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Kreisdiagramm des Drehstrommotors

und seine

Anwendung auf die Kaskadenschaltung.

VON

Dr. MAX BRESLAUER

INGENIEUR IN WIEN.

MIT 24 FIGUREN UND 2 TABELLEN.

Sonderausgabe

aus der

Sammlung elektrotechnischer Vorträge.

Herausgegeben von Prof. Dr. ERNST VOIT.

Band IV.

Arbeite»

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STUTTGART.

VERLAG VON FERDINAND ENKE.

1903.

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r KRAKÓW

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Akc. Nr.

Vorwort

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Erster Teil.

Die Diagramme der Kaskadenschaltung ohne Berücksichtigung der Verluste.

A.    Kaskadenschaltung zweier genau gleichen Motoren........

1.    Ableitung des Diagramms..............

2.    Analytischer Beweis................

3.    Verhältnis der Drehmomente.............

4.    Deutung des Diagramms...............

B.    Kaskadenschaltung zweier Motoren mit verschiedenen magnetischen Wider

ständen bei gleicher Windungszahl .............

1.    Hauptwiderstände gleich, Streuwiderstände verschieden .    .    .    17

2.    Hauptwiderstände verschieden, Streuwiderstände gleich ... 30

3.    Hauptwiderstände verschieden, Streuwiderstände verschieden . 33

C.    Kaskadenschaltung zweier Motoren mit verschiedenen magnetischen Wider

ständen und verschiedener Windungszahl........

1.    Windungszahlen verschieden, Streufaktoren gleich .    .

2.    Windungszahlen verschieden, magnetische Widerstände ver

schieden ...............

D.    Geschwindigkeit zweier in Kaskade geschalteten Motoren .    .

10

11

16

42

. . 43

51

. . 54

Zweiter Teil.

Das Diagramm der Kaskadenschaltung mit Berücksichtigung der Verluste.

A. Berücksichtigung der Verluste im normalen Kreisdiagramm .    .

1.    Verluste im Rotor..............

2.    Eisenverluste . ...............

3.    Primäre Kupferverluste............

. . 58

58

58

Seite

61

62

66

. . 68

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Vorwort.

an meinen

ver-

Eine Veröffentlichung von mir in der E.T.Z. über das Thema der Kaskadenschaltung (E.T.Z. 1903, Heft 1) beschäftigte sich¹) wesentlich mit der Lösung des Spezialfalles zweier in Dimensionierung und Wickelung genau gleicher Motoren. Die Praxis bietet jedoch diese Aufgabe auch in der erweiterten Form zweier beliebig verschiedenen Motoren und legt den Wunsch nahe, die Verhältnisse auch hier leicht überblicken zu können. — Ich erinnere an die Patente von Danielson, der Motoren verschiedener Polzahl in Kaskade schaltet, und eigenen Vorschlag, verschieden grosse Motoren auf Triebräder schiedener Grösse von Drehstromlokomotiven arbeiten zu lassen.

Ferner wurde in jener Studie der Einfluss der Kupferverluste auf die Form des Diagramms mit Benutzung der gleichen Vernachlässigungen berücksichtigt, die seiner Zeit von Heyland bei Ableitung seines Diagramms angewandt wurden. Eine nähere Betrachtung lehrte jedoch, dass gerade in diesem Falle solche Vernachlässigungen zu Fehlern führen, welche immerhin ins Gewicht fallen, und legte den Wunsch nahe, eine exaktere Methode zu finden, welche im zweiten Teile auseinandergesetzt wird und insofern zu recht einfachen Resultaten führt, als — auch bei exakter Berücksichtigung der Ohmschen Widerstände — der geometrische Ort der Ströme die Kreisform beibehält, so dass das Diagramm Fig. 22 als Hauptergebnis dieser Arbeit zu betrachten sein dürfte.

Gleichzeitig ergab sich hierbei, dass es wünschenswert ist, darzulegen, wie die von Prof. Ossanna²) gefundenen Resultate in der Praxis am vorteilhaftesten verwendet werden können und dies gab Anlass zur Mitteilung der Methode, welche ich seit langem zur Untersuchung und Berechnung von Drehstrommotoren im Laboratorium verwende und

9 Ebenso wie die Abhandlung von Eichberg, Z. f. E. 1898, S. 578 ff. ²) Ossanna, E.T.Z. 1900, S. 712; vgl. auch Sumec, Z. f. E. 1903, S. 1.

Breslauer, Das Kreis diagramm des Drehstrommotors.

welche insofern von Interesse ist, als sie in der Aufstellung einer zweiten für jeden Motor charakteristischen Grundgrösse neben dem bekannten Streufaktor z gipfelt, deren Einführung in Rechnung und Diagramm wesentlich dazu beiträgt, die Uebersichtlichkeit zu erhöhen.

Ein weiterer Grund für eine so ausführliche Behandlung dieses scheinbar so eng umgrenzten Stoffes liegt ausser in dem didaktischen Wert der hier zur Anwendung kommenden Diagramme, welche sämtlich ohne Vermittlung des in der Starkstrompraxis selten direkt verwendbaren Koeffizienten der Selbstinduktion abgeleitet wurden, — auch noch in der Anwendbarkeit auf die Theorie des Einphaseninduktionsmotors, sowie auf den Zusammenhang dieser Diagramme mit dem bekannten Görgessehen Phänomen¹).

Erster Teil.

Die Diagramme der Kaskadenschaltung ohne Berücksichtigung

der Verluste.

A. Kaskadenschaltung zweier genau gleichen Motoren.

1. Ableitung des Diagrammes.

Die Kaskadenschaltung ist eine Erfindung von Prof. Görges (E.T.Z. 1894, Heft 47) und wurde von ihm zuerst im Jahre 1892 für ein Aggregat von 30 PS bei der Firma Siemens & Halske, Berlin, für ein Bergwerk angewandt.

Für diesen Zweck ist die Anordnung insofern von besonderem Vorteil, als sie gestattet, ohne Schleifringe zu arbeiten und darum jede Gefahr wegen schlagender Wetter auszuschliessen.

Die wichtigste Anwendung hievon wurde von den Herren B lath y und Kan do durch die Firma Ganz & Co. auf der ersten elektrischen Vollbahnstrecke, welche mit Drehstrom betrieben wird — auf der Valtellinabahn —, mit Erfolg gemacht.

Die Schaltung ist in Fig. 1 dargestellt und besteht darin, dass der Stator Sx von Motor I in üblicher Weise an die Netzspannung angeschlossen wird (Klemmen a, a, a), sein Rotor Rx wird jedoch nicht in sich selbst, bezw. beim Angehen durch Widerstände geschlossen, sondern arbeitet auf den genau gleich gewickelten Rotor Rn von Motor II, dessen Stator Sn erst beim Angehen auf Widerstände oder beim Betrieb in sich kurz geschlossen wird.

9 Ygl. Eichberg, 1. c.

Man sieht, dass hierdurch allerdings Schleifringe vermieden werden können, denn da die beiden Rotoren R! und Rn auf einer Welle sitzend gedacht sind, so können die drei Zuleitungen Z, Z, Z zwischen Rj; und Rn ohne Zuhilfenahme von Schleifringen

die beiden Wickelungen

an

Fi g. 1.

Motor 1

s#—mm—rmzm-

I Si    Ri

M—03»—mmr-%

«

—mm?—¹

Motorll

rWM—wwvwwv 0 _

Rn Sr

Äi---wvwvww

0 ^_

angeschlossen werden. — Die ruhenden Klemmen b, b, b von Sn gestatten dann einen völlig gefahrlosen Anschluss der Anlasswiderstände.

Ersichtlich ist sofort, dass das Kreisdiagramm seiner Ableitung entsprechend, auf Motor I darum nicht mehr Anwendung finden kann, weil sein Rotor nicht in sich kurz geschlossen ist, d. h. auf seine eigenen — nach Berücksichtigung der Streuung — induktionsfreien Windungen zu arbeiten hat, sondern auf eine zweite Wickelung, welche wattlose Ströme von variabler Grösse je nach der Belastung erfordert.

Bei Motor II trifft zwar die Bedingung zu, dass seine Sekundärwickelung — in diesem Falle sein Stator Sn — in sich kurz geschlossen ist, bezw. auf induktionsfreie Widerstände arbeitet, dagegen ist wieder die Bedingung konstanter Spannung an seinen Primärklemmen nicht eingehalten, denn je nach Belastung wird, infolge der Streuung, die Spannung an den Enden des Rotors von Motor I beträchtlich varriieren.

Ebenso schwer lässt sich ferner auch a priori Voraussagen, welche Tourenzahl das ganze System annehmen wird, da diese von der Schlüpfung des Motors II einerseits und von der variablen Wechselzahl, welche er erhält, andererseits abhängt.

Trotz dieser Komplikationen lässt sich mit Hilfe des Heyland-schen Diagrammes ein rascher Ueberblick gewinnen.

Es sei infolge von Stromentnahme i₂ aus Rotor I die Stärke des Primärfeldes auf den Wert N₂ gefallen, so wird dieses reduzierte Feld die Klemmenspannung von Motor II für diesen Belastungsfall zu bilden haben. Da jedoch die Windungszahl in Rotor II gleich der in Rotor I ist, ausserdem die Wechselzahl beider ebenfalls übereinstimmt, so wird dieses Feld N₂ in genau gleicher Grösse und Richtung als Primärfeld von Motor II wieder erscheinen. Wir brauchen daher auf das Spannungsdiagramm gar nicht erst zurückzugreifen, sondern bleiben — wie überhaupt in der ganzen nachfolgenden Arbeit — innerhalb des Feld-, bezw. Amperewindungsdiagramms.

Für dieses einmal gegebene Feld N₂ gilt natürlich — in Bezug auf seine Wirkung als Primärfeld von Motor II — das Bildungsgesetz des Kreisdiagramms Fig. 2, freilich nur für diesen Einzelwert. In

Fig. 2.

Fig. 3.

VW

BC--N₂

ta

--

v-«%v

—>J

S'

dieser Figur ist n₂ das dem Strom i₂ entsprechende Streufeld, welches der Grösse und Richtung nach in beiden Rotoren genau gleich sein soll. Subtrahieren wir dieses geometrisch von N₂, so ergibt sich das Statorfeld N₃ von Motor II und die beiden bekannten Heyl and sehen Kreise ergeben die Strecke

HD .= n₃,

welche senkrecht steht auf N₃ und das tertiäre Streufeld n₃ bezw. den tertiären Strom i₃ erzeugen.

HD muss ferner im Punkte D₀' von N₂ eine Strecke D₀'C abschneiden, welche dem bekannten Streufaktor t des Motors entspricht, so dass

Do' C = T N₂.

Da nun, wie bereits auseinandergesetzt, das Streufeld n₂ in gleicher Grösse und Richtung in Motor I wieder erscheint, so ergibt sich für dessen Primärfeld Nx die Aufgabe , dieses und das Sekundärfeld N₂ auszubalancieren, es muss also gleich der geometrischen Summe dieser beiden Felder werden.

Die Art dieser Zusammensetzung zeigt Fig. 3, an welcher man deutlich erkennt, dass dieses Diagramm von dem eines normalen Motors in charakteristischer Weise dadurch verschieden ist, dass sein Sekundärfeld n₂ nicht mehr senkrecht steht auf N₂, wie es sein müsste, wenn N2 auf induktionsfreie Wider- N-, stände arbeitete, sondern dass n₂ mit einem gewissen Winkel um mehr als 90° hinter N2 zurückbleibt, welcher je nach Belastung variabel sein wird.

Auf diese Weise setzt sich N₂ und n₂ zum Felde C^B = N

zusammen, zu welchem sich jedoch noch das dem Leerstrom von Motor I entsprechende Leerlaufstreufeld A C₀ addiert.

Die Entstehung des Gesammtdiagrammes zeigt nun Fig. 4, in welcher Fig. 2 und Fig. 3 vereinigt sind.

AB stellt hier wieder das konstante primäre Hauptfeld Nj dar, welches durch das dem Leerstrom

Fig. 4.

-T-&

có

---yA

\to o

Motor I

✓ //

AC₀ = imi = t N

entsprechende Leerlaufstreufeld vermindert wird, so dass für Rotor I und den von diesem abhängigen Motor II von vorneherein nur das Feld

CVB = N = (1 — t) N₁

übrig bleibt, welches dasjenige Feld ist, das den Strom i₂ und Ankerfeld N₂ ausbalancieren soll.

Nach ausgeführter geometrischer Subtraktion Nx — ix, bezw. N — i₂ erhält man das Ankerfeld N₂ von Motor I, welches nunmehr im Diagramm von Motor II (siehe Fig. 4) in gleicher Grösse und Richtung wieder erscheint und dort als für diesen Belastungsfall vorhandenes Primärfeld auftritt.

Der gleiche Strom i₂, wie im Rotor von Motor I, tritt aber auch hier auf und ruft in Motor II genau das gleiche Streufeld

CËT= C~CT

hervor, das sich von N₂ geometrisch subtrahiert und das Tertiärfeld N₃ übrig lässt.

Der Deutlichkeit wegen ist die Strecke BC in Fig. 4 in zwei parallele und gleiche Linien gespalten ; an die Linie rechter Hand gliedert sich das Diagramm von Motor II, an die linke das von Motor I. Motor II folgt natürlich dem Kreisgesetz und dementsprechend ist

und

D(/C = tN₂

D₍/D _L N₃,

was durch den gestrichelten Kreis angedeutet ist.

Bei Leerlauf wird das Feld N₂ um ein geringes kleiner werden als N, da im Primäranker von Motor I ausser seinem eigenen Magnetisierungsstrom

A C₀ — lnij

noch der Magnetisierungsstrom fliessen muss, welcher das Feld N2 von Motor II zu magnetisieren hat. Bei Leerlauf erhält daher N2 den Wert

C₀'B = N —C₀C₀' = N —im2.

In gleicher Weise wird bei Leerlauf das Tertiärfeld N₃ um im2 kleiner werden als N„ und daher

N₃ = D₍₎ B = N — 2 im₂.

Durch den Punkt D</ muss natürlich C₀/B ebenfalls so geteilt werden, dass

<VD₀' = !.<yB

sein muss.

Somit liegt das Diagramm für den einzelnen Belastungsfall fest und es ergibt sieb die Aufgabe, den geometriseben Ort der beiden Punkte D und C zu bestimmen.

Diese beiden Orte sind — geometrisch gesprochen — durch die Forderung verbunden, dass jeder von C₀ gezogene Strahl C₀D durch den Punkt C halbiert wird:

C₀C = CD = i₂,

und ferner für Leerlauf und Kurzschluss folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

1. Bei Leerlauf fällt Punkt C in C₀, wobei nach obigem C₀ C₀' = C₀' D₀ = im₂ = t (N — im₂),

woraus

(1)

lm₂ —

oder wegen

In

■ (2)

und wir erkennen, dass

<VC|| D/D

N = (1 - t) N 1 -

m2 - ^11

1 + t

Hierdurch ist sowohl Co' wie auch D₀ festgelegt.

2. Bei Kurzschluss folgt aus der Bedingung, dass beide Streufelder i₂ gleich sind und ihre Summe gleich N sein muss, dass durch den geometrischen Ort des Punktes C die Strecke C₀B halbiert wird. Punkt D wird also in B fallen, Punkt C auf

f N = i-(l-r)N₁.

Sämtliche Punkte D liegen also auf einer Kurve zwischen D₀ und

B, sämtliche Punkte C zwischen C₀' und (1 — t) N₁₅ bezw. —N.

Es zeigt sich nun, dass beide Kurven Kreise sind: der geometrische Ort für C ist ein Halbkreis über C₍/M (Fig. 5), wo C₀' ans Gleichung 1 definiert ist, während M daraus resultiert, dass

C₀M = MB = yN = y (1-T) Nx, während der geometrische Ort für D einen Halbkreis über D₀ B bildet, wo DA = 2i

m₂

= 2t

1 — t i + t N>-

2. Analytischer Beweis der Richtigkeit des Diagramms Fig. 5.

Der Beweis mag analytisch geführt werden im Hinblick darauf, dass die hierbei abzuleitenden Formeln ohnehin für die Handhabung des Diagramms von Vorteil sind.

Wenn Punkt C auf einem Kreise liegt, so muss

sein und daher <£(yCM = 90⁰

cC = iw

die mittlere Proportionale zwischen cC₀' und cM sein. Es ist daher zu beweisen, dass

Da aber

iw² = cC₀'. c M.

cC₀ — i₀ im₂ — io

cM= -g-N - i₀,

so erhält man als Definitionsgleichung des Kreises für C, deren Beweis zu erbringen ist:

daher

iws = (4N - ;o) (i«

n). . .

1 -f- T /

• . (1)

Nun haben wir aber (Fig. 5):

N² = i₂² + N₂² — 2i₂N₂ cos (i₂, N₂)

= i₂ ² + N₂ ² -f- 2 i₂ N₂ . -i = i₂² + N₂² + 2i₀'N₂.

Ferner im rechtwinkligen D₀'BD:

iw₂² = (N₂ - io0 (io' - tN₂) = i₂² - i₀'²,

io

wenn E C = i,/,

(2)

tN₂s + Ti₀'N₂) + i„/2

(3)

Gleichung 8 in Gleichung 2 eingesetzt, ergibt

N² = (1 + t)N₂i₀' - tN₂² + N₂² + 2i₀'N2 = (3 + t)N₂V + (1-t)N₂² . . . .

Hieraus wird

h) =

N²-(1-t)N₂2 (3 + t)N₂ !

io

G\

C₀B-N

Do

r₀

hmt

Co

lmt.

VA

i#»

cC/^m

7ł>

C'O

{V

Fig. 5.

imj-

if

fc

Diagramm der Kaskadenschaltung für N = 200 ; D = t₂ = 0,1 imi = 22,2; im2 = 18,2. [Massstab 2/3.]

dies in Gleichung 2 eingesetzt, gibt

i₂² = N² — N₂² —

h² —

3 4- t

N²-

3 + T

1 + 3t

(N² - [1 - t] N₂²)

N₂²

(5)

Endlich ist noch

N₂² = iw² + (N — i₀)²

und dies in Gleichung 5 eingesetzt, gibt:

1 -f 3t .

