a zatym niezależnie od X, inaczej rówTnowraga byłaby niemożebna. Czynnik przeto to²Ae²,

żący 1 —

iloczyn to²A tego rzędu co e lub rzędu wyższego. Wskutek tego

w²A = (ae³ — ß),

a siła odśrodkowa będzie wyrażona przez iloczyn jaüPAcosX; będzie przeto proporcyjonalna względem dostawy szerokości gieograficznój.

(7)

A²

mno-

co^₅ jest wielkością tego rzędu co e³ lub rzędu wyższego, czyli

(8)

Gdy y oznacza przyśpieszenie spadku w punkcie \i, to P ==. ;j.g. Z równania (5) wynika S — [j.w²p —XcotgX, a ponieważ P=J/rX²-f(E— |uo²p)², przeto X — \ig . sink, a więc według (4)

4tt/j

A²

czyli

[«—p+(|p-

2e²a

j cos² XJ

(9)

4rJv

* = -£i

ja(l - 2e>) + ~ ß + [2(«= - ß) -J-]

Uwzględniwszy warunek (8), otrzymamy

[a(l-2e») + J-ß] + l

4“!a-

4tc7j ac²

Wstawiając X = 0. otrzymamy przyśpieszenie g₀ na równiku, które zatym wynosi

A²

A² *

(H)

4îC li

A²

Pisząc to równanie w postaci

4ir k

A²

i rozwijając prawą stronę na szereg aż do wyrazów tego rzędu co e², otrzymamy

(12)

4 nic

2e²

A²

2 a²

■)

a stąd

(13)

9=9o + (y tó2A~-y #o) sin2X-

Iloczyn o>²A przedstawia w zakresie dokładności naszego rachunku siłę odśrodkową jednostki masy na równiku, t. j. dla X0. Jakoż, wielkość téj

siły jest równa w²E = co²A(l + e²)² = w² A ^1 -f , czyli jest równa w²A., ponieważ w²A e² jest rzędu wyższego, niż e². Przyjmijmy

(14)

^ _ o)² A

to w oznacza stosunek siły odśrodkowej na równiku do przyśpieszenia spadku na równiku. Stąd to²A =zng₀, a więc, według (13),

(15)

[' + (t n

t)s'"2X]-

Ten wzór Laplace'a przedstawia przyśpieszenie spadku na powierzchni morza przy powyższych założeniach. Prawo, przez ten wzór wyrażone, nie zależy

135. Przyjmijmy punkt \x ponad ziemią w wysokości h, i niech r, p, i oznaczają jego spółrzędne. Niech pion tego punktu (normalna do sferojdy) spotyka powierzchnią ziemi w punkcie jj.,, (rn Pn £i)i którego szerokość jest X. Wtedy

i —    + h sinX, p = pt + h cosX, r ■=.[/'p² -f- £²•

na

na

od związków między mimośrodem, gęstością i osią biegunową jednorodnych warstw sferojdalnych ziemi.

7Z

Gdy przyjmiemy X — --, to otrzymamy przyśpieszenie G na biegunach

A

ziemi; będzie więc

a stąd

[’ + T”

e?

G-9o _ 5

c²

9o

czyli według (4)

——+ Yj = — «.

9o    ²

Ostatnie równanie wyraża ważne twierdzenie, którego Clairaut dowiódł dla ziemi, a które stosuje się także do innych planet: suma dwu liczb, z których jedna wyraża spłaszczenie ziemi, a druga stosunek różnicy przyśpieszenia na

5

biegunie i na równiku do przyśpieszenia na równiku, jest równa —

siły odśrodkowej do przyśpieszenia spadku na równiku. W zakresie dokładności rachunku możemy przyjąć

(16)

stosunku

(17)

Hf-

sin ² X] .

Przyśpieszenie spadku rośnie od równika do bieguna proporcyjonalnie względem kwadr atu iv stawy szerokości gieograficznćj. Z równań (8) i (11) wynika

(e² — n).

■=£Ht+H

A²£o

4 Tik

Podstawiwszy zamiast £, i p, poprzednio znalezione wyrażenia, i rozwinąwszy szeregi te wielkości aż do wyrazów tego rzędu co e², otrzymamy ze względu to, że wysokość h jest mała w porównaniu z wymiarami ziemi,

| = (A -p 7t) j^l--- c°s²x)

p = (A-ł-70 £l + e²(l r — (A -f h) ^1 + ~ cos ²X^ ;

sinX,

T)]

cos X

błąd popełniony będzie tego rzędu co he². Podstawmy te wyrażenia w równaniach (3) art. 134-go, jak również wyrażenia dla a i ß; otrzymamy ii w² (A -f- A) cosX [roi²A cosX = p, ng₀ eosX.

(2)

Wypadkowa Pr — |/AX²-j-(E— \wig₀ cosX)² przedstawia ciężar masy (j. ; a ponieważ, jak wynika ze wzorów (1) i (2)

(3)

= tangX

A²

(1)

(A -f- h)

*+(tk

t)s1“2X]'

S = \xg₀ cos X .

A²

5 + n + (jn

y)sin = x].

_(A + A)

Siła odśrodkowa w punkcie |x wynosi (ito²p; jeżeli wstawimy wartość p, to otrzymamy wielkość tej siły

S — \rng₀ cosX

przeto widzimy, że kierunkiem siły ciężkości w punkcie ;j. jest pion tego punktu. W zakresie zatym dokładności naszego rachunku nie wpływa siła odśrodkowa na kierunek spadku. -

Gdy gh jest przyśpieszeniem spadku w wysokości h nad ziemią., to P'—u,#/,, wtedy po uwzględnieniu wzorów (1) otrzymamy,

gn = g₀.

A²

(A + h)

(4)

Tfjsin’x]^

A²

' (A-WO

czyli

g,, : g - A ² : (A -f- Ji-)²,

albo z dostateczna dokładnością

(5)

ff A : g = O² : r\

W małej wysokości naci ziemią przyśpieszenie spadku, a zatym wielkość siły ciężkości, jest odwrotnie proporeyjonalna względem kwadratu odległości od środka ziemi.

vy—vi,

Przyśpieszenie g odnosi się do punktu na poziomie morza. Jeżeli punkt przyciągany znajduje się na lądzie stałym, znacznie wystającym nad poziom morza, wtedy należy uwzględnić także tak zwane przyciąganie miejscowe, to znaczy przyciąganie, które otaczający ląd stały wywiera na ów punkt, a które dodać należy do przyciągania punktu przez sfe-rojdę ziemską. Niech Mp.,N (fig. 57) przedstawia jioziom morza, a MaN ląd wystający, na którego powierzchni znajduje się punkt fi. w wysokości li —    , którą uważać możemy

ozna-

Fig. 57.

za stałą grubość odpowiedniej warstwy lądu. Obierzmy punkt dowolny m o spółrzędnych yz=zmxm, z — [J.nii i podzielmy masę przyciągającą na walce elementarne, których spoiną osią jest promień O jj.. Jeżeli y cza promień wewnętrzny, a yĄ-dy promień

zewnętrzny walca, zaś ds jego wysokość, a₀ gęstość średnią lądu czyli skorupy ziemi, to 2îcaQydydz będzie masą walca. Pionowa składowa przyciągania, którego p, od walca doznaje, będzie

ys.dy.ds

(y² + z²) ’

27c/cp.a₀ .

całkowite zatym przyciąganie punktu p. w kierunku Op. będzie

p — 2 TC li [X O₀ J* J

ys dy ds

a składowe, prostopadłe do Op., zniosą się. Kładąc p = p.A M=p,, N, gdzie p oznacza promień podstawy lądu, będziemy mieli yz=.o i y—p, s = o, i zszsh iako odpowiednie krańce powyższej całki. Całkując więc, otrzymamy

2^^007, (l -p7=p)

a ponieważ h jest małe względem p, przeto możemy przyjąć

pz-=.2ïzliydi<3Q.

Niech O będzie środkiem ziemi, i przyjmijmy — Op.u a pïzez g ozńacz-

. gri*

(rt + h)

szeniem w p., gdybyśmy nie uwzględnili przyciągania miejscowego. Rzeczywiste zatym przyśpieszenie gh w punkcie [X będzie

gr i²

(6)

my przyśpieszenie spadku w punkcie p.l5 natenczas

ä byłoby przyśpie-

grt²

+ *-=-!Jj (n+h)

Ponieważ wysokość h jest bardzo mała w porównaniu z r,, możemy przyjąć

-■j

9h —

- + 2itlch%.

2h

21 t

r,²: (ri -j-h)² = l--— = 1 — p-, gdzie R oznacza promień kulio średnićj

gęstości ziemi, przyciągającej punkt p., z taką samą siłą, jak ziemia sferojdal-lia. Aby wyrugować czynnik 7c, możemy przyjąć z dostateczną dokładnością

-f-rcRÆs,

oznaczywszy przez s średnią gęstość ziemi; ten wzór wyraża przyciąganie, którego jednostka masy doznaje od kuli jednorodnej o gęstości s i promieniu R. Stąd

(8)

(9)

7. —

4rcRs

a zatym

(10)

⁹ C¹ R

+JL

^ 2 R s J

s

a ponieważ w przybliżeniu (art. 134) a₀ = —, przeto

u

(,    27.

ÿ(¹⁻B

(11)

3 li

9h —

(12)

o=Ą¹⁺H)-

Podstawiwszy zamiast g wyrażenie z równania Laplace’a (art. 134), otrzymamy ogólnie

(13)

9h—g₀

czyli, według (11)

(14)

9h=9o

5

Podstawmy 2 sin²X = 1 — cos 2 X , przyjmijmy m — — n — —

Ji Â

z=m:(m-2), i oznaczmy przez <?₄₅ przyśpieszenie spadku na powierzchni morza dla X = 45° ; wtedy

(15)

9h = 9 45

o-

)0

Z pomiarów długości wahadła sekundowego w rozmaitych miejscach na ziemi wnosić należy, że przyśpieszenie spadku na równiku (art. 63) g₀ = ïs. 9,780 m. Stąd

— 0,008668; a ponieważ ~ — 0,003478

a

m — ~n —    = 0,00519 ; m₁ == 0,00259 .

Wstawiwszy jeszcze R = 637 . 10* m, otrzymamy

gh — 9m (1 — 0,00259. cos 2X) (1 — 0,000000196. h) .

Tego wzoru, podanego przez J. O. Brocha, używa Komitet międzynarodowy wag i miar w Paryżu do porównywania między sobą ciężarów jednostki masy w rozmaitych miejscach na ziemi. Jeżeli przez 4 oznaczymy odpowiednią długość wahadła sekundowego, natenczas

4 = 4₅ (1 — 0,00259. cos 2X) (1 — 0,000000196 . li).

Do najdokładniejszych pomiarów długości wahadła sekundowego, wykonanych w czasie najnowszym, należy pomiar K. Orffa w obserwatoryjum astronomicznym w Bogenhausen koło Monachium, dokonany w r. 1877, a ogłoszony w r. 1883. Szerokość obserwatoryjum X = 48° 8' 45", a jako długość wahadła sekundowego, zredukowaną na czas średni i poziom morza, otrzymano / — 0,9938102 m. Wstawmy tę wartość w (17), tudzież 2X = 96° 17' 30", wtedy otrzymamy 4₅ = 0,9935282 m, a stąd g^ =. 9,8058970 m. Wstawiwszy te wartości w (16) i (17), otrzymamy ostatecznie

gh — 9,8058970 (1 — 0,00259 . cos 2X) (1 — 0,000000196. h)

4 — 0,9935282 (1 — 0,00259 . cos 2X) (1 — 0,000000196 . h) .

jn=

przeto

2 ffo

(16)

(17)

(18)

(19)

136. Przyciąganie dwu ciae. Niech będą dane dwie kule jednorodne o środkach O i o, i o promieniach R i r; chcemy wyznaczyć przyciąganie, którego kula r doznaje od kuli R. Obierzmy O za początek, prostą O o za oś #-ów, 3 niech oznacza odległość obudwu środków, o gęstość kuli przyciąganej. Przetnijmy kulę r dwiema płaszczyznami, prostopadłymi do osi #-ów, w odległościach # i # -f- dx od O, otrzymamy warstwę o grubości dx, której promień niech będzie y. Element d\i. tej warstwy, odległy o p od środka kuli przyciągającej, jest przyciągany w kierunku prostej p ku środkowi O,

a wielkość tego przyciągania jest Jo. ^

P

gającej. Rzut téj siły na oś #-ów jest

— JcM.dyĄ —: -äM.äii

gdzie M jest masą kuli przycią-

(x²-]-rf) f ’

gdzie Yj oznacza odległość tego elementu od środka warstwy. Czynnik#: :(#²-j-7]²)f jest stały dla wszystkich elementów dp., znajdujących się na pierścieniu o promieniach 7] i 7] -\- dr}, a ponieważ przyciągania, prostopadłe do osi x, znoszą się, przeto pierścień doznaje przyciągania w kierunku téj osi,

a wielkość tego przyciągania jest— 2rc Jo M a .

Kula R przyciąga zatym kulę r w kierunku linii środków z siłą

(1)

xr\.dx. dr\

(#² + 7]²) 2

Całkując naprzód względem yj, mamy Y] = 0 i i] == y — V r² — (3 — #)² jako krańce. Będzie więc

0    (#² + Y]²)f “

\f x² + Yj²    %    23# — (8² — r²)

Całkując względem #, mamy 8 — r i 8 -J- r jako krańce, więc

r+,r ■

Js_r U I/2*®-(«-»•*)/

x.dx — 2 r —

— 4r³ + 12 8²r 2 \_r*_

3 3²

63²

a stąd

(2)

4    , M r³.^ __ __ Jo ■ M p.

3 ic 7* M . g2    g₂ ?

gdzie p. = ~^r to r³ o jest masą kuli przyciąganej. Mamy przeto następujące

twierdzenie: dwie Joide jednorodne przyciągają si§ iaJo, jalogdyby ich masy były sJoupione w ich środkach.

Powyższe twierdzenie może być przy pewnych warunkach uogólnione. Niech będzie ciało i punkt p,, którego odległość od każdego punktu tego ciała jest bardzo wielka w porównaniu z odległością wzajemną jakichkolwiek dwu

punktów tego ciała. Obierzmy którykolwiek punkt ciała za początek osi spół-rzędnych, względem których £, r\, Ç niech będą spółrzędnymi punktu p.; wtedy S² = |² d- 7]² + £² jest bardzo wielkie w porównaniu z x² -\-y² f- z², gdzie x, y, z są spółrzędnymi któregokolwiek punktu ciała. Potencyjał ciała względem p, będzie

dm

dm

! i'—»

[(x — £)² + (y—*»j)a + (z—C)²]

Rozwijając -- na szereg, mieć będziemy

7-T |1 +

(i»² + ÿ² p£²)~    + £0))-%

8²

czyli

n ~ CO

Xi («*)•

[(x²-\- y²-\- z²) — 2 (&e .4- r\y -f CzJ]"

82n

n = 1

Dla bardzo więc wielkiego 8 otrzymamy, rozwijając na szereg aź do wyrazów tego rzędu co 8~ ³ i pomijając x²-\-y² Ą- z² w obec 8²,

+ fT (&* + vu + ^)>

skąd

(3)

y + y . dm +    . dm -f- çjy dm J .

Obierzmy środek masy przyciągającej za początek osi, wtedy Ja?dm = 0^j2/dm=:0,J,^.dm = 0, a zatym

(4)

Vs=

8~’

z czego wynika twierdzenie : jeżeli punkt przyciągany znajduje si§ bardzo daleko od ciała przyciągającego, natenczas to ciało przyciąga go tak, jakgdyby masa tego ciała była skupiona iv środku masy. Z tego wynika wniosek, że diva ciała, bardzo od siebie odlegle, przyciągają się tak, jakgdyby ich masy były skupione w ich środkach masy.

ĆWICZENIA.

(1) . Obliczyć bezpośrednio przyciąganie punktu przez kulę jednorodną, nie używając wzorów Gauss’a.

(2) . Okazać, że jedynie przy działaniu sił, według prawa Newton’a, warstwa jednorodna, ograniczona dwiema elipsojdarni homotetycznymi, nie przyciąga punktu, znajdującego się wewnątrz jéj powierzchni mniejszej.

(3) . Jeżeli -p, 'b, ł> są spółrzędnymi biegunowymi punktu ;j. , a zatym Ê — p cos <p, 7j = p sin <J> cos ił, tnp sin t|i sin O-, a Y jest potencyjałem ciała względem ja, to parametr różniczkowy rzędu 2-go będzie:

àlfvr) , i___à / . d V) 1. d*J

p * dp² ' J p² *dcost|)\'Jn ^àcoséj p²sin²tj) * dit²

4 V = -

Dowieść tego równania, podanego przez Laplace’a.; i na jego podstawie obliczyć po-tencyjał kuli względem punktu zewnętrznego i punktu wewnętrznego, tudzież odpowiednie przyciągania.

(4) . Znalćść przyciąganie, które jednorodny luk koła wywiera na środek tego koła.

(5) . Wyznaczyć przyciąganie, którego doznaje wierzchołek jednorodnego stoż ka obrotowego od masy stożka.

(6) . Okazać, że walec pusty nieskończony, składający się z warstw jednorod. nych, nie przyciąga punktu, znajdującego się wewnątrz powierzchni mniejszej.

(7) . Okazać, że jeżeli przyciąganie jest odwrotnie proporcyjonalne względem wyższej potęgi odległości, niż drugiej, ciało wywiera nieskończenie wielkie przyciąganie na punkt swej powierzchni.

(8) . Okazać, że wierzchołek odcinka kuli doznaje od odcinka przyciągania

gdzie K jest promieniem kuli, a h wysokością odcinka.

(9). Okazać, że odcinek piarabolojdy obrotowej, ograniczony płaszczyzną, prostopadłą do osi i poprowadzoną w odległości d od wierzchołka, przyciąga punkt {A,

o p

znajdujący się w ognisku, z siłą 4 % le p a p log . —--

holojdy.

gdzie jo jest parametrem para-

(10). Jeżeli wewnątrz elipsy znajduje się punkt (£, 7]), przyciągany w stosunku odwrotnym względem odległości; a X, Y są składowymi przyciągania, okazać że

— — stałej.

(11). Okazać następujące twierdzenie Ivory’ego : Gdy mamy dwie elipsojdy jednorodne i spółogniskowe, to stosunek przyciągali, które jedna elipsojda w kierunkach osi głównych wywiera na punkt powierzchni drugiej elipsojdy, do przyciągać, które iv tych samych kierunkach druga elipsojda wywiera ńa punkt odpowiedni (art. 128), jest równy stosunkowi pól tych przekrojów głównych obudwu elipsojd, które są prostopadłe do kierunków odpowiednich przyciągać.

(12) . Okazać, że jeżeli przyciąganie jest proporcyjonalne względem odległości, wtedy ciało przyciąga każdy punkt tak. jakgdyby masa ciała była skupiona w środku masy (tw. Newton’a).

(13) . Obliczyć względem danego punktu potencyjał kuli o nieskończenie wielkim promieniu, której gęstość w punkcie, odległym o r od środka, wynosi e~r

(14) . Obliczyć bezpośrednio przyciąganie, które sferojda jednorodna wywiera na punkt [A, znajdujący się na jej powierzchni, przyjąć następnie mimośród s dostatecznie mały, i rozwinąć na szeregi siły aż do wyrazów tego rzędu co s ²

(15). Okazać, że, jeżeli normalna do południka sferojdy w punkcie ja, przecina oś B w punkcie b, a kierunek przyciągania tego punktu przecina tę oś w punkcie c,

to Oe — -

3

— Ob, gdzie punkt O jest środkiem sferojdy. Przytym opuszczamy wy-

O razy tego rzędu fco s⁴ i rzędów wyższych (tw. Stirling’a).

(IG). Uwzględniając obrót sferojdy jednorodnej około jéj osi, okazać, że siła

^1 -f y sin² x), w którym g₀ jest

ciężkości wyraża się wzorem następującym: <j — <j₀

siłą na równiku, a X szerokością.

(17) . Okazać, że siła ciężkości na powierzchni sferojdy zmienia się proporcy-jonalnie względem długości odcinka normalnej między punktem a osią obrotu sferojdy (tw. Simpson’a).

(18) . Wahadło, bijące sekundy czasu średniego we Lwowie (X rr: 49° 50") zostało przeniesione do Warszawy (X ~ 52° 13r 5"): obliczyć różnicę ilości jego wahań na dobę.

Literatura (Rozdz. XII).

orie

général d’un

wie-

S. Laplace, Mécanique céleste (tomów 5 i dodatkowy, Paris 1799, 1805, 1825).— Iyoey, On the attractions of homogenous ellipsoids, (Phil. transact., London, 1809).- S. I). Poisson: Remarque sur une équation cpii se présente dans la thé-des attractions des sphéroïdes. (Bull, de la soc. philomatique, t. III, Paris, 1813); Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes (Paris, 1826); Mémoire sur l’attraction d’un ellipsoïde homogène. 1833, (Mém. de l’acad. d. sc., t. XIII, Paris, 1835). — C. F. Gauss: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homo-geneorum metliodo nova tractata (1813; Werke, t. Y, Göttingen, 1867); Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs — und Abstossungskräfte (1840, tamże). — G. Geben, An essay on the application of matliematical analysis to the theories of electricity and magnetism (1828; Matliematical papers ed. by Ferrers, London, 1871).—M. Chasles, Mémoire sur l’attraction des ellipsoïdes; solution synthétique pour le cas ellipsoïde hétérogène et d’un point extérieur (1838 ; Mém. des savants étrangers, t. IX, Paris, 1846); Nouvelle solution du problème de l’attraction d’un ellipsoïde hétérogène sur un point extérieur (Journ. des math. t. V, 1840); Théorèmes généraux sur l’attraction des corps (Conn. des temps pour 1845, Paris, 1842).—J. Plana, Mémoire sur différents procédés d’intégration par lesquels on obtient l’attraction d’un ellipsoïde homogène dont les 3 axes sont inégaux, sur un point extérieur (J. v. Ceelle, t. XX. 1840; t. XXVI, 1843). — P. Lejeune — Dieichlet: Leber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale (1839; Monatsberichted. Akad. in Berlin, 1841); Sur un moyen général de vérifier l’expression du potentiel relatif à une masse quelconque homogène ou hétérogène (J. v. Ceelle, t. XXXII, 1846); Voi-lesungen über die im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung wirkenden Kräfte (Leipzig, 1876, 1887).— F. G. Mehleb, Uéber die Anziehung eines homogenen Polyeders. (J. v. Ceelle. t. LXVI, 1866).—F. Meetens: Be functione potentiali duarum ellip-soidjum homogenearum (J. v. Ceelle. t. LXIII, 1864); Obliczenie potencyjału dla lościanów jednorodnych (Rocznik tow. nauk. t. XXXV, Kraków, 1867 ; to samo po nie-

miecku w J. v. Grelle. t. LX1X, 1868); Bestimmung des Potentials eines homogenen Ellipsoids. (J. v. Grelle, t. LXX, 1869).—Moigno, Leçons de Mécanique analytique. Statique (Paris, 1868, lekcyja 17 —19).—F. Grube, Ueber die Anziehung eines homogenen Ellipsoids (J. v. Crelle. t. LXIX, 1868). —I. Todhunter, A history of the mathematical theories of attraction and the figure of the earth (Dwa tomy, London, 1873).'— J. B. Listing: Ueber unsere jetzige Kenntniss der Gestalt und Grösse der Erde (Göttingen, 1872); Neue geometrische und dynamische Constanten des Erdkörpers (tamże, 1878).—H. Züge, Ueber die Anziehung eines homogenen Ellipsoids (Math. Annalen, t. X, Leipzig, 1876). —R. Clausius, Die Potentialfunction und das Potential (wyd. 3-cie, Leipzig, 1877). —- A. Picart, Mémoire sur l’attraction des ellipsoïdes (Ann. de l’éc. norm. sup. 2-e sér. t. IX, Paris, 1880).— Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures (t. I, Paris, 1881). — C. v. Oree, Bestimmung der Länge des einfachen Secundenpendels auf der Sternwarte zu Bogenhausen (München, 1883).—M. Bacharach, Abriss der Geschichte der Potentialtheorie (Göttingen 1883).—E. Mathieu, Théorie du potentiel (Paris, 1885).—E. Sarrau, Sur un théorème de la théorie de l’attraction (Nouv. ann. des math. 3-e sér. t. YI, Paris, 1887). — J. Wilsing, Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde mit Hülfe eines Pendelapparates (Potsdam, 1887).

ROZDZIAŁ XIII.

KINETYKA UKŁADÓW MATERYJALNYCH. ;

137. Zasada d’Alembeet’a. Równania eóżniczkowe euchu. Jeżeli

siły, do układu materyjalnego przyłożone, nie czynią zadość warunkom równowagi, natenczas prędkość każdego punktu dozna wogólności pewnego przyśpieszenia, a układ będzie się poruszał pod wpływem tych sił. Zadanie kinetyki polega na wyznaczeniu ruchu każdego punktu układu, jeżeli są wiadome siły przyłożone, tudzież związki między punktami układu i inne warunki tego ruchu.

Niech do punktu (a?,-, yt, zt), którego masa jest Mi, będzie przyłożona siła Pi. Ponieważ ten punkt nie jost swobodny, przeto jego przyśpieszenie y, nie będzie miało wogólności kierunku siły przyłożonej, a punkt będzie się tak poruszał, jak gdyby był swobodny, i jak gdyby siła (^^WiYibyła do niego przyłożona w kierunku przyśpieszenia. Rozłóżmy siłę P* na dwie składowe, z których jedną niech będzie Q, ; druga składowa Q,' będzie dokładnie oznaczona. Uczyniwszy to samo z każdą siłą przyłożoną, otrzymamy układ sił Q4 które na ruchy punktów układu materyjalnego nie wywierają żadnego wpływu, albowiem każdy punkt porusza się tak, jak gdyby tylko siła Q, była do niego przyłożona. Z tego wynika, że, gdybyśmy tylko same siły QJ przyłożyli do punktów układu, to te siły byłyby w równowadze. Ponieważ siłę Q/ możemy widocznie uważać za wypadkową sił P, i — Q₍, a Qs przedstawia tę siłę, któraby do punktu swobodnego mt przyłożona być miała, aby mu udzielić przyśpieszenia y,, przeto możemy wypowiedzieć następujące twierdzenie: jeżeli siły, przyłożone do układu materyjalnego, nie są tu równowadze, natenczas zachodzi róiunotuaga między siłami przyłożonymi, a siłami co do wielkości równymi a co do kierunku przeciwnymi tym siłom, któreby oddzielnym punktom kładu, za siuobodne uważanym, udzieliły tych przyśpieszeń, które istotnie zachodzą.

To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę d’Alembert’a, mającą miejsce dla jakiegokolwiek układu punktów materyjalnych. Siły Q,-' nazywamy

CA

siłami straconymi (art. 75.); możemy więc zasadę d’Alembert’a tak wysłowić -.jeżeli siły, przyłożone do układu materyjalnego, nie są w rótonowadze, natenczas siły stracone równoważą się.

Łącząc zasadę d’Alembert’a z zasadą prac przygotowanych, możemy utworzyć równania różniczkowe ruchu każdego punktu układu. Niech układ składa się z n punktów, których położenie określamy przez 3 n spółrzędnych prostokątnych względem osi nieruchomych x,y,z. Między tymi spółrzędny* mi niech zachodzi 3 n — s związków

(1)

Lu — 0, L₂ — 0,.., L/j — 0,..., Lj«—$ — 0,

określających ustrój układu, tudzież inne warunki ruchu. Jeżeli X,, Y,, Z* oznaczają odpowiednio składowe siły P, w kierunkach osi spółrzędnych, to d²y /    d²Si

— nii~dt^ ' ~ m‘dt² Przec^s^aw^a3^ odpowiednio rzuty siły—Q, ; ma-

— ni/

d²Xi

Jt²’

my przeto według powyższej zasady następujący związek między tymi siłami a przesunięciami przygotowanymi ich punktów przyłożenia :

à'¹ y i

(2) S (x

d²Xi

*-*»*!*

Y i — ni/

gdzie znak sumy rozciąga się na wszystkie punkty układu. Gdyby do pewnych punktów nie było sił przyłożonych, wtedy należałoby przyjąć odpowiednio X,=o, Yi~o, Z/—o. W przypadku, gdy punkty układu stanowią ciało fizyczne, należy sumowanie zastąpić przez całkowanie. Równanie (2) możemy także tak napisać :

przy czym suma po stronie lewej obejmuje wszystkie punkty układu po prawej wszystkie siły przyłożone.

Aby z podanej zasady otrzymać równania ruchu każdego punktu układu, należy przesunięcia przygotowane wyznaczyć stosownie do warunków (1). Używając w tym celu metody spółczynników nieoznaczonych, dodajmy do lewej strony równania (2) iloczyny X&SL*, w których X*,(7g = 1,2,... ,3n—s), są spółczynnikami nieoznaczonymi ; będziemy mieli

dt²

(3)

dt²

(U-

)=ï(xi$xi + Y, Sy, + Z, 3ft)

a suma

(D

«I

)®*S +ÏXtSL»= 0.

d²Zi

‘-m>w

) a®, + (Yf—m,    Sy,+( Z

8L*=I(t&⁸*⁺

przeto wstawiwszy te wyrażenia w (4) i uporządkowawszy według dxi} 3zt, mieć będziemy

d²Xi

A ponieważ

dL

dyi

dL

dZi

ra4

(5)

Xt — mt

d²Xi

d Lt

dh₂

dt²

¹ dXi

dr/

311—s

dXi

^jdXi -j-

+ (Y + (z

i—nii

ä²Ui

dt²

d²z

dP

dL

¹ àiji

f-X

dL₂

² diji

+ X₃i»_s

Ob

3«—«

dh

db₂

dzi

4" ^'3»—s

dL₃,j—s

dZi

— o.

d Zi

To równanie zachodzi dla wszelkich przesunięć przygotowanych, które z powodu wprowadzenia spółczynników X* uważać należy za wzajemnie niezależne, a przeto spółczynnik każdego przesunięcia jest równy zeru; stąd wynikają następujące równania

d²Xi

mi

dbx

dt²

dXi

■}- X₂

dh₂

dxi

= X*4-£X*

dhfc

dXi '

(6)

dïiji

= Y,- + X

dhx

d.L₂

¹ dyi

H-.....— Y,- 4- S XA

d L*

diji’

ni:

d²zt

dć²

= Zf -f- X

dL

dŁ₂

dLA.

¹ dzi

dZi ‘

Tym sposobem otrzymujemy 3 w równań różniczkowych, określających ruch « punktów układu. Z 3n—s równań (6) należy wyrugować spółczynniki XA. i wstawić ich wartości w pozostałe s równań; natenczas te równania razem z3n — s równaniami warunkowymi (1) posłużą do zbadania ruchu układu. Równania (6) stanowią układ równań różniczkowych ruchu Lagrange’a; one wyrażają, że każdy punkt porusza się tak, jak gdyby był swobodny, lecz oprócz siły P* przyłożono do niego jeszcze siły, zastępujące dane połączenia.

Zasada d’Alembert’a stosuje się także do sił popędowych, których miarą jest ilość ruchu punktu. .Napisawszy równanie (2) w postaci

(7)

sjp—,-§(§)]»+[

Y* — nii-TT

'(!)>*

dt

©w-

pomnóżmy je przez dt, i całkujmy następnie między krańcami 0 i t, gdzie t oznacza trwanie działania sił popędowych. Ponieważ przyjmujemy, że podczas tego działania punkty nie poruszyły się z miejsc swoich (art. 69), przeto w całkowaniu należy §xi} dyi} dzi uważać za wielkości stałe; kładąc przeto

’t

't

’t

Xldt=X

Yidt—Yi,

Z i dt — Z i

otrzymamy następujące równanie:

(8)

Xi—nii

(tCM

Y i — nii

(dyi\t I l dt /oj

dyi +

wyrażające zasadę dAdemberfa dla sił chwilowych, których raiarą są odpo-

_    ___ / dxi\t

wiednie popędy Xi5 Y₍ , Z,. Wyraz

oznacza zmianę prędkości punktu mt w kierunku osi x w skutek przyłożenia sił chwilowych; podobne znaczenie mają dwa inne wyrazy względem osi y i osi z. Z równaniem (8) należy postąpić tak, jak dla sił ciągle działających, a wtedy można otrzymać równania ruchu każdego punktu, określające jego prędkość w skutek działania sił chwilowych. Gdyby na układ działały jednocześnie siły ciągle działające i siły chwilowe, wtedy wielkości, zależące w całce równania (7) od sił ciągłych, byłyby nieskończenie małe w porównaniu z tymi wielkościami, które zależą od sił chwilowych, z czego wynika ważne twierdzenie, że siły ciągle działające mogą być pominięte przy jednoczesnym działaniu sił chwilowych.

Prawa strona równania (3) przedstawia pracę przygotowaną układu sił przyłożonych. Ponieważ dwa układy sił są równoważne, jeżeli przy tych samych warunkach dają tę sarnę pracę przygotowaną, przeto z zasady d’Alem-bert’a okazuje się, źe diva równoważne układy sił, przyłożonych do tego samego układu punktów materyjalnych, sprawią ten sam ruch. Nauka zatym o przekształceniach układów sił, rozpatrywana dotąd ze względów statycznych, stosuje się do wszelkich zagadnień kinetyki.

138. Zasada Hamilton’a. Drugi układ równań Lagrange’a. Sumę jednoczesnych energij kinetycznych wszystkich punktów poruszającego się układu materyjalnego nazywamy energiją kinetyczną układu mate-ryjalnego. Jeżeli więc xj, yl, zl są odpowiednimi składowymi prędkości vi punktu (xh y i, zj) układu, a m, jest masą tego punktu, to energiją kinetyczna T układu wyraża się wzorem

(1)

Niech będą dane dwa położenia układu materyjalnego, odpowiednie czasowi fi i czasowi t₂, i niech U oznacza potencyjał sił przyłożonych, wtedy podobnie, jak dla jednego punktu (art. 77), równanie

'h

(2)

(T + U) dt = 0

Jh

wyraża zasadę Hamilton’a dla układu punktów materyjalnych. Moglibyśmy okazać prawdziwość téj zasady podobnym sposobem, jak dla jednego punktu; wystarczy jednak dowieść, że z téj zasady wynikają równania ruchu. Wstawiwszy wyrażenie dla T, otrzymamy

't₂

l2

t‘2

T .dt —

8T.dt =

S mt (Xi dxi -f y i óyó + zl oz!) dt ;

Jh

całkując częściowo, mieć będziemy

'h

T. dt —

- Mi (xl o Xi + y ! oyi -f si o Si) —

■ (\ », (

Jti

(Pxt

dt²

OXt +

d²lji

dt²

fyi-i

d%

dt²

dt.

Ponieważ położenia punktów dla t—t^i dla t—1₂ są wiadome, przeto dxi: oyn oz i są równe zeru dla każdej z tych dwu wartości t, będzie zatym

'h

(3)

T .dt— —

’d-Xi    (IHji    d²Zi

dt²

⁸*i) dt-

Z równania (2) wynika

(4)

fH

d²Xi

dt²

oXiĄ-

d²yi

d²Zi

dt²

dt²

ost

)-3ü]

dt — O

z czego wypada, że

(d²x{

dhji

o>i+^Ssi)-8U = o;

To równanie wyraża właśnie zasadę d’Alembert’a w przypadku istnienia po-tencyjału sił przyłożonych, z której, jak wiadomo (art. 137), wynikają równania ruchu.

(5)

I nit

dt²

Między 3 n spółrzędnymi n punktów układu materyjalnego zachodzą pewne związki. Niech takich związków będzie 3 n — s; możemy z nich 3 w—s spółrzędnych wyrazić przez s spółrzędnych, lub także przez s odpowiednio obranych argumentów qit q₂,...,qs, które są od siebie niezależne i służą do określenia ruchu danego układu. Te argumenty możemy zawsze tak obrać, żeby one wszystkie równania warunkowe przywodziły do tożsamości. Przyjmijmy, że T + U = Ii, wyraźmy T przez argumenty $ i ich pochodne q', a U przez qt; otrzymamy

t-Z

(6)

R.d* =

SR .dt =

Jti

ÔR

dqs

8qt-1

dR

dR

dq%

dqj

oqj'j dt.

Całkując częściowo, mieć będziemy

/>»=/

J ty    Jt\

t<l dR

dq!

——iddqi =

dR

%/

dqi

dq>

.dt.

I USh

ty

Wstawmy te wyrażenia w (6)> i zważmy, że S<p — 0 dla t = tl i dla t — t2: to z równania (2) -wyniknie

(7)

ja

dli

dU

©*■]

dt — O.

Ponieważ ôç» są dowolne, przeto spółczynnik każdej waryjacyi należy przyrównać do zera, aby otrzymać 5 równań ruchu. Czyniąc to i zważając, że U nie zależy od ą ', że przeto ~=z

dT _ dU % ~ dq{

który zowiemy drugim układem równań Lagrange’a. Podobnie, jak dla jednego punktu, przedstawia ten układ równania ruchu przy pomocy s argumentów q{.

Jeżeli potencyjał nie zachodzi, to równania ruchu będą:

— Qi5 ⁴ • •

otrzymamy następujący układ równań:

(8)

±(àT\

dt \dqî)

• CL(Ê1^

’ dt Vdç/7

dT __ dU àq» ~~ dqs

(9)

w których

_d_/dT\ dt \dçtv

dT

dq

._^_/^T\ dT “i5 dt \ ôqi)

dqk

= Qs,

2>

k— 1

dock , v

• "37--r

dqi

a zasada Hamilton’a wyrazi się równaniem

(10)

Q.- =

dVk

' dqi

dz

dqi

f2

(11)

(ST + UW) dt = 0,

i—s

w którym TJ⁽¹⁾ = X Q< dqi przedstawia pracę przygotowaną układu sił przyło-

- -

żonych.

139. Kanoniczne równania ruchu Hamilton’a. Wyraźmy, jak poprzednio, spółrzędne prostokątne wszystkich n punktów układu materyjalnego przez takie s niezależnych argumentów ?2j •••,?»>• ⁴ • ? ?n'^by wskutek tego równania Warunkowe stały się tożsamościami. Jeżeli przyjmiemy U W =: V (X,-    -J- Yf dy₍ -f-

-j-    to możemy równanie (3) art. 137-go tak napisać:

(1)

Gdy nadamy układowi przesunięcie przygotowane, to energija kinetyczna T przybierze wartość T + ST, a równanie (1) art. 138-go pozwala dwojakim sposobem wyrazić S T, mianowicie :

(2) 8 T = 2 m, ( */ 8 —+,! 8 * + */ 8    , lub 2 8 T=8 S m (x,< ^+„!±+lt' ±j).

Mnożąc równanie (1) przez —li dodając do niego ST, otrzymamy

ddzt \ _ dt )

— ST—U O),

ddx{

ponieważ —— =-- i podobnie dla y{ i zi5 przeto możemy ostatnie równanie tak-

dt dt

że tak napisać: (3)

wi„ xrB, y'n, 7ww z^ oznaczmy odpowiednio literą 7] ze (3?7—1), 3 n, wówczas równanie (3) przybierze postać

Oznaczmy spółrzędne , y,, z, , . . . , xn, y„, z„ jedną literą £ ze wskaźnikami 1, 2, . . . , (3n—1), 3n; a ilość? rucliu punktów w kierunkach osi, a więc ilości ruchu m, je/, mi y,', m, z/, . . wskaźnikami 1, 2, . .

(4)

( di, di₂    di₃ „\

s(v,~ä+rh^ ⁺ ---- + r,³"ir)~

-~ (y),85, + .... + Y18.SU) -ST - TK».

Wyraźmy teraz zmienne xi, yi, zź, a zatym $,, ê₂,... , przez s argumentów .. . , qs to będzie

dxk

dxk

dxk

dxk— t-S?i + — S?2+ • •. +-5-891,

dq{

dq₂

dq

Możemy zawsze wyznaczyć s takich nowych argumentów p,    ps, żeby dla każ

dego przesunięcia przygotowanego

(0

Pl 4“ • < • 4" Ps § ?s — '^1 ^    4" • • • • 4" rf\in% isn •

Jakoż, wyraziwszy wszystkie i przez <?, otrzymamy

dii

dii

dii — 3— &?i 4".....4" 3— ö y*,

dq,

dqs

3 ?i, mnożąc każde §i₍ przez 7],-, dodając i porządkując po pra-

a kładąc 1 =1, 2,.. wéj stronie według Sy₍-, mieć będziemy

(8)

i=s ! Ai    At

T}idii 4- .... 4~ ^3» §£3»==^ (ty 4~ ⁷Î2'^r 4* • • • * 4~'43»

àis»

^<7*

) dqt.

Z porównania tego wzoru ze wzorem (7) wynikają następujące równania, zważywszy, że waryjacyje dqi są od siebie niezależne,

dqi

dq;_

«),

albo, pisząc zamiast | i Y], to co przez nie oznaczyliśmy,

(9)

» /

P* = S mk\Xk-

k= 1    \

2* + »'

djj

dy*

d^fc f i    i dsfj i    i

ćxk dxjc_ dyt_ _ dyk_ fak __

dq' ’ ÔQi ~ d<?/’ d?* ~' d?/

a więc po wstawieniu tych wartości w (9) otrzymamy

k=n ( , dxk’ , dyk ,dzk'\

PiZ=Ss*V**

Wyraziwszy x, y, z przez ę, różniczkujmy T względem $/ ; otrzymamy dT *=»

jr = 1 o?* k=i

Ponieważ xk —

(10)

(11)

dxk

dzk'

dqi

+ ÿ/t

djŁ . - r V d?/ ⁺    *//’

porównywając przeto równania (10) i (11), mamy ostatecznie

,(i = l, 2,....»)-

(12)

Argumenty zatym p{, . . . , j)s są pochodnymi cząstkowymi energii kinetycznej względem pochodnych argumentów    qs. Podstawiwszy w T wyrażenia pochodnych

æ/, y - , V, jako jednorodnych funkcyj linij owych pochodnych ?/, . . .,<?/, otrzymamy w tym przypadku, gdy równania warunkowe nie zawierają czasu wyraźnie, następujące wyrażenie:

T = S(Tä?/2 + 2 ST«.?/ $*ł)

energija więc jest funkcyją stopnia 2-go i jednorodną pochodnych    ?/, której

spółczynniki T„ , Ti(t są funkcyjami argumentów kowe (13) względem każdej z s stępujące

(13)

7,. Biorąc pochodne cząst-

pochodnych ql, otrzymamy s takich równań, jak na-

^ = Tit -}- Ti2 <?₂r + .. .. + THq- + .. • • 4- T,*qj — y,

z których wynikają wprost argumenty pi, i które nadto pozwalają pochodne qt’} . . . ß), wyrazić linijowo przez te argumenty. Ponieważ

(14)

dT

dT

qj

2T==^ +

przeto otrzymamy energiją wyrażoną przez pi i q/

2 t = Pi ?/ + P2 q<i “I⁻. * • -h Ps qJ 1

a wstawiwszy otrzymane z (14) wyrażenia qt', możemy T przedstawić jako funkcyją 2s argumentów q{ , ..

(15)

qs )Pi,.. • 5 ps ■

MECHANIKA TEORETYCZNA.

'O

Załóżmy, że równania warunkowe L* = 0 nie zawierają czasu wyraźnie, wtedy możemy w równaniu (7) zamiast waryjacyj argumentów podstawić ich przyrostki w elemencie czasu c/ż, a wtedy

(16)

d'h ,    . dqs    di i    di ₃n

P,₇r + ....+P,+    ris. —.

Wstawiwszy tę wartość w (4), otrzymamy na mocy równania (7)

+ ■ ■ ■ ■ + r‘ lf) - li 0>,    + • • • • + p. «».) = « T - U⁽‘>,

czyli, rozwijając i kładąc wartość ża UW według (5)

dT=dqi

(17)

— Sp,    +    — %ps —    —    8?,    —

f/ż    ¹    f/ż ^    f/Ż ¹

—~    -j- Q, dqt + ....+ Q« Sf/i.

dt

Rozwińmy S T, wyraziwszy poj>rzednio T przez pt i to będzie

(18)

dT

dT

dT

^    r)T

ö T = 3— dpi +.... + "3    -f- 3—    + . . . . + 3— 8qs.

dr

dps

d?,

dqs

Porównanie obudwu wyrażeń ST (17) i (18), prowadzi z powodu niezależnych od siebie wartości ópt i do następujących równań:

dq± _ dT dt    dp₂

(19)

dq{ dT

dt    dpi

dT

dps

dT

— 3-+Q..

d?

Ten układ równań różniczkowych ruchu nazywamy układem kanonicznym czyli układem równań Hamilton’a.

Jeżeli siły, do układu przyłożone, mają potencyjał U, wtedy

(20)

dU

dti

dU

X( — -3— j — -t— , Z i — 3—. dxj    dyi    Oz i

Wyraziwszy spółrżędne punktów przez argumenty qt. otrzymamy pracę przygotowaną układu sił

(21)

dü

UKJ    dU

\]W — SU = dqt -f . . . . -f 4- dq

0q,

dqs

będzie więc

(22)

dU

Qt "3— •

d?»

Niech potencyjał będzie tylko funkcyją spółrzędnycli, zawierającą czas wyraźnie, lub będącą niezależną od czasu, natenczas U nie zawiera argumentów nie będzie przeto funkcyją argumentów pt. Kładąc więc

(23)

H= T — U,

(5)

gdzië

(6)

Q-=I(x'S+Y*l+Ztl)-

JT JH

otrzymamy —

Podstawiwszy te wartości w równaniu (19), otrzymujemy

w tym przypadku następujący układ kanoniczny:

JH f/?₂

dpx ' dt JH dp₂ _ dqx ⁵ dt

a zamiast równania (17) mieć będziemy

(24)

dqx

dt

dpi

a? a

dq■

dps

dt

àq%

‘ ’ dt

JII

dps

JH

dqs ’

dps

^Spi + ... + ^Sj,s-

To równanie zawiera w sobie cały układ kanoniczny w przypadku istnienia potency-jału; jeżeli zaś potencyjał nie zachodzi, wtedy układ kanoniczny jest zawarty w równaniu (17). Równania (17) i (25) są więc równoważne z równaniem, wyrażającym zasadę d’Alembert’a we spółrzędnych prostokątnych, jeżeli warunki nie zależą wyraźnie od czasu.

140. Zasada kuchu środka masy. Otrzymawszy równania ruchu układu według jednej z podanych metod, należy te równania scałkować z uwzględnieniem warunków początkowych, aby wyznaczyć w każdej chwili miejsce i prędkość każdego punktu tego układu. Ogólną kwestyją całkowania równań ruchu, oile ona wchodzi w zakres tego dzieła, zajmiemy się w rozdziale XVI, który stanowić będzie zarazem dopełnienie kinetyki punktu. Tu podamy tylko główne twierdzenia o ruchu, które możemy otrzymać podobnym sposobem, jak w rozdziale VII dla jednego punktu, bądź wskutek szczególnych założeń co do przesunięć przygotowanych, bądź też wskutek pewnych połączeń równań ruchu, przyczyna będziemy wyłącznie używali spółrzędnych prostokątnych. Nazywamy te twierdzenia, lubo niezupełnie właściwie, zasadami ruchu.

Załóżmy, że między punktami układu nie ma żadnych połączeń, tudzież, że żadne równania warunkowe nie zachodzą, lub też, że warunki Lu- — 0 są wyrażone przez same różnice między równoległymi spółrzędnymi punktów układu. W pierwszym przypadku przesunięcia przygotowane każdego punktu są całkiem dowolne, a punkty stanowią układ tylko w skutek tego, że przyjmujemy między nimi działania wzajemne. W drugim przypadku łatwo okazać, że równaniom warunkowym stanie się zadość, jeżeli przesunięć któregokolwiek punktu udzielimy wszystkim punktom układu. Jakoż, skoro

Li = F i (x{ —Xi, yx —yi: sx —    — #«■ > • • •) = ⁰

jest równaniem warunkowym, to biorąc

8xl = dx₂ = . . . =    = . . . — §#» =    ,

i podobnie dla y i z, nie zmieniamy wartości różnic między spółrzędnymi; a więc warunkowi Li =; 0 stanie się zadość, jakiekolwiek §#, oy, ds obierzemy. Widzimy więc, że przy takim założeniu układ może wykonać dowolny ruch po-

(25)

(1)

(2)

dli—

dq

stępowy, jak gdyby był sztywny i swobodny. Dla układu sztywnego zachodzą, jak wiadomo, następujące równania warunkowe: (x₍—xk)² -f {yt—yk)² + (Zi—zky — r,x-²= 0, w których rik jest stałe; jeżeli przeto taki układ jest swobodny, wtedy równania warunkowe należą do rodzaju równań założonych (1).

Dla układu swobodnego wszelkie przesunięcia są dowolne ; z równania d’Alembert’a

- [(*-«< w) **+(Yi- “■    ¹**+(z

d²Zi

dt²

wynika przeto, że spółczynnik każdego przesunięcia zosobna jest równy zeru. Otrzymamy zatym dla każdej wartości wskaźnika od i— 1 do i—n

d²Xi

(3)

Xi=znii

dt²

Y i —Mi

d²yi „ _ dt² ’ Zi~mi

d²Zi

dt²

a zatym także, biorąc sumę tych wyrażeń, odpowiadających różnym wartościom wskaźnika i,

d²Xi

d-yl

d²Zi

¹ dt² •

Jeżeli równania warunkowe mają postać (1) to biorąc przesunięcia według (2), wyrazimy zasadę d’Alembert’a przez równanie następujące:

(5) 8*S(X,-»Æ) +3yS(Y₍_»»Æi +&s(z,

(4)

dt²

ZYi—ïm

dt²

IiZi=hm

— Mi

dpj ’

w którym dx,8y,dz oznaczają przesunięcia, których punkty układu doznają spoinie w kierunkach osi. Ponieważ te przesunięcia są dowolne, przeto należy spółczynnik każdego z nich przyrównać do zera, skąd wynikają równania (4), jakkolwiek równania (3) w tym przypadku nie zachodzą. Obadwa więc założenia prowadzą do tych samych równań (4), bez względu na naturę sił przyłożonych.

Niech £, 7], C oznaczają spółrzędne środka masy układu, którego masa M=EfW{. Spółrzędne środka masy są wyrażone w każdej chwili przez równania

Mi-=hmiXi, Mri = ï>ni;yi, MC = 'Zniizi

z których przez dwukrotne różniczkowanie względem czasu otrzymamy

d²Zj

dt² *

■u,!-    v d²Xi .. d²T]

uW=-2m‘äP’U

Podstawiwszy tó wartości w równaniach (4), mieć będziemy

(6)

dt²

d²y,

dt²

d² C

(7)

SX,s=M.

d²'f\

d² C

SYj=M

SZ/ = M

dt² '

Te równania określają ruch punktu swobodnego o masie M, który w każdej chwili zajmuje miejsce środka masy układu w przestrzeni, a do którego przyłożono wszystkie siły, na punkty układu działające, w takich samych kierun-

dt²

dt²

kach, jakie te siły w każdej chwili posiadają. Powyższe zatym równania wyrażają następujące ważne twierdzenie : jeżeli punkty stanowią układ swobodny, lub między nimi zachodzą taicie połączenia, że w slcutek tych połączeń Icażdy do-luolny ruch postępowy nieładu jest możebny, natenczas środek masy układu porusza się tak, jak punkt swobodny, którego masa równa się masie układu, a do którego przesunięto równolegle wszystkie siły, przyłożone do punktów układu. To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę ruchu środka masy. Ta zasada stosuje się do każdego układu sztywnego i swobodnego bez względu na siły przyłożone. Z téj zasady okazuje się przedewszystkim znaczenie kinetyczne środka masy, a nadto upatrywać w niej należy właściwe źródło pojęcia punktu o masie skończonej, które jest podstawą dynamiki punktu materyjalnego (art. 68). Ta zasada pozwala wyznaczyć bezpośrednio trzy spółrzędne ruchu układu (art. 42), mianowicie prędkości ruchów postępowych w kierunkach trzech osi spółrzędnych ; ona więc rozwiązuje wszelkie pytania, zależne wyłącznie od ruchu postępowego, który układ w każdej chwili odbywa.

Siły, do punktów układu materyjalnego przyłożone, dzielimy na siły wewnętrzne i na siły zewnętrzne. Siłę, przedstawiającą działanie punktu, do układu należącego, na drugi punkt, należący również do układu, nazywamy siłą wewnętrzną; siłę zaś, przedstawiającą działanie punktu, nienale-żącego do układu, na punkt, który jest częścią układu, zowiemy siłą zewnętrzną. Z trzeciego prawa dynamiki (art. 66) wynika, że siły wewnętrzne pojawiają się zawsze po dwie, równe i o kierunkach przeciwnych, a obie są przyłożone do punktów układu; z sił zaś zewnętrznych tylko jedna jest przyłożona do punktu układu, a druga nie należy do sił, działających na układ.

Stosując te określenia sił do ruchu środka masy, widzimy, że środek masy układu porusza się pod wyłącznym działaniem sił zewnętrznych, jeżeli tylko zasada ruchu tego środka zachodzi. Przykładając bowiem według téj zasady siłę wewnętrzną P do środka masy, wypadłoby także przyłożyć siłę—P; a ponieważ obie siły znoszą się, przeto one nie wpływają wcale na ruch środka masy. Jeżeli więc podczas ruchu układu pojawią się nagle jakiekolwiek siły wewnętrzne w układzie, zmieniające ruchy oddzielnych punktów, to środek masy nie zmienia ruchu swego, czyli ruch tego środka „zachowuje się , to znaczy odbywa się dalej tak, jakgdyby tych sił wcale nie było. W tym znaczeniu rozumiemy zasadę zachowania ruchu środka masy, wyrażającą niezależność ruchu tego punktu od sił wewnętrznych, pojawiających się podczas ruchu układu.

Jeżeli do układu są przyłożone takie siły zewnętrzne, iż one zniosłyby się, gdyby je przeniesiono do jednego punktu, natenczas środek masy układu jest bądź w spoczynku, bądź porusza się jednostajnie po linii prostej. W tym przypadku bowiem będzie SX,—0, STi —0, SZ;=0; równania (7) wskazują zatym na spoczynek lub na ruch jednostajny i prostolinijowy punktu (£, vj, C)> a to stosownie do warunków jmczątkowych. Środek więc masy porusza się jednostajnie, jeżeli nie ma żadnych sił zewnętrznych. Jeżeli układ sił przy-

łożonych jest równoważny z parą sił, wtedy środek masy porusza się także jednostajnie po linii prostej.

141. Zasada pól. Niech ustrój układu będzie taki, że warunki L*=:0 dozwalają, aby zachodził dowolny obrót chwilowy układu około każdej osi układu spółrzędnych. Ten przypadek zajdzie np. wtenczas, gdy punkty układu są swobodne i bez żadnych połączeń, lub także, gdy układ jest sztywny i swobodny. Jeżeli więc §£, cfrj, §C oznaczają odpowiednio odchylenia nieskończenie małych obrotów przygotowanych około osi spółrzędnych, to równaniu d’Alembert’a stanie się zadość, jeżeli przyjmiemy (art. 104)

hxizzzgiün— ÿjSÇ, Syi—XihÇ—$Zi=yidi— Xidrj.

Zasada d’Alembert’a prowadzi wtedy do następującego równania:

(1)

ses

|(Zjÿj—Y,-*) — mi (

d²Xi

ä²Si

)J + SCS j(YiXi—Xiyi) —mi (xi

Vi

dt²

„ d²y>

Zi ■

dt²

— Z iXi) —

))

d²ÿi

d²x

— 0;

Xi dt²

Vi dt²

a ponieważ odchylenia są dowolne, przeto należy spółczynnik każdego z tych odchyleń przyrównać do zera; otrzymamy następujące równania:

d²Zi

dt²

dt²

)=S(Y,®i—X,yO-

Przypuśćmy, że siły przyłożone zadość czynią ciągle warunkowi

S (Zj«/j—— 0,

że zatym suma momentów tych sił względem osia:, gdy ich punkty przyłożenia uważać będziemy za sztywnie z sobą połączone, jest równa zeru. Wtedy 1-sze równanie (2) daje się całkować; wynika z niego

W* dt

gdzie Cj jest stałą dowolną. Aby rozpoznać, kiedy zachodzi warunek (3^ zredukujmy siły do początku osi O; otrzymamy wogólności siłę wypadkową i parę wypadkową. Moment siły wypadkowej względem osi x jest równy zeru. A ponieważ suma momentów obudwu sił, stanowiących parę wypadkową, względem osi x, równa się rzutowi momentu tej pary na tę oś, przeto warunek (3) zachodzić będzie, jeżeli moment pary wypadkowej jest w każdej chwili prostopadły do tej osi. Jeżeli siły stanowią układ sił 1-go rodzaju, wtedy warunek (3) wymaga, żeby ich wypadkowa przecinała oś x. W przypadku, gdy te siły stanowią układ 2-go rodzaju, moment pary wypadkowej jest prostopadły do téj osi. Warunek (3) zawsze zachodzi, jeżeli na

(2)

(3)

(4)

f 2 nii (xi

dt²

d²Xi ^ d²0i '

Ht2    Xi~dt²

d²yi d²Xi

dt²

Vi

dzi

dt²

sf)=c

punkty układu działają same siły wewnętrzne, lub jeżeli siły zewnętrzne ciągle się równoważą.

Połączmy punkt mi} (xt, y i, zt), z początkiem układu spółrzędnych O; wyrażenie (yidzi—Si dyj) przedstawia podwójny rzut na płaszczyznę y Oz tego pola, które promień O mi opisuje w elemencie czasu dt, a stosunek wiel* kości tego rzutu do czasu dt, przedstawia prędkość wycinkową rzutu punktu mi na téj płaszczyźnie. Pównanie (4) zatym wyraża następujące twierdzenie: jeżeli punkty układu są swobodne, lub jeżeli między nimi zachodzą takie połączenia, że układ może się obracać około każdej prostej, przechodzącej przez pewien punkt stały, a suma momentów sił względem pewnej prostej, przez ten punkt przechodzącej, jest ciągle równa zeru, natenczas suma iloczynów mas tych punktów i rzutów ich prędkości wycinkowych na płaszczyznę, prostopadłą do téj prostej, jest stała. To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę pól dla układów materyjalnycli.

Jeżeli siły przyłożone zadość czynią prócz (3) jeszcze warunkom I (XiZi — ZiXt) — 0 i X (YiXt — Xtyi) = 0, to otrzymamy jeszcze dwa inne równania

(5)

diji

dXi \    s-*

V‘W)=G

dXi

wyrażające, że zasada pól zachodzi w tym przypadku także względem rzutów płaszczyzny z O x i xOy. Z tego wynika, że w tym przypadku zachodzi powyższa zasada względem każdej płaszczyzny w przestrzeni, to znaczy, że suma iloczynów mas tych punktów i rzutów ich prędkości wycinkowych na każdą płaszczyznę jest stała. Wielkość téj sumy zależy od warunków początkowych i od kierunku płaszczyzny. Warunkom (3) i (5) stanie się zawsze zadość, jeżeli na punkty układu działają same siły wewnętrzne, lub jeżeli siły zewnętrzne równoważą się w każdej chwili. Dla takich układów zachodzi więc zasada pól względem każdej płaszczyzny.

Poprowadźmy przez punkt O dowolną płaszczyznę, której dostawy kierunkowe niech będą a,b,c. Jeżeli G jest podwójną sumą iloczynów mas i rzutów prędkości wycinkowych na tę płaszczyznę, natenczas

C = a Ci J- b 0₂ “h c C3.

•(6)

na

(7)

Z tego wyrażenia możemy wyznaczyć płaszczyznę {a, b, c), dla której C przybierze wartość największą. Kładąc T = C-j~X (a² + b² + c² — 1), gdzie X jest spółczynnikiem nieoznaczonym, otrzymamy, jak wiadomo, następujące

— 0,~ = 0,^- = 0,z których wynika

wa-

dr

runki dla szukanej płaszczyzny: ^

Ci + 2Xa—0, C₂ + 2Xó = 0, C₃ + 2Xc=0,

a zatym

(8)

Ot “O.

równanie więc szukanej płaszczyzny, przez O przechodzącej, będzie Oxx-\-+ C₂«/-f- C₃£—0. Obierzmy ją za płaszczyznę yOz, wtedy C₂ = 0, C₃ = 0,

a z równania (7) wynika dla każdej innej płaszczyzny: C — «C,, gdzie a jest dostawą kąta, który ta płaszczyzna tworzy z płaszczyzną yOs. Ponieważ a<l, przeto C<C C,, z czego wynika, że suma powyższych iloczynów, odniesionych do płaszczyzny (8), jest największa. Tę płaszczyznę, względem której suma iloczynów mas i rzutów prędkości wycinkowych wszystkich punktów poruszającego się układu jest największa, nazywamy według Laplace’a płaszczyzną niezmienną tego układu. Ta płaszczyzna nie zmienia swego kierunku w przestrzeni wskutek pojawienia się jakichkolwiek sił wewnętrznych między punktami układu. Wystarczy przeto znać jéj kierunek dla jakiegokolwiek czasu, np. dla t — 0, aby z sumy C, rozważanych wyżej iloczynów względem téj płaszczyzny obliczyć odpowiednią sumę C dla każdej innej płaszczyzny. Z zasady pól, zastosowanej do samych sił wewnętrznych, wynika zasada zachowania pól, która wyraża, że suma iloczynów mas i rzutów prędkości wycinkowych jest taż sama t. j. „zachowuje się”, jakiekolwiek siły wewnętrzne pojawiłyby się podczas ruchu układu.

Dla układów swobodnych (sztywnych lub niesztywnych) zachodzi zasada pól przy pewnych warunkach także wtenczas, gdy spoiny wierzchołek tych pól jest punktem układu, a zatym porusza się razem z nim. Aby to okazać, obierzmy w układzie dowolny punkt A, którego spółrzędne względem układu osi Oxijs niech będą x₀, y₀, z₀, i wystawmy w tym punkcie trzy osi Ai, Ay], AC, odpowiednio równoległe do osi Ox, O y i i Os, a które podczas ruchu pozostają ciągle równoległe do tych osi. Jeżeli £*, y],, C; są spółrzędnymi punktu m względem tych nowych osi, to xt = x₀ + &, y i = y₀ + tj, ,sź = s₀-ł-Ci, a zatym dxi — dx₀ -f dii i podobnie dy{ i dsi. Otrzymamy więc z zasady d’Alem-bert’a następujące równanie:

d'¹sl\

rfF,+

(9) Sx₀l (x₍-»,^)+8y₀s(Y,-»^)+&os(z

d²Si

)sc,} — 0.

+* |(x*- * wh+(Y‘- w)    ‘+(Z

Jeżeli zaś uwzględnimy zasadę ruchu środka masy, to będziemy mieli

(io) s{(x,

d²Xi

Wstawiwszy go równania

)«ł+(y

d²X(_d²x₀ ( d%

^Ht²

d²yl

nii

d²sl

dt²

jäC,} = 0.

i podobnie dla y i i si} otrzymamy z ostatnie-

(11)

d²y₀

dt²

hmidrji•—

d²so

+ sj(x

i—mi

dt²

)55,+ (y

Są 8Ci 4-

dt²

dK,

m‘~W

) 5C, j = 0.

Jeżeli przyjmiemy

d²x₀

d²y₀

d%

natenczas otrzymamy równania różniczkowe ruchu układu względem ruchomych osi A£t}£ z następującego równania:

(13) S (x

<PŁ

)«<+(y

i—mi

dKi

dt²

) 8C,J = 0.

"Warunek (12) zachodzić będzie, jeżeli punktem A jest środek masy układu, lub punkt taki, który porusza się jednostajnie po linii prostej. W pierwszym bowiem przypadku będzie ciągle £»^€<=0,    0, XCi = 0, w drugim

zaś będzie

d²x₀

0, -Jp- — 0, —föt — 0 . Ponieważ w każdym z tych przypadków układ swobodny może się jeszcze obracać około dowolnej osi, poprowadzonej przez punkt A, przeto z równania (13), mającego taką postać, jak-gdyby osi układu A£yjC były nieruchome, okazuje się, że zasada pól będzie zachodziła dla każdej płaszczyzny, przesuniętej przez ruchomy początek, jeżeli siły zadość czynią nieustannie warunkom

dt'¹

(14)

I (ZiYji-YtQ = 0,2 (XiCi-ZiUi) = 0,2 (Y^-X^) = 0.

Między innymi przypadkami możemy tę zasadę stosować do środka masy układu swobodnego, na który działają bądź same siły wewnętrzne, bądź siły zewnętrzne, równoważące się nieustannie. Zasada pól zachodzi także wtenczas, gdy punkty układu doznają przyciągań od punktu stałego lub od punktu, poruszającego się jednostajnie po linii prostej. Środek przyciągania należy wtenczas obrać za wierzchołek pól opisywanych.

142. Inne wyeażenia powyżej podanych zasad. Okazane wyżej zasady można inaczej przedstawić, rozważając ilości ruchu punktów układu. Xieck zachodzi zasada ruchu środka masy; wtedy otrzymamy dla każdej prostej w przestrzeni, biorąc ją za oś wiadome równanie (art. 140)

dzXi

2 m.

dt²

które możemy tak napisać:

(1)

d „ dxi

-r- 2 Mi —rr-

dt

dt

= 2 X,.

Ponieważ ~ jest rzutem prędkości punktu na rozważaną prostą, przeto

Cl Ir

nii ⁽^j przedstawia rzut ilości ruchu tego punktu na tę prostą, a 2 nii jest

sumą algiebraiczną rzutów ilości ruchu wszystkich punktów układu na tę prostą. Nazywamy tę sumę ilością ruchu czyli momentem ruchu układu względem prostej. Całkując równanie (1) względem czasu między krańcami i t₂, otrzymamy

(2)

dxi

2X,^ = 2

ł2

Xi dt.

Xj przedstawia rzut siłyP,-, przyłożonej do punktu mi, na powyższą prostą; iloczyn ’Kidt tego rzutu i elementu czasu nazywamy popędem chwilowym, albo impulsem lub też popędem elementarnym siły P, względem

Ct₂

prostej (ark 69). Całka l ~Kidt popędów elementarnych siły, brana mię

dzy dwoma krańcami czasu, nazywa się popędem siły względem prostej rozważanej w przedziale czasu t₂— tt. Popęd siły można uważać za siłę chwilową, któraby na punkt, będący w spoczynku, działać musiała w kierunku prostej, aby mu nadać taką ilość ruchu, o jaką zmienia się ilość ruchu tego punktu w danym czasie. Na podstawie tych określeń otrzymujemy z (2) następujące twierdzenie: jeżeli zachodzi zasada mchu środka masy, natenczas zmiana ilości ruchu układu względem dowolnej prostej, w jakimkolwiek czasie, równa się sumie popędów sił przyłożonych (zewnętrznych) względem tej prostej w tymże samym czasie.

Jeżeli na układ działają same siły wewnętrzne, wtedy = 0 dla każdej prostej, z czego wynika, że ilość ruchu układu względem jakiejkolwiek prostej nie zmienia się, czyli zostaje zachowana. Wtym znaczeniu rozumiemy zachowanie ilości ruchu układu materyjalnego względem jakiejkolwiek prostej.

Niech co do połączeń zachodzą warunki, z których wynika zasada pól; natenczas równanie (2) artykułu poprzedzającego możemy tak napisać:

2,-§f) = £(Zf

dZi

(3)

a stąd otrzymamy:

(4)

dz,-

dt

(Zty* — Y i z) dt.

Podobnie otrzymamy dwa inne równania, odnoszące się do osi y i do osi z. Aby punktowi m{, (xn y i, zi) udzielić ilości ruchu w,- vi: gdzie Vi oznacza prędkość punktu, na to potrzeba siły chwilowej, której składowymi w kierunkach

Wyraz pod znakiem sumy po le-

.    . , . dXi dyt dzi

osi są odpowiednio mi , mt , m, .

wéj stronie równania (4) przedstawia moment tej siły chwilowej względem osi x, który nazywamy także momentem ilości ruchu (momentem momentu ruchu) punktu względem prostej. Sumę momentów ilości ruchu wszystkich punktów układu materyjalnego względem pewnej prostej, nazywamy momentem ilości ruchu układu względem prostej. Tę sumę przedstawia lewa strona równania (4). Prawa zaś strona przedstawia sumę momentów popędów wszystkich sił przyłożonych, a przeto mamy twierdzenie: zmiana momentu ilości ruchu nieładu swobodnego względem do-wolnej prostej w jakimkolwiek czasie, równa się sumie momentów popędów sił przyłożonych (zewnętrznych) względem tej prostej w tymże samym czasie.

Przyłóżmy do punktu (xt, yt, zj) siły chwilowe »»,•

du i

dyi

dxi

dt

i zredukujmy te siły do początku osi spółrzędnych; otrzymamy pewną parę sił o momencie G, który przedstawia właśnie moment ilości ruchu układu względem tego punktu. Przyjmijmy:

Gx = l mi    -Jj), Gy = £ m,_ (zt - xt    ,G,=:£ mt (xt    •- y i -^) ;

wówczas G¹¹ — G.r² + Gÿ² 4- Gr*². Odetnijmy na osiach spółrzędnych odpowiednio momenty Gx, Gv, Gz, i dokonajmy ich składu wiadomym sposobem, otrzymamy odcinek prostoliniowy, przedstawiający właśnie moment G, a G Gÿ i Gz będą spółrzędnymi punktu końcowego tego odcinka. Mamy więc we-dług (3)

(5)    ^=S (Z,y,- Y<*₍) ,^£ = S ÇS,«-Z,*,) ,^ = S (Y,*,- X,y,).

7 n

Ponieważ —i t. d. oznaczają rzuty prędkości punktu końcowego odcinka

G, przeto otrzymujemy następujące twierdzenie: moment układu sił zewnętrznych względem dowolnej prostej, równa się co do wielkości i kierunku rzutowi na tę prostej prędkości punktu końcowego odcinka, przedstawiającego moment ilości ruchu układu materyjąlnego.

Poprowadźmy przez środek masy (£, 7j, C) układu trzy osi prostokątne, równoległe do osi x, y, z, i podczas ruchu układu poruszające się równolegle do siebie. Jeżeli '/],, £* oznaczają spółrzędne punktu nii względem tych osi, to Xi = i + ii, y i = V) -f y\i, zt — C + C «, przyczym ty, Ci są zmienne, gdyż układ zmienia swoje położenie względem tych osi, mających ruch postępowy. Ponieważ X w, ii — 0 , S nii — 0 i podobnie E w,- ty = 0, E m* = 0 j

£m₍ C« = 0 , I w, = 0 , przeto wyrażeniu G,; możemy nadać taką postać:

CIO

(6) i podobne otrzymać wyrażenia dla Gÿ i G~, gdzie M jest masą układu. Mamy zatym ważne twierdzenie : moment ilości ruchu układu materyjalnego względem prostej jest sumą dieu momentów, mianowicie momentu względem tej prostej ilości ruchu jego masy, skupionej w środku masy układu, tudzież momentu ilości ) uchu tego układu względem prostej, poprowadzonej równolegle przez środek masy.

SM)

• dt)

dobnie otrzymamy dwa inne równania. Każde z tych równań wyraża, że ment ilości ruchu względem odpowiedniej osi spółrzędnych jest stały. Niech a, l), c oznaczają dostawy kierunkowe dowolnej prostej, przechodzącej przez początek osi, to aCi + bC₂ + c0₃ będzie momentem ilości ruchu układu wzglę-

Jeżeli X (Ziiji — Y,-*) = 0, £ (X#* — Z*xt) = 0 i E (Y,a?< — Kty,) — 0 ,

= 0,; po-

natenczas z

równania (4) wynika, jak wiadomo, Ewi (

mo-

dem téj prostej, z czego się okazuje, że ten moment jest stały dla każdej prostej, przechodzącej przez początek osi.

Przyłóżmy do każdego punktu odpowiednią silę chwilową m, i\ w kierunku prędkości, i zredukujmy te siły do początku osi spółrzędnych O; otrzymamy siłę wypadkową i parę wypadkową. Jeżeli zachodzi zasada pól, to moment p téj pary wypadkowej będzie

p=Vc,* + cs + c₃*,

a jego dostawy kierunkowe będą odpowiednio proporcyjonalne względem C C₂, C₃. Okazuje się zatym, że płaszczyzna niezmienna (art. 141) jest prostopadła do momentu p, czyli, że płaszczyzną niezmienną jest płaszczyzna pary wypadkowej ilości ruchu układu materyjalnego. Jakiekolwiek położenie zajmie układ podczas ruchu, para wypadkowa sił chwilowych, zredukowanych do punktu O, nie zmienia się ani co do wielkości, ani co do kierunku.

143. Zasada pbacy i zasada eneegit. Załóżmy, że równania warunkowe L* = 0 nie zawierają czasu wyraźnie, wtedy możemy w równaniu d’Alem-bert’a zamiast przesunięć przygotowanych podstawić przesunięcia rzeczywiste punktów w elemencie czasu dt (art. 85). Czyniąc to, wyrazimy w tym przypadku zasadę d’Alembert’a przez następujące równanie:

d²Xi

(?)

(1) sj(x,

dt²

Z‘~

d²Zi

czyli

(2)

Im,

d²Xi

dt²

dxi -j—:

= 0,

j dX{ (y

dy, + ^ di) = £ (XA + Y,dy, + Z, di,).

ûli dt²

dryi

dt²

Niech Vi będzie prędkością punktu w,-, wtedy

d²yi

n    . d²Zi ,

tyi + -fip dzt

dt²

możemy zatym równanie (2) napisać także w postaci

(3)

- v (X, dXi -f Y, dy> + Z, dej).

A

Ponieważ strona lewa tego równania przedstawia różniczkę energii kinetycznej układu materyjalnego, a suma po stronie prawej przedstawia pracę elementarną układu sił przyłożonych, przeto mamy twierdzenie : jeżeli warunki ruchu są od czasu niezależne, natenczas różniczka energii kinetycznej układu materyjalnego równa się pracy elementarnej układu sił przyłożonych. Znając prawo działania każdej siły i drogę jéj punktu przyłożenia, możemy równanie (3) scałkować między dwoma danymi położeniami układu, i otrzymujemy twierdzenie: zmiana energii kinetycznej układu materyjalnego między dwoma jego położeniami równa się odpowiedniej pracy układu sił przyłożonych. To twierdzenie wyraża tak zwaną zasadę pracy dla układów materyjalnych. Ta zasada zawsze zachodzi dla układów swobodnych, bez względu na siły i na połączenia punktów z sobą. Praca układu sił przyłożonych zależy od obudwu położeń

układu materyjalnego i od drogi, którą każdy punkt opisał między tymi położeniami. Zmiana energii zależy więc od dróg oddzielnych punktów układu uiateryjalnego między danymi położeniami; jeżeli zaś siły nie są funkcyjami czasu, to owa zmiana zależeć będzie tylko od dróg opisanych.

Niech układ sił przyłożonych posiada potencyjał U, nie zawierający czasu wyraźnie, wtedy

(4)

dU

dU

dU

a stąd

ï (X, dx, + Y,dyi + Z,dl,) = <?U,

a zatym praca elementarna układu sił równa się różniczce potencyjału. Całkując to równanie między krańcami, otrzymamy twierdzenie, że praca układu sił między dwoma położeniami układu materyjalnego równa się odpowiedniej zmianie potencyjału sił. Oznaczając przez T energiją kinetyczną układu, otrzymamy przeto z (3) ćlT = dU, a całkując i oznaczając przez T₀ i U₀ wartości T i U w położeniu początkowym, mieć będziemy

T-T₀=:U-U₀

(5)

(6)

dZi

czyli ogólnie

(?)

T = U + H,

gdzie H jest stałą. Jeżeli warunki ruchu są niezależne od czasu, a siły przyłożone posiadają potencyjał, nie zawierający czasu wyraźnie, natenczas energiją kinetyczna układu materyjalnego różni się od potencyjału sił o wielkość stałą. Zmiana energii między dwoma położeniami układu materyjalnego równa się wtedy odpowiedniej zmianie potencyjału sił. To twierdzenie wyraża zasadę energii dla układów materyjalnych, której szczególny przypadek dla jednego punktu podaliśmy w art. 83-cim.

na

Jeżeli ta zasada zachodzi, to układ przybiera zawsze tę sarnę energią, ilekroć podczas ruchu wraca do tego samego położenia, a praca sił między wyjściem z pewnego położenia a powrotem do niego jest równa zeru, jakąkolwiek drogę każdy punkt opisał i w jakimkolwiek czasie powrót nastąpił. Zmia-energii kinetycznej i praca sił są więc tylko funkcyjami spółrzędnych punktów układu, a nie zależą wcale od czasu. Do zachowania energii kinetycznej nie potrzeba, żeby każdy punkt wrócił do swego pierwotnego położenia, lecz wystarcza, żeby tylko potencyjał odzyskał wartość pierwotną.

Energiją kinetyczną układu można wyrazić przez spółrzędne jego punktów względem osi ruchomych. Obierzmy wr tym celu dowolny punkt układu (#o , y₀, zQ), wystawmy w nim układ osi równoległych do x, y, z i posuwających się równolegle do siebie, i oznaczmy przez £», ■/]», Ci spółrzędne punktu względem tych osi (art. 141 ). Wtedy Xi — x₀ + Ci, y i = y o + rii > — #o + Ci ? a zatym Xi — Xq +Ài i podobnie y' i zj, skąd

T==S-y-[ « + €/)* + (W + V) + W +WJ

a rozwijając kwadraty i kładąc

V = V² + Vo² + #0²J viw² — £/² + Y]/² -f- Ç/², M — S,

otrzymamy

(8)

T =    ₊ s ^Î|ÜL ₊ *; Im, u + Sm,.    Sm. C/.

Nieoli punktem (x₀, f/₀, #₀) będzie środek masy układu, wtedy będzie    0,

7]j — 0, Sw, C* — 0, otrzymamy zatym

(9)

m_ Mr₀² v »liVto²

¹ “ 2 ⁺ 2 '

Ponieważ v₀ jest wtedy prędkością środka masy, zaś viw prędkością punktu m,-względem tego środka, przeto ostatnie równanie wyraża następujące twierdzenie E. König’a: Energija kinetyczna układa materyjalnego równa się sumie dwu wielkością z których jedna przedstawiałaby energiją kinetyczną środka masy, gdyby tu nim była skupiona masa układu, a druga przedstawia energiją kinetyczną układu, odpowiednią prędkościom jego punktów względem środka masy.

144. Zasada zachowania energii. Przez odpowiednią interpretacyją równania (6) art. poprzedzającego możemy otrzymać pewną'zasadę, która w nowszych czasach wyniesiona została cło rzędu najważniejszych praw przyrody.

Rozważajmy układ materyjalny w dwu położeniach A i A₀, i niech T i U, T₀ i U₀ oznaczają odpowiednio energiją kinetyczną układu i potencyjał sił w tych położeniach. Według równania (6) mamy

(1)

T — U = T₀ - U₀ czyli T 4- (U₀ - U) =.- T₀ .

To

Niech A₀ będzie pewnym, zresztą dowolnie obranym, położeniem układu, do którego wszelkie inne położenia A odnosimy. Różnica U₀ — U oznacza pracę, którą siły przyłożone wykonać mają, aby układ z położenia A przywieść do stale obranego położenia A₀, w którym układ posiada energiją kinetyczną T₀. Ta praca zależy tylko od obudwu położeń rozważanych, a jest niezależna od czasu i od dróg opisanych, tudzież od rozmaitych ruchów, które układ przechodzi, przenosząc się przy działaniu sił z jednego położenia do drugiego. Obierzmy położenie A₀ tak, żeby U₀ — U było dodatne, wtedy będzie T ; różnica U₀ — U przedstawiać zatym będzie przyrost energii kinetycznej układu, jeżeli on z położenia A zostanie przeniesiony przez siły do położenia A₀.

Pracę, którą siły przyłożone wykonać mają, aby układ materyjalny z pewnego położenia A przywieść do innego położenia A₀, nazywamy energiją potencyjalną układu w położeniu A względem położenia A₀. Przymiotnik „potencyjalna” ma oznaczać, że energija kinetyczna układu w położeniu A może przyróść właśnie o wielkość, równą téj pracy. Sumę energii kinetycznej i energii potencyjalnéj układu nazywamy energiją całkowitą tego układu. W tych określeniach przyjmujemy oczywiście, że siły i warunki

ruchu są tego rodzaju, iż zasada energii zachodzi. Korzystając z określenia sił zachowujących, danego w art. 83-cim, możemy twierdzenie, wyrażone równaniem (1), wypowiedzieć, jak następuje: jeżeli na układ materyjalny działają siły zachowujące, a ivarunki ruchu są od czasu niezależne, natenczas energija całkowita nieładu zachowuje podczas ruchu wartość stałą. W każdym bowiem położeniu A energija całkowita równa się téj energii kinetycznej, która odpowiada położeniu A₀, stale obranemu. W" téj postaci przedstawia podane twierdzenie zasadę zachowanie energii.

Siły zewnętrzne, działające na punkty układu, przedstawiają działanie nań innego układu, a powyższa zasada zachodzi, jeżeli te siły zależą tylko od położenia wzajemnego obudwu układów. Gdy obierzemy pewne położenie A₀, jako położenie odniesienia, to wystarcza znajomość energii kinetycznej układu w tym położeniu, aby bez względu na wszelkie inne okoliczności obliczyć ener-giją potencyjalną układu w każdym innym położeniu, znając jego energiją kinetyczną w tym położeniu. Jeżeli energija kinetyczna wzrasta wskutek pracy sił, wtedy energija potencyjalna zmniejsza się o tyle, o ile pierwsza przyrosła; jeżeli układ przyjmie położenie A₀, wtedy energija potencyjalna staje się równa zeru, a energija całkowita sprowadza się do energii kinetycznej.

Rozważajmy ciało, spadające na ziemię przy wyłącznym działaniu siły ciężkości. Przyjmijmy dowolną płaszczyznę poziomą za płaszczyznę xy, i oznaczmy przez Zi pionową odległość punktu m,- od téj płaszczyzny, licząc dodatne zi w górę. Rozkładając siły na składowe poziome i pionowe, otrzymamy X,- = 0 , Y₍ — 0 , Z; ~ — m,g, a więc

(2)

Js (X, dxi + Y i dy,    Tii dz,)

=.-— S myj z, 4- c — — M#C + c

gdzie C oznacza odległość środka masy od téj płaszczyzny, M masę ciała, c stałą dowolną. Potencyjał więc sił ciężkości wynosi U =: — M#C + c , a wyznaczając c tak, żeby dla Ç = 0 było U — 0 , otrzymamy c — 0 , a więc U = — C • Praca sił ciężkości, działających na punkty ciała materyjalnego, równa się pracy ciężaru ciała, przyłożonego do jego środka masy. Niech ciało spada ze spoczynku, a środek masy niech będzie w wysokości h nad powyższą płaszczyzną poziomą, określającą położenie A₀. Jeżeli środek masy spadnie do A₀, będzie U₀ = 0, (wyznaczyliśmy bowiem c z tego warunku), więc T₀ = — Mgh. W jakimkolwiek innym położeniu, gdy środek masy leży ponad A₀, będzie C <^, U = — Mg Z; z zasady przeto powyższej wynika równanie T -f Mg t — Mgh. Wielkość Mgt wyobraża energiją potencyjalną, a Mgh energiją całkowitą ciała w położeniu rozważanym. Podczas spadku zbliża się ciało do A₀, energija kinetyczna T wzrasta wskutek pracy sił ciężkości, a energija potencyjalna zmniejsza się, tak, iż przybiera wartość 0 na poziomie A₀, Gdy ciało podnosi się, wtedy wzrasta jego energija potencyjalna, a energija kinetyczna zmniejsza się, tak iż, gdy pierwsza osiągnie wartość największą, druga stanie się równa zeru w najwyższym położeniu, jakie ciało zajmie nad poziomem A₀.

Powyższa zasada jest szczególnie ważna w tyra przypadku, gdy na punkty układu działają same siły wewnętrzne, będące funkcyjami odległości dwu punktów. Niech mt, mk oznaczają masy dwu punktów, rik ich wzajemną odległość; siły wewnętrzne, działające w kierunku prostej mk, wyrażają się wtedy wzorem mk cp (ra), w którym cp (r«) oznacza funkcyją odległości. Otrzymamy wtedy:

' X, = — X/, = =p mi mk cp (ra) • ——

1    rik

(3)

*V*

Y, = - Y, = q= »i, m, cp (ra) . i Z* = — Z* = rp m* mk <p (ra) .    ^

Xi Ær* + Y₍ äiji + Z, äh -f X/. dxk + Yk dyk -f Z/, dzk —

t fiv»)

[(#*—«*) (dxi—dxk)+(yi—yk) (dyi-dyk)-ir(Zi—zk) (dZi—det) J,

gdzie znak— odnosi się do przyciągania, a znak -f do odpychania. Ponieważ n*² — (#* — -£/)² + (ÿi — y i)² -f (Zi — z/,)², a stąd

ra drlk = (a* — «*) (Ær* — cfa?*)+(y< — y*)    — dfy*) Ą-(Zi — z/,) (fe — Ä&*),

— nh mk

t'ik

przeto :

X, dXi -f ... + Z, dzk = =j= ms w* cp (r,k) . dr« ;

kładąc zatym

(4)

Jrp cp (rtt) dr« — 4> (r«)

otrzymamy

(5)

U = £ E w* d> (r«) -f c,

jako potencyjał układu sił weAvnętrznych. Sumowanie rozciąga się na wszystkie kombinacyje różnych wskaźników po dwa. Funkcyją TJ, według (5) obliczyć się dającą, której wartość zależy od funkcyi cp, nazywamy funkcyją potencyjalną albo także potencyjałem układu materyjalnego względem siebie samego. Potencyjał układu zależy tylko od wzajemnego położenia punktów tego układu, a nie zależy od położenia, które układ zajmuje w przestrzeni.

Układ będzie w równowadze stałej co do sił wewnętrznych, jeżeli poten* cyjał U przybierze wartość największą (art. 114). Obierzmy to położenie układu, w którym zachodzi największa wartość potencyjału, za położenie, do którego inne położenia odnosić będziemy, i nazwijmy je A₀. Stałą c w równaniu (5) możemy zawsze tak wyznaczyć, żeby największa wartość potencyjału U0 była równa zeru; a wtedy potencyjał w każdym położeniu A będzie ujemny. Energija potencyjalna U₀ -— U = — U = V przedstawia wtedy pracę, którą siły wewnętrzne wykonać mają, aby układ z danego położenia A przywieść do położenia równowagi stałej, dokładnie oznaczonego. W równowadze stałej

energija kinetyczna układu jest największa (art. 114), równanie przeto T — U =T -J- Y = T₀ określa energiją całkowitą jako największą energiją kinetyczną, którą układ wskutek działania sił wewnętrznych przybrać może. W każdym innym położeniu energija kinetyczna jest mniejsza od tej, którą układ posiada w położeniu równowagi stałej, a różnica przedstawia właśnie energiją potencyjalną, t. j. tę energiją, której siły wewnętrzne układowi jeszcze udzielić mogą, aby go przywieść do owego położenia. Przywodząc układ z położenia A₀ do A, wykonamy wbrew siłom wewnętrznym pracę — Y — U, przez co o tęź pracę—V^U wzrasta energija potencyjalna układu przy równym ubytku energii kinetycznej, a suma obudwu energij pozostaje ciągle taż sama.

145. Ruch względny. Badanie ruchu każdego punktu układu względem innego układu ruchomego sprowadza się do rozważania ruchu tego punktu względem układu nieruchomego, jeżeli oprócz sił przyłożonych wprowadzimy w rachunek siły pozorne, temu punktowi odpowiednie (art. 88). Znając przeto ruch układu odniesienia, wystawmy w tym układzie w dowolnym punkcie trzy prostokątne osi spółrzędnych £, yj, C, poruszające się razem z nim; wówczas możemy otrzymać równania ruchu każdego punktu układu względem tych osi. Niech X/, Y<, Z/ oznaczają składowe siły, przyłożonej do punktu (£,-, 7]j, Ci), wzięte w kierunkach osi ruchomych; Xt-K, Y,„, Z,« niech będą składowymi siły unoszenia, a A* = 0 niech będą równaniami warunkowymi ruchu, wyrażonymi przez spółrzędne względne, przyczyni h— 1,2,.... (3 n — s), gdzie w jest ilością punktów układu. Biorąc prędkością, q, r w znaczeniu, podanym w art. 62-im, otrzymamy według art. 137-go następujące równania ruchu punktu mx :

dt²

Tt

dCt

0)

-g

di

p' dt

- /    cn

dĄA s x dAk

¹ dt I ^ k dii

Podstawiwszy za i wartości 1,2, .... w, otrzymamy Sn równań ruchu względnego układu. Mnożąc je odpowiednio przez Sup, SC; i biorąc przesunięcia odpowiednio do warunków S A* = 0, możemy otrzymać równanie, wyrażające zasadę d’Alembert’a dla ruchu względnego, z którego naodwrót wszystkie powyższe równania wynikają. Jeżeli siły przyłożone mają potencyjał, wyrażony w funkcyi spółrzędnych względnych, to zamiast X/, Y/, Z/ należy podstawić pochodne potencyjału względem tych spółrzędnych.

Niech warunki pozwalają na dowolny ruch postępowy układu przy sztywnym połączeniu jego punktów. Biorąc wtedy S£, = §i₂ — • • • —    • • •

— SI« i podobnie Syp i SC;, pomnóżmy odpowiednio równania (1) przez tak obra-przesunięcia i dodajmy iloczyny; suma będzie równa zeru, niezależnie od wrarunkow postawionych.    Przyrównywając zatym do zera czynnik każdego

przesunięcia, otrzymamy

ne

mi

(I-C,-

dt²

Z/ — Z,»

dHi

cKi

= £X/-U„-22ą(«¥

i podobnie dwa inne równania dla rj i £. Jeżeli i, r[, Ç oznaczają spółrzędne względne środka masy, a M oznacza masę układu, to

ctt

Siła unoszenia X,-„ jest proporęyjonalna względem masy skoro bowiem Yu£ oznacza rzut przyśpieszenia unoszenia punktu )»,• na oś £, to Xîa =    y?4 ;

jeżeli zatym przez IY4 oznaczymy przyśpieszenie unoszenia środka masy w kierunku téj osi, to X Xi« = M ]?«£; podobnie wyrazimy X Yiu i X Z,„. Z równania (2) więc otrzymujemy

(2)

X w»

dt²

't)

M -Tr — X nii

dt

dt

dt

dt

C-

dt ’

i podobne równania otrzymamy dla t] i £. Z tych równań okazuje się, że środek masy układu porusza się względem układu odniesienia tak, jak punkt sivo-bodny, w którym skupiono całą masę układu i do którego przesunięto równolegle wszystkie siły przyłożone. To twierdzenie wyraża więc zasadę ruchu względnego środka masy.

Przyjmijmy, że równania warunkowe nie zawierają czasu wyraźnie, wtedy możemy zamiast 8ii} Syj,-, 8Ç,- brać odpowiednio dii}dr\(, dii. Mnożąc przeto równania (1) odpowiednio przez dŁ], dyy, dli i dodając iloczyny, otrzymamy

dii+ d'qi 4

(3)

(3)

'dHi

dKi

dt²

dt²

dC;)=X ) (X/

( Y/—Y,«) d'(]i -f- (Z/ — Z/«) dt;

—X,-w) dit 4"

czyli

S j (X/—X,-„) dii + (W—Yf«) d-q, + (Z/— Z<„) dti J ,

7 ni; Viio ^

d-~2~

gdzie jest prędkością względną punktu m,. Lewa strona tego równania jest różniczką energii kinetycznej ruchu względnego układu; powyższe zatym równanie wyraża, że różniczka téj energii równa się sumie prac elementarnych sił przyłożonych i sił unoszenia, wziętych w kierunku przeciwnym. Całka przeto tego równania pozwala obliczyć energiją kinetyczną, odpowiednią ruchowi względnemu.

Niech układ odniesienia obraca się jednostajnie z prędkością kątową to około osi z, wtedy p — 0, q=.0, r = oy, Xiu = — Wi«>²€<, Y*,±=— mt co² ry. Z/u — 0 ; równania przeto ruchu będą d%

(4)

mt -

dt²

— X/ 4- ad miii -p 2co m/

d'f]/

dt

+ XX,

dAk

dii

(ö)

nii<

d²‘r\i

dii

dt²

mi

dKi dt²

= YÎ 4- w² ni; yjt — 2co nu 4- - h dAk

= Z/ + XX

k dir

d A,

di\i

Z równania (4) wynika w tym przypadku:

(6) dl

m<~-—S (X/ di,+Y/ %+Z/ di,)(Ł*+V) . a jeżeli siły przyłożone mają potencyjał U', to kładąc

(7)

TJ = U> + »»S^({₍» + V),

otrzymamy po scałkowaniu następujące równanie

(8)

= U -f- h

y VH i Vin^

2

które pozwala obliczyć energiją kinetyczną ruchu Względnego. Wielkość

(0“

— 1nii (i² d- Y]/²) przedstawia potencyjał Układu sił odśrodkowych.

Literatura (Rozdz. XIII).

C. Gauss*, tlelber ein neues allgemeines Grundgesetz der Dynamik (1829; Gesammelte Werke, t. Y, Göttingen, 1867). — W. R. Hamilton: On a general metliod in Dynamics, by which the study of tlie motion of all free Systems of attracting or repelling points is reduced to tlie search and différentiation of one central relation, or characteristic fonction (Transact. of the royal society of Ire-land, Dublin, 1834); Second essay on a general method in Dynamics (tamże, 1834). R. II. Helmholtz, Ueber das Princip der Erhaltung der Kraft (Berlin, 1842; także: Gesammelte Werke, t. I, Leipzig, 1882). — W. J. M. Rankine, Miscellaneous scientific papers (London, 1881 ; mianowicie część II, zawierająca prace z termodynamiki). — W. Gosiewski, Przyczynek do teoryi sił żywych (Pam. tow. n. śc. w Paryżu t. III, 1873). —E. Habich, O zasadzie zachowania powierzchni (tamże^ t. X, 1878).— H. W. Watson i S. H. Burbury, A treatise on the application of generalised coordinates to the Kinetics of a materiał system (Oxford, 1879). — M. Planck, Das Princip der Erhaltung der Energie (Leipzig, 1887. Praca, uwieńczona nagrodą uniwersytetu w Getyndze). —

ROZDZIAŁ XIV.

KINETYKA UKŁADÓW SZTYWNYCH.

146. Obrót około osi stałej. Między 3n spółrzędnymi prostokątnymi układu sztywnego, składającego się z n punktów, zachodzi 3n — G związków, określających jego sztywność, które zatym nie zależą ani od jego ruchu, ani od sił przyłożonych. Zadanie więc kinetyki układów sztywnych polega na tym, aby z'danych sił, tudzież z warunków, określających swobodę układu i jego stan początkowy, wyznaczyć sześć spółrzędnych ruchu (art. 42), koniecznych i wystarczających do rozpoznania ruchu każdego punktu takiego układu. Jeżeli układ posiada swobodę rzędu 1 -go, a zatym najmniejszą, to między 6-ciu spółrzędnymi jego ruchu zachodzi 5 związków, od sił niezależnych, a zasady ogólne służą do wyznaczenia jedynej spółrzę-dnej ruchu, która jest funkcyją sił przyłożonych. Ten przypadek stanowi zatym najprostsze zagadnienie kinetyki układów sztywnych. Swoboda rzędu 1-go zachodzi, jeżeli układ obraca się około osi stałej. Obierając tę oś za oś x i używając znakowania, użytego w kinematyce, mamy w tym przypadku bez względu na siły H = 0,Z=:0,A = 0,M = 0,N — 0; jedyną przeto niewiadomą jestH = w, t. j. prędkość kątowa obrotu około danej osi.

Oznaczmy przez L moment układu sił przyłożonych (ciągłych) względem osi obrotu. Aby zastosować zasadę d’Alembert’a, wyznaczmy w każdym punkcie te siły, któreby mu nadały obrót około osi z prędkością kątową co, gdyby był swobodny. Jeżeli p₍ jest odległością punktu m* od

dio

osi, to Mpi jest jego prędkością, a zatym p,-nym, a p^co² przyśpieszeniem dośrodkowym. Do punktu należy zatym przyłożyć siłę styczną pt- , i siłę dośrodkową w.-p.-w², aby mu nadać po-

do

wyższe przyśpieszenia. Te siły, wzięte w kierunku wprost przeciwnym, i siły przyłożone, równoważą się ze względu na warunek, że układ obraca się

jego przyśpieszeniem stycz*

-vT-, suma za-dt

około osi stałej ; do równowagi więc potrzeba i wystarcza, żeby suma momentów tych sił względem osi była równa zeru. Moment siły stycznej,

wziętej w kierunku przeciwnym, względem osi, jest—m,- pj.

dio

doi

d co

os-

tym momentów sił stycznych wynosi— ~ .Ilmipi²= — A. ~ , gdzie A

az    Cli

oznacza moment bezwładności układu materyjalnego względem osi. Siła odśrodkowa—m^co² przecina oś, jéj więc moment jest równy zeru. Z zasady dAlemberta zatym wynika równanie

di»

doi

dt =°>cz3'li z którego przez całkowanie otrzymamy

(1)

dt

(2)

co = ~ f L . dt -f- c.

jJ

Znając L w funkcyi czasu, tudzież warunek początkowy, możemy obliczyć co, Równanie (1) okazuje, że przyśpieszenie kątowe jest proporcyjonalne względem momentu układu sił i odwrotnie proporcjionalne względem momentu bezwładności układu względem osi obrotu. Jeżeli m jest masą układu, h jego ramieniem bezwładności względem osi, to będzie także

(3)

c?co

dt mli²

Dla sił stałych lub takich, których moment L nie zmienia się, otrzy

mamy

O)

ht

“ — “•⁺ X ’

z-czego się okazuje, że obrót będzie jednostajnie przyśpieszony.

Aby rozwiązać zadanie o obrocie w przypadku sił chwilowych, oznaczmy przez co₀ prędkość kątową obrotu przed przyłożeniem sił, a przez co prędkość bezpośrednio po ich przyłożeniu. Przyrost ilości ruchu punktu wynosi mip»-(ö) — co₀), a ta wielkość przedstawia zarazem siłę chwilową, która punktowi udziela tego przyrostu ilości ruchu. Suma momentów tych sił chwilowych, wziętych w kierunkach przeciwnych, względem osi obrotu, wynosi — (co — co₀) I nii pj = — A (w — co₀); z zasady d’Alembert’a otrzymamy prze* to następujące równanie równowagi sił straconych:

L = A (co — co₀) skąd co = co₀ -f- ^ ,

gdzie L oznacza moment układu przyłożonych sił chwilowych. Jeżeli przykładamy siły do układu materyjalnego w spoczynku, to co = L : A.

Obliczywszy według (5) prędkość kątową obrotu w pierwszej chwili pO przyłożeniu sił chwilowych, należy prędkość w następujących elementach czasu

(fi)

obliczać według (2), podstawiając za L moment układu sił ciągłych, działających na ciało podczas obrotu. Jeżeli na ciało nie działają żadne siły podczas

ĆI/ (0

obrotu, wtedy będzie L = O, a zatym — O ; ciało więc będzie się obracało

jednostajnie z prędkością, udzieloną mu przez siły chwilowe.

147. Aby oś obrotu była-stała, należy dwa punkty téj osi ustalić; ponieważ siły stracone równoważą się wskutek tego ustalenia, przeto w obudwu punktach będzie oś doznawała pewnych reakcyj, przedstawiających właśnie te siły, z którymi siły stracone są w równowadze.

Obierzmy na osi dwa punkty stałe p' i p", których odległości od początku spółrzędnych, obranego na téj osi, niech będą odpowiednio §' i 8". a X', Y', Z'; X", Y", Z" niech oznaczają składowe prostokątne reakcyj w tych punktach. Składowe przyśpieszenia stycznego punktu m, (xi) y i, g,) w kierunkach osi a,

y, g są : O, — g,~ , y i ^ ; a składowe przyśpieszenia dośrodkowego są: O, •—

—    ?/,to², —giM², przyczym przyjmujemy obrót około osi a W kierunku od osi

y ku osi g. Sumy więc rzutów sił stycznych, wziętych w kierunkach przeciwnych, będą odpowiednio : O, XMigi, —    , a sumy ich momentów:

i (i tö d to..    ( l to ..    ,.    . i, i m i -, -i

—    A ,~hmiXiyi,-^ hniiXigi ; sumy rzutów sił odśrodkowych wynoszą

odpowiednio: O, to²Xw^/, toa sumy ich momentów: O, — to to<l'LmiXiyi. Oznaczając więc przez X, Y, Z, L, M, N spółrzędne układu sił przyłożonych, mamy, przy uwzględnieniu reakcyj, następujące równania równowagi :

X' + X" -f X == o

<71o

Y' -J- Y" + Y J- -r- X nii g i    to² Św,: y i — O

cif

Zf + Z" + Z —

cha

0)

dt - wii y i + Ol² X nii gi = O

L — A~ — O dt

^ X ni, Xj y i — to² X w, a* £, — (), Ÿ' 8' -f- Y" 8" N + ^ X mt Xi gi + to² X a,: yt = O.

— Z' a' — z" a" + m +

tZto

di

Z tych równań możemy wyznaczyć reakcyje. Z 1-go równania obliczymy ciśnienie, którego oś doznaje w jéj kierunku, a podstawiwszy wyrażenia na ^ i to

Ctl

w pozostałe równania (1), otrzymamy resztę składowych i momentów każdej reakcyi.

Poprowadźmy płaszczyznę xy przez środek masy; wtedy ląZi = 0. Przypuśćmy nadto, że oś obrotu jest osią bezwładności układu względem punktu O; wtedy (art. 100) X mt Xi y i = 0, i I nii % z, — 0, Równaniami (1) będą tu więc równania :

c/to

X'+X".fXr=0, Y' + Y'' + Y+rflmiyi=0,Z'-{-Z''-\-Z~^lmiyi=.Q,

(2)

clt

L — A ^ = 0, — Z' Sr - Z" Ô" -j- M = 0, Y' S' -f- Y" ô" + X — 0.

Jeżeli układ obraca się około osi głównej, wtedy możemy środek masy obrać jako początek; wówczas otrzymamy Smjÿ; = 0. Siły styczne redukują się

wtedy do pary sił o momencie — A , której płaszczyzna jest prostopadła

tl v

do osi głównej; a sumy rzutów i sumy momentów sił odśrodkowych będą równe zeru, z czego wynika ważne twierdzenie : jeżeli układ sztywny obraca sie około jednej z osi głównych, natenczas siły odśrodkowe wzajemnie się znoszą. Widzimy zarazem, że siły odśrodkowe tylko wtedy znosić się będą, jeżeli jedna z osi głównych jest osią obrotu układu.

Mech ç, Y], Ç oznaczają spółrzędne śrojdka masy układu; redukując siły odśrodkowe do początku osi spółrzędnych, otrzymamy siłę wypadkową, której rzuty wynoszą odpowiednio 0,    oj² YtmiZi — (o^ÇEm,.

Z tych równań wynika, że wypadkowa sił odśrodkowych, zredukowanych do punktu dowolnego, równa się sile odśrodkowej środka masy układu, w którym skupiono całą jego masę.

W przypadku sił chwilowych, sprawiających obrót około osi stałej, otrzymamy zamiast (1) następujące równania:

X'+X"+X = 0, Y'+Y"+Y + (to - O . £ mt z> = 0,

Z'+Z'r-f Z —(to—w₀) Impyi — 0,

(3)

L — A (to — to₀) — 0, — Z' §r — Z" ô" 4-M+(co—to₀) S ni i xx yt— 0,

Y'ó'pY'A"+X+(to - to₀) v nii xt zt = 0,

z których obliczymy reakcyje w punktach p' i p", zachodzące w chwili przyłożenia danych sił. Jeżeli siły chwilowe wprawiają układ ze spoczynku w ruch obrotowy, to to₀ — 0.    ,

148. Środek uderzenia. Przypuśćmy, że na układ działa tylko jedna siła chwilowa, lub też, że siły chwilowe stanowią układ 1-go rodzaju. Wtedy można tę siłę tak wyznaczyć, żeby oś obrotu nie doznawała żadnej reakcyi, żeby zatym X', Y', Zf, X", Y", Z'f były równe zeru. Aby to okazać, obierzmy płaszczyznę, przechodzącą przez oś i środek masy, za płaszczyznę xy, wtedy VniiZi — 0, a z równań (3) art. poprzedzającego otrzymamy następujące warunki dla wyznaczenia siły szukanej :

(1)

j X = 0, Y = 0, Z = (co — co₀)Lmiyi,

f L = A (w — co₀), M = — (w — co₀) 'ïimixiyi, N = — (co—co₀) 'imiXiZi.

Jeżeli na ciało działa tylko jedna siła, natenczas dwa pierwsze równania okazują, że szukana siła jest prostopadła do płaszczyzny, przechodzącej przez oś i środek masy. Oznaczmy przez m masę ciała, przez 7) odległość jego środka masy od osi obrotu, a przez odległość tego punktu, w którym szukana siła przecina płaszczyznę xy, od tejże osi. Wtedy z trzeciego równania (1) otrzymamy wielkość siły, Z = imj (w — oi₀). A ponieważ L = Zrjs, przeto będzie z czwartego równania

(2)

A 1er

nrf] 7j ’

gdzie h oznacza ramię bezwładności względem osi obrotu. Ponieważ siła Z jest równoległa do osi s, przeto jest N = 0, a zatym 'Lm&iZi = 0, inaczej z warunków (1) nie wypadłoby XL + YM + ZN = 0, jak być powinno. AVarunek 'LmiXiZi = 0 zachodzi wtedy, kiedy oś obrotu jest osią bezwładności w punkcie O, a wtedy otrzymamy także M .= 0. (Ob. zadanie 22. w rozdz. IX). Widzimy więc, że oś obrotu jest osią bezwładności układu przynajmniej w jednym swoim punkcie. Gdy to ma miejsce, poprowadźmy w tym punkcie płaszczyzny, jednę prostopadłą do osi, a drugą przez oś i środek masy; uderzając wtedy w to ciało z dowolną siłą, której kierunek przypada w pierwszej płaszczyźnie, jest prostopadły do drugiej płaszczyzny, i przecina ją w odległości ip od osi, nie wywołamy na oś żadnej reakcyi. W przypadku, gdy na ciało wywartych jest jednocześnie więcej uderzeń chwilowych, stosują się warunki właśnie co okazane dla uderzenia wypadkowego.

Punkt, w którym promień działania siły chwilowej przecina płaszczyznę, przechodzącą przez oś obrotu i środek masy układu, w przypadku, kiedy oś nie doznaje żadnej reakcyi, nazywamy środkiem uderzenia ciała. Równanie (2) wyznacza odległość tego środka od osi obrotu i okazuje zarazem, że ten środek znajduje się po téj saméj stronie osi, co środek masy.

149. Osi swobodne obrotu. Obliczywszy według (3) art. 147-go re-akcyje, których oś doznaje w chwili przyłożenia sił popędowych, należy według tego art. obliczać reakcyje na oś, pojawiające się podczas dalszego obrotu wskutek działania sił ciągłych, tudzież sił stycznych i odśrodkowych. Załóżmy, że podozas obrotu żadne siły ciągłe nie działają, wtedy X == 0, Y = 0,

do)

Z = 0, L = 0, M = 0, N — 0, a ponieważ

— -—0, przeto niema sił stycznych. Załóżmy nadto, że ciało obraca się około jednej z osi głównych, wtedy siły odśrodkowe będą się znosiły. Z równań (1) art. 147-go zatym wynika, że oś nie będzie doznawała żadnej reakcyi podczas obrotu, że przeto ciało obracać się będzie jednostajnie około téj osi tak, jakgdyby ta oś nie była wcale ustalona. Z powodu téj ważnej własności nazywamy osi główne ciała materyjal-nego osiami swobodnymi, albo także osiami trwałymi obrotu tego ciała. W pierwszej chwili działania sił chwilowych doznaje oś swobodna pewnej reakcyi; jeżeli zaś ciało samemu sobie zostawimy, nie przykładając do niego żadnych sił podczas obrotu, to dalsze ustalenie osi jest zbyteczne, a ciało obraca się swobodnie i jednostajnie około takiej osi.

