-'HG

H.ftÜLLER

UND

Ä.HUPE

DIE MATHEMATIK AUF DEN GYMNASIEN UND REALSCHULEN

B II OBERSTUFE

ABTEILUNG 1

it

Schaffen mb Sdjauen

ün TüQrer

Von beutsdjer ,

71 rt und Tlrdeit IHS ßzÖQll

Des Tfienscfjen Sein u.Werben

2 Bände, einzeln käuflich, in Leinwand gebunden 5 Mark

Es

Das Werk, darf sich besonders denen als ein „Führer ins Leben" anbieten, die vor der für ihr Leben entscheidenden zugleich schönen und schweren Aufgabe der Wahl eines Lebensberufes stehen, möchte sie so leiten Helsen, daß die Erfüllung der Lebensarbeit zum Segen und zur Freude wird im Sinne von Fichtes Wort: „Der Mensch soll arbeiten, aber nicht wie ein Lasttier, das unter seiner Bürde in den Schlaf sinkt und nach der notdürftigsten Erholung der erschöpften Kraft zum Tragen derselben Bürde wieder aufgestört wird. Er soll angstlos, mit Lust und Freudigkeit arbeiten und Zeit übrig behalten, seinen Geist und sein Auge zum Fimmel zu erheben, zu dessen Anblick er gebildet ist." Wer so sich sein Leben gestalten möchte, wer vor kurzsichtig befangenem oder einseitig vorschnellem Urteil sich bewahren und dazu einen Überblick gewinnen möchte über all die Kräfte, die das Leben unseres Volkes und damit unser eigenes in Staat, Wirtschaft und Technik, in Wissenschaft, Weltanschauung und Kunst bewegen, der wird sich der Führung von „Schaffen und Schauen" getrost anvertrauen dürfen, über das ein kleines Prospektbeft mit Probeabschnitten aus dem Buche (umsonst erhältlich vom Verlag B.G.Teubner in Leipzig, poststr. 3) näher unterrichtet.

Aus dem Geleitwort.

Ein Geschichtsforscher unserer Zeit hat kürzlich ausgesprochen, daß das einzelne Menschenleben wohl „als nichts denn ein kleiner Punkt erscheinen könne, ein Schnittpunkt, in dem unzählige Fäden sich kreuzend zusammenlaufen, die dem Punkt seine Gestalt, seine Bedeutung geben". Sich all dieser Fäden bewußt zu werden, die die Stelle, an der er    steht,    mit    der Umwelt    verbinden    und seine    Lage in ihr bedingen,

muß die Aufgabe    eines    jeden    Menschen    sein.    Dazu    will das    Buch helfen. Darum

^hre heutige Gestaltung und

c i. ei -___i.

spricht es einmal „von deutscher Art und Arbeit" und zum anderen von „Des Menschen Sein und Werden", wie unser deutsches Volk und mit ihm jeder einzelne von der Gestaltung unseres Landes abhängig ist, wie die besondere Anlage unseres Volkes sich auswirkt, wie unser Deutsches Ueich geworden und welches heute feine Stellung hinter den Völkern ist, das wird oder sollte doch der ins Leben hinaustretende sich fragen. Und da er in der sder jener Form am Wirtschaftsleben teilnehmen muß, so wird er weiter über die Grundlagen unserer Volkswirts-' -

über die Ent    Biblioteka Politechmki Krakowskiej ten für sie maßgebenden Be-

tätigungsa    ende Macht des Staates verstehen lernen    ründung    und nach den Bedingungen ihrer    »ebieten,    die er seit alters und

unumstritten    Wohl und wehe der einzelnen

100000294742

fff

berühren, um so mehr den TÖ'iöerstreit der Meinungen hervorrufen. Cr wird aber auch nach einer Einführung in die Bestrebungen, fhit denen der Staatsbürger seinerseits an der Ausgestaltung des nationalen Lebens teilnehmen will und soll, verlangen. Endlich aber wird er selbst nach Maßgabe seiner Neigungen und seiner Kräfte an einer Stelle Hand anlegen wollen an den großen Bau der deutschen Arbeit, wird einen Beruf sich wählen wollen — und da soll ihm wieder das Buch nicht sowohl dessen äußere Seiten vorführen, als versuchen, ihn in sein inneres Wesen einen Einblick tun zu lassen, um seine Wahl so zu lenken, daß er in seiner Lebensarbeit innerliche Befriedigung finden kann. Doch wir find nicht nur Deutsche, wir stehen zugleich in der großen Entwicklungsreihe, die die Menschheit, von Iahr-tausenden her Glied an Glied reihend, in unbestimmte Zeiten weiterführend zu einer innerlichen Einheit verbindet. Darum verlangen wir zu wissen, welches die Stellung des Menschen in der Natur sei, und wie unser eigenes leibliches Wesen beschaffen, aber auch nach welchen Gesetzen das, was uns erst zu Menschen erhebt, unser Geistesleben, sich vollzieht. Wir sollen uns aber weiter auch bewußt sein, daß wir nicht nur ein Glied der großen Menschheit sind, sondern daß wir insbesondere der Kultureinh.eit zugehören, zu deren Vau die Griechen einst in wunderbarer Genialität den Grund gelegt und zu dem ununterbrochen bis zum heutigen Tage die Völker Stein auf Stein gefügt, wir sollen wissen, auch wenn wir nicht selbsttätig an ihrem Ausbau teilnehmen, was des Menschen Geist in Natur und Menschenleben erforscht hat und was er noch zu erforschen hoffen darf, wir wollen all die Einzelergebnisse der Wissenschaft zusammenknüpfen zu einem umfassenden Weltbild, wie es uns die Philosophie entwirft. Aber nicht nur mit dem verstände wollen wir unsere Umwelt erfassen, sondern auch mit unserem Gefühl sie umfangen, wir wollen'durch die Religion uns den letzten Sinn des Daseins deuten lassen, und wir wollen an all den Schöpfungen der Kunst teilnehmen, mit denen von alters bis zum heutigen Tage die Menschheit versucht hat, in Natur und Leben nachschaffend einzudringen. Und wenn wir so alle Gebiete des menschlichen Lebens durchwandert, dann legen wir uns mit doppeltem Ernst die Frage vor: was bin ich, was kann und was soll ich selbst in dieser Welt tun und leisten? — suchen wir Zielpunkte für unsere Lebensführung zu gewinnen.

Mitarbeiter:

R. Bürkner • H. vade • R. Deutsch • A. Domtmcus • K. Dove • E. Fuchs P. Klopfer • E. Koerber • G. Lyon (E. Maier • G. Maier • E. v. Maltzahn -j-A.v. Reinhardt - F.A. Schmidt • (V. Schnabel G. Steinhaufen - E. Teichmann • A. Thimm - K. Vorländer • A. witting - G. wolff Th. Zielinski

Mit 8 allegorischen Zeichnungen von Alois Kolb

Inhaltsübersicht.

X. Band. Das deutsche Land. Vas deutsche Volk, wie das Deutsche Reich geworden. Vas Deutsche Reich im Zeitalter der Weltmächte. — Die Grundlagen der Volkswirtschaft. Die deutsche Volkswirtschaft der Gegenwart. Land- und Forstwirtschaft. Der Bergbau. Die Industrie. Die Technik. Vas Runstgewerbe und die Architektur. Der Handel. Das Verkehrswesen. — Der Staat. Die Wehrmacht des Staates. Die äußere Vertretung. Vas Recht. Das Bildungswesen. Sonstige Verwaltungsausgaben des modernen Staates. Organisation der Staats- und Gemeindeverwaltung, wirtschaftspolitische Fragen (Steuerpolitik. Handelspolitik. Rolonialpolitik. Die Boden- und Wohnungsfrage. Das Bc= völkerungsproblem. Die Frauenarbeit. Sozialpolitik). Staatsbürgerliche Bestrebungen (politische Parteien, wirtschaftliche Vereine. Soziale Bestrebungen. Bilüungsbestrebungen. Frauenbewegung.

’4Ue Presse). — Die Vorbildung. Der Beruf. Die wichtigsten Berufe.

XX. Band,. Des Menschen Herkunft und Stellung in der Natur. Des menschlichen Körpers Bau und Leben. Des Menschen Seele. Die Entwicklung der geistigen Kultur. — Die Wissenschaft und ihre pflege. Die mathematischen Wissenschaften. Die Naturwissenschaften. Die Geisteswissenschaften. — Die Philosophie. Die Kunst. Die Religion. — Das Leben. Der Beruf. Volk und Staat, persönliches Leben. Lebensgemeinschaften. Der wert des Lebens.

rzz Verlag von ß. G.Ceubner m Leipzig und Berlin =r=

Verlag von B. 6. Ceubner in Leipzig und Berlin

mm

"Tsas Feuerzeug. Don m <J LH. M. Tidy.

iw

WWW

jugendlichen Zuhörern. Nach dem englischen wES (Original bearb. v. p. Pfannenschmidt. Mit 40 Figuren. In Leinw. geb. Jt 2.— Das Büchlein beschäftigt sich mit einem jUl der fesselndsten Abschnitte aus der Kultur-» geschichte der Menschheit; an der Hand ein-facher versuche geht es der Geschichte der GD Feuer- und Lichterzeugung llach, die aufs engste verknüpft ist mit der Ausbreitung WM der menschlichen Erkenntnis überhaupt. Durch mk den behaglichen piaubertort in der Dar-B stellungsweise erinnert es an Faradays ,,Na-IBjt turgeschichte einer Kerze". Einfachste ver-M suche oft führen zu bedeutsamen, weittragen-den Schlüffen, die wieder zu neuen versuchen veranlaffung geben; so gewähren diese Dar-M bietungen einen lichtvollen Einblick in die Art und weise naturwiffenschaftlicher Forschung. Besonders wird das Büchlein dadurch

BaUYS -tahlst-inlamx-. Aus City, ba₅ jeueyeug.

Mit

.Y"’hemisches Experimentierbuch für Knaben. Don Prof.

3.20.

Vf v Tlr» Tfzirl    Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage.

Xyl.    fg Abbildungen. In Leinwand gebunden Jt

,,Ein vortreffliches Buch, das uns lange gefehlt hat. . . . Der verfaffer ist ein gründlicher Kenner der Chemie und beherrscht zugleich vollkommen die methodische Behandlung des häufig so spröden Stoffes. So hat man denn überall in seinem Buche das wohltuende Gefühl, daß man sich in ganz sicheren Händen befindet.... Der verfaffer zeigt nun meisterhaft, welche Tatsachen und Erlebnisse uns diese ,alltäglichen* Dinge erzählen können, wenn man ihre Sprache versteht. Lr lehrt keine Salonzauberkunst, sondern ernste Wissenschaft in heiterem Gewände. Der Knabe, welcher das Buch durchgearbeitet, hat nicht nur eine Menge chemischer Tatsachen und Naturgesetze, er hat auch einen Einblick in die (Quellen des Volkswohlstandes und in das Sein und werden der Naturkörper erhalten, wir gestehen, daß • uns seit langer Zeit kein Buch in die Hand gekommen ist, das seine Aufgabe in so geschickter, gründlicher und fesselnder weise gelöst hat...."    (Zeitschr. f. LeYrrnittekrvesen 11. pädag. Literatur.)

„. . . Sprache sind die chemischen Reaktionen; Zuhörer ist der Experimentierende, der sie zum Reden zwingt. Und was können uns die ^alltäglichen' Dinge erzählen. Sie berichten von geheimnisvollen Naturgesetzen, welche der wiffende sich gefügig zu machen versteht; sie erzählen von den (Quellen des Volkswohlstandes, von den Gewerben und Industrien mit ihren Freuden und Gefahren, vom Leben der pflanzen, Tiere und Menschen, vom Sein und werden aller Naturkörper. Line erste Anleitung, diese Sprache zu verstehen, soll das vorliegende Buch sein; möge es sich recht viele Freunde erwerben!"    (Arankfurter Zeitung.)

Professor

^treifzüge durch Wald und Flur. Don

Eine Anleitung zur Beobachtung der heimischen Natur in jammr    LUllVz>Ucty. Monatsbildern. Für Haus und Schule bearbeitet. H. Auflage.

Mit 88 Illustrationen nach Mriginalzeichnüngen von Frau H. Lan dsberg. In Leinw. geb. M.b.—

wollen wir rechte Freude an der Mutter Natur haben, so muffen wir sie zu verstehen suchen, eindringen und uns sättigen an der Weisheit, die das All erfüllt und leitet. Dazugibt uns jeder (Ort Gelegenheit.

Und seht! Leben will ich euch finden lehren draußen in Wald und Flur, wir wollen hier nicht Beschreibungen von Tieren und pflanzen liefern. Nein! Leben laßt uns suchen. E)b es nun frei um uns her schwirrt und singt, sich scheu in allerlei Schlupfwinkeln verbirgt, im Boden zu unseren Füßen sich regt und durch unsere Tritte ,,vernichtet und begraben wird", oder ob es endlich, unsern Augen verborgen, sich nur dem verstände offenbart.

So nehmt denn, ihr Knaben und Jünglinge, Mädchen und Jungfrauen, dies Buch! Benutzt es nicht zur flüchtigen Lektüre! Nein, geht hinaus und prüfet nach!, Erst dann, _______

ihr gelernt habt, in dem Buche der Natur zu lesen, wenn 'sich euch Fragen aufdrängen, den hier behandelten ähnlich und doch nicht beantwortet, wenn ihr überzeugt seid, wieviel ihr noch lernen könnt — erst dann hat mein Büchlein seine Arbeit an euch getan.

Zu euren Forschungsreisen bedürft ihr keiner großen Ausrüstung. Ein Insektenkäscher von dünnem Stoffe, einer von derberem zum Fischen, ein kräftiger, kleiner Spaten und eine Lupe genügen. Dazu ein Sammelgefäß mit klaren, durchsichtigen Glaswänden zum genaueren Betrachten einzelner Funde und eine Botanisiertrommel.

Prof. H. Müllers Mathematisches Unterrichtswerk.

Die Mathematik auf den

Abschluß der Planimetrie.

Algebra.

Nr. 13. Gleichungen 4ten Grades, welche auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden Können. Reziproke

Nr. 21. Nrnkrn und Anleihen.

=*1/?

Der binomische Lehrsatz.

Trigonometrie?

Nr. 13. Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes.

Zweiter Teil der Stereometrie.

Rr. 14. Anwendungen.

Die Kugel.

v. Einmalige Prämie bei einer Lapitalversichernng.

Nr. 6. Größte und Kleinste Werke.

Nr. 2. Erklärungen der Geraden, des Winkels und der Parallelen.

Nr. 13. Uber Maxims und Minima.

Hus Natur und Geisteswelt

Die Mathematik auf den

Gymnasien und Realschulen.

Für den Unterricht dargestellt von Professor Keinrich Müller,

Oberlehrer am König!. Kaiserin Augusta - Gymnasium zu Lharlottenburg.

Ausgabe B:

Mr reale Anstalten «nd Ueformschnken,

unter Mitwirkung von

Professor Merl Küpe,

weil. Oberlehrer an der Oberrealschule zu Lharlottenburg.

Zweiter Teil: Die Oberstufe.

(Lehraufgabe der Klassen Ober-Sekunda und Prima.) Abteilung I: Planimetrie, Algebra, Trigonometrie und Stereometrie.

vierte Auflage.

w. /?•

Bas

..

Leipzig und Berlin,

Druck und Verlag von B. (8. Teubner.

l9l0.

Gebunden 3 Mark.

HD 5' X. 513(675.3}

li 51 rt

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

MbH 3

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.

Die „Oberstufe", der zweite Teil der Mathematik auf den Gymnasien und Realschulen, umfaßt die Lehraufgabe der drei oberen Klassen und ist in der Verfolgung der Unterrichtsziele naturgemäß nur eine Fortsetzung der „Unterstufe". Der Verfasser ist jedoch bemüht gewesen, das Buch äußerlich unabhängig von der „Unterstufe" zu gestalten; er hat es vorgezogen, Hinweise auf die Nummern von Abschnitten, Lehrsätzen usw. des ersten Teiles zu vermeiden und dafür lieber mit einigen Worten die zu benutzenden Tatsachen anzugeben ...

Eine Einteilung des Lehrstoffes in die Lehraufgaben der einzelnen Klassen ist nicht vorgenommen worden. Jedes Gebiet hat eine zusammenhängende Darstellung" erhalten. Von inneren Gründen abgesehen, die diese Einrichtung als geboten erscheinen lassen, leitete den Verfasser die Absicht, den Schülern der obersten Klaffe die notwendigen Wiederholungen zu erleichtern, und das Bestreben, selbst den Anschein zu vermeiden, als ob dem Lehrer durch das Buch der Gang des Unterrichts vorgeschrieben werden sollte. Wo noch in einem Raume die Unter- und Ober-Prima vereinigt sind, wird der Lehrer ohnehin durch die Rücksicht auf die ungleich ausgebildeten Abteilungen gezwungen sein, von einer Einteilung des Stoffes abzuweichen, die nur bei getrennten Primen durchführbar sein könnte.

Die Form, du der die einzelnen Gebiete dargestellt sind, läßt das Bestreben, den Lernenden zur Mitarbeit an der Entwickelung des Lehrstoffs heranzuziehen^ Äußerlich noch mehr hervortreten als in dem ersten Teile. Dadurch hchst der Verfasser, dem Schüler, der einige Unterrichtsstunden versäumt hch^ die Ausfüllung der entstandenen Lücken an der Hand des Buches ermöglicht zu haben.

D-r Verfasser war auch bei dem zweiten Teile bemüht, für den Lehrstoff die einfachste Ausdrucksweise zu suchen.

Charlottenburg, im Juni 1899.

Aus dem Vorwort zur dritten Auflage.

Seit dem Erscheinen der zweiten Auflage hat eine lebhafte Bewegung eingesetzt, auf den höheren Lehranstalten der Naturwissenschaft einen größeren Raum zu gewinnen und den mathematischen Unterricht nach Methode und Umfang einer grundsätzlichen Umgestaltung zu unterziehen. Gleichzeitig mit dieser Bewegung machte sich das Bestreben geltend, den Anregungen der Lehrpläne von 1901 zu folgen, auf die Pflege der Anschauungstätigkeit ein erhöhtes Gewicht zu legen, den Begriff des funktionalen Zusammenhangs auf allen Gebieten schärfer hervortreten zu lassen und auf ein eingehendes Verständnis des Funktionsbegriffes hinzuarbeiten. Es liegt in der Natur der Sache, daß beide Bewegungen sich vielfach berühren und auch auf die Gestaltung der neueren Schulliteratur nicht ohne Einfluß bleiben konnten.

Auch auf die Bearbeitung der neuen Auflage dieses Buches sind die genannten Bestrebungen nicht ganz ohne Einwirkung geblieben, wenn auch nur die zweite Bewegung für den Charakter der vorgenommenen Veränderungen unmittelbar mitbestimmend gewesen ist. . . .

In zwei Anhängen ist die Behandlung des Versicherungswesens durch die Versicherungsgesellschaften und eine Einführung in die Infinitesimalrechnung neu aufgenommen worden. Zu der Frage, ob und in welchem Umfang die beiden Gebiete dem Lehrstoff anzugliedern seien, hat Verf. hier nicht Stellung nehmen wollen; es handelte sich für ihn nur darum, einigen Freunden des Buches entgegenzukommen, welche für bessere Schüler-generationen eine elementare Behandlung der beiden Gegenstände gewünscht hatten und mit dem Verf. der Meinung waren, daß deren Durchnahme durch die geltenden Lehrpläne nicht ausgeschlossen sei. An eint organische Verbindung des Anhangs II mit dem algebraischen Abschnitt durfte allerdings noch nicht gedacht werden; dies wird erst geschehen können, wmn die Einführung in die Infinitesimalrechnung durch die amtlichen Lehrpläne dem Lehrstoffe ausdrücklich hinzugefügt ist.

Bei der Bearbeitung des Anhangs I, der mit den erforderlichen Tafeln in der Müller und Kutnewskyschen Aufgabensammlung, Teil B II, zuerst veröffentlicht worden ist, wurde Verf. in liebenswürdiger Weise durch den Direktor der Preußischen Rentenversicherungsanstalt Herrn Hartung und durch den beim Kaiserlichen Aufsichtsamt als Sachverständigen zugelassenen Kollegen Herrn Prof. Ritsche unterstützt, und daher kann die Darstellung auf Zuverlässigkeit Anspruch machen. . . .

Charlottenburg, im Juli 1907.

Vorwort zur vierten Auflage.

Bei der Bearbeitung der vierten Auflage dieses Teiles ist sein Aufbau ganz unverändert geblieben, und auch an der Darstellung ist bei den meisten Gebieten keine wesentliche Umgestaltung eingetreten. Wo hier die bessernde Hand eingegriffen hat, da geschah es, um den Druck übersichtlicher zu gestalten oder den Zusammenhang der Tatsachen noch schärfer zum Ausdruck zu bringen, als es vorher der Fall war. In dieser Absicht ist bei den harmonischen Strahlen die Reihenfolge einiger Sätze abgeändert und in der Gleichungslehre die Umstellung einiger Nummern vorgenommen worden. Gelegentlich, wie z. B. in der Geometrie der Kugelfläche, wurden auch umständliche Beweise durch einfachere ersetzt. An einigen Stellen mußte ferner die Darstellung abgeändert werden, weil sie den geschichtlichen Tatsachen nicht entsprochen hatte. Hierzu sind die beiden Abschnitte über die sog. diophantischen Gleichungen und über die Bestimmung der größten bzw. kleinsten Werte zu rechnen.

Der Lehre von der Kugel ist auf Wunsch einiger Freunde des Buches eine Besprechung der Projektionen von Teilen einer Kugelfläche auf eine Ebene, wie sie zur Herstellung von Erd- und Himmelskarten vorgenommen werden, hinzugefügt worden. Ebenso hat der Anhang I durch die Hinzunahme einer von Herrn Prof. Nitsche-Charlottenburg freundlichst zur Verfügung gestellten, für das Verständnis des Versicherungswesens wichtigen Erörterung über das Deckungskapital (die Prämienreserve) eine gewiß willkommene Bereicherung erfahren.

Der Anhang II über die Einführung der Infinitesimalrechnung ist ganz umgearbeitet worden. Bei der in der dritten Auflage gegebenen Darstellung war in dem Bestreben, den Gegenstand möglichst elementar zu gestalten, zur Herleitnng der Formeln und Sätze fast ausschließlich der binomische Lehrsatz verwandt und das Ergebnis verwandt worden, ohne daß in den einzelnen Fällen die Zulässigkeit dieser Verwendung geprüft worden wäre. Dies hatte Veranlassung zu dem Einwand gegeben, daß die Darbietung ungründlich sei, und da die Berechtigung eines derartigen Einwandes nicht bestritten werden konnte, so mußte der Aufbau des Anhangs auf eine andere Grundlage gestellt werden. Sollte jedoch der elementare Charakter der Darbietung nicht ganz verloren gehen, so mußten alle Funktionen, deren Stetigkeitsverhältnisse nicht völlig klar vor Augen liegen, von der Betrachtung ganz ausgeschieden bleiben. Bei der Herleitung der Mac-Laurinschen Reihe ist der Weg eingeschlagen worden, den Mac-Laurin selbst betreten hakte (s. Treatise of fluxions. Edinburgh 1742, 93b. l, S. 610) und vor ihm bereits Taylor bei der Herleitung seiner Reihe gegangen war (f.,.$Ietho&us mcrementorum. London 1715, S. 27). Wie

Verfasser sich im Unterricht überzeugen konnte, bietet dieser Weg dem Primaner keine bemerkenswerte Schwierigkeit, wenn man sich auf Entwicklungen beschränkt, bei denen eine Untersuchung des Restgliedes überflüssig ist, während der neueren Herleitung selbst von den begabteren Schülern nur wenig Verständnis entgegengebracht worden ist.

Mit der Umarbeitung wurde eine Vermehrung der Beispiele verbunden, die von mehreren Freunden des Buches gewünscht worden war.

Eine organische Verbindung des Anhangs II mit dem algebraischen Abschnitt konnte auch diesmal noch nicht vorgenommen werden. Ganz abgesehen davon, daß die Einführung in die Differentialrechnung heute noch nicht zu dem vorgeschriebenen Lehrstoff gehört, und daß die Ansichten über die Ausdehnung, die man dem Gebiete in der Schule geben kann, noch weit auseinander gehen, verbot es mit Rücksicht auf die zahlreichen Anstalten, an denen das Buch gebraucht wird, daß Änderungen ausgeführt würden, welche die Möglichkeit, die vorhergehende Auflage neben der neuen zu benutzen, in Frage hätten stellen können. Bei der Oberstufe der Ausgabe für Gymnasien, deren neue Auflage die Verschmelzung der beiden Gebiete enthält, fiel dies Bedenken der Tatsache gegenüber, daß in ihr die methodischen Arbeiten der letzten 6 Jahre noch keine Berücksichtigung hatten finden können, weniger schwer ins Gewicht.

Eine stufenweise Einführung in die Infinitesimalrechnung müßte naturgemäß etwas breiter gehalten sein, als sie es in dem Anhang II zu sein brauchte. Schon bei der Wiederholung der Lehre von den Potenzen wird man damit beginnen können. Hat man zunächst für ein positives ganzzahliges n die Funktion y = xn graphisch dargestellt, so kann man daran die Aufgabe schließen, die Tangente eines Punktes der Kurve zu zeichnen. Nun hat der Schüler in den Mittelklassen die Tangente eines Kreises als die Grenzlage einer Sekante gelernt; der Gedanke liegt also nahe, hier die gleiche Betrachtung anzuwenden und eine Sekante sich um einen festen Punkt der Kurve drehen zu lassen, bis sie in die Tangente des Punktes übergeht. Ferner ist der Schüler mit den trigonometrischen Funktionen bereits vertraut und kann einen Winkel zeichnen, von dem er die Größe einer seiner Winkelfunktionen kennt. Damit ist aber der Weg zur Einführung des Differentialquotienten der gegebenen Funktion vorgezeichnet, und die Verallgemeinerung des Begriffs für alle Funktionen, deren geometrisches Bild eine stetig verlaufende Linie ist, wird sich leicht daran anschließen. Verfolgt man jetzt die Entstehung des Differentialquotienten der Funktion y — x“ durch die Rechnung,

indem man den Quotienten

entwickelt und dann h den Wert 0 annehmen läßt, so gelangt man zu dem Satze, daß der Differentialquotient

(x -f- h)n — xn

von xn gleich n • xn ~¹ ist, wenn n eine positive ganze Zahl bezeichnet. Das gleiche Verfahren führt nun dazu, die Ableitung einer ganzen rationalen Funktion zu bilden und die Sätze über die Differentialquotienten einer Summe bzw. Differenz und eines Produktes aus ganzen rationalen Funktionen herzuleiten. Ist die erste Erweiterung des Potenzbegriffs durch Einführung negativer ganzzahliger Exponenten erfolgt, so leitet man den Differentialquotienten von y = x~n ab und beweist den Satz über die erste Ableitung eines Quotienten aus ganzen rationalen Funktionen. Entsprechend geht man nach der Einführung gebrochener Exponenten vor; man zeigt, daß die Formel d(xn) = n • xn-1dx für jeden endlichen Wert von n gültig bleibt, und leitet dann noch den Differentialquotienten der Quadratwurzel aus einer rationalen Funktion ab. Es mag dahingestellt bleiben, ob es hier schon ratsam ist, auf höhere Wurzelexponenten einzugehen.

Mit demselben Rechte, mit dem man ausgedehnte Übungen im Rechnen mit Wurzeln vornehmen läßt, ohne daß die meisten der gebräuchlichen Aufgaben eine unmittelbare praktische Verwendung finden, wird man Übungen im Differenzieren vornehmen lassen dürfen, um für später gerüstet zu sein, wenn es sich, wie bei den größten und kleinsten Werten, um Anwendungen handelt. Bei der Besprechung der Grenzwerte wird man dann die Mac-Laurinsche und die Taylorsche Reihe ableiten, dabei sich aber — der Aufgabe der Schule entsprechend — auf die Betrachtung von Funktionen beschränken, für welche die Zulässigkeit der Reihenentwicklung von vornherein feststeht.

Sind die Additionstheoreme der Winkelfunktionen abgeleitet, so bietet die Herleitung der Differentialquotienten der Winkelfunktionen und auch der Kreisfunktionen keine Schwierigkeit mehr, vorausgesetzt, daß man nicht verabsäumt

hat, den Satz zu beweisen, daß bei stetigen Funktionen der Quotient 0 = 1:^

ist. Da nach dem Beweise des binomischen Lehrsatzes für positive ganzzahlige Exponenten die Einführung der Zahl e und ihre Berechnung möglich ist, so lassen sich die Differentialquotienten der Exponentialfunktionen und der loga-rithmischen Funktionen bilden. Mit diesen aber ist der Kreis der Funktionen geschlossen, die in der Schule behandelt werden.

Auf dem hier nur kurz skizzierten Wege gelangt man zur Bildung der Differentialquotienten aller Funktionen, die man dem Gebiete der elementaren Mathematik zuweisen kann, ohne daß man genötigt gewesen wäre, den allgemeinen binomischen Lehrsatz zu benutzen. Man hat daher eine zuverlässige Grundlage gewonnen, nicht nur um diesen Satz zu beweisen, sondern auch, um die unendlichen Reihen zu entwickeln, deren Herleitung durch mühsame Grenzbetrachtungen auf ihn gestützt werden muß, wenn man die Reihen von Taylor und Mac-Laurin nicht kennt.

Zur Einführung in die Integralrechnung bietet der gebräuchliche Lehrstoff der Schule weniger Veranlassung; für die Fälle, in dem hier Integrale verwandt werden können, kennt man einfachere Lösungswege. Gleichwohl wird man nicht darauf verzichten mögen, um dem Schüler nicht ein Rüstzeug vorzuenthalten, dessen er bei seinen Studien vielfach bedürfen wird.

Vers. würde es mit Freuden begrüßen, wenn die hier vorgeschlagene allmähliche Einführung in die Infinitesimalrechnung von Freunden des Buches praktisch erprobt würde, und bittet, ihm das Ergebnis der Versuche gütigst mitteilen zu wollen. Von dem Ausfall dieser Versuche möchte er es abhängen lassen, ob in der nächsten Auflage des Buches die Verschmelzung des Gebietes mit dem üblichen Lehrstoff vorgenommen werden soll.

In Anhang III ist ein Überblick der Geschichte der Schulmathematik hinzugefügt worden. Die Darbietung schließt sich eng an die Geschichte der Elementar-Mathematik von I. Tropfke an (Leipzig, Veit & Co.). Für die entlegeneren Gebiete, die nicht berücksichtigt werden konnten, sei hiermit aus dies Werk hingewiesen.

Vers. wiederholt auch diesmal seine Bitte um freundliche Mitteilung von Verbesserungsvorschlägen und verspricht, daß wie bisher jeder Vorschlag herzlich willkommen geheißen und bei Neuauflagen tunlichst berücksichtigt werden soll.

Charlottenburg, im März 1910.

Keim. Müller.

Inhaltsübersicht.

Abschnitt I. Abschluß der Planimetrie.

Seite

10

Kapitel 1. Harmonische Punkte und harmonische Strahlen.

Nr. 1. Harmonische Punkte........................

-    2.    Harmonische Strahlen.......................

-    3. Übungen zu Nr. 1 und Nr. 2...................

-    4.    Das vollständige Vierseit.....................

Kapitel 2. Die Sätze von Menelaus, Ceva und Pascal. (Transversalen.)

Nr. 5. Abschnitte auf Dreiecksseiten....................

-    6. Anwendung der Sätze des Menelaus und des Ceva..........

Kapitel 3. Potenz und Potenzlinien.

Nr. 7. Potenzlinien (Chordalen) ....

-    8. Der Potenzmittelpunkt dreier Kreise

12

14

Kapitel 4. Pol und Polare. Ähnlichkeitsachsen.

Nr. 9. Sätze über Pol und Polare...........

-    10. Anwendungen. Satz des Brianchon........

-    11. Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen bei Vielecken

-    12. Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen bet Kreisen.

15

17

19

22

Abschnitt II. Algebra.

Erster Teil.

Kapitel i. Potenzen und Wurzeln.

Nr.    1.    Potenzen mit    ganzen positiven Exponenten.....

-    2.    Potenzen mit    ganzen negativen Exponenten ....

-    3. Potenzen mit gebrochenen Exponenten.......

-    4.    Wurzeln...................

-    5. Irrationale Zahlen...............

A.    Berechnung der Quadratwurzel........

B.    Berechnung der Kubikwurzel.........

-    6. Vereinfachung von Wurzelausdrücken.......

Kapitel 2. Logarithmen.

Nr.    7.    Transzendente    Funktionen. Logarithmensysteme.    .    .

-    8.    Elementare Berechnung dekadischer Logarithmen    .    .    .

26

27

27

28

29

30

30

31

32

34

Kapitel 3. Imaginäre und komplexe Zahlen.

Nr. 9. Imaginäre Zahlen..............'..........

-    10. Komplexe Zahlen. Sätze von Moivre. Binomische Gleichungen.....

-    11. Geometrische Darstellung komplexer Zahlen............. •

Anhang. Wiederholender Aufbau des arithmetischen Lehrganges. Veranschaulichung

der Rechnungsarten. Erweiterungen des Zahlbegriffs........

35

36

41

Kapitel 4. Gleichungen zweiten Grades.

Nr. 12. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten............

-    13. Gleichungen 4ten Grades, welche auf quadratische Gleichungen zurückgeführt

werden können. Reziproke Gleichungen................

-    14. Gleichungen mit mehreren Unbekannten...............

-    15. Zulässigkeit der Wurzelpaare bei Gleichungen 2ten Grades mit 2 Unbekannten

Seite

45

49

51

Kapitel 5. Die arithmetischen und geometrischen Reihen.

Nr. 16. Die arithmetischen Reihen (erster Ordnung).........

-    17. Arithmetische Reihen höherer Ordnung............

-    18. Geometrische Reihen...................

-    19. Zusammengesetzte Reihen.................

-    20. Zinseszins-Rechnung...................

-    21. Renten und Anleihen...................

54

57

63

64

65

68

Abschnitt III. Algebra.

Zweiter Teil.

Kapitel 6. Lehre von den Gleichungen.

Nr. 22.

Begriff der Gleichung........................

Anzahl der Wurzeln von Gleichungen nten Grades mit einer Unbekannten .

Komplexe (imaginäre) Wurzeln............

Wurzeln und Koeffizienten..............

Anwendungen...................

Auflösbarkeit der Gleichungen mit einer Unbekannten . .

Wurzeln von Gleichungen mit mehreren Unbekannten . .

Auflösbarkeit der Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

Unvollständige Gleichungssysteme (diophantische Gleichungen)

Die Gleichung 3ten Grades............

Auflösung der numerischen Gleichungen durch Näherung Größte und kleinste Werte. (Maxima und Minima). .

71

72

73

74

75

77

77

78

80

. 85 . 90

96

Kapitel 7. Kombinationslehre.

Nr. 34.

Erklärungen..............

Permutationen..............

Kombinationen.............

Variationen...............

Anfangsgründe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

101

102

105

106

107

SS " " "

Kapitel 8. Der binomische Lehrsatz.

Ableitung des binomischen Lehrsatzes für positive ganzzahlige Exponenten .    112

Eigenschaften der Binomialkoeffizienten . . .........

Entwicklung von sin n cp und cos n cp...........

Konvergente und divergente Reihen...........

Der binomische Lehrsatz für negative und gebrochene Exponenten

Die Exponentialreihe...................

Die logarithmische Reihe...............

Die Reihen für Sinus und Kosinus und die Zahl %.....

Abschluß der Erweiterungen des Zahlengebietes.......

113

113

114

117

121

123

124

Abschnitt IY. Trigonometrie.

Kapitel 1. Goniometrie.

Nr. 1. Erklärung der Funktionen Sinus und Kosinus.............

-    2.    Darstellung und Verlauf der beiden Funktionen............

-    3.    Berechnung für einige besondere Werte von cp.............

-    4. Die Funktionen Tangens und Kotangens...............

-    5. Zusammenstellung der Formeln...................

-    6.    Additionstheoreme. Addition und Subtraktion zweier Argumente    .    .    .    .

-    7.    Multiplikation, Addition und Subtraktion zweier Funktionen......

-    8.    Addition und Subtraktion von drei Funktionen, deren Argumente die Winkel

eines Dreiecks sind........................

-    9. Gleichungen zwischen Winkelfunktionen................

-    10. Umgestaltung algebraischer Ausdrücke.................

Seite

129

131

133

134

136

137

139

140

141

143

Kapitel 2. Berechnungen beim Dreieck und Viereck.

Nr. 11. Erste Sätze über Seiten und Winkel...........

-    12. Anwendung des Sinus-Satzes........... . . .

-    13. Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes........

-    14. Der Tangential-Satz und die Mollweideschen Gleichungen . .

-    15. Die Halbmesser q, q».    und r...........

-    16. Ausgaben zu Nr. 11 bis Nr. 15.............

-    17. Berechnung von Vierecken...............

149

151

152

155

161

Abschnitt V Zweiter Teil der Stereometrie.

Kapitel i. Ebenen und Geraden.

Grundformen räumlicher Gebilde . .

Drehungsflächen..........

Eigenschaften der Ebene......

Zwei und mehrere Geraden.....

Gerade und Ebene........

Zwei Ebenen...........

Zusammenfassung von Nr. 1 bis Nr. 6 Übungen zu Kapitel 1.......

166

166

167

168

170

174

176

178

Kapitel 2. Die körperliche Ecke.

Nr. 9. - 10.

Körperliche Ecken. Reziproke Ecken. . . Seiten und Winkel einer dreiseitigen Ecke

180

181

Nr. 11. - 12.

-    13.

-    14.

Kapitel 3. Trigonometrie der dreiseitigen Ecke.

Die rechtwinklige dreiseitige Ecke.............

Die rechtseitige dreiseitige Ecke..............

Die allgemeine dreiseitige Ecke.............

Anwendungen.....................

183

185

185

188

Nr. 15 - 16.

Kapitel 4. Die regelmäßigen Vielflache (Polyeder).

Sätze über ein beliebiges Vielflach............

Die regelmäßigen Vielflache...............

194

Kapitel 5. Oberfläche und Rauminhalt der Vielflache.

Nr. 17. Vergleichung der Inhalte prismatischer Körper Das Cavalierische Prinzip 197

-    18. Inhalt und Oberfläche von Prismen und Pyramiden, Zylindern und Kegeln 201

-    19. Inhalt und Oberfläche von abgestumpften Prismen, Pyramiden und Kegeln 203

-    20. Berechnung der regelmäßigen Vielflache....

Kapitel 6. Die Kugel.

Seite

206

Nr. 21. Kreise auf der Kugel........................

-    22. Zweieck und Dreieck auf der Kugel..................

-    23. Kappe, Zone und Kugelfläche....................

-    24. Inhalt der Kugel, des Ausschnitts, des Abschnitts und der Schicht . . . .

-    25. Projektionen einer Kugelfläche....................

212

215

216

218

220

Kapitel 7. Die Guldinschen Regeln. Schwerpunkts-Bestimmung.

Nr. 26. Die Guldinschen Regeln...................

- 27. Schwerpunkts - Bestimmungen.................'

225

227

Anhang I.

Kapital-, Lebens- und Rentenversicherung nach der Berechnungsweise der Versicherungsgesellschaften ...........................

230

Anhang II.

Einführung in die Differential- und Integralrechnung.

Zu- und Abnahme einer Funktion. Einführung des Differentialquotienten 239

Allgemeine Sätze über Differentialquotienten......

Differentialquotienten algebraischer Funktionen....

Differentialquotienten einiger transzendenten Funktionen Die Mac-Laurinsche und die Taylorsche Reihe....

Größte und kleinste Werte............

Wendepunkte der Kurve j = f (x) ..........

Bestimmung des wahren Wertes unbestimmter Ausdrücke Begriff des Integrals. Sätze über Integrale .....

Methoden der Integralrechnung...........

Anwendungen aus der Geometrie..........

- 12. Anwendungen aus der Physik............

Nr.

I (N cö T|i »O «O I> cd oi o H

242

244

246

250

253

254

255

256

258

261

268

Anhang III.

Überblick über die Geschichte der Schulmathematik.

Die Entwicklung der Geometrie...............

Erklärungen der Geraden, des Winkels und der Parallelen . . .

Dreieck, Viereck und Kreis .................

Flächenberechnung und Flächenvergleichung..........

Zur Lehre von der Ähnlichkeit................

Über die regelmäßigen Vielecke................

Über die Kreisberechnung..................

Die Entwicklung der Stereometrie..............

Über die Koordinaten-Geometrie...............

Trigonometrie.......................

Zur Entwicklung der algebraischen Ausdrucksweise.......

-    12. Von der Entwicklung der Gleichungslehre...........

-    13. Über Maxima und Minima.................

-    14. Die niederen Reihen....................

-    15. Die Logarithmen.....................

-    16. Alphabetische Zusammenstellung...............

Nr.

CO 00 ^ Ci Ox 03 DO H-

271

273

274

277

278

279

281

282

284

. 286

291

293

298

.    299

302

Abschnitt I.

Abschluß der Planimetrie.

Kapitel 1.

Harmonische Punkte und harmonische Strahlen.

Nr. 1. Harmonische Punkte.

a)    Erklärung. Eine Strecke heißt harmonisch geteilt, wenn sie innen und außen nach demselben Verhältnis geteilt ist. Die beiden Endpunkte der Strecke sowie die beiden Teilungspunkte heißen einander zugeordnet.

B'

r]

Zur Herstellung von 4 harmonischen Punkten beschreibt man um A mit der Strecke p und um B mit der Strecke q Kreise und verbindet die Endpunkte paralleler Radien von gleicher, bzw. entgegengesetzter Richtung. Die Lage der Radien bleibt ohne Einfluß auf die Lage der Teilungspunkte.

Fig. 1.

Folgerung 1. Durch 3 auf einer Geraden liegende Punkte ist der 4te, einem von diesen zugeordnete harmonische Punkt bestimmt.

Folgerung 2. Halbiert ein Punkt eine Strecke, so liegt der ihm zugeordnete harmonische Punkt im Unendlichen.

b)    Teilen C und D die Strecke AB harmonisch, so ist

AC:BC = AD:BD

und nach Vertauschung der Jnnenglieder auch

CA : DA = CB: DB,    d. .

Lehrsatz 1. Teilen die Punkte C und D die Strecke AB harmonisch, so wird auch die Strecke CD durch A und B harmonisch geteilt.

Müller. Mathematik. TI. B — 4. Aufl.

c)    Ersetzt man AC durch DA - DO und BC durch DO — DB, so er-(DA - DO) DB = (DO - DB) DA

hält man:

oder

2DA • DB = DA • DC + DB • DO, und hieraus nach Division durch DA • DB • DC:

JL = — (— -|__LA.

DC 2 \DA ^ DB)

Entsprechend ergibt sich:

— — L12L j—LA.

AB 2 \A C ' AD/

Wird nun eine Größe als das harmonische Mittel zweier anderen bezeichnet, wenn ihr reziproker Wert das arithmetische Mittel aus den reziproken Werten der beiden anderen ist, so folgt hieraus:

Lehrsatz 2. Eine harmonisch geteilte Strecke ist das harmonische Mittel zu den Entfernungen ihrer Teilungspunkte von ihrem Anfangspunkte.

d)    Ist AC : AD = 2:3, so ergibt sich: AB : AD = 4:5. Sind daher AB, AC und AD die Längen gleichgespannter Saiten, und liefert AD den Grundton, so liefern AB die große Terz und AC die Quinte, alle drei zusammen also den harmonischen Grundakkord. Daraus rechtfertigt sich die Bezeichnung harmonische Teilung.

e) Drückt man ferner die Strecken durch Benutzung des Mittelpunktes M von CD aus, so folgt:

(MA - MC) (MB + MC) = (MC - MB) (MA + MC),

und hieraus:

M'

bj

MC² = MA - MB.

o—

j. Ebenso ergibt sich für die Mitte M' von AB: M'A² = M'C • M'D, d. h.:

Lehrsatz 3. Die Hälfte der Strecke zwischen den Teilungspunkten einer harmonisch geteilten Strecke ist die mittlere Proportionale zu den Entfernungen ihres Mittelpunktes von den Endpunkten der geteilten Strecke.

Nr. 2. Harmonische Strahlen,

a) Verbindet man 4 harmonische Punkte A, B, C und D mit einem Punkte 8 außerhalb ihrer Geraden, so entstehen 4 harmonische Strahlen oder ein harmonisches Strahlenbüschel. Entsprechend wie bei den Punkten heißen von den 4 Strahlen je 2 einander zugeordnet, wenn sie durch einen der beiden anderen getrennt sind.

Überträgt man das Verhältnis AD: BD auf den Strahl SD, indem man durch B die Parallele BF zu SA zieht, so wird damit zugleich das Verhältnis AC: BC durch SA: BF ersetzbar. Man hat dann:

und

AC:BC = SA:BF AD:BD= SA : BE,

und somit BE = BF. Da jede Parallele zu EF in demselben Verhältnis geteilt wird, so folgt:

C/ B,

i¹/

Lehrsatz 4. Zieht man zu einem von 4 harmonischen Strahlen eine Parallele, so teilt der zugeordnete Strahl den zwischen den beiden anderen liegenden Ab- ^ schnitt der Parallelen in zwei z' gleiche Teile.

Fig.2.

Durch Benutzung dieses Satzes läßt sich leicht beweisen:

Lehrsatz 5. Ein harmonisches Strahlenbüschel wird durch eine beliebige Gerade in 4 harmonischen Punkten geschnitten.

Der Lehrsatz 4 läßt sich umkehren und die Umkehrung lautet:

Lehrsatz 6, Wird eine Parallele zu einem von 4 Strahlen eines Strahlenbüschels durch den nicht-benachbarten Strahl so geschnitten, daß ihr Abschnitt zwischen den beiden anderen Strahlen halbiert ist, so sind die 4 Strahlen harmonische Strahlen.

b) In Lehrs. 4 gelangt das charakteristische Merkmal eines harmonischen Strahlenbüschels zum Ausdruck. Seine Umkehrung (Lehrs. 6) wird daher die Grundlage für die Herleitung weiterer Eigenschaften harmonischer Strahlenbüschel bilden-

-3-1)

1) Wird zunächst angenommen, daß die (dem Strahle SD parallele) Gerade AB auf SC senkrecht steht, daß also SC das Mittellot der Dreiecksseite AB ist, so halbiert SC den Winkel ASB. Hieraus folgt:

senkrecht, so halbieren sie die A Winkel der beiden anderen.    •

2)    Wird umgekehrt angenommen, daß SC den Winkel ASB halbiert, so steht SC auf AB senkrecht, und da AB parallel SD ist, so steht SC auch auf SD senkrecht. Somit folgt:

Lehrsatz 8, Wird bei 4 harmonischen Strahlen der Winkel zweier zugeordneten Strahlen durch einen der beiden anderen halbiert, so stehen diese aufeinander senkrecht.

3)    Jeder der beiden Lehrsätze 7 und 8 kann umgekehrt werden. Ist SC die Halbierungslinie des Winkels ASB, und steht SD auf SC senkrecht, so steht auch die Parallele AB zu SD auf SC senkrecht. Es ergibt sich daun leicht, daß die Strecke AB in C halbiert ist. Nach Lehrs. 6 hat man daher den Satz:

Lehrsatz 9. Stehen 2 von 4 Strahlen eines Strahlenbüschels aufeinander senkrecht und halbieren sie den Winkel der beiden anderen, so sind die 4 Strahlen harmonische Strahlen.

Lehrsatz 7. Stehen bei 4 harmonischen Strahlen zwei zugeordnete aufeinander

Fig. 3.

In zahlreichen Fällen, in denen über das Verhältnis der durch 4 Punkte einer Geraden begrenzten Strecken nichts bekannt ist, läßt sich der Nachweis, daß die 4 Punkte harmonische Punkte sind, nur durch Benutzung der Lehrsätze 9 und 5 führen.

c) Stehen zwei Strahlen SC und SD aufeinander senkrecht, so liegt 8 auf dem Halbkreise über CD, und daraus folgt:

Lehrsatz 10, Der Ausgangspunkt von 4 harmonischen Strahlen, von denen zwei zugeordnete aufeinander senkrecht stehen, liegt stets auf dem Halbkreis über den Punkten, in welchen diese Strahlen eine das Büschel schneidende Gerade treffen.

Nun stehen die Halbierungslinien eines Dreieckswinkels und seines Nebenwinkels aufeinander senkrecht und teilen die gegenüberliegende Seite harmonisch, weil sie diese innen und außen nach dem Verhältnis der beiden den Winkel

C\

\D

Fig. 4.

einschließenden Seiten teilen (f. Unterstufe, Lehrs.72);der Scheitel des Winkels liegt also auf dem Kreise, der die Strecke zwischen den beiden Teilungspunkten zum Durchmesser hat. Ferner weiß man, daß ein Punkt, dessen Entfernungen von den Endpunkten der Seite AB sich wie die Seiten 8 A und SB verhalten, auf der Halbierungslinie des Winkels ASB ((. Unterstufe, Lehrs. 73) und somit (s. Lehrs. 8) auf dem Halbkreis über CD liegt. Hieraus ergibt sich der Satz:

Lehrsatz 11. Teilt man eine Strecke AB durch C und D harmonisch in dem Verhältnis p: q, so ist der Kreis mit dem Durchmesser CD der geometrische Ort eines Punktes, dessen Entfernungen von A und B das Verhältnis p: q besitzen. (Apollonischer Kreis.)

Nr, 3. Übungen $u Nr. 1 und 2,

a) Die Sätze zu beweisen:

Satz 1. Die Halbierungslinien eines Dreieckswinkels und seines Nebenwinkels teilen die gegenüberliegende Seite harmonisch.

Satz 2. Jede Winkelhalbierungslinie eines Dreiecks wird durch die Mittelpunkte des inneren und des zugehörigen äußeren Berührungskreises harmonisch geteilt.

Satz 3. Der Fußpunkt der zugehörigen Höhe, der Endpunkt der Winkelhalbierungslinie und die Berührungspunkte des inneren und des zugehörigen äußeren Berührungskreises bilden auf jeder Dreiecksseite 4 harmonische Punkte.

Satz 4. Steht in einem Kreise eine Sehne senkrecht auf einem Durchmesser, so teilen die Verbindungslinien ihrer Endpunkte mit einem beliebigen Punkte des Kreises den Durchmesser harmonisch.

Satz 5. Steht in einem Kreise eine Sehne senkrecht auf einem Durchmesser, so teilen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks über dem Durchmesser die Sehne harmonisch.

Satz 6. Der Ausgangspunkt zweier Tangenten und ihre Berührungssehne teilen den zugehörigen Durchmesser harmonisch.

Satz 7. Ist ein Durchmesser harmonisch geteilt, so liegt der innere TeilungsPunkt auf der Berührungssehne der durch den äußeren Teilungspunkt gehenden Tangenten.

Satz 8. Steht eine Sehne senkrecht auf einem Durchmesser und wird einer ihrer Endpunkte mit dem ihrem Fußpunkte zugeordneten harmonischen Punkte verbunden, so ist die Verbindungslinie eine Tangente.

Satz 9. Wird ein Kreis durch zwei Punkte gelegt, welche einen Durchmesser eines gegebenen Kreises harmonisch teilen, so stehen die Radien nach den Schnittpunkten der beiden Kreise aufeinander senkrecht.

Anl. z. Bew. Es läßt sich mit Benutzung des Sehnentangentenwinkels zeigen, daß der betr. Radius des ersten Kreises eine Tangente an den zweiten ist.

Satz 10. Schneiden sich zwei Kreise rechtwinklig, d. h. so, daß die Radien nach den Schnittpunkten aufeinander senkrecht stehen, so wird jeder Durchmesser des einen Kreises durch den anderen harmonisch geteilt.

Anl. z. Bew. Vgl. die Anl. z. Bew. bei Satz 9.

b) Die Zeichnung auszuführen:

Aufg. 1. Einen Punkt zu bestimmen, von dem aus

a)    zwei aneinanderstoßende Abschnitte,

b)    drei aneinanderstoßende Abschnitte einer Geraden unter gleichen Winkeln gesehen werden.

Aufg. 2. Einen Punkt zu bestimmen, dessen Entfernungen von den Ecken eines gegebenen Dreiecks sich verhalten wie

b) 1:2:3.

Aufg. 3. Einen Kreis zu zeichnen, der zwei Seiten eines gegebenen Dreiecks berührt und dessen Mittelpunkt von den Endpunkten der dritten Seite Abstände besitzt, die im Verhältnis p : q (3:4) stehen.

Aufg. 4. Auf einem Durchmesser eines Kreises liegen zwei durch den Mittelpunkt getrennte Punkte A und B. Es sollen durch A und B zwei gleiche, sich auf dem Kreise schneidende Sehnen gezogen werden.

c) p:q:r.

a) 1:1:2.

Aufl. Der zu dem Schnittpunkt gehörige Durchmesser halbiert den Winkel der gesuchten Sehnen.

Aufg. 5. Einen Punkt zu bestimmen, von dem aus zwei gegebene Kreise unter gleichen Winkeln gesehen werden.

Aufl. Die Herstellung der Tangenten führt auf ähnliche Dreiecke und dann zu der Erkenntnis, daß die Mittelpunktslinie nach dem Verhältnis der Halbmesser harmonisch zu teilen ist.

Aufg. 6. Ein Dreieck zu zeichnen aus a, b : c = p: q und

c) ma.

b) K

Aufg. 7. Ein Dreieck zu zeichnen aus a, hb : hc=p: q und

a) «.

d) w«-

e) <£ a, ma.

b) V

c) ma.

d) wa.

a) a.

Aufg. 8. Ein Dreieck zu zeichnen aus a, b:c = p:q und

c) b: wa oder c: wa = r: s.

a) <£ha, ma-

b) <£ma, wÄ.

Aufg. 9. Ein Dreieck zu zeichnen aus der Winkelhalbierungslinie wa und den Abschnitten u und v, in welche diese die gegenüberliegende Seite teilt.

Aufg. 10. Ein Dreieck zu zeichnen aus der Seite a und den Abständen r und s der Winkelhalbierungslinie wa von den Ecken B und C. Welcher Einschränkung unterliegen die Strecken r und s?

Aufg. 11. Ein Dreieck zu zeichnen aus arb = prq, ma und <£ b, ma.

Aufg. 12.    Ein    Dreieck    zu    zeichnen    aus    a,    mb:mc = p:q und <£ mb,    mc.

Aufg. 13.    Ein    Dreieck    zu    zeichnen    aus    ma, mb und a;b = p:q.

Aufg. 14.    Ein    Dreieck    zu    zeichnen    aus    b,    c und pba:pca = r:s.¹)

Aufg. 15.    Ein    Dreieck    zu    zeichnen    aus    a,    b:c = p:q und mb:mc = r:s.

Aufl. Verlängert man a nach beiden Seiten hin um sich selbst, so erhält man die erforderlichen Beziehungen.

b) a, b und e: f=r: s. d) a : b = p : q, e und ha.

Aufg. 16. Ein Parallelogramm zu zeichnen aus a) a : b = p : q, e und f.

c) a:b = p:q, e und <£ e, f.

b) e und a: f=r: s.

Aufg. 17. Einen Rhombus zu zeichnen aus a) a und e : f = r: s.

Aufg. 18. Ein Trapez zu zeichnen aus a) den Grundlinien a und c, ihrem Abstand h und dem Verhältnis der Diagonale AG (e) zu dem Schenkel BC (b).

b) a — c, h, 6 und b: d.

d) 6, <£ A — <£ B = d, h und erd.

c) e, <£B, a : b und c: d. e) a, erb und q (Tangenten - Trapez!).

b) r, a: b, <£ B und c : d. d) r, a² + b¹², e und c : d.

Aufg. 19. Ein Sehnenviereck zu zeichnen aus a) r, a: b, <£ B und f (BD).

c) r, a • b, <£ B und c: d.

b) r, <£ A, <£B und b: e.

Aufg. 20. Ein Tangentenviereck zu zeichnen aus a) r, a, <£ A -f <£ B = <j und d: f.

Aufg. 21. Ein Viereck zu zeichnen aus

a)    a : b (AB: BC), <£ B, e (AC•, t' und <£ e, f.

b)    a, c, e: f, <£ B und <£ C.

e) a; b, erd, e, <£ B und <£ D.

d)    a r b, erd, e, f und <£ b, e — <£ a, e = <J.

e)    a²-f- b², <£ B, <£ D, e und c r d.

Nr. 4. Das vollständige Virrseik.

Erklärung. Vier sich gegenseitig schneidende Geraden schneiden sich in 6 Punkten und bilden ein vollständiges Vicrseit, dessen Ecken die 6 Schnittpunkte sind. Die Verbindungslinien der Ecken, welche nicht auf derselben Geraden liegen, heißen Diagonalen des Vierseits.

Bei einem vollständigen Vierseit, das zu einem Viereck ABCD gehört, sei zu den Seiten AB und CD und der Diagonale EF der EF zugeordnete Strahl hergestellt und sein Schnittpunkt mit der Dia-zonale AC durch G bezeichnet. Es sind dann A,

jr

Dy

G, C und H 4 harmonische Punkte, und somit trifft der FE zugeordnete Strahl FJ des harmonischen Strahlenbüschels FE, FB,

FJ und FA den Strahl EG auf der Diagonale AC. ^

Fig. 5.

Aber auch die Diagonale BD schneidet die beiden Strahlenbüschel, und daher treffen sich die FE zugeordneten Strahlen EG und FJ auch auf der Diagonale BD, d. h. G ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Je zwei der Schnittpunkte G, H und K der drei Diagonalen teilen also die Diagonale, auf der sie liegen, harmonisch, und daraus folgt:

Lrhrssh 12. In einem vollständigen Vierseit wird jede Diagonale durch die beiden anderen harmonisch geteilt.

Zusatz. Zwei Diagonalen und die Verbindungslinien ihres Schnittpunktes mit den Endpunkten der dritien teilen die 4 Seiten des Vierecks harmonisch.

Bei einem Trapez ist die dritte Diagonale den Grundlinien parallel und demnach werden diese durch die Verbindungslinie der Schnittpunkte der Diagonalen und der Schenkel halbiert (Lehr,. 4). Hieraus ergibt sich:

Folgerung.

bilden mit den Schnittpunkten seiner Diagonalen und Schenkel 4 harmonische Punkte.

Die Mitten der Grundlinien eines Trapezes

Übungen.

a) Die Sätze zu beweisen:

Satz I. Jede Dreiecksseite wird durch die zugehörige Höhe und die Verbindungslinie der Fußpunkte der beiden anderen Höhen harmonisch geteilt.

Satz 2. Gehen von einem Punkte zwei Gruppen harmonischer Punkte aus, so schneiden sich die Verbindungslinien der gleichnamigen Punkte in einem Punkte.

Satz 3. Gehen von einem Punkte zwei Gruppen harmonischer Punkte ans, so schneiden sich die Verbindungslinien der zweiten mit den vierten und die Verbindungslinie der dritten Punkte in einem Punkte.

Satz 4. Haben zwei Gruppen harmonischer Strahlen einen gleichnamigen Strahl gemein, so schneiden sich die übrigen gleichnamigen Strahlen auf einer Geraden.

fo) Mit alleiniger Benutzung des Lineals die Zeichnung auszuführen:

Aufg. 1. Zn drei auf einer Geraden liegenden Punkten A, B und C den 4ten harmonischen Punkt, der dem mittleren von ihnen zugeordnet ist, zu bestimmen.

Aufg. 2. Zu drei von einem Punkte ausgehenden Strahlen den 4ten harmonischen Strahl, der dem ersten von ihnen zugeordnet ist, zu bestimmen.

Aufg. 3. Auf der gezeichneten Halbierungslinie eines gegebenen Winkels in dessen Scheitel das Lot zu errichten.

Aufg. 4. Durch einen gegebenen Punkt eine Gerade nach dem Schnittpunkt zweier gegebenen Geraden zu ziehen, die nicht bis zu ihrem Schnittpunkt verlängert werden können.

Aufg. 5. Einen Punkt zu bestimmen, der mit zwei gegebenen Punkten A und B auf einer Geraden liegt, ohne diese herzustellen.

Aufg. 6. Den Schnittpunkt einer gegebenen Geraden mit der durch zwei gegebene Punkte A und B bestimmten Geraden zu zeichnen, ohne die Gerade AB herzustellen.

Aufl. zu 1 — 6. Der Lehrsatz 12 kommt zur Verwendung.

c) Mit alleiniger Benutzung des Lineals die Zeichnung auszuführen:

Aufg. 7. Eine gegebene Strecke zu halbieren, welche auf einer von zwei gegebenen Parallelen liegt.

Aufg. 8. Durch einen gegebenen Punkt die Parallele zu einer gegebenen Strecke, deren Mittelpunkt bekannt ist, zu ziehen.

Aufg. 9. Durch einen gegebenen Punkt die Parallele zu zwei gegebenen Parallelen

zu ziehen.

Aufg. 10. Eine gegebene Strecke, welche auf einer von zwei gegebenen Parallelen liegt,

1.    zu verdoppeln,

2.    zu vervierfachen,

3.    zu verdreifachen.

Aufg. 11. Eine durch zwei Gegenseiten eines Parallelogramms begrenzte Strecke durch eine Gerade zu halbieren, welche durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht. (7!)

Aufg. 12. Durch den Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms die Parallele zu einer gegebenen Geraden zu ziehen. (7 u. 8!)

Aufg. 13. Durch einen gegebenen Punkt die Parallele zu einer gegebenen Geraden, welche einen gegebenen Kreis mit dem bekannten Mittelpunkt M schneidet, zu ziehen. (7 u. 8!)

Aufg. 14. Zu einem gegebenen Durchmesser eines gegebenen Kreises mit bekanntem Mittelpunkt den senkrechten Durchmesser zu zeichnen. (8!)

Ausl. §u 7-44. Die Folgerung zu Lehrs. 12 kommt zur Verwendung.

Kapitel 2.

Die Sätze von Menelaus, Ceva und Pascal. (Transversalen.)

Nr. 5. Abschnitte auf Dreiecksseiten.

a) Eine Gerade DE, welche die drei Seiten eines Dreiecks schneidet, ohne durch eine Ecke zu gehen, teilt jede der Seiten in zwei Teilstrecken. Um eine Beziehung zwischen diesen Teilstrecken zu erhalten, zieht man BG parallel zu AC.

Es ist dann

JDj

FB : PC = BG : EC DA: DB = EA: BG

also

F\C

DA • FB : DB • FC = E A : EC.

Hieraus aber folgt:

DA - FB - EG = DB • FC • EA, d. h.

Mg. 6.

Lehrsatz 13. (Satz des Menelaus.)

Eine Gerade, welche die drei Seiten eines Dreiecks schneidet, teilt sie (innen oder außen) so, daß die Produkte aus je drei nicht aneinander stoßenden Teilstrecken²) gleich sind.

Von den drei Teilungspunkten liegen entweder alle oder nur einer auf den Verlängerungen der Seiten.

Der Satz des Menelaus kann umgekehrt werden.

Lehrsatz 14. Sind die Seiten eines Dreiecks so geteilt, daß die Produkte aus je drei nicht aneinander stoßenden Teilstrecken gleich sind, und liegen die Teilungspunkte entweder alle oder nur einer auf den Verlängerungen der Seiten, so liegen die drei Punkte in einer Geraden.

Der Beweis ist indirekt zu führen und auf den Satz zu stützen, daß eine Strecke nur durch einen Punkt innen oder außen nach einem gegebenen Verhältnis geteilt werden kann.

b) Wird die Teilung der Dreiecksseiten durch die Ecklinien AF, BE und CD vollzogen, und gehen diese durch einen Punkt 0, der innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegt, so kann der Satz des Menelaus wiederholt angewandt werden. Zunächst schneidet A0 die Seiten des Dreiecks BCE, und daher ist

AE.FC.OB-AC-FB.OE.

Um die Strecken OB, AC und OE zu entfernen, benutzt man das Dreieck ABE, dessen Seiten durch CO geschnitten werden. Man hat dann

2.

OE•CA•DB = OB • DA • EC

JDj

und erhält durch Multiplikation aus 1 und 2 DB • EA • FC -DA-EC-FB,

JE

Mg.'

Lehrsatz 15. (Satz des Crva.) Drei durch einen Punkt gehende Ecklinien eines 'C Dreiecks teilen die Dreiecksseiten so, daß die Produkte aus je drei nicht aneinander stoßenden Teilstrecken gleich sind.

Die Teilungspunkte liegen entweder alle oder nur einer zwischen den Ecken des Dreiecks.

Die Umkehrung des Cevaschen Satzes lautet:

Lehrsatz 16. Teilen drei Ecklinien die Seiten eines Dreiecks so, daß die Produkte aus je drei nicht aneinander stoßenden Teilstrecken gleich sind, und liegen die Teilungspunkte entweder alle oder nur einer zwischen den Ecken, so gehen die drei Ecklinien durch einen Punkt.

Beweis indirekt. Vgl. Lehrs. 14.

Der Lehrsatz 16 kann zum Beweise der Sätze über die besonderen Punkte im Dreieck benutzt werden.

Bei den Mittellinien sind die Teilstrecken die Hälften der Seiten; die Bedingung des Lehrs. 16 ist also erfüllt.

Bei den Winkelhalbierungslinien sind die Teilstrecken den anstoßenden Seiten proportional, und daraus ergibt sich ohne Mühe die Erfüllung der gestellten Bedingung. Ebenso verhält es sich bei den Halbierungslinien eines Winkels und der beiden nicht zugehörigen Außenwinkel.

Bei den Eckiinien nach den Berührungspunkten der Berührungskreise entstehen die Produkte (s — a) (s — b) (s — c), bzw. s (s — b) (s — c) usw.

Bei den Höhen lauten die Produkte

. -|/c³-hb².    - und yc² - ha². /r? -- ht?. /b* - hoä,

und auch diese erweisen sich als gleich, weil a . ha= b . hb = c . hc ist.

Nr. 6. Anwendung der Satze des Menrlaus und des Crva.

a) Verbindet man in der Figur zum Satz des Eeva die Punkte D und E und ist 8 der Schnittpunkt von DE und BO, so folgt aus dem Satz des Menelaus:

SBDAEC = SCEADB,

und aus dem Satz des Ceva:

DA EC • FB = DB • EA FC.

Durch Division erhält man also:

SB:FB = SC:FC, d. h.:

BC ist durch F und S harmonisch geteilt. In gleicher Weise läßt sich zeigen, daß AC durch E und DF sowie AB durch D und EF harmonisch geteilt wird, und damit ein zweiter Beweis für den Lehrs. 12 über das vollständige Vierseit herleiten.

h) Durch zwei Punkte Pt und P₂ auf den Dreiecksseiten AB und AC sei ein Kreis gelegt, der AB und AC noch in P„, bzw. P₃, und BC in P4 und P₅ schneidet. Trifft dann die Sehne P₁P₂ die Seite BC in R, so ist nach dem Satze des Menelaus:

1.    RB • PjA • P₂C = RCP₁BP₂A.

Ist ferner 8 der Schnittpunkt der Sehne P₅ P„ mit AC, so hat man:

2.    SC - PeA - P₅B = SA-PrB-P₅C.

Schneidet schließlich die Sehne P₈P₄ die Seite AB in T, so hat man auch

3.    TAP₃C.P₄B = TBP₃AP₄C.

Verbindet man die drei Gleichungen durch Multiplikation und beachtet, daß

AP₄ • AP,; =AP₂ • APS,

BP₄BP₅ = BP,BPsi, T CP₂ • CP₃ = CP₄ • CPS

ist, so fallen auf beiden Seiten 6 Faktoren weg und es bleibt TA RB S.C-TB RC-SA.

Dj

Fig 8.

B,

iss/?* c

Fig- 9.

Damit ist die Bedingung für die Umkehrung des Menelausschen Satzes erfüllt, und daraus folgt, daß R, 8 und T auf einer Geraden liegen. Nun ist P₁P₂P₃P₄P₅P₆ ein Sehnensechseck, und R, 8 und T sind die Schnittpunkte seiner Gegenseiten. Es besteht also der Satz:

Lehrsatz 17. (Satz des Pascal.) Die Gegenseiten eines Sehnensechsecks schneiden sich auf einer Geraden.

«) Dreht man die Gerade AB um A, bis die Punkte P₄ und P₆ zusammenfallen, so entsteht ein Sehnenfünfeck. An den Lagenbeziehungen ändert sich dabei nichts, weil die Tangente als Sekante mit unendlich kleiner Sehne gelten kann. Da in gleicher Weise jede der anderen Seiten des Sechsecks in eine Tangente sich überführen läßt, so ergibt sich:

Folgerung 1. Bei einem Sehnenfünfeck liegen die Schnittpunkte der lten Sehne mit der 4tc“, der 2ten mit der 5tcn und der 3ten mit der Tangente durch die gegenüberliegende Ecke in einer Geraden.

Zusatz. Jede Sehne kann als erste gelten.

Aufgabe. Mit ausschließlicher Benutzung des Lineals die Tangenten durch die Ecken eines Sehnenfünfecks zu ziehen.

ß) Geht außer P₄P₃ auch P₃P₄ in eine Tangente über, so stellen beide Tangenten Sekanten mit unendlich kleinen Sehnen dar. An den Lagenbeziehungen ändert sich dabei nichts. Daraus folgt:

Folgerung 2. Zwei gegenüberliegende Tangenten eines Tangentenvierecks und die Gegenseiten des Sehnenvierecks, dessen Ecken die 4 Berührungspunkte sind, schneiden sich auf einer Geraden.

y) In ganz entsprechender Weise ergibt sich:

Folgerung 3. Die Tangenten durch die Ecken eines Sehnendreiecks schneiden sich mit den gegenüberliegenden Seiten auf einer Geraden.

Kapitel 3.

Potenz und Potenzlinien.

Nr. 7. Potenrlinirn. (Chordalen.)

Nach dem Satze über zwei sich schneidende Sehnen ist die Größe des Rechtecks aus den Abschnitten einer Sehne nur von der Lage des Teilungspunktes abhängig.

Erklärung 1. Die Größe des Rechtecks aus den Teilstrecken einer Sehne heißt Potenz des Teilungspunktes für den Kreis.

Für jeden Punkt außerhalb des Kreises ist die Potenz gleich dem Quadrat der zu dem Punkte gehörigen Tangente. Liegt der Punkt innerhalb des Kreises, so ist seine Potenz das Quadrat aus der Hälfte der Sehne, die

auf dem zugehörigen Durchmesser senkrecht steht. Im letzten Falle haben die Abschnitte entgegengesetzte Richtung.

Folgerung 1. Die Potenz eines Punktes außerhalb des Kreises ist positiv, innerhalb des Kreises negativ und auf dem Kreise gleich Null.

Folgerung 2. Alle Punkte eines Kreises, der mit einem gegebenen Kreise den Mittelpunkt gemein hat, besitzen bezüglich dieses Kreises dieselbe Potenz.

Erklärung 2. Der Ort aller Punkte, die für zwei Kreise die gleiche Potenz besitzen, heißt Potenzlinie (Chordale) der beiden Kreise.

Die Potenz eines Punktes P für den Kreis Mv r, ist gleich PM,² — r,2 und für einen zweiten Kreis M₂, r₂ gleich PMäs-r/. Für jeden Punkt P der Potenzlinie der beiden Kreise ist daher PM,² — r,² = PM₂² — r₂². Steht nun PQ in Q senkrecht auf der Mittelpunktslinie M, M₂, so kann

und

PM,² durch PQ² f QM, PM₂² durch PQ²+ QM₂

,r*

P'

ersetzt werden. Es ist daher auch

QM,² — r,² = QM₂² — r₂²,

d. h. Q liegt ebenfalls auf der Potenzlinie.

Fig. 10.

P'Q²+ QM,²=P'M,² und P'Q²+QM₂²=P'M₂²

Ist ferner P' ein weiterer Punkt des Lotes PQ, so folgt aus

die Gleichheit P'M,²-r,²= P'M₂²-r₂², d. h. auch P' ist ein Punkt der Potenzlinie.

rr - r2 •

Ist dagegen P’ ein beliebiger Punkt der Potenzlinie und Q' der Fußpunkt des Lotes von P' auf M,M₂, so hat man auch P'M,² — r,2 ---- P'Mz²— r,², und wenn man auf beiden Seiten der Gleichung P'Q'² abzieht, so bleibt: Q'M,² — r,²= Q'M₂² —r₂2 Hieraus folgt: Q'M,²- Q'M Da aber auch QM,²— QM₂²= r,²— r₂² ist, so muß Q' mit Q zusammenfallen, d. h. P' muß auf dem Lote PQ liegen. Somit ergibt sich:

Trhrsah 18. Die Potenzlinie zweier Kreise ist eine Gerade und steht senkrecht auf der Mittelpunktslinie.

Folgerung 1. Die Potenzlinie zweier Kreise halbiert die gemeinschaftlichen Tangenten.

Folgerung 2. Die Potenzlinie zweier sich schneidenden Kreise ist die über die Endpunkte hinaus verlängerte gemeinschaftliche Sehne.

Folgerung 3. Die Potenzlinie zweier sich berührenden Kreise ist ihre gemeinschaftliche Tangente.

Nr. 8. Der PokenMikkelpunkk dreier Kreise.

Kommt zu den beiden Kreisen noch ein dritter Kreis M₃, r₃ hinzu, so bestimmt dieser mit jedem der ersten eine Potenzlinie. Liegt nun M₃ nicht auf MjM^ so schneiden sich zwei der Potenzlinien in einem Punkte 0, der für die drei Kreise die gleiche Potenz besitzt, und demnach geht auch die dritte Potenzlinie durch 0. Daraus folgt:

Lehrsatz 19. Liegen die Mittelpunkte dreier Kreise nicht auf einer Geraden, so schneiden sich ihre drei Potenzlinien in einem Punkte, dem Potenzmittelpunktc.

Zusatz 1. Liegen die drei Mittelpunkte auf einer Geraden, so sind die drei Potenzlinien parallel.

Zusatz 2. Schneidet jeder von drei Kreisen die beiden anderen, so treffen sich ihre gemeinschaftlichen Sehnen in einem Punkte.

Zusatz 3. Die Tangenten in den Berührungspunkten dreier sich gegenseitig berührenden Kreise gehen durch einen Punkt.

Aufgabe. Die Potenzlinie zweier Kreise, die sich nicht schneiden, zu zeichnen, ohne die Mittelpunktslinie zu benutzen.

Aufl. Durch einen dritten Kreis, der die gegebenen beiden Kreise schneidet, gelangt man zur Bestimmung eines Punktes der Potenzlinie.

Übungen.

a) Beweise die Sätze:

Satz 1. Die Potenzlinie zweier Punkte ist das Mittellot ihrer Verbindungslinie.

Entfernung

Satz 2. Die Potenzlinie eines Punktes P und eines Kreises M, r ist das in der PM² +r²

2PM

von M auf PN errichtete Lot.

Satz 3. Die Potenzlinie eines Punktes und einer Geraden ist die Gerade selbst.

Satz 4. Die Potenzlinie eines Kreises uud einer Geraden ist die Gerade selbst.

Satz 5. Die Potenzlinie für die Schenkel eines Winkels ist seine Halbierungslinie.

Satz 6. Die Potenzlinie zweier- Geraden setzt sich aus zwei aufeinander senkrechten Geraden zusammen

Satz 7. Der Potenzmittelpunkt dreier Punkte ist der Mittelpunkt des Kreises, der durch die drei Punkte geht.

Satz 8. Drei Geraden haben 4 Potenzmittelpunkte, die Mittelpunkte der 4 Berührungskreise.

Satz 9. Schneidet ein Kreis zwei andere Kreise rechtwinklig Satz 10 in Nr 3), so liegt sein Mittelpunkt auf ihrer Potenzlinie.

Satz 10. Die Mittelpunktslinie zweier Kreise, welche zwei andere Kreise rechtwinklig schneiden, ist die Potenzlinie derselben.

Satz 11. Alle Kreise, welche zwei sich nicht schneidende Kreise rechtwinklig schneiden, gehen durch dieselben Punkte der Mittelpunktslinie der beiden Kreise.

Satz 12. Die Mittelpunktslinie zweier Kreise, welche von zwei anderen Kreisen halbiert werden, ist deren Potenzlinie.

b) Führe die Zeichnung aus:

Aufg. 1. Eine Strecke AB harmonisch so zu teilen, daß ein auf der Verlängerung von AB liegender Punkt C von den Teilungspunkten gleichweit entfernt ist.

Aufg. 2. Eine Strecke AB durch eine Strecke von der Länge 1 harmonisch zu teilen.

Aufg. 3. Zu zwei Strahlen zwei harmonische Strahlen zu zeichnen, deren Winkel durch einen dritten gegebenen Strahl desselben Büschels halbiert wird.

Aufg. 4. Zu zwei Strahlen zwei harmonische Strahlen zu bestimmen, welche miteinander den Winkel cp bilden.

Aufg. 5. Auf einer Geraden liegen 4 Punkte A, B, C und D Die Strecken AB und CD durch dasselbe Punktepaar harmonisch zu teilen.

Aufg. 6. Durch einen Punkt 8 gehen 4 Geraden SA, SB, SC und SD. Es sollen zwei Strahlen bestimmt werden, welche sowohl mit SA und SB, als auch mit SC und SD 4 harmonische Strahlen bilden.

Kapitel 4.

Pol und Polare. Ähnlichkeitsachsen.

Nr. 9. Sähe über Pol und Polare.

a) Erklärung. Zwei Punkte, welche einen Durchmesser harmonisch teilen, werden Pole bezüglich des Kreises genannt. Das Lot auf dem Durchmesser in einem der Pole heißt Polare des anderen.

Zusah 1. Die Polare eines Punktes außerhalb des Kreises ist seine Berührungssehne.

Zusah 2. Jede Tangente ist die Polare ihres Berührungspunktes.

c'

Wird ein Punkt P des Kreises (J. Fig. li) mit zwei Polen 0 und D und mit den Endpunkten ihres Durchmessers AB verbunden, so halbiert PB den Winkel der Strahlen PC und PD. Es ist daher Bogen D Btz---BogenB8, und somit halbiert CD den Winkel QCS. (A tzCB ^ A SCBI) Da hiernach CP,

Fig. n.

Ctz, CR und CD 4 harmonische Strahlen sind, so folgt:

Lehrsatz 20. Jede Sekante durch einen Punkt außerhalb (oder innerhalb) eines Kreises wird durch die Polare des Punktes harmonisch geteilt.

Dieser Satz kann umgekehrt werden, und die Umkehrung lautet:

Lehrsatz 21. Ist eine Sehne harmonisch geteilt, so liegt jeder der Teilpunkte auf der Polare des anderen.

b) 0, und C₂ sowie Dt und D₂ seien zwei Paare von Polen. Es ist dann nach Nr. 1, Lehrs. 3:

C₁M.D₁M = r‘>==C_,MD₂M,

Lehrsatz 22. Zwei Paare von Polen auf verschiedenen Durchmessern sind die Ecken eines Sehnenvierecks.

Liegt (s. Fig. 12) Oz auf der Polare von Dv so ist «£; 0₂0₁D₁ = R, also auch <£: C₂D₂Dj = R, und somit DjD, die Polare von C₂. Daraus ergeben sich die Sätze:

Fig. 12.

Lehrsatz 23. Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so geht seine Polare durch den Pol dieser Geraden.

Lehrsatz 24. Geht eine Gerade durch einen Punkt, so liegt ihr Pol auf der Polare dieses Punktes.

c) Wird durch die Pole P und Q eines Durchmessers CD (s. Fig. is) ein Kreis gelegt und einer der Schnittpunkte der beiden Kreise (E) mit den vier

yP

Fig. 13

harmonischen Punkten verbunden, so bildet der Radius ME mit dem Strahle EQ einen Winkel MEQ, der gleich <£ MEC - QEC oder <£ MCE -<£QEC ist. ®a akr<£CED = R ist und somit nach Lehrs. 9 der Winkel PEQ halbiert wird, also QEC durch <)C PEC ersetzt werden kann, und MCE - PEC = £ P ist, so folgt:    MEQ = <£ P. Nun steht der

Winkel P auf dem Bogen EQ des zweiten Kreises, und demnach folgt aus der Gleichheit ■$; MEQ = <£; P, daß ME eine Tangente an den zweiten Kreis ist, also auf M'E senkrecht steht.

Sagt man daher, daß zwei Kreise sich rechtwinklig schneiden, wenn ihre nach den Schnittpunkten führenden Radien senkrecht aufeinander stehen, so ergibt sich hieraus der

Nr. 10. Anwendungen Satz des Brianchon.

Lehrsatz 25.

Jeder Kreis, der durch zwei Pole eines gegebenen Kreises geht, schneidet diesen rechtwinklig.

Die Umkehrung dieses Satzes lautet:

Lehrsatz 26. Schneiden sich zwei Kreise rechtwinklig, so wird jeder Durchmesser des einen Kreises durch den anderen Kreis harmonisch geteilt.

Bew. Nach der Vor. (s. Fig. 13) ist der Winkel MEQ = <£P, und da wieder <£ MEQ = <£ MCE - <£ QEC, <£ P aber gleich <£ MCE - <£ PEG ist, so folgt: <p MCE - <£ QEC = <£ MCE - <£ PEG, also <£ PEC = <£ QEC. Hieraus ergibt sich die Behauptung mit Benutzung des Vehrs. 7.

Nr. 10. Anwendungen. Satz des Brianchon.

\J

a) Gehen von einem Punkte D zwei Sekanten eines Kreises DAß und DBF aus, so entsteht durch Verbindung der Schnittpunkte ein vollständiges Vierseit, und daher sind sowohl D, K, A, B als auch D, J, E, F 4 harmonische Punkte. HG (JK) ist daher die Polare des Punktes D. In gleicher Weise U läßt sich zeigen, daß DG die Polare des Punktes H und HD die Polare des Punktes G ist.

Hieraus aber folgt:

VB

Fig. 14.

Lehrsatz 27. Bei jedem Sehnenviereck sind die Schnittpunkte der Diagonalen und der Gegenseiten dieEcken eines Dreiecks, in welchem jede Seite die Polare der gegenüberliegenden Ecke ist.

Folgerung 1. Schneiden sich die Diagonalen zweier Sehnenvierecke eines Kreises in demselben Punkte, so liegen die Schnittpunkte der vier Paare von Gegenseiten auf der Polare dieses Punktes.

Folgerung 2. Schneiden sich zwei Gegenseiten zweier Sehnenvierecke in demselben Punkte, so liegen die Schnittpunkte der Diagonalen und die Schnittpunkte der beiden anderen Gegenseiten auf der Polare dieses Punktes.

Zusatz. In jedem einem Kreise umgeschriebenen vollständigen Vierseit ist jede Diagonale die Polare des Schnittpunktes der beiden anderen.

Aufg. 1. Von einem Punkte D an einen Kreis M,r mit alleiniger Benutzung des Lineals die Tangenten zu ziehen.

Aufg. 2. Zu einem Punkte D mit alleiniger Benutzung des Lineals die Polare bezüglich des Kreises M,r zu ziehen.

Müller. Mathematik. II.».— 4.Ausl.

Aufg. 3. Den Satz zu beweisen: Liegen die Ecken eines Sehnenvierecks auf den Seiten eines Tangentenvierecks, so liegen die 4 Schnittpunkte der 4 Paare von Gegenseiten auf einer Geraden, und die Diagonalenpaare schneiden sich in einem Punkte, welcher der Pol dieser Geraden ist.

Aufg. 4. (Aufgabe von Ottajano.) Einem gegebenen Kreise ein Dreieck einzuschreiben, dessen Seiten durch drei gegebene Punkte A, B und C gehen.

Aufl. Sind XYZ und X'Y'Z' zwei Sehnendreiecke³), deren Seiten XY und X'Y' durch 0, XZ und X'Z' durch Bz YZ und Y'Z' durch A gehen, und schneiden sich die Verbindungslinien YZ' und Y'Z in A', XZ' und X'Z in B', XY' und X'Y in C', so liegen nach dem Pascalschen Satze die Punkte 1. A', B', C', 2. A', B, 0, 3. B', C, A und 4. C', A, B auf einer Geraden. Bestimmen ferner die Verbindungslinien XX', YY' und ZZ' das Dreieck UVW (ü auf YY' und ZZ', V auf XX' und ZZ'), so erweisen sich A'U, B'V und C'W als die Polaren der Punkte A, B und C und AU, BV und CW als die Polaren der Punkte A', B' und C'. Da aber der Schnittpunkt W' der Geraden A'U und B'V der Schnittpunkt der Polaren von A und B ist, also hergestellt werden kann, so ist in der Geraden CW' ein Ort für W gegeben. Ein zweiter Ort ist die Polare C'W des Punktes C. Ganz entsprechend sind die Punkte V und U zu bestimmen. Die Gerade UV aber schneidet den Kreis in den Punkten Z und Z', usw.

Ws

Aufg. 5. Einem ge-gebenenKreise einDrei-eck umzuschreiben, dessen Ecken auf drei ein ge-gebenes Dreieck ABC bildenden Geraden liegen.

sz

Fig. 15.

00

Abschnitt I. Abschluß der Planimetrie.

Lehrs. 28 u. 29.

Aufl. Sind ü, V und W die drei Berührungspunkte, so sind die Ecken X, Y und Z des gesuchten Dreiecks die Pole der Seiten VW, UW und UV, und daher müssen die Pole zu den Seiten des gegebenen Dreiecks auf UV, UW und VW liegen. Da aber diese Pole hergestellt werden können, so läßt sich die Auflösung auf die Aufl. der Aufg. 4 zurückführen.

b) Die Lehrsätze 23 und 24 können bei einem Sechseck, dessen Seiten Tangenten an einen Kreis sind, Verwendung finden. Durch Verbindung je zweier aufeinander folgenden Berührungspunkte entsteht ein Sehnensechseck, dessen Seiten die Polaren der Ecken des Tangentensechsecks sind. Nun geht die Diagonale P₁P₄ durch Px; ihr Pol liegt also auf BXBQ. Ferner

geht P^ durch P₄ und ihr Pol liegt daher auch auf B₈B₄. Demnach ist der Schnittpunkt B von B₄B₈ und B₃B₄ der Pol der Diagonale P₄P₄.

2?

h:

Mjk

B.

Bu.

gig. 16.

Ebenso zeigt man, daß 8 der •

Da aber nach dem Pascalschen Geraden liegen, so folgt aus Lehrsatz 23:

Lehrsatz 28. (Satz des Brianchon.) Die Verbindungslinien der Gegenecken eines Tangentensechsecks gehen durch einen Punkt.

'S®

P₂ Pr, und T der die Punkte ß, 8

von P,P, T auf e

SrP

Nr. 11. AhnlichKritspunKte und Ahnlichkeitsschsen bei Vielecken.

a) Erklärung 1. Liegen zwei ähnliche Vielecke so, daß je zwei entsprechende Seiten parallel sind, so sagt man, sie seien ähnlich-

liegend.

Zusatz. Sind bei zwei ähnlichliegenden Vielecken die entsprechenden Seiten in derselben (entgegengesetzter) Richtung parallel, so heißen die Vielecke in gleichem (entgegengesetztem) Sinne ähnlichliegend.

In jedem der beiden Fälle gehen die Verbindungslinien entsprechender Ecken sämtlich durch einen Punkt (Bew. nach dem Strahlenbüschelsatz). Wird dieser als Ähnlichkeitspunkt der beiden Vielecke bezeichnet, so folgt hieraus:

Lehrsatz 29. Die Verbindungslinien der entsprechenden Ecken zweier ähnlichliegenden Vielecke schneiden sich in dem Ähnlichkeitspunkt der beiden Vielecke.

Zusah 2. Zwei ähnlichliegende regelmäßigeVielecke von gerader Seitenzahl besitzen sowohl einen äußeren als auch einen inneren Ähnlichkeitspunkt.

Der Lehrsatz 29 ist um-

A'

Fig. 18.

Zusah 1. Der Ähnlichkeitspunkt liegt auf den Verlängerungen der Verbindungslinien (f. Fig. 17), wenn die entsprechenden Seiten in derselben Richtung parallel sind, und ,c wird dann als äußerer Ähnlichkeitspunkt bezeichnet. Sind dagegen die entsprechenden Seiten in entgegengesetzter Richtung parallel, so schneiden sich die Verbindungslinien zwischen den entsprechenden Punkten (s. Fig. 18), und ihr Schnittpunkt heißt dann innerer Ähnlichkeitspunkt.

EL

B'

V⁷

Fig. 17.

E.

kehrbar.

Lehrsatz BO. Verbindet man die Ecken eines Vielecks mit einem beliebigen Punkte und schneidet die Verbindungslinien durch aneinander grenzende Parallelen zu den Seiten des Vielecks, so entsteht ein dem gegebenen ähnliches Vieleck.

Ausgabe. Ein Vieleck zu zeichnen, das einem gegebenen Vieleck ähnlich ist und dessen Seiten zu den entsprechenden Seiten des gegebenen Vielecks im Verhältnis p: q stehen.

Stuft. Ist eine Ecke beliebig angenommen und einer Ecke des gegebenen Vielecks zugeordnet, so ist durch das Verhältnis p: q die Lage des Ähnlichkeitspunktes bestimmt. Zwei Lösungen.

Erklärung 2. Eine Gerade, welche durch den Ähnlichkeitspunkt zweier Vielecke geht, heißt Ähnlichkeitsstrahl der beiden Vielecke.

Durch Anwendung des Strahlenbüschelsatzes ergibt sich:

Zusah 1. Ein Ähnlichkeitsstrahl trifft entweder beide Vielecke oder keins von ihnen.

Zusatz 2. Entsprechende Seiten werden durch einen Ähnlichkeitsstrahl nach demselben Verhältnis geteilt.

Zusatz 3. Die Abstände eines Ähnlichkeitsstrahles von zwei entsprechenden Ecken der Vielecke verhalten sich wie zwei entsprechende Seiten.

Die Zusätze 2 und 3 sind umkehrbar.

Zusatz 4. Eine Gerade geht durch den Ähnlichkeitspunkt zweier Vielecke, a) wenn sie zwei entsprechende Seiten nach demselben Verhältnis teilt,

b) wenn ihre Abstände von zwei entsprechenden Ecken sich wie zwei entsprechende Seiten verhalten.

Wie müssen die Teilstrecken bzw. Abstände gegen die Verbindungslinie bei einem äußeren und wie bei einem inneren ÄhnlichkeitsPunkte liegen?

b) Kommt zu zwei ähnlichliegenden Vielecken noch ein drittes mit ihnen ähnlichliegendes Vieleck hinzu, so liegen entweder alle drei oder zwei von ihnen in gleichem Sinne ähnlich; es sind also entweder drei äußere oder ein äußerer und zwei innere Ähnlichkeitspunkte vorhanden. Verbindet man die Ähnlichkeitspunkte des ersten und zweiten, bzw. des ersten und dritten Vielecks miteinander und bezeichnet die Entfernungen der Verbindungslinie von drei entsprechenden Ecken mit dlf d₂ und d₈, während a,, a.₃ und a₃ die Längen dreier entsprechenden Seiten sind, so ist nach Zusatz 3

also auch d₂: d₃ = a₂: a..

di: d₂ — Ul t Uz

dt : d₈ = at: a₃

Nun kann man unbeschadet der Allgemeinheit annehmen, daß die beiden ersten Vielecke einen äußeren Ähnlichkeitspunkt besitzen und somit d, und d2 auf derselben Seite des gemeinschaftlichen Ähnlichkeitsstrahles liegen. Der Abstand d₃ befindet sich daher mit dt und d₂ gleichzeitig entweder auf derselben oder auf verschiedenen Seiten der gezogenen Verbindungslinie, und demnach folgt aus der Proportion d₂: d₃ --- a^: a₃ nach Zusatz 4 b in jedem der beiden Fälle, daß der gemeinschaftliche Ahnlichkeitsstrahl auch durch den Ähnlichkeitspunkt des zweiten und dritten Vielecks geht, b. h.

Lehrsatz 31. Die drei Ähnlichkeitspunkte dreier ähnlichliegenden Vielecke liegen gemeinschaftlich auf einer Geraden. Diese Gerade wird Ähnlichkcitsachse der drei Vielecke genannt.

Zusatz. Drei ähnlichliegende regelmäßige Vielecke von gerader Seitenzahl besitzen vier Ähnlichkeitsachsen, von denen eine die drei äußeren Ähnlichkeitspunkte und jede der drei anderen einen äußeren und die beiden nicht zu ihm gehörigen inneren Ähnlichkeitspnnkte miteinander verbindet.

Da der Kreis als ein regelmäßiges Vieleck mit unendlich großer Seitenzahl angesehen werden kann und deshalb zwei Kreise als ähnliche Figuren betrachtet werden dürfen, die stets ähnlichliegend sind, so ließen sich aus Zus. 2 zu Lehrs. 29 und dem vorstehenden Zusatz entsprechende Sätze über Kreise bequem herleiten; es soll jedoch in der folgenden Nr. ein von diesen

Zusätzen unabhängiges, lehrreiches Verfahren zur Ableitung dieser Beziehungen angewandt werden.

Nr. 12. Ahnlichkeitsxunkkr und Ahnlichkritsachfen bei Kreisen.

a) Wird die Mittelpunktslinie zweier Kreise in dem Verhältnis der Halbmesser harmonisch geteilt, so werden die beiden Kreise an jedem der Teilungspunkte unter gleichen Winkeln gesehen. Man nennt daher die beiden Teilungspunkte Ähnlichkeitspunkte der beiden Kreise und bezeichnet jede durch einen dieser Punkte gehende Gerade als Ähnlichkeitsstrahl. Hiernach besteht der Satz:

Lehrsatz 32. Die Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise teilen deren Mittelpunktslinie harmonisch.

Zusatz 1. Die Lage der Ähnlichkeitspunkte ist nur von der Lage der Mittelpunkte und dem Verhältnis der Halbmesser abhängig.

Zusatz 2. Die gemeinschaftlichen Tangenten zweier Kreise gehen durch deren Ähnlichkeitspunkte.

Zusatz 3. Geht eine Tangente an einen von zwei Kreisen durch einen Ähnlichkeitspunkt, so berührt sie auch den anderen Kreis.

Hieraus stützt sich eine bequeme Herstellung der gemeinschaftlichen Tangenten zweier Kreise.

Zusatz 4. Berühren sich zwei Kreise, so ist der Berührungspunkt ein Ähnlichkeitspunkt.

b) Von den 4 Punkten, in denen ein Ähnlichkeitsstrahl zwei Kreise schneidet, können auch diejenigen, welche die Endpunkte der nicht parallelen Radien sind, einander zugeordnet werden. Man nennt sie inverse Punkte.

Verbindet man zwei inverse Punkte Cx und D₂ eines beliebigen Ähnlichkeitsstrahles mit zwei inversen Punkten Ax und B₂ auf der Mittelpunktslinie, so ist

= <£ At C, D, - 4; M₂D₂C₂, b₂ = <£ B₂D₂C₂ - <£ m₂d₂c₂.

Durch Subtraktion ergibt sich hieraus:

«fc A, + B₂D₂C₂ = <C Bä + £ AjCj Dj,

Fig. 19.

d. h. A₁C₁D₂B₂ ist ein Sehnenviereck. Ganz entsprechend zeigt sich, daß auch B, D^Ag ein Sehnenviereck sein würde. Es ist daher:

PC^PD^PA, PB2 PDj PC₂ = PBX PAg.

und

Nun hat man

PA₁.PB₂ = (PM₁+r₁)(PM₂-r₂),

und da und folglich so ergibt sich:

PBX • PA₂ -- (PM₁ - r,) (PM₂ + r₂), PM₁:PM₂ = r₁: r₂, also PMt • r₂ = PM₂ • rv PA, PB₂ = PBj ■ PA₂ ist,

PCX • PD₂ = PDj • PC₂ = PA, • PB₂.

Da die gleiche Beziehung für den inneren Ähnlichkeitspunkt Q abgeleitet werden kann, so ergibt sich:

Lehrsatz 33. Das Rechteck aus den Entfernungen zweier inversen Punkte von dem zugehörigen Ähnlichkeitspuukte ist von der Richtung ihres Ähnlichkeitsstrahles unabhängig.

Die Größe des Rechtecks wird durch zwei inverse Punkte auf der Mittelpunktslinie bestimmt.

Die Winkel der Dreiecke    und M₂C₂D₂ sind einander gleich.

Die Radien nach inversen Punkten schneiden sich daher in den Spitzen gleichschenkliger Dreiecke, und daraus folgt:

Lehrsatz 34. Zwei inverse Punkte sind stets die Berührungspunkte, in denen ein dritter Kreis die beiden ersten berührt.

Zusatz. Die Berührung ist gleichartig (beide Kreise berühren von innen oder beide werden von außen berührt), wenn der Ähnlichkeitsstrahl durch den äußeren — und ungleichartig, wenn er durch den inneren Ähnlichkeitspunkt geht.

Werden umgekehrt zwei Kreise durch einen dritten berührt und die Berührungspunkte miteinander verbunden, so folgt aus den Beziehungen zwischen den Winkeln:

Lehrsatz 35. Berührt ein Kreis zwei andere Kreise, so geht die Berührungssehne durch einen ihrer Ähnlichkeitspunkte.

JK

Fig, 20.

c) Schneiden sich (s. Fig. 20) bei zwei von einem dritten berührten Kreisen die durch die inversen Punkte gelegten Tangenten in 0, so ist 0

Lehrsatz 36. Berührt ein Kreis zwei andere Kreise, so liegt der Pol der Berührungssehne auf der Potenzlinie der beiden berührten Kreise.

der Pol des Ähnlichkeitsstrahles CXD₂ bezüglich des Kreises K. Daraus folgt:

Auf der Polare C,D₂ von 0 liegt aber nach Lehrs. 24 der Pol einer jeden durch 0 gehenden Geraden, also auch der Pol der Potenzlinie. Somit ergibt sich:

Lehrsatz 37. Der Pol der Potenzlinie zweier Kreise bezüglich eines Berührungskreises liegt auf dem zugehörigen Ähnlichkeitsstrahl.

d) Kommt noch ein zweiter Berührungskreis K₂ hinzu, so liefert auch dieser (Lehrs. 85) einen Ähnlichkeitsstrahl, der den zu K, gehörigen Ähnlichkeitsstrahl in dem äußeren oder inneren Ähnlichkeitspunkte trifft, je nachdem die Kreise M, und M₂ die Kreise Kt und K₂ zugleich gleichartig oder ungleichartig berühren. Da die Berührungspunkte inverse Punkte der Kreise M, und M sind, so hat nach Lehrs. 33 der Schnittpunkt für die Kreise K, und K₂ die gleiche Potenz und liegt daher auf deren Potenzlinie. Daraus folgt:

Lehrsatz 38. Berühren zwei Kreise gleichzeitig zwei andere Kreise gleichartig (ungleichartig), so liegt ihr äußerer (innerer) Ähnlichkeitspunkt auf der Potenzlinie der berührten Kreise.