3 + T

i₂² = iw² + i₀² =

l+t

N² -

iw² —

1 + 3t

(N - i₀)

oder

4-i+i--3 + t

oder

i₀²-io² + 2

1 + 3t

i₀N

4(1 + t)iw² = - 2tN² - 4(1 + T)i₀² + 2(1 + 3t)i₀N

endlich

([1 + 3t] i₀N — 2[1 + t] i₀² — tN²) .    (6)

2(1 + *)

iw² =

Diese so gefundene Endgleichung, welche als Grundgleichung für den gesuchten geometrischen Ort von C zu betrachten ist, erweist sich jedoch als genau identisch mit der oben aufgestellten Definitionsgleichung des Kreises über C/M, deren Richtigkeit damit erwiesen ist. Die Identität tritt zu Tage, wenn die beiden Klammerausdrücke von Gleichung 1 ausmultipliziert werden.

3. Verhältnis der Drehmomente.

Aus dem Diagramm Fig. 5 ist nun ersichtlich, dass diese Schaltung derartig wirken muss, dass der zu einem bestimmten Belastungsstrom i₂ gehörende Wattstrom iw nicht unmittelbar durch Multiplikation mit N das Drehmoment der Anordnung ergibt, wie wir dies vom gewöhnlichen Motor her gewohnt sind, sondern dass ausser dem Drehmoment

Dx = iw N,

welches vom ersten Motor ausgeübt wird, noch ein zweites Drehmoment

D₂ is N₃

des zweiten Motors zur Verfügung steht, wenn wir mit i₃ den Sekundärstrom des zweiten Motors, mit N₃ das Sekundärfeld desselben bezeichnen.

Untersuchen wir das Verhältnis dieser beiden Drehmomente, so finden wir aus elementarer Ableitung, dass sie einander gleich sind; — das zu einem bestimmten Wattstrom iw gehörige Gesamtdrehmoment wird daher verdoppelt.

Diese Thatsache ist insofern kein Widerspruch gegen das Energiegesetz, als ja der mechanische Effekt sich aus dem Produkt Drehmoment mal Tourenzahl ergibt: dem doppelten Drehmoment wird eben die halbe Tourenzahl entsprechen müssen, und wir haben daher schon a priori einen Grund für die Halbierung der Geschwindigkeit, deren nähere Begründung weiter unten behandelt werden wird.

multipliziert mit derjenigen Komponente des Rotorstromes, welche senkrecht auf dem Rotorfeld steht.

Diese Komponente wird in Fig. 5 durch die gestrichelte Linie

Die Gleichheit der Drehmomente ergibt sich aus folgender Ueberlegung: Das Drehmoment von Motor I ist proportional seinem Rotorfeld N

C₀F 1 N₂

dargestellt. Somit erhalten wir als Drehmoment von Motor I

d1 = c₀f.n₂.

Andererseits ist das Drehmoment von Motor II ebenfalls proportional seinem Sekundärfeld N₃, multipliziert mit dem darauf senkrechten Sekundärstrom i₃, d. h.

^2 is • ^3*

Aus der Aehnlichkeit der in Betracht kommenden Dreiecke ist leicht zu erkennen, dass

2*

*3 • ^3 — iw₂ • N₂ — D Aus der Kongruenz der Dreiecke C₀CF und ECD folgt aber

iw₂ — C₀ F

und damit

F C₀ . N₂ = iW2 . N₂ = Dl == D₂.

4. Deutung des Diagramms.

Wir brauchen ferner noch das Sekundärfeld N₃ des Motors II; zu dessen Berechnung lesen wir im Diagramm (Fig. 5) aus /\ C₀CM die Beziehung ab:

(i\>

= i₂² +

— i₂ N . cos MC₀ C

oder wegen

cos MC₀C = 4^-

*2

(iN>)

= i₂² + (^)!-Ni₀.

Zur Auswertung von Ni₀ haben wir aber die Grundgleichung:

iw² = (jr - io) (i₀

1    . T

₂    Nio + X+t

Nio-io²-

2(1 + *)

N²

(ł + TT^)Ni»

= iw² + i₀² +

2 (l+t)

N²

oder wegen

1 -f 3t

2(1+ t)

iw² + i₀² = i₂²: Nio ⁼ i₂² +

2(1 + *)

N²;

hieraus

Ni₀-

2(1 + *)

1 -h 3t

i₂² -f

N².

1 + 3t

Dies eingesetzt in die obige Gleichung für N₃) , gibt

2(1 + *) ,

(1 + 3 t)

tw

v+(ły

i₂² -

1 + 3t

N²

æv _ (.....i 2

4(1 + 3t) V 2 /    \1 + 3t; ²

(— N² — 1 + 3t \ 4

i₂²)

und endlich

N ² =

x'3

1 + 3t

rr (N² — 4i₂²)

(7)

Endlich brauchen wir noch den Sekundärstrom i₃ von Motor II. Diesen erhalten wir aus dem Dreieck H D C, da

i₃² = HD² = DC² — HC².

Es ist nun D C = i₂ ; andererseits wegen Aehnlichkeit der Dreiecke HD₀C und D₀BD

BD

D₀B

= T N₂.

N₃

(1-*)N,

n₃.

Wir erhalten daher

i₃2 = i2

führen wir noch N₃² aus Gleichung 7 hier ein, so wird

4 T²

i₃2 =i2² -

T²

N²-f

i₂²

' (1-t)(1 + 3t)

(4⁸ [l + ^]² - ^N²).    ...    (8)

Zur vollständigen Deutung des Diagramms ist noch der kleine

Kreis über C₀C₀' zu betrachten, dessen Benützung dadurch gegeben ist, dass

A C₀GC₀' os C/CM.

Es verhält sich also

oder

GC₀ : MC

= C₀c; : C₀'M

somit

GC₀ =

-N₃    .

x J

(9)

Die Strecke GC₀ stellt uns also den Magnetisierungsstrom des Tertiärfeldes dar, welcher, wie man sieht, bei zunehmender Belastung im gleichen Masse abnimmt, wie N₃ selbst. Bei Leerlauf wird

iff*

der Magnetisierungsstrom wird dann aus Gleichung 9 - x    1 —

«• = T3i-T+,

n₃ = bd₀

= n(i-

2x

X    X

-n = t—

1 + X

N — im₂*

Bei Kurzschluss hingegen wird

N₃ = 0,

folglich auch

GC₀ = 0.

Der auf den Halbkreis über C₀C₀' wandernde Punkt G ist aber gleichzeitig auch der Endpunkt des jeweiligen Magnetisierungsstromes AG für das gemeinsame Feld BC=N₂.

Dies ergibt sich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke AC₀'G und C/CB¹). AG erfüllt daher zunächst die Bedingung, dass es parallel zum Feld N₂ und diesem proportional ist, ausserdem haben wir

oder wegen

AG : AC₀' = N₂ : C₀'B

A C₀ — imi ini2 —

i=Tn +

wird

AG :

^ N = N₂ : (N

hieraus

AG =

2z

rr (1 + *) N₂

und endlich

AG =

2z

-N₂

z z

• (10)

Betrachten wir auch hier die Grenzfälle, so sehen wir, dass bei Leerlauf, wo

N il

N, = C₀'B =

.tt)

wird, der gesamte Magnetisierungsstrom den Wert

AG =

1 — T *    1 —|— Z

annimmt, während bei Kurzschluss, wo

Ta -N" — im, + im₂

N„ = BM--f N J 2

wird, der gesamte Magnetisierungsstrom den Wert

- N = imi = A C₀

t 2    1- t

erhält.

Hieraus erkennen wir, dass der gesamte Magnetisierungsstrom der Kaskade im = imi -f- im₂ bei zunehmender Belastung nicht, wie beim

b Denn es verhält sich

GC₀':C₀'C = C₀C₀':C₀'M =

ferner

ÄC7:C7B = folglich :

1—T²

N: (l

—— N • —_— N =

1 + z • 2(l + t)

2x

iït)h

2t

(1 — t) (1+ t) ' 1 + T

GC₀':C₀'C = AC₀':C₀'ß.

bn1

VA

,r

•T

G,

Fig. 6.

(~Cim

r-\

Beide Motoren genau gleich gebaut: n = t₂ = 0,05 ; ik = AM = 250; imj = 23,9. [Massstab ²/₃.]

normalen Motor, verschwindet, sondern bei Kurzschluss noch ungefähr den halben Wert behält.

Gleichzeitig sehen wir aber auch, dass wir die beiden grossen Kreise (Fig. 5) überhaupt nicht mehr brauchen, und dass für alle Betrachtungen, welche man an dem Diagramm anstellen kann, die Strecke AM vollständig ausreicht. Das Diagramm der Kaskadenschaltung wird also durch Fig. 6 allein dargestellt und wir erkennen daraus

= Magnetisierungsstrom von Motor I, n    n n II»

=    „    der Kaskade,

= Kurzschlussstrom der Kaskade,

= Primärstrom von Motor I,

»    n    » H»

= Sekundärstrom von Motor II,

= Halbes Sekundärfeld von Motor II,

= Wattstrom von Motor I,

= Leerstrom

= Halbes Primärfeld von Motor II,

AC₀

— lmj

C₀ C₀ = im₂

A(V =im

AM

= ik

AC

c₀c

GC

MC

Cc

= h

= |n,

— Iw

MM' = ~~ N₂

1 — T

C₀/M -

2 (1 + T)

N.

B. Kaskadenschaltung zweier Motoren mit verschiedenen magnetischen Widerständen bei gleicher Windungszahl.

Hier sind drei Fälle zu unterscheiden:

1.    die beiden Hauptwiderstände sind gleich: px = p₂, die Streuwiderstände verschieden: p₈, ^ pS2,

2.    die beiden Hauptwiderstände sind verschieden : px ^ p₂, die Streu widerstände gleich : pSl = pS2,

3.    die beiden Hauptwiderstände sind verschieden: px ^ p₃, die

Streuwiderstände ebenfalls verschieden: p8l ^ pSr Allen drei Fällen ist gemeinsam

und jeder ist auf seine Eigenschaften, insbesondere auf Ueberlastbar-keit und Leistungsfaktor zu untersuchen.

Erster Fall.

Haupt widerstände gleich, Streuwiderstände verschieden.

Praktisch ist dieser Fall etwa in der Weise zu denken: dass der

eine Motor wenig Nuten pro Pol und Phase besitzt gegenüber dem andern; so wird bei ihm der Wert der sogenannten Zickzackstreuung¹) wesentlich grösser, der magnetische Widerstand seines Streufeldes also geringer werden. Da jedoch Windungszahl und infolge dessen Dimensionierung bei beiden gleich geblieben ist, so ist auch der Magnetisierungsstrom konstant geblieben. Der Streufaktor r₂ ist mit anderen Worten dadurch kleiner geworden als xx, dass der Leerstrom im konstant, der Kurzschlussstrom K grösser geraten ist.

Fig- 7.

Die Bedingung, dass der magnetische Widerstand des Streufeldes von

BCo’F

Motor II grösser sein soll als der von Motor I, findet darin ihren Ausdruck, dass der Belastungsstrom i₂, welcher im sekundären Teile von Motor I der gleiche ist wie im primären von Motor II, im ersten Motor ein grösseres Streufeld erzeugt als im zweiten, weil seine magnetisierende Kraft hier einen grösseren Widerstand findet. Nehmen wir an, dass der magnetische Widerstand des Streufeldes in Motor II im Verhältnis tx : z2 grösser geworden ist, so ist ersichtlich, dass die Streufelder n₂ und n₂', welche derselbe Strom i₂ erzeugt (Fig. 7), nicht mehr wie bisher gleich zu setzen sind, sondern dass das Streufeld in Motor II im Verhältnis t₂ : tx kleiner wird als im Motor I: wir haben

>D

Co

Co

VA

»2 : n₂ = Ti : V

b Vgl. hiezu Breslauer, Ztschr. f. El. 1903, Heft 43 u. 47. Breslauer, Das Kreisdiagramm des Drehstrommotors.

Damit ist das Felddiagramm für diesen Fall gegeben und es handelt sich zu seiner Vervollständigung nur noch um die Auffindung des geometrischen Ortes für den Punkt C, welcher gleichzeitig die beiden Bedingungen erfüllt (vergl. S. 6), dass durch ihn alle von C0 ausgehenden Strahlen C₀D im Verhältnis n₂ : n₂/ = z₁ : t₂ geteilt werden und ferner die im Punkte D auf B D errichtete Senkrechte D₀/ D von N₂ eine Strecke D₀/C abschneidet, derart dass

d7c = t₂.bc = t₂n₂.

Das Streufeld n₂ schrumpft nun bei Leerlauf auf den Wert C₀ (V zusammen, welcher sich algebraisch von B C₀ = N subtrahiert, so dass bei Leerlauf für den zweiten Motor ein Feld

N₂ = C₀'B

übrig bleibt.

Aber auch dieses Feld N₂ tritt nicht in voller Stärke in den Sekundäranker des zweiten Motors über, sondern es geht abermals ein Teil

C₀/D₀=t₂.C₀/B

als Leerlaufstreufeld verloren und erst BD₀ ist das Ankerfeld N₃ bei Leerlauf.

Zur Bestimmung von C₀ C₀/ haben wir zu beachten, dass der Strom, welcher dieses Streufeld bildet, in Motor I fliesst, also dort jenen Streuwiderstand vorfindet, welcher dem Faktor t, entspricht: wir haben also

oder

CoC/^N —C₀C/),

Ti

N — lnio —

¹ — Ti

1 -j- T

• • (1)

und hieraus

C₍/D₀ = t₂ . C₍/B =

t₂(N-C₀C₀/)= x₂N ( l

oder

C₍/D₀

T2

N = i₂

--N

1+^x

(2)

1 + *i

Dividiert man Gleichung 1 durch Gleichung 2, so erhält man das Verhältnis der beiden Streufelder bei Leerlauf

Co⁷ Do ₌ *2 C₀ Co'

was zu erwarten war, da ja auch

Cq'Dq _ V

sein muss.

Co'Co

n2

Es wird daher D₀D j| C/C sein müssen, um letztere Bedingung zu erfüllen, und gleichzeitig wird die Verbindungslinie D₀D auf BC ein Stück D₀'C abschneiden, derart dass

Do'C:N₂ = C₀D₀:C₀'B,

oder

D₍/C = N₂

N

l + *i

• N — C₀ C₀‘

= N, .

—^— N 1 + *,

N^l-

l + *i

das heisst

D₀'C=t₂N₂.

Hieraus ist ersichtlich, dass die oben aufgestellte Bedingung, dass

d7c=^₂n₂,

darin ihren Ausdruck findet, dass die Verbindungslinien jedes Punktes des geometrischen Ortes für C mit C/ parallel mit D₀D sind, wo D auf der Verlängerung von n₂ eine Strecke

/

n2 = n2 ■ _

abschneidet. Hierbei sind die Punkte C₀, C,/ und D₍₎ durch Gleichung 1 und 2 definiert.

Der gesuchte geometrische Ort für C ist abermals ein Kreis, und zwar mit dem Durchmesser C₀'M' (Fig. 8), wo M' dadurch bestimmt ist, dass

C₀M':M/B = t₁: v

Ebenso ist auch der geometrische Ort für Punkt D ein Kreis über Durchmesser D₀ B, wo der Punkt D₀ aus Gleichung 2 (S. 18) bestimmt ist.

Die beiden Kreise erfüllen zunächst die Bedingung, dass jede von C₀ aus gezogene Gerade durch sie in zwei Strecken C₀ C und C D geteilt wird, derart dass

: r₂.

C₀C : CD = C₀C₀' : (yD₀ = C₀M' : M'B = t

D„

cô

'Si

Co

VA

Fig. 8.

pß>

/y’o

Felddiagramm zweier in Kaskade arbeitenden Motoren, von denen Motor II geringere Streuung hat als Motor I T] = 0,12; v₂ = 0,09; Nj = AB = 200. [Massstab ²/₃.]

Des weiteren ist unmittelbar ersichtlich * dass die beiden Kreise auch die oben abgeleitete Bedingung erfüllen, wonach die Verbindungslinie

sein sollte.

D..D ü c„'c

Denn es verhält sich

C₀(y : C₀'D₀ = n₂ : n₂',

dies ist aber nur möglich, wenn in dem Dreieck CUD₍₁D die Linie

ist.

C/CII D₀D

Somit ist auch die zweite Grundbedingung erfüllt, dass dTc = x₂. N₂,

und damit das Felddiagramm auch für diesen Fall erledigt.

Das Diagramm ist jedoch in dieser Form nur mit grosser Vorsicht zu verwenden. Wir haben hier nämlich zum ersten Male den — methodologisch — interessanten Fall, dass man nicht ohne weiteres vom Diagramm der Felder oder Kraftlinienzahlen auf das der Stromstärken übergehen kann.

Um dies thun zu können, müssen wir uns erinnern, dass derselbe Sekundärstrom i₂ in Motor I ein anderes Streufeld hervorruft, als in Motor II. Bezeichnen wir den Widerstand des Streufeldes in Motor I mit ps, den in Motor II mit p/, so ist das Streufeld von i2 in Motor I

Ps

dagegen in Motor II

Ps' ‘

Derselbe Strom erzeugt also (Fig. 7) verschiedene Streufelder, je nachdem er in Motor I oder Motor II auftritt, und dementsprechend sind alle Stromgrössen, welche im Dreieck BCD, welches die Verhältnisse in Motor II darlegt, auftreten, d. i. n₂/ und n₃', mit einem andern Proportionalitätsfaktor zu multiplizieren als nn n₂ und n₃ in A ABC, welches Motor I entspricht.

Wählen wir z. B. den Massstab so, dass nj = ix und n₂ = i₂, so müssen wir auch die Strecke CD = nä = i₂ machen ; wir erkennen dann weiter, dass auch

werden muss und

C₀C₀' = C₀'D₀

C₀M' = M'B.

Diesen Bedingungen entspricht das Stromdiagramm Fig. 9, in welchem der gestrichelte Kreis den geometrischen Ort für i₂ darstellt.

B\— —.

Fig. 9.

M'

Do

Do

to

V/$)

<)5

•1C

£|

___

Co

iml.

Nun erkennen wir auch die Gleichheit der beiden Drehmomente an der Kongruenz der punktierten Hilfsdreiecke

D'EC 22 C₀E'C,

woraus

und folglich

C₀E' = D'E,

Dt = C₀E'. CB = D₂ = D'E . Cß.

