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BUCHHANDLUNG

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Geometrischer Verlag von B. G. Teubner in Leipzig.

[Angaben über Umfang, Preis usw. der einzelnen Werke finden sieh in Teubners mathematischem Katalog, der gratis und franko erhältlich ist von der Verlagsbuchhandlung 13. G-. Teubner in Leipzig, Poststr. 3.]

I. Beine, elementare und synthetische Geometrie.

1. Grundlagen der Geometrie.

(Absolute und nicht-Euklidische Geometrie, Parallelentheorie — Ausdehnungslehre.)

Bolyai de Bolya, J., Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens, edd. Kürschâk, Réthy, Tötössy de Zepethnek.

- Elementa geometricae et appendices, edd. Kürschâk, Réthy, Tötössy

de Zepethnek.

Bolyai, W. u. J., geometrische Untersuchungen.

Dehn, M., die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck. Eberhard, V., die Grundgebilde der ebenen Geometrie.

- über die Grundlagen und Ziele der Raumlehre.

Engel F., u. P. Stäckel, Urkunden zur Geschichte der nicht-Eukli-dischen Geometrie.

- - siehe auch: Stäckel und Engel.

Enriques, F., Prinzipien der Geometrie.

Fragen der Elementargeometrie. Abhandlungen von Arnoldi, Baroni, Bonola, Calo, Castelnuovo, Conti, Daniele, Enriques, Giaco-mini, Guarducci, Vailati, Vitali, hrsgegeben v. Enriques, deutsch von Fleischer. Band II: Die geometrischen Aufgaben. Frischauf, J., absolute Geometrie nach Bolyai.

- Elemente der absoluten Geometrie.

Graßmann, H., gesammelte mathem. und physik. Werke. I. Band. Hilbert, D., Grundlagen der Geometrie.

Holder, 0., Anschauung und Denken in der Geometrie.

Killing, W., die nicht-Euklidischen Raumformen.

Klein, F., nicht-Euklidische Geometrie.

Kraft, F., Abriß des geometrischen Kalküls nach Graßmann. Lobatschefskij, N., zwei geometrische Abhandlungen.

Pasch, M., Vorlesungen über neuere Geometrie.

Peano, G., Grundzüge des geometrischen Kalküls, deutsch von Schepp. Schlegel, V., System der Raumlehre nach Graßmann.

Schlesinger, L., Vorlesungen über absolute (nicht-Euklidische) Geometrie.

Simon, M., Die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jakrh. Stäckel, P., u. F. Engel, die Parallelentheorie von Euklid bis auf Gauß.

- - siehe auch: Engel und Stäckel.

Vahlen, K., abstrakte Geometrie.

Veronese, G., Grundzüge der Geometrie, deutsch von Schepp. Wassiljef, A., N. I. Lobatschefskij, deutsch von Engel.

Weber, H., und J. Wellstein, Enzyklopädie der Elementar-Geometrie. Wienecke, E., geometrischer Vorkursus.

2. Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie und Kegelseimitte.

Adam, W., Repetitorium der Planimetrie.

h von Schuster.

- Repetitorium der Stereometrie.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Alexand?

»lanimetrischen Unterricht

Björnbo,

Block, C an hö

j Staude.

100000294721

Borner, H., Lehrbuch zur Einführung in die Geometrie.

Brockmann, F. J., Lehrbuch der elementaren Geometrie.

- Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie.

- Materialien zu Dreieckskonstruktionen.

- planimetrische Konstruktionsaufgaben nebst Lösung.

- Versuch einer Methodik zur Lösung planiipetr. Konstruktionsaufg.

Brückner, M., Vielecke und Vielflache; Theorie und Geschichte. Conradf, F., Lehrbuch der ebenen Trigonometrie.

Dingeldey, F., Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme.

Dronke, A., die Kegelschnitte in synthetischer Behandlungsweise. Erler, W., die Elemente der Kegelschnitte in synthet. Behandlung. Frischauf, J., Elemente der Geometrie.

I Geiser siehe: Steiner.

Girndt, M., Raumlehre für Baugewerkschulen.

Heinze, K., genetische Stereometrie, bearb. von Lucke.

Henrici J., und P. Treutlein, Lehrbuch der Elementar-Geometrie. Heß, E., Lehre von der Kugelteilung.

Hipp auf, H., Lösung des Problems der Trisektion mittels Konchoide. Hofmann, F., die Konstruktionen doppelt berührender Kegelschnitte. Holzmüller, G., methodisches Lehrbuch der Elementar-Mathematik.

- Einführung in das stereometrische Zeichnen.

- Die Planimetrie für das Gymnasium.

Huebner, L., ebene und räumliche Geometrie des Maßes.

Klein, F., Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie. Kober, J., Leitfaden der ebenen Geometrie.

Lucke, F., Leitfaden der Stereometrie.

Mattiat, D., die Raumlehre in der Volks- und Fortbildungsschule. Milinowski, A., Geometrie für Gymnasien und Realschulen.

- elementar-synthetische Geometrie der Kegelschnitte mit einem

Anhänge über die gleichseitige Hyperbel.

Müller, Heinr., die Mathematik auf den Gymnasien und Realschulen.

- die Lehre von den Koordinaten und Kegelschnitten.

- die Elementar-Planimetrie.

- u. Kutnewsky, Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik,

Trigonometrie und Stereometrie. Ergebnisse dazu.

Müller, Hub., Leitfaden der ebenen Geometrie.

- Leitfaden der Stereometrie.

Rausenberger, 0., Elementargeometrie des Punktes, der Geraden und Ebene.

Reidt, F., Sammlung von Aufgaben aus der Trigonometrie u. Stereometrie - - Resultate dazu.

- trigonometrische Analysis planimetrischer Aufgaben.

Reishaus, Th., Vorschule zur Geometrie: Lehrbuch und Aufgaben. Reusch, J., planimetrische Konstruktionen in geometrograph. Ausführung. Richter, A., Sammlung arithm. und trigonom. Aufgaben.

Rudio, F., Geschichte des Problems von der Quadratur des Zirkels. Schilke, E., Sammlung planimetrischer Aufgaben.

Schlömilch, 0., Grundzüge einer Geometrie des Maßes.

Schotten, H., Inhalt und Methode des planimetrischen Unterrichts. Schulze, K., Leitfaden für den trigonometr. und stereometr. Unterricht. Schuster, M., geometrische Aufgaben.

- stereometrische Aufgaben.

- ebene und sphärische Trigonometrie.

Sellenthin, B., mathematischer Leitfaden mit besonderer Berücksichtigung der Navigation.

Servus, H., ausführl.Lehrb. der Stereometrie u. sphärischen Trigonometrie. Simon, M., die Elementargeometrie.

- Euklid und die 6 planimetrischen Bücher.

Steiner, J., die Kegelschnitte in elementarer Behandlung.

Thieme, H., Lehrsätze und Aufgaben aus der Stereometrie.

Treutlein und Henr ici, siehe: Henri ci und Treutlein.

Wehner, H., Leitfaden für den stereometr. Unterricht an Realschulen. Wiener, Ch., über Vielecke und Vielflache.

Zehme, W., Lehrbuch der ebenen Geometrie.

Zeuthen, G. H., Grundriß einer elementar-geometrisch. Kegelschnittslehre.

3. DarsteUende Geometrie.

(Projektionslehre, Axonometrie, Parallel- und Zentralprojektion oder Perspektive — siehe auch unter „Kartenprojektion“.)

Beyel, Chr., über den Unterricht in der darstellenden Geometrie.

- Darstellende Geometrie. Mit 1800 Dispositionen zu Aufgaben.

Burmester, L., Beleuchtung gesetzmäßiger Flächen.

- Grundzüge der Reliefperspektive.

Dalwigk, F., Einführung in die darstellende Geometrie.

Disteli, M., die Steinerschen Schließungsprobleme.

Doll und Nestle, Lehrbuch der praktischen Geometrie.

Fiedler, W., die darstellende Geometrie.

-—— Zyklographie.

Finsterwalder, S., die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie. Holzmüller, G., Einführung in das stereometrische Zeichnen.

- einige Aufgaben der darstellenden Geometrie und der Kartographie.

Klekler, K., die Methoden der darstellenden Geometrie.

Müller, C. H., und Presler, Leitfaden der Projektionslehre.

Müller, E., Lehrbuch der darstellenden Geometrie für techn. Hochschulen. Prix, E., Elemente der darstellenden Geometrie.

Reusch, E., die stereographische Projektion.

Scherling, Ch., Grundzüge der §txonom. und schiefen Parallelprojektion. Schilling, Fr., über die Anwendungen der darstellenden Geometrie. Schußler, R., Lehrbuch der orthogonalen Axonometrie.

Schütte, Fr., Anfangsgründe der darstellenden Geometrie für Gymnasien. Sturm, R., Elemente der darstellenden Geometrie.

Weiler, A., neue Behandlung der Parallelprojektionen und der Axonometrie.

Wiener, Ch., Lehrbuch der darstellenden Geometrie.

- stereoskopische Photographien des Modelles einer Fläche 3. 0.

4. Neuere synthetische (projektive) Geometrie.

(Geometrie der Lage, Kollineation und Homographie.)

Binder, W., Theorie der unikursalen Plankurven 4. bis 3. Ordnung. Bobek, K., Einleitung in die projektivische Geometrie, bearb. n. Küpper. Disteli, M., die Steinerschen Schließungsprobleme.

Drach, C. A. v., Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte. Dronke, A., die Kegelschnitte in synthetischer Behandlungsweise. Durège, H., die ebenen Kurven 3. Ordnung.

Eberhard, V., die Grundgebilde der ebenen Geometrie.

- zur Morphologie der Polyeder.

Enriques, F., Vorlesgn über projektive Geometrie, deutsch von Fleischer.

- Fragen der Elementargeometrie, deutsch von Fleischer.

Fiedler, W., Zyklographie.

Fuhrmann, W., Einleitung in die neuere Geometrie.

Geiser, C. F., Einleitung in die synthetische Geometrie.

Hankel, H., Vorlesungen üb. d. Elemente der projektivischen Geometrie. Henrici, J., u. P.Treutlein, Lehrbuch der Elementar-Geometrie. II. Teil. Holzmüller,G., method. Lehrbuch der Elementar-Mathematik. Band IH. Kötter, E., die Entwickelung der synthetischen Geometrie.

Müller, Hub., Leitfaden d. ebenen Geometrie. I. Teil 2. Heft u. H. Teil. - Leitfaden der Stereometrie.

[Fortsetzung siehe Ende des Buches.]

ENCYKLOPÄDIE

ENCYKLOPÄDIE

Die natürliche Geometrie als eine der unendlich vielen Erscheinungsformen einer rein begrifflichen Geometrie (Metageometrie).

Dieser Satz gilt nun auch in den beiden Scheingeom

A0'U A-l'U A,'U A,'U A2'ü A3'U K-xU AnU

< — V = (ai — «2) yź - y-i = (\ - &2)h — *a" = (ci — ca)x,

y — s + \ v "ł" c2 £ -P d2,

Grundlegung der projektiven Geometrie.

Um im vorliegenden Falle den durch die Zuordnung d

die Strahlen SU und TU, SV und TV, SC und TG einan

Cy

12. Während die Streckenmessung der parabolischen

Von den Strecken x, y und x, y auf u und u ist als

Satz 13. Bei ähnlichen Polygonen stehen die Inhalt

Auf diesen einen Satz gründet sich der ganze Inhal

Ebene Trigonometrie und Polygonometrie.

und da (nach § 29 (8)) 1 + cos a = 2 cos2^-«, 1 —

Sphärik und sphärische Trigonometrie.

-tr

C. Die Grundformeln zweiter Ordnung.

und durch S, genauer durch [p, q] bezeichnen. Dabe

*g(“2 - 1) - I/

7= J

Diese Größe heißt die Potenz des Punktes xy in bez

5. Wir werden hier also auf die algebraische Aufga

= 0.

5. Normalenproblem. Es soll von einem gegebenen Pu

Punkte, Ebenen und Gerade im Raume.

Rauminhalt und Flächeninhalt.

Drehungsgruppen und reguläre Körper.

}>1-f>T« *<6

7-*(T + łh

ENCYKLOPÄDIE

DER

E LE MEV TAR - MATHEMATIK.

EIN HANDBUCH FÜR LEHRER UND STUDIERENDE.

VON

HEINRICH WEBER

PROFESSOR IN STRASSBÜRG

UND

JOSEF WELLSTEIN

PROFESSOR IN STRASSBURG.

IN DREI BÄNDEN.

ZWEITER BAND.

ELEMENTE DER GEOMETRIE.

ZWEITE AUFLAGE.

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LEIPZIG

DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER.

1907.

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ENCYKLOPÄDIE

DER

ELEMENTAREN GEOMETRIE.

BEARBEITET

VON

HEINRICH WEBER, JOSEF WELLSTEIN UND WALTHER JACOBSTHAL.

ZWEITE AUFLAGE.

MIT 251 TEXTFIGUREN.

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LEIPZIG

DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1907.

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ALLE RECHTE, EINSCHLIESZLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

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Vorrede zur ersten Auflage.

Der zweite Band der Encyklopädie der Elementarmathematik, dessen Erscheinen durch äußere Umstände in unerwünschter Weise verzögert wurde, ist ausschließlich der Geometrie gewidmet. Bei dem großen Umfange der Elementargeometrie mit ihren zahllosen Sätzen und Sätzchen über Dreieck und Kreis, Tetraeder und Kugel, die einige wenige projektive Grundgedanken immer wieder variieren und speziali-• sieren, mußte um so mehr eine Beschränkung auf das Notwendigste eintreten, als, zum Teil mit Rücksicht auf den dritten Band, auch die Kegelschnitte, die ebene und sphärische Trigonometrie sowie die Anfangsgründe der analytischen Geometrie zu behandeln waren. m

Es liegt nicht im Plane unseres Buches, eine Sammlung alles Wissenswerten aus diesem weiten Gebiete, womöglich mit Angabe der Literatur zu gehen, wie in der großen Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften; vielmehr sollte unter Ausscheidung alles zur Zeit noch Isolierten und darum Unfruchtbaren nur das geboten werden, was in den Anwendungen auf Mechanik und Physik sich als nützlich erweist und auch in der höheren Mathematik fortlebt.

In diesem engeren Bereiche wurde in erster Linie Vertiefung und Belebung des Gegenstandes angestrebt, Vertiefung durch ausführliche kritische Untersuchung der Grundlagen nach der logischen und erkenntnistheoretischen Seite, durch sorgfältige Behandlung alles dessen, was Vorzeichen, Rechts und Links, Richtung und Drehsinn betrifft; Belebung durch Anwendungen, die für den dritten Band Vorbehalten sind.

Der Band ist in drei Bücher eingeteilt. Nicht ohne Sorge übergebe ich das erste Buch der Öffentlichkeit, das die Grundlagen behandelt, also jenes schwierige Zwischengebiet,*das außer mathematischem auch philosophischen Sinn beansprucht. Bei dem allgemeinen Tiefstände unserer philosophischen Bildung, deÜ wir uns wohl ruhig eingestehen dürfen, und der großen Abneigung weiter Kreise gegen alle Fragen, die in dieses Gebiet schlagen, kam es vor allem darauf an zu zeigen, daß hier wirklich ernsthafte Fragen vorliegen, die auch den Mathematiker angehen. Mögen auch nicht alle Ausführungen des Verfassers Anklang finden, so würde er sich schon freuen, etwas erreicht zu haben, wenn es ihm gelänge, für die ganze Fragestellung Interesse zu erwecken, besonders bei den jungen Lehrern. Verfasser weiß es aus eigener Erfahrung, wie deplaciert sich der eben von der Universität gekommene junge Lehrer fühlt, wenn er, der sich bis dahin mit den höchsten und neuesten Fragen der höheren Mathematik beschäftigt hat, sich in die Lage versetzt sieht, Quartanern die Anfangsgründe der Geometrie beibringen zu müssen. Daß dies in Wirklichkeit eine schwere, verantwortungsvolle Aufgabe ist, die nicht nur gründliche wissenschaftliche Bildung, sondern auch pädagogische Kunst erfordert, das vermag nur derjenige vollständig zu würdigen, der sich bemüht hat, in die erkenntnistheoretische Grundlegung der Geometrie einzudringen. Nichts ist so geeignet, den Lehrer innerlich zu heben und mit dem Gefühl der Größe seines Berufes zu erfüllen, als die klare Einsicht, daß die Grundlegung der Geometrie eine beinahe unüberwindlich schwere Aufgabe ist, mit deren Lösung er sein ganzes Leben hindurch ringen muß, fortwährend vermittelnd zwischen den Forderungen der strengen Logik und der Rücksicht auf die erst zu erschließende Auffassungsfähigkeit der Schüler, zwischen wissenschaftlicher Strenge und naiver Anschauung, deren Belebung und Stärkung nach dem Urteil pädagogisch und wissenschaftlich erfahrener Schulmänuer das erste Ziel des geometrischen Unterrichts sein muß. Es sei auch an dieser Stelle der Gedanke abgewiesen, als solle der geometrische Unterricht rein formal logisch betrieben werden. — Da das erste Buch wegen seiner erkenntnistheoretischen Fragestellung auch Leser finden könnte, die der sonstige Inhalt des Bandes vielleicht weniger interessiert, so wurden alle nicht im engsten Sinne elementaren Sätze, die zum Verständnis notwendig waren, abgeleitet. Zur Kennzeichnung des Wesens der projektiven Raumanschauung mußten auch die Anfangsgründe der projektiven Geometrie in diesen Abschnitt eingeflochten werden. Daran schließt sich die Planimetrie, in der besonders die Theorie des Kreisbündels ausführlich behandelt ist; sie bildet, wie nach Zeuthen (Poncelet) gezeigt wird, einen bequemen Zugang in die Metrik der Kegelschnitte.

Das zweite Buch bringt die ebene und sphärische Trigonometrie, bei der einerseits nach dem Vorgänge von Study der Gruppenbegrilf in den Mittelpunkt gestellt, andererseits auf die Bedürfnisse der Praxis Rücksicht genommen wurde.

Im dritten analytisch-geometrischen und stereometrischen Buche wird die Lehre von den Kegelschnitten nach der analytischen Seite ausgehaut, wobei auch die Lehre von der Krümmung, besonders mit Rücksicht auf die im dritten Bande zu bringende Projektionslehre, dargestellt wird. Eine zusammenhängende Darstellung der Kegelschnittslehre würde über den Rahmen unseres Werkes hinausgegangen sein, vielmehr wurde Wert darauf gelegt, dieses schönste und höchste Gebiet der Elementargeometrie von den verschiedensten Seiten in Angriff zu nehmen: rein synthetisch, von der Kreisgeometrie her, analytisch, und im dritten Bande mit Hilfe der darstellenden Geometrie und der Perspektive. Auch die sphärischen Kegelschnitte sind in einem kurzen Paragraphen behandelt. Der stereometrische Abschnitt bringt außer den Grundlagen der Raumgeometrie die Lehre vom Volumen.

Die Bearbeitung der sphärischen Trigonometrie und der analytischen Sphärik hat W. Jacobsthal übernommen. In den übrigen Stoff haben sich die beiden Herausgeber in der aus dem Inhaltsverzeichnis ersichtlichen Weise geteilt.

Straßburg, im August 1905.

Josef Wellstein.

Vorrede zur zweiten Auflage.

Der von der vorangehenden Vorrede für den dritten Band in Aussicht gestellte Abschnitt über Perspektive mußte aus Mangel an Platz wegfallen. Dafür ist dort die Krümmungslehre der Kegelschnitte eingehender behandelt.

Die neue Auflage unterscheidet sich von der ersten nur durch eine Reihe kleiner Veränderungen.

Straßburg, im Oktober 1907.

Josef Wellstein.

Berichtigung.

Seite 96, Zeile 9 v. o.: Statt „Diese Bedingung . . . bringen" lies: „Dies wird ausgeschlossen durch die Bedingung".

Zum ersten Satz des § 19 ist zu bemerken, daß der betreffende Encyklopädieartikel inzwischen erschienen ist.

Einleitung

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Inhaltsverzeichnis.

Erstes Buch.

Grundlagen der Geometrie.

(Von Josef Wellstein.)

Erster Abschnitt.

Kritik der Grundbegriffe.

Geschichtliches.............

Die Begriffe „Punkt“, „Linie“, „Fläche“ . Die Begriffe „Gerade“, „Ebene“, „parallel“ Die Bewegung und die Kongruenz .... Die Steinerschen Linealkonstruktionen . . Natürliche Geometrie..........

Zweiter Abschnitt.

Seite

11

13

18

22

Die natürliche Geometrie als eine der unendlich vielen Erscheinungs-„ formen einer rein begrifflichen Geometrie (Metageometrie).

§ 7. Natürliche und Approximationsgeometrie, Analysis situs, Metageometrie ...........................

§ 8. Euklidische Geometrie im parabolischen Kugelgebüsch.......

§ 9. Das Kugelgebüsch.......................

§ 10. Teilweise Verwirklichung der Euklidischen Geometrie im Kugelgebüsch. Die beiden Nichteuklidischen Geometrien........

§ 11. Metrik der beiden Nichteuklidischen Geometrien.........

§ 12. Die Euklidische Geometrie in einer linearen Zahlenmenge dritter Stufe 83 § 13. Das Wesen der Grundbegriffe §14. Die Anschauung......

28

33

42

54

62

98

Dritter Abschnitt.

Grundlegung der projektiven Geometrie.

§ 15. Die Axiome der Verknüpfung und der Anordnung.........

§ 16. Das Dedekindsche Axiom und der Fundamentalsatz der projektiven

Geometrie...........................

§ 17. Die wesentlichsten projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte . . .    181

§ 18. Projektive Metrik....

§19. Anhang: Literaturangaben

Seite

152

161

198

222

Vierter Abschnitt.

Planimetrie.

§ 20. Die grundlegenden Sätze.............

§ 21. Ähnlichkeit...................

§ 22. Flächenvergleichung................

§ 23. Regelmäßige Vielecke und der Kreis........

§ 24. Sätze und Aufgaben über den Kreis........

§ 25. Elementargeometrische Behandlung der Kegelschnitte

227

241

254

264

282

293

Zweites Buch.

Trigonometrie.

Fünfter Abschnitt.

Ebene Trigonometrie und Polygonometrie.

(Von Heinrich Weber.)

§ 26. Trigonometrische Funktionen. Rechtwinkliges Dreieck. .

§27. Goniometrie.....................

§ 28. Die Grundformeln der Trigonometrie..........

§ 29. Goniometrische Formeln................

§ 30. Multiplikation und Teilung des Winkels........

§ 31. Dreiecksberechnungen.................

§ 32. Vierecksberechnung..................

§ 33. Die Brocardschen Punkte...............

§ 34. Grundformeln für das Vieleck.............

§ 35. Umfang und Flächeninhalt regulärer Polygone.....

303

306

313

316

319

323

327

332

333

Sechster Abschnitt.

Spliärik und sphärische Trigonometrie.

(Yon Walther Jacobsthal.)

A. Orientierung auf der Kugel.

§ 36. Einleitung. Der Eulersche Dreiecksbegriff.....

§ 37. Die stereographische Projektion..........

§ 38. Der Moebiussche Dreiecksbegriff...........

§ 39. Pol und Polare..................

Seite

339

342

346

355

B. Die Formeln erster Ordnung.

§ 40. Einleitung. Der Projektionssatz...........

§ 41. Der sphärische Kosinussatz.............

§ 42. Der sphärische Sinussatz und der v. Staudtsche Eckensinus ....    365

§ 43. Weitere Formeln erster Ordnung. — Anwendung auf das rechtwinklige Dreieck

361

363

368

C. Die Grundformeln zweiter Ordnung.

§ 44. Einleitendes..........................

§ 45. Die Delambreschen Formeln...................

§ 46. Der Gauß-Studjsche Dreiecksbegriff...............

§ 47. Der Satz von Study......................

§ 48. Analytische Darstellung. Stammverwandte Dreiecke. Der Studysche

Dreiecksbegriff.........................

§ 49. Gruppentheoretische Betrachtungen...............

§ 50. Die L’Huilier-Serretschen Formeln................

373

374

381

385

394

399

407

D. Angewandte sphärische Trigonometrie.

§ 51. Hilfssätze über die Schärfe trigonometrischer Rechnungen. „Übergangsformeln“ .........................

§ 52. Die Auflösung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks......

§ 53. Die „gewöhnlichen“ Formeln für das schiefwinklige Dreieck ....    416

§ 54. Die Auflösung des schiefwinkligen Dreiecks...........

§ 55. Berechnung anderer wichtiger Dreiecksstücke...........

§ 56. Beziehungen zwischen sphärischer und ebener Trigonometrie. „Kleine“ Dreiecke: Satz von Legendre..................

410

414

420

430

Drittes Buch.

Analytische Geometrie und Stereometrie.

(Von Heinrich Weber.)

Siebenter Abschnitt.

Analytische Geometrie der Ebene.

Seite

§ 57. Koordinaten....................

§ 58. Gleichung der Geraden...............

§ 59. Schnittpunkte von Geraden.............

§ 60. Anwendung auf die Geometrie der Dreiecke.....

§ 61. Die Sätze von Ceva und Menelaos..........

§ 62. Der Kreis.....................

§ 63. Schnittpunkte zweier Kreise.............

§ 64. Ähnlichkeitspunkte und Ähnlichkeitsachsen......

§ 65. Potenzachse und Potenzzentrum...........

§ 66. Die Ellipse....................

§ 67. Die Hyperbel...................

§ 68. Gleichung der Ellipse und Hyperbel.........

§ 69. Die Parabel...................

§ 70. Koordinatentransformation.............

§ 71. Kurven zweiten Grades...............

§72. Die Tangenten...................

§ 73. Asymptoten....................

§ 74. Uneigentliche oder zerfallende Kegelschnitte.....

§ 75. Schnittpunkte zweier Kegelschnitte.........

§76. Konjugierte Richtungen und Hauptrichtungen .. . . .

§ 77. Mittelpunkt....................

§ 78. Tangenten der Ellipse...............

§79. Geometrischer Beweis des Satzes von den Tangenten .

§ 80. Konjugierte Durchmesser..............

§ 81. Der Krümmungskreis................

§ 82. Tangenten und Normalen aus einem gegebenen Punkte § 83. Analytische Sphärik. (Yon W. Jacobsthal)......

441

.    446

449

451

.    453

456

459

460

462

465

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.    468

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474

477

479

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482

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487

491

.    495

500

502

508

.    514

519

Achter xÄbschnitt.

Punkte, Ebenen und Gerade im Raume.

§ 84. Die Grundgebilde der Geometrie des Raumes .

§ 85. Winkel..................

§ 86. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden § 87. Körperliche Ecken.............

528

.    532

535

Neunter Abschnitt.

Rauminhalt und Flächeninhalt.

Seite

§ 88. Inhaltsmaß..........

§ 89. Rauminhalt von Pyramiden . . .

§ 90. Das Cavalierische Prinzip.....

§ 91. Beispiele............

§ 92. Existenz von Inhaltszahlen . . . . § 93. Flächeninhalt gekrümmter Flächen

542

545

547

551

554

555

Zehnter Abschnitt.

§ 94. § 95. § 96. § 97.

Drehungsgruppen und reguläre Körper.

Drehungen und ihre Zusammensetzung.........

Endliche Drehungsgruppen..............

Der Eulersche Polyedersatz..............

Die regulären Polyeder................

560

563

569

571

Elfter Abschnitt.

Analytische Geometrie des Raumes.

Koordinaten

§ 98.

§ 99.

§ 100.

§ 101. Das Tetraedervolumen............

§ 102. Flächen zweiten Grades...........

§ 103. Fläche der Ellipse und Yolumen des Ellipsoids

Richtungen im Raume Gleichung der Ebene

Alphabetisches Register.

574

577

581

.    583

585

.    589

.    591

ERSTES BUCH.

GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE.

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

Einleitung.

1. Was die Mathematik zum stolzesten und vollendetsten Vorbild einer reinen Wissenschaft macht, ist nicht sowohl ihre streng deduktive Methode, als vielmehr der Umstand, daß sie in der Lage ist, die Voraussetzungen, auf die sie sich gründet, als „Grundbegriffe“ und „Grundsätze“ an die Spitze ihres Lehrganges zu stellen und die Tragweite der einzelnen Grundsätze dadurch ins rechte Licht zu rücken, daß Systeme konstruiert werden, in denen die eine oder die andere dieser Voraussetzungen fehlt. Die Grundlagen der Arithmetik (siehe Bd. I, erstes Buch) haben wir im wesentlichen durch eine einzige Funktion unseres Geistes, die der Zuordnung, gewonnen. Die Grundlagen der Geometrie, die wir nunmehr, soweit es mit elementaren Mitteln möglich ist, einer genaueren Untersuchung unterwerfen wollen, sind nicht so einfacher Natur. Es sind die Begriffe „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“ „parallel“, „zwischen“ u. s. w. und unter anderem die Sätze: Durch zwei Punkte geht immer eine und nur eine Gerade; durch drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, geht immer nur eine Ebene; von drei Punkten einer Geraden liegt immer nur einer „zwischen“ den beiden übrigen, u. s. w. Diese Sätze sehen zwar sehr einfach aus, da sie in der Anschauung unmittelbar einleuchten und nicht durch noch einfachere bewiesen werden können; sie werden leicht für selbstverständlich gehalten. Aber nichts ist tieferer Erkenntnis hinderlicher als das, was auf den ersten Blick als selbstverständlich erscheint. Während die Mathematiker aller Zeiten bestrebt waren, den Umfang ihrer Wissenschaft durch Entdeckung neuer Lehrsätze zu erweitern, sind es nur wenige, freilich gerade die besten, gewesen, die mehr nach Vertiefung der Geometrie, nach Einsicht in den Zusammenhang und die Tragweite der einzelnen Grundsätze drangen: so wenig hielt man es für der Mühe wert, jene schlichten Sätze, die beinahe trivial klingen und nur geringe Ausbeute versprechend offen zu Tage lagen, zu sammeln und ihnen auf den Grund zu gehen. Und doch gibt es in der ganzen Geometrie kaum etwas reizvolleres als die Beschäftigung mit jenen unscheinbaren Sätzen, die mit wenig Worten so ungeheuer viel sagen, da sie in nuce die ganze Geometrie enthalten. Durch ihre Erforschung sind der Geometrie größere Gebiete erobert worden, als durch den Ausbau ihrer höheren Theorien.

2. Wir beabsichtigen in der Folge nicht, nach Euklidischem Vorbild unter Vorausschickung der Grundannahmen ein System der Geometrie Stufe für Stufe aufzubauen, weil bei diesem Verfahren die Bedeutung der einzelnen Voraussetzung zu wenig hervortritt. Vielmehr geben wir einer Darstellung den Vorzug, die durch Kritik der üblichen Auffassung der Elemente erst den Sinn für streng logische Betrachtung der Geometrie wecken und zugleich dartun soll, wie wenig die Tatsachen der sinnlichen Anschauung geeignet sind, unmittelbar als Bausteine einer Wissenschaft zu dienen, die nur mit vollkommen bestimmten Begriffen etwas anfangen kann.

Erster Abschnitt.

Kritik der Grundbegriffe.

§ 1. Geschichtliches.

1.    Wie die Geschichte zeigt, ist die Geometrie empirischen Ursprunges. Wenigstens ist von dem ältesten Kulturvolk, das auf die Geometrie des Abendlandes nachweisbaren Einfluß ausgeübt, von den alten Ägyptern, sowohl durch griechische Geschichtsschreiber als auch durch die Ergebnisse der Ägyptologie bezeugt, daß ihre Geometrie hervorgegangen ist aus dem Bedürfnisse, alljährlich nach dem Sinken der Nilschwelle die verwischten Flurgrenzen wieder herzustellen. Dementsprechend beziehen sich die ältesten aus dem Papyrus Eisenlohr¹) uns bekannten geometrischen Formeln auf die Ausmessung von Flächen, eine Aufgabe, die aber nur durch Näherung gelöst wird. So wird z. B. die Fläche eines gleichschenkeligen Dreiecks mit den Seiten a, a, c gleich \ac angegeben, statt Ąacyl — (c/2a)², was aber um so besser stimmt, je größer die beiden gleichen Seiten im Verhältnis zur dritten sind. Auch was jener Papyrus sonst noch an geometrischen Tatsachen enthält, hat unmittelbar praktischen Wert; Beweise oder Andeutungen solcher finden sich nirgends. Im ganzen wird man den alten Ägyptern in dieser Richtung nicht viel Zutrauen dürfen, ihre Weisheit ist im Altertum sehr überschätzt worden.

2.    Die Griechen befreiten die Geometrie aus dem engen Gesichtskreis ägyptischer Handwerker und Baumeister. Indem sie die Geometrie um ihrer selbst willen trieben, förderten sie dieselbe in zwei Jahrhunderten mehr als jene in zwanzig. Anfangs mag noch die sinnliche Anschauung die entscheidende Rolle gespielt haben, bald aber stellte sich das Bedürfnis nach logischen Beweisen ein; aus einfachen Sätzen wurden schwierigere hergeleitet und immer umfangreichere Abschnitte der Geometrie im Zusammenhang dargestellt. Damit war der Anstoß gegeben, auf die letzten Voraussetzungen zurückzugehen, aus denen alles übrige folgt. Der Mann, der diese unvergleichlich große Geistestat vollbrachte, war Euklid, der um das Jahr 300 v. Chr. unter Ptole-maeus I. in Alexandria lebte und lehrte. Er brachte, was seine Vorgänger in mehr als hundertjähriger Vorarbeit zur Grundlegung der Geometrie geleistet, zum Abschluß, und seine dreizehn Bücher der Elemente, die in geometrischer Einkleidung zugleich die Grundlagen der Arithmetik enthalten, verdrängten vollständig die Werke seiner Vorgänger. An die Spitze seines Buches, der 6xoi%£la, stellt Euklid die Definitionen (oqol), Postulate (alxifaiaxu) und Axiome (xotval ev-volcil), auf die sich seiner Ansicht nach die Geometrie gründet. Die wichtigsten Definitionen sind

I. Urj^islov eöxlv, ov fiéçog ov&év. Ein Punkt ist, was keinen Teil hat.

II. rpapfif] ds {irjxoç âitàaxég. Eine Linie ist Länge ohne Dicke.x)

III.    Evd'sla yga^uaij söriv, r]xig Eine Gerade ist eine Linie, die gleich-

l<3ov xotg ècp EDCVtrjg örjasi- mäßig liegt zu ihren Punken. oig xslrca.

Eine Fläche ist, und Breite hat.

nur Länge

was

IV.    EmcpdvEia dé sôxlv, o [ifjxog

xal nldxog fiovov £%el.

Diese Sätze sind offenbar ursprünglich in der umgekehrten Reihenfolge gedacht: Die Fläche hat Länge und Breite, die Linie nur Länge, der Punkt gar keine Ausdehnung.

V. EitLTtsdog STacpdvEtd    söxlv, Eine Ebene ist eine Fläche, die

gleichmäßig zu ihren Geraden liegt.

Parallel sind Geraden, welche in derselben Ebene liegen und nach beiden Seiten bis ins unendliche

■y'jXLg è'E, ï<3ov xaïg ècp êavxfjg SV^ELUig xsîxcu.

VI. ITccędllrihoL eIölv sy&slcu, uïxivsg èv xtp avxâj èxtmédcp ovGai xcd èxfiallôpLEvai elg ttTCeiQov ècp êxaxsQcc xà [légr] verlängert auf keiner Seite sich £7ti arjdtxEQa 6vpL7Cinxov6iv treffen. àAÂrjÂaig.

Von den Postulaten wollen wir nur das fünfte anführen, das in manchen Euklidausgaben als elftes oder dreizehntes Axiom erscheint und gewöhnlich das Parallelenaxiom genannt wird.

(^HixiqGQ’co) nul iàv eiç dvo EvQ-EÎag (Es soll gefordert werden) wenn Ev&sîa EpLTitrtxovßa xàg èvxbg xcd    eine zwei andere Geraden schneiend xà avxà fiéçr] ycovéag dvo    dende Gerade mit ihnen auf der-

OQ&œv èld<36ovug Ttocfj, exßalXo-    selben Seite innere Winkel bil-

pcévug xàg dvo Ev&Eéag è% u%el-    det, die (zusammen) kleiner sind

qov övimCtcxeiv, ècp à ^£Qi] eIöIv    als zwei Rechte, so schneiden

aï xcbv dvo oQ&àv èkd<5<3ov£g.    sich jene zwei Geraden, verlängert

bis ins unendliche, auf der Seite,

_ auf der diese Winkel liegen.

1) Genauer „ohne Breite“, vergl. ânXutéç in II und nldxog in IY. Euklid denkt die Linie offenbar auf einer Fläche gezeichnet.

Die Axiome 1, 2, 3 und 8 enthalten die Grundsätze der Arithmetik, sind aber hier unmittelbar auf Raumgrößen bezogen. Axiom 7 enthält den Begriff der Kongruenz:

Kai rà écpapnôÇovra etc allrjka iöa und was sich deckt, ist gleich. ahfajlocg eöxlv.

3. Auf Euklid folgte im Altertum eine Reihe hervorragender Mathematiker, wie Apollonius, Archimedes, Heron (1. Jahrhundert v. Chr.), Geminus, Nikomachus (1. Jahrh. n. Chr.), Pappus (um 300 n. Chr.), Theon und Proklus (5. Jahrh. n. Chr.), die sein Werk teils durch Kommentare zu erklären und in Einzelheiten zu verbessern, teils durch selbständige Werke zu übertreffen bemüht waren. Ihre Tätigkeit bezog sich auf das Parallelenaxiom, die Wahl der Voraussetzungen und den Aufbau des ersten Buches sowie auf die Hebung gewisser Widersprüche zwischen den sechs ersten und den drei letzten Büchern. Als ganzes blieb das System Euklids unangetastet, nur das Parallelenaxiom fand ernsthaften Tadel, weil es im Verhältnis zu angeblich einfacheren Sätzen, die Euklid eines Beweises gewürdigt hatte, zu wenig anschaulich sei, um als Postulat gelten zu können.