Werden die Kreise Kt und K₂ außer von den Kreisen Mt und M₂ noch von einem dritten Kreise M₈ berührt, so sind die Vorbedingungen für eine dreimalige Anwendung des Lehrs. 38 in den Fällen erfüllt, daß die Kreise K, und K₂ von jedem der drei Kreise gleichartig berührt werden, und daß die Art der Berührung

ist,

-    - Mj -

4. - M,

Bezeichnet man nun mit

Pt den äußeren und mit Q, den inneren Ähnlichkeitspunkt von M₂ und Ms, P„ -

P₈

-    - Q₂ -

*    ' Qs '

- Mt,

- k₂,

R -

so liegen nach dem vorhergehenden Satze

im Falle 1. die drei Punkte P,, P₂ und P₈

-    -    2. -

-    -    3. -

gleichzeitig auf der Potenzlinie der Kreise Kt und K₂, also auf einer Geraden. Da aber bei jeder Lage der Kreise Mlz M₂ und Mg die Halb-

'    Pg, Qi ⁵ Qs

⁼    Ps, Qs

- Qi ⁵ Pi, Qs - Q

Messer r,, r, und I'g so gewählt werden können (s. Zus. 1 zu Lehrs. 32), daß jeder der 4 Fälle möglich wird, ohne daß die Ähnlichkeitspunkte ihre Lage ändern, so folgt:

Lehrsatz 39. (Satz des Monge.) Von den 6 Ähnlichkeitspunkten dreier Kreise liegen die drei äußeren und jeder äußere mit den beiden nicht zu ihm gehörigen inneren in einer Geraden.

Der Satz des Monge kann auch durch Benutzung des Strahlenbüschelsatzes abgeleitet werden. (S. Seite 21, Absatz d.)

Bezeichnet man die Geraden, auf denen die Ähnlichkeitspunkte liegen, als Ähnlichkeitsachsrn, so folgt jetzt aus Lehrs. 38:

Lehrsatz 40.    Jede Ähnlichkeitsachse dreier Kreise ist die

Potenzlinie zweier Kreise, welche die drei ersten berühren.

e) Berühren die Kreise Kt und K₂ jeden der Kreise Mlz M₂ und Ms gleichartig, so liegt nach Lehrs. 38 ihr äußerer Ähnlichkeitspunkt R auf den drei Potenzlinien der berührten Kreise, und ist bei jedem der drei Kreise die Berührung ungleichartig, so liegt 8 auf den Potenzlinien. Daraus ergibt sich:

Lehrsatz 4L    Der Potenzmittelpunkt dreier Kreise ist ein

Ähnlichkeitspunkt zweier Kreise, welche die drei ersten berühren.

Folgerung. Der Potenzmittelpunkt dreier Kreise liegt mit den Berührungspunkten auf je einem der drei Kreise in einer Geraden.

Da nun nach Satz 38 der Pol der Potenzlinie von und K₂ be züglich eines jeden der Kreise Mv Ms und M₃ ebenfalls mit den entsprechenden Berührungspunkten in einer Geraden liegt, so folgt aus den Lehrsätzen 40 und 41:

Lehrsatz 42. Der Pol einer Ähnlichkeitsachse bezüglich eines der drei Kreise liegt mit dem Potenzmittelpunkt und den Berührungspunkten auf diesem Kreise in einer Geraden.

Demnach ergibt sich die folgende Auflösung der Apollonischen Aufgabe, einen Kreis zu zeichnen, der drei gegebene Kreise berührt:

Man zeichnet den Potenzmittelpunkt, eine Ähnlichkeitsachse und deren Pole für jeden der drei Kreise. Verbindet man dann die Pole mit dem Potenzmittelpunkt, so schneiden die Verbindungslinien die entsprechenden Kreise in den sechs Berührungspunkten zweier Berührungskreise. Die Mittelpunkte dieser Kreise liegen auf den Berührungsradien.

Jede Ähnlichkeitsachse liefert also zwei Lösungen, und somit sind 4 - 2, d. h. 8 Lösungen der allgemeinen Apollonischen Aufgabe möglich.

Abschnitt II.

¹

pba ist die Projektion von b auf a.

²

Die Strecken sind durch ihre Maßzahlen zu ersetzen.

³

Die Figur ist den Angaben entsprechend nach und nach zu entwerfen.

Algebra.

Erster Teil.

Kapitel 1.

Potenzen und Wurzeln.

(Zur Wiederholung.)

Nr. 1. Potenzen mit ganzen positiven Exponenten.

a) Erklärung. Ein Produkt aus m Faktoren a heißt die mte Potenz von a. Die positive ganze Zahl m heißt Exponent, und die beliebige Zahl a heißt Grundzahl der Potenz am.

Da ein Produkt nur dann negativ ist, wenn, es eine ungerade Anzahl negativer Faktoren enthält, so folgt:

Die mte Potenz einer negativen Zahl ist positiv, wenn m = 2n, und negativ, wenn m = 2n + 1 ist.

Merke: Es ist (- l)²" ---1 und (- 1)²“+* = - 1.

3. am . bm -- (a - b)'"

2. am : a“ = a¹“-“ (m>n)

Aus der Erklärung der Potenz ergeben sich die folgenden Formeln: l. a™ . an = am+n

am zayn

4.

5. (am)n = an, n.

Jede dieser Formeln ist der Ausdruck für zwei Regeln, je nachdem man sie vorwärts oder rückwärts liest.

b)    Entsprechend wie bei der Bildung des Zahlbegriffs (Zusammenfassung einer Mehrheit gleichartiger Dinge) 1 als Zahl gelten mußte, so gilt auch hier die Größe a¹ (= a) als die erste Potenz von a. Ebenso ist das Zahlzeichen a°, der Zahl 0 entsprechend, als die nullte Potenz von a anzusehen. Da am : am = a° und am : am = 1 ist, so hat die nullte Potenz einer beliebigen von 0 verschiedenen (endlichen) Zahl die Größe 1.

Merke: Es ist a¹ = a und a°= 1.

c)    Bei unveränderlichem Exponenten m ist die Funktion y = x“ lediglich eine Funktion der veränderlichen Grundzahl x.

Nr. 2, Potenzen mit ganzen negativen Exponenten.

Gibt man der Divistonsaufgabe am: a“ die Bruchform ^ und entfernt durch Kürzung die gleichen Faktoren, so bleibt, wenn m<n und n — m = d ist,

am

an

an-m

Anderseits liefert die Formel 2 in Nr. 1 das Zahlzeichen am_n oder a <n m) ober a-d. Somit hat das Zahlzeichen a_d die Bedeutung -*₅, d. h.

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der reziproke Wert derselben Potenz mit positivem Exponenten.

Folgerung. Potenzen derselben Grundzahl mit entgegengesetzt gleichen Exponenten sind reziprok.

Die Formeln in Nr. 1 gelten sämtlich auch für Potenzen mit negativen Exponenten. Der Beweis dieser Behauptung wird darauf geliefert, daß durch

die Beziehung a~n = ^ die Rechnungen auf solche mit positiven Exponenten

zurückgeführt und dann die Resultate wieder in der Form von Potenzen mit negativen Exponenten geschrieben werden. Die erste Erweiterung des Potenzbegriffs, die in der Zulassung negativer Exponenten besteht, wird auf diesem Wege gerechtfertigt

Nr. 3. Potenzen mit gebrochenen Exponenten.

Erklärung. Unter dem Zahlzeichen an versteht man eine Zahl, deren nte Potenz gleich a ist.

(Es ist an = x, wenn x¹¹ = a ist.)

Zusatz. Da a“ = (an)

1 \ m

ist, so versteht man unter a“ die mte Potenz einer Zahl, deren nte Potenz gleich a ist.

Die Formeln 1 bis 5 in Nr. 1 gelten auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Beim Beweise dieser Behauptung kann man sich auf die Formeln 1, 3 und 5 beschränken.

Sind — und - zwei Brüche, so folgt aus dem vorstehenden Zusatz:

q    s

1.

JL

aq • a

ps qr

----- aqs • aqs,

/ JL\ps / £\qr = \aq7 \aq7 ,

P 9-f-qr

und nun nach Nr. 1, l

p+-r-

= a 9=    = a» ³.

x ----- aqs

also:

/p\s *. = aq

Es zeigt sich also, daß die Gesetze für das Rechnen mit Potenzen auch dann gültig bleiben, wenn die Exponenten gebrochene Zahlen sind, und darin liegt die Rechtfertigung für die zweite Eweiterung des Potenzbegriffs, nach der auch Brüche als Exponenten zugelassen werden.

Nr. 4. Wurzeln.

Erklärung. Das Zeichen ya (gelesen: ntc Wurzel aus a) ist gleichbedeutend mit dem Zahlzeichen an.

Zusatz 1. Man bezeichnet n als den Exponenten der Wurzel und a als den Radikanden.

>V=a.

------ a

2. Ferner ist nach den Formeln 3 und 5 in Nr. 1

( _E. PX⁴ / P\9    / P_\4

(aq • b«/ = \a⁹/ • (bv

und somit nach der vorstehenden Erklärung

= a» • b" = (a • b)p

JL

und umgekehrt

3. Setzt man schließlich

aq • bq == (a • b)q

L JL JL (a - b)q = aq - bq.

so hat man auf Grund der Erklärung:

xs

( nr ir. = !<aqy/ = a q ,

und nun wiederum nach dieser: Hieraus aber folgt:

xqs = apr

pr

Zusatz 2. Es ist Zusatz 3. Es ist

Hiernach sind Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten anzusehen. Das Rechnen mit Wurzeln geschieht deshalb nach den in Nr. 1 aufgestellten Gesetzen, und diese führen zu den folgenden Formeln:

Itl J— 1U - 111 J —    111/-------------- 111 ,— 111.—

ya•yb = ya•b, also auch    ya • b = ya • yb.

<Br<s

— Hl /—    lll /— ™ —

yT)

;;=i: •«•«i    i

(y/ii)“= ya“, also auch    ya" — (y'a)”

a = m"ya, also auch    ']/a = j/ya — j/'i'a .

’y'a ="' yan- (Erweiterung der Exponenten.)

111 eW

Va" bm.

m ii/ in • n y-j--    . ni/ li/,

ya•ya = y am + n und ya * yb =

Nr. 5. Irrationale Zahlen.

Ist ^ ein Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann, so treten in der

Potenz (y)m= auf dem Zähler nur die Faktoren von a und auf dem

am

Nenner nur die Faktoren von b auf. Eine Kürzung des Bruches — ist daher

am

ausgeschlossen, und — kann nicht eine ganze Zahl sein. Daraus folgt um-

b

gekehrt, daß eine ganze Zahl niemals als Potenz eines wirklichen Bruches (mit einem positiven Exponenten) dargestellt werden kann. Somit besteht der Satz:

Lehrsatz 1. Eine Wurzel aus einer ganzen Zahl kann niemals ein wirklicher Bruch sein.

Ist daher eine Wurzel aus einer ganzen Zahl nicht wieder eine ganze Zahl, so kann ihr Wert weder durch einen Bruch noch durch eine endliche oder periodische Dezimalzahl, d. h. durch die Einheit und ihre Teile, die rationalen Zahlen, ausgedrückt werden; er steht also nicht in einem angeb-baren Verhältnis zur Einheit und wird deshalb als irrationale Zahl bezeichnet.

Wurzeln aus Brüchen (oder aus endlichen und periodischen, durch Brüche ersetzbaren Dezimalzahlen), bei denen nicht gleichzeitig die Wurzeln aus den Zählern und Nennern ganze Zahlen sind, liefern ebenfalls irrationale Zahlen. Sagt man daher, eine Wurzel geht auf, wenn ihr Radikand als Potenz mit dem Exponenten der Wurzel dargestellt werden kann, so folgt:

Lehrsatz 2. Geht eine Wurzel nicht auf, so ist ihr Wert eine irrationale Zahl.

Die Frage, ob eine 2tc (Quadrat-) und eine 3te (Kubik-) Wurzel aufgeht, wird durch Berechnung dieser Wurzeln beantwortet.

16

»O

B. Berechnung der Kubikwurzel.

Ist |/a = x + y + zH----, so hat man

a = x³ + (3x² + 3xy + y²) y + [3 (x + y)² + 3 (x + y) z + z²] z H----

f/84|604|519 = 439 64

A. Berechnung der Quadratwurzel.

y&= x + y + z H----,

a = (x+y + z + -- ⁻)³/

so hat man: a = x² + y² + z² + ••• + 2xy + 2xz + 2yz + ••

a = x²+ (2x + y) y + (2x + 2y + z) z ----

In a steckt als erstes Glied x². Ist x² von a abgezogen und wird das erste Glied des Restes durch 2x dividiert, so ergibt sich y. Zieht man dann (2x + y) y von dem Reste ab und dividiert die beiden ersten Glieder der Differenz durch die Summe 2x + 2y, so ergibt sich z, usw. —. Solange es sich also um Quadratwurzeln aus algebraischen Ausdrücken handelt, bietet das Verfahren keine Schwierigkeit. Ist dagegen der Radikand eine Zahl, so muß nach jeder Division geprüft werden, ob der Quotient zulässig ist, d. h. ob das mit ihm zu bildende Teilprodukt den dividierten Rest nicht übersteigt.

Das gebräuchliche Verfahren beim Ausziehen der Quadratwurzel kann, wenn eine größere Anzahl von Stellen berechnet werden soll, durch abgekürzte Division wesentlich vereinfacht werden.

Beispiel.

Ist

also

also:

]/3|51|89,76|4 --- 187,589364

2 51

•/

36

27 89

374

2 20 76

3750

33 51 40

von hier ab Div.

3 50 76

375

13 26

37

2 01

In a steckt daher als erstes Glied x³. Ist dies von a abgezogen und wird das erste Glied des Restes durch 3x² dividiert, so ergibt sich y. Das Teilprodukt, das nun abzuziehen ist, setzt sich aus den drei Teilen 3x²y, 3xy² und y³ zusammen. Der zweite Rest wird dann durch 3 (x+‘y)² dividiert und der Quotient z zur Bildung des Subtrahenden 3 (x + y)²z + 3(x + y)z2 + z³ verwandt, usw.

Beispiel 1.

20 604

3x²= 48 3x²y....

3xy²....

y⁸ • • ••    _

3 (x + y)s=6547 j 60 97 519 3 (x -j- y)² z    49 92 3

3(x + y)z²

14 4

108

27

1 04 49

z⁸

729

Beispiel 2.

3x⁸=3

3x⁸y

3xy⁸

|/6,B72|783|864 = 1,854 >5 372

24

1 92

ys

512

3(x + y)«=972

3 (x -f y)!-z 3 (x + y) Z²

540 783 486 0 13 50

z⁸

125

3(x + y + z)²=102 675 3(x + y + z)²-u 3 (x + y + z) u²

|41 158 864 41 070 0 88 80

u³

64

Bricht man die Rechnung, falls sie nicht aufgeht, an einer bestimmten Stelle ab, so erhält man einen Näherungswert der irrationalen Zahl, und dieser unterscheidet sich um so weniger von dem wirklichen Werte der irrationalen Zahl, je später die Rechnung abgebrochen wird. Die Näherungswerte können in Brüche umgewandelt werden. Hat daher eine Potenz einen irrationalen Exponenten, so kann man sie mit beliebiger Annäherung durch eine Potenz mit einem gebrochenen Exponenten darstellen. In diesem Sinne bleiben die Sätze über Potenzen (nach Nr. 3) auch für irrationale Exponenten gültig; in diesem Sinne kann daher durch Zulassung irrationaler Exponenten eine dritte Erweiterung des Potenzbegriffs eintreten

Nr. 6. Vereinfachung von Wurzelausdrücken.

a) Treten im Nenner eines Bruches Wurzeln auf, so lassen sich diese durch geeignete Erweiterung häufig beseitigen. Hat der Nenner nur ein Glied, so ist die Beseitigung stets möglich; der Erweiterungsfaktor ist dann die gleichnamige Wurzel aus einer Potenz des Radikanden, welche mit diesem multipliziert eine Potenz mit dem Exponenten der Wurzel liefert.

a]/b

So ist —==

j/b l/b }/b

ybn-m

= -r- • l/b und —— =

b V    u n -—n-

Vbm l/bm ybn-m

-b iV -m.

Besitzt der Nenner mehr als ein Glied, so ist die Beseitigung der Wurzeln im allgemeinen nur bei Quadratwurzeln möglich. Da (a + b) • (a — b) = a² - b² ist, so hat man in folgender Weise zu verfahren:

u) Bei zweigliedrigen Nennern erhält man den Erweiterungsfaktor, wenn man dem zweiten Gliede das entgegengesetzte Vorzeichen gibt.

8 z/21 -f 3 z/35 _ (8 ]/21 + 3 yäfi) (3 |/3 + |/5)

3 ys-yr

So ist

27-5

=Ä(⁸⁷ y? + i7 yios).

ß) Bei dreigliedrigen Nennern faßt man zunächst zwei Glieder durch Einklammern zu einem zusammen und verfährt dann zweimal wie im Falle a.

__23 Q/e + yT+yä)

1/6 + VZ ~ Tl/6> )/2)²-(l/3)*'

_ 23 (|/6~+ ]/2~+l/3) _ 23 (]/6"+l/2~+V'3)    5)

5 + 4 J/F

y) Hat der Nenner vier Glieder, so bildet man zwei Summen aus zwei Gliedern usw.

b) Kommt in einer Gleichung die Unbekannte unter Quadratwurzeln in verschiedenen Verbindungen vor, so ist ein Auflösungsversuch erst dann möglich, wenn die Quadratwurzeln beseitigt sind. Nun ändert aber eine Gleichung nur ihre Form, wenn ihre beiden Seiten ins Quadrat erhoben werden, und demnach kann man eine Wurzel beseitigen, wenn man sie allein auf eine Seite der Gleichung stellt und dann die Quadrate bildet.

ysx-n + ]/5x + 25 = yisx+Tg.

4x — ll + öx + 25 + 2]/(4x — 11)~(5 x + 25) --18x + 19.

So ist

Beispiel.

23

(4]/3)²-5²

, usw.

2 y(4x - 11) (5x + 25) = 9x + 5,

4 (4x — 11) (5x + 25) = 81 x² + 90x + 25,

Hieraus: und dann: b. h. eine quadratische Gleichung für x.

Kapitel 2.

Logarithmen.

Nr. 7. Transzendente Funktionen. Logarithmensysteme.

a) Die bisher durchgeführten Erweiterungen des Potenzbegriffs zeigen, daß der Exponent eine beliebige (reelle) Zahl, positiv oder negativ, ganz oder gebrochen, rational oder irrational sein darf; der Exponent darf also auch als eine beliebig veränderliche Zahl angesehen werden, die alle Werte zwischen irgend zwei gegebenen Grenzen durchläuft. Zu jedem Werte x des Exponenten erhält die Funktion y = ax einen bestimmten Wert, und somit erkennt man, daß man die Potenz auch als eine Funktion des Exponenten auffassen kann.

Erklärung. Eine Potenz mit veränderlichem Exponenten wird Exponentialgröße genannt, und die Funktion f(x) = ax heißt Exponentialfunktion. Die mit x vorzunehmende Rechnung heißt Exponentieren, und ihre Umkehrung, d. h. die Berechnung des Exponenten x aus a und einem gegebenen Werte von f(x) heißt Logarithmieren.

Nr. 7. Transzendente Funktionen. Logarithmensysteme.

Anmerkung. Die Differenz xn —yn läßt sich durch x —y teilen, wenn n eine ganze positive Zahl ist. Ebenso ist die Differenz x“n — y ~n durch x — y teilbar, wie man erkennt, wenn man die Potenzen auf positive Exponenten umschreibt und die beiden Brüche addiert

83

_p _p_

q— yq durch x —y [(y' xp—}/ yp):(^xq—f/yq)l] dividieren und beliebig

Ferner kann man x

viele Glieder des Quotienten bestimmen. Ist daher y = x + <? und eine sehr kleine Zahl, so sieht man, daß man die Differenz f (x + d) — f (x) nach den (bisher bekannt gewordenen) algebraischen Rechnungsarten durch x und d ausdrücken kann. Dies ist aber das Merkmal einer algebraischen Funktion. Wird dagegen in der Exponentialfunktion ax die Veränderliche x durch x + tf ersetzt und die Differenz ax"^d — ax oder ax (a^ — 1) gebildet, so läßt sich diese nicht mehr auf algebraischem Wege durch x und ck ausdrücken; die Rechnungen überschreiten hier das Gebiet der algebraischen Rechnungsarten und sollen deshalb als transzendent bezeichnet werden. Die Exponentialfunktion ax ist daher eine transzendente Funktion.

Tb) Die Bestimmung des Exponenten m durch a und b aus der Gleichung a = bm liefert den Begriff des Logarithmus.

Erklärung. Ist a = bm, so heißt m der Logarithmus von a für die Grundzahl b (m = Moga).

Die Zahlen a und b können beliebige Zahlen sein. Soll aber m reell und eindeutig werden, so hat man sowohl b als auch a positiv anzunehmen.

Die Logarithmen aller positiven Zahlen für eine (positive) Grundzahl b, die von 1 verschieden ist, bilden ein Logarithmen-System. Demnach können unendlich viele Logarithmen-Systeme gebildet werden. Alle diese Systeme lassen sich ineinander überführen.

Ist a der Logarithmus einer Zahl z für die Grundzahl a, bzw. ß der Logarithmus von z für eine zweite Grundzahl b, ist also alog z = a

z ----- a"

so hat man: und somit auch: blog z = cc • blog a ß = cc • blog a

d. h.

Man hat daher:

und blog 7i — ßf

-    z ----- b/b

-    alog z = ß • alog b,

-    cc = ß • alog b.

alog z ----- blog z • alog b - blog z = alog z • blog a.

Bezeichnet man die Größe alog b als den Modul des Systems mit der Grundzahl a bezüglich der Grundzahl b, so ergibt sich der Satz:

Lehrsatz 3> Die Logarithmen für eine Grundzahl a entstehen aus den Logarithmen für eine zweite Grundzahl b durch Multiplikation mit dem Modul des Systems mit der Grundzahl a bezüglich der Grundzahl b.

Außer den Logarithmen für die Grundzahl 10 (den dekadischen oder Briggsschen Logarithmen) kommen noch die natürlichen Logarithmen vor, deren Grundzahl die Zahl e = 2,7182818 ... ist. Der Modul M des dekadischen Systems bezüglich der Grundzahl e ist M = 0,43429

Müller, Mathematik. II. B. — 4. Aufl.

Da die natürlichen Logarithmen, wie später gezeigt werden soll, sich bequem berechnen lassen, so ist auch die Bestimmung der dekadischen Logarithmen ohne besondere Schwierigkeit durchführbar.

Zur Wiederholung. Für das Rechnen mit Logarithmen gelten bei jeder Grundzahl die Gesetze:

xlog x — 1, xlog 1 = 0, log (ab) — log a + log b, log — log a — log b, log an = n • log a und log )/a — ~ log a.

Nr. 8. Elementare Berechnung dekadischer Logarithmen.

Da ¹⁰log 10n= n ist, so lassen sich für den dekadischen Logarithmus einer beliebigen Zahl sofort zwei Grenzen angeben, zwischen denen er liegt. Durch fortgesetztes Erheben ins Quadrat können die Grenzen immer enger gezogen werden. Dadurch wird es möglich, auch ohne Benutzung der natürlichen Logarithmen durch ein allerdings recht umständliches Verfahren den Logarithmus auf beliebig viele Dezimalstellen genau zu berechnen.

Beispiel. Es sei 10*= 6, also 0<x<l. Es ist dann

also 1 < 2x <2 oder ~ <x<i

* J <x<i

108x= 1679 mit 3 Stellen, -    6<    8x<7    =    ⁶ <x<|

<-<£

, .26 <X<32 ,    ,50

<X <64

<X<

102x= 36, 104x= 1296,

3 <    4x<4

1016x=2821 -    9

1032x= 7958 -    21

1064x=6334 -    46

10128x= 4012 -    96

10256x= 1609 -    196

10612x=2591 - 395

101024x= 6712 - 793

102#48x = 4508 - 1590

|!I|s5li!|gg|S2l£8lK5IB*i

Da

12 <    16x< 13

24 <    32 x < 25

, -    49 <    64x<50

99 < 128x < 100 , -    199 < 256x < 200

, - 398 < 512x<399 , -    796 < 1024x < 797

, - 1593 < 2048x < 1594 - ₂₀₄₈<*<~---- 0,7778

1693

2048

SS = 0/7783

ist, so liegt log 6 zwischen 0,7778 und 0,7783.

und

100

128

200

<'X<'266

399

< X <612

797

<-X<"1024

Kapitel 3.

Imaginäre und komplexe Zahlen.

Nr. 9. Imaginäre Zahlen.

a) Wie die Subtraktion zur Einführung der negativen Zahlen, die Division zur Einführung der Brüche und die Wurzelausziehung zur Einführung der irrationalen Zahlen nötigte, wenn die Rechnung in allen Fällen ausführbar sein sollte, so drängt die Wurzelausziehung zu einer weiteren Einführung neuer Zahlengrößen. Die Quadrate aller bisher betrachteten Zahlen sind positiv; die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann also durch keine der bisher bekannten Zahlenarten ausgedrückt werden. Will man daher die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl (]/— n²) zulassen, so ist eine abermalige Erweiterung des bisherigen Zahlengebietes erforderlich. Die Größe ]/— n² (die Wurzel der Gleichung i’= — n²) ist gleich ]/n² ■ (— 1) oder n ■]/— 1 und enthält daher n-mal die Einheit ]/— 1 der neu einzuführenden Zahlen.

Erklärung, a) Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl heißt imaginäre Zahl.

b) Die Zahl i = ]/—l ist die imaginäre Einheit.

Zusah. Im Gegensatz zu den imaginären Zahlen nennt man die bisher gebrauchten Zahlen reelle Zahlen.

b) Imaginäre Zahlen können durch Addition und Subtraktion miteinander verbunden werden. Es ist ai + bi — ci = (a + b — c)i, d. h.

Die Summe imaginärer Zahlen ist wieder eine imaginäre Zahl.

Auch die Multiplikation einer imaginären Zahl mit einer reellen bietet keine Schwierigkeit; es ist ai • b = abi. Dagegen bedarf es für die Multiplikation mit einer imaginären Zahl einer (abermaligen) Erweiterung des Multiplikationsbegriffes.

Erklärung. Es sei ]/— 1 • ]/— 1 gleichbedeutend mit ]/(— 1) • (— 1).

Hiernach ist i² == — 1, i³ == — i, i⁴ = + 1 und allgemein i⁴" = + 1, i⁴“ + i = i, i⁴“+² = -l und !⁴° wenn n eine ganze Zahl ist. Man erhält daher den Satz:

Ein Produkt ist imaginär, wenn es eine ungerade Anzahl imaginärer Faktoren enthält.

Die Division wird wieder als die Umkehrung der Multiplikation behandelt. Man hat dann: ai: bi =

cd irQ

und a : bi = —

ai

ai

Nr. 10. Komplexe Zahlen. Sähe von Moivrr. Binomische Gleichungen.

a) Erklärung. Die algebraische Summe aus einer reellen und einer imaginären Zahl wird komplexe Zahl genannt.

Die allgemeine Form einer komplexen Zahl lautet a + bi, wo a und b reelle Zahlen sind.

Zusah. Zwei komplexe Zahlen heißen konjugiert, wenn sie sich nur int Vorzeichen ihrer imaginären Teile unterscheiden, z. B. 7 + 3i und 7 — 3i.

Komplexe Zahlen können durch die 4 Grundrechnungsarten miteinander verbunden werden. Es ist

1.    (a + bi)    + (c +    di) =    a + c + (b + d)i.

2.    * (a — bi)    — (c —    di) =    a — c — (b — d)i.

3.    (a + bi)    - (c +    di) =    ac + bei + adi +    bdi²,

= ac — bd + (ad + bc)i.

4. (a + bi) : (c + di) =

c³+d⁸

a-J-bi (a + bi) (c — di) ac -f- bd -f- (bc — ad)i c + di ⁼ (c + di) (c — di) _

Aus den Gleichungen 1. und 3. folgt für komplexe Zahlen:

Die Summe und das Produkt zweier konjugierten Zahlen sind reell.

Die wiederholte Anwendung der Gleichung 3. führt ferner auf den Satz:

Lehrsatz4. Die Potenzen komplexer Zahlen sind im allgemeinen wieder komplexe Zahlen.

Bezüglich der Ausnahmen s. Anmerkung am Schluß dieser Nummer.

Ist der Exponent ein Bruch und gleich so beachtet man, daß (a + bi)n

eine Zahl bedeutet, deren nte Potenz gleich a + bi ist. Wäre diese Zahl reell, so müßte die nte Potenz einer reellen Zahl imaginär sein, und dies ist unmöglich. Daraus folgt:

Lehrsatz 5. Jede Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.

Ein direkter Beweis dieses Satzes steht in Nr. 47, S. 127.

Sind zwei komplexe Zahlen a + bi und c + di einander gleich, so hat man: a — c = (d — b)i,

also

(a - c)² = (d - b)² i²--(d - b)²,

und da diese Gleichung nur für a = c und b = d möglich ist, so ergibt sich:

Lehrsatz 6. Sind zwei komplexe Zahlen einander gleich, so sind ihre xeellen und auch ihre imaginären Teile einander gleich

Zusatz. Eine Gleichung zwischen komplexen Zahlen führt stets auf zwei Gleichungen zwischen reellen Zahlen.

Von diesem Zusatz kann man Gebrauch machen, um die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl auszudrücken.

j/a + bi = x + yi,

]/a —bi = x —yi, j/a-f-bi-J-Va, — M = 2x ya-j-bi — ya bi=2yi.

Erhebt man ins Quadrat, so erhält man hieraus:

4x²= 2a -f 2 ya²+ b² und — 4y² = 2a — 2 ya²-|-b³,

}4 + bi = ~ /2a + 2]/ä»+b* -\-^Y~ 2a + 2 x/a-H

Setzt man

so wird

und demnach ist und und daher ist

Damit ist direkt gezeigt, daß die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl wieder eine komplexe Zahl ist.

t>) Lehrsatz 7. Jede komplexe Zahl a ± bi kann auf die Form r (cos <p + i sin cp) gebracht werden.

Beweis. Man kann a + bi durch r (cos cp -j- i sin <p) ausdrücken, wenn r und cp sich so bestimmen lassen, daß

und zugleich

ist. Dazu aber hat man nur

r cos cp = a r sin cp — + b

r² = a² 4 b² und = tg cp

zu setzen.

Die Größe r = /a² 4 b² ist stets positiv zu nehmen. Da unbeschadet der Allgemeinheit a stets als positiv gelten kaun (man würde sonst den Faktor -1 vor der Umwandlung absondern), so ist cp mit b zugleich positiv oder negativ. Die Benutzung eines negativen Winkels bei negativem b hat den Vorteil, daß cp stets zwischen 0° und 90° angenommen werden kann.

Erklärung. Die Größe r = 4 t/a² 4- ba heißt Modul, und der Winkel cp heißt Argument der komplexen Zahl a + bi.

Beispiele. @8 ist 3 + 3i = 3/2 (cos 45° 4- i sin 45°)

und 3 - 3i = 3/2 (cos - 45°4- i sin - 45«),

— 3 /2 (cos 45° — i sin 45°).

Zusatz. Bei der Ausführung der Umwandlung empfiehlt es sich, wenn a und b nicht einfache Zahlen sind, zuerst cp und dann aus r COS cp = a oder

COS <jp

den Modul r zu berechnen.

e) Lehrsatz 8. (Erster Satz von Moivre.) Es ist (cos <pi + i sin yi) (cos ya + i sin ya) — cos (yi + ya) + i sin (yj + ya).

Beweis. Es ist (cos yx + i sin yx) (cos y₂ + i sin y₂) — cos yx cos y₂ — sin yx sin y₂

+ i (sin yx cos y₂ + cos yx sin y₂),

= cos (yx + y₂) + i sin (yx + y₂)-

Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung gelangt man zu dem

Satze:

Lehrsatz 9. (Zweiter Satz von Moivre.) Es ist

(cos y + i sin y)n = cos n y + i sin n y.

Der Herleitung nach ist n eine ganze positive Zahl. Es läßt sich jedoch zeigen, daß n auch negativ und ein Bruch sein darf.

«) Ist zunächst n negativ und gleich — m, so hat man:

(cos go -f- i sin qp)m

(cos y + i sin y)n — (cos y + i sin y)~m

cos m cp — i sin m cp

cos² m cp -f- sin⁸ m cp

cos m cp -j- i sin m cp = cos in cp — i sin m cp = cos (— m cp) + i sin (— m cp)

= cos n cp + i sin n cp.

ß) Ist weiter n = £ so hat man:

P

(cos cp + i sin cp)n — (cos cp + i sin cp)q = [(cos cp + i sin <p)p]⁹,

= (cos p cp + i sin p <p)q.

Nach Lehrsatz 5 aber kann man setzen:

1

(cos p cp + i sin p cp)q = cos x -f i sin x,

und hat dann:

also:

cos p cp + i sin p cp = cos q x + i sin q x.

Nach Lehrsatz 6 folgt hieraus:

cos p cp *= cos q x und sin p cp = sin q x,

p cp = q x und x =

|"Ö

cp.

Somit ergibt sich:

~ cp •+* i sin ü cp.

(cos cp + i sin cp)q = cos

Für den Fall p = 1 und q = n führt dies auf Lehrsatz 10. (Dritter Satz von Moivre.) Es ist

“j/cos (p + i siu^p — cos ^ + i sin 2.

Da cos k-360® = 1 und sin k-360° =0 ist, so kann die Zahl 1 durch beliebig viele Ausdrücke von der Form cos k • 360° + i sin k • 360° dargestellt werden. Jeder dieser Ausdrücke von komplexer Form kann in s/i für 1 gesetzt werden. Man erhält daun nach Satz 10, wenn man k der Reihe nach die Werte 0, 1, 2, 3 ... beilegt:

Vl = cosO°+ isinO°= 1,

— cos * - 360° + i sin ^ - 360", = cos — - 360" + i sin — 360", = cos ^ 360" + i sin — 360".

Wird k = n, so tritt der erste Wert wieder ein. Für k = n + r ist das Argument gleich 360" oder 360" -j- ^ - 360", und die Funktionen erhalten dieselben Werte wie für t = r, d. h. man erhält alle Werte für s/1, wenn man k die Reihe der ganzen Zahlen von 0 bis n — 1 durchlaufen läßt. Da diese Werte voneinander verschieden sind, so folgt:

Lehrsatz 11. Die nte Wurzel aus 1 ist n-deutig.

In entsprechender Weise kann man

— 1 — cos (2k + 1) 180° + i sin (2 k + 1) 180°

setzen und den Satz ableiten:

Lehrsatz 12. Die nte Wurzel aus —1 ist n-deutig.

Jede reelle Zahl a ist aber gleich dem Produkt aus der absoluten Zahl a und dem Faktor + 1 oder — 1. Es besteht daher auch der Satz:

Lehrsatz 13. Die nte Wurzel aus einer beliebigen reellen Zahl ist n-deutig.

Schließlich kann cos g> + i sin <p in der Form cos (k • 360" + y) + isin(k -360" + <p) geschrieben und darin k der Reihe nach gleich 0,1, 2, 3,... gesetzt werden. Die dritte Moivresche Formel lautet demnach allgemein:

+iSi„£«2!±2.

n

Lehrsatz 14. j/cos <p + i sin g> = cos Dem Exponenten n entsprechend umfaßt der Ausdruck n verschiedene Werte.

k.860°+y

d) Da jede Zahl auf die Form r (cos qp -f i sin <p) gebracht und somit der allgemeinen binomischen Gleichung ntcn Grades die Gestalt

xn = a = r (cos <p + isinqp)

gegeben werden kann, so ergibt sich aus Lehrsatz 14:

Lehrsatz 15. Die n Wurzeln der allgemeinen binomischen Gleichung xn = a = r(cos<p + isin <p) gehen aus dem Ausdruck

k.3G0° + q>

k. 860° +

f-1 sin

hervor, wenn k der Reihe nach die Werte 0, 1, 2, 3,... (n — 1) beigelegt werden.

Aufgabe 1. Die 3tcn Wurzeln aus 1 zu berechnen.

Ausl. Es ist j^l = cos j360° + i sin ^360°, und daraus ergibt sich für k = 0:    — cos 0» + i sin 0°    ---1.

|/r=cosl20°+ isinl20° = J(-l + i]/3).

-    k = 2:    fT=cos240°+isin240° = i(-l-i}/3).

Aufgabe 2. Die 4tEn Wurzeln aus —1 zu berechnen.

Ausl. Es ist y^T--- cos    180» + i sin180», und daraus

für k = 0:    y — 1 = cos 45° + i sin 45° = iy/2( 1 + i).

V=l — cos 135° + isinl35°=i/2(-l + i).

-    k = 2: y^l = cos 225° + i sin 225« - i f2(- 1 - i).

f/^T = cos 315« + isin315«=    1 - i).

- k-1:

ergibt sich

- k = 1:

- k = 3:

COS

Anmerkung. Mit Ausnahme der Formen x² = ± 1 und x⁴ = + ¹ hat die Gleichung xn = ± 1 stets einige Wurzeln, welche komplexe Zahlen sind. Da aber auch deren nte Potenz gleich ^ 1 sein muß, so erhält man in ihnen die komplexen Zahlen,' deren nte Potenzen nicht wieder komplexe Zahlen sind. Berechnet man z. B. die 8tcn Wurzeln aus +1, so erkennt man, daß die 8^ Potenz einer jeden der Zahlen 1-j-i, 1 — i, — 1 + i und . — l —i reell ist.

Nr. 11. Geometrische Darstellung komplexer Zahlen.

41

Nr. 11. Geometrische Darstellung Komplexer Zahlen.

a)    Die Reihe der positiven und negativen, ganzen und gebrochenen Zahlen läßt sich durch Punkte auf einer Geraden darstellen. Bei positiven Zahlen liegen die Punkte rechts und bei negativen links von einem beliebig gewählten Nullpunkte. Auch den irrationalen Zahlen entsprechen Punkte auf dieser Geraden. Legt man durch den Nullpunkt eine zweite Gerade (am einfachsten senkrecht zu der Geraden der reellen Zahlen), so kann man jeden Punkt dieser Geraden als Bild derjenigen imaginären Zahl bi betrachten, deren Koeffizient b den Abstand des Punktes von dem Nullpunkte angibt. Dabei wird wieder durch das Vorzeichen zu unterscheiden sein, auf welcher Seite der ersten Geraden der Punkt liegt. Gewöhnlich legt man die Gerade der reellen Zahlen horizontal und zählt die positiven Abstände nach rechts. Die Gerade der imaginären Zahlen ist dann vertikal, und die positiven Abstände werden nach oben gemessen.

th+3l

Setzt man jetzt fest, daß die vierte Ecke des Rechtecks, dessen Seiten die Zahlen a und bi darstellen, das Bild der komplexen Zahl a + bi sein soll, so kann man jeden Punkt der Ebene als das Bild einer komplexen Zahl auffassen. Liegt der Punkt auf der reellen Achse (Gerade), so ist die Zahl reell, und liegt er auf der imaginären Achse, so ist sie imaginär.

Fig. 21.

Die Bestimmungsstücke a und b der komplexen Zahl a + bi heißen Koordinaten ihres Bildes.

Will man wie bei den reellen und imaginären Zahlen auch bei den komplexen Zahlen die Entfernung ihres Bilves von dem Nullpunkte als Zahlstrecke einführen, so reichen die Vorzeichen + und — nicht aus, um die Richtung zu bestimmen, sondern es muß der Winkel y angegeben werden, den die Strecke mit der positiven Richtung der reellen Achse bildet. Die Angabe des Winkels y ersetzt also die Vorzeichen + und — und umfaßt auch den Fall, daß die Zahl reell ist. Weshalb? Die Zahlstrecke selbst gilt stets als positiv. (S. Nr. iobi)

4,

b)    Nach dieser Festsetzung lassen sich die Gesetze für das Rechnen mit komplexen Zahlen veranschaulichen.

aj

Fig. 82

1. Die Summe zweier komplexen Zahlen a₂ + b₂ i und a,₂ 4- b₂ i ist gleich (a₂ 4- a^) + (bj + b₂) i. Sind nun OA,, 0 Aä und OA die Zahlstrecken der drei komplexen Zahlen, so läßt sich aus der Figur ablesen, daß

AA,= OAj und AAi||OAj und somit OA die Diagonale des Parallelogramms ist, dessen Seiten die Zahlstrecken OA, und OA₂ sind. Demnach wird die Addition zweier Strecken geometrisch dadurch ausgeführt, daß man die zweite Zahlstrecke in ihrer Richtung an die erste anträgt.

2. Setzt man ax + b, i = (cos g₁ -f i sin <p,) und + b₂ i = r₂ (cos y2 + i sin y₂), so ist (a, + b₁ i) (a₂ + b₂ i) gleich rt • r₂ [cos (yt + y«,) + i sin (y, + y₂)], und demnach wird das Produkt durch die Zahlstrecke r = r, • r₂ mit der

>4

Mg- 88.

Richtung y = <Pi + <p₂ dargestellt. Aus der Gleichung r = rt • r₂ folgt die Proportion 1: rt = r₂: r. Verbindet man daher den Punkt A mit Ax und den Punkt \ mit dem Punkte B, der auf der reellen Achse in der Entfernung + 1 von 0 liegt, so ergibt sich aus der Gleichung y = yx + y₂, daß die Dreiecke OA₂B und OAAx ähnlich sind. Die Multiplikation zweier komplexen Zahlen wird demnach (geometrisch) dadurch ausgeführt, daß über der ersten Zahlstrecke ein OA₂B ähnliches Dreieck, in welchemOA, derStreckeOB entspricht, hergestellt wird.

Bei dem Quotienten zweier komplexen Zahlen ist r = ri, also r:r, = l:r₂,

rs

und y = y, - y₂; in den ähnlichen Dreiecken entsprechen sich daher die Strecken OA«, und OAr

3.    Bei Potenzen komplexer Zahlen mit ganzen Exponenten haben die Zahlstrecken der Reihe nach die Größe r, r², rs. . . und folgen unter Winkeln von y° aufeinander. Die Richtung, in der sich die ähnlichen Dreiecke aneinander lagern, hängt davon ab, ob der Exponent positiv oder negativ ist. Die Endpunkte der einzelnen Zahlstrecken liegen auf einer Kurve, welche logarithmische Spirale heißt. Ist r = 1, so geht diese Kurve in den Kreis um 0 mit dem Halbmesser 1 über.

4.    Nach Nr. 10,₁₅ ist

360° +

k ■ 360° + y>

k-

■j/r (cos y + i sin y) = |/r ^cos

f isin

Die Zahlstrecken der n Wurzeln sind also einander gleich, und ihre Endpunkte liegen auf dem Kreise um 0 mit dem Halbmesser |/r7 Die Argumente wachsen gleichmäßig um und daher sind die Endpunkte der Zahlstrecken

die Ecken eines regelmäßigen Vielecks. Eine geometrische Bestimmung der nt-n Wurzeln wird aber nur dann möglich sein, wenn y durch n geteilt werden kann, d. h. wenn n = 2“ und « eine ganze Zahl ist.

Anhang.

Wiederholender Aufbau des arithmetischen Lehrganges. Veranschaulichung der Rechnungsarten. Erweiterungen des Zahlengebirtes.

A.

Stellt man die Reihe der absoluten ganzen Zahlen dadurch dar, daß man auf einer Geraden von einem beliebig gewählten Anfangspunkt aus nach einer Seite hin (nach rechts) hintereinander gleiche Strecken abmißt und jeden Endpunkt als das Bild¹) der entsprechenden Zahl ansieht, so kann man die Rechnungsarten in folgender Weise veranschaulichen:

a) Zur Bildung der Summe a + b geht man von dem Punkte, der darstellt, um b Teilstrecken nach rechts (weiter!). S. Unter«

die Zahl a stufe, II Nr. 2.

Die Zahlen a und b können miteinander vertauscht werden. (Gesetz der Vertausch-barkeit der Summanden.)

b)    Zur Bildung der Differenz a — b geht man von dem Punkte, der die Zahl a darstellt, um b Teilstrecken nach links (zurück!). S. Unterstufe, II Nr. 3.

Zusatz. Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition.

c)    Zur Bildung des Produktes a • b geht man von dem Anfangspunkt der Zählung aus um so viel Schritte von der Länge a nach rechts, wie b Einheiten enthält. S. Unterstufe, II Nr. 4.

Zusatz. Die Zahlen a und b können miteinander vertauscht werden. (Gesetz der Vertauschbarkeit der Faktoren.)

d)    Die Darstellung der Potenz ab verlangt eine (b — 1) malige Wiederholung des Verfahrens c).

e)    Zur Bildung des Quotienten a: b bestimmt man entweder, mit wieviel Schritten von der Länge b der Dividendus a erreicht worden ist, oder wie groß jeder der b Schritte ist, die von dem Bilde des Dividendus a nach dem Anfangspunkt zurückführen. S. Unterstufe, il Nr. 5.

Zusatz. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.

f)    Bei der Darstellung der Wurzel a = \ c bestimmt man die Länge des Schrittes a, der zur Bildung der Potenz c = ab benutzt wurde, während bei der Darstellung des Logarithmus b = log c das Bild der Zahl entsteht, welche angibt, wieviel Faktoren a zu der Potenz e = a‘ vereinigt sind.

Zusatz. Zur Bildung der Wurzeln und Logarithmen führen Umkehrungen des Potenzierens.

B.

Während die Ausführung und Darstellung der Addition a + b, der Multiplikation a • b und der Potenzierung ab stets möglich ist, solange a und b endliche ganze Zahlen sind, ist dies bei den Umkehrungen nicht immer der Fall.

g)    Zunächst hat eine Differenz von der Form a — b, in der b gleich a oder größer als a ist, keine Bedeutung und gewinnt erst durch Einführung der negativen Zahlen und der Null einen Inhalt. (Erste Erweiterung des Zahlbegriffs.) Der Ausgangspunkt der Zählung ist das Bild der neuen Zahl Null (Nullpunkt», und die Punkte auf der linken Seite des Nullpunktes sind die Bilder der negativen Zahlen. Die Berechtigung zu dieser Erweiterung des Zahlbegriffs wird durch den Nachweis dargetan, daß die negativen Zahlen denselben Rechengesetzen folgen wie die (bisherigen) positiven Zahlen. Da dieser Nachweis bei der begrifflich noch inhaltslosen Multiplikation mit einer negativen Zahl nicht möglich ist, so muß eine (erste) Erweiterung des Multiplikationsbegriffs eintreten.

S. Unterstufe, II Nr. 8.

h)    Ebenso hat der Quotient a: b keine Bedeutung mehr, wenn b nicht als Faktor in a enthalten ist, und gewinnt erst durch Einführung der Brüche einen Inhalt. (Zweite Erweiterung des Zahlbegriffs.) Teilt man die Strecken zwischen je zwei aufeinander folgenden Bildpnnkten der ganzen Zahlen in b gleiche Teile, so sind die Teilungspunkte die Bilder der Bruchzahlen mit dem Nenner b. Da jede von 1 verschiedene ganze Zahl als Nenner auftreten kann, so wird das Bild des erweiterten Zahlengebietes eine mit beliebig nahe beieinander liegenden Punkten besetzte Gerade sein. Die Berechtigung zu dieser Erweiterung des Zahlbegriffs wird wiederum durch den Nachweis dargetan, daß die Brüche denselben Rechengesetzen folgen wie die (bisherigen) ganzen Zahlen. Da dieser Nachweis bei der begrifflich noch inhaltslosen Multiplikation mit einem Bruche nicht möglich ist, so muß eine neue (zweite) Erweiterung des Multiplikationsbegriffs eintreten.

S. Unterstufe, II Nr. 16—17.

i)    Die Ausdrücke a = y'b und n -- alog b haben keine Bedeutung mehr, wenn nicht in dem bisherigen Zahlengebiet zwei Zahlen a und n vorhanden sind, für welche an gleich b ist, und gewinnen erst durch Einführung der irrationalen Zahlen einen Inhalt. (S. k» Wenn auch das bisherige Gebiet der rationalen Zahlen für eine ihm ungehörige Zahl a (n) keine Zahl n (a) enthält, für welche an gleich b ist, so lassen sich doch unendlich viele Zahlenpaare n₁ und n₂ (a, und a₂) derart bestimmen, daß an- < b < an» (a“ < b < a") ist. (Näherungswerte.) Durch die Festsetzung, daß bei der Rechnung diese Näherungswerte an die Stelle der Wurzeln und Logarithmen treten sollen, werden die irrationalen Zahlen dem (bisherigen) rationalen Zahlengebiet angegliedert. (Dritte Erweiterung des Zahlbegriffs.)

S. Unterstufe, II Nr. 26.

k)    Auch nach Einführung der irrationalen Zahlen läßt sich die Gleichung an = b noch nicht immer umkehren (z. B. x⁴ = —16 oder ax = — 9). Sollen daher

die Ausdrücke q/b und alogb stets eine Bedeutung besitzen, so ist eine abermalige Erweiterung des Zahlbegriffs erforderlich, und diese geschieht durch Einführung der imaginären Zahlen. (Vierte Erweiterung des Zahlbegriffs.) Zur Darstellung der imaginären Zahlen wird die Gerade benutzt, die im Nullpunkte auf der bisher verwandten Geraden senkrecht steht. Die Angliederung der imaginären Zahlen an das (bisherige) reelle Zahlengebiet verlangt eine erneute Erweiterung des Multiplikationsbegriffs.

l)    Die allgemeinste Zahl, mit der sich die elementare Mathematik beschäftigt, ist die komplexe Zahl, die sich aus einem reellen und imaginären Bestandteil zusammensetzt. Als Bild einer komplexen Zahl a + bi kann der Schnittpunkt der beiden durch die Bilder a und bi ihrer Bestandteile zu der imaginären, bzw. reellen Geraden gelegten Parallelen angesehen werden.

Über die geometrische Deutung des Rechnens mit komplexen Zahlen s. Nr. 11.

Anmerkung. Alle bisherigen Rechnungsarten können ganz allgemein auf komplexe Zahlen ausgedehnt werden und führen niemals aus dem Gebiet der komplexen Zahlen hinaus. Der Beweis dieser Behauptung, der hier noch nicht geliefert werden kann, wird in Nr. 47 folgen.

Kapitel 4.

Gleichungen zweiten Grades.

Nr. 12. Luadratische Gleichungen mik einer Unbekannten.

a) Sind in einer Gleichung zweiten Grades alle noch etwa verlangten Rechnungen, wie Multipl., Div. usw., ausgeführt oder, wenn dies nicht möglich ist, rückgängig gemacht (s. Nr. 6 b), so entsteht durch Zusammenfassung der Glieder mit der 2ten, bzw. lten Potenz von x und der von x freien Glieder die Gleichung:

ax² + bx + c = 0.

In dieser darf a nicht gleich 0 sein. Man kann daher durch a dividieren und gelangt dadurch zu der Normalform

x² + px + q = 0.

Die Auflösung dieser Gleichung durch quadratische Ergänzung liefert:

Xi= -

x₂= -

yFF (-‘-FF)-

ab

Bei der allgemeinen Auflösung können 3 Fälle eintreten.

1.    q ist negativ. Die Quadratwurzel ist dann reell, da p und q reell sein sollen.

2.    q ist positiv und kleiner als Auch in diesem Falle bleibt die Quadratwurzel reell.

3.    q ist positiv und größer als y- Die Wurzel ist dann imaginär, und x ist komplex.

Anmerkung. Sind die Größen p und q für die Berechnung der Quadratwurzel unbequem, so kann mit Benutzung der Winkelfunktionen eine Umgestaltung der Ausdrücke eintreten, die eine bequeme logarithmische Durchführung der Aufgabe ermöglicht. (©. IV, Nr. 10.)

b) Da nach I.

x, + x₂ = — p und Xj • x₂ = q ist, so kann man der Normalform die Gestalt geben:

x² — (xj + x₂) x + XjX₂ = 0 oder (x — x,) (x — x₂) — 0.

Bezeichnet man daher die Wurzeln der Gleichung x² f px + q = 0 als Nullstellen der Funktion f(x) = x²-f px + q, so kann man den Satz aussprechen:

Hat die Funktion f(x) = x²+ px + q die Nullstellen x, und x₂, so läßt sie sich durch das Produkt aus den Faktoren ersten Grades (linearen Faktoren) x — x, und x — Xz darstellen.

Hierauf stützt sich das folgende, bei einfachen Zahlen rasch zum Ziele führende Verfahren:

Man zerlegt q in Faktorenpaare und sieht zu, welches Paar als algebraische Summe — p liefert.

Aber auch bei größeren Zahlen läßt sich, wenn die Wurzeln rational sind, die Gleichung durch Zerlegung ihrer linken Seite in lineare Faktoren auflösen. Sind

xj = “ und x₂ = |

die Wurzeln der Gleichung ax²+ bx + c = 0, so muß

(x — ~j ^x —    — 0 oder ßdx² — (ad + ßy)x ay — 0

ßd — a, ay = c und — (ad + ßy) — b

und somit

sein. Man zerlegt daher a und c in Faktorenpaare und bestimmt diejenigen Paare, bereit entsprechende Produkte — b als algebraische Summe, liefern.

Beispiel 1. In der Gleichung 2l8x*— 176 x -f- 2‘2 — 0, in der die Faktoren a und y gleiche Vorzeichen besitzen müssen, hat man

a = l • 213 = 3 • 71 und o = l 22 = 2 11.

Von diesen Zerlegungen sind 3 71 und 2-11 verwendbar, weil 3-11 + 71-2 = 176 ist. Es ergibt sich also:

2 11

(3x — 2)(7ix — li) = o, und somit: x, = — und Xz =—

In vielen Fällen läßt sich aus der Zahl b leicht entscheiden, welche Zerlegungen der Zahlen a und b von vornherein ausgeschieden werden können. Lautet z. B. die Gleichung 24 x² — 74x + 45 = 0, so erkennt man, daß 45 nicht in 3 -15 zerlegt zu werden braucht, weil 74 den Faktor 3 nicht enthält, und daß bei 24 die Zerlegungen 1 - 24 und 3 - 8 überflüssig sind, weil aus diesen die gerade Zahl 74 nicht entstehen könnte. Somit hat man nur die Zerlegungen 45 = 1 • 45 = 5 • 9 und 24 = 2 • 12 = 4 • 6 zu berücksichtigen; aus diesen findet man aber rasch, daß die Zerlegung (4x — 9) (6x — 5) lauten

muß, und daß daher die beiden Wurzeln gleich ~ und sind.

Beispiel 1. Es sei 264 x² + 263x + 65 = 0. Die Faktoren a und y müssen hier gleiche Vorzeichen besitzen und 264 braucht nicht in zwei gerade Faktoren zerlegt zu werden; man hat also die Zerlegungen 264 = 1-264 = 3-88 = 8-33 = 11-24 und 65 = 1-65 = 5-13 zu berücksichtigen. Von diesen sind 11-24 und 5 13 verwendbar, weil 11-13 + 24-5 = 263 ist. Es ergibt sich also: (lix + 5) (24x + 13) = 0, usw.

Beispiel 2. Es sei 325x² + 2lx —136 = 0. Die Faktoren « und y müssen hier ungleiche Vorzeichen besitzen; 325 braucht nicht in Faktoren mit dem gemeinsamen Faktor 5, und 136 braucht nicht in gerade Faktoren zerlegt zu werden; man hat also nur die Zerlegungen 325=1-325= 13-25 und 136 = + 1- + 136 = + 8- + 17 zu berücksichtigen, und da 13-17 — 8-25 = 21 ist, so erhält man das Produkt (13x — 8) (25x +17), usw.

Zusatz. Ein zweites Verfahren ergibt sich, wenn ax durch y ersetzt wird. Die Gleichung ax² + bx + c = 0 geht dann in y² + by + a,c = 0 über. In vielen Fällen führt jedoch das erste Verfahren rascher zum Ziele.

c) Besitzt eine Gleichung die Gestalt

x2n + pxn + q = 0,

so ist sie in bezug auf xn quadratisch und auflösbar.

Ferner geht die Gleichung

V? + pV5 + q-o

durch die Substitution y'x = y in die quadratische Gleichung y² + py + q = 0 über.

d) Schließlich kann die Unbekannte auch bei Potenz- oder Wurzelexponenten vorkommen. Entsteht dann durch Übergang zu den Logarithmen eine quadratische Gleichung, so ist mit dieser auch die ursprüngliche Gleichung auflösbar. Man nennt diese Gleichungen Exponentia!-Gleichungen.

Beispiel 1. Aus 23 - 4,63x2 - 3* + 4 « 195* - 7

folgt:

oder

log 23 -f- (2x⁸ — 3x 4* 4) log 4,6 = (Öx — 7) log 19 2 log 4,6 • x² — (3 log 4,6 -f 5 log 19) x -f log 23 + 4 log 4,6 + 7 • log 19 — 0,

und hieraus:

log 28 + 4 log 4,6 +1 log 19 ₌ o 2 log 4,6

x2 _ 3 log 4,6+ 5 log 19 2 log 4,6

Beispiel 2. Es sei 'yäi = 33x ~⁵. Der Übergang zu den Logarithmen liefert:

also:

g log 81 = (8 x-6) log 3, log 81 = (6x² — 10x) log 3.

Nun ist log 81 = log 3⁴ = 4 log 3, und somit ergibt sich die Gleichung:

6x² — 10x — 4 = 0.

e) Graphische Auflösung der Gleichung zweiten Grades. (S. Unterstufe, S. 140.) Ist die Funktion y = f(x) vom zweiten Grade und mit x durch die Gleichung y = x² + ax + b verbunden, so kann man y als die Summe der beiden Funktionen yx = x² und y₂ = ax + b ansehen. Aus den Linien, welche diese Funktionen darstellen, erhält man die Kurve für y, wenn man die einander entsprechenden Werte von yx und y₂ jedesmal addiert und die zu der Summe y, + y₈ gehörigen Punkte durch einen Linienzug miteinander verbindet.

Die Linie y = x⁸ ist für alle Funktionen von der Form y = x⁸ + ax + b die gleiche; hat man sie daher einmal sorgfältig gezeichnet, so kann man sie ausschneiden und für Darstellungen benutzen, welche in dem gleichen Maßstab ausgeführt werden sollen.

Die graphische Auflösung der Gleichung x² 4- ax + b = 0 gestaltet sich nun einfach. Ersetzt man in der Gleichung x² durch y, so erhält man y + ax + b = 0 und weiß, daß der Wert von X, der zu einem Schnittpunkt der Linien y = x² und der Geraden y + ax + b = 0 gehört, eine Wurzel der Gleichung xs + ax + b = 0 ist.

Beispiel. Es sei 25x²- 18x    45 = 0 oder x² - g x - g = 0.

Ausl. Die Gerade y — gx — g = 0 trifft die Achsen in den Punkten — 2,5 bzw. b = 1,8 und kann daher leicht gezeichnet werden. Wird auf

a =

die mit dem Zentimeter als Längeneinheit ausgeführte Figur die Kurve y = x2 so gelegt, daß die Koordinatenachsen zusammenfallen, so schneiden sich die beiden Linien in zwei Punkten, für welche x die ungefähre Größe 1,7 bzw. — 1 hat.

¹

Die Entfernung des Bildes von dem Ausgangspunkt der Zählung wird als die entsprechende Zahlst recke bezeichnet.

Nr. 13. Gleichungen 4ten Grades, welche auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden Können. Reziproke

Gleichungen.

a) Eine Gleichung vierten Grades

x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0

ist auf eine Gleichung zweiten Grades zurückführbar, wenn das Glied mit x² so zerlegt werden kann, daß die ersten Glieder das Quadrat des Ausdrucks x² + -|x bilden und die Restglieder sich aus diesem Ausdruck und einer von x freien Zahl zusammensetzen lassen.

Lautet z. B. die Gleichung:

x⁴ — 6x³ + 5x² 4- 12x — 60 = 0, so zerlegt man 5x² in 9x²— 4x² und erhält:

(x² — 3x)² — 4 (x² — 3x) — 60 = 0,

und hieraus: x² — 3x = 10 oder — 6.

Weiter liefert dann die Gleichung x² — 3x = 10 die Wurzeln xt = 5 und x₃ = — 2,

x3_3x = -6 -

X3

- j (3 + i Y15) und x₄ -1 (3 - i yiö).

b) Ist d nicht gleich 0, so kann auch x nicht den Wert 0 annehmen. Es ist dann erlaubt, durch x² zu dividieren und die Gleichung zu bilden:

x² + ^ + a(x+^) + b = °.

Läßt sich nun x² + ^ durch (x + und eine von x freie Zahl darstellen, so entsteht eine quadratische Gleichung für    Diese Bedingung

aber ist für d = oder a²d = c² erfüllt.

x⁴ + 5xs-56x⁸-15x + 9 = 0,

Beispiel.

-56 = 0,

x, + |ä + s(x-f)-56 = 0, (x-f) +6 + 5(x-|)

oder

(x_|)²₊₆(x-|)-⁵0 = °,

und hieraus:

— = 5 oder —10.

X

Nun sind noch die beiden Gleichungen x —^ = 5 und x-^- = —10 aufzulösen. Müller, Mathematik. II.B. — 4. Aull

c) Ist insbesondere d = 1 und c = a, so lautet die Gleichung: x⁴ + ax⁸ + bx² + ax ! 1 = 0.

Diese Gleichung ändert ihre Form nicht, wenn x durch i ersetzt wird, und wird daher als reziproke Gleichung bezeichnet. Ist a eine ihrer

Wurzeln, so wird sie auch durch ^ befriedigt; ihre Wurzeln sind demnach paarweis reziprok.

Zusatz: Da ± 1 sich selber reziprok ist, so kann der Grad einer reziproken Gleichung auch eine ungerade Zahl sein. Derartige Gleichungen müssen durch Division durch x +1 auf reziproke Gleichungen, deren Grad eine gerade Zahl ist, zurückgeführt werden.

Die Auflösung reziproker Gleichungen 2ten Grades ist einfach.

Die reziproke Gleichung 4ten Grades

x⁴ + ax³ 4 bx² + ax + 1 = 0

wird, wie sich aus b) ergibt, auf die Gleichung

zurückgeführt.

Anmerkung. Reziproke Gleichungen 6tett und 7len Grades sind mit den angegebenen Hilfsmitteln auf Gleichungen 3tcn Grades zurückführbar.

Beispiel 1.

(x +i) + a (x +1) + b 2

(5xs-31xä + 31x-5) = 0.

Da

(5xs — 31xs-|- 31x — 5): (x — 1) = 5x⁸ — 26x -|- 5

ist, so bleibt die Gleichung x² —~x + l = 0 mit den Wurzeln 5 und *-•

Beispiel 2.

86 , . 81 ,    36    .

x⁴- — xs + y x²- —x + 1 = 0.

-r

also

Die Gleichungen

I ¹    10    .

x + — = -ir oder - -x 3

fcO Ol

,1 ⁵

X+x ⁼ 2

i ¹ io x+x⁼t)

liefern jetzt x, =2, x₈ =

x₈ = 3; x₄ = -.

Beispiel 3.

30 x⁵ - 157 x⁴ + 163x⁸ + 163x²- 157x + 30 = 0.

Da xt = — 1 eine Wurzel ist, so kann durch x +1 dividiert werden Die Rechnung führt dann auf

187

35

Es entsteht nun die Gleichung

X⁴--— X⁸-)- — X² —

30    ~ 3

187

30

x -f 1 = 0.

/    , IV 187 /    , 1\ , 35    _

(x + x)-Jö(x+x) ⁺ T~²

v ™    , 1    10    .    29

mit den Wurzeln x-f — = — oder —, usw.

Nr. 14. Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

Schon bei den Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten wird gezeigt, daß ebensoviel voneinander unabhängige und sich nicht widersprechende Gleichungen gegeben sein müssen, wie Unbekannte vorhanden sind. Während aber bei Gleichungen ersten Grades die durch Anwendung eines der verschiedenen Auflösungsverfahren entstehende Schlußgleichung wieder vom ersten Grade ist, wird bei Gleichungen zweiten Grades die Schlußgleichung nur unter ganz besonderen Voraussetzungen wieder vom zweiten Grade sein.

Zunächst tritt dies stets ein, wenn von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine vom ersten Grade ist, weil dann durch eine Substitution eine Gleichung zweiten Grades für eine der Unbekannten abgeleitet werden kann. Sodann läßt sich, wenn beide Gleichungen außer konstanten Gliedern nur Glieder zweiten Grades (x², xy, y³) enthalten, durch Division eine Gleichung

zweiten Grades für y herstellen; ist diese aufgelöst, so kann jede der gegebenen

x = ^(a + b)

Gleichungen zur Bestimmung von x und y benutzt werden. Ferner läßt sich in zahlreichen Fällen durch Einführung neuer Unbekannten und geschickte Handhabung der Elimination aus dem gegebenen System eine quadratische Schlußgleichung für eine der neu eingeführten Unbekannten ableiten. So ist es vielfach möglich, die Summe, die Differenz, das Produkt, den Quotienten, die Summe oder Differenz der Quadrate der Unbekannten als neue Unbekannten einzuführen und dadurch leicht aufzulösende Gleichungen herzustellen. Sind aber die neuen Unbekannten bestimmt, so bietet die weitere Rechnung keine Schwierigkeit mehr.

«) Hat man x + y = a und x — y = b gefunden, so ist und y = -=-(a —b).

ß) Kennt man x + y (= a) und x-y (= b), so sind X und y die Wurzeln der Gleichung z²— az + b = 0.

y) Ist x —y = a und x • y = b, so sind x und — y die Wurzeln der Gleichung z² — az — b = 0.

<f) Hat man x² + y² und x + y oder x — y gefunden, so ist einer der Fälle «), ß) oder y) ableitbar.

Allgemeine Vorschriften, wie die Gleichungen für die neuen Unbekannten herzuleiten sind, lassen sich nicht angeben. In zahlreichen Fällen können jedoch die folgenden Formeln mit Vorteil benutzt werden:

x² + y² + xy = (x + y)² - xy = (x — y)² + 3xy. x² + y² — xy = (x + y)² - 3xy = (x — y)² + xy.

4xy = (x + y)² — (x - y)². x³ + y⁸ = (x + y) (x² — xy 4 y²)-

X³ — y³ = (x — y) (x² + xy + y)².

1.

Beispiele.

y² -j- xy ----- b.

x² + xy == a,

Durch Addition und Subtraktion ergibt sich:

(x + y)⁸ =a + b,

x + y = ±]/a + b,

und hieraus:

2.

x² — y² = a - b,

- + -Ä

-ya+b

x + y oder X — y — b.

x² + y² = a (x-y)⁸=b2 2xy = a — b².

x² + y² ----- a, x² + y² = a

(x + y)² — b²

2xy = b² — a

Damit kennt man x + y und x • y, bzw. x — y und x • y. X³ — y² = a,

Die Division liefert x + y = y"

x² — y² = a,

Aus

und

folgt:

3.

4.

Man ersetzt y² durch |y

x ± y = b.

xy = b.

x² + y² ± xy = a,

Durch Verbindung der ersten Gl. mit (x + y)² — b² erhält man xy. x² + y² ± (x ± y) = a, x ± y ± xy = b.

Man ersetzt x² + y² durch (x + y)² T 2xy und gelangt dann durch Elimination von xy zu einer Gleichung für x + y.

x⁸ + y³ = a, x + y = b.

5.

6.

7.

x + y = b.

Da xs + y³ = (x + y) (x² + y² — xy) ist, so führt die Aufgabe auf das Beispiel 5 zurück

8.

x⁸ — y⁸ = a, x — y = b.

Es ist (xs — y³): (x - y) = x² + y² + xy = (x — y)² + 3xy,

3xy = ^-b²

x² + y² + x ± j — a, (x² + y²) (x ± y) = b.

Man ersetzt x² + y² durch u unb x + y, bzw. x — y durch v, bestimmt u und v und hat dann das System x² + y² = u und x ± y = v aufzulösen.

und somit

9.

10.

x⁴ + y⁴ = a, x + y s= b.

b + Z

Man setzt x — y = z. Dann ist x =

' y = -

x⁴ + y⁴ = l(2b⁴+ 12b²--² + 2z⁴).

Es ist daher die Gleichung z⁴ + 6b²z² + b⁴ — 8a = 0 aufzulösen. Ist aber z gefunden, so kennt man auch x und y.

Nr. 15. Anzahl der Wurzrlpasre bei Gleichungen 2ten Grades mit zwei Unbekannten.

Läßt sich bei einem System 2tcn Grades mit zwei Unbekannten eine Schlußgleichung 2tcn Grades ableiten, so liefert diese die Werte für die Unbekannte, für die sie entwickelt ist, und diese Werte werden dann benutzt, um die Wurzelpaare des Systems zu bestimmen.

a)    Eine der beiden Gleichungen ist vom ersten Grade. In diesem Falle ist mit jedem Werte der einen Unbekannten nur ein Wert der anderen verbunden, und das System hat nur zwei Wurzelpaare.

Können in den beiden Gleichungen die Unbekannten miteinander vertauscht werden, sind also die Gleichungen symmetrisch, so sind auch die beiden Wurzelpaare symmetrisch.

b)    Aus den beiden Gleichungen läßt sich durch Elimination eine Gleichung ersten Grades zwischen den beiden Unbekannten ableiten. Es sind dann gleichfalls nur zwei (endliche) Wurzelpaare vorhanden.

Der Fall tritt ein, wenn die Koeffizienten der quadratischen Glieder der einen Gleichung denen der anderen proportional sind. Z. B.

3x⁸ — 5xy -j- 4y⁸— 7x-|-7y= 22,

9x⁸ — 15xy 12y⁸ -j- llx — 3y = 154.

Benutzt man die entstehende Hilfsgleichung 4x — 3y = 11, so gelangt man zu der Gleichung (x— 6)(3lx — 11) = 0 bzw. (y — 3)(31y + 99) = 0, und die weitere Behandlung des Systems zeigt, daß nur die Wurzelpaare x = 5, y — 8 und x = ~ , y = — —-vorhanden sind.

c) Beide Gleichungen sind vom zweiten Grade, ohne daß der Fall b) vorliegt. Zu jedem Werte der einen Unbekannten gehören dann zwei Werte der anderen, und den beiden Wurzeln der Schlußgleichung entsprechen vier Wurzelpaare des gegebenen Systems.

Bei Textgleichungen ist von den Wurzelpaaren häufig nur ein Paar für die Lösung verwendbar, und die anderen führen auf Größen, die für die gestellte Aufgabe keine Bedeutung haben.

Kapitel 5.

Die arithmetischen und geometrischen Reihen.

Eine Folge von Größen, von denen jede aus der vorhergehenden nach demselben Gesetze entsteht, wird als'eine (mathematische) Reihe bezeichnet. Die einzelnen Größen heißen Glieder der Reihe.

4    5    6 . . .

13    17    21 . . .

Das Gesetz, das für die Art der Reihe maßgebend ist (das Bildungsgesetz), gelangt in dem allgemeinen Glied der Reihe zum Ausdruck. Die einzelnen

Beispiele.

Glieder aber entstehen aus dem allgemeinen Gliede, wenn der veränderlichen Größe der Reihe nach die Werte 0, j, 2, 3, usw. beigelegt werden.

So entsteht aus dem allgemeinen Gliede

(k+1)² die Reihe l², 2², 3², 4², 5², 6², usw.

[(k+l)n + k]²    -    -    n², (2n + l)², (3n + 2)², (4n + 3)², ufto.

Anmerkung. Wenn auch das allgemeine Glied einer Reihe hiernach in der Form einer Funktion der veränderlichen Größe auftreten wird, so wird man es doch nicht in dem bisher angewandten Sinne als eine Funktion dieser Größe bezeichnen können, da der Veränderlichen nicht beliebige, sondern nur ganzzahlige Werte beigelegt werden dürfen.

Nr. 16. Die arithmetischen Reihen (erster Ordnung).

Die einfachste Reihe entsteht dadurch, daß jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Addition einer und derselben (positiven oder negativen) Zahl gebildet wird. (Arithmetische Reihe erster Ordnung.) Die Reihe heißt steigend oder fallend, je nachdem die Differenz zweier aufeinander folgenden Glieder positiv oder negativ ist.

a,

Bezeichnet a das erste Glied und d die Differenz, so lautet die Reihe a d, a + 2d, a + 3d . . .

und demnach hat das n,e Glied tn die Gestalt:

1.

t„ = a + (n — 1) d.

Diese Gleichung verbindet die 4 Größen a, d, n und tn miteinander und führt, wenn drei von ihnen bekannt sind, zu einer einfachen Berechnung der vierten Größe

Aufgabe. Die Summe der n ersten Glieder einer arithmetischen Reihe zu bilden.

Aufl. Setzt man

8n — a + (a + d) -f- (a -f- 2d) • - - 4- (tn — d) tn,

so ist nach Umkehrung der Reihenfolge auch

Sn — tn + (tn — d) + (tn — 2d) • • • + (a + d) + a,

und somit

also

2 Sn = (a + tn) + (a, + tn) + (a + tn) ¹ • • + (a + tn) + (a + tn;

2.

Sn = ^ (a + t„),

und mit Benutzung der Gleichung 1.

Die Gleichungen 1. und 2., bzw. 1. und 3. stellen zwei Gleichungen zwischen den 5 Größen a, d, n, tn und S„ dar; sind daher 3 von diesen gegeben, so können die übrigen berechnet werden. Die Gleichungen sind vom zweiten Grade, wenn a, d und Sn oder d, t„ und S„ gegeben sind. Von diesen beiden Fällen soll der erste behandelt werden.

Ausgabe. Aus a, d und Sn die Größen tu und n zu berechnen.

Ausl. Aus Gleichung 3. ergibt sich

und hieraus:

Es ist daher Weiter ist nach Gleichung 1.:

c    n(n-l)

Sn = na-)--^—-d

d — 2a 28

d n dr = 0*

" ⁼ hi td - 2a ± V(d — 2a)*-f- 8dSnJ.

tn— a -f d

n² —

und dann nach Gleichung 2.:

2 d Sn = (tu — a -f d) (a + tu) ----- tn²+ dtn — a (a — d).

Hieraus aber ergibt sich:

also:

t²n + dtn-[a (a-d) + 2d Sn] = 0, tn = J (- d ± j/(d — 2a)*4' 8d"Sn).

Die Wahl der Vorzeichen bei den beiden Quadratwurzeln wird dadurch beeinflußt, daß n stets positiv bleiben soll und tn nur bei einem positiven d größer als a sein kann.

Anwendungen.

Aufg. 1. Die Summe der ersten n ganzen Zahlen    zu

berechnen.    i

Ausl. Es ist a = 1, d = 1, n = n, tn= n, also

4.

n (n +1)

Aufg. 2. Die Summe der ersten n geraden Zahlen ^2L zu berechnen.    i

Ausl. ist a = 2, d = 2, n = n, tn= 2n, also

^2k = |(2n + 2) = n (n+ 1).

1

n

Aufg. 3. Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen^(2k- 1) zu berechnen.    i

Stuft. Es ist a = 1, d == 2, n = n, tn= 2n — 1, also

6.

2(2k-l) = |(2n

1

- 1 + 1) = n².

Aufg. 4. Die Summe der ersten berechnen.

Stuft. Es ist 1⁸ =

n

n Quadratzahten ^’k* zu 1

2® = (1 + l)³ = l⁸ + 3 • l² + 3 • 1 + 1 3⁸=(2 + l)®=2®+3-2²+ 3-2 + 1 4®= (3 + 1)³= 3³+ 3-3²+ 3-3 + 1

(n + l)³ = n³ + 3 ■ n² + 3 • n + 1.

Nach der Addition der übereinander stehenden Ausdrücke fallen die dritten Potenzen bis auf (n + l)³ fort. Man erhält daher

(n + 1):

und somit

7.

i[(„+1)

1

= ln (n + 1) (2n + 1).

— (n + 1) — (n + l)j

rechnen.

Aufg. 5. Die Summe der ersten

n Kubikzahlen ^'k³ zu be-1

Stuft. Wird hier die Formel

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4 ab³ + b⁴

angewandt, so erhält man

1⁴ =

2⁴= (1    +    l)⁴ =    l⁴ + 4 • l⁸ +    6 • l² + 4 • 1 + 1

3⁴= (2    +    1)⁴=    2⁴ + 4 • 2³ +    6 • 2² + 4 • 2 + 1

4⁴ == (3    +    l)⁴ =    3⁴ + 4 • 3³ +    6 • 3² + 4 • 3 + 1

(n + l)⁴ = n⁴ + 4 • n⁸ + 6 • n² + 4 • n + 1

(n + l)⁴- 4^ks+    + (n+ 1).

und somit

111

Benutzt man die Ergebnisse der vorhergehenden Aufgaben, so folgt:

und hieraus:

8.

4^k⁸=(n + 1) [(n + l)⁹ —

n(2n + 1) — 2n —1],

Anmerkung. Nach dem Ergebnis der Aufgaben 1., 4., 6. ist die Summe der ersten n lten Potenzen ein Ausdruck 2ten Grades von n

2ten

Zten

Zten

4ten

Bildet man in entsprechender Weise die Summe der ersten n

4ten Potenzen, so erhält man einen Ausdruck 5ten Grades von n

öten

6ten

-    - usw.

Nr. 17. Arithmetische Reihen höherer Ordnung.

Erklärung 1. Ist das allgemeine Glied einer Reihe eine Summe aus Potenzen einer veränderlichen Größe mit ganzen positiven Exponenten, so heißt die Reihe arithmetische Reihe, und ihre Ordnung ist gleich dem Exponenten der höchsten in dem allgemeinen Gliede vorkommenden Potenz der veränderlichen Größe.

von der ersten Ordnung (f. Nr. 16), -    - zweiten -

- dritten

usw.

So ist eine Reihe mit dem allgemeinen Gliede a -f bx a + bx + ex* a -j- bx -j- cx² -j- dx⁸ s

Erklärung 2. Bildet man in einer arithmetischen Reihe die Differenzen der aufeinander folgenden Glieder, so entsteht wieder eine Reihe, welche als die erste Differenzenreihe der ursprünglichen Reihe (Hauptreihe) bezeichnet wird. In entsprechender Weise wird aus der ersten die zweite, aus dieser die dritte Differenzenreihe usw. gebildet.

a) Enthält a₀ xm die höchste in dem allgemeinen Gliede einer Reihe vorkommende Potenz von x, so beginnt das allgemeine Glied der ersten Differenzenreihe mit a₀ [(x + l)m— xm], d. h. mit der (in — l)te” Potenz von X. In gleicher Weise zeigt sich, daß das allgemeine Glied

der 2ten Differenzenreihe mit der Potenz xm

Xm —s

xm-4 usw.

beginnt, daß also das allgemeine Glied der mten Differenzenreihe unveränderlich ist und somit die sämtlichen Glieder dieser Reihe einander gleich sind. (Stammreihei) Hierauf stützt sich die Erklärung:

-    3ten

-    4ten

Erklärung 3. Besteht die mte Differenzenreihe einer arithmetischen Reihe aus lauter gleichen Gliedern, fo wird die ursprüngliche Reihe als eine Reihe mlM Ordnung bezeichnet.

Beispiele. 1. Das allgemeine Glied einer Reihe sei a + dx. Es ist dann das allgemeine Glied der ersten Differenzenreihe gleich a -+ d (x + 1) — (a + dx) oder gleich d und somit die ursprüngliche Reihe von der ersten Ordnung.

x(x+ 1)

. Es ist

(x + 1) (x + 2)

2. Das allgemeine Glied einer Reihe sei die Zahl

dann das allgemeine Glied der ersten Differenzenreihe gleich

X (x + 1)

oder gleich x + 1. Die erste Differenzenreihe ist also von der ersten und somit die ursprüngliche Reihe von der zweiten Ordnung.

Zusatz 1. Eine arithmetische Reihe mte Ordnung ist durch ihr erstes Glied und die Anfangsglieder ihrer m Differenzenreihen bestimmt.

Beispiel. Eine Hauptreihe 3tra Ordnung beginne mit dem Gliede a„ = 8

2 1

und die Anfangsglieder ihrer Differenzenreihen seien a₀ = 21, a₀ = 24 0

und a₀= 12. Man hat dann die

12 12 12 12... 24    36    48    60    72...

21    45    81    129    189...

3te Diff -Reihe (Stammreihe) 12 2te -1“ -

8    29    74    155    284...

und schließlich die Hauptreihe

die Form

b) Das allgemeine Glied einer arithmetischen Reihe mtcc Ordnung hat

a* = A₀xm + AjX™ —¹ + A₂xm — 2+--- + Am_iX + Am.

Dieser Ausdruck enthält m + 1 voneinander unabhängige Koeffizienten, und daraus folgt:

Zusatz 2. Eine arithmetische Reihe m‘“ Ordnung ist durch m + 1 Glieder von gegebener Stellenzahl bestimmt.

Beispiel. Eine arithmetische Reihe 3tet Ordnung beginne mit den Gliedern 8, 29, 74 und 155. Wie heißt das allgemeine Glied der Reihe?

Ausl. Wird das allgemeine Glied der Reihe ax gleich A₀x³+ Axx8 + A,x + Ag gesetzt, so entsteht

für x = 0 die Gleichung:

-    x=l -

-    x — 2    -

-    x = 3 -

As= 8

A₀ + Ax -f Ag + Ag = 29

-    8 Ag 4° 4 Ax *4 2 Ag -f- Ag — 74

-    27 Ag + 9 Ax + 3 Ag -f Ag — 155.

Diese Gleichungen liefern für die Koeffizienten die Werte:

A₀ = 2, A, = 6, Az — 13 und A₃ --- 8, und demnach heißt das allgemeine Glied der Reihe:

Ox — 2x³ + 6x² + 13x + 8.

c) Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Reihe mtra Ordnung hat die Form

n — 1

Ae J2km 4 Aj    ¹ 4 • • • -f- Am—i AJk 4 Amn.

k=0

Faßt man hierin die Glieder mit gleichhohen Potenzen von n zusammen, so ergibt sich (s. Anm. zu Aufg. 5 in Nr. 16):

n — 1

B₀nm+¹ + B₁nm + • • • + Bm_in² + Bmn.

Da dieser Ausdruck m +1 voneinander unabhängige Koeffizienten enthält, so folgt:

Zusatz 3. Die Summenformel für eine arithmetische Reihe mter Ordnung läßt sich aus ihren ersten m +1 Gliedern entwickeln.

Beispiel. Benutzt man wiederum das bei Zus. 2 behandelte Beispiel, so erhält man:

für n = 1 die

- n = 2 -

Diese Gleichungen liefern für die Koeffizienten die Werte:

Bt = 1, B₂ = 4 und B₃ = 2f,

Bo

und demnach lautet die Summenformel für die ersten n Glieder der Reihe:

4 n³ + 4n² 4 2|n.

k = 0

d) Erklärung 4. Die Zahlen

1-2-3

1-284

4x41)    x(x41)(x42)    x(x4J.)(x42)(x_4 3)

12 '

usw. heißen figurierte Zahlen.

Ist die Reihe aus figurierten Zahlen von der pten Ordnung, so ist das allgemeine Glied ihrer ersten Differenzenreihe gleich

(* + 1) (* + 2) (x + 3) . ., (x + p)

1'2>8 ... p

x(x + l)(x + 2) ... (x-fp-1)

12    8 ... p

oder

(x+l)(x + 2)(x + 3) ... (x + p-l)[(x + p)-x]

1-2-3 ... p

1-2-3 ... (p-1)

und somit gleich

(X + 1) (* + 2) . . . (x + p - 1)

Ersetzt man hierin x durch x — 1, so erhält das allgemeine Glied die Form

*(* + !)(*+ 2)- (x + p —2)

1-23... lx-1)    '

und somit ergibt sich:

Lehrsatz 16. Die erste Differenzenreihe der Reihe ptec Ordnung aus figurierten Zahlen ist die Reihe (p — l)tra Ordnung aus figurierten Zahlen.

Sind

SiQf 9>i, a₂ ... an ... die Glieder einer Reihe mtec Ordnung, so heißt ihre erste Differenzenreihe

a0/ ag a,if a₃ a₂ ... an an _ if

und da die Summe der n ersten Glieder dieser Reihe offenbar gleich a* — a0 ist, so ergibt sich:

Lehrsatz 17. Das (n + l)te ©lieb einer arithmetischen Reihe ist gleich der Summe aus ihrem Anfangsgliede und der Summe der ersten n Glieder ihrer ersten Differenzenreihe.

Denkt man sich, um diesen Satz auf Reihen aus figurierten Zahlen anzuwenden, bei den Hauptreihen als Anfangsglied das Glied 0 hinzugefügt, und zählt dasselbe nach erfolgter Anwendung nicht mit, so erhält man aus den Lehrsätzen 16 und 17 die

Folgerung für die figurierten Zahlen: Die Summe der ersten n Glieder einer Reihe aus figurierten Zahlen ist gleich dem nte" Gliede in der Reihe von der nächst höheren Ordnung aus figurierten Zahlen.

Hiernach ist

1

n (n +1)

12

123

J^x(x + 1) _n(n + l)(n + 2)

i

jpx(x + 1)(x + 2) _ n(n + l)(n + 2)(n + 3) i

12 3

1.234

usw.

e) Die Bestimmung des nten Gliedes einer arithmetischen Reihe mtC£ Ordnung ist nach Lehrs. 17 auf die Bildung der Summe ßps den ersten n — 1 Gliedern einer Reihe (m — l)tet Ordnung zurückgeführt. Wird daher

das nte Glied einer Reihe mtet Ordnung mit an-i und das ntc Glied der

zugehörigen ptcn Differenzenreihe mit an_P! bezeichnet, so ist

n— 2

m    m    — 1

an —1= ao+ >;ak 0

m — 1    m — 1    'jm — 2

an_l = a₀ +2j\ , Usw. o

Nun ist äk= a₀, also ^*>¹ak = (n o

— l)a₀, und somit folgt:

an_i = a₀ + (n — 1) a₀ und

§ak = (n - 1) ä₀ + ao-0 0

₁₂ ist (f. Folg. zu Lehrs. 17), so ergibt sich:

2^k=(n- ¹)a0 +

0

⁸    , z -j \ ¹ (n — 1) (n — 2) ⁰

n — 2

Bildet man die Summe ^ak und beachtet, daß nach Folg. zu Lehrs

0

2k(k-l) =

U

4. J^äk=(n- l)a₀ +

0

3    3    8

an—aQ -f (n 1) ao

Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert für das nte Glied der Reihe mtct Ordnung:

1.

n — 2

Da aber "^k =

(n - 2) (n — 1)

2.

und somit:

3.

an —i

(n — 1) (n — 2) (n — 3)

1-2-3

folglich:

5.

(n — 2) (n — 1) o

ist, so erhält man:

(n - 1) (n - 2) 1

ao +

ao t

. 17

(n - 1) (n - 2) (n - 3)

(n - 1) (n - 2) 1

ao+

1-2-3

a₀, und

(n — 1) (n — 2) (n — 3) ⁰

1-2-3

a₀.

in _ lii    m — 1

»n-i-ao + C“-¹)⁴¹« ■+ + •••4

(n—1) (n—2)n--2    (n—1)(n—2)(n— 3) m-8

O.

12

ao

12 3

a₀

(ii — 1) (n — 2) ... (u — in) 0

a₀

und für die Summe der ersten n Glieder der Reihe mter Ordnung (wenn n—1 durch n ersetzt wird):

n—l

II.

2ak=na«+

0

12

123

ao

n (n — 1) (n — 2) ... (n — ni) ®

1 • 2 • 3... m (m + 1)

Beispiel. Als Beispiel sei wiederum die bei Zusatz 1 benutzte Reihe genommen. Nach der Formel I erhält man, wenn man n—1 durch x ersetzt, als allgemeines Glied:

12 x (x — 1) (x — 2)

oder

L=8 + 21x + 24^=^ +

ax= 8 + 13x 4 6x² + 2x³. (S. Beisp. zu Zus. 2, S. 58.)

Als Summe der ersten n Glieder ergibt sich nach II:

U

= 2-|-n + 4n² + n³+ -f-n⁴.    (S. Beisp. zu Zus. 3, S. 59.)

n(n —1)

f 24

n (n — 1) (n — 2)

12 3

12 3

+ 12

n (n — 1) (n — 2) (n — 3)

12 3 4

f) Erklärung 5. Wird zu der arithmetischen Reihe erster Ordnung 1 +d    l + 2d    1 + 3d    1 +4d . . .

die Summenreihe

2    + d 3 + 3d    4 + 6d öj-lOd ...,

zu dieser wieder die Summenreihe

3    + d    6 -f 4d 10 + 10d    16 + 20d . . .

usw. gebildet, so entstehen Reihen 2ter, Zter Ordnung usw. mit dem Anfangsglied 1, deren Glieder als figurierte Zahlen im weiteren Sinne bezeichnet werden.

Aufgabe. Die nte figurierte Zahl pter Ordnung an zu bestimmen. Ausl. Zunächst ist an = 1 + (n — 1) d.

Durch Addition folgt hieraus:

Ein

n + nT^ 4=^[2 + (n-l)d].

⁸    x¹

an = > ak =

n (n -f 1) (n + 1) n (n — 1) d

12 3

, (s- Folg. zu Lehrs. 17)

n(n + l)

-[3 + (n-l)d].

*    V"!³

»n=2,ak”

1

n (n + 1) (n + 2) , (n + 2) (n + 1) n (n - 1)

12 3

1-234

d,

n (n + 1) (n + 2)

12-34

[4 + (n-l)d],

n (n + 1) (n + 2) . .. (n -f p - 2)

P ^,P-l an    ak =

1

1 2 3 4 ... p [p + (n-l)d].

Für d = 1 gehen hieraus die in Erkl. 4 genannten figurierten Zahlen

hervor.

Zusatz 4. Stellt man die Einheiten der figurierten Zahlen durch gleiche Kugeln dar, so läßt sich mit jeder figurierten Zahl zweiter Ordnung

für d — 1 ein regelmäßiges Dreieck

-    d — 2 -

-    d = 3 -

Viereck (Quadrat) Fünfeck

ausfüllen,

usw.

Die figurierten Zahlen zweiter Ordnung werden daher auch Bieleckszahlen genannt.

Ebenso läßt sich mit jeder figurierten Zahl dritter Ordnung

für d — 1 eine regelmäßige dreiseitige Pyramide aufschichten, - d — 2

quadratische

usw.

Die figurierten Zahlen dritter Ordnung werden daher auch Pyramidenzahlen genannt.

Nr. 18. Geometrische Reihen.

Erklärung. Besitzt das allgemeine Glied einer Reihe nur ein Glied, und tritt in diesem die Veränderliche nur als Exponent auf, so heißt die Reihe geometrische Reihe. Jedes Glied einer geometrischen Reihe entsteht also aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit demselben Faktor.

Das Anfangsglied sei mit a und der Quotient zweier aufeinander folgenden Glieder sei mit q bezeichnet. Die Reihe lautet dann:

aq²

aq

aq⁸

aq⁴ ...

und das nte Glied hat die Gestalt:

t„ = aq"⁻¹.

Aus dieser Gleichung folgt, wenn a, bzw. q oder n durch die 3 übrigen Stücke ausgedrückt werden sollen:

1.

*»

qn

-=v

n—l.

q-y -

n- 1 =

log tn - log a

log q

Bei der Bildung der Summe Sn der ersten u Glieder einer geometrischen Reihe kann nicht in derselben Weise verfahren werden wie bei der arithmetischen Reihe, weil die Vereinigung der entsprechenden Glieder nicht zu Ausdrücken führt, die addiert werden können. Beachtet man aber, daß jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit q entsteht, so kann man eine zweite Gleichung für S„ bilden, mit deren Hilfe sich sämtliche Zwischenglieder zum Verschwinden bringen lassen. Denn aus

aq f aq³ + aq³ + • • • + aqn—1+ aqn

Sn = a + aq + aq² + aqs+ • • • + aqn Sn-q =

ergibt sich durch Subtraktion:

Sa q Sn — a qu    a,

qn—1 q—1 '

Mit Benutzung von 1. ergibt sich weiter:

und somit:

2.

S„ — a -

3.

*n '

Sn=-

Die Gleichungen 1. und 2., bzw. 1. und 3. verbinden die 5 Größen a, q, n, tn und Sn miteinander und können, wenn 3 von diesen Größen gegeben sind, zur Bestimmung der beiden übrigen benutzt werden. In den beiden Fällen, in denen aus n, Sn und a die Größen q und t„, bzw. aus n, Sn und tn die Größen q und a berechnet werden sollen, sind jedoch im allgemeinen die Gleichungen nur durch Näherung auflösbar.

Ist der Quotient q dem absoluten Werte nach kleiner als 1, so setzt man

8 - a i-q“

ön a i — q

Wird in diesem Falle die Gliederzahl unendlich groß, so sinkt der Wert von qn unter jede angebbare Zahl und kann daher gleich 0 gesetzt werden.

r<    a

k) — ----•

⁰⁰ 1 — 0

Es bleibt dann:

q-l

Nr. 19. Zusammengesetzte Reihen.

Erklärung. Tritt in dem allgemeinen Gliede einer Reihe die Veränderliche als Grundzahl und gleichzeitig als Exponent einer unveränderlichen Zahl auf, so heißt die Reihe zusammengesetzte Reihe.

Das allgemeine Glied der einfachsten zusammengesetzten Reihe hat die Gestalt (a + dx) qx, und die Reihe beginnt mit den Gliedern

(a + 3d) q³...

Für q = 1 geht die Reihe in eine arithmetische und für d = 0 geht sie in eine geometrische Reihe über.

a,

(a + d) q,

(a + 2d)q³,

Der. Erklärung gemäß ist

1.

tn = [a + (n — 1) d] q"-².

Um die Summe der ersten n Glieder zu bilden, geht man wieder darauf aus, die Zwischenglieder zum Verschwinden zu bringen. Aus

Sn = a + (a + d) q + (a + 2d) q² + • • • + [a + (n — 1) d] q"_i

und

Snq =

aq + (a + d) q² q-----h [a + (n — 2) d] qn

+ [a + (n — 1) d] qn

-i

ergibt sich:

Sn (q — 1) = [a + (n — 1) d] q“ — a — dq — dq²- • — dqn—1 = (a + nd) qn — a — dq — dq²- • • — dq“⁻¹ — dqn

und hieraus folgt:

2.

= a (cln - 1) + ndqn - dq •

--dq . 1 —1 .

1 H (q-l)²

Sn

--- a -

<l“ — 1 ^ ndq“

<l—l

Die Gleichungen 1. und 2. zwischen den 6 Größen einer zusammengesetzten Reihe können, wenn n und q unbekannt sind, nur durch Näherung aufgelöst werden.

Zusatz. Ist q < 1 und n = oo, so wird S„ unbestimmt, da das Glied die unbestimmte Form oo • 0 annimmt.

<1—

Nr. 20. Zmseszms-Rrchnung.

Werden die Zinsen eines Kapitals von a Mark an den Zinsterminen jedesmal dem Kapital hinzugefügt und dann mitverzinst, so sagt man, das Kapital sei auf Zinseszinsen ausgeliehen.

a) Ist p% der Zinsfuß für ein Jahr, so wachsen 100 Jl in einem Jahre

auf 100 -f p, al also auf a -

100+ p

100

oder a|l + Jl an. Im 2ten Jahre

beträgt daher das ausgeliehene Kapitel a (l q- Jl und wächst auf

a (l + ₁y₀) • (l + ~) Jl an usw. Die Hinzufügung der Zinsen für jedes hinzutretende Jahr hat demnach die Wirkung, daß das bereits vorhandene Kapital mit dem Faktor q = 1 + ~, dem Zinsfaktor, multipliziert wird.

Bezeichnet man daher das Kapital, auf welches & Jl m. Ende des nte" Jahres angewachsen sind (das Endkapital) mit k, so hat man:

1.

Der Ableitung nach muß n eine ganze Zahl sein. Die Forinel 1 bleibt jedoch auch dann gültig, wenn n eine gebrochene Zahl von der Form ist. Man kann nämlich, ohne k zu ändern, die Zeit in r Zeitabschnitte einteilen, von denen jeder Jahr beträgt, wenn man nur den Zinsfuß p' für die

neuen

Zeitabschnitte so wählt, daß (lgleich 1 + also

q' = 1 + = (l + JLV _ J 4    T loo v ^ loo/ ⁴

Jt auf aq' Jl an,

wird. In den r neuen Zeitabschnitten aber wachsen und somit erhält man    r

k = aq' = aqs,

d. h. die Formel 1. ist auch für eine gebrochene Zahl richtig. Aus der Formel 1. folgt:

2.

„ log k —log a logq

Zusatz. Ändert sich nach n₁ Jahren der Zinsfuß und beträgt der Zinsfaktor für die n₃ noch fehlenden Jahre-1 +    = q₂, so ist

k = aq₁niq₂n5.

b) Wird am Ende des ersten und jedes folgenden Jahres außer den Zinsen noch das Kapital b dem bereits vorhandenen Kapital hinzugefügt, so kommt zu k noch die Summe

- 2ten

bq“-¹ (Endkapital der lten Nachzahlung) + bqn—2 (

- 3tcn

+ bqn-s (

+ bq (Endkapital der vorletzten Nachzahlung) + b (letzte

hinzu. Die Glieder dieser Summe

bqn—1 + bq“⁻² -f- • • • + bq + b

bilden eine geometrische Reihe mit dem Anfangsgliede b (von rechts nach links gelesen!), dem Quotienten q und der Gliederzahl n. Die Summe ist daher gleich

b';fzT (Nr. 18,2), und somit erhält man:

aqn + b •    ' (Sparkaffenformel.)

c) Wird dagegen am Ende des ersten und jedes folgenden Jahres die Summe b weggenommen, so betrögt die Restsumme (das Guthaben)

D = aqn — b

Bei jedem der Fälle b) und c) würde die Berechnung des Faktors q (p) aus den übrigen Stücken auf eine Gleichung führen, die nur durch Annäherung aufgelöst werden könnte, wenn n größer als 4 ist.