Wir haben ferner folgende Beziehungen:

AM'^ik^N, -

T2

N ==

T2

ti + t2

N. (3)

1    -1 + S

1 -j- a 1 — Tj T2

wenn a = —ś-, woraus

Ti

ik =

Tl + T2

N = Kurzschlussstrorn beider Motoren in Kaskade,

N = (1 + a) 4

1+*, lk

T1

T1

2tt

1-H²

ström beider Motoren in Kaskade.

1+U

N = Leerlauf-

• • (4)

Hieraus folgt:

Nt = AB =

¹ - Ti

1+^2

ik =

1 + a •

1 -f- at₁ k

(5)

lmj — -A. C₀ —

1 -Tx

N = t₁

1 -j- oc . 1 + T2

ik .    .

• • (6)

C₀M' =

H + T2

• (7)

C₀'M' = 2(iw)

max

(■

1 + Ti

_ ¹ - U    ¹ - h    •

1 + H    1 + ^2    k'

T1 T" T2

—-———n

1 + a 1 + Ti

(8)

Unter Benutzung dieser Beziehungen erhalten wir als Grundgleichung des Kreises über C₀/M/ aus Fig. 8:

iw² = (C/M' - i₀) (io - im₂)

n) .... (9)

U² =

oder aufgelöst

iw² =

1 + Ti (2 H~ a) (1 + a) (1 + tx)

Ni₀ — i₀² -

1 + a 1 + zl

N². . (9a)

Hieraus der Sekundärstrom:

N². .    . (10)

Ni«

■*2

1 4~ Ti (2 + q)

1 + a 1 -j- Tj

AC0 = TN1 = T^rN,

2. Deutung des Diagramms.

(1 -f a) (1 + tx)

1 + a 1 -j- Tj

Wir brauchen ferner das Sekundärfeld N₂ des Motors I, welches gleichzeitig Primärfeld von Motor II ist, und haben hierfür:

N₂² = iw² + (N - i₀)² = iw² + N² + i₀² - 2Ni0 = i₂²-f-N²-2Ni₀.

Hierin den Wert für i₂² aus Gleichung 10 eingesetzt, gibt

N ² = -^2

oder

N₂² =

1 + H (2 + «)

. (l + a)(l + Tl)

2) N i„ + (

h—\

l + a 1 + tx /

N²

! + «(!+ Ti)

(1 + a) (1 + Tj)

N²-

l + a (2 + Ti)

(1 + a) (1 + Ti)

Ni,. . . . (11)

Weiter ist noch von Wert, das Tertiärfeld N₃ analytisch zu kennen : hierfür haben wir

M'C:N₃ = C₀M':Coß

.N

m/c = n₃.

N₃;

• - (12)

ferner

*•)’

M'C² = i„² + M'c» = ;»> + (

(1 -f- a)

= iw² + i₀² +

1 + Ti (2 + a)

(l + a)(l + Ti) l + a) '° Î

Ti

N²

2a - 1

(1 + a) (1 + tx)

Ni₀-

l + a 1+Ti (l+a)

N².    . . (13)

1 — ai,

(1 -f- a)²(1 -f- T,)

Hierin der Wert für M'C aus Gleichung 12 eingesetzt, gibt

N ² =

J.'N -

(1 + «) (2 a — 1)

1 + T,

Ni„-

1 — ai,

N².    .    . (14)

Endlich ist noch der Tertiärstrom

i₃ = G C = H D'

zu bestimmen. Hierfür haben wir im A C₀' C M' die Beziehung

C₀'M'² - M'C²

oder unter Zuhilfenahme von Gleichung 8 und 12

C₀'C² =

(l + a 1 + t₁

1 — a.vl \ ²

N²-

(lH~a)(l+n)

Nio-f

1 — OLZl

(l + a)²(l+n)

N²

1 — at₁

(1 + a)² (1 +Ti)

■jCl-at-. + l-fr^N²

2a - 1

(1 - «tJ (2 -f- [1 - a]^) (l + a)²(l +tx)²

N² -

(l + a)(l+Tl) 2 a - 1

Ni₀

(1 + a) (1 + Tx)

Ni₀.

Nun verhält sich aber wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke GC₀'C₀ und C₀'CM'

C₀'C:i, = C₀' M':C₀M'

somit

1 -f- a 1 -j- xl 1 -f a

1 — atj

l + *i ’

Co'C.

1 — atj

Dies in den obigen Ausdruck für Co'C eingesetzt, gibt:

2 -f (1 — a) tx (1 -f a)² (1 — aTj)

Aus all diesen Ableitungen erkennen wir wieder, dass alle Beziehungen, welche wir brauchen, ohne Zuhilfenahme der drei grossen Kreise von Fig. 8, allein durch den stark ausgezogenen kleinen Kreis über C₀'M' dargestellt werden. Die vereinfachte Fig. 10 gibt uns daher alles Notwendige. Gegebene Grössen sind uns darin durch Messung oder Rechnung die Strecken

AC₀' = im = im, + im₂ = Leerlaufstrom der Kaskade,

N = Kurzschlussstrom der Kaskade.

N² -

(2 a — 1) (1 -j- Tj)

(1 + a) (1 - atj

F Nin. (15)

AM'

1 + C'A

1 - tx

Wieder ist iw = cC das Mass für die Energieaufnahme der Kaskade, welche dargestellt wird durch

Li = e iw.

Diese verteilt sich auf die beiden Motoren, — doch so, dass die Drehmomente unter allen Umständen einander gleich bleiben. Nun

Fig. 10.

i-m

im 2 fCo im1

gehört aber zu demselben Wattstrom iw immer auch das gleiche Drehmoment D in jedem Motor, mag derselbe normal oder in Kaskade geschaltet sein; da aber allgemein die Leistung des normal geschalteten Motors

L = D n,

wo n die Tourenzahl, andererseits die Leistung der Kaskade

L = Dini + D2n2 = D(ni +

so muss

n = nx + n₂

werden, d. h. die Summe der Geschwindigkeiten der in Kaskade geschalteten Motoren muss immer gleich der Geschwindigkeit des normal geschalteten Motors sein.

In diesem Falle genügt es jedoch nicht bloss, wie vorher, wo tx = t₂ angenommen war, den gesamten Leerstrom der Kaskade im = imj 4- im₂, sowie den Kurzschlussstrom ik der Kaskade zu messen,

sondern wir brauchen noch das Verhältnis — = a der beiden Streufaktoren. Es muss mindestens noch einer der beiden Kurzschlussströme bei normal geschaltetem Motor, z. ß. Nx (im Strommassstab) und der zugehörige Magnetisierungsstrom im, gemessen sein. Dann ist gegeben: im» im,» ik»

Hieraus geht a durch folgende Beziehungen hervor:

daher

im, = Ti ] »

Inij

N, ’

ferner wegen Gleichung 6

Im, —

1 4- atj

K»

daher

tiNi = L

oder

oder

Nx(l + atj) = (14- a)ik

N, +

Nx — ik 4“ a K

a (im, — ik) = ik — Nt

« = KzJk

lm.

oder

Nt -ik

lk îm.

Durch die drei Grössen a und ik sind alle Beziehungen festgelegt; es ist

N = (l + a)

1 + aTi

lm₂ —    Im

und der maximale Wattstrom

¹ - Ti ¹ -    •

1 ~f" Ti 1 + aTi

Ueber diese weitaus wichtigste Grösse, welche die maximale Zugkraft der Kaskade darstellt, in ihrer Abhängigkeit vom sekundären Streufaktor bezw. von der Grösse a gewinnt man durch Fig. 11 ein besonders deutliches Bild. Der kleinste Kreis zeigt das Verhalten bei Gleichheit der beiden Streuwiderstände, während die mehr und mehr wachsenden Durchmesser den Einfluss verringerter Streuung im zweiten Motor darstellen. Wird der Streuwiderstand im letzteren unendlich gross — immer noch unter Annahme, dass der magnetische Widerstand des Hauptfeldes konstant geblieben ist —, so fällt Punkt M mit B zusammen und die Kaskade hat dann einen Gesamtstreufaktor, der etwas weniger als doppelt so gross ist gegenüber der von Motor I, da

N,

Im — Im, i lm₂ —

gegenüber

im, —

während im ersten Fall zx = z₂, der resultierende scheinbare Streufaktor vervierfacht wurde l).

An Hand dieser Resultate lässt sich die Frage beantworten, welche Anordnung die günstigere wäre, falls man zwei Motoren hat, deren Untersuchung verschieden grosse Streuung ergab bei gleichem magnetischen Hauptwiderstand, — ob der Motor mit kleinem z als Motor II zu verwenden ist oder umgekehrt.

b Dies ist der Spezialfall des Einphaseninduktionsmotors, dessen Verhalten hieraus in einfachster Weise hergeleitet werden kann, worauf ich an anderer Stelle zurückkommen werde.

a -0,75

mÆt¹-⁰ c<: c₀

Um dies zu entscheiden, hatten wir auf S. 23, Gleichung 8 die Beziehung

2 iw

1 -f- a

JB

cc* o,i

a-o,3

a-o,s

Fig. 11.

œ\o

oo

i^LN

1 + *.

oder da

T1

und wegen

T2

wird

2 iw

1 - T2 ¹

(1 - %)(1 - H)

T2 + h ¹ + T1

(Ti + T₂) (1 + Ti)

im,. (16)

In diesem Ausdruck sehen wir, dass überall, ohne Wertänderung hervorzurufen, t₂ und t₁ vertauschbar sind ausser in dem Klammerausdruck: 1 -j- T₁.

Vertauschen wir also die beiden Motoren, so ist, da imi in beiden Fällen gleich bleibt wegen Gleichheit der magnetischen Hauptwiderstände, die maximale Energieaufnahmefähigkeit umgekehrt proportional mit 1 -f- Ti- Es wird also von Vorteil sein, den Motor mit kleinerem Streufaktor als Motor I zu benutzen, trotz der verhältnismässig stärkeren Verkleinerung des charakteristischen Kreises im Vergleich zum Kreis des Primärmotors. Die Differenz kann übrigens nie bedeutend werden.

Zweiter Fall.

Hanptwiderstände verschieden, Streuwiderstände gleich.

Praktisch ist dieser Fall dann gegeben, wenn z. B. die beiden Luftspalte etwas abweichen. Die Kurzschlussströme bleiben dann trotzdem in weiten Grenzen konstant x), während die Leerströme verschieden werden.

Gehen wir nun zu diesem entgegengesetzten Grenzfall über, d. h. dass die magnetischen Widerstände der beiden Hauptfelder p verschieden, die der beiden Streufelder ps jedoch gleich sind, so erkennen wir, dass die Ueberlegungen, welche auf S. 4 ff. zum Felddiagramm Fig. 5 geführt haben, auch hier Geltung behalten müssen.

Die Gleichheit der magnetischen Streuwiderstände hat zur Folge, dass die durch den Belastungsstrom i₂ gebildeten Streufelder n₂ in allen Belastungswerten, also auch bei Leerlauf und Kurzschluss, einander gleich sein müssen. Dies führt bei Kurzschluss (Fig. 8) wieder auf die Halbierung von N = C₀ B also

C₀M' = M'B = — N.

u

¹) Vgl. Breslauer, Ztschr. f. El. 1903, Heft 3.

Bei Leerlauf ist die Lage von C₀' so zu bestimmen, dass wieder der Magnetisierungstrom von Motor II in diesem das gleiche Streufeld x₂ N₂ erzeugt, wie in Motor I, d. h.

C₀(V = C₀'D₀ = t₂ N₂ = t₂ (N - t₂ N₂),

wroraus

oder

folglich

N₂ (1 + ts) = N

t^Vn’

N₂ =

c₀ (y = g₀' d₀ =

T2

<xz₁

N,

i + T2

wenn wieder a == ~ gesetzt wird.

Wir erkennen, dass der so gefundene Punkt C,/ gegenüber dem zuletzt besprochenen Fall gleicher magnetischer Hauptwiderstände dadurch verschieden ist, dass, wenn t₂ 14 die Strecke C₀C₀' ebenfalls kleiner wird. Während vorher Gleichung 1, S. 18

1 + ^1

gewesen war, wird jetzt

Cn C/ = —— N.

1 -f- <XT 1

(17)

Das Verhältnis wird also

Natürlich bilden alle Zwischenpunkte wieder einen Kreis, was aus den bisherigen Auseinandersetzungen ohne weiteres hervorgeht, und die Wirkung einer Verkleinerung von t₂ gegenüber ^ erkennen wir aus

Fig. 12.

Charakteristisch bei Vergleichung von Fig. 11 mit Fig. 12 ist die Thatsache, dass die Verkleinerung des Hauptwiderstandes bei weitem nicht den Einfluss auf die Ueberlastbarkeit auszuüben vermag wie die Vergrösserung des Streuwiderstandes. In Fig. 11 erreichten wir im Grenzfall v₂ = 00 fast eine Verdoppelung des maximalen Drehmomentes, in Fig. 11 sehen wir, dass das maximale Drehmoment der Kaskade höchstens gleich dem normalen Drehmoment des Motors I werden kann.

(X

0.5

_3L

0.3

JT.

I'

=0

Fig. 12.

Irnf

Wir eiiialten in unserm vorliegenden Falle

oder

2iw =

r-< <M

N - C₀C₍/ = N

aTi

1 -F atj

■)

2 iw =

j_ ¹ — °‘Tl M 2 1 -F at.

(18

Wieder ist die Frage von Interesse, welcher der beiden Motoren am vorteilhaftesten direkt ans Netz anzuschliessen ist. Wir erhalten aus Gleichung 18 unter Einsetzung von

die Beziehung

2lw~ 2

1    1 — aTj .

1    1 - t₂ .

lmi _ 2

vertauschen wir die beiden Motoren, so wird

aij

Z2

'mj ;

ii-*,

2iw = 2

Wir erhalten also als Verhältnis der Kippmomente

T1

Cf- lmj.

2 iw

1 — at. 1

2iw/

1-^ a²

Dieser Ausdruck zeigt im Gegensätze zu Früherem, dass umgekehrt wesentliche Vorteile erzielt werden, wenn der Motor mit schlechterem Streufaktor ans Netz geschaltet wird. Die Differenz in der Ueberlastungsfähigkeit kann sogar sehr bedeutend werden: ist z. B., wie in unserm Zeichnungsbeispiele, t₁ = 0,12, t₂ = 0,09, so wird das Verhältnis der Kippmomente:

2 iw

= 1,84

2iw/

d. h. fast doppelt so gross.

Dritter Fall.

Hauptwiderstände verschieden, Streuwiderstände verschieden.

Alle übrigen Fälle liegen nun zwischen diesen beiden und der allgemeinste Fall ist der, wo sowohl Haupt- als auch Streuwiderstand der beiden Motoren von einander abweichen: d. h.

p' = »P Pb' = b ps'.

Im allgemeinen wird also

n₂ < n₂'

und daher wird unter allen Umständen das Felddiagramm Fig. 8 Geltung behalten; die Umdeutung desselben auf Strommassstab wird jedoch gegenüber Fig. 9 geändert werden müssen.

Breslauer, Das Kreisdiagramm des Drehstrommotors.

Es wird jetzt bedeuten: px = magnetischer Widerstand des Hauptfeldes von Motor I

P2    »    n    v

pSl = Streu widerstand von Motor I

» II

« II

Ps2 —

Pl

= — = Streufaktor von Motor I

psi

P2 _

P«2

„ II, wobei jetzt ganz im all-

gemeinen

Pl

Ps₁

VA VA A V

p2l

Das Stromdiagramm lässt sich sofort entwerfen, sobald alle Punkte auf der Linie AB, d. ti. die Strecken AC₀, C₀C₀', (VD₀, C,'M' und AB selbst festgelegt sind.

Strom- bezw. Amperewindungszahl und Feldstärke sind aber durch das allgemeine Grundgesetz des magnetischen Kreises verbunden.

Kraftlinienzahl =

Ampère wind ungszahl

Magnet. Widerstand

Dementsprechend werden alle Streufelder, das sind AC₀, C₀ C₀' und C₀'D₀, sich aus der Beziehung

Magnetisierungsstrom

Streuwiderstand

C₀B = N, C₀'B = N,

ergeben, während die Hauptfelder AB = N (bei Leerlauf) und D₀ B = N₃ (bei Leerlauf) sich ergeben aus

Magnetisierungsstrom Widerstand des Hauptfeldes ’

Wir erhalten daher:

AC₀ = t₁N₁ =

Imj

.    . (18a)

ferner

C₀C' =

■ . (19)

_    P-i ”

denn C₀C' ist dasjenige Streufeld, welches in Motor I durch das Vorhandensein des Magnetisierungsstromes von Motor II bei Leerlauf erzeugt wird, während C₀'D₀ dasjenige Streufeld ist, welches zwar durch denselben Magnetisierungsstrom im2 erzeugt wird, wie vorher C₀C₀', jedoch in einem andern Widerstande, nämlich im Streuwiderstande von Motor II, daher

Ps2

CVD„=ï^

Gleichzeitig wissen wir, dass C₀'D₀ das zum Sekundärfeld N0 gehörige Streufeld sein muss, oder da

wird

n₂ = N - c„<y,

oder

C₀'D₀ = t₂N-t, C₀C₀' = T,(l-t₁)i=l-t. C₀C'

Nun verhält sich aber

Pl

C C ' ‘ C / D _ ^m2 . ^m2 _ Ps2

Psi Ps₂

PBI

PS1

Dies oben eingesetzt, ergieht

W =    (i—*1) -r¹ - \ r²- c7)\ = % (i-t.) ^ cTd:

Pi

Psi

Pl

Psi

^2 (1 Tl^ ^ml _ T2 1 śl

Co'Do =

P2

Pl

T1 Psi + P₂

inił

Psi

c,;d₀=

psi Pl

lmi

und hieraus wegen

Psi + P2

■ ■ (20)

C 'T) = —■! =    _Bl t

° ° Ps₂ PS1 + P2 ² Pi

_ Pb, Pi P2 :

lm2 —

Psi + P₂ Pl

Im, •

• • (21)

Damit sind die Punkte A, C₀, C₀', D₀" bereits festgelegt. Die Strecke AB gewinnen wir aus

AB = Nx =

Inn

Pi

und den Punkt M/ daraus, dass die Strecke

C₀B = N

durch ihn im Verhältnis

geteilt werden muss.