Als im 6. Jahrhundert n. Chr. die griechische Kultur erlosch, da sank auch die Geometrie bald wieder auf die Stufe des Handwerksmäßigen hinab, die sie in Ägypten inne gehabt, ja jene uralte Nähe-rungsformel für den Inhalt des Dreiecks (siehe Art. 1) kam wieder zu Ehren. Im Mittelalter wurde die Kenntnis Euklids neu belebt durch die Araber, und alsbald machte sich der Eifer der Mathematiker wieder an die Rätsel des Parallelenaxioms. Die erste Euklidausgabe des Mittelalters in lateinischer Sprache ist eine Übersetzung aus dem Arabischen (1482). Erst mit dem Beginn der Renaissance wurden wieder griechische Codices des Euklid und seiner Kommentatoren ans Licht gezogen; 1533 erschien die erste griechische Textausgabe des Euklid, besorgt von Simon Grynaeus. Von den Versuchen mittelalterlicher Mathematiker, das fünfte Postulat (Parallelenaxiom) zu beweisen, ist der des Nasir Eddin (13. Jahrh.) wohl der älteste; im 16. Jahrh. widerlegte dann Clavius einen Beweisversuch des Proklus, wie seinerseits Proklus ähnliche Versuche seiner Vorgänger als falsch erwiesen hatte. Immer deutlicher trat die Schwierigkeit des Problems zutage und reizte zahlreiche Mathematiker, diesen „Fleck" des Euklidischen Systems zu beseitigen. Soweit diese Beweisversuche sich nicht auf Trugschlüsse gründen, beruhen sie alle darauf, stillschweigend oder offen einen anderen Satz vorauszusetzen, der auf den ersten Blick ganz unverfänglich aussieht. „Das, was noch zu erweisen übrig ist, scheint anfangs eine Kleinigkeit zu sein; aber diese anscheinende Kleinigkeit, soll sie nach aller Strenge berichtigt werden, ist, wenn man genau nachsieht, immer die Hauptsache selbst; gewöhnlich setzt sie den Satz, oder einen ihm gleichwertigen, voraus, den man eben erweisen soll.“ (Lambert.) Dieses Mißgeschick traf auch den Begründer der Nichteuklidischen Geometrie und Herausgeber des „Euklides ab omni naevo vindicatus“, Hieronymus Saccheri (1667—1733), der mit bewunderungswürdigem Scharfsinn eine Geometrie aufbaute, die das Parallelenaxiom verwirft. Nicht als hätte er an der Wahrheit dieses Axioms und seiner logischen Abhängigkeit von den anderen Voraussetzungen gezweifelt. Er hoffte vielmehr durch zu erwartende Widersprüche „die verhaßte Hypothese“ beweisen zu können. Eng verwandt mit Saccheris Ideen und anscheinend von ihnen nicht unabhängig ist die „Theorie der Parallellinien“ von Lambert, die Johann Bernoulli nach dem Tode dieses großen Mannes im Magazin für reine und angewandte Mathematik 1786 herausgegeben hat.

4. Über 2000 Jahre hatten sich die hervorragendsten Denker im festen Glauben an die absolute Wahrheit des Satzes, daß zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt immer eine und nur eine Parallele gezogen werden könne, vergeblich angestrengt, dieses Axiom als Folge der übrigen Voraussetzungen darzustellen, als fast zu gleicher Zeit nicht ein, sondern vier Mathematiker den Bann lösten, der die Geister umfangen hatte. Zuerst wohl Gauß, der aber nichts darüber veröffentlichte. Doch geht aus seinem Nachlaß mit Sicherheit hervor, daß er mindestens schon um das Jahr 1799 an der logischen Beweisbarkeit des Parallelenaxioms zweifelte und spätestens 1816 die Grundlagen der hyperbolischen Geometrie hatte.³) Unabhängig von ihm gelangte etwa 1818 der Jurist K. Schweikart in Marburg zu demselben Ergebnis. Auch diese Arbeit wurde nicht publiziert. An die Öffentlichkeit wagten sich mit der neuen Lehre zuerst der Russe Lobatschewski (Vortrag in Kasan 12. Februar 1826) und Joh. Bolyai in seinem Appendix 1832, ohne jedoch viel Verständnis und Anerkennung zu finden. Die neue Lehre wurde teils mit Gleichgültigkeit, teils mit abweisendem Spott aufgenommen und als „Metageometrie“⁴) auf gleiche Stufe gestellt mit der Metaphysik, die sich nicht gerade des besten Rufes erfreute. Erst die Schriften von Beltrami, Riemann, Helmholtz, Klein, Lie u. a. zerstreuten einigermaßen die Vorurteile, mit denen selbst Mathematiker die Nichteuklidische Geometrie ansahen. Aber die neue Auffassung der Grundlagen hätte vielleicht noch lange auf allgemeine Anerkennung warten müssen, wenn nicht die Entwicklung der mo-

CO

dernen Funktionentheorie und der Mengenlehre dazu gedrängt hätte, gleichzeitig auch die Grundbegriffe der Arithmetik zu revidieren. Die Entdeckung stetiger und doch nicht differentiierbarer Funktionen (durch Weierstraß), denen analytisch-geometrisch stetige Kurven ohne Tangenten entsprechen, der Nachweis der Möglichkeit, eine Kurve auf eine Fläche abzubilden, die immer deutlicher werdende Unzulänglichkeit der überlieferten Auffassung des Zahlbegriffes, besonders des Begriffes der Irrationalzahl, die Ausbildung des Stetigkeitsbegriffes und der Lehre von der Reihenkonvergenz sowie viele andere Umstände wirkten zusammen, um den blinden Glauben an die Zuverlässigkeit unserer sinnlichen Anschauung gründlich zu erschüttern und eine kritische Richtung in der Mathematik zu erzeugen, die auch der Geometrie zugute kam.

§ 2. Die Begriffe „Punkt“, „Linie“, „Fläche“.

1. Die Entwicklung der modernen Funktionentheorie hat gezeigt, daß die Kritik der Grundlagen nicht am fünften Postulat, sondern gleich an der ersten Definition hätte ansetzen sollen:

6r][MLÓV eÖTIV, OV [ISQOg ovQ'év.⁵)

Dieser Begriff entsteht aus dem Begriffe des — wirklichen oder vorgestellten — materiellen Punktes durch den Grenzprozeß, d. h. durch einen Geistesakt, der einer an sich unbegrenzten Reihe von Vorstellungen ein Ziel setzt. Man stelle sich etwa ein Sandkörnchen oder ein Sonnenstäubchen vor, das ohne Unterlaß kleiner und kleiner wird. Damit schwindet dann immer mehr die Möglichkeit, sich innerhalb dieses Sandkörnchens kleinere Teilchen abzugrenzen, und es entsteht, so sagt man, mit wachsender Bestimmtheit die Vorstellung des Punktes als eines bestimmten Ortes im Raum, der nur noch Einer ist und keine Teile mehr hat. Diese Auffassung ist unhaltbar, denn man kann sich zwar einigermaßen vorstellen, wie das Körnchen kleiner und kleiner wird, aber nur so lange, bis es den Augen fast entschwindet; von da an sind wir vollkommen im Dunkeln, und den Fortgang der Verkleinerung können wir weder sehen noch uns vorstellen. Daß dieses Verfahren ein Ende erreicht, ist undenkbar, daß dagegen ein Ziel existiert, über das es nicht hinaus kann, ohne es je zu erreichen, müssen wir glauben oder postulieren. Man gebe sich keiner Täuschung hin: so gut man sich vorstellen kann, daß ein Sandkörnchen unbegrenzt kleiner wird, können wir uns auch vorstellen, daß man es durch ein Mikroskop betrachtet, dessen Vergrößerungsvermögen im Verhältnis zu jener Verkleinerung zunimmt. Dann wird an dem Sandkorn keine Veränderung wahrzunehmen sein und es leuchtet ein, was auch an sich klar ist, daß jener Verkleinerungsprozeß in der Anschauung nie ein Ende erreichen kann. Wenn man diesem Prozesse gleichwohl den Begriff des Punktes als „Des durch ihn eindeutig Bestimmten" zuordnen will, so muß man sich bewußt bleiben, daß das ein reiner Akt des Willens, nicht des Verstandes ist; und der so definierte „Punkt" ist nicht vorstellbar, sondern nur etwas an eine Vorstellungsreihe Geknüpftes. Zu der ersten Definition gehörte also auf alle Fälle ein erstes Postulat, daß es überhaupt Punkte gibt. Räumliche Existenz haben sie nicht. Bewegte sich unsere tägliche Erfahrung so häufig im Reiche des sehr klein Erscheinenden, wie sie sich im Reiche des Großen bewegt, so würde man dem Begriffe des Punktes mehr Mißtrauen entgegenbringen. Wenn man an das reiche Leben der Kleinwelt denkt, die unseren Sinnen hauptsächlich nur durch das Mikroskop zugänglich ist, an das Leben der Spaltpilze, Algen und Bakterien, an das Leben der Pflanzen- und Tierzellen mit ihrer wunderbar feinen Struktur, wenn wir überlegen, wie in der menschlichen Eizelle ein hoch organisiertes Wesen mit diesen oder jenen Eigenheiten seines Körperbaues, seines Charakters und Verstandes präformiert vorliegt, so können wir uns des Eindruckes nicht erwehren, daß das, was klein erscheint, nur in bezug auf unsere Sinne so ist, und daß vor einer anders gearteten Intelligenz als der menschlichen der sinnliche Unterschied zwischen groß und klein wegfallen könnte.

2. Wie der Punkt als Grenzbegriff dem im Abnehmen begriffenen Sandkörnchen zugeordnet wird, so knüpfen wir den Begriff der (krummen) Linie und der (krummen) Fläche an die Vorstellung einer materiellen Linie oder Fläche, die eine zunehmende Verfeinerung erfährt. Und zwar können wir uns die Linie als dünnen Faden, die Fläche als dünnes Blatt vorstellen, die immer dünner werden, oder als scharfe Kante oder glatte Oberfläche, die immer noch feiner und glätter wird. Bei der Bildung des Flächenbegriffes nur von der Oberfläche oder dem zwei Körpern Gemeinsamen auszugehen, ist nicht ausreichend, weil es Flächen gibt, die nicht als Ganzes Oberfläche eines Körpers, nicht Trennungsfläche zweier Körper sein können. Versucht man z. B. das in Fig. 1 abgebildete Möbiussche Blatt, das aus einem Rechteck AAX.Z?₁J5 entsteht, indem man nach geeigneter Verdrehung A₁JB₁ an JBA klebt, auf einer Seite mit Materie zu bedecken, etwa mit Wachs, so wird schließlich die ganze Fläche in der Materie stecken, weil sie nur eine Seite hat.

Der zur Linie und Fläche führende Grenzprozeß unterliegt denselben Bedenken wie beim Punkt. Eine genaue Vorstellung einer glatten Fläche gibt es nicht, eine yorgestellte Fläche kann nicht glattbr oder dünner sein als eine materielle; denn umgekehrt sind wir nicht imstande, von zwei materiellen Flächen anzugeben, welche die dünnere ist, wenn sie beide nur einigermaßen dünn sind und der

Unterschied nicht zu groß ist; ^_

ebenso verhält es sich mit der

Glätte. Selbst die Oberfläche einer __

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HP

Flüssigkeit ist nicht absolut glatt, denn die Flüssigkeiten lassen fort- /|§|||| gesetzt zahllose Teilchen in den Raum sprühen, was man Verdunstung nennt; eine Flüssigkeit hat daher ebensowenig eine bestimmte ^

Fig. 1.

Oberfläche, wie ein Bienenschwarm eine hat. Von diesen verschwommenen Vorstellungen soll nun der Grenzprozeß zu etwas vollkommen Genauem und Bestimmtem übergeben; das kann aber nicht wieder ein Vorstellbares sein, sondern ein reiner Begriff, den wir dem Grenzprozesse als das durch ihn Bestimmte zuordnen. Sinnliche Existenz haben die „Linie“ und die „Fläche“ ebensowenig als der „Punkt“.

§ 3. Die Begriffe „Gerade“, „Ebene“, „parallel“.

1. Die Schwierigkeiten und Widersprüche häufen sich, wenn man von der (krummen) Linie und der Fläche zu der geraden Linie und der Ebene aufsteigt. Diese Begriffe oder doch die ihnen zu gründe liegenden Anschauungen sucht man dadurch zu übermitteln, daß man verlangt, man solle sich zunächst eine materielle Gerade, etwa eine scharfe Kristallkante, einen gespannten Faden oder einen Lichtstrahl vorstellen und nun den in § 2 geschilderten Grenzprozeß vornehmen. Die (grobe) Vorstellung des Geraden entsteht auch, wenn man Körper zwischen zwei Körper A, B so einordnet, daß sie sich beim Visieren mit ihnen zu decken scheinen (Richtung nehmen beim Militär!). Diesem Vorgänge entspricht die Platonische Definition der Geraden als einer Linie, „deren Mittleres die Enden beschattet“, also als Weg des Lichtstrahles. Es braucht nicht wiederholt zu werden, daß eine materielle Linie nicht eine exakte Vorstellung und auch keinen exakten geometrischen Begriff erzeugen kann; auch der Lichtstrahl ist nichts in seiner Richtung Unteilbares, zudem hat er die durch den Schwingungszustand bedingte Seitlichkeit. Noch weniger geht es an, die

Gerade als Das zu definieren, was bei der Drehung eines Körpers um zwei Punkte in Ruhe bleibt. Denn damit käme in intensivster Weise die Bewegung mit allen ihren Rätseln in die Geometrie, außerdem kann man sich dabei nichts vorstellen und noch weniger aus dieser Definition brauchbare Schlüsse ziehen. Die dem Archimedes zugeschriebene Definition, die Gerade sei die kürzeste Linie zwischen zwei Punkten, setzt den Begriff der Länge, wenn auch nur des Linienelementes, und damit denn doch wieder den Begriff der Geraden voraus.

2. Wie ihre Modelle ist die (roh vorgestellte) Gerade zunächst endlich, muß aber, besonders dem Parallelenbegriff' zuliebe, unbegrenzt fortgesetzt werden, denn die Definition des Parallelismus besagt, daß zwei Geraden einer Ebene einander parallel heißen, wenn sie, bis ins LTnendliche verlängert, einander nicht treffen. Diese Forderung ist aber bei einer vorstellbaren, also materiellen Geraden vollkommen unzulässig, weil sie die Grenzen der Erfahrung und des Vorstellbaren übersteigt und es auf Grund dieser Definition vollkommen unmöglich ist, von zwei Geraden zu entscheiden, ob sie wirklich parallel sind. Man knüpft die Vorstellung des Parallelismus gern an die beiden Schienenstränge eines Gleises, die durch die Schwellen immer in gleichem Abstand voneinander gehalten werden und sich auch bei unbegrenzter Fortsetzung des Gleises nie schneiden werden. Aber hier müßte erst bewiesen werden, daß, wenn die eine Schiene wirklich eine absolut genaue Gerade wäre, auch die andere Schiene eine Gerade sein muß. Außerdem wird der Begriff des Lotes und der Gleichheit vorausgesetzt. Von den rohen Linien, auf die sich allein unsere Vorstellung und Erfahrung bezieht, sollte man vernünftigerweise überhaupt nichts aussagen, was eine Überschreitung der engen Grenzen voraussetzt, die unseren Sinnen gezogen sind; wenn man es doch tut, muß man auf Widersprüche oder Zweideutigkeiten gefaßt sein.

3. Die hier geltend gemachten Bedenken übertragen sich auch auf die Ebene. Es wird nicht nötig sein, das weiter auszuführen, dagegen muß noch ein anderer Umstand hervorgehoben werden. Wenn man zwischen zwei (groben) Punkten A, B einen Faden spannt, oder zwischen ihnen andere Punkte durch Visieren einordnet, ähnlich wie man die Mitte einer Zielscheibe zwischen Korn und Kimme einer Flinte einvisiert, so gewinnen wir den Erfahrungssatz, daß zwischen zwei materiellen Punkten nur eine materielle Gerade möglich ist. . Definiert man ferner die Ebene als die Fläche, welche eine Gerade beschreibt, die durch einen Punkt P gehend eine Gerade p trifft, so ist die Ebene durch P und zwei Punkte dieser Geraden p, die übrigens nicht durch P gehen darf, vollkommen bestimmt. Ob oder daß sie durch drei andere ihrer Punkte ebenfalls bestimmt ist, oder, was auf dasselbe binauskommt, ob sie jede Gerade vollkommen enthält, von der sie zwei Punkte enthält, das kann nur die Erfahrung lehren. Diese Erfahrung gewinnen wir etwa an einer Tischplatte, auf der wir ein Lineal nach allen Richtungen hin glatt auf legen können, wenn wir nicht allzugroße Ansprüche an Genauigkeit stellen. Werden aber diese Eigenschaften sich erhalten, wenn man von der materiellen Ebene oder Geraden zur exakten übergeht? Ist es zulässig, wie Euklid es tut, zu postulieren, daß die Gerade durch zwei ihrer Punkte völlig bestimmt ist, oder liegt das nicht schon im Begriffe? Diese Fragen sind nicht schwer zu beantworten. Man kann nämlich zwischen zwei Punkten A, B einen dritten nur so lange einvisieren, als diese Punkte wirklich sichtbar sind; werden sie bei dem vorzunehmenden Grenz-übergange unsichtbar, so sind wir völlig ratlos, wie jene Punkte eingeschaltet werden sollen; wollte man ein Vergrößerungsglas zur Hilfe nehmen, so entstände wieder der Ein wand, daß man nicht zu Ende kommt. Ebenso geriete man in Verlegenheit, wenn man am gespannten Faden den Grenzprozeß vornehmen wollte, denn der Faden müßte doch, um gespannt werden zu können, immer materiell bleiben, was der Absicht des Grenzverfahrens vollständig widerspricht. Es folgt, daß bei einer materiellen Geraden, wie man sie auch immer erzeugt, ein exakter Grenzübergang überhaupt nicht möglich ist. Will man nun doch zu einem bestimmten Begriffe gelangen, so muß man so viel Eigenschaften der materiellen Geraden in die Definition dieses Begriffes aufnehmen, bis man mit der so definierten (nicht mehr vorstellbaren) Geraden alles das anfangen kann, was uns die verfeinerte materielle leisten sollte. Es zeigt sich also schon hier, daß die Euklidischen Definitionen für die logische Beweisführung vollkommen unbrauchbar sind. Zu jenen Eigenschaften der materiellen Geraden nun, die man in den zu bildenden Begriff der exakten übernehmen muß, gehört gerade die, daß sie durch zwei Punkte bestimmt sein soll; ähnlich müssen wir in die Definition des durch Grenzübergang ebenfalls nicht bestimmbaren Begriffs der Ebene die Eigenschaft aufnehmen, daß sie jede Gerade völlig enthält, von der zwei Punkte in ihr liegen, oder eine äquivalente Eigenschaft. Ebene und Gerade können also nur durch Eigenschaften, nicht durch Grenzübergänge an Objekten der Anschauung definiert und damit überhaupt ins Dasein gerufen werden.

§ Ł Die Bewegung und die Kongruenz.

1. Auf eine Kritik des Begriffes „zwischen“, die hier unmittelbar anknüpfen könnte, wollen wir, um nicht zu ermüden, nicht eingehen, dagegen dürfen die Schwierigkeiten des Begriffes der Bewegung, auf die sich die ganze Lehre von der Kongruenz stützt, nicht uner-örtert bleiben. „Zwei Strecken heißen einander gleich oder kongruent, wenn sie sich aufeinander legen lassen.“ Auf Grund dieser bekannten Definition kann also die Frage nach der Gleichheit zweier Strecken zunächst nur rein empirisch entschieden werden, nämlich indem man sie aufeinander legt. Das wäre noch zu dulden, wenn sich später andere Mittel fänden, die rein mittels der existent⁶) gedachten geometrischen Gebilde eine Entscheidung ermöglichten. Solche Mittel gibt es, wie wir sehen werden, aber die Elementargeometrie hat sich nie darum bemüht, sie zur Beseitigung des Empirischen zu benutzen. Diese wird aber noch aus einem anderen Grunde notwendig. Die Feststellung der Deckbarkeit zweier Strecken kann nur an materiellen Geraden vorgenommen werden. Durch die obige Definition werden also Strecken geometrischer Geraden gar nicht getroffen. Auch zwei Winkel werden als kongruent oder gleich definiert, wenn sie sich so aufeinander legen lassen, daß ihre Schenkel sich decken. Wiederum ist der Einwand zu machen, daß das reine Gedankending, das man Gerade nennt, und dem keine unmittelbare sinnliche Anschauung entspricht, nicht bewegt werden kann; also ist auch diese Definition hinfällig. Oder soll man sich auch die Bewegung nur denken? Aber was ist Bewegung?

2. Mag man den Begriff der Gleichheit bei materiellen Geraden immerhin auf die Bewegung gründen, in die Geometrie kann er nicht so ohne weiteres übernommen werden. Die Bewegung muß auf alle Fälle eliminiert werden. Da stünde man nun vor einem unüberwindlichen Hindernis, wenn jene Philosophen Recht hätten, die behaupten,

Al

3'

Fig. 2.

daß man ohne Bewegung in der Geometrie nicht auskom-men kann. Dann wäre eine exakte Geometrie nicht möglich. So liegt die Sache aber nicht. Yergegenwärtigen wir uns doch erst, was die Bewegung im obigen Falle uns eigentlich leisten soll!

1.) Ist eine (materielle) Strecke AB gegeben und eine Gerade u mit einem Punkte Ä darauf, so ordnet die Bewegung in vollkommen bestimmter Weise den Punkten AB und Ä in gegebener

Richtung auf u einen Punkt B' zu, und man sagt dann, die Strecke A B' sei kongruent AB, in Zeichen: A'B' ^ AB. Speziell ist in diesem Sinne AB ^ AB. Weiter können wir von der Bewegung aus sagen:

2. ) Wenn die Bewegung einer Strecke AB sowohl die Strecke AB' als auch die Strecke A"B" als kongruent zuordnet, so entsprechen auch die Strecken A B' und A"B" einander als kongruent.

Ferner:

3. ) Entsprechen auf derselben Geraden a oder zwei verschiedenen Geraden a, a drei Punkten A, B, C, von denen B zwischen A und C liegt, drei Punkte A, B', C, von denen B' zwischen A und C liegt, in der WTeise, daß AB ^ A'B' und BC ~ B'C', so ist auch AG ~ AG'.

Es ließen sich noch viele Sätze dieser Art aufstellen. Ähnliche Dienste leistet uns die Bewegung beim Winkel:

4. ) Sei in einer Ebene a ein Winkel mit den Schenkeln h, k, sowie in einer Ebene a (die mit a zusammenfallen darf) ein Halbstrahl h' und eine bestimmte Seite von h' in a gegeben: dann ordnet die Bewegung in vollkommen bestimmter Weise den gegebenen Stücken einen Halbstrahl k' in a durch den Anfangspunkt von li zu, so daß man von dem Winkel -jZ h'k' aussagt, er sei kongruent -^Z Jik. Speziell ist in diesem Sinne Jik sich selbst kongruent. Dem Satze 2.) steht gegenüber:

5. ) Sind zwei Winkel demselben dritten kongruent, so sind sie einander kongruent.

So könnte man noch viele Eigenschaften von Strecken und Winkeln aussagen, die nur der Bewegung ihren Ursprung verdanken; dazu kämen dann noch die Eigenschaften kongruenter Dreiecke. Nun hat aber Hilbert⁷) in seinem berühmten Buche über die „Grundlagen der Geometrie“, Leipzig 1903 (2. Aufl.), § 5 und 6 gezeigt, daß man zu diesen fünf Tatsachen der Bewegung 1.) bis 5.) nur noch die folgende hinzuzunehmen braucht, um alles das zusammenzufassen, was uns beim Beweise der Kongruenzsätze allein die Bewegung leisten kann und muß; alles andere folgt dann streng deduktiv. Dieser sechste Satz aber lautet:

6.) Wenn für zwei Dreiecke ABC und A B C' die Kongruenzen AB^A'B', AC^A'C', BAC ~ B'A'C' gelten, so sind auch stets die Kongruenzen

«5C ABC A'B'C' und <£ ACB ^ ^ A'C'B'

erfüllt.

Hilbert legt sich bei der Definition der Kongruenz sogar die Beschränkung auf, daß er die Kongruenz zunächst nicht als eine wechselseitige definiert, also z. B. in 1.) nur AB kongruent A B', nicht A'B' auch kongruent AB nennt; die Wechselseitigkeit folgt dann aus 2.) und 5.). Die Einzelheiten und vor allem den Beweis der Kongruenzsätze wolle man hei Hilbert 1. c. nachlesen.⁸)

3. Die Beweisbarkeit der Kongruenzsätze aus den Voraussetzungen 1.) bis 6.) ohne weitere Benutzung der Bewegung hat eine merkwürdige Folge: Hätte man nämlich ein Konstruktions verfahr en, das man Idealbewegung nennen könnte, ohne daß es aber mit der Bewegung eine andere Eigenschaft gemeinschaftlich zu haben brauchte als die, die Sätze 1.) bis 6.) zu erfüllen, so könnte man auf diese Idealbewegung den Begriff der idealen Kongruenz gründen und streng-logisch vier ideale Kongruenzsätze beweisen. Unsere gewöhnliche Kongruenz wäre dann nur ein besonderer Fall der idealen. Idealkongruente Strecken brauchten durchaus nicht im gewöhnlichen Sinne gleich zu sein. Solche ideale Kongruenzen gibt es: Um in einer Ebene rj eine solche herzustellen, nehme man etwa eine Ebene r[ sowie einen außerhalb beider Ebenen liegenden Punkt P zur Hilfe und nenne zwei Strecken A₁B₁, A₂B₂ in y idealkongruent, wenn die Strecken A^B/, A₂'B₂, die die Strahlen PAl} BA₂, PBl; PB₂ auf rf als Projektion bestimmen, im gewöhnlichen Sinne kongruent sind. Freilich ist diese Pseudokongruenz von der gewöhnlichen abhängig, beweist aber jedenfalls, daß nicht jede ideale Kongruenz mit der gewöhnlichen identisch sein muß und daß diese Begriffsbildung überhaupt zulässig ist. Auf diesem Standpunkt steht Hilbert, der die ideale Kongruenz mittels der Eigenschaften 1.) bis 6.) definiert, soweit sie eben dadurch definiert ist. Man muß dann während derselben geometrischen Betrachtung voraussetzen, daß man es immer mit derselben Realisierung der idealen Kongruenz zu tun hat.

4. Kann dieses Verfahren auch nie zu inneren Widersprüchen führen, so unterliegt es doch folgenden zwei Bedenken:

Erstens. Wenn es ein Verfahren der Strecken- und Winkel-zuordnung gibt, das die Bedingungen der idealen Kongruenz erfüllt, so ist das Verlangen gerechtfertigt, daß man ein solches Verfahren auch angebe, damit man wirklich geometrische Geometrie treiben kann, denn so lange man das Verfahren nicht hat, kann man nicht konstruieren.

Zweitens. Dieses Verfahren und überhaupt die ideale Kongruenz würde die gewöhnliche, unvollkommene Kongruenz aus der Geometrie nicht verbannen, wenn es selber wieder, wie das soeben angegebene, die gewöhnliche Kongruenz voraussetzte. Die Bewegung wäre dann eines der notwendigen Übel in der Geometrie. Ob durch die Kongruenz in die Geometrie ein den Grundbegriffen und den übrigen Grundsätzen fremdes, auf empirischen Grundlagen beruhendes Element hineingeschleppt werden muß oder nicht, ob wir auch die ideale Kongruenz, ohne Benutzung der gewöhnlichen, schlechterdings als gegeben voraussetzen müssen, oder ob wir sie selbst geben können, das wird beim Hilbertschen Aufbau der Elemente nicht vollkommen klar. Denn was nützt es zu wissen, daß die Annahme der idealen Kongruenz nie zu logischen Widersprüchen führen kann, wenn ich diese Kongruenz ohne Hilfe der gewöhnlichen gar nicht realisieren könnte? Ideale Kongruenz ohne empirisch-physikalische Hilfsmittel (Zirkel und Lineal) existiert nur dann, wenn sie dadurch gesetzt ist, daß alle Punkte, Linien und Flächen gesetzt sind. Es müßte also möglich sein,

A)    gleiche Strecken und Winkel, überhaupt kongruente Figuren durch eine der Geometrie „immanente Konstruktion“ herzustellen, d. h. durch eine Konstruktion, die weder materiell noch auch nur in der Vorstellung ein Instrument benutzt, sondern die unter der Voraussetzung, daß alle Punkte, Flächen und Linien des Raumes existieren⁹), darin besteht, daß man sich speziell derjenigen unter ihnen bewußt wird, die die Zuordnung der kongruent zu nennenden Stücke vermitteln. Und damit nicht schließlich doch wieder die Bewegung in die Geometrie kommt, müßte sich

B)    auf diese „immanente Konstruktion“ auch eine „immanente Definition“ der Kongruenz stützen lassen, d. h. man müßte von dieser Konstruktion, ohne den Begriff der Kongruenz irgendwie zu benutzen, erst rein logisch beweisen können, daß sie die Bedingungen 1.) bis 6.) erfüllt; dann könnte man die Kongruenz einfach durch diese Konstruktion definieren. Die Frage also, ob in einer streng logischen Geometrie auch die Kongruenz Platz hat, hängt von der anderen ab: Gibt es eine „immanente Konstruktion“ kongruenter Strecken und

der ohne Benutzung der Kongruenzsätze bewiesen

Winkel,

werden kann, daß sie die in 1.) bis 6.) geforderte eindeutige Zuordnung leistet?

von

§ 5. Die Steinerschen Linealkonstruktionen.

1. Eine Konstruktion, welche wenigstens der Forderung A) des vorigen Paragraphen genügt, existiert. Jacob Steiner hat nämlich in einem berühmten kleinen Buche¹), das zu den Perlen der Elementargeometrie zu zählen ist, mit ganz einfachen Mitteln den Beweis erbracht, daß alle Konstruktionen, die man mit Zirkel und Lineal ausführen kann, auch mittels des Lineals allein gelingen, wenn ein Kreis und sein Mittelpunkt gezeichnet vorliegen. Da das Lineal dabei nur zum Ziehen gerader Linien benutzt wird, so brauchen wir uns den Kreis und sämtliche gerade Linien nur als schon vorhanden vorzustellen oder besser zu denken, um die verlangte immanente Konstruktion zu haben. Die Begriffe Gerade und Kreis müßten natürlich einwandsfrei definierbar sein, was wir vorläufig voraussetzen müssen. Die Steinerschen Konstruktionen benutzen eine Eigenschaft des Paralleltrapezes, die leicht zu beweisen ist:

Satz 1. Die Gerade, welche den Schnittpunkt der beiden nicht parallelen Seiten eines Paralleltrapezes mit dem Schnittpunkte der beiden Diagonalen verbindet, halbiert die parallelen Seiten, und umgekehrt:

Satz 2. Wenn die Verbindungslinie des Schnittpunktes zweier gegenüberliegender Seiten und des Diagonalschnittpunktes eines Vierecks eine dritte Seite des Vierecks halbiert, so halbiert sie auch die vierte, und diese beiden Seiten sind parallel.

Sind also zwei paral--u    leie Gerade u, v ge

geben, und auf einer derselben, etwa auf v, eine Strecke AB, so kann man mit dem v    Lineal allein AB hal

bieren, indem man auf u willkürlich

AS

■■

Cb/

B\

Fig. 3.

zwei

Punkte a, b annimmt und den Schnittpunkt S der Geraden Aa, Bb mit dem Schnittpunkte T der Geraden Ab, Ba verbindet. Diese

1) Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 60.

Gerade ST halbiert dann nicht nur AB, sondern auch ab. Konstruktion 1.

Ist umgekehrt die Mitte M von AB sowie ein Punkt a gegeben, durch den zu AB die Parallele konstruiert werden soll, so nehme man auf aA einen beliebigen Punkt S an, der yon a und A verschieden ist, ziehe SM, SB und aB; die Geraden aB und SM bestimmen dann den Schnittpunkt T, und AT trifft SB in einem Punkte b, so daß ab parallel zu i5 ist. Konstruktion 2.

Wenn nun ein Kreis K mit seinem Mittelpunkte 0 gezeichnet vorliegt, so halbiert 0 jeden Durch-Also kann man

PP'.

messer

mittels der Linealkonstruktion 2. durch einen Punkt Q von K (wie durch jeden anderen) zu PP' die Parallele ziehen; ist B ihr anderer Schnittpunkt mit dem Kreise, so P bestimmen die Durchmesser Q 0,

R 0 auf K zwei andere Punkte

0/

\P’

Q', R', so daß die drei Geraden QR, PP' und Q'R' parallel und „äquidistant“ sind (gleichen Abstand von der mittleren haben). Diese drei Geraden treffen jede dazu nicht parallele Gerade g in drei äquidistanten Punkten; folglich kann man nach Konstruktion 2. zu g durch einen beliebigen Punkt die Parallele ziehen. Nach Konstruktion 1. kann man dann auf g jede Strecke halbieren. Da man nun PP' immer so annehmen kann, daß diese Gerade zu einer vorgegebenen Geraden g nicht parallel ist, so folgt:

Satz 3. Wenn ein Kreis mit Mittelpunkt gezeichnet vorliegt, so können wir mit Hilfe des Lineals ohne Zirkel

zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt die Parallele ziehen;

2) eine gegebene Strecke halbieren.

li

Fig. 4.

1)

2. Nach dieser Vorbereitung können wir zunächst das Steiner-sche Verfahren der „Verschiebung“ einer Strecke auf ihrer Geraden beweisen. Um zu einer Strecke AB einer Geraden u in einem Punkte A' derselben nach gleicher Richtung die kongruente Strecke abzutragen, ziehe man zu u nach Satz 3 zwei Parallelen v, w, verbinde einen beliebigen Punkt S von w mit A und B und bringe diese zwei Verbindungslinien mit v zum Schnitt; der Schnittpunkt auf SA sei a, der auf SB sei b. Dann bestimmt A'a auf w einen

Punkt S', so daß die Gerade S'b die Gerade u in dem Punkte B' trifft, für welchen A'Br — AB ist. Es ist leicht einzusehen, wie

diese Konstruktion w sich ändert, wenn entgegengesetzte Richtung haben soll wie AB-den außer A, B gegebenen Punkt nennt man dann am besten V B' und ermittelt A' nach nebenstehender Figur. Der Beweis u benutzt die Ähnlichkeit einerseits der Dreiecke aSb, ASB, andererseits der Drei-

S‘

//

A'B'

\a/ x\ bi

B^A*

Fig. 5.

Danach ist, indem drei Parallelen auf jeder

ecke aS'b, A'S'B'. anderen Geraden proportionale Stücke abschneiden:

AB : ab = SA : Sa = SA' : S'a = A'B' : ab,

also AB = A'B'.

Zu diesem Verfahren fügen wir noch ein zweites, das die Drehung

v\v’

iV

Bl

n.

lp'

/V

d\ d,'

3'

VO

Fig. 7.

Fig. 6.

einer Strecke auf einem Durchmesser des gegebenen Kreises x um den Mittelpunkt 0 ermöglicht.

Soll ein Durchmesser d mit einer darauf gelegenen Strecke PQ um den Mittelpunkt 0 so gedreht werden, daß d in die vorgeschriebene Lage d' kommt, so trifft d' den Kreis in zwei Punkten, von denen wir noch den Punkt A' willkürlich vorschreiben können, auf den der zwischen 0 und P liegende Punkt A von x fallen soll. Zieht man jetzt durch P und Q zu AA' die Parallelen (Satz 3, i), so treffen diese d' in zwei Punkten P', Q', so daß, wie man leicht zeigt, P'Q' =PQ ist.

Soll jetzt endlich eine auf einer Geraden u gegebene Strecke AB auf eine beliebige Gerade u übertragen werden, wobei ein Endpunkt der neuen Strecke und die Richtung, nach der sie liegen soll, gegeben sein dürfen, so braucht man offenbar nur zu u und u durch 0 zwei Parallelen v, v' zu ziehen, auf v die Strecke P Q = AB durch Konstruktion eines Parallelogramms PQAB zu übertragen, diese Strecke samt v in die Lage P’Q' auf v zu drehen und die Strecke P'Q’ durch Konstruktion eines Parallelogramms P'Q'A'B' auf v zu übertragen. Dann ist AB' = AB. Je nachdem man den auf u gegebenen Endpunkt E der Strecke AB' mit A' oder B' bezeichnet, wird das gesuchte B' bezw. A' rechts oder links von E auf u' liegen.

3. Die Fundamentalaufgabe der Winkelmetrik, einen gegebenen Winkel (a, b) an eine gegebene Gerade a in einem gegebenen Punkte S' derselben anzutragen, gestattet folgende einfache Lösung¹): Durch einen beliebigen Punkt C des Kreises x (Fig. 8) zieht man zu a und b die Parallelen, die x in zwei Punkten A und B (j treffen; durch A legen wir die Parallele zu a, welche x in C treffen möge.

Zieht man jetzt durch S' die Parallele b' zu CB,

=    ACB = <)C (a, b), wie verlangt war.

Wir haben der bequemeren Ausdruckweise wegen die Konstruktionen der Strecken- und Winkelabtragung in der ^

Sprache der Elementargeometrie dargestellt, in der eine Gerade, auf die man seine Aufmerksamkeit richtet, immer erst „gezogen“ wird; setzen wir den Kreis und alle Geraden und Punkte einfach als schon vorhanden voraus,

so

ist (A, b') = ACB

(Vi

Fig. 8.

acy

fi'

s'

1) Sie erspart gegenüber der von Steiner angegebenen die Konstruktion von zwei Parallelen.

was man in einer streng logischen Geometrie tun muß, so braucht man sich der zur „Konstruktion“ benutzten Hilfslinien und Hilfspunkte immer nur bewußt zu werden. Das ist dann die verlangte „immanente“ Konstruktion.

