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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Untersuchungen über das

Einleitung.

y = —y', v = —y'

Abschnitt I.

§ 4. Die Glieder w0 und v0.

dm?, d2ü-2 dm, dm2 dm, dm2 dm2

n§ 7,70.

Abschnitt IL

«'+dl' = x

-!+t

Abschnitt III.

CCn Cin, ßn ßn, Yn Yn, ^n d»,

Abschnitt IV.

+ £-«■

—/©i dq, g = /©i dp.

Untersuchungen über das

Gleiclpiicbt des elastisclei Stabes

von

I)' L. Pochhammer, ord. Professor der Mathematik a. d. Universität Kiel.

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Kiel 1879.

Uni versitäts-Buchhandlung (Paul Toeche).

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Alle Rechte Vorbehalten.

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Vorrede.

sind zu dem Zweck unter-

Die nachstehenden Untersuchungen nommen worden, für die Lehre vom Gleichgewicht des elastischen Stabes, welche sowohl ein erhebliches wissenschaftliches Interesse in Anspruch nehmen darf, als auch in den .Festigkeitsbestimmungen von Balken, Trägern etc. eine ausgedehnte praktische Anwendung findet, eine allgemeingültige Grundlage zu gewinnen. Es ist bekannt, dass um die bezüglichen Probleme mathematisch genau zu behandeln, wenn auch nur in erster Annäherung, man dieselben auf die Differential-gleichungen zurückführen muss, welche für die Form Veränderungen der elastischen Körper bestehen; denn nur durch letztere Gleichungen wird der Zusammenhang der einzelnen Verschiebungen der Massen-theilchen genügend berücksichtigt. Als Rechnungen, in denen das Gleichgewicht elastischer Stäbe in dieser Art untersucht wird, sind vorzüglich die Arbeiten von de Saint-Venant und von Kirchhoff zu nennen. Dieselben betreffen indessen nur bestimmt abgegrenzte Fälle des allgemeinen Problems. De Saint-Venant war der Erste, der in den 2 Aufsätzen „De la torsion des prismes“ (Mém. des savants étrangers, 1855) und „Mémoire sur la flexion des prismes“ (Journ. de Liouville, Série II, Tome I, 1856) Gleichgewichtszustände eines eylindrischen Körpers mit Hilfe der Differentialgleichungen der Elasticitätstheorie bestimmte. Kircbhoff entwickelt in seiner Abhandlung „Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes“ (Crelle-Borchardt’sches Journal, Bd. 56, 1859) die Veränderungen, welche die angeführten Differentialgleichungen durch die Voraussetzung, dass die eine Dimension des Körpers unendlich klein wird,

erfahren, und ist hierdurch im Stande, auch Fälle, wo die Formveränderung des Stabes nicht mehr als eine kleine bezeichnet werden darf, streng zu behandeln.

In den Abhandlungen von de Saint-Venant und von Kirchhoff wird der Gegenstand der Untersuchung durch die Annahme eingeschränkt, dass äussere Druckkräfte nur auf die Endflächen des betrachteten cylindrischen Körpers wirken, also die Mantelfläche desselben frei bleibt. In den nachfolgenden Rechnungen ist nun der Versuch gemacht worden, auf die Gleichgewichtszustände eines Stabes, dessen Mantelfläche ebenfalls von beliebigen Kräften angegriffen wird, näher einzugehen. Die Anwendungen der Elasticitätslehre weisen auf letzteren Fall besonders hin, da bei den Balken, Trägern etc. meistentheils gerade die Mantelfläche dem Drucke schwerer Körper ausgesetzt ist. In den genannten Abhandlungen wird der Querschnitt des Stabes als constant vorausgesetzt. Die hier durchgeführten Entwicklungen sind dagegen nicht minder für den Stab mit veränderlichem Querschnitt anwendbar (§ 8), wenn nur die Abweichungen des Stabes von der cylindrischen Gestalt innerhalb gewisser Grenzen bleiben. Es sind daher auch die bei praktischen Aufgaben häufig vorkommenden Fälle eingeschlossen, wo die stärker in Anspruch genommenen Theile eines Trägers eine grössere Querschnittfläche haben.

Was die Behandlung der erwähnten Differentialgleichungen anbelangt, so bietet die direkte Integration derselben bereits in den einfachsten, den Stab betreffenden Problemen so grosse analytische Schwierigkeiten, dass hier nur von solchen Methoden die Rede sein soll, durch welche man, ohne die vollständigen Integrale herzustellen, Aufschluss über die Vorgänge bei der Deformation des Stabes erlangen kann.

In den Rechnungen von de Saint-Venant geschieht letzteres dadurch, dass partikuläre Integrale der Differentialgleichungen ermittelt werden, woraus sich eine Reihe specieller Gleichgewichtszustände des Stabes ergeben. De Saint-Venant behandelt, wie Clebsch in seinem Lehrbuch der Elasticitätstheorie (Leipzig, 1862, pag. 73 und 94) bemerkt, nicht unmittelbar dasjenige Problem, das bei den Anwendungen vorzuliegen pflegt, und bei dem die von gegebenen Kräften herrührenden Verschiebungen gesucht weiden, sondern das umgekehrte Problem, da er die Kräfte berechnet, die an der Endfläche des Stabes angebracht werden

müssen, um bestimmte, als möglich erkannte Verschiebungen hervorzurufen. In der Abhandlung von Kirchhoff werden die Schwierigkeiten der Integration der Differentialgleichungen durch die Annahme verringert, dass der Querschnitt des Stabes unendlich klein sei; für die in erster Linie in Betracht kommenden Grössen werden daselbst Differentialgleichungen abgeleitet, welche mit den Gleichungen des Problems der Rotation eines schweren starren Körpers um einen festen Punkt identisch sind.

Die im Folgenden enthaltenen Rechnungen schliessen sich insofern der Anschauungsweise Kirchhofif’s an, als in dieselben ebenfalls von Anfang an die Voraussetzung eingeführt wird, dass die Dimensionen des Querschnitts des Stabes klein gegen die Stablänge sein sollen. Es ist diese Voraussetzung gewissermassen die Consequenz des Begriffs des Stabes. Jedoch werden hier die Durchmesser des Querschnitts des Stabes nicht als unendlich klein, sondern als endliche kleine Grössen angenommen, deren verschiedene Potenzen nach einander berücksichtigt werden. Die nachstehenden Entwicklungen sind daher Näherungsrechnungen; dieselben lassen aber einen beliebigen Grad der Annäherung zu, in ähnlicher Weise, wie dies bei der Integration einer Differentialgleichung durch unendliche Reihen der Fall ist. Das Mittel, um zu den verschiedenen angenäherten Gleichungen zu gelangen, besteht in einer streng durchgeführten Klassification der einzelnen Summanden nach Grössenordnungen; die Methode und die Principien der Rechnung sind im § 2 des ersten Abschnittes näher erörtert. Die Abhandlung Kirchhoff’s bezieht sich auch auf die Fälle, wo der Stab ein krystalli-nischer Körper ist; dagegen wird hier der Stab als ein isotroper Körper angenommen. Ferner werden die Formveränderungen desselben im Folgenden als klein vorausgesetzt; das Problem der für Drähte etc. möglichen Gleichgewichtscurven, welches die Kirchhoff’schen Rechnungen umfassen, soll somit ausgeschlossen bleiben. Die hier gemachten Voraussetzungen passen sich den Aufgaben über die Festigkeitsbestimmung eines Balkens oder Trägers an; bei letzteren wird die Annahme, dass die Formveränderungen klein bleiben sollen, fast immer als zulässig erachtet werden dürfen.

In Betreff des Ergebnisses der angestellten Untersuchungen ist zwischen den Formeln der ersten Annäherung und den für die weitergehende Analyse geltenden Gleichungen zu unterscheiden. Die ersteren werden für eine beliebige Form des Querschnitts des Stabes ermittelt; bei den letzteren tritt die Vereinfachung ein, dass in den zu integrirenden Systemen von Differentialgleichungen nur zwei unabhängige Variable Vorkommen. Die Werthe, die in erster Annäherung erhalten werden, liefern die Gestalt des gebogenen Stabes und die Grösse der zur Längsrichtung des Stabes parallelen Normalkraft. Im Uebrigen wird dann, in Folge der Verminderung der Zahl der unabhängigen Veränderlichen auf zwei, das Problem auf die Frage reducirt, welche Verzerrung die einzelnen zur Stabachse senkrechten Querschnitte erleiden.

Nachdem im ersten Abschnitt die allgemeinen Gleichungen für den cylindrischen (respective für den von der Cylindergestalt nur wenig abweichenden) Stab, dessen Querschnitt beliebig bleibt, abgeleitet worden sind, wird die Integration der transformirten, nur zwei unabhängige Variable enthaltenden Differentialgleichungen im zweiten und dritten Abschnitt für zwei einfache Fälle ausgeführt. Es wird nämlich einerseits der Stab, dessen Querschnitt ein voller Kreis ist, andererseits der Hohlcylinder mit ringförmigem, durch zwei concen-trische Kreise begrenzten Querschnitt behandelt. Die Terme höherer Ordnung, welche durch diese Rechnungen gefunden werden, bilden die Ergänzung der in erster Annäherung geltenden Lösung und führen zu einer vollständigeren Kenntniss der Werthe der Verschiebungen und Druckkräfte. Es ergiebt sich, in Uebereinstimmung mit den Untersuchungen de Saint-Venant’s, dass bei dem vollen Kreiscylinder die Massentheilchen, welche anfänglich auf einem Normalschnitt, d. h. auf einer zur Cylinderaehse senkrechten Ebene, liegen, sich nach Einwirkung der äusseren Kräfte auf einer Fläche 3ten Grades befinden; nur sind die Parameter dieser Fläche hier (in Folge der Belastung der Mantelfläche des Cylinders) nicht constant, sondern von Querschnitt zu Querschnitt wechselnd. Ferner erkennt man, dass der Mittelpunkt (Schwerpunkt) eines beliebigen Normalschnittes im Allgemeinen nicht der sogenannten neutralen Schicht angehört, dass letzteres vielmehr nur ein tritt, wenn keine äusseren Kräfte an dem Rande des betreffenden Querschnitts angebracht sind. In den Formeln, die man für die Verschiebungen und die Druckkräfte erhält, zerfallen die Summanden in zwei wesentlich von einander verschiedene Gruppen; die einen geben die Vorgänge

vn

der ersten angenäherten Lösung und alle unmittelbar zugehörigen begleitenden Erscheinungen (wie die Quercontraction etc.) an; die anderen beziehen sich auf die Verzerrung, welche ein beliebiger Normalschnitt durch die auf seinen Kand ein wirkenden Kräfte erfahren würde, falls diese allein vorhanden wären. Der Werth der zur Längsrichtung des Stabes parallelen Normalkraft, welche für die Frage der Tragfähigkeit des Stabes hauptsächlich in Betracht kommt, wird auf 3 Ordnungen genau berechnet. Die Deformation des Hohlcylinders unterscheidet sich, wie im dritten Abschnitt gezeigt wird, von der des vollen Cylinders namentlich durch das Hinzutreten einer secundären Biegung, welche sich in den einzelnen zur Cylinderachse senkrechten Ebenen vollzieht.

Endlich werden im vierten Abschnitt bestimmte Fälle des ursprünglich gekrümmten Stabes betrachtet, auf welche das im ersten Abschnitt dargestellte Verfahren anwendbar ist. Dieselben beziehen sich auf die Aufgaben, bei denen die ursprüngliche Gestalt des Stabes durch eine ebene Curve angegeben wird, und die äusseren Druckkräfte zu der Ebene der letzteren Curve parallel sind. Für die Anwendungen haben gerade auch diese Probleme eine erhebliche Wichtigkeit, da man in gewissen Fällen, wo grosse Lasten zu tragen sind, eine in einer Vertikalebene liegende Curve als Stabachse wählt. Es werden indessen im Folgenden nur die allgemeinen Gleichungen entwickelt, bei denen sowohl der Umriss des Querschnitts des Stabes, als die obengenannte ebene Curve beliebig bleiben.

Die für die erste Annäherung geltenden Formeln, welche im ersten und im vierten Abschnitt abgeleitet werden, enthalten eine Begründung der Sätze, die Na vier für die Stabbiegung aufgestellt, und durch die er mit grösstem Erfolge zuerst die Widerstandskräfte bei einem Stabe von beliebigem Querschnitt berechnet hat. Navier hat bekanntlich diese Sätze nicht streng bewiesen. Er geht von den Gleichgewichtsbedingungen des starren Systems aus und wendet dieselben' auf den Theil des Stabes, der durch irgend einen Normalschnitt abgetrennt wird, an; jedoch macht er in Bezug auf die speciellen Vorgänge der Deformation mehrere Voraussetzungen, die völlig unbewiesen bleiben. Navier nimmt einerseits an, dass die Massentheileben, die anfangs zu je einem Normalschnitt des Stabes gehören, auch nachher in einer Ebene liegen, und dass diese Ebene senkrecht zur elastischen Linie steht; andererseits denkt

er sich den cylindrischen Stab in ein Bündel von parallelen, unendlich dünnen Stäben aufgelöst, von denen er voraussetzt, dass sie keinen Druck auf einander ausüben. Hierdurch wird die Réduction des Biegungsproblems auf den einfachen (positiven oder negativen) Auszug der stabförmigen Körper möglich. Die von de Saint-Venant angegebenen Gleichgewichtszustände, bei denen nur die Endflächen des Stabes von äusseren Kräften in Anspruch genommen sind, finden sich (soweit es die Werthe der ersten Annäherung betrifft) in Uebereinstimmung mit dieser Theorie. In dem Wunsche, die Frage, ob die Navier’schen Sätze zutreffend seien oder nicht, für ein Beispiel, wo auch die Mantelfläche belastet ist, beantwortet zu sehen, hat der Verfasser in einer Abhandlung, die im 81ten Bande des Crelle-Borchardt’sehen Journals erschienen ist, — und deren Verhältniss zu den nachstehenden Untersuchungen im § 17 näher erörtert wird — gewisse Fälle des cylindrischen Stabes mit kreisförmigem Querschnitt behandelt, für welche die allgemeinen Differentialgleichungen sich ohne Schwierigkeit integriren lassen. Es ergab sich, dass die Navier’sche Theorie in erster Annäherung vollständig-richtig ist, wenn auch die genaueren Ausdrücke der Verschiebungen selbstverständlich complicirtere Vorgänge darstellen. Zu dem gleichen Resultat führen die im Folgenden angestellten Rechnungen. Welches auch der Querschnitt und die Belastung des cylindrischen Stabes sei, in erster Annäherung haben die Werthe der Verschiebungen und Druckkräfte stets die von Navier behaupteten Eigenschaften (§ 5), und ähnliche Formeln gelten für die im vierten Abschnitt behandelten Aufgaben des ursprünglich gekrümmten Stabes (§ 28). Die Navier’schen Sätze werden aber im Folgenden durch eine zusammenhängende Analyse gewonnen. Desshalb dürften diese Entwicklungen vielleicht auch da willkommen sein, wo die Rechnungen auf die erste Annäherung beschränkt werden sollen, wie es bei den Vorträgen auf den polytechnischen Schulen meistens der Fall sein wird. Die Einleitung und die §§ 1 — 5, 8 (auch die §§ 22—28) enthalten einfache und keineswegs weitläufige mathematische Operationen, so dass man mit verhältniss-mässig geringer Mühe zu einer systematischen Herleitung jener Sätze gelangt. Ausserdem kann die Navier’sche Theorie, welche unvollständig ist, weil sie von den sechs inneren Druckkräften nur eine berücksichtigt, dann in beliebiger Weise durch die weiteren Bestimmungen der §§6, 7, 29 ergänzt werden, wodurch die einheitliche Darstellung der gesammten Deformation des Stabes gewahrt wird. Denn während die Navier’sche Theorie sowohl von der Torsion als von dem Auszug des Stabes abstrahirt, sind in den hier entwickelten Gleichungen alle Arten der elastischen Verschiebungen enthalten, und gleichzeitig ergiebt sich die relative Wichtigkeit der einzelnen Verschiebungen aus ihrer Grössenordnung.

Der Vollständigkeit halber ist den Untersuchungen eine Ableitung der allgemeinen Differentialgleichungen der isotropen Körper vorausgeschickt worden. Im Interesse derjenigen Leser, die sich weniger mit der Elasticitätstheorie beschäftigt haben sollten, erschien es angemessen, diese Einleitung hinzuzufiigen, in welcher gesucht wird, die für das Folgende erforderlichen Formeln mit möglichst geringen mathematischen Mitteln herzustellen.

Es bleibt nur übrig, dem Wunsche Ausdruck zu geben, dass dieses Buch bei allen Freunden der rationellen Mechanik eine gütige Aufnahme finden möge.

Der Verfasser.

Inhaltsyerzeiclmiss.

Seite

Einleitung.

Die Differentialgleichungen für kleine Formveränderungen fester isotroper Körper.

I. Die Verschiebungen und ihre Differentialquotienten......

II. Die Druckkräfte................. . .

III.    Die Gleichgewichtsbedingungen für das Innere.......

IV.    Die Bedingungen für die Oberfläche............

V. Die Druckkräfte an beliebig gerichteten Flächenelementen . . .

VI. Die Differentialgleichungen für isotrope Körper.......

10

14

17

18

CGC GOC C/A CGC CGC

p üi ^ cc w

coc zcn

GO

Abschnitt I.

Die angenäherten Differentialgleichungen für das Gleichgewicht des cylindrischen Stabes.

Die Gleichgewichtsbedingungen für deu Stab und für Abschnitte des

Stabes . . . . , ...................

Klassification der vorkommenden Werthe nach Grössenordnungen . .

Die Form der Functionen £, y, Ç..............

Die Glieder u₀ und v₀..................

Bestimmung der Grössen ©,    ..............

Die Differentialgleichungen für die Terme höherer Ordnung der Verschiebung Ç......................

Die Differentialgleichungen für die Terme höherer Ordnung der Verschiebungen £ und rj...................

Ueber das Gleichgewicht eines Stabes mit veränderlichem Querschnitt

30

37

44

51

55

61

66

77

Abschnitt II.

Gleichgewicht des cylindrischen vollen Stabes mit kreisförmigem Querschnitt.

§ 9. Bestimmung von 2Bi für den kreisförmigen Querschnitt; Einführung

neuer Variablen.....................

§10. Integration der Gleichungen für ę, o.............

§ 11. Bestimmung der Coefficienten 31«, 33«, ©«, 35«.........

§ 12. Berechnung der Componente Zz...............

85

88

90

§ 13. Bestimmung der Functionen iß,, D,, $; schliesslicher Ausdruck der

Componente Zz.....................

§ 14. Die resultirende Druckkraft für das zur z-Achse senkrechte Flächenelement ........................

§ 15. Die Bedingungen in Betreff der Coefficienten a,, /?,, y,,    . . .

§ 16. Beispiel des auf hoher Kante gleichmässig belasteten Stabes . . . . §17. Vergleichung der erhaltenen Formeln mit den Resultaten einer anderen

Seite

97

102

107

108

Abschnitt III.

Der Hohlcylinder mit kreisförmigem Querschnitt.

§18. Integration der Differentialgleichungen.........

§ 19. Bestimmung der Coefficienten.............

§ 20. Bestimmung der Functionen , D,, $,    .    . . . . . ,

§ 21. Ausdruck der Componente Zz............

Abschnitt IV.

Die angenälierten Differentialgleichungen für gewisse Fälle des ursprünglich gekrümmten Stabes.

§ 22. Die Voraussetzungen der Rechnung; Transformation der Coordinaten § 23. Die auf die neuen Coordinaten bezüglichen inneren Druckkräfte . . § 24. Klassification nach Grössenordnungen; die Gleichgewichtsbedingungen

.*C iß (M iß 05 CO iß iß ^ îD IC h

des starren Systems...................

§ 25. Die Form der Functionen Ę, q, o..............

§ 26. Die Functionen J, U₂, V₂.................

§ 27. Bestimmung der Functionen £,, 301, ©,............

§ 28. Die in erster Annäherung geltende Lösung..........

§ 29. Differentialgleichungen für die Functionen u₀, v₀, w₀.......

Einleitung.

Die Differentialgleichungen für kleine Formy er änderungen fester isotroper Körper.

Ein fester Körper, auf den äussere Kräfte wirken, erfährt in Folge dieser Einwirkung eine Form Veränderung (Deformation), welche einerseits von seiner natürlichen Beschaffenheit, andererseits von der Grösse und Richtung der angebrachten Kräfte abhängt. Während in erster Annäherung bekanntlich die festen Körper als starr angesehen werden, ergiebt sich für die hier zu behandelnde genauere Theorie der Gleichgewichtsprobleme die Aufgabe, den Zusammenhang zwischen den äusseren Kräften und den Formveränderungen, welche sie an den Körpern hervorbringen, mit Hülfe gewisser auf die Erfahrung gegründeter Annahmen festzustellen. Es soll im Folgenden die Ableitung derjenigen Differentialgleichungen reproducirt werden, welche unter der Voraussetzung gelten, dass die Form Veränderung klein, und dass der feste Körper homogen und isotrop ist (d. h. an jedem Punkt und nach jeder Richtung hin das gleiche Verhalten zeigt). Von der Integration dieser Gleichungen unter gegebenen Grenzbedingungen hängt die Lösung der verschiedenen Probleme, die sich auf das Gleichgewicht der genannten Körper beziehen, ab.

I. Die Verschiebungen und ihre Differential quotienten.

Man legt der Betrachtung einen Anfangszustand zu Grunde, welcher dem Falle entspricht, dass der feste Körper keinen äusseren Kräften unterworfen ist. In diesem anfänglichen Gleichgewichtszustand habe ein beliebiges Massentheilchen m des Körpers die rechtwinkligen linearen Coordinaten x, y, z; nach erfolgter Einwirkung der äusseren Kräfte habe es die Coordinaten x + g, y + 77, z + £• Durch £, y, £ werden somit die Componenten derjenigen Verschiebung bezeichnet, welche das Theilchen m bei dem Uebergang des Körpers von der Anfangslage

in den neuen Gleichgewichtszustand erfährt. Die Grössen £, rj, £ sind die Unbekannten des Problems; dasselbe ist gelöst, sobald £, ■;/, £ als Functionen von x, y, z ermittelt sind. Man macht die Voraussetzung, dass £, 7], £ stetige Functionen sind, welche nach dem Taylor’ sehen Satz entwickelt werden können. Ein zu m benachbartes Massentheilchen m, habe anfangs die Coordinaten ce-f-cp, y + b«, z + Ci, seine Ausweichungscomponenten sein £,, r/., £,-. Die relativen Coordinaten des Theilchens mt- in Bezug auf das Theilchen m, welche ursprünglich gleich cp, b*, U sind, erhalten also durch die Deformation die Incremente £,• — £,    — rj, £,• — £. Da die Verschiebungen als

Functionen der Anfangscoordinaten aufgefasst werden, so stellen £,, 77., £,• die Werthe dieser Functionen für die Argumente æ + cp, y + b,, z -j- b dar, während £, ?/, £ die Werthe derselben für ap «/, z sind. Die Anwendung des Taylor’schen Satzes führt daher zu den Gleichungen:

<!§

i, = s + ä^at +

diy

⁴‘-i---

(1.)

di]

dr]

dr\

bi +

Cp +

Ci + •

Vi=V +

g( _£ + £*+Äfc+JS*-,-....

dx

dy

dz

dx

dy

dz

Beschränkt man die Betrachtung auf die nächste Umgebung des Punktes m, so können wegen der Kleinheit der Abstände cp, bi, ct- die Summanden, welche mit den Grössen zweiter oder höherer Dimension Cif, ûib,- u. s. w. multiplicirt sind, vernachlässigt werden. Dann sind die Differenzen £,• — £, rj. — rj, £„•—£, von denen die Veränderungen der relativen Coordinaten in der Umgebung von m abhängen, durch

4^ bestimmt. Es soll die me-

d% d§

die 9 Differentialquotienten-⁵-, ...

ClJü tly

chanische Bedeutung dieser Differentialquotienten, die, wie ersichtlich, die gesammte Deformation der Umgebung von m enthalten, kurz erläutert werden.

Setzt man den Fall, dass von Null verschieden, die übrigen

8 Differentialquotienten aber gleich Null sind, so findet, abgesehen von der Ausweichung £, rj, £, welche allen Theilchen der Umgebung von m

d£

gemeinsam ist, bei m-i nur die relative Verschiebung

^ cp parallel

der a>Achse statt. Die Verschiebung ist somit für diejenigen Theilchen identisch, die anfänglich in derselben zur x = Achse senkrechten Ebene liegen, und da sie der relativen Coordinate cp proportional ist, so stellt sie eine gleichmässige Zusammendrückung oder einen gleich-massigen Auszug in der zur asAchse parallelen Kichtung dar, jenegativ oder positiv ist. Die Grösse

nachdem ^

— hängt, ebenso

dx

wie die übrigen ersten Differentialquotienten, von der Wahl der Längeneinheit nicht ab; denn sie ist gleich dem Quotienten zweier Längen und giebt das Mass für die Zusammendrückung, respective den Auszug an. Man nennt dieselbe die lineare Dilatation in der Richtung der d£

x-Achse. Man kann auch als diejenige Ausweichung bezeichnen,

welche das von m um die Länge 1 entfernte und auf der Parallelen zur x-Achse gelegene Theilchen unter den obigen Voraussetzungen

ausführen würde. — Eine analoge Bedeutung wie —- haben die Difife-

dx

Ati    dtl

rentialquotienten und — man hat nur die x-Achse mit der y-

(XU    (X X/

und der z-Achse zu vertauschen.

drj

d£

Ist eine der Grössen —-oder-r^- allein von Null verschieden, so dx dx    ⁷

führen wiederum die Theilchen, welche in je einer zur x-Achse senkrechten Ebene liegen, eine gleiche Bewegung,

drj

d£

öi oder -j- cq, aus, dx    ⁷

aber in einer zur x-Achse senkrechten Richtung. Denkt man sich also den betrachteten kleinen Massencomplex in dünne Schichten parallel

dx

dy    dC

der yz-Ebene getheilt, so drücken ~ und eine Gleitung dieser

(XvV    (XJU

Schichten gegen einander aut, wobei die Dichtigkeit keine Aenderung

erfährt. Entsprechendes gilt von den Grössen

Man

dl d£ di dv

dy⁷ dy ’ dz' dz'

kann sich wegen der linearen Beschaffenheit der vorausgesetzten Ausdrücke von —g, rj.—-rj, £,•—g die einzelnen Bewegungen , die den 9 Diflferentialquotienten entsprechen, als nacheinander erfolgend vorstellen; denn hierdurch wird ein beliebiges Theilchen rrii genau zu demselben Ort geführt, als wenn die 9 Bewegungen gleichzeitig geschehen.

Es soll die Voraussetzung gemacht werden, dass die genannten 9 Differentialquotienten so klein sind, dass man ihre Quadrate und Produkte neben den ersten Potenzen vernachlässigen kann. In Folge dieser Annahme lässt sich die mechanische Bedeutung der 6 Differentialquotienten

drj dl d£ d£ d£ drj

dx’ dx' dy' dy' dz' dz

noch in anderer Weise aussprechen. Man ziehe von dem Theilchen m aus, dessen Umgebung man betrachtet, drei Gerade mMu mM-i, mM$

parallel drei positiven den Zweigen der Coordinatenachsen, und setze den

dri

Fall, dass von den 9 Differentialquotienten nur von Null verschieden ist. Die anfänglich auf der Geraden mMy befindlichen Theilchen liegen dann nach Eintritt der Formveränderung auf einer anderen Geraden, welche mM{ heissen möge. Die auf mM.₂ und mM^ befindlichen Theilchen bleiben dagegen auf diesen Geraden, wenn man sich das kleine Kreuz mMu mM₂, mM₃ gleichzeitig mit m und parallel mit

sich selbst fortgerückt denkt. Da die durch ~ ausgedrückte Verschiebung der y-Achse parallel ist, so ist durch dieselbe der rechte Winkel MymM% in den Winkel M[mM₂ übergegangen, welcher spitz oder stumpf

ist, jenachdem

das negative Vorzeichen hat. Wegen der vorausgesetzten Kleinheit der Differentialquotienten ist nun der Winkel MymMi, um den sich der rechte Winkel

MymM₂ vermindert hat, gleich zu

das positive oder

Fig. 1.

M M'

rrii

M'

t

drj

ï,l!C

-M

rechnen. Denn ist, abgesehen vom

Vorzeichen, gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels MymMi, da ein Theilchen mu welches auf der Geraden mMy im Abstand cq

von m liegt, die relative Ausweichung mymi = cq “ erleidet. Tangente und Bogen des kleinen Winkels MymMi sind hier als identisch zu betrachten, so dass der Winkel selbst den Werth hat. Das Vorzei-

dx

chen bestimmt sich, wie leicht zu sehen, in der Art, dass das Incrément des rechten Winkels MymM-₂ stets gleich — ist. Wenn man analog

den Differentialquotienten —-

allein von Null verschieden nimmt, so vermindert sich der rechte Winkel MvmM₂ um einen Winkel M₂mM₂, d£

welcher gleich ~~ ay

keine Aenderung der relativen Coordinaten ein; dagegen gehen die auf mM₂ liegenden Theilchen auf die Linie mMi über, indem sie eine der #-Achse parallele Verrückung erleiden, welche im Abstande 1 von m

gleichzeitig von Null ver-

dy

ist. Denn alsdann tritt bei den Theilchen auf mMy

dê

dê

gleich —=- sein würde. Sind und

dy

dy

E. I, i.

schieden, so erfährt der rechte Winkel    da er in den Winkel

M[mMî übergeht, den Zuwachs —

\ ay    (Iju j

Setzt man nun den Fall, dass im Punkte m von den 9 Differential-cIti

quotienten nur ~ und ~ von Null verschieden sind, und dass zwischen uy    (icv

drj

,    |--- = 0 besteht, so findet bei dem Massen-

dy dx

complex, der die unmittelbare Umgebung von m bildet, gar keine Deformation statt. Vielmehr führt derselbe nur eine Rotation aus. bei der

dB

diesen die Gleichung

die Massentheilchen ihre anfängliche relative Lage zu m beibehalten, und deren Drehungsachse zur z-Achse parallel ist. Der Rotationswinkel

1 (dB

stimmt mit ^

drj ,    .,    ,

' oder mit -r-

drj

dx

dx

überein.

2\dy

In den folgenden Rechnungen ergiebt dieser Umstand den Schluss, dass die elastischen Kräfte, die in der Umgebung von m durch die Deformation hervorgerufen werden, nur in bestimmter Weise von den 6 Differentialquotienten

dB_    dB dg dy    dB    dg

dy'’    dz    ’ dx    ’ dz ’    dx ’    dy

abhängen können, nämlich dass dieselben (bei der hier betrachteten Annäherung) ausschliesslich Functionen der Binome

drL,d^_    d£    d§    %L₊in

dz dy ’ dx    dz ’ dy dx

sind. Sobald die letzteren Binome und gleichzeitig die Differential-

quotienten ~

d*)C

dB dp d^ für den Punkt m gleich Null sind, müssen dy ⁷ dz    °

auch die elastischen Kräfte daselbst verschwinden, da, wie bewiesen,

alsdann in der unmittelbaren Umgebung von m gar keine Deformation

stattfindet.

Für die Aenderung, welche die Dichtigkeit im Punkte m erfährt, ergiebt sich ein einfacher Ausdruck durch die Differentialquotienten der Verschiebungen. Die 6 Differentialquotienten dB dB drj drj d£ dÇ dy’ dz’ dx’ dz’ dx’ dy

haben, wie im Vorhergehenden gezeigt wurde, auf die Dichtigkeit keinen Einfluss. Dieselben können daher, wenn es sich um die Dich

tigkeitsänderung im Punkte m handelt, gleich Null gesetzt werden, so dB drj dB

dass nur

—, —, ~r~ von Null verschieden bleiben. Der Zuwachs der dx dy dz

Dichtigkeit ergiebt sich unmittelbar aus dem Volumenzuwachs, welcher zunächst ermittelt werden soll. Die anfängliche constante Dichtigkeit heisse D. Man trage in der Anfangslage vom Theilchen m aus auf

den drei (den Coordinatenachsen parallelen) Linien mMmM₂, niM3 die respectiven kleinen Strecken a, ß, 7 ab, und vervollständige das Parallelepiped, dessen Kanten diese Strecken sind. Die Verschiebungen,

welche den Werthen ^

dx dy dz

ein anderes kleines Parallelepiped, das ebenfalls rechtwinklig ist, und dessen Kanten, wie aus den oben angestellten Betrachtungen hervorgeht, gleich den Produkten a ^1 -j-

Das auf die Volumeneinheit bezogene Volumenincrement wird die kubische Dilatation genannt und möge duich den Buchstaben bezeichnet werden. Dann erhält man offenbar den Werth von #, indem man den Zuwachs des Volumens des Parallelepipeds durch das ursprüngliche Volumen aßy desselben dividirt. Auf diese Weise ergiebt sich die Gleichung

entsprechen, verwandeln dasselbe in

sind.

dg

dg

dy

d /yd

oder, weil die Produkte aus -ß, fß neben den ersten Potenzen

dx dy dz

dieser Grössen vernachlässigt werden, die folgende:

(2.) ₊

dx dy dz

Um hieraus das Incrément der Dichtigkeit abzuleiten, hat man nur zu beachten, dass das Produkt aus Volumen und Dichtigkeit constant bleibt, da es die Masse darstellt. Die nach der Deformation vorhandene Dichtigkeit ist folglich gleich D, multiplicirt mit dem Quotienten aus dem Volumen des ersten und dem des zweiten Parallelepipeds. Der letztere Quotient ist aber gleich

#=(!+ —

dx

i + f i + dr>

dx

oder, wenn man entwickelt und die höheren Potenzen fortlässt, gleich

l_dg_ dV d£

dy

dz

dz '

dx dy

Daher findet man für den Zuwachs der Dichtigkeit den Werth — Dd-.

II. Die Druckkräfte.

Der Widerstand, den ein fester Körper den äusseren Kräften entgegensetzt, wird der Cohäsion zugeschrieben, deren Ursprung man in der gegenseitigen Anziehung und Abstossung der Moleküle sucht. Es soll hier auf die Art und Weise eingegangen werden, in welcher sich die Cohäsion an den einzelnen Flächen geltend macht. Wenn man

irgend eine Ebene durch den betrachteten Körper legt, so wirken die Massentheilchen diesseits und die Massentheilchen jenseits derselben mit gewissen Kräften auf einander ein. Durch die Zusammenfassung dieser Kräfte entstehen die Druckkräfte, welche man der Fläche — nicht der Masse — proportional rechnet. (Der Begriff „Druckkraft“ wird hier in dem allgemeineren Sinne angewendet, dass auch die Zugkräfte und die eine Gleitung bewirkenden Kräfte einbegriffen werden). Man nimmt an, dass die Molekularattractionen, aus denen die Druckkräfte sich zusammensetzen, nur innerhalb sehr kleiner Entfernungen beträchtliche Werthe haben, und dass daher zu den an einem bestimmten Punkt auftretenden Druckkräften nur die Massentheilchen der nächsten Umgebung, welche als Wirkungssphäre bezeichnet wird, beitragen, eine Voraussetzung, die man aus dem beobachteten grossen Unterschied zwischen den Cohäsions- und den Adhäsions-Kräften fester Körper abstrahirt. Kennt man m ein diesseits der Ebene und in unmittelbarer Nähe derselben gelegenes Massentheilchen, so kann man die Kräfte, mit denen die jenseits der Ebene befindlichen Theilchen auf m wirken, in eine Resultante vereinigen. Analog verfährt man bei allen in der Umgebung von m liegenden Theilchen m', m" etc. Indem man dann diese Resultanten benachbarter Theilchen wegen der Stetigkeit der Aenderung als parallel annimmt, gelangt man zu dem Begriff der aus einer grossen Zahl solcher paralleler Kräfte bestehenden Druckkraft, w⁷elche somit der Grösse des Flächenelementes, an welchem sie auftritt, proportional ist. Man setzt nun ferner die Druckkräfte als stetige Functionen der Raumcoordinaten voraus. Sind co und co' zwei Flächenelemente, welche in der erwähnten Ebene, aber in verschiedenen Theilen derselben, liegen, so ist im Allgemeinen die Druckkraft, welche zu co gehört, sowohl in Grösse als in Richtung von der zu co/ gehörigen verschieden. Die Grösse der ersteren Kraft werde durch das Produkt coP, die der letzteren durch co'P' gemessen; dann soll, jener Voraussetzung zufolge, bei Einschaltung der zwischen co und co' liegenden Flächenelemente der Werth P stetig in P' übergehen, und ebenso soll die Richtung der Kräfte eine stetige Aenderung aufweisen. — Bei der soeben angewendeten Bezeichnungsweise werden die Druckkräfte auf die Flächeneinheit bezogen. Denn die auf das Flächenelement co wirkende Druckkraft wurde gleich coP gesetzt; also stellt P die Druckkraft, welche zur Flächeneinheit gehört, dar, wenn man sich letztere in gleichmässiger Weise in Anspruch genommen denkt, derartig, dass bei jedem Element von der Grösse co die gleiche und gleichgerichtete Kraft coP vorhanden ist. Die Flächeneinheit soll in dieser Weise für alle Druckkräfte, die in den nachstehenden Rechnungen Vorkommen, der Bezeichnung zu Grunde gelegt werden.

Bei jedem Flächenelement der betrachteten Ebene treten zwei nur durch das Vorzeichen von einander verschiedene Druckkräfte auf. Die Druckkraft, mit welcher an dem Element m die Massentheilchen diesseits der Ebene auf die jenseits wirken, wird als gleich und entgegengesetzt derjenigen angesehen, welche die Einwirkung der Theil-chen jenseits auf die diesseits darstellt, weil man sich alle Druckkräfte aus gegenseitigen Anziehungen und Abstossungen entstanden denkt. In dem Fall, dass die Ebene einer der Coordinatenebenen parallel ist, beziehen sich die im Folgenden eingeführten Bezeichnungen der Druck-kraftscomponenten stets auf diejenige Druckkraft, welche aus der Einwirkung der Seite der grösseren Coordinaten auf die Seite der kleineren Coordinaten entspringt. Das Vorzeichen der Kräfte selbst ist, der allgemein gültigen Definition gemäss, positiv oder negativ, jenach-dem dieselben die Coordinaten der Massentheilchen, auf die sie wirken, zu vergrössern oder zu verkleinern streben.

x-,

Ebenso wie die Verschiebungen §, r\, £ fasst man auch die Druckkräfte als Functionen der anfänglichen Coordinaten x, y, z auf. Es ist wohl zu beachten, dass die Druckkräfte, die nach der Deformation an irgend einem Punkte auftreten, nicht als unmittelbare Functionen der augenblicklichen Coordinaten, sondern als Functionen der ursprünglichen Coordinaten der daselbst befindlichen Massentheilchen hergestellt werden sollen. In Folge dessen geschieht auch die Bezeichnung der einzelnen Druckkräfte in der Art, dass man dieselben auf die Flächenelemente der Anfangslage, nicht auf die nach der Deformation vorhandenen, bezieht. Aus der zur .r-Achse senkrechten Ebene, welche in der Anfangslage das Theilchen m enthält, schneide man ein kleines Rechteck aus, dessen eine Ecke in m liegt, und dessen Seiten dy und dz der y- und z-Achse parallel sind. Dasselbe geht, wenn man die auf ihm befindlichen Theilchen verfolgt, durch die Deformation in ein anderes Flächenelement über, welches im Allgemeinen sowohl nach Flächeninhalt, als nach Lage und Umriss von dem Rechteck der Anfangslage verschieden ist. Indessen soll die daselbst angreifende Druckkraft dennoch so bezeichnet werden, dass man sie proportional zu dy dz rechnet, da man die eingetretene Aenderung der Grösse der Fläche leicht auf den Ausdruck der Kraft übertragen kann. Die der y-, z-Ackse parallelen Componenten der genannten Druckkraft, welche (nach der Deformation) auf das ursprünglich zur a>Achse senkrechte Flächenelement dy dz wirkt, mögen durch

Xx dy dz, Yx dy dz, Zx dy dz

bezeichnet werden, so dass Xx, Yx, Zx die auf die Flächeneinheit bezüglichen Kräfte sind. Den oben gegebenen Definitionen gemäss sind Xx, Yx, Zx Functionen von x, y, z, die für das Argument x, y, z die

am Punkte Æ-f-g, y-ł-rj, z+£ auftretenden Druckkräfte darstellen, und sich auf die Einwirknng der Seite der grösseren x auf die Seite der kleineren x beziehen.

In analoger Weise betrachtet man im Anfangszustand zwei durch m gehende Rechtecke mit dem Inhalt dxdz und dxdy, welche zur y-, respective 2-Aehse senkrecht stehen. Die Flächen, in die diese kleinen Rechtecke nach der Deformation übergegangen sind, mögen durch Druckkräfte in Anspruch genommen sein, welche parallel der x-, y-, z-Achse die Componenten

Xy dxdz,~ Yy dx dz, Zy dx dz,

bezüglich

Xz dx dy, Yz dx dy, Zz dx dy

haben. — Bei der hier angewendeten (von Kirchhoff herrührenden) Bezeichnungsweise der Componenten giebt der Index stets diejenige Coordinatenachse an, zu welcher das betreffende Flächenelement anfänglich senkrecht war, während der grosse Buchstabe der Richtung der Componente selbst entspricht.

Die obigen 9 Componenten zerfallen in zwei Klassen. Die Grössen Xx, Yy, Zz nennt man Normalcomponenten, weil ihre Richtung mit der Normale des Flächenelements, auf das sie wirken, zusammenfällt. Die Kräfte Yx, Zx, Xy, Zy, Xz, Yz werden aus analogem Grunde Tangentialcomponenten genannt.

Ein fester Körper wird im Allgemeinen sowohl durch äussere Druckkräfte, die an seiner Oberfläche wirken, als auch durch Kräfte, welche der Masse proportional sind (wie z. B. die Schwerkraft), in Anspruch genommen. Grenzt man im Innern des Körpers irgend ein Volumen ab und sucht die Gleichgewichtsbedingungen für dasselbe auf, so hat man neben den der Masse proportionalen Kräften diejenigen inneren Druckkräfte zu berücksichtigen, welche an den Grenzflächen des Volumens auftreten. Es ist nun wesentlich, zu bemerken, dass falls das abgegrenzte Volumen sehr klein genommen wird, die der Masse proportionalen Kräfte von höherer Ordnung als die Druckkräfte sind. Die Grössen Xx, Xy,.. ., welche die Werthe von Druckkräften für die Flächeneinheit angeben, sind von der Ordnung der endlichen Zahlen. Denn diese Kräfte sind im Stande, den Massenkräften, die sich auf endliche Massen beziehen, das Gleichgewicht zu halten. Man nehme z. B. den Fall, dass zwei der Schwerkraft unterworfene Würfel mit der Kante 1 vorhanden seien, und dass der eine auf den anderen gestellt werde. Dann ist die Druckkraft, welche an der unteren Fläche des oberen und an der oberen Fläche des unteren Würfels auftritt, gleich dem Gewicht des oberen Würfels, obwohl (wegen der Kleinheit der Wirkungssphäre) zu jener Druckkraft nur die anziehenden und abstossenden Kräfte einer ausserordentlich dünnen Schicht von Massentheilchen beitragen. Betrachtet man also ein Volumen, dessen sämmtüche Dimensionen sehr klein sind, so sind die Druckkräfte, die auf dasselbe wirken, von der zweiten Ordnung, weil sie der Fläche proportional sind, die Massenkräfte dagegen von der dritten, womit die obige Behauptung erwiesen ist. Dies führt zu dem weiteren Schluss, dass an jedem unbegrenzt kleinen Volumen die Druckkräfte, da sie ausserordentlich gross im Vergleich zu den Massenkräften sind, für sich allein im Gleichgewicht stehen müssen. Die der Masse proportionalen Kräfte kommen für ein sehr kleines Volumen erst in Betracht, nachdem die Grössen zweiter Ordnung sich gegenseitig aufgehoben haben.

III. Die Gleichgewiehtsbedingungen für das Innere.

Fiv. 2.

Um die Gleichgewiehtsbedingungen, welche für einen Punkt im Innern des Körpers gelten, zu erhalten, ziehe man, wie oben, in der Anfangslage vom Theilchen m aus, dessen Coordination x, y, z sind, drei kleine Strecken mA,mB,mC parallel den positiven Coordinaten-achsen, und construire das Parallelepiped, dessen Kanten dieselben bilden. Die Längen mA, mB, mC werden wiederum durch«,/?, 7 bezeichnet; das Theilchen m möge in endlichem Abstand von der Oberfläche des Körpers liegen. Auf das kleine Volumen, in welches das Parallelepiped nach Eintritt der Deformation übergegangen ist, kann man die 6 Gleichgewichtsbedingungen des starren Systems anwenden, da diese für einen beliebigen Complex von Massentheilchen gelten. Die proportional zur Masse wirkenden Kräfte denke man sich an jedem einzelnen Theilchen zu einer einzigen Kraft vereinigt; die den Coordi-natenachsen parallelen Componenten dieser letzteren, bezogen auf die Masseneinheit, nennt man X₀,Y₀,Z₀. Es sollen zunächst die drei Gleichgewichtsbedingungen, welche die Summen der Componenten der Kräfte betreffen, aufgestellt werden.

(X,

In der Seitenfläche des Parallelepi-peds, die durch m geht und zur x-Achse senkrecht steht, sei in der Anfangslage Kt ein beliebiger Punkt, rings um welchen man sich ein unendlich kleines Flächenelement coi abgegrenzt denkt. Von dem Punkt Ki ziehe man parallel der a>Achse eine Gerade, deren Durchschnittspunkt mit der gegenüberliegenden Seitenfläche des Paralellepipeds durch K\ bezeichnet

wird, und schneide bei K\ aus der Seitenfläche ein zu coi congruentes Flächenelement coi aus. Der Punkt K, stimmt in der x-Coordinate mit m überein; seine anderen Coordinaten seien y-{-bi, 2 + Ci. Dann hat der Punkt Ki die Coordinaten x-\-a, yĄ-bi, z+Ci. Die nach der Deformation auftretenden Druckkräfte Xx, Yx, Zx sind hiernach, abgesehen vom Vorzeichen, bei dem Element m,• für das Argument x, y+b;, z-\-U und bei dem Element coi für das Argument x{-a, y-\-bi, z-f c,- zu nehmen. Man setzt voraus, dass die Druckkräfte, als stetige Functionen der Raumcoordinaten, nach dem Taylor’schen Satze entwickelt werden können. Indem man wegen der völlig unbegrenzten Kleinheit der Längen a, bi, c; diese Entwickelungen auf die Glieder, welche mit den ersten Potenzen von a, bi, Q multiplicirt sind, beschränkt, erhält man für die der ;r-Achse parallelen Componenten die Gleichungen

dXx

%+a-§-u,

Xx (x, y -f- bi, z -f- Cf) — Xx + ß

V f \    , r ,    \    TT I dXx .    dXx r .    dXx

Xx (x +    ce, y + bi,    z + Ci)    = Xx + —a fl--— bi + Ci

wobei die Function Xx rechts stets das Argument x, y, z hat. Nun sind bei coi die Druckkräfte ihrer Definition nach mit dem negativen Vorzeichen behaftet, weil das Parallelepiped daselbst von Kräften in Anspruch genommen wird, welche die Einwirkung der Seite der kleineren Coordinaten auf die Seite der grösseren Coordinaten darstellen. Bei co'i kommt dagegen gemäss derselben Definition das positive Vorzeichen zur Anwendung. Die der x-Achse parallele Componente, welche bei coi wirkt, wird folglich durch

— (Di j Xx -f- —— bi +

dXx

dy

-7- c,-

dz

und die bei co'i wirkende, wenn man die Gleichheit der Flächen cot und co', berücksichtigt, durch

dXx

dXx

,    [ v ,dXx

+a,,\x’⁺iü

angegeben. Da man bei Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung sämmtliche der x-Achse parallelen Componenten zu addiren hat, so kann man zunächst die bei ooi und coi auftretenden vereinigen; die

dX

Summe derselben ist aber gleich a co,. Bei der ferneren Summa-

a -f

dy

bt H-

dz

c<

tion über die verschiedenen Elemente cö» und co'i, aus denen sich die beiden zur x- Achse senkrechten Seitenflächen des Parallelepipeds zu-

dXx

und a vor das Summenzeichen,

sammensetzen, treten die Factoren

da sie bei dem Variiren von bt- und q unverändert bleiben. Die X co{ wird aber gleich der Rechteckfläche ßy. Die Druckkräfte, welche auf die zwei betrachteten, einander gegenüberliegenden Seitenflächen wirken,

dx

tragen also zu der Summe der zur x- Achse parallelen Componenten den Werth

dXx

bei. In analoger Weise ergeben sich die Ausdrücke

dXy ~ dXz n

dy

~d7aßr

als die Beiträge, welche die zur y-, resp. z- Achse senkrechten Seitenflächen zu der genannten Componentensumme liefern. Die Grössen zweiter Ordnung haben sich hier vollständig fortgehoben; die obigen übriggebliebenen Werthe sind, da sie aßy als Factor enthalten, von der 3. Ordnung, also von derselben, wie die der Masse proportionalen Kräfte. Letztere liefern bei dem kleinen Parallelepiped für die der x-Achse parallele Richtung die Componente

D aßy X₀,

wo D die Dichtigkeit bedeutet. Hiernach lautet die Gleichgewichtsbedingung, welche sich auf die der x-Achse parallelen Componenten bezieht, dXx , dXv . dXz

aßy

= 0.

dx ' dy X dz

Nach Aufstellung der analogen Bedingungen für die zur y- und zur z-Achse parallelen Componenten und nach Division durch aßy erhält man folglich das Gleichungssystem:

dXz

dXx , dX,

dx ¹ dy x dz dYx dVy dYz    _

⁺w⁺~^~+ 0 ~ ’

iZŁ+dZŁ+dZŁ + DZ = 0

dx dy dz

Im Fall der Bewegung hat man, nach dem d’Alembert’schen Princip, zu den obigen Componentensummen die Produkte aus der Masse des Parallelepipeds und den respectiven Beschleunigungscompo-nenten mit negativem Vorzeichen hinzuzufügen. Da die Coordinaten des Theilchens m zur beliebigen Zeit t durch x + g, y + z], z + £ angegeben werden, und die Anfangscoordinaten x, y, z nicht von t abhängen, so

sind die Beschleunigungscomponenten gleich treten die Summanden

Folglich

d^l d^i d2g dt*’ dt²’ dt²’

d²tj

d²C

~Da^äP -Dafrr^, -Daßy ^

zu den Componentensummen hinzu, so dass die rechten Seiten der

d²£ d²ri d²£

Gleichungen (3.) dann nicht gleich 0, sondern gleich D D D zu nehmen sind.

Die übrigen 3 Gleichgewichtsbedingungen beziehen sich auf die Kräftepaare. Dieselben liefern 3 Gleichungen, in denen die Druckkräfte selbst, nicht ihre Differentialquotienten, Vorkommen, weil bei den Drehungsmomenten die Grössen beträchtlichster Ordnung sich nicht, «wie es bei den Componentensummen der Fall war, gegenseitig fortheben. Als derjenige Punkt, von dem aus die Hebelarme gerechnet werden (der bekanntlich beliebig ist), werde der Mittelpunkt des betrachteten kleinen Parallelepipeds genommen. Um zunächst das Moment für diejenige Drehung, deren Achse der z - Achse parallel ist, zu bilden, zieht man durch den Mittelpunkt des Parallelepipeds eine Gerade QQ‘ parallel der z- Achse. Dann ergiebt sich das erwähnte Drehungsmoment, wenn jede zur x- oder y -Achse parallele Componente mit dem loth-rechten Abstand ihrer Richtung von der Geraden QQ‘ multiplicirt, und sämmtliche Produkte unter Berücksichtigung des ^Vorzeichens der Drehungsrichtung addirt werden. Man fixire wiederum auf den zur cr-Achse senkrechten Seitenflächen des Parallelepipeds zwei Punkte Ki und Kl, deren anfängliche Coordinaten x, y-\-    z-j-C;, bezüglich x-\-a, y-\-bi,

z-j-Ci sind, und grenze um dieselben zwei congruente Flächenelemente (Di und ml ab. Die Kräfte Xx, Yx, welche bei ml auf das Parallelepiped wirken, unterscheiden sich in ihrem absoluten Werthe von den bei erwirkenden nur um Grössen höherer Ordnung, haben jedoch die entgegengesetzte Kichtung. Es ist leicht zu sehen, dass die Normalkräfte Xx auf das betrachtete Drehungsmoment keinen Einfluss haben. Der lothrechte Abstand der Verbindungslinie K Kl von der Geraden QQ‘ ist Hebelarm sowohl für die bei K als die bei Kl auftretende Kraft Xx, und da diese Kräfte einander gleich und entgegengesetzt sind, wenn von Grössen höherer Ordnung abgesehen wird, so heben ihre Drehungsmomente sich gegenseitig auf. Von den Tangentialkräften Yx hat dagegen die bei Kl wirkende einen Hebelarm, der in entgegengesetztem Sinne gemessen wird, als der Hebelarm für die Kraft Yx bei K ; und da die Kräfte selbst eine entgegengesetzte Richtung haben, so wirken ihre Drehungsmomente in gleichem Sinne. Die zwei Tangentialkräfte bei K und K\ bilden ein Kräftepaar, dessen Moment gleich a mt Yx ist, da die Grösse der Kräfte durch ± cöt- Yx, und der lothrechte Abstand ihrer Richtungen von einander durch a angegeben wird. Indem man über die beiden zur x- Achse senkrechten Seitenflächen summirt, wobei Xmt gleich ßy zu nehmen ist, gelangt man zu dem Resultat, dass diese Flächen zu dem Moment der in Rede stehenden Drehung den Beitrag

aßy Yx

liefern.