C₀M':M'B = pS2:pSl

Hieraus ergibt sich, dass

und

C₀M' =

oder

C₀ M' = ^M'B =-^-N —— C₀M'

Ps

ps

ps

ps

1 I PS2 .

1 4“ —— ps,

p82

Ps2

Ps,

Ps, + Ps₂

Ps, 4“ Ps₂

AM'

= C₀M' + AC„ = (

Ps-2

ps, 4“ Ps

- (1 - t,) + Tj) N,

ps₂

Ps, 4~ Ps2 _ Ps₂ 4~ p, im, Ps, + Ps₂ Pl

- T1

ps₂ P®, Ps₂ \

2 '

ps, + ps

. (23)

Die wichtigste Grösse, den Durchmesser des charakteristischen Kreises, aus welchem das maximale Drehmoment folgt, erhält man aus Gleichung 22 und 21.

C₀'M' = C₀M'- c₍,c₀'= NX

Ps, Pl Ps₂

Ps, 4" Ps₂ Ps,

ps, Pl p2

Ps, 4- P₂ Ps,

ps,

_ ps, ~ Pl (ps, 4~ p₂) Ps2 ~ (Pa, 4~ ps₂) P2 (ps, 4“ ps₂) (ps, + P₂)

Ps, - P

ps, ps₂ 4~ p₂ps₂ P2 PS1 P2 Ps2

Ps;

(ps, 4~ Ps₂) (ps, 4- P₂)

_ P S|    P]__Ps, (ps₂ p₂) JT

Ps, (Ps, 4“ Ps₂) (ps, 4" P2)

und hieraus:

q / jyjv _ P«i_Pi _ Ps₂_P2 Im,

ps, 4“ P2 Ps₂ 4- Ps,

Pl

. - (24)

Erinnern wir uns nun noch, dass der Strom, welcher C₀M' entspricht, auf den Streuwiderstand pS) von Motor I zu wirken hat, so sehen wir, dass dem Felde C/M' der Strom

C₀'M' • p8l = 2 iw

entsprechen muss, und deshalb

Ps₂ P2 f ■

o, _ P®i Pi

Alw —    j

ps, + p₂

Wir erhalten ferner den gesamten Magnetisierungsstrom in der Kaskade aus Gleichung 21:

Ps₂ 4- ps, T1

. . (25)

woraus

(26)

S?

im — imi "l⁻ lm₂ — 1

i“! (

Psi Pi P2

Psj + P2 Pi

■)

Pi Psi + Pa Pi + Pa Pai “ P2 Pi •

Pi (Psi + Pa)

• _ Pl + P2 ¹ •

lm —    i    lm,

P®i + Pa Ti

Ferner berechnet sich der Kurzschlussstrom ik der Kaskade aus Gleichung 25 und 26, indem

(Psi ~ Pl) (Ps2 ~ Pą) 4~ (Pl H~ Pa) (Ps₂4~P3!) 1 •

(psi + P2) (Ps₂ + Psi)

__ P«2 Pai Ps₂ Pl ~~ Pa p8j 4~ Pl P2 4~ Ps₂ Pl ~h Ps₂ P₂ ~f p3i Pl 4~ Psi p₂ 1;

(Psi + Pa) (Ps₂ + Pai)

_ . Ps₂ (psi 4~ Pą) 4~ Pi (pą pai) 1 •

(Psi + P2) (ps2 + Pai) Tl ¹⁵

it — 2iw -j- im —

T1

T1

und hieraus:

(27)

1 _ Ps₂ + Pl ¹ :

—    ,    im,

Ps₂ + Ps₂ Tj

Von Bedeutung ist noch das Verhältnis des in der Kaskade auftretenden Magnetisierungsstromes von Motor II: im2 zu demjenigen Magnetisierungsstrom, welcher bei direktem Anschluss von Motor II an das Netz fliessen würde und der mit i'm2 bezeichnet werden soll.

Es müssen sich diese beiden Ströme wie die Felder verhalten, welche von ihnen magnetisiert werden sollen, d. h.

lm₂

: im₂ — Nj : N2

N.

lm₂ — lm

N — C₀ C„'

— lm₂ *

Psi

— lm₂

P«1 Pl _ P2 Psi -f" P2 P®2

_ _Pai (Pai + Pą)_ •

~~ (Pa, - Pi) (Pa, + P₂) - (Psj - Pi) P2 m2

• / _ Pai + P₂ :

lm₂ —

lm₂*

Psi Pl

Um nun aus diesen Formeln den Rückweg in die physikalische Wirklichkeit zu finden, ist zu bedenken, dass uns weder beim Entwerfen oder Berechnen, noch auch bei der Probe solcher Motoren die

magnetischen Widerstände direkt gegeben sind. Nur das Verhältnis der magnetischen Widerstände lässt sich durch Messung oder Rechnung bestimmen, insofern wir die Magnetisierungs- und Kurzschlussströme beider Motoren, wenn sie an die Netzspannung angelegt sind, berechnen, bezw. messen können. Um also die Formeln praktisch anwendbar zu machen, 'müssen wir sie derart umformen, dass statt der absoluten Widerstände deren Verhältnisse Vorkommen.

Bezeichnen wir wieder mit i'm2 den Magnetisierungsstrom von Motor II, wenn er direkt ans Netz gelegt würde, und entsprechend i'k₂ den Kurzschlussstrom unter denselben Voraussetzungen, so ist

und

P2 _ lm2 _ ß

Pl

Irti!

Psj _ ifc₂

iki

lm.

= T,

ps

!k]

P-2 _ lm2

* / lk₂

Aus diesen Verhältnissen folgt noch:

-^ = ßtl=VT₂

Ps₂

Ps;

Pl _ U _ T2 ps₂

Unter Benutzung dieser Beziehungen erhalten wir aus Gleichung 21

lm₂

ßim

• • (28)

aus Gleichung 25 :

. . (29)

aus

Gleichung 26 :

lm —

aus Gleichung 28:

lm₂ —

¹ + ß i 1 + ßU m”

1 + ßu .

1-T, lm2

(30)

(81)

und endlich der Kurzschlussstrom der Kaskade aus Gleichung 27 :

ik =

Imp

(32)

Wenden wir diese letzten Formeln auf unser bisheriges zeichnerisches Beispiel an (Fig. 8), so hatten wir darin:

im! — 27,3

und setzen fest:

T2

0,12; ikl = -^- = 227

0,09,

Ti

woraus

ik₂ =

im₂/ — 23,

im₂

T2

= 255.

Also

im₂ _    23

und

im!

27,3

= 0,84; ßTl = 0,101

255

ik,

227

= 1,12.

Hiemit ist alles gegeben, um das Diagramm für diesen allgemeinsten Fall entwerfen zu können; nämlich:

0,88

lm₂

1+ß«!

ß imi —

0,84 . 27,3 = 18,3

Im

1,101

_J 1 — t2 7    •    ₌____

1+ßt/ 1 + T tj mi 1,101 ’ 2,12 • 0,12

1 + ß ■

l + pTx mi 1,101

1,24    1

“ 2,12 ' 0,12

0,88    0,91    1,12

. 27,3 = 87

1,84

. 27,3 = 45,5

i - ? + *■ J_ ;

¹¹    - f + 1

. 27,3 = 133.

In Fig. 13 sind diese Verhältnisse zur Anschauung gebracht: es bedeutet darin der stark ausgezogene Kreis den charakteristischen Kreis der Kaskade über 2iw als Durchmesser, und wir erkennen im Vergleich zu dem fast konzentrischen, punktiert eingezeichneten Kreis, welcher den Fig. 5, S. 9 behandelten Fall darstellt, wo die beiden Streufaktoren und die einzelnen Widerstände untereinander gleich angenommen wurden:

1.    Die Hinausschiebung von M' gegenüber M, als Wirkung des vergrösserten Streuwiderstandes in Motor II und dadurch Vergrösse-rung von ik;

2.    die Hinunterschiebung von c₀/ gegenüber C,/ als Wirkung des verringerten Widerstandes des Hauptfeldes in Motor II und dadurch

Verkleinerung des Gesamtleerstromes im bei konstant gebliebenem im, und ikr

Fig. 13.

TT—*

ik/

ir

M------.

2~ho

im 2

int

---JA

Die praktisch wichtige Frage, welcher der beiden Motoren am vorteilhaftesten direkt ans Netz angeschlossen werden soll, lässt sich hier nicht mehr allgemein beantworten. Prinzipiell lässt sich nur sagen, dass, wenn der Hauptwiderstand stärker verringert wird als der Streuwiderstand vergrössert, wir uns also dem Fall Fig. 12 nähern, dass dann vorteilhaft der Motor mit grösserer Streuung ans Netz an-zuschliessen sein wird.

Ist umgekehrt der Widerstand des Streufeldes wesentlich stärker gewachsen bei einem der beiden Motoren, als der des Hauptfeldes verringert wurde, so nähern wir uns dem Fall Fig. 11, und es wird dann vorteilhafter, wie S. 33 nachgewiesen, den Motor mit geringerer Streuung ans Netz zu schalten.

Das Kriterium bleibt immer die möglichste Yergrösserung des charakteristischen Kreises über 2 iw.

Im Falle der Fig. 13 ist die Untersuchung folgendermassen anzustellen. Schalten wir Motor II ans Netz, so wird

imj — 23

Ti

T2

= 0,09, woraus K/ = 256 = 0,12, woraus K/ = 227 im/ — 27,3

daher

ß __ Jfj2_ _ i,i9; ßTi==(U07 Im.

und

ïki

- 0,89.

Daraus ergibt sich der gesuchte charakteristische Kreisdurch

messer:

¹ - t2 Ï • ₌ ___

1 + y U m‘ 1,107 ' 1,89

0,91    0,88    0,89

’ 0,09

. 23

2iw = 87.

Wir sehen also, dass in diesem Falle es völlig gleichgültig ist, welcher der beiden Motoren zum Anschluss ans Netz bestimmt wird.

Einige durchgerechnete Beispiele lehren überdies, dass auch bei weit übertriebenen Verhältnissen die Differenz, welche aus der verschiedenen Art der Schaltung in der Ueberlastungsfähigkeit 2iw der Kaskade hervorgebracht werden kann, wenig ins Gewicht fällt.

Nehmen wir z. B. den obigen Fall nur mit der Aenderung, dass t₂ = 0,06, während

imi — 27,3

0,12

im/ = 23

beibehalten wird, so bekommen wir, wenn der Motor mit grösserer Streuung ans Netz geschaltet wird:

2 iw = 106,5,

im andern Falle dagegen:

2iw = HO.

Wir sehen somit, dass trotz dieser extremen Verhältnisse

der Unterschied nur 3^2 °|o beträgt, was auf dieselben

Gründe, wie auf S. 30 dargelegt, zurückzuführen ist, und daher können wesentliche Fehler nach dieser Richtung nicht gemacht werden.

Wie in allen bisher besprochenen Fällen, sehen wir auch hier, dass das Diagramm über AM' allein genügt, um alle wesentlichen Eigenschaften der Kaskade davon abzuleiten, und es bleibt daher Fig. 10, richtig interpretiert, das allein notwendige Diagramm, welches in Betracht zu ziehen ist.

Wir richten nunmehr die Untersuchung auf die Aenderungen, welche dieses Diagramm erfährt, wenn die Windungszahlen

m₂ ^ m/,

d. h. die Motoren verschieden gewickelt und ganz verschieden dimensioniert sind.

C. Kaskadenschaltung zweier Motoren mit verschiedenen magnetischen Widerständen und verschiedener Windungszahl.

Verschiedene Windungszahl bedeutet natürlich verschieden grosses Feld, daher verschieden grosse Eisendimensionen, also auch zwei ganz verschieden grosse Motoren.

Bei der nachstehenden Behandlung sollen zwei Fälle unterschieden

werden :

1. Verschiedene Windungszahl bei gleichen magnetischen Widerständen

2. Verschiedene Windungszahl bei verschieden magnetischen Widerständen

wi < w2î Pi > p₂; p«i 5> Ps₂; Ti ;> v

Erster Fall.

Windungszahlen verschieden, Streufaktoren gleich.

von

Bei Leerlauf erhalten wir wieder in Motor I ein Feld N welchem zunächst ein Teil xN₁ durch das Streufeld, das von imi erzeugt wird, verloren geht. Im Sekundärteil von Motor I bleibt das Feld

N = (1 — t) N,

übrig; dieses erzeugt hier eine E.M.K., welche in Motor II äquilibriert werden muss dadurch, dass dort ein Feld N₂ von entsprechender Grösse entsteht. Es ist jedoch, wie bisher, wieder zu beachten, dass N₂ um dasjenige Streufeld kleiner ist als N, welches der zu N₂ gehörige Magnetisierungsstrom im2 im Motor I hervorruft. Der Unterschied gegen alle bisherigen Betrachtungen besteht nur darin, dass dieses N₂ eine doppelte Bedeutung erhält, je nachdem es als Primärfeld von Motor II oder als Sekundärfeld von Motor I betrachtet wird. Da wir vorausgesetzt haben, dass die Windungszahl w₁ des Sekundärteils von Motor I grösser sein soll als die Windungszahl w₂ des Primärteils von Motor II, so wird, um das auszugleichen, das notwendige Gesamtfeld N₂ von Motor II entsprechend grösser sein müssen, also

W„

N₂' = —2L N₂.

Der zugehörige Magnetisierungsstrom wächst aber, da die magnetischen Widerstände beider Motoren einander gleich gesetzt wurden, nicht bloss infolge des Anwachsens dieses Feldes im Verhältnis N₂ zu

N/, also auf das -fache, sondern wegen der verringerten Windungszahl in Motor II im quadratischen Verhältnisse um das

fache. Im gleichen Masse wächst aber auch, da dieser selbe so erhöhte Strom den Sekundärteil von Motor I durchfliesst, in diesem das Leerlaufstreufeld um

oder

c₀c₀' =

* S3

tN;

W1

verkleinert, da es ja auf die

verringerte Windungszahl des Motors II zu wirken hat. Diese Ueberlegung lehrt, dass

um

oder auch, wenn

wi_

w.

= C,

C₀C₍/ =

C²t

N.

. . (33)

1 + C²t

Um nun das Leerlaufstreufeld C₀' D₀ von Motor II zu erhalten, läge es nahe, dieses im Verhältnis

w₂ _ 1

kleiner zu setzen als C₀C₀', da ja die Windungszahl, durch welche es erzeugt wird, in diesem Verhältnis geringer ist, der durch sie hindurch -fliessende Strom i₂ aber derselbe. Wir müssen jedoch bedenken, dass wir nur solche Felder miteinander vergleichen können, welche proportionale elektromotorische Kräfte verursachen; von diesem Standpunkt erscheint dieses Streufeld C₀'D₀ noch einmal im Verhältnis W2 _

Wi

C₀'D₀ = Ti-C₀<V =

C²

1 + C²T

N . . . . (34)

sein muss.

Dieses Verhältnis gilt nun aber nicht bloss bei Leerlauf, sondern bei jedem beliebigen andern Strom, weil überall dieselbe Ueberlegung stattfindet. — Wieder muss also die Strecke C₀D unter jedem beliebigen Winkel durch den Punkt C so geteilt werden, dass

Ü”C:(ÜD = C²,

und dieser Bedingung entsprechen abermals (Fig. 14) die beiden Kreise über C₀'M' und D₀B.

In dieser Figur ist wieder

AB =NX

BC₀ = N == (1 — t) N AC^ = tNx =

C₀M' : M'B = C²,

ferner folgen die Punkte C₀/ und D₀ aus Gleichung 33 und 34 und M' aus der Bedingung    _

woraus

oder

C₀M' = C²(N-C₀M'),

C₀M' =

C²

1 +C

D„

,<9

C'o

♦*)

W/kZ

C„

VA

Fig. 14.

//y»

fc

Endlich noch der Kreisdurchmesser

C₀'M' — C₀M'

- C₀c; = (■

C²

C²T

1 + C²

1 + C²t

■)N

1 -f C²T — t — C²T

(4 + C²)(l + C²t)

C²N

und

C₀'M' =

C²

1 + C²t • 1 + C

T N. .

• - (36)

Das Diagramm Fig. 14 ist unter folgenden Bedingungen konstruiert [Massstab ²/3 ] :

N = 200; x — 0,1 ; C = |/2 oder C² = 2,

woraus sich ergibt

AC₀

22,2

C₀C₀' = 33,4    (Gleich. 33)

C₀'D₀ = 16,6    (Gleich. 34)

D^¥ = 133.

Das Diagramm (Fig. 14) ist speziell charakterisiert durch die Grösse von C₀' C₀ gegenüber C₀ A und C₀' D und klärt durch den Kreis über C^M' die Beziehungen des Feldes in Motor I vollständig auf; dagegen gibt es nur ungenügenden Aufschluss über die Verhältnisse in Motor II, insofern als dessen Felder n₂/, N₃ und N₂ massstäblich verändert sind und daher nicht direkt abgemessen werden können.

In Wahrheit ist ja doch z. B. das primäre Streufeld n₂' von

w₀²

Motor II nicht im Verhältnis ^₂ kleiner als n₂, sondern genau ent-

sprechend den Amperewindungen —

h w₂ _ w₂ _

h wi

Ebenso ist auch das primäre Gesamtfeld N₂ von Motor II nicht gleich dem Sekundärfeld von Motor I, wie dies scheinbar aus der Fig. 14 hervorgeht, sondern es wird nach den Auseinandersetzungen auf S. 44 ebenfalls im Verhältnis grösser sein müssen.

W 2

Diesen Bedingungen entspricht nun die interessante Fig. 15, welche zeigt, dass auch diese Anforderungen durch einfachste Konstruktionen graphisch erfüllt werden können.

In dieser Figur entsprechen alle gestrichelten Kreise und Geraden dem Motor II, die ausgezogenen, insbesondere der stark ausgezogene charakteristische Kreis, dem Motor I.