Treten die Einzahlungen halbjährlich, vierteljährlich usw. ein, so ist q durch

usw. und n durch 2n, bzw. 4n usw. zu ersetzen. Eine

einfache Teilung von p wäre nur näherungsweise richtig. Handelt es sich z.B. um vierteljährliche Einzahlungen, so ist deren Wert am Ende des ersten Jahres

b + bq'-f bq'Hbq's = b-|l=i.

Nun ist aber q' oder y ¹ + ^ nicht gleich 1 + ^,

ungenau sein, wenn man q' = 1 -f fe^te. Bei der Tilgung größerer Anleihen (S. Nr. 21) dürste diese Ungenauigkeit nicht unberücksichtigt bleiben.

3.

4.

qn —1

-i

und demnach würde der Wert

d) Die Ein- und Auszahlungen können auf doppelte Weise wachsen oder auch abnehmen.

«. Beträgt die jedesmalige Änderung r% und setzt man 1 + bzw.

¹ Ibö g^ich g, so sind die Zahlungen der Reihe nach gleich

bgn_1

b,

bg,

bg²...

und ihre Endwerte gleich

bq“~¹    bgqn—2, bg²qn-s, ... bgn_1.

Dies ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangsgliede bq“-¹, dem

Quotienten | und der Gliederzahl n. Ihre Summe beträgt bqn~ gn™^, und somit ist

oder b

g-

,Ei_‘

tuo! er¹

gn — q” g —<1

ß. Besteht die Änderung in einer Vermehrung oder Verminderung und bezeichnet d den Unterschied, so sind die Zahlungen gleich b + d,

und ihre Endwerte gleich

bqn_1, (b + d)qn

5.

b + 2d, ...

b + (n — 1) d

, (b + 2d)q“—3 ... b + (n - l)d.

Diese bilden eine zusammengesetzte Reihe mit dem Anfangsgliede bq“⁻¹, dem Quotienten q_1, der Differenz d und der Gliederzahl n. Ihre Summe ist nach Nr. 19,2 herzustellen und dann mit aq“ durch Addition, bzw. Subtraktion zu vereinigen.

e) Bei der Kapitalverficherung*) mit gleichgroßen Jahresbeiträgen wird am Anfange eines jeden Jahres ein fester Betrag r (die Prämie) an eine Gesellschaft entrichtet, welche dafür die Verpflichtung übernimmt, am Ende des ntcn Jahres dem Versicherten eine bestimmte Summe 8 auszuzahlen.

Wird der Zinsfaktor wieder mit q bezeichnet, so hat man

8 = rqn + rqn-1 + rqn_2 + • • • + rq, und somit

6.

S = rqül=i.

4—1

Bei Lebensversicherungen*), bei denen die Summe 8 nach dem Tode des Versicherten auszuzahlen ist und die Anzahl der Prämien durch Schätzung (nach Sterblichkeitstafeln) bestimmt wird, könnte die Jahresprämie mit der Versicherungssumme gleichfalls durch die Formel 6 verbunden werden und der Geschäftsgewinn der Gesellschaft entsprechend wie bei der Kapitalversicherung in der Höhe des Zinsfußes zum Ausdruck gelangen, allein die Berechnungsweise der Versicherungsgesellschaften ist eine ganz andere.

¹

3

²

= aq" - a (1 +

Nr. 21. Nrnkrn und Anleihen.

a) Renten.*)

Erklärung 1. Eine in gleichen Zeitabschnitten wiederkehrende Einnahme, welche für eine bestimmte Zeitdauer durch eine einmalige Einzahlung eines Betrages, des Einsatzes, gesichert wird, heißt Rente (r). Unter dem Werte (W) einer Rente zu einer bestimmten Zeit versteht man die Summe der Werte, welche die einzelnen Rentenbezüge zu dieser Zeit besitzen. — Eine Rente heißt gleichmäßig, wenn alle Rentenbezüge gleich groß sind, und steigend, bzw. fallend, wenn diese eine geometrische oder auch eine arithmetische Reihe bilden. Ist das letztere nicht ausdrücklich bemerkt, so gilt die Rente als gleichmäßig. Hört die Rente erst mit dem Tode des Versicherten auf, so heißt sie Leibrente.

Zusatz. Der Einsatz heißt auch Barwert (B) der Rente. Endwert (E) heißt ihr Wert am letzten Zahlungstage.

Aufg. 1. Den Endwert E einer Jahresrente r zu bestimmen, welche n mal ausgezahlt werden soll. Zinsfuß: p%.

Aufl. Der letzte Rentenbezug ist nicht mehr zu verzinsen. Der vorletzte

rq. So

ist ein Jahr zu verzinsen und hat daher den Wert r (l + ₁|Q-j = ergibt sich weiter für den

*) Über die Behandlung dieses Gebietes durch die Versicherungsgesellschaften s. Anhang I,

S.224 ff.

Ist der Einsatz B s Jahre vor dem ersten, also s + n — 1 Jahre vor dem letzten Zahlungstage gemacht worden, so hat man nach Gl. 2:

—• (Rentenformel II.)

3.

Iteu

rqn_1, rq“⁻², rqn und demnach ist

Zten

3tc«, . . .

(n - 1)t°n,

ntcn

rq,

Rentenbezug als Endwert,

E = r • ''----l. (Rentenformel I.)

Zusatz. Soll der Wert für den mtra Zahlungstag bestimmt werden,

1.

so ist

also

2.

q¹¹ —1

qn—111

<1-1

B == ■ y¹'-    .

qS + n —1

Aufg. 2. Eine Jahresrente r, die n mal auszuzahlen ist, soll in eine andere m Jahre früher beginnende Jahresrente mit t Jahresterminen umgewandelt werden. Zinsfuß: p°/₀.

Ausl. Bestimmt man die Werte der beiden Renten für den ersten Zahlungstag der ersten Rente und setzt die Werte einander gleich, so erhält man:

r    qn — 1    xqm

qn —1 q — 1

qt— 1

q* — 1

p also: x =

rq* qn — 1 qmqn * qTZT

Aufg. 3. Eine Jahresrente r, die n mal auszuzahlen ist, soll in eine Vierteljahrsrente umgewandelt werden, die mit der ersten zugleich beginnt und m Jahre dauert (4 m mal ausgezahlt wird). Zinsfuß: p%.

Aufl. Am ersten Zahlungstage haben die beiden Renten die Werte:

r 4---1—2 -f- • • •

' q ' q- ¹

, x , x , x    , x

X -h -J + -j +    3 •    -t- 4m-i ~

4    4

q q q

r qn — 1 qn — 1 ' ~q^Tr

qm

.1.

4

bzw.

q -1

und demnach ist

rqm • q (q”-l)(q⁴-l)

x i-' (q™ -1) (q - i) '

qnq

b) Tilgung von Anleihen.

Erklärung 2. Unter Tilgung (Amortisation) einer Anleihe versteht man die Begleichung der Schuld durch Zahlungen (Raten, r), die sich eine Zeitlang in gleichen Zeitabschnitten wiederholen

Ist eine Anleihe von a Jt Nennwert aufgenommen, und werden p% Zinsen berechnet, so wird zunächst der ganze Betrag der Anleihe bis zum Beginn der Tilgung verzinst. Erst von diesem Termin ab fängt die Rückzahlung an, Soll diese in der Weise vor sich gehen, daß am Ende eines jeden Jahres eine sich gleichbleibende Summe r zur Begleichung der noch fälligen Zinsen und zum Rückkauf von Schuldscheinen verwandt wird, und ist festgesetzt, daß die Tilgung in n Raten erfolgen soll, so müssen ein Jahr vor dem ersten Termin (an dem zum letztenmal nur die Zinsen zu zahlen sind) die Werte der n Raten zusammen gleich dem Betrag a der Anleihe sein, d. h, es ist

+ — qn

= a.

i +    + ? + ^ ⁺

Die Glieder dieser Summe bilden eine geometrische Reihe mit dem Anfangsglied dem Quotienten q und der Gliederzahl n. Somit ist a gleich

^■~T' und daraus folgt:

4.

r==a<(q-l)<

<ln—1

Zusatz 1. Mit dem hier berechneten Jahresbedarf r ist die Tilgungsrate nicht zu verwechseln. Diese gibt an, wieviel % der Anleihe am ersten Termin zurückgekauft werden.

Zusatz 2. Da nach jedem Zahlungstermin die Anzahl der Schuldscheine kleiner und damit der Zinsbedarf geringer geworden ist, so bleibt an den folgenden Terminen der Jahresbedarf r nur dann unverändert, wenn die Anzahl der einzulösenden Schuldscheine zunimmt. Da indessen die Zinsersparnis auf den kleinsten Nennwert der ausgegebenen Schuldscheine abgerundet werden muß, so wird die wirkliche Rate bald etwas mehr bald etwas weniger als r betragen. Der Tilgungsplan wird so eingerichtet, daß am Schluß alle Schuldscheine zurückgekauft sind und der durchschnittliche Bedarf dem berechneten Jahresbedarf möglichst nahe kommt.

Zusatz 3. Bei den meisten Anleihen ist die Tilgung eine halbjährliche;

in der Gleichung 4 ist dann q durch q' (q' = |/l + zu ersetzen, während n wieder die Anzahl der Termine bezeichnet.

Zusatz 4. Ist bei der Tilgung eine Zu- oder Abnahme des Jahresbedarfs beabsichtigt, so hat man für den Ansatz sinngemäß die Gleichung 5 in Nr. 20 oder die Gleichung 2 in Nr. 19 zu verwenden.

Abschnitt III.

Algebra.

Zweiter Teil.

Kapitel 6.

Lehre von den Gleichungen.

Nr. 22. Begriff der Gleichung.

Zur Wiederholung des Funktionsbegriffs. Ist eine Größe y von einer veränderlichen Größe x derart abhängig, daß zu jedem Zahlenwerte von x ein bestimmter Zahlenwert von y gehört (oder auch mehrere bestimmte Zahlenwerte von y gehören), so heißt y eine Funktion von x; man nennt dann x die unabhängige und y die abhängige Veränderliche. Ist das Abhängigkeitsverhältnis durch irgendeine für alle Zahlenwerte von x geltende Rechenvorschrift ausgedrückt, so sagt man, y sei als eine entwickelte Funktion von x gegeben; muß aber die Vorschrift, nach der y zu berechnen ist, erst aus einer zwischen x und y bestehenden Gleichung abgeleitet werden, so wird y als eine unentwickelte Funktion von x bezeichnet.

Setzt sich die Rechenvorschrift für eine entwickelte Funktion aus einer endlichen Anzahl von Rechnungen mit der Veränderlichen x zusammen, und kommen bei diesen außer den vier Grundrechnungsarten

1)    keine weiteren Rechnungen vor, so heißt die Funktion rational,

2)    auch Wurzelausziehungen vor, so heißt die Funktion algebraisch.

Treten in der Rechenvorschrift für eine rationale Funktion keine Brüche auf, deren Nenner die Veränderliche x enthalten, so nennt man die Funktion ganze rationale Funktion. Jede ganze rationale Funktion von x läßt sich durch eine Summe aus (einer endlichen Anzahl von) Potenzen von X darstellen (in eine Potenzreihe entwickeln). Ist n der Exponent der höchsten in der Summe vorkommenden Potenz von x, so gibt n den Grad der Funktion an.

Bei entwickelten Funktionen von mehreren Veränderlichen besteht die gleiche Einteilung. Als Grad einer ganzen rationalen Funktion von mehreren Veränderlichen gilt die größte unter den Summen der Exponenten, welche die Veränderlichen bei den einzelnen Gliedern besitzen.

In alten anderen Fällen wird die Funktion als transzendent bezeichnet. Vgl. Nr. 7.

Erklärung 1. Ist der Wert einer ganzen Funktion gleich 0, welche Größe auch der (den) Veränderlichen gegeben werden mag, so sagt man, die Funktion sei identisch gleich 0 (z. B. 4x³ — 6x³ + 2x³).

Ist eine Funktion nicht identisch gleich 0, und wird behauptet, daß sie einen bestimmten Wert annimmt, so entsteht eine Gleichung.

Erklärung 2. Eine Gleichung nten Grades ist die Behauptung, daß eine ganze Funktion nlen Grades einen gegebenen Wert annimmt oder mit einer zweiten ganzen Funktion, deren Grad n nicht übersteigt, den gleichen Wert hat.

Erklärung 3. Eine Gleichung auflösen heißt Werte (Wurzeln) bestimmen, welche der (den) Veränderlichen beizulegen sind, damit die Funktion die angegebene Größe erhält.

Nr. 23. Anzahl der Wurzeln von Gleichungen n‘en Grades mit einer Unbekannten.

Soll eine Funktion vom Grade n

A₀xn+ AjX"⁻¹ + Agx"-² + • • • + An_jx + An

den Wert A annehmen, so entsteht durch Vereinigung der Größen A und A„ und durch Beseitigung des Faktors A₀ die Gleichung nten Grades:

1. fn(x) e= xn + a₁xn_1+ a₃xn~³ + • - • + an_ix -f aa = 0.

Nach einem Satze, dessen Beweis in der niederen Mathematik nicht gegeben werden kann, muß diese Gleichung mindestens eine Wurzel besitzen; es muß also eine Größe vorhanden sein, für welche die Summe

+ a₂a₁n~² + ■ • + an-i«, -p an

gleich 0 wird. Subtrahiert man daher diese Summe von der linken Seite der Gleichung 1, so hat dies weiter keinen Einfluß, als daß die Form der Gleichung sich ändert. Man erhält dann aber:

(xn — «!**) + (xn-¹ — «!”-*) + a₂(x"-s— a^-²) +----h a^-^x — «.) = ()

und hieraus, da der Faktor (x — aj abgesondert werden kann, fn(x) = (X — «^)kn-l(x) = 0.

Wird diese Gleichung dadurch befriedigt, daß man den zweiten Faktor gleich 0 setzt, so erhält man eine Gleichung vom Grade n — 1. Für diese gelten dieselben Überlegungen wie für die Gleichung nten Grades. Es muß daher eine Größe a₂ vorhanden sein, welche die Gleichung fn-i(x) = 0 befriedigt und zu der neuen Umgestaltung führt:

2.

fn(x) =(X — «J (X — ttz)kn-r(x) = 0.

In gleicher Weise muß die Gleichung fn_ ₂(x) = 0 mindestens eine Wurzel besitzen. Wird diese mit a₃ bezeichnet, so folgt:

fn(x) = (X — aj (X — «₂) (x — «z)kn-s(x) — 0.

Da mit jeder Absonderung eines linearen Faktors der Grad der neuen Funktion um 1 kleiner als der Grad der vorhergehenden wird, so gelangt man schließlich zu einer Funktion ersten Grades von der Form x — «n. Es ergibt sich also:

3. fn(x) = (X — «i) (X — «₂) (X — ttz) - - - (X — «„) ----- 0.

Aus der Form dieser Gleichung lassen sich mehrere Schlüsse ziehen.

a)    Die Anzahl der Faktoren beträgt n, d. h.:

Lehrsatz 1. Die Gleichung ntra Grades hat n Wurzeln.

Die Wurzeln brauchen jedoch nicht sämtlich voneinander geschieden zu sein (mehrfache Wurzelnl).

b)    Da keiner der n Faktoren gleich 0 wird, wenn x ein von den Wurzeln alt «₃ • • • an verschiedener Wert beigelegt wird, so folgt:

Lehrsatz 2. Die Gleichung nten Grades kann nur n Wurzeln besitzen.

Nr. 24. Komplexe (imaginäre) Wurzeln.

Ist eine Wurzel einer Gleichung nten Grades mit reellen Koeffizienten fn(x) = 0 komplex (imaginär) und von der Form a + ßi, und wird in der Gleichung die Größe x durch a + ßi ersetzt, so führt die nach Ausführung der Potenzen von a + ßi mögliche Trennung der reellen und imaginären Teilprodnkte auf eine Gleichung von der Gestalt A + Bi = 0, in der A und B reelle Zahlen sind. Diese Gleichung verlangt, daß A und B gleichzeitig den Wert 0 haben. Zur Bildung der Größe A tragen nur die geraden Potenzen von ßi bei, während in Bi alle Teilprodukte mit ungeraden Potenzen von ßi vereinigt sind. Wird daher a + ßi durch a - ßi ersetzt, so entsteht der Ansdruck A — Bi, und dieser muß ebenfalls gleich Null sein, da A = 0 und B = 0 ist. Ist also a + ßi eine Wurzel der Gleichung f„(x) = 0, so ist es auch « — ßi, d. h.:

Lehrsatz 3. Unter den Wurzeln einer Gleichung nten Grades mit reellen Koeffizienten können komplexe Wurzeln nur paarweise und von konjugierter Form vorkommen.

Folgerung 1. Ist n eine ungerade Zahl, so muß die Gleichung fn(x) = 0 mindestens eine reelle Wurzel besitzen.

Folgerung 2. Da [x — (« + ßi)] [x — (« — ßi)] = x² —2«x + a² + ß², d. h. eine Funktion zweiten Grades mit reellen Koeffizienten ist, so folgt, daß bei der Zerlegung einer Funktion fn(x) mit komplexen Nullstellen in die größtmögliche Anzahl von Faktoren mit reellen Koeffizienten so viel Faktoren zweiten Grades auftreten, wie komplexe Wurzelpaare vorhanden sind.

Nr. 25. Wurzeln und Koeffizienten.

Die Ausführung des Produktes

(x — «i) (x — Kg) 0 — «g) • • • (x — «„)

kann so geschehen, daß zuerst die Multiplikation (x — at) (x — k₂) ausgeführt, alsdann das Resultat mit (x — k₃), das dadurch entstandene Resultat mit (x — k₄) usw. multipliziert und die Teilprodukte mit gleichen Potenzen von X addiert werden. Es ist aber

(x — k₄) (x — o-z) = x²— (ecj + cc₂)x +

(x — «i) (x — k₂) (x — k₃) = xs— («₄ + k₂ + «₃)x²

~f“ (k₄ Kg ~f~ Kg Kg    Kg Kg) X    Kg Kg Kg ,

(X — Kg) (X — Kg) (X — Kg) (X — K₄) = X⁴ - (k₄ + Kg + Kg + kJx⁸

+ (KtKg + K, Kg + Kj K₄ + K₂ Kg + KgK₄ + KgK₄)xä — (K₁KgKg+ Kg Kg K₄ + K₄KgK₄+ K₂K₃K₄)x + K, KgKgK₄.

Aus diesen Gleichheiten lassen sich bereits die Regeln erkennen, nach denen die Koeffizienten einer Gleichung nten Grades aus den Wurzeln gebildet werden.

Lehrsatz 4. (Satz von Girard.) 1. Der Koeffizient von xn ist gleich 1.

2.    Der Koeffizient von x“-¹ ist die negative Summe der Wurzeln.

3.    Der Koeffizient von xn-² ist die positive Summe aller Produkte, die aus je zwei Wurzeln gebildet werden können.

4.    Der Koeffizient von xn~³ ist die negative Summe aller Produkte, die aus je drei Wurzeln gebildet werden können.

5.    Der Koeffizient von x“-k ist gleich dem Produkt aus (— l)k und der Summe aller Produkte, die aus je k Wurzeln gebildet werden können.

teil

Von diesen Regeln (die durch einen Jndnktionsfchlnß gefunden worden sind), muß noch bewiesen werden, daß sie allgemein gültig sind. Zu dem Zweck nimmt man an, daß sie für ein Produkt aus n Differenzen richtig seien, und beweist, daß sie unverändert bleiben, wenn das Produkt mit dem (n + 1) Faktor x — k„₊i multipliziert wird. Es sei also

(x — Kg) (x — Kg) • • • (x — Kn) =

*-2

1

KZX

+2cc*a*:KU'i

-I-----1- (— 1 )a Kg Kg - - - Kn,

Es ist dann

Nr. 26. Wurzeln und Koeffizienten. Nr. 26. Anwendungen, (x GTj) (x (2g) • ' ' (x OZn) • (x ßn + l)

= xn + 1

— Xn+1_

Damit ist der Lehrsatz 4. (durch einen vollständigen Jnduktionsschluß) als all-gemein richtig nachgewiesen.

Aus der Zusammensetzung des absoluten (von x freien) Gliedes

(— l)n • C?! • Kg • (Cg •    • • • «n

läßt sich ein Schluß auf die Anzahl der negativen Wurzeln ziehen. Da komplexe Wurzeln nur paarweise und von konjugierter Form vorkommen können, und das Produkt zweier konjugierten Zahlen positiv ist [(a + bi) (a—bi) = a⁸+b²!], so üben komplexe Wurzeln keinen Einfluß auf das Vorzeichen des absoluten Gliedes aus. Somit ergibt sich:

Die Anzahl der negativen Wurzeln unterscheidet sich von der Anzahl der positiven um eine ungerade Zahl. wenn

bei einem geraden n das absolute Glied negativ ist,

„ positiv „.

„ ungeraden n „

tr

Nr. 26. Anwendungen.

a) In einer reziproken Gleichung mit den Wurzeln «, ß ist der Koeffizient von

x' gleich - (« + ß + ~

- +(«/* + «•    +«•    +ß-    + ß ■    +

+ «•-•    + ß ■ - ■ j)

cc    r a ßj

und

Xöi m.

x²

R I m.

•Uli H.

(a-ß-

R I H.

+ «■ ß ■

(/$ + «+ + )

und das von x freie Glied gleich    • oder gleich +1. Die

Koeffizienten von x³ und x find also einander gleich, und der Koeffizient von x⁴ ist gleich dem absoluten (von x freien) Gliede, d. h. die Gleichung besitzt die für eine reziproke Gleichung charakteristische Form. (©. Nr. 13.)

oder

^ |Q2-

R I H.

■^>1

b) Da das absolute Glied der Gleichung nten Grades die n Wurzeln als Faktoren enthält, so kann mau es in seine Faktoren zerlegen und durch Einsetzen feststellen, ob einer der Faktoren die Gleichung befriedigt. Ist dies bei dem Faktor a der Fall, so kann man fn(x) durch x — u dividieren und dadurch zu einer Gleichung vom Grade n — 1 gelangen. Wird dann mit der neuen Gleichung in derselben Weise verfahren, so erhält man eine Gleichung vom Grade n — 2 usw. Häufig gelingt auf diesem Wege die Auflösung einer Gleichung höheren Grades.

Beispiel 1. In der Gleichung

x⁴ — 2xs — 13x² -j- 38x — 24 — 0

hat das absolute Glied 24 die Faktoren dz1, + 2, + 3, + 4, + 6, +8, dz12 und dz 24. Der Faktor -f¹ befriedigt die Gleichung. Da

(x⁴ — 2x⁸ — 13x²-|- 38x — 24): (x — l) = x⁸ —x² — 14x + 24

ist, so genügen die übrigen Wurzeln der Gleichung:

x⁸ —x²— I4x -f 24 = 0.

Diese wird durch x = + ² befriedigt. Nun ist aber

(x⁸ —x⁸ — 14x + 24): (x— 2) —x²-j-x — 12,

und sonnt entsteht die neue Gleichung:

x⁸ -f x — 12 = 0

mit den Wurzeln 3 und —4. Demnach ist

(x⁴ - 2xs - 13x² + 38x - 24) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x + 4).

Beispiel 2. Es sei x⁵ — 8x⁴ -f 20x⁸ + lOx²— lOlx + 78 = 0. 78 enthält die Faktoren dz 1, dz², ztVzfc⁶/ dz 13, dz 26, dz ³⁹ und dz⁷⁸* Von diesen erweist sich -f-¹ als eine Wurzel. Die Division

(x⁵ — 8x⁴ -f 20x⁸d- 10x² — 101 x -f- 78): (x — 1)

führt auf die Gleichung:

x⁴ — 7x⁸ -f 13x² + 23x - 78 = 0, und diese wird durch x = — 2 befriedigt. Die Division

(x⁴-7x⁸d-13x²d- 23x- 78): (x + 2)

xs_9x² + 31x-39 = 0.

liefert

x = 3 ist eine Wurzel dieser Gleichung. Da

ist, so bleibt

(x⁸ - 9x²-)-.31 x - 39): (x - 3) = x² - 6x + 13 x² — 6x -f 13 = 0

mit den Wurzeln 3-f2i und 3 — 21. Somit sind die 5 Wurzeln gleich -fl, — 2, -f-A 3 -f 2i und 3 — 2i.

c) Hat die Gleichung nicht die Wurzeln ± 1, ± 2 oder ± 3, so erfordert das Einsetzen der Teiler, zumal wenn der Grad 4 übersteigt, ein umständliches Rechnen. Man kann jedoch schneller zum Ziele gelangen, wenn man nach der Zerlegung des Gliedes sofort mit der Division durch die linearen Faktoren x — «k beginnt. Findet man dann, daß « eine Wurzel ist, so hat man gleichzeitig die erste durch Reduktion entstehende Gleichung erhalten. Bei der Division genügt es, daß man die Koeffizienten der jedesmaligen Quotienten hinschreibt und durch Angabe des Restes anzeigt, ob die Division aufgegangen ist.

Das Verfahren möge bei dem Beispiel 2 angewandt werden.

Das absolute Glied hat die Teiler 1, 2, 3, 6, 13, 26 und 78.

(x⁵-8x⁴ + 20x⁸+10x²- 101x + 78)

:(x —1); + 1 ist eine Wurzel. :(x + l); — 1 ist keine    -

: (x — 2); + 2 ist keine    -

: (x + 2); — 2 ist eine :(x —3); + 3 ist eine -

TT

Nun ist noch die Gleichung x²-6x + 13 = 0 aufzulösen.

ist

Nr. 27. Auflösbarkeit der Gleichungen mit einer Unbekannten.

Eine Gleichung ntcn Grades von der binomischen Form xn

stets auflösbar. Die Wurzeln erscheinen sämtlich unter der Form x = >/a, und diese n-deutig. (S. Nr. IO, Lehrsatz 15.)

Da in der Gleichung

xn + xn ~¹ + a₂xn_2 • • • + an = 0

die Unbekannte aus ihrer Verbindung mit den Koeffizienten nicht losgelöst werden kann, so ist die Gleichung nur dann auflösbar, wenn es möglich ist, entweder die Potenzreihe in ein Produkt zu verwandeln (s. Nr. 26 b), oder durch Einführung neuer Unbekannten, die mit x durch auflösbare Gleichungen verbunden sind, aus der gegebenen Gleichung binomische Gleichungen für die neuen Unbekannten abzuleiten. (Vgl. Nr. si.)

Anmerkung. Die Auflösung der Gleichung 2ten Grades durch quadratische Ergänzung bildet hierzu das einfachste Beispiel. Denn wenn aus x² -}- px =—q die Gleichung

=+—q gebildet wird, so ist dies nichts anderes wie die Zurückführung der

gegebenen Gleichung auf die Form z² = ^—q durch die Substitution x = z—**. Diese

Substitution hätte aber auch auf dem folgenden Wege gefunden werden können: Man ersetzt x durch z -|- a und erhält dann z⁸ -(- (2a p)z + a² + pa -j- q = 0. Da nun die erste

Potenz von z verschwinden soll, so ist a gleich —5- zu setzen, usw.

Nr. 28. Wurzeln von Gleichungen mik mehreren Unbekannten.

Soll eine ganze Funktion nten Grades von mehr als einer Veränderlichen einen bestimmten Wert annehmen, so entsteht eine Gleichung von der Form

fn(x, y, z ■...) = 0.

Diese kann als Gleichung gelten

a)    für x, wenn man y, z ... beliebige Wert gibt,

b)    - y,

- usw.

Daraus folgt aber, daß durch die Gleichung fn(x, y, z ...) = 0 die einzelnen Veränderlichen nicht bestimmt, sondern nur in eine gewisse Abhängigkeit voneinander gebracht sind.

Insbesondere bindet die Gleichung

fnO, y) = 0

die Veränderlichen x und y derart aneinander, daß jedem Werte von x eine bestimmte Anzahl von (reellen oder komplexen) Werten für y entspricht, und umgekehrt. Hieraus folgt:

Lehrsatz 5. Die Gleichung fn(x, y,) = 0 reicht zur Bestimmung der Größen x und y nicht aus, da sie durch eine unendliche Anzahl von zusammengehörigen Wertepaaren befriedigt werden kann.

Der gleiche Satz gilt für eine zweite, von der ersten unabhängige Gleichung

fm(x,y) = 0.

f^>y)

Lassen sich die beiden Gleichungen graphisch darstellen, und haben die Bilder der Gleichungen einen oder mehrere Punkte gemein, so entsprechen diese Punkte Wertepaaren von x und y, welche beiden Gleichungen zugleich genügen. Diese Wertepaare, die Wurzeln des Gleichungssystems f„(x, y) = 0 und fm(x, y) = 0, sind durch die beiden Gleichungen vollständig bestimmt, falls die Gleichungen sich nicht widersprechen. Somit ergibt sich:

Fig. 24.

Lehrsatz6. ZurBestimmungzweier Unbekannten sind zwei voneinander unabhängige und sich nicht widersprechende Gleichungen erforderlich und ausreichend.

Anmerkung 1. Durch entsprechende Betrachtungen wird gezeigt, daß zur Bestimmung von n Unbekannten n voneinander unabhängige Gleichungen erforderlich sind. Auf den Beweis dieser Erweiterung kann jedoch nicht eingegangen werden.

Anmerkung 2. Auf den Fall, daß zwei voneinander unabhängige und sich nicht widersprechende Gleichungen keine reellen Wurzelpaare besitzen, läßt sich diese geometrische Betrachtung nicht ausdehnen, weil die Bilder der Gleichungen dann keinen Punkt gemeinsam haben.

Über die Anzahl der Wurzelpaare bei Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten s. Nr. 15

Nr. 29. Auslösbarkeit der Gleichungen mit mehreren

Unkrkannten.

Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten sind nur dann bezüglich einer Unbekannten auflösbar, wenn es gelingt, aus ihnen eine Gleichung für diese Unbekannte abzuleiten, welche aufgelöst werden kann.

Da die gesuchten Werte der Unbekannten sämtlichen Gleichungen genügen müssen, so ist man berechtigt,

1.    eine Unbekannte aus einer der Gleichungen auszudrücken und in den übrigen Gleichungen durch den gefundenen Ausdruck zu ersetzen. Dadurch wird die Anzahl der Unbekannten um 1 vermindert. Die Wiederholung dieses Verfahrens führt schließlich auf eine Gleichung mit einer Unbekannten. (Lösung durch Einsetzen.)

2.    eine der Unbekannten aus sämtlichen Gleichungen auszudrücken und die gefundenen Ausdrücke einander gleich zu setzen. Die Wirkung des Verfahrens ist dieselbe wie tut Falle 1. (Lösung durch Gleichsetzen.)

3.    je zwei der Gleichungen durch Multiplikation derart umzugestalten, daß durch Addition ihrer linken Seiten der Koeffizeut derselben Unbekannten jedesmal gleich 0 wird. Auch hier ist die Wirkung dieselbe wie im Falle 1. (Lösung durch Addition.)

Die Verwendbarkeit der genannten Methoden hängt jedoch davon ab, daß sowohl die ursprünglichen als auch die neu entstehenden Gleichungen bezüglich der einzelnen Unbekannten auflösbar sind. Diese Bedingung wird im allgemeinen nur von den Gleichungen ersten Grades erfüllt

Gleichungen höheren Grades mit mehr als einer Unbekannten sind hiernach nur lösbar, wenn sie besondere Formen besitzen. (S. Nr. u.)

Bei den Gleichungen ersten Grades mit drei Unbekannten läßt sich noch die folgende Auflösungsmethode mit Vorteil verwenden: Man drückt aus zwei von den Gleichungen zwei Unbekannten mit Benutzung der dritten aus und setzt die gewonnenen Ausdrücke in die dritte Gleichung ein. Hierdurch geht diese in eine Gleichung für die dritte Unbekannte über. (Lösung durch gleichzeitiges Einsetzen.)

2x + 6y + 5z = 29 3x f 4y — 2z = 5 4x — 2y + 7z = 21

2x + 6y = 29 — 5z ( — s I 3x + 4y = 5 + 2z |    »! —

77 -19z 5    10'"'

Beispiel.

16z — 43

und nun nach der dritten Gleichung:

64z — 172    154-38z

oder

10 +7z = 21 236 z ----- 708 und z ----- 3.

Es ist dann x = —- 1 und y --- ⁷⁷~⁵⁷ ----- 2.

Nr. 30. Unvollständige Gleichungssysteme.

(Diophantische Gleichungen.)

Ist die Anzahl der Gleichungen kleiner als die der Unbekannten, so genügen unzählig viel Wertegruppen den aufgestellten Bedingungen, und die Aufgabe ist unbestimmt. Es liegt jedoch in der Natur zahlreicher derartiger Aufgaben, daß nur ganzzahlige Werte, und unter diesen wiederum nur positive Werte der Unbekannten zulässig sind, oder daß die ganzzahligen Werte gewisse Grenzen nicht übersteigen dürfen (z. B. Anzahl der Tage eines Monats, Anzahl der Monate eines Jahres u. dgl.). Durch diese Bedingungen aber, die bei der Aufstellung der Gleichungen nicht mit benutzt werden, wird die Unbestimmtheit eingeschränkt und kann in besonderen Fällen ganz aufgehoben werden.

a) Unbestimmte Gleichungen ersten Grades.

Die allgemeine Form einer diophantischen Gleichung ersten Grades zwischen zwei Unbekannten lautet:

ax + by = c,

wo a, b und c positive ganze Zahlen bezeichnen und weder a, b und c, noch a und b allein einen gemeinschaftlichen Faktor besitzen. Sind nun a und ß zwei Werte für x und y, welche der Gleichung ax ± by = c genügen, so müssen alle Werte von der Form

x = a + nb und y = ß — na die Gleichung ax + by = c, x = « + nb - y = ß + na -

ax — by = c

befriedigen. Unter diesen Wertepaaren kann im ersten Falle nur eine begrenzte Anzahl aus positiven Zahlen bestehen. Daraus folgt:

Lehrsatz 7. Die Anzahl der Wurzelpaare ist nur bei der Gleichung ax — by — c unbegrenzt.

Die Auflösung der diophantischen Gleichungen ersten Grades geschieht nach der Eulerschen Reduktionsmethode in folgender Weise:

Man drückt aus der Gleichung zunächst diejenige Unbekannte aus, welche deil kleineren Koeffizienten hat, und zerlegt den gefundenen Ausdruck durch Division in zwei Teile, von denen der erste sicher eine ganze Zahl ist und der zweite die Form eines Bruches hat. Diesen Bruch setzt man gleich einer neuen Unbekannten und behandelt dann die dadurch entstehende Gleichung wie die ursprüngliche. Da die Koeffizienten dabei kleiner geworden sein müssen, so führt die Fortsetzung dieses Verfahrens schließlich zu einem ganzzahligen Ausdruck für die vorletzte der neu eingeführten Unbekannten. Damit aber ergibt sich die Möglichkeit, rückwärtsschreitend die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung durch die zuletzt eingeführte Unbekannte ganzzahlig auszudrücken und dann festzustellen, für welche Werte dieser Unbekannten die Wurzelpaare positiv sind

Beispiel 1.

a)

X -----

435 —22 y

13

13x-f 22y = 435. ₃₃ _ 2y

33 —2y + z.

b)

13z —6

13 z = 4 y 6, also

= 3z-1 + £=1 =

3z— 1 -f li.

c) Ltus z — 2 = 4n folgt: z = 4n -f- 2. Es ist dann y = 3 (4n-[-2) — 1 + n = 13n + 5 und x = 33 — 2 (13n + 5) + 4n + 2 = 25 — 22n.

So erhält man für

x ----- 25

y= 5

34 x — 19y — 85.

34 und 85 haben den gemeinschaftlichen Faktor 17, und daher muß and) y den Faktor 17 enthalten. Man kann also y = 17z setzen und somit die Gleichung bilden:

2x — 19z — 5.

z —— 1

3 —|— 9 z -j—    ^    ⁼⁼⁼ 3 -j— 9 z -j— li.

Beispiel 2.

a)

5 4- 19z

x ----- —--

18.

b) Aus z — 1 = 2 n folgt: z = 2n + 1. Es ist dann x ------ 3 + 9 (2n + 1) -j- n

= 19n + 12 und y = 17(2n + l).

Sind mehr als zwei Unbekannten vorhanden, so stellt man zunächst eine Gleichung mit zwei Unbekannten her, löst diese auf und leitet dann aus den gegebenen Gleichungen die Ausdrücke für die übrigen Unbekannten ab.

5 x — 7y + 9z — 33, 4x + lly — 15z = 65.

Beispiel 3.

Die Elimination von x liefert die Gleichung

193+ 111z ⁷    83

83y — 111z = 193.

28z+ 27

z + 24

83

z + 2 + il.

83u — 27

28

83u — 28z = 27, also

11 — 1

----- 3 n — 1--7^7— ----- 3n — 1 — n.

28

c) Aus Es ist dann

u ----- 28 n +• 1. = 83n + 2,

u — 1 ----- 2811 folgt: z — 84 n +3 — 1 v y = 83n + 2 + 2 + 28n+l = llln + 5

und

1.(33 -I- 777n + 35—747n — 18) = 6n + 10.

Man hat also die Werte-Gruppen:

x = 10 + 6n, y = 5 + llln, z = 2 + 83n.

b) Gleichungen zweiten Grades (diophantische Gleichungen).

Die Auflösung der unbestimmten Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten

Enthält die Schlußgleichung mehr als 2 Unbekannten, so heißt sie mehrfach unbestimmt. Zu ihrer Auflösung nimmt man innerhalb der gegebenen Einschränkungen alle bis auf 2 als willkürlich an, entwickelt für diese die Ausdrücke und setzt dann in die Ausdrücke die zulässigen Werte der als willkürlich angenommenen Unbekannten ein.

2x+ 3y + 5z = 27.

Beispiel.

Es ist z

27 —2x —3y

, und da x und y mindestens den Wert 1 haben müssen, so kann

z nicht größer als d. h. nicht größer als 4 werden.

Nun liefert die Gleichung 2x + 3y = 27 — 5z

die Ausdrücke:

X — 12 — z — 3II, y = 1 — z + 2n;

es kann daher für n die Werte annehmen 1, 2, 3 | 1, 2, 3 und somit ergeben sich die Auflösungsgruppen:

CC (M

CO (M

CO (N co

axs + bxy + cy² -f- dx + ey -f- f = 0

zunächst in rationalen und erst dann in positiven ganzen Zahlen ist mit elementaren Mitteln nur in besonderen Fällen möglich.

Erster Fall. Die Gleichung ist wenigstens für eine der Unbekannten vom ersten Grade.

Man löst in diesem Falle die Gleichung für die Unbekannte auf, die nur im ersten Grade vorkommt, und gestaltet den gefundenen Ausdruck so um, daß leicht entschieden werden kann, für welche ganzzahligen Werte der anderen Unbekannten auch die erste eine ganze Zahl wird.

Beispiel 1. Es sei 6xy — 5x —4y = 13, also y(6x — 4) ----- 5x +13 und y—

löx + 39 3x —

Bildet man hieraus: 6y =

löx —10 + 49

49

5x+13 6~x~—iT

so erkennt

~ oder 6y

man leicht, daß nur die Werte x = 1 und x = 3 zulässig sein können. Beide Werte sind verwendbar und liefern y = 9, bzw. y = 2.

3x — 2

3x — 2'

Beispiel 2. Es sei 4y² — 3xy — 5x + 11 y — 41 = 0,

also

X(³J + 5) = ⁴y² + lly — 41 und x

4y² + lly — 41

3y + 6

Bildet man hieraus

12y² + 33y_ 123 _ 12y² + 20y + 12y + 20 + y — 143

143—y

3y + ö

so erkennt man leicht, daß das kleinste positive ganzzahlige Wurzelpaar die Werte x = 2 und y = 3 sind.

3x =

3y + 5

3y + 5

= 4(y + l)-

Zweiter Fall. Die Gleichung läßt sich auf eine Form bringen, in der beide Seiten als Produkte aus zwei Faktoren ersten oder nullten Grades dargestellt werden können. (Verfahren nach John Leslie, Professor in Edinburgh, f 1832.)

Lautet in diesem Falle die Gleichung:

(ax + by + c) (a'x + b'y + c') = («x + ßj + y) (a'x + ß'j + /), so kann man

ax + by + c = n (ax + /Sy + y)

a'x + b'y + c' = 1 (a'x + ß'j + /)

setzen und diese Gleichungen nach x und y auflösen. Man hat dann der Zahl n Werte beizulegen, für welche x und y ganze positive Zahlen werden.

Beispiel 3. Aus 5x² — 3y² = 6 (x + y) folgt zunächst x (5x — 6) = 3y (y + 2).

Setzt man:

5x-6

= °(y + 2), also x = ^, und y =

6(n + 3)

15 — n²

und als kleinstes positives und ganzzahliges Wurzelpaar: x = 6 und y = 6.

Beispiel 4. Aus 3x²— 7xy+ 4y² —5x+ lOy— 10 = 0 (3x-4y) (x —y) = 5 (x- 2y + 2).

3x — 4y = 5n, also x - y =(x - 2y + 2),

8 — 5 n (n — 2)    .    6 — 5 n (n — 1)

X---r——---- und y =----

n -f 2    J    n + 2

und als kleinstes positives und ganzzahliges Wurzelpaar x = 4 und y = 3.

Beispiel 5. Für welche ganzzahligen, positiven Werte von x entsteht aus dem Ausdruck 3x² —5x —1 das Quadrat einer ganzen Zahl?

Setzt man 3x² — 5x — 1 = z² oder, um zerlegen zu können, 3x² — 5x — 2 = z²— l, so hat man:

so ergibt sich:

folgt zunächst:

Setzt man

so ergibt sich:

2n(n+3)

15 — n²

(3x+l)(x-2) = (z+ 1) (z - 1).

Aus

3x + l = n(z + l)

und

1(Z-1)

r* ^    2n⁸-2n + l 2n⁸-6 + 7-2n n , 7-2n

ergtsit sich dann: ----na_₈ --~tzts-----= 2 +

und hieraus als einziger positiver und ganzzahliger Wert: x = 5. Für x = 5 aber wird 3x² — 5x — 1 gleich 49, also gleich 7².

Zusatz. Zu den diophantischen Gleichungen gehört auch die Gleichung x² + y² = z², d. h. die Aufgabe, die allgemeine Form der Pythagoreischen Zahlen zu bestimmen.

Zunächst ist z² — y² = x² und hiernach ’Z~J = -■£■■-• Setzt man daher

oder —gleich wo p und q ganze Zahlen bezeichnen und p > q x z y q

ist, so hat man

z + y = — x und z — y = — x,

xunbz = ix(| + ^) = Pg^x.

Demnach werden y und z zugleich mit x ganze Zahlen, wenn man x = 2pq setzt. Man hat dann

x — 2pq, y = p² — q², z = p²+ q².

Sollen außerdem x, y und z keinen gemeinschaftlichen Teiler besitzen, so dürfen p und q weder durch dieselbe Zahl teilbar sein noch beide durch ungerade Zahlen ersetzt werden.

Hiernach ergeben sich als Pythagoreische Zahlen ohne gemeinschaftlichen für p = 2 und q = 1

Teiler:

p²-q²

2pq

x== 4, y =

12

13

15

17

24

25

20

21

29

40

41

12

35

37

61, usw.

In ganz entsprechender Weise kann die Gleichung ax² + bxy + cy² = z2 aufgelöst werden, wenn ihre linke Seite sich als Produkt zweier Faktoren ersten Grades darstellen läßt.

60

ii

Beispiel 6. Welche ganzen positiven Zahlengruppen genügen der Gleichung x² + 3xy — I0y² = z²?

Aufl. Da x² -f- 3xy — 10y² = (x -f 5y) (x — 2y) ist, so hat man:

Setzt man auf, so erhält man:

(x + 5y) (x-2y) = z⁸, also X + 51=P und

x + 5y

x — 2y

x ⁼ ~ und löst die Gleichungen nach x und y

2p²+5q²    p²-q²

x = -----—— - z und y ----- --—— • z.

7pq

7p q

Somit entstehen alle positiven ganzzahligen Wurzelgruppen der gegebenen Gleichung, wenn in den Ausdrücken

x — 2p²-f5q², y----- p² — q² und z = 7pq

p und q die Reihe der ganzen positiven Zahlen so durchlaufen, daß p größer als q bleibt.

Nr. 31. Dir Gleichung 3tcn Grades, a) Um die allgemeine Gleichung 3tm Grades x³ + a x² + b x + c = 0

aufzulösen, muß man neue Unbekannten einzuführen suchen, deren 2te und ltc Potenzen aus der Gleichung fortfallen. Setzt man zunächst

so ergibt sich:

y³ + (3f + a)y² + (3f² + 2af + b)y + (f³ + af² + bf + e) = 0.

x = y +f,

Man kann nun über f so verfügen, daß y² oder y verschwindet. Beides läßt sich nicht zugleich erreichen, wenn nicht a und b besondere Werte besitzen.

c8 I co

Wählt man das erstere, so muß f = — werden und somit die Substitution lauten:

1.

y-z'

Die Gleichung geht dann in die Normalform über:

2.

y³ + py + q = o.

Auch diese Gleichung ist noch nicht auflösbar, da sie außer der 3te" noch die llc Potenz von y enthält. Eine zweite Substitution von der Form y = z + f' führt, wie die Rechnung zeigt, ebenfalls nicht zu einer binomischen Gleichung. Ersetzt man jedoch y durch die Summe u + v zweier neuen Unbekannten, bildet man also die Gleichung

0 = (u + v)³ + p (u + v) + q = u³ + v³ + (3uv + p) (u + v) + q,

so erkennt man, daß man u und v durch die Gleichung 3uv + p = 0 oder 3uv = — p.§u verbinden hat, um zu den auflösbaren Gleichungen

Und

uv —

u³ + v³ = — q _ P

zu gelangen. Diese liefern

”‘=~1⁺ V(I)I+ (j)¹'

i-yFnr-

V⁸ —

“2

und führen auf die Kardanische Formel:

y=M + y

3.

PT?

T ⁺ 27

Da jede der Kubikwurzeln drei Werte besitzt, so umfaßt der Ausdruck für y 9 Werte; es läßt sich jedoch zeigen, daß von diesen mit Rücksicht auf die Gleichung 3nv = — p nur drei zulässig sind. Bezeichnen nämlich r und s die Zahlenwerte der Kubikwurzeln, so ist

j = r fT+ s fl,

und demnach hat man von den Größen

-s (—1 -f il/3) 4 s (— 1 - i i/3)

s-r (-1 + I y:\j

diejenigen Paare zusammenzustellen, deren Produkt reell wird. Dies ist aber, wenn r und s selber reell sind, nur der Fall bei

b£>| M-

r(-l + i)/3) + ls (-1-1/3)

lr(-l-i/3) + {s(-l + i/3).

Auf den Fall, daß r und s komplex sind, wird später eingegangen.

b) Für die Normalform ergibt sich, wenn die Gleichung eine ganzzahlige Wurzel besitzt, eine sehr bequeme Auflösung durch die folgende Betrachtung: Aus den Beziehungen zwischen den Wurzeln ju ys und y₃ der Gleichung y⁸ + py + q = o

a)

oder

oder

Ji +- y₂ + y₃ = 0 b) yiy₂ + yiy₈ +y₂y₃ = p jij2js = - q

folgt, wenn man y₂y₃ = k setzt, - y/ = p - k, also

Ji + Ji----Ji

(y₂ + y₃)yi = p - y₃y₃

c)

4.

yi = J/k — p.

Läßt sich daher — q in zwei Faktoren yx und k so zerlegen, daß y, = /k — p ist, so ist j₁ eine rationale Wurzel der Gleichung

y⁸ + py + q = °-

Beispiel 1. Es sei y» - 4y + 15 = 0.

Setzt man yt | also k | so wird ]/k — p und die Zerlegung liefert

- 15

/- 11

keine Wurzel

+ 15

/19

/—I

]/9

-3    +5

Die Gleichung besitzt also die rationale Wurzel — 3.

die Wurzel — 3.

Beispiel 2. Es sei y³ - 39y - 70 = 0.

Setzt man yt also k so wird ]/k — p und die Zerlegung liefert

y io9

keine Wurzel

Ico

"ox] ^ 'S]

Oi\ 051

die Wurzel — 2 keine Wurzel die Wurzel — 5 -    -    + 7.

y+9

Die Gleichung besitzt also die rationalen Wurzeln — 2, — 5 und + 7.

Hiernach läßt sich bequem entscheiden, ob eine kubische Gleichung, in deren Normalform die Koeffizienten p und q ganze Zahlen sind, eine oder drei ganzzahlige rationale Wurzeln besitzt.

c) Geht die Quadratwurzel in der Formel 3. nicht auf, oder sind die Zahlen p und q für die erforderlichen Rechnungen unbequem, so kann eine goniometrische Umgestaltung der Kardanischen Schlußformel eintreten, die eine einfachere logarithmische Berechnung ermöglicht. Zunächst kann man die Kubikwurzeln auf die Form bringen:

und wenn unter der Wurzel stets der absolute Wert von q benutzt wird,

—‘F-j/KiT+i+s

je nachdem in der Gleichung y³+ py + q = 0 die Größe q positiv oder negativ ist. Bei der weiteren Behandlung der Wurzel sind 3 Fälle zu unterscheiden:

lter Fall, p ist positiv. Man setzt — tg² cp; es ist dann

q cos cp -f- 1 2 cos cp

^)-V

Da aber

sin² (st 4 p³

cos²qp    q² 27'

und somit

ist, so erhält man

1    i/ps

2    V 27

cos cp sin cp

Sin (st

l/p Y/eosy + l

V 3 V sin 9

y =]/§ (]/ctg | - ]/tg I) -

Demnach ist

Substitution j/tg-| =

Die weitere führt nun zu dem Resultate:

also auch j/ctg = ctg f,

cos²'ip — sin²^

eos rj) sirnp

oder

Die Auflösung erfordert also die drei Berechnungen:

tg t = ]/tg | und y =]/^ ctg 2il>.

■ ₂    4p⁸

tg²y =2iv'

Das Vorzeichen von y ist dem Vorzeichen von q entgegengesetzt. 2'" Fall. p ist negativ und 4p³< 27q²,

so ist

Setzt man

j/f (¹■ ^T/i -    - vi (i * «o.+)=yvs .

und somit

y = ]/f (S]/tgf+]/ctgf)-Für j/tg-| = tg.^ also auch "j/ctg= ctg ^ erhält man hieraus: y = ]/| (tg f + ctg *) = ]/^

Es sind daher die Berechnungen durchzuführen:

tg^=]/tgf und y = ]/^ und y erhält das Vorzeichen + oder —, je nachdem q negativ oder positiv ist.

sin²<p =

4ps

27q*'

Zusatz. Will man in den Fällen 1. und 2. die beiden anderen Wurzeln ausrechnen, so beachtet man, daß nach den Bedingungen

yi + y* + y₈ = ⁰ oder ys + y₃=-y,

und

yry₈-y₃— r -

y₂ und y₃ sich erweisen als Wurzeln der Gleichung

z³+yiz

Ja* Js

--O.

3^r Fall. p ist negativ und 4p³ > 27q². (Casus irreducibilis.)

Setzt man

so ist

4p» _    1

27 q² — bOB\'

MM

4p⁸

isinqp

27 q²

und da |. durch cos <p ersetzt werden kann,

COS qp

\ _i / q cos cp 4- i sin cp

) V 2 cos cp

jZ]/fy (cos cp ± i sin <p).

k • 360° -|- <P _l .„,vk 360»+ V. 3    ²¹    3    '

Nach dem dritten Moivreschen Satze ist aber f^cos (p ± i sin (p = cos

bei der Addition der Kubikwurzeln fallen daher die imaginären Teile fort

k • 360° -f- <p

und es bleibt

2 cos

Demnach ergeben sich die Wurzeln

yi = T Yy cosf'

Vf Slu(30.+ f). = ± ]/f »in (30- -'?)•

ya= ±

ys

Die oberen Vorzeichen entsprechen einem positiven und die unteren einem negativen q.

Gleichung

Die gleichen Formeln lassen sich durch Benutzung der goniometrischen

cos cp = 4 cos³ ^ — 3 cos j ableiten. Bildet man durch Erweiterung mit p³ die Gleichung (p cos |)⁸- | p² (p cos I) - j p³ cos q> = 0,

so wird diese mit der Gleichung

identisch, wenn man setzt:

1.4

y³-py + q = o

also p = ±]/4p

2.    ~ Q³ cos cp = — q, also cos (p = +

3.    p cos | = y.

tP² = P,

cc | P4

und

Da aber cos rp = cos (k • 360° -j- cp) ist, so ergeben sich die Wurzeln

cos

=*1/?

- * Vt “K¹²⁰" + f) - ± ]/t siü (³⁰° + I)

Ja

+!)- ±>f"i°i(30« - !)'

In entsprechender Weise hätte die Formel

sin <p = 3 sin — 4 sin³ j zu einer Auflösung benutzt werden können.

Nr. 32. Auflösung der numerischen Gleichungen durch Näherung.

a) Erklärungen.

Erklärung 1. Eine algebraische Gleichung heißt numerisch, wenn ihre Koeffizienten rationale Zahlen sind.

Zusah. Jede numerische Gleichung kann auf die Normalform

xn + a₁xn_1 + a₂xn—2+ • • • + an_ix + a„ = 0,

in der die Koeffizienten und Exponenten ganze Zahlen sind, gebracht werden.

Bew. 1. Hat die Gleichung nach Beseitigung der Nenner die Gestalt AqX¹¹ -f- Ajxn * -f- A₂x“ ² 4™ * ■ * 4~ An —ix An — 0

angenommen, so kann man mit Afl“-¹ in die Normalform einer Gleichung für y überführen.

x = ~ setzen und die Gleichung durch Erweiterung

2. Hat die Gleichung nach Beseitigung der Nenner z. B. die Gestalt

3xä - 2x1 - Öxi 4- 6xi - 7 = 0

angenommen, so kann man diese in

3xä - 2xi! - 5xÄ + 6xi² -7 = 0

umformen und durch die Substitution y = xm in die Gleichung 3y⁷ 4- 6y⁶ — 5y⁴ — 2y² — 7 = 0

überführen. Hieraus läßt sich durch die Substitution y = | die Normalform einer Gleichung für z ableiten.

Erklärung 2. Wird in der Normalform einer numerischen Gleichung x durch — y ersetzt (und bei einem ungeraden n der erforderliche Vorzeichenwechsel vorgenommen), so entsteht ihre entgegengesetzte Gleichung.

So hat z.B. die Normalform x’-|-3x⁴ — 5x² — llx-|-9 = 0 die entgegengesetzte Gleichung y⁷ — 3y⁴+ 5y² — lly — 9 = 0.

Erklärung 3. Wird in der Normalform einer numerischen Gleichung X durch y ersetzt, so entsteht ihre reziproke Gleichung.

2y⁶ —5y⁴-3y⁸ + 4y —1 = 0, und diese ist nach Erkl. 1. Zus. durch die Substitution y = | auf die Normalsorm z⁶ - 5z⁴-12z⁸ + 32z- 16 = 0

So hat z. B. die Normalform x⁶ — 4x⁴ + 3xs + 5x — 2 = 0 die reziproke Gleichung

zu bringen.

b) Grenzen der reellen Wurzeln.

Wird in der ganzen rationalen Funktion

f(x) = xn + ajX“⁻¹ + %x”-² +----f a„_!X + an

die Größe x durch x + d ersetzt, so liefert die Entwicklung:

f(x + d) = xn + xn-1d + (^j xn—2d²    + • • • + dn

+ a, [xu ~¹ + (n”¹)xn~²d + (n₂¹)xn-sd²H-----h d“-r|

+ a,[x“-² + (n7²)x“-²d + (n7²)x»-⁴d³+. - - + d“~²].

2!.

31.

+ an—i [x + d]

■j™ 8n.

Wird in dieser Entwicklung der Ausdruck

xn-²

ö^+^Ci¹)

[g)x“-²+a₁(n7¹)

[Gh-^(r)

x¹¹-

xn~

+ a3 1 ²) an —3 +----1-    an_i    mit    f'(x),

³+ a2 C2 ²) x“—4 +----f    an_₂J    mit    f"(x),

⁴ + 85, (“7²) x“-⁵ H-----1-    an-₃]    mit    f'"(x),

usw. bezeichnet, so ergibt sich:

<?²

ds

f(x + d) = f(x) + jf'(x) + 2|f"(x) + 3jf"'(x) H----+ ä",

und somit:

k(x +d)-f(x) -- d[f'(x) + |jf"(x) + f>"(x) + ••• + d-t].

Da die abgeleiteten Funktionen (die Ableitungen) f (x), i" (x) usw. gleichfalls ganz rationale Funktionen sind, so bleiben sie für jeden endlichen Wert von x endliche Größen; die rechte Seite der vorstehenden Gleichung kann daher mit S zugleich beliebig klein gemacht werden. Bezeichnet man also eine Funktion f(x) als eine stetige Funktion, wenn sich durch eine hinreichend kleine Veränderung von x eine beliebig kleine Veränderung von f(x) erzielen läßt, so folgt hieraus, daß jede ganze rationale Funktion stetig verläuft. Eine ganze rationale Funktion kann daher ihr Vorzeichen nicht wechseln, ohne durch den Wert 0 hindurchzugehen. Somit hat man den Satz:

Lehrsatz 8. Nimmt die Funktion f (x) für x = « und x = ß Werte mit verschiedenen Vorzeichen an, so liegt zwischen « und ß mindestens eine reelle Wurzel der Gleichung f(x) = 0.

Ersetzt man in der Funktion f(x) sämtliche Koeffizienten durch den absoluten Betrag p des größten unter den negativen Koeffizienten, so entsteht auf der rechten Seite die Summe

— 1 x—1'

Wählt man daher x so, daß (x—1) > p und somit positiv bleibt, so wird

xn größer als die Summe aller auf xn folgenden Glieder. Selbst wenn demnach auch alle Koeffizienten ak negativ wären, so würde der Wert der Funktion f(x) für jeden Wert von x, der größer als (p +1) ist, doch positiv bleiben. Um so mehr ist dies der Fall, wenn einige der Koeffizienten positiv sind. Hieraus aber folgt:

xn + p (xn—1 -f- xn—2 + • • • + x + 1) oder xn +

Lehrsatz 9. Ist p der absolute Betrag des größten negativen Koeffizienten in der Gleichung f(x) = 0, so liegen die positiven Wurzeln zwischen 0 und p +1.

Folgerung. Ist q der absolute Betrag des größten negativen Koeffizienten in der entgegengesetzten Gleichung, so liegen die negativen Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zwischen 0 und — (q +1).

Die hier angegebenen Grenzen sind oft sehr weit, und daher empfiehlt es sich, zu untersuchen, ob die Grenzen nicht enger gezogen werden können. Sind die ersten r Koeffizienten der Funktion f(x) positiv, und wird x so gewählt, daß f(x) positiv bleibt, auch wenn von dem ersten negativen Gliede ab alle Koeffizienten durch —p ersetzt werden, so ist zweifellos

xn> p(xn-r+xn-r-¹ + - • . + 1) oder Da (x — 1) > 0, also    positiv ist, so bleibt f (x) sicher positiv,

px"-r+1

--IM.

x-1/

wenn

pxu+¹

oder schließlich ¹ >

oder xu (x—1)>

gewählt wird. Nun

ist ein echter Bruch, also    ' und somit wird die Bedingung

- —- > - jedenfalls erfüllt

X    X¹

-1

xr

, wenn

> — oder (x - l)> j/p angenommen wird.

Demnach ist 1 + die obere Grenze für die positiven Wurzeln, wenn die

ersten r Koeffizienten positiv sind und p den absoluten Betrag des größten negativen Koeffizienten bezeichnet.

Ganz entsprechend läßt sich mit Benutzung der entgegengesetzten Gleichung eine untere Grenze für die negativen Wurzeln ableiten. Sind s und q die betreffenden Zahlen, so ist

diese Grenze gleich -(1 -f -j/q).

Zusatz. Aus den reziproken Gleichungen können auf dem oben eingeschlagenen Wege untere Grenzen für die positiven und obere Grenzen für die negativen Wurzeln aufgefunden werden.

c) Berechnung reeller Wurzeln durch Näherung.

1.    Hat man nach Lehrsatz 9 die Grenzen für die reellen Wurzeln ermittelt und ersetzt man in der Funktion f(x) die Veränderliche x der Reihe nach durch die ganzen Zahlen zwischen 0 und der oberen Grenze, so zeigt ein Zeichenwechsel des Funktionswertes bei x = « und x = « + 1 das Vorhandensein mindestens einer positiven irrationalen¹) Wurzel an, die mit « Einern beginnt.

In gleicher Weise ergibt sich, wenn nun x der Reihe nach durch « + —/ « + ~z

ein-

a + ™ ... ersetzt wird, aus einem zwischen x = « + ^ und x = « +

tretenden Zeichenwechsel, daß die Wurzel ß Zehntel enthält. Ganz entsprechend könnten die in der Wurzel enthaltenen Hundertstel, Tausendstel usw. bestimmt werden; es ist jedoch bequemer, zur Berechnung der auf die erste folgenden Dezimalstellen ein Verfahren anzuwenden, das weniger Zeitaufwand erfordert.

2.    Regula falsi. Sind « und ß zwei bereits genäherte Werte einer positiven Wurzel der Gleichung f(x) = 0, so berechtigt die Stetigkeit der Funktion zu der Annahme, daß f(x) zwischen f(«) und f(/3) sich annähernd in demselben Verhältnis ändere wie x zwischen « und ß. Ist daher a < ß

und d die Korrektion, d. h. der Zuwachs, den « erhalten muß, um gleich der gesuchten Wurzel zu werden, so kann die Proportion

[{(ß) — f(«)]: [0 — f(«)] = (ß - a): 4

(ß — ct) f(a) f(ß)-f(a)

ein besserer Näherungswert als a und ß.

abgeleitet werden. Es ist

aufgestellt und hieraus der Wert d = —

(ß-«)*(«)

m~ f(“)

Unterscheiden sich insbesondere a und ß nur um eine Einheit der pten Dezimal-. stelle, so ist in y bereits die (p + l)te Dezimalstelle genau. — Das Verfahren kann beliebig oft wiederholt und damit jede verlangte Genauigkeit für die Wurzel erzielt werden. Ganz entsprechend ist das Verfahren bei negativen Wurzeln.

dann y = a —

Beispiel 1. Es sei f(x) = x³-f x² —4x — 55.

Da f(x) für x ----- 0 negativ ist, so hat die Gleichung f(x) = 0 mindestens eine positive Wurzel. Nun nimmt die Funktion f(x)

für x ----- 0,

den Wert —55,    — 57,    —51,    —31,    + 9

an, und somit liegt zwischen + 3 und + 4, und zwar näher bei 4 als bei 3, eine irrationale Wurzel.

1,

2,

3,

4,

Für

x = 3,7 wird f(x) = —5,457,

-    f (x) = — 0,888,

-    f(x) ----- + 3,929.

co co

Die Wurzel liegt also zwischen 3,8 und 3,9, die Korrektion ist gleich 0,1 • oder 0,01 ..und der Näherungswert yt ist gleich 3,81.

Weiter hat nun

0,888

4,817

für x ----- 3,81 die Funktion f (x) den Wert — 0,420 -    -    --    -    -s- 0,053)

oder 0,008..., und der Näherungswert ya ist

und - x == 3,82    -

die Korrektion S₂ beträgt also 0,01 •

0,42

0,473

gleich 3,818. Die folgende Korrektion ds wird gleich 0,0008, und der entsprechende Näherungswert y₃ wird gleich 3,8188.

Die regula falsi kann auch auf Gleichungen, welche nicht algebraisch sind, (auf transzendente Gleichungen) angewandt werden.

Beispiel 2. Es sei f(x) = 2* + 3* — 12.

X —

Für-

0,

1,

Hat die Funktion f(x) die Werte — 10,

-7,

+ 1,

und demnach liegt zwischen + ¹ und + 2, und zwar näher bei 2 als bei 1, eine irrationale Wurzel. Für x == 1,9 ist die Funktion gleich — 0,2045, also noch negativ; die Wurzel liegt

daher zwischen 1,9 und 2, die Korrektion beträgt 0,1 • Näherungswert y, ist gleich 1,91.

0,2045

1,2045

oder 0,01..., und der

Weiter hat nun die Funktion für x -----1,91 den Wert — 0,0979 und - x —1,92    -

-    + 0,0269;

die Korrektion beträgt also 0,01 • gleich 1,917, usw.

0,0979

0,1248

oder 0,007, und der Näherungswert y₂ ist

3. Newkonsche Näherungsmekhode. Ist a ein bereits gefundener Näherungswert einer Wurzel der Gleichung f(x) = 0 und d die Korrektion von af so üben in der Entwicklung

f(«)

f(« + »>= f(«) + tf» + ~ f» + ••• nux die ersten beiden Glieder einen wesentlichen*) Einfluß auf die nächste Dezimalstelle aus. Man kann daher

f»

f(a) +    = 0 oder cf — —

setzen und erhält in «'==« — einen genaueren Näherungswert als «.

Für den korrigierten Wert d läßt sich auf dem gleichen Wege eine Korrektion Ö' bestimmen, usw

Zusah 1. Die Reihenentwicklung für f(« + &) darf ohne weiteres nur auf ganze rationale Funktionen angewandt werden; es ist daher ratsam, sich hier auf diese zu beschränken und bei anderen Funktionen die regula falsi anzuwenden.

Zusah 2. Die Herstellung der Ableitung f'(x) ist nur bei ganzen rationalen Funktionen einfach und wird dadurch ausgeführt, daß das allgemeine Glied der Reihe akxn~k durch (n — k)akxn~~k~¹ ersetzt wird.

Beispiel. (6. Beispiel 1.) Es sei f(x) = x³ +x²-4x - 55;

es ist dann f'(x) = 3x² -f- 2x — i-

Für den Näherungswert « — 3,8 ergibt sich:

0,888

f («) = — 0,888,    f («) = 46,9,    9

Für d — 3,81 aber ist f(a') — — 0,420 und f'(«') = 47,17. Man erhält also 9" =

46,9

0,01 ... und c' = 3,81.

Da f («") = — 0,039 unbf'fa") = 47,368, also 9 '--

0,039

47,368

. 0,42 47,17

0,0008 ist, so folgt: d" = 3,8188.

= 0,008 und d’ = 3,818.

*) Liegen zwei Wurzeln sehr nahe beieinander, so ist die Formel für 9 nicht ausreichend. Es muß dann die Gleichung

f(a) + »f» + i<$²f'» = 0

benutzt werden, welche zwei getrennt weiter zu behandelnde Korrektionen liefert.

Nr. 83. Größte und kleinste Werte. (Maxima und Minima.)

Eine Funktion kann, wie z. B. die Funktion y — ax⁸, ins Unbegrenzte wachsen bzw. abnehmen, sie kann aber auch, wie die Funktionen y = sin x und

f(b)

f(a)

a, Tn ^

giß. 25.

y = cos x zwischen zwei endlichen Grenzen eingeschlossen bleiben. Besitzt eine Funktion für zwei aufeinanderfolgende Werte a und b von x, zwischen denen sie stetig ist, dieselbe Größe, so gibt es zwischen f(a) und t(b) mindestens einen Wert k(in), G der entweder größer oder kleiner als alle Werte von f(x) in der Nachbarschaft von f(m) ist. Im ersten Falle nennt manf(m) einen größten Wert (Maximum) und im zweiten Falle nennt man f'(m) einen kleinsten Wert (Minimum) der Funktion, während in beiden Fällen f(m) als ein Grenzwert der Funktion f(x) bezeichnet wird.

Die Bestimmung derartiger Grenzwerte läßt sich in zahlreichen Fällen bereits durch ganz elementare Betrachtungen durchführen.

a) Grenzwerte ganzer rationaler Funktionen zweiten Grades. Die ganze rationale Funktion zweiten Grades

y = f(x) — ax² + bx -f- c

läßt sich stets so umgestalten, daß die Veränderlichex nur in der Grundzahl eines Quadrates auftritt. Durch Absonderung erhält man:

T-*{*, + i*) + °-*(* + £s+e-£•

d²

-- bei einem positiven

Demnach tritt für x = — in dem Werte y = c

(negativen) a ein kleinster (größter) Wert ans.

Beispiel 1. Es sei y — 3x² + 4x + 12.

Stuft. Es ist y = 3 ^x²+ -^-xj + 12 = 3 ^x -f-    + 12 — und somit erreicht

32

bei x = — \ die Funktion y ihren kleinsten Wert

Beispiel 2. Es sei y = 12 + 5x— 2x².

Stuft. Es ist y = 12 — 2 ^x² — x^ = 12 + y — 2 ^x —    , und somit erreicht

bei x =

j die Funktion y ihren größten Wert

Beispiel 3. Welches von allen Dreiecken mit der Grundlinie a und dem Umfang 2s hat den größten Inhalt?

Ausl. Setzt man b = x, also s — c = a + x — s, so hat man:

J²

s • (s — a)

(s — x)(a — s -f- x) = s(a — s) — x² -f- (2 s — a)x

2 s —aV

2 / '

2s-—^ der Inhalt seinen größten Wert -^|/s(s — a). Aus - oder    folgt aber c = b, d. h. das Dreieck ist gleichschenklig.

Hiernach erreicht bei x 2s —

Beispiel 4. Welche gerade quadratische Pyramide hat bei der Größe 0 der Oberfläche den größten Rauminhalt?

Ausl. Zunächst ist 3Y = a²h. Da aber

0 = a³ + 2ayh² + ^, also (0 —a²)² = 4a²(h² +

O²

und somit h² = ^

0 ist, so folgt:

36V² — 0²a² —

/0    \ O³

20a⁴=20/^a² —a⁴j = y — 20 Hiernach erreicht bei a² = ^ oder a = |]/0 der Rauminhalt seinen größten Wert^l/2 0. Für a = |yO und V =    aber wird h = |]/20

t>) Bestimmung der Grenzwerte durch Auflösung der Gleichung y --- f(x).

Ist die Funktion f(x) vom zweiten Grade, und wird die Gleichung y = f(x) nach x aufgelöst, so erscheint y unter der Quadratwurzel. Aus der Forderung, daß die Lösung der Gleichung reell sein soll, ergibt sich nun die Bedingung, daß der Radikand nicht negativ werden darf, und demnach erhält man eine Gleichung für den Grenzwert von y, wenn man den Radikanden gleich Null setzt. Dies Verfahren läßt sich auch bei gebrochenen und irrationalen Funktionen verwenden, wenn die entstehende Schlußgleichung vom zweiten Grade ist oder doch auf eine Gleichung zweiten Grades zurückgeführt werden kann.

Beispiel 5. S. Beispiel 1.

Stuft. Die Gleichung 3x²-f-4x+12=y hat die Wurzeln x=-^(—2 +j/3y~—32). Somit tritt für x = —~ der kleinste für y zulässige Wert ~ ein.

Beispiel 6. Es sei y

Ausl. Die entstehende Gleichung (3y — 2) x² -f- 3x — 5 = 0 ist vom zweiten Grade

(— 3 + ]/60y — 3l). Somit darf y nicht unter ~ sinken, und dies Minimum der Funktion tritt für x = y ein.

2x² — 3x -f 5

3x²

2 (3y — 2)

und hat die Wurzeln x

Beispiel 7. Die Funktion y sei mit der Veränderlichen x durch die Gleichung x² + y² — 6xy + 10x -j- 18 = 0 verbunden.

Aufl. Für x liefert die Gleichung die Wurzeln

x---3y — 6±ySj² — 30y-f- 7    = 3y — 5 + )/(4y — l)(2y — 7).

to| -a

Der Radikand ist positiv, wenn y größer als oder kleiner als ~ ist, und negativ, wenn

⁹    17

y zwischen diesen Grenzen liegt. Demnach besitzt die Funktion an der Stelle x -----

4

1    11    7

das Maximum — und an der Stelle x = — das Minimum —•

c) Bestimmung nach dem Schellbachschen Verfahren.

Ein von der vorstehenden Betrachtungsweise unabhängiges Verfahren läßt sich durch die folgende Überlegung gewinnen:

Hat eine stetige Funktion f(x) für x = x, und x = x₂ denselben Wert, so muß zwischen xt und x₂ mindestens eine Grenzstelle der Kurve y = f(x) liegen, und man muß sich dieser Grenzstelle (oder einer dieser Grenzstellen) von xL und Xg aus gleichzeitig stets so nähern können, daß die zugehörigen Wertepaare der Funktion einander gleich bleiben. Nun lassen sich in der Gleichung f(xx) — f(x₂) = 0 die Glieder mit gleich hohen Potenzen von und x₂ zusammenfassen und dann die rechte Seite der Gleichung durch — x₂ dividieren, da ein etwa vorhandenes konstantes Glied von f(x) in der Differenz fiX)—f(x₂) nicht vorkommt. Gelangen daher x, und x₂ bei der Annäherung an die Grenzstelle x, d. h. ersetzt man x₁ und x₂ in der umgeformten Gleichung durch x, so entsteht eine Gleichung für x. Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Werte von x, für welche f(x) Grenzwerte annehmen kann.

Dies Verfahren ist von Schellbach (f 1892) abgeleitet worden.

Beispiel 8. Wie groß hat man die Grundkante einer quadratischen Säule zu nehmen, damit die Oberfläche bei dem Inhalt V am kleinsten wird?

4 V

Aufl. Aus 0 — 2a?-j-uttb V — a²h ergibt sich: 0 = 2a*-j--- Somit

hat man:

oder

af — ai

ai ' a2

(ai — as) — 0.

2 Y    3 .—.

Es entsteht also die Gleichung: 2a =    / und hieraus folgt: a = "|/Y.

d) Das Verfahren von gerntat.

Einen ähnlichen Gang hatte schon gerinnt (t 1665) bei der Bestimmung von Grenzwerten eingeschlagen. Er setzte in den Ausdruck, den er auf Grenzwerte hin untersuchte, statt der Veränderlichen A (er wählte ebenso wie Vieta zur Bezeichnung der Unbekannten die großen Vokale) die neue Größe A + E ein, in der E eine nur wenig von 0 verschiedene Zahl bezeichnen sollte, verband die

beiden Ausdrücke für A und A + E durch das Gleichheitszeichen, machte die Gleichung nennerfrei, ordnete sie und dividierte dann durch E. Alsdann vollzog er den Grenzübergang zu E ----- 0 und erhielt auf diese Weise eine Gleichung zur Bestimmung der Grenzstellen.

Wählt man die jetzt gebräuchliche Bezeichnungsweise und ersetzt A durch x bzw. A + E durch x', so hat man hiernach das folgende Verfahren:

Man bildet die Differenz y — y' [f« — f(x')], dividiert durch x —x', läßt in dem Quotienten x' = x werden, setzt den hierdurch entstehenden Ausdruck f'(x) gleich 0 und löst die Gleichung f'(x) = 0 nach x auf. Die reellen Wurzeln sind dann die Werte von x, für welche die Funktion einen Grenzwert annehmen kann.

Die einzelnen Teile des Fermatschen Verfahrens lassen sich an dem durch graphische Darstellung gewonnenen Bilde der Funktion y ----- f(x) veranschaulichen. Sind die Punkte P und P' durch die Werte y ----- f(x) und y' = f(x') bestimmt, so entsprechen den Differenzen y — y' und x — x' die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und daher ist der Quotient    gleich der trigonometrischen Tangente des

Winkels a, den die Sekante PP' mit der (positiven Richtung der) X-Achse bildet.

y-y'

p'j/x-JC'

Dreht man die Sekante? P' um den Punkt P, bis sie in die Tangente des Punktes? übergeht (läßt man x' gleich x werden), so wird dieser Quotient gleich der trigono- 0 metrischen Tangente des Winkels cp, den die Tangente des Punktes P mit der X - Achse einschließt.

Fig. 26.

Man hat also:

lim

Nun geht die Kurve y == f(x) vom Steigen zum Fallen (vom Fallen zum Steigen) über, wenn die Funktion einen größten (kleinsten) Wert erreicht hat, und an der Übergangsstelle ist die Tangente der X-Achse parallel, bildet mit ihr also den Winkel <p = 0. Ist aber ^ ---- 0, so ist auch tg <p = 0, und daher ist die Gleichung

----- 0

lim

x' =

y —y'

dahin zu deuten, daß an den Punkten der Kurve, die ihren Wurzeln entsprechen, die Tangenten der X-Achse parallel sind.

Wie man sieht, läßt sich aus dem Fermatschen Verfahren (ebensowenig wie aus dem Verfahren von Schellbach) bereits ein Schluß auf das Vorhandensein eines Grenzwertes ziehen, da die Tangente auch an anderen Punkten (Wendepunkte der Kurve!) der X-Achse parallel sein kann. Vgl. Anhang II, Nr. 7.

Da der Winkel der Tangente und der X-Achse (s. Fig. 26) unmittelbar nach einem größten (kleinsten) Wert der Funktion stumpf (spitz), also der Quotient f'(x) negativ (positiv) ist, so läßt sich die Entscheidung, ob ein Grenzwert ein größter oder ein kleinster ist, nach der folgenden Regel treffen:

Ist a eine Grenzstelle der Funktion f(x) und für ein positives ä der Wert von f'(« + d)

„ kleinster.

negativ, so ist der Grenzwert ein größter, Positiv, „ „    „

Beispiel 9. Es sei y = 3x⁴-j-4x³ — I2x² — 96x -f 47.

Aufl. Es ist y — J = 3(x⁴ — X/4) -f- 4(x³ — x'³) — 12(x² — x'²) — 96(x — x'),

also

X — x'

3 (x³-}- x²x'-|- x x' ²-f- x'³) -|- 4 (x ²-f- x x' -|-x' ²)—12(x-f-x')— 96

und somit

f'(x) = 12x³ + 12x² — 24 x — 96.

Die hieraus entstehende Gleichung

x⁸ + x²— 2x — 8 — 0

hat als einzige reelle Wurzel die Wurzel x=2, und demnach tritt für x = 2 ein Grenzwert von der Größe —113 ein. Da aber f'(2 -f- d) gleich 12<?(<?² -f 7d -j- 14), also für ein positives d positiv ist, so kann der Grenzwert nur ein kleinster sein.

y = x ]/24 — 3x².

y _ y' = x ]/24^3? — x' ]/24 — 3x72 bildet man, um gleichhohe Potenzen zusammenfassen zu können,

, _ x²(24 — 3x²) — x'²(24 — 3x'²)

^ x y24 — 3x²-f-x']/24 — 3x'² '

24 (x² — x'²) — 3(x⁴ — x'⁴) x ]/24 — 3X² + x' )/24"—'Sx⁷² '

Beispiel 10. Es sei

Aufl. Aus

und erhält dadurch:

f'(x)

24 — 6x²

]/24 —3x²

Somit sind die beiden Grenzstellen x = + 2 mit den Grenzwerten + 4 j/3 vorhanden.

Da aber

f'(2 + (?)

und f'(—2 + d)

— 24d — 6d²

]/l2 — 12d' — 3d2 und folglich für ein positives d f'(2 -j- <?) negativ ist, so muß 4 ]/3 ein größter

24ö — 6ö²

]/12 + 12 k) — 3<?²

und f'(— 2 + <?) positiv

und — 4 j/3 ein kleinster Wert sein.

Zusah. Wie auf Seite 91 gezeigt worden ist, läßt sich bei einer ganzen rationalen Funktion f(x) der Wert für x = a + d durch die Summe

f(a +») = f(a) + jf'(a) + §>» + gf"'(a) + ••• + «-

darstellen. Man hat also in diesem Falle:

f(a) -f(a + »)--- f'(a) -    f"(a) -gf'"(a)

Sft daher a eine Grenzstelle, so folgt:

f(a)-f(a+*)--£ [f" (a) + | f"'(a) + ~ fIV(a) + • • ]

und da d so klein gewählt werden kann, daß f"(a) seinem absoluten Betrage nach größer als die Summe aller in der Klammer noch folgenden Glieder ist, so erkennt man, daß an der Grenze die Differenz f(a) — f(a + 6) das entgegengesetzte Vorzeichen von f"(a) besitzt. Hieraus aber folgt:

Regel von Fermat: Eine (ganze rationale) Funktion f(x) besitzt für x = a einen größten (kleinsten) Wert, wenn für x = a ihre erste Ableitung!'^) gleich 0 und ihre zweite Ableitung f"(x) negativ (positiv) ist.

DK- Vgl. die Behandlung dieses Abschnitts in Anhang II.

Kapitel 7.

Kombinationslehre.

Nr. 34. Erklärungen.

1.    Die Kombinationslehre beschäftigt sich mit der Anzahl und den Arten aller möglichen Zusammenstellungen (Formen) gegebener Größen. Die Größen werden Elemente genannt, und zwar einfache, wenn sie in einer Form nur einmal vorkommen dürfen, und wiederholte, wenn sie in einer Form mehrfach vorkommen können oder müssen.

2.    Die Elemente werden nach bestimmten Gesichtspunkten, z. B. alphabetisch oder der Größe nach angeordnet. Diese Reihenfolge wird als die natürliche Reihenfolge bezeichnet. Jedes folgende Element heißt im Vergleich zu einem vorhergehenden ein höheres (späteres).

3.    Kommen in einer Form alle gegebenen Elemente vor und ist nur die natürliche Reihenfolge derselben verändert, so heißt die Form eine Permutation.

4.    Kommen von n Elementen in einer Form nur k vor und bleibt die Reihenfolge der k Elemente ohne Einfluß, so heißt die Form eine Kombination von n Elementen zur k*e# Klasse. Wird dagegen auch die Reihenfolge der k Elemente berücksichtigt, so heißt die Form eine Variation von n Elementen zur k*e# Klaffe.

Folgerung. Aus jeder Kombinationsform lassen sich so viel Variationsformen bilden, wie für ihre k Elemente Permutationen möglich sind.

Zusah. Bei beiden Arten von Formen kann es gestattet sein, dasselbe Element in derselben Form zu wiederholen. Man hat dann Kombinationen, bzw. Variationen mit Wiederholung.

Beispiel. Die Elemente seien 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a)    Soll bestimmt werden, wieviel 6-ziffrige Zahlen sich aus diesen Elementen bilden lassen, ohne daß eine Ziffer wiederholt wird, so ist dies eine Permutations-Aufgabe.

b)    Soll bestimmt werden, wieviel 3-ziffrige Zahlen aus diesen Elementen mit oder ohne Wiederholung herstellbar sind, so liegt eine Aufgabe der Variations-Rechnung vor.

c)    Soll dagegen die Anzahl aller Produkte aus je drei dieser Elemente angegeben werden, wobei jede Zahl nur einmal oder auch wiederholt vorkommen kann, so ist dies eine Kombinations-Aufgabe.

Br. 35. Permutationen.

a) Aufgabe 1. Die Anzahl der Permutationen aus n verschiedenen Elementen zu bestimmen.

Ausl. Sämtliche Permutationen der n Elemente können in n Gruppen verteilt werden, von denen jede eins der n Elemente an der Spitze hat und die Permutationsformen der übrigen n — 1 Elemente enthält. Ist daher Pk die Anzahl der Permntationen aus k Elementen, so folgt hieraus:

— u Pn —1, Pn —1 = (n 1) Pn-2 - • • Pj =    —2-1,

und somit

Pn= 1 -2-3....n = n! (gesprochen: n Fakultät).

Aufgabe 2. Die Anzahl der Permutationen aus n Elementen zu bestimmen, unter denen « gleiche Elemente einer Art, ß gleiche Elemente einer zweiten Art usw. vorkommen.

Stuft Ist Pn die gesuchte Anzahl und werden zunächst die « Elemente

als verschieden angenommen, so gehen aus jeder Form ohne Änderung in der Stellung der übrigen Elemente so viel neue Formen hervor, wie sich « Elemente permutieren lassen, d. h.«!. Werden in jeder der neuen Formen die ß Elemente als verschieden angesehen, so können in gleicher Weise aus denselben ß! neue Formen gebildet werden usw. Demnach entstehen, wenn alle Elemente als verschieden betrachtet werden, aus jeder der ursprünglichen Formen «! ßl... neue Formen. Da aber die Anzahl aller dieser Formen Pn beträgt, so hat man

und somit ist

Pn

n!

cd ß!.. .

d) Die Reihenfolge der Formen ist bestimmt, wenn die Umstellung der Elemente nach gewissen Gesetzen erfolgt. Setzt man fest, daß nicht eher eine frühere Stelle durch ein höheres Element eingenommen werden darf, als bis eine spätere (nach rechts stehende) Stelle sich nicht mehr erhöhen läßt, so ist eine Form als die höhere zu bezeichnen, wenn sie später gebildet wird.

So folgen aus der Form

a4

a5

a₃ a₂

der Reihe nach die Formen

ai

ai

a5

ai

a5

al

a5

. ai

a5

ai

a5

er =p =r «?

a3

a4

a3

a4

a3

a4

a₃

und dann erst darf ^ an die erste stelle rücken. Das Bildungsgesetz bleibt dasselbe, wenn wiederholte Elemente vorkommen.

Aufgabe 3. Die Stellenzahl einer gegebenen Form von n Elementen zu bestimmen.

An fl. Nimmt das erste Element der gegebenen Form in der natürlichen Reihenfolge der Elemente die kte Stelle ein, so gehen k — 1 Gruppen von Formen aus n — 1 Elementen (s. Aufg. 1) voraus. Ist dann das zweite Element das lte unter den n — 1 übrig gebliebenen Elementen, so gelangt es an die vorgeschriebene Stelle erst dann, wenn l — 1 Gruppen von n — 2 Elementen vorausgegangen sind. In entsprechender Weise kann bestimmt werden, wieviel Formen vorausgehen, bis jedes Element an seine Stelle in der gegebenen Forni kommt.

Zusatz. Das Verfahren bleibt dasselbe, wenn mehrfach Elemente auftreten. Ist z. B. das Element a unter den n Elementen « mal vorhanden, so beginnt in Wirklichkeit nur eine Gruppe mit a, allein man gelangt zu derselben Zahl, wenn man u Gruppen annimmt und die Permutationszahl der Gruppe durch « dividiert.

Beispiel 1. Welche Stellenzahl besitzt das Wort secunda?

Aufl. Die Elemente sind acdensu (7).

Vor

eacdnu

cadnu ii a d n

~”n a d

11!= 1

zusammen 4007 Formen;

also ist secunda die 4008te Form.

Beispiel 2. Welche Stellenzahl besitzt das Wort mississippi? Aufl. Die Elemente sind iiiimppssss (11).

Vor

miiiippssss stehen 4 •

10!

4! 2! 4!

= 12600 Formen

siiippsss -

8!

siiipp äs -

3! 21 4!

ß 71 3! 2! 3!

=    700

=    350

Jiiipps -

4- r-

5!

2! 2! 2!

60

Siipp -    4-

4!

2! 2!

24

2!

Pip -

pl -

zusammen 13736 Formen;

also ist mississippi die 13737te Form.

c) Aufgabe 4. Wie heißt die Nte Permutation von n gegebenen Elementen?

Aufl. In N — 1 geht (n — 1)! so oft mal auf, wie dem ersten Element der gesuchten Form in der natürlichen Reihenfolge Elemente vorausgehen. Ist das erste Element herausgenommen, so enthält der Rest Rj so oft mal (n — 2)!, wie Elemente unter den übriggebliebenen dem 2ten Element der gesuchten Form vorausgehen. Die Division von R** durch (n — 3)1 liefert dann die Anzahl der Elemente, die nun noch vor dem dritten Elemente der Form stehen, und einen Rest R₃ usw.

Zusatz. Bei wiederholten Elementen kann die Division einen Quotienten q liefern, der zu einem der wiederholten Elemente führt, das nicht das erste seiner Art ist. In diesem Falle ist natürlich nur dasjenige Vielfache des Divisors abzuziehen, das der Stellung des ersten der betreffenden wiederholten Elemente entspricht.

Beispiel 1. Wie heißt die 371te Permutation der Elemente aeikrs? Aufl.

Elemente: aeikrs (6).

370 : 5! oder 370:120 = 3, Rx = 10. Das lte Element ist k, 10:4!    -

10:3!    -

4:2!    -

10: 24 = 0, R₃=10. 10:    6 = 1, Rs= 4.

4:    2 = 2, R₄= 0.

-    2 te

-    3te

-    4te

e r.

und nun folgen

Die gesuchte Form heißt daher kaiser.

Beispiel 2. Wie heißt die 2872te Permutation der Elemente aehhrreu? Elemente: aehhrrsu (8).

Aufl.

7!

2871: 2T2I ober 2871 :1260--2, Rest 351. Das lte Element ist h,

351:

6!

351:

51:

351 : 360 = 0,    -    351.    - 2te

- a,

IOI (W    bol tf*. bsl o« H>|

♦— l ♦— ♦— I ♦— ♦— I ♦—    — I

351 :    60 = 5,    -    51.    - 3te

51:    12 = 4,    -

3.    - 4te

- u,

- s,

3:    3 = 1,    -    0.    - 5te

und da keine Permutationen mehr vorhanden sind, so folgen nun die Elemente e rr, d. h. die Form heißt hausherr.

3:

- h,

Nr. 36. Kombinationen.

Sind av 8z, a₃, ... an die n Elemente, die (zunächst ohne Wiederholung) zur kten Klasse kombiniert werden sollen, so heißt die niedrigste Form a^ 8z ... 8k—18k, und aus dieser gehen die folgenden in der Weise hervor, daß die Erhöhung eines Elementes so spät und so wenig als möglich eintritt.

Es heißt demnach die 2te Form - 3tc -

— 1    Uk-f-i,

a>k— 1    8k-j- 2 Uj^tü.

Auf die Form folgt auf diese usw., bis

8^ äg • • •

%    &2 . . 8k — 2

3»1    Big . . 8k — 2

. - ^k — 2

8k

8’n

&k +1 N-u ,

8k -j- 2 8n

8n — i 8n

erreicht ist. Nun erst kann die Form a₁ a₂.. ak_₃ ak_t ak ak+1 gebildet werden. Geht man in dieser Weise vor, so erhält man der Reihe nach alle Kombinationen der n Elemente zur ktett Klasse. Das Bildungsgesetz bleibt dasselbe, wenn Wiederholung zulässig ist.

ai

cf cf

.. a-k—2

Aufgabe 1. Die Anzahl C* der Kombinationen von n Elementen zur Klasse k ohne Wiederholung zu bestimmen.

Aufl. Sind die Kombinationen der Klasse k — 1 bekannt, so lassen sich aus jeder Form durch Hinzufügung je eines der n — (k — 1) fehlenden Elemente n — (k — 1) Formen der Klasse k bilden. Auf diesem Wege aber entsteht jede Form der kten Klasse k mal, weil sie durch Hinzufügung eines jeden der k Elemente zu einer Form aus den k — 1 übrigen Elementen hervorgehen kann.

2    n-l 1 n-l n

usw., bis schließlich entsteht. Daraus folgt aber:

vn    g vn — 2

1.

n-(k-l)

--k

Demnach ist In gleicher Weise erhält man: O*⁻¹ =

•er¹

n — (k — 2)

k- 1

. pk —2

vn r

er

n — (k — 3)

• Cn

^k_ n(n —l)(n —2)...[n —(k —1)1 v“ —    i . 2 - 8... (k — 1) k    '

und wenn mit (n — k)I erweitert wird:

2.

n!

k! (n-k)l'

Folgerung. Da in der Schlußgleichung k und n — k miteinander vertauscht werden können, so folgt:

rin —k_ pk

Vn — Vn#

3.

Zusatz. Für den Ausdruck C* wird zur gebraucht (gelesen: n tief k oder n über k).

cn

er

8»

CQ

as

Aufgabe 2. Die Anzahl rC„ der Kombinationen aus n Elementen zur kten Klasse mit Wiederholung zu bestimmen.

Stuft Sind alle Kombinationen der ktm Klasse mit Wiederholung gebildet, und werden in den Formen von den Elementen das 2te um 1, das 3tc um 2, das 4te um 3 usw. erhöht, so verschwinden alle Wiederholungen, aber die letzte Form nnn ... n

n (n + 1) (n + 2) ... (n + k — 1)

weist jetzt in

k —■ 1 neue Elemente aus. Wird umgekehrt das kte Glied in jeder der neuen Formen um k — 1, das (k — l)te Glied um k — 2 usw., das 2te Glied also um 1 vermindert, so entsteht jedesmal eine der ursprünglichen Formen. Es ist daher

=rn-

Nr. 37. Variationen.

Um sämtliche Variationen der Klasse k aus n Elementen zu bilden, stellt man zunächst alle Kombinationen der Klasse k her und führt dann alle Permutationen der Elemente in jeder der entstandenen Formen aus. Dies Bildungsgesetz gilt für Variationen ohne und mit Wiederholung und liefert auch die Variationsformen in geordneter Reihenfolge.

(n-k)!*

Aufg. 1. Die Anzahl V£ der Variationen aus n Elementen zur Klasse k ohne Wiederholung zu bestimmen.

Ausl. ES ist = t!- C* =

n!

Aufg. 2. Die Anzahl rVn der Variationen aus n Elementen zur Klasse k mit der Wiederholung zu bestimmen.

Ausl. Sind die Variationen der Klasse k — 1 bekannt, so kann man die Formen der Klasse k dadurch herstellen, daß man jeder Form der Reihe nach jedes der n Elemente hinzufügt. Da die entstehenden Variationsformen sämtlich voneinander verschieden sind, so folgt:

er

er

ö fr

M fl

n co ^

Sfr«-»-

<1

Nr. 38. Anfangsgründe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die Lehre von den Kombinationen nnd Variationen findet eine ausgedehnte Verwendung bei den Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Erklärung 1. Unter der mathematischen Wahrscheinlichkeit für das

Eintreffen eines Ereignisses versteht man den Quotienten aus der Anzahl aller dem Ereignis günstigen Fälle und der Anzahl aller dabei möglichen Fälle.

Ist m die Anzahl aller bei einem Ereignis möglichen und g die Anzahl der günstigen Fälle, so ist die Wahrscheinlichkeit (für das Eintreffen) des Ereignisses

in

So ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze „Bild"

zu werfen, gleich da m = 2 und g = 1 ist,

einem Würfel 3 Augen

-    - eine gerade Zahl -

Zusatz. Ist g = m, also w —

-    g>jm, - w>

-    g = \mf -

-    g<\m, - w<\> ⁵ =

-    g = 0,    = w = 0, = =

- rn —6    - g = 3 -.

2'

W=-,    -    -

er

-    wahrscheinlich.

-    zweifelhaft.

-    unwahrscheinlich.

-    unmöglich.

Beispiel 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln 9 Augen zu werfend

Au fl. Mit zwei Würfeln sind rVe² = 6² = 36 Würfe möglich. Unter diesen be

finden sich

2 Würfe mit den Augen 3 und 6, 4    -    5,

vH | 05

im ganzen also 4 günstige Würfe, und daher ist w = ^

Beispiel 2. In einer Urne befinden sich 6 weiße und 7 schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Griff eine weiße und eine schwarze Kugel aus der Urne zu nehmen?

Ausl, Es sind 01₃ oder 78 Fälle möglich, und unter diesen befinden sich so viel günstige Fälle, als man eine der weißen mit einer der schwarzen Kugeln zusammenstellen

42    7

kann, d. h. 6 - 7 oder 42 Fälle. Demnach ist w = — =

Beispiel 3. Ein Verein hat bei einer Lotterie mit 100 Nummern und 6 Treffern 20 Lose genommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er mit 3 und nur mit 3 Nummern herauskommt?

Au fl. Es sind Cioo Zusammenstellungen von Gewinnummern möglich. Unter diesen sind alle Fälle günstig, in denen irgend 3 der besetzten Nummern mit einer beliebigen Kombination 2ter Klasse aus den 80 nicht besetzten Nummern vereinigt sind. Demnach beträgt die Anzahl der günstigsten Fälle Cg₀ • C|₀^ unb die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich

7505

ober gleich

p3 . p2 U20 °80

Oioo

156849

Erklärung 2. Unter der entgegengesetzten Wahrscheinlichkeit (Unwahrscheinlichkeit) versteht man den Quotienten aus der Anzahl aller dem Ereignis ungünstigen und der Anzahl aller dabei möglichen Fälle.

We =

Wird die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit mit We bezeichnet, so ist m = 1 — —-=1— w, und somit W„ + w = 1, d. h.

Zusatz. Die Summe aus der direkten und der entgegengesetzten Wahrscheinlichkeit ist gleich 1.

Beispiel 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfel» wenigstens zwei gleiche Augen zu werfen?

Stuft. Es sind rVjj --- 216 Würfe möglich, und unter diesen sind alle Würfe mit lauter verschiedenen Augen ungünstig. Die Anzahl derselben ist aber gleich V| oder 6 5 4,

120    5    4

d. h. 120, und somit ist we    aIl° w = -g •

Beispiel 5. Wie groß ist für den Verein in Beispiel 3 die Wahrscheinlichkeit, überhaupt zu gewinnen?

- oder Ei_l^ i ^3 j— +    und somit ist

Erklärung 3. Unter der vollständigen (totalen) Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten irgendeines unter mehreren voneinander unabhängigen Ereignissen.

Ist m die Anzahl der möglichen Fälle und sind von diesen gk für das kte Ereignis günstig, so sind Xgk günstige Fälle vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit Wv für das Eintreten eines der Ereignisse ist daher gleich

gi + g₂ + gs +¹ • • g

Au fl. Unter den Cf₀₀ möglichen Fällen sind die C^₀ Fülle ungünstig, in denen Lose aus den nicht besetzten Nummern gezogen werden. Es ist daher

W — O^tt __

e n5 61110' vioo

nur

also w =

41597

61110*

mmm    m

Wv = w, -f W₂ + w₃ + • • • + Wn/ d h.