§ 6. Natürliche Geometrie.

1. Die Grenzübergänge, die man an dem Rohmaterial der Geometrie, den materiellen Punkten, Geraden und Ebenen vorzunehmen pflegt, um es von aller Unbestimmtheit und Willkür frei zu machen, haben zu so schweren Bedenken Anlaß gegeben, daß die Wahrheit der ganzen Elementargeometrie in Frage gestellt scheint. Andererseits beweist aber, wie wir sehen werden, die analytische Geometrie, als reine Analysis einer linearen, dreifach unendlichen Zahlenmenge ohne Beziehung auf das räumlich Vorstellbare entwickelt, daß die elementare Geometrie nie zu logischen Widersprüchen führen kann. Und doch besteht unsere Kritik zu Recht, daß die sogenannten „geometrischen“ Punkte, Ebenen und Geraden keine sinnliche Existenz haben, daß die Kongruenz durch die übliche Definition nur für materielle, vollkommen starre Gebilde erklärt wird u. s. w. Der Widerspruch löst sich so: Allerdings schickt Euklid seinem Lehrsystem jene bedenklichen Definitionen voraus, und viele Lehrbücher, sogar das sonst so vortreffliche von Baltzer, tun das noch heute. Aber beim weiteren Aufbau des Systems wird von diesen Definitionen kein Gebrauch gemacht, weil sich kein Anlaß dazu bietet. Was schadet es auch, wenn eine Kreislinie einige zehntel Millimeter dick ist? Erst in der Funktionentheorie macht sich das Bedürfnis nach ausdehnungslosen Punkten und Linien ohne Dicke geltend, indem man in der komplexen Zahlenebene jeder Zahl einen Punkt zuordnen möchte. Nur in der Lehre von den Parallelen und überall, wo der Begriff des Unendlichen in der Geometrie eine Rolle spielt, sind aus der Unzulässigkeit der idealisierten Grundbegriffe von jeher Streitigkeiten entstanden. Sollte also die Elementargeometrie als anschauungsmäßige Geometrie sich rechtfertigen lassen, so müßte sie ohne alle unerlaubten Grenzprozesse aufgebaut werden können.

2. Es fragt sich demnach, ob nicht eine Geometrie möglich wäre — man könnte sie „natürliche“ Geometrie nennen — die ausdrücklich auf Grenzprozesse verzichtet und sich an das hält, was unsere Sinne wahrnehmen, oder was wir uns wenigstens als wahrnehmbar vorstellen können, an die materiellen Punkte, Linien und Flächen in einem endlichen, wohlübersehbaren Teil des Raumes, in dem wir alle Urteile, die wir uns bilden, auch auf ihre Richtigkeit prüfen können. Ein Lehrsystem der natürlichen Geometrie müßte zunächst in einem einleitenden Kapitel nach naturwissenschaftlichen Methoden gleichsam das Rohmaterial der Geometrie an Vorstellungen und Tatsachen einsammeln. Dieses Kapitel, so wie wir es uns denken, wäre ganz vortrefflich für den Vorunterricht in der Geometrie geeignet, um die Raumanschauung zu wecken, zu stärken und den geometrischen Beobachtungssinn, die Quelle des schöpferischen geometrischen Vermögens, zu schärfen. Was ließe sich nicht alles über die (materielle) Gerade sagen! Ein gespannter Faden von nicht allzugroßer Länge hätte zunächst, wie wir bereits ausgeführt haben, die Vorstellung des Geraden zu wecken. Wir könnten einen Draht so biegen, daß er dem gespannten Faden sich innig anschmiegen läßt, das wäre dann ein stabileres Modell. Indem wir an diesem Drahte entlang visieren, erscheint er zum Punkt verjüngt, sein „Mittleres wird von den Enden beschattet“ (Plato). Wir unterstützen den Draht in zwei Punkten; er wird dann festliegen, während ein Punkt ihn nicht festlegen konnte — den „Mittelpunkt“ ausgenommen; wir verschieben nun den Stab, während die zwei Stützen bleiben und visieren gleichzeitig: die Gerade wird sich zum Punkt verjüngen und in Ruhe zu sein scheinen. So ergibt sich die Fortsetzbarkeit der Geraden (Strecke) und zugleich die Tatsache, daß sie durch zwei Punkte mechanisch festgelegt und begrifflich bestimmt ist. Dann wäre die Absteckung gerader Linien im Feld, durch fortgesetztes Einvisieren, das Richtungnehmen beim Militär, das Zielen und vieles andere zu besprechen, wo der Begriff der Geraden empirisch verwirklicht wird. Das Lineal wäre endlich die vollkommenste Realisierung der Geraden; aber ein Blick durch ein Vergrößerungsglas hätte uns vor der Illusion zu bewahren, daß diese Vollkommenheit absolut ist¹⁰).

3. Reicher fließen die Beobachtungen, wenn wir zum Begriff der natürlichen (materiellen) Ebene aufsteigen. Der Spiegel einer ruhenden Flüssigkeit wäre etwa das Prototyp; wir beobachten sofort, daß wir die Linealkante nach allen Richtungen scharf auflegen können. Wir bemerken diese Eigenschaft alsbald an anderen Flächen, die wir darauf zur Probe unmittelbar auf die Oberfläche der Flüssigkeit legen; so bekommen wir dann etwa in einer dünnen Platte ein haltbares Modell der Ebene. Es wird durch drei seiner Punkte, die nicht in gerader Linie liegen (die Schwerlinien ausgenommen), mechanisch festgelegt; über drei stützende Punkte hin kann die Fläche willkürlich

verschoben werden, ohne daß sie heim Visieren zu schlingern scheint: die Ebene ist durch drei Punkte bestimmt. Interessant wäre es dann, zu zeigen, wie bei den verschiedenen Handwerken die (begrenzte) Ebene hergestellt und nach allen Seiten erweitert wird; jene ausgezeichneten Geraden, durch deren Unterstützung die Ebene mechanisch festgelegt, wenigstens ins Gleichgewicht gebracht wird, wechseln bei der Erweiterung der Ebene ihre Lage, desgleichen der Schwerpunkt, erweisen sich also als „schwankende“ Eigenschaften der natürlichen Ebene, die Bestimmbarkeit durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte ist dagegen eine „wesentliche“ Eigenschaft. Diese Unterscheidung ist natürlich nicht zwingend, ein Schwerpunkt ist auch nach jeder Erweiterung vorhanden. Hier kommt so recht unsere Willkür in der Bildung des Ebenenbegrilfes zum Ausdruck. Legten wir bei der Fortsetzung der Ebene mehr Gewicht auf die Eigenschaft, durch eine ruhende Wasserfläche verwirklicht zu sein, so würde die Ebene zu dem, was wir jetzt Kugel¹¹) nennen, allerdings zu einer unübersehbar großen. Man wende nicht ein, daß auf einer solchen Ebene keine Gerade möglich wäre. Denn diese müßte doch erst durch Fortsetzung einer verhältnismäßig kleinen Geraden der Ebene, etwa mittels der Methode des Visierens, gewonnen werden. Ergäbe sich nun nach vieler Mühe endlich eine kleine Abweichung, so brauchte man den Versuch nur zu wiederholen, um sicher zu sein, eine andere Abweichung zu finden; außerdem sind einigermaßen glatte Ebenen von hinreichender Ausdehnung gar nicht vorhanden, also experimentell wäre nichts zu entscheiden. Im Vorübergehen wollen wir hier die Frage aufwerfen: Was wäre aus der Geometrie geworden, wenn ihre „Ebenen“ in „Wirklichkeit“ große „Kugeln“ wären? Die Antwort dürfte den, der mathematischen Betrachtungen dieser Art fernsteht, überraschen: Wir könnten — wie wir später sehen werden — unter dieser Annahme alle Sätze unserer Geometrie gewinnen; die Annahme brächte sogar in der Physik manche Vorteile.

4. Doch genug! Aus dieser Skizze dürfte hinreichend klar werden, wie wir uns den ersten Anschauungsunterricht in der empirischen Geometrie etwa gestaltet denken; er könnte sehr anregend sein. Es sei nur noch gestattet, kurz darauf hinzuweisen, welch reiches Material wir aus der Beobachtung der Symmetrie an Naturgegenständen gewinnen könnten. Indem wir die axiale Symmetrie in der Ebene zunächst ganz roh dadurch nachahmen, daß wir auf einen Bogen Papier mit schwarzer Kreide irgend einen Gegenstand, etwa ein halbes Kastanienblatt zeichnen und dann durch Falten des Papiers längs der

Symmetrieachse und festes Aufeinanderlegen der beiden Papierhälften die Figur auf die andere Seite der Symmetrieachse abklatschen, gewinnen wir einen geeigneten Übergang von der rein beobachtenden Geometrie zur zeichnenden. Man sieht und beweist leicht aus der Definition, daß ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Symmetrieachse liegt, beim Kopieren in sich selbst übergeht, und findet durch Verwendung zweier solcher Kreise unmittelbar eine Konstruktion des einem Punkte zugeordneten Punktes. Damit werden zahlreiche Konstruktionsaufgaben zugänglich. Ist so das empirische Material der Geometrie hinreichend gesammelt und durch einfache Schlüsse bereits die Möglichkeit logischer Bearbeitung erkannt und die Freude an scharfsinnigen Schlüssen, die uns die verborgenen Eigenschaften der Figuren enthüllen, hinreichend geweckt, so handelte es sich in einem zweiten Kapitel der „natürlichen“ Geometrie darum, zwischen logisch beweisbaren und nur durch die Erfahrung zu gewinnenden Eigenschaften der geometrischen Gebilde streng zu scheiden; es würde sich zeigen, daß, je nach den Sätzen, die man als unbeweisbar voraussetzt, ein gegebener Satz bald beweisbar, bald unbeweisbar sein wird. In letzter Linie ist es also Willkür oder Sache des Geschmackes, welche Tatsachen man als Grundsätze betrachten will und welche nicht; es kommt nur darauf an, daß die Grundsätze empirisch leicht, d. h. ohne umständliche Experimente, erkannt werden können.

5. Aber nun kommt die entscheidende Frage: Wird man mit diesem rohen Material, mit diesen grob sinnlichen Punkten, Linien und Flächen überhaupt eine Wissenschaft auf bauen können? Diese Frage kann nur der Erfolg entscheiden, und der Erfolg hat sie bereits entschieden: Wir besitzen in den „Vorlesungen über neuere Geometrie“ von M. Pasch ein ausgearbeitetes System des im engeren Sinne geometrischen Teiles der Geometrie, die oben als „natürliche“ bezeichnet worden ist. Zur Charakterisierung dieses schönen Buches, das jeder gelesen haben muß, der mehr nach intensiver als nach extensiver Kenntnis der Geometrie trachtet, sei folgender Satz aus dem Vorwort angeführt: „. . . Mag man immerhin mit der Geometrie noch mancherlei Spekulationen verbinden; die erfolgreiche Anwendung, welche die Geometrie fortwährend in den Naturwissenschaften und im praktischen Leben erfährt, beruht jedenfalls nur darauf, daß die geometrischen Begriffe ursprünglich genau den empirischen Objekten entsprachen, wenn sie auch allmählich mit einem Netze von künstlichen Begriffen übersponnen wurden, um die theoretische Entwicklung zu fördern; und indem man sich von vornherein auf den empirischen Kern beschränkt, bleibt der Geometrie der Charakter der Naturwissenschaft erhalten, vor deren anderen Teilen jene sich dadurch auszeichnet, daß sie nur eine sehr geringe Anzahl von

Begriffen und Gesetzen unmittelbar aus der Erfahrung zu entnehmen braucht.“

ist das doch im Grunde genommen unwesentlich; die (be-

so

Diesem Standpunkte entsprechend sind die „Punkte“ bei Pasch nicht in mystisches Dunkel gehüllte Gedanken dinge, sondern materielle Körper, „deren Teilung sich mit den Beobachtungsgrenzen nicht verträgt“, also nicht Dinge, „deren Teil nichts ist“ (Euklid), sondern deren Teil vernachlässigt werden soll. Wenn man auch nach Pasch die Punkte, Linien und Flächen sich als sehr dünn vorzustellen hat,

grenzte) Gerade hat jedenfalls nach Pasch nur eine endliche Zahl solcher Punkte: auch dürfen zwei Punkte nicht zu nahe aneinander rücken, wenn sie eine Gerade bestimmen sollen (1. c. Seite 17); es würde nichts schaden, wenn man die Punkte, Linien und Flächen etwas vergrößerte, nur würde der Bereich dessen, was sich unmittelbar am Objekt sehen und beurteilen läßt, dadurch verkleinert. Wer befürchtet, daß durch diese natürliche Auffassungsweise, die den Weg vom Anfang an noch einmal geht, auf dem die Geometrie historisch zu ihrer jetzigen Vollendung emporgestiegen¹²), in die Geometrie ein weder wissenschaftlich noch ästhetisch befriedigender Realismus und grobe Sinnlichkeit getragen werde, der lese bei Pasch die grundlegenden Paragraphen nach. Es gehört ein außerordentliches Feingefühl dazu, um all die kleinen und kleinsten Dinge zu würdigen, aus denen die Geometrie so große Schlüsse zieht. Jedermann glaubt zu wissen, was „zwischen“ heißt, aber wer vermöchte so ohne wei: teres die Eigenschaften anzugeben, die diesen Begriff bestimmen?

(1. C. § 1.)

6. Es geht nicht an, den Gedankengang dieses Buches hier zu skizzieren; nur eines sei hervorgehoben: es wäre unmöglich, ausnahmslose Lehrsätze aufzustellen, wenn man die empirischen Geraden und Ebenen in ihrer Unvollkommenheit beließe und nicht einmal ihre räumliche Begrenztheit beseitigen könnte. Das geschieht aber nicht durch unzulässige Operationen an den in der sinnlichen Anschauung gegebenen Objekten der Geometrie, sondern an ihren Begriffen. Die Gesamtheit der durch einen Punkt A gehenden Geraden nennt man ein Strahlenbündel; die Strahlen des Bündels sind dadurch ausgezeichnet, daß je zwei von ihnen (die nicht zu eng beieinander liegen) eine Ebene bestimmen. All diese Gebilde sind natürlich räumlich begrenzt vorzustellen. Nimmt man nun in einer solchen Ebene zwei Strahlen u und v des Bündels an, auf u zwei Punkte B, B', auf v zwei Punkte iß und $8', so daß sich die Geraden .Büß und B'ffi in einem Punkte S, die

Geraden 1553' und J5'53 in einem Punkte T treffen, so schneidet ST die Gerade u in einem Punkte A', der¹³), wie wir später sehen werden, nur von den gewählten Punkten A, B, B', nicht von T abhängt; legt man jetzt durch u irgend eine Ebene, und nimmt man in dieser einen Punkt S an, den man mit B, B' A' verbindet, und auf SA' einen zweiten Punkt T, den man mit B und B' verbindet, so trifft BT die Gerade SB' und B'T die Gerade SB in je einem Punkte S3) S3, so daß die Gerade x = 53 S3' durch A geht. Bei allen diesen Konstruktionen ist A nicht benutzt worden. Sind nun u und v zwei Geraden einer Ebene, von denen die Existenz eines Schnittpunktes nicht ausgesagt werden kann, so kann man nach dem soeben erklärten Verfahren doch beliebig viele Geraden x, durch jeden Raumpunkt eine, konstruieren, von denen die Existenz eines Schnittpunktes ebenfalls nicht zu übersehen ist, aber es läßt sich zeigen, daß je zwei dieser Strahlen eine Ebene bestimmen, ganz ebenso, wie die Strahlen eines Bündels; und nun nennt man nach Pasch auch dieses neue System von Strahlen ein „Bündel“, und zwar ein „un-eigentliches“, und schreibt ihm einen „uneigentlichen“ Punkt zu, durch den seine Strahlen „hindurchgehen“. Das ist also eine reine Sprechweise. Ähnlich werden „uneigentliche“ Schnittlinien von Ebenen definiert, die sich in „Wirklichkeit“ nicht schneiden. Auch die Schwierigkeiten des Kongruenzbegriffes werden nicht durch die Forderung unvollziehbarer Vorstellungen, sondern rein begrifflich überwunden. Interessant ist der § 9 1. c., der die ausgedehntere Anwendung des Wortes „zwischen“ behandelt. Die Betrachtungen, die nötig sind, urnes nach und nach zu ermöglichen, daß man von den „uneigentlichen“ Punkten, Geraden und Ebenen gerade so sprechen darf, als wären sie wahrnehmbar vorhanden, sind sehr reizvoll. Das Ergebnis ist ein in sich widerspruchfreies System der natürlichen Geometrie. Durch sie werden alle geometrischen Systeme gerechtfertigt, welche sich auf vorstellbare Raumgebilde, auf räumlich lokalisierte Punkte, Linien und Flächen beziehen.

v, 53 , 53', S,

Zweiter Abschnitt.

¹

A. Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter.

²

Leipzig 1877.

³

   Gauß, Werke, Bd. 8. Dort findet sich auch Nachricht über Schweikarts (Astral-)Geometrie. Vergl. auch Engel und Stäckel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauß. Leipzig 1895.

⁴

   Das Wort stammt übrigens von Leibniz.

⁵

Die folgenden Ausführungen passen zwar genau auf den Wortlaut der Euklidischen Definitionen, sollen aber nicht diese, sondern ihre gewöhnliche Auffassung treffen.

⁶

„Existent“ wollen wir die Geraden, Kreise u. s. w. nennen, wenn sie im Raume vorhanden sind oder so gedacht werden, so daß sie also nicht erst „gezogen“ werden müssen wie in der Schulgeometrie.

⁷

Das Verdienst des Hilbertschen Buches besteht in der klaren, erkenntnistheoretischen Grundauffassung, in der scharfen Problemstellung und den arithmetisch-algebraischen Methoden. Die Aufstellung vollständiger Systeme von Axiomen und den rein formal-logischen Aufbau der Geometrie verdankt man Pasch, Schur sowie der logischen Geometerschule der Italiener, die in § 19 namhaft gemacht sind. Wenn wir im folgenden fast ausschließlich das Hilbert-sche Buch zitieren, so geschieht das, weil es leicht zugänglich ist und durch seine Methoden überaus anregend gewirkt hat und voraussichtlich noch wirken wird; die Arbeiten der Vorgänger sind meistens in Zeitschriften zerstreut oder in fremden Sprachen gedruckt.

⁸

Unseren Sätzen 1.) bis 6.) entsprechen 1. c. genau Ilfi bis III₆.

⁹

Siehe die Fußnote S. 14.

Weber u. Wellstein, Encvklopädie. II. 2. Aufl.

¹⁰

Vgl. auch P. du Bois-Reymond, Die allgemeine Funktionentheorie. Tübingen 1882.

¹¹

Streng genommen zu einem Geoïd.

¹²

Oder besser gesagt: hätte emporsteigen sollen, wenn sie nicht frühzeitig das Empirische und Ideale vermengt hätte.

¹³

Als vierter harmonischer Punkt zu A und J5, B'.

Die natürliche Geometrie als eine der unendlich vielen Erscheinungsformen einer rein begrifflichen Geometrie (Metageometrie).

§ 7. Natürliche und Approximationsgeometrie, Analysis situs,

Metageometrie.

1. Aus unseren Andeutungen über die natürliche Geometrie dürfte das Wesen ihrer Grundbegriffe hinreichend klar zu erkennen sein. Sie kommen durch eine eigentümliche Mischung von Empirismus und Nominalismus zustande. Empirisch in ihrer ursprünglichen Form müssen die Begriffe „Punkt“, „Gerade“ u. s. w., damit man allgemein gültige Lehrsätze aufstellen kann, über ihren engen Gültigkeitsbereich hinaus „erweitert“ werden; das geschieht rein nominalistisch durch Einführung einer merkwürdigen Sprechweise, die es ermöglicht, auch wenn gerade Linien einer Ebene sich im übersehbaren Raum nicht schneiden, sie doch so zu behandeln, als wenn sie sich schnitten. Dieses Spiel mit fingierten Tatsachen müßte üble Folgen haben, läge ihm nicht eine höhere Wahrheit zu gründe, die durch jene Sprechweise nur nicht objektiv genug ausgedrückt wird. Was nämlich immer existiert, wenn zwei Geraden einer Ebene gegeben sind, mögen sie sich schneiden oder nicht, das ist das von ihnen erzeugte Strahlenbündel, d. h. die Gesamtheit der Strahlen, welche zusammengenommen mit den gegebenen die Eigenschaft haben, daß je zwei von ihnen eine Ebene bestimmen. Das Bündel ist also immer vorhanden, der gemeinsame Schnittpunkt seiner Strahlen aber nicht —• wenigstens enthält man sich eines Urteils in dieser Beziehung —; die Nötigung zu dem künstlichen Begriffe eines „uneigentlichen“ Schnittpunktes ergibt sich daraus, daß man sich darauf steift, das zufällige Merkmal (eines gemeinsamen Schnittpunktes) auch vom allgemeinen Begriffe aussagen zu wollen. Mit Recht bemerkt Pasch in seinen „Vorlesungen“, daß man den Begriff des Punktes ganz beseitigen und durch den des Bündels ersetzen könnte, allerdings nicht von vornherein. Man würde sich dadurch aber zu sehr von der üb-lichen Auffassung der geometrischen Lehrsätze entfernen und auch auf große Schwierigkeiten der sprachlichen Darstellung stoßen.

2.    Auch würde dieser Schritt sofort zu einem zweiten nötigen: Von zwei Ebenen ist (im übersehbaren Raum) eine Schnittgerade nur zufällig, das sie enthaltende Büschel dagegen immer vorhanden; um also auch den Begriff der „uneigentlichen“ Geraden zu vermeiden, müßte man zugleich den Begriff der „eigentlichen“ Geraden aus der Geometrie ausmerzen und dafür den Begriff des Ebenenbüschels einführen. Dem in Artikel 1 besprochenen Falle zweier Geraden in einer Ebene entspräche jetzt der, daß zwei Ebenenbüschel eine Ebene gemein haben; sie bestimmen dann ein Ebenenbündel, d.'h. eine Gesamtheit von Ebenenbüscheln, von denen je zwei eine Ebene gemein haben. Die Grundgebilde der Geometrie wären dann: die Ebene, das Ebenenbüschel und das Ebenenbündel; dagegen wären die Punkte und Geraden nur Hilfsgebilde, um jene anderen zu konstruieren. Setzt man alle Ebenenbüschel und -bündel als existent voraus, so könnte man die Punkte und Geraden völlig entbehren; aber das wäre keine natürliche Geometrie mehr; wäre doch schon jene Darstellungsform der Geometrie unnatürlich genug, die ihre Lehrsätze nur von Ebenen, Ebenenbüscheln und Ebenenbündeln aussagt; man suche nur in dieser Form die Begriffe „Strecke“, „Winkel“ zu definieren oder die Kongruenzsätze auszusprechen. Also lassen wir es lieber bei dem Begriffe „uneigentlicher“ Punkte und Geraden bewenden, wenn sie auch dem empirischen Tatbestände nicht vollkommen entsprechen. Kur muß man sich vor einem naheliegenden Trugschlüsse hüten: Wenn auch der erweiterte, eigentliche wie uneigentliche Punkte umfassende Punktbegrifif logisch zu keinem Widerspruch führt, so hat das seinen tiefsten Grund nicht etwa darin, daß eben in Wahrheft immer eigentliche Punkte als existent¹) angenommen werden dürfen, denn zu einem solchen Schlüsse liegen keine Prämissen vor. Wenn man von „uneigentlichen“ Elementen spricht, so soll andererseits damit durchaus nicht in Abrede gestellt werden, daß unter Erweiterung des Gesichtsfeldes, in dem man operiert, und nach Fortsetzung der in Betracht kommenden Ebenen und Geraden sich nicht oft genug „eigentliche“ Elemente statt uneigentlicher einstellen werden; jene Sprechweise will eben nur in bescheidener Selbstbeschränkung es vermeiden, ein Urteil zu fällen, wenn man nicht am Objekte nachprüfen kann, ob es zutrifft oder nicht.

3.    Darin liegt freilich eine Willkür und, wenn man will, Unentschlossenheit, die den nach Klarheit und Bestimmtheit strebenden Verstand wenig befriedigt. Daß wir uns die Geraden und Ebenen

begrenzt vorstellen müssen, versetzt unsere Phantasie in eine gewisse Unruhe, wir können uns die Grenzen der Geraden bald enger, bald weiter, die Grenzlinie der Ebene bald so, bald so gestaltet vorstellen. Zu diesen Unbestimmtheiten kommen noch tiefer liegende: Da die Geraden, Ebenen und Punkte eine gewisse Dicke haben, ohne die sie gar nicht sinnlich vorgestellt werden können, so kann man sich eine ganze Reihe von Geometrien Gt, G₂, G3} . . . denken, so daß die Grundgebilde in jeder folgenden Geometrie feiner sind als in der vorangehenden; in G1 etwa 1 mm dick, in G₂ nur 0,1 mm, in G₃ nur 0,01 mm u.s.w.; es braucht kaum gesagt zu werden, daß das Millimeter selber keine absolut genaue Größe, sondern nur mit einem gewissen Spielraum bestimmt ist, der allerdings eine verhältnismäßig geringe Ausdehnung hat.²) Was in Gt eine Linie ist, ist in G₂ ein Körper, den man mit zahlreichen Linien der G₂ ausfüllen, mit zahlreichen ihn berührenden Linien der G₂ einhüllen kann. Geht man umgekehrt aus der G₂ zurück in die 6rx, so werden viele Feinheiten, die in der G₂ noch zu unterscheiden waren, wegfallen: Eine Strecke von 1 m Länge wird in der Gt gleich aussehen, ob man sie einer Geraden oder einem Kreise von 300 m Radius entnimmt. In einer (hohl gedachten) Geraden der Gx wird man zahlreiche Kurven der G₂ und a fortiori der Gs unterbringen können, die durchaus nicht Gerade zu sein brauchen, z. B. flache Sinuslinien oder Teile von Kurven III. Ordnung, woraus, nebenbei bemerkt, wieder folgt, daß der natürliche Begriff der Geraden kein absolut bestimmter sein kann, ebensowenig wie der der Ebene. Nach absoluten, von aller Willkür und Unbestimmtheit freien Begriffen wird aber der mathematische Sinn mit fast unwiderstehlicher Kraft getrieben, nach Bestimmtheit selbst auf Kosten der empirischen Wahrheit. Je eingehender man sich mit der natürlichen Geometrie beschäftigt, desto gewisser wird unser Glaube an die Möglichkeit einer von allen Zufälligkeiten freien Geometrie, welche ihre Gebilde durch die Eigenschaften definiert, die sich an den Grundgebilden der natürlichen Geometrie als fruchtbar erwiesen haben, und die aus diesen Definitionen ihre Wahrheiten ohne Bezug auf sinnenfällige Realisierbarkeit rein deduktiv ableitet. Ohne Willkür könnte es freilich bei der Definition der Grundbegriffe nicht hergehen, denn welche Eigenschaften der empirischen Geraden man für wesentlich halten soll, so daß sie in die Definition der idealen aufgenommen werden müßten, läßt sich a priori nicht entscheiden. Wir haben ja gesehen (S. 24), daß man von der Vorstellung der Ebene als Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit durch Fortsetzung dieser begrenzten Fläche eigentlich zur Vorstellung einer sehr großen Kugel hätte kommen müssen, und daß man mit diesen „sphärischen“ Ebenen unsere gewöhnliche Geometrie gerade so gut hätte auf bauen können als mit den „wirklichen“ Ebenen; die „Kugeln“ dieser seltsamen Geometrie wären auch Kugeln im gewöhnlichen Sinne gewesen; experimentell könnte nie entschieden werden, welche von beiden Geometrien die der „Wirklichkeit“ entsprechende ist, schon aus dem einfachen Grunde, weil unendliche Geraden und Ebenen nur begriffliche, nicht materiell-räumliche Existenz haben könnten.

4. Ganz anders muß unser Werturteil über die natürliche Geometrie ausfallen, wenn man sie nicht nach der Richtung weiterbildet, die von ihren Unvollkommenheiten ab sieht, sondern vielmehr gerade diese ihre Ungenauigkeiten zum Gegenstände der Untersuchung macht und sich dabei von dem Grundsätze leiten läßt, in ihren Konstruktionen nicht genauer sein zu wollen, als man bei der Ungenauigkeit ihrer Punkte, Linien und Flächen erwarten darf. Das wäre dann die „Approximationsgeometrie“, ein Teil der gegenwärtig heiß ersehnten „Näherungsmathematik“, die in allen Anwendungen der Mathematik vom größten Nutzen sein würde. Aber auch in der reinen Mathematik, z. B. in der Funktionentheorie bei der Betrachtung der Funktion in einem Streifen, hätte sie einen Platz; wir denken hier an Ansätze und Untersuchungen Kleins, die sich aber in einem Lehrbuche der Elementarmathematik, das den Funktionsbegriff (in der Trigonometrie) sich erst erringen muß, nicht gut andeuten lassen. Doch auch das Elementare der Approximationsgeometrie ist durchaus unverächtlich, besonders wegen des praktischen Wertes. Wir haben hervorgehoben, daß in der natürlichen Geometrie bei geAvisser Dicke der Punkte, Linien und Flächen manche Gebilde, die begrifflich voneinander verschieden sind, empirisch nicht voneinander zu unterscheiden sind, wie z. B. kurze Stücke von Geraden und von großen Kreisen. Aufgabe der Approximationsgeometrie, ihrem Grundsätze entsprechend, wäre es nun, begrifflich definierte oder sonstwie gegebene Gebilde, sagen wir etwa Kurven, aus einfacheren Gebilden so genau zusammenzusetzen, als das bei der gewählten Größe der Punkte u. s. w. möglich ist. Um einen bestimmten Fall zu behandeln, denken wir uns etwa eine Ellipse mit gegebenen Hauptachsen 2 a und 2b. Die Konstruktion der Ellipse ist nicht schwer, aber immerhin umständlich; gezeichnet soll sie werden mit 0,5 mm Strichdicke. Durch diese Strichdicke müssen die Feinheiten einer exakten Konstruktion doch zum Teil illusorisch werden. Also entsteht die Frage: Kann man nicht aus einfacheren Kurven, die bequem zu zeichnen sind, etwa aus Kreisbögen, eine Kurve zusammenstückeln, die in den gegebenen Fehlergrenzen die Ellipse zu ersetzen vermag? Das wäre eine typische Aufgabe der in Rede stehenden Geometrie; ihre Lösung

wird im siebenten Abschnitt gegeben werden; die dabei benutzten Kreise heißen „Krümmungskreise" weil sie sich der Krümmung der Kurve an der betreffenden Stelle so innig anschmiegen, daß sie auf eine gewisse Strecke hin die Kurve völlig zu ersetzen vermögen. Präzisiert wird dieser immerhin verschwommene Begriff erst an der erwähnten Stelle sowie im III. Bande.

5. Wir haben an den Begriffen der Geraden und der Ebene in der gewöhnlichen Geometrie so viel auszusetzen gehabt, daß, ehe wir zu einer reineren Geometrie aufzusteigen suchen, die Frage am Platze ist, ob wohl eine Geometrie möglich ist, die diese Begriffe und damit überhaupt den Begriff der mathematischen Kurven und Flächen gänzlich entbehrt und nur das aussagt, was man über krumme Linien und Flächen im allgemeinen aussagen kann. Gibt es da Sätze von hinreichendem Interesse? Nehmen wir eine kugelartige Hohlfläche, etwa einen ausgehöhlten und wieder geschlossenen Kürbis. Wenn wir in dieser Fläche irgendwo ein Messer einsetzen, und längs einer beliebigen Linie so lange weiter schneiden, bis der Schnitt in sich zurückläuft, so wird die Fläche in zwei Stücke zerfallen. „Eine sehr triviale Tatsache" wird der Nichtmathematiker sagen; aber eben dieser wird auch geneigt sein, zuzugeben, daß das immer so sein muß, daß '

Fig. 9.

ein in sich zurücklaufender Schnitt oder „Ringschnitt" eine Fläche immer in Stücke zerlegen müsse. Setzen wir aber an diese Fläche, die wir uns als dünnwandig vorstellen, einen aus einer dünnwandigen Röhre zurechtgebogenen „Henkel" an, so wird ein Schnitt, der diesen Henkel aufschlitzt und über die ursprüngliche Fläche ohne Umschweife in sich zurückkehrt (s. Fig. 9), die Fläche nicht in zwei oder mehr Stücke zerlegen. Auch wenn man den noch nicht geschlitzten Henkel an irgend einer Stelle quer durchschneidet, werden keine getrennten Stücke auftreten; ja diese beiden Schnitte dürfen sogar hintereinander ausgeführt werden, sie können die Fläche nicht zerstückeln. Aber dann muß, wie man sich leicht überzeugt, jeder andere Ringschnitt die Fläche in getrennte Stücke zerlegen.

Setzt man an die ursprüngliche Fläche im ganzen p solcher Henkel an, so wird man 2p solcher Schnittpaare ausführen können, die die Fläche nicht in getrennte Gebiete zerlegen, ihr aber nun die Eigenschaft verleihen, durch jeden ferneren Ringschnitt in Stücke zu gehen. Man sieht aber, daß man diese die Fläche nicht zerstückelnden Schnitte, „das Querschnittsystem", auch in anderer Weise anlegen

könnte, so daß etwa ein Schnitt mehrere solcher Henkel zugleich aufschlitzte. Auch dann sind 2p Schnitte möglich, die der Fläche die genannte Eigenschaft des „einfachen Zusammenhanges“ verleihen, d. h. durch jeden weiteren Ringschnitt zerstückelt zu werden. Denkt man nun zwei solcher „Querschnittsysteme“ auf der Fläche verzeichnet, so werden diese sich in gewissen Punkten treffen müssen. Wird sich über die Anzahl dieser Schnittpunkte etwas aussagen lassen? Allerdings, und zwar ist die Herleitung dieser Sätze so schwierig, daß man dazu meist die komplexe Integration und hochtranszendente Funktionen benutzt hat³): es leuchtet also ein, daß hier eine eigenartige Geometrie vorliegt, die nicht nur zu interessanten, sondern auch schwierigen Fragestellungen Anlaß gibt. Es ist die sogenannte Analysis situs⁴), eine Schöpfung Riemanns, die besonders von Klein und Dyck ausgebildet worden ist; sie bildet eines der wirksamsten Hilfsmittel der Funktionentheorie, und doch operiert sie nur mit dem allgemeinen Begriff der Linie, der Fläche (im approximativen Sinne) und des Zusammenhanges, ist also wesentlich einfacher als die gewöhnliche Geometrie. In einem vollständigen Lehrsystem der Geometrie müßte also die Analysis situs vor der Elementargeometrie ihren Platz haben.

§ 8. Euklidische Geometrie im parabolischen Kugelgebüsche.

1. Ehe man es wagen darf, der natürlichen Geometrie mit ihren vielen Mängeln eine rein ideale entgegenzustellen, wird es nötig sein, Klarheit darüber zu gewinnen, welche Eigenschaften der geometrischen Grundgebilde die Träger der geometrischen Wahrheiten sind. Zwar haben sich die Grenzübergänge, die an Stelle der natürlichen Punkte, Linien und Flächen etwas vollkommen Bestimmtes setzen sollten, als unzulässig und auch unnötig erwiesen; aber noch könnte es scheinen, als müßte der Punkt etwas sein, wovon keine Ausdehnung in Betracht kommen soll, die Linie ein Gebilde mit vorherrschender Längenausdehnung u. s. w. Die folgenden Betrachtungen dürften geeignet sein, das tief eingewurzelte Vorurteil zu erschüttern, als trüge das Aussehen der geometrischen Grundgebilde irgend etwas zur Gültigkeit der geometrischen Lehrsätze bei; wir werden sehen, daß man auf unendlich viel Weisen an Stelle der den Begriffen Punkt, Gerade,

Ebene entsprechenden Objekte andere, davon verschiedene Objekte setzen kann, die als „Punkte“, „Geraden“ und „Ebenen“ bezeichnet sämtliche Lehrsätze der Geometrie verwirklichen. Ein sehr nahe liegendes Beispiel ist dieses: Man nimmt im Raume R der Euklidischen⁵) Geometrie einen Punkt 0 an und versteht unter R' den Raum, der mit R außer 0 alle Punkte gemeinsam hat. Die Gesamtheit der Kugeln und Kreise des R, die durch 0 gehen, nennt man ein „Kugelgebüsch“ und zwar ein parabolisches zum Unterschied von anderen, die wir alsbald werden kennen lernen; die durch 0 gehenden Ebenen und Geraden des R gehören dem Gebüsche als „Grenzkugeln“ und „Grenzkreise“ (mit unbegrenzt großem Radius) an, eine Auffassung, die sich auch sonst in der Kugelgeometrie als nützlich erweist. Und nun definieren wir im Raume R' als „Geraden“ und „Ebenen“ die Kreise und Kugeln des R, die dem Gebüsche angehören; um Verwechselungen vorzubeugen, wollen wir für diese „Geraden“ und „Ebenen“ die Ausdrücke „Scheingeraden“ und „Scheinebenen“ gebrauchen. Dann gelten folgende Sätze:

Ir Zwei voneinander verschiedene Punkte A, R des R' bestimmen stets eine Scheingerade.

1₂.    Diese Scheingerade wird auch durch je zwei andere, voneinander verschiedene ihrer Punkte bestimmt.

1₃.    Auf einer Geraden gibt es stets mindestens zwei Punkte; in einer Ebene mindestens drei, die nicht in gerader Linie liegen.

1₄.    Drei nicht auf derselben Scheingeraden liegende Punkte bestimmen stets eine Scheinebene.