Vergrössern wir nämlich, wie vorher angegeben, die Strecke CD auf CD', d. h. auf das wahre Streufeld des Motors II

n₂' = CD' = C.CD=-f-n₂,

\\

-"i

Do

Cö

</

-\B'

Fig. 15.

fco.

jß

n-

71

.)!D'

M-°JH

è/ 7

W/

c;

/C

und ebenso BC auf B"C, d. h. auf das wahre Gesamtfeld von Motor II

N₂' = CB" = CN₂,

so zeigt sich, dass

1. Punkt D/ einen Kreis beschreibt, dessen Durchmesser D₍/F dadurch bestimmt ist, dass

<VD/ = — C₀C₀

C₀M =

MF;

und

2. Punkt B" dagegen einen kleineren Kreis über Durchmesser F IF durchläuft, wo B' dadurch gegeben ist, dass

WW₀' = c. bĘ.

Denn dieser Kreis über FB' erfüllt die Bedingung, dass die Strecke CB" je weilen durch den Punkt B im Verhältnis

CB : CB" = C'B : C'B' = 1:C

geteilt wird. Die Erfüllung der Bedingung, welche hierzu erforderlich ist, nämlich dass die Durchmesser F B' und M C' der beiden in Betracht kommenden Kreise sich wie die ihnen benachbarten Abschnitte der Verbindungslinie MF verhalten müssen, geht aus folgender Zusammenstellung , welche zur Konstruktion des Diagramms erforderlich ist, hervor :

Es ist

AC₀ = TN₁ = T^rN,

hieraus

C₀C' =

C'D₀ =

C₀M =

C'M =

C²v

1 + C²t

1 + C²t

C²

1 + C²

N nach Gleichung 33,

N nach Gleichung 34,

N nach Gleichung 35,

C²

r)

C²

1 + C²t ’ 1 + C²

C/B = N - C₀C' =

1 + C²

N,

N nach Gleichung 36,

1 + C²t

N,

D₀B = C'B - C'D₀ =

1 + C²t

^-N,

ferner als neu hinzutretende Bedingungen:

C'D₀' = -+ C₀C' =

Ct

1 + C²*

N, .

. . (37)

C'B' = C . C'B =

1 + C²t

N,

(38)

N. .    (42)

woraus

BB' = C'B' - C'B =

C- 1

ferner

1 + C²t

N, .    .    .    .    (39)

MF = -^-C₀M =

1 + C²

N, .

.    . (40)

woraus

BF = MF -WB =

c-

1 + C²

■ ■ (41)

endlich

FB' = BB' — BF =

C²(C-1) i + c²' * i + :²

Aus dieser Zusammenstellung geht hervor, dass

FB/:BF =

C²(l — t)

C²(C- 1) . C - 1

i + c*t * l + c² : l + c² ~~ i + c²t ’

während

1 +    1 + C² ’ 1 + C²

C²(l - T)

1 +C²T ’

somit ist die obige Bedingung erfüllt, wonach

sein sollte.

Fß':BF = C₀'M:MB

Das Diagramm Fig. 15 ist unter der Bedingung entworfen, dass die Zahl der Sekundärwindungen von Motor I \Z~2 mal so gross ist als die Primärwindungen von Motor II, d. h.

ferner

c = -^- = i/2;

W2

N = 150; t = 0,1,

woraus sich nach obigen Formeln 33 bis 42 ergab :

C₀C' = 25, C'D₀ = 12,5, C₍/M = 75, FB/ = 31, BB' = 51,8.

Nachdem somit das Felddiagramm auch für diesen Fall in aller Vollständigkeit festgelegt ist, handelt es sich noch darum, dieses, um es praktisch brauchbar zu gestalten, auf das Diagramm der Ströme zu reduzieren.

Hierbei werden wir das Novum in Rücksicht zu ziehen haben, dass, während bei allen bisher in Betracht gezogenen Fällen Strom und magnetische Kraft, bezw. Amperewindungszahl in beiden Motoren

Breslauer, Das Kreisdiagramm des Drehstrommotors.

proportional gesetzt werden durfte, dies jetzt wegen der Verschiedenheit der Windungszahl nicht mehr zulässig ist. — Wir umgehen die dadurch hervorgerufene Komplikation am einfachsten dadurch, dass wir nicht das Stromdiagramm, sondern das Diagramm der Amperewindungen zu entwerfen suchen.

Dann erkennen wir aber, dass durch das Felddiagramm (Fig. 15) auch gleichzeitig das Strom- bezw. Amperewindungsdiagramm gegeben ist, da wir die magnetischen Widerstände in beiden Motoren als gleich angenommen hatten. Wählen wir also den Massstab so, dass

AB = iik.

so wird

AM = ik =

C() C₀ — im₂ —

C² + t .

C²+l llk

C²T (1 — t) .

1 + C²t

hk

Aty = im =

1 + C²

1 + t£²

h k»

C₍/ M = 2 iw =

Damit ist alles vorbereitet, um die Entscheidung über das Verhältnis der von den beiden Motoren entwickelten Drehmomente treffen zu können. Dieses ergibt sich allgemein aus dem Produkt: Feld x Amperewindungszahl, wird also offenbar, wenn ED/1 CB" und C₀E' _L CB", dargestellt für Motor I durch

Dx = C₀ E' . N

weil C₀E' die Wattkomponente des Sekundärstroms i₂ in Beziehung auf das Sekundärfeld N₂ von Motor I ; wir können auch schreiben Di = N₂. i₂. sin (N₂, i₂).

Das Drehmoment von Motor II wird im gleichen Massstab dargestellt durch die Wattkomponente ED/ der primären Amperewindungen CD' von Motor I und das zugehörige Feld CB". Nun ist

r ^21

C D' = ~ . C₀ C =

folglich

i₂ sin (N₂, i₂) ;

ED' = CD' sin (N₂, i₂) =

und ferner

CB" = C.BC = C.Na,

somit

D, = CN₂, — i₂ . sin (N₂, i./) = N₂. i₂. sin (N₂, i₂0-

Wieder erhalten wir das hier ganz besonders überraschende und auffallende Resultat

l>i = K

d. h. beide Motoren, wenn auch noch so verschieden in Dimensionierung und Wicklung, ergeben in Kaskadenschaltung das gleiche Drehmoment.

Wohl kann also unter Umständen die Leistungsfähigkeit der Kaskade erhöht werden, wenn wir als Motor II einen solchen von höherem Drehmoment wählen, dagegen verteilen sich die Drehmomente immer zu gleichen Teilen.

Und abermals finden wir, dass zur völligen Charakterisierung aller Verhältnisse der kleine, stark ausgezogene Kreis über C₀'M völlig ausreicht und das Diagramm daher ebenso vereinfacht werden kann, wie alle vorangegangenen.

Zweiter Fall.

Winduugszahlen verschieden, magnetische Widerstände verschieden.

Endlich haben wir noch den allgemeinsten Fall zweier in der Wicklung sowohl als auch in den magnetischen Widerständen beliebig abweichender Motoren zu betrachten. Also

Pi ^ p₂ und zwar ~~ = ß =

Imj ■ /

_ ^2 PBI _ ‘ ~

— £;

PBI    Ps-2 V

Pi

ps₂

lk,

W2

hieraus

Pi

lm

P«i

lk,

P₃

lm.

Ps2

= T2

P₂

vgl. S. 38.

pS;

Pl

Pu

Das Verhältnis der Streufelder n₂ und n₂/ (Fig. 15) ist in diesem Falle durch zwei Faktoren bestimmt. Durch das Verhältnis der

w

Windungszahlen

= c und durch das Verhältnis der Streu wider-

stände. Der grössere Motor, also derjenige mit der geringeren Windungszahl w₂ wird im allgemeinen auch den grösseren Streuwiderstand Ps₂ haben. Daher wird das wirkliche primäre Streufeld von Motor II im Verhältnis

W2

W1

ps₂

Cy

kleiner werden, als das sekundäre Streufeld n₂ von Motor I. Es tritt jedoch auch hier wieder die Ueberlegung hinzu, dass wir zunächst nicht mit dem wirklich auftretenden Streufeld von Motor II rechnen dürfen, sondern mit dem auf die Windungszahl von Motor I reduzierten, weil im Diagramm nur solche Felder miteinander verglichen werden können, welche proportionale Spannungen ergeben (vgl. S. 44).

Das schon im Verhältnis —— verkleinerte Streufeld wirkt ausserdem

wx

w    1

noch auf eine im selben Verhältnis —— = verringerte Windungs-

Wj    C

ins Dia-

C²

zahl, kann also erst nach Reduktion mit dem Faktor —^

gramm eingeführt werden.

Es wird daher das im Diagramm zum Ausdruck kommende reduzierte Streufeld sein müssen.

Dies Verhältnis gilt durchgängig, also auch bei Kurzschluss und Leerlauf, wir haben daher im Felddiagramm:

BM

MC₀

<VC₀

Da AB = N₁ und AC₀=t₁N₁, somit C₀B = N = (1 — t₁)N1 gegeben ist, so ist das Felddiagramm damit ebenfalls gegeben.

Notwendig ist jedoch hier wieder die Umdeutung des Felddiagramms auf das Stromdiagramm (vgl. S. 34), unter Benutzung der Beziehung

Feld =

Amperewindungen Magnet. Widerstand ’

Danach werden wir erhalten

ferner

im, — AC₀ . ps, — T₁N₁ . ps, — p₁N₁ —

Pi

¹ ~Ti

N,

• • (48)

im₂ — C₀C₀ . ps,,

oder wegen

Co/Do = t₂.(N-CoCo0 =

C²t

• c₀<y,

woraus

CoCo'-

T2

T2 +

und

c²t

lm₂ —

oder wegen

1 + C²t₂y

Ps₂ N =

1 + C²t₂T

p₂N

P₂ = ß Pl = ß

lm

= ß (1 - *i)

Im

wird

:    e²(i -    .

1 + t²ßt,

lm₂ —

QQ.

(44)

Der gesamte Leerstrom der Kaskade wird danach:

oder

lm — lm, lm₂ —

(¹ +

C² (1 - T,) ß \ ;

) lm,

1 + C²ßTx

lm =

1 + C²ß . l + c²ßtx lmi

(45)

Den charakteristischen Kreis der Kaskade gewinnen wir aus der Grösse O₀M. Es ist dies dasjenige Streufeld, welches auf den Streuwiderstand pSj von Motor I arbeitet und sich in das Feld N mit dem Kurzschlussstreufeld von Motor II wieder im Verhältnis C²Y : 1 teilt. Also

2 lw — C₀ M . pg, lm.

und wegen

C₀ M = C² T B M = C² T (N - C₀M)

C²y

Pi

C²t

1 +C²t

D. Die Geschwindigkeit zweier in Kaskade geschalteten Motoren¹).

Schon auf S. 11 habe ich Gelegenheit genommen, zu zeigen, wie aus der Bedingung, dass die Drehmomente gleich sind, bei direkter Kupplung auf Halbierung der Tourenzahl geschlossen werden muss, um das Gesetz von der Erhaltung der Energie zu erfüllen.

Zur genaueren Ableitung der wirklichen Tourenzahl wollen wir den von Blondei²) eingeschlagenen Weg betreten.

Ist n die synchrone Tourenzahl des ersten Motors und s₁ seine Schlüpfung, so ist seine absolute Geschwindigkeit

n (1 — Sj),

somit die in seinem Sekundärteile erzeugte Wechselzahl

n sr

Die synchrone Tourenzahl von Motor II wird dann ebenfalls nsn seine absolute Geschwindigkeit dagegen

nsx (1 — s₂).

Da wir nun, wie dies der Yerwendungsart der ganzen Anordnung entspricht, direkte Kupplung der beiden Motoren voraussetzen, so müssen die absoluten Geschwindigkeiten einander gleichgesetzt werden und wir erhalten

n (1 — sx) = nsx (1 — s₂) 1 — sx = st — s₂ sx ¹ — 2 S] = — s₂ sx

(1)

si =

wird

2 iw =

C²Y

2 iw =

1 + C²t

(1 - Tx) (1 - Tg) C²T .

(1 + C²Y)(1 + C²ßt₁) tx mi

1 + C²ßtx

ß Ln,

Hieraus der Kurzschlussstrom der Kaskade:

¹ - Ti

ik — C₀ M . pSl -f- im, —

C²Y + H    1 •

1 + C²y    Y lm'

ik =

C²Y

1 + C²Y

T1

+ l) im,

(471

2 - s₂

b S. 54 bis 57 ist mit Genehmigung der Redaktion meiner Arbeit in Heft 1 der E.T.Z. 1903 entnommen.

²) Vgl. Blondel et Paul-Dubois, „La Traction Électrique“ IL Bd., S. 315.

Die Formel zeigt uns die Abhängigkeit der primären von der sekundären Schlüpfung. Wir erkennen zunächst für s₂ = 0, also Leerlauf,

Si =

d. h. die bekannte Beziehung, dass der Synchronismus bereits bei halber Tourenzahl erreicht wird ; da sich jedoch s in den Grenzen 2 bis 5 °/o bewegt,

Tourenzahl gleich der Hälfte des eigentlichen Synchronismus sein und der zweite Motor ist somit für die halbe Wechselzahl zu berechnen. Je grösser s₂, um so grösser auch sx und bei s₂ = 1 bezw. 100 °/o wird

si =

von

so

wird innerhalb der normalen Belastung die

= 1,

2 - 1

also ebenfalls 100 °/o , d. i. derjenige Belastungsfall, welcher dem Kurzschlusspunkt entspricht.

In Verbindung mit dieser Ueberlegung gibt somit das einfache Diagramm (Fig. 5) über sämtliche Fragen bei beiden Motoren schnellen Aufschluss.

Es ist übrigens recht interessant, die Blondelsche Ableitung noch zu verallgemeinern. Wir sind nämlich nicht bloss auf den Fall des Uebersetzungsverhältnisses 1 : 1 wie bei direkter Kupplung allein angewiesen, sondern können auch beliebige Uebersetzungsverhältnisse in Anwendung bringen und damit den Synchronismus auf eine beliebig hohe oder niedrigere Tourenzahl einstellen, ohne an der Wicklung etwas zu ändern.

Ist das gewählte Uebersetzungsverhältnis u, so erhalten wir «i (1 — sx) = unt (sj [1 — s₂])

1 — Sj = USj (1 — s₂) = ust — USj s2 sx (1 -f- u — us₂) == 1

S1 =

1 + u (1 - s₂) '

(2)

Ist z. B. die Tourenzahl von Motor II halb so gross als die von Motor I, also

ni

so erhalten wir Synchronismus bei

8i = T5

wenn u = ——, 4

wird sx = —

0,

si =

1.

Umgekehrt, wenn Motor II schneller läuft als Motor I, also z. B.

n.,

u = —-

so erhalten wir Synchronismus bei

Sl = ~3~’

= 3 bei sx = — u. s. f.

n ®i — 0.

Wir besitzen hierdurch die Möglichkeit, mit Hilfe der Kaskaden-

zu erzielen, ja es ist sogar möglich, eine stetige Tourenänderung in beliebig weiten Grenzen von Synchronismus bis Stillstand mit Hilfe von zwei konischen Riemenscheiben bei konstantem Wirkungsgrade zu erzielen, wäre nicht eben jenes Riemenvorgelege gerade diejenige mechanische Vorrichtung, welche wir durch elektrische Regulierung zu ersetzen bestrebt sind.

Interessant sind endlich noch die Möglichkeiten verschiedener Synchronismen bei verschiedenen Polzahlen ¹) der beiden Motoren. Die Motoren mögen 2px bezw. 2p₂ Pole besitzen, so ist wieder nx die synchrone Tourenzahl pro Sekunde und

zi — 2pxnx = primäre Wechselzahl,

nx (1 — sx) = absolute Geschwindigkeit von Motor I,

2p₁n₁s₁ = z₂ = Wechselzahl für Motor II und ²Pi ²P₂

= absolute Geschwindigkeit von Motor II.

Die beiden absoluten Geschwindigkeiten einander gleichgesetzt,

wenn u

u == oo

Schaltung die verschiedensten Tourenvariationen

=?- (1 - S.) =

² Po

nisi(1 - s₂)

gibt

²P

oder wenn

²P₂

ni si (1 - s₂) = nx (1 - sx)

²Pi

= P>

²P₂

psx — ps₂sx = 1 — sx

Sx (p + 1 — P S₂) = 1

sx =

1 + P (1 -- S₂)

■ . (3)

b Vgl. Danielson, „E.T.Z.“ 1902, S. 656.

Das ist ein ganz ähnlicher Ausdruck wie Gleichung 2 für variable Uebersetzung.

Haben wir z. B. am Motor I 4 Pole bei 100 Wechseln, am Motor II dagegen nur 2 Pole, so wird

und wir erhalten danach

2p

2p₂

Si = -S"*

und als synchrone Geschwindigkeit des ganzen Aggregates

1500 (1 - Sl) = 1000

statt des eigentlichen Synchronismus von 1500 Touren. Hat Motor II dagegen 8 Pole, d. i.

P~ 2 ’

so wird

si =

1,5

und der neue Synchronismus wird

1500 (1 — sx) = 500 Touren.

Wir können endlich noch weiter verallgemeinern, indem wir gleichzeitig Polzahl und Uebersetzung ändern; dann müssen schreiben

wir

2pi

u ——

2p₂

ni Si (! - s₂) = nx (1 - sx) upsx — ups₂sx = 1 — sx Sl (u p + 1 — U P s₂) = 1

. . (4)

1 + U p (1 — s₂)

In dieser allgemeinsten Formel sind sämtliche Synchronismen enthalten, welche durch Kaskadenschaltung zweier Motoren beliebiger Polzahl, die durch ein beliebiges Uebersetzungsverhältnis miteinander gekuppelt sind, erhalten werden können.

Zweiter Teil.

Das Diagramm der Kaskadenschaltung mit Berücksichtigung

der Terluste.

Bevor wir zur Herleitung des vervollständigten Diagramms der Kaskadenschaltung, insbesondere mit Berücksichtigung der Ohmschen Widerstände übergehen, ist es notwendig, das bisher verwendete Kreisdiagramm von Hey land ebenfalls auf die Veränderungen hin zu untersuchen, welchen dieses bei Berücksichtigung — besonders der Verluste durch den primären Ohmschen Widerstand — unterliegt.