Niech oś obrotu będzie osią bezwładności w punkcie O, i uczyńmy znowu powyższe założenie, że podczas ruchu nie ma żadnych sił. Wtedy z trzech ostatnich równań (1) art. 147-go wynika, że sumy momentów reakcyj są. równe zeru dla każdej osi spółrzędnych, że przeto reakcyje redukują się do jednej siły, przyłożonej do punktu O i prostopadłej do osi obrotu. Wielkość i kierunek tej siły wynikają z drugiego i trzeciego równania (1) art. 147-go. W tym więc przypadku wystarczy ustalić tylko punkt O, aby znieść reakcyją na oś, a zresztą oś może być swobodna; ciało nie przestanie obracać się około téj osi tak, jakgdyby ona w dwu punktach była utwierdzona. Z powodu tej własności nazywamy oś bezwładności ciała w pewnym punkcie osią swobodnego albo także trwałego obrotu względem punktu tego. Oś swobodna ciała jest osią trwałego obrotu względem każdego z jej punktów.

Niech osią obrotu będzie jakakolwiek prosta, przechodząca przez punkt O, i niech na ciało żadne siły nie działają podczas ruchu. Jeżeli oś obrotu obierzemy za oś a?, a co oznacza stałą prędkość kątową, to składowe ilości ruchu punktu mi, (xi} yi: zj): będą: 0, — co w»#», co m^,-, a składowe siły odśrodkowej będą: 0, (oąjfj, comiZi. Zredukujmy ilości ruchu do punktu O; otrzymamy parę sił o momencie G, którego rzuty G*, Gÿ, G* na osi spółrzędnych będą odpowiednio

(3)

Gx = co A , Gÿ — — co F, Gz — — coE,

gdzie E i F mają znaczenie, podane w art. 99-ym. Odcinając Gy i G* odpowiednio na osiach spółrzędnych i dokonywając składu tych odcinków, otrzymamy moment ilości ruchu względem punktu O. Wystawmy elipsojdę bezwładności ciała w punkcie O, której równanie jest

(4)

A*² -f- By² -f G z²— 2 Dy z—2 E zx — 2 ¥xy—\\

Ax — F y — E^ = 0 będzie równaniem płaszczyzny, sprzężonej z osią obrotu (osią F) względem téj elipsojdy. Ponieważ według (3) G# : Gy : Gz = A:

: —F : — E, przeto otrzymujemy twierdzenie, stosujące się do każdego punktu O na osi obrotu: płaszczyzna pary wypadkowej ilości ruchu jest sprzężona z osią obrotu względem elipsojdy bezwładności. Moment téj pary jest prostopadły do téj płaszczyzny sprzężonej. Jeżeli moment G tworzy z osią obrotu kąt i, to:

(5)

G = co |/ A²-f-F²-j-E², cosi —

J/A² + F² + E² ⁵

G,

wA

cosi cosi *

Zredukujmy podobnie siły odśrodkowe do punktu O. Oznaczmy przez F moment otrzymanej pary sił, a przez F*, Fy, Tz jego rzuty na osi spółrzędnych; wtedy

(6)

r* = o, rÿ = — w² e , r, = w² f, f = w² J/e²+f² .

Ponieważ Fs:=0, przeto F jest prostopadłe do osi obrotu; że zaś F^G^-f-+ Fy Gy F₂G₂ = 0, przeto mamy twierdzenie: moment pary wypadkowej sił odśrodkowych jest prostopadły do osi obrotu i do momentu imypadkowego pary ilości ruchu. 7\ tego twierdzenia wynika, że płaszczyzna pary wy-jpadlcoivéj sit odśrodkowych przechodzi przez oś obrotu i przez moment pary ivy-padkowej ilości ruchu.

150. Kręcenie się ciaea sztywnego okoeo punktu. Ciało sztywne, kręcące się około punktu, ma swobodę rzędu 3-go (art. 48), a dla określenia jego ruchu należy wyznaczyć rzuty prostokątne prędkości kątowej obrotu ciała około osi chwilowej, przechodzącej przez środek kręcenia się. Poprowadźmy przez środek kręcenia się O trzy osi bezwładności ciała, obierając je za osi spółrzędnych ; podobnie, jak w art. 49-ym, oznaczmy odpowiednio przez p, q, r rzuty prędkości kątowej w obrotu chwiloAvego na te osi, dalej przez L, M, N momenty sił przyłożonych, nakoniec przez A, B, C momenty bezwładności ciała względem tychże osi. Wielkości p, q, r przedstawiają spółrzędne ruchu ciała; ponieważ one odnoszą się do układu spółrzędnych, poruszającego się razem z ciałem, przeto otrzymamy odpowiednie równania ruchu, stosując wiadome zasady ruchu względnego.

Ponieważ osi bezwładności poruszają się razem z ciałem, przeto prędkość względna każdego punktu ciała jest równa zeru; otrzymamy zatym równania ruchu, przyjmując w każdym punkcie oprócz siły przyłożonej jeszcze siłę odśrodkową, odpowiednią obrotowi chwilowemu. Jeżeli a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe osi chwilowej, to siła odśrodkowa punktu Wi (xh yn z i), którego odległość od osi chwilowej jest równa pi, wynosi oj² m^p*, a dostawy kierunkowe téj siły są odpowiednio: [xt— a {axt -f byt -+- czi)] ■ pi, [yi—b (axl -f + by i + czi)] ; pi, [zt — c {axt + byt + czi)] ■ pi ; momenty zatym téj siły są odpowiednio ; o)² Mi (axi + by i -+- czi) (bz{ — cyi), M²mt (aXi -f- byt + czi) (cxt—azi), a²mt (aXi -j- by i -j- czi) (aiji — bxt). Wstawmy w te wyrażenia a ~p : co, b == — q : w, c=r: io i weźmy sumę wyrażeń, odpowiadających różnym wartościom wskaźnika i] wtedy otrzymamy sumy P.r, P«, Tz momentów sił odśrodkowych względem osi bezwładności,

(1)

F, = qr (B - C), Py = rp (C - A), Vz=pq(A - B).

Ponieważ ciało obraca się około osi bezwładności, jakgdyby ta oś była ustalona (art, 149), przeto według art. 146-go otrzymamy następujące wyrażenia odpowiednich przyśpieszeń kątowych :

dp_L + P* dq__M-fFj, dr_N+T*

dt~ A J ~dt~~~B~’ llt~~~C~’

a stąd, po wstawieniu wyrażeń

dp

A c[t— (B — C) çr = L,

(2)

dq

B — (C — A) rp = M,

dr

C    —(A-B)pq = N,

dt

jako szukane równania ruchu. Te równania nazywamy r ó w n a n i a m i E u 1 e-r’a. One pozwalają wyznaczyć w każdej chwili położenie, tudzież oś i pręd-

kość kątową obrotu ciała, jeżeli z nimi połączymy równania (3) art. 49-go, określające położenie osi bezwładności względem trzech nieruchomych osi spółrzędnych, za pomocą trzech kątów cp, i G. Wstawiwszy bowiem wartości p, q, r z równań (3) art. 49-go w powyższe równania (2), otrzymamy trzy równania różniczkowe rzędu 2-go między cp, <{>, 9 i t, z których możemy te trzy kąty obliczyć jako funkcyje czasu, sił przyłożonych i parametrów A, B, C, a wskutek tego poznajemy położenie ciała; wstawiwszy następnie wartości tych kątów w równania (2), otrzymujemy prędkością, q i r, a stąd prędkość kątową i oś obrotu chwilowego.

.Równania (2) określają ruch ciała przy działaniu sił ciągłych. Jeżeli do ciała przykładamy siły popędowe, wówczas równania odpowiednie, określające jego ruch w pierwszej chwili po przyłożeniu tych sił, otrzymamy w sposób następujący. Według równań (3) art. 142-go pochodna momentu ilości ruchu ciała względem prostej dowolnej, poprowadzonej przez środek kręcenia się, jest równa momentowi układu sił popędowych względem tejże prostej. Obierzmy znowu osi bezwładności, odpowiednie środkowi kręcenia się, za osi spółrzędnych; natenczas rzuty xl, yl, zl prędkości punktu {xi) y i, zl) na te osi będą, według art. 43-go,

(3)

xl — qZi — ry{, yl — rXi — pzl} z] = pyi— qXi,

a stąd

(4) I mi (yt zl — z i y 1), — Ap, I mt (zt xl—xt zl) = B ą, E mt (xt yl—tji xl) = Cr.

Z tych równań okazuje się, że iloczyny Kp, hq i Cr przedstawiają odpowiednio momenty ilości ruchu ciała względem osi bezwładności. Jeżeli zatym do ciała, obracającego się z prędkościami p₀ , q₀ i r₀ około odpowiednich osi bezwładności, przyłożymy siły popędowe, których momenty względem tychże osi są odpowiednio L, M i N, natenczas otrzymamy następujące równania ruchu:

(5)

A(p — JV) = L> B(g — ?o) = M, C(r —r₀) = N,

z których można wyznaczyć składowej, q, r prędkości kątowej obrotu w pierwszej chwili po przyłożeniu sił popędowych. Gdyby ciało było poprzednio w spoczynku, wtedy by p₀ = 0, q₀ = 0, r₀ = 0.

151. Załóżmy, że do ciała, będącego w spoczynku, przykładamy siły popędowe, i że podczas ruchu żadne siły nie działają na to ciało; natenczas podane równania pozwolą dokładnie zbadać przebieg ruchu.

Z równań (5) art. 150-go otrzymamy

(1)

(2)

w —}/ p¹ 2 Ą-q2Jr r² =

sta

Odetnijmy podobnie na osiach bezwładności momenty L,M i N sił popędowych, natenczas wypadkowa G tych odcinków, mianowicie

(3)

G=J/L² + M² + N2

przedstawiać będzie moment układu sił popędowych względem środka kręcenia się. Gdybyśmy siły popędowe zredukowali do tego punktu, otrzymalibyśmy pewną siłę i pewną, parę sił; ponieważ zaś owa siła zostaje zniesiona przez ustalenie tego punktu, przeto para sił o momencie G, którą nazywamy parą popędową, sprawia wryłącznie kręcenie się ciała. Równanie płaszczyzny téj pary, przechodzącej przez punkt stały O, jest Lx + M.y + N# = 0. Wykreślmy elipsojdę bezwładności ciała, odpowiednią punktowi O; jéj równanie jest, według art. 100-go, Ax² -f- B?/² + Cz² — 1. Poprowadźmy płaszczyznę styczną do téj elipsojdy, równoległą do płaszczyzny pary popędowej, i oznaczmy przez xn yx, zx spółrzędne odpowiedniego punktu styczności; natenczas Axxx + Byyx -j- Ozzx — 1 będzie równaniem téj płaszczyzny stycznej; otrzymamy zatym

(4)

L M N

;yi ⁼ B :'C =P:(ł:r>

z czego wynika twierdzenie następujące : osią obrotu ciała, ivyivołanego przez parę popędową, jest średnica sprzężona z płaszczyzną tej pary względem odpowiedniej elipsojdy bezwładności (tw. Poinsot). Z tego ważnego twierdzenia okazuje się, że ciało nie obraca się, mówiąc wogólności, około téj prostej, na której przedstawiamy gieometrycznie moment G pary popędowej, chyba, że płaszczyzną pary popędowej jest jedna z płaszczyzn głównych elipsojdy, bezwładności. Jeżeli elipsojda bezwładności przybiera kształt kuli, wtedy każda para popędowa wprawia ciało w ruch obrotowy około prostej prostojiadłej do téj płaszczyzny.

Oznaczmy przez T energiją kinetyczną, której ciało nabywa wskutek działania sił popędowych; według równań (3) art. 150-go otrzymamy

(5)

2T=£m;(zi'Hy/H-s/²)=A^₊B₅’+(>s= x ⁺ TT ⁺ TT '

Przypuśćmy, że ciało nie kręci się swobodnie, t. j. pod wyłącznym wpływem sił popędowych, lecz ma obracać się około pewnej osi danej, przechodzącej przez punkt O, a której wiadome dostawy kierunkowe są a,, bx, c,, i że para popędowa udziela ciału wskutek tego obrotu energii T,. Jeżeli G, oznacza moment sił popędowych, I, moment bezwładności ciała względem téj osi, wówczas

G, = La, -f M6, -f- Ne,, I, = Aa,² + Bó,² -j- Cc,²; prędkość więc kątowa obrotu około téj osi będzie

w, =

G, La, -j- Mó, -j- Ne,

Ï, Aa,² 4- Bó,² -j- Cc,²

, a stąd

üT, = I,ü>,²—    + ^i)

Aa,² + Bó,² + Cc,²

skąd

(La, + Mó, + Ne,)2 A«,² + Bó,² -|- Cc,²

(6)

Oznaczmy przez xl, yl, zl składowe prędkości punktu (xi, yt, z) przy obrocie swobodnym około osi chwilowej, a przez xl, yl, z’ składowe jego prędkości przy obrocie nieswobodnym około prostej (a,, ó,, c,), natenczas otrzymamy łatwo

x’i — xl — — z i — ^ y i + i podobne wyrażenia dla yL — yl i zt — i/; a stąd

La, -f- Mó, -|- Ne,

A«!² + Bó,² + C c.

ó(cl yi — byzl)

(7)

(8)

2TS = 1 m, [(xl—xi)² + (yl—yl)² 4- (zl — zl)²] =

_ L² M² N² (La, + Mój -j- Nc,)2 “~X ⁺ TT ⁺ ~C    Aa,² + BÓ,² + Cc,²

T —T, =TS.

więc

Ts przedstawia widocznie energiją ciała, odpowiadającą różnicy prędkości jego punktów przy obrocie swobodnym około osi chwilowej i przy obrocie nieswobodnym około osi danej; ponieważ Ts^>0, przeto T^T,. Mamy więc twierdzenie następujące: siły popędouce udzielają kręcącemu się ciału największej energii kinetycznej, jeżeli ciało kręci się swobodnie; każde ograniczenie swobody sprawia stratę energii, równą téj energii, która odpowiada różnicy dwu prędkości, jednej przy kręceniu się siuobodnym, drugiej przy kręceniu się nieswo-bodnym. Osią obrotu ciała po przyłożeniu siłpopędowych jest ta prosta, względem k'ôréj siły udzielają ciału największej energii kinetycznej.

152. Wyznaczywszy oś, około której ciało obraca się w pierwszej chwili po przyłożeniu sił popędowych, możemy dalszy przebieg ruchu rozpoznać bądź na podstawie zasad ogólnych, bądź z równań Euler’a. Wiemy (art. 48), że w ciele znajduje się w każdej chwili pewna prosta, przechodząca przez środek kręcenia się, około której ciało obraca się tak, jakgdyby ta prosta była nieruchoma. Zadanie więc nasze polega na wyznaczeniu owéj prostej i odpowiedniej prędkości obrotu w każdej chwili.

W tym celu stosujemy zasadę pól i zasadę energii, które mają miejsce dla obrotu chwilowego, ponieważ oś tego obrotu jest chwilowo nieruchoma. Zredukujmy ilości ruchu wszystkich punktów ciała do środka kręcenia się O; otrzymamy parę sił o pewnym momencie G, który jednocześnie przedstawia moment pary popędowej. Ponieważ na ciało nie działa podczas ruchu żadna siła ciągła, przeto moment G jest stały, a płaszczyzna, prostopadła do G, którą możemy poprowadzić przez punkt dowolny, np. przez punkt O, przedstawia płaszczyznę niezmienną (art. 142). Prostą, poprowadzoną przez środek kręcenia się prostopadle do płaszczyzny niezmiennej, nazywamy osią niezmienną; na niej odcinamy moment G pary popędowej. Według art. 151-go powyższa płaszczyzna jest sprzężona z osią chwilową względem elipsojdy bezwładności dla punktu O; gdybyśmy przeto znali położenie chwilowe owéj elip-

^T-yW i P«*>b»ie y. = psr

a zatym równanie płaszczyzny stycznej w tym punkcie jest

(3)

sojdy, to wyznaczywszy średnicę sprzężoną z płaszczyzną niezmienną, otrzymalibyśmy tymsamym oś chwilową.

Na ciało nie działają żadne siły, a zatym jego energija jest stała; jeżeli więc I oznacza moment bezwładności ciała względem osi chwilowej, to prędkość kątową obrotu chwilowego, to 2T = Ito² = stałej. Niech oś chwilowa tworzy z osią niezmienną kąt i, wówczas według art. 149-go,

Ito²

to cos i    to cos i

Jlzut prędkości kątowej obrotu chwilowego na oś niezmienną jest stały.

Oznaczmy przez x długość połowy średnicy elipsojdy bezwładności, mierzoną na osi chwilowej, wtedy (art. 100) x² = 1:1, więc

G cos i

(1) G =

Ito

2T

cos l

więc to cos i —

2T

g- = H = stałej.

Ii

= u² G . cos i = x² G . — , skąd

to

to² = x² GÏÏ = 2 T x², to — 7.. ]/2T.

Prędkość kątowa obrotu chwilowego jest proporcyjonalna względem długości tej średnicy elipsojdy bezwładności, która jest osią chwilową.

Gdy xn 2/n Zi oznaczają spółrzędne punktu, w którym oś chwilowa przecina elipsojdę bezwładności, to

(2)

to =

h|

*■* u*

\.

J?*

to

więc

AxlxĄ-'By{yĄ-Csls —1 = 0 czyli Ap xĄ-Bąy -\-Cr z — \/ 2T — Q.

Ponieważ Ap, Bç, Cr są odpowiednio proporcyjonalne względem dostaw kątów, które oś niezmienna tworzy z osiami bezwładności (art. 150), przeto powyższa płaszczyzna jest prostopadła do osi niezmiennej, a jéj odległość li od środka kręcenia się jest stała i równa h — \ 2T : G = H :}/ 2T . Powiedzieliśmy wyżej, że płaszczyznę niezmienną możemy poprowadzić przez dowolny punkt stały; owóż poprowadźmy płaszczyznę, prostopadłą do osi niezmiennej, w odległości h od punktu O, i uważajmy tę płaszczyznę za niezmienną. Wtedy równanie (3) wyraża, że elipsojda bezwładności dotyka się nieustannie płaszczyzny niezmiennej, a z art. 151-go wynika, że średnica elipsojdy, łącząca punkt styczności z punktem O, jest osią chwilową obrotu.

Otrzymujemy zatym następujący obraz ruchu ciała, kręcącego się około punktu stałego pod wpływem sił popędowych: elipsojda bezwładności ciała, odpowiednia punktowi stałemu, kręci się około tego punktu, dotykając się nieustannie płaszczyzny niezmiennej, czyli tocząc się po tej płaszczyźnie; średnica, przechodząca przez punkt styczności, jest oski chwilową obrotu, a długość tej

średnicy jest proporcyjonalna względem prędkości kątowej tego obrotu (twierdzenie Poinsot).

Podane rezultaty wynikają, także z równań Euler’a. Ponieważ podczas ruchu L = 0, M = 0, N = 0, przeto równania Euler’a będą

dr

dq

(4)

dt =(B-C)qr, B^- = (C-A)rp, C^- = (A-B)pq.

Pomnóżmy obie strony tych równań odpowiednio raz przez p, q, r, a drugim razem przez Ap, T>q, Cr i za każdym razem dodajmy je do siebie; natenczas

A dp

dp

dq

dr

dp

dq

dr

(6) Ap dt+Bidt+Gr di=0; AipW + B'îlt+G2r^ = 0'

dt

co całkując, mieć będziemy

(6)

Ąp² + B f + Cr² — stałej ; A²p² -f B²q² + CV² — stałej.

Pierwsze równanie wyraża zasadę zachowania energii, 2T=Ap²+Bę²-f Cr²; ponieważ Ap, Bq, Cr oznaczają odpowiednio rzuty momentu G na poruszające się osi bezwładności, a p, q, r rzuty prędkości co na też osi, przeto z 1-go równania ((5) wynika

2T Ap p-\-Bqq-\-Cr r

G co

Gco

= cos i, a stąd

co cos i =

Ap² + B<2² + Gr²

= stałej.

Drugie równanie (6) wyraża, że moment G jest stały, a z połączenia obudwu równań wynika podane wyżej twierdzenie, pozwalające wyznaczyć co za pomocą elipsojdy bezwładności.

Bedukując w każdej chwili siły odśrodkowe do punktu O, otrzymamy parę sił, której moment F jest prostopadły do momentu G i do osi chwilowej (art. 149). Siły odśrodkowe wywołują obrót około pewnej osi, przechodzącej przez O, którą łatwo wyznaczymy. Ponieważ qr (B—*C), rp (C — A), pq (A — B) są odpowiednio rzutami momentu F na osi bezwładności, przeto ilorazy qr (B—C) : A, rp (C—A) : B,pq (A—B) :C przedstawiają odpowiednio rzuty prędkości kątowej obrotu, wywołanego przez siły odśrodkowe, na osi bezwładności. Porównywając tę ilorazy z równaniami (4), widzimy, że po-

chodne

~§t'>~di'~ïït Przedst'awiaB waśnie rzuty powyższe, że zatym

dp dq dr

cos (F, x) : cos (F, y) : cos (F, e) =    ^

a więc według (5) cos (r, G) =; 0. Oś obrotu, wywołanego przez siły odśrodkowe, jest prostopadła do momentu pary popędowej, a więc równoległa do płaszczyzny niezmiennej.

Równania Euler’a wyrażają, że siły odśrodkowe sprawiają ciągłą zmianę położenia osi chwilowej, i że obrót ciała przy końcu elementu czasu dt jest

obrotem wypadkowym obrotu na początku tego elementu czasu i nieskończenie małego obrotu, który siły odśrodkowe wywołują. Ponieważ oś tego ostatniego obrotu jest prostopadła do G, przeto rzut prędkości w na kierunek tego momentu jest stały. Jeźeli ciało ma się ciągle obracać około téj samej osi, to F — 0, a zatym, gdy A, B i C są nierówne, dwie prędkości z pomiędzy trzech p, q i r są równe zeru, więc ową osią obrotu jest jedna z osi bezwładności.

153. Polodyja i herpolodyja. Elipsojda bezwładności, kręcąc się około środka, jest styczna do płaszczyzny niezmiennej w coraz innym punkcie swój powierzchni, a więc i w coraz innym punkcie owej płaszczyzny. Punkt s, w którym owa elipsojda jest styczna do płaszczyzny niezmiennej, nazywamy biegunem chwilowym obrotu; owóź należy rozważyć dwie linije krzywe, z których pierwsza jest miejscem gieometrycznym tego bieguna na elipsoj-dzie, druga zaś jego miejscem gieometrycznym na płaszczyźnie niezmiennej. Według Poinsot nazywamy pierwszą krzywą polodyją, drugą zaś herpolo-dyją ruchu rozważanego. Oznaczymy pierwszą przez (s), drugą przez (o). Polodyja jest liniją skośną, herpolodyja płaską i mają spoiny punkt s. Stożek o wierzchołku O a kierownicy (a), przedstawia stożek centralny w przestrzeni, a stożek o tymże wierzchołku a kierownicy (s), jest stożkiem centralnym w kręcącym się ciele (art. 48).

Przyjmijmy A = 1 : a², B= 1 : b², C — 1 : c²; wtedy ą, b, ć oznaczają

połowy osi głównych elipsojdy bezwładności; więc — + ~ -j--— 1 jest ró-

or b²    c²

wnaniem tej elipsojdy. Aby otrzymać równania polodyi, prowadźmy do tej elipsojdy płaszczyzny styczne w stałej odległości h od środka i szukajmy miejsca geometrycznego punktu styczności (xv y„ gt) na elipsojdzie.

nieważki+ fŁ +

polodyja jest określona przez następujące dwa równania

V,² yt²    g²    !

⁷‘ wr + w + ^y-¹’ ■^ + h ⁺ ^=¹-

Rugując stąd kolejno a?*², yp i #,² otrzymamy równania rzutów polodyi płaszczyzny główne elipsojdy

a² — b² „ , a²

—T.— yr H—

Po-

O)

(ß)

gg\

c²

— 1 jest równaniem płaszczyzny stycznej, przeto

b² — c²

3f +

— c²

cł

b²—

₀ • a²—h²

Xl ~    h²~

c² — h²

na

c² — a²    c² — b²

T*-**' + —gssS

Ńiech A >* B >- C ; wtedy a <Z b <, c -, oś x będzie przeto najkrótszą, oś g najdłuższą osią elipsojdy. Żeby płaszczyzna była styczna do elipsojdy, potrzeba, aby a <C.h <C.c. Przy badaniu kształtu polodyi należy rozróżnić 3 przypadki, według tego, czy h > b, h = b, h C b.

h²

Z równań (2) okazuje się, że rzut polodyi na płaszczyznę y z jest elipsą, której osi mają kierunki odpowiednich osi bezwładności; stosunek wzajemny tychże osi zależy tylko od momentów bezwładności ciała. Równanie trzecie okazuje, że rzut polodyi na płaszczyznę xy jest także elipsą. Z równania drugiego wynika, że przy h >> b rzut polodyi na płaszczyznę zx jest hiperbolą, której oś sprzężona ma kierunek osi x\ przy li <C.b ten rzut jest hiperbolą, której oś sprzężona ma kierunek osi ^ ; nakoniec przy h = b otrzymamy jako rzut dwie proste, przecinające się w punkcie O i położone symetrycznie względem osi x. W tym przypadku składa się polodyja z dwu elips, które otrzymamy także, przecinając elipsojdę dwiema płaszczyznami, poprowadzonymi przez oś średnią ?/, i położonymi symetrycznie względem płaszczyzn głównych. Dla tych płaszczyzn przecinających jest z : x —

; obie elipsy przecinają się w punktach końcowych osi

c²

b² — a²

a²

średniej elipsojdy, b jest połową ich spólnój osi mniejszej, a

c² — b²

'Y

a² c²

jest połową ich osi większej. W przypadkach, gdy Ji — a lub h — c, redukuje się polodyja do jednego punktu, mianowicie do odpowiedniego wierzchołka elipsojdy. Polodyja jest zawsze zamknięta, jako miejsce gieome-tryczne punktów styczności płaszczyzn, stycznych do elipsojdy w stałej odległości h od środka tej elipsojdy.

Kładąc

<x²=b²+c²

b²c²

(3)

h2 ,ß² = c²+a²

C²0²

h²

Ÿ — a²-rb²

a²b²

%²=zxx²-\-yx²-\-z^

mieć będziemy według (2)

rp 2    ----

Jj j -

(4)

(?>²— a²) (c²— a²)

(%² —a ²),y² —

c⁴

(ć²-b²) (ia²-b²) • (y.²—7²).

(x² —ß²)

(a² — c²) (b² — c²)

Z równań (3) okazuje się, że ß²;> a², ß²Z>7², zaś y² większe, równe lub mniejsze od a² według tego, czy h jest większe, równe lub mniejsze od b. Przy x = ß ze związków (4) otrzymamy xt > 0, yt = 0, zx > 0 ; zaś przy x ■>• ß wypada yx urojone, skąd wynika, że ß jest najdłuższym promieniem wodzącym (ze środka O) polodyi i że ta linija ma wierzchołek na płaszczyźnie xz. Aby wyznaczyć wierzchołek, odpowiadający najkrótszemu promieniowi wodzącemu, przyjmijmy naprzód h>b, wstawmy w (4) x = y> a otrzymamy xx >* 0, ^>>0, zy =0; więc y jest w tym przypadku najkrótszym promieniem wodzącym, a wierzchołek odpowiedni znajduje się na płaszczyźnie xy. Gdy h <C. ó, weźmy — wtedy ze związków (4) wynika xx -=■ 0» yx > 0, zt ;> 0, więc a jest promieniem najkrótszym, a wierzchołek znajduje się na płaszczyźnie y z. Gdy li = b, będzie a² = y² — b², a x = b jest promieniem najkrótszym ; wierzchołki znajdują się na płaszczyznach głównych elipsojdy.

Możemy sobie także zdać sprawę z kształtu lierpolodyi. Obierzmy w tym celu spodek P (fig. 58) prostopadłej h na płaszczyźnie niezmiennej za początek spółrzędnych biegunowych p i <p herpolodyi. Ponieważ p²r=x²-/i²? przeto wierzchołkom polodyi odpowiadają także wierzchołki herpolodyi.

x.

(S’I

-V-

PsC

Fig. 58.

Otrzymamy maximum p = }/ ß² — h², a dla h > b, minimum p = Vt — zaś dla h <! b, minimum p = J/aa — h². Jeżeli więc z punktu P na płaszczyźnie niezmiennej zakreślimy dwa koła, jedno promieniem maximum p, drugie jJromieniem minimum p, herpolodyja znajdować się będzie między okręgami tych obudwu kół, będąc styczną naprzemian to do jednego, to do drugiego koła. Łuk między dwoma wierzchołkami herpolodyi jest równy łukowi między dwoma odpowiednimi wierzchołkami polodyi jest więc równy połowie długości tej linii. Jeżeli kąt o wierzchołku P, którego ramiona przechodzą, przez wierzchołki wewnętrzne lub przez zewnętrzne herpolodyi, mieści się całkowitą ilość razy w 360°, natenczas herpolodyja jest liniją zamkniętą, a ciało powraca do swego pierwotnego położenia po 2n obrotach. W każdym innym przypadku wije się herpolodyja bez końca między owymi dwoma kołami spółśrodkowymi, a ciało zajmuje coraz inne położenie.

ma

Poinsot, a za nim inni pisarze sądzili, źc herpolodyja jest liniją falową, która ku punktowi P jest zwrócona naprzemian to stroną wklęsłą, to wypukłą. AV czasie najnowszym okazano jednak, że tak nie jest, że herpolodyja nie punktu przegięcia, lecz zwrócona jest ku punktowi P stroną wklęsłą (ob. literaturę przy końcu rozdz. XV).

154. AY przypadku, gdy h — b, można przedstawić równanie herpolodyi zapomocą funkcyj prostych. Z art. 153-go wiemy, że w tym przypadku polodyja składa się z dwu elips o osi większej 2ß i osi mniejszej 2ó; wyznaczymy herpolodyją, odpowiednią jednej z tych dwu elips. W tym celu elipsę

(5)

eftp

Jp p J/ ß² — b²—p²

25

(fig. 59), toczącą się na płaszczyźnie niezmiennej, rozważajmy w tym położeniu, kiedy ona jest do owej płaszczyzny styczna w wierzchołku S, ograniczającym oś większą 2 ß ; poprowadźmy przez P i S oś biegunową, od której liczmy

(S),

o.

(ć)

•f,

Fig. 59.

kąt cp. Jeżeli wskutek toczenia się elipsy (s) punkt s przybędzie do a, to łuk Ss = łukowi Sa. .Przyjmijmy x = Os, p = Pa, kąt SOs = <f>, kąt SPa = cp; wtedy p² — x²— h² = v.²— b². Niecli <p przyrośnie o dtp; wtedy punkt 5, znajdzie się w a,, a ss, =    = ds. Dla linii (s) mamy ds² = x² d<p² + dn²,

zaś dla (a) mamy ds² = p² dtp² + dp² ; więc p² dtp² -f dp² = y² dtp² -J- dv.²,

czyli p²    — *² (^) ^ lł Wstawiwszy wartości p i dp, mieć

będziemy

0)

X²

x² —ó²

— Y.²

\dv./

+ 1.

Równanie elipsy (s) jest

(2)

b² ß² — x² (b² cos ² <{) -j~ ß² sin² (Jj) ,

skąd

(3)

więc według (1)

(4)

X²

OQ.

X² __ £2 — (*2 _ J2) (ß2_ %2)

Gdy wstawimy    i wprowadzimy p, otrzymamy

+ 1.

BIbl. mat.-fiz.. S. IV, T. X.

Niech e² = ß² — b², gdzie s jest mimośrodem elipsy (s)\ wtedy

(6)

b. dp

dy —

b s —Ç

Wstawmy Ç² = e² — p² i całkujmy; mieć będziemy <p = C + -x- lg , >

J* S S —p“

p ]/ e² — p² *

a ponieważ dla (p = 0 jest x = ß, p =: e, Ç = O, więc C = O. Wprowadzając ponownie p i rozwiązując równanie względem p, otrzymamy

2s

(7)

sep

eb -f- e &

jako równanie herpolodyi, gdy li =■ &. Stąd wynika, że herpolodyja jest symetryczna względem PS, a PS — sjest jéj największym promieniem wodzącym. Punkt a zbliża się nieustannie do P ponieważ zaś dla cp — dh oo jest p = 0, przeto P jest punktem asymptotycznym herpolodyi. Dla cp — % otrzymamy punkt po przeciwnej stronie punktu S. Herpolodyja jest liniją spiralną o nieskończenie wielu zwojach, a chociaż punkt a obraca się nieskończenie wiele razy około P, to jednak długość spiralnej jest skończona i równa jioło-wie okręgu elipsy (s). Oś chwilowa zajmuje coraz inne położenie w ciele i w przestrzeni, nie wracając do tego samego położenia. —

Aby kręcenie się ciała około punktu zbadać pod względem czasu, rozwiążmy p² -f- q² + r² — co², A p² + B q² -j- Cr² = 2 T, A ²p² -j- B²y² -f- C²r² — G2 względem p², q² i r²; otrzymamy

p²

BO

(A—B) (A—C)

f ₉    2T(C+B;-G²7

Lw    BC J ’

podobne wyrażenia mieć będziemy dla q² i r². Z równań (4) art. 153-go wynika

2Ta² =

2Tß²=

2T (B+C) —G²

BC

2T(C+A)—G²

CA

2Tq² =

2T (A+B) — G²

skąd, gdy przyjmiemy

AB

(ot² —2Ta², co₂²—2Tß², co₃² = 2Ty²,

wyprowadzimy

p² —

BC

(8)

“ (A—B) (A—C)

(w²—o)!²), q² =

CA

AB

(B-C)(A-B)

(co ₂² —w²),

(A—C) (B-C)

(co²—co₃²).

Ponieważ ß jest największą wartością promienia wodzącego polodyi, a co2 = 2Tx², przeto co₂ oznacza maximum prędkości kątowej co. Według tego, czy h^b, t. j. czy 2TB^G², odpowiednio y lub a przedstawia promień najmniej-

co

szy y. , a zatjm odpowiednio co₃ lub w, jest minimum prędkości co. Gdy h = b, a więc gdy 2TB=G², jest a = y = J,a przeto coj = co₃ = J/*2T : B jest minimum prędkości co.

.Różniczkując pierwsze równanie (8) względem t i wstawiając dp : dt z równań Euler’a, mieć będziemy

dco __ (A—B) (A—C) (B—C) dt

ABC

albo, gdy z (8) obliczymy p q r,

(9)

dco

\'r (w2

— w,²) (co₂²—w²) (co² —co²₃) .

W dt —

Z tego równania możemy wyrazić t przez co zapomocą całki eliptycznej, a co przez t zapomocą funkcyi eliptycznej.

Wielkości co, p, q i r możemy wyrazić przez t za pośrednictwem pewnej zmiennej, stosownie obranej. W tym celu wyrugujmy r² z równań Ap²-j-etc. = 2T i A²p² -f- etc. = G² i przyjmijmy

(10)

Po²

G²—2TC

A (A — C)

%² —

G²—2ÏC “ B (B — C) ;

otrzymamy

P*, jf

Po² ^ <2o²

Ponieważ co jest proporcyjonalne względem x, przeto punkt o spółrzędnycb p q i r względem osi bezwładności opisuje liniją krzywą, podobną do polodyi? a równanie (11) przedstawia rzut téj linii na płaszczyznę, przechodzącą przez te dwie osi główne, względem których A i B są momentami bezwładności ciała. Płaszczyznę taką oznaczać będziemy symbolem (AB). Ponieważ h<Z.c, a więc G²>2TC, przeto ta linija jest elipsą, której osi znajdują się na osiach A i B. Oznaczmy podobnie, jak w art. 91-ym na fig. 37-éj, przez u anomaliją średnią punktu, opisującego tę elipsę; wtedy

p = pQ cos u, q = q₀ sin u,

(U)

= 1.

(12)

przyczym u liczymy od tego wierzchołka elipsy, dla którego^ —p₀, q— 0. Stąd otrzymamy według (8)

co² — cot² =

A—B ABC

— (G²—2 TC) cos² w,

w²—co₂² = —

A—B

ABC

(G²—2TC) sin²w.

A ponieważ

C0₂²--COj² =

(À—B) (G² —2TC)

ABC

przeto

Wstawmy tę wartość w ostatnie równanie (8) i przyjmijmy

tô2²—wt²_A—B G² — 2TC

w2a—w3² C—B * G² — 2T A ;

(14) r₀² —

AB (o>₂²—co₃²) _ G²—2TA (C—A) (C-B) “ C (C—A)

otrzymamy

(15)

r — r₀ ]/' 1 — X² sin²w,

przy czym r == r₀ dla u — 0. Równania (12), (13) i (15) pozwalają p, q, r i w wyrazić przez u. Aby u wyrazić przez t, podstawmy o>² — oif, co₂²— w2 w² — tó₃² w (9); otrzymamy

w.    — (co₂²—iùt²) [X to₂²—w₃².    1 — X² sin² w. sin u cos u.

at

Różniczkując zaś obie strony równania (13) względem t, z porównania otrzymanego stąd wyrażenia z powyższym będziemy mieli

du

—— I⁷ to₂² — û>₃². [Xi—X²sin²w,

(16)

czyli dt =

dw

1/ w₂²—w₃². J/l — X²sin²w.

Znak — wskazuje, że punkt (p, q) opisuje elipsę (11) od osi mniejszej na B

7C

ku osi większej na A. Całkując względem u w krańcach —- i 0, otrzymamy

czas, potrzebny do opisania ćwiartki elipsy, a zatym czas do opisania łuku po-lpdyi między dwoma wierzchołkami.

Spółrzędne bieguna chwilowego s są,p: J/2T, q: ]/ 2T, r:]/r2T, a spół-rzędne bieguna sąsiedniego st są ('p+dp):\/2T, (q+dq) : J/2T, (r+dr) : 1/2T. Oznaczmy przez p promień wodzący Ps herpolodyi, a przez dtp kąt sPs,; wów-

p²

czas pole sPst = dcp jest rzutem pola sOsj na płaszczyznę niezmienną.

u

Rzucając przeto pole sOs, na płaszczyzny (BC), (CA) i (AB), mnożąc rzuty odpowiednio przez dostawy kierunkowe osi niezmiennej i dodając iloczyny, mieć będziemy

2TG p²d<p = Ap(qdr—rdq) + Bq (rdp — pdr) + Cr (pdq— qdp),

czyli, uwzględniwszy równania Euler’a,

(17)

2 T G ABC p² ^ = BC (B—C)² q² r² + CA (C — A)² r²p² -f

+ AB (A—B)²p²q*.

Z równania (13) wynika x² = ß² — (ß² — a²) sin² w, a ponieważ p² = x² — h², przeto p² = ß² — h² — (ß² — a²) sin²«. Gdy zamiast a², ß² i h² wstawimy wartości poprzednio podane, otrzymamy

2 T G² ABC p² = (G² — 2 T C) [B (2 T A - G²) — G² ( A—B) sin² u],

a jeżeli tu przyjmiemy

(18)

Po² = —

(G²—2TC) (G²—2TA) 2 TG² AC

, fŁ²^-

G² (A-B) B(G²—2TA)

mióć będziemy

(19)

p² — p₀² (1 — [JL² sin² u).

Jeżeli tę wartość, tudzież p², q² i r² z (12) i (15) wstawimy w (17), przyjmiemy

Jcp d<p    du

dt    du    dt

du

następnie -j- wstawimy z równania (16), to mieć będziemy

(20)

dy

G. J/abc

du

_ (G² — 2TA) cqs²m-|-(G² - 2TB) sin²«

)/ (C — B) (G²—2TA) ' [ G² (A-B) cos² u - A (G² — 2TB)] ]/1—X² sin²« ’

Stąd możemy cp wyrazić przez u. Bównanie (19) i całka równania (20) wyrażają spółrzędne biegunowe herpolodyi przez argument u.

W przypadku, gdy h — b, a więc gdy G²= 2 TB, będzie to, = w₃, X = l,

skąd

dy =

AC

du

(21)

(A—B) (B — C) * cos u'

1 1 /~ AC    ,    1 + sinw

T “ I Y (A—B) (B-C) * ⁹ 1 —sinw

d'p _

a następnie

<²²> «

Wynika stąd, że płaszczyzna, przechodząca przez oś niezmienną i oś chwilową, obraca się jednostajnie około osi niezmiennej.

Aby określić położenie kręcącego się ciała, naprzód z warunków zadania obliczymy dostawy kierunkowe a,, ó,, c, ; a₂, b₂, c₂ ; a₃, b₃, c₃ osi bezwładności A, B, C względem osi spółrzędnych x₎ y. z, poprowadzonych przez środek kręcenia się. "Wiadomo z gieometryi, że powyższe dostawy mogą być wyrażone przez funkcyje trygonometryczne trzech kątów następujących : kąta który ślad płaszczyzny (AB) na płaszczyźnie xy tworzy z osią x, kąta <{>, który tenże ślad tworzy z osią A, i kąta 6, który płaszczyzna (AB) tworzy z płaszczyzną xy, lub który oś C tworzy z osią niezmienną. Według wiadomych wzorów Euler’a jest

a, = cosxcos é — sinxsincos 6 ; a₂ — — cos /sin t|) — sin/cos <{> cos 0, ó, =sinxcost]) — cos/sintpcos0 ; b₂ =—sin^sintf) -j- cos^costfjcosO,

; c₂=r:COS<jłsin0,

a₃ — sinxsin0.; b₃~— cos/sinO, c₃~cos0.

Ponieważ Ap:G, Bę.-G, Cr: G oznaczają dostawy kierunkowe osi niezmiennej względem osi A, B i C, przeto

Ap = G . sin <{j sin 0, Bç = G cos sin 6 ? Cr := G cos 0 ;

(23)

(24)

du

f/2T.

c, = sin tj) sin 0

(A—B) (B-C)

ABC

cos w, ,, dt

2T

a stąd

(25) tangt{> =

Ap _ A po

B? “ B<2o

Cr

cotangw, cos0 = -~-, sin0 =

Gsin<J> Gcos(|) ‘ Mamy więc i 0 wyrażone przez u. Z równań (9) art. 150-go wynika

(26)

dy

P. sin (j)    <2 cos    sin 0 ;

jest więc, według (25)

(27)

S = o.

dt

Ap² + B<2²

Â²i)2_|_B2Ç2

2 T — Cr²

G² —CV² ’

a jeżeli wprowadzimy =    i z poprzednich wzorów wynikające wy-

ct t dii d t

rażenia dla p, q i ~ , to będzie ostatecznie

Ap₀² cos² u + B^₀²sin²^    ____

A²p₀² cos² u -f B²ę₀²sin² u * \/w₂² — w₃². [/ 1 —X²sin²M

(28)

dy

du

skąd możemy kąt y obliczyć jako funkcyją zmiennej u. Znając kąty y, tf) i 0, wyznaczymy położenie ciała w każdej chwili zapomocą równań (23).

155. Pbecesyja i nutacyja. Podana teoryja pozwala rozwiązać zadanie o kręceniu się ciała około punktu, na które żadne siły nie działają. Niektóre przypadki szczególne mogą być jednak rozwiązane w odmienny sposób, który wynika z poczynionych założeń, wskutek czego opisanie ruchu zyskuje na jasności.

Zastanowimy się nad przypadkiem, gdy ciało, którego elipsojda centralna jest powierzchnią obrotową, kręci się około środka masy. Ponieważ przy opisywaniu ruchu ciała wystarcza rozważać tylko jego elipsojdę bezwładności, przeto oś obrotu tej elipsojdy nazwiemy krótko osią gieometryczną ciała, a płaszczyznę, prostopadłą do osi i przechodzącą przez środek masy, nazwiemy równikiem tego ciała. Obie nazwy mają znaczenie gieometryczne, jeżeli

(S

M-C-

0/

Fig 60.

ciało jest obrotowe, bo wtedy elipsojda centralna jest także powierzchnią obrotową. Gdy C oznacza moment bezwładności względem osi gieometrycznój, to A —B, a według tego czyC^A, elipsojda bezwładności będzie sjDłaszczona (sferojdą) lub wydłużona. Położenie ciała będzie w każdej chwili "x wiadome, jeżeli znamy położenie osi gieometrycznój w przestrzeni, tudzież położenie ciała względem tej osi. W celu wyznaczenia tych położeń mogą posłużyć trzy kąty, które następującym sposobem określimy. Wystawmy w środku masy ciała trzy osi prostokątnego układu spółrzę-dnych Sx, Sy, Ss, nieruchome w przestrzeni, a prosta niech oznacza

chwilowe położenie osi gieometrycznéj. Przesuńmy płaszczyznę przez S# i SC, i niech SC' będzie śladem tej płaszczyzny na Sxy\ wówczas kąt 0 —0SC tudzież kąt a; SC' określają położenie osi gieometrycznéj w przestrzeni. .Równik przetnie płaszczyznę S xy podług prostej Sy], którą nazywamy liniją węzłów równika, a jeżeli przyjmiemy kąt (p — xSy, to

71

kąt a; SC' będzie równy <p— —, ponieważ SC' jest prostopadłe do Syj; kąty

A

0 i (p określają zatym położenie osi gieometrycznéj w przestrzeni. Aby określić położenie ciała względem osi S C, obierzmy w przestrzeni (np. na osi x) dowolnie punkt stały, i poprowadźmy płaszczyznę przez ten punkt i oś SC ; dość znać kąt a, który południk dowolnego punktu elipsojdy tworzy z tą płaszczyzną, aby mieć oznaczone położenie téj elipsojdy względem osi SC. Po upływie elementu czasu dl kąty <p, 0 i a przybiorą odpowiednio wartości 0 + dQ, a -f- da, a przejście ciała w sąsiednie położenie możemy uważać za wynik następujących trzech ruchów. Obróćmy oś gieometryczną około linii węzłów Syj o kąt dQ, a płaszczyznę #SC, poprowadzoną przez S# i SC, obróćmy około osi z o kąt d cp; wskutek tych obudwu ruchów przyjmie oś gieome. tryczna nieskończenie bliskie położenie w przestrzeni; obróćmy nakoniec ciało o kąt da około nowego położenia jego osi gieometrycznéj; przywiedziemy w ten sposób ciało do tego położenia, które ono zajmuje po upływie czasu dl.

Ruch osi gieometrycznéj, wskutek którego zmienia się kąt 0, utworzony przez nią ze stałą osią #, nazywamy nutacyją czyli kołysaniem się téj osi względem téj prostej; ruch zaś płaszczyzny #SC, wskutek którego zmienia się kąt cp, który linija węzłów tworzy ze stałą osią x, zowiemy precesyją osi gieometrycznéj ciała. Obie nazwy wzięte są z astronomii, w której występują przy opisywaniu ruchu ziemi. Ruclnobrotowy ciała około osi gieometrycznéj nazywamy obrotem własnym tego ciała. Miarami nutacyi, precesyi i obrotu własnego są odpowiednio prędkości kątowe 0, <ł>, fi, określone przez równania

(1)

<ł> =

d0

dt

dt

dt

które dla krótkości wysłowienia nazywamy także odpowiednio nutacyją, precesyją i obrotem własnym.

Poprowadźmy trzecią oś SC, prostopadłą do SC i Syj , leżącą zatym na równiku; powstaje prostokątny układ spółrzędnych SC^C, do którego punkty ciała odnosić możemy. Atoli ten układ jest ruchomy w ciele i w przestrzeni; liniją węzłów jest bowiem coraz inna prosta równika, a oś SC zajmuje w ciele coraz inne położenie, tylko oś gieometryczną nie zmienia swego położenia w ciele. Osi SC, Syj i SC poruszają się wskutek nutacyi i precesyi, nie biorą jednak udziału w obrocie własnym ciała.

Niech Ss będzie osią chwilową obrotu ciała, którą dokładnie odróżnić trzeba od jego osi gieometrycznéj. Obrót chwilowy w możemy rozłożyć na obroty około SC, Syj i SC. Rozkładając precesyją 4» na obroty <ł> cos 0, około

156. W celu wyprowadzenia równań ruchu, skorzystajmy z twierdzenia, podanego w art. 142-im, tudzież ze sposobu, podanego w art. 150-ym. Iloczyny C (ß + 4» cos 0), A0, A4» sin 0 przedstawiają w układzie spółrzędnych SC'rjC odpowiednio spółrzędne końcowego punktu odcinka, który wyobraża moment wypadkowy ilości ruchu ciała względem punktu S. Pochodne zatym tych wielkości względem czasu są prędkościami względnymi tego punktu w kierunkach powyższych osi. Ponieważ owe osi nie biorą udziału w obrocie własnym ciała, przeto 4» cos 0, 0 i 4» sin 0 są odpowiednio składowymi prędkości kątowej ruchu unoszenia; według równań (3) art. 150-go otrzymamy odpowiednie rzuty prędkości unoszenia tego punktu, mianowicie: 0, (C — A) 4>² sin 0 cos 0 -J- C 4» ß sin 0, (A—C) 4» 0 cos 0 — C 0 ß. Oznaczając przez L, M, N sumy momentów sił przyłożonych (ciągłych) względem Si, Srj i SC, otrzymamy według art. 142-go żądane równania ruchu,

S£ i 4> sin 0 około SC, otrzymamy ß + 4» cos 0, 0 i $ sin 6 jako odpowiednie składowe obrotu chwilowego w około osi SC, Stj i SC, będących w każdej chwili osiami bezwładności ciała pomimo zmiany położenia, jakie one w nim zajmują.

C ~ (ß -j- 4> cos 0) = L

(2)

A— + (C—A) 4>² sin 0 cos 0 + C 4> ß sin 0 = M d4>

A sin0 -f- (2A — C) 4>0cos0 — C0ß = N, które w téj postaci podał E. Bour.

Jeżeli do ciała, będącego w spoczynku, przykładamy parę popędową, i moment téj pary obieramy za oś g, to oznaczywszy przez L₀, M₀, .N₀ składowe momentu pary popędowej względem początkowego położenia układu osi S£i]C (dla t= 0), mamy Mo = 0, ponieważ Syj jest prostopadła do S#. W chwili więc rozpoczęcia ruchu będzie

(3)

C(ß + 4>cos0) = Lo, A0 = 0, A4»sin0 = N₀,

w prze-

a stąd 0 = 0. Gdy teraz ciało, przez parę popędową w ruch wprawione, będzie samemu sobie zostawione, a więc L = 0, M = 0, !N= 0, to łatwo rozpoznać dalszy przebieg jego ruchu. Obrawszy oś niezmienną za oś g, poprowadźmy w odległości h — ]/ 2T : G od S płaszczyznę niezmienną, równoległą do Sxy\ elipsojda obrotowa jest styczna ciągle do téj płaszczyzny, a promień, łączący punkt styczności ze środkiem, jest osią chwilową. Oś gieometryczna, oś niezmienna i oś chwilowa znajdują się ciągle na płaszczyźnie południka, poprowadzonej przez oś niezmienną, z czego wynika, że promień elipsojdy, przedstawiający prędkość kątową obrotu chwilowego, ma długość stałą, a zatym ta prędkość w jest stała. Polodyja jest przeto równoleżnikiem elipsojdy, a her-polodyja jest kołem na płaszczyźnie niezmiennej. Stożek centralny w ciele jest obrotowy, a oś gieometryczna jest jego osią; stożek centralny

strzeni jest także obrotowy, a jego osią jest oś niezmienna. Jeżeli eiipsojda jest wydłużona, to obadwa stożki są do siebie styczne zewnętrznie, w przypadku zaś sferojdy wewnętrznie, a stożek centralny w ciele jest szerszy i obejmuje stożek centralny w przestrzeni. Z tego wynika, że oś gieometryczna opisuje w przestrzeni stożek obrotowy około osi niezmiennej, że przeto ciągle 0 = 0. Mamy więc ił -f- O cos 6 = stałej, tudzież $ sin 6 = stałej, a ponieważ kąt 6 jest stały, przeto będzie ił = stałej i <ï> == stałej. Widzimy zatym, że ciało obraca się jednostajnie około swej osi gieometrycznéj, że precesyja względem osi niezmiennej jest również jednostajna, i że nutacyi względem osi niezmiennej niema wcale.

(4)

Zachodzi pytanie: czy taki ruch ciała obrotowego, dla którego ciągle

¹

a,<2“ B ’ ł ~ C ’

²

jako składowe prędkości kątowej to obrotu w pierwszej chwili po przyłożeniu sił. Odetnijmy te prędkości na odpowiednich osiach bezwładności i dokonajmy ich składu; otrzymamy oś chwilową, tudzież prędkość kątową

»=».§=«. ?-».

tylko wtedy zajść może, kiedy na ciało, przez parę chwilową w ruch wprawione, żadne siły nie działają, czy też ten ruch może także zachodzić przy działaniu sił ciągłych, odpowiednio dobranych. Równania (2) pozwalają rozwiązać to zagadnienie. Z nich według (4) otrzymamy L = 0, N = 0, M = [<£> (C — A) cos 0 -f Cfi] <ł> sin 6, z czego wynika, że ów ruch zajdzie, jeżeli na ciało działa para sił, której płaszczyzna jest ciągle prostopadła do linii węzłów równika, a której moment posiada stałą wartość M. Wtedy oś gieometryczna porusza się bez kołysania się, prędkość kątowa precesyi jest stała, a obrót własny ciała jest jednostajny.

Przyjmijmy, że kąt 0 jest ostry, i że eiipsojda bezwładności jest sferojdą; wtedy C—A>0, a znak i wielkość pary M zależeć będzie od prędkości ił i <b. Odetnijmy na osi z stałą prędkość <3>, na osi gieometrycznéj prędkość ił; przekątna równoległoboku tych prędkości daje oś chwilową i prędkość w. Prowadząc płaszczyznę południka przez oś z, następnie w punkcie, w którym oś chwilowa przecina ten południk, prowadząc styczną do południka, i wystawiając w S prostopadłą do téj stycznej, otrzymamy tymsamym kierunek momentu G ilości ruchu ; ten kierunek jest zmienny, atoli wielkość G jest stała. Gdy ß jest kątem, który G tworzy z osią z, a y kątem między osią z a osią chwilową, to z równoległoboku prędkości a>, ił i d> wynika

(5)

<3>_sin (0 — y) ß _ sin y

SÙ10

(O

w sin0 *

Iloczyny G.cos(0—ß) i Gsin(0—ß) przedstawiają odpowiednio rzuty momentu G na SU SC, mamy przeto

G cos (0 — ß) = C (ił + O cos 0), G sin (0 — ß) = A d> sin 0,

a stąd

(6)

J G cos ß = C (ił + <ł> cos 0) cos 0 + A <ł>² sin² 0 1 G sin ß = C (ił <ł> cos 0) sin 0 — A <ł> cos 0 sin 0 ; a ponieważ, jak wyżej okazano, M = [<ł> (C — A) cos 0 + C ił] d> sin 0, przeto

M = G <3> sin ß,

co przedstawia nowe, a proste wyrażenie momentu M, sprawiającego ruch żądany. Wstawiwszy wartość na O z (5), otrzymamy także

M = G(o

(8)

sin ß sin (6 — y) sin 9

Uważajmy te kierunki osi 8^ i SC, które tworzą z sobą kąt ostry 0, za kierunki dodatne; długości, przedstawiające <P i &, należy odcinać na tych kierunkach lub na ich przedłużeniach, według tego, czy te prędkości są dodatne, czy też ujemne. Dla ziemi mamy £2>>0, <ł><C0, a jeżeli w pierwszym przybliżeniu pominiemy małą nutacyją osi ziemi względem prostopadłej do płaszczyzny ekliptyki, to z obserwacyj astronomicznych, z których wypada, że ß i <3> mają wartości stałe, wynika, że ziemia doznaje ciągle działania sił zewnętrznych, redukujących się w środku jéj masy do pary sił, której płaszczyzna jest prostopadła do linii węzłów równika. Te siły wynikają z przyciągania słońca i księżyca.

157. Ruch posuwisty. Ponieważ przy tym ruchu zachodzi swoboda rzędu 3-go (art. 51), przeto określamy go przez trzy równania, które z zasady d’Alembert’a bezpośrednio otrzymać możemy. Obierzmy osi Ox i O y równolegle do płaszczyzny kierującej, i oznaczmy przez X, Y, X spółrzędne układu sił przyłożonych względem tych osi, przyczym X i Y oznaczają sumy rzutów sił na osi x i y, a X oznacza moment układu tych sił względem prostopadłej Oz do płaszczyzny kierującej, wystawionej w punkcie O. Z zasady d’Alern-bert’a wynikają następujące 3 równania tego ruchu.

(1)

dH

’ dt²

— X, m.

d2rq

dt²

— Y,

(2)

X nii (xi

d²iji

dt²

d²Xi

Vi~W

w których £, yj oznaczają spółrzędne środka masy, a m oznacza masę ciała. Zamiast prostej Oz możemy inną prostą p z, wyprowadzoną prostopadle do płaszczyzny Oxy z punktu p (%₀, y₀), obrać za oś momentów, a wtedy otrzymamy zamiast (2) następujące równanie

[(Xi~x₀) ^ - (ÿi - y o)    = X₀, w którym

X₀ = X [{Xi — x₀) Y i — (y i — y₀) XJ

przedstawia moment układu sił przyłożonych względem prostej p z. Punktem p może być którykolwiek punkt ciała, poruszający się razem z nim. Równanie (3) możemy także napisać w postaci

d²Xi

VilF

(3)

(4)

(5)

X m,

X Mi (xi

d²y

dt²

) — Xm< + y₀ Xw,

d²Xi

dt²

— X₀.

Oznaczmy przez A, M, Z spółrzędne ruchu chwilowego względem osi x, y i z\ wtedy A i M oznaczają odpowiednio prędkości ruchów postępowych w kierun-

kacli osi x i y, a Z oznacza prędkość kątową obrotu około osi Oä. Składowymi prędkości xl, yl punktu xif y i będą wtedy

xi — A — Z y i, y i' = M -f Zxt, a stąd :

2 w i (#* yl — y i xl) — — A 2 mt yt + M1 xL + ZSw, (^² -j- yt ²) =

= m (— A 77 + M£) -|- Z [I + m (£² -f tj²)] ,

gdzie I oznacza moment bezwładności ciała względem prostej, prostopadłej do płaszczyzny Oxy, i przechodzącej przez środek masy. Ponieważ dla środka masy (£, r[) mamy i' = A — Z yj, 7]' = M -f- Z £, przeto — A 77 -f M £ = £77'— r\i' — Z(£² + 7j²), a zatym

(6)

Ilmi(xiyl — yixl) = m(t,rl — tq4f) + Z 1 = w(£yj' — 7j£') -f I ,

jeżeli c7<p oznacza nieskończenie mały kąt obrotu chwilowego. Różniczkując ostatnie równanie względem t, otrzymamy

dhji

(7)

d/²

d²Xi

~Vi~dF

d²ri

dt²

+ 1*5

^ dt²

-,

a podstawiając tę wartość w (5) i wstawiając nadto Ew< -~=zm dHji

d²i

Ew,

dt²

d²r\ — m~dt?

dt² ’

otrzymamy następujące równanie momentów:

(8)

[(£—æ₀)

d²7j

dć²

^    dt² ~ °’

które łącznie z równaniami (ł) określa ruch posuwisty. Biorąc momenty względem prostopadłej do płaszczyzny wyprowadzonej z punktu O, należy w (8) podstawić x₀ = 0, y₀ = 0, skąd

X ₌    •

dt² 5

d²Yj

d²i\ .

y>iw) ⁺

a biorąc moment względem prostopadłej, przechodzącej przez środek masy, należy podstawić xQ — £, y^~ 7], skąd

1*5

I»)

dt²

(10)

dt²

gdzie N« oznacza moment układu sił przyłożonych względem téj prostopadłej. Z równań (1) i (10) otrzymujemy najprostszym sposobem spółrzędne ruchu chwilowego. Z całek pierwszych i drugich równań (1) otrzymujemy £', r/, £ i 7] jako funkcyje czasu i tych wielkości, które wyrażają warunki początkowe. Z równań £r = A — Z 7], t/ — M + Z £ otrzymamy A = 4' -f- Z yj, M=:7)' — Z£, a stąd możemy spółrzędne ruchu postępowego wyrazić przez Z.

Kładąc Z = —■, możemy równanie (10) napisać także I = a z całki

tego równania otrzymamy spółrzędną Z w funkcyi czasu, pozwalającą w końcu obliczyć A i M. Oś obrotu chwilowego wyznaczają równania

A — Zy = 0, M -{- Zx — 0.

Między 3 n spółrzędnymi n punktów materyjalnycli zachodzi 3 n — 3 związków, z których 3 n—6 określają sztywność ciała, a 3 związki wyrażają, że trzy punkty poruszają się równolegle do danej płaszczyzny. Jeżeli więcej związków nie zachodzi, wtedy ruch posuwisty jest swobodny, a powyższe równania pozwalają wyrazić 3 niewiadome przez spółrzędne ruchu. W przypadku, gdy ilość związków jest większa, niż 3n—-3, ruch posuwisty nie jest swobodny, a wtedy zasada ruchu środka masy nie może być bezpośrednio zastosowana. Ten przypadek zachodzi wtedy, kiedy dany jest tor jednego punktu, lub kiedy wiadome są tory dwu punktów, lub też kiedy dana jest linija krzywa, do której pewna prosta na ciele ma być wciąż styczną i t. p. W tych przypadkach możemy ruch uważać za swobodny, jeżeli tylko uwzględnimy reakcyje, pochodzące z danych warunków. Niech L*:=0 wyraża dany warunek; wtedy równania ruchu punktu y i będą

mi

d²Xi

dt²

_ Y ii

~Xi + À*à^’

mi

d²y{

dU

dt²

a stąd

diji

(12)

d²i

m~ = X + SXt^I, m

d² Y]

dxi

dt²

=Y+sx‘Sf---

Te równania określają ruch środka masy. Podobnie należy w równaniu momentów uwzględnić momenty reakcyj, aby rozwiązać zadanie o ruchu obrotowym, którego układ dokonywa w każdej chwili. Stosowny wybór kierunków osi spółrzędnych, tudzież punktu x₀, y₀, pozwala w wielu przypadkach uprościć rachunek.

158. Puch układo swobodnego. Układ sztywny jest swobodny, jeżeli oprócz związków, określających jego sztywność, żadne inne związki między spółrzędnymi punktów nie zachodzą. Do określenia ruchu potrzeba i wystarcza znać 6 spółrzędnych tego ruchu. Z zasady d’Alembert’a wynika następujących 6 równań, które pozwalają wyznaczyć te spółrzędne:

(i)

(2)

M^=SX”“^-=SY-M^=SZ'’

d²Xi \ v "\r

* *r)=SN-

d²Xi

dt²

d²0i \

~~Xi uf)

= SMi,

I mi (cci

d²iji

dt²

Wystawmy w środku masy {i, vj, C) układ osi, równoległych do osi

Jeżeli ii,

układu Oxyz i posuwających się równolegle w przestrzeni.

Ç, oznaczają spółrzędne punktu (xi, y i, z,) względem tych osi, natenczas Xi = i -f- ii, yi — r\ + yj,-, *<=C + C<. Biorąc momenty L,s, Mis, N*, sił przyłożonych względem tych osi, otrzymamy według (2)

2>m,

[(y< — i)

d²Zi

dt²

i podobne dwa inne równania. Podstawiwszy wyrażenia spółrzędnych i uwzględniwszy, źe YiMiibi — 0, Smt-y]i = 0, mieć będziemy dla osi £

(3)

dKi

dt² i podobnie dla osi tj i C. Ponieważ te równania mają ten sam kształt, co równania ruchu układu, kręcącego się około punktu stałego, (art. 150), przeto mamy ważne twierdzenie : układ sztywny i swobodny kręci się podczas ruchu około środka masy, jako około punktu stałego w przestrzeni.

Łącząc to twierdzenie z zasadą ruchu środka masy, widzimy, źe kinetyka układów sztywnych i swobodnych sprowadza się do jednoczesnego rozważania dwu ruchów, mianowicie ruchu postępowego środka masy i kręcenia się około tego środka, a obadwa ruchy możemy zbadać na podstawie takich sposobów postępowania, jakie w swoim miejscu podane zostały. Rzecz o ruchu środka masy należy do kinetyki punktu, a kręcenie się około środka masy możemy zbadać na podstawie równań Euler’a, pomijając kształt i rozkład masy układu, i zastępując ten układ przez elipsojdę centralną.

Gdy na ciało fizyczne, przez siły popędowe w ruch wprawione, żadne siły ciągłe nie działają, wystawmy w środku masy oś niezmienną, poprowadźmy w wiadomej odległości płaszczyznę niezmienną i rozważajmy ruch elipsojdy centralnej, toczącej się na tej płaszczyźnie, podczas gdy środek téj elipsojdy posuwa się po linii prostej. Proste, około których ciało obraca się, utworzą stożek, którego wierzchołek porusza się po linii prostej; drugi stożek, którego podstawą jest herpolodyja, posiada ruch postępowy środka masy, a pierwszy stożek toczy się na nim bez ślizgania. Tym sposobem otrzymujemy wiadomy z kinematyki obraz ruchu, którego spółrzę-dne zależą od sił popędowych i od warunków początkowych.

Redukując siły przyłożone do środka masy ciała, otrzymamy siłę i parę wypadkową, które oddzielnie sprawiają obadwa ruchy, z których składa się ruch ciała. Siła wypadkowa sprawia ruch postępowy środka masy, w którym przedstawiamy sobie skupioną całą masę ciała, a para wypadkowa nadaje ciału obrót około pewnej prostej, przez ten środek przechodzącej. Jeżeli moment pary wypadkowej sił popędowych, wprawiających ciało w ruch, tudzież moment pary sił ciągłych, podczas ruchu działających, jest równy zeru, wtedy prędkości kątowe p, ą, r będą ciągle równe zeru, a ruch ciała będzie postępowy. Buch ciała sztywnego i sicobodnego jest po-stępowy, jeżeli siły przyłożone, zredukowane do środka masy, stanowią w każdej chwili układ sił 1-go rodzaju. Dzieląc tę siłę wypadkową przez masę ciała, otrzymamy przyśpieszenie jego ruehu postępowego.

ĆWICZENIA.

(1) . Wyprowadzić równania Euler’a z ogólnych równań Lagrange’a, wynikających z zasady Hamilton’».

(2) . Na elipsojdę, której środek jest ustalony, działa para sił na płaszczyźnie, której dostawy kierunkowe względem osi głównych są l, m, n : okazać, że dostawy

ó²+c² ’ c²-f a² ’

kierunkowe osi obrotu są odpowiednio proporcyjonalne względem

a²+&²

gdzie a, ó, c oznaczają połowy osi głównych elipsojdy.

(3) . Okazać, że płaszczyzna niezmienna w każdym punkcie prostej, którą opisuje środek masy układu słonecznego, jest równoległa do płaszczyzny niezmiennej, odpowiadającej środkowi masy.

(4) . Okazać, że jeżeli płaszczyzny niezmienne w punktach pewnej prostej są równoległe, natenczas ta prosta jest równoległą do toru środka masy.

(5) . Odetnijmy od środka kręcenia się na osiach bezwładności długości, odwrotnie proporcyjonalne względem ramion bezwładności względem tych osi; natenczas suma kwadratów prędkości punktów końcowych tych odcinków jest stała, jeżeli na ciało nie działają żadne siły podczas ruchu.

(6) . Okazać, że gdy kręcącą się około środka elipsojdę bezwładności przeci-namy ciągle płaszczyzną średnicową, równoległą do płaszczyzny niezmiennej, to otrzymywać będziemy podczas ruchu pole przekroju stałej wielkości.

(7) . Okazać, że krzywizna elipsojdy bezwładności jest stała w każdym punkcie jiolodyi.

(8) . Długość normalnej do elipsojdy w punktach polodyi, liczona od tej powierzchni do którejkolwiek płaszczyzny głównej, jest stała. Ślady normalnych na płaszczyźnie głównej tworzą krzywą, podobną do krzywej ogniskowej elipsojdy na tej płaszczyźnie.

(9) . Odetnijmy od środka kręcenia się na osiach bezwładności długości, proporcyjonalne względem ramion bezwładności; suma rzutów pól, przez te promienie opisywanych, na płaszczyznę niezmienną, zmienia się jiroporcyjonalnie względem czasu.

ROZDZIAŁ XV.

ZAGADNIENIA Z KINETYKI UKŁADÓW MATERYJALNYCH.

159. Ruch przy uwzględnieniu tarcia. 'Wyjaśniliśmy znaczenie tarcia przy równowadze sił w art. 118-ym. Podobnie należy reakcyją powierzchni fizycznej, do której ciało jest styczne podczas ruchu, rozdzielić na dwie części, normalną, i styczną, a ta reakcyja styczna stanowi właśnie tarcie. Między tarciem w spoczynku a tarciem podczas ruchu zachodzi ta główna różnica, że kierunek i wielkość tarcia podczas ruchu jest wogólności dokładnie określona, podczas gdy tarcie w spoczynku tylko wtedy daje się określić, kiedy zachodzi równowaga w położeniu krańcowym. Kierunek tarcia podczas ruchu jest przeciwny kierunkowi ruchu punktu styczności, a jego wielkość równa się iloczynowi spółczynnika tarcia i ciśnienia normalnego na powierzchnią.

Z doświadczeń, które C. A. Coulomb (1779), G. Hennie (1825), A. Morin (1831 — 1833), D. Galton (1878 — 1879) i inni czynili, okazuje się, że spół-czynnik tarcia jest największy w chwili rozpoczęcia ruchu, i że jego wielkość zmniejsza się podczas ruchu. Z tego powodu rozróżniamy tarcie statyczne i tarcie kinetyczne; pierwsze pojawia się wtedy, kiedy ruch ciała właśnie się rozpoczyna, drugie zaś podczas ruchu. Spółczynnik tarcia statycznego jest większy od spółczynnika tarcia kinetycznego.

Wielkość tarcia zależy także od tego, czy ciało ślizga się na płaszczyźnie stycznej do powierzchni, czy też toczy się na niej. W pierwszym przypadku punkt styczności ma prędkość skończoną w pewnym kierunku na płaszczyźnie stycznej ; w drugim przypadku obraca się ciało chwilowo około osi, przez ten punkt przechodzącej i leżącej na płaszczyźnie stycznej, a prędkość punktu styczności jest równa zeru. Do posuwania ciała jest potrzebna siła, przyłożona do środka masy, do obracania go około osi jest potrzebna para sił o pewnym momencie; a ponieważ tarcie jest zawsze oporem, działającym wbrew ruchowi, przeto tarcie przy ślizganiu się należy uważać za siłę, a tarcie przy toczę-

niu się za parę sił. Zamiast mówić tarcie przy toczeniu się, można mówić lepiej: opór przeciw toczeniusię, co nadal czynić będziemy.

Prawa tarcia przy ślizganiu się, wyznaczone doświadczalnie, są następujące: l-o kierunek tarcia jest przeciwny kierunkowi ślizgania się; 2-o wielkość tarcia niezaleźy od wielkości pola dotykania ; 3-o spółczynnik tarcia zależy od natury fizycznej obudwu ciał, a tymsamym od stanu ich powierzchni; 4-o dla ciał twardych spółczynnik tarcia jest funkcyją ciągłą względnej prędkości ślizgania się, i zmniejsza się w miarę wzrastania prędkości. Zależność tarcia od prędkości można przedstawić zapomocą wzoru

av

f=f₀e~

w którym / oznacza spółczynnik tarcia przy prędkości v, a f₀ i a są parametrami, zależnymi od natury ciał. Dla v = 0 będzie f=f₀, dla v = co będzie oznacza więc spółczynnik tarcia statycznego.

Ponieważ zmianę spółczynnika / wypada uwzględniać tylko przy znacznych prędkościach, przeto w następujących zagadnieniach przyjmować będziemy, że/ma wartość stałą, przedstawiającą wartość średnią tego spółczynnika między krańcowymi prędkościami uważanymi. Oznaczając przez R ciśnienie normalne na powierzchnią, a przez F tarcie, mamy równanie F = /R, w którym /< 1.

Niech punkt o masie m, do którego przykładamy siłę (X, Y, Z), porusza się na powierzchni d> (x, y, z) — 0, na której doznaje tarcia, i niech a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe normalnej w punkcie (x, y, z)\ równania ruchu będą

d²x

(1)

d²y

mdt²~

Y+4-^f)

d²z

dt²

Te równania, łącznie z równaniem powierzchni <ł> = 0, pozwalają wyznaczyć ruch punktu i reakcyją R. Ponieważ praca siły R jest równa zeru, przeto Xdx -\-Ydy + Zds—/Rds jest sumą prac sił działających; mamy zatym równanie

d (^^j = Xdx + Ydy + Zdz—fUds

(2)

którego całka przedstawia energiją kinetyczną. Niech siła przyłożona ma potencyjał LF; wtedy całkując między krańcami, dla których T i T₀ oznaczają odpowiednie energije, otrzymamy

(3)

*0

Ponieważ całka po prawej stronie tego równania, przedstawiająca pracę tarcia, zależy od przebiegu całkowania i od krańców, przeto widzimy, że zasada

energii i zasada zachowania energii nie zachodzi w przypadku, gdy uwzględniamy tarcie. Przyrost energii ciała jest mniejszy od różnicy potencyjałów o pracę tarcia.

Niech ciało sztywne, ograniczone wiadomą powierzchnią, porusza się z tarciem na wiadomej płaszczyźnie; wtedy równania ruchu otrzymamy sposobem następującym. Obierzmy płaszczyznę ruchu za płaszczyznę Oxy, i niech i, tj, Ç oznaczają spółrzędne środka masy ciała, zaś x₀₎ y₀ spółrzędne punktu styczności, względem osi nieruchomego układu spółrzędnych o wierzchołku O. Jeżeli ciało ślizga się na płaszczyźnie, a u, v oznaczają odpowiednie składowe prędkości punktu (#₀, y₀), to rozkładając tarcie na dwie siły X,, Yt w kierunkach osi Ox, Oy, otrzymamy

Xt

(4)

^ czyli Xt0 —Ytw = 0;

a jeżeli Z, jest ciśnieniem normalnym, to wartość krańcowa tarcia będzie

(5)

F = fZt = yx,*+Yt*.

Poprowadźmy w środku masy S osi bezwładności S^, S$, Sr, oznaczmy przez . p, q, r składowe prędkości kątowej obrotu ciała w kierunkach tych osi, a przez at, ftj, Ci, u₂, b₂, c₂; a₃, b₃, c₃ odpowiednio dostawy kierunkowe tych osi względem osi układu Oxyz. Jeżeli a, ß, y oznaczają spółrzędne punktu styczności (x₀, yQ) względem osi układu Spąr, to prędkości tego punktu wskutek obrotu, wzięte w kierunkach osi bezwładności, będą odpowiednio: q y — rß, r a—jo y, joß — qa; rzucając te prędkości na osi Ox i Oy i dodając do tych rzutów prędkości środka masy, otrzymamy następujące dwa równania:

di

(6)

W przypadku, gdy ciało toczy się bez ślizgania, będzie

u — 0, 0 = 0.

Gdy X, Y, Z, L, M, N oznaczają spółrzędne układu sił przyłożonych, wzięte względem osi równoległych do osi układu O xyp i przesuniętych przez środek masy, równania ruchu środka masy będą

d?i v v m W ~ X + Xl? m

gdzie m oznacza masę ciała. Aby otrzymać równania Euler’a, określające kręcenie się około środka masy, zważmy, że cii L + hi M + Ci N, (i = 1, 2, 3), oznaczają momenty sił przyłożonych względem osi Sj?, Sr. Momenty całkowitej reakćyi (X1? Yt, Zj) płaszczyzny względem tychże osi wynoszą Zß — Hy, Ey — Za, Ha — Eß, gdzie

S — Cłj Xi~t~bi Yj-j-Cj Z,, 11=a₂Xj -{- b₂ Y, -j-c₂Zt, Z=:$₃X₁ -\-b₃ Y₁-j-c₃Zi.

Bibl, luat.-Iiz. S. IV, T. X.

(7)

(8)

d²‘(\

dt²

= Y + Yj,

dK

dt²

= Z + Zj,

MECHANIKA TEORETYCZNA.

tC

Szukane zatym równania będą

dp

(9)

A — (B—G)qr = at L- + btM + ctN + Zß — Hf, B % ~~ (C~ A) rJP = a₂L + b.zM + c₂X + Sy — Za,

(J/y

C    — (A—B)^ = «3 L + 7>₃M + c₃X-f-Ha — Sßj

gdzie A, B, C oznaczają momenty główne ciała. Z tymi równaniami należy, jak wiadomo, połączyć 3 równania art. 49-go, wyrażające p₁ q, r przez kąty <P, ł i 6-

Jeżeli <ï> = 0 jest równaniem powierzchni ciała względem osi głównych, to mamy równanie

(10)

<ł> (a, ß, y) = 0,

które wyraża, że punkt styczności znajduje się na powierzchni ciała. Płaszczyzną styczną w tym punkcie jest płaszczyzna Oxy, mamy więc dwa warunki:

d<S> d<ł>

d<ł>

d<ł>

dx + h- dy

gdzie w pochodnych cząstkowych należy podstawić spółrzędne a, ß, y punktu styczności. Spółrzędna Ç oznacza odległość środka masy od płaszczyzny stycznej ; będzie wiec

dy

'■K-sr=⁰

(12)

1 Z[d&Y , ( d&Y , /d<3>\² d<E> f' \dx) ^\dy)    ( ós ) a dx

OQ_

W zagadnieniu mamy piętnaście niewiadomych £, yj, Ç ; p, q, r; <p, <p, 0 ; a, ß, y; Xt, Y,, Z,, które określają ruch ciała i reakcyją. Do ich wyznaczenia mamy sześć równań (8) i (9) ; trzy równania między p, q, r, «p, 6 ; cztery równania (10), (11) i (12), wynikające z warunków gieometrycznych; nakoniec dwa równania (4) i (5), określające reakcyją, w których należy podstawić wartości z (6); razem piętnaście równań. Jeżeli ślizganie się nie zachodzi, to zamiast równań (4) i (5) należy wziąć równania (7).

Aby rostrzygnąć, czy zachodzi ślizganie, czy też toczenie się, przypuszczamy naprzód, że ciało ślizga się na płaszczyźnie. Obliczywszy X,, Yt, Z, jako funkcyje czasu t, podstawiamy ich wartości w równaniu/₁Z₁=J//X,!H- Y/², w którym /t oznacza wartość spółczynnika tarcia, aby ślizganie się nastąpić mogło. Jeżeli wypadnie /,</, natenczas /t nie dosięgnie wartości krańcowej /, a ciało będzie się istotnie ślizgało. Gdyby zaś wypadło /, >/, to ślizganie się byłoby niemożebne, więc nastąpi toczenie się, z czego wynika, że dalszy rachunek należy przeprowadzić na podstawie równań (7). W przypadku ślizgania się uważamy tarcie za dostateczne, a płaszczyznę za dostatecznie chropowatą; w przypadku przeciwnym mówimy o tarciu niedostatecznym i o niedostatecznie chropowatej płaszczyźnie.

160. O uderzeniu się ciAE. Jeżeli dwa poruszające się ciała spotykają się wzajemnie, natenczas w stanie ruchu każdego ciała zachodzi nagła zmiana, nie pochodząca od sił ciągłych, działających na te ciała podczas ruchu, lecz wynikająca z wzajemnego działania jednego ciała na drugie, które nazywamy uderzeniem się, rozumiejąc przez to także samo zjawisko owéj nagłej zmiany ruchu wskutek zetknięcia się dwu ciał.

Uderzenie się pojmujemy jako działanie sił chwilowych czyli popędowych, których miarą jest bądźto popęd, bądźtćź zmiana ilości ruchu ciała, do którego są przyłożone. Niech dwa ciała uderzają się o siebie, dotykając się przytóm w punkcie m\ kierunek normalnej spólnćj do ich powierzchni w tym punkcie wyznacza kierunek uderzenia się. W tym kierunku doznaje każde ciało działania pewnej siły chwilowej, a jeżeli R jest siłą, przyłożoną do ciała A, to — R jest siłą popędową, przyłożoną do ciała B. Siła R jest

Cz

wogólności zmienna podczas uderzenia się, a jej miarą jest popęd I

Rdt, odpowiedni trwaniu uderzenia się t, będącym bardzo małym, lecz skończonym przedziałem czasu, (idy poprowadzimy z S, środka masy ciała A, trzy osi główne Sjp, Sq i Sr, to możemy kierunki tych osi uważać za niezmienne podczas uderzenia się. Oznaczmy przez x, y, z spółrzędne punktu m względem osi głównych; przez a, b, c dostawy kierunkowa normalnej wewnętrznej do powierzchni ciała A w tym punkcie; przez u₀, v₀, w₀ prędkości środka masy S przed uderzeniem się, zaś przez u, v, w prędkości jego po uderzeniu się; przez Poi do: ro prędkości kątowe obrotu ciała przed uderzeniem się, a przez p, q i r jego prędkości po uderzeniu się. Wszystkie wielkości odnosimy do układu spółrzędnych Spqr. Z zasady dAlemberta wypadają wtedy równania ruchu ciała A :

O)

M (u — u₀) — a J*R dt, M (v — v₀) = b J*

A (p- po) = {cy — bz) Jr dt, B q₀) = (az — ex) J C (r— r₀) = (bx — ayj J*R dt,

R dt, M (w — w₀) —

c^Rdt\

R dt,

W których A, B i C oznaczają momenty główne, a M masę tego ciała. Postępując podobnie z ciałem B, do którego osi głównych należy odnieść punkt m i kierunek uderzenia się, otrzymamy także sześć równań, określających zmianę ruchu tego ciała wskutek uderzenia się. Jako kierunek uderzenia się ma być wzięty kierunek siły — R. Wypisane równania polegają na wiadomej zasadzie, że wobec sił popędowych należy pominąć siły ciągłe (art. 137).

Dla ciała A mamy sześć niewiadomych u, v, w, p, q, r \ podobnie dla ciała B; niewiadomy jest uakoniec popęd siły R. Mamy przeto razem trzynaście niewiadomych, a tylko dwanaście równań, z czego się okazuje, że zagadnienie, lubo z natury rzeczy dokładnie określone, nie daje się rozwiązać.

Niemożność rozwiązania tkwi w tym przypuszczeniu, że obadwa ciała są sztywne. Ponieważ ciała rzeczywiste zmieniają kształt swój przy uderzeniu się, przeto uważając związki, zachodzące między zmianą ruchu a zmianą kształtu ciała wskutek uderzenia się, będziemy mogli otrzymać jeszcze jedno równanie, które pozwoli rozwiązać nasze zagadnienie.

W przebiegu uderzenia się można rozróżnić dwie fazy. W pierwszej fazie obadwa ciała wzajemnie na siebie nacisk wywierają i doznają odkształceń, rosnących szybko do pewnego maximum. Punkty, posiadające mniejszą prędkość, ustępują przed tymi, które na nie cisną wskutek większej jDrędkości, aż nastąpi wyrównanie prędkości, któremu towarzyszy największe odkształcenie obudwu ciał. W drugiej fazie uderzenia się zachodzą odkształcenia, wprost przeciwne pierwszym, a każde ciało usiłuje wrócić do kształtu pierwotnego, który mniej lub więcej dokładnie odzyskuje. Jeżeli po upływie téj drugiej fazy uderzenia się spostrzegamy trwałe odkształcenia ciał, natenczas różnica ich prędkości po uderzeniu się jest bardzo mała; skoro zaś ciała odzyskały kształt pierwotny, wtedy rozchodzą się po uderzeniu z prędkościami, różniącymi się znacznie od siebie.

Ciało, które po uderzeniu się odzyskuje dokładnie swój kształt pierwotny, nazywamy doskonale sprężystym; ciało zaś zachowujące kształt, jaki po upływie pierwszej fazy uderzenia się otrzymało, zowiemy niespręźystym. Obadwa powyższe pojęcia należy uważać za oderwane; ciała rzeczywiste nie są bowiem ani doskonale sprężyste, ani niespręźyste, lecz tylko do takich się zbliżają. Ciała miękkie są zbliżone do niespręźystych ; takie zaś ciała, jak kość słoniowa lub kauczuk zbliżają się do ciał doskonale sprężystych.

U ciał niespręźystych, których ^»owierzchnie przyjmujemy za gładkie, kończy się uderzenie, skoro jirędkości punktów, w których one się dotykają, wzięte w kierunku uderzenia, przybiorą tę sarnę wartość. Ten wynik doświadczenia prowadzi do trzynastego szukanego równania. Jeżeli wielkości, odnoszące się do ciała B, oznaczymy kreskami u góry, i zważymy, że normalna w punkcie m ma być w obudwu ciałach wzięta w kierunkach przeciwnych, to szukane równanie będzie

(2) a (u-\-qz—ry)-\-b(v-\-rx—pz)-j- c(w+py—qx)+a'(u*+q'z'—r'y')-\-+ b* (v'Ą-r' x'—p' z') -f-c'fw'+p'y'—q'x') — 0,

czyli,

(3) nu + bv + cw -(- (cy—bz)p -f (as — cx)qĄ- (bx— ay)r-\- a'u'+b'v'-i-c'w' f-+ (c'y' — b'z')p' -f- (a'z' — c'x¹) q' + (b'x¹ — a’y) r' — 0.

Rdt-, otrzy

Oznaczmy przez F popęd siły R, przyjmijmy zatym F = J

mamy z równań (1),

«F

cF

v — r₀-j- -jj- , w — w₀ + ij- ;

F

p~Vo-\- (cy — bz) ^ q~qo+ (az-ex)-^, r=r₀ + (bx—ay)

“==f,o⁺'M

Podobne równania mieć będziemy dla drugiego ciała. Z nieb otrzymujemy bu— av~ bu₀ — av₀, cv—bw — cv₀— biv₀, cm — cu — aw₀— cu₀,

(5)

a zatym :

(6)

(bu-av)²-\-(cv— bw)'1Jr (aw— u)² — (bu₀—av₀)²-j-(cv₀—biv₀J²-j-

-f (aw₀ — cu₀)².

Strona lewa tego równania oznacza kwadrat rzutu prędkości środka masy ciała A po uderzeniu się na płaszczyznę styczną, do powierzchni obudwu ciał w punkcie uderzenia m; a prawa strona oznacza tę sarnę wielkość przed uderzeniem się. Ponieważ takież samo równanie zachodzi także dla ciała B, przeto okazuje się, że prędkość środka masy każdego ciała, wzięta równolegle do spólnćj 'płaszczyzny stycznej, zostaje zachoiuana przy uderzeniu się. Z równań (4) wynika jeszcze

(7)

a Ap + b B<2 + c Cr — a Ap₀ -f b B<2₀ + c Cr₀,

co oznacza, że rzut momentu ilości ruchu każdego ciała, odpowiedniej kręceniu się jego około środka masy, na kierunek uderzenia się, zostaje zachowany przy uderzeniu się. Zredukujmy ilości ruchu wszystkich punktów ciała A do środka masy; otrzymamy siłę o składowych Mm, M», Mw i parę sił o składowych Ap, B*?, Cr w kierunkach osi układu Spqr. Moment ilości ruchu względem kierunku uderzenia wynosi

a Ap Ą-bBq -f- c Cr + M [(cy—bz)u + (az ■—cx)v + (bx—ay)w\,

czyli

a Ap -f b B<2 -f c Cr -f M [(bw—cv) xĄ- (cu—aw) y + (av — bu) z].

Wstawmy w to wyrażenie u₀, v₀, w₀, p₀, q₀, r₀; według (5) i (7) otrzymamy tę sarnę wartość, z czego wynika, że moment ilości ruchu każdego ciała względem kierunku uderzenia się zostaje zachowany przy uderzeniu się. Z zasad podanych w art. 142-im wynika nadto, że suma ilości ruchu obudwu ciał, tudzież suma momentów ich ilości ruchu, względem prostej dowolnej, zostaje zachowana przy uderzeniu się.

161. Przyjmijmy

(i)

V = au + bv + cw -f (cy—bz)p + (az—ex) q + (bx — ay)r,

i oznaczmy przez Y₀ wartość tego wyrażenia, jeżeli w nim podstawimy u₀, .. ., r₀ ; wówczas V oznacza rzut prędkości punktu m na normalną po uderzeniu się, a V₀ oznacza ten rzut przed uderzeniem się, jeżeli m uważamy za punkt należący do ciała A. Wstawiwszy w (1) wyrażenia (4) art. J 60-go, otrzymamy

(2)

A __ (cy—bz)² (az—cx)² (bx—ay)²

(3)

i analogicznie

A'

M' *

Ponieważ według (3) art, 160-go mamy dla ciał nie-

sprężystych Y + Y' = 0, przeto

1 + A

Vo+

F + Y₀'-ł

1 -f- A'

M'

F = 0,

z czego wynika

(4)

MM'

M(l + A') + M'(l+A)

(Vo + Vo').

To równanie pozwala dla ciał niespręźystych obliczyć popęd siły chwilowej, sprawiającej zmianę ruchu. Popęd F jest oczywiście dodatny, a ponieważ pierwszy czynnik po prawej stronie równania (4) jest dodatny, przeto jest Yo + Y₀' < 0. Stosownie do przyjętego znakowania łatwo ten wynik zrozumieć. Obadwa ciała mogą się tak poruszać przed uderzeniem się, że prędkość Y₀ ma kierunek normalnej zewnętrznej do A, zaś Y₀' kierunek normalnej wewnętrznej do B, lub tak, że obie prędkości mają kierunki normalnych zewnętrznych. W pierwszym przypadku będzie Yo<0, Y₀'^> 0, w drugim zaś będzie Y₀ <C 0, Y₀' <! 0; w pierwszym więc przypadku nastąpi uderzenie się, jeżeli Y₀>*Yo, w drugim zaś przypadku zawsze uderzenie się nastąpi, a w obudwu przypadkach będzie Y₀ + Y₀' < 0. Gdyby było Y₀ + Y₀r ^ 0, wtedy nie nastąpiłoby uderzenie się.

Oznaczmy przez T różnicę, którą otrzymamy, gdy od sumy energij kinetycznych obudwu ciał przed uderzeniem się odejmiemy sumę ich energij po uderzeniu się; wówczas

(5)

2 T=M [('iu₀²—u²) + (vQ²—v²) + (wo²—w²)] + M' [(w₀'²—u'²) -j-+(v₀'² — v'²) + (wj²—w'²J\ -j- A(p₀²— p²) + B (q₀²—q²) + C(r₀²—r²) +

+ A' (p₀'²—p¹²) + B' Go'²“ i%) + C' Go'² — r'V* Pomnóżmy równania (1) art. 160-go odpowiednio przez u + u₀, v -f- v₀, wĄ-w₀, p -\-p₀, 9+^o ? r + r₀ i postąpmy podobnie z równaniami dla ciała B, wstawmy otrzymane wyrażenia w (5) i uwzględnijmy równanie (3) art. 160-go i równanie (4); wtedy otrzymamy dla ciał niespręźystych;

2T=-F(Y₀+Y₀') =

(Vo+Yo')².

(6)

MM¹

M(l-f A') +M'(l + A)

Uderzenie się obudwu ciał może nastąpić tylko pod warunkiem, że Y₀ -f Y₀' jest różne od zera, z czego wynika, że prawa strona równania (6) jest dodatna, to znaczy, że przy uderzeniu się ciał niespręźystych zachodzi strata energii kinetycznej. Tę stratę należy tak rozumieć, że suma energij kinetycznych po uderzeniu się jest mniejsza od sumy energij przed uderzeniem się. Dowolny punkty, yi} Zi) ciała A, którego masa wynosi dmi, posiada przed uderzeniem się następujące prędkości w kierunkach osi głównych: u₀ Ą- q₀Zi— r₀yi,

v₀Ą- r₀Xi—wn-\-p₀yi — q₀%i\ kładąc w tych wyrażeniach u, v, iv, p, q, r, otrzymamy prędkości tego punktu po uderzeniu się. Podwójna energija ki-netyczna tego punktu, odpowiednia różnicy tych prędkości, wynosi

\[(uQ — u) + (qQ — q)Si—(r₀ — r)ijtf + [(v₀—v) + (r₀ — r)Xi—(p₀—pjzĄ² 4-

-f- [(w₀ — w) -f (p₀ — p) y i - (q₀—q) xĄ²\ dm,,

a jeżeli scałkujemy to wyrażenie dla "wszystkich elementów ciała A, to otrzymamy (7) 2T« = M[(w₀ — uj²-h (v₀ — v)²-\-(wQ—w)*l + k(po—pïl^-B^lo-q)² +

+ Q(r₀—rj²,

gdzie Ta oznacza tę energiją, którąby posiadało ciało A, gdyby każdy punkt miał prędkość, równą zmianie swój prędkości w skutek uderzenia się. Wstawiwszy wyrażenia, wynikające z (4) art. 160-go, mieć będziemy:

1+A' F*

(8)

2 Ta

1 _L A

-    P², a podobnie 2T& =

ivr

gdzie T₆ odnosi się do ciała B. Dodając oba równania, wstawiając wartość F i uwzględniając (6), otrzymamy

0»)

T = Ta 4- Tj

co przedstawia ważne twierdzenie : strata energii kinetycznej przy uderzeniu się dieu ciał niesprężystych równa się sumie energij kinetycznych oibudwu ciał, odpotviednich zmianom prędkości ich punktów wskutek uderzenia się (tw. Car-not’a).

Gdy oznaczymy przez P średnią wartość siły, której popęd w czasie r oznaczyliśmy przez F, to mieć będziemy według określenia,

(10)

R dt — F, więc P = — .

Obadwa ciała doznają w kierunku uderzenia się pewnych zagłębień, które oznaczmy odjiowiednio przez s i e\ Iloczyn P (e 4- ef) wyraża pracę mechaniczną siły P, a ponieważ właśnie wskutek tej pracy, sprawiającej stałe odkształcenia ciał, nastąpił ubytek T energii kinetycznej, przeto P(s 4- d) — T, z czego wynika

MM'    (V₀+V₀')²    »(* + «')

~M(1+A') + M’(1+A)' 2(s + s') ’ -    V₀+V„' "

(11)

Ostatnie równanie, w którym Y₀-f-Y₀'jest zawsze ujemne, pozwala obliczyć trwanie uderzenia się. Im miększe obadwa ciała (im większe s i e'), i im mniejsza suma ich prędkości normalnych, tym dłużej trwa ich uderzenie się.

Przy uderzeniu się ciał doskonale sprężystych nie zachodzi strata energii kinetycznej. Jakoż w pierwszej fazie uderzenia się doznają, ciała pewnych odkształceń, wskutek czego suma ich energij kinetycznych zmniejsza się; w drugiej fazie atoli pojawia się działanie przeciwne pobudzonych sił międzycząst-kowych, które niweczy odkształcenia i przywodzi cząstki tych ciał do pierwo-

tnego położenia wzajemnego. Praca więc tych sił wyrównywa dokładnie pracy siły chwilowej w pierwszej fazie, a zatyrn suma energij przyrośnie o tęż sarnę wielkość, o którą poprzednio się zmniejszyła. Przy końcu uderzenia się będzie więc T =: 0, a zatym suma energij kinetycznych zostanie zachowana. Z tego twierdzenia wynika, zamiast równania (2) art. 160-go, następujące równanie, cechujące uderzenie się ciał doskonale sprężystych:

(12)    0—M[(^₀²—u²) + (v₀²—v²) + (iv₀²—w²)] Ą-W[(Uq² — u'²) -j-

+ (K¹ — v'V + wo'² —    + A(p² —p²) Ą-'B(qQ² — q²)    G(r²—r²) +

+ A' (p₀¹² -p'²) + B' (qj² - q’V + C' (r₀'²—r'²j,

które łącznie z dwunastoma równaniami art. 160-go pozwala zbadać stan ruchu takich ciał po uderzeniu się. Podstawiwszy w tym równaniu wyrażenia, otrzymane z (4) art. 160-go, mieć będziemy F [Y + V'+V₀-f- V₀'J = 0, a ponieważ F nie jest równe zeru, przeto

(13)

Y + V'= — (Y₀ -j- Yo')

to znaczy, że suma prędkości normalnych obudwu ciał w punkcie m po ich uderzeniu się jest równa i przeciwna wartości tejże sumy przed uderzeniem się. Obadwa ciała posiadają więc w punkcie m różne prędkości normalne po uderzeniu się. Wstawiając wyrażenia (2) dla V i W, otrzymamy:

o__/y i y i\

M(l+A') + M'(l+A) K °;*

Popęd F ma więc podwójną wartość popędu, odpowiedniego uderzeniu się ciał niesprężystych. Z tego otrzymamy dla ciał sprężystych,

9    M (1 +A)_ /y i y f\

w M(l+A) + M'(l-fA)lv°‘r V°;>

2-W(l+A)_

M(l+A') + M'(l-f-A) lv°+v°j'

(14)

(15)

V=Yo~

v —y₀'—

a dla ciał niesprężystych będzie

M'(l+A)

' M(l+A')-f M'(l+A)

M(l-fA')

M(l+A') + M'(l+A)

Jeżeli kierunek uderzenia się przechodzi przez środki masy obudwu ciał, to uderzenie się nazywamy centralnym; w razie przeciwnym nazywamy je excentrycznym. Dla uderzenia się centralnego będzie x : y : z = a : b : c, xl : y' : z' — a' : b' : c\ z czego wynika, że momenty popędu F względem środków masy są równe zeru, a zatym p=p₀, q=zq0j r~r₀. Podobne rezultaty otrzymamy dla ciała B. Uderzenie się centralne nie zmienia kręcenia się ciał około środków masy, ono wpływa więc tylko na ruchy postępowe tych ciał. Dla uderzenia się centralnego mamy nadto A — A' = 0, przez co upraszczają się wyrażenia F, Y i V'.

v=v₀

(16)

(Vo + Vor)

V' = Vo'-

(Yo-PYo').

Uderzenie się dwu ciał, mających równoległe ruchy postępowe (w tym-samyrn kierunku lub w kierunkach przeciwnych), zowiemy prostym, jeżeli kierunek uderzenia się jest równoległy do kierunku tego ruchu. W razie przeciwnym nazywamy uderzenie się ciał ukośnym. Dla uderzenia się prostego mamy p₀ = q₀z=z r₀ =pj = &/ = r₀' — 0; a gdy przez u₀, v₀, w₀; uQ', v₀', w₀' oznaczymy prędkości ruchów postępowych, przez a, b, c dostawy kierunkowe normalnej w punkcie uderzenia się względem nieruchomych osi spółrzędnych, to otrzymamy u₀ : v₀ : iv₀ — u₀' : vQ' : w₀' — a : b : c. To pozwala wyprowadzić równania odpowiadające uderzeniu się prostemu ciał, co pozostawiamy czytelnikowi. —

Zastosujmy podaną teoryją do uderzenia się dwu kul o masach M₄ i M₂, poruszających się z prędkościami cx i c₂ po linii, łączącej ich środki St i S₂. Uderzenie się będzie proste, a ponieważ jest nadto centralne, przeto nie potrzebujemy uwzględniać kręcenia się kul około ich środków. Przyjmijmy kierunek prędkości cx jako dodatny; gdyc₂>0, nastąpi uderzenie się, jeżeli cx>c₂, gdy zaś c₂ •< 0, uderzenie się zawsze nastąpi. Jeżeli vx i v₂ oznaczają prędkości kul po uderzeniu się, to z zasady zachowania ilości ruchu otrzymujemy równanie M, ćx + M₂ c₂ —    -f- M₂ v₂ ; gdy kule są niesprę-

żyste, wówczas kończy się uderzenie, skoro vx — v₂ = v, a zatym Mt cx + + M₂ c₂ = (M, -j- M₂) v, skąd v == (Mx c{ + M₂ c₂) : (Mx + M₂). Z zasady zachowania energii otrzymujemy dla kul doskonale sprężystych drugie równanie MjCi¹ -j-M₂c2¹ = M, v¹ + M₂v2¹, które możemy napisać w postaci M, (cx + vx) (c, — v^ = — M₂ (c₂ + v₂) (c₂ — v₂). Ponieważ Mx (cx — — vx) = — M₂ (c₂ — v₂), przeto cx + vx — c₂ + v₂ czyli vx — v₂ — — (cx — c₂).

Mamy zatym dla kul niespręźystych vx — v₂ = 0, zaś dla kul doskonale sprężystych vx — v₂ — — (c, — c₂). Kule rzeczywiste nie są ani niespręźyste, ani doskonale sprężyste, możemy więc dla kul rzeczywistych przyjąć

(17)

vx — v₂ = — e Ol — c₂),

przyczyna 0<; s <1 ; wartość liczebna spółczynnika s daje się wyznaczyć przez doświadczenie. Łącząc to równanie z równaniem M* cx + M₂ c₂ = Mt vx + -f- M₂ v₂ , otrzymamy

Cl

(18)

_ ,, _ /i i M₂(g!    c₂)    _ — . . \ Mi (ct c₂)

+ D m,+M₂ ,y2    62 —(! + -) Mi + Ma

Ci — vx

M₂

v₂—c₂ Mj

skąd wynika, że kula uderzająca traci, a uderzona zyskuje na prędkości, a ich zysk i strata są odwrotnie proporcyjonalne względem ich mas. Stratę energii możemy obliczyć z równania

Dla s = 0 otrzymujemy twierdzenie Carnot’a.

Niech kula uderza pod kątem prostym o ścianę płaską o masie bardzo wielkiej. Przyjmując wtedy c₂ = 0 i pomijając M,, otrzymamy = — sct. To równanie pozwala obliczyć s. Z doświadczeń z kulami, uderzającymi o ściany (bandy) bilardu, przekonał się Coriolis, że gdy ct nie przenosi 7 m na sekundę, otrzymujemy vt: — ct = 0,55, a stąd e = 0,55. Kula bilardowa

2

z kości słoniowej, spuszczona na płytę marmurową, podskakuje do w wysokości spadku, skąd s = J/2T3.

Rozważajmy uderzenie się ukośne dwu kul, przyjmując, że proste, po których poruszają się ich środki, znajdują się na jednej płaszczyźnie, i uwzględnijmy tarcie w-punkcie uderzenia się. Linija środków S₂ niech będzie osią x, prostopadła do niej na płaszczyźnie prędkości początkowych Ci i c₂ osią y, a oś ^ prostopadła do x i y. Jeżeli prędkości cx i c₂ tworzą z osią x kąty a, ia₂, a kule nie kręcą się około środków przed uderzeniem się, to składowe prędkości kuli M, są c, cos a1} cx sin a₁, 0, kuli zaś M₂ : c₂ cos a₂, c₂ sina₂,0. Jeżeli kierunek popędu F działania kuli Mj na M₂ przyjmiemy jako dodatny i oznaczymy przez / spółczynnik tarcia, to /F jest popędem tarcia, jakiego doznaje M₂, zaś — /F popędem tarcia, jakiego doznaje M,. Oznaczmy przez u1} vx, wi} pu qt i rx składowe prędkości kuli Mj po uderzeniu się, przez R,

2

jéj promień a przez Ax — — M, Rj² jéj moment bezwładności, wielkości zaś

odpowiednie dla M₂ odróżnijmy wskaźnikiem 2. Otrzymamy następujące równania ruchu :

Dla kuli M₂ :

M₂ (u₂ — c₂ cos a₂) — F,

M₂ (v₂ — c₂ sin oc₂) =/F,

]\1₂ w₂ —- 0, A₂p₂ — 0,

A₂ q₂ — 0, A₂r₂ —/F R₂.

Dla kuli Mt :

M, (ux — cx cos a, ) = — F,

M, (vx —cx sina,) — — /F,

(20)

Mt w x = 0,

A-i Pt = 0,

Ax îi ⁼

Axr, = —/FR,.

Z równania (17) otrzymamy

(21)

Ponieważ

Mx (ct — vx) = M₂ (v₂—c₂) =

przeto

M,M₂

Mi+M₃

(ct — c₂) (1+e)

(19)

2T = M,(Cj —%)²+ M₂(c₂—v₂y — 2s (1-f e)

MjM₂

ux — u₂ — — s (Ci cos at — c₂ cos a₂),

a stąd, według (20)

MtM₂

M, =

Vi =

(23)

M|+3Viä    “ M2 Cl e0S ai + M2 + £) c2 cos aa] J

M,-f M₂ KM‘C»sinoti ~/M2 C¹ + s)(cic°sai “c2 cosa2)] (1-f s) (c, cos a, — c₂ cos a₂),

M₂

2    M,+M₂

%h =    ^Ml (1+s)ClC0Sai+ (M2—Mis) c₂cosa₂]

M [(M₁+M₂)c₂sina₂+/M₁(l+s)(c₁cosa, -c₂cosa₂)]

r2 — -

M;

2 K₂ MrfM₂

(1 + e) (c, cos a, — c₂ cos a₃),

a nadto ^ =zql=w₂ =p₂ = q₂ — 0. Stąd widzimy, źe po uderzeniu się kule będą się wskutek tarcia obracały w kierunkach przeciwnych około osi prostopadłych do płaszczyzny xy z prędkościami rx i r₂. Prędkości ruchów postępowych po uderzeniu się będą tworzyły z osią x kąty <f, i cp₂, przyczym

_vx _ (Mt+M₂) CtSih«!—/M₂(l + e)(c₁cosa₁ — c₂cosa₂) (Mi—M₂s)c₁cosa, -f M₂(l-f-e)c₂cosa₂    J

v₂__(Mt-1-M₂)c₂sina₂ +/M, (1 + e) (c, cosa, —c₂ cosa₂)

Mt (1 -f- s) Ci cos a, + (M₂ — Mj s) c₂ cos a₂

Gdybyśmy tarcie pominęli, przyjęli kule jako doskonale sprężyste, a kulę M2 w spoczynku, wówczas /—O, e = l, c₂ = 0, skąd

Mj+M₂

m,-m₂

TU

Gdyby masy kul były równe, otrzymalibyśmy stąd <p, — — , cp₂ = 0. Obie ku-

u

le rozbiegną się pod kątem prostym, a kula uderzona będzie się poruszała w kierunku linii środków.

162. Wahadło fizyczne. Tak nazywamy ciało materyjalne, wahające się pod działaniem siły ciężkości około osi poziomej, nie przechodzącej przez środek masy tego ciała. Poprowadźmy płaszczyznę pionową przez środek masy S, i niech O będzie śladem osi wahań na téj płaszczyźnie ; punkt O nazywamy punktem zawieszenia wahadła. Kąt cp, który prosta OS tworzy z pionem punktu zawieszenia, jest odchyleniem wahadła, a największa jego wartość a jest obszernością wahania. Oznaczmy jirzez d długość OS, a przez M masę wahadła; moment jego ciężaru względem osi jest M^Ssincp. Gdy o>

oznacza prędkość kątową wahania się, to m = — ^ , jeżeli uważamy waha-

ctt

nie się ku pionowi. Według art. 146-go mamy następujące równanie ruchu:

(24)

(25)

O)

jtangcp,

Ul

tang cp₂ ==

u₂

tang cp! =

tanga,, tangcp₂=;0.

dP

.y - .    .. d²y ,

=— smif, czyli +

sin — 0,

w którym I oznacza moment bezwładności wahadła względem osi wahań. Po-równywając to równanie z równaniem (13) art. 92-go, widzimy, że wahadło fizyczne odbywa taki sam ruch, jak wahadło matematyczne o długości

(2)

I _M/c²_li²

gdzie k oznacza ramię bezwładności wahadła względem osi wahań. Długość r wahadła prostego, którego ruch jest zgodny z ruchem wahadła fizycznego, nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Punkt, znajdujący się na pionie punktu zawieszenia w odległości r od niego, nazywamy środkiem wahań tego wahadła. Porównywając wzór (2) z równaniem (2) art 148-go, otrzymujemy twierdzenie: środek wahań jest zarazem środkiem uderzenia względem osi wahąń. Środek wahań porusza się tak, jak punkt odosobniony, w którym skupiono całą masę wahadła fizycznego. Oznaczmy przez ls moment bezwładności wahadła względem prostej, równoległej do osi wahań i poprowadzonej przez środek masy; I — Is -f- M§², a zatym

¹

T = M, (c,¹ — vx¹) + M₂ (c2¹ — v2¹) = M, (cx — vx)¹ + M₂ (c₂ — v₂)¹ -f

+ 2 Mj vx (cx — v, ) — 2 M₂ v₂ (v₂ — c₂),

(3) z czego wynika, żer >3, a zatym środek wahań znajduje się poniżej środka masy. Redukując wahadło fizyczne do matematycznego, rozwiązujemy tym samym zadanie o trwaniu wahnięcia na podstawie wzorów, podanych w art. 92*im.