Behandelt man ebenso die Flächen des Parallepipeds, die zur y- Achse senkrecht sind, so heben sich die Normalkräfte ± Fy gegen-

seitig auf, und das von den Tangentialkräften Xy herrührende Moment hat den Werth aßyXy. Indessen sind die Drehungsrichtungen dieses und des oben behandelten Kräftepaars einander entgegengesetzt, so dass einer der Ausdrücke aßyYx und aßyXy mit — 1 multiplicirt werden muss. Man rechne in der xy-Ebene diejenige Drehungsrichtung als die positive, bei welcher die positive x-Achse durch eine Drehung von 90° in die positive y -Achse fällt. Dann wird, falls die Kräfte Yx und Xy positiv sind, durch erstere eine Drehung im positiven, durch letztere eine Drehung im negativen Sinne erstrebt. Die Momenten-summe enthält daher die Terme -f- aßyYx und —aßyXy. Es ist ferner zu bemerken, dass die Kräfte, welche an den zur z-Achse senkrechten Seitenflächen des Parallelepipeds wirken, ohne Einfluss auf eine Drehung sind, deren Achse der z-Achse parallel ist; die zugehörigen Momente heben sich gegenseitig auf, da man an je zwei gegenüberliegenden Punkten entgegengesetzte Kräfte mit gleichen und gleichgerichteten Hebelarmen zu multipliciren hat. Endlich fallen die der Masse proportionalen Kräfte bei dieser Rechnung, wo a, ß, y beliebig klein gewählt werden können, ebenfalls fort. Denn die Momente, die von den Massenkräften herrühren, sind in Bezug auf die Grössen a, ß, y von der 4. Ordnung, also von höherer Ordnung als die Momente der Druckkräfte, so dass sie neben letzteren nicht in Betracht kommen. Da sich auf diese Weise das schliessliche Moment

aßy (Fx — Xy)

ergeben hat, so liefert die erste der auf die Drehung bezüglichen Gleichgewichtsbedingungen die Gleichung

Xy = rx.

(4.) Yz = Zy, Z* = X„ Xy = Yx.

Man beachte, dass im Fall der Bewegung die Gleichungen (4.) ebenfalls erfüllt sind. Denn die Kräfte, die man nach dem d’Alem-bert’schen Princip hinzuzufügen hat, gehören in die Ordnung der zur Masse proportionalen Kräfte, welche zu den Drehungsmomenten des kleinen Parallelepipeds überhaupt nur einen zu vernachlässigenden Beitrag liefern.

Die Betrachtung der Momente derjenigen Drehungen, deren Achse der x- und der «/-Achse parallel ist, führt analog zu der Identität je zweier der übrigen 4 Tangentialkräfte, und man erhält somit das Gleichungssystem

IV. Die Bedingungen für die Oberfläche.

Zu den Gleichungen (3.) und (4.), welche für jeden Punkt im Innern des Körpers gelten, treten weitere Gleichungen, welche sich auf die Oberfläche des Körpers beziehen. Die an irgend einem Oberflächenelement

dû angreifenden äusseren Druckkräfte vereinigt man in eine Kesul-tante, und zerlegt letztere in ihre der x-, y-, z- Achse parallelen Componenten, die durch XdFL, Fd&, Zd& bezeichnet werden mögen. Die Grössen X, F, Z sind Funetionen derjenigen Coordinaten, welche die einzelnen Punkte der Oberfläche von einander unterscheiden. In dem betrachteten Körper sei P ein Punkt, der in unmittelbarer Nähe der Oberfläche liegt. Man führe von P aus eine Parallele zur a>Achse, welche die Oberfläche im Punkt A treffen möge, und bezeichne die Länge der kleinen Strecke PA durch a. Ebenso zieht man die kleinen Linien PB, PC, deren Länge ß, y sei, parallel der y- und der z-Ackse bis zur Oberfläche. Das Oberflächenelement, welches die Punkte A, B, C enthält, ist wegen der unbegrenzten Kleinheit von a, ß, y als eben anzusehen ; das Dreieck ABC, dessen Flächeninhalt man durch x bezeichnet, bildet dann die Grundfläche einer kleinen dreiseitigen Pyramide, als deren Spitze man den Punkt P nimmt. Die nach aussen gerichtete und durch P gehende Normale PN der Oberfläche bilde mit den positiven Coordinatenachsen die Winkel X, y, v, welche zunächst als spitz vorausgesetzt werden sollen. Dann bestehen, da die 3 Seitenflächen der Pyramide die Projectionen der Basis sind, und die Neigungswinkel der Ebenen durch die Winkel zwischen ihren Normalen gemessen werden, die Beziehungen

A PBC — \ ßy — z cos 1, A PCA — i ya = x cos y, A PAB = \ aß = x cos v.

Fig. 3.

/N

Ab

/ /T"-

Die Kräfte, die nach eingetretener Deformation auf die kleine Pyramide wirken, müssen einander das Gleichgewicht halten; es sollen die drei Bedingungen, die sich auf die Componentensummen beziehen, aufgestellt werden. Die Basis x wird von den Com-

ponenten xX, xF, xZ angegriffen. Auf die Seitenfläche PBC, die zur a;-Achse senkrecht steht, wirken die Druckkräfte

"N/"'

—    \ ßyXx, —ißyFx, —üßyZx.

Denn die Werthe —Xx, —Fx, —Zx stellen die Einwirkung der Seite der kleineren Coordinaten auf die Seite der grösseren Coordinaten dar, und da der Winkel 1 als spitz vorausgesetzt ist, so liegt die kleine Pyramide von der Ebene PBC aus auf der Seite der grösseren r. In analoger Weise ergeben sich für die Druckkräfte, welche auf die Seitenflächen PCA und PAB der Pyramide wirken, die Ausdrücke:

—    \yaXy, —iyaFy, — i yaZy,

—    i aßX z, — i aßF z, — i aßZz.

Die der Masse proportionalen Kräfte sind hier zu vernachlässigen, da sie von der 3. Ordnung in Bezug auf a, ß, y sind, die Gleichgewichtsbedingungen aber zu Beziehungen zwischen Grössen der 2. Ordnung führen. Indem man die Summen der Componenten parallel der x-, y-, z-Achse gleich Null setzt, erhält man die Gleichungen:

xX— I ßyXx — i yaXy — i aßXz — 0, xY—ißyYx — iyaYy — iaßYz = 0, x Z—\ ßyZx — i yaZy — i aßZz = 0, oder, nachdem man für die kleinen Flächen ißy, iycc, iaß ihre Werthe x cos X, x cos /i, x cos v eingesetzt und durch x dividirt hat, die folgenden Xxcos X + Xy cosfi + Xzcos v = X,

(5.)

Yx cos X + Yy cos [i + Yz cos v = Y,

Zx cos X + Zy cos fi + Zz cos v — Z, welche die gesuchten Oberflächenbedingungen darstellen.

Fig. 4.

\N

B/\

In der obigen Rechnung wurde vorausgesetzt, das X, fi, v spitze Winkel seien; indessen gelten die Gleichungen (5.) allgemein. Setzt man den Fall, dass der Winkel X, den die nach aussen gerichtete Normale mit der positiven x-Achse bildet, stumpf sei, so ist die zur .r-Achse senkrechte Seitenfläche PBC den Druckkräften ■+~ißyXx, +ißyYx, -\--kßyZx

unterworfen, da die Pyramide alsdann die Einwirkungen der Seite der grösseren x erfährt. Gleichzeitig ergiebt sich aber zwischen den positiven Werthen \ßy und x, welche die Grösse der Flächen messen, die Relation

ißy = x cos (180° — X) — —rcosl, so dass die Componenten, die an der genannten Seitenfläche auftreten, doch wiederum gleich den Ausdrücken

— x cos XXx, —x cos fiYx, —rcos^Z* sind. Ebenso wird der Fall behandelt, dass fi oder v stumpf ist.

Wenn endlich einer der Winkel, z. B. X, ein rechter ist, so hat man nicht eine kleine Pyramide, sondern ein kleines dreiseitiges Prisma zu betrachten. Für X = 90° ist das Oberflächenelement parallel zur x-Achse. Man ziehe nun innerhalb des Körpers, jedoch in unmittelbarer Nähe des betreffenden Oberflächenelements, eine Parallele PP* zur x-Achse und lege durch P und P* die bis zur Oberfläche gehenden Geraden PB und P'B' parallel der y-Achse, sowie PC und P'C' parallel der z - Achse. Die Länge PP' werde durch a, PB durch ß, PC durch y bezeichnet. Das dreiseitige Prisma, welches durch die congruenten

rechtwinkligen Dreiecke PBC und P'B'C' begrenzt ist, wird an den letztgenannten Endflächen durch Kräfte in Anspruch genommen, welche sich, bis auf Grössen höherer Ordnung, gegenseitig auf heben, da sie einander gleich und entgegengerichtet sind. Die rechteckförmigen Seitenflächen BPP'B' und CPP'C' sind die Pro-jectionen der Fläche BB'C'C, welche zur Oberfläche des Körpers gehört, und es wiederholen sich in Betreff dieser 3 Flächen die Schlussfolgerungen, die im Vorhergehenden für die Seitenflächen der kleinen Pyramide erhalten wurden. Man gelangt hierdurch, wie leicht zu sehen, zu dem Resultat, dass die Gleichungen (5.) auch in dem Fall cos X = 0 erfüllt sein müssen, und analog kann man verfahren, wenn zwei der Winkel X, [i, v Rechte sind.

Fig. 5.

C'

"F‘

et

Somit ist bewiesen, dass die Gleichungen (5.) für jeden Punkt der Oberfläche des Körpers gelten. Dieselben behalten ihre Gültigkeit auch für den Fall der Bewegung, da in der obigen Entwicklung die der Masse proportionalen Kräfte ohne Einfluss geblieben sind.

V. Die Druckkräfte an beliebig gerichteten Flächenelementen.

Legt man durch einen Punkt m im Innern des Körpers ein Flächenelement r, so hängt die Druckkraft, die bei r auftritt, einerseits von der Lage des Punktes m, andererseits von der Neigung des kleinen Flächenstücks r gegen die Coordinatenebenen ab. Bisher wurden nur die Fälle betrachtet, wo die Fläche r einer der Coordinatenebenen parallel ist, und daher die Componenten der zugehörigen Druckkraft durch Xx, Yx etc. angegeben werden. Es sei mn der eine Zweig der Normale, welche zu dem Flächenelement r von m aus gezogen wird. Die Winkel, welche mn mit den positiven Coordinatenachsen bildet, mögen X, [i, v heissen. Man bezeichnet ferner die Druckkraft, die auf r wirkt, reducirt auf die Flächeneinheit, durch Bn, die Componenten derselben parallel der x-, y-, z-Achse durch Xn, F„, Zn; und zwar möge B„ die Einwirkung derjenigen Seite, innerhalb welcher der Normalenzweig mn liegt, auf die gegenüberliegende Seite ausdrücken. Die Grösse und Richtung der Kraft Rn ergiebt sich aus den zum Punkt m gehörigen Werthen Xx, Yx, .. Zz mittelst einer Rechnung, welche dem Beweise der Gleichungen (5.) völlig analog ist. Man nehme auf der Verlängerung der Linie m«, jedoch in unmittelbarer Nähe von m, einen Punkt P an, und ziehe von P aus parallel den drei Coordinatenachsen die drei kleinen Linien a, ß, y bis zum Flächenstück r. Hierdurch

wird wieder eine kleine dreiseitige Pyramide gebildet, deren eine Ecke P nur rechte Winkel enthält. Da die Form des Flächenelements r unerheblich ist, so kann man, wie in IV, t mit der dem Punkt P gegenüberliegenden Grenzfläche der Pyramide identisch nehmen. Dann ergeben sich für Xn, Yn, Zn genau dieselben Gleichungen, welche in IV für X, F, Z erhalten wurden, nämlich

Xn = Xx COS 1 + Xy COS [Z -j- Xz COS V,

(6.)

Yn = Yx COS l + Yy COS \L -j- Yz COS V,

Zn = Zx COS 1 + Zy COS [i -f- Zz COS V.

Diese Gleichungen zeigen, dass wenn die 9 Componenten Xx, Xy,.. Zz für einen Punkt m bekannt sind, hierdurch auch sämmtliche Druckkräfte, welche bei den durch m gelegten Flächenelementen auftreten können, gegeben sind.

Denkt man sich das durch m gehende Flächenstück r in alle möglichen verschiedenen Lagen gebracht und die zugehörige Druckkraft jedesmal in Grösse und Richtung durch eine von m ausgehende Linie dargestellt, so haben die Endpunkte dieser Linien als geometrischen Ort ein EUipsoid, welches das Elasticitätsellipsoid des Punktes m genannt wird. Welche Druckkraft zu einem bestimmten Flächenelement gehört, kann auf geometrischem Wege mit Hülfe einer anderen Fläche zweiten Grades angegeben werden. Indessen wird hier auf die Entwicklung der erwähnten Lehrsätze verzichtet, da diese Einleitung auf die Herstellung der Differentialgleichungen selbst beschränkt werden soll. Die Kräfte, welche in die Hauptachsen des Ellipsoids fallen, stehen zu den Flächenelementen senkrecht, auf die sie wirken. Die grösste und die kleinste Druckkraft, die bei m vorkommt, ergiebt sich aus der grössten und kleinsten Halbachse des Ellipsoids.

VI. Die Differentialgleichungen für isotrope Körper.

Im Vorhergehenden wurde entwickelt, dass die kleine Formveränderung, die in der Umgebung eines beliebigen Punktes m statt findet, durch die ersten Differentialquotienten von g, 97, £ nach x, y, z angegeben wird. Da es sich nun darum handelt, die Beziehungen festzustellen, welche zwischen der Deformation und den bei m auftretenden Druckkräften Xx, Xy . . Zz bestehen, so hat man letztere Kräfte als Functionen der genannten Diflerentialquotienten auszudrücken. Man schliesst zunächst aus der Erfahrung, dass diese Functionen lineare sind. Die Beobachtung zeigt, dass die Formveränderung, so lange sie unterhalb einer gewissen Grenze bleibt, den wirkenden Kräften direkt proportional ist. Die Ausdehnung, Zusammendrückung, Gleitung, Torsion, die man

an irgend einem Theil des betrachteten Körpers wahrnimmt, verdoppelt sich, wenn die wirkenden Kräfte verdoppelt werden. In den linearen

Functionen müssen ferner die Coefficienten von und —

einander

gleich sein, ebenso die von ~ und respective von — und

dx dz r    dy dx

Denn an einem Punkte, wo die 6 Werthe

dl ^ ą dri    dl dl    dl dl

dx ’ dy ⁷ dz ⁷ dz    dy ⁷ dx    dz⁷ dy

verschwinden, sind, wie in I. erörtert wurde, auch alle elastischen Kräfte gleich Null, da dort überhaupt keine Deformation stattfindet. Man kann also für die inneren Druckkräfte die Gleichungen aufstellen

_«,« + », !’+ 6,-^

dx    dy    dz

dz

dy

dr\

dx

¹ ■ dx r

dy

dg

dl dl dy dx

dg . drj

Yz =

dg

dg drj dx) ⁷

dy

. + &(§+g,

x,=r,=%-^+.

wo Sli, ^ constante Grössen bedeuten.

Es soll nun die Bedingung, dass der Körper ein isotroper sei, eingeführt werden, wodurch die letzteren Gleichungen in sehr viel einfachere übergehen. Im Fall der Isotropie darf keine Richtung innerhalb des Körpers vor der anderen bevorzugt sein. Die 36 Constanten, die in den obigen Ausdrücken der Kräfte Vorkommen, reduciren sich dann auf 2. Man behandelt zuerst die Normalkräfte Xx, Yv, Zz.

In der Definition der Normalkraft Xx ist nur die Kenntniss der Richtung der positiven #-Achse vorausgesetzt, da hierdurch sowohl die Richtung der Componente, als auch die Lage des Flächenelements, auf das sie sich bezieht, bestimmt ist. Folglich darf die Vertauschung der y- und z-Achse den Ausdruck von Xx nicht ändern. Dies zeigt aber, dass === (Sx,    == sein muss. Die Erwägung, dass die Ver

tauschung des positiven und des negativen Zweiges der y-Achse auf Xx

y = —y', v = —y'

keinen Einfluss haben kann, liefert den weiteren Schluss, dass nach Anwendung der Substitution

die Grösse Xx dieselbe Function von y', rf sein muss, als sie von y, rj war, d. h.

xx=% ^ + »! % + e,

dx    dy    dz

+®*@+|) ⁺ ®‘(f⁺ f) + »'(

Aber da die Substitution die Beziehungen

drj_drf drj ^ dg_ (drf , dg\ dg

dy': dz dy

liefert, so geht der zuerst erwähnte Ausdruck yon Xx in den folgenden über:

dg djf dx)’

dy

dy

dz

~r

dy

-L 4-

dx \dy'    dx )

dy

äS

drf

>+®l

■ï* = âlÆ ⁺ ®‘

_2) (Śn!. _i_ Æl \ J_ (g _L _ cç (ÉL -L '

\dz dy') l\dx dz) ®y\du' dx )’

Die Vergleichung der zwei Formeln für Xx, welche beide für beliebige Verrückungen Gültigkeit haben, beweist, dass für den isotropen Körper SDj =    = 0 ist. In analoger Weise führt die Substitution z = — z',

g = —g' zu der Gleichung = 0. Indem man ferner berücksichtigt, dass die #-Achse in keiner Weise vor der y- oder 7-Achse ausgezeichnet sein soll, erhält man die Gleichungen:

»i = »* = 63,

»! = 6, = 2I₂ = ©2 = 213 = 233,

— 0,

= @2 = ®3 =

— $2 = $3 = 0*

dy

dz

dg _ dg'

ist, die

dx'

dx

Die Substitution x =—x', g — —g' lässt, da

Form von Xx ungeändert. In der That wird durch Vertauschung des positiven und des negativen Zweiges der a--Achse zwar die Kichtung, in welcher die Componente positiv gerechnet wird, in die entgegengesetzte verwandelt; aber da die Seite der grösseren x gleichzeitig in die Seite der kleineren x' übergeht, so wird der Zeichenwechsel wieder aufgehoben und für die Druckkraft der frühere Ausdruck in den neuen Coordinaten erhalten. Auf die Normalkräfte hat hiernach die Vertauschung des positiven und des negativen Zweiges einer Coordinaten-achse niemals einen Einfluss.

Von den Tangentialkräften Yz, Zx, Xy ändern dagegen bei einer solchen Vertauschung stets je zwei ihr Vorzeichen. Man setze y — —y\

ij = —rf und bezeichne durch Yz die der «/'-Achse parallele Compo-nente, welche an dem zur z-Achse senkrechten Flächenelement auftritt. Dann ist Yz = —Yz, und analog Y‘x = —Yx; denn nur die Richtung, in welcher die Componente positiv zu rechnen ist, hat sich geändert, während bei dem Flächenelement die Seite der grösseren, respective kleineren Coordinaten dieselbe geblieben ist. Nach Einführung von «/', rj' hat man für Yz die Gleichung

Yz = — Yz = — 2I₄

dx

dg —    gjiS

dy'

dz

d3 , drn

dy'    dx /

Da aber wegen der vorausgesetzten Symmetrie Yz dieselbe Function von x, y', z, g, £ sein muss, welche Yz von x, y, z, g, rj, g ist, also zweitens auch die Gleichung

=    + 584^ + 64^

dx dy' dz

⁺®⁴(*⁺§)+®*(ft+£)+& (§'+’ta)

für beliebige Werthe der Verschiebungen besteht, so muss 2t₄ = «S₄ = ©₄ = @₄ = 0

sein. Nach derselben Methode zeigt man, dass $4 = 0 ist. Denn wenn y, rj beibehalten, aber z — — z', £ = — £' gesetzt werden, so wechselt die oben betrachtete Tangentialkraft wiederum das Zeichen, während

der Summandus    -f- sich nicht ändert ; dies führt zu der

Gleichung = 0. — Die Schlüsse, welche in Bezug auf die Componente Yz gezogen worden sind, übertragen sich auf die analogen Constanten der übrigen Tangentialkräfte, da der Körper nach den 3 Coordinatenachsen ein genau gleiches Verhalten zeigen soll. Man erhält hiernach das Gleichungssystem:

8t₄ = % = 2Ie - 0,

S3₄ = «85 = «8₆ = 0,

©₄ = ©5 = ©g = 0,

5d₄ = ą = &,

@₄ = ^₄ == ®₅ = ^5 = 3)g = ©g = 0.

Der gemeinsame Werth der Coefficienten 2l₄, S8₂, @3 soll durch a, der Werth von S)₄, ©₅, $₆ durch b bezeichnet werden. Dann bestehen, den bisherigen Betrachtungen zufolge, für die Druckkräfte die Formeln:

Xx = a ß. + »₄ (p. + ^

dx \dy dz/

dê dx r

Zz = a §- + %%(§- +

dz \dx dy)

'•■-4-Kî+d

b(di+dl)

b\dy ⁺ dxj"

Xy = YX =

Diese Gleichungen enthalten die drei Constanten a, b, î8i. Indessen sind letztere noch durch eine Relation mit einander verbunden, und man kann daher durch a und b ausdriicken. Um die Relation herzustellen, soll zunächst eine Rechnung ausgeführt werden, die sich auf eine einfache Coordinatenverwandlung bezieht. Man denke sich, während die «/-Achse beibehalten wird, die x- und z-Achse um 45° in der Drehungsrichtung, die von der positiven a:-Achse zur positiven z-Achse fortschreitet, gedreht, und bezeichne die neuen Coordinatenachsen als die x'- und z'-Achse. Zu den alten und neuen Coordinatenachsen ziehe man vom beliebigen Punkt m aus Parallelen, und trage auf den Parallelen zur positiven x'- und z'-Achse die Strecken mml und mm₂ von der Länge h ab. Es soll nun der Fall betrachtet werden, dass die Umgebung von m eine

von Null verschieden, die anderen 8 Differentialquotienten gleich Null sind. Man fragt nach den Ausweichungen, welche die Punkte % und m₂ bei dieser Annahme parallel den neuen Coordinatenachsen machen. Der ge-

dÈ

dx

Deformation erleidet, bei welcher allein ¹

Fig. 6.

'( X.)

dê

gebene Werth von •

werde durch s bezeichnet.

Nennt man (wie in I) ö,-die anfängliche relative, der x- Achse parallele Coordinate des Theil-chens mi in Bezug auf m, so erfährt die relative Verrückung gcp in der Richtung der x- Achse.

Für mu m₂ hat man cq = -7=, a₂ = — Daher macht ml eine Aus-

dx

mp

11

h.

lU

45°

(¹)

af

1/2

l/2

z'-Achse hat man wiederum den Factor — hinzuzufügen, so dass 4

1/2

he

Weichling mpn{ =

he

in der Richtung der positiven, m₂ eine gleich

grosse Ausweichung    in der Richtung der negativen x-Achse. Bei der

Projection der Längen mmA und mprii auf die Richtungen der x'- und

1/2

Strecken mppu    m₂p₂, m₂q₂ von der Länge erhalten werden.

Nennt man ferner §', £' die Verschiebungen, welche das Theilchen m parallel der x'- und z'-Achse erfährt, so kann man auch die Differential-

quotienten    ~ zum Ausdruck der bei mi und m₂ statt-

LIJU CIZ (IJU tl/źc

Die relativen Verschiebungen des

findenden Bewegung anwenden.

Theilchens mv parallel der x'- und z'-Achse werden dann durch die

Producte ßß- h, h, und die des Theilchens m₂ durch h, ßß- h an-

(IvC    U/JO    WZ    tiz

gegeben. Die Vergleichung dieser Ausdrücke mit den obigen Pro-

Indem man be

jectionen liefert die Werth e von    ßß-,

J    dx" dz'’ dxn dz' rücksichtigt, dass die Verschiebungen und m₂q₂ ein positives, mtqt und m₂p₂ ein negatives Vorzeichen haben, erhält man, nach Fortlassung des gemeinsamen Factors h, die Gleichungen:

(diV_₌e_ Ç ₌ _ dx' 2 ’ dx‘    2 ’

_₌__± dg ₌

dz' V dz' 2‘

Die gesuchte Relation zwischen den Constanten a, b, wird nun dadurch ermittelt, dass man für gewisse Druckkräfte doppelte Ausdrücke erhält, wenn man zwei verschiedene Wege für die Ableitung derselben einschlägt.

Man lege durch den Punkt m ein Flächenelement r, das zur x'-Achse senkrecht steht, und bezeichne die auf r wirkende Druckkraft durch z Q. Die Componenten von Q parallel der x-, y-, z-Achse mögen Xq,

Fq, Zq heissen. Man zerlegt die Kraft Q ausserdem nach den neuen Coordinatenachsen ; es seien X'x>. Z‘x> ihre der x'-

dê'

Fig. 7.

lq

(xj

57

und z'-Achse parallelen Componenten. Dann können Xq, Zq (Yq hat hier den Werth 0) einerseits durch Xx>, Zx> ausgedrückt, andererseits nach Y. berechnet werden. Man erhält Xq, wenn man Xx< und Z‘x< auf die Richtung der positiven #-Achse projicirt und die Projectionen addirt ; das Analoge gilt von Zq. Auf diese Weise entstehen die Gleichungen

(x‘x‘ — Z‘x^j

Xq= -=

1/2

^“tTT

da die x'- Achse einen Winkel von 45° mit der x- und der z-Achse bildet. Die Grössen Xx< und Zx> sind aber bekannt. Denn für diese Componenten gelten, wenn man die neuen Coordinaten anwendet, genau dieselben Formeln, welche für Xx, Zx entwickelt wurden, da wegen der Isotropie des Körpers das eine Coordinatenkreuz nicht vor dem anderen bevorzugt sein kann. Indem man also in den oben erhaltenen Gleichungen die Werthe

Xx, ZX} x, z, g £

durch

ersetzt, ergiebt sich:

X'x,, Z'xl, x', z', g, g

X‘x> =

dg a , ,

dx'

+s'(l+S

Z‘X‘ =

\dx' ^ dz')

Im vorliegenden speciellen Falle, wo

0 ==

’ dx'

V =

sein soll, ist folglich

dg

dz'

dg ₌ dg ’ dz' dx'

Xx‘ = i {ei -f-    £, Z‘x< = — bs

so dass Xq und Zq die Werthe

z, =

annehmen.

Z< =

|/2 I 2 i’

Einen zweiten Ausdruck für Äq, respective Zq, gewinnt man aus den Gleichungen (6.), welche die zu einem beliebigen Flächenelement gehörige Druckkraft auf die Componenten Xx, Xy etc. reduciren. Für

die letzteren ergeben sich, wenn — s} die übrigen Differentialquo-

b(^+dA

°\dy^ dx)’

tienten gleich 0 gesetzt werden, aus den oben abgeleiteten Gleichungen die Werthe:

■Xx d£j jP y Zg 33^ £ ,

YZ = Zx = Xy = 0.

In den Gleichungen (6.) sind, da die Normale yon r einen Winkel von 45° mit der x- und der z-Achse, einen Rechten mit der y-Achse

bildet, cos X = cos v

cos y = 0 zu nehmen. Also haben diesen

Gleichungen zufolge die Kräfte Xq und Zq die Werthe

Xq = ~^=a, Zq = -ß=%

1/2 \/ 2

1/2

i-

Weil nun letztere Ausdrücke mit den zuvor erhaltenen

⁶ {^+»1

Xq = -=

\/2

Zq =

identisch sein müssen, so hat man das Resultat, dass bei dem isotropen

Körper zwischen den Coefficienten a, b, »! die Gleichungen

■ Ł    a + »

+ b = a, -T-

a + 33j

b = »!

bestehen, welche auf die eine Relation

»l = a — V)

zurückkommen.

Nach Einsetzung dieses Werthes von »! ergeben sich für die inneren Druckkräfte des isotropen Körpers die schliesslichen Formeln :

äji.dS

Xx =

r, =

Zz =

(7.) <

«S+(«-»)(&

afz + (a — 2b) ^

dy

dz

%₊di

dx

dr]

’ ⁺ äy)’

dx

[Xy= Yx =

Durch Einführung der kubischen Dilatation

# = di ₊ dJ! ₊ dl

dx dy dz

kann man den 3 ersten Gleichungen (7.) die Form

X. = («-2»)#+ 2» g, r, = (a-2b)» + 2b%

Z, = (a — 2b) # +

geben.

An die Ableitung der Gleichungen (7.) müsste bei einer ausführlicheren Darstellung dieser Theorie der Nachweis geschlossen werden — auf den hier indessen verzichtet wird, — dass sich für die Constanten a und b aus der Forderung der Isotropie keine weiteren Beschränkungen ergeben. Zu diesem Behufe zeigt man, dass bei einer beliebigen Drehung des rechtwinkligen Coordinatenkreuzes aus den Gleichungen (7.) genau entsprechende Ausdrücke für die neuen Coordinaten erhalten werden.²)

Die Substitution der Werthe (7.) in die Gleichungen (3.), welche als gültig für einen beliebigen inneren Punkt bewiesen wurden, liefert die gesuchten Differentialgleichungen, denen die Verschiebungen g, 77, £ im Fall des Gleichgewichts des isotropen Körpers genügen. Man erhält auf diese Weise

d&

d3 + d3,d3

dx²    dy- dz²

(9.)    ^ {a—b)^ + b(^ + d^₂ + d^j + nr₀

dz +i(U- ⁺ w ⁺ j£) + BZ° wo # die kubische Dilatation, D die anfängliche Dichtigkeit bedeuten, und X₀ , Y₀, Z₀ die Componenten der gegebenen äusseren, proportional zur Masse wirkenden Kraft sind. Für den Fall der Bewegung hat man, wie in III. erwähnt wurde, die rechten Seiten von (9.) nicht gleich

0, sondern respective gleich D^ß,    zu ne^men-

Man kann den Gleichungen (9.) noch eine andere Form geben,

(a — b)

(a — b)

dx

dxb

dfr

+ ł>

+ DX, = 0,

= o,

= o,

bei welcher die Grössen g, 77, g nur in der kubischen Dilatation # und in den Ausdrücken

dl — dl

dx dz

Vorkommen. Man benutzt die Relation

d» (<n ^g

dx²    dy²    <7z²

dx

drj

drj

dz

dx

<%_d£

dx dz,

drj

dy

dx

und die zwei analogen, die durch cyclische Permutation entstehen, und erhält dann aus (9.) das Gleichungssystem:

l(dl_4§'

dz \dx dz

dfr

a dx

d3

dy \dy dx,

+ DX, = 0,

(10.)

d&

h\JL(dè_dr)\_d_(dri_dÇ\) ldx\dy dx) dz\dz dy))    ⁰

= o:

(dy\dz    dy) dx \dx dz))

+ DZ, = 0.

Die Differenzen    — — —, — — — geben, wie in I. er-

dz dy dx dz dydx

wähnt wurde, die Rotationen eines beliebigen kleinen Massencom-plexes an.

Die Gleichungen (9.) bilden in Gemeinschaft mit den Gleichungen (5.), die für die Oberfläche gelten, und in die ebenfalls die Ausdrücke (7.) einzusetzen sind, ein System, welches die Unbekannten g, i], g bestimmt. Nur 6 Constanten, die in g, rj, g Vorkommen, bleiben willkürlich, weil dieselben sich nicht auf die Form Veränderung des betrachteten Körpers, sondern auf seine Fortbewegung und. Drehung im Raum, während er für starr gilt, beziehen. Denn einerseits bedeuten die Werthe

ê = «0, v=*    £ = C₀,

dy

wenn a₀, b₀, c₀ constant sind, eine Fortrückung des unverändert bleibenden Körpers. Andererseits wurde in I. ausgeführt, dass die Differentialquotienten ~ und wenn ihre Summe gleich Null ist, keine

Deformation ausdrücken, sondern nur eine kleine Drehung, welche um eine Parallele zur z-Achse erfolgt. Das Entsprechende gilt von und

respective von ^ und Nun haben die Ausdrücke dy r    dx dz

cm crr cs

—    az, g = ay,

—    bx, g = bz,

—    cy, î? = ecc,

wo a, b, c Constante bedeuten, die Eigenschaft, dass sie für jeden Punkt des Körpers die Gleichungen

dA₊dl₌dl ,^f ₌

dz dy dx dz

₌ dn ₌ dg ₌ o

drj

⁺ s = u’

dx dy dz

erfüllen; dieselben stellen daher überhaupt keine Deformation, sondern drei kleine Drehungen des starren Körpers um die x-, y-, z-Aehse dar. Hieraus ergiebt sich, dass im Ganzen bei dem vorliegenden, auf die Formveränderung bezüglichen Problem folgende Summanden, die von willkürlichen Constanten abhängen und vorläufig unbestimmt bleiben, in £, r\, £ enthalten sind :

g = a₀ + bz — cy,

(11.)' i] — b₀ + cx — ctz,

£ = c₀ + ay — bx.

Um die 6 willkürlichen Constanten a₀, b₀, Co? <b b, c zu bestimmen, hat man die erforderlichen Angaben über die Lage des festen Körpers im Raum hinzuzufügen.

Von den in (7.) und (8.) vorkommenden Constanten a und b hängen andere Constanten ab, welche für die verschiedenen Einzelprobleme wichtig werden. Es sind zunächst zwei Coefficienten zu erwähnen, welche bei dem Auszug eines prismatischen Stabes den Zuwachs der Länge und die Verkleinerung des Querschnitts messen. Wird ein Stab, dessen Achse der z-Achse parallel sein möge, an den zu letzterer senkrechten Endflächen durch eine constante, der z-Achse parallele Kraft P in Anspruch genommen, während im Uebrigen keine Kräfte wirken, so wird sowohl den Differentialgleichungen (9.) als den Oberflächenbedingungen durch Ausdrücke von der Form

Py

Pz

cm

Px

Et ’ ⁷¹

(12.) E =

wo E und Ex constant sind, genügt. Die Bedingung, dass an den Grenzflächen des Stabes Zz = P, Xx — Yy =0 sein muss, liefert dann nach Anwendung der Gleichungen (7.) die folgenden Werthe für E und Ą: &(3a-4&) „

-7--, -&1 =

CL — 0

Man nennt E den Elasticitätsmodul. Der Werth — giebt, da

Ł

Pz

— ist, den Längenzuwachs an, welchen die Längeneinheit des Ł

Stabes bei dem Auszug durch die (auf die Flächeneinheit bezogene)

Kraft P= 1 erfährt.³) Die Verkleinerung des Querschnitts ist der 1

Grosse — proportional, wesshalb Et der Coefficient der Quercon-E\.

traction heisst.

Die Grosse b wird meistens als der Torsionscoefficient bezeichnet, weil dieselbe für die Vorgänge der Torsion zunächst in Betracht kommt. Bei der gleichmässigen Compression eines Körpers durch constante Kräfte wird das Mass der Volumen Verringerung durch die Differenz 3a — 4b bestimmt. In der Theorie der kleinen Schwingungen haben die Constanten a und b selbst eine hervorragende Bedeutung; denn wenn man das Medium unbegrenzt und von der Dichtigkeit 1 annimmt, so sind a und b gleich den Quadraten der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten, mit denen die longitudinalen, respective die transversalen Schwingungen in dem Medium fortschreiten.

stehen.

¹

²

Man vergleiche das bekannte Lehrbuch von Lamé „Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité“, Paris, 1852, woselbst, pag. 43 — 52, §§ 18 — 20, die obigen Formeln der Druckkräfte des isotropen Körpers mit Hilfe der allgemeinen Coordinaten-Verwandlung abgeleitet werden. In Betreff der Bezeichnung der Constanten ist zu bemerken, dass die Lamé’schen Werthe X und y zu den hier vorkommenden Constanten a und b in der Beziehung

a = A + 2/x, b = (x

³

In dem Lamé’schen Lehrbuch bedeutet E diejenige Grösse, die hier durch -jji bezeichnet ist (1. c. pag. 76).

Abschnitt I.

Die an gen ii li orten Differentialgleichungen für das Gleichgewicht des cylindrischen Stabes.

§ 1. Die Gleichgewichtsbedingungen für den Stab und für Abschnitte des Stabes.

Die Differentialgleichungen für die kleinen Formveränderungen isotroper Körper, welche in der Einleitung entwickelt worden sind, sollen auf das Problem des Gleichgewichts eines cylindrischen Stabes, an dessen Oberfläche beliebige Druckkräfte wirksam sind, angewendet werden. Die nachstehenden Untersuchungen betreffen indessen nicht die direkte Integration dieser Gleichungen, wie sie bei der erwähnten Aufgabe für den begrenzten Cylinder aufgestellt werden müssen. Es soll vielmehr gezeigt werden, dass das Gleichgewichtsproblem eine erheblich einfachere Behandlungsweise zulässt, wenn man durch Berücksichtigung der Stabform, d. h. des Ueberwiegens der einen Dimension, die Kechnung zu einer angenäherten macht, bei der die Terme verschiedener Grössenordnungen successiv gefunden werden. Die Differentialgleichungen transformiren sich hierdurch in andere, welche nicht 3, sondern nur 2 unabhängige Variable enthalten, und dem entsprechend beziehen sich die Bedingungen, denen die Begrenzung zu genügen hat, nicht mehr auf Flächen, sondern auf ebene Randcurven.

Wenn man das elastische Gleichgewicht eines begrenzten Cylin-ders betrachtet, ohne eine Annahme in Bezug auf die Dimensionen der Länge und des Querschnitts desselben zu machen, so sind in einem solchen Problem sowohl der Fall des Stabes als der Fall der Platte als auch alle Zwischenstufen enthalten. Es ist aber klar, dass die Erscheinungen und mechanischen Gesetze, welche in den genannten verschiedenen Fällen zur Geltung gelangen, vollständig von einander verschieden sind. Die Lösung des allgemeinen Falles muss zu Formeln führen, welche alle diese Gesetze gleichzeitig umfassen. Wenn daher speciell das Gleichgewicht des Stabes behandelt werden soll, so wird ein besonderes Verfahren, das sich der Natur der vorliegenden Aufgabe genau anpasst, zweckmässiger sein. Abgesehen davon, dass die analytischen Schwierigkeiten des allgemeinen Problems bisher nicht überwältigt sind, wäre die Behandlung desselben hier als ein Umweg anzusehen, da aus den vollständigen Integralen desselben erst alle diejenigen Terme zum Fortfall kommen müssten, welche nicht für den Stab, sondern für einen der anderen Fälle eine hervorragende Bedeutung gewinnen. Um die dem Stabe eigenthümlichen Gesetze unmittelbar abzuleiten, hat man die Bedingung, dass die zur Cylinderachse parallele Dimension vorwalten soll, von Anfang an in die Rechnung einzuführen, woraus sich dann die Eintheilung der verschiedenen Grössen nach bestimmten Ordnungen, sowie die Zerlegung der allgemeinen Gleichungen in eine grössere Zahl einfacherer Gleichungen ergiebt.

Es werden in diesem Abschnitt die Modificationen des allgemeinen Verfahrens, welche für einen cylindrischen Stab von beliebigem Querschnitt gelten, entwickelt werden. Die Integration selbst ist nur für den Fall des kreisförmigen Querschnitts ausgeführt worden, und zwar im 2. Abschnitt für den vollen Cylinder, im 3. für den Hohlcylinder. Im 4. Abschnitt wird das angewendete Verfahren unter gewissen Voraussetzungen auch auf den ursprünglich gekrümmten Stab ausgedehnt.

Von äusseren, proportional zur Masse wirkenden Kräften wird nur die Schwerkraft als vorhanden angenommen. Die Constante derselben soll durch r (nicht durch g) bezeichnet werden. Die Achse des cylindrischen Stabes sei parallel zur z-Achse, die Richtung der Schwerkraft parallel zur — y-Achse, so dass der Stab eine horizontale Lage hat. Die in der Einleitung genannten Componenten JT₀, F₀, Z₀ der äusseren Massenkraft haben also hier die Werthe:

f₀ = —r, x₀ = z₀ = o.

Die seitliche Begrenzung des Stabes werde durch zwei der xy- Ebene parallele Flächen gebildet, deren Gleichungen z = + l und z = — l sein mögen.

Indem man, wie in der Einleitung, durch D die anfängliche constante Dichtigkeit, durch a und b die Elasticitätsconstanten des isotropen Mediums, durch x, y, z die Coordinaten irgend eines Theilchens in der Anfangslage und durch # + g, y + 77, z + £ die Coordinaten desselben nach der Verrückung bezeichnet, gelten für jeden Punkt im Innern die Gleichungen

Xy = FX =

h (*l . ÊL\

\dy dx)

gesetzt ist.

Die Winkel, welche die nach aussen gerichtete Normale irgend eines Oberflächenelementes mit den positiven Coordinatenachsen bildet, sollen wiederum X, fi, v, und die (auf die Flächeneinheit bezogenen) Componenten der äusseren Druckkraft, welche auf das Oberflächenelement wirkt, X, F, Z genannt werden. Für die Mantelfläche des Cy-

~2’

linders ist v — —, cos [t — sin X] für die Endflächen ist X = (i —

2

cos v — ± 1. Also gelten, nach (5.) der Einleitung, für einen beliebigen Punkt der Mantelfläche die Gleichungen

Xx cos X + Yx cos (z = X,

(3.)

wo

(1.)

(2.)

dXx , dXy . dXz

— Dr = o,

dx

dy

dz

-A# — &

Yy = a

+(«-») g+g

+<«-*> @⁺Ä.

Y z = Zy =

ô ^ ₊ K)

\dz ⁺ dy)y

Zx = Xz —

M , dl\

\dx ⁺ dz)

Xy cos X + Yy cos fl — F,

Xz cos X -f- Fz cos ^ = Z,

und für einen beliebigen Punkt der Endflächen die folgenden (4.) Xt = ± X, Fz = ± Y, Zz = ± Z, wo das positive Vorzeichen sich auf die Fläche z = l, das negative auf die Fläche z — — l bezieht. Die Grössen X, F, Z sind gegebene Functionen der Oberflächencoordinaten.

In Betreff der Coordinatenachsen wird die nähere Bestimmung getroffen, dass die Gerade, welche im Anfangszustand die Schwerpunkte der einzelnen, zur Cylinderkante senkrechten Querschnitte verbindet,

zur z-Achse genommen werden soll; die bekannten Formeln für die Schwerpunktscoordinaten ergeben dann die Gleichungen (5.) ffx dx dy = °> ffV dx dy = 07 in denen die Integrationen sich über den ganzen Querschnitt erstrecken. Ferner wählt man zur x- und y -Achse die Richtungen der Hauptträgheitsachsen des Cylinderquerschnitts, wodurch die Gleichung (6.) ffx y dxdy = 0

entsteht. Die Hauptträgheitsmomente des genannten Querschnitts bezeichnet man durch A und B, seinen Flächeninhalt durch C, so dass

(7.) ffx² dxdy = A, ffy¹ dx dy = B, ffdx dy = C ist, wo die Integrationen wieder über den ganzen Querschnitt auszudehnen sind.

Ausser den Gleichungen (i.) und den Bedingungen für die Oberfläche werden in den nachstehenden Rechnungen noch gewisse andere Gleichungen benutzt, welche aus den 6 Gleichgewichtsbedingungen des starren Systems folgen. Man denke sich in der Anfangslage den Stab durch eine Ebene, welche zur z-Achse senkrecht steht und dieselbe im beliebigen Punkte z schneidet, in zwei Theile getheilt, und stelle für denjenigen Theil des Stabes, welcher die Massentheilchen zwischen der Schnittebene und der Grenzfläche z = l umfasst, die genannten 6 Gleichgewichtsbedingungen nach Eintritt der Deformation auf. In denselben kommen ausser den gegebenen Oberflächenkräften X, F, Z und der Schwerkraft die inneren Druckkräfte Xz, Fz, Zz vor, die sich auf die Schnittfläche beziehen. Es ist jedoch zu bemerken, dass die letzteren Kräfte hier mit negativen Vorzeichen behaftet sind, dass also zu dem Element dxdy die Componenten

— Xz dx dy, — Fz dx dy, — Zz dx dy

gehören, weil daselbst die Seite der kleineren z auf den betrachteten Stabtheil einwirkt.

Zu den 3 Componentensummen, die zunächst behandelt werden sollen, liefern die inneren Druckkräfte die Beiträge

—f f Xz dxdy, —f fFz dxdy, —f f Zz dx dy, wo die Integration sich über den ganzen Querschnitt erstreckt. Aus der Mantelfläche des Stabes schneide man durch 2 Vertikalebenen z — i und z = J + dl eine kleine ringförmige Fläche aus; das Bogenelement der Curve, in der die Ebene z = § die Mantelfläche schneidet, heisse d%, so dass d\d§ das Element der kleinen ringförmigen Fläche darstellt. Dann rühren von der Mantelfläche des betrachteten Stabtheils die Kräftesummen

fl dl fxfàdè

Z

/ Ą S y (i) di,

2

f di fz(i)di

Z

her, wo X{f) Y(f), Z(f) die Functionen X, F, Z für das Argument z — § bedeuten, und die Integration nach ë über die ganze Kandcurve des Querschnitts auszudehnen ist. Indem man analog durch X(l), Y (/), Z{1) die Werthe der Functionen X, Y, Z für z = l bezeichnet, erhält man die auf die Endfläche z — l bezüglichen Ausdrücke f J‘X(l) dxdy, ff Y{1) dxdy, ff Z{1) dxdy.

Die Schwerkraft trägt, da die Masse des Stabtheiles gleich DC (/ — z) ist, zu den Componenten parallel der y-Achse den Werth

— TDCft—z)

bei. Es entstehen also, wenn man zur Abkürzung

f A = f di f Xd) di,

z

(8-) | 9i=fdifrd)d%

z

K = f <ąJz(%) d$,

z

und

fi = ffm dxdy, fft = ffm dx dy —ycd (j z), h-i = ffz(l) dxdy

f—f\\Y fh 9 — 9\Yg^ h — hx + ^2

setzt, die Gleichungen

I J fXz dx dy = f{ -V fi = f,

(¹⁰-) ! ffY» dxd,y = 9i + 9i = 9,

\ J J Zz dx dy — Ä! + h₂ = h.

Die Grössen /i, gu h{, g₂ sind, da die auf x und y bezüglichen Integrationen constante Grenzen haben, gegebene Functionen von z allein; f₂ und Ä₂ sind constant.

Bei Herstellung der Kräftepaare mögen die Hebelarme vom Schwerpunkt des betrachteten Querschnittes aus gerechnet werden. Dann sind für die an der Schnittfläche wirkenden Kräfte —Xz, —Yz, — Zz die Hebelarme parallel der x- und y-Achse gleich x und y, der Hebelarm parallel der z-Achse gleich 0. Durch Anwendung der bekannten Formeln für die Drehungsmomente ergiebt sich daher, dass die Kräfte der Querschnittfläche zu der Drehung um die x-Achse, resp. die y-Achse, die Terme

—ffy z*dx dv> +ffx z*dx dv

und zu der Drehung um die z-Achse den Term —ff\xY* — yXz)dxdy

liefern. Hierbei sind allerdings die Aenderungen nicht berücksichtigt worden, welche die Hebelarme in Folge der Deformation des Stabes erleiden. Indessen beziehen sich die gesammten Rechnungen nur auf den Fall kleiner Formveränderungen, bei denen die Quadrate und Pro-

d£ de

dukte der Grössen -r, — etc. neben den ersten Potenzen derselben dx dy

vernachlässigt werden. Und da sowohl die Druckkäfte als auch die Inkremente der Hebelarme den ersten Potenzen jener Differential-quotienten proportional sind, so geben in den Produkten von Kraft und Hebelarm die genannten Inkreinente nur zu Ausdrücken Veranlassung,

dB dB

welche die zweite Dimension in Bezug auf ^ etc. haben.

Für die Componenten, die auf das Element d%d& der Mantelfläche wirken, ist der zur Cylinderkante parallele Hebelarm gleich § — z, wo 5 von 2 bis / variirt. Die an der Mantelfläche angebrachten Kräfte geben somit für die Drehungen um die x-, y-, z-Achse die Beiträge

f dl f\ yZ (j) - (} - z) ¥ (l) J di,

z

fdl f\(ä-z) X(i)-xZ(i)\ di,

z

fd% f\xY(§) — yX(§){ rfg,

wo die Integration nach ê sich wieder über die Randcurve des Querschnitts erstreckt. Von der Endfläche z — l rühren, da der Hebelarm in der Richtung der z-Achse stets gleich l — z zu nehmen ist, die Momente

ffyZ (l) dx dy — (/— z\ff Y (/) dx dy,

0~ z)ffx0) dxdV —ffxZ(0 dxdy,

ff\xY (0—vx(0 !dxdv

her. Aus der Schwerkraft endlich entsteht für die Drehung um die a>Achse, da der Hebelarm gleich (5 — z) ist, das Moment

f dx dy J\% — z) Dr d^ = ÏCDl\l — z)²,

Z

während das entsprechende Moment für die Drehung um die z-Achse, wo der Hebelarm gleich x ist, wegen der ersten Gleichung (5.) verschwindet.

Indem man die resultirenden Momente der Drehungen um die y-, x-, z-Achse gleich Null setzt, erhält man für den betrachteten Theil des Stabes die weiteren 3 Gleichgewichtsbedingungen

f JxZz dx dy = Fx + F₂ + F₃ = F,

(n-) ffyZz dx dy=Gt + G₂ + G₃ ='G,

. SS\xYz — yXt \dxdy = Hy + 1Ą = ff,

wo die Integrationen nach x und y sich über den Cylinderquerschnitt erstrecken, und durch Fu F₂, Gx, G₂, ff\ die folgenden gegebenen Functionen der Variable z

f F₁ = —fXl—z) difx (§) d&, (12.) )

( Gi=-f(fi-z)dJ'Y®d&,

F₂ = fdi fxZ Q) d% — {l— z) ffx (l) dx dy,

(13.)    G₂ = Jl dl J'y Z (5) d§> — (/ — z) J*J'y (l) dx dy + 2 CD F {l — z)²,

Z

= Jlf{x F (§)    y X (z)} dè,

Z

sowie durch A₃, £₃, H₂ die folgenden Constanten

{ Ą = SfxZ (l) dxäy,

(14.) i G₃=ffyZ(t)dxdy,

I    /'f)xY{t)—yX(l)\dxdy

bezeichnet sind.

Die Grössen f, g, h in (10.) stellen die resultirenden Componenten, und F, G, ff in (11.) die resultirenden Drehungsmomente aller an dem betrachteten Stabtheil wirksamen äusseren Kräfte dar. Die Gleichungen (10.) und (11.) sagen daher aus, dass die Deformation des übrigen Theils des Stabes dieselbe ist, als wenn man sich jene resultirenden Componenten und Drehungsmomente auf den trennenden Querschnitt übertragen denkt.

dGx

finirten Function fx identisch ist, ebenso

Man bemerke, dass der Differentialquotient mit der in (8.) démit <7,. Die Variable z dz . y

kommt in Fx, Gx einerseits als untere Integralgrenze, andererseits als Parameter der zu integrirenden Function vor, so dass die Anwendung der bekannten Differentiationsformel je 2 verschiedene Summanden liefert. Von diesen verschwindet indessen der eine wegen des Factors §— z, und man erhält:

fdi fx{i) dï> = fi,

dFy

Z

\ d-§=fdhfmte = gi-

Wie am Schluss der Einleitung erwähnt wurde, sind der Elastici-tätsmodul E und der Coefficient der Quercontraction Ey mit a und b durch die Relationen

& (3q — 4&)

Ey =

2b (3q—4&)

a — b

verbunden. Es sind ausserdem die zwischen a, b, E, Ey bestehenden Gleichungen

1    E _ a — 2b

E ' Ex W Ey    2 (a — b)’

a a~b i b __

Ey X E 2

zu erwähnen, welche in den nachstehenden Rechnungen mehrfach Anwendung kommen.

(15.)

zur

§ 2. Klassiflcation der vorkommenden Werthe nach Grössenordnungen.

Die im Folgenden angestellten Untersuchungen beziehen sich auf den Fall, dass der betrachtete begrenzte Cylinder ein Stab (oder Balken) ist, d. h. dass die Dimension seiner Länge die Dimensionen seines Querschnitts erheblich übertrifft. Die Länge der Cylinderkante wurde 21 genannt. Der grösste Durchmesser, der sich in dem zur z-Achse senkrechten Cylinderquerschnitt ziehen lässt, habe die Länge

2c. Dann macht man die Voraussetzung, dass der Quotient y eine

kleine Grösse sei. Indem man die Längeneinheit von der Ordnung der Grösse l wählt, kann man kurz c als kleine Grösse bezeichnen.

Die Variablen x und y sind von derselben Grössenordnung wie c, während zwischen den Werthen z und c keine derartige Beziehung stattfindet. In den folgenden Rechnungen sind nun sämmtliche vorkommenden Werthe nach ihrer Grössenordnung in Bezug auf c klassificirt worden. Die Ordnung von cn wird als die wte, die Ordnung

von

cn

- als die —wte bezeichnet; alle Ausdrücke, auf deren Grösse

der Werth von c keinen direkten Einfluss hat, die also mit abnehmendem c weder sehr klein, noch sehr gross werden, rechnet man der Ordnung 0 zu. Hiernach gehören die Coordinaten x, y zur Ordnung 1, die Coordinate z sowie die Constanten a, b, E, Ey, l, D, r zur Ordnung 0, der Flächeninhalt des Cylindermantels zur Ordnung 1, der Flächeninhalt C des Cylinderquerschnitts zur Ordnung 2. Die in (7.) angegebenen Trägheitsmomente A und B haben die Ordnung 4, da sie gleich Integralen sind, in denen ein positiver Ausdruck der Ordnung 2 über eine Fläche der Ordnung 2 integrirt wird. — Es ist offenbar, dass falls eine Gleichung Summanden von verschiedenen Grössenordnungen enthält, sie nur erfüllt sein kann, wenn die einer gleichen Ordnung angehörenden Terme der linken und der rechten Seite für sich übereinstimmen. Daher werden aus einer solchen Gleichung, sobald man die Grössenordnung jedes einzelnen Terms anzugeben im Stande ist, mehrere andere Gleichungen gewonnen.