1₅.    Diese wird auch bestimmt durch je drei andere ihrer Punkte, die nicht einer Scheingeraden angehören.

1₆.    Wenn zwei Punkte einer Scheingeraden in einer Scheinebene liegen, so liegen alle Punkte dieser Geraden in dieser Ebene.

1₇.    Wenn zwei Scheinebenen einen Punkt gemein haben, so haben sie mindestens noch einen zweiten Punkt gemein.

1₈.    Es gibt mindestens vier nicht in einer Ebene liegende Punkte.

Die Sätze ließen sich leicht vermehren, es sind die acht ersten Hilbertschen Grundsätze seines Systems der Euklidischen Geometrie, und zwar seine „Axiome der Verknüpfung“; wir werden davon noch zu sprechen haben. Die Beweise sind äußerst einfach, wenn man diese Scheingeometrie des Raumes R' im Raume R vom Euklidischen Standpunkt aus betrachtet: Die zwei Punkte des Satzes Ix bestimmen mit 0 zusammen immer einen Kreis; 0 bestimmt mit den drei Punkten des Satzes I₄ stets eine Kugel, den Grenzfall eingerechnet, daß diese vier Punkte einer Ebene angeboren. Im Falle I₇ haben die Kugeln natürlich eine gemeinschaftliche Schnittlinie.

2. Diese Scheingebilde erfüllen auch alle Sätze, die man in der Euklidischen Geometrie über den Begriff „zwischen“ aussagen kann. Wir wollen von diesen Sätzen nur die anführen, die nach Hilbert als „Grundsätze“ (Axiome) gelten können; diese „Axiome der Anordnung“, wie Hilbert sie nennt, lauten in unserem Falle:

Hr Wenn A, B, C Punkte einer Scheingeraden sind und B „zwischen“ A und C liegt, so liegt B auch „zwischen“ G und A.

Fig. 10.

11₂.    Wenn A und C zwei Punkte einer Scheingeraden sind, so gibt es stets wenigstens einen Punkt B, der zwischen A und C liegt, —-j⁵-und wenigstens einen Punkt B, so daß C zwischen A und B liegt.

11₃.    Unter irgend drei Punkten einer Scheingeraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden anderen liegt.

11₄.    Seien A, B, C drei nicht in scheingerader Linie liegende Punkte und u eine Scheingerade der Scheinebene ABC, die durch keinen der Punkte A, B, C geht; wenn dann die Gerade u mit einer Seite des Scheindreiecks A, B, C einen Punkt gemein hat, der zwischen den Endpunkten dieser Seite liegt, so trifft u auch eine der übrigen Seiten in einem Punkte, der zwischen den Endpunkten der betreffenden Seite liegt.

Alle diese Sätze gelten offenbar nur in dem Raume B', der den Punkt 0 nicht enthält, nicht etwa im Raume B; denn hier ist auf einem Kreise durch zwei Punkte A, G die Bezeichnung „zwischen“ überhaupt nicht festgelegt, weil ein Punkt auf dem Kreise sowohl durch linksläufige als auch durch rechtsläufige Bewegung von A nach C gelangen kann; durch Ausschluß des Punktes 0 wird das verhindert. (Siehe Fig. 11.)

Fig. 11.

CO

3. Von besonderem Interesse ist nun, daß in unserer Scheingeometrie auch das Parallelenaxiom erfüllt ist. Als „parallel“ wird man zwei Scheingeraden anzusprechen haben, die als Gebilde (Kreise) des Euklidischen Raumes B betrachtet sich in 0 berühren, denn diese Geraden bestimmen eine Scheinebene und haben in ihr keinen Punkt gemein; ebenso wird man zwei Scheinebenen parallel nennen müssen, wenn sie als Gebilde des B sich in 0 berühren. Diese „Parallelen“

haben alle Eigenschaften der gewöhnlichen, insbesondere genügen sie dem Parallelenaxiom, das bei Hilbert die Nummer IV führt:

Durch einen Punkt ist zu einer Geraden immer nur eine Parallele möglich.

Um jetzt im Raume B' auch die Kongruenz zu definieren, ziehen wir, da ein anschauliches Analogon der Bewegung fehlt, die Steiner-schen Linealkonstruktionen heran; die „Scheinmitte“ M einer Schein-

O/

:s

/T

Pig. 12.

geraden AB bestimmen wir mittels der Trapezkonstruktion (§ 5, 1.), ein Verfahren, das erst dadurch seine Berechtigung erhält, daß man die Unabhängigkeit des Punktes M von der Wahl der ihn bestimmenden Hilfslinien beweisen kann. Bevor wir den Beweis erbringen, wollen wir den Gedankengang zu Ende durchführen. Die „halbierte“ Strecke AB kann, wie in § 5, umgekehrt dazu dienen, zu ihr durch einen beliebigen Punkt die Parallele zu ziehen, wie die Fig. 12, die in der Bezeichnung genau mit Fig. 3 des § 5 übereinstimmt, unmittelbar erkennen läßt. Auch das in § 5 angegebene Verfahren, eine Strecke auf ihrer Geraden beliebig zu verschieben, kann in unsere

Geometrie übertragen werden; sie wird dabei vom Standpunkte unserer gewöhnlichen Geometrie betrachtet um so kleiner, je mehr sie sich dem ausgeschlossenen Punkte nähert. Zur Drehung von Strecken und Winkeln ist endlich in jeder Ebene ein „Kreis“ notwendig. Zu dem Zwecke nehmen wir eine Kugel ft des Raumes R zu Hilfe und betrachten sie auch im R' als „Kugel“, ihre Schnitte mit den Scheinebenen also als „Kreise“. Die „Scheincentra“ dieser Scheinkreise (und der Scheinkugel) werden wir in Artikel 9. angeben; dann ist zunächst in allen Scheinebenen, die ft treffen, der zu den Steinerschen Konstruktionen nötige Kreis nebst Zentrum bekannt. Um auch in einer Scheinebene rj, die von ft nicht geschnitten wird, konstruieren zu können, braucht man nur rj durch parallele Scheingeraden auf eine zu rj parallele Scheinebene rj’ zu projizieren, die ft trifft, in ihr die Konstruktion auszuführen und nach rj zurückzuprojizieren. Nennen wir zwei Strecken oder Winkel des R' einander „kongruent“, wenn sie durch diese Konstruktion, deren Eindeutigkeit wir gleich beweisen werden, ineinander übergehen, so kann man auf diese Definition leicht die Lehre von der Kongruenz und der Flächengleichheit aufbauen.

4. Die Übereinstimmung unserer Scheingeometrie des R' mit der Euklidischen des R liegt auf der Hand und kann dadurch vollständig bewiesen werden, daß wir ein Abbildungsverfahren angeben können, welches die „Scheinebenen“ und „Scheingeraden“ des R' in „wirkliche“ Ebenen und Geraden des R verwandelt. Diese Abbildung besteht in der Inversion. Die ebene „Inversion“ oder „Kreisverwandtschaft“ setzt einen festen Kreis co, den „Inversionskreis“, voraus, dessen Zentrum und Radius wir mit 0 und r bezeichnen wollen. Es gibt zwei Arten von Inversion, die „hyperbolische“ und die „elliptische“. Zu einem Punkte P der Kreisebene heißt ein Punkt P' „hyperbolisch invers“, wenn P und P' auf demselben von 0 einseitig begrenzten Halbstrahl liegen und die Bedingung OP - OP' = r² erfüllen; zu P’ ist daher wiederum P invers, die Inversion ist also eine wechselseitige oder involutorische Punktverwandtschaft. Das gilt auch von der elliptischen Inversion, die sich von der hyperbolischen nur dadurch unterscheidet, daß die zueinander elliptisch inversen Punkte P und P", deren Verbindungsgerade durch 0 gehen muß, auf verschiedenen Seiten von 0 liegen; daher werden die Strecken OP und OP", deren Produkt absolut genommen gleich r² ist, mit entgegengesetzten Vorzeichen gemessen, und es ist also bei der elliptischen Inversion OP • OP "= — r². Sind also P' und P" die beiden zu P hyperbolisch und elliptisch inversen Punkte, so liegt P" zu P' symmetrisch bezüglich 0 als Symmetriezentrum.

Satz 1. Die elliptische Inversion mit dem Inversionskreis co geht demnach aus der hyperbolischen mit demselben Inversionskreis hervor durch zentrische Symmetrie mit 0 als Symmetriezentrum.

Daher genügt es, wenn wir im folgenden nur auf die hyperbolische Inversion näher ein gehen.

5. Die Konstruktion des zu P hyperbolisch inversen Punktes P' ergibt sich unmittelbar aus der Definitionsformel OP- OP'= r² Liegt

P außerhalb des Kreises co (Fig. 13), so konstruiert man den Kreis über dem Durchmesser OP; er trifft co in zwei Punkten U und V, derenVerbindungs-gerade durch P' geht, denn in dem rechtwinkeligen Dreieck OUP ist nach demPythagoreischen Lehrsätze

JT

fCü

PO

?jP

/l

or - OP = OP²=r².

Fig. 13.

Wenn dagegen der gegebene Punkt im Inneren von co liegt und etwa mit P' (Fig. 13) identisch ist, so findet man den dazu inversen Punkt P, indem man auf OP' in P' das Lot P'U errichtet, das co in U trifft, und in U auf OU das Lot errichtet; dieses Lot, das co in U berührt, schneidet OP' in P.

Ist X irgend ein Kreis durch die inversen Punkte P, P' (Fig. 13), und wird X von irgend einem Strahle durch 0 in den Punkten Q, Q' getroffen, so ist nach dem Sekantensatze OQ - 0Q' = OP - OP' = r², also sind auch Q und Q' zueinander hyperbolisch invers bezüglich co, d. h.:

Satz 2. Jeder Kreis durch zwei inverse Punkte ist zu sich selber invers.

Das kann dazu dienen, nachdem P, P' und X konstruiert sind, zu jedem anderen Punkte P den inversen Punkt B' sehr einfach zu finden (Fig. 13): Man lege um 0 als Zentrum einen Kreis, der durch B geht und l in einem Punkte Q trifft; OQ schneide X noch in Q dann konstruiere man den Kreis, der 0 zum Zentrum und OQ' zum Radius hat; er trifft OB in B'.

6. In einem von zwei zueinander inversen Punkten A, A, etwa in A, errichten wir auf OA das Lot a (Fig. 14). Zu einem Punkte P von a sei P' invers. Da also

OA • OA' = OP ■ 0P'= r\

co

so liegen die vier Punkte A, Ä, P, P' auf einem Kreise, und es ist A'P'P wie A'A P ein Rechter. Daher ist auch A'P'O ein Rechter, und P' liegt auf dem Kreise a, der die Strecke OÄ als Durchmesser faßt. Ändert P auf a seine Lage, so nimmt auch P' andere und andere Lagen auf a an: a ist also der Ort der zu den Punkten von a inversen Punkte. Es folgt:

Satz 3. Beschreibt ein Punkt P

eine Gerade, so beschreibt der inverse Punkt P' einen Kreis, der durch das Zentrum des Inversionskreises geht, und umgekehrt.

Zu dem Punkte 0 von a ist natürlich der unendlich ferne Punkt

Fig. 14.

-9

/)

V/

fp

und die Ebene verhält sich hei der Inversion so, als

von a invers

hätte sie nur einen unendlich fernen Punkt, durch den alle ihre Geraden hin durch gehen.

7. Satz 4. Beschreibt P einen Kreis jc, der nicht durch das Zentrum 0 der Inversion geht, so beschreibt auch der inverse Punkt P' einen Kreis.

Der durch 0 gehende Durchmesser von % treffe jc in A, B, und dazu seien invers die Punkte Ä, P'; zu einem beliebigen Punkte C von % sei C' invers. Dann ist OA - OA'=r²= OC-OC', OA! OC=OC'/ OÄ,

ÇL

CL,

cc

!ß

'OJ

Fig. 15.

also Dreieck OAC^OCÄ und <)C OC'Ä — OAC = ebenso ist OB ■ OB' = 0C> OC', OB/OC = OC'/OB', OBC~ OC'B',

<£ OC JB =^ OBC = 2R — ß, und da in dem rechtwinkeligen Dreieck ACB die Winkel a und ß sich zu einem Rechten ergänzen, so ist auch A'C'B' — 2R — a — ß — R; also liegt C' auf dem Kreise der A'B' als Durchmesser faßt, w. z. b. w. Die Mittelpunkte von x und x sind übrigens nicht zueinander invers.

Alles das gilt der Ableitung nach zunächst von der hyperbolischen Inversion und dann nach dem Schlüsse von 4. auch von der elliptischen.

fco

Cbf

/\\

\b'

x'

'oj

S’

ty'

so-

A «-1/

Fig. 16.

7. Wenn zwei Kreise x, X sich in einem Punkte S schneiden, so versteht man unter ihrem Winkel in S den Winkel ihrer Tangenten in $; dieser Begrilf ist zunächst mehrdeutig, ebenso wie der des Winkels zweier sich schnei-\ dender Geraden. Er läßt sich aber leicht / eindeutig machen (Fig. 16). Die beiden / Kreise x, X zerlegen nämlich die Ebene in vier durch Kreisbogen begrenzte Felder a, ß, y, ö, genannte Kreisbogenzweiecke; diese Kreisbogen werden begrenzt durch die Schnittpunkte S und T von x und X. Als Wrinkel einer solchen Zweiecksfläche ins' betrachten wir denjenigen Winkelraum ihrer Tangenten in S, der den ganzen in S endigenden Flächenzipfel enthält. Dieser Winkel ist also ein ganz bestimmter, und in diesem Sinne hat ein Kreisbogenzweieck in seinen beiden Ecken gleiche Winkel.

Satz 5. Eine charakteristische Eigenschaft der Inversion.

ist es nun, daß die so definierten Winkel eines Kreisbogenzweiecks durch die Inversion nicht geändert werden,

d. h. den Punkten eines Kreisbogenzweiecks y entsprechen durch Inversion wiederum Punkte, die ein Kreisbogenzweieck y kontinuier-lich erfüllen, und beide Zweiecke haben gleiche Winkel. Der Winkel von y in S wird nämlich durch zwei Halbstrahlen a, b gemessen, zu denen zwei Kreisbogen Oa'S', Ob'S' invers sind, deren Tangenten in 0 und daher in S' zu ß und b parallel laufen; d. h. jene Kreisbogen bilden ein Zweieck, dessen Winkel gleich dem von y sind. Die Tangenten in S' berühren aber auch die zu x und X inversen Kreise x, X', und diese bilden daher vier Zweiecke, von denen -eines zu y invers ist und dieselben Winkel hat.

Wie beim geradlinigen Winkel, so ist auch beim krummlinigen Winkel der Fall von Interesse, wo die vier Zweiecksfelder a, ß, y, d rechtwinkelig sind; man sagt dann, die Kreise x, X schnitten sich rechtwinkelig oder orthogonal. In Figur 20 (S. 46) schneiden sich die Kreise M und C orthogonal; die nach einem Schnittpunkte hingehenden Radien beider Kreise stehen aufeinander senkrecht, und jeder berührt den anderen Kreis. Diese Eigenschaft des orthogonalen Schneidens wird durch Inversion auf die inversen Kreise übertragen.

Wenn die gemeinschaftliche Sehne zweier Kreise durch den Mittelpunkt des einen von ihnen geht, so sagt man, dieser Kreis werde vom anderen diametral oder unter dem Durchmesser geschnitten, oder er werde von ihm gehälftet. Diese Eigenschaft wird durch Inversion nicht übertragen.

Ein Kreis wird von jedem Durchmesser orthogonal und diametral geschnitten.

8. Alle diese Betrachtungen lassen sich auf den Raum übertragen. Die Inversion: im Raume setzt eine Kugel co voraus, die „Inversionskugel“, deren Mittelpunkt das „Inversionszentrum“ genannt wird. Die Definition der hyperbolischen und der elliptischen Inversion lautet im Raume so wie in der Ebene (Art. 4). Auch gilt der Satz 1, wenn man nur unter œ die Inversionskugel versteht. Betrachtet man Figur 13 (S. 38) als Schnitt der Inversionskugel mit einer ihrer Durchmesserebenen, so folgt als Analogon zu Satz 2. der

Satz 6. Jede Kugel durch zwei zueinander inverse Punkte ist zu sich selbst invers.

Aus den Sätzen 3. und 4. folgt, wenn man Figur 14 und Figur 15 um OA rotieren läßt:

Satz 7. Zu einer Ebene ist eine Kugel durch das Inversionszentrum invers, und umgekehrt.

Satz 8. Zu einer Kugel ist wieder eine Kugel invers.

Beide Kugeln haben das Inversionszentrum 0 zum Ahnlichkeits-punkt, und zwar bei hyperbolischer Inversion zum äußeren, bei elliptischer zum inneren.

Auch der Satz 5. gilt mit entsprechenden Änderungen im Raume.

9. Wenden wir jetzt die Inversion auf die Scheingeraden und Scheinebenen des Raumes R' der Artikel 1—4 an, indem wir den ausgeschlossenen Punkt 0 zum Zentrum einer beliebigen hyperbolischen oder elliptischen Inversion machen, so werden diese in Geraden und Ebenen des R verwandelt; dagegen geht die zu den Steinerschen Konstruktionen benutzte Hilfskugel in eine Kugel des R über und jenen „Scheinkonstruktionen“ entsprechen im R die gewöhnlichen Steinerschen Konstruktionen, wenn die Scheinzentra der Scheinkreise (und der Scheinkugel) zu den wirklichen Zentren der inversen Kreise (bezw. Kugel) invers sind. Damit ist nicht nur die Zulässigkeit dieser Konstruktionen zur Definition der Kongruenz bewiesen, sondern zugleich dargetan, daß die Scheingeometrie des R' nie zu logischen Widersprüchen führen kann, weil aus ihr vermöge der Inversion sofort sich Widersprüche der Euklidischen Geometrie ergeben würden, die, wie wir sehen werden, begrifflich vollkommen widerspruchsfrei begründet werden kann. Vorläufig kommt es uns nur darauf an, gezeigt zu haben, daß man eine im Wortlaut ihrer Lehrsätze mit der gewöhnlichen übereinstimmende Geometrie aufbauen kann, deren „Ebenen“ und „Geraden“ von den gewöhnlichen vollkommen verschieden sind.

§ 9. Das Kugelgebüsch.

1. Treffen die Strahlen eines Büschels 0 einen Kreis M in den Punktepaaren A, H'; R, RG, C'\ . . . (siehe Fig. 17 und 18), so ist nach dem Sehnensatze OA • OA' = OR • OR' = OC ■ OC' = • • -, gleichgültig, ob 0 außerhalb oder innerhalb des Kreises liegt. Im ersten Falle kann dieses konstante Produkt, die „Potenz des Kreises M im Punkte 0“, speziell durch das Quadrat der Tangente OT, im zweiten Falle durch das Quadrat der in 0 auf OM senkrechten halben Sehne OX bestimmt werden, oder auch, wenn OM den Kreis in R und R' trifft, im ersten Falle durch

OR • OR' = {OM — r) (0M+ r) = OM² - r²,

im zweiten durch

OR ■ OR' = (r fi- OM) (r - OM) = - (OM² - r²),

wenn M den Mittelpunkt und r den Radius des Kreises bezeichnet. Dieser Ausdruck der Potenz durch ± (OM² — r²) legt es nahe, der

ZOO i

„Potenz“ des Kreises im Punkte 0 das Plus- oder Minuszeichen zuzuschreiben, je nachdem 0 außerhalb oder innerhalb des Kreises liegt; man kann das auch dadurch begründen, daß im ersten Falle die von 0 ausgehenden Stücke jeder Sekante auf derselben Seite von 0 liegen, im zweiten aber ein Stück links, eines rechts von 0; gibt man diesen Stücken im ersten Falle gleiches Vorzeichen, so verdienen sie im zweiten ungleiches. Also ist die Potenz des Kreises M im Punkte 0

in Fig. 17 gleich + (OiK²-r²) = + OT², in Fig. 18 gleich + (OM²-r²) = - OX².

Diese Begriffsbildung überträgt sich unmittelbar auf die Kugel. Treffen die Strahlen eines Strahlenbündels 0 eine Kugel mit dem

C'

I)'/

—Ao-—

X'

B'l

XL

Oy

'€

Fig. 18.

Fig. 17.

Mittelpunkt M in den Punktepaaren A, A'; B, B'\ G, c'î • ■ •> so trifft die durch O AA' und O B Br bestimmte Ebene die Kugel in einem Kreise, für den OA • OA' == OB - OB' ist; ebenso ist in der Ebene der Strahlen OBB' und OCC' die Potenz des Schnittkreises in 0 gleich

OB - OB' = OC • OC, also OA - 0A'= OB • OB' = OC - OC' = • • •,

gültig für alle Strahlen durch 0; dieses konstante Produkt heißt „Potenz der Kugel in 0“ und wird mit positivem oder negativem Vorzeichen genommen, je nachdem 0 außerhalb oder innerhalb der Kugel liegt; wiederum ist die Potenz in beiden Fällen übereinstimmend gleich -f- (OM² — r²).

Aufgabe 1. Wo liegen alle Punkte, in denen ein Kreis dieselbe Potenz -f P² (oder — p³) bat?

Aufgabe 2. Alle Punkte zu konstruieren, in denen ein Kreis M, die Potenz + p,², ein anderer iüf₂ die Potenz dt p₂³ bat.

Aufgabe 3. Die vorigen Aufgaben auf die Kugel zu übertragen.

2. Haben zwei beliebig zueinander gelegene Kreise M,, M₂ (siebe Pig. 19) einer Ebene in einem Punkte P dieselbe Potenz:

PM,² - r,² = PM² - r²,

wo r„ r₂ die beiden Radien sind und die Yorzeicben entweder beiderseits positiv oder negativ gemeint sind, und ist Q der Fußpunkt des von P auf M,M₂ gefällten Lotes, so folgt durch Subtraktion von PQ² aus dieser Gleichung:

(PM,²- PQ²)~ r,² = (PJf₂²- PQ²) - r₂³,

QM,² - r,² = QM² - r₂².

Dann haben also beide Kreise auch in Q gleiche Potenz, und wenn man zur letzten Gleichung QS² addiert, wo S ein beliebiger Punkt von PQ ist,

(QM,²-F QS²) — r,² = (QM² + QS²) — r₂²,

SM,² - r,² = SM₂² - r₂²,

r,² = QM² - r²

so sieht man, daß auch in S beide Kreise gleiche Potenz haben. Nun gibt es aber nur einen Punkt Q auf der Zentrale, in dem die Gleichung

QM,²

oder

QM* - QM*- r* - r *

stattfindet, denn für QM, + QM₂ = M,M₂ == c hat man C\_QM, — (c— QM,J] = r,² — r₂²,

woraus sich für QM, der eine Wert

QM, = -

1 r,² —r₂²Fc2

ergibt. Daraus folgt:

Satz I. Die Punkte, in denen zwei Kreise derselben Ebene gleiche Potenz haben, erfüllen eine Gerade, die auf der Zentrale dieser Kreise senkrecht steht.

Die Potenz ist natürlich auf dieser Geraden, der „Potenzachse“ der beiden Kreise, von Punkt zu Punkt eine andere.

Wenn die Kreise sich schneiden, ist die gemeinschaftliche Sehne die Potenzachse (Sehnensatz). Um dann im Falle, daß die Kreise

sich nicht schneiden (s. Fig. 19), mindestens einen Punkt zu finden, in dem beide Kreise gleiche Potenz haben, nimmt man einen Kreis zu Hilfe, der M₁ und M₂ schneidet, und die zwei gemeinsamen Sehnen schneiden sich dann in einem Punkte der gewünschten Art: auf die-

* /Sr-

Fig. 19.

selbe Weise bestimmt man noch einen zweiten Punkt; die Yerbindungsgerade beider oder das Lot vom ersten auf die Zentrale ist dann die Potenzachse. Läßt man die Kreise um die gemeinschaftliche Zentrale rotieren, so erhält man zwei Kugeln, und es gilt der

Satz II. Die Punkte, in denen zwei Kugeln gleiche Potenz haben, erfüllen eine Ebene, die „Potenzebene“ der beiden Kugeln, die auf der Zentrale senkrecht steht und, wenn die Kugeln sich schneiden, ihren Schnittkreis enthält.

Aufgabe 4. Die Potenzebene zweier sich nicht schneidenden Kugeln Tclf ft₂ mit Hilfe zweier Kugeln zu konstruieren, die \ und Jc2 schneiden.

3. Wenn drei Kreise in einer Ebene liegen und ihre Mittelpunkte Mx, M₂, M₃ ein Dreieck bilden, so werden sich die Potenzachsen p₁₂, p₂₃, p3X dieser Kreise in dem nämlichen Punkte C, dem „Potenzzentrum“ der Kreise, schneiden müssen, denn im Schnittpunkte von p₁₂ und p₂₃ haben die drei Kreise gleiche Potenz, und durch diesen Punkt geht also auch die dritte Potenzachse p₃₁; liegen die Mittelpunkte Mx, M₂, Ms dagegen in gerader Linie, so sind die Geraden p₁₂, p₂₃, p3l entweder voneinander verschieden und dann parallel, oder sie fallen zusammen. Im ersten Falle spricht man von einem „uneigentlichen“ Potenzzentrum; der letzte Fall tritt ein, wenn zwei der drei Potenzachsen zusammenfallen. Dann ist nämlich ihr

Schnittpunkt mit der Zentrale ein Punkt gleicher Potenz aller drei Kreise, und solcher Punkte gibt es, wie wir gesehen haben, auf der Zentrale zweier Kreise nur einen.

Haben die drei Kreise Mlf M₂, M₃ ein uneigentlicbes Potenzzentrum C, so werden sie von der gemeinschaftlichen Zentrale zugleich orthogonal und diametral geschnitten, und es gibt außer diesen Geraden keinen Kreis, der M1} M₂, M₃ orthogonal oder diagonal schnitte, denn sein Zentrum wäre ein Punkt gleicher Potenz

hm

r,

der drei Kreise. Liegt C dagegen im Endlichen, und ist die gemeinsame Potenz gleich ±r², so wird der Kreis um C mit dem Radius r von

den drei Kreisen Mx, M₂, M₃ rechtwinke-lig (siehe Fig. 20) oder diametral (siehe Fig. 21) geschnitten, je nachdem die Potenz positiv oder negativ ist.

\<

m₂

Fip. 20.

Analoge Sätze gelten für drei Kugeln: Wenn ihre Potenzebenen jr₁₂ und ^2 3 sich in einer Geraden schneiden, so haben die drei Kugeln in jedem Punkte der Schnittgeraden gleiche Potenz; folglich muß auch die dritte Potenzebene ?r3)1 durch diese Gerade gehen:

Satz III. Schneiden sich zwei der drei der Potenzebenen dreier Kugeln in einer Geraden a12 3, so liegt diese auch in der dritten Potenzebene und heißt „Potenzachse“ der drei Kugeln.

Satz IV. Wenn vier Kugeln zu je dreien eine Potenzachse bestimmen, so schneiden sich diese vier Potenzachsen in einem Punkte, dem „Potenzzentrum“ der vier Kugeln,

denn je zwei dieser Achsen liegen in einer Ebene und müssen sich

daher schneiden.

Satz V. Das Potenzzentrum C ist Mittelpunkt einer Kugel Je, welche von den gegebenen orthogonal oder diametral geschnitten wird, je nachdem die gemeinsame Potenz positiv oder negativ ist. Kur wenn C im Unendlichen liegt, und Je in-folgedessen in eine Ebene ausartet, ist das Schneiden orthogonal und diametral zugleich.

Außerdem ist noch der Grenzfall zu erwähnen, daß die Potenz null ist, also die Kugeln durch C gehen; die gemeinsame Orthogonalkugel oder Diametralkugel artet dann in eine „Punktkugel“, d. ln in den Punkt C aus. Es wird wohl nicht nötig sein, die Besonderheiten aufzuzählen, die dadurch entstehen können, daß man eine

M,

i 1/

... o 3

r,

-oM₂

Fig. 21.

oder mehrere der gegebenen Kugeln unbegrenzt abnehmen oder zunehmen läßt. Wir wollen noch einige Aufgaben folgen lassen. Zuvor aber eine allgemeine Bemerkung: Während der Aufbau der gewöhnlichen Elementargeometrie mit seiner dogmatischen Darstellungsweise den Eindruck des Schwerfälligen macht, und die einzelnen Lehrsätze für sich isoliert und als überraschende Merkwürdigkeiten erscheinen, läßt uns die Kugelgeometrie einen ersten Einblick gewinnen in die reiche Fülle der neueren Geometrie, deren Tatsachen ungezwungen aus wenigen, aber fruchtbaren Begriffsbildungen und Hauptsätzen entspringen und sich dem Aufmerksamen ungesucht darbieten.

Aufgabe 5. Wo liegen die Punkte, von denen an zwei gegebene Kugeln gleiche Tangenten gehen?

Aufgabe 6. Die Punkte zu bestimmen, in denen drei gegebene Kugeln Jc₂, Jcs die Potenzen P1? P₂, P₃ haben. (Pi = + df, i = 1, 2, 3.)

Aufgabe 7. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln yon gegebenem Radius, die eine gegebene Kugel h unter gegebenem Winkel schneiden?

Aufgabe 8. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln, die zwei Ebenen unter gegebenen Winkeln schneiden?

Aufgabe 9. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln, die zwei sich schneidende Kugeln unter gegebenen Winkeln schneiden?

4. Unter einem „Kreisbüschel“ versteht man die Gesamtheit der Kreise einer Ebene, welche dieselbe Potenzachse haben. Treffen sich zwei Kreise eines Büschels in einem Punkte, so ist in ihm die Potenz null, er liegt auf der Potenzachse und alle Kreise des Büschels müssen durch ihn gehen, weil die Kreise des Büschels in jedem Punkte der Potenzachse gleiche Potenz haben. Je nach der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte unterscheidet man:

1.    Hyperbolische Kreisbüschel, deren Kreise keinen Punkt gemein haben,

einen „ zwei Punkte

2.    parabolische

3.    elliptische

Die Kreise eines parabolischen Büschels berühren einander und die Potenzachse a in demselben Punkte A; ihre Mittelpunkte liegen

J,

At

a'

auf einer Geraden a, die in A auf a senkrecht steht (siehe Fig. 22). Die Kreise des zu diesem Büschel „orthogonalen“ Büschels, deren Centra auf a liegen und die a als Potenzachse in A berühren, schneiden die Kreise des ersten Büschels recht-

winkelig.

Pig. 22.

Das elliptische Büschel (siehe Fig. 23) ist ebenfalls leicht zu konstruieren: seine

Kreise gehen durch zwei feste Punkte Ax, A₂, die „Grundpunkte“, ihre Mittelpunkte liegen also auf dem Mittellote a von AXA₂. Der größte Kreis dieses Büschels ist, wie beim parabolischen, die durch Ax, A2 gehende Potenzachse a, der kleinste hat AXA₂ zum Durchmesser,

wird also von allen anderen Kreisen des Büschels diametral geschnitten. Wiederum haben alle Kreise des Büschels in jedem Punkte der Potenzachse a gleiche Potenz. Für die Punkte P von a, die außerhalb der Strecke AXA₂ liegen, ist diese Potenz p² positiv, so daß man von P an alle Kreise des Büschels Tangenten von gleicher Länge p legen kann. Der Kreis um P mit dem Radius p schneidet also alle Kreise

a'

a'

des Büschels orthogonal.

Sind Mx, M₂ die Mittelpunkte zweier Kreise des gegebenen Büschels (siehe Fig. 24), rX7 r₂ ihre Radien, so hat der Kreis um P in Mx die Potenz rX7 in M₂ die Potenz r₂. Ein zweiter Kreis Q, von dem wir nur voraussetzen, daß er die Kreise MX7 M₂ orthogonal schneidet, hat dann ebenfalls in Mx und M₂ die Potenzen rx und r₂². Also ist die durch Mx, M2 gehende Grei*ade a die Potenzachse aller

Fig. 23.

~7r-

X a\

ri

Kreise, die die Kreise des gegebenen Büschels recht winkelig schneiden, und da a selber zum Büschel gehört, so liegen die Mittelpunkte der rechtwinkelig schneidenden Kreise auf a7 diese bilden ebenfalls ein Büschel, das zu

a'

a'

7W*

Fig. 24.

ft

Dieses

dem ersten „orthogonal“ heißt und a zur Potenzachse hat. zweite Büschel ist ein hyperbolisches. Denn bezeichnet 0 den Mittelpunkt von AXA₂₇ so ist, da das erste Büschel als elliptisch vorausgesetzt wurde,

PK² = p² + rL² =Mx0²+P O²,

Weber u. Wellatein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

woraus, da Mt 0 < rt ist, p < PO folgt, d. h. der Kreis um P trifft a nicht, und da «' als Grenzkreis dem zweiten Büschel angehört, so treffen sich die Kreise dieses Büschels nicht. Die Beziehung zwischen beiden Büscheln ist eine wechselseitige, denn umgekehrt werden die Kreise des zweiten von jedem Kreise des ersten orthogonal geschnitten, und wenn man von einem hyperbolischen Büschel ausgeht und die vorangegangene Betrachtung darauf überträgt, erhält man ein elliptisches Büschel, das zu ihm „orthogonal“ ist. Da in jedem Kreise eines hyperbolischen Büschels noch kleinere Kreise des Büschels liegen, so müssen die Kreise des Büschels in zwei Stellen symmetrisch zu seiner

CL

J-.

c/i

■)CP

a'

a'

'e

a-

Vig. 25.

Potenzachse sich immer mehr je einem Punkte nähern; es sind das die „Grundpunkte“ des orthogonalen elliptischen Büschels. Sie heißen die „Punktkreise“ des hyperbolischen Büschels. Das elliptische Büschel hat keinen Punktkreis, das parabolische einen, das hyperbolische zwei. (Siehe auch Fig. 25.)

Bei der Ableitung des zu einem elliptischen Büschel orthogonalen hyperbolischen Büschels gingen wir von einem Punkte P außerhalb der Verbindungsstrecke der Grundpunkte aus. Es liegt nahe, P innerhalb dieser Strecke anzunehmen (siehe Fig. 25). Die gemeinsame Potenz der Kreise des Büschels in P ist dann negativ, etwa gleich —p², und der Kreis (P) um P mit dem Radius p wird dann von den Kreisen des Büschels diametral geschnitten. Durchläuft P die Strecke A₁A₂, so nimmt der Kreis (P) andere Lage und Größe an, dabei aber immer eine Ellipse s von innen berührend, die A1} A₂ zu Brennpunkten und eine kleine Achse von der Länge A₁A₂ hat. Wir werden yon dieser Tatsache keinen weiteren Gebrauch machen, weshalb diese Andeutung genügen mag.

Qj

\(L

tp

YA

5. Die Gesamtheit der Kreise einer Ebene, welche in einem Punkte 0 dieselbe Potenz haben, nennt man ein „Kreisbündel“. Da alle durch einen Punkt gehenden Kreise der Ebene in diesem die gleiche Potenz Null haben, so bilden sie einen Grenzfall eines Bündels, das „parabolische“ Kreisbündel. Hyperbolisch oder elliptisch heißt das Bündel, je nachdem die Potenz positiv oder negativ ist. Ist -f- p2 die Potenz im hyperbolischen Bündel, so werden alle Kreise des Bündels von dem Kreise x, der 0 zum Zentrum und p zum Radius hat, orthogonal geschnitten. Das Bündel kann dann auch definiert werden als Gesamtheit der Kreise, die x orthogonal schneiden. Damit ist zugleich die Konstruktion seiner Kreise gegeben (siehe Fig. 26): Man legt an Kreis x in irgend einem seiner Punkte A die Tangente und schlägt um einen ü Punkt C dieser Tangente den Kreis, der durch A / geht; dieser Kreis hat in ,/

0 die Potenz -f- p², gehört 1 also zum Bündel. Zum \

Fig. 26.

Bündel gehört ferner jedes Büschel, das je zwei Kreise des Bündels bestimmen.

Die Punktkreise aller hyperbolischen Büschel liegen auf %; die zwei Grundpunkte aller elliptischen Büschel im Bündel bilden inverse Punktepaare mit 0 als Zentrum und p² als Potenz der Inversion. Umgekehrt gehören alle durch ein paar inverse Punkte dieser Inversion gehenden Kreise zum Bündel. Überhaupt trifft jede durch 0 gehende Gerade jeden Kreis des Bündels, den sie schneidet, in zwei inversen Punkten, „einem Punktepaar des Bündels“. Durch zwei nicht zueinander inverse Punkte der Ebene geht daher immer nur ein Kreis des Bündels, den man dadurch festlegen kann, daß man zu einem dieser Punkte den inversen bestimmt. Das Bündel ist in dieser Inversion zu sich selbst invers.

Aufgabe 10. Den gemeinsamen Kreis zweier Büschel des Bündels zu konstruieren.

Aufgabe 11. Ein elliptisches Kreisbüschel durch Inversion in

ein Strahlenbüschel zu verwandeln. Was wird dabei aus dem orthogonalen Büschel?

Das elliptische Bündel ist einförmiger als das hyperbolische. Da alle seine Kreise im gemeinsamen Potenzzentrum 0 dieselbe negative Potenz —p² haben, so schneiden sie alle denselben Kreis Je, der 0 zum Mittelpunkt und p zum Radius hat, diametral. Während der Orthogonalkreis x des hyperboli-\ sehen Bündels nicht zu dem I Bündel gehört, weil er in 0 ja ; negative Potenz hat, ist der j „Diametralkreis" Je des elliptischen Bündels in diesem enthalten. Wiederum gehört das Büschel, das von zwei Kreisen des Bündels bestimmt wird, dem Bündel an; da aber alle Kreise des Bündels den Punkt

Ti

7t

Qz

Ql

Fig. 27.