Gdy uczynimy środek wahań punktem zawieszenia, to długość zredukowana będzie

r' —

ls

-f- Z¹- d= -=rr

ls Md

-J- r — d — r,

M (r — d)

to znaczy, że pierwotny punkt zawieszenia będzie środkiem wahań. Między więc punktem zawieszenia, a środkiem wahań zachodzi wzajemność, a trwanie wahnięcia nie zmienia się, jeżeli wahadło waha się około osi, przechodzącej przez środek wahań.

Z równania (3) wynika

dr

ls

d²r

X.

dd — MS²

dd³

— ²'MS² ’

-jjj-, albo, kładąc ls — M ks ²,

otrzymamy więc najmniejsze r dla d =

gdzie kt jest ramieniem bezwładności wahadła względem prostej, przechodzącej przez środek masy, dla d — ks\ a najmniejsza wartość r będzie 2ks. Biorąc więc punkt zawieszenia w odległości ks od środka masy, otrzymamy najkrótsze wahadło zredukowane, a zatym najmniejsze trwanie wahnięcia.

Niech dane ciało waha się naprzód około osi O, a następnie około osi O' równoległej do O, i niech d i d' oznaczają odpowiednio odległości osi O i O' od środka masy, k i k' ramiona bezwładności wahadła względem tych osi, a T

i Tr odpowiednie trwania jednej oscylacyi. Wtedy k²~ks² -p S², k'² — ks²-{-8'², więc

k² + o²

T' =

li² + gf2 gd'

Jeżeli L oznacza długość wahadła sekundowego (matematycznego), to g = ~ re² L, a stąd

LT²S= k² + 8², LT'²Sr = k² -f 8'²;

rugując z tych równań ks², otrzymamy

(4)

§2 _ £'2

§ T² — 8' T'² '

Mierząc przeto czasy T i T' zapomocą obserwacyj bardzo małych wahnięć wahadła fizycznego, zawieszanego kolejno na dwu różnych osiach równole głych, których odległości od środka masy są dokładnie znane, możemy obliczyć długość wahadła sekundowego. Zastosowanie wzoru (4) jest z tego powodu trudne, że dokładny pomiar odległości 8 i 8' jest połączony z wielkimi trudnościami. Według Kater’a można wahadło zaopatrzyć w mały ciężar przesuwalny i dać temu ciężarowi takie położenie, żeby przy wahaniach około O i O' było T = Tr. Wtedy otrzymamy z (4)

(6)

8+S'

rpa

a zastosowanie tego wzoru wymaga tylko dokładnego mierzenia wzajemnej odległości 8 -f- 8r obudwu osi.

f-

Wahadło odśrodkowe składa się z pręta OB fig. 61, którego górny koniec O obraca się w stawie (zawiasie), a na drugim końcu jest umieszczone ciało ciężkie, które przyjmujemy w kształcie kuli.

Cały układ obraca się nadto około pionu O#, y z którym oś stawu stanowi jednę całość. Oś stawu przyjmujemy za Ox, pion za O#; środek kuli A znajduje się na płaszczyźnie O y z, obracającej się około Oz jednostajnie z prędkością kątową w.

Jeżeli r jest promieniem kuli; 0, ß, y oznaczają spółrzędne środka, to równanie kuli będzie x² +

Fig. 61.

+ (V — ß )² + (z — y)² = r². Przy obrocie musimy uwzględnić momenty sił odśrodkowych kuli i pręta, prostopadłych do Oz, względem osi Ox, około której obraca się wahadło. Rozważajmy warstwę kuli, ograniczoną płaszczyznami poziomymi z i z -\-dz. Niech df będzie elementem powierzchni koła x² + (y — ß)² =zr² — (z — y)² , podług którego płaszczyzna z przecina kulę; wówczas d M = o df dz będzie elementem masy kuli o gęstości o. Rzuty siły odśrodkowej tego elementu są odpowiednio a²xdM, <a²ydM; pierwszej sile odpowiada moment równy zeru względem Ox, drugiej zaś moment v>²y zdM.~

— rcß[r²—(g — y)²]; suma więc momentów sił dla tej warstwy

a zątym

— a rilgdzydf\ suma więc momentów sił odśrodkowych téj warstwy wynosi

momentem masy koła względem Oxg,

a w³ g dz

j'ydf.

Całka

J ydf jest

będzie Kow²ß[r²—(s — y)²]gdg, a dla całej kuli otrzymamy moment sił odśrodkowych ;

r _j_r

jju r= % O w² ß

4tc

\r² — (z — y)²] £ ćTs = — ar³ ß y w² = Mß y w²^

o

gdzie M oznacza masę kuli. Aby obliczyć moment p.' sił odśrodkowych dla pręta o gęstości a', przyjmijmy, że pręt jest walcem kołowym prostym o pod-stawie fi. Dla warstwy między płaszczyznami g i g -f- dg otrzymamy moment

o'co² z ds

J ydf

j a jeżeli F jest polem przekroju, to

jest kątem, który oś pręta tworzy z pionem. Będzie więc

rl cos <p

p.' = or co² tang cp I Fz²dz, gdzie Z = OB.

ÿydf=Fgtgy, gdzie cp

Mamy fi — F cos cp, a jeżeli p oznacza odległość punktu g na osi OB od O, to g = p coscp, dz~ dp cos cp, więc

p/rz: o' co² tang cp fi cos² cp

₇    or co²fi P

P² dp =-^-

miù-l²

cos cp sin cp    -—-— cos cp sin cp

o

gdzie m jest masą pręta. Kładąc ß zzz (l Ą- r) sin cp, y — (Z 4- r) coscp, mamy p, = M co² (l -f r)² cos T s^ü ? • Moment ciężaru kuli względem O x wynosi

M^(Z + r)sincp, a moment ciężaru pręta wynosi —sincp. Z zasady przeto

d’Alembert’a wynika równanie

M co² (l + r)² cos cp sin cp 4 z którego

-— cos cp sin cp = Mg (l + r) sin cp 4

O

mgl

2~ sin?,

(6)

(7)

g M(i+r) + f

coscp = -~r .----------

r w² M (l+r)²+

g{l + r)    M (l + r) + g

M (l -j- r)² -J-    ’

Y == (Z + r) cos cp zzz

to²

"S⁻

Odległość więc środka kuli od punktu O jest odwrotnie proporcyjonalna względem kwadratu prędkości kątowej obrotu około Oz. Rozwijając na szereg

ostatni ułamek i opuszczając z powodu małej masy pręta, wyrazy tego rzędu

/ M \²

co I i rzędów wyższych, otrzymamy

(8)

Y ₌ JL\

‘ co² l

‘(W

M 2(l-\-r)² ^

a pomijając całkiem masę pręta, mamy ^=— . Trwanie jednego obrotu

2 TU

około Oz wynosi T r= —- ; wstawiwszy wyrażenie w, wynikające z równania (7) otrzymamy

(9)

2 TT

Va

M(î + r)N-Tr

IVM(ł + r) + f '

Jeżeli L jest długością zredukowaną tego wahadła, to T = 2% tym

K?'

a za-

co²

(10)

Pomijając masę pręta, otrzymalibyśmy L = Y ; wahadło więc proste o długości Y wykona podwójną oscylacyją w tymsamym czasie, w którym wahadło odśrodkowe raz się obróci.

.Przy doświadczeniach nieprzechodzi koniec pręta przez O, lecz przez punkt O' (fig. 62) znajdujący się na końcu ramienia poziomego o długości

Fig. 62.

X = OOf, a pręt obraca się około osi O¹ x¹ równoległej do Ox. t)la kuli otrzymamy wtedy ß = X + (l -j- r) sin cp, więc |a = Mm² (Z-f-r) [X-P (^+?’)sincpj coscp. Zapomocą podobnego, jak wyżej rachunku, otrzymamy dla pręta

—-—- (3 X + 21 sin cp) cos .

Kładąc w równaniu d’Alembert’a u— tangcp, i A =

M (Z + r)²+~

otrzy-

mamy

i.+(i)']

2.9 X

(5)‘

u²—    u-\- 'k²—0.

itr

Jedyny pierwiastek rzeczywisty i dodatny tego równania wyznacza kąt cp dla wiadomego w,

1G3. Kuch kuli na płaszczyźnie. Kula o masiö M i o promieniu K zostaje wprawiona w rucli na chropowatej płaszczyźnie poziomej, i następnie jest sobie samej zostawiona; mamy wyznaczyć ruch tej kuli. Obierzmy na płaszczyźnie poziomej osi prostokątne Ox i O y, a oś Os pionowo w górę, a w środku kuli wystawmy układ osi równoległych, które poruszają się równolegle do siebie, tak iź względem nich kula się obraca. Osi drugiego układu są w każdej chwili osiami głównymi kuli. Niech u₀, v₀, iv₀ oznaczają prędkości początkowe środka kuli w kierunkach osi; z założenia W₀ — O;p₀,q₀,r₀ niech będą początkowymi prędkościami kątowymi obrotu kuli około osi drugiego układu. Jeżeli u, v, w; p, q, r oznaczają powyższe prędkości po upływie czasu t; a U, Y, W są prędkościami punktu styczności (0, 0, —R), to

U = m—7 R, Y = v +_pR, W = 0, a prędkość C ślizgania się, t. j. prędkość punktu styczności, będzie 0= J U²fV² = l^(u-qR)² + (v+pR)².

Ciśnienie kuli na płaszczyznę wynosi Mg, tarcie przy ślizganiu się będzie za-tym fMg, a ponieważ kierunek tego tarcia jest przeciwny kierunkowi ślizgania się, przeto składowe X,, Y,, Z₁ tarcia będą

(11)

(1)

(2)

w*

(O²

X₁₌-

/MffU v _ fMg Y r/

0    5 X « - 0    ? /j

= 0,

a momenty tarcia, przyłożonego do punktu (0, 0, — R), względem osi drugiego układu, wynoszą

t    VR ,,    UR

Li = — fMg , Mx—fMg-^-

Na kulę działa ciężar własny — Mg, reakcyja normalna Mg i tarcie. Momenty bezwładności kuli względem osi drugiego układu są sobie równe i wy-2

— MR²; z równania ruchu środka i równań Euler’a wynika po skró-

5

N, = 0.

noszą ceniu przez M,

I du    ,

\di=-f9

)^l— __ fJL

f dt

ol cj

dv

dw

dt ~ fg C J dt

fg

¹ dt R '    ’

P lo

dr

~ = 0.

dt

Z tego widzimy, że W = 0, r — r₀ ; że zatym obrót kuli około pionu środka nie zmienia się podczas dalszego ruchu. Dzieląc pierwsze dwa równania przez siebie, stronami odpowiednimi, otrzymamy

du

dv

du U u — ą R

dv Y vpR ’ u — ąR v-\-pR ⁵

a dzieląc jnórwsze równanie przez czwarte, tudzież drugie przez piąte,

A- dv.

=

= -Yß

całkując zaś je, otrzymamy

2 ~ du

~~

2 „ dv “ “ 5dû

, dp =

dq — —

2R

2R du;

(4)

îo-gg (u~uo): a stąd:

<2 =

7    7

u- qR = u — a₀, v -f pR — j v + ß₀, gdzie

P—Po +

% , ßo =Po R — J «’o 5 wi§C

d(%u—a₀)_dU _U

dJfv+JÖ) ~dY ~~ Y ’

Iloraz zatym A jest stały. Kierunek ślizgania się, a więc kierunek tarcia nie

zmienia się podczas ruchu; a ponieważ wielkość tarcia jest stała, przeto środek kuli porusza się wskutek działania siły stałej i równoległej do płaszczyzny. Z tego wynika (jak przy wyrzuceniu ukośnym), że środek kuli opisuje parabolę. Gdy obierzemy oś Oÿ równolegle do kierunku początkowego ślizgania się, to dla t = 0 będzie U = 0 a y~C₀, jeżeli C₀ jest prędkością początkową ślizgania się; będzie więc ciągle U —0, Y — 0 — v-\-pR, u- ^R=:0. Jako równania (3) otrzymamy tu

dv „ clp_

dt ’ ~dt    ^⁹⁾ dt~

u — U₀, V —. V₀ —fgt, p —Po —

du

dq

dt=0: a wiêc

(5)

AM q

2 R ’ q

u₀

~ q°~~ R '

Oznaczmy przez £, 7] spółrzędne punktu, w którym kula jest styczna do płaszczyzny; one przedstawiają zarazem spółrzędne rzutu środka kuli na płaszczyznę; niech c będzie prędkością początkową środka, X kątem, który c tworzy zosią x\ wtedy m₀ = ćcosX, v₀ = csinX. Biorąc więc 1—0, 7] — 0 dla t — 0, mamy

^ —ccosX, v —    — inX—fgt

dt

dt

£ = c t cos X j 'fj— ci sin X•—-|A f a rugując t,

(6)

fg i²

ïj = ê tang X — ^

co przedstawia równanie paraboli, którą opisuje środek kuli. Prędkość zaś ślizgania się jest

c²cos²X ⁵

C = v+p'R = v₀+p₀R— — fgt = C₍₎ — jfgt, gdzie C₀ — csinX -f £>₀R.

Ślizganie się ustanie, skoro będzie C = 0, a zatynTpo upływie czasu

2 C₀ _2 csinX-f^R

^7g~^

a kula będzie wówczas styczna do płaszczyzny w punkcie (£t, r^),

2 ccosX

7 FF

(7)

*i =

/<7

2 csinX-f-p₀R

ï~fg

Parabola (6) wyznacza ślad kuli na płaszczyźnie* Jeżeli kierunek początkowy ruchu środka jest zarazem kierunkiem ślizgania się, a zatym X — — , to

2

12

u₀ — 0, v₀ — c, więc £ = 0, r\ — ct—/# — ; kula opisuje wtedy ruchem jednostajnie opóźnionym liniją prostą w pierwotnym kierunku, a prędkość śli-

7

zgania się będzie C=zc-\-pQH — — fgt, gdzie C₀

czątkowo nie było ślizgania się, a zatym Cn — 0, to ono niemogłoby powstać, a kula rozpoczęłaby ruch, tocząc się na płaszczyźnie; wtedy więc byłoby tt = 0. Po upływie czasu prędkości przybiorą następujące wartości

(8)    €i=*-

(csink +i?₀R),    — y •

(6 csinX—jp₀R).

= c+^₀R. Gdyby po-

«, — c cos X, Vi = ij (5 c sin X — 2^ R),    = 0,

1 c Pt = ÿ (2p₀ & — 6 e sinX), <2i = ^ cosX, r, =

a prędkości x¹, y\ s' punktu (x, y, z) kuli będą w tej chwili

x' =    + ę, 0 — /■, y = c cos X -j- ~ cos X — r₀ «/,

y = t’i + n x —pi z — r₀ x +    (5 c sin X - 2p₀ R) (R -f- g)

y = wi+ply-qlx= ~(⁽2p₀R — 5csm\)y — Założenia x¹ ==. 0, y' — 0, z' — 0 wyznaczają prostą

*o>

CJ?

cos X.

(9)

r₀R ⁵

4(2_p₀ R— 5 csinX)

której każdy punkt ma prędkość równą zeru, a zatym jestto oś chwilowa obrotu kuli, przechodząca przez punkt (6, rj), w którym kula jest styczna do płasz-

ccosX

czyzny. Podczas ślizgania się ruch chwilowy kuli jest skrętem, a w chwili, gcly ślizganie się ustaje, skręt staje się samym tylko obrotem około prostej (9). Równanie rzutu osi chwilowej na płaszczyznę ruchu jest:

(10)

7 ex cos X — (2p₀R — 5csinX)«/=:0.

Niech kierunek ruchu środka kuli w chwili t% tworzy z osią- % kąt X,; wówczas będzie

(U)

tang X, = Vi

Ui

7 ccosX

Gdy oznaczymy przez , wartość pochodnej dla t — tl: to z równania

(6) wynika:

(i)

5 c sin X—2p₀R

7 c cos X

= tang X,,

to znaczy: w chwili kiedy ustaje ślizganie się, środek kuli opuszcza parabolę i porusza się odtąd prostolinijowo w kierunku stycznej do téj krzywej w punkcie (£,, Yji). Porównywając równania (10) i (11), otrzymujemy ciekawe twierdzenie, że w chwili, kiedy ustaje ślizganie się, rzut osi chwilowej na płaszczyznę ruchu jest prostopadły do kierunku ruchu środka, a zaiym do kierunku to-czenia się.

JP

Fig. 63.

164. Ruch walca na płaszczyźnie. Jednorodny walec kołowy prosty, Obracający się około swój osi z prędkością kątową co₀, zostaje rzucony na płaszczyźnie chropowatej w kierunku prostopadłym do osi z prędkością v₀ ; mamy wyznaczyć jego ruch. Niech płaszczyzna tworzy z poziomem kąt a, a walec, obracający się pierwotnie w tym kierunku, który odpowiada toczeniu się na dół, niech zostaje rzucony pod górę. Ruch walca pod górę będzie posuwisty, równoległy do płaszczyzny pionowej, przechodzącej przez prostą największego spadku, a Strzałka 1 (fig. 63) oznacza kierunek pierwotnego obrotu. Przyjmując oś Ax w kierunku ruchu, rozłóżmy ciężar walca M$r na Masina i M^rcosa; tarcie F, działające ku A, będzie F =— M#/cosa. Oznaczmy przez cp kąt obrotu

będzie jego momentem bez-

MR²

około osi, przez R promień walca; wtedy — -—

władności, a według art. 157-go równania ruchu, biorąc momenty względem osi walca, będą

(1)

d²x

M — — M g (sin a -f-/ cos a)

MR2 2 * dP

= — MgfR cos a.

Całkując je przy warunkach, że dla t — O jest

dx

dt =V° l lit ~ <0° ’ otrzymamy

d'Ÿ_

°~~n

dx

*fg

~ = v₀ — gt (sin a +/cos a)

z czego widzimy, że obie prędkości zmniejszają się proporcyjonalnie względem Grdy c oznacza prędkość ślizgania się, t. j. prędkość punktu styczności

+ E , lub według (2),

(2)

czasu.

dx

p’toc= dt

t cos a

c = c₀ — gt (sin a -f- 3/cos a),

gdzie c₀ — v₀ + Rw₀ jest prędkością ślizgania się dla t = 0. Ślizganie się ustanie po upływie czasu tx, dla którego c — 0, a więc w czasie :

kości (2) będą równe zeru. Tym sposobem otrzymamy

t< _ ( g (sin a + /cos a) ?

(3)

(4)

t" —

a)₀R

2/g cos a ty-t"-

więc

2/^(sina-f-3/cosa) cosa

g (sin a -j-/cos a) (sin a + 3/cos a)

gdzie [i. = w₀ B, (sina + /cosa) — 2u₀/cosa. Dla (A = 0 będzie ty — t'= t”; dla jJL ;> 0 będzie tx >-1', tx <! t"; dla <C 0 będzie tt <C t', tx ;> i". W pierwszym przypadku staną się obie prędkości jednocześnie równe zeru, więc walec, przybywszy do punktu najwyższego, zacznie spadać bez prędkości początkowej. W drugim przypadku ruch postępowy środka masy ustanie wcześniej, niż obrót walca w kierunku 1; walec więc wznosi się na płaszczyźnie przez czas t\ a następnie zaczyna spadać, obracając się w tym kierunku, który odpowiada toczeniu się na dół, będzie się przeto tym śpieszniój staczał. W trzecim przypadku ustaje obrót pierwotny wcześniej, niż ruch postępowy w górę; po upływie czasu tu zaczyna się więc walec obracać w kierunku przeciwnym, podnosząc się jeszcze do czasu tK, odtąd zaczyna spadać, obracając się w kierunku, odpowiednim toczeniu się pod górę. W każdym przypadku trwa ruch pod górę przez czas t', a powyższe trzy przypadki zależą od tego, czy tg a jest równe, większe lub mniejsze od

(6)

/(— J \w₀R

')•

Przypuśćmy, że ma miejsce trzeci przypadek. Po upływie czasu t", kiedy Ustaje obrót w kierunku pierwotnym, prędkość ruchu postępowego wynosi

jeszcze v₀

2/

( f Ą- tanga). Odtąd tarcie sprawia obrót przeciwny; jako

więc równanie ruchu obrotowego, licząc rp w nowym kierunku, będziemy cosaj a całkując je przy warunku, ie~ = 0 dla t — t", 2 f* et i)

- cos a. Gdy ruch pod górę ustaje dla

_2Ą>

R(/-f- tanga) '

ktu, dokąd walec doszedł, ku punktowi A; wtedy równania dla spadku będą

mieli

d²cp _ 2 fg

dt²

otrzymamy ^ = — w₀ +

Liczmy teraz oś x od najwyższego pun-

d²x

dt²

= g (sina —/cosa)

d²tp __    fy

dt²    R cosa

których dalsza analiza nie przedstawia trudności. Polecamy czytelnikowi dochodzenie dwu pozostałych przypadków.

165. Ruch bąka. Niech P (fig. 64) będzie wierzchołkiem bąka, posuwającym się na płaszczyźnie poziomej bez tarcia; S niech oznacza środek masy na osi gieometrycznéj, a l — PS liczmy w kierunku dodatnym od P ku S. Na płaszczyźnie poziomej obierzmy osi Ox, O w, a oś Os pionowo w górę.

-a

->

"=>]

ST

/ a.

Fig 64.

Przez oś gieometryczną Sr i pion w punkcie S prowadzimy płaszczyznę, na niej bierzemy oś prostopadłą Sp do Sr, a oś Sę prostopadle do Sp i Sr. Płaszczyzna, poprowadzona przez P równolegle do Spq, przecina płaszczyznę Oxy podług prostej, która z osią Ox tworzy kąt <p; prosta Pp', równoległa do Sp, tworzy z tym śladem kąt <J>, a Sr tworzy z pionem kąt 0. Jeżeli Mg jest ciężarem bąka, R pionową reakcyją płaszczyzny w P; i, y], Ç oznaczają spół-rzędne punktu S względem układu Oxys, to równania ruchu środka masy będą

(1)

d-ą

dt²

=:0, M

d²ri

dK

dt²

— 0, M-^ = R-- Mg,

§kąd wynika, źe rzut poziomy Sr środka masy porusza się prostoliniowo i jednostajnie. Rzuty reakcyi na osi główne układu Spqr są odpowiednio-R sin 0sinej), R sin 0 cos ej) i R cos 0; a ponieważ spółrzędne punktu P względem tych osi są o, o, — 7, przeto momenty reakcyi będą El sin 0 cos ej), — R7 sin 0 sin ej), o. Elipsojda centralna jest obrotowa; jeżeli A jest momentem bezwładności bąka względem osi Sp i Sqr a C momentem względem osi gieometrycznój Sr, to Otrzymamy równania Eulera

A — (A - C) qr = R7 sin 0 cos ej), A - (C — A) rp = - R7 sin 0 sin

(2)

dr

dt

C^-=0.

Ostatnie równanie pokazuje, że obrót balia około osi gieometrycznój trie a ciągle z pierwotną prędkością, że przeto r — r₀, jeżeli r₀ jest prędkością początkową,, z jaką bąk W ruch wprawiono. Otrzymamy całki równań (2), stosując zasadę energii i zasadę pół do płaszczyzny Oxy.

Energiją kinetyczną T otrzymamy z równania 2T = M (£,²-fr/²+C'²)-h + A (l>²+<?²) + Cr₀²; praca siły — Mp wynosi — Mgl cos 0>; zważywszy, że £' i 7]' mają wartości stałe i że C — l cos 0, otrzymamy następującą całkę z zasady energii, oznaczając wskaźnikiem o stan początkowy (t = 0),

M P sin² 0 j + A (p1Jr $²) + 2 Mgl cos 0

=M P sin² 0O

(MY

\ dt /₀

+ A (p₀² -f q₀²) + 2Mgl cos 0O.

Mamy p² + q² =    ) + (^) sin2 0> ^ = P cos — <2 sil1 <P> ^ sin ⁰ =

— p sin ej) -J- q cos ej). Przyjmijmy, że na początku obraca się bąk tylko około swój osi gieometrycznój, wówczas p₀ =z 0, q₀ = 0, więc = 0 i ^ =r. 0 dla £=0; otrzymamy zatym

— cos 0O) = 0.

(3y A (-^0 sin²0 -p (A + Mi² sin² 0)    + 2 Mgl (cos 0

Niech a1: bu ct oznaczają dostawy kierunkowe osi Sp względem układu Oxyz\ z zasady pól wynika

A (pa.i -f q bi) -j- Cr₀ cos 0 — stałej ;

a wstawiwszy = sin 0 sin t{>, bv = sin 0 cos ej> (art. 49), tudzież wyrażenia p i q w funkcyjach kątów 0 i rp, i uwzględniwszy warunki początkowe, mieć będziemy z tój zasady

(4)

dep

A sin² 0 -f O₀ (cos 0 — cos 0O) = 0,

Z tego równania wynika

(5)

d<p_O₀ cos 0O — cos 0

dt A

sin²0

a wstawiwszy te wyrażenie w (3), otrzymamy

(6)

Pierwsze dwa wyrazy równania (3) są dodatne, ostatni wyraz jest przeto ujemny, a zatym cos0o;>cos0, więc 0>-0o. Nachylenie osi gieometrycméj względem pionu podczas ruchu bąka jest ciągle większe od nachylenia początko-

dQ

du

■wego, lub przynajmniej równe temu nachyleniu. Pochodna jest miarą nu-tacyi czyli kołysania się osi względem pionu. Z równania (5) okazuje się, że ma ciągle ten sam znak, co prędkość r₀ obrotu początkowego około osi

di

gieometrycznéj, a ponieważ ta pochodna jest miarą precesyi śladu płaszczyzny równika na poziomie, lub, co na jedno wychodzi, linii węzłów równika, przeto widzimy, że prędkość precesyi ma ciągle ten sam znak, co prędkość obrotu około osi gieometrycznéj. Kierunek więc precesyi zależy od kierunku obrotu około osi gieometrycznéj w chwili puszczenia bąka w ruch. Przyjmijmy

Ocos0o — cos 6 _ 2M^7A(1 — cos²6) —C²r₀² (cos6₀—-cos6) A sin² 9

A sin² 6

(7) A-2M(/1-C²r0 wówczas

(8)

(f)2==(cose»-cos0)

A + M7² sin² 9

a stąd

(9)

dt — ±

dQ\/ A 4- Ml² sin² 9

J/ A (cos 9₀ — cos 9)

Pierwiastki równania stopnia trzeciego A(cos9₀ — cos0) = O wyznaczają te wartości kąta 0, dla których ~ — 0. Mamy naprzód pierwiastek 0 = 0d,

Cli

a następnie należy rozwiązać równanie A — 0. Dla 0 = 0O mamy A > 0, zaś dla 0 = tc, A << 0; jeden pierwiastek 0! równania A — 0 znajduje się więc między 0O i Tc ; 2-gi pierwiastek jest większy niż tc i nie ma żadnego znaczenia dla naszego zadania. Kąt 0 przypada zatym ciągle między 0O i 0* ;> 0O; dla

dQ

0 — 0O mamy = 0, a ponieważ odtąd rośnie 0, przeto w równaniu (9) na-

Cli

leży brać znak + dotąd, dopóki 0 nie przybierze wartości 01? dla której

znowu ~=zQ. Ponieważ pochodna ~ jest funkcyją ciągłą kąta, przeto za-dt    dt

czyna 0 maleć, należy więc odtąd brać w (9) znak — dotąd, dopóki 0 znowu nie przybierze wartości pierwotnej 0O. Oś gieometryczna bąka kołysze się względem pionu między diooma stałymi krańcami wewnątrz stożka o stałym kącie p>zy wierzchołku, to oddalając się od pionu, to zbliżając się ku niemu, Jeżeli T oznacza okres kołysania się, to mamy, według (9),

Qi

(10)

dOf/ A + M?² sin² 0

J/ A (cos 0O — cos 0)

Ten okres można obliczyć przez całkę eliptyczną. Prędkość precesyi jest równa zeru dla 0=0O; odtąd ona rośnie aż do wartości największej dla 0 = 0,; następnie zmniejsza do zera według tego samego prawa, aż do wartości odpowiadającej 0 = 0O ; a zatym okres precesyi równa się okresowi kołysania się. Z równania (3) wynika

ai)

sin²0 —

12 Mgl (cos 0O — cos 0) —

(§)'s“2e] -

— MZ²

a to równanie pozwala obliczyć prędkość kątową w obrotu bąka według wzoru to² = p² -f <2² + >'o²- -Dla 6 — 6₀ mamy p² + q² — 0, więc p — 0, <2 — 0, w = r₀; wtedy zatym obraca się bąk tylko około swej osi z najmniejszą prędkością r₀.

Dla 0=0₁ otrzymamy największe to, mianowicie: to²=;

(cos 0O—COS0!)-}-

2M gl

Aby rozpoznać ruch wierzchołka P na płaszczyźnie, szukajmy toru tego punktu względem rzutu S' środka masy, poruszającego się prostoliniowo i jednostajnie na podstawie. Kładąc S'P = p, możemy tor względny wierzchołka określić przez spółrzędne biegunowe p i cp. Mamy p = l sin 0, a zatym maximum p — Zsin0t, minimum p = Zsin0o, z czego wnosimy, że tor względny jest ograniczony dwoma kołami, zakreślonymi ze środka S' promieńmi Zsin0o i Zsiu0,. Mamy

(12)

dp _ dp dt _ Al cos 0 sin² 0 dQ ..

dt dy ~ Cr₀ cos 0o — cos 0 dt ' CZ^ 1 l [AA cos 0 sin 0 dtp    C r₀ [/ cos0o—cos©

dp

1 2Mć?ZAsin²0— O²ro²(cos0o y    A + MZ² sin² 0

— cos 0)

dp

dp

Dla 0 — 0, będzie =. 0, a dla 0 = 0O otrzymamy = oo, z czego wynika, że tor względny punktu P dotyka się koła zewnętrznego, zakreślonego promieniem Z sin 0,, a przecina pod kątem prostym koło wewnętrzne, zakreślone promieniem Zsin0o. Gdybyśmy przez środek masy S poprowadzili płaszczyznę poziomą, i rzucili na tę płaszczyznę w każdej chwili punkt P, otrzymalibyśmy powyższy tor względny, mający kształt rozety.

16G. Kręcenie się ciaea obrotowego. Niech ciało obrotowe, na które działa tylko siła ciężkości, kręci się około punktu stałego P, leżącego na osi gieometrycznój. Niech ten punkt będzie początkiem układu spółrzędnych; użyjmy tu tego samego znakowania, co w artykule poprzedzającym. Zasada energii łącznie z zasadą pól prowadzi do następujących dwu równań ruchu obrotowego :

[(§) + (!Fsin2S] = 2Mÿî(cose„-cose)

A - ~ sin² 0 — O₀ (cos 0O — cos 6)

z których otrzymamy

(2)

( d0 Y²    C²r₀² (cos0o — cos0)²

Vdt) +' ”7v

sin²0

~2Mgl (cos 0O — cos 0).

Kładąc

(3)

A = 2 Mgl

C²r₀² cos0o — cos 0

sin² 0

mieć będziemy

(4)

d0

dt

[/ Â (cos 0O — cos 0)

J/Â

dt — ±

KA dQ

[/ A (cos 0O — cos 0)

Prędkość pierwotna r₀ obrotu około osi gieometrycznćj nie zmienia się podczas ruchu. Załóżmy, że ciało zostało wprawione w ruch z bardzo wielką prędkością r₀ i że iloraz 2M^A:CV₀² jest bardzo mały, że więc moment bezwładności C jest dostatecznie wielki w porównaniu z A; natenczas z równania \ — 0, z którego

cos 0O — cos 0 =

2Mgl A

C²r₀²

sin²0

okazuje się, że kąt 0n będący największą wartością kąta 0, będzie się bardzo mało różnił od kąta 0O, że przeto oś gieometryczna będzie się kołysała około pionu wewnątrz stożka o bardzo małym kącie przy wierzchołku. "W tym przypadku możemy przyjąć 0 = 0o-j-a, gdzie a jest małym łukiem, którego kwadrat możemy pominąć. Mamy więc z dostateczną dokładnością

cos 0O — cos 0 = a sin 0O,

cos 0O — cos 0

sin²0

sin0o ’

a jeżeli przyjmiemy

(5)

ai —

C²r₀

-sin0o,

to z równania (4) otrżymamy

(6)

da

a całkując,

(7)

^ X J/a ]/ 2a{ — a ’

X t — ± arc cos    —? czyli 0 — 0 — a, cos \t

gdzie © = 0O -f- a,. Weźmy a = a, (1 — eos\t) w drugim równaniu (1); otrzymamy

(1 — cosXć)

dy_ Xat

dt sin0o

całkując zaś, kładąc sin0o = sin(© — aj)—sin©— a, cos© i opuszczając aj², mieć będziemy

(8)

<P = T° + ^0    ~ sinX0 = (I> —

a* sinXtf,

sin©

^    + rQt — at cotg0 (1 — sinXż).

(9)

Równania (7), (8), (9) pozwalają wyrazić kąty 0, <p? t}> w funkcyjach czasu, i tym samym rozpoznać ruch ciała przy uczynionych założeniach.

Położenie osi gieometrycznój określają w każdej chwili kąty 6 i cp. Wystawmy w pmnkcie P prostą, której kierunek jest określony przez kąty © i <ł>; ta prosta opisuje około osi z stożek obrotowy ruchem jednostajnym, albowiem kąt 0 i prędkość są stałe. Nazwijmy tę prostą osią średnią obrotu

ciała. Oś gieometryczna ciała porusza się względem osi średniej, a ponieważ, jak z (7) i (8) wynika, kąty 0    6 i <ł> — <p są funkcyjami okresowymi czasu,

di]

Z równania r₀ — —-

Cvv

a zatym

^ + yy- cos 6 wynika ~ r₀ — Xa, cotg0 (1 — cosXź),

d<\

przeto ten ruch jest okresowy. Wystawmy kulę o środku Pio promieniu równym jednostce, i nazwijmy ślad N₅ osi średniej na tej kuli biegunem średnim, a ślad N osi gieometrycznój biegunem prawdziwym ruchu. Ponieważ obadwa bieguny są ciągle blisko siebie, przeto możemy przyjąć, że N leży na płaszczyźnie stycznej do kuli, przechodzącej przez biegun Ns. Poprowadźmy w Ns dwie osi sjiółrzędnych: oś i styczną do południka, skierowaną ku dodatnćj osi z, i oś r], styczną do równoleżnika, w kierunku przeciwnym obrotowi punktu około osi z. Łatwo spostrzeżemy, że spółrzędne i, r\ bieguna N względem tych osi są: i = a, cosXit, tj = a* sinX£, że zatym £² -J- rf = a,³, di

a nadto — — Xocj sin Xt, — Xa, cosXć, z czego wynika, że biegun prawdziwy opisuje około bieguna średniego małe koło o promieniu a,, a kierunek tego obrotu jednostajnego jest bądź zgodny z kierunkiem obrotu bieguna średniego około pionu, bądź też przeciwny temu obrotowi, według tego czy X ^ 0, a zatym czy r₀ ^ 0. Prędkość bowiem tego obrotu wynosi

X aj =

Mgl O₀

— sin0o,

a ponieważ £sin0o >> 0, przeto znak tej prędkości zależy tylko od znaku prędkości r₀. Ruch osi gieometrycznój względem osi średniej przedstawia kołysania się względem osi średniej. Kąt 0 — 0 zmienia się między + ai i — a1? obszerność kołysania się wynosi przeto 2oc1? a okres tego ruchu wynosi

y- —    > Jes^ przeto tym mniejszy, im prędzej ciało obraca się około osi

gieometrycznój.

Powyższe zagadnienie może być także rozwiązane na podstawie równań Bour’a (art. 156), jak to wynika z następującego przykładu. Ciało matery-jalne, którego środek masy jest ustalony, a którego elipsojda centralna jest obrotowa, obraca się z bardzo znaczną prędkością około osi gieometrycznój, a na tę oś wywieramy stałe ciśnienie ; mamy wyznaczyć wpływ tego ciśnienia na ruch ciała, Używając figury i znakowania art. 156-go, oznaczmy jeszcze

przez l odległość od środka masy punktu na osi, w którym wywieramy ciśnienie, przez X, Y, Z rzuty ciśnienia na osi S£, Si], SC, a przez w prędkość kątową obrotu około osi gieometrycznćj przed przyłożeniem téj siły (dla t — 0). Z pierwszego równania (3) art. 156-go wynika

dt

ß -f —fr cos6 = w,

a zatym prędkość obrotu około osi gieometrycznój nie zmienia się. ż dwu zaś ostatnich równań (3) wynika

(10)

iA § + (Cw

-aS

dy

dt ⁰⁰⁵ e) dt

A ^|sin6 + 2 A ~cos9 — Coo ~ =zYl, dt²    dt dt    dt

sin 6 = — Z l ,

de

Iloraz Cco : A jest z założenia bardzo wielki; przypuśćmy nadto, że pochodne kątów 6 i cp względem czasu nie mogą przybrać wartości bardzo wielkich. W tym przypadku możemy w powyższych równaniach pominąć iloczyny pochodnych, tudzież 2-gie pochodne tych kątów, i zredukować równania do następujących postaci przybliżonych:

dt

dt

Cco sin 6 = — Zl, — Cco = Yl, z których wynika

(U)

Zl

de

dy _

dt    Cco sin 6 ’ dt

Cco *

de

Dla Y = 0 będzie — = 0 ; wskutek więc ciśnienia Z oś gieometryczna będzie

dt

d/f

opisywała stożek obrotowy około pionu. Dla Z — 0 będzie = 0; ciśnienie

U/Z

ma w tym przypadku kierunek linii węzłów (przy X = 0), a oś posuwa się na płaszczyźnie, przechodzącej przez pion prostopadle do kierunku ciśnienia. Ponieważ nie ma precesyi, przeto oś gieometryczna pozostaje stale na téj płaszczyźnie, kołysząc się na niej względem pionu. Gdyby ciśnienie Y działało na ciało w spoczynku, wywołałoby obrót około osi SC; działając zaś na ciało, obracające się szybko, nie wywołuje tego ruchu, lecz sprawia nachylenie się osi gieometrycznéj ku prostej SC. Wyrażamy to zjawisko mówiąc, że oś obrotu dąży do TcierunJcu równoległego, t. j. do zajęcia kierunku téj osi, około której rozpocząłby się obrót ciała, gdyby ono było pierwotnie w spoczynku. Żeby oś gieometryczna opisywała stożek, na to trzeba siły

l dt

Ca) dcp . n -A sin e.

Ta siła jest znaczna z powodu wielkiego o), i prostopadła do kierunku zboczenia osi.

167. Ruch względny. Giroskop. Niech środek masy S ciała obrotowego będzie ustalony względem ziemi, a ciało po nadaniu mu szybkiego obrotu około osi gieometrycznéj niech będzie pozostawione samemu sobie; mamy wyznaczyć dalszy ruch ciała względem ziemi, uwzględniając jéj obrót dzienny. Obierzmy prostokątny układ osi Sxyz, stale z ziemią połączony, tudzież drugi układ prostokątny Spqr, połączony stale z ciałem i poprowadź* my przez S prostą SN, równoległą do osi ziemi i skierowaną ku jej biegunowi północnemu N. Prosta Sr niech przedstawia oś gieometryczną ciała, która z prostą SN tworzy kąt a. Oznaczmy przez p, q, r prędkości kątowe obrotu ciała względem ziemi, a przez Pi, qt, r, prędkości kątowe ruchu unoszenia (obrotu dziennego), biorąc te prędkości względem osi S'pqr; wtedyp+Pi, ç + îi i f+rt będą prędkościami kątowymi obrotu bezwzględnego ciała względem tych osi. Niech C oznacza moment bezwładności ciała względem Sr, A względem Sp i Sę; w prędkość kątową obrotu ziemi około SN, która ma być odcięta na tej prostej ku biegunowi południowemu. (Ob. zad. 2-gie w rozdziale III-im). W każdym punkcie ciała mamy wziąć pod uwagę jirzyciąganie ziemi i siłę odśrodkową, odpowiednią obrotowi dziennemu; wypadkowa tych sił przecho dzi przez S, ma przeto moment równy zeru względem Sr; otrzymamy więc d

G (r-j-rj — 0, z czego wynika, że suma r-j-^ jest stałą. Jeżeli r₀ jest prędkością obrotu początkowego (dla ^==.0), to z uwagi, że rt =— w cos a, wynika

(1)

r — co cos a =: r₀ — co cos a₀

r = r₀ -f- co (cos a — cos a₀),

gdzie a = a₀ dla £ = 0. Praca sił przyłożonych i sił pozornych jest równa zeru, energija zatym kinetyczna będzie stała, co prowadzi do równania

A (p²+q²)+Gr² =zA (p₀²-\-q₀²) + Gr₀², gdzie p~p₀, q — ą₀ dla t — 0. Ponieważ^)² + q² =    sin²0, gdzie 0 i mają wiadome znaczenie

(art. 49), przeto otrzymamy po wstawieniu wartości, pomijając wyraz tego rzędu co co², jako bardzo mały,

(2) A

[('cl')    sin26] + 2Ccor₀(cosa — cosa₀)rzc A(p₀²-\-q₀²).

Suma momentów sił względem SN jest równa zeru, moment więc ilości ruchu bezwzględnego względem tej prostej, mającej kierunek niezmienny, jest stały (art. 142), z czego wynika, iż Aa (p+Pt) + Ab (q-\-qt) + Gc (r-fr,) = stałej, przyczym a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe prostej SN względem układu Spqr. Obierzmy ślad płaszczyzny, przechodzącej przez Sr i SN, na płaszczyźnie równika ciała, za oś Sy); wtedy a^sina, b = 0, c = cosa, p{ — — — co sin a, qt = 0, r, = — co cos a. Podstawiwszy te wartości, otrzymamy z ostatniego równania

(3)

A f-psina — />₀sina₀) = (cosa₀ — cosa) [C (r₀ — cocosa₀) —

— A co (cosa+cosa₀)].

Gdy ciału udzielimy na początku tylko obrotu około prostej Sr, to p₀ — 0, q₀= 0. Gdy zaś obierzemy prostą SN za oś z, to a = 0, a z wzajemnego

TC

położenia obudwu układów osi spółrzędnych wynika <J> = —, a więc p

u

— ~ sin 6. Podstawiwszy te wartości w (2) i (3), mieć będziemy

(4)

[(-IT+ (w)2 Sin2e] = 2C“r“ (cos6o-™se>

dy

A ~ sin² 9 = Cr₀ (cos 6₀ — cos 6). ctz

Te równania określają, ruch ciała względem ziemi. Są to też same równania, które mieliśmy w art. 166-tym oznaczone przez (1) dla ruchu bezwzględnego ; dla zupełnej tożsamości należy przyjąć Mgl — C«ir₀. Ciało więc, którego środek masy jest ustalony, porusza się względem ziemi tak, jak ciało obrotowe o masie M, którego środek masy jest oddalony o l od punktu stałego na osi, kręci się w przestrzeni około tego punktu. Kładąc według art. 166-go

(5)

«i = h

A w

Oo

sin 6₀, A —

Cr₀

otrzymamy

(6)

6 = e₀ +

Aco

dy

(1—cos Aż) sin 6₀,    —cos Aż).

Pierwsze równanie wyznacza nachylenie osi gieometrycznéj ciała względem osi ziemi; drugie równanie wyznacza prędkość precesyi około prostej, równoległej do osi ziemi i przechodzącej przez środek masy ciała. Ponieważ Aw:Cr₀ jest z założenia bardzo małe, przeto widzimy, że kołysanie się osi jest tym mniejsze, im większa jest prędkość r₀, a przy bardzo szybkim obrocie początkowym daje się kołysanie zaledwie dostrzegać. Z 2-go równania wynika, że prędkość precesyi osi średniej (art. 166) jest równa prędkości obrotu dziennego ziemi, lecz kierunku przeciwnego, że zatym oś średnia wskazuje podczas ruchu nieustannie na ten sam punkt na niebie.

Powyższe zjawiska można sprawdzić zapomocą giroskopu Foucault,' składającego się z metalowego pierścienia kołowego P, którego oś gieometry-czna jest średnicą drugiego pierścienia płaskiego Q, obracającego się swobodnie około trzeciego pierścienia płaskiego R. Osi wszystkich trzech pierścieni przecinają się w ich spólnym środku, około którego pierścień kołowy P z wszelką swobodą kręcić się może. Nadawszy osi pierścienia kołowego szybki obrót zapomocą kół zębatych, i zostawiwszy przyrząd samemu sobie, spostrzegamy wyraźnie precesyją w kierunku przeciwnym obrotowi dziennemu, podczas gdy oś pierścienia P opisuje stożek obrotowy około prostej, równoległej do osi ziemi, kołysząc się nieznacznie względem téj prostej.

Przez odpowiednie ustalenie pierścienia Q można wywołać taki ruch giroskopu, że oś pierścienia kołowego posuwa się na danej płaszczyźnie. W celu rozpoznania tego ruchu obierzmy płaszczyznę daną za płaszczyznę 8xy,

o₀

a rzut prostej SN na tę płaszczyznę niech będzie osią S#. Oś gieometrycznä Sr, znajdująca się na płaszczyźnie Sxy, tworzy z prostą SN kąt a; niech ß będzie stałym kątem między SN a Sa?, a y kątem zmiennym, który Sr tworzy

7C    71

z Sx. Wtedy 6 = — , cos a = cos ß cos y, — y-f —, p₀ — 0»    z ró

wnania (2) przeto wynika

(tI) ~¹ 2 3 *    (cos Yo ~ C0S ^ cosß •

Kładąc y' — tc — y, ostatnie równanie możemy napisać

(7)

(■fr) = ²-^|p(cosï, — cosy₀')cosß.

Porównywając je z równaniem (14) art. 92-go widzimy, że oś pierścienia kołowego odbywa na płaszczyźnie Sxy ruch wahadłowy. Jeżeli r₀> 0, to oś waha się około prostej SP, będącej przedłużeniem prostej S#, a zatym około rzutu osi ziemi, wziętej ku biegunowi południowemu; dla r₀ <C 0 wahanie się zachodzi około prostej Sx, przedstawiającej rzut osi ziemi, wziętej ku biegunowi półno-

Długość zredukowana wahadła wynosi

cnemu.

a czas jednej

oscylacyi j est rc

y-*

Cco r₀ cos ß

Jeżeli oś porusza się na poziomie, odpowie-

Co>r₀cosß ’

dnim pewnemu miejscu na ziemi, to ß jest szerokością gieograficzną tego miejsca; jeżeli więc zmuszamy oś do wahania się na płaszczyźnie południka, to ß — 0, a oś pierścienia waha się około osi ziemi.

Zjawiska, jakie okazuje giroskop Foucault, stanowią dosadniejsze dowody obrotu ziemi, niż pozorne zboczenie płaszczyzny wahania, lub zboczenie pocisków, spadających na ziemię. Oprócz tego przyrządu znamy jeszcze wiele innych, do tego samego użytku służących, jak np. wahadło giroskopowe i po-litrop, które obmyślił Sire, tudzież w najnowszych czasach przez F. Oilberfa podany barogiroskop.

ĆWICZENIA.

m: okazać, że działo cofnie się o długość

v²,

jeżeli odległość płytki od punktu zawieszenia równa się połowie długości zredukowanej wahadła.

(4) . Wewnątrz wahadła fizycznego znajduje się w dowolnym lfiiejscu wydrążenie kuliste, wypełnione wodą : wyznaczyć ruch wahadła.

(5) . Wahadło balistyczne służy do mierzenia prędkości pocisków broni palnej. Dwie metody bywają stosowane: a) Broń palna łączy się z wahadłem, które cofa się w chwili wystrzału o pewien kąt, dający się wymierzyć, b) Pociskiem strzela się do masy wahadła, której odchylenie się wyznacza. Podać wzory, według których w obu przypadkach można obliczyć prędkość pocisku, znając wymiary i masy wahadła i pocisku.

(6) . Pręt obraca się około jednego końca na płaszczyźnie poziomej bez działania sił i doznaje w każdym punkcie oporu powietrza, proporcyjonalnego względem kwadratu prędkości: wyznaczyć prędkość kątową w funkcyi czasu.

(7) . Kula materyjalna jednorodna toczy się bez ślizgania się na równi pochyłej : podać prawa jej ruchu i okazać, że jeżeli a jest kątem nachylenia równi do poziomu, a f spółezynnikiem tarcia, to f— tanga, aby zachodziło toczenie się kuli bez ślizgania się.

2

(8) . Przyjmując/<1 — tanga, podać prawa ruchu kuli na równi pochyłej.

(9) . Kula materyjalna jednorodna toczy się na walcu o poziomej osi: podać prawa jej ruchu, uwzględniając tarcie.

(10) . Dwa pręty AB i BC równej długości obracają się na zawiasie około B, a A obraca się około stałej osi poziomej. Nić sprężysta AC, której długość naturalna równa się AB, łączy punkty A i C; układowi zaś nadajemy pewną prędkość kątową £2 około punktu A. Wyznaczyć największą długość nici podczas ruchu, prędkości kątowe prętów w chwili, gdy są do siebie prostopadłe, i najmniejszą z wartości &, przy której te pręty są do siebie prostopadłe.

(11) . Dwie kule A i B znajdują się na płaszczyźnie poziomej i są do siebie styczne: wyznaczyć kierunek, w jakim trzecia kula C ma uderzyć kulę A, aby kula B poruszyła się w danym kierunku. Rozwiązać to zadanie przy nieuwzględnieniu tarcia i przy jego uwzględnieniu.

(12) .    Wyprowadzić prawa uderzenia się kul sprężystych i kul niesprężystych,

bez uwzględnienia tarcia i z uwzględnieniem tarcia.

(13) . Obliczyć siłę potrzebną, aby wóz o n parach kół poruszał się jednostajnie na torze poziomym.

kula doskonale sprężysta spada na jeden koniec pręta z danej wysokości: wyznaczyć ruch pręta i kuli.

(15). Wyznaczyć ruch jednorodnego pręta materyjalnego, którego końce po-ają się bez tarcia po dwu przecinających się prostych, poziomej i pionowej.

suw

(14). Pręt jednorodny jest podparty w środku,

(16). Ciało obraca się jednostajnie około jakiejkolwiek osi bez działania sił

óś dały się zredukować do jednej

Zewnętrznych: podać warunki, aby ciśnienia na wypadkowej, wyznaczyć tę wypadkową, tudzież równania jej promienia działania.

(17) . Podać ruch ciała materyjalnego, którego każdy element doznaje od pewnego punktu przyciągania, proporcyjonalnego względem masy i względem odległości od tego punktu.

(18) . Wyznaczyć ruchy dwu punktów materyjalnych, przyciągających się wzajemnie w stosunku ich odległości, przyczym jeden punkt porusza się bez tarcia po prostej pionowej, a drugi na danej płaszczyźnie pochyłej.

(19) . Pręt o długości L i masie M, zawieszony na nitce o długości l, ma ruch dowolny: oznaczywszy przez oq, bx, cx ; a₂, b₂, c₂ dostawy kierunkowe nitki i pręta względem prostokątnego układu osi, którego jwczątkiem jest stały punkt zawieszenia

(«i ~ - h    («2 ~ —h

\ dt    dt /    o \ dt    dt /

² — Ir, — ) przedstawia moment ilości ruchu pręta dt /

nitki, okazać, że wyrażenie Ml²

+ Ïï-ï-i'ï + “'ï

względem osi Oz.

(20). Środek masy ciała materyjalnego obrotowego jest ustalony, a oś opisuje stożek obrotowy, stały względem ziemi. Okazać, że oś ciała waha się około rzutu

jest czasem trwania

osi obrotu ziemi na powierzchni stożka, i że %

A sin a

Cp r₀ sin ß

wahnięcia, przyczym a oznacza połowę kąta przy wierzchołku stożka, a ß nachylenie jego osi względem osi ziemi, zaś pozostałe litery mają znaczenie wiadome.

(21) .    Zbadać toczenie się kuli jednorodnej na płaszczyźnie pochyłej na pod

stawie równali Lagrange’a.

(22) . Wyznaczyć ruch kuli na płaszczyźnie chropowatej, obracającej się jednostajnie około osi pionowej, znajdującej się na tej płaszczyźnie.

(23) . Na ciało, w spoczynku będące, działa siła popędowa, której składowe względem osi głównych są X, Y, Z, a x, y, z oznaczają spółrzędne punktu przyłożenia. Okazać, że równanie A (B — C) x Y Z -f- B (C — A) y Z X -j- 0 (A — B) z XY= 0 wyraża warunek konieczny, aby ruch ciała był obrotowy.

(24) . Ciało, którego jeden punkt O jest stały, obraca się około pewnej osi, przechodzącej przez ten punkt, z wiadomą prędkością kątową i nagle zostaje zmuszone obracać się około innej prostej, przechodzącej także przez O; wyznaczyć prędkość kątową tego obrotu nowego.

Literatura (Bezdz. XIV i XV).

L. N. M. Carnot, Principes fondamentaux de l’équilibre et du mouvement (Pa* ris, 1803). — Duhamel, Sur les vibrations d’un système quelconque des points matériels (J. de Lec. polyt. t. XIV, Paris, 1834), — G. Coriolis, Théorie mathématique des effets du jeu de billard (Paris, 1835). — S. D. Poisson: Recherches sur le mouvement des projectiles dans l’air (Paris, 1839); Second mémoire sur le mouvement des projectiles dans l’air. •—L. Poinsot: Théorie nouvelle de la rotation des corps (pierwsze wyd. w Paryżu, 1834, drugie w J. des math., t. XVI, 1851); Théorie des cônes

circulaires roulants (Paris, 1853); Questions dynamiques (Paris, 1857 — 1859).— C. G. J. Jacobi, Sur la rotation d’un corps (J. des math., t. XIV, 1849; także J. v. Ckelle, t. XXXIX, 1850). «— V. Puiseux: Du mouvement d’un solide de révolution, posé sur un plan horizontal (J. des math., t. XIII, 1848); De l’équilibre et du mouvement des corps pesants en ayant égard aux variations de direction et d’intensité de la pesanteur (Ann. de l’école norm. sup. 2-e série, t. I, Paris, 1872). — J. Richelot, Ueber das Problem der Rotation eines festen Körpers, auf welchen beliebige Kräfte wirken (Berlin, 1851). — C. Lottner, Réduction der Bewegung eines schweren, um einen festen Punkt rotirenden Rotationskörpers, auf die elliptischen Transcendenten (J. v. Crelle, t. L, 1855). — Mac-Cullagh, On the rotation of a solid body round a fixed point (Transactions of the Royal Ac. of Ireland, t. XXII, Dublin, 1855); także Mac-Cullagh’s Collected works, Dublin, 1880). — M. Majewski, Traité de Balistique extérieure (Paris 1872). — J. H. Jellett, A treatise on the theory of friction (Dublin and London, 1872). —E. J. Routh, A treatise on the stability of a given state of motion (London, 1877); An elementary treatise on the dynamics of rigid bodies (London, 1882); The advanced part of a treatise on the dynamics of rigid bodies (London, 1884). — Ph. Gilbert, Etude historique sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe (Bruxelles, 1878); Mémoire sur l’application de la méthode de Lagrange à divers problèmes de mouvement relatif (Mém. de la société scientif. de Bruxelles, 1882 i 1883). — W. Hess, Ueber das Rollen einer Fläche zweiten Grades auf einer invariablen Ebene (München 1880), — G. Darboux, Etude géométrique sur les percussions et le choc des corps (Paris, 1880). — J. N. Franke, Ueber die Abhängigkeit der gleitenden Reibung von der Geschwindigkeit (Civilin-genieur, t. XXVIII, Leipzig, 1882).—De Starre, Sur le pendule de Foucault (Mém. de la soc. sc. de Bruxelles, 1883); Sur l’erpolodie de Poinsot (Comptes rendus t. IC, Paris, 1884). — Mannheim, Sur la polhodie et l’herpolodie (Comptes r. t. C, 1885). •— De Saint-Germain, Sur l’herpolodie (Comptes r. t. C, 1885). — J. N. Franke, Sur la courbure de l’herpolodie, (Comptes r. t. C. Paris, 1885); O kręceniu się ciała stałego około punktu (Pam. wydz. mat.-przyr. ak. um. t. XII Kraków, 1886).

ROZDZIAŁ XVI.

CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH RUCHU.

168. Całkowanie równań Hamilton’a. W tym rozdziale ograniczymy się do przypadków, w których siły przyłożone mają, potencyjał; te przypadki bowiem są najważniejsze dla poznania ruchów w przyrodzie i w dzisiejszym stanie nauki nadają się do badań ogólnych.

Okazaliśmy w rozdziale XIII, że równania różniczkowe ruchu układu swobodnego n punktów materyjalnych przedstawiają się w postaci:

d²Zi_dU

dt² dsi

d²yi_à U

dt²    dyi J

Mi

Mi

d²Xi_dCJ

dt²    dxi

gdzie U jest potencyjałem układu sił przyłożonych. W przypadku układu nieswobodnego możemy 3 n spółrzędnych prostokątnych, między którymi zachodzi 3n—s związków, wyrazić przez s argumentów niezależnych qt i czas t, a wtedy otrzymamy układ równań Lagrange’a

d_ /dT\ __ dt \dę//

d(T-j-U)

ćą]

*'= 1, 2,..

s.

Potencyjał U jest funkcyją czasu t i argumentów çt-, a nie zawiera pochodnych q'\ energija kinetyczna T ma być wyrażona przez czas i pochodne ę/, których jest funkcyją algiebraiczną rzędu 2-go, przy czym spółczynniki są funkcyjami argumentów ę*. Jeżeli równania, wyrażające ustrój układu, tudzież warunki ruchu, nie zawierają czasu wyraźnie, wtedy spółrzędne prostokątne wyrażą się przez argumenty q{ bez pomocy czasu; T będzie przeto jednorodną funkcyją rzędu 2-go pochodnych ç/, a równania ruchu mogą być przywiedzione do kształtu równań Hamilton’a

, i = 1, 2, . .

dqt dH dpi dH

dt    dpi ’ dt    dąi

dął ‘

^ Przy stosowaniu tych równań należy pochodne

gdzie H = T — U, pi —

ąl wyrazić jako funkcyje linijowe s nowych argumentów pt, aby otrzymać 25 równań między 25 + 1 zmiennymi t, ą,,Pi; H jest więc funkcyją tych 25 + 1 zmiennych. Rozmaite zagadnienia kinetyki różnią się od siebie pod względem funkcyi H i warunkami początkowymi. Jeżeli potencyjał nie zawiera czasu wyraźnie, wtedy H jest funkcyją wyraźną samych tylko argumentów ą{, p{, przyczyni zachodzi zasada zachowania energii.

Równania ruchu układu swobodnego mogą być także przywiedzione do postaci Hamilton’a. W tym celu oznaczmy pochodne spółrzędnych Xi, «/*, Zi względem t przez xł, ył, zł, przyjmijmy xł — ii, mtył=K]i, nitzł— ii, i określmy ruch przez zmienne Xi, y i, Zi, ii, Y],-, Çt. Równania ruchu będą wtedy

alf

ii u'

fi § 3 |-ä?

§;|Ä &|f‘

Mamy tu 2 T = Em* (xł² + ył² + zł²) — E dT_C*_dH dU

dii wii dii ’ dxi

dH

dXi

nii

(ii² + "ty² + Ci²) ; ponieważ zaś

przeto otrzymamy

N.-- Nf

f|S ^|S

8i

jako żądany kształt Hamilton’a 6 w równań między 6w +1 zmiennymi t, Xi, y i, ii, iii, ii. Okazuje się więc, że przy całkowaniu równań różniczkowych ruchu możemy ograniczyć się do kształtu Hamilton’a tych równań jako postaci typowej, do której te równania w przypadku istnienia potencyjału przywieść się dają. —

W rozdziale VI wyprowadziliśmy te równania z zasady Hamilton’a, według której waryjacyja całki J^Rd#, gdzie R —T + U, wziętej między danymi

krańcami czasu, jest równa zeru, jeżeli położenie układu dla tych wartości jest dokładnie określone. W rozdziale XIII otrzymaliśmy równania

czasu

Hamilton’a przez przekształcenie równania, wyrażającego zasadę d’Alembert’a, z czego wynika, że te równania służą do określenia ruchu także w tym przypadku, kiedy położenia układu materyjalnego dla dwu wartości czasu nie są z góry wiadome, lecz zachodzą inne warunki ruchu. W takich przypadkach waryjacyja powyższej całki nie będzie równa zeru, lecz będzie się składała z dwojakiego rodzaju wyrazów, z których jedne pojawiają się pod znakiem całkowania, a pozostałe są wT postaci rozwiniętej. Bliższe zbadanie téj wary-jacyi według wskazówek Hamilton’a i Jacobi’ego, prowadzi do ogólnej metody całkowania równań ruchu.

Rdt, weźmy waryjacyją tego równania,

169. Wyraziwszy T przez t, qi: q', a U przez t i qi} przyjmijmy = T + U ; wtedy E będzie funkcyją 2s + 1 zmiennych t, qif q'. Kładąc nadto V =

't

SV =

SK. dt-,

tu zmienna niezależna t nie doznaje żadnej zmiany. Obliczywszy SE według art. 138-go, mieć będziemy

It

(1)

SY^=

dR

't

dqi —

dR

,oldq‘

przeto wyraz pod znakiem całkowania jest równy ze-

. dR dT a ponieważ -j—j —

ru na mocy równań Lagrange’a; biorąc zatym waryjacyje ze względu na tory, opisywane przez punkty układu, stosownie do zachodzących warunków, otrzymamy

(2)

dR

'    dq/3q‘-

‘O

Ponieważ jednak ■pź =

dT dE

dql dql

przeto

(3)

S Y = S / pi dqi = Spi dqi — ZpP dqP,

⁽o

gdzie pP, dqP oznaczają wartością i dq{ dla t — t₀. Ostatnie równanie wyznacza waryjacyją całki Y przy jakichkolwiek warunkach danych dla t₀ i t; gdyby położenia krańcowe układu były wiadome dla t₀ i t, otrzymalibyśmy SY = 0, jak tego wymaga zasada Hamilton’a. Eównania Lagrange’a, które możemy napisać w kształcie

(4)

dpi

dK

dT dE

dt dqi

dql dą? ’

stanowią układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych rzędu 1-go między 2ä+1 zmiennymi qź, pi} t. Eozwiązania zupełne tego układu pozwalają zmienne qi} pt wyrazić jako funkcyje argumentu t i 2s stałych dowolnych, które można tak wyznaczyć, iżby stało się zadość danym warunkom dla t₀ i t, Z 2s równań, służących do obliczenia tych stałych, możemy te stałe

dqi + 'dtf dqi°’

wyrazić przez 25 wartości początkowych pP, qP zmiennych pt, qt dla t — t₀, a następnie możemy wyrazić pi} pP przez qt i qp. Podstawiwszy wyrażenia Pi,pP w Y, wyrazimy Y jako funkcyją 2s-)-1 zmiennych qi} qP, t, a biorąc waryjacyją tej funkcyi, tym sposobem wyrażonej, przy stałym t, otrzymamy

dY

(5)

To równanie określa właściwie waryjacyją funkcyi Y. Wyznaczywszy wyrażenia Pi,pP z rozwiązań zupełnych równań ruchu, i biorąc następnie różniczki 3 wielkości qt, qP, obliczamy nieskończenie małą zmianę, której funkcyja Y doznaje, jeżeli nieskończenie mało zmieniamy warunki, które dla ruchu układu zachodzić mają dla t₀ i t, przyczym siły działają w każdym punkcie według prawa, określonego przez potencyjał U.

Ponieważ w równaniach (3) i (5)waryjacyje dqi i dqp są od siebie niezależne, przeto spółczynniki tej samej waryjacyi są sobie równe, a to prowadzi do 2 5 równań

(6)

dV

dY

s.

dY dY

dY

Y-, gdzie -.jj- oznaczą pochodną wzglę-

Ł"JR=Ti

dem wyraźnego t, a Y wyrażamy jako funkcyją wielkości t, qi, qP, z których ostatnie zastępują stałe całkowania. Wstawiwszy wartości, otrzymamy

dt

dqi dt

ii)

dY

-37- + % Pi (li

dt

Z art. 139-go wiadomo, że w przypadku, gdy warunki nie zawierają czasu wyraźnie, będzie 2T = 'Lpiq/i otrzymamy więc

— R = 2T — (T+U)='T — U = H, możemy zatym równanie (7) napisać

dY

(8)

d7 + H = °-

Zważmy, że H jest funkcyją 25 + 1 zmiennych t, qi,Pi, co przy uwzględnieniu 1-go równania (6) możemy tak napisać:

(9)

O-

dY

dY dY _

dqx J dq₂ ’ " ’ ’ dqs

wtedy z (8) otrzymamy równanie następujące:

dY , TT ( J.

+ H ę₂ ? • • •

(T+TJ)eft czyni zadość temu równaniu, poda-przez Hamilton’a. Jestto równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1-go

(10)

dY dY

dY

qs’ dqt’ dq₂’•••’ dqs

H-

Funkcyja Y =

nemu

między (s -|-2)-ma zmiennymi t, qx ,. . ., qs, Y, z których Y jest zmienną zależną, a ł, qt, . . ., qs są zmiennymi niezależnymi; powyższe równanie nie zawiera jednak zmiennej zależnej wyraźnie. Nazwiemy je krótko równaniem Hamilton’a. Funkcyja V zawiera w sobie tylko s stałych 9,°, a rozwiązanie zupełne równania (10) powinno zawierać s-f 1 stałych, ponieważ mamy s + 1 zmiennych niezależnych; aby przeto funkcyja Y przedstawiała istotnie rozwiązanie zupełne tego równania, należy dodaćjednę stałą. Mając rozwiązanie zupełne równania (10), różniczkujmy Y cząstkowo względem qt i <2*°; otrzymamy według (6) 2 s równań całkowych ruchu. Z pierwszych s równań (6) wyznaczymy ph a zatym 9/, a stąd prędkość każdego punktu układu;

z następnych s równań

dY

Pi°, w których p?, qP oznaczają stałe, może-

dtp⁰

my obliczyć qi w funkcyi czasu t \ 2s stałych^⁰, 9,°, a stąd spółrzędne każdego punktu w funkcyi czasu i warunków początkowych. Układ (6) jest więc układem pierwszych i drugich równań całkowych podanego zagadnienia kinetycznego, a drugi układ (6) przedstawia równania całkowe w znaczeniu ściślejszym. Ponieważ w przypadku, gdy warunki ruchu nie zależą wyraźnie od czasu, równania Lagrange’a i Hamilton’a są równoważne, przeto mamy następujące twierdzenie główne :

Aby scałkować układ równań ruchu Hamilton'a

dqt

dH dpt __ dH dt dp>i ’ dt

w których H jest funkcyją 2s-\-l imiennych t, q,, pi} należy w funkcyi H przyjąć

, i — 1, 2,. . . , s,

àqt

Pi =

dY

dY

Ps—~3

àql

i wymieść rozwiązanie zupełne równania różniczkowego cząstkowego rzędu 1-go

dqs ’

dY

dY

dY

+ H (t, 9,,...

•) = °-

9«

dqi ’""‘dqs

Jeżeli V — stałej -f- F (t, qx,..., qs, qt°,..., qs°) jest tym rozwiązaniem zupełnym, w którym qf,..., qs° oznaczają dane wartości zmiennych qt dla t — t₀, natenczas równania

dt.

dY

dY

dY

dY

-P$°

Pt,-

—Ps;

* ’ dqs°

dqs

zawierające 2s stałych 9,°, p,°, przedstawiają równania całkowe danego układu równań różniczkowych ruchu.

To twierdzenie można uogólnić i okazać, że, jeżeli Y = stałej -f + F (t, 9,, 9₂,..., qs, c₂,... cs), gdzie ct,... cs oznaczają stałe, nie mające jednak znaczenia wartości argumentów qt).. q, dla t=t₀, jest rozwiązaniem

dY

zupełnćm równania Hamilton’a -rr- + H = 0, natenczas równania :

dqx

dt

(11)

dY

dY

dY

dY

— Ps

Óc^ ^    ^ flę

w których y,,... , ys są stałe dowolne, przedstawiają także równania całkowe układu równań różniczkowych Hamilton’a. Jakoż mamy :

dY dqt dqx dt

dY dY

dt dt

a zatym według (11)

(12)

dY

dt

dqs

.    , dY dqs

⁺ -'- ⁺ ^-~dT

dqx

dt

dqs

dt

Niech w téj pochodnej stałe c,,..., cs doznają nieskończenie małych wa-ryjacyj dowolnych Sc, ,... , dcs, to:

dqx

dt

8H+Äa

-+is»

czyli rozwijając:

.dY

S~dt~

(13)

dH

dH

dH

dH

dq{

d<?s

dp.

dp s +

dqx

dqs

wSp‘-

AYskutek nieskończenie małych zmian stałych Ci zmieni się V o dY, przyczym będzie:

dY

dY

dY

dY

dqt

dq$

dci

czyli według (11):

(14)

§Y—Pidqx-{- ... -\rpsdqs + Yi^ci +

• “t~ Ys dcs.

Różniczkując to równanie względem t, otrzymamy:

(15)

ddY

dps

dt

dt

dt

dt8qi+'"⁺M dq*'

Ponieważ d ~    J

~ dt    dt

dH.

—as**,—•*

_ dqx

przeto z (13) i (15) wynika:

dH

dqs

ôqs —

dH

àjPi

8ql — ..

dH

. ~-—dps — dp s

dpi

dps

+ wSqi + ■■ - ⁺

AVaryjacyje dq,, dp, są wzajemnie niezależne; ostatnie równanie jest przeto równoważne układowi równań:

dt

ifSq-

dqi_dH dpi _

dt dpi ’ dt

dH

dqi

, i — 1, 2, ... s,

który jest właśnie układem Hamilton’a równań różniczkowych ruchu. Mamy zatym twierdzenie ogólniejsze od poprzedniego: Aby scałkoicać układ równań

dV

ruchu Hamilton'a, należy w funkcyi H położyć pi —    , i — 1, 2,... s, i wy-

naleść rozwiązanie zupełne równania Hamïlton'a

w + H O-*--

Jeżeli V— stałej + F (t, ql} ... qs, cx,... cs), gdzie Ci są stałe dowolne, jest tym rozwiązaniem zupełnym, natenczas róicnania:

ÔV

dqi

dY

‘    dq,'"' dqs

) = 0.

(16)

dY

dY

dY

dY

⁵ dcx

w których Yn • • • oznaczają notce stałe dowolne, przedstawiają równania cał-kotoe danego układu Hamilton'a. Drugi układ równań (16) daje całki równań ruchu w znaczeniu ściślejszćm t. z. całki drugie tych równań.

Niech potencyjał U nie zawiera czasu wyraźnie, a więc niech zachodzi zasada zachowania energii. W tym przypadku H nie zawiera zmiennej t, równanie Hamilton’a będzie więc :

dY

+ >■■■< ,j<h a zasada zachowania energii wyrazi się przez równanie H=h, gdzie h oznacza

dY

— = — h. Wprowadźmy

(17)

dY

dt

)=°,

stałą. Równanie (17) możemy przeto napisać: nową zmienną W, nie zawierającą czasu wyraźnie, przez podstawienie:

(18)

Y = W — ht, W — Y + ht,

to

dY dW

dqi dqt zasadę energii, będzie :

a zatym równanie Hamilton’a, wyrażające w tym przypadku

H Çq,, •••>?«

Całki pierwsze równań ruchu otrzymamy z układu równań :

(19)

dW

’ dqx ’ • • ' ’ dqs

) = h.

(20)

dW

dqx

=i?i,...,

dW

dqs

= Ps,

w którym AY jest rozwiązaniem zupełnóm równania (19), zawierającóm stałą h, tudzież s — 1 stałych ci}..., cs-i i nadto pewną stałą dodaną, a zatym:

W = stałej +.$ (qlf ... q,t h, clt Ca,,.. ct-i).

Całki 2-gie równań ruchu wynikają z układu równań:

(21)

(22)

dY

dY

dY

gdzie t, Yd**«Ys—i oznaczają stałe dowolne. Możemy te całki wprost obli-

dY_dYY dh dh ¹ dc,

à W dY

czyć z funkcyi W; jakoż mamy żuje, że całki 2-gie równań ruchu można otrzymać z układu równań

dc,

, z czego się oka-

(23)

dW

dW

dW

dh

' ’ dcs-1

¹

. Ż działa o masie M, spoczywającego na chropowatej podstawie poziomej, Wyrzucono pocisk o masie

gdzie w jest prędkością pocisku. Jak długo trwa cofanie się działa?

²

. Wyznaczyć oś wahań na płaszczyźnie elipsy, około której czas trwania jednej oscylacyi pola téj elipsy jest najmniejszy.

³

. Regulujemy zegar wahadłowy bez zatrzymania tym sposobem, że na płytkę, przytwierdzoną do wahadła, kładziemy (lub z niej zdejmujemy) mały ciężarek. Okazać, że ciężarek do uskutecznienia żądanej zmiany będzie najmniejszy,

170. Zastanowimy się nad rozwiązaniem równania Hamilton’a tylko w przypadku, gdy ruch jest określony przez dwa argumenty qu q₂-: szczegółowiej jest ono traktowane w dziełach specyjalnych o całkowaniu równań cząstkowych rzędu 1-go. *)

Niech więc ruch będzie określony przez dwa argumenty i niech zasada energii zachodzi ; wtedy równanie Hamilton’a możemy napisać w postaci

(1)

dY dY dqt ’ óq₂

dY

a kładąc px — -3—

dY

dq{

(2)

W (<2i> ?2,jPl,^₂) = 0.

Z określenia zmiennych p₂ wynika, że w tym przypadku będzie

(3)

dY

dY

dY = -T—    + j-dę₂ =pidql -f jpa

d?i

d?₂

jeżeli przeto równanie (2) rozwiążemy względem p₂, p₂ — y (qx, q₂, Pi), i podstawimy to wyrażenie w równaniu

(4)

d Y —px dqx + cp (qx, îa, i>i) c?tf₂, to zadanie nasze polegać będzie właściwie na tym, aby p{ tak wyznaczyć, iżby prawa strona ostatniego równania stała się różniczką zupełną. Wyznaczywszy px odpowiednio do tego warunku, jako funkcyją argumentów qx, q2 i jednej stałej dowolnej cx, a zatym px — § (qx, q₂> ^,), podstawmy to wyrażenie w (4); otrzymamy równanie różniczkowe zwyczajne, którego całka Y będzie zawierała dwie stałe c1} c₂. Ta całka więc przedstawia rozwiązanie zupełne równania (1). Abyjpi dqx -+• ydq₂ było różniczką zupełną, potrzeba, aby

dpi_ d£_^ dq₂ dqx dqx ’

a ponieważ

^2__drp_ d<p dpx_ dqy ~ dqx ⁺ dpx * dąx

przeto z powyższego warunku wynika

(5)

d<p dpp dpp , _d^p_

dpx * dqx    dq₂ ^ dqx

0.

*)■ Ob. Wykład nauki o równaniach różniczkowych przez Wł. Zajączkowskiego, Paryż, 1877, stron. 547 — 665.

Kładąc w tym równaniu wartości pochoduych cząstkowych wiadomej funkcyi <p względem px i q{, otrzymamy dla px równanie linijowe i cząstkowe rzędu 1-go. Okazuje się więc, że całkowanie równania (1) sprowadza się do całkowania równania linijowego rzędu 1-go o pochodnych cząstkowych, a następnie do całkowania równania zwyczajnego.

Przedstawmy sobie, że już otrzymaliśmy równanie szukane pt = = <1>(<2i, q2J o) i że je rozwiązaliśmy względem stałej \ niech /(<?,, q₂,Pi) — — Ci będzie tym rozwiązaniem, wówczas

d*± = 0 dJ i df di)i

dpi ’ dqt ’ dq₂ dpi * dq2 z pierwotnego równania \F — 0 wynika nadto:

dp₂ _^ dW d¥ dp₂

ćp₂ ’ ćpi~ ’ dqt ' dp₂ ‘ dqx

dq{

oW

S- +

dpi

— 0;

— 0;

z tych więc 4-ch równań otrzymamy

cl

CL) O

Hf

CA

- I ta

ta 1

CL .Cl i-C ^ -* ta

cli cl

e I ^

£1%

Podstawiwszy te wartości w (5), mieć będziemy

(6)

dW    J/^__d*F àf_

dp i dqx ⁺ dp₂ ' dq₂ dqx ' dpx

co przedstawia równanie cząstkowe rzędu 1-go i linijowe, określające / jako funkcyją zmiennych qn q₂,px. Wyznaczywszy / z ostatniego równania, przyjmijmy /(<?,, q₂,pj) = cl} gdzie c, jest stałą dowolną, i z tego równania, tudzież z pierwotnego (ç,, q₂, P\ , p₂) = 0, obliczmy pt ip₂. Obliczone wartości podstawmy w wyrażeniu dq, -f- p₂ dq₂\ wówczas ono stanie się różniczką zupełną. Wykonawszy nakoniec całkowanie, mieć będziemy V = c₂ +

^{p\ dqxp₂dq₂). Tym sposobem wypadnie scałkować tylko jedno ró-

wnanie cząstkowe rzędu 1-go i linijowe, tudzież wyznaczyć całkę różniczki, zamiast, jak było pierwotnie, całkować równanie różniczkowe zwyczajne.

% Aby rozwiązać równanie (6), należy, jak wiadomo, scałkować następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych:

(7)

dqx _ dq₂ _ dpx

W ~ ~dW ‘

dpi

dp₂

d*F , — dqx

a ponieważ wystarcza mieć rozwiązanie / bez stałej, przeto dostatecznie będzie, gdy podamy jednę całkę układu (7). Aby ten układ uczynić symetrycznym, a przez to ogólniej przydatnym, różniczkujmy równanie (2) względem qi, Pi; mieć będziemy

dW

dqx

dqt +

dW

dq₂

dq₂ ~h

dW

dpi

dpi +

dp%

dp₂ = 0.

dq |    dq ₂    ótpx dtp^,

(8)

W ~ W] ⁼ ~w ~ ~w,

dp, dp₂ — dqt —dq₂

który także posłużyć może do rozwiązania danego równania. Jakoż możemy szukane równanie / (qx, q₂, p,) — c, uważać za wynik rugowania zmiennej p2 z równania pierwotnego *F — 0 i z pewnego równania F (qt, q₂, pt, p₂) — c,, tak, że gdy podstawimy p₂ — cp w ostatnim równaniu będzie toźsamościowo

(9)

F(<2i, q₂,îh, ?) =/(?i, q₂,Pt)-Funkcyja więc F, przez to równanie określona, czyni zadość równaniu (G). Ponieważ

df __ćF    ₁ dF dtp df    _ćF    dF dtp d/    _ dF    dF dtp

dę, dtp    r dtp * dtp    ⁵ dtp dq₂    dtp ' dtp    J dp, dp,    dtp    ' dp,

przeto wstawiwszy te wartości w (6), otrzymamy dla obliczenia funkcyi F następujące równanie o pochodnych cząstkowych:

(10)

dW dF    dW dF    d*P dF    dF /W df

dp| * dqx    dp₂ * dtp    dtp dp,    dtp Vdpt * dp '

d*P dtp    d*F dtp \ __

^ dp₂ dq₂    dqi dpj

fW

d*P

dp{= 0, przeto z ostatniego równania ma-

Ponieważ według (7), — dqx -f-ćW

my dq₂ -f dp₂ — 0; otrzymamy więc według (7) następujący układ v⁽h

symetryczny :

dp,

dW

dpz

Z tożsamości *P (p, <p, p,, <p) = 0 wynika

dtp_ d*F d*P dtp _

~ dp ' dp₂ ’ dp “

d*P dtp _ d? df

’ dp₂ ’ dp, — dp, ' dp₂ ’

wstawiwszy te wartości w (10), mieć będziemy następujące równanie cząstkowe dla F jako funkcyi zmiennych p, <p, p,,p₂:

dW_ dF d\F dF    dV_ _ d<P dF__

dp, ' dp ⁺ dp₂ ’ dq₂ dp ' dp, dq₂ ' dp₂~ ’

z którego okazuje się, że F (p, tp, p,, p₂) = P jest całką układu równań różniczkowych zwyczajnych (8). Z równań więc F = cx i = 0 otrzymamy też same wartości nap, ip₂, co z równańcx i *P — 0. Ponieważ widocznie ^=0 jest także całką układu (8), która przez dodanie stałej dowolnej do funkcyi \F może być zamieniona na całkę ogólną, przeto otrzymujemy następujące twierdzenie:

Aby icynaleść rozwiązanie zupełne V równania różniczkowego cząstkowego

dY dV dqx J dq₂

(11)

w (?„ <h

Cul Oj

■)=°*

dW dW_ _ ^*F _ _dW_ dpi ‘ dp₂ ' dqx ' dq₂

dqt : dq₂ : dpx : dp₂ =

dV

należy w nim przyjąć p{ — wnań różniczkowych zwyczajnych

dV

àqt

p₂ — —— i znaleść jedn§ całkę układu ró-

óą*

Jeżeli F (q1: q₂, pt, p₂) — cx jest tą całką, to, wyznaczyivszy z niej i z całki W (<2i, #₂ ; Pi, p₂,) — O zmienne p{, p₂ jako funkcyje argumentów q{, q₂, otrzymamy przez całkowanie różniczki

J (Pt äqt + p₂ dq₂).

Ponieważ założyliśmy, że zachodzi zasada energii, wyrażona przez równanie H — h = 0, przeto kładąc Y — W — ht, otrzymamy

dW dW ’ dqt ⁵ dq₂

co przedstawia już jednę całkę układu (8), będącego układem kanonicznym równań ruchu. Ten układ, który w przypadku dwu argumentów q{ i q₂ jest

dqx dH dq₂ dH dpx

dt ~ dpx ’ dt    dp₂ ’ ~dt

możemy także napisać w postaci

ïsE

dl, dl

)-h=0,

dH dp2 dqx ’ dt

dH

àqz ’

dt : dqx : dq₂ : dpx : dp₂ —

₂ dT\ dT . _ dT\ _ dT ' dpx ' dp₂ ' dqx ' dq₂ ’

która wychodzi na jedno ze schematem (8). Jeżeli zatym oprócz całki T*=0, zawierającej jednę stałą h, znamy jeszcze drugą całkę, nie zawierającą czasu, np. F (qx, q₂,Pi, p₂) — c, tozT* = 0iF = c należy obliczyć jp,, p₂ w funkcyi qx, q₂ i wyznaczyć W zapomocą całkowania różniczki, z którego wynika

J(Pi äqy +p₂dq₂).

Wartości na pnp₂ wynikają z całek pierwszych równań ruchu, a z wiadomych równań

dW

m-t + h

5T = Ï’

otrzymamy całki drugie tych równań. Podstawiwszy wartości, otrzymujemy całki drugie

(12)

ÓPl

dÄ ⁺ ~dh dq2

dpi

^, + tr^²)=Y‘

Powyższa metoda, podana przez Jacobiego, a polegająca na wyznaczaniu całek drugich przez całkowanie różniczek, daje się zastosować w przypad-

ku, gdy ruch jest określony przez ilekolwiek argumentów <yt. W tym przypadku wystarczy znaleść s — 1 równań, które łącznie z wiadomym równaniem H = h wyrażają, że dY—Pi dqt + ... + ps dqs jest różniczką zupełną. Niech

H — h, -H, — Cj,..., H$—i — Cs—i

będą owymi równaniami, rozwiązanymi względem stałych dowolnych. Obliczmy z tych równań zmienne pt, ... ,ps jako funkcyje argumentów q,,... , qs; otrzymamy naprzód całki pierwsze równań ruchu, a następnie przez całkowa-

(13)

nie różniczki możemy obliczyć funkcyją V    dqv + .. . -f- p» dqs), przed

stawiającą rozwiązanie zupełne równania Hamilton’a H = h, w którym pod-Gdy podstawimy wartości na pi w równaniu H = h,

stawiono pi —

dY

dqi '

otrzymamy tożsamość, którą możemy różniczkować cząstkowo względem każdej stałej Ci, (i = 1, 2, ..., s — 1). Czyniąc to, otrzymamy s — 1 równań następujących :

®    +    ₊ J® M = 0, (*=1,2,..

dp, dCi ^ dp₂ dCi    dps dc₍

s — 1)

z których po wstawieniu wartości

dqi

dH

wynika

dt dpi

^dqi+d^dq,+ ... + ^dq, = 0, (*=1,2,..

dp

5—1).

Całkując otrzymamy układ:

(14)

/(

dp₂

ûâî'⁺W‘dq* ⁺ --

• + ^ dqs) = Ya (* = 1j 2,.. ., 5- 1)

który wyznacza 5 — 1 całek drugich równań ruchu. Aby otrzymać całkę 5-tą, bierzmy pochodną powyższej tożsamości względem h, wówczas

dH dps dps ' dh

dH dp, dp, ' dh

dH dp2 dp₂ ' dh

= 1, czyli

jf ⁽ki +    + • • • + ^ d(l* == dt, a stąd wynika

Ol

dps

dq^ =

jako szukana całka 5-ta.

171. Między lewymi stronami równań (13) art. poprzedzającego, rozwiązanych względem stałych dowolnych, z którychto równań zmiennej dają się tak obliczyć jako funkcyje argumentów qi: źe dY =pi dq{-\- ... Ą- psdqs staje się różniczką zupełną, zachodzą pewne związki, które tu podamy. Gdy podstawimy p{ = y- w równaniu H* Ci, otrzymamy tożsamość, którą może-

av

my różniczkować względem dowolnego argumentu qt. Czyniąc to, otrzymamy tożsamościowo

(O

dUj    ^dH* 'dpr _Q'

dq{    r=i ópr * dqt

.Różniczkujmy H* = c* względem qh otrzymamy podobne wyrażenie

(2)

dH*    àpr_ __ ₀

dqi ^ r=\ àpr ' dg*

Pomnóżmy (1) przez , (2) przez —

stępnie ich sumę od l = 1 do l— s, i zważmy, że obadwa wskaźniki r il przybierają wartości całkowite od 1 do S; otrzymaną tożsamość możemy tak napisać :

dH*

dpi

dodajmy iloczyny, weźmy na-

l=s /

2 (

1=1 \

dH; dH* dH* dH àqt ‘ dpi dpi * dqi

0+v‘T®i

/    z—! ,—1 dpi dp

Ponieważ z równań (13) według założenia można ^ tak wyrazić przez argumenty ę*, że dY staje się różniczką zupełną, przeto będzie suma podwójna w (3) jest równa zeru. Gdy przeto przyjmiemy dla krótkości

dH i dH* dH* dH* \

dqt ’ dpi dpt ' dqi / ’

(3)

(4)

[H₀ H*] = V (

i=\ \

± (àPr

r \ dqi

dpi

dqr

) = °-

dpr __ dpi

dq₍ dqr

a więc

otrzymamy tożsamościowo

(5) '

[Ho H*] = 0,

s — 1 nadamy wskaźni-

jakiekolwiek wartości z szeregu liczb 0, 1, 2,.. kom i, k.

Nawzajem możemy okazać, że gdy lewe strony równań (13), z których można wyrazić pt w funkcyi qif zadość czynią warunkowi (5), jakiekolwiek wartości ze wskazanych liczb nadamy wskaźnikom i, k, natenczas obliczone z tych równań wartości jo* sprawią, iż dY~Pidqv'+ .. . + p$dqs będzie różniczką zupełną. Jakoż postępując z funkcyjami ff*, H* opisanym wyżej sposobem, otrzymamy, według (3),

)=0.

dpi

l=s r=s

1= 1 r= i

Ponieważ [H,-, H*] — 0, a wyrazy w sumie podwójnej, w których r — l, są równe zeru, przeto porządkując pozostałe wyrazy odpowiednio po dwa, możemy ostatnie równanie tak napisać

(6)

SS

dH, dH*    dH* dH

dpI ’ dpr    dpr ' dpi

dpr __ dpA _ dqi dqr)

przy czym w sumie podwójnej mają być wzięte różne wartości wskaźników r i l z układu liczb 1, 2,... , s. Biorąc wszystkie kombinacyje różnych wskaźni-

g fg_ J \

ków i, h z powyższego układu liczb, otrzymamy ——- równań (6), zawie-

g ( g ^

rających linijowo ——■—-

Li

dpr_àpi_

àqi dqr '

równań linijowych jest wyznacznikiem funkcyjnym

wyrazów

Wyznacznik tego układu

d (H, Ht,..., H,_i) à(Pi,P2f-,Pj ’

rozwiniętym według wyznaczników częściowych stopnia 2-go ; a ponieważ z założenia równania (13) są od siebie niezależne, i z tego powodu pozwalają zmienne pi obliczyć jako funkcyje argumentów q{, przeto ten wyznacznik nie jest tożsamościowo równy zeru. Z tego wynika, że układ (6) prowadzi do àpr dpi dqt dąr

ją, iż cTV jest różniczką zupełną, c. n. d.

Załóżmy, że znamy s całek układu kanonicznego, mianowicie :

• • 5    ¹ ““    —¹ )

rozwiązań

(7)

= 0, że przeto wartości na pi} obliczone z (13), sprawia-

? = c, ?l = Cl

zadość czyniących S ■ —- tożsamościom [cp*, cp*]=iO, przyczyni H zawiera t

wyraźnie, a zatym zasada zachowania energii nie zachodzi. Wyraźmy z całek (7) zmienne pi przez qt i t; można okazać, że jeżeli podstawimy wartości obliczone w wyrażeniu dV = — H'dt d~Pidqt -j- .. . + psdqs, natenczas prawa, strona tego wyrażenia stanie się różniczką zupełną. Wielkość H' oznacza to, na co przechodzi H, jeżeli w nim zamiast p{ podstawimy wartości, obliczone z (7). Różniczkując H' względem któregokolwiek qi: otrzymamy

dpi dcp dpy dt dt ’ dq{

dH dp

dH'_dH dH dpy dq{ dqt dpt ' dqt ‘ ’ ' dps ’ dq{

dqs dps dt dqi

a ponieważ, jak z dowodzenia poprzedzającego wiadomo, gdy mają miejsce

dpr_dpp

àqi ~ dqr ’

równania (7), to^>, dqt+ ... + psdqs jest różniczką zupełną, przeto więc :

dH'

dpi

dp i dqs

àqi

dt

■ àpi dąt    __

dqv' dt “ ‘ dqs * dt

dpi dpi    dp j dqx

dt ~ dt ⁺ dqx ' dt tość w poprzednim równaniu, otrzymamy

dH'

Ponieważ

-f . . . -f.    ; przeto wstawiwszy tę war-

(8)

dpi

a ponieważ daléj

• dpr __ dp i

àqi àqr ’

dqi    dt ’

przeto z równania (8) okazuje się, że — H' di dr

4- 2pidąi staje się istotnie różniczką, zupełną, jeżeli tylko całki (7) zadość czynią tożsamościom [<pt-, <p*] = 0. Będzie przeto

(9)

dY

dV

dY

dY

dqrlh: dq₂ ~ P2"

— h.

" ’ dqs ^s' dt

Wstawmy w ostatnim równaniu za^ą wartości, wynikające z s— 1 pierwszych

dY

równań; otrzymamy równanie Hamilton’a — -f H— 0, którego rozwiązaniem

OZ

zupełnym będzie funkcyja Y, zawierająca oprócz s stałych c, ct, c₂,... , cs—i jeszcze stałą dodaną, wynikającą z całkowania ostatniego równania (9). Układ (9) przedstawia więc równania całkowe pierwsze, a układ

(10)

dY

dY

dY

= Y«-i

dcg—i

przedstawia równania całkowe drugie, czyli równania całkowe w ściślejszóm znaczeniu, odpowiadające danemu zagadnieniu kinetycznemu.

Z tego dowodzenia okazuje się, że rozwiązanie zagadnienia kinetycznego sprowadza się do wyznaczenia tylko s pewnych całek 2s równań różniczkowych ruchu, a mianowicie tych całek, którym są równoważne równania całkowe

dY

pierwsze — —pt. Ilość całkowań wynosi s, a ponieważ rozwiązanie 25 ró-

dqi

wnań ruchu wymagałoby 2s całkowań, przeto ilość całkowań redukuje się do połowy.

172. Niech Y będzie jakąkolwiek funkcyją argumentów qx, q₂,... , qs, dY W    ,..ł0

=Pi> ^7 = a* ’ sdzie * ⁼

żerny z otrzymanych tym sposobem 2s równań wyrazić 2s wielkości ai, a, jako funkcyje zmiennych qi,pi, tudzież 2s wielkości q{, pi jako funkcyje zmiennych a,-, aUczyniwszy to, obliczmy pochodne cząstkowe wielkości a*, at względem qt i pi, tudzież pochodne argumentów qt, pi względem a, i aź; wtedy będzie według Jacobi’ego

ct,, a₂, • •

as, i przyjmijmy

dqi

5; mo-

dpi__da*

dak dqt

gdzie i, h=], 2,..

(1)

Cul

da* dpi

dpi

da*

dak dgt _da*

dqi

da*

dpi

s. Jakoż, rozważmy tożsamości

(2)

dY

d^¹’

dY

àq%

=Pat • •

dY

*’ do. - Pt’

w których wszystkie a* zostały wyrażone podanym sposobem i bierzmy ich pochodne cząstkowe względem q{; otrzymamy

d²Y d²Y dfy d²Y da2 dę, dę, ‘ dqxdak ’ d^,- dęj>,da₂ dqt

d²Y daÄ

dqydas'dqt

d²Y d²Y da* d²Y da2 dqs dqi ' dqsdax ’ dqt dqsda₂ ' dęt

d²Y da.,

dqsdas ' dq{

Różniczkujmy następnie cząstkowo względem ak tożsamości

(4)

dY

da, a'¹

dY

dY

da₂

da.

w których wszystkie q₍ wyrażono sposobem podanym ; wówczas będzie

d²Y dq, _ ₀

da, dqs ' dak ’

(5)

d²Y    d²Y    dqt    d²Y    dq₂

--- —t— - B - —J— - , - -|— # , # -4—

da,dak    da,dq, dak    da,dq₂ dak

ó²Y d²Y dqi    d²Y dq₂

dasdak dasdq, ' dak dasdq₂ ’ dak

d²Y dqs _₀

dasdqs ' dak

Pomnóżmy równania (3) odpowiednio przez ~~

dqs

czyny; uwzględniając równania (5) otrzymamy

d² Y    dq, d²Y dq₂ ^

dq, dqt ' dak ^ dq₂dqt ' dak

d²Y dqs_

dqsdq{ ' dak

d²Y da,

_    . —i -4- . . -j- -

da,dak dq

d²Y das dasdak ' dqt

Gdy dodamy obustronnie do tego równania wnanie możemy tak napisać:

ó²Y

d²Y

dqidak dakdqi

to otrzymane ró*

jL(W)=*(à2L\ Xi

dak\dqt/    dqi\dakJ J

dpi _dak

dak

dqi

co dowodzi prawdziwości 1-go równania (1). Różniczkujmy podobnie równa* nia (2) względem p{\ wówczas będzie

ó²Y da, dq,da, ' dp{

d²Y da₂

dq,da₂ dpt

d²Y da* _ ₀

dq,das'dpi~~ ’

(6)

d²Y dai d²Y da2 dqida, ’ dp i dqtda₂‘ dpt

d²Y das dqi das ' dp-

d²Y da, d²Y da2 dqsda, * dpt dqsda₂ ' dp i

d²Y da,_q

dqsdas'dpi

Pomnóżmy te równania odpowiednio przez

OCtjc u&Jc

dq,

dodajmy ilo-

* ‘ ’ dak ’ do •

czyny i uwzględnijmy znowu równanie (5); otrzymamy    —

OCt/c

czkując równania (4) względem ak, a (2) względem q,, następnie zaś względem Pi, i postępując podobnym, jak powyżej, sposobem, można dowieść prawdziwości dwu ostatnich równań Jacobi’ego (1). —

dak

dpi '

Róźni-

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. X.

29

Rozważmy teraz układ kanoniczny

OH

dąi OH dpi

dt    dpi ’ dt    Og,-

i załóżmy, że znamy s jego całek,

(7)

<p — C, (fi C₁, . . . , <ps_i Cs—i }

z których p, dają się tak wyrazić jako funkcyje że dV = — Hdt -\-pt dąt-f--j- . . . +psdąs staje się różniczką zupełną. Funkcyja Y będzie wtedy rozwią-

OY

zaniem zupełnym równania Hamilton’a — + H = O, w którym H zawiera także t wyraźnie, a całki, o które idzie, wynikają z dwu układów następujących:

OY

⁽⁸⁾

OY

OY

„ OY OY

' ’ dqs —Ps> dt ~ H’ dc ~ T’ “ T” • *

OY

Y«—i*

* ’ dcs-1

Zastąpmy stałe c, ct,..., cs-i, znajdujące się po lewych stronach równań 2-go układu (8), funkcyjami <p, <px, <p₂,..., <ps-i, i oznaczmy przez cp', cp/,.. to, na co, wskutek tego, przechodzą owe lewe strony; wówczas 2-gi układ (8) możemy tak napisać:

dct

ys~i

(9)

Jeżeli funkcyje cp,-, stanowiące strony lewe równań (7), zastąpimy literami a funkcyje cp/ po stronach lewych równań (9), literami yf, to wskutek obudwu układów (8) możemy c,, Y» wyrazić jako funkcyje zmiennych pi} g,-, a nawzajem Pi, q-t jako funkcyje wielkości Ci, y*• Według wyprowadzonych poprzednio równań Jacobi’ego będzie

&U_dpi Oy* _ dąi ~ dck ’ dpi ~~

(10)

dgi . dck_ dck ’ dąi

dpi    dck __ dgj

dy k ’ dp, ~~ Oy* *

Mamy j ednak

«KÎ

dcr     ł'=* /OCf 0g£    OCr OpA    , OCr s/0Cr    Og*    OCr    OpA

Oc*    — ièi V dąi * Oc*    ^ Oj)i * dck /    ’ Oy* “ i \ Og,-    *    Oy* ^    0p,- '    Oy* / ’

OY,    -V0Y, Og^ ,    dyr OpA .    dyr __ łg / dąr    dq{    ,    Oyr    Op*

Oc*    iii V Og, ’ dck **"    dpi ' dck) ’    Oy* ,ii \ Og#    *    Oy*    Opt '    Oy*

a uwzględniając równania (10),

ci)

ÓCr ÓYXr . dCr    Oyk A    r    -i

| — \pr j Ci] j

) =[Yr, Ci].

Og,- ‘ Op,-

Ocr ÓCi    Ocr dCk

dą{ ‘ Opi    Op, * Og,

OYr ÓYl

Og, ‘ Op;

_ V / OYr ÓCi jjv dCk_

\0g,- ' Op,-    Opt ' Og,

r = 7c, przeto z (11) otrzymamy następujące tożsamości:

\pri cj — Oj [Ypj Y*] — Oj [y* j Cr] — Oj {^Yrj cr] — 3j czyli, wstawiwszy napowrót funkcyje tp,: i tp/,

(12)

Ponieważ tożsamościowo

dcr

dy*

/)y ,

= O, = O, i ponieważ dalej pochodne

O Cr

dc* ⁹

j— mają, wartość zero dla różnych od siebie wskaźników r, Tc, a wartość 1 dla

dc*

dr

[?r, ?*J = O, [<p/, cpP] = 0, O*', tpr] = 0, [tp/, tpr] = 1.

Powyższe tożsamości, podane przez Jacobi’ego, okazują, że całki równania Hamilton’a można podzielić na dwie gromady, według tego, czy ta funkcyja, utworzona z pochodnych cząstkowych lewych stron tych całek względem qiipi, którą oznaczyliśmy symbolicznie dwiema klamrami, jest tożsamościowo równa zeru, czy też jéj wartość bezwzględna jest tożsamościowo równa jedności. Okazane wyżej własności tych całek posłużą do dokładnego zrozumienia pewnego ważnego twierdzenia, którym zakończymy rzecz o całkowaniu równań ruchu.

173. Twierdzenie Poisson’a i Jacobi’ego. Przyjmijmy, że, gdy dane jest zagadnienie kinetyczne, do którego stosują się równania Hamilton’a, my już jakiekolwiek dwie całki, to znamy dwie funkcyje zmiennych ąit pi} ł, które wskutek tych równań mają wartości stałe podczas ruchu,

(1) *Pi(Çl) ?2 J • * ‘ ) Q.S ; Pij • • • )Ps) t) -— Cli j <P*    > • • • j Qs j Pi j . . • i Ps j t) Q>k-

Utworzywszy z tp,-, tp* funkcyją, w art. poprzedzającym rozważaną,

można okazać, że funkcyja [tp*, tp*] posiada wskutek równań ruchu także wartość stałą. Jakoż, różniczkując (2) względem t, otrzymamy

7f =

làfi d /dtp A dtp* d / dtp A    dtp,- d / dtpA

r=11 dqr ’ dt\dpr/'~ dpr ‘ dt\dqrJ    dpr ' dt\dqr /

Ponieważ cp* = a,-, tp* = a* są całkami równań ruchu, przeto — 0, ^ = = 0, czyli,

, ys fd?<_ dqi , dt^ JpA _ dtp*    dą,

dt ' iŚi V d<2< '    dp< dć /    ’ d£ tei \ d^i ’ cW

(2)

(3)

r=s

dtp*

.    dH dpi

a ponieważ -=j- —

dH

dtp*

d<2r ’

(5)1

d<£* _ dpA __ 0 djp/ ’ dt /

dt dpi ’

d^

więc

dtp,- / dtp,- dH df i=i \ do» dp;

dtp, dH

dpi' dqi

\ n ^‘4-Vte dH _ dtp* dH\_

/    ’ dż "teiW ‘ dp, dp,'dqj

Biorąc pochodną 1-go równania względem qr, a następnie względem^, otrzymamy

(5)

d²cpi

dtdqr

(6)

d\i

dtdpr

[[mît

d²cp₄-    dH d(fi d²H

dqrdqt ' dpt r dqi ' dqr

d²cpt- dH dcpz-- _—(_

dprdqi 'dpi

d<?/ ' dprdpi

à²(fi    dH    dcp* d²H \ ^

dqr dpi ' dqt dpi * dqr dqj ’

d²'S>j    dH àtfi    d²H \ Q

dpr dpi ' dqt dpi ’ dpr dqj ’

a czyniąc to samo z 2-gira równaniem (4), otrzymamy dwa podobne równania dla tpk. Mamy jednak

d / d(pj \ _

dt\dqr)

d²cpt-

dtdqr

l=s /

ł- s(-

\

(7)

d / dcpj \

dt\dqr>

d²tpj

(8)

d / dtp, \

dt\dpr)

dtdqr __ d²(fj

— dtdpr

l=S /

2 (■

l=s /

+ 2

/=! \

Gdy podstawimy

d²Cpê

dtf d<2r

następujące dwa równania;

z równania (5) w (7),

d²cpi dH d²cpt' dH dprdqi ' dpi dprdpi ' dqt

a-^z dtdpr

-)■

(6) w (8), otrzymamy

(»)

dt\dqrJ Ł\

dcp* d²H

dcp* d²H dqi ' dqrdpi "* dpi ' dqrdqt

L(ÈSi\- v(-

dt\djprl 1=1 \

(10)

d(pj d²H dcp; d²H dqi ' dpr dqt ^ dpi ’ dprdqt

a kładąc k zamiast i, otrzymamy podobne dwa równania dla <pk. Wstawiszy te pochodne w (3), mieć będziemy

(11)

l=s r~s | ()2jj    /^ęp.

\dqrdpi\dpr

r=l

dcp*

' dç;

dcpA dp r / '

_ /d<pf dyA dtp,-

dprdqi\dqr‘ dpi dpt '

d²H

d<p*\

d?7/

d²H /dtp,- dtp i dqr dqi \ dpt ' dpr

\ d²H / dcp, d<pt_% dft \ I

/ ^ dpr dq{ \ dqi ' dqr dqr ’ dqt /f ’

dtpj dtpk

dpr ' dpi

Ponieważ wskaźniki l i r przybierają wartości całkowite od 1 do s, przeto w sumie po prawej stronie tego równania znajdują się po dwa wyrazy równe i o znakach przeciwnych, znoszące się nawzajem, z czego wynika, że d

-jj [cpf, «pj — o, że przeto funkcyja [cp₍, <pt] jest wskutek równań ruchu stała, co było do okazania.

Stąd wynika, że jeżeli przyjmiemy £<p,-,    = aik, gdzie aik jest stałą do

wolną, natenczas równanie [cpt) cpAJ — atk przedstawiać będzie wogólności nową Całkę równań ruchu. Żeby jednak to równanie było istotnie całką nową, nie powinna być wielkość [<p,-r<pk] ani funkcyją (p,-, <pk, lub, co na jedno wychodzi,

funkcyją stałych a,-, ak, ani też tożsamościowo stałą, to znaczy jakąś liczbą szczególną lub tożsamościowo równą zeru. "W pierwszym bowiem przypadku równanie [cp*, cpA] aa nie dałoby nowego związku między qi: pi: t, lecz związek, będący prostym wynikiem równań pierwotnych <pf = aj, yk = ak; w drugim zaś przypadku [cpi? cp*] .nie byłoby funkcyją zmiennych q,, pi, t, a [cp,-,

= aa byłoby tożsamością, która, oczywiście, niema znaczenia całki, Tworząc z funkcyi <p, = [cpź, <p*] i z funkcyj pierwotnych <p,-, cp& nowe funkcyje [cp*, <pj, [cp*, cp/], i przyrównywając każdą z tych ostatnich do stałej dowolnej, otrzymamy wogólności dwie nowe całki, które podobnym sposobem z funkcyjami po-przedzającemi połączone być mogą, i t. d. Jeżeli tylko niezachodzi żaden z powyższych przypadków, sprawiających, iż caikà byłaby tylko pozorną, to możemy tym sposobem z dwu całek wiadomych utworzyć wszystkie inne całki zagadnienia kinetycznego.

Na podstawie powyższego twierdzenia, podanego pierwotnie w odmiennej postaci przez Poisson’a, a przez Jacobi’ego powtórnie odkrytego i należycie ocenionego, możnaby z dwu całek przez proste różniczkowanie obliczyć wszystkie całki równań ruchu. A że w przeważnej ilości zagadnień możemy podać przynajmniej dwie całki, przeto zdawałoby się, że kinetyka układów materyjalnych daje się sprowadzić do bardzo prostego schematu działań różniczkowych, czyniących jakoby zbytecznym bezpośrednie badanie działania sił w przyrodzie. Atoli tak nie jest. Żeby bowiem powyższe twierdzenie dało istotnie nową całkę, muszą być całki dane właściwe zagadnieniu, a nie powinny pochodzić z zasad ogólnych, jak np. z zasady energii, lub z zasady ruchu środka masy i t. p., tudzież nie powinny należeć do całek, odpowiednich temu układowi równań różniczkowych zwyczajnych, który wynika z równania Hamilton’a, określającego funkcyją Y. Okazaliśmy bowiem w art. 172-im, że funkcyje [<pi; cp*], z tych całek utworzone, są tożsamościowo równe zeru lub jedności, wskutek czego nowa całka staje , się pozorną.