Lelztsstz 10. Die vollständige Wahrscheinlichkeit ist gleich der Summe aus den Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Ereignisse.

Beispiel 6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfeln 8 oder 10 Augen zu werfen?

Stuft Die Wahrscheinlichkeit w1; 8 Augen zu werfen, ist gleicht

und

w., 10    »    «    ,

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit WT ist daher gleich liü oder ^

72

Erklärung 4. Unter der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, daß zwei oder mehrere voneinander unabhängige Ereignisse gleichzeitig oder auch in bestimmter Reihenfolge nacheinander eintreten.

ml,

Bei 2 Ereignissen mit und m₂ möglichen Fällen sind, da jedes Ereignis der ersten mit jedem der zweiten Art zusammentreffen kann, für das gleichzeitige Eintreffen der beiden Ereignisse m, - m₂ Fälle möglich Jeder von diesen kann mit einem der m₃ für ein drittes, von den beiden ersten unabhängiges Ereignis möglichen Fälle zusammentreffen, und daher sind für das gleichzeitige Eintreten der drei Ereignisse • m₂ • ms Möglichkeiten vorhanden, usw. Sollen daher n voneinander unabhängige Ereignisse mit m₂, m₃ .. mn Möglichkeiten gleichzeitig oder in bestimmter Reihenfolge nacheinander eintreten, so sind M = m, • m₂ • m₃. .. mn Fälle möglich. In ganz entsprechender Weise läßt sich zeigen, wenn gk Fälle dem ktm Ereignis günstig sind, daß das Produkt Gr = gt • g₂ • g₃... gn die Anzahl der Fälle angibt, welche durch das Zusammentreffen der günstigen Fälle entsteht. Es ist daher

d. h.

W! • W₃ • W₃ .. .Wn,

gl ' gs gs * * * gn

m₁ • iBg ■ m₈ ... mn

Lehrsatz 11* Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.

Beispiel 7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln zuerst 11 und dann 9 Augen zu werfen?

Au fl. Für jeden der beiden Würfe ist m = 36. Für den ersten sind 2 und für den zweiten 4 Fälle günstig. Demnach ist w, = und ws = L also W =-!-•

ob    ob    lo J

Beispiel 8. Die Wahrscheinlichkeit, nach 10 Jahren noch zu leben, ist bei einem gewissen Ehepaar für den Mann gleich-A-und für die Frau gleich -f-. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß nach 10 Jahren nur die Frau noch lebt?

oder I. 4

Au fl. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Mann nach 10 Jahren gestorben ist, beträgt 1 — j oder —• Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher gleich

Beispiel 9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfeln zuerst einen vollständigen Pasch, dann ein Sequens und zuletzt keins von diesen beiden zu werfen?

Au fl Für jeden der Würfe sind 216 Fälle möglich, und von diesen sind für den

ersten 6 und für den zweiten 24 Fälle günstig. Es ist daher    w₈ = ^ mit) folglich

.    5    31    1    1 31    31

= 1 -36 = 36- Man erhalt demnach: Wz = -• -• g-

Zusatz. Der Lehrsatz 11 gilt auch für den Fall, daß die aufeinander folgenden Ereignisse nicht unabhängig voneinander sind. Nur muß dann bei der Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden, daß die vorhergehenden Ereignisse bereits eingetreten sind.

Beispiel 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiel von 32 Karten zuerst den Schellenkönig, dann das rote As und schließlich den Eichelober zu ziehen, ohne die gezogene Karte zurückzustecken?

Ausl. Die erste Wahrscheinlichkeit w, ist gleich ~ Beim zweiten Herausziehen sind nur 31 Karten vorhanden, und daher ist ws =    ■ Entsprechend ist w₃ = Man erhält daher:

W --L._L._L

¹    32 31 30

Erklärung 5. Unter der beschränkten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit, daß von zwei oder mehreren Ereignissen wenigstens eins eintritt.

Die Wahrscheinlichkeit, daß keins von n Ereignissen mit den Wahrscheinlichkeiten wlf w₂, w₃ . . . wn eintritt, ist nach Lehrs. 11 gleich (1 — Wj)-(1 — w₃) • (1 — w₃) .. (1 — wn), und demnach erhält man für die Wahrscheinlichkeit Wb, daß wenigstens eins der Ereignisse eintritt:

W„ = 1 — (1 - Wj)(l - w₂)(l — Wj) . , . (1 - W„).

Beispiel 11. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln zuerst 9, und wenn dies nicht geschieht, dann 11 Augen zu werfen?

Aufl. Es ist w, =

und w₂ = also Wb = 1 —

13

81

Beispiel 12. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln spätestens beim 4ten Wurfe 7 Augen zu werfen?

671

1296

Aufl. ©g ist w = ^ = |, also Wb = 1 -

Erklärung 6. Unter der relativen Wahrscheinlichkeit eines von mehreren Ereignissen versteht man das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses zu der vollständigen Wahrscheinlichkeit für das Eintreten irgendeines der Ereignisse.

Es ist

Wr =

wk

wi + we+ws...wn

Beispiel 13. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von dem Ehepaar in Beisp. 8 nach 10 Jahren eher der Mann noch lebt als die Frau?

.1

Es ist

Wr =

Beispiel 14. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiel von 32 Karten auf einmal eher zwei Karten von gleicher Farbe als zwei gleiche Bilder zu ziehen? (Das As gelte als Bild.)

Aufl. Es ist w₁₌4-

L82

und somit Wr =

31

28

w₈=4-

QÄ

124

_7_ V - 29' 31 + 124

w$

Kapitel 8.

¹

Unter den Wurzeln einer numerischen Gleichung, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, kann sich kein Bruch befinden. Denn ersetzt man in der Gleichung

xn + a, xn ~¹ + a₂ xn ~ ²+ • • •    + an - 1 x + an = ⁰

x durch — und erweitert dann mit qn —so werden alle Glieder ganze Zahlen, bis aus q

das erste, das die Gestalt ™ annimmt. Für x = ~ entsteht also eine unmögliche Gleichung,

da die Summe aus einem Bruche und ganzen Zahlen niemals gleich 0 sein kann. Wurzeln, welche zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen liegen, müssen daher irrational sein.

Der binomische Lehrsatz.

Nr. 39. Ableitung des binomischen Lehrsatzes für positive ganzzahlige Exponenten.

Die Ausführung des Produktes

(x + ax) (x + aj) (x 4- «g) ... (x + an)

Sind die Größen

gleich an_k. In der Ausführung der Potenz (x + a)n hat demnach das Glied mit xk die Form

liefert 2n Teilprodukte, die ju n +1 Gliedern zusammengefaßt werden können. Das erste von diesen heißt xn und das letzte a. a, a₃. . an. Die dazwischen liegenden Glieder sind Potenzen von x, bereit Exponent zwischen 0 und n liegt, und besitzen Koeffizienten, die nach ganz bestimmten Gesetzen zu bilden sind. Die Teilprodukte mit xk entstehen dadurch, daß aus k Klammern die Größen x mit den Größen a der n — k übrigen Klammern zu einem Produkte vereinigt werden. Nun lassen sich aber aus den u Klammern C“_k verschiedene Zusammenstellungen von n — k Klammern bilden, und daher ist der Koeffizient von xk die Summe aus den C“~k Produkten aus je n — k Faktoren, zu denen die Größen a kombiniert werden können.

untereinander gleich, so ist jedes dieser Produkte

C -kxkan-k

oder

/ n X kn — k /n\ k »n—k (n —k)Xa =(k)Xä /

und somit entsteht, wenn man x + a durch a + b ersetzt, die Formel:

1. (a + b)n = a” +    a“_1b +    a"-²b² H-----f Q ab"-¹ + b\

Diese Formel wird binomischer Lehrsatz genannt, und ihre Koeffizienten Q heißen Binomialkoeffizienten.

Anmerkung. Der binomische Lehrsatz ist hier zwar nur für ganze positive Exponenten abgeleitet, er bleibt aber auch gültig, wenn der Exponent

eine negative oder eine gebrochene Zahl ist, vorausgesetzt, daß - zwischen +1 und —1 liegt. (S. Nr. 43!)

Zusatz. Wird b durch — b ersetzt, so entsteht:

2.

(a — b)n = an —

b + Qa“-²b²----+ (-l)nt>"

Nr. 39—41. Ableit. d. bin. Lehrs. usw.,Eigensch. d.Binomialkoeff.,Entwicklg. v. sinn gp usw. HZ

Nr. 40. Eigenschaften der Binomialkoeffizienten.

1.    Die Eigenschaft (£)⁼ (n-k) ^ bereits bei der Aufstellung der

Reihe 1 in Nr. 39 benutzt. Es sind hiernach die von Anfang und Ende gleich weit entfernten Koeffizienten einander gleich.

2.    Setzt man in der Binomialreihe a = b = l, so erkennt matt, daß die Summe aller Binomialkoeffizienten gleich 2n ist.

3.    Setzt man in der Reihe für (a — b)n a = b=l, so ergibt sich

(o) + 0 + Ö----(i) + ö + 0“v wo (“) für 1 gebraucht ist. Jede

dieser beiden Summen beträgt 2n—1. (S. 2!)

n(n—1) (n —2).. .(n—k + l) ₍ n(n —1) (n —2). . .(n—k)

(k + ljT⁻ '

n (n — 1) (n — 2)... (n — k + 1) k+l+n-k

k!

»• ®*if'ö + (4.)

k!

n (n — 1) (n — 2)... (n — k + 1) ■ (n +1) (k+1)!

©+UO-C+Ö-

und somit

Diese Formel liefert als Koeffizienten der ersten 10 Potenzen (Pascalschcs Dreieck!): n = 0

.........1 1

.......1 2 1

10

Nr. 41. Entwickelung von sin n cp und cos n cp.

Nach dem binomischen Lehrsätze ist

¹ cp sin cp + i² (“) cosn-a cp sin² cp

cosn~

(cos cp + i sin <p)n = cosn cp + i ^

+•    cosn—3 cp sin⁸ cp + • ---1- in sin“ cp.

Müller, Mathematik. II.B. — 4.Ausl,

Nach dem zweiten Moivreschen Satze ist aber

(cos cp + i sin g>)n — cos n cp + i sin n cp,

und somit ergeben sich durch Scheidung der reellen und imaginären Glieder die beiden Gleichungen:

⁻² cp sin² cp + cos“⁻⁴ cp sin⁴ cp — ⁻¹ <p sin cp — cos“⁻³ <p sin³ cp

+ cos“⁻⁶ cp sin⁸ cp —

1.    cos n cp = cos” <p — cos”

2.    sin n cp = cos”

Hiernach ist

cos 3 <p = cos³ (p — 3 cos cp sin² cp ----- cos³ cp — 3 cos 9p (1 — cos² <p),

= 4 cos³ 9p — 3 cos 9p.

sin 3 cp = 3 cos² cp sin cp — sin³ cp = 3 sin 9 (1 — sin² 9p) — sin³ 9p,

----- 3 sin cp — 4 sin³ 9p.

cos 4 9p = cos⁴ 9p — 6 cos² cp sin² cp + sin⁴ 9p,

== 8 cos⁴ cp — 8 cos² 9p + 1. sin 4 9p ----- 4 cos³ 9p sin cp — 4 cos cp sin³ cpt = 4]/l — sin² 9p (sin cp — 2 sin³ 9p). cos 5 9p ---- cos⁵ 9p — 10 cos³ cp sin² 9p + 5 cos cp sin⁴ cpf usw.

Nr. 42. Konvergente und divergente Reihen.

Wird eine Funktion f(x) durch eine Summe aus Potenzen von x mit wachsenden Exponenten dargestellt (in eine Potenzreihe entwickelt), so können zwei Fälle eintreten: entweder die Entwickelung nimmt ein Ende und führt somit auf eine endliche Anzahl von Gliedern, oder sie liefert eine unbegrenzte Anzahl von Gliedern.

So liefert die Funktion (a-|-bx)n eine endliche Anzahl von Gliedern, wenn n eine

eine unendliche Anzahl von Gliedern

c-f dx

positive ganze Zahl ist, während die Funktion liefert, wenn nicht a: c = b: d ist.

Erklärung 1. Eine Reihe heißt endlich, wenn ihre Gliederzahl begrenzt, und unendlich, wenn diese unbegrenzt ist.

Ist eine Funktion der Veränderlichen x in die Potenzreihe a₀ + axx + a₂x²+ a₃x³-|----

entwickelt, so hat die Gleichung

f(x) = a₀ + axx + a^x² + asx³ ----

nur für diejenigen Werte von x eine Bedeutung, für welche die Summe auf ihrer rechten Seite bei beliebiger Vermehrung der Gliederzahl sich einer bestimmten endlichen Grenze nähert.

Nr. 42 Konvergente und divergente Reihen.

115

Erklärung 2. Eine unendliche Reihe heißt konvergent, wenn die Summe ihrer Glieder bei beliebiger Vermehrung ihrer Anzahl sich einer bestimmten endlichen Grenze nähert. Eine Reihe, deren Summe sich nicht einer bestimmten endlichen Grenze nähert, heißt

divergent.

So ist die Reihe 1 +    ^    ^ ---- konvergent

und die Reihe 1 — l-f-l — l + l----    \

W)| to

oder die Reihe

+ +M+---)bioer8cnt'

Zusatz. Wird eine unendliche Reihe bei ihrem nte“ Gliede abgebrochen, so nennt man die Summe aller noch folgenden Glieder der Reihe ihren Rest und bezeichnet diesen mit Rn.

Lehrsatz 12. Wenn bei einer unendlichen Reihe die Zahl n so groß gewählt werden kann, daß der Rest Rp für p > n seinem absoluten Betrage nach kleiner als eine beliebig kleine positive Größe d bleibt, so ist die Reihe konvergent.

Hiernach kann eine Reihe nur dann konvergent sein, wenn ihr allgemeines Glied mit wachsender Stellenzahl sich der Null nähert, allein ein sicheres Merkmal sür die Konvergenz ist dies nicht. So nähert sich in der harmonischen Reihe

+ 1 + 1 + 1 + 1 + ...

t2t3t4t5t

das allgemeine Glied — zwar mit wachsendem n dem Werte 0, und doch ist die Reihe nicht konvergent. Denn gibt man der Summe die Form

tH I iH

+ ¥+ (i + l)+ (! + ¥ +Y + i") + -"‘

und beachtet, daß für jedes ganzzahlige m

1 X ^ 2m ^

2m+ 2m/ > 2 - 2m' b* "2

( i .    ¹    . _J_ . ... .

und somit

Zusatz 1. Eine unendliche Reihe mit abwechselnden.Vorzeichen der Glieder ist stets konvergent, wenn das allgemeine Glied mit wachsender Gliederzahl sich der Null nähert.

So ist die Reihe 1-1 +j

des Restes

bleibt stets kleiner als ^-j-y und kann daher unter jede noch so kleine positive Zahl d sinken

am + qam + q²am + qsam -\----

einen endlichen Wert besitzt, so ist die ursprüngliche Reihe konvergent. Es besteht also der Satz:

Lehrsatz 13. Wenn von irgendeinem Gliede einer Reihe an das Verhältnis eines jeden folgenden Gliedes zu dem vorhergehenden seinem absoluten Betrage nach kleiner als ein bestimmter echter Bruch bleibt, so ist die Reihe konvergent.

Zusatz 3. Ist das Verhältnis größer als 1, so ist die Reihe divergent. Ist dagegen der Grenzwert des Verhältnisses gleich 1, so ist die Konvergenz zweifelhaft und muß auf anderem Wege ermittelt werden.

m m -f 1 2m+i' 2m

also q < 1,

am + i:am

2m '

Zusah 2. Eine unendliche Reihe mit lauter positiven Gliedern ♦n konvergent ' divergent ^

sprechende Glied einer anderen Reihe, deren

So ist die Reihe j + l + y + jii + gjH----+ (^~) '' konvergent,

T + ¥ + T + J+n + -

T 3 T 4 T 6 r n+ 1

1 I ¹ | l , 1 i \ i 1

lT2T3T4T5Tn+l

Folgerung. Ist eine Reihe konvergent, wenn ihre sämtlichen Glieder positiv sind, so ist sie erst recht konvergent, wenn die Vorzeichen ihrer Glieder abwechseln.

Mit Benutzung des Zusatzes 2 läßt sich eine weitere Konvergenzbedingung ableiten. Wenn in einer Reihe mit lauter positiven Gliedern von dem mtcn Gliede ab das Verhältnis jedes folgenden zum vorhergehenden kleiner als ein bestimmter echter Bruch q ist, und die Reihe

q äm, q² 3m > q² 3m . . .

gebildet wird, so sind die Glieder dieser Reihe vom zweiten ab sämtlich größer als die entsprechenden Glieder der ursprünglichen Reihe. Da aber q < 1 ist, und somit die Summe

wenn jedes ihrer Glieder

kleiner größer Konvergenz Divergenz

ist als das ent-

bekannt ist.

weil die Reihe

und die Reihe

weil die Reihe

äm,

konvergent,

divergent,

divergent ist.

Beispiel 1. In der Reihe | + p + p + ^ + "- ist d. h. die Reihe ist konvergent.

Beispiel 2. In der Reihe ₁L₃ + ₃VÄ + Ä + '"

____ 2(2m — 1)

d.h. eine konvergente Reihe mit der Summe 1, und daher ist die gegebene Reihe konvergent.

^st am -f- 1 *    —

ist

allgemeine Glied

2m

2m

= 2-

2m + 3'

m (m -f 1)

i—I | tH

Die Entscheidung der Frage, innerhalb welches Bereichs der Veränderlichen x die durch Entwickelung der Funktion f(x) gewonnene Gleichung

f(x) = a₀ + a₁ x + ag x² + a₃ x³ + a₄x⁴ + • • • ihre Gültigkeit behält, kann jetzt nach Lehrs. 13 getroffen werden. Das Ver-

amH-1

hältnis am+ixm+¹: amxm ist gleich

am + l

Reihe, wenn

am

x, und demnach konvergiert die mit wachsendem m kleiner als 1 wird. Ist daher q

am

der Grenzwert für    so bleibt die Reihe konvergent, solange | qx | <1,

am

b.f). | x | < * ist. Hieraus folgt:

Lehrsatz 14. Ist in der Reihe f(x) = a₀+ axx + a₂x² + a₃x³H—

gleich q, so ist die Reihe ton-

am + l

der Grenzwert des Verhältnisses

innerhalb des Bereichs der Veränderlichen von — ^ bis +~ vergent.

am

Nr. 43. Der binomische Lehrsatz für negative und gebrochene

Exponenten.

Erklärung. Eine Reihe von der Form

B (x)B = 1+ (“) x + (“) x² + (“) x³+ Q x⁴ + • • v

in welcher n eine beliebige reelle Zahl ist, heißt allgemeine Binomial-reihe vom Grade n mit dem Argument x.

Zusatz. Ist n eine positive ganze Zahl, so ist B(x)n = (1 + x)n.

ist gleich

Das Verhältnis des (m + l)tcn Gliedes der Reihe zu ihrem mten Gliede

r n — m

ober    —r- x

m|l

i —

oder

xm

m

rp*

m

Da aber für jeden reellen Wert von n die Quotienten — und — mit wachsendem m sich der Null nähern, so nähert sich das angegebene Verhältnis dem Werte x, und demnach konvergiert die Binomialreihe, wenn x ein positiver oder negativer echter Bruch ist. Hieraus folgt:

Lehrsatz 1 Ei. Die allgemeine Binomialreihe

ist für jeden Wert von x innerhalb des Bereichs von — 1 bis 4-1 konvergent.

Bildet man das Produkt zweier Binomialreihen B(x)p und B(x)q, so erhält man /

B(x)p.B(x)q = (l+(P)

©*+GK)(¹+Ö’‘ + ©’‘,+ö*,~) ->+(?> +©*•+ ©**+ (:)*-+'" +©*+ö©i’+©©*•-> ©(9*‘+•■• +ö*M9©*‘+©©*‘⁺•••

+©^ ©©*-+"■

In der hieraus entstehenden Summe ist der Koeffizient von xk gleich

(EHUO + (U©+-■+()■

Nun ist aber 1.

©⁺ (9 © + © -

2.

[p(p - 1) + 2pq + q(q - 1)]

“^[pCp-^ + pi +q(q-!) + pq] = T^(p + q-l)(p + q) = (Ptq)'

*6)tG)G)+G)G)+G)

\ . i, [P (P - 1) (P ~ 2) + 3p (p - 1) q

12 3

+ 3 q (q - 1) p + q (q - 1) (q - 2)]

⁼ 77¥7sLP (P - 1) (P - 2) + p (p - 1) q + q (q - 1) (q - 2)

+ q (q - 1) P + 2p q (p + q - 2)] (p + q - 2) [p (p - 1) + q (q - 1) + 2p q]

=rh(p + q - 2) (p + q -1) (p + q)- (p+q)-Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert die Gleichung:

©+(L,)OMUfi)+-+(HpnM.

Lehrsatz 16. Innerhalb des Konvergenzbereichs ist das Produkt zweier Binomialreihen vom Grade p, bzw. q gleich einer Binomial-reihe vom Grade p + q.

Aus der Gleichung B (x)p _ q • B (x)q = B (x)p folgt:

B(x).

B(x)p_q, d. h.

B(x)q

Folgerung 1. Innerhalb des Konvergenzbereichs ist der Quotient zweier Binomialreihen vom Grade p, bzw. q gleich einer Binomialreihe vom Grade p — q.

so folgt:

Nun ist B (x)„ = 1, also

B(x)₀

B !.x)n b (x)u‘ Da aber — B (x)_n ist,

Zusatz 1. Der reziproke Wert einer Binomialreihe vom Grade n ist innerhalb des Konvergenzbereichs gleich einer Binomialreihe vom Grade — n.

Die wiederholte Anwendung des Lehrsatzes 16 führt auf die Gleichung: B (x)m • B (x)m • B (x)m ... B (x)m = B (x)

n Faktoren

oder

[B(x)m]n= B(x)

Folgerung 2. Innerhalb des Konvergenzbereichs ist die nte Potenz einer Binomialreihe vom Grade m gleich einer Binomialreihe vom Grade m • nz wenn n eine positive ganze Zahl ist.

Ist aber m = ^ und n = q, so folgt aus der Gleichung

(x)p_J«--- B (x)p ₄=B (x)p

durch Ausziehung der qten Wurzel:

|/B(x)p = B(x)p, d. h.

Zusatz 2. Die qte Wurzel aus einer Binomialreihe vom Grade p ist innerhalb des Konvergenzbereichs gleich einer Binomialreihe

vom Grade wenn q eine positive ganze und p eine beliebige ganze Zahl ist.

Die Zgsätze 1. und 2. enthalten den binomischen Lehrsatz für negative und gebrochene Exponenten, und demnach besteht der Satz:

Lehrsatz 17. Allgemeiner binomischer Lehrsatz. Innerhalb des Bereichs der Veränderlichen x von — 1 6i§ + 1 ist stets

(l + x>=l + p)x+(”)x² + Q) x³ + (4) x⁴+--v

einerlei, ob n eine ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahl ist.

Weshalb ist die Anzahl der Glieder einer Binomialreihe nur dann eine endliche, wenn n eine positive ganze Zahl ist?

Zusatz. Ist n eine gebrochene Zahl von der Form E und q positiv,

so liefert die Binomialreihe nur den reellen, positiven Wert der Wurzel. Die übrigen Wurzelwerte sind aus diesem durch Multiplikation mit den Einheitswurzeln zu berechnen.

Anmerkung 1. Die Binomialreihe für (l-fx)q kann zur Berechnung von Wurzeln aus bestimmten Zahlen benutzt werden. So ist z. B. auf 5 Dezimalstellen genau

l/50 = l/49 + l = 7]/l+^ = 7 (1 +

. J_-L . . .) 492 T )t

OO | H.

1.

I JL_

¥ ' 49

= 7 • (1 + 0,01020 - 0,00005), = 7 ♦ 1,01015 — 7,07105.

2.

f213 = |/216-3 = 6]/l-4 = 6.(l-i.A-i.₇4-s-...),

3.

98

100

SV

= 6 • (1 - 0,00463 - 0,00002), = 6 (0,99535--5,97210.

^ö = y (1-0,01-0,00005),

= y • 0,98995 - 1,41421.

Anmerkung 2. Ein zweiter Beweis des allgemeinen binomischen Lehrsatzes stützt sich auf die Kartesische Methode der unbestimmten Koeffizienten, die auf den Sätzen beruht:

a) Sind zwei ganze rationale Funktionen für jeden Wert der Veränderlichen x innerhalb eines die Null enthaltenden Konvergenzbereichs einander gleich, so sind auch die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x einander gleich.

Xn yn

b) Der Quotient ~ nimmt für y = x den Wert nx” —1 an, einerlei,

ob n eine positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahl ist. Man setzt

(l+x)n=l + a,x + a₃xa + asx⁸+a₄x⁴ + .,.

und

(l+y)n = l + a₁y+aay* + asy⁸+a₄y⁴+...,

bildet die Differenz (l+ *)n-(i+ y)n, dividiert diese durch (i + x)-(l+y) und läßt dann y gleich x werden. Dadurch erhält man:

n(l + x)n 1 = ax -f 2 a₂ x -f 3 a₈ x² -f- 4a₄ x⁸ -f • * •/

und hieraus folgt durch Multiplikation mit (1-j-x):

n(l + x)n = &l -f 2 a₂ x + 3 as x² + 4 a₄ x⁸ -|- • • •

+ ax x -j- 2 a₂ x² -f 3 a₈ x³ + •

Da aber auch

= a, + (2 a₂ + a,) x + (3 a₈ + 2 a₂) x * + (4 a₄ + 3 a₈) x ⁸ + • • .

n(1 + x)n = n -1- a₁nx + a₂nx² + a₈nxs + • •

ist, so liefert die Anwendung des Satzes a)

!. a,=n=(4

2. 2 a₂ + ai = ain/ also 2 a₈ = at (n - 1) = n (n -1) und a₂ — ^

n(n — l)(n — 2)

3. 3a₈ + 2a₂ = a₈n, also 3 a₃ = a₂ (n — 2) ==

und a3 = ( j

usw. Es ist daher innerhalb des Konvergenzbereichs für jeden reellen Wert von r>

Der Satz a) wird hier jedoch auf unendliche Reihen angewandt, während er nur für ganze rationale Funktionen aufgestellt ist.

Nr. 44. Vir E-lponrnkralrrihe.

a) Nach der Binomialformel ist

(¹⁺3 = 1 + (l)n' ⁺ G) h + (3) n⁸

12 3

= l + i +

Bezeichnet man den Grenzwert, dem (l +    mit wachsendem n zustrebt,

mit e, setzt man also Jim ( l + ^)n= e, so ergibt sich hieraus:

1.

= ¹ + T+Ä + n+ii +

Der Wert von e ist zunächst größer als 2. Ersetzt man vom 3ten Gliede ab in den Nennern alle Faktoren durch 2, so werden die Glieder und damit ihre Summe vergrößert. Daraus folgt:

e<[l + (l + l + l + l + ...)],

also:

e< 1 +

-r

j— , d. h. s < 3,

da (9 = 0 ist. Verwandelt man die Glieder in Dezimalzahlen, so liefert die Addition bald den Wert e = 2,7182818

Die Zahl e ist die Grundzahl der natürlichen Logarithmen.

b) Ist x eine beliebige endliche Zahl, so wird mit n zugleich unendlich groß, und daher ist auch

= e.

Geht man zur xten Potenz über, so folgt:

lim (l +    ex.

Nun

wird © ©

oder

k!

k^)

xk

für n = co gleich und somit ergibt sich:

n¹™„(¹ + 9 = 1 + T + fy⁺ ?i ⁺ ir’*

Es ist also für jeden endlichen Wert von x:

i I x I x2 i x8 i x* i

ex=l+T + '27 + 37+47 + -**

m + 1

(m +1)1' m 1

Wert von x mit wachsendem m kleiner als ein beliebig angenommener echter Bruch. S. Nr. 42, Lehrs. 13.

Bezeichnet ferner Za den Logarithmus von a für die Grundzahl e, so ist ax = exia, und damit ergibt sich:

Die Reihen 2. und 3. heißen Exponentialreihen.

2.

Der Quotient

3.

: — ist gleich ^— und wird daher bei jedem endlichen

(xZa)² , (xZa)8 (xZa)i ,

2J + “TT“ ⁺ 4!™ ⁺ '

Nr. 45. Dir logarithmische Reihe.

Aus lim (l + —) = e folgt lim nl (l + —) = 1

Ersetzt man 1 + ^ durch a⁵, so wird d = 0 für n = oo, und damit wird der Grenzübergang nach 0 verlegt. Es ist dann

uud l(l + i) = dZa,

dlsi

- 1.

also n?(l +    ~<f?a][ und somit lim

Daraus aber folgt:

1.

Za = lim <?=o

aJ-l

Ersetzt man a durch 1 + x, so ergibt sich:

(! + *)'-!

Z (1 + x) = lim

ci=0

(^-1) (*-2)

= lim (x +    ^ x² +

und nun durch Übergang zur Grenze:

■xr 2    y ^    V5

Weiterhin liefert die Substitution a = 1 — x:

* (1 — *) —

2.

31

Xs +

(«?_!) (8 — 2) (9 — 3)

4!

*-)r

X² X⁸ X⁴

_ X ______ _

Durch Verbindung von 2. und 3. erhält man:

3.

4.

*(l±l)-i(* + T + T+T + ->

x2n + 1 . x2n_1 2n -|- 1 2n — 1

Diese Reihe heißt logarithmische Reihe.

2n

Der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder dieser Reihe l-A

- x² und hat x² als Grenzwert. Die Reihe ist daher nur so lange konvergent,

ist gleich

¹ +s^ wie | x | < 1 bleibt.

Die Glieder der Reihe 4. nehmen nur bei sehr kleinen Werten von x hinreichend schnell ab, um eine rasche Berechnung der Logarithmen zu ermöglichen.

J 1

Außerdem ist die Herstellung der Form aus einer Zahl a unbequem.

Daher empfiehlt es sich, die Reihe durch eine Substitution umzugestalten.

wo n und y beliebige positive Zahlen bezeichnen. Es ist dann

5. l(n + y) = ln + 2    (3^7)*+ T (2^+J)‘+ ' **}

dann 5—^j—

2n + y

Anmerkung. Ist y: n eine sehr kleine Zahl, so darf näherungsweise l(n + y) = ln+l

Ist z. B. ü 101 zu berechnen, so setzt man n = 100 und y = 1. Es ist und    beeinflußt schon die 7te Dezimalstelle nicht mehr.

gesetzt werden. Unter derselben Voraussetzung über z ist

Z(n + z) = Zn+l

und somit ergibt sich:

P(n + y) — J(n)] : [Z(n + z) — Zn] = y : z.

Die gleiche Beziehung besteht für die Logarithmen mit der Grundzahl 10. Hiernach verhalten sich bei großen und nur wenig voneinander abweichenden Zahlen die Differenzen der Logarithmen wie die Differenzen der Zahlen selbst. Auf diesen Satz stützt sich bei der Logarithmenrechnung die Benutzung der Tafeln für die Proportionalteile.

Nr. 46. Die Reihen für Sinus und Kosinus und die Zahl .-r.

Vorbemerkung. Um eine Gleichung zwischen einer Winkelfunktion und ihrem Argument bilden zu können, muß man zunächst dafür Sorge tragen, daß beides Größen derselben Art sind. Man erreicht dies, wenn man den Winkel als Mittelpunktswinkel in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 annimmt und ihn durch den Bogen mißt, zu dem er gehört, weil dann auch die Winkelfunktionen als Längen auftreten. Bei dieser Art des Messens ist für jeden endlichen Wert von x

sinx < x < tgx, also    ± > ~xf

v A ^ sinx ^

oder 1 >-> cos x.

X

c c r    r    sin x ^ sin x ^ sin X

tgx

Man setzt

¹ +x

1 — x

n 4- y    n

“ —' also

und daher auch > ----- >

Nimmt x bis zur unteren Grenze 0 ab, so wächst cos x bis zur oberen Grenze + 1, und daher nähert sich der Quotient x mit abnehmendem'x der Grenze 1.

Hieraus kann der Schluß gezogen werden, daß man sin|- durch ^ ersetzen darf, wenn n eine sehr große Zahl ist.

a) Die Reihen für sinny und cosny gehen, wenn <p durch ^ ersetzt wird, in die Reihen über:

1. COS Cp = cos“ ^ — Qj cos“

2. sin<p =    cos¹¹⁻¹ ^ sin ^    ^j cos“⁻³^ sin³ — + cos“⁻⁵ ~ sin“

Nr. 46. Die Reihen für Sinus und Kosinus und die Zahl n. Ist nun n eine sehr große Zahl, so hat man:

COSn

vv! p

G + >)

= 1-

t«i p

V²

*©l fl

i)

<r⁴

"i • • •    (f- Vordem.)

2 \2 n/ qP⁴

2 n ~

und da für n = oc ans der rechten Seite dieser Gleichung alle Glieder bis auf das erste verschwinden, also cosn ^ und somit auch cosk für n = oc gleich 1 ist, so treten dann in den Reihen 1 und 2 nur Glieder von der

Form Q (^)k auf. Es ist aber

qp'

n (n — 1) (n — 2) . . . (n — [k — 1]) qpk

nk'

k!

(M j fl

k!

<P -

Für n = oo entsteht hieraus und somit nehmen die Reihen die Form an:

i qp² ,

COS (p = 1 -    +

sin P =

3.

8l"*

“6!

<P³ , <PS 97 ~ 31+ 6!~ 7]

1)) Bezeichnet das Zahlzeichen es¹ den Wert der Exporientialreihe 2 in Nr. 44 für x — <pi, so ist

^-i + if-S-‘S+S+iS-H-

4.

V⁹

9l"

qp⁵

61

SH

und nun nach 3. und 4.:

5.

ev* = cos <p + i sin y>.

In entsprechender Weise ergibt sich:

e-v> = cos <p — i sin <p.

6.

und somit hat man:

e2Vi _ /cos<jp + isin<f\ _ 1 + i<gy # \COS <jp — i sin <jp/ 1 — i tg <jp *

Geht man zu den Logarithmen über, so erhält man hieraus:

1 + i tg qp

— i t g qp

2<pi = zß

also nach der Reihe 4. in Nr. 45:

2«,i-2(itgv + Sj|ti: ₊ <ik3lI+...).

Da nur ungerade Potenzen von i vorkommen, so fällt i fort, und es bleibt:

8.

V-tl?    ₊

oder wenn man tgg> = x, also <p = arctgx setzt:

9.

X³ x⁵ X⁷ X⁹

arc tgx = x — g- + -g— — +    —

e) Die Reihe 8. kann zur Berechnung der Zahl n benutzt werden. a) Setzt man y = ™ und somit tg<p = 1, so geht aus 8. die zuerst von Leibniz aufgestellte Reihe hervor:

■H | CO

10.

Die Berechnung nach dieser Reihe beansprucht viel Zeit, da die Glieder nur langsam abnehmen, und daran ändert sich auch nicht viel, wenn man aus ihr durch Ausführung der Subtraktionen eine Reihe mit lauter positiven Gliedern bildet.    ^

ß) Setzt man ferner cp = | und somit tg cp = ^ ]/3, so geht aus der Reihe 8 die Reihe von Lagny hervor:

_L_ + _J_____V

7 • 3S ' 9•3⁴    /

11. n = 2]/3 (l —    + 5 g8 —

Bei dieser beeinflußt schon das 10te Glied die 5te Dezimalstelle nicht mehr. y) Weit rascher führt eine Reihe zum Ziele, die zuerst von Machin mit

Benutzung der Additionstheoreme hergeleitet worden ist. Setzt man kg cp = , so wird tg 2 cp = tg 4 cp = ~ und tg (4cp - |) = Man hat daher:

A    n

⁴ 9» —4 “=

I = 4(l

Soll jr auf 5 Dezimalstellen genau berechnet werden, so genügen von der ersten Summe die ersten drei Glieder, während von der zweiten Summe nur das erste Glied benutzt zu werden braucht.

3 • ö³

^__L . . .

5 • 5⁶    7-ö’ ~    '

und somit:

12.

239    8 ■ 239⁸ ~ 5 • 239°    7.239'

L_ i _1____\

239    3•239⁸ ' 5 • 239°    /

—__L —___— ...)—/

3-5s ' 5 -5°    7 • 5⁷    /    \

Nr. 47. Abschluß der Erweiterungen des Zahlengebietes.

127

d) Schließlich mag hier noch die zuerst von Euler aufgestellte Reihe entwickelt werden. Setzt man tg<p = so wird tg(~ — 9)=*^- Man hat daher:

__-__L

3 • 2⁸ '

__-__L —¹ - . . .

7 • 2⁷ ' 9 • 2⁹

-- --I—-___-__I__L_...

3 - 3⁸ — 5.3⁶    7 • 3⁷ ' 9 • 3⁹

5 - 2⁶

ir 4-^=3

und erhält somit durch Addition:

13.

⁼ ( _3^ + öi',') + (¥~3^ + 5J3i

th |<n

■)

Nr. 47. Abschlutz der Erweiterungen des Zahlrngebietrs.

a)    Durch den Nachweis, daß der zweite Satz von Moivre auch für ganzzahlige negative Exponenten besteht (s. Seite 38), ist zugleich der Beweis dafür erbracht, daß die erste Erweiterung des Potenzbegriffs auch für eine komplexe Grundzahl gilt.

Ersetzt man in der Binomialreihe x durch xi, so werden die Glieder mit ungeraden Potenzen von x sämtlich imaginär, und die rechte Seite zerfällt in zwei Summen, von denen die erste nur reelle und die zweite nur imaginäre

Glieder enthält. Ist der Exponent der Reihe gleich ^ und n eine positive

ganze Zahl, so stellt die rechte Seite der Gleichung die Reihenentwicklung für die nte Potenz aus einer komplexen Zahl dar. Mit diesem direkten Beweis für den Lehrsatz 5 auf Seite 36 ist die Ableitung des dritten Satzes von Moivre als einwandfrei dargetan und die Tatsache festgestellt, daß auch die zweiteErweiterung desPotenzbegriffs für komplexeZahlen gültig ist.

b)    Da cos <p und sin q> die Periode 2n besitzen, so erweist sich ev¹ als eine periodische Funktion mit der Periode 2%. Aus der Gleichung 5 in Nr. 46 geht daher die Gleichung hervor:

cos qp + i sin <p — e(»+2k”)¹,

l(+l)»(0 +2k*)i-0 + ^±^

% i.

und somit erhält man durch Übergang zu den Logarithmen für y = 0:

cp = 7t:

3 7t

K+ i) = (! + 2k*)i = 0 + 4k + 1 r(-1) = (^ + 2k^)i = o +

H- i)- (^ + 2k,r)i = 0 + ^^

7t i.

7t i.

7t i

Nun kann eine beliebig reelle Zahl a als das Produkt aus ihrem absoluten Betrag und dem Faktor +1 oder — 1 dargestellt werden, und somit ergibt sich:

a) Jede Zahl hat unzählig viele Logarithmen. t>) Positive Zahlen besitzen einen einzigen reellen Logarithmus,

c)    Die Logarithmen negativer Zahlen sind sämtlich imaginär. Ebenso ist eine imaginäre Zahl gleich dem Produkt aus ihrem positiv

genommenen Koeffizienten und dem Faktor + i oder — i; es ergibt sich also auch der Satz:

d)    Die Logarithmen imaginärer Zahlen sind imaginär. Schließlich kann eine beliebige komplexe Zahl a + bi durch das Produkt

r• [cos(cp + 2k)t) + isin(<p + 2k;t)], also durch r-e^+2kÄ>i dargestellt werden. Durch Übergang zu den Logarithmen erhält man hieraus:

Z(a + bi) = Zr + (<p + 2kgr)i, d, h.:

e) Die Logarithmen komplexer Zahlen sind wieder komplexe

Zahlen,

c) Ersetzt man in der Exponentialreihe für ax (s. Nr, 44b) den Exponenten x durch xi, so zerfällt die rechte Seite in zwei Summen, von denen die erste nur reelle und die zweite nur imaginäre Glieder enthält. Beide Summen haben mit ax gleichzeitig bestimmte endliche Werte. Die Potenz ax+yi aber kann in das Produkt ax• ayi zerlegt werden. Es zeigt sich also, daß bei Potenzen reeller Grundzahlen auch komplexe Exponenten zugelassen werden dürfen.

Für den Ausdruck (a + bi)x + yl läßt sich ferner dnrch die Substitution a + bi = r • (cosqp + isimp) = r • e'P¹ die Gleichung herstellen:

(a + bi)x+yi = rx+yi • (e«>1)x • (e»¹)^.

Von den Faktoren auf der rechten Seite find die ersten beiden komplexe Zahlen, und durch Übergang zu den Logarithmen entsteht aus dem dritten die Größe yi - ^ev¹) oder yi • <pi • le oder schießlich —- y • <p; es ist also umgekehrt (e»,i)yi = e-y v. Somit zeigt sich, daß auch bei komplexen Grundzahlen der Exponent eine komplexe Zahl sein darf.

Damit ist der Nachweis dafür geliefert, daß alle bisherigen Rechnungsarten ganz allgemein auf komplexe Zahlen ausgedehnt werden können und niemals aus dem Gebiet der komplexen Zahlen hinausführen. Man wird also nicht zur Einführung neuer Zahlen gedrängt, wenn man die Rechnungsarten für die allgemeinste Zahlenart, die komplexen Zahlen, erweitert. Das Zahlengebiet ist nun in sich abgeschlossen.

Abschnitt IV.

Trigonometrie?

Kapitel 1.

Goniometrie.

Nr. 1. Erklärung der Funktionen Sinus und Kosinus.

a) Bei der Untersuchung über die Abhängigkeit der Seiten und Winkel eines Dreiecks voneinander gelangt die Planimetrie zu dem Satze, daß in zwei rechtwinkligen Dreiecken mit gleichgroßen Hypotenusen dem größeren von zwei spitzen Winkeln die größere Kathete gegenüberliegt. Zur Darstellung dieses Satzes eignet sich am besten der Kreis, in dem ein beweglicher Radius MB auf einen festliegenden Radius MA projiziert und dadurch zur Hypotenuse gemacht werden kann. Solange der Mittelpunktswinkel AMB spitz bleibt, veranschaulicht die Figur, daß dem größeren Winkel AMB die größere Kathete BC gegenüber- und die kleinere Kathete MC anliegt. Wird der Winkel AMB größer als 90°, so gehört er nicht mehr dem rechtwinkligen Dreieck an, und der Satz gilt dann für seinen Nebenwinkel. Dabei bleibt aber die Kathete BC die Länge der projizieren- / q\ c\L^_

den Linie und MC die Projektion des beweglichen s.........sW"~~

Radius MB auf den festliegenden Radius MA. Die \_ j \

Sifl.27

Figur kann also dazu benutzt werden, die Abhängigkeit dieser beiden Strecken von der Größe des Mittelpunktswinkels cp (AMB) zu erkennen. Sie zeigt, daß das Wachsen des Winkels die Zunahme des Lotes BC zur Folge hat, solange <p spitz ist, daß das Lot die größte Länge erreicht für (p = 90°, und wieder kleiner wird, wenn <)o über 90" hinausgeht, bis es für (p = 180" die Größe 0 annimmt. Wächst aber cp über 180" hinaus, so fällt das Lot auf die andere Seite der Geraden, die den Radius MA trägt,

*) Die Anfangsgründe der Trigonometrie stehen in Unterstufe B, Abschnitt III. rannet, Mathematik. II.B. - 4.Aufl,

und erleidet dort bei weiterem Wachsen des Winkels cp bis zur Grenze 360° genau dieselben Größenveränderungen, die bei der Zunahme des Winkels von 0° bis 180° beobachtet werden.

In entsprechender Weise sieht man die Projektion MC abnehmen, wenn cp von 0° bis 90° wächst; sie erreicht für cp --- 90° die Größe 0, nimmt dann aber wieder an Länge zu, bis cp den Wert 180° erreicht hat, und erfährt bei weiterer Zunahme von cp bis zur Grenze 360° in umgekehrter Reihenfolge genau dieselben Größenveränderungen, die für den Zwischenraum von 0° bis 180“ eintreten.

Wächst cp über 360° hinaus, so beginnt sowohl für BC als auch für MC wieder die Reihe der Werte, die von cp = 0° ab ermittelt werden.

Dreht sich der Radius MB von MA aus nach rechts, so betrachtet man den Winkel BMA als negativ. Die Figur läßt nun erkennen, daß bei jedem Wert von cp sowohl die Projektion MC als auch die projizierende Linie BC für <C AMB = — cp die gleiche Länge wie für AMB = + <p hat. Aber während bei den beiden Winkeln die Projektion dieselbe ist, liegen die projizierenden Linien auf verschiedenen Seiten des Durchmessers MA.

Für jede Größe des Winkels cp erhält man also durch Projektion des freien Schenkels MB auf den festliegenden Schenkel MA ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten BC und MC durch den Winkel eindeutig bestimmt sind. Gelten in gewohnter Weise die Strecken BC und MC als negativ, wenn der Punkt B unterhalb des Durchmessers MA bzw. links von dem auf MA senkrechten Durchmesser liegt, so läßt sich für MB = MA = r aus der Figur ablesen:

Wächst der Winkel cp von

t$ti

90°, so wächst BC von 180°, „ nimmt BC 270», „    „ BC

360°, „ wächst BC

0 bis r,

0 ab,

0,

so nimmt MC Dort

„    „    MC

„ wächst MC „    „    MC

äst

© »■* O

Da in Kreisen mit verschiedenen Halbmessern entsprechend gezogene Strecken sich wie die Halbmesser verhalten, so sind die Streckenverhältnisse

von der Länge des Radins MB unabhängig; sie sind also eindeutige Funktionen des Winkels cp (AMB). Man hat daher die folgende allgemein gültige Erklärung:

Erklärung. Von den Streckenverhältnissen, die bei der Projektion eines Schenkels des Winkels cp auf den anderen entstehen, bezeichnet man das Verhältnis

1.    des Lotes zu dem projizierten Schenkel als Sinus-Funktion

2.    derProjektion zu dem projizierten Schenkel als Kosinus-Funktion des Winkels <p.

BC

MB

und

MC

MB

Nr. 2. Graphische Darstellung der beiden Funktionen.

131

b) Gibt man dem Halbmesser MB = r die Länge 1, so werden durch die Strecken BC und MC (mit der Längeneinheit gemessenen) die Maßzahlen der Größen sing; und cos cp dargestellt. Nach den Pyth. Lehrsatz besteht daher für jede Größe des Winkels <p die Gleichung:

sin² cp + cos² <p — 1.

Vgl. hierzu: Unterstufe, Abschnitt III, Nr. 2.

Nr. 2, Graphische Darstellung der beiden Funktionen.

In einem Kreise mit dem Halbmesser 1 sind die Strecken BC und MC die Maße der Funktionen Sinus und Kosinus; diese Maße können als Or-dinaten benutzt werden. Welche Einheit für die unabhängige Veränderliche y gewählt wird, ist gleichgültig; es können daher auch die Bogen verwandt werden, die im Einheitskreise zu Mittelpunktswinkeln von der Größe y gehören. Geschieht dies, so erhält man bei der Sinus-Funktion eine Linie, die

.f;

jbr

(f

i-

T--1

f_-

-■s

i»

L!

r~

i--V

Sfifl- 28.

a)    den Punkt 0 mit der horizontalen Geraden gemein hat;

b)    von 9 = 0° bis y = 90° sich nach oben von der Geraden entfernt (steigt) und für y = 90° die Entfernung 1 besitzt;

c)    von cp = 90° bis <p = 180" (») sich wieder der Geraden nähert und dann bis cp = 270° (fn) sich nach unten von der Geraden entfernt (sinkt);

d)    von cp = 270° bis y = 360° (2«) aus der Entfernung — 1 sich wieder bis zu der Entfernung 0 der Geraden nähert (steigt);

e)    von y —360" ab wieder denselben Verlauf nimmt wie von y = 0® an.

Diese Linie, Sinus-Linie genannt, gibt ein übersichtliches Bild über den Verlauf der Funktion. Sie bringt die Tatsache zur Anschauung,

1.    daß der Sinus eines Winkels im ltm und 2ten Quadranten positiv und im 3tett und 4ten Quadranten negativ ist;

2.    daß der Sinus im 4ten und lten Quadranten von — 1 bis 4- 1 steigt und im 2ten und 3tcn Quadranten von + 1 bis — 1 sinkt;

3.    daß der Sinns eine periodische Funktion seines Argumentes ist und seine Periode 360° (2n) beträgt.

In ganz entsprechender Weise läßt sich die Kosinus-Linie graphisch darstellen. Die Figur bringt wiederum die Sätze zur Anschauung:

lx.

Ji

w t* VL i

ZJC

5;

Ctg. 29.

1.    Der Kosinus eines Winkels ist positiv un lten und 4t6n und negativ im 2tcn und 3ten Quadranten.

2.    Der Kosinus steigt im 3ten und 4lcn von — 1 bis -i- 1 und sinkt im llen und 2ten Quadranten von + 1 bis — 1.

3.    Der Kosinus ist eine periodische Funktion seines Argumentes und besitzt die Periode 360° (2*).

Bei beiden Linien sind die Bogen auf der positiven Seite den Bogen auf der negativen Seite kongruent, weil

1.

sin (180°+ a) = — sin «, cos (180° + ß) = — cos a ist; man sieht, daß die Funktionen der Argumente zwischen 180° und 360° sich auf gleichbenannte Funktionen zwischen 0° und 180° zurückführen lassen.

Jeder Bogen zerfällt in zwei spiegelbildlich gleiche (symmetrische) Teile,

weil

2.

sin (180°— «) = sin «, cos (180°— «) = — cos «, sin (90°+ «) — sin (90° — «), cos (90°+    — cos (90° — «)

ist, d. h. weil die Funktionen der Argumente zwischen 90° und 180° auf gleichbenannte Funktionen zwischen 0° und 90° zurückgeführt werden können.

sin (90°+ «) = cos cc und sin (180°— ci) = cos (90° — a). Die Benutzung der Formeln 2. liefert hieraus:

sin (90° — ß) = cos ß,

Bei der Sinus-Linie beginnen die Bogen auf der positiven Seite jedesmal um 90° später als bei der Kosinus-Linie; die Figur bestätigt also die Formeln:

cos (90° — a) — sin ß.

Somit können die Funktionen der Winkel zwischen 45° und 90° durch Funktionen von Argumenten zwischen 0° und 45° ausgedrückt werden.

Eine Funktionentafel braucht also nur für die Argumente von 0° bis 45" berechnet zu werden.

Zusah. Es ist

sin (90" + «) = sin (90" — u)

cos (90® -f- a) = — cos (90® — a) — — sin «.

Anmerkung. Setzt man die beiden Figuren über den Punkt 0 nach links fort, so kann man schließlich die Formeln ablesen:

sin (— <jp) = — sin cp,

cos (— cp) = cos cp.

4.

5.

= cos cc,

Nr. 3. Berechnung für einige besondere Werke von y.*)

Die Berechnung der Funktionen erfolgt nach Reihen, die aus dem binomischen Lehrsatz (s. Abschnitt ni, Nr. 46) abgeleitet werden. Die Hilfsmittel der Planimetrie gestatten dagegen die Berechnung ihrer Werte nur für solche Argumente, die durch fortgesetzte Halbierung aus den Winkeln 90", 60", 36" (Zehneck!) und 24" (15-EckI) entstehen.

Ist ^ die Seite eines regelmäßigen n-Ecks in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 und pn ihr Abstand vom Mittelpunkte, so hat man:

.    360°    1

Sln T5" ~ T a”'

- y* - (R-

360°

Tn" ~ Pn

Die Seite a2n des regelmäßigen 2n-Ecks ist aber die mittlere Proportionale zum Durchmesser 2 und ihrer Projektion 1 — Qn auf den Durchmesser.

Damit erweisen sich sin und cos als

berechenbar usw.

cos

fm

>a„

Fig. 80.

1. Es sei n = 4, also ™ = 45".

*) Vgl. Unterstufe B, Abschnitt III, Nr. 3.

Die Seite a₄ ist die Hypotenuse eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel die Länge 1 haben, und deshalb gleich /2. Man hat also

sin 45« = 1/2 = 0,70711, cos 45° = p₄ = 1/2 = 0,70711.

= 0,92388.

Da ag = /2 (1 — (>₄) = 0,76536 ist, so ergibt sich weiter: sin 22-1° = |a₈ = 0,38268, cos 22^° =

Aus qs berechnet man a₁₆ und dann die Funktionen von llf°, usw.

2. Es sei n = 6, also ™ = 30°.

Da »y = 1 ist, so hat man:

sin 30° = 1 = 0,5, cos 30° = (>, = 1/3 = 0,86603

und a₁₂ = 0,51763. Weiter ist dann

sin 15° = 0,25882, cos 15« = 0,96592

und a₂₄ = 0,26108. Jetzt sind die Funktionen von 7y° berechenbar, usw.

3. Die Seite des regelmäßigen Zehnecks ist gleich dem größeren Abschnitt des stetig geteilten Halbmessers, also =1(— 1 + J/ö) = 0,61803. Das

angewandte Verfahren würde hier zur Berechnung der Größen sin 18°, cos 18«, sin 9«, cos 9“ usw. führen. — Für die Benutzung des 15-Ecks s. S. 85, Unterstufe B.

Nr. 4. Die Funktionen Tangens und Kotangens.

Die Schenkel des Winkels cp (AMB) begrenzen ans der Tangente, die in A gezeichnet wird, eine Strecke AT, die in gleicher Weise wie der Sinus

der Größe des Winkels cp ab-ltnis zu MA wird deshalb als

!L

Big- 31.

, und Kosinus hängt. Ihr

Tangens-Funktion des Arguments cp bezeichnet _l a (tg cp = l'£). Die Tangente trifft den beweglichen

Radius MB, bzw. seine Verlängerung auf der oberen Seite von MA, wenn cp im ltCR und 3tol Quadranten liegt, und auf der unteren Seite, wenn cp dem 2ten und 4ten Quadranten angehört; es ist

~T

Nr. 4. Die Funktionen Tangens und Kotangens.

135

daher tg <p positiv im lten und 3kn Quadranten und negativ int 2kn und 4kn. Insbesondere ist

tg 0° = 0, tg 180° = 0, tg 90°= ± oo, tg 270° = + oo, tg 45°-- + 1, tg 135°= - 1.

Die Tangente des Komplementwinkels von cp, gezeichnet im Punkte D, trifft den Schenkel MB, bzw. seine Verlängerung auf der rechten oder linken Seite von MD, je nachdem AMB in dem lkn und 3ten oder in dem

/DT

MD

- = ctg qp)

2ten und 4kn Quadranten liegt. Die Kotangens-Funktion ( ist also mit Tangens zugleich positiv und zugleich negativ; dagegen ist ctg 0°= ± oo, ctg 180°= + oo, ctg 90°= 0, ctg 270°= 0.

Werden die beiden Funktionen in gleicher Weise wie der Sinus und Kosinus bildlich dargestellt, so ergeben sich Linien, von denen jede in eine unbegrenzte Anzahl gleich verlaufender Zweige zerfällt. Aber während die Zweige der Tangens-Linie stetig steigen, fallen sie stetig bei der Kotangens-Linie. Bei beiden folgen sich die Zweige in Abständen von 180° und werden durch die horizontale Gerade in kongruente Teile zerlegt.

Die Betrachtung der Linien führt auch hier zu einer Reihe von Formeln, deren Beweis durch Benutzung kongruenter Dreiecke bequem zu erbringen ist. Zunächst hat man

/Oa

90‘

/ISO'

Z70⁹

Mg. 32.

tg (180°+ «) = tg «, tg (180° - «) = - tg a,

ctg (180° + a) = ctg «, ctg (180°    — ctg «.

Ersetzt man ferner in tg (180°— cp) = — tg cp, bzw. in ctg (180°— cp) = — ctg <p das Argument cp durch 90° — «, so folgt:

tg (90° + «) = — tg (90° — «), ctg (90® + «) = — ctg (90° — «).

Auch die Zweige der beiden Linien sind kongruent, und somit ist auch tg (90° — a) = ctg ec und ctg (90° — a) = tg a.

Zusatz. Nach der Erklärung der Funktionen Tangens und Kotangens ist

tg9 = 'MA=MC »Nb ctgqp=¥B = w-Erweitert man mit MB, so erhält man:

BC MB ,    .    MC MB

tg <P -- mb' MC' ^öw. ctg 9 — MB- Bq'

Nr. 5. Zusammenstellung der Formeln.

Dem Gedächtnis sind folgende Gesetze aus den vorstehenden Abschnitten einzuprägen:

lten 2tm 3te" 4‘™ Quadranten

das Vorzeichen +    +

a) Es hat im Sinus

Kosinus -Tangens -Kotangens -

b)    Im lten Quadranten nehmen bei wachsendem Argument Sinus und Tangens zu, dagegen Kosinus und Kotangens ab.

c)    Für jeden Wert von « ist

1.

2.

136

Abschnitt III. Trigonometrie, und somit ergeben sich bei jeder Größe des Winkels cp die Beziehungen:

unb ct^=W-

kVgl. hierzu: Unterstufe B, Abschnitt III, Nr. 2.)

Aus der ebenfalls für jede Größe des Winkels cp gültigen Formel sin² y + cos²<p = 1

lassen sich nun die allgemein gültigen Formen ableiten:

Anmerkung. Man fjat auch die Quotienten und als besondere Funktionen

eingeführt und ihnen die Namen Sek ans und Kosekans gegeben. Ihre Werte werden aber in den meisten Tafeln nicht mit aufgeführt.

1.

2.

t gy =

sin cp cos <p'

i + tg>

sin (—«) = — sin a, cos (— «) — cos a, tg (-«) = — tg a, ctg (—«) = — ctg «. sin (360° + «) = sin «, cos (360° + «) = cos a, tg (180° + «) = tg«, ctg (180° + «) = ctg «. sin (180° —    sin «,

cos (180° —    — cos a,

tg (180° — «) = — tg a, Ctg (180° — a) = — ctg «.

sin (90° + «) = cos «, cos (90° + «) = — sin «, tg (90° + a) = — ctg «, ctg (90° + «) = — tg «.

4.

5.

sin (90°    cos «,

cos (90° — «) = sin a, tg (90° — «) — ctg «, ctg (90° - «) = tg «.

Nr. 6. Additionstheorrme. Addition und Subtraktion zweier Argumente.

Zur Lösung der Aufgabe, den Sinus und Kosinus der Winkelsumme a + ß oder der Differenz a — ß durch Funktionen von a und ß auszudrücken, stellt man zunächst die Summe, bzw. Differenz dadurch her, daß man ß vom 2ten Schenkel des (von rechts nach links beschriebenen) Winkels « aus anträgt, bzw. abträgt. Von einem Punkte 6 des 2ten Schenkels der Summe (Fig. a), bzw. der Differenz (Fig. b) fällt man dann zur Herstellung ihrer Sinus- und Kosinus-Strecken das Lot CA auf den ersten Schenkel von « und bringt die Strecken mit den nach demselben Gesetz gebildeten Funktionenstrecken für ß und « dadurch in Beziehung, daß man die Lote CB von C auf OB und BA' von B auf OA zeichnet. Zieht man nun noch BD parallel zu OA und beachtet, daß der Winkel DCB gleich « ist, weil seine Schenkel auf den Schenkeln von « senkrecht stehen, so 0 hat man

B,

Ci

A A'

Fig. 33 a

A'

F'g. 33b.

<D

bei « + ß (Fig. a)

1. CA = BA' + CD,

= OB sin u + BC cos «, CA OB .    , BC

0C~ 00 sin “ ⁺ OC ⁰⁰⁸

b. ^ sin (« + ß) = sin a cos ß -f cos « sin ß.

und

bei a — ß (Fig. b)

1. CA = BA'-CD,

— OB sin a — BC cos «, CA OB .    BC

ÖC ⁼ OÜ 8in * “ ÖC cos

d. h. sin(« — ß)=sin «cos ß — cosasin ß,

2. 0A = OA' + BD,

— OB cos « + BC sin «, OA OB    , BC .

06 00 C0S “ 06 Sm K'

d. h. cos («—/$) = cos « cos /3 + sin« sin ß.

2. OA = OA'-BD,

= OB cos a — BC sin af OA OB    BC .

OC ~ 06 C0S a 00 Sln

d. h. cos (a -f- ß)=cos cc cos ß—sin « sin ß.

Man gelangt somit zu den Formeln:

siu (« + £?) = sin a cos ß -(- cos « sin ß. sin (« — ß) = sin a cos ß — cos a sin ß. cos (« + (?) = cos a cos ß — sin a sin ß. cos (« — £?) = cos a cos ß -f- sin a sin ß.

Bei der Ableitung dieser Gleichungen sind zwar nur spitze Winkel benutzt, deren Summe gleichfalls kleiner als 90° ist, allein es läßt sich leicht zeigen, daß die Formeln auch für stumpfe Winkel gültig bleiben. Sind z. B. « unb ß beide stumpf, also 180°— a und 180°— ß spitz, so hat man, wenn man etwa die 2tc herausgreift,

sin [(180°— «) — (180° — /S)]

= sin (180° - «) cos (180° - ß) - cos (180°-«) sin (180°-H,

also sin (— a + ß) = — sin a cos ß -f cos a sin ß und nach Erweiterung mit — 1 (s. Nr. 5, 1) wiederum:

1.

sin (« — /?) = sin « cos ß — cos a sin ß.

Ganz entsprechend läßt sich zeigen, daß die Formeln 1. für alle möglichen Fälle gültig bleiben.

Durch Division ergibt sich aus den Gleichungen 1:

, / i a\ sin (cc -f ß) sin cc cos ß + cos a sin ß

§    i P)    C08 ß)    cos a cos ß — sin cc sin ßr

und wenn Zähler und Nenner durch cos « cos ß dividiert werden,

g + tg ß l-tgatgß

In ganz entsprechender Weise erhält man:

tg (« + /$) =

2.

ctg (a + ß) =

Ctg Ci ctg ß—1

ctg ß + ctg a

ctg («-/?)==

ctg cc ctg ß -j-1 _ ctgß-ctga ’

Nr. 7. Multiplikation, Addition und Subtraktion zweier Funktionen»

139

Für den besonderen Fall, daß ß = « ist, ergibt sich:

• sin 2 « = 2 sin « cos «.

cos 2 tt ----- cos²« —sin²« — 2cos²« — 1 —1 — 2sin²«.

tg2a =

3.

2tgcc

i -tg²«

ctg²« — 1 2 ctg cc

Hieraus folgt durch Übergang zu den halben Argumenten:

.    . fif a

sin a = 2 sin — cos •

cos « = cos² j — sin² f = 2 cos²^- — 1 = 1 — 2 sin² d»

ctg 2 a =

4.

tg« =

- und ctg a =

ctg’ y -1

2ctgf

Aus der 2ten dieser Gleichungen folgt durch Umkehrung:

2sin² £■= 1 — cos« und 2cos² j = 1 -|- cos«.

Aufg. sin3«, cos 3a, sin4«, cos4a usw. durch Funktionen von a auszudrücken.

Ausl. Zerlege 3a in 2a + a, 4« in 2 2a usw.

5.

Nr. 7. Multiplikation, Addition und Subtraktion Meier Funktionen.

Aus den Gleichungen 1. in Nr. 6 lassen sich durch Addition und Subtraktion bequem die besonders wichtigen Formeln ableiten:

2 sin « sin ß — cos («—/?) — cos (a + ß).

2 sin « cosß = sin (« + /?) + sin (« — ß).

2 cos« sin ß ----- sin («+£) — sin (« — ß).

1.

2 cos « cos ß = cos (« + ß) + cos (« — ß)

Stellt man diese Formeln für x und y auf und setzt x + y =«, s — y = j3, also x = und y = ^~~i so ergibt sich:

sin « + sin ß = 2 sin cos

sin « — sin ß = 2 sin —cos cos « + cos ß = 2 cos cos cos « — cos /? = — 2 sin sin •

Zusatz 1. Die Ausdrücke sin (a ± ßi ± cos (« ± ß) führen nicht auf einfache Produkte; nur gleichnamige Funktionen lassen sich auf diese Weise vereinigen.

Zusatz 2. Für tg « + tg ß und ctg« + ctg ß ist die Ableitung einfacher Produkte aus den Formeln 2. in Nr. 6 nicht durchführbar. Man ersetzt deshalb tg a durch usw. und vollzieht die Vereinigung unter Benutzung der Gleichungen 1. in Nr. 6.

Nr. 8. Addition und Subtraktion von drei Funktionen, deren Argumente die Winkel eines Dreiecks find.

Sind a, ß und y die Winkel eines Dreiecks, so ist

Aus den Formeln 3. und 5. in Nr. 5 folgt daher: sin(« + ß) = sin y, cos (« + /$) = — cos y, tg (cc + ß) = — tgy,

= ctg-' usw.

Die Anwendung dieser Beziehungen führt zu einer großen Reihe von Formeln, von denen nur die wichtigsten hier abgeleitet werden sollen.

Es ist zunächst

sin a + sin ß ± sin y = 2 sin cos + 2 sin ~ cos == 2 cos ~ [cos - ™ ± sin ~)r

« + /3 = 180°-y,

ttl = 90°-

tO) ß

usw.

sin^

=» COS

7

2'

cos

tg

«+p

= 2 cos | [cos (f ~ I) ± cos (| + I)],

und somit nach Gleichung 1. in Nr. 7

sin a + sin ß + sin y = 4 cos j cos j cosj-r

sin « + sin ß — sin y = 4 sin jsin cos

1.

Z.

Entsprechend ist

cos a + cos ß + cos y = 2 cos

COS

und somit

= 2sin|[cos(| - f) +

cos

cos a + cos ß + cos y = 4 sin ^ sin sin ~ + 1, cos « + cos ß — cos y = 4 cos j cos ~ sin | — 1.

Ferner führt die Gleichung tg (« + ß) —

l — tgatgß

auf

— tg r-

und hieraus folgt:

tgq + tgft X-tga tgß'

3.

tg« + tgß + tg y = tg « tg ß tgy.

Die Winkel 90° - j, 90«-sammen 180". Es ist also auch und 90" — | betragen gleichfalls zu-

und somit

4.

tg (90» - I) + tg (90» - I) + tg (90» - I) ~tg(90«-f) . tg(90»-f) - tg(90»-f),

ctg J + ctg §■ + ctg| = ctg J ctg | ctg

Nr. 9. Gleichungen zwischen Winkelfunktionen.

Winkelfunktionen sind voneinander abweichende Größen, wenn bei demselben Winkel verschiedene Funktionen und bei derselben Funktion verschiedene Winkel vorkommen. Treten daher in einer Gleichung verschiedene Funktionen desselben Winkels oder gleichbenannte Funktionen verschiedener Winkel auf, so müssen die bekannten Beziehungen zwischen den Funktionen benutzt werden, um eine Schlußgleichung für einen Winkel und nur eine Funktion dieses Winkels abzuleiten.

1. Lautet z. B. die Gleichung asinx = bcosx, so ergibt sich:

also tgx =    •

sin x cos x

2.    In der Gleichung a sin x + b cos x = c ersetzt man cos x durch ]/l — sin²x und erhält in (c — asinx)² = (b ]/l — sin²x)a eine quadratische Gleichung für sinx.

3.    Aus bildet man:

und hat dann: sin x = 0 und cos²x = ^-*

4.    Aus

a sin 2x = b tgx

~    t sin x

2 a sin x cos x = b ——

COS X

a + b sinx = ccos2x a + b sin x = c (1 — 2 sin² x) also eine quadratische Gleichung für sinx.

entsteht:

CO

5. Aus

a sin² x + b cos² x ----- 6 sin 2x

a sin² x + b cos² x ----- 2 c sin x cos x,

sin x 2c----

COS X

a tg² x + b = 2 c tg x.

Das ist aber eine quadratische Gleichung für tg x.

sin 3x sin x == a

und hieraus:

ober

/^)²+b=

\COS X/

6. In

entwickelt man sin 3x und erhält dann:

(3 sin x — 4 sin⁸ x) sin x = a, ober sin⁴ x — j sin² X -f = 0. sin 4x — sin 2x = sinx,

7. Ist

so hat man nach Nr. 7, 2:

2cos3xsinx = sinx, also: sinx = 0 und cos3x = * tg 2x + tg 3x — 3 tg x tg 2x

8. In

ist

2tgx

1 — tgäx

CT

tg 3x = tg (2 x + x) =

tgx(3 — tgax)

1 — 3 tg²x '

und daher geht die Gleichung über in

2 tg X tg x(g — tgax) 1 — tg--x •    1 — 3 tg⁸x

= 3tgx.

Diese führt zu den beiden Gleichungen:

tgx = 0 und

2(1 — 3 tg²x) -j- (3 — tg²x) (1 — tg²x) — 3(1 — tg²x) (1 — 3 tg²x);

aus der zweiten aber folgt eine quadratische Gleichung für tg²x. 9. Als letztes Beispiel sei die Aufgabe gewählt:

^(1 + tgx)² + 61/(1— tgx)² = 5|/1 — tg²x.

1 — tg² x

V l-tgx ^ D V l + tgx

Man dividiert durch

und erhält:

-5.

l + tgx

Setzt man jetzt

so wird die Ausführung der Aufgabe von ier Auflösung der Gleichungen y + ™ = 5 und tgx =

l-tgx

= r,

abhängig gemacht.

ys—1 ys + i

Nr. 10. Umgestaltung algebraischer Ausdrücke.

a) Die Funktionen werden vielfach benutzt, um umständlichere Rechnungen zu vereinfachen. Sind z. B. in der Gleichung 2ten Grades x²+ px + q = 0 die Koeffizienten Brüche, Logarithmen oder andere unbequeme Zahlen, so bringt man die Lösung

zunächst auf die Form

und hat dann unter der Wurzel einen Ausdruck von der Gestalt 1 — a², bzw. 1 + a², je nachdem q positiv oder negativ ist. Im ersten Falle setzt man, wenn a² < 1 ist,

= sin² cp.

P²

"j/l — ^ = cos (p, und dann nach Gl. 5. in Nr. 6 xL = — p sin² ~ und x₂ =

Ist dagegen a² > 1, so setzt man

Es ist dann

I.

p cos²|-

4q

P² 608 ² P

Es ist dann "|/l — a² = i tg cp und somit

Xj ---! (1 — i tg qp) Uttb X₂ = - | (1+ i tg <p).

Im zweiten Falle, in welchem q negativ ist, setzt man

^ = tg>

¹ +    " ¹ +    =cos>'

p cos <p + 1 2 cos cp

Da cos cp — 1 = — 2 sin² | und cos cp + 1 = 2 cos² ^ ist, so folgt

ii.

und hat dann

also

hieraus:

cos²?-

cos Cp

x2== - P

cos cp

Hierin stört noch das zweifache Argument. Da aber aus tg² y = —4^ bie Beziehung

y⁴

V-q

cos cp sin cp

2 sin ~ cos -

folgt, so ergibt sich schließlich:

ui.

*i = Y— q *gf' ^ = - y- q ctg |-

b) Auch eine Gleichung von der Gestalt

a sin x + b cos x = c

läßt sich durch goniometrische Umgestaltung bequemer lösen als durch Benutzung der Formel sin² x + cos² x = 1. Dividiert man durch a, so folgt:

, b    c

sin x — cos x ----- -•

a    a

Setzt man jetzt

*8 9V

wobei y mit b zugleich positiv und negativ ist, so hat man:

1.

sin x +

sin cp cos x

cos cp

sin (x + cp) = ~ cos cp.

Ist y nach 1. berechnet, so liefert 2. die Größe von x + y und damit x.

Ähnlich ist das Verfahren bei der Aufgabe, aus

cos x = sin « cos ß — cos a sin ß sin t die Größe des Winkels x zu berechnen. Man bildet

cos x = sin a (cos ß — ctg « sin ß sin r),

und hieraus: 2.

1.

ctg « sin x = tg y sin a cos (ß <p)

und erhält:    2.

Anmerkung. Aufgaben dieser Art kommen häufig in der mathematischen Geographie vor. (S. Abschnitt V, Nr. 14.)

cos X —

COS Cp

Kapitel 2.

Berechnungen beim Dreieck und Viereck.

Nr. 11. Erste Sätze über Seiten und Winkel.

Zur Wiederholung. S. Unterstuse, Abschnitt TH, Nr. 6.

a) Zeichnet man in einem Dreieck ABC eine Höhe, etwa ha, so läßt sich aus der Figur ablesen:

ha

ha

sin ß = — , sin y = -g-, also ha = c sin ß = b sin y.

In ganz entsprechender Weise findet man hb = a sin y — c sin u, hc = a sin ß = b sin «.

Hieraus aber folgen die Proportionen:

1. sin «: sin /?: sin y = a: b: c. (Sinus-Satz.)

Folgerung 1. Es ist a - sin « = ^sin «, b — ^ sin ß, usw.

a sin ß sin y ,

---f ilb —

sin a

c.

Fig 34.

hc =

Folgerung 2. Es ist ha , und somit

c sin a sin ß

sin y

a² sin ß sin y

b sin a sin y

sin ß

b² sin a sin y

c² sin a sin ß

• Aus

Folgerung 3. J =

J = 2 aha = 4bhb = 4-chc ergibt sich ferner:

1    .    i    i    ,

J = — ab sin y = — a c sin ß = ~ b c sin a.

Die Seite a ist in 2 Abschnitte p und q geteilt, von denen p = b cos y und q = c cos ß ist. In entsprechender Weise lassen sich b und c zerlegen. Es besteht also der Satz:

2 sin ci

2 sin ß

2 sin y

2.

a = b    cos    y    +    c cos ß,

3.

b = c    cos    «    +    a cos y,

c = a    cos    ß    +    b cos a.    (Kosinus-Satz.)

Der Abschnitt p der Seite a ist die Projektion von b auf a. Wird dies für die Erweiterung des Pythagoreischen Lehrsatzes benutzt, so wird das

io

Müller, Mathemattk. II.B. — i.Aufl.

doppelte Rechteck aus a und der Projektion von b auf a gleich 2 a b cos y. In gleicher Weise entstehen die Rechtecke 2 a c cos ß und 2 b c cos «. Dies führt zu den Formeln:

a² = b² -}- c² — 2 b c cos «.

4.

(Erweiterung des

b² = c² + a² — 2 c a cos ß.

c² = a² + b² — 2 a b cos y. Pythagoreischen Lehrsatzes.)

b) Zieht man außer ba noch die Winkelhalbierungslinie wa, so ist der

- Es

Winkel zwischen ha und w gleich ± ist daher

5.

COS

ß-y_K

\Wcc

Fig. 35.

c) Zeichnet man den umgeschriebenen Kreis und legt durch C den Durchmesser CA', so wird c <£ B A'C = a (65m. = 180°- «) unb A'BC = B. Somit ist BC = A'C sin u, d. h.

6.

a = 2r sin a.

Ebenso ergibt sich:

b = 2 r sin ß, c == 2 r sin y.

Anmerkung. Die Sehnenrechnung der Alten geht davon aus, daß die Sehnen eines Kreises durch die zugehörigen Umfangswinkel bestimmt sind. Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie die Sehnen irgendeines Kreises, die zu Umfangswinkeln gehören, welche den Dreieckswinkeln gleich sind. Kann man also aus der Größe des Winkels die Länge der zugehörigen Sehne berechnen, so hat man in diesen Sehnen ein Mittel, aus drei voneinander unabhängigen Stücken eines Dreiecks die übrigen durch Rechnung zu finden.

Nun gestattet der Lehrsatz des Ptolemäus, aus den Sehnen, die zu zwei Winkeln gehören, die zu ihrer Summe bzw. Differenz gehörige Sehne zu berechnen. So hat Ptolemäus im Anschluß an die Seite des eingeschriebenen regelmäßigen Drei-, Vier-, Sechs-, Fünf- und Zehnecks eine Tafel aufgestellt, die für die Winkel von 30 zu 30 Minuten aufsteigend die Sehnen enthält. Die Berechnung mit ihnen ist jedoch sehr verwickelt, weil man auf den einen Begriff der Sehne beschränkt bleibt.

Dagegen erhält man auf diesem Wege einen einfachen Beweis für die Additionstheoreme, da sich aus dem Ptolemäischen Lehrsatz die Formeln sin (cc-\~ß) = sin cc cos ß + cos cc sin ß, sin (cc — ß) — sin cc cos ß — cos cc sin ß

unmittelbar ergeben und aus diesen die Formeln für cos (cc — ß) und cos (cc + ß) hervorgehen , wenn der Winkel cc durch 90 ° — cc ersetzt wird.

d) Die Mittelpunkte der Berührungskreise liegen auf den Winkelhalbierungslinien. Die Abschnitte auf den Seilen zwischen den Ecken und Berührungspunkten sind durch die Seiten ausdrückbar.

bzw.

A'/

!\

J3

'-fC

Fig. 36.

Die Anwendung des Satzes, daß zwei von einem Punkte an einen Kreis gezogene Tangenten gleichgroß sind, liefert als Länge der Tangente

an den Kreis

Pa

Pc

von der Ecke A:

-    -    -    13;

-    -    -    C:

8 — 9.,

8 — b,

8 — C,

8 — 6,

8 — 6,

8 — b,

s,

8 — 9.,

s — b,

8 — 9.,

8.

Es ist daher

tef-T' ⁼

ctg ~ =

Folgerung. Es ist pa : pb: qq = tg : tg|: tg|-Hinzuzufügen sind ferner noch die Formeln:

3 = q s = Qa (s — a) = ()b (s — b) = Qc (s — c).

Zur Verwendung gelangt auch häufig die Beziehung:

(2 ma)² — 2 (b² -f- c²) — a², die mit Benutzung des Pythagoreischen Lehrsatzes leicht abgeleitet werden kann.

_ ⁷ - 9 b' ° 2

7.

8.

9.

“s — b*

8—6

Qb

Nr. 12. Anwendung des Sinus-Satzes.

Aufg. 1. Gegeben: a, a und ß. StufI. Es ist b =

sin cc

sin ß und 6 = -r— sin y. ¹    sin a *

Aufg. 2. Gegeben a, b und a. Aufl. Es ist sin ß =-j sin a.

Wenn a > b ist, bleibt nur ein Wert für ß zulässig. Ist aber a < b, so sind die beiden Werte ß und 180° — ß möglich. Die Aufgabe ist unlösbar für sin « > 1.

Bei den folgenden Aufgaben sind die aus dem Sinus-Satz abgeleiteten Gleichungen anzuwenden und zum Teil mit Benutzung der Additionstheoreme umzugestalten.

Stufg. 3. Gegeben: ha, « und ß.

Stuft ha = b sin y\

Aufg. 4. Gegeben: J, « und ß.

Stuft. Aus J

Aufg. 5. Gegeben: a, ha und «. stuft. Es ist h» = -A- sin ßs\ny = a [cos (/?-y) - cos (/? +r)]

'    ¹    sin cc r *    2 sin«

__ a [cos (ß — y) -f cos cc]

2 sin a    ¹

2ha

cos (ß — y) = ~ ~ sin — cos tt.

Durch /3 — y und 180° — « = ß + y find ß und y bestimmt. Zur Berechnung von b und c wird dann der Sinus-Satz benutzt.

Aufg. 6. Gegeben: a, ha und ß — y.

Stuft. Nach der Auflösung der Aufg. 5. ist 2 ha

-j- sin « = cos (ß — y) + cos «.

Wird ins Quadrat erhoben und sin² a durch 1 — cos²« ersetzt, so ergibt sich eine quadratische Gleichung für cos a.

Aufg. 7. Gegeben: a, J, « oder ß — y.

o T

Stuft. Daha = — ist, so treten die Lösungen der Aufg. 5. und 6. wieder auf. Aufg. 8. Gegeben: s, « und ß.

Stuft. Aus 2s = a+ b fc = a + sin ß +

a² sin ß sin y

2 sin cc

folgt a² =

2 J sin cc

sin ß sin y

(Nr. 7, l),

und somit

sin cc

sin

= (sin « + sin ß + sin y),

4 cos — cos —

cos

----- a

2 a cos cos ~

2 sin - j cos - j s-sm|-cos —

Aufg. 9. Gegeben: tt, ß und s — a oder s — b oder s — c.

Stuft. Entsprechend wie bei Aufgabe 8.

Aufg. 10. Gegeben: «, sin ß sin y oder siii ß cos y oder cos ß cos y und a oder b» oder J.

Stuft. Die Gl. 1. in Nr. 7 werden zur Bestimmung von ß — y benutzt.

folgt:

a -----

cos

Aufg. 11. Gegeben: cc, sin /3: sin p = p : q    j    und    a    oder    ka

oder cos/3: cos^ = p : q    j    oder    J    oder    s.

Aufl. Aus sin /3 : sin y = p : q folgt:    “ jpV

-E+Stg -

p-q ö

Aufg. 12. Gegeben a, b ± c und ß.

Aufl. Aus (b + c) : a = (sin/3 + siny) : sin cc bildet man

b + c + a sin cc -|- sin ß -f- sin y

b + c - a — sin ß + sin y - sin « ~ 4 coa “ gin I sin I

2 2 2

- ctg 4 ctg f

Man kennt damit y und kann zur Berechnung von b und c den Sinus-Satz anwenden.

und hieraus:

ctg^F

4 cos cos

2~

cos

L.

(Nr. 8, 1),

Nr. 13. Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes.

Zur Wiederholung. S. Unterstufe, Abschnitt III, Nr. 7c.

In der Form a² = b² + c² — 2 b c cos« kann der Satz nur in wenigen Fällen verwandt werden. Es ist daher nötig, die Gleichung so umzugestalten, daß die in ihr enthaltenen Hilfsmittel besser hervortreten. Zuerst kann man b² + c² zu (b + c)², bzw. (b — c)² ergänzen; man hat dann

und somit

a² = (b + c)² — 2 b c — 2 b c cos a, a² = (b - c)² + 2 b c — 2 b c cos cc,

a² = (b + c)² — 2 b c (1 + cos «), a² = (b — c)² + 2 b c (1 — cos cc).

Nach Nr. 6, 5 folgt hieraus:

1.

a² = (b + c)² — 4 b c cos²^» a² = (b — c)² + 4 b c sin²-^*

Löst man diese Gleichungen für cc auf, so erhält man: 4b c cos³ — = (b + c)² — a² = (b + c + a)(b -f c — a) = 4s(s — a),

4 b c sin² ^ — a² — (b — c)² = (a -f- b — c) (a — b + c) = 4 (s — b)(s — c)z und somit ergibt sich:

150

Abschnitt IV. Trigonometrie. sin2 «_(s —b) (s —c)

Tbc

2.

COS¹ 2 rr

. Vf

s (s — a)

bc

(s — b) (s— c)

s (s — a)

Für ß und y sind die entsprechenden Formeln hieraus leicht zu bilden; so ist z. B. sin²|- = ^⁸~a^s-—Die Gleichungen finden ihre Verwendung

vorzugsweise bei der Aufgabe, die Winkel eines Dreiecks aus seinen drei Seiten zu berechnen.

In einigen Fällen ist die Beseitigung des Produktes bc erforderlich.

1    9 T

Beachtet man, daß J = -~-bcsina, also b c = -— ist, so erhält man die Substitutionen:

2 b c cos a = 4 J ctg u = 2 a ba ctg a.

4b c sin³ -- =

8 J sin* 4

sin a

= 4Jtg| = 2ahatg|-' 4 Jctg * = 2abactg|-

4 b c cos² “ =

Damit aber ergeben sich die Gleichungen:

a² = b² + c² — 4 J ctg u = b² + c² — 2 a ba ctg «. a² = (b + c)² - 4 J ctg •|=(b + c)²—2abactg|-

a² = (b-c)²+4J tg|=(b-c)²+2aba tgf-

3.

Aufgaben.

Aufg. 1. Gegeben: a, b und c.

StufI. Benutze die dritte der Gleichungen 2. Aufg. 2. Gegeben: b, c und a.

Stuft Es ist a² = (b c)² + 4 b csin² t

= (b — c)² I 1 +

4b c sin²-?

(b-c)²    /

Setzt man so erhält man

4 b c sin⁸-?

(b-<>)■*' b-c

COS qp

Nr. 14. Der Tangential-Satz und die Mollweideschen Gleichungen.

Einfacher ist die Lösung nach Nr. 14, l.

Aufg. 3. Gegeben: a, b + c und «.

Aufl. Nach Gl. 1. berechnet man 4bc; dann verbindet man 4bc mit (b ± c)a und erhält (b + c). Eine bequemere Lösung folgt in Nr. 14, 2.

Aufg. 4. Gegeben: a, b + c und J oder ha, a, b²+ c² und J oder ha.

Aufl. Durch Benutzung der Gleichungen 3.

Aufg. 5. Gegeben: b ± c oder b² + c², J oder ha und «.

Aufl. Nach den Gleichungen 3.

oder

Nr. 14. Der Tangential-Satz und die Mollweidrschen

Gleichungen.

Aus dem Sinus-Satz a : b = sin cc: sin ß folgt:

(a + b) : (a — b) --- (sin cc + sin ß) : (sin cc — sin ß) o • a ■{■ ß

. a-f/J .    «— ß

am    sin — L

a + ß *    cc —ß

COS —jf-L COS —

COS

CC — ß

₀ . cc — p cc-j- ß : 2 sin COS

151

Es ist also

1.    (a + b): (a — b) = tg : tg • (Tangential-Satz.)

Dieser Satz findet in der Form

, cc

ctg-

-ß

a -f b

sehr häufig Verwendung.

Aus dem Sinus-Satz läßt sich ferner bilden:

ß-v

: (b + c) = sin cc: (sin ß + sin y) = 2 sin cos ^ : 2 sin cos

: (b — c) = sin « : (sin ß — sin y) = 2 sin ^ cos ~ : 2 sin yy cos ———/

und da sin = cos y bzw. cos - y = sin a- ist, so ergibt sich nach Entfernung der gleichen Faktoren:

a : (b + c) = sin : cos

a : (b — c) = cos

: sin •

Diese Gleichungen wurden zuerst von Mollweide aufgestellt und heißen deshalb Mollweidesche Gleichungen.³)

Aufgaben.

a) Zur Verwendung des Tangential-Satzes.

Stufg. 1. Gegeben: b, c und « oder ß — y.

Stufg. 2. Gegeben: b + c und die Sßmtet

Aufg. 3. Gegeben: b : c = p : q, a oder ß — y und a oder ha oder J. Ausl.    kann durch ersetzt werden.

b) Zur Verwendung der Mollweideschen Gleichungen.

Aufg. 4. Gegeben: a, b + c und « oder ß — y.

Aufg. 5. Gegeben: a, b ± c und r.

Stuft ist a = 2 rsin «, also sin« = ±-Aufg. 6. Gegeben: b + c, r und u oder ß — y.

Stuft Durch b + c = 2 r (sin ß + sin y) ist ß — y, bzw. a bestimmt. Man kennt dann die Winkel und kann sowohl Gl. 1. als auch Gl. 2. benutzen.

Aufg. 7. Gegeben: a, b + c und h₀ + hb.

Stuft Aus hb = c sin u und hc = b sin a ergibt sich: hb + hc = (b + c) sin a. Demnach ist u bekannt.

Aufg. 8. Gegeben: a, b — c, hc — hb.

Stuft Es ist hc — hb = (b — c) sina.

Aufg. 9. Gegeben: a, « und hc + hb.

Stuft Es ist b ± c -

h„±hb

sin cc

Nr. 15. Die Halbmesser (>> (>», qc und r.

Aus den Gleichungen 7. und 8. in Nr. 11 kann eine Reihe von Beziehungen zwischen den Halbmessern abgeleitet werden.

Zunächst ist nach Nr. 11, 8

Qo

— = s-a,

— = s — b,

— ----- 8 — 6,

also

— +-J- + i-

Pa i-d Sc

= s — a + s — b + s — c = s.

Da aber s ---ist, so folgt:

1,1, _!_

<?a ⁺ Ql, ⁺ Qe

Dieselben Gleichungen liefern durch Multiplikation:

J⁴=?ps pd Pc S (s — a) (s — b) (s — c) = p pa Pb po Js,

1.

und somit ist

2.

P " P» ' Pb ’ Pc"

Ferner hat man

3 = pa (s a) f

(s — a) = pb tg | (Nr. ll, 7),

also

3.

Pb = pa —- (Folgerung zu Nr. ll, 7), = Pa ctg | tg ,

J = pa²Ctg|tg|tg .

Um schließlich die Winkel aus den Halbmessern pa, gh und qc zu berechnen, geht man von der Gleichung

(s-b) (s-c)

tg²- =

⁶ 2

aus, benutzt die Formeln Nr. 11, 8 und erhält dadurch

s (s — a)

■ J‘T“

gga Cb Cc

Nun ist aber nach 1.

_    Ca Cb Cc

Ca Cb + Ca Cc + Cb Cc

und somit ergibt sich:

4.

Ca⁸

Ca Cb + Ca Cc + Cb Cc

Auch der Halbmesser r des umgeschriebenen Kreises läßt sich mit den Halbmessern der Berührungskreise durch Gleichungen verbinden, die oft mit Vorteil zur Ausführung trigonometrischer Aufgaben verwandt werden können. Vereinigt man nämlich die Formeln (s. Gl. 6. in Nr. n)

1,

2

s==r (sin a + sin ß -f sin y) = 4 r cos — cos — cos 8 — a ----- r (sin ß + sin y — sin a) = 4 r cos ^ sin ~ sin {-

mit = (s — a) tg = (s — a)

sin

sinf

- UNd (>a= 8

4 r sin sin -| sin pa = 4 r sin A cos j cos

COS

cos

so erhält man:

5.

und auf demselben Wege: pb = 4 r cos sin —

cos

I sin f

= 4 r cos ~ cos

Bildet man hiernach die Summe oa + pb + Po, so entsteht:

*ö|-Cö

bD|-Ct)

sin jj + sin

K>|-ce>

cos

= 4 r ^cos ^ sin —t-- + sin cos ^ cos

). ■

= 4 r ^1 — sin² ~ + sin cos ~ cos

1)

»/'

= 4 r + 4 r sin | fcos -- cos

“Ir

= 4 r + 4 r sin

sin

«l"Oö

sin

u>|^

und folglich:

6.

Qa +    + <?c = Q + 4 r.

Von den zahlreichen Beziehungen zwischen r und den Bestimmungsstücken des Dreiecks seien noch hervorgehoben:

7.

8.

ha = b sin y = 2 r sin ß sin J = 1 a ha = 2 r² sin « sin ß sin y.

Aufgaben.

' Aufg 1. Gegeben: r, «, ß. Die Halbmesser der Berührungskreise zu berechnen.

Aufg. 2. Gegeben: «, ß, und p oder pa oder pb oder p₀. Den Halbmesser r zu berechnen.

Aufg. 3. Gegeben: «, ß und pa ober pb oder p₀. Den Inhalt J des Dreiecks zu berechnen.

Aufg. 4. Gegeben: pa, pb und pc. Die Seiten und Winkel zu berechnen. Stuft. Nach Gl. 4. sind die Winkel bestimmt.

Aufg. 5. Gegeben: Ein Halbmesser eines Berührungskreises, ein Winkel und r.

Ob

folgt:

2 r cos ?-

Stuft, für den Fall pb, y, r. Aus pb ----- 4 r sin cos cos j (Gl. 5.) = cos|~ - sin

Es ist also cc — ß berechenbar. Die Gleichung a = 2 r sin « liefert dann a.

Nr. 16. Aufgaben $u Br. 11 bis Nr. 15.

Dem Auflösungsverfahren, das eine direkte Verbindung der gegebenen Stücke sucht und sich dabei in der Regel an die Ausführung der entsprechenden Konstruktionsaufgabe anschließt, tritt bei der großen Leichtigkeit, r nach Nr. 11, 6 in Beziehung zu den übrigen Stücken des Dreiecks zu setzen, ein zweites Verfahren an die Seite, bei welchem die gegebenen Stücke durch r ausgedrückt und dann die erforderlichen Gleichungen durch Elimination von r gewonnen werden.

a) Aufgaben über die Halbmesser q, q», p>,, qc.

Aufg. 1. Gegeben: Ein Halbmesser eines Berührungskreises, ein Winkel und eine Seite.

Stuft, für den Fall qc, b, «. Nach Nr. 12,7 ist s — b = p₀ tg also s - b + QC tg | und tg | = —- a

b + Ootgy

Aufg. 2. Gegeben: Ein Halbmesser eines Berührungskreises, ein Winkel und der Inhalt.

Stuft, für den Fall pb, y, J. a) Aus s — a = pb tg und s — b =

folgt:    1.

c -----

+ (**>tg|-    2. a — b =— pb tg-|-

Man kann jetzt a — ß nach den Mollweideschen Gleichungen berechnen.

Aufg. 4. Gegeben: p, b — c und a.

Ausl. Aus a imb b — c kann man s — b und s — c bilden und hat dann tgf = und tgf = ^-

Aufg. 5. Gegeben: p, b — c und « oder ß — y.

Aufl. Die Gleichungen s — b = p ctg ~ und s — c = p ctg |- liefern

2 q sin - ~~

ß — y    . a

cos ‘ -    — sin—

Sft ß — y zu berechnen, so ist die Gleichung vom 2ten Grade. Aufg. 6. Gegeben: pa, b + c und a oder «.

² Pa

kann «, bzw. a berechnet werden.

Aufl. Aus tg| =

Aufg. 7. Gegeben pa, b — c und a oder ß — y.

Aufl. S. Aufg. 5.

Aufg. 8. Gegeben: pa, a + b und a — ß oder y.

Aufl. Aus s = pa ctgj und s — c = pa tg| folgt: c = pa (ctg| - tg|)

2 sin X-

cos y -f sin

—-ßt und somit nach Mollweide:

2

bo!>*

also:

b) Führt man r als Hilfsgröße ein, so erhält man

A    CC . ß

pb = 4 r cos — sm y cos J = 2 r² sin a sin ß sin yf sin y cos £ sin |-cos y sin cos y

y

2'

und somit:

cos

cos - sin

Hieraus aber kann berechnet werden. Man kennt dann J und die Winkel und kann nach Folgerung 3. zu Nr. 11,1 verfahren.

Aufg. 3. Gegeben: p, b + c und a oder a.

ÄufI. Die Gleichung tg f - ^ kennt also a, b + c und a.

Sv

2p

bestimmt «, bzw. a. Man

2 cos -y- — (a + b) sin - ^ = (a + b) cos •

Aufg. 9. Gegeben: pa, a — b und y.

Ausl. Aus s — b = q& tg | oder a — b + c = 2 ^a tg ^ und a — b ergibt sich c und dann nach Mollweide eine Gleichung ltcn Grades für

CC — ß

sin---

2

Aufg. 10. Gegeben: pa ± pb, «, ß.

ea + Pb

tgf ±%4’

usw. bestimmbar.

: b und c

Ausl, a) Aus pa = s • tg y und pb = s tg y folgt s

sind dann ans pa tg = s — b und pb ctg |

b) Führt man r als Hilfsgröße ein, so ergibt sich:

i    t    y ■ a + ß

pa ± Pb = 4 r cos j sin ™-r-

Hat man r berechnet, so sind a, b und c leicht zu bestimmen. Aufg. 11. Gegeben: pa + pb, a + b und c oder y.

Ausl. Die Gl. pa + pb = c ctg liefert y oder c.

Aufg. 12. Gegeben: pa — pb, a + b und c.

a-ß

(Tangential-Satz!).

Stuft Es ist pa — pb = (a — b) ctg j = (a + b) tg Somit ist y, bzw. u — ß bestimmbar.

b) Aufgaben über Höhen und Winkelhalbiernngslinien.

Aufg. 13. Gegeben: Eine Höhe, der Halbmesser des umgeschriebenen Kreises und eines Berührungskreises.

Ausl, für den Fall ha, r, pb. Aus (s — b) = -y- oder

(eb-K)

a — b .+ c —

•in V -

, und somit nach Mollweide:

‘ folgt: b - c =

cos -■ Führt man dies ein in die Gleichung = 4 r cos | sin jcos j = 2 r cos ~ (cos j + sin

Pb-ha

pb

Pb

Cb

so ergibt sich:

to! £

coss

2r(²Cb~ha)

Aufg. 14. Gegeben: ha, q oder pa oder pb oder pc und « oder /3 — y. Ausl. Die Beziehungen zum Inhalt liefern (b + c): a, bzw. (b — c): a.

Stufg. 15. Gegeben: h„ + hc, q und a.

Stuft Durch hb + hc = (b + c) sin a ist b + c bestimmt und die Auf-gabe auf Aufg. 3. zurückgeführt.

Aufg. 16. Gegeben: ha, w« und «.

Stuft. Gl. 5. in Nr. 11 kommt zur Verwendung.

Aufg. 17. Gegeben: ha, w« und J.

Stuft. Es ist 1. cos    2. a

ha    a

also 2 • — sin a = cos (ß — y) + cos cc.

_ 2J ₊

ha’

3. ha =

a sin ß sin y

sin cc

Aufg. 18. Gegeben: ha, w« und b : c = p : q. Stuft. Nach Berechnung von

ß-y

ist der Tangential-Satz verwendbar.

Aufg. 19. Gegeben: wa, b und c.

Stuft. Es ist ha -- w« cos

c r * i    2 b c cc

und sonnt Wa = COS — •

b c sin cc

— Wa •

b + c . cc    cc a ha

" a Sm V also sm-=b+c

b -f c

Aufg. 20. Gegeben: w«, b + c oder b-c und «.

Stuft. Durch wtt = cos ^ ist b c, bzw. b + c bestimmt. Mau kann dann b — c Herstellen.

Aufg. 21. Gegeben: w„, q und « oder ß — y.

Stuft. Aus a ha - (a + b + c) q fotgt:    = ^±£

hieraus: ha sin ~ = q sin j + q cos ^ 2 ⁷ • Ersetzt man jetzt ha durch w« cos —~z

sin-| = () sin -| + 9 cos    also:

eeinT

w« sin|-e

Aufg. 22. Gegeben: w«, ha und y oder pa.