A. Berücksichtigung der Verluste im normalen Kreisdiagramm.

1. Verluste im Rotor.

Es ist von vornherein klar, dass, wie ich seiner Zeit E.T.Z. 1900, Heft 23, ausgeführt habe, die im Rotor auftretenden Verluste im Kupfer ebensowenig einen Einfluss auf den Kreis ausüben können, wie die Reibungsverluste, denn ob der sekundäre Wattstrom zur Erzeugung von Kupferwärme oder mechanischer Energie verwendet wird, ist für die Form des Diagramms gleichgültig — es wäre ja sogar zulässig, dass alle Energie in Wärme verwandelt würde — wie beim rein elektrischen Transformator,—, ohne dass eine prinzipielle Aenderung an der Betrachtungsweise damit gegeben wäre. Dass die Reibungsverluste andererseits nichts weiter als eine mechanische Belastung darstellen und darum ohne weiteres sich den Bedingungen, unter denen das Heylandsche Diagramm abgeleitet wurde, anpassen, ist a priori einleuchtend.

2. Eiseuverluste.

Es bleiben noch die Verluste im Stator, bestehend aus den Verlusten im Eisen Vh und den primären Kupferverlusten; beide Gruppen müssen offenbar gerade so wirken, wie wenn sie ausserhalb des betrachteten Motors wären, etwa wie ein fremder vorgeschalteter Widerstand. Sie werden infolgedessen offenbar einen verzerrenden Einfluss auf den Kreis ausüben müssen.

Welche Veränderung die Eisenverluste an diesem hervorbringen, ist sehr leicht zu übersehen, wenn man bedenkt, dass diese in allen

vorkommenden Belastungsgrenzen konstant sind, daher einem konstanten zusätzlichen Wattstrom ih entsprechen müssen. Dies hat dieselbe Wirkung, als ob die Ordinatenachse (Fig. 16) um die Strecke ih nach links gerückt würde und das zu demselben Leerstrom i₀ gehörige iw auf iw + ih gewachsen wäre.

Man sieht, auch hierdurch wird noch der

Fig. 16.

eigentliche Kreis nicht geändert, sondern nur sein Mittelpunkt verschoben. Alle übrigen Verhältnisse bleiben unberührt, nur cos wird um

iw ~\~ ih

ein geringes, d. h. im Verhältnis bessert.

ver-

C₀

3. Primäre Kupferverluste.

Es bleiben demnach allein die primären Kupferverluste übrig,

deren Wirkung darin besteht, dass sie das Primärfeld AB = — ira und

daher auch den zugehörigen Magnetisierungsstrom A C₀ = im verringern, gleichzeitig aber auch seine Richtung ändern.

Heyland¹) macht nun bewusst die, wie ich bald zeigen werde, nicht immer zulässige Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes, indem er das Feld n₂, welches dem Spannungsabfall ir entspricht, nicht senkrecht zu i aufträgt (Fig. 17), sondern in Richtung des Ankerfeldes BC, welches immer stumpfwinklig zu i steht. Diese Vernachlässigung ist bei grossen Motoren mit kleinem Streufaktor t wirklich geringfügig, bei kleineren Motoren jedoch nicht mehr, und ist der Grund für die häufig schlechte Uebereinstimmung der aus dem Diagramm erhaltenen Werte für cos <p mit den durch Messung gefundenen.

In Wirklichkeit stellt sich der Leistungsfaktor nicht unwesent-

Fig. 17.

M’ M

Co

VA

C\

lieh höher.

*) Vgl. Sammlung elektrot. Vorträge von Prof. Voit, 1900, Bd. II.

Hey land kommt durch diese Annahme (1. c.) auf die Konstruktion eines zweiten Kreises mit einem nach links verschobenen Mittelpunkt M', welcher den geometrischen Ort des Punktes C' darstellt, wo CC' = ns (Fig. 17).

Exakt ist jedoch allein die Darstellung des Diagramms Fig. 18 ; hierin ist, wie vorher (Fig. 17),

AB = N₁₌=

_ lfm T

das Feld, welches der Klemmenspannung e entspricht,

und

A C₀ = im

AC = i oder gleich dem Streufeld, welches der Primärstrom i hervorruft.

Fig. 18.

Dieser Strom i erzeugt nun im Widerstand r der Primärwicklung einen Spannungsabfall

e = ir

ÿz iji

BA-N,

in seiner eigenen Richtung und verbraucht hierzu ein Feld, welches senkrecht hierzu, also auch senkrecht zu i stehen muss, dies Feld ist dargestellt durch

%r'

/r

so dass

BB' ± AC.

< ABB' = <p

Co, /

Kæ'

^ip'-yc

h/i

KBmmen sp anruuixj e

den Winkel der Phasenverschiebung zwischen Klemmenspannung und Strom darstellt.

BB' gibt

welches erst dasjenige Primärfeld darstellt, auf welches der Hejl and sehe

nun

Die geometrische Subtraktion von das Feld AÏT' = N/,

Kreis (gestrichelt gezeichnet) exakt Anwendung findet; die Strecke B'C stellt somit das Ankerfeld N₂ dar, auf welchem das Ankerstreufeld

C₀'C = i,

senkrecht steht und auf AB' den entsprechenden Magnetisierungsstrom AC₀' = im' abschneidet:

Damit ist das Felderpolygon ABB'C geschlossen, und die Aufgabe ist nun, den geometrischen Ort für den Punkt C zu finden, welcher den neuen Voraussetzungen entspricht.

Wie Os sann a (E.T.Z. 1900, S. 712) nachgewiesen hat, ist auch dieser geometrische Ort abermals ein Kreis, dessen Mittelpunktskoordinaten sich auf folgendem vereinfachten Wege bestimmen lassen:

Zwischen den gestrichelten Grössen finden exakt die Beziehungen des Kreisdiagramms Anwendung, wir haben also

iw'² = Oo' — im')

/ 1 • , • A¹) lm - ¹⁰ )

oder

riw/2 = (i₍/— im0 (i./ —Tio/) = (¹+'c)io/im/ —Ti,/² —im/2. .    (1)

Wir haben jetzt die Koordinatentransformation von iw' und i₀' auf iw und i₀ vorzunehmen und erhalten hierfür aus dem kleinen rechtwinkligen Dreieck über AC₀ (Fig. 18) die Beziehungen:

im sin rf = im/ sin f'

oder

lo

woraus

(2)

• • • / • /

Im ^0    Im ^0

Nun entspricht in dem grossen Dreieck ABB' (Fig. 18) die Seite BB' dem Felde, welches durch den Spannungsabfall ir vernichtet wird,

andererseits A B = — ira der gesamten Klemmenspannung e, es wird

T

sich also verhalten

BB' : AB = ir : e

also

BB' = AB.—

imr .

].

4. Einführung der charakteristischen Grösse a.

Betrachten wir diesen letzten Ausdruck näher, so erkennen wir i • r

in dem Faktor — das für alle Belastungen konstante Verhältnis

des Spannungsabfalles bei Leerlauf im . r zur konstanten Klemmenspannung. Dieses Verhältnis ist ganz analog dem Streufaktor, welchen

b Ableitung vgl. E.T.Z. 1900, Heft 23. Wegen der Bezeichnung vgl. auch Fig. 21, aus welcher diese Beziehung direkt abzulesen ist.

wir bekanntlich als das Verhältnis des Streufeldes bei Leerlauf zum konstanten primären Felde definieren: es entspricht also

Spannungsabfall bei Leerlauf — dem Streufeld bei Leerlauf, konstante primäre Klemmenspannung — dem konstanten Primärfelde.

Dieses so gekennzeichnete Verhältnis erweist sich als eine ebenso charakteristische Grundgrösse für das Verhalten des Motors, wie der Streufaktor selbst und soll im folgenden mit der Benennung Leerlaufsabfall und dem Zeichen o verwendet werden, so dass

im • r

wo r der primäre Widerstand, im der Magnetisierungsstrom bei Leerlauf und e die konstante Klemmenspannung.

5. Ableitung des charakteristischen Kreises.

Damit erhalten wir für BB' den vereinfachten Ausdruck

BB' = — i.

Da ferner nach Konstruktion

A AC₀(V A ABB',

so erhalten wir

woraus

C₀(y : BB' = AC₀ : AB = t, C₀ C₀' — ~~~ i • v = a i,

und hieraus ergibt sich in dem kleinen Dreieck AC₀C₍₎' der Wert für im'² = im² + <3²i² — 2im . ai cos rp

oder

(3)

im'² = im² + °²i² — 2aimiw .

Führen wir die beiden so gewonnenen Beziehungen 2 und 3 in Gleichung 1 ein, welche wir schreiben

T(hv/2 4~ i(/²) — (1 4“ T) 4“    == B,

so erhalten wir

oder

ti² — (1 -f t)i₀im -f im² + a²i² — 2oimiw = 0 (t + a²) i² — (1 + T)i₀im — 2 aimiw + im² = 0

und wegen

i² = iw² + i₀»

iw² + i₀²-

1q Im

2 l\v Im “f⁻

im² = 0 (4)

X + 0

Dies ist die gesuchte Grundgleichung der neuen Kurve für den geometrischen Ort von C, dessen Koordinaten iw und i₀.

Nach einer bekannten Beziehung aus der analytischen Geometrie ist aber die schematische Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunktskoordinaten i₀₀ und iw heissen mögen und dessen Radius R ist:

iw² + i₀² — 2ioo • io — 2iw₀ • iw + (iw₀² + i₀₀² — R2) =

Man sieht sofort, dass diese Gleichung mit der soeben abgeleiteten Grundgleichung 4 identisch wird, wenn man setzt:

loo

LC

<N

•r!

ÜT

ferner

¹W« —

2 1«

(6)

endlich.

Im²,

iwo² + io o² - R² =

hieraus

und

R² =

( 1 + t) ² -f 4 G ² — 4 (T -f O ²)    .

4 (x -f- a²)²

im²

2 x 4- a

2' lm

• (7)

Damit sind alle Bestimmungsstücke für die Konstruktion des exakt richtigen Kreises, welcher an Stelle des idealen Kreises tritt, gegeben. Die entsprechenden Werte für diesen „idealen“ Kreis erhält man durch Einsetzung von

a = 0;

dann wird :

Do

H C\1

lm, !w₀    0, R —

Im-

Die Grösse der Veränderung, welche dieser Kreis erfährt, ist daher allein durch die Grösse von 0 bestimmt und hierüber können wir uns auf folgendem Wege ein ungefähres Bild verschaffen.

Der primäre Spannungsabfall eines etwa 12 PS.-Motor wird im Durchschnitt mit etwa 4 °/o bei normaler Last einzusetzen sein, d. h.

— = 0,04;

nun wird ein solcher Motor bei guter Ueberlastbarkeit einen Leerlaufstrom von etwa 30°/o des Normalstromes zeigen und demnach wird

imr

= 0,3. — = 0,012

werden, gegenüber einem Streufaktor

In den drei Ausdrücken 5,6, 7 steht durchgängig im Nenner

die Summe

t + cs² = 0,05 + 0,00014 = 0,05014.

Man erkennt also, dass a² in diesem Fall nicht ganz 0,3 °/o von T ausmacht und wir können hiernach ganz allgemein aussprechen, dass bei allen praktisch brauchbaren Motoren a2 gegen z vernachlässigt werden kann.

Die abgekürzten Beziehungen sind danach

Lo — ₂

1 Hi .

Im

(5 a)

(6 a)

lw₀ — _ Im Z

(7 a)

In Worten heisst das: Kreisdurchmesser und Lage bleiben unverändert, nur der Koordinatenanfang A ist um die Strecke iWfl = — im

(Fig. 19) etwas nach links zu A/ gerückt, oder auch: der zu einem bestimmten wattlosen Strom i₀ gehörige Wattstrom iw, wie er aus dem idealen Diagramm hervorgehen würde, wird um das konstante Stück

lw₀ -

von A, sondern von A' aus abzumessen und man ersieht sofort, dass hierdurch besonders bei kleineren Belastungen der Leistungsfaktor cos œ wesentlich bessere Werte annehmen wird, als nach dem idealen Diagramm.

— im vermehrt. Entsprechend sind die Gesamtströme i nicht mehr

X

Löst man noch die jetzige Grundgleichung 4 als quadratische Gleichung nach iw auf, so erhält man

i~=]/r,('-'ot¹ +T]“i»²[': + a2J-^Tjr5îi~²)+qr^ *- (⁸>

oder mit der zulässigen Yernachlässigung von a²

1/

^ Om ^ i₀) Oo ^m) ~f~

.    . (8a)

1\V

Auch aus dieser letzten Gleichung 8 a ist der oben erwähnte Charakter des neuen Kreises zu erkennen, wonach die zu einem bestimmten i₀ gehörigen Werte von iw, wenn sie nach dem idealen Kreis berechnet sind, alle um die konstante Grösse vermehrt werden müssen, da das Glied unter der Wurzel der Grundgleichung x) des idealen Kreises entspricht.

Der Endeffekt ist somit ganz analog dem Vorgang bei Berücksichtigung der Eisenverluste durch Fig. 19 dargestellt, und wir erhalten das vollständige Diagramm, wenn die Ordinatenaxe um eben jenes Stück ih, entsprechend den Eisenverlusten, abermals nach links zum Anfangspunkt A₂ verschoben wird; das so vervollständigte Diagramm wird durch Fig. 20 dargestellt.

Fig. 19.

Fig. 20.

IjVO

r*m

I'll

hv 7^ /

-—/wo/C

irn

J’ A

A₂ Aj A

9 Ableitung vgl. E.T.Z. 1900, Heft 23.

Breslauer, Das Kreisdiagramm des Drehstrommotors.

Es wird nun häufig noch dieses Diagramm zur Lösung weiterer Aufgaben verwendet, indem durch Zuhilfenahme recht eleganter geometrischer Konstruktionen versucht wird, alle sonstigen wichtigen Bestimmungsstücke möglichst direkt ablesbar zu machen, d. h. Drehmoment, Schlüpfung, Wirkungsgrad u. s. f. In der Praxis zeigt sich jedoch, wie überall, so auch hier, dass die Graphik wohl vorzüglich zur Ableitung der Gesetze, zur prinzipiellen Veranschaulichung der Vorgänge dienen kann, jedoch bei der prinzipiellen Behandlung von praktischen Aufgaben nur mit Vorsicht zu handhaben ist.

6. Praktische Anwendung des Diagramms.

Schärfer und sicherer rechnet man doch immer mit Zahlen, falls die Formeln einigermassen handlich sind.

Die Fragen, deren Beantwortung in der Praxis verlangt wird,

sind nun:

1.    der Verlauf des Leistungsfaktors cos <f,

2.    „

Vf

fl

fl

Jf

„ Wirkungsgrades 7], „ Primärstromes i, der Schlüpfung s,

alles in Abhängigkeit von der abgegebenen Leistung L, wobei durch Rechnung bezw. Messung als gegeben anzusehen ist:

1.    der Streufaktor t,

2.    „ Leerlaufsabfall o,

3.    „ Leerstrom im,

4.    „ primäre und sekundäre Widerstand r₁, bezw. r₂, Verlust im Eisen Ve,

6. „

„ durch Reibung Vr.

Da nun aus i und r: die primären Kupferverluste berechnet werden können, die Verluste durch Reibung und im Eisen aber direkt gegeben und konstant sind, so bleibt zur Bestimmung der Leistung nur noch die Kenntnis des Verlustes im Sekundärkupfer und damit die Notwendigkeit der Kenntnis von i₂ übrig.

Aus Fig. 21, welche einen Motor mit schlechtem Leistungsfaktor v = 0,1 und übertrieben grossem a = 0,08 (d. h. 8 °/o Primärabfall bei Leerlauf) darstellt, Verhältnisse, die jedoch bei sehr kleinen Motoren durchaus noch möglich sind, erkennen wir in der Linie DC die Lage und Grösse des Sekundärstromes i₂.

'Ki. -

"Ik

loo

—c

to

jl

yl

r-

v-

r--

/\

imp

55

v" :

'9/

Ji

cClru

if

Fig. 21.

Diagramm eines kleinen Motors mit im = 22; r = 0,l; ik = 220; c = 0,08; iw₀ = 16,5; i₀₀ = 113,5 ; R = 93.

Dünner Kreis - ohne Berücksichtigung \

Dicker

- mit

des primären Spannungsabfalles.

[Massstab ²J₃. ]

Da nun wegen der Aehnlichkeit der zugehörigen Dreiecke

Ng ' lg - lw Nj - lw

oder wegen

N₂² = (1-t) N/ • (N/-io0 = ^ = -¹ ~r (in — ^io)^

; '(L- '

lm I lm

-')

\ (im' — Ti₀0 (i₀/ — imO

wird

h² ~

oder wegen

iw"² =

wird

• /o •    *

lw “ • lm

1 T lm    TIq

iä² =

im Oo lm )

Nun ist aber

T (1 - t)

J~i_ T im' [i₀' (1 + T) - im'] - im' V ) ...    (9)

7 i-' Po' (1 + *) - in,']

iS _

folglich

i₂²-

- (i² - im' i₀')

(10)

1 -

Da endlich nach Gleichung 2, S. 61

im io — im io ł

so bekommen wir zur Berechnung des Sekundärstromes die einfache Formel

im i₀)

(U)

i₂² =

Somit ist auch diese noch fehlende Grösse durch eine einfache Beziehung mit den bereits bekannten Werten i und i₀ verbunden und wir können nunmehr zur praktischen Verwertung der gewonnenen Resultate schreiten.

7. Numerisches Beispiel und Formelsammlung.

Diese können am besten an der Hand des in Tabelle 1 durchgerechneten Beispieles verfolgt werden.

Hier ist ein Motor von ca. 150 kw = 200 PS Leistung und 1000 Touren angenommen, von welchem durch Messung bekannt ist: a --- 0,008; z = 0,04; r₁ = 0,57 Q = r₂; im = 14; e = 1000;

Yê = 2400 Watt, Yr = 3000 Watt.