Jeżeli w zagadnieniu, dla którego zachodzi zasada energii, t. j. takiego, w którym H nie zawiera czasu wyraźnie, znamy, oprócz całki H = h, wyrażającej tę zasadę, jeszcze tylko jednę całkę cpi = ai, to z tych dwu całek nie możemy wyprowadzić całki nowej. Jakoż, załóżmy, że cp, nie zawiera t wyraźnie, że więc <fi(qi,. •., qs,Pt, • • • ,Ps) — cii’, wyrażając wówczas

że <pi = ai jest całką równań ruchu, t. j. przyjmując, że =0, otrzymamy według (4) następujące równanie:

S-S)=^H]=a

ys (    É5:

1=1 V dąt ' dpt

z którego się okazuje, że do powyższych dwu całek twierdzenie Poissou’a nie może być stosowane. Gdyby całka zawierała czas, gdyby więc było

= t +    ,pi) = ai}

to byłoby według (4) [cp^H] —•—1, co także wyklucza zastosowanie tego-twierdzenia. W przypadku zachodzenia zasady energii należy przeto powiedzieć, że jeżeli oprócz całki oczywistej II — h, znamy jeszcze divie całki cp* — en i (fkz= ak, nie zawierające czasu, natenczas ftp;, <pĄ =■ stałej będzie całką noivą, skoro tylko nie zachodzi przypadek, sprawiający, iż ta całka jest tylko pozorną.

174. Zagadnienia. .Niech będzie dany układ swobodny n punktów;. Xi, y i, Zi niech oznaczają spółrzędne prostokątne punktu nii, które obierzmy jako argumenty q. Mamy wtedy 2 T — h mi (xj² -f yj² -f zł²), a ponie-

— miX'i, przeto ilości ruchu mixj przedstawiają zmiennej.

waż

dT dT

dql dxj

Jeżeli U jest potencyjałem sił, to H = T — U. Równania więc kanonicza ne ruchu takiego układu będą

dxi

dH

diji

dH

dZi

dH

dt d (nii xj) ’ dt

ó (mt y 1)

dt d(m,iZi) I

dxj

dH

milü“

dyl

dxi

nii -vT =

dH

dt

óyi

nii

dzl

dt

dH *=I’².....

dZi

dH

dH

2 2Ë

m ' dxi

my z (1) układ równań ruchu

A ponieważ

d(mi xl)

- /Y* }

- <&i }

dU

-r— , i t. p., przeto otrzyma-

QjCÿ

dxi

dt/i

dZi

dt ~

dyl __ JÜ dt óyi

Możemy podać dwie całki tego układu, nie zawierające czasu, mianowicie;

<p = £ mt (xtyl — y i xl) = c, $ = E nu (yt z} — gtyl) = a,

które wyrażają przy wiadomych warunkach (art. 141) zasadę pól dla pła* szczyzn xy i y z. Z nich otrzymamy

(2)

dxl

dU

nii ~ =

dt dXi

(3)

[?,

t=i \

-e-

lit

nii

dzl

Cu Cu

dtp

-3-

ÔXi ’ d(mixl) dyi ' d(Miyl)

₊ d£

*€■

dZi ' d(mixl)

dcp

dtp

dtp

d(p

)•

dtp

dtp

à (myl) ’ óyi

Obliczywszy pochodne cząstkowe według (3), mieć będziemy ftp, <p] == = S nii (Zi xl — Xi z1'); a zatym równanie

Inii (ZiXl — XiZl) — b

przedstawia według twierdzenia Poisson’a 3-cią całkę, która wyraża wiadome twierdzenie, że skoro zasada pól zachodzi dla dwu płaszczyzn spółrzę-dnych, to ona zachodzi także dla 3-ciój płaszczyzny.

d(miXl) 'ÔXi

d(mizl) ’ dZi

(4)

W celu otrzymania równania Hamilton’a o pochodnych cząstkowych, przyjmiemy

dV

dV

dV

dxi

àÿi

— nnyi, -f)j; =niiZi\

Obliczmy z tych równań x-, y/, 2' i podstawmy w T; otrzymamy a ponieważ H = T — U, przeto równanie Hamilton’a będzie tu w przypadku ogólnym, t, j, gdy potencyjał U zawiera czas wyraźnie

(5)

— U = 0.

Jeżeli U nie zawiera czasu wyraźnie, to używszy podstawienia V = W —-— ht, otrzymamy równanie Hamilton’a, wyrażające zasadę energii,

(6)

1    s T(dWY (dWY i /dwyl

2    nii |_ \ dXi ) \ dyt / \ d2i ) J

= U -J- h .

Dla jednego punktu swobodnego (x, y, 2) otrzymamy

(7)

I). Zastosujmy to równanie do ruchu punktu, przyciąganego przez środek stały. Obierzmy środek przyciągania jako początek spółrzędnych; r niech oznacza odległość punktu m od środka, U — f (r) niech będzie po-tencyjałem przyciągania. Wprowadzając spółrzędne biegunowe r, 4», J, przyjmijmy # = rcos4⁾} 2/ = rsin^coS'9’, 2 — r sin <{> sin $ ; będziemy mieli

— (r¹² -p r² + r² tP² sin²40 ; 2

dT

— — mr’, z=.mr²^, — = m r² łP sin² 4) •

Spółrzędne r, 4>, przedstawiają argumenty qt, q₂, q₃’, zmienne Pi mają wartości pt = mr', p₂ = mr² 4>f, p₃=. mr²O¹' sin²4>. Kładąc

dW

V* — dr ’    “ d4»

1 dW

mr² ’ d4»

dW

Ps =

dW

d& ’

dW

-O

mr²sin²4 * dJ

m 1 \( dwy 1 /dwy 2/« LV dr J r²\ àty J

r² sin² 4> *

(©•]

równanie więc Hamilton’a, kładąc m — 1, będzie

/dwy 1 /dw\²,

V dr ) r² V d<!> /

¹ - - (dZy= 2f(r) + 2h. r² sm² 4 v ^ /

Aby wynaleść jego rozwiązanie zupełne, przyjmijmy

(9)

2a,

/dwy i /awy_

\    sin² <J> \ Ó9¹ /

gdzie a jest stałą dowolną; wtedy równanie (8) rozłoży się na równanie (9) i na drugie równanie

(10)

którego całka ogólna będzie

(H)

W = J/2

V-

ffr) — -^ + h.dr + F(4t, 9-),

gdzie F (<{>, 9-) oznacza funkcyją dowolną, argumentów <|> i 9-, Wstawiwszy wartość z (11) w (9), mamy dla F równanie

(12)

(fT+^M§)=2a

-e-

/dF \²

w którym przyjmijmy podobnie fI = 2b, gdzie b jest stałą dowolną,

a otrzymamy

(13)

raFy, 2b

\-r)⁺

sin²

= 2a,

skąd

(14)

F= V 2

V-

gdzie F, (9-) jest znowu funkcyją dowolną, dla której mamy równanie

/dF \²

I/ ⁼    '^I (^) ⁼ V²⁰    a w*§c

F = 1^2

l/K*

sin²t|>

d<p -f { b . 9 / ,

a zatym według (11)

(15)

W= \/2

! fv

f(r) — 4 +h.dr +

r%

y:

-±^..d^ + yt.9

jako rozwiązanie zupełne równania (8), zawierające właściwą ilość stałych dowolnych. Znając prawo przyciągania, możemy, obliczając całkę, wyznaczyć W. Z tego wynikają następujące równanie całkowe pierwsze:

r²h-r sin²^ —    ,

(16)

dW

dW

y²    —

tudzież równanie całkowe drugie:

dh    ¹ ’ da

r' =

dr

dty

-    dW__

—    *> Tb~

gdzie t, a, ß oznaczają nowe stałe dowolne. Podstawiwszy wartość W, otrzymamy drugie równania całkowe w postaciach:

(17)

dW

1 r    dr

V,)V~

= ż-M,

/y»2

dr

(18)    J/2

^»2

/f:

-e-

sin² ({)

-a-

V~2

sin²<J)"J//~< a

irr? =ß-

sin² ^

Znając położenie początkowe i prędkość początkową punktu, możemy wyznaczyć stałe #, £>, a, ß, t, h. Z pierwszego równania (18), że otrzymamy r jako funkcyją tf, a dwa ostatnie wyznaczają tor punktu.

Wiedząc, że ruch centralny zachodzi na płaszczyźnie, możemy równanie Hamilton’a rozwiązać sposobem, podanym w art. 170-ym. Równanie Ha-milton’a będzie w tym przypadku:

a kładąc æ = r cos ty, y = r sin <J>, otrzymamy

(19)

/dWy 1 l dW \²    - .    ₀,

br)+^br)=2/w+2Ä-

Kładąc p, =

ÓW

ÓW

mieć będziemy

¥=i),²+^-2r/w + ä]=°.

Mamy teraz wynaleść jednę całkę układu równań różniczkowych zwyczajnych

dr ’

Pz —

-a-

(20)

₇    ,,    ,    ,    ()¥ ()f d¥ d¥

ar:dr.dp,..dp^ —.

d¥

Ponieważ == 0, przeto żądana całka będzie p₂ = a, gdzie a jest stałą dowolną. Wstawiwszy tę wartość w (20), otrzymamy

-e-

Pi=

%r2 [/ (r) + m—0,1 •

Podane wartości sprawiają, iż p{ dr -f p₂ d§ jest różniczką zupełną, tak, iż

(21)

(Pi dr+p₂dty)=z

2r² [f(rj + h] — a² -j- aÿ

jest szukanym rozwiązaniem zupełnym, zawierającym stałe a i h. Równania całkowe drugie będą

dW

~w-t + x'

dW

da

— a, albo po podstawieniu wartości,

t+ c,

r .dr

]/ 2 r² [f(r) -f- li\ — a²

(22)

dr

r }/ 2r² [f (r) + k] — a²

f <!>=«•

Pierwsze równanie określa ruch ze względu na czas, drugie wyznacza tor punktu; stałe a, a, h, z dają się wyznaczyć z warunków początkowych.

II) Rzut ukośny. — Obrawszy spółrzędne prostokątne x, y jako argumenty, mieć będziemy dla m = 1, U = —gy, więc równanie Hamilton’a będzie

(23)

= (dW Y [ âW Y

“ \ àx J ⁺ \ dy )

+ 2gy — 2h = 0.

Ponieważ T nie zawiera x, przeto możemy podobnie, jak w art. 169-ym użyć podstawienia W = W, -f- c, x, gdzie W, nie zawiera x. a c, jest stałą dW _ dWt

dowolną. Ponieważ

dy

d , przeto z równania (23) wynika

/dWA2 \ dy I

= 27z — Cj²— 2gy,

1 *■

W, == — — (2U — c,² — 2gy)³, a stąd

W m Ci x — ——(2h — ct² — 2gy)z,

co przedstawia rozwiązanie zupełne, zawierające stałe h i cv Równania całkowe pierwsze będą

(25)

x'—Cl

a równania całkowe drugie będą

y'—\S2h — cl²~2gy

ÓW

— 2h — c,² —

dh    g

—y —c,

g

gdzie t i y są dwiema nowymi stałymi. Jeżeli c jest prędkością rzutu, a elewacyją, to dla t = 0 mamy x — 0, y — 0, xl — c cos a, y’ = c sin a, • . ^2 a więc cx — c cos a, 2h~c², z —--sina, y = — sina cos a. Wstawiwszy

g    g

te wartości w drugie równanie (26), otrzymamy y =■ x tang a —

%gy = t + z,

(26)

ÓW

-V— = x 4-

ÖCx

— 2gy = y ?

2c²cos²a

Æ²

jako równanie toru parabolicznego.

Polecamy czytelnikowi przerobienie zagadnień rozdziału VIII i IX sposobem, podanym w tym rozdziale, np. ruch punktu, przyciąganego według prawa Newton’a przez dwa punkty stałe, ruch punktu na kuli i t. p.—

Literatura (Rozdz. XVI).

W. R. Hamilton. On a general method in Dynamics, by wliicli the study of the motion of all free Systems of attracting or repelling points is reduced to tlie se-arch and différentiation of one central relation, or cliaracteristic function (Transactions of the Royal Society of Ireland, 1834); Second essay on a general method in Dynamics (tamże, 1834). — S. D. Poisson, Sur l’intégration des équations différentielles de la dynamique (J. des mathém., t. II, 1837). — J. Beetband: Mémoire sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de mécanique (J. des mathém., t. XVII, 1852); Mémoire sur l’intégration des équations différentielles de la mécanique (J. des mathém., t. XVII, 1852; tudzież nota VII do 3-go wydania Mécanique analytique Lagrange’a, Paris, t. I. 1853). — E. Boue: Mémoire sur l’intégration des équations différentielles de la mécanique analytique (Paris, 1855); Sur l’intégration des équa-tions différentielles partielles du premier et du second ordre (J. de l’école polyt., t. XXII, 1862). — C. G. F. Jacobi, Vorlesungen über Dynamik (Berlin, 1866). — GraindorgEj Mémoire sur l’intégration des équations de la dynamique (Bruxelles, 1871).— E. Mathieu, Dynamique analytique (Paris, 1878). — A. Meyer, Ueber die allgemeinen Integrale der dynamischen Differentialgleichungen und ihre Verwerthung durch die Methoden von Lie (Math. Annalen, t. XVII, 1880).

MECHANIKA CIAŁ NIESZTYWNYCH.

ROZDZIAŁ XVII.

TEORYJA SPRĘŻYSTOŚCI.

175. Pojęcia zasadnicze teoryi sprężystości. Zajmowaliśmy się dotąd działaniem sił na ciała sztywne t. j. takie ciała, które wskutek działania sił przyłożonych żadnej zmiany w ustroju swym nie doznają. Zaznaczyliśmy już jednak, że pojęcie ciał sztywnych stanowi abstrakcyją, albowiem każde ciało materyjalne, pozostające pod działaniem sił, przyłożonych bądźto do jego masy, bądźtóż do jego powierzchni, zmienia nietylko miejsce swoje w przestrzeni, lecz doznaje zarazem zmiany w swym ustroju.

Zmiana ustroju ciała materyjalnego objawia się przedewszystkim przez tak zwane odkształcenie czyli deformacyją ciała, to znaczy przez odmienne ułożenie jego cząstek na powierzchni. Ciało odkształcone nie zachowuje się biernie względem sił przyłożonych, lecz objawia dążność do odzyskania kształtu pierwotnego, a gdy siły zostaną usunięte, wraca do tego kształtu z mniejszą lub większą dokładnością. Tę własność ciała, polegającą na dążeniu do kształtu pierwotnego i na zdolności odzyskania tego kształtu po usunięciu sił przyłożonych, nazywamy sprężystością tego ciała.

Rodzaj i wielkość odkształcenia, tudzież stopień sprężystości ciała zależy od jego materyi, od wielkości sił, a wreszcie od sposobu i trwania ich działania. Jeżeli odkształcenie ciała sprężystego jest dostatecznie małe, wówczas znika dokładnie po usunięciu sił, a wtedy uważamy ciało za doskonale sprężyste; jeżeli zaś odkształcenie ciała przybrało znaczne rozmiary, wówczas, jak uczy doświadczenie, po usunięciu sił nie wraca już ciało dokładnie do kształtu pierwotnego, lecz przybiera kształt nowy, który zachowuje. Z tego powodu dzielimy odkształcenia ciał materyjalnych na odkształcenia sprężyste i na odkształcenia trwałe, zaliczając do pierwszych takie odkształcenia, które znikają dokładnie po usunięciu sił przyłożonych, do drugich zaś takie odkształcenia, które pozostają w ciele

po odjęciu sił. Przejście od odkształceń sprężystych do trwałych nie jest tak wyraźne, żeby z wszelką ścisłością wskazać się dało; przyjmując jednak ciągłość w zmianach ustroju ciała, dochodzimy do pojęcia pewnej granicy sprężystości, do której możemy odkształcenia ciała uważać za sprężyste, a zatym ciało odkształcone za doskonale sprężyste. Zastrzegając sobie na później dokładniejsze określenie tej granicy, dodajemy tutaj, że wogólnośęi odkształcenia muszą być bardzo małe, żeby mogły być uważane za sprężyste, i że tylko takimi odkształceniami będziemy się zajmowali.

176. Zjawiska, polegające na sprężystości ciał, prowadzą nas do wniosku, że między cząsteczkami czyli molekułami ciała sprężystego należy przyjąć działanie pewnych sił, które są funkcyjami odległości wzajemnej dwu cząsteczek. O tych siłach przypuszczamy, że one działają między dwiema cząsteczkami bądźto przyciągająco, bądźtćź odpychająco; w każdym jednak przypadku działanie ich zachodzi tylko wtenczas, kiedy odległość wzajemna dwu cząsteczek jest bardzo mała. Owe siły międzycząstecz-kowe mogą być składane następującym sposobem. Obierzmy w ciele sprężystym punkt dowolny m, poprowadźmy przezeń płaszczyznę dowolną i obierzmy na niej nieskończenie małe pole dco, wewnątrz którego znajduje się punkt m. Owa płaszczyzna rozdziela ciało A na dwie części, A' i A"; każda cząsteczka m', znajdująca się w części Ar w bardzo małej odległości od pola den, doznawać będzie działania pewnej siły, pochodzącej od drugiej cząsteczki m", która znajduje się również bardzo blizko tego pola, lecz w części A", a promień działania tej siły będzie spotykał pole rozważane. Składając wszystkie podobne siły działania cząsteczek nieskończenie blizkich po jednej stronie owej płaszczyzny, które przecinają pole den, otrzymamy pewną siłę wypadkową i?P, która będzie nieskończenie małą tego samego rzędu, co owo pole. Tę siłę dV nazywamy siłą wewnętrzną w ciele sprężystym, odpowiednią nieskończenie małemu polu da. Z prawa wzajemności działania (art, 66) wynika, że cząsteczki, leżące po dwu stronach płaszczyzny, doznają działań równych, lecz o kierunkach przeciwnych, a przeto dla dokładnego określenia siły wewnętrznej trzeba dodać, po której stronie pola uważamy owę siłę. Jeżeli siła -{- dP odpowiada jednej stronie tego pola, natenczas siła —dP odpowiadać będzie stronie przeciwnej. Gdy następnie przyjmiemy, że pole dca zdąża nieograniczenie do zera, wtedy punkt przyłożenia siły dP zdążać będzie do punktu m. Granicę, do jakiej wówczas zdąża stosunek dP:dcù, nazywamy natężeniem ciała sprężystego w punkcie m względem tej płaszczyzny, na której obrano pole dco. Oznaczając natężenie

dP—p.dca\ znając przeto na-

dcù

przez p, mamy z tego określenia p = ^

tężenie, możemy obliczyć odpowiednią siłę wewnętrzną. Dwu przeciwnym stronom płaszczyzny, poprowadzonej przez punkt, odpowiadają natężenia + p i — p.

Siłę dP możemy rozłożyć na dwie siły, mianowicie na siłę dP„, normalną do elementu do>, i nasilę dP₀ styczną do tego elementu. Granicę

stosunku dPn : du> nazywamy natężeniem normalnym, granicę zaś stosun* ku d~Pt ' d(d nazywamy natężeniem stycznym w punkcie m względem płaszczyzny rozważanej. Siła normalna dPn może po rozważanej stronie płaszczyzny mieć kierunek albo od płaszczyzny nazewnątrz albo też ku płaszczyźnie; w pierwszym przypadku zowiemy odpowiednie natężenie normalne ciągnieniem, w drugim zaś ciśnieniem.

Stanem naturalnym ciała sprężystego nazywamy ten stan jego, w którym natężenie jest równe zeru w każdym punkcie tego ciała. Przyłóżmy do ciała, w stanie naturalnym będącego, pewne siły, wówczas nastąpi odkształcenie tego ciała, a siły międzycząsteczkowe, pojawiające się wskutek tego odkształcenia, wytworzą pewne natężenie w każdym punkcie ciała i względem każdej płaszczyzny, przez tenże punkt poprowadzonej. Jeżeli wskutek odkształcenia zajdzie równowaga sił przyłożonych, wtedy ciało przyjmie stan nowy, nie przestając być sprężystym. Owóż zadanie nasze polega przede-wszystkim na tym, aby wyznaczyć warunki tej równowagi i rozpoznać owe wielkości, które cechują stan ciała sprężystego po odkształceniu. W tym celu wypada zbadać odkształcenie każdego elementu ciała, co stanowi zadanie kinematyki ciał sprężystych ; następnie rozpoznać rozmieszczenie natężeń w ciele sprężystym na zasadzie ciągłości, a nakoniec podać związki między odkształceniami a natężeniami, co stanowi zadanie kinetyki ciał sprężystych.

177. Odkształcenie elementu ciała. Odkształcenie każdego elementu ciała sprężystego jest skutkiem ruchu względnego oddzielnych punktów tego elementu. Niech x, y, z oznaczają spółrzędne prostokątne punktu m ciała przed odkształceniem ; wskutek działania sił przesunie się ten punkt w kierunkach osi spółrzędnych odpowiednio o długości u, v, w i zajmie miejsce m' (x + u, y -f- v, z -f w). Te przesunięcia są funkcyjami ciągłymi spółrzędnych i czasu, nie wyrażają się jednak przez wzory, podane w kinematyce ciał sztywnych (art. 24). Obierzmy punkt nieskończenie blizki n (x + dx, y + dy, z-pdz); przesunięcia tego punktu będą u + du, v-\-dv, w-\-dw. Rozwińmy funkcyje du, dv, dw na szeregi, zatrzymując tylko wyrazy nieskończenie małe tegoż samego rzędu, co odległość wzajemna punktów min; otrzymamy

(1)

dy

dx

du = to dx + *dy + * *' dv = ~ dx + ~ dy + ~ de,

dw

dw

dx

dy

dz

Wielkości u, v, w określają ruch bezwzględny punktu (x, y, z), a riichÿ dwu nieskończenie blizkicli punktów ciała względem siebie zależą od pochodnych tychże wielkości względem spółrzędnych. Jeżeli ciało sprężyste ma skończone wymiary linijowe, natenczas pozostaje w granicy sprężystości tylko pod tym warunkiem, że przesunięcia bezwzględne jego punktów są bardzo małe w porównaniu z jego wymiarami. Dla takich więc ciał należy funkcyjom

u, v, iv przypisywać bardzo małe wartości. Takie zaś ciała, jak błony lub pręty sprężyste, których jeden lub dwa wymiary są bardzo małe w porównaniu z pozostałymi wymiarami, okazują sprężystość doskonałą nawet wtedy, gdy ich punkty doznają znacznych przesunięć bezwzględnych, gdy zatym u, v, to ńie mają wartości bardzo małych. W każdym jednak przypadku pochodne owych przesunięć winny posiadać wartości bardzo małe, żeby odkształcenie było sprężyste, i z tego powodu możemy w toku rachunku pomijać kwadraty i iloczyny tych pochodnych. Ograniczymy się do przypadków, w których przesunięcia same są wielkościami bardzo małymi.

Gdy przyjmiemy punkt m za początek układu spółrzędnych, równoległych do tych, względem których brano'#, y, z, to dx, dy, dz przedstawiają spółrzędne punktu n względem m przed odkształceniem. Jeżeli po odkształceniu punkt n zajął miejsce n' (x-\-dx-\-udu, y + dy -\-v -f- dv, z + dz -f- to + dw), to dx + du, dy + dv, dz -f dw będą oznaczały spółrzędne punktu n' względem m' po odkształceniu. Z równań (1) okazuje się, że zmiany du, dv, dio spółrzędnych dx, dy, dz są funkcyjami linijowymi i jednorodnymi pierwotnych wartości tych spółrzędnych. Rozwiązawszy równania (1) względem dx, dy, dz, wyrazimy te wielkości jako funkcyje jednorodne i linijowe różniczek du, dv, dw, albowiem wyznacznik układu (1), będący wyznacznikiem funkcyjnym przesunięć u, v, w względem x, y, 0, nie jest tożsamości owo równy zeru, gdyż przesunięcia są niezależnymi od siebie funkcyjami spółrzędnych.

Niech między dx, dy, dz zachodzi jakikolwiek związek linijowy K.dx-\--j-B .dy -f C .dz -j- D = 0; wówczas wstawiwszy w ten związek zamiast dx, dy, dz ich wartości, wyrażone przez du, dv, dw, otrzymamy związek odpowiedni A,. du -j- B,. dv + C,. dw -J- D — 0, z czego wynika, że punkty, znajdujące się przed odkształceniem nieskończenie blizko na jednej płaszczyźnie, po odkształceniu będą się znajdowały także na jednej płaszczyźnie, która jednak inne zajmuje położenie. Obierzmy inny punkt na płaszczyźnie nieskończenie blizkiéj i równoległej do poprzedniej ; wtedy łatwo się przekonamy, że otrzymamy związek odpowiedni między du, dv, div o tychźesamych spółczynnikach Aj, Bj i Oj. Z tego wynika, że nieskończenie blizkie elementy dwu płaszczyzn równoległych pozostają równoległymi po odkształceniu. Z powyższych dwu twierdzeń wynika jeszcze, że elementy dwu nieskończenie blizkich prostych równoległych pozostają równoległymi po odkształceniu.

Wydzielmy z ciała sprężystego nieskończenie mały równoległościan prostokątny mabcdefg (Fig. 65), którego krawędzi ma — dx, mb — dy, mc — dz są równoległe do osi spółrzędnych, a którego wierzchołkiem, najbliższym początku O układu spółrzędnych, jest punkt m. Ten równoległościan będziemy uważali za element ciała. Z powyższych twierdzeń wynika, że ów element zamieni się wskutek odkształcenia na równoległościan pochyły, którego krawędzi przestaną być równoległymi do osi spółrzędnych. Wierzchołki a(x -f dx, y, z), b (x, y Ą- dy, z), c (x, y, z -f- dz), zajmą odpowiednio miejsca

a' ^x -\dx-\- u -f —■ dx, y -f- vĄ- ^ dx, z + w +    dx^ , b' ^x +u -f dy,

V+dy+v+ ^dy, e+w+. ^ dy), c' {x+u + ()g

+ dz+w-f- ^-dz^ , a krawędzi ma, mb i mc przybiorą długości odpowiednio

m'a' =: (1 pA,) dx, m’b’ — (1+A₂) dy, m!c' — (1 -f A₃) dz. Liczba A,= (m'a’— — ma) : ma przedstawia widocznie stosunek wydłużenia krawędzi ma do jéj

du

dv

ds, y+ v+-g- ds, s +

ou

0y

Fig. 65.

długości pierwotnej; nazywamy ją wydłużeniem ciała sprężystego w punkcie m w kierunku téj krawędzi czyli osi x. Podobnie oznaczają A₂ i A₃ wydłużenia w punkcie m w kierunkach osi y i osi z. Jeżeli m'a’ > ma, wtedy Ax >> 0; gdy zaś m'a'<lma, wtedy A₁ < 0, a A, przedstawia skrócenie, które uważamy za wydłużenie ujemne. W granicy sprężystości wydłużenie jest liczbą bardzo małą.

Ponieważ

(i+x‘)² = (x + if) ⁺ (sr) + (s) '

Podnieśmy do kwadratu i pomińmy kwadrat wydłużenia, tudzież kwadraty pochodnych funkcyj u, v, w\ otrzymamy .. du

^1 - T7T

(1-j-A,)² dx² =

dx², przeto

(2)

dv

dio

dx ; p°dobnie b«dzie x*> x*=-* •

Te równania pozwalają wydłużenia wyrazić przez pochodne cząstkowe przesunięć punktu Względem jego spółrzędnych.

Ponieważ prostopadłościan przejdzie na równoległościan pochyły, przeto

TU    TC

kąty Vm'c', dm’a¹, a'm’V przybiorą odpowiednio wartości — — <p,, — —cp₂,

^    A

TT

— ■— cp₃, przyczym bardzo małe liczby <p1? <p₂, (p₃ mogą być dodatne lub ujem-2

Bibl.    S. IV, T. X.

30

MECHANIKA TEORETYCZNA.

ne. Obierzmy na krawędzi mc punkt m{ w bardzo małej odległości od m, i poprowadźmy przez mt prostą, mxbx, równoległą do mb. Po odkształceniu pozostanie odcinek mtbt równoległym do mb, a jeżeli punkt m, zajmie miejsce

TC

mx, to kąt -my mb będzie równy — — <plt Otrzymamy więc mx mx : m mx =

= tàngcp1? a ponieważ <p, jest miarą bardzo małego kąta, przeto możemy przyjąć mxmx : mmx = cp,. Odcinek mt&, posunął się względem nieskończenie blizkiego i równoległego odcinka o długość mxmx, a z ostatniego równania okazuje się, że cpt wyraża stosunek wielkości tego posunięcia się do pierwotnej odległości obudwu odcinków. Łątwo się przekonać, że, gdybyśmy na ścianie bmc obrali podobnie dwa nieskończenie blizkie odcinki, lecz równoległe do osi z, czyli do krawędzi mc, to liczba cp, wyrażałaby także stosunek wielkości ich posunięcia się do ich pierwotnej odległości. Z tego powodu nazywamy liczbę cp, posunięciem się w punkcie m w kierunku osi y łub osi g. Podobnie nazywamy cp₂ posunięciem się w punkcie m w kierunku osi g lub osi x, a cp₃ posunięciem się w kierunku osi x lub osi y.

Uwzględniając spółrzędne punktów m\ V i d, otrzymamy

(1 +X₂) (1+X₃) cos — ¥1)

div

du du

_    .--p

dy ds

a jeżeli wstawimy cpt zamiast sin cp, i opuścimy wielkości bardzo małe rzędu drugiego i wyższych, będziemy mieli

V ^ dy) dg ^ \ ^ dg) dy

(3)

dv

>Pi-₅T +

dio

, .    , dw du

; podobnie tez cp₂ = — + —

du . dv

dx

dy ’

Pierwotna objętość elementu ciała wynosiła dx dy dg; ponieważ kąty są bardzo małe, przeto objętość tego elementu po odkształceniu możemy przyjąć równą iloczynowi (1+Xt) (1 -j-X₂) (1-f X₃) dx dy dg. Stosunek zmiany objętości owego elementu do jego objętości pierwotnej w punkcie m nazywamy rozszerzeniem sześciennym ciała w tymże punkcie. Oznaczywszy je przez A, otrzymamy A = (l-fX,) (1+X₂) (l-f-X₃) — 1, a jeżeli wstawimy wartości z (1), mieć będziemy ze ścisłością przyjętą w naszym rachunku

O)

a %    . -i . a du dv dw

Niech 0 oznacza gęstość ciała w punkcie m przed odkształceniem, zaś of gęstość po odkształceniu; z powodu, że masa elementu nie zmienia się, mamy równanie <3 = of (1+X,) (1-f X₂) (1 + X₃), z którego wynika

a' = a : (1 -f A) = o (1 — A),

a przeto zmiana gęstości wynosi

(S)

or — o ==

/du    dv    dw \

° \ dx    dy    dz) *

178. Wydłużenia główne. Rozważając znowu punkty m i n art. poprzedzającego, oznaczmy przez ds długość elementu m n, a przez a, b, c jego

dostawy kierunkowe ; wtedy dx — a .ds, dy — b .ds, dz — c. ds. Di a punktu n' otrzymamy

du —

(1)

ia-dŁ+h-%+ć-t)ds’ *=(

dw — (a . ^ -f- b \ dx

dr

dv

dv

a. — b . — Ą- c. — dx dy dz

dw

dw

• "T--h C • "T—

dy dz

skąd wynikają spółrzędne dx, dy, dz punktu n' względem osi, poprowadzonych przez punkt m\

Sx=dx + d«=[a.( l+§) + *•% + *■£]*>, îÿ = <Jy ₊ *,= [a.^+6.(l + ^)

* + *»=[«.^ + 6.g + <..(l + ^)]*.

Oznaczmy przez X wydłużenie w punkcie m w kierunku (a, b, c); długość elementu ds po odkształceniu będzie (1+X) ds\ wstawiwszy spółrzędne dx, dy dz punktu n’, otrzymamy

(2)

dv

’ dz

J ds,

dz =

(3)

(1 + X)². ds² = dx² + dy² + dz².

Jeżeli podniesiemy do kwadratu i w otrzymanych wyrażeniach opuścimy kwadraty tudzież iloczyny pochodnych u, v, w, to otrzymamy

(4)

X — Xt a² + X₂ b² + X3 c² -f- cp,. bc + cp₂ • ca -f- <p₃. ab.

Według tego wzoru można obliczyć wydłużenie w kierunku danym, znając wÿ^ dłużenia i posunięcia się w kierunkach osi spółrzędnych. Wydłużenie X jest funkcyją jednorodną i linijową sześciu wielkości X,- i (fi, a funkcyją jednorodną i stopnia 2-go dostaw kierunkowych.

Rozważmy drugi punkt nlf nieskończenie blizki punktu m, i niech a!, V, c' oznaczają dostawy kierunkowe elementu mnt. Obliczywszy według (2) spółrzędne miejsca w/, które zajmie po odkształceniu, możemy wyznaczyć kąt (m’ n', m'nj), który tworzyć będą elementy m'n’ i m'nt't albowiem

[(■+£)•+(SM*)']+»[(?)■

(    dtv1

V ⁺^Jdï J

cos (m'n', m'nî) = aa'

+ (bd+b'c) |"

du du

dy ' dz

+ («.-+*.) [(i+£)

+(flb'+db) [h++0+|j) dx

dv i

dz dz ' dx

dv dw dw dx'dy

Przyjmijmy teraz, że proste m n i mnv są do siebie prostopadłe; wtedy (m’ n',

TZ

m' nj) = -g — <p, gdzie cp oznacza posunięcie się (art. 177) w kierunku każdej

z tych dwu prostych. Kładąc zatym aa' + bb' + cc' = 0 i uwzględniając równania (2) i (3) art. poprzedzającego, otrzymamy

(5) cp = 2X, . aa' + 2X₂ . bb' + 2X₃ . cc' -f <pt . (bc' + b'c) + <f₂. (ca' -f c’a) +

+ <p₃ • (ab' + a'b).

179. Odetnijmy na prostej (a, b, c) po obudwu stronach punktu m długość proporcyjonalną względem 1 : dh X, biorąc pod znakiem pierwiastka znak + lub — według tego, czy X>> 0, czy też X<0, Jeżeli x, y, z oznaczają spółrzędne krańców tych odcinków, wzięte względem osi, wystawionych w punkcie m, to miejscem gieometrycznym tych krańców będzie powierzchnia, której równanie według (4) art. 178-go jest

(1)

Xt x² + X₂ y² + X₃ z² + <pi. y z + <p₂ •    + ?₃ • %y = ± 1 •

To równanie przedstawia powierzchnią stopnia 2-go, której środkiem jest punkt m, nie znajdujący się na tej powierzchni. Obierzmy osi główne tej powierzchni za osi spółrzędnych, i niech X,-, cp* odnoszą się do kierunków tychże osi; wtedy równanie téj powierzchni będzie

(2)

Xj Æ² + x₂ y² + X₃ z² = db 1,

a nadto <pt = 0, cp₂ == 0, <p₃ — 0, więc X = X! a² + X₂ b² + X₃ c², ę — 2 Xx.

+ 2X₂.bb' + 2X₃ .cc'. Jeżeli wszystkie 3 spółczynniki X,- są czyto dodatne, czyteź ujemne, wtedy powyższa powierzchnia jest elipsojdą; w przypadku, gdy te spółczynniki są znaków różnych, otrzymamy dwie hiperbolojdy sprzężone, z których jedna jest jednopowłokowa, druga dwupowłokowa, a są one rozdzielone spólnym stożkiem asymptotycznym. Długości promieni tych powierzchni są odwrotnie proporcyjonalne względem pierwiastków wydłużeń w ich kierunkach, one przedstawiają zatym gieometrycznie zależność wydłużenia elementu linijowego, wychodzącego z punktu m, od kierunku tego elementu. W przypadku elipsojdy wszystkie proste, wychodzące z tego punktu, doznają w tym punkcie wydłużeń lub skróceń; w przypadku zaś hiperbolojd sprzężonych każda prosta, przecinająca jednę hiperbolojdę, wydłuża się, a każda prosta, przecinająca drugą hiperbolojdę, skraca się; proste zaś, tworzące stożek asymptotyczny, nie doznają zmiany długości, a raczej mówiąc dokładniej, ich wydłużenia są nieskończenie małe w porównaniu z wydłużeniami tych elementów linijowych, które nie znajdują się na powierzchni stożka.

Ponieważ przez każdy punkt ciała sprężystego można poprowadzić takie powierzchnie, których osi główne mają tę własność osobliwą, że posunięcia się Wi w ich kierunkach są równe zeru, przeto otrzymujemy następujące twierdzenie: przez każdy punkt ciała sprężystego można poprotvadzié trzy do siebie prostopadłe proste, w których kierunkach ciało nie doznaje żadnego posunięcia się, które przeto pozostają do siebie prostopadłymi po odkształceniu. Odpowiadające tym trzem kierunkom wydłużenia nazywamy wydłużeniami główny-

mi w tym punkcie; jedno z nich jest bezwzględnie największe, jedno zaś najmniejsze ze wszystkich wydłużeń, w tym punkcie zachodzących. Znając wydłużenia główne w pewnym punkcie, możemy obliczyć wydłużenie i posunięcie się w kierunku każdej prostej, przez ten punkt poprowadzonej, a tymsamym zbadać odkształcenia rozmaitych elementów ciała, w których ten punkt się znajduje.

180. Kuch elementu odkształconego. Kierunek osi głównych po

wierzchni (1) art. poprzedzającego wyznaczają pierwiastki równania następu

jącego:

(1)

As

2(X₁-X)

93    5 ² (X₂ X),

Ti

— o,

Ta

Ti t 2(X₃—X),

a mianowicie, jeżeli przez Aa oznaczymy spółczynnik w tym wyznaczniku elementu i-go wiersza i k-ej kolumny, tak iż

(2) 2 (X, —X) An + cp₃. Ai₂ + T2 • -^-13 — T3 • A21 + 2 (X₂ X) A₂₂ + Ti ' -^23 ——

— T2 • A₃₁-f-Ti’ ^32 + 2 (X₃ X) A₃₃ — 0,

natenczas dostawy kierunkowe a, 5, c tych osi otrzymujemy z któregokolwiek z następujących układów równań:

(3)

- P3 ?

Ajj Aj₂ Aj₃    A21    A22    A23

podstawiając za X kolejno pierwiastki równania (1). Te pierwiastki są właśnie wydłużeniami głównymi.

Kładąc

A31    A₃₂

^33

(4)

dw do

2c°i—T⁻    .

dy    ds

2ö)₂ =

du dw ds dx

2w₃ —

dv du dx dy

z tych równań, tudzież z równań (2) i (3) art. 177-go, otrzymamy

ÔU = \ (T² + ² “2)

—-|-(Ti —2wi)

= | (*+*».),£

du

du

r—i CM

(Ta — 2co₃)

dx    ^¹ ’ dy

dv    1 ,    v dv .

to=2(,f3 + 2“³⁾’ *7 = ^’

Obierzmy punkt w nieskończenie blizko m, obliczmy według art. 178-go jego spółrzędne dx, §y, dz po odkształceniu i uwzględnijmy równania (5); otrzymamy

(5)

dw

dw

dy

Ls » i «a

l'O 'O po

— X₃ •

(6)

dx = (1 + X,) dx-\- ~ (Ta—2co₃) dy + -i (T2 + ²⁽%) du, ty — j (Ta + 2ws) dx + (1 + X₂) dy 4- j (Ti — 2 wi) ^ dz =z -1 (t₂ — 2g>₂) dx + (Ti + 2a)i) dy + (1 + X₃) dz.

Niech ten punkt znajduje się na jednej z osi głównych powyższej powierzchni w odległości ds od m; wtedy dx = a, ds, dy~b. ds, dz — c. ds, gdzie zamiast a, b, ć podstawić należy wartości, wynikające z (3). Dla takiego więc punktu będzie według (6),

2.&» = [2(1-|-X₁) An + (<p₃ — 2o>₃) A₁₂ + (<pa + 2o>a)A,₃]p,eto,

2. ày — [(cp₃ 4- 2co₃) A2ł + 2(1 + X₂) A₂₂ 4~ (<Pi — 2w,) A₂₃J p₂ ds,

2. dz — [(<p₂ — 2co₂) A₃₁    (4*1 + 2(Oj) A₃₂ -J- 2 (1 + X₃) A₃₃] p₃ ds,

a ponieważ według (2),

2Xj A, j-{- cp₃ A₁₂ -f- cp₂ Aj₃ — 2X Ajj, cp₃ A₂, + 2X₂ A₂₂ -f- cp, A₂₃ — 2X A ?₂A₃i+?, A₃₂ 4-2X3 A₃₃ = 2XA

22 ?

przeto także

33}

bx — [(1 4- X) An — o>₃ A,₂ 4- w₂ A₁₃] p, ds,

§y — [co₃ A₂₁ 4- (1 4- X) A₂₂ — Wj AJ p₂ ds, dz = [ w₂ A₃₁4“ (*>i A₃₂ 4- (14-X) A₃₃J p₃ ds.

Jeżeli na nowo wju’owadzimy dx, dy, dz, to mieć będziemy ostatecznie:

(7)

dx = (1 4- X) dx — w₃ dy 4- w₂ dz, dy — oi₃ dx 4- (14-X) dy — dz, dz~—u>₂dx-]-u>idy-{-{\-\-\) dz.

na

Rozumiejąc przez X kolejno pierwiastki równania A = 0, otrzymamy spółrzę-dne miejsc, które punkty, znajdujące się nieskończenie blizko m na kierunkach wydłużeń głównych, zajmą wskutek odkształcenia ciała. Porównywając równania (7) z równaniami (1) art. 24-go, widzimy, że punkt, znajdujący się na kierunku wydłużenia głównego, obrócił się około osi spółrzędnych, przez m poprowadzonych, odpowiednio o bardzo małe kąty co,, co₂, co₃, i posunął się w kierunku tego wydłużenia o X.ds. Ruchy obrotowe są te same dla punktów każdej z osi głównych, ruchy zaś postępowe są proporcyjonalne względem odpowiednich wydłużeń głównych.

Możemy teraz podać obraz ruchu i odkształcenia elementu ciała, zawierającego punkt m. Uważając ten element za sztywny, przesuńmy go tak, żeby punkt m razem się zeszedł z punktem m'\ obróćmy go następnie około osi spółrzędnych, poprowadzonych przez m', odpowiednio o kąty w,, w₂, a>₃; wtedy owe trzy proste, do siebie prostopadłe, które mają kierunki wydłużeń głównych, które zatym pozostaną do siebie prostopadłymi, znajdują się w tym właśnie położeniu, które zająć mają. Gdy nakoniec uczynimy element sprężystym i udzielimy mu wydłużeń głównych, to element przybierze kształt żądany. Dla określenia ruchu i odkształcenia elementu ciała musimy znać dziewięć wielkości Xi} (fi, (i — ], 2, 3), czyli, co na jedno wychodzi, dziewięć pochodnych przesunięć u, v, w względem x, y, z. W przypadku szczególnym, gdy io, = (o₂ = (o₃ = 0, czyli

dw

dv_ du

dy dz ’ dz dx ruch elementu ciała będzie zachodził bez obrotu. —

(8)

dw

du

dy

Około punktu m zatoczmy kulę o promieniu ds, której równanie jest dx² -j- dy² + ds² — ds². Po odkształceniu utworzą osi x, y, 0 wogólności układ ukośnokątny, a jeżeli dx, dy, 60 oznaczają spółrzędne punktu (dx, dy, ds) względem tych osi po odkształceniu, to &r = (.l-j-X,)cńr, S^=:(l-f-X₂)^, ds = — (1 -\-\₃)d0, a zatym

dy

ds

/ dx y ( l(l-ł-X,)dJ ⁺ V

Stąd okazuje się, źe punkty, które przed odkształceniem znajdowały się na powierzchni kuli nieskończenie małej, znajdować się będą po odkształceniu na powierzchni elipsojdy nieskończenie małej, której środkiem jest punkt m. Nazywamy ją elips oj dą odkształcenia w tym punkcie. Trzy proste, prostopadłe do siebie w punkcie m, przyjmują po odkształceniu kierunki średnic sprzężonych tej elipsojdy, a kierunki wydłużeń głównych są kierunkami osi głównych téj powierzchni.

Jeżeli punkt m nie znajdował się na powierzchni ciała, to nie zajmie nigdy miejsca na téj powierzchni. Jakoż, kula nieskończenie mała, o środku w tym punkcie, przybierać będzie ciągle kształt elipsojdy, coby było niemożliwym, gdyby ten punkt dostał się kiedykolwiek na powierzchnią ciała. Czyli innymi słowy: powierzchnią dala sprężystego twór są ciocie teżsame punkty. Jeżeli więc F (x, y, 0, t) = 0 jest równaniem téj powierzchni w jakimkolwiek czasie, to F = 0, gdy t wzrośnie o dt, a zatym

(9)

( 1 -H X₂ ) ds

( 1 X3) ds

)=,

(10)

dF

ÓF

dF

dF

-TT- + « • -T--b v . -T—h w . -T— == 0 .

dt    dx    dy    ds

181. Natężenia elementu ciała. Rozważajmy, jak dotąd, nieskończenie mały prostopadłościan mabcdefg (fig 65) jako element ciała. Każdej z trzech ścian jego, schodzących się w punkcie m, odpowiada pewne natężenie w tym punkcie, które uważać możemy za siłę wewnętrzną na jednostkę powierzchni ściany. Rozłóżmy natężenie, przypadające na ścianę móc, prostopadłą do osi x, na trzy natężenia, równoległe do osi spółrzędnych, któreto natężenia składowe oznaczmy odpowiednio przez p{,, pi2, pi3 ; natężenie ściany mca, prostopadłej do osi y, rozłóżmy podobnie na p2i,p₂₂, natężenie zaś ściany mab, prostopadłej do osi 0, rozłóżmy na £>₃₁, p₃₂, p₃₃. p^ polega na tym, źe pierwszy wskaźnik oznacza oś, do której ściana jest prostopadła, drugi zaś oznacza oś, do której natężenie jest równoległe, a wskaźniki 1, 2, 3 odnoszą się odpowiednio do osi x, y, 0. tęźeń jest funkcyją ciągłą spółrzędnych i czasu; mnożąc natężenie przez powierzchnią ściany, otrzymamy odpowiednią składową siły wewnętrznej, do téj ściany przyłożonej. Oprócz tych sił działają na masę elementu wiadome siły zewnętrzne, bądźto rzeczywiście przyłożone, jak np. siła ciężkości, bądźteź zastępujące pewne warunki i połączenia, a będące wielkościami tego samego rzędu, co objętość elementu. Składowe całkowitej siły zewnętrznej oznaczymy przez X.dY, Y.dY, Z.dY, gdzie dY = äxdyds; X, Y, Z możemy rozumieć jako

Znakowanie

Każde z tych na-

Granicą spoiną punktów przyłożenia sił X JV, YdY, ZJV jest punkt S, moment każdej z tych sił względem powyższych prostych jest zatym równy zeru. Siły wewnętrzne, jednostajnie na ścianach rozmieszczone, możemy przyłożyć do środków ścian odpowiednich, z czego się okazuje, że momenty sił normalnych p, idy de, p₂₂dedx, p₃₃ dxdy, tudzież sił normalnych, działających na ściany przeciwległe, są także równe zeru. Jeżeli na ścianę mb cg działa siła styczna pl2dyde, równoległa do osi y, to na ścianę przeciwległą adef, której wierzchołek a ma spółrzędne (x -f dx, y, 0), przypadnie w kierunku osi

siły. przypadające na jednostkę objętości. Przyłożywszy do elementu wszystkie, siły, możemy go uważać za swobodny. Po odkształceniu zachodzi równowaga, a ponieważ wiadomo (art. 104), że warunki równowagi elementu sztywnego zachodzą także dla elementu sprężystego, przeto suma momentów sił, wziętych względem trzech prostych Sæ, Sy, Se, poprowadzonych przez środek masy S elementu równolegle do krawędzi, jest równa zeru dla każdej z tych prostych.

bp 12

dx^ dyde\ momenty tych sił względem Se wynoszą odpo-

Na . ścianę mace

y siła -(*,.+ dx

.    .    -, ₇ dx .    (    dp,2 7^7 7 dx

wiednio —pl2 dy de. — 1 — ^p₁₂ + dxj dy de . — .

działa w kierunku osi x siła p2tdedx, a na ścianę przeciwległą bdfg siła

\    dw

dyjdedx; momenty tych sił względem Se są p2ldedx.

bp‘i\

dy

— {pn +

i (pu + ~^~dy^ dedx. . Pozostałe siły wewnętrzne nie dają momentów

względem S#, one są bowiem bądź równoległe do Se, bądźtóż przecinają tę prostą. Równanie zatym momentów względem Sć będzie p₁₂ dx dy de -f-

1    dp₂₁

2    ' dy

skrócimy przez dx dy de i zatrzymamy tylko wielkości skończone, to mieć będziemy pl2 = p2X. Podobnie otrzymamy dwa inne równania p₂₃ =p₃₂, p3t — =Pi3, biorąc momenty względem Sæ i Sy. Natężenia stycene dwu ścian pro-stopadłych, tueigte tu kierunkach prostopadłych do tychże ścian, są międey sobą równe. Pośród więc dziewięciu natężeń w punkcie m jest tylko sześć różnych od siebie Pw, p₂₂, p₃₃, p,₂, p%₃, p₃i.

Poprowadźmy płaszczyznę przez punkty a, b i c; ona oddzieli od prostopadłościanu nieskończenie mały czworościan o wierzchołkach m, a, b, c, który jest także w równowadze. Siły zewnętrzne, działające na ten czworościan, są nieskończenie małymi rzędu trzeciego, a siły wewnętrzne, do jego ścian przyłożone, są nieskończenie małymi rzędu drugiego; możemy zatym przy rozważaniu równowagi pominąć siły zewnętrzne, badając równowagę samych sił wewnętrznych. Z równowagi sił wewnętrznych wynika, że siła wewnętrzna, przyłoźo-do ściany a b c, jest równa i wprost przeciwna wypadkowej sił wewnętrznych, odpowiednich ścianom, schodzącym się w punkcie m. Ponieważ każda ściana mab,mbc, mca jest rzutem prostokątnym ściany abc, a natężenia po dwu

dy.dxdyde — 0, Jeżeli

dx . dx dy de —p₂, dx dyde — —

1 dp j ₂

' 2 ’ dx

na

stronach elementu płaskiego są równe i mają kierunki przeciwne (art. 176), przeto widzimy, że siła, odpowiednia stronie zewnętrznej ściany ale, jest wy" padkową sił, działających na strony zewnętrzne jéj rzutów prostokątnych, schodzących się w punkcie m. Ten związek widocznie utrzymałby się, w razie gdybyśmy rozważali rzuty ukośne ściany ale. Przyjmując następnie, że wymiary czworościanu dążą nieograniczenie do zera, wniesiemy, że ściany przechodzić będą przez ten sam punkt m, i otrzymamy następujące twierdzenie: siła wewnętrzna w punkcie względem danego elementu płaskiego jest wypadkową sił wewnętrznych, odpowiednich rzutom tego elementu na trzy płaszczyzny, przez tenże punkt przechodzące (tw. Cauchy’ego). To twierdzenie stosuje się także do ciał sprężystych, w których zachodzi ruch wewnętrzny; albowiem siły stracone, wprowadzone przez zasadę d’Alembert’a, są nieskończenie małe rzędu trzeciego, pominięte więc być mogą w obec sił wewnętrznych.

182. Natężenia główne. Bozważajmy element płaski dco, zawierający punkt m ; a, l, c niech oznaczają dostawy kierunkowe normalnej do tego elementu ; a, ß, y dostawy kierunkowe natężenia p tego elementu w punkcie m. Wystawiając w m układ prostokątny osi, rzućmy d w na jego płaszczyzny, to adio, Id co, cd(o będą odpowiednio rzutami w kierunkach osi. Z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że ap. dm ==. apiX . dto + lp2l. dco + -f- cpji .d(o, albo, po skróceniu przez d(o,

(1)

ap — apn+lpu + cp3l, i podobnie ßp = apl2 + lp₂₂ + cp₃₂, tp = apvs + lp₂₃ + cp₃ 3,

gdzie pik oznaczają składowe natężeń rzutów elementu, wzięte w kierunkach osi, jak w art. 181-ym. Oznaczmy przez Pi,p₂,p₃ natężenia, odpowiednie tym rzutom, a przez a,-, ß*, yif gdzie i= 1,2,3, ich dostawy kierunków; otrzymamy

(2)

Pu = *iPi,Pi* = $tPi, Pi3 =hPi \P₂\ =a₃^₂₎p₂₂ = ß₂p₂,

P%3 — Y2T2 i P^l —— a3P3 J Pi2 — ßsP3 > Pi3 —— tiPi'

Podstawmy te wartości w równania (1) i obliczmy sumę kwadratów odpowiednich stron tych równań, otrzymamy

p²z=pl²a² + p₂²l² + p₃²c² + 2 (a₂a₃ + ß₂ß₃ + t₂t₃)p₂Pi- lc + 2 (a₃a, + + ßß ßi d~ Ï3Ti)jP3i>i. Ga ~ł~ 2 {ava.₂ + ßjß₂ +    P1P2'

Jeżeli przyjmiemy dla krótkości

( A = (oc₂a₃ + ß₂ ß₃ + y₂y₃) p₂p₃ =p₂p₃ cos (p₂,p₃), B rr p₃px cos {p₂,px). ^ (O =zptp₂ cos (pt ,jp₂), to mieć będziemy

(4)

p² ■=. py² a² f- p₂²b²    p₃²c² + 2 A.ic-f-2B.ca + 2C.a5.

Z tego wzoru okazuje się, że dość znać wielkości i kierunki natężeń trzech elementów płaskich, przecinających się w danym punkcie pod kątami prostymi, aby obliczyć wielkość natężenia dowolnego elementu, przez tenże punkt przechodzącego. Odetnijmy na kierunku natężenia p od punktu m

w obie strony długość, przedstawiającą p, i niech x, y, z oznaczają spółrzędne punktu końcowego jednego z tych odcinków, wzięte względem osi ukośnych, mających kierunki natężeń px, p₃,p₃; wówczas ap — a, x + a₂y -f- a₃ z, a ponieważ według (1) i (2) ap = ax a px + a₂bp₂ -f- a₃ cp₃, przeto x — aplf y=- bp₂, z =■■ cp₃. Wstawiwszy te wartości w równanie a² b² + + c² =^: 1, otrzymamy

(5)

x²    y²

zr~2 * m 2

-4---— 1

Pi²    ^3²

jako równanie miejsca gieometrycznego punktów (x, «/, #). To równanie przedstawia elipsojdę, której środkiem jest punkt m, a dla której kierunki natężeń px, p₂, p₃ przedstawiają kierunki trzech średnic sprzężonych. Nazywamy tę powierzchnią elipsojdą natężeń w punkcie rozważanym. Długości jej średnic są proporcyjonalne względem natężeń w kierunkach tych średnic.

Pi

Osi główne tej elipsojdy przedstawiają kierunki trzech natężeń, do których odpowiednie elementy są prostopadłe. A zatym przez każdy punkt ciała sprężystego można poprowadzić trzy płaszczyzny, do siebie prostopadłe, które doznają tylko natężeń normalnych. Natężenia, zachodzące w .kierunkach osi elipsojdy natężeń, zowiemy natężeniami głównymi w punkcie rozważanym. Jedno z tych natężeń jest bezwzględnie największe, jedno zaś najmniejsze ze wszystkich natężeń w tym punkcie. Obierzmy kierunki natężeń główmych za kierunki osi spółrzędnych i niech px, p₂, p₃ oznaczają te natężenia; wówczas pxx —px,p₂₂ =P₂,Pm = Ps,Pn = 0,p,₃— 0,p3x = 0; otrzymamy więc według (1)

ap — apx, [ip — bp₂, yp — cp₃,

(6)

p ~ ± J/ a²px ² -p b² «2² -f- c²p₃²

a = — a, ß = — b, y = — c. p    P    P

Znając natężenia główne co do wielkości i kierunku, możemy według tych równań dla każdego elementu płaskiego o danym kierunku (a, b, c) podać wielkość i kierunek odpowiedniego natężenia. Mając dany kierunek natężenia, możemy łatwo znaleść kierunek elementu, któremu to natężenie odpowiada. Jakoż gdy dane są a, ß, y, to według (6) równanie płaszczyzny elementu (a, b, e) będzie

(7)

“ + ?*! + ÏÎ = o

PI P2 Pi

Weźmy powierzchnią rzędu 2-go

(8)

+ £ +    = ± i,

Pi Pa

której środkiem jest punkt m; z porównania wzorów (7) i (8) widzimy, że płaszczyzna szukanego elementu jest sprzężona z kierunkiem danego natężenia względem powyższej powierzchni. Powyższą powierzchnią nazywamy powierzchnią kierującą. Mając tę powierzchnią, tudzież elipsojdę natężeń, możemy następującym sposobem wyznaczyć związek między elementem a jego natężeniem: znalazłszy średnicę, sprzężoną z płaszczyzną elementu względem powierzchni kierującej, mieć będziemy kierunek natężenia; długość odpowiedniej średnicy elipsojdy natężeń wyznacza wielkość natężenia.

Jeżeli natężenia główne mają ten sam znak, to powierzchnia kierująca jest elipsojdą; jeżeli te natężenia mają znaki różne, to ta powierzchnia składa się z dwu hiperbolojd sprzężonych, jedno — i dwupowłokowej. W pierwszym przypadku niema w punkcie rozważanym żadnego elementu płaskiego, którego natężenie miałoby kierunek, przypadający na jego płaszczyźnie, z czego wynika, że każdy element doznaje pewnego natężenia normalnego. W drugim przypadku elementy, leżące na płaszczyznach stycznych do stożka asymptotycznego, doznają natężeń w kierunkach prostych ich styczności, a zatym doznają natężeń na swoich płaszczyznach, wskutek czego nie doznają natężeń normalnych.

Jeżeli natężenia główne są sobie równe, natenczas otrzymamy kulę zamiast elipsojdy natężeń, a wtedy każdy element, przesunięty przez środek kuli, doznawać będzie tylko natężenia normalnego, a te natężenia są równe we wszystkich kierunkach. I nawzajem: jeżeli elementy, przez tenże sam punkt przechodzące, doznają tylko natężeń normalnych, natenczas te natężenia są równe we wszystkich kierunkach.

Poprowadźmy przez punkt m element d w ' na płaszczyźnie (a',b',c')7 którego natężenie p' niech ma kierunek (a', ß', 7r). Obliczywszy według (6) rzuty a'p\ $'p’, ^pr natężenia^»', rzućmy natężenie p elementu dto na normalną do elementu da', a natężenie p' na normalną do elementu do>; natenczas p (aa' + ßö' + yc') = p' (a'a + ß'ö + y'c), z czego wynika twierdzenie ogólne: jeżeli diva elementy płaskie przechodzą przez ten sam punkt, to rzut natężenia pierwszego elementu na normalną do drugiego elementu jest równy rzutowi natężenia drugiego elementu na normalną do pierwszego elementu. Tego twierdzenia szczególnym przypadkiem jest podane wyżej twierdzenie, z którego wynikało, źepik — pki.

Weź-

183. Równania równowagi i równania ruchu elementu. my znowu pod uwagę nieskończenie mały element równoległościenny wewnątrz ciała sprężystego. Na jednostkę jego objętości przypadają w punkcie m siły zewnętrzne X, Y, Z, które zmieniają się w ogólności od punktu do punktu, a na cały element działają siły zewnętrzne tego samego rzędu nieskończenie małe, co jego objętość. Natężenia w punkcie m są wielkościami skończonymi, a jeżeli przechodzimy z tego punktu do innego punktu, nieskończenie bliskiego, to natężenia zmieniają się o wielkości tego samego rzędu, co odległość tych punktów, przez co jest zapewniona ciągłość w rozmieszczeniu natężeń wewnątrz ciała. Do ścian elementu są przyłożone siły wewnętrzne nieskończenie małe tego samego rzędu, co powierzchnie tych ścian. Jeżeli z jednej ściany przejdziemy do nieskończenie bliskiej ściany równoległej, to

siła wewnętrzna zmienia się o wielkość nieskończenie małą tego samego rzęcłu, co objętość elementu. Z tego okazuje się, że siły zewnętrzne elementu są nieskończenie małe tego samego rzędu, co różniczki sił wewnętrznych, że zatym przy rozważaniu równowagi lub ruchu elementu nie można sił zewnętrznych porównywać z siłami wewnętrznymi, lecz tylko z różniczkami sił wewnętrznych. Równania zatym równowagi i równania ruchu elementu będą wyrażały związki między siłami zewnętrznymi elementu a różniczkami sił wewnętrznych, czyli między siłami zewnętrznymi dla jednostki objętości a pochodnymi sił wewnętrznych dla jednostki powierzchni.

(pu+

dx^ dydz, suma tych sił wynosi dx dy dz, jest więc wielkością rzędu trzeciego, jak zapowiedzieliśmy wyżej. Podobnie otrzymamy -dxdydz jako sumy sił, działających na ściany, prostopa-

Rozważajmy siły w kierunku osi x i wyraźmy warunek, żeby ich suma była równa zeru, przyjmując, że w ciele nie zachodzi ruch wewnętrzny. Na ścianę mb c g (fig. 65.) działa siła — pndydz, a na ścianę przeciwległą siła à Pu

dx

dpi

dz

dxdydz i

dłe do osi y i do osi z. Ponieważ X dx dy dz jest siłą zewnętrzną, przeto szukany warunek jest

X dx dy dz -j- dx dy dz +

⁽hhi

dy

dx dy dz -f dx dy dz — 0.

Dzieląc przez objętość elementu i postępując podobnie z siłami równoległymi do osi y i do osi z, otrzymamy następujące trzy równania równowagi elementu, mające kształt zapowiedziany,

(1)

Ä + dx ⁺ dy ⁺ dz ~ ’ dPu , àp₂₂ dp₃₂ _

⁺ ~d7 ~ °’

dx

-f

dy

I ₇ , àpu dp₂₃ dp₃₃

lz +    + ⁺

dz

= 0.

Warunki równowagi momentów sił podaliśmy w art. 181-ym, a mia

nowicie :

(2)

Pl 2 Pili P23 P‘32 ? Pil Pli'

Niech na powierzchnią ciała działają także pewne siły wiadome. Poprowadźmy przez punkt {x, y, z) na powierzchni płaszczyznę styczną i obierzmy na niej element, zawierający ten punkt; p niech oznacza natężenie w tym elemencie, mające kierunek (a, ß, y); a, b, c niech określają kierunek normalnej zewnętrznej do tego elementu. Powyższe wielkości są wiadome. Prowadząc przez ten punkt trzy elementy płaskie, równoległe do płaszczyzn spółrzędnych, otrzymamy według (1) art. 182-go następujące równania:

(3) ap = apn -f- bp2l + cp3l, ßp = apn -f bp₂₂ + cp₃₂, TP = cipl3 +

-f bPzi + CPii,

d²u

które wyrażają tak zwane warunki krańcowe t. j. zachodzące w każdym punkcie na powierzchni ciała.

Z zasady d’Àlembert’a łatwo otrzymać równania ruchu wewnętrznego ciała sprężystego, t. j. takiego ruchu, podczas którego każdy punkt porusza się bardzo mało z tego położenia, jakie on zajmuje w stanie naturalnym ciała. Przesunięcia u, v, w punktu są w tym przypadku funkcyjami czasu i spółrzę-dnych miejsca, około którego ruch punktu zachodzi; pochodne tych przesunięć względem czasu przedstawiają przeto prędkości i przyśpieszenia punktu. Je-

^ dx dy da,

\

) dx dy da przedstawiają siły straco-

żeli a oznacza gęstość ciała w punkcie (x, y, a), to — o ^ Y — o dx dy da, ^ Z —

dt²

d²w ° ~d¥

ne; wstawiwszy te siły, wzięte dla jednostki objętości, zamiast X, Y, Z w równaniach (1), otrzymamy równania następujące ruchu wewnętrznego:

da

dy

d²u

a‘ ~ć¥

_ v , dp u , dp22 , dps2 —    ⁺ dx ⁺ dy . da ’

(4)

Ć²V

°* It²

_ ₇    , dpi3 dp₂₃ dp₃₃

-z + “ + ~ ⁺ Ti'

dy

dx

d²w °* ~d¥

Na powierzchni zachodzą zawsze równania (3), nie uwzględniamy w nich bowiem nieskończenie małych sił rzędu trzeciego, a zatym i sił straconych.

184. Związki między odkształceniami a natężeniami. Podane równania, zachodzące w każdym elemencie ciała sprężystego, nie są dostateczne do zbadania stanu, jaki siły przyłożone w tym elemencie wywołują. Jakoż, dziewięć natężeń w punkcie m redukuje się, jak wiadomo, do sześciu, a równania (1) artykułu poprzedzającego są trzema związkami między tymi sześcioma natężeniami, które nie wystarczają do ich wyznaczenia. Równania (5) są także tylko trzema związkami między trzema przesunięciami i sześcioma natężeniami, nie pozwalają zatym zbadać ruchu elementu ciała sprężystego. Ze powyższe równania nie mogą wystarczyć dla mechaniki ciał sprężystych, okazuje się wprost z tego, że przy ich wyprowadzeniu nie uwzględniono téj okoliczności, iż ciało odkształcone nie doszło do granicy sprężystości doskonałej, którato okoliczność musi się oczywiście wyrazić przez pewne związki między natężeniami a odkształceniami, cechujące właśnie odkształcenia sprężyste. Te związki będą stanowiły nowTą zasadę dla dochodzenia skutków działania sił na ciała sprężyste, która łącznie z poznanymi dotąd zasadami pozwoli rozwiązać zagadnienia dynamiki ciał sprężystych.

Taką zasadę, pozwalającą rozwiązać zadania dynamiki ciał sprężystych, podał R. Hooke dla najprostszego przypadku prętów, wyciąganych w kierunku swej osi. Wyraził ją w słowach: ut tensio sic vis, to znaczy, że, gdy ciało nie dochodzi do granicy sprężystości, wydłużenie pręta jest proporcyjonalne względem siły wydłużającej, a zatym względem natężenia w kierunku téj siły.

W celu uogólnienia téj zasady, rozważajmy element równoległościenny ciała sprężystego, do którego ścian są przyłożone siły normalne i siły styczne. Każde wydłużenie i każde posunięcie się będzie wogólności skutkiem działania wszystkich sił, a jeżeli przyjmiemy prawo niezależności skutków, według którego każda siła wywołuje odpowiednie odkształcenie, niezależnie od działania innych sił, to każde wydłużenie i każde posunięcie się będzie sumą odkształceń tego samego rodzaju, wywołanych przez siły oddzielnie przyłożone. Wiążąc to prawo, zwane także prawem superpozycyi (dołączenia do siebie) skutków, z zasadą Hook’a, prowadzącą do związku linijowego między jednym wydłużeniem i jednym natężeniem, dochodzimy do następującej zasady ogólnej : aż do granicy sprężystości związki między odkształceniami i natężeniami icyrażają się przez funkcyje linijowe.

Wyrażeniem analitycznym téj zasady jest następujący układ równań:

Pu =aiK + ki X₂ + C{ X₃ + di <pt -f et cp₂ + /, <p₃,

(1)

Pm — a₂ X, -f- k₂ X₂ + c₂ X₃ + d₂ <p, -j- e₂ <p₂ -f- f₂ (p₃, p₃₃ =z a₃ Xt -f- b₃ X₂ + c₃ X₃ -j- d₃ cpi e₃ y ₂ -\- fs 3 ? pl2 — a^Xt -f- kiX₂ -f-    "ł~    ^4^1 U 64 rf‘i d⁻ f'k ^3 ?

P23 =    + kr₀ X₂ + c- X₃ + d₆ 9, + e₅ <p₂ + /₅ <p₃,

4*31 ⁼    ^1 + X₃ + c₆ X₃ + d₀ cpi + e₆ <p₂ + /o ?3 5

w których spółczynniki a, k, c, «!, e, / zależą od natury fizycznej ciała sprężystego i sposobem doświadczalnym mają być wyznaczone. Zachowywanie się więc ciała sprężystego względem sił odkształcających wyrażamy ogólnie przez trzydzieści sześć spółczynników, każdemu ciału właściwych.

Mając teraz pik wyrażone przez X,- i <p,-, wyraźmy następnie X, i cp, według art. 177-go przez pochodne trzech przesunięć u, v, w, i wstawmy te wartości w równania równowagi lub w równania ruchu ; otrzymamy trzy równania różniczkowe między trzema przesunięciami, siłami, spółrzędnymi i czasem, z których będziemy mogli obliczyć te trzy przesunięcia. Z tych przesunięć obliczymy następnie natężenia.

185. Spółczynniki sprężystości. Zanim podamy równania różniczkowe między przesunięciami, siłami, spółrzędnymi i czasem, określające równowagę lub ruch wewnętrzny ciała sprężystego, wyprowadzimy pewne własności spółczynników równań (1) art. 184-go, które wynikają z rozważania pracy przygotowanej sił wewnętrznych.

Udzielmy ciału sprężystemu ruchu przygotowanego, i niech wskutek tego ruchu spółrzędne punktu x + u, y + v, zĄ-w przyrosną odpowiednio o du, dv, dw. Ponieważ zaszło odkształcenie każdego elementu ciała, przeto siły zewnętrzne i siły wewnętrzne wytworzyły pracę przygotowaną. Suma prac

dpn

siły —Pn . dy dz i siły (p,, + •—p₂₁. dz dx i ^p₂, -f-

dp₂1

dy

dx

doc^ dy dz wynosi

dy^j dzdx zaś du .

dp2l

dy

du . dx dy dz; siły dx dy dz; a siły—p₃,. dxdy

^ dxdydz. Z innych sił wewnętrznych

(i^i + dzj dx dy wynosi du .

dpsi

nie wynika praca ze względu na drogę du, gdyż są prostopadłe do osi x. Suma-więc prac sił wewnętrznych ze względu na drogę przygotowaną du będzie dla

elementu ciała du    ^    P⁰^°^ne otrzymamy

wyrażenia prac ze względu na drogi przygotowane dv i dw. Praca sił zewnętrznych elementu wynosi (X . du -f- Y . dv -f- Z . div) dxdydz. Dodając prace wszystkich sił elementu i biorąc całkę téj sumy dla całego ciała, otrzymamy następujące wyrażenie pracy przygotowanej §11 wszystkich sił

(1) 811 =

du

( àPn

\ dx

dy

dz

dp 12 I dp 22 I dpsi dx dy dz

âPl3 , âP*3 ■ dx ' dy dz

àP33

)!

dx dy dz +

~r

(X . du + Y. dv + Z . §w) dx dy dz,

co możemy krócej napisać

(2)

§n = au + §w,

oznaczając przez §U pracę sił wewnętrznych, a przez §W pracę sił zewnętrznych.

Każdy wyraz w SU możemy raz całkować częściowo. Całkując tym sposobem pierwszy wyraz względem x i zważając, że    , otrzymamy

dpi

du. -w - dx dy dz =

OJC

[p, i. du] dy dz —

du

pM. § — dx dy dz.

Całkę podwójną po prawej stronie tego równania obliczymy (art. 122), rzucając powierzchnią ciała na płaszczyznę y z, obierając wewnątrz tego rzutu punkt (y, z) za wierzchołek prostokąta elementarnego o bokach dy i dz, prowadząc przez ten punkt prostą, równoległą do osi x, dla każdego punktu, w którym ta równoległa przecina powierzchnią ciała, obliczając iloczyn pu du, następnie zaś biorąc różnicę [pn 8m] tych iloczynów dla każdej pary następujących po sobie punktów, i nakoniec obliczając sumę [p, t $w] dydz dla całego pola rzutu ciała na płaszczyznę y z. Całkowanie potrójne po prawej stronie ostatniego równania rozciąga się na całą objętość ciała. Obierzmy na powierzchni ciała element dm i poprowadźmy w nim normalną, zewnętrzną do téj powierzchni, i niech a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe téj normalnej. Po-■ stępując podobnie, jak w art. 122-gim przy obliczaniu wzorów Gauss’a, otrzymamy

i du] dy dz =z^ap{, du dm.

Stosując to przekształcenie do wszystkich całek w 5U, otrzymamy

du (apu+bp2l + cpsi) + 8v (apn + t>p₂₂ + cp&) +

+ div (apl3 4- bp₂3 + cp₃₃)j . dm —

du

dv

ÓW

+ Ä3« ól

+p'^{^ ⁺ ^)\dxdyal'

czyli ze względu na równania (2) i (3) art. 177-go,

SU =J|öw (apu + bp,v + cp3l) + 8v (ap₁₂ + bp₂₂ + cp₃₂) + + o w (apl3 + bp₂₃ + cp₃₃)J dm

(3)

jj jj ^(Pi i dXt Ą-p₂₂ SX₂ “f⁻P:i3

dX₃ +P23    1 +

+i>3i dff₂ + P12 dę₃) dx dy dg.

Całka podwójna rozciąga się na powierzchnią ciała, a zatym odpowiednie natężenia mają być w niej brane ze względu na siły wiadome, przyłożone do powierzchni ciała; całka potrójna stosuje się do całej objętości ciała. Z równań (3) art. 183-go wynika, że całka podwójna w (3) wyraża pracę układu sił, przyłożonych do powierzchni ciała, że zatym całka potrójna w (3) wyraża pracę układu sił międzycząsteczkowych, pojawiających się wskutek odkształcenia. O układzie takich sił, które są funkcyjami doskonałymi odległości dwu cząsteczek (art. 176), wiadomo z art. 82-go, że on posiada potencyjał; powyższa zatym całka potrójna równa się waryjacyi potencyjału sił międzycząsteczkowych.

Jeżeli więc całka potrójna    (X,,

h, Tu ?2> <ps) dxdydz

dF

przedstawia ten potencyjał, to z równania (3) wynika, i&pn=.——

O Aj

Ponieważ natężenia

P22 —

dF

dF

dF

dF

dF

dcp₂ ’ ^¹²    d<f>₃

~dX₂

Puc są funkcyjami jednorodnymi i linijowymi wielkości -<pif przeto F jest funkcyją jednorodną stopnia 2-go tych wielkości. Potencyjał układu sił między cząsteczkowy cli wyraża się przez funkcyją jednorodną stopnia 2-go wydłużeń i posunięć, a natężenia są pochodnymi cząstkowymi téj funkcyi.

d<Pi

Funkcyja F zawiera sześć kwadratów argumentów X,-, <pf, tudzież piętnaście iloczynów tychże argumentów po dwa, razem tedy dwadzieścia jeden wyrazów o tyluż spółczynnikach. Ponieważ tóźsame spółczynniki wchodzą w równania (1) art. 184-go, przeto widzimy, że zachoioywanie się ciała sprężystego względem sił odkształcających daje się określić w ogólności przez 21 spółczynni-ków, że zatym między 36 spółczynnikami a, b, c, d, e, f art. 184-go zachodzi w ogólności 15 związków, niezależnych od natury ciała. Te związki są, jak wiadomo :

d²F __ d²F    à²F _ d²F jPF d²F

dXidXk dXkdXi ’ d\idyk dyk dXt- J d<p{dcp*

d(pkd(pi *

186. ' Ciaea równokierunkowe. Podana ilość spółczynników zmniejsza się znacznie dla ciał, których cząsteczki są ułożone symetrycznie względem pewnych płaszczyzn lub prostych. Aby to okazać, zmieńmy na chwilę znakowanie, kładąc zamiast Xn X₂, X₃, cp,, <p₂, <p₃ odpowiednio €„ i₂, i₃, £₄, £₅, £₆; funkcyją F możemy napisać w kształcie

(1)

F = S (au id -f- 2 aik ii ik) ; i, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Przypuśćmy, że w elemencie ciała, zawierającym punkt m, ułożone są cząsteczki symetrycznie względem płaszczyzny yz, przez ten punkt przechodzącej. Wtedy nie zmienią się związki między p i X, jeżeli osi x nadamy kierunek przeciwny, nie zmieniając osi y i z; a zatym funkcyja F pozostanie także niezmieniona. Ponieważ x i u wskutek téj zmiany znaki swe zmienia, przeto <p2 i <p₃ również zmienią znaki, a reszta argumentów zostanie ta sama. Żeby zatym funkcyja F nie zmieniła się, muszą być równe zeru te spółczynniki aik, dla których wskaźnik i ^ 5 lub 6, zaś wskaźnik k = 5 lub 6, a więc $l5 = 0, $25 —— 6, $35 — 0, $4- ■ i - 0, $i5 — 0, $20    ■ 0, $30 —- 6, $40    ■ 0. .Pozostaje więc

w téj funkcyi tylko 13 spółczynników. Jeżeli zachodzi nadto symetryja względem płaszczyzny zx, to będzie jeszcze $₁₄ = 0, $₂₄ = 0, $₃₄ = 0, $₅₆ = 0,aF posiadać będzie tylko 9 spółczynników; wstawiając przeto ponownie X i cp, mieć będziemy

(2) F = $,₁X₁²+ $22 X₂² + $33 X₃² 4- $₄₄ Cp!² + $₅₅ <p₂² + «0G <p₃² + 2 $l2 X, X₂ +

4~ 2 $23 X₂ X₃ 4~ 2 $₃₁ X₃ X,.

Z tego wyrażenia widzimy, że układ cząsteczek jest symetryczny względem płaszczyzny xy.

Z równania (2) otrzymamy dla takiego układu cząsteczek

(3)

Pu 2 ($| iX₄ 4~ $12 X2 4~ öi3 X3j, P22 —' 2 ($12 Xj 4~ ^22 X2 4- ®23 X3),

P33 —- 2 ($1 3 X| 4— $23 X₃ 4" ć*33 X3)} P23    ■ #44 41 ? P3I —: #55 ^2 1 Pl2- #60 ^3 ;

Przypuśćmy nadto, że zachodzi symetryja w układzie cząsteczek względem osi x. "Wtedy nie zmieni się funkcyja F, jeżeli obrócimy osi y i z około osi x i wstawimy w (2) nowe argumenty, tym sposobem otrzymane. Gdy obrócimy osi y i z o bardzo mały kąt s, to dostawy ich nowych kierunków y' i z' będą odpowiednio (0, 1, s) i (0, — s, 1), jeżeli pominiemy e² i potęgi wyższe.

31

Bibl. luat.-fiz., S. IV, T. X.

Oznaczając kreską u góry odpowiednie tym kierunkom argumenty X i cp, otrzymamy z równań (4) i (5) art. 178-go,

X/—Xj, X₂r— X₂-[-£<pi, X₃ł— X₃ ®Ti’ Tif— Ti+^£0“3    X₂), <p₂r— <p₂    £(f3}

W — ^3 ~{~ S(p2'

Z tych równań wynika

Xi^Xj^^ X₂ X₂f sfi, X₃ = X₃r-[-£ Tif? cpt = cptr2 £ (X₂f—X₃f), (p₂=r(p₂'-j-£(p₃',

?3 ⁼ ^3^    £(?2 •

Wstawiwszy te wartości w (2), mieć będziemy

F — $11 X/²+ $22 ^2,2-ł~ $33 ^*3f2 H⁻ $44 ^If2 ”f" $55 ⁽?2²~ł~ $60 ^3² "f" 2 $12 Xj ' X₂f —f—

4- 2 $₂₃ X₂' X₃f-f- 2#₃₁ X₃f X, ' — 2 £ ($i2 — #13) W Tif 2 £ ($₂₂    2 $₄₄    $23) ^2f Ti f +

+ 2 £ ($₃₃ ⁻-2$₄₄    $23) X₃' (p/ -[-2 e ($55 — $ß6) (f₂ cp₃\

Ponieważ funkcyja F nie zmieni się, przeto spółczynniki ostatnich czterech wyrazów są równe zeru, więc

$22 ~ $33 — $23 + 2 $₄₄, $55 — $00, $12 ⁼ $13, a zatym

(4) F — $11Xi—}— ($23+ 2$₄₄) (X₂² -j- X₃²) -j- $₄₄ <pi² -|- $55 (cp₂² + cp₃²) +

+ 2 $, ₂ Xj (X₂ -j- X₃) -f- 2 $₂₃ X₂ X₃.

Prostą mx nazywamy w tym przypadku osią sprężystości ciała. Żeby jeszcze oś y była osią sprężystości ciała, potrzeba, aby an = a₂₃ -j- 2$₄₄ — —— $12 + 2 $55, $₄₄    $55, $12 —— $23 j będzie więc

(5)

F = $,, (V + V +^3²) + $44 (Tl² + T2² + T3²) +

+ 2 ($11 — 2$₄₄) (X, X₂ + X₂ X₃ -{- X₃ X,),

Czyli

(6) F = $1 j (Xj + X₂ -f X₃)² -f- $₄₄ [<p₄² -f T2² + T3² — 4(X, X₂ + X₂X₃ + X₃ X₄ )J.

Niech pierwotne osi x, y, 3 mają kierunki wydłużeń głównych, i wystawmy w m trzy dowolne osi prostokątne x", y", 3", których dostawy kierunkowe niech będą odpowiednio $,-, bi, Ci, i = 1, 2, 3. Jeżeli X,", X₂,r, X₃", cp/', <p₂", <p₃" odnoszą się do tych osi, to będzie według (4) i (5) art. 178-go,

X/* — Ui+i + VX₂ + ^i²X₃ , X₂"=: $2²X, -f- 5₂²X₂ + c₂²X₃, X₃ff $₃²X₄ -j-+ &3² X₂ + <?₃² X₃, cp,"~ 2 ($i $2 Xj -f-    5₂ ^2 +    ^2 ^3)? T2,r —- 2 ($₂ $₃ X, -f-

+ b₂ b₃ X₂ -}- c₂ c₃ X₃), (p₃'r =2 ($₃ $1X, -}- b₃ bt X₂ -f- c₃ cx X₃).

Otrzymamy zatym, uwzględniając wiadome związki między dostawami kierunkowymi osi x", y", 3",

<P,    + V2"² + tJ'² - ⁴ (V V' + W + W) = - 4 (X, x₂ + x₂x₃ + X₃ X,),

z czego się okazuje, że funkcyja F, określona przez równanie (6), pozostaje tąż samą dla każdego układu prostokątnych osi spółrzędnycb. Jeżeli ta własność zachodzi w każdym punkcie ciała,'natenczas ciało posiada tę sarnę sprężystość we wszystkich kierunkach około każdego punktu. Takie ciało nazy-

TEORYJA SPRĘŻYSTOŚCI.— Ï86.

co

wamy według Cauchy’ego równokierunkowym (isotrop) i o sprężystości stałej. Do określenia, związków między natężeniami a odkształceniami ciała równokierunkowego o sprężystości stałej potrzeba i wystarcza znać dwa spółczyn-niki, któreśmy oznaczyli przez au i a₄₄. Funkcyja (5) łub (6), pozwalająca obliczyć potencyjał sił wewnętrznych takiego ciała, nie zależy od kierunków osi spółrzędnych.

Biorąc pochodne cząstkowe funkcyi F względem jej argumentów, otrzymamy dla ciał równokierunkowych o sprężystości stałej

Pi 1 — 2 [a, i Xj -f- (a, x 2 a₄₄) (X₂ -j- X₃)], ^>₂₃ = 2 a₄₄ j , P22 — 2 [a₁ j X₂ H~ {ax 1    2 a₄₄) (X₃ -p Xj)], psl — 2 a₄₄ cp₂ ^

( P33 = 2 [a, 1 X₃ -f (au — 2 a₄₄) (X, + X₂)],    =    2    a₄₄ cp₃<

Rozwiążmy pierwsze trzy równania względem X,, X₂, X₃ ; otrzymamy

ttjj 2$₄,

(7)

(8)

X, =

^44

a₄₄ (3 au 4 a₄₄)

Ihi —

(^22+^33)]

a przez przestawienie kołowe wskaźników obliczymy X₂ i X₃. Wprowadźmy

(9)

Ö44

ax t — 2 ait

______ __ Ü

2 a₄₄ (3a, t—4a₄₄) E 4a₄₄(3au — 4a₄₄) E J

gdzie E i oznaczają dwa nowe spółczynniki; wówczas będzie

¹ ~ ix

2 (1 + p) ' 1 — 2 {A

a wstawiwszy te wartości w (7) i (8), mieć będziemy

— ^ [Pu — P (A2 + jp₃₃)] , Ti =    ~

h—4 [Pa*—^ (^3 +jpn)j, T2 ²

jr [Ps₃ — P (Pn + P22)] , Ts = ²⁽¹jr--~

E

K¹ —    + P (^2+^3)]» ^²³~2(i _p

E

K¹ — p)^2 + {ł(X₃ + X₄)], ^31 = 2(1 _|_^

E

[(l~[A)X₃-f-^(Xi+X₂)], 4’i2 = 2(T+jÄ)

(10)

(U)

(12)

(13)

a 11 —

a₄₄ —

4(1+1*.)

X, =

x₃ =

Pu =

P22 —

P33 —

(1 + îa)(1—2[a)

(1+tO (1 — 2 [i.)

F=2(ÏTÎô(îH(X'+X2 + X3)2 +

JP23

IhaS

Ti »

Ta>

T3 !

+ ~2 [Ti² F T2² + T3²    4 Om ^2 + ^2 ^3 + ^3 ^i)]j •

Równania (11), (12) i (13) dają związki między p, X i <p dla ciał równokierunkowych o sprężystości stałej, wyrażone przez dwa spółczynniki E i ja. Ponieważ dla <pt — 0, cp₂ = 0, <p₃ = 0 jest także p₂₃ = 0, p3l = 0, p₁₂ = 0,

przeto w ciele równokierunkowym o sprężystości stałej kierunki wydłużeń głównych są zarazem kierunkami natężeń głównych. Osi elipsojdy odkształcenia i osi elipsojdy natężenia mają, więc tóźsame kierunki.

187. Równania kuchu i eównania równowagi ciau równokierun-kowych. Wyraźmy w równaniach (12) wydłużenia i posunięcia się przez pochodne cząstkowe przesunięć u, v, w względem x, y, z (art. 177), wstawmy tak przekształcone wartości natężeń w równaniach (4) art. 183-go, i przyjmijmy,

jak poprzednio, A =    ^ , gdzie A oznacza stosunek zmiany obję

tości elementu do jego objętości pierwotnej; otrzymamy po uproszczeniach następujące równania ruchu wewnętrznego ciał równokierunkowych o sprężystości stałej :

1 dA 1 — 2 {i " dx

E | d²u    d²u    d²u

2(1 -f- [i) ( dx²    dy²    dz²

d²u

co

d²v

d²v

d²v

a‘ dt2 d²w

° ' W

2(1 -J- jjl) i dx²

⁺w ⁺

d²v

dz²

E Jd²w    d²w    d²w

2(1 + jjl) I dx2    Aa‘²

dA)

dA

dz²

1 — 2 [i * dzf '

Jeżeli utworzymy równania, czyniąc równymi zeru lewe strony powyższych równań, to mieć będziemy równania równowagi elementu takiego ciała. Warunki krańcowe, oile one zależą od wiadomych sił zewnętrznych na powierzchni ciała, są, jak wiadomo:

dy

(2) ap — apn -f kpu + cp₃₁, $p = apn + bp₂₂ + cp3%, yp = apl3 + bp₂₃ + cp₃₃,

gdzie litery mają znaczenie takie, jak w art. 183-im.

Rozwiązanie zagadnienia o równowadze lub o ruchu ciała sprężystego, które posiada wymiary skończone, polega na całkowaniu powyższych równań. Chociaż nie znamy obecnie metody ogólnój do wyznaczenia rozwiązań ogólnych tych równań, możemy przecież z samego kształtu tych równań podać pewne własności ogólne ich rozwiązań, które stosują się do ruchów wewnętrznych przy działaniu sił, niezależnych od czasu.

Załóżmy, że siły X, Y, Z są tylko funkcyjami spółrzędnyeh x, y, z punktu uważanego, i wyznaczmy takie trzy funkcyje u\ v\ w' tych spółrzędnyeh, żeby dla każdego punktu

(3)

0==.X +

d²u¹ d²u' d²u' 1 dA'

2 (1 -j- |i) ( dx²    dy² dz²    1 — 2|i ‘ dx

du¹

eowym (2), oznaczając odpowiednie natężenia przez pik\ Niech teraz w ciele sprężystym przy działaniu tychże samych sił zachodzi ruch wewnętrzny, i nadajmy przesunięciom u, v, iv, liczonym znowu od stanu naturalnego, następujące wartości:

(4)

u — u' + u", v = v' -{- v", w = w' 4- w” ;

z równań (1) i (3), tudzież z warunków krańcowych (2) okazuje się, że

_ -- E !{)2u"

° ’ dt² 2 (1 + p.) j dx²

(5)

d²u"

dP-u" dHł[

+ — + Ijr +

dy

1_ dA"

1 — 2 [i ‘ dx

i że podobne zachodzą związki dla vn i wn-, gdzie A'-'    ŹO.—l    t

Odpowiednie warunki krańcowe będą

dx dy dz

apn" + bpïx" + cp₃₁" = 0, api2" + bp₂₂" + cp₃₂" = 0, ap₁₃" +

+ W' + cp₃₃" = 0,

(6)

00

Pik = Pik + Pik'.

Wielkości u", v", w" oznaczają przesunięcia punktu x, y, g z położenia równowagi, a ponieważ do ich wyznaczenia, jak widać z (5) i (6), prowadzą równania (1) i (2), gdy w nich przyjmiemy X = 0, Y = 0, Z — 0, p = 0, przeto mamy następujące twierdzenie, stosujące się przedewszystkim do drgania ciała sprężystego : drganie ciała sprężystego około położenia równowagi, odpowiedniego siłom przyłożonym, odbywa się tak, jak drganie tego ciała około położenia naturalnego, jeżeli żadna siła nie działa na to ciało. To więc ważne twierdzenie pozwala zagadnienie o drgauiu ciała sprężystego podzielić na dwie części: szukamy naprzód położenia równowagi każdego punktu przy danych siłach, skąd otrzymamy u\ v\ w\ pj, a następnie wyznaczamy drganie bez spółudziału sił, z czego wynika u'\ v"} w", pa'. Dodawszy odpowiednio do siebie te wielkości według (4) i (7), otrzymamy niewiadome u, v, w i p. — Rozwiązania ogólne równań równowagi, które otrzymujemy z równań (1), przyrównywając do zera ich lewe strony, mają także pewien kształt właściwy, cechujący tę równowagę. Gdy bowiem założymy, że ut, vu wx są rozwiązaniami szczególnymi tych równań, to łatwo już będziemy mogli okazać, że ich rozwiązania ogólne wyrajają się przez następujące funkoyje:

(8) u-=ux + c₂z—c₃y -j-Ct,, v = v₁ + c₃x—c₁z + C₂, w=wx +cly—-c₂x+C₃,

w których Cj i ^ oznaczają wielkości stałe. Jakoż, widzimy, że drugie pochodne cząstkowe funkcjyj u, v, w względem spółrzędnych mają te same wartości, co odpowiednie pochodne funkcyj ux, vx, u\ względem tych spółrzędnych; tudzież, że

du_    dv , dw du,    dvx    dwx

dx    dy dz    dx    dy    dz

Funkcyje u, v, w są więc rozwiązaniami równań równowagi, a ponieważ mają odpowiednią ilość stałych dowolnych, przeto są rozwiązaniami ogólnymi tych równań.

Ponieważ u, v, w są bardzo małe dla każdego punktu ciała, przeto stałe Q i Ci posiadają bardzo małe wartości. Z tego okazuje się (art. 24), że wyrażenia c₂z — c₃y -f Cj, c₃x — cxz + Ca, cxy — c₃x -j- C₃ przedstawiają odpowiednie drogi, któreby punkt (x, y, z) ciała sprężystego opisywał w kierunkach osi spółrzędnych, gdybyśmy to ciało uczynili sztywnym i udzielili mu w kierunkach osi spółrzędnych odpowiednio bardzo małych ruchów postępowych C„ C₂, C₃ i obrócili to ciało około tychże osi odpowiednio o bardzo małe kąty cn c2> c3 • Z tego wynika, że przesunięcia u, v, w dają się z równań równowagi tylko tak obliczyć, że ciało sprężyste może się jeszcze w przestrzeni poruszać przy sztywnym połączeniu jego jiunktów. Jeżeli przeto położenie równowagi takiego ciała ma być w zupełności wiadome, to musimy znać jeszcze 6 warunków, pozwalających obliczyć 6 stałych Cj, c*. Zagadnienia o równo-wadze ciał sprężystych dają się w zupełności rozwiązać, jeżeli oprócz warunków, właściwych każdemu takiemu zagadnieniu, znamy jeszcze sześć icarunków, określających położenie takich ciał, uważanych za sztywne.

Powiedzieliśmy, że nie znamy metody ogólnej całkowania równań równowagi lub równań ruchu ciał sprężystych. Nie pozostaje więc nic innego, jak w każdym zagadnieniu przyjmować wartości pewnych niewiadomych, bądźto natężeń bądź też przesunięć, polegając przytym na doświadczeniu, wstawiać, następnie te wartości w odpowiednie równania i obliczać resztę niewiadomych.. O ile takie postępowanie daje wypadki, zgodne z doświadczeniem, to okażemy w następujących zagadnieniach.

188. Wyciąganie geaniastoslupa lub walca. Niech będzie dany graniastosłup lub walec, którego podstawą jest jakakolwiek linija krzywa. Przyjmijmy, że jedna podstawa A walca jest utwierdzona, a na drugą podstawę równoległą B działają w kierunku tworzących walca siły rozciągające, jednostajnie na niej rozdzielone, przyczym na jednostkę pola tej podstawy przypada siła^. Niech zresztą żadne inne siły nie działają ani na powierzchnią ani na masę walca; pomijamy więc działanie siły ciężkości. Prosta, łącząca środki masy obudwu podstaw, którą nazwiemy osią walca, niech będzie osią x; środek masy podstawy A niech będzie początkiem x-ów, a kierunek od A ku środkowi masy podstawy B niech będzie kierunkiem dodatnych #-ów; osi y-ów i z-ów przyjmujemy prostopadle do osi x. Ponieważ siły zewnętrzne mają być z sobą w równowadze, przeto utwierdzenie podstawy A należy zastąpić siłą,• przyłożoną do jéj środka masy i mającą kierunek ujemnych x-óvf, która na jednostkę pola A ma natężenie p. Jeżeli po odkształceniu zachodzić będzie równowaga kazdego'elementu walca, to otrzymamy równania

(1)

JL dIżk 4.    — o ^ 4- ^    — 0    , ópi3 dp₃₃ __

dz

dx ^ óy ^ dz ’ dx ⁺ dy⁺~W ' ~djj + ~dy ⁺ ^

ponieważ X = 0, Y = 0, Z = 0. Warunki krańcowe są (art. 183):

a) dla podstawy A, czyli dla x = 0,

2)

— J, ó = 0, c = 0; a = —1, ß = 0, y — 0, natężenie = p\

b)    dla podstawy B, czyli dla x = L, gdzie L jest długością walca, a = 1, b = 0, c — 0 ; a, — 1, ß = 0, y = 0, natężenie =. p;

(3)

c)    dla każdego punktu na powierzchni bocznej walca mamy a = 0, Równaniom (1), tudzież warunkom krańcowym czynią zadość następujące funkcyje:

(4)

Pu =P, P22 — 0, p₃₃ — 0,    = 0, p3l = 0, pn = 0.

Wstawiwszy te wartości w równania (11) art. 186-go, mieć będziemy

(5)

|rib <Pi = 0, cp₂ = 0, cp₃ — 0.

Okazuje się więc, że walec wydłuża się w kierunku siły, a skraca czyli zwęża się w każdym kierunku, prostopadłym do siły. Ponieważ Xx jest stałe, przeto wydłużenie walca jest jednostajne, to znaczy, że każda n-ta część jego długości wydłuża się o n-tą część całego wydłużenia. Gdy przez l oznaczymy całkowite wydłużenie, otrzymamy

(6)

Xi =

l _p

Ti Ë’

a jeżeli P oznacza siłę wyciągającą, F pole podstawy, to z założenia mamy P — p F, a zatym

P.L

(7)

l P

F.E *

L ⁼ FE’ Skąd wynika ¹ =

Ten wzór wyraża zasadę Hook’a w najprostszym przypadku wyciągania prętów, i zgadza się w zupełności z wynikami doświadczenia. Według niego całkowite wydłużenie jest proporcyjonalne względem siły i długości, a odwro-tnie proporcyjonalne względem pola przekroju pręta, nadto zależy wydłużenie od materyjału pręta, co wyrażamy przez spółczynnik E. Znaczenie tego

spółczynnika okazuje się z równania (6), mamy bowiem E = j^-, ten więc spół-

czynnik wyraża stosunek natężenia, czyli siły na jednostkę przekroju, do wy*

dłużenia jednostki długości. Przyjmijmy jp = 1, to będzie E = a zatym

część

ten spółczynnik równa się także odwrotności wydłużenia, jakiego doznaje jednostka długości pręta, jeżeli na jednostkę przekroju działa siła wyciągająca równa jednostce. Tak określony spółczynnik E nazywamy spółczyn-nikiem czyli modułem sprężystości (w ściślejszym znaczeniu) materyjału równokierunkowego, z którego pręt sporządzono. Liczebna wartość tego spółczynnika zależy od miary siły i miary długości; przyjmując kilogram za jednostkę siły, centymetr za jednostkę długości, mamy np. dla żelaza kutego E = 2,000,000,to znaczy, że pręt żelazny o przekroju jednego centymetra kwadratowego, wyciągany siłą jednego kilograma, wydłuża się o -^ÖÖÖOOO swój długości.

Z równań (5) wynika X₂ = X₃ = — |j,X,; spółczynnik [i oznacza więc stosunek zwężenia (kontrakcyi) pręta w kierunku, prostopadłym do siły, do wydłużenia w kierunku siły. Nazywamy go z tego powodu spółczynnikiem zwężenia (kontrakcyi) materyjału pręta. Uważajmy w pręcie sześcian o krawędzi równej jednostce, którego ściany są równoległe do płaszczyzn spółrzędnych ; objętość jego zmieni się według równania (4) art. 177-go o

(8)

A = X, -j- X₂ + X₃ =• (1 — 2 ja) X, = (1 — 2 jj.) ^ .

Doświadzenia okazują, że objętość pręta zwiększa się przez wyciąganie, że

przeto A >» 0, z czego wynika, że (i <!    .

J

Mamy jeszcze z równań (5)

du p dv dw    p

dx    E ’ dy~ dz~    E P’

dw du__ du dv

.Rozwiązaniami ogólnymi tych równań są następujące funkcyje: .

dv

dw

dz dy

ŁxĄ- c₂ z — c₃y + C

v — -Wy + c₃x — clz + C₂,

¹⁰ ~ ~~ lf~ ⁸ + Cl y ~ c*x +

w których ci} 0* oznaczają stałe. Wartości tych stałych wynikają z warunków utwierdzenia pręta, gdy pręt uważamy za ciało sztywne. Utwierdzamy naprzód punkt A; mamy więc warunki u = 0, v = 0, w = 0, dla x = 0, y—0, z = 0, a zatym Cj^O, C₂ = 0, C₃ = 0. Następnie mamy znieść obrót około każdej prostej, przez punkt A przechodzącej, który daje się rozłożyć na obrót około prostej, leżącej na płaszczyźnie yz, i na obrót około osi x. Wskutek pierwszego obrotu opisuje punkt o spółrzędnych (0, dy, dz) w kierunku osi x

drogę    ty + ('j^)₀ ^z>    wskaźnik 0 oznacza wartości pochodnych

w punkcie x = 0, y—0; żeby przeto ten obrót był niemoźebnym, potrzeba aby

=    = ^ sk§4 wynika c₃ = 0, c₂ — 0. Wskutek drugiego

obrotu posuwa się punkt (0, 0, dz), obrany na osi z, o długość    ds w kie

= 0, a zatym

runku osi y; żeby znieść ten ruch, potrzeba więc, aby Ci = 0. Mamy więc

]xp

At- z

jako przesunięcia dowolnego punktu (x, y, z) pręta wyciąganego. Że te przesunięcia byłyby niemożebne przy sztywności pręta, okazuje się z porównania powyższych wzorów z równaniami (1) art 24-go.

àp₃i

-j-og~0; dwa inne równania zostają niezmienionymi,

0£

Niech pręt będzie wyciągany w kierunku pionowym i uwzględnijmy siłę ciężkości. Oznaczywszy przez c gęstość pręta, mamy X = cgf Y = 0, Z = 0, a więc zamiast pierwszego równania (1) następujące równanie równowagi: àpu àPîi,

dx

dy

jak również warunki na powierzchni. Będzie więc pn = C-—cgx, a ponieważ dla x = L, pu —p, przeto O = p + cg L, wskutek czego

(10) pn—p + cg (L — x), p₂₂ = 0, p₃₃ = 0, p₂₃ = 0, ^₃l=:0, i>₁₂=0.

Natężenie jest funkcyją linijową x, a dla x = 0, czyli dla podstawy utwierdzonej, będzie największeplt =p -f- cgL. Cały przyrost natężenia od podstawy swobodnej B do utwierdzonej A równa się ciężarowi słupa, wyciętego z pręta, którego podstawa jest równa jednostce. Wydłużenie w kierunku osi x przestaje być stałym. Mamy prócz tego

du

1 r    v -j dv dw

dx

¥[p + 0Sr(L-*)], -gj = Tl =

dv dw_ dw du_ du dv_.

dz dy ’ dx dz ’ dy dx

cgx²

-*!* <*■+**)].

(U)

skąd wynika przy uwzględnieniu warunków utwierdzenia: i [(i> + o^L) x

■|\py + °g(L — *0y]* w = — ^[p*4*9(L — x)z\.

Jeżeli pręt jest ściskany w kierunku osi, to należy w powyższych wzorach brać — p zamiast p.

189. Skręcenie walca. Niech środki masy wszystkich przekrojów walca znajdują się na jego osi (art. 188) i nazwijmy te punkty, w których prosta, równoległa do osi walca, przecina dwa przekroje, prostopadłe do osi punktami odpowiednimi tychże przekrojów. Jeżeli przesunięcia punktów odpowiednich dwu przekrojów, rozważane na płaszczyznach tych przekrojów w kierunku prostopadłym do osi walca, różnią się od siebie tylko obrotem około téj osi, a kąt tego obrotu jest ten sam dla punktów tego samego przekroju, wtedy odkształcenie walca nazywamy skręceniem. Przesunięcia dwu punktów odpowiednich w kierunku osi walca mogą być przy tym nierówne między sobą, a przekroje płaskie walca mogą się skrzywiać.

Obierzmy znowu oś walca za oś x, środek masy A przekroju utwierdzonego za początek, osi y i z na tym przekroju. Rozważajmy dwa przekroje w odległościach x i x -f- dx od A, i niech ten drugi przekrój obraca się względem 1-go o nieskończenie mały kąt 6 dx około osi x w kierunku od y ku z; wtedy punkt (y, z) na przekroju x-\-dx przesunie się w kierunkach osi y i z

względem punktu odpowiedniego na przekroju % o — bg . dx \ by .dx\ mamy więc

(1)

dv

dw

öx

jako równania cechujące skręcenie, w których 6 jest bądźto funkcyją x, bądź-tćż wielkością stałą. Przyjmijmy, źe do przekroju swobodnego B są przyłożone siły skręcające w jego płaszczyźnie, i że zresztą ani na masę, ani na powierzchnią boczną walca żadne siły zewnętrzne nie działają. Podzielmy przekrój A prostymi, równoległymi do osi y i do osi g, na prostokąty elementarne, i wystawmy na tych prostokątach prostopadłościany. One mieć będą krawędzie, równoległe do osi x\ będziemy je nazywali włóknami walca. Przyjmiemy, źe te włókna nie doznają ani wyciągania, ani żadnego działania bocznego, wtedy w każdym punkcie walca ^,, = 0, p₂₂ = 0, p₃₃ — 0, p₂₃ = 0, a więc, każdy element równoległościenny doznaje tylko natężeń stycznych p12 i Pj₃, równoległych do y i g i działających na płaszczyźnie przekroju. Nadto załóżmy, że rozkład natężeń pl2 ipl3 jest ten sam we wszystkich przekrojach,

że zatym = 0,    — 0. Rachunek okaże, czy powyższe założenia są

moźebne i pod jakimi warunkami zachodzić mogą.

Równania równowagi elementu przy założeniach X = 0, Y= 0, Z = 0, odnoszące się do osi y i g stają się toźsamościami, równanie zaś, odnoszące się do osi x₇ jest warunkiem

(2)

dp

àPm

dy

dg

— = 0.

W każdym, punkcie na powierzchni bocznej walca, a zatym na obwodzie jego przekroju, jest a — 0, więc warunkami krańcowymi są bp2i + ęp3i — 0, bp₂₂ + Ą-cp₃2 = 0, bp₂₃-\-cp₃₃=-0. Ostatnim dwu warunkom tożsamościowo staje się zadeść. Niech f(y, g) — 0 będzie wiadomym równaniem obwodu przekroju; wtedy b i c oznaczają dostawy kierunkowe normalnej do tego obwodu

pozostaje więc jedyny warunek,

dy ' dg

który ma zachodzić w każdym pnnkcie na obwodzie przekroju, mianowicie:

względem osi y i g, a zatym b:c —

df

(3)

Pn ‘ dy + Pi3 ' dg °’

Z przyjętych wartości natężeń wynika, źe X, = 0, X₂ = 0, X₃ = 0, <p, = 0, a więc

-o -^4-^-0 ds ~ ds ⁺ dy — '

Trzem ostatnim warunkom, tudzież równaniom (1) uczynimy zadość, przyj

(4)

dą

dx

dv

= o,

dy

mując

bez stałych, gdyż z utwierdzenia przekroju A wynika, że dla x = 0, y = 0, z = 0 jest v — 0, w = 0. Prócz tego mamy

(6)

du

?2 = % + -r-

du

(0

P12 =

E / dw \ 2(1 + 1L)\d!f    7

Pi 3 —

E /fl dw\

2(1+7) (y + si) ’

wstawiwszy te wartości w (2), zważywszy, że dziemy

d²y

dxdy

da? (te

— 0, rnieó bę~

(8)

d²u d²u vw +

diß

dz²

= 0.