Stuft Vgl. Aufg. 21.

so ergibt sich: w« cos

ß-y

cos

0-7

, bzw. sin ~

Z? — Y

Q COS

wa cos

COS

ß-y

sin!

, und

c) Aufgaben über Mittellinien.

Die Mittellinie ma ist mit den Seiten durch die Gleichung (Nr. 11, 9) verbunden:

Nr. 16. Aufgaben zu Nr. 11 bis Nr. 16. b² + c² = a² + 4 J ctg u,

Nun ist aber und somit ergibt sich:

2.

(2 ma)² = a² + 8 J ctg u.

Die Einführung von b + c geschieht durch die Gleichungen: (S. Nr. 13, s)

a² = (b + c)² — 4 J ctg

3.

a² = (b — c)² + 4 J tg j-

Aufg. 23. Gegeben: ma, a und «.

Ausl. Nach 2. ist J und dann nach 3. b + c bestimmt.

Aufg. 24. Gegeben: ma, a und J.

Stuft. Gl. 2. liefert a und dann Gl. 3. b + c.

Aufg. 25. Gegeben: ma, « und J.

Stuft. Nach Gl. 2. ist a und dann nach Gl. 3. b + c bestimmt.

8 J ctg cc = (2 ma)² — a2 8 Jctg|=2(b + c)²—2as

Aufg. 26. Gegeben: ma, b + c und a. Stuft. Aus

und

ergibt sich ein Ausdruck für cos²-|-

Aufg. 27. Gegeben: ma, b — c und a.

Stuft. Gl. 2. und 3. liefern einen Ausdruck für sin²^-Aufg. 28. Gegeben: ma, b + c und «.

Stuft. Die Gleichungen 2. und 3. führen durch Elimination von J auf einen Ausdruck für a².

Aufg. 29. Gegeben: ma, b + c und J.

Stuft. Eliminiert man a² aus Gl. 2. und 3., so erhält man:

4 J (ctg -- — 2 ctg «) = (b + c)² — (2 ma)²,

und hieraus:

4Jtgy = (b + c + 2 ma) (b + c — 2 ma).

Aufg. 30. Gegeben: ma, b — c und J.

Stuft. Es ist 4 J ^2 ctg « + tg == 4 J ctg

d) Aufgaben über das Fußpunktsdreieck und die Höhenabschnitte.

B'

j\

In dem Fußpunktsdreieck A'B'C' des Dreiecks ABC seien die Seiten mit a', V und c', die Winkel mit ß' und /, die Höhen mit ha', hy und hc> usw. C bezeichnet.

<A'

Mg. 37.

Da jeder Außenwinkel eines Sehnenvierecks gleich dem Viereckswinkel an der gegenüberliegenden Ecke ist, so sind die drei durch die Seiten des Fußpunktsdreiecks abgeschnittenen Dreiecke dem ganzen Dreieck und somit auch einander ähnlich. Hieraus ergibt sich:

1. «'---180°-2«, ß' = 180°— 2/3 und y'=180°-2y.

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist

«' = 2« — 180°, ß'=2ß und y' = 2y.

1 a.

Ferner besteht die Proportion B'C : BC = AB': AB oder a': a = AB cos a : AB,

und daraus folgt:

2.    a'— a cos a und entsprechend: b'= b cos ß und c'= c cos y.

Hiernach hat man:

a' + b' -}- c'= 2r (sin a cos a + sin ß cos ß + sin y cos y),

— r (sin 2a + sin 2ß + sin 2y).

Da aber nach 1. sin 2« + sin 2ß + sin 2y — sin a' + sin ß¹ + sin y\

A a' ß'

—    4 cos — cos j cos

—    4 sin a sin ß sin y

2'

ist, so folgt:

3.

a' + b' + c' = 4r sin « sin ß sin y,

und hieraus:

a' + b' + c' = 2ha sin «.

Für den Inhalt J' ergibt sich:

J' = " b c sin 2a cos ß cos y = 2 J COS « cos ß COS y.

4.

Ebenso sind die Beziehungen

r' = ir und p'—2rcos cc cos ß cos y

bequem ableitbar. Werden schließlich die oberen Höhenabschnitte mit h° und die unteren mit hu bezeichnet, so ist

6.

h® = a ctg a und ti= cos ß cos y.

Aufg. 31. Gegeben: a, b und c. Gesucht: ha., hb-, h₀,.

Stllfl. Es ist ha,= c' sin /?' = c cos y sin 2 ß.

Aufg. 32. Gegeben:    hb. und he-. Gesucht: a, b und c.

Stuft. Aus hb, — a cos asin 2y und hc, = a cos cc sin 2 ß

hb- -|- hc- = a cos «(sin 2 (3 -\- sin2y) — 2a cos cc sin (ß -f- y) cos (ß — y),

7.

folgt:

und da a durch «' gegeben ist, so läßt sich ß — y berechnen.

Aufg. 33. Gegeben: r', s' und Gesucht: a, b und c. Stuft. Nach Gl 3. und 6

Aufg. 34. Gegeben: ha, hb und s'. Gesucht: a, b und o. Stuft. Nach 4 ist cc und ß bestimmbar.

Aufg. 35. Gegeben: a, ha und ß. Gesucht: b und c.

Stuft. Der Wert des Verhältnisses ist bekannt.

Aufg. 36. Gegeben: a, a und ha: ha. Gesucht: b und c. Stuft. Das Produkt cos ß cos y ist berechenbar.

Nr. 17. Berechnung von Vierecken.

Da jedes Viereck durch eine seiner Diagonalen in zwei Dreiecke zerlegt wird, so müssen, falls nicht eine Berechnung der beiden Dreiecke möglich ist, die Bestimmungsstücke so gewählt sein, daß aus den Formeln über das Dreieck auflösbare Gleichungen zwischen den Stücken des Vierecks hergestellt werden können.

a) Aufg. 1. Aus den Seiten a und b und dem Winkel y eines Parallelogramms den Winkel cp seiner Diagonalen zu berechnen.

Ausl. Verdoppelt man die Seite a und wendet den Pyth. Lehrsatz an, so erhält man:

Da aber e² + f² = 2a² + 2b² und yef siny = J, also 2efcos<p = 4J ctg<p ist, so folgt hieraus:

4a² = e² + f² — 2 es cos cp.

— 4J ctgy == 2(a² — b²).

Nun kann man J durch ab sin95 ersetzen; demnach ergibt sich:

2ab sing? a² — b²

1.

tgy = =F

In ganz entsprechender Weise erhält man die Gleichung:

tg<p = +

2.

2es sing?

e² — P

t>) Aufg. 2. Aus den Seiten eines Trapezes die Diagonalen und Winkel zu berechnen.

Aufl. In betn Trapez AB CD seien die parallelen Seiten mit a und b, die Schenkel mit c und d, die Diagonalen mit e und f und der Winkel BAD

mit « bezeichnet. Es ist dann

f² = a² + d² — 2ad cos«,

e² = b² + d² + 2bd cos« (CD || ABI),

und hieraus folgt durch Elimination von cos«: 1. ae² + bf² = ab(a + b) + d² (a + b), = (a + b) (ab + d²).

D,

d,

xC

Fig- 38.

Ebenso ergibt sich durch Benutzung des Winkels ABC:

be² + af² = (a + b)(ab + c²).

Aus 1. und 2. erhält man durch Addition, bzw. Subtraktion:

2.

3.

e² + k² - c² + d² + 2ab.

a + b

e² + f² = (d² - c²) •

Die Diagonalen sind also berechenbar, und das Trapez zerfällt dann in zwei Dreiecke, deren Seiten bekannt sind.

b'

Da

c) Aufg. 3. Aus den Seiten eines Sehnen-Vicrccks die Winkel und Diagonalen zu berechnen.

Ausl. Es sei AB - a, BC - b, CD - c, DA = d, AC = e und BD = f. Bezeichnet « den Winkel BAD, 180° -« also den Winkel BCD, so ist

Fig. 39.

und somit

1.

cos ce =

f² = a² + d² — 2ad cos u, f² = b² + c² + 2bccos«,

(a⁸ + d*)-(b⁸ + c⁸)

2 (ad-f bc)

Hieraus folgt:

1 + cos cc

(a + d)² — (b — c)²

2 (a d + b c)

1 — COS cc =

(b + c)²- (a-d)2 2(ad-fbc) '

also

tg

(b + c)² - (a- d)2 — (a4-d)s — (b —c)²¹

«2 (ab -f- cd) (ac -j- bd) ad -)- bc

Führt man den Ausdruck für cos« in die erste Gleichung für f² ein, so ergibt sich:

3.

und Wenn a + b + c + d = 2s gesetzt wird,

tg²f =

2.

(s — a) (s — d)

(S_b)(₈-c)

In ganz entsprechender Weise ergeben sich die beiden Gleichungen:

und

4.

tg/5 =

(s — a) (s — b)

(s — c) (s — d)

5.

e² -

(ad -|- bc) (ac + bd)

ab + cd

Die Verbindung der Gleichungen 3 und 5 durch Multiplikation führt auf die Beziehung: (e • f)² = (ac + bd)², also: e • f = ac + bd, d. h. aus den Ptolemäischen Lehrsatz.

Verbindet man dagegen die Gleichungen 3 und 5 durch Division, so erhält man: f²: e² = (ab + cd)² : (ad + bc)², also:

6.

f: e = (ab + cd) : (ad + bc).

d) Bei einem beliebigen Viereck werden natürlich die Entwicklungen umständlicher. Es mag daher ausreichen, die bekanntesten Aufgaben, die zur Feldmessung vielfach benutzt werden, zu besprechen.

Aufg. 4. (Das Vorwärtseinschneiden.) An den Endpunkten A und B der Strecke a seien die Richtungen nach den Endpunkten C und D einer unbekannten Strecke CD festgelegt und die Winkel dieser Richtungen mit AB ausgemessen. Es soll die Länge der Strecke CD berechnet werden.

Stuft. Es sei AB-a, CAD---« und CAB = alf <£DBC = /3 unb <£DBA=/3r

sin (cc -f «j)

a sin (« + “i + ßi)'

Nach dem Sinus-Satz ist BD =

sin at

BC =

Somit kennt man in dem Dreieck BCD zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel.

sin (ßi + ai + ßi)

\x

Fig. 40.

Aufg. 5. An den Endpunkten einer Strecke CD (deren Ausmessung nicht möglich ist) seien die Richtungen nach den Endpunkten A und B einer bekannten Strecke a festgelegt und ihre Winkel mit CD ausgemessen. Es soll die Länge von CD berechnet werden. (Hansensche Aufgabe.)

Stuft. @3 fei AB = a, <c DCB = uut> «£DCA = ylf <ftCDA = <? und <ftCDB=ft. Bezeichnet man <C DBA mit ft und CAB mit so liefert der Sinus-Satz:

AD : a ------ sin ft : sin (ck — ft),

CD : AD = sin (d + yx) : sinylz

VA,_

A    CL

und somit:

l.

CD _ sin ft sin (F -f- yx)

sin 7! sin (d — ft)

CD : BC = sin (y + 5X): sin $lf

B C : a = sin a₁ : sin {y — y^)₉

C D sin cft sin (7 + ft), a sin ft sin (7 — 7i)

Die Gleichungen 1. und 2. ergeben:

sin a₁ sin d¹, sin (y — y,) sin (S -f ft) sin ßt sin y₁ sin (d¹ — d,) sin (y + <?,)

Ferner ist:

und daher:

2.

3.

Ersetzt man den Quotienten auf der rechten Seite durch q und bildet

sin oft + sin ft _q + 1

sin — sin ft q — 1

oder

so ergibt sich:

ctg — ₂-- =    ctg c~—'

4.

Nun ist aber «, + ft = % + ft; man hat daher ctg^-^ctg^hA.

Die Winkel «x und ft sind demnach berechenbar. Kennt man «x und ft, so läßt sich CD nach Gl. 1. oder 2. bestimmen.

Um die Arbeit mit den Feldmeßapparaten zu verringern und nicht an zwei Punkten die Winkel messen zu müssen, kann man an dem Endpunkte C der unbekannten Strecke CD ein Dreieck festlegen, dessen Seiten und

Winkel man kennt, und dann am Punkte D die Winkel und Sz ausmessen, unter denen die Seiten AC und BO gesehen werden. Es entsteht dann die Aufgabe von

Pothenot:

Allfg. 6. An dem zweiten Endpunkte einer Strecke, deren erster Endpunkt eine Ecke eines bekannten Dreiecks ist, sind die Winkel, unter |U|g|)gj| denen die Seiten des Dreiecks gesehen werden, ausgemessen worden. Man soll die Länge der Strecke berechnen. (Das Röckwärtseinschneiden.)

Frg. 42-

Ausl. Bezeichnet man den Winkel CAD mit (i und den Winkel CBD mit v, so ist

CD : AC = sin [i: sin dlf

und somit

Setzt man jetzt

CD : BC    =    sinv : sin    d2f

B C sin

sin    v    AC sind₂

sin ft

1.

so erhält man:

B C sin d₁ _

AC '    ⁼

sin    _q + 1

sin ii — sin v q — 1

tl + v    - q + 1-

2 ö 2 q_1

Beachtet man aber, daß j« + v = 4R —    4 &, + y) ist,

so folgt hieraus:

tg

also:

2.

= T-q ct81    + ^ + y)*

Es ist demnach möglich, die Winkel /i und v zu berechnen und dann durch Verwendung des Sinus-Satzes die Aufgabe zu Ende zu führen.

/;,v-..... 4' \

‘Swings ium 1

i

I fteeu-......

i. r'i —>

\ A.

Abschnitt V.

¹

tg² cp =

²

II.

³

Der geometrische Beweis dieser Sätze steht in Unterstufe, Abschnitt III, Nr. 7.

Zweiter Teil der Stereometrie.

Systematische Begründung. Schwierigere Körperberechnungen.

Kapitel 1.

Ebenen tmb Geraden.

Nr. 1. Grundformen räumlicher Gebilde.

Der Zusammenhang zwischen den Grundformen räumlicher Gebilde Körper, Fläche, Linie und Punkt ist in den Sätzen angegeben:

1.    Durch Bewegung eines Punktes im Raume von einem Orte nach einem anderen entsteht eine Linie.

2.    Durch Bewegung einer Linie entsteht eine Fläche, falls die Linie nicht in sich selbst verläuft.

3.    Durch Bewegung einer Fläche, die nicht in sich selbst (Drehung einer Scheibe!) oder in einer anderen Fläche (Schieben auf einer Platte!) verläuft, entsteht ein Körper.

4.    Wird ein Körper bewegt, so beschreiben seine Punkte Linien, seine Linien Flächen, usw.

Nr. 2. Drehungsflächrn.

Besondere Formen räumlicher Gebilde entstehen, wenn die Bewegung des Körpers bestimmten Gesetzen unterworfen ist.

Wird die Bewegung eines Körpers in der Weise eingeschränkt, daß ein starr mit ihm verbundener Punkt A seine Lage im Raume unverändert beibehält, so kann sich der Körper um A beliebig drehen.

Nr. 1. Grunds, räumt. Gebilde. Nr. 2. Drehungsflächen. Nr. 3. Eigensch. d. Ebene. 167

Wird außer A noch ein zweiter Punkt B, der mit dem Körper starr verbunden ist, festgehalten, so kann die Bewegung nur noch in zweifachem Sinne erfolgen, und zwar als eine Drehung nach vorwärts oder nach rückwärts, bzw. nach rechts oder nach links.

a)    Ein bewegter Punkt P des Körpers kehrt nach jeder ganzen Umdrehung wieder in seine ursprüngliche Lage zurück und behält während der Bewegung seine Entfernung von den Punkten A und B bei. Die von ihm beschriebene Linie ist ein Kreis.

Außer A und B behalten bei der Drehung des Körpers noch unzählig viele andere fest mit ihm verbundene Punkte ihre Lage im Raume unverändert bei; sie folgen ohne Unterbrechung aufeinander und bilden eine Linie, die durch A und B geht. Da diese Linie bei der Drehung unbewegt bleibt und von den übrigen Punkten des Körpers umkreist wird, so ist sie die Drehungsachse des Körpers. Ist die Drehungsachse auf beiden Seiten unbegrenzt, so wird sie Gerade genannt.

Die Drehungsachse ist durch die Wahl der Punkte A und B bestimmt. Hieraus lassen sich die ersten Sätze über die Gerade ableiten.

b)    Eine bewegte Linie des Körpers kehrt nach einer ganzen Umdrehung wieder in ihre ursprüngliche Lage zurück und beschreibt daher bei jeder Umdrehung dieselbe Drehungsfläche. Der besondere Charakter einer Drehungsfläche wird durch die Eigenschaften der bewegten Linie bestimmt.

1.    Ist die Linie ein Kreis und die Drehungsachse einer seiner Durchmesser, so ist die Drehungsfläche eine Kugelfläche.

2.    Ist die Linie eine Gerade, welche die Achse unter einem spitzen Winkel schneidet, so entsteht eine Kegelfläche mit dem Schnittpunkt als Spitze.

3.    Ist die Linie eine Gerade, welche mit der Achse einen rechten Winkel bildet, so entsteht eine Ebene.

Bei jeder Lage ist in dem Falle 3. die bewegte Gerade eine Normale (Senkrechte) zur Achse, und daher sagt man, die Ebene sei eine Normalebene der Drehungsachse, oder sie stehe auf dieser senkrecht. Die Drehungsachse ihrerseits steht senkrecht auf jeder Geraden in der Ebene, die durch den gemeinsamen Punkt der Achse und der Ebene geht, und wird als Lot auf der Ebene bezeichnet.

Erklärung. Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf allen Geraden steht, die in der Ebene liegen und durch deren Schnittpunkt mit der Geraden gehen.

Nr. 3. Cigenschafirn der Ebene.

a) Aus der Entstehung der Ebene lassen sich ihre Eigenschaften ableiten. Wählt man zunächst auf der Drehungsachse die Punkte A und B so, daß sie vom Fußpunkte Q des bewegten Lotes gleichweit entfernt sind, so ist für jeden Punkt P dieses Lotes PA = PB, und diese Gleichheit bleibt während der Drehung bestehen. Ist umgekehrt ein Punkt P von A und B gleichweit entfernt und P mit Q verbunden, so ist A PQA ^ A PQB, also PQA --- 90°. Der Punkt liegt daher auf einem Lote zur Drehungsachse in Q und somit in der Ebene. Daraus folgt:

Lehrsatz 1. Die Ebene ist der Ort aller Punkte, die von zwei Punkten des Raumes gleichweit entfernt sind.

D,

Zieht man ferner durch zwei beliebige Punkte D und E der Ebene eine Gerade und verbindet außer D und E noch irgendeinen Punkt X der Geraden mit A und B, so ist <£ ADX = <£ BDX und somit A ADX ^ A BDX. Es ist also, wo X auf DE auch liegen mag, stets XA = XB. Nach Satz 1 folgt daher:

Fig.43.

Lehrsatz 2. Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, so liegt die Gerade ganz in der Ebene.

b) Eine Gerade kann verschiedenen Ebenen angehören, die sich durch Drehung um die Gerade ineinander überführen lassen. Gelangt aber bei der Drehung die Ebene an einen außerhalb der Achse liegenden Punkt, und wird bestimmt, daß dieser in ihr liegen soll, so ist sie unbeweglich, also nicht in einer zweiten Lage denkbar. Daraus folgt:

Lehrsatz 3. Eine Ebene ist durch eine Gerade und einen Punkt außerhalb derselben vollständig bestimmt.

Folgerung 1. Eine Ebene ist weiter bestimmt

1.    durch 3 nicht in einer Geraden liegende Punkte;

2.    durch 2 sich schneidende Geraden.

Folgerung 2. Durch 4 Punkte des Raumes läßt sich im allgemeinen keine Ebene legen.

Folgerung 3. Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine Gerade.

Die Annahme, daß die Schnittlinie auch eine krumme Linie sein könne, steht im Widerspruch zu Folgerung 1, i. Inwiefern?

Nr. 4. Zwei und mehrere Geraden.

Die Lage zweier Geraden gegeneinander kann eine dreifache sein.

a)    Die Geraden schneiden sich.

b)    Die Geraden liegen in einer Ebene und sind parallel.

c)    Die Geraden liegen nicht in einer Ebene und heißen dann windschief.

a) Jede Gerade kann als Schnittlinie zweier Ebenen gelten. Es sei daher SC durch zwei Ebenen Ex und E₃, SB durch zwei Ebenen Ih und E

B,

-IM

E,

\ä

//*•

Fig. 44.

gebildet und Es sei so gewählt, daß auch Es und E₃ sich schneiden (in AAJ. Der Punkt 8 liegt dann sowohl in E, und E₃, als auch in Et und E₃ und folglich gleichzeitig in E₃ und E₃. Hieraus ergibt sich:

Lehrsatz 4. Treffen sich zwei von den drei Schnittlinien dreier Ebenen in einem Punkte, so geht auch die dritte durch diesen Punkt.

b) Ist dagegen BBX II CG,, so muß auch AA^ II BBt und AAt II CCX sein. Denn wenn AÄt mit einer der beiden anderen Schnittlinien, etwa mit BB1; einen Punkt gemein hätte, so müßte nach Lehrs. 4. auch die andere durch diesen Punkt gehen, und dies widerspricht der Annahme, daß BB^ II OCH ⁽ei. Somit folgt:

c]

Zusatz. Sind zwei von den drei Schnittlinien dreier Ebenen parallel, so sind sie alle drei parallel.

Lehrsatz 5. Sind zwei Geraden einer ^ dritten parallel, so sind sie unter sich parallel.

B'

Fig. 45.

Anl. zum Bew. Werden die Ebenen E und E₃, in denen die Parallelen AA' und CG', bzw. BB' und CG' liegen, durch eine dritte Ebene E₁ geschnitten, welche durch AA' und B geht, so a' geht die Schnittlinie mit E₃ durch B, ist nach dem vorstehenden Zusatz parallel zu AA' und CG' und fällt daher mit BB' zusammen.

Ist ferner AB 1 A'B' und AC II A'C' und macht man A'B' — AB, bzw. A'C' = AC, so ergibt sich: BB' II CC und BB' = CG'. Es ist daher durch BB' und CC' eine Ebene bestimmt, also BCC'B' ein Parallelogramm und somit B'C' ---- BC. Damit aber ergibt sich: A BAC ^ A B'A'C', folglich:

BAC = <£ B'A'C', d. h.

Lehrsatz 6. Sind die Schenkel zweier Winkel im Raume parallel und gleichgerichtet, so sind die Winkel einander gleich.

c) In dem Falle, daß die Geraden windschief sind, legt man durch jede von ihnen und einen beliebig gewählten Punkt Ebenen und zieht in diesen durch den gewählten Punkt die Parallelen zu den Geraden. Bezeichnet man dann als Winkel der windschiefen Geraden den Winkel dieser Parallelen, so führt der Satz 6 auf

Lehrsatz 7. Sind zwei windschiefe Geraden zwei anderen paarweise parallel, so ist der Winkel des ersten Paares gleich dem Winkel des zweiten Paares oder ergänzt ihn zu 180°.

Nr. 5» Gerade und Ebene.

Die Lage einer Geraden gegen eine Ebene kann eine zweifache sein

a)    Die Gerade ist der Ebene parallel.

b)    Die Gerade schneidet die Ebene.

a) Erklärung. Eine Gerade heißt einer Ebene parallel, wenn sie mit ihr keinen Punkt gemein hat.

Legt man durch die Gerade G, die der Ebene Ex parallel ist, eine Ebene, welche Ex schneidet, so ist die Schnittlinie parallel zu G. Da aber die zweite Ebene beliebig viele Lagen einnehmen kann, so folgt:

Lehrsatz 6. Ist eine Gerade einer Ebene parallel, so können in dieser unzählig viele Parallelen zu der Geraden gezogen werden.

Der Satz ist umkehrbar.

Lehrsatz 9. Ist eine Gerade einer Geraden in einer Ebene parallel, so ist sie der Ebene parallel.

Beweis indirekt.

Folgerung 1. Jede von zwei parallelen Geraden ist einer beliebigen durch die andere gelegten Ebene parallel.

Folgerung 2. Die Abschnitte auf zwei Parallelen zwischen einer Geraden und einer ihr parallelen Ebene sind gleichgroß.

Aufg. 1. Durch eine von zwei windschiefen Geraden die Ebene zu legen, die der anderen parallel ist.

Au fl. Legt man durch die zweite Gerade und einen Punkt der ersten eine Ebene und in dieser durch den Punkt die Parallele zu der zweiten Geraden, so bestimmt diese Parallele mit der ersten Geraden die gesuchte Ebene.

d) Schneidet die Gerade die Ebene, so sind zwei Fälle denkbar.

«) Die Gerade ist ein Lot auf der Ebene. ß) Die Gerade steht schief zu der Ebene.

P'

r\

v ■

.......

VI

Fig. 46.

«) Legt man durch die ersten von zwei in einer Ebene liegenden Geraden AB und CD eine beliebige Ebene, errichtet in dieser auf AB in dem Schnittpunkte Q der Geraden das Lot QP' und dreht dann die zweite Ebene um AB, so ändert sich unausgesetzt die Größe des Winkels PQC. Bei der Drehung kann die Ebene nur einmal in eine Lage kommen, bei welcher der Winkel PQC ein Rechter ist, die Gerade PQ also auch auf CD senkrecht steht. Ist nun EF eine beliebige dritte durch Q gehende Gerade der. ersten Ebene, und zeichnet man QA = QB und QC = QD, so daß auch QE----QF und CE = DF wird, so läßt sich leicht nachweisen, daß die Dreiecke PQE und PQF kongruent, die Winkel PQE und PQF also einander gleich sind, und somit PQ auch auf EF senkrecht steht. Hieraus folgt der Satz:

Lehrsatz 10a). Steht eine Gerade auf zwei Geraden einer Ebene senkrecht, so steht sie auf der Ebene senkrecht.

Der Lehrsatz 10 a) kann umgekehrt werden, und die Umkehrung lautet:

Lehrsatz 10b). Steht eine Gerade im Schnittpunkt dreier Geraden auf allen dreien senkrecht, so liegen diese in einer Ebene.

Merke: Um zu beweisen, daß eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, kann man zeigen, daß sie mit zwei beliebigen in der Ebene durch ihre« Schnittpunkt mit dieser gelegten Geraden rechte Winkel bildet.

Aufg. 2. In einem gegebenen Punkte Q einer Geraden G die Normalebene zu G zu zeichnen.

Aufl. Man legt durch G zwei Ebenen, errichtet in ihnen die Lote in Q auf G und erhält so zwei Geraden, welche die gesuchte Ebene bestimmen.

Aufg. 3. In einem Punkte einer Ebene das Lot zu der Ebene zu errichten.

Aufl. Das gesuchte Lot muß auf zwei der Ebene angehörigen Geraden senkrecht stehen. Dies wird dadurch erreicht, daß in der Ebene durch den gegebenen Punkt eine Gerade gezogen, zu dieser die Normalebene in dem

gegebenen Punkte hergestellt und dann in der Normalebene auf ihrer Schnittlinie mit der gegebenen Ebene das Lot errichtet wird.

Wird ein Punkt P des Lotes PQ mit einem Punkte R der Ebene verbunden, so ist PR die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks PQR, also > PQ. Ferner ist PR'= PR, wenn QR'=QR ist. Man hat daher:

Lehrsatz 11. Das Lot von einem Punkt ans eine Ebene ist kürzer als jede andere Verbindungslinie des Punktes mit der Ebene.

Zusatz. Alle Punkte eines Kreises in der Ebene um den Fußpunkt des Lotes sind gleichweit von seinem Ausgangspunkt entfernt.

Erklärung. Die Länge des Lotes von einem Punkte auf eine Ebene heißt Abstand oder Entfernung des Punktes von der Ebene.

V-.

\X

Ist eine zweite Gerade RS parallel PQ, so steht sie senkrecht auf der Verbindungslinie QS, und es fragt sich, ob RS noch auf einer zweiten durch 8 gehenden Geraden zrrjvj der Ebene senkrecht steht. Die Lage /    dieser Geraden ist beliebig; man

⁷ /    kann also UV in S senkrecht zu

gig. 47.

senkrecht. Daraus folgt:

Lehrsatz 12. Ist eine von zwei Parallelen ein Lot auf einer Ebene, so ist es auch die andere.

Die Umkehrung dieses Satzes lautet:

Lehrsatz 13. Lote zu einer Ebene sind parallel.

Entw. d. Bew. Da PQ J_ QS und RS j_ QS, so ist nur noch nachzuweisen, daß PQ und RS in einer Ebene liegen. Ist aber wieder UV_|_ QS und US = SV, sind also alle Punkte der durch RS und QS bestimmten Ebene von U und V gleichweit entfernt, so hat man nur noch zu beweisen, daß auch für jeden Punkt X des Lotes PQ die Gleichheit XU = XV besteht.

Folgerung 1. Lote von einer Geraden auf eine ihr parallele Ebene sind gleichgroß.

Folgerung 2. Die Projektion einer Strecke auf eine ihr parallele Ebene hat mit der Strecke gleiche Länge.

/ QS zeichnen. Ist aber SU--SV, / so folgt Qü= QV, hieraus PU = PV ! tmb bann <£ PSÜ = <£ PSV = R. Die Gerade US steht also auf der durch PQ und RS bestimmten Ebene

Aufg. 4. Von einem Punkte P das Lot auf eine Ebene E zu fällen.

Stuft. Man zieht in der Ebene E eine beliebige Gerade UV, legt durch P und UV eine Ebene, zeichnet PS _L UV und errichtet in 8 auf UV ein in E liegendes Lot. Fällt man dann in der durch PS und dieses Lot bestimmten Ebene die Senkrechte PQ zu SQ, so ist PQ das verlangte Lot, weil auch eine Parallele durch H zu US auf der Ebene PQS senkrecht steht.

Sind AB und CD zwei windschiefe Geraden, und legt man durch CD die AB parallele Ebene E₁ (f. Aufg. l), so bestimmen die Lote von Punkten der Geraden AB auf Ex eine Ebene E₂, welche Ex in einer Geraden EF schneidet. Jedes Lot von AB auf Ex trifft EF, und jedes Lot in einem Punkte von EF auf E, trifft AB, steht senkrecht auf AB und ist kürzer als irgendeine andere Gerade, die einen Punkt von AB mit der Ebene E₁ verbindet. Errichtet man daher in dem Schnittpunkt der Geraden CD und EF das Lot auf Elz so ist dies die kürzeste Verbindungslinie zwischen den windschiefen Geraden und daher als ihr Abstand zu bezeichnen. Damit ist der Weg angegeben für die Lösung der Aufgabe: Den Abstand zweier windschiefen Geraden zu zeichnen.

A:

xs

__

■B

<r

>z>

Fig. 48.

ß) Die Gerade steht schief zu der Ebene.

Die Lote von den Punkten einer Geraden auf eine Ebene sind sämtlich parallel (Satz 13) und liegen in einer Ebene. Ihre Fußpunkte gehören der Schnittlinie dieser Ebene mit der ersten Ebene an, und daraus folgt:

Lehrsatz 14. Die Projektion einer Geraden auf eine Ebene ist wieder eine Gerade.    ^

Erklärung. Der (spitze) Winkel    /

einer Geraden mit ihrer Projektion auf eine Ebene heißt Nei unqswinkel der Geraden

jD

3 CD

or £

Fig. 49.

ytyi viv v^uvtiv,

der Geraden

Ist BC die Projektion der Strecke AB auf die Ebene E, und zieht man in E eine beliebige Gerade BD von der Länge BC, so entsteht durch Ver-

der Ebene.

bindung der Punkte A und D ein Dreieck, das in zwei Seiten mit dem Dreieck ABC übereinstimmt. Da aber stets AD > AC ist, so folgt:

Lehrsatz 15. Der Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene ist kleiner als jeder andere Winkel, den die Gerade mit einer durch ihren Schnittpunkt mit der Ebene in dieser gezogenen weiteren Geraden bildet.

Zusatz 1. Ist <p der Neigungswinkel einer Strecke AB gegen eine Ebene und A'B' ihre Projektion auf diese, so ist

A'B' — AB cos q>.

Zusatz 2. Die Projektionen paralleler Geraden auf eine Ebene sind parallel, und ihre Neigungswinkel mit der Ebene sind einander gleich.

Nr. 6. Zwei Ebenen.

Die Lage zweier Ebenen gegeneinander kann eine zweifache sein:

a)    die Ebenen sind parallel,

b)    die Ebenen schneiden sich.

a)    Parallele Ebenen. Über parallele Ebenen lassen sich eine Reihe leicht zu beweisender Sätze aufstellen.

Lehrsatz 16. Parallelen zwischen parallelen Ebenen sind gleichlang.

Lehrsatz 17. Auf den Strahlen eines Strahlenbüschels werden durch parallele Ebenen proportionale Abschnitte begrenzt.

Lehrsatz 18. Jede Gerade in einer von zwei parallelen Ebenen ist der anderen parallel.

Folgerung. Die Schnittlinien zweier parallelen Ebenen mit einer dritten Ebene sind parallel.

Lehrsatz 19. Sind zwei sich schneidende Geraden einer Ebene parallel, so bestimmen sie eine dieser parallele Ebene.

Lehrsatz 20. a) Lote zu einer von zwei parallelen Ebenen stehen auch senkrecht auf der anderen.

Zusatz. Das Lot zwischen zwei parallelen Ebenen ist ihr Abstand.

b)    Steht eine Ebene senkrecht auf einer von zwei Parallelen, so steht sie auch senkrecht auf der anderen.

c)    Stehen zwei Ebenen auf einer Geraden senkrecht, so sind sie parallel.

Lehrsatz 21. Eine Gerade besitzt gegen parallele Ebenen gleiche Neigungswinkel.

1b) Ebenen, die sich schneiden. Zwei sich schneidende Ebenen begrenzen einen Flächenwinkel, dessen Scheitelkante die Schnittlinie der Ebenen ist. Als Maß des Flächenwinkels dient der Winkel zweier Lote in den beiden Ebenen, die in einem Punkte der Scheitelkante auf dieser errichtet werden. Der Winkel der beiden Lote wird Neigungswinkel der beiden Ebenen genannt.

Die beiden Lote liegen in einer Normalebene zur Schnittkante, und diese Ebene enthält sämtliche Senkrechten, die in Punkten der Lote auf den zugehörigen Ebenen errichtet werden können.

Daraus folgt:

Fig. 50.

Lehrsatz 22. Der Winkel der beiden Lote von einem Punkte eines Flächenwinkels auf die Schenkelebenen ergänzt deren Neigungswinkel zu 2R

Werden zwei parallele Ebenen von einer dritten geschnitten, so sind die Schnittlinien und die Schenkel der Neigungswinkel parallel. Parallele Ebenen werden also von einer dritten unter gleichen Neigungswinkeln geschnitten.

Erklärung. Ist der Neigungswinkel zweier Ebenen ein rechter, so stehen die Ebenen aufeinander senkrecht.

\E

Jede Ebene B durch ein Lot zu einer Ebene E' bildet mit dieser eine Schnittlinie, die auf dem Lote senkrecht steht. Das zweite zur Herstellung des Neigungswinkels erforderliche Lot liegt in E' und steht auf dem ersten senkrecht.

Somit ergibt sich:

Lehrsatz 23. Jede Ebene durch ein Lot zu einer Ebene steht auf dieser senkrecht.

Fig. 51.

Folgerung 1. Die Ebene des Neigungswinkels zweier Ebenen steht auf beiden senkrecht.

Folgerung 2. Die projizierende Ebene einer schiefstehenden Geraden steht auf der Projektionsebene senkrecht.

Folgerung 3. Lote in Punkten der Schnittlinie zweier senkrechten Ebenen zu einer der Ebenen liegen in der anderen.

Folgerung 4. Stehen zwei Ebenen auf einer dritten senkrecht, so ist diese eine Normalebene ihrer Schnittlinie.

Zusatz. Stehen drei Ebenen aufeinander senkrecht, so stehen auch ihre Schnittlinien aufeinander senkrecht.

Anmerkung. Die Winkelsätze der Planimetrie bis zur Lehre von den Parallelen einschließlich können auf Flächenwinkel übertragen werden.

Liegt in einer von zwei sich unter dem Neigungswinkel cp schneidenden Ebenen ein Dreieck ABC so, daß eine seiner Seiten, etwa BC, der Schnittkante der Ebenen parallel ist, und wird durch Projektion von ABC auf die

zweite Ebene in dieser das Dreieck A'B'C' hergestellt, so ist nach Folg. 2 zu Lehrs. 13 B'C' = BC. Ferner ist B'C'||BC, und da DD' jl B'C' ist, so hat man auch DD'j_BC. Die Projektionsebene der Höhe AD steht daher auf BC (Lehrs. io) und somit auch auf B'C' (Lehrs. 12) senkrecht, und daraus folgt, daß A'D' die zu B'C' gehörige Höhe des Dreiecks A'B'C' ist. Nach Zus. 1 zu Lehrs. 15 hat man aber A'D' = AD cos cp, und daher ist

A'B'C' =|B'C' - A'D' = i BC • AD cos cp, A'B'C'= ABC cos cp.

Ist keine der Seiten des Dreiecks ABC der Schnittkante der Ebenen parallel, so kann man das Dreieck ABC durch eine Parallele zu dieser in zwei Teile zerlegen, auf jeden der Teile die eben abgeleitete Beziehung anwenden und durch entsprechende Addition sich davon überzeugen, daß wiederum A'B'C' = ABC cos cp ist.

Ist statt des Dreiecks ein Vieleck gegeben, so läßt sich dieses in Dreiecke zerlegen, welche mit ihren Projektionen durch die angegebene Gleichung verbunden sind, usw. Ein krummlinig begrenztes Flächenstück kann schließlich als ein Vieleck mit unendlich großer Seitenzahl betrachtet werden. Hieraus folgt:

I),

c/y

c't

also

Fig. 52.

Lehrsatz 24. Projiziert man eine geschlossene ebene Figur auf eine beliebige Ebene, so ist der Flächeninhalt der Projektion gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der Figur und dem Kosinus des Neigungswinkels der beiden Ebenen.

Nr. 7. Zusammenfassung von Nr. 1 vis Nr. 6.

Die Ebene ist der Ort aller

a)    Punkte, die von zwei Punkten des Raumes gleichweit entfernt sind. (Lehrs. i.)

b)    Strahlen, die in einem Punkte einer Geraden auf dieser senkrecht stehen. (Nr. 2, t>, 3.)

2.    Eine Ebene ist bestimmt

a)    durch eine Gerade und einen außerhalb dieser Geraden liegenden Punkt (Lehrs. 3);

b)    durch drei nicht in einer Geraden liegenden Punkte;

c)    durch zwei sich schneidende Geraden. (Folg. i zu Lehrs. s.)

3.    Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine Gerade. (Folg. a zu Lehrs. 3.)

4.    a) Treffen sich zwei von den drei Schnittlinien dreier

Ebenen in einem Punkte, so geht auch die dritte durch diesen Punkt. (Lehrs. 4.)

b) Sind zwei Geraden einer dritten parallel, so sind sie unter sich parallel. (Lehrs s.)

5.    Winkel mit paarweise parallelen und gleichgerichteten Schenkeln sind einander gleich. (Lehrs. 6.)

6.    a) Ist eine Gerade einer Geraden in einer Ebene parallel,

so ist sie der Ebene parallel. (Lehrs. 8.)

b)    Parallelen zwischen parallelen Ebenen sind gleichlang. (Lehrs. 16.)

c)    Auf den Strahlen eines Strahlenbüschels werden durch parallele Ebenen proportionale Abschnitte begrenzt.

(Lehrs. 17.)

7.    a) Steht eine Gerade auf zwei Geraden einer Ebene senkrecht,

so steht sie auf der Ebene senkrecht. (Lehrs. io.)

b)    Lote zu einer Ebene sind parallel. (Lehrs. is.)

c)    Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die kürzeste Verbindungslinie des Punktes mit der Ebene. (Lehrs. ll.)

d)    Die Projektion einer Geraden auf eine Ebene ist eine Gerade. (Lehrs. u.)

e)    Unter allen Winkeln, die eine Gerade mit Geraden in einer Ebene bildet, ist ihr Neigungswinkel gegen die Ebene der kleinste. (Lehrs. is.)

f)    Ist cp der Neigungswinkel einer Strecke AB gegen eine Ebene und A'B' ihre Projektion auf diese, so ist A'B' gleich AB - cos cp. (Zus. 1 zu Lehrs. 15.)

12

Müller, Mathematik, n. B. — 4. Stuft.

8. a) Lote zu einer von zwei parallelen Ebenen stehen auch senkrecht auf der anderen. (Lehrs. 20a.)

b)    Steht eine Ebene senkrecht zu einer von zwei parallelen Geraden, so steht sie auch senkrecht auf der anderen. (Lehrs. 20b.)

c)    Stehen zwei Ebenen auf einer Geraden senkrecht, so sind sie parallel. (Lehrs. 20c.)

d)    Die Ebene des Neigungswinkels zweier Ebenen steht auf beiden senkrecht. (Lehrs. 23, Folg.)

e)    Die Projektion eines ebenen Flächenstücks J auf eine Ebene, die mit seiner Ebene den Neigungswinkel <p besitzt, hat den Inhalt J • cos <p. (Lehrs. 24.)

Rr. 8. Mbm&m zu Kapitel 1.

1.    a) In zwei sich schneidenden Ebenen und E₂ liegen zwei Geraden Gi und Gz. Es soll durch Zeichnungen in den Ebenen E₁ und Eg ermittelt werden, ob die beiden Geraden sich schneiden, windschief oder parallel sind.

b) Durch eine in Et liegende Gerade G und einen in E₂ liegenden Punkt A sei die Ebene E₃ gelegt. Wie läßt sich die Schnittkante von E₂ und E₃ Herstellen,

cc) wenn E₁ und Eg sich schneiden-ß) wenn Ei und Ez parallel sind?

2.    a) In der ersten von drei sich schneidenden Ebenen liege der Punkt A und in der zweiten der Punkt B. Wie findet man den Punkt, in welchem die dritte Ebene von der Geraden AB geschnitten wird?

b) Bei drei sich schneidenden Ebenen Elz Eg und Es liege in E, der Punkt A, in E2 der Punkt B und in Es der Punkt C. Es sollen die Schnittkanten der Ebene ABC mit Ej, Ez und Es gezeichnet werden.

3.    Beweise die Sätze:

a)    Alle Ebenen, welche durch einen gegebenen Punkt gehen und

cc) einer gegebenen Geroden parallel sind, schneiden sich in einer Geraden, ß) auf einer gegebenen Ebene senkrecht stehen, schneiden sich in einer Geraden.

b)    Die Schnittlinien einer Ebene mit allen durch eine ihr parallele Gerade gelegten Ebenen sind einander parallel.

c)    Ist eine Ebene zwei in einer anderen Ebene liegenden und sich schneidenden Geraden parallel, so sind die beiden Ebenen parallel.

d)    Sind die Schenkel zweier Winkel parallel, so sind auch ihre Ebenen parallel.

4.    Beweise die Sätze:

a) Errichtet man auf zwei Geraden einer Ebene E senkrechte Ebenen, so schneiden sich diese in einem Lote zu E.

b)    Fällt man von einem Punkte A das Lot auf die Ebenes und von seinem Fußpunkte das Lot auf die in E liegende Gerade G, so ist die durch die Lote bestimmte Ebene eine Normalebene zu G.

c)    Die Fußpunkte der Lote, die von einem Punkte A auf eine Schar von Parallelen in einer Ebene E gefällt werden können, liegen in einer Geraden.

d)    Stehen eine Ebene und eine Gerade auf einer Ebene senkrecht, so sind sie parallel.

e)    Stehen eine Ebene und eine Gerade auf einer Geraden senkrecht, so sind sie parallel.

5.    Zu einer in der Ebene E liegenden Geraden in E eine Parallele zu ziehen, welche von einem Punkte A außerhalb E die Entfernung a besitzt. Unter welche Größe darf a nicht sinken?

6.    a) Den Ort aller Punkte zu bestimmen, welche sowohl von allen Punkten als auch von allen Tangenten eines Kreises gleichweit entfernt sind.

b) Den Ort aller Punkte einer Ebene E zu bestimmen, deren Verbindungslinien mit einem Punkte A außerhalb E

a) mit der Ebene E denselben Neigungswinkel bilden,

ß) die Länge 1 besitzen. Unter welche Größe darf 1 nicht sinken?

7.    Beweise die Sätze:

a)    Errichtet man auf den Ebenen zweier gleichschenkligen Dreiecke mit gemeinschaftlicher Grundlinie in den Spitzen Lote, so schneiden sich diese.

b)    Errichtet man in den Mittelpunkten der umgeschriebenen Kreise der durch 4 Punkte bestimmten Dreiecke auf deren Ebenen Lote, so schneiden sich diese in einem Punkte.

8.    Die Ecken eines Dreiecks sind 8 cm, 11 cm und 14 cm von einer Ebene E entfernt. Wie groß ist der Abstand der Ebene von dem Schwerpunkte des Dreiecks?

9.    Wo liegen alle Punkte, deren Entfernungen von zwei gegebenen Ebenen Ex und E₂

a)    die Länge 1 besitzen?

b)    einander gleich sind?

c)    sich wie p q verhalten?

d)    die Summe s besitzen?

10.    Wo liegen alle Punkte, deren Entfernungen

a)    von zwei sich schneidenden Geraden einander gleich sind?

b)    von zwei parallelen Geraden einander gleich sind?

c)    von drei durch einen Punkt gehenden Geraden einander gleich sind?

d)    von drei nicht in einer Ebene liegenden Geraden einander gleich sind?

11.    a) Wo liegen alle Punkte einer Ebene E, deren Entfernungen von zwei außerhalb E liegenden Punkten gleichgroß sind?

b) Wo liegt in der Ebene E der Punkt, der von drei außerhalb E gegebenen Punkten gleichweit entfernt ist?

12.    a) Durch eine Gerade G der Ebene E eine zweite Ebene zu legen, welche mit der ersten einen Neigungswinkel von der Größe gp besitzt.

b)    Durch eine der Ebene E parallele Gerade G eine Ebene zu legen, welche mit E den Neigungswinkel gp besitzt.

c)    Durch eine Gerade G, welche die gegebene Ebene E schneidet, eine Ebene zu legen, welche mit E den Winkel gp bildet.

12*

Anleitung. Lot auf E von einem Punkte der Geraden G; Ebene durch dies Lot; rechtwinkliges Dreieck in dieser Ebene mit dem spitzen Winkel <p; Kreis; Tangente an diesen Kreis.

d) Die Schnittkante der Ebenen zweier Dreiecke zu bestimmen.

Anleitung. Zweimal je zwei Lote auf die gegebenen Ebenen führen auf zwei Punkte der Schnittkante.

Kapitel 2.

Die körperliche Elke.

Nr. 9. Körperliche Ecken. Reziproke Ecken.

a) Sind sämtliche Schnittlinien von n Ebenen parallel, so begrenzen die Ebenen einen n-seitigen prismatischen Raum. Gehen dagegen sämtliche Schnittlinien von einem Punkte aus, so begrenzen die Ebenenstücke zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Schnittlinien pyramidenartige Räume, welche

Die

als körperliche Ecken bezeichnet werden. Schnittlinien der Ebenen heißen Kanten und ihr Schnittpunkt heißt Scheitel der Ecke. Die Winkel je zweier aufeinanderfolgenden Kanten werden Seiten und die Winkel (Neigungswinkel) benachbarter Seiten werden Winkel der Ecke genannt.

Eine Ecke heißt konvex, wenn in ihr überstumpfe Winkel nicht vorkommen.

Rede sein.

Nur von konvexen Ecken soll im folgenden die

P/\

Fig. 53.

t») Fällt man, um die Winkel einer Ecke zu zeichnen, von einem Punkte (am bequemsten im Innern der Ecke) Lote auf die Seiten (Ebenen!) und von deren Fußpunkten Lote auf die Kanten, so bestimmen die ersten n Lote eine zweite Ecke, auf deren Seiten je eine Kante der ursprünglichen Ecke senkrecht steht. Die Seiten einer jeden der beiden Ecken sind demnach Normalebenen zu den Kanten der anderen. Bezeichnet man sie daher als reziproke Ecken, so führt die wiederholte Anwendung des Satzes Nr. 6, 22 auf

Lehrsatz 25. Die Seiten (Winkel) einer Ecke ergänzen die entsprechenden Winkel (Seiten) einer zu ihr reziproken Ecke zu 180°.

Erklärung. Fallen die Scheitel zweier reziproken Ecken zusamnien, so heißt jede von ihnen die Polarecke der anderen.

Erklärung. Die Verlängerungen der Kanten über den Scheitel hinaus bestimmen die Gegen ecke der ursprünglichen Ecke.

Folgerung. Die Seiten und Winkel der Gegenecke sind gleich den entsprechenden Seiten und Winkeln der ursprünglichen Ecke. Die Richtung aber, in der die gleichen Stücke aufeinanderfolgen, ist bei beiden Ecken verschieden. Daher sind Ecke und Gegenecke symmetrisch und nur unter besonderen Voraussetzungen kongruent.

c) Die Größe der Seiten ist von der Länge der Kanten unabhängig. Nimmt man aber die Kanten einer Ecke als gleichlang an, so kann man sie als Radien einer Kugel betrachten, deren Mittelpunkt mit dem Scheitel der Ecke zusammenfällt.

gfig. 54.

Die Ebenen der Seiten gehen durch den Mittelpunkt und schneiden die Kugelfläche in einer von n Kreisbogen begrenzten Figur. Diese wird Kugelvieleck genannt. Die Winkel des Kugelvielecks werden von den Tangenten in den Ecken des Vielecks an die Kreise gebildet, die sich in diesen Ecken schneiden, und sind daher gleich den Winkeln der Ecke. Die Seiten des Kugelvielecks sind Stücke von Hauptkreisen (weil ihre Ebenen durch den Mittelpunkt gehen), also Bogen, deren Mittelpunktswinkel die Seiten der Ecke sind. Die Sätze, welche für die körperliche Ecke entwickelt werden, gelten deshalb auch für das Kugelvieleck.

Nr. 10. Serken und Winkel einer dreiseitigen Ccke.

Über die dreiseitige Ecke lassen sich mehrere Sätze aussprechen, welche Sätzen über das ebene Dreieck entsprechen.

Es sei die Seite ASB > ASC und > BSC. Addiert man ASC und BSC, indem man ASC über SC hinaus um BSC fortsetzt, und zeichnet, um zu einer Vergleichung zu gelangen, SD = SB, so ist in dem ebenen    .

,—-\ß

v-'A

Dreieck ADB, das durch die Verbindung von Z B mit D entsteht, die Seite AD = AC + CB und somit AD > AB. Durch Vergleichung der Dreiecke ASD und ASB ergibt sich nun:

ASD > <£; ASB, und damit der Satz:

'"'D

Flg 55.

Lehrsatz 26. Die Summe zweier Seiten einer dreiseitigen Ecke ist größer als die dritte.

Folgerung. Die Differenz zweier Seiten einer dreiseitigen Ecke ist kleiner als die dritte.

Um die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln einer dreiseitigen

A.

Ecke kennen zu lernen, zeichnet man zwei ihrer (Neigungs-) Winkel, indem man von einem Punkte A der Kante SA das Lot AD ans die Ebene BSC fällt und durch AD die Normalebenen zu SB und SC legt.

S-.

-L

./

a) Sind die Seiten ASB und ASC einander gleich, so ist AB — AC. Die beiden rechtwinkligen Dreiecke ABD und ACD stimmen daher in zwei Seiten überein, und somit ist ABD = <£ ACD, d. h.

Lehrsatz 27.

gig. 56.

Gleichen Seiten einer dreiseitigen Ecke liegen gleiche Winkel gegenüber, b) Sind umgekehrt die Winkel ABD und ACD einander gleich, so ist AB = AC, also A ASB ^ A ASC, und somit Seite ASB = Seite ASC, d. h.

Lehrsatz 26. Gleichen Winkeln einer dreiseitigen Ecke liegen gleiche Seiten gegenüber.

c) 3ft<£ ASB><£ ASC, so ist auch AB > AC und somit ACD > <£: ABD. Die Schlüsse lassen sich in umgekehrter Reihenfolge wiederholen. Dies führt zu

Lehrsatz 29. In einer dreiseitigen Ecke liegt der größeren von zwei Seiten der größere Winkel und dem größeren von zwei Winkeln die größere Seite gegenüber.

Schneidet man die dreiseitige Ecke durch eine Ebene, so entsteht eine dreiseitige Pyramide. Die Summe der Winkel in den 4 Begrenzungsflächen beträgt 8 R Davon beansprucht die Grundfläche 2 R. Jede Ecke der Grundfläche ist aber Scheitel einer dreiseitigen Ecke, und daher ist jeder Winkel der Grundfläche kleiner als die Summe der beiden mit ihm zusammenstoßenden Winkel der Seitenflächen. Die Summe aller dieser Winkel übersteigt demnach 2 R, und daher können die Seiten der Ecke die Summe 4 R nie erreichen. Das gleiche gilt natürlich auch für die reziproke Ecke; nach Lehrs. 25 ist also die Summe der Winkel einer dreiseitigen Ecke größer als 2 R. Somit ergibt sich:

Lehrsatz 30. In einer dreiseitigen Ecke ist die Summe der Seiten kleiner als 4 R und die Summe der Winkel größer als 2 R.

Zusatz. Der Überschuß zweier Winkel einer dreiseitigen Ecke über den dritten ist kleiner als 2 R.

Ist A'B'C' die reziproke Ecke von ABC, so folgt aus (A'B' + A'C') > B'C' die Beziehung (2 R — y -f 2 R — ß) > (2R-k\ usw.

Durch ganz entsprechende Schlüsse läßt sich zeigen:

Lehrsatz 31. In einer n-seitigen Ecke ist die Summe der Seiten kleiner als 4 R und die Summe der Winkel größer als (2n — 4) R, aber kleiner als 2n R.

Die Bedingungen für die Kongruenz dreiseitiger Ecken entsprechen den Bedingungen für die Kongruenz ebener Dreiecke, wenn die gleichen Stücke in derselben Richtung aufeinanderfolgen. Bei entgegengesetzter Richtung sind die Ecken symmetrisch.

Kapitel 3.

Trigonometrie der dreiseitigen Ecke.

Nr. 11. Dir rechtwinklige dreiseitige Ecke.

Da weder die Winkel noch die Seiten einer dreiseitigen Ecke eine unveränderliche Summe besitzen, so fehlen die Beziehungen, welche die Berechnung des ebenen Dreiecks vereinfachen. Es können mehr als ein rechter Winkel und mehr als eine rechtwinklige Seite vorhanden sein. Spricht man daher von einer rechtwinkligen oder rechtseitigen Ecke, so setzt man nur voraus, daß ein Winkel, bzw. eine Seite gleich 90° ist, ohne über die anderen Seiten und Winkel eine Annahme zu machen.

Es sei bezeichnet die Seite BSC mit a, ASC mit b, ASB mit c, der Winkel an der Kante SA mit «, an SB mit ß und an SC mit y.

Ist nun y ein rechter Winkel und an irgendeinem Punkte B der Kante SB der Neigungswinkel ß gezeichnet, so bestimmt dessen Ebene das

rechtwinklige Dreieck DBF mit dem rechten Winkel /______ / \F

bei F. Es ist daher    7 /

Z>

f\

DF

EF

DF

sin ß — cos ß — DE> tg ß =“ ef*

Da aber auch die Dreiecke SDE, SEF und 81) F rechtwinklig sind, so ist

DE --- SD sin 6, DE = SE tg c, EF -- SF sin a,

DF _ sinh S D sin c    sin c'

und somit

sin ß

COS ß

EP

tga

SE tg c tg c '

iß/

'/

Fig. 67.

DF

tc,ß_ —    -

P S F sin a sin a#

Abschnitt V. Zweiter Teil der Stereometrie. Auf ganz entsprechendem Wege ergibt sich:

184

a.

D\ \

Fig. 58.

sin a    tg b .

sin « - -—t cos a = tg « sin c    tg c °

Anmerkung. Bei der Ableitung dieser Formeln ist eine Ecke benutzt worden, deren , Seiten sämtlich spitz sind. Ist eine der Seiten, |C z. B. b, stumpf, so trifft die Ebene DEF die Verlängerung der Kante SA in D, und in den rechtwinkligen Dreiecken auf den Seiten treten statt c, b und ß die Supplemente 180°— c, 180°— b, bzw. 180°— ß auf. Jeder Vorzeichenwechsel in den Formeln 1. ist daher mit einem zweiten verbunden, und beide heben sich gegenseitig auf.

tga sin b

Da stets tg ß = ist, so folgt aus den abgeleiteten Formeln:

tg b    sin b tg c

sin a sin c tg a '

und daraus nach Entfernung der gleichen Faktoren:

2.

cos c = cos a cos t>,

d. h. der Kosinus der Seite (der Hypotenuse) c ist gleich dem Produkt aus den Kosinus der beiden anderen Seiten (der beiden Katheten).

Ferner ist nach den Formeln 1.

,    p.    tga    sine    sin a cos e

GSr    tgc    sinb    cos a sin b'

.    sin b cos c

ctg CC    ------V .......'

°    cos b sin a

Durch Multiplikation ergibt sich hieraus:

COS² c

ctg a • ctg ß -----

und demnach mit Benutzung von Gl. 2.:

ctg «. ctg ß --- cos c.

cos a cos

3.

Schließlich erhält man

cos« tg b sine    cos c

sinP    tgc sinb    coslV

und dann nach Gl. 2.:

4.

cos a =

cos« i , cos 8 -77-e und cos b = -—• Sill ß    sin a

Gibt man den Seiten und Winkeln unter Auslassung des rechten Winkels y die Reihenfolge a, ß, c, «, b und ersetzt a und b durch ihre Komplemente, so sind die Formeln 1.—4. in der Neperschen Regel enthalten:

Der Kosinus eines jeden Stückes ist gleich dem Produkt aus den Sinus der beiden nicht-benachbarten und auch gleich dem Produkt aus den Kotangenten der beiden benachbarten Stücke.

Nr. 12. Die rechtfertige dreiseitige Ecke.

Die reziproke Ecke einer rechtseitigen Ecke ist rechtwinklig. Sind daher a', b', c', a', ß' und y' die entsprechenden Stücke der reziproken Ecke, so gelten für diese die Formeln in Nr. 11. Nun ist aber

a' -- 180° - a, b' = 180° - ß, «' = 180° - a, ß' = 180° - b,

und die Benutzung dieser Gleichheiten führt leicht zu den Formeln für das rechtseitige Dreieck.

Nr. 13. Dir allgemeine dreiseitige Ecke.

a) Wie in der ebenen Trigonometrie so a werden auch hier die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln durch Verwendung des rechtwinkligen Dreiecks abgeleitet. Man legt zu dem Zwecke durch die Kante SA die Ebene SAD senkrecht zu der Ebene BSC und erhält dadurch zwei rechtwinklige dreiseitige Ecken. Bezeichnet man dann die gemeinschaftliche Kathete ASD mit h (Hohes), so hat man

sin ß = und daraus folgt:

Nk

C\

sinh sin c

,    sinh

Md sm y = -ini,

Fig. 59.

1.

sin ß : sin y = sin b : sin c. (SinuS-Satz.)

Ferner ist nach Gl. 2. in Nr. 11

Ebenso ist

also

und somit

cos c ----- cos h qps BSD

= cos h cos (a — C S D)

= cos h (cos a cos CSD + sin a sin CSD).

cos b ----- cos h cos CSD, cosb cos CSD'

cos c ---- cos a cos b + sin a cos b tg CSD.

cos h =

cos c --- cos a cos Tb + sin a sin 1b cos y,

und entsprechend

2.

cos Tb --- cos c cos a + sin c sin a cos ß, cos a --- cos b cos c + sin b sin c cos «.

(Kosinus-Satz.)

Wendet man den Kosinus-Satz auf die reziproke Ecke an und führt dann die Stücke der ersten Ecke wieder ein, so erhält man die Gleichungen:

—    cos « = cos ß cos y — sin ß sin y cos a,

3.

Nun ist aber

cos y ----

tg CSD

tgb

benutzt man dies, so ergibt sich:

—    cos ß ---- cos y cos a — sin y sin « cos b,

—    cos y = cos u cos ß — sin « sin ß cos c.

Zusatz. Bei der Verwendung der Formeln 2. und 3. führt häufig eine goniometrische Umgestaltung zu einer bequemeren Berechnung. Ist z. B. a aus b, c und a zu bestimmen, so bildet man

cos a = cos b (cos c + sin c tg b cos a) I. tg b cos a --- ctg (p

cos b sin (c -f cp)

und erhält dadurch II.

b) Aus den Gleichungen 2. und 3. lassen sich Formeln für die halben Argumente herleiten, die häufig benutzt werden. Zunächst ist nach den Gleichungen 2.

cos a =

sin cp

also

cos a = cos b cos c + sin b sin c (l — 2 sin² 2^, = cos b cos c + sin b sin c ^2 cos²-^ — ljz cos a = cos (b — c) — 2 sin b sin c sin² ,

----- cos (b + c) + 2 sin b sin c cos² ~r

— b + c

und somit sin² | ----

. a + b — c . a

sin —-sin —

cos²| =

sin b sin c

. a + b-fc .

Bin —    — sin

sin b sin c

Setzt man a + b + c = 2s, so geht hieraus hervor:

₂ « _ sin (s—b) sin (s—c),

*    2    sind sino

4.

..„„2 « _ sin s sin (s—a) _

2    sind sino

a„2 « _sin (s — b) sin (s—c) _

“    sin s sin (s — a)

Geht man von den Gleichungen 3. aus, so ergeben und entwickeln sich ganz entsprechend wie vorher nach Einführung der Bezeichnung cc + ß + y = 2a die Formeln:

sin²

4a.

cos²

es 1^3 c5 jfM c5 1^1

COBffCOSfff— ec)

sm/3 smy

cos (ö— ß) cos (er — y) sin/5 siny COS ö COS — d)

cos (tf — ß) cos (a — y)

( tg² =

c) Werden in gleicher Weise die Formeln für und 2 aufgestellt und mit 4. verbunden, so ergibt sich:

cc . ß sin — 8 in —

2 2

cc ß

sin - cos f

cc . ß sin (s — a) cos — sin &

^4^sin|,

sin c    2

sin (s — b)

sin c

cos

2'

sine

COS

y

2'

1    ₌ ™lsinL.

2    sin c 2

Hieraus folgen durch Addition und Subtraktion nach einigen kleineren Umformungen die Mollweideschen Gleichungen:

. CC -f ß    C

sm cos — --- cos

cc ß • c . a b sin - sm — — sm - - cos

«+p

5.

cc

cos — cos

2~ COS ,

Y

2'

COS

COS

cc — ß . c .a-j-b.y 2 sm 2 = sm”2“ sm2⁻

COS

- = cos

Durch Division führen    diese zu    den Reperschen Analogien:

t    «+/}    cos|(a-b)

g 2    cos-|(a+b)

k — (5_sini(a-b)

sin y(a + b)

tg

tg

cosy(a-/3)

cos

f (« + ft

*©!*>*

ctgf,

tg 2 ⁼

sin j(a-ß) sin ™(a + |3)

c

tg 2*

d) Die 6 Grundaufgaben über die dreiseitige Ecke.

Aufg. 1. Gegeben: a, b und y. Gesucht: c, « und ß.

Ausl. Man berechnet c nach dem Kosinus-Satz und dann a und ß nach dem Sinus-Satz, oder man verwendet zur Bestimmung von « und ß zuerst die Analogien.

Aufg. 2. Gegeben: «, ß und c. Gesucht: a, b und y.

Ausl. Man benutzt zur Berechnung von y die Formel 3 für cos y und bestimmt dann a und b nach dem Sinus-Satz, oder man verwendet zuerst die Analogien zur Berechnung von a und b.

Aufg. 3. Gegeben: a, b und «. Gesucht: c und y.

Ausl. Da auch ß als bekannt gelten kann, so sind die Analogien verwendbar. Oder: Aus

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos « = cos b (cos c + sin c • tg b cos «)

geht für

1.

ctg cp = tg b cos «

die Gleichung hervor: cos a —

cos b sin (c -f <p)

sin cp

oder

cos a cosb

• sin <p.

2.

sin (c + <p) =

Durch c + 9 und <p ist aber c bestimmt.

Aufg. 4. Gegeben: a, ß und a. Gesucht: c und y.

Ausl. Entsprechend wie bei Aufg. 3 lassen sich die Analogien oder die Gleichung — cos « — cos ß cos y — sin ß sin y cos a benutzen.

Aufg. 5. Gegeben: a, b und c. Gesucht: «, ß und y.

Ausl. Nach den Formeln 4.

Aufg. 6. Gegeben: «, ß und y. Gesucht: a, b und c.

Ausl. Nach den Formeln 4a.

Rr. 14. Anwendungen.

Die in Nr. 11—13 entwickelten Formeln können ohne jede Veränderung bei einem Kugeldreieck Verwendung finden, wenn dessen Seiten in Graden ausgedrückt sind (s. Nr. 9). (Die wirkliche Länge der Seiten ist mit dem Halbmesser r der Kugel durch die Gleichung: b (Sogen) = ^ • 2 n r verbunden.)! Die hierher gehörigen Aufgaben werden vorzugsweise der mathematischen Geographie entnommen.

a) Berechnungen auf der Erdoberfläche.

jV

JB

Die Punkte der Erde find durch Länge (X) und Breite (cp) bestimmt. Die Meridianebenen zweier Punkte A (Xlr cpx) und B (lz, <p₂) treffen sich im Nordpol N und ' besitzen den Neigungswinkel Aa — Xv Von N ist A um 90 — cp₁ und B um 90 — Grade entfernt. Legt man daher durch A, B und den ,

Mittelpunkt eine Ebene, so bestimmt diese auf / der Kugel das Dreieck NAB.    I

Aufg. 1. Die Entfernung*) zweier Punkte A und B der Erde aus den Angaben über ihre Lage zu berechnen.

Fig. 60.

Aufl. Man kennt zwei Seiten und den von diesen eingeschlossenen Winkel des Dreiecks NAB und kann daher den Kosinus-Satz benutzen. Auch die Analogien in Verbindung mit dem Sinus-Satz sind verwendbar. Ist der Bogen AB be-

Ä R

rechnet, so folgt für die Entfernung: e = ---Q ■ 40000 km.

Aufg. 2. Den Mittelpunkt 0 eines Kugeldreiecks ABC zu bestimmen, dessen Ecken drei Orte auf der Erde bilden.

Aufl. Alle von A und B gleichweit entfernten Punkte liegen auf dem Bogen, dessen Ebene in der Mitte D von AB auf der Ebene AMB senkrecht steht. (Zwei rechtw. Dreiecke mit gleichen Katheten!) Entsprechend ist die Linie herzustellen, deren Punkte von A und C gleiche Entfernungen m besitzen. Beide Linien treffen sich in 0. Zur Berechnung von r (= 0 A) benutzt man das rechtwinklige Dreieck ODA.

In diesem ist

dY

cos OAD =

tg AD

Da aber

tgr

= tg | ctg r.

Fig. 61.

OAB = <£ OBA, OBC = ^ OCB, ^ OCA = OAC ist, so hat man

^ OAD = « - OAC = «- OCA,

----- a

----- a

-y + OBC,

— 7 -f ß — OAD,

und somit

^ OAD = | (« + ß -y).

Demnach ist

ctg r --- ctg J cos i (« -f ß — y).

*) Die Entfernung ist der Bogen AB auf einem Kreise durch A und B mit dem Mittelpunkte M. (Vgl. Seite 214.)

Zusatz. Die Gleichung für r läßt sich auf zwei Formen bringen, bei denen entweder nur die Winkel oder nur die Seiten des Dreiecks benutzt werden. Nach 4a ist

COS ((? — cc) COS (6 — ß)

— cos 6 cos (0 — y) '

und da cos j (« ~h ß — y) — cos (0 y) ist, so folgt:

ct r = 1 /cos (-~«)vos(s-Kco7(g~y) ° V    — cos 6

^ und ver-

Entwickelt man ferner cos ^ (« + ß — y) ober cos wendet die Gleichungen 5. und 4., so erhält man:

°tg r

]/sin s sin (s — a) sin (s — b) sin (s — c)

2 sin — sin y sin ~

Aufg. 3. Im Innern eines Kugeldreiecks ABC, dessen Ecken drei Orte auf der Erde bilden, den Punkt 0 zu bestimmen, der von den drei Seiten gleichweit entfernt ist.

Stuft Alle von AB und AC gleichweit entfernten Punkte innerhalb des Dreiecks ABC liegen auf dem Bogen, dessen Ebene den Winkel BAC halbiert. (Zwei rechtw. Dreiecke mit gemeinschaftlicher Hypotenuse und zwei gleichen Katheten!) Ebenso liegen alle von BA und BC gleichweit entfernten Punkte auf dem Bogen, dessen Ebene den Winkel ABC halbiert. Beide Linien treffen sich in 0. Zur Berechnung von q (= ÖD) benutzt man das rechtwinklige Dreieck ADO. In diesem ist AD = AE, und da aus AD = AB- BD und AE = AC - CE die Gleichung

AD + AE = AB + AC - (BD + CE) = AB +AC-BC

----- c -f~ b — a

folgt, so ergibt sich:

tge

sin (s — a)

oder tg q = sin (s — a) tg

Zusatz. In gleicher Weise wie bei Aufg. 2 läßt sich der Ausdruck für q so umgestalten, daß entweder nur die Seiten oder nur die Winkel des Dreiecks zur Berechnung von q benutzt werden. Die Entwickelung liefert die Formeln:

tg ?=]/

sin (s — a) sin (s — b) sin (s — c)

sin s

tgc-

]/— cos 6 cos (6 — cc) cos (tf — ß) cos (<j — y) 2 cos — cos £ cos

b) Aufgaben über die Erde als Himmelskörper.

Z s>o;

rE

Vorbemerkungen. Bei der großen Entfernung der Erde von den übrigen Himmelskörpern kann jeder ihrer Punkte als Mittelpunkt der Himmelskugel gelten. Die Schwerlinie, die das Himmelsgewölbe im Zenit des Beobachtungsortes trifft, ist daher als Durchmesser anzusehen. Die Normalebene zur Y Schwerlinie liefert den Horizont. Alle zum /\

Horizont senkrechten Ebenen treffen das //-Himmelsgewölbe in Hauptkreisen (s. Aufg. 1. '

Fig- 62.

Anmerk.) und schneiden sich in der Zenitlinie. Ihre Winkel werden durch Bogen auf demHorizont(kreise) gemessen. Der Südpunkt, ein Schnittpunkt des Meridians mit dem Horizonte, dient als Ausgangspunkt und die Bewegungsrichtung des Uhrzeigers dient als Richtung der Zählung. Die Lage eines Punktes am Himmel ist demnach durch den Winkel seines Zenitkreises mit dem Meridian, sein Azimut A, und seine Entfernung vom Horizont, seine Höhe h, bestimmt. Höhe und Azimut ändern sich mit der Breite y und der Zeit t der Beobachtung; nur der Polarstern P hat stets A = 180" und h = y. (Horizontal - System.)

Die Verbindungslinie des Beobachtungsortes mit dem Polarstern ist die Himmelsachse, und die Normalebene zu dieser liefert den Himmelsäquator. Die Ebene durch die Himmelsachse und einen Stern E bestimmt seinen Deklinationskreis, die Entfernung des Sternes vom Äquator seine Abweichung oder Deklination 8 und der Winkel des Deklinationskreises mit dem Meridian, gemessen auf dem Äquator vom Meridian aus im Sinne der scheinbaren täglichen Bewegung der Sonne, den Stundenwinkel x des Sternes. (Äquatorial-System.)

In der Regel wird statt x die Zeit t angegeben, welche seit der Kulmination des Sternes verflossen ist. Den 24 Stunden des Tages entsprechen 360°. Daher ist x = 15 • t.

Der Stundenwinkel ändert sich mit der Zeit, während 8 nur von der Lage des Sternes abhängig ist und deshalb in Deklinationstafeln gefunden werden kann. Das letztere gilt auch für die gerade Aufsteigung oder Rektaszension «, d. h. für den Winkel des Deklinationskreises eines Sternes mit dem Deklinationskreise des Frühlingspunktes. Der Winkel a wird auf dem Äquator im umgekehrten Sinne des Uhrzeigers gemessen.

Der Stundenwinkel der Sonne, dividiert durch 15, heißt wahre Sonnenzeit (t), und der Stundenwinkel des Frühlingspunktes liefert entsprechend die Sternzeit (9¹).

Es ist stets

t — 15-9⁻ — a.

Azimut und Stundenwinkel werden von 0° bis 360° gezählt. Für die Rechnung empfiehlt es sich jedoch, mit der Zählung nur bis 180° zu gehen und die Winkel zwischen 180” und 360° als negative zu behandeln. Die Zählung derselben beginnt dann gleichfalls beim Meridian (Südpunkt). Bei der Deklination unterscheidet man nördliche und südliche und bringt die letztere als negativ in die Rechnung.

Der Polarstern bildet hiernach mit dem Zenit des Ortes und dem Gestirn E ein Kugeldreieck PZE, in welchem

PZ = 90°— P, PE = 90°— 8, ZE = 90°-h und ohne Berücksichtigung des Vorzeichens

<£EZP= 180”-A, EPZ = t

ist. Somit sind die besprochenen Bestimmungsstücke durch die Gleichungen in Nr. 13 miteinander verbunden.

gewählt:

Aus der Fülle der nunmehr ausführbaren Aufgaben seien die folgenden

Aufg. 4. An einem Tage, an dem die Deklination der Sonne 8 beträgt, ist am Drte N (cp) des Vormittags um t Uhr eine Straße schattenlos. Welche Richtung hat die Straße?

Ausl. Gesucht ist das Azimut. Man kennt ch cp und t = — (12 — t) • 15°, also zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel. Kosinus-Satz!

Aufg. 5. Welche Breite hat ein Ort, an dem um th nachm, die Sonne in der Richtung A die Höhe h besitzt?

Ausl. Gesucht ist <p. Man kennt A, h und r, also zwei Winkel und eine Gegenseite. Analogien!

Aufg. 6. Wann hat am Orte N die Sonne in der Richtung A die Höhe h?

Stuft. Gesucht ist t. Man kennt <p, A und h. Ist 8 gefunden, so liefert die Deklinationstafel das Datum.

Aufg. 7. Wann und wo geht in N die Sonne an einem Tage auf, an dem sie die Deklination 8 besitzt, und wie lang ist dieser Tag?

Ausl. Man kennt cp und 8 und weiß (Aufgang!), daß die Sonne im Horizont steht, also ZE - 90” ist. Ist r berechnet, so liefert 2t die Länge des Tages.

Aufg. 8. Auf einem Schiffe wurde der Sonnenaufgang in der Morgenweite w (= A + 90°) beobachtet, während das Schiffs-

Chronometer th Hamburger Hafenzeit anzeigte und die Deklinationstafel d lieferte. Wo befand fich das Schiff?

Aufl. Man kennt A = w — 90°, d und h = 0. Ist außer cp auch r gefunden, so läßt sich die Länge X des Ortes einfach bestimmen. Wieso?

Aufg. 9. In dem Orte N sei eine Horizontal-Sonnenuhr aufgestellt. Wie groß ist der Winkel x, den die Stundenlinie um th mit dem Meridian bildet?

<P

gig. 63.

Aufl. Wird der Stab, der die Richtung der Erdachse besitzt und daher mit dem Meridian den Winkel cp bildet, von der Sonne aus projiziert, so ist der Winkel der projizierenden Ebene mit der Ebene des Meridians t gleich ,t-15°. Meridian-, Projektions- und projizierende Ebene bilden also eine rechtwinklige dreiseitige Ecke, deren Katheten gleich cp und x sind. Da aber x dem bekannten Winkel t gegenüberliegt, so folgt:

tg x = t und hieraus: tg x = tg r • sin cp.

c) Sonne und Sterne.

Der Mittelpunkt der Sonne beschreibt durch eine von der Bewegung der Himmelskugel unabhängige eigene Bewegung im Laufe des Jahres einen Hauptkreis auf der Himmelskugel, die Ekliptik, welcher den Himmelsäquator in zwei Punkten, dem Frühlings- und Herbst-Äquinoktialpunkte, schneidet und mit ihm den Winkel e = 23° 27', die Schiefe der Ekliptik, bildet. Ein auf der Ebene der Ekliptik im Mittelpunkte der Himmelskugel errichtetes Lot trifft diese in zwei Punkten, den Polen der Ekliptik, und jede durch das Lot gelegte Ebene schneidet das Himmelsgewölbe in einem Hauptkreise, welcher Breitenkreis heißt. Die /

Stellung eines Sternes ist bekannt, wenn A man auf betn durch ihn gehenden Breiten- / \ kreise seine Entfernung von der Ekliptik, seine ,A'"

S/\

Breite ß, und den (im umgekehrten Sinne k des Uhrzeigers gemessenen) Bogen der Ekliptik \ zwischen seinem Breitenkreise und dem Früh- \ lingspunkte, seine Länge X, kennt. (Eklip- \ tisches System.)

Fig. 64.

13

Der nördliche Pol P' der Ekliptik bildet mit dem Polarstern P und dem Stern E ein Kugeldreieck PP'E, in welchem PP'--- s, PE = 90° — d, P'E = 90° — ß, PP'E = 90° — X und 4cP'PE = 90°+ ä ist. Somit sind die Best! üller. Mathematik. II. B. — 4. Aufl.

sin d = sin s sin X und sin a ----- ctg s tg d =

stimmungsstücke des elliptischen und des äquatorialen Systems ebenfalls durch die Gleichungen in Nr. 13 miteinander verbunden.

Aufg. 10. Ans der Länge X die Abweichung d und die gerade Aufsteigung a der Sonne zu berechnen.

Ausl. In dem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten die Bogen X, S und « sind, kennt man die Hypotenuse X und den Winkel s (= 23° 27'), welcher der Abweichung 6 gegenüberliegt. Man erhält daher:

sin X cos s

costf

Zusatz. Da 4 die Größe 23° 27' nicht übersteigen darf und « mit X zugleich demselben Quadranten angehört, so sind S und « durch X und ebenso X und d durch « eindeutig bestimmt. Dagegen gehören zu jedem Werte, von S je zwei Werte von a und X, die sich zu 180° ergänzen.

Aufg. 11. Aus der Länge Xx, der Breite ßx und der Höhe ^ eines Sternes, der Zeit t der Beobachtung und der geraden Aufsteigung a der Sonne die geographische Breite des Beobachtungsortes zu berechnen.

Stuft Aus X, und ßx lassen sich «, und dx für den Stern berechnen. Da der Stundenwinkel tx des Sternes gleich « — at + t ist, so kennt man h,, 4, und tr Zur Bestimmung des Winkels <p können jetzt die Analogien benutzt oder es kann nach dem Zusatz zu Nr. 13 a) verfahren werden.

Aufg. 12. An welcher Stelle des Himmels hat man zur Zeit t an einem Orte mit der geographischen Breite <p einen Stern mit der Länge Xx und der Breite ßx aufzusuchen, wenn die Sonne die Abweichung d besitzt?

Stuft Gesucht sind h, und Av Aus Xt und ßx lassen sich ax und für den Stern berechnen, und durch S ist die gerade Aufsteigung a der Sonne bestimmt. Alan kennt nun <p, und t, (=« — «, +1!) und kann den Kosinus-Satz oder die Analogien benutzen.

Kapitel 4.

Die regelmäßigen Bielslache (Polyeder).

Nr. 15. Sähe über rin beliebiges Vielflsch.

Wird ein prismatischer Raum durch zwei parallele Ebenen begrenzt, so entsteht ein Prisma. Ebenso entsteht eine Pyramide, wenn eine körperliche Ecke durch eine Ebene, und ein Pyramidenstumpf, wenn sie durch zwei

parallele Ebenen begrenzt wird. Die Grundflächen der Körper liegen in den begrenzenden Ebenen.

Gehen die n Schnittlinien der Seitenflächen nicht von einem Punkte aus, ohne sämtlich parallel zu sein, und sind die Seitenflächen Parallelogramme, Trapeze oder auch Dreiecke, so heißt der Körper ein Körperstumpf. Das gemeinsame Merkmal aller dieser Körperformen besteht darin, daß sie nur von ebenen Flächen vollständig begrenzt werden.

Erklärung. Ein von ebenen Flächen vollständig begrenzter Körper wird Vielflach (Polyeder) genannt.

Zusatz. Zur Behandlung kommen nur Vielflache mit konvexen Ecken. (Die Eulerschen Polyeder.)

Die Oberfläche eines Vielflachs besteht also aus Vielecken. Hat man aber ein beliebiges Netz von f' zusammenhängenden Vielecken mit k' Kanten und e' Ecken, und nimmt man ein Vieleck weg, das n Kanten und somit n — 1 Ecken mit den übrigen nicht gemein hat, so bleiben f' — 1 Flächen, k' — n Kanten und e' — (n — 1) Ecken übrig. Nun ist

(f' - 1) + [e' - (n - 1)] - (k' - n) = f' + e' - k',

und daraus folgt, daß die Differenz f' + e' — k' von der Anzahl der in dem Netze vorkommenden Vielecke unabhängig ist, also auch für ein Vieleck dieselbe bleibt. Dann ist aber f' = 1, k' = e' also f' + e' — k’ = 1.

Wird nun bei einem Vielflach, das f Flächen, e Ecken und k Kanten besitzt, eine Fläche weggenommen, so wird dadurch weder die Anzahl der Kanten noch die der Ecken geändert. Das übrigbleibende Netz hat daher f' = f — 1 Vielecke, e Ecken und k Kanten, und da f -j- e — k = 1 ist, so folgt: f + e — k = 2, b. i).

Lehrsatz 32. (Satz von Euler.) Auf einem konvexen Vielflach ist die Anzahl der Begrenzungsflächen und Ecken zusammen um 2 größer als die Anzahl der Kanten.

Jede Kante gehört zu zwei Begrenzungsflächen. Da jedes Vieleck ebensoviel Winkel wie Seiten hat, so ist hiernach die Anzahl w aller Winkel auf der Oberfläche gleich 2 k, d. h.

Lehrsatz 33. Auf einem konvexen Vielflach ist die Anzahl der Winkel zwischen den Kanten doppelt so groß wie die Anzahl der Kanten.

Nr. 16. Dir regrlmatzigen Virlflache.

Erklärung. Ein Vielflach hecht regelmäßig, wenn seine Begrenzungsflächen kongruente regelmäßige Vielecke sind und in gleicher Anzahl an jeder Ecke zusammenstoßen.

13*

Ci

a) Nach Nr. 10 Lehrs. 30 bleibt die Summe der Vieleckswinkel an einer Ecke des Vielflachs kleiner als 4 R, kann sich also zusammensetzen aus höchstens 5 Winkeln eines gleichseitigen Dreiecks oder aus höchstens 3 Winkeln eines

4seitigen oder aus höchstens 3 Winkeln eines 5 feitigen (3 • -| = 3-§-l) regelmäßigen Vielecks. Bei einem regelmäßigen Vielflach kann also eine Ecke nur gebildet werden

1.

2.

3.

4.

5.

aus 3 gleichseitigen Dreiecken,

-    4    -    -    ,

-    3 Quadraten,

-    3 regelmäßigen Fünfecken.

Daraus folgt:

Lehrsatz 34. Es sind nur 5 regelmäßige Vielflache möglich. 1b) Die 5 regelmäßigen Vielflache sind leicht zu bestimmen.

1.    An einer Ecke stoßen 3 Dreiecke zusammen.

Man hat w = 3f, w = 3e und w = 2k. Wird dies für die Eulersche Formel f + e — k = 2 benutzt, so folgt: f + f — |-f = 2 oder

f = 4 («.--- 4, k = 6): Vierflach (Tetraeder).

2.    An einer Ecke stoßen 4 Dreiecke zusammen.

Man hat w = 3f, w = 4e und w = 2k, also f+--f — -|f=2, und

s = 8 (e = 6, k = 12): Achtflach (Oktaeder).

3.    An einer Ecke stoßen 5 Dreiecke zusammen.

Man hat w = 3f, w = 5e und w = 2k, also f + -Jf- |f = 2, und

f = 20 (e = 12, k = 30): Zwanzigflach (Ikosaeder).

4.    An jeder Ecke stoßen 3 Quadrate zusammen, w = 4f, w = 3e und w = 2k,

f =6 (e - 8, k = 12): Würfel (Hexaeder).

hieraus:

hieraus:

Man hat

also

und hieraus

5. An jeder Ecke stoßen 3 Fünfecke zusammen. Man hat

also

w = 5f, w = 3e und w = 2k, f+ |f-|f=2,

f= 12 (e = 20, k = 30): Zwölsflach (Dodekaeder), c) Geht die Regelmäßigkeit eines Vielflachs nur so weit, daß alle Begrenzungsflächen u-seitige Vielecke sind und an jeder Ecke m von ihnen zusammenstoßen, so ist

und hieraus

also

w = n • f, w = m • e und w — 2k, f + -f — |f=2,

m 2    '

und somit

2nf

m — f-(n-2) + 4'

worin m, f und n ganze positive Zahlen sind.

Für n = 3 hat man nun f = und daher sind die 3 Fälle m = 3, f = 4, m = 4, f = 8 und m = 5, 4—20 möglich.

2m

Ist n = 4, so hat man f = f = 6 möglich, da f nicht kleiner als 4 sein darf.

Ist schließlich n = 5, so hat man f = ^4m bindung m = 3, f = 12.

Für n = 6 hätte man bereits f = ^-m, also einen unmöglichen Wert

für f. Somit zeigt sich, daß auch bei dem angegebenen geringeren Grad von Regelmäßigkeit nur 5 Vielflache möglich sind.

4-

—; es ist also nur die Verbindung m= 3,

— 3m

und somit nur die Ver-

Kapitel 5.

Oberfläche und Rauminhalt der Bielflache.

Nr. 17. Vergleichung der Inhalte prismatischer Körper.

Das Cavalierische Prinzip.

a) Zwei Körper sind kongruent, wenn sie in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen und die gleichen Stücke in derselben Richtung aufeinanderfolgen. Demnach ergeben sich leicht die Sätze:

Lehrsatz 35. Ein Quader wird durch jede seiner Diagonalflächen in kongruente dreiseitige Prismen zerlegt.

die Seitenkanten das Parallelflach in zwei kongruente dreiseitige Prismen.

Lehrsatz 36. Stehen die Seitenflächen eines Parallelflachs senkrecht auf der Grundfläche, so zerlegt eine Diagonalfläche durch

..--ix

uv

Fig. 65.

\!

Legt man durch die Ecken A und A' der Kante AA eines beliebigen dreiseitigen Prismas die Normalebenen zu AA', so bestimmen diese mit den Begrenzungsflächen des Prismas zwei kongruente Pyramiden. Führt man die entsprechende Zeichnung bei einem Parallelflach an den Enden einer Kante ans, durch welche die Diagonalfläche gelegt ist, so ergibt sich hiernach und nach Lehrs. 36:

Lehrsatz 37. Ein Parallelflach wird durch jede seiner Diagonalflächen in zwei inhaltsgleiche dreiseitige Prismen zerlegt.

Zwei Parallelflache¹) von gleichen Höhen können zwischen parallele Ebenen gelegt werden. Stehen beide über derselben Grundfläche, so sind zwei Fälle möglich:

a) Zwei Seitenflächen liegen in einer Ebene. Die nicht gemeinschaftlichen dreiseitigen Prismen sind kongruent und demnach die beiden Körper inhaltsgleich.

b) Die Seitenflächen liegen in verschiedenen Ebenen. Verlängert man in der Ebene der Endflächen zwei gegenüberliegende Seiten des einen und die

ihnen nicht parallelen Seiten des anderen Parallelogramms und macht das dadurch entstandene Parallelogramm zur Endfläche eines dritten über der gemeinsamen Grundfläche stehenden Parallelflachs, so ist der Fall a) zweimal vorhanden und somit der dritte Körper sowohl gleich dem

Fig. 66.

Zx

zZZ

XX

7:\"

Z'

Fig. 67.

ersten als auch gleich dem zweiten. Daraus folgt:

Lehrsatz 38. Stehen zwei Parallelflache von gleichen Höhen auf derselben oder auf kongruenten Grundflächen, fo sind sie inhaltsgleich.

/VI

Sind die beiden Grundflächen beliebige Parallelogramme mit gleichen Grundlinien und Höhen, so kann hiernach der zweite Körper durch einen dritten ersetzt werden, der mit dem ersten in der zur Grundlinie gehörigen Seitenfläche übereinstimmt. Sieht man dann diese Seitenflächen als Grundflächen an, so stehen beide Körper über kongruenten Grundflächen und haben gleiche Höhen; sie sind also inhaltsgleich. Somit ist ein Parallelflach gleich einem Quader von gleicher Höhe und Grundfläche, wenn die beiden Grundflächen eine gleiche Seite

besitzen. Ersetzt man aber zwei Parallelflache mit A    j ~7

gleichen Höhen, deren Grundflächen gleich sind,    / \    \ /

ohne in einer Seite übereinzustimmen, durch Quader,

Flg. 68,

so kann man diese so aufstellen, daß sie in einer Kante (KK') zusammenstoßen und die beiden Seitenflächen an dieser Kante in je einer Ebene liegen. Werden dann die beiden anderen Flächenpaare fortgesetzt, bis sie sich schneiden, so entstehen 3 Quader, welche die Diagonalebene durch die gemeinschaftliche Kante nach Lehrs. 35. in je zwei kongruente dreiseitige Prismen zerlegt. Die aneinander gestellten Quader sind daher die Differenzen aus gleichgroßen Prismen und somit selber gleich. (Vgl. den Satz über Ergänzungsparallelogramme.) Daraus ergibt sich:

Lehrsatz 39. Parallelflache mit gleichen Grundflächen und Höhen haben gleichen Rauminhalt.

Folgerung. Der Inhalt eines Parallelflachs ist gleich dem Inhalt eines Quaders von gleicher Grundfläche und Höhe.

Die Verbindung der Sätze 37. und 39. liefert

Lehrsatz 40. Dreiseitige Prismen von gleichen Grundflächen und Höhen sind inhaltsgleich.

Da jedes n-seitige Prisma (entsprechend wie ein n-Eck in ein Dreieck) mit Benutzung dieses Satzes in ein dreiseitiges Prisma verwandelt werden kann, so folgt:

Folgerung. Prismen von gleichen Grundflächen und Höhen sind inhaltsgleich.

Liegen nun zwei Körper zwischen parallelen Ebenen mit dem Abstand h, und teilt man h in n gleiche Teile, so begrenzen die Ebenen, welche durch die Teilpunkte parallel zu den ersten Ebenen gelegt werden, bei jedem Körper n Schichten. Setzt man jetzt voraus, daß in jeder Ebene die beiden Schnittflächen gleichgroß sind und verwandelt sie in Vielecke von hinreichend großer Seitenzahl, so kann bei beliebiger Gestalt der Oberflächen n so groß gewählt werden, daß je zwei entsprechende Schichten von zwei paarweis gleichen Prismen eingeschlossen sind. Der Unterschied dieser Prismen wird um so kleiner, je größer n wird, und verschwindet ganz, wenn n ins Unendliche wächst. Die Körper sind dann aber in eine gleiche Anzahl von paarweis gleichen Schichten zerlegt und somit inhaltsgleich. Dies führt zu

Lehrsatz 41. (Cavalierisches Prinzip.) Liegen zwei Körper zwischen parallelen Ebenen und bilden diese und jede ihnen parallele Ebene mit den Körpern gleiche Schnittflächen, so sind die Körper inhaltsgleich.

h) Besitzen zwei Prismen mit gleichen Grundflächen verschiedene Höhen, und lassen sich diese in nx, bzw. n₂ Stücke von der Länge 1 zerlegen, so können die Prismen durch den Grundflächen parallele Ebenen in nx, bzw. n₂ Prismen von der Höhe 1 zerteilt werden, die sämtlich gleichgroß sind. Es ist daher

Yx : Y₂ = nx: n₂ = nx 1: n₂1 = hx : h₂.

Sind hj und h₂ inkommensurabel und bleibt, wenn 1, der «fl- Teil von llz, auf hx x-mal abgetragen worden ist, ein Rest, der kleiner als 1 ist,

also

so liegt der Wert des Verhältnisses hx: h₂ zwischen ^ und    Man hat

1.

q< h, < —

Die Ebenen, welche durch die Teilpunkte parallel zu den Grundflächen gelegt werden, teilen V₂ in q gleiche Prismen und zerlegen Vx in p Prismen, welche mit den Teilen von Y₂ gleichen Inhalt besitzen, und in ein Restprisma, das kleiner als diese Teile ist. Man hat demnach auch

2.

p r Y, r p + i q < v₂ < q

Die Werte der Verhältnisse h,: h₂ und V,: Ya liegen somit zwischen denselben Grenzen ^ und —^, und da diese durch Vergrößerung von q einander

beliebig nahe gebracht werden können, so ergibt sich schließlich: y = also

3.

Die Gleichung Yx: Y₂ = h,: h₂ bleibt daher auch dann bestehen, wenn hj und h₂ inkommensurabel sind, und daraus folgt:

Lehrsatz 42. Die Inhalte von Prismen mit gleichen Grundflächen verhalten sich wie ihre Höhen.

Prismen mit gleichen Höhen können in Quader mit gleichen Höhen, und deren Grundflächen in Rechtecke mit der Seite a verwandelt werden.

Ist nun P₂ ein Würfel mit der Kante 1 und somit V₂ die Raumeinheit, so folgt hieraus: Y, = Gt -b,, d. h.

Lehrsatz 44. Der Inhalt eines Prismas ist das Produkt aus seiner Grundfläche und Höhe.

V = a*.

Nr. 18. Inhalt und Oberfläche von Prismen und Pyramiden, Zylindern und Regeln, a) Bei einem Würfel mit der Kante a ist 0 -- 6a²,

b) Bei einem Quader mit den Kanten a, b und c ist

V = a • b • c.

Sind dann bj und b₂ die zweiten Seiten dieser Rechtecke, so können die beiden Körper als Quader über h-a mit den Höhen bt und b₂ gelten. Es ist dann

Vj: V₂ == b,: b₂ = abx: ab₂ = 6, : Gr₂,    d. .

Lehrsatz 43. Die Inhalte von Prismen mit gleichen Höhen verhalten sich wie ihre Grundflächen.

Besitzen schließlich die Prismen P, und P₂ die Grundflächen Gr, und 02 und die Höhen h, und h₂, so stellt man ein drittes Prisma Ps mit der Grundfläche Gt und der Höhe h₂ her.

V₁:V₈ = h₁:h2 y₈:Yä = G₁:G Y₁:V₂ = h₁G₁:b₂G₂.

Es ist dann

und

2'

also

0 — 2 (ab + ac + bc),

c) Ein Parallelflach habe die Kanten a, b und c, und die Kantenwinkel seien — (a, b), <p₂ = (a, c) und <p₃ = (b, c). Es ist dann

0 = 2 (ab singt^ + acsin<p₂ + bcsingp₈).

Ist nun (p der Neigungswinkel der Kante c gegen die Grundfläche, so hat man h = c sin <p und somit

V = abe sin cpt singp.

Da aber <p in einer dreiseitigen Ecke mit den Kanten a, b und c die Höhe auf die Seite (ab) ist, so genügt der Sinus des Neigungswinkels der

oder sin cp — sin « sin gp₂. Nun ist, wenn man

sin cp

Bedingung sin cc 5?i +    + 9>₈ = 2s setzt, nach Nr. 13, 4

sinqpg

sin (s — gpj) sin (s — cp₂)

.    9 CC

sinqp, sinq)₂

Sln 2 =

- sin s sin (s — y₈) 2 sin sin cp.

also

sin« =

sin qp, sin cpt

]/sin s sin (s — y.,) sin (s — gp₂) sin (s — gp₈).

Daraus folgt schließlich:

Y---- 2abe]/sinssin(s — (jp,)sin(s — y)z)sin(s — <p₃).

d) Bei einem geraden Zylinder mit dem Halbmesser r der Grundfläche und der Höhe h ist

M = 2jrrh, 0 == 2^r(r + h), V = «r²h.

Zusatz. Bildet die Achse a eines schiefen Kreiszylinders mit der Grundfläche den Winkel cp, so ist h = a sin <p und somit V = % rs a sin cp. Der

Fig. 69.

Mantel ist dagegen mit elementaren Mitteln nicht berechenbar. Denn legt man durch die Endpunkte der Seitenlinie BB' des zur Grundfläche senkrechten Achsenschnitts zwei zu der Achse lotrechte Ebenen, welche die kongruenten Abschnitte ABC und A'B'C bestimmen, so erkennt man zwar, daß der Mantel mit dem Mantel eines geraden Zylinders von der Höhe BB' (a) über der durch die Ebene BC hergestellten Schnittfläche gleiche Größe besitzt, allein der Mantel des geraden Zylinders ließe sich nur berechnen, wenn der Umfang der Schnittfläche bestimmt werden könnte. Da diese aber, wie hier bereits bemerkt werden mag, eine Ellipse ist und der Umfang einer Ellipse mit den Hilfsmitteln der Schulmathematik nicht berechnet werden kann, so ist mit diesen bei einem schiefen Kreiszylinder die Bestimmung des Mantels und der Oberfläche nicht durchführbar.

e) Ein dreiseitiges Prisma kann in drei inhaltsgleiche Pyramiden zerlegt werden. Eine von diesen hat mit dem Prisma die Grundfläche und Höhe gemein, und da eine n-seitige Pyramide in n dreiseitige mit derselben Höhe zerlegt werden kann, so folgt für den Inhalt einer Pyramide mit der Grundfläche G- und der Höhe h:

G • h.

V =

Ist die Pyramide eine gerade mit regelmäßiger Grundfläche und den Kanten a und b; ist ferner r der Halbmesser des umgeschriebenen und q der Halbmesser des eingeschriebenen Kreises für die n-seitige Grundfläche, so ist

r² .    360°

n • — sm ——•

n    a    a² 360°    ₉,    360°

G = n.-p = n-Tctg—= n.p²tg —

Ferner ist n = ]/b²— r² und auch h = "j/b² —    — Q²-

f) Für den geraden Kegel mit der Höhe h, der Seitenlinie s und dem Halbmesser r der Grundfläche bestehen die Formeln:

h² = s² — r²,

M = jt r s, 0 — -rr (r -s- s) Y —

GS| M.

jt r² h.