Hieraus berechnet sich zunächst

V,

t = °'2; ¹

6 möglichst geschickt verteilte Werte von i₀ zwischen Leerlaufsund Umkehrpunkt, und berechnen hieraus in der ersten Horizontalreihe der zugehörigen Wattströme nach der Formel

= 0,8, und wir wählen nun

3000

im — 2,8 ; ih —

daraus folgt:

dann

dann

iw — "j/^ ^ (im * io) (i₀ im) + t im,

i² = iw² + i₀²,

i -yiw² + i₀²,

cos f =

iw 4“ ih

dann die zugeführte Leistung:

Li = 3 e (iw + ih)

hierauf

der Primärverlust 3i²r, die auf den Anker übertragene Leistung: LII = LI- Ye —3i²r,

h² ~

der Sekundärverlust

1-

- (i² - im i₀).

3i₂²r,

die abgegebene Leistung in Watt:

L = Lu — 3i₂²r — Vr,

der Wirkungsgrad die Schlüpfung

L„ ’

das Drehmoment

kgm.

-ß_ Lu • 0,981

“(1-8). 1000

Tabelle I.

i₀ = 14,5 i₀ = 20 i₀ = 40

i₀ = 80 i₀=130 i₀ = 200

iw

= [/25 (14-0,04 g (i₀ — 14) + 2,8

15,7

47,8

92,8

136

163

170

i² = iw² + i₀²

456

2640

10200

24800

43300

59000

101

157

21,4

51,4

208

243

COS <p

_ iw+ ih _ iw + Q;S

0,77

0,985

0,918

0,865

0,79

0,70

Li = 3 e (iw + ih) = 3000 (iw + 0,8). . kw

49,6

150

281

410

490

512

3i²r = 1,71 i² .... Watt

780

4520

17400

42500

74200

101000

Lu = Li — Ye — 3i₂²r = Li -2400 - 1,71 i₂² '

. kw

46,4

143

261

365

413

409

i₂² = Tf₇(i²-imi₀) = 1,04 i² - 14,6 i„

263

2470

10200

24800

43300

59000

3 i₂² r = 1,71 i₂² . . . Watt II 450

4250

17400

42500

74200

101000

L = Ln—3i₂²r —Yr = Lu -1,71 V- 8000' •

. kw 43

136

241

320

336

305

0,87

0,595

0,91

0,86

0,78

0,69

3 i₂² r

Ln

°/oj 0,97

3,0

6,6

9,2

18

24,8

^ Lu. 0,981    ,

D = Ti-s,)iooT- • • • kgm

47

144

275

395

492

532

Ersichtlich sind alle verwendeten Formeln einfach genug, um in der Praxis, wie Verfasser aus Erfahrung weiss, mit Vorteil verwendet zu werden: es ist.thatsächlich möglich, die ganze vorstehende Rechnung in knapp Stunden zu erledigen.

Der Verlauf der Kurven ist in Fig. 24 dargelegt, in welcher alle Kurven mit Umkehrpunkt bei 340 kw sich auf vorliegende Rechnung beziehen.

Es sei besonders hervorgehoben, dass während der theoretische maximale Leistungsfaktor sich aus

— = 0,92

berechnen würde, in Wirklichkeit ein

erreicht wird.

(cos çp)

max

= 0,94

B. Berücksichtigung der Verluste im Kaskadendiagramm.

1. Ableitung des Diagramms der Fig. 22.

Eine Betrachtung von Fig. 5 lehrt, dass der Kreis über (VM ganz analog dem Diagramm eines normalen Motors angesehen werden kann, dessen Koordinatenanfang in C₀ liegt.

Sein Magnetisierungsstrom wäre:

sein Streufaktor

; - -¹ ~r;' m * - i +1 "¹¹

Im

t' =

im i (1 T)

sein Leerlaufsabfall a' (vgl. S. 61) ergibt sich daraus, dass als Widerstand für den Leerstrom im2 die Summe des Sekundärwiderstandes von Motor I plus Primärwiderstand von Motor II in Betracht kommt, als Klemmen-

Spannung dagegen nur die um — (1 — t) verminderte primäre Klemmen-

Spannung e, so dass, wenn wir die zulässige Annahme machen, dass die Widerstände in den 4 Wicklungen des Motorenpaares unter einander gleich und zwar gleich dem Widerstande r der Primärwicklung von Motor I sind :

o' =

in/2 ‘ 2r

2 in/r

2o

e' (1 — t)

1 -f- T ‘

Hierbei sei bemerkt, dass die Annahme der Gleichheit aller 4 Widerstände einerseits durchaus zulässig ist, andererseits ihren Ausdruck in der runden Zahl 2 findet, welche bei gewissen Untersuchungen, z. B. über den Einfluss von eingeschalteten Widerständen zwischen den beiden Motoren leicht durch eine andere Zahl ersetzt werden kann; die Vereinfachung — wohl zu unterscheiden von Vernachlässigung — ist zur Gewinnung eines erleichterten Ueberblicks von Wert.

Die Betrachtung sei vorläufig auf den Fall beschränkt, dass der Primärwiderstand von Motor I einflusslos ist, denn nur dann ist der Punkt C₀ unbeweglich.

Unter dieser Voraussetzung lassen sich die Ausführungen von Teil II, Gleichung 5, 6, 7 an wenden und wir erhalten als Mittelpunktskoordinaten dieses neuen Kreises

i/

w₀

cV

2 a (1 — t)

~~ V + a'2 ln?² “ 2z (1 -f t) + 4a* lm

q (1 - 0 • . t (1 + z) + 2a2 m

(i +O² (i -1) . ;

i + t

1 1 +1 ....... 1

00

2 z' -f a'2 lm2 ~ ?

1 (1 + 30 (1-0 . , 4 z (1 -(- z) -j- 2a2 lm ’

sein Radius:

1 1 - t' . , _ 1

2 lm2 — o

(1~Q²

2 2 t (1+0 +4a2 lm

(1 - O² - ,

4 t: ( 1 -|— x ) -{— 2 a2 lm ’

Demnach lautet die Gleichung dieses Kreises:

R' =

2 t' + o'

¹    (1 +3t) (1-Q ,

2    t(l+i)-f2aä

im iy

2 a (1 — t)

z (1 -|- zj -j- 2 a

•/ •/ “ 1 m 1 w

■ ■ (1)

Für den entsprechenden grossen Kreis, als geometrischen Ort desjenigen Punktes, welcher die Verdoppelung von i₂ darstellt, verdoppeln sich natürlich auch die drei Konstanten iWo', i₀₀' und R'.

Ganz entsprechend [den Ausführungen in Teil J;H, Seite 60, vermindert sich dann imi durch geometrische [Subtraktion Strecke aix J_ ix : auf die Grösse von im', und der Kreis der Gleichung 1 gewinnt erst seine Bedeutung in Bezug auf die jeweilige veränderte Lage der Strecke im'.

Beide Kreise (Fig. 22) erleiden jedoch eine abermalige Aenderung, wenn jetzt auch noch der Primärwiderstand r von Motor berücksichtigt wird.

einer

Tf---

Fig. 22.

iS'

r.

f-K

-4

,//

*\

Xo I

G’h

07h

\)

Wn,

GD'X E

,*i

■»—

Irvo

F)

/p

E' I FC-im

\\

/C

.i

1=-3S.<^

/<o

Vollständiges Diagramm zweier in Kaskade arbeitenden genau gleichen Motoren: t=0,1; ö = 0,04; imi = 30. ioo — 103 ; iwo — 20,4 [

R = 51,4

y₀ = 173; Xo = 36,6 ^

Rg = 103

— kleiner Kreis

— grosser [Massstab ³'₅.]

dick

ausge

zogen,

Klemmenspannung

Wir stehen daher vor der Aufgabe, seine Koordinaten iw und io' auf i₀ und iw zu transformieren und haben hierfür, wie aus Figur 22 hervorgeht, in dem kleinen Dreieck über AC₀ zunächst:

im sin <p = im' sin ff'

oder

; / iß H“ im

Jm

und hieraus

Im 1₀ — Im i₍) Im ² 5.........

ferner ist aus Fig. 22 an demselben kleinen Dreieck abzulesen: im/ cos <p' = im COS <p — <3 ix

im' ia cos <p' = im ix cos œ — a it²

lm lw — Im lw ali..........

Endlich geht — wieder aus diesem kleinen Dreieck, hervor:

im'² = im² + °²ii² — 2 O im iw......

(2)

oder

d. h. :

(3)

(4)

Schliesslich ist noch

i₂² == ix² -f- im'² — 2 it im' sin <p' = ix² -j- im'² — 2 im i0 i₂² = ix² — 2 imi₀ + im² + cj²ix² — 2 o im iw

• • (5)

i₂² = (1 + °²) ii² — 2 im i₀ — 2 a im iw + im

Setzen wir die Werte der Gleichungen 2, 3, 4 und 5 in Gleichung 1 ein, welche wir in der Form schreiben wollen

i₂ ² = A im' i₀' + B im' iw' — C im'²,

so erhalten wir die gesuchte neue Gleichung mit den Koordinaten i₀ und iw statt i₀' und iw': (1 -f °²) ix² — 2 im i₀ — 2 a im iw + im²

= A im i₀ — (A -j- C) im'² -f~ Bim iw oBix“

= A im i₀ + Bimiw — aBix² — (A -f C) im²

oder:

-f 2a (A + C) im iw - (A + C) a²ix²

(l-j-^B-j-a² [1 —f— A —{— C]) ix² — (2 -j- A) im io — (B-f-2 a [1 -j- A —(— C]) im iw + (1 + A + C) im² = 0

u-ÎT¹ *

1 + aB + o² (1+A + C)

lmi k

B + 2a(l + A + C) , l + aB+a²(l-|-A + C)

Imi lw

_1 ~f~ A ~t~ G_• 2

1 + aB + o² (1 + A + C) lmi

Berücksichtigt man, dass in dieser Gleichung die Grösse q² = iw²-f~io²i so erkennen wir, dass wir abermals einen Kreis haben mit den Mittelpunktskoordinaten:

vor uns

2 +A

¹⁰⁰    2 1 + aB + a² (1 + A + C) ' lmi

B + 2o(l + A + C)

lwo 2 ¹ l + aB-fa¹(l-j-A + C) ' lm‘

und dem Kreisradius

|/B² + A²-4C

2 1 + aB + o²(l +A + C) ' lmi¹

Hierin bedeutet

1 (1 -j- 3 t) (1 -t)

2 o (1 — t)

r_l (1-t)²

2 T (1 + x) -f 2 a ’

x (1 -f- x) -j- 2 a²

diese Werte eingesetzt, ergeben:

4 T (1 4- t) 4- a² (5 - T 4- 2 o²) lmi •

• • (7)

lw₀ -

R = -4

• • (8)

- • (9)

Die Grundgleichung des kleinen Kreises ist daher nach Einsetzung der Werte 7, 8, 9:

14-6t4-t²4-8o2 2 x (1 + t)4-o² (5 — t 4“ 2 a²)

4a (1 4- a²)

t(14-t)4-o² (5 — t4_2o²)

Im l\v

. (10)

,    l + t + 20²    ₂

T t (1 4-t) 4- a² (5 — x 4- 2 a²) lm

Diese Gleichung lässt sich noch für denjenigen, der das lytische Rechnen wegen grösserer Genauigkeit vorzieht, am bequemsten in folgender Weise schreiben:

iw² 4~ io² — 2i

ana-

00

io 2iW0 • iw 4~ (i₀o² iw₀² — R²) = 0.

Dies als quadratische Gleichung nach iw aufgelöst, gibt

iw = iw₀ + Viw₀² — i₀² + 2i₀₀ • i₀ - i₀₀² — iWo² + R²

oder endlich

iw = J/i₀ (2i₀₀ — i₀) — ioo² + R2 + W •    •    •    (10»)

Zur vollständigen Lösung aller Aufgaben brauchen wir nun noch den grösseren Kreis Fig. 22, dessen Koordinaten mit x und y bezeichnet werden sollen.

Aus Fig. 22 erkennen wir

hieraus

A CED są Cc₀E'

DE = CE' = iw — ai sin cp = iw — oi₀,

woraus

x = iw -f- DE — 2 iw — oi₀

Zur Bestimmung von y haben wir

(11)

CE = c₀E' = i₀ — im -f oi cos © = i₀ — im + aiw,

woraus

ferner

y — io -f- CE — 2 1q -j- o iw im

Aus Gleichung ll und 12 bestimmt sich

2 iw — x . .    4 iw 2x .

-, hieraus y =---+ oiw — im und

. _ g y -|- 2 x -}- oim

lw _    4 + a² •    •

(12)

io =

• • (13)

lw =

X ^qi°i hieraus y = 2i₀ + ^    — im und

2 y — o x -f- 2 im

endlich

4 + a²

.    . (14)

ij² = iw² + i„²

(4_P^)T (°²y² + 4x2 + °²im* + ⁴ °xy + 2 a²yim + 4 axim + ⁴y²-f o²x² + 4im² — 4 axy -f 8 y im — 4axim)

h² —

4 -f- a

j (y² + x² + im² + 2 im y) ....    (15)

Führen wir die so gewonnenen Werte der Gleichungen 13, 14, 15 in die Grundgleichung 10 ein, welche wir in der Form

ix ² — a im i₀ — ß im iw + Y im² = 0

benützen wollen, so ergibt sich

y² + x² + 2imy

-f- im²

—    2 a im y — 2 a im² -(- a a im x

-    aß im y — ßa im² — 2ß imx

+ T (⁴ + s²) im²

oder

y² -f- x² — (2a -f- aß — 2) imy — (2ß — aa) imx

₊ (l_2a-aß + [4 + a²]T)im² = 0    .    .    .    (16)

Abermals erhalten wir die charakteristische Gleichung eines Kreises mit den Mittelpunktskoordinaten:

7o =

x₀ =

— (2 a -J- a ß — 2) im

>ß-

• • (17)

aa) im

(18)

und den Kreisradius

R» = 2    + o2M“a + P" - ⁴ï)    • • ■ • (¹⁹)

Hierin ist noch zu ersetzen:

1 + 6t + t² -f 8a2 a~lT T(l + T) + a²(5-T + 2a²) ’

4a(l -(- a²)

t(l + t) + a²(5-T + 2a² ’

1 + t + 2 a²

t(1 + t) + a²(5 - t -f 2a³)

und wir erhalten als Endwerte :

1    1 —f— 4 t — t ² -J- 2 a² ( 1 -f- t) .

Jo ~ ~2    t(1 + t) + a²(5 - t + 2a²) "

a(15 - 6t - t² + 8a²) x° - 4 t (1 -J- t) -f- a² (5 — t -(- 2 a²)

(1 - t)² |X4 -f a2 4 t (1 -j- t) -f- a² (5 — t -(- 2 a²)

Im*

■ • (20)

• • (21)

Rg — —

• • (22)

Hiermit sind alle Bestimmungsstücke gegeben, um das Diagramm Fig. 22 exakt entwerfen zu können, welches unter Annahme von

ik] = 300; t = 0,1; im, = 30 ; a = 0,04

konstruiert wurde und dessen beide charakteristische Kreise (dick ausgezogen) sich aus diesen Annahmen nach obigen Formeln berechnen zu

i₀₀ = 108; iWo = 20,4; R = 51,4 für den kleinen Kreis

und

y₀ = 178; x₀ = 36,6; Rg = 103 für den grossen Kreis.

Hierbei sei bemerkt, dass die Formeln 7, 8, 9 und 20, 21, 22 bei näherer Betrachtung ihren komplizierten Charakter insofern verlieren, als in ihnen allen die Glieder mit den Quadraten von t und a in Wirklichkeit völlig verschwinden und unter Berücksichtigung dessen geschrieben werden kann :

a) für den kleinen Kreis

b) für den grossen Kreis

¹00

4 T (1 -f- t) -j- 5 o

2    (23)

1 -j- 4t

Jo 2 T (1 -j- t) 5 o²

(26)

!w₀ —

• (27)

t(1 + t) + 5a2 lmi •

1 a (15 — 6 t) x° ~ T t (1 -f- t) -f- 5 a²

Rg = -w-

(28)

(1 — t) ²

4 t (1 -f- t) -j- 5 a

(1    t)²

2    t(1 -f t) -J- 5a² ‘

In vielen Fällen wird es sogar statthaft sein, noch das Glied 5a2 im Nenner zu vernachlässigen, wodurch eine weitere Vereinfachung eintritt.

¹

2 1 V- ö

2. Deutung des Diagramms.

Zur Deutung des Diagramms Fig. 22 ist folgendes zu bemerken: Es besteht im wesentlichen aus dem stark ausgezogenen Polygon mit

6 Seiten ABB'B"D CA.

Von diesen ist AB der primäre Kurzschlussstrom ikj und kann gleichzeitig auch als das der primären Klemmenspannung entsprechende Gesamtfeld NL aufgefasst werden.

Der Primärstrom AC = ix erzeugt nun einen Spannungsabfall i₃ r, welcher einen Teil des Feldes Nj absorbiert von der Grösse (vergl. Teil II, S. 62)

BB' =

V;±i’ -

und daher unter dem Winkel rf geometrisch subtrahiert werden muss.

Das übrig bleibende Stück, AB' = N/, ist erst dasjenige Feld, von welchem sich, entsprechend den Ausführungen Teil II; S. 60, das primäre Streufeld A C = i₂ subtrahiert.

Diese Subtraktion gibt das Sekundärfeld von Motor I CB'x), welches jedoch abermals nicht als solches für Motor II zu Verfügung steht, sondern eine weitere Verkleinerung dadurch erfährt, dass erst dasjenige Feld B'B" hiervon zu subtrahieren ist, welches dem Spannungsabfall 2 i₂ r in Sekundärwicklung von Motor I plus Primärwicklung von Motor II entspricht. Dieses steht senkrecht zu i₂ und hat die Grösse

B'B" = 2— i,

Das Resultat dieser Subtraktion ist das dieser Belastung i entsprechende Sekundärfeld

B"C = N₂

und auf dieses erst lässt sich das eigentliche Heylandsche Kreisdiagramm anwenden.

von

Wir ziehen von N₂ geometrisch das primäre Streufeld i2 Motor II ab und erhalten endlich das Sekundärfeld von Motor II

DB" = N₃,

wodurch das Polygon geschlossen wird.

Dieses N₃ ist dasjenige Feld, welches für die Bildung und Berechnung des Drehmomentes von Motor II massgebend ist und welches auf seinem Strom i₃ = D D' senkrecht steht. Dieser Sekundärstrom i3 von Motor II muss daher auch das Gesamtfeld N₂ von Motor II in einem Punkte schneiden welcher N₂ im Verhältnis t teilt, was in der Fig. 22 durch den gestrichelten Kreis kenntlich gemacht ist.