Es ist nun auf das vorliegende Problem das Verfahren angewendet worden, die Unbekannten g, rj, g nach jenen Grössenordnungen in ihre einzelnen Bestandteile zu zerlegen und Gleichungen für diese Bestandtheile abzuleiten. Diejenigen Gleichungen, die im Folgenden näher ausgeführt sind, beziehen sich auf Werthe, welche den 5 niedrigsten Ordnungen angehören. Hierbei ist der Gesichtspunkt massgebend gewesen, dass noch alle Summanden beibehalten worden sind, welche zu einer Druckkraft (her Ordnung einen Beitrag liefern. Die Anfangsglieder von g, rj, g (der ersten Annäherung entsprechend) werden für eine beliebige Querschnittform ermittelt und stimmen mit den Werthen überein, welche Na vier in seiner Theorie der Stabbiegung, allerdings ohne ausreichenden Beweis, aufgestellt hat. Für die genauere Rechnung ergeben sich Differentialgleichungen, welche

sämmtlich zu der bekannten Gleichung stehen.

= 0 in Beziehung

d²    æ-

dx-    dy²

Es soll hier, mit Rücksicht auf die Kleinheit der Grössen x, y, die Voraussetzung gemacht werden, dass die Unbekannten g, rj, g mittelst der Mac-Laurin’schen Reihe nach x, y entwickelt werden können. Dann ist jede derselben gleich einer Summe von Termen der Form Kxmyn, wo K von x und y unabhängig ist. Wird ein Ausdruck Kxmyn, in welchem K weder x noch y enthält, nach x oder nach y differenzirt, so geht seine Grössenordnung in die um 1 niedrigere über. In die Rechnung selbst werden nun derartige Reihen für §, rj, g nicht direkt eingeführt. Die gemachte Voraussetzung dient jedoch zur Begründung des Satzes, dass jeder Summan-dus der Grössen g, rj, g oder ihrer Differentialquotienten durch die Differentiation nach x oder y, sofern er nicht überhaupt fortfällt, eine um 1 niedrigere Grössen Ordnung annimmt. Durch die Differentiation nach z wird dagegen, da z in keiner Beziehung zum Werth c steht, die Ordnung der einzelnen Glieder nicht geändert, abgesehen von dem Verschwinden der von z nicht abhängigen Summanden. — Es geht hieraus hervor, dass bei der angenäherten Rechnung die nach x und y genommenen Differentialquotienten gewisser Terme oft noch zu berücksichtigen sein werden, wo diese Terme selbst und ihre Ableitungen nach z schon in die Ordnung der zu vernachlässigenden Grössen gehören. Daher kommen für die Ausdrücke (2.) der inneren Druckkräfte verschiedene Näherungswerthe der Grössen g, tj, £ in Betracht, jenach dem letztere in Bezug auf x, y oder in Bezug auf z zu differenziren sind.

Um ein einfaches Beispiel für die Verschiedenheit der Grössen-

andererseits zu

dB

Ordnungen von £, r\, £ einerseits und von-⁵-, ... ——

UJC    Gm

geben, möge an den Fall erinnert werden, wo ein Stab in seiner Längsrichtung, parallel zur z- Achse, ausgezogen wird. Dann ist £ eine Variable, welche die zur Quercontraction gehörigen, der x-Achse parallelen Verrückungen der einzelnen Theilchen darstellt. Der

dB

liefert den Massstab für die Verkleinerung

dx

Differentialquotient

innerhalb des Querschnitts, indem er denjenigen Werth angiebt, um welchen im Querschnitt die Länge 1 kürzer werden würde, falls der

dB

Querschnitt eine solche Länge enthielte. Während also —- von der-

w*IC

selben Ordnung wie die beobachtete Verlängerung des Stabes ist, gehört £ der um 1 höheren Ordnung an, weil, wegen der vorausgesetzten

dB

Kleinheit des Querschnitts, der Massstab nur für eine kleine Länge zur Anwendung kommt.

Der numerische Werth der Druckkräfte wird, wie in der Einleitung angeführt ist, stets in der Weise bestimmt, dass man dieselben auf die Flächeneinheit übertragen denkt. Daher steht der Ausdruck der gegebenen, auf die Staboberfläche wirkenden Druckkräfte X, Y, Z in keiner unmittelbaren Beziehung zu der Grösse c, so dass nach der hier festgesetzten Klassification die Functionen X} F, Z als Grössen von der Ordnung 0 bezeichnet werden müssen. Indessen erfordert letzteres eine nähere Erläuterung; denn in Betreff der Frage, wie beträchtliche Werthe von X, F, Z zulässig sind, ist die Grösse von c doch von bestimmendem Einfluss. Es ist zu berücksichtigen, dass den Rechnungen die doppelte Voraussetzung zu Grunde liegt, dass c klein sei, und dass die Formveränderung des Stabes klein sei. Die Unterscheidung der Grössen nach ihren Ordnungen basirt auf der ersteren Voraussetzung; gleichzeitig giebt aber die letztere für die einzelnen Ausdrücke gewisse Grenz werthe an, die nicht überschritten werden dürfen. Die Kräfte X, Y, Z müssen der Ordnung 0 zugerechnet werden, weil die durchgeführte Klassifikation sich auf die direkte Abhängigkeit der vorkommenden Werthe von der Grosse c bezieht, und ein solches Verhältniss bei X, F, Z, wie die geometrische Anschauung zeigt, nicht vorliegt. Die Maximalwerthe jedoch, bis zu welchen X, F, Z gewählt werden dürfen, nehmen ab, wenn c abnimmt. Die Bedingung, dass die Deformation klein bleibe, bildet den Ausgangspunkt der ganzen Betrachtung; auch die grössten vorkommenden Werthe von

dê

dz

Produkte neben den ersten Potenzen vernachlässigt werden können. Mit den in solcher Weise beschränkten Kräften X, F, Z: die man der Ordnung 0 zurechnet, vergleicht man dann die übrigen Druckkräfte, sowie die sonstigen Werthe. Durch die Eintheilung in Grössenordnungen soll nichts über die absoluten Werthe gesagt, sondern nur das Verhältniss der verschiedenen Werthe zu einander fixirt werden. Wenn

dx

^ müssen die Eigenschaft behalten, dass ihre Quadrate und

z. B. im Folgenden die Ordnung von Xz und Yz gleich — 1, die von Zz gleich — 2 ermittelt wird, so ist klar, dass trotz dieser negativen Ordnungszahlen die absoluten Werthe der genannten Kräfte in vielen Fällen sehr gering sein werden; denn alle Druckkräfte und Verschiebungen werden klein, sobald man die Belastung des Stabes genügend abnehmen lässt. Aber die Ordnungszahlen zeigen an, dass Zz gross im Vergleich zu Xz, Fz, und letztere gross im Vergleich zu den Oberflächenkräften X} F, Z sind, da zwischen diesen Werth en ein ähnliches

1 1

Verhältniss wie zwischen —, — und 1 besteht. Die einzelnen Sum-

c² c

manden der Druckkräfte und Verschiebungen sind im Allgemeinen einerseits mit positiven oder negativen Potenzen von c oder x, y multi-plicirt, wodurch ihre Ordnung bestimmt wird; andererseits enthalten sie aber einen von den gegebenen Kräften X, F, Z abhängigen Factor, welcher unendlich klein wird, wenn die Belastung des Stabes sich der Null nähert. Durch diesen letzteren Factor bleiben die Terme negativer Grössenordnung auch in dem Fall, dass c sehr klein wird, innerhalb der vorgeschriebenen Grenzen, wegen der Voraussetzung, dass X, F, Z nur solche Werthe annehmen dürfen, für welche die Deformation überall klein ist.

Die Componentensummen /j, gu    welche in (8.) definirt wurden,

haben im allgemeinen Fall die Ordnung 1 ; denn sie sind gleich Integralen, in denen die Functionen (Per Ordnung X, F, Z über das der lsten Ordnung angehörige Stück der Mantelfläche integrirt werden. Ferner sind f₂, g₂, Ä₂ Grössen der Ordnung 2, da in (9.) die Integrationen sich über die Querschnittfläche, die von der 2ten Ordnung ist, erstrecken, und das Glied — rCD (J — z) wegen des Factors C ebenfalls die Ordnung 2 bat. Von den auf die Drehungsmomente bezüglichen Ausdrücken gehören die in (12.) angegebenen Functionen Fv und Gi zur Ordnung 1, die Functionen (13.) F₂, G₂, Hx zur Ordnung 2, endlich die in (14.) erwähnten Constanten F%, G₃, H₂ zur Ordnung 3. Denn in (12.) sind die Integrationen über eine Fläche lster Ordnung auszudehnen, und die zu integrirenden Functionen haben die Ordnung 0, weil auch die Hebelarme g — z von der Oten Ordnung sind. In (13.) kommen dagegen entweder die Hebelarme x, y von der Ordnung 1 vor, oder man hat über eine Fläche 2ter Ordnung zu integriren; und in (14.) werden Functionen lster Ordnung über die der 2ten Ordnung angehörende Endfläche integrirt.

Indessen gelten die soeben eimittelten Grössenordnungen der Functionen fu gu hu Fu F₂, Gu G₂, IĄ nicht für alle Punkte des Stabes. Vielmehr sind diejenigen Stabtheile auszunehmen, die an die Endflächen z — + l unmittelbar angrenzen, weil l — z, respective — l — z, daselbst eine kleine Grösse ist. In den obigen Erörterungen wurde die Differenz l — z als eine Grösse Oter Ordnung, und desshalb das Stück der Mantelfläche, welches bei den Integrationen vorkam, als eine Grösse lster Ordnung angesehen. So lange aber / — z dieselbe Ordnung wie c hat, ist jener Theil der Mantelfläche nur von der Ordnung 2. Man erkennt, dass die Ordnungszahlen der erwähnten Functionen dann sämmtlich höher werden. Von dem Stabende z — —l gilt dasselbe wie von dem Stabende z = + /, da das eine nicht vor dem anderen bevorzugt ist. Genau die gleiche Ausnahmestellung nehmen die Endstücke des Stabes in Betreff der unten behandelten Grössenordnungen der inneren Druckkräfte Xz, Fz, Zz ein, indem letztere für die Punkte, wo l — z klein ist, eine höhere Ordnung als für die übrigen Punkte haben. Da aber alle weiteren Rechnungen auf der Feststellung der Grössenordnungen der erwähnten Functionen beruhen, so sollen im Folgenden die den Enden benachbarten Stabtheile von der Betrachtung überhaupt ausgeschlossen sein, in der Art, dass vollständig darauf verzichtet wird, die bei denselben auftretenden mechanischen Vorgänge näher zu ermitteln. Die gesammten Rechnungen gelten nur für diejenigen Theile des Stabes, welche von den Endflächen genügend weit entfernt sind, damit die Grösse l — z, respective — I—z, von der Ordnung 0, und nicht von der Ordnung 1 ist. In der That ist leicht zu sehen, dass die Behandlung der Deformation der Endstücke des Stabes in ein anderes Problem gehört, nämlich in dasjenige, wo nicht die eine Dimension vorwiegt, sondern alle drei Dimensionen gleichberechtigt auftreten. Denn für die Formveränderungen und die Druckkräfte, welche in der Nachbarschaft der freien Enden des Stabes Vorkommen, ist es unerheblich, wie lang im Uebrigen der Stab ist. — In Folge der oben ausgesprochenen Beschränkung der Aufgabe kommen die Bedingungen (4.), die sich auf die Endflächen beziehen, hier nicht zur Anwendung. Dieselben sind zur Bestimmung derjenigen Unbekannten, welche zu den von den Endflächen entfernteren Stabtheilen gehören, nicht erforderlich. Die an den Endflächen wirkenden äusseren Druckkräfte sind indessen in den Gleichungen (10.) und (11.) berücksichtigt, wo die Werthe f₂, g₂, h₂, F₂, Fä, G₂, G₃, H2 von denselben abhängen.

Die 6 inneren Druckkräfte Xx, Xy, ... Zz sind in ihrer Grössenordnung erheblich von einander verschieden, was eine Folge der Verschiedenheit der Umstände ist, unter denen sie am cylindrischen Stabe zur Wirkung kommen. Denn es weichen sowohl die Ordnungen der Flächen von einander ab, an denen die Kräfte angreifen, als auch die Ordnungen der Hebelarme, welche für die Drehungsmomente anzuwenden sind. Zu Schlussfolgerungen in Betreff der Grössenordnungen der 3 Componenten Xz, Fz, Zz gelangt man durch die Gleichungen (10.) und (11.), deren rechte Seiten bekannte Functionen von z sind, während links Integrale stehen, in denen die zu integrirenden Functionen von Xz, Fz, Zz abhängen. In den Gleichungen (10.), die sich auf die Componentensummen beziehen, macht sich nur der Unterschied der Ordnung der Flächen, auf welche die Kräfte wirken, geltend. Indem links die Componenten Xzf Fz, Zz über den Querschnitt des Stabes, rechts X, F, Z über die Mantelfläche summirt werden, ist Gleichgewicht nur möglich, wenn Xz, Fz, Zz die gegebenen Oberflächenkräfte X, F, Z in demselben Masse übertreffen, wie die Mantelfläche grösser als die Querschnittfläche ist. Es mögen zunächst die beiden ersten Gleichungen (10.) betrachtet werden, die Xz und Fz enthalten. Die rechten Seiten derselben sind von der lsten Ordnung; denn fx und gY gehören dieser, f₂ und g₂ der 2ten Ordnung an. Da aber, wenn eine Function nter Ordnung über eine Fläche 2ter Ordnung integrirt wird, die Ordnungszahl des Integrals sich auf n-j-2 erhöht, so ergiebt sich für Xz und Fz aus den Gleichungen (10.) die Ordnung — 1. Dies Resultat wird durch die 3te Gleichung (11.) bestätigt, da deren beide Seiten alsdann die Ordnung 2 annehmen.

Die 2 ersten Gleichungen (11.), welche die Bedingungen für die Drehungsmomente in der xz- und yz-Ebene ausdrücken, liefern, weil der Unterschied der Hebelarme hinzutritt, den weiteren Schluss, dass Zz noch von einer um 1 beträchtlicheren Ordnung als Xz und Fz ist. Denn bei den erwähnten Drehungen hält die Kraft Zz den an der Mantelfläche angebrachten Kräften das Gleichgewicht, obwohl zu letzteren theilweis Hebelarme der Ordnung 0, zu Zz stets nur Hebelarme der Ord-nung 1 gehören. Die rechten Seiten der 2 ersten Gleichungen (11.) haben die Ordnungl, woraus für die links zu integrirenden Produkte xZz und yZz die Ordnung —1, und somit für die Kraft Zz die Ordnung — 2 folgt. Endlich giebt die 3te Gleichung (10.) die besondere Eigenschaft von Zz an, dass das Integral J JZz dxdy, indem die Ausdrücke der Ordnung 0 sich gegenseitig fortheben, auf die Ordnung 1 zurückgeht.

Die Gründe, welche für Xz, Fz, Zz eine beträchtlichere Grössenordnung als die der gegebenen Kräfte X, F, Z verlangen, sind für die übrigen inneren Druckkräfte Xx, Fv, Xy nicht vorhanden. Letztere wirken auf Flächen, welche der Stabachse parallel sind, und die dieser Achse parallelen Schnittflächen des Stabes haben dieselbe Ordnung wie die Mantelfläche. Wenn man sich die Theilung des Stabes nicht, wie im § 1, durch einen zur z-Achse senkrechten Querschnitt, sondern durch eine beliebige der z-Achse parallele Ebene bewirkt denkt, und wiederum die Gleichgewichtsbedingungen des starren Systems für den einen Abschnitt des Stabes aufstellt, so stehen den Flächen, an denen X, F,\ Z angebracht sind, stets Flächen der gleichen Ordnung, an denen XMf Fy} Xy wirken, gegenüber, und ebenso gehören dann zu X, F, Z einerseits und Xx, Fy, Xy andererseits Hebelarme derselben Ordnung.

Die obigen Betrachtungen über die Grössenordnungen der Druckkräfte geben nun einen Anhalt für die Frage, durch welche Art von Functionen man die Befriedigung der Differentialgleichungen in dem Problem der Deformation des Stabes zu versuchen haben wird. Man hat das Resultat erhalten, dass die Kraft Zz von beträchtlicherer Ordnung als alle übrigen inneren Druckkräfte ist, indem sie um 2 Ordnungen niedriger als die Oberflächenkräfte X, F, Z sein muss, dass ferner Xz und Fz die letztgenannten gegebenen Kräfte noch um 1 Ordnung übertreffen, während für Xx, Fy, Xy sich kein Schluss, der eine negative Grössenordnung forderte, ergab. Die im Folgenden angestellten Rechnungen zeigen, dass in der That eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichungen existirt, bei welcher Zz die Ordnung —2, Xz und Fz die Ordnung — 1, und Xx, Fy, Xy die Ordnung 0 haben. Um zu dieser Lösung zu gelangen, reicht es aus, die Bedingung zu Grunde zu legen, dass die Druckkraft Zz eine beträchtlichere Grössenordnung habe, als die übrigen inneren Druckkräfte. Es soll daher zunächst die Frage behandelt werden:

Von welcher Form müssen die Ausdrücke der Verschiebungen g, ij, £ sein, damit allein die Kraft Zz die Ordnung — 2 annimmt, die Componenten XZt Fz, Xx, Fy, Xy dagegen eine höhere Ordnung als die — 2te haben ?

Nachdem im § 3 auf Grund dieser Forderungen die allgemeine Form der Verschiebungen g, rj, £ ermittelt ist, werden in den §§ 4 — 7 die näheren Bestimmungen für die unbekannten Functionen, die in den Ausdrücken yon £, 77, £ enthalten sind, abgeleitet. Die Differentialgleichungen, welche sich hierbei ergeben, sind von der Beschaffenheit, dass die bei der Integration auftretenden willkürlichen Grössen durch die Bedingungen des Problems sämmtlich bestimmt sind, abgesehen von den in (11.) der Einleitung erwähnten Termen. Die Summanden beträchtlichster Ordnung von £, 77, £ werden mit Hülfe der Gleichungen (10.) und (11.) ermittelt. Im Uebrigen liefern die Oberflächenbedingungen (3.) die nöthigen Angaben für die vollständige Bestimmung der Functionen.

§ 3. Die Form der Functionen £, 77, £.

Die Methode, die Summanden der Veränderlichen in Bezug auf ihre Grössenordnung zu unterscheiden, erfordert zunächst, die einzelnen Bestandtheile der Verschiebungen £, 77, £ besonders zu bezeichnen. Man trenne in £, 77, £ diejenigen Summanden, deren Ordnung durch eine grössere negative Zahl als —1 angegeben wird, von den übrigen, und nenne ihre Gesammtheit respective Uy, Vt, Wy. Ferner mögen U₂, V1} W₂    die    Bestandtheile — lter Ordnung    von £, 77,    £    darstellen.    Der    Rest

von    £,    "welcher    alle Glieder von der    Üten und    von    positiver    Ordnung

enthält, wird durch den Buchstaben w bezeichnet. Bei £, 77 fasst man die Terme Oter Ordnung in u₀, v₀, und die Terme positiver Ordnung in u, v zusammen. Es werden also für £, 77, £ die Summen

£ — U\ + U₂    + Uq + u,

(16.) ' y — Vl + V₂    -f- v₀ -f- v,

, £ = Wy + W₂ + TV

substituirt, die man in die Formeln (2.) der inneren Druckkräfte einzusetzen hat.

Die Normalkräfte Xx, Yy, Zz gehen hierdurch in Ausdrücke über, welche man folgendermassen in je 2 Zeilen schreibt:

Xx =

Y.r =

+ (a — 2b) j -j- (a — 2 b) I

d (uq -f- u)

d (vq + v)

dx

dy

d (v₀ + v)

dy

dWy )

dz

d (W₂ + ni)

dz

\d(Uy+U₂) , dWy \

dx

dz *

d (u₀ + u) , d (W₂ + rv)

I---

dx

T~ a

dz

d(W₂ + rv)

d (JJy + g) , d{v1+ r₂)

dx

dy

« +(a-2&)

d (w® + a) d (i7₀ + i?)

rfy

Id den oberen Zeilen haben dann sämmtliche Summanden eine beträchtlichere Grössenordnung als die — De, während in den unteren Zeilen die Ordnungszahl stets gleich — 1, 0 oder einer positiven Zahl ist. Denn da die Differentiation nach x oder y die Ordnung um 1 erniedrigt, die nach z dagegen die Ordnung unverändert lässt, so sind

dW₂

und —^ von der — 2ten

dy

von der — Den Ordnung, etc. Nun

soll allein Zz die Ordnung —2 erreichen: folglich müssen sich in Xx und Yy die Terme, welche der — 2ten oder einer noch niedrigeren Ordnung angehören, gegenseitig auf heben. Auf diese Weise ergeben sich, wenn man den Bestandteil von Z₂, der die Ordnung — 2 hat, durch J bezeichnet, die 3 Gleichungen:

d(V, + V₂)

Dieselben bilden ein lineares algebraisches System für die 3 Unbe-

d(U± + U₂) d{Vx + V₂) dWy

’ dz '

(17.)

kannten

dx

dy

dWx

dy

dz

dWx

= 0.

= J.

Aus den 2 ersten Gleichungen

folgt durch Subtraction

» (Bl + Ot) d (K + F,)

dx

dy

so dass die Gleichungen 2 (a—b)

d (Ux + U₂)

dW{

dx

dz

= 0,

2 (a— 2b)

d (Ux + U₂)

dx

,    dWt    r

-j- CL —-— J

dz

entstehen, deren Auflösung zu den Werthen

₍d(JJx+U₂) d(Vx+V₂) _ J

(18.) {

dx

dy

dW_,    /

dz E

führt. E und Ex sind die in (12.) der Einleitung, sowie in (15.) dieses Abschnitts erwähnten Gonstanten:

b (3a—ib)    _•    2b (3a—4b)

a—b ’ Ą "--

/ ist eine unbekannte Function von x, y, z, deren Summanden indessen ausschliesslich von der — 2ten Ordnung sind.

Aus den Gleichungen (18.) ergiebt sich, dass Ux nicht von x, und Vx nicht von y abhängt. Wenn ein Term der Ordnung — 2 nach x oder y differenzirt wird, so nimmt der Differentialquotient, falls er nicht gleich 0 ist, die Ordnung — 3 an. Nach der Definition von Ux, Vx

dy

sind also die Differentialquotienten    soweit sie nicht

verschwinden, gleich Grössen, die nur Glieder von der — 3ten oder einer niedrigeren Ordnung enthalten. Die Summanden der Function J haben aber sämmtlich die Ordnung — 2. Folglich zerlegen sich die beiden ersten Gleichungen (18.) in je zwei andere, und man erhält aus (18.) das Gleichungssystem:

(1 il\ dVy

(19.)

dx

dy

= 0.

dU₂

dV₂

dx

dy

dWx _ J dz E’

Für die Kraft Xy ergeben die Gleichungen (2.) und (16.) den

Ausdruck

Xy

V dy dx J \

dy

dx

d (w₀ + u)

d (v₀ + v)

dy

dx

in welchem und von der — 2ten Und Von niedrigerer dy    dx    dy    dx

Ordnung als der — 2ten sind. Da nun der Voraussetzung nach die Ordnung von Xy eine höhere als die — 2te ist, so müssen die genannten Differentialquotienten den Gleichungen

dU\ dVx dy dx

dU2 ₊ dn_ w

(20.)

dy

dx

genügen.

Endlich haben die Componenten Xz und Yz in Folge der Substitution (16.) die Werthe:

dz

dx

d (U-2 -j- m₀ + u) .drv

dx ( ’

,,    ,, I ^ , à (W, + Wi) |

* “ ⁶ ! dz ⁺ dy f ( d (J 2 -j- v₍₎ -j- v)

dz

drv

dz

+ -T- .

dy

Die Ordnungszahl der Summanden

dUx dVy dfVt äJVj dW₂ dW^ dz ’ dz ¹ dx ’ dy ’ dx ’ dy

ist eine grössere negative Zahl als — 1. Also liefert die Forderung, dass Xz und Yz nicht von beträchtlicherer Ordnung als der — lten sein sollen, die Gleichungen:

dü{

d{Wy + W,)

dz

dx

dVj , d(Wy+W₂)

dz

dy

Die 3 Grössen Uy, Vl} Wy + ^ müssen, den vorstehenden Rechnungen zufolge, gleichzeitig die 5 Differentialgleichungen

dUx dV] dUy + dVx

dx ~ dy dy dx

dUy_ ₊ d {Wy + W₂) dVy , d ( Wy + W₂) = 0

(21.)

dz

dx

dz

dy

befriedigen. Die 3 ersten Gleichungen, aus denen man

d~U\ YVy

dy²    dx²

ableitet, zeigen, dass Uy und Vx die Form

Uy = Ai — N'y, Vy = N₂ + N'x

haben, wo Ny, N₂, N' Functionen von z allein sind. Die Elimination von Wy + W₂ aus den beiden letzten Gleichungen (21.) führt dann zu

d²Uy ₌ dP-Vy

dydz dxdz

der Relation

aus welcher man für N' die Bedingung

dN'

= 0, N' = Const. dz

erhält, wurde, die Werthe

Nun drücken aber, wie am Schluss der Einleitung erörtert

Ś = — N'y, 7] = N'x,

wenn N' constant ist, keine Formveränderung, sondern nur eine kleine Drehung des betrachteten elastischen Körpers (um die z-Achse) aus, bei welcher derselbe unverändert bleibt. Und da derartige Terme, die in (11.) der Einleitung vollständig angegeben sind, bei dem vorliegenden Problem ganz willkürlich bleiben, so können die Summanden — N'y von Uy und + N'x von Vy hier einfach fortgelassen werden. Auf diese Weise ergeben sich Uy und Vy als Functionen von z allein. Man trennt, mit Rücksicht auf das Folgende, von Ai und N₂ den con-

stanten Factor — ab und setzt Ny = N₂ = —, so dass die Glei-E    E    E

chungen entstehen

(22.) Uy =

fe*j|cæ

und daher

dx

1 dg d(Wx + Wj) E dz ’

dy

1Æ

E dz

wo $ un(l © nur von z abliängen. Für W, + JF₂ folgt aus den letzteren Gleichungen der Ausdruck

i«

E l dz

in welchem f) ebenfalls eine Function von z allein bedeutet.

Ueber die Grössenordnungen der Functionen g, ©, f) giebt die

letzte der Gleichungen (19.) Aufschluss. Da nach derselben gleich

dz

(23.) Wy + W₂ = —

d©

dz

—, also von der Ordnung —2 ist, so zeigt die nach z differenzirte E

cih

Gleichung (23.) dass keine beträchtlichere Ordnung als die —2te? und

d²! d²© dz²’ dz²

Geht man von

keine beträchtlichere als die — 3te haben können.

d²g d²© dt) dz²’ dz²’ dz

mittelst Integration zu den Functionen

g, ©, t) selbst' über, so treten allerdings gewisse Glieder von unbekannter Grössenordnung hinzu, nämlich bei g, © willkürliche lineare Functionen von z, die durch

ttó ~h byz, bó d~ (dz

bezeichnet werden mögen, und bei t) eine willkürliche additive Constante có. Aber nach (22.) und (23.) liefern diese Ausdrücke zu den Verschiebungen £, rj, £ nur die Beiträge

b'

aó

ê~~ E ⁺ EZ’ bó , cd ^E⁺EZ’

b'

a'

Co

^ EX EV E

weichein den Werthen (11.) der Einleitung enthalten sind. Da letztere hier überhaupt willkürlich bleiben und beliebig zu £, rj, £ hinzugefügt werden können, so wird die Allgemeinheit der Rechnung in keiner Weise beschränkt, wenn man die Constanten aó, bó;, có, a', b/ (wie oben N') sämmtiich gleich Null setzt. Dann ergiebt sich für g, ©, I) die-

selbe Grössenordnung wie respective für Differentiation nach z die Ordnung nicht ändert. Also ist, gemäss der

d²g d²© dt) .

d?’ S’ lndeni d,e

aus der letzten Gleichung (19.) gezogenen Folgerung, die Ordnung von % und © nicht niedriger als die —3te, die von f) nicht niedriger als die —2te. Andererseits sind Wx und W₂ als die Bestandteile negativer Ordnung von £ definirt worden. Daher müssen nach (23.) alle Summanden von f) einer negativen Ordnung angehören, und alle Summanden von ® eine niedrigere Ordnung als die — lte haben. Hiermit ist bewiesen, dass man

(24.) $ =    + $2) ®    + ®₂, Î) = f)i + £)2

setzen darf, wo f)₂ nur Terme der — lte^ die 3 Functionen $₂, fyi nur Terme der — 2ten; und ®x nur solche der — 3ten Ordnung enthalten. Die Gleichung (23.) trennt sich dann in die 2 Gleichungen:

Wt = —

d® i

(25.)

E \ dz

dz

„„    1 /d%, , d<3 , , , \

w* ⁼ ~æ\~£x+ lFy + h}

Für die Grösse J, welche den Bestandtheil — 2ter Ordnung der Kraft Zz darstellt, ergiebt sich aus der letzten Gleichung (19.) und der ersten Gleichung (25.) der Werth:

Nachdem für Ux, Vx die Gleichungen (22.), für Wl} W₂ die Gleichungen (25.) ermittelt worden sind, bleiben von den zu einer negativen Ordnung gehörigen Bestandteilen von £, tj, £ die Grössen U₂, V₂ zu behandeln übrig. Zufolge von (19.) und (20.) haben U₂ und V₂, nachdem für J der Ausdruck (26.) substituirt ist, die 3 Gleichungen dU₂₌₌d_V2₌ Ud?% dWx    4 A

dx dy E\ dz² ‘ dz¹ dz y

dHl₊dIl ₌ o

dy dx

zu erfüllen. Durch Integration der beiden ersten Gleichungen erhält man

(27.) )

_ 1 fd% X2 \dz* 2

⁺ lÊïxv+ -

<Ą

V₂ =

d²®i y² dl) | dz² 2 dz

tfzx) + /7₁(y, z) y^j + n₂ (x, z),

wo IIX und 77₂ willkürliche Functionen der bezüglichen Argumente y, z und x, z sind. Setzt man diese Werthe von U₂, V₂ in die 3te Gleichung (27.) ein, so ergiebt sich:

1 d²®{    .

Ex dz1 X +

dlii (x, z)

dx

J_ dI1' z)

Ei dz2 y

dy

Nun ist die linke Seite der letzteren Gleichung frei von y, die rechte frei von x; folglich müssen sich beide Seiten auf eine Function von z allein reduciren, die durch Xx bezeichnet werden möge. Dann ist:

dUx{y, z) _ _ ~__1_    „

dy    £i    Ei dz2 h

dü₂(x, z) _ ~__1_ ^@i

Ei dz'- *

Indem man integrirt, gewinnt man für Ili (y, z) und II₂ (x, z) die Werthe

dx

1 d^®i x2 Ei dz* 2

woselbst und Di zwei Functionen von z allein bedeuten. Daher sind U₂ und V₂ gleich den Ausdrücken:

rr 1 [d*%xx* — y* , d*®x ,4 \    _    , m

Ul ~ Ą    ⁺~Ö^Xy+dzX)~%iy + ^

1    (d*® 1 y² — X² ^²$t    ,    \    , O- . rv

-r~ ⁺ ~Äxy+ -dzv) + %iX + ai-

Von den von z abhängigen Grössen 2^, Dt gehören ^ und Di (in allen ihren Summanden) zur Ordnung — 1, dagegen Xx zur Ordnung — 2, da in U₂ und V₂ ausschliesslich die Glieder —1 ter Ordnung von g und 7) enthalten sind.

Durch die für Ux, Vx, Wx, U₂, V₂, W₂ abgeleiteten Bestimmungen gehen die inneren Druckkräfte in Functionen der Grössen u₀, v₀, u, v, w und der nur von z abhängigen Werthe ®, 1), 2^, Di über. Die Ausdrücke für die Normalkräfte Xx, Yy, Zz, welche am Anfang dieses Paragraphen aufgestellt wurden, lauten, nachdem der Werth (26.) von J berücksichtigt ist,

d (w₀ + u)

n₂ (x, z) = xxx —

(28.)

V₂ =

dx

+ (a — 26) j

d(v₀±v)    , d(W₂ + w)

dy

dz

Yy = a

d (v₀ + v)

dy

(a — Ib)

d (wq -j~ u)

d + rv)

dx

dz

'd^i

dl)i

dz²

X+-dŸy+H

d {W₂ + w)

dz

+ — 26) |

d (u₀ Y_u) , d (vq + v)

dx

dy

Bei der Componente Xy kommen die Gleichungen (20.) und bei Xz, Yz die 2 letzten Gleichungen (21.) in Betracht, so dass die Werthe

_    ( d {u₀ + u)    d(vo + v)

“    dy ⁺ dr

(P2 “I⁻ Uq ~j- w)

d ( V% + v₀ + v) dw j

=6

ćfe

r.-b\

erhalten werden. Für W₂, U%, V₂ sind in die obigen Gleichungen die Ausdrücke (25.) und (28.) zu substituiren.

dz

dy

§ 4. Die Glieder w₀ und v₀.

Für die ßestandtheile von £, rj, £, welche von der Oten oder von positiver Ordnung sind, werden Differentialgleichungen erhalten, die sich aus den Gleichungen (1.) durch Trennung der einzelnen Ordnungen ergehen, während für die Grenzbedingungen gleichzeitig eine analoge Zerlegung der Relationen (3.) eintritt. Es sollen hier zunächst die Grössen u₀, v₀ behandelt werden, die als die Gesammtheit der zur Oten Ordnung gehörigen Terme von g, rj definirt sind.

Von den Druckkräften, welche in den 2 ersten Gleichungen (1.) Vorkommen, hat keine die Ordnung — 2. Man bezeichne die Bestandteile — lter Ordnung von Xx, Fy, Xy der Abkürzung halber durch

M-i, Ki-., ra-i-

Dann entstehen, weil die nach x oder y genommenen Differentialquotienten der Grössen — lter Ordnung, soweit sie nicht fortfallen, von

der Ordnung —2 sind, und ^1,    Br die —De, respective die

dz dz

Ote Ordnung haben, aus den 2 ersten Gleichungen (1.) die Bedingungen

(29.)

= 0,

dy

dx

die für einen beliebigen Punkt des Inneren gelten. Ferner stehen in den 2 ersten Gleichungen (3.) rechts die gegebenen Oberflächenkräfte X, Y, welche znr Ordnung 0 gehören. Die ßestandtheile — lter Ordnung der linken Seiten müssen also für sich verschwinden, so dass man für die Punkte der Oberfläche die Gleichungen

(30.) {

[Xj_i cos X + [Xy\~i cos^ = 0,

[Xy] -i cos X + \Yy] _i cos y, = 0 erhält.

Man genügt nun den Gleichungen (29.) und (30.) in der Art, dass man für beliebige Wertlie von x, y, z

(31). [jy_! = [f,]-! = [xy]_! = 0 setzt. Die letztgenannten Ausdrücke hängen von den Grössen u₀, v₀, W₂ ab. Denn gemäss den am Schluss des vorigen Paragraphen angeführten Gleichungen sind in Xx, Yy, Xy folgende Bestandtheile von der —lten Ordnung enthalten:

;⁺(a-²K!⁰⁺^

rcu-‘t+(a-

du

dx

dz

- h ( duo . dV()

' dy ⁺ dx)'

Aus (31.) folgt daher zunächst

dW<i

dz

(32).

oder

du,_dv₀

dx dy

a — 2b dJf\

2 (a — b) dz

E

kann man nach (15.) den Quotienten — man sodann für seinen Werth aus <25.) substituirt und die 3te

Für A

2 (a — b)

Ei

setzen. Indem

Gleichung (31.) hinzunimmt, erhält man für die Functionen u₀ und v, das Gleichungssystem:

(33.)

du, ₌ dv© ₌ 1 / dx    dy Ei \ dz²

du,    dv o = 0

dy

dx

Dasselbe wird mit dem für lf₂, V₂ abgeleiteten Gleichungssystem (27.) identisch, wenn man die Functionen U₂, V₂, ©b I)t durch u₀, v₀, $₂, ©2, 1)2 ersetzt. Also ergeben sich u₀ und v₀ gleich Ausdrücken, welche den Werthen (28.) von U₂ und V₂ analog gebildet sind, und aus letzteren entstehen, wenn statt

bezüglich geschrieben wird, d. h. es ist:

w₀ —

(34.)

xy + y^j -f- %₂x + D<2*

1 /Ć?²©2 ?/² — X¹

Ev V dz¹ 2    ⁺

v₀ =

Die Grössen X₂, $ß₂, D₂ hängen, wie %h $ßL, Di, von z allein ab; ihre Ordnungen sind indessen um je 1 höher als die der letzteren Functionen. Da u₀ und v₀ nur Glieder der Oten Ordnung enthalten, so haben ^ß2 und D₂ dieselbe Eigenschaft, während in %₂ nur Glieder der Ordnung — 1 Vorkommen. Um für das Folgende eine bequemere Bezeichnung zu erlangen, definirt man, entsprechend zu (24.), drei Grössen $£, D durch die Gleichungen:

(35.) £ = £, + Xi, = % + ^2, D = D, + D₂.

Mau bemerke, dass die Lösung (31.) dem cylindrischen Stabe (inclusive des im § 8 behandelten Stabes) eigenthümlich ist und auf den ursprünglich krummen Stab nicht ausgedehnt werden kann. I11 dem 4ten Abschnitt, wo Fälle von gekrümmten Stäben betrachtet werden, bleiben die Entwicklungen nur so lange den in diesem Abschnitt angestellten Rechnungen analog, als sie die einer negativen Ordnung angehörigen Summanden der Verschiebungen betreffen (wie im vorstehenden § 3). Die Gleichungen für die Terme (der Ordnung werden dagegen völlig andere, indem die Kräfte Xx, Fyj Xy sich dann nicht auf die Ote Ordnung reduciren.

Für die Glieder — 2*er Ordnung von Zz1 die man durch J bezeich-nete, wurde im Vorhergehenden die Gleichung (26.) abgeleitet. Es er-giebt sich nun aus (25.) und (34.) eine analoge Transformation des Bestandtheils — Der Ordnung von Zz, welcher nach § 3 durch die Summe

dz²

dW₂ , .    (du₀ , dv₀\

a-dr + {-a-n\it+w)

dargestellt wird. Derselbe unterscheidet sich, da nach (19.) die Difife-

verschwinden, von dem in (17.) angeführten Ausdruck der Grösse J nur dadurch, dass W₂, u₀, v₀ an die Stelle von Wx, U₂, V₂ getreten sind. Ausserdem werden aber die 2 ersten Gleichungen (17.), wenn man auch in ihnen Wx, U₂₎ V₂ durch W₂, u₀, v₀ ersetzt, mit den Gleichungen (32.) identisch. Folglich kann man aus der Lösung (18.), die für das Gleichungssystem (17.) erhalten

wurde, und die für J den Ausdruck E^~ ergab, direkt schliessen, dass

ßZ

rentialquotienten und

dl\

der Bestandtheil — Der Ordnung von Zz den Werth

dz

dz²

x -f-

d²&

2    , 3±

dz2 J dz

hat. Indem man ferner die Gleichungen (24.), (35.) auf die Ausdrücke von Zz, Xz, Yz an wendet, findet man für diese 3 Druckkräfte von negativer Grössenordnung die Formeln:

dm

dz²

x -f-

dz²

<d)\

V + J~z)

dw

du

dv

dz

dx

X.-S

(36.)

1 fd³% x*—y* dm

⁺ dz9 XV 4

XX X dz¹

dX

dw

du

1    1 (dm yi—x² d³%

b ² Et \dz³ 2    ⁺ dz³

xy -+

dX    dXi dw dv

dz X dz dy dz’

Während bei Zz sämmtliche Terme der — 2ten und der — Iten Ordnung in dem Trinom

dm

dz¹

, ty \ y + rJ~ )

enthalten sind, kommt in den obigen Ausdrücken von -- Xz und — Yz

je ein Summandus der — lten Ordnung vor, über dessen Natur noch keinerlei Aufschluss gewonnen ist. Es sind dies die Differentialquo-

Im § 3 wurden u und v als Grössen von positi-

tienten

drv

dw

und —-. dy

ver Ordnung, w dagegen als eine Grösse Oter Ordnung definirt, so dass

die Ordnung — 1, also die nämliche wie die Kräfte Xz üy

und Yz selbst, haben. In der That bleibt bei dem Bestandteil Oter Ordnung von w (im Gegensatz zu u₀, v₀) auch die allgemeine Form vollständig unbekannt, solange nicht die Gestalt des Querschnitts des Stabes gegeben ist, wie im § 6 näher erörtert wird.

Für die Componenten XX) Yy, Xy, welche in Folge von (31.) von der Oten Ordnung sind, erhält man nach Berücksichtigung von (32.) und (33.) die Werthe:

dx

dw

—— und

dw

dx

■Xx - CL

du

(37.) Yy —

dx⁺⁽-a~2h'⁾{

a!r.+ ⁽«-»)(;

dv dw'

dy

du

dx

dw

⁺ dz)’

Xy =

-, (du dv\ \dy ⁺ dx)’

Die Verschiebungen £, t], £ nehmen, wenn in (16.) die Ausdrücke (22.), (25.), (28.), (34.) substituirt, und die Gleichungen (24.), (35.) benutzt werden, die folgende Gestalt an:

_%    1 /d²% x²—y² , d²&

*~~F^~ [dz² 2

d²© y² —    , tf²$

dz² 2

tH

dz²

(38.)]^ = -+    (

tfz²

X2/ + H ~ ^ ⁺ ^

2/) + Xx + D + y,

1 ^ . __ —— X -j- -

E \ dz

dz

Zur Herstellung der Werthe von g, rj, £ ist hiernach erforderlich, dass einerseits die nur von z abhängigen Grössen ©, (), X, Q ermittelt, andererseits die ßestglieder u, v, rv als Functionen der 3 Variablen x, y, z (bis zu der gewünschten Annäherung) berechnet werden.

§ 5. Bestimmung der Grössen ©, t).

Die Functionen $, ©, t), von denen nach (38.) und (36.) die beträchtlichsten Glieder sowohl der Ausweichungen £, rj, £ als der Kraft Zz abhängen, ergeben sich leicht aus den im § 1 angeführten Gleichungen, die sich auf das Gleichgewicht des einen Stabtheils beziehen.

Man substituire in die beiden ersten Gleichungen (11.) und die dritte Gleichung (10.), welche

SS x z* dx dy = Ą + Fi + SS y Zz dx dy = Gy + G<i + G$,

SS Zz dx dy = hl + h

vor die Integralzeichen, worauf die Gleichungen (5.),

lauten, für die Druckkraft Zz den Ausdruck (36.). Dann treten bei den 3 ersten Summanden von Zz die von z allein abhängigen Factoren d²% d²® df) dz² ’ dz² ’ dz

(6.), (7.) zur Anwendung kommen. Man erhält diese Weise, nachdem für ©, Ï) die Werthe (24.) eingesetzt sind, das Gleichungssystem:

x dxdy

du dv

dy

drv

+ (a — 2 b) ^

a 77~ dz

— + ^2 +

+ (a-n)(

drv

a

dz

= hy -f- hi.

du dv dx dy

y dx dy

du dv

dy

\ | dx dy

Von den rechts stehenden gegebenen Functionen von z gehören, wie im § 2 nachgewiesen wurde, Fu Gu \ zur lsten? g₂, h₂ zur 2ten? und F₃, £₃ zur 3ten Ordnung. Links sind die in den 2 ersten Gleichungen vorkommenden Integrale

drv

x dx dy,

sAa«

ff I

drv

+ (« — 2S) (

du

dv

a fr

dz

von der Ordnung + 3, und das Integral

dx

dy

y dx dy

du

dx

+ -r-

dy

dx dy

von der Ordnung -f- 2. Denn aus der Definition von w, v, rv folgt für

du dv drv

— die Ordnung 0, und durch die Integration über den Quer-

dx’ dy¹ dz

schnitt erhöht sich die Ordnungszahl der zu integrirenden Function um 2. In Betretf der genannten Integrale ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass sie eine noch höhere Ordnung, als oben angegeben, annehmen, da in denselben die Glieder beträchtlichster Ordnung sich in gewissen Fällen gegenseitig auf heben; aber jedenfalls sind sie, worauf es hier allein ankommt, nicht von niedrigerer Ordnung als der 3ten respective der 2ten. Da ferner die Functionen ^, ©1 die Ordnung — 3 haben, $₂, @2; ï)i die Ordnung — 2, und t)₂ die Ordnung — 1, endlich die Querschnittfläche C von der 2ten? und die Trägheitsmomente

A und B von der 4ten Ordnung sind, so folgt für das Product C

die Ordnung 0, für

dg, d4_2

dz² ’ dz¹ ’ dz

die Ordnung -|- 1, und für

d²©₂

die Ordnung -j- 2. Also ergiebt sich, wenn man in jeder der obigen 3 Gleichungen einerseits die Glieder der zwei beträchtlichsten Ordnungen links und rechts für sich vergleicht, andererseits die Reste einander gleich setzt, das System der folgenden 9 Gleichungen:

-Ad3L-F -Ad3l-F

A dpi    A dz-2

dz₂

-am

<p%.

dz²

Gh ~B dz*

G-2,

P^=0, —c-± = hu

dz    dz

(39-) //

//!■ 2+<-»>(1+1)

+ (a — 2») ^

“)(

x dxdy — F%

dm

dz

du dv dx ' dy

y dxdy = G3,

du

dv

dx dy — h₂.

dx dy

Für die gesuchten Functionen $, ©, t) erhält man hieraus die Werthe:

$ =    + $2* © = ©1 4~ ©2?

Si =    FL*², S2 = — J ff Ft dz'

®l —±ffGyâz\ = —j//G2 <fe«,

I

tyl = 0, l) = t)-2 ⁼⁼    ^ ^Z'

Man bemerke, dass bei den unbestimmten Integralen (40.) die willkürlichen Integrationsconstanten fortgelassen werden können. Denn wie bei Gelegenheit der Gleichung (23.) erörtert wurde, hat die Vermehrung der Fuuctionen © um Ausdrücke ah + b'z, bh + a'z, sowie die Vermehrung von t) um eine willkürliche Constante nur den Einfluss, dass zu I, rj, £ Summanden von der in (11.) der Einleitung bezeich-neter Form hinzutreten.

Die Gleichungen (36.) für die Kräfte Zz, Xz, Yz gehen nach Substitution der Werthe (40.) in die folgenden über:

Fi +fï . Gi + G-i    hi

X+ B y+h

(40.)

Z, =

1 drv .    /    ^\(du    , dv

+ aTz⁺⁽-a-ii\ta ⁺ dy)’

x,=

1 \ d {Fv -j- F₂) x^ — y'¹    d(Gi + G₂)xy dhvx

(---+ J + _-

(41.)

Ei

dz

dz

d%    dm    du

dz ^    dz dx    dz ’

Sri~ Ei

\d(Gv + G₂)y²—x² d {Fv + F₂) xy dhv y \ ( dz    2ß ⁺ dz A ' dz C)

, d% , dD , dm . dv

-j--x -|---1- -—- 4--.

dz dz dy dz

Die Bestandteile der zwei beträchtlichsten Grössenordnungen (der — 2ten und der — Den) von Zz sind hiermit vollständig ermittelt. Die übrigen inneren Druckkräfte, deren Anfangsglieder noch nicht bekannt sind, haben eine höhere Ordnung als Zz. Daher kann man,

wenn nur die erste Annäherung der Lösung aufgesueht werden soll, die ganze Rechnung in der Art beschränken, dass man ausschliesslich die gefundenen Anfangsglieder von Zz beibehält, und neben denselben alle anderen Druckkräfte vernachlässigt. Man gelangt dann zu Formeln, welche den von Na vier angegebenen entsprechen. Es sollen die Ausdrücke, die zu dieser angenäherten Lösung gehören, etwas näher dis-cutirt werden. Die Componente Zz ist nur um 1 Ordnung beträchtlicher als die Componenten Xz und Yz. Indessen ist die erwähnte Annäherung doch ausreichend, um die überhaupt vorkommende Maximal-Druckkraft, deren Werth für alle Anwendungen der Theorie besonders wesentlich ist, mit der Genauigkeit von 2 Grössenordnungen zu berechnen. Denn die resultirende Druckkraft, welche auf ein ursprünglich zur z-Ache senkrechtes Flächenelement wirkt, wird durch

|/Vf+7f+~zf

lter Ordnung beibehält und Xz

dargestellt; und da in dem Radieandus der Quadratwurzel die Terme der Ordnungen — 4 und — 3 ausschliesslich von den Summanden negativer Ordnung von Zz abhängen, so wird die Wurzel auf 2 Ordnungen genau ermittelt, wenn man, wie oben festgesetzt wurde, von Zz nur die Bestandteile — 2ter und und Fz vernachlässigt, also

dm

dl)

²' “    X+l^V+ dz

(42.)

Cr, + G‘2

h,

V + ö’

Xz = Yz = 0

nimmt. Die Maximal-Druckkraft unterscheidet sich aber, wie mittelst der Gleichung des Elasticitätsellipsoids (Einleitung, V.) bewiesen wird, von dem Maximalwerte der Quadratwurzel /X\Ą- Y\-\- Z\, und daher auch von dem Maximalwert der Componente Zz, nur um Grössen, welche, den 2 beträchtlichsten Ordnungen nicht angehören. Eine Ausnahme machen die Fälle, in denen Zz sich auf eine höhere Ordnung als die — 2te reducirt, was eintritt, sobald keine Biegung oder nur eine Biegung von höherer Ordnung stattfindet.

Da alle im Vorhergehenden abgeleiteten Formeln eine lineare Beschaffenheit in Bezug auf die Grössen %, ©, t) haben, so können die von letzteren abhängigen Ausdrücke als die Summe derjenigen Terme aufgefasst werden, welche sich ergeben würden, wennn nur je eine der Functionen ©, l) von Null verschieden wäre. Die durch die Werte % ©, 1) bedingten mechanischen Vorgänge sind also von einander unabhängig und können superponirt werden. Durch $ wird eine Biegung

in der a;z-Ebene, durch © eine Biegung in der yz-Ebene, durch Ï) ein Auszug des Stabes in der Richtung der z-Achse bestimmt. Beschränkt man jede der Verschiebungen ß, rj, ß auf ihre 2 beträchtlichsten Grössenordnungen, so erhält man nach (38.) die Ausdrücke

E’

(43.)

ê“i> n

d©

dz

E \dz

aus denen sich ergiebt, dass £ im Allgemeinen eine um 1 höhere Ordnung als ß und rj hat. Man nehme zunächst $ von Null verschieden, dagegen © =    = 0, wodurch die W⁷erthe (43.) in

(44.)    —45*

übergehen. Die anfänglich auf der z-Achse befindlichen Theilchen haben alsdann, da für sie x = y = 0, also auch £ — 0 ist, nach der Deformation die Coordinaten ß, 0, z. Als geometrischen Ort der genannten Theilchen nach Eintritt der Deformation erhält man somit die in der Ebene der x, z liegende Curve

fcülc»

welche die elastische Linie der in der ;rz-Ebene erfolgenden Biegung genannt wird. Nach (40.) ist die Ordinate ß eine gegebene Function der Abscisse z. — Die Gleichungen (44.) sagen ausserdem aus, dass die Theilchen, welche anfänglich auf einem zur Stabachse senkrechten Querschnitt liegen, nach der Biegung sich wieder innerhalb einer und derselben Ebene befinden, und dass diese Ebene normal zur elastischen Linie steht. Um die Punkte je einer zur Stabachse senkrechten Ebene zusammenzufassen, hat man z constant, x und y variabel zu nehmen, wodurch nach (44.) auch ß constant wird, während £ variabel bleibt. Man bezeichne die nach der Biegung vorhandenen Coordinaten durch x', y', z', so dass x' = x + ê, y' = V, — z + £ ist. Dann sind, zufolge der letzten Gleichung (44.), die Variablen x', z' durch die Relation

x' — ß = —

z' — z

1 d%

E dz verbunden. Dies ist wegen der constanten Werthe von z, ß, $ die Gleichung einer Ebene; und da der Factor von z' gleich dem nega-

tiven reciproken Werth des Differentialquotienten der Function — ist, welche in der Gleichung der elastischen Linie vorkommt, so ist, wie behauptet wurde, die Ebene zu der elastischen Linie senkrecht.

Die Krümmung der elastischen Linie steht zu dem angenäherten Werth der Kraft Zz in einer einfachen Beziehung. Bei einer ebenen Curve, deren Abscisse z, und deren Ordinate g ist, hat die Krümmung, wie bekannt, den Werth

dz² i'+<»■]•'■

Nun ist für die vorliegende Rechnung (wegen der vorausgesetzten Kleinheit der Formveränderung, s. d. Einleitung, I.) das Quadrat der kleinen dB

Grösse neben der Einheit zu vernachlässigen, so dass die Krümmung

gleich dem Ausdruck

der elastischen Linie g =

AE

d%^ i <p%

dz-¹    E dz²

wird. Der angenäherte Werth (42.) von Zz ist aber in dem hier be-

Folg-

P I p

trachteten Falle, wo © und f) verschwinden, gleich ¹    —- x.

lieh ergiebt sich für die Biegung in der xz-Ebene aus den angenäherten Formeln der Satz, dass die Kraft Zz gleich dem Produkt aus der Krümmung und der Function ■—Ex ist, wie in Navier’s Theorie der Stabbiegung vorausgesetzt wird.

Nimmt man nicht sondern % als von Null verschieden an, so werden hierdurch nur die x- und y-Achse mit einander vertauscht; die Werthe (43.) drücken also dann eine analoge Biegung in der yz-Ebene aus. Wenn endlich g = © == 0, und f) von Null verschieden ist, so wird durch (43.) ein Auszug (respective eine Compression) des Stabes in der Richtung seiner Achse dargestellt, da die Theilchen, welche aut je einem zur z-Achse senkrechten Querschnitt liegen, eine gleiche und dieser Achse parallele Verrückung ausführen.