Nr. 19. Inhalt und Oberfläche von abgestumpften Prismen, Pyramiden und Regeln.

x.

a) Der Inhalt eines schief abgeschnittenen dreiseitigen Prismas kann mit Benutzung der Formel für den Inhalt einer Pyramide berechnet werden, wenn die Länge seiner parallelen Kanten a, b und c und sein zu diesen senkrechter Querschnitt Q bekannt ist.

x<

Ct

Fig. 70.

Es sei c die kleinste der drei Kanten; ihr Abstand von der Ebene (ab) sei mit h und der Abstand der Kanten a und b voneinander sei mit d bezeichnet. Werden durch die Endpunkte der Kante c die Normalebenen zu der Kante a gelegt, so zerfällt das schief abgeschnittene Prisma in ein gerades Prisma mit dem

Inhalt Q• c ober ydhc und in zwei Pyramiden mit der Höhe h, deren Grundflächen zusammen gleich • d — c • d sind. Man erhält daher für den Inhalt V des ganzen Körpers:

V-idhc + ih(i+^-!c'

dh a + b -j- c

I d. h.

2a + c

l>) Bei einem dachförmigen Körper ist b = a, also Y — Q

c) Ein Obelisk mit der Höhe h, dessen Grund- und Deckfläche Rechtecke sind, kann in zwei dachförmige Körper über den Grundflächen a b und a'-b' zerlegt werden. Man hat daher für seinen Rauminhalt:

■y    b • h 2a-f-a/    b'h 2a'-j- a

V = 2    3    ~2

== — [ab + afbz + (a + af) (b + bf)].

Nun ist ™-a- • k-yk- der Inhalt des Rechtecks, in welchem eine der Grund-

—Ti fläche parallele Ebene den Körper in der Höhe ^

schneidet, b. h. der Mittelfläche M des Körpers, und somit ist, wenn a-b mit G und a'b' mit Gr' bezeichnet wird,

V = £ (G + G' + 4M).

Mg. 71.

d) Ergänzt man einen Pyramidenstumpf mit der Höhe h und den parallelen Flächen Gx und Gz zu einer Pyramide und bezeichnet die Höhe der aufgesetzten Pyramide mit x, so ist zunächst

tr_ si b -f-x

v - ₃ — ^2 ₃ ‘

/!

Ml

Sind aber at und zwei entsprechende Seiten von Gt und Gz, so ist

j~M-

und da ist, so folgt: und hieraus:

Wird dies bei dem Ausdruck für V benutzt, so ergibt sich für den Inhalt des Pyramidenstumpfs:

Gt

Fig. 72.

(b + x) : x = ax : a2 (h + x):x=y'G^:y'G₂,

h:x = (y^-j/G7):-|/G'.

V = £h (Gi + G₂ + ]/Gi * Gz), e) Bei einem Kegelstumpf ist G, = % rt², G₂ = n r₂² und daher V = f h (i? + r₂² + ri. r₂).

Ist

also:

die Seitenlinie des aufgesetzten Kegels, so hat man: (s + s') : s'= r, : r₂,

s : s'= (rt - r₂): r₂

oder

hl

ri - r-

Man erhält daher für den Mantel M des Kegelstumpfs, wenn dieser ein gerader ist,

M = 2t(s + s') — ?rr₂ s' = it —

\ri    1z

VM,

r, -r,/

f) Die Formeln für die Inhalte der beiden letzten Körper können noch auf einem zweiten Wege abgeleitet werden.

Bei einem Körperstumpf mit der Höhe h sei die Grundfläche G, ein Ni-Eck und die Endfläche G₂ ein n₂ - Eck. Zerlegt man bei den Seitenflächen die vorkommenden Vierecke durch Diagonalen in Dreiecke, so werden die Seitenflächen von n₁ +- Dreiecken gebildet. Legt man durch die Seiten dieser-Dreiecke, durch die Kanten der Grund- und Endfläche und einen Punkt P im Innern des Körpers Ebenen, so entstehen aus dem Körper

1.    eine Beseitige Pyramide über der Grundfläche;

2.    eine n₂-seitige Pyramide über der Endfläche;

3.    n, + Hz dreiseitige Pyramiden über den Seitenflächen.

Liegt nun P auf der Mittelfläche, d. h. auf dem Vieleck, in welchem eine durch die Mitte von h parallel zu der Grundfläche gelegte Ebene den Körper schneidet, so ist der Inhalt der beiden ersten Pyramiden

gleich ^ (Gt + G₂). Jede der Pyramiden über den Seitenflächen wird durch die

Mittelfläche in eine 4- und eine 3-seitige Pyramide zerlegt, deren Grundflächen int Verhältnis 3: 1 stehen. Für die dreiseitigen Pyramiden können die zugehörigen Dreiecke der Mittelfläche als Grundflächen gelten; sie haben dann

die Höhe ^ und als Gesamtinhalt Demnach ist der Inhalt des ganzen Körpers:

Sn

vX

MX.

Fig. 73.

a>\ er

(Gj + G₂) + ~ M + ^ M oder £ (G, + G₂ + 4M).

Daraus folgt:

Lehrsatz 45. (Newton-Simpsonsche Regel.) Bei einem Körperstumpf mit der Höhe h, der Grundfläche G,, der Endfläche G₂ und der Mittelfläche M ist

V = |(G, + G₂ + 4M).

Bei einem Pyramidenstumpf ist die Mittelfläche den beiden parallelen Flächen ähnlich. Sind daher au a₂ und am drei entsprechende Seiten, so ist

am = -l-+X also

und hiernach

Daraus folgt:

G₁:M = a₁²:(^)²,

G₂: M = a₂²:

^ (Y^ + Y^).

(a, + a₂) j/M

4M = Qt + G₂ + 2 /G, • G₂,

und nun nach der Simpsonschen Regel:

(Gt + G₂ + ]/G₁ • G₂).

Bei einem Kegelstumpf ist M = % (-    Die Anwendung der

Simpsonschen Regel führt daher auf V = j (x r,² + % r₂² + * (rx + r₂)²),

= ^|(ri²+r₂²+r₁-r₂).

Nr. 20. Berechnung der regelmäßigen Vielflsche.

a) Errichtet man in den Mittelpunkten der eingeschriebenen Kreise zweier benachbarten Begrenzungsflächen eines regelmäßigen Vielflachs Lote, so liegen diese in der Normalebene, welche zu der Mitte der gemeinschaftlichen Kante gehört, und schneiden sich in einem Punkte, der mit M bezeichnet werden mag (s. Nr. 6 b). In gleicher Weise trifft ein drittes Lot, das auf einer weiteren, der ersten benachbarten Begrenzungsfläche in dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises errichtet wird, das erste Lot in einem Punkte M'. Da aber die Vierecke, welche bei diesen Zeichnungen in den beiden Normalebeuen entstehen, in zwei Seiten und drei entsprechend liegenden Winkeln übereinstimmen, also kongruent sind, so fällt M' mit M zusammen Ebenso zeigt sich, daß die Lote in den Mittelpunkten auf sämtlichen Begrenzungsflächen durch M gehen und einander gleich sind, daß also das Vielflach eine eingeschriebene Kugel besitzt.

Die Verbindungslinien des Punktes M mit den Kantenmitten sind einander gleich (rechtwinklige Dreiecke mit gleichen Katheten!) und stehen auf den Kanten senkrecht (Normalebene!); M ist daher auch der Mittelpunkt einer Kugel, welche die Kanten in ihren Mitten berührt. Mit Benutzung dieser Verbindungslinien ergibt sich aber leicht, daß schließlich M auch von den Ecken des Vielflachs gleichweit entfernt und der Mittelpunkt einer umgeschriebenen Kugel ist. Hieraus folgt:

Lehrsatz 46. Jedes regelmäßige Bielflach besitzt drei Kugeln mit demselben Mittelpunkt. Die eine von ihnen berührt alle

Flächen in ihren Mittelpunkten, die andere berührt sämtliche Kanten in ihren Mitten und die dritte geht durch alle Ecken des Vielflachs.

Ist q der Halbmesser der eingeschriebenen Kugel, so läßt sich das Vielflach in Pyramiden mit der Höhe p zerlegen und dann die Gleichung V= 0 p

bequem ableiten. Durch p und den Halbmesser pa des Kreises, der einer Begrenzungsfläche eingeschrieben werden kann, ist aber der Halbmesser pk der die Kanten berührenden Kugel bestimmt, und mit Benutzung von pk und a (Kante!) läßt sich der Halbmesser r der umgeschriebenen Kugel berechnen. Es ergibt sich:    __

Zusatz. Es ist p    pk — iV + pa² und r =]/pk² + (f)²-

b) Das regelmäßige Vierflach (Tetraeder) ist eine gerade dreiseitige Pyramide, deren Kanten gleichgroß sind. Ist daher a die Länge der Kante, so hat man    as    a    _

G =    =    0=aV3, T =

Ferner ergibt sich, da pa =-|/3 ist, für die Halbmesser der drei Kugeln:

^ /6, Pk = f l/2 unb r = j ]/6.

Die Höhe des Tetraeders ist gemeinschaftliche Kathete zweier rechtwinkligen Dreiecke mit den Hypotenusen a und ^]/3. Das erste dieser Dreiecke hat als

zweite Kathete q/3 und enthält den Neigungswinkel ip einer Kante gegen

eine Fläche. Das zweite dagegen hat als zweite Kathete j q/3 und enthält den Neigungswinkel y zweier Flächen. Man hat demnach:

also <p -- 70° 31, 7', = ~ q/3, also ch -- 54° 44,1'.

COS (f =

cos ip =    q/3 : a

c)    Das regelmäßige Sechsflach mit der Kante a ist ein Würfel mit der Oberfläche 0 = 6a² und dem Rauminhalt V = a³. Die drei Kugeln besitzen die

Halbmesser p = ^ pk = -|"|/2 und r --- ^q/3.

d)    Das regelmäßige Achtflach mit der Kante a ist eine Doppelpyramide über der Grundfläche a². Bei jeder der Pyramiden ist

b = }/a² — Q ]/2)‘ =    y2,

und somit hat man

Ü--2a²q/3, V= 2 a² |/2 = |/2.

Ferner ergibt sich für die Halbmesser der drei Kugeln:

| und r = f/2.

Der Neigungswinkel <p zweier Flächen ist doppelt so groß wie der Winkel q>u den eine von ihnen mit der gemeinschaftlichen quadratischen Grundfläche bildet, und da

Pk =

ist, so folgt:

cos q>t = f • 11/3 = J /3, also    = 54° 44', 1

y = 109° 28, 2'.

e) Das regelmäßige Zwölfflach wird von 12 Fünfecken begrenzt, und da der Inhalt eines regelmäßigen Fünfecks mit der Seite a gleich 5 • ^ ctg 36⁰

oder ö-^jA+f^-*) ist, so hat

man

0 --- 3a²|/25 + 10/5 = 20,65a².

Zur Bestimmung des Rauminhalts ist eine Zerlegung des Körpers erforderlich. Zieht man aber in zwei Fünfecken mit der gemeinsamen

Kante AB die dieser Kante gegenüberliegenden Diagonalen und in den anderen Fünfecken, die in A und B anstoßen, die benachbarten Diagonalen, so entsteht ein Quadrat, und da diese Zeichnung 6 mal so wiederholt werden kann, daß je zwei dieser Quadrate aufeinander senkrecht stehen, so wird dadurch der Körper in einen Würfel und 6 untereinander kongruente dachförmige Körper zerlegt. Die Kante des Würfels ist die Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks mit der Seite a, also gleich 2 a cos 36°, und somit der Rauminhalt des Würfels

Fig. 74.

*) Sind a₆ und a₁₀ die Seiten eines regelmäßigen Fünfecks, bzw. Zehnecks in entern Kreise mit dem Halbmesser 1, so ist a₁₀ ² = 2 (1 —

<?₆) oder (¹⁵₂---) = 2 (1 -q₅), und hieraus folgt: ßz = i (l +1/5"). Da aber ^ a₅j =1 -e₃s ist, so ergibt sich: a„=l/l0-2 ]/5.

=    (1 + 1/5) und ctg 36 °=

Somit ist

sin 36 ⁰

= iy'l0-2>/5,

cos 36 ⁰

V,= 8a³cos³36°.

1.

Die Höhe des dachförmigen Körpers ist Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse a sin 36" und der

zweiten Kathete

fl

JB

2 a cos 36 ^— a    _ .

--; es ist daher

a²

h² = a² sin² 36° — — (2 cos 36° — 1)

= ~ (4 sin² 36° -4 cos² 36°

+ 4 cos 36° — 1),

also

Fig. 75.

4h² = a²[4(sin²36°- cos²36°) - 4 (1 - cos 36°) + 3], = a² (3 - 4 sin 18° - 8 sin²18°).

Da aber sin 18°== j(*j/5 — 1) ist*), so folgt:

und somit:

4h²=a²[3-/5 + 1 -1(6-2/5)], = a²,

Die Mittelfläche des dachförmigen Körpers ist ein Rechteck mit den Seiten a cos 36° und y(2a cos 36" 4 a), seine Grundfläche ist 4 a² cos² 36° und seine Endfläche ist gleich 0. Sein Inhalt V₂ ist daher nach der Simpson-schen Regel gleich ^ [4 a² cos²36° + 2 a cos 36⁰ (2 a cos 36° + a)], und daraus folgt:

a³

V₂ = y (4 cos² 36° + cos 36").

Demnach ist der Inhalt des ganzen Zwölfflachs

V- Vj + 6 V₂ = a³ (8 cos⁸36° + 4 cos²36° 4 cos 36°).

Da aber cos 36"---1 — 2 sin²18"== ~(/5 + l) ist, so ergibt sich hieraus: V=-^(l5 + 7/5) = 7,663 a³.

Der Neigungswinkel <p zweier benachbarten Flächen ist jetzt leicht zu bestiminen. Es ist

acos 36°    2 a cos 36°

h

und daraus ergibt sich: tg <p = — 2, also <f — 116° 33,9'.

*) Es ist sin 18° =

und a₁₀ = -r(j/5-l).

Legt man durch die 5 Kanten, die in den Begrenzungsflächen der Ecke A, E bzw. A' gegenüberliegen, die durch sie bestimmten Ebenen, so wird der Körper in zwei 5-seitige Pyramiden ABCDEF und A'B'C'D'E'F' unb in einen Körtzerstumpf mit 10 dreiseitigen Seitenflächen zerlegt. Die Grundflächen der drei Teile sind kongruente regelmäßige 5-Ecke mit der Seite a und haben den Inhalt

f) Das regelmäßige Zwanzigflach ist von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt und hat als Oberfläche 0 = 5a²>/3.

U>] p

Für die Halbmesser der drei Kugeln erhält man, da q* gleich ctg 36° oder

■|A+|VE Q = ^VmTnöyE,

(>k =

~ (3 + t/5) und r = |Yl8 + 6 /5.

Gj = Gr₂ = ?-*- ctg 36»-- 1,7205a².

Die Mittelfläche des Körperstumpfs ist ein regelmäßiges 10-Eck mit der Seite und daraus folgt:

ctg 18°-- 7,6942a².

A’

Fig. 76.

4M =

5a⁸

Die Höhe der Pyramiden bildet mit a und dem Halbmesser r des dem 5-Eck umgeschriebenen Kreises ein rechtwinkliges Dreieck; daher ist hi² = a² — r² = a² — (0,8506a)² und somit h, = 0,5257a. Zeichnet man ferner die Höhe des Körperstumpfs durch das Lot CL, so liegt L auf dem Kreise um das 5-Eck B'C'D'E'F', und daher ist LE' eine Seite des eingeschriebenen Zehnecks, also gleich 0,5257 a. Demnach ist

h₂ = i/a²-0,5257²a² -- 0,8506 a.

Somit ist der Rauminhalt der beiden Pyramiden

und des Körperstumpfs also der Inhalt des Zwanzigflachs V — 2,18 a³.

Y₁ -- 0,6016a3 V₂ -- 1,5785a³,

Zeichnet man die Diagonale CE und die Ebene ACE, so entsteht eine dreiseitige Ecke mit den Seiten 60», 60» und 108“ (CE ist auch Diagonale des Fünfecks ACF'B'E!). In dieser Ecke liegt der Neigungswinkel <p der Seite 108» (CAE) gegenüber. Nach dem Kosinus-Satz ist aber

cos 108»= cos² 60» + sin² 60° cos y, und hieraus ergibt sich: y — 138» 11,5'.

Nr. 20. Berechnung der regelmäßigen Vielflache.

211

Ein zweites Verfahren zur Berechnung des Rauminhalts stützt sich auf die Formel V = -^-Op. Die Halbmesser p und r bilden mit dem Halbmesser

des Kreises, der einem Begrenzungsdreieck umgeschrieben werden kann, ein rechtwinkliges Dreieck, und daher ist zunächst

1.

i-²= / + (f//) - P²+ y-

Da aber AA' ein Durchmesser und AG eine Sehne der umgeschriebenen Kugel ist und AG mit AH, der Projektion der Kante AG auf AA', und CH, dem Halbmesser r₅ des dem Fünfeck BCDBF umgeschriebenen Kreises, einem rechtwinkligen Dreieck angehört, so hat man

a²=2r-AH = 2r/a²—r₅²=2r]/a²—g(lO + 2/5),

und hieraus folgt:

r = jY 10 + 2/5.

p²-Z (10 g-2/5)-

(, = ^/42 + 18/^

Setzt man diesen Ausdruck mit 0 = 5a²/3 zugleich in die Formel V = j Op ein, so erhält man:

V = |5a²/3-^]/42 + 18/5 = ^/l4 + 6 oder:

V=^(3+/5).

Ferner folgt aus der Gleichung 3, da p» gleich |-/3 ist,

ui (⁴²+¹⁸    +h

= ~(54+ 18/5) = g (6 + 2/5) = £ (l + /5)³,

?k= + (l + /5).

2.

Somit ist

a⁸

also

3.

4.

Pk

und somit:

5.

a⁸

Kapitel 6.

¹

Die Beweise der Sätze 38.-40. sind überflüssig, wenn das Cavalierische Prinzip als Grundsatz vorangestellt wird.

Die Kugel.

Nr. 21. Kreise auf der Kugel.

Wird ein Halbkreis um feinen Durchmesser gedreht, so beschreibt er eine Kugelfläche. Der Mittelpunkt des gedrehten Kreises ist zugleich der Mittelpunkt der Kugel, und die Verbindungslinie des Mittelpunktes mit einem Punkte der Kugelfläche wird auch hier Radius genannt.

a) Aus dieser Entstehungsweise der Kugelfläche folgt, daß jeder Normalschnitt der Achse ein Kreis ist. Da aber jeder Durchmesser als Drehungsachse gelten kann, so ergibt sich:

Lehrsatz 47. Eine Kugelfläche wird durch jede schneidende Ebene in einem Kreise geschnitten.

Ist q der Halbmesser eines Schnittkreises und d der Abstand feiner Fläche von dem Mittelpunkte der Kugel, so besteht die Gleichung: q* = r² — d², und ans dieser folgt, daß ein Schnittkreis um so größer ist, je näher seine Fläche dem Mittelpunkte der Kugel liegt. Geht die Ebene durch den Mittelpunkt, so ist d = 0 und q erreicht seine größte Länge.

Erklärung. Geht die Ebene eines Schnittkreises durch den Mittelpunkt der Kugel, so heißt der Kreis Hauptkreis (Großkreis). Geht sie nicht durch den Mittelpunkt, so wird der Kreis als Nebenkreis bezeichnet.

Folgerung. Alle Hauptkreise einer Kugel sind einander gleich, und auch alle Nebenkreise, deren Ebenen von dem Mittelpunkte gleichweit entfernt sind, sind gleich groß.

Die Schnittlinie der Ebenen zweier Hauptkreise ist ein Durchmesser Bezeichnet man die Endpunkte eines Durchmessers als Gegen punkte der Kugel, so hat mau hiernach den Satz:

Lehrsatz 48. Zwei Hauptkreise einer Kugelfläche schneiden sich in Gegenpunkteu der Kugel und halbieren sich in diesen.

Zusah 1. Durch zwei Gegenpunkte einer Kugel lassen sich unbegrenzt viele Hauptkreise legen. (Meridiane auf der Erd- und Himmelskugel).

Zusah 2. Durch zwei Punkte der Kugelfläche, die nicht Gegenpunkte sind, läßt sich nur ein Hanptkreis legen.

b) Legt man durch zwei Punkte A und B einer Kugelfläche, die nicht Gegenpunkte sind, den Hanptkreis und irgendeinen Nebenkreis, so ist AB eine gemeinschaftliche Sehne der beiden Kreise. Da der Halbmesser des Nebenkreises r' kleiner als der Halbmesser r des Hanptkreises ist, so gehört zu der Sehne AB in diesem ein kleinerer Mittelpunktswinkel als in dem Nebenkreise. Zeichnet man daher die Dreiecke in einer Ebene so, daß ihre Mittelpunkte M und M' auf derselben Seite der gemeinsamen Sehne AB liegen, und zieht AC bzw. AC', so erkennt man leicht, daß der Winkel ACM größer als der Winkel AC'M und folglich die Höhe DC des Kreisabschnitts ACB kleiner als die Höhe DC' des Kreisabschnitts AC'B ist. Der Punkt C liegt also vor C', und daher ist der Bogen ACB kleiner als der Bogen AC'B. Hieraus ergibt sich der Satz:

7*/

■&\c‘

gifl 77.

Lehrsatz 49. Ter kleinere Bogen des Hauptkreises, der durch zwei beliebige Punkte einer Kugelfläche geht, ist kleiner als der Bogen irgendeines durch die Punkte gelegten Nebenkreises.

Bezeichnet man den kleineren Bogen des Hauptkreises zwischen zwei Punkten der Kugelfläche als ihre Entfernung auf der Kugel, so folgt hieraus, daß die Entfernung zweier Punkte der Kugelfläche durch den kleineren Bogen des zu ihnen gehörigen Hauptkreises gemessen wird (Geodätische Entfernung zweier Punkte der Erde!)

e) Erklärung. Die Endpunkte des Durchmessers, der auf der Ebene eines Hauptkreises senkrecht steht, heißen Pole dieses Kreises.

Da die Normalebene eines Durchmessers, die durch seine Mitte geht, sämtliche Halbkreise (Meridiane) halbiert, deren Ebenen durch den Durchmesser gehen, so ergibt sich:

Lehrsatz 50, Alle Punkte eines Hauptkreises sind von jedem seiner Pole gleichweit entfernt.

Bezeichnet man zwei Hauptkreise als senkrecht aufeinander, wenn ihre Ebenen auseinander senkrecht stehen, und beachtet man, daß auf der Ebene des Hauptkreises, die auf einem Durchmesser senkrecht steht, alle durch diesen Durchmesser gehenden Ebenen senkrecht stehen, so gelangt man zu dem Satze:

Lehrsatz 51. Geht ein Hauptkreis durch einen Pol eines anderen Hauptkreises, so steht er auf diesem senkrecht

Die Meridiane auf der Erde stehen sämtlich auf dem Äquator senkrecht. Ebenso stehen die Kreise durch Zenit und Nadir eines Ortes auf dem Horizont, und die Kreise, deren Ebenen durch die Himmelsachse gehen, aus dem Himmelsäquator senkrecht. S. Nr. 14b) und c).

Der Lehrsatz 51 kann umgekehrt werden.

Lehrsatz 52. Stehen zwei Hauptkreise aufeinander senkrecht, so geht jeder von ihnen durch die Pole des anderen.

Folgerung. Stehen zwei Hauptkreise auf einem dritten senkrecht, so schneiden sie sich in seinen Polen. (Äquator und Meridiane).

Die Pole zweier Hauptkreise liegen auf dem Hauptkreise, auf dem die ersten beiden senkrecht stehen. Wird daher der Winkel zweier Hauptkreise durch den zugehörigen Bogen dieses Kreises gemessen, so folgt:

Lehrsatz 53. Der (kleinere) Winkel zweier Hauptkreise ist der Entfernung ihrer Pole gleich oder ergänzt sie zu 180°.

d) Alle Punkte eines Nebenkreises, dessen Ebene auf einem Durchmesser senkrecht steht, sind von den Endpunkten des Durchmessers gleichweit entfernt. (Es läßt sich leicht zeigen, daß die Bogen zu gleichen Mittelpunktswinkeln in Kreisen mit gleichen Halbmessern gehören). Man kann daher die Entfernung der Punkte eines Nebenkreises von den Endpunkten des auf seiner Ebene senkrechten Durchmessers als (Halbmesser des Nebenkreises auf der Kugel oder) sphärischen Halbmesser bezeichnen. Wird die Entfernung zweier parallelen Kreise auf der Kugel (zweier Kreise mit parallelen Ebenen) durch den zwischen ihnen liegenden Bogen eines Hauptkreises gemessen der durch ihre sphärischen Mittelpunkte geht, so folgt:

Die Entfernung zweier parallelen Kreise auf einer Kugel ist gleich der Differenz ihrer entsprechenden sphärischen Halbmesser.

Anwendung auf Parallel- ober Breitenkreise auf der Erde.

e) Wendet man den Satz, daß die Tangenten von einem Punkte an einen Kreis einander gleich sind, auf die Tangenten an, die man von einem auf der Verlängerung eines Durchmessers AB liegenden Punkte P des Raumes aus an die Kreise legen kann, die sich in A und B schneiden, so erkennt man leicht, daß alle diese Tangenten einander gleich sind. Da bei jedem einzelnen Kreise die Berührungssehne auf dem gemeinsamen Durchmesser AB senkrecht steht, so folgt hieraus, daß die Berührungspunkte in einer auf AB senkrechten Ebene liegen, und daß die Tangenten Seitenlinien eines geraden Kegels sind. Man hat daher den Satz:

Eine Kugel wird von jedem (außerhalb der Kugel gelegenen) Punkte P aus durch den Mantel eines Kegels berührt, dessen Spitze der Punkt P ist. Der Grundkreis des Kegels enthält sämtliche Berührungspunkte, und die Achse des Kegels geht durch den Mittelpunkt der Kugel.

Man bezeichnet diesen Kegel als den Tangentialkegel und seinen Grundkreis als den Berührungskreis des Punktes P.

Liegt der Punkt P auf der Kugel, so gehören sämtliche Tangenten der in dem Punkte P errichteten Normalebene des Durchmessers PM an. Bezeichnet man diese als Tangrntialebene, so folgt der dem Satze über eine Tangente und ihren Berührungsradius entsprechende Satz, daß die Tangentialebene auf dem Berührungsradius senkrecht steht.

Nr. 22. Zwrirck und Dreieck auf der Kugel.

Erklärung 1. Zwei Hauptkreise zerlegen die Kugelfläche in 4 Teile, welche Zweiecke genannt werden. Seiten eines Zweiecks heißen die begrenzenden Halbkreise. Als Winkel des Zweiecks wird der Neigungswinkel der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Hauptkreise liegen.

Folgerungen. Zwei gegenüberliegende Zweiecke sind kongruent. — Zwei nebeneinanderliegende Zweiecke ergänzen sich zur halben Kugelfläche. Bezeichnet 0 den Inhalt der Kugelfläche und « den Winkel des Zweiecks, so ist die

Fläche des Zweiecks gleich ^0

Erklärung 2. Werden zwei Hauptkreise durch einen dritten geschnitten, so wird die Kugelfläche in 8 Teile zerlegt, welche Kugeldreiecke genannt werden.

Zusatz. Zu jedem Kugeldreieck gehören

ein Gegendreieck, dessen Ecken die Gegenpunkte seiner Ecken sind; drei Nebendreiecke, die mit ihm eine Seite gemeinsam besitzen, und drei Scheiteldreiecke, die mit ihm nur eine Ecke gemeinschaftlich haben.

Folgerungen, i. Gegen.dreiecke sind symmetrisch. 2. Nebendreiecke stimmen in einer Seite und deren Gegenwinkel überein, und ihre Summe verhält sich zu der Kugelfläche wie dieser Winkel zu 360°. 3. Scheiteldreiecke stimmen in einem Winkel und dessen Gegenseite überein.

Die Sätze über Seiten und Winkel eines Kugeldreiecks und seine Berechnung stimmen mit dem überein, was in den Kapiteln 2 und 3 über die dreiseitige Ecke abgeleitet worden ist

In symmetrischen Kugeldreiecken sind entsprechend gezogene Linien gleichgroß, also auch die Linien, welche die Schnittpunkte der Mittellote mit den Ecken verbinden. Zwei symmetrische Dreiecke werden also durch diese Linien in je 3 paarweis kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegt, und daraus folgt:

Lehrsatz 54. Gegendreiecke einer Kugelfläche sind gleichgroß.

Die halbe Kugelfläche, welche der zu AC gehörige Hauptkreis herstellt, ist die Summe aus den Dreiecken ABC, ABC', BA'C und BA'C'. Von diesen bilden

ABC und ABC' sowie ABC und BA'C

ein Zweieck, während ABC auch mit B'AC, dem A*

Gegendreieck von BA'C', einem Zweieck angehört.

Man hat daher (s. Folgerung 2):

cy

zv⁴

Flg. 78.

£<

d @a

Realgymnasium*

v~\ ~~— x> J

(ABC + ABC') :0 = <£C:4R, (ABC + BA'C) : 0 = <)c A : 4R, (ABC + BA'C'): 0 = «fc B : 4R.

Daraus folgt durch Addition:

(2 ABC + io):30 = i(A + B + C): 12 R,

oder

(4 ABC + 0):0 = ^:(A + B + C):2R,

also:

und hieraus schließlich:

4 ABC : 0 = [<£ (A + B + C) - 2R]: 2R

ABC ; 0 - [<£ (A 4- B + C) — 2R] : 8R,

Lehrsatz 55. Der Inhalt eines Kugeldreiecks verhält sich zur Kugelfläche wie der Überschuß seiner Winkel über 2R (sein sphärischer Exzeß) zu 8R.

Folgerung 1. Dreiecke auf einer Kugel oder auf Kugeln mit gleichen Halbmessern sind gleichgroß, wenn sie eine gleiche Winkelsumme besitzen.

Folgerung 2. Da die Kugelfläche die Größe 4jrr² besitzt, so hat man für den Inhalt J eines Kugeldreiecks die Proportion

J : 4jrr²= (a + ß + y — 2R) : 8R,

und aus dieser ergibt sich:

‘2

J — -jnr (« + ß + y — 2R).

Nr. 23. Rappe, Zone und Rugelflache.

Erklärung 1. Ein Kreis auf einer Kugel teilt die Oberfläche in zwei Teile, von denen jeder Kappe (Haube, Kalotte) genannt wird. Die Fläche des Begrenzungskreises heißt Grundfläche der beiden Kappen. Die Lote von den beiden Polen, den sphärischen Mittelpunkten der Kappen, auf die Flüche des Grundkreises sind die Höhen der Kappen. — Der Teil der Kugel, der von einer Kappe und ihrer Grundfläche begrenzt wird, heißt Kugelabschnitt (Kugelsegment). Steht über der Grundfläche noch ein Kegel, dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel ist, so heißt der Körper Kugelausschnitt (Kugelsektor).

Erklärung 2. Zwei Kreise auf einer Kugel, deren Ebenen parallel sind, begrenzen einen Teil der Kugelfläche, welcher Zone genannt wird. Der zwischen den Ebenen liegende Körper heißt Kugelschicht. Der Abstand der beiden Ebenen wird als Höhe der Zone, bzw. der Schicht bezeichnet.

Folgerung 1. Eine Zone kann als Unterschied zweier Kappen angesehen

werden.

Folgerung 2. Eine Kappe entsteht aus einer Zone, wenn eine der parallelen Ebenen zur Tangential-Ebene wird.

Folgerung 3. Die Kugelfläche kann als eine Kappe mit der Höhe 2r angesehen werden.

D'

Bei der Entstehung der Kugelfläche durch Drehung eines Kreises um einen Durchmesser be- a/^LSi— schreibt ein Bogen AB dieses Kreises eine Zone piß. und die zugehörige Sehne AB einen Kegelstumpf. »/HA. - f b'

Sind nun die Seitenlinien mit s und die Halb- [ ^ messer der Begrenzungskreise mit und q₂ bezeichnet, so folgt für den Mantel des Kegelstumpfs:

M = i« Oi + ?₂)-

gig. 79.

Das Produkt s 0, + Cs) kann aber durch die Höhe des Kegelstumpfs (h') und den Abstand d der Sehne AB vom Mittelpunkte 0 der Kugel ausgedrückt werden. Zieht man durch die Mitte D von AB die Parallele DD' zu AA', so ist DD'

= y Oi + pz)- Ferner ist A ODD' ~ A BAC, und daraus folgt: d : s = j Oi + Ps): h'z also: 0, + (>₂) s = 2 dh'.

M = 2 Ttdh'.

Man hat daher:

Wird h' unendlich klein, so wird d = r. Der Kegelmantel geht dann in eine Zone von unendlich kleiner Höhe über, und der Inhalt Z' dieser Zone beträgt 2 srrll'.

Nun kann man sich eine jede Zone und eine jede Kappe mit der Höhe h in eine unbegrenzt große Anzahl aufeinanderfolgender Zonen zerlegt denken, deren Höhen unendlich klein sind, aber die Summe h besitzen. Man erhält dann für den Inhalt der Zone: Z = 2 2itrh' oder = 2 -rrLll', also Z = 2jrrli, und ebenso für den Inhalt der Kappe: K = 2;rrh.

Hieraus folgt:

Lehrsatz 56. Auf einer Kugel sind eine Kappe und eine Zone von der Höhe h gleichgroß und besitzen den Inhalt

Z = K = 2jtrh.

Folgerung 1. Jede Zone (Kappe) auf einer Kugel mit dem Halbmesser r ist gleich dem Mantel eines Zylinders von gleicher Höhe, dessen Grundfläche den Halbmesser r besitzt.

Folgerung 2. Zonen (Kappen) auf derselben Kugel oder auf Kugeln mit gleichen Halbmessern verhalten sich wie ihre Höhen.

Die Kappe geht in die Kugelfläche über, wenn h = 2r wird. Man erhält daher:

Lehrsatz 57. Die Kugelfläche hat den Inhalt 0 = 4irr².

Folgerung. Eine Kugelfläche ist 4mal so groß wie der Inhalt eines ihrer Hauptkreise.

Nr. 24. Inhalt der Kugel, des Ausschnitts, des Abschnitts

und der Schicht.

a)    Eine Kugel läßt sich als Summe von Pyramiden ansehen, deren gemeinsame Spitze der Mittelpunkt der Kugel ist, und deren Grundflächen unendlich klein sind, aber die Kugelfläche als Summe besitzen. Diese Pyramiden haben die Höhe r, und daher besteht der Satz:

Lehrsatz 58. Der Rauminhalt einer Kugel ist das Produkt aus ihrer Oberfläche und dem dritten Teile ihres Halbmessers.

v _ 2_iE

ist, so ergibt sich:

Folgerung. Da

0 = 4 irr²

V = ‘»r*.

Stehen ein Zylinder und ein Kegel mit der Höhe r auf Grundflächen mit dem Halbmesser r, so sind ihre Inhalte irr⁸ bzw. j irr³. Da der Inhalt der Halbkugel j irr³ beträgt, so folgt:

Lehrsatz 59. (Satz des Archimedes.) Stehen ein Zylinder, eine Halbkugel und ein Kegel von gleichen Höhen über gleichen Grundflächen, so verhalten sich ihre Inhalte wie 3:2:1.

b)    Ein Kugelausschnitt kann in gleicher Weise wie die Kugel als Pyramiden-Summe, deren Grundflächen die zugehörige Kappe bilden, angesehen werden. Man hat daher

Lehrsatz 60. Der Rauminhalt eines Kugelausschnitts beträgt itr²h.

c) Ein Kugelabschnitt entsteht, wenn der zu dem Ausschnitt gehörige Kegel abgezogen wird. Nun ist die Grundfläche dieses Kegels gleich

irh (2r —h), seine Höhe gleich r —h und sein Rauminhalt -|irh(2r — h)(r —h). Der Kugelabschnitt hat also den Inhalt

~ irr²h — ^ irh (2r — h) (r — h) oder j ith² (3r — h).

Dies führt auf

Lehrsatz 61. Der Rauminhalt eines Kugelabschnitts beträgt

Irrh² (3 r - h).

d) Eine Kugelschicht mit der Höhe h und den Halbmessern p, und p₂ der Begrenzungskreise kann als Unterschied zweier Kugelabschnitte mit den Höhen (h + x) und x angesehen werden und hat demnach den Rauminhalt

V — j n (h + x)² (3 r — h — x) — n x² (3 r — x),

= ^(6rh-2h² + 12 r x — 6 h x— 6x²).

(V = (h + x) [2 r — (h + x)] = 2 r (h •+ x) — (h + x)2 p₂² = x (2 r — x) = 2 r x — x²,

Pl² + p₂² - 2rh - h² + 4rx - 2hx - 2x2 und somit 3p₁² + 3ps² + h² = 6rh — 2h²+12rx — 6hx — 6x²

y = ^(3p₁² + 3p₂² + h²),

Lehrsatz 62. Der Rauminhalt einer Kugelschicht mit der Höhe h und den Halbmessern pt und p₂ der Begrenzungskreise beträgt

^(3^+3^ + h²).

Da aber

und

also

ist, so folgt:

d. h.

e) Eine zweite Ableitung dieser Sätze stützt sich auf das Cavalierische Prinzip. Sind über einer gemeinschaftlichen Grundfläche mit dem Halbmesser r ein Zylinder und ein Kegel mit der Höhe r errichtet, steht ferner auf der Deckfläche des Zylinders eine Halbkugel (f. Fig. 83), und werden die Körper durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten, so entsteht

bei dem Zylinder die Schnittfläche % PS²,

7t PQ²,

7t - PR²

r.

- der Halbkugel -Da aber

PS = MR, PQ = MP und PR² = MR²-MP², also auch PR² = PS² —PQ² und demnach die Schnittfläche des aus Zylinder und Kegel gebildeten Restkörpers gleich der Schnittfläche der Halbkugel ist, wo auch die Ebene gezogen sein mag, so sind die Bedingungen für die Anwendung des Cavalierischen Prinzips erfüllt. Man erhält hiernach:

1.    Der Inhalt der Halbkugel beträgt Ttr⁸—    otiet~7tr³.

2.    Der Inhalt des Kugelabschnitts mit der Höhe h ist gleich der Differenz aus ttr²h und dem Inhalt eines Kegelstumpfs mit der Höhe h und den Endflächen Ttr² und Tt • PQ². Da aber PQ = r — h ist, also der Inhalt des Kegelstumpfs

Fig. 80.

Tth

Tth

— [r²-f (r — h)²-f-r (r— h)] oder — (3 r² — 3rh -f h²)

beträgt, so folgt für den Inhalt des Kugelabschnitts:

₉₁    3 Tt r²h 3 Ttr h² Tth⁸

Ttr²h-------— -f

= —g— (Br — h).

3. Die Grundfläche des Kugelabschnitts beträgt % h (2 r — h). Ein Kegel über dieser Grundfläche mit der Spitze M hat die Höhe r — h und demnach den Inhalt ^ (2 r—h)(r—h).

Addiert man hierzu —(3 r — b), so erhält man für den Inhalt des Kugelausschnitts:

7t r² h.

, g 7chs 2 Tr r² h Tr hs 7t h

*h r—r + —8—+ -r -T--8rh = 3

4. Auch der Inhalt der Kugelschicht mit der Höhe h und den Begrenzungsflächen 7t und % kann mit Benutzung des Cavalierischen Prinzips bestimmt werden. Der entsprechende Resikörper erweist sich als Differenz aus einem Zylinder und einem Kegelstumpf mit den parallelen Flächen 7t(h-\- x)² und    Man erhält daher für

seinen Inhalt:

ft

cc

7i+cc

ulxX

D=Är»h-

7t h

7t h

[(h + x)² + X² + (h + x)x],

= tr.r²h -—[3 (h + x)²+3x²-h²].

Da aber x² = r² —^² und (h-fx)² = r² — ist, so folgt:

D = »r²h-^(6r²-3ei²-3£>z²-h²).

Somit ist der Inhalt einer Kugelschicht gteit^•^r-(3<>i² + 8 <?2² + h²).

Anmerkung. Hat man zuerst auf diesem Wege die Jnhaltsformeln hergeleitet, so lassen sich die Formeln für die Flächen leicht herstellen.

V = ™ r⁸ und V = folgt: 0 = 4te r².

b)    Der Inhalt des Kugelausschnitts ist durch ^ ^ und    ausgedrückt, und daraus

ergibt sich für die Kappe: K = 2 ^ r h.

c)    Eine Zone mit der Höhe h ist der Unterschied zweier Kappen mit den Höhen x und h-J-x; es ist also Z — 27tr(h-fx — x) = 2a:rh.

a) Aus

Fig. 81.

Nr. 25. Projektionen einer Kugelfläche.

(Herstellung von Erd- und Himmelskarten.)

Die Oberfläche einer Kugel läßt sich nicht in eine Ebene ausbreiten, und daher ist für das durch Meridiane und Parallelkreise auf einer Kugel bestimmte Gradnetz die Herstellung einer getreuen ebenen Abbildung nicht möglich. Projiziert man die Punkte einer Kugel auf einer Ebene, um ein Kartenbild herzustellen, so erleiden die Figuren Größen- und Gestaltsverändernngen. An diesen Verzerrungen ändert sich jedoch nichts, wenn die Projektionsebene parallel verschoben wird, und demnach kann als Projektionsebene stets eine Tangentialebene der Kugel gewählt werden.

Erklärung. Ist der Berührungspunkt der Projektionsebene

1.    einer der beiden Pole,

2.    ein Punkt des Äquators, -    -

3.    ein beliebiger anderer Punkt, -    -

so heißt die Projektion Polarprojektion.

Äquatorialprojektion. Horizontalprojektion.

a) Zentrale Projektion. Wird der Mittelpunkt der Kugel als Projektionszentrum gewählt, so werden alle größten Kreise der Kugel, also auch die Meridiane, als gerade Linien abgebildet. Die Parallelkreise erscheinen bei der Polarprojektion als Kreise und bei den beiden anderen Projektionen als Kegelschnitte. Die Linien und Flächen auf der Kugel erleiden um so stärkere Vergrößerungen bzw. Verzerrungen, je weiter sie von dem Berührungspunkt (dem Mittelpunkt der Karte) entfernt liegen, und daher kann die zentrale Projektion nur bei kleinen Teilen der Kugelfläche ein einigermaßen zutreffendes Bild liefern.

P/

lt>) Senkrechte oder orthographische Projektion. Bei dieser werden die von dem Berührungspunkt entfernteren Linien verkürzt und die Flächen verzerrt, und daher kann sie ebenfalls nicht für größere Teile der Kugel ein getreues Bild liefern.

«) Bei der orthographischen Polarprojektion, bei der die Projektionsebene der Äquatorialebene parallel ist, erscheinen die Meridiane [____

als gerade Linien und die Parallelkreise als ' ¹    ‘

Fig. 82.

Kreise mit demselben Mittelpunkt. Ist AB der Äquator und der Winkel <p — P'NA die Breite des Ortes P, so liefert das Lot P'Q auf AB in Q einen Punkt des Parallelkreises, auf welchem P liegt.

'Pi

Mj

Fig. 83

ß) Bei der orthographischen Äquatorialprojektion stehen die Ebenen aller Parallelkreise auf der Zeichenebene senkrecht; die Parallelkreise erscheinen daher als parallele gerade Linien. Da jeder Meridian durch die Parallelkreise in gleiche Teile geteilt wird, so lassen sich diese bequem herstellen. Ist AB der Äquator und der Winkel cp = P'MA , die Breite des Ortes P, so liefert die Parallele P'Q zu AB das Bild des Parallelkreises, auf welchem P liegt. Die A Projektion des Meridians, der um 180° von der Projektionsebene absteht, ist der Durchmesser NS, während der um 90° abstehende Doppel-Meridian durch den Kreis in der Zeichenebene abgebildet wird. Alle anderen Meridiane werden als Ellipsen mit der großen Achse NS

projiziert. Bildet ein Meridian mit der Projektionsebene den Winkel A^RMB, so liefern die Lote RTJ und R'U' auf dem Äquator AB in UU' die kleine Achse der zugehörigen Ellipse.

Ist ANB der 0-Meridian und A die westliche Länge des Ortes P, so zeichnet man den Kreis mit dem Durchmesser P'Q, legt in T an TQ nach Westen den Winkel A an, fällt vopr Schnittpunkt P" des zweiten Schenkels und des Hilfskreises das Lot auf P'Q und erhält dann in dem Fußpunkt P* die Projektion des Ortes P.

Aufg. 1. Die Äquatorialprojektion eines Ortes mit der

a) Breite cp = 30°N und der Länge A = 45°W, = 45° N -    -

= 60°S    *    -

b) -

c) -

A = 75 °W, A == 130° W

zu zeichnen, wenn der 0-Meridian

a) in der Ebene der Zeichnung liegt,

ß) auf der Ebene der Zeichnung senkrecht steht.

Aufg. 2. Aus der orthographischen Äquatorialprojektion Px eines Ortes P seine Länge und Breite zu zeichnen. Der Halbmesser des Meridians sei gleich 1, und l\ werde durch seine Entfernungen x und y von NS, bzw. AB (s. Fig. 83) gegeben.

Beispiele, a) x = o,4,    ----- 0,5.

y ----- 0,8. d) X = — 0,3, y = — 0,7.

Die Beispiele sind für die beiden Fälle durchzuführen, daß der 0-Meridian 1. auf der Zeichenebene liegt und 2. auf ihr senkrecht steht.

Aufg. 3. Die sphärische Entfernung zweier Orte P und Q aus ihren orthographischen Äquatorialprojektionen P₂ und Qt zu bestimmen.

Aufl. Betrachtet man die Sehne Px Q1 E als Projektion des durch P und Q gehenden Nebenkreises, dessen Ebene auf dem Meridian senkrecht steht, und errichtet auf Px Q, in Pt und Qi Lote, so schneiden diese den Halbkreis über der Sehne in zwei Punkten P₂ und Q₂, deren Verbindungslinie die Sekante Px Qt in dem Schnittpunkt E der Sekante PQ und der Ebene des Meridians trifft. Da die Ebene des durch P und 0 bestimmten Hauptkreises gleichfalls durch E geht, so ist EM ihre Schnittlinie mit der Zeichenebene. Die Lote von P und 0 auf EM fallen mit den Loten von Px und Qx auf EM zusammen, wenn die Ebene des Hauptkreises in die Meridianebene um EM umgelegt wird, und daher bestimmen die Lote PjP₈ und Qx Q₃ in dem Bogen Ps Q₈ die (sphärische) Entfernung der Orte P und Q.

b) x------ 0,75, y ----- 0,36.

o)

X ----- —

P,

Ps

Fig. 84.

Aufg. 4. Die Entfernung zweier Orte aus ihren Längen und Breiten zu bestimme».

Beispiele, a) cp₁ = 30 °N, 1,= 45°W mtb g>₂ = 75⁰N, 1₂ = 120°W.

b)    <Pi — 45°N, lt-60°W - g>₂= 30°S, 1₂= 150°W.

c)    <pt = 60°S,    X₁ ---    22f°W    -    g>₂ =    15°N,    1₂ = 120°W.

d)    cp₁ = 15°S,    1, =    67|°W    -    P₂ =    67|°S,    1₂ = 157s W.

e)    Vl = 22|°N,    --    30°W    -    <p₂ =    75°S,    1₂ = 45°0.

f)    g>, = 30 °N,    A₁=15°W    -    g>₂=    45°S,    1, = 105°0.

M. \ > / C/(v_X7

e'

c) Stercographische Projektion (Hipparch, Ptolemäus). Bei dieser Projektion wird der Gegenpunkt A des Berührungspunktes B als Projektionszentrum gewählt. Alle durch A gehenden Kreise werden dann als gerade Linien projiziert. Ist CD der Durchmesser eines nicht durch A gehenden Kugelkreises, dessen Ebene auf der Zeichenebene senkrecht steht, und C'D' seine Projektion, ist also <£AC'D' = a = ^ÄDC, und wird durch einen beliebigen Punkt P der Projektion des Kreises eine Ebene parallel der Ebene des Kreises gelegt, welche die Zeichenebene in Pß schneidet, so ist PR _L ST, und somit

PR² = SR TR.

Fig. 85.

Da aber AC'RS~ATRD', also C'R • D'R = SR•TR ist, so folgt: PR²= C'R • D'R. Diese Gleichung gilt für jeden Punkt der Projektionslinie, und da PR _L C'D' ist, so muß P auf einem Kreise mit dem Durchmesser C'D' liegen. Hieraus aber ergibt sich, daß ein nicht durch A gehender Kugelkreis als Kreis abgebildet wird, wenn seine Ebene auf der Zeichenebene senkrecht steht.

Liegt ferner der Schnittpunkt E zweier sich schneidenden Linien der Kugelfläche in der Zeichenebene und hat diese mit der zu E gehörigen Tangentialebene die gerade EF gemein, so ist

<£ FEE' = 90° - <£ FEB = 90° - <£ B AE = <£ FE'E

und somit FE'= FE. Sind also Gr und H die Schnittpunkte der Projektionsebene und der beiden Tangenten, welche den Winkel der in E sich schneidenden Linien einschließen, so steht GH senkrecht auf FE und FE'; die Verbindungslinien GE und GE', bzw. HE und HE' sind einander gleich, und die Dreiecke GE'H und GEH sind kongruent. Hieraus aber folgt, daß der Winkel zweier beliebiger Linien der Kugelfläche bei der stereographischen Projektion unverändert bleibt und somit das Bild einer auf der Kugelfläche liegenden Figur

dieser in den kleinsten Teilen „ähnlich" ist. (Winkeltreue Karten!)

JP'

-&■

2)

Fig. 86.

IST

P'/

Ui

Fig. 87

a) Bei der stereographischen Polarprojektion wird der Pol zum Mittelpunkt eines Kreises, der den Äquator darstellt. Die Meridiane erscheinen als Durchmesser dieses Kreises und teilen ihn in gleiche Teile, während die Parallelkreise als Kreise um den Pol auftreten. Ist der Winkel <p = BNP' die Breite eines Ortes P, so erhält man einen Punkt des zugehörigen Parallelkreises in dem Schnittpunkte Q des Durchmessers AB und der Sehne DP'. ß) Bei der stereographischen Äquatorialprojektion erscheint der Äquator als gerade Linie (AB), und der Meridian, dessen Ebene auf der Projektionsebene senkrecht steht, erscheint als eine auf AB senkrechte Gerade (NS). Alle anderen Meridiane und die Parallelkreise werden durch Kreisbogen dargestellt. Bei den Bildern der Parallelkreise d" liegen die Mittelpunkte sämtlich auf der Geraden \ NS, und die Verbindungslinie AP' trifft NS j in einem Punkte Q des zugehörigen Kreises. Die 1 Bilder der Meridiane gehen sämtlich durch N / und 8; ihre Mittelpunkte liegen also auf AB, und die Verbindungslinie des Punktes S mit dem Punkte P" trifft AB in einem Punkte R des Meridians, der mit der Projektionsebene den Winkel Z = P "OB bildet.

Aufg. 5. Die in Aufg. la-c und Aufg. 4 a —f angegebenen Orte durch stereographische Äquatorialprojektion darzustellen.

Aufg. 6. Die in Aufg. 2 a— d zu bestimmenden Orte durch stereographische Äquatorialprojektion darzustellen.

d) Merkators Projektion. Die Oberfläche der Erde wird bei der Mer-kator-Projektion als Zylinderfläche behandelt. Bei der Abwicklung dieses Zylinders erscheinen dann die Meridiane als Parallelen mit gleichen Abständen, während die Parallelkreise der Geraden, die den Äquator darstellt, parallel werden. Trägt man auf den Meridianen die Strecken in ihrer wahren Größe ab, so werden bei wachsender Breite die Strecken der zugehörigen Parallelkreise stark vergrößert. Merkator vergrößerte nun, um diesen Fehler auszugleichen, die Grade der Meridiane in demselben Verhältnis (i dividiert durch den Kosinus der geographischen Breite!), in welchem die Teile der Parallelkreise vergrößert erschienen, und erreichte dadurch, daß das Bild einer auf der Kugelfläche liegenden Figur dieser in den kleinsten Teilen „ähnlich" wurde. (Winkeltreue Karten!)

Die Merkator-Projektion ist offenbar nicht geeignet, um Teile der Erdoberfläche in der Nähe der Pole darzustellen, da diese selbst im Unendlichen liegen. (Vgl. Grönland mit Südamerika auf einem Globus und einer Merkatorkarte.)

Für die Schiffahrt ist die Merkator-Projektion von besonderer Wichtigkeit. Da alle Linien von Norden nach Süden senkrecht und von Osten nach Westen wagerecht gezeichnet werden, so läßt sich jede Himmelsrichtung an jeder Stelle als gerade Linie eintragen, und der Weg eines Schiffes, das seinen Kurs nicht ändert, die Meridiane also unter gleichen Winkeln durchschneidet, erscheint als eine gerade Linie (Loxodrome!). Zur Herstellung von Seekarten wurde daher ausschließlich die Merkator-Projektion verwandt, solange die Schiffahrt auf der Loxodrome allein von Bedeutung war. In neuester Zeit gewinnt die Schiffahrt auf dem größten Kugelkreise, also auf der kürzesten Linie, immer mehr an Wichtigkeit, und damit tritt die Zentralprojektion, die alle größten Kreise als gerade Linien abbildet, mehr in den Bereich der praktischen Brauchbarkeit.

Zusatz. Von den hier besprochenen Projektionen weicht die Lambertsche Zylinderprojektion, bei der die Teile der Erdoberfläche auf dem Mantel eines die Erde längs des Äquators berührenden Zylinders abgebildet werden, besonders darin ab, daß ein Projektionszentrum fehlt und die projizierenden Strahlen sämtlich auf der Erdachse senkrecht stehen. Eine Zone von der Höhe h wird dabei als ein gleichhoher Zylindermantel abgebildet, besitzt also mit ihm denselben Inhalt, und da die gleiche Beziehung zwischen einer jeden geschlossenen Figur auf der Kugel und ihrem Bild auf dem Zylindermantel besteht, so folgt, daß bei der Zylinderprojektion die Karten flächentreu werden.

Kapitel 7.

Die Guldinschen Regeln. Schwerpunkts-Bestimmung.

Nr. 26. Die Guldinschen Regeln.

Dreht sich eine Strecke AB ----- st um eine Gerade G, die mit    in

einer Ebene liegt, und sind A und B von G um rt bzw. r₂ entfernt, so beschreibt eine Drehungsfläche von der Größe    + r₂). Nun ist

15

Müller, Mathematik. II. B. — 4. Aufl.

i(rx + r₂) gleich dem Abstand der Mitte von AB, und daher die Drehungsfläche gleich 2jrp₁s₁, d. h. gleich dem Produkt aus der Länge sx und dem Wege, den der Schwerpunkt von sx zurücklegt.

von der Größe 2?rf(>₁    + q₂ s₂). Wird entsprechend

'JB    eine aus    den Strecken s1; s₂, s₃ .. sn zusammengesetzte

-£rJ$i    Linie um G gedreht und liegt die ganze Linie mit G

•- J ¹    in einer    Ebene, so beschreibt sie eine Drehungsfläche

Sy    von der    Größe 2?r(()₁s₁ + p₂s₂ + •—H (>nsn). Nach

MV 3

-.-'Ae¹

Kommt zu AB eine zweite Strecke BC = s₂ hinzu, deren Mitte von G um q₂ entfernt ist, so gilt für die von s₂ beschriebene Drehungsfläche das gleiche Gesetz, und die beiden Strecken und s₂ erzeugen eine Fläche

den Gesetzen der Mechanik ist aber

Pl S1 +    ®2 + ^8 S3 + ‘ ‘ + Pnsn

⁼ (S1 + S2 + s3 + ‘ • * + sn)(>,

Fig. 88

wo q den Abstand des Schwerpunkts der ganzen Linie bezeichnet, und somit ist die Drehungsfläche gleich

2jcq(s₁ + s₂ ----+ sn). Wählt man n groß genug, so kann jede Linie der

Ebene durch die Summe «i + s₂ + s3 + ■ —h sn ausgedrückt werden. Man gelangt daher zu

Lehrsatz 63. Erste Guldinsche Regel. Die Oberfläche eines Drehungskörpers ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie und dem Wege, den ihr Schwerpunkt beschreibt.

Dreht sich weiter ein Rechteck ABCD mit den Seiten AB = a und BC = b um eine AB parallele Gerade G, so wird ein Hohlzylinder beschrieben. Ist AB von G um rt und CD von G um r₂ entfernt, so ist der Rauminhalt des Hohlzylinders gleich

jrafo² - r₂²) = jrafo + r₂)(r, — r₂) . ri + h

Da aber der Schnitt-

^ Punkt der Diagonalen der Schwerpunkt des X Rechtecks und seine Entfernung q von G

gleich -y-* ist, so wird der Rauminhalt

Fig. 89.

des Hohlzylinders gleich 2xq • ab oder 2xqJ, d. h. gleich dem Produkt aus dem Inhalt des Rechtecks und dem Wege, den sein Schwerpunkt zurückgelegt hat.

Schließen sich n Rechtecke mit je einer G parallelen Seite aneinander, so ist der Rauminhalt des entstehenden Drehungskörpers

V — 2 st (pj Jj -f- J₃ -f- • • • -f- pn Jn),

und da auch

ist, wo J den Inhalt der n Rechtecke und q die Entfernung ihres Schwerpunktes von G bezeichnet, so folgt:

Pi <Ti + p₂ J, + ■ • • -)- Jn = q J

V = 2 je (j J.

Eine jede ebene Fläche kann aber als eine Summe von Rechtecken, die am Rande der Fläche unendlich klein sein dürfen, angesehen werden, und daher führt die Betrachtung zu

Lehrsatz 64. Zweite Guldinsche Regel. Der Rauminhalt eines Drehungskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Wege, den ihr Schwerpunkt zurücklegt.

Nr. 27. Schwerpunkts-Bestimmungen.

Die Guldinschen Regeln können benutzt werden, um die Schwerpunkte von in einer Ebene liegenden Linien und ebenen Flächen zu bestimmen.

a) Hat die erzeugende Linie die Länge l und die erzeugte Fläche die Größe F, so findet man die Entfernung q des Schwerpunktes der Linie von der Drehungsachse aus der Gleichung: ¥ = 2%q -l.

Aufgabe 1. Den Schwerpunkt eines Halbkreises zu bestimmen. Ausl. Zunächst weiß man, daß der gesuchte Schwerpunkt auf dem Radius liegen muß, der auf dem Durchmesser des Halbkreises senkrecht steht. Wird nun der Halbkreis um den Durchmesser gedreht, so beschreibt er eine Kugelfläche. Ist daher q der Abstand des Schwerpunktes von dem Durchmesser, so

hat man nach Lehrs. 63: 2%q • nr = 4?rr⁸, und daraus folgt: q = — •

Aufgabe 2. Den Schwerpunkt eines Kreisbogens zu bestimmen. Aufl. Dreht man den Bogen b um einen seiner Durchmesser, so beschreibt er eine Rappe. Ist h die Projektion des Bogens auf die Drehungsachse, so hat die Kappe die Fläche F = 2?trh. Man erhält daher für den Abstand q des Schwerpunktes von der Achse die Gleichung: 2%q ■ b = 2-rrb,

und aus dieser ergibt sich: ? = ^r.

Der zweite Ort für den Schwerpunkt ist der Radius, der den Bogen

halbiert.

15*

1>) Hat die erzeugende Fläche die Größe F und der erzeugte Körper den Inhalt V, so findet man die Entfernung des Schwerpunktes von der Drehungsachse aus der Gleichung: V= F • 2nq.

Aufgabe 3. Den Schwerpunkt der Fläche eines Halbkreises zu bestimmen.

Stuft Der Drehungskörper ist eine Kugel und hat den Inhalt Y = fsrr³.

Da die Fläche des Halbkreises gleich |:rr² ist, so hat man:

2tcq ■ *5rr²= |jrr³, also: Q = ~ •

Über den zweiten Ort s. Stuft zu Aufgabe 1.

Aufgabe 4. Den Schwerpunkt eines halben Kreisrings mit den Halbmessern rt und r₂ zu bestimmen.

Aufgabe 5. Den Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen und zu beweisen, daß er der Schnittpunkt der drei Mittellinien ist.

Anl. z. Stuft Drehe das Dreieck um jede seiner Katheten!

Aufgabe 6. Den Schwerpunkt eines Dreiecks zu bestimmen und zu beweisen, daß er der Schnittpunkt der drei Mittellinien ist.

Anl. z. Stuft Lege durch A die Parallele zu BC und durch B die Parallele zu A0 und drehe das Dreieck um jede der beiden Parallelen!

Aufgabe 7. Den Schwerpunkt eines Trapezes zu bestimmen.

Aufgabe 8. Den Schwerpunkt des Kreisausschnitts zu bestimmen, der in einem Kreise mit dem Halbmesser r zu dem Bogen b gehört.

Stuft Der erste Ort ist die Halbierungslinie des zugehörigen Mittelpunktswinkels. Der Drehungskörper ist ein Kugelausschnitt mit der Höhe h (f. Stuft, zu Aufgabe 2) und hat den Inhalt V = f-jrr²h. Da der Kreisausschnitt die Fläche F = -|b • r hat, so ergibt sich die Gleichung: 2tcq ■ fbr = f ;rr²h,

und aus dieser folgt: q =

Aufgabe 9. Den Schwerpunkt des Kreisabschnitts zu bestimmen, der in einem Kreise mit dem Halbmesser r zu dem Bogen b gehört.

Stuft Der entstehende Hohlkörper ist der Unterschied zwischen einem Kugelabschnitt mit der Höhe h. und einem Kegel von gleicher Höhe, dessen Grundfläche gleich nh(2r — h) ist. Der Hohlkörper hat daher den Inhalt

V=^(3r-h)-^’(2r-h) oder V=^-

Nun hat der Kreisabschnitt die Fläche

F = -i-b • r — f r • ]/h(2r — h), und daher besteht die Gleichung:

Flg. i*0.

2*9 - |r[b - yh(2F^h)j =

Aus dieser aber folgt:

h⁸

3[b — y h(2r — h)]

Aufgabe 10. Den Schwerpunkt des kleineren von den beiden Kreisabschnitten zu bestimmen, die bei einem Kreise mit dem Halbmesser r zu der Sehne 8 gehören.

Anl. z. Ausl. Drehe den Abschnitt um den Durchmesser, der parallel der Sehne s istl

Aufgabe 11. Den Schwerpunkt eines Teiles einer Kreisfläche zu bestimmen, der durch

a)    einen Durchmesser und eine diesem parallele Sehne von der Länge s,

b)    zwei auf derselben Seite des Mittelpunktes liegende parallele Sehnen mit den Längen st und s₂,

c)    zwei auf verschiedenen Seiten des Mittelpunktes liegende parallele Sehnen mit den Längen und s₂

begrenzt wird. (S. Aul. z. stuft, bei Aufg. 10.)

Aufgabe 12. Den Schwerpunkt des größeren von den beiden Kreisabschnitten zu bestimmen, die bei einem Kreise mit dem Halbmesser r zu der Sehne 8 gehören.

Aufgabe 13. Die Schwerpunkte der beiden Teile zu bestimmen, in welche die Fläche der Aufgabe 11a) durch das Lot von dem Mittelpunkte auf die Sehnen zerlegt wird.

c) Die Guldinschen Regeln können auch zur Inhaltsbestimmung benutzt werden, falls man y kennt oder auf einem anderen Wege ermitteln kann.

Aufgabe 14. Die Oberfläche eines Ringes zu bestimmen.

Aufl. Ein Ring wird durch einen Kreis erzeugt, wenn dieser sich um eine Gerade seiner Ebene dreht und die Gerade den Kreis nicht schneidet Der Schwerpunkt des Kreises ist sein Mittelpunkt. Hat dieser von der Drehungsachse den Abstand p, so hat der Ring die Oberfläche

0 = 2jtq 2irr = 4jr²r • q.

Wendet man den Lehrs. 64 an, so erhält man für den Rauminhalt V des Ringes:

V — 2ng ■ «r² = 2jt²r² • q.

Aufgabe 15. Eine von zwei Bogen zweier Kreise mit den Halbmessern rx und r₂ begrenzte Fläche wird um eine Gerade gedreht, die der gemeinsamen Sehne parallel ist und von ihr den Abstand d hat. Wie groß ist der Rauminhalt des erzeugten Körpers, wenn die beiden Bogen a) auf derselben Seite, b) auf verschiedenen Seiten der gemeinsamen Sehne liegen?

Vgl. Slusgabe 10.

Anhang I.

Kapital-, Lebens- und Rentenversicherung nach der Berechnungsweise der Versicherungsgesellschaften.

A. Einleitung.

Bei der in den Schulen üblichen Behandlung des Versicherungswesens, wie sie auf Seite 68 und 69 angegeben ist, erscheinen die Versicherungsgesellschaften als Banken, welche die Einlage(n) des einzelnen Versicherten verzinsen und am Schluß der Versicherungszeit das angewachsene Kapital zurückzahlen.¹) Jeder Versicherte erhält die ausbedungene Summe, und es wird angenommen, daß jeder Versicherte das Lebensalter erreicht, das der Berechnung zugrunde gelegt worden ist. Diese Auffassung entspricht in keiner Weise den tatsächlichen Verhältnissen; keine Gesellschaft und keine Kasse dürfte so rechnen, ohne ein Risiko zu übernehmen, das nicht getragen werden könnte, und Prämien verlangen zu müssen, die niemand zahlen würde.

In Wirklichkeit werden die Versicherungen jeder Art als Verträge auf Gegenseitigkeit zwischen einer (festgesetzten großen) Anzahl von Personen behandelt; die Kassen (Versicherungsgesellschaften) erscheinen als Verwalter des aus den Beiträgen (Prämien) gebildeten gemeinschaftlichen Vermögens und begleichen aus diesem die im Laufe der Zeit eintretenden Verpflichtungen, welche beim Abschluß der Versicherung vereinbart worden sind. Sieht man von den Verwaltungskosten ab, so werden die Beiträge so bemessen, daß am Tage des Versicherungsabschlusses der Wert aller von den Versicherten voraussichtlich zu zahlenden Beiträge (die Gesamtleistung der Versicherten) gleich dem Werte aller Leistungen (der Gegenleistung der Kaffe) ist, welche der Kasse voraussichtlich bevorstehen. Für die Verwaltungskosten aber tritt eine angemessene prozentuale Erhöhung der Beiträge ein.

Man unterscheidet demnach zwischen den rechnungsmäßigen Beiträgen, den Nettoprämien, und den Bruttoprämien, die von den Versicherten in Wirklichkeit zu entrichten sind. — Auf die Berechnung der Bruttoprämien soll hier nicht eingegangen werden.

B. Sterbetafeln.

Die Berechnung der Kassen (Gesellschaften) stützt sich auf sogenannte Sterbetafeln.

Bezeichnen l und V je eine Anzahl von Personen, welche am Anfang eines Jahres (Lebensjahres oder anderen Jahres) leben, und d und d' die Anzahl der von diesen im Laufe des Jahres Sterbenden, so gelten bei den beiden Personengruppen y unt> y als Maß der Sterblichkeit während des Jahres. Die Werte von y und jr können je nach den Umständen, unter denen die verschiedenen

Personen leben, insbesondere je nach Alter, Geschlecht, Berufstätigkeit, Klima u. dgl. sehr verschieden sein. Sind aber l und V große Zahlen und beide Gruppen gleichaltrig, und herrscht auch in den sonstigen Lebensbedingungen annähernde Übereinstimmung zwischen ihnen, so ist erfahrungsmäßig y von y nur wenig verschieden; man kann also annähernd d' = y • V setzen und ibie Anzahl der Sterbefälle bei der einen Gruppe nach der in der anderen beobachteten Sterblichkeit vorausberechnen. Man nennt deshalb ~ die

7 ___    "

Sterbens-, also -r die Lebenswahrscheinlichkeit der Gruppen für das betreffende Alter.

Die Lebens- und Sterbenswahrscheinlichkeiten für weitere Altersstufen lassen sich entweder in gleicher Weise durch mehrjährige Beobachtung einer Personengruppe oder auch durch einjährige Beobachtung mehrerer verschieden-altriger Gruppen ermitteln, wofern nur die sonstigen Lebensbedingungen bei allen Gruppen übereinstimmen.

Die Werte der Sterbenswahrscheinlichkeiten nehmen bis zum Lebensalter 13 beständig ab und steigen von da erst langsam und später schneller, bis sie mit dem lOOten (ober einem in der Nähe liegenden) Lebensjahre den Wert 1 erreichen; von da ab ist die Lebenswahrscheinlichkeit also gleich 0.

Die Darstellung des ganzen Verlaufs der Sterblichkeit einer bestimmten Personengruppe von einem niedrigsten Alter m bis zu einem höchsten Alter n nennt man eine Sterblichkeitstafel. In ihrer einfachsten Form ist die Tafel nur eine Zusammenstellung der beobachteten Sterbenswahrscheinlichkeiten; handlicher aber wird die Tafel, wenn man mit Hilfe der Lebenswahrscheinlichkeiten berechnet, wie viele von einer (beliebig gewählten) Anzahl Personen lm des Alters m das Alter m + 1, wie viele von diesen das Alter m + 2, wie viele von den Überlebenden das Alter m + 3, usw. erleben, und die gefundenen Zahlen übersichtlich anordnet. Die Differenz h—h + i gibt dann die Anzahl dx der Personen an, die aus der Gruppe int Alter x sterben. Man bezeichnet eine derartige Tafel auch als eine Absterbeordnung.

Für die Einführung in die Versicherungstechnik ist es gleichgültig, welche Tafel verwandt wird. Die Zahlen²), die wir hier gelegentlich benutzen wollen, sind aus der Sterbetafel genommen, die für ärztlich nicht untersuchte Personen aus den Erfahrungen der deutschen Versicherungsgesellschaften gewonnen worden ist. Die Zählung geht in dieser Tafel von 100000 Personen aus, welche das 20. Lebensjahr bereits beendet haben, also im Alter 20 stehen, und gibt der Reihe nach an, wie viele von diesen das Alter 21, 22, 23 usw. erreichen. Nach der Tafel

stehen z. B. im Alter und sterben -    -

20

21

22

23

24

100000    98981 97954 96924 95909 Personen

1019

1027

1030

1015

C. Arten bet Versicherung.

Eine Versicherung kann auf den Lebensfall (besser: Erlebensfall) oder auf den Todesfall abgeschlossen sein. Im ersten Falle gelangt die ausbedungene Summe nur dann an den Versicherten, wenn er das vereinbarte Alter erreicht hat (Kapitalversicherung) oder die festgesetzten Zahlungstermine erlebt (Rentenversicherung); im zweiten Falle ist die Versicherung zugunsten der Erben abgeschlossen, und die Versicherung wird diesen nach dem Tode des Versicherten ausgezahlt (Lebensversicherung). Häufig werden auch Versicherungen auf den Todesfall mit dem Zusatz abgeschlossen, daß die Summe an den Versicherten selbst auszuzahlen ist, wenn er ein vereinbartes Alter erreicht hat; es liegen dann zwei Versicherungen vor, und zwar eine Kapitalversicherung und eine Versicherung auf den Todesfall, bei der die Dauer der Prämienzahlung beschränkt ist.

¹

Auch Weber hat in seiner Enzyklopädie der elementaren Algebra und Analysis (Leipzig, B. G. Tenbner) den Gegenstand in der üblichen schulgemäßen Form besprochen.

²

Die zu diesem Abschnitt nötigen Tafeln sind in Teil II, Ausgabe B der Müller und Kutnewskyschen Aufgabensammlung mit abgedruckt.

v. Einmalige Prämie bei einer Lapitalversichernng.

Die Berechnung der Prämie erfolgt für jedes Eintrittsalter besonders und unter der Annahme, daß die Versicherung gleichzeitig von so viel Personen abgeschlossen wird, wie die Absterbeordnung Lebende des betr. Alters aufweist. Wenn aber ln Personen eine Versicherung auf 1 Jl für den Fall abschließen, daß sie nach m Jahren noch am Leben sind, so hat die Gesellschaft nach m Jahren an ln+m Überlebende im ganzen la+m Ji zu zahlen. Bezeichnet

man in gewohnter Weise den Aufzinsungsfaktor 1 -tz ^ mit q, so hat dieser

Jl, und da an .

Betrag am Tage des Versicherungsabschlusses den Wert

diesem Tage die Gesamtleistung der Versicherten gleich der Gegenleistung der Gesellschaft sein muß, so hat jeder der ln Versicherten als einmalige (Netto-)

qm

K. qm Ji zu entrichten. Da    ^ ist, so folgt, wenn

-f- m

Prämie

q¹

Jl ist.

man den Quotienten \ mit Dx bezeichnet, daß die einmalige Prämie für 1 Jt gleich V“

n

Dx gibt den Wert von am Geburtsdatum eines x-jährigen an und heißt deshalb diskontierte Zahl der Lebenden des Alters x.

Lautet die Versicherung auf a Ji, so ist dies gleichbedeutend mit a Ver-sicherungen auf 1 Jt, und die Prämie ist das a-fache der für 1 Jl berechneten Prämie. Somit ergibt sich:

EinePerson imAltern hat für eine nach mJahren auszuzahlende Summe von a Jl als einmalige (Netto-)Prämie in Jl den Betrag

v»

I.

zu entrichten.

Durch Hinzufügung des Aufschlags für Verwaltungskosten entsteht hieraus die von dem Versicherten zu entrichtende Bruttoprämie.

Anmerkungen. i. Die Ableitung zeigt, daß die Prämie von dem Zinsfuß abhängt. Die meisten Gesellschaften legen ihren Berechnungen 3y % zugrunde.

2. Um die zeitraubende Berechnung der Quotienten D nicht in jedem einzelnen Falle ausführen zu müsse», hat man für den Normalzinsfuß 3-|- % eine Tabelle aufgestellt, welche Dx für die Jahre 0 bis 100 enthält.

E. Einmalige Prämie für die Versicherung einer Leibrente.

Werden von einem Versicherten gleichzeitig t Versicherungen abgeschlossen, nach denen ihm nach n Jahren, d. h. beim Beginn des (n + l)ten Jahres 1 Jl, nach n +1 Jahren wieder 1 Jt, nach n + 2 Jahren wiederum 1 Jl, usw. auszuzahlen ist, und steht er beim Abschluß der Versicherung im Alter x, so beträgt nach Gl. I. die Gesamtprämie E in Jl

oder

nEx + n+lEx + n + gEx + n + sEx + • • * + n + t —lEx Dx-(-n "b -^x + n + 1 ~f~ ^x + n + 2~i* Dxq-u-j-3^"' ' ' ~f~ ^x + n + t—1

Dx

t—

XnDx + n+2

Ä D-

. x=o «

Die t Kapitalzahlungen von 1 Jl stellen in dem angegebenen Falle eine jährliche vorschüssige Leibrente von 1 Jt dar, die nach n Jahren beginnt und höchstens t mal auszuzahlen ist. Treten die Zahlungen erst am Ende des Jahres ein (nachschllssige Rente), so ist dies für die Rechnung dasselbe, wie wenn die Rente eine vorschüssige ist, die nach n +1 Jahren beginnt. Erlischt die Rente erst beim Tode des Versicherten, so ist in beiden Fällen t durch 100 — x zu ersetzen. Somit folgt:

II. Die einmalige Prämie für eine im Alter x abgeschlossene Versicherung einer Leibrente von 1 A, die nach n Jahren beginnt und

beim Beginn jedes Jahres

tmal

auszuzahlen ist, beträgt

k-2°

A=0

x-f-n4-2

100 — x — n

lebenslänglich

--

Dx

A=0

tmal

am Ende jedes Jahres

x+n + A

100 —x—n

lebenslänglich

2=1

Beginnt die Rente mit dem ersten Jahre, so ist n = 0 zu setzen.

Anmerkung. Um nicht in jedem einzelnen Falle die Summe 2JD ausrechnen zu müssen, hat man auch hier eine Tabelle aufgestellt, in der die Summen bis zum Alter 100 verzeichnet sind.

F. Jährliche Prämienzahlung bei Versicherungen auf den Lebensfall.

Sollen statt der einmaligen Prämie jährliche Prämien (die stets bor* ichüssig sind) gezahlt werden, so muß infolge der Gleichwertigkeit von Leistung und Gegenleistung auch Gleichwertigkeit für die verschiedenen Prämienzahlungsarten unter sich vorliegen; es muß also der für den Zeitpunkt des Versicherungsabschlusses berechnete Wert der jährlichen Prämienzahlung gleich der einmaligen Prämie sein. Schließen aber lx Personen eine Versicherung ab, für die eine Jahresprämie von 1 Jl in mal*) zu zahlen ist, so hat die

m — 1

Gesellschaft die Beiträge    zu erwarten, und deren Barwerte betragen

m —1 7

oder    Jl.

2^0 q

^x+2

A=0

Hiervon entfällt auf jeden Versicherten der 4te Teil, also der Betrag JL Somit erweisen sich die Jahresprämien als eine von dem

q²

qs

q™-¹

2=0

Versicherten an die Versicherungsgesellschaft zu zahlende und sofort beginnende Leibrente für längstens m Jahre.

*) m darf höchstens gleich n sein, da die Leistung des Versicherten beendet sein muß, ehe eine Leistung der Gesellschaft eintreten kann, wenn nicht deren Sicherheit gefährdet werden soll.

Bezeichnet man demnach mit Zx den Barwert der Kassenleistungen für einen Versicherten des Alters x und mit mPx die Jahresprämie, so hat man:

III.

Zx = m

m —li>

z=o    x

Hieraus läßt sich mPx berechnen.

G. Versicherung auf den Todesfall.

Bei einer Versicherung auf den Todesfall muß im Gegensatz zu der Kapitalversicherung auf den Lebensfall die Versicherungssumme jedenfalls einmal gezahlt werden. Haben Zx Personen eine Versicherung von 1 Jl Sterbegeld abgeschlossen, so stehen der Versicherungsgesellschaft im ersten Jahre dx Jl, im zweiten Jahre dx+1 Jl, im dritten Jahre dx+3^#, usw. Kassenleistungen bevor. In der allgemein üblichen Annahme, daß die Sterbegelder gemeinschaftlich am Schlüsse des Sterbejahres bezahlt werden, betragen die Barwerte dieser Leistungen zusammen

dx

dx + i , dx_j_2 dx_j_₈

T +

Der Barwert oder die einmalige Prämie für die Versicherungssumme 1 Jl beträgt daher für jeden einzelnen Versicherten

I dx + i i dx-4_2 I dx-f-3 | t    -r qä -r q4 -r

q²

q³

q⁴

• - •) JL

Erweitert man mit --r so erhält man

qx'

J_ / dx , dx+i ,    + 2 , dx+3

K \qx + ¹ qx+²    qx+⁸ "r q* + *

qx

Nun gibt der Bruch

dx

den Wert von dx Jl am Geburtsdatum eines

qx + l

x-jährigen an, und wird deshalb diskontierte Zahl der Toten des Alters x genannt. Bezeichnet man ihn mit Cx, so nimmt der vorstehende Ausdruck die Form an:

(Cx + Cx + i + Cx_|_2 + Cx-j-3 + • • •) ober Die Berechnung der Jahresprämien erfolgt nach Absatz F.

1Y.

100

*=x

100

Anmerkung. Zur Vereinfachung der Rechnung hat man auch für Cx und ^ bei 3y% Tabellen aufgestellt.    x

H. Drckungskapital (Prämienreserve).

Wollten h Personen eine Versicherung auf den Todesfall in der Weise eingehen, daß diese immer für 1 Jahr bestehen und beim Beginn eines jeden folgenden Jahres auf ein weiteres Jahr erneuert werden sollte, so hätte ein Versicherter für die Versicherungssumme 1 JL der Reihe nach die (Einmal-) Prämien

P* + k —

<Hx + k

für x — 0, 1, 2, 3, 4, usw.

zu entrichten. Berechnet man diese für das Alter 20 beim Beginn der Versicherung, so stellt sich heraus, daß die Einmalprämien bis zum Alter 47 kleiner als die gleichmäßige Jahresprämie sind, von dann ab aber über diese hinausgehen. Für jedes Eintrittsalter gibt es ganz entsprechend zwei Zeitabschnitte derart, daß in dem ersten die gleichmäßige Prämie größer als die Einmalprämie ist, während sie in dem zweiten hinter dieser zurückbleibt. In dem ersten Zeitabschnitt nimmt also die Versicherungsgesellschaft jährlich an Prämien mehr ein, als ihre Kassenleistungen betragen, während in dem zweiten die Einnahmen aus den Prämien nicht ausreichen, um die eintretenden Verpflichtungen zu bestreiten. Die Mehreinnahme in dem ersten Zeitabschnitt muß daher von der Gesellschaft zurückgelegt werden, damit den Ansprüchen an die Kasse in dem zweiten genügt werden kann. Den Wert dieser zurückgelegten Beträge am Ende des ntcn Versicherungsjahres bezeichnet man als das Deckungskapital (die Prämienreserve) nach n Jahren.

Bei der Bestimmung des Anteils, der von dem Deckungskapital auf den einzelnen Versicherten entfällt, kommen naturgemäß nur die Überlebenden in Betracht. So sind an der Mehreinnahme des ersten Geschäftsjahres nur lx+1, an der des zweiten nur lx+2, an der des dritten nur lx+3 Personen usw. beteiligt. Man könnte also von Jahr zu Jahr fortschreitend den auf einen Versicherten fallenden Teil des Deckungskapitals berechnen, indem man am Ende eines jeden Geschäftsjahres den Endwert der Summe aus allen beim Beginn des Jahres gezahlten Prämien und dem vorhandenen Deckungskapital bildet, von diesem die Leistungen der Kasse abzieht und den Rest durch die Anzahl der Überlebenden dividiert; denn das für die Gestorbenen zurückgelegte Deckungskapital kommt den Überlebenden gleichfalls zu. Allein diese zwar durchsichtige, aber recht umständliche Berechnungsweise läßt sich durch ein weit einfacheres Verfahren ersetzen.

Die Jahresprämie Px für die Versicherungssumme 1 Ji muß so bemessen sein, daß beim Beginn eines jeden Geschäftsjahres die Summe aus dem Deckuugskapital und dem Zeitwert aller von den Versicherten noch zu erwartenden Prämien dem Zeitwert der noch bevorstehenden Kassenleistungen gleich ist. Nun sind am Ende des nte" Geschäftsjahres noch ZI+„ Überlebende vorhanden; für den einzelnen Versicherten beträgt also der Zeitwert

i. der von ihm noch zu erwartenden Prämien

2. der Versicherungssumme 1 A und somit kommt auf ihn am Ende des nten Geschäftsjahres für die Versicherungssumme 1 Jl das Deckungskapital

Ex + n

y.

x + n

In entsprechender Weise läßt sich für jede Versicherungsart das Deckungskapital angeben. Man stellt fest, um wieviel für den in Betracht kommenden Zeitpunkt der Zeitwert der noch zu erwartenden Beiträge hinter dem Zeitwert der Kassenleistungen zurückbleibt. Die Berechnung des Jahresbeitrags muß selbstverständlich dieser Rechnung vorausgehen.

I. Schlußbemerkungen.

a)    Es liegt in der Natur der Sache, daß ein Gesunder sich eher zu einer Versicherung auf den Lebensfall und ein Kranker sich leichter zu einer Versicherung auf den Todesfall entschließen wird. Man darf sich daher nicht darüber wundern, daß die Gesellschaften bei den beiden Versicherungsarten verschiedene Absterbeordnungen benutzen und in jedem einzelnen Falle diejenige Sterbetafel wählen, die für sie am günstigsten ist.

b)    Die berechneten Prämiensätze sind Durchschnittswerte und bieten den Gesellschaften oder Kassen nur bei zahlreichen Versicherungsabschlüssen eine hinreichende Sicherheit. Auch aus diesem Grunde wird der Versicherer die für ihn günstigste Absterbeordnung wählen, um sein Risiko zu vermindern.

c)    Es wird daher häufig der Fall eintreten, daß der berechnete Jahresbedarf von dem wirklichen nicht erreicht wird. Die Differenz bildet dann einen Gewinn des Versicherers (Gewinn aus Untersterblichkeit).

Ferner liegt den Berechnungen der Zinsfuß 3y % zugrunde; es wird sich aber selbst bei der vorgeschriebenen mündelsicheren Anlage der Kapitalien eine höhere Verzinsung erzielen lassen, und da es sich um sehr große Beträge handelt, bei denen eine geringe Erhöhung des Zinsfußes schon beträchtliche Zinsüberschüsse liefert, so erwächst dem Versicherer aus der Anlage der Kapitalien ein Gewinn, der um so größer ausfällt, je günstiger für ihn der Geldmarkt ist (Gewinn aus ZinSübrrfchuß).

Schließlich kommt es gar nicht selten vor, daß ein Versicherter aus irgendeinem Grunde die Prämien nicht weiter zahlt; seine Police verfällt dann, und sein Anteil an dem Gesamtvermögen (der Prämienreserve) geht in das Eigentum des Versicherers über (Gewinn aus verfallenen Poliren).

d) Bei den Kassen, wie bei der Magdeburgischen Sterbekasse akademisch gebildeter Lehrer, kommt der Gewinn (fast ganz) in einem Abzug bei der nächsten Prämienzahlung (Dividende) den Versicherten wieder zugute. Aber auch die Gesellschaften verteilen vielfach Dividenden, um sich dem Publikum zu empfehlen; ihr Nettogewinn, der an die Inhaber der Gesellschaften (die Aktionäre) verteilt wird, ist demungeachtet in den meisten Geschäftsjahren nicht unbeträchtlich.

Anmerkung. Der Lehrer möge es nicht versäumen, auf die große soziale Bedeutung des Versicherungswesens hinzuweisen und den Blick des Schülers aus die staatlichen Versicherungen zu lenken, die in Deutschland mehr als in irgendeinem anderen Lande deni Arbeiter eine pekuniäre Sicherheit nicht nur für sein Alter, sondern auch gegen die Gefahren seines Berufes gewähren.

Anhang II.

Einführung in die Differential- und Integralrechnung.

Nr. 1. Zu- und Abnahme einer Funktion. Einführung des Differentialquotienten.

Um beurteilen zu können, ob die Funktion f(x) von der Stelle x = a aus zu- oder abnimmt, müßte man die Werte der Funktion für x = a und für x = a + h berechnen, wo h eine im Verhältnis zu a sehr kleine positive Größe bezeichnet. Ist die Funktion nicht eine algebraische Funktion von einfachem Aufbau oder eine andere der Berechnung leicht zugängige Funktion, so kann die Arbeit recht viel Zeit beanspruchen. Hat man die Funktion f(x) graphisch dargestellt, so kann man ihren Verlauf allerdings bequem verfolgen und nicht nur die aufgeworfene Frage nach ihrem Verhalten von der Stelle x = a aus leicht beantworten, sondern auch der Figur die ungefähren Werte der Veränderlichen entnehmen, für welche die Funktion den Wert 0 oder einen Grenzwert annimmt, allein auch die graphische Darstellung setzt im allgemeinen eine größere Menge rechnerischer Arbeit voraus. Es empfiehlt sich daher, ein weniger zeitraubendes Verfahren abzuleiten. Wir wollen uns dabei aber auf die Betrachtung solcher Funktionen beschränken, die entweder in ihrem ganzen Verlaus (wie z. B. sin x, cos x und sämtliche ganzen rationalen Funktionen) oder doch innerhalb bekannter Bereiche der Veränderlichen (wie z. B. tg x und ctg x) stetig sind. (Vgl. Seite 92, oben.)

a) Bei einer stetigen Funktion y = f(x) hat die Vergrößerung der Veränderlichen X um ein (zwar sehr kleines aber doch endliches) Stück z/x eine bestimmte Veränderung z/y von y zur Folge, und der Differenzenquotient

z/y

f(x + Jx) — f(x)

z/x

4y

Fig.OI.

gibt das Verhältnis an, in welchein an der Stelle x die Veränderung der Funktion zu der Zunahme der Veränderlichen steht.

Dieser Differentialquotient hat eine einfache geometrische Bedeutung. Sind x, y und x + z/x, y + z/y die Koordinaten zweier Punkte der Kurve, durch welche die Funktion y = f(x) graphisch dargestellt wird, und bezeichnet man den

Winkel der Sekante PP' und der (positiven Richtung der) X-Achse mit cp, so erkennt man, daß der Quotient ~ gleich tg cp ist, d. h.

Der Differenzenquotient ~ ist gleich der trigonometrischen

Tangente des Winkels, den die Sekante PP' mit der X-Achse bildet.

Wird nun die Sekante PP' um den Punkt P gedreht, bis sie in die Tangente des Punktes P übergeht, d. h. bis P' dem Punkte P unendlich benachbart wird, so werden die Differenzen z/x und z/y unendlich klein, und der Winkel cp geht in den Winkel a der Tangente des Punktes P und der X-Achse über. Bezeichnet man an der Grenze die unendlich kleinen Wertveränderungen mit dx und dy¹), nennt sie nicht mehr Differenzen, sondern Differentiale, und führt den Begriff des Differentialqnotienten der Funktion y nach x ein durch die Gleichung:

dx

Jx = 0

— = lim 4^,

Ax' so erhält man den Satz:

Lehrsatz L Der Differentialquotient || der Funktion y = f(x)

ist gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels, den die geometrische Tangente der Kurve y = f(x) mit der (positiven Richtung der) X-Achse bildet.

Folgerung. Der Wert des Differentialquotienten ~ der Funktion y --- f(x)

für x = a ist das Maß für die Steigung der Tangente des zu der Abszisse X = a gehörigen Punktes der Kurve y = f(x).

Tb) Nimmt die Funktion y = f(x) zu, wenn die Veränderliche x den Wert a überschreitet, steigt also die Kurve y = f(x) von der Stelle x = a aus, so ist der Differentialquotient der Funktion für x = a positiv (der Winkel« kleiner als 90°) und sinkt die Kurve, so ist der Differentialquotient negativ (der Winkel a größer als 90°). Diese Beziehung läßt sich umkehren: Ist der Differentialquotient der Funktion y = f(x) für x == a positiv, so (ist der Winkel « kleiner als 90° und daher) steigt die Kurve von dem p x = a gehörigen Punkte aus, und ist der Differentialquotient für i = a negativ, so (ist der Winkel« größer als 90° und daher) sinkt die Kurve von diesem Punkte aus. Ist schließlich der Disierentialquotient für X = a gleich 0, so (ist die Tangente des Punktes der X-Achse parallel und daher) bleibt es unentschieden, ob die Kurve von dem zugehörigen Punkte aus steigt oder sinkt. Man hat also den Satz:

negativ ist.

X ----- 3,

Lehrsatz 2. Die Funktion y ---- f(x) wächst von der Stelle x = a aus, wenn ihr Differentialquotient für x = a positiv ist, und sie nimmt ab, wenn er für

Zusatz. Aus der Tatsache, daß der Differentialquotient der Funktion y — f(x) für x = a gleich 0 ist, läßt sich noch nicht entscheiden, ob die Funktion von X --- a ab wächst oder abnimmt.

y = a₀ + atx + a₂x² + a₂x³-i-----a^x¹¹-¹ + anx”

und vermehrt in in ihr die Veränderliche x um z/x, so erhält man:

c) Der Übergang der Sekante PP' in die Tangente des Punktes P kann erst eintreten, wenn die Größe z/x den Wert 0 erreicht. Dieser Übergang läßt sich zwar an der Figur nicht beobachten, da unendlich benachbarte Punkte nicht gezeichnet (und auch nicht vorgestellt) werden können, aber bei der Rechnung ist es (meistens) möglich, ihn mitzumachen. Hat man z. B. die ganze rationale Funktion

y + z/y = a₀+ a^x + z/x) + a₂(x + z/x)² + a₈(x + z/x)⁸+• •- + an(x + z/x)n

Entwickelt man die Potenzen von x + z/x und faßt die Glieder mit gleichhohen Potenzen von z/x zusammen, so entsteht in der Summe der von x freien Glieder wieder die Funktion y, und daher fällt y aus der Gleichung fort. Auf der rechten Seite bleiben daher nur Glieder, die der Reihe nach die Faktoren z/x, (z/x)², (z/x)³, • • • (z/x)n haben. Dividiert man jetzt beide

Seiten der Gleichung durch zhs, bildet man also den Differenzenquotienten ^,

so erhält man rechts einen von z/x freien Ausdruck, der mit f'(x) bezeichnet, wird, und weitere Glieder, die noch Potenzen von z/x zu Faktoren haben. Die mit diesen Faktoren multiplizierten Summen nehmen für jeden endlichen Wert von x endliche Werte an, und daher werden alle noch mit z/x behafteten Glieder mit z/x zugleich gleich 0. Geht man also zur Grenze

dy

über, d. h. setzt man z/x = 0, so erhält man in f'(x) den Grenzwert dx

des Quotienten für z/x = 0.

d) In allen Fällen, in denen sich dieser Grenzübergang ausführen läßt, erhält man in f'(x) wieder eine Funktion von x, d. h.

Lehrsatz 3. Der Differentialquotient einer Funktion von x ist wieder eine Funktion von x.

Zusatz 1. Der Differentialquotient wird auch als (erste) Ableitung der Funktion bezeichnet. Vgl. Seite 92, oben.

Zusatz 2. Statt der Gleichung = f'(x) schreibt man auch: dy = f'(x)dx.

~ = lim

^ X z/x —0

innerhalb eines bestimmten Bereichs der Veränderlichen bestimmte endliche Werte an), so sagt man, die Funktion f(x) kann (innerhalb dieses Bereiches) nach x differenziert werden.

eine Funktion f'(x) von x ableiten (und nimmt diese

Erklärung. Läßt sich aus der Gleichung y = f(x) für den Grenzwert f(x + ^x) — f(x)

Ax

Nr. 2. Allgemeine Satze über Drffrrrnkialquotrenten.

a) Ist y eine Summe aus einer Funktion von x und einer konstanten Größe c, ist also y = f(x) + c, so hat man:

y + 4y = f(x -f z/x) + c,

d. h. bei c tritt keine Veränderung ein. Man hat daher den Satz:

Lehrsatz 4. Der Differentialquotient einer additiven Konstanten ist gleich 0.

b) Ist y gleich dem Produkt aus einer konstanten Größe c und einer Funktion von x, ist also y = c • f(x), so hat man:

z/y — c • f(x -f z/x) — c • f(x) = c[f(x + z/x) — f(x)]

und somit

^y    f(x + z,x) — f(x) _

Ax

Ax

Ist f(xj eine Funktion, die differenziert werden kann, so folgt hieraus durch Übergang zur Grenze:

g-cf'(x),b.$

Lehrsatz 5. Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren unverändert.

c) Sind g(x) und h(x) zwei Funktionen, die differenziert werden können so lassen sich auch ihre Summe bzw ihre Differenz, ihr Produkt und ihr Quotient differenzieren.

«) Ist y = g(x) + h(x), so hat man:

z/y = g(x + z/x) + h(x + z/x) — g(x) — h(x)

= g(x + z/x) — g(x) + h(x + z/x) — h(x),

also

Zy _ g(x + z/x) — g(x)

h(x + Ax) — h(x)

Ax

Ax

Ax

und somit erhält man durch Übergang zur Grenze:

g = g'(x) + h'(x).

Ganz entsprechend ergibt sich:

^ [g(x) - h(x)] --- g'fx) - h'(x).

Man hat also den Satz:

Lehrsatz 6. Der Differentialquotient der Summe oder Differenz zweier Funktionen, die differenziert werden können, ist gleich der Summe bzw. der Differenz der Differentialquotienten ihrer Glieder

ß) Ist y = g(x) • h(x), so hat man:

^y = g(x + ^x),h(x+^x)—g(x)-h(x)

⁼ g(x + ^x)-h(x+z/x)-g(x+z/x)-h(x) —g(x)-h(x) + g(x + z/x)-h(x),

g(x -f ^x) - g(x)

also:

h(x + z/x) -h(x)

^ = g(x + z/x) nnd demnach erhält man durch Übergang zur Grenze:

z/x

+ h(x)

z/x

= g(x) • h'(x) + h(x) • g'(x), d. h.

Lehrsatz 7, Sind g(x) und h(x) zwei Funktionen, die differenziert werden können, so hat ihr Produkt den Differentialquotienten

H fe(x) * h(x)] = h(x) - g'(x) + g(x) • h'(x).

- , so hat man:

g(x-j-Zx) __ g(x) _ h(x) ■ g(x -f z/x) — g(x) • h(x -f z/x) h(x -j- z/x) h(x)

₌ h(x) - g(x 4- z/x) — h(x) • g(x) — g(x) ■ h(x -f z/x) -f g(x) - h(x) h(x + z/x) h(x)

r) Ist y =

zlj =

SIS

also:

g(x + ^x) — g(x)

z/x h(x + z/x) • h(x) Ij¹

und demnach erhält man durch Übergang zur Grenze:

H = WFW)[h(x) ‘ g'(x) - gW • t (x)], d. h.

z/x

-g(x)

h(x -j- z/x) — h(x)

z/x

dy

Lehrsatz 8, Sind g(x) und h(x) zwei Funktionen, die differenziert werden können, so hat ihr Quotient den Differentialquotienten

JL slWl — hCx)-g,(x> — g(x).h(x) dx Lh(x)J    [h(x)J2

d) Ist y eine Funktion einer veränderlichen Größe u, die ihrerseits eine Funktion von x ist, hat man also y = g(u) und u = h(x), und kann g(u) nach u bzw. h(x) nach x differenziert werden, so läßt sich auch y nach x differenzieren. Denn aus der gemachten Annahme folgt zunächst:

di = rn [g(u)] • duz

und da aus dem gleichen Grunde

ist, so ergibt sich:

du==fith(x)3,dx"Hdx

dy = ^[g(u)]-n-dx, also: ^ = ^[g(u)].™.