Wie vorstehend nachgewiesen, bewegen sich die Punkte D und C auf zwei Kreisen mit den Mittelpunktskoordinaten x₀ und y₀, bezw. iWo und i₀₀, deren Berechnung durch die Formeln 7, 8, 9, bezw. 20, 21, 22 oder angenähert und bequemer durch 23 bis 28 gegeben wurde.

zur unmittelbaren Veranschaulichung des Einflusses der Kupferverluste durch Vergleichung mit den korrigierten Kreisen : wenn

Die dünn ausgezogenen zwei Kreise zeigen die geometrischen Orte von D und C, wie früher abgeleitet unter Vernachlässigung der Kupferverluste; und dienen

auch die Verhältnisse bei diesem Beispiele wegen der Deutlichkeit besonders in Bezug auf die Grösse der Verluste etwas übertrieben sind, so ist doch zu erkennen, dass auch unter normalen Verhältnissen das Diagramm Veränderungen erfährt, welche nicht mehr

9 Der Deutlichkeit wegen nicht ausgezogen.

zu vernachlässigen sind und nur auf dem angegebenen Wege berücksichtigt werden können.

Zur vollständigen Erklärung ist noch hinzuzufügen, dass in dem kleinen Dreieck AC₀c₀ die Strecke

C₀c₍, = oi

senkrecht auf i steht, ferner

iw' und 2iw' IN/

_L N.

FC = iw)

Gr D = X !

±¥c

CE _L GD~.

Die punktierten Linien bei H, wo B"H 1 CH, d. h. B"H Verlängerung von B'B" und DH Verlängerung von CD = i₂, dienen endlich zur Bestimmung der beiden Drehmomente.

3. Das Verhältnis der Drehmomente.

Es ist vorauszusehen, dass, da ein Teil der Energie auf dem Wege von Motor II zu Motor I in den Widerständen in Wärme verwandelt wird, die beiden Drehmomente nicht mehr gleich sein können und ihr Verhältnis D₂ : Dx wird von der Belastung abhängig werden.

Das Drehmoment wird nun in allen Fällen dargestellt durch das Produkt aus Ankerstrom und derjenigen Komponente des Ankerfeldes, welche senkrecht zum Ankerstrom steht.

Für Motor I erhalten wir für diese Komponente die Strecke B'H (Fig. 22) und als Ankerstrom i₂, daher sein Drehmoment:

D, = i₂. B' H,

wofür wir auch schreiben können:

iw • Oq B - - iw . im (1

Dj = i₂ cos ^ .

B'H

cos «|>

oder unter Berücksichtigung von Formel 3, S. 74:

(29)

Di =

Für Motor II erhalten wir als Ankerstrom i₃ als Ankerfeld B"D = N, und daher als Drehmoment

-^2 ⁼ L •

Nun ist aber die soeben verwendete Komponente des Ankerfeldes von Motor I

B' H = B' B" -f- B"H

oder wegen cos 7 x) = in dem Dreieck D D' C, wird

Wh = — i, + Ąi*. = — i₂ + -vs

T ² lo    T    1₂

woraus

IC

i₂. B' H = —— i₂ ² + D₂.

Da aber, wie eben abgeleitet, i₂ . B'H = Dx, so erhalten wir die einfache Beziehung

D₂ = Dl -

(30)

welche deutlich zeigt, dass D₂ wesentlich kleiner wird als Dx und dass der Abstand um so mehr zum Ausdruck kommt, je grösser die durch die Variable i₂ ausgedrückte Belastung. Setzen wir hierin den Wert der Gleichung 29 ein, so bekommen wir

1 -

d₂

.    .    (31)

und endlich das gesuchte Verhältnis

d₂

Di

oder

D₂

2a

i₂²

Di

(32)

1 —T imiw — ai²

Hierin ist der Wert i₂ aus Gleichung 5, S. 74 als Funktion von i₀ und iw zu entnehmen.

4. Tertiärstrom i₃.

Endlich ist noch der Tertiärstrom i₃ zu bestimmen. Hierfür haben wir aus dem kleinen rechtwinkligen DCD' die Beziehung Fig. 22:

9 Die beiden kleinen mit j bezeichneten Winkel bei B" und D sind gleich, weil ihre Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen.

Breslauer, Das Kreisdiagramm des Drehstrommotors.

oder wegen

G² = i₂² -

T²

(1 - x)

N₃² = (1 — t)²N₂² — (1 — t) ² i;{ 2 ia² = i2²-^²N₂² + t²i3²

(1 _T2)ii² ₌ i₂2_T2N22-    <    .

Hierin ist N.,² zu bestimmen, welches sich auf folgendem Wege ergibt: Zieht man B"J _L^4.B und B'K _L B"J, so ist

wird auch

A B'KB" co A c₀E'C,

woraus

E'C : B'K = i₂ :

2a .

~V~ h

und

2a

B'K = -=^~ E'C = — (iw - ai sin(p) [vgl. S. 76, Gl. 11] 2 a

= — Gw - 3 lob

und hieraus

3a .

BJ —-iw —

2a² .

i₀

und

FJ =

io (

3a .

— im — i₍, — B J = — im —

x    x

-- (im — [t — 2a²]i₀ — 3aiw) = LC.

x

Aus der Aehnlichkeit der eben erwähnten beiden Dreiecke folgt

Iw

ferner

B" K =

r-Ec» =

2a    ...    ,

— Go — im + o i cos <p)

~ Go ~~ im + G iw)

T

und hieraus

B"J =

3a.    2 a

Vlü

— Gm — ^ iw)

T

und

B"L= B"J-iw

3a.    2a.

lm lw

G-^f)

Ą- (3csi₀ — 2 a im — [x — 2 a²] iw).

Endlich liefert das rechtwinklige CB"L die Beziehung

N₂² = LB"² + LC²,

oder

T2N₂² = (im — [t — 2a²] i₀ — 3aiw)² + (3ai₀ — 2aim — [z - 2a²] iw)2 = im² + (T — 2 a²)² i₀ ² -f 9 a² iw ² — 2im(t — 2a²)i₀ — 6aimiw + Ö a (a — 2 a²) i₀iw+4a²im²-j-(T —2a²)iw²-f 9a²i₀² — 12ima²i0 + 4a(a — 2a²)imiw — 6a (t - 2a²)i₀iw

= (z — 7 a²) i² — 2(z — 4a²)imi₀ - 2a (3 — 2a [r — 2 a²]) imiw + (l + 4a²)im².

Dieser Ausdruck für t²N₂² in Gleichung 33 eingesetzt, gibt

(1 — z ²) i₃ ² = (1 + a²)i² — 2 im i₀ — 2aimiw + ira²

= (t — 7 a²) i² -)- 2 (t — 4a²)imi₀ -f 2 a(3 — 2a[t — 2a²])imiw (l+4a²)im²

und

h² =

—f ([1 — -c + 8a²]i² — 2[1 — t + 4a²]im i0 — z

1 -

+ 4a [1 — a(t — 2a²)] im]iw — 4a²imi²) .    .

oder mit den zulässigen Vernachlässigungen:

• • (34)

,    ([1 — T]i² — 2[1 — t]im,i₀ -f 4oimiiw — 4a²imi²).    (35)

5. Praktische Anwendung.

Damit ist endlich alles gegeben, um zur praktischen Anwendung des Diagramms übergehen zu können. — Durch Messung, event, auch Rechnung, seien gefunden im], z und Widerstand pro Phase r, somit

auch Leerlaufsabfall a = -lm' r , wo e die primäre Klemmenspannung

pro Phase, endlich noch der Eisenverlust Ve und der Reibungsverlust des ganzen Systems Vr.

Erstrebt wird wieder der Entwurf der Kurven für Wirkungsgrad, Leistungsfaktor, Tourenzahl bezw. Schlüpfung, und die Drehmomente beider Motoren sowie deren Verhältnis.

Ebenso wie bei den Diagrammen von Teil I, wo die Kupferverluste unberücksichtigt blieben, brauchen wir auch hier nur den kleinen Kreis zu konstruieren, mit dessen Hilfe alle übrigen Grössen berechnet werden können.

Die charakteristischen Grössen desselben finden wir aus Gleichung 7, 8, 9, S. 75, wofür auch im allgemeinen, solange a² klein ist gegen t, die vereinfachten Gleichungen 28, 24, 25 benutzt werden können.

Es werden dann zu einer Anzahl (4 bis 5) passend gewählter Leerströme i₀ die zugehörigen Wattströme iw und Gesamtströme i0 abgemessen; der jeweilige Wrattstrom ist noch um die konstante

ye

Grösse ih = zu vermehren und hieraus resultiert

COS <f =

Iw “I⁻ 1h

Nunmehr können wir die Graphik ganz verlassen und berechnen zunächst die zugeführte primäre Leistung Lx — 3 e i ; von dieser abgezogen Ye und 3it²r, gibt die auf den Sekundärteil von Motor I übertragene Leistung Ln.

Um die Verluste in diesem sowie im Primärteil von Motor II berechnen zu können, verwenden wir Gleichung 5, S. 74 und erhalten i₂², woraus der sekundäre Kupferverlust 6i₂²r hervorgeht.

Mit Hilfe desselben i₂² berechnet sich das Verhältnis der Drehmomente D₂ : Dt nach Gleichung 32, S. 81. Subtrahieren wir nun noch 6i₂² . r von Ln, so erhalten wir die auf Motor II übertragene Leistung

LnI = Lx — Ve — 3i₁²r — 6i₂²r,

welche für die Bildung des Drehmomentes massgebend ist.

Endlich berechnen wir noch aus Gleichung 35 den Tertiärstrom L² und bilden 3ia²r, woraus endlich die abgegebene Leistung

L = Lx - Ve - 3ix²r - 6i₂²r - 3i₈²r - Vr

hervorgeht, wenn Vr die Reibung bedeutet, und erhalten als Wirkungsgrad

r\ =

Als Schlüpfung ergibt sich dann

dort geschehen, 5 möglichst charakteristische

wie es

und hieraus die Tourenzahl des ganzen Systems :

n = n₁ (1 —

s,l = (

wo nj die synchrone Tourenzahl bedeutet.

Yon Wert wird schliesslich noch die Berechnung der absoluten Grösse des gesamten Drehmoments, indem

Lm . 0,981

in kgm.

6. Numerisches Beispiel und Zusammenstellung der Formeln.

Ein Beispiel, wie es thatsächlichen Verhältnissen entspricht, mag zu näherer Beleuchtung dieser Methode hier durchgerechnet werden.

Es sei gemessen:

x = 0,04; ikl = 350; imi = 14 ; o = e = 1000 Volt.

imr

= 0,008 ; r = 0,57 ;

Ferner Eisenverlust Ve = 2400 Watt und Reibungsverlust Vr = 2700 Watt.

Hieraus zunächst die drei Characteristica des kleinen Kreises:

1,24 . 14

lo° -₄    x(1 + T) + 5a2 ï», - ₄ • o,0461 + 0,000064

= 5,4

1    0,92.14

4 '    0,0416

1 -j- 6 z

= 105

Wo_ t(i + t) lm'-

1 O :

4 t(l -f t)

0,016 . 14

0,0416

lmj —

= 77,6.

Der Kreis ist in Fig. 23 dargestellt²) und wird nun in der Weise benutzt, dass

Werte auf ihm gewählt werden, bezeichnet mit 1 bis 5, und die zugehörigen Werte für iw und i abgemessen werden.

’) Ygl. S. 54, Gleichung 1.

²) Der gestrichelte Kreis ist ohne Berücksichtigung der Ohmschen Verluste konstruiert und dient zur Vergleichung.

Achse der iTP

±__

Fig. 23.

Achse der i₀

___M

ino

/y

Ti

//il’

[Massstab ²fä.]

Aus dem gemessenen Eisen Verlust Ve = 2400 Watt berechnet sich der konstante Verluststrom durch Hysteresis

ih =

2400

1000.3

= 0,8 Amp.

Dieser addiert sich zu den abgemessenen Wattströmen iw und beeinflusst dadurch den Leistungsfaktor, welchen wir setzen müssen

cos <p =

iw + ih

Tabelle II.

i₀ — 28

i₀ = 32,7

i₀ = 46

in = 73,5

i« = 105

iw = lA, (2 i₀₀ - i₀) - ioo² + R² + iw₀ *) = 1/i₀ (210 - i₀) - 4980 + 5,4

15,6

34

56

76,5

83,3

i₁² = iw² + i₀*

1020

2240

5300

11200

18000

ii = l/ iw² + i₍i²

32

47,3

72,6

106,4

134

COS cp =

iw + ih _ iw + 0,8

i.

ii

0,512

0,74

0,7(5

0,74

0,62

Li — 3 e (iw + ih)

= 3000 (iw+ 0,8) ' '

. . kw

49,2

104

170

233

254

3ix² r = 1,71 ij

1750

3840

9000

19300

30600

Ln = LI-Y₆-3i₁²r = Li -2400 — 1,71 +² ‘

. kw

44,05

97,8

158,6

211,3

221

i₂² — ii² — 2 im i₀ + im² = i₁² —28 i₀ + 196 ²)

435

1516

4190

9356

15250

6i₂² r = 3,42iä²

1500

5200

13800

32000

52000

Lm = Ln — 6 i₂² r .... kw

42,5

92,6

144,4

179,3

169

iaa = Y+7 (I¹ — T] ia —2 [1 —t] imi₀)³) = 0,96 i²-26,9 i₀

230

1270

4040

9230

14380

3i₃²r = 1,71 i₃²

385

2180

6900

15700

24600

L = Lra-3i₃²r — Yr = Lm -1,71 i₃²- 2700 ’

. kw 39,4

87,7

135,8

160,9

141,7

0,80

0,842

0,80

0,69

0,56

s₂ =

B i₃² r

1.71 i.,²

L + 3i₃*r + Vr

Lm

. . °/o

0,92

2,4

4,75

8,8

14,6

Si =

2 — s₂

0,5

0,506

0,512

0,523

0,54

n = (l-s₁)n₁=-

1 -s₂

— So

ni

500

494

488

477

460

Lm. 0,981

500

84

184

290

370

360

i,²

Di

1 —X im iw — o i²

⁴)

0,0161 . i₂²

. . «/o

3,5

5,4

8,8

15,6

24,8

14 iw-0,008 i²

*) Gl. 10a in Verbindung mit 23, 24, 25.    ²) Gl. 5, S. 74 mit zulässiger Ver

kürzung. ³) Gl. 35, S. 83 mit zulässiger Verkürzung. ⁴) Gl. 32, S. 81.

co

cósy\

i#!

Cdüp

an}

]fibgęgeąeną meęhao Leistung ip k\v.

Fig. 24.

__Normalleistung _|_

eines Motors in gewöhnlicher Schaltung.

mP,

sr

vt

.*>

Ytffi

Normalleistung._ beider Motoren in Cascadenschaltunq.

I    il    IIe7

iSsSrrjff

Wirku

ST

SO 100    120 mo 160    180    200    220    240    260    230    300    320    340

Zł

20    40    60

te

Streng genommen würde dadurch auch i um ein geringes geändert werden, doch ist dies von verschwindendem Einfluss und kann vernachlässigt werden.

Die vorstehende Tabelle II enthält in den Horizontalreihen die in der numerischen Rechnung aufeinanderfolgenden Werte, wobei hervorzuheben ist, dass die im Früheren angegebenen Formeln für i₂ und i₃ infolge verschwindender Grössen die in der Tabelle enthaltenen Vereinfachungen ergeben und somit alle Schrecken langer Formeln verlieren, wodurch auch hier die Ueberlegenheit des numerischen Rechnens zum Ausdruck kommt.

Die Resultate der Rechnung bilden die Kurven der Fig. 24, in welcher die Kurvenschar, welche ihren Umkehrpunkt bei 840 kw Leistung hat, dem normal geschalteten Motor, welcher auf S. 70 behandelt wurde, angehört, während die Kurvenschar, welche bei 160 kw umkehrt, den soeben berechneten in Kaskade geschalteten Motoren entspricht.

Die Vergleichung beider Kurvenscharen zeigt zunächst sinnenfällig die auffallende Verschlechterung von cos rf und Wirkungsgrad, dann aber den gewaltigen Unterschied im maximal erreichbaren Drehmoment, welches bei einem Motor allein in normaler Schaltung nahezu doppelt so gross wird, als das der Kaskade.

Nimmt man ferner als normale Dauerleistung der Kaskade denjenigen Punkt an, bei welchem die Ueberlastungsfähigkeit noch 50 °/o beträgt, bevor der Motor ausser Tritt fällt, so erhält man 110 kw = 150 PS als Normalleistung, bei welcher auch gleichzeitig die zulässige Erwärmung im Dauerbetrieb stattfinden soll. Hierzu gehört ein Strom von 56 Amp. Bei diesem Strom wird natürlich auch die Erwärmungsgrenze bei normaler Schaltung desselben Motors vorhanden sein, und wir erhalten dadurch die normale Dauerleistung jedes der beiden Motoren mit 150 kw = 200 PS. (Vgl. in der Fig. 24 die beiden Vertikallinien).

Vergleichen wir diese beiden Punkte miteinander, so erhalten wir in der Kaskade :

ri = 83 °/o ; cos <f = 76 °/o ; D = 230 kgm (Gesamtdrehmoment) ; 7 °/o Differenz der beiden Drehmomente.

in der Normalschaltung :

kgm (Dr.ehmon^bt eines

yJ

Tj = 91⁰ o ; cos (p = 94 °/o ; D = 165 Motors).

Wir sehen daher, dass wir wohl mit gleichem Strom ein wesentlich höheres Drehmoment erzielen können, dabei aber beträchtliche Einbussen am Wirkungsgrad und Leistungsfaktor mit in Kauf nehmen müssen.

Endlich ist noch der Einfluss der Korrektion insofern bemerkenswert , als der maximal erreichbare Leistungsfaktor ohne Berücksichtigung der Verluste sein würde:

(cos (p)

max

(1 + t)²

1 - 0,148

4t

1 -f 0,148

= 0,74.

(1 + 0²

In Wirklichkeit wird erreicht

(cos <p)

= 0,77.

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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