Die erste Gleichung (41.) zeigt, dass in dem angenäherten Werthe (42.) von Zz nicht allein die Terme (43.), sondern auch die Glieder + F₂ + y₀ der Verschiebungen g, ij berücksichtigt sind. Denn der vollständige Ausdruck (41.) von Zz unterscheidet sich von dem Ausdruck (42.) nur durch die von u, v, w abhängigen Summanden. Bei Beschränkung von g, rj, g auf die Functionen (43.) würde man, zufolge von (2.), für Zz den Werth

, d^&    , d\)'

x + i?v + di.

der weniger genau als der Werth (42.) ist, erhalten. Von U₂ + w₀, V₂ + v₀ sind es nun die Summanden

d m    . dS) \

J*xy + dzx} xy + Tzy)’

1 fd2<$ x² — y2 Et [dz²'    2

1 /dm y²— x2 ~Ë^[~d^    2    ^ tfż²

welche einen Beitrag zu Z* liefern. Dieselben drücken die Quercon-traction (im positiven oder negativen Sinne) aus, welche sowohl hei der Biegung als bei dem Auszug des Stabes stets als begleitende Erscheinung auftritt. Sie stellen nämlich, wie aus (37.) hervorgeht, gerade diejenigen Terme dar, welche zu den Werthen (43.) hinzutreten müssen, damit die Componenten Xx und Yy gleich Null sind. Dies entspricht aber genau der Definition der Quercontraction bei dem einfachen Auszug des Stabes (cfr. der Schluss der Einleitung). — Gemäss den Gleichungen (37.) verschwinden die Kräfte Xx, Yy, Xy für beliebige Werthe von x, y, z, sobald man die Bestglieder w, v, rv gleich Null setzt. Der genannte Umstand gestattet die Interpretation, dass wenn man sich den Stab in eine Schaar von Längsfasern zertheilt denkt, die der Achse desselben parallel sind, bei der obigen angenäherten Lösung (welche u, v, rv vernachlässigt) die einzelnen Längsfasern sich so verhalten, als ob sie gar keinen Einfluss auf einander ausübten. Diese Unabhängigkeit der unendlich dünnen, der z-Achse parallelen Prismen von einander ist bekanntlich ebenfalls eine der Voraussetzungen der Navier’schen Theorie.

Um eine genauere Lösung als die soeben behandelte, welche nur den Werth von Zz berücksichtigt, zu erlangen, muss man die Bestand-theile beträchtlichster Ordnung der Restglieder u, v, rv bestimmen. Von dem gewünschten Grade der Genauigkeit hängt die Ordnung ab, bis zu welcher man die Berechnung der Grössen w, v, rv fortsetzt. Die hier angewendete Methode gestattet es, wie in den folgenden Entwicklungen gezeigt wird, eine beliebige Annäherung zu erreichen, während gleichzeitig bei allen vorkommenden Differentialgleichungen die Anzahl der unabhängigen Variablen sich auf 2 reducirt.

§ 6. Die Differentialgleichungen fiir die Terme höherer Ordnung

der Verschiebung £.

Von der Grösse £, welche in (16.) gleich Wx -f- W₂ + rv gesetzt wurde, sind die Bestandteile und W₂, deren Ordnungszahl negativ ist, durch die Gleichungen (25.) und (40.) als Functionen von x, y, z hergestellt worden. Von dem Restglied rv trennt man wiederum unter Einführung eines neuen Restgliedes ro, die Bestandtheile der 2

beträchtlichsten Ordnungen ab und sucht DifFei entialgleichungen für dieselben auf.

Die dritte Gleichung (1.)

dx²    dy²    b dz²

d²v

(45.)

b \dxdz dy dz 2 ( d (Fi -j- F₂) x d {Gi + G₂) y 1 d\

A ⁺ dz B'C dz\

dz

Man wendet nun für w eine Substitution an, durch welche sowohl die erwähnte Zerlegung dieser Grösse bewirkt, als auch die rechte Seite von (45.) zum Fortfall gebracht wird. Man setzt

+ y² [d(Fi + F₂) x d(GyX G₂) y

Z ⁺

rv =

(46.)

dz

dz

y_ , 2 dhy B~*~ C dz

d® dÙ --X x--—

dz

dz y + SBi + 302 + tö,

wo äöi nur Summanden 0*er? und 3®₂ nur Summanden lster Ordnung enthalten soll, während die Glieder höherer Ordnung in ro zusammengefasst sind. An Stelle von rv werden also die 3 neuen Unbekannten 3®!, Sß₂, to eingeführt. Da

dx² dy²/

dx²    dy²    b dz² b \ dxdz    dydz

enthält die linke Seite von (45.) dann noch folgende Summanden: d² (SB, + 3ß₂) , d² (3®, + 3®₂) , d² (3®j + 3®₂) dx²

a x² + y² ( d³ (Ft -f F₂) x ~~J 4E j dz* A⁺

_ a (dA\P ~b\di?x +

B ' C dz

dz

dy²

«su a

dz²

<P {Gi 4- G₂) y 2 d-% , ' dz³    B ł' C dz³ j

Von denselben gehören allein

d² 3®₁ dmt dx2 1 dy²

zur Ordnung —2, und allein

dm₂ dm₂

dx²

dy\

zur Ordnung- — 1, indem bei diesen Differentialquotienten

die Ordnungen 0 und 1 von 2Bi und 2B₂ sich durch die zweimalige Differentiation nach x, y in — 2 und — 1 verwandelt haben. Alle übrigen Terme sind entweder von der Oten oder von positiver Ordnung, wie man leicht erkennt, wenn man berücksichtigt, dass $ß, 0 die —1 te; x, y, Fi, Gi, hi die lste, f₂, G₂, C die 2te; a, ß die 4te Ordnung haben. Da ferner die beträchtlichsten ßestandtheile von u, v zur Ordnung 1, von tu zur Ordnung 2 gehören, so ist die Ordnungszahl der Differential-quotienten

d²u d'²v d² tü d²w dx dz ’ dy dz ’ dx2 d²xo

gleich 0, die von -p gleich 2. Also erhält man, indem man die Glieder

dy²

— 2ter und —1 ter Ordnung für sich betrachtet, aus (45.) die 3 Gleichungen

(47.)

dm

am

dx²

dy²

dm₂

dm₂ ,

dx²

⁺ i\'d^x+

welche für einen beliebigen Punkt des Innern erfüllt sein müssen.

Zu den Differentialgleichungen (47.) und (48.) für und 2B2 treten Oberflächenbedingungen, die sich aus der 3ten Gleichung (3.)

Xg cos 1 + Yz cos fi = Z

ergeben. Setzt man in die Ausdrücke (41.) der Druckkräfte Xz, Yz den Werth (46.) von rv ein, so erhält man, nach Berücksichtigung der ersten Gleichung (15.) und der ersten Gleichung (35.) und nach Einführung der abgekürzten Bezeichnungen

(49.)

(50.) <

(48.)

dz²

= «„

d²u d²v dxdz dydz dP(Gi + G₂) y_ 2 (Phi dz³ B ⁺ C dz³

dy²

d²(%8t+3B₂)

dz²

r    , j_\ dĄ x² A3 _JA dj\ yl

¹ \b ' £/ dz 4A [F b) dz 4A

(\    1 \ dGi xy d%i

⁺ \JT EJ dz ÏB ⁺ ~dzy’

Mi =

f±.L\ mhvL

\b⁺e) dz iB ⁺ \E b)

dGi xP_ dz 4 B

/1    1 \ dFi xy d%

⁺ \b~-~Ej dz 2A~lte X’

(51.)

(1.4--) ^ -4- (- — 1) **± li

U ^ Ej dz AA^yS b J dz 4 A ( 1    1 \ dG₂ xy 1 a; d%₂

ly~y/ ni n~di~c^ m

1    1\ ^_2li ,

/ dz \B^

Co

dG₂ x²

^ 4#

/ 1    1 \ ^2 #?/ , 1    ?/    </^2

⁺ vy~yy yy 2i ⁺ 2& ~dż~c~~dż x>

die folgenden Gleichungen für Xz und Yz:

( 1    _dï&i    dm 2    Æro rfw

J y Xz ~~ idx~~Li + dx ~L<1 + Âte ⁺

(52.)

^tü dv dy ' dz’

In den Summanden Zt und 4/j haben, wie aus dem Vorhergehenden erhellt, sämmtliche Glieder die Ordnung — 1, in Z₂ und M₂ sämmtliche

von der isten Ordnung sind.

dy

^ , ^2B₂    ,

d/i + —² — 4/₂ +

dy

du dv dxo dxo

die Ordnung 0, während —, ^ <fcI ^

Also werden die Bestandtheile — lter Ordnung der Componenten Xz,

dm

dm

und die Bet tandtheile (der Ord-

M^j angegeben. Nach Substitution der Werthe (52.) lautet die erwähnte dritte Gleichung (3.):

Yz durch b ^

dx

dy

nung derselben (durch b    > b (~^j~

dx

Li cos X +

/<®, _ _ \

C0Sfl

(dm₂ _\    , l/æ₂

(y-ycosA+i^

fdxo , du\ . , /dxo    dv\

[dx ⁺^JC0^ ⁺ W⁺ WC0S^

Da nun die gegebene Kraft Z die Ordnung 0 hat, so entstehen hieraus, wenn man die Summanden von —lter^ von Oter und von positiver Ordnung von einander trennt, die 3 für die Oberfläche geltenden Gleichungen :

(53.)

-ycœa+(

dm

dy

= 0,

(<m2 r\ (dm₂ \    z

⁽⁵⁴-} (yy ~zvC0Syl + (yr“^²Jcos^ ⁼y>

/ dxo . du\    [dxo . dv\

cos/M = 0.

Sowohl in den Differentialgleichungen (47.), (48.) für 2B1; 2B₂,

als auch in den Oberflächenbedingungen (53.), (54.) fehlen die Differentialquotienten der Unbekannten 2^, 2B₂ nach In Folge dessen hat man bei der Integration der Gleichungen die Grösse z wie eine Constante anzusehen. Hiermit reducirt sich aber das Problem auf 2 Dimensionen. Die genannten Differentialgleichungen beziehen sich, da sie nur x und y als unabhängige Variable enthalten, ausschliesslich auf die Vorgänge innerhalb je eines (zur z-Achse senkrechten) Querschnittes des Stabes; die Gleichungen (53.) und (54.) werden zu Bedingungen für den Querschnittrand. Indem z als Parameter verschiedene Werthe annimmt, gelangt man zu den Bestimmungen für die verschiedenen Querschnitte; ausgeschlossen blieben hierbei indessen, nach § 2, diejenigen Theile des Stabes, welche den Enden desselben unmittelbar benachbart sind.

Die Functionen Lu My, Z₂, M% sind nicht völlig bekannt, da sie nach (50.), (51.) die noch nicht ermittelten, von 2 abhängigen Grössen

—- und —- enthalten. Dies hat jedoch, da z in den obigen Diffe-dz    dz

rentialgleichungen für 2B₍, 2B₂ nur als Parameter vorkommt, auf das Verfahren der Integration weiter keinen Einfluss. Die Werthe

dX

und --, welche besonders für die Torsion des Stabes in Be-

dz    dz

tracht kommen, gelten bei der Integration der Gleichungen als vorläufig unbekannte, später zu bestimmende Constanten.

an

Die Bedingungen (53.) und (54.) nehmen eine etwas andere Form wenn man das Element dn der nach aussen gerichteten Normale der Randcurve des Querschnittes einführt. Da 1 und y die Winkel sind, welche die nach aussen gerichtete Normale mit der positiven x- und y-Achse bildet, so ist

dy

cos u = ~r.

dn

. dx cos 1 = —, dn

= Ly cos 1Ą- Mv cos y,

2

= — + Z₂ cos 1 +• 4/₂ cos 11.

Auf die Functionen 3®! und 2Ö₂ findet nun ein bekannter Satz, welcher die Differentialgleichungen der obigen Art betrifft, Anwendung. Soll eine stetige Function LŁ (x, y) für ein zusammenhängendes Stück der

xy- Ebene der Differentialgleichung — + — = 0 genügen, und soll ausserdem am Rande des Flächenstücks der Differentialquotient derselben nach der Normale, mit einer gegebenen Function von x, y

Aus (53.), (54.) ergiebt sich daher:

d^ dn dn

werden folglich 2öj und 2Ö₂

übereinstimmen, so ist hierdurch der Werth von Q, eindeutig- bestimmt, abgesehen von einer willkürlichen additiven Constante¹). Im vorliegenden Falle ist an Stelle der Constante eine willkürliche additive Function von z allein zu setzen. Bis auf letztere und die ebenfalls

..... n ..    d%i d%₂

nur von z abhängigen Grossen ——,

uz UZ

aus den obigen Differentialgleichungen, falls deren Integration für den betreffenden Cylinderquerschnitt durchgeführt werden kann, als bestimmte eindeutige Functionen von x, y, z gefunden.

Es möge noch erwähnt sein, dass weil die in (50.), (51.) definirten Werthe Ll} M1} Z₂, M₂ linear nach Ft, Gt,Xl7 respective F₂, G₂, X₂, h sind, die Gleichungen (53.) und (54.) zu dem Schluss führen, dass Superposition in Bezug auf die letzteren Grössen stattfindet. 2ßi_ er-giebt sich also gleich der Summe dreier Ausdrücke, von denen der erste nur Fu der zweite nur der dritte nur XL enthält; die erste-ren stellen, wie aus § 5 folgt, begleitende Erscheinungen der zwei Biegungen (in der xz- und yz-Ebene) dar, während letzterer sich auf die Torsion des Stabes bezieht. Das Analoge gilt von der Function 2B₂ ; nur treten bei derselben noch die von Z abhängigen Glieder hinzu, welche die unmittelbare Einwirkung der am Querschnittrande ange-gebrachten äusseren Druckkraft auf die Theilchen des Querschnitts angeben.

§ 7. Die Differentialgleichungen für die Terme höherer Ordnung der Verschiebungen g und rj.

Die Restglieder u und v, welche durch die Substitution (16.) ê ⁼ &i T U₂ -j- u₀ -j- u, r\ = V\ -J- V₂ + vo + v eingeführt wurden, enthalten sämmtliche in g, rj vorkommenden Summanden von positiver Grössenordnung. Dieselben sollen, ebenso wie bei w geschehen, in ihre den zwei niedrigsten Ordnungen angehörigen Bestandtheile und in neue Restglieder u, u zerlegt werden. Die Differentialgleichungen, denen diese Grössen genügen, gewinnt man aus den zwei ersten Gleichungen (1.):

dx

dz

dy

( dXx dXy dXz _ ₀

dXy , dYy . -r² + -T- d

d¥z

dx

dy

dz

— Dr = 0.

Wenn man für Xx, Yy, Xy die Werthe (37.), für Xz, Yz die Werthe (41.) und für rv seinen Werth (46.) einsetzt, so verwandeln sich, nach

Benutzung der Relationen (15.), die genannten Gleichungen in die folgenden

d²u

dx¹

d²u d²u h~d^

dy²

)+(« — &)

d²v

= A — {a — b)

dxdy d² (2Bt + ä&₂ + ro)

(56.)

dxdz

d-v

a-z-s- + b

d-v

d²v

dy'¹

dx² dz²

) + (« — &)

d²u

= A‘—(a — b)

dxdy

d² (jjjji + SS2 + to)

dy dz

in denen zur Abkürzung durch A und AJ die Ausdrücke

yl =

(a — b Ib \d²{G{ + G₂) xy ,d²X V E ⁺ Ej dz²    22? + b~d^y

+ («    2? ⁺Ej dz² C>

A'=

4£

2& '\ d²(A\ + -F₂) W_h^X ⁺ \E ⁺ Ej    dz²    2^ dz²

+ sr+(^₊jLyj-

r-ü

+ (a-n)W*

bezeichnet sind. Für u und v wählt man nun die Substitution d²(A\ + F^)(x² , 3?/² —x²\ a:²    ^î/3

A’a / 24^4 ⁺ tfz² 6

ń)3+<*-»>

4~ Ui T~ U2 T- u

dz²

d²{Gy + S₂) (x² + y²

d²ty x²

dz²

Ei

dz² 2a

T*

(57.)

(a— b b\ d²hi x³

V E ⁺ E j Ü7¹ 6 ÖC 3a:² — y²

<p(e, + g₂)/y

d'²(7'i + Ą)/®2+y-j    \ *1/    ,,    , y²

—s?—    + w%) sä+L(a-2i) 1?+Drhä

/a    b 5 \ <Ph, j/f_ ~ , sg ,

⁺ V £■ ⁺Ąjdz* 6aC ⁺ *l + ^ + und detinirt die neuen Variablen U1? U₂, it, SBi, üB₂, t) in der Art, dass Ui, $1 sich ausschliesslich aus Termen der lsten Ordnung, U₂, SS₂ aus Termen 2ten Ordnung zusammensetzen, und u, t) alle Summanden von höherer Ordnung enthalten. In den obigen Gleichungen bedeutet E% die Constante

El

d²% a:3 242? dz² 6

5*

(58.) E₂ =

a (3a — 4 b)

welche, wie leicht zu beweisen, mit den Constanten a, b, E, Ex durch die Relationen

Ei E^

(59.)

b_ la a E’ Ex ⁺ E.₂

verbunden ist. Aus (57.) ergiebt sich die Transformation

d²u

d²u

d²v

d² (Ui + U2 + u)

dx²

ate* + bdi* + (-a-b>^di,

d² (tt[ -j- R'2 T⁻ u)

dy²

+ (a — b)

dxdy

und

d²v d²v , / 7X d²u

aw ⁺ d^+(a~b)Mj d² (%b ~h $2 +1))

dy²

dx²

+ (a — b)

d² (Ut -j- U2 d⁻ lt)

dx dy

d A\

Die linken Seiten dieser 2 Gleichungen unterscheiden sich aber von den linken Seiten von (56.) nur dadurch, dass in letzteren noch die cftu d^v

Terme    ^dz² V01’^0mmen* Daher heben sich in Folge der Sub

stitution (57.) die Grössen A und A* in (56.) fort. Sodann ist zu berücksichtigen, dass die Differentialquotienten

d²Ui Mi dMi d²ï8i dmv (P%_ dmL dmt dx² dxdy dy² ’ dx² ’ dxdy dy² ’ dxdz’ dy dz

¹

Man vergleiche : Clebsch, Elasticitätstheorie, Leipzig 1862, pag. 80—81.

die — lfe, und

dm?, d²ü-₂ dm, dm₂ dm, dm₂ dm₂

dx² dxdy dy²    dx² dxdy dy² dxdz dy dz

die Ote Ordnung haben, während die Grössen

d²u d²\x    d²\i    d²0 d²v    d²n    d²m d²w

dx²’ dxdy    dy²’    dx²’    dxdy    dy²’    dxdz’ dy dz

d²u

d²v

sowie sämmtliche Terme von b und b —j zu einer positiven Ordnung gehören. Indem man also auf den linken und rechten Seiten von (56.) die Summanden von — Der von (der und von positiver Ordnung für sich einander gleichsetzt, zerlegen sich, nachdem man auch

in b und b die Werthe (57.) substituirt hat, die Gleichungen

(56.) in die folgenden 6 Gleichungen:

d²U,    n

dm

r dm

a dx²

dm

dx²

-F (a — b)

dm

dxdy

d² U,

dxdy

= —(a — b)

= — {a — b)

dmt

dxdz’

dm

dy dz

(61.)

dm2 , . dm₂ , ,    , v

ad^-'+bl^ ⁺ (a-J) tadÿ ⁼ -(o-”)

r + i>âSr+ (.«->>)

dm

dm.₂

dy²

dx dy

(62.)

dH (dH dH\ ,    .

a s?+ s + d?)+{a~bï

d²v i 7 ( dH dH\ ,    N

“    ⁺ HâP ⁺ *7 + ( }

dx dz ’

dm₂

dy dz ’ = — | co + («—b)

= —(a— b)

d²o

d² îO

dx dz

d²U

dx d y

— e»'+ (a— b)

dy dz

wo co und co' die Functionen

d* (t\ + F₂) (x² , 3y² — x²\bx² , d⁴% by³

09    + EÏ J²⁴^ ⁺    6

d⁴(G₁ + G₂)(x² + y²

y² \

2^7 6Z?

rf² (lîi -f- U₂)

i /    bx²

^⁴(gL + g₂)/y²

dz⁴ U

rf⁴ (Fj + Z^₂) /x ²+ y²

dx² — y²\ by² d⁴% bx³

J 24B _rf7T

⁺ ÏE,) 6 J ⁺ 1

(a — b    b \ d⁴hx by³ d² ($Bj + $B₂)

V E ⁺ El J hz⁴ bäc + b

bedeuten. In (60.) und (61.) finden sich die Unbekannten U1; $8j, U₂, 33₂ ausschliesslich nach x, y, nicht nach z, differenzirt, so dass z auch bei diesen Differentialgleichungen als constant zu gelten hat. Daher reducirt sich das Problem in Betreff der Grössen U₍, 23b U₂, $₂, wie früher in Betreff von 2B, und 2B₂, auf zwei Dimensionen. Die auf den rechten Seiten von (60.), (61.) vorkommenden Variablen 2Ö₁ und 3B₂ darf man hier als bekannt ansehen. Denn für dieselben wurden im § 6 die Gleichungen (47.), (48.), (53.), (54.), durch welche sie eindeutig bestimmt sind, gefunden, und die Integration der letzteren Gleichungen nimmt man als ausgeführt an. Der Umstand, dass gewisse von z abhängige Werthe, die vorläufig unbekannt blieben, in 2B2 enthalten sind, ist für die Integration der Gleichungen (60.), (61.) nicht wesentlich^ da z daselbst nur ein Parameter ist. Ausser den für das Innere geltenden Gleichungen (60.), (61.) ergeben sich aus den 2 ersten Gleichungen (3.) vier Oberflächenbedingungen, von denen zwei auf Uj, und zwei auf U₂, 93₂ Bezug haben.

Bevor jedoch auf diese Gleichungen näher eingegangen wird, soll kurz gezeigt werden, dass das obige, für 3Bt, 2B>, Ui, U₂, $1, 332 angewendete Verfahren sich beliebig auf die Bestandteile höherer Ordnung von g, g ausdehnen lässt. Es werden immer abwechselnd

dz⁴

Ei

E₂

dz²

_ dfà, by2 b) dz⁴ 2a

je zwei Ordnungen von £ und zwei Ordnungen von £, rj bestimmt. Man erhält die Differentialgleichungen, welche für die Glieder höherer Ordnung von

£, y, £ im Innern gelten, durch weitere Zerlegung der Gleichungen

(49.) und (62.). Als die Grundlage der ganzen Rechnung ist die Voraussetzung zu bezeichnen, dass durch die Differentiation nach x oder y, nicht aber durch die nach z, die Ordnung um je 1 erniedrigt wird. Nach (46.) enthält ro alle Summanden von £, welche der 2ten oder einer höheren Ordnung angehören. Man fasse in nq die Bestandtheile der 2ten und 3*en Ordnung von £ zusammen, in tt)₂ die der 4ten und 5ten, in tt)₃ die der 6ten und 7ten etc. Ebenso bezeichne man durch ut, resp. nt, die Bestandtheile der 3ten und 4ten Ordnung von £, respective von r], ferner durch u₂, respective t)₂, die der 5ten und 6ten Ordnung dieser Variablen, und so fort. Dann entsteht aus (49.) in Folge der Unterscheidung der Grössenordnungen zunächst eine Gleichung

d²ml    d²rot

dx²    dy²

deren rechte Seite als eine bekannte Function zu betrachten ist, weil die in derselben enthaltenen Grössen 3B₂, Ub U₂,    33₂ durch die

vorher gefundenen Differentialgleichungen bestimmt werden. In (49.) sind, nachdem man für u, v die Werthe (57.) substituirt hat, die Diffe-d²V0v

d²m

die einzigen unbekannten Grössen, deren

d² n>j _d²n dz2 7 dx dz⁷

nur die Ordnung 2 erreichen. Auf diese Weise ergiebt sich die

rentialquotienten

dx²

und

dy²

Summanden zu den Ordnungen 0 und 1 gehören, da

d²V

dy dz

obige, nur die Unbekannte tü] enthaltende Differentialgleichung. Dieselbe wird, wie leicht nachzuweisen, durch eine Oberflächenbedingung ergänzt, die aus der 3ten Gleichung (3.) folgt, und in der ebenfalls nur % als unbekannte Variable vorkommt. Man leitet hierauf aus (62.) die 2 Gleichungen

d²\\y    . ,    ,    *

+ł *+(a-ł) ä% , , d% , .

aw+b^ + (a~b)

d²^

dx dy

d²\i t

dx dy

= co[

ab, in denen co und co[ bekannte Functionen sind, wenn jetzt auch ttq als bekannt angenommen wird. Zu diesen Gleichungen gelangt man, indem man in (62.) die Glieder lster und 2ter Ordnung für sich betrachtet; denn nur die Grössen

d²Ui d²\x{ d²uf d²v>i d² d² pL dx²⁷ dx dy ⁷ dy²⁷ dx'²-⁷ dx dy⁷ dy²

dy²

setzen sich aus Gliedern der genannten Ordnungen zusammen, während die übrigen unbekannten Differentialquotienten

d²U|    <7%    d²tü₂    ^²tü₂

dz² ’    dz2 7 dx dz’    dy dz 6 C’

von der 3ten oder von höherer Ordnung sind. In derselben Weise erhält man nach einander aus (49.) und (62.) Gleichungen von der Form

d²tt)₂ , d²ra₂

d²u₂

dy²

\a

<11 it|!

to to

%■ tf il

+ (ß — b)

+ (a—b)

d²n₂

dx dy d²U-₂

= oh,

dx dy

dx²

und gleichzeitig ergiebt sich eine entsprechende Zerlegung der Oberflächenbedingungen (3.). Die Functionen ^₂, co₂, co₂, fo, .... müssen hier als bekannt gelten, da sie immer nur diejenigen Grössen, welche durch die vorhergehenden Gleichungen bestimmt sind, enthalten, und man die Integration dieser Gleichungen als erfolgt ansehen darf. Bei sämmtlichen Differentialgleichungen kommen nur x und y als unabhängige Variable vor; denn überall fehlen die Differentialquotienten der unbekannten Grössen nach 2. Das Problem wird also in allen seinen Theilen auf zwei Dimensionen, d. h. auf die Vorgänge innerhalb je eines zur z-Achse senkrechten Querschnittes reducirt.

Aus den obigen Gleichungen geht hervor, dass die Rechnungen sich nach der angegebenen Methode bis zu einem beliebigen Grade der Genauigkeit fortsetzen lassen. Indessen wird bei allen Anwendungen der Theorie die Ermittlung der Bestandtheile höherer Ordnung von g, rj, g nicht mehr von Interesse sein, sobald dieselben zu den Druckkräften nur Beiträge, die klein im Vergleich zu den äusseren Kräften sind, liefern. Als klein gegen letztere sind im Allgemeinen schon alle Kräfte der Ordnung 1 zu bezeichnen, da sie zu den von aussen wirkenden Kräften in einem ähnlichen Verhältniss stehen, wie c zu 1. Da nun in den Formeln (2.) der inneren Druckkräfte nur die ersten Differentialquotienten von g, rj, g Vorkommen, so rühren von den Bestandtheilen 2ter Ordnung von g, rj, g höchstens Terme der Ordnung 1 in den Ausdrücken der Kräfte her. Aus diesem Grunde sind im Folgenden die Summanden 2ter und höherer Ordnung von g, rj, g nicht weiter berücksichtigt, und die Rechnungen in Betreff der Druckkräfte überall auf die Werthe von negativer oder Oter Ordnung beschränkt worden.

so entstehen aus (60.) die Gleichungen]

( d<Pi    dtp i _ Q

(64.)

dx    dy :

drpx _dipi

dx

Die Gleichungen (60.) für Ub kann man auf die Form bringen :

d fdXXy d® dy \ dy    dx

) + (—»>!§! + »

d j ₃ fdXiy ₊

dx\ \dx    dy

(My , dß

—-—— -)--

dx    dy

Definirt man also <px und y?L als die Functionen

£~K

)    dz \ dx \dy

d^ßy

dx

= 0.

dü, . dß

(63.)

^ = a\Tx

dy

^ + (a — b)

düB

dz

, fdlX *= hVäy

dx

dy

welche zeigen, dass die Summe iy{ + i<Pi eine Function des complexen Arguments x + iy ist. Die nämliche Transformation ist auf die Gleichungen (61.) anwendbar. Aus der zweiten Gleichung (64.) folgert man, dass <pi und die nach x und y genommenen Differentialquotienten einer und derselben Function Qx sind, und gelangt hierdurch zu dem Gleichungssystem :

dQ

<Pv =

(65.)

dl&

dx ⁷

V>i =

dßx

dy

dx¹

dy²

= 0.

Mit den Differentialgleichungen (60.), (61.), welche für einen beliebigen Punkt des Innern befriedigt sein müssen, hat man wiederum die Gleichungen, die für die Begrenzung gelten, zu verbinden. Um die auf Ui, 33t, respective U₂, $₂, bezüglichen Oberflächenbedingungen zu erhalten, trennt man in den 2 ersten Gleichungen (3.)

i Xx cos 1 -j~ Xy cos y — X, ( Xy cos 1 + Yy cos y = Y

die Terme Oter und lster Ordnung von den übrigen. Analog zu § 4 mögen durch .

Wo, Wo, Wo

die Bestandtheile Oter? sowie durch

Wl, [Iÿ]t, \_Xy\

die Bestandtheile lster Ordnung von Xx, Yy, Xy bezeichnet werden. Dann ergehen sich, da die Oberflächenkräfte X, Y zur Ordnung 0 gehören, aus (3.) die Gleichungen

und

(66.) j

[XJo cos X + [Xy\ cos n = X, [Xy]o cos X -f [Yy]o cos ^ = F

[Xx]l cos X [Xy]i cos [i = 0,

\_Xy\ cos X + \Yy\ cos [i = 0.

Die Grössen [Xx]₀, [Fÿ]₀, \_XV\ hängen von —,    ^    ^

dU₂ dU₂ d%.₂ dY,

dx ’

dem man in die Formeln (37.) von Xx, Yy, Xy den Werth (46.) für rv, sowie die Werthe (57.) für u, v substituirt, und die Kelationen (15.) und (59.) berücksichtigt, findet man für die Bestandteile Oter Ordnung der genannten Kräfte die Ausdrücke

(67.) j

dy’

dx

dy

und die Grössen [Xx]i, \Yy\, [Xy~\v von

dy

dx dy

——² ab. In-

dUv

[Xx]₀ — « dx

[Fy] o == a

+ (°-2 b\dy

faj +    - ^)^dx

-r-¹ + -r-

dz

d%

ein

cm

dz

) + aw

[Wy]₀ — b

<m

dy

dx

+ 91,

in denen £, 9)1, 91 die Functionen

/S =

12A

(a — 2b) D1V

12 B

9)1

(68.)

*GWA ^ W2 + 3 (1 — 1)

12^ (U ⁺ U

-“(«-2») W*

+ -,

&F1W4 4 1\ , , _ /I    \ ₂)

12^ |\Ą ⁺ E₂ e) X + (a    )V )’

91 =

‘-Sig+Ki+'H

\ ⁺ 6/?j^+t*U

-W +

bedeuten. Zur Abkürzung ist

(69.)

d²£i

*5 ₌ ™ <*²Gi

dz²    dz¹

<P%

= G",

d²D

r¹ = or

= $1,

gesetzt worden. Auf diese Weise ergeben sich aus (66.) die Gleichungen

dz²

= £1',

dz²

dz²

a V dx

(70.)

— 2b cos 2 + ô ! —+ —-¹- f cos u dy )    { dy dx )

= X—| £ + (a — 2&)^^j cos 2 — 97 cos^;

| cos y + b

= Y—j9J7 + (a—2b)^\ coS|M — 97 cos 2,

dy

( (d\Xv , dSSA

⁺ #y

dy

^i + ^jcos* dy dx !

welche für alle Punkte der Mantelfläche des Stahes mit Ausnahme der den Endflächen benachbarten gelten. Die analogen, durch (67.) ausgedrückten Bedingungen sollen hier nicht in Ausführlichkeit wiedergegeben werden; denn die Grössen U₂, $₂, zu deren Bestimmung dieselben dienen, werden, wie oben erwähnt, als Grössen 2ter Ordnung in den Rechnungen der folgenden Abschnitte nicht mehr berücksichtigt.

nicht Ui, selbst,

dy ’ dx ’ dy

vor, woraus folgt, dass je ein nur von z abhängiger Summandus in UL und willkürlich bleiben muss.

Auf die Grössen £, 9)7, 97, welche nach (68.) die von z allein abhängigen unbekannten Werthe Xï, $P", Di enthalten, finden die nämlichen Bemerkungen Anwendung, welche im § 6 in Bezug auf Zi, Mu Z₂, A7₂ gemacht wurden. Da z in den Gleichungen (60.) und (70.) nur als Parameter auftritt, so sind £, 9)7, 97 für das lntegrationsver-fahren als gegebene Functionen, in denen jedoch 3 unbekannte Con-stanten Vorkommen, anzusehen. Die ganze Betrachtung kann auf je einen zur z-Achse senkrechten Querschnitt beschränkt werden, an dessen Randcurve die für den bezüglichen Werth von z zu nehmenden Bedingungen (70.) in Kraft treten. Im § 6 wurde ferner erwähnt, dass bei den Grössen 2$! und 9Ö₂, welche durch die Gleichungen (47.), (48.), (53.), (54.) bestimmt sind, je eine additive Function von z willkürlich bleibt. Dasselbe gilt in Betreff der Bestimmung der Variablen Ui, durch (60.) und (70.). In letzteren Gleichungen kommen ausschliesslich die Differentialquotienten

Endlich ist anzuführen, dass die Grössen $ßi, Di, î£₂, $₂, D₂, sowie die anderen unbekannten Functionen von z allein, welche von der Integration der partiellen Differentialgleichungen herrühren, durch die Gleichungen (10.) und (11.) des § 1 bestimmt werden. Das Verfahren, das sich hierfür ergiebt, ist genau dasselbe, welches im § 5 für die unbekannten Functionen ©, t) angewendet wurde. Jede der genannten Gleichungen lässt sich durch Unterscheidung ^der Grössenordnungen in eine Reihe verschiedener Gleichungen zerlegen; die nur von z abhängigen Factoren treten dann immer vor die Integralzeichen. Im § 5 wurde bei dreien der Gleichungen (10.) und (11.)

die Abtrennung der Summanden der 2 beträchtlichsten Ordnungen bewirkt, wodurch man einerseits die Werthe (40.) für $, ©, Ï) ermittelte, andererseits die Gleichungen (39.), die für die weiteren Entwicklungen wesentlich sind, erhielt. Analog werden die Bestimmungsgleichungen für    etc. abgeleitet. Hat man die partiellen

Differentialgleichungen, in denen x und y die unabhängigen Variablen sind, gelöst, so sind in den bestimmten Integralen, welche die linken Seiten von (10.) und (il.) bilden, die zu integrirenden Ausdrücke bekannte Functionen von x und y. Zwei Beispiele für die Rechnungen, welche die genauere Behandlung des Problems erfordert, sind im 2ten und 3ten Abschnitt durchgeführt worden.

Bei den hier angestellten Untersuchungen sind die äusseren Druckkräfte X, F, Z überall als Grössen Oter Ordnung angenommen, und die Ordnungen der in (8.), (9.), (12.), (13.), (14.) definirten Ausdrücke /i, Qi, ... Fl, Gu ... dem entsprechend festgestellt worden. Indessen bleiben, mit gewissen Modificationen, die erhaltenen Resultate auch noch gültig, wenn einzelne der äusseren Kräfte von beträchtlicherer Ordnnng als die übrigen sind. Die in einem solchen Falle eintretenden Aenderungen beziehen sich auf die Grössenordnungen, welche den verschiedenen Summanden der rechten Seiten von (10.) und (11.) zu-zuertheilen sind. Im Vorhergehenden bezeichnete man durch fu gu lix die Bestandteile lster; und durch /₂, 9^ h-i die Bestandteile 2ter Ordnung der Functionen f, g, h, die auf den rechten Seiten von (10.) stehen. Ebenso wurden die in (11.) vorkommenden Functionen F, G, H nach den Grössenordnungen in Fu F₂, Fs, respective Gu G%, £3 und Hi, Hi eingetheilt. Wenn nun die gegebenen Oberflächenkräfte nicht sämmtlich von der Ordnung 0 sind, so wird die Zerlegung der Grössen /, g, h, F, G, H eine andere, während die Rechnungen selbst sich nicht wesentlich ändern. Man nehme z. B. den Fall, dass die Endfläche z = / des Stabes durch Kräfte in Anspruch genommen sei, welche die an der Mantelfläche wirkenden in solchem Masse übertreffen, dass man sie nicht zur (Ken^ sondern (wie Xz und Yz) zur — Den Ordnung zu rechnen hat. Dann sind die in (9.) angeführten Integrale über die Endfläche gleichzeitig mit den Ausdrücken (8.) als die Bestandteile lster Ordnung von f, g, h zu bezeichnen, und analog hat man die in (13.) vorkommenden Integrale über die Endfläche zu Fx, Gx hinzuzunehmen, sowie F$, fr₃, JI.₂ zu den übrigen Werten (13.). Will man die bisherige Bezeichimngsweise beibehalten, der zufolge fu gu hx die Bestandteile lster Ordnung von f,\ g, h darstellen u. s. f., so sind die Definitionen von /i, gx hx etc. in der Art, wie die obige Erörterung fordert, zu modificiren. Abgesehen hiervon bleiben dann alle Entwicklungen dieselben. Es können ferner die Functionen Fx und Gx gleich-

n§ 7,70.

76

zeitig identisch Null werden, ohne dass die gegebene Lösung der Differentialgleichungen gültig zu sein aufhört, wenn sich auch hierdurch die Kraft Zz auf die —Ite die Ausdrücke F und G auf die 2te Ordnung reduciren. In Folge des Umstandes, dass überall Superposition anwendbar ist, werden in den erhaltenen Formeln die verschiedenen Gruppen von Termen von einander unabhängig, so dass auch eine theilweise Aenderung in den Grössenordnungen der gegebenen Kräfte die'Lösung selbst nicht hinfällig macht. — Der Fall, dass von den äusseren Druckkräften gewisse sehr gross sind und desshalb zu einer negativen Ordnung gerechnet werden müssen, tritt namentlich bei denjenigen Aufgaben ein, wo der Stab an den Enden auf liegt oder eingeklemmt ist. Man bemerke, dass weil die den Endflächen benachbarten Stabtheile von der Betrachtung ganz ausgeschlossen sind (§ 2), die im Vorhergehenden abgeleiteten Gleichungen nicht minder für den an den Enden aufliegenden oder eingeklemmten Stab gelten, als für den, dessen Enden frei schweben. An dem Ende, wo ein Stab aufliegt, hat man eine unbekannte Kraft hinzuzufügen, welche später durch die Bedingung der Unverriickbarkeit des Stabendes bestimmt wird. Ist der Stab eingeklemmt, so tritt ausserdem an dem betreffenden Ende ein unbekanntes Kräftepaar hinzu, dessen Werth sich aus der vorgeschriebenen Richtung der Tangente der elastischen Linie an jenem Ende ergiebt. Die genannten hinzuzufügenden Kräfte sind nun im Allgemeinen von der Ordnung — 1, respective — 2. Denn wenn der Stab an den Enden unterstützt ist, so folgt aus den Bedingungen für das Gleichgewicht des Stabes, dass die Componeuten der unbekannten Kräfte die explieit gegebenen Componentensummen, die sich über die ganze Mantelfläche erstrecken, auf heben müssen; und bei dem eingeklemmten Stab wird die Ordnung der unbekannten Kräfte noch um 1 niedriger, weil zu ihnen Hebelarme der lsteu Ordnung gehören, während die an der Mantelfläche wirkenden Kräfte theilweis Hebelarme Oter Ordnung haben. In diesen Fällen sind in den Gleichungen (10.) und (11.) die Grössen f, g, h, F, G, II um unbekannte Constanten, und die Grössen F und G ausserdem um Ausdrücke k{ (l—z), k₂ (l — z) zu vermehren, wie aus (9.), (13.), (14.) hervorgeht. Die Ordnung der hinzutretenden Werthe ergiebt sich stets aus den Gleichgewichtsbedingungen des als starr angesehenen Stabes.

Es ist schliesslich noch zu erwähnen, dass auch die seitliche Begrenzung des Stabes eine andere, als im § 1 vorausgesetzt wurde, sein darf. Nach § 1 sollten die Ebenen z = l und z = — l die Begrenzung bilden. Da indessen die Stabenden für die obigen Rechnungen überhaupt nur in sofern in Betracht kommen, als sie Beiträge zu den Integralen f g, h, F, G, H liefern, so bleiben alle erhaltenen Gleichungen

§ 8, 70.

77

auch in dem Falle gültig, dass die Stabenden durch eine beliebige andere Fläche begrenzt werden. Es ist dann nur erforderlich, die Werthe f, y, h, F, G, H entsprechend zu modificiren.

§ 8. Ueber das Gleichgewicht eines Stabes mit veränderlichem

Querschnitt.

In den vorstehenden Paragraphen ist der betrachtete Stab als ursprünglich cylindrisch vorausgesetzt worden, so dass vor Eintritt der Deformation alle zu seiner Achse senkrechten Querschnitte congruente Umrisse hatten. Die bisherigen Rechnungen lassen sich aber mit geringen Aenderungen auch auf den Stab mit variablem Querschnitt übertragen, falls die Abweichungen des Stabes von der cylindrischen Gestalt innerhalb gewisser Grenzen bleiben. Von den Winkeln X, y, v, welche die Oberflächennormale mit den Coordinatenachsen bildet, hatte

also cos v den Werth

v im Vorhergehenden den constanten Werth

0, da die Cylinderkante parallel zur z-Achse genommen wnrde. Es soll nun der Fall behandelt werden, dass cos v nicht mehr gleich 0, jedoch eine kleine Grösse von derselben Ordnung wie c sei. Bei dieser Annahme, die für einen beliebigen Punkt der Oberfläche (abgesehen von den seitlichen Grenzflächen) gemacht wird, bleibt die der z-Achse parallele Dimension die vorwiegende, so dass der betrachtete Körper noch als Stab (oder Balken) bezeichnet werden kann. Die Quer-sclmittflächen, welche die zur z-Achse senkrechten Ebenen aus dem Stabe aussclmeiden, werden indessen hiermit als veränderlich vorausgesetzt, so dass die in (7.) definirten Grössen A, B, C nicht mehr constant, sondern Functionen von z sind. Der geometrische Ort der Schwerpunkte der zur z-Achse senkrechten Querschnitte, der bisher mit der z- Achse zusammenfiel, geht im Allgemeinen in eine krumme Linie über. Ebenso werden die Winkel, welche die Richtungen der Hauptträgheitsachsen der genannten Querschnitte mit der x- und y-Achse bilden, zu variablen Grössen. Hieraus ergiebt sich, dass die Gleichungen (5.) und (6.) nicht mehr erfüllt sind. Man stellt in Bezug auf die Lage des rechtwinkligen Coordinatenkreuzes jetzt nur die Bedingung, dass die z- Achse so gewählt sei, dass die Variablen x und y für alle Punkte des Stabes gleich kleinen Grössen sind. Eine derartige Wahl ist stets möglich, weil cos v als ein Werth von der Ordnung von c vorausgesetzt wird.

Als Bedingungen für die Oberfläche des Stabes hat man, da cos v von Null verschieden ist, nicht die Gleichungen (3.), sondern die in IV. der Einleitung angeführten Gleichungen.

anzuwenden.    Ferner modificiren sich in den Gleichungen (10.) und

(11.) die rechts stehenden Integrale. Denn an Stelle des Elementes der Mantelfläche des Cylinders tritt jetzt das im Allgemeinen der z-Achse nicht mehr parallele Element der Staboberfläche. Um für das letztere Element einen Ausdruck zu gewinnen, lege man, wie im § 1, zwei benachbarte und zur z - Achse senkrechte Ebenen z = § und z = § + Ą durch den Stab, und bezeichne das Bogenelement der Schnittcurve der Staboberfläche mit der Ebene z = § durch d§>. Es sei P ein beliebiger Punkt der letzteren Schnittcurve, und PN die nach aussen gerichtete Normale der Staboberfläche in diesem Punkte. Zieht man von P aus parallel zur positiven z- Achse die Gerade PP‘, so ist Z_ NPP' = v, und die Ebene durch PN und PP‘ steht auf dem durch P gehenden Bogenelement d% senkrecht. In dieser Ebene sei PP“ die zur z-Achse

normale Gerade. Dann ist i_ NPP“ = ±    --v'j, wo das positive

oder negative Vorzeichen gilt, jenachdem v spitz oder stumpf ist; in allen Fällen besteht folglich die Gleichung cos NPP" — sin v. Das gesuchte Oberflächenelement unterscheidet sich nun von dem Element

der cylindrischen Oberfläche allein dadurch, dass der Factor

cos NPP“

hinzutritt. Wenn der Stab cylindrisch ist, hat in dem ringförmigen, durch die Ebenen 2 = 5 und z = 5 + d% ausgeschnittenen Oberflächenstücke das Flächenelement den Werth d5 d%. Man lege auch im vorliegenden Falle durch d§> das der z- Achse parallele Flächenelement; dann ist der Winkel, den die zwei Flächenelemente mit einander bilden, gleich dem Winkel zwischen ihren Normalen, d. h. = l_NPP". Folglich hat man bei dem nicht cylindrischen Stabe das Oberflächen-

element gleich —:--d\ d& zu setzen. Der Nenner sin v dieses Werthes

sin v

ist, da cos v als eine kleine Grösse vorausgesetzt wird, stets nur wenig von der Zahl 1 verschieden.

Die Einführung des Flächenelementes

dfj d% statt dfj d% ist

sin v

die einzige Aenderung, welche in (8.) und (12.) bei den Grössen /i, gl} Fi, sowie bei den übrigen in (13.) angegebenen Integralen, die über die Mantelfläche auszudehnen sind, eintritt. Die auf die Endfläche z = l bezüglichen Integrale bleiben unverändert. Die von der Schwerkraft r herrührende, in (9.) vorkommende Componente ist jetzt durch

— Drfląf fdx dy

Z

zu ersetzen ; und die Beiträge, welche die Schwerkraft zu den Drehungsmomenten um die x- und z- Achse liefert, werden respective gleich den Integralen

D rfl (§ — z) dl ffdx dy, — OrJ1 dlffx dx dy.

Hiernach hat man /, g, h, F, G, H bei dem vorliegenden Problem als folgende Werthe zu definiren:

h —    -f- A-2,

f = /!+/*

F — F y + F<l +    , G = G i + ćt₂ + £3 j H = H\Ą-R₂,

sin

sin v'

*1 = fl dl fz(i)

(73.)

(74.)

(75.)

ft = J f Ai) dx dy,

9i = yy’j' (0    dy — mj ‘d% fdx dy

h. = JJZ{l)dxdy,

fi - -fXi-mf Ai)

Z

Ci = -fki~z)difm

Z

F-.= fdlfxZ{i) M

Z

Gt= S'il fy'A S)

2

sin v ’

sinv ’

sin

sin 27

—    {l — z)ffx (/) dx dy,

—    0— S) f f Y (0 dx dy

+ 2>r/ *(s — z) di ffdx dy,

d§>

sin v

hi

z

F) = ffxZ(l)dxdy,

(76.)

G-i = ffxZ(l)dxdy,

//₂ = //j a; F(/) — \dxdy— Frf łą ffx dx dy.

Z

Für die so detinirten Grössen sind die Gleichungen (10.) und (11.) auch bei dem nicht cylindrischen Stabe gültig.

sin v

Da sin v von der Zahl 1 nur um eine kleine Grösse abweicht, so

keinerlei Veränderung in

bewirkt der hinzugekommene Factor

den Ordnungen der obigen Ausdrücke. In Folge dessen gehören, wie früher, die Werthe fy, gu hy, Fy, Gy zur lsten? die Werthe f₂, g₂, h₂, F₂, G₂, Hy zur 2fen? und F₃, G%, H₂ zur 3ten Ordnung. Im Ganzen unterscheidet sich also, wenn man von der modificirten Definition der Grössen f, g, h, F, G, H absieht, das in diesem Paragraphen behandelte Problem von dem früheren nur dadurch, dass die Oberflächenbedin-

gungen (71.) an Stelle von (3.) getreten, die Gleichungen (5.) und (6.) fortgefallen, und die Werthe A, B, C Functionen von z geworden sind.

Hieraus ergiebt sich, dass die Rechnungen, die im § 3 angestellt wurden, auch im Fall des nicht cylindrischen Stabes ihre vollständige Gültigkeit behalten. Denn dieselben gründen sich ausschliesslich auf die Klassification der einzelnen Grössen nach ihren Ordnungen, und diese Ordnungen haben sich nicht geändert. Im § 4, wo die Ausdrücke für u₀, v₀ entwickelt sind, kommen die Oberflächenbedingungen (3.) zur Anwendung, da sie die Gleichungen (30.) liefern. Indessen bleiben die Formeln des § 4 bei dem vorliegenden Problem ebenfalls sämmt-lich in Kraft, weil die Gleichungen (30.) wiedererhalten werden. Die linken Seiten von (30.),

M.

cos X + [Wy]_x cos (i, cos 1 + [Fy]^ cos y,

stellen die Summen der Terme — Her Ordnung dar, die in den 2 ersten Gleichungen (3.) Vorkommen. Nun stehen allerdings auf den linken Seiten der Gleichungen (71.), welche hier statt (3.) anzuwenden sind, noch die Summanden Xz cos v, Yz cos v. Aber da cos v als eine Grösse lster Ordnung vorausgesetzt wird, und die Componenten Xz, Yz die Ordnung — 1 haben, so gehen die Produkte Xz cos v und Yz cos v, als Grössen üter Ordnung’, nicht in diejenigen Gleichungen ein, welche u₀, v₀ bestimmen. Daher sind die Bedingungen (30.), und in Folge dessen alle übrigen Gleichungen des § 4 auch hier gültig.

Im § 5 setzte man, um &, t) als Functionen von z zu bestimmen, den Ausdruck (36.) der Kraft Zz in die Gleichungen (10.) und (11.) ein. Da nun die Gleichungen (36.), (10.), (11.) ihre Gültigkeit behalten haben, so modificirt sich die Berechnung der Werthe (3, t) nur insofern, als A, B, C jetzt variabel sind, und die Gleichungen (5.) und (6.) nicht mehr bestehen. Man bezeiche durch Ay, By, K die über den Querschnitt zu nehmenden Integrale

ff y dxdy,

(77.)

Ay = J J x dxdy, By K = JJxy dxdy,

Gemäss (24.) ist wo ©1 die — 3te, $₂, ©₂, ^ die — 2te; die — lte Ordnung haben. Nach Einsetzung dieser Wertlie zerlegt sich jede der obigen Gleichungen in zwei andere, und man erhält:

dz    Fxi

die ebenfalls Functionen von z sind, und von denen Bv zur 3ten5 K zur 4ten Ordnung gehören. Dann ergeben sieb für ©, l) statt der im § 5 abgeleiteten Gleichungen die folgenden:

d²&

A + K dz²

dz-¹

dl)

+ A{ — — — (i^L + A₂),

KdjI + B dz²

dm

dl)

dz²

4- B^— = — (#i + G₂),

dm

d\)

dz

( Æ + Kęt + Ą*k

dz²    dz²

(78.)

dm

dl) 1

(79.)

«Î

dz‘ ⁺ dz¹

xd%

A,*Sl

¹ dz²

dz²

dz²

— 0.

dl) 2

+ ^=-*« <^©2 , D dl)₂ „ H?+Bl dz⁼~G‘¹’

dm

dz²

dz

dz² ’ dz2 7 dz UnC^ ^a^er au°h % ©> Ï) als eindeutige Functionen von

Durch Auflösung der linearen Gleichungssysteme (78.), (79.) findet man d²% dm dl)

z. Die bei der unbestimmten Integration von    — auftretenden willkürlichen Constanten können, wie im § 5 bemerkt wurde, fortgelassen werden, da von denselben nur Terme der in (11.) der Einleitung angegebenen Beschaffenheit herrühren. — Die Substitution der aus (78.) und (79.) folgenden Werthe von ©, l) in die Gleichungen (36.) und (38.) liefert für den nicht cylindrischen Stab eine angenäherte Lösung von derselben Art, wie sie im § 5 für den cylindrischen dis-cutirt wurde. Die 2 Lösungen unterscheiden sich im Wesentlichen nur dadurch, dass hier eine jede der Functionen ©, l) gleichzeitig von den 3 Grössen F, G, h abhängt.

Die Differentialgleichungen, denen die Bestandteile höherer Ordnung von g, y, g für Punkte des Innern bei dem vorliegenden Problem genügen, sind den in §§ 6 und 7 abgeleiteten Gleichungen völlig entsprechend. Man hat bei den Substitutionen für w und für u, v nur die Aenderung der Werthe von g, ©, 1) zu berücksichtigen, um für 3Ö1? 2B₂, Wi, 33i, U₂, $₂ genau die nämlichen Differentialgleichungen wie früher zu erhalten. In (46.) und (57.) wurden, gemäss den Gleichungen (40.), die Werthe

a, ,,    d*% d²© 4

an Stelle von —^

dz~J dz² ’ dz

gesetzt. Wendet man also bei dem Stabe

mit variablem Querschnitt die zu (46.) und (57.) analogen Substitutionen an

(81.) ;

’+>§!

+ yx j d*%    , - ~

4E \ dz³ ^ dz³

-§■

3y²—x²\ x²    d-% y³

~dz² ~Ö~

d^& /x² + y² . y² \xy ( d^    ⁺ 2&)~6~+ (a~2b)

( a—b    b \ d³h x³

(80.) rv =

d³&

dz⁴

A₂

24

d2Ç,P x~ dz² 2 a

Ej dz³ 6a

dm / y²

~dzÂ\Ë

+ Ui -f- U₂ + tt,

d²% x3 24 dź² 6

+    + 3^2 "P

3x²—y²

A2

;r²

/ a—b b \    ?/³

V A ⁺ Fj dz³ 6ä

y2

wo g, (#, 1) die durch (24.), (78.), (79.) bestimmten Ausdrücke bedeuten, so findet man für 2ßt, 3Ö₂ wiederum die Gleichungen (47.), (48.), und für Ub 33j, U₂, $₂ die Gleichungen (60.), (61.).

Es bleibt übrig, die Oberflächenbedingungen zu behandeln, welche sich im Fall des Stabes mit variablem Querschnitt für die letzterwähnten

Unbekannten ergeben. Im § 6 wurden die auf SBj, 2Ö₂ bezüglichen Gleichungen (53.), (54.) aus der 3ten Gleichung (3.) durch Abtrennung der Glieder — Der und Oter Ordnung erhalten. An Stelle der 3ten Gleichung (3.)