244 Anhang II. Einführung in die Differential- und Integralrechnung. Lehrj. 9 u. 10. Man hat also den Satz:

Lehrsatz 9. Ist y eine differenzierbare Funktion von u und u eine differenzierbare Funktion von y, so ist jnj: = jtt; •    •

Nr. 3. Drfferrnttalquokirnlrn algebraischer Funktionen,

a) Differentialquotient der Funktion y = x“.

Entwickelt man die Potenzen (a + b)³, (a + b)³, (a + b)⁴, (a + b)⁵ usw. der Reihe nach in Summen, die nach fallenden Potenzen von a geordnet sind, so erhalten die zweiten Glieder der Summen der Reihe nach die Koeffizienten 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 usw. Hieraus kann der Schluß gezogen werden, daß die Entwicklung der Potenz (a + b)n mit den Gliedern an und n - an_1b beginnt, falls n eine positive ganze Zahl ist. Ist daher in der Funktionsgleichung y = xn der Exponent n eine positive ganze Zahl, so hat man:

z/y = (x + zlx)n — xn = n • x“⁻¹z/x + (z/x)³ - g>(x), wo y(x) eine ganze rationale Funktion von x bezeichnet, die für jeden endlichen Wert von x eine endliche Größe bleibt. Dividiert man durch z/x und geht

dann zur Grenze über, so folgt:    = n • xn_1.

Ist n eine negative ganze Zahl und gleich —v, so hat man: y =

und da der Differentialquotient von x*' gleich v ■ xv ~¹ ist, so erhält man durch Anwendung des Lehrsatzes 8: j' =

xä>

Ersetzt man nun — v wieder durch n, so folgt: y' = n • x”-¹.

t-

Ist schließlich n ein (positiver) Bruch und gleich so hat man: y

und hieraus folgt, wenn man zur vtcn Potenz übergeht,

u = y = x-“.

Differenziert man u nach y und auch nach x, so erhält man:

cku — v ■ y’,_1dy und du = ^ • x‘“_1dx,

und hieraus folgt:

dy _    ■ x" ¹ __ ^ _ j ₌

dx v • yv~¹ v x • jv

Ersetzt man jetzt - wieder durch n und y durch xn, so ergibt sich auch hier: j' = n • x“⁻¹.

1.

Ganz entsprechend gestaltet sich die Rechnung, wenn n ein negativer Bruch ist. Man hat daher die für alle reellen endlichen Werte von n gültige Formel

d(x") = n.xn-¹dx.

Über die Verwendung irrationaler Exponenten vgl. Abschnitt II, Nr. 6.

b) Differentialquotienten rationaler Funktionen.

a) Eine ganze rationale Funktion von x kann stets durch eine Summe aus Potenzen von x mit einer endlichen Anzahl von Gliedern dargestellt werden. Ist diese Entwicklung in eine Potenzreihe vollzogen, so bildet man nach der Formel 1 die Differentialquotienten der einzelnen Glieder und vereinigt sie zu einer Summe. Da hierbei die Exponenten der einzelnen Potenzen um 1 kleiner werden, so folgt:

Der Differentialquotient einer ganzen rationalen Funktion vom Grade n ist eine ganze rationale Funktion vom Grade n — 1.

Ist die Funktion durch ein Produkt gegeben, so läßt sich die Entwicklung in eine Summe umgehen, wenn man den Lehrsatz 6 anwendet.

ß) Ist y gleich der nten Potenz einer ganzen rationalen Funktion von X, so verfährt man unter Benutzung der Formel 1 nach Lehrs. 9.

Beispiel. Es sei

Man hat hier:

y — (5x³ — 2x² -f- 7x — 9)⁴.

dy

^ = 4- (5x³ — 2x² -f 7x — 9)³

und

du

^=15x*-4x + 7,

also:

dy du du dx

y) Da man unter einer gebrochenen rationalen Funktion den Quotienten zweier ganzen rationalen Funktionen versteht, bei dem die Division nicht ausgeführt werden kann, so läßt sich der Lehrsatz 8 benutzen. Die Differentialquotienten des Zählers und des Nenners werden nach Absatz a) bestimmt.

<ty

dx

— 4(5x⁸ — 2x² -f- 7x — 9)³(15x² — 4x -j- 7), usw.

c) Differentialquotient einer Wurzel aus einer rationalen

Funktion.

Ist y gleich der nten Wurzel aus einer rationalen Funktion f(x), ist

also y --- >/f(x), so hat man: u = f(x) = yn; man kann daher die Funktion u sowohl nach x als auch nach y differenzieren. Aus den dabei entstehenden Gleichungen

ergibt sich aber:

du = f'(x)dx

= f' (x) dx H'f-i

er

du = n • yn-1dy

t'(x)

, d. h.

n-y,[f(x)]n

Lehrsatz 10, Ist bei der Wurzel >/f(x) der Exponent n eine (positive) ganze Zahl, und ist f(x) eine rationale Funktion von x, so ist

-1

Anhang II. Einführung in die Differential- und Integralrechnung. Insbesondere ist für die Quadratwurzel

246

Html

f(x)

2]/s(x)

Nr. 4. Differrnkialguokrrnten einiger transzendenten

Funktionen.

a) Differentialquotienten der Winkelfunktionen.

Um die Ableitung einer Winkelfunktion bilden zu können, muß man zuerst dafür Sorge tragen, daß die Funktion y und die Veränderliche x Größen

derselben Art sind, weil sonst der Quotient ^ keine Bedeutung besitzt. Zu

dem Zwecke nimmt man den Winkel als Mittelpunktswinkel in einem Kreise mit dem Halbmesser 1 an und mißt ihn durch den Bogen, zu dem er gehört. Die Winkelfunktionen treten dann gleichfalls als Längen auf.

Ist aber x gleich dem Bogen AB nnd sin x = B C bzw. tgx = TA, so T hat man:

sin x < x < tg x,

J_>!> J_

sin x    x tg x r

sin x sin x sin x sin x x ^ tg x

+ sin x

1 >-------> COS X.

X

Nimmt x bis zur Grenze 0 ab, so wächst cosx bis zur oberen Grenze + 1, und daraus folgt:

Der Grenzwert des Quotienten s-“-x für x = 0 ist gleich + 1.²)

Fig. 92.

also:

__\A und daher:

oder:

also:

Ist nun y ----- sin x, so §at man: z/y = sin (x + z/x) — sinx

= 2 sin -i- z/x cos

\ (2x + z/x) ■

Geht man jetzt zur Grenze über, so erhält man: y' = cosx.

| (2x + z/x),

z/x

----- cos

sin -I- z/x

In gleicher Weise führt die Verwendung der Additionstheoreme auf die Herstellung der Differentialquotienten der anderen Winkelfunktionen. Man findet:

1.

d (sin x) = cos xdx,

d (cos x) --- — sin xdx,

d (tg x) = (1 + tg²x) dx =

dx

cos²x'

d (ctg x) = — (1 + ctg²x) dx-- —

dx

sin²x*

b) Differentialquotienten der Kreisfunktionen. Vorbemerkung. Betrachtet man y als unabhängige Veränderliche, so hat man (f. Nr. l) den Differenzenquotienten zu bilden und dessen Grenzwert

zu untersuchen. Nun ist dieser Grenzwert gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels ß, den die Tangente des Punktes P (s. Fig. 9i) mit der

positiven Richtung der Achse bildet; man hat also: g- = tg ß- Da aber

das Koordinatensystem rechtwinklig, also entweder die Summe «+ ß oder die Summe (180°— u) + (180°— ß) gleich 90° ist, so ist ig ß = ctg a, also

tg /3 = —, d. h. bei allen Funktionen, die wir hier in Betracht ziehen, ist

der Quotient = 1:    Von diesem Satze wollen wir Gebrauch machen,

um

die Differentialquotienten der Kreisfunktionen und der Exponentialfunktionen zu bilden.

Die Kreisfunktionen ergeben sich durch Umkehrung der Winkelfunktionen. Ist z. B. x = sin y, so ist y = arc sin x. Da hiernach das gegebene Abhängigkeitsverhältnis zwischen x und y durch jede der beiden Gleichungen ausgedrückt wird, so kann die eine für die andere eintreten. Will man daher z. B. den Differentialquotienten der Funktion y = arc sin x bestimmen, so kann man von der Gleichung x = sin y ausgehen, d. h. y als unabhängige Veränderliche ansehen, die Funktion x nach y differenzieren und aus dem Ergebnis den Differentialqnotienten der Funktion y = arc sin x nach x ableiten.

x²

Nun ist dx = cos ydy, also --- cosy,mtb btt cosy = )/l — sin²y =]/1 —

ist, so folgt ™ = "|/F—x², und daher nach dem vorhin ausgesprochenen Satze:

5- --- ■ -¹ Somit ist d (arc sin x) --- —jLX== •

d j/i-x²    yi—x⁸

Auf dem gleichen Wege findet man die Differentialquotienten der anderen Kreisfunktionen. Die Rechnung liefert die Formeln:

d (arc cos x) =

2.

d (arc sin x) ---

dx

dx

yi—xs'

yi—x2'

d (arc tg x)

dx

1 + X2 '

d (arc ctg x)

dx

1 + X2

c) Differentialquotienten der Exponentialfunktionen.

Bei den Exponentialfunktionen kann nicht wie bei den vorstehenden Funktionen vorgegangen werden, weil für die Veränderungen, welche durch eine Vergrößerung der Veränderlichen hervorgerufen werden, entsprechende Gleichungen nicht bestehen (s. Abschnitt in, Nr. 7). Man muß daher, um die Ableitungen zu bilden, einen anderen Weg einschlagen.

In Abschnitt III, Nr. 44, wird die Zahl e, die Grundzahl der natürlichen Logarithmen, durch die Gleichung lim (l + e eingeführt. Bezeichnet man den natürlichen Logarithmus einer Zahl a mit la, so ist also le — 1. Liegt nun die Funktion y ---- sX vor, so hat man hiernach: ?y = x-le = x, und somit erhält man durch Umkehrung die Funktionsgleichung x = ly. Vergrößert man y um z/y und bezeichnet die Veränderung von X mit z/x, so hat man:

z/x --- l(y + z/y) — ly = Zy~^y

und somit:

Ersetzt man jetzt auf der rechten Seite ^ durch also -Jj durch y, so daß

für jeden endlichen Wert von y die Zahl n unendlich groß wird, wenn z/y den Wert 0 annimmt, so erhält man:

= — • l lim fl + —)”= — • le = —, y n = » \ n/ y    y'

da lim (l + ^ = e und le = 1 ist. Nach der Vorbemerkung in Absatz b) hat man daher: ~ = y ober

und hieraus folgt:

3.

zfy

d(ex) ---- exdx,

d. h. der Differentialquotient der Funktion ex ist gleich ex selber.

Eine zweite Herleitung der Gleichung 3 stützt sich auf den Satz, daß ex der Grenzwert von (l + für n = oc ist. Zunächst hat man:

y +    = ex + z/x = ex- e^x, also: y = ex(ez/x— 1),

und somit:

Ax

Ax

Nun ist aber

also

und folglich

e"=l+?^ +

e^x-l 1 ,

jx ⁼T +

lim

(z/x)⁸    (z/x)⁴

31 "r 41 'r ' "

z/x (z/x)⁸    (z/x)⁸

2! "t"    31    "T"    41    ' ' "

e^-l

Man erhält daher wieder:

zfx = 0

= 1.

^ = ex oder d(ex) = exdx.

Ist die Funktion y = ax gegeben, so setzt man: a = eia und hat dann: y = ex',a Auf dem gleichen Wege wie bei ex erhält man auch hier:

d(ax) — Za - axdx.

4.

d) Differentialquotienten der logarithmischen Funktionen.

Im engsten Anschluß an das bei ex angewandte Verfahren gewinnt man die Formeln:

dx

5.

d(Zx) = — und d (log x) = log e ^.

e) Zusätze zu Nr. 3 und Nr. 4.

Bezeichnet man bei einer Funktion den Differentialquotienten der

ersten Ableitung als zweite Ableitung der Funktion, zweiten

usw.,

„ dritte

so erhält man die folgenden Sätze:

I. Die kte Ableitung einer ganzen rationalen Funktion nte” Grades (k<n) ist eine ganze rationale Funktion vom Grade n — k.

II. Die Funktion y = sin x hat die Ableitungen

y'= cos x, y" = — sin x, y— cos x, yIV = sin x, usw.

III.    Die Funktion y = cos x hat die Ableitungen

y'= — sin x, y" = — cos x, j"' — sin x, yIV=cosx, usw.

IV.    Sämtliche Ableitungen der Funktion y = ex sind gleich ex selber.

Nr. 5. Die Mar-Laurinschr und dir Taylorschr Reihe.

a) Weiß man von einer Funktion f(x), daß sie in ihrem ganzen Verlauf (oder doch innerhalb bestimmter Bereiche) stetig ist, so darf man annehmen, daß es für die eine nach Potenzen von x fortschreitende unendliche Reihe von der Form

1.

f(x) = A₀+ Atx + A₂x² + A₃xs + A₄x⁴ -i----

gibt, die innerhalb des Stetigkeitsbereiches konvergent ist. Gelingt es also, die Koeffizienten Ak zu bestimmen, so erhält man für die Funktion f(x) eine innerhalb des Stetigkeitsbereiches gültige Reihenentwicklung Der Zusammenhang zwischen den (Zahlen-) Größen Ak und der Funktion läßt sich aber unter der gemachten Annahme leicht ermitteln.

Da für i = 0 die Gleichung f(o) ---- A₀ entsteht, so hat man zunächst:

A₀ = f(o).

Bildet man auf beiden Seiten der Gleichung 1 die Ableitungen, so erhält man: f'(x) = Aj + 2A₂x + 3Agx²+ 4A₄x³+ 5A₅x⁴ + • • •,

und hieraus ergibt sich für x = 0:

* Ai-liÜ.

Bildet man jetzt die zweite Ableitung von f(x), d. h. die erste Ableitung von f'(x), so erhält man:

f'(o)-A

f"(x) = 2A₂ + 2 • 3A₃x + 3.4A₄x² + 4.5 A₅x³ 4----

f"(o)

1 • 2 •

und daraus folgt wiederum für x = 0:

f"(o) = 2AS, also: Aä =

Für die dritte Ableitung der Funktion hat man:

f'"(x) = 2 • 3A₈ + 2 • 3 • 4A₄x 4-3-4-5A₅x²4- - -

und diese Gleichung führt für x = 0 auf

1.2.3*

V. Die kte Ableitung der Funktion y = ax ist gleich (7a)k • ax. VI. Die Funktion y = Ix hat die Ableitungen , i

y -T'

--

_ i a

x² ' y    xs r

yIV=

12 3

X⁴

usw.

f"'(o) = 2 • 3A₃, also auf A₃ =

. Ganz entsprechend läßt sich zeigen, daß A₄ -- -fIJ^, A₆ = usw. ist. Somit geht die Gleichung 1 über in

2. f(x) —f(o) + s'(o) • y + f"(o) •    + f'" (°) * |r + fIV(o) • jj-+ • • •

Kennt man also von einer Funktion f(x) die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen für x = 0, so kann man die Funktion durch eine nach Potenzen von x fortschreitende unendliche Reihe darstellen, deren aufeinanderfolgende Koeffizienten gleich sind.

Die Reihe 2 heißt Mac-Laurinsche Reihe.

Da es hier noch nicht möglich ist, die allgemeinen Bedingungen für die Gültigkeit der Mac-Laurinschen Reihenentwicklung zu untersuchen, so ist es geboten, sich auf Funkiionen zu beschränken, bei denen man die Konvergenz der Reihe 2 mit Bestimmtheit nachweisen kann.

h) In gleicher Weise kann man für die Funktion f(a + x) die Reihe f(a + x) = A₀ + AjX + A₂x² + AgX⁸ + A₄x³ + • • • annehmen, und dann zeigen, daß

A _ £/„)    A _ f,(a) A _ f”(a)    A    (a)

^0 — IW, A1 — I I    --2\ ' Ä3 — gl

usw. ist, also unter der gleichen Annahme wie oben die Funktion in die Reihe

3. f(a+x)=f(a) + f'(a) . \ + f" (a) ~ + f'"(a) • fl+fIV(a) •£+■■■

entwickelt werden kann. Die Reihe heißt Tahlorsche Reihe.

Für a = 0 entsteht aus der Taylorschen Reihe die Reihe von Mac-Laurin; diese bildet demnach einen besonderen Fall der Taylorschen Reihe. Taylor hat früher als Mac Laurin seine Formel aufgestellt.

c) Unendliche Reihen.

1. Der binomische Lehrsatz ist weder, für die Herstellung des Differentialquotienten der Funktion y = xn noch für die Herleitung der Reihen 2 und 3 benutzt worden. Es unterliegt daher keinem Bedenken, den allgemeinen binomischen Lehrsatz aus einer dieser Reihen abzuleiten. Setzt man f(x) = (1 + x)u, wo n eine beliebige reelle Zahl bezeichnet, so hat man:

f'(x) = n • (1 + x)n—1, f"(x) = n(n — 1) (1 + x)n~⁸, f'"(x) = h(ii - 1) (n - 2) (1 - x)⁸, usw. Für x = 0 ist also

f(0) = 1, f' (0) — n, f"(0) = n(n — 1), f"'(0) = n(n — 1) (n — 2), usw. Führt man dies in die Reihe von Mac-Laurin ein, so erhält man:

X⁸

3! + "'

(1 + x)n = 1 + n • y + n(n — 1) • ^ + n(n - 1) (n - 2) •

Auf die Bedingung für die Konvergenz dieser Reihe wollen wir hier nicht eingehen.

2. Bei dem ersten Verfahren zur Herstellung den Differentialquotienten der Funktion ex ist die aus dem binomischen Lehrsätze abgeleitete Reihenentwicklung für ex nicht verwandt worden. Demnach wird man diese mit Benutzung der Reihe von Mac-Laurin und der Ableitungen von ex bilden

dürfen. Da e° = 1 und ^ (ex) = ex ist, so ergibt sich leicht die Reihe 2

auf Seite 122. Man hat dann allerdings noch zu untersuchen, innerhalb welches Bereiches von x die Reihe gültig ist. Ist die (positive) ganze Zahl p größer als ein beliebig angenommener endlicher Wert von x, und gibt man der Reihe die Gestalt:

e* = 1 + j +

X²

M Ico

xp-

X²

xs

21 +

und ersetzt in dem Klammerausdruck alle über p hinausgehende Faktoren durch p, so erkennt man leicht, daß der Klammerausdruck kleiner als

bleibt, daß also die Reihe für ex für jeden endlichen Wert von x einen endlichen Wert annimmt.

In ganz entsprechender Weise kann man die Reihe 3 auf Seite 122 für ax bilden und bereit Konvergenz für jeden endlichen Wert von x nachweisen.

(p — i)i

P(P+1) >(P + l)(P+2)

3. Nach den Gleichungen VI in Nr. 4e) tritt bei den Ableitungen der Funktion Ix die Veränderliche x als Faktor im Nenner auf, und daher werden für x = 0 sämtliche Ableitungen unendlich groß; eine Verwendung der Mac-Laurinschen Reihe ist also hier noch ausgeschlossen. Nun ändern sich aber die Formeln ihrer Bedeutung nach in keiner Weise, wenn man überall x durch 1 + x ersetzt; man hat auch dann als Ableitungen der Funktion y = ? (1 + x):

i „

1 -f- x' y

y' =

(IV) _

— 23

4 usw.,

(1 + x)²' y (1 +x)²' y

und erkennt, daß jetzt für x = 0 die Nenner gleich 1 werden. Somit ergibt sich: !(l+x) = ll + j + ^i'(- 1) + fi ‘ 2 +    • (— 2-3)+^y-2-3-44----

A X X² X⁸ X⁴ X⁵ X⁶

= o + t-y + t-t + t-t + ---

Die weitere Entwicklung der logarithmischen Reihen stimmt mit der auf Seite 123 und 124 gegebenen Entwicklung überein.

4. Beachtet man, daß sin 0 = 0 und cos 0 = 1 ist, so erhält man durch Verwendung der Gleichungen II und III in Nr. 4e) und der Mac-Laurinschen Reihe rasch die Entwicklungen 3 und 4 auf Seite 125 für die Sinus- und Kosinusfunktion.

(l + x)

¹

Die Zeichen A und d sind hier natürlich keine Faktoren; obwohl sie mit x und y in gleicher Höhe der Zeilen stehen, kommt ihnen doch nur die Bedeutung eines Index zu.

²

Die Ableitung dieses Grenzwertes ist hier für den Fall wiederholt, daß der Gegenstand vor der Besprechung der Reihen für sinx und cos x durchgenommen wird. S. Seite 124.

Nr. 6. Größte und Kleinste Werke.

Die Behandlung der Grenzwerte wird weit einfacher und doch zuverlässiger, wenn die Ableitungen in Verbindung mit der Taylorschen Reihe benutzt werden.

f(a)

_ar

Fig. 98.

Die Kurve, welche die Funktion j = f(i) darstellt, geht vom Steigen zum Fallen bzw. vom Fallen zum Steigen über, wenn die Funktion einen größten bzw. einen kleinsten Wert erreicht hat. An der Übergangsstelle ist also die Tangente an die Kurve der X-Achse parallel, und ihr Winkel mit der X-Achse ist gleich 0° oder 180°.

Da aber tg 0° = 0 und auch tg 180° ---- 0 ist, so erhält man eine Gleichung zur Bestimmung der Übergangsstellen, wenn man den ersten Differentialquotienten der Funktion gleich 0 setzt (f. Nr. 1, Lehrs. 1). Somit ergibt sich der Satz:

Lehrsatz 11. Eine stetige Funktion f(x) kann für einen Wert der Veränderlichen x nur dann ein Maximum oder Minimum besitzen, wenn ihr Differentialquotient für diesen Wert gleich 0 ist.

Ist aber a eine Wurzel der Gleichung f (x) = 0, so hat man nach der Taylorschen Reihe:

f(a + h)- f(a) = £ f» +    f'"(a) + £ f<">(a) + ...

Nun kann man h stets so klein wählen, daß die Summe aller Glieder, welche auf das erste Glied der vorstehenden Summe folgen, im Verhältnis zu diesem unendlich klein wird, also nicht berücksichtigt zu werden braucht.¹) Das Vorzeichen der Differenz f (a + h) — f (a) wird dann von dem Vorzeichen von h (h²!) unabhängig bleiben. Ist daher f"(a) positiv, so ist f (x) unmittelbar vor und nach dem Werte a größer altz f (a), d. h. dem Werte a entspricht ein Minimum. Umgekehrt hat man ein Maximum, wenn f" (a) negativ ist. Hieraus folgt der Satz:

Lehrsatz 12. Ist für die Wurzel a der Gleichung f'(a) = 0 die

zweite Ableitung der Funktion f(x)

so entspricht dem

Werte a der Veränderlichen ein

positiv negativ Minimum Maximum '

Beispiel. Es sei y = x⁵+2{ x⁴- 4l| xs - 65 x² + 600 x- 400.

Ausl. Die Gleichung f' (x) - 5x⁴+ 10x³- 125x²- 130x + 600= 0 hat die Wurzeln + 4, +2, — 3 und — 5. Die zweite Ableitung 20x³ + 30x² — 250x — 130 wird für x

-5

-3

positiv negativ positiv negativ; zu der Wurzel gehört also ein Minimum Maximum Minimum Maximum.

Nr. 7. Wendepunkt der Kurve y = f(x).

An einer Stelle, an der die Kurve y = f (x) ein Maximum der Funktion f (x) darstellt, ist sie nach oben gewölbt, und an einer Stelle, an der sie ein Minimum darstellt, ist sie nach unten gewölbt; zwischen zwei aufeinander folgenden Grenzstellen muß sie also einmal ihre

Seite umgewandt haben. Den Punkt, an dem dies geschehen ist, nennt man einen Wendepunkt.

Fig. 94.

Eine Kurve kann indessen, auch ohne daß Grenzstellen vorhanden sind, Wendepunkte besitzen. Verfolgt man in der Nähe einer solchen Stelle die Veränderungen des Winkels, den die Tangente mit der X-Achse bildet, so erkennt man leicht, daß bei dem Wendepunkte der Winkel einen größten bzw. einen kleinsten Wert annimmt. Soll aber der Winkel und somit auch seine trigonometrische Tangente, d. h. die Funktion f' (x), einen Grenzwert annehmen, so muß f" (x) gleich 0 sein. Hieraus folgt:

Lehrsatz 13. Die Kurve y---k(x) besitzt an denjenigen Stellen Wendepunkte, für welche die zweite Ableitung der Funktion f (x) gleich 0 ist.

Beispiel 1. Es sei y = 3x³+4x² - 17x-36.

or

Ausl. Man hat hier: f'(x)= 9x² + 8x— 17 un    f"(x) = 18x+ 8.

Die Gleichung f' (x) ---- 0 hat die Wurzeln + 1 und — —/ und diesen entspricht ein Minimum bzw. ein Maximum. Die Gleichung f" (x) --- 0 hat die Wurzel — und ba + 1 > —|-> — y ist, so sieht man, daß der Wendepunkt zwischen den beiden Grenzstellen liegt.

Beispiel 2. Setzt man bei dem Beispiel in Nr. 6 die zweite Ableitung gleich 0, so erhält man eine Gleichung mit den Wurzeln - (— 1 + "|/53),

—    i und -| (— 1 — ]/ö3). Den drei Wurzeln entsprechen drei zwischen den vier Grenzstellen gelegene Wendepunkte.

Beispiel 3. Es sei y == x⁸ — 12x² + 48x — 45.

Stuft Die Gleichung f' (x) = 3x² — 24 x + 48 = 0 hat nur die Wurzel + 4, und die zweite Ableitung f" (x) = 6x — 24 nimmt für x •= 4 den Wert 0 an; dem Werte + 4 entspricht daher kein Grenzwert. Da die Gleichung f"fx) = 0 ebenfalls nur die Wurzel + 4 hat, so gehört zu dieser Wurzel ein Wendepunkt, bei dem die Tangente der X-Achse parallel ist.

Nr. 8. Bestimmung des wahren Wertes unbestimmter

Ausdrücke.

Häufig kommt es vor, daß ein aus zwei Funktionen einer Veränderlichen x gebildeter Ausdruck eine der unbestimmten Formen 0-oo oder

—    annimmt, wenn man x einen gewissen Wert beilegt. Entwickelt man dann die

Funktionen nach dem binomischen Satze, so gelingt es in den meisten Fällen, durch Grenzübergänge den wahren Wert der Ausdrücke zu berechnen. Bequemer ist es jedoch, sich auch hier der Ableitungen zu bedienen.

a) Die Form ^

hf' (a)+^f»+-j£f'»+.••

hgr (a) + -yrg” (a) + -|y-g"' (a) + • • •

für h = 0 annimmt. Da der Bruch sich durch h kurzen läßt und an der Grenze im Zähler und Nenner mit Ausnahme der ersten alle Glieder verschwinden, so ist der wahre Wert des Quotienten gleich

Werden für x = a die beiden Funktionen f (x) und g (x) gleich 0 und entwickelt man f (a + h) und g (a + h) nach der Taylorschen Reihe, so erkennt man, daß der wahre Wert des Quotienten gleich dem Grenzwert ist, den der Quotient

• Sind aber

f'(a) g'(a)

auch die ersten Ableitungen für x = a gleich 0, so ist der wahre Wert gleich dem Quotienten aus den Ableitungen f" (a) und g" (a) usw.

nimmt für x = 2 die Form y

an. Da aber der Quotient der ersten Ableitungen ^ ~ für x --- 2 den

Wert — 15 besitzt, so ist der wahre Wert des gegebenen Quotienten für x = 2 gleich — 15.

Beispiel 1. Der Quotient

xs -(- 3x — 14 x²— 5x -f 6

cos x —

- nimmt für x = 0 die Form y

ex -f sin x — 1

Beispiel 2. Der Quotient an. Der Quotient der ersten Ableitungen ebenfalls die Form an. Der Quotient der zweiten Ableitungen wird gleich und demnach ist der wahre Wert des gegebenen Quotienten für x = 0 gleich <x>.

b) Die Form O.oo.

Wird für x = a die Funktion f(x) gleich 0 und die Funktion g(x) gleich oo, so hat man wieder f (a): ^ demnach ist hier der Quotient aus f(a) und zu untersuchen.

— sin x

1 — cos x

nimmt für x = 0

ex -f cos x

sin x

Beispiel 3. Das Produkt (ax — 1) ctg x nimmt für x = 0 die Form O-oo an. Gibt man ihm die Form ¹ und bildet die Ableitungen, so erhält man als Grenzwert Za a

i + tg²0

oder Za.

c) Die Form'^'

Werden die Funktionen f (x) und g (x) beide für x = a unendlich groß, so werden ihre reziproken Werte für x = a beide gleich 0. Aus    bildet

11    0    O w

man daher ^um an der Grenze die Form ^ 3U erhalten.

Der Quotient der Ableitungen ist hier gleich

g'fr) ■ sf(x)]2 f' (x) • [g(x)]s-

man den gesuchten Grenzwert mit W, so ist W = fr|| • W²; in dem Falle, daß W nicht die Größe 0 besitzt, kann man durch W kürzen und erhält dann wieder wie in Absatz a) für den gesuchten Grenzwert den Quotienten

-¹ nimmt für x == 0 die Form ^ an.

1 “

Da d (ax + 1) = — la • —dx und d (ctg x) = — (1 + ctg²x) dx =

Beispiel 4. Der Quotient

Jl

Za • ax sin²x

Bezeichnet

sin²x

an. Nun

ist, so nimmt der Quotient der Ableitungen die Gestalt ist lim = 1, und daher erhält man den Grenzwert lim (Za • ax) oder oo.

x=0 X    x = 0

xs

Nr. 9. Begriff des Integrals. Sätze über Integrale.

a) Wie bei den elementaren Rechnungsarten durch Umkehrung neue Rechnungsarten entstehen, so tritt auch hier der Aufgabe, den Differential-quotienten einer gegebenen Funktion zu bestimmen, die umgekehrte Aufgabe

an die Seite, eine Funktion zu ermitteln, deren Ableitung bekannt ist, d. h. eine gegebene Funktion als Ableitung einer anderen anzusehen und diese aufzufinden.

fM

f(*)

JB’

Stellt man die gegebene Funktion y y = f(x) graphisch dar, so erweist sich das Flächenstück, das von den beiden Ordinaten AB und A'B', der X-Achse und dem Bogen AA' der Kurve begrenzt wird, gleichfalls als eine Funktion vonx; denn mit jeder Verschiebung der Ordinate A'B', d. h. mit jeder Veränderung -

Mg. 95.

von x ändert sich auch die Größe der Fläche ABB'A'. Von dieser Funktion, die mit U = F(x) bezeichnet werden mag, weiß man vorläufig nur, daß sie sich stetig ändert, wenn f(x) eine stetige Funktion von x ist. Nimmt nun x um z/x zu, so sind f(x) und f(x + z/x) die begrenzenden Ordinaten für das Flächenstück z/U = F(x + z/x) — F(x), und daher liegt z/U zwischen (den Rechtecken) z/x • f(x) und z/x • f(x+z/x). Steigt die Kurve (wie in der Fig. 95) von der Stelle A' aus, so ist z/x • f(x) < z/U < z/x • f(x + ^/x), und somit führt die Division durch z/x auf

f(x) < ^ < f(x + ’

d. h. die gegebene Funktion y = f(x) ist der Differentialquotient der Funktion F(x), oder die Größe f(x)dx ist das Differential der Fläche U = F(x), und die Summe aller zwischen zwei Ordinaten AB und A'B' liegenden Flächenelemente ist gleich der zugehörigen Fläche F(x). Wählt man nach dem Vorgang von Leibniz (1682) statt des gewöhnlichen Summenzeichens das Zeichen s, schreibt man also: F(x) = f f(x) dx, so weiß man, daß sf(x)d eine Funktion von x ist, welche die Ableitung f(x) hat. Hiernach erweist sich die Funktion sf(x)dx als eine Summe aus unendlich vielen unendlich kleinen Teilchen; man bezeichnet sie daher als Integral (integrum = gesamt), und die Rechnung, welche zur Bestimmung einer Funktion aus ihrer Ableitung führt, wird Integralrechnung genannt.

fo) Nach Lehrs. 4 in Nr. 2 macht sich eine additive Konstante einer Funktion bei ihrer Ableitung nicht bemerklich. Hierans folgt umgekehrt, daß zu

Müller, Mathematik. 11.B. - -1. Stuft

Die Ungleichheit, die hierin zum Ausdruck gelangt, wird um so kleiner, je kleiner z/x wird, und sie wird unendlich klein, wenn man zur Grenze übergeht; man erhält daher:

J f (x)dx = F(x) + C.

jeder Funktion f (x) unzählig viele Integrale gehören, die sich lediglich durch die Größe der additiven Konstante unterscheiden. Man hat also:

1.

Die Jntegrationskonstante C ist jedoch bestimmt, wenn man weiß, welchen Wert die Funktion für einen gegebenen Wert der Veränderlichen x annehmen muß. Führt man den hieraus berechneten Wert von C in die Gleichung 1 ein, so erhält man aus dem allgemeinen Integral ein besonderes (partikuläres) Integral.

Aus dem unbestimmten Integral geht das bestimmte Integral hervor, wenn für die Veränderliche Grenzen gesetzt werden. Soll z. B. nur das Flächenstück zwischen zwei bekannten Ordinaten AB und A'B' (f. Fig. 95) ermittelt werden, so wird die Funktion durch die Differenz aus der bis A'B' und der bis AB reichenden Fläche dargestellt. Man gibt in diesem Falle bei dem Jntegrationszeichen die untere Grenze unten und die obere Grenze oben an, schreibt also

2.

/f(x)dx = F(x)-F(a).

a

c) Da d[c • f(x)] = c-/"(x)dx, also Jc • f'(x)dx = c • f(x)

c •y*f'(x)dx = c • f(x)

und auch

ist, so besteht die Gleichung (f. Lehrs. s in Nr. 2):

3.

Jc • f'(x)dx = c -Jf'(x)dx,

d. h. ein konstanter Faktor kann vor das Integralzeichen gesetzt werden. In gleicher Weise läßt sich der Lehrsatz 6 in Nr. 2 umkehren.

Nr. 10. Methoden der Integralrechnung.

Wie bei allen Umkehrungen so wird auch hier wesentlich die Kraft des Gedächtnisses in Anspruch zu nehmen sein, und die Sätze über Differentialquotienten und die Formeln, die für deren Herleitung benutzt worden sind, werden zur Verwendung kommen müssen. Die gegebene Funktion wird allerdings nicht immer von vornherein in eine der bekannten Differentialformeln hineinpassen, und man wird häufig Umgestaltungen und Substitutionen vorzunehmen haben, um aus der Funktion eine neue abzuleiten, die als Differentialquotient einer Funktion von bekannter Gestalt erkennbar ist.

a) Die Differentialformeln lassen sich umkehren.

Die Integration ist am einfachsten, wenn die gegebene Funktion von vornherein in eine der bekannten Differentialformeln hineinpaßt, oder wenn nur kleinere Veränderungen vorzunehmen sind, um eine bekannte Form her-

zustellen. Ist z. B. y'=7x⁵, so weiß man, daß in der Funktion y die Potenz x⁶ steht, und da deren Ableitung gleich 6x⁵ ist, so muß man 7x⁵ so

umgestalten, daß der Faktor 6 auftritt. Man setzt daher y'=    • 6x⁶ und

hat dann:

d(x⁶), also: y --- - J"d(x⁶) — x⁶ -|- C.

Beispiel 1. Aus dy = (4x³ + 5x²- 3x + 8)dx

dy = (4x³ + j • 3x² —    • 2x + 8)dx

y = x* + j x³ — x² + 8x + C.

b) Die Integration wird durch eine Substitution vorbereitet.

bildet man:

und hieraus:

a\

t> ko

t- | CO

In manchen Fällen wird die Integration bequemer, bzw. erst ausführbar, wenn man durch eine Substitution eine neue Veränderliche einführt.

Beispiel 2. Es sei dy = (ax + b)ndx.

Setzt man ax + b = t, so hat man:' a • dx = dt, also:

(ax + b)“dx —    • tndt

und somit:

tn + 1

(ax + b)n + 1

er

J*(ax + b)“dx — i J\Ib“dt =

Beispiel 3. Es sei dy -- dx

d. x

Setzt man x + a = t, so hat man: dx = dt und somit folgt: j‘= U + C = l (x + a) + 0.

a(n+ 1)

a(n + 1)

+ C.

x-+i = T =

dx

Beispiel 4. Es sei dy

Setzt man ~ = t, so erhält man: y --’ß—L— in 9tr. 4: y == arc sin t + C = arc sin + C.

Beispiel 5. Es sei dy =

ya³—X²

dx

a² + b²x²

und dann nach Gleichung 2

In dem Ausdruck a² + b²x² oder a² [l + (^j J setzt man hat dann: dx = dt, also dy = ^ 1 Gleichung 2 in Nr. 4: j = ^ arctgt -f C = ^ arctg ^ + C.

man

bx

— t;

und somit nach

Beispiel 6. Es sei dy

dx

j/5 + 4x — x⁸

Um hier eine der bekannteren Formen zu bilden, bringt man den Radi-

_x

landen auf die Form a² — (b — x)² und ersetzt - durch t; man hat dann:

dx = — adt; a²— (b — x)²= a²(l — t²), dy = —

dt

und daher wieder nach Gleichung 2 in Nr. 4

yi —t²

a

X —— I)

— arc sin t -j- C = arc sin —— + C.

In dem vorstehenden Beispiel hat man 5 durch 9 — 4 zu ersetzen, um auf die entwickelte Form zu gelangen; es ist also

2 — x

entweder:

oder:

s,

y = arc cos t + C == arc cos

dx

j/5 + 4x — x²

== arc cos

+ C == arc sin x - ² + 0.

Beispiel 7. Es sei dy

dx

j/x² + a²

Führt man hier die neue Veränderliche t durch die Substitution

ein, so hat man:

x + j/x² ± a² = t

dt ----- dx -j-und hieraus folgt:

x • dx

]/x² + a² -j- x

yx²±a²

yx²± a⁸

dx =

t dx

yx⁸^ as'

dx

Somit ergibt sich:

yx² + a²

= t - ä(").

= lt + C = l(x+]/x² ± a²) + C.

_ r_dx

c) Partielle Integration (Anwendung des Lehrsatzes 7 in Nr. 2).

Sind u und v zwei Funktionen von x, so hat man nach Lehrs. 7: d(u-v) = u-dv + v-du; es ist also Ju-dv==u-Y —Jv• du.

Diese Gleichung kann oft verwandt werden, um ein Integral von der Form Judv auf ein bekanntes Integral von der Form JVdu zu bringen.

Beispiel 8. Es sei yf = x sin x.

Man hat: y'dx = X sin xdx ----- X • d(— cos x) = — x • d(cos x)

also:

----- — d(x cos x) + cos xdx, y ----- x cos x + sin x + C.

y' ----- x² cos xdx ----- X² 6 (sin x)

Beispiel 9. Es sei y' = x² cos x. Man hat hier:

= d (x² sin x) — sin x • d (x²) ----- d (x² sin x) — 2x sin xdx.

Nach Beispiel 8 ergibt sich daher:

y = x² sin x + 2x cos X — 2 sin x + C.

Beispiel 10. Es sei y' = cos²x.

Man hat hier:

y'dx ---- cos² xdx ----- cos x • d (sin x) ----- d(cos x sin x) + sin²xdx,

------ d(cos x sin x) + dx — cos²xdx,

also:

und somit

2 cos²xdx = d (cos x sin x) + dx,

J*cos² xdx -----(cos x sin x + x) + C.

Beispiel 11. Es sei dy --- yx² + a² dx.

Hier ist

]/x² ^ a²dx ----- d(x • ]/x² ± a²) — x • d]/x² + a²) ----- d(x • ]/x² i a²)

x²dx

= d(x • "j/x² H- a²) — x •~.a ~^:-a dx x r — J >/x² + a²

----- d(x • ]/x² i a²) — ]/x² ± a²dx a² •

yx² + a²

dx

also

yx² + a²'

dx

2 • ]/x² ^ a²dx ----- d(x - j/x² + a²) + a2 Nach Beispiel 7 erhält man daher:

y = ji • A² ± a² ± }a²Z(x + A² ± a²) + 0.

l/xs + a⁸

Nr. 11. Anwendungen aus der Geometrie.

a) Bestimmung von Flächen ebener Kurven. (Quadratur).

Wie in Nr. 9 bei der Einführung des Integrals bereits bemerkt ist, begrenzt die ebene Kurve y --- f(x) mit der X-Achse und den zu zwei Werten a und b von x gehörigen Ordinate« eine Fläche, deren Größe durch das

b

Integral Jydx angegeben wird Von dieser Tatsache wollen wir Gebrauch

a

machen, um einige Flächen zu berechnen.

Beispiel 1. Die Fläche zu berechnen, welche eine im Abstand x = i[ auf der Achse senkrecht stehende Sehne der Parabel y² = 2px mit dieser begrenzt.

xi

Auflösung. Die Hälfte der gesuchten Fläche ist das Integral Jj&*-

o

Nun ist hier

ydx = ]/2p • xä"dx = ]/2p d^-xä^;

man hat daher:

⁼ ¥^²P ‘ x? ⁼ jV²$ x? ¹ xi ⁼ jV²Vxi ■ xi — |yixi,

und folglich:

i — Tj xxyi.

Beispiel 2. Den Inhalt Ab eines Kreisabschnitts zu berechnen, dessen Begrenzungssehne von dem Mittelpunkte den Abstand p hat.

Auflösung. Wählt man zwei aufeinander senkrechte Durchmesser, von denen einer auf der Begrenzungssehne senkrecht steht, als Koordinatenachsen, so hat der Kreis die Gleichung x² + y² — r². Man hat also: y = "j/r² — x², und wenn die Sehne ein Lot der X-Achse ist, ydx = ]/r² — x² dx. Da aber ]/r² — x²dx = d(x • ]/r² — x²) — x • d()/r² — x²) = d(x • yY² — x²) -( x²dx

x⁸dx

er

J/r⁸ — x²

rs — (rs — x⁸) j/r⁸ — x8_

dx =

r⁸dx

l/r⁸-x²

also

j/r⁸ — x⁸

2>/r² — x² dx = d(x yr² — x²) +

ist, so ergibt sich nach Beispiel 4 in Nr. 10:

2 j*\ydx == x • ]/r² — x² + r² arc sin ^ + C.

Nun läuft hier x von xt = p bis r, und für x = r wird das erste Glied gleich 0, während das zweite die Größe r² • arc sin 1 oder r² • annimmt. Man erhält daher:

r

b — 2/ydx —

P

Y r² — pi • f/r² — p‘² — r² • arc sin

Für p = 0 ist der Abschnitt die Fläche eines Halbkreises, und da für p = 0 die beiden Subtrahenden gleich 0 werden, so läßt sich hieraus die bekannte Formel J ---- -rr² für den Inhalt des Kreises ableiten

Beispiel 3. Den Inhalt Ab des Abschnitts der Ellipse b²x² + a²y2 = a²b² zu berechnen, der die Senkrechte i = i, als Begrenzungssehne hat.

Auflösung. Man hat hier: y = ^]/a² — x², also:

Ab = 2 •

f/a² — x² dx

xx

=¥jW

X1

— x² dx.

Nr. 11. Anwendungen aus der Geometrie. Nach dem vorhergehenden Beispiel ist daher

Ab —    3,2 — Xil/a² — x® — a² • arc sin .

3t • a • b.

Für Xj = 0 werden die beiden Subtrahenden gleich 0, und daher erhält man für den Inhalt der Ellipse: J = ^ sr • a² =

Beispiel 4. Den Inhalt Ab des Abschnitts zu berechnen, den die Senkrechte zur X-Achse x = x, mit dem Zweige der Hyperbel b²x²— a²y² = a²b² begrenzt, von dem sie geschnitten wird.

Auflösung. Man hat hier:

— a² dx

Nach Beispiel 11 in Nr. 10 ist aber

sy

x²— a² dx = -|x • ]/x³ — a² — |-a² • l(x + ]/x² — a²) + C,

und da an der unteren Grenze (für x = a) das erste Glied auf der rechten Seite dieser Gleichung verschwindet und das zweite den Wert fa² • Za annimmt, also

J]/x²— a²dx =    ■ ]/xf — a² — |-a²P(x₁ + ]/x² — a²) — Za]

= |x₁- ]/xx² —a² — -|a²- l

ist, so folgt:

x, + |/x; —a²

— a² d x = y • Xi • ]/x² — a² — ab • l

Beispiel 5. Die Fläche zu bestimmen, die von der X-Achse und einem Bogen einer Zykloide begrenzt wird.

P' n

öig. 96.

Auflösung. Eine Zykloide ist die Y Bahn eines festen Punktes eines Kreises)' der (ohne zu gleiten) auf einer Geraden G rollt. Wählt man G als X-Achse und verlegt den Ursprung nach dem Punkte, 0 in dem der feste Punkt zum ersten Male auf G liegt, so ist während der Bewegung auf dem ersten Bogen bei jeder Lage des Punktes P der Berührungspunkt B auf der X-Achse von 0 ebensoweit entfernt wie auf dem Kreise von P. Wird daher der Winkel BMP mit <p bezeichnet, so hat der Punkt P die Abszisse

Entsprechend ergibt sich für die Ordinate:

2)

y = r — MC = r — r cos <p.

und

Man hat also: dx = r • d<p — r cos yd<p = r(l — cos <p)d<p

7 = r(l — cos <p),

und somit:

ydx — r²(l — 2 cos <p + cos² go)dgo --- r² [dtp + 2 • d (sin <p) + cos² <pd<p.]

Für <p = 0 liegt P auf G, und für <p = 2ar fällt P wieder auf G; der Punkt P beschreibt also einen ganzen Bogen, wenn q> von 0 bis 2-r wächst, und demnach ist das Integral von 0 bis 2-r zu nehmen. Von den drei Bestandteilen des Differentials ydx liefert der erste 2arr² und der zweite die Größe 0, während der dritte nach Beispiel 10 in Nr. 10 auf den Beitrag r² • y • 2ar oder arr² führt. Demnach erhält man für die gesuchte Fläche:

F = 2 arr² + arr² — 3 arr².

Beispiel 6. Die Fläche eines Ausschnitts einer logarithmischen Spirale zu bestimmen.

Vorbemerkung. Bei Benutzung von Polarkoordinaten wird die Lage eines Punktes? durch seine Entfernung r von dem Nullpunkte und den Winkel <p bestimmt, den OP mit der (positiven) X-Achse bildet. Besteht zwischen r und g? (als Bogen eines Kreises mit dem Halbmesser 1 ausgedrückt) eine Gleichung, so ist deren geometrisches Bild eine Spirale. Ist insbesondere r gleich einer Exponentialfunktion c • emy des Winkels cp, so daß dieser als eine logarithmische Funktion von r entwickelt werden kann, so heißt die Spirale loga-rithmische Spirale.

Auflösung. Das Flächendifferential einer Spirale kann als ein Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel dtp

angesehen werden; es ist daher df=^r²d<p. Hat daher die Spirale die Gleichung r = c • emv, so ist df = -^c²e2myd<p und demnach

gig 97.

f^se^vdcp-^e²”»- + C= C.

Entsprechen den Winkeln cpt und    die Radien rx und r₂, so ergibt sich

hieraus für den von rx und r₂ begrenzten Ausschnitt die Größe (r₈² — rt²).

lt>) Rauminhalt von Umdrehungskörpern. (Kubatur).

Wird eine Kurve mit der Gleichung y = f(x) um die X-Achse gedreht, so beschreibt sie eine Fläche, welche einen Rotationskörper umschließt. Zwei auf der Achse senkrechte Ebenen, deren Abstände von dem Nullpunkte gleich x und x + dx sind, schneiden aus dem Körper ein Raumelement dV heraus, das an der Grenze als ein Zylinder mit der Höhe dx und der Grundfläche ary² angesehen werden kann. Man hat daher dV --- ary²dx.

Beispiel 7. Den Rauminhalt eines geraden KreiSkegels zu bestimmen.

Auflösung. Die erzeugende Linie hat, wenn man den Koordinatenanfang in den Schnittpunkt der Geraden und der Drehungsachse verlegt, die Gleichung:

y = Ax. Es ist daher dV = ?rA²x²dx = ™ A²d(x³) unb V=A²x⁸ + C.

Geht das Integral von 0 bis h, so folgt hieraus V =    A²h⁸. Wird jetzt

der p i = h gehörige Wert von y mit r bezeichnet, so ist r = Ah, also A³=p unb somit Y = |r²h.

Zusatz. Geht die Integration von xx bis x₂ und sind r, und r₂ die zugehörigen Werte von y, so erhält man:

^=|A²(xjS - Xi³) = |A²(x₂ - x,)(xs²+ x.₂x, + Xj²).

Nun ist x₂ —xx gleich der Höhe h des Kegelstumpfs, und da A²(xz² + x₂xx + xx²) = r₂² + r₂rx + rx2 ist, so ergibt sich die bekannte Formel: V= -|h(r₂² + r₂r, + rx²).

Beispiel 8. Den Rauminhalt einer Kugelschicht zu bestimmen. Auflösung. Legt man den Koordinatenanfang in den einen Endpunkt des Durchmessers, um den sich der Bogen des erzeugenden Kreises dreht, so

y²dx = 2rxdx — x²dx - rd(x²) — ^d(x⁸) J=rx²-|x⁸ + C.

Geht die Integration von xx bis x₂, so folgt hieraus zunächst:

\ = r (*»* - xi²) - j (V - xx⁸).

hat man:

und somit

Nun ist aber dieser Ausdruck gleich

(x, - xx) [r (x₂ + xx) - j (x₂² + x₂ xx + Xj²];

ferner ist y₂² = 2rx₂ — x₂² und y,² = 2rxx — xx², also 2r(x₂ + xx) = y₂²+yx²+(xs²+Xj²). Beachtet man weiter, daß die Höhe h der Schicht

gleich x₂ — xx, daß also x₂xx = ~ (x₂² + xx² — h²) ist, so erhält man:

-H I CO

= h|j (ys⁸ + 7ia) + \ (V + V) - i (V + V) - (V + V) + |h2]

3y₈,+3y₁²+h«

= h(

)/ also V = ^(3y₂² + 3yi² + h²).

Zusatz. Aus dem allgemeinen Integral n (rx² — x³j erhält man den Rauminhalt eines Kugelabschnitts mit der Höhe h, wenn man x von 0 bis h laufen läßt; es ist daher Ab = ® (rh² —    h⁸) = ^h²(3r — h). Ebenso läßt sich aus dem allgemeinen Integral bequem die Formel für den Rauminhalt der ganzen Kugel ableiten.

Beispiel 9. Den Rauminhalt eines Rotationsellipsoides zu bestimmen.

Auflösung. Dreht sich die Ellipse um ihre große Achse, und liegt der Koordinatenanfang in einem Endpunkt dieser Achse, hat also die Ellipse die

Gleichung b²x² + a²y² = 2ab²x, so erhält man dV = x \ (2ax — x²) dx.

o2y    i

Hieraus aber folgt: b2^ = ax² — x³ + C. Für das ganze Ellipsoid geht das

Integral von 0 bis 2a; man hat daher V= it ■ ^ (da®

Dreht sich die Ellipse um ihre kleine Achse, so hat man in dieser Formel a mit b zu vertauschen. Man erkennt leicht, daß das zweite Ellipsoid größer ist als das erste.

Beispiel 10. Den Rauminhalt des Körpers zu bestimmen, der durch die Drehung eines Bogens einer Zykloide um seine Sehne entsteht.

Auflösung. Nach Beispiel 5 hat man hier:

und somit

y² — r²(l — cos g>)² und dx = r • dy — r cos cpdcp, y² • dx = r³(l — cos cp)³dcp,

Nun ist

— r³(dy — 3 cos cpdcp + 3 cos² y dy — cos³ y dy).

cos³ (pdcp — cos² y • d (sin cp) — d [cos² cp sin y] + 2 sin² <p cos <pdy = d (cos² cp sin cp) -f- 2 cos ydy — 2 cos⁸ cpdcp,

also

3 cos³ cpdcp = d (cos² cp sin cp) + 2 cos cpdcp; führt man dies in die Gleichung für y²dx ein, so erhält man:

•p-y²dx = dcp — y cos cpdcp + 3 cos² cpdcp — yd (cos² cp sin cp).

Da nach Beispiel 10 in Nr. 10 das Integral von cos² cpdcp gleich ~ (cos cp sin cp + cp) ist, so ergibt sich hieraus:

■^3 j l7²dx = j cp — -j- sin cp + | cos cp sin cp — y cos² cp sin cp + C.

Der Winkel cp wächst von 0 bis 2-r; an beiden Grenzen fallen also die mittleren drei Glieder fort, und somit bleibt:

V = % • r³ • j ■ 2jt, also: V = 5^t²r⁸.

c) Länge krummer Linien (Rektifikation).

Das Differential ds eines Bogens ist mit dem Differential dy der Funktion und dem Differential dx der Veränderlichen durch die Gleichung

(ds)² — (dx)² + (dy-)²

Beispiel 11. Die Länge eines Bogens des Kreises x² + y² = r2 zu bestimmen.

Auflösung. Da sich aus der Gleichung des Kreises 2xdx + 2ydy = 0, also jf = —y ergibt, so hat man hier:

ds

]/r² — x²

-- )/l + (I) • dx = y -|/x² + y² • dx = r • dx Nach Beispiel 4 in Nr. 10 ist aber

— r - arc sin ^ + 0;

C dx

yr² — x²

beginnt daher der Bogen bei der positiven X-Achse, d. h. läßt man x von 0 bis x laufen, und beachtet man, daß arc sin 0 = 0 ist, so erhält man:

8 — r • arc sin — -

verbunden; es ist also

■sv^®

dx + C.

y-

Erstreckt sich der Bogen bis zur positiven X-Achse, so ist an der oberen Grenze y = 1; und da arcsin 1 = | ist, so hat ein Viertelkreis die Länge ~ und der ganze Kreis die Länge k = 2nrr.

Beispiel 12. Die Länge eines Bogens der Parabel y²=2px zu bestimmen.

Auflösung. Man hat hier: 2ydy = 2pdx, also wenn man y als unabhängige Veränderliche benutzt, dx = ^-dy und somit:

(ds)² = (-ydy)²+ (dy)² =

y-yV²+ P²-dy.

also:

ds =

y² + p⁸

ps

• (dy):

Nach Beispiel 11 in Nr. 10 ist aber

/Vy²+ P² dy = |y • Vf + p² + |P²' KJ + Vf + P²) + C,

und da für y = 0 das erste Glied auf der rechten Seite verschwindet und das zweite gleich Zp wird, so ergibt sich für den Bogen von dem Scheitel bis zu dem Punkte mit der Ordinate yy

Si =

Beispiel 13, Die Länge eines Bogens der Zykloide zu bestimmen. Auflösung. S. Beisp. 5. Es ist hier dx = r • dy — r cos ydy = r(l — cos y)dy und dy = r sin ydy, (ds)² = r²(l — 2 cos y + cos² cp + 1 — cos² cp) (dy)2 = 2r²(l — cos cp) (dy)² = 4r² sin² -y (dy)²,

also

und somit

ds — 2r sin -y • dy = 4r sin y d^yj = — 4r • d ^cos • Wird daher die Länge des Bogens mit z bezeichnet, so folgt:

z = — 4r •

2jt

/d(00Bf)-

o

— 4r (cos ic — cos 0) = — 4r (— 1 — 1)

also:

z — 8r.

Beispiel 14. Die Länge eines Bogens einer logarithmischen Spirale zu bestimmen.

Auflösung. S. Beisp. 6. Aus x = r cos y, y = r siny Ultb r = c-em'*’ folgt: x = c • emv cos y und y = c • emf sin y.

Hiernach hat man:

dx = c(memv cos y — emi> sin y)dy — c • em<P(m cos y — sin y)dy, dy --- c(mem*’ sin y + e™»’ cos y)dy = c • emv(m sin y + cos y)dy, und somit ist

also

(ds)² = c²e2m9’(m²+ l)(dy)², ds — c • ym² + 1 ■ emtfdcp = c^m² + 1 • -^-d(emv)

— ]/m² + 1 • d(c • emv) ----- -^-•"|/m² + 1 dr.

Für einen von den Vektoren rt und r₂ begrenzten Bogen folgt hieraus:

^-.ym²+l(r₂-r₁).

8 =

Anmerkung. Die Berechnung der Länge einer Ellipse und einer Hyperbel erfordert Betrachtungen, die über die hier gesteckten Grenzen hinausgehen.

Nr. 12. Anwendungen aus der Physik,

a) Die Fallgesetze und der schiefe Wurf.

«) Die gebräuchliche Erklärung für die Geschwindigkeit v

V =

paßt bei einer ungleichförmigen Bewegung nur für die mittlere Geschwindigkeit in einem bestimmten endlichen Zeitabschnitt, allein man kann von ihr aus zu einer allgemein gültigen Erklärung gelangen, wenn man die mittlere Geschwindigkeit für einen von dem Zeitpunkt t, beginnenden Zeitabschnitt z/t

für t = tx die Geschwindigkeit des bewegten Punktes zur Zeit V In gleicher Weise kann man aus der für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀ gültigen Erklärung der Beschleunigung

vt —vo

p = ——

die allgemein gültige Erklärung ableiten:

2)

d v dt*

Der freie Fall ist nun eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, und seine Beschleunigung ist gleich g; nach der Gleichung 2) hat man daher:

^ = g, also dv = dt • g und v = gt • + C.

Da zur Zeit t = 0 auch y = 0 ist, so ist die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers zur Zeit t gleich g -1.

Aus der Gleichung 1) folgt jetzt:

P-l P-

i = g • t; also ds = g • t dt = ig • d(t)²,

und somit:

bestimmt und dann z/t gleich 0 werden läßt. Legt aber der bewegte Körper von dem Zeitpunkt ^ ab in z/t Sekunden die Strecke z/s zurück, so ist seine

mittlere Geschwindigkeit in der Zeit von tx bis tx + z/t gleich —, und dieser

ds

Quotient geht an der Grenze in ^ über. Hiernach erhält man in dem Werte des Differentialqnotienten

T =^-7

i)

ds

dt

S = yg - t² + C'.

Da auch hier die Jntegrationskonstante C* gleich 0 ist, so ergibt sich, daß ein frei fallender Körper in t Sekunden die Strecke yg -1² zurücklegt.

Aus v = g • t und s = yg • t² ergibt sich durch Elimination von t schließlich die Formel: v² = 2 g • s

/?) Hat der Körper in dem Augenblick, in dem er der Wirkung der Schwerkraft ausgesetzt wird, bereits die Geschwindigkeit v₀, so ist C = v₀ und

C' = v₀t, also y = gt + v₀ uttb s = v₀t + ~ gt².

Wird der Körper senkrecht in die Höhe geworfen, so ist dv = — gdt, und wenn die Anfangsgeschwindigkeit wieder mit v₀ bezeichnet wird, so folgt

hieraus, daß v = v₀ — gt und h = v₀1 — ~ gt² ist.

y) Beim schiefen Wurf ist die horizontale Komponente v₀cosa der Geschwindigkeit konstant, und die in horizontaler Richtung zurückgelegte

h = v₀t sin « — i gt².

Strecke x ist gleich v₀t cos «. Für die vertikale Geschwindigkeit ergibt sich v₀ sin « — gt, und daraus folgt für die Höhe h, die der Körper nach t Sekunden erreicht hat,

Die Wurfhöhe findet man leicht, wenn man die Ableitung von h gleich 0 setzt, usw., und da die Wurfweite in der doppelten Zeit wie die Wurfhöhe erreicht wird, so läßt sich auch deren Bestimmung bequem durchführen.

b) Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels.

Bildet das Pendel zur Zeit t mit seiner Ruhelage den Winkel <p, so erfährt es bei seiner Weiterbewegung von der Ruhelage aus die Beschleunigung

— g sin <p. Es ist daher ^ = — g sin <p, und wenn man hieraus und aus der Gleichung ds = vdt die Größe dt eliminiert, so erhält man:

vdv = — gsinqpds.

Ist aber l die Länge des Pendels, so hat man ds --- ld<p, und demnach ist vdv = — Zgsin<pd<p = gZd(cosy), also v² = gZcosy + C.

die Geschwindigkeit

Ist ferner « der Winkel, den die weiteste Entfernung des Pendels von seiner Ruhelage mit dieser bildet, so muß für cp gleich 0 sein; die Konstante C hat daher die Größe — gZcos«, und somit ergibt sich:

iv² = gl (cos cp — cos «).

Jetzt ist    = v = /2gZ(cos<p — COS«), und hieraus folgt:

dqp

dt = l/I. _________

'    8* ]Z2 (cosqp — cosa)

Ist « so klein, daß in der Reihe für cos« (siehe Seite 125, Gleichung 3) nur die zweite Potenz von « berücksichtigt zu werden braucht, so hat man:

2(cos cp — cos «) = a² — cp², also dt = j/^ • —====>

= arcsin^ ist, so folgt für die Zeit, in der das Pendel

dqp

und bet (siehe Beispiel 4

in Nr. 10) / -

J 1

dqp

]/a²— (p²

sich von seiner Ruhelage aus um den Winkel « bewegt,

t = (arc sin 1 — arc sin 0) =

Für die Dauer der Bewegung von einer Grenzlage zur anderen und zurück (die Schwingungsdauer) erhält man also: T = 2x •'}/-g-

Anhang HI.

Überblick über die Geschichte der Schulmathkmatik.

Nr. 1. Dir Entwicklung drr Gromrlrir.

a)    Nach den Mitteilungen der Griechen liegt der Ursprung der Geometrie im Lande der Pharaonen, wo die Notwendigkeit, nach den jährlichen Überschwemmungen des Nils sich stets wiederholende Landesvermessungen vorzunehmen, geradezu zu der Entwicklung geometrischer Kenntnisse zwingen mußte. Aber auch der Anblick der gewaltigen Pyramiden und Tempel, die genaue Durchforschung ihrer Bauart und Inschriften und das Studium der gefundenen Papyrusrollen, besonders des unter dem Namen „Rechenbuch des Ahmes" bekannt gewordenen Papyrus llhind (gegen 2000 v. Chr.) geben überraschende Aufschlüsse über ägyptische Kenntnisse in der Geometrie. Wie das durch einen glücklichen Zufall erhaltene Rechenbuch auf einen fachmännisch erteilten Unterricht im Rechnen schließen läßt, so wird man auch in der Annahme nicht fehlgehen, daß geometrische Lehrbücher vorhanden waren, und daß in diesen die berufsmäßige formale Sprache und die Satzanordnung sich zu bilden begonnen hatte, bereit Spuren sich bei Ahmes finden, und deren Ausbildung die Geometrie Euklids (300 v. Chr.) aufweist.

b)    Auch die Babylonier haben sich viel mit Geometrie beschäftigt; die Lehre von den Parallelen, die Konstruktion des regelmäßigen Sechsecks, die Einteilung des Kreises in 360° sowie einige Sätze der Dreiecks- und Kreislehre stammen von ihnen und sind durch berühmte Gelehrte wie Thales von Milet (gegen 600 v. Chr.) und Pythagoras (eso—eoi) auf ihren Reisen in fremden Ländern gesammelt und nach Griechenland verpflanzt worden.

c) Die Schule des Pythagoras löste zuerst die Geometrie als selbständige Wissenschaft von der steten Verbindung mit der Praxis ab. Sie baute die Lehre von den Parallelen, die Sätze über die Winkel des Dreiecks, über die Kongruenz und Flächengleichheit von Dreiecken und deren Verwendung bei den Verwandlungsaufgaben aus und bereicherte sie durch den Pythagoreischen Lehrsatz und die stetige Teilung. Nach den Aufzeichnungen von Hippokrates (um 440 v. Chr.) zu urteilen, waren ihre Beweise allerdings mehr Erfahrungsbeweise, bei denen die Einzelfälle herangezogen wurden, um aus ihnen den allgemeinen Satz herzuleiten. Die vielgerühmte griechische Strenge macht sich zum ersten Male in den „Elementen" von Hippokrates bemerkbar; von da ab ist sie untrennbar mit den geometrischen Arbeiten der Griechen verbunden. Besondere Verdienste hat sich Plato (429—348) um die Grundlegung der

Geometrie erworben. Indem er jeden Satz auf Vordersätze zurückführte, gelangte er schließlich dazu, die Definitionen, Axiome und Postulate herauszuschälen und zu formulieren; ferner wird ihm die Erfindung der analytischen Methode und des indirekten Beweises zugeschrieben.

Was Pythagoras, Plato und dessen Nachfolger geleistet hatten, faßte Euklid in seinen Elementen (soo) in einer Formvollendung zusammen, die es erklärlich erscheinen läßt, daß uns von den Werken seiner Vorgänger vielfach nicht einmal die Namen überliefert worden sind. Auf der Euklidischen Grundlage baute ein halbes Jahrhundert später der neben Aristoteles größte Geistesheros der nachplatonischen Zeit, Archimedes von Syrakus (287—212), seine staunenswerten Leistungen auf (Quadratur des Kreises, der Ellipse und der Parabel, Inhaltsbestimmung der Kugel und der anderen Umdrehungskörper u. a. nt.), und fast gleichzeitig mit ihm entwickelte Apollonius von Perga (gegen 260) seine Geometrie der Kegelschnitte; auf Euklidischer Grundlage beruhen auch die Berechnuugsregeln Heros von Alexandrien (gegen so v. Chr.), des großen Kenners der ägyptischen Technik, sowie die geometrischen Arbeiten von Mene-laus, Klaudius Ptolemäus und Pappus (4. Jahrh. n. Chr.), deren Namen noch heute mit den von ihnen gefundenen Sätzen verbunden sind.

d) Die Erbschaft der Griechen ging auf die Römer über, traf aber hier einen recht ungünstigen Boden an. Die kriegs- und rechtskundigen Römer besaßen ein ungewöhnlich geringes Verständnis für mathematische Dinge, soweit sie nicht zur Praxis dringend nötig waren, und vermochten nicht einmal zu erhalten, was sie ererbt hatten. Auf keinem Gebiete ist daher eine Förderung der Mathematik durch die Römer zu bemerken.

e)    Auch der Anteil der Inder an der Entwicklung der Geometrie ist nur gering; während sie im Rechnen und in der Algebra hervorragende Leistungen aufzuweisen haben, scheint ihnen der Sinn für die strenge Folgerichtigkeit eines geometrischen Beweises gefehlt zu haben. Ihr Beweismittel ist fast ausschließlich die Anschauung, und das einzige Wort „Siehe" neben einer anschaulich gezeichneten Figur reicht ihnen selbst bei nicht ganz leichten Sätzen zum Beweise völlig aus. Dagegen bauten sie die algebraische Behandlung geometrischer Probleme aus und kamen auf diesem Wege so weit, daß sie die Heronische Dreiecksformel für das Sehnenviereck erweitern konnten.

f)    Die Araber haben hier wie bei den anderen mathematischen Disziplinen das außerordentliche Verdienst, in Übersetzungen uns die Arbeiten der Griechen und Inder erhalten zu haben. Eigene Leistungen von größerer Bedeutung haben sie jedoch in der elementaren Planimetrie nicht aufzuweisen.

g)    Im Abendlande ist das geometrische Wissen bis in das 12. Jahrh, hinein auf die geringen Kenntnisse der römischen Feldmesser beschränkt geblieben. Erst daun gelangte über arabische Autoren hinweg die griechische Geometrie in reiner Form ins Abendland und fand in den Werken Practica geometriae von Leonardo von Pisa (1220) und De triangulis von dem Ordensgeneral Nemorarius (t 1237) eine Darstellung, die bis in die Mitte des 15. Jahrh.

für die mathematische Wissenschaft maßgebend war. Der Humanisinus eröffnete nun ein direktes Zurückgehen auf die alten Quellen und eine Wiederherstellung des alten Besitzes, wie dies die Arbeiten von Peuerbach (ms-uei, Wien) und Regiomontan (U36-1476) erkennen lassen; die Weiterentwicklung ging jedoch nur sehr langsam vor sich, bis endlich die große Entdeckung von Descartes (i637, Geometrie) die Geometrie mit der Algebra verband und in der analytischen Geometrie ein fruchtbares Hilfsmittel schuf, das der Mathematik zu ungeahnten Triumphen verhelfen sollte. Jnfinitesimalbetrachtungen, deren erste Spuren sich schon bei Archimedes und nach langer Pause dann wieder bei Kepler (Stereometria doliorum von 1616) und bei Cavalieri {Geometria indivisibüibus usw. von 1636) vorfinden, vereinigten sich mit der analytischen Geometrie, um schließlich als herrlichste Frucht die Differential- und Integralrechnung zu zeitigen. Aber auch auf dem Wege der antiken Geometrie lernte man weitergehen und schuf in der projektivischen Geometrie (Monge, is Jahrh.; Steiner, 19. Jahrh.) eine neue Wissenschaft, welche die tiefsten Einblicke in das Wesen der Raumlehre erschloß.

Die erste in deutscher Sprache geschriebene Geometrie stammt aus der zweiten Hälfte des 14. Jahrh, und ist unter dem Namen Geometria Culmonensis bekannt; der (unbekannte) Verfasser hat hier der lateinischen Ausarbeitung des Werkes, das die Regeln und Vorschriften der damals sehr handwerksmäßig betriebenen Feldmeßkunst zusammenfaßt, eine ziemlich freie deutsche Übersetzung beigefügt.

¹

Ist außer f (a) auch f" (a) gleich 0, so müßte man das Verhalten der dritten und vierten Ableitung usw. untersuchen. Ein Eingehen hierauf würde jedoch die hier gesteckten Grenzen überschreiten.

Nr. 2. Erklärungen der Geraden, des Winkels und der Parallelen.

a)    Euklid erklärt die Gerade als „eine Linie, die zwischen den in ihr befindlichen Punkten immer gleichmäßig liegt", und Hero ergänzte diese Erklärung durch den Zusatz, der allerdings schon Archimedes bekannt war, „daß die Gerade zwischen zwei Punkten die kürzeste von den Linien sei, die diese beiden Punkte als Grenze haben".

b)    Die Erklärung des Winkels als Richtungsunterschied zweier Geraden stammt wahrscheinlich aus der platonischen Schule und wird zuerst bei Euklid angetroffen. Die gleichfalls heute geläufige Erklärung, daß ein Winkel das unendliche Flächenstück zwischen zwei von einem Punkte ausgehenden Strahlen sei, ist zuerst von Bertrand (ms) aufgestellt und dann durch Baltzers „Elemente" in Deutschland verbreitet worden. Eine dritte Erklärung, daß der Winkel eine Drehungsgröße sei, rührt von Thibaut (isi9, Göttingen) her. Möbius (1790—1868, Leipzig), betn die Einführung entgegengesetzter Strecken zuzuschreiben ist, betont bei dem Winkel den Drehungssinn und unterscheidet streng zwischen den Winkeln ABO und CBA.

Der Begriff des rechten Winkels ist aus der senkrechten Stellung irgendeines Gegenstandes zum Erdboden oder aus der aufrechten Haltung des

18

Müller. Mathematik II. B. - 4. Stuft.

Menschen selbst abgeleitet und wohl erst später in eine beliebige Ebene übertragen worden. Die Erklärung der Senkrechten (zwei gleiche Nebenwinkel!) und die Einteilung der Winkel in spitze, rechte und stumpfe gehört schon der vorplatonischen Zeit an. Der Satz von den Scheitelwinkeln wird zwar dem Thales zugeschrieben, allein es ist mit Sicherheit anzunehmen, daß Thales ihn

aus

Die Bezeichnungen Komplement- und Supplementwinkel sind erst im Mittelalter entstanden.

man

e) Auch für parallele Linien haben sich im Laufe der Zeit drei Erklärungen herausgebildet. Die älteste, die sich schon bei Euklid vorfindet, lautet in der Übersetzung: „Parallel sind gerade Linien, die, soweit man sie auch an beiden Seiten verlängern mag, doch an keiner Seite zusammentreffen"; das ist aber nichts anderes wie die heute noch gültige Erklärung, daß zwei Geraden parallel heißen, wenn sie sich nicht schneiden oder, was auf dasselbe hinauskommt, sich im Unendlichen treffen (Kepler, leog). Zweitens hat zwei Geraden parallel genannt, wenn sie immer dieselbe Richtung haben (1731, Elemente von Varignon), oder besser ausgedrückt, wenn sie mit einer schneidenden Geraden gleiche Winkel bilden.

Die sachlich richtigste Erklärung, die von der Unveränderlichkeit des Abstandes der Geraden ausgeht, ist bereits von Posidonius (135—ei ». Chr.) vorgeschlagen worden, aber sie ist vor dem 16. Jahrh, nicht in die Lehrbücher eingedrungen und wird auch heute noch nur selten angetroffen.

Euklid hatte den Parallelensatz als Axiom bezeichnet und ihm einen Platz angewiesen, der zu der Annahme berechtigt, daß er von der Unmöglichkeit eines Beweises überzeugt war. Gleichwohl haben sich von Ptolemäus bis Legendre hin gar manche hervorragende Gelehrte damit abgequält, einen Beweis aufzufinden. Erst Gauß gelangte zu der Gewißheit, daß das Axiom eine Erfahrungstatsache sei, ein Beweis somit zu den Unmöglichkeiten gehöre. — Der alte Ptolemäische Beweis, der aus der Annahme eines Schnittpunktes die Existenz eines zweiten ableitet, wird noch heute in der von Bertrand (1778) abgeänderten Form als Deckungsbeweis (Veranschaulichung!) in den Schulen vielfach durchgenommen.

Nr. 3. Dreieck, Viereck und Kreis.

a) Die Lehre von der Kongruenz der Dreiecke mit ihren Anwendungen ist von Pythagoras und seinen Schülern in der Hauptsache durchgeführt worden. Wie sich aus der Zusammenstellung in dem ersten Buche der Elemente Euklids ergibt, waren sie mit drei Kongruenzsätzen ausgekommen. Der 8 8^V-Satz, den Pythagoras wahrscheinlich gar nicht gekannt hat, taucht zum ersten Male in der 1750 erschienenen Neuauflage der Wolfs scheu „Anfangsgründe" auf, wird dann verschiedentlich teils spezialisiert, teils abgeändert und erhält schließlich 1883 in den „Elementen" Baltzers die Formulierung mit der größeren Seite, in der er sich in den meisten Lehrbüchern der Jetztzeit befindet.

b)    Die Eigenschaften der von Euklid unter dem Namen Parallelogramme zusammengefaßten Vierecke waren den Pythagorcern bereits bekannt. In der Aufstellung Euklids fehlt allerdings der Satz, daß die Diagonalen sich gegenseitig halbieren, aber da er von Archimedes gelegentlich wie ein allgemein bekannter Satz angewandt wird, so läßt sich vermuten, daß Euklid ihn wohl kannte, aber nicht für wichtig genug hielt, um ihn in seine „Elemente" aufzunehmen. Die Verbindung der Parallelogramme unter sich und mit dem allgemeinen Viereck ist jüngeren Datums.

Eine systematische Behandlung der Parallelogramme ist erst im vergangenen Jahrhundert ausgebildet worden.

Auch der den Pythagoreern bereits bekannte Satz von der Summe der Winkel eines Vierecks fehlt bei Euklid; ebensowenig meldet dieser etwas davon, ob seine Vorgänger die Summe der Winkel in einem Vieleck bilden konnten. Die allgemeine Lösung dieser Aufgabe und der Aufgabe, die Summe der Außenwinkel eines u-Ecks zu berechnen, ist erst von Regiomontan (is. Jahrh.) geliefert worden; für das Viereck und das Fünfeck hatte indessen schon Proklus (412—486 n. Chr.) die beiden Summen bestimmt.

Die Anzahl der Diagonalen eines beliebigen n-Ecks wurde zuerst von Lexell (Petersburg) im Jahre 1774 berechnet.

Die Viereckslehre erfuhr eine Erweiterung in der sog. neueren Geometrie durch die Behandlung des vollständigen Vierseits. (Carnot: qmdrilatere

completf).

c)    Der Kreis gehört zu den ältesten geometrischen Figuren; seine Herstellung durch ein gespannt zu haltendes Seil, das mit einem Ende an einem festen Stabe befestigt ist, lehren die Worte xevxqov (--- Stab) für den Mittelpunkt und KEQifpEQEiu (von xsQicffQuv = herumtragen) für einen Bogen. Die Anwendung des letzteren Wortes für die ganze Kreislinie ist erst später eingetreten; ursprünglich wurde der Umfang xsqC[isxqos genannt, und der Durchmesser hieß öidfiEXQos (dimetiens). Einen Fachausdruck für den Halbmesser kannte das Altertum nicht; wo von dem Halbmesser die Rede ist, da behilft man sich mit Umschreibungen. Die Bezeichnung semidiameter, die zuerst bei Boöthius (470—624) auftaucht, ist ohne Zweifel auf dem Umwege über Alexandrien von den Indern herübergekommen. Die Benennung radius findet sich zuerst in einem trigonometrischen Werke von Fink (i58s) und dringt nach der Empfehlung durch Vieta rasch in die Fachliteratur ein, um hier bald eine beherrschende Stellung einzunehmen. Bei der Vorliebe der Deutschen für Fremdwörter und alles Fremdländische war nicht zu erwarten, daß die gute deutsche, von Sturm 1670 zuerst gebrauchte Bezeichnung Halbmesser gegen den radius merklich aufkommen würde. Mehr Glück haben die Benennungen

18*

Mittelpunkt statt Zentrum, Kreisausschnitt statt Sektor und Kreisabschnitt statt Segment gehabt, während der Zentriwinkel durch Pirkeusieiners (1699) Mittelpunktswinkel und der Peripheriewinkel durch den Umfangswinkel bisher ebensowenig hat verdrängt werden können wie die Zentrale (man bedenke die Bedeutung dieses Wortes im praktischen Leben!) und andere (,volltönende" Bezeichnungen dieser Art in der Mathematik.

d)    Die Sätze der Kreiskehre über Sehnen und ihre Abstände vom Mittelpunkte, über Mittelpunkts- und Umfangswinkel auf gleichen Bogen eines Kreises oder zweier Kreise mit gleichen Halbmessern, über die Summe der gegenüberliegenden Winkel eines Sehnenvierecks, über die Tangente und den Sehnentangentenwinkel finden sich bereits in den Elementen Euklids vor; dagegen fehlt noch der Satz über die Gleichheit der Tangentenabschnitte, der von Archi-medes zwar schon benutzt, aber von Hero erst als selbständiger Satz aufgestellt lvurde. Naturgemäß wird man nun nicht erwarten dürfen, den Satz von den Seiten eines Tangentenvierecks bei Euklid anzutreffen. Dieser Satz erscheint zuerst in einer Schrift von Nemorarius (gegen 1200).

Nach neueren Untersuchungen soll sich schon Archimedes mit Berührungsaufgaben beschäftigt haben; von seinen Ergebnissen ist uns jedoch nichts erhalten geblieben. Die Lösung der Berührungsaufgaben von Apollonius ist gleichfalls verloren gegangen; erhalten ist uns nur von Pappus (gegen 400 n. Chr.) die Behandlung des Falles, zu drei gegebenen Kreisen den äußeren Berührungskreis zu zeichnen. Bei den im Mittelalter angestellten Versuchen, die Lösungen des Apollonius wieder zu finden, ist es Vieta in seinem Apollonius Gallus gelungen, eine allgemeine Lösung mit Zirkel und Lineal zu liefern.

e)    Die Konstruktionßaufgaben erlangten erst unter der Macht griechischer Abstraktion ihre wahre Bedeutung für die Geometrie. Zuerst gebraucht, um dem vorsichtig vorwärts schreitenden Mathematiker die Gewißheit von der Existenz der abstrakten Begriffe zu geben, mit denen er sich beschäftigte, wurden sie schließlich Selbstzweck. Es bildete sich eine Theorie ihrer Behandlung heraus, die unter Platos Händen ihre Vollendung empfing. Die Formulierung der Aufgabe, erst allgemein und dann für den vorliegenden besonderen Fall, die Entwicklung der Lösung (Analysis), die Konstruktion und dann der synthetische Beweis, daß durch diese die Aufgabe gelöst sei, — das sind die äußeren Formen, in denen sich schon in der Schule Platos die Behandlung der geometrischen Konstruktionsaufgabe vollzog. Die analytische Methode gab ferner Veranlassung, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die gestellte Aufgabe lösbar sei, und der Lösung noch eine Determination hinzuzufügen. In dieser Determination, deren Notwendigkeit Platos Schüler Leon (370) betont und deren großen Wert Apollonius erkannt hatte, liegen die ersten Keime einer Theorie der Maxima und Minima.

Beim Gebrauch der analytischen Methode hat sich in der platonischen Schule allmählich auch der Begriff des geometrischen Ortes entwickelt.

Die Platonische Schule ließ zur Ausführung der geometrischen Konstrnktions-aufgaben nur den Gebrauch von Lineal und Zirkel zu. Die alleinige Verwendung des Lineals wurde zuerst in der Schule Carnots (ms —ms) gefordert und dann von Brianchon (ms —mo) weiter ausgebildet. Den entgegengesetzten Standpunkt nahm der Italiener Mascheroni (mo—isoo) ein, wenn er das Lineal ganz zu vermeiden und nur mit dem Zirkel zu zeichnen suchte. Ferner wurden Versuche gemacht, mit dem Lineal allein auszukommen, wenn noch ein einziger fester Kreis zugestanden wird oder der Zirkel eine unveränderliche Spannweite behält. Das erste Verfahren hat Steiner besonders ausgebildet, und das zweite hat unter den Mathematikern seit Hero bis auf die jüngste Zeit immer wieder Anhänger gefunden.

Nr. 4. Flächrnbrrrchnung und Flächrnvrrglrichung.

a)    Die Berechnung von Flächen bildet den Hauptbestandteil der ägyptischen Geometrie. Rechtecke, gleichschenklige Dreiecke, Paralleltrapeze und Vierecke, die sich in der Form nicht wesentlich von Quadraten unterschieden, waren die Grundfiguren, auf die sie die Berechnung einer beliebigen Figur durch Zerschneiden zurückführten. Die Feldmesser kannten Näherungsformeln, welche bei vorsichtiger Wahl der Grundfiguren die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen gewährleisteten. Auch später, als längst die genaueren Formeln gefunden waren, zogen die griechischen und römischen Feldmesser die leichter zu handhabenden Näherungsformeln vor, und selbst bis in die heutige Zeit hinein haben diese in den gewerblichen Fortbildungsschulen, in denen ein größeres Maß von mathematischen Kenntnissen nicht gefordert werden kaun, ihren Platz behauptet.

b)    Konnte der Feldmesser sich mit Annäherungen begnügen, so war dies dem Vertreter der Wissenschaft nicht gestattet. Für diesen galt es, unbekümmert um die praktische Verwendbarkeit der Ergebnisse, den wirklichen Zusammenhang zwischen den geometrischen Gebilden zu erforschen. So finden wir bei Euklid in feiner Zusammenfassung der Arbeiten der Pythagoreischen und der Platonischen Schule nur eine Vergleichung der Flächen, während auf eine daraus folgende Berechnung an keiner Stelle eingegangen wird. Ob es zu seiner Zeit auch Lehrbücher der praktischen Geometrie, die man seit Aristoteles als Geo-daesie bezeichnete, gegeben hat, weiß man nicht; denn außer der später erschienenen Sammlung Heros ist uns kein griechisches Werk über geometrische Berechnungen erhalten geblieben. Die Sammlung Heros aber ist in der Behandlung der elementaren Berechnungen geradliniger Flächen geradezu erschöpfend und läßt den Verlust anderer Werke weniger bedauern.

c)    Die Krone der Flächenvergleichung bildet der Pythagoreische Lehrsatz. Die alten Ägypter wußten schon, daß ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechtwinklig sei, aber die Tatsache, daß die Summe der Quadrate von 3 und 4 dem Quadrate von 5 gleich ist, war ihnen noch unbekannt. Pythagoras kann also seinen Satz nicht von den Ägyptern erhalten haben. Ferner steht fest, daß die alten Inder nicht nur eine Reihe von Gruppen Pythagoreischer Zahlen, sondern den Wortlaut des Satzes selber für diese Gruppen bereits gekannt haben; ob jedoch Pythagoras hiervon etwas gewußt hat, läßt sich nicht feststellen, wenn auch die Wahrscheinlichkeit dafür spricht. Sein Verdienst bleibt es jedenfalls, den Satz in seiner Allgemeinheit erkannt und ausgesprochen zu haben. Von der Entdeckung ausgehend, daß der Satz für gewisse Zahlengruppen bestehe, stellte er sich die arithmetische Aufgabe, die Zahlengruppen zu finden, die derselben Bedingung genügten, und dann den allgemeinen geometrischen Satz auch geometrisch zu beweisen. In welcher Weise er den Beweis lieferte, wissen wir nicht; denn der von Euklid angegebene Beweis ist dessen Werk. Da jedoch die Pythagoreische Schule schon die Verwandlung eines Rechtecks in ein Quadrat mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks ausführen konnte, so ist es wahrscheinlich, daß sie einen Beweis des Satzes kannte, der dem Gedankengange Euklids nahe kam, das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke zu zerlegen und deren Gleichheit mit je einem der Kathetenquadrate nachzuweisen.

d)    Die Pythagoreische Schule hat ferner die Erweiterung des Satzes für das schiefwinklige Dreieck schon gefunden; ebenso deutet die mehr algebraische als geometrische Form des Beweises für den Satz von dem Quadrat der Höhe im rechtwinkligen Dreieck darauf hin, daß auch dieser Satz den Pythagoreern bereits bekannt gewesen ist.

e)    Die Verallgemeinerung des Pythagoreischen Lehrsatzes auf ähnliche und ähnlich liegende Figuren über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks soll gleichfalls das Werk Euklids sein. Die Ausdehnung auf Halbkreise, die zu dem Satze von den sogenannten lunulae Hippocratis führt, ist vor Pardies (i«83) nicht anzutreffen.

f)    Unter den zahlreichen Anwendungen des Pythagoreischen Satzes sind in erster Linie die geometrische Auflösung der quadratischen Gleichung ax±x²=b von Euklid, die Ableitung der Jnhaltsformeln von Hero und die von Pappus (gegen 4oo n. Chr.) aufgestellten Gleichungen zwischen den Seiten eines Dreiecks und seinen Mittellinien zu erwähnen.

g)    Seit Euklid hat es eine große Anzahl von Beweisen für den Pythagoreischen Lehrsatz gegeben; eine Zusammenstellung aus der jüngsten Zeit führt nicht weniger als 46 Beweise auf.

Nr. 5. Zur Lehre von der Ähnlichkeit.

ii) Die ersten Anfänge einer wissenschaftlichen Ähnlichkeitslehre treffen wir bei Hippokrates (um 440 0. Chr.) an, und auch Archytas (430—365, Tarent) und Plato haben Ähnlichkeitssätze zur Lösung der Aufgabe verwandt, einen Würfel zu verdoppeln; das Hauptverdienst um den Aufbau einer geometrischen ProportionalitiitSlehre scheint jedoch dem Eudoxos von Knidos (403—355), einem Schüler Platos, zuzukommen, von dem das ganze fünfte Buch der Elemente Euklids herrühren soll. Den Hauptsatz der Proportionalitätslehre,

Nr. 6. Zur Lehre von der Ähnlichkeit. Nr. 6. Über die regelmäßigen Vielecke. 279

daß eine Parallele zu einer Dreiecksseite die beiden anderen in proportionale Abschnitte zerschneidet, leitet Eudoxos aus dem Satze ab, daß Dreiecke von gleicher Höhe sich wie ihre Grundlinien verhalten. Euklid hat eine ganze Reihe von Sätzen, die sich hieraus ableiten lassen, nicht aufgenommen, während sie von Archimedes benutzt werden, also damals schon bekannt gewesen sein müssen.

b)    In der Erklärung der Ähnlichkeit und in der Anzahl der Ähnlichkeitssatze nimmt Euklid bereits den heutigen Standpunkt ein, und auch seine Lösung der Aufgaben, eine Strecke nach einem gegebenen Verhältnis zu teilen, die dritte und die mittlere Proportionale der Strecken a und b zu zeichnen, stimmt mit der unseligen überein. Ebenso treffen wir bei ihm schon die heutige Behandlung des Verhältnisses der Flächen ähnlicher Dreiecke und Vielecke an. Dagegen fehlt bei ihm die Benutzung der Ähnlichkeit zum Beweise des Sehnen- und des Sekantensatzes. Der Satz von der Sekante und der Tangente scheint im 18. Jahrh, zuerst als Sonderfall des Sekantensatzes ausgesprochen worden zu sein. — Den Wert des Produktes hat zuerst Steiner (19. Jahrh.) als „Potenz des Punktes in bezug auf den Kreis" bezeichnet.

c)    Zu den ältesten Anwendungen der Ähnlichkeitslehre gehören der Ptolemäische Lehrsatz vom Sehnenviereck, der Apollonische Kreis, der Satz von Menelaus und der Satz von Pappus, daß ein harmonisches Strahlenbüschel von einer Geraden in 4 harmonischen Punkten geschnitten wird. (Der Name harmonisches Strahlenbüschel stammt von Brianchon.) — Der Cevasche Satz ist erst später (1678) aufgestellt worden.

d)    Das Euklidische Lehrgebäude mit seinen Ergänzungen ist eher eine Sammlung lehrreicher Sätze als ein System der Geometrie zu nennen. Erst die Begründer der sogenannten neueren synthetischen Geometrie, vor allen Monge, Carnot, Poncelet und Steiner, haben die gemeinsamen Gesichtspunkte aufgefunden.

Auf eine Trennung der Geometrie in zwei Gebiete, je nachdem nur die Lage der Raumgebilde zueinander (Geometrie der Lage) oder nur die Maßverhältnisse (Geometrie des Maßes) untersucht werden, hatte schon Aristoteles hingewiesen. Die Zweiteilung nahm jedoch erst im 19. Jahrh, greifbare Gestalt an. Staudts Geometrie der Lage (i847, Nürnberg) ist das erste Lehrbuch, das grundsätzlich jede Maßbeziehung ausschließt.

Nr. 6. Uber dir regelmäßigen Vielecke.

a) Die ältesten Aufschlüsse über regelmäßige Vielecke finden wir wieder bei den Ägyptern. Ihnen ist zuerst zwar nur die Vierteilung des Kreises bekannt, aber von der achtzehnten Dynastie an begegnen uns bei ihnen auch die aus der Sechsteilung hervorgehenden Vielecke.

In dem Umfange, wie ihn die heutige Schulmathematik kennt, ist die

Konstruktion der regelmäßigen Vielecke schon durch Pythagoras und seine Schule geleistet worden, wenn auch in der Herstellung des Fünfecks und des Fünfzehnecks eine Abweichung von unserem Verfahren zu bemerken ist. Die Konstruktion mit Hilfe der stetigen Teilung ist erst von Pappus angegeben worden.

b)    Die Bezeichnung „goldener Schnitt" für die stetige Teilung ist erst in der Mitte des 19. Jahrh, aufgekommen; Euklid hat dafür noch keinen besonderen Namen. Wohl hat man schon im Mittelalter die Wichtigkeit der stetigen Teilung voll und ganz gewürdigt und in allerlei mystische Beziehungen gebracht, wie dies die Benennung sectio divina (göttlicher Schnitt) von Kepler andeutet, aber der Überschwang stellte sich doch erst ein, als man überall in dieser Proportion den Ausdruck der höchsten Schönheit zu erblicken glaubte. Die Bezeichnung „stetige Teilung" kommt zum ersten Male in der deutschen Euklid-Ausgabe von Lorenz (mi) vor.

c)    Die Berechnung der Seite sn eines regelmäßigen Vielecks auS dem Halbmesser r des umgeschriebenen Kreises beginnt gleichfalls schon in der vorgriechischen Zeit. Die Formel s₆== r ist dem Inhalt nach bereits den Babyloniern bekannt. Die Beziehung zwischen r und s₄ führt in der Pythagoreischen Schule zur Einführung des Begriffs der Irrationalität. Für

gs = r>/3 hat Hero den Näherungswert r • ^ berechnet. Die Untersuchungen

über e₅ und s₁₀ werden einem Schüler des Sokrates zugeschrieben, und Euklid stellt zwischen s₆, s₅ und s₁₀ die Beziehung her, die in unserer Formelsprache in der Gleichung s₅⁸= s₆a+ s₁₀² zum Ausdruck kommt. Von größter Wichtigkeit ist das Verfahren des Archimedes, von der Seite eines n-Ecks zu der Seite eines 2 u-Ecks überzugehen.

und U2n: u2n = u3n: u„

Mit der Berechnung der Seite war gleichzeitig die Bestimmung des Umfanges gegeben. Trotzdem haben sich die Mathematiker des Mittelalters zuweilen noch mit der Ableitung von Gleichungen zwischen den Umfänge« und auch den Inhalten des u-Ecks und des 2a-Ecks beschäftigt. Zu nennen sind hier besonders die Arbeiten von Nemorarius. Später nahm Snellius (1681—1626, Leiden) diese Untersuchungen wieder auf und führte sie mit den Formeln

zu einem gewissen Abschluß.

Noch bis zum Schluß des 18. Jahrh, war man der Meinung, daß man mit Zirkel und Lineal nur diejenigen regelmäßigen Vielecke herstellen könne, deren Seitenzahl außer den Faktoren 3,5 und den Potenzen von 2 keine anderen Faktoren enthielte. Gauß zeigte jedoch, daß außerdem der Kreis dann und nur dann allein mit Zirkel und Lineal in n gleiche Teile geteilt werden könne, wenn n eine Primzahl ist und durch den Ausdruck 2ra+ 1 dargestellt werden kann, in welchem m eine Potenz von 2 bezeichnet.

Nr. 7. Aber dir Krrisdrrechnung.

a) Der älteste Versuch, die Kreisfläche durch den Halbmesser auszudrücken, begegnet uns wieder in dem Rechenbuche von Ahmes. Die hier gegebene

Vorschrift, welche des Durchmessers als Seite eines gleichgroßen Quadrates

wählt, entspricht dem Werte 3,16 für n, ist also geradezu von überraschender Genauigkeit. Wie die Ägypter zu dieser Zahl gekommen'sind, ist nicht bekannt. Die Babylonier nahmen für ar den weniger genauen Wert 3 an, benutzten also die durch das Sechseck gegebene Annäherung.

d) Mit dem Eingreifen der Griechen in die Entwicklung der Mathematik beginnt auch für die Quadratur des Kreises die Zeit einer wissenschaftlichen Behandlung. Wie Plutarch erzählt, hat sich Anaxagoras von Klazomenä (gegen 6oo) zuerst mit der Aufgabe beschäftigt, die Fläche eines Kreises in ein Quadrat zu verwandeln; zu welchem Ergebnis er gekommen ist, erfahren wir nicht. Antiphon (um 430) versucht die Quadratur geometrisch auszuführen; er zeichnet dem Kreise zunächst ein Quadrat ein, dann ein 8-Eck, ein 16-Eck usw., bis das regelmäßige Vieleck von dem Kreise nicht mehr zu unterscheiden ist, und weist dann darauf hin, daß man ein Vieleck in ein Quadrat verwandeln könne. Ein Zeitgenosse von ihm benutzte das umgeschriebene Vieleck, um zu einer oberen Grenze zu gelangen. Archimedes fand für das

Verhältnis die Zahl 3y Die Archimedischen Berechnungen wurden durch

Apollonius von Perga wieder aufgenommen und verschärft; das Ergebnis seiner Rechnung kennen wir jedoch nicht, wenn auch vermutet wird, daß die Zahl 3,1416, die am Ende des 5. Jahrh. n. Chr. in Indien auftaucht, auf ihn zurückzuführen ist.

c)    Die Inder selbst haben die Frage umgekehrt und den Durchmesser eines Kreises gesucht, dessen Fläche gleich einem gegebenen Quadrate ist, und sind dabei auf die Näherungszahl 3,1623 gekommen. Auch die Araber scheinen nicht über die griechischen Resultate hinausgegangen zu sein.

d)    Im frühen Mittelalter gerät die Tatsache, daß 3y doch nur ein

Näherungswert ist, fast ganz in Vergessenheit. Bezeichnend für die ganze Zeit ist eine Schrift von Albertus von Sachsen (t mo), in der behauptet wird, das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser sei genau 22:7; es gäbe hierfür einen Beweis, doch sei derselbe sehr schwierig. Nicölaus Cusanus (deutscher Kardinal in Rom, 1 1464) hat das Verdienst, wieder betont zu haben,

daß 3y ein Näherungswert sei. Anknüpfend an eine damals erschienene

lateinische Ausgabe des Archimedes nahm er die Studien über die Kreisberechnung mit großem Eifer auf und erfand neue Methoden zur Berechnung dieses Näherungswertes. Mit besonderer Zähigkeit verfolgte er den Gedanken, den die Inder ausgeführt hatten (Cusanus kannte deren Arbeiten nicht), zunächst ein Vieleck aufzusuchen, das mit einem gleichseitigen Dreieck gleichen Umfang habe, von diesem zu einem anderen Vieleck von gleichem Umfang, aber größerer Seitenzahl überzugehen usw., um sich so dem Kreise immer mehr zu nähern. Leider stand seine mathematische Technik mit seiner Erfindungsgabe nicht auf gleicher Stufe, und daraus erklärt es sich, daß von allen seinen Werten für n

nur einer die Zahl 3~ an Genauigkeit übertrifft.

e) Mit dem Ende des 16. Jahrh, bricht für die Kreisberechnung eine neue glänzende Zeit an. An der Spitze schreitet Vieta, der 1593 die Genauigkeit bis zur 9tm Stelle steigert. In demselben Jahre gibt der Niederländer Roomen schon 15 Stellen an. Unter Anwendung der Vielecksberechnung erhöhte dann Ludolph van Ceulen die Kenntnis der genauen Stellen auf 35, und Otho, ein Mitarbeiter von Rhaeticus, fand den Näherungs-

355

wert ₁₁₃

Kreisberechnung in den Hintergrund, als mit der Erfindung der Infinitesimalrechnung ein Hilfsmittel geschaffen war, dem Werte von % durch Reihen nahe zu kommen.