0 einschließen, so müssen sie sich paarweise in zwei Punkten schneiden: die im Bündel enthaltenen Büschel sind daher ausnahmslos elliptisch (siehe Fig. 27 und 28; in Fig. 28 liegen die Grund-punkte des elliptischen Büschels auf dem Diametralkreis), ihre Grundpunkte natürlich wieder invers bezüglich 0 als Zentrum und — p² als Potenz. Überhaupt wird

O*

wie

beim hyperbolischen Bündel, jeder Kreis des Bündels von jeder durch 0 gehenden Geraden in zwei inversen Punk-

V}

Fig. 28.

ten dieser Inversion, einem „Punktepaare des Bündels", getroffen.

Aufgabe 12. Den gemeinsamen Kreis zweier Büschel des Bündels zu konstruieren.

Aufgabe 13. Durch zwei Punkte, die nicht zueinander invers sind, geht immer ein Kreis des Bündels. Man soll ihn konstruieren.

Sind zwei Bündel mit gleichen oder verschiedenen Potenzzentren 0lf 0₂ gegeben, und Pt, P₂ in diesen Bündeln zu einem gegebenen

Punkte P invers, so gekört der Kreis n durch PPtP₂ zu beiden Bündeln. Ist r ein zweiter Kreis dieser Art, so ist 0X0₂ gemeinsame Potenzachse beider Kreise, und das von ihnen bestimmte Büschel gehört zu beiden Bündeln. Fällt Ot mit 0₂ zusammen, so artet dieses Büschel aus in die Gesamtheit der durch Ox gehenden Geraden. Fassen wir dieses Strahlenbüschel als Grenzfall eines elliptischen Kreisbüschels auf, in das es ja durch Inversion verwandelt werden kann, so haben wir den Satz: Die gemeinsamen Kreise zweier Kreisbündel bilden ein Kreisbüschel.

6. Es bleibt noch übrig, diese Resultate auf die Kugel zu übertragen. Läßt man zunächst ein Kreisbüschel um seine Zentrale rotieren, so entsteht das „Kugelbüschel“, die Gesamtheit aller Kugeln mit derselben Potenzebene. Wenn die zu einem Bündel gehörigen Kreise — wozu der etwa vorhandene Orthogonalkreis nicht gehört — je um ihren Mittelpunkt rotieren, beschreiben sie Kugeln, die zusammen ein „Kugelbündel“ bilden, d. h. die Gesamtheit der Kugeln, welche dieselbe Potenzachse haben ; diese steht senkrecht auf der Ebene des erzeugenden Kreisbündels im Potenzzentrum. Während also die Mittelpunkte der Kugeln eines Kugelbüschels eine Gerade erfüllen, liegen die Mittelpunkte der Kugeln eines Kugelbündels in einer Ebene, und die Kugeln des Bündels gehen entweder sämtlich durch zwei Punkte, deren Verbindungslinie dann die Potenzachse ist, oder nicht; im ersten Falle schneiden sie sämtlich einen gewissen Kreis diametral, der den Schnittpunkt S der Zentralebene mit der Potenzachse zum Mittelpunkt hat; im letzten Falle ist der Punkt S das Zentrum eines Kreises, der die Kugeln des Bündels orthogonal schneidet; sein Radius ist die Quadratwurzel aus der Potenz des Bündels in S.

Man sieht leicht, daß zu jedem Kugelbündel ein Kugelbüschel gehört, dessen Kugeln die des Bündels orthogonal schneiden, und umgekehrt.

Die Gesamtheit der Kugeln, die in einem Punkte 0 dieselbe Potenz haben, heißt ein „Kugelgebüsch“. Dann bilden speziell alle durch einen Punkt gehenden Kugeln ein Gebüsch, das wir bereits als das parabolische kennen gelernt haben. Seine Potenz ist Kuli. Die Gebüsche mit nicht verschwindender Potenz nennt man hyperbolisch oder elliptisch, je nachdem die Potenz positiv, = -f- p², oder negativ, = — p², ist. Die Kugel um das Potenzzentrum 0 als Mittelpunkt und mit p als Radius wird im hyperbolischen Gebüsch von allen Kugeln des Gebüsches orthogonal geschnitten, gehört aber nicht zum Gebüsch; im elliptischen Gebüsche dagegen wird jene Kugel diametral geschnitten und ist eine ausgezeichnete Kugel des Gebüsches, die bei Konstruktionen gute Dienste leistet. Eine Gerade durch 0 trifft jede

Ol

Kugel des Gebüsches, die sie schneidet, in zwei Punkten, die zueinander invers sind bezüglich 0 als Zentrum und der Potenz des Gebüsches als Inversionspotenz. Jede Kugel eines Gebüsches ist bei dieser „Inversion des Gebüsches“ zu sich selbst invers. Wenn zwei Kugeln eines Gebüsches sich schneiden, so ist der Schnittkreis, dessen Ebene natürlich durch 0 geht, zu sich selbst invers und heißt ein „Kreis des Gebüsches“, während zwei inverse Punkte kurz „ein Punktepaar“ des Gebüsches genannt werden. Jede Kugel und jeder Kreis durch ein Punktepaar des Gebüsches gehört zum Gebüsch. Durch zwei Punktepaare geht immer nur ein Kreis, durch drei Punktepaare, die nicht einem Kreise angehören, immer nur eine Kugel des Gebüsches. Bezüglich zweier Gebüsche (Ox), (0₂) kann man zu jedem Punkte P des Raumes zwei inverse Pt und P₂ konstruieren, und alle durch jene drei Punkte P, Pj, P₂ gehenden Kugeln, die also ein Büschel bilden, gehören beiden Gebüschen an und haben die Gerade Ox 0₂ zur Potenzachse; man erhält so unendlich viele den Gebüschen (OJ, (0₂) gemeinsame Büschel, die zusammen ein Bündel mit Ox 0₂ als Potenzachse bilden. Es ist unmöglich, auch nur annähernd die reiche Fülle von Sätzen zu erschöpfen, die sich hier mühelos aufstellen ließen, wir müssen deshalb auf Spezialwerke verweisen.⁶) Für unsere Untersuchung über die Grundlagen wird das Mitgeteilte ausreichen.

§ 10. Teilweise Verwirklichung der Euklidischen Geometrie im Kugelgebüsch. Die beiden Nichteuklidischen Geometrien.

1. Während die Versinnlichung der Euklidischen Geometrie im parabolischen Kugelgebüsche immer noch den Anschein erwecken konnte, als müßte der „Punkt“ stets etwas Unteilbares sein, haben wir jetzt die Mittel in der Hand, Geometrien aufzubauen, in denen der „Punkt“ bald als Kugel, bald als Kreis, bald als inverses Punktepaar eines hyperbolischen oder elliptischen Kugelgebüsches (0) erscheint.

A) Bezeichnet man als „Scheinpunkte“ die Kugeln des Gebüsches (0), als „Scheingeraden“ seine Büschel, als „Scheinebenen“ seine Bündel, so können wir von diesen „Scheingebilden“ sämtliche Sätze der Hilbertschen Axiomgruppe I aussagen, die wir in § 8 kennen gelernt haben. Insbesondere gilt der Satz:

Zwei Scheinpunkte bestimmen immer eine Scheingerade, und drei Scheinpunkte, die nicht einer Scheingeraden angehören, bestimmen eine Scheinebene.

Denn jene zwei Kugeln bestimmen ein Büschel, jene drei Kugeln ein Bündel, dessen Kugeln alle dem Gebüsche angehören. Es wäre nicht schwer, die Hilbertsche Satzgruppe II, die den Begriff „zwischen“ auseinandersetzt, in der Modifikation auf die „Punkte“ unserer Scheingeraden zu übertragen, die Pasch 1. c. § 1, 18. durch Einführung des Begriffes des „ausgeschlossenen“ Punktes erzielt; es handelt sich da um die Bedeutung der Aussage, daß zwei Punktepaare einer Geraden einander „trennen“ oder „nicht trennen“. Wir werden noch darauf zurückkommen.

B) Eine andere, der zeichnend-konstruktiven Behandlung mehr zugängliche Realisierung der Hilbertschen Satzgruppen I und II (diese mit der eben angedeuteten Modifikation) beruht darauf, daß man als „Scheinpunkte“, „Scheingeraden“ und „Scheinebenen“ die Kreise, Kreisbüschel und Kreisbündel einer Ebene rj bezeichnet. Durch Inversion kann man r\ in eine Kugel verwandeln und damit den „Scheinraum“ unserer Scheingeometrie auf eine Kugel verlegen. Zwei voneinander verschiedene Scheinpunkte bestimmen immer eine Scheingerade, drei nicht einer Scheingeraden angehörige Scheinpunkte immer eine Scheinebene. Es würde eine ebenso lehrreiche als nützliche Aufgabe sein, die Hilbertschen Sätze I und ihre Folgerungen durch Konstruktion zu verifizieren. Um auf die große Fruchtbarkeit der Durchführung derartiger Analogien wenigstens einigermaßen hinzuweisen, wollen wir das Analogon des Desarguesschen Satzes herleiten. Der Satz von Desargues setzt zwei Dreiecke Ax, Bx, Cx und A₂, B₂, C₂ in zwei sich schneidenden Ebenen rjx und rj₂ voraus, die zueinander in der speziellen Lagebeziehung stehen, daß die in der Bezeichnung sich entsprechenden Seiten A₁B₁ und A₂B₂, BXCX und B.₂C₂, CXAX und C₂A.2 sich in drei Punkten Z, X, Y der Schnittgeraden s von r]x, r]₂ treffen. Dann bestimmen diese drei Geradenpaare drei Ebenen, die sich in einem Punkte S treffen, so daß also die Punktepaare Ax und A₂, Bx und B₂, Cx und C₂ mit S je in einer Geraden liegen. Nimmt man jetzt in der Ebene i]x selber noch ein Dreieck Ax, Bx, Cx an, dessen drei Seiten je durch X, Y, Z gehen, so gehen ebenso die Strahlen AX'A₂, BxB₂, Cx'C₂ durch einen Punkt S'. Mithin enthalten die Ebenen AXAX'A₂, BXBXB₂, CXCXC₂ die Geraden AXA₂ und AXA₂, BxB₂ und BxB₂, CxC₂ und Cx C₂, also auch die Punkte S, S' and bilden daher ein Ebenenbüschel mit der Achse SSdieses trifft die Ebene rjx in den Strahlen AXAX, BXBX, CXCX, die durch den Punkt X gehen, in dem SS' die Ebene rjx trifft. Der Satz von Desargues lautet jetzt:

Wenn zwei Dreiecke Ax, Bx, Cx und A₂, B₂, C₂ in derselben oder in verschiedenen Ebenen so aufeinander bezogen sind, daß die homologen Seiten AXBX und A₂B₂, BXCX und B₂C₂, C₁A₁ und C₂A₂ sich in drei Punkten einer Geraden s treffen, so liegen die Ecken Ax und A₂, Bx und B₂, Cx und C₂ je in drei Strahlen durch denselben Punkt S.

¹

Vgl. die Fußnote S. 14.

²

Ygl. P. du Bois-Reymond, 1. c.

³

   Einen rein geometrischen Beweis gab Verfasser in Bd. 54 der Math. Ann.

⁴

   Das "Wort stammt von Leibniz, der damit in einem Briefe an Huygens (1679) vorahnend das bezeichnete, was wir jetzt Streckenrechnung (Quaternionen, Ausdehnungslehre) nennen ; statt Analysis situs sollte man lieber Zusammenhangslehre sagen. Vgl. Leibniz, Mathematische Schriften, herausgegeben von C. J. Gerhardt, 1, 19.

Weber u. Wellstein, Enzyklopädie. II. 2. Aufl.

⁵

Man nennt so die gewöhnliche Geometrie zum Unterschied von anderen Geometrien, die wir bald werden kennen lernen.

⁶

Am besten eignet man sich die Geometrie der Kugelgebüsche auf dem Wege der Konstruktion, also durch Lösung vieler Aufgaben an. Als geometrische Aufgabensammlung, die das Gebüsch gründlich behandelt, ist die von Milinowski, II. Teil, zu empfehlen. Eine elegante Einzeldarstellung der Kugelgeometrie mit elementaren Mitteln findet man in dem Buche „Synthetische Geometrie der Kugeln“ von Th. Reye, Leipzig 1879.

Dieser Satz gilt nun auch in den beiden Scheingeometrien A) und B). In die Sprache der gewöhnlichen Kreisgeometrie zurückübersetzt würde der Satz im Falle B) lauten:

Nimmt man in einer Ebene sechs Kreise Ax, Bx, Cx; A₂, B₂, C₂ an, von denen die drei ersten und ebenso die drei letzten keinem Büschel angehören; haben ferner die durch

Y,

Bx und Cx, B₂ und C₂ bestimmten Büschel einen Kreis X, Cx „ Ax, C₂

B,

A1 V Ą ? AS

gemeinsam, und gehören, falls die beiden von Ax, Bx, Cx und A₂, B₂, C₂ bestimmten Bündel miteinander identisch sind, die drei Kreise X, Y, Z demselben Büschel an, so haben die drei Büschel (Ax, A₂), (Bx, B₂), (Cx, C₂) einen Kreis S gemein.

Wenn die Bündel (Ax, Bx, Cx) und (A₂, B₂, C₂) voneinander verschieden sind, so sind X, Y, Z doch ebenfalls in einem Büschel enthalten. Der Satz läßt sich leicht umkehren. Wer mit der projektiven Geometrie vertraut ist, wird sehen, daß nun auch der Satz vom vollkommenen Yierseit in unserer Geometrie B) gilt und folglich der Begriff der „harmonischen“ Lage von vier Scheinpunkten einer Scheingeraden definiert ist; damit ist sofort der Begriff der projektiven Beziehung zweier Scheingeraden festgelegt, und man wird also das Analogon der Kurve zweiter Ordnung konstruieren können. Doch wollen wir die Kenntnis der projektiven Geometrie hier nicht voraussetzen und müssen daher auf die Ausbeutung dieser Tatsache verzichten.

geraden enthält. Denn die jenen zwei „Scheinpunkten“ entsprechenden zwei Punktepaare bestimmen einen Kreis, der schon durch drei dieser Punkte festgelegt ist und auch durch den vierten geht. Drei Scheinpunkte, d. h. sechs Punkte wären ebenfalls zur Bestimmung einer Kugel zu viel, wenn nicht eine Kugel, die durch vier dieser Punkte geht, auf Grund des Sehnensatzes auch durch die übrigen gehen müßte. Man sieht nun leicht, daß in unserer Scheingeometrie die Hilbertsche Axiomgruppe I gilt.

In dieser Scheingeometrie gibt es nur ein Bündel von Scheingeraden, das zugleich auch im gewöhnlichen Sinne ein Strahlenbündel ist, nämlich die Gesamtheit der Strahlen durch das Potenzzentrum 0. Da nun jede „wirkliche“ und damit zugleich „scheinbare“ Gerade durch 0 jeden Kreis und jede Kugel des Gebüsches, die sie trifft, in einem Paare inverser Punkte, also jede Scheingerade oder Scheinebene in einem Scheinpunkte schneidet, so gelten in der Scheinebene und auf der Scheingeraden alle die Aussagen über den Begriff „zwischen“, die auch im wirklichen Strahlenbündel zutreffend sind. Wie also z. B. von vier Strahlen a, b, c, d eines Bündels, die in einer Ebene liegen, immer nur zwei Strahlen die beiden übrigen trennen, etwa a, b und c, d, während die anderen Anordnungen zu je zwei Paaren sich nicht trennen, so gibt es unter vier Scheinpunkten einer Scheingeraden auch nur zwei Paare, die einander „trennen“, und zwei Anordnungen zu je zwei Paaren, die einander „nicht trennen“. Weitere Sätze dieser Art finden sich bei Pasch 1. c„ § 1, 18. Die Hilbertsche Axiomgruppe II gilt also in unserer Scheingeometrie mit der Modifikation, die wir auch in Artikel 1. angedeutet haben und im dritten Abschnitte genauer werden kennen lernen.

3. Um nun auch zum Parallelenaxiome Stellung zu nehmen, müssen wir die beiden Arten von Kugelgebüschen mit nicht verschwindender Potenz voneinander trennen. Im elliptischen Gebüsche schließen alle Kreise und Kugeln das Potenzzentrum ein, alle Kugeln, sowie alle Kreise auf derselben Kugel müssen sich schneiden. Auf den entsprechenden „elliptischen Raum“ übertragen heißt das: Je zwei Scheinebenen im elliptischen Raume haben eine Scheingerade, je zwei Scheingeraden auf derselben Scheinebene einen Scheinpunkt gemeinsam. In der elliptischen Geometrie gilt demnach das Parallelenaxiom nicht, zwei Geraden einer Ebene schneiden sich immer.

Im hyperbolischen Gebüsche gibt es dagegen beliebig viele Kugeln, die eine gegebene nicht treffen Man kann hier, ohne auf Widersprüche zu stoßen, die Sprechweise ausbilden, daß zwei sich nicht schneidende Kugeln einen „imaginären Schnittkreis“ gemein haben;

das (aus dem hyperbolischen Kreisbüschel durch Rotation um die Zentrale entstehende) hyperbolische Kugelbüschel kann dann aufgefaßt werden als Gesamtheit der Kugeln mit demselben imaginären Schnittkreise. Dieser „liegt“ in der Potenzebene des Büschels. Jede Gerade durch 0 in dieser Ebene „trifft“ den imaginären Kreis in zwei „zueinander inversen imaginären Punkten“. Diese ergeben zusammengenommen einen „idealen“ Scheinpunkt, dem imaginären Kreise entspricht die „ideale“ Gerade.

Zwei sich nicht schneidende Scheinebeneo haben also eine „ideale“ Schnittgerade: Es gibt dann Büschel und Bündel von Scheinebenen mit idealer gemeinsamer Schnittgerade bezw. mit einem idealen gemeinsamen Schnittpunkt. Das sind offenbar Analoga zu den „uneigentlichen“ Punkten und Geraden der natürlichen Geometrie.

Zwischen diesem Falle des Schneidens und dem des Mchtschneidens der Kugeln und Kreise des hyperbolischen Gebüsches liegt der der Berührung. Da ein Berührungspunkt zu sich selbst invers sein muß, so muß er auf der Orthogonalkugel co des Gebüsches liegen. Jeder Kreis des Gebüsches trifft a in zwei Punkten A, B. Ist P ein beliebiger Punkt und P' der dazu inverse, so werden die durch A, P, P' und B, P, P' gehenden Kreise den gegebenen Kreis in A und B je einmal berühren, wie denn überhaupt alle Kreise des Gebüsches, die durch denselben Punkt der Orthogonalkugel co gehen, einander in diesem Punkte

>c

berühren. Will man jetzt in unserer hyperbolischen Scheingeometrie etwas ähnliches haben wie Parallelismus, so wird man als „Raum“ dieser Geo-\ metrie denjenigen definieren müssen,

\ \s

y.

Fig. 29.

\ der aus dem gewöhnlichen Raume der K\ Kugelgeometrie entsteht, wenn man ! daraus die Fläche der Orthogonalkugel / co fortläßt. In dem verbleibenden / „hyperbolischen“ Raume gilt dann der i Satz, daß zu einer Scheingeraden AB durch einen Scheinpunkt P immer zwei Scheinparallelen gehen. Um das an einer Figur veranschaulichen zu können, wollen wir uns erinnern, daß die durch 0 gehenden Ebenen dem Gebüsche als Grenzkugeln angehören, also zugleich Scheinebenen genannt werden dürfen. In einer solchen speziellen Scheinebene wollen wir eine Scheingerade g annehmen und durch einen Punkt P die beiden „Parallelen“ PA und PB ziehen. Der Schnitt der Scheinebene mit der Orthogonalkugel heiße x. (Siehe Fig. 29.)

Die beiden Parallelen bilden in P vier Winkelfelder. Eines davon enthält die Scheingerade g und möge mit y bezeichnet werden; das ist dann der sogenannte Parallelenwinkel, der in der Geometrie von Bolyai und Lobatschefski eine Rolle spielt. In den beiden Feldern cp, cp der Nebenwinkel von y verlaufen diejenigen Schein-geraden, welche g in „idealen“ Punkten treffen, während im Felde des Parallelenwinkels y sich die wirklich schneidenden Scheingeraden befinden. Alles das zusammenfassend können wir also sagen:*In der hyperbolischen Geometrie gil-t das Parallelenaxiom ebenfalls nicht, vielmehr kann man durch einen gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden immer zwei Parallelen ziehen, und diese bestimmen zwei Scheitelwinkel cp, cp, so daß alle in diesen Winkeln verlaufenden Geraden mit der gegebenen keine realen Schnittpunkte gemein haben.¹)

4. Da haben wir nun zwei Geometrien, in denen allemal durch zwei Punkte nur eine Gerade, durch drei Punkte, die drei verschiedene Geraden bestimmen, nur eine Ebene geht, Geometrien, in denen überhaupt alle Sätze gelten, die sich über das Schneiden von Ebenen und Geraden aussagen lassen, die auch in der Euklidischen Geometrie gelten, mit alleiniger Ausnahme des Parallelenaxioms. Damit ist also einwandsfrei und vollkommen anschaulich der Beweis erbracht, daß die zweitausendjährigen Bemühungen, das Parallelenaxiom, oder, wie es richtiger heißen müßte, das fünfte Postulat Euklids, aus den übrigen Voraussetzungen abzuleiten, notwendig scheitern mußten: Das Parallelenaxiom ist keine logische Folge der übrigen Grundsätze der Geometrie. Wir können sogar sagen: Wenn jemals die beiden Geometrien, die das Parallelenaxiom leugnen, auf logische Widersprüche stoßen könnten, so müßte auch die Euklidische Geometrie Widersprüche enthalten, denn man brauchte diese Widersprüche der Nichteuklidischen Geometrie nur aus der Sprache der „Scheingeometrie“ im Kugelgebüsche zu übersetzen in die Sprache der gewöhnlichen, der Euklidischen Geometrie angehörenden Kugelgeometrie und hätte dann Widersprüche in der Kugelgeometrie. Daß aber die Euklidische Geometrie auf vollkommen widerspruchslosen Voraussetzungen beruht, werden wir in einem der folgenden Paragraphen zeigen können. Das kann natürlich nur von einer idealisierten Geometrie gelten.

Aus der Unabhängigkeit des Parallelenaxioms einerseits und der Unzulässigkeit des Parallelenbegriffes in der natürlichen Geometrie

er-

andererseits folgt, daß die natürliche Geometrie niemals zn einer Scheidung der drei möglichen Annahmen bezüglich des Parallelismus wird gelangen können. Tatsächlich muß denn auch Pasch in seinen öfters erwähnten „Vorlesungen“ diese Frage offen lassen; in dem engen Bereiche, in dem sich die Geraden und Ebenen unserer Erfahrung befinden, kann man alle Tatsachen der natürlichen Geometrie gleich gut beschreiben, mag es zu einer Geraden durch einen Punkt keine Parallele geben, oder eine oder zwei. Ja, wir können noch einen Schritt weiter gehen und sagen: Es wird empirisch nie möglich sein, za entscheiden, ob das, was man Ebenen und Geraden nennt, „wirkliche“ Ebenen und Geraden sind, oder Scheinebenen und Scheingeraden in einem Kugelgebüsche von ungeheuer großer Potenz; wäre etwa die Sonne das Potenzzentrum und die Orthogonalkugel bezw. Diametralkugel so groß, daß sie sämtliche Planeten einschlösse, so wären die Scheinebenen und Scheingeraden, d. h. die Kugeln und Kreise des Gebüsches, in dem uns von der Erde aus zugänglichen Teile des Raumes von Ebenen und Geraden der natürlichen Geometrie nicht zu unterscheiden. Denkt man sich an einen solchen Kreis eine Tangente gezogen, so würde diese 11 km vom Berührungspunkte entfernt sich erst um yiooo mm von dem Kreise abheben. Ein Unterschied zwischen beiden Linien würde also nur dem Begriffe nach bestehen und könnte empirisch nicht nachgewiesen werden. — Es ließen sich noch zahllose andere Versinnlichungen der drei nur hinsichtlich der Parallelenfrage sich unterscheidenden Geometrien angeben, die im Bereiche des empirisch Zugänglichen vollkommen mit der natürlichen Geometrie übereinstimmten, doch reichen dazu unsere elementaren Mittel nicht aus.

Wir müssen jenen drei Geometrien nun noch die ihnen zukommenden Namen geben: Die Geometrie mit dem Parallelenaxiom heißt Euklidische oder parabolische Geometrie. Wir haben daher das Kugelbündel mit der Potenz null, das diese Geometrie vollkommen realisiert, als parabolisch bezeichnet. Die beiden anderen Geometrien heißen xar    Nichteuklidische. Eigentlich müßte man ja jede Geo

metrie so nennen, die mit der Euklidischen nicht in allen Voraussetzungen übereinstimmt. Diejenige Nichteuklidische Geometrie, in welcher überhaupt kein Parallelismus vorkommt und die durch das elliptische Kugelgebüsch illustriert wird, heißt elliptische Geometrie, die andere hyperbolische. Sie wird im hyperbolischen Gebüsche verwirklicht. Bolyai und Lobatschefski fanden die hyperbolische Geometrie, die elliptische wurde viel später von Riemann entdeckt. Der charakteristische Unterschied dieser drei Geometrien läßt sich auch so aussprechen:

In der parabolischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte, in der hyperbolischen kleiner, in der elliptischen größer, aber beidemal keine Konstante. Um das auch in den beiden Kugelgebüschen in Evidenz zu bringen, messen wir die Winkel zwischen Scheingeraden, d. h. die Winkel zweier Kreise in einem ihrer Schnittpunkte durch die Winkel der entsprechenden Tangenten; jedoch betrachten wir abweichend von § 8, 7. in einem Dreieck ABC als Winkel A dasjenige der vier Winkelfelder mit dem Scheitel A, in dem die Strecke BC liegt. Nimmt man jetzt im hyperbolischen Gebüsche, um bequem darstellen zu können, eine Scheinebene, die durch das Potenzzentram geht, und ist co ihr Schnitt mit der Orthogonalkugel (siehe Fig. 30), so ist jedes Dreieck, dessen drei Ecken A, B, C auf co liegen, dadurch ausgezeichnet, daß die betreffenden Kreise des Gebüsches sich in A, B, C berühren, daß also die drei Scheingeraden in A, B, C drei Winkel gleich Null bilden. Die Winkelsumme eines solchen Dreiecks ist also Null; seine Seiten sind nach der oben getroffenen Festsetzung paarweise zueinander parallel. Daß in anderen Dreiecken dieser Geometrie die Winkelsumme kleiner als 2R ist, läßt sich ohne umständliche trigonometrische Rechnungen nicht unmittelbar verifizieren. Die Möglichkeit von Dreiecken mit verschwindenden Winkeln war schon den Entdeckern der hyperbolischen Geometrie bekannt und wurde von ihren Gegnern als anschauungswidrig bekämpft.

co

O).

xo

Fig. 30

Die von

Denkt man aber, wie oben angedeutet wurde, die Orthogonalkugel so groß, daß sie die sämtlichen Planeten einschließt, so könnten in den uns zugänglichen Scheinebenen von derartigen Dreiecken im übersehbaren Bereiche nicht zugleich Stücke aller drei Seiten Vorkommen; ein Widerspruch gegen die Anschauung wäre also nicht möglich. Der Mangel an einer leicht verständlichen Versinnlichung hat den Nichteuklidischen Geometrien sehr geschadet.

Beltrami 1868 angegebene Realisierung der hyperbolischen Geometrie auf Flächen von konstanter negativer Krümmung ist nicht elementar genug und nicht ohne höhere Mathematik zu verifizieren. Die elliptische Geometrie der Ebene hat Riemann auf der Kugel verwirklicht gefunden, wobei die zwei Endpunkte jedes Durchmessers als derselbe „Punkt“ gelten. Indem man aber nicht scharf genug hervorhob, daß der „Punkt“ dieser Versinnlichung aus zwei gewöhnlichen Punkten besteht, sind Mißverständnisse und Unklarheiten entstanden, die zu dem Zweifel führten, ob die Riemannsche ebene

Geometrie nicht mit der gewöhnlichen Geometrie auf der Kugel identisch ist. In der richtig aufgefaßten Realisierung der elliptischen „Ebene“ auf einer Kugel wird man mühelos unsere Scheinebene im elliptischen Kugelgebüsche wiedererkennen: die Riemannsche Kugel

ist die Diametralkugel des Gebüsches; die Endpunkte jedes Durchmessers sind invers, konstituieren also in der Tat einen Scheinpunkt. Es wäre aber nicht notwendig gewesen, gerade den Endpunkten des Durchmessers diese Ausnahmestellung Als Scheinpunkt konnte man jedes Paar Endpunkte der Sehnen definieren, die durch denselben Punkt 0 im Innern der Kugel gehen. Nimmt man 0 außerhalb der Kugel an, so hat man die hyperbolische Ebene.

Schließlich wollen wir, da es nur mit umständlichen Rechnungen bewiesen werden könnte, wenigstens an einer Figur (siehe Fig. 31) veranschaulichen, daß in der elliptischen Geometrie die Winkelsumme im Dreieck größer als zwei Rechte ist. Als Scheinebene dient das Zeichenblatt, das durch das Potenzzentrum 0 gelegt ist; k ist der Schnitt der Diametralkugel. Das gezeichnete Dreieck hat ersichtlich drei stumpfe Winkel.²) .

cc

Ji

zuzuweisen.

fc

Fig. 31.

§ 11. Metrik der beiden Nichteuklidischen Geometrien.

1. Wie wir gesehen haben, stimmt die Geometrie des Kugelgebüsches von nicht verschwindender Potenz mit der Euklidischen vollkommen überein in den Hilbertschen Axiomen I, und mit einer gewissen, im dritten Abschnitt zu besprechenden (projektiven) Modifikation auch in der Axiomgruppe II. Um nun den Beweis zu vervollständigen, daß die Geometrie der Gebüsche nur im Parallelenaxiom und seinen logischen Folgen von der Euklidischen abweicht, haben wir noch die Gültigkeit der Hilbertschen Axiome III und Y zu verifizieren. Es sind das im wesentlichen die Kongruenzaxiome, auf die sich die Lehre von den Maßeigenschaften der Raumgebilde,

die „Metrik" gründet. Erst Nichteuklidischen Geometrien mit der Euklidischen in diesem Umfange sicher ist, sind sie charakterisiert durch den Satz von der Winkelsumme. Läßt man dagegen in . der Euklidischen Geometrie etwa das Archimedische Axiom (Hilbert, 1. c. § 8, Y) fallen, so kann man eine Geometrie aufbauen, in der die Winkelsumme jedes Dreiecks zwei Rechte beträgt, ohne daß der Parallelensatz gilt.³) Wir wollen nun nicht etwa die Kongruenzsätze vom Standpunkte der beiden Nichteuklidischen Geometrien aus den Kongruenzaxiomen ableiten, denn die Hilbertschen Beweise dieser Sätze sind so eingerichtet, daß sie das Parallelenaxiom nicht benutzen, also ohne weiteres für die parabolische, hyperbolische und elliptische Geometrie gelten. Überhaupt besteht der Reiz, den die ungewöhnlichen Realisierungen einer Geometrie gewähren, nicht darin, daß man sie mit den Augen der betreffenden Geometrie ansieht, sondern daß man sie vom Standpunkte einer anderen Geometrie aus betrachtet. Als hyperbolische Geometrie unterscheidet sich z. B. die Geometrie des hyperbolischen Kugelgebüsches in keinem Satze von einer anderen Realisierung der hyperbolischen Geometrie; ihre Sätze aber erlangen sofort das größte Interesse, wenn man sie in die Sprache der Euklidischen Geometrie zurückübersetzt. Man vergleiche den Satz von Desargues mit seiner seltsamen Übersetzung in § 10, 1. Umgekehrt kann es auch unter Umständen von Nutzen sein, ein System geometrischer Gebilde vom Standpunkte einer Nichteuklidischen Geometrie aus zu studieren. So hat man z. B. in einem von der Geometrie anscheinend ganz fern abgelegenen Gebiete der modernen Funktionentheorie, in der Theorie der automorphen Funktionen, Veranlassung, gewisse Kreisbogenpolygone der komplexen Zahlenebene zu untersuchen, deren Seiten einen gewissen Kreis Tz orthogonal schneiden; die Inversionen dieser Polygone bezüglich seiner Seiten als Inversionskreise werden Spiegelungen genannt. Die Polygonseiten gehören offenbar dem Kreisbündel an, dessen Orthogonalkreis Ti ist. Die kleinste durch Ti gehende Kugel 0 ist dann Orthogonalkugel eines hyperbolischen Kugelgebüsches, dem auch die Zahlenebene mit ihrem Kreisbündel angehört. Die Kreisbogenpolygone erscheinen daher als geradlinige Polygone, wenn man sie vom Standpunkte der durch das Gebüsch 0 verwirklichten hyperbolischen Geometrie betrachtet, und was besonders schön ist, die sogenannte Spiegelung der Ebene an einer Seite eines Polygons wird dann, wie wir alsbald zeigen werden, zu einer wirklichen Spiegelung, das

die Übereinstimmung unserer beiden

wenn

heißt zu einer axialsymmetrischen Abbildung der Ebene auf sich selbst. Hier lohnt es sich also in der Tat, den Standpunkt der Euklidischen Raumanschauung gegen den der hyperbolischen einzutauschen, die in diesem Falle den einfachsten, zutreffendsten Ausdruck gestattet.

2. Über die Inversion im Kugelgebüsche gilt der folgende, grundlegende Satz:

I. Ein Kugelgebüsch geht durch hyperbolische Inversion an irgend einer seiner Kugeln in sich selbst über.

Das hyperbolische Gebüsch besteht nämlich aus allen Kugeln, die eine Kugel Ti rechtwinkelig schneiden. Ist nun X eine Kugel des Gebüsches, so hat Tc im Mittelpunkt L von X die Potenz -f- Z², wenn l der Radius von X ist, also schneidet jede Gerade durch L, die Ti trifft, diese Kugel in zwei Punkten A, A', so daß LA • LA'= Z² ist, d. h. durch die hyperbolische Inversion, die die Kugel X vermittelt, geht Ti in sich selbst über. Da aber durch Inversion der Schnittwinkel zweier Kugeln nicht geändert wird, so gehen die Kugeln, die Ti orthogonal schneiden, wieder in Kugeln dieser Art über. Es folgt: Durch die Inversion an X werden die Kugeln des Gebüsches nur miteinander vertauscht, das Gebüsch als Ganzes geht in sich selbst über.

Ist x in einem elliptischen Gebüsche die Kugel, bezüglich der eine hyperbolische — nicht elliptische — Inversion ausgeführt werden soll, so hat man nur zu beachten, daß x jede Kugel X des Gebüsches schneidet; der Schnittkreis heiße y. Dieser geht dann durch die Inversion an x Punkt für Punkt in sich selber über, und der Kugel X entspricht eine durch y gehende Kugel X', die als Kugel durch einen Kreis y des Gebüsches dem Gebüsche angehört, w. z. b. w. Auf den einfachen Fall des parabolischen Gebüsches brauchen wir wohl nicht einzugehen. Damit ist denn unser Satz vollständig bewiesen, und es gilt nun, ihn in die Sprache der betreffenden Nichteuklidischen Geometrie zu übersetzen. Er lautet dann:

II. Die hyperbolische Inversion eines Kugelgebüsches bezüglich einer seiner Kugeln x erscheint vom Standpunkte der betreffenden Nichteuklidischen Geometrie aus als Spiegelung an der Scheinebene x.

Jedenfalls ist nämlich die hyperbolische Inversion an x vom Standpunkte dieser Scheingeometrie aus eine Kollineation, d. h. eine stetige Abbildung des Raumes auf sich, die jedem Scheinpunkte P einen Scheinpunkt P' so zu weist, daß, wenn P eine Ebene durchläuft, auch P' sich in einer im allgemeinen davon verschiedenen Ebene bewegt, und umgekehrt. Wenn also P eine Gerade (als Schnitt zweier

Ebenen) beschreibt, beschreibt auch P' eine Gerade. Diese Kollineation hat aber folgende spezielle Eigenschaften:

a)    Die Punkte der Scheinebene x, und nur diese, entsprechen je sich selbst.

b)    Die Scheingeraden, die auf x senkrecht stehen, gehen — als zur Kugel x normale Kreise — in sich selbst über, in der Weise, daß jedem Punkt P einer solchen Geraden g ein Punkt P' derselben Geraden g entspricht, der nur dann mit P zusammenfällt, wenn P zugleich in x liegt.

Eine derartige Kollineation wird aber zur Spiegelung an der Scheinebene x, wenn sie zugleich winkeltreu ist, und das ist bei der Inversion ja in der Tat der Fall.

Spiegelung an ineinander über.