Xg cos X + Yz cos y = Z

ist jetzt die 3te Gleichung (71.)

Xz cos 2 + Yz cos fi + Zz cos v = Z getreten, so dass man ausser den in (53.), (54.) vorkommenden Ausdrücken noch die Summanden Oter und — lter Ordnung von Zz cos v zu berücksichtigen hat. Aber cos v ist von der Ordnung 1, und die Terme — 2ter und — lter Ordnung von Zz sind nach (36.) gleich dem Ausdruck

'd²% m , db 0ŚX + dĄy+Tz der in Folge der Gleichungen (78.) und (79.) eine bekannte Function von x, y, z ist. Daher sind die Terme — lter und Oter Ordnung des Produkts Zz cos v gegebene Werthe, welche man mit der rechts stehenden gegebenen Function Z vereinigen kann. Die von den Unbekannten 2®!, 2B₂ abhängigen Ausdrücke sind genau dieselben, wie bei dem früheren Problem. Analog verhält es sich mit den Oberflächenbedingungen für Ui, und U₂, $₂. Statt der Gleichungen (66.) und (67.) sind die aus (71.) folgenden Gleichungen

COS V

und

j [Xx\ cos 2 + [Xy\ cos y = X — \XZJ t [Xy\ cos 2 + [Yy\ cos y = Y — [Yz ]_x cos v,

[Xx\ cos 2 + [Xy\ cos y = — [Xz\\ cos v,

[Xy\ cos 2 + [Yy\ cos y =    [Yz]₀ cos v

anzuwenden. Nun hat man, wie im Vorhergehenden (§ 7) erörtert wurde, bei der Berechnung von Ui, 23i, U₂, 23₂ die Grössen 2ßi und Sö₂ als bekannt anzusehen, da deren Bestimmungsgleicliungen bereits ermittelt worden sind. Ferner bleiben die Gleichungen (52.) für Xz und Yz in Kraft, wenn nur die Definitionen von Ll: Mu Z₂, M₂ entsprechend der Substitution (80.) geändert werden. Folglich sind die Bestandtheile — lter und Oter Ordnung von Xz, Yz wiederum gleich den für bekannt geltenden Werthen:

(f-4 *(f-4

Somit unterscheiden sich auch bei diesen Oberflächenbedingungen die zwei Probleme des cylindrischen und des nicht cylindrischen Stabes nur durch die gegebenen rechten Seiten, während die Ausdrücke, welche die Unbekannten enthalten, hier nicht anders als in (66.), (67.) lauten.

Aus den angestellten Betrachtungen geht hervor, dass solange der •Winkel v, den die Oberflächennormale mit der z-Achse bildet, von einem Rechten nur um Werthe, welche die Ordnung von c haben, abweicht, die in den §§ 1—7 entwickelte Theorie sich ohne weitere Beschränkung¹ direkt auf das Gleichgewicht des Stabes mit veränderlichem Querschnitt ausdehnen lässt. Die Modificationen, welche die Differentialgleichungen in diesem Falle erleiden, sind, wie sich aus dem Obigen ergiebt, von solcher Art, dass die Schwierigkeiten der Rechnung nicht grösser als bei dem cylindrischen Stabe werden.

Abschnitt IL

Gleichgewicht des cylindrischen Tollen Stahes mit kreisförmigem Querschnitt.

§ 9. Bestimmung von äßj für den kreisförmigen Querschnitt; Einführung neuer Variablen.

Die Differentialgleichungen, welche in den §§ 6 und 7 für die genauere Ermittlung der Vorgänge der Stabdeformation aufgestellt worden sind, sollen für die 2 Fälle, dass der cylindrische Stab einen vollen Kreis, und dass derselbe einen von zwTei concentrischen Kreisen begrenzten Ring zum Querschnitt hat, näher behandelt werden. Die in diesem Abschnitt ausgeführten Rechnungen betreffen das erstere der genannten beiden Probleme; das letztere bildet den Gegenstand der Betrachtungen des 3ten Abschnitts. *

Von den unbekannten Bestandteilen der Verschiebungen g, rj, £ wurde durch die im § 6 angegebene Differentialgleichung (47.)

am

am

dx²

dy²

und die Oberflächenbedingung (53.)

Mx J cos y = 0

(it ~ L') C0S X+ { dy

bestimmt. In dem vorliegenden Fall, wo der Querschnitt des Stabes ein

voller Kreis mit dem Radius c sein soll, hat man für cos X und cos [i

die Quotienten — und — einzusetzen. Nach Substitution der Werthe c c

(50.) für Ll} Mi und Berücksichtigung der Gleichung x¹ + y² — c2 findet man

dFi

Die Hauptträgheitsmomente A und B haben bei dem kreisförmigen

jlC4

Querschnitt den gleichen Werth —. Die Grösse 2B| ist somit bei dem

vollen Kreiscylinder eine Function, welche für jeden zur Cylinderachse senkrechten Querschnitt die Differentialgleichung

dm

dm

dy²

dx¹

im Innern und die Bedingung

dülßj x ^ d$&i y _

dx c ' dy c

am Bande zu befriedigen hat. Man sieht leicht, dass diesen Anforderungen durch die Function

u (t+j) (

dFx

dGx

—— x H—— y dz    dz y

C²

(*■)    ®i-4 A

dFl

dGx

—r1 x H--

dz

dz

y)+%

wo £ eine willkürliche Function von z allein ist, genügt wird.

Zu den Bestandtheilen negativer Ordnung der Verschiebung £, welche nach (24.) und (25.) des § 3

i (*8

d®

Wi + = — E

lauten, tritt also bei dem Stab mit kreisförmigem Querschnitt der folgende Ausdruck Oter Ordnung

dz

X --;

dz

* dD.

*2±jä) j££i r , J

\ dz    dz y\

dz'V + Si

hinzu, wie sich aus der Gleichung (46.) des vorigen Abschnitts nach Berücksichtigung der Ordnungen der daselbst vorkommenden Grössen und nach Anwendung der Gleichungen (35.) ergiebt. Wenn man sich nur die Verschiebung £ = Wx + ausgeführt denkt, so liegen, wie im § 5 (Gleichung (-13.)) erörtert wurde, die materiellen Theilchen, die sich anfänglich in einer zur z-A dise senkrechten Ebene befinden, nach der Deformation des Stabes wieder in einer Ebene. Dies gilt auch noch, wenn von den oben erwähnten zur Oten Ordnung gehörigen Summanden von £ die folgenden

dz

c²

d&L

dz y + ®

zu ff\ + ił 2 hinzugenommen werden. Dagegen drückt der Term

^ + y² \dI±x + aJh.v

4AF j dz ⁺ dz V eine der z-Achse parallele Verrückung aus, durch welche ein beliebiger Querschnitt z = z₀ in eine Fläche 3ten Grades verwandelt wird. Geht man von dem Querschnitt z=z₀ aus, so giebt £ die der z-Achse paral-

leie Coordinate an ; dann wird durch die rrz-Ebene die Curve £ = Const. xz aus der Fläche 3ten Grades ausgeschnitten. Zu je zwei correspondiren-den Punkten (x, y) und (—x, —y) des Querschnitts z = z₀ gehören gleiche und entgegengesetzte Werthe der obigen Ausweichung.

(l dx

Für die Grössen H,! und 5Bi, durch welche die unbekannten Bestandteile 1 ster Ordnung der Verschiebungen £ und rj bezeichnet wurden, fand man im § 7 die Differentialgleichungen (60.), welche nach Substitution des hier erhaltenen Werthes (1.) von die Gestalt d fdUi    d$B,\    d /dü,    d%>

d    dy )    dy \dy    dx

— —{a—b)

c²(l . 1 \diFl

4 A\b

a Ł (^1

dy V dx dy

) dx \ dy

d'X

dx

dz²

annehmen. Man verbinde die Variablen U bekannten U', 33/ durch die Relationen:

U _ rt'—    +    **

Ul ~ U U U ⁺ E

mit zwei neuen Un-

(2.)

dz²

xy,

c²

dx I dy

(3.)

a dx

d (dXV

d%'

dx

dW

= 0,

= 0.

^ a dy \dx ^ ’

Zur Integration derselben führt man Polarcoordinaten an Stelle der gradlinigen Coordinaten x, y ein; es sei

(4.) x = r cos s, y = r sin s,

so dass r in dem betrachteten Querschnitt den Radius vector, und s den Winkel zwischen r und der positiven rc-Achse angiebt. Man ersetzt ferner die Grössen lF, 33', welche Verschiebungen der Theilchen parallel zur x- und «/-Achse darstellen, durch zwei andere Verschiebungs-componenten q, ö, von denen die erstere die Richtung des wachsenden Radius r hat, die letztere zu r senkrecht steht und im Sinne des wachsenden Winkels s gerichtet ist. Dies geschieht bekanntlich durch die Substitution:

dy

dx

XV = q cos s — ö sin s, = o sin s + ö cos s.

In entsprechender Weise führt man statt der Componenten X, Y der gegebenen, an der Staboberfläche wirkenden Druckkräfte zwei neue Componenten R, S ein, die zu g, respective a parallel gerichtet sind. R und S werden demnach durch die Gleichungen

(6.)

= R cos s — S sin s,

= R sin s + S cos s,

oder

definirt.

(7.)

t:

= X cos s + Y sin s, = —Wsins + Y cos s

§ 10. Integration der Gleichungen für g, 0.

In die Gleichungen (3.) substituire man zunächst die aus (4.) und (5.) folgenden Werthe

d\X‘ j d23' _ 1 [d (rç) , da

dx

dy

dr

ds

dü' d%' _ 1 "dg d(ra)

dy

dx

ds

dr

Sodann addire man die Gleichungen (3.), nachdem man die erste durch coss, die zweite durch sins, respective die erste durch —sin s, die zweite durch coss multiplicirt hat, wobei die Formeln

— r sin s,

dx

dr ⁼ C0S S’ Ts

dy

dy

zur Anwendung kommen. Differentialgleichungen :

f n A (i TKA

j dr ( r

, ==sin^,    — - = r cos s

dr    ¹ ds

Auf diese Weise entstehen für q, ö die

dö

(8.)

dr

ds

-'S |

dQ d (rö)

ds

dr

= 0,

ad | 1 d (tq) ^ da r ds r dr ds

, d b—

dr

1 dQ    d (rpy

r ds dr

= 0.

Um dieselben zu integriren, sucht man zunächst partikuläre Integrale auf, indem man

p = 21 rm cos ns, a = 21V" sin ns

setzt, wo 21, 21', m, n nicht von r, s abhängen sollen. Man erhält dann

— — [n2t + (m + 1) 2t'] rm~l sin ns,

1 dç    d (rô)

r ds dr

so dass die Gleichungen (8.) nach Heraushebung des Factors rm ~² cos ns, bezüglich rm ~² sin ns, die folgenden Beziehungen zwischen 21, 2t', m, n liefern:

2t [a(m² — 1) — bn²J -f- 2Vn [a{m — 1) — b (m + 1)] = 0, 2tn [b(m — 1) — a (m + 1)] + 2t' [b (m² — 1) — an²] = 0.

Wenn hieraus 2t und 2F eliminirt werden, ergiebt sich zwischen m und n die Beziehung oder

j m -j- 1 = i n,

( m — 1 = + n.

Da aber das partikuläre Integral, das zu einem Werthe —n gehört, identisch mit dem zum Werthe -j- n gehörigen ist, so braucht man nur die positiven Werthe von n (inclusive des Werthes w = 0) zu berücksichtigen. Für m sind also die zwei Werthe m = n—1, m = n + 1,

wo w ÈÈ 0 ist, einzusetzen. Nimmt man m — n—1, so entsteht die Gleichung

n [a (n — 2) — bn] [2t + 2t'j = 0,

1 f d (rç) , dô

dr

ds

= [(m + 1)21 + w2t'] rm_1 cos ns,

welcher durch

2t/ = —2t

genügt wird. Ausgenommen ist der Fall n = 0, wo 2t/ fortfällt, während 2t beliebig bleibt. Indem man der Grösse 2t den Index n beifügt, um die zu verschiedenen Werthen von n gehörigen Coefficienten von einander zu unterscheiden, erhält man die dem Werthe m = n—1 entsprechende partikuläre Lösung

q = 2t„rn—1 cos ns, ö = — 2t„rra—1 sin ns.

Wird zweitens der Werth m — n + 1 substituirt, so entsteht zwischen 21 und 2F die Relation

21

- —2t'

n -F 2

Man genügt derselben, indem man 'n -f- 2

£)-»■

21 =

n\~ w/ fn + 2

%=[—

setzt, wo eine beliebige, von r und s unabhängige Grösse bedeutet, so dass q und ö die Werthe

annehmen.

Ausser diesen Ausdrücken von ç, a, in denen n eine beliebige positive Zabi bedeutet, gewinnt man weitere partikuläre Integrale mittelst der Substitution

q = 33rm sin ns, ö = — 33 V"¹ cos ns, die zu ganz analogen Kechnungen führt. Zwischen 33 und 33' bestehen dieselben Beziehungen, welche oben zwischen 21 und 2V erhalten wurden; daher ergeben sich jetzt für q und ö die Werthe:

( Q = 33«r"—1 sin ns,

( 0 =    cos ns,

und

et-: s

'n + 2

<&nrn + 1 sin ns,

IX \

— SDnrn +¹ cos ns,

wo 33« und SD« willkürliche Grössen bedeuten, die von r, s nicht ab-hängen.

@«r”+¹ cos ns,

— — ) &„rn +¹ sin ns,

Durch Summation der verschiedenen partikulären Integrale findet man als die allgemeine Lösung der Gleichungen (8.) die folgenden Ausdrücke von q und o:

(9.)

(«)

rn -¹ j 21« cos ns -f- 33« sin ns j

\ r" +¹ jcos ns -J- SD« sin ns\, j2I„sinw5—33« eoswsj

(»)

Hx

a) r”⁺¹ Js^n ns — cos

VVrc + 2

(»)

('n)

SD« hat man die auf tt,, Si

Zur Ermittlung der Grössen 21«, 33«, @ bezüglichen Oberflächenbedingungen (70.) des § 7 anzuwenden.

§ 11. Bestimmung der Coefflcienten 21«, 33«, ©«, SD«.

In den Kechnungen des vorigen Paragraphen sind 2t«, 33«, 6«, SD« als die Integrationsconstanten anzusehen ; indessen stellen dieselben, da bei der Integration nur x und y als Variable Vorkommen, willkürliche Functionen von z dar. Man drückt, um sie zu bestimmen, in den Oberflächenbedingungen (70.) des § 7 die Grössen U|, üBj, x, y gemäss den Gleichungen (2.), (4.), (5.) durch q, ö, r, s aus. Ausserdem transformirt man die genannten Bedingungen in der Art, dass man die erste Gleichung (70.) mit cos s, respective —sin die zweite mit sins, respective cos s, multiplicirt und dieselben addirt. Dann entstehen, nach Berücksichtigung von (7.), die Gleichungen

( do a — 2 b ( dû    \

(10.) {

I “ * + ——(*- + <>)

I b do , , de I ———h br —

¹ r ds dr r

woselbst r — c zu setzen ist, und durch di, © die Functionen

^ .    , d²Gx

-f sin s d——— cos s dz¹

(l+|)Sin2,(

&FX

dz²

(HO

c³

© = S + f-r

^sin3s +

d²Gx

dz²

cos 3s

rs—

sin 2s — dl cos 2s

r=c

bezeichnet sind.

Die Grössen 3Î und ©, die von s und z abhängen, werden in Bezug auf s nach dem Fourier’schen Satz entwickelt. Man habe die Entwicklungen

n = oo

9Î = ła₀ + ^ } an cosw,? + ßn sin ras f,

(12.) {

n = 1 n = oo

© = M₀ +    ! 7» sin ras + ön cos ns\,

n = 1

deren Coefficienten an, ßn, yn, 6n von z allein abhängen. Der Umstand, dass in £, 9JÎ, dl (siehe die Gleichungen (68.) des § 7) die bisher noch unbekannten ^Functionen Xx, Di von z Vorkommen, bewirkt, dass in (12.) einzelne Entwicklungscoefficienten vorläufig unbekannt bleiben und erst durch die späteren Rechnungen bestimmt werden.

Für q und ö hat man die Ausdrücke (9.) in die linken Seiten von (10.) einzusetzen. Um letztere für r — c mit den Reihen (12.) identisch zu machen, beschränkt man n auf ganzzahlige Werthe. Ferner dürfen, da der Querschnitt des Stabes nach der Voraussetzung ein voller Kreis ist, negative Potenzen von r in den Summen (9.) nicht enthalten sein; denn dieselben würden für r = 0 den Verschiebungen q und ö unendliche Werthe verleihen. Somit sind in jeder der beiden Gleichungen (9.) die Grenzen ra — 1 und n — oc für die erste Summe

und die Grenzen n =—1 und n= oc für die zweite anzuwenden. Man bemerke jedoch, dass die zweiten Summen für n — — 1 die Terme

sin s)

Q =    + {) (&-i cos 5 —

— (~" + ^) (®-i sin s + S5-i cos s)

liefern, welche mit den für n = 1 von den ersten Summen herrührenden Termen

q — 2ïi cos s + S5i sin s, ö — — (2li sin s — 33! cos s)

identisch sind, da 21t, 33t, GL_i, $D_i willkürliche Grössen bezeichnen. Daher kann man, ohne die Allgemeinheit zu beschränken, den Werth n — 0, statt n = —1, als untere Grenze der zweiten Summen nehmen. Die Gleichungen (10.) gehen durch Substitution der Werthe (9.) für q und o, sowie des Werthes c für r, in die folgenden über:

. a — b K

4—6,

n=oo |    [b{n — 1) cn~² %n — -- (n + 1) (n — 2) cn ©»] cos ns

> = 9t,

XT' >    a

+ 2    \    a_l

n= 1 [ + \p{n— 1 )cre_223« —    —(w-f- 1 ){n — 2) cn 3\] sin ns

n—oo ([—b{n—1 )cn~²%n + --- n{n-\- l)cre(S»]sinw5

2 ^ a

| + \p (n — 1) cn~² 33re — ü a~ n    cos ns

Man führt hierin für 9t und © die Reihen (12.) ein und setzt die Co-efficienten von cos ns und sin ns rechts und links für ein beliebiges n einander gleich. Auf diese Weise entsteht für n > 0 das Gleichungssystem

= 2 a»,

b (n — 1 ) cn 2 2I„ —-¹-~ (n + 1) (n — 2) c" <S„

— b(n— 1) cn~² 2t» + ^    ^ n (n -f- 1) cn (5» = iyn

(13.)

- %ßn -,

b {n— 1) cn~² 23» — a - (n-\- 1 ) (n — 2) cn

b{n—l)c"_233„ — a—^-n(n + l)cB®» = iän,

in welchem die beiden letzten Gleichungen aus den beiden ersten entstehen, wenn man 2l„, an, yn, bezüglich durch 23„, $D„, ßn, —6„ ersetzt. Mit Ausnahme des Falles n = 1 ergeben sich aus (13.) die Werthe

Für n = 1 bleiben 2Ï₁ und 23i willkürlich, da ihre Factoren in (13.) verschwinden. Die Coefficienten    haben nach (13.) die Werthe

aß i

a cq

4 (a — b) c

(14.)

nan + (n — 2 )y„ Ąb(n — 1 ) cn~’ ’ m _ n$n — (w —2 )ón Ab(n — i)cn~² ’

(st.

6« =

a (an -f- yn)

4 (a — b) {n + 1) cn

Ct(ßn 4»)

4 (a — b) (n    1 )cn

4 (a — b) c ’

während gleichzeitig für ax, yi} ßl} die Bedingungen

at — 7i — 9, ßi + di — 0

erhalten werden. Man erkennt, dass bei Berücksichtigung der letzteren Gleichungen die für n > 1 geltenden Formeln (14.) auch die Werthe von G,, ©! richtig angeben. Ein zu n — 0 gehöriges, also von s unabhängiges Glied kommt nur in der ersten Oberflächengleichung vor; es folgt hieraus einerseits für (E₀ die Bestimmung

©o =

aa₀

8(a—b)

andererseits die Gleichung

d₀ — 9.

Für die Entwicklungscoefficienten von 9Î und © haben sich demnach die Bedingungen

(15.) «i — 7i = 0, ßl+öl = 0, d₀ = 0 ergeben; im Folgenden wird gezeigt werden, dass dieselben stets erfüllt sind.

Zu den unbestimmt bleibenden Ceefficienten 2t1? 23i gehören nach (9.) die Summanden

q = % cos s + ^ sin s, ö = —sin s + 33x cos s,

denen gemäss (5.) die Werthe

Ui =21

= S3i

entsprechen. Dieselben geben folglich nur eine constante Verschiebung parallel der x-, respective der «/-Achse an. Ausser 2tt und 33i ist noch die Grösse ©₀ willkürlich, da sie in (9.), aber nicht in den Oberflächenbedingungen vorkommt. Von ihr hängt in (9.) das Glied

?®Pr

ab, welches eine constante kleine Drehung des betrachteten Cylinder-querschnittes um die z-Achse ausdrückt und nach (5.) die Werthe

i-»    2®o    .    2$D₀

Ui = — r sin 6- = -yü y,

5Bi =

2SD

liefert. In den obigen Rechnungen sind somit nur Terme, welche den in (11.) der Einleitung erwähnten analog sind, willkürlich geblieben.

§ 12. Berechnung der Componente Zz.

Die für äöj, ç>, 6 abgeleiteten Werthe sollen dazu angewendet werden, die Druckkraft Zz mit der Genauigkeit zu bestimmen, dass noch die Terme (Her Ordnung vollständig angegeben werden. In die Formel (41.) des § 5

Zz =

Ft+F₂

drv

dz

+ (« — 2 b) ^

j du

dv

dx~^~ dy

bat man zunächst die durch (46 ), (57.) der §§ 6, 7 und (2.), (5.) des § 9 für w, u, v substituirten Ausdrücke einzuführen, sodann die Variablen SBj, q, ö gleich den für den kreisförmigen Querschnitt ermittelten Werthen (1.), (9.), (14.) zu setzen. Es ergiebt sich hierdurch, wenn man die Gleichheit von A und B beachtet, und gemäss (69.) des § 7 zur Abkürzung

Wh-r“

dz* ~ ^ d*D,i

~d,Ź*

d^FL

dz2 i;

-Oi,

cp,,

dz* ~ ™

sowie

dit

dz

setzt, für die Componente Z₂ die Gleichung: (16.) z, — F±±Slx +

+ (a-²^(,te a F‘{x + Gïy (

⁺ 4

du

gl + g2 | K A J C

*) + a(Ä'-SP"x-D"y)

T 1 \ x* T⁻J^F

dy

c*

f, r

Hierin ist für -f die Summe dx dy

c* (\ , i\ Fix+Wy , ... 4 (v + æJ -A-+V

dö

F — welche F",    D" enthalten, von den übrigen

abtrennt. Zufolge von (9.) und (14.) ist

du

-, +

dv

dx

1 j d (rç)

dy

dr

+ -^j + opf, + a;v)

F‘{x

i_l

b E=i

) ⁺ (t + £M

G"y

⁰⁵1'Ils w| H

zu setzen, in welcher die Gesammtheit der Glieder von positiver Ordnung durch ip bezeichnet ist. Der Ausdruck (16.) von Zz nimmt eine einfachere Gestalt an, wenn man diejenigen ßestandtheile von 1 ( d (rç)

dr

1 \d(rç) dö

dr

ds

^0 _u_

² {a — bya — b

n = oo

J (an + yn) cos ns + (ßn — 6n) sin nsj.

Jeder der Coefficienten an, ßn, yn, ön besteht aber aus zwei wesentlich von einander verschiedenen Theilen. Denn in den Functionen di und <S, welche in (12.) nach dem Fourrier’schen Satz entwickelt wurden, kommen nach (11.) einerseits die gegebenen Oberflächenkräfte R und S selbst, andererseits gewisse von den Functionen Fl} Gt etc. abhängige Summanden vor. Man setzt nun für ein beliebiges n

(17.)

CCn = CCn -f~ CCn, ßn - ßn ßn,

7n = 7n + Yn, Ón =    + &ń,

indem man durch a‘n, ß‘n, y‘n) ö'n die bezüglichen Entwicklungscoeffi-cienten der Oberflächenkräfte R und S, durch a‘„', ß„, y», ö„ die der übrigen ßestandtheile von und <& bezeichnet. Die Entwicklung für R, S soll also

n = oo

R — icco + ^ [a‘n cos ns + ß‘n sin ns),

(18.)

— GO

S = iöo +    (y‘n sin ns + ö‘n cos ns)

n = 1

lauten, wo dann a‘n, ßh, yh, óń gegebene Functionen von z sind; und andererseits setzt man:

U³

Sn I

K)

sin 2s (Fi' sin s + G‘{ cos s)

— ß cos² s + 9ÏÏ sin² s + sin 2s

n = go

îcco +    Ja» cos ns + ß„ sin wsj,

C³

AA

K)

(Fi sin 3s + Gi cos 3s)

ß—a«

sin 2s — üft cos 2s

n = c»

I do + I y'ń sin ns + c%' cos ws(. n = 1

Von den Coeffîcienten a», ßn, /«, d« sind nur die zu einem Index n ^ 5 gehörigen von Null verschieden, da die zu entwickelnde Function den 5*en Grad in Bezug auf x und y hat. Um die genannten Coef-ficienten zu berechnen, hat man die in (68.) des § 7 definirten Grössen ß, 9Ï durch Einführung der Polarcoordinaten r, s zu transformiren, und findet dann nach Anwendung der Relationen (15.) des § 1, die zwischen den Elasticitätsconstanten gelten, die folgenden Gleichungen:

aX = 0,

■'+';-s(!+ï)5+

c³ (a — b) (a — 2b) Fi 24 a (3a — Ab)    A ’

(a — 2b) bc

(ü,    2b) bc çp;/

aï+y‘i =

c³

K-«-h

(²+§)t +

jQ"

wi»

ß‘i-ö‘i =

c³ (a — b) (a — 2b) G‘{

24 a (Za—Ab) A'

Alle übrigen Binome aü -j- y%, ß% — ÔX sind gleich Null. Mit Rücksicht auf das Folgende (§ 15) sei noch erwähnt, dass

«i — y‘i =

c ³ F{

4 A ’

c³ GÏ

«'+dl' = x

bc²

óX = %ï

erhalten wird. Durch Substitution der obigen Werthe ergiebt sich, wenn man zur Abkürzung durch die Summe

n = oo

(19.) cp = Wo + V

n — 1

bezeichnet, die Gleichung

Ci 'S

} («» + 7») cos wv + (ß‘n— <5n ) sin ns |

d (rç) dö

dr

ds

-*- + a — b'

b (a — 2b) a(a — b) b + E

4 \{a—b)E~ 3 (a — b)\ a — 2b

c²

+ T-

F‘‘x + G“y

In Folge dessen ist

24a (3a — 4b) A

\ F‘[x (x²— ‘Sy'²) -J- G‘[y (y² — Sx'²) (.

— 2b

• + • _ * +" dx dy a — b a — b

2a~3b , x2 + y* u»x + guv)

Sb (3a — 46) A 11+ iV)

du

dv

(^ + Ö"y) + y>

c²

4 (a — b)

Den auf die Summanden —2ter; —lter und Oter Ordnung beschränkten Ausdruck der Componente Zz bezeichne man durch (Zz). Derselbe

ergiebt sich aus (16.), wenn man in dem Werth von

du

dv

dx

dy

den

Term y fortlässt. Durch Substitution des ietzterhaltenen Ausdrucks du . dv

von

dx

erhält man aus (16.) nach einigen einfachen Trans-üy

formationen für (Zz) die Gleichung:

Fx + Fi

G\ + G-i

hx

v+c

2 H¹

+ a$/—E (w* + a;v) + -f $ b+T%~(1 + zï

Es bleibt übrig, die unbekannten W, die in (20.) enthalten sind, zu ermitteln.

(20.) (Z,) =

2 b\ x² T y¹ ) F"x + G"y

von z

abhängigen Grössen $ß", Q"

§ 13. Bestimmung der Functionen ^ß₍, Dj, schliesslicher Ausdruck der Componente Zz.

Im § 5 wurden die Werthe der Functionen    f) mittelst dreier

der Gleichungen (10.) und (11.) des § 1, die sich auf das Gleichgewicht

des starren Stabes bezogen, gefunden. Dieselben drei Gleichungen dienen auch zur Bestimmung von ^ß", B", indem sie im § 5 sowohl das Gleichungssystem (40.) als auch das Gleichungssystem (39.) lieferten, von denen bisher nur das erstere benutzt worden ist. Der in (39.) vorkommende Ausdruck

+ («—W

du dv dx dy

hat, abgesehen von dem Summandus positiver Ordnung (a — 2b)ip, den Werth

drv

dz

aJt' —    + B "y) +

2E , — <P

Ev

wie die Vergleichung der Formel (20.) mit der am Eingang des § 12 erwähnten Formel für Zz zeigt. Aus der ersten der Gleichungen (39.) des § 5 ergiebt sich daher im vorliegenden Falle

Ey

f f    — AQP" æ+B" y) Ą- -j^-dP\xdxdy

dxdy = E-y

wo die Integrationen über den Querschnitt des Stabes auszudehnen sind. Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen ausschliesslich Terme der 3ten Ordnung; der oben genannte Summandus q> von — -f- —

dx dy

kommt hier nicht in Betracht, da er zu dem Doppelintegral nur Beiträge 4ter oder höherer Ordnung liefern würde. Nun ist nach (5.) und (6.) des § 1

J'fx dxdy = 0, J'J'xy dx dy = 0 ; also hat von den drei Unbekannten ^3", B", die (als Functionen von z allein) vor die Integralzeichen treten, nur ^3" einen von Null verschiedenen Factor. Man findet auf diese Weise zunächst:

Ey

AE?ß“ = ^ J'J x dxdy — A₃

dx dy.

₊//j(5 + ^_(i ₊ §)

Von dem Integral

n n    nC    s%Jt

J J <P x dx dy =J r²drj ⁽P cos sds o —n

bleibt nach Substitution des Werthes (19.) nur das eine, zu n — 1 gehörige Glied

«t

±jlfr^ärJn

C Ü    —7t

■TT/»3

T- « +1.0

übrig-, wie aus einem bekannten Satze folgt. Ferner ist:

J*fx¹ dxdy = A = \üz c⁴,

Z*Z*(a:² + ?/²) #² dxdy — «Jtce\

während das Integral J'J'ix¹ + y²) xydxdy wegen der Symmetrie der Querschnittfigur verschwindet. Daher erhält man:

AE3K'-f ^« + 7,0-

Aus der zweiten Gleichung (39.) des § 5 leitet man durch analoge Rechnungen den Werth von B" ab; die dritte, bei der von der Summe nur das Anfangsglied übrig bleibt, bestimmt die Function JR. Es ergeben sich auf diese Weise die Werthe

çp// __ ai    i

cos² s ds —

^ ⁺ v(² + f- Z-

Ei

(2i.)

2 ß[-ö[

Ie1- a\%

E\

- 4~ ..

c    b

a 2 _ ja K _

Kb⁺E E²) A AE’

'1 , 2_ b\G±_ (h

b ' E E²) A AE ’

Eau h2 dE\ aC’

welche in die Gleichung (20.) zu substituiren sind.

Die Functionen ^ßt, Bb $ werden aus den Ausdrücken (21.) durch unbestimmte Integration erhalten, da

t

St' =

Æz²

dz²

= or

dSt

gesetzt worden ist. Die willkürlichen Integrationsconstanten können hierbei wiederum weggelassen werden. Denn aus den Gleichungen (38.) in § 4 und (46.) in § 6 geht hervor, dass die Grössen ^ und Bi (die nach (35.) die Bestandteile —l*er Ordnung von ^3 und B angeben) in den Formeln der Verschiebungen g, rj, g nur in der Verbindung

*-*■    «=-(f *+§«')

Vorkommen. Fügt man also zu $j3, und Di Ausdrücke a₀+ bz und b₀ — az hinzu, so vermehren sich g, rj, g nur um die Summanden g = a₀ + hz, rj = b₀— dz, g = — b# + ay, die in den Werthen (11.) der Einleitung enthalten sind und daher nicht besonders erwähnt zu werden brauchen. Dasselbe gilt von der willkürlichen Constante, welche (nach (1.) in § 9) bei der Integration von St' zu der Verschiebung g hinzutritt.

Durch Einsetzen der Werthe (21.) von B", erhält man

aus (20.) die schliessliche Gleichung- für (Zz). Indem man zur Abkürzung durch die von n — 2 an genommene Summe

I («» + 7») cos ns + (ßn — ä'n) sin ns (

n — Qo

(22.)    = V

n = 2

bezeichnet und die Gleichungen

F = Fy 4- F-i -f- F₃, G — Gl G-2 + G₃, h = hy -f- h-i berücksichtigt, ergiebt sich für die Componente Zz in der gesuchten Annäherung der Ausdruck

.1

[^±Gy h 2£

(23.) (Zz) =

!    '    ' C' Ev ¹

2/A (xl + y¹ cl\ Fïx + G‘{y

welcher sämmtliche Terme der Ordnungen —    , — 1 Und 0

umfasst.

Unter den in (23.) vorkommenden Summanden unterscheidet sich der mit multiplicirte wesentlich von den übrigen. Betrachtet man irgend einen zur Stabachse senkrechten Querschnitt, so stellen (nach § 1) die Grössen F, G, h Summen von Drehungsmomenten, respective von Componenten dar, welche sich über den ganzen Stabtheil von jenem Querschnitt bis zum Ende z — l erstrecken. Dagegen hängt ausschliesslich von denjenigen Kräften ab, welche am Rande des betrachteten Querschnitts wirken. Denn die in der Summe (22.) enthaltenen Grössen a'n, ß'n, y'n, ö‘n sind nach (18.) die Coefficienten der Entwicklungen von R und S in Bezug auf die Variable s, so dass dieselben für einen bestimmten Werth von z nur von den zu diesem z gehörigen Werthen der Componenten R und S abhängen. Schneidet man also durch irgend zwei benachbarte, zur Stabachse senkrechte Ebenen eine unendlich dünne Scheibe aus, so erfährt dieselbe einmal durch die unmittelbare Einwirkung der an ihrem Rande angebrachten äusseren Kräfte gewisse Verzerrungen; diesen entspricht der Term

in (23.). Sodann dient die kleine Scheibe zur Uebertragung E\

sämmtlicher zwischen ihr und dem Stabende angebrachten Kräfte; letzterer Vorgang, der von der Gesammtbiegung, dem Gesammtauszug etc. des Stabes abhängt, liefert zu (23.) die mit F, G, h, F“, GÏ multiplicirten Glieder. Sind am Rande irgend eines zur Stabachse senkrechten Querschnittes keine äusseren Druckkräfte vorhanden, so ist <2^ für alle Punkte des Querschnittes gleich Null.

-f ~ von (23.) entsprechen genau dem in § 5 abgeleiteten angenäherten Werthe (42.) von Zz

Die Terme

Fx + Gy

x -j-

h\

Ą + F₂

G\ + G₂ y + c-

Nur treten in (23.) die vollständigen resultirenden Drehungsmomente F, G und die vollständige Coinponentensumme h an Stelle der Grössen F{ -j- F₂,    £, -f- G₂, hi} welche die beträchlichsten Bestand

teile von F, G, h angeben. — Der letzte Summandus der rechten Seite von (23.)

2&\ f x~ + y¹ c¹ \ F\x + G‘{y

welcher, ebenso wie nur der Ordnung 0 angehört, ist aus verschiedenartigen Einflüssen entstanden; die Gleichungen (16.), (20.), (21.) zeigen, dass mehrere der im Vorhergehenden auftreteuden Functionen zu demselben beigetragen haben. Man bemerke, dass die im genannten Term vorkommende Function 3ten Grades der Coordinaten x und y

(, , 2 b\ x² + y- F?x+ G‘i y V1 + Fj-'2    4 A

du ^ dv dx dy

dem Vorzeichen ergiebt, von der in rv enthaltenen Function 3ten Grades

zum geringeren Theil von

hauptsächlich aber, wie sich aus

x¹ Ą-y¹ \ dl<\

ÄÄF

herrührt. Durch diesen Bestandteil von w geht, nach § 9, wenn von den übrigen Verschiebungen abgesehen wird, ein beliebiger Querschnitt z — z₀ der Anfangslage in eine Fläche 3ten Grades über, deren Para-

dGi

-x H--v

dz    dz

meter die Grössen —— und —— sind. Man sieht leicht, dass durch die dz    dz

d F    dC

Veränderlichkeit der Parameter —-, —- bei dem Uebergang von

dz dz

einem Querschnitt zum benachbarten sich gewisse Dilatationen oder Compressionen in der Richtung der z-Achse ergeben, welche einen Beitrag zu der Kraft Zz liefern. Nur da, wo die zweiten Differential-d²Gj_ dz²

für benachbarte Querschnitte congruent sind, fällt der in Rede stehende Term des Ausdrucks (23.) fort.

Es wurde oben gezeigt, dass wenn am Rande irgend eines zur z-Achse senkrechten Querschnitts keine äusseren Kräfte angebracht sind, die Function <Pi für die Punkte des Querschnitts verschwin-

d²Fj_ dz²

treffenden Werth von z gleich Null. Nach § 1 sind die Diiferential-

quotienten

d-F{

dz¹

und

gleich Null, also jene Flächen 3ten Grades

det. In diesem Fall sind auch die Grössen

und

d?Gi

dz¹

für den be-

quotienten

dF\ dGx dz ’ dz

mit den in (8.) defïnirten Integralen /i, gx iden-

tisch und stellen daher die Summen der zur x-, respective y-Achse parallelen Componenten aller Kräfte dar, die an der Mantelfläche zwischen dem Querschnitt § = z und dem Stabende $ = / wirken. Man nehme nun an, dass zwischen zwei Querschnitten $ = zt und § = z2 keine äusseren Druckkräfte vorhanden sind; dann erfahren die Functionen /i und gt auf diesem Abschnitt des Stabes beim Wachsen von z keine Incremente, d. h. es bestehen für zl < z < z₂ die Gleichungen

d²I\

dfi

dz

dz²

= 0,

dgi

d²Gt

= 0.

— Gl —    ₂

dz    '    dz²

Hieraus folgt, dass für die Punkte eines zur Stabachse senkrechten Querschnitts, an dessen Rande keine äusseren Druckkräfte wirken, der in (23.) angegebene Werth der Componente Zz sich auf den nach x und y linearen Ausdruck

Fx + Gy

+ Ł c

reducirt, welcher dem in erster Annäherung geltenden Werth von Zz (§ 5) analog gebildet ist.

§ 14. Die resultirende Druckkraft für das zur z-Achse senkrechte Flächenelement.

Die Kraft Zz nimmt unter den 6 inneren Druckkräften die grössten Werthe an, da sie allein die Ordnung — 2 erreicht. In dem Ausdruck für die resultirende Kraft, welche auf ein zur z-Achse senkrechtes Flächenelement wirkt,

1/Xl + Yl+Z],

dürfen indessen bei der hier durchgeführten Annäherung die Summanden X\ und F'l nicht neben Z\ vernachlässigt werden (im Gegensatz zu den Rechnungen des § 5). Denn die Anfangsglieder von X\ und Y~z haben die Ordnung — 2; und da die Gleichung (23.) für Z\ einen Ausdruck ergiebt, in welchem die Terme der Ordnungen — 4, — 3, — 2 (nicht mehr die der Ordnung — 1) genau sind, so hat man in dem obigen Radicandus jetzt die Bestandtheile — lter Ordnung von Xz und Yz zu berücksichtigen, um die Glieder der 3 beträchtlichsten Ordnungen vollständig zu erhalten.

Nach der Gleichung (52.) des § 6 werden die Glieder — Iter Ordnung von Xz) Yz durch

fë-4 *(■

rf2B

rfy

dargestellt. Die Bestandtheile Oter Ordnung von Xz, Fz, rfSB, ' dx ²

b (dj& .

dy

ergeben sieb, wenn man die Function 2ö₂ aus der Differentialgleichung (48.) und der Oberflächenbedingung (54.) des § 6 berechnet. Diese Bestimmung von äö₂ hat bei dem vorliegenden Problem des kreisförmigen Querschnitts keine Schwierigkeiten, da die partikulären Integrale sich wiederum aus Potenzen von r und den trigonometrischen Functionen von s zusammensetzen. Indessen soll hier nicht näher darauf eingegangen, sondern die Rechnung auf die Behandlung des Ausdrucks ]/ X² + Y²z + Z²z beschränkt werden, welcher den für die Anwendung hauptsächlich wichtigen Werth der Maximal-Druckkraft liefert. Ebenso werden auch die Bestandtheile Oter Ordnung von Xx, Yy, Xy, die in Folge der Ermittlung der Werthe von q, o vollständig bekannt sind, nicht in Ausführlichkeit angegeben werden.

Durch Substitution des Werthes (1.) für SBj und der Werthe (50.) in § 6 für Lv, Mv erhält man für die Bestandtheile —lter Ordnung von Xz, Yz, die durch (Xz), (Yz) bezeichnet werden mögen, die Gleichungen:

¹ ÜI±

4 A dz

(24.)

-Dt--

, <1%, b —— y, dz

xl

Es kommt hierin die bisher noch unbekannte, von z allein abhängige Function ^ vor. Der Werth derselben ergiebt sich aus der 3ten Gleichung (11.) des § 1,

J f{x Yz—y Xz) dxdy = H,

die sich auf das Moment der Drehung um die Cylinderachse bezieht. Indem man in letzterer Gleichung die Terme 2ter Ordnung links und rechts einander gleichsetzt, gelangt man zu der Relation ff) x{Y,)—y{xy j dxdy = Hi,

in welche die Werthe (24.) für (Xz) und {Yz) einzusetzen ist. In den Produkten x(Yz) und y{Xz) sind aber sämmtliche Summanden durch ungrade Potenzen von x oder y multiplicirt, mit Ausnahme der von

SEj abhängigen. Bei der Integration über den kreisförmigen Querschnitt bleiben daher letztere allein übrig, und da

J\f x² dx dy = j\f y- dx dy = A= c4 ist, so folgt aus der obigen Gleichung der Ausdruck:

(25.)    = U'

V) A ’

Wenn man, um 2) zu erhalten, die Gleichung (25.) unbestimmt inte-grirt, so kann, analog zu dem Früheren, die Integrationsconstante fortgelassen werden, weil die von derselben abhängigen Terme der Verschiebungen g und rj (Gleichungen (38.) in § 4),

ê = — ty, i] — ex,

zu den in (11.) der Einleitung erwähnten Ausdrücken gehören.

Die Formeln (23.) und (24.) lassen sich mit Hülfe der Superposition vereinfachen. Da die gegebenen Oberflächeukräfte in sämmt-lichen Gleichungen nur linear Vorkommen, so kann man die Betrachtung auf die Fälle reduciren, wo ausschliesslich je eine dieser Kräfte von Null verschieden ist. Es soll hier zunächst die Voraussetzung gemacht werden, dass X — Z — 0, aber die Vertikalkraft F von Null verschieden ist, so dass man eine Biegung des Stabes in der yz-Ebene erhält. Dann ist auch F = Ft = h — 0, und es folgen aus (23.), (24.), (25.) die Gleichungen:

Gy

G“y

(z*) - -j + Ą

1 dG± j 4 A dz |

In dem Fall, dass Y = Z — 0, und X von Null verschieden ist, lauten die Formeln genau analog, da dieselben alsdann die Biegung des Stabes in der ^-Ebene angeben. Ist endlich X = Y = 0, und Z von Null verschieden, so bleibt ausser einer Biegung von untergeordneter Art nur der (positive oder negative) Auszug des Stabes übrig.

Der geometrische Ort derjenigen Punkte, für welche die Compo-nente Zz gleich Null ist, wird bei der Stabbiegung als „neutrale Schicht“ bezeichnet. Nach den Formeln (26.) gehören särnmtliehe Punkte der Cylinderachse zur neutralen Schicht. Denn für dieselben ist x = y — r = 0, und daher nach (22.) auch = 0. Bei Betrachtung der einzelnen, zur z-Achse senkrechten Querschnitte hat man wiederum zu unterscheiden, ob an ihrem Bande äussere Kräfte vorhanden sind, oder nicht. Im letzteren Falle schneiden sich die neutrale Schicht und der betreffende Querschnitt in der Geraden y — 0,

(26.)

b\ dGv

Hyy_

(r*) =

da der Werth (26.) der Cornponente Zz sich dann auf reducirt (§ 13).

Wirken dagegen äussere Druckkräfte auf den Rand eines zur z- Achse senkrechten Querschnitts, so bilden, weil von Null verschieden ist, die in demselben liegenden Punkte der neutralen Schicht im Allgemeinen eine gekrümmte Linie.

Die Tangentialkräfte Xz und Yz enthalten nach (26.) je ein mit

und ein mit Hx multiplicirtes Glied. Der von abhängige

dz

Bestandteil der Horizontalkraft Xz zeigt in Bezug auf das Vorzeichen ein wesentlich anderes Verhalten, als der von derselben Grösse abhängige Bestandteil der Vertikalkraft Yz. Denn während ersterer zugleich mit x und mit y das Zeichen wechselt, behält letzterer, da r c und b < E ist, innerhalb je eines zur z-Achse senkrechten Querschnitts stets das gleiche Vorzeichen bei, nämlich das der Function

= gt. In (26.) werden sämmtliehe äusseren Kräfte als vertikal

dGy

dz ’

vorausgesetzt, und die Function gx stellt die Resultante dar, welche der betrachtete Querschnitt von dem einen Theil des Stabes auf den anderen

zu übertragen hat. Die obige Eigenschaft von Yz bedeutet daher, dass alle Elemente der Querschnittfläche an der Uebertragung dieser Resultante in demselben Sinne mitwirken. Die Grösse der zugehörigen Tangentialkraft ist jedoch bei den einzelnen Flächenelementen verschieden. Vergleicht man die Punkte, die zu je einem Kreise r= Const. gehören, mit einander, so nimmt der genannte Bestandtheil von Yz seinen grössten Werth für die Endpunkte des horizontalen Durchmessers an. Den Werth Null hat derselbe nur im obersten und im untersten

Punkte des Querschnitts, wox = 0,r=c ist. — Die Grösse IIV giebt das Torsionsmoment der an der Mantelfläche des Stabes angebrachten Kräfte an. Vereinigt man die von ffx abhängigen Bestandtheile der Componenten

Hxr

Xz und Yz zu einer Resultante, so ist nach (26.) letztere gleich

also gleich einer linearen Function des Radius vector r, die für r = 0 verschwindet.

Was die Frage des Maximums der resultirenden Druckkraft \/ X\ -j- Y\ + Z\ anbelangt, so ist zu beachten, dass in dem angenäherten

Gy

Werthe (26.) der Cornponente Zz der Term ' und — Her Ordnung enthält; denn die Summanden

alle Bestandtheile —2ter

:2E

— <T>

Ei

2b\ (x² + y² c²\ G‘{y E ) I 2 " 3 J 4 A

haben die Ordnung 0. Also hängen in dem Trinom

K.+ Y\+Z\

nach Substitution der Ausdrücke (26.) die Glieder — 4ter und — 3ter Ordnung- ausschliesslich von

innerhalb eines zur z-Achse senkrechten Querschnitts seinen grössten absoluten Werth für y = + c an, d. h. an dem obersten, respective dem untersten Punkt des Querschnitts. Dieser Werth y = + c ist daher auch für das Maximum von \J X\ + Y\ + Z\ zunächst massgebend; auf eine genauere Bestimmung der Maximal-Druckkraft soll hier verzichtet werden.

Setzt man den Werth y — + c, für den x — 0 ist, in die Formeln (26.) ein, so erhält man für die Tangentialkräfte die Ausdrücke:

fr> ra

Gy

ab. Der letztere Term nimmt aber

= 0.

y = + c

Wenn also Hx — 0 ist, d. h. keine Torsion Statt findet, so liefern die Tangentialkräfte Xz, Yz keinen Beitrag zu der in Rede stehenden Maxi mais pan nung, die dann mit [Zz]

y

Aus der ersten Gleichung (26.) ergiebt sich ferner, wenn man A = Ijtc⁴ berücksichtigt, für y = Az c der Werth

= ±C

identisch wird.

(27.    [Z,]

Gc 'IE

Gi

- ± ~Ä ⁺

Für y — Az c wird der Leitstrahl r gleich c, uud der Winkel s gleich

Jt

+ -zr. Setzt man diese Argumente in den Ausdruck (22.) von ein so findet man für y — A~ c

y—±c

Ei

§jic'

m— Qo

und für y — — c

m = oo

•*>.= s (-¹)” «+rk-ftL₊i+^+i).

m =1

welche Wertlie in die Gleichung (27.) zu substituiren sind. Der Ausdruck (27.) ist eine Function von z. Indem man das Maximum derselben aufsucht, erhält man den am Stabe überhaupt vorkommenden Maximalwerth von Zz.

§ 15. Die Bedingungen in Betreff der Coefflcienten

ai» ßu 7i> *o.

Bei Bestimmung der Grössen 2l„, 33«, (Sn, 3)„ im § 11 ergaben sieb gleichzeitig für die Coefficienten au ßu d₀, d,, die in den Entwicklungen (12.) der Functionen 9Î und © enthalten sind, die Bedingungen (15.)

d'o = 0.

«i— 7i = ⁰

ßi +    = b,

Es soll nun der Nachweis geführt werden, dass in Folge der Definition jener Coefficienten den Gleichungen (15.) stets genügt ist. Nach § 12 ist

c:i

«i—7i = «i — 7i + < — 7i = «i — 7i + j ßi + dt = ß\ -f- d' ~h ß“ -f- dj = ß\ dj +

1 pTt    1    pTC

—J S sin s ds, 6\ — — J S cos s ds,

⁷¹ —n    ⁷¹    —%

<»; = -/ sas.

JL —7t

Nach Berücksichtigung von (6.), (7.), (25.) in §§ 9 und 14 erhält man hieraus die Gleichungen

1

jcc dz2 1 (P-Gv ütc dz²

1 rn

«1 — 71 = — J X ds +

⁷¹ —7t 1 pTt

A + rfi =-/    +

⁷¹ —n

d₀=—y¹ jFcoss— ^sin^ld^H—

zic¹ dz

Nach § 1 besteht aber, wenn für das Bogenelement d% der beim Kreis-cylinder anzuwendende Werth eds gesetzt wird, die Beziehung

dl<\

dz

dG\

dz

= Sh

c/ą fnx(i)ds,

Z    —7t

= cfl dl Jn Y (}) ds, z    —n

woraus

folgt. Also ist in der That immer

av 7i — 6, ßy + d] — 0.

Für die Grösse Hu welche in (13.), § 1, als das Integral

x — c cos s, y = c sin s

definirt wurde, ergiebt sich, da f/ä = cds

ist, der Ausdruck

IIi — cl-j‘ dij j Y($) cos s — X(%) sin ^ { ds.

Z —71

Der Differentialquotient dieses Integrals

dllx

rn

= —c\J JFcos,?— A"sin,?( ćte

y,z,    —7i

verificirt die dritte Gleichung (15.).

§ 16. Beispiel des auf hoher Kante gleiehmässig belasteten Stabes.

Die in diesem Abschnitt abgeleiteten Formeln sollen auf ein einfaches Beispiel angewendet werden. Man nehme den Fall, dass der cylindrische Stab in seiner ganzen Länge (von —l bis z — +1) durch eine vertikale constante Kraft, die auf seine hohe Kante wirkt, in Anspruch genommen sei. Die Unterstützung erfolge in der Umgebung des zu z — 0 gehörigen Punktes der unteren Kante; die Stabenden seien frei. Man setzt X = Z — 0. Die Component'e Y wird auf

den die Kante s — einschliessenden Th eilen der Mantelfläche als 2

von Null verschieden angenommen; es sei

—k für ^ — r < 5 < y + r,

wo k eine positive Constante bezeichnet. Im Uebrigen sei Y gleich Null, mit Ausnahme des unterstützten Theils der Staboberfläche. Die Unterstützung möge auf der Strecke von z == — ly bis z — + ly und

zwischen s =

Jt    Jt

— — t und s = — — + x geschehen ; also man setzt

- ly < Z <ly,

Y = k\ für

<PFy

dz¹

pTt

c J X ds,

—Jt

d²G{

dz¹

pTt

c J Y ds

'—Tl

Jt    Jt ,

J-TKSK-J + T,

wo ky constant ist. Die Grösse ly denke man sich klein im Vergleich zu /, sowie r klein im Vergleich zu jt. Der Werth der Kraft kv er-giebt sich aus der Bedingung, dass dieselbe der Belastung der oberen Kante und der Schwere des Stabes das Gleichgewicht hält. Da k und kx auf Flächen von dem respectiven Inhalt 4crl und 4crl{ wirken, und die Masse des Stabes gleich liccHD ist, so besteht die Gleichung Act liki = Acxlk -j- IjicHDT

oder:

\    ,    / ( ₇ , JtcDT)

(2S.) kl = -\K + —\.

In den Ausdrücken f, F, h, H werden sämmtliche Summanden gleich Null; es findet daher nur eine Biegung in der yz-Ebene Statt.

Es sollen zunächst diejenigen zur z-Achse senkrechten Querschnitte behandelt werden, welche die unterstützte Stelle der Oberfläche nicht schneiden, d. h. es wird — l < z < —4 oder lv < z < / vorausgesetzt. Dann reduciren sich die Coefficienten a‘n, ß'n, y‘n, ä'n der Fourier’schen Reihen (18.), für welche die Werthe

1 rn

— J A sin ns ds, ³¹ —n

1    />7t

ań = — R cos ns ds, ß‘n

* -7t

1 rn    c 1 rn

y‘n — — J S sm nsds, o‘n = — J S cos nsds

³¹ —n    ³¹ —n

bekannt sind, nach Berücksichtigung der Gleichungen (7.)

R = Y sin s, S — Y cos s,

auf die Integrale:

ccn -

n+T

‘2

cos ns sin s ds, ßh = —

MIS*

r

k r²

— / sin ns sin s ds, ³¹

7n= —

! + *

sin ns cos sds,

cos ns cos s ds.