Założeniom = 0 i

>^Pl3

dx

~ 0 stanie się zadość, jeżeli będzie

(JOC

(9)

d²u

dhi

dx dy ^

te warunki są już zawarte w pierwszym równaniu (4). Po wstawieniu wartości (7) w (3), na obwodzie przekroju będzie

âxâz

(10)

du

dy

— ez

4£=o.

dz

Ponieważ nie dajemy prawa rozkładu sił skręcających (zewnętrznych) na przekroju swobodnym, przeto nie możemy szukać warunków krańcowych dla każdego elementu tego przekroju. Zważmy jednak, że każda, jakkolwiek ograniczona, część walca jest w równowadze, a zatym także jest w równowadze nieskończenie cienka warstwa, ograniczona przekrojem swobodnym i przekrojem sąsiednim walca. Na element d co przekroju B, obrany w punkcie (y, z),

Jp,₂dco i J pi₃ dw,

przypadają siły wewnętrzne jp₁₂dw ip,₃dco. Całki zatym

rozciągnięte na cały przekrój, przedstawiają sumy tych sił, z których każda jest równa odpowiedniej sumie składowych sił zewnętrznych. Z tego wynika, że każda z tych sum jest równa zeru, inaczej bowiem przekrój swobodny, a za nim wszystkie inne, przesunąłby się na swojej płaszczyźnie, coby się sprzeciwiało założeniu, że walec doznaje samego tylko skręcenia. Jest więc w każdym

przekroju T pJ2 dw = 0,    p₁₃ dw — 0, czyli według (7),

I ~ dw = 0,

J dg

ponieważ z założenia J*sdw = 0, J*^dw = 0. Widzimy więc, że walec dozna-

(11)

du

— dw — 0,

du

dy

je samego tylko skręcenia, jeżeli siły zewnętrzne są równoważne z parą sił, które) płaszczyzna jest prostopadła do osi walca. Suma momentów sił wewnętrznych względem osi x wynosi J* (p₁₃ y—Pi%z) dm ; jeżeli więc M jest momentem pary sił skręcających, to jest M = J^¹³ 2/—P12 8) (ho, czyli po wstawieniu

¹

podobne istniały związki dla v' i w', w którychto trzech związkach, A' =    +

ooo

-f- ~ -f-    . Wielkości u', v\ vj' będą wtedy oznaczały przesunięcia, jakich

punkt x₁ y, z doznaje, jeżeli po przyłożeniu danych sił ciało sprężyste przechodzi do równowagi, licząc te przesunięcia od stanu naturalnego ciała. Żeby te przesunięcia były dokładnie oznaczone, poddajemy je nadto warunkom krań-

wartości

da.

(12)

gdzie M jest wiadome. Nazywamy M momentem skręcenia walca.

Zastosujmy podane wzory do walca eliptycznego, którego osi 2ß, 2y

y2

niech będą osiami y i z. Wtedy będzie / (y. 0) = ~ -f. — — 1 = 0, skąd wynika warunek na obwodzie elipsy

Całką tego równania jest funkcyja algebraiczna

(13)

y² — ß²

a łatwo się przekonać, źe ta funkcyja zadość czyni rzeczywiście wszystkim warunkom (4), (8) i (11), tudzież warunkom utwierdzenia przekroju A. Otrzymamy więc

(14)

2 y²

2ß²

y² + ß

(15)

p 12 — —

(16)

gdzie ïz = J;

Qy, ?₃ =

E

2 9^    p,3 — njTji-y²+ß

_E_ y² Ig -f- ß² Jy Q

l + t*-’ T² 4- ß² "■ ’

y² + ß

ß²

Y²

1 ₊ jj. • y²-j-ß

rjy;

y² dus, Iy — |*£²i?<jo oznaczają momenty bezwładności elipsy

względem osi z i osi y. Ponieważ

7tß³ y

(17)

Tüßy³ . . . ,    „ E

=    przeto kładąc G= ^

M ß²+y2 ttG ' ß³y³

mamy

"CD

ß²+T²

Wielkość 6 oznacza kąt, o jaki obróciły się względem siebie dwa przekroje, których wzajemna odległość jest równa jednostce. Ponieważ ten kąt jest stały, przeto przekrój swobodny obrócił się względem przekroju utwierdzonego

o kąt © = 6L, jeżeli L jest długością walca. Kąt © zowiemy kątem skręcenia walca.

Z równania (13) okazuje się, że każdy przekrój płaski walca eliptycznego skrzywia się i przybiera po skręceniu kształt parabolojdy hiperbolicznój, której wierzchołkiem jest środek elipsy, a osią oś walca. Podzielmy każdą elipsę osiami głównymi na 4 równe pola; w punktach dwu pól przeciwległych względem środka, dla których y i z są jednocześnie albo dodatne albo ujemne, będzie u > 0, zaś dla pozostałych dwu pól będzie u -< 0 ; na pierwszych utworzy się więc wypukłość, na drugich wklęsłość. Z (15) widzimy, że natężenie styczne ps w punkcie (y, z) na elipsie wynosi

]/ ß⁴ z¹ -f y⁴ y²

i /- E ß

ß² +T²

ps— i j9₁₂²+j9₁₃²

i że to natężenie ma wartość największą, mianowicie równa się

tu p Y"

w punktach końcowych mniejszej osi elipsy, dla której ß > y*

Jeżeli przekrój walca jest kołem o promieniu r, to będzie Y = ß=G więc u~0\ przekroje walca obrotowego zostają płaskimi po skręceniu. Wtedy otrzymamy

(18)

^ 6r⁴ 6 — —

2 ’ ’

natężenie styczne w punkcie (y, z) będzie G8 \/ y²^-z², a największe natężenie

U to

^ mieć będzie miejsce na obwodzie przekroju.

Gdy wstawimy spółczynnik G w równania (12) art. 186-go, będziemy mieli dla ciała równokierunkowego

(19)

l>as = G«p,, j?3i = Gcp₂j pi2 — Gcp₃; otrzymamy zatym między natężeniem stycznym a odpowiednim posunięciem się podobny związek, jak między natężeniem normalnym pa a wydłużeniem X*. Wielkość G nazywamy spółczynnikiem sprężystości odpowiadającym skręceniu, ponieważ ten spółczynnik wyraża związek między natężeniem a odkształceniem w przypadku skręcenia. Między G, Eip mamy zwią-

zek E

= 2G (1 + |x), a ponieważ — ;> jr >■ 0, przeto — < G < y .

190. Równowaga walca pustego (rury). Przy dochodzeniu odkształceń ciała obrotowego można użyć spółrzędnych tak zwanych cylindrycznych, albo półbiegunowych. Aby określić miejsce punktu m, weźmy oś ciała za oś biorąc na niej dowolny początek O; spuśćmy z m prostopadłą r do osi, i przesuńmy południk przez m ; odległość x spodka prostopadłej od O, promień r i kąt cp, jaki płaszczyzna południka tworzy ze stałą płaszczyzną, przez oś przechodzącą, wyznaczają miejsce punktu, jeżeli tylko określimy dokładnie znaki spółrzędnych. Siły i przesunięcia rozłóżmy w kierunkach osi x, promienia r i stycznym do równoleżnika, a u, r, w niech oznaczają przesunięcia punktu (x, r, cp) w tych kierunkach. Dodatne v liczymy w kierunku promienia r od osi na zewnątrz, dodatne w w tym kierunku, w którym rośnie kąt cp. Poprowadźmy przez m płaszczyznę równoleżnika, płaszczyznę południka, i trzecią d' płaszczyznę, styczną do walca spółosio-wego z powierzchnią obrotową ; obierzmy na każdej płaszczyźnie pole elementarne, zawierające punkt m i rozłóżmy natężenia tych pól w trzech kierunkach, wyżej podanych. Odjjowiednie składowe natężeń niech będą pu, pl2, pl3 dla płaszczyzny równoleżnika ; p2l, p₂₂, p23 dla płaszczyzny południka; p3l, p₃₂, p₃₃ dla trzeciej płaszczyzny; wówczas

a’

Fig. 66.

P23 -—Ib2 ? Pu — Pl 3 ? Piï —-Pu-Równania równowagi elementu ze względu na ruch jjostępowy można otrzymać następującym sposobem, nieco odmiennym od sposobu dotąd używanego. Niech ab cd a'b'c'd' (fig. 66) przedstawia element ciała, w środku którego przyjmujemy punkt m (x, r, cp) ; wyraźmy np. warunek, że suma rzutów sił w kierunku promienia r jest równa zeru. Rzuty sił w tym kierunku są:

na ścianę ab c d siła — [pX2 — ~ ,    dxJ r dr dtp

»    V’¹² + \

??

a'b'c’d’

ab a' b'

?»

??

c d c' d'

bdb'ä'

j?

??

>?

a c a¹ c

ii

docj r dr dtp,

* dr'j rdx d<p,

dr ^ (r + dr) dx dtp, dcpj drdx cos dtp'j dr dx sin , dtp^ drdx cos ~ i dtp) dr dx sin ~ .

1 dpi2

dx

V    (Piï 2 ’

(    , 1 bp₂₂

”    (**⁺2-dr

1    dp₃₂

2    *

_1 ^33

^³³    2 ' ócp

/    , 1 dPi2

„    [p₃2 + 2 ' dcp

”    (^³³ + 2 * dcp

Niech na jednostkę objętości w punkcie m działają odpowiednio siły zewnętrzne X, R, <ł> w pomienionych kierunkach; wtedy na element przypadnie w kierunku promienia r siła Rrdrdxdtp, gdyż rdrdxdtp jest jego objętością. Dodając powyższe siły i zatrzymując tylko wyrazy rzędu 3-go, otrzymamy następujące równanie równowagi:

d,Pl2 , dx

dr r dtp

P22 Pa

+ R =0

czyli

dtp

Pss +R=0.

r

Postępując podobnie z rzutami w dwu pozostałych kierunkach, otrzymamy następujące równania równowagi elementu:

1 tyśi

dtp

(r^ ⁺ 7'^f

1 dp₃

(1)

^r ⁺ 7-ê(m0 + 7 toi . A

da;

r ' dr

+ X = 0,

_^ ₊ R — O

da;

r * dr

£(’**> + 7'î£ + Sr ⁺ * = ⁰-

Przyjmijmy, że ciało nie przestaje być obrotowym wskutek odkształcenia; wtedy punkty posuwają się tylko w kierunku osi a; i w kierunku promienia r; będzie zatym w = 0. Wydłużenia X1? X₂, X₃ w kierunkach spółrzędnych będą wtedy

(2)

du

dv

Wstawiwszy te wartości w równaniu (12) art. 186-go, otrzymamy jp,,, p₂₂, Pw Zastosujmy te równania do walca obrotowego pustego (rury), którego końce są otwarte, a który doznaje ciśnień normalnych na powierzchni zewnętrznej i na powierzchni wewnętrznej. Warstwy elementarne walca, ograniczone powierzchniami walcowymi, doznają rozciągań lub ściskań tylko w kierunku promieni ; będzie więc u — 0, w = 0, a wszystkie natężenia będą równe zeru oprócz natężeń /;₂₂ ip₃₃, mających kierunki promieni i kierunki stycznych do równoleżników. Jeżeli przyjmiemy X= 0, R = 0, <ł> = 0, to pierwsze ró-

dj?33

= 0, to znaczy, że

wnanie (1) będzie tożsamością, a z trzeciego wypadnie natężenie obwodowe jest stałe na tymsamym równoleżniku; z drugiego równania wynika 4- (rp₂₂) —p₃₃ ~ 0, gdzie należy wziąć symbol pochodnej dr

dtp

zu

pełnej zamiast cząstkowej. Natężenia będą'

(3)

P33 —

[<■-«£* .£|

(1 + t*) (1 — 2 {a) *

wstawiwszy ich wartości w poprzednie równanie, mieć będziemy

Całkując raz, otrzymamy Ą- ^ a, a całkując powtórnie

ar b

1^7

(4)

d²v , dv dr² dr

gdzie a i & są dwiema stałymi. Ponieważ

dv

e cm

P22 —

(1-f    2;i)-

Pm =

dr

— , przeto będzie

Niech py oznacza wiadome ciśnienie na jednostkę powierzchni zewnętrznej walca, której promień jest r,; ajp₂ i r₂ niech stosują się do powierzchni zewnętrznej. Wtedy dla r = rx mamy p₂₂ = — py, dla r ~r₂ zaś p₂₂ = — p₂, z czego wynikają wartości stałych

_ 2(l+t0 (1 —2^)    pxrx²—p₂r₂²

E    '    r₂²—rx²

h — L+Jk (Pt-Pi)r'2r*2 ’    E    r₂² — rx ²

więc

(6)

__    1 ~ł~

V E (r₂²—rx²)

[(1 — 2 fi) (py rx ² — p₂ r₂²) r +

(P1—P2) rt²r₂²

,Pï2 -

(6)

r₂² — ry²

\pi r²—p₂r₂² —

(Pi -p₂)rx²r₂²

P33 —

(Pt ~P₂) rx²r₂²

/y*2i

Gdy p₂ = 0, otrzymamy

Pi ri²

P22 = ~o----

r₂² — rx

r₂²

P33 ~~~

Ihr

r₂² — rx²

(i+

r₂²

a dla j9, = 0 będzie

P22

j?2 *2 ²    4

r₂²— rt² \

rt²

^•2

P 33 =

r,²

r₂² — r,

^•2

a zatym w obu przypadkach bezwzględnie p^>p₂₂\ natężenie na obwodzie jest większe od natężenia w kierunku promienia. W obudwu przypadkach największe natężenie zachodzi na powierzchni wewnętrznej rury, t. j. dla r—rx.

^l² + ^2²

^*2 ^ i»    ^ 2

; w drugim

W pierwszym przypadku dla r = ry będzie max. p₃₃ == px.

dla r — r, będzie max. jp₃₃ = —

a znak ujemny okazuje, że wewnę-

2 p₂ r₂²

r₂² — r,

trzna powierzchnia rury jest najwięcej ściskana.

191. Przewodzenie drgań. Jeżeli w środku równokierunkowym o sprężystości stałej punkt A pobudzony został do drgań, to ruch jego rozchodzi się jednostajnie we wszystkich kierunkach, a punkty, posiadające jednocześnie ten sam stan ruchu, czyli tę sarnę fazę, znajdują się not powierzchni kuli, której środkiem jest środek pobudzenia. Powierzchnią téj kuli nazywamy powierzchnią falową. Rozważając punkt drgający m w znacznej odległości od punktu pobudzenia, możemy małą część powierzchni kulistej

falowej, na której punkt m się znajduje, zastąpić przez odpowiednie pole na płaszczyźnie stycznej do kuli, i otrzymamy tym sposobem tak zwaną płaską powierzchnią falową. Obierzmy prostopadłą do téj powierzchni za oś x, a osi y i s równolegle do téj powierzchni; przesunięcia punktów drgających, zawartych w fali płaskiej, powyższą powierzchnią ograniczonej, nie zależą od y i £, lecz są tylko funkcyjami x i t. Gdy rozważać będziemy drgania około położeń równowagi, to według twierdzenia art. 186-go należy w równaniach

ruchu opuścić siły zewnętrzne. Z założenia mamy-^-=nO,    0, skąd

A — ^    .— 0, ^-—0, a więc równania ruchu będą według art. 186-go:

d²u    E(1—jx)

’ dt² — (Tf-ji) (1—2 u.) ' ~dx² ’ ° ' ~<W² ~ 2(1 + jjl) ' Ikc2 d²w_

dtz 2 (1 -f [x) * dx² ’

Ponieważ spółczynniki tych równań mają zawsze wartości dodatne, przeto możemy przyjąć

d²u

d²v

d²v

d²w

(1)

a² —-

a² —

a * (14- {^) (1 — 2 [x) ’    2o(1 + {ł)

i otrzymamy dla każdego punktu drgającego następujące równania ruchu:

d²u_ ₂ d²u dv²__₂ d²v d²w_d²w

dt2    a dx² ’ dt²    a dx²    ’ dt²    a dx²    ’

Pierwsze równanie określa drganie w kierunku przewodzenia fali, dwa ostatnie równania wyrażają drgania w kierunkach, prostopadłych do kierunku przewodzenia. Drganie, określone przez pierwsze równanie, nazywamy drganiem podłużnym, a drgania, określone przez dwa ostatnie równania, zowiemy drganiami poprzecznymi. Obadwa rodzaje drgań zachodzą jednocześnie i niezależnie od siebie.

Rozważajmy drgania podłużne, przyjmując, że środek sprężysty nie jest ograniczony, że przeto nie zachodzą warunki krańcowe. Wiadomo, że w tym przypadku funkcyja u jest zupełnie określona, jeżeli dla pewnej tości t znamy dwie funkcyje argumentu x, którym mają się równać funkcyja u i jéj pochodna względem t. Niech zatym będzie dane, że dla

t — 0 ma być u~f(x) i ~ =:F(x), gdzie / i E oznaczają funkcyje wia-

Ob

dome, to znaczy, iż przyjmujemy, że znamy odchylenie i prędkość drgania każdego punktu w chwili, od której czas liczyć zaczynamy. Całką ogólną pierwszego równania (2) będzie wtedy funkcyja:

(2)

war-

(3)

■Ąf(x + at) + i f(x — ai) -f ~

x — at

o czym bezpośrednio przekonać się można* zważając na to, że

/» x -|- at

-^r / F (£) di = a [F (x + at) + F (x — at)],

»- x — at

s*x-f-at

~ / F (6) di = F (x +[at) — F(x — at).

x — at

Niech pobudzenie pierwotne zachodzi we wszystkich punktach, dla których x₂> x> xi} gdzie xt<Cx₂ oznaczają dwie wiadome wartości x. Wtedy jednocześnie f (x) ■=■ 0 i F(x) — 0 dla x₂ <C x <C xx, a między punktami xx i x₂ powyższe funkcyje będą różne od zera. Dla punktu więc x >* x₂ będzie / (x + at) == 0, a całka w równaniu (3) przybierze także wartość równą zeru; otrzymamy więc u=-^f(x — at), co tylko wtedy nie będzie równe zeru, kiedy xx < x — at < x₂. Z tego wynika, że pobudzenie przybędzie do tego punktu w czasie ^ = -——, a ustanie w czasie t₂ == —-— ,

G    G

że przeto trwać będzie przez czas t₂ — tx = ———. Warstwę środka o sze-

rokości x₂ — xt nazywamy falą płaską, której długość wynosi x₂—xlm Spółczynnik a przedstawia prędkość, z którą pobudzenie rozchodzi się w rozważanym kierunku, i z tego powodu nazywamy go prędkością przewodnictwa fali w środku sprężystym. Należy ją dokładnie odróżnić od prędkości drgania — , określającej ruch każdego punktu z osobna. Prędkość prze-ot

wodnictwa można także określić, rozważając ruchy tych punktów, dla których x < xx. Z równania (1) wynika dla prędkości przewodnictwa wartość

(4)

•=]/!

1-1*

zależna od spółczynników sprężystości i zwężenia, tudzież od gęstości środka przewodzącego.

Dwa ostatnie równania (2) wyrażają drgania poprzeczne, a można podobnym sposobem okazać, że spółczynnik

(5)

7)

jest odpowiednią prędkością przewodnictwa, różniąca się od prędkości à. Ponieważ A zależy tylko od u, przeto okazuje się, że tylko drgania podłużne wywołują rozrzedzenie się i zgęszczenie środka, a przy drganiach poprzecznych takie zmiany gęstości środka nie zachodzą.

192. Drgania błony wyprężonej. Teoryja ogólna odkształceń błon sprężystych lub strun t. j. ciał takich, których jeden lub dwa wymiary mó-

TEORYJA SPRĘŻYSTOŚCI. — 192.

03

zna uważać za nieskończenie małe, nie wchodzi w zakres tego dzieła. Okażemy tylko prawa drgań poprzecznych błony sprężystej, dostatecznie naprężonej, które z równań ogólnych wyprowadzić można. Uważajmy błonę za walec lub graniastosłup o niezmiernie małej wysokości, którego podstawami są dwie powierzchnie równoległe błony. W połowie wysokości przesuńmy płaszczyznę y z, a oś æ wystawmy do niej prostopadle w dowolnym pun-cie tego przecięcia średniego. Błonę wyprężamy z siłą, działającą wszędzie normalnie do jej brzegu, a więc prostopadle do osi x\ niech p będzie wiadomym naprężeniem jednostki powierzchni bocznej błony. Rozważajmy naprzód równowagę błony, przyjmując, że oprócz p żadna siła nie działa na nią. Według art. 188-go możemy dla punktu (x, y, z) przyjąć

O)

u — —‘mx, v = ny, w = nz,

gdzie min oznaczają stałe, które mamy wyznaczyć. Będzie więc = —m, \₂ = \₃=n, <pi — 0, y>₂ — 0, cp₃ = 0, a zatym, według (12) art. 185-go,

(2)

Pu =

(1 H- jł) (1 — 2{x)

[ [i (m -f- 2n) — m ]

P22 -P33 -

(■n - |m»), p₂3 = 0, *>₃,=0, pl2— 0.

(1 -j- p.) (1    2p.)

Dla podstaw walca (powierzchni błony) mamy w każdym punkcie a —

6 = 0, c = 0, jp = 0; wstawiwszy te wartości tudzież stałe wartości natężeń (2) w wiadome równania krańcowe, otrzymamy pn = 0, a więc

skąd m —    • Na brzegach mamy wszędzie a = 0

natężenie p, więc p₂₂ c=zpn = p, a zatym

[x (m + 2n) — m

(n — \ym) .

Z tego równania i z poprzedniego wynika m ~    , n ==.

, a więc

(2)

2p(X

W =

Niech następnie błona, wyprężona przez siłę p, zostanie pobudzona do małych drgań; punkt (0, y, z), leżący na jéj przecięciu średnim, przesunie się o w, v, w, atoli te przesunięcia nie będą miały wartości (2), obliczonych dla równowagi. Punkt (0, y + dy, z + dz) posiadać będzie spółrzędne

w + ^dy+ ^dz,y + dy + i) + ^dy + d£dz, 0 + dz + w + ^Ędy +

■\-~dz. Rzuty elementu linijowego, łączącego te dwa punkty po przesu-dz

nięciu, na osi spółrzędnychj będą odpowiednio

na oś x-óvf du = ~dy-{- , dy ¹⁷ dz

du

ÔV

01)

dz, na oś «/-ów dy -f ^ dy + — dz

dy

dw

(5)

du

*“=*•1*'

pozostałe siły będą równe zeru. Wstawiwszy te wartości w pierwsze równanie (5) art. 182-go, otrzymamy następujące równanie drgań poprzecznych błony:

P (^u    ^<lu\

o \dy²    d£²/ ’

(6)

MECHANIKA TEORETYCZNA,

dw

dw

na oś ff-ów dz -j- — dyĄ--^dz,

a ponieważ pochodne przesunięć podłużnych v i w są. małe w porównaniu z pochodnymi przesunięcia poprzecznego u, przeto możemy zamiast tych wartości brać du, dy, dz jako rzuty uważanego elementu linijowego na osi. Normalna zewnętrzna (a, b, c) do powierzchni błony jest prostopadła do tego elementu, więc a du -\~b dy + c dz — 0, czyli, kładąc wartość du, otrzymamy

(aJ~ + b)dÿ + (a^ + ej di = 0 .

Ponieważ dy i dz są dowolne, przeto każdy wyraz jest równy zeru, skąd

Stosując więc wiadome twierdzenie o drganiach około położenia równowagi, (art. 187) otrzymamy następujące warunki na brzegu błony: •

b— —

(3)

a :b : c = 1 : —

du

du

du

du

Pu - — Pu — — Psi =0; pn — — p₂₂ — — i>32~0;

dy

dz

dy

du

du

°.

Załóżmy, że naprężenie p jest tak znaczne, iż siły międzycząsteczko-we, występujące podczas drgania, różnią się bardzo mało od tych sił w stanie równowagi. Możemy wtedy przyjąć podczas ruchu p,, — 0, p₂₂ —p₃₃ — —p, a wtedy otrzymamy z równań (4)

Pl3 ~~ dy ^²³ “

d²u

dt²

Niech błona będzie prostokątem o bokach a i b\ jeden z wierzchołków obierzmy za początek spółrzędnyck, a osiom y i z nadajmy kierunki boków a i b. Wtedy u— 0 dla y — 0 i dla y— a, tudzież dla 5-0 i dla z = b, a dla każdego punktu wewnątrz błony mamy a > y >■ 0, ó > # > 0. Zęby funkcyja u była określona przez równanie (6), potrzeba wiedzieć wa-

ÓlA

runki początkowe, wyrażające, że dla t = 0 mamy u=zf(y, z) i — — F (y, z),

OZ

czyli potrzeba znać kształt błony i prędkość każdego punktu dla t = 0*

Przy tych założeniach otrzymamy następującą, całkę ogólną powyższego równania ¹)

(7)

u — E E sin —^ . sin

*=i

i=oa k=(K>

i

—y\Aik cos cnt

l/±² ₊^

Y b²

l/’ZTZ!

|/ a- r V- i

+ Ba sin o % t

i)

gdzie c² — ^‘, i, Je oznaczają liczby całkowite, a spółczynniki wyrażają się przez następujące całki, zależne od stanu początkowego:

(8)

A _ ⁴

Aik——;

'b

(9)

B«—

nahe

KMU

/ (tj, Ç) sin . sin    . dij dÇ

“ rV(Y,,C)sm»A3Sin^C

Czytelnik może łatwo okazać, że funkcyja (7) czyni istotnie zadość ró¹ wnaniu i danym warunkom.

Każdy wyraz powyższego szeregu (7) zosobna wskazuje, iż drganie punktu (y, z) jest proste, z czego się okazuje, że ruch tego punktu pioźna uważać w ogólności za wynik nieskończenie wielu drgań prostych, niezależnie od siebie istniejących. Buch błony będzie zatym wynikiem superpo-zycyi drgań, jednocześnie zachodzących, których obszerności zależą od warunków początkowych.

Niech błona będzie kwadratową; wtedy a — b. Załóżmy jeszcze, dla uproszczenia, że ruch zaczyna się ze spoczynku, że więc F (y, z) = 0 dla każdego punktu, wskutek czego B(t — 0 ; otrzymamy więc

„    „ .    . in y . hnz ent , ,-

«■= E E A² sin —sin — cos-1/ fi + k²

i=l k—\    d    d

i—oo k—co

(10)

/ (■>)> O s>n sin^~ dïjeiC.

Cv    Cv

Ponieważ cos -~K¹² + ^² = cos “ [/¹² + k² + m .    > Sdzie

w jest liczbą całkowitą, przeto każde drganie proste, odpowiednie liczbom

i, Æ, jest ruchem peryjodycznym, a peryjod tego ruchu wynosi T =    •

Szereg (10) może się składać z jednego tylko wyrazu. Aby to oka-

i'%y . k'%z

zać, przypuśćmy że warunek początkowy jest f(y, #) = C . sin

Cl

gdzie ik' oznaczają dwie liczby całkowite, a C jest stałą. Wtedy

sin

A _4C

A»* —

a²

. ICTZI, . Â'flÇ,.. sin-sin-dÇ

. inr) . i'nri sm-sm —

—- dw . «

Wiadomo że

sin

^=1

cos

Cl

te i i-*

cos — (i -f J 7],

a każda z tych całek jest równa zeru, jeżeli i ^ zaś dla « i' będzie J =

Podobnie będzie całka względem C równa zeru dla k ^ P, a równa dla

# = P. Otrzymamy więc A,V — C ; wszystkie inne spółczynniki będą równe zeru i w zredukuje się do jednego wyrazu. Ruch każdego punktu zredukuje się więc w tym przypadku do jednego drgania prostego.

Przypuśćmy taki warunek początkowy, żeby szereg składał się z dwu wyrazów, np. (i =;4, k = 2), (i = 2,    1), wtedy:

w= I Ai2 sin —sin \    a

CTt}/ 5

.    7T£\

sm — I a /

2%z , .    . -..

— + Aji 8,11 n

Punkty, dla których bez względu na czas jest u — 0, wyznaczają na błonie tak zwane linije węzłów; każdy punkt na takiej linii jest ciągle w spoczynku, W powyższym przypadku łinije węzłów są wyznaczone przez równanie

Ol)

cos

t.

2 TT Z ,    .    . „ ..

~i" -Ä-21 sin a    a

które możemy napisać także w postaci

— sin — ^A a a \    ¹²

A₁₂ sin — sin ■ a

sin — = 0, a

— -f A₂₁ cos — ) rr 0 .

Ponieważ y — 0 i z = 0, tudzież y = a i z — a są pierwiastkami tego równania, przeto brzegi są linijami węzłów. Dalsze linije węzłów wynikają

zrównania A,₂ cos — J- A₂i cos — = 0. Jeżeli A₂₁=0, to liniją węzłów

Gj    Cl

będzie prosta z~ jeżeli A₁₂ = 0, to będzie nią prosta y=z~\ w przy-

i

(12)

2 sin

cos

TZZ

padku A₁₂ — A₂₁ otrzymamy węzły na prostej z~y— a; w przypadku A j₂ — —A ₂₁ będzie prosta z — y liniją węzłów. Szukanymi linijami są więc proste, łączące środki przeciwległych boków kwadratu lub jego przekątne.

Doświadczenia stwierdzają powyższe wyniki. Podobnie można otrzymać linije węzłów w każdym innym przypadku, skoro warunki początkowe są wiadome.

ĆWICZENIA.

(1) . Okazać, źe posunięcie się dwu prostych, przecinających się pod kątem prostym, jest równe różnicy wydłużeń ich dwusiecznych.

(2) . Podać równanie elipsojdy odkształcenia, odpowiedniej superpozycyi dwu odkształceń elementu ciała sprężystego.

(3) . Obliczyć zmianę, której wskutek odkształcenia sprężystego doznaje mo* ment bezwładności elementu ciała względem prostej, przechodzącej przez środek tego elementu.

(4) . Pręt jest wyciągany pionowo w kierunku osi i uwzględniamy wpływ jego ciężaru: wyznaczyć prawo, według którego mają się tak zmieniać pola przekrojów pręta, żeby natężenie w kierunku osi było stałe.

(5) . Zbadać bezpośrednio skręcenie walca obrotowego, na ktorego powierzch-nią boczną nie działa żadna siła, i podać równanie włókna dowolnego po skręceniu.

której po wierzchu

(6) . Wyznaczyć związki między odkształceniami X i a przesuń ięciami u} v w, używając spółrzędnych cylindrycznych. .

na

(7) . Podać równania równowagi i natężenia kuli pełnej, nią działa ciśnienie stałe we wszystkich punktach.

(8) . Wyznaczyć linije węzłów błony kwadratowej w przypadku, gdy i — 2, k = 2, tudzież, gdy i = 3, k = 1 ; i == 1, k — 3.

(9) . Podać równanie różniczkowe drgań błony okrągłej w spółrzędnych bie-gunowych, przyjmując biegun w środku błony.

(10) . Podać równania drgań podłużnych i poprzecznych struny wyprężonej.

Literatura (Rozdz, XVII),

L. Xavier : Mémoire sur les lois de l’équilibre et du mouvement des corps solides élastiques (Mémoires de l’Institut, t. VII, Paris, 1824); Résumé des leçons données à l’école dés Ponts et Chaussées (wydanie 1-sze, 1826; 2-gie, 1833 ; trzecie wydanie znacznie powiększone przez Barré de Saint-Venant, w dwu częściach, Paris, 1864). •—A. Cauchy w bardzo wielu artykułach swoich Exercices de Mathématiques, a mianowicie w latach 1827, 1828 i 1829. — S. D. Poisson, Mémoire sur les équa-tions générales de l’équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et fluides (Journ. de l’ec. pol., t. XIII, Paris, 1831)..— G. Green, Mathematical Papers (London, 1871) mianowicie artykuł: On the laws of the reflection and refraction of light at the common surface of two non-cristallized media. — G. Lamé ; Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides (Paris, 1852); Leçons sur les coordonnées curivilignes et leurs diverses applications (Paris, 1859, Lekcyja XI do XX). —- B. de Saint-Venant : Mémoire sur la torsion des prismes, avec des considérations sur leur flexion ainsi que sur l’équilibre intérieur des solides élastiques en général (Mém. présentés par divers savants à l’Acad. des Sciences, t. XIV, Paris, 1856); Mémoire sur la flexion des prismes (Jour, des math. 2-e sér., t. I, Paris, 1856); Théorie générale de l’élasticité, obejmująca lekcyją 21-szą i 22-gą w MoignO: Leçons, de mécanique analytique, (Paris, 1868); liczne dodatki w 3-cim wyd. Na-vier’go. — G. Kirchhopp: Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes (Journ. v. Crelle, t. LVI, Berlin, 1859); Vorlesungen über mathematische Physik (Berlin, 1876 Lekcyje: 10, 11, 27 — 30). — A. Clebsch, Theorie der Elasticität fester Körper (Leipzig, 1862). — B. Riemann, Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen (Braunschweig, 1869, rozdz. V). — Wb. Gosiewski: O sprężystości ciał stałych jednorodnych (Pam. tow. n. śc., t. I, Paryż, 1872); Wykład mechaniki cząsteczkowej, zeszyt I (jedyny; Paryż, 1873). — A. Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications (Turin, 1879). — L. Pochhammeb, Untersuchungen über das Gleichgewicht des elastischen Stabes (Kiel, 1879).- — H. Resal, Physique mathématique (Paris, 1884, rozdz. VIII).—J. Weybauch, Theorie elastischer Körper (Leipzig, 1884). — Boussinesq, Applications des potentiels à l’étude de l’équilibre et du mouvement des solides élastiques (Paris, 1885). — F. Neumann, Vorlesungen über die Elasticität der festen Körper und des Lichtäthers, (Leipzig, 1885). — J. Todhunter & K. Pearson, A history of the theory of elasticity and of the strength of materials (Cambridge, 1886). — W. J. Ibbetson, An elementary trea-tise of the mathematical theory of perfectly elastic solids (London, 1887).—

¹

Co do całkowania równania (6) tudzież równania (2) art. 191-go ob. Wykład nauki o równaniach różniczkowych 'przez Wł. Zajączkowskiego, Paryż 1877, Rozdz. XXVIII

²

i XXIX (Str, 779 — 852).

ROZDZIAŁ XVIII.

STATYKA CIECZY (HYDROSTATYKA).

193. Pojęcie cieczy doskonałej. "VY mechanice ciał stałych utworzyliśmy pojęcie oderwane ciała sztywnego, jako najprostsze, aby uzyskać podstawę do poznania w pierwszym przybliżeniu najważniejszych praw równowagi i praw ruchu ciała stałego wogólności. Następnie wprowadziliśmy pojęcie sprężystości, które pozwoliło w dalszym przybliżeniu poznać owe prawa ze względu na własności rzeczywiste tych ciał, które za stałe uważamy. Podobnie postępujemy w mechanice cieczy. Tworzymy naprzód pojęcie cieczy doskonałej, które jest również oderwane, jak pojęcie ciała sztywnego; z niego wyprowadzamy prawa równowagi i prawa ruchu, stosujące się w pierwszym przybliżeniu do cieczy rzeczywistych; następnie zaś dopiero wprowadzamy pewne cechy, odróżniające ciecz rzeczywistą od doskonałej, aby dokładniej zbadać zachowywanie się cieczy względem sił, działających na jéj cząstki.

Najwybitniejszymi cechami cieczy, odróżniającymi ją od ciała stałego, są: popićrwsze, znakomita ruchliwość jéj cząstek, powtóre, bardzo mała jéj ściśliwość. Ruchliwość cieczy objawia się tym, że, aby dwie cząstki cieczy, dotykające się wzajemnie, przesunąć względem siebie na płaszczyźnie styczności, potrzeba siły bardzo małej ; mała zaś ściśliwość cieczy polega na tym, że potrzeba bardzo wielkiej siły, aby dwie cząsteczki, z których jedna znajduje się w jednej, a druga w drugiej z dwu dotykających się, cząstek cieczy, zbliżyć do siebie. Rozmaite stopnie ruchliwości przypisujemy rozmaitej lepkości cieczy, wskutek której dwie cząstki, dotykające się przylegają do siebie i podczas ruchu cieczy pojawia się tarcie wewnętrzne między tymi cząstkami, które należy uważać za siłę styczną, mającą kierunek przeciwny kierunkowi prędkości względnej w punkcie styczności. Ciecz idealną, pozbawioną lepkości i ściśliwości, nazywamy cieczą doskonałą.

Określenie siły wewnętrznej, odpowiedniej nieskończenie małemu elementowi, jest takież samo dla cieczy, jakie podaliśmy w art. 176-ym dla ciała

sprężystego. Ponieważ ciecz doskonała, jako pozbawiona lepkości, nie ma kształtu samoistnego, lecz musi się znajdować w naczyniu, którego ściany sta* nowią jéj powierzchnią, przeto wnosimy popiórwsze, że natężenie w cieczy, odpowiadające sile wewnętrznej, jest zawsze ciśnieniem, a nigdy ciągnieniem być nie może, dopóki ciecz nie przestaje być ciągłą; jiowtóre, że żaden element cieczy doskonałej nie doznaje natężenia stycznego. A ponieważ wiadomo z art. 182-go, że, jeżeli elementy nieskończenie małe, przez tenże sam punkt przechodzące, doznają samych tylko natężeń normalnych, natenczas te natężenia są równe we wszystkich kierunkach, przeto w każdym jpunkcie cieczy doskonałej zachodzi toż samo ciśnienie we wszystkich kierunkach. Z tego powodu określamy ciecz doskonałą w każdym punkcie pod względem sił wewnętrznych przez ciśnienie w tymże punkcie. Powierzchnia, którą dla ciał sprężystych nazywaliśmy elipsojdą natężeń, przybiera kształt kuli dla cieczy doskonałej. W punktach, gdzie ciecz dotyka się ścian naczynia, zachodzi ciśnienie normalne na elementy tych ścian, a na powierzchni może ciecz doznawać ciśnienia środka otaczającego. Pojęcie stanu naturalnego, w którym ciśnienie byłoby równe zeru w każdym punkcie, nie istnieje dla cieczy doskonałej.

Z nieściśliwości cieczy doskonałej wynika, że każdy element cieczy zajmuje ciągle tęź sarnę objętość, a ponieważ jego masa nie może się zmienić, przeto gęstość cieczy doskonałej w każdym punkcie jest stała. Jeżeli ciecz jest niejednorodna, natenczas zachodzi zmiana gęstości tylko w tych punktach powierzchni, które oddzielają dwie ciecze rozmaite.

194. Równania równowagi. Odnieśmy cząstki cieczy do nieruchomego układu prostokątnych osi spółrzędnych, oznaczmy przez X, Y, Z składowe siły, przyłożonej do jednostki masy cieczy w punkcie x, y, z, a przez p ciśnienie w tym punkcie. Równania równowagi elementu otrzymamy z art. 183-go, kładąc według danych określeń p,₁₃ =; 0, p3l = 0, pi2 = 0,pn — p₂₂ — —P33 — — Pi i pisząc oX, oY, o Z zamiast X, Y, Z, jeżeli a oznacza gęstość cieczy. Otrzymamy takim sposobem następujące równania równowagi cieczy:

Y — - ~~ = 0, a dy

Te równania stosują się także do cieczy lepkiej ; jeżeli bowiem cząstki cieczy nie mają ruchu względnego, natenczas nie ma tarcia wewnętrznego.

Z równań tych wynika

(1)

1 dp o dx

= 0,

Z — - -^- = 0, o dz

Xdx + Ydy + Zdz = j (£dx + ^ dy + %dz),

a ponieważ^? jest tylko funkcyją spółrzędnych, przeto czynnik po prawej stronie jest różniczką zupełną dp, a zatym

(2)

dp

~ — Xdx-\-Ydy-\-Zdz.

To równanie, w którym, jak widzimy, gęstość jest stała, wyraża ważne twierdzenie: ciecz może być w równowadze tylko przy działaniu sił, mających potencyjał.

Jeżeli U oznacza potencjjał sił, to

(3)

dp = ad U, p — oU + stała

a ponieważ p ma w każdym punkcie tylko jednę wartość, przeto potencyjał jest funkcyją, jedno wartościową spółrzędnych. Wiadomo, (art. 83), że dU=:0 jest równaniem powierzchni jiotencyjalnéj ; na takiej więc powierzchni jest dp = 0, a zatym w każdym punkcie p — stałej. Powierzchnie potencyjalne, odpowiednie siłom przyłożonym, są powierzchniami stałego ciśnienia iv cieczy. Wypadkotva sił przyłożonych jest normalna w każdym punkcie do powierzchni stałego ciśnienia. Takie divie powierzchnie nie mogą się przecinać (art. 83).

Jeżeli na masę cieczy nie działają żadne siły, wtedy ciśnienie jest takież samo we wszystkich punktach i równa się stałemu ciśnieniu na powierzchnią cieczy.

Równania (1) stosują się także do równowagi cieczy rozmaitych, nie mięszających się wzajemnie. W tym przypadku gęstość o jest stała w obrębie każdej cieczy, a jéj wartość zmienia się tylko wtedy, gdy przechodzimy przez powierzchnią, rozdzielającą dwie ciecze. Przypuśćmy, że potencyjał sił przyłożonych wyraża się przez tę sarnę funkcyją spółrzędnych w całej prze strzeni, przez dwie ciecze zajętej. Ciśnienie p i potencyjał U doznają wtedy tych samych przyrostów dp i dU, z jakiegokolwiek punktu odpowiedniej powierzchni potencyjalnéj przejdziemy do punktu nieskończenie bliskiego sąsiedniej powierzchni potencyjalnéj. Stosunek dp : JU jest przeto stały w warstwie, ograniczonej dwiema powierzchniami potencyjalnymi, nieskończenie bliskimi; a ponieważ według (3) ten stosunek jest równy gęstości cieczy, przeto gęstość cieczy jest stała na powierzchni potencyjalnéj. Z tego wynika, że powierzchnia potencyjalna nie może przecinać powierzchni, rozdzielającej dwie ciecze w równowadze, a zatym powierzchnia rozdzielająca, dwie ciecze, jest powierzchnią potencyjalną i powierzchnią stałego ciśnienia.

195. Możemy równania równowagi wyprowadzić także z zasady prac przygotowanych. Gdy 8%, dy, dz oznaczają przesunięcia przygotowane punktu (x, y, z), to o (X dx -f Y 8y 4- Z dz) doc dy dz będzie pracą przygotowaną sił, przyłożonych do elementu nieskończenie małego, którego granicą jest ten punkt. Jedynym warunkiem gieometrycznym, określającym ciecz, jest jéj nieściśliwość, która wyraża się przez równanie d (dx dy dz) — 0, orzekające, że objętość elementu nie zmienia się. Zasada więc prac przygotowanych prowadzi do następującego równania równowagi:

(1)

(X Ser + Y dy -f Z 8z) -f- X . 8 (dx dy dz)\ dx dy dz — 0,

w którym czynnik nieoznaczony X jest funkcyją spółrzędnych. Waryjacyją objętości elementu znajdziemy według prawideł rozdz. XVII, kładąc odpowiednio nieskończenie małe drogi przygotowane 8x, dy, dz zamiast przesunięć u, v, w. Otrzymamy więc według (4) art. 177-go,

a (X dx + Y dy + Z dz) +

(3)

(2)

ddz

^ dx dy dz, a stąd

^ J dx dy dz — O,

+ ^ (■dx

gdzie całkowanie 1’ozciąga się na całą objętość cieczy. Całkując częściowo, otrzymamy

ddx , ddy ddz

dy

dz

ddx

X . dx dy dz =.

dy dz I X . dx =

0X

[X § x] dy dz —

— dx dx dy dz,

gdzie [Xôæ] oznacza różnicę wartości, jakie funkcyja Xôæ przybiera w dwu po sobie następujących punktach, w których prosta, równoległa do osi x, a przechodząca przez punkt (y, z), przecina powierzchnią cieczy (art. 185). Postępując podobnie z dwiema pozostałymi całkami, otrzymamy równanie równowagi

/j f[(-X_§)to+(₈Y_*)%r+(

dX

aZ—^

dz

^ dzj dx dy dz +

[X §0] dx dy = 0,

[X Sa?] dy dz +

[X dy] dz dx +

w którym całkowanie potrójne rozciąga się na objętość cieczy, a całkowania podwójne rozciągają się na jéj powierzchnią. Obrawszy na tej powierzchni element dm i oznaczywszy przez a, b, c dostawy kierunkowe jego normalnej zewnętrznej, otrzymamy, według art. 185-go,

JJ[X §x] dy dz -f J*J[X ty] dz dx -f-J^jX dz] dx dy =J*X (a^x + bdy + cdz) dm, gdzie funkcyja X i przesunięcia stosują się do punktów na powierzchni cieczy; stąd :

+ (^a Z —    ^ Ô0J dx dy dz -j- J*X (a dx + bdy + cdz) dm — 0.

(7)

ÿp (a 8% + bdy + c8z) do — 0,

gdzie p oznacza ciśnienie w punkcie (x, y, z) na powierzchni cieczy.

Jeżeli powierzchnia cieczy jest swobodna, natenczas przesunięcia w (7) są dowolne, jest przeto w każdym punkcie takiej powierzchni p — 0. Jeżeli . część powierzchni cieczy stanowią ściany naczynia i Adx-\-Bdy + Cdz — 0 jest równaniem różniczkowym powierzchni ściany, to cząstka cieczy może się przesuwać tylko na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni, jest przeto A8x -J--f- Boy + C 8z = 0, przyczyni a : b : c == A : B : C. Odpowiednie więc wyrazy w równaniu (7) będą równe zeru, a przeto nie prowadzą do żadnego warunku; równowaga więc zachodzić będzie bez względu na ciśnienie, jeżeli tylko ciągłość cieczy nie doznaje przerwy.

196. Ciśnienie cieczy materyjalnéj. Niech na cząstki cieczy działa tylko siła ciężkości; jeżeli wielkość tej siły dla jednostki masy przyjmiemy jako stałą, natenczas będziemy mogli badać równowagę cieczy materyjalnéj, w niewielkiej ilości nagromadzonej. Powierzchniami potencyjalnemi dla siły ciężkości są płaszczyzny poziome (art. 84), a przeto ciśnienie cieczy, będącej w spoczynku, jest stałe na płaszczyznach poziomych. Powierz* chnia swobodna takiej cieczy oddziela ją od innej cieczy lub od środka otaczającego, jest więc powierzchnią stałego ciśnienia czyli powierzchnią po-tencyjalną, a zatym płaszczyzną poziomą. Stosując pojęcie poziomu do przypadku ogólnego cieczy w równowadze, nazywamy powierzchnią stałego ciśnienia ogólnie także powierzchnią poziomu cieczy, jakimikolwiek byłyby siły rozważane (art. 83).

Niech powierzchnia cieczy będzie płaszczyzną xy\ obierzmy oś z pionowo na dół; wtedy U — gz -f- a, p = a g z -j- b, gdzie a i b oznaczają stałe. Niech p₀ będzie ciśnieniem stałym na powierzchni cieczy, wtedy p=p0 dla z = 0, więc bz=z.p₀. skąd

(1)

Ponieważ po uwzględnieniu warunku nieściśliwości przesunięcia elementu cieczy są dowolne, przeto każdy wyraz pod znakiem całkowania potrójnego jest równy zeru, skąd wynikają równania równowagi elementu wewnątrz cieczy

aZ=p.

dz

Z porównania tych wzorów z równaniami (1) art. poprzedzającego okazuje się, że X — p. Warunek krańcowy będzie według (5) po wstawieniu wartości X,

(6)

JX

o X — 4-

dx

óX

oY = -

ày

p = agz + p₀‘

W przypadku, gdypo=:0, co najczęściej przyjmować będziemy, będzie p=: — ag z. Ciśnienie cieczy w każdym punkcie jest równe ciężarowi słupa cieczy, którego podstawa jest równa jednostce, a którego icysokość jest równa odległości tego punktu od powierzchni cieczy.

Niech dno płaskie naczynia, zawierającego ciecz, będzie poziome, i niech h będzie wysokością cieczy nad dnem. Jeżeli P jest całkowitym

ciśnieniem cieczy na dno, którego pole jest F, natenczas P =pP = Ggh F, t. j. całkowite ciśnienie cieczy w spoczynku na dno poziome naczynia jest równe ciężarowi słupa cieczy, wystawionego na dnie i sięgającego do powierzchni cieczy (twierdz. Stevin’a). To ciśnienie więc nie zależy ani od ścian naczynia, ani od objętości cieczy.

Ciśnienie całkowite, które ciecz wywiera na dane pole zamknięte ściany płaskiej naczynia, nazywamy ciśnieniem bocznym cieczy na topole. Aby obliczyć to ciśnienie dla pola F, podzielmy pole układem nieskończenie blizkicli prostych poziomych na elementy; wtedy na element dP, znajdujący się w głębokości z pod powierzchnią cieczy, przypadnie ciśnienie dP = Ggz. dP, prostopadłe do ściany. Ponieważ ciśnienia dP są równo

ległe, przeto ciśnienie boczne jest P ~ Gg^zdP, gdzie całkowanie rozcią

ga się na całe pole ciśnione. Niech Z oznacza głębokość środka masy pola • F pod powierzchnią cieczy, wtedy Z . F = ^z . d F, a stąd

(2)

P = o^ZF.

Ciśnienie boczne cieczy w spoczynku jest równe ciężarowi słupa ' cieczy, którego podstaicą jest pole ciśnione, a którego wysokość jest równa odległości środka masy tego pola od powierzchni cieczy.

Punkt przyłożenia ciśnienia bocznego nazywamy środkiem ciśnienia pola rozważanego. Niech prosta, podług której powierzchnia cieczy przecina ścianę, będzie osią x, a w dowolnym punkcie tej prostej przyjmijmy na ścianie oś Ç prostopadle do x. Jeżeli Ç oznacza odległość elementu ^F od osi x, zaś a kąt, który ściana tworzy z pionem, natenczas moment ciśnienia c2P względem osi x jest Ç. dP czyli ogżZ . dP =-<zg cos a . C²(^F, ponieważ s Ç cos a. Moment więc ciśnienia bocznego P wyględem osi x

jest o^cosaJV. dP = g g lx cos a, gdzie I* oznacza moment bezwładności po*

la względem osi x. Niech I oznacza moment bezwładności pola względem prostej, równoległej do osi x, i przechodzącej przez środek jego masy, Zs odległość środka masy pola od osi x\ wtedy Ix = I -f- F . Zs². Jeźeli więc Zc oznacza odległość środka ciśnienia od osi x, natenczas

P. Zc = g g (I -f- F Z,²) cos a

a stąd, po wstawieniu wartości P,

(3)

Zc — Zs + fz, ’

z czego się okazuje, że ZC^>Z₃, że zatym środek ciśnienia znajduje się poniżej środka masy pola ciśnionego. Jeżeli przedstawimy sobie, że pole ciśnione waha się około osi x, natenczas z art. 162-go wynika, że środek ciśnienia jest zarazem środkiem wahań pola rozważanego.

Jeżeli ścianę naczynia stanowi powierzchnia krzywa, natenczas ciśnienia, które ciecz wywiera na elementy téj ściany w kierunkach normalnych nie będą równoległe, a przeto stanowić będą w ogólności układ sił 3-go rodzaju. Wtedy więc nie istnieje ani wypadkowa ciśnień elementarnych, ani środek ciśnienia.

197. Zasada Archimedesa. Rozważajmy działanie cieczy materyjal-nój na ciało sztywne, w niéj zanurzone. Przypuściwszy, że ciało jest częściowo zanurzone czyli pływa na cieczy, obierzmy powierzchnią cieczy za płaszczyznę xy, a oś z pionowo na dół. Element dw, obrany w punkcie (x, y, d) na powierzchni zanurzonej ciała, doznaje w kierunku normalnej wewnętrznej ciśnienia dP = ag z . da>. Jeżeli a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe téj normalnej, wówczas a . dP, b.d P, c.dP będą odpowiednio składowymi, zaś (cy ■— bd) dP, (az — cx) dP, (bx — mj) dP momentami tego ciśnienia względem osi spółrzędnych. Wstawiając wartość dP i całkując na powierzchni zanurzonej ciała, otrzymamy

(1)

ag^as.da, Y = ag^bs . dw, Z — ag^cz.doi L =    —àd) zdu, M—cx) zda, N = ag^(bx—ay)zdio.

Wielkości X, Y, Z, L, M, N przedstawiają całkowite działanie cieczy na ciało zanurzone.

Każdą z powyższych całek podwójnych możemy zamienić na całkę potrójną, rozciągającą się na objętość zanurzoną ciała. W tym celu rozważajmy całkę następującą:

r.=.

d¥

— dx dy dz, ooo

#1, x₂,...,

rozciągającą się na pewną ograniczoną część przestrzeni; funkcyja F i jej pochodne jest ciągłą i jednowartościową w każdym punkcie (x, y, z) wewnątrz danej przestrzeni i na powierzchni ograniczającej. Aby wykonać całkowranie względem x, rzućmy tę powierzchnią ograniczającą na płaszczyznę y z, obierzmy wewnątrz rzutu punkt (y, z), poprowadźmy przezeń prostą, równoległą do osi x, i oznaczmy przez F„ F₂,.... F₂ i, F₂ „ wartości funkcyi F w punktach x2n-1, x₂ni w których owa prosta przecina powierzchnią daną. Ilość tych punktów jest parzysta. Wtedy

r-=ffc

— Fj + F₄ — F₃ + ... + F2n — F

ïn — 1

) dy dz.

Niech bi, Ci oznaczają dostawy kątów, które normalna wewnętrzna do powierzchni ograniczającej w punkcie ([xi} y,-, zt) tworzy z osiami, a dw; niech oznacza w tym punkcie pole elementu téj powierzchni, którego rzutem na yz jest prostokąt dydz. Wtedy

dy dz = axdiùl — — a₂ dco₂ = a₃ dw₃ — — aA dw₄ — ... — a2n

dlù₂ n —

■—    n d(Ù2 n j WięC

ttx P| d(ilj — . . c . - a₂n F₂« dlti₂n ~—'

1 1^2»

di0₂n — 1)

, czyli krócej

a F . do)

przyczym całkowanie rozciąga się na powierzchnią ograniczającą. Twierdzenie, przez to równanie wyrażone, możemy, kładąc dY — dx dy dz, tak przedstawić:

— dY — —

dx

a F. dio, podobnie

Y^dY'-= —

dy

b F . dm,

(2)

-Y- dY = —

dz

cF.rfû).

Stosując równania (2) do całek (1), otrzymamy J* az diù = —

dz

~ dV,

dx

dz

a ponieważ —— = 0 wewnątrz

OjC

ciała zanurzonego, przeto J

az dio — 0. Po

dobnie J* bz dtó — — oznacza objętość zanurzoną ciała. Podobnym sposobem otrzymamy

dy

dV = 0; J

ćz doi — —

dY = ~ Y, gdzie Y

J'(cy — bz) zda

J* y dY, J* (az — cx) zdu>^ xdY, ^

(bx — ay) zdiü—Q.

Niech i, tj, Ç oznaczają spółrzędne środka masy S tej części ciała, która jest zanurzona; wówczas

y .dY—y\.Y,

x.dY~iY, a więc

(3).

x = o, r = o, Z = — o^Y;

L =— a^Yą, M=;o(jiY^ N —0.

Oznaczmy przez i', r/, £' spółrzędne środka masy S' całego ciała, przez Y' całą objętość ciała, przez a'jego gęstość średnią; wtedy a' g Y' jest ciężarem ciała. Redukując ciężar ciała do początku spółrzędnycli, otrzymamy następujące siły i momenty:

(4)

X' = 0, Y' = 0, Z' = dgYL,

L' = a'gY’ri', W = — o'gY’ÿ, N'= 0.

Z równań (3) okazuje się, że na ciało zanurzone ciecz nie wywiera żadnego działania poziomego, tudzież że ciśnienia cieczy na ciało nie mają momentu względem pionu. Żeby ciało zanurzone, samemu sobie zostawione,

było w równowadze, potrzeba, aby Z f Z' ~ 0, L + L'=:0, M + M' .■= 0, a stąd

oY = a'V', £ = ?, n = ii,

to znaczy, że stosunek gęstości średniej ciała do gęstości cieczy, jest równy stosunkowi objętości zanurzonej ciała do jego objętości całkowitej, a środek masy całego ciała i środek masy jego części zanurzonej znajdują się na tym samym pionie. Ponieważ Y <V', przeto jest a' <7 a; gdyby a' >> o, natenczas pływanie ciała byłoby niemożebne. W przypadku gdy o' = o, będzie V'=V; ciało pływać będzie przy całkowitym zanurzeniu.

Osi x, y możemy zawsze tak obrać, żeby i — 0, yj = 0 ; w tym celu należy pion, przechodzący przez punkt S, obrać za oś z. Wtedy będzie L rr: 0, M — 0, a całe działanie cieczy zredukuje się do siły Z =— ag V, którą nazywamy parciem cieczy na ciało. Parcie cieczy, w spoczynku zostającej, na ciało w niej zanurzone, ma kierunek pionowy w górę i jest równe ciężarowi tej samej objętości cieczy, co objętość części zanurzonej ciała. Punktem przyłożenia parcia jest środek masy zanurzonej części ciała, icypeł-nionćj masą jednorodną. Te twierdzenia wyrażają tak zwaną zasadę Archi medes a.

Prostą, łączącą środek masy całego ciała ze środkiem masy jego części zanurzonej, nazywamy osią pływania, a płaszczyznę, na której w pewnym położeniu ciała przypada przedłużenie w jego wnętrzu powierzchni cieczy, zywamy płaszczyzną pływania ciała w tym jego położeniu. Oś pływania jest pionowa, jeżeli ciało pływa w cieczy. Jeżeli ar^>a, wtedy należy ciało zawiesić, żeby w cieczy nie zatonęło. Parcie wówczas nie równoważy ciężaru ciała, lecz zmniejsza go, i wtedy mówimy, że ciało traci ze swego ciężaru tyle, ile waży ciecz tej objętości, co ciało. W tej formie wyrażamy zwykle zasadę Archimedesa.

198. Równowaga ciae peywtających. Stosownie do określenia w art. 113-ym mówimy, że ciało znajduje się w równowadze stałej, jeżeli ciało po bardzo małym odchyleniu z położenia równowagi w cieczy zdąża napowrót do tego położenia i po bardzo małych wahaniach przychodzi znowu do spoczynku w pierwotnym położeniu. Aby rozpoznać runki takiego stanu, zważmy, że ani ruch postępowy w kierunku poziomym, ani ruch obrotowy około osi pionowej nie znosi równowagi, bo przez to nie zmienia się parcie cieczy na ciało. Wystarczy więc rozważać nadanie ciału nieskończenie małego ruchu postępowego w kierunku pionowym, jako też obrotu około osi poziomej.

Takie dwa ruchy są równoważne obrotowi

(5)

na-

wa-

AA

ls

\B

P*

Fig. 67.

około poziomej osi chwilowej, według której przecinają się płaszczyzny pływania ciała w dwu sąsiednich jego położeniach.

Niech AB (fig. 67) przedstawia płaszczyznę pływania w położeniu pierwotnym, a A, B, jéj położenie względem ciała po bardzo małym odchyleniu w kierunku strzałki; prosta C, według której przecinają się obie płaszczyzny, będzie osią obrotu chwilowego o kąt bardzo mały a. Punkt S przedstawia środek masy części zanurzonej, a S' środek masy całego ciała; do tych punktów przyłożone są siły odpowiednio ogY i dgY¹. Wskutek ruchu chwilowe* go zanurzy się część ciała BCBl5 a część AC Aj wynurzy się; parcie cieczy wzrośnie więc o siłę P,, z jaką ciecz działa na BCB,, a zmniejszy się o siłę P₂, odpowiednią części A CA,. Aby obliczyć P,, obierzmy prostą CB za oś x, a oś chwilową za oś y; wtedy pole elementu figury BCB, będzie #sinacosa(7a?. A jeżeli przez y rozumieć będziemy szerokość tej figury, według której płaszczyzna A B przecina ciało, wziętą w kierunku osi ?/, to xymmcosv.dx będzie objętośćcią elementu klina BCB,. Parcie cieczy na

ten element będzie ogxysmacosadx, a więc P, = a# sin a cos a ^

xy. dx,

gdzie całkowanie rozciąga się na przekrój ciała od C do B.. Moment parcia

P, względem osi y będzie a# sin a cos² a J* x²y

. dx czyli o g 1, sin a cos² a, gdzie

I, oznacza moment bezwładności przekroju CB względem osi chwilowej. Podobnie będzie cgl₂ sina cos² a momentem siły P₂ względem tejże osi, względem której I₂ oznacza moment bezwładności przekroju CA. Przyjmijmy, że S' znajduje się powyżej S, wtedy ciężar ciała a’gV tudzież siły P, i P₂ obracają ciało około osi chwilowej w przeciwnym kierunku odchylenia, a parcie agV obraca w kierunku odchylenia. «Jeżeli przeto suma momentów pierwszych trzech sił względem osi chwilowej jest większa od momentu parcia, wtenczas ciało zdążać będzie do położenia pierwotnego. Niech prostopadłe z Sf i S na płaszczyznę A, B, spotykają t§ płaszczyznę odpowiednio w punktach D i E; wtedy warunek, aby równowaga ciała pływającego była stała, wyrazi się przez nierówność

o’gY • CD + cg (I, -f I₂) sinacos²a >> àgY .CE; mieć więc będziemy, kładąc 1 = 1, -f I₂,

ol. sina cos²a ;> o V. CE — o'V'. CD«

Ponieważ z założenia a Y = a'Yr, przeto:

I. sinacos²a ;> Y (CE — CD).

Gdy przyjmiemy 8 = SS', to CE — CD = 8 sina; mamy więc

I. cos²a>> Yd.

Ponieważ a jest kątem bardzo małym przeto otrzymamy

gdzie I jest momentem bezwładności téj figury, według której płaszczyzna pływania przecina ciało, względem osi chwilowej. Osią chwilową może być jakakolwiek prosta na téj płaszczyźnie, a I będzie najmniejsze względem jednej z osi głównych téj figury. Jeżeli przeto w (1) podstawimy zamiast I jego wartość najmniejszą, a powyższa nierówność zachodzi, to ciało pływające będzie w równowadze stałej, jakimkolwiek byłby ruch chwilowy, ciału udzielony. A zatym : jeżeli środek masy całego ciała znajduje się powyżej środka masy jego części zanurzonej, natenczas równowaga będzie stała, jeżeli odległość ivzajemna tych obu dwu środkóiu jest niniejsza od ilorazu z podzielenia najmniejszego momentu bezioładności figury, według której płaszczyzna pływania przecina ciało, przez objętość części zanurzonej tego ciała.

Gdyby punkt S leżał powyżej S', wtedy warunkiem równowagi stałej byłoby I. sina cos²a > V. (CE -CD). Ponieważ w tym przypadku CE — CD = — — § sin a, przeto otrzymalibyśmy I cos² a ;> — V. 8. Temu warunkowi zawsze stanie się zadość, ponieważ I jest wielkością dodatną. Jeżeli środek masy ciała znajduje się poniżej środka masy jego części zanurzonej, natenczas równo-waga ciała płijwającego jest stała. W przypadku całkowitego zanurzenia punkt S razem się zejdzie z punktem S', a wtedy zachodzi równowaga w każdym położeniu ciała. Taki stan równowagi ciała pływającego zowiemy obojętnym. Nazywamy zaś równowagę ciała pływającego niestałą, jeżeli ona nie jest ani stałą, ani obojętną; wtedy nie wraca ciało po odchyleniu do pierwotnego położenia równowagi.

Powyższe roztrząsanie jest otyłe dokładne, oile pomijamy ruch cieczy, wywołany przez odchylenie ciała, tudzież wpływ tego ruchu na oscylacyje ciała. Żeby więc podane twierdzenia miały zastosowanie, potrzeba przyjąć, że prędkość każdej cząstki cieczy jest nieskończenie mała w porównaniu z prędkościami punktów ciała, i ciągle taką pozostaje.

199. Kształt równowagi obracającej się cieczy. Ciecz, której cząstki przyciągają się wzajemnie według prawa Newton’a, obraca się jednostajnie około danej osi: mamy wyznaczyć kształt jéj powierzchni. — Ciecz przybierze pewien kształt oznaczony wskutek równowagi Względnej sił, przyłożonych do jéj cząstek. Tymi siłami są: przyciągania i siły odśrodkowe, które, jak wiadomo, (art. 145) są jedynymi siłami pozornymi, dającymi pracę elementarną. Biorąc sumę potencyjałów sił przyciągania i sił odśrodkowych, i przyrównywając tę sumę do stałej dowolnej, otrzymamy według (3) art. 194-go równanie każdej powierzchni stałego ciśnienia, a zatym także równanie powierzchni cieczy.

Niech X, Y, Z oznaczają składowe prostokątne przyciągania, którego jednostka masy w punkcie (%, y, z) doznaje od cieczy; co niech oznacza stałą prędkość kątową obrotu około prostej, którą przyjmiemy za oś z\ natenczas

J*(Xdr + Ydy -f Zidz) jest potencyjałem sił przyciągających

oi²

zaś— {oc^+tfi)

jest potencyjałem siły odśrodkowej dla jednostki masy (art. 145). Równanie więc powierzchni cieczy będzie

(1)2

(1)

QLdx + Ydy -f 7idz) -f- — (x² -f- y²) = a,

gdzie a oznacza stałą. Potencyjał sił przy ciągających zależy od krańców całkowania, a zatym od powierzchni cieczy, a ponieważ ta powierzchnia jest właśnie niewiadomą, przeto ten potencyjał nie może być obliczony. Podane zatym zagadnienie nie daje się bezpośrednio rozwiązać; pozostaje tylko droga pośrednia, mianowicie należy po przyjęciu pewnego ograniczenia cieczy badać warunki, pod którymi to ograniczenie jest moźebne.

Przyjmijmy, że ciecz jest ograniczoną powierzchnią elipsojdy obrotowej lub trójosiowój, i wyznaczmy warunki, przy których mogą zachodzić takie kształty równowagi.

Obierzmy osi główne A, B, C elipsojdy za osi spółrzędnych, (elipsojda obraca się zatym około osi C) oznaczmy przez o gęstość cieczy, a przez h wielkość przyciągania dwu jednostek masy w odległości równej jednostce; wówczas potencyjał sił przyciągania w punkcie (x, «/, g) elipsojdy będzie według (15) art. 132-go,

'(V)

U = rc/ca

„    z² \ ds

A² + 5 B² + s C² + s) D

x²

y²

*⁷o

gdzie D =|//"(i + (l + ■jp) (i +    * Gtdy przyjmiemy

»(V)

CO

(X)

'OD

(2) S =

I    TT_ /

f D(A² + s)

O    «/O

ds

ds

D(B* + s)’Z~ D(C ² + s)’A —

ds

D’

to będzie [J =r jtÆa (A — Eæ² — Wy² — Z z²') ; równanie więc powierzchni cieczy będzie

(i)2

Tc h a (A — E x² — H y² — Z z²) + — (x² + y²) — a,

A

czyli, gdy przyjmiemy |i = 2xla,

(3)

— Z z² = a — A .

« ^2 ^2 Zęby to równanie odpowiadało elipsojdzie -f- f- =1, jak tego żądamy, zachodzić powinny następujące związki:

a — A co²

które wyrażają szukane warunki zagadnienia. Mamy pięć niewiadomych A, B, C, co, a, z których trzy pierwsze określają powierzchnią elipsojdy; a ponieważ między tymi wielkościami zachodzą tylko trzy związki (4), przeto dwie

(4)

co²

B²

02 »

p. A²B²

(6)

niewiadome mogą być dowolnie obrane. Rugując z tych związków a — 4, otrzymamy dwa równania

(5)

[<0²

C²

b=-tfz>

w²

C²

H = ^z,

z których po ponownym wprowadzeniu całek, wypada

s. ds

Ü)²

'CO

A²— C²

'oo

s. ds

B² —C²

'oo

5. ds

A⁴C²

|d(i ₊ Aî)(¹ + -±)

B⁴ C²

D 1-f

B²)(¹ + C²)

Odejmując od siebie pierwsze dwa równania (4), wyrugujemy w² i otrzymamy po łatwych redukcyach

'co

ds

'co

ds

(7)    (B² — A²)

D 14

A²)(¹⁺ B²)

D(¹+^

jako jedyny związek, mający zachodzić między osiami elipsojdy, której kształt ma przyjąć obracająca się ciecz.

Z ostatniego równania wynika, że ciecz może przyjąć kształty nieskończenie wielu elipsojd rozmaitych. Którekolwiek z równań (6) pozwala dla każdej elipsojdy obliczyć odpowiednią prędkość kątową obrotu.

Równaniu (7) możemy uczynić zadość, biorąc A = B; ciecz może zatym przyjąć kształt elipsojdy obrotowej, której osią jest oś obrotu cieczy. Biorąc którekolwiek z dwu ostatnich równań (6), widzimy, że wyrazy pod znakami całkowania są dodatne, a więc całki są także wielkościami dodatnymi ; żeby więc oi miało wartość rzeczywistą, powinno być dla elipsojdy obrotowej A^>C, Ciecz może przybrać kształt sferojdy, której osią jest oś obrotu. Elipsojda obrotowa wydłużona, jest niemoźebna.

200. Zastanówmy się bliżej nad kształtem sferojdalnym cieczy. Weź-

wówczas s oznacza mimośród elipsy, która przez obrót

my s =

około mniejszej osi C tworzy sferojdę; gdy podstawimy s — C²u, gdzie u jest nową zmienną, to z równania ogólnego

KA²—C²

OD²

a.²—C² rœ

s. ds

{i. — A⁴C²

otrzymamy dla sferojdy

CO

w²

= s²

u du

o-f e²+1)³0 + l)²

Podstawiwszy u + 1 = z, otrzymamy

u. du

dz

dz

z²(z + e²)²’

a następnie używając w każdej z tych całek podstawienia z²=H, otrzymamy:

-i-arctg-j-,

(u +e² + 1)²(m+ l)² J S²{zĄ- e²)²

dz

dH

,? ²    -p.s²) ²

(C² + S²)² ~ £²(C² + S²)

dz

3    , H

^-arctg₇.

dH

C²(C² + £²)²“ s⁴C £⁴(C²+£²)

Wprowadzając na nowo zmienne pierwotne i biorąc całkę oznaczoną, mieć będziemy

TC    1

Ponieważ — — arc tg — r= arc tg e, przeto będzie 2    s

(1)

co²

— J₃ j (s² + 3) arc tg s —

3e .

Dla każdego e można z tego równania obliczyć co, to znaczy dla sferojdy o danym mimośrodzie można wyznaczyć odpowiednią prędkość kątową obrotu. Jeżeli zważymy, że e jest wielkością dodatną, to nietrudno okazać, że każdej wartości e odpowiada dodatne w², a więc rzeczywiste co. Jakoż, gdy przyjmiemy

(O²

e² + 3’

=    • ? 0) » gdzie <f 0) = arc tg e —

4eł

to __

Je (s²-ł-3)²(s² + 1)'

Każdej sferojdzie

Dla s>0 mamy ciągle <p' (e) >- 0, a zatym cp (s) wzrasta dla rosnących s, a ponieważ <p (e) ma bardzo małą wartość dodatną dla bardzo małego dodat-nego e, przeto (e) ;> 0 dla e ;> 0. Ponieważ pierwszy czynnik jest także co²

dodatny, przeto — jest dodatne dla każdego dodatnego s.

odpowiada pewna prędkość kątowa obrotu, a kształt równowagi nie zależy od kierunku, w którym obracamy.

7e³ + 9e (e² + 9) (e² + I)

Gdy/0) =

— arc tg e, to

d    s² + 9

df{e)_ 8 e*(3— e²) de ~(e² + 9) ²(e*+l)² '

Znak pochodnej    zależy od znaku funkcyi/(s). Dla bardzo małycb

i dodatnyck s jest funkcyja/(s) dodatna, a ponieważ f (e) = 0 dla e = ]/ 3", przeto funkcyja /(s) pozostaje dodatną i rośnie od e — 0 do s = J/ 3". Odtąd

jest/'(e)<;0 , więc /(s) ubywa, a ponieważ dla e = od ,/(e) = — przeto

istnieje pewna, wartość s, większa niż J/IT? dla której /(s) = 0. Jedynym pierwiastkiem równania /(s) = 0, zawsze zadość czyniącym temu warunkowi, jest 5 = 2,5293, jak rachunkiem przekonać się można. Dla téj wartości e będzie

A (—}

dz \ {i /

które dla sferojdy zachodzić może.

— 0, a więc największe

01²

Wstawiwszy powyższą wartość e w równaniu (1), otrzymamy max0,2246,

0)2

Linija krzywa, przedstawiająca — w funkcyi s, podnosi się od zera aż do powyższej wartości, następnie zniża się ku osi s-ów, która jest jéj asymptofą, bo dla nieskończenie wielkiego s będzie pochodna téj funkcyi nieskończenie mała, Prosta, równoległa do osi s-ów, której rzędna jest mniejsza od 0,2246, przę^ cina tę krzywą w dwu punktach; dla jednego z tych punktów będzie s C 2,5293, dla drugiego s > 2,5293 ; równanie (8) posiada więc dwa pierwia-? stki dodatne s dla każdej wartości to, leżącej poniżej wartości wymienionej.

0)2

A zatym, żeby ciecz przybrała kształt sferojdy, potrzeba, aby — ^ 0,2246 ; dla

t¹

/ / , 0)2 każdej prędkości obrotu, czyniącej zadość warunkowi — -< 0,2246, otrzymamy

0)2

dwie sferojdy jako kształty równowagi, a dla -— — 0,2246 tylko jednę sfe-

y*

rojdę. Dla —‘>0,2246 nie może ciecz przybrać kształtu sferojdalnego.

Z przebiegu powyższej krzywej wynika, że z równania (1) otrzymamy dla bardzo małego to dwie wartości s, z których jedna bardzo mała, a druga

^3 g5

bardzo wielka. Dla pierwszej możemy użyć szeregu arc tg s = s--— + ~—-

—..., po wstawieniu którego w (1) otrzymujemy, zatrzymując tylko najniższą

potęgę mimośrodu, ~    ^

s², s =    • Dla drugiego pierwiastka

TT    7Z    {X

biorąc arc tg e = —, otrzymamy s = —.    . Jeżeli przyjmiemy następnie

J    di

0> = 0, to otrzymamy 0 i 00 jako odpowiadające wartości mimośrodu. Granicami więc sferójd są kula (dla s = 0) i płaszczyzna do nieskończoności (dla s = 00).

Możemy te wyniki zastosować do ziemi. Oznaczając przez R jéj promień średni, przez g średnie przyśpieszenie spadku na jéj powierzchni, przez

3 a

o gęstość średnią, ziemi, mamy według równania (8) art. 135-go, /co =

(Ö²

2    Eo>² . ,

a więc — =

3    ~T '    ⁴

(2)

2 Ew³_ (s + 3) arc tg e — 3 e

e³

Ponieważ oi jest bardzo małe dla ziemi, przeto możemy zamiast prawej strony 4

tego równania wziąć e², z czego wynika

lo

=    e³, czyli s² =

2_ Eco3 3    9

Jeżeli 7] oznacza spłaszczenie sferojdy ziemskiej, to według art. 134-go, e² = = 2tj, a stąd

5 ßw³

2' 9

(3)

5 Ew2 4 * g

Dla ziemi mamy co² = 5329 X 10—13 ; wstawiwszy jeszcze wartości B i g, otrzymamy ;

H = 0,004327 = 2^--

Pomiary ziemi wykazały jednak, że jéj spłaszczenie wynosi

(art. 134),

288,48

a zatym mniej, niż wypada z powyższego rachunku. Ta niezgodność tym się tłumaczy, że ziemia nie jest jednorodna, i służy zarazem na poparcie przypuszczenia, że gęstość ziemi rośnie ku środkowi.

Warunkowi (7) art. poprzedzającego, określającemu kształt równowagi cieczy, uczynimy zadość, kładąc

'co

ds

'co

ds

(4)

D(l + h)(1 + w) i D

To równanie odpowiada, jak z poprzedniego dochodzenia wynika, elipsojdzie trój osiowej jako powierzchni cieczy. Użyjmy podstawienia s — C²u, przyjmijmy a² = C² : A², ß² = C² : B², E² = (1 -f a²«) (1 + ß²w) (1 + w); wówczas otrzymamy po łatwych rcdukcyjach

'co

'co

I ₌ C²(1—a²—ß²).

U² . dli

E³ *

Z warunku 1 = 0, wynika

'co

(5)

( 1 — <z² — ß²) •

udu

TP“ - P²

'co

u². du

E³

= 0.

->-+i

Ponieważ każda z powyższych całek jest dodatna, przeto jest (1 — a² — ß²)>»0, czyli

Ciecz obracająca się może przyjąć kształt elipsojdy trójosiowćj; wtedy odwrotność kwadratu tćj osi elipsojdy, która ma kierunek osi obrotu, będzie toiększa od sumy odiurotności kwadratów divu innych osi tejże elipsojdy (twierdzenie Jacobi’ego). Nie wdając się w bliższy rozbiór tego przypadku, odsyłamy czytelnika do prac Mayer’a i Liouville’a, poniżej przytoczonych, które podają warunki, aby ciecz przyjęła kształt elipsojdalny.

ĆWICZENIA.

(1). Wyprowadzić bezpośrednio równania równowagi elementu cieczy, mającego kształt prostopadłościanu, przyjmując, że ściany doznają samych tylko ciśnień normalnych.

(2). Półkole umieszczono pionowo w cieczy tak, że jego średnica przypada na powierzchni cieczy: podzielić półkole na n części, doznających jednakowego ciśnienia cieczy.

(3) . Naczynie półkuliste jest wypełnione cieczą: wyznaczyć ciśnienie na czwartą część powierzchni, ograniczoną dwiema płaszczyznami, przechodzącymi przez oś pionową naczynia.

(4) . Wyznaczyć położenia, w których prosty graniastosłup trójkątny pływa na wodzie przy zanurzeniu jednej lub dwu krawędzi, i podać położenia, w których jego równowaga jest stała.

(5) . Okazać, że pływająca elipsojda jednorodna znajduje się w równowadze stałej, gdy jej oś najmniejsza ma kierunek pionowy.

(6) . W naczyniu, mającym kształt walca obrotowego, obraca się ciecz ma-teryjalna jednostajnie około jego osi: podać równanie powierzchni cieczy.

(7) . Cząstki cieczy, obracającej się jednostajnie około osi, są przyciągane według prawa Newton’a przez punkt, znajdujący się na tej osi: wyznaczyć powierzchnią cieczy. Dla małej prędkości obrotu otrzymamy sferojdę, której spłaszczenie daje się obliczyć, Stosując ten wynik do ziemi, okazać, że spłaszczenie tej sferojdy jest znacznie mniejsze od spłaszczenia ziemi, obliczonego z pomiarów geodezyjnych.

(8) . Przyjąć w poprzednim zadaniu, że przyciąganie jest proporcyjonalne względem odległości od punktu, znajdującego się na osi obrotu i wyznaczyć wszystkie kształty, jakie ciecz przyjąć może.

(9) . Parabolojda obrotowa, której oś jest pionowa, zawiera wiadomą ilość cieczy, obracającej się jednostajnie około jej osi: wyznaczyć całkowite ciśnienie cieczy na parabolojdę.

(10). Półkula o osi pionowej zawiera ciecz, której objętość jest równa 4-téj części objętości półkuli, a ciecz obraca się jednostajnie i dosięga krawędzi półkuli: wyznaczyć prędkość kątową, obrotu.

Literatura (Rozdz. XVIII).

les figures ellipsoïdales à trois

sur

Duhamel, Observations sur la stabilité de l’équilibre des corps flottants (J. de l’éc. polyt. t. XV, ] 835). — C. G. I. Jacobi, Ueber die Figur des Gleichgewichts (Annalen v. Poggendorff, t. XXXIII, Leipzig, 1834). — J. Liouville, Note sur la figure d’une masse fluide homogène en équilibre et douée d’un mouvement de rotation (J. de l’éc. polyt., Cahier XXIII, 1834); Mémoire axes inégaux, qui peuvent convenir à l’équilibre d’une masse liquide homogène, douée d’un mouvement de rotation (J. des math., t. XVI, 1851).— C. O. Meyek, De aequi-librii formis ellipsoidicis (J. v. Ckelle, t. XXIV, Berlin, 1842). — P. Richelmy, Note sur la stabilité de l’équilibre des corps flottants (Memorie délia Reale Accademia delle Scienze di Torino T. XV, 1855). — Kostka, Ueber die Auffindung der ellip-soidischen Gleichgewichtsfiguren einer homogenen, um eine feste Axe rotirenden Flüssigkeitsmasse (Monatsberichte d. Akad. d. Wiss. in Berlin, 1870). — A. Mar-tynowski, Teoryja ciśnienia cieczy na ściany płaskie i na ściany krzywe (Pamiętnik tow. n. śc. w Paryżu, t. III i IV, Paryż, 1873'—74.) — L. Birkenmajer, O kinetycznej równowadze elipsojdy nieobrotowéj pod wjDlywem grawitacyi i siły ocL środkowej (Pamiętnik ak. um., t, VII, Kraków, 1882). —

ROZDZIAŁ XIX.

KINETYKA CIECZY (HYDROKINETYKA).

201. Równania ruchu cieczy doskonałej. Ruch ciągły cieczy możemy rozważać dwojakim sposobem. Obrawszy pewną cząstkę cieczy, możemy pytać się o tor, który ona opisuje, tudzież o jej prędkość i o ciśnienie, którego ona doznaje w każdym punkcie swego toru. W ten sposób kreślimy niejako historyją każdej cząstki cieczy zosobna. Możemy jednak obrać także pewien punkt w tej przestrzeni, w której ruch cieczy zachodzi, i badać prędkości, które rozmaite cząstki cieczy posiadają, gdy z biegiem czasu przez tenże punkt przechodzą, tudzież ciśnienia, których one doznają, gdy przybywają do tego punktu. W ten sposób regiestrujemy niejako zjawiska, zachodzące z biegiem czasu w pewnym miejscu w przestrzeni.

Zastosowanie piéwszéj z tych metod wymaga ustanowienia pewnej cechy, któraby jednę cząstkę cieczy odróżniała od wszystkich innych. Jako ową cechę przyjmujemy zwykle wiadome spółrzędne prostokątne a, b, c tego miejsca, które cząstka zajmuje w pewnym czasie t₀, np. w czasie t₀~0. Zachowując znakowanie, powszechnie używane, oznaczmy przez u, v, w składowe prostokątne prędkości cząstki; u, », w należy uważać za funkcyje argumentów a, b, c i t; podobnie będzie ciśnienie p funkcyją tych argumentów. Wyznaczywszy te funkcyje, znamy ruch cząstki cieczy.

Używając zaś drugiej z tych metod, t. j. odnosząc zjawiska do jednego tylko miejsca, inaczej pojmujemy prędkości u, v, w i ciśnienie p. Prędkości i ciśnienie zależą bowiem od miejsca, w którym je rozważamy, i od czasu, a więc u, v, tu i p są funkcyjami argumentów x, y, z i t; ponieważ zaś x, y, 0 są funkcyjami czasu, przeto u, v, w i p są funkcyjami czasu wyraźnymi i niewyraźnymi. Jeżeli w tych funkcyjach przyjmiemy dla x, y i 0 pewne wartości stałe, otrzymamy prędkość i ciśnienie, zachodzące w pewnym miejscu w przestrzeni z biegiem czasu, i w ten sposób osiągniemy właściwy cel takiej metody badania. Jeżeli u, v, w i p nie zawierają czasu wyraźnie, jeżeli zatym są

funkcyjami czasu tylko otyłe, oile zależą od x, y i z, to w każdym punkcie w przestrzeni zachodzić będzie nieustannie, t. j. bez względu na czas, tenże-sam ruch i tożsamo ciśnienie cieczy, właściwe temu punktowi. Taki ruch cieczy nazywamy ruchem trwałym tej cieczy.

Jeżeli u, v, to odnoszą się do cząstki cieczy, znajdującej się w czasie t w punkcie (x, y, z), natenczas cząstka opisze w czasie dt drogi dx — u. dt, dy ~v. dt, dz = to. dt w kierunkach osi, a po upływie tego czasu jéj prędkości będą odpowiednio u + ~~ dt, v + ~ dt, to -f- dt, przyczyni

du du du dx du dy t du dz

dt ~ dt ⁺ dx ' dt ^ dy * dt ^ dz ’ dt

Ponieważ « =    » = ■§.» = ■§, P«eto

du du , du , du , dtf    da:    dy

(1)

du

dz

dv

i podobnie

d w . dp ’ ~dt ¹ ~dt *

dit

Pochodne — i t. p. powstają przez różniczkowanie względem czasu, zawartego wyraźnie w u, i t, p. Jeżeli = 0, ^

ot    ot

— o,

dw

dp

—    0 i - - = 0, natenczas ruch cieczy jest trwały.

Między pochodnymi prędkości u, v, w względem x, y, z zachodzi pewien związek, cechujący ciecz nieściśliwą. Otrzymamy go z równania (5) art* 177-go. Według znakowania obecnego przedstawiają u. dt, v . dt, w . dt przesunięcia punktu (x, y, z); wstawiwszy te przesunięcia w owo równanie zamiast

^    zm*an§ gęstości cieczy

dx

u, v, w, otrzymamy — o

w tym punkcie. Ponieważ ta zmiana jest równa zeru dla cieczy nieściśliwej przeto

(2)

du dv dw dx dy dz

— 0.

u -f- ~j~dxj dydzdt; przyrost więc masy •    ôte

cieczy wskutek ruchu w kierunku osi x jest — o . -r— dx dy dz . dt.

OOG

Możemy to ważne równanie także tak otrzymać. Rozważajmy nieskończenie mały element prostopadłościenny (fig. 65) mabcdefg; w czasie dt wchodzi do niego przez ścianę mbc masa cieczy równa au . dy dz. dt, a przez ścianę przeciwległą wychodzi masa cieczy a ^

Podobnie

wzrasta masa o —

dv

a. — dxdydz.dt wskutek ruchu w kierunku osi y, a o

dw

— a — dx dy dz. dt wskutek ruchu w kierunku osi z. Całkowity więc przyrost masy cieczy wynosi

-°(%⁺ik + d£)Axdyäll-dt

a ponieważ masa elementu cieczy nie może się zmieniać, przeto tą wielkość jest równa zeru, skąd wynika równanie (2). To równanie bywa nazywane równaniem ciągłości cieczy; trafniejszą byłaby nazwa : równanie stałości masy cieczy. Ono zachodzi dla każdej cząstki i w każdej chwili, bez względu na to, czy ciecz jest jednorodna, czy niejednorodna; możemy bowiem element obrać zawsze tak mały, że gęstość będzie taż sama w każdym jego punkcie.

Jeżeli ciecz jest ograniczona pewną powierzchnią F (x, y, z, t) — 0, to z art. 180-go wiadomo, że tę powierzchnią wciąż tworzą też same cząstki cieczy, więc

dF

dF

dF

dF

, , + « • "C--b V . —--1- W . -r- = 0 .

dt    dx    dy    dz

dF

Dla powierzchni stałej będzie

Dla uproszczenia rachunku będziemy ciśnienie p uważali za wielkość do-datną (w rozdz. XVIII było p ujemne); gdyby gdziekolwiek wypadło p < 0, natenczas ciągłość cieczy jest przerwana.

202. Rozważajmy element prostopadłościenny (fig. 65) cieczy; oznaczmy przez X, Y, Z składowe siły zewnętrznej dla jednostki masy, przez p ciśnienie w punkcie (x, y, z). Ściana mbc doznaje ciśnienia p.dydz, ściana

zaś przeciwległa ciśnienia — (p + ^

nień jest — dx dydz. Przyłożywszy do elementu jeszcze siłę zewnętrzną olLdædydz, możemy go uważać za swobodny względem ruchu w⁷ kierunku x. Ponieważ a . ~dxdy dz jest wyrażeniem analitycznym siły, która temu

dsc^ dy dz w kierunku x; suma tych c.iś-

dt

elementowi udziela przyśpieszenia w kierunku x, przeto równanie ruchu w tym kierunku jest

du

a . ~ dx dydz = (ż X —    dx dy dz, Czyli ^

1 dp

~ X ■ ~dx ’

Wstawiwszy wartość przyśpieszenia i postąpiwszy podobnie dla osi y i z, mieć będziemy

du

1 dp o ' dx v 1 dP

M+u-l^ + v-^ + w-~Si ' a' dy

dw dw , dw r/ 1 dp

-—j- v. ——b w . t = Z--. — .

dz    o dz

du

du

du

•-Tr + u • -N—b v. -—\- iv . dt    dx    dy

dz

=. X--—

dr

dv

dv

dv

dw

dy

MECHANIKA TEORETYCZNA,

Ten układ równań ruchu, odpowiadający metodzie odnoszenia zjawisk do pewnego miejsca, zowiemy układem równań Euler’a. Jeżeli z nim połączymy wiadome równanie ciągłości (art. 201), możemy wyznaczyć 4 niewiadome u, v, w i p, a zatym rozwiązać dane zagadnienie.

Aby otrzymać równania ruchu cząstki oddzielnej cieczy, oznaczmy przez d, b, c (art. 201) spółrzędne tój cząstki dla t — 0. Rozważając x, y, z jako funkcyje a, b, c i t, określamy ruch cząstki; rugując bowiem czas, otrzymamy równanie jéj toru, a różniczkując spółrzędne względem czasu, otrzymujemy prędkość i przyśpieszenie. Równania ruchu cząstki będą

-* + ł-

— Y + — . a

Z + -.

d²x

dt²

d²y

dt²

d²z

dć²

= o,

— 0,

= 0.

Te równania dodajmy do siebie, pomnożywszy je odpowiednio naprzód przez dx_ dy_ dz_ da ’ da ’ da ?

4^- ; otrzymamy w ten sposób

(d²x dx (d²y v \ dy /d²£    „\ d£

Idż²    A/da⁺l^²    Y/da⁺\dć²    Z/

!d²x ^\dx ,(d²y    \ dy (

\dtï-X)W+\W ~ dô + l

/fe T\ d:s /d²y \ dy /

\dt²    X/de⁺\dć²    Y/dc'⁺\

Ten układ nazywamy układem równań Lagrange’a, chociaż także Euler podał go pierwszy. Widocznie te równania nadają się do rozwiązania zagadnień hydrokinetycznych na podstawie metody rozważania ruchu cząstki oddzielnej cieczy.

Podamy jeszcze odpowiednie równanie ciągłości. W tym celu uważajmy element prostopadłościenny, którego wierzchołek m znajduje się w czasie t—0 w punkcie (a, b, c), a którego krawędzi mają odpowiednio długości da, db, dc w kierunkach osi. Po upływie czasu t punkt (a, b, c) przybędzie do (x, «/, z), i prostopadłościan stanie się pochyłym równoległościanem. Wierzchołki elementu, których spółrzędne w czasie t = 0 były odpowiednio: (a -f da, 1, c),

(a,b + db, c), (a,b,c-[■ dc), przybędą w czasie t do punktów [ccĄ-dX

,ày    dz , \ / , dx

»+dàda>e + toda),[x+ dh

óy    \

+ dz, £ +dc ) ; objętość elementu, która pierwotnie była dadbdc,

dx dy dz następnie przez — , ^    —

,    .    dx dy

na koniec przez    ,

da

L ₊ J_. j£ = ₀

i a da ’

(2)

dy

d²z dt2 d²z

dt²

Z)

_₊J_ Jp_o

di ⁺ a ' db~ ’

dz

dz    1 dp

dc    a ’ dc

dz „\    /    . da:

« «h (*+

Tc

= 0.

•7— da da

dc, y -f

ÖÜ

to

będzie teraz, jak wiadomo z geometryi ¹),

(3)

H | ö 'O TO -O

Si l'as

do, dbdc —

d(x,y,e)

d (a, b, ć)

. da db dc

oznacza wyznacznik funkcyjny funkcyj x, y, z względem a, b, C,

gdzie

d(x,y,z) d(a, b,c)

Masa więc elementu cieczy po upływie czasu t będzie a . ~~~~ da db dc .

Ponieważ ani masa ani gęstość cieczy nieściśliwej nie zmienia się, przeto

dadbdc — adadbdc

^d(x,y,e)

’ d(a, b,c)

skąd wynika równanie ciągłości

(4)

d(x,y,e). _ d(a,b,c)

203. Ruchy w elemencie cieczy. Przed całkowaniem równań hy-drokinetycznych w tych niewielu przypadkach, w których ono jest możebne, zastanówmy się nad ruchami względnymi cząstek, zawartych w elemencie cieczy, przyjmując, że warunek ciągłości zachodzi. Tym sposobem dojdziemy do pewnych praw, stanowiących kinematykę cieczy doskonałej.

Do zamierzonego celu prowadzi ta sama metoda, jakiej używaliśmy W art. 176—180 dla ciał sprężystych z tą jedyną odmianą, że w rozważaniu przesunięć oddzielnych cząstek elementu należy ograniczyć się do nieskończenie małego przedziału czasu. Jakoż, jeżeli u, v, w oznaczają chwilowe prędkości cząstki, zajmującej miejsce punktu m, (x, y, z), to u . dt, v . dt, w . dt są przesunięciami téj cząstki w elemencie czasu dt, które zadość czynią warunkowi ciągłości i są wielkościami nieskończenie małymi, również jak ich pochodne przy stałej wielkości przedziału dt czasu. Jeżeli więc zamiast przesunięć u, v, iv, rozważanych w pomienionych artykułach, podstawimy teraz u .dt, v . dt, w . dt, to będziemy mogli wyznaczyć wszystkie wielkości, cechujące ruch spoiny cząstek tego elementu, tudzież riich własny każdej cząstki z osobna.

Zatoczmy około punktu m dowolną powierzchnią zamkniętą, wydzielającą z cieczy nieskończenie mały element; wTówczas dla punktu n, znajdującego się wewnątrz lub na téj powierzchni, którego spółrzędne względem m są dx, dy, dz, będzie

du

du

du

du = -y— dx -f -^7- dy -|—— ds

OOC

dy

ds

(1)

de

de

dv

dv — 7— dx 4- —— dy +    - ds

dx . dy J ds

₇ fdw ₇    , dw ₇    , dw ₇

div — !—— cte 4- -I— dy H—— ds, ooc

dy

ds

a w -f- Jw, v -j- dv, «v 4- dto będą składowymi prędkości tego punktu na początku elementu czasu dt.

Wprowadźmy

du

dx

dv

div

ds ’

(2)

dv

dtv

dw

2 co, =. -T—

dv

div du

t'-iï + iï’ f3~

du dw

du

dv

dy

2oj₂

ds dx

? 2 w₃

r)?/ ^ (Xr ’ dv    du

dx    dy ’

równanie ciągłości będzie

(3)

^•1 i ^2 I V— 0,

z czego się okazuje, że trzy funkcyje X,, X₂, X₃ nie mogą być ani jednocześnie dodatne ani jednocześnie ujemne. W elemencie dt czasu, punkt n oddali się od m lub zbliży się ku temu punktowi, tak, iż, jeżeli ds było pierwotną odległością obudwu punktów, zaś (1 4- X) ds jest ich odległością po upływie elementu dt czasu, będzie, według art. 178-go,

(4)

X = X, a² + X₂ h² -f X₃ c² -f <p,. b c + ®₂ . ca -f <ps. ab,

gdzie (a, l, c) oznaczają dostawy kierunkowe elementu linijowego ds na początku tego elementu czasu. Postępując, jak w art. 178-ym, będziemy mieli powierzchnią rzędu 2-go

(5)

X, X³ + X₂ y¹ 4-.X3 s² + Tl >yz + Ta • ZX + Ta . =b 1

której środkiem jest punkt ms a której promienie są odwrotnie proporcyjonalne względem kwradratówr funkcyj X, odpowiednich tym promieniom. Z równania

(3) wynika, że ta powierzchnia składa się z dwu hiperbolojd sprzężonych, rozgraniczonych spólnym stożkiem asymptotycznym. Jeżeli cząstki cieczy, znajdujące się nieskończenie blisko punktu m wewnątrz tego stożka, oddalają się od tego punktu, to cząstki zewnątrz stożka zbliżają się ku temu punktowi, lub odwrotnie; cząstki zaś na stożku asymptotycznym zostają w pierwotnej odległości od tego punktu po upływie czasu dt. Kierunki osi głównych powyższych hiperboloj d nazwiemy kierunkamigłównymi w punkcie m. Każdy element linijowy ds przyjmie po upływie czasu dt wogólności odmienny od pierwotnego kierunek. Elementy linijowe, do siebie prostopadłe, a mające kierunki główne na początku tego przedziału czasu, zmienią także kierunki, lecz pozostaną do siebie prostopadłymi, podczas gdy jakiekolwiek dwa inne elementy linijowe, do siebie prostopadłe, przestaną tworzyć kąt prosty.

8nx = 8mx + (X, dx — <o₃ dy + wadg) dt,

(9)

8ny = 8my +. (X₂ dy — w, dć + co₃ d#) dt,

8ng =    -j-    (X₃    dg — o)₂ d# -f- co, dy) d£.

204. Z tych równań okazuje się, że ruch elementu cieczy, zawierającego w sobie punkt m, składa się z trzech części, mianowicie: popiérwsze z ruchu postępowego, spólnego wszystkim cząstkom tego elementu; powtóre z ruchu obrotowego około pewnej osi, przez punkt m przechodzącej, w którym biorą udział wszystkie cząstki, jak gdyby element był sztywny; potrzecie z pewnego ruchu, każdej cząstce właściwego, wskutek którego ta cząstka posuwa się względem punktu m w kierunkach głównych odpowiednio o \idxdt, \₂dydt? X₃dgdt. Pierwsze dwa ruchy dają skręt chwilowy elementu, nie zmieniający wzajemnego położenia jego cząstek; wskutek ostatniego ruchu posuwają się

34

Punkt m zajmie po upływie czasu dt miejsce (xĄ-u.dt, y + v.dt, s + + w. dt), a punkt n zajmie miejsce (x + dx + u. dt -f du. dt, y + dy -\-v .dt -f-+ dv. dt, g + dz -f- w .dt + dw. dt), z czego wynika, źe punkt n posunie się w tym czasie względem m w kierunkach osi spółrzędnych odpowiednio o drogi du.dt, dv.dt, dw.dt, przyczym według (1) i (2) będzie, podobnie jak w art. 180-ym,

= Xt.Æ»+    —2a> ₃)dy + ^-(<p₂ + 2 co₂) dg,

jf (?3 + 2u₃)dx + X₂.dy + j (<p, — 2w,)dg,

(?2 — 2w₂) dx + -i- («Pi + 2(0,) dy -f X₃. dg.

Jeżeli te równania pomnożymy przez dt i dodamy do nich odpowiednio u . dt, v .dt, w. dt, to otrzymamy cały ruch cząstki n, znajdującej się w uważanym elemencie cieczy. Oznaczmy więc przez 8nx, 8ny, 8„g przesunięcia całkowite cząstki n w kierunkach osi spółrzędnych; mieć będziemy

(6)

(7)

du

dv =

dw —

8nx = dmx +

dx +    j (cp₃ —    2 a>₃) dy +    ~    (<p₂    +    2w₂) ds

X₂ dy -f    ~ (cpt —    2^) dg +    i    (<p₃    +    2o>₃) dx

X₃ dg +    j (cp₂ —    2w₂) dx +    ^    (<f>,    +    2<o,) dy

dt

dt,

dt

dng — dmg +

gdzie dmx — u.dt, 8my — v .dt, 8mg — w.dt oznaczają przesunięcia punktu m.

Możemy zawsze w punkcie m wziąć jeden układ osi prostokątnych, dla których będzie

dw du    du dv

+    ^ "b ü *

Te proste mają właśnie kierunki główne, a sposób ich wyznaczenia podaliśmy w art. 180-ym. W kierunkach tych prostych będą zatym całkowite przesunięcia punktu n w czasie dt

(8)

dv , dw

dg

dy

dx

Bib), mat.-fiz., S. IV, T. X.

cząstki względem siebie, a kształt elementu zmienia się. Wielkości w,, co₂, w3 są prędkościami kątowymi obrotu elementu, a dostawy kierunkowe osi obrotu są proporcyjonalne względem <*>,, oi₂, w₃. Każdy element cieczy obraca się chwilowo około pewnej, jemu właściwej osi, która jest coraz inną prostą dla coraz innych elementów.

Między pochodnymi prędkości kątowych zachodzi związek, wynikający z równań (2) art. poprzedzającego, mianowicie :

âü)₃

(1)

à co*

do)₂

= 0.

I

dx dy dz

Wyobraźmy sobie, źe rozważany element cieczy staje się nagle sztywnym; wtedy możemy wyznaczyć jego ruch bezpośrednio po zesztywnieniu. Z zasady bowiem zachowania ruchu środka masy wynika, źe środek masy elementu będzie się poruszał po zesztywnieniu z tąź samą prędkością, co przedtym. Poprowadźmy przez środek masy tego elementu, którego prędkości niech będą u, v, w, osi bezwładności, i obierzmy je za osi spółrzędnych ; A, B, C niech oznaczają odpowiednio momenty główne elementu względem tych osi, a ß₂, ^3 prędkości kątowe jego obrotu około tych osi po zesztywnieniu. Cząstka elementu, której spółrzędne są dx, dy, dz, niech posiada masę dm, a du, dv, dw niech oznaczają składowe jéj prędkości względem środka masy, wyrażone przez równania (1) art. poprzedzającego. Z wiadomych zasad kinetyki otrzymamy następujące równania (art. 149), określające kręcenie się elementu około środka masy:

(2)

lAUt — I (dy dw — dzdv) dni,

r

₂    = I (dz du — dxdw)dm,

₃    — J* (dxdv — dy du) dm,

BU

CU

gdzie całkowania rozciągają się na objętość elementu. Wstawiwszy wartości du, dv, dtv, przyczym wartości pochodnych cząstkowych prędkości u, v, iv względem spółrzędnych mają być wzięte w środku masy, a zatym w punkcie x=zO, y= 0, z—0, otrzymamy ze względu na własności głównych osi bezwładności następujące równanie :

dw

(dy du) — dz dv) dm == —

dy². dm —

-O

_ 1 (dw àv\ (

~ 2 W“ de) J

(dy* -f- dz²) dm -f- ~ A

( dv    dw \\~ (

\ dz    dy J [ J

(dx² + dy²) dm —

f(dx² -f- dz²) dm J

= Aa>r+(C-B)ÿ

a zatym, według (2)

fit

, i podobnie

o _    , A—C

£ł₂ — m₂ -f- cp₂. —— ,

B — A 2 C *

(3)

fig - Olg A rp₃ .

Z tych równań okazuje się, że niezależnie od kształtu elementu otrzymamy fij^coi, fi₂ = oi₂, fi₃ —co₃, jeżeli cp, — 0, cp₂ = 0, (p₃ = 0, i że te ostatnie warunki wystarczają, aby prędkości kątowe obrotu były też same dla elementu ciekłego i dla elementu sztywnego. Ponieważ ostatnie warunki wyrażają, że kierunki główne elementu ciekłego mają być osiami głównymi bezwładności elementu sztywnego, przeto mamy następujące ciekawe twierdzenie: jeżeli iv peivnéj chwili wyznaczymy dla danego punktu w cieczy kierunki główne, i wydzielimy element cieczy, którego środkiem masy jest ten punkt, a którego osiami bezwładności są owe kierunki główne, i uczynimy następnie ten element sztywnym, to skręt chwilowy elementu sztywnego będzie ten sam, co skręt chwilowy elementu ciekłego (tw. Beltrami’ego).

205. Ruch wirowy i ruch niewirowy. Jeżeli w pewnym punkcie cieczy i w pewnej chwili prędkości kątowe oi,, co₂, oi₃ nie są wszystkie równe zeru, wtedy mówimy, iż w tym punkcie i w téj chwili zachodzi w cieczy ruch wirowy; jeżeli zaś wszystkie trzy powyższe prędkości są równe zeru, natenczas ruch elementu cieczy nazywamy ruchem niewirowym. W pierwszym przypadku nieskończenie mały element cieczy, którego środkiem masy jest punkt rozważany, obraca się chwilowo około pewnej osi, przez ten punkt przechodzącej a w,, w₂, Wg przedstawiają rzuty prędkości kątowej tego obrotu na osi spółrzędnych, a oprócz tego posuwa się ten element w przestrzeni i odkształca się; w przypadku ruchu niewirowego niema obrotu, a pozostaje tylko ruch postępowy elementu i jego odkształcenie.

Ruch wirowy może w pewnej chwili zachodzić w skończonej części cieczy. W tym przypadku każdy element téj części obraca się chwilowo około pewnej osi, przez jego środek masy przechodzącej, a oś tego obrotu jest coraz inna dla coraz innych elementów cieczy w téj części. Taki ruch jest niemożebny w układzie sztywnym, albowiem wszystkie punkty takiego układu mogą się tylko obracać około spólnej osi, i z tego powodu należy ruch wirowy dokładnie odróżnić od ruchu obrotowego. Nadto zważyć należy, że prędkość kątowTa obrotu elementu cieczy zależy w pewien sposób od jego prędkości postępowej (art. 203), podczas gdy w ciele sztywnym obadwa rodzaje prędkości są od siebie niezależne.

Warunki konieczne i dostateczne ruchu niewirowego są według równań (2) art. 203-go,

(1)

dw dv

du dw

dv du

dy dz

dx    ^ dy

= 0.

Te związki między pochodnymi cząstkowymi składowych prędkości u, v, w względem spółrzędnych wyrażają widocznie, że wielkość u. dx + v. dy -f- w. dz jest różniczką zupełną pewnej funkcyi spółrzędnych, która także czas wyraźnie zawierać może (art. 77) i nawzajem, jeżeli powyższa wielkość jest różniczką zupełną, natenczas równania (1) zachodzić będą. Wielkości dx, dy, dz oznaczają przy tym różniczki spółrzędnych punktu, jeżeli w danej chwili z tego punktu przechodzimy do punktu nieskończenie bliskiego, nie oznaczają zaś dróg, które punkt (x, y, z) w elemencie czasu opisuje w przestrzeni.

Jeżeli wielkość u. dx + v.dy + iv.dz jest różniczką zupełną, natenczas funkcyją, której ona jest różniczką, nazywamy potencyjałem prędkości. Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby zachodził ruch niewirowy cieczy, jest istnienie potencyjału prędkości; gdzie taki potencyjał nie zachodzi, tam ruch cieczy jest wirowy. Oznaczmy przez cp potencyjał prędkości; wówczas

ii ,, _ ii.

dy ’ *

składowe więc prędkośei wyrażają się podobnie, jak składowe siły zachowującej. Z tych związków wynika równanie ciągłości dla ruchu niewirowego

ó²cp d²y ó²cp dx¹    dy²

Z tego równania okazuje się, że nie każda funkcyją może być potencyjałem prędkości dla ruchu niewirowego ; drugie pochodne tej funkcyi muszą bowiem zadość czynić powyższemu warunkowi, mającemu ten sam kształt, co równanie Laplace’a dla potencyjału sił przyciągania według prawa Newton’a, jeżeli różniczkujemy względem spółrzędnych punktu, znajdującego się zewnątrz ciała przyciągającego (art. 126).

Jeżeli potencyjał prędkości nie zawiera czasu wyraźnie, wtedy ruch niewirowy będzie ruchem trwałym, a wówczas ~=:0.

206. Zachowanie ruchu wirowego. Przyjmując, że siły zewnętrzne mają potencyjał CJ, obliczmy zmiany, jakich przy ruchu wirowym doznają prędkości kątowe elementu w przedziale dt czasu, w którym jego środek masy opisał drogi u .dt, v. dt, 10. dt. Do tego celu służą równania ruchu, które napiszmy w postaci następującej :

(2)

(3)

d(p

dz

dz²

= 0.

1 dp _ y du 1 dp__v

dt ’ a ‘ dy '

a * dx

si#

IS1

przyczyni Xdx -\-Ydy -\- Zâz — dXJ. Różniczkując pierwsze równanie względem y, drugie względem x i odejmując je następnie od siebie, otrzymamy

-f-(y - -%) - ~ (x - ^r) = 0.

dx \    dt )    dy \    dt /

dY    dX

Ponieważ z założenia

dx dy

— 0, przeto :

(1)

dx

(dv\ d i du\_

V dt ) dy \ dt J

czyli po podstawieniu wartości

d ( dv . dv

Mit+u

(2)

dv

dv

. -r—    V . —--j- W . -T— I

dx dy    dz '

du

r— ( vr d" u • T--1“ v ’ 1--H W

dy \ dt    dx dy

Wykonawszy różniczkowania, otrzymamy po uporządkowaniu,

du

du

du

’ dz

)=0.

d / dv__du\

■ dt\dx dyl

dz \dx

) V ' dy ( dx dy

rządkując i wstawiając Wj, to₂, w₃, otrzymamy następujące równanie :

du dv du du ' dx ' dx

dv du

dy

4- w

dv du

dy

— .--1--.

dy dx dx dy dy dy

doh

óco₃

d(aä

div

dw

= ö.