3. Mit der räumlichen Symmetrie ist durch diesen Satz auch die axiale Symmetrie in einer Ebene gegeben. Aus der ebenen Symmetrie ergeben sich dann rückwärts in bekannter Weise die Kongruenzsätze. Das Beweisverfahren beruht im wesentlichen darauf, daß zwei in derselben Ebene gelegene kongruente Dreiecke immer durch höchstens drei Spiegelungen ineinander übergeführt werden können, und zwar durch eine ungerade Zahl von Spiegelungen, wenn sie ungleichwendig, durch zwei Spiegelungen, wenn sie gleichwendig kongruent sind. Wenn nämlich die Dreiecke ungleich wendig (spiegelbildlich) kongruent sind, aber nicht schon symmetrisch liegen, so mache man sie durch Spiegelung des einen an irgend einer Geraden der Ebene erst gleichwendig kongruent. Um zwei gleichwendig kongruente Dreiecke ABC, A'B'C' durch Spiegelung ineinander überzuführen, spiegele man A'B'C' erst an dem Mittellote von AA' •— falls nicht schon A' mit A zusammenfällt. Sicher hat dann das Spiegelbild AB”C" mit ABC die Ecke A gemeinsam. Die Dreiecke ABC und AB"C" sind jetzt gegenwendig kongruent und gehen also durch der Halbierungslinie des Winkels BAB'" (oder CAC")

Wenn in einer Geometrie, wie in unserem Beispiele, die Spiegelung direkt gegeben ist, kann man, wie diese Betrachtung zeigt, beim Ab tragen von Strecken und Winkeln den Zirkel ganz entbehren. Man darf vom Standpunkt der beiden Nichteuklidischen Geometrien im Kugelgebüsche aber nicht etwa sagen, weil alle Scheingeraden Kreise sind, die Planimetrie dieser Geometrie komme allein mit dem Zirkel ohne Lineal aus, denn der Zirkel der Euklidischen Geometrie ist vom Standpunkte der beiden Nichteuklidischen Geometrien kein Zirkel. Nicht minder wichtig wie der Zirkel wäre übrigens für beide Geometrien ein Inversor, d. h. ein Instrument, das — vom Standpunkt der Euklidischen Geometrie aus gesprochen — bei gegebenem In-

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

versionszentrum und Inversionsradius zu jedem Punkte den inversen unmittelbar angibt. Der bekannteste Inversor ist der von Peau-cellier⁴), der erste Gelenkmechanismus, der durch Verwandlung einer Kreisbewegung in eine geradlinige das Problem der Geradeführung löste. Er besteht aus einem Rhombus P, Q, P', Q', dessen Seiten in den vier Ecken gelenkartig aneinander befestigt sind; von zwei gegenüberliegenden Ecken Q, Q' gehen zwei gleich lange Stäbe QO, Q'O, die um Q, Q', 0 ebenfalls drehbar sind (siehe Fig. 32). Bezeichnet M den Mittelpunkt des Rhombus, so ist:

OP - OP'= (OM - MP) (OM + MP) = OM² - MP²,

QP²= const.,

also nur abhängig von den unveränderlichen Stablängen, nicht von der veränderlichen Länge OP. Läßt man P bei festgehaltenem 0 eine

ebene Figur beschreiben, so durchläuft P' die dazu inverse

= (OQ²— QM²) - (QP²— QM²) = OQ²

...-ö

p'

Pi

Fig. 32.

Figur bezüglich 0 als Zentrum und r² = OQ²— QP2 als Potenz der Inversion. Gibt man dem Instrumente einen siebenten Stab CP, dessen Länge gleich OC ist, so kann P bei festgehaltenem 0 und C sich nur noch um C auf einem Kreise drehen, der durch das Inversionszentrum 0 geht; der inverse Punkt P' durchläuft also ein Stück einer geraden Linie. Wenn dagegen die Bedingung CP = CO nicht erfüllt ist, beschreiben P und P' zAvei zueinander inverse Kreise.

Damit der Inversor eine elliptische Inversion verwirklicht, hat man offenbar nur die gleichen Stäbe O Q und O Q ' kleiner als P Q anzunehmen (siehe Fig. 33); alsdann ist nämlich:

OP ■ OP' = (PM - OM) (PM -P OM) = PM² - OM²,

= (PQ²— QM²) -(OQ²- QM²) = PQ² — OQ²= const.,

und 0 liegt zwischen den Punkten PP'. Die Bedingung der Geradführung von P' ist dieselbe wie beim hyperbolischen Inversor.

I. Es wird gewiß von Interesse sein, die wichtigsten elementargeometrischen Konstruktionen unserer beiden Nichteuklidischen Geo-

metrien kennen zu lernen. Vor allem wird man fragen: Wie sehen in diesen Scheingeometrien der Kreis und die Kugel aus? Wir definieren beide Gebilde als Kurven bezw. Flächen konstanten Abstandes von einem festen Punkte, dem scheinbaren Zentrum. Da Strecken gleich sind, wenn sie durch Spiegelung ineinander übergehen, so können wir die Kugeln mit dem Scheinzentrum C auch definieren als Flächen, die durch Spiegelung an allen Scheinebenen, die durch C gehen, in sich selbst übergehen. Ähnlich ist ein Kreis definierbar als Kurve, die durch Spiegelung an allen Durchmessern in sich selbst übergeht. Die Scheinebenen durch C bilden aber ein Bündel, das durch Spiegelung an einer seiner Ebenen als Ganzes in sich übergeht.

Qy

~LM

P’

\\

Fig. 33.

Nun bilden die Kugeln des zum Kugelbündel orthogonalen Büschels offenbar ein System von Flächen, die bei der genannten Spiegelung unverändert bleiben, und zwar ist es ein hyperbolisches Kugelbüschel, dessen Achse CG" durch das Zentrum 0 unseres ganzen Kugelgebüsches geht; C', C" sind die beiden Bestandteile des Scheinpunktes C. Die Punktkugeln des hyperbolischen Büschels sind C und C", und so folgt:

III. Die Scheinkugeln und Scheinkreise unserer beiden Nichteuklidischen Scheingeometrien sind auch vom Standpunkte der Euklidischen Geometrie aus Kugeln bezw. Kreise, nur muß man nicht Anstoß daran nehmen, daß in dieser Versinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien die Scheinkugel aus zwei Euklidischen Kugeln besteht, die bezüglich des Gebüsches zueinander invers sind. Umgekehrt konstituiert jedes Paar bezüglich des Gebüsches inverser Kugeln eine Scheinkugel. Das Scheinzentrum einer

Scheinkugel oder eines Scheinkreises ist vom Euklidischen Zentrum im allgemeinen verschieden. Zu den Scheinkugeln gehören auch alle im Sinne der Euklidischen Geometrie Ebenen zu nennenden Gebilde, die nicht durch das Zentrum des Gebüsches gehen.

Insbesondere ist dann auch die Orthogonalkugel des hyperbolischen Gebüsches eine Scheinkugel, die „absolute“ Kugel der hyperbolischen Geometrie, während die Diametralkugel des elliptischen Gebüsches eine Scheinebene des elliptischen Raumes ist. Erblickt man das Wesen der Kugel darin, daß sie sämtliche Ebenen und Strahlen des Durchmesserbündels rechtwinkelig schneidet, so muß man in der

aj

CO

CO

x'

Pût,

fl

ko

co

P⁷ ~

JC'

x'/rx

~C!f" B

Fig. 34.

Fig. 35.

hyperbolischen Geometrie noch zwei eigenartige Gebilde als Scheinkugeln ansprechen, nämlich die Orthogonalkugeln aller im Gebüsche enthaltenen parabolischen und hyperbolischen Kugelbündel. Wir wollen diese Verhältnisse erst am Kreise studieren, wo man der Anschauung leichter durch Zeichnungen entgegenkommen kann.

5. Wie schon öfter, legen wir die Zeichenebene £ durch das Zentrum des Gebüsches, wodurch sie ja zu einer Scheinebene £ der betreffenden Nichteuklidischen Geometrie wird, und stellen uns die Aufgabe, in £ den Scheinkreis zu konstruieren, der durch einen gegebenen Scheinpunkt P geht und ein gegebenes Scheinzentrum G hat. Seien C' und C" (Fig. 34, 35, 36) die beiden schlichten Punkte, die den Scheinpunkt C konstituieren, P' eine der Konstituenten von P und co der Schnitt von % mit der Orthogonalkugel des zunächst als hyperbolisch vorausgesetzten Gebüsches. Da der schlichte Kreis x, der zusammen mit dem dazu bezüglich m inversen Kreise x" den gesuchten Scheinkreis x aus macht, alle Kreise a, b, ... durch C', C" orthogonal schneiden soll, so gehört er dem zum Büschel der a, b, . . . orthogonalen Büschel an. Die Scheinkreise mit dem Scheinzentrum C sind also in der Sprache der Euklidischen Geometrie Kreispaare des zum Durchmesserbüschel orthogonalen Büschels. Durch (hyperbolische) Inversion bezüglich a, b, ... erhält man aus P' weitere Punkte Pa'f Pb,... des Kreises x, wodurch er also völlig bestimmt ist; Pa' liegt natürlich mit P' und dem Zentrum A von a in gerader Linie, ebenso a geht P'Pb' durch das Zentrum B von b. Jede Gerade durch A trifft x in zwei bezüglich a inversen Punkten H',

(O

P'

,vy

4v

t>!

'\a

7>

,/J

co

/i

Fig. 36.

Kr (nicht in den Figuren), die im Sinne der hyperbolischen Geometrie als zueinander symmetrisch bezüglich der Scheingeraden a gelten. Da auch Kreis x' (siehe Fig. 36; in Fig. 34 und 35 ist x" nicht gezeichnet) ebenfalls den Kreis a senkrecht schneidet, so liegen auch die bezüglich co zu H', K' inversen Punkte auf x" und sind zueinander invers bezüglich a. Die Punktepaare H', H" und K', K" des Gebüsches konstituieren also zwei Scheinpunkte H, K des Scheinkreises x, die zur Scheingeraden a symmetrisch liegen, d. h. der Scheinkreis x geht in der Tat durch Spiegelung an seinen Scheindurchmessern in sich selbst über. Ist, wie in Fig. 34, das scheinbare Durchmesserbüschel als Kreisbüschel elliptisch, so möge auch der Scheinkreis elliptisch genannt werden.

wenn

Parabolisch kann das Durchmesserbüschel «,&,... nur werden, C mit C" (natürlich auf co) zusammenfällt, wie in Fig. 35. Seine Kreise berühren sich in C = C". Das orthogonale Büschel

Scheinkreise mit diesem Scheinzentrum aus je zwei schlichten Kreisen durch U, V, die bezüglich œ zueinander (hyperbolisch) invers sind, wie z. B. x und x" (Fig. 36). Nur wenn x mit x" zusammenfällt, also wenn x zum Gebüsche gehört, darf man nicht von einem Scheinkreise sprechen, sondern man hat dann eine Scheingerade vor sich, die auf den gegebenen Scheingeraden a, b, . . . senkrecht steht. Es gibt aber nur einen Kreis g durch U, V, der co orthogonal schneidet, sein Zentrum G ist auf dem Mittellote von UV so gelegen, daß GVO einen rechten Winkel bildet.

ist dann ebenfalls parabolisch und hat die Tangente von cj in C' zur Potenzachse. Je zwei zueinander bezüglich co inverse Kreise dieses Büschels bilden zusammen einen Scheinkreis mit dem Mittelpunkt (7; Scheinkreise mit parabolischem Scheindurchmesserbüschel mögen als parabolisch bezeichnet werden.

Zu einem hyperbolischen Kreisbüschel a,b, ... (siehe Fig. 36) ist ein elliptisches Kreisbüschel orthogonal; seine Grundpunkte seien U, V. Entschließt man sich dazu, a, b, ... als Büschel von Scheingeraden durch ein ideales Scheinzentrum C zu deuten, so bestehen die — hyperbolischen

Alles das zusammenfassend können wir also sagen:

IY. Im hyperbolischen Raume gibt es drei Arten von Scheinkreisen, elliptische, parabolische und hyperbolische:

a)    die elliptischen haben ein im Endlichen gelegenes reelles Scheinzentrum;

b)    das Scheinzentrum der parabolischen liegt auf der absoluten Scheinkugel, seine scheinbaren Durchmesser sind zueinander parallel; der Scheinkreis geht durch das Scheinzentrum;

c)    die hyperbolischen haben ein ideales Scheinzentrum, ihre Scheindurchmesser sind nicht (asymptotisch) parallel, aber sie schneiden sich auch nicht. Es gibt außerdem immer eine Scheingerade g, die das Durchmesserbüschel ebenfalls orthogonal trifft.

Der letzte Satz läßt sich umkehren: Die Scheinlote einer Scheingeraden bilden ein Büschel, und zwar in der hyperbolischen Geometrie ein hyperbolisches, in der elliptischen ein elliptisches. Wir setzen jetzt voraus, das Gebüsch sei elliptisch. Die Zeichenebene % sei zugleich — als Scheinebene — wieder durch das Zentrum des Gebüsches gelegt, d sei der Schnitt mit der Diametralkugel (Fig. 37). Wie vorhin seien G', C" die Konstituenten des gegebenen Scheinzentrums, P', P" die des gegebenen Scheinpunktes, durch den der Scheinkreis gehen soll. Durch Spiegelung an den scheinbaren Durchmessern a und b entstehen aus P' zwei weitere Punkte Pa', Pö'

der einen Konstituente y des gesuchten Scheinkreises y, die dadurch bestimmt ist. Die andere Konstituente y" ist aus drei ihrer Punkte

P", Q", S" konstruiert, die aus Punkten von y durch elliptische Inversion bezüglich d erhalten sind. Übrigens genügte schon der auf a gelegene Punkt S" zur Festlegung des Mittelpunktes JSf von y , indem OS"N ein rechter Winkel sein muß. Da es im elliptischen Gebüsche nur elliptische Kreisbüschel gibt, so folgt:

o.l

\X'

V. Im elliptischen Raume gibt es nur elliptische Scheinkreise (mit reellem Scheinzentrum).

Nach dieser ausführ-

dl

fa

\\

(/

liehen Behandlung der Scheinkreise können wir uns hinsichtlich der Kugel auf die Bemerkung beschränken, daß die Sätze IVund V mit sinngemäßer Änderung auch von der Kugel gelten.

6. Auf den rechnenden Teil der Nichteuklidischen Metrik können wir um so mehr verzichten, als dabei für unsere Fragestellung nach dem Wesen der geometrischen Grundbegriffe nur wenig herauskommen würde. Die Metrik der Nichteuklidischen Geometrie ist hoch interessant, wenn man sie gleichsam von einem erhöhten Standpunkte mit einem Male überblicken kann, wie ihn einerseits die projektive Maßbestimmung Cayleys, andererseits die Liesche Gruppentheorie gewährt. Dagegen ist es eine ziemlich unerquickliche Arbeit, nach Art der Elementargeometrie von unten herauf in dies fremdartige Gebiet einzudringen, zumal grundlegenden Untersuchungen durch eine Menge ausdrücken und Symbolen, über welche bei den verschiedenen Autoren

aus

X/

x"

aS'

Fig. 37.

wenn die Lektüre der großen von neuen Kunst-

keine Einigkeit herrscht, sowie durch philosophische Betrachtungen gestört wird, denen man nicht immer beizupflichten vermag; dem weiteren Mißstand, daß man diesen Gedankengängen nicht mit exakten Konstruktionen folgen konnte, wird durch die Verlegung der ganzen Geometrie in ein Kugelgebüsch begegnet. Aber dann übersieht man die Sätze immer viel leichter vom Standpunkte der Euklidischen Kugelgeometrie als vom Nichteuklidischen. Die sphärische Trigonometrie läßt sich auf diesem Wege leicht in die Scheingeometrie übertragen.

Zur analytischen Behandlung der beiden Geometrien haben Schur⁵) und Hilbert⁶) einen bequemen Zugang geschaffen. Die Hilbertsche Theorie setzt nur die Anfangsgründe der analytischen Geometrie voraus. Diese Theorie wird bei Benutzung eines hyperbolischen Kugelgebüsches so überraschend klar, daß ihre Durcharbeitung an der Hand dieses Hilfsmittels einen hohen Genuß bereitet. Die Hilbertschen „Enden" einer Geraden der hyperbolischen Geometrie sind natürlich die zwei Schnittpunkte mit der Orthogonalkugel. Den Hilbertschen Hilfssatz 4 in § 1 der angeführten Abhandlung, auf den sich die Operationen mit den Enden stützen, mache man sich erst in der Euklidischen Geometrie

__^

0G \ '' 'Noe'

jr.

\OJ

CO

"J

X-

'y

ylu

Bk

Fig. 38.

klar; er sagt dann im wesentlichen aus, daß sich die Mittellote der drei Seiten eines Dreiecks AB G in einem Punkte, dem Zentrum des Umkreises x, schneiden. In der hyperbolischen Geometrie können jene Lote entweder parallel sein, oder sich überhaupt nicht schneiden, in welchem Falle sie aber auf einer gewissen Geraden senkrecht stehen. In der Scheinebene £ des vorigen Artikels sieht man sofort: Jene Lote gehören entweder einem elliptischen, oder einem parabolischen bezw. hyperbolischen Büschel an (einem Büschel, weil sie den Kreis durch ABC und den absoluten Kreis a rechtwinkelig schneiden). Da wir in der hyperbolischen Geometrie den Loten einer Geraden, die mit dieser in derselben Ebene liegen, einen idealen Schnittpunkt zuschreiben (Zusatz zu IV), so gilt

jener Hilfssatz Hilberts nicht nur, wenn die drei Lote parallel sind, sondern auch, wenn sie einen idealen Schnittpunkt gemein haben. In Fig. 38 ist das ausgeführt, und zwar, wie in Art. 5, unter Weglassung des zur Figur bezüglich œ inversen Teiles; Ä, B', C und x sind je eine Konstituente von A, B, C und x. Die scheinbaren Mittellote der Scheinstrecken B'C', C'A', A'B' werden versinnlicht durch die Kreise x, y, z, deren Mittelpunkte X, Y, Z auf der gemeinschaftlichen Sehne UV der Kreise ra, x liegen. Die Radien sind gleich den Tangenten von X, Y, Z an den Kreis x’. In der Figur sind alle benutzten Hilfslinien eingetragen; die Tangenten sind nach Augenmaß angelegt, die Berührungspunkte durch Fällen eines Lotes vom Zentrum aus bestimmt, was mit Hilfe zweier Winkellineale geschehen ist. Wenn man sich diese Freiheiten gestattet, die auch in der darstellenden Geometrie als zulässig gelten, machen derartige Konstruktionen nur wenig Mühe. Bringt man das scheinbare Mittellot x- von AB zum Schnitt mit der Scheingeraden AB (die in der Figur nicht gezeichnet ist), so erhält man einen Punkt M, den man als Mittelpunkt der Scheinstrecke AB zu definieren pflegt. Die so definierte „Mitte“ zeigt jedenfalls mehr Übereinstimmung mit der Euklidischen Mitte als die auf Grund des Satzes 1 in § 5 definierbare: die „Mitte“ wäre dann der Punkt, der A und B vom unendlich fernen Punkte harmonisch trennt. Daher gäbe es in der hyperbolischen Geometrie zwei „Mitten“ einer Strecke, und in der elliptischen würde die Definition ganz versagen, während die erste Definition immer anwendbar bleibt.

•

7. Es hat sich bisher gezeigt, daß die beiden Scheingeometrien von der gewöhnlichen Geometrie empirisch nicht zu unterscheiden sind, wenn man nur den Radius R der Orthogonal- bezw. Diametralkugel des Gebüsches hinreichend groß nimmt (vgl. S. 60). Die Frage ist aber am Platze, ob nicht etwa die Besonderheiten der Nichteuklidischen Kugel sofort auffallen müßten, da man doch von keinem Raumgebilde eine so klare Anschauung besitzt als von der Kugel. Zur Beurteilung dieser Frage wollen wir einige Formeln ablei ten,, die zeigen, wie groß man R nehmen muß, um eine Nichteuklidische Ebene oder Kugel einer Euklidischen so anzunähern, daß der Unterschied in beliebig vorgeschriebenen Grenzen bleibt. Dazu sind folgende Sätze der Euklidischen Geometrie erforderlich:

a) An einen Kreis mit dem Radius r (siehe Fig. 39) legen wir eine Tangente und fällen auf sie von einem Punkte C des Kreises das Lot CB. Gegeben sei die Größe CB — h, gesucht der Abstand a des Punktes B vom Berührungspunkte A. Aus der Figur entnimmt man unmittelbar: r² = (r — h)²-f a², also:

Wenn der Kreis als Scheingerade einer Nichteuklidischen Geometrie betrachtet wird, so heiße h ihre tangentiale Abweichung von der Euklidischen Geraden im Abstand a.

b) Wie auf S. 60 sei das Sonnenzentrum S der Mittelpunkt des Gebüsches, der Radius B der Orthogonalkugel oder Diametralkugel

dt

S/e

r-h \

fit

(et.

\h

A a B

Fig. 39.

Fig. 40.

sei gleich n Erdbahnradien e, und durch den Mittelpunkt E der Erde sei eine Kugel $ des Gebüsches gelegt, deren Radius q gesucht wird.

In den Fig. 40 und 41, die dem hyperbolischen und ellip-• tischen Falle entsprechen, bezeichnet £ die (kreisförmig angenommene) Erdbahn. Nach dem Sekanten- und Sehnensatze ist

in Fig. 40: c("2o + e) — TP, „    „ 41: e(2₉-e)-&,

also zusammengefaßt (2) 2Q = (B²-£e*)/e=(n²-e)e,

wo im hyperbolischen Gebüsche s = -f 1, im elliptischen £ = •— 1 ist.

c) An die Kugel $ legen wir in einem von der Erde aus zugänglichen Punkte die Tangentialebene und suchen in dieser den vom Berührungspunkte A aus über dem sich die Kugel um nauer

einzusetzen. Man findet:

At

Ai

Fig. 41.

'--A

genommenen Abstand a eines Punktes B, die Höhe h abhebt, so wie in a) ge-auseinandergesetzt ist. In Formel (1) ist also r = q aus (2)

se -)- h

w²

= n]/eh y 1

(3)

en

d) Sei K eine beliebige Kugel, q ihr Radius, K ihr Euklidischer, U ihr scheinbarer Mittelpunkt im Sinne der Nichteuklidischen Geometrie des betreffenden Gebüsches, d dessen Abstand vom Zentrum S des Gebüsches. Gesucht wird die Differenz z = SU' — SK, die „Anomalie“ der Kugel gegen die betr. Nichteuklidische Geometrie, wo U' die am nächsten bei S gelegene Konstituente des Scheinpunktes U ist. Damit U im hyperbolischen Gebüsche reell ausfällt, muß die Kugel K innerhalb der Orthogonalkugel verlaufen. Wir legen die Zeichenebene £ wiederum durch S und zugleich durch K, weshalb auch U in sie fällt. Durch U geht eine Kugel Q des Gebüsches, die den Kreis K rechtwinkelig schneidet. In Fig. 42 und 43 sind die Schnittkreise dieser Kugeln mit £ dargestellt; in Fig. 42 ist außerdem die Konstruktion von U ersichtlich gemacht. Aus Dreieck QAK entnimmt man in beiden Figuren:

JL

R'

\?

un

r"

Fig. 42.

a)

Fig. 43.

r² + Q- = (r + £z)²,

— 1 ist; £² = 1. Das Dreieck QBS ergibt

wo wieder im hyperbolischen Gebüsche e = -f 1, im elliptischen £ —

in Fig. 42: r² + R² = (d + z 4~ r)², also

B² = d² -f- z² + 2dz + 2zr -f 2rd; in Fig. 43: r² — R² = (r — z — d)², also

_ B² = d² + z² -f 2dz — 2zr — 2rd, oder, indem man beide Fälle wieder zusammenzieht:

sB²= d² -|- z² ff- 2 dz + 2£zr + 2£rd, eB² = d² (,z² ff- 2£zr) 4- 2de{r -f- ez).

Vermöge a) kann man in ß) einsetzen:

r)

r -f sz = + Vr² + Q², z² + 2szr = q².

Daraus folgt

oder :

eR² = d² + ę*+2dsYf*+ g²,

d) j/r²+ g² = [R²-s(d² + g²)]/2d, r = }/[R²-e(d²+Q²)f/4æ- Q². Nach y) ist aber:

£)

SZ -

— r +1/r² fi- q²,

daher endlich

(4) 2ezd = [R² — s (d² + g²)] - ]/[R² -e(d² + p²)]²-TĄ²

mit eindeutig bestimmter Wurzel. Aus (4) findet man nach leichter Rechnung:

(5)

?² =

szR²

z~f- d

— zd =

m

£------

Diese allgemein gültigen Formeln werden wesentlich einfacher,, wenn man auf die Größenordnung der Zahlen Rücksicht nimmt, die in sie eingehen, und sich mit einigen Dezimalstellen Genauigkeit zufrieden gibt. Ist, wie S. 60, die um das Sonnenzentrum S als Mittelpunkt gelegene Orthogonal- oder Diametralkugel so groß, daß sie alle Planeten des Sonnensystems einschließt, so beträgt ihr Radius R = ne mindestens n = 30 Erdbahnradien e. Es sei n + 30,

(6)

e == 148 • 10⁶ km (angenähert), h = yi000 Millimeter = 10⁻⁹ km (siehe c)),

also gleich der Einheit der feinsten mikroskopischen Messungen. Dann ist auf zwei Dezimalen genau

(n ^ 30).

(7)

a — n Yell = 0,38 • n km.

In Fig. 42 und 43 ist K das Zentrum einer Kugel, von der wir jetzt annehmen wollen, daß es von der Erde aus zugänglich sei. Dann ist sein Abstand d von der Sonne nur unerheblich yom Erdbahnradius e verschieden. Für d — e, R = ne geht aber aus (5) hervor:

2    2    £Zini

Z *

l+ — e

q² = ezn²e — ze--

ein Ausdruck, dessen letztes Glied man sicher unterdrücken darf, wenn etwa z²n² < 10⁻⁶, szn < 10~s und z gegen e sehr klein angenommen wird; ez ist immer positiv. Unter dieser Annahme ist angenähert p² — eze(n² — s), und q² wächst oder fällt zugleich mit ez. Geht sz nicht über h = IO⁻⁹ km, so überschreitet p nicht den Wert

(8)

(» ^ 30),

p = 0,38 • n km,

wie in (7) und mit derselben Annäherung. Das Ergebnis dieser Rechnungen können wir so aussprechen:

Millimeter erst im Abstande

1000

VI. Die beiden Nichteuklidischen Geometrien sind nicht nur logisch mit der Euklidischen gleichberechtigt, sondern auch empirisch. Speziell genügt die Versinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien im elliptischen oder hyperbolischen Kugelgebüsche den größten Ansprüchen auf Genauigkeit. Wenn das Sonnenzentrum zum Mittelpunkt des Gebüsches, der Radius der Orthogonaloder Diametralkugel gleich n Erdbahnradien e gemacht wird, n > 30, so beträgt die tangentiale Abweichung einer von der Erde aus zugänglichen Scheinebene von der Euklidischen Ebene y.

also für n = 30:

a = 0,38 • n km,

a =11 km

Die elliptische Anomalie

vom Berührungspunkte aus. einer Scheinkugel ist negativ, die hyperbolische positiv, und damit sie in beiden Fällen dem absoluten Werte nach

unter yiooo Millimeter bleibt, darf der (Euklidische) Kugelradius p nicht größer als

p — 0,38 • n

sein, also im ungünstigsten Falle n = 30 nicht über 11km betragen.

Für Kugeln und Kreise gewöhnlicher Größe ist die Annäherung der Scheinmitte an die Euklidische ganz enorm. Man darf nicht etwa einwenden, daß hiermit zwar ein sehr kleiner Unterschied, aber immerhin doch ein Unterschied der drei Raumanschauungen bezüglich ihrer praktischen Verwendbarkeit in den Naturwissenschaften und im täglichen Leben zugegeben sei. Ein empirisch festzustellender Unterschied ist schon für n = 30 kaum noch vorhanden und schwindet für verhältnismäßig geringe Werte von n (> 30) vollständig. Die errechnet en Abweichungen der hyperbolischen und elliptischen Geometrie von der Euklidischen stehen dann sozusagen nur auf dem Papiere; sie existieren nur in unseren Begriffen, und ebensogut als man vom Euklidischen Standpunkte aus sagt, die (Schein-)Ebene der hyperbolischen oder elliptischen Geometrie habe doch auf alle Fälle eine berechenbare Abweichung von der Ebene der Euklidischen Geometrie, kann man umgekehrt vom Standpunkte dieser Nichteuklidischen Geometrien aus einwenden, daß die sog. Ebene der Euklidischen Geometrie eine krumme Fläche sein müsse, weil sie von einer angelegten Tangentialebene (dieser Nichteuklidischen Geometrie) um einen genau zu berechnenden Betrag ah weiche. Ebenso steht hei der Kugel Behauptung gegen Behauptung. Wenn alle drei Geometrien denselben (materiellen) Maßstab benutzen, werden sie bei Aufwendung aller Genauigkeit im Messen und Rechnen auf wesentlich dieselben Werte von h und z kommen, allerdings mit ganz verschiedenen Formeln. Wenn man also gewöhnlich sagt, in unendlich kleinen Gebieten der zwei Nichteuklidischen Geometrien gelte die Euklidische Metrik, so sehen wir jetzt, daß diese Gebiete im Verhältnis zu unserer menschlichen Kleinheit doch gewaltig groß sind.

8. Es ist nun zum Schlüsse noch der Nachweis zu erbringen, daß in beiden Nichteuklidischen Geometrien der Kugelgebüsche auch die zwei Hilbertschen Stetigkeitsaxiome Vx und V₂ gelten. Das eine, das „Archimedische Axiom“, sagt aus, daß, wenn man in geraden Linien mit gleich großen Schritten vorwärts schreitet, man nach einer endlichen Zahl von Schritten über jeden im Endlichen gelegenen Punkt der Geraden hinaus gelangen kann. Der Beweis ist im Kreisbüschel sehr leicht zu führen, wenn man beachtet, daß von zwei bezüglich eines Kreises % inversen Punkten immer der vom Kreisumfange den kürzesten (Euklidischen) Abstand hat, der im Kreise liegt. Das gilt für beide Arten der Inversion. — Das „Axiom der Vollständigkeit“ V₂ ist im Gebüsche ebenfalls erfüllt, weil das Gebüsche ja die „Ebenen“, „Geraden“ und „Punkte“ der Euklidischen Geometrie mit umfaßt. Von den beiden Stetigkeitsaxiomen V ist

c"

Fig. 44.

das Archimedische das wichtigste, da es die Grundlage der Streckenmessung bildet. Wir wollen daher untersuchen, in welchem Zusammenhang die Streckenmessung der beiden Nichteuklidischen Geometrien mit der Euklidischen steht, und zwar denken wir uns die Nichteuklidischen Geometrien

Die „Länge“ (AB') einer

wieder im Kugelgebüsche versinnlicht.

Scheinstrecke AB wird dann eine von den Konstituenten A', A" und B', B'" ihrer Endpunkte abhängige Zahl sein, die ihren Wert nicht ändert,

1)    wenn Ä mit A", B' mit B" vertauscht wird, oder

2)    wenn die Punkte A', A" und B', B" durch ihre Spiegelbilder an irgend einer Kugel des Gebüsches er-

W, 51" und 53', 53" setzt werden.

Durch diese Forderungen ist die „Länge“ <(AB} noch nicht vollständig bestimmt, aber wir wissen doch wenigstens, daß wir sie unter den Ausdrücken zu suchen haben, die durch Inversion nicht geändert werden. Man nennt sie Invarianten der Inversion. Sind A' und A", B' und B", . . ., paarweise invers (siehe Fig. 44), und ist S das Inversionszentrum, also SA' • SA" = SB' ■ SB" = • • -, so geht durch Ä, A", B', B" ein Kreis, ebenso durch C', C", JD', B" u. s. w., und ist daher <fi SAB' = SB"A", .... Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SA'B' und SB"A" folgt aber:

ÄB' : SÄ = A"B" : SB", A'B' : SB' = Ä'B" : SA",

es

also

(9)

A'B'

A"B"

y SA' • SB'    y SA"- SB"

Aus dieser einfachsten Invariante der Punkte Ä, B', A", B" ergehen sich leicht andere. Es ist z. B. identisch

A'C m A'B' _ A'C/ySA'- SC' . ÄB'/ySÄ'-AB'

B'C' ' B'B' ~ B'C'/ySB'- SC' ' B'D'/ysW- SÎ)' ’ und da man rechts nach (9) überall Ä, B', C', D' durch A", B", C", I)" ersetzen kann und sich die Wurzeln wieder herausheben:

A'C' _ A'B' A"C" _ Ä'B"

B'C : B'B' ~ B"C : B"B" ’

Eine Proportion von dieser Form nennt man ein Doppelverhältnis. Wir sehen also:

VII. Das Doppelverhältnis von vier schlichten Punkten ist gegenüber der Inversion invariant.

Die vier Punkte brauchen nicht in derselben Ebene zu liegen. Während der Ausdruck (9) nur bei der dort vorliegenden Inversion ungeändert blieb, ist das Doppelverhältnis invariant bei allen Inversionen. Weniger als vier Punkten entspricht keine solche Invariante, was wir aber mit elementaren Mitteln nicht beweisen können. Um also zwei Scheinpunkten A, B eine Länge (AB} ihrer Verbindungsstrecke zuzuordnen, müssen wir notgedrungen noch zwei weitere Punkte der Scheingeraden AB zur Hilfe nehmen. Der tiefere Grund dieser Tatsache läßt sich nur mit den Hilfsmitteln der Invariantentheorie einsehen. In der hyperbolischen Geometrie wird man sofort zu den beiden „Enden“ der Scheingeraden greifen, ihren Schnittpunkten U, V mit der Orthogonalkugel. Im elliptischen Gebüsche ist bekanntlich die Diametralkugel kein ausgezeichnetes Gebilde, und

(10)

die Schnittpunkte einer Scheingeraden mit ihr eignen sich daher nicht für unsere Zwecke. Das Analogon der Orthogonalkugel ist hier vielmehr eine Kugel um das Zentrum des Gebüsches mit rein imaginärem Radius, dessen absolute Größe gleich der des Diametralkugelradius ist. Da aber dieses Gebilde sich der Anschauung entzieht, wollen wir uns auf die hyperbolische Geometrie beschränken. Indem

wir die durch Ä, A", B', B" und das Zentrum 0 des Gebüsches gehende Ebene £, die zugleich auch eine Scheinebene ist, als Zeichenebene benutzen,erhalten wir Eig. 45. Der Schnitt mit der Orthogonalkugel ist co ; die Enden von AB sind U, V. Durch Spiegelung an einer Scheinebene des Gebüsches geht die Orthogonalkugel in sich über; daraus folgt:

Die Enden einer Scheingeraden gehen durch Spiegelung in die Enden des Spiegelbildes über. Wir spiegeln nun die Scheingerade AB speziell an der Scheingeraden l in £, die auf ihr in B senkrecht steht (siehe Fig. 45). Der Mittelpunkt L des Kreises l liegt auf UV, der Potenzachse des von o und AB gebildeten Kreisbüschels. Also sind U, V bezüglich l zueinander invers. Die Spiegelbilder von Ä., A" bezüglich l seien 2T, 21" ; diese Punkte sind bezüglich des Gebüsches zueinander invers und konstituieren den Scheinpunkt 21, das Spiegelbild von A bezüglich l. Nach (10) ist jetzt einerseits

A'U ' B'U _ A"U m B"U A'V : B'V “ A"V ¹ B"V’

0, ,......

(11)

andererseits:

JJ

«z

Pig. 45.

y,

A'U _ B'U W V .B’V A'U . B"U ST F. B" V ZT : B'V WÜ’ B'U’ A" V : B"V ~ W'U: B'U '

Setzt man abkürzend

(12)

(13)

PU QU PV : QV

-IPQ)

so ist also

(14)    [AB') = {AB"\- .{AB') = {B’%V), {AB") = {B"W'},

wofür wir zusammenfassend schreiben wollen:

(15)

{AB) = [B%).

Ferner ist

und ebenso

oder kurz

[ÄB')²= {A'B') [B'W]

_ (ATU B'U\ (B'U WU\ ₌

~ \ÄV: B'V) [B'V ¹ %'V)

{A'B"}² = {A"B") [B"W') = {A"W'),

A'U AU A'V : WV

= {ÄW),

(16)

{ABy= {AB) [B%) = {A%).

Die Scheinstrecke A'W ist die Summe der Scheinstrecken A'B' und B'W, die einander im Sinne der hyperbolischen Geometrie gleich sind; A'W ist also das Doppelte von A'B' im Sinne dieser Geometrie. In (16) entspricht der Summe A'W der Teilstrecken A'B' und B'W das Produkt ihrer Doppelverhältnisse, dem Doppelten der Strecke AB' das Quadrat ihres Doppelverhältnisses. Soll also der geometrischen Addition der Strecken auch die arithmetische Addition der zugeordneten Maßzahlen entsprechen kommen als solche nicht die Doppelverhältnisse, sondern ihre Logarithmen in Betracht. Wir machen daher zur Definition der Länge (AB) der Scheinstrecke AB den Ansatz:

(AB) = 1î log {AB) = h log : jfy) ;

(17)

so

wo Je eine noch zu bestimmende Konstante ist. Als Logarithmensystem soll das natürliche benutzt werden; bei anderer Wahl würde sich übrigens nur Je ändern. Wenn Je von A, B' unabhängig ist, so ist nach (11) die in (17) definierte Größe in der Tat gegenüber der Inversion des Gebüsches invariant, also geeignet, als eine von den Scheinpunkten A, B abhängige Zahl betrachtet zu werden. Auch bei der Spiegelung an Scheinebenen bleibt (AB) nach VII ungeändert. Die Gleichungen (16) setzen sich um in:

(18)

(AB) + (BW> = (AW), 2 (AB) = (AW),

wo B die Scheinmitte von ist.

Sei jetzt A₀₎ A1? A₂, . . ., An eine Reihe von Scheinpunkten einer Scheingeraden g, und At die Scheinmitte von A₀AA₂ die von AtA₂, . . ., An_x die von An_₂An, stituenten dieser Punkte durch Accente unterscheiden,

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

so

ist, wenn wir wieder die Kon-

¹

Im Grunde genommen könnte man alle diese Geraden als Parallelen betrachten, doch haben die (asymptotischen) Parallelen PA, PB mehr Ähnlichkeit mit den Parallelen in der Euklidischen Geometrie.

²

Die bekannten Beweise dafür, daß die Winkelsumme im Dreieck nicht größer sein kann als zwei Rechte, beruhen auf der stillschweigend gemachten Voraussetzung, daß die Gerade unendliche Länge hat oder daß sie die Ebene in zwei getrennte Stücke zerlegt. Beides trifft aber für die elliptische Geometrie nicht zu. Daher verliert auch in der elliptischen Ebene die Stelle ècp’ S [iśęri dalv . . . des Parallelenaxioms (vgl. § 1, S. 6) jeden Sinn, denn eine Gerade in der Ebene hat dort keine Seiten. Vgl. Gauß, Werke, Bd. 7, S. 190.