Man setze hierin s =

cos ns — cos

4- s', wodurch die Beziehungen cos s — — sin s', sin s = cos s', sinns = sin

erhalten werden, und die Integralgrenzen in —r und +t übergehen. Ist n gerade, = 2m, so hat man:

cos 2ms = cos (nui -f- 2ms') — (— l)m cos 2ms', sin 2ms = sin (mji + 2ms') = (— l)m sin 2ms'.

ßim = Ózm = 0.

Die Produkte cos 2ms' sin s' und sin 2ms' coss' sind ungerade Functionen von s', so dass ihre zwischen —x und + r genommenen Integrale verschwinden, mithin

sin(2m+l)T , sin(2m—l)r 2m + 1

sin(2m-j-l)T sin (2m—1)t

Dagegen findet man

2m — 1

(%‘lm -

2m + 1

2m — 1

Ist n ungerade, = 2m+ 1, so führen die Gleichungen

cos (2m + 1) s = (— l)m+x sin (2m -f- 1) s', sin (2m 4- 1) s = (— l)m cos (2m -f- 1) s'

zu den Werth en:

k. (_ i> + i (sip Q + ²)r jt '    '    ( 2m + 2

sin 2m r

2m

( sin (2m -f 2) x    sin 2mx

2m

Indem man in den Ausdruck (22.) von diese Werthe der Coefficienten substituirt und die Gleichungen cos 2ms = (— l)m cos 2ms', sin (2m + 1) s = (— l)m cos (2m -+- 1) s' anwendet, gewinnt man für die Gleichung

(29.)

n sin(?z + 1) x

n-f- 1

cos ns',

Jt

woselbst s' = s — gesetzt ist- In (29.) lst — l < z < —1{ oder li < z < / vorausgesetzt.

Bei den Querschnitten, welche durch die Unterstützungsstelle hindurchgehen, also für —<z</1? haben die Coefficienten a‘n, ß‘n, y‘n, à'n andere Werthe, da zu den obigen Ausdrücken noch die Integrale

-Z + r

ki r V

7t

-!+t

sin ns sin s ds,

cos ns sin s ds

sin ns cos s ds,

cos ns cos s ds

hinzutreten. Transformirt man die letzteren Integrale durch die Substitution s = — s", so unterscheiden sich dieselben von den früher erhaltenen Werthen a'n, ß'n, /«, ö‘n nur dadurch, dass ky an Stelle von k steht, und das Vorzeichen bei ßh und ö'n das entgegengesetzte ist. In Folge dessen lautet der Ausdruck von <Py für — 4 < z < 4 :

(30.)    <Z4 = —

n — oo    . .

- ^ ]*+(-')■*, (₇)

n = 2

n sin (n + 1) t

cos ns'.

Die Grösse s' bedeutet, wie in (29.), die Differenz s — y.

Für die Functionen Gu £₂, G₃ erhält man nach (12.), (13.), (14.) des § 1 bei dem vorliegenden Beispiel, wenn 4 < z ist, die Werthe

,    ”+x

/»2

G{ = ck

k j (5— 2) (Ą j ds = ckx (l—z)²,

Z    7t

G.₂ = hCDr (/ — 2)², G₃ = 0,

folglich, da C — Jtc¹ ist,

(31.)

C" =

dz²

Man bemerke, dass wegen der Symmetrie des Vorganges die Betrachtung auf die Seite der positiven z beschränkt werden kann. An dem unterstützten Theil des Stabes ist für G statt des Ausdrucks (31.) der folgende

jrc^T) ^    2)2 ck\Z (4 — 2)2

G = ckx +

anzuwenden, der nach Substitution des Werthes (28.) von ky in

{h-zf

ckx +

tic¹ DT]

oder

ckx +

übergeht. Der Bestandteil beträchtlichster Ordnung ist hierin

ckx{l— 4) (l —

Gy =

Auf diese Weise ergeben sich für 0<2<4 die Gleichungen:

Aus (31.) und (32.) folgt, dass die Fuuction G ihren grössten Werth für z — 0 annimmt ; denn sowohl in dem Intervall 4 < z < / als in dem Intervall 0 < z < 4 ist G eine Function, die mit abnehmendem z wächst.

Der Ausdruck der Componente Zz wird erhalten, wenn man in die Gleichung (23.) die Werthe (29.) und (31.), falls 4 < z < l ist, und die Werthe (30.) und (32.), falls 0 < z < 4 ist, sowie

F — F“ = h = Q

substituirt. Für ein negatives z hat Zz denselben Werth als für das entsprechende positive z.

Es soll auf die Werthe (27.), welche Zz für y — + c annimmt, hier etwas näher eingegangen werden. Zu y — + c gehören die Argu-

Jt

mente r = t, s — —, also s‘ = 0, so dass nach (29.) die Function <Z>t für y = c, 4 < z < l gleich dem Ausdruck

2kn    sin (n-\- 1) t

X Jmd

n — 2

+ . . in inf. =

wird. Bekanntlich besteht aber für 0 < x < jt die Gleichung: sin x . sin 2r ₍ sin 3r 2    '    3

folglich ist

n — Qo

^ sin(«+l)r_x —

n 1    L

sin 2x

2 .

n = 2

Die Grösse r setzt man als hinreichend klein voraus, um sinr und sin 2t mitr und 2r identificiren zu können; dann ist die rechte Seite

- 2^, Uü(^ man fin(iet:

der letzten Gleichung =

5t

<PV = — /W 1——

Jt

Ist y = —c, so hat man r= c, s = ——, daher s' = —x, cos ns'= (-1 )"

zu nehmen, wodurch die Gleichung (29.) in 9*. n = ⁰⁰

*.=-²4    (-»

n — 2

übergeht. Aus der für — x < x < x geltenden Entwicklung

sin 2r ₍ sin 3t ~~2    ¹    3

„ sin (w + 1) t

T

- = sin t

u

—. . in inf.

folgt die Gleichuug

n = oo

2 (-o

msin (n+ 1)t _

n -f- 1

t .    , sin 2r

2 Sln T "I 2 ’

n — 2

deren rechte Seite sich wegen der vorausgesetzten Kleinheit von x auf

T

2 reducirt. Daher ist jetzt:

Werth

Indem man sodann für G und G" die Werthe (31.) und für A den

jlC*

-Ę— einsetzt, erhält man aus (27.) die Gleichungen

2 Ek

(33.)

[Ą]    = Q

y — c

Ex

5r

l——

3t

die für lx < z < l gelten, und in denen zur Abkürzung durch Q der Ausdruck

(34.) Q = (4 kx + 2jicDF)

I'---)'

31C¹

bezeichnet ist. Die Grösse Q ist positiv, da die Summanden — 2ter und — lter Ordnung

4ät

jic9j    ’

2 3t c Dr

0—z)²

3ZC²

(    21?\

das positive Vorzeichen haben; der Term (l-f —j ^ und die Terme

2 Ekx Ex3t

sind von der Ordnung 0. In Folge dessen ist [Zz] positiv, und

y = e

[Zz] negativ, d. h. es findet an der oberen Seite des Stabes ein

y — c

Auszug der Längsfasern, an der unteren eine Compression statt. Die Frage, ob der absolute Werth, den die Componente Zz erreicht, auf der oberen oder auf der unteren Seite grösser ist, wird für das Intervall lx < z < / durch die Gleichungen (33.) dahin entschieden, dass der grössere Werth von Zz zu y — —c, also zu der Seite der Compression, gehört. Denn in der ersten Gleichung (33.) hat der zu Q hinzutretende Summandus das entgegengesetzte, in der zweiten das gleiche Vorzeichen.

Wie im § 13 ausgeführt wurde, stellt in der Formel der Com-2 E

<PX die direkte Einwirkung derjenigen Kräfte

2 Ek

Ex

1--

31

ponente Zz der Term ^

dar, die am Rande des betreffenden, zur z-Achse senkrechten Querschnitts angebracht sind. Bei dem vorliegenden Beispiel ist für

4 < z < l nur eine Belastung- längs der oberen Kante vorhanden. Der Beitrag, welchen die direkte Einwirkung dieser Belastung zu Zz liefert,

die re-

2 E

ist sowohl für y = c als für y — —c negativ, da für -spectiven Ausdrücke

2 Ek

5r'

lEkx

gefunden worden sind. Der absolute Werth von — ist jedoch für y — c erheblich grösser als für y = —c; denn nach der Voraussetzung ist der Quotient — klein neben der Einheit. Dies zeigt, dass die Rand-

ji

kräfte auf diejenige Seite des Stabes, an der sie angebracht sind, eine weit beträchtlichere Einwirkung ausüben, als auf die gegen-

2 e

überliegende. Aus dem Umstand, dass der obige Ausdruck von —

für y = c den absoluten Werth von Zz verkleinert, geht hervor, dass die Randkräfte in dem Intervall 4 < z < l, wo sie ausschliesslich die dilatirte Seite des Stabes angreifen, den Einfluss haben, die Angriffsstelle gewissermassen zu schützen, indem sie den ausdehnenden Kräften daselbst entgegenwirken. Auf der gegenüberliegenden Seite (für y — — c) rührt, wie erwähnt, von den bei y — -f- c angebrachten Kräften eine geringe Vermehrung der Compression her. Die Constante k wird hier als positiv vorausgesetzt, so dass die Oberflächenkräfte nach dem Innern des Stabes zu gerichtet sind. Nimmt man k

IE

negativ, so wechseln sowohl Q als die Terme — ihr Vorzeichen.

Ey

Folglich ist wiederum in dem Intervall 4 < z < / der absolute Werth von Zz für y = —c grösser als für y — +c. Indessen liegt der Punkt y ——c dann auf der Seite der Dilatation, da die Krümmung des Stabes die entgegengesetzte geworden ist. Es dienen also auch in diesem Fall die (von innen nach aussen gerichteten) Randkräfte ihren Angriffspunkten zum Schutz; jedoch geschieht es dadurch, dass sie der Compression entgegenwirken.

An der unterstützten Stelle des Stabes, für — 4 < z < 4 > hat die Function &■,, wenn y — c, also r — c, s' — 0 gesetzt wird, nach (30.) den Werth

_ sin (n + 1) r

^ _ 1k nsin(w+l)T 1k\

31 Jmd

welcher in Folge der oben abgeleiteten angenäherten Gleichungen

in

A: (jt — 5t) -f- A^r

übergeht. Für das Argument y = — c, wo r = c, s' = — je ist, ergiebt sich aus (30.)

n sin (n + 1) T

O Ir¹¹ — ^

£>

1°° sin (n -f- 1) r

je — 5r

V(- n

n sin (n + 1) r

n+1    2

f 2

n== 2

oder

Aj (^r — 5r) + A:t

JT

Nach Substitution dieser Werthe von <PX, sowie der Werthe (32.) von G und G" erhält man aus (27.) die im Intervall — lx < z < lx bestehenden Gleichungen

(35.)

rz 1    = q _ M k(Jt ~ 5r) + A'iT

L żJy = c    ¹ Ą

[*J

» =

2i? Art (jt — 5r) -f- kr

in denen Qx die Function l —

(36.) Qx = bedeutet.

jtc²

lft + Ą

- (4*r + 2mAT) (f —0 + (l + §)

Jt

kr

3 je

Da sowohl Qx als die Ausdrücke

2E k(jc — 5t) + kxr IE kx(jt — 5r) + kr

Ex

jt

jt

positiv sind, so ist der absolute Werth von [Zz]    auch hier grösser

als der von [Zz] . Für den unterstützten Theil des Stabes gilt folglich derselbe Satz, der oben für z > lx, respective z < — ll} erhalten wurde, dass nämlich innerhalb je eines zur z-Achse senkrechten Querschnitts das Maximum des absoluten Werthes von Zz an der unteren Stabkante, also auf der Seite der Compression liegt. Während indessen der unmittelbare Einfluss, den die an der oberen Kante angebrachten Kräfte auf ihre Angriffspunkte ausübten, darin bestand, die Componente Zz zu verkleinern, bewirken die von der Unterstützung herrührenden Randkräfte bei ihren Angriffspunkten eine Vergrösserung des absoluten Werthes von Zz. Denn in der zweiten Gleichung (35.) ist der von kx abhängige Term des Ausdrucks

so dass derselbe gleiches

— negativ, nämlich = —

Ai    Ai

2E kx (jc— 5r)

JC

Vorzeichen mit dem ersten Summandus — Qv hat. In der That macht man sich leicht klar, dass weil die Kraft kl} ebenso wie k, von aussen nach innen gerichtet ist, sie in der Umgebung ihres Angriffspunktes eine Compression hervorrufen muss, durch welche die von der Biegung herrührende Compression verstärkt wird.

Die Function G erreicht, wie im Vorhergehenden gezeigt wurde, ihr Maximum für z — 0. Der überhaupt vorkommende grösste absolute Werth von Zz gehört folglich (mit dem Grade von Genauigkeit, der diesen Rechnungen zu Grunde gelegt ist) zu dem Argument y = — c, z = 0. Der Punkt x — 0, y — — c, z = 0 ist somit derjenige, an welchem im Fall einer zunehmenden Belastung (d. h. Vergrösserung von k) zuerst die Ueberschreitung der Elasticitätsgrenze Statt findet (die Identität der Elasticitätsgrenze für Druck und für Zug vorausgesetzt). Die Componenten Xz und Yz kommen nach § 14 für die Frage der Maximal-Druckkraft nicht in Betracht, da hier Hv = 0 ist; die Symmetrie der Belastung schliesst das Vorkommen der Torsion aus. Man kann den Ausdrücken (28.) und (36.) von kv und Qv eine etwas andere Form geben, indem man den absoluten Werth der Ge-sammtkraft, welche an der oberen Seite des Stabes angebracht ist, durch K, und das Gesammtgewicht des Stabes durch P bezeichnet. Es sei also

wodui ch

(37.) 4 cxlk=K, 2jcc²Wr=P,

(38.)

k = -—-, k{ = 4crr

K+P

4ct4

Qi

K+P l — h

ft N

I IO

\1jcc

erhalten wird. Dann eigiebt sich aus (35.) für das Argument y — — c, z = 0, welchem das Maximum des absoluten Werthes von Zz entspricht, der Ausdruck:

JC c

c²

— C , 2=0

T/[

(39.) [Zz]y=

K+P il — h

Jtc

E je — 5r

2Ą

Von demselben hängt im vorliegenden Beispiel die Tragfähigkeit des Stabes (oder Balkens) ab.

Unter den Summanden, welche die rechte Seite von (39.) bilden, enthält der erste

K+P l — ly

alle Bestandtheile der —2ten und —lten Ordnung (man bemerke, dass c in K + P als Factor vorkommt). Die übrigen Terme von (39.)? welche (in Bezug auf c) sämmtlich die Ordnung 0 haben, sind nach der Art, wie sie die Grössen x und ly enthalten, zu classificiren. Gemäss der Yoraussetzung ist r klein gegen jt ; ferner stellt ly eine kleine Grösse dar, weil ly klein im Vergleich zu l sein soll, und l nach § 2 zur Ordnung der Längeneinheit gehört. Daher ist in dem Ausdruck (39.) besonders noch das Glied

E K+P 2 Ey    Jic xly

als beträchtlich hervorzuheben, welches sowohl hat. Von den übrigen Summanden (39.) sind 5E K+P

IE y JlCl\

1

der Grösse — proportional, während in

*i

(40.)

12

—i 1 CD

— als — zum Factor

X    ly

JtCly

■+Ï)]

‘Ijtcl

jt    1

weder — nach — als Factor vorkommt.

H

Die obigen Werthe zeigen, dass bei dem behandelten Beispiele die Terme (her Ordnung von Zz in dem Falle, wo die Angriffsfläche der äusseren Kräfte sehr klein wird, einen erheblichen Einfluss neben den Termen — 2ter und — Der Ordnung gewinnen. Geschieht namentlich die Unterstützung des Stabes auf einer sehr kleinen Fläche,

Jl    \

so kann, weil der Quotient ^ neben — vorkommt, der Ausdruck (40.)

ebenso erheblich, als diejenigen Bestandtheile von Zz, die in Bezug auf c von der — 2ten oder — Den Ordnung sind, werden. Der Werth (40.) rührt von der unmittelbaren Einwirkung der Randkräfte her, da er ein Theil von <fry ist. Es ist klar, dass diese Einwirkung um so beträchtlicher sein muss, je mehr sich die Gesammtkraft auf eine kleine Angriffsfläche concentrirt.

In (34.) wird Q gleich der Differenz, in (36.) dagegen Qx gleich der Summe zweier verschiedener Glieder gefunden. Dieser Unterschied rührt davon her, dass der zweite Summandus von Q und Qy mit dem in (27.) vorkommenden Term

G"

identisch ist, und die Grösse G‘[ nach (31.) und (32.) für ly < z < / ein anderes Vorzeichen hat, als für 0 < z < ly. Den Hauptbeitrag zu

/    2 b\ G“

dem obigen Ausdruck —fl + —J —-• liefert (was man leicht durch

die Vergleichung der Vorzeichen beweist, cfr. § 13 und die Gleichung (26.) in § 14) der in § 9 angeführte Term von £

x² -f- y²    dGx

4 AE V 1z¹

der die einzelnen, zur z-Achse senkrechten Querschnitte in Flächen 3ten Grades verwandelt. Man kann sich in Folge dessen auch auf geometrischem Wege von der Nothwendigkeit Rechenschaft geben, dass der zweite Summandus von Q ein anderes Vorzeichen hat, als der zweite Summandus von Qx. In dem Intervall lx < z < /, wo nach (31.)

Hr — tckr(i-z)

zu setzen ist, hat innerhalb eines beliebigen Querschnitts z = z₀ die in Rede stehende, der z-Achse parallele Verschiebung den Werth

ckr

(41.) £

2 AE

Q — *o) O² + */²) V-

Für die Theilchen, die sich in der Anfangslage oberhalb der Horizontal-ebene y = 0 befinden, ist die Ausweichung eine positive, für die Theilchen unterhalb eine negative (nach der Stabmitte gerichtete). Am Stabende, für z₀ — l, verschwindet die rechte Seite von (41.). Lässt man z₀ von l bis lx abnehmen, so steigt der absolute Werth des Ausdrucks (41.) continuirlich, da der Factor l — z₀ sich vergrössert. Hieraus ergiebt sich, dass wenn die Ausweichung (41.) allein vorhanden wäre, sie oberhalb der Ebene y= 0 eine Compression, unterhalb derselben eine Dilatation der zwischen je zwei Querschnitten enthaltenen Schichten zur Folge haben würde. In dem Intervall 0 < z < lx hat man, da nach (32.)

dz

^--2 «tr

ist, statt (41.) den Ausdruck

z₀ (x² + y-) y

anzuwenden. Der absolute Werth des letzteren verringert sich schnell, wenn man z₀ von lx bis 0 abnehmen lässt, und ist für z₀ = 0 wieder der Null gleich. Daher bewirkt die Verschiebung (42.), wenn man sich dieselbe allein vorhanden denkt, umgekehrt für y > 0 eine Dilatation, für y < ü eine Compression der Schichten. Da nun das Ge-sammtresultat der Biegung für die obere Seite des Stabes eine Dilatation und für die untere eine Compression ergiebt, so erkennt man, dass in dem Intervall lx < z < / die Verschiebung (41.) den Hauptkräften der

Biegung entgegenwirkt, und folglich den Einfluss hat, den absoluten Werth der Kraft Zz zu verkleinern, während für 0 <z</u wo der Stab unterstützt ist, der absolute Werth von Zz durch den Beitrag des Terms (42.) vergrössert wird. Dem entspricht in der That das Vorzeichen der zweiten Summanden von Q und Qx in (34.) nnd (36.).

§ 17. Vergleichung der erhaltenen Formeln mit den Resultaten einer anderen Methode.

Ein Theil der vorstehenden Rechnungen soll mit Formeln, die auf einem wesentlich verschiedenen Wege abgeleitet worden sind, verglichen werden. Die sich ergebende Uebereinstimmung dient zur Bestätigung der hier gewonnenen Resultate. Im Vorhergehenden ist die Methode angewendet worden, die Bedingung, dass die Länge des Stabes gross gegen die Dimensionen seines Querschnitts sei, von Anfang an in die Rechnung einzuführen und dem entsprechend die einzelnen Summanden der Unbekannten g, rj, £ nach Grössenordnungen einzutheilen. Wie im ersten Abschnitt entwickelt wurde, bietet diese Methode den Vortheil, die gesuchten Gesetze für die Formveränderungen des Stabes in direkter Weise zu liefern. Indessen steht dieselbe in anderer Beziehung demjenigen Verfahren nach, welches die Angaben, dass gewisse Grössen klein sein sollen, erst nach Ausführung der Integration der Diffential-gleichungen berücksichtigt. Im § 3 ging man, um zu einer Lösung der Gleichungen für g, rj, g zu gelangen, von der Annahme aus, dass die Componente Zz einer beträchtlicheren Grössenordnung angehöre, als die übrigen 5 Componenten der inneren Druckkräfte. Diese Eigenschaft von Zz wurde im § 2 nicht streng bewiesen. Denn aus der Ordnung der in (10.) und (11.) vorkommenden bestimmten Integrale ist nicht mit Sicherheit auf die Ordnung der daselbst zu integrirenden Functionen zu schliessen. Mit Genauigkeit ergiebt sich nur, von welcher Ordnung die inneren Druckkräfte zum Mindesten sein müssen {Zz von der — 2ten; xz und Yz von der — Den); aber es bleibt die Möglichkeit offen, dass dieselben eine noch beträchtlichere Ordnung haben. Man konnte also im Voraus nicht wissen, ob man in der That auf jenem Wege zu einer befriedigenden Lösung der Differentialgleichungen gelangen würde. Erst dadurch, dass sich eine solche ergab, und dass nur eine einzige Lösung möglich ist, wurde die Festsetzung, dass Zz allein von der — 2ten₅ die übrigen Componenten von einer höheren Ordnung sein sollen, als richtig erwiesen.

Gelingt es dagegen, zuerst die Differentialgleichungen für beliebige Dimensionen des Cylinders vollständig zu integriren, so werden vorläufige, auf die Unbekannten bezügliche Annahmen, wie die oben erwähnte, ganz vermieden, und es kann in keinem Stadium der Rechnung ein Zweifel in Bezug auf die Grössenordnungen der einzelnen Werthe bestehen. Desshalb dürfte die Vergleichung der vorstehenden Entwicklungen mit den Formeln eines nach letzterer Methode behandelten Problems nicht überflüssig erscheinen. Dass die Rechnungen erheblich weitläufiger sein müssen, wenn die Bestimmung, dass die eine Dimension vorwalten soll, erst zum Schluss eingeführt wird, ist im § 1 erörtert worden. Der Verfasser hat in einer im 81ten Bande des Crelle-Borchardt’schen Journals erschienenen Abhandlung, betitelt „Beitrag zur Theorie der Biegung des Kreiscylinders“, einen auf das Gleichgewicht des Cylinders bezüglichen Fall in der Art .durchgeführt, dass die Annahme der Kleinheit des Querschnitts erst nach Herstellung der vollständigen Integrale gemacht wird. Die Näherungsrechnung, welche schliesslich auf letztere Integrale angewendet wird, erstreckt sich in Bezug auf die Kräfte nur bis zur Ordnung — 1. Die auf diese Weise gefundenen Werthe der Kräfte und der Verschiebungen erweisen sich, wie gezeigt werden soll, als identisch mit den hier abgeleiteten Ausdrücken gleicher Ordnung.

Um das Verhältniss der genannten Rechnungen zu einander klar zu stellen, möge an den Schluss des § 7 im Abschnitt I. erinnert werden, wo die Fälle des aufliegenden und des eingeklemmten Stabes erwähnt sind. Es wurde ausgeführt, dass an den betreffenden Stabenden eine gewisse Kraft, respective ein Kräftepaar hinzuzufügen sei, dass aber diese hinzutretenden Grössen nur in soweit in Betracht kommen, als sie die Werthe der gegebenen Functionen /, g, h, F, G, H ändern. Denn nach § 2 wird darauf verzichtet, die an den Enden selbst Statt findenden Verschiebungen zu berechnen. Die specielle Art, wie die Festlegung des Stabendes, respective die Erhaltung der Richtung der Cylinderachse daselbst erreicht wird, hat auf die im Vorhergehenden entwickelten Formeln weiter keinen Einfluss. In Folge dessen ist es möglich, den Fall des an beiden Enden eingeklemmten Stabes (für die hier ausgefülirten Rechnungen) auch in anderer Weise darzustellen; und zwar wird dies durch den Uebergang vom endlichen Cylinder zum unendlichen bewirkt. Das Verfahren soll zunächst an einem einfachen Beispiel erläutert werden. Man betrachte einen sehr langen cylindrischen Balken, welcher auf einer grossen Anzahl von Pfeilern, die gleichen Abstand von einander haben, frei aufliegt; jedesmal in der Mitte zwischen zwei benachbarten Pfeilern möge in vertikaler Richtung eine constante Last P auf den Balken wirken. Man sieht leicht, dass in diesem Fall der Vorgang zwischen je zwei auf einander folgenden Pfeilern stets ein verschiedener ist. Denn bei den äussersten Intervallen hat man ein frei aufliegendes Ende, während nach der Mitte zu die Biegung sich schrittweis dem Fall des an beiden Enden eingeklemmten Balkens nähert. Sobald man jedoch den Cylinder und die Anzahl der Pfeiler ins Unendliche wachsen lässt, werden die Vorgänge in den durch je zwei Pfeiler begrenzten Intervallen einander gleich, indem dann vollkommene Symmetrie herrscht, und die Biegung in sämmtlichen Intervallen auf den Fall, wo beide Enden eingeklemmt sind, zurückkommt. Aus der Symmetrie der Figur zu beiden Seiten eines jeden Pfeilers ergiebt sich unmittelbar, dass die Cylinderachse bei den Pfeilern horizontal bleibt, also der Bedingung der Einklemmung entsprochen ist. Die grössere Einfachheit der bei dem unendlichen Cylinder auftretenden Erscheinungen erklärt sich, wenn man bedenkt, dass der unendliche Cylinder in mathematischer Beziehung ein weit einfacherer Körper ist, als der begrenzte Cylinder. Analoge Betrachtungen, wie in dem eben erwähnten Beispiel, lassen sich stets anstellen, wenn die Belastung des Cylinders in allen Intervallen die gleiche und in jedem einzelnen Intervall symmetrisch zur Mitte ist. Hierdurch wird die Berechnung der Deformation des an beiden Seiten eingeklemmten Stabes auf das Problem reducirt, das Gleichgewicht des unbegrenzten Cylinders im Fall der Periodicität der einwirkenden Oberflächenkräfte zu bestimmen. Die Grösse der Periode (die in dem angeführten Beispiel mit dem Abstand zweier benachbarter Pfeiler von einander identisch ist) möge durch ‘ll bezeichnet werden. Man wählt die Cylinderachse auch hier zur z-Achse und legt den Anfangspunkt der Coordinaten in die Mitte einer Periode. Dann sollen die gegebenen äusseren Druckkräfte X, F, Z als periodische gerade Functionen von z mit der Periode 2/ vorausgesetzt werden.

In der erwähnten Abhandlung wird dieses Problem für den Fall, dass der Cylinderquerschnitt ein voller Kreis ist, behandelt. Den Ka-dius des Kreises nennt man c. Nachdem x, y durch die Polarcoordina-ten r, s ersetzt sind, führen die allgemeinen Integrale auf Bessel’sche Functionen der Variable r und auf trigonometrische Functionen der Variablen s und z. Die Bestimmung der Integrationsconstanten geschieht für r — c durch Entwicklung der gegebenen Functionen X, F, Z nach dem Fourier’schen Satz und Vergleichung der Coefficienten. Nachdem so die allgemein gültigen Ausdrücke der Verschiebungen g, 7], £ abgeleitet sind, wird die Voraussetzung, dass c eine kleine Grösse gegen l sein soll, eingeführt. Man reducirt in Folge dessen die Potenzreihe der ßessel’schen Function auf eine bestimmte Anzahl von Gliedern; und zwar ist hierbei nach dem Grundsatz verfahren worden, dass diejenigen Summanden, welche zu den Verschiebungen oder zu den Druckkräften Bestandtheile von negativer Ordnung (in Bezug auf c) lieferten, beibehalten worden sind. Diese

Annäherung ist im Ganzen mit der Vernachlässigung der Potenz neben der Einheit identisch. In Betreff der äusseren Druckkräfte

gelangt man durch Anwendung der Superposition zu Vereinfachungen, da das allgemeine Problem sich in drei einfachere Theilprobleme zerlegen lässt. Von letzteren wird zunächst dasjenige behandelt, wo allein Normalkräfte auf die Cylinderoberfläche wirken. Die Vorgänge der Biegung werden durch diese Voraussetzung nur in sofern eingeschränkt, als die Torsion ausgeschlossen bleibt. In den Gleichungen, die dann für g, rj, £ erhalten werden, kommen gewisse Functionen von z allein vor, welche aus den gegebenen Oberflächenkräften abgeleitet werden. Man schneide durch zwei zur Cylinderachse senkrechte Ebenen, die den Abstand dz von einander haben, eine dünne Scheibe aus dem Cylinder aus, und vereinige, während dieselbe als starr gilt, die an ihrer krummen Oberfläche wirkenden äusseren Kräfte; die hierdurch entstehende Resultante möge parallel der x- und y-Achse die Componenten dl dz und 3) dz haben. Die Grössen 3i und 3), welche gerade periodische Functionen von z sind, entwickelt man nach dem Fourier’schen Satz in die Reihen

n = Qo

n — oo

njiz

nütz

cot —

et» cos

71 = 1

bei denen ein constantes Glied nicht vorkommt, da die Summe aller x-, respective y- Componenten gleich Null sein muss. Man sieht leicht, dass dl und 3) gleich den Integralen

(43.) dl = cfnXds,    3) = cfnY ds

—7t

sind, da die Componenten X, Y hier auf das Oberflächenelement cdsdz wirken. Man definire nun zwei Functionen <p und ip durch die Gleichungen

n = oo

— 71

4/⁴

<p =

(44.)

X'i an nztz üt» c⁴ 2* nd C0S ~~~

71= 1 n — qo

4/4

nütz cos — .

üt⁵ c⁴

v    71= 1

Dann erhält man für g, rj, £ (in der erwähnten Annäherung) die Ausdrücke V , 1 (d-cp x² — y-

d²ip y²— x²

~d7² 2

?-

+ *$xu\__fi dX

⁺ dzL J )    4Eg dz¹ ’

c² d²ip 4Ä₃ dz²’

d²tp \

⁺ d^Xy)

r = —±{*9X +

⁵    E\dz ⁺ dzV)

x²Yy²\(dkp    dhp

A₃ b E I    J [dz3 1 ^ dz* y

wo E und Ei die in (12.) der Einleitung angegebenen Constanten sind, und Es durch die Gleichung

a² — 2&2 E₃ E ⁺ 3&(3a—4 V)²

bestimmt ist.*)

Um die Functionen (45.) mit den in den vorstehenden Rechnungen abgeleiteten Werth en von g, rj, g zu vergleichen, hat man zunächst zu beachten, dass in Folge der Voraussetzung, dass nur normale Oberflächenkräfte vorhanden sein sollen, 1; = X = 0 zu nehmen ist, weil \ und das Torsionsmoment Hx verschwinden [Gl. (40.) in § 5 und (25.) in § 14]. Ferner sind von den durch die Substitution (16.) im § 3

g — Ul + Ul +    + u,

' v = Vi + Vz+Vo + v,

£ = Wi + Wi + w

eingeführten Grössen nur Ux, U₂, Vx, V₂, Wt, JV₂ vollständig zu berücksichtigen; von u₀, v₀, w kommt ein Theil der Summanden in Betracht, während u, v fortzulassen sind. Denn es sollen von g, rj, g einerseits alle Bestandteile negativer Ordnung, andererseits noch diejenigen Summanden Oter Ordnung beibehalten werden, welche zu den Druckkräften einen Beitrag von der —lten Ordnung liefern. Da die Ordnung durch die Differentiation nach x oder y, nicht aber durch die nach z, erniedrigt wird, so ergiebt sich, dass von w₀, v₀ und dem Bestandteil Oter Ordnung von w die von z allein abhängigen Glieder ($ß₂> D₂, nicht aufgeführt werden dürfen; ausserdem kommen die Terme —%₂y und -±-%₂x von w₀ und v₀ zum Fortfall. Die übrigen Summanden der genannten Grössen hat man dagegen beizubehalten. Nach (38.) im § 4, (46.) im § 6 und (1.) im § 9 müssen also die folgenden Gleichungen

(fl (d²% x²-y2 ⁵ E \dz²    2    ^

<Z²© y²—a.²

(46.) ;

r‘=E ⁺

c = -Ed3x + d®\

£    E\dz + dz J)

dz'-

+i(>’

xyj + % »

xy^j + Di,

dz    dz y

x² + y²

t>).

1 ¹

J ⁺ E

in denen % ® die Werte (40.) des § 5, und ^ß1; Di die Werte (21.) des § 13 haben, als identisch mit den Gleichungen (45.) bewiesen werden.

*) Die obigen Gleichungen (45.) sind die Gleichungen (55.) der genannten

7t V*    7t⁴ c³

Abhandlung, indessen steht daselbst U statt    un(l F statt "^rV-

io

von

t-

r-l

00

Es soll zunächst gezeigt werden, dass die Relationen

<P =

C² <P<P _çn

(47.)

4Ą dz²    ^ ’

= -D,

c² ^²^

Tz²“

bestehen, wodurch die zwei ersten Gleichungen (45.) in die zwei ersten Gleichungen (46.) übergehen. Die Functionen $ und © sind nach (40.) im § 5 gleich den Integralen

® = —— f    G\ + G₂) dz¹ ;

3 =

bei dem kreisförmigen Querschnitt ist A = B =

jrc⁴

TT*

Die bei

diesen Integralen auftretenden willkürlichen Constanten kommen, wie

im § 5 gezeigt wurde, für das hier behandelte Problem nicht in

Betracht, da sie auf die Deformation keinen Einfluss haben. In Folge

dessen braucht man statt der Gleichungen <p = ip — © nur die

ni . ,    d\ d²$    d²<p    d²&    ,    —    ,

Gleichungen    ^ zu beweisen. Die analoge

Bemerkung gilt nach § 13 für die Grössen ^ und Q man das Gleichungssystem (47.) durch das folgende ersetzen:

i*

Also kann

d\

c¹ d*(p

Tą Üzä ~~

c² d^ip 4Ą <?z⁴

Bei zweien dieser letzteren Gleichungen tritt noch eine weitere Réduction ein. Man will die Uebereinstimmung der Resultate, welche in der gedachten Abhandlung für den unendlichen Cylinder erhalten wurden, mit den hier gewonnenen Resultaten constatiren, unter der Voraussetzung, dass letztere auf den Fall des an beiden Enden eingeklemmten Stabes angewendet werden. Nun hat nach § 7 die Bedingung, dass die Enden des Stabes eingeklemmt seien, zur Folge, dass die Functionen F} G (deren TheileĄ, Ą, Ą, G₂ sind) sich um die Ausdrücke Ky + kx (/ — z), Ky + k₂{l— z) vermehren, wo Ą, Ą, kx, k₂ Constanten sind, die durch die Angaben über die Lage der Stabenden bestimmt werden. Direkt gegebene Grössen sind also im vorliegenden Falle nicht F und G, da sie die vorläufig unbekannten Constanten Ą, Ą, kl7 k₂

di F    d%G

enthalten, sondern nur ihre zweiten Differentialquotienten —- und

in denen jene Constanten nicht mehr Vorkommen. Hieraus folgt, dass man statt der Gleichungen (4b.)

(48.)

dz¹

dz¹

d'hp

dH

—(Ą-j-Ą),

tf²D,

dz¹ '

cP<p

d2/ip

dz²

dz²

nur die Gleichungen

(49.)

1 d²(Fi+F₂) d*ip

dz⁴

dz²

dz*

d~ (^1 + ^2)

dz²

zu beweisen hat. Denn sobald letztere erfüllt sind, müssen es auch die ersteren sein, weil die in beiden Problemen übereinstimmenden

'    t

Angaben in Betreff der Stabenden eine Verschiedenheit der Constanten R\, A₂, ki} k₂ nicht zulassen.

Nach (44.) ist

d*<p

dz*

n = oo

4_ ^

C*

n = 1 . n — oo

d*tf) _ 4    ^

^rc⁴ >mI n = 1

oder, wegen der Gleichuugen (43.),

j/x<fe’

dz⁴

d⁴<p

dz⁴

ratz

OLn COS -y -

nztz

bn cos —r =

os

nTt

J Y ds.

—7t

Andererseits wurden im § 15 die Gleichungen d²Fi

d²Gx

dz²

n7l

c J F ds

abgeleitet; die Grössen

cf**, dz,

und ~~ sind gleich Null nach (13.) im

—71

—Tt

d²F₂

dz²

§ 1, da hier Z — 0 ist, und von der Schwerkraft abgesehen wird. Somit sind die Gleichungen (49.) bewiesen.

d²%

Für die Functionen —~ und

dm

dz¹

dz²

ermittelte man im § 13 die

Werthe:

gjgi ... 2 < +y;

Die Coefficienten /, und d',, welche nach (18.) im § 12 zu der Entwicklung von S gehören, verschwinden im vorliegenden Falle, wo nur Normalkräfte wirken sollen, also S — 0 ist. Ebenso ist wegen Z — 0 nach (14.) im § I auch A₃ = G$ — 0. Die im § 15 angegebenen Werthe von a\ und ß\ transformiren sich nach Berücksichtigung der Relationen X — R cos s, Y — R sin s

und der oben benutzten Gleichungen in die folgenden:

dz²

d*D,

dz¹

Ai

c²

2 ß\-ö\    c² /

A, c    6 A\

^    -r-H

^3

\ nTt    1 nTt

xc dz² ’

1 rf2gi .7TC ćfc²

a\ = —J R cos s ds = — J X ds = —n    x —n

1    /»7t    .    1 nlt

ß' = — J R sin s ds = — J Y ds = —n    m —n

Auf diese Weise findet man für

d²\pt d²Ùy

dz²

dz²

die Ausdrücke

Äj    ^2

o *L-tß

c²

2A

c²

2,4

--rr +

1 /_!_ 2___&_

W⁺ E    E²

(1+1-±

Ut£ e²

051 <W

und da nach (15.) des § 1

'I , 2__ *

b E Ë²

CO ! i—i

₌ 1_ ,1___

E ' 3 [2b (3a — Ab) E²

a² — 2b²

Æ ⁺ 66 (3a—-4&)²    2^3

ist, so ergiebt sich

<&ßx ₌    c²_ <PE\

dz² ~ AA E₃ dz2 d²D

dz²

c² d²Gt AAE₃ dz²

c² d*q> AE₃ dz⁴ ’ c² d⁴ip ÄF₃ dz²’

womit die Gleichungen (48.), also auch die Gleichungen (47.) bewiesen sind.

Es bleibt übrig, die 3te Gleichung (45.) als identisch mit der 3ten Gleichung (46.) nachzuweisen. Man hat aber in die letztere Gleichung nur die aus (47.) folgenden Werthe

(®i ₌

dz

d£t

dz

c² d³cp _

ae₃ HI³ ~~

c² d³ip _ ÂË₃d^~~

c² d?>% 4E₃ dz³’ c² d³® ÄE₃ dz³’

sowie die Werthe

dFx

d,m

dz

= -Ad3 =-A — dz³’ dz

dz³

Hiermit ist für den Fall, dass nur Normalkräfte auf den Cylinder-mantel wirken, die vollständige Uebereinstimmung der nach den zwei verschiedenen Methoden abgeleiteten angenäherten Formeln bewiesen. Dieselbe Uebereinstimmung ergiebt sich auch in den übrigen beiden Fällen (Tangentialkräfte senkrecht oder parallel zur Cylinderkante), zu denen die Zerlegung des allgemeinen Problems des unbegrenzten Cylinders führt. Die in der oben erwähnten Abhandlung enthaltenen Rechnungen sind daher als eine Bestätigung der hier entwickelten Theorie anzusehen.

d®

dzy

ęsrj. _ i _ r

4 _E₃ b E

zu bringen. Dieser Ausdruck von £ kommt, da <p = $, ip = ® ist, genau auf den in (45.) angegebenen zurück.

dz

x² + y²\ (d³%    d³® \

) [dz³    + dz3 V)

AE

¹

“. = —2ckx 1 .

²

u substituiren. um dieselbe auf die Form

Abschnitt III.

Der Hohl cylinder mit kreisförmigem Querschnitt.

§ 18. Integration der Differentialgleichungen.

Das zweite Problem, das hier näher behandelt werden soll, betrifft den Fall, dass der Querschnitt des cylindrischen Stabes aus einem durch zwei concentrische Kreise gebildeten Ringe besteht. Dasselbe führt zu ähnlichen partikulären Integralen, wie das Problem des vollen Kreiscylinders; jedoch nehmen die Integrationsconstanten wesentlich andere Werthe an. Es wird vorausgesetzt, dass der Hohlcylinder nur an seiner äusseren Oberfläche durch Druckkräfte in Anspruch genommen wird, an der inneren dagegen X==F=Z=0 sind. Der Cylinder-querschnitt werde durch die zwei Kreise

x¹ + y% — c², x¹ -f- y² = Ci²

begrenzt, und zwar sei der Radius cv der kleinere. Die Grössen c und Cx werden in den nachfolgenden Rechnungen als nicht sehr verschieden von einander angenommen; man setzt die durch die Gleichung

(1.) ±=l-e

definirte Grösse s als klein neben der Einheit voraus (d. h. die Wandstärke des Hohlcylinders als klein neben seinem Querdurchmesser).

Für die Variable gilt im Innern des Stabes die Differentialgleichung (47.) des § 6

dm, , dm{

dy²

dxl

welche nach Einführung der Polarcoordinaten

x — r cos s, y = r sin s

die Form

A (r Æi

dr I dr

i dm

r ds'¹

annimmt. In der zugehörigen Oberflächenbedingung (53.) sind cos^, cos fi für die äussere Begrenzung gleich cos s, sin s, und für die innere gleich —coss, —sins zu nehmen. Ausserdem ist

—— cos X H--— cos u =

dx    dy ¹    dr

so dass man die zwei Gleichungen

m

dr Jr

d 2B

= {Ly cos s + My sin s)

= c    r — ⁶

= {Ly cos s + My sin s)r _ c

erhält. Nach Substitution der in (50.) des § 6 angegebenen Werthe von Lv und My lauten dieselben:

dm

dr Jr = c

dm\

dr Jr = Ci

dr Jr

dF\    d G y

—r~ cos s d--—L sin s

dz

dz

dFy    dG\ .    ,

—— cos s d—— sin s .

b E

Aus diesen Bestimmungen ergiebt sich für , wenn zum Schluss wieder die Coordinaten x, y angewendet werden, der Ausdruck

dz

dz

dFy

-.    , dGy

-r-X d---~

yj +

(2.)

in welchem ^ eine willkürliche Function der Variable z bedeutet.

Die Grössen Ui und ^ haben nach (60.) des § 7 im Innern des Stabes die Gleichungen

d fdüy , «ßSA ,    ,

adx\l^⁺~dy) + b

d fdVLy    Æy

a d y V dx    dy

d fdUy    dïïiy

dy \ dy    dx

) = ~{a—b)

) dx \dy

d$$y

dx

) = —{a — b)

dz

d-my

dxdz⁷

dm

dy dz

zu erfüllen, in die für der Werth (2.) eingesetzt wird. Man trans-formire diese Gleichungen durch die Substitution

Uy = U/

AA

(3.)

»! = as*

c*c\ a—b ( 1 4 A a -f- b \ b c² + c\( 1    1

4A [b ⁺ E c²c² a — b/1    1

AA a F b \ b ⁺ E

x{F‘x + G“xy)

d-y'1    7

F‘[ xy

y(F^x±ff[y)

x¹ d- y²

woselbst zur Abkürzung F", G“ für

dïFy (P Gy

dz2 ⁷ dzl

geschrieben ist.

Dann entstehen für die neuen Unbekannten IV, 33' die Differentialgleichungen

a dx

d (d\V_ [ ^33'\ [ b d (dXV dlV \dx dy j dy \ dy dx

= 0,

d fdXV dW dx \dy dx

d fdXV . dW dy \ dx

die mit den Gleichungen (3.) im § 9 identisch sind. Ebenso wie bei dem vollen Kreiscylinder werden an Stelle von U', 33' zwei Verschiebungen q, o eingeführt, welche die Richtung des wachsenden Radius vector r, respective die dazu senkrechte Richtung haben. Man setzt

XV = q cos s — 6 sin s,

33' = p sin s + o cos s, wodurch man,    wie    dort,    für    q und o die Differentialgleichungen

(4-) j

dy

(5.)

ds

a d r ds

dö

ds

d    j 1    d(>    d (rô)    i _

ds    l r    ds dr    \    ’

dç d (ro)

dr

ds

dr

erhält.

§10 entwickelt; dieselben lauten:

Die vollständigen Integrale dieser Gleichungen wurden im

(6.)

Q = 2dr

(n)

) 2t„ cos ns + 33« sin ns (

V (n + 2

(n)

7z\

—J rn+1 }©„ cos ns + SD« sin ns\

r    sin ns— 33« cos ns\

’n + 2

71 \

— a) r”+1 s*n ns—cos ns ' •

Die Grössen 31«, 33«, (£«, welche Functionen von 2 sind, ergeben sich aus den Bedingungen für die Oberfläche des Stabes.

§ 19. Bestimmung der Coeffieienten.

Die Oberflächenbedingungen (70.) im § 7 liefern zwei Gleichungen für die äussere und zwei Gleichungen für die innere Begrenzung. Die ersteren sind mit den Gleichungen (10.) im § 11 identisch, und die letzteren unterscheiden sich von den eben genannten nur dadurch, dass die gegebenen Druckkräfte R, S gleich Null zu setzen sind, und dass Ci an Stelle von c tritt. Auf diese Weise hat man zur Bestimmung der Coeffieienten 21«, 33«, &n, ©« die Gleichungen

£ cos² s + 91Î sin² s + 9? sin 2s

■>

do a a * _j_ _

dr

= m,

(7-)

b dç r ds

+ br -r—

d <j

dr r

— 2 b do

dr

= «R

r = c.

r ds

d o dr r

= @,

r— Ci

in denen 9Î, ©, 9ft, © die folgenden Functionen bedeuten:

sin 2 s (i?¹" sin s + G“ cos s)

9Î = R +

c³

c³

(-D

(F‘[ sin 3s + G‘[ cos 3s)

sin 2s — 9^ cos 2s

c“

2^

(*+»

sin 2s (F“ sin s + G“ cos s)

— £ cos² s + 9)î sin² s + 9Î sin 2s

r-et

0+1)

c³

(.F" sin 3s + G" cos 3s)

“£ — 3K

2— sin 2s — 9^ cos 2s

Die Werthe der Functionen £, 9JÎ, 9? sind in den Gleichungen (68.) des § 7 angegeben. Für die Entwicklung der Grössen 9Î und © nach der Variable s werden dieselben Bezeichnungen wie in §§ 11 und 12 — Gleichungen (12.), (17.), (18.) — angewendet. Man setzt also

n = oo

(8.)

9Î = 2«₀ + ^ ) an cos ns -j- ßn sin nsj, n = 1 n = go

© = id₀ + }yw sin ns + d„ cos ns\ n = l

und zerlegt die (von 2 allein abhängigen) Werthe an, ßn, yn, d„ in je 2 Summanden a‘n + ««, ßh + ßn, 7« + 7«, d» + d». Durch ań, ßh, 7», d» werden die Coefticienten der Entwicklung der gegebenen Oberflächen-kräfte R und S

9*

n = od

R = iccJ₀ -f- V j a‘n cos ns _j_ sjn ns|

(9.)

n — 1 n = oo

S = îâ'₀ +    }/» sin ns + d/ cos ns\,

n — 1

und durch a‘ń, ß„, y‘ń, ó„ die analogen Coefficienten der Entwicklung des ßestbestandtheils von 9Î und © bezeichnet. Diese Unterscheidung fällt für die Functionen di und © fort, da nach der Voraussetzung keine Kräfte auf die innere Begrenzung wirken. Die Entwicklung von $ und © sei:

n — co

di = ha₀ +    ) ccn cos ns + ßn sin ns {,

n = oo

(10.)

© = M₀ +    j 7n sin ns + d» cos ns j.

Die Coefficienten a„, ßn, yn, ön entstehen, wie die obigen Definitionen von 9f, ©,    © ergeben, aus den Coefficienten a'ń, ßü, y„, d», wenn c

durch ci ersetzt wird.

23_re,    soll hier 21/,

—n,

Bei dem Hohlcylinder nimmt die Grösse n in den Summen (6.) alle ganzzahligen Werthe von — oc bis + oc an, während bei dem vollen Cylinder die Summation sich nur auf die positiven ganzen Zahlen erstreckte. An Stelle von 2f 23/, &h, 3X geschrieben werden; dann kann man den Werth des Index n wiederum auf die positiven ganzen Zahlen, einschliesslich der Null, beschränken. Man setzt, nachdem für q und 6 die Werthe (6.) sub-stituirt sind, die Coefficienten von cos ns und sin ns auf der rechten und linken Seite einer jeden der 4 Gleichungen (7.) einander gleich, und erhält hierdurch, wenn vom Fall n = 0 zunächst abgesehen wird, für die 8 Grössen

2l„, 23», 6», 5D„, 21', 23/,, <&, SD/ je 8 lineare Gleichungen. Die ersten 4 derselben lauten

ia„ —

iyn =

Ol.) i

|    b (n — 1 ) c¹¹ 2 21 n — —(n + 1 ) (n — 2) cn (E„

| — b(n + 1) c-”-² 21/ — (n — 1) (n + 2) c~* ©/, | — b{n— 1) cn~- 2f„ F n in + 1 )cn 6»

| — £(n+l)c-”-²2Ii — C!—^n(n— \)c~n&n,

und die 4 übrigen entstehen aus diesen, wenn man c durch ct, sowie a«, ßn, Yn, à„ durch an, ßn, /«, d« ersetzt. Von den 4 Gleichungen (11.) gehen die beiden ersten in die beiden letzten Uber, wenn statt

21«; 21«, ß«, ß«, an, yn

bezüglich die Grössen

23«, — 23^, ®«, — 3X, ßn, — àn

genommen werden.

Zu n — 0 gehören nur die 4 Coefficienten 21₀, 23₀, ©₀> von denen, wie im §11, der Werth $)₀ willkürlich bleibt. Es ergeben sich für n = 0 die 4 Bestimmungen

a — b K

T⁻®⁰’

ißn =

b (n — 1) cn~² 23«— a—^~ (n + 1) (w — 2) cw $«

S3» + ⁽^L~- (w— O (n + ²) c“”®«,

-b

— n(n + \)cn<&n

j.

j-n{n—\)c-n^n,

+ b (n + 1 ) c j b(n—l)c”_223«—-\ — b(n + 1) c~n~² 23«— -

—n—2

2«₀ = — 2b c~‘² 2l₀ + 4

*«0 = _2èc7² 21₀ + 4tt ab M₀ = —2& c~² 23₀, id₀ = — 2& c7² 23₀, durch deren Auflösung man füi 21₀, 23₀, ß₀ die Ausdrücke

21o =

Ć¹ c\ («0 — gp)

(12.)

Ab (c² — c\)

23₀ -

yo Ab ’

I ⁶» - S ,/.-»)

und ausserdem die Bedingung

c¹ «o — c\ a₀

c²— c\

erhält.

c²d₀ = c;M₀

Die 2 ersten Gleichungen (11.) verwandeln sich durch Addition und Subtraction in die folgenden

«« _/« ₌ (w_ l) j & cn-²^n—a-~{n + 1) cn&n-a-

—b

«« + Yn

c~«K\,

(n+\)\—b c-n~² 21' + — cn 6« —    (w — 1) c~* ©' !

(    a    a    )

woraus man erkennt, dass der Fall n — 1 eine Ausnahme bildet. Denn für n= 1 bleiben die Coefficienten 2t1; 23t, (Si, willkürlich,

während sich für die Constanten ß, etc. gewisse Bedingungen ergeben. Es soll zunächst der Fall n > 1 behandelt werden. Man kann für n > 1 die Coefficienten 21« und 21« aus den obigen zwei Gleichungen und den analogen, die cl} an, ßn, Yn, àn statt c, an, ßn, Yn, à„ enthalten, eliminiren. Hierdurch gelangt man zu den zwei Gleichungen

Cl V

’cn

c\¹

c²

c"

V2

O-n Yn

C[

c?

O-n    Y n

.!(£!_ _

*" cw \c² c2rey 4 (?z + 1)

1 /c|_c2w\ + 7„

"P Yn

c²

c" \c²    c²7 4(w+ 1)’

£_£lV_

■cn

«ry

Cl

c\

Cn

Cn 1 —

C²\ an + y a

cn

c²

c\n

an Yn

c\ cln J 4 (n— 1)

cln

cfj 4(w—1)

welche und ©ń bestimmen. Diese Gleichungen werden nun durch Benutzung der im § 18 gemachten Voraussetzung transformirt, dass

die Differenz 1 —die man durch e bezeichnete, eine kleine Grösse

gegen die Zahl 1 sei. Indem man für c, den Werth c (1—s) einsetzt und bei der Entwicklung der Potenzen nach dem binomischen Satz überall neben dem Anfangsgliede noch die folgende Potenz von e berücksichtigt, erhält man aus den obigen, für n > 1 geltenden Gleichungen die folgenden angenäherten Werthe der Coefficienten (£„ und &n:

i (\ i 2w—1

• hsW -\-yn

2J1Ï+T

8 (a—

b) e³w²(w+l)cw| ^

6a cH

IO 05

i -f

8 (a — b) £³ n- (n — 1 ) |    ^

c?

ii_

ccn Yn

c²

%i—5 —yn

2 V

€ \ an + /«

2 »+1

2n+\ \ an—Yn 1    / n—1

2n+5 \«„+y« 2    /)î -f 1

/ 5 A an Yn |

V 2) n— 1 '

Im Fall n = 1 erhält man einerseits die Bedingungen

ai — 7i? ai = 7ij A + <^i — 0, ßi + di = 0 andererseits für den Ausdruck:

16 (« — b) c £

| «l — ai + ~2 (ai + a\ ) | •

Die Werthe von ©ra und — T>'n entstehen aus den obigen Werth en von_ß„ und &n, wenn man an, an, /«, yn respective durch ßn, ßn, —ön, — ön ersetzt.