-TT- -f* U . —--\- V .

dt    dx    dy

Jeżeli pödobnie postąpimy z pozostałymi równaniami ruchu i uwzględnimy, że

dz

dy

0)₃ .

dz

diùi

d(ùi    du>i , d(ûi , diùi ,

-r-= — -\~u    --H v . ^--h te

dt dt    dx    dy

otrzymamy następujące trzy ważne równania, wyznaczające pochodne zupełne prędkości kątowych :

Jtó,

—— zrz; o), . - 4- tó<> ,

dx

(3)

dz

(* = 1,2.3),

du

du

dt

—TT — W1 • “Z— + W2

(4)

+ «3 .

dw

dt

dx

* ày

Te równania przedstawiają rozwiązanie naszego zagadnienia. Z nich widzimy, że pochodna zupełna każdej prędkości kątowej w, względem czasu, czyli pochodna, wzięta ze względu na dwa położenia sąsiednie tegoż samego elementu cieczy, jest funkcyją linijową i jednorodną wszystkich trzech prędkości kątowych. Jeżeli na początku przedziału dt czasu było Wj = 0, w₂ = 0, o>₃ =

= 0, to będzie przy końcu tego przedziału

a więc także w, = 0, oj₂ = 0, w₃ — 0. Dalej widzimy, że skoro nie wszystkie w, są równe zeru na początku pewnego elementu czasu, to nie będą nimi wogólności także przy końcu tego elementu. Rozciągając te wyniki do skończonego przedziału czasu, otrzymujemy ważne twierdzenie: jeżeli na ciecz działają siły zachowujące, natenczas element cieczy, niemający w którejkolwiek chwili ruchu wirowego, nigdy tego ruchu nie nabędzie, a element wirujący cieczy nigdy ruchu wirowego nie utraci, Możemy to twierdzenie, wyrażające zasadę zachowania ruchu wirowego, także tak wyrazić: jeżeli na ciecz dzia-łają siły zachoicujące, i dla pewnej części cieczy istnieje potencyjał prędkości iv jakiejkolwiek chwili, to ta. część cieczy będzie miała zawsze potencyjał prędkości, gdziekolwiek znajdoivaé się będzie podczas ruchu; a jeżeli kiedykolwiek nie istniał potencyjał, to go nigdy nie będzie dla tćj części cieczy, dopóki te same siły działają. Potencyjał więc prędkości nie jest właściwością przestrzeni, w której ruch zachodzi, lecz cieczy samej, poruszającej się przy działaniu sił zachowujących.

207. Linije wirowe i wiry elementarne. Liniją, poprowadzoną w cieczy wirującej, której styczna w każdym punkcie ma kierunek chwilowej osi obrotu dla tego punktu, nazywamy według H. Helmholtz’a liniją wirową. Przez dany punkt tylko jedna liniją wirowa poprowadzić się daje. Obierając w cieczy nieskończenie małe pole zamknięte i prowadząc przez każdy punkt jego obwodu liniją wirową, wydzielimy z cieczy nieskończenie cienką strugę, którą nazywamy według W. Thomson’a wirem elementarnym albo krótko wirem. Pole nieskończenie małe zowiemy przekrójem wiru; a liniją krzywa, będąca obwodem przekroju, lub jakakolwiek inna liniją zamknięta i nieskończenie mała, przecinająca każdą liniją wirową na powierzchni wiru, nazywa się kierownicą wiru.

Z podanego określenia wynika, że

(1)

dx_ dy_dz

(*)j    0)₂

są równaniami różniczkowymi linii wirowej. Przyjmując, że siły zewnętrzne mają potencyjał, poprowadźmy taką liniją przez punkt m (x, y, z) i obierzmy na niej nieskończenie blizki punkt n(x-\-dx, y + dy, z + dz). Po upływie czasu dt przybędzie punkt m do m', a punkt n do n', przyczym spółrzędne punktu m' będą x-\- dmx, y -f- dmy, z+ dm z, .spółrzędne zaś punktu n' będą x + dx + dnx, y \dy + bny, z-j- dz -f- dn z. Jeżeli przyjmiemy

(2)

(O² — O),² + (0₂² + (O3²,

to to będzie prędkością kątową obrotu elementu cieczy, otaczającego punkt m, około stycznej mn do linii wirowej; a jeżeli ds oznacza długość elementu mn, to mamy z założenia

(3)

dx =

— ds, dy — — ds, dz = — ds.

CO    OJ /    (O

Oznaczmy przez ds długość elementu m’n'; kierunek jego wyznaczają równania następujące:

_cos (§s, x) _ cos (§5, y) _ cos (§5, z)

dx -f 8nx — dmx dy -f dny — dmy dz + dnz — Smz

Wstawiwszy w wyrażenia dnx, dny, d„z, podane w (7) art. 203-go, wartości

(3), otrzymamy

i dnx — dmx

2 Xi C0₁ -f- (p₃ (0₂ +    CJS

2io

(5)

2X₂(o₂ + <pi <o₃ + ?3^1

2a>

ds . dt,

\ o» & — z =

2X₃(o₃ + (p₂(Oj -h (fi co₂

2(0

ds. dt.

Kładąc w pierwszym równaniu wartości Xj} to,-, otrzymamy

₀,    .    .    du dw dv du du dv du du)

2 X, (ot + cp₃ (0₂ + <p₂ (o₃ — -rj-, — -f-    — fa— ~dy '~dx'>

,, i *i • i •    • du du

albo, dodając i odejmując — . — ,

„.    ,    ,    du (dw dv\ du ( du dw

2X“°I + "f»“²+»*•••=te U - * ;+^ lïf - s

,àu(àv__àu\_ci( àu

a zatym

dw

dw

dï ⁺ “²-Â⁺“³'dï

dó'

d& + dnx —    = — ((ot -j- dio,), dy~\-dny —    =•

’ ds    ds

= — (®2 + d(0₂), dz + dnz — dmz= — (o)₃ -f d(o₃),

Wstawiwszy te wartości w (4), mieć będziemy ostatecznie

cos (§5, æ) cos (ds, y) cos (ds, z)

(Oj -J- dlOj    (0₂ -f- dl0₂    (0₃ -j~ d(0₃

Liczniki tych ułamków są dostawami kątów, które styczna do krzywej, będącej na początku elementu czasu dt liniją wirową, tworzy z osiami spół-rzędnych przy końcu tego elementu czasu, a ich mianowniki są rzutami prędkości kątowej obrotu chwilowego w punkcie m, gdy ten punkt po upływie czasu dt przybył do m\ Z powyższych zatym równań wynika, że, skoro mn było elementem linii wirowej na początku czasu dt, to tenże sam element, który przy końcu tego czasu przeniósł się do m' n', będzie także leżał na linii wirowej. Stosując równania (6) do każdego punktu takiej linii i do skończonego przedziału czasu, widzimy, że cząstki cieczy, które w pewnej chwili znajdują się na linii wirowej, ciągle na tejże samej linii znajdować się będą, że zatym liniją wiroiva porusza się w cieczy, nieprzestając być liniją wirową. Z te-

(6)

Całkowania po lewych stronach tych równań rozciągają się na objętość uważanej części cieczy, całkowania zaś po prawych stronach na jej powierzchnią zamkniętą. Powyższe równania polegają na założeniu, że to,, to₂, <o₃ są funk-cyjami ciągłymi i jednowartościowymi w całej objętości i na powierzchni uważanej części cieczy. Dodawszy te równania, otrzymamy ze względu na równanie (1) art. 204-go

J (aiot 4- bio₂ 4- eto ₃) df— Jw

(2)

go więc twierdzenia okazuje się, że linije wirowe mają, nie tylko znaczenie gieo-metryczne, lecz także znaczenie fizyczne, jakichkolwiek zmian kształtu i położenia doznają podczas ruchu.

Ponieważ

§s² = (dx 4- d„x — àmx)² + (dy -f~dny — dmy)² 4- (ds + dnz — §ni0)², czyli ds*

05²= — [(w, -f dio,)² + («2 + d(ù₂y + (tó₃ + tZtó₃)²],

lub gdy przyjmiemy dla krótkości to/= <o, -f- du>n to₂' =■ oo₂ + d<a₂, to₃'= = w₃ + do)₃, w'² = to,'² + to₂'² 4- w₃'², wtedy

ds to'    ds — ds

ds    to

To znaczy : długość elementu linii wirowej jest w każdej chwili proporcyjonalna względem odpowiedniej prędkości kątowej obrotu około stycznej do tego elementu, a zatym zmienia się proporcyjonalnie względem zmiany tej prędkości. Ponieważ ta prędkość nie może stać się równą zeru, jeżeli raz zerem nie była, przeto linija wirowa nie może się zredukować do punktu.

208. Wydzielmy z cieczy dowolną część, ograniczoną powierzchnią zamkniętą, oznaczmy przez dY objętość nieskończenie małego elementu téj części, przez df element powierzchni ograniczającej w punkcie (x, y, z), a przez a, b, c dostawy kierunkowe normalnej wewnętrznej N do tego elementu powierzchni; według równań (2) art. 197-go otrzymamy

(7)

ds

to

co

to

dx

(1)

fn.mf

dY=z —

/

•/

bio₂ . df,

dto₃

dz

dV= —

c to₃. df.

. cos (N, to) . df — 0,

rozciągając całkowanie na całą powierzchnią, która może być także utworzona częściowo lub całkowicie przez powierzchnią cieczy.

Zastosujmy to równanie do elementu wiru. Poprowadziwszy liniją wirową (m) przez punkt m, weźmy w tym punkcie płaszczyznę normalną do linii wirowej, obierzmy na niej nieskończenie małe pole dfm, którego środkiem masy jest punkt m, i poprowadźmy linije wirowe przez punkty na obwodzie tego pola; otrzymamy wir, którego osią nazwiemy liniją (m). W nieskończenie bliskim punkcie n na linii wirowej poprowadźmy także płaszczyznę, normalną do niej, która w wirze wyznaczy przekrój dfn, i oznaczmy przez i a>„ prędkości kątowe, odpowiednie tym punktom. Stosując równanie (2) do elementu wiru między przekrojami dfm i df„, widzimy, że w każdym punkcie na powierzchni bocznej tego elementu będzie cos (N, to) = 0, a jeżeli to ma kierunek mn, to dla punktu m będzie cos (N, <*>)= + 1, zaś dla n będzie cos (N, co) = = — 1. Otrzymamy więc według (2)

(3)

<om dfm — o)„ dfn = 0, czyli ogólnie o>. df~ stałej.

Iloczyn prędkości kątowej obrotu i pola przekroju wiru jest stały dla każdego wiru. Iloczyn prędkości kątowej obrotu i pola przekroju wiru nazywamy natężeniem wiru, możemy więc powyższe twierdzenie także tak wyrazić: natężenie wiru nie zmienia się podczas jego ruchu w cieczy. Uważajmy wir jako strugę nieskończenie cienką, w której porusza się ciecz z prędkością to w kierunku prostopadłym do przekroju; możemy powyższe twierdzenie wyrazić, mówiąc: przez każdy przekrój tej strugi przechodzi w jednostce czasu ta sama objętość cieczy to . df. To twierdzenie zatym wyraża warunek ciągłości ruchu cieczy w téj strudze.

Podobnie możemy rozumieć równanie (2). Wyobraźmy sobie w cieczy powierzchnią zamkniętą, podzielmy ją na elementy df i przyjmijmy, źe przez każdy element téj powierzchni przechodzi ciecz w kierunku normalnym do powierzchni z prędkością co . cos (N, to) ; powyższe równanie wyraża, że w przestrzeni, tą powierzchnią ograniczonej, nie zmienia się ilość cieczy. Z tego wynika, źe każdy wir, który wchodzi do przestrzeni, tą powierzchnią ograniczonej, koniecznie z niéj wyjść musi, że przeto wir przecina każdą powierzchnią zamkniętą, obraną wewnątrz cieczy, w parzystej ilości punktów. Czyli inaczej : każdy wir jest wewnątrz cieczy zamknięty lub zaczyna i kończy się na jej powierzchni, nie może się więc ani zaczynać, ani kończyć iveivnątrz cieczy.

209. Prąd i krążenie cieczy. Podane twierdzenia mają miejsce także wtedy, kiedy to,, toa, to₃ nie są funkcyjami ciągłymi spółrzędnych, jeżeli tylko w, v, iv nie zrywają ciągłości. Aby się o tym przekonać, poprowadźmy w cieczy między dwoma punktami dowolną liniją krzywą, i wartość całki

S(a

. dx + v . dy + w . dz), rozciągniętej na tę krzywą, nazwijmy prądem

cieczy po téj krzywej. Prąd ma podobne znaczenie, co praca siły, jest bowiem całką iloczynu prędkości cieczy w punkcie krzywej i rzutu elementu téj krzywej na tę prędkość. Jeżeli linija krzywa jest zamknięta, natenczas wartość téj całki, rozciągniętej na cały obwód krzywej, nazywamy krążeniem cieczy po téj krzywej. Aby obliczyć prąd i krążenie, należy zawsze określić kierunek, w którym punkt (x, y, z) obiega krzywą.

¹

Ob. ,,Gieometryja analityczną" prof. Wł. Zajączkowskiego, str. 289.

Obliczmy krążenie po krzywej nieskończenie małej, otaczającej punkt vn (x, y, z), i znajdującej się na płaszczyźnie, przez ten punkt przechodzącej. Wystawmy w m układ prostokątny osi, oznaczmy przez (£, ą, C) nieskończenie małe spółrzędne punktu n na téj krzywej, przez u, v, w prędkości składowe

w punkcie m, a przez u', v\ w' prędkości w punkcie n. Według (6) art. 203-go będzie

u’ = u + Xt i + i (<p₃ — 2o)₃) 7j + j (cp₂ -f- 2co₂) C, = v+ X₂t] + -i fo—- 2a>j)C + j(?3 + 2w₃) Ê. w' = w + X₃Ç -f j(<?2 — 2w₂) ê + ^-(«pi + 20 7];

a zatym

(1) u' di v' dr\ + w' di = u di + v dy + w di \xidi -f- X₂r\dri + X₃C<?C +

+ -j- i⁷! • di + C • d-q) + ~ (C .    + 4 • dC) H- y (4. dij + 73. di) +

-f- co, (tj.di — Ç. dr\) -f w₂ (C.di — i.di)Ą- w₃ (i.d^ — tj.di) — d(ui +

Ą-vi} + wi) Ą- ~ d [Xjê² -f X₂tj² + ^3'C² + ?i ?]-C + <p₂C-£ + OO +

+ w, (tj .di — i.dr\) + o>₂ (i, di — i . di) + io₃ (i. drj — tj . di),

gdzie różniczkowanie odnosi się do dwu sąsiednich punktów krzywej rozważanej, a wielkości u, v, w, X,-, cp*, w* odnoszą się do punktu m.

Krążenie po téj krzywej

nieważ pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie równania (1) są różniczkami zupełnymi funkcyj jednowartościowych, przeto ich całki są równe zeru dla krzywej zamkniętej; otrzymamy więc:

wyraża całka J* (w'.    + d. d'r\ + w'. di). Po-

J*(wr. di + v'. d^ -f- w'. di) = w, J*(tj . dC — C. Jtj) -f

f(c.«—e.Ä) + », Jo

(2)

. ć?tj — 7]. di).

+ w2

Prowadząc z punktu w promienie do obwodu krzywej, pole jéj df podzielimy tym sposobem na nieskończenie małe wycinki. Wyrazy pod znakami całkowania po prawych stronach przedstawiają właśnie podwójne wielkości rzutów takiego wycinka na płaszczyzny yz. sx, xy, przyczym bierzemy pole wycinka ze znakiem więcej, jeżeli punkt obiega ten wycinek z punktu m w takim kierunku, iżby wycinek znajdował się po lewej stronie punktu obiegającego. Jeżeli zatym wystawimy w punkcie m normalną do tego pola w takim kierunku, iżbyśmy, patrząc z dowolnego punktu téj normalnej na pole, widzieli obieg krzywej w kierunku obiegu wskazówki na zegarze, i oznaczymy przez (a,'b, c) dostawy kierunkowe téj normalnej, mieć będziemy

(3)

J*(V .di + v’.dy] -f w’, di) = 2 (acoj + óco₂ + cto₃) df;

krążenie więc będzie równe podwójnemu iloczynowi powierzchni pola i rzutu prędkości kątowej na normalną do jego powierzchni.

Wykreślmy w cieczy dowolną powierzchnią ciągłą i niezamkniętą, której brzeg zamknięty niech stanowi jedna krzywa ciągła. Dzieląc tę powierz-

chnią dwoma układami krzywych na nieskończenie małe pola, możemy według (3) obliczyć krążenie po obwodzie każdego pola. Jeżeli krążenia dla wszystkich elementów téj powierzchni dodamy do siebie, to suma będzie krążeniem po brzegu powierzchni; każdy bowiem element linijowy na powierzchni ogranicza dwa przyległe pola elementarne, będzie więc opisywany w dwu kierun • kach przeciwnych, wskutek czego odpowiednie jemu wyrazy w sumie zniosą się wzajemnie. Wyrażając to twierdzenie według (3) i kładąc wartości coj, co₂, co₃, otrzymamy następujące równanie:

(4)

/ KI-s)+i(£-£)⁺'(S-|)k=

J(M

. dx -f- v. dy + w. dz)

w którym całkowanie po lewej stronie rozciąga się na daną powierzchnią, a całkowanie po prawej stronie na brzeg téj powierzchni. Prędkości o)t, w2; co₃ nie potrzebują być funkcyjami ciągłymi na powierzchni, byle tylko u, v, 10 nie zrywały nigdzie ciągłości. Gdy powierzchnia ma kilka brzegów ciągłych i zamkniętych, równanie powyższe do niej stosować się będzie, jeżeli po prawej stronie przyjmiemy sumę krążeń po brzegach oddzielnych. Gdy bowiem powierzchnia ma dwa brzegi, i poprowadzimy na niej krzywą, łączącą dowolny punkt jednego brzegu z dowolnym punktem drugiego brzegu, to otrzymamy teraz jednę krzywą, całkowicie zamkniętą. Krzywa łącząca będzie przy obliczaniu krążenia dwukrotnie opisywana w przeciwnych kierunkach, a zatym odpowiednie jej całki będą równe zeru i pozostaną tylko całki dla właściwyoh brzegów, których obieg określa podane poprzednio prawidło.

Równanie (4) wyraża następujące twierdzenie: krążenie cieczy po linii krzywej równa się podwójnej sumie natężeń ivszystkich wirów, objętych przez dowolną powierzchnią, całkowicie w cieczy leżącą, której brzegiem jest ta krzywa.

Stosujmy powyższe twierdzenia do wiru. Uważajmy dowolną część wiru (fig. 68), ograniczoną dwiema kierownicami ABCA i A'B'C'A' jako brzegami téj części, i oznaczmy przez K(ABCA) krążenie po brzegu ABCA. Ponieważ w każdym punkcie na powierzchni wiru awj -j- bw>₂ -j- cio₃ — 0, przeto według

'v?'

(4)    krążenie po krzywej ABC A A'C'BA'A jest równe zeru. Krążenie ma być brane w kierunkach strzałek, aby, stosownie do podanego prawidła, powierzchnia znajdowała się zawsze po lewej stronie punktu krążącego.

Jeżeli przez P(AA') oznaczymy prąd po krzywej AA', to będzie

-V*

A *

K (ABCA) -f P(AA') -f- K (A'C'B'A') 4- P(AA) = 0, a ponieważ P(AA') = — P (A'A), przeto

Fig. 68.

(5)    K (ABCA) = — K ( A' C' B'A') = K (A'Br CA'),

co oznacza, źe krążenie po każdej kierownicy wiru w tym samym kierunku jest toż samo. Ponieważ kierownica jest krzywą nieskończenie małą, przeto, obierając ją na płaszczyźnie normalnej do osi wiru, i stosując do niej równanie (3), widzimy, źe iloczyn przekroju wiru i prędkości kątowej w jest wielkością stałą dla każdego przekroju. To jest właśnie twierdzenie (3) art. poprzedzającego, a z podanego dowodzenia wynika, źe ono ma miejsce, chociażby prędkość kątowa nie była funkcyją ciągłą spółrzędnych, byle tylko u, v, iv nie zrywały ciągłości. W takim przypadku oś wiru będzie miała punkt osobliwy, jak np. punkt zwrotu, a mimo to związki okazane zachodzić będą.

210. .Równania ruchu niewirowego. Zwróćmy się teraz do ruchu nie wirowego. Jeżeli oznaczymy potencyjał prędkości przez i przyjmiemy dla krótkości

<I> =

to równania Euler’a będą dla ruchu niewirowego

d<P

. * _„    1 dp dd>

a * dy ’ dz

jeżeli siły zewnętrzne mają potencyjał U, to otrzymamy

i «■-♦>=”•$.

1 dp à<P o * öx ⁷ dy

= z 1 ' ty .

o * dz ’

(2)

1 dp

dx J dy

4-(o—*)=-■£

dz    ' a dz

Pomnóżmy te równania odpowiednio przez dx, dy: dz, przyczym te wielkości oznaczają przyrostki spółrzędnych, jeżeli w pewnej chwili z punktu (x, y. z) w cieczy niewirującćj przechodzimy do punktu sąsiedniego, i dodajmy iloczyny; mieć będziemy

d<S>=zdV — ^

Całkując to równanie przy stałym t w obrębie przestrzeni, zajętej przez ciecz nie wirującą, i wstawiając wartość <ł>, otrzymamy

(3)

Ponieważ stała całkowania może być funkcyją czasu, przeto oznaczyliśmy ją przez P (t). To równanie określa ruch niewirowy; biorąc bowiem jego pochodne cząstkowe względem x, y, z, otrzymujemy równania ruchu (2).

Dla ruchu trwałego przy działaniu sił zachowujących, których potencyjał nie zawiera czasu wyraźnie, będzie = 0, a stała całkowania będzie

Ot

niezależna od czasu; otrzymamy więc

r-l CM

Pochodne potencyjału cp względem x, y, z są w każdym przypadku funkcyjami jednowartościowymi spółrzędnych, każda bowiem z nich oznacza prędkość w pewnym punkcie cieczy w kierunku odpowiedniej osi. Jeżeli potencyjał sił jevSt funkcyją jednowartościową, to równanie (3) okazuje, źe ~

jest także funkcyją jednowartościową, albowiem ciśnienie p posiada w każdym punkcie jednę wartość, dokładnie oznaczoną. W przypadku ruchu ciągłego będą powyższe pochodne funkcyjami ciągłymi spółrzędnych, a zatym potencyjał prędkości będzie funkcyją jednopochodną względem każdej spółrzędnćj, a jéj pochodne będą funkcyjami doskonałymi. Z tego nie wynika jednak, jakoby potencyjał cp miał być także funkcyją jednowartościową; wypada więc zastanowić się nad warunkami, przy których zachodzi jednowartościowość tego potencyjału.

Zanim to uczynimy, podamy pewną własność ruchu niewirowego. Niech do cieczy, której cząstka w miejscu (x, y, z) ma prędkości u₀, v₀, w₀, zostaną przyłożone siły chwilowe czyli popędy X, Y, Z, i niech w tym miejscu działa nadto ciśnienie chwilowe jp, które-to wielkości według art. 137-go określamy przez równania następujące:

s:

X.dt = X

y.

p.dt—p, i podobnie Y i Z.

Gdy przez u, v, to oznaczymy prędkości, których cząstka nabędzie wskutek tych popędów, natenczas równania ruchu będą

v 1 dp

u Uq - X ~ v

to — w₀ — Z — —

1 dp a ' dy ⁵

-t>o = Y-

(5)

1 dp g " dz J

przyczym, jak wiadomo, siły ciągłe pominąć należy. Załóżmy, że ciecz była w spoczynku, i źe działają na nią same tylko ciśnienia chwilowe; natenczas otrzymamy

rH I O

if-l«

<-M j O

z czego wynika u. dx + v . dy + w. dz — — — := dtp,

a zatym : tp — — ~ -[- C. To znaczy, źe ruch nietoirowy cieczy, to spoczynku

będącej, może być wytworzony przez odpowiednie ciśnienia chwilowe, a więc ruch niewirowy może być także zniesiony przez takie ciśnienia. Do wytworzenia ruchu potrzeba ciśnienia a (C — <p), a do zniesienia go potrzeba a (C + -f- tp). Widzimy także, że wywierając na ciecz w każdym punkcie toż samo ciśnienie chwilowe, nie wywołamy w niej żadnego ruchu, potencyjał <p będzie bowiem wielkością stałą, a zatym prędkość równa zeru. Ruch wirowy nie

może być wytworzony ze spoczynku przez ciśnienia chwilowe, i w tym leży także różnica między obydwoma rodzajami ruchu.

obliczymy całkę j* (u .

dx -j- v . dy + w . dz) czyli prąd po tej krzywej

211. Wielo wartościowość potencyjału prędkości. Do wyrażenia analitycznego potencyjału prędkości możemy zawsze dodać jednę stałą, dowolną, z czego wynika, że możemy dla jednego punktu w cieczy niewirującćj i w pewnej chwili obrać dowolnie wartość tego potencyjału. Uczyniwszy to w punkcie m, otrzymamy potencyjał prędkości dla innego punktu n, jeżeli oba-dwa punkty połączymy dowolną liniją, zawartą całkowicie w cieczy niewirującćj, i

między obydwoma punktami. Jakoż, wyraz pod znakiem całkowania jest z założenia różniczką zupełną w każdym punkcie krzywej mn. Jeżeli więc punkt n przesuniemy w jakimkolwiek kierunku nieskończenie mało, to pochodna prądu, wzięta w tym. kierunku, będzie rzutem prędkości tego punktu na ten kierunek, a przeto funkcyja różniczkowana będzie potencyjałem prędkości w punkcie n (art. 82). Potrzeba przytym założyć, że przestrzeń, zajęta przez ciecz niewirującą, ma własność łączności, t. j. że jakiekolwiek dwa punkty tej przestrzeni można połączyć liniją krzywą, której każdy punkt znajduje się w tej przestrzeni.

Przyjąwszy, że taka przestrzeń jest wypełniona całkowicie cieczą niewirującą, łatwo okazać, że wtedy <p będzie funkcyją jednowartościową. Jakoż, gdy poprowadzimy w cieczy z punktu m krzywą zamkniętą, to jakąkolwiek przyjmiemy powierzchnią, całkowicie w cieczy leżącą, której brzegiem jest ta krzywa, i zastosujemy do niej równanie (4) art. 209-go, lewa strona tego równania będzie równa zeru, a zatym krążenie po tej krzywej będzie także równe zeru. Ponieważ to krążenie jest równe różnicy potencyjałów w punktach skrajnych, przeto, gdy po jakiejkolwiek krzywej zamkniętej całkujemy, nie opuszczając danej przestrzeni, zawsze otrzymamy ten sam potencyjał prędkości w punkcie m, i podobnie rzecz się będzie miała w każdym innym punkcie. Nadawajmy takiej krzywej coraz inne kształty, ale tak, żeby ona nie opuszczała przestrzeni, przez ciecz zajętej, i stopniowo stawała się coraz mniejszą; tym sposobem możemy ją uczynić dowolnie małą, przyczyna potencyjał będzie wciąż ten sam. Wyrażamy się krótko, że w takiej przestrzeni każda krzywa zamknięta może być zredukowana do zera t. j. że przez ciągłe odkształcenia może się ta krzywa, znajdując się w przestrzeni, zajętej przez ciecz niewirującą, dowolnie zbliżyć do granicy, w której jej długość jest równa zeru. Obierzmy w takiej przestrzeni dwa punkty dowolne m i n, połączmy je jedną krzywą mAn i drugą krzywą mBn; możemy krzywą mBn tak odkształcać, nie opuszczając tej przestrzeni, żeby stała się krzywą mAn. Takie więc dwie krzywe mogą się wzajemnie jedna do drugiej redukować, o całej zaś liniji mAnBm możemy się jak powyżej wyrazić, że daje się zredukować do zera.

Jedna część przestrzeni, którą ciecz zajmuje, może być całkiem wypełniona przez cząstki wirujące, potencyjał zaś prędkości będzie jednowartościo-wy w pozostałej części przestrzeni, jeżeli tylko każda krzywa zamknięta, poprowadzona w cieczy niewirującćj, daje się zredukować do zera przez takie odkształcenie, przy którym każdy punkt znajduje się zewnątrz cząstek wirujących, a zatym jeżeli dwie krzywe między dwoma punktami dają się wzajemnie jedna do drugiej zredukować. Mówimy wtedy, że ruch niewirowy zachodzi w przestrzeni o łączności pojedynczej. Łączność pojedyncza zachodzi także wtenczas, gdy nie ma wcale cząstek wirujących w cieczy. Jakoż, w przypadku łączności pojedynczej możemy każdą krzywą zamkniętą uważać za brzeg powierzchni, której każdy punkt jest zewnątrz cząstek wirujących cieczy, a zatym krążenie po takiej krzywej będzie równe zeru, co zapewnia jednowartościowość potencyjału. Łączność pojedyncza zachodzi np. w przestrzeni, ograniczonej wewnętrzną powierzchnią kuli i zewnętrzną powierzchnią innej kuli mniejszej, gdziekolwiek mieszczącej się wewnątrz pierwszej. Jeżeli w kuli mniejszej zachodzi ruch wirowy, to potencyjał prędkości w przestrzeni pozostałej między kulami będzie jedno wartościowy. Przestrzeń, ograniczona, bądź wewnętrzną, bądź zewnętrzną powierzchnią pierścienia kołowego, nie ma łączności pojedyńczćj ; w takiej więc przestrzeni potencyjał prędkości nie będzie jednowartościowy. Mamy więc twierdzenie : potencyjał prędkości jest furikcyją, jednowartościoiuą w przestrzeni o łączności pojedynczej.

a zatym osi obrotu

Niewdając się w badania ogólne innych przypadków, ograniczmy się do ruchu, równoległego do płaszczyzny. Przyjmijmy, że dla każdej cząstki cieczy jest w = 0, i że punkty na tej samej prostej, równoległej do osi z, mają tęż sarnę prędkość; wtedy u, v będą tylko funkcyjami spółrzędnych x i y, i dość będzie rozważać ruch tylko na płaszczyźnie xy. Otrzymamy wtedy dla cząstek wirujących w, — 0, o>₂ = 0, w₃ = co = — — ~ ,

cząstek będą prostopadłe do płaszczyzny ruchu. Linije wirowe będą linijami prostymi, a wir elementarny będzie walcem, prostopadłym do téj płaszczyzny.

771

Rozważmy na płaszczyźnie xy pole, zawarte między dwiema krzywymi zamkniętymi (fig. 69) ABC i DE F i niech ciecz wirująca wypełnia pole DEF (kreskowane), a między krzywymi niech zachodzi ruch niewirowy. Z punktu wdów w cieczy nie- / wirującej można przejść dwojakim sposobem: a) / po krzywej mGn, która nieokrąża pola kresko- / wanego; b) po krzywej mH«, która je okrąża. [    /

Fig. 69.

Z tych dwu krzywych żadna nie daje się zreduko- I [ wać do drugiej ; nie można bowiem krzywej mUn \ \ tak przekształcić, żeby ona stała się krzywą mGn, p\\ a przytym żaden punkt nie wkroczył w pole kres- \ kowane. Każda krzywa między m i n daje się zredukować bądźto do mGn, bądźteź do mH».

O takim polu mówimy, że ono ma łączność podwójną, bo w nim zachodzą dwa rodzaje krzywych takich, iż krzywe każdego rodzaju dadzą się wzajemnie do siebie zredukować, ale krzywe jednego rodzaju nie mogą być zredukowane

a zatym różnica potencyjałów między końcem a początkiem drogi będzie fpm”■— (fj = 2K, skąd cpm" — wj + 2K,

z czego się okazuje, że <pm" będzie drugą wartością potencyjału w punkcie m. Dwie więc wartości potencyjału różnią się od siebie o krążenie po krzywej DBF w kierunku strzałki, czyli o podwójną sumę natężeń wirów w cieczy.

Możemy znieść wielowartościowość potencyjału, prowadząc dowolną krzywą BE, która rozcina pole na dwie części (fig. 71). Taką krzywą nazwiemy

c\

(£

Fig. 71.

do krzywych drugiego rodzaju. Krzywa zamknięta «jGtmHjw nie daje się zredukować do zera.

Na fig. 70 mamy pole ołączności potrój né j ; w dwu polach kreskowanych zachodzi ruch wirowy. Z krzywych mGn, mHn, mKw nie można

żadnej do pozostałych zredukować, a takich krzywych mamy właśnie trzy rodzaje. Krzywa mluti, obejmująca obadwa pola kreskowane, da się podzielić na części, mogące być zredukowane do krzywych jednego z tych rodzajów, więc nie stanowi rodzaju osobnego. W podobny sposób dochodzimy do pojęcia wogóle pola płaskiego o łączności w-krotnćj.

W" polu o łączności podwójnej i wogóle w-krotnéj potencyjał będzie wielowartościwy. Jakoż niech cp'm będzie dowolnie w m obraną wartością téj funkcyi; wykreślmy krzywą zamkniętą, nie obejmującą pola kreskowanego. Krążenie po niej będzie równe zeru, przyjdziemy więc po téj drodze

napowrót do funkcyi cp'm. Obliczmy teraz

krzywej mGwHm. Jeżeli co jest prędkością kątową dla elementu df pola kreskowanego, to według (4) art. 209-go otrzymamy

\r

ss

22/

Fig. 70.

całkę . dx fi- ’v. dy) wzdłuż

j(u

. dx -f- v . dy) = 2

J“

.df=2 K

przekrojem danego pola. Uważając obie strony przekroju za krańce pola, których przekraczać nie można, widzimy teraz, że wszystkie krzywe, łączące punkty m i n, dadzą się wzajemnie do siebie zredukować, a każda krzywa zamknięta może być zredukowana do zera, że zatym taki przekrój nadaje polu łączność poje-dyńczą. Potencyjał więc stanie się wszędzie jednowartościowym, lecz na przekroju BE przestanie być funkcyją ciągłą. Jeżeli bowiem w punkcie a, leżącym nieskończenie blisko tego przekroju po jednej stronie, potencyjał ma

O?-

Ot

wartość <pa, to w punkcie b, nieskończenie blisko leżącym po stronie przeciwnej przekroju, będzie ==. cp« + 2K. Potencyjał przeto prędkości zachowuje się teraz podobnie, jak parametr różniczkowy potencyjału przyciągania według prawa Newton’a na powierzchni ciała przyciągającego (art. 126).

Stosując metodę przekrojów, wprowadzoną przez A. Cauchy’ego, do pól o łączności w-krotnćj, można potencyjał uczynić zawsze jedno wartościowym, przyczyni jednak każdy przekrój będzie miejscem tych punktów, w których przerywa się ciągłość potencyjału.

Powyższe postępowanie stosuje się także do przypadku ruchu niewiro-wego w przestrzeni trójwymiarowej o jakiejkolwiek łączności. Przecinając taką przestrzeń o łączności w-krotnćj, n—1 powierzchniami czyli przegrodami, znosimy wielowartościowość potencyjału, a otrzymujemy natomiast funkcyją, która zrywa ciągłość na każdej przegrodzie.

212. Własności jednowartościowych potencyjąeów prędkości. Okażemy najważniejsze własności jednowartościowych potencyjałów prędkości na podstawie twierdzenia J. Green’a.

Niech będą dwie funkcyje <p i <{j spółrzędnych x, y, 2, ciągłe i jednowar-tościowe w obrębie pewnej części przestrzeni o łączności pojedyńczej, tudzież na zamkniętej powierzchni ograniczającej, i niech ich pochodne cząstkowe mają takie same własności. Rozważajmy całkę

r-H

co Si |-6

co| o, Si |-e-

co cs -6

rozciągającą, się na tę część przestrzeni. Kładąc d V = dx dy dm, możemy napisać krócej

to

i—i

cJ 2-Si l*€*

CL,| CL, C£ 1-6

-e-

m

dg)

dV.

Całkując częściowo i postępując sposobem, kilkakrotnie używanym, podzielmy powierzchnią ograniczającą na elementy df, oznaczmy przez a,b,c dostawy kierunkowe normalnej wewnętrznej takiego elementu ; otrzymamy

4£.^æv=-

ox ox

albo także

£.4fcav=-

ÔX ox

îtiV.

dx²

Obliczywszy podobnie inne całki i dodawszy je, otrzymamy

(3) I

dy , 7

a-dx + h —

dcp

+ C T7

-e-

•*/-

<j> . A₂ <p . d Y, albo także

35

Bibl. mat.-flz., S. IV, T. X.

-3+‘2+-3

(4)

gdzie

(5)

♦■♦'S+g+S.‘■♦=3+3+3-

Jeżeli (x, y, z) jest dowolnym punktem na powierzchni ograniczającej, a (x + dx, y -j- dy, z + dz) punktem w odległości dn na normalnej wewnętrznej, to

„ ^    „ ày,h ày.r ÈÎ — ÈÎ    dy dy

dn⁵    dn’ dn J ’ dx ' dy ' dz dx‘ dn^~ dy' dn'

⁺s-^⁼^(art-⁸²⁾- więc:

(6)

V-2v=f

<p . A₂ y . d V, albo

(7)

Odejmując te równania od siebie, otrzymamy

(8)

(*

. a₂ y—y. a.

-G-

d V.

Równania (6), (7) i (8) wyrażają twierdzenie Green’a. Całkowanie po lewej stronie w (8) rozciąga się na powierzchnią, ograniczającą daną część przestrzeni ; całkowanie zaś po prawej stronie na sarnę tę przestrzeń. Fun-kcyje <p, <j> i ich pochodne mają być po lewej stronie brane w punktach na powierzchni ; po prawej stronie bierzemy funkcyje i ich parametry różniczkowe w punktach wewnątrz téj powierzchni.

Niech obie funkcyje czynią zadość warunkom A₂ y = 0, A₂ <f> = 0 ; wtedy

(9)

/(♦2-«Sk=«

: na-

Obierzmy gdziekolwiek punkt stały ja, (6, f], C), oznaczmy przez r jego odległość od punktu (x, y, z) wewnątrz danej powierzchni, i obierzmy <J> = ^

tenczas ta funkcyja zadość uczyni wszystkim poprzednio założonym warunkom, jeżeli (A znajduje się zewnątrz powierzchni rozważanej, albowiem, według art.

Jeżeli zaś ja znajduje się wewnątrz téj powierzchni, to

126-go A₂ G) = 0.

zatoczywszy około tego punktu jako środka kulę o promieniu nieskończenie małym s, rozważajmy przestrzeń między tą kulą a powierzchnią ograniczającą; do niej możemy stosować równanie (9). Oznaczmy przez (2F element po

wierzchni téj kuli, przez i wartość funkcyi <p i wartość jéj pochodnej

w punkcie [i ; według (9) otrzymamy

' dn

(10)

CdJ?

I — jest potencyjałem Newton’a przy powierzchni nieskończenie

Całka

małej kuli względem środka przy gęstości = 1 ; ma więc wartość równą zeru dla 2 ” 0 (art. 125). Mamy tu

(11)

clF= —

£²

dF =---. 4tts² = — 4 7t,

e²

a zatym, według (10)

(12)

r on

Z tego równania możemy obliczyć cp w każdym punkcie wewnątrz pewnej powierzchni, znając wartość téj funkcyi i jéj pochodnej w punktach na téj powierzchni.

Załóżmy w równaniach (6) lub (7) (p = <f>, A₂ cp = 0, A₂ = 0 ; otrzymamy nowy związek

(13)

d(p

t-àü-âf;

a jeżeli przyjmiemy <b — stałej, to z (9) wypada

(14)

d<p

tr‘V=°-

Nadajmy teraz funkcyi cp znaczenie potencyjału prędkości; wówczas będziemy mogli z tych równań wyprowadzić własności tego potencyjału.

213. Gdy pomnożymy równanie (13) przez gęstość cieczy a, to lewa strona przedstawiać będzie podwójną energiją kinetyczną cieczy niewirującćj. Oznaczywszy energiją przez T, mamy

dcp

Niech ciecz porusza się tak, źe wypełnia ciągle tę sarnę przestrzeń o łączności pojedynczej, której ograniczenie jest wiadome i może być całkiem lub częściowo utworzone przez ściany naczynia. Cząstki cieczy na powierzchni mogą się wtedy poruszać tylko w kierunkach stycznych do téj powierzchni,

możemy przeto energiją wyrazić przez całkę, rozciągającą się na powierzchnią cieczy.

09

a zatym w każdym punkcie na powierzchni będzie ~ =. 0. Z tego wynika

T — 0, a zatym dla każdej cząstki u = 0, v = 0, w = 0 ; to znaczy : jeżeli ciecz poruszająca się zajmuje ciągle tę sarnę przestrzeń o łączności pojedynczej, natenczas jej ruch nie może być niewirowym. W tym przypadku albo są wszystkie cząstki w spoczynku, albo zachodzą wiry w cieczy. Jeżeli więc w całej cieczy ma zaehodzić ruch niewirowy, to jéj powierzchnia bierze udział w ruchu, a ciecz nie może być wszędzie ograniczona ścianami naczynia.

Z równań (12) i (13) możemy wyprowadzić warunki, określające poten-cyjał prędkości, a tym samym rüch niewirowy.

dtp

w kierunku normalnym, możemy więc

dn

a) . Jeżeli znamy potencyjał prędkości we wszystkich punktach na powierzchni, ograniczającej przestrzeń o łączności pojedynczej, to możemy wyznaczyć potencyjał w każdym punkcie wewnątrz téj powierzchni. Jakoż, znając cp, znamy tym samym prędkość

według (12) obliczyć cw każdym punkcie jj. wewnątrz powierzchni. Czyli inaczej : w każdym punkcie wewnątrz powierzchni, ograniczającej przestrzeń o łączności pojedynczej, można mieć tylko jednę funkcyją, której wartość w każdym punkcie na tej powierzchni jest dana, której pierwsze pochodne są funkcy-jami ciągłymi i jednowartościowymi, i której parametr różniczkowy rzędu drugiego jest równy zeru.

b) . Jeżeli znamy pochodną w każdym punkcie na powierzchni, ogra-

Oft

niczającej przestrzeń o łączności pojedynczej, to co do potencyjału cp w każdym punkcie wewnętrznym nie będzie tylko wiadoma pewna stała dowolna, niezależna. od spółrzędnych. Jakoż, niech cp, i cp₂ będą dwiema funkcyjami w punkcie (jl, które odpowiadają danym warunkom; w każdym punkcie na powierzchni będzie ~ (cpt — cp₂) = 0, a zatym według (12) otrzymamy w punkcie [r

Oft

ô    ô    d

T>) =0, (<Pi — ?,) = 0, -JJ-(<p, — «h) = o,

z czego Wynika, źe cp, i cp₂ różnią się od siebie o wielkość, niezależną od x, y, z. Możemy zatym według (12) wyznaczyć cp^, przyczym jednak stała pozostaje jeszcze dowolną. To twierdzenie możemy tak wyrazić : znając prędkość w każdym punkcie na powierzchni cieczy niewirującćj, możemy wyznaczyć prędkość cieczy w każdym punkcie wewnętrznym.

c). Z powyższych twierdzeń okazuje się, że można dać wartość poten-

cyjału cp dla pewnej części powierzchni cieczy, tudzież wartość pochodnej dla reszty powierzchni, aby z tych danych obliczyć potencyjał prędkości w punktach wewnętrznych.

Równanie <Pix = stałej, albo krócej tp — stałej, wyznacza powierzchnią, którą nazywamy powierzchnią potencyjalną prędkości. W każdym punkcie takiej powierzchni ma potencyjał cp tę sarnę wartość, a jej znaczenie jest podobne do znaczenia powierzchni potencyjalnéj siły, określonej w art,

£2-giw. Równanie różniczkowe takiej powierzchni jest dx + ^ dy -f?

dcp

-j- ~ dz — 0, z czego się okazuje, że prędkość cząstki cieczy jest normalna

do powierzchni potencyjalnéj, przez tę cząstkę przechodzącej. Prędkość jest odwrotnie proporcyjonalna względem grubości warstwy, ograniczonej powierz? chnią rozważaną i sąsiednią powierzchnią potencyjalną, której odpowiada po? tencyjał większy, jeżeli mierzymy grubość warstwy w kierunku normalnym do pierwszej powierzchni. Gdyby się dwie sąsiednie powierzchnie potencyjalne przecinały, to prędkość byłaby nieskończenie wielka w każdym punkcie prze? cięcia. Dwie powierzchnie potencyjalne, nie sąsiednie, nie mogą się przecinać w przestrzeni o łączności pojedynczej, bo cp jest funkcyją jednowartościową. W przestrzeni o łączności pojedynczej żadna powierzchnia potencyjalną nie może być zamknięta. Przypuściwszy bowiem, że cp —- C jest powierzchnią zamkniętą, możnaby poprowadzić drugą powierzchnią cp = C' nieskończenie bliską i znajdującą się całkowicie wewnątrz pierwszej; stała C' różniłaby się nieskończenie mało od stałej C. Ponieważ różnica C — G' dla dwu punktów nieskończenie bliskich ma ten sam znak, gdziekolwiek te punkty obierzemy,

nie zmienia znaku na powierzchni cp = C, a za»

tym całka w równaniu (14) art. poprzedzającego nie byłaby równa zeru, jakby w takiej przestrzeni być powinno. W tym dowodzeniu przypuszczamy jednak, że wewnątrz powierzchni potencyjalnéj nie znajduje się żaden punkt osobliwy funkcyi cp, w którymby ta funkcyją zrywała ciągłość; gdyby tak było} to powierzchnia potencyjalną byłaby zamknięta. Przekonamy się o tym w zagadnieniach.

214. Linije prądu i strugi cieczy. Poprowadźmy w cieczy niewiru-jącej taką liniją, iżby styczna w każdym punkcie téj linii miała kierunek ruchu chwilowego tego punktu; taką liniją nazywamy liniją prądu w cieczy. Równania różniczkowe takiej linii są

dn

przeto pochodna $ —    ^

dx_ dy _ dz

(1)

w ⁵

przez każdy punkt można poprowadzić jednę liniją prądu, która tylko w takim miejscu jest nieoznaczona, w którym prędkość jest równa zeru. Linije prądu przecinają każdą powierzchnią potencyjalną prędkości pod kątem prostym.

Poprowadźmy przez punkt m dowolną płaszczyznę, wykreślmy na niéj nieskończenie małą krzywą zamkniętą, otaczającą ten punkt, i poprowadźmy przez każdy punkt jéj obwodu liniją prądu; wydzielimy z cieczy część nieskończenie małą, którą zowiemy strugą cieczy. Biorąc m w środku masy pola téj krzywej, poprowadźmy liniją prądu w tym punkcie; otrzymamy oś strugi. Przekrojem strugi będzie pole jéj przecięcia płaszczyzną, normalną do osi. Stosując równanie (13) art. poprzedzającego do elementu strugi między dwoma przekrojami, można podobnym sposobem, jak w art. 208-ym, okazać, że iloczyn prędkości cieczy i przekroju strugi ma tę sarnę icartość we wszystkich punktach téj samej strugi.

Z równania (14) art. 212-go wynika, że w cieczy nie może istnieć powierzchnia, w której prędkość byłaby równa zeru w każdym punkcie. Gdyby bowiem taka powierzchnia istniała, to strugi kończyłyby się w niéj ; stosując więc owo równanie do elementu strugi, ograniczonego tą powierzchnią

i przekrojem sąsiednim, w którym ruch zachodzi, mielibyśmy ^- = 0 dla tego przekroju, co się sprzeciwia poprzedniej własności strugi. Taka zatym powierzchnia, dla jakiej byłoby w każdym punkcie — 0, ii — 0, ii = 0,

istnieć nie może, chyba, że cała ciecz jest w spoczynku, a wtedy cp jest wielkością stałą w całym obrębie cieczy niewirującej. Pochodne potencyjału względem spółrzędnycli mogą być równe zeru tylko w pewnych punktach lub linijach osobliwych. Zarazem widzimy, że każda struga przechodzi nä wskroś cieczy, źe zatym ani nie zaczyna, ani nie kończy się wewnątrz niéj. Struga nie może być jednak zamknięta, jak wir elementarny, nie mogłaby bowiem przecinać prostokątnie wszystkich powierzchni potencyjalnych wewnątrz cieczy, jak tego wymaga jéj określenie.

Liniją prądu, przez pewien punkt poprowadzona, ma w każdej chwili kształt inny, ponieważ pochodne potencyjału są funkcyjami czasu, a tor tego punktu jest styczny w tym punkcie do linii prądu. Jeżeli potencyjał nie zawiera czasu wyraźnie, a zatym ruch jest trwały, wtedy linije prądu nie zmieniają się z czasem, a każda z nich jest torem pewnej cząstki cieczy w przestrzeni. Jakoż prędkość cząstki jest nieustannie taż sama w tym samym punkcie i ma kierunek stycznej do linii prądu, cząstka porusza się zatym wzdłuż téj linii. Nieskończenie małe elementy cieczy poruszają się wr strugach, a stała wartość iloczynu prędkości i przekroju strugi wynika bezpośrednio z ciągłości cieczy.

Około punktu p. zatoczmy kulę o dowolnym promieniu p, leżącą wewnątrz cieczy, i zastosujmy do téj kuli równania (13) i (14) art. 212-go. Wtedy otrzymamy

s-^=°

i ii

r ' dn

a ponieważ dla normalnej wewnętrznej

dn V r J dp \ p / p²

przeto otrzymamy

(2)

4irp²

co wyraża twierdzenie Gauss’a : potencyjał prędkości iv środku kuli równa się wartości średniej potencyjału w punktach na jéj poivierzchni. Podług tego twierdzenia leży wartość między największą a najmniejszą wartością po-tencyjału na kuli; ponieważ zaś promień p możemy uczynić dowolnie małym, przeto wnosimy stąd, że potencyjał prędkości nie może przyjąć wewnątrz cieczy ani wartości największej, ani najmniejszej. Takie wartości mogą zachodzić tylko na powierzchni cieczy.

Dowiedziemy jeszcze następującego ciekawego "twierdzenia W. Thomsona : ze wszystkich ruchów cieczy, ograniczonej daną powierzchnią, dla których prędkość normalna w tym samym punkcie na powierzchni jest ta sama, ruch niewirowy wytwarza najmniejszą energiją kinetyczną. Niech u, v, w będą rzutami prędkości w punkcie (x, y, z) przy ruchu wirowym, Tw odpowiednią energiją cieczy, cp potencyjałem prędkości dla ruchu niewirowego, T energiją odpowiednią; wtedy

2T „ =

o ^(u² + v² + w²J dV,

2T = a

dV,

więc

2(T,-T)_

dV,

albo

(3)

4(T.-T) =

dcp

dy

)*+(—*)■]

d"V 4-

/[(—■£)£+(*

£)£+(«

dcp

dz

)ï]

dV.

Całkując częściowo, otrzymamy wiadomym sposobem

4ï-dv——

du

dx

dx

&)*■**>

i podobnie obliczymy dwie pozostałe całki, gdzie a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe normalnej wewnętrznej do powierzchni w elemencie df. Będzie więc

/[(-£)

=-/[*(*-■£)+*(•—?)⁺•(*-ï)]v

dtp

-T- +

dx

(•-£)*

dtp

+ (—■£) ï]

dV =

àu,_àv,àw dx ^ dy ^ dz

)f.dV+ j

tp .A₂tp. dV.

) + c(w_|Ł)₌o:

Ponieważ z założenia a

(U~%) + l(V~ dy a wyrazy w drugiej i trzeciej całce mają także wartość równą zeru, przeto powyższa całka jest równa zeru. Z równania zatym (3) wynika, że T«, — — T >* 0. c. n. d.

ROZDZIAŁ XX.

KINETYKA CIECZY. (DOKOŃCZENIE).

215. Ruch trwały cieczy materyjalnźj. Przyjmijmy, że siły przyłożone (X, Y, Z) mają potencyjał U, niezawićrający czasu wyraźnie, i że ruch cieczy jest trwały. Przy tych założeniach możemy całkować równania ruchu bez względu na to, czy zachodzi potencyjał prędkości, czy nie. Równania ruchu będą

du ^    1 dp dv v 1 dp dw y 1 dp

dt    o " dx ⁵ dt    o ’ dy ’ dt    a ‘ dz

-, . w™ du , du , du .    , . . dv dw

sA™7t = u-te+v-ćź + w-Ts1V0i0hme lt’ Hi'

nania po linii prądu, którą cząstka opisuje, mnożąc je odpowiednio przez dx, dy, dz i dodając je następnie, to wypadnie nam przyjąć dx = u. dt, dy — = v. dt, dz — w . dt. Otrzymamy tym sposobem równanie

(1)

du

Całkujmy te rów-

dp

u. du -\- v . dv w . dw — d U--—

a jeżeli Y jest prędkością cząstki, gdzie V² = u¹ + v² +, w², to całka tego równania będzie

(2)

x-u+!=c’

gdzie C jest stałą dla każdej cząstki z osobna, której wartość zmienia się jednak od cząstki do cząstki. To równanie przedstawia całkę pierwszą równań ruchu, niezależną od istnienia potencyjał u prędkości, i pozwala obliczyć prędkość ruchu postępowego cząstki, jeżeli znamy stałą C. Ponieważ jednak nie znamy wartości u, v, w, przeto nie możemy wyznaczyć ani kierunku ruchu

cząstki, ani odpowiedniej linii prądu, ani rozstrzygnąć, czy ruch będzie wiro-wy, czy nie wirowy.

dt

Jeżeli zachodzi ruch niewirowy w całej cieczy, to stała C będzie ta sama dla wszystkich linij prądu. Jakoż, mamy wtedy 4r — 0 ; ponieważ zaś V² =

Ol )    (^) (jO ? Prze^° równanie (3) art. 210-go, odnoszące się

do całej przestrzeni, przez ciecz zajętej, wyznacza w tym przypadku

V²    p

--U -f- — = stałej, przyczym stała jest ta sama dla całej cieczy.

Niech na cząstki cieczy działają tylko siły ciężkości. Obierzmy płaszczyznę xy poziomo, oś z pionowo w górę; wtedy U = — gz (bez stałej, ho ona mieści się w stałej całkowania), otrzymamy więc

(3)

= X,

+ g& -f — = C czyli z -j———f- —-2    * a    J    ag 2g

gdzie X jest stałą dla téj saméj cząstki.

Wielkość^? : ag przedstawia wysokość słupa cieczy o podstawie równej jednostce, którego ciężar jest równy ciśnieniu p; nazywamy ją wysokością odpowiednią ciśnieniu, albo krócej wysokością ciśnienia. Lewa więc strona równania (3) jest sumą trzech wysokości, mianowicie: wysokości z, w której cząstka znajduje się nad pewną, stale obraną płaszczyzną poziomą; wysokości ciśnienia i wysokości, odpowiedniej prędkości V. Sumę tych trzech wysokości nazywamy ciążeniem cząstki cieczy. Według równania (3) ciążenie jest stałe dla tej samej cząstki cieczy (twierdz. D. Ber-noulli’ego). Gdy poprowadzimy w odległości X od płaszczyzny xy płaszczyznę poziomą, którą nazywamy płaszczyzną ciążenia, to każdej cząstce odpowiada pewna stała płaszczyzna ciążenia, bez względu na to, czy ruch cząstki jest wirowym czy nie, i bez względu na przebieg linii prądu.

Znając z, p, V dla jednego położenia cząstki, możemy wyznaczyć X, a płaszczyznę xy możemy zawsze tak obrać, żeby X było dodatne. Ponieważ

V²

ciągłość cieczy wymaga, żeby było p >: 0, przeto widzimy, że -—f- z ^ X, ina-czéj musiałoby nastąpić rozpryśnięcie się cieczy. Prędkość ma zatym pewną granicę, po za którą ciecz rozpryskuje się, i podane równanie nie może być stosowane.

Niech ciecz będzie w naczyniu, w którego ścianie znajduje się mały otwór o polu f; do naczynia dopływa tyle cieczy, ile jej wypływa przez otwór; wtedy ruch będzie trwały. Obierzmy płaszczyznę xy w poziomej powierzchni cieczy, i liczmy z na dół; oznaczmy przez p₀ ciśnienie środka otaczającego (np. powietrza) na powierzchnią cieczy, a przez V₀ prędkość cząstki na téj po-

Pn "V 2

wierzchni ; dla z = 0 będzi e ^    , V=V₀, a zatym X ^    . Otrzy-

^9    9

mamy zatym z (3)

, P , V²

Po j.

(4)

ag ⁺ 2g~ ag ' 2g ‘

Przypuśćmy, że V₀ jest stałe na powierzchni; wtedy X będzie takież samo dla wszystkich cząstek, z czego wnosić można, że ruch cieczy będzie niewirowy. Przypuśćmy dalej, że wszystkie strugi, zbiegające się w otworze ściany naczynia, są prostopadłe do jego pola i do powierzchni górnej cieczy, oznaczmy przez F pole wierzchniego poziomu cieczy w naczyniu, a przez Y prędkość wypływu, t. zn. prędkość każdej cząstki, gdy ona przechodzi przez mały otwór w ścianie naczynia, wówczas Y : V₀ = F : /. Jeżeli środek masy otworu znajduje się w głębokości li pod powierzchnią, to z równania (4) otrzymamy

j, , P , V²_Po i Y² / A²

-h + Tg⁺rg-Tg ⁺ 2-gW ’

skąd wynika prędkość wypływu

(5)

1 /~2gJia + 2 (p₀ —p) a

['-an ‘

W tym wzorze oznacza p ciśnienie środka otaczającego na jednostkę pola otworu. Jeżeli /jest bardzo małe w porównaniu z F, a różnica ciśnień p₀ i p także nieznaczna, ze względu na niewielkie rozmiary naczynia, wtedy możemy pominąć odpowiednie wyrazy i otrzymamy w przybliżeniu

(6)

V = l/2gh~.

Jest-to wzór E. Torricelli’ego, według którego prędkość wypływu z dostatecznie małego otworu równa się prędkości, odpowiedniej głębokości środka masy otworu pod powierzchnią cieczy.

Oznaczywszy przez <ł> pole naczynia w głębokości 0, możemy prędkość Y* w téj głębokości obliczyć z proporcyi Yz : Y₀ — F : 4>. Otrzymamy więc ciśnienie w téj głębokości

(7)

P —Po + °gz+ [i — (|>) J •

Gdyby ciecz była w spoczynku, to P —p₀ -j- ag z byłoby ciśnieniem w głębokości 0 (art. 196), wskutek czego

(8)

Nazywamy P ciśnieniem hidrostatycznym, zaś p ciśnieniem hidro-kinetycznym w głębokości s. Ostatni wzór pokazuje, źe ciśnienie hidro-kinetyczne różni się wogólności od ciśnienia hidrostatycznego, a różnica zależy od gęstości cieczy, od jéj prędkości na powierzchni i od stosunku między polem wierzchniego poziomu cieczy w naczyniu a polem w głębokości rozważanej. Gdzie F = <ł>, tam obadwa ciśnienia są równe ; dla F <ł> będzie p ^ P; atoli powyższe równanie (8)może być tylko tam zastosowane, gdzie p ^ 0.

Rozpryśnięcie się cieczy nastąpi w tym przekroju naczynia, w którym prawa strona równania (8) staje się ujemną; to zjawisko wymaga znacznego zwężenia naczynia w porównaniu z polem wierzchniego w nim poziomu cieczy.

Powyższy rachunek opiera się na przypuszczeniu, że ciecz jest doskonała, tudzież na kilku założeniach wątpliwej wartości. Otrzymane wyniki należy przeto uważać za zbliżone doprawdy, a doświadczenia okazują, że prędkość rzeczywista wypływu różni się od téj, która wynika z powyższego rachunku. Tę różnicę należy w pierwszym rzędzie przypisać lepkości cieczy.

216. Ruch cieczy równoległy do płaszczyzny. Załóżmy, jak w art. 211-ym, że dla każdej cząstki cieczy prędkość w — 0 i ze u i v są, tylko fun-kcyjami spółrzędnych x, y; wtedy cząstki cieczy poruszają się równolegle do płaszczyzny xy. W tym przypadku dostateczne będzie rozważanie ruchów cząstek, znajdujących się na płaszczyźnie xy, a to co zajdzie na krzywej, wykreślonej na téj płaszczyźnie, to zachodzić będzie na każdej krzywej równoległej na powierzchni walca prostego, którego podstawą jest owa krzywa na płaszczyźnie xy. Jeżeli cp jest potencyjałem prędkości, to u = ~ , v = ⁽y-

oco    oy

potencyjał zaś czyni zadość równaniu

(1)

a?=^ï₊^!ï₌₀.

~ dx² ^ dy²

Równania tp = stałej przedstawia tak zwane linije potencyjalne; na każdej z nich posiada stała inną wartość. Własności tych linij wynikają bezpośrednio z własności powierzchni potencyjalnych w przypadku ogólnym, dla tego nie widzimy tu potrzeby zastanawiania się nad nimi.

Równanie różniczkowe linii prądu jest u .dy — v . dx = 0; każda linija prądu przecina prostokątnie linije potencyjalne i rozciąga się na wskroś pola, przez ciecz zajętego, nie będąc zamknięta. Jeżeli ruch jest trwały, wtedy cząstka cieczy bieży wzdłuż linii prądu w takim kierunku, że z punktu o mniejszym potencyjale prędkości przechodzi do punktu o większym potencyjale. Lewa strona równania linii prądu jest różniczką zupełną pewnej funkcyi

spółrzędnych x, y w obrębie przestrzeni, przez ciecz zajętej. Jakoż ^ + Jy⁼⁼ 0

jest, jak wiadomo, warunkiem, żeby u .dy — v. dx było różniczką zupełną, a ten warunek wyraża właśnie ciągłość płynu. Funkcyją, której różniczką zupełną jest powyższy wyraz, nazywamy potencyjałem prądu. Oznaczając ją przez <J> (x, y), mamy równania, określające tę funkcyją:

(2)

dty = u.dy — v . dx, ~ — — v, -~~u.

Z tego określenia wynika, że = stałej jest równaniem układu linij prądu, przecinających prostokątnie układ linij potencyjalnych cp = stałej. Między potencyjałami <p i zachodzi równanie

dcp    ()<]>    dcp    d<J> _

dx    dx    dy    dy

wyrażające właśnie powyższy związek gieometryczny, a drugie pochodne fun-kcyi zadość czynią warunkowi

(4)

d²<J>

dif wynikającemu z równania ciągłości.

Łatwo okazać znaczenie potencyjału prądu. Poprowadźmy na płaszczyźnie xy dowolną krzywą, nie będącą liniją prądu, w. punkcie m, (x, y) tej krzywej wystawmy normalną wewnętrzną (ku środkowi krzywizny), i rzućmy prędkość (u, v), z którą cząstka cieczy przechodzi przez punkt m, na tę normalną; wówczas, oznaczywszy przez ds element krzywej, otrzymamy u. ^ —

dx

^ak° w?e^⁰^ rzutu téj prędkości. Mnożąc ten wyraz przez ds,

otrzymamy u . dy — v . dx jako ilość cieczy, która w jednostce czasu przechodzi przez powierzchnią walca prostego o podstawie ds i o wysokości = 1,

a całka (u . dy — v . dx), wzdłuż krzywej między dwoma punktami, przedstawia ilość cieczy, która w jednostce czasu przechodzi przez odpowiednią powierzchnią walca. Przepływ przez element walca jest różniczką potencyjału prądu, a obliczenie tego potencyjału polega na tych samych zasadach, co wyznaczenie funkcyi <p. Ponieważ kierunek prędkości jest styczny do linii prądu, przeto będzie d§ = 0 dla każdego elementu téj linii.

Linije prądu istnieją bez względu na <p, a zatym także w tych częściach cieczy, w których zachodzi ruch wirowy. Istnieje więc także potencyjał prądu, chociaż ma w tym przypadku inne własności. Dla ruchu wirowego mamy w przypadku rozważanym

n    n    1 ( dv

wi = 0, <o₂ = 0, w₃ = w = -

du

dy

\    1 / d²ty d²<{> \

J ~~2\dä? ⁺ ~dy²)

a zatym

(5)

d²Ą d²<{> _

dx²

dy²

2w.

Zajmiemy się przeważnie ruchem niewirowym. Równania (2), które dla tego ruchu możemy napisać w postaci

d<{>

(6)

dtp dty dtp

dx    dy ' dy ~~ dx ’

wyrażają dwa zasadnicze związki między obydwoma potencyjałami, które mają ważne znaczenie kinematyczne. Okazuje się z nich, że prędkość w danym punkcie można obliczyć bądź z potencyjału prędkości bądź z potencyjału prądu. Wiadomo, że rzut prędkości na kierunek ds wyraża się wzorem (art. 82)

dtp dcp dx    dcp dy

ds    ~dx ' ds    dy ’ ds

Gdy zaś weźmiemy kierunek Ja, normalny do ds, to będzie

dx

do

dy dy _dx ' ds ’ da ds ’

otrzymamy więc z (6)

dcp d<p dx    ()$ dy d(|>

ds ~ dx ' do    ' dy ' do    do ’

t. j., że prędkość w danym kierunku wyraża się bądź przez pochodną potencyjału prędkości w tym kierunku, bądź przez pochodną potencyjału prądu w kierunku prostopadłym.

Nadto wynika z powyższych równań, że wszelkie zagadnienia o ruchu niewirowym, równoległym do płaszczyzny, można rozwiązać na podstawie teoryi funkcyj zmiennej zespolonej. Jakoż, gdy i = ]/_ \, to wiadomo, że równania (6) wyrażają warunki konieczne i wystarczające, żeby wielkość zespolona cp -f była funkcyją zmiennej zespolonej x + iy. Używając znakowania B. Riemann’a, przyjmijmy w — cp -j- ity, z = x -f- iy; każdy związek analityczny w = F (z) wyznaczać będzie ruch cieczy z odpowiednimi linijami po-tencyjalnymi i linijami prądu. (Ponieważ nie używamy w i z w znaczeniu prędkości i spółrzędnój, przeto możemy użyć powyższego znakowania). Równania (6) nie zmieniają się, jeżeli zamiast cp weźmiemy — cj>, a zamiast cf» weźmiemy cp, to znaczy, że każdy związek w = F (z) wyznacza dwa moźebne ruchy cieczy, które nazywamy ruchami sprzężonymi. Dla j ednego z nich przedstawia równanie cp = C układ linij potencyjalnych, a c{> = C' układ linij prądu; dla drugiego zaś = G są linijami potencyjalnymi, a cp = Cr linijami prądu. Kierunek ruchu ma być wzięty odpowiednio w każdym z tych przypadków, stosownie do przebiegu linij potencyjalnych.

Pole ruchu na płaszczyźnie xy ma łączność pojedynczą, jeżeli niema w nim cząstek wirujących; w każdym innym przypadku łączność jego będzie wielokrotną. W pierwszym przypadku linij e potencyjalne nie mogą być zamknięte; jeżeli taka linija jest zamknięta, to wewnątrz jej obwodu zachodzi ruch wirowy. Jeżeli w cieczy zachodzą wiry, natenczas linije prądu mogą być zamknięte, a jeżeli ruch jest trwały, to może zajść przypadek, że cząstki niewirujące krążą po linijach zamkniętych około wirów. Dowodzenie tych twierdzeń zostawiamy czytelnikowi.

217. Zagadnienia. W zagadnieniach o ruchu, równoległym do płaszczyzny, można wziąć jeden z układów linij cp = C i <{> — C', szukając drugiego układu, i wyznaczyć potym prawo ruchu, albo przyjąć funkcyją w = F (z) i badać ruch wynikający. Z podanych własności jednowarto-ściowych potencyjałów prędkości wynika, że mając dany ruch niewirowy na obwodzie pola, można wyznaczyć ruch każdej cząstki wewnątrz tego pola, atoli takie zadania przedstawiają wielkie trudności w rozwiązaniu.

W tych zagadnieniach można z korzyścią używać spółrzędnych biegunowych. Oznaczmy przez r promień wodzący, przez 0 kąt biegunowy; niech p będzie prędkością w punkcie (r, 0) w kierunku promienia wodzącego, z prędkością w kierunku rosnącego kąta 6, prostopadłym do pierwsze-

dv

go ; wtedy p cos 0 — z sin 0, v — p sin 6 + t cos 0. Ponieważ — = cos 0,

ooc

od

dd

~ = sin0, r.— = — sin0, r. — = cos0, przeto otrzymamy = ■— . £-^7 (r p) -f-    ; równanie ciągłości jest zatym

dF<rP>+d6

(1)

= 0.

Jeżeli cp jest potencyjałem prędkości, to p =    , z =

A «, == Ü1 _L JL    ÈL

² ‘ dr² r² ’ dd² r ' dr

(2)

-6

du

dv

dx dy

; będzie więc

Dla cp otrzymamy stąd równanie A₂ cp = 0, a dla potencyjału prądu podobnie A₂ = 0.

1). "Wyznaczyć taki ruch niewirowTy, żeby linije prądu stanowiły wiązkę prostych, wychodzących z jednego punktu. Mamy więc <J> — ad + b, z czego

wynika ~ — a, ~ == 0 ; ze związków między 9 i <J> wypada, że

Wstawiwszy tę wartość w (2), otrzymamy

= 0.

d²cp    1 dcp

dr²    r * dr

= 0, całkując zaś, cp = Alogr -f B.

Krzywe więc potencyjalne są kołami spółśrodkowymi, wykreślonymi około bieguna układu. Z warunku (6) art. poprzedzającego wynika ^

tym A — a, skąd cp = a logr + B. Jedynym punktem osobliwym funkcyi cp jest punkt r — 0; kreśląc około tego punktu nieskończenie małe koło i wyłączając jego pole, możemy z potencyjału cp obliczyć prędkość w każdym punkcie na pozostałej płaszczyźnie. Otrzymamy p = — , r = 0 ; prędkość ma

przeto kierunek promienia i jest odwrotnie proporcyjonalna względem odległości od środka. Jeżeli a > 0, to cp rośnie dla rosnącego r, cząstki cieczy poruszają się więc od środka na zewnątrz; dla a <0 odbywa się prąd w kierunku przeciwnym. W pierwszym przypadku należy w środku przyjąć źródło, z którego ciecz się rozchodzi; w drugim zaś przyjąć otwór, którym ona odpływa, aby otrzymane wyniki miały znaczenie fizyczne.

2). Gdy linije prądu są kołami spółśrodkowymi, wyznaczyć odpowiedni

ruch niewirowy. Tu mamy ~    0, a, z równania (6) art. poprzedzającego

~ — 0, więc cp = a04-ó, cj) — a log r + B, skąd p = 0, c = y . Cząstka w środku obraca się około osi, przechodzącej przez jej środek masy; w środku

dcp

a za-

cieczy znajduje się więc wir, a zresztą w żadnym innym punkcie. Prędkość każdej cząstki niewirujacéj ma kierunek prostopadły do promienia i jest odwrotnie proporcyjonalna względem jego długości; chociaż więc cząstki na tym samym kole mają tę sarnę prędkość, to przecież ruch cieczy różni się od ruchu ciała sztywnego, i nie należy twierdzić, jakoby ciecz obracała się około osi. Przyjmijmy, że ciecz znajduje się w naczyniu walcowym, i podzielmy ją na warstwy walcowe spółosiowe; prędkość warstwy jest tym mniejsza, im dalej warstwa znajduje się od osi. Taki ruch nie może zachodzić w ciele sztywnym i nie może być nazwany obrotem około osi naczynia. Linije prądu są zamknięte, bo w środku znajduje się wir, a potencyjał prędkości jest fun-kcyją wielowartościową ; we spółrzędnych bowiem prostokątnych mamy <p =

— a, arctg — + b. Poprowadźmy, wychodząc z dowolnego punktu, krzywą

00

zamkniętą, otaczającą środek; krążenie po niej będzie

2tu

2rc

x. ds —

— ,r. dd — a I d0 = 2na.

Jeżeli krzywa okrąża środek n razy, to 2%na będzie krążeniem cieczy, z czego się okazuje, że dwie wartości potencyjału różnią się o 2ttna, gdzie n jest liczbą całkowitą. Gdy poprowadzimy ze środka przekrój i uwzględnimy zna" ne jego własności, to wielo wartościowość ustanie, ale potencyjały w dwu punktach sąsiednich po przeciwnych stronach przekroju różnić się będą o 2%a.

3). Niech będzie cp -j- i<p = [r.log (x — a + iy) (x + a -f- iy): wyznaczyć odpowiedni ruch cieczy. Obierzmy dwa punkty P, (x — a, y = 0) i P₂(x= — a, y — 0) na osi x, oznaczmy przez r1} r₂ promienie wodzące z tych punktów do punktu m (x, y), a przez , 0₂ kąty, które te promienie tworzą z dodatnym kierunkiem osi x, i przyjmijmy 6, = x — a, £₂ = x + a; mieć będziemy

log (+ iy) (S* + iy) — log (|, + iy) + log ($₂ + iy) — logrtr₂ + i (6, + 0₂), a więc

(4)

9 = {r.lo >grt.r₂,    — p. (6, + 6₂).

Puch jest niewirowy; równanie linii potencyjalnćj jest r, r₂ — A, a równanie linii prądu 0, -f 0₂ = B, gdzie A i B są dwiema stałymi. Linije potencyjalne więc są lemniskatami, których ogniskami są punkty Pt i P₂. Dla linij prądu mamy, wstawiwszy wartości 0I i 0₂ :

V

arctang —---(- arctg

x — a

= arc tang

2 xy

X² - y*l — a2

— B,

skąd wynika, że

(5)

x² — y² — 2C xy — a² — 0, gdzie C jest stałą dowolną, jest równaniem takiej linii. Linije prądu są więc

hiperbolami równobocznymi, przechodzącymi przez punkty Pi i P2 ? dla których jednak osi spółrzędnych nie są osiami głównymi. Stąd wynika, że istnieje ruch sprzężony, dla którego linijami potencyjalnymi są hiperbole równoboczne, a linijami prądu lemniskaty.

Mamy — r” + a²—2ar.cos6, r₂² = r² + a² -f- 2ar . cos6, a zatym A² c= (r²-j-a²)²— 4a²r²cos²9. Obliczywszy stąd p i t, otrzymamy V =

r_ O

= J/ p² + t² — —-. r, co pozwala obliczyć prędkość każdej cząstki cieczy.

Ponieważ A jest stałe na tej samej lemniskacie, przeto prędkość jest propor-cyjonalna względem odległości punktu na lemniskacie od środka.

Jeżeli [a i a są stałymi bezwzględnymi, natenczas ruch będzie trwały; gdyby zaś te wielkości były funkcyjami czasu, to układ linij potencyjalnycli i linij prądu zmieniałby się ciągle. W pierwszym przypadku porusza się każda cząstka cieczy po tej hiperboli, która przedstawia jéj liniją prądu (zależną od stałej C), w drugim przypadku tory cząstek są stycznymi do chwilowych linij prądu. Dla ruchu trwałego otrzymamy, według (4) art. 210-go;

— U + ~ — stałej

Z_ __ u +    = stałej, czyli r²

gdzie stała jest ta sama dla wszystkich cząstek. Znając potencyjał sił i stan początkowy cieczy, możemy z tego wzoru obliczyć ciśnienie p w każdym punkcie, które będzie tylko funkcyją spółrzędnych r i 6. Jeżeli żadne siły nie działają podczas ruchu, to U = 0, i powyższy wzór wyznacza ciśnienie. Jedynymi punktami osobliwymi funkcyi cp są ogniska P, i P₂, dla których A = 0; należy więc około ognisk zakreślić koła o nieskończenie małych promieniach, a wtedy można rachunek stosować do całej płaszczyzny, z wyjątkiem pól tych kół. Z powodu istnienia punktu osobliwego linije potencyjalne są zamknięte (art. 213).

Czytelnik przerobi to zadanie, gdy lemniskaty są linijami prądu, a hiperbole linijami potencyjalnymi; wtedy w ogniskach należy przyjąć wiry i potencyjał będzie wielowartościowy. Krążenie po danej krzywej zależy od tego, czy krzywa otacza tylko jedno ognisko, czy obadwa ogniska.

4). Ciecz znajduje się w naczyniu walcowym prostym, obracającym się jednostajnie z prędkością kątową w około prostej, równoległej do tworzących walca: wyznaczyć ruch niewirowy cieczy, równoległy do podstawy. W tym zadaniu znamy warunek krańcowy dla potencyjału <Jj, albowiem podstawa walca ma być liniją prądu. Obierzmy oś obrotu za oś 0, a obrót w niech ma kierunek od dodatnych x ku dodatnym y; wówczas składowe prędkości punktu (x, y) na podstawie walca będą odpowiednio — u>y i Grdy do jest elementem podstawy walca, to dy : do i — dx : do będą dostawami kierunkowymi normalnej wewnętrznej w punkcie (x, y); prędkość w kierunku normalnej będzie przeto, według art. 216-go,

. J , a więc d<j> =■ *— oi (x. dx -f y. dy) ;

dy

Ly.^+UX

dty _

do

Bibl. mat.-fiz., S. IY, T. X,

całkując, otrzymamy

ł = A-yr*» + y»;,

gdzie A jest stałą. Wyznaczenie kształtu fimkcyi ty, stosownie do warunku krańcowego, nie daje się uskutecznić ogólnie ; można jednak założyć pewien kształt téj funkcyi, szukając następnie odpowiedniej podstawy walca, podobnie, jak to czyniliśmy w zadaniach o odkształceniu ciał sprężystych. Przyjmijmy ty =. JB (x² — y²), gdzie B jest stałą. Wstawiwszy tę wartość w równanie poprzednie, mieć będziemy

(6)

x²

(b + t) + K-b + t)=a

jako równanie linii prądu. Niech podstawą walca będzie elipsa — -f- A —

a walec niech obraca się około swej osi; można wtedy równanie (6) i równanie elipsy przywieść do tego samego kształtu, biorąc

a² —

cor+ 2B

ß²=-

10

— 2B

z czego wynika B = —

w a² — ß2 2 ’ a² -j- ß

a zatym

(7)

to a² — ß²

2 * a² -f- ß²

(x² — y²)

jako odpowiedni potencyjał prądu. Nadając stałej A w (6) odjiowiednią wartość, otrzymamy teraz w układzie linij prądu także podstawę walca; możemy więc rozpoznać ruch niewirowy cieczy w walcu eliptycznym, obracającym się jednostajnie około swój osi. Każdej wartości stałej A odpowiada pewna linija prądu, która, jak widzimy, jest zawsze krzywą rzędu 2-go. Z wiadomych związków między cp i »]> otrzymamy

dtp —

a² — ß²

(i) ---

a² -f- ß²

(x. dy + y. dx), skąd

(8)

a² —ß²

xy.

Każda wartość stała tp wyznacza liniją potencyjalną. Łatwo więc obliczyć prędkość w każdym punkcie, a znając siły, można wyznaczyć ciśnienie. Dla a = ß będzie cp mr O, = O, co oznacza, że ruch niewirowy nie może zachodzić w walcu obrotowym, który obraca się około swój osi.

218. Kuch ciała sztywnego w cieczy. W cieczy, której ograniczenie jest wiadome, porusza się ciało sztywne w sposób określony; mamy wyznaczyć ruch cieczy, wywołany przez ruch tego ciała. Aby pokazać metodę, służącą do rozwiązania takich zagadnień, załóżmy, że ciecz rozciąga się we wszystkie strony w nieskończoność i że jój ruch spowodowany jest wyłącznie przez

ruch ciała, że zatym nie ma sił osobnych, na cząstki cieczy działających. Ponieważ w tym przypadku ruch cieczy ze spoczynku może być wywołany przez ciśnienia chwilowe, przeto możemy przyjąć, że ten ruch jest niewirowy (art. 210), a nadto widzimy, że cząstki cieczy w nieskończoności są w spoczynku, gdyż siły skończone, poruszające ciałem i pobudzające ciecz do ruchu, nie mogą punktom nieskończenie dalekim udzielić żadnej prędkości.

Dla wyznaczenia więc potencyjału f mamy następujące warunki: 1)

w każdym punkcie na powierzchni ciała jest pochodna — równa prędkości tego punktu w kierunku normalnej do powierzchni, wziętym ku cieczy; 2) pochodne-^-,    potencyjału zdążają do zera dla punktów w nie

skończoności. Okażemy, że te warunki określają potencyjał cp, pozostawiając jednak nieoznaczoną stałą dowolną, że przeto ruch niewirowy cieczy jest przez takie warunki określony pod względem kinematycznym.

W przestrzeni, przez ciecz zajętej, co do której przyjmujemy, że ma łączność pojedynczą, obierzmy punkt dowolny jjl, zatoczmy około niego kulę o dowolnym promieniu p, otaczającą ciało sztywne, i zastosujmy do cieczy, w tej kuli zawartej, równanie (14) art. 212-go. Oznaczywszy przez df element powierzchni ciała, a przez dF element powierzchni tej kuli, mieć będziemy

df

Ir df +

df

dn

dn

biorąc wszędzie kierunek normalnej ku cieczy. Kładąc

df

dn

df =-— 4îcM

df

możemy M obliczyć, albowiem znamy —^ na powierzchni ciała; będzie więc-

Ot o

= 4rcM.

Jeżeli doi oznacza rzut centralny elementu d F na powierzchnią kuli o promieniu jedności, to dF = p².do>; wstawmy tę wartość w ostatnie równa-

4^ ; mieć będziemy

nie i zważmy, że

df

dn

dp

— P²

doi — 4kM

dp

dp

4kM d

p2 ’ dp

fdo> =

4kM

p² ’

a całkując

-, n . 4tcM cp • dtù — ( j -}- ---— •

p

Wstawiając ponownie wartość Jm, otrzymamy stąd

(1)

4rcp²

cp.JF^C, + —.

?

Lewa strona tego równania przedstawia wartość średnią potencyjału cp na powierzchni kuli o promieniu p, wewnątrz której znajduje się przestrzeń zamknięta ciała, która nie zawiera cieczy; stała Cj zależy od położenia środka kuli, a jest niezależna od p. Gdyby w każdym punkcie na powierzchni ciała

było = 0, natenczas byłoby M = 0, a zatym wartość średnia potencyjału

O/l

byłaby niezależna od promienia kuli, a zależałaby tylko od położenia jej środka. Równanie (1) pozwala dowieść następującego twierdzenia pomocniczego:

jeżeli jest równe zeru w każdym jmnkcie na powierzchni ciała, znajdujące

go się w cieczy, której cząstki w nieskończoności mają prędkość zero, natenczas cp jest stałą w całym obrębie cieczy. Jakoż, w tym przypadku można w cieczy poprowadzić taką powierzchnią zamkniętą F, otaczającą powierzchnią/ciała, iżby zewnątrz powierzchni F prędkość cieczy była wszędzie mniejsza od dowolnie małej wielkości s. Obierzmy w cieczy taki punkt [x, iżby rzut centralny powierzchni F na kulę o promieniu jedności, około tego punktu zatoczoną, był nieskończenie mały, co jest możebne, ponieważ ciecz rozciąga się we wszystkie strony do nieskończoności. Około p. jako środka zatoczmy dwie kule, z których jedna jest styczna do powierzchni / zewnętrznie, druga wewnętrznie, i poprowadźmy dowolny promień, który te kule spotyka w punktach m i n. jeżeli promień spotyka powierzchnią F, to różnica wartości funkcyi cp w punktach m i n wywoła nieskończenie małą różnicę w wartościach średnich téj funkcyi na obu kulach, ponieważ różnica rzutów powierzchni F na tych kulach jest nieskończenie mała; jeżeli zaś promień jjimn znajduje się zewnątrz powierzchni F, to potencyjały cp w m i n różnić się będą o wielkość mniejszą, niż s. mn, ponieważ s jest większe, niż prędkość w punkcie m lub n, a mn jest grubością warstwy między obiema kulami. A zatym różnica średnich wartości potencyjału na obu kulach wynosi zawsze mniej, niż t.mn\ te przeto wartości .średnie zdążają do równości dla e=:0. Dla kuli, stycznej do powierzchni /wewnętrznie, będzie według (1) średnia wartość funkcyi cp wielkością stałą, albowiem Mr;0, z czego wynika, że cp dąży do wartości stałej w każdym punkcie nieskończenie dalekim. Z tego wnosimy na podstawie własności funkcyi doskonałej, że cp jest stałe^w całym obrębie cieczy.

Teraz możemy okazać, że potencyjał prócz jego stałej dowolnej jest określony, jeżeli znamy na powierzchni ciała i wiemy, iż jego pochodne są

Ofl

równe zeru w punktach nieskończenie oddalonych. Jakoż przypuśćmy, że

dwie funkcyje cpt, <p₂ czynią, zadość danym warunkom; natenczas

à ('h — <p₂)

dn

jest równa zeru w każdym punkcie na powierzchni ciała, a pochodne funkcyi tp, — <p₂ zdążają do zera w punktach nieskończenie oddalonych. Z tego wynika, że cp₄ — cp₂ — stałej, co dowodzi właśnie prawdziwości naszego twierdzenia. Wnosimy stąd, że każda pochodna potencyjału ma w każdym punkcie jednę wartość, że więc ruch niewirowy cieczy jest dokładnie oznaczony.

219. Ponieważ znamy ruch bezwzględny ciała, przeto do rozpoznania ruchu cieczy wystarczy zbadać ruch każdej jej cząstki względem ciała; dodawszy do tego ruch unoszenia, otrzymamy ruch bezwzględny każdćj cząstki cieczy. W dowolnym punkcie O ciała wystawmy osi spółrzędnych x, y, 0, oznaczmy przez U, Y, W prędkości punktu O w kierunkach tych osi, a przez P, Q, K, prędkości kątowe obrotów chwilowych ciała około tych osi. Prędkości unoszenia cząstki (x, y, 0) cieczy będą odpowiednio, jak wiadomo z kinematyki ciał sztywnych (art. 24), U + Qæ — Ry, Y +    — P0, W + Py — Qx;

jeżeli więc u, v, to oznaczają składowe prędkości tej cząstki względem ciała, to otrzymamy

« = 0-(U + Q*-RsO. v

« = -^-(W + Py-Q*).

Oznaczywszy przez a, b, c dostawy kierunkowe normalnej do powierzchni ciała, wyprowadzonej z punktu x, y, 0 ku cieczy, mamy warunek na granicy

co

dy

(Y + RX-V0),

= a (ü + Q« - Rÿ) + i (V + ÏU — P<r) + e (W + Py — Qx), czyli

(2) —I = «U + b Y 4- cY 4- (oy —•    P + (az — c#) Q + (bx — ay) R,

on

gdzie

(3)

Funkcyja cp czyni w każdym punkcie zadość równaniu różniczkowemu linijowemu o pochodnych cząstkowych A₂ cp = 0; jeżeli przeto = 0 jest rozwiązaniem szczególnym tego równania, to cp — S G* tp*, gdzie wielkości C« nie zależą od spółrzędnych, mogą być jednak funkcyjami czasu. Możemy więc dla cp przyjąć kształt następujący:

(4)

<p = U . <p| + Y. <pa + W. <p₃ + P. <p₄ + Q . <p₅ + R • Ÿ6»

biorąc jako cp* (i — 1, 2, 3, 4, 5, 6) rozwiązania szczególne równania A₃ rp = 0,

czyniące zadość warunkom, iżby pochodne ^ przybierały dane wartości na

zeru

powierzchni ciała, iżby pochodne funkcyj cp* względem x, y, 0 były skończonymi i jednowartościowymi w obrębie cieczy i przybierały wartość równą

w punktach nieskończenie oddalonych. Z takich funkcyj możemy według (4) utworzyć potencyjał cp. Ponieważ w cp» pozostaje stała dowolna, przeto możemy jeszcze przyjąć warunek, żeby cp» = 0 dla punktów w nieskończoności, co wyznacza stałą równą zeru i pozwala użyć kształtu (4) dla tej funkcyi, albowiem będzie cp = 0 dla punktów nieskończenie oddalonych.

Z ostatniego równania wynika

ety

(5) ^l = U.3!- + Y.2t+W.4& + P on    on    on    on

ty*

dn

, o _j_ T? dW- ■

otrzymamy więc według (2) szukane warunki na powierzchni ciała dla funkcyj <p»:

(6)

tyi tya * tys. „ , dw ’ dn ’ dw ’

^ ==    — bz, — as — cx, ⁽^p- — bx — ay.

dn *    ’ dn    dn    J

Te warunki określają dokładnie każdą funkcyją cp» i okazują, że ona zależy tylko od powierzchni ciała sztywnego, a i est niezależna od jego ruchu. Ponieważ wiemy, że tylko jedna funkcyją cp odpowiada zadaniu, a okazało się, że funkcyją (4) czyni istotnie zadość wszystkim warunkom, przeto owa fun-kcyja jest potencyjałem prędkości. Ten potencyjał jest więc funkcyją linijo-wą spółrzędnych chwilowego ruchu ciała i zawiera w sobie takie funkcyje, które zależą od kształtu i położenia jego powierzchni.

Wyznaczywszy według opisanej metody potencyjał prędkości, otrzymamy z równań (1) prędkość każdej cząstki cieczy względem ciała. Znając położenie ciała względem stałego układu osi, możemy przez prostą zmianę spółrzędnych wyznaczyć ruch bezwzględny cieczy.

Podana metoda stosuje się także do ruchu cieczy, wypełniającej wydrążenie w ciele sztywnym, które porusza się w sposób wiadomy. Jakoż wtedy

w każdym punkcie na powierzchni wydrążenia, biorąc

normalną w kierunku cieczy, a to wystarcza do wyznaczenia ruchu (art. 213), jeżeli tylko wydrążenie ma łączność pojedynczą. (Warunki, żeby pochodne potencyjału cp względem x, y, z były równe zeru w nieskończoności, odpadają oczywiście). W tym przypadku widzimy z pierwszych trzech równań (6), że cp, = x, cp₂ = y, <p₃ = z, gdzie x, y, z są spółrzędnymi punktu na powierzchni wydrążenia. Takich wartości nie mogliśmy otrzymać w poprzednim zagadnieniu, bo warunki (6) nie były jedynymi dla funkcyj cp»-. Otrzymamy więc dla cieczy, odbywającej ruch niewirowy w wydrążeniu ciała sztywnego,

cp = üx + Yy + W2 -f P. cp₄ 4- Q. cp₅ -f- R. cp₆ ;

a pozostaje tylko wyznaczyć funkcyje cp₄, cp₅, cpG stosownie do powierzchni wydrążenia. Gdyby P = 0, Q = 0, P = 0, to pochodne potencyjału względem X, y, z byłyby niezależne od spółrzędnych t. j. jeżeli ciecz znajduje się tv wy-

znamy pochodną

(7)

ety

dn

drążeniu ciała sztywnego, mającego ruch postępowy, to ona porusza się, jak ciało sztywne, albowiem wszystkie jej cząstki mają prędkość'spólną.

Wyznaczywszy ruch cieczy, należy obliczyć ciśnienie, którego powierzchnia ciała doznaje od cieczy w każdym punkcie. Do tego celu służy równanie (3) art. 210-go, w którym stosownie do założenia należy potencyjałowi sił, działających na masę cieczy, nadać wartość zero. Wstawiwszy odpowiednie wartości pochodnych funkcyi cp na powierzchni ciała, otrzymamy ciśnienia, których składu następnie dokonać należy, aby rozpoznać działanie cieczy na ciało.

220. Zagadnienia. 1) Ruch cieczy w wydrążeniu elipsojdalnym. Niech A, D, C oznaczają połowy osi głównych wydrążenia, które obieramy za

osi spółrzędnych. Jeżeli przyjmiemy q = runkowe normalnej wewnętrznej będą

A⁴

z²

+ iw ⁺ c⁷ ’to dostawykie*

x ,

I z'—- y U

A² y ą

skąd

dcp₄ _ yz

y __ z

¥>²Vą ’ 6>"~_ Q²Vą ’

^7-^ ; i podobne otrzymamy wyrażenia

^£3. i iï» . dn dn

dn }/q V Ba

Według (4) art. poprzedzającego mamy więc dla cp₄:

Rozwiązanie tego równania przedstawia funkcyja cp₄ = Aąyz, w której A₄ jest stałą, a po wstawieniu tej wartości w równanie poprzednie otrzymamy A₄ = m (B² — C²) : (B² + C²). Podobnie otrzymamy cp₃ i cp₀ przez przestawienie kołowe liter; będą więc żądane funkcyje

1 (JL . JL dV* . JL

C² / “ V A² • dx ⁺ B² • dy C² ’ dzJ

A²—B²

C² —A²

=    <P» = c5TX^æ’

a zatym potencyjał prędkości

B² — C²

(1)

cp = Ux + Yy + Wz -f* P •

B² — C²

y» +

B² + C2 C² —A2 C² + A²

A² — B2 ’ À² + B² Xy'

Dla kuli będzie cp — \Jx + Yy + W z, z czego wynika, że w wydrążeniu kulistym ruch niewirowy cieczy względem ciała jest ruchem postępowym.

2) Ruch elipsojdy w cieczy nieskończonej. Zanim rozwiążemy zadanie o ruchu cieczy, rozciągającej się do nieskończoności, względem elipsojdy sztywnej, która w niej się porusza, okażemy pewną własność potencyjału sił, przyciągających według prawa Newton’a. Wiadomo z art. 126-go, że jeżeli z punktu znajdującego się nieskończenie blisko zewnątrz powierzchni ciała

+ Q.

zx R

przyciągającego, przejdziemy przez tę powierzchnią do punktu v, leżącego nieskończenie blisko wewnątrz téj powierzchni, natenczas parametr różniczkowy A₂V zmienia się o—4rca, jeżeli a jest gęstością ciała w punkcie v. Możemy to inaczej wyrazić, obierając odpowiednio punkty i v. Obierzmy początek osi spółrzędnych na powierzchni ciała w punkcie O, a normalną zewnętrzną Op, za oś x; punkt v obierzmy nieskończenie blisko po przeciwnej stronie punktu fi na normalnej wewnętrznej. Wtedy możemy powyższe twier-

dY

dzenie tak wyrazić, że pochodna funkcyi zmienia się o —4 rc a, jeżeli z punktu fi przechodzimy do v przez powierzchnią ciała w kierunku normalnej wewnętrznej. Oznaczywszy przez a, b, c dostawy kierunkowe normalnej wewnętrznej względem jakichkolwiek osi układu prostokątnego, z równań

dY

dY

—— — a . —— öx    dn

dne funkcyj

dY dY_b dY dY dy * dn ’ ds dY dY dY

c . — dojdziemy do wniosku, że pocho-

-r— zmieniają się odpowiednio o —4naa, —4nbo,

dx ’ dy ’ ds

— 4îueo, jeżeli z fi przechodzimy do v. Niech dnz oznacza element normalnej zewnętrznej Ofi, dnw element normalnej wewnętrznej Ov; wtedy powyższe twierdzenie wyrazimy zapomocą równania

(2)

+ CZJli

d²Y    d²Y

dnzdx dnwdx

4%no 5

podobne związki otrzymamy dla y i s.

Zastosujmy to równanie do elipsojdy jednorodnej o gęstości a = 1, używając znakowania art. 132-go. Gdy przyjmiemy

>OD

OD

KX)

(3) a = 2ic

cis

cis

D(B²+$) ’ Y — ²⁷¹

ds

1 D(A² + s) o

to przyciągania punktu wewnątrz lub na powierzchni elipsojdy będą

D(C² + s)’

ay

ay

ay

x=te=-**> *=*=-?*’ Z=w=-T'⁵

stąd otrzymamy

ax

ax

ax

ax

aY az

t— = a. r--}- b . ——}- c. -r- — — aa, podobnie -— , x

dnw dx    dn    ds    dnw dnl0

a zatym według (3)

ax

-r— = a( a — 4%)

dnz

dY

az

= &(ß — 4tc), — = c(y — 4%),

’ dnz

gdzie a, b, c określają normalną wewnętrzną. Stosując zaś a, b, c do normalnej zewnętrznej, otrzymalibyśmy

(4)

dX

*ü = a(⁴”-«)

dY

az

dnz

= b(4TT — (3) , — =c(4ic — y).

Jeżeli w cieczy nieskończonej porusza się elipsojda, której połowy osi wynoszą A, B, C, i jéj osi obierzemy za osi spółrzędnych, to mamy cp1? cp₂, <p3 tak wyznaczyć, żeby — 0 {i — 1, 2, 3) w całej cieczy, żeby zachodziły warunki (6) art. poprzedzającego na powierzchni elipsojdy, i żeby te funkcyje i ich pochodne były równe zeru w nieskończoności. Łatwo okazać, że funkcyje

(6)

<Pi =

?2 —

471— ß

zadość czynią wszystkim podanym warunkom, jeżeli zamiast X, Y, Z wstawimy wartości składowych przyciągania według art 132- go dla odpowiedniego punktu na powierzchni lub zewnątrz elipsojdy (w cieczy), a zamiast a, ß, y wstawimy wartości stałe (3). Jakoż mamy

4 tu — a

4tz — y

. ^_ d² /JY\    d² /dY\    d² /dV\_ d    /d²Y\    d /d²Y\

²    dx² \dx)    dy² \ dx)    da² Ida;/    dx    \dx² /    dx \dy²)

d (d*Y\

\da²l ’

dx

A₂ Y — 0 w całej cieczy, skąd A₂ <pl — 0. Dla punktów ooo

a więc X =

w nieskończoności stają się równe zeru X i jego pochodne, a z równania (4) widoczna, że zadość czyni warunkowi (6) art. poprzedzającego na powierzchni elipsojdy. Podobne własności mają <f₂ i <p₃.

Aby wyznaczyć cp₅, cpG, rozważajmy funkcyją 9^ — rLy — Ya, tudzież funkcyje £2g i £ł₀, utworzone z niej przez przestawienia kołowe liter. Na powierzchni elipsojdy otrzymamy

dfi₄

dZ

dY

0.-T— + ÓZ — cY dnz

gdzie a, d, c oznaczają dostawy kierunkowe normalnej zewnętrznej do elipsojdy. Po wstawieniu wartości mieć będziemy

dnz ^ ' dnz

dtî

—A — Cy (4Ti — i) — bg (4tc — ß) + &Z — c Y, czyli

01/lz

d£î₄

dnz

— cy{47t — y + ß) — ba (4% — ß + y)

z czego wynika,

dtî₄

: (ęy — bg)=    (4x Y + ß)

Dla elipsojdy cy : ba — B² : C², a zatym

dnz

d£ł₄

ba

cy — ba

(4tz — ß 4- T)-

4tc (B² — C²) + (ß — y) (B² -f C²)

więc

: {cy — ba) =

Punkcyja pod znakiem różniczkowania po lewej stronie tego równania zadość

(6)

dnz

B² —C²

B² — C²

4tz (B² — C²) + (ß — y) (B² + C²)

^ = cy — ba.

czyni warunkowi na powierzchni elipsojdy, który według (6) art. poprzedzającego ma zachodzić dla <p₄. Prócz tego mamy dla każdego punktu w cieczy

AA = y. A₂Z — 0. A₂ Y + 2 Ç-dZ

dla punktów nieskończenie oddalonych będą Q₄ i pochodne téj funkcyi równe zeru. Okazuje się przeto, źe

dY

dy dz

■) = 0;

(7)

B² — C²

.(Zy~Yz),

4 71 (B² — C²) + (ß — Y) (B² + C²)

a Ts i ?6 otrzymamy z tego wzoru przez przestawienia kołowe liter. Z (5) i (7) otrzymamy potencyjał prędkości <p według (4) art. poprzedzającego, wstawiając zamiast X, Y, Z, D wiadome wartości (art. 132)

»C\>

X = — 2%x

ds

(8)

f D (A² + s) ’

Y = — 27iy

ds

Jv D (B² + s)

•oo

Z — — 2 tzz

ds

I D (C² + s) ’

Z

(9)    .

i biorąc jako z pierwiastek dodatny równania

(10)

x²

V²

z²

A² 4-w

O² + u

= 1.

B² -f- u

Dla kuli o promieniu B będzie <p₄ — cp₃ = <p₀ = 0, a zatyin cp = Utp, -{- V<P2 + + Wcp₃, z czego się okazuje, że ruch cieczy nie zależy od kręcenia się kuli około jej środka, lecz tylko od jej ruchu postępowego. Otrzymamy wtedy a = ß —

<X)

— Y=2tc

B³ds

= 4 skąd fp, = ~ X, a ponieważ X = — 4 B³tc . 4 o    o TT    o r°

ł/o (⁵    +

a Y i Z podobne mają wartości, gdzie r jest odległością cząstki cieczy od środka kuli, przeto będzie

(11)

Ti—-

B³ x

2    ’ r3

B³ y

2 ’ r³

?3 — —

B³ z 2 ' r³

a więc

B³

2 r³

(Ux -f- Yy + Ykz), gdzie r²~x² + y² + £³-

Gdy obierzemy oś x w kierunku ruchu środka kuli, to U będzie prędkością jéj ruchu postępowego ; Y = 0, W = 0. Jeżeli r tworzy z osią x kąt 6, to we spółrzędnych biegunowych będzie

(12)

<p = —

UB³ cos6 2    ’ r²

Z tego równania można w każdej chwili obliczyć prędkość względną cząstki cieczy o spółrzędnych (r, 0). Potencyjał prędkości jest ten sam dla punktów, znajdujących się na kole, którego płaszczyzna jest w środku prostopadła do kierunku ruchu środka kuli.

Nadajmy kuli wraz z cieczą prędkość— U; wtedy kula przyjdzie do spoczynku (kręcąc się zresztą około środka) i możemy z (12) otrzymać poten* cyjał prędkości cieczy nieskończonej, której cząstki poruszają się w strugach równoległych, podczas gdy kula jest w spoczynku. Prędkości — U w kierunku osi x odpowiada potencyjał —TJx —— UV.cos0; dodając ten wyraz do (12), otrzymamy

(13)

<p =

cos 0.

To równanie pozwala rozpoznać ruch cząstek płynącej wody względem kuli spoczywającej.

221. Ruch falowy cieczy. Niech ciecz materyjalna zajmuje kanał prosty o szerokości stałej, a na powierzchni cieczy niech postępuje fala wzdłuż kanału, zajmująca całą jego szerokość; wtedy każda cząstka, do której fala przybywa, zostanie pobudzona do ruchu.

Jeżeli fala postępuje w kierunku poziomym, prostopadłym do szerokości kanału, to ruch cząstki cieczy da się rozłożyć w dwu kierunkach, pionowym i poziomym, prostopadłym do szerokości, a odchylenia cząstki w obudwu kierunkach będą bardzo małe. Figura 72-ga przedstawia pionowy przekrój podłużny kanału; obierzmy dowolnie stałą prostą poziomą Ox w kierunku ruchu postępowego fali; linija DD niech przedstawia przekrój dna kanału, prosta pozioma MN niech przedstawia powierzchnią cieczy w spoczynku, linija FF przekrój fali, a oś y obierzmy pionowo w górę. Punkt m, którego spółrzędne w spoczynku są x, y, odchyli się odpowiednio o i i -ą w kierunkach osi i przybędzie po upływie czasu t, liczonego od dowolnej chwili początkowej, do miejsca m', którego spółrzędne będą x + £, y + yj. Odchylenia i, 7], które przyjmiemy jako dostatecznie małe, będą funkcyjami x, y, t.

Należy dokładnie odróżnić prędkość, z jaką porusza się cząstka, od prędkości, z jaką postępuje ruch falowy, a którą nazywamy pr ędkością przewodnictwa fali, albo krótko prędkością fali. Jeżeli c jest prędkością fali, to punkt n, którego spółrzędna pozioma jest x + cz, przesunie się w kierunku poziomym w czasie t-\-z o tę sarnę długość i z miejsca spoczynku, o jaką punkt m posunął się w czasie t, i ten związek między odchyleniami dwu punktów służy właśnie do określenia prędkości fali. Jeżeli więc £ uwa-

-F

Vh_

Tli

Jl

—_VL,

Fig. 72.

żamy za funkcyją x i t, którą oznaczmy przez <p (x, t), to będzie <p (x, t) — = <p (x + ci, t + t); a jeżeli funkcyją po prawej stronie rozwiniemy na szereg dla małej wartości %, to otrzymamy równanie o pochodnych cząstkowych

(1)

Rozwiązaniem szczególnym tego równania jest funkcyja nieoznaczona tp (ct — ■— x), lub także funkcyja A. <f) (ct — x), w której A jest funkcyją y. Kładąc h = A (ct — x), otrzymamy dla rozmaitych punktów na tym samym pionie rozmaite odchylenia poziome, przyczyni te punkty zaczynają ruch w téj samej chwili. Czyniąc założenie ogólniejsze i —A,'$(ct — x — JB), gdzie B jest funkcyją y, znosimy tę równoczesnośó odchyleń, nie sprzeciwiając się warunkowi (1). Buch każdej cząstki cieczy jest okresowy, i taki tylko rozważać tu chcemy. Możemy przeto przyjąć

(2)

ê = A . cos (ct — x — B) lub 6 = A . sin (ct — x — B),

a wtedy otrzymamy funkcyją, odpowiadającą wszystkim warunkom kinematycznym zadania. Gdy założymy ogólniej, że k = A . cos (ać.— $x— B), to równanie (1) zachodzić będzie, jeżeli przyjmiemy c — a:ß. Rozwińmy prawą stronę ostatniego równania i przyjmijmy P — A.cosB>, Q = A.sinB; otrzymamy

(3)

S = P. cos (at— ß#) + Q. sin (ad—-$x).

Tę postać funkcyi i przyjmiemy za podstawę rachunku.

Dla poznania ruchu cząstki użyjmy równań Lagrange’a art. 202-go. Z nich otrzymamy, przyjmując, że nie ma poziomych sił zewnętrznych,

d² (x -f- g)    d (x + £)

+ P| = o,

+ j.f = o.

o dy

Ponieważ x i y są od siebie niezależne, i obie wielkości nie zależą od czasu, przeto z tych równań będzie

dt²

óx

d² (x -f- 4) d (x + I)

dt²

dy

<**>)

dx

dy

dH

drL>l'ÈL ₌ o

a ‘ ćx

({ + lk) ⁺ {w ⁺ ’,)’Jx

©*•)(■+£)

Drogi i i 7], tudzież ich pochodne są bardzo małe, możemy więc pominąć ilo-

czyny pochodnych, tudzież wielkości g i g ; otrzymamy następujące

ox oy

przybliżone równania ruchu cząstki:

dt²

dt² ' dy

¹ CŁ = o.

a * dy

(4)

1 dp d²r\ _ dt²    a ' dx ’ dt²

dH

1 dp

Ostatnie równanie możemy całkować względem y od punktu m₂r, w którym pion punktu m przecina powierzchnią tali, aż do punktu m, przyjmując, że ciśnienie na powierzchni jest równe zeru. Oznaczywszy przez li pierwotną wysokość m₀m₂ poziomu nad osią x, a przez Z; wzniesienie m₂m₂ cząstki na powierzchni nad poziom M.N, otrzymamy ciśnienie w m

y dh]

<h+k

dy — o

dt²

dy =. ag (h + li — y) + a

d²rt

md,J’

h+k

a ponieważ Tc jest bardzo małe w porównaniu z li, przeto możemy przyjąć

•h

’ (B)

p — og (h + lt — y) + o

’y

d²r\ ₇

iddy-

Z tego równania przez różniczkowanie względem x wynika

dp

dx ^ dx

dli d

--p a ——

dx

'h

dzw ₇

swdy;

wstawiwszy tę wartość w (4), otrzymamy

(6)

dH

dli    d

dt²    9 dx    dx

d²rj 7 Tt2 dy

Z równania (3) mamy

dH

dt²

a²i, będzie więc

e)

dli

7i

d²*(]

dt²

dy.

Równanie ciągłości będzie

d (x, y)

C¹⁺Jl) i¹⁺#)

dy ‘ dx

czyli w zakresie dokładności naszego rachunku

(8)

ii ₊ ii —o.

dx dy

Z tego równania wnosimy, że yj będzie także funkcyją peryjodyczną x, y i /,4 każda cząstka będzie wdęc opisywała bardzo małą krzywą zamkniętą około miejsca równowagi.