³

Ygl. M. Dehn, Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck. Math. Ann. 53.

⁴

Nouv. ann. (2) 3 (1864), p. 344 und (2) 12, (1873), p. 71.

⁵

   Schur, F., Über die Grundlagen der Geometrie, Math. Ann. 55.

⁶

   Hilbert, D., Neue Begründung der Bolyai-Lobatsch efskyschen Geometrie, Math. Ann. 57. (Abgedruckt in der 2. Aufl. seiner „Grundlagen der Geometrie“.)

A₀'U A-l'U A,'U A,'U A₂'ü A₃'U    K-xU AnU

^ A₀'V'A/V A/VA^V A'V'A^V "* A'n_tV ' A'nV >

ist das Spiegelbild von Äv_₁ an dem in Ä auf g errichteten Scheinlote. Dieselbe Beziehung gilt auch für die zweifach gestrichenen A. Durch Bildung des Produktes erfolgt aus den Gleichungen (19):

denn Ä

also

(Aq'U . A₁'Uy = \A₀’V i/Fj

A₀'U A'nU A'V A!nV>

(20)

n <(A₀ A-^y    <(A₀ Any,

wie es sein muß. Ist das m-fache von <(A₀A₁)> gleich der als Maßstab zu verwendenden scheinbaren Einheitsstrecke e, so ist

Die Formel (21) leistet also in diesem Falle die Messung der Scheinstrecke A₀An mit der Einheitsstrecke e. Ähnlich wie in der Euklidischen Geometrie kann man aber mittels des Archimedischen Axioms beweisen, daß sich zu jeder Strecke A₀An mit beliebiger Annäherung eine Hilfsstrecke A₀A₁ finden läßt, die einerseits ein nteT Teil von A₀An, andererseits ein mter Teil des Maßstabes e ist, wo m, n ganze Zahlen bedeuten. Damit ist das allgemeine Verfahren der Streckenmessung erklärt.

Wir können jetzt die Konstante k leicht bestimmen. Sind @₁₇ @2 die scheinbaren Endpunkte der Einheitsstrecke e für irgend eine Lage derselben im Raume, so ist

also

(22)

1-fcloglŒ^}.

Das Ergebnis unserer Untersuchung sprechen wir so aus:

VIII. Die Länge einer Strecke AB in der hyperbolischen Geometrie ist eine Zahl, die vom Verhalten der EndpunkteM, B der Strecke zur absoluten Fläche, d. h. zur Fläche der unendlich fernen Punkte abhängt, und zwar ist die Länge bis auf einen konstanten Faktor gleich dem Logarithmus des Doppelverhältnisses der zwei Endpunkte A, B der Strecke und der zwei unendlich fernen Punkte der Geraden AB:

i -fciog

Ist B' identisch mit A", also B" identisch mit A', so ist

<AB> - * H (jf ■■ ff) = * log (ff --ff),

mithin

(AB> = 0,

wie es auch sein muß, da in diesem Falle der Scheinpunkt B mit A zusammenfällt.

In der elliptischen Geometrie ist die absolute Fläche imaginär und die Streckenlänge hängt wiederum vom Verhalten der Endpunkte der Strecke zu der absoluten Fläche ab. Doch wollen wir den zu VIII analogen Satz nicht formulieren, weil er sich nur mittels der analytischen Geometrie befriedigend beweisen läßt. Beide Sätze zusammen ermöglichen uns einen bescheidenen Einblick in das Wesen der Cayleyschen Maßbestimmung, die bezüglich der Winkel zu ganz ähnlichen Resultaten gelangt.¹)

§ 12. Die Euklidische Geometrie in einer linearen Zahlenmenge

dritter Stufe.

1. Die geometrischen Ergebnisse der vorangegangenen Untersuchung beweisen, daß die Erforschung der Grundlagen unserer Wissenschaft nicht nur erkenntnis-theoretischen, sondern auch praktischen Wert hat, indem sie eine fast unbegrenzte Ausbeutung der geistigen Arbeit ermöglicht, die zum streng deduktiven Aufbau der Geometrie einmal wird geleistet werden müssen: alle Sätze über die gegenseitigen Beziehungen zwischen den Punkten, Geraden, Ebenen und ihren Erzeugnissen lassen sich notwendigerweise übertragen auf jede andere Mannigfaltigkeit oder Menge von Dingen, die sich den Voraussetzungen entsprechend ordnen lassen, aus denen die Sätze der Geometrie rein deduktiv folgen. Das sinnliche Aussehen der Grundgebilde, z. B. das Vorherrschen der Längendimension bei der Geraden, die vollkommene Gestalt der Kugel, die ästhetisch so ansprechende Form der Ellipse — alles das hat für die Geometrie als solche nicht den geringsten Wert. Für die Ableitung der Lehrsätze ist es vollkommen unnötig, sich mit der Vorstellung eines unbegrenzt abnehmenden (materiellen) Punktes zu quälen; wir haben gesehen, die Kugeln eines Gebüsches oder die Kreise der Ebene, als Punkte definiert, leisten denselben Dienst. Wir können jetzt sogar zeigen, daß der Punkt nicht einmal ein Raumobjekt zu sein braucht, überhaupt nicht mit dem Raume in Beziehung stehen muß, indem wir die analytische Geometrie rein formal als Geometrie einer dreidimensionalen linearen Zahlenmenge entwickeln können. Die Kenntnis der analytischen Geometrie wird hierbei nicht vorausgesetzt, vielmehr wird sich derjenige, der in dieses Gebiet der Mathematik noch nicht eingedrungen ist, dem Kenner gegenüber im Vorteil befinden, indem er genötigt ist, sich streng an die Definitionen zu halten, während es dem mit der analytischen Geometrie Vertrauten leicht begegnen kann, daß er auf Grund dieser seiner Kenntnis als richtig vorwegnimmt, was tatsächlich aus den Definitionen nicht folgt.

2. Als „Punkte“ bezeichnen wir alle Systeme von je drei in bestimmter Reihenfolge genommenen reellen Zahlen; zwei Punkte (a, b, c) und (a, b', c) sollen immer nur dann für identisch gelten, wenn a = a, b = b', c = c ist. Eine „Ebene“ ist der Inbegriff aller „Punkte“ oder Zahlentripel x, y, z, die derselben Gleichung ersten Grades

Ax -f- By + Gz -f D = 0

mit numerischen Koeffizienten A, B, C, B, die nicht alle verschwinden, genügen. Die Lösungen dieser „Gleichung der Ebene“ ändern sich nicht, wenn man die beiden Seiten der Gleichung mit einer Zahl multipliziert. Zwei Ebenen, die sämtliche Punkte gemein haben, gelten als identisch; ihre Gleichungen unterscheiden sich dann höchstens um einen Zahlenfaktor. Eine „Gerade“ besteht endlich aus den gemeinschaftlichen Punkten zweier Ebenen; ihre Zahlentripel genügen also zwei Gleichungen ersten Grades. Seien etwa

(1)

/j (x, y, z) = Axx -f Bty + Cxz -f B₁ = 0 und f₂ (x; y, z) = A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

die Gleichungen einer Geraden g und (x, y, z) ein Punkt dieser Ge raden. Dann ist nicht nur /j (x} y, z ) = 0, f₂ (x₇ y, z ) — 0, sondern auch

(2)

*fi (%', y, e) + y, z) = ⁰

für jedes numerische x und X. Jede Lösung von (1) genügt also auch der Gleichung (2), die ebenfalls vom ersten Grade ist, d. h. jede Gerade ist in unendlich vielen Ebenen enthalten. Soll die Ebene

(3)

*/'i (a, f, t) + >■ fl (je, jr, «) — 0

„durch einen bestimmten Punkt (a, b, c) gehen“, d. h. ihn enthalten, so muß

sein, woraus

xfi (a, b, c) 4- lf₂ (a, b, c) = 0 — af₂ (a, b, c), l = gj/; (a, b, c)

folgt, wo co ein unbestimmt bleibender Proportionalitätsfaktor ist. Setzt man diese Werte in (3) ein, so erkält man

(4)

fi 0; y, z) U (a, h c) - U 0, y ? z) A 0, hc) = ⁰

als Gleichung einer Ebene, welche nicht nur die Gerade g, sondern auch den Punkt (a, b, c) enthält. Diese Gleichung wird zur Identität 0 = 0, wenn f\ (a, b, c) — 0, f₂ (o, b, c) = 0, d. h. wenn (a, b, c) auf g liegt. Wir können also sagen: Eine Gerade kann mit jedem nicht auf ihr gelegenen Punkte „durch eine Ebene verbunden“ werden.

3. Vermittelst der unendlich vielen Ebenen, die durch eine Gerade g gehen, läßt sich das sie bestimmende Paar von Gleichungen in eine sehr übersichtliche Form bringen: Ist die Gerade g ursprünglich durch (1) gegeben und (x, y, z) einer ihrer Punkte, so ist jede Lösung von fx (x, y, z) = 0, /₂ (x, y, z) = 0 auch Lösung von

fi 0, V, s) - fi (%, V, O = 0, f₂ (x, y, z) - f₂ (x, y, z) = 0 und umgekehrt, so daß also auch die Gleichungen

<Pi A y,z) = fi A y,²) - fi A, y 7 *) = A (x~ x) + bx (y - y)

(5)*

-f~ Ci (z — z ) = 0,

<P-2 (x, y, *) = h (x, y7 *) - h (x, y', /) = A (x - x) + B₂(y- y )

(6)

+ C₂(z — z) = 0 die Gerade g definieren. Dann ist g aber auch in den Ebenen ei (x, y, e) = % (fi (x, y, z) + x₂(f₂ (x, y, z) = 0,

(x> y7z) = K <Pi (x, y,*) + hv* (x, y, *) = o enthalten, wo x1; x₂, A1} l₂ beliebige Zahlen sind, und diese Ebenen können sicher zur Definition von g dienen, wenn sich aus den Gleichungen (6) rückwärts cpx und <p₂ wieder durch et und e₂ ausdrücken lassen, d. h. also, wenn die Determinante xxA₂ — x₂Alf für welche wir das Symbol

(?)

Xi^2 X₂Aj — (x, A) —    (^1^2    ^2 ^l) —    (d,

einführen wollen, nicht Null ist. Wir nehmen jetzt speziell

Xj —    C₂\ x₂ — -j- Cx] Ax —

wo das letzte Paar einer dritten Ebene

e3 (x, y, b) = <Pi (x, y, *) +    <p* A y,z) = o

entsprechen soll. Nach einfacher Rechnung bekommt man unter Benutzung der Symbole (7):

(C,A)(x-x)-{B,C){y-y') = 0, (A, B) (x - x) - (B, G) (z - z) = 0, (A B) (y — y) — (C, A) (z — /) = 0,

von

und diese Gleichungen bestimmen paarweise g, wenn die Determinanten (%, X), (X, g), (fi, x) oder — (B, C), — (A, B), — (C, A)

Null verschieden sind. Wären sie alle drei gleich Null, so hätte man

A₂ = eAx, B₂ — sBx,

(1 = sC

17

s ein Proportionalitätsfaktor,

d. h. die Ebenen (5) wären identisch, was nicht zutrifft. Es ist also mindestens eine der Zahlen (A, B), (B, C), (C, A) von Null verschieden, also in (8) mindestens ein Gleichungspaar, das die Gerade bestimmt, und wenn wir noch die dritte Gleichung des Systems (8) hinzufügen, so kann sie nicht stören, weil sie durch jede Lösung der beiden anderen ebenfalls befriedigt wird. Aus (8) folgt zunächst, wenn keines der Klammersymbole Null ist:

: (y-y) = (B, C) : (C, A); (*-*') : (0-/) = (B, C) : (A,B); (y - y) : (e - z) = (G, A) : (A, B),

so daß man für g das „Tripelverhältnis“

(9)

(*-*') : {y-y) : (*-**) = (Ą C) : (C, A) : (A, B)

hat, das wir nun auch benutzen wollen, wenn nicht alle Klammersymbole von Null verschieden sind, indem wir dann aus (9) erst wieder die unzweideutigen Gleichungen (8) ableiten. Auf alle Äille bestimmt also die Tripelgleichung (9) unsere durch (x, y, /) gehende Gerade, und jeder Gleichung

(10)

(x — x') : (y — y) : (z — z) = a :b : c

entspricht eine Gerade, wenn nicht die Zahlen a, b, c sämtlich Null sind, und diese Gerade geht durch (xy, z). Durch zwei Punkte (x, y, z) und (x", y", z") geht also immer eine und nur eine Gerade, denn wenn man x", y", z" in (10) einsetzt, findet sich das zu bestimmende Tripelverhältnis a:b:c — (x"— x) : (y"— y) : (z"— /), und „die“ Gleichung der Geraden, wie wir kurz sagen wollen, ist

(11)    (x~ x) : (y - y) : (z - z) = (x"~ x) : (y"~ y) : (z'~ z).

4. Da die Gleichung

(12)

Ax + By + Gz + D = 0

einer Ebene, durch einen ihrer Koeffizienten dividiert, nur drei wesentliche Konstanten aufweist, so können wir diese durch Angabe dreier Punkte (x, y, /); (x", y", z"); (x", y", z") bestimmen, die in der Ebene liegen sollen. Es ist etwa A : D, B : JD, C : D zu berechnen aus

Ax -f By + Cz + D = 0,

(13)

Ax" + By" + Gz" -j- D = 0,

Ax"'+ By"'+ Cz"'+ D = 0,

wodurch diese Unbekannten nur dann nicht eindeutig festgelegt sind,

wenn die (bekannten) Koeffizienten einer dieser Gleichungen, etwa der dritten, sich aus denen der beiden anderen durch dieselbe lineare Verbindung zusanimensetzen lassen:

(14) x"= xx Ix", y'"= xy -(- ly", z" = xz -f- Iz", 1 = x + l. Aber x" — x' = (x — 1)x -\- Ix" = l (x"— x), also:

0'"— x') : {y"'~ y) :    /) = (x"~ x) : («/"- y) : (*"— /), .

d. h. der Punkt (x'", y”, z") liegt auf der durch {x, y, z) und {x”, y", z") gehenden Geraden

(x - x) : (y - y) : (z - z) = (x"~ x) : (y"~ y) : (z"~ /);

es folgt: Drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, bestimmen immer eine Ebene, denn unter dieser Voraussetzung sind die drei zur Berechnung von A : D, B : D, C : JD dienenden Gleichungen (13) voneinander unabhängig.

5. Man überzeugt sich jetzt leicht, daß unsere Grundgebilde alle Eigenschaften der gewöhnlichen Punkte, Geraden und Ebenen haben, die das Bestimmen dieser Gebilde durch gegebene Elemente und die gemeinsamen Elemente zweier derselben betreffen (rgl. § 8, I.). Es gilt nun, auch die Eigenschaften des Begriffes „zwischen“ unseren „Geraden“ anfzuprägen. Die Lagebeziehungen der Punkte einer Geraden haben ihr Bild bekanntlich in den Zahlen der reellen Zahlenreihe: Eine Zahl z liegt entweder „zwischen“ zwei gegebenen Zahlen a, b — dann ist a < z <; & — oder nicht, und dann ist entweder z < a oder b < z. Die Beziehung „zwischen“ findet also sicher statt in der Geraden x = 0, y = 0, denn ihre Punkte haben die Form (0, 0, z), wo z alle reellen Werte annimmt. Diese Gerade möge „die ^-Achse“ genannt werden. Ebenso ist auch auf der y-Achse z = 0, x = 0 und auf der #-Achse y = 0, z = 0 die dem Begriff „zwischen“ entsprechende Anordnung der Punkte durch das „größer“ oder „kleiner“ sein der rationalen Zahlen gegeben. Die Punkte der x-, y-, -^-Achse sind von der Form (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z), können also aufeinander eindeutig bezogen werden, indem man gleiche Werte der von Null verschiedenen Zahlen x, y, z der drei Tripel einander zuordnet, und damit sind zugleich die drei Orientierungen dieser Geraden aufeinander bezogen: Was auf der einen sich von der Anordnung ihrer Punkte sagen läßt, gilt auch von den zugeordneten Punkten der anderen. Um also auf einer von den drei Achsen verschiedenen Geraden die gewünschte Anordnung herzustellen, brauchen wir sie nur eindeutig auf eine der drei Achsen abzubilden.

Das geschieht durch die (vorläufige) Definition: Ein Punkt Q = (x, y, z) einer Geraden liegt „zwischen“ zwei Punkten = («j, blf cx) und P₂ = (a₂, &₂, c₂) dieser Geraden, wenn der Punkt

(0, y, 0) (0, 0, *)

liegt, wo von einem Punkte Q der Achsen die Aussage zulässig sein soll, daß Q zwischen Q und Q liege. Diese Bedingungen sind voneinander nicht unabhängig. Da nämlich die Gleichung der Geraden in den beiden Formen

(x — at) : (y — &x) : (z — cx) = (a₂ — at) : (&₂ - bt) : (c₂ — ex) und (x - a₂) : (y - \) : (z - cs) = (ax - a₂) : (bt - &₂) : (cx - c₂)

angesetzt werden kann, so ist:

(15)

X — «J

x — a₂

iH <M

r*C> rC>

z — cx

Z — Cj

wo der „Parameter“ X₃ offenbar alle reellen Zahlenwerte außer X₃= 1 annehmen kann; denn X₃= 1 gäbe ax = a₂, &₁=&₂, c\ = c2> was der selbstverständlichen Voraussetzung widerspricht, daß die Punkte Px, P₂ voneinander verschieden sein sollen. Umgekehrt entspricht jedem reellen Zahlenwerte von X₃ (außer X₃ — 1) ein Punkt der Geraden Px, P₂; speziell müssen wir auch den Wert X₃ = oo zulassen.

Wenn nun im Sinne obiger Definition Q zwischen Px und P2 liegt, so ist von den Differenzen

x — ax und x — a₂ ;

y — \ und y — &₂;

z — cx und z — c₂

allemal eine positiv, eine negativ, also X₃ negativ, und umgekehrt ergeben sich bei negativ angenommenem X₃ für jene Differenzen immer ungleiche Vorzeichen. Liegt dagegen Q nicht zwischen Px und P₂, so haben jene Differenzen immer paarweise gleiche Zeichen, so daß also X₃ positiv ausfällt. Der Punkt Q liegt demnach zwischen Px, P₂ oder nicht, je nachdem sein Parameter X3 negativ oder positiv ist.

Der Inbegriff aller Punkte der Geraden zwischen Px, P2 heißt „Strecke“ PXP₂, die Punkte Px, P₂ bilden die „Endpunkte“ der Strecke, die übrigen Punkte der Geraden liegen auf der „Verlängerung“ von PXP₂.

Aus (15) ergibt sich für die Punkte der Geraden P,, P₂ die „Parameterdarstellung“ :

„ ci L

³⁼~ï=rK’

die nochmals erkennen läßt, daß X₃ nicht gleich 1 sein darf. Ebenso sind in der Form

(16)

x₃ =

<Xx ^3 d u

1-^3    »

die Punkte der Geraden P₂P₃ und P₃PX darstellbar, wo P₃ — (a₃,&₃, c₃) ein nicht auf P₄P₂ gelegener Punkt sei.

Ax -j- By -f Cz -f D = 0

Die drei Punkte Pt, P₂, P₃ bilden ein „Dreieck“, die Strecken P₄P₂, P₂P₃, P3P1 seine „Seiten“. Die Geraden PXP₂, P₂P₃, P₃PX bringen wir zum Schnitt mit einer Geraden s, die in der Dreiecksebene 77 als Schnittgerade mit einer von 17 verschiedenen Hilfsebene

gegeben sei; die Schnittpunkte seien S₃, S1} S₂. Die entsprechenden Zahlentripel sind von der Form (16) oder (16') und müssen der Gleichung der Hilfsebene genügen. So ergibt sich je eine lineare Gleichung zur Bestimmung von 1₃, k1} k₂. Man findet

Aa₂ Bb₂ -f- Cc₂ -j- D Aa₃ + Bbs + CcB + D’

(17)

2 _ ^as 4"Bbs Gc, + _P

² Ät^ + Bbi + Cct + D’

Aat -f J54 + Cct -f- D Aa₂ Bb2 + ^c2 + P¹

woraus die wichtige Formel

(18)

(16')

æ₁ =

a2 4 ClS

i-4

Cïg    4 (ïj

1-4 ’

rAr

4    4 4

1—4 »

^2

4 4 4 1

folgt, die den analytischen Ausdruck für den bekannten Satz des Menelaus enthält, worauf wir aber hier nicht eingehen können; wir wollen diese Formel nur zum Beweise des „ebenen Axioms der Anordnung“ (Hilbert) benutzen, das wir in § 8, II₄ kennen gelernt haben: Eine Gerade in der Ebene eines Dreiecks trifft von den (nicht verlängerten) Seiten desselben entweder zwei oder keine. In der Tat werden mit Rücksicht auf (18) entweder zwei der Zahlen Xly 4, 4 negativ sein oder keine.

Damit ist die Richtigkeit des Satzes II₄ und überhaupt aller Sätze I und II des § 8 bewiesen.

6. Wir kommen jetzt zur Kongruenz. Als kongruent oder gleich definieren wir zwei Strecken, wenn sie gleiche „Länge“, als kongruent zwei Winkel, wenn sie gleiches „Maß“ haben, wo nun noch diese beiden Begriffe festzulegen sind. Einer Strecke mit den Endpunkten (x, y, z) und (cc, y\ z) ordnen wir eine positive Zahl l, ihre „Länge“, zu durch die Formel

die durch Vertauschung der beiden Punkte den Wert von l nicht ändert; die Länge einer Strecke nennen wir auch „Abstand" ihrer Endpunkte.

Die trigonometrischen Funktionen können wir natürlich nicht in der gewöhnlichen Weise einführen, müssen sie vielmehr, losgelöst von jeder Beziehung zur Geometrie, definieren durch die Exponentialreihe (Bd. I, § 123):

2 cos cp = ëv + e~icp, 2i sin cp — ëv — e~i<p, i = ]/— Ï.

Zwei von demselben Punkte Px=(ax, bx, cx) ausgehenden Strecken d2f d₃ mit den Endpunkten P₂ = (a₂, b₂, c₂) und P₃ = (a₃, b₃, c₃) ordnen wir durch die Formel

(20) d₂ d₃ cos cpx = (a₂—ax) (a₃ — ax) + (b₂ - bx) (b₃—bx) + (c₂ - cx) (c₃—cx)

mit dem Zusatze, daß cpx sein soll, eindeutig einen Winkel oder eigentlich nur eine unbenannte Zahl cpx zu, die wir „den von den beiden Strecken gebildeten Winkel" nennen; cpx ist die „Maßzahl" des Winkels. Man darf sich bei dieser Sprechweise durchaus nicht mehr denken, als durch die Definition hineingelegt ist. Der Kosinus von cpx ist, wie in der gewöhnlichen Trigonometrie, ein echter Bruch, der alle Werte von — 1 bis + 1 und keine anderen annimmt; sein Zähler Z ist nämlich höchstens gleich dem Nenner N, denn aus der Identität

(A* + Ą* + (V) (.A,,² + Ą* + Cs²) - (A A + ĄĄ + ą G,y = (AĄ - AĄV + (Ą G, - -BA)² + AA - c, A)*

ergibt sich, wenn man

A-x — a₂    mx,    Tdx — b₂    bx,    Cx    c₂    cx,

A₂ — ci₃    ax,    P₂ — b₃    bx,    C₂=    c₃    cx

setzt, für N² — Z² die Summe von drei Quadratzahlen, die nicht negativ sein kann, also N² — Z² 0, N^>Z.

Schreibt man die Gleichungen der zwei Geraden, auf denen die Strecken liegen,

(x — ax) : (y — bx) : (e - cx) = ï<₂ : v₂ : w₂,

{x - ax) : (y - bx) : (* - cx) = **₃ : v₃ : w₃,

wo etwa die erste Gerade durch (a₂, b₂, c₂), die zweite durch (a₃, b₃, c₃) gehen mag, so ist

also

**₂ -.v₂:w₂ = (a₂ — ax) : (b₂ - &A) : (c₂ — cj, «₃ -v₂:w₃ = (a₃ — ax) : (6a - 6t) : (c₃ — cx),

%v %    b₂ bXy

XIV 2 = c₂ — Cj,

1m’₃ = c₃ cx,

wo x, X Proportionalitätsfaktoren sind; durch Einsetzen in (20) erhält man:

cos cpx = ńz

________«S «8 + Vt + W₉_ w₃______

W -f- V₂- + w₂² !/«** + «8 * + «?»* ’ wo zwar x, l wieder heraus gefallen, aber nun beide Vorzeichen zulässig sind; denn die Wurzeln müssen hier nur so gezogen werden, daß die in (20) yorkommenden Längen d₂, d₃ positiv sind, also ist z. B.

V(a2 — «i)² + (h — Kf + (C2 — Cl)² = V*² (V + V + Wł)

bei negativem x gleich

— x ]/w₂² + v₂² -j- w.

zu nehmen, daher:

Zwei Geraden bestimmen zwei zueinander komplementäre Winkel, zwei Strecken nur einen einzigen Winkel, wenn die Forderung hinzugefügt wird, daß der Winkel nicht über it gehen darf.

Unsere Definition des Winkels in (20) ist nur wegen dieser Eindeutigkeit so eng gefaßt.

7. Um jetzt das von den drei Punkten

JPi = (ax, bx, c, Pg = (u₂ > ^2} cä) ? Ą ⁼⁼ 0*3 ? ^3 > ^3) bestimmte Dreieck zu berechnen, bezeichnen wir

P3 ⁼ 9h ; ^ ^0P-2 Ą ~    ^ Ą Ą ^1 ⁼ ^3 ?

F₂ P₃ == c/1? Pg Pj = ć/₂, Pt P₂ — f?3-

Nach (20) ist dann:

<?₂ (?₃ cos 9?! = (a₂—aj (a₃ - ax) -f (b₂ — bx) (b₃ - bx) + (c₂—cx) (c₃-cx), (21) ^3^! cosqp₂= (a₃—a₂) (ax—a₂) + (b₃—b₂) (bx—b₂) + (c₃—c₂) (cx—c₂), dx d₂ cos 9?g = (ax - a₃) (a₂—a₃) + (bx - b₃) (b₂ - b₃) + (cx—c₃) (c₂- c₃),

wo

dx = ]/(a₂— a₃f + (b₂ — b₃f + (c₂ - c₃)²,

(22)

*4 = /0*3 — «l)² + (&3 — &i)² + (c3 — ci)²;

dz = ]/(«! — «₂)² + (h — hf + Oh — ci)²-

Aus (21) erhält man durch Addition von je zwei dieser Gleichungen: dx = d₂ cos cp₃ d₃ cos cp₂, d₂ = d₃ cos cpx + dx cos <p₃, d₃ = dx cos q)₂ -f- d₂ cos cpx,

sin cp₂ = sin (<p₃ + qpx), sin <p₈ = sin (tpx + rp₂),

(30)

und daraus, indem man aus den beiden ersten Gleichungen cos <p₂, cos cp₁ entnimmt und in der dritten einsetzt:

<4* - Ą² + <4*

also den Kosinussatz der elementaren Trigonometrie. Für <f₃ = n/2 ergibt er als Spezialfall den Pythagoreischen Lehrsatz, und die Formeln (23) definieren dann cos cp₂, cos cp₃ durch die Verhältnisse der Seiten des recht winkeligen Dreiecks.

Eine einfache Folge des Kosinussatzes ist der Sinussatz. Mit Rücksicht auf sin² <p₃ = 1 — cos² cp₃ schließt man nämlich aus (24):

4^V₂² sin² <ps = 4d₁²d₂² - (d₃² -= (2dx d₂ -d₃* + dx² + d₂²) (2 dx d₂ + d₃*-dx²- d₂²)

= ((<*, + d,f - d₃²) (cl* - (dx - d₂)²) = 16z/²,

(24)

2^4 d₂ cos <p₃,

wo zur Abkürzung

(25)

und

(26)

z/ = ]/s (s — c^) (s — d₂) (s — d₃)

gesetzt ist. Mithin ist

d₂d₃ sin cpx = d₃dx sin cp₂ = sin <p₃ = 2z/,

und zwar mußte die Wurzel positiv gezogen werden, weil die Winkel unter n keinen negativen Sinus haben. In (27) erkennen wir den Sinussatz der ebenen Trigonometrie wieder:

sin cpx : sin g)₂ : sin cp₃ => dx : d₂ : d₃.

Wenn man die erste Gleichung (23) durch eines der drei d dividiert und die Verhältnisse der d nach dem Sinussatze (28) durch die Sinus der Winkel <p ausdrückt, ergibt sich

sin cpx = sin <p₂ cos <p₃ + cos <p₂ sin cp₃,

und nach dem Additionstheorem

(27)

(28)

(29)

sin cpx = sin (cp₂ + <p₃),

ebenso ist

also entweder

(31)

<Pl + <Pi + ^3 =

oder

Vl == 9>2 + Vu? Ts = % +

^8 = <Pl + <P2,

also cpx -f <p₂ + <p₃ — 0, woraus, da die Winkel positive Zahlen sind, einzeln cpt = 0, <p₂ = 0, rp₃ = 0 folgt. Nach (23) ist dann -f tf2 -f- d!₃ = 0, also wiederum einzeln dx = 0, d₂ = 0, ć?₃ = 0, was unmöglich ist; denn dt = 0 gibt z. B.:

(a₂ — a₃)² + (b₂ — &₃)² + (p2 — cs)~ = ö,

und da alle drei Glieder positiv sind, so müssen sie einzeln verschwinden, also würde P₂ mit P₃ zusammenfallen. Daher ist von den beiden sich ausschließenden Annahmen (31) und (32) die letzte unrichtig, und es folgt: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt zwei Rechte.

8. Durch Angabe seines Kosinus ist ein Dreieckswinkel eindeutig bestimmt, während zu demselben Sinus zwei Winkel gehören, die sich zu zwei Rechten ergänzen. Die Folgen davon zeigen sich bei der Berechnung eines Dreiecks aus gegebenen Seiten oder Winkeln. Ist ein Dreieck durch die gegebenen Stücke eindeutig bestimmt, so ist es zu jedem anderen, mit dem es in den gegebenen Stücken übereinstimmt, „kongruent“, d. h. es stimmt mit ihm in allen Seiten und Winkeln überein, was hier die Definition der Kongruenz sein möge. Auf diesem Wege müssen wir daher zu den vier Kongruenzsätzen gelangen. Sind zunächst zwei Seiten dx, d₂ und der „eingeschlossene“ Winkel <p₃ gegeben, so berechnet sich die positive Zahl d₃ eindeutig nach dem Kosinussatz, und dann findet man cos cpx und cos cp₂, also auch cp1} cp₂ eindeutig durch denselben Satz, wenn das auch nicht gerade der bequemste Weg für die Rechnung ist. In unserer Geometrie gilt also der erste Kongruenzsatz. Aus einer Seite d₃ und den zwei „anliegenden“ Winkeln <pl7 <p2 ermittelt man d₁ und d₂ am einfachsten mittels des Sinussatzes, da (p₃=n— (pt — <p₂ bekannt ist. Damit ist der zweite Kongruenzsatz bewiesen. Auch die Kongruenz zweier Dreiecke, die in den drei Seiten übereinstimmen, ist unmittelbar evident, da nach dem Kosinussatze die drei Winkel eindeutig zu berechnen sind. Zum Beweise des noch fehlenden Kongruenzsatzes brauchen wir den Hilfssatz, daß in einem Dreieck der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüberliegt. Wenn man die erste Gleichung (23) von der zweiten abzieht, folgt:

also:

ć?₃(cos op₁ — cos <p₂) = — (1 + cos cp₃) (dx — da),

(33)

cos qpt — cos qp₂    2 cos² ^cps

ds

dl — d₂

Die rechte Seite ist sicher negativ, da d₃ eine stets positive Zahl, der Zähler eine Quadratzahl ist. Wenn nun d] > d₂, so ist nach dieser Formel cos cp₁ — cos cp₂ negativ, also cos cp₂ > cos <px und folglich cpx > cp₂, da mit wachsendem Winkel innerhalb der Grenzen 0 lind 7t der Kosinus abnimmt. Damit ist der Hilfssatz bewiesen. Berechnet man aus dem gegebenen dx, d₂ und cpx den Winkel cp₂ mittels des Sinussatzes, so ist nach dem Hilfssatze von den beiden für cp2 sich ergebenden Winkeln unter it der spitze zu wählen und damit das Dreieck eindeutig bestimmt, d. h.: Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der größeren von ihnen „gegenüberliegenden“ Winkel übereinstimmen, sind kongruent.

9. Damit ist in unserer Geometrie die Gültigkeit sämtlicher Kongruenzsätze nachgewiesen. Aber noch fehlt der charakteristische Satz der Euklidischen Geometrie, das fünfte Postulat: Durch einen gegebenen Punkt geht nur eine Gerade, die eine gegebene Gerade, mit der sie in einer Ebene liegt, nicht trifft.

Dieser Satz läßt sich am besten im Anschluß an die Betrachtungen des Artikels 5. beweisen. Sei (S. 88, 89) Px P₂ die gegebene Gerade, Sx der gegebene Punkt und s die zu ziehende Parallele. Wir definieren zwei Geraden einer Ebene als parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben. Damit also s parallel zu PXP₂ wird, muß die Berechnung von S₃ in (16) illusorisch werden, was nach einer zu (15) gemachten Bemerkung immer nur eintritt, wenn l₃ den unzulässigen Wert A₃ = 1 annimmt. Mit Sx ist nach (17) Ax ^ 1 gegeben, und nach (18) ist kxX₂ = l, also l₂ ^ 1 und damit S₂ als eigentlicher Punkt festgelegt; die Gerade SXS₂ ist also die einzige Parallele durch Sx zu PXP₂. Die Formeln (16') ergeben mit Rücksicht auf lx X₂ — 1 nach leichter Rechnung:

i-A

also hat die Parallele durch Sx — (xx, yx, zx) zur Geraden

(34)    (x - ax) : (y - bx) : (g - cx) - (a₂ - ax) : (b₂ - bx) : (c₂ - cx) die Gleichung

(35)    (x - xx) : (y - yx) : (g — zx) = (a₂ - ax) : (b₂ - bx) : (c₂ - cx).

C‘2 C1

H — *i = -

/y»    . . _ /v»    -

^2 ^1 —

a₂ — ax

~T-\’

Der weitere Ausbau der Elementar-

Unser Ziel ist erreicht, geometrie macht jetzt keine prinzipiellen Schwierigkeiten mehr und kann daher hier unterbleiben. Dagegen müssen wir zum Schluß noch auf die analytischen Voraussetzungen des Parallelensatzes näher ein-gelien.

10. Die Gerade s erweist sich als parallel zu PXP₂, weil für Ag = 1 die zur Berechnung von S₃ dienenden Ausdrücke in die Form

_aŁ-a₂ _ h—b,

₌ C1 - C2

^3    0    ’    "3    Q >    *3

übergehen. Läßt man A₃ den unzulässigen Wert X₃ = 1 nicht unvermittelt, sondern von A₃ = 0 wachsend durch Grenzübergang annehmen, so ergeben sich nach (16) Werte von x₃, y₃, z₃, die nach und nach alle Schranken überschreiten. Im Grenzfalle erhält man also unendlich große „Werte“ xxf y^, zx der x₃, y₃, z₃, die aber zueinander in endlichen Verhältnissen stehen:

: y* :    = (at — «2) : (Pi — h) : (ci — %)■

Erweitert man jetzt die Definition des Punktes dahin, daß auch unendlich große „Werte“ von x, y, z zulässig sein sollen, die aber zueinander in endlichen Verhältnissen stehen müssen, und bezeichnet man diese Punkte als „uneigentliche“, so muß man jeder Geraden

(x - at) : (y - \) : (z - cj = (a₂ - aj : (ba - \) : (c₂ - c,)

einen und nur einen uneigentlichen Punkt (#„,    £æ) zu

schreiben, und zwar ist x^ : y^ : zx = (a₂ —%) : (&₂— &x) : (c₂ — q). Wie der Schlußsatz von Artikel 9. unmittelbar zeigt, sind in dieser Auffassungsweise zwei Geraden parallel, wenn sie durch denselben uneigentlichen Punkt gehen.

Sind (x₃, y₃, z₃) und (x₃", y₃", z₃") zwei eigentliche Punkte von P₁P₂ mit den Parametern A₃ = x und A₃ — x", so findet man nach leichter Rechnung:

¹

Vgl. die Dissertation von A. Magen er: Anallagmatische Punktkoordinaten im Kugelgebüsch und ihre Anwendung auf die Nichteuklidische Geometrie, Straßburg 1906, wo unsere Versinnlichung der beiden Nichteuklidischen Geometrien mit den Mitteln der analytischen Geometrie begründet ist.

X = (fc' — x")/(l —    (1 —x"),

< — V = (ai — «2) yź - y-i = (\ - &₂)h — *a" = (ci — ca)x,

mit

also ist:

V(x₃' — X₃")² + (y₃-yź'Y + {z₃—z₃y = ± *t/₃,

wo ć/₃ die in (22) angegebene Bedeutung hat.

Der Abstand der Punkte (x3J y₃, z₃) und (x₃ , y₃", z₃") wächst daher über alle Grenzen, wenn bei konstantem, von 1 verschiedenem x der Parameter x" von 0 gegen 1 geht, d. h. der uneigentliche Punkt einer Geraden hat von allen eigentlichen Punkten der Geraden unendlich großen Abstand.