Die Coefficientenhestimmung wird hier hauptsächlich zu dem Zweck unternommen, in dem Ausdruck von Zz noch alle zur Ordnung 0 gehörigen Summanden zu ermitteln, weil dadurch eine genauere Bestimmung der überhaupt vorkommenden Maximal-Druckkraft möglich wird (cfr. die Gleichung (23.) im § 13, und der § 14). In der Formel für Zz kommen aber nur die Coefficienten &'n, nicht die Coefficienten 2I„, Wn, 23„, vor. Daher soll auf den Werth der letzteren nicht näher eingegangen werden.

Nach (41.) im § 5 gilt für die Componente Zz die Gleichung:

Fi + F2 ⁴ “ A

Aj

~h (a — 2ö) ^

du dv\ dx dy )'

Man hat hier A = B zu nehmen und für u, v, rv die ermittelten Werthe einzusetzen. Die Substitutionen (46.) im § 6 und (57.) im § 7 für rv, u, v und die Gleichungen (2.), (3.) des § 18 liefern die Transformation

du dv

x -j-

B ’J +

drv

dz

+ (u — 2b) ^

(M _ Ab (a—b) fd²%    fÙ,

ü dz    a \ dz2 X dz² ^

a (x² + y¹)

drv

a TT dz

dx

dy

F‘[x + G‘[y

AE

(13.)

c²c\ 2 a — b "1 2~ ~

H- (« — 2b)

F‘[x

12 A

NS" h-

y² + 3

h⁺k)

wo in T alle Glieder von höherer Ordnung als der Oten zusammenge-d\X' d%V

fasst sind. In —— -j- —- drückt man nach (4.) im § 18 die Variablen

(IvV    (fü

IB, durch q, ö aus und nimmt sodann für q, ö die Integrale (6.). Fs entsteht auf diese Weise die Gleichung dü' [ d%' _

dx

dy

1 | d (rq) dö r \ dr    ds

(n + 1) rn (®B cos ns + ©» sin ns) — (n — 1 ) r~n (Gré cos ns — ©ré sin ns)

in die für (S„, &'n, $Dre, £)„ die gefundenen Werthe zu substituiren sind. Bevor indessen letzteres geschieht, soll in Berücksichtigung des Umstandes, dass Ci und c als wenig von einander verschieden vorausgesetzt werden, statt r eine andere Variable eingeführt werden. Man setzt :

(14.) r — c(l—x).

Dann liegt, weil r nur zwischen c und also zwischen c und c (1—s),

variirt, der Werth r stets zwischen 0 und e. Folglich ist r, ebenso

wie s, eine Grösse, welche als klein neben der Zahl 1 angenommen

wird. Bei Berechnung der Coefficienten (&n,    S)n, 5D'„ wurden das

Anfangsglied und die nächstfolgende Potenz von e beibehalten. Indem

man dasselbe Princip der Annäherung auf die von r abhängigen

Grössen anwendet, hat man

rn = cn (1 —r)n = cn (1 —nr),

r~n — c~n (1 — r)~n = c~n (1 + nr)

müssen die zum Werth n — 1 gehörigen

. T dSß' , d%' zu nehmen, ln ——1——

dx dy

Summanden von den übrigen abgetrennt werden, da die Coefficienten ©! etc durch besondere Formeln bestimmt sind. Es ergiebt sich die Gleichung

dy

dü' däß' n , n (¹⁵-> ö; ⁺ — = 0° + 0

wenn

(16.) Q₀ =

4 (a — b) s

2 (a — b) £

| «o — d₀ 2 (fto + 3«₀)j

|    («i—«i) (1 — tt) + — (ai -j-

! + (ßi —ßi) (1 — T) + -ÿ (ßi + ßi) siu s

gos s

und

(17.) Q =

Ctn &n (/»    / n)

(Xn-CCn + Yn — 7»

n -f- 1

cos ns

ßn ßu ~P àn Ög    ßu    ßn (àn    à,/)

sin ns

2 («— b) s1 gesetzt wird.

Die in (13.) angegebenen Summanden haben, bis auf *P, ihrer Definition nach sämmtlich die Ordnung 0 in Bezug auf c. Dieselben zerfallen nun aber in verschiedene Gruppen durch die Dimension, welche sie in Bezug auf £ (und t) haben. Denn es ist zu der ur-

c

sprünglichen Voraussetzung, dass y klein sei, die weitere Voraussetzung,

dass auch s klein sei, hinzugetreten. Von den in (13.) vorkommenden Termen sind einige von der — 2ten? andere von der — Den Dimension nach s. In der schliesslichen Formel für Zz sollen von den obengenannten (in Bezug auf c zur Ordnung 0 gehörigen) Gliedern nur diejenigen beibehalten werden, welche die — 2te Dimension in Bezug auf e haben. Indessen sind in (13.) noch die Functionen Qb unbekannt, und es zeigt sich, dass bei den Rechnungen, durch die man diese findet, die Summanden —Der Dimension des Ausdrucks (13.) dazu dienen, gewisse Bestandtheile — 2ter Dimension von Zz zu bestimmen. Es sind daher zunächst die auf ißi, Dj,    bezüglichen

Rechnungen auszuführen.

§ 20. Bestimmung der Functionen 9ß,,

Wie bei dem Problem des vollen Kreiscylinders wendet man, um die Werthe von Ol5 $ zu ermitteln, die 3 Gleichungen (39.) des § 5 an :

ff\a dz+{a~U){

■ff\aTz+{-a-n)i^ ⁺ %)| ydxdy= G* /•/■(*§ + <*-*>(

Ql

du dv dx dy

du dv dx dy

) j xdxdy

dxdy

Nachdem man in dieselben den Ausdruck (13.) für

+ (« — 2b) ^

du dv --r -r~

drv

dx

dy

a

dz

eingesetzt hat, sind die Integrationen über den Querschnitt des Stabes auszuführen, wobei die von z allein abhängigen Factoren vor die Integralzeichen treten. Diese Rechnungen sind den im § 13 angestellten völlig analog; nur hat man zu berücksichtigen, dass der Querschnitt des Stabes hier nicht ein Kreis, sondern ein Kreisring ist. Für das Trägheitsmoment A und den Flächeninhalt C des Querschnitts erhält man jetzt die Werthe:

C = ji (c² — c\) = üic¹ j 1 — (1 — e)² (.

Es sollen von den Functionen jQt, $ nur die Bestandtheile, welche die beträchtlichste Dimension in Bezug auf t haben, aufgesucht werden.

Daher vernachlässigt man in den Ausdrücken von A und C die höheren Potenzen von e und setzt

(18.) A —    C = 2tcc~£.

ln Analogie zu § 13 fällt die Summe Q aus den obigen Doppelintegralen ganz heraus; dagegen liefert Q₀ einen von Null verschiedenen Beitrag. Man substituirt in Q₀ für die Coefficienten «₀, al7 ßl7 a₀, ai, ß\ ihre aus (8.), (9.), (10.) folgenden Werthe. Nach einigen

dz

Transformationen findet man dann für    ~ die Ausdrücke

dz2 7 dz¹

= A F* i F“c2 dz²    csEi AE ^ 2A

i J[

b\n 2a—b

E )\b E(a + b)

<h 4 fWi . AVI4- 2a~b

csE₁ AE2A \\ Ej\b ^E(a + b)

F< ,

2«eA'₁    a£⁷

welche den Grad von Genauigkeit haben, dass alle Terme von negativer Dimension in Bezug auf e beibehalten worden sind. Die in letzteren Gleichungen vorkommenden Summanden haben sämmtlich die Dimension — 1 in Bezug auf s, wie man leicht erkennt, wenn man beachtet, dass A und C von der -j- isten Dimension nach e sind.

4 E {a — b)\

(19.)

dz¹

dM

dz

4 E{a — b)

h-i

d%

Für die Function —- ergiebt sich aus der 3ten Gleichung (11.) dz

des § 2 genau derselbe Werth, der im § 14 für den Fall des vollen Kreiscylinders erhalten wurde, nämlich

2bA'

(20.) ^ = A-

dz

In Betreff der Integrationsconstanten, welche bei Herstellung der Functionen Di,    selbst auftreten, gelten die in §§ 13 und 14 ge

machten Bemerkungen. Die genannten Constanten können, wie daselbst erörtert wird, gleich Null gesetzt werden, ohne dass die Allgemeinheit der Rechnung beeinträchtigt wird.

Der in (13.) angegebene Ausdruck hängt von den Functionen s^, Di in doppelter Weise ab. Denn einerseits kommen in demselben die Summanden vor; andererseits sind ^, Di, wie auch , in den Grössen £, 2)t, 2t enthalten, welche durch die Gleichungen (68.) des § 7 definirt wurden. Von £, 3Jt, 2t hängen aber nach (16.), (17.) die Summen Q₀ und Q ab, da die Functionen 2î, ©, 2Î, © die Grössen £, 2)t, 2t enthalten, und nach (8.) und (10.) die Werthe an, ß„, yn, «», ßn, yn, Ł die Entwicklungs-

coefficientcn von 9Î, <3, <S bedeuten. Also sind erst in Folge der Gleichungen (19.) und (20.) alle Bestandteile von ()₀ und Q bekannt. Die Functionen    Xi haben die Dimension — 1 nach s. Es bleibt

übrig, die Dimension der Grössen Q₀ und Q in Bezug auf s festzustellen.

Da, nach (68.) des § 7, in S, 9JÎ, dl theils Ausdrücke, die den 1 1

Factor —, — haben, theils die respectiven Summanden

Ą b d^X) dz2 x’ 2 dz²

2b

--(«-20

enthalten sind, so haben £, 9)1, 91, und folglich auch 9Ï, ©, 9i, © die Dimension — 1 nach e. Von der nämlichen Dimension sind im Allgemeinen ßn, jm ón, an, ßn, Jn, d» als Entwicklungscoefficienteu der letztgenannten Functionen. Indessen überzeugt man sich leicht, dass die Differenzen

CCn Cin, ßn ßn, Yn Yn, ^n    d»,

welche in Q ausschliesslich Vorkommen, sich auf die Dimension 0 reduciren. Man bemerke, dass

j (%n &n ~t~ U-ni ßn ßn ~ł~ ßn,

¹ Yn = Yn + Yn, 4 = Ö‘n + Ó‘ń gesetzt worden ist, und dass nach (9.) die Coefficienten

&n, ßn, Yn, dn

von der Oten Dimension in Bezug auf e sind, weil die Oberflächenkräfte R S, zu deren Entwicklung sie gehören, zu dem Werthe e in keiner Beziehung stehen. Also hat man nur die Differenzen

U-n, ßn ßn, Yn Yn, d'n    d«

auf ihre Dimension nach e zu untersuchen. Und da, nach § 19, die Coefficienten an, ßn, Yn, d„ dieselben Functionen für das Argument cs bedeuten, welche für das Argument c gleich ßn,

r = ą = c

Yn, d» sind, so stellen die genannten Differenzen die betreffenden Incremente jener Functionen beim Wachsen der Grösse cv um cs dar. Hieraus ergiebt sich, dass

&n CLn, ßn ßn, Yn    Yn, dw Ön

eine um 1 höhere Dimension nach e als die Coefficienten «», an, . . Ön selbst, d. h. die Dimension 0 haben. Nun steht in dem Ausdruck (17.) von Q vor dem Summenzeichen ein Factor von der Dimension — 2 nach s. Folglich ist die Function Q von der Dimension —2 in Bezug auf £. Dagegen hat Q₀ nur die Dimension —1, da in dem Ausdruck (16.) die erste Potenz von £ im Nenner steht.

Die Werthe a„, ßn, y», ßn, ßn, yn, ßn sind für n > 5 sämmtlich gleich 0, da die Functionen, deren Entwicklungscoefficienten sie sind, in Bezug auf x und y den 5ten Grad haben. Man trennt daher zweckmässigerweise den von a‘n, ß‘n, y‘n, ßn abhängigen Bestandteil der Summe Q von den übrigen. Nach Substitution der Werthe von

<Xn    CLn, ßn ßn, Yn Yn, ßn ßn

erhält man

2 nach

sn

tsS

NS

wo in Q/ sämmtliche Terme von Q, die nicht die Dimension £ haben, zusammengefasst sind, und Qy und Q₂ die folgenden Functionen bedeuten:

(22.) Q, =(l-^)

_J>_ Ąc 2 a Ey A£

b G₃c 2a E\ Ae

c²

J_ F“c*~

4E₃ As

l_ GIF ~ \E₃ As

cos 3s

sin 3^-

1 ö {a — b) As dz

dH\ .    .

~~ sin 4s

3 bF

6    1 \ Fl cos 5s + Gl sin 5s

^ 320 (a — b) \E₂ E

Ae

bE

(23.) ft —( 1-7)^

2r\ w= ao

2 (a — b) f²

— (et' cos 3s -f ß' sin 3s)

«» — l‘n , «» -f yń~ n — 1 w + 1

ßn F    , ßn-ßn

n + 1

cos ns

sin ws

Durch — ist die Constante

—b (a -f- b) Ey

E-i

S(a — b)V2E Ev

(PFy d'²G{\ dz² ’ dz² )’

bezeichnet worden. Für das Trägheitsmoment A ist der Werth (18.) einzusetzen. Die in (22.), (23.) enthaltenen Functionen F‘n G"

F%, G-a, Hy haben, ebenso wie die Elasticitätsconstanten, in Bezug- auf e die Dimension 0, da sie nicht von e abhängen.

§ 21. Ausdruck der Componente Zz.

Der Werth der Kraft Zz ergiebt sich aus der im § 19 erwähnten

F ormel

Zz =

F\ -p F2

x -j-

dz+{a~ 2b)(^c+^)> wenn man die Gleichungen (13.), (15.), (21.) berücksichtigt. Von den Summanden von Zz sind gewisse denjenigen Ausdrücken analog, welche im Fall des vollen Kreiscylinders erhalten wurden. Auf diese soll nicht näher eingegangen werden, da in den §§ 13, 14, 16 die einzelnen Summanden von Zz ausführlich discutirt worden sind. Dagegen treten in dem hier gewonnenen Ausdruck von Zz andere Terme auf, die dem Hohlcylinder eigenthümlich sind. Die erheblichsten derselben erhält man, wenn man für Zz eine angenäherte, aus den obigen Gleichungen folgende Formel nach dem Princip ableitet, dass von den Termen (13.) nur diejenigen, die in Bezug auf e die Dimension —2 haben, beibehalten werden. Es entsteht auf diese Weise die Gleichung:

(25.) z. =    X +    y + | + (a _ 2*) (ft + ft).

drv

+ u ~~r~

du

dv

Der Ausdruck (a — 2b) (t + Q-i), welcher zu dem in erster Annäherung (§ 5) geltenden Werth von Zz,

Fv+F₂

X -J-

G\ G-2

hinzutritt, ist bei dem Hohlcylinder verhältnissmässig beträchtlicher, als der bei dem vollen Cylinder gefundene Bestandteil Oter Ordnung

proportional sind, so macht sich

der Einfluss dieser Terme in einem um so höheren Masse geltend, je geringer die Wandstärke des Hohlcylinders wird.

Die Grössen Qi und Q₂ sind lineare Functionen von x, da sie

letztere Variable nur in dem Factor 1--- enthalten. Die Grösse x

e

durchläuft die Werthe von 0 bis e, und zwar werden nach (14.), wenn s und z unverändert bleiben, durch x — 0 und x = e je zwei gegenüberliegende Punkte der äusseren und der inneren Wandung bezeichnet,

welche den Abstand c — c, von einander haben. Die Differenz 1--

£

ist = -f-1 für x = 0 und = —1 für x = s. In der Mitte der Wandung, ist 1 — — = 0; und für je zwei Punkte, welche von dieser

von Zz. Da Q{ und Q.₂ der Grösse

für x =

£²

£ £

Mitte gleich weit entfernt sind, d. h. für r = ^—U und x = — -|- t',

nimmt die genannte Differenz gleiche und entgegengesetzte Werthe an. Diese Eigenschaften übertragen sich, gemäss (22.) und (23.), auf die Functionen Di und Q₂. In der Mitte der Wandung verschwinden Di und D-2> und zu je zwei symmetrisch zur Mitte liegenden Punkten gehören gleiche und entgegengesetzte Werthe derselben.

Im Abschnitt I. wurde als charakteristisch für die Biegung gefunden, dass die Kraft Zz in Bezug auf die als klein vorausgesetzten Grössen bis zur Dimension — 2 anwächst, während im Fall des Auszugs, der Torsion etc. des Stabes nur die Dimension — 1 Vorkommen konnte. Der Umstand, dass hier Di und (Ą die Dimension —2 in Bezug auf s haben, und das oben erwähnte Verhalten derselben beim Variiren von r weisen darauf hin, dass der Bestandtheil (a — 2b) (Di + D2) des Ausdrucks (25.) der Kraft Zz von einer secundären Biegung herrührt. Das Vorhandensein einer solchen Biegung abstrahirt man leicht aus der Anschauung. Man lege durch den Hohlcylinder zwei benachbarte, zu seiner Achse senkrechte Ebenen. Dieselben schneiden einen ringförmigen Körper aus, den man gewissermassen als einen kreisförmigen Stab ansehen kann, in sofern als nach der Voraussetzung die eine Dimension vorwaltet. Denn die Wandstärke c — Cy des Hohlcylinders wird als klein neben der Peripherie 2nc des Querschnitts angenommen. Auf die Biegung, welche dieser ringförmige Körper durch die auf ihn wirkenden Kräfte erleidet, sind bis zu einem bestimmten Grade die Schlüsse übertragbar, die im Abschnitt I. für den cylindrischen Stab abgeleitet wurden. Dem dort auftretenden Fac-

1 1 tor ^2 der Druckkraft Zz entspricht hier der Factor — der Functionen

Di und Qt. Ebenso wie dort eine neutrale Schicht gefunden wurde, welche die Dilatation der einen Seite des Stabes von der Compression der anderen Seite schied, so wird auch hier in jedem einzelnen Ringe durch die Gesammtheit der von der inneren und der äusseren Wandung gleich weit entfernten Punkte eine neutrale Schicht gebildet, für welche Dt und D2 verschwinden. Diese neutrale Schicht giebt, wie oben gezeigt wurde, sowohl für Di als für Q.₂ den Uebergang von der Dilatation zur Compression an.

Von der Biegung, die ein kreisförmiger dünner Ring sonst erfahren würde, unterscheidet sich indessen die in Rede stehende secundäre Biegung des Hohlcylinders dadurch, dass die Seitenflächen der Ringe, in die man sich den Hohlcylinder getheilt denkt, nicht frei sind, da die Ringe in einem ununterbrochenen Zusammenhang unter einander stehen. Während bei dem isolirten Ringe die in der Längsrichtung auftretende starke Zug-- oder Druck-Kraft eine Quercontraction (respective eine Vergrösserung des Querschnitts) hervorruft, die sich unbehindert vollziehen kann, hat bei dem Hohlcylinder die secundäre Biegung eine Einwirkung der einzelnen Ringe auf einander in der zur Cylinderachse parallelen Richtung zur Folge. Hieraus erklärt sich der Beitrag, welcher der Kraft Zz aus der secundären Biegung erwächst.

Die secundäre Biegung wird bei jedem einzelnen Ringe tlieils durch die an seiner äusseren Oberfläche angebrachten Kräfte, theils durch diejenigen Kräfte hervorgerufen, welche auf die Flächenelemente der zur z- Achse senkrechten Querschnitte wirken. Den ersteren Kräften entspricht der Term Q.1: den letzteren der Term Qv. Denn in (23.) kommen ausschliesslich die Entwicklungscoefficienten a‘n, ß⁴n, y‘n, ö‘n der gegebenen Kräfte R und S (Gleichung (9.)) für das betreffende Argument z vor. Die Summe Qy hängt dagegen nach (22.) von den Functionen F, G, H{ ab, welche die Hauptbiegung und die Torsion des Hohlcylinders an der betreffenden Stelle bestimmen. Es unterscheidet sich also Qo. in analoger Weise von Qy, wie im § 13 der die Einwirkung

der Randkräfte darstellende Ausdruck manden Oter Ordnung der Componente Zz.

Ey

<Py von den übrigen Sum-

Abschnitt IV.

Die an genäherte u Differentialgleichungen für gewisse Fälle des ursprünglich gekrümmten Stahes.

§ 22. Die Voraussetzungen der Rechnung; Transformation der Coordinaten.

In den vorhergehenden Abschnitten wurde der betrachtete Stab als cylindrisch oder als nur wenig vom Cylinder abweichend (§ 8) vorausgesetzt. Auf einen Stab von gekrümmter Gestalt sind daher die bisherigen Rechnungen nicht anwendbar. Indessen lässt sich in gewissen Fällen, nach Einführung anderer Coordinaten, auch bei dem ursprünglich krummen Stabe die den obigen Entwicklungen zu Grunde liegende Methode benutzen, der zufolge die beträchtlichere Grössen -ordnung der einen inneren Druckkraft zu Schlüssen in Betreff der Form der unbekannten Functionen und zu einer Zerlegung der allgemeinen Differentialgleichungen führt.

Die Gestalt des Stabes und die Richtungen der gegebenen Kräfte müssen, damit eine derartige Lösung möglich sei, bestimmten Bedingungen genügen. Die Betrachtung soll hier auf die Fälle beschränkt werden, wo die zwei Voraussetzungen erfüllt sind:

1)    dass eine Ebene existirt, welche den Stab nach seiner Längsrichtung in zwei symmetrische Hälften theilt;

2)    dass alle äusseren Kräfte dieser Ebene parallel sind.

Der ersten Voraussetzung zufolge wird die ursprüngliche Gestalt

des Stabes durch eine ebene Curve angegeben. Man wähle die genannte Symmetrie-Ebene zur yz-Ebene. Dann entspricht in der Anfangslage jedem Theilchen des Stabes mit den (rechtwinkligen linearen) Coordinaten x, y, z ein anderes mit den Coordinaten —x, y, z. Ferner ist die Coordinate x, der Definition des Stabes nach, stets eine kleine Grösse im Vergleich zur Längeneinheit. Die Coordinaten, welche die

Lage eines beliebigen Theilcbens nach der Verrückung angeben, werden wiederum x + g, y + q, z + £ genannt. Von äusseren, der Masse proportionalen Kräften wird nur die Schwerkraft als wirkend angenommen, deren Richtung der —«/-Achse parallel sein möge.

Man erkennt leicht, dass durch die gemachten Voraussetzungen das Moment der Torsion bei dem gekrümmten Stabe, wie früher bei dem cylindrischen, überall nur verhältnissmässig kleine Werthe annimmt. Denn da die ursprüngliche Stabform keine doppelte Krümmung aufweisen, und die der a>Achse parallelen Componenten der gegebenen Oberflächenkräfte gleich Null sein sollen, so bleiben alle zur Torsion gehörigen Hebelarme Grössen erster Ordnung. Sobald man dagegen jene Voraussetzungen, oder auch nur die zweite, fortlässt, wächst das Torsionsmoment im Allgemeinen zu derselben Ordnung wie das Biegungsmoment an, so dass die durch die Torsion hervorgerufenen inneren Druckkräfte in ihrer Ordnung den auf die Biegung bezüglichen Druckkräften nicht mehr nachstehen. Das Verfahren, das für die vorstehenden Rechnungen eingeschlagen wurde, beruht aber im Wesentlichen auf dem Ueberwiegen der Biegung über die Torsion. Hieraus erklärt sich, dass die obigen zwei Voraussetzungen geeignet sind, dasselbe auch Bilden gekrümmten Stab anwendbar zu machen.

Um das Gleichgewichtsproblem für die bezeichneten Fälle des ursprünglich krummen Stabes zu behandeln, ersetzt man die Grössen «/, z durch andere Coordinaten. Es müssen an Stelle der geradlinigen Coordinaten hier krummlinige eingeführt werden, weil eine dem Früheren analoge Classification der einzelnen Werthe nach Grössenordnungen nur möglich ist, wenn die Raumcoordinaten sich der gegebenen Gestalt des Stabes anpassen. Man wähle in der Anfangslage innerhalb der yz-Ebene eine Curve, deren sämmtliche Punkte zum Innern des Stabes gehören. Ein beliebiger Punkt derselben habe parallel der y- und der z-Achse die Coordinaten p und q\ die Gleichung der Curve möge durch

y (p, q) = o

bezeichnet werden. Construirt man in irgend einem Punkte den zur Curve normalen Querschnitt des Stabes, so sollen die Dimensionen der Schnittfläche stets klein sein. Ausserdem soll nirgends ein und derselbe Punkt des Stabes gleichzeitig zwei derartigen Normalschnitten angehören. (Hierbei ist jedoch in den Fällen, wo die Normalebene die Curve (p (p, q) = 0 in mehr als einem Punkte schneidet, nicht von den entfernteren Schnittflächen des Stabes die Rede). Im Uebrigen bleibt die Curve <p (p, q) = 0 beliebig. Es existirt, wie man leicht erkennt, immer eine ganze Schaar von Curven, welche die verlangten Eigenschaften besitzen.

Man betrachte in der Anfangslage zunächst einen in der yz-Ebene liegenden Punkt N, der zum Stahe gehört, und ziehe durch denselben die Normale zu der gewählten Curve cp (p, q) = 0. Diese Normale

Fig. 8.

i-y-Achse

AK

y<

}p

+z -Achse

möge die Curve im Punkte M, die z-Achse im Punkte N' treffen. Die Strecke MN werde durch r, und der Winkel, den die Gerade NN' mit der Eichtung der positiven z-Achse bildet, durch n bezeichnet. Dann ist, der Voraussetzung nach, die Länge r (ebenso wie x) ein gegen die Längeneinheit kleiner Werth. Man rechnet r von M aus nach der einen Seite positiv, nach der anderen negativ. Die Coordinaten y, z des Punktes N stehen, wie unmittelbar ersichtlich, mit den Coordinaten p, q des Punktes M und den Grössen r, n in der Beziehung

(1.) I + r sinn>

{ z = q -j- r cos n.

Es sollen nun an Stelle von y und z die Werthe r und n zur Bestimmung der Lage des Punktes N benutzt werden. Die Grössen p und q sind bekannte Functionen von n allein, da zu der Eelation cp (p, q) = 0 die aus der Betrachtung des Winkels der Normale folgende Gleichung

dp

dq

== — cot n

hinzutritt. Sind daher die Werthe von r und n gegeben, so kennt man durch (1.) auch die zugehörigen Werthe von y und z. Einen Punkt

des Stabes, der nicht in der z/z-Ebene liegt, projicirt man auf letztere, worauf wiederum die Gleichungen (1.) zur Geltung kommen. Es werden also allgemein die 3 Coordinaten x, r, n zur Bestimmung eines beliebigen Punktes des Stabes angewendet.

Die absolute Länge des Bogenelements der Curve y (p, q) — 0 werde ds genannt, so dass

(2.) ds = + /dp* + dq*

gesetzt wird. Dann bestehen, wie bekannt, für ein beliebiges n die Gleichungen

dp

(3.) sin n = ~ ds

Ferner wird die Krümmung der Curve cp(p, q) — 0 durch den Quo-

d?i

tienten — ausgedrückt, da dn den Winkel zwischen zwei auf einander

folgenden Normalen darstellt. Bezeichnet man also den Krümmungsradius dieser Curve durch x, so ist

cos n — —

ds

(4.) r =

ds

dn

Statt der Ausweichungseomponenten rj und £ führt man zwei andere p und ö ein, deren Richtungen mit der zu dem betreffenden Punkte gehörigen Richtung von r und der zu letzterer senkrechten Richtung übereinstimmen. Man setzt

(5.)

rj = q sin n — ö cos n, £ = q cos n + ö sin n,

woraus

f q = rj sin n + £ cos n,

' ’    10= — rj cos n + £ sin n

folgt. Für n = 90° wird q mit rj, und 6 mit £ identisch. Die Transformation entspricht der Drehung des Coordinatenkreuzes der «/z-Ebene um den Winkel 90° — n in der von der positiven y-Achse żur positiven z-Achse fortschreitenden Drehungsrichtung. Die Richtungen des Bogenelementes ds und der Ausweichungscomponente o sind einander parallel.

Man zerlegt in analoger Weise die gegebenen, auf die Oberfläche wirkenden Druckkräfte nach den Richtungen von q und ö. Die in diese Richtungen fallenden Componenten der genannten Kräfte mögen R und S heissen, so dass die 4 Grössen Y, Z, R, S durch die Gleichungen

| Y = R sin n — S cos n, \ Z = R cos n + S sin n

oder

io*

f R = Y sm n + Z cos n,

\ S = —F cos n F F sin n,

verbunden sind.

Die Differentiation der Gleichungen (1.) nach r und n liefert, da p und q von r unabhängig sind, die Werthe

dy dp ,

₇ = sm n,    ~ + r cos n,

dr    dn dn

dy

dz

— = cos n, dr

oder, weil nach (3.) und (4.)

dz

dn dn

dq

— r sm n,

ds

--— cos n = — x cos n.

dn

ds

= — sin n = x sin n

dn

ist, die folgenden:

= sin n,

dy = — (t — r) cos n,

(9.)

dn

dz

= (x — r) sin n.

= cos n,

Differenzirt man sodann die Gleichungen (1.) nach y, so ergeben sich

dn

aus

dr

1 = sin n ——f-

dp

dy

dn

+ r cos n

dr

0 = cos ft ——h

dq

dy

dn

die Relationen

dq . dp — - sm ft--- cos ft — r

dn

dn

dq

— r sm ft,

dn

dq

dn

dp

sm ft —■ —- cos ft — r

dn

= — COS ft.

Nach (3.) ist

also

dq sin n — dp cos n = ds,

dq .

~ sm ft —

dp

dn

dn

cos ft — r — —--r — x — r,

dn

und

dq

— r sm ft =

ds

— rj sin ft = (x — r) sin n.

Durch Einsetzung dieser Werthe und Ausführung der entsprechenden Rechnungen für die Differentialquotienten nach 2 entsteht das Gleichungssystem :

dn

dn

dr

— sin n, — = cos n,

cos n dn sin n x— r⁷ dz X — r"

Da ferner für eine beliebige Function ^ die Gleichungen

(10.)

d<P

d<P

d<P

(11.)

dy

d<P

dy

cos n —

d<T>

dz

sin n =

1    d<Z>

x — r dn

erhalten.

§ 23. Die auf die neuen Goordinaten bezüglichen inneren

Druckkräfte.

Nachdem die Grössen r, n, q, ö an Stelle von y, z, rj, £ in die Rechnung eingeführt worden sind, sollen auch die inneren Druckkräfte, statt auf die y- und z-Achse, auf die Richtungen von r und ds (von q und ö) bezogen werden. Das Flächenelement, welches in einem beliebigen Punkte des Stabes auf der Richtung von r senkrecht steht, werde durch eine Druckkraft in Anspruch genommen, deren Compo-nenten parallel der x-, y-, z-Achse gleich Xr, Yr, Zr sind. Die Projec-tionen der nämlichen Kraft auf die zu q und o parallelen Richtungen nennt man Rr und Sr. Ferner habe die Druckkraft, welche in dem betrachteten Punkte auf das zu 6 (zu ds) senkrechte Flächenelement wirkt, parallel den genannten 5 Richtungen die Componenten

Xs, Ys, Zs, Rs, St.

Man will die Formeln für diese Componenten ableiten und speciell die Kräfte Rr, Ss, Rs, Xr, Xs durch £, q, ö, x, r, n ausdrücken.

Die Werthe von Xr, Yr, Zr und Xs, Ys, Zs ergeben sich aus den in der Einleitung bewiesenen Gleichungen (6.). Die Winkel, welche die Richtung von r mit der positiven x-, y-, z-Achse bildet, sind gleich 90°, 90° — n, n, und die entsprechenden Winkel der Richtung von <s und ds gleich 90°, ISO⁰ — n, 90° — n. Folglich erhält man

Xr — Xy sin n + Xz cos n, Fr = Yy sin n + Yz cos n,

Zr = Zy sin n-{- Zz cos n, Xs = —Xy cos n + Xz sin n, Y s = —Yy cos n -j- Yz sin n, Zs = — Zy cos n -J- Zz sin n.

Sodann bestehen zwischen Rr, Sr, Yr, Zr, respective Rs, St, Ys, Z, die zu (8.) analogen Gleichungen:

j Rr = Yr sin n + Zr cos n,

} Sr = —Yr cos n + Zr sin n,

Rs — Ys sin n + Zs cos n,

Ss = —Ys cos n + Zs sin n.

Durch Einsetzen der soeben erwähnten Werthe von Yr, Zr, Ys, Zs findet man daher für Rr, Ss, Rs die Ausdrücke:

Rr = Yy sin'² n -j- Zz cos² n + 2Yz sin n cos n,

< Ss — Yy cos² n + Zz sin² n — 2 Yz sin n cos n,

Rr — Sr = (Zz — Yy) sin n cos n -f- Yz (sin² n — cos² n).

Es bleibt übrig, dieselben als Functionen der neuen Coordinaten allein darzustellen.

Die Componenten Yy, Zz, Yz sind nach (7.), (8.) der Einleitung gleich den Werthen

Yy = (a — 2b) fr + 2b

Zz = {a — 2b) fr + 2 b

Yz —

b(dv ,3)

(dz ⁺ dy)’ wo fr die kubische Dilatation

dg , dy dg_ dx dy dz

bedeutet. Man hat hierin die Grössen r, n, q, o mittelst der Substitutionen (1.) und (5.) einzuführen. Es ist jedoch zu beachten, dass wenn zunächst nur die Gleichungen (5.) angewendet werden, die Elimination der Variablen y und z aus den obigen Ausdrücken von Rr, Ss, Rs sich in besonders einfacherWeise mit Hilfe der Formeln (1J.) bewirken lässt. Man gewinnt dann die Gleichungen

da

dr

(12.) » = § + ^ +

z-r ß +ö)!’ deren rechte Seiten ausschliesslich die Variablen x, r, n, g, p, o enthalten.

do

R$ — Sr — b

dr

Um die Formel für Xx

ds

Rr =

do

a ~

dr+{a-lb)f

do

(13.)

S,—

— +

dx r — r \dn

dg dQ

dx

dr

Xx — ( öl — 2 &) fr -|- 2 b ——

CIVu

auf die neuen Coordinaten zu reduciren, hat man nur den Werth (12.) für fr einzusetzen. Endlich sind in die für Xr und Xs entwickelten Gleichungen

Xr = Xy sin n + Xz cos n, Xs = —Xy cos n 4- Xz sin n

die Werthe

h (dl + M

\ dy    dx )

= h(¹ k4.ä\

\dx ⁺ dz)

Xy =

zu substituiren, worauf theils die Formeln (11.), theils die Formeln (6.) zur Anwendung kommen. Auf diese Weise findet man:

Xz

Xx =

dg

dö

dr ' t — r \dn

(13.)

Xr - Rx -

do

Xs = Sx = b

, —

dx ¹ z — r dnj

Die Gleichungen (13.) und (14.) geben die Ausdrücke der 6 inneren Druckkräfte für das neue (variable) Coordinatenkreuz an ; sowohl diese Kräfte selbst, als auch die Normalen der Flächenelemente, auf die sie wirken, sind der Richtung von x, von r oder von ds parallel.¹)

Man hat, wie früher, zwischen den Normalkräften, die hier durch Xx, Rr, Ss vertreten sind, und den Tangentialkräften Xr, Xs, Rs zu unterscheiden. Die Formeln der ersteren enthalten allein die Diffe-

die der letzteren allein die übrigen Diffe-

dx⁷ dr dn

rentialquotienten

rentialquotienten von g, p, ö. Ausser den Dilferentialquotienten der Verschiebungen kommen in (13.), (14.) auch die Grössen q und ö selbst vor, und zwar q bei den Normalkräften und ö bei der Tangentialkraft Rs, während in den entsprechenden Formeln des cylindrischen Stabes die Verschiebungen nur als Differentiale enthalten sind. Es ist ferner zu erwähnen, dass wenn an einer Stelle des Stabes die Krümmung gleich Null ist, man zunächst gemäss (4.) den Werth ds für rdn einzuführen und dann r = oc zu setzen hat.

In den Gleichungen (11.) der Einleitung sind diejenigen Verschiebungen bezeichnet worden, die eine Bewegung des starren Körpers darstellen, und die folglich hier, wo es sich nur um die Deformation handelt, als willkürlich anzusehen sind. Man legt diese Ausdrücke, die

ê = Oo + bz — cy,

< Tj — f>₀ + C05 — dZ,

■ S = c₀ + ay — bx,

lauten, zu Grunde, um mittelst der Gleichungen (ü.), q — 7j sin n T- Ç cos n,

6 = — rj cos n -j- ^ sin n, die correspondirenden willkürlichen Werthe von q und ö herzustellen. Gleichzeitig hat man für die Variablen y und z die Werthe (1.) y = p + r sin n, z — q + r cos n

einzusetzen. Dann ergiebt sich, dass bei dem Gleichgewichtsproblem des betrachteten krummen Stabes die unbestimmt bleibenden Bestand-theile der Verschiebungen g, q, a durch die Summen § — a₀ + b ą — cp -F (b cos n — c sin n) r, q = b₀ sin n -f- c₀ cos n

(15.)

+ û (p cos n—q sinw) — (b cos «—csin«)a;, ö = —b₀cosw -f- c₀ sinw

+ ä(r + p sin n -f q cos n) — (b sin n + c cos«).r dargestellt werden, in denen a₀, b₀, c₀, a, b, c willkürliche Constanten bedeuten.

§ 24. Classification nach Grössenordnungen ; die Gleichgewichtsbedingungen des starren Systems.

Da die Coordinaten x und r eines beliebigen Punktes des Stabes als klein gegen die Längeneinheit vorausgesetzt werden, so kann man, wie im § 2, alle in der Rechnung vorkommenden Werthe nach Grössen-ordnungen eintheilen. Hierbei werden x und r als Grössen der Ordnung 1 gerechnet, während sinw, cosw, sowie die von n allein abhängigen Werthe p, q, x die Ordnung 0 haben.

Man lege durch den beliebigen Punkt M der Curve (p (p, q) = 0 die zu letzterer senkrechte Ebene und bezeichne, analog dem Früheren, den Inhalt der Querschnittfläche, in welcher die Ebene den Stab schneidet, durch C. Dann ist C eine Grösse zweiter Ordnung. Der Querschnitt des Stabes wird, abgesehen von den Festsetzungen des § 22, als in beliebiger Weise variabel angenommen, so dass C eine Function von n ist. Der Schwerpunkt der genannten Querschnittfläche habe, von M aus gerechnet, die zur Richtung von r parallele Coordinate r. Ferner mögen die Trägheitsmomente dieser Querschnittfläche, die sich auf eine durch M gehende und zu r, respective zu x parallele Drehungsachse beziehen, durch A und B bezeichnet werden. Man setzt also

(16.)

\ f f x¹ dx dr = A, J f rl dx dr = B,

\ J J dx dr — C, JJr dx dr — Cx, wo die Integrationen sich über den betrachteten Querschnitt erstrecken.

A, B, x sind ebenfalls gegebene Functionen der Variable n, und zwar gehören A, B zur 4ten? und r zur lsten Ordnung. Da nach der Voraussetzung die yz-Ebene in der Anfangslage den Stab in zwei symmetrische Hälften theilt, so bestehen für ein beliebiges n, wenn man über den zur Curve ç> (p, q) = 0 normalen Querschnitt integrirt, die Gleichungen:

(17.) J‘ f x dx dr — 0, J'J'x r dx dr = 0.

Denn die Integralelemente, die zu je zwei symmetrisch gelegenen Punkten x, r, n und — x, r, n gehören, heben sich gegenseitig auf. Die erste der Gleichungen (17.) sagt aus, dass die Gerade, in welcher die yz- Ebene den betreffenden Normalschnitt schneidet, den Schwerpunkt desselben enthält, und die zweite, dass diese Gerade eine der Hauptträgheitsachsen des Normalschnitts ist, was sich aus der Symmetrie der Figur ohne Weiteres ergiebt.

Von den gegebenen Oberflächenkräften wird nach § 22 die Com-ponente X gleich Null angenommen. Die übrigen Componenten Y, Z, und daher auch R, S, gehören (§ 2) zur Ordnung 0.

Im § 1 wurden die 6 Gleichgewichtsbedingungen des starren Systems für den einen der zwei Theile entwickelt, in welche der cylin-

drische Stab durch einen beliebigen Normalschnitt zerlegt wird. Die entsprechenden Gleichungen sind für den krummen Stab aufzustellen. Man betrachte den Abschnitt, welcher zwischen der obenerwähnten Normalebene durch den Punkt M und dem einen Stabende liegt. In den 6 Gleichgewichtsbedingungen für denselben kommen ausser den gegebenen Kräften die Componenten Xs, Rs, Ss vor. Die Bedingung, dass die der ar-Ackse parallelen Componenten die Summe 0 haben, reducirt sich, da X = 0 ist, auf die Gleichung (18.) ffxsdxdr = 0,

wo die Integration über den Querschnitt auszudehnen ist. Man setzt sodann die Summe derjenigen Componenten gleich Null, welche der zu M gehörigen Richtung von r, respective von ds, parallel sind. Man hat zu diesem Behuf einerseits die Kräfte — Rs, — Ss über den Quer- ?. schnitt, andererseits die in (8.) angegebenen Componenten R, S über den betrachteten Theil der Staboberfläche zu integriren; die Grösse n gilt hierbei für constant. Ausserdem treten die Componenten der Schwerkraft hinzu. Zur Abkürzung bezeichne man durch g und h die Ausdrücke

(19.)

— cos n

) f f Rs dx dr — g,

i J¹f S* dx dr = h.

Die Grössen g und h sind gegebene Functionen von n, die sich (analog zu § 1) aus Summanden der lsten und 2ten Ordnung zusammen-

| sin n fYdTY cos n JZ dT — JT sin n Jdm — g, fYdTX sin n JZ dT + J'cos njdm = h, in denen F die Constante der Schwerkraft, dT das Oberflächenelement, dm das Massenelement bedeutet, und die Integrationen sich auf die Oberfläche, respective die Masse des in Rede stehenden Stababschnitts beziehen. Dann erhält man als zweite und dritte Gleichgewichtsbedingung die Gleichungen:

(20.)

setzen.

Bei den Bedingungen für die Kräftepaare wird M als der Punkt genommen, von dem aus die Hebelarme gemessen werden. Man zieht von M die Parallele zur rr-Achse, sowie die in die Richtung von r und ds fallenden Geraden. Dann mögen durch G, F, H die resul-tirenden Drehungsmomente bezeichnet werden, welche die gegebenen, auf den Stababschnitt wirkenden Kräfte in Bezug auf die genannten drei Geraden als Drehungsachsen haben. Die Gleichgewichtsbedingungen für die Kräftepaare lauten hiernach:

I ffxS*

(21.)    | f f r Ss dx dr — G,

' / J(xR$ — r Xs) dx dr — H.

dx dr = F,

Die Ausdrücke der Grössen F, G, H (als bestimmte Integrale) sollen hier nicht ausführlich wiedergegeben werden, da sie den Werthen F, G, H im § 1, respective im § 8, analog gebildet sind. "Was die Ordnungen derselben anbelangt, so gehören die beträchtlichsten Bestand-theile von F und H der 2ten? die beträchtlichsten Bestandtheile von G der lsten Ordnung an. Denn da nach der Voraussetzung X = 0, also alle gegebenen Kräfte zur yz-Ebene parallel sind, so haben die Hebelarme bei zweien der obigen drei Drehungen die Ordnung 1; nur bei der Drehung um die Parallele zur x-Achse kommen Hebelarme von der Ordnung der Längeneinheit zur Geltung. Man setzt ferner

( ff — 9\ + ff2) h =

G = Gi + G₂ + Gs, H= Hx + H₂

( F — Fl + F₂

indem man in gi} hl} G\ die Glieder lster Ordnung von g, h, G zusammenfasst, und durch g.₂, h-₂, Fu Gi} IĄ die Bestandtheile 2ter Ordnung von g, h, F, G, Jl, durch F-₂, G$, //₂ die übrigen Bestandtheile von F, G, H bezeichnet.

§ 25. Die Form der Functionen g, p, ö.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen, welche im vorigen Paragraphen für den durch eine beliebige Normalebene begrenzten Abschnitt des Stabes abgeleitet wurden, zieht man, wie im § 2, Schlussfolgerungen in Betreff der Ordnungen der inneren Druckkräfte. In den Gleichungen (21.) sind die Componenten X„ Rs, Ss mit den Hebelarmen lster Ordnung x, r multiplicirt, und die links stehenden Integrale erstrecken sich über die zur 2ten Ordnung gehörige Querschnittfläche. Da nun ausserdem die Ordnungen der rechten Seiten dieser Gleichungen bekannt sind, so kann man gewisse Ordnungen, welche die genannten Componenten zum Mindesten annehmen, ermitteln. Die Function G ist nach § 24 von der Ordnung 1 ; also muss die Kraft Ss, damit das in der zweiten Gleichung (21.) vorkommende Integral j\f rSs dxdr gleich G sein könne, die Ordnung — 2 erreichen. Das Torsionsmoment H hat in Folge der Voraussetzungen des § 22 die Ordnung 2; daher ergiebt sich aus (21.) — und ebenso aus (20.) — für die Componenten Xi und Rs nur die Ordnung — 1. Man schliesst ferner analog zu § 2, dass auch in Betreff der 3 übrigen inneren Druckkräfte Xx, Rr, Xr kein Umstand vorliegt, der für dieselben eine ebenso beträchtliche Grössenordnung wie für Ss forderte.

Aus den Ordnungen der inneren Druckkräfte sucht man nun, in ähnlicher Weise wie bei dem cylindrischen Stabe, Aufschluss über die Form der unbekannten Functionen, durch welche die Verschiebungen dargestellt werden, zu gewinnen. Man stellt sieh, im Einklang mit den obigen Erwägungen, die Aufgabe, eine Lösung der Differentialgleichungen abzuleiten, bei welcher die Kraft Ss von beträchtlicherer Grössenordnung als alle übrigen inneren Druckkräfte ist, indem sie allein die Ordnung — 2 annimmt. Wie die folgenden Entwicklungen zeigen, existirt in der That eine derartige Lösung, durch welche sowohl die Gleichungen für das Innere als die Oberflächenbedingungen befriedigt werden. Und da das Problem nur eine eindeutige Lösung zulässt, so wird die hier aufgestellte Bedingung durch das schliessliche Resultat der Rechnung verificirt.

Es sollen zunächst die Normalkräfte Xx, Rr, Ss betrachtet werden, für die nach (13.) und (14.) die Formeln

da

+ {a — 2b) J

Xx —

Rr =

a + {a — 2b) j

dö

s,=

bestehen. Um die Forderung, dass nur Ss die —2te? die übrigen Componenten eine höhere Ordnung haben, zu verwerthen, wendet man für die Verschiebungen g, p, ö, wie früher für g, rj, £, eine Substitution an, welche ihre einzelnen Summanden in Bezug auf die Grössenordnung unterscheidet. Man setzt — U\ + U₂ + Uq -j- u,

(22.)

—    + T % -f- v₀ + v,

= W x -F ff 2 ~b w;o U w i indem man durch L\, J), Wt diejenigen Bestandtlieile der Functionen s, q, ö, die zu einer beträchtlicheren Ordnung als der — lten gehören, bezeichnet, ferner durch U₂, V₂, W₂ die Bestandtlieile — Der, durch u₀, v₀, tv₀ die Bestandtlieile Oter Ordnung derselben. Die Grössen u, v, w enthalten die Terme positiver Ordnung von g, p, o.

Der Bestandtheil — 2ter Ordnung der Componente Ss werde J genannt. Sodann sollen der Abkürzung halber diejenigen Summanden

—    —q'J, deren Ordnungszahl eine grössere negative Zahl als

von

r —

— 1 ist, in Xi) die übrigen in x-₂ zusammengefasst werden, so dass

⁽²³-> ?^®-e):=Zl+X2

gesetzt wird.

Man trennt nun auf den rechten Seiten der obigen Gleichungen für Xx, Rr, S, die Glieder, die der — 2ten oder einer niedrigeren Ordnung angehören, von den übrigen, wobei zu beachten ist, dass die

dlĄ dU₂ dV₂ dV2 dx ’ dr ⁷ dx ⁷ dr Dann erhält man in Folge der Bedingung, dass Ss allein die Ordnung — 2 erreichen soll, die (zu (17.) des § 3 analogen) Gleichungen

djVi + Vz)

Differentialquotienten

die Ordnung — 2 annehmen.

j

«Zi + (a —2&)

<*(%■+%) , d(V₁+V₂)

dx

dr

= J,

aus denen sich die Werthe

d {Uy + Ut) _ d{Vx + V₂)

dx

dr

Xi E

ergeben. Zwei der letzteren 3 Gleichungen gestatten eine weitere Zerlegung. Denn die Grössen J, C^~ sind ihrer Definition nach von

CIJU CI/

dVy

falls sie

der — 2ten Ordnung, während die Terme von und

⁷    dx    dr

von Null verschieden wären, einer beträchtlicheren Ordnung als der

—    2ten angehören müssten. Daher entsteht das Gleichungssystem :

(25.)

El’

<²⁴-> dx dr dCk _ dVi dx dr

Ferner erhält man, weil Xr keine niedrigere Ordnung als die

—    lte haben soll, aus dem Ausdruck (14.) der genannten Componente die Gleichungen:

(26.)

dVy

dx °’

¹

Die Formeln, durch welche die Druckkräfte und die Differentialgleichungen des isotropen Mediums auf die allgemeinen orthogonalen Coordinaten zurückgeführt werden, sind zuerst von Lamé hergestellt worden; man vergleiche sein Werk: „Coordonnées CurvilignesParis, 1859, Leçons XV und XVI. Eine Vereinfachung der Lamé’schen Rechnungen hat der Verfasser in Schlömilch’s Zeitschrift für Mathematik, Jahrgang 19, 1874 („Ueber die Herstellung des Ausdrucks A F etc.“) angegeben. Andere, auf die Variationsrechnung gegründete Ableitungen der genannten Formeln sind von C. Neumann (in dem Crelle-Bor-chardt’schen Journal, Bd. 57) und von Borchardt (in demselben Journal, Bd. 76) veröffentlicht worden.

(27.)

+ £-«■

Durch Differentiation der Gleichung (26.) nach r und nach x und Anwendung der Gleichungen (24.) findet man dann

dr²

dx²

d²Uy d²Vy _ ₀

von x. Gleichungen

Dies zeigt, dass die Grösse Uy, die nach (24.) nur von r, n abhängt, eine lineare Function von r ist, und ebenso Vx eine lineare Function Nach Berücksichtigung von (26.) gelangt man daher zu den

(28.) Ui = R + Wir, Vi = 2 — Tlx,

wo Ą 2, TI Functionen von n allein bedeuten. Der Definition von Ui, Vi zufolge können die Summanden von £ und 2 die Ordnungen — 2, — 3 etc., die Summanden von die Ordnungen — 3, — 4 etc. annehmen. Um für das Folgende eine genauere Bezeichnungsweise zu haben, setzt man

(29.)    2 = 2i+2,, Tl = Tli + Tl₂.

Hierin sollen £₂, £2 die Bestandtheile — 2ter Ordnung von !R, 2, ferner 9ft₂ den Bestandtheil — 3*er Ordnung von 9JÏ bedeuten, während die Terme von erheblicherer Ordnung respective in    ^ zusammen

gefasst werden.

Aus den in (13.) und (14.) angeführten Formeln der Tangentialkräfte Rs und Xs,

Xs = b

Rs = b

! +—

(    r — r dn )

Tzrr(r£ +ß)j>

leitet man zunächst eine Gleichung ab, in welcher die Variable ö nicht vorkommt. Die nach r, bezüglich x, differenzirten Werthe

IS

1    d²g___

axdr ¹ r — r drdn^ (r — r)² dn ¹

d'²0

d²6

d'²ç

do

dê

b dx

dxdr ' x — r \dx dn dx

do

werden von einander subtrahirt, und der Differentialquotient ~~ durch

Xs ausgedrückt. Dann ist o eliminirt, und man erhält nach Multiplication mit (r — r)² die Gleichung

+ T-^Xs =

(r — r)² / dXs dRs

b \ dr    dx

dê

dn

+ (J — r)(

d²£

dr dn dxdnr

welche zu einer Relation zwischen den Functionen und führt. Da dem Obigen zufolge die Componenten Xs, Rs die Ordnung — 1,

dX dR

ihre Differentialquotienten —-,    die Ordnung — 2 haben, so kann

U/I (IJü

auch die rechte Seite der letzten Gleichung keine Glieder von erheblicherer Ordnung als der — 2ten enthalten. Aber nach (22.), (28.), (29.) ist

in welchem Ausdruck die Functionen und ausschliesslich aus

dn    dn

Summanden der —3ten? —4ten etc. Ordnung bestehen, während die übrigen Terme zu der —2ten oder einer höheren Ordnung gehören. Folglich sind ^ und 3JÎ durch die Gleichung

(30.) ^ + r = 0 ⁷ dn    dn

verbunden.

1 dUx — r dn

1    d ([U2 -j- Mq -j- w)

Man setzt sodann in die Formel der Componente Xs die Werthe (22.) für g, q und ö ein, wodurch die Gleichung d{Wx+ Wi)

dx

d(rv₀+rv)

dn

² § +(T-r) (

2— 4- 2t—-dn

+ 2:^

d%

dn

cm

dr dn dx dn

d (U, + Uq -f- u)

dn

dn

, / \ i d-{Ui-\- uü+ u) d²(V2+^o+^)[

^ l dr dn    dx dn ) ’

dx

entsteht. Nun haben die Grössen

d{rv(x-\- w) 1    d(^U%-\-Uq-\-u)

x — r

die —lte oder eine höhere Ordnung. Also müssen die in der Summe

d(Wj+ Wj) t 1 m x — r dn

enthaltenen Terme der —2ten? — 3ten etc. Ordnung für sich verschwinden. Nach (28.), (29.), (30.) ist

1 dUy _    __1_ d®2

dn x — r dn

Xs,

dx

dx

x — r dn

dn

und in dem Ausdruck

gehört nach Substitution der Keihe

x— r dn

= — + — + -, + ••• in inf.