• Bald traten jedoch die elementar-geometrischen Methoden der

f) Den Nachweis, daß n keine rationale Zahl ist, lieferte 1766 zum ersten Male der Oberbaurat Lambert in Berlin. Legendre zeigte dann 1794, daß auch ni irrational sei. Daß n auch nicht zu den irrationalen Zahlen gehören könne, die als Wurzeln algebraischer Gleichungen auftreten, wie dies Euler schon vermutet hatte, daß also -r eine transzendente Zahl sein müsse, ist erst im Jahre 1882 von Lindemann bewiesen worden.

Der Buchstabe n für das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Durchmesser ist von Euler in die Literatur eingeführt worden.

Nr. 8. Dir Entwicklung drr Strrromrkrie.

a)    Daß die Ägypter schon sehr früh einige stereometrische Kenntnisse gehabt haben müssen, geht vor allem aus dem Alter der gewaltigen Pyramidenbauten hervor. Man darf ferner annehmen, daß sie die Raumberechnung bei dem Würfel und der geraden quadratischen Säule genau und bei der runden Säule mit der Genauigkeit, die sie für % kannten, haben ausführen können; für die Pyramide, den Kegel und die Kugel mögen sie wohl Näherungsformeln gehabt haben. Wie diese lauteten, wissen wir um so weniger, als wir aus den einzig zur Verfügung stehenden Überlieferungen Heros nicht einmal über die Gestalt bei allen berechneten Körpern ausreichend unterrichtet werden. Ebenso verraten uns die Bauten der Babylonier, daß auch diese nicht ohne Kenntnisse in der Stereometrie gewesen sein können.

b)    Zu einer wirklichen Lehre wird die Stereometrie erst bei den Griechen, obwohl bei ihnen anfangs wenig Vorliebe für dies Gebiet vorhanden war. Pythagoras und seine Schüler hatten zwar die Lehre von den regelmäßigen

Vielflachen durch die Entdeckung des Zwölf- und des Zwanzigflachs vervollständigt, aber da sie die regelmäßigen Körper zu metaphysischen Spekulationen benutzten (den 4 Körpern Würfel, Achtflach, Vier- und Zwanzigflach ordneten sie die vier Grundelemente Erde, Luft, Feuer und Wasser zu und nahmen an, daß das Weltganze die Gestalt eines Zwölfflachs besitze — daher der Name „kosmische Körper"), und zudem über ihre Mysterien ein strenges Schweigegebot herrschte, so konnten ihre Kenntnisse nicht in weitere Kreise dringen. Plato hatte noch allen Grund zu seiner heftigen Klage über die Unwissenheit seiner Zeitgenossen m der Stereometrie. „Hinsichtlich der Messungen von allem, was Länge, Breite und Tiefe hat", so sagt er, „legen die Griechen eine ebenso lächerliche wie schmähliche Unwissenheit an den Tag." Bei dieser Stellungnahme kann es nicht wundernehmen, daß Plato und seine Schüler sich alle Mühe gaben, das Versäumte nachzuholen. Mit welchem Erfolge, das zeigen die Tatsachen, daß Archytas von Tarent (gegen 400) die Grundlagen der Stereometrie bereits beherrschte, daß Eudoxos von Knidos (gegen 360), der Entdecker des Satzes über den Inhalt der Pyramide, schon das System der Stereometrie aufbauen konnte, das wir bei Euklid vorfinden, daß Menächmus (gegen 350) bei Untersuchungen über die Aufgabe, einen Würfel zu verdoppeln, zu der Entdeckung der Kegelschnitte gelangte. Euklids Elemente enthalten die elementare Stereometrie bereits in einem Umfange, über den wir heute nur in wenigen Punkten hinausgehen, und was noch fehlte, das haben Archimedes mit seiner Berechnung des Rauminhaltes und der Oberfläche der Kugel, mit der Bestimmung des Inhaltes einiger anderer Umdrehungskörper und der Aufstellung der halbregelmäßigen Körper, Hypsikles (gegen 200 v. Chr.) und Pappus mit der Aufstellung rechnerischer Beziehungen zwischen den Bestimmungsstücken der regelmäßigen Körper und schließlich Pappus mit den sogenannten Guldinschen Regeln hinzugefügt. Paul Guldin selber (gegen 1600 n. Chr.), nach dem die Regeln genannt werden, ist erst der dritte Entdecker; vor ihm hatte schon Kepler unabhängig von Pappus die beiden Sätze gefunden.

e) Die Folgezeit kam über die Errungenschaften der Griechen erst hinaus, als die Einführung der Infinitesimalrechnung neue Methoden schuf (Kepler; Cavalieri) und durch diese neue Resultate zeitigte. Bald brachte die von Newton und Leibniz erfundene Integralrechnung die allgemeine Lösung des Kubaturproblems, und die Koordinaten-Geometrie von Descartes wurde zu einer analytischen Geometrie des Raumes erweitert. Im Gegensatz zu dieser hat sich dann hauptsächlich im 19. Jahrh, auch eine projektivische Geometrie des Raumes entwickelt.

d) Der Satz von Euler e + f — k -f- 2 fjat ein ähnliches Schicksal gehabt wie die Guldinschen Regeln; auch er wurde dreimal neu entdeckt. Die Tatsache, daß Archimedes die Reihe der halbregelmäßigen Vielflache so durchaus vollständig hat aufzählen können, läßt mit Sicherheit darauf schließen, daß er den Satz schon gekannt hat. Ausgesprochen wurde er zuerst in einer Abhandlung von Descartes, die allerdings (in einem Auszug von Leibniz) erst 1860 durch den Druck bekannt geworden ist. Euler hat den Satz durchaus selbständig gefunden.

Nr. 9. Über die Koordinaten-Geometrie.

a)    Das feinste und vielseitigste Werkzeug der neueren Geometrie, die analytische Geometrie, stellt eine Vereinigung zweier Prinzipien dar, die lange vor ihrer Entstehung einzeln schon im Gebrauch waren, der Verwendung von Koordinaten und der wechselseitigen Verbindung der Algebra und der Geometrie.

b)    Die Benutzung von Koordinaten treffen wir schon bei den Alten an. Wenn die ägyptischen Architekten die Wand, die sie mit einem Relief nach einer vorliegenden Skizze versehen wollten, mit rechtwinklig sich kreuzenden Parallelen gleichen Abstandes überzogen, um sich die Vergrößerung des ebenfalls karierten Entwurfs zu erleichtern, — wenn Hipparch die Punkte auf der Erdoberfläche durch Länge und Breite bestimmte, wobei er den Meridian von Rhodus gleichsam als Koordinatenachse bevorzugte, — wenn Hero bei seinen feldmefferischen Aufgaben parallele Linien zu einer beliebig gewählten Standlinie zog, um das zu vermessende Land in leicht zu trennende Trapeze zu zerlegen, — wenn Archimedes in der Theorie der Kegelschnitte seinen Betrachtungen ein Achsensystem zugrunde legte, wie wir es heute noch bei der Quadratur der Parabel benutzen, — wenn im frühen Mittelalter schon die Planetenbewegung im Tierkreise graphisch dargestellt wurde, — wenn gegen 1400 gleichmäßig anwachsende longitudines (Längen) und sich nach einem bestimmten Gesetze ändernde latitudines (Breiten) benutzt wurden, um eine Punktreihe (forma genannt) entstehen zu lassen usw-, so ist dies alles doch nur ein Beweis dafür, daß die Verwendung von Koordinaten zum alten Besitz der Mathematiker gehörte.

c)    Die Verbindung der Algebra mit der Geometrie hat sich gleichfalls bei den Griechen schon vorbereitet. Das zweite Buch der Elemente Euklids enthält eine ganze Reihe von Sätzen, die als geometrische Auslegung algebraischer Sätze gelten können; das Verfahren von Archimedes bei der Wurzelausziehung ist aus alten geometrischen Methoden hergeleitet; ähnlich haben sich abgekürzte Verfahren ausgebildet, um auf rechnerischem Wege eine zahlenmäßig gegebene quadratische Gleichung aufzulösen, — kurz, schon lange vor Diophant (3. Jahrh. n. Chr.) hatte eine Arithmetisierung der Geometrie angefangen. Die Araber verbanden dann die geometrische Methode der Griechen mit echter Algebra, die von den Indern zu ihnen gekommen war, und gelangten so zu einer Auflösung für kubische Gleichungen, deren rein-algebraische Lösung sie für unmöglich hielten. Besonders groß war ihre Fertigkeit, geometrische Aufgaben, Konstruktionen usw. auf die Lösung einfacher Gleichungen zurückzuführen. Diese geometrisch-algebraische Behandlungsweise gelangte von den Arabern ins Abendland und fand hier in Leonardo von Pisa und Regiomontan eifrige Vertreter.

Wurde so die Algebra benutzt, um die Lösung geometrischer Probleme zu erzwingen, so zogen umgekehrt Cardano und Tartaglia geometrische Betrachtungen heran, um die Richtigkeit algebraischer Lösungsformen in der Lehre

von den kubischen Gleichungen darzutun. Die Verwendung der Geometrie zur Unterstützung der Algebra wurde bald nachgerade zu einer algebraischen Geometrie ausgebildet.

d)    Descartes vereinigte die beiden Arten geometrischer Arbeit. In seiner Geometrie (iss?) zeigt er die enge Wechselbeziehung zwischen den Operationen der Algebra und der Geometrie und leitet daraus die Berechtigung her, geometrische Probleme algebraisch zu behandeln. Scharf betont er, daß bei ihm die Größen a, a² und a³ rein algebraische Gebilde (Maßzahlen) seien, daß er also darunter nicht Linien, Flächen und Rauminhalte verstehe, wie es Vieta noch getan hatte. Wie sein Vorgänger, so stellt auch er sich die Aufgabe, aus den vorliegenden geometrischen Problemen durch die Einführung von Unbekannten Gleichungen zu bilden und diese zu behandeln, wohl wissend, daß trotz erschöpfender Ausnutzung der Voraussetzungen die Anzahl der Gleichungen kleiner als die der Unbekannten und dadurch die Aufgabe unbestimmt wird. Für die Wahl der Variabeln bei solchen unbestimmten Aufgaben gibt er nun keine Vorschriften, sondern er wendet sich sofort dem Beispiel von Pappus zu, den Ort der Punkte zu finden, deren senkrechte Abstände von einer (geraden) Anzahl gegebener Geraden der Bedingung genügen, daß das Produkt aus der einen Hälfte der Abstände dem Produkt aus den übrigen gleich bzw. proportional ist. Als Koordinatenachse nimmt er irgendeine der Geraden und irgend-eins der Lote, bezeichnet die Parallelabstände eines die Bedingung erfüllenden Punktes C mit x und y, drückt die Abstände durch x und y aus, bildet dann die unbestimmte Gleichung, deren Wertepaare x, y Punkte C der geforderten Art ergeben, und fährt nun fort:

Prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinite de divers points, tels que celui qui est marque C, par le mögen desquels on decrira la ligne courbe demandee.

Klarer kann das Prinzip der analytischen Geometrie nicht angegeben werden.

e)    Descartes hat die Priorität der Veröffentlichung für sich, aber er ist nicht der erste, der das fruchtbare Feld in Arbeit genommen hat und zu einem erfolgreichen Abschluß gekommen ist. Fermat, der geniale Vorläufer von Newton und Leibniz, hatte schon vor 1637 eine Schrift über den Gegenstand beendet, die außer dem höheren Alter den Vorzug hat, daß sie in Klarheit der Darstellung, in systematischer Zusammenfassung des Stoffes und nicht zum wenigsten in der Aufstellung einer festen Symbolik einen viel höheren Grad der Vollendung erreicht hat wie die Geometrie von Descartes. Aber unbegreiflicherweise ist diese Schrift erst nach dem Tode Fermats im Jahre 1679 veröffentlicht worden.

f)    In der Koordinaten-Geometrie hatte die Mathematik eine scharfe Waffe erhalten, die ihr den Angriff auf höhere Probleme aussichtsvoll machte. Man kann getrost behaupten, daß durch sie nicht nur die Kurvenlehre geschaffen und der späteren Infinitesimalrechnung die Grundlage bereitet, sondern auch die allgemeine Funktionenlehre erst ermöglicht worden ist.

Nr. 10. Trigonometrie.

a) Die Anfänger einer astronomischen Wissenschaft, die wir bei den Chaldäern und den alten Ägyptern antreffen, lassen annehmen, daß diese Völker bereits mit trigonometrischen Berechnungen bekannt waren, wenn auch über den Umfang der hierzu erforderlichen Kenntnisse Genaueres nicht gesagt werden kann. Sicherlich haben die Griechen, die Schöpfer der eigentlichen Trigonometrie, babylonische und ägyptische Quellen benutzt und aus ihnen die Anregung zur Ausbildung einer wirklichen Theorie erhalten. Die Mathematiker freilich schenkten dem Gebiete nur wenig Aufmerksamkeit, da die Dreiecksberechnung ihnen kein einer strengen Wissenschaft würdiger Gegenstand zu sein schien, und die Feldmesser waren zu wenig theoretisch vorgebildet, um sich in eine wissenschaftliche Trigonometrie hineinarbeiten zu können; so blieb denn die Ausbildung und Pflege der Trigonometrie den Astronomen vorbehalten, die theoretisch und praktisch geschult sein mußten. Unter diesen war Aristarch (gegen 280 v. Chr.) der erste, der die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu benutzen verstand, um die Verhältnisse seiner Seiten zu berechnen. Ihm folgte ungefähr 150 Jahre später Hipparch von Nicäa in seinem Werke über die Kreissehnen, in dem er die Grundlage der Sehnentrigonometrie entwickelte. Das gleiche Ziel hatte sich Menelaus (98 n. Chr.) gesetzt. Leider ist uns von den Werken dieser Astronomen nur eine Abhandlung des Menelaus in Übersetzungen erhalten geblieben. Die Arbeiten seiner Vorgänger faßte dann bald darauf Klaudius Ptolemäus (2. Jahrh. n. Chr.) mit den Ergebnissen seiner eigenen Forschungen in einem Werke, dem Almagest der Araber, zusammen, das über ein Jahrtausend hinaus die trigonometrische Wissenschaft beherrschte. Die ebene Trigonometrie war allerdings auch bei den Astronomen nicht die Hauptsache und wurde nur betrieben, um die Hilfsmittel (Sehnentafel und mit diesen zusammenhängende Sätze) zu den Berechnungen der sphärischen Trigonometrie zu gewinnen.

h) Ob in Indien selbst die Anfänge einer wissenschaftlichen Trigonometrie sich bildeten, oder ob diese auch hier auf babylonische Quellen zurückzuführen sind, läßt sich mit Sicherheit nicht feststellen; jedenfalls erfuhr unser Gebiet dort die nachhaltigste Förderung. Unter anderem führten die indischen Mathematiker statt der Sehnen Hipparchs die halben Sehnen als Funktionen der halben Mittelpunktswinkel ein und schufen so die Sinustrigonometrie. Zu einer allgemeinen Behandlung des schiefwinkligen Dreiecks gelangten indessen auch die Inder noch nicht; auch sie behalfen sich damit, durch Zerlegung des schiefwinkligen Dreiecks in rechtwinklige Dreiecke eine Berechnung zu ermöglichen.

c)    Was die Griechen und die Inder geleistet hatten, wurde von den Arabern zu einem Ganzen verschmolzen und durch originale Arbeiten vervollständigt. Die Einführung der Funktionen Kotangens und Secans (gegen 900) und der Funktion Tangens (gegen 970) ist ihr Werk, und die erste Zusammenstellung der trigonometrischen Sätze mit ihren Beweisen ist aus arabischem Boden entstanden (gegen 970). Den Abschluß der (oft-) arabischen Arbeit an der Trigonometrie bildet ein Werk von Nasir Eddin (1201—1274 in Persien), in dem die ebene Trigonometrie zum ersten Male um ihrer selbst willen behandelt wird. — Der Kosinus-Satz ist Nasir Eddin noch nicht bekannt.

Von den Westarabern hat die ebene Trigonometrie keine Förderung erfahren, da diese ihre Aufmerksamkeit vorzugsweise der sphärischen Trigonometrie zuwandten.

Nasir Eddins Werk ist erst in neuerer Zeit (i89i) näher bekannt geworden; ein Einfluß des Werkes auf den weiteren Ausbau der Trigonometrie hat sich nicht nachweisen lassen.

d)    Im Abendlande hat zuerst Regiomontan (t im) vollkommen selbständig die Trigonometrie als eigene Wissenschaft behandelt und den Anstoß zu dem System der ebenen Trigonometrie, wie es heute vor uns steht, durch sein leider unvollendet gebliebenes Werk De triangulis gegeben. Die Verwendung der Tangensfunktion bei der Dreiecksberechnung war Regiomontan anfangs noch unbekannt; es geht dies aus einer Stelle des ersten Buches hervor, an der er behauptet, daß die Bestimmung der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks aus seinen Katheten ohne vorherige Berechnung der Hypotenuse nicht möglich sei. Daß er jedoch später die Funktion Tangens kennen gelernt und ihre Bedeutung zu würdigen gewußt hat, ergibt sich aus seinem Tafelwerke, dessen Abteilung tabula foecunda die Tangenswerte (numeri genannt) für die ganzen Grade von 1° bis 90° mit dem Maßstab r ---10⁷ enthält.

Seit Regiomontan hat die Mehrzahl der hervorragenden Mathematiker ihr Scherflein zu dem heutigen Umfang der Trigonometrie beigetragen. Das gewaltige Tafelwerk, der Canon von Rhaeticus (t 1576 in Wittenberg), machte die Tangenten und ihre Verwendung zum Gemeingut der Mathematiker. Vieta (t ieos) schuf eine eigentliche Goniometrie, führte algebraische Rechnungen und Umformungen in die Trigonometrie ein und vollendete den Aufbau sowohl der ebenen als auch der sphärischen Trigonometrie. Die handliche und durchsichtige Form der Formeln, wie wir sie heute haben, ist jedoch im wesentlichen das Werk Eulers (t ms); ihm haben wir auch die erste richtige und erschöpfende Darstellung des Verhaltens der Winkelfunktionen in den vier Quadranten zu danken.

e)    Die einzelnen Funktionen sind im Verlauf der langen Entwicklung nach und nach eingeführt worden.

«) In der ältesten mathematischen Urkunde, dem Rechenbuche des Ägypters Ahmes (gegen 2000 v. Chr.), wird bereits eine Verhältnisgröße benutzt, die unserem Kosinus vergleichbar ist. Da diese einen besonderen Namen (Seqt)

sin (« ± ß)

trägt, so muß damals schon eine gewisse Theorie bekannt gewesen sein, die in bewußter Weise Winkelgrößen mit Streckenverhältnissen in Verbindung brachte. Die Griechen haben die Trigonometrie als Sehnenrechnung behandelt, und erst die Inder gelangten zur Aufstellung der Sinusfunktion (gegen soo n. Chr.), allerdings auch noch nicht in dem heutigen Sinne. Ganz eigenartig ist das Maß, in dem sie zuerst ihre Sinuswerte geben; sie suchten zunächst den Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Halbmesser ist, und fanden unter Benutzung der Zahl n — 3,1416 für diesen Bogen die Winkelgröße 3438'. Diese setzten sie gleich sin 90° und erhielten dann für sin 60° den Wert 2978' usw. Der Umstand, daß ihre Sinustabelle das Intervall 3° 45' hatte, läßt vermuten,

daß ihnen die Formel 2 sin²| a = 1 — cos « schon bekannt war.

Ungefähr 700 Jahre später entstand bei ihnen eine Sinustabelle mit dem Intervall 1°, welche die ersten echten Sinuszahlen enthielt, weil als Maß der Halbmesser selbst benutzt wurde. Der Verfasser Aryabhatta nahm

als Halbmesser wieder 3438', setzte sin 1° = 60', fand daraus sin 1° und cos 1° -- und verwandte dann die Formel

sin cc - cos ß cos cc sin ß -    _    ~    9

um die Werte seiner Tabelle zu berechnen.

Die moderne Erklärung der Winkelfunktionen, die in ihnen nur unbenannte Zahlen sieht, wird irrtümlicherweise Rhaeticus zugeschrieben; sie tritt erst bei Kästner 1764 auf. Die heutige allgemeine Definition des Kosinus, bei der nach Festlegung des Drehungssinnes eines Winkels die Beziehung einer Strecke zu ihrer Projektion auf eine gegebene Gerade betrachtet wird, stammt von Möbius (mo —1868, Leipzig).

Die Inder hatten für die Sinusfunktion aus dem Worte jyä (= Sehne) die Bezeichnung ardhajyd (= Halbsehne) gebildet und den Kosinus mit leotijyä benannt. Mit der Zeit kürzten sie das erste Wort in jyä ab, und dies Wort ging in der Form dschiba als Fremdwort zu den Arabern über. Da indessen hier die Wörter ohne Vokale geschrieben wurden, so entstand die Verwechslung mit dem echt arabischen Worte dschaib (= Busen, Tasche), das dann allgemein als Fachwort anerkannt wurde. Der Name sinus ist weiter nichts wie eine aus dem 12. Jahrh, herrührende Übersetzung des Wortes dschaib.

ß) Es ist bereits bemerkt worden, daß die Funktionen Tangens und Kotangens von den Arabern eingeführt worden sind; sie benutzten sie, um die Höhe der Sonne, die Länge eines senkrecht aufgestellten Stabes und die Länge seines Schattens miteinander zu verbinden. Über diese „Schattenberechnung" ging man bis zur Zeit Regiomontans nicht hinaus, und erst in dem Tabellenwerk von Rhaeticus sind neben dem Sinus die Tangenten und Kotangenten als durchaus gleichwertig behandelt (s. Abs. d). Der Name tangens ist zuerst von Thomas Fink im Jahre 1583 gebraucht worden.

f)    Von den goniometrischen Formeln ist das Additionstheorem der Sinusfunktion als allgemeiner Sehnensatz von den Griechen aufgestellt worden und wird gewöhnlich Ptolemäus zugeschrieben; die Gleichungen

2 sin² y« = 1 — cos a und 2 cos² -i-a — 1 + cos u stammen sicher von

ihm. Die Formel sin 2a = 2 sin « cos a, die schon aus der Kreisberechnung des Archimedes herausgelesen werden kann, ist von den Arabern in einem besonderen Satze entwickelt worden. Vieta, dem wir eine ganze Reihe goniometrischer Formeln verdanken, hat diesen Satz für sin 3« und cos 3« erweitert; die endgültige Lösung der Aufgabe, die Funktionen sin na und cos n« durch die Größen sin a und cos a auszudrücken, ist zuerst von Jac. Bernoulli (f ms) durchgeführt worden. Den Tangentialsatz hat Fink zuerst ausgesprochen.

g)    Von den Lehrsätzen der Trigonometrie ist bei den Griechen und Indern nichts anzutreffen, da diese ihre Berechnungen nur an rechtwinkligen Dreiecken ausführten, und auch bei den Arabern finden sich zunächst nur Hinweise darauf, daß im allgemeinen Dreieck aus der Kenntnis der Winkel auf das Verhältnis der Gegenseiten geschlossen werden könne.

a) Den Sinus-Satz hat Nasir Eddin zuerst aufgestellt. Nachdem er die Fälle des rechtwinkligen Dreiecks nach der Sehnenmethode des Ptolemäus behandelt hatte, stellte er beim Übergang zum schiefwinkligen Dreieck den Sinus-Satz als neuen Satz an die Spitze seiner Betrachtungen und wies ausdrücklich auf den Gegensatz zu dem bisherigen alten Verfahren hin. Im Abendlande wird der Satz erst durch Regiomontan, der ihn bei Levi ben Gerson (t 1344 in Avignon) gefunden hatte, weiteren Kreisen bekannt gegeben. Der Beweis, den Regiomontan für den Satz gibt, weicht von den Eddinschen Beweisen so sehr ab, daß auch dadurch die Annahme, Regiomontan habe das Eddinsche Werk nicht gekannt, wesentlich unterstützt wird. — Aus dem Sinus-Satze wurden dann die Gleichungen für die Verhältnisse c: (a + b) und

c : (a — b) abgeleitet. Die Formel c: (a + b) = sin : sin AEC, in der

<)C AEC = ß + oder 90° — y (a — ß) ist, findet sich schon in Newtons

Arithmetica universalis von 1707, und in der Zwischenzeit bis zur Ableitung der beiden Formeln durch Mollweide 1808 tauchen diese wiederholt, teilweise mit rein-geometrischen Beweisen, in der Fachliteratur auf. Gleichwohl ist es üblich, die Formeln als Mollweidesche Gleichungen zu bezeichnen.

ß) Inhaltlich ist der Kosinus-Satz durch den allgemeinen Pythagoreischen Lehrsatz gegeben, aber eine trigonometrische Form hat er erst von Vieta in der Gleichung

2ab : (a² + ba — c²) = 1 : sin (90"— y) erhalten. Da man damals das Verhalten der Funktionen bei Winkeln von

mehr als 90° noch nicht in Betracht zog, so mußte Vieta darauf aufmerksam machen, daß der Winkel y spitz oder stumpf ist, je nachdem a² + b³ größer oder kleiner als c² ist. Die verschiedenen Umgestaltungen des Kosinus-Satzes für die halben Winkel wurden schon im Laufe des 17. Jahrh, vorgenommen. Die Ableitung der Heronischen Formel J = "|/s(s —a)(s — b) (s — c) aus dem Pythagoreischen Lehrsätze, wie sie heute allgemein gelehrt wird, ist zuerst von Newton 1707 durchgeführt worden.

y) Der Tangential-Satz ist von Fink 1583 gefunden worden, hat aber seine heutige Form erst von Vieta 1593 erhalten. Die Gleichungen

q — (s — a) tg y usw., welche die Seiten und Winkel des Dreiecks mit den

Halbmessern der Berührungskreise verbinden, werden zuerst in einer 1596 veröffentlichten Schrift von Rhaeticus angetroffen.

h) Die Berechnungen auf der Kugelfläche hängen aufs engste mit der Astronomie zusammen, und da diese Wissenschaft unter allen Zweigen des menschlichen Wissens das älteste ist, so läßt sich erwarten, daß die Arbeiten auf diesem Gebiete ebenso alt wie zahlreich sein werden. Zwar fließen die Quellen aus dem Lande der Chaldäer recht spärlich, und auch bei den Ägyptern und Griechen setzt die vorhandene Literatur erst im 4. Jahrh. v. Chr. ein, aber von da ab mehren sich die Schriften bei den Griechen, den Indern, den Arabern und im Abendlande in einer Weise, daß es ganz unmöglich ist, hier auch nur auf die wichtigsten Arbeiten näher einzugehen.

Für die Untersuchungen auf der Kugelfläche hatten sich schon frühe zwei Methoden herausgebildet. Die ältere, deren sich bereits die Ägypter mit Gewandtheit bedient zu haben scheinen, beruht auf geometrischen Konstruktionen, die man durch Projektion der Figuren auf drei sich rechtwinklig schneidende Ebenen ermöglichte. Die zweite von den Babyloniern erfundene Methode war rechnerischer Art und bildete die Anfänge der sphärischen Trigonometrie. Hipparch beherrschte beide Methoden, gab aber der trigonometrischen den Vorzug. Auf seine Forschungen stützt sich das älteste uns bekannte Lehrbuch der sphärischen Trigonometrie von Mene laus (es n. Chr.). Wie weit Menelaus seine theoretischen Sätze in die Praxis umzusetzen vermochte, kann nicht gesagt werden, da uns in dieser Frage die Überlieferung im Stiche läßt. Praktische rechnerische Anwendungen seiner Sätze finden sich erst in dem Hauptwerke des Ptolemäus, der bei den von ihm behandelten astronomischen Aufgaben immer wieder auf den Transversalensatz von Menelaus zurückgreift und ihn den besonderen Zwecken der Aufgabe anpaßt. Von den 6 Hauptfällen des rechtwinkligen Dreiecks hat Ptolemäus nur 4 behandelt, vermutlich weil ihm die Gelegenheit zur Lösung der anderen fehlte. Äuch in der Verwendung der graphischen Methode, bei der er bald die orthographische, bald die stereographische anwandte, ist Ptolemäus nicht selbständig, da er hier offensichtlich den Fußstapfen Hipparchs folgt.

Im Abendlande stehen auch hier die Namen Regiomontan und Vieta im Vordergründe des Interesses, und ihre Arbeiten sind für lange Zeit vorbildlich. Koppernikus wich zuweilen von dem altgewohnten Wege ab, indem er die Ableitung seiner sphärischen Sätze auf ebene Trigonometrie stützte. Vom größten Einfluß wurde Nepers Logarithmentafel. Während man vorher die Formeln so zu gestalten suchte, daß Multiplikationen vermieden wurden, richtete man jetzt sein Augenmerk darauf, daß in den Formeln möglichst nur Produkte auftraten. Neper selbst hat in seinen Analogien hierzu einen wichtigen Beitrag geliefert. Auf die heutige einfache Form wurde auch dies Gebiet erst von Euler gebracht. Auf den Gedanken, daß der Kosinus-Satz allein zur Ableitung der gesamten sphärischen Trigonometrie ausreicht, scheint er allerdings nicht gekommen zu sein, da dieser erst 1783 von de Malves (Paris) geliefert und dann 1799 von Sagrange und 1810 von Gauß in vereinfachter Form wiederholt wurde.

Euler hatte schon 1753 darauf aufmerksam gemacht, daß das sphärische Dreieck in ein ebenes übergeht, wenn der Halbmesser der Kugel unendlich groß wird. Diesen Gedanken hat Lambert 1765 durchgeführt, indem er den Kosinus gleich 1 setzte, wenn er als Faktor auftrat, und cos <p unter Vernachlässigung der höheren Potenzen des Arguments durch 1 — - y² ersetzte,

falls der Kosinus ohne weiteren goniometrischen Faktor oder mit dem Quadrate eines Sinus verbunden war. Gleichzeitig mit Lambert hat auch der französische Mathematiker Mauduit (mi—ms) einige Formeln der ebenen Trigonometrie aus Formeln der sphärischen abgeleitet, und Euler hat später (ms) zu dieser Frage noch einmal das Wort ergriffen.

Nr. 11. Zur Entwicklung der algebraischen Ausdrucksweise.

In der Geschichte der algebraischen Ausdrucksweise lassen sich drei Stufen der Entwicklung unterscheiden: die rhetorische, die synkopierte und die symbolische Algebra.

a) In der ersten Periode herrscht das Wort. Die Rechnungen werden ohne Benutzung von Zeichen aneinander gesetzt, und nur öfter wiederkehrende Redewendungen bilden sich zu Fachausdrücken aus. Auf dieser untersten Stufe sind die Griechen bis in die ersten Jahrhunderte n. Chr. hinein stehen geblieben; die Ostaraber, die Perser, die Westaraber bis zum 13. Jahrh., die älteren Italiener und ihre deutschen Schüler bis zu Regiomontan hin kamen ebenfalls über diesen Standpunkt nicht hinaus. Bei einigen Arabern wird die Vermeidung der Zeichen so weit getrieben, daß sie selbst die Ziffern durch Worte ersetzen.

b)    Der Übergang zur zweiten Stufe liegt auf der Hand. Häufig gebrauchte Ausdrücke werden im Text abgekürzt, ohne daß jedoch die Abkürzungen die durch den Satzbau bedingten Endungen verlieren. Der bedeutendste Vertreter dieser Entwicklungsstufe und zugleich der einzige in der älteren Literatur ist Diophant, aber auch dieser benutzt seine Abkürzungen noch nicht durchgängig. Aus der Tatsache, daß er es nie unterläßt, die Deklinationsendungen hinzuzufügen, geht hervor, daß er in seinen Zeichen nur die mit ihnen angedeuteten Fachwörter selber, keineswegs aber schon Symbole gesehen hat. Abgesehen von diesen Abkürzungen sind bei Diophant sämtliche algebraischen Herleitungen und Operationen ausführlich mit Worten beschrieben.

Die Ostaraber, denen sonst die Mathematik so manche Förderung verdankt, blieben beinahe durchgängig bei der rhetorischen Form stehen, selbst nachdem ihnen das Werk Diophants bekannt geworden war, und da das frühe Mittelalter sich ganz nach ihrem Vorbilde richtete, so kam das 15. Jahrh, heran, ehe man wieder in die Bahn einlenkte, die mehr als ein Jahrtausend vorher Diophant bereits betreten hatte, und sich der Abkürzungen zu bedienen begann.

c)    Bei den alten Ägyptern läßt sich schon die Benutzung mathematischer Symbole nachweisen, und die Inder hatten diese weiter ausgebildet. Der Übergang von der synkopierten zur symbolischen Form machte besonders bei den Indern bereits solche Fortschritte, daß man fast von einer symbolischen Algebra bei ihnen sprechen kann. Aber sie blieben ganz ohne Einfluß auf deren Ausbildung im Abendlande, da die Araber ihre Symbole nicht mitübernahmen.

d)    Während im 15. Jahrh, die Abkürzungen immer gebräuchlicher werden, macht sich bald ein neues Prinzip geltend: es erscheinen symbolartige Zeichen, und damit wird die dritte Entwicklungsstufe eingeleitet. Werden von dem Italiener Luca Paciuolo (1494) für plus und minus noch die Anfangsbuchstaben gebraucht, so treten bei Joh. Widmann von Eger 1489 plötzlich die Zeichen + und — auf. Ebenso spielen in der deutschen Behandlungsform der Algebra, die unter dem Namen „Coss“ bekannt ist, eigenartige Potenzsymbole, Charaktere genannt, eine Hauptrolle. Das Auftauchen des Gleichheitszeichens (isee) erleichtert die Schreibweise, und die ausschließliche und folgerichtige Verwendung allgemeiner Buchstabengrößen durch Vieta (i59i) ermöglicht eine wesentliche Zusammenziehung und übersichtlichere Gestaltung allgemeiner Herleitungen. Den Höhepunkt erreicht die dritte Entwicklungsstufe allerdings erst bei Leibniz und Euler mit der umfassenden Einführung der Operationszeichen und der Unterscheidung zwischen den Buchstaben, die bekannte, unbekannte bzw. veränderliche und beliebige Zahlen bedeuten. Nun erst ist eine Algebra geschaffen, die es gestattet, ohne ein verbindendes Wort mathematische Deduktionen in eine jedem Fachmanne verständliche Form zu kleiden: die internationale mathematische Kurzschrift ist endlich gefunden.

Nr. 12. Von der Entwicklung der Glrichungslehrr.

a) Allgemeiner Überblick.

Da Ahmes in seinem Rechenbuche selber auf alte Vorlagen für sein Werk hinweist, so läßt sich annehmen, daß schon vor dem zweiten Jahrtausend v. Chr. die Behandlung der Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten den Ägyptern bekannt gewesen ist. Jedenfalls liegt Ahmes der Begriff der unbekannten Größe (Hau --- Haufen) bereits fertig vor, und der Weg zur Auflösung ist ihm in seinen Grundzügen ebenfalls schon bekannt. Inwieweit die Griechen der vorchristlichen Zeit sich mit Gleichungen beschäftigt haben, läßt sich nicht feststellen; sicher ist nur, daß sie geometrische Probleme zweiten Grades geometrisch und auch rechnerisch aufgelöst haben. Im 4. Jahrh, n. Chr. treten indessen bei Diophant die mathematischen Begriffe des Bekannten und Unbekannten in voller Schärfe wieder auf, und daraus läßt sich schließen, daß auch bei den Griechen die Zwischenzeit nicht ganz ohne Fortschritte in der Gleichungslehre geblieben war. Die Inder, die Lehrmeister der Algebra, fügten eine methodische Behandlung der unbestimmten Gleichungen hinzu, und die Araber führten die Gleichungen dritten Grades geometrisch ihrer Lösung entgegen. Die rechnerische Lösung der Gleichung dritten (und auch vierten) Grades entstand im 16. Jahrh, auf italienischem Boden, und seitdem hat wohl keiner von den bedeutenderen Mathematikern es unterlassen, einen oder mehrere Bausteine zu dem heutigen Lehrgebäude der Gleichungstheorie beizutragen.

b) Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.

Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten finden sich zuerst in der Hau(fen)-Rechnung der alten Ägypter und treten dann nach einer überaus langen Pause wieder bei Diophant auf; erst bei diesem begegnet uns eine wirkliche Methode für die Auflösung. Die Inder, die schon mit negativen Zahlen rechnen konnten, vereinfachten das Verfahren Diophants und nahmen die Ableitung der Normalform einer Gleichung schon in gleicher Weise vor, wie es heute noch in der Schule üblich ist. Die Araber nannten das Ordnen einer Gleichung Aldschebr wälmukäbdla; von dem ersten Worte dieser Bezeichnung stammt unser Wort Algebra her.

c) Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten.

Die älteste Spur für diese Aufgaben bietet uns ein Problem, das nach einer Notiz von Jamblichus aus dem 4. Jahrh. n. Chr. einem gewissen Thymaridas zuzuschreiben ist. Ob dieser Thymaridas der Pythagoreer gleichen Namens (390 v. Chr.) gewesen ist, hat sich nicht feststellen lassen. Diophant kennt für seine Unbekannten nur ein Zeichen; wo er es mit mehreren Unbekannten zu tun hat, da weiß er sich durch geschickte Substitutionen zu helfen, ohne jedoch auch hierbei zu einer einheitlichen Methode zu gelangen. Die Inder wählten zur Bezeichnung der Unbekannten verschiedene Farben und hatten so ein leichteres Rechnen mit mehreren Unbekannten. Die Araber berücksichtigten Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten nur selten, und da die Mathematik des Mittelalters fast nur aus arabischen Quellen schöpfte, so erklärt es sich, daß bis zum 16. Jahrh, hin die Behandlung der Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten in den ersten Anfängen stecken geblieben ist. Aus der Stelle der Summa des Italieners Paciuolo (1494), „die älteren Lehrbücher hatten gewöhnlich erste und zweite cosa für die Unbekannten gesagt; die neueren sagten lieber cosa für die eine Unbekannte und quantita für die andere" geht hervor, daß man mehr als zwei Unbekannte gar nicht in Betracht zog. Erst in der Meisterhand Stifels nahm der Stoff eine durchaus neue allgemeine Form an.

Die Additionsmethode wird schon von einem französischen Mönche Buteo (1559) in derselben Weise wie von uns angewandt.

Die Kombinations- und die Substitutionsmethode finden sich als allgemeine Verfahren benutzt erst in der Aritlmetica miversalis von Newton aus dem Jahre 1707.

d) Gleichungen zweiten Grades mit einer Unbekannten.

Es ist oben bereits erwähnt, daß die Griechen sich hauptsächlich mit der geometrischen Lösung von Gleichungen zweiten Grades mit einer Unbekannten beschäftigt haben; alle Formen, soweit sie nicht auf negative und komplexe Wurzeln führen, sind bei Euklid schon behandelt (in unserer Ausdrucksweise: x* + <i² = px; x⁸ + px = q² und xs = px + q!). Wann die Umsetzung in ein algebraisches Verfahren eingetreten ist, läßt sich nicht mit Sicherheit ermitteln; es ist aber wahrscheinlich, daß Hipparch bei der Aufstellung seiner Sehnentafel eine numerische Auflösung der Gleichungen zweiten Grades benutzt hat. Mit Sicherheit läßt sich dies allerdings erst bei Hero nachweisen; auf diesen scheint auch die Lösung durch die quadratische Ergänzung zurückzuführen zu sein.

Die Griechen kannten den Gebrauch negativer Zahlen noch nicht, und daher tritt bei ihnen stets nur eine Wurzel auf. Auch die Inder begnügten sich anfangs mit einer Wurzel; erst später trifft man bei ihnen einen Hinweis auf das paarweise Auftreten der Wurzeln an. Die Araber hatten die negativen Zahlen von den Indern nicht mit übernommen und mußten daher auf die drei Grundformen der Griechen zurückgehen. Mit diesen verbanden sie dann die drei entsprechenden Formen für x". Das frühe Mittelalter fügte die Fälle hinzu, die aus den drei Formen durch Multiplikation mit x entstehen, und entwickelte auf diesem Wege 24 unter dem Namen „Regeln" bekannte Gleichungsformen, von denen jede für sich behandelt wurde, weil man ihren inneren Zusammenhang nicht kannte. Was ein Jahrtausend vorher den Arabern gelungen, dann aber der Vergessenheit anheimgefallen war — die Zusammenfassung in eine einzige Form —, das wurde erst durch Stifel (16. Jahrh.) der Mathematik wiedergewonnen, allerdings mit der Einschränkung, daß die Doppeldeutigkeit nur dann, wenn beide Wurzeln positiv sind, berücksichtigt wurde; denn negative Wurzeln waren seiner Zeit noch ganz fremd. An dem Vorurteil, daß die Wurzelwerte positiv sein müßten, hielt auch Vieta (16. Jahrh.) noch fest, und daher finden wir bei ihm den Zusammenhang zwischen den Wurzeln und Koeffizienten nur für diesen Fall ausgesprochen. Vieta ist ferner der erste, der durch die Substitution x = y + z die Gleichung in eine rein quadratische überführte.

Mit Cardano (ieoi—1576) wird eine tiefere Einsicht in das Wesen der negativen Zahlen eingeleitet, und auf Anstoß der italienischen Schule wird sogar die Inangriffnahme des Imaginären gewagt. So wird der Boden geschaffen, auf dem die noch vorhandene Lücke ausgefüllt werden und schließlich Girard (t 1632) zu dem Satze gelangen konnte, daß jede Gleichung so viel Wurzeln hat, wie der Exponent der höchsten Potenz der Unbekannten angibt.

e) Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten. Reziproke

Gleichungen.

Gleichungen quadratischen Charakters mit zwei Unbekannten hat schon Euklid gelöst, wenn er Aufgaben über Summen, Differenzen, Produkte und Summen bzw. Differenzen der Quadrate zweier Unbekannten behandelt. Fehlt es ihm auch noch an einem Zeichen für die zweite Unbekannte, so weiß er doch stets Mittel und Wege zu finden, um zu einer Lösung zu gelangen. Über diese Gruppen kamen auch die Araber nicht merklich hinaus. Die schwierigeren Formen treten erst bei Stifel auf.

Der Begriff der reziproken Gleichung geht auf Moivre (f 1754) zurück. Moivre hat zuerst in den Miscellmea andlytica Gleichungen behandelt, deren von den Enden gleichweit entfernte Glieder gleiche Koeffizienten besitzen; er weiß, daß bei einem ungeraden n die Gleichung die Wurzel ± 1 hat und durch Division um einen Grad erniedrigt werden kann, ohne die charakteristische Koeffizientmeigenschaft zu verlieren; er weiß ferner, daß bei einem geraden n durch eine quadratische Substitution eine Gleichung entsteht, deren Grad halb

so groß ist. Die Substitution x + ^ = y stammt von Sagrange (1772), und der Name reziproke Gleichungen ist von Euler (1732) eingeführt worden.

f) Gleichungen dritten Grades.

Unter den Problemen, die von den alten Griechen immer wieder in Angriff genommen worden sind, befinden sich die beiden kubischen Aufgaben, einen Würfel zu verdoppeln und einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen. Es ist bekannt, daß sie derartige Aufgaben mit Benutzung der Kegelschnitte gelöst haben. Dies Auflösungsverfahren wurde von den Arabern auf die verschiedenen Formen ausgedehnt, in denen Gleichungen dritten Grades mit einer Unbekannten auftreten können. Zu einer algebraischen

Lösung gelangten aber auch die Araber nicht; ja, sie hielten eine solche für ganz unmöglich. Erst das 16. Jahrh, brachte eine für alle Fälle verwendbare Lösung. An diese knüpft sich ein überaus häßlicher Streit um das Vorrecht der Entdeckung, wie ihn die Geschichte der Mathematik nicht wieder kennt. Wie jetzt feststeht, hat Scipio bei Ferro die Auflösung der Gleichung x³ + ax = b zuerst gefunden und darüber seinem Freunde Antoniomaria Fior und anderen Schülern Mitteilung gemacht. Fior hatte dann nach der Sitte seiner Zeit dem Tartaglia (t 1657) 30 Wettaufgaben vorgelegt, die sämtlich auf Gleichungen von der Form x³ + ax = b führten, und kurz vor Ablauf der Frist will Tartaglia die Lösungsformel gefunden haben, auch für den Fall x³ = ax + b. Vergebens ersuchten ihn seine Zeitgenossen um die Veröffentlichung seiner Methode, und als er schließlich von Card ano sich dazu bewegen ließ, ihm von seinem Verfahren Mitteilung zu machen, tat er es in fast unverständlichen Versen, die er erst erläuterte, als Cardano ihm eidlich zugesagt hatte, daß er das Geheimnis nicht verraten wolle. Cardano hatte jedoch bald Gelegenheit, die Lösung Ferros anderweitig kennen zu lernen und festzustellen, daß diese völlig mit der Lösung von Tartaglia übereinstimmte; die Annahme, daß Tartaglia die Formel gar nicht selber entdeckt, sondern sie irgendwie durch dritte Hand von Ferro entlehnt habe, war also mehr als wahrscheinlich, und daher konnte Cardano sich um so weniger durch den geleisteten Eid gebunden fühlen, als von einem Geheimnis unter den obwaltenden Umständen gar nicht die Rede sein konnte. Wenn er neben Ferro trotz seiner Kenntnis der Sachlage Tartaglia noch mit als Entdecker bezeichnet, so ist dies wohl aus dem Bestreben hervorgegangen, einem Streite vorzubeugen. — Die Berechtigung, die Lösung als Cardanische Formel zu bezeichnen, beruht lediglich darin, daß Cardano den Lösungsweg (1545 in seiner Ars magna) zuerst veröffentlicht hat.

In der Ars magna trifft man auch die erste allgemeine Lösung der Gleichung vierten Grades an.

g) Gleichungen von höherem als dem vierten Grade.

Als es geglückt war, die Gleichungen dritten und vierten Grades zu lösen, begann das Interesse an den Gleichungen höheren Grades sich zu steigern. Die bedeutendsten Mathematiker des 17. und 18. Jahrh, versuchten an ihnen ihre Kräfte, bis schließlich im Jahre 1824 von dem jungen Norweger Abel in unanfechtbarer Weise der Beweis geliefert wurde, daß die Auflösung einer Gleichung von höherem als dem vierten Grade auf algebraischem Wege unmöglich sei.

Hatten aber auch die Bemühungen der Mathematiker vor Abel nicht das ersehnte Ziel erreicht, so hatten sich doch nebenbei andere Beobachtungen und Ergebnisse eingestellt, die für den Ausbau der Gleichungslehre von wesentlicher Bedeutung sind. Girard (t 1632) spricht zuerst allgemein aus, daß jede Gleichung ntm Grades n Wurzeln habe, und behauptet, daß die imaginären

Wurzeln, die er an sich für unberechtigt hält, nur dazu da seien, um solche Sätze in voller Allgemeinheit aussprechen zu können. Die notwendige Ergänzung dieses Satzes, daß eine Gleichung ntcn Grades nur n Wurzeln haben könne, liefert Newton, und Euler vereinigt beide Sätze in der genauen Form, daß jeder algebraische Ausdruck in Faktoren ersten und zweiten Grades zerlegt werden könne. Einen einwandsfreien Beweis des Eulerschen Satzes verdanken wir erst Gauß.

Den Zusammenhang zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer geordneten Gleichung nten Grades hatte Cardano (1545) nur für die Gleichung dritten Grades und Vieta auch für höhere Gleichungen mit nur positiven Wurzeln gekannt; in seiner Allgemeinheit ist er jedoch gleichfalls erst von Girard aufgedeckt worden.

h) Unbestimmte Gleichungen.

Während bei den vorhergehenden Gebieten vielfach griechischer Einsiuß auf die indische Mathematik festgestellt wurde, ist die Lehre von den unbestimmten Gleichungen unabhängig von den Griechen bei den Indern entstanden. Bei diesen treffen wir zuerst die Behandlung unbestimmter Gleichungen ersten Grades mit der Beschränkung auf ganzzahlige Lösungswerte an, also derjenigen Gleichungen, die man in der Schulmathematik allgemein als Diophantische Gleichungen bezeichnet. Diophant aber bringt in seinem Werke nur eine Zusammenstellung von Einzelausgaben ohne einen einheitlichen Lösungsweg; erwägt man ferner, daß er die Bedingung der Ganzzahligkeit gar nicht kennt, sondern nur irrationale Lösungen ausschließt, und daß er unbestimmte Gleichungen ersten Grades gar nicht behandelt, so erkennt man, daß diese Gleichungen seinen Namen zu Unrecht tragen.

Das eleganteste und zugleich praktischste Auflösungsverfahren für unbestimmte Gleichungen ersten Grades stammt von Euler (s. Abschnitt HI, Nr. so).

Es verdient, bemerkt zu werden, daß auf diesem Gebiete auch die Chinesen selbständige Leistungen aufzuweisen haben. Die von ihnen schon im 3. Jahrh, n. Chr. entwickelte Lösung der Aufgabe, eine Zahl zu suchen, die bei gegebenen Divisoren gegebene Reste liefert, weicht von der indischen zu sehr ab, um noch als eine Umformung derselben gelten zu können; sie deckt sich übrigens mit einer Methode, die Gauß in seinen Disguisitiones arithmeticae 1801 angegeben hat.

Von den unbestimmten Gleichungen zweiten Grades wird auf dem Gymnasium zuweilen die Aufgabe behandelt, die Gleichung x² + y² --- z² aufzulösen, d. h. rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten zu bestinunen. Pythagoras und seine Schüler fanden die Wertegruppe

l.

x = 2q + 1, y = 2q² + 2q und z = 2q² + 2q + 1, und die Platonische Schule kam auf die Gruppe

2.

x = m² — 1, y = 2m und z = m² + 1.

Als allgemeine Lösung hat Euklid (in unserer Ausdrucksweise) die Zusammenstellung X = aßy, y=j(aß²—ay²) und z = j(aß² + aya)

3.

angegeben, falls aß² und ay² gleichzeitig gerade oder ungerade sind. Setzt man den Proportionalitätsfaktor « gleich 2, so geht hieraus die auf S. 84 angegebene Lösung hervor. Später hat man als allgemeine Lösung die Wertegruppe

4.

x = p(2q + p), y= 2q(q + p) und z=y + p²=x + 2q2 gefunden, wo p der Bedingung unterliegt, eine gerade Zahl zu sein.

Für p — 1 erhält man hieraus die von Pythagoras aufgestellte Gruppe;

-    q = l unbp + l = m geht hieraus die Gruppe von Plato hervor, und

-    ß = 2 q + p unb y = p, also q ^    — y) geht sie in die Lösung von

Euklid über, wenn man von dem gemeinsamen Faktor « absieht.

Nr. 13. Uber Maxims und Minima.

a) Schon ein Schüler Platos hat auf die Notwendigkeit hingewiesen, beim Abschluß einer Konstruktionsaufgabe eine Untersuchung anzustellen, welche Bedingungen die gegebenen Stücke zu erfüllen haben, damit die Ausführung der Zeichnung nicht unmöglich wird. Derartige Determinationen, die sich bereits bei Euklid, Archimedes und anderen vielfach vorfinden, bestehen aber wesentlich in Maximal- und Minimalbetrachtungen und bilden daher den Ausgangspunkt der Lehre von den größten und kleinsten Werten. Schon Apollonius hatte erkannt, daß diesen Betrachtungen ein beträchtlicher eigener Wert innewohne, und ihnen daher den größten Teil des fünften Buches seiner Conica gewidmet. Seine Anregung fiel insoweit auf einen fruchtbaren Boden, als im Verlauf des folgenden Jahrtausends die Anzahl der gelösten Aufgaben sich stark vergrößerte und auch schwierigere Fälle zur Behandlung herangezogen wurden. Die Namen Nemorarius, Regiomontan, Kepler und Cavalieri sind auch mit diesem Gebiete aufs engste verbunden.

b) Indessen fehlte es den bisher genannten Mathematikern an einer allgemeinen Methode für ihre Grenzbetrachtungen; so geistreich diese auch in den einzelnen Fällen sein mochten, so mußten doch fast von Aufgabe zu Aufgabe neue Lösungswege gesucht werden. Diesem Mangel konnte erst Fermat mit einem Verfahren abhelfen, das nicht nur allgemein verwendbar war, sondern auch den großen Vorzug hatte, elementar zu sein. Fermat setzt in den Ausdruck, der einen Grenzwert annehmen soll, statt der Veränderlichen A (er wählte geradeso wie Vieta zur Bezeichnung der Unbekannten die großen Vokale) die neue Größe A + E ein, in der E eine nur wenig von 0 verschiedene Zahl bezeichnen soll, verbindet die beiden Ausdrücke für A und A + E durch das Gleichheitszeichen, macht die Gleichung nennerfrei, ordnet sie und dividiert dann durch E. Alsdann vollzieht er den Grenzübergang zu E --- 0 und erhält auf diese Weise eine Gleichung zur Bestimmung der Grenzstelle.

c)    Ein zweites elementares Verfahren ist durch Schellbach im 19. Jahrhundert in die Schulmathematik eingeführt worden. Vgl. Nr. 33 c) in Abschnitt III.

d)    Die Fermatsche Methode und auch das Schellbachsche Verfahren haben einen sehr fühlbaren Mangel; sie geben weder Auskunft darüber, ob einer Wurzel der entstandenen Gleichung in Wirklichkeit auch ein Grenzwert entspricht, noch lassen sie ohne eine vielfach recht zeitraubende Rechnung erkennen, was für ein Grenzwert vorliegen kann. Diesem Mangel hat Leibniz in seinem 1684 erschienenen Werke Novus methodus pro maximis et minimis etc. durch Verwendung der Differentialrechnung bei der Bestimmung der Grenzwerte abgeholfen.

e)    Das Altertum hat sich auch mit einer zweiten Art von Maximal-anfgaben, den isoperimetrischen Aufgaben, schon beschäftigt; bereits am Anfang des 2. Jahrh. v. Chr. stellte Zenodorus, wie wir von Pappus erfahren, eine große Anzahl von Einzelfällen zusammen (z. B. bei einem gegebenen Umfang hat das regelmäßige Vieleck einen größeren Inhalt als irgendein unregelmäßiges von gleicher Seitenzahl, aber einen kleineren Inhalt als ein regelmäßiges Vieleck von größerer Seitenzahl, und der Kreis hat den größten Inhalt). Aber dabei ist es auch sehr lange Zeit geblieben. Die späteren Mathematiker kamen über die Ergebnisse des Zenodorus nicht hinaus, wenn sie überhaupt, was selten genug der Fall war, sich mit dem Problem beschäftigten. Erst die Neuzeit hat das alte Thema wieder aufgenommen und in den Arbeiten von Lhuilier (1782) und von Steiner (mi) wesentliche Weiterführungen entstehen lassen.

Nr. 14. Dir niederen Reihen,

a) Die arithmetischen Reihen erster Ordnung.

Das Rechenbuch des Ahmes (gegen 2000 v. Chr.) enthält zwei keineswegs leichte Beispiele von arithmetischen Reihen, und diese sind in einer Weise gelöst, die es als wahrscheinlich erscheinen läßt, daß den alten Ägyptern eine Summenformel schon bekannt war. Ebenso läßt eine Zahlenreihe, die auf einem Schriftendenkmal gefunden worden ist und das allmähliche Wachstum der erleuchteten Mondscheibe in den 15 Tagen vom Neumond bis zum Vollmond darstellen soll, die Vermutung zu, daß auch die Babylonier von den niederen Reihen eine gewisse Kenntnis hatten.

Zuverlässiger sind die Mitteilungen über das Verhältnis der Griechen zur Reihenlehre. Die Pythagoreische Schule, die sich viel mit Untersuchungen über die Zahlen beschäftigte, konnte schon die Reihen der natürlichen, der geraden und der ungeraden Zahlen summieren und die Theorie der figurierten Zahlen begründen. Die Akademie Platos baute diese Theorie aus und entwickelte die Lehre von den Vieleckszahlen. Fehlt es auch an einem Beleg dafür, daß die älteren Griechen eine allgemeine Summenformel kannten, so läßt sich doch aus der Art und Weise, wie Archimedes die Summierung der Reihe der Quadratzahlen vorgenommen hat, der Schluß ziehen, daß zu seiner Zeit wenigstens die allgemeine Summenformel der arithmetischen Reihe bekannt gewesen ist. Später finden sich bei Hero Aufgaben über arithmetische Reihen, und auch Diophant hat sich eingehend mit Vieleckszahlen beschäftigt.

Die Kenntnisse der Inder gingen nicht über die Auflösung der quadratischen Gleichung zur Bestimmung der Gliederzahl aus der Summe, dem Anfangsglied und der Differenz hinaus, und das Verdienst der Araber bleibt auf ihre Übersetzertätigkeit beschränkt.

Im Abendlande treffen wir zum ersten Male im Über abaci des Leonardo von Pisa (1202) die Summenformel allgemein in Worten ausgedrückt und gleichzeitig in zwei für ein gerades und ein ungerades n getrennten Formen an. In den folgenden Jahrhunderten brachte die Literatur von den arithmetischen Reihen nur so viel, wie zur Einführung in die Theorie der Logarithmen erforderlich schien. Erst das 19. Jahrh, hat den Stoff methodisch durchgeführt und für die Schulen zurecht gemacht.

l>) Arithmetische Reihen höherer Ordnung.

Eine arithmetische Reihe höherer Ordnung taucht erst im 16. Jahrh, bei Simon Jacob (1SS5, Frankfurt a. M.) in der Aufgabe auf, die Summe der Zahlen 1 + 2 + 4 + 7 + 11+ 16+22+ ••• zu bilden. Bald darauf berechnete Faulhaber (t less, Ulm) die Summe lm+ 2m + 3m + 4m + • • • für m — 1 6t§ m == 11. Da Erläuterungen zu den aufgestellten Formeln fehlen, so liegt die Vermutung nahe, daß die Formeln für die Summen, deren Exponent 4 übersteigt, durch Induktion gefunden sind. Fermat beschäftigte sich gleichfalls mit diesen Summen und teilte in einem Briefe mit, daß er eine Methode zur Summierung beliebiger Potenzen der ganzen Zahlen gefunden habe, allein eine Mitteilung dieser Methode sucht man in seinen Werken vergebens.

Bei der Untersuchung der genannten Summen fiel Leibniz die Regelmäßigkeit in der mten Differenzenreihe auf und veranlaßte ihn, aus den ersten Gliedern der einzelnen Differenzenreihen eine Bestimmung des allgemeinen Gliedes der Hauptreihe vorzunehmen; die Berechnung führte er dann noch an der Reihe der Kubikzahlen durch. Lagny (t 1734, Paris) nahm die Untersuchungen von Leibniz wieder auf und zeigte, daß nicht nur die mten Potenzen, sondern auch die Funktion mten Grades

amxm+ am_₁xm_1 + am_jXm—2+ • • • + afx

derartige Reihen lieferten, wenn man für x die Reihe der ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . einsetzte. Damit war der Begriff der arithmetischen Reihe höherer Ordnung endgültig festgelegt. Lagny gab auch den Weg an, auf dem

man das allgemeine Glied finden kann. Die allgemeine Formel für das ntc Glied ist indessen erst von Newton entwickelt worden, und die Summation der allgemeinen Reihe hat F. C. Maier 1728 zuerst durchgeführt.

c) Die geometrische Reihe.

Auch das erste Beispiel einer geometrischen Reihe findet sich in dem Rechenbuche des Ahm es in der Aufgabe, die Summe der ersten 5 Potenzen von 7 zu berechnen. Die angegebene Lösung 7 > 2801

2801 =

16806    16807 —1_7⁶—1,\

⁼ 7-1 7

läßt vermuten, daß die Summenformel schon damals bekannt war. Ebenso läßt die in a) erwähnte Zahlenreihe erkennen, daß auch den Babyloniern die geometrische Reihe nicht ganz ftemd gewesen sein kann.

Bei den Griechen führte die Erweiterung der Erklärung für das geometrische Mittel auf geometrische Reihen, und schon Euklid fand eine allgemeine Summenformel, die er zur Summation der Potenzen von 2 anwandte.

Die bekannte Schachbrettaufgabe mit den Weizenkörnern stammt von den Arabern und wird gegen das Jahr 1000 zum ersten Male erwähnt. Zur Kenntnis des Abendlandes gelangte die Aufgabe im liber abaci des Leonardo von Pisa im Jahre 1202.

Die verschiedenen Summenformeln, die heute gelehrt werden, sind im 15. und 16. Jahrh, gefunden worden. Eine systematische Durcharbeitung aller möglichen Aufgaben, in denen aus drei von den 5 auftretenden Größen die beiden anderen berechnet werden sollen, soweit sie nicht auf Gleichungen höheren Grades führen, hat 1657 der englische Mathematiker Wallis geliefert.

Die erste unendliche geometrische Reihe 1,    .. . hat

Archimedes bei Gelegenheit der Parabelberechnung addiert; eine allgemeine Formel für q < 1 ist jedoch erst von Vieta gefunden worden.

d) Zinseszinsrechnung.

Die Spuren der Zinseszinsrechnung reichen nicht bis zu den Griechen hinab; die älteste Aufgabe findet sich in einem Werke des Inders Aryabhatta (gegen 600 n. Chr.). Mit dem Aufblühen des Handels im Mittelalter werden

Zinseszinsanwendungen häufiger, und die Formel k = c- (l + wird bald

zum Gemeingut. Solange der Gebrauch der Logarithmen noch unbekannt war, bediente man sich besonderer Zinseszinstafeln, aus denen durch Lösung einer Dreisatzaufgabe für ein beliebiges Grundkapital das Endkapital und umgekehrt berechnet werden konnte. Im Druck sind derartige Tafeln erst gegen Ende des 16. Jahrh, erschienen. In der ältesten, von dem Holländer

Simon Stevin herausgegebenen Zusammenstellung findet sich auch eine Abteilung für den Barwert einer gleichmäßigen Rente. Stevin ist der erste, der die Frage nach dem Zinsfuß und der Anzahl der Jahre in Angriff nahm. Eine systematische Behandlung der Zinseszinsrechnung in durchgängig algebraischem Gewände ist zum ersten Male von dem Engländer Halley (f 1742, Greenwich) gegeben worden.

Nr. 15. Die Logarithmen.

a) Der ursprüngliche Logarithmusbegriff wurde aus der Vergleichung einer geometrischen und einer arithmetischen Reihe abgeleitet, deren Glieder in ihrer natürlichen Reihenfolge einander fest zugeordnet wurden. Die arithmetische Reihe stellt die Logarithmen und die geometrische Reihe stellt die zugehörigen Numeri dar. Bei dieser Auffassung läßt sich das logarithmische Gesetz der Multiplikation zweier Zahlen schon aus dem folgenden Satz von Archimedes herauslesen:

Wenn von Zahlen, die von der Einheit ab in einem festen Verhältnis stehen, irgend zwei miteinander multipliziert werden sollen, so wird auch das Produkt derselben Proportionsreihe angehören, und zwar wird dieses von dem größten der beiden Faktoren ebensoweit abstehen, wie der kleinere von der Einheit in der Proportionsreihe absteht; von der Einheit aber wird es um eine Stelle weniger weit abstehen, als die Abstandszahlen der beiden Faktoren von der Einheit aus zusammen betragen.

Hätte Archimedes die Rangzahlen um 1 niedriger angesetzt, so käme in dem Satze bereits die Gleichung am-an = am+“ zum Ausdruck.

Gegen Ende des 15. Jahrh, finden wir diese Herabsetzung vollzogen und (in der heutigen Schreibweise) die Reihen zusainmengestellt:

6    7 ...

a³

a⁶ a⁷...,

und beim Beginn des 16. Jahrh, werden die beiden Reihen von Stifel in seiner Arithmetica Integra nach links fortgesetzt. Aus einer Stelle dieses Werkes, die in der Übersetzung lautet:

1.    Die Addition bei der arithmetischen Reihe entspricht der Multiplikation bei der geometrischen;

2.    die Subtraktion bei der arithmetischen Reihe entspricht der Division bei der geometrischen;

3.    die einfache Multiplikation (b. h. einer Zahl mit einer Zahl), die bei der arithmetischen Reihe vorgenommen wird, entspricht der Potenzierung bei der geometrischen;

4.    die Division bei der arithmetischen Reihe entspricht der Wurzelausziehung bei der geometrischen. So entspricht die Halbierung bei der arithmetischen Reihe der Ausziehung der Quadratwurzel bei der geometrischen...

geht unzweideutig hervor, daß Stifel den Zusammenhang der beiden Reihen vollständig erfaßt hatte; die Gesetze des logarithmischen Rechnens waren ihm also bekannt, aber es fehlte noch die Berechnung zweier brauchbarer Reihen, deren Glieder so eng aneinander standen, daß sie praktisch verwendbar waren.

b) Erst um die Wende des 16. Jahrh, wurde die mühsame Arbeit in Angriff genommen und mit der Aufstellung von Tabellen begonnen. Jost Bürgi hatte bereits 1611 logarithmische Tabellen fertig, aber da er mit der Herausgabe bis 1620 zögerte, so entging ihm der Ruhm, die erste Logarithmentafel veröffentlicht zu haben. Denn schon im Jahre 1614 hatte John Neper in Edinburg seine Mirifici logarithmorum canonici descriptio erscheinen lassen, die in übersichtlicher Anordnung eine Zusammenstellung der von ihm berechneten beiden Reihen enthielt. Während Bürgi (um in der heutigen Ausdrucksweise zu reden) als allgemeines Glied bei der arithmetischen Reihe xn = 10 • n und bei

der geometrischen Reihe yn = 10⁸ • (l + genommen hatte, lautete bei Neper das allgemeine Glied der arithmetischen Reihe x„ = n und der geometrischen Reihe yn ---10’ (l -    Bürgi hatte für die arithmetische Reihe

das Zehnfache der natürlichen Zahlen gewählt; Neper dagegen hatte für diese die Sinuswerte der Winkel von 0° bis 90° in Intervallen von 1' zu V genommen, und daher war seine Tafel eine trigonometrisch-logarithmische Tabelle, die für numerisch-logarithmische Berechnungen die Benutzung rein-goniometrischer Tafeln nötig machte. Diesen Übelstand beseitigte Kepler, indem er die Tafeln von neuem so berechnete, daß er die Sinuswerte in arithmetischer Reihe zunehmen ließ, und nach ihm nahm Peter Crüger eine Trennung in einen numerisch-logarithmischen und einen trigonometrisch-logarithmischen Teil vor, ohne jedoch dadurch verhüten zu können, daß die Neperschen Tabellen das Schicksal der Bürgischen teilten und durch die Tafeln von Henry Briggs verdrängt wurden.

Ebensowenig wie ihre Vorgänger hatten Bürgi und Neper die Logarithmen als Potenzexponenten einer bestimmten Grundzahl betrachtet; diese Auffassung machte sich erst um die Mitte des 18. Jahrh, geltend. Sucht man nachträglich nach einer den Bürgischen Logarithmen zugrunde liegenden Grundzahl, so ergibt sich eine gewisse Annäherung an die natürlichen Logarithmen; denn die Grundzahl seiner Logarithmen ist gleich 2,7181459 ... und stimmt daher mit der Zahl e in den ersten 4 Ziffern überein. Gleichwohl wird man nicht daran denken dürfen, die Bürgischen Logarithmen als natürliche Logarithmen zu bezeichnen, da zu diesen Jn-finitesimalbetrachtungen gehören, die Bürgi noch ganz fremd waren. Bei

Neper findet man eine Zahl, die von ^ oder e⁻¹ nur sehr wenig abweicht; seine Grundzahl ist also zwar mit der Zahl e verwandt, aber mit

der Grundzahl der natürlichen Logarithmen nicht übereinstimmend. Aus diesem Grunde hat man die Berechtigung, die natürlichen Logarithmen als Nepersche Logarithmen zu bezeichnen, vielfach bestritten. Um den Sachverhalt zu prüfen, muß man auf die Nepersche Einführung des Logarithmus zurückgehen. Sein Logarithmus ist durch die Gleichung — =■ — log

bestimmt. Neper kennt zwar nicht die hier benutzte Sprache, aber er drückt geometrisch oder kinematisch denselben Gedanken mit derselben Genauigkeit aus, die wir durch diese Sprache erhalten. Sein r ist gleich 10⁷; er wählt eine höhere Einheit, um den Gebrauch von Dezimalzahlen zu umgehen, und die Wahl des Vorzeichens ist darauf zurückzuführen, daß er sein neues Hilfsmittel vorzugsweise auf echte Brüche (sin x; cos x) anwenden will. Von diesen mehr zufälligen Abweichungen abgesehen, schlägt Neper genau den Gedankengang ein, der uns auf die Grundzahl e führt. Sind also die natürlichen Logarithmen auch nicht identisch mit den Neperschen, so sind sie doch nach denselben Gesichtspunkten gebildet, und daher ist es sehr wohl gerechtfertigt, die Erinnerung an den eigentlichen Schöpfer der Logarithmen dadurch festzuhalten, daß man die natürlichen Logarithmen als Nepersche Logarithmen bezeichnet.

c) Die Logarithmen mit der Grundzahl 10 stammen von Briggs, der sich mit Neper zusammengetan hatte, um seine Tafeln zu verbessern. Die Briggsschen Tafeln umfassen die Zahlen von 1 bis 10000 und von 90000 bis 100000. Die Lücke wurde später von Vlacq ausgefüllt. Vlacq führte auch von ihm neu berechnete Tabellen für die Logarithmen der Winkelfunktionen hinzu und schuf auf diese Weise ein Werk, das fast allen späteren Tafeln zugrunde liegt. Trotz der Fülle eigener Arbeit zog er aus buchhändlerischem Interesse (Vlacq war zugleich Buchhändler) vor, das Werk unter dem Titel H. Briggs, Arithmetica logariüimica. Tina cwm canone triangulorum etc., ed. H. Vlacg, Goudae 1628 in die Welt hinauszuschicken.

d) Bürgi hatte für feine Logarithmen 9 Stellen berechnet, und Neper hatte 7 Stellen benutzt. Briggs gab das erste Tausend seiner Logarithmen mit 9 Stellen (der Kennziffer und 8 Dezimalstellen) heraus und berechnete dann erst 14 Dezimalstellen. Vlacq kürzte die Briggsschen Logarithmen auf. 10 Dezimalstellen ab und gab auch seinen Ergänzungen 10 Dezimalstellen.

Es liegt auf der Hand, daß die Benutzung derartig ausgedehnter Tafeln viel Zeit beanspruchte, und daher trat bald das Bestreben hervor, die Zahlen abzukürzen. Schon 1631 erschien eine Tafel mit 7 Dezimalstellen; 1705 wurden zum ersten Male die Kennziffer und das Komma weggelassen; 1781 kam in England die erste 5-stellige Tafel heraus, und 1828 veröffentlichte der Berliner Astronom Encke die erste 4-stellige Tafel. Aus den Schulen verschwanden die 7-stelligen Tafeln erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts. Heute überwiegt hier noch der Gebrauch der 5-stelligen Tafeln, allein

es scheint, daß auch diese bald den 4-stelligen Tafeln werden weichen müssen. Vielstellige Tafeln werden jetzt nur noch für besonders genaue Berechnungen (Astronomie, Versicherungswesen) gebraucht, aber auch diese Tafeln sind übersichtlicher gedruckt, da die gemeinsamen ersten Stellen nicht wiederholt werden.

e)    Im Zusammenhang mit der Verminderung der Stellenzahl steht bei den Logarithmen der Winkelfunktionen die Vergrößerung des Winkelintervalles. Die Nepersche Tafel schritt um je eine Minute vor. Dieses Intervall wurde 1625 von dem Berliner Gelehrten Ursinus auf 10" herabgesetzt, und Vlacq schloß sich dem an. Bei den 7-stelligen Tafeln wechselt das Intervall zwischen 1' und 10", und für das Gebiet von 0° bis 4° wird zuweilen (Bremiker) von Sekunde zu Sekunde vorgeschritten. Dem Intervall von 10" entspricht bei den 5-stelligen Logarithmen ein Intervall von 1', und die Täfelchen für die Proportionalteile sind meistens für die Zehntel einer Minute aufgestellt. Bei den 4-stelligen Tafeln werden die Intervalle 6' (der Zehnteilung des Grades entsprechend) und 10' benutzt, und die Täfelchen für die Proportionalteile werden in der Regel weggelassen. Der Unterschied in der Genauigkeit ist für die beiden Intervalle nur gering und fällt gegenüber der leichteren Benutzbarkeit der Tafeln mit dem Intervall 10' kaum ins Gewicht.

f)    Die Kunstwörter. Das Wort Logarithmus ist von Neper neu gebildet. Die Bezeichnung Logarithmus naturalis wird zuerst von Mercator für die durch seine Reihe

a⁵

Z(l + a)=a-|’ + ^-

definierten Logarithmen gebraucht. Von Mercator stammt auch das Wort Modul für das konstante Verhältnis der Logarithmen zweier verschiedenen Systeme. Die Bezeichnung Logarithmensystem taucht erst im Jahre 1714 auf. Die Bezeichnung Charakteristik stammt von Briggs, und ihre Verdeutschung in Kennziffer rührt von Kästner her. Euler gebrauchte das früher für die Dezimalstellen einer Dezimalzahl vielfach benutzte Wort Mantisse ausschließlich für die Dezimalstellen eines Logarithmus, aber erst mit dem Beginn des 19. Jahrh, bürgerte sich diese Einschränkung ein. Der Ausdruck Tafel doppelten Eingangs ist auf Regiomontan zurückzuführen.

Nr. 16. Alphabetische Zusammenstellung.

1.    Apollonius von Perga, ein Schüler von Archimedes, lehrte von 250 bis 230 in Alexandria und nachher in Pergamon.

2.    Archimedes, geb. 287 und f 212 in Syrakus, der größte Mathematiker des Altertums.

3.    Archytas, bekannt durch die Ode des Horaz, 430—365, Tarent.

20

Müller, Mathematik, II. B — 4. «uff.

4.    Aristarch von Samos, lebte um 280 v. Chr. in Alexandrien.

5.    Baltzer, 1818—1887, wirkte zuerst in Dresden und dann in Königsberg.

6.    Bernoulli, Jakob, 1654—1705, in Basel.

7.    Boöthius, Schüler des Proklus, geb. zu Rom 470 n. Chr., lebte lange in Athen und wurde dann Staatsmann in Rom. f 524 in Pavia.

8.    Bremiker hat 1857 eine fehlerfreie Bearbeitung der Vegaschen Logarithmentafel herausgegeben.

9.    Brianchon, ein französischer Artillerioffizier, lebte im Anfang des

19. Jahrh.

10.    Briggs, Henry, 1556—1630 in London und Oxford.

11.    Bürgi, Jost, Mechaniker und Astronom. 1552—1633, zuerst in Prag und dann in Kassel.

12.    Cardano, 1501—1576, Prof, der Mathematik und der Medizin in Italien.

13.    Carnot, 1753—1823, Paris. Geometrie de position: 1803.

14.    Cavalieri, f als Professor in Bologna.

15.    Ceva, lebte als Mitglied des Jesuitenordens gegen 1700 in Mailand.

16.    Descartes (Cartesius), 1596—1650, als Mathematiker und Philosoph gleich hervorragend, der Schöpfer der analytischen Geometrie.

17.    Diophant, zwischen 350 und 400 n. Chr. in Alexandrien.

18.    Eddin Nasir, 1201—1274, am Hofe des Mongolenfürsten Hulagu.

19 Encke, Astronom in Berlin, gibt 1828 die erste 4-stellige Logarithmentafel heraus.

20.    Eudoxos von Knidos, 408—355, Schüler von Archytas und Plato.

21.    Euklid, lebte um 300 v. Chr. in Alexandrien. Von seinen Lebensverhältnissen ist nichts bekannt.

22.    Euler, Leonhard, geb. 1707 zu Basel, lebte zeitweilig auch in Berlin, t 1783 zu Petersburg.

23.    Fermat, geb. 1601, f 1665 in Toulouse. Seine Arbeiten wurden erst nach seinem Tode von seinem Sohne herausgegeben.

24.    Ferro, Scipione del, von 1496—1526 Professor in Bologna.

25.    Fink, Thomas, geb. 1561 in Flensburg, f 1656 in Kopenhagen.

26.    Fior, Antoniomaria, f 1525, bekannt aus dem Streite zwischen Cardano und Tartaglia.

27.    Gauß, geb. 1777 in Braunschweig, f 1855 in Göttingen. „Fürst der Mathematiker".

28.    Girard, f 1652 in Leiden, veröffentlicht 1629 den Satz über die Wurzeln einer Gleichung ntcn Grades.

29.    Guldin, ein Schweizer von Geburt, f 1643 in Graz.

30.    Halley, Astronom in Greenwich, 1656—1742.

31.    Hansen, f 1874 als Direktor der Sternwarte Seeberg bei Gotha.

32.    Hero, lebte um die Mitte des 1. Jahrh. v. Chr. in Alexandrien.

33.    Hipparch von Nicäa, lehrte 169—125 v. Chr. in Rhodos und Alexandrien.

34.    Hippokrates, ein berühmter Arzt, geb. gegen 400 v. Chr. auf Chios, f um 364 zu Larissa in Thessalien.

35.    Karsten, v., ließ 1767—1775 ein Werk unter dem Titel „Lehrbegriff der gesamten Mathematik" erscheinen.

36.    Kästner, 1719—1800, zuletzt Professor in Göttingen.

37.    Kepler, Johannes, berühmter Astronom, 1571—1630.

38.    Koppernikus, 1473 Thorn — 1543 Frauenburg.

39.    Lagny, de, 1660—1734, f in Paris.

40.    Lagrange, geb. 1736 in Turin, lebte in Turin, Berlin und Paris, t 1813 in Paris.

41.    Lambert, 1728—1777, Oberbaurat und Mitglied der Akademie in Berlin.

42.    Legendre, geb. 1752 in Toulouse, f 1833 in Paris, Professor an der Ecolc normale.

43.    Leibniz, geb. 1646 zu Leipzig, f 1716 zu Hannover. Seiner Anregung ist die Stiftung der Berliner Akademie der Wissenschaften zu danken.

44.    Leon, ein Schüler Platos, lebte gegen 370 v. Chr.

45.    Leonardo von Pisa, 1180—1250? Sein Uber abaci erschien 1202.

46.    Lhuilier, 1752—1833 in Paris.

47.    Lindemann, geb. 1852, beweist 1882, daß n eine transzendente Zahl ist.

48.    Machin, John, Astronom in London, f 1751.

49.    Mac-Laurin, 1689-1746, Professor in Edinburg.

50.    Maier, F. G., Petersburg, in der ersten Hälfte des 18. Jahrh.

51.    Mascheroni, 1750—1800 in Pavia und Paris.

52.    Menächmus, der Entdecker der Kegelschnitte, lebte im 4. Jahrh. v. Chr.

53.    Menelaus, lebte zu Alexandrien in der ersten Hälfte des 2. Jahrh, n. Chr.

54.    Mercator (Gerhardt Kremer), 1512—1594, Geograph und Kartograph.

55.    Möbius, 1790—1868, Professor in Leipzig.

56.    Moivre, 1667—1754, ein Franzose von Geburt, lebte als Privatgelehrter in London.

57.    Mollweide, 1774-1825, Professor in Leipzig.

58.    Monge, 1746—1818, anfangs in Lyon, später an der Ecole poli-technique.

59.    Nemorarius, Jordanus, Deutscher, f 1237 als Ordensgeneral der Dominikaner.

60.    Neper, John, 1559—1617, schottischer Baron.

61.    Newton, geb. 1643, f 1727 in Cambridge, von Gauß stets summus Neutonus genannt.

62.    Paciuolo, Luca, f 1514 zu Florenz. Seine Summa erschien 1494.

63.    Pappus, von 379—395 n. Chr. in Alexandrien tätig.

64.    Pascal, 1623-1662, Mathematiker, Physiker und Philosoph.

20*

65.    Plato, 429—348 v. Chr. in Athen.

66.    Posidonius, geb. 135 v. Chr. zu Apameia in Syrien, 's 51 auf Rhodos.

67.    Pothenot, f 1732, war ein französischer Mathematiker. '

68.    Proklus, geb. 412 n. Chr. in Byzanz, f 485 in Athen, Lehrer der platonischen Philosophie.

69.    Ptolemäus, Klaudius, lebte in der ersten Hälfte des 2. Jahrh. n. Chr., einer der größten Mathematiker der alten Zeit.

70.    Pythagoras von Samos, um 550 v. Chr., Begründer der Pythagoreischen Schule.

71.    Regiomontan (Joh. Müller aus Königsberg im Herzogtum Koburg), 1436 bis 1476, berühmter Mathematiker und Philosoph.

72.    Rhaeticus, 1514—1576, zuletzt in Wittenberg.

73.    Schellbach, geb. 1805 zu Eisleben, f 1892 zu Berlin.

74.    Simpson, lebte im Anfang des 18. Jahrh, zu Glasgow.

75.    Snellius, 1581—1626, in Leiden, Mathematiker, Geodät und Physiker.

76.    Staudt, v., 1798—1867, Erlangen. Geometrie der Lage: 1847, Nürnberg.

77.    Stevin, Simon, geb. 1548 zu Brügge, f 1620 zu Leiden.

78.    Steiner, 1796—1863, zuletzt in Berlin.

79.    Stifel, 1486—1567, lutherischer Prediger, zuletzt in Jena.

80.    Sturm, Johannes, Nürnberg, veröffentlicht 1670 eine Übersetzung des Archimedes.

81.    Tartaglia, 1500—1557, Lehrer der Mathematik, abwechselnd in Brescia und Venedig.

82.    Taylor, 1685—1731, in London.

83.    Thales von Milet, geb. um 640 v. Chr., f 548 in Athen.

84.    Thibaut, Grundriß der reinen Mathematik, erschien 1801.

85.    Varignon, 1654—1722 in Paris.

86.    Vieta, 1540—1603, der größte französische Mathematiker des 16. Jahrh.

87.    Vlacq, 1600—1667, zuletzt im Haag.

88.    Weierstraß, 1815—1897 in Berlin, einer der größten Mathematiker des

19. Jahrh.

89.    Widmann von Eger, Johannes, gab 1489 ein berühmt gewordenes Rechenbuch heraus.

90.    Wolfs, Chr., Freiherr v., geb. 1679 zu Breslau, ch 1754 zu Halle.

Verlag von ß. 6. Ceubner in Leipzig und Berlin.

Dr. K. Kracpdtn: jVaturftudien

(Mit Zeichnungen von G. Lchwindrazheim)

im Raufe

3. Auflage Geb. M. 3.20

in Maid und seid

3. Auflage Geb. ITC. 3.60

im Garten

3. Auflage Geb. m. 3.60

Volksausgabe

Line Auswahl. veranstaltet vom Hamburger Jugendschriften-Ausschuß.    Geb. ITC. 1

«... Die Vorzüge der Kraepelinschen NaturschilderungFN liegen in den interessanten Beobachtungen, der Lebendigkeit des Dialogs, der anregenden Varstellungsweise und einer populären Schreibart. Daß selbst gebildete Erwachsene mit Vergnügen das Buch lesen und es mit Vorteil benutzen, darf behauptet werden. Unsere großen Schüler haben hier eine Fundgrube der schönsten und eindringlichsten Belehrung, dazu in vornehmem Gewände. Das Werk wird uns sehr warm empfohlen."    (Augendschriften-Warte.) *

„Das freundliche Buch ist wohl geeignet, eine verständige Naturbetrachtung und Neigungen, mit der Natur zu plaudern, in die richtigen Wege zu leiten, auch wohl überhaupt zu einer näheren Betrachtung der Natur anzuregen. Aufgeweckten Knaben und Mädchen kann das Buch daher als guter Führer in die Hand gegeben werden.... wir freuen uns, daß das Buch den verdienten Anklang schnell gefunden hat."    (Walurrvifferrschaftkiche Wochenschrift.)

in der Sommerfrische

Geb. m. 3.20

NT*<-!!*♦    Ein Buch für die Jugend, zur Lrklärytm VON Erscheinungen,

] i a-HIF-gC/arawOAv* bie mit der täglichen Erfahrung im Widerspruch zu stehen scheinen. Nach Dr. w. hampsons ,,Paradoxes of nature and scieUce“ bearbeitet von Dr. C. Schaffer, Mit 4 Tafeln und 65 Textbildern. In Leinwand geb. M. 3.—

„Ich brauche nur einige Überschriften, unter denen solche Phänomene dargestellt und analysiert werden, hierher zu setzen, um erkennen zu lassen, welch interessante Dinge der Leser des Buches erfahren wird. Da ist die Rede von Bällen, die um die Ecke fliegen, von (Eis, das schmilzt, während es kälter wird, da wird gefragt: „wie der Schwächere den Stärkeren besiegt" oder „Wer kann durch die Hand sehen?",' da wird das alte Problem des Steines der weisen gelöst, das „Bauchreden" erklärt und schließlich auch gezeigt, worauf der Trugschluß des Zenon beruht, daß Achilles die Schildkröte nicht einholen könne. Dies ist nur ein weniges aus der Fülle. Ich meine aber, niemand, der sich und der seiner Gbhut unterstehenden wissensdurstigen Iugend frohe und genußreiche Stunden zu bereiten wünscht, sollte an diesem Buche vorbeigehen. Die Übersetzung ist einwandfrei. Dem Text sind gute Bilder und instruktive schematische Zeichnungen beigegeben."

(KranKfurter Zeitung.)

Populäre Hftropbysik.    un6

„In klarer, leichtfaßlicher Sprache wird im ersten Teile der Leser in die Grundlehren der Optik, soweit sie zum Verständnis des Folgenden erforderlich sind, eingeführt, mit dem wichtigsten aus der Spektralanalyse und in ausführlicher weise mit den photometrischen Theorien und Apparaten bekannt gemacht. Im zweiten Teile werden die Resultate besprochen, zu denen nian in bezug auf die physische Konstitution der Himmelskörper gelangt ist. Zunächst finden wir eine sehr geordnete und ansprechende Darstellung der verschiedenen Sonnenphänomene, an die sich die Erörterung der spektroskopischen Ergebnisse bezüglich dieser Erscheinungen und die verschiedenen Ansichten über das Wesen der Sonne (Sonnentheorien) schließt. Im nächsten Abschnitte folgen Erläuterungen über die physische Beschaffenheit der Planeten, Monde, Kometen, Meteore und des Zodiakallichtes. Lin weiterer Abschnitt handelt von den Nebelflecken und der Schlußabschnitt von den Fixsternen, deren spektroskopische Untersuchungen mit anerkennenswerter Klarheit dargelegt werden, hohes Interesse gewährt das Kapitel über die ,Neuen Sterne⁶, deren Auftreten bis auf unsere Tage verfolgt wird. In den drei letzten Kapiteln dieses Abschnittes werden ,Spezielle Sternspektra⁶ betrachtet sowie die photometrischen und photographischen Ergebnisse in betreff der Fixsterne klargelegt. Line besondere Zierde des auch sonst vornehm ausgestatteten Buches bilden die zahlreichen, sehr netten, den Text wirksam unterstützenden Illustrationen und die prächtigen Tafeln mit zum größer?» Teil photographischen Reproduktionen. Das Werk sei allen aufs wärmste empfohlen, die ihr astronomisches wissen in astrophysikalischer Richtung mit Erfolg zu erweitern streben."    (Zeitschrift für das Realfcbulwefen.)

Lehrbuch der pbysih. ÄÄtumÄÄ M.⁶eÄr^:

Mit 1091 Textfiguren, 2 farbigen Tafeln und einem Anhange, enthaltend Tabellen physikalischer Konstanten und Zahlentabellen. [VII u. 1052 S.] gr. 8. 1909. Geh. M. 15.—, geb. M. 16.— Der moderne physikalische Schulunterricht soll eine Übersicht über das ganze Gebiet der Physik geben. (Er soll aber außerdem, besonders in den Gberklassen, einige begrenzte Gebiete ausführlich und wissenschaftlich streng behandeln. Dem Schüler soll das Buch auch dann noch ein Führer sein, wenn er die Schule verlassen hat,' es soll ihn befähigen, seine Kenntnisse auch auf denjenigen Gebieten zu vervollständigen, in denen der Schulunterricht nur die Grundlagen hat geben können.

Sfy

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin

Hus Natur und Geisteswelt

Geheftet

m.t.—

Gebündelt

m. t.25

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen aus allen Gebieten des Wissens in Bändchen o. 120—180 Seiten.

In erschöpfender und allgemein-verständlicher Behandlung werden in abgeschlossenen Bänden auf wissenschaftlicher Grundlage ruhende Darstellungen wichtiger Gebiete in planvoller Beschränkung aus allen Zweigen des Wissens geboten, die von allgemeinem Interesse sind und dauernden Nutzen gewähren.

Erschienen sind 300 Bände aus den verschiedensten Gebieten, u. a.:

Nautik, von Dr. Johannes Möller. Mit 58 Figuren int Text und auf einer Tafel. (Bb. 255.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. von Professor Dr. S. Oppenheim. Mit 24 Hbbildungen im Text. (Bb. 110.)

Der Vau des Weltalls, von Professor Dr. J. Sch ein er. 3. Hufl. Mit 26 Figuren im Text und auf 2 Tafeln. (Bb. 24.)

Die Philosophie der Gegenwart in Deutschland. Eine Charakteristik ihrer Hauptrichtungen, von Professor Dr. Oswald Külpe. 4. Huflage. (Bb. 41.)

Philosophie. Einführung in die Wissenschaft, ihr Wesen und ihre Probleme, von Direktor h. Kichert. (Bb. 186.)

Deutsche Nomantik. Eine Skizze von Prof. Dr. Oskar F. walzel. (Bb. 252.)

Albrecht Dürer. VonDr.Kudolfwust-mann. Mit 33 Hbbildungen. (Bb. 97.)

Geschichte der Musik, von Dr. Friedrich Spiro. (Nr. 143.)

Die deutschen Volksstämme und Landschaften, von Prof. Dr. O. weise. 3. verbesserte Huflage. Mit 29 Hbbildungen im Text und auf 15 Tafeln. (Bb. 16.)

Das deutsche haus und sein Hausrat. von Professor Dr. K. Meringer. Mit 106 Hbbildungen, darunter 85 von Professor H. von Schroetter. (Bb. 116.)

Das deutsche Dorf. von K. Mielke. Mit 51 Hbbildungen im Text. (3b. 192.)

Die deutsche Volkssage, von Dr. Otto Böckel. (Bö. 262.)

Mathematische Spiele, von Dr. w.

Hhrens. Mit 1 Titelbild u. 69 Figuren im Text. (Bb. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien, von Dr. Max Lange. (Bö. 281.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung mit einer historischen Übersicht, von Professor Dr. G. Kowa-lewski. Mit 18 Figuren. (Bb. 197.)

Die Grundbegriffe der modernen Naturlehre, von Professor Dr. Felix Huerbach. 2. Rufi. Mit 79 Figuren im Text. (Bb. 40.)

Die Lehre von der Energie, von

Hlfred Stein. Mit 13 Figuren im Text.

(Bb. 257.)

Einführung in die chemische Wissenschaft. von Prof. Dr. Walter Loeb.

Mit 16 Figuren im Text. (Bb. 264.)

Tierkunde. (Eine Einführung in btt Zoologie, von Privatdozent Dr. Kure Hennings. ' Mit 34 Hbbild. (Bb. 142.)

Die Beziehungen der Tiere zueinander und zur Pflanzenwelt.

von Prof. Dr. K. Kraepelin. (Bb. 79.)

Die Welt der Organismen, von

Professor Dr. Kurt Lampert. Mit 52 Abbildungen. (Bb. 236.)

Abstammungslehre und Darwinismus. von Prof. Dr. Richard Hesse.

3. Huflage. Mit 37 Figuren. (Bb. 39.)

Die Weltanschauungen der großen Philosophen der Neuzeit, von weil.

Professor Dr. Ludwig Busse. 4. Huflage. herausgegeben von Prof. Dr. Falcken-berg. (Bb. 56.)

Illustrierter und ausführlicher Katalog umsonst und postsrei vom Verlag

96

Verlag von B. 6. Ceubner in Leipzig und Berlin

inführung in die Biologie. Von Dr. K. Kraepelin.

Zum Gebrauch an höheren Schulen und zum Selbstunterricht. 2. Auflage. Mit 305 Abbildungen, 5 mehrfarbigen Tafeln und 2 Karten. In Leinw. geb. JL. 4.—

Der sicherste Beweis, daß dieses Werk des geschätzten Autors, das bei Kritik und Schulkreisen gleich freudige Aufnahme fand, einem wirklichen Bedürfnisse entgegenkam, ist die kaum zwei Jahre nach Erscheinen sich als notwendig erweisende Neuauflage, die trotz des wesentlich erweiterten Umfanges, der gediegeneren Ausstattung und der Beigabe von Farbentafeln zu dem gleichen Preise wie die erste Auflage zur Ausgabe gelangt. Möchte es auch in seiner net.eit Gestalt zahlreiche Freunde gewinnen.    *

^biologisches Praktikum für höhere Schulen. Von

yi    Mit 75 Abbildungen im Text und 9 Tafeln. [VI u. 7* 5.1

Ul. ^Vl^llllv* gr. 8. [909* Steif geh. ^ 2.—, in Leinw. geb. 2.50.

Dieser Leitfaden ist für. solche Lehranstalten bestimmt, die den biologischen Unterricht mit praktischen Uebungen verbinden. Der Inhalt erstreckt sich auf das zoologische und botanische Gebiet und berücksichtigt in jedem dieser Teile außer den: anatomischen Bau von Tier und Pflanze auch das physiologische Moment, wenn auch den Verhältnissen ent prechend der pflanzenphysiologische Kursus ungleich weiter ausgedehnt ist als der tierphysiologische. Soweit es angängig, bewegt sich das Buch in einer Art Systematik. Ls bebandelt den Bau der pflanzlichen (und tierischen) Mikroorganismen nebst Anleitung zu ihrer Reinkultur, hebt verschiedene Vertreter der niederen Pflanzenwelt besonders hervor und widmet einen längeren Abschnitt den Geweben, darunter namentlich den Gefäßen. Ueber Schnittführung und wichtige Reagentien wird bei passender Gelegenheit gesprochen. Int physiologischen Teil findet man eine Anzahl von Gruppenversuchen zusammengestellt. — Das Tierreich bringt in einer dem Verständnis der Schüler entsprechenden Art die Anatontie wichtiger Vertreter einzelner Tierkreise bzw. Klaffen (beispielsweise den Regenwurm, den Flußkrebs, den Gelbrand, die Teichmuschel, den Karpfen, den Frosch, das Kaninchen) sowie eine vergleichend anatomische Zusammenstellung verschiedener Organe. Auch diesen Übungsbeispielen ist eine Anleitung nach der rein manuellen Seite hin beigegeben. — von den zahlreichen Abbildungen, die der Leitfaden aufweist, ist eine Anzahl nach eigens zu diesem Zweck angefertigten Präparaten gezeichnet worden.

^sie Pflanzen Deutschlands. Von Dr. Otto wünsche.

JL / Line Anleitung zu ihrer Kenntnis. Die höheren Pflanzen. 9' Auflage, bearbeitet von Dr. I. 21 b ro nt eit. Mit einem Bildnis 0. wünsches. [XXIX u. 689 5.] gr. 8.

H909. In biegsamen Leinwandband geb. JL 5.—

Die Vorzüge, die den wünscheschcn Büchern so günstigen Eingang verschafften, bestehen in der klaren und einfachen Gliederung der Bestimmungstabellen und der übersichtlichen 2lnordnung derselben, in der Grundlegung des natürlichen, phylogenetischen pflanzrnsystems, in der Zuverlässigkeit der Tabellen und floristischen Daten, in der Reichhaltigkeit an Unterarten und Varietäten und nicht zuletzt in der bequemen Taschenf

In der neuen Auflage wurden mit Rücksicht auf die Bestimmungsübungen, wozu sich das Werk ganz besonders eignet, einige Verbesserungen und Erweiterungen vorgenommen. Die Nomenklatur wurde gemäß der auf dem zweiten internationalen botanischen Kongreß in Wien (905 zur Annahme gelangten Regeln gestaltet und auch die deutschen Namen der Pflanzen im engeren Anschluß an Meigens Vorschläge behandelt. Die Verbreitung der Arten sowie ihre Geselligkeits-perhältnisie wurden etwas mehr als bisher berücksichtigt, ohne den Umfang des Buches erheblich zu überschreiten.

verbreitetsten Pflanzen Deutschlands. Von Dr.

JL 1 (J}    Ein Übungsbuch für den naturwissenschaftlichen Unterricht.

vlA «CL/UllJ    5. Auflage herausgegeben und bearbeitet von Dr. B. Schorler.

Mit ^59 Umrißzeichnungen. [VI u, 290 5.] 8. l909« In biegsamen Leinwandband geb. ^.2.60. Die neue 2luflage unterscheidet sich von der früheren besonders durch die beigefügten 459 in den Text gedruckten Figuren und durch die blütsnbiologischen 2lngaben. Da das Buch in erster Linie für 2lnfänger im Pflanzenbestimmen in den Schulen bestimmt ist, so kann durch das Wort allein nicht immer jeder Zweifel ausgeschlossen werden, mag der Bestimmungsschlüffel oder die Pflanzenbeschreibung auch noch so klar und scharf sein. Der Herausgeber hat sich deshalb entschlossen, zur Erläuterung der in den Bestimmungsschlüffeln angegebenen Merkmale einfache Umrißzeichnungen der Blüten oder Blüienteile anzufertigen, die das Bestimmen wesentlich erleichtern dürften. Line weitere Neuerung ist insofern eingetreten, als bei jeder Art die blütenbiologischen Verhältnisse angegeben sind, und zwar in Gestalt der schon von v. Müller in die Blütenbiologie eingeführten Zeichen und 2lbkürzungen. Diese werden auch vielen willkommen sein.

WYDZIÄLY FOLITECHMICZNE KRÄKÖW

WMI

m ⁴-‘

BIBLIOTEKA EtßWNÄ

Of

IMAWWM

L

.........• -aWI

:i ; WM » : :

«liiisBiiaiisi^Äiia

tat

L. inw.

4 e K

U......M M

WWW I

ME

iili

■

eeaae-eieiiig«.......i

■um B i i ii

MS«WWS»WMW

WWW

MLW

MW«

EHE

111

“1

sie v

Biblioteka Politechniki Krakowski

ST

100000294742

I . ".....W - ■ m ii

:

liglÜÜlii

mm

es ■

ei saai mmm