Ograniczając się do ruchu niewirowego cieczy, wypada zrobić założe

nie, że

(9)

di drj

dy

dx

0;

otrzymamy więc w związku z równaniem (8)

(10)

dH

dx²

dH    d²ri    d²a\

—    —+ —=,0.

dy

dy²

Z tego wynika, zważywszy, że x i y nie zależą od t,

d ( d²‘f\ \ d² / dr] \ d² / di \ 0 / ćZ²£ \

d# \ ć^² /    dt² \dx)    e^² ldy)    dy \ dt² )

“ —• a²

d^

d«/

= -«»£»

a zatym, według (7)

(11)

dh

I dx h

dy.

222. Zastosujmy podane wzory do falowania cieczy w kanale prostokątnym, przyjmując oś x na dnie poziomym. .Różniczkując i dwukrotnie względem x i y, i wstawiając pochodne w równania (10) art. poprzedzającego, otrzymamy

(l^"~ß2p) cos(a* — ß*0 +    sin (at ßx) = 0.

Ponieważ to równanie ma zachodzić dla każdej wartości ł i x, przeto:

d²Q

d²P

ß²P = 0,

P = C, e$y + C₂ e~$y ; Q = D, $9 -f- D, e~^, gdzie 0o C₂, Du D₂ oznaczają stałe. Mamy więc

(2) 6 = (C, e?y + C₂ e~&). cos (at — ßx) + ( D,    + As    • sin (at - ßx).

dy²

dy²

ß²Q — 0, a stąd

(1)

di

Z równania (8) art. poprzedzającego wynika 7] = — ^^ stała; a zatym, według (2)

y] = — (Ct eßy — C₂ e—1ßy) sin (at — ß#) -f (Dt e$9—D₂ e~~>$9) cos (at - ßx) + stała.

Ponieważ cząstki na dnie kanału nie mogą mieć w naszym założeniu żadnego ruchu pionowego, przeto yj = 0 dla y = 0, bez względu na x i t. Z tego warunku wynika, że stała jest równa zeru, tudzież Oi — C₂ = C, Di = D₂ = D; otrzymamy więc

(3)

i = (e$y -f- e ßy) [C. cos (at — ßx) -f- D. sin (at — ßx)], y] = — (eßy — e“ßy) [C. sin (at —* ßx) — D. cos (at — ßx)\. ’

Dia y — h ma być y; = li, gdzie li oznacza odchylenie pionowe cząstki na powierzchni, a zatym

(4)

h = — ($l — e ßÄ) [C. sin (at — ßx) — D. cos (at — ßx)].

% (3) i (4) otrzymamy

V &(\

dx

dy — \{$y + e $y) — (e$]l -f- e [C . cos (at — ßsc) +D sin (at — ßa?)],

~ = ß (eß/l — e ßÄ) [O. cos (at — ßa?) -f- D. sin (aii — ßa?)J.

Wstawiwszy te wartości w równanie (11) art. poprzedzającego, otrzymamy, po stosownych uproszczeniach a² (ePl e~~ß7<) = g ß (e$h — e“ßÄ), skąd

(ß)

a² = </ß

gß^i _ Q— Ok ^ g gß/l _ g“ßZi

-f- e—* ß eß/l + e“ßÄ

Możemy zawsze przyjąć O = A. cos B, D = A. sin B, gdzie A i B oznaczają dwie nowe stałe; otrzymamy tym sposobem

i — A ($y -j- e~~$y) cos (a t    ß# — B), 7] — — A (e$y — e~$y) sin (a t — §x—B).

Ponieważ B jest stałą, przeto wszystkie cząstki na tym samym pionie zaczynają drgać jednocześnie; możemy więc początek czasu zawsze tak obrać, żeby B = 0, i wtedy otrzymamy wyrażenia najprostsze

(6) i=.A(e$y ą- e”1$y) cos(ać — ß#), y] = -—A(e$y— e~ß2/) sin (a£— ßx)f

w których A jest stałą. Znając ruch pionowy na powierzchni, możemy z wiadomego h obliczyć stałą A; według (5) obliczymy z wiadomego c spółczynnik ß, a w końcu a. Drganie każdej cząstki będzie więc dokładnie wiadome.

Wielkość at — $x przedstawia tak zwaną fa z ę drgania; znając ją możemy wyznaczyć miejsce, które cząstka zajmuje. Jeżeli t przyrasta o wielokrotność ilorazu 27c:a, to I i Yj przybierają też same wartości dla tejże samej cząstki; jeżeli x przyrasta o wielokrotność ilorazu 2rc :ß, to ii będą też same dla tychże samych t i y. Wielkości

(7)

T==

2%

2tc

ca.

przedstawiają zatym odpowiednio peryjod falowania i długość fali. Uwzględniając równania (5), łatwo znajdziemy następujący związek między T i L:

4rc/i

T² —

(8)

2tiL e + 1 Q '    4 n h

L

e — 1

drogi punktu (x, y) będą

(9)

, 2tt

A (e*⁹

/ 2tc

ij = —A^'

r?y)sin27r(^

jr \

L/*

Dla fal krótkich w porównaniu z głębokością, będzie li ; L bardzo wielką liczbą, otrzymamy więc

(10)

T² =

2tcL

c² =

9 ’

z czego wynika, źeperyjod falowania i prędkość fali są proporcyjonalne względem pierwiastka jej długości i nie zależą od głębokości kanału. Stosunek liczebny nafwiększego odchylenia pionowego do największego odchylenia pozio-

2tc ’

/

mego wynosi le L

2tz

2tc

e L V + e L J. Na dnie jest ten stosunek

równy zeru, drogi jiionowe są równe zeru, a największa droga pozioma wTynosi 2A; na powierzchni zbliża się ten stosunek do jedności, i różni się tym mniej od téj granicy, im fala jest krótsza. Od dna zatym ku powierzchni wyrównywają się drogi cząstek w obudwu kierunkach ruchu.

Fale, wywołane w pobliżu ujścia rzeki przez przypływ lub odpływ morza, są bardzo długie, a drogi pionowe cząstek na powierzchni są bardzo małe w porównaniu z głębokością rzeki. Dla takich fal będzie li : L bardzo małą liczbą, przez rozwinięcie więc na szeregi otrzymamy w tym przypadku

(U)

L²

T² —

gh

c² — g~L.

Stosunek obudwu odchyleń zdąża do granicy 2rc«/:L, z czego wynika, że drogi pionowe cząstek są bardzo małe w porównaniu z ich drogami poziomymi. Dla bardzo długiej fali otrzymamy

4;: A

£ = 2A .cos2tt

(12)

y-sin 2«    >

z czego się okazuje, że odchylenia poziome cząstek na tym samym pionie będą prawie równe sobie, a ich odchylenia pionowe będą proporcyjonalne względem odległości cząstek od dna.

Z obliczonych wartości ogólnych £ i łatwo okazać, że każda cząstka opisuje małą elipsę, której osi mają kierunek poziomy i pionowy. Dla fal długich będzie elipsa wydłużona w kierunku poziomym, zbliżając się do prostej; dla fal krótkich zbliża się elipsa tym więcej do koła, im cząstka znajduje się bliżej powierzchni. Wyznaczenie prędkości cząstki i ciśnienia pozostawiamy czytelnikowi. Ze wzoru (5) art. poprzedzającego okazuje się, że dla fal długich ciśnienie różni się bardzo mało od ciśnienia hidrostatycznego, odpowiadającego głębokości cząstki pod powierzchnią fali.

Ponieważ równania różniczkowe, określające £ i y], są linijowe, przeto

funkcyje

(13)

l = Z A, (eto + e~to) cos (ait — frx),

7l=—SA,(eto — e-to) sin (a₄* —fra)

będą także rozwiązaniami tych równań. Może więc kilka fal jednocześnie postępować wzdłuż kanału, a ruch każdej cząstki otrzymamy, dołączając do siebie drgania, odpowiadające każdej fali zosobna.

223. Równania ruchu cieczy lepkiej. Dla ciała stałego i sprężystego określiliśmy stan naturalny jako stan taki, w którym siła wewnętrzna jest równa zeru w każdym punkcie; jeżeli do takiego ciała przyłożymy siły, to wskutek przesunięć jego elementów pojawią się siły wewnętrzne, zależne od tych przesunięć. W" cieczy nie istnieje stan naturalny bez sił wewnętrznych; punkty, w których ciśnienie jest równe zeru, nie mogą wypełnić przestrzeni o trzech wymiarach skończonych. Jeżeli cząstki cieczy nie przesuwają się względem siebie, natenczas ciśnienie, które w każdym punkcie jest takież samo we wszystkich kierunkach, zmieniając się od punktu do punktu, jest jedyną siłą wewnętrzną. Wskutek przyłożenia sił zewnętrznych nastąpi wo-gólności ruch względny cząstek cieczy, a wskutek tego wystąpią nowe siły wewnętrzne, wywołane przez lepkość cieczy, które dla rozmaitych elementów płaskich, przez punkt poprowadzonych, będą miały rozmaite wielkości i kierunki. Te siły, nie mające wogólności kierunków normalnych do odpowiednich elementów, mierzą tarcie wewnętrzne w cieczy, które wypadałoby poprawniej nazwać oporem 1 e pk o ś ci cieczy.

Na zasadzie pewnych przypuszczeń, które drogą doświadczalną sprawdzić należy, możemy obliczyć powyższe siły wewnętrzne. Stosując prawo niezależności sił, przypuścimy przedewszystkim, że tarcie wewnętrzne w cieczy nie zależy od ciśnienia. To założenie pozwala siły, pojawiające się wskutek ruchu względnego cząstki, obliczyć podobnym sposobem, jak natężenia w ciele sprężystym, które poprzednio było w stanie naturalnym, jeżeli jeszcze przyjmiemy, że siła wewnętrzna w cieczy lepkiej, odpowiednia nieskończenie małemu polu, jest proporcyjonalna względem wielkości tego pola.

Przesunięcie względne dwu elementów ciała sprężystego jest bardzo małe; w cieczy zaś przesunięcie "względne dwu elementów może być bardzo wielkie, ponieważ element opisuje z biegiem czasu drogę skończoną, przesuwając się kolejno wzdłuż rozmaitych cząstek cieczy. Jeżeli zaś uważamy te przesunięcia w stosunku do czasu, to miarą ruchu względnego dwu elementów sąsiednich będzie wielkość tego samego rzędu, co odległość ich środków masy. Z tego wynika, że zamiast przesunięć punktu, rozważanych w ciele sprężystym, należy brać stosunki jego przesunięć do czasu, czyli jego prędkości u, v, iv, aby dla cieczy lepkiej obliczyć siły wewnętrzne, niezależne od ciśnienia. Otrzymujemy więc tę sarnę zasadę przy badaniu ruchu skończonego

37

Bibi, mat.-fiz., S. IV, T. X.

cieczy lepkich na podstawie teoryi sprężystości, jakiej używaliśmy przy badaniu ruchu elementu cieczy w art, 203 — 204,

Rozważajmy nieskończenie mały element prostopadłościenny cieczy lepkiej mabcdefg (fig. 65), którego wierzchołkiem, najbliższym początku osi, jest punkt m (x, y, 0); p, u, v, w niech oznaczają odpowiednio ciśnienie i prędkości w tym punkcie. Na ściany, schodzące się w m, przypadają pewne siły wewnętrzne, odpowiadające jednostce powierzchni, które podobnie oznaczać będziemy przeze, jak w rozdz. XVIF, przyczyna pik — pki. Przyjmując ciecz jednorodną, wyrazimy te siły przez równania (7) art. 186-go, jako fun-kcyje linijowe pochodnych prędkości względem spółrzędnych, a dwa spółczyn-niki au, a₄₄ zależeć będą od natury cieczy. Dla dogodności zmienimy znakowanie. Kładąc A = X, -f- X₂ -f- X₃, otrzymamy

Pu = 2anA — 4a₄₄ (A — X,) = (2au — 4a₄4) A + 4a₄4.X,,

a jeżeli wprowadzimy [r=2<z₄₄, © = 2an—4a₄₄, to będzie pn =; © . A + -{- 2 jj. X,. Dla cieczy nieściśliwych mamy

. du dv dw_

a zatym pn = 2[j,Xj, a jeżeli wstawimy wiadome wartości    to otrzyma

my następujące wyrażenia sił wewnętrznych w cieczy lepkiej :

du

5    ^23 -

/ dv , dw \

v\te⁺~Sj,I

(1)

dv

P₂₂ = 2[r. -r-

dy ⁵

; ^31 =

(dw dtA ^ V dx    00/

dtv

o    (àu

*»=**■* ’ »*=n-3ï*w-

Te siły są określone przez jedyny spółczynnik (i, zależny od natury cieczy. Nazywamy go, chociaż niezupełnie właściwie, spółczynnikiem tarcia wewnętrznego cieczy. Każdej z tych sił należy nadać kierunek, przeciwny kierunkowi prędkości względnej punktu, do niej równoległej, wypada bowiem siły wewnętrzne uważać za opory, usiłujące zmniejszyć prędkość punktu.

Równania (7) art. 186-go, odnoszące się do ciał sprężystych równokie-runkowych, polegały na zasadzie, że siły wewnętrzne są funkcyjami linijowymi przesunięć względnych dwu elementów sąsiednich takiego ciała; równania zaś (1) dla cieczy lepkich jednorodnych polegają na podobnej zasadzie,- mianowicie : że siły tarcia wewnętrznego iv cieczy lepkiej są funkcyjami linijowymi prędkości względnych dwu sąsiednich elementów cieczy. Ta zasada jest uogólnieniem prawidła, podanego przez I. Newton’a, według którego tarcie dwu sąsiednich warstw cieczy, poruszających się z rozmaitymi prędkościami w tym samym kierunku, jest proporcyjonalne względem ich prędkości względnej.

Możemy teraz wyprowadzić równanie ruchu elementu w kierunku osi X. Na ściany elementu przypadają w tym kierunku następujące siły wewnętrzne:

ńa ścianę mb cg siła (p—Pn)dydz, na ścianę przeciwległą ade/:£—-j-

dy.dz; na ścianę mace siła—p2l .dzdx, na

przeciwległą bdfg: (pïx-\- ~^dy^ dzdx; na ścianę mabd siła — psxdxdy, na

przeciwległą cefg: |_p₃₁ + dzj dxdy. Suma tych sił wynosi ^

ÿ dxdydz. Jeżeli X oznacza siłę, przyłożoną do jednostki masy, a zatym a~Kdxdydz siłę zewnętrzną, działającą na element cieczy, to równanie ruchu, po skróceniu przez dx dy dz, będzie

— _ v    1 dP a-L (àpu , dp2X dp2x\

” ~A    a dx ⁺ o V dx ⁺ dy ⁺ dz ) '

⁺ ïdx) ⁺ (p"⁺ dx

àPn

dp

---— -j-

dx

$u.+

dx

(2)

dp ₂, . dp3l

dy

dz

du

dt

Wstawiwszy wartości z (1), otrzymamy

, <foi . àp!,₌

dx dy dz

àPu

d²u . d²u d²u \ , dA

dx²

dy²

a ponieważ A=0, przeto otrzymamy następujące równania ruchu, podstawiwszy wartość pochodnej zupełnej u względem t, i postąpiwszy podobnie dla osi y i z :

( du

du

[A ld²u a te ⁺

o \da:2 +

ldjE ₊_ ,

a \dx²    dy²

Biorąc w tym układzie {jl = 0, otrzymamy wiadome równaniu ruchu cieczy doskonałej. Do tego układu należy przyłączyć równanie ciągłości A = 0, aby z tych 4-ch równań wyznaczyć u, v, w, p jako funkcyje x, y, z, t i spół* czynników jj,i a.

Kładąc, jak zwykle, A₂w = ^    ^ + dgt

z A = 0, następujące równanie dla każdej cieczy, doskonałej czy lepkiej :

(3)

—j- v

-j- V

+ ute + v

S    ^ fei § |

'O l'O 'O l'O »S l'O

+ 10

d u 1

a

= Y_I

a

= Z — -

d²u

11% II ||%

).

)•

otrzymamy w związku

U dz ( dz dx

du dw

\__d_ /dv _ dw

/    dy \dx dy

albo, stosując znakowanie art. 203-go, (4) Aa« = ₂(^-

gdzie co,, co₂, w₃ oznaczają składowe prędkości kątowej obrotu elementu cieczy, jeżeli w niej zachodzi ruch wirowy.

dy

Z równań (3) okazuje się, źe A₂m, A₂v, A₂w nie mogą być równe zeru w cieczy lepkiej, a z tego wnosimy według (4), że w₁, w₂, co₃ nie mogą jednocześnie być zerami w całej cieczy. Z tego wynika ważne twierdzenie, że ruch cieczy lepkiej nie może być niewirowy, chyba, że ona porusza się jak ciało sztywne.

Siły Pik na powierzchni cieczy pochodzą z tarcia o ciało stałe, którego ciecz się dotyka, lub o ściany naczynia, w którym ona jest zawarta. Co do tego tarcia zewnętrznego przyjmiemy, źe ono jest także niezależne od ciśnienia, i że jest proporcyjonalne względem prędkości cieczy względem ciała, tudzież względem powierzchni elementu; kierunek tarcia jest przeciwny kierunkowi prędkości względnej cieczy. Jeżeli ściana naczynia jest w spoczynku, a v jest spółczynnikiem tarcia cieczy o ścianę, to — vw, —w, —vw będą składowymi tarcia zewnętrznego, przyczym au -f bv + cw = 0, jeżeli a, b, c oznaczają dostawy kierunkowe normalnej zewnętrznej (ku ścianie) do powierzchni naczynia. Wielkości apn -f- bp₂, + cp3l, ap₁₂ -j- bp₂₂ -f- cp₃₂, api3 -j-+ &P23 + cPa3 wyrażają według art. 182-go odpowiednio składowe siły wewnętrznej, odpowiadającej jednostce pola elementu na powierzchni cieczy. Mamy według (1)

apn + bp2l -f cp₃, = [r (a ^

dx    T dy    dz

dn* dn’

du

+‘S⁺-£)⁺-('S+,ê⁺'S)'

gdzie dn jest elementem normalnej

ä ponieważ a =

zewnętrznej, a ostatni wyraz jest równy zeru, przeto

. ₇    .    /' du dx , du dy , du dz

podobnie będzie co do dwu pozostałych wyrazów. Otrzymamy więc według równań (3) art. 183-go następujące warunki krańcowe na powierzchni cieczy lepkich:

dn ?

\    du

■)=*•

dn ’

(5)

dv

dw

u.-r--|-vw=;0, u---(-W — 0, a — -f vw = 0.

‘ dn    * dn    dn

Jeżeli część powierzchni jest swobodna, to dla niej będzie v = 0, a zatym = 0, ~ ” 0, ^- = 0, jak to już wiemy. Jeżeli zaś cząstki na powierzchni przylegają do ściany naczynia, zwilżając je, wtedy v = od, a zatym u — 0, v = 0, w — 0 wyrażać będą warunki krańcowe.

224. Ruch cieczy w prostej rurze walcowej. Z naczynia wypływa ciecz przez prostą rurę poziomą o długości L i promieniu wewnętrznym R; przyjmijmy, że wypływ i dopływ są sobie równe, wtedy ruch cieczy w rurze jest trwały, a zatym p, u, v, w nie zawierają czasu wyraźnie. Oś rury obierzmy za oś x, a jéj początek w naczyniu jako początek spółrzędnych, oś zaś z pionowo w górę. Jeżeli promień rury jest dostatecznie mały, wtedy możemy przyjąć, źe cząstki cieczy poruszają się równolegle do osi rury, będzie więc v — 0, w = 0. Na ciecz działa tylko siła ciężkości, a więc X = 0, Y — 0, Z = — g.

du

Z równania ciągłości wynika = 0, a zatym ruch postępowy każdej

ooo

cząstki cieczy jest jednostajny. Równania ruchu będą według (3) art. 223-go

(1)

Q |T=

/d²u    d²u \

V ~dy² + ~àz²) ~ ’

ł 4P-o

•    \    - V •

dz

Z drugiego równania wynika, że p jest niezależne od y; a z trzeciego otrzymamy p =z f (x) — sgz. Ponieważ rura jest wązka, przeto spółrzędne z dla rozmaitych punktów różnią się bardzo mało od siebie, możemy więc pominąć różnice ciśnień z powodu różnicy głębokości cząstek pod powierzchnią cieczy w naczyniu, i przyjąć p — f(x). Cząstki cieczy w tym samym przekroju rury doznają tego samego ciśnienia.

Z powodu symetryi przekroju rury możemy nadto przyjąć, że prędkość u będzie zależała tylko od odległości r cząstki od osi rury, że przeto cząstki, znajdujące się na tym samym kole, mają tę sarnę prędkość. Ponieważ r² = = y² + z², przeto

dhi

dHt d²u _ dy² dz² dr²

1 du

_

r dr ⁵

a zatym, według pierwszego równania (1)

dp / d²u    1 du\

dx    ^ \ dr²    r drJ ‘

(2)

dp

Ponieważ prawa strona tego równania nie zależy od x, przeto —• nie zawiera

ÖX

x, a ponieważ p nie jest ani funkcyją y, ani z, przeto ta pochodna jest wielkością stałą. Będzie więc

p = ax + b,

gdzie a i b oznaczają dwie stałe. Oznaczmy przez p₀ ciśnienie środka otaczającego, np. powietrza, na powierzchnią cieczy w naczyniu, przez h głębokość środka rury pod tą powierzchnią; wtedy dla x = 0 mamy p — p₀ + ogh, skąd b =p₀ + agh. Jeżeli ciecz wypływa w powietrze, to ciśnienie na wylot rury możemy przyjąć równe p₀, więc mamy p=zp₀ dla x —Jj, skąd a = — — agh:L. Będzie więc

m.

^ (L — x) +p₀,

ciśnienie zmniejsza się proporcyjonalnie iczględem odległości przekroju od wnij-ścia rury do naczynia.

Wstawiwszy pochodną ciśnienia w (2), otrzymamy równanie

1 du

r dr    ’

(3)

d²u

którego całka jest

u — u₀ + c. log r -f- -— . r²,

gdzie u₀ i c są stałe. Dla r — 0 otrzymalibyśmy z tego równania u ujemne i nieskończenie wielkie, co być nie może, jest więc c = 0, skąd:

aah

4jlL

Dla r = 0 będzie u = u₀, ta stała oznacza więc prędkość strugi, tworzącej oś rury. Przypuśćmy, że ciecz zwilża ściany rury, wtedy według art. 223-go mamy warunek krańcowy u ■= 0 dla r = R, z którego wynika

aah

~ T^L

U--22Ł 4u.L

(4)

(5)

(6)

u — u₀ —

u₀

R², a zatym

(R³ — r²).

To jest wyrażenie prędkości cząstki, której odległość od osi rury wynosi r. Cząstki na osi rury płyną z największą prędkością, która zmniejsza się w miarę oddalania się cząstek od osi, stając się równą zeru przy samej ścianie rury. Z ostatniego równania okazuje się ciekawy wynik, mianowicie: że cząstki cieczy, które tv pewnej chwili znajdują si§ na płaszczyźnie przekroju rury, znajdować się będą po upływie jednostki czasu na powierzchni parabolojdy obrotowej, której osią jest oś rury. Parametr tej parabolojdy jest podany w ostatnim równaniu.

W y d a t k i e m rury nazywamy objętość (lub ciężar) cieczy, wypływającej z niéj w jednostce czasu. Oznaczywszy go przez M, mamy

*R

M = 271

urdr —

rca gh

2{iL

fR

l(R* J O

— r²) r dr, a zatym

ag AR⁴

8 • p ' L *

Jeżeli zaś przyjmiemy P = agh, to będzie

(7)

TT P. R⁴

Wydatek .j esWwięc proporcyjonalny względem ciśnienia początkowego P, względem czwartej potęgi promienia i jest odwrotnie proporcyjonalny wzglę-dem długości rury. Ostatni wzór zgadza się zupełnie z wynikami doświadczeń, które czynił Poiseuille nad wypływem wody ze szklanych rur włoskowa-tych. W tych doświadczeniach, wykonanych z wzorową dokładnością, objawił się także wpływ temperatury na wypływ cieczy; te doświadczenia pozwoliły po raz pierwszy obliczyć spółczynnik tarcia wewnętrznego cieczy. Nowsze doświadczenia stwierdziły w⁷ zupełności wyniki poszukiwań Poiseuilla. •

Łatwo okazać, że cała ciecz w rurze wiruje nieustannie. Stosując bowiem równania (2) art. 203-go i kładąc dla krótkości \ = agh :    otrzy

mamy w, — 0, w₂ = — X&, (û₃ = Xy, skąd w² — Wj¹ 2 3 4 5 -f- w₂² -f w₃² = X²r². Każdy element cieczy obraca się zatym z prędkością, proporcyjonalną względem jego odległości od osi rury, około prostej, poprowadzonej prostopadle do promienia r na płaszczyźnie przekroju. Elementy na tym samym kole obracają się około stycznych do koła, a prędkość kątowa ma być odcięta na osi obrotu w kierunku od dodatnych y ku dodatnym s. Linijami wirowymi są koła spół-środkowe z przekrojem rury, a wirami elementarnymi są pierścienie spółśrod-kowe. Linije wirowe posuwają się w kierunku osi rury, tworząc równoleżniki parabołojdy, o której poprzednio była mowa.

ĆWICZENIA.

(1). Jeżeli u, v, w są funkcyjami *, y, z, t, czyniącymi zadość warunkowi 1₂ =z 0, a r, y} z wyrazimy jako funkcyje t i 3-ch stałych dowolnych a, b, c, okazać, d(x, y, z)

że wyznacznik funkcyjny

nie zależy od t.

d (a, ó, c)

(2). Ruch cieczy, równoległy do płaszczyzny, wyrażamy przez spółrzędne biegunowe r i 6, a p i z oznaczają odpowiednio prędkości w kierunku promienia i w kierunku prostopadłym (art. 217); okazać, że odpowiednie przyśpieszenia w tych

kierunkach wyrażają się wzorami:

dp

d?

dp

*y + p*:+tr.ó6

z² dz

Oz

Oz

r ’ dt ⁺ P dr ^r.ae

pz

(8) . Zastosować wzory, otrzymane w zadaniu poprzednim, do wypływa z otworu kołowego.

(9) . W ścianie naczynia znajduje się mały otwór, z którego ciecz uchodzi, a naczynie nie ma dopływu : podać wzór na obliczenie czasu, w przeciągu którego naczynie się wypróżni.

wypróżnienia się naczynia, przyjmując otwór znaczny

czas

(10) . Obliczyć o wiadomym kształcie.

(11) , Jeżeli dopływ do naczynia jest stały, ale nie jest równy wypływowi z otworu w pierwszej chwili, obliczyć wysokość, o którą w przeciągu pewnego czasu zniży lub podniesie się powierzchnia cieczy w naczyniu.

(12) . Jak należy zmienić wzór Torricelli’ego, jeżeli mały otwór w ścianie naczynia jest zanurzony w cieczy otaczającej do pewnej głębokości?

(13) . Przyjmując w zagadnieniu (2) art. 220-go jednę oś elipsojdy nieskończenie wielką, zbadać ruch cieczy względem walca eliptycznego, poruszającego się w niej w kierunku większej lub mniejszej osi podstawy.

(14) . Pomijając ruch pionowy cieczy, na której powierzchni postępuje fala długa, wyprowadzić według art. 221-go i 222-go przybliżone równania ruchu cieczy i scałkować je dla kanału prostokątnego.

Literatura (Rozdz. XIX i XX).

L. Nayier, Mémoire sur le mouvement des fluides en ayant égard à l’adhésion des molécules. (Mémoires de l’Institut, t. VI, Paris, 1826), — G. Green, Mathema-tical Papers, (London, 1871, a mianowicie artykuły: Researches on the vibration of pendulums in fluid media, 1833 i On the motion of waves in a variable canal of small depth and width, 1837). — G. Stokes. Mathematical and physical papers (Cambridge, 2 tomy, 1880 i 1883, a mianowicie w t. 1-ym: On the steady motion of incompressible fluids, 1842; On some cases of fluid motion, 1843; On the théories of internai friction of fluids in motion, 1845; On the theory of oscillating waves, 1847; w t. 2-im: Demonstration of a fundamental theorem, 1848; On waves, 1849). — G. B. Airy, Tides and waves (Encyclopedia metropolitana t. V, London, 1845; wyszło także osobno; ob. także Journal des math., 3-e sér., t. I, Paris, 1875). — Poi-seuille, Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres (Mém. des savants étrangers, t. IX, Paris, 1846.) — G. L. Dirichlet : Ueber einige Fälle, in welchen sich die Bewegung eines festen Körpers in einem incompressibeln flüssigen Medium theoretisch bestimmen lässt (Monatsberichte der Akad. zu Berlin für d. Jahr 1852); Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik (Journ. v. Borchardt. t. LVIII, Berlin, 1861). — Clebsch: Ueber die Bewegung eines Ellipsoids in einer tropfbaren Flüssigkeit (Journ. v. Crelle, t. LII — LHI, Berlin, 1856, 1857); Ueber die Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit. (Mathem, Annalen., t. III, Leipzig, 1871). — H. Helmholtz, Ueber die Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen (J. v. Crelle, t. LY, Berlin, 1858; także Gesammelte Werke I, Band, Leipzig, 1882). — H. Helmholtz und G. Piotrowski. Ueber Reibungtr opfbarer Flüssigkeiten (Sitzungsbericlite; Wien, t. XL, 1860).—H. Jacobson, Beiträge zur Haemody-namik (Archiv für Anatomie v. Reichert u. Du Bois-Reymond, Leipzig, 1860, 1861, 1862). — H. Hankel, Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten (Göttingen, 1861). — O. E. Meyer: Ueber die Reibung der Flüssigkeiten (J. v. Grelle, t. LIX, 1861); Zur Theorie der inneren Reibung (tamże, t. LXXVIII, 1874). — J. Stefan, Ueber die Bewegung flüssiger Körper (Sitzungsberichte, Wien, t. XLYI, 1862 i 1863). — W. J. M. Rankine, Miscellaneous scientific papers (London, 1881, mianowicie cz. III). — W. Thomson: On vortex motion (Transactions of the royal society of Edinburgh, t. XXV, 1869); Vortex statics (Proceedings of the r. soc. of Ed., 1876; Philosophical mag., 1880). — B. Riemann, Partielle Differentialgleichungen etc., rozdział VI. — E. Beltrami, Kicerche sulla cinematica dei fluidi (Memorie dell’accademia delle scienze di Bologna, 1875). — G. Kirchhofe, Mechanik, lekcya 15 — 22, 25 i 26. — H. Lamb. A treatise on the mathematical theory of the motion of fluids (Cambridge, 1879; tłumaczenie niemieckie R. Reiffa p. tyt.: Einleitung in die Hydrodynamik, Freiberg u. Tübingen, 1884). — F. Auerbach, Die theoretische Hydrodynamik nach dem Gange ihrer Entwickelung in der neuesten Zeit (Braunschweig, 1881). —G. Minchin, Uniplanar kinematics of solids and fluids (Oxford, 1882).—J. J. Thomson, A treatise on the motion of vortex rings (London, 1883).— C. D. Neumann, Hydrodynamische Untersuchungen (Leipzig, 1883). — N. Quint, De Wervelbeweging (Amsterdam, 1888). — A. B. Basset, A treatise on liydrody-namics (Cambridge, 1888). —

¹

. Jeżeli U jest potencyjałem sił, czyniącym zadość warunkowi A₂U = 0, natenczas ciśnienie nie może być minimum w żadnym punkcie wewnątrz cieczy, mającej ruch niewirowy.

²

. Okazać, że jeżeli prędkość cieczy, mającej ruch niewirowy równolegle do płaszczyzny, ma wszędzie tę sarnę wielkość, natenczas kierunek prędkości będzie ten sam we wszystkich punktach.

³

. Linijami prądu dla ruchu niewirowego, równoległego do płaszczyzny, są elipsy spółogniskowe: zbadać ruch cieczy, tudzież ruch sprzężony, dla którego te elipsy są linijami potencyjalnymi.

⁴

. Zbadać ruch niewirowy cieczy, równoległy do płaszczyzny, jeżeli linijami prądu są spiralne, mające spoiny biegun, których równanie jest r = Xe^, gdzie [L jest stałe dla wszystkich spiralnych, a X parametrem zmiennym.

⁵

. Przyjmując ciecz doskonałą, obliczyć prędkość średnią wypływu tej cieczy z otworu znacznego w ścianie naczynia, tudzież wydatek otworu, znając kształt tego otworu. Wysokość cieczy nad otworem jest ciągle ta sama.

ROZDZIAŁ XXI.

MECHANIKA GAZÓW.

225. Bównania równowagi. Zasady teoryi sprężystości, z których wyprowadziliśmy równania równowagi cieczy nieściśliwych, dają, się także zastosować do gazów, jeżeli uwzględnimy odpowiednio własności fizyczne tych ciał. Pojęcie ciśnienia w punkcie, niezależnego od kierunku, jest to samo dla gazów i cieczy; podobnie, jak dla cieczy, nie istnieje stan naturalny, w którymby ciśnienie było równe zeru w każdym punkcie. Gaz doskonały, pozbawiony lepkości, określamy podobnie jak ciecz doskonałą. Główna różnica tych rodzajów ciał polega na ściśliwości i rozszerzalności gazów, wskutek której gęstość gazu jest wielkością zmienną.

Gęstość gazu zależy od ciśnienia i temperatury, a wyraz analityczny téj zależności przedstawiają prawa Boyle’go (Mariotte’a) i Gay-Lussac’a. W następujących zagadnieniach przyjmować będziemy najczęściej temperaturę stałą, będziemy przeto uważali gęstość jako funkcyją samego ciśnienia, wyrażoną przez prawo Boyle’go, przypuszczając, że to prawo jest zupełnie dokładne dla gazu doskonałego.

Z tego założenia wynikają równania równowagi gazu

z_I.£=0,

a ós

X-I.£ = o,

a dx

(1)

Y__I __ 0

o ' óy

w których a = F (p) wyraża związek między gęstością a ciśnieniem przy tern peraturze wiadomej. Kładąc

(2)

gdzie całka nieokreślona może być obliczona z wiadomego związku między o i p, i przedstawia funkcyją jednowartościową spółrzędnycb, możemy równania (1) napisać

gdzie p₀ jest wielkością, stałą. Obliczywszy Y według (3) z wiadomych sił zewnętrznych, i znając ciśnienie p₀ w jednym punkcie gazu, możemy wyznaczyć ciśnienie a zatym gęstość o w każdym punkcie, jeżeli przy działaniu danych sił na cząstki gazu zachodzi równowaga. Gdyby temperatura nie była stałą, otrzymalibyśmy

dY

cip_dY

(5)

(3)

dY

dY

dY

Y ~ dy ’ Z “ dz ’

skąd wynika, że równowaga zachodzić może tylko przy działaniu sił zewnętrznych, mających potencyjał. Prawo Boyle’go wyraża się dla gazów w spoczynku przez równanie pz=.aa, w którym spółczynnik a zależy od temperatury. Mamy więc Y = a log p,

dx

o"*

era

P — «o ß a

— , z czego wynika w tym przypadku jp ~ p₀e

CC

Określenie powierzchni stałego ciśnienia stosuje się także do gazów. Z prawa Boyle’go wynika, że na takiej powierzchni gęstość gazu jest stała, a z (5) okazuje się nadto stałość temperatury. Czytelnik z łatwością zastosuje do gazów twierdzenia, podane dla cieczy w art. 194-ym i 195-ym.

Zastosujmy te równania do równowagi powietrza, otaczającego ziemię. Wydzielmy z powietrza słup pionowy o wysokości nieoznaczonej; obierzmy początek osi w środku ziemi, a pion z tego środka jako oś z. Jeżeli g oznacza przyśpieszenie spadku na powierzchni ziemi, a g' przyśpieszenie na tym samym pionie w wysokości z nad ziemią, to ej\g = r² : (r + z)², gdzie r oznacza promień ziemi. Mamy więc

X = 0, Y = 0, Z

gr²

(r+z)

skąd

dp

agr²

dz

(r+zj

a wstawiwszy a =z p : «, otrzymamy

dp

(6)

gr²    dz

a ‘ (r-\-z)² ’

Całkujmy to równanie dla pewnego pionu między dwoma punktami w wyso> kościach z₀ i z ponad ziemią, w których p₀ i p oznaczają odpowiednie ciśnienia; biorąc z> z₀, otrzymamy

z —Z o

(r + %> (r + 0)

Gdy przyjmiemy H =.z — z₀, to H oznaczać będzie odległość pionową obu-

(?)

log^

P

Po __ t/r²

dwu punktów; nadto przyjmijmy R =sr -f z₀] wtedy R H = r + s. Otrzymamy więc

(8)

log

Po __ ?r*

a ' R (R -f- H)

Jeżeli T oznacza temperaturę powietrza, a spółczynnik rozszerzalności, to według prawa Gray-Lussac’a mamy a = G (1 -f «T), gdzie C jest stałą bezwzględną, niezależną ani od p, ani od T. Niech T₀ będzie temperaturą w wysokości £₀, a T w wysokości z; wówczas możemy z dostatecznym przybliżeniem przyjąć dla a tę wartość, która odpowiada temperaturze średniej O = Tn-4-T

—= —^— , a zatym przyjąć a = C(l + a0). Z tego wynika

, p₀ gr²    H

⁸ p “ C(l+a0)* R(R + H) '

Stosunek ciśnień pQ :p może być wyznaczony przez pomiar barometryczny w punktach z₀ i z. Oznaczmy przez s gęstość rtęci przy 0°, przez g₀ i g' odpowiednie przyśpieszenia spadku w punktach uważanych, a przez h₀ i h wysokości barometryczne, zredukowane do 0°; wtedy p₀ = sg₀ h₀, p = sg'h, a zatym p₀ : p = g₀h₀ : g' h. Ponieważ zaś g₀ : g’ = (R + H)² : R², przeto ;

Po _ K A , H y y-iv1 + ir/

log^ + 21og(l + §)

H =£■■™ O + ‘*») 0 + f ) ilog T + 21og C¹ + f )| •

Ten wzór jest podstawą mierzenia wysokości zapomocą barometrów. Uwzględniając rozszerzenie objętości rtęci przy wiadomej temperaturze, tudzież zależność przyśpieszenia spadku od szerokości gieograficznéj, można wyprowadzić wzór przybliżony, który pozwala obliczyć wysokość H z pomiarów barometrycz-nych. Dalsze badanie tej kwestyi należy do geodezyi.

226. Równania kuchu. Z powodu, że gęstość gazu jest zmienna, wyrazi się warunek ciągłości inaczej, niż dla cieczy. W przestrzeni, w której zachodzi ruch gazu, rozważajmy element prostopadłościenny mabcdefg (fig. 65), i niech o, p, w, v, w odnoszą się do punktu m. Wskutek prędkości u wchodzi do tego elementu w czasie dt masa gazu au . dy. dz . dt, a jednocześnie wypływa masa gazu -f ~ (o u) d dy .dz . dt; przyrost więc masy

gazu w stosunku do czasu będzie--- (au) dxdydz. Podobnie przyrośnie

ooo

masa wskutek prędkości v i w odpowiednio o — ~ (a v) dx dy dz i o

(9)

(10)

, a zatym

gr*

C (1 + a@) ’ R (R -f H)

, skąd

dy

— ~dz (³    ^    ‘ Całkowity więc Przyrost masy w stosunku do czasu będzie w uważanym elemencie przestrzeni —    (ov) -f

+ (o ^)J dxdydz, a ponieważ objętość elementu jest niezmienna, przeto

dzieląc przez tę objętość, otrzymamy — (a w) 4" (av) +    (0M,)J

jako stosunek przyrostu gęstości do czasu w niezmiennym elemencie przestrzeni, czyli jako pochodną cząstkową gęstości względem czasu. Mamy więc, stosownie do przyjętego znakowania

(1)

[i?(3M> ⁺ i(0v) + "^(0W)]’ czyli

w + ê <““) + i<⁸'> + ir ("")■='⁰

do

dt

jako szukane równanie ciągłości, wyrażające, że o, u, v, w odnoszą się ciągle do tego samego punktu (x, y, z) i są funkcyjami spółrzędnych i czasu. Biorąc o niezależne od spółrzędnych i czasu, otrzymamy z (1) wiadome równanie ciągłości dla cieczy. Ponieważ

do_do

dt dt

przeto możemy (1) napisać także

(2)

ÔG

ÙG

ÔG

+ w ----Hl--j- W -r-

dx

dy

dz

(3)

da

Tt ⁺ °

( du \ dx

dv

+ 177

dy

Można to równanie bezpośrednio otrzymać z wzorów, podanych w teoryi sprężystości, co pozostawiamy czytelnikowi.

Równania ruchu, podane dla cieczy, stosują się także do gazów, jeżeli w nich uwzględnimy związek między o i p. Używając funkcyi V, określonej w art. poprzedzającym, możemy równania Euler’a napisać dla gazów doskonałych w postaci

i du

du

du

dY

(4)

S: § Sr ^ S:

dx

dv

“h U ~r~ “j“ V

dx

dw

-j- w

+ U -Z--1-V-T--1-IV

ox

dy

§'11' S' §* S'

dV

dy*

dY

dz ’

jeżeli siły mają potencyjał U, to równania powyższe przyjmą kształt

(5)

§=4(u-v>’ l=i<ü-v><

Z tych równań, z równania ciągłości i z wiadomego związku między o i p,

można wyznaczyć pięć niewiadomych u, v, w, o, p w funkcyi spółrzędnych i czasu.

Określenia ruchu wirowego i niewirowego stosują się także do gazów. Jeżeli oznacza potencyjał prędkości, to otrzymamy według (3) art. 210-go następujące równanie w przypadku sił o potencyjale U:

(6)

S + ï[(2)'+($Mï) 1-^-v+Fr».

Ponieważ cp zawiera funkcyją dowolną czasu, przeto możemy cp zawsze tak wyznaczyć,, żeby P (t) = 0, a wtedy pozostanie jeszcze pewna stała dowolna. Równanie ciągłości dla ruchu niewirowego będzie

da dt

(7)

227. Degania głosowe powietbza. W jednorodnej masie powietrza o gęstości s, będącej w równowadze, zostaje równowaga naruszona, wskutek czego cząstki otrzymują bardzo małe prędkości i zachodzą bardzo małe zmiany gęstości. Równania powyższe pozwalają rozpoznać drganie każdej cząstki i rozchodzenie się fali w powietrzu. Jeżeli o jest gęstością w punkcie (x, y, z) podczas ruchu, to możemy przyjąć o = s (1 + ©), gdzie © oznacza bardzo małe zgęszczenie lub rozrzedzenie w tym punkcie. Opuśćmy wszelkie siły zewnętrzne, przyjmując X = 0,Y — 0, Z = 0; opuśćmy nadto w równaniach ruchu iloczyny bardzo małych prędkości u, v, w i ich pochodnych ; otrzymamy

1 dp dio

o dy

(1)

du

dt

dp dv _ dx ’ dt

dt

dp

dz

Niech podczas ruchu będziep —/(o); wtedy mieć będziemy

d@

i — i ÈL . É1 ₌ I f (o)    — / [s (1 + ®)] > d© _    ^

o dx o do ' dx o ’ *7 ^ ' dx    1 -j- ©    ’ dx J J dx

możemy bowiem w pierwszym czynniku opuścić wielkość © bardzo małą względem jedności. Ponieważ pochodna f (s) jest dodatna, ciśnienie rośnie bowiem

d©

1 dp

= a Tx-

z rosnącą gęstością, przeto możemy przyjąć/'(s) —a², skąd ~ ^

Postępując podobnie z pochodnymi względem y i z, otrzymamy z (1)

(2)

du

dt

„ d© dv

Cl² -r-    -

dx * dt

~ — a²

d© dio

d©

dy

dt

— a² -r—

dz

jako równania ruchu. Równanie ciągłości będzie w granicach dokładności rachunku

do

— 4- o

dt'

(àu ,dv_₊àw)_0

W T T (te/

czyli, wstawiwszy wartość a

(3)

Różniczkujmy równania (2) odpowiednio względem x, y, z, a równanie (3) względem t; otrzymamy

d²u

d²@

d²y

d²©

d²@ d²w a¹ :

a dx² 7 dt.dy

dć. dz

d²©    d / dw    dy    dw \

d£²    dt \ dx    dy    dz )    ’

wstawmy w ostatnie równanie wartości pochodnych z trzech poprzednich równań; otrzymamy równanie rzędu 2-go o pochodnych cząstkowych

dt.dx

dy

riz2 7

d²©    d²©\

dy²    d#²/ ⁷

określające © jako funkcyją x, y, z, t. Ta funkcyja będzie dokładnie okrćślo-d©

na, jeżeli znamy © i jako funkcyje argumentów a?, y, z dla pewnej wartości

t np. dla t — 0. Znając prędkości początkowe u₀, v₀, w₀ jako funkcyje x, y, z,

d@

możemy z (3) obliczyć wartość pochodnej dla t = 0. Z równań (2) wynika wtedy

(4)

d²@

-7TT — a²

dt²

/d²© \ dx²

(5) u = u₀ — a²

d©

— dt, v = v₀ — a²

d©

— dt, w — iv₀ — a²

d©

Jo

dy

— dt

dz

z którego wynika

(8) u — ■—    [f(x-\- at) — f(x — at)\ + ^ [F (x + at) + F (x — at)].

Przyjmijmy podobnie, jak w ark 191-ym, że popęd pierwotny zachodzi w punktach, dla których %;>#;>#,, gdzie xx<Cx ₂; wtedy f (x) = 0 i F (x) = 0 dla x₂ < x C xx. Dla punktów x ;> x₂ będzie ciągle f (x + at) = = 0, F (x -|- at) = 0, dla nich więc otrzymamy

jf(x — at) + -i F(x—at)

(9)    % = ~f(x— at) -f- ~F(x — at)

z czego wynika u = a 0. Podobnie jak w art. 191-ym, wnosimy stąd, źe fala przybędzie do takiego punktu w czasie (x — xt) : a, i minie go w czasie (x — xx) : a, że przeto x₂ — xt jest długością, a zaś prędkością fali. Ponieważ u jest proporcyjonalne względem 0, przeto cząstki powietrza drgają w kierunku przewodnictwa fali, w tych punktach, w których zachodzi zgęszcze-nie; gdzie się zaś powietrze rozrzedza (0 <C 0), tam ruch cząstek ma kierunek przeciwny przewodnictwu. Dla punktu x <C xt będzie f(x — at) = 0, F (x — at) — 0,

(10) S = jf(x -f at) — ^ F (x + at), u=—jf(x + at) + jF(x+at), więc u — — a 0. Okazuje się więc, że z punktów, w których powietrze pobudzone zostało do drgań, wychodzą jednocześnie dwie fale w kierunkach przeciwnych, rozchodzące się z tą samą prędkością a, oraz, że kierunek ruchu cząstki zależy od tego, czy zachodzi zgęszczenie, czy rozrzedzenie w miejscu rozważanym.

Niech jeden koniec rury będzie zamknięty ścianą nieruchomą, na której przyjmijmy płaszczyznę'^. Ponieważ przy téj ścianie znajdują się ciągle te same cząstki powietrza, przeto mamy warunek krańcowy u = 0 dla x — 0 bez względu na t, a f (x) i F (x) są wiadome tylko dla dodatnych wartości Jeżeli więc x — at ;> 0, to otrzymamy rozwiązania (7) i (8), a dla x — at<CO będzie

(U)

^[f(x -f at) -j~f(at — x)] — i [F (x + at) -f F {at — x)] , (12) u — — ^[f (x + at) —f(at — x)] -f i [F ( x + at) — F (at — x)].

Oznaczając argument przez 6, możemy obadwa rozwiązania wyrazić za pomocą jednego układu równań (7) i (8), biorąc /(£)=/(—i) i F(£) = ~ — F(—£), co można założyć, gdyż funkcyje fi F są określone tylko dla argumentów dodatnych, a dla argumentów ujemnych są dowolne. Widzimy więc, że ściana stała daje się zastąpić popędem po stronie ujemnych wartości x, zachodzącym w téj samej odległości od ściany, co popęd rzeczywisty, i równym, lecz wprost przeciwnym temu popędowi. Otrzymamy więc dwie fale, z których jedna pierwotna, a druga odbita. Popęd pierwotny rozchodzi się w dwu kierunkach: fala dodatna postępuje podobnie, jak w poprzednim zadaniu; fala, postępująca ku ścianie, odbija się od niej, i wytwarza

po odbiciu falę nową, będącą odwróceniem pierwszej, która postępuje w kierunku dodatnym, niezależnie od fali pierwotnej.

228. Teoryją kinetyczna gazów. Wiadomo, że termodynamika wyrugowała dawne pojęcie cieplika materyjalnego, określając natomiast ciepło jako rodzaj ruchu cząstek ciała. W miarę postępu nauki wypadało bliżej określić ten ruch, aby uzyskać podstawę jednolitą dla wyjaśnienia zjawisk termicznych i innych zjawisk, zależnych od ciepła. Opierając się na dawniejszych teoryjach składu cząsteczkowego ciał, rozwinęli fizycy nowsi, jak Krönig, Clausius, Maxwell i Boltzmann nową teoryją gazów, której punktem wyjścia jest ruch cząsteczek, i która z tego powodu nazwaną została teoryją kinetyczną gazów. Zasady tej teoryi są bardzo proste, a chociaż trudności ich zastosowania do gazów o cząsteczkach wieloatomowych nie dały się dotąd całkowicie pokonać, to przecież można było głębiej wniknąć w istotę stanu lotnego materyi, wywodząc najważniejsze prawa mechaniki gazów z ruchu ich cząsteczek. Podamy zarys tej teoryi dla takich gazów, których cząsteczki uważamy za jednoatomowe.

Cząsteczki gazu przedstawiamy sobie w bardzo szybkim i nieustającym ruchu. W pierwszym przybliżeniu możemy przyjąć, że na cząsteczki nie działa żadna siła zewnętrzna, a zatym pominąć siłę ciężkości, natenczas ruch każdej cząsteczki będzie prostolinijowym i jednostajnym. Każda cząsteczka gazu wywiera pewne działanie na inne cząsteczki, jeżeli one znajdują się w bardzo małej, chociaż skończonej odległości od niej. Oznaczywszy tę odległość przez p, zatoczmy około cząsteczki jako środka kulę o promieniu p; działanie międzycząsteczkowe rozciąga się na punkty, znajdujące się wewnątrz tej kuli lub na jej powierzchni. Ta kula ogranicza obręb działania czyli sferę działania międzycząsteczkowego. Cząsteczka porusza się jednostajnie i prostolinijowo, dopóki nie wejdzie w sferę działania innej cząsteczki; wtedy nastąpi spotkanie się dwu cząsteczek, którego skutek będzie podobny do skutku uderzenia się dwu ciał sprężystych. Ponieważ prawdopodobnie dwie cząsteczki nie dotykają się wzajemnie przy spotkaniu się, przeto nie chcemy w tym przypadku używać wyrazu „uderzenie”. Przez spotkanie się zboczy cząsteczka w niezmiernie krótkim czasie z pierwotnego kierunku ruchu o kąt skończony, i z nową prędkością poruszać się będzie prostolinijowo, aż spotka nową cząsteczkę gazu lub uderzy o ciało stałe, jak np. o ścianę naczynia, wskutek czego dozna ponownego zboczenia.

Jeżeli taki stan ruchu trwa przez czas dłuższy w przestrzeni, zajętej przez niezmiernie wielką ilość cząsteczek, to.nie ulega wątpliwości, że rozmaite cząsteczki będą miały rozmaite prędkości między — co i -f- co, chociaż prawdopodobieństwo, że pewna cząsteczka lub pewma gromada cząsteczek posiada pewną prędkość, może być różne dla różnych prędkości. W rozmieszczeniu prędkości między cząsteczki oddzielne musimy przypuścić pewną prawidłowość. Zachowywanie się gazu w nieobecności sił zewnętrznych zależy bowiem przedewszystkim od prędkości cząsteczek, a ponieważ związki między wielkościami, cechującymi stan gazu, wyrażają się przez pewne prawa nie-

38

Bibi, tuat.-fiz., S. IV, T. X.

zmienne, przeto trzeba koniecznie przypuścić, że w gazie, samemu sobie zostawionym, rozmieszcza się prędkość według pewnego prawa między rozmaite cząsteczki, aż nastąpi pewien niezmienny stan kinetyczny, który wyrazi się przez pewne stałe własności gazu. Taki stan cechuje równowagę kinetyczną gazu.

Żeby taki stan mógł nastąpić przy ciągłych spotykaniach się cząsteczek, należy przyjąć, że czas, w którym cząsteczka porusza się swobodnie, jest bardzo wielki w porównaniu z przedziałem czasu, w którym zachodzi spotkanie się dwu cząsteczek. Z tego wynika, że drogi prostoliniowe cząsteczek są bardzo długie w stosunku do łuków krzywych, jakie one opisują pod wpływem działań międzycząsteczkowycli, chociaż średnie długości bezwzględne tych dróg prostych mogą być bardzo małe. Tor więc cząsteczki przedstawiamy sobie jako składający się z odcinków prostych, tworzących kąty skończone i połączonych bardzo małymi łukami krzywymi.

Do określenia równowagi kinetycznej gazu. wypada użyć metody badania zjawisk, zachodzących w pewnym miejscu w przestrzeni (art. 201), t. j. nie śledzić ruchu każdej cząsteczki z osobna, lecz uważać jednocześnie pewne gromady cząsteczek, których prędkość przypada między pewnymi danymi krańcami. Badania tego rodzaju, rozciągające się na wielką ilość cząsteczek, polegają na rachunku prawdopodobieństwa, który pozwala wykryć tak zwane prawa liczb wielkich. Twierdzenia kinetyki gazów mają z tego powodu takie same znaczenie praw ścisłych, jak np. twierdzenia kinetyki punktu materyjał-nego, którego ruch w każdej chwili jest dokładnie określony, a im dłużej gaz zostaje pod wpływem warunków założonych i im większa jest ilość jego cząsteczek, tym dokładniej stan jego rzeczywisty zgadzać się będzie z wynikami rachunku.

229. Twierdzenie Maxwell’a. Kozwiąźemy przedewszystkim następujące zagadnienie: w pewnej objętości znajduje się n cząsteczek gazu, przy czym n jest liczbą bardzo wielką, mamy wyznaczyć prawo, według którego prędkości mają być rozmieszczone między cząsteczki, aby to rozmieszczenie, uważane w czasie dostatecznie długim, nie zmieniało się przez spotykania się cząsteczek między sobą. Rozmieszczenie cząsteczek i ich prędkości przyjmujemy za jednorodne t. j. takie, że ani ilość cząsteczek w pewnej części danej objętości, ani rozmieszczenie ich prędkości nie zależy od miejsca, jakie ta część zajmuje w przestrzeni. Masy cząsteczek tego samego gazu są równe sobie.

Rozważajmy cząsteczki, mające w pewnej chwili spoiną prędkość c. Wystawiwszy w punkcie O stały układ osi prostokątnych poprowadźmy przez O promień Om, przedstawiający tę prędkość pod względem wielkości i pod względem kierunku; wówczas punkt m możemy uważać jako przedstawiający cząsteczki* mające tę prędkość. Gdy zatoczymy kulę promieniem O m, to punkty na jej powierzchni będą przedstawiały cząsteczki, poruszające się z prędkością c w rozmaitych kierunkach. Zatoczmy drugą kulę spółśrodkową o promieniu cdc; wtedy objętość warstwy między obiema kulami, wyno-

sząca47cc².dc, będzie proporcyjonalna względem ilości cząsteczek, których prędkość, bez względu na kierunek, leży między krańcami c i c -j- dc. Ponieważ ta ilość cząsteczek zależy także od rozmieszczenia prędkości, a przy założonej jednorodności tego rozmieszczenia dwa wprost przeciwne kierunki prędkości c są jednakowo prawdopodobne, przeto możemy ilość cząsteczek, których prędkość leży między c i c -f dc, wyrazić zapomocą iloczynu 4 rc c² . cp (c²) dc, w którym cp(c²) jest funkcyją, wyrażającą prawro rozmieszczenia prędkości, a która zapewnia trwały stan kinetyczny gazu. -

Gdy rozłożymy c na składowe u, v, w w kierunkach osi, to ilość cząsteczek, których prędkość składowa w kierunku osi x przypada między u i u-\-+ du, będzie proporcyjonalna względem objętości warstwy, ograniczonej płaszczyznami x — u\x=.uAr du, będzie więc wielkością tego rzędu, co du. Ro-zumując podobnie co do prędkości składowych w kierunkach y i 0, widzimy, że cp(c²)dudvdiv będzie ilością cząsteczek, których prędkości składowe przypadają między u i u -f du, v i v -f- dv, w i iv -f- dw, przyczyni c²~u² -j- v² + -f- w². Z tego wynika, że iloczyn cp(cL²)cp (c₂²) duxdvx divx du₂dv₂div₂ przedstawia ilość par cząsteczek, których prędkości składowe przypadają między ux, % -j- du{ ; vy, vx + dvv\ u\, w{ -j- divt i u₂, u₂ -f- du₂ ; v₂, v₂ + dv₂ ; iv₂, w₂ + -f dw₂, gdzie cx² = uf + vx² + ivx², c₂² — u₂² + v₂² + w₂². Nakoniec widzimy że między tymi parami znajduje się cp (c,²) cp (c₂²) dux dvx divx du₂ dv₂ dw₂ dx dy ds par cząsteczek, których środki masy mają spółrzędne, zawarte między x i x Ą--j- dx, y i y -j- dy, 01 0 -j- d0.

Rozważajmy teraz spotkanie się takich dwu cząsteczek w kierunku osi x, który jest dowolny, w czasie dt, przyczyni dy i d0 bierzemy mniejsze od wymiarów linijowych każdej cząsteczki. Jeżeli przyjmiemy dx~(ut — u₂) dt, to cp (ct²) cp(c₂²)de<, dvi dwldu₂dv₂dw₂dy dz(ux— u₂) dt par cząsteczek spotka się w powyższym kierunku w przedziale dt czasu, a prędkości składowe ux, u2 przybiorą wskutek tego wartości ux', ul, podczas gdy reszta składowych nie zmieni się. Jeżeli c,, c₂ przyjmą wartości cl, cl, to z zasady zachowania energii otrzymamy związek

O)

Ot

IO

c 1² + c₂² = cl² + c₂¹², ponieważ cząsteczki mają tę sarnę masę, a nadto będzie (art. 162) ux — w2 = — (ul-ul) = ul —¹ Ul'.

Między parami cząsteczek w objętości rozważanej znajdują się takie pary, których pierwotne prędkości znajdowały się między cl, cl + dcl i ch cl ~h 4- dc₂', a które wskutek spotkania się w kierunku osi x w czasie dt przybrały prędkości między c,, c, + dcx i c₂, c₂-\-dc₂. Z ostatniego równania wynika, że cp (c,/²) y(cl²)dul dvi divxdul dv₂dw₂(u-l—ul) dt takich par spotkało się wzajemnie w tym przedziale czasu. Stan kinetyczny gazu będzie trwały według danego określenia, jeżeli spotkania się cząsteczek każdej z tych dwu gromad wyrównają się, co wymaga, żeby, bez względu na czas cp (cx²) cp (c₂²) dut dvx dwt du₂ dv₂ dw₂ (ul - u₂)    (cl²) cp (cl²) dul dvx div, du₂' dv₂.

dw₂ (ul — ul), czyli, według poprzednich równań, cp (cx²) cp (c₂²) dux du₂ =

=r= tp(cj'²) ¥(c₂'²)dui du₂. Dwie kule sprężyste o równych masach wymieniają między sobą prędkości wskutek uderzenia się. Spotkanie się dwu cząsteczek będzie miało taki sam skutek, jeżeli według (1) przyjmujemy, że energija kinetyczna zostaje zachowaną; będzie więc ut’= u₂, u₂—ux, dux’ =. du₂, du₂ — — duy, z czego wynika szukany warunek trwałości stanu kinetycznego

(2)

4 OJ) 4 OJ) = 4 Oi'²) • 4 O2'²) •

To równanie zachodzi, przyczym między argumentami funkcyj zachodzi związek (1).

Napisawszy to równanie w postaci 9 O1²) 4 O2²) = 4 O/²) 4 O1² + c2² — — c/²), różniczkujmy je względem ej, następnie względem e₂², oznaczając pochodne zapomocą kresek; otrzymamy

4' Oi²) 4 O2²) = 4 Oi '²) • 4' O1² + c J — Ci,2) 4 Oi²) 4r O2²) = 4 O1'²) • 4' O1² 4- c₂² — Ci²) a podzieliwszy te równania przez siebie, mieć będziemy

4'Ol²) _ 4'p2²)

4 Oi²) 4P2²)

Całką tego równania jest funkcyja

, czyli ogólnie

cp' p²)

4 O²)

= stałej.

(3)

tp(c²) = Ae~^mc\

w której A i [X są dwiema stałymi, a m oznacza masę cząsteczki. Wykładnik ma wartości ujemne, inaczej bowiem ilość cząsteczek, mających prędkość nieskończenie wielką, byłaby nieskończenie wielka, co być nie może.

Aby obliczyć ilość cząsteczek, których prędkość składowa w kierunku dowolnym, lecz stałym, osi cc, leży między u i u 4- du, należy wyrażenie cp p²) dudvdw=. A e~ 0²+Ł‘²4-w2) du dv dw scałkować względem v i w, biorąc za krańce wszelkie możebne prędkości od — co do -f- co. Ponieważ

/»+<*> _

/<-!“’*=y

J —CX>

przeto

/

Ae~V-mu2du / e-^² dv

— c/3

'-\-CO

e—ixmw* dw „ JL Ae-fm«« du.

— CO

Całka tego wyrażenia od — co do 4- ^ jest równa całej ilości cząsteczek, zawartych w danej objętości. Otrzymamy zatym warunek

A 7C

'4-co

[A W

e-l,mu2du = A

*/ —GO

(—)

V [im /

Lv)W

, skąd

A =.

a zatym

To równanie wyraża prawo rozmieszczenia prędkości między cząsteczki gazu. Powołując się na teoryją najmniejszych kwadratów, która pozwala obliczyć najprawdopodobniejszą wartość pewnej niewiadomej z jéj wartości spostrzeganych, możemy według (4) wypowiedzieć następującą zasadę kinetyki gazów: prędkości są między cząsteczki gazu rozmieszczone według tego samego praiva, według którego w teoryi najmniejszych kwadratów rozmieszczają się błędy między obserwacyje (tw. Maxwella).

Ilość nc cząsteczek, których prędkość Jeży między c i c -f dc, wynosi

zatym

(4)

tv|CC

? O²) = Il    e

-[J.7HC²

(5)

nc ~~ 4 n

(jrm)

cd*ł

7C²

£—e H"m°² c². dc.

Gdy przez C oznaczymy średnią prędkość cząsteczek, to

C/D

CO

cnc =

e~lKmc2 c³ dc =

top*

(6)

^ p^7t[xm

Niech T² będzie średnim kwadratem prędkości cząsteczek; wówczas

'Oo

'CO

F² = -

e [xmc² ci dc _ ₄ 0^0

top;

TT²

7l²

Kh

2 [a m

4 (jim)

(‘)

Iloczyn 2 T — m F² oznacza podwójną wielkość średniej energii kinetycznej cząsteczek. Mamy więc

(8)

T — —

4V a między C i F zachodzi związek (9)

230. Własności gazów. Podane prawo rozmieszczenia prędkości pozwala ruch cząsteczek tak uważać, jak gdyby one nie spotykały się wzajemnie, i na tej podstawie pozwala wyznaczyć ciśnienie gazu w równowadze.

Załóżmy, że rozważana poprzednio objętość jest równa jednostce, że przeto n oznacza ilość cząsteczek w jednostce objętości. Wtedy Ae~^mc~du dv dw, gdzie c² — u² -p v² + w², oznacza ilość cząsteczek w jednostce objętości, któ-rycłi prędkości składowe leżą, między u, u -f- du; v, v + dv; iu, w -f dw. Ponieważ du, dv, dw są nieskończenie małe, przeto powyższe wyrażenie przedstawia także ilość cząsteczek w tej objętości, które poruszają się z prędkościami u, v, V) w kierunkach osi sjiółrzędnych. Obierzmy w téj objętości punkt dowolny i poprowadźmy przezeń prostokątny element płaski, prostopadły do osi x., którego boki, równoległe do y i z, wynoszą dy i dz. Ilość cząsteczek, przechodzących w jednostce czasu przez ten element w kierunku osi x, a mających prędkości u, v, ic, jest równa ilości cząsteczek, mających te prędkości i zawartych w prostopadłościanie, którego podstawą jest prostokąt dy . dz, a którego krawędzią, równoległą do osi x, jest prędkość u. Ta ilość wynosi zatym Ae~^mc2 u. du dv dw dy dz; biorąc u dodatne lub ujemne, otrzymamy ilość cząsteczek, przechodzących przez ten prostokąt w kierunku dodatnych lub ujemnych wartości x.

Rozważajmy cząsteczki, przechodzące w kierunku dodatnych wartości x. Każda z nich posiada w kierunkach osi odjiowiednio momenty ruchu mu, mv, mic; jeżeli więc pojirzednie wyrażenie pomnożymy kolejno przez te momenty, i otrzymane iloczyny scałkujemy względem v i w od — od do -j- od, a względem u od 0 do + <^5 to całki przedstawiać będą całkowite momenty ruchu, przeniesione w kierunkach osi w jednostce czasu ze strony ujemnych wartości x na stronę dodatnych wartości x przez prostokąt dydz. Przeniesione momenty ruchu wynoszą zatym

(6)

d²©

d© d© a ~dx⁷ ~dt

d²©

dît

du

= a²

dx

Warunki początkowe będą © =f(x), u — T? (x) dla t — 0; warunki krańcowe tu nie zachodzą. Tym warunkom zadania odpowiada rozwiązanie ogólne

dt²

dx² 7 dt

(7)

\[f (x~ł-at) —f(x — at)\

-Î— [F (x + at) — F (x — at)]

ZuCl

w kier. osi x... m A dy dz

—j—GO

G jimu² U2 du I e-pnv*dv I e-ixmw2dw

— CO

CO

—co

„    „ y.. .mA dydz

,,    „ z...mAdydz

’-pco

e-^udu I e-lxmv2vdv j e~limio2dw

J—co '-|-co

e-lxmu2udu I e-lxmv2dv

J — co

'co

'co

>-fco

— co

4-co

e—I“² wdw.

Rozważając podobnie przenoszenie momentów ruchu przez cząsteczki, przechodzące w kierunku ujemnych wartości x, trzeba będzie u całkować od — oo do 0, pozostawiając krańce całkowania dla v i w. Mieć będziemy

■0    o.-J-co

e-lxmu\i²du / e-lxmv2dv j

J— CO '-f-CO

v\dv

w kier. osi x... m A dy dz

e-lxmw\lw,

— co

'-p⁰⁰

„    „ y... m A dy dz

[ e-\xmu2udu

—co

e-P-mw2dw

„ z... m A dy dz

— co

r+co

e~lxmu2udu I e-'‘xmv2dv

—co

— co

e~V-mw2wdiv.

J—en

Sumy odpowiednich całek przedstawiają przyrosty momentów ruchu w jednostce czasu, czyli popędy, wytworzone wskutek przejścia cząsteczek przez prostokąt dydz. Te popędy wyobrażają siły wewnętrzne gazu w kierunku odpowiedniej osi względem elementu rozważanego, wytworzone przez ruch jego cząsteczek. Oznaczając, jak zwykle, siły wewnętrzne dla jednostki powierzchni przez pik, i dzieląc przez dy . dz, otrzymamy

'—{—Oo

'-j-CO

Pu — m A

(1)

Pi 2 = m A

da / e-V-mv\h

J —co

r+co

e—;j.wm² udu / e-V-mv\dv — co

— co

*—{—co

e~lxmw\lw,

— co

•—J—CNO

G-lxmw\hv,

C—CO Z'+OO

/ e-lxmw\vdtv .

f—GO

Całki, zawierające iloczyny uv i mv, są równe zeru między krańcami, mamy więc^₁₂;=0, j>₁₃mO, co się dokładnie zgadza z pierwotnym określeniem sił wewnętrznych w gazie, pozbawionym tarcia wewnętrznego. Ponieważ

'-J-OO

e—[wm² uzgu —

Piz = m A

— CO

— co

•-(-CO

e ix,mu² ucju

e-‘xmv2dv

— co

— co

/•co

2 / e-J o

-,WIU² U2du _

„ i 1 ît²

^ (p)2

przeto

Pi x — m A

TC ²

7C

a wstawiwszy wartość A,

(2)

2 p. *

Podobnie będzie p.lx = 0, j)₂₃ — 0,    = 0,    = 0,

(3)

Pil -Pzz - ^33 -

#=iÿ-

Z tego się okazuje, że ciśnienie p jest normalne do każdego elementu i nie zależy od kierunku. Wstawiwszy wartość p. z równania (6) lub (7) art. poprzedzającego i zważywszy, że mn jest masą gazu w jednostce objętości, czyli jego gęstością o, otrzymamy nakoniec

(4)

GO

. C²a

Pa

To równanie wyraża prawo Boyle’go, że ciśnienie gazu w rôivnoivadze jest pro-porcyjonalne względem jego gęstości. Uzasadniliśmy więc to prawo empirycz-

podstawie teoryi kinetycznej, co przemawia za wielkiem prawdopodobieństwem tej teoryi.

ne na

Gdy oznaczymy przez z temperaturę bezwzględną gazu (liczoną od — 273° C), to prawa Boyle’go i Gay-Lussac’a wyrażają się za pomocą wzoru

(5)

p = Rt . a,

w którym R jest pewną, każdemu gazowi właściwą stałą. Z porównania równań (4) i (5) wynika

¹

można zbadać ruch każdej cząstki powietrza. Czytelnik okaże przy pomocy równań (6) i (7) art. poprzedzającego, że potencyjał prędkości jest określony przez takie samo równanie, jak zgęszczenie ©.

Zastosujmy równanie (4) do ruchu powietrza w rurze prostej nieskończo • nćj, której oś obieramy za oś x, przyjmując, że ruch cząstek zachodzi równolegle do téj osi. Wtedy będzie 0 tylko funkcyją x i t, a nadto będzie v — 0 w = 0; otrzymamy więc

(6)

r² = 3Rr,

a ponieważ P² jest proporcyjonalne względem średniej energii kinetycznej cząsteczki, przeto okazuje się, że średnia energija kinetyczna ruchu cząsteczkowego jest proporcyjonalna względem temperatury bezwzględnej gazu. Otrzymujemy tym sposobem dokładną miarę kinetyczną temperatury. Prędkość średnia ruchu cząsteczkowego jest proporcyjonalna względem pierwiastka tern-

3

peratury bezwzględnej gazu. Podstawiwszy    w (3) otrzymamy p =

2

— —Tm, a ponieważ T —Tn jest energiją kinetyczną uważanej jednostki

ó

objętości gazu, przeto mamy nowy związek

(7)

2 rp

Ciśnienie gazu na jednostkę powierzchni jest proporcyjonalne względem energii kinetycznej jednostki objętości. Ten stosunek jest stały dla wszystkich gazóio jednoatomowych i nie zależy od temperatury.

Obliczone przedtym prędkości C i P możemy teraz wyrazić wzorami

(8)

°=KiEt

r=\/ 3 r t .

Jeżeli wyrażenie (5) art. poprzedzającego wielkości nc podzielimy przez n, to iloraz będzie prawdopodobieństwem posiadania przez pewną cząsteczkę w je-

otrzy-

dnostce objętości gazu prędkości c. Kładąc wartość [x = mamy żądane prawdopodobieństwo

c²

(9)

yc —

tp::

. e . c ²dc

(2Rz)

które, jak widzimy, dla pewnej prędkości c zależy od temperatury. Z tego wzoru łatwo wyznaczyć tę prędkość W, dla której zachodzi największe prawdopodobieństwo przy pewnej temperaturze t. Postępując według wiadomych prawideł, otrzymamy

(10)

W² — 2Rt, a więc "W* = \/~2 Rt

jako prędkość najprawdopodobniejszą cząsteczki. Okazuje się więc, że prędkość średnia nie jest najprawdopodobniejszą ze wszystkich prędkości cząsteczek. Między tymi trzema prędkościami mamy związki

(H)

w_h w

C *“ 2

stałe dla wszystkich gazów jcdnoatomowych i niezależne od temperatury. Okazuje się, że W C, W <C T.

Równanie (9) możemy teraz napisać w postaci

(12)

vc —

c² dc,

[/ iz W³

z czego wynika stosunek prawdopodobieństwa obudwu prędkości c i W:

(13)

Vc

vw

w-¹

231. Możemy podać wartości liczebne prędkości ruchu cząsteczkowego dla rozmaitych gazów, wyrażając odpowiednio ciśnienie i gęstość. Podamy taki rachunek dla temperatury 0°C i dla ciśnienia atmosferycznego, któremu odpowiada stan barometru 76 cm.

Gęstość rtęci, biorąc gęstość wody za jednostkę, wynosi 13,596 przy 0°C; jeżeli więc ciśnienie p mierzymy wysokością h słupka rtęci, to p = == 13,596 gh. Gdy oznaczymy przez ą gęstość gazu w stosunku do gęstości powietrza, to q = 773,3.a, mamy więc według (4) art. poprzedzającego następujące równanie

13,596. gh =

T*q

3.773,3 '

Kładąc w tym równaniu ^/=:9,81, h = 0,760, otrzymamy dla danego gazu przy 0°C i ciśnieniu atmosferycznym

485

r=Kä

Prędkości P, C, W są odwrotnie proporcyjonalne względem pierwiastka gęstości gazu; podane równania wyrażają te prędkości w metrach na sekundę. Zestawiamy tu powyższe prędkości dla wodoru, pary wodnej, azotu i tlenu:

(o

, z czego wynika C =

447

396

Kr

W = ——

vï ■

Gaz

Wód

Para wodna

Azot

Tlen

0,0693

0,6235

0,9714

1,1056

1842“

1697“

1504“

614

492

461

566

453

425

502

402

377

Z tej tabliczki okazuje się, że prędkości średnie cząsteczek są bardzo wielkie, z czego wnosić można, że wpływ siły ciężkości na ruch cząsteczek, a miano»

wicie na krzywiznę ich torów, jest nieznaczny, że można więc tory cząsteczek uważać za prostoliniowe, jeżeli zwracamy uwagę przede wszystkim na ich ruch średni. Ponieważ od średniej energii kinetycznej cząstek zależy praca, którą gaz przy pewnej temperaturze wydać może, przeto wielkie wartości prędkości P okazują znakomitą użyteczność gazów do wytwarzania pracy mechanicznej.

Napiszmy w równaniu (12) art. poprzedzającego x zamiast c, a y zamiast vc ; wtedy otrzymamy równanie

(w)]

x²e

(2)

y w³ V%

określające tak zwaną krzywą prawdopodobieństwa prędkości cząsteczek gazu w równowadze. Ta krzywa jest styczna do osi x w punkcie początkowym, jéj rzędna przybiera wartość największą dla# —W, a oś x jest jej asymptotą. Z równania (12) okazuje się, że prawdopodobieństwo tego, aby prędkość cząstki przypadała między dwoma danymi krańcami Xi i xk, gdzie X/c^>Xi, jest wyrażone przez wielkość pola, ograniczonego odcinkiem aą— x-L na osi x, rzędnymi w punktach skrajnych i odpowiednim lukiem.krzywej prawdopodobieństwa. Oznaczając to prawdopodobieństwo przez yik, mamy

'$k

(3)

y nc—

W³|Xtt I

JXi

x²e

(ii

dx.

Całkując częściowo między krańcami, otrzymamy

xk

(4)

V ik

Xk

Vń

__/M² x. /M²

e \W/-f~e    \W/

Q-x¹. dx

Xi

przyczym prawą stronę tego równania można obliczyć przez szer.egi.

Biorąc x w odstępach 100-metrowych, obliczając yik z trzema cyframi dziesiętnymi i mnożąc jego wartości przez 1000, otrzymamy dla tlenu przy 0° C i ciśnieniu 76 cm następujące ilości cząsteczek na 1000:

powyżej 600 m cząsteczek od 167 do 169.

Największa ilość cząsteczek przypada na prędkości między 300 a 400 m, między którymi znajduje się właśnie prędkość W = 377 m.

232. Mieszanina gazów. Dowodzenie w art. 229-ym stosuje się z małymi zmianami do mieszaniny dwu lub więcej gazów jednoatomowych. Niech w jednostce objętości znajduje się mieszanina dwu gazów; n, i n₂ cząsteczek tych gazów, z których każda posiada masę odpowiednio mx i m₂, niech w niej się mieści. Rozważajmy cząsteczki pierwszego gazu, których prędkości składowe przypadają między w,, u, + dup, vx, vx -j- dvx ; wx, w, + -f- dwx, tudzież cząsteczki drugiego gazu, których prędkości przypadają między u₂, u₂ P dup, v₂, v₂ + dv₂ ; w₂, w₂ + dw₂, przyjmijmy c,² = ut² + vj* + -f' wx², c₂² = u₂² + v₂² -f w₂² i obliczmy ilości ich spotkań się; otrzymamy podobnie, jak w artykule 229-ym, równanie warunkowe dla równowagi kinetycznej

0)

Ti 0ia) • Ta Os²) — Ti O/²) • Ta Os'²), w którym (p1} <p₂ oznaczają funkcyje, określające rozmieszczenie prędkości, a ej, c₂' są prędkościami cząsteczek po ich spotkaniu się. Z zasady zachowania energii wynika związek mx ej² -j- m₂c₂² = mx cj² -f m₂c₂'². Postępując podobnie, jak w art. 229-ym, otrzymamy stąd

(2)

<p, = A, e~W², <p₂ = A₂e-W²;

stałymi zaś będą

co

<1

« |jt

t«lw

tvjW

Wyrażenie więc matematyczne prawa rozmieszczenia prędkości me rożni się od prawa tego rozmieszczenia, któro byłoby w tym przypadku, gdyby każdy gaz zajmował całą. objętość. Prędkości Y i C obliczają się według danych wzorów, przy uwzględnieniu masy cząsteczki każdego gazu z osobna. Ten sam wynik otrzymalibyśmy dla mieszaniny ilukolwiek gazów.

Ponieważ spółczynnik [r jest ten sam dla wszystkich gazów w mieszaninie, a według (8) art. 229-go energija średnia T zależy tylko od [j., przeto okazuje się, że średnia energija kinetyczna cząsteczek jest ta sama dla ilukolwiek gazów, zmieszanych między sobą. Jeżeli więc dwa gazy w równowadze kinetycznej, których cząsteczki mają tę sarnę energiją, pomieszamy ze sobą, to przezto nie zmieni się energija średnia ich cząsteczek. A ponieważ energija średnia jest miarą temperatury, przeto mieszanina dwu gazów o tej samej temęperąturze posiada także tę sarnę temperaturę, co stwierdza doświadczenie.

Uogólniając ten wynik dla dwu gazów, które nie są zmieszane, możemy twierdzić, że jeżeli diva gazy mają tę sarnę temperaturę, natenczas średnia energija kinetyczna ich cząsteczek jest ta sama. Dwa gazy wywierają to samo ciśnienie, jeżeli mają tę sarnę energiją kinetyczną w jednostce objętości, jeżeli więc według (7) art. 230-go zachodzi równość T₁w₁ = T₂n₂, gdzie nl, n₂ oznaczają odpowiednio ilości cząsteczek obudwu gazów w jednostce objętości.

Gdy obadwa gazy mają tę sarnę temperaturę, a zatym ^ = P₂, to będzie n{ — n₂. Z tego wynika ważne prawo, które podał Avogadro, że wszystkie gazy jednoatomowe przy téj saméj temperaturze i tym samym ciśnieniu posiadają tę sarnę ilość cząsteczek w danej objętości.

Według poprzednich równań mamy dla dwu gazów 2Tt = »j, F,², 2T₂ —m₂r₂², a jeżeli T,, T₂ oznaczają, ich energije w jednostce objętości, to 2T, — o, Tj², 2 T₂ = o₂ r₂². Gdy obadwa gazy mają, tę sarnę temperaturę i to samo ciśnienie, to będzie T\ = T₂ i T, = T₂, z czego wynika o, : a₂ — —    co wyraża prawo Gay-Lussac’a : gęstości dwu gazów jednoatomo-

wych przy tej samej temperaturze i tym samym ciśnieniu są proporcyjonalne względem ich ciężarów cząsteczkowych. Rozważajmy w mieszaninie dwu gazów jednoatomowych element plaski i obliczmy według art. 230-go ciśnienie odpowiednie. Ponieważ prawo rozmieszczenia prędkości pozwala uchylić spotykania się cząsteczek, przeto otrzymamy, podobnie jak dla jednego gazu,

u i -+* %

2(i

Niech pl: p₂ oznaczają ciśnienia, któreby zachodziły, gdyby każdy gaz wypełniał z osobna daną objętość; wtedy równanie (4) możemy napisać w postaci

(5)

P — Pi 4- p₂ •

Stosując ten związek do mieszaniny ilukolwiek gazów, otrzymujemy prawo Dalton’a: ciśnienie mieszaniny gazów jednoatomowych jest równe sumie ciśnień> które każdy gaz z osobna wywiera przj danej temperaturze.

Zgodność wyników teoryi kinetycznej z doświadczeniem utwierdza nas w mniemaniu, że powyższa teoryja stosuje się do gazów doskonałych.

Literatura (Rozdz. XXI).

Krönig, Grundzüge einer Theorie der Gase (Annalen der Physik von Poggen-dorff, Berlin 1856, Band 99). — R. Clausius, lieber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen (1857); Ueber die mittlere Länge der Wege, welche bei der Mo-lecularbewegung gasförmiger Körper von den einzelnen Moleciilen zurückgelegt werden (1858); Ueber die Wärmeleitung gasförmiger Körper (1862) Zebrane w Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie II Abtheilung, (Braunschweig, 1867).— I. CI.-Maxwell: Illustrations of the dynamical theoryof gases (Philosoph, mag., 1860); On the dynamical theory of gases (Dwie części, Philosoph, mag., 4 th. ser. Vol. 35, 1868). — L. Boltzmann, Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten (Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien. II Abtheilung, Bd. 58, 1868); Ueber das Wärmegleichgewicht zwischen mehratomigen Gasmolekülen (tamże, Bd. 63, 1871); Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen (tamże, Bd. 66, 1872); Ueber das Wärmegleichgewicht von Gasen, auf welche äussere Kräfte wirken (tamże, Bd. 72, 1876).—H. W. Watson, A Treatise on the Kinetic Theory of Gases (Oxford, 1876). —O. E. Meyer, Die kinetische Theorie der Gase (Breslau, 1877). — Wh Natanson, Ueber die kinetische Theorie unvollkommener Gase (Dorpat, 1887); Teorya cynetyczna gazów doskonałych (Lwów, 1888); Studyja nad prawem Clerk-Maxwell’a (Warszawa, 1888); O zadaniu Taita, (tamże, 1888); Sur l’explication d’une expérience de Joule, d’après la théorie cinétique des gaz (Comptes r. T. CVII. 1888)4—

WSKAZÓWKI DO ĆWICZEŃ.

ROZDZIAŁ I.

(4). Podzielmy wysokość spadku na n części równych o długości s i pznaczmy przez ti czas, w którym punkt spadający opisze i-ty odcinek s, a przez v{ odpowiednią

U²

prędkość końcową, wtedy z równań v{ —    + gt{, s = at_t tt + g — — Viti+i +

2

i

+ "2

ó² -i-i

przez rugowanie prędkości można otrzymać równanie następujące:

ffUU+1 (ó + 0-j-i) — 2s (ćź — 4-f-i) — 0, a ponieważ = [/ 2 s : y, przeto równanie ostatnie możemy tak napisać:    (<,• -j- /t+l) — i,² (tt •— /i+1) — 0. Rugując czasy

z równań poprzednich, otrzymamy vi+{ ² —• v? = 2y.s, a ponieważ a,² — 2y.<r, przeto af-Pi² — Wj² — vx ², skąd ² = (i -f- 1) a,². Podane dwa równania pozwalają obliczyć stosunki tx ■ t₂: t₃ : ... i vx: v₂: v₃: ....

(6) . Jeżeli środek A koła o promieniu r porusza się jednostajnie po danej prostej z prędkością v, a punkt m porusza się jednostajnie po tym kole, to prędkość punktu m możemy wyrazić przez iloczyn roi, w którym w oznacza stałą; tor (m) będzie cyklojdą, gdy v = ru>.

(7) . Punkt m porusza się jednostajnie z prędkością r0) po kole (ru) o promieniu r, podczas gdy środek A tego koła porusza się jednostajnie z prędkością Rß p° kole (R) o promieńiu R ; poprowadźmy osi spółrzędnych x i y przez środek koła (R), wtedy równania ruchu punktu m będą : x — R cos (a₀ -f- ß i) -{- r cos (ß₀ -f- toć), y — = Rsin(a₀ -j- ßj) + rsin(ß₀ -j- toż), gdzie a₀ i ß₀ oznaczają stałe. Jeżeli R r iß— — w, wtedy ruch punktu m będzie prostoliniowym.

(8) . Niech x\ y\ z' oznaczają rzuty prędkości punktu m na kierunki osi spół*

rzędnych, wtedy z założenia x' = a . yz, y' — ß . zx, z' —    . xy, gdzie a, ß i y są 3

stałe. Z tych równań otrzymamy ß .xx — a .yy'=z 0, y. yy' — ß. zz ~ 0, a. zz' — — y. xx — 0. a całki tych równań przedstawiają rzuty toru punktu na płaszczyzny spółrzędnych. Różniczkując równania pierwotne, można obliczyć przyśpieszenie.

(9) . Obrawszy układ prostokątny osi spółrzędnych z pionową osią 2, oznaczmy przez xx, yt, zx i x₂, y%, z₂ spółrzędne punktów ml i m₂, natenczas równanie miejsca

(x ■— x, )² + (y — yj)² -f (0 —■ zi)2    2 ~~zi

(x — x₂)² + (y — y₂)² + (z — z₂)2 i m₂ znajdują się na osi 2, wtedy otrzymamy równanie x² -f- y² ■—(2 — zx) (2 — z₂) = 0, z którego wynika, że miejscem szukanym jest powierzchnia, utworzona zapomocą obrotu hiperboli równobocznej około osi rzeczywistej.

(10) . Przyjmijmy oś pionową paraboli jako oś y i niech x² = 2/ y będzie równaniem paraboli, wtedy spółrzędne 2-go krańca prostej najkrótszego spadku są.

x — -ńz p\' 3, yz=~p.

szukanego jest

2'- Z₂

■ gdy zaś punkty ml

(11) . Styczne do obudwu krzywych, poprowadzone w krańcach prostej najkrótszego spadku, są, równolegle, a ta prosta jest dwusieczną kąta, który normalne do krzywych w jej krańcach tworzą z pionem.

(12) . Obierzmy oś x wzdłuż brzegu, oś y wpoprzek rzeki, oznaczmy przez 2 a szerokość rzeki, przez o. stosunek prędkości wody w punkcie dowolnym względem odległości tego punktu od brzegu najbliższego, a przez v stałą prędkość pływaka; naten-

czas y² m — x jest równaniem pierwszej, a 4 ay —■ y² =z 2 (— x -j- a² ) v    V [A    /

równaniem

drugiej połowy toru pływaka; czas przeprawy jest t =r 2a : v.

(13). Pływak wy chodzi z punktu A na jednym brzegu, nadając sobie prędkość stałą v ku punktowi B, leżącemu naprzeciw A na brzegu przeciwnym, a u niech będzie prędkością stałą wody; obrawszy B jako początek osi spółrzęduych, oś x wzdłuż brzegu odpowiedniego, oś y ku punktowi A, otrzymamy prędkości x' i y pływaka w kierunkach osi:

vx

U -- -T—.-TTTTT ,

\/ x²-\r y²

vy

a stąd

dy

x¹ dx

vy

v x —• u \/ x² -j- y"¹

Całkując to równanie i przyjmując X — u : t>, otrzymamy równanie toru:

(i)

2^    [/' x²-\-y² ■— x

(/ x²-\-y² -f- x

w którym a jest szerokością rzeki. Pływak przybędzie do brzegu przeciwnego, gdy

czas przeprawy jest t z=z

v²—u²

(14). Z warunku danego wynika, że v p = 2c, skąd y* — —

Y» —

4c²

P³

a z tych dwu składowych można obliczyć y.

(15). Aby obliczyć yN, należy zastosować twierdzenie Meusnier’go, pozwalające obliczyć promień krzywizny dowolnego przekroju płaskiego danej powierzchni w punkcie danym, tudzież twierdzenie Eulera, wyrażające promień krzywizny przekrój u normalnego powierzchni w punkcie danym przez odpowiednie promienie krzywizn

głównych.

(16). Obrawszy daną prostą poziomą jako oś x, otrzymamy równanie różniczkowe linii krzywej

== [i, a stąd x — a -f- J/y ({i •— y) •— [X. arc tang

gdzie a i [X oznaczają stałe.

(20). Jeżeli A i B oznaczają połowy osi głównych elipsy, a prędkość wycinkową,

4 a²

A²B² ' r‘

r promień wodzący ze środka elipsy, wówczas y = •—

WSKAZÓWKI DO ĆWICZEŃ

(21) . W przypadku a) przyśpieszenie jest odwrotnie proporcyjonalne względem r⁵, w przypadku b) odwrotnie proporcyjonalne wrzględem r⁹, a w przypadku c) wyraża się przyśpieszenie przez funkcyją przestępną promienia r.

(22) . Oznaczmy punkty poruszające się przez ?nt, ?«₂, ?n₃,...., to każdy z nich opisuje tenże sam tor. Poprowadźmy oś x przez środek koła i przez położenie

początkowe punktu m,, i przyjmijmy p = cos — , q =z sin —, natenczas równanie

n    n

różniczkowe toru (?n,) jest

dy _ qx + (p‘—l)y

dx

(P‘—1)*— 7 y

2(1—P)

. y arctg ■— e    x

gdy wprowadzimy spółrzędne biegunowe p i cp :

l-K . .f

Tor (m,) jest liniją spiralną, której punktem asymptotycznym jest środek koła. Ponieważ jednak z równania

vq

dcp _ 1

dt ~~ p J/2 (1 —p)

okazuje się, że prędkość wycinkowa staje się nieskończenie wielką, gdy p = 0, przeto punkt m, przybędzie do środka koła w czasie skończonym. Wyrażając dcp przez dp z równania toru, otrzymamy równanie

— (r — p)

z którego wynika czas dojścia do środka, przyjmując p — 0.

(23). Użyjmy spółrzędnych biegunowych r, rp i 0 (art. 12) i oznaczmy przez a kąt, który tor (???) punktu m na kuli o promieniu r tworzy z południkiem tego punktu,

ma-

wtedy cos a = — ; — , jeżeli v jest prędkością punktu. Dla loksodromy na kuli v dt

my warunek a = stałej, więc —- . — = stałej, a ponieważ nadto długość gieogra-

v dt

d0

ficzna rośnie jednostajnie z czasem, przeto także — stałej. Z tych dwu równań można obliczyć prędkość i przyśpieszenie.

ROZDZIAD II.

(3) . Momenty p.₁, [i₂ i |i₃ są proporcyjonalne względem pól trójkątów, których podstawą spoiną jest prędkość kątowa obrotu, odcięta na jego osi, a których wierzchołkami są odpowiednio punkty Aj, A₂ i A₃ ; ta uwaga pozwala dowieść twierdzenia.

(4) . Podobnie, jak (3).

(5) . Zastosować równania (5) art. 25-go.

(6) . Podobnie, jak (5).

(7) . Obierzmy punkt dany A jako początek osi spółrzędnych; E, II, Z, A, M, N niecli oznaczają spółrzędne danego układu obrotów, o, c niech będą spółrzędnymi prostej dowolnej, poprowadzonej przez punkt A. Jeżeli ja oznacza moment układu obrotów względem prostej (o, ó, c), t. j. sumę momentów tych obrotów względem tej prostej, to według art. 3 3-go fj. —« A -f- JM -f- cN, a zatym a A -f- Z/M + cN — ja:=0 jest równaniem powierzchni, utworzonej przez te proste (u, Z>, c), względem których [A ma wartość stałą. Ta powierzchnia jest stożkiem rzędu 2-go, a gdy ja 0, staje się płaszczyzną.

(8) . Zastosować równania (4) i (5) art. 35-go.

(9) . Niech (Oj i co₃ oznaczają odpowiednio prędkości kątowe skrętów około S„ i S₂; obliczmy spółrzędne każdego z tych skrętów, tudzież spółrzędne skrętu wypadkowego, to okaże się, że oś tego skrętu przecina oś 2 pod kątem prostym, a jeżeli X jest wskaźnikiem tego skrętu, wówczas X = (X, co, ²-f-X₂ w₂²) : ((0,²-j-(a₂²). Według art. 31-go równania osi skrętu wypadkowego są (oj,² -f- co₂²) z -j- (X₂ —■ Xj) co, co₂ — 0 i co,y — co₂ x — 0: rugując z tych równań stosunek w₁:co₂, otrzymamy równanie cylindrojdy.

(10). Przyjmijmy X, — X₂ == 2 [A i rozłóżmy stronę lewą równania cylindrojdy na 2 czynniki, wtedy możemy to równanie tak napisać:

— |jz (jA—y ja²—z²^ — (V + V |A²—z²) — y*J = o,

a z tej postaci równania można okazać własności cylindrojdy pod o) i b). Własność c) wynika z równania płaszczyzny stycznej do cylindrojdy.

ROZDZIAŁ III.

(4) . Równania (4) i (5) art. 44-go razem z (5) i (6) art. 12-go pozwalają obliczyć y, i y„ dla każdego punktu układu. Miejscem gieometrycznym punktów, dla których y, — 0, jest hiperbolojda jednopowłokowa, której jeden układ przekrojów kołowych jest prostopadły do osi chwilowej; miejscem zaś gieometrycznym punktów, dla których y„ — 0, jest linija krzywa skośna rzędu 4-go, podług której przecinają się 2 liiperboloj dy j ednopowłokowe.

(5) . Zastosować równania (5) art. 44-go.

(6) . Oś, sprzężona z osią chwilową, znajduje się w nieskończoności i jest do niej prostopadła; stosując zatym twierdzenie, podane przy końcu art. 35-go, można udowodnić twierdzenie podane.

(7) . Rozważać liniją krzywą, będącą miejscem gieometrycznym punktów, dla których y„ = 0.

(8) . Płaszczyzny normalne do torów wszystkich punktów prostej L przecinają się podług prostej wzajemnej l; jeżeli L/ oznacza położenie sąsiednie prostej L, wówczas płaszczyzny normalne do torów punktów tej prostej przecinają się podług prostej wzajemnej l\ Obiedwie wiązki płaszczyzn normalnych są jednokrćślne, a stąd wynika twierdzenie podane.

(9) . Niech H oznacza hiperbol oj dę osi krzywizny torów wszystkich punktów prostej L, to prosta wzajemna l znajduje się także na H, a prostopadła, poprowadzona przez punkt m na L do odpowiedniej temu punktowi osi krzywizny toru (m), jest normalną główną tego toru w tym punkcie. Płaszczyzna, poprowadzona przez m i /, jest styczna do H w pewnym punkcie |i, a jeżeli przez p. poprowadzimy tworzącą powierzchni H, nie należącą do tegoż samego układu, co l, to ta tworząca jest właśnie osią krzywizny toru (m). Wyprowadźmy z punktu jx stożek kierunkowy powierzchni H, to on jest rzędu 2-go, a prosta i należy do jego tworzących; każda płaszczyzna P, poprowadzona przez prostą /, przecina ten stożek jeszcze podług drugiej prostej tworzącej

X. Poprowadźmy na płaszczyźnie P przez punkt (X prostopadłą p do prostej X, to p będzie równoległa do normalnej głównej toru (?n) w punkcie m, a zbiór prostych p, otrzymywanych dla wiązki płaszczyzn P, które przesuwamy przez /, utworzy stożek kierunkowy powierzchni normalnych głównych do torów wszystkich punktów prostej L. Wiadomo, że na tworzącej hiperbolojdy H znajdują się 2 punkty, przez które przechodzą tworzące 2-go układu, przecinające tę tworzącą pod kątem prostym (Ob. Gieometryją analityczną Wł. Zajączkowskiego, str. 413), z czego wynika, że każda z powyższych płaszczyzn P przecina stożek kierunkowy powierzchni normalnych głównych podług prostych p i /, a Z jest tworzącą podwójną tego stożka, a zatym ten stożek jest rzędu 3-go. Na podstawie tego twierdzenia można dowieść, że każda płaszczyzna, przesunięta przez Z, przecina powierzchnią normalnych głównych punktów prostej L podług pewnej prostej tz i podług prostej Z, i że Z jest tworzącą potrójną tej powierzchni, a zatym ta powierzchnia jest rzędu 4-go.

(10) . To twierdzenie wynika z dwu poprzedzających.

(12) i (13). Zastosować twierdzenia art. 47-go.

(14) . Zastosować równania art. 46-go. (To twierdzenie podał Dupin).

(15) . Punkt opisze elipsę.

ROZDZIAŁ IV.

(4) . Dowieść podobnie, jak (4) w rozdziale III-im.

(5) . Przyjmijmy wierzchołek M stożka jako początek układu Mxyz osi spół-rzędnych, a płaszczyznę daną jako płaszczyznę xy. na której stożek toczy się w kierunku od osi x ku osi y. Jeżeli r jest promieniem podstawy stożka, R długością tworzącej, w oznacza prędkość kątową, z jaką tworząca styczności stożka z płaszczyzną xy obraca się około osi z, natenczas prędkość kątowa Ił obrotu chwilowego około tworzącej styczności (osi chwilowej) jest Ił — w {/ R²-—r- : Rr; a jeżeli cp oznacza kąt,

f/ęp

który oś chwilowa tworzy z osią x, więc w —    , to spółrzędne ruchu chwilowego

są: ■ S = £2 cos cp, H.= Ił sin cp, Z — 0. Obliczmy z tych równań składowe prędkości punktu dowolnego (z, y, z) i przyjmijmy X = w : Ił, to otrzymamy następujące równania różniczkowe cyklojdy sferycznej :

, dx    .    , dy

X .-— z sin cp, X . —-

c/cp    T t/cp

(6) . Zastosować równania art. 50-go,

Bibl. mat.-fiz., S. IV, T. X.

z cos cp, X .

dż

dcp

y cos cp — a: sin Cp.

39

(8) . Jeżeli długość prostej ab jest równa odległości środków obudwu kół, natenczas środek téj prostej opisuje lemniskatę.

(9) . Z punktu danego M, wykreślmy koło (rt) o promieniu r,, a z 2-go punktu danego M₂ wykreślmy koło (r₂) o promieniu r₂; trójkąt ABC porusza się tak, że bok AB jest wciąż stycznym do (?*,), a bok BC jest wciąż stycznym do (r₂), przy czym oba-dwa boki tworzą kąt stały ß. Jeżeli przez Mt poprowadzimy prostą ab równoległą do AB, a przez M₂ prostą bc równoległą do BC, to podczas ruchu trójkąta te obie proste będą wciąż przechodziły przez punkty stałe, odpowiednio Mt i M₂, przecinając się w punkcie b] możemy więc ten ruch także tak określić, że dwie proste ab i bc, tworzące z sobą kąt stały ß, mają przechodzić wciąż przez dane punkty stałe Mj i M₂. Z tego określenia ruchu można łatwo okazać, że centrodyją [O] w płaszczyźnie figury jest koło, poprowadzone przez punkty b, Mj i M₂, centrodyją zaś [o] figury jest także koło, zakreślone z punktu b i dotykające się koła pierwszego, a więc mające promień równy średnicy koła [O]. Obadwa koła znajdują się ciągle po tejże samej stronie ich stycznej spólnćj; koło [O] jest oraz torem punktu b. Torem punktu B jest cyklojda; żeby znaleść obwiednią prostej AC, należy rozważyć, że spodek prostopadłej do AC, wyprowadzonej ze środka chwilowego, jest punktem szukanej obwiedni tej prostej.

(11). Rozważajmy parabolę w tym położeniu, gdy punktem styczności z daną prostą jest wierzchołek paraboli; przyjmijmy ten punkt jako początek.osi spółrzędnych, a daną prostą jako oś x. Na podstawie równania (4) art. 55-go można dowieść, że promień krzywizny toru ogniska paraboli jest równy lecz o kierunku wprost przeciwnym promieniowi wodzącemu paraboli w punkcie odpowiednim, skąd wynika równanie różniczkowe tego toru

d²y

(~d~) ’ którego całka jest y = ~ {e

gdzie s oznacza odległość ogniska paraboli od jej wierzchołka* W podobny sposób można wyprowadzić równanie różniczkowe toru ogniska elipsy lub hiperboli, toczącej się po danej prostej. Jeżeli tor ogniska elipsy obrócimy około danej prostej, otrzymamy powierzchnią, zwaną undulojdą; gdy tor ogniska hiperboli obrócimy około tej prostej, otrzymamy powierzchnią, zwaną nodojdą; a obracając liniją łańcuchową około kierownicy, otrzymamy powierzchnią, zwaną katenojdą. Między tymi 3-ma powierzchniami zachodzą te różnice, że tak zwana krzywizna średnia w każdym punkcie undu-łojdy jest stałą' i dodatną, w każdym punkcie nodojdy stałą i ujemną, a w każdym punkcie katenojdy jest równą zeru.

(12) . Przyjmijmy, że prosta (a) jest prostopadła do (b) i obierzmy te 2 proste

jako osi x i y, wtedy obwiednią prostej ab jest hipocykłojda, której równanie jest

ab.

2 2 2 , x3 _j_ y3 ₌₌ L3 ₅ gdzie L =

(13) . Centrodyją w płaszczyźnie jest prosta, równoległa do (a), centrodyją figury jest koło, którego środkiem jest punkt a.

(15) . Ob. art. 57-my.

(16) . Różniczkując n razy równania (1) art. 53-go, można dowieść istnienia środka przyśpieszenia i wyrazić przyśpieszenie każdego punktu przez spółrzędne tego środka.

(17). Obierzmy normalną spoiną do obudwu centrodyj we środku chwilowym jako oś x, a styczną spoiną jako oś y, wtedy według art. 55-go i 56-go możemy obli-

czyć promień krzywizny p toru punktu (z, y) i otrzymamy p “ K.    . -/—- ,

K (xi4-y²) —x

a spółrzędne ę i 7] środka krzywizny będą

'/] =

xy

K (x² -f- y²) — a;

K (a;² -f- y²) — x

Punkt (#, y) będzie punktem zwrotu swego toru, gdy i — x, V] — y, skąd wynika warunek ic² -j- y² 0, któremu zadość czyni tylko punkt rzeczywisty x 0 i y — 0.

Ponieważ x² -j- y² — (a’ -(- iy) (a •— ty), i = J/HJ, przeto miejscem gieometrycznym punktów zwrotu są dwie proste urojone, przechodzące przez środek chwilowy.

(18). Zastosować równanie koła granicznego, wyprowadzone w zadaniu (10).

ROZDZIAŁ VIII.

(1) . Jeżeli a oznacza odległość początkową punktu od środka przyciągania, p, przyciąganie jednostki masy w jednostce odległości, to punkt przybędzie do środka w czasie ł = a² : }/ jx.

(2) . Jeżeli At i A₂ oznaczają punkty przyciągające, n, i |i₂ odpowiednie przy-ciągania jednostki masy w jednostce odległości, M oznacza położenie początkowe punktu przyciąganego, i przyjmiemy AjA₂= 2ar, MAt = a,, MA₂ — a₂, wówczas

V² = 2 (i,

(— --) + 2m,(—

V ß| a /    \ a₂ a /

(4) . Niech ?nx i m₂ będą punktami danymi, a masa każdego z nich równa jednostce obierzmy prostą mx m₂ jako oś x, biorąc na niej początek dowolny O, xx —

—    Owi,, x₂ — 0?«₂, i przyjmijmy, że stosunek przyciągali wzajeinnych tych dwu punktów jest równy [ij : [X₂, natenczas równania różniczkowe ruchu będą: xt" —

—    p,₂ (x₂ •— aą), x₂" — — p.j (x₂ — aą). Pomnóżmy te równania odpowiednio przez p.t i [X₂ i dodajmy iloczyny, a nadto odejmijmy od siebie te równania, to otrzymamy dwa nowe równania całkowalne. Całki pozwolą obliczyć xt i x₂.

mgv³

(5) . Oznaczmy, jak w art. 89-ym, opór przez--

, prędkość początkową

2

przez V i przyjmijmy jp — X, wówczas wysokość A, do jakiej punkt może się wznieść,

V J/T

2 X —

jest

X²

[pi¹⁰*

Y (2 V — X)² —f— 3 X²

+ arctan g

h =z ——

■gV ³

(6). Oznaczmy przez x odległość punktu od środka przyciągania, przez a wartość x dla t = 0 i wyraźmy opór przez k² v² : x, wówczas odległość X, której odpowia-

2 (V + X)

l — 2/t²

da prędkość największa punktu, jest X — a (2 k²)

(7). Prosta, poprowadzona przez położenie początkowe punktu i prostopadła do płaszczyzny odpychającej, niech będzie osią y, prosta, w której płaszczyzna, przesunięta przez oś y i prędkość początkową a punktu, przecina płaszczyznę odpychającą,

Tor jest liniją łańcuchową, gdy a = 0iii = —- .

a²

Vo

(8). Jeżeli a oznacza elewacyją rzutu, ß kąt, który płaszczyzna dana tworzy

z pionem, natenczas a = ß — —

(9). Punkt opisze elipsę, której środkiem jest środek przyciągania.

(10) . Punkt opisze liniją krzywą stopnia 2-go, która przechodzi przez obadwa krańce prostej.

(11) . Niech środek ziemi porusza się po kole o promieniu E, a środek komety po paraboli o parametrze p ; T* niech oznacza czas obiegu koła przez środek ziemi, T* czas pobytu komety wewnątrz koła, natenczas

Tą__1_ (R-f-p)1/ 2R—p

Tz    3 TT    R

Ten stosunek jest największym dla R = p i równa się — .

o 7t

(13). Oznaczmy przez r i cp spółrzędne biegunowe punktu, przez jx przy ciąganie w jednostce odległości, przez a prędkość wycinkową, to równanie różniczkowe spiralnej Cotes’a jest

dl d®

1.

niech będzie osią x\ niech masa punktu będzie równa jednostce, niech jj. oznacza odpychanie w jednostce odległości, a kąt, który prędkość a tworzy z osią x, niech y ~y₀

sin a, B =

dla < == 0 i przyjmijmy A = y₀ -f-wówczas równanie toru punktu jest

yo —

7= sin a, — — J^ÏL.

« cos a

V*

u,

à przypadki szczególne zależą od tego, czy >► 1, czy < 1, czy =

(14). Czas

2 sin (a — oq) g ' cos a, . cos a

(15). Jeżeli środkiem przyciągania jest węzeł lemniskaty, wówczas przyciąganie jest odwrotnie proporcyjonalne względem r¹.

(18). Jeżeli r = ae^ jest równaniem spiralnej logarytmicznej, D odległością pierwotną punktu od bieguna, [J. przyciąganiem w jednostce odległości, wówczas punkt dojdzie do bieguna w czasie

= 5 _£_!/■

2 j/sr y

1 -f -r *

b²

(21). To zadanie jest przypadkiem szczególnym następującego zagadnienia ogólnego: na płaszczyźnie pionowej jest dany układ nieskończenie wielu linij krzywych podobnych, przechodzących przez punkt dany M, mamy wyznaczyć taką liniją na tej płaszczyźnie, iżby punkt ciężki, poczynający z M spadać bez prędkości początkowej i przybył do tej linii w tymże samym czasie, po którejkolwiek linii układu danego spada. Szukana linija nazywa się synchroną danego układu krzywych. Poprowadźmy przez M oś x poziomo, oś y pionowo na dół, to układ linij krzywych podobnych możemy wyrazić równaniem F (x : a, y : a) = 0, w którym a oznacza parametr zmienny, a jeżeli przyjmiemy p == dx : dy, to czas spadku na którejkolwiek z tych linij jest

H’V

1+P²

• dy.