Xz T³

1    d®, ₂    „ ,    t    . -,    ..

—- zur Ordnung —2. ln ——- sind alle x dn    dx

dWx

nur das Anfangsglied

alle von einer niedri-

dx

Summanden von der —2ten Ordnung, in

geren Ordnung als der — 2ten, wie aus den Definitionen von Wx und folgt. Daher ergeben sich die Gleichungen

oder

(31.)

1    i jrr

^2 =---

x dn    ¹

wo und ?P₂ nur von r und n abhängen.

Endlich transformirt man, um die Functionen Wt und W₂ näher

zu bestimmen, die Formel für die Componente Rs ebenfalls mittelst

der Substitutionen (22.) und der letzterhaltenen Gleichungen. Für den

X-T

d(Wy + W₂) ^

-~RS = (r—r)

Ausdruck —— Rs findet man durch (13.) und (22.) die Gleichung x —

dn

160

§ 25, si.

dWy _<m ₌

dx dn dW% 1 dRa _ 0 Æc T dn ’

dr

+ (r — r)

d (mQ + w)    d ( V-2 + Vg + v)

dr

dn

F W₂ + rv₀ + rv

und da Rs die Ordnung — 1 hat, so müssen die ßestandtheile —- 2ter — 3ter? etc. Ordnung der Function

(r — r)

+ ,<El +w

dr

dn

gleich Null sein. Aber nach (28.) und (31.) ist

+ wt) ₊ w± + w

(r — r)

rd*l + dr dn

Während die Grösse W₂, als ein Theil von W₂, zur Ordnung — 1 gehört, haben die Summanden von die — 2te oder eine niedrigere Ordnung. Man substituirt in Folge dessen

2*1 = Vcc + V>a — i + • • • + ^3 + ^2}

d2

dr

m    dV,\,₍    , d*P₂

+ W'-rHF + ^-^-dr-

indem man durch ip.₂ den Bestandtheil — 2ter durch den Bestand-theil — 3ter etc. durch ipa den Bestandtheil — «ter Ordnung von bezeichnet. Dann erhält man

d{Wt +'W₂)    dVt

(x — r)

dr

dn

F Wv

dn

T d (ipg -F • • • + ^2) ₊ d2

dr

dr

In letzterem Ausdruck ist der Term x

*Pa

von der Ordnung — {a + 1), dr

also von beträchtlicherer als ipa, r ^5 und die von y>a_1}

abhängigen Summanden. Hieraus folgt, dass von r unabhängiger

ist. Denn x muss entweder gleich Null sein oder sich gegen einen

dr

dr

es

fortheben. Die

ßestandtheil der nur von n abhängigen Function Grösse ist also eine lineare Function von r. Man setzt

tya ⁼⁼⁼ 9ar d~ ^«7

wo t)ft Functionen von n allein sind, und die Ordnung —(a -f- 1)? t)a die Ordnung — a hat. Zur Ordnung — a gehören, abgesehen von

es    e^a_

einem ßestandtheil von —, nur die Ausdrücke x—-—

dn    dr

dipa

r~—~: und da die letzte Gleichung die Beziehung dr

,

r dr K

dtya—i

ergiebt, so ist auch ——— eine Function von n allein, also    eine

lineare Function von r, die durch gß_ir + t)ü_₁ bezeichnet werden möge. Der gleiche Schluss wiederholt sich für alle folgenden Glieder ipa 2> .... und endlich auch für *P₂ ; denn der zur Ordnung — 2

gehörige Term

Function, nämlich gegen ip-₂ — r

fortheben. Somit ist bewiesen, dass die beiden Grössen Wx und lineare Functionen von r sind. Man setzt daher

dn

- ₇    und

muss sich gegen eine von n allein abhängige

und einen ßestandtheil von

dZ

dn

wo &i, iQi, ©2> £>2 nur von n abhängen. Die Grösse hat die — lte; (g₂ die — 2te Ordnung; in <£h ist die Ordnung aller Summanden niedriger als die — lte, in ©! niedriger als die — 2te.

Die Function

(r —r)

d{w, + r₂) ar,

-+ ~ä^ + w'’

dr

welche sich dem Vorhergehenden zufolge auf die Ordnung — 1 redu-ciren soll, nimmt durch (32.) den Werth

r ®‘ ⁺ ä + + (T_r) ®²

11

an. Hierin ist allein der Term r ©₂ von der Ordnung — 1 ; alle übrigen Glieder gehören zu niedrigeren Ordnungen. Also ergiebt sich die Gleichung

x (@i -f- ©2) +

dS

dn

oder

d£

(33.)    +

Indem man die Werthe (32.) und (33.) in die Gleichungen (31.) einsetzt, findet man für und die Ausdrücke

d2

(34.)

Wl1 ïÊ x + ®*r + &”

in denen $₂>    501, ©1, ©₂> ^2 unbekannte Functionen von n allein sind.

§ 26. Die Functionen J, Z7₂, V₂.

Die letzte der Gleichungen (25.)

J

Xl E

stellt die Beziehung dar, in welcher der zur Ordnung — 2 gehörige Bestandteil J der Kraft Ss zu den Verschiebungen steht. Die Grösse

defi-

nirt, welcher die Summanden von niedrigerer als der — lten Ordnung umfasst. Die obige Gleichung zeigt, dass Xi, ebenso wie J, die Ordnung — 2 hat. Multiplicirt man also (23.) mit x — r, so hat auf der rechten Seite der hierdurch entstehenden Gleichung

d° — Q = Xir + X2 (r —r)

Xi wurde in (23.) als derjenige Bestandteil von ——    —q

T 7* \ (V)ls

dn

das Glied x\T allein eine erheblichere Ordnung als die — lte. Die linke Seite derselben geht aber durch (22.) in die Summe

d (#2 +    + rv)

dö

dWx

dn

Vi +

dn

( F₂ + Vq -f- v)

über, in welcher nur und Vl von niedrigerer Ordnung als der — lten sind. Daher findet man

XiT =

dn ¹

und folglich

w '-K5-4

Aus (35.) erhält mau, wenn für F1? U\ die Werthe (28.), (34.), und gleichzeitig- für £, die Werthe (29.)

substituirt werden, die Gleichung

xJ

+ £i +

_- r_j d²^²

du ( dn¹

dn²

dm

d{ T©0

dn

+ S-2 +

d(x®.₂)

dn

Hierin sind die Terme

d²Q

dn²

+ £1 +

dn

xJ

von der

von niedrigerer Ordnung als der —2ten? die Grösse —

— 2ten • ferner können nach der Definition von ©, in dem Produkt

d®i —— r

Summanden der Ordnungen — 2, — 3 etc. Vorkommen, während

die übrigen Glieder der rechten Seite theils zur —2ten; theils zu einer höheren Ordnung gehören. Der Forderung, dass die Bestandteile der rechten Seite von beträchtlicherer Ordnung als der —2ten sich gegenseitig auf heben, kann aber für beliebige Werthe von x, r, n nur in der Art genügt werden, dass die obigen Factoren von x und r für

sich verschwinden. Man folgert daraus zunächst, dass    aus-

°    dn

dn

schliesslich Terme der —2ten₇ also

d®>

dn

ausschliesslich Terme der

— 3ten Ordnung enthält. Ausserdem ergeben sich die Gleichungen

dm

(36.)

dn²

(37.)

d²2

+ ml = o,

d{ x®i)

dn²

dn

so dass für J, nach Einführung der abgekürzten Bezeichnungen ₍d²&₂

(38.)

dn²

+ £2 +

d(x®₂)

dn

dm₂

dn²

die Gleichung

d® 1 —r

entsteht.

Die auf U₂ und V₂ bezüglichen Rechnungen sind denen analog, welche im § 3 für die daselbst vorkommenden Grössen U₂, V₂ angestellt wurden. Die drei Gleichungen (25.) und (27.), die für U₂ und V₂ gefunden wurden, lauten nach Berücksichtigung von (39.)

£®i r_n

dn

^-(MxĄ

(dü.₂ _ dVi dx dr

dÜ2 dj^

dr dx

Aus den beiden ersten Gleichungen folgt

TT    E (Mx¹    d®

Uï - ⁺

= 0.

EXX

V₂ =

Lxj + //, (r, n),

L(Mxr + Ê®i Ç_Zr) + n,(x,„),

dn

xr —

wo Ilx nur von r, n, und IJ₂ nur von x, n abhängt. Durch Substitution dieser Werthe von U₂, V₂ in die dritte Gleichung erhält man

dllx(r, n)

E d®

dU₂{x, n)

Exx dn

dx

E

—— Mr

Exx

dr

Da hier die linke Seite nicht von r, die rechte nicht von x abhängt, so sind beide gleich einer Function von n allein, die durch &x bezeichnet werden möge. Aus den Gleichungen

d II] (r, n)

dr

dl7₂(x, n)

dx

= +S₁₊ *

Exx dn

werden dann die Werthe

nx(r, n) = —%xr ■+

ü₂(x, n) =

Ex x 2

E x²

Ex x dn 2

TT + D[

abgeleitet, in denen ^ und Di Functionen von n allein bedeuten. Auf diese Weise findet man für U₂, V₂ die Gleichungen:

Ex x V 2

U₂ = —

d®

(40.)

dn

xr — Lx) —    -|- $ßi,

Lr^j -j- ^jX -j- Di.

E /d®i r²—x2 Ex x \ dn

Von den Grössen ^, D1? Xx gehören die beiden ersteren, wie aus der Definition von U₂, V₂ folgt, zur Ordnung —1, dagegen zur Ordnung —2.

|r₂

§ 27. Bestimmung der Functionen £J} 9JÎ, ©

Durch die vorstehenden Entwicklungen sind die Werthe von

U„ Vu V₂, Wt, W₂

so weit bestimmt worden, dass nur die von n allein abhängigen Functionen, welche in (28.), (34.) und (40.) Vorkommen, unbekannt geblieben sind. Von letzteren kann man nun die Functionen £1? TI, ©i, deren Ordnungszahl eine grössere negative Zahl als — 2 ist, dadurch ermitteln, dass man die bisher gewonnenen Ausdrücke in die Gleichgewichtsbedingungen (20.), (21.) des § 24 einsetzt. Die Rechnung ist der im § 5 angestellten ganz analog; man gelangt durch dieselbe, wie bei dem cylindrischen Stabe, zu einer ersten angenäherten Lösung. Allerdings ist die Form der Differentialgleichungen, welche sich für die unbekannten Functionen ergeben, hier zum Theil eine andere, als im § 5; es ist zu beachten, dass die Bewegungen des starren Körpers, welche willkürlich bleiben müssen, in den krummlinigen Coordinaten durch die Ausdrücke (15.), § 23, dargestellt werden.

ffx Ss dxdr = F, ffr Ss dx dr — G, f f Ss dxdr — h,

angewendet werden. Man betrachtet in den 2 ersten dieser Gleichungen die Terme lster; in der dritten die Terme Oter Ordnung. Da der Bestandteil — 2ter Ordnung von Ss durch /, der Bestandteil lster Ordnung von G durch Gx bezeichnet wurde, und F zur 2ten; h ZUr lsten Ordnung gehört, so gelangt man zu den 3 Gleichungen

Von den Bedingungen (20.), (21.) sollen die auf die Componente Ss bezüglichen

f Jx J dxdr = 0,

(41.) < f f r J dx dr — Gl} f f J dx dr = 0.

Nach Substitution des Wertes (39.) der Function J treten die von

n allein abhängigen Factoren M -—-¹ L vor die Integralzeichen. In-

dn

dem man dann die Gleichungen (16.) und (17.) berücksichtigt, gewinnt man aus (41.) die 3 Bestimmungen:

m M=d^ + w* = l>’

t Gx

dn

tGi

d®

dn

Die Gleichung (42.) hat dieselbe Form wie die Gleichung (36.), und da 9JI = 9Jlj + 9Jt₂ gesetzt war, so genügt die Function m der analog gebildeten Differentialgleichung

am

(44.)

dn²

+ a» = o.

Die Auflösung der Gleichungen (43.) liefert für und L die Ausdrücke

E B—Cx²’ 1 rvGi

L E B—CX*

wodurch für Ch der Werth

(45.) ©j =

iß

xG₁

B—Cx²

dn,

und für ß₂ die Differentialgleichung

(«•) ^+2,+

d (t©₂)

1 XX Gy E B — Cx²’

deren linke Seite der Form nach mit (37.) übereinstimmt, erhalten wird. Der Gleichung (44.) zufolge ist 91t gleich der Function 9Ji = b cos n — c sin n,

wo b und c beliebige Constanten bedeuten. Man verbindet hiermit die Gleichung (30.)

dn

d%

dm

dn

dn

Dann ergiebt sich für ^ der Werth

= h,/x sin n dn + c/r cos n dn oder, wenn man die Gleichungen (4.) und (3.)

x =    , sin nds = da, cos nds =—dp

dn

benutzt und durch a₀ eine willkürliche Constante bezeichnet, der folgende

— cto + bq— cp.

Die von und abhängigen Glieder der Verschiebungen §, q, o lauten somit nach (28.), (29.), (34.)

I = Ct₀ + hq — cp + (b cos n — c sin n) r, q = — (b cos n — c sin n) x,

6 — — (b sin n + c cos n) x.

Der Vergleich mit den Formeln (15.) zeigt aber, dass die letztgenannten Werthe vollständig in denjenigen Ausdrücken enthalten sind, welche hier überhaupt beliebig bleiben. Daher ist es keine Beschränkung, wenn man setzt.

Die Function S₍ wird durch die Differentialgleichung (37.) d^

dri¹

+ Si =

d(x(& i)

dn

bestimmt, in welche für der Werth (45.) zu substituiren ist. Durch Integration nach bekannter Methode findet man als das Integral dieser Gleichung

Si = sin n (b₀ —sin n dn)

+ cos n (c₀ —cos n dn),

wo b₀ nnd c₀ willkürliche Constanten sind. Man darf indessen auch b₀ = c₀ = 0 nehmen, ohne die Allgemeinheit der Rechnung zu beeinträchtigen. Denn da von der Function wie aus (28.) und (34.) hervorgeht, nur die in q und ö enthaltenen Summanden

Q Sj,    6

d&

dn

abhängen, so kommen b₀ und Cq ausschliesslich in den Termen | q = b₀ sin n + c₀ cos n,

\ ö = — b₀ cos n + Co sin n

vor, welche ebenfalls zu den in (15.) angegebenen Ausdrücken gehören. Auf diese Weise erhält man für die Gleichung

(48.)    = —c,o$nJ'x(&iQ,o&ndn— sin njx ($i sin n dn,

der man durch Anwendung der aus (3.), (4.) folgenden Relationen tcosndn = —dp, rsinndn — dq

die Gestalt

(49.) 2i = cos nf©i dp — sin nfdq

geben kann. Der Differentialquotient    ist hiernach gleich der

Summe

dn

= — sinnJ'&xdp — cos nf ©i dq — t©!,

woraus sich für das in W, enthaltene Binom —-j- der Werth

dn

— sin nj'&idp — cos nj'&^äq

ergiebt. Die Grösse Sj gehört, wie ©i; zur Ordnung —3.

Die Function ©! wurde in (45.) gleich einem unbestimmten Integral gefunden, so dass in derselben eine additive Constante willkürlich geblieben ist. Es soll gezeigt werden, dass letztere für die gesuchten Ausdrücke der Verschiebungen unwesentlich ist. Lässt man ©i um eine beliebige Constante a wachsen, so erfährt nach (49.) die Function £i das Incrément

ö (p cos n — q sin n)

168

§ 27 50.

und die Function -₇— -j- rGh das Incrément dn

— a (p sin n + q cos n).

Der erstere Werth stellt nach (28.) gleichzeitig den Zuwachs von V, dar, während Wx sich um

et (r + p sin n + q cos n)

vergrössert, und die Ausdrücke (40.), (34.) für ü>, V₂, W₂ sich nicht ändern. Die Vermehrung der Function Gb um die Constante a hat daher nur das Hinzutreten der Terme

j q = a (p cos n — q sin n),

\ ö = a (r -j- p sin n + q cos n)

zur Folge. Und da diese wiederum in den unbestimmt bleibenden Werthen (15.) enthalten sind, so ist bewiesen, dass die Integrationseonstante des Integrals (45.) keinen Beitrag zu Verschiebungen, die eine Deformation des Stabes bewirken, liefert.

Die obigen Erörterungen lassen erkennen, dass die Functionen ©i, 3)1, $!, S, durch die erhaltenen Differentialgleichungen vollständig bestimmt sind, abgesehen von denjenigen Bestandtheilen, welche der Natur des Problems nach hier willkürlich sein müssen. Die Gesammt-heit der bei Gb> 3JÏ, £i auftretenden Integrationsconstanten führt in die Ausdrücke von g, q, ö nur gerade die in (15.) angegebenen Summen ein, die sich auf die Bewegungen des starren Stabes beziehen.

Durch Substitution der Werthe

4/ = 3JÎ =    = 0, L = x~-

dn

ergeben sich aus (28.), (34.), (40.) für £4, Ft, Wx, U₂, V₂, W₂ die Ausdrücke

JJ\ -

Fi = Si + S₂,

W\ =

E d(&x fr²— x² \    ^    ~

Wr —»rj + aix + D,, r’ ⁼ -Vi1 + 8,, + fe

in denen nach (45.) und (48.)

(50.)

r₂ =

» - kr

xGx

dn,

B— Fr²

Si = — cos nyV®! cos n dn — sin n    sin n dn

zu setzen ist.

§ 28. Die in erster Annäherung geltende Lösung.

Um diejenigen Ausdrücke der Verschiebungen, die für die erste Annäherung anzuwenden sind, zu erhalten, beschränkt man die Werthe von g, q, ö auf die niedrigste vorkommende Ordnung, d. h. auf die — 3te. Dann entstehen aus den Gleichungen (22.) und (50.), da 2-2, ($2 und das Produkt %xr zur Ordnung — 2 gehören, die Formeln

wo ©i und £[ die Werthe (45.) und (48.) haben.

Die Kraft Ss ist in erster Annäherung ihrem Bestandteil — 2ter Ordnung /gleich zu setzen. Daher gelangt man nach Berücksichtigung der oben abgeleiteten Werthe zu der angenäherten Gleichung

B—Cr² *

<⁵²->

Es ist zu bemerken, dass die durch die Gleichungen (51.) und (52.) ausgedrückte angenäherte Lösung weniger vollständig ist, als die in § 5 gefundene Lösung, die sich auf den cylindrischen Stab bezieht. Denn die letztere enthält sowohl bei den Verschiebungen g, rj, £ als bei der Componente Zz die Summanden der zwei beträchtlichsten Ordnungen, während hier nur die Anfangsglieder der entsprechenden Grössen bestimmt sind.

JO

Setzt man in (51.) für £ź und -i + r©! die im vorigen Para-

dn

graphen ermittelten Functionen ein, so folgt

j ç = cos nf ©i dp — sin nj ©! dq,

I ö = sin nJ*©i dp + cos n f ©, dq.

Um die zugehörigen Werthe der Ausweiehungscomponenten rj und g zu erhalten, braucht man nur die letzten Gleichungen mit den Formeln (6.) zu vergleichen. Dann ergeben sich sofort die Ausdrücke

—/©i dq, g = /©i dp.

Da die Grösse ©j nach (45.) selbst gleich einem unbestimmten Integral ist, so erscheint es zweckmässig, auf J©j dp und J"dq die theil-weise Integration anzuwenden, wodurch für ^ und g die Gleichungen entstehen :

Hieraus folgt, dass die rechte Seite von (52.) in Zähler und Nenner

rt

dem Ausdruck —analog gebildet ist. Für den gekrümmten, zur yz-

Ebene symmetrischen Stab gilt also in Betreff der Biegung in der yz-Ebene dasselbe Gesetz, wie für den cylindrischen Stab, indem die in der Längsrichtung auftretende Druckkraft von erheblichster Ordnung in jedem Normalschnitt direkt proportional zu der auf den Schwerpunkt bezogenen relativen Coordinate und umgekehrt proportional zu dem vorerwähnten Trägheitsmoment ist.

Im § 5 wurde ferner die Beziehung untersucht, in welcher die in (42.) vorkommenden Functionen zu der Gestalt der elastischen Linie stehen, und man fand, dass sowohl bei der Biegung in der horizontalen als in der vertikalen Ebene der angenäherte Werth von Zg gleich dem Produkt aus der Krümmung der elastischen Linie und der Grösse — Ex, respective — Ey, war. Ein ähnlicher Satz folgt für den ursprünglich krummen Stab aus den Näherungsformeln (51.) und (52.); nur ist als Factor nicht, wie bei dem cylindrischen Stabe, die vorhandene Krümmung selbst, sondern der Zuwachs der Krümmung, der durch die Deformation eintritt, anzuwenden. Man bezeichne den Krümmungsradius derjenigen Curve, in welche die Curve cp (P) 0) — 0 durch die Verrückungen (51.) übergeht, durch x‘ und

--durch co. Dann ist, wie bewiesen werden soll,

X    ¹

die Kraft Ss zu der Grösse m proportional.

r'

die Differenz K

Für die Krümmung — besteht bekanntlich, da dieselbe gleich dem x

Quotienten aus dem Differential des Tangentenwinkels d arc tang

dq d²p — dp d²q

ds³

und dem Bogendifferential äs ist, die Formel dq d²p — dp d ²q (dp² + dq²)%

Um

zu erhalten, ersetzt man in diesem Ausdruck p und q durch

p + rj und q -j- £, worauf die Gleichungen (5.) und (51.) zu berücksichtigen sind. Die Grösse g hat nach (51.) den Werth Null, so dass die ganze Betrachtung auf die yz-Ebene beschränkt bleibt. Es ist nun hier

(dp + dt])² + (dq -f- dt)² — dp² -j- dq² -j- 2 dp di] + 2 dq dt, zu nehmen, da wegen der vorausgesetzten Kleinheit der Deformation (Einleitung, I.) die Grössen drj², dt)¹ neben den ersten Potenzen drp dt, vernachlässigt werden. Durch Benutzung des binomischen Satzes gelangt man nach demselben Princip zu der Gleichung

dp drj + dq dt, ) %

IVP + W + (dt +    = ~ j

(    „ dp drj + dq dt, )

i¹    ds² I*

(dq + d£) (d²p + d²rj)— (dp + drj) (d²q + d%) = dq d²p — dp d²q + dt, d²p — drj d²q + dq d²rj — dp d²t,

Ebenso findet man

und

ds²

dss

1 dt, d²p— drj d²q dq d²rj— dp d% 3 dp di] + dq dt,

ds*

ds³

ds²

welche Gleichung man wegen der Relation

dt d²p — drj d²q — d (dp dt, —- dq drj) — (dp d²t — dq d²rj)

auf die Form

d (dp dt, — dq drj)

ds³

dq d²rj — dp d²t, 3 dp drj + dq dt.

ds³

ds²

bringen kann. Man substituire hierin zunächst für dp und dq die Werthe (3.)

dp = — cos n ds, dq = sin n ds und beachte die aus (6.) folgenden Gleichungen

dg — sin n drj + cos n dt, — ö dn, dö — — cos n drj + sin n dt, + g dn.

Dann hat man

dp dt, — dqdrj — — (dg -f- ö dn) ds, dp drj + dq dt, — (dö — g dn) ds.

Aber nach (51.) und (37.) ist

dg + ö dn — — t©x dn = — ©x ds,

fd²2v 0 d(x(à i)\

₌ _^_ + 8l + _s_j

so dass die Gleichungen

dn = 0,

dp dt, — dqdrj — ©x ds², dp drj + dq dt, — 0

entstehen. Ferner führt die Differentiation des oben erwähnten Binoms

zu der Beziehung

sin n drj -j- cos n dt, — dg + ö dn = — ©x ds

sin n d²rj + cos n d% =

—    d (©x ds) — (cos n drj — sin n dtj) dn —

—    d (©x ds) + (dö — () dn) dn — — d (©x ds),

woraus

iqdht-dPä% =    ds)

ds

ist, den schliesslichen Ausdruck

(54.)    <0 = 1-1 =

d®\

ds

folgt. Indem man diese Werthe in die Gleichung für co einsetzt, findet man für letztere Grösse den Ausdruck

!_ _ d (@t ds²)

CO —

r'

oder, da

ds³

d (©i ds) ds²tg

d (®l ds²) = d© j ds² + 2©, ds d²s, d (©! ds) = d©i ds -j- ©t d²s

J. d©* t dn

Durch Vergleichung von (52.) und (54.) ergiebt sich dann unmittelbar das zu dem Satz des § 5 analoge Resultat, dass der Werth (52.) der Componente Ss gleich dem Produkt aus dem Krümmungszuwachs co und der Grösse — E (r — r) ist.

Die Curve cp (p, q) = 0, auf welche die Krümmungsradien r und t' bezogen sind, ist keine völlig bestimmte, wie aus der Definition derselben in § 22 hervorgeht. Die obige Entwicklung beweist indessen, dass die Abweichungen der verschiedenen Curven, die man für tp (p, q) = 0 wählen kann, von einander nicht erheblich genug sind, um die Formeln der ersten Annäherung zu beeinflussen.

§ 29. Differentialgleichungen für die Functionen u0> v₀,

Zur Herstellung einer genaueren Lösung als der im vorigen Paragraphen discutirten hat man zunächst auf die Gleichungen einzugehen, durch welche die Grössen u₀,v₀, rv₀ bestimmt werden. Nach (22.) sind letztere die Bestandtheile Oter Ordnung der Verschiebungen g, q, o. Bei der Betrachtung des Gleichgewichtszustandes des cylindrischen Stabes fand man für diecorrespondirenden Ausdrücke^, v₀, welche die Bestandtheile Oter Ordnung von g, rj bezeichneten, eine feststehende Form, die für einen Stab mit beliebigem Querschnitt galt [s. d. Gleichungen (34.) des § 4]. In dem Problem des ursprünglich krummen Stabes ist es dagegen, wie sich aus dem Folgenden ergiebt, nicht möglich, zu Schlussfolgerungen in Betreff der Functionen w₀, y₀ zu gelangen, ehe nicht der Umriss des Querschnitts bekannt ist. Die Differentialgleichungen und Oberflächenbedingungen für die genannten Grössen lassen nicht mehr eine so einfache Lösung zu, weil hier im Allgemeinen alle 6 inneren Druckkräfte eine negative Grössenordnung annehmen.

In dem Abschnitt I. wurden nicht allein für die Bestandtheile Oter? sondern auch für die Bestandtheile lster Ordnung der Verschiebungen die Differentialgleichungen des Innern und die zugehörigen Oberflächenbedingungen abgeleitet, was der Berücksichtigung der Summanden Oter Ordnung in den Formeln der innern Druckkräfte entsprach. Bei dem ursprünglich krummen Stab soll jedoch die Rechnung auf die Glieder w₀, v₀, rv₀ beschränkt werden, wenngleich die im § 7 angegebene Methode auch für eine weiter gehende Annäherung anwendbar bleibt. Yon den inneren Druckkräften werden in Folge dessen hier nur die Bestandtheile negativer Ordnung behandelt werden.

Um die Bestimmungen für u₀, v₀, rv₀ zu erhalten, geht man, wie im § 4, auf die allgemeinen Differentialgleichungen des isotropen Körpers zurück, die man indessen zuvor durch Einführung der Variablen r, n, q, o zu transformiren hat. Indem man dann in die genannten Gleichungen die in den vorstehenden Pragraphen gewonnenen Ausdrücke von £, q, o einsetzt und die Terme niedrigster Ordnung von den übrigen absondert, ergeben sich die auf u₀, v₀, w₀ bezüglichen Differentialgleichungen. Analog hat man bei den Bedingungen für die Oberfläche zu verfahren.

Die allgemeinen Differentialgleichungen lauten nach (10.) der Einleitung, wenn X₀ = Z₀ = 0, F₀ — — r gesetzt wird,

i“

ot

§■!! 81!

1

dz \dx dz

iß

dx \ dy dx

d f d§ dy dy \ dy dx

= 0,

dy

J dz \dz dy) f

— Dr— o,

{ dy \dz dyJ dx \dx dz

= 0.

Man hat aus denselben die Grössen y, z, rj, £ zu eliminiren, die mit r, n, q, o durch die Relationen (1.) und (5.) verbunden sind. Um dies in einfacher Weise zu bewerkstelligen, nehme man die folgende Entwicklung zu Hilfe. Wenn zwei Functionen 3U und 31" mit zwei anderen 33 und (5 in der Beziehung

31' == 33 sin n — (5 cos n, 31" = 33 cos n 4- © sin n

stehen, und 31 eine beliebige Grösse bedeutet, so beweist man mittelst der Formeln (11.) leicht die Gleichungen dW d%“

d$B d(x — r) (£

dz dy d3I" d%

x—r ( dn

'd&

1 d%

dr

dx

dx    r—r dn

sin n — —-

d%    d$3

dr dx

cos fl,

d3l

dy dx

dx

_ dW\ r dn)

cos n +

M_d%>' dr dx.

sin n.

x—

Dieselben sollen zwei Mal nach einander angewendet werden. Man wähle erstens

St — g, 31' = *, 31" =&

dy

dz

dg

dx

1    i dç d (t — r) ö

x—r \ dn

do__dg_

dx    x—r dn

dr

sin n —

dç

dx

cos n

dg    drj / do 1 dg

dy    dx    \dx    x—r dn

cos n +

dg dQ dr dx

sinn.

wird; hiedurch findet man

so dass nach (5.)

33 = q, © == ö

Nimmt man sodann

dy _ dg or /

dz dy ’

so zeigen die beiden letzten der eben erhaltenen 3 Gleichungen, dass 33 und © die Werthe

3t =

d^_dg

dx dz

3t'' =

dg _ dy dy dx

33 =

da__1_ dg

dx x — r dn

dg _ d Q

dr dx

haben. Folglich bestehen die Gleichungen

d (K_dg dz \dx dz d f dg dy dx \dy dx

£/*?_£S

dy \ dz dy

wenn durch 3t, 33, © die Functionen 3t = —

d f dg dy dy \ dy dx

d fdy dg ^_^d©

dz \ dz dy d_fdg__d£ d.v\dx dz,

d33 d (x — r) ©

SS i

dr

dx    x—r dn

'd©    1 d3T

dx    x—r dn

d3l dm

âF-T*r*n’

. / <^3t    d33\ .

cosw + -----— sin n,

V dr dx

sin n—

dç d (t — r) 6 | x—r I dn    J- ¹⁷

dr

da

1 dg x—r dn’

dr dx

bezeichnet werden.

Diese Ausdrücke und der in (12.) für die kubische Dilatation & ermittelte Werth

dö

#i=.ËI ₊ £l ₊_|__„

dx dr x—r \dn    v

werden in die Gleichungen (55.) eingesetzt. Ausserdem transformirt man die zweite und dritte Gleichung (55.) in der Art, dass man sie mit sinw, cosw, respective mit —cosw, sinn multiplicirt und addirt, wobei für die Function # noch einmal die Formeln (11.) anzuwenden sind. Dann ergiebt sich das Gleichungssystem in (56.) und (57.) einzuführen, und die fur Uu Vu Wy, £7₂> P₂> W₂ ermit telten Werthe (50.) zu berücksichtigen. In den Gleichungen, welche hierdurch aus (57.) entstehen, trennt man die Glieder, welche einer niedrigeren Ordnung als der — lten angehören, von den übrigen. Zu diesem Behufe soll auf die Ausdrücke der in (57.) vorkommenden Differentialquotienten von #, 21 etc. näher eingegangen werden.

In der ersten Gleichung (57.) hängt die linke Seite von den Differentialquotienten

d& d$8 d(x—r) © dx ⁷ dn ⁷ dr

dïï

a dx

d (x — r) ©

T—r dn

dr

= 0,

(57.)

d&

d{x—r)& Æ

— DF sin n = 0

d& ,iM    d® ) .

---b —---— + Dr cos n = 0.

x—r dn ( dr dx )

Es sind nun an Stelle von g, q, o die Summen (22.)

§ = U\ + U=l -j- u,q 4" %

< Q = Vy -f- F₂ + Vq -j- V,

a = wx +    -j- w₀ -f- w

a -,--

dr

'S !

dx

dn

ab. Substituirt man in

d&

dx ⁷

+ ___,

dxdr x—r \dx dn dx J⁷

die Summen (22.), so sind Terme von der —2ten oder einer niedrigeren Ordnung nur in d'²(U\ + Uj -f- ^0)    d'¹ ( l\ -f- F-j-Vp)

d²§

dx²

dP-6

dç

1    (d²( WyĄ- W₂) dÇn + Vj)

dx²

dxdn

dx

dx dr

enthalten, wie aus der Definition von Uy, £4, u₀ etc. folgt. Nach (50.) ist aber

dHJy _ dHĄ _ dïVy _ d*V2 dx² dx² dx dr dx dr

= 0,

während die Differenz

&{WX + W₂) d(Vy + Vj)

dx dn

dx

in den Ausdruck

dSt2

¹ dn V t dn

E d®y EyX dn

übergeht. In letzterem sind alle Summanden von der Ordnung — 2.

In Folge dessen hat man die Grösse -

welche als Factor vor dem-

selben steht, hier durch — zu ersetzen; denn nach Einführung der Reihe

behalten nur die mit dem An-

1    T    7'¹

—b    H—- —f-... an Stelle von

x    x¹    xä

n = —q® i +

cm

dn

x Gy dn

xGyq

(53).

B—Ci²

B—Ct¹

dn

./

d%

dn

- p dn

*/»

x Gy

xG^p

dn.

— œ

Auf Grand der Gleichungen (51.), (52.) kann man zeigen, dass die Gesetze, welche in erster Annäherung für die Deformation des ursprünglich gekrümmten Stabes gelten, in vielen Beziehungen den für den cylindrischen Stab gefundenen genau entsprechen. Es soll zunächst darauf eingegangen werden, dass die Formel (52.) eine analoge mechanische Bedeutung hat, wie die nach § 5 unter gleichen Voraussetzungen anzuwendende Formel von Zz. Man nehme bei dem cylindrischen Stabe den Fall, dass die Componente X der Oberflächenkraft verschwindet, also Fy = 0 ist, und berücksichtige in dem Ausdruck von Zz nur den Bestandteil niedrigster Ordnung. Dann folgt aus (42.) des § 5, da die Functionen F₂, £₂, hy von höherer Ordnung als Gy sind, die Gleichung

B—œ

fangsgliede — multiplicirten Werthe die —2te Ordnung. Der ßestand-x    dd

theil — 2ter Ordnung von — wird also durch die Function

d\ o

1 <Êl

x dn

1A

x dn

dargestellt. Terme von niedrigerer Ordnung als der — 2ten kommen

E (M{__

x'¹ dn    x

dx dr

d&

in — nicht vor.

dx    d%3    .

In dem Differentialquotienten — übersteigt allein die Differenz

d² {Wy + IV₂)    d_ / 1 düt

dn Vr—r dn

dx dn

die Ordnung — 1. Von der Entwicklung des Quotienten-- kommt

1

auch hier nur das Anfangsglied — in Betracht, da

— 2ter Ordnung ist. Nach Berücksichtigung von (50.) ergiebt sich auf

diese Weise für den Bestandtheil — 2ter Ordnung von • der Werth

dn

-2-

dlA

dn

eine Grosse

dn

Ferner zeigt die aus (56.) und (22.) folgende Gleichung d (r — r)(i

dr

j d~ (JJ\ ~b U-2 ~b uo ~b u)_d² (Vj -j- V₂ ~b vp ~b v) j

dx dr

= (r—r)

i d ( Uy ~b b; ~b Up T i()_d (Vj ~b bą ~F ~b v)

dr¹

dr

dx

dass in

d (x—r) 6

dr

(r—r)

d‘zu₀

nur die Terme

d²(üy+U₂)    d^Vy+V,))

dx dr i

d(üy + U₂) djVi+Vi)

d\

dr'¹

dr '¹    dx dr

eine niedrigere Ordnung als die — haben. Da aber nach (50.) die Gleichungen

(E Uy __ (PE₂ __ (E Vy    d¹ V₂

dr

dx

dr¹ dr¹ dx dr dx dr djlĄ+Uz) d(F₁ + F₂) ₌ _ 2E_ d®L x

EyX dn

dr

dx

bestehen, so sind auch in

d(x — r) (£

dx

keine Terme von beträchtlicherer

Ordnung- als der — 2ten vorhanden, und die zur — 2ten Ordnung ge- * hörigen Summanden lauten:

d-u{) d²v₀ \ dr² dx dr )'

Die Forderung, dass in der ersten Gleichung (57.) die Glieder — 2ter Ordnung sich gegenseitig aufheben, liefert daher für u₀, vQ die Differentialgleichung:

2E <mt ,    ,

x -f- 23^ -j- x

E\X dn

\dx²

d²v o

d\

dr²

dx dr

dx dr

\łrlt* ⁺ ^ ⁺ Tn(

Analog werden die zweite und die diitte Gleichung (57.) behandelt. Indem man in denselben ausschliesslich die Terme von niedrigerer Ordnung als der — lten betrachtet, gewinnt man aus der zweiten Gleichung eine weitere Bestimmung für u₀, v₀, aus der dritten eine Bestimmung für rv₀. Bei Ausführung der Rechnung ist zu beachten, dass 1

da, wo der Quotient - als Factor von Werthen —3ter Ordnung

1 r

auftritt, von seiner Entwicklung die 2 ersten Glieder — -j- — beibehalten

werden müssen. Schliesslich heben sich alle Grössen — 3ter Ordnung von selbst fort. Man findet auf diese Weise, nach Berücksichtigung des Werthes (45.) von ©1; für die Variablen u₀ und vQ das Gleichungssystem

^ d fduQ dr \dr dx

i +

a AL (

dx \dx dr a — 2 b

dv o

J_ oft2

x dn

Gx

(58.)

B—Cv² Ei

dn

1 ^2

x dn

a ~x~ dr

'du₀ dv₀\ ^ d dx dr J dx

'duo dv0 dr dx

1 Gi    (2 {a — b)r

x B—Gt²

a(r — r>;

a—2 b d® 2

Ex

dn

und für rv₀ die Gleichung d²rv

(59.)

dx'²

o dhv0 ⁷ ■*" dr²

2_ L ^1 (r —r)

Ex dn B — Cf²

Die Form der linken Seiten von (58.) ist genau dieselbe wie in (60.), (61.) etc. des § 7, und die der linken Seite von (59.) dieselbe wie in (47.), (48.) des § 6. Durch Anwendung der Substitutionen

— 2 b (    Gl x*    d fl d&₂\ 1    )

| B— Cx² baEx    dn )J 2b |

a— b . a fr

«0

Gi

und

ax B—Cx²

a —2b d®₂ x2 bx dn 2

x² + r² d G{ (r — 2r) 4 Ar    dn B—Cx'¹

transformirt man die Gleichungen (58.) und (59.) in die einfacheren

duJ₀

dv ;

dx

dr

1“

(<K

\dx dr )

+ b dF

-*4-

du'₀ dv‘₀

dr dx

== 0

dx

d²rv‘₀

du‘₀

dv‘₀'

dr dx

•>

d²rv‘0 dx²

Da in (58.) und (59.) die Differentialquotienten der gesuchten Functionen u₀, v₀, n>₀ nach n nicht Vorkommen, so gilt — analog zu §§ 6 und 7 — die Grösse n bei der Integration der Differentialgleichungen für constant. Folglich sind auch die in (58.) enthaltenen, von n allein abhängigen Functionen

<y .    ^ i 1    ^2

* ' dn y t dn

deren Werth noch nicht ermittelt ist, hier zunächst als unbekannte Constanten anzusehen. Die Bestimmung dieser Grössen geschieht nachträglich, nachdem die Integration der Gleichungen (58.) ausgeführt worden ist, in derselben Weise, wie in §§ 13 und 20 die Functionen Di, etc. berechnet wurden.

Ausser den Differentialgleichungen (58.), (59.), die für einen beliebigen Punkt des Innern erfüllt sein müssen, erhält man drei Oberflächenbedingungen zur Bestimmung von w₀, v₀, rv₀. In IV. der Einleitung wurden die Gleichungen, denen die Druckkräfte an einem Punkt der Oberfläche des isotropen Körpers genügen, durch die Betrachtung einer kleinen dreiseitigen Pyramide gewonnen, welche drei zur x-, y-, z-Achse parallele Kanten hatte. Dieselbe Rechnung bleibt anwendbar, wenn man die Richtungen der Coordinaten y und z durch die Richtungen von r und ds ersetzt; denn auch letztere Richtungen sind sowohl zu einander, als zu der Richtung von x senkrecht. Nur beziehen sich die Bedingungen dann nicht auf die Componenten Xy, Xz,

. . . Zz, sondern anf Xr, Xs, ... St. Bezeichnet man also durch y‘ und v' die Winkel, welche die in einem beliebigen Punkt der Oberfläche errichtete Normale mit den zu diesem Punkt gehörigen Richtungen von r und ds bildet, so bestehen die Gleichungen:

AcCOSl + XrCOSjfP -f- A?cos*/ = X,

(60.) < Ai-cosA -f- Rr coSjm' -f Rtcosi>' = R,

Xs cosZ -f- Rs cos yf + Ss cos*/ = S.

Die Grössen R und S haben die in <8.) angeführten Werthe.

dr%

= 0.

d ©2

dn

Für die Kräfte

Xx, Rrj SSf Ar, Xs,

wurden im § 23 die Formeln (13.) und (14.) abgeleitet. Man bat nun in letztere die für §, p, ö bisher ermittelten Ausdrücke einzusetzen, und darauf in den Oberflächengleichungen (60.) die einzelnen Summanden nach ihren Grössenordnungen zu unterscheiden. Die auf u₀, v₀, rv0 bezüglichen Bedingungen werden aus (60.) durch Betrachtung der Terme niedrigster Ordnung erhalten.

Gx (r—X) B—Cx²

Analog zu § 8 nimmt man, da der betrachtete Körper nirgends von der Stabform abweichen soll, den Winkel, den die Oberflächennormale mit der Richtung von ds bildet, als nur wenig verschieden von einem Rechten an. Es wird die Voraussetzung gemacht, dass cos v‘ stets eine kleine Grösse sei, die zur Ordnung 1 gehört. Im Uebrigen bleibt die Oberfläche des Stabes eine beliebige. In Folge der genannten Voraussetzung reduciren sich in (60.) die Producte Xs cos v' und Rs cos v' auf die Ordnung 0, das Produkt Ss cos v' auf die Ordnung — 1; und zwar wird in letzterem der Bestandtheil —Der Ordnung durch J cos v'

cos v\ ausgedrückt. Ferner mögen die Bestandtheile — Der Ordnung von Xx, Rr, Xr, Xs, Es respective durch bezeichnet werden. Dann ergeben sich aus (60.), da die Oberflächenkräfte X, E, S von der Oten Ordnung sind, und somit auf den linken Seiten die Bestandtheile —Der Ordnung sich gegenseitig auf lieben müssen, die Gleichungen

[ [XLjCos* -|- [Ar]_₁ cos//' = 0,

(61.) I [Arr]_xcos 1 + [Ą.]_x cos//' = 0,

[X]_x cos 1 + [ä,]_x cos //' + /cos v' = 0

die für einen beliebigen Punkt der Oberfläche gelten. Man substituirt in dieselben für die Grössen

IAL

[A^]_i, [Ar]_x, [Ar]_x, [A]

die Werthe, die aus §§ 25—27 folgen. Gemäss (13.), (14.), (22.), (50.) bestehen, wenn man die Formeln (15.) des § 1 berücksichtigt, die Gleichungen

du

= ö —-dr

= b (d^ \ dr

dv₀

dx

M.

(63.)

^ [^J_i

drvü_ x d Gv (r — r)

dx EyX dn B—Cx-dw₀ i x¹ + r² d dr ⁺ "1E\X Un B — Cv~ r d Gt(r — r)

Ei x dn B — Cx²

Gy

x dn

+ K'x

+ *,

wo zur Abkürzung

<⁶⁴->    “ 2Vd±CÏ) | Ei

gesetzt ist; und K, K', A, A' die von n allein abhängigen Functionen

x¹ + r²

r(r—r) |

+ Kx

d®.

dn x

k = - jæ,+ -/

x ( dn \x dn J y

K'=-

(65.)

1 ( d%i__1 dSt ₂)

x dn x dn i ’

1 ( ~ i ~dn+^

bezeichnen. Hierdurch ergeben sich aus (61.) die Bedingungen

cos fi'

dv o

du* ,    \

S)fc+(a-2S) dr

cos 2 -j- b

du

dr

dv o

dx

(66.)

du₀

= (a— 2b) £2 cos 2,

o_    u i

du

cos fi' -j- b = {a — 2b) £2 cos fi',

dr

dv o

dx

cos 2

^ iiłcosZ + ifreosf‘/ =

~ x d Gi(r — r)

E\X dn B— Cx2 x² -f- r² d 2Exx dn B— Cx2 r d Gx (r — r)

Ei x dn B — Cx²

von denen die letzte nur w₀, die zwei ersten nur v0} vu enthalten. Die Variablen u₀, v₀ werden somit durch (58.) und (66.), die Variable rv₀ durch (59.) und (67.) bestimmt. Wie in (58.), (59.), so fehlen auch in den Oberflächenbedingungen (66.), (67.) die Differentialquotienten von w₀, v₀, rv₀ nach n.

Für den Bestandteil —Der Ordnung von Ss findet man nacli (13.), (22.), (50.) den Ausdruck

+ K'r + — ^1 cos 2 x dn

Gy

+ K'x

+A'

COS fl'

Gx (r — r)

b(B—Cx²)

cos v\

w.

du₀ dvo dx dr

— ai2

wo ii die Function (64.) bedeutet. Wird also durch (Ss) die Summe d. h. die Summe der Bestandteile der zwei beträchtlichsten

J+[S.]

Ordnungen von Ss bezeichnet, so besteht die Gleichung

—i»

gl (r—r) B—Cx²

(68.) (S,) =

— a ii.

du₀ ^ dvo dx dr

Nach Integration der obigen Differentialgleichungen für m₀, v₀, rv0 geben die Formeln (62.), (63.), (68.) die Werthe der inneren Druckkräfte mit der Genauigkeit an, dass alle Summanden von negativer Ordnung berücksichtigt sind. Indessen kommen in (62.), (63.), (64.) ausser u₀, v₀, rv₀, Gi noch die 6 unbekannten, von n allein abhängigen Functionen

K, K', A, A\

d® ₂ rfSPi dn ’ dn

vor, die bei dem Integrationsverfahren als constant anzusehen waren, d ©

und von denen K und auch in den Differentialgleichungen (58.)

enthalten sind. Zur Bestimmung dieser 6 Functionen dienen die 6 Gleichgewichtsbedingungen (18.), (20.), (21.), welche im § 24 für den durch einen beliebigen Normalschnitt begrenzten Theil des Stabes aufgestellt wurden. Die 3 auf Ss bezüglichen Bedingungen kamen bereits in § 27 für die Ermittlung von M, L, ©! in der Art zur Anwendung, dass in denselben die Terme niedrigster Ordnung links und rechts einander gleichgesetzt wurden. Indem man die Summanden der nächst höheren Ordnung in jeder der genannten 3 Gleichgewichtsbedingungen betrachtet,

d® ₂

erforderlichen Angaben. Die Defi-

gelangt man zu den für K, A,

nition der Grössen Ft, G₂, hi (§ 24) liefert nämlich unmittelbar die Relationen

dn

oder

| ff föLi x dx dr = Fi »

f f \ß*\—i rdxdr = G₂,

ff KU dx dr =

(69.) ■

//](“—■^r)—a£i]xd*:dr “ F‘

SS {(a —2*)(

— aiildxdr = hL.

dun dv0 dx dr

Nun haben wegen der vorausgesetzten Symmetrie des Stabes die Integrale f f x^dxdr und f f r²xdxdr, ebenso wie die Integrale (17.),

den Werth Null. Ferner mögen durch A' und B' die (über den Normalschnitt erstreckten) Integrale

A' — ffx%rdxdr, B' — Jf r^dxdr bezeichnet werden. Dann folgt aus (64.) und (16.) ff Qxdxdr = AK,

ff Qrdxdr =

Gi

2t {B— Cx*)

ffpdxdr = — ! A + B_

JJUOxdr 2t ( E^B—Ct*) b

Ey

Cv d®

t dn

t dn

- + CA

- + Cx

womit bewiesen ist, dass in dem Gleichungssystem (69.) all^ - als Unbekannte enthalten sind.

die 3

Grössen K, A

d®

dn

Aus den 3 anderen Gleichgewichtsbedingungen (IS.), (20.), (21.), deren linke Seiten von Xs und Rs abhängen, erhält man hierauf für

/

K', A

die Gleichungen

dn

[ff W_1 dxdr —    ,

yjXB^dxdr =    ,

\ff{*[KU-r\X.Ud*dr = Hy oder, nach Substitution der Ausdrücke (63.),

G d$y

üx K! —

t dn

.ff

dxdr = 0,

CA' +

SS dxdr

(70.)

Cv d_

Ey t dn B — Cv2 (A + B)Ky — ~    +

Gy

A — B d

‘lElx du B — Cl- ’

dr dx J    b

Es bleibt übrig, auf die Werthe der Functionen Sh, £₂,    £>₂

einzugehen, welche durch die Differentialgleichungen (65.) mit K, K', A, A' verbunden sind. Die letztgenannten Functionen können hier als bekannt angesehen werden. Es soll gezeigt werden, dass durch das Gleichungssystem (65.) auch die Werthe von &₂,    <g₂ vollkommen

bestimmt sind, soweit dieselben für die Deformation des Stabes in Betracht kommen. Die für Di und ^>₂ geltenden Gleichungen

Dt — ff = t A,

ffl

//(•

d£l

dn

führen zu den Integralen

bo sin n + c₀ cos n + sin n J(A cos n + A' sin n) r dn

D,

—    cos n f (A sin n — A' cos n) r dn,

£)₂ = C₀ sinn — b₀ cosn—cos wf (Acosn -f- A'sinn) rdn

—    sinn f (Jsinn—A'cosn) r dn,

in denen b₀ und c₀ beliebige Constanten sind. Ferner stimmen die 2 letzten Gleichungen (65.) mit den 2 ersten tiberein, wenn Di? £•>, A, A'

1    dß ₂

K, K' ersetzt werden. Auf diese

dn

respective durch Xlf— —

Weise entstehen für und &■> nach Berücksichtigung von (3.), (4.) und Anwendung der Formel der partiellen Integration die Gleichungen c sin n—b cos n + sin n J (K cos n + KJ sin n) r dn — cosw / (Asinw—K'c,osn)rdn,

^2 = Oo + b ÿ—C p + pJ (Kdp— K' dq)—Jp (Kdp — K' dg)

+ <ifCKdq + K' dp) —fq (Kdq -f- K' dp), wo a₀, b, c die Integrationsconstanten bezeichnen. Fasst man also diejenigen Summanden von g, q, o zusammen, welche von den in $£), Di, §2 vorkommenden willkürlichen Constanten abhängen, so findet man nach (22.) und (50.) die Ausdrücke:

'g = a₀4-b#—cp + (b cos w—csinw)r,

< q = b₀ sin n -j- Co cos n—(bcosw—csinw)#, ö = — b₀ cos n + c₀ sin n — (b sin n + c cos n) x.

Letztere bilden aber einen Bestandtheil der Summen (15.), die bei dem vorliegenden Problem willkürlich bleiben müssen, so dass in der That die Ermittlung der Werthe von Xl} $₂, Dt, £>₂ durch die obigen Integralgleichungen erledigt wird.

Ein analoges Resultat erhält man in Betreff der Functionen ©2 und $pL, sowie der Function £₂, die mit @₂ durch die Gleichung (46.) zusammenhängt. Da man durch (69.), (70.) zu den Werthen von d®2

dn

und gelangt, so bleibt in ©₂ und nur je eine additive

Integrationsconstante willkürlich. Nun wird durch das Hinzutreten einer additiven Constante zu nur g um eine ebensolche vermehrt; und für S₂ gelten genau dieselben Betrachtungen, welche im § 27 für    angestellt wurden. Somit kommen auch in diesen Func

tionen die mit willkürlichen Constanten multiplicirten Terme auf die Ausdrücke (15.) zurück, woraus sich ergiebt, dass nach Integration der Differentialgleichungen für u₀, v₀, die in (50.) angeführten Summanden der Verschiebungen g, q, o durch die vorstehenden Rechnungen vollständig bestimmt sind.

■

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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓW1A

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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woselbst die Coordinate y vom Schwerpunkt des Querschnitts aus gerechnet, und durch B das in (7.), § 1, angeführte Hauptträgheitsmoment bezeichnet wird. In den Formeln, die im Vorhergehenden für den gekrümmten Stab entwickelt worden sind, ist der Punkt, von dem aus innerhalb je eines Querschnitts die Längen x und r gemessen werden, unbestimmt geblieben. Aberda, nach (16.), r die Coordinate des Schwerpunkts des Querschnitts bedeutet, so drückt die Grösse i— r, gerade wie oben die Grösse y, die in der Vertikalebene liegende relative Coordinate aus, welche ein beliebiger Punkt des Querschnitts in Bezug auf jenen Schwerpunkt hat. Sodann ist aus der analytischen Mechanik der Satz bekannt, dass die Trägheitsmomente für zwei parallele Achsen, von denen die eine durch den Schwerpunkt geht, sich von einander nur um das Produkt aus der Gesammtmasse und dem Quadrate des gegenseitigen Abstandes der Achsen unterscheiden, und dass das kleinere Trägheitsmoment stets zu der den Schwerpunkt enthaltenden Geraden gehört. Wendet man diesen Satz auf die Trägheitsmomente des betrachteten Querschnitts an, dessen Gesammtmasse gleich dem Flächeninhalt C zu setzen ist, so ergiebt sich, dass die Differenz B— 6r² das Trägheitsmoment für die durch den Schwerpunkt gehende Parallele zur x-Achse darstellt.