Przyjmując za t wartość stałą i rugując a z równania ostatniego i z równania układu linij danych, otrzymamy równanie synchrony. Możemy to równanie także otrzymać w sposób następujący. Rozwiążmy równanie układu linij danych względem x i przyjmijmy y — ai, to x = a ./(I), a gdy przyjmiemy nadto

2 gt²

i +/«)²

. di, to t —

-Vi-

skąd wynika

i, a jeżeli z tych dwu równań wyrugujemy i, otrzymamy

równanie synchrony. Rugowanie zmiennej i jest tylko wtedy możliwe, gdy całkowanie w 7] da się wykonać bez użycia szeregu nieskończonego.

Układ cyklojd, których spólnym punktem zwrotu jest M, wyraża równanie x —

= a. arc cos

^1 —■—— \/2ay<—y², w którym a jest promieniem zmiennym koła

tworzącego. Stąd wynika t=.    — arccos ^1 — — ^ . Rugowanie parametru a

nie daje się wprawdzie uskutecznić, można jednak dowieść, że synchroną przecina każdą cyklojdę pod kątem prostym. W tym celu obliczmy dx z równania cyklojdy

według wzoru dx = —— da + -r— dy, różniczkujmy t, skąd otrzymamy -r— da +

da

da

dy

dt

+ 3— dy — 0, i wyrugujemy da z dwu ostatnich równań, to wyniknie dla synchrony dy

«--— , a to równanie wyraża właśnie twierdzenie podane.

dy    p

(22). Zadanie ogólne o brachistochronie w przypadku, gdy siły przyłożone mają potencyjał, może być następującym sposobem rozwiązane zapomocą rachunku waryjacyjnego. Niech będą dane punkty krańcowe ?nl i m₂ brachistochrony, wtedy

dx

c/s

—, gdzie całka ma być wzięta między krańcami danymi, a ponieważ dla bra-

chistochrony dt — 0, przeto

v . dds — ds . do

u²

= 0. Przyjmijmy masę punktu równą

jednostce; X, Y, Z niech oznaczają składowe siły, wtedy

^ = v. do — X dx -f- Y dy -f- Z dz

a ponieważ ds zr v. dt, przeto ds. dv — (X dx -{- Y dy -(- Z dz) dt. Z równania ds² =

du    d%

— t/a;² + dy² + c/z² wynika dds =z — ddx + -— Sc/y 4--Sc/z, a stąd u . dds =

c/s

c/s

c/s

dy

dz

— — Sc/a; 4—— Sc/y 4--• Scfe. Wstawiwszy ds .do i o. dds w równanie dt — 0, otrzy-

dt    dt    dt

mamy

dy

dz

—— ddx 4--Sc/y 4--

dt    dt    dt

— (X dx 4- Y dy 4* Z dz) dt = 0.

Całkując częściowo, mieć będziemy

1 dx

v¹ dt

■— ddx =

| ^

- \%

& | a.

rH ]Ch

dx

dt

dt. dx

i podobnie dla y i z, więc :

dx -p

)-/ |[£+ £(£•-£)]

[JL + JL

L»³ dl

(ł-4)]

§2 > c/ż = 0.

Ponieważ punkty krańcowe są dane, przeto wyraz 1-y jest równy zeru, a ponieważ dx, Sy i §z są wzajemnie niezależne, przeto ich czynniki pod znakiem całkowania muszą być równe zeru, każdy zosobna; otrzymujemy zatym równania następujące:

— + — (—.—) = 0 v²    dt \ V²    dt )

i dwa podobne dla y i z. Możemy wprowadzić łuk s jako zmienną, mamy bowiem

\ ds _ d / 1    dx \

/ dt    ds \ v    ds )

, a stąd

J_ (]_    <h_ *

di \ vl dt ) ds \ o² ds dt

X -j- v³ . —    ^ — 0 i podobnie dla y i z, gdzie a;' =

2 ^ (X c/a; 4- Y dy -J- Z dz)

_ dy ,_ c/z

c/s ’    * c/s

Obliczywszy v z równania w² zzz

Można także bezpośrednio wprowadzić s jako argument, zważając na to, że x'²Ą-y'² -\--j- z'² =ż 1, a wtedy do wyznaczenia bracbistochrony prowadzi rozważanie minimum całki

ds,

~ + X (x’² + y'² + z’² — 1)J

w której X jest czynnikiem nieoznaczonym. Gdybyśmy mieli wyznaczyć brachisto-chroną na powierzchni F (x, y, z) = 0, wówczas należy wyznaczyć minimum całki

/[

+ X (x'² -f y'² + z'² — 1) +    . F (x, y, x)J

ds.

Podane równania pozwalają rozwiązać zadania (22) i (30); uwzględniając równanie F ([x² -j- y²) •— z — 0 powierzchni obrotowej, można rozwiązać zadanie (25).

(23). Niech F i F' oznaczają ogniska, O środek elipsy o osi głównej 2a; M niech będzie położeniem początkowym, v₀ prędkością początkową punktu i przyjmijmy FM == R, F'M = R', a w kierunkach prostych MF, MO i MF' niech działają siły odpowiednio P, P” i P', wówczas ciśnienie N na elipsę w punkcie, w którym p jest promieniem krzywizny, jest

P'R

aW

-j- P'RR'^v) .

(24). Poprowadźmy przez położenie początkowe M punktu (m = 1) oś x pionowo na dół, oś y poziomo, i niech N oznacza ciśnienie na krzywą w punkcie (x, y),

'ty a jeżeli v₀ oznacza prędkość począt-

v²

wówczas według art. 87-go N ==--j- g .-

p    ds

kową, N =

V* + 2gx

g , — . Jeżeli dB oznacza kąt krzywizny w punkcie

ds

(x, y), wówczas de — d arc sin — = (-^r : — ) ds. skąd —

'    ds    V ds² ds / ’    ^ p

/7o

N = (r₀² + 2 gx) — ds

N    dx_    d²y |    g    dx_ dy

\/r₀² + 2gx ' ds V l'°2 + 2gX ' ds* V»₀² + 2gx ' ds ’ ds

d²y dx

— , a zatym ds

d²y

dy

+    czyli

Całkując to równanie przy stałym N i oznaczając stałą całkowania przez o, otrzymamy

V v0 ² + 2yz

równanie różniczkowe krzywej szukanej: —— —

ds g

(25) . Ob. zadanie (22).

(26) . Jeżeli p. oznacza przyciąganie punktu (?n — 1) w jednostce odległości, r promień wodzący ze środka przyciągania, cp kąt, który styczna do krzywej tworzy

4 T²

z promieniem wodzącym, T czas dany, wówczas według równania (8) art. 94-go: 7l²

s; różniczkując to równanie i wstawiając dr — ds. cos <p, otrzymamy

gdzie a jest stałę. Niech r — b, gdy s = 0, wtedy a = n²b²: 4T², a stąd

równanie różniczkowe między r i <p, a jeżeli wprowadzimy długość p prostopadłej na styczną ze środka przyciągania, to po scałkowaniu mieć będziemy [x(r²'—p²) -f- a= _ 7I²r²

“Tt²

wynika równanie różniczkowe tautochrony

²— (t*

E²

4T²

r² —

7C²b²

4T3-

= Q,

w którym

dr

r² + F²

(27). Jeżeli 2 a jest długością osi cykłojdy, b odległością pierwotną punktu od wierzchołka, natenczas

(29) . Przyjmijmy początek osi spółrzędnych w punkcie najniższym (wierzchołku) cykłojdy, oś x pionowo w górę, oś y poziomo, oznaczmy opór przez kv, natenczas

cl v    dx

-= y . — •— ki7. Wyraziwszy s przez x z równania cykłojdy i wstawiwszy v =

di    ds

ds

— ---, otrzymamy równanie różniczkowe linijowe rzędu 2-go między 5 i t, które-

dt

go całkę należy rozważać, przyjmując k<^l^y:r, gdzie r oznacza promień koła tworzącego. Obliczywszy następnie czas dojścia do wierzchołka cykłojdy, okaże się, że 011 nie zależy od położenia początkowego.

(30) . Ob. zadanie (22).

ROZDZIAŁ IX.

(Zadania o momentach bezwładności).

(7). Poprowadźmy przez początek prostokątnego układu osi spółrzędnych płaszczyznę ax + by -j- cz — 0, biorąc a² -f- b² -f* c²— 1, i przyjmijmy dla danego układu materyjalnego A — 'Lmixi²: B = Ew*?/,², C = Ewij-z*², to moment bezwładności I względem powyższej płaszczyzny jest I = Aa² -f- Bó² -f- Cc² + 2D.óc + 2E. ca + -f- 2F. ab, gdzie D, E, F mają znaczenie podane w art. 99-ym. Przyjmijmy I = M&2 i poprowadźmy w odległości sk inną płaszczyznę, równoległą do poprzedzającej, natenczas u — a:ek, v-b-.sk. 10 =.ć:sk będą spółrzędnymi tej płaszczyzny. Obliczmy z tych równań a, b i c, wstawmy te wartości w I i przyjmijmy s odpowiednio, wtedy Au² -f- Bt>² -j- G w² -j- 2 D. viv + 2E . wu -j- 2F. uv — 1 będzie równaniem powierzchni, utworzonej przez płaszczyzny (w, y, w), wyrażonym w spółrzędnych płasz-czyzny. Niech osi bezwładności będą osiami spółrzędnych, natenczas D — 0, E = 0,

F — 0, a zatym Auz -j- By² -)- Cw²= 1 będzie równaniem powierzchni powyższej. Równanie tej powierzchni w spółrzędnych punktu jest

X¹

Z²

czyli, po rozwinięciu wyznacznika ——{- ~ -f-

A x> (j

W każdym punkcie w przestrzeni można podać jeszcze trzecią elipsojdę, będącą w ścisłym związku z momentami bezwładności układu materyjalnego. Używając znakowania art. 100-go, odetnijmy od punktu 0 na osi momentu w obu kierunkach długość, proporcyj onalną względem odpowiedniego ramienia bezwładności, i przez kraniec każdego odcinka poprowadźmy płaszczyznę, prostopadłą do osi momentu, natenczas te płaszczyzny utworzą elipsojdę, która bywa nazywaną drugą elipsojdą bezwładności w punkcie rozważanym. Tę elipsojdę wprowadzili Mac Cullagh i Clebsch, podczas gdy elipsojdę, rozważaną w art. 100-ym, wprowadził Cauchy.

(8). Niech m, wj,, m₂ i m₃ oznaczają odpowiednio masy tych 4-ch punktów, których układ ma być równoważny pod względem momentów bezwładności danemu układowi materyjalnemu o masie M. Obierzmy m jako początek układu osi spółrzędnych (ukośnokątnego), którego osi x, y i z przechodzą odpowiednio przez ml: m,₂ i ?w₃, wtedy spółrzędne tych punktów będą: Zj, 0, 0; 0, 2/₃, 0 ; 0, 0, z₃. Jeżeli £, Yj, Ç oznaczają spółrzędne środka masy układu M, zaś lcl, ł₂, k₃ jego ramiona bezwładności względem płaszczyzn my z, mzx i %nxy (przyczym odległości punktów od tych płaszczyzn bierzemy w kierunkach osi odpowiednio x, y, z), to łatwo się przekonać, że żądana równoważność jest wyrażona przez równania następujące : m + ml -j- m₂ + ma —• ^ myxi = M£, >n₂y₂ = My], m₃z₃ — MC, mlxl ² — Mł,², ?n₂y₂² — M &₂², m₃z₃²=. Mł₃². Na podstawie tych równań można dowieść twierdzenia Reyego.

(21). Niech dana prosta będzie osią z układu spółrzędnych, którego początek O dowolnie na tej prostej obieramy, to na tój prostej będzie się znajdował taki punkt O', względem którego ona jest osią bezwładności układu materyjalnego, jeżeli I). YimiXi = E . 'Eimtyi. Przyjmijmy ô = 00' i oznaczmy przez cp kąt, który druga oś bezwładności tworzy z osią x, wówczas

^mtyi

'ïimi Xi

tang 2 cp =

2F

Znaczenie liter jest podane w art. 99-ym do 101-go.

ROZDZIAŁ XI.

(9) . W każdym boku czworokąta działają 2 siły równe i o kierunkach przeciwnych, które ściskają ten bok; rozważając równowagę w każdym wierzchołku zosobna i rugując następnie siły ściskające, można otrzymać równanie podane.

(10) . Jeżeli p.,, p,₂ i p.₃ oznaczają odpowiednio przyciągania, których punkt doznaje od wierzchołków trójkąta w jednostce odległości, natenczas miejscem równo-

wagi jest środek 3-cli mas, umieszczonych w wierzchołkach trójkąta i proporcyjonal-nych względem jł,, p.₂, jx₃.

(13). Obrawszy punkt dany jako początek osi spółrzędnych, dajmy siłom taki kierunek (a, i, c), żeby a : b : c — SP^j : SP;?/* : EPjZj, wówczas będą równoważne z jedną siłą, przyłożoną do tego punktu.

(16) . Jeżeli pręt AB o długości 21 i ciężarze Q jest zawieszony na linewkach AO = 2a i BO= 2b: a T, i T₂ oznaczają odpowiednio napięcia tych linewek, wówczas

Tt

— _—=== T2 __ .......

Q    ]/2a²-\-2b² — l² ’ Q jX2a² +2Ô² —/²

(17) . Jeżeli r, i r₃ oznaczają promienie walców, B ciśnienie wzajemne, T napięcie taśmy, wówczas

ri~hr2 ‘

_₄ V rt r₂

(18). Niech Aj, A₂ i A₃ oznaczają punkty szukane, Ql5 Q₂ i Q₃ odpowiednie ciężary dane i przyjmijmy cp,* ~ kątowi Aj O A* (i, k — 1, 2, 3), wówczas:

COS<p23 —

, coscp₃₁ =

Qj² Qa2, Q3²

2 Q2 Q;3

Q2²—Qa² —

2 Q₃ Q,

COS <Pj₂ =

Q₃² Qr Q2²

2 Qi Q₂

(19) . Jeżeli r oznacza promień półkuli, 2 a długość pręta, cp kąt, który pręt tworzy z poziomem, natenczas pierwiastek dodatny równania 4r . sin²cp -—a sin cp ■— — 2r = 0 wyznacza ten kąt.

(20) . Przyjmijmy naprzód, że kule i płaszczyzny są gładkie, oznaczmy odpowiednio przez Oj i 0₂ środki kul, przez Q, i Q₂ ich ciężary, przez a.x i a₂ kąty nachylenia płaszczyzn do poziomu, przez R, i R₂ reakcyje płaszczyzn, przez T ciśnienie wzajemne kul, a przez cp kąt, który prosta Oj 0₂ tworzy z poziomem, natenczas

Q₂ cotga₂ — Qj cotgaj    _

Qi + Q2

tang cp

Q s*uai _q    sin oc₂

¹ cos (aj -f- cp)    ¹² ' cos (a₂ — <p)

Reakcyje Rj i R₂ otrzymamy, zważając na to, że siły Q,, T i R,, tudzież Q₂, ■— T i R2 są w równowadze. Wprowadzając oprócz sił normalnych Rt, R₂ i T jeszcze reakcyje styczne, zależne od spółczynników tarcia, można to zadanie rozwiązać dla kul i płaszczyzn niegładkich.

(21). Niech płaszczyzna AB tworzy z poziomem kąt a, zaś płaszczyzna BC kąt ß (obadwa kąty ostre), a pręt o długości 2a niech tworzy z poziomem kąt cp, wtedy wysokość 7] środka masy pręta nad płaszczyzną poziomą, poprowadzoną przez B, jest:

ri —

sin (a -f- ß)

[2 cos cp sin a sin ß -f- sin cp sin (ß — a)].

(22). Obierzmy oś x poziomo, oś y pionowo w górę, a początek O osi niech będzie środkiem przyciągania; jeżeli 21 oznacza długość pręta (a — 1), wtedy na element ds w punkcie (x, y), którego odległość od O jest r, przypadają siły X =— gl² x 2 r®

natenczas dx — •—(2/'—s) sin . §cp, dy = s. cos cp. Sep. Z tego wynika potencyjał

i

•— 2 s . sin cp \ ds —

/    /2    y    \

— g I —--- 4" 1J ds, a jeżeli pręt tworzy z osią x kąt tp (ostry).

B=/ >[<»

‘O

•—s)²cos²cp -f- s² «

sin² cp J

J^log

(1+ COS <p) cos (p

(1 —'sincp)sin<p

4sincpJ ,

Dla równowagi jest

dU

dep

= 0, skąd wynika równanie sin <p — cos cp —• 4 cos² (p sin cp rr 0,

Pomnóżmy to równanie przez sumę cos cp -f- sin cp, która nie jest równa zeru, ponieważ

TC    .    .

cp <C — , wtedy otrzymamy (1 -f-sin 2 «p) (cos2 cp sin2 cp) =. 0. Ponieważ 1 -(-sin2 cp

3

nie jest równe zeru, przeto cos 2 cp -j- sin 2 cp = 0, skąd cp = — 7t dla równowagi pręta.

Obliczywszy 2-gą pochodną potencyjału i wstawiwszy tę wartość za cp, otrzymamy d²TJ 0, z czego wnosimy, że równowaga jest niestałą.

(24). Poprowadźmy przez punkt najniższy nici oś x poziomo, oś y pionowo w górę i niech ciężar elementu ds będzie wyrażony przez u. ds : \ f s, wtedy równania

Całkując je i oznaczając

równowagi są : d    = 0, d

_ [i.. ds

~Vś'

przez a napięcie nici w punkcie najniższym, otrzymamy:

2 [i

x), T

(25). Przyjmijmy, że ciężar wozu jest symetrycznie rozdzielony między oba-dwa koła przednie i między obadwa koła tylne, wtedy wystarczy rozważać równowagę na płaszczyźnie pionowej, poprowadzonej przez jedno koło przednie i jedno tylne. Niech w tej płaszczyźnie koło przednie dotyka się płaszczyzny pochyłej w punkcie A, koło tylne w A', a S niech będzie środkiem ciężkości ciężaru, przypadającego na te dwa koła, O i O' niech oznaczają środki kół. Gdy hamujemy koło przednie, wówczas reakcyja w A' będzie normalna do płaszczyzny, a jeżeli kierunek tój reakcyi przecina w punkcie B pion, poprowadzony przez S, natenczas AB jest kierunkiem reakcyi w A, a gdyby kąt OAB był większy od kąta tarcia, natenczas wóz ślizgałby się. Gdy zaś hamujemy koło tylne, reakcyja w A będzie normalna do płaszczyzny, a jeżeli jej kierunek przecina w C pion punktu S, wtedy CA' będzie kierunkiem reakcyi w A', a gdyby kąt OCA' był większy od kąta tarcia, nastąpiłoby ślizganie się wozu. Stąd wynika, że gdy kąt OAB ;> kąt OCA', wtedy lepiej hamować koła tylne; gdy zaś kąt OAB kąt

OCA', wtedy lepiej hamować kola przednie. Obliczywszy te kąty, można zapomocą formuły wyrazić warunek, odpowiadający hamowaniu najdogodniejszemu wozu.

(27). Rozważając równowagę każdego elementu nici zosobna, można otrzymać równanie różniczkowe linii łańcuchowej dla sił centralnych. Niech O będzie środkiem siły centralnej P, m punktem na krzywej o masie m, r — Om; poprowadźmy w m styczną i oznaczmy przez a kąt, który r tworzy z tą styczną, przez p długość prostopadłej z O na styczną, przez p promień krzywizny, natenczas równania równowagi są

T

Pm . sin a = —

Pm . dr = dT.

dp

Ponieważ p — — r. dr : dp, sina = p : r, przeto z równań poprzednich wynika —

P

dT

Pm. dr, zaś a jest stałą. Wstawiwszy P,

wyrażone przez r, otrzymamy równanie między r i p. Obierając O jako początek spółrzędnych biegunowych r i cp, wstawmy p — r² dcp : J/ dr² -f- r² dcp², a wtedy wyniknie dcp =

a. dr

fc3|*

jako równanie różniczkowe linii szukanej. Przyjmując P

r (R² r² — a²)

odwrotnie proporcyjonalne względem r², rozwiążemy zadanie.

(28). Jeżeli 2a jest kątem szukanym, wtedy tg a = 1 : \/2.

ROZDZIAŁ XII.

(4). Jeżeli r oznacza promień łuku, 2(p kąt środkowy, natenczas przyciąganie, mające kierunek prostopadły do cięciwy łuku, jest

(5). Jeżeli h oznacza wysokość stożka, 2cp kąt u wierzchołka, natenczas przyciąganie, mające kierunek osi stożka, jest

X =: 2%k]i,Cih (1 —• coscp).

(11). Zastosować wzory Gaussa (art. 122), tudzież własności punktów odpowiednich, podane w art. 128-ym.

(13). Potencyjał masy kulistej względem środka jest

<V3

'ti r2ii

e r. r sin (J). dr dtp dii = 4 7T.

(14). Obierzmy oś sferojdy o długości 2A jako oś z, a płaszczyznę xz poprowadźmy przez punkt przyciągany jj. : (£, Ç), znajdujący się na powierzchni sferojdy, której równanie jest x² -f- y² -f- (1 -f- s²) z² = (1 + s²) A². Punkt p, nie doznaje widocznie przyciągania w kierunku osi y, pozostają zatym tylko składowe X i Z przyciągania w kierunkach osi x i z. Poprowadźmy przez p. prostą, która z osiami spół-

rzędnych tworzy kąty odpowiednio a, ß, Y? obierzmy ją jako oś nieskończenie wązkie-go stożka, który na powierzchni kuli o promieniu 1 zakreśla pole doi, i oznaczmy przez r długość cięciwy sferojdy, odpowiadającej tej prostej, wówczas dla elementu sferojdy, znajdującego się wewnątrz stożka, otrzymamy

dZ = &p.ar. cosY- doi.

dX = &p.ar. cosa. dm,

Ponieważ p, znajduje się na sferojdzie, przeto

, a stąd

to

I—*

£cosa -f- C(1 £²)cosy 1 -p s² cos² y

dX — •— 2&p,a .

£cos²a -j- C (1 + s²) cosa cos y

1 -p £² cos² y

doi,

dZ — .— 2 Jc p. o .

^ cos a cos y -p C(1 4- £²) cos² y

1 4- e²cos²y

don,.

Poprowadźmy przez środek sferojdy promień, równoległy do cięciwy r, i oznaczmy przez cp kąt, który południk tego promienia tworzy z płaszczyzną xz, wtedy cosa = = sinY'coscp, doi — sin Y . d*( cfcp, a stąd

rr

Jo Jo

sin³ Y cos² cp o’y dcp

1 -p £² cos² y

/*7C

Z =—- 2 &p.C (1 -p £²) Ç

1 + s²cos²y

Obliczywszy te całki aż do wyrazów tego rzędu, co £², mieć będziemy ostatecznie :

--i    -•£•)> Z = -ixł!l0c(l+^).

(15). Z obliczonych w zadaniu poprzedzającym składowych X i Z przyciągania P można wyznaczyć kierunek jego, tudzież punkt c, w którym siła P przecina oś; z równania zaś przekroju sferojdy płaszczyzną xz można wyznaczyć punkt 5, w którym normalna do sferojdy w punkcie p, przecina oś x. Obliczywszy długości Oe i Ob do

wyrazów tego rzędu, co £², otrzymamy Oc —

To twierdzenie podał J. Stirling.

(17). Oznaczmy przez L długość normalnej do sferojdy od punktu p, do przerw ,    dh

Stąd otrzymamy — = dk

co |o

e² Ob — s² £, skąd Oc = Ob.

cięcia z osią z, natenczas L — A £l -f-    (1 -j- sin² X)J .

dg

— As² sin X cos X, a z wyrażenia na g w zadaniu (16) wynika — gQ e² sinX cos X,

dÿ —    ^ cQ Wyra£a wja^nie twierdzenie podane. To twierdzenie podał T.

A

wi«° iih

Simpson.

ROZDZIAŁ XIV.

(1). Z wiadomego wyrażenia energii kinetycznej kręcącego się ciała, 2T = = A/»² -J- B5² -f Cr², wynika ST = Ap.dp + Bq.dq Cr. Sr. Aby obliczyć dp, dq i Sr, oznaczmy przez a,-, c* (t = 1, 2, 3) dostawy kierunkowe osi bezwładności względem osi spółrzędnych na początku elementu czasu dt, i zważmy, że ruch przygotowany ciała może być utworzony przez 3 obroty z odchyleniami Si, Si], SC około tych prostych, które zajmują chwilowo położenia osi bezwładności, a wtedy z równań (20) art. 4 3-go otrzymamy

dat = cr₂.dC — 0₃.St], dbi = b₂. dÇ — b₃ . Sy], dcJ=c₂.dC, — c₃ . Sty

i podobnie dla dwu osi pozostałych. Ponieważ według tych samych równań

,u>i    dc t

— b₂r — b₃q, dt

(1)

(2)

f/flj

di

—- — cr₂ r 03 7, dt

przeto z 1-go równania (1) wynika ddat

(3)

~-^ = c₂r — c₃ q,

-fZrt . --— f/o .--f- . -—

dt    Z dt    dt    dt

f/SC

da₂

* dt

a z 1-go równania (2),

(4)

S —— ~ a« . dr — a₃ . dq -f- r . da₂ —• q . da₃. dt

Jeżeli zważymy, że — d , wstawimy w (3) wartości pochodnych i , a w (4) wstawimy wartości waryjacyj da₂ i Sa₃, to otrzymamy równanie następujące:

(5)

“2    — ~ + 'I ■    — P ■ *]) ~"r, (à? —

^4 + /,.5C_,..Se) = o,

ddt]

a dwa inne równania wynikną z tego, gdy zamiast a wstawimy odpowiednio hic. Używając w (5) przestawienia kołowego wskaźników bez zmiany litery u, razem z przestawieniem kołowym liter p, q i r, otrzymamy 2 nowe równania, które znowu dają po 2 równania odpowiednie dla b i c. Ponieważ ai aj- + bt bk -)- c* — 0, przeto okazuje się, że czynniki, które w układzie równań takich, jak (5), znajdują się w nawiasach, są równe zeru każdy zosobna, a stąd wynika, że

f/SC

dp — —--f- q . SC ■— r . S"/] = SCf + q . SC — r . df],

dq r= -f- r . SC — p . SC = St/ -f- r . SC — p . SC, dr r= —-jj- Ą- p .dt] — 7 . SC = SCr -f- p . dt] — q . SC.

Wstawmy te wartości w ST i zważmy, że

ST

ST

ST

ST

ST

ÔT

ST =    ₊    ^ + _ SC' -h TU « +    ^    «C,

SC

d‘t]

SC

to ż porównania obudwu wartości téj waryjacyi mieć będziemy:

óT

(6)

di' ~Ap'

ÔT

drf

dT

= -TÏT — Cr,

dT

dT

dT

— (B — C) ?r, — = (0 — A)rp, — — (A—B) pq.

di

Jeżeli te wartości wstawimy w równanie, wyrażające zasadę Hamiltona, lub w równania Lagrange’a, wynikające z tej zasady, i uwzględnimy, że praca przygotowana w przypadku rozważanym wyraża się wzorem UW L . di -f- M . Sij -f- N . d£, otrzymamy równania Eulera. Te równania można także otrzymać z równań kanonicznych nichu, co pozostawiamy czytelnikowi.

(x, y, z), którego odległość od środka masy jest r, i oznaczmy, jak

(3). Twierdzenie podane stosuje się widocznie do każdego układu materyjalnego, ktorego środek masy porusza się jednostajnie po linii prostej. Obierzmy na tej prostej punkt dowolny

w art. 142-im, przez Gr*,, Gy i Gz momenty ilości ruchu układu względem 3-ch prostych równoległych do osi spółrzędnych i poprowadzonych przez punkt m. Jeżeli, odpowiednio do równania (6) art. 142-go, przyjmiemy Gx — |X>r -j~ S*, G?/ = |x?/ -f- S,„ Gz — [X₂ -{- S*, to tylko [J^, [xÿ i będą funkcyjami spółrzędnych punktu m. zaś S^., Sy i S₂ nie zależą od tych spółrzędnych. Stosując równania (6) art. 71-go, otrzymamy

\i‘x— M

a podobnie [Xy i jx₂; jeżeli jednak uwzględnimy, że x — i -f-

(li

ui\

—r, y='f\ + r.~ dt    di

dt

z = Ç + r . — , to wyniknie [X* = [Xÿ = [X₂= 0, a stąd G* : Gy : Gz = S* : Sy : S*,

co wyraża właśnie twierdzenie podane, albowiem dostawy kierunkowe prostopadłej do płaszczyzny niezmiennej, odpowiadającej punktowi m, są odpowiednio proporcyjo-nalne względem Gx, Gy i G₂.

(4) . Dowodzenie podobne, jak (3).

(5) ; Oznaczmy przez ml, m₂ i rn₃ punkty ^ obrane na osiach bezwładności w odległościach od O odpowiednio xx — Omy ■=■ £ J/"hi : A, y₂    0m₂ — £ M : B, z₃ = .

= Om₃ = £ J/ M : C, to składowe prędkości tych punktów, wzięte w kierunkach osi bezwładności, możemy obliczyć z równań (16) art. 43-go. Czyniąc to i oznaczając odpowiednio przez i>₁₅ v₂ i v₃ prędkości punktów powyższych, mieć będziemy

£²M

a stąd po łatwych przerobieniach

»1*1 +»2² + »3² =

£²M

£²M

ABC

£²M

(p² + r²), v₃² = —^~ (ę²-hp²),

[2T (A + B-f C) — G²],

co jest wielkością stałą, gdy na układ żadne siły nie działają.

(6). Równanie elipsojdy bezwładności jest Ax² -|- By² Cz² — 1, a równanie płaszczyzny średnicowej, równoległej do płaszczyzny niezmiennej, jest Ąp. % -f-

-f- B# . y -f- Cr . 2: = 0; wyznaczywszy osi główne odpowiedniego przekroju elipsojdy bezwładności (Ob. Gieometryją analityczną Wł. Zajączkowskiego str. 418 — 419), można dowieść tego twierdzenia.

dz

dz

d²z

()²Z

d²Z

(7). Przyjmijmy Pl z= — ,

natenczas krzywizna k danej powierzchni F (#, y, z) zzz 0 wyrazi się przez wzór następujący:

9i — t-t ri =

dy

dx² ’

Si =

dxdy 1    1 dy² ’

k _ O — V

(1+Pi² + ?,²)²*

Obliczmy powyższe pochodne dla elipsojdy bezwładności i wprowadźmy następnie spół-rzędne punktu bieżącego polodyi, mianowicie x=p:\/^2T, y~q: J/2T, z =

— r : \/r2T, a otrzymamy wyrażenie następujące na krzywiznę tej elipsojdy w każdym punkcie polodyi:

k = ABC .

(»'

(8) . Uwzględnić równanie Ap . x -j- Bq . y + Cr . z — \/2T = 0 płaszczyzny stycznej do elipsojdy bezwładności w punkcie polodyi, tudzież równania krzywych ogniskowych powierzchni stopnia 2-go ze środkiem, podane w Gieometryi analitycznej Wł. Zajączkowskiego str. 428 — 431.

(9) . Dowodzenie podobne, jak (5).

ROZDZIAŁ XV.

(1). Jeżeli w chwili wystrzału prędkość bezwzględną pocisku, v₂ prędkość bezwzględną działa, natenczas v, : v₂ = — m : M, a ponieważ v = vt -f- v₂, przeto v₂ — mv : (M -f- ni). Ponieważ tarcie /My wywołuje stałe opóźnienie fg działa, przeto ruch działa jest jednostajnie opóźniony,

a stąd wynika, że działo cofać się będzie przez czas

v oznacza

prędkość pocisku względem działa, i\

mv

—î—.    —y»².

2 fg \ M -f- m /

fg (M + m)

, a droga j ego wyniesie

(2) . Oś wahania jest równoległa do osi większej elipsy i przechodzi środek połowy osi mniejszej.

(3) . Niech k będzie ramieniem bezwładności wahadła o masie m względem osi wahania, h odległością środka masy od tejże osi, natenczas l =. k² : h jest jego długością zredukowaną. Aby l przyrosło o X, dodajemy w odległości x od osi wahania małą masę fi, a wtedy będzie l -f- X — {mk² -f- |jue²) : (mh -p [ix). Wyznaczmy stąd ja i szukajmy warunku, żeby ja było najmniejszym, to otrzymamy 2x = / + X, a ponieważ X jest bardzo małe, przeto możemy przyjąć 2x = l. Czytelnik wyznaczy zmianę trwania wahnięcia przez dodanie masy regulującej ja.

(4) . Czytelnik rozwiąże to zadanie przy założeniu, że środek masy S wahadła wydrążonego i środek masy s kuli płynnej nie znajdują się na prostej, prostopadłej do osi wahania, lecz że prostopadłe do tej osi, poprowadzone przez S i s, tworzą kąt wia-

przez

domy a. Przyjmując małe wahnięcia, można scałkować równanie ruchu, a biorąc a = 0, można podać rozwiązanie w przypadku szczególnym, odpowiadającym temu założeniu.

(5). Używając sposobu 1-go, oznaczmy przez M masę, przez k ramię bezwla-' dności (względem osi wahania) wahadła razem z działem, przez m masę pocisku, przez o odległość osi działa od osi wahania, przez h odległość środka masy wahadła razem z działem od osi wahania, przez cp odchylenie mierzone wahadła wskutek wystrzału, to prędkość v pocisku jest

co|-<s

2 M k \/ gTi

Używając zaś sposobu 2-go, oznaczmy przez M masę wahadła, przez k jego ramię bezwładności względem osi, przez h odległość jego środka masy od tejże osi, a przez o odległość środka masy pocisku, utkwionego w masie wahadła, od osi wahania tegoż wahadła, natenczas

to [-6

v •=. 2 . —ß- \ ' (M/j -|- md) (Mi² -j- md²) . si: mb

(6) . Niecli co oznacza prędkość kątową obrotu pręta, a na element dx w odległości x od osi obrotu niech przypada opór jaw² x² . dar, niech l będzie długością, mk2 momentem bezwładności pręta, wówczas

t stałej .

1 __    [U³

co

3 mk²

(7) . Obierzmy kierunek toczenia się kuli jako kierunek osi ar, a kula o promieniu r i momencie bezwładności mk² względem średnicy niech dotyka się płaszczyzny w punkcie M; jeżeli M₀ jest położeniem początkowym (dla t rrz 0) punktu styczności na kuli, zaś N₀ jego położeniem na osi ar, to warunek toczenia się jest N₀M = łukowi M₀M, a gdy kula obróciła się o kąt cp i a: liczymy od N₀, to ten warunek wyrazi się wzorem x — rep. Oznaczmy tarcie przez F, to mamy następujące 2 równania ruchu:

d²x    .    d² cp    ^

m .    “ mg . sin a — r , mk- .    — U,

z których 1-sze wyznacza ruch postępowy kuli, 2-giejéj obrót około średnicy poziomej, prostopadłej do osi ar. Rugując cp zapomocą warunku x — rep, można wyznaczyć

i okazać, że kula będzie się toczyła bez ślizgania się, gdy    tang».

za-

(8). Gdy / <c! ■— tang a, natenczas    — i. cos a, podczas gdy w

7    dt 2 r

— . sina. r

(10). Poprowadźmy na płaszczyźnie ruchu trójkąta ABC przez punkt A osi spółrzędnych x i ?/; niech w czasie t pręt AB tworzy z osią x kąt a, pręt BC kąt ß, a pręt BC z prętem AB kąt cp, przyjmijmy nadto AB — BC = 2a, oznaczmy jirzez mk² moment bezwładności każdego pręta względem prostej, poprowadzonej przez Bibl. mat.-fiz,, S. IV, T. X.

daniu poprzedzającym — dt

jego środek i prostopadłej do płaszczyzny ruchu, przez co prędkość kątową obrotu pręta AB około A, przez w, prędkość kątową obrotu pręta BC około B. Zaniedbajmy ciężary własne prętów, natenczas reakcyja osi obrotu A i natężenie nici AC są jedynymi siłami przyłożonymi; ponieważ suma momentów tych sił względem A jest równa zeru, przeto możemy zastosować równanie (9) art. 157-go, biorąc N = 0, a jeżeli to równanie scałkujemy, otrzymamy

(1)

M (i7]' — rj$') -j- lep' = c,

gdzie c jest stałą, a pochodne względem czasu oznaczyliśmy przecinkiem u góry. Jeżeli promień wodzący r i kąt biegunowy łt są spółrzędnymi środka (środka masy) pręta BC, to lewa strona równania (1) dla obudwu prętów razem będzie miała wartość m [(&² -f- a²) (0 -f- ?'² b¹' + A²^i] ; dla wyznaczenia stałej c mamy warunki, że dla t — 0 : co =r 9-' — &, r² — 3a² (bo trójkąt ABC był pierwotnie równobocznym), więc c = 2 m ß (k² -j- 2a²), a stąd

(k² -f- a²) 0) -f- r² ■8’r -f- k² (ùl — 2 ß (k² -f- 2 a²).

(2)

171

Zastosujmy dalej zasadę pracy. Energija kinetyczna pręta AB jest — (k² -f- a²) to²;

aby obliczyć energiją pręta BC, obierzmy na nim punkt (z, y) w odległości X od środka, to xzzrrcostt -f- Xcosß, y =:r sin J -J- Xsinß, różniczkujmy te równania i zważmy,

(r² 9^² -f- r¹'2, -f- t²W₁²).

że to* — ßf, to otrzymamy energiją tego pręta równą

5 KM

[(&² + a²) (O² -j- r- 9-'²-f-

Wprowadziwszy warunek, że r' =z 0 dla i = 0, otrzymamy

-j- r'² -f- ł²co₁² — 2 (k² -f- 2«²) &²] jako przyrost energii obudwu prętów od początku ruchu. Niech p będzie długością nici AC w czasie /, to natężenie T wyrazi się wzorem

E

-—(p •—2o), w którym E jest spółczynnikiem sprężystości nici (art. 188), 2a

a praca tego natężenia będzie

T. (/p — — v    2 a

J2a

Zasada pracy daje więc równanie następujące:

2a

(P 2«) dp =    ~~ (p 2a)².

(3)

m [(&² -f- ó²) O)²    r² 9¹'² -f- r'² -f- k² —2 m (k² -f- 2a²) ß² — —— (p — 2n)².

Między niewiadomymi mamy następujące związki gieometryczne : <p = ß •— a, a stąd

(to = a.')

(4)

Y — w, — to;

następnie r² z= 5a² -{- 4a² coscp, a stąd

(5)

r r' — — 2 a² (co, •— co) sin cp ;

dalej sin (9- — a) : sin tp = a : r, a stąd

(6)

(9f — to) cos (9- — a) = (cot — to)

(i    2a³    .    \

— cos <p -|--— sin² <pJ

nareszcie

(7)

p² -f 2 a² — 2r².

Wyrugujmy cot z równań (2) i (4), wstawmy następnie 4)-r z (6), wyraźmy cos (fr — a), wyraźmy r przez cp, a p przez r według (7), i wstawmy te wartości w (3), to otrzymamy równanie między cp i t. określające obrót pręta BC względem AB. W chwili, gdy nić staje się najdłuższą, będzie p' = 0, a ponieważ według (7) i (5) pp' = — — 4«²(co! — m)sincp, więc w tej chwili bądź simp — 0, bądź (o, — Założenie sin © — 0 oznacza, że obadwa pręty stanowią liniją prostą, a wtedy p — 4« jest największą długością nici; założenie co, := co daje według (6) fr' rr: co, ~ co, a według

(5) r' — 0. Wprowadziwszy te wartości w (2) i (3) i wyraziwszy r według (7), otrzymamy 2 równania, które dają co i p w chwili największego wydłużenia nici. Podane

7E

równania pozwalają obliczyć prędkości kątowe co i cot dla <p = — , tudzież najmniejszą

wartość 11, żeby dla cp = ~ prędkości co i co, miały wartości rzeczywiste.

(13) . W tym zadaniu można rozróżnić 2 przypadki, mianowicie: 1) Każde koło jest'stale połączone ze swoją osią, jak w wozacli kolejowych, a wtedy siła pociągowa ma do pokonania tarcie kół o podstawę, tudzież tarcie czopów. 2) Każde koło obraca się swobodnie około swej osi, jak w wozach zwykłych, a wtedy zamiast tarcia czopów należy uwzględnić tarcie, zachodzące między osią a piastą koła. Ponieważ średnica otworu w piaście koła jest nieco większa od średnicy osi, przeto piasta i oś dotykają się wzajemnie w pewnej prostej, która względem pionu, poprowadzonego przez środek koła, znajduje się w kierunku przeciwnym działania siły pociągowej, w punktach tej prostej zachodzi reakcyja normalna między kołem a osią, tudzież re-akcyja styczna, przedstawiająca tarcie. Wyznaczywszy reakcyje normalne, można obliczyć siłę pociągową.

(14) . Mech 2a oznacza długość, M masę pręta, m masę kuli, v₀ i v prędkość kuli przed uderzeniem i po uderzeniu, w prędkość kątową pręta po uderzeniu, natenczas

3 m — M

V — V0‘ Bm _f_ M" ⁵ “ “ , 0 ' a (3 m + M) ‘

(15). Użyjmy fig. 48-éj w Rozdz. XI z tą odmianą, że prosta SO niech tworzy z osią x kąt a, zaś 2 a niech będzie długością pręta. Wprowadziwszy reakcyje Rj, i R₂, wypiszmy 2 równania ruchu środka masy S, a równanie (8) art. 157-go zastosujmy do punktu, w którym przecinają się reakcyje. Wprowadziwszy następnie kąt a, otrzymamy równanie następujące :

sina,

2ga

k²-\-a²

\V którym k jest ramieniem bezwładności pręta względem prostej, poprowadzonej przez S prostopadle do pręta, C stałą. Z danych warunków początkowych, że, gdy

da

(16). Ob. art. 146-y i 147-y.

(22). Przyjmijmy, że kula toczy się na £>łaszcz3Tźnie wzdłuż prostej, prostopadłej do osi obrotu téj płaszczyzny. Punkt, w którym ślad kuli na płaszczyźnie przecina oś obrotu, przyjmijmy jako początek O ruchomego układu osi spółrzędnych, ów ślad jako oś 0£, prostopadłą do niego na płaszczyźnie pionowej jako oś Otj, a oś obrotu jako oś 0£; niech £ i 7] oznaczają spółrzędne środka kuli, <p kąt, który ten promień kuli, który w chwili t =: 0 był prostopadły do płaszczyzny, tworzy z osią Otj, R promień kuli, Mk² jej moment bezwładności względem średnicy, to prędkość kątową obrotu płaszczyzny. Wyraziwszy energiją ruchu względnego kuli przez pochodne £' i cp' (r/ = 0, ponieważ 7] jest stałe), zastosujmy równanie (6) art. 145-go i uwzględnijmy warunek toczenia się, £' =.ry\ to otrzymamy równanie różniczkowe 1 -f-

k²

^    = to² £ -f- g sin to f, którego całka pozwala wyrazić £ przez t i przez 2 stałe

C, i C₂, zależne od warunków początkowych. Wstawiwszy za k wartość, otrzymamy całkę tego równania :

s=—

—2    + c, e

12 to²

(24). Stosując zasady, jiodane w art. 142-im, można okazać, że, jeżeli obrót pierwotny z prędkością kątową co zachodził około osi, której dostawy kierunkowe względem osi bezwładności były a, ć, c, a obrót nowy zachodzi około osi, której dostawy kierunkowe są on ic₍, natenczas prędkość kątowa oj, tego obrotu daje się obliczyć z równania następującego:

to

A . o Oj -f- B . bbt -f- C . cct ~ÄV + B4j² + Cc,²

ROZDZIAŁ XVII.

(1) . Obrawszy obie proste na jednej z płaszczyzn spółrzędnych, zastosować równania (4) i (5) art. 178-go.

(2) . Zastosować równanie (9) art. 180-go, zważając na to, że superjmzycyja polega na dodawaniu dwu odkształceń, zachodzących w tym samym kierunku.

(3) . Xiech a, J, c oznaczają dostawy kierunkowe osi głównych, I moment bezwładności przed odkształceniem, I' po odkształceniu, natenczas

r = I + 2 [a X, (6» + c²) + p (c² + a²) + T X₃ (a² + i²)],

gdzie a, ß, y mają znaczenie, podane na str. 251 w zadaniu (2).

(4) . Przyjmijmy początek pionowej osi y w środku masy przekroju swobodnego (najniższego) pręta, oznaczmy przez p stałe natężenie pręta, przez F₀ pole przekroju swobodnego, a przez y ciężar jednostki objętości pręta, natenczas pole F przekroju w odległości y od przekroju swobodnego wyznacza się wzorem następującym:

— y

F = F₀/ .

(5) . Rozważając warunki równowagi walca skręconego, można przyjąć, że natężenie styczne w punkcie dowolnym jego przekroju jest proporcyjonalne względem odległości tego punktu od osi walca. Na podstawie tego przypuszczenia można otrzymać równanie, podane przy końcu art. 189-go i okazać, że włókno, równoległe do osi walca i znajdujące się w odległości y od tejże osi, może być po odkształceniu uważane

za liniją prostą, tworzącą z osią walca taki kąt cp, że tg(p =: — , gdzie 6 oznacza kąt

skręcenia przekroju, którego odległość od przekroju utwierdzonego jest równa x.

(6) . Zastosować postępowanie, podane w art. 190-ym.

(7) . Przyjąć ii, r, w proporcyjonalne odpowiednio względem x. y, z.

(8) . Stosując znakowanie art. 192-go, otrzymamy następujące linije węzłów:

a) W przypadku (i = 2, k — 2) : prostą y = — i prostą z == — . b) W przypadku

U    Ł

2a

2«

(i ~ L k ~ 3) lub (i = 3, k — 1) : proste y — —

y z, y — a — z, i koło COS²

— 4- cos² — =

(9). Obierając środek koła jako początek spółrzędnych, wprowadźmy spół-rzędne biegunowe r i cp zapomocą równań y = r coscp, z ==. rsinip, wtedy otrzymamy

d²u

d²u

d²u

d²U

ày

dz²    r²

d log r²

d'p

y.

a stąd równanie różniczkowe drgań poprzecznych błony okrągłej:

d²u

dt²

- (

r2 V

d²u

d log r²

+ TT.

d~u

dtp

y-

(10). Przyjmując, że struna wyprężona ma kierunek osi z, otrzymamy teżsame równania, które podaliśmy w art. 191-ym pod (2).

ROZDZIAŁ XVIII.

(2). Przyjmijmy średnicę poziomą półkola o promieniu r jako oś #, a promień pionowy na dół jako oś z, natenczas dla dwu punktów podziału, po sobie następujących i leżących na osi z, mianowicie dla punktu (i — ])-go i i-go, otrzymamy równanie następujące:

n (z;—!³ — Xi³) — r³ = 0,

przyczym r₀ = r, xn “ 0.

(3). Obierzmy środek kuli jako początek osi spółrzędnych, osi x i y poziomo, oś z pionowo na dół, i oznaczmy przez o gęstość cieczy, natenczas składowe X, Y, Z ciśnienia będą wyrażone przez równania następujące :

Xzzzay

11-

dx dy, Y — 3y

11

y dx dy, Z — Oy

11

z dx dy,

gdzie całki podwójne rozciągają się na 4-tą część powierzchni naczynia półkulistego.

(4). Niech trójkąt ABC będzie podstawą graniastosłupa prostego, s niech będzie gęstością graniastosłupa, a gęstością cieczy i przyjmijmy X s : o, a — BC, 5 = = CA, c=:AB, niech D będzie środkiem boku a, / = AD, kąt BAD = a, kąt DAC = = ß. Jeżeli graniastosłup pływa tak, że krawędź, przechodząca przez A, jest zanurzona w cieczy, której powierzchnia przecina bok AB w punkcie E, i przyjmiemy AE — x, natenczas x jest pierwiastkiem równania

x⁴ — 2/cosa. x³ -j- 2\lbc cosß ,x — X²b²c² — 0 ;

jeżeli zaś podczas pływania są zanurzone krawędzi, przechodzące przez punkty B i C, wówczas

x⁴ — 2/cosa. x³ -}- 2(1 — X) Ibc cosß . x — (1 — X)²b²c² = 0.

Niech powierzchnia cieczy przecina bok AC w punkcie F i przyjmijmy AF = y, natenczas w 1-ym przypadku xy — Xlc, zaś w 2-gim przypadku xy = (l—X)óc. O stałości pływania rozstrzyga twierdzenie, piodane w art. 198-ym.

(6). Przyjmijmy początek osi spółrzędnych w środku jioziomego dna naczynia, oś 2 pionowo w górę, i oznaczmy przez co prędkość kątową obrotu około osi z, natenczas powierzchnia cieczy jest wyrażona przez równanie

x² + y² ■--- (z — a) — 0 ,

w którym a oznacza stałą, którą należy obliczyć z wiadomej objętości cieczy w naczyniu.

(8). Przyjmijmy środek przyciągania O jako początek osi spółrzędnych, oś obrotu z prędkością kątową co jako oś z, i oznaczmy przez k²r przyciąganie punie tu w odległości r od O, natenczas równanie ogólne powierzchni cieczy jest (co² — 4²)(x²-f--f-y²)— k²z² =r stałej. Rozmaite kształty tej powierzchni zależą od związków między co i k.

(9). Obierzmy wierzchołek 0 parabolojdy jako początek osi spółrzędnych, oś z pionowo w górę, a x² -j- ya— 2az — 0 niech będzie równaniem tej powierzchni, co prędkością kątową obrotu cieczy około osi z. Jeżeli przed obrotem ciecz sięgała w parabolojdzie do wysokości Ä, natenczas równanie powierzchni cieczy wskutek obrotu będzie

Ciśnienie p w punkcie (x, y, z) wyrazi się równaniem

a, o

CÖ²

= — (*² 4- y²) — gz -f- b,

a jeżeli przyjmiemy, że na powierzchni cieczy zachodzi ciśnienie równe zeru, otrzymamy

a co

= ⁰    (*² + y²)'r~9z 4- * (y —

Uwzględnijmy równanie parabolojdy danej, natenczas ciśnienie w punkcie dowolnym téj powierzchni będzie

a (à

p~~ [(*—(æ2 + y²) + 2h V9{g —

a stąd otrzymamy ciśnienie na parabolojdę w kierunku osi z,

dXdy,

(z² -f y²) + 2/i }/ y (y — o (Da)J

gdzie należy wstawić krańce odpowiednie.

(10). Jeżeli r jest promieniem kuli, natenczas prędkość kątowa obrotu wynosi

ROZDZIAŁ XX.

(2). Ob. art. 217-y.

(5). Niech 2 c oznacza daną odległość ognisk układu linij prądu, wtedy ten układ możemy wyrazić równaniem

</²

--1--2

{JL {i, - C³

= 1,

w którym p. oznacza parametr zmienny, a potencyjał prądu ^ będzie funkcyją tego parametru. Przekształcając równanie A₂ <J> = 0, otrzymamy naprzód

d²Ą 4 a u. — 0 Ćty² + 4 -^2^ — 0,

a jeżeli wprowadzimy długość p prostopadłej ze środka elipsy na styczną w punkcie (z, y), to

skąd

p.-C²/ rfp.

A2ł = 2.0 + (i +

a więc

Alog(J/1s. + Kp. — c²) -f B,

gdzie A i B oznaczają stałe dowolne. Linijami potencyjalnymi są hiperbole spół-ogniskowe, a potencyjał prędkości jest

<p = A arc sin

Kv

+ Bu

gdzie [/ v oznacza połowę osi głównej hiperboli. Kuch sprzężony określają funkcyje powyższe, z tą tylko odmianą, że <[> jest potencyjałem prędkości a cp potencyjałem prądu.

(6).    (j) = Alog(?--[J.0), <p — — A(logr-f- 6); prędkość w biegunie jest

nieskończenie wielka.

(7). Podzieliwszy otwór prostymi poziomymi na elementy, możemy prędkość wypływu dla każdego elementu obliczyć według wzoru Torricelliego. Obierzmy płaszczyznę xy na powierzchni cieczy, oś z pionowo na dół, oznaczmy przez u szerokość otworu w głębokości z, przyczyni u z=z f {z) można wyznaczyć z wiadomego kształtu otworu, natenczas wydatek M otworu, t. j. objętość cieczy, wypływającej z niego w jednostce czasu, będzie wyrażona wzorem

u z ² dz

M = l/2y

Z|

w którym krańce zt i z.₂ zależą od kształtu i położenia otworu. Jeżeli / jest polem otworu, natenczas V n M : /przedstawia prędkość średnią wypływu cieczy.

(8) Niech r oznacza promień otworu kołowego, h głębokość jego środka pod powierzchnią cieczy, natenczas wydatek otworu jest

M = 2 } 2y

\/ r² -f- z¹. \/ h z. dz,

J — r

a jeżeli wstawimy z —rsin<f, rozwiniemy pierwiastki na szeregi i zastosujemy wzór wiadomy

TZ

sin2,i+l çp _ ₍/,p —

1.3.5....

2.4.6.“

lot to'

to

to| a

otrzymamy

1024

M = 71 r² (/ 2 (jh

[-itr

(9). Obierzmy płaszczyznę xy na dnie poziomym naczynia, oś s pionowo w górę, oznaczmy przez /pole otworu, przez F — cp (z) pole przekroju poziomego naczynia w wysokości z ponad dnem, natenczas wypływ cieczy trwać będzie przez czas

dz,

/vwr'z

gdzie należy wstawić krańce odpowiednie.

(10) . Zastosować postępowanie, podane w dwu zadaniach poprzedzających.

(11) . Używając takiego znakowania, jak w (9), oznaczmy jeszcze przez Q stały dopływ do naczynia w jednostce czasu, to poziom cieczy zniży się o dz w czasie

F. dz

-Q

dt~ww*

Ten wzór pozwala rozwiązać zadanie.

(12) . Należy uwzględnić ciśnienie cieczy otaczającej na otwór.

(13) . To zadanie można także rozwiązać według zasad, podanych dla ruchu cieczy, równoległego do płaszczyzny, jeżeli dane są warunki krańcowe. Uważajmy bowiem powierzchnią walca za granicę cieczy, to owa powierzchnia krańcowa porusza się z wiadomą prędkością U w kierunku prostopadłym do tworzących. Niech prędkość U ma kierunek osi ar, a ds niech oznacza element linii krzywej, podług której

płaszczyzna xy przecina powierzchnią walca, to jest prędkością cieczy w kierunku

normalnym do ds, więc — U . —, a stąd wynika dla owej linii krzywej na walcu ds    ds

gdzie a jest stałą dowolną. Znając ó, możemy stąd otrzymać linije prądu i rozpoznać ruch cieczy.

Niech £,*7] będą nowymi zmiennymi, które określamy równaniem x -J- i y — — b sin (£ -f- i 7]), gdzie b jest stałą. Wyraźmy stąd xiy przez £ i 7], wyrugujmy potyni 4. a następnie 7], to otrzymamy następujące 2 równania

cc²

y¹

’ sin² i

COS² 4

(eV + e—n)² ’ (cYl-e“Y))²

z których okazuje się, że równanie 4 — stałej przedstawia układ hiperbol spółogni-skowych, równanie zaś 7] = stałej przedstawia układ elips spółogniskowych, przyczyni 2 b jest odległością ich ognisk spólnych.

Przyjmijmy teraz <p-)-—    gdzie A jest stałą rzeczywistą, naten

czas (p -(- będzie funkcyją zmiennej zespolonej x -j- iy, przyczyni Ae — ^ cos £, więc według równania i{> = F y + o,

Ae ^cos4 = U i

e'l — e r‘

cos 4 -j- a.

W układzie linij, wyrażonych przez to równanie, znajduje się także elipsa, dla której

Ae~rl = Fb

a jeżeli a i ß oznaczają połowy osi tej elipsy, wtedy

e⁷) + e-n

-P

— uß

VI

a -F ß

-r

stąd potencyjał prądu

(jj — Uß

V!

e ric os 4.

Ta funkcyja określa ruch cieczy względem walca eliptycznego, poruszającego się z prędkością U w kierunku osi większej. W przypadku ruchu walca w kierunku osi mniejszej, otrzymalibyśmy

Vi

ri sin £.

(14). Użyjmy znakowania art. 221-go, przyjmując oś æ na dnie kanału, wtedy za p możemy przyjąć ciśnienie hidrostatyczne p — oy (Ti -j- 7] — y) + stałej, skąd dr\ .    ,

Objętość warstwy cieczy o szerokości 1 między płaszczyznami x

dp

dx ~ °⁹ ' dr. '

i x + dx jest w czasie t równa hdx, a w czasie t -f- dt jest (h + 7j) (dx -f- dx^ , więc ^1 -f ^ (A -f Y]) — A jest równaniem ciągłości. Równanie ruchu tej warstwy⁷

. . Ä dH

jest o A

dp

dx -f* -j— (h rf) dx =. 0; jeżeli z tym równaniem połączymy 2 poprzedź    d²i    d²£

dzające i zaniedbamy —- , otrzymamy równanie ruchu — = gh. —którego całka ux    ot    ox

jest £ = F (x — ci) -\- f(x -f cż), gdzie c — gh .

' dt²

KRAKÓW

SPIS TERMINÓW MECHANICZNYCH,

W TYM DZIELE UŻYWANYCH, WRAZ Z WYKAZEM ICH OKREŚLEŃ I ODPOWIEDNIMI WYRAŻENIAMI NIEMIECKIMI, FRANCUSKIMI I ANGIELSKIMI.

Uwaga. Liczba w nawiasie oznacza artykuł, w którym znajduje się określenie terminu; (wp) oznacza wstęp, a pauza (—) wskazuje, źe wyrażenie odpowiednie nie bywa używane w języku obcym.

Anomalija excentryczna (91); excentrische Anomalie; anomalie excentrique, anomalie moyenne; escentric anomaly, mean anomaly.

Anomalija prawdziwa (91); wahre Anomalie; anomalie vraie; true anomaly.

Anomalija średnia ob. anomalija excentryczna.

Biegun chwilowy obrotu (153); — ; póle instantané de rotation;—.

Biegun momentu (25, 71); Pol des Moments; pôle du moment; pole of the moment.

Biegun prawdziwy (166);—; pôle vrai;—.

Biegun przyśpieszenia (56); Beschleunigungspol, Wendepol; pôle d’inflexion;—.

Biegun średni (166); —; pôle moyen;—.

Brachistochrona (95); Brachistochrone; brachistochrone; brachistochrone.

Centrodyja (48, 52); Polbahn, Curve der Momentancentra; courbe des centres instantanés; centrode.

Charakterystyka płaszczyzny (47); Charakteristik der Ebene; caractéristique du plan;—.

Ciało doskonale sprężyste (160); vollkommen elastischer Körper; corps parfaitement élastique; perfectly elastic body.

Ciało jednorodne (67); homogener Körper; corps homogène; homogeneous body.

Ciało niejednorodne (67); heterogener Körper; corps hétérogène; heterogene-ous body.

Ciało niesprężyste (160); unelastischer Körper; corps dénué de l’iéasticité; ine-lastic body.

Ciało równokierunkowe (lepiej : równo-zwrotne, 186); isotroper Körper; corps isotrope; isotropie body.

Ciało sztywne (wp); starrer Körper; corps rigide, solide; rigid body.

Ciągnienie (176); Zug; traction, tension; traction.

Ciążenie (215); Druekhöhe; charge;—.

Ciecz doskonała (193); vollkommene Flüssigkeit; liquide parfait; perfect fluid.

Ciężar (68); Gewicht; poids; weight.

Ciśnienie (72, 176); Druck; pression; pressure.

Ciśnienie boczne (169); Seitendruck; pression sur la paroi; pressure.

Ciśnienie hydrodynamiczne (215); hydrodynamischer Druck; pression hydrodynamique; hydrodynamical pressure.

Ciśnienie hydrostatyczne (215); hydrostatischer Druck; pression hydrostatique; hydrostatical pressure.

Faza drgania (222); Schwingungsphase ; phase de la vibration; phase of the vibration.

Deformacyja ob. odkształcenie.

Długość fali (222); Wellenlänge; longueur de l’onde; lengtk of the wave.

Długość zredukowana (162); reducirte Funkcyja potencyjalna ob. potencyjał

Länge; longueur du pendule composé;—.

przyciągania.

Doniosłość rzutu (90); Wurfweite; am- Funkcyja siły ob. potencyjał siły. plitude du jet; range of the projectile. Gęstość (67); Dichte; densité; density.

roscope.

Granica sprężystości (175); Elasticitäts-grenze; limite de l'élasticité; limit of elasticity.

Herpolodyja (153); Herpolodie; herpolo-die; herpolhode.

Hodograf (14); Hodograph; hodographe; hodograph.

Drganie harmoniczne ob. ruch harmoni- Giroskop (167); Gyroscop; gyroscope; gy-czny.

Drganie podłużne (191); Longitudinalschwingung; vibration longitudinale; longitudinal vibration.

Drganie poprzeczne (191); Transversalschwingung; vibration transversale; transversal vibration.

Drganie proste (18); gerade Schwingung;

vibration rectiligne; rectilinear vibra- Ilość ruchu (69, 142 ); Moment der Bewe-tion.    gung, Bewegungsgrösse; quantité de

Droga (2); Weg; chemin; way.    mouvement; momentum.

Dyna (68); Dyne; dyne; dyne.    Impuls ob. popęd chwilowy.

Dynamika (wp); Dynamik; dynamique; dy- Kąt skręcenia (189); Torsionswinkel; namics.    gle de torsion; angle of torsion.

Kąt tarcia (118); Reibungswinkel; angle de friction, angle de repos; angle of friction, angle of repose.

an-

Działanie (85); Wirkung; action; action.

Elewacyja rzutu (90); Elevation; inclinaison, élévation; angle of projection.

Elipsa bezwładności (100); Trägheitsellip- Kierownica ruchu (20).—

se; ellipse d’inertie; ellipse of inertia, Kierunek główny (203); Hauptrichtung; momental ellipse.    direction principale; principal direction.

Elipsa centralna (100); Centralellipse;    Kinematyka (wp); Kinematik; cinémati-

ellipse centra le; centra 1 ellipse.    que; kinematics.

d’inflexion; circle of inflexions.

Elipsojda bezwładności (100); Trägheits- Kinetyka (wp); Kinetik; cinétique; kinetics. ellipsoid; ellipsoïde d’inertie; ellipsoid Koło przegięcia (56); Wendekreis; cercle of inertia, momental ellipsoid.

Elipsojda centralna (100); Centralellip- Kołysanie się ob. nutacyja.

soid; ellipsoïde central; central ellipsoid. Krążenie (209); Strömung; circulation;

circulation.

Elipsojda natężeń (182); Spannungsellip-

soid, Druckellipsoid; ellipsoïde de Kręcenie się (21); Drehung um einen pressions; stress ellipsoid.    Punkt; rotation autour d’un point; ro-

Elipsojda odkształcenia (180); Déforma- tation round a point.

tionsellipsoid; ellipsoïde de déforma- Krzywa prędkości (14); Geschwindigkeits-

tion; strain ellipsoid.

Energy a całkowita (144); totale Energie;

énergie totale; total energy.

Energija kinetyczna (77, 88, 138); kinetische Energie, lebendige Kraft; éner- Linija łańcuchowa (117); Kettenlinie;

chaînette; catenary.

Linija materyjalna (66); materielle Linie; ligne matérielle; material line.

courve; velocities.

curbe de vitesses; curve of

Lepkość (193, 223); Viscosität; viscosité; viscosity.

gie cinétique, force vive; kinetic energy, vis viva.

Energija potencyjalna (144); potentielle

Energie; énergie potentielle; potential Linija potencyjalna (216); Potentialcur-

ve; ligne équipotentielle; equipotential

energy.

curve.

Fala (191); Welle; onde; wave.

Fala płaska (191); ebene Welle; onde Linija prądu (214); Stromlinie;—; line

plane; plane wave.

of flow, stream-line.

Linija węzłów (155, 192); Knotenlinie; ligne des noeuds; nodal line.

nung, Schubspannung; pression tangen-tielle; tangential stress, shearing stress.

Natężenie wiru (208); Intensität des Wirbels; intensité du tourbillon; strength of the vortex.

Nutacyja (155); Nutation; nutation; nutation.

Linija wirowa (207); Wirbellinie;—; vor-tex line.

Łączność (211); Zusammenhang; connexion; connexion.

Masa (67); Masse; masse; mass.

mechanics.

Moduł sprężystości ob. spółczynnik sprężystości.

Moment bezwładności (99); Trägheitsmo- Obrót składowy (23); Componente der

Rotation; rotation composante; compo-nent rotation.

Mechanika (wp); Mechanik; mécanique; Obroty sprzężone (35); conjugirte Rotationen; rotations conjuguées; conjugate rotations.

Obrót ob. ruch obrotowy.

ment; moment d’inertie; moment, of inertia.

Moment bezwładności biegunowy (101); Obrót własny (155); Eigendrehung; rota-połares Trägheitsmoment; moment d’inertie polaire; polar moment of inertia. Obrót wypadkowy (23); resultirende Ro-

Moment główny (100); Hauptträgheitsmo-moment; moment principal; principal moment.

Moment ilości ruchu (142); Moment der Bewegungsgrösse; moment, de la quantité de mouvement; moment of momen-tum.

Moment obrotu (25, 26); Drehungsmoment; moment de la rotation; moment of the rotation.

Moment masy (97); Massenmoment; moment de la masse; moment of the mass.

Moment momentu ruchu ob. moment ilości ruchu.

Moment pary obrotów (28); Moment des Rotationspaars; moment du couple de rotations; moment of the couple of rotations.

Moment pary sił (109); Moment des Kräftepaars; moment du couple de forces; moment of the couple of forces.

Moment przygotowany ob. praca przygotowana.

Moment ruchu ob. ilość ruchu.

tion propre;—.

tation; rotation résultante; résultant rotation.

Obszerność drgania (18); Amplitude der Schwingung; amplitude de la vibration; amplitude of the vibration, range of the vibration.

Obszerność wahania (92); Amplitude der Schwingung; amplitude de l’oscillation; amplitude of the oscillation, range of the oscillation.

Odchylenie drgania (18); Elongation der Schwingung; élongation de la vibration; élongation of the vibration.

Odchylenie obrotu (22); Amplitude der Rotation; déplacement angulaire; angular displacement.

Odchylenie wahadła (92); Elongation des Pendels; élongation du pendule; élongation of the pendulum.

Oddziaływanie ob. reakcyja.

Odkształcenie (175); Deformation; déformation; strain.

Moment skręcenia (189); Torsionsmoment;

moment de torsion; moment of torsion. Moment siły (71); Moment der Kraft; moment de la force; moment of the force. Natężenie (176); Spannung, Druck; pression; stress.

Odkształcenie sprężyste ( 175); elastische Deformation; déformation élastique; elastic strain.

Odkształcenie trwałe (175); bleibende Deformation; déformation permanente; permanent strain.

Odpychanie (84, 120); Abstossung; répulsion; repulsion.

Ebene; foyer du plan; focus of the plane.

Okres ob. peryjod.

Opór (72); Widerstand; résistance; resis-tence.

Natężenie główne (182); Hauptspannung, Ognisko płaszczyzny (47); Brennpunkt der Hauptdruck; pression principale; principal stress.

Natężenie normalne (176); Normalspannung; pression normale; normal stress.

Natężenie styczne (176); Tangentialspanwicht des schwimmenden Körpers; équilibre instable du corps flottant; instable equilibrium of the floating body.

Opóźnienie (7); Verzögerung; retardation; retardation.

Oscylacyja ob. wahanie się.

Osi sprzężone obrotu (35); conjugirte Ro- Pływanie stałe (198); stabiles Gleichge-tationsaxen; axes de rotation conju- wicht des schwimmenden Körpers; équi-gués; conjugate axis of rotation.    libre stable du corps flottant; stable

Oś bezwładności (100); Trägheitsaxe; axe equilibrium of the floating body.

d’inertie; principal axis of inertia.    Polodyja (153); Polodie; polodie; polhode.

trieb; impulsion élémentaire; elementa-ry impulse.

Popęd elementarny ob. popęd chwilowy, axe principal; Popęd siły (69, 142); Antrieb; impulsion; impulse.

Posunięcie się (177); Gleitung^ Schiebung; glissement; sliding.

Potencyjał prądu (216); Strömungspotential; potentiel du flux; streampo-tential.

Oś centralna (32, 34, 110); Centralaxe; Popęd chwilowy (69, 142); Elementaran-axe central; central axis.

Oś chwilowa (38, 51, 60); Momentanaxe; axe instantané; instantaneous axis.

Oś główna (100); Hauptaxe; principal axis.

Oś główna bezwładności ob. oś główna.

Oś momentu (26, 71); Axe des Moments; axe du moment; axis of the moment.

Oś niezmienna (152); invariable Axe; axe invariable; invariable axis.

axe; axe de rotation; axis of rotation.

Oś pływania (197); Schwimmaxe; axe de flottaison; axis of floating.

Oś sprężystości (186); Elasticitätsaxe; axe d’élasticité; axis of elasticity.

Oś swobodna (149); freie Axe, permanente Axej axe permanent; permanent axis. Potencyjał siły (77, 113); Potential; po-Oś strugi (214); Axe des Stromfadens; tentiel; potential.

axe du filet; axis of the tube of flow. Powierzchnia centralna (41); Fläche der Oś średnia (166); — ; axe moyen;—.    Momentanaxen; surfaces des axes in-

Oś trwała ob. oś swobodna.    stantanés;—.

du Powierzchnia falowa (191); Wellenfläche; surface d’onde; wave surface. Powierzchnia kierująca (182); Leitfläche;

surface directrice;—.

Powierzchnia materyjalna (66); materielle Fläche; surface matérielle; material surface.

Oś. obrotu (21); Drehungsaxe, Rotations- Potencyjał prędkości (205); Geschwindigkeitspotential; potentiel de vitesse; ve-locity-potential.

Potencyjał przyciągania (124); Potential der Anziehung (Newton’sches Pot.); potentiel de l’attraction; attraction-poten-tial.

Oś wiru (208); Axe des Wirbels; axe tourbillon; axis of the vortex.

Parametr skrętu (31); —.

Parametr układu skrętów (32).'—.

Parametr układu sił (28). —.

Para obrotów (28); Rotationspaar; couple de rotations; couple of rotations.

tentialfläche, Niveaufläche; surface é-quipotentielle, surface de niveau; equi-potential surface, level surface.

Powierzchnia poziomu ob. powierzchnia potencyjalna.

Powierzchnia równowagi (83); Gleichgewichtsfläche; surface d’équilibre; surface of equilibrium.

Para sił (109); Kräftepaar; couple de foi¹- Powierzchnia potencyjalna (83, 196); Po-ces; couple of forces.

Parcie (197); Auftrieb; poussée; résultant

pressure.

Peryjod (18, 222); Periode; période; period.

Płaszczyzna ciążenia (215);—■; plan de charge;—.

Płaszczyzna kierująca (21).—.

Płaszczyzna niezmienna (141); invariable Powierzchnia toru (45); — ; surface trajec-Ebene; plan invariable; invariable plane.    toire; —.

Płaszczyzna pływania (197); Schwimm- Praca (82); Arbeit; travail; work.

ebene; plan de flottaison; plane of floa- Praca elementarna (82); Elementarar-ting.    beit; travail élémentaire; elementary

Pływanie niestałe (198); labiles Gleichge- work.

Przyśpieszenie dwunormalne (13); Binor-malbeschleunigung; accélération binor-male; binomial accélération. Przyśpieszenie elementarne (9, 11, 13); Elementarbeschleunigung; accélération élémentaire; elementary accélération. Prędkość (3, 6); Geschwindigkeit; vitesse; Przyśpieszenie elementarne dośrodkowe

Praca mechaniczna oh. praca.

Praca przygotowana (73, 103); virtuelle Arbeit; travail virtuel; virtual work. Prąd (209); Strömung; flux; flux, flow. Precesyja (155); Präcession; précession; pre cession.

velocity.

Prędkość fali ob. prędkość przewodnictwa.

Prędkość kątowa (22); Winkelgeschwin- Przyśpieszenie elementarne normalne (11); digkeit; vitesse angulaire; angular ve- normale Elementarbeschleunigung; accé-locity.    lération élémentaire normale; normal

Prędkość przewodnictwa (191,    221); elementary accélération.

Fortpflanzungsgeschwindigkeit; vitesse Przyśpieszenie elementarne styczne (11); de propagation; velocity of propagation.

Prędkość składowa (4); Seitengeschwindigkeit, Componente der Geschwindig-

ob. przyśpieszenie elementarne normalne.

schleunigung; accélération angulaire; angular accélération.

tangentiale Elementarbeschleunigung; accélération élémentaire tangentielle; tangential elementary accélération, keit; vitesse composante; component Przyśpieszenie kątowe (22); Winkelbevelocity.

Prędkość średnia (14); mittlere Geschwindigkeit; vitesse moyenne; mean velocity. Przyśpieszenie normalne (11); Normal -

Beschleunigung, Centripetalbeschleuni -gung; accélération normale, centripète; normal accélération.

Prędkość unoszenia (4, 59); — ; vitesse d’entraînement;—.

Przyśpieszenie normalne rzędu 2-go (13); Normalbeschleunigung 2-ter Ordnung; accélération normale du 2-nd ordre; normal accélération of the 2-nd order.

Prędkość    wycinkowa (15);    Sectorenge-

schwindigkeit; vitesse aréolaire;—.

Prędkość    wypadkowa (4);    resultirende

Geschwindigkeit; vitesse résultante; résultant velocity.

Prędkość    wypływu (215);    Ausflussge-    Przyśpieszenie    odśrodkowe (62);    Centrifu-

schwindigkeit; vitesse d’écoulement; ve- galbeschleunigung; accélération centri-locity of the vein.    fuge; centrifugal accélération.

Prędkość    względna (58); relative Ge-    Przyśpieszenie    odśrodkowe    złożone    (62);

zusammengesetzte Centrifugalbeschleu-nigung; accélération centrifuge composée;—.

Przyśpieszenie rzędu n-go (9); Beschleunigung n-ter Ordnung; accélération de l’ordre n\ accélération of the n-th order.

Przyśpieszenie styczne (11); Tangentialbeschleunigung; accélération tangentielle; tangential accélération.

Przyśpieszenie styczne rzędu 2-go (13); Tangentialbeschleunigung 2-ter Ordnung; accélération tangentielle du 2-nd ordre; tangential accélération of the 2-nd order.

Przyśpieszenie unoszenia (61);—; accélération d’entraînement;—.

schwindigkeit; vitesse relative; relative velocity.

Promień działania siły (69); Wirkungsstrahl;—;—.

Przekrój wiru (207); Querschnitt des Wirbels; section du tourbillon; cross-section of the vortex.

Przekształcenie (32, 70, 105); Transformation, Réduction; transformation, réduction; transformation, réduction.

Przesunięcie przygotowane (73); virtuelle Verschiebung; déplacement virtuel; virtual displacement.

Przyciąganie (84, 120); Anziehung; attraction; attraction.

Przyciąganie miejscowe (124); locale Anziehung; attraction locale; local attraction.    Przyśpieszenie względne (58); relative

Beschleunigung; accélération relative; relative accélération.

Punkt materyjalny (66); materieller Punkt; point matériel; material point.

Przyśpieszenie (7, 9, 11); Beschleunigung; accélération; accélération.

Przyśpieszenie dośrodkowe ob. przyśpieszenie normalne.

punkt; point d’application; point of application.

Punkt przyłożenia siły (69); Angriffs- Ruck chwilowy (6); Momentanbewegung;

mouvement instantané; instantaneous motion.

sion.

Ramię bezwładności (99); Trägheitsarm; bras d’inertie, rayon de gyration; radius of gyration.

Ramię pary sił (109); Arm des Kräftepaares; bras du couple; arm of the couple. Ruch jednostajnie zmienny (7); gleich-Reakcyja (115); Reaction; réaction; reaction.

Punkt zawieszenia (162); Aufhängepunkt; Ruch elementarny ob. ruch chwilowy, centre de suspension; centre of suspen- Ruch falowy (221); Wellenbewegung; mouvement ondulatoire; wave motion, un-dulatory motion.

Ruch harmoniczny (18); harmonische Schwingung; vibration harmonique; harmonie vibration.

förmig veränderliche Bewegung; mouvement uniformément varié; uniformly variable motion.

Ruch jednostajny (2); gleichförmige Bewegung; mouvement uniforme; uniform motion.

Ruch krzywolinijowy (2); krummlinige Bewegung; mouvement curviligne; cur-vilinear motion.

Redukcyja ob. przekształcenie.

Rozkład (4, 12, 70); Zerlegung; décomposition, résolution; décomposition, resolution.

Równanie ciągłości (201); Continujtäts-. gleichung; équation de continuité; équation of eontinuity.

gleichförmig veränderliche Bewegung; mouvement varié; variable motion.

Ruch niejednostajny (2); ungleichförmige Bewegung; mouvement varié; variable motion.

Równanie kanoniczne (79); kanonische Ruch niejednostajnie zmienny (9); un-Gleichung; équation canonique; canonic équation.

Ruch nieswobodny (76); unfreie, zwangläufige Bewegung; mouvement d’un corps assujetti à des liaisons; constraint motion.

Ruch niewirowy (205); Potentialbewegung;—; irrotational motion.

Ruch obrotowy (21); Rotation, Drehung; rotation, mouvement de rotation; rotation.

Równanie różniczkowe ruchu (75); Differentialgleichung der Bewegung; équation différentielle du mouvement; differential équation of the motion.

Równanie ruchu (6, 10);. Gleichung der Bewegung; équation du mouvement; équation of the motion.

Równowaga (70, 72, 102); Gleichgewicht; équilibre; equilibrium.

Równowaga niestała (114); labiles Gleichgewicht; équilibre instable; unstable equilibrium.

different equilibrium.

Równowaga stała (113); stabiles Gleichgewicht; équilibre stable; stable equili- Ruch peryjodyczny (18); periodische Bewegung; mouvement périodique; periodic motion.

Równowaga obojętna (114); indifferentes Ruch okresowy ob. ruch peryjodyczny. Gleichgewicht; équilibre indifférent; in- Ruch opóźniony (7); verzögerte Bewegung; mouvement retardé; retardated motion.

brium.

Równowaga względna (103); relatives

lation, mouvement de translation; translation.

Gleichgewicht; équilibre relatif; relati- Ruch postępowy (21); Translation; trans-ve equilibrium.

Rozszerzenie sześcienne (177); cubische

Dilatation; dilatation cubique; cubical Ruch posuwisty (21); Bewegung parallel

dilatation.

Ruch (wp); Bewegung; mouvement; motion. Ruch bezwzględny (1); absolute Bewegung; mouvement absolu; absolute motion.

Ruch centralny (15); Centralbewegung; mouvement central; central motion.

einer Ebene, ebene Bewegung; mouvement paralèllement à un plan, mouvement plan; uniplanar motion.

Ruch prostolinijowy (2); geradlinige Bewegung; mouvement rectiligne; rectili-near motion.

Ruch przyśpieszony (7); beschleunigte Be-

wegung; mouvement accéléré; accelera-ted motion.

Ruch środkowy ob. ruch centralny.

Ruch trwały (201); permanente, stationäre Bewegung; mouvement permanent; steacîy motion.

Ruch wirowy (205); Wirbelbewegung; tourbillonnement; vortex motion, rota-tional motion.

Ruch względny (1); relative Bewegung; mouvement relatif; relative motion.

Ruch zmienny ob. ruch niejednostajny.

Ruchy sprzężone (216); conjugirte Bewegungen; mouvements conjugués; conju-gated motions.

Rzęd swobody (42); Grad der Freiheit; degré de liberté; degree of freedom.

Sfera działania (228); Wirkungssphäre; sphère d’activité; sphere of activity.

Skład (4, 12, 23, 24, 27, 28, 32, ' 70); Zusammensetzung; composition; composition..

Skręcenie (189); Torsion; torsion; torsion.

Skręt (29); Schraubenbewegung, Windung; mouvement hélicoïdal, torsion; twist.

Skrętnik (110); Winder, Dyname; tordeur; wrench.

Siła (66); Kraft; force; force.

Siła centralna (81); Centralkraft; force centrale; central force.

Siła ciągła (69); continuirliche, stetige Kraft; force continue; continuons force.

Siła ciężkości (68); Schwerkraft; gravité, pesanteur; gravity.

Siła chwilowa ob. siła popędowa.

Siła dośrodkowa ob. siła normalna.

Siła normalna (70); Normalkraft, Centri-petalkraft; force normale, centripète; normal force.

Siła odśrodkowa (87); Centrifugalkraft; force centrifuge; centrifugal force.

Siła odśrodkowa złożona (88); zusammengesetzte Centrifugalkraft; force centrifuge composée;—.

Siła połączeń (81);—; force de liaisons;—.

Siła popędowa (69); momentane Kraft; force instantanée; impulsive force.

Siła pozorna (88); Relativkraft; force apparente; apparent force.

Siła rozpraszająca (83);—;—; dissipative force.

Siła składowa (70); Seitenkraft, Compo-

Bibl. mnt.-fiz., S. TV, T. X.

nente; force composante; component force.

Biła stracona (75, 137); verlorene Kraft; force perdue;—.

Siła styczna (70); Tangentialkraft; force tangentielle; tangential force.

Siła unoszenia (88); — ; force d’entraîne-ment;—.

Siła wewnętrzna (140, 176); innere Kraft; force intérieure; internai force.

Siła wypadkowa (70); Resultirende; résultante; résultant.

Siła zachowująca (83); conservative Kraft;—; conservative force.

Siła zewnętrzna (140); äussere Kraft; force extérieure; external force.

Siła żywa ob. energija kinetyczna.

Spłaszczenie (134); Abplattung; aplatissement; ellipticity.

Spoczynek (wp); Ruhe; repos; rest.

Spółczynnik sprężystości (188, 189); Ela-sticitätsmodulus; module d’élasticité; modulus of elasticity.

Spółczynnik tarcia (119, 223); Reibungs-coefficient; coefficient de friction; coefficient of friction.

Spółczynnik zwężenia (188); Contractions-coefficient; coefficient de contraction; coefficient of contraction.

Spółrzędne jednorodne skrętu (36); homogene Coordinaten der Schraubenbewegung; coordonnées homogènes de la torsion; homogeneous coordinates of the twist.

Spółrzędne obrotu (30); Coordinaten der Rotation; coordonnées de la rotation; coordinates of the rotation.

Spółrzędne skrętu (31); Coordinaten der Schraubenbewegung; coordonnées de la torsion; coordinates of the twist.

Spółrzędne siły (105); Coordinaten der Kraft; coordonnées de la force; coordinates of the force.

Spółrzędne układu obrotów (32); Coordinaten des Rotationssystems; coordonnées du système de rotations; coordinates of the system of rotations.

Spółrzędne układu skrętów (32); Coordinaten des Windungssystems; coordonnées du système de torsions; coordinates of the system of twists.

Spółrzędne układu sił (105); Coordinaten des Kräftesystems; coordonnées du sy-

4t

path.

stèiiie dc forces; Coordinates of the sy- Toczenie się (41); Rollen; roulement; roi-stem of forces.    ling.

Sprężystość (175); Elasticität; élasticité; Tor (2); Balm; trajectoire; trajectory, elasticity.

Stan naturalny (176); natürlicher Zu- Tor względny (58); relative Bahn; trajectoire relative; relative path. Transformację a oh. przekształcenie. Trwanie uderzenia się (160); Bauer des Stosses; durée du choc; time of collision .

stand; état naturel; natural state.

Statyka (wp); Statik; statique; stati.es.

Stożek tarcia (118); Reibunskegël; cône de friction; cône of friction.

Trwanie wahnięcia (92); Schwingungsdauer; durée de l’oscillation; time of the oscillation.

Struga (214); Stromfaden; filet; tube of flow.

Ślizganie się (41); Gleiten; glissement; sli-ding.

Środek chwilowy (51); Momentancentrum, Uderzenie się (160); Stoss; choc; impact,

Bol; centre instantané; instantaneous

collision.

centre.

Środek ciężkości (108); -Schwerpunkt.;

centre de gravité; centre of gravity. Środek ciśnienia (196); Mittelpunkt des Druckes; centre de pression; centre of

Uderzenie się centralne (161); centraler Stoss; choc central; central collision. Uderzenie się excentryczne (161); excentrischer Stoss; choc excentrique; eccen-tric collision.

pressure.

Środek drgania (18); Schwingungsmittel

Uderzenie się proste (161); gerader Stoss; choc direct; direct collision, punkt; centre de vibration; centre of Uderzenie się ukośne (161); schiefer Stoss; vibration.    choc oblique; oblique collision.

Środek kręcenia się (21); Drehungsmittel- Układ fizyczny oh. układ materyjalny. punkt; centre de rotation; centre of ro- Układ gieometryczny niezmienny oh. tation.    układ niezmienny.

stem; système matériel; material sy-

Środek masy (97); Massenmittelpunkt; Układ materyjalny (102); materielles Sy-centre de masse; centre of mass.

Środek sił (107, 108); Mittelpunkt der    stem.

Kräfte; centre des forces; centre of the Układ nieswobodny (102); unfreies Sy-forces.    stem; système qui n’est pas libre; con-

Środek przyśpieszenia (54); Beschleuni- strained system.

gungseentrum; centre instantané des Układ niezmienny (1); unveränderliches accélérations; instantaneous centre of System; système invariable; invariable accélérations.    system.

Środek uderzenia (148); Mittelpunkt des Układ obrotów (32); Rotationssystem; sy-Stosses; centre de percussion; centre of stème de rotations; system of rotations.

percussion.

Środek wahań (162); Schwingungsmittel-

Układ skrętów (32); Windungssystem; système de torsions; system of twists.

Układ odniesienia (1); Beziehungssystem; système de comparaison; system of re-punkt; centre d’oscillation; centre of    lation.

oscillation.

Tarcie (118); Reibung; friction; friction.

Tarcie kinetyczne (159); kinetische Rei- Układ sił (103); Kräftesystem; système bung; friction cinétique; kinetic friction. de forces; system of forces.

système libre; free system.

Układ zasadniczy (1); Fundamentalsystem; système fondamental; fundamental system.

Tarcie statyczne (159); statische Reibung, Układ swobodny (42, 102); freies System; Reibung der Ruhe; friction statique, friction de repos; statical friction.

Układy równoważne (105); aequivalente Systeme; systèmes équivalents; équivalent Systems.

Tarcie wewnętrzne (193, 223); innere Reibung; friction intérieure; internal friction.

Tautoehrona (94); Tautochrone; tauto-chrone; tautochrone.

mi

Wahadło fizyczne (162); physisches Pendel; pendule composé; pendulum.

Wahadło matematyczne ob. wahadło proste.

Wahadło odśrodkowe (162); Centrifugal-pendel; jiendule conique; conical pendulum.

Wahadło proste (92); einfaches, mathematisches Pendel; pendule simple; simple pendulum.

Wahadło sekundowe (92); Secundenpen-del; jiendule à secondes; seconds pendulum.

Wahadło sferyczne (93); sphärisches Pendel; pendule sphérique; spherical pendulum.

Wahadło stożkowe (93); conisches Pendel; pendule conique; conical pendulum.

Wahania równoczesne (92); isochrone Schwingungen; oscillations isochrones; isochroneous oscillations.

Wahanie się (92); Schwingung; oscillation; oscillation.

Wielobok momentów (25, 71); Momenten -polvgon; polygone des moments; poly-gon of moments.

Wielobok prędkości (4); Geschwindigkeitspolygon; polygone des vitesses; polyg of velocities.

Wielobok sił (70); Kräftepolygon; polygone des forces; polygon of forces.

Wir (207); Wirbel; tourbillon; vortex.

Wir elementarny ob. wir.

Włókno (189); Faser; fibre; fibre.

Wskaźnik skrętu (31); Windungsverhält-niss;—; pitch.

Wydatek (224); Ausflussmenge; dépense; discharge.

Wydłużenie (177); Dilatation; dilatation; dilatation, élongation.

Wydłużenie główne (179); Hauptdilatation; dilatation principale; principal élongation.

Wysokość ciśnienia (215); Druckhöhe; hauteur due à la pression, charge; lieight of the pressure.

Wysokość rzutu (90); Wurfhöhe; hauteur du jet; height of projection.

Zboczenie (11, 64); Abweichung; déviation; déviation.

Zmiana ob. przekształcenie.

Koniec.

Redaktor i Wydawca: A. Czajewicz.

EßßATA.

st.r. wiersz

9 11 9 18 20 16

zamiast

powinno być.

od dołu mc

ma

cm

jednostajnie 30 1 od góry *(r, i 7>, "(n

cm: ’ razem

31    3 od dołu

dx

dx

sp

ds

63662

42 18 od góry 52    9 od dołu równoważnej

63742

55    6 od góry loskodrome

„    8    „ loskodromie

Ci Ci Cl 04 Ot

55

55

zbadania

dowolnego

63782

6386²

rozważanej

loksodrome

loksodromie

zadania

dowolnego

to

13

55

75 8 97 3

55

55

(*5 y 5 f)

obrotów, rozważanych wykładnikowi

(X, Y, Z)

obrotów rozważanych, wskaźnikowi

102 2 123    4

es» sL

Y3 • i>3 : Ô3

te

*^3 ■ ^3 • ^3

tej

lininiją

128 6 129 15 od dołu 54-go 147    6    od    góry    sinthetischer

150    9    od    dołu    Doświadczeń

99

155 17 od góry ilość

161 6

55

waruuki

liniją.

5 5-go

synthetischer

Doświadczenie

ilości

warunki

187 15

dU

t)U

55

dz

dz

20

„ sasady

fig.'35 P„ P*

204    10 od góry 1 -f-

205    7    od    dołu    jej środka

224    1 od dołu y sos O¹

246 13 od góry proporeyjonalny 254 12 od dołu płaszczyzyzną

286    4 od góry słowo „przeto” opuścić

289    6

cc 00

00

dy

dy

dl

V'*&f

zasady

P,5 P₂

. b cos çp 1 -f-

V'*m

punktu m y — cos 4)* proporcyj onalna płaszczyzną

b . cos (p

296 12

rfT

/• r

99

h \/ r²-f-A²

T ~ h l/r² + b2 (h

str. wiersz

zamiast

310 13 od dołu

dU

powinno hyc

OU

</Tl

071

323 16 od góry punkcie

„    24

331    13 od dołu 55,832

332    1    od    góry    leżący

333    13 337 12

358 21 od góry 0 y i

dodać „i”

od dołu kulio

360 15 od dołu

'f2

375 17 od góry Oimpyj. co m₍z, d²y Xi~dF

411    6 od góry w wyrażeniu r.> znak — opuścić

H

394    3 od dołu

440 15

, dV dV

/6 d(h ' d(js

punktach

({aN, jiv)

5,5832

leżącego

kuli o

a)²#«fÿ<, (si¹ mi %i

dhi

XilĆ

II

dV dV

⁽H ■ ⁽]s") -i

447    8 od dołu

dPi

d(/i

0p

dt

452 10

d²H

dt ’ dqt

...

dp i

dt

d²H

0qi ’ dqs (Ć/l dp^

dt dqi

55

dpr àqi

457    3 od góry równanie

równanie

55

55

dpr àpi

równania

równania

,,    12 od dołu opuścić ,,że:’

459 13 od góry IX 496    4

zewnętrznej 507 15 od dołu powierzchnia rozdzielająca, 1 dp

y>

541 14 od dołu

542    5

55

a ‘ dy redukować

XV

wewnętrznej

powierzchnia, rozdzielaj ąca

_ i dŁ

o ' dy

zredukować

546    8 od góry r=z

*c-

-C-

.    . dV

55

11

55

df —

Jó

df —

— (fi) dV

*©■

do

553 13 od dołu ——-dt

556 19 od góry Równania 577 14 od do/« cząstki 579 10 od dołu równaniu

606    7 od góry y² — —— a;

do

dt

615    7 od do/«

d²y

dx

Równanie

cząstek

równania

2»

11“ ZSZ - X

p-

dy2 ds²

EU

DO NABYCIA

WE WSZYSTKICH KSIĘGARNIACH NASTĘPUJĄCE DZIEŁA

WYDANE Z ZAPOMOGI KASY POMOCY

DLA OSÓB PRACUJĄCYCH NA POLU NAUKOWEM

lub ofiarowane na rzecz Kasy.

Skład Główny u E. Wendego i Sp. w Warszawie.

DZIEŁA MATEMATYCZNE

Biblijoteki matematyczno-fizycznej wydawanej pod redakeyją M. A. Baranieckiego i A. Czajewicza, następujące tomy:

Seryi I tom I: Początki arytmetyki, Berkmana. Warszawa, 1684, w 12-ce str. X, 225, z drzeworyt, w tekście. Cena w oprawie kop 65.

Seryi I tomy II i III: Wiadomości początkowe z fizyki, S. Kramszłyka. Książeczka I. Wydanie drugie, str. XII, 105, drzeworytów 61. Cena w oprawie kop. 40. Książeczka II. Wydanie drugie, str. XI. 171. drzeworytów 77. Cena w oprawie kop. 65.

Seryi I tom IV: Wiadomości początkowe z gieografii fizycznej i meteorologii, A. IV. Witkowskiego. Warszawa, 1884. W 12-ce, str. X, 108, drzeworytów 22, litografij 4. Cena w oprawie kop. 45.

Seryi III tom I: Arytmetyka, kurs teoretyczny M. A. Baranieckiego. Warszawa, 1884, w 8-ce, str. LVI1I, 374, z drzeworyt, w' tekście. Cena rub. 1 kop. 70.

Seryi III tom V: Początkowy wykład syntetyczny własności przecięć stożkowych, na podstawie icli pokrewieństwa harmonicznego z kołem, M. A. Baranieckiego. Warszawa, 1885, w 8-ce, str. XVI, 131, drzew. 63. ' Cena kop. 85.

Seryi III tom IX: Kosmografija, ./. J ędrzejewicztt, ze wstępem historycznym H. Mer-czynga. Warszawa 1886, w 8-ce, str. XLVIII, 400, drzew'. 235, tabl. X. Cena rs. 3 kop. 80.

Seryi IV tom II: Rozwiązywanie równań liczebnych, J. Sochockiego. Warszawa, 1884, w 8-ce Lex. Str. XII, 212. Cena rs. 2.

Seryi IV tom IV: Gieometryja analityczna, W. Zajączkowskiego. Warszawa, 1884, w 8-ce Lex str XL, 511, drzeworytów 85. Cena rs. 3.

Seryi IV tom X: Mechanika teoretyczna J. N. Frankego. Warszawa, 1889, w 8-ce, str. XXXI, 645, drzeworytów 72. Cena rub. 3.

Danielewicz Bolesław. Z dziedziny statystyki matematycznej. Warszawa, 1884, w 8-co, str. 20. Cena zniżona kop. 10.

liozmarynowiez Teofil. Matematyczne podstawy ubezpieczenia na wypadek niezdolności do pracy, w' zastosowaniu do urządzenia kas emerytalnych. Wydał Bolesław Danielewicz. Warszawa, 1886, w 8-ce wiek. str. IV, 53. Cena zniżona kop. 10.

DZIEŁA PRZYRODNICZE I ETNOGRAFICZNE.

Sprawozdania z piśmiennictwa naukowego polskiego, w dziedzinie nauk matematycznych i przyrodniczych.

I. D. Everett prof, jednostki i stałe fizyczne. Przekład z 2-go wyd. angielskiego, dokonany przez .7. J. Boguskiego. Staraniem Redakcyi „Wszechświata.” Warszawa, 1885, w 8-ce, str. XX, 168, IV. Cena zniżona kop. 30.

T. X Huxley. Wykład btjologii praktycznej. Za upoważnieniem autora przełożył z angielskiego August Wrześniowslci, prof. uniwersytetu. Warszawa, 1883, w 8-ce; str. X. 271. Cena zniżona kop. 30.

Szokalski W. F. Początek i rozwój umysłowości w przyrodzie. Warszawa, 1885, w 8-ce, str. VIII, 468. Cena zniżona kop 60.

Dr. Kazimierz Filipowicz. Wiadomości początkowe z botaniki (podług dzieła D-ra Le Maout: ,;Leçons. élémentaires de botanique”), z 194 drzeworytami w tekście. Warszawa 1884, 16-ka, str. III, 224, II. Kartonowane, Cena zniżona kop. 25.

W. K. Mapa hydrograficzna dawnej Ssowiańszczyzny. Część zachodnio-północna. Cena zniżona kop. 10.

W. K. Rzeki i jeziora, tekst objaśniający do mapy hydrograficznej dawnej Słowiańszczyzny, części północno-zachodniej. Warszawa, 1883, w 8-ce, str. II, 125. Cena zniżona kop. 10.

Dr. Edward Sirasburger prof. Krótki przewodnik do zajęć praktycznych z botaniki mikrospowéj. Biblijoteka przyrodnicza „Wszechświata.” Warszawa, 1887, w8-ee, str. X, 368. Cena rs. 2.

z czwar-

H, Mohn. Zasady meteorologii, w sposób dostępny przedstawione. Przełożył tego -oryginalnego wydania niemieckiego z r. 1887-go Stanûlaw Kramsztyk. Biblijoteka przyrodnicza „Wszechświata.” Warszawa, 1888, w 8-ce, str. XVI, 318, VI, z 43 drzeworytami w tekście oraz 24 tablicami litografwvanemi. Cena rs. 2.

DZIEŁA LEKARSKIE.

D-ra Julijusza Conheima. Odczyty z patologii ogólnej. Podręcznik dla lekarzy i studentów. Przekład z 2-go, przerobionego wydania, z 1882 r. Warszawa, 1884, w 8-ce. Tom I, str, VIII, 607. Tom II, str. V, 262, Tom III, str VI, 340, 20. Cena rs 5.

S. Jaccoud. Wykę ad patologii szczegółowej. Przekład z siódmego wydania francuskiego z r. 1883. Dzieło ozdobione drzeworytami i tablicami chrumolitograficznemi. Warszawa, 1884, w 8-ce. Tom I, str. 931 Tom II str. 984. Tom III, str. 961. Cena rs. 13.

Skład główny dwu powyższych dzieł u Gebethnera i Wolffa.

Dr T. V. Birch Hirschfeld. Wykead anatomii patologicznej. Część ogólna, ze 128 drzeworytami w tekście. Z 2-go, zupełnie przerobionego wydania, przełożył Dr. Wacław Mayzel. Warszawa, 1884, w 8-ce, str. XVI, 338. Cena zniżona kop. 30.

H. Haeser. Historya medycyny. Przekład trzeciego wydania dzieła: Lehrbuch der Geschichte dèr Medicin. II B. 1876—81, dokonany przez prof. Dra IL Łuczkiewicza. Tom drugi. Dzieje medycyn}’ nowożytnej. Warszawa, 1886, w 8-ce, str. 1092 Cena rs. 5.

Tożsamo, dla b. prenumeratorów Biblijoteki Umiejętności lekarskich, od ark. 47 do 68 (str. 737 do 1062), cena z przesyłką rs. 2. Arkusze poprzednie zniszczone i zagubione, księgarnia E. Wendego i Sp. uzupełnia bezpłatnie.

(NB. Tom pierwszy powyższego dzieła, obejmujący medycynę wieków starożytnych i średnich, wydany w r. 1876 w Bibl. Umiej, lekarsk., str. 357 i II, znajduje się w handlu księgarskim po rs. 1).

A. Korneliusza Celsa. O Lecznictwie ksiąg ośmioro, (A. Corn. Celsi: De medicina Libri Octo), z najlepszych wydań na język polski przełożył Dr. Med. i Cliir. Henryk Łuczfciewicz. Warszawa 1889, str. XXXVII, 630. Cena rs. 2.

DZIELĄ FILOZOFICZNE, HISTORYCZNE, FILOLOGICZNE I PEDAGOGICZNE.

Bilijoteka filozoficzna, wydawana pod redakcyją prof. Henryka Struvego. Dotąd wyszły następujące pisma:

Platon. Obrona Sokratesa. Przełożył z greckiego i objaśnienia dodał Adam Ma-szewski, Magister nauk filologiczno-historycznych b. Szkoły Głównej Warszawskiej. Warsza-wa, 1885, w 8-ce, str. XII, 68, nł. 4, Cena. kop. 40.

Platon. Fileb. Dyjalog o rozkoszy. Przełożył z greckiego Br. Kasinowski. Warszawa, 1888, w 8-ce, str, XL, 103, nlb. 6. Cena kop. 70.

Kartezyjusz. Rozmyślania nad zasadami filozofii, dowodzące istnienia Boga i różnicy pomiędzy duszą ludzką i ciałem. Przełożył z łacińskiego Ignacy Karol Dworzaczek. Warszawa, 1885, w 8-ce, str. XX, 110, nl. 4. Cena kop. 70.

Spinoza. Etyka, sposobem gieometrycznym wyłożona. Przełożył z łacińskiego Antoni Paskal. Warszawa, 1888, str. XLVIII, 254. Cena rs. 1 kop. 50.

Kondyllak. traktat o wrażeniach zmysłowych. Przełożył z francuskiego Antoni Lange. Warszawa, 1887, w 8-ce, str. XXXVIII, 220. Cena rs. 1 kop. 20,

Wierzbowski Teodor. Krzysztof Warszewicki (1543—1603) i jego dzieła. Monogra-fija historyczno-literacka. Warszawa, 1887, w 8-ce str XII, 406. Cena rs. 3.

Wierzbowski Teodor. Krzysztofa Warszewickiego niewydane pisma, listy do znakomitych ludzi, tudzież inne dokumenty, odnoszące się do jego życia i działalności, wraz ze spisem dzieł tegoż autora, dotąd drukiem ogłoszonych. Warszawa, 1883, w 8-ce, str. VII, 276. Cena rs. 2.

Biblijoteka zapomnianych poetów i prozaików polskich:

Zeszyt I. Wenecyja, poemat historyczno-polityczny z końca XVI wieku. Warszawa, 1886, str. XXXVIII, 90, V. Cena rs. 3.

Zeszyt II. Mowy Krzysztofa Warszewickiego, wypowiedziane i wydane w r. 1602. Warszawa, 1885, str. VII, II, 27. Cena rs. 1.

Wierzbowski Teodor. Uchańsciana czyli Zbiór dokumentów wyjaśniających życie i działalność Jakóba Uchańskiego, arcybiskupa gnieźnieńskiego, f 1581, Warszawa, 1884—1885, w 8-ce. Tora I: korespondencyja Uchańskiego z lat 1549 — 1581 i wyjątki z Acta decretorum kapituły gnieźnieńskiej z lat 1562—1581, str. VIII, XV, XLIV, 441. Tom II: różne dokumenty z lat 1537 —1581 i Uchańsciana Vladislaviensia, z lat 1557—1562, zebrane przez Zenona Cho-dyńskiego, prałata kustosza katedry kujawskiej, str. IV, XVII, 480. Cena każdego tomu rs. 3.

Rorneliusa Neposa. Żywoty znakomitych mężów, przekład i objaśnienia historyczne dodał A. Mierzyński. Warszawa, 1883, w 8-ce, str. 361. Cena znizona kop. 15.

J. Szastecki. Gramatyka czeska, wydana nakładem Kazimierza Koszewskiego. Warszawa, 1884, w 8-ce, str. VIII, 204, Cena rs. 1 kop. 20.

Prace filologiczne, wydawane przez J. Baudouina de Courtenay, J. Karłowicza, Ad, Ant. Kryńskiego i L. Malinowskiego:

Tom I. Warszawa, 1885 i 1886, w 8-ce, str. 818. Cena rs. 4 kop. 30.

Tom II. Warszawa, 1887 - 88, w 8-ce str. 881. Cena rs 4 kop. 50.

Iljada Homera, przetłomaczył hexametrem, Augustyn Szmurło, b. prof. literatury greckiej i rzymskiej i t. d. Warszawa, 1887. W 8-ce wiek., str XXX, 521. Cena zniżona rs. 1.

Bocznik pedagogiczny, przegląd postępów w dziedzinie wychowania i nauczania, wydawany staraniem i pod redakcyją S. Dicksteina. Tom II. 1882 — 1883. Warszawa, 1884, w 8-ce str. IX, 470. Cena zniżona kop. 50.

DZIEŁA TEEŚCI ROZMAITEJ

Zieliński Dominik, były obrońca przy senacie. O wekslach (fragment). Wydanie pośmiertne. Warszawa, 1883, w 8-ce, str. IV, 410. Cena rs. 2 kop. 50.

Kleczkowski Kazimierz archit. Analiza kształtów architektury. Warszawa, 1885. W 8-ce, str, 101, z 22 tablicami rysunków, sposobem foto-litograficznym wykonanych. Cena rs. 2.

f<

■- \

ÿlfe

;Mi^‘

lii „-V'-

b|Ä ctMSH

••, i I Wmffîk**

■ ¹ ; V.v $L»H«gnHfl I

' • ÄP&i 4 t

fp fi& |f« v >

mmmm ; ;

WÊÊÊÊUSiÊÊmÊmÊ________

'ÂÉiÂW^P⁴^!*^

*1 ' ■ ■ ’"/'?- |ï«-:ïr$|

y\v

• Y,

ÖT^;,

; .1

st

««K

iM

TO

Éféâ

fci«

eJi'Lä

Hl

■«rnJÊÊmkn tj-tanra

yPœijf§£0iS • » wWb / V x "> f> «Sp* * ®

®:;v V

Î '“ :>..J■;■■'•

IÉhBbII!

SSI

i\. -,

i.»

WM

Y:

ijtK

JpäMiH

.',: ">. i,v■'■,■ ■■■, WN** i .

)9m$ '■    ÜafelSffl*

iss4^1Éps?^ÿ^fei';

lllplÉSË

. > '} A tüft

’ i,

Tt

_>>c-

BfBÂÆ

9m

S^fiRÉK

|Ä®f^

t rX* ■    X(®S

i i# n i

iimśm

>Mmm

»Ä

HH f

Mi i

• V-

JflJÄ

limmm

l#i

/ JïïÇfaTï:

ii?««-

É«fe |Â"

if

«ipl

ÿàiiwMeiflKn.    i' :!|i.

ii îiÉiff ■    i>''tffp.iSll :ÉB il

s*#ig

mmÊÊMÊÊÊÊKÊa i ' ’

la?M—■

g ïft i;Sîi^Â*w;:*iaipil J§

• 'te •’•*; 13HvJHH9p^ ■ J

*MM I i

»M|BPBp.B J

lf^ 'fwlJW * kê Uli H mk ,' -

r

■ ■■®||IÄPÄ8    mË

;T\- ■ ^«v;¹    :!S||P

w, iks

,«üy

!i!tł

SV .i!

j*a* ;.,;

j'^1;

SâdS

;ïv^

M '■)

fei

'•5S(*à

«!

Mh

?s

I 1 m w i

mm*

11,1

af

il

WM

9*æ

IsiiSiiSi

> ■ j

' Wt 'v '    *;

ffer

V y>dl

iiil?

:

m

..

f

\

yz

■-■■

i i

f \

L ,

K

J

■:

P2

.

H

L

i

m

m

Sfa

m

:

*

P

m

gg

m

m

' -

■■jéêJ

[J

SS

B

■'

r*1

Lj

' i

!

Ęj

À)

i

■)

/'J:

-

ii

,11 ( k

;

il

J

; i

in ₍

111

Biblio

teka Politechniki Krakowską

i

Lt

1