Das Wesen der uneigentlichen Punkte tritt am deutlichsten hervor, wenn man den Punkt nicht als Tripel, sondern als Quadrupel von endlichen, reellen Zahlen (x1} x₂, x₃, #₄) definiert, mit der Bestimmung, daß für endliches, von Null verschiedenes reelles q die Quadrupel (xi} x₂, x₃, #₄) und (qx1} qx₂, qx₃, qx₄) denselben Punkt x repräsentieren, während das Quadrupel (0, 0, 0, 0) nicht als Punkt dieser Geometrie § gelten soll. Die Ebene und die Gerade werden

wie in der Geometrie @ der vorangehenden Artikel definiert: die Ebene durch eine lineare, homogene Gleichung

(36)

axxx -f- a₃x₂ -f- a₃x₃ + a^x^ = 0,

24?

die wir abgekürzt durch a(x) = 0 wiedergeben, deren Koeffizienten a1} a₂, a₃, «₄ reell und nicht sämtlich null sein sollen; die Gerade durch die gemeinsamen Punkte zweier voneinander verschiedener Ebenen. Zwei Ebenen a (sc) = 0, b(x) = 0 gelten für identisch, wenn sie dieselben Punkte enthalten, d. h. wenn sich q so bestimmen läßt, daß ax — Qbx, a% = q\, a₃ = çb₃, ai = ębŁ ist. Diese Bedingung läßt sich auch in die Form bringen, daß die drei Größen (a, b)u, (a, b) (a, b")M nicht gleich Null sein dürfen, wo abkürzend

(37)

0? h)nk = «A - aA

gesetzt ist; da (a, b)hh identisch null ist, so kann man allgemein sagen: Die vier Größen (a, b)u, (a, b)2k, (a, b)3k, (a, b)a dürfen nicht (bei beliebig gewähltem Je) gleichzeitig verschwinden. Ebenso sind dann zwei Punkte x = (x1} x₂, x₃, xé), y = (yl} y₂, y₃, y₄) voneinander verschieden, wenn nicht (x, y)lk, (x, y)2k, (x, y)3k, (oc, y)u für irgend ein h zugleich Null sind. Aus zwei voneinander verschiedenen Punkten x, y der Geraden a (sc) = 0, b(x) = 0 ergeben sich unendlich viele andere Punkte z der Geraden durch die Formel

(38)

h = V + VhK Ä = (1? 2, 3, 4),

wo x, A alle endlichen Zahlenwerte annehmen dürfen; denn es ist offenbar a(z) = xa(x) -f- Aa(y) = 0, b(z) = xb(x) -f- Ab(y) = 0, da einzeln a(x) = 0, a (y) = 0, b(x) = 0, b(y) = 0 ist. Die Formel (38) würde also das Gegenstück 'zur Parameterdarstellung (16) der Geraden bilden, wenn man umgekehrt zeigen könnte, daß jede gemeinsame Lösung zX} z₂, z₃, zx von a(z) = 0, b(z) = 0 bei geeigneter Wahl von p, q in die Form

(39)

= xuP + VhQ, (h = h 2, 3, 4),

gebracht werden kann. Die Lösbarkeit zweier dieser Gleichungen

= xhV + VhQ.,

*k - xkP + VA

aß

nach p, q hängt davon ab, ob (x, y)hh von Null verschieden ist oder nicht. Da aber die Punkte x, y voneinander verschieden sind, so sind in der Tat die (x, y)hk nicht für sämtliche Kombinationen der h, Je gleich null. Sei etwa (x, y)„.* von Null verschieden: dann kann man also za} Zß in die Form

bringen. Zn den Indizes a, ß fügen wir y, d, so daß a, ß, y, â irgend •eine Reihenfolge der Zahlen 1,2,3, 4 ausmachen. Aus a(z) = 0, b(z) — 0 folgt: a(e)bfl — b(z)au — 0, (y = 1, 2, 3, 4), also ausgerechnet:

₄₁n    («>    + (a, &)₂,„*2 + («,    + 0>    = 0 oder

&)«„*« + 0>    (a,    (a, &)*„** - 0.

Dieser Gleichung genügen auch xx, x₂, x₃, xi und yx, y₂, y₃₎ yx. Aus (41) folgt mit Rücksicht auf (40):

(K b)a/lxa + V)fiąBp)p + ((a, b)a/lya + (a, b)fiflyfi)q

+ ifly h)y^Y + (a> h)â^â = 0,

oder, da die x und y ebenfalls der Gleichung (41) genügen:

- ((«,    + (a, t»à^ô)P - O, %„yY + («, &)*„&)«

also :

+ («, &)y^y + («,    = o,

(*> &)y„ {*y    } -H («; &V {^ “i^d -    } = °-

Ist nun (o, b)yd von null verschieden, so folgt aus dieser Gleichung, indem man y = ó oder y = y setzt:

(42)

Zy=PXY + qyY,

*9 =    + m-

Da aber die Gleichung (a, b)yä = 0 nach (41) (für y — d) die Gleichung

(«; b)a9*a + («>    = ⁰

zur Folge hat, der auch xa, x^ und ya, y^ genügen müßten, so wäre xa : xi = ya : y^ also im Widerspruch zu unserer Voraussetzung (x, y)ali = 0. Die Annahme (a, b)yä = 0 trifft demnach nicht zu, und es ist hiermit bewiesen, daß alle Punkte einer Geraden sich aus zwei von ihnen in der Form

(43)

darstellen lassen.

Wir bilden jetzt die Geometrie <£) der homogenen Koordinaten auf die frühere Geometrie & der inhomogenen ab, indem wir setzen:

= y,

(44)

= y>

<S»L*

— = x",

wo immer

"    ^ = s",

Vi    ⁷

links Größen der £>, rechts solche der © stehen, und eine

2/4

Verwechselung mit den Bezeichnungen in (16), (16') nicht zu befürchten ist. Aus (43) folgt jetzt

X — Ix"

x =    + Vi g ₌ /X1 I

%iP + 2/4 2    \*4

j/L 3_ y± y± p *4. wo

p x₄

ist, und die homogene Parameterdarstellung der Geraden geht über in die frühere:

X — Ix"

z' —Xe"

y— ly"

y = h=T’ z =

Dem früher unzulässigen Parameterwerte 2 = 1 entspricht jetzt aber px± + qy± = 0, also zL = 0, d. h.: Während in der Geometrie dem Parameterwerte 2=1 kein eigentlicher Punkt, entsprach, ist in jg diesem Werte derjenige Punkt der Geraden zugeordnet, der in der Ebene = 0 der ^ liegt. Vom Standpunkte der Geometrie @5 aus können wir also sagen: Den uneigentlichen Punkten der ($ entsprechen in § die Punkte der Ebene = 0; zwei Geraden oder Ebenen der © sind parallel, wenn sie sich in einem Punkte bezw. einer Geraden dieser Ebene schneiden. Es ist daher zulässig, zu sagen, daß die uneigentlichen Punkte der ($ eine „uneigentliche“ Ebene erfüllen, die mit jeder eigentlichen Ebene eine Gerade, die „uneigentliche“ Gerade dieser Ebene, gemein hat, auf der alle uneigentlichen Punkte dieser Ebene liegen. Das ist die moderne „projektive“ Auffassung des Parallelismus.

§ 13. Das Wesen der Grundbegriffe.

1. Das erste und wichtigste Ergebnis der vorangehenden Untersuchung ist, daß die Euklidische Geometrie keinen Widerspruch in sich schließt, d. h., daß es wenigstens eine Mannigfaltigkeit oder Menge, die der Zahlentripel, gibt, deren Elemente sich zueinander in die Beziehungen setzen lassen, welche die Grundbegriffe und Grundsätze der Euklidischen Geometrie verlangen. Allerdings fehlt diesen Elementen und damit dieser ganzen Geometrie die unmittelbare sinnliche Existenz, auch haben wir bei der Bildung der Begriffe „Länge“ und „Winkel“ es ausdrücklich abgelehnt, uns dabei mehr zu denken als Zahlen, die gewissen anderen Zahlen zugeordnet sind. Aber gerade weil die gewöhnlichen Eigenschaften der Zahlen ausreichten, um die von der Euklidischen Geometrie geforderte Ordnung vollkommen insoweit nachzubilden, daß jeder Satz der Euklidischen Geometrie auch in der Zahlengeometrie gilt und umgekehrt jedem Satze der arithmetischen Geometrie ein Satz der räumlichen entspricht, sind wir sicher, daß die Grundbegriffe und Grundsätze der Euklidischen Geometrie miteinander verträglich sind.

Durch die Euklidische Geometrie sind zugleich auch die beiden Nichteuklidischen Geometrien gesichert, die ja, wie wir gesehen haben, mit ihr stehen und fallen: Mit den Kugelgebüschen der arithmetischen Geometrie des vorigen Paragraphen aufgebaut können die elliptische und die hyperbolische Geometrie niemals zu logischen Widersprüchen führen. Weil aber, wie hieraus nochmals folgt, das Parallelenpostulat keine logische Folge der übrigen Begriffe und Voraussetzungen der Geometrie ist, so kann es weiter nicht befremden, daß die in der Perspektive und in der projektiven Geometrie übliche Auffassung des Parallelismus auf Grund der Ausführungen am Schlüsse des § 12 nun ebenfalls sich als logisch zulässig erweist, wonach auch parallele Geraden einen Schnittpunkt haben, der aber, als „uneigentlicher“ Punkt, einer ausgezeichneten Ebene des Raumes, der „uneigentlichen“ Ebene angehört. Man kann hierin entweder nur eine Umschreibung der Tatsache erblicken, daß der Schnittpunkt in Wirklichkeit fehlt, oder aber die „uneigentliche“ Ebene sich als wirklich existierend denken. In einer rein begrifflichen Geometrie ist diese Auszeichnung einer Ebene vor den anderen ein reiner Akt der Willkür, aber an sich zulässig; da diese ausgezeichnete Ebene sich als Ebene in nichts von den anderen unterscheidet, so können wir sagen: Nach der projektiven Auffassung des Parallelismus ist die elliptische Geometrie, in der alle Ebenen und alle Geraden derselben Ebene einander schneiden, die begriffliche Grundlage der parabolischen und hyperbolischen Geometrie, der hyperbolischen, weil in ihr durch Einführung der idealen Schnittpunkte und Schnittgeraden ja schließlich doch bewirkt wird, daß alle Ebenen und alle Geraden in ihnen einander schneiden.

Durch die Euklidische Geometrie des parabolischen Kugelgebüsches ist noch eine vierte Auffassungsweise des unendlich Fernen als in sich widerspruchsfrei erwiesen, die dem Raum einen einzigen, allen Geraden und Ebenen gemeinsamen Punkt im Unendlichen zuschreibt. Der Parallelismus wird dabei in der Euklidischen W eise als Nichtschneiden erklärt, indem man jenen uneigentlichen Punkt als Schnittpunkt nicht mitzäblt. Den gewöhnlichen Euklidischen Raum kann man übrigens als Grenzfall eines parabolischen Gebüsches betrachten, dessen Zentrum ins Unendliche gerückt ist; die Kreise und Kugeln des Gebüsches gehen dadurch in „wirkliche“ Geraden und Ebenen über.

2. Daß somit (mindestens) vier einander vollkommen widersprechende Auffassungsweisen des unendlich Fernen und des Parallelis-mus möglich sind, gibt sehr zu denken. Wer wird da noch im Ernste behaupten wollen, daß die Geometrie ausschließlich die „Tatsachen“ der Raumanschauung „beschreibe“? Haben wir es nicht vielmehr, wenn wir vom unendlich Fernen reden, mit einer reinen Begriffsbildung zu tun, welche nicht nur die Grenzen jeder möglichen, sondern wahrscheinlich jeder denkbaren Erfahrung hinter sich läßt? Zeigt sich hier nicht deutlich, daß nicht nur die Anschauung den Begriff, sondern der Begriff auch die Anschauung beeinflussen kann? Das sind Fragen, die sich jedem denkenden Menschen aufdrängen werden. Ehe wir uns an die Beantwortung derselben wagen, wird es gut sein, mit unseren durch den § 12 erweiterten Hilfsmitteln eindringender zu zeigen, daß dabei auch rein mathematische Interessen im Spiele sind. Wir haben schon in § 12, 1. auf den hohen wissenschaftlichen Wert der logischen Analyse unserer Raumanschauung und des rein logischen Aufbaues der Geometrie hingewiesen. Er besteht darin, daß die Sätze der rein logisch begründeten Geometrie von jeder linearen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit gelten, d. h. von jedem System von Dingen, die sich zueinander verhalten wie Punkte, Geraden und Ebenen.¹) Die Ausdrücke „Scheinpunkt“, „Scheingerade“, „Scheinebene“, die wir im vorangehenden für diese Gebilde gebraucht haben, waren nur Notbehelfe, um die Wortzwitter Pseudopunkt u. s. w. zu vermeiden; sie mögen von nun an Grundgebilde „nullter“, „erster“ oder „zweiter“ Stufe heißen, kürzer ($₀, @₁, die Mannigfaltigkeit selber heiße ein ©₃; „Stufe“ sei gleichbedeutend mit Dimension. Für Grundgebilde nullter Stufe nehmen wir auch aus der Mengenlehre (Bd. I, erster Abschnitt) den Ausdruck „Elemente“ herüber. Diese ganze Namengebung rechtfertigt sich dadurch, daß es außer den Kugelgebüschen noch unendlich viele andere dreidimensionale Mannigfaltigkeiten gibt, wie wir alsbald zeigen werden, so daß also die Punkte Geraden und Ebenen als Individuen der Gattungsbegriffe ($₀, ©1; ($₂ zu betrachten sind.

3. Es geht aus didaktischen Gründen nicht an, die rein begriffliche Geometrie von vornherein als Geometrie dreidimensionaler linearer Mannigfaltigkeiten zu entwickeln, weil dieser Begriff selber aus der Anschauung nicht unmittelbar gewonnen werden kann, sondern die gewöhnliche Geometrie voraussetzt. Erst wenn die gewöhnliche Geometrie soweit durchgeführt ist, daß man hinreichend viele Beispiele linearer Mannigfaltigkeiten dritter Stufe zur Verfügung hat, kann man die bis dahin gewonnenen Lehrsätze von der Beschränkung auf die gewöhnlichen Punkte, Geraden und Ebenen befreien, indem man zeigt, daß die ($₀, @1; @₂ jener Mannigfaltigkeiten ebenfalls den (Hilbertschen)

Axiomen der Geometrie, also auch ihren logischen Folgerungen gehorchen. Yon da an muß die Geometrie dann ganz abstrakt, für alle bekannten und denkbaren Mannigfaltigkeiten gültig, weiter gebildet werden.

Hat man etwa die gewöhnliche Geometrie rein begrifflich soweit gesichert, daß man die Lehre vom Kugelgebüsche beherrscht, so liefert das parabolische Gebüsch die erste Travestie der Euklidischen Geometrie (bis auf das Verhalten im Unendlichen). Bezeichnet man die Punktepaare, Kreise und Kugeln des hyperbolischen oder elliptischen Gebüsches als Scheinpunkte, Scheingeraden und Scheinebenen, und ist von diesen nachgewiesen, daß sie außer dem Parallelenaxiom alle Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllen, so gelten von ihnen, ohne daß noch Beweise nötig wären, alle Sätze der Euklidischen Geometrie, die vom Parallelenaxiom nicht abhängen.

Wenn man ferner aus der projektiven, von jeder Maßbestimmung unabhängigen Erzeugung der Kurven und Flächen zweiter Ordnung rein logisch die Theorie dieser Gebilde gewonnen hat, so läßt sich diese Theorie ohne weiteres auf die Kugelgebüsche übertragen, die wieder als Scheingeometrien betrachtet werden. Yon den Kurven und Flächen zweiter Ordnung dieser Scheingeometrien haben wir nur die Scheinkreise und Scheinkugeln kennen gelernt. Viel interessanter sind aber die allgemeinen Scheingebilde zweiter Ordnung, deren Theorie man ohne ein Wort des Beweises aus der gewöhnlichen Geometrie herübernehmen kann. Und, was das Schöne ist, vom Standpunkte der gewöhnlichen Geometrie aus wären das Kurven und Flächen (Zykliden) vierter Ordnung, deren direkte Erforschung sehr schwierig wäre, während bei jener Übertragung die geometrischen Erkenntnisse ungesucht in unerschöpflicher Fülle uns Zuströmen. Man denke nur an die Lehre von Pol und Polare.

So kann die Geometrie jeder dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit unter zwei ganz verschiedenen Gesichtspunkten studiert werden, die man begrifflich streng auseinander halten muß, während man praktisch fortgesetzt zwischen ihnen wechseln wird: Man kann die Grundgebilde nullter, erster und zweiter Stufe ($₀, @j, ($₂ einer Mannigfaltigkeit ($₃ entweder als Gebilde der gewöhnlichen Geometrie auffassen, wo sie dann im allgemeinen von sehr komplizierter Natur sein werden, oder als Analoga der Punkte, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen Geometrie, die alle Axiome derselben erfüllen. Dann lassen sich auch alle Folgerungen der Axiome von den ($₀, ©*, ($2 aussagen. So wird die zum Aufbau der rein begrifflichen Geometrie verwandte Geistesarbeit zur unerschöpflichen Quelle neuer Wahrheiten. Also nicht aus Mißachtung der schöpferischen Anschauungskraft, nicht aus Freude an zerstörender Kritik oder pedantischer Logik, sondern im wohlerwogenen Interesse unserer Wissenschaft muß man eine streng axiomatische Kodifizierung ihrer Voraussetzungen verlangen, damit ihre Lehrsätze von vornherein die volle ihnen zukommende Tragweite erhalten. Das ist die Forderung, die man nach Mach die „Ökonomie des Denkens" nennt.

4. Noch aus einem anderen Grunde ist es wünschenswert, sozusagen mehrere geometrische Sprachen zu beherrschen und das Anschauungsvermögen zu einer gewissen Elastizität auszubilden. Es gibt nämlich in der Geometrie des dreidimensionalen Raumes Probleme, die ihrem analytischen Charakter nach in Räumen von vier und mehr Dimensionen spielen. Sie entziehen sich dabei in der ursprünglichen Einkleidung der rein synthetischen Forschung, weil wir nicht gewöhnt sind, uns den Euklidischen Raum als Grundgebilde dritter Stufe eines vierdimensionalen Raumes zu denken. Dagegen gibt es im Euklidischen Raume zahlreiche lineare Mannigfaltigkeiten von vier und mehr Dimensionen. Am bekanntesten ist die aller Kugeln. Zur Festlegung des Zentrums einer Kugel ist die Angabe seiner drei Abstände von drei aufeinander senkrechten Ebenen nötig; der Radius erfordert eine vierte Zahlenangabe. Also gibt es „vierfach unendlich" viel Kugeln, d. h. man kann die Elemente der Mannigfaltigkeit aller Kugeln durch je vier Zahlen voneinander unterscheiden, die aller reellen Werte fähig sind. Die Kugeln bilden daher eiüe vierdimensionale Mannigfaltigkeit ($₄. Diese ist linear, d. h. je zwei ®₃ (Gebüsche) der ($₄ bestimmen ein @₂ (Bündel), je drei ein (Büschel), je vier ($₃ ein ($₀ (Kugel); oder auch: je zwei ($₀ bestimmen ein ©l7 je drei ($₀, die nicht einem ($₄ angehören, ein ($₂, und je vier Elemente, die keinem ($₂ angehören, legen endlich ein ($₃ fest. Ähnlich wird der Begriff der Linearität für fünf und mehr Dimensionen definiert. Analytisch entspricht der Linearität die Tatsache, daß die Grundgebilde durch „lineare" Gleichungen, d. h. durch Gleichungen ersten Grades in den Koordinaten dargestellt werden.

Wenn man nun auf ein Problem gestoßen ist, das (analytisch geometrisch) dazu nötigt, den Punkt-Geraden-Ebenenraum als Grundgebilde dritter Stufe einer vierdimensionalen linearen Mannigfaltigkeit aufzufassen, so braucht man das Problem nur etwa auf die Mannigfaltigkeit der Kugeln zu übertragen, um es der rein synthetischen Geometrie zu erschließen und zugleich anschaulich zu machen. Diese Übertragung aus einer Mannigfaltigkeit in eine andere ist aber nur unter der Voraussetzung zulässig, daß beide Mannigfaltigkeiten denselben Axiomen gehorchen und ihre Geometrie sich nur auf diese Axiome stützt; sowie man Beweismotive nicht rein logischer Herkunft zuließe, wäre diese Übertragbarkeit nicht mehr a priori sicher.

Daß es geometrische Probleme gibt, die erst durch Übergang in eine Mannigfaltigkeit höherer Dimension eine vollkommen befrie-digende Lösung erfahren, hat man zuerst bei dem Satze von Desargues bemerkt (vgl. § 10, 1.). Auf zwei Dreiecke in derselben Ebene beschränkt, bildet dieser Satz die Grundlage der synthetischen Geometrie der Ebene. Während nun alle anderen Sätze dieser Planimetrie rein mit den Hilfsmitteln der ebenen Geometrie, und zwar rein synthetisch, d. h. unabhängig von den Kongruenzaxiomen bewiesen werden können, wollte ein Gleiches für diesen fundamentalen Satz nicht gelingen, bis dann Hilbert in seinen „Grundlagen“ (§ 23) zeigte, daß diese Versuche notwendig scheitern mußten. Hilbert bewies, daß dieser Satz entweder die räumlichen Axiome, oder die Kongruenzaxiome voraussetzt. Da aber die Kongruenzaxiome dem Geiste der reinen Synthesis widersprechen, so ist jener planimetrische Satz nur unter Benutzung des Raumes synthetisch beweisbar, und zwar durch die einfache Überlegung, 1,2 die wir in § 10, 1. mitgeteilt haben.

2.*

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Mg. 46.

5. Wie ein Problem durch Übersetzung aus einer Mannigfaltigkeit in eine andere plötzlich in das klarste Licht gerückt werden kann, wollen wir an einem Beispiele zeigen, das sich leicht an den Satz von Des argues anknüpfen läßt.

Unter einer ebenen Konfiguration Kf. (nk) versteht man ein System von n Punkten und n Geraden einer Ebene in der Anordnung, daß durch jeden seiner Punkte Je seiner Geraden gehen und in jeder seiner Geraden Je seiner Punkte liegen. Eine räumliche Konfiguration Kf. (nk, gs) ist ein System von n Punkten, n Ebenen und g Geraden in folgender Anordnung: Durch jeden Punkt des Systems gehen Je seiner Ebenen, und in jeder Ebene des Systems liegen Je seiner Punkte; jede Gerade des Systems geht durch s der ■n Punkte und liegt in s der n Ebenen.

Die Ermittelung aller Konfigurationen für gegebenes n, g, le, s ist ein ebenso schönes als schwieriges Problem, das noch der vollständigen Lösung harrt. Im folgenden wollen wir die zwei Anfangsglieder einer unbegrenzten Reihe von Konfigurationen angeben, die aber Räumen von zunehmender Dimensionszahl angehören. Eine einfache ebene Konfiguration, und zwar eine Kf. (10₃) haben wir in der vollständigen Figur des Satzes von Desargues, wenn man die beiden Perspektiven Dreiecke in einer Ebene r\ annimmt. Wie die Figur 46 zeigt, kann man die 10 Punkte dieser Konfiguration so mit je einem Indexpaare aus der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5 bezeichnen, daß jedes

IS,

S,2.

•U.

rl2

2,6

3,1

der 10 möglichenPaare nur einmal vorkommt und die zu einer Kon-figurationsgeraden gehörigen Indexpaare nur aus drei verschiedenen Ziffern gebildet sind, die daher zur Bezeichnung dieser Geraden dienen können-Dieser Sachverhalt bringt uns auf den Gedanken, ob vi eileicht im Raume ein System von fünf Punkten '    ^5 so angenommen

werden kann, daß der Punkt h, Je der \6- Konfiguration als Schnitt von rj mit der Geraden

die Gerade Ji, Je, l der Konfiguration als Schnitt von 17 mit der Ebene    erscheint (Ji, Je, l = 1,2,3,4,5).

!■'

1'/

Das ist nun in der Tat möglich, und so ergibt sich denn die ebene Kf. (10₃) als Schnitt einer Ebene mit einem vollständigen räumlichen Fünfeck, d. h. einem System von fünf Punkten, den Verbindungsgeraden von je zweien und den Verbindungsebenen von je dreien derselben.

n\

rig. 47.

Es liegt nahe, zum Raume auf steigend zwei Perspektive Tetraeder zu betrachten, d. h. zwei Tetraeder,, die infolge spezieller Lage so aufeinander bezogen werden können, daß die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch denselben Punkt gehen; durch wiederholte Anwendung des Satzes von Desargues folgt aus dieser Voraussetzung, daß die entsprechenden Seiten und Kanten beider Tetraeder sich in Geraden und Punkten einer Ebene treffen. Die so entstehende Figur bildet eine Kf. (lö₆, 20₃), deren Punkte, wie Figur 47 zeigt, analog zu Figur 46 so mit Indexpaaren aus der Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, 6 bezeichnet werden können, daß jedes der 15 möglichen Paare einmal vorkommt und die Paare auf einer Geraden der Konfiguration

nur aus drei, auf einer Ebene derselben nur aus vier verschiedenen Zahlen gebildet sind; diese Tripel und Quadrupel können dann zur Bezeichnung dieser Geraden und Ebenen dienen. Nach der Analogie der Kf. (10₃) wird man jetzt sofort an ein vollständiges Sechseck $ßi $ß₂ ^3 ^4^5 ^6 in einem vierdimensionalen Raume denken, dessen Schnitt mit dem dreidimensionalen Raume unserer Euklidischen Geometrie die Kf. (15₆, 20₃) sein soll; der Punkt Ji, Je, die Gerade Ji, Je, l, die Ebene h, Je, l, m unserer Konfiguration wären dann der Schnitt des ÜE mit der Geraden    der Ebene $ßA $ßA dem drei

dimensionalen Raume $ßA^ßÄ$ßj$ßw (Ji, Je, l, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Analytisch läßt sich diese Vermutung sehr leicht bestätigen¹), aber rein geometrisch vermögen wir den an sich einfachen Rechnungen nur schwer zu folgen, weil wir uns den RE als Gebilde eines Raumes _ß4 von vier Dimensionen nicht anschaulich vorstellen können. Da wir aber wissen, daß die Kugeln, Kugelbüschel, Kugelbündel und Kugelgebüsche als Grundgebilde nullter, erster, zweiter und dritter Stufe einer linearen Mannigfaltigkeit ($₄ von vier Dimensionen betrachtet werden können, so kommen wir über diese Schwierigkeit leicht hinweg, wenn wir den Schauplatz der Untersuchung in die Mannigfaltigkeit aller Kugeln verlegen. Die Grundgebilde ($₀, @₁, ($₂, @₃ dieser Mannigfaltigkeit nennen wir Scheinpunkte, Schein geraden, Schein ebenen, Scheinräume und denken uns von sechs willkürlich angenommenen Scheinpunkten ^ßl7 $ß₂, ^ß₃, ^ß₄, $ß₅, ^ß₆ je zwei durch eine Scheingerade, je drei durch eine Scheinebene, je vier durch einen Scheinraum verbunden. Der „Schnitt“, d. h. das Gemeinsame dieses „vollständigen“ vierdimensonalen Sechsecks mit einem Scheinraume H ist dann die Konfiguration Kf (156; 20₃), die nunmehr der Anschauung und der geometrischen Untersuchung zugleich erschlossen ist. Doch können wir hierauf nicht weiter eingehen. Nur eins wollen wir noch erwähnen: Zu den Scheinräumen gehört auch der Punkt-Geraden-Ebenen-raum der Euklidischen Geometrie als Grenzfall eines parabolischen Gebüsches mit unendlich fernem Mittelpunkt. Bringen wir aber das vollständige vierdimensionale Sechseck mit diesem speziellen (Schein-)Raume zum Schnitt, so erhalten wir die Kf. (15g, 20₃) in gewöhnlichen Ebenen, Geraden und Punkten;, und zwar sind das die Potenzebenen von je zwei, die Potenzachsen von je drei und die Potenzzentra von je vier der sechs Kugeln, die als Scheinecken des Sechsecks fungieren.

Wenn wir von diesem besonderen Glücksfalle, daß sich das zu untersuchende Gebilde hier schließlich wieder in der ursprünglichen Form einstellt, auch ganz absehen, war die Hinüberspielung unseres

1) Vergl. etwa die Arbeiten von Richmond, Math. Ann. 53 und R. Funck (Straßb. Diss. 1901) über die Kf. (15₆, 20s).

Problems in die Kugelgeometrie an sich schon ein entscheidender Erfolg, durch den der Machtbereich der rein synthetischen Geometrie um eine Dimension erweitert wurde. Wie hier, so in vielen anderen Fällen! Es wird daher erwünscht sein, und für eine klarere Erfassung des Wesens der geometrischen Grundbegriffe ist es ohnehin notwendig, den Umfang des Begriffes der linearen Mannigfaltigkeit näher kennen zu lernen. Wir müssen dazu die Anfangsgründe der analytischen Geometrie yoraussetzen, wenn anders der Leser es nicht vorzieht, die Ergebnisse des folgenden Artikels auf guten Glauben hinzunehmen.

6. Wir verwenden ein gewöhnliches rechtwinkeliges System von Punktkoordinaten x, y, z, also etwa die des § 12. Die Punkte einer Fläche wter Ordnung werden durch eine Gleichung wter Ordnung f(x, y, z) = 0 dargestellt, die Punkte einer algebraischen Kurve durch ■die gemeinsamen Lösungen einer endlichen Anzahl s solcher Flächengleichungen. Diese s Gleichungen g₁ =0, g₂ — 0, g₃ — 0, . . ., gs = 0 lassen sich in eine einzige qp = 0 zusammenziehen, wenn man qp = gxux -f- g₂u₂ -{-•••+ gsus setzt und nur solche Lösungen x, y, z der Gleichung qp = 0 in Betracht zieht, die von den unbestimmt bleibenden Parametern ux, u₂, . . ., us unabhängig sind; man nennt den Ausdruck qp bei dieser Beurteilung seines Verschwindens ein Funktional.²)

Wenn die Flächen fx = 0, f₂ = 0, . . ., fr= 0 nur ein System von einzelnen Punkten, im äußersten Falle einen Punkt gemeinsam haben, so stellt das Funktional Q = fxvxf₂v₂• • • -\-frvr, mit unbestimmten Parametern vx, . . ., vr gebildet und gleich null gesetzt, dieses Punktsystem dar; haben die Flächen aber keinen Punkt gemeinsam, so stellt = 0 überhaupt kein Raumgebilde dar. Wir vermerken als erstes Ergebnis dieser Betrachtung:

Qp = 0, einzelnen Kurven cpx = 0, qp₂ = 0, ..

Mit Hilfe von Funktionalen kann man das allgemeinste algebraische Gebilde, das aus einzelnen Punktsystemen <1^ = 0, *.“0, ..

und einzelnen Flächen fx = 0, f₂ = 0, . . ., fm = 0 besteht, durch eine einzige algebraische Gleichung Si = 0 darstellen, wo

qPiqp₂ . . . qp,. fxf₂ . . . fm

ist.

Zwei solcher algebraischer Gebilde Si = 0, Si' = 0 bestimmen ein Ü-Büschel xSi -f- ISS'= 0, drei nicht demselben Büschel angehörige Gebilde Si = 0, Si — 0, Si" — 0 ein ii-Bündel xSi -f XSi' -f- g Si" = 0, vier nicht demselben Bündel angehörige Gebilde Si — 0, Si' = 0, Si" = 0, Si'" = 0 endlich ein ^-Gebüsch xSi -f XSi' + y Si" + vSi'" = 0, wenn

x, A, [i, v alle Zahlenwerte durchlaufen. Weiter wollen wir nicht gehen. Sind nun ^ = 0, Si₂=0, Si₃ = 0, ß₄=0 in „laufenden“ Koordinaten x, y, z die Gleichungen von vier algebraischen Raumgebilden, die keinem Bündel angehören, und bezeichnet man die Individuen des Gebüsches + rjSl₂ + ÇSi₃ -f- i&₄ = 0 als Scheinpunkte, die sie festlegenden Parameter £, rj, £ als ihre Scheinkoordinaten, so kann man auf diese Scheinkoordinaten die Begriffsbildungen des § 12 anwenden und so Scheingeraden und Scheinebenen definieren. Die Scheinkoordinaten eines Scheinpunktes (£, rj, £) auf der Scheingeraden durch zwei Scheinpunkte (£', y, £'), (|", y", £") lassen sich nach § 12, 5. mittels eines Parameters l in die Form

r-*r

i — i ’

y—W

bringen. Wiegen ^Sil-\-ySi₂-\-^Si₃-\-Si₄== 0 hat man daher: Si'—XSi"=0, WO Si = 1-f- Si₂7] + Sl₃t, -f- Si±, Si — Sixh, -j- Si₂7j -j- Si₃t, -f- Sii. Die Scheinpunkte der Scheingeraden bilden daher Si-Büschel, deren Individuen dem Gebüsche angehören; die Scheinpunkte der Scheinebenen bilden, wie leicht zu zeigen ist, Ü-Bündel, deren Elemente ebenfalls im Gebüsche enthalten sind. Wir haben somit eine dreidimensionale lineare Mannigfaltigkeit von höchst umfassender Art hinsichtlich der Elemente gewonnen, die in ihr als (Schein-)Punkte auftreten. Jedes Raumgebilde vom Typus Si, also speziell jede Raumkurve oder Fläche, kann zum „Punkt“ einer „Geometrie“ gemacht werden, die nach dem Vorbild der Euklidischen geordnet ist und alle Sätze derselben erfüllt.

7. Damit ist aber der Umfang des Begriffes der linearen Mannigfaltigkeit bei weitem nicht erschöpft, und das dürfte auch kaum möglich sein. Man könnte die Si in Ebenen- und Linienkoordinaten ansetzen, mit Hilfe der Matrizensymbolik lineare Transformationen des Raumes als Elemente einer Mannigfaltigkeit einführen u. s. w. Eine andere Erzeugungsweise wollen wir an einem Beispiele klar machen, das unsere beiden Geometrien des § 10, 2ff. als besonderen Fall umfaßt und leicht zu verallgemeinern ist. Wir gehen zu diesem Zwecke aus von einem Gebüsche von Flächen zweiter Ordnung, einem „F²- Gebüsche“

Fi O, y,e)è + Fg {x, y, z) y + F₃ (x, y, z) £ + F₄ (x, y, z) = 0.

Soll eine Fläche dieses Gebüsches durch den Punkt (V, y, z) gehen, so muß Fi (x, y, z) Ź + F₂ {x, y, z) y + F₃ ix, y, z) £ + F₄ {x, y, z) = 0, also auch

(FiF; - F/F₄) g -f- (F₂ Fl - Fl Fl) y + (F₃F₄' - F₃'F₄) £ = 0

sein, wo zur Abkürzung Fh, Fh' für Fh (x, y, z), Fh (x, y, z) gesetzt ist. Die Flächen durch (cc, y, z') bilden also ein Bündel und haben die acht Schnittpunkte der Flächen zweiter Ordnung Ft F±—FlFL = 0, jF₂Fà'— F₃'Fà = 0, FZF± — F^Fl = 0 gemeinsam; einer dieser Punkte ist (x'} y, /). Die Flächen eines .F²-Gebüsehes, die durch einen Punkt (x, y, z) gehen, haben daher noch sieben andere Punkte gemeinsam, die mit dem gegebenen „assoziiert“ heißen; jede Fläche des Gebüsches durch einen dieser Punkte geht von selbst durch die sieben anderen. Acht assoziierte Punkte bestimmen daher im F²-Gebüsche nur ein F²-Bündel, zwei Oktupel assoziierter Punkte nur ein F²-Büschel, drei Oktupel endlich erst eine einzige Fläche, die durch diese Punkte geht, während neun Punkte allgemeiner Lage allein schon eine Fläche zweiter Ordnung im Raume festlegen können. Da die Flächen eines Büschels sich in einer Raumkurve IY. Ordnung durchdringen, so kann man auch sagen: Zwei Oktupel bestimmen eine und nur eine durch sie gehende Raumkurve IY. Ordnung. Man sieht, die Oktupel assoziierter Punkte tragen zur Festlegung der Raumkurven IY. Ordnung und der Flächen II. Ordnung des Gebüsches in ähnlicher Weise bei, wie die Paare inverser Punkte zur Festlegung der Kreise und Kugeln eines Kugelgebüsches. Es folgt: Wenn man die Oktupel assoziierter Punkte eines jF²-Gebüsches als Scheinpunkte, die Raumkurven IY. Ordnung desselben als Scheingeraden, die Flächen II. Ordnung desselben als Scheinebenen bezeichnet, so bilden diese Scheinpunkte, Scheingeraden und Scheinebenen eine lineare Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen, in der die Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllt sind; natürlich auch die der beiden Nichteuklidischen Geometrien, je nachdem man eine Fläche des Systems als uneigentliche auszeichnet oder nicht.³) Wir heben als wesentlich für die Gültigkeit dieses Satzes hervor, daß je acht assoziierte Punkte für einen einzigen Scheinpunkt gelten müssen; man darf nicht etwa sagen, wenn A und B assoziiert sind, A sei derselbe Scheinpunkt wie B. Es ist in hohem Grade interessant, die Lehre von den F²-Gebüschen unter diesem Gesichtspunkte zu betrachten und sich die Sätze bei Reye, Geometrie der Lage, Bd. III klar zu machen. Als Analoga der Kurven und Flächen

II. Ordnung der gewöhnlichen Geometrie treten wichtige Kurven und Flächen höherer Ordnung auf, die man von unserem Standpunkte aus im hellsten Lichte übersieht. Ein ganz spezieller Fall des F²-Gebüsches ist übrigens das Kugelgebüsch; an die Stelle der assoziierten Punkte treten dort die Paare inverser Punkte.

8. Wenn man in obigen Formeln überall z durch einen konstanten Wert ersetzt und dieselben nebst den Bezeichnungen sinngemäß umdeutet, ergeben sich entsprechende Sätze für die Ebene, von denen wir nur den anführen wollen, daß die Kegelschnitte, die Kegelschnittbüschel und Kegelschnittbündel eines ebenen Kegelschnittgebüsches eine dreidimensionale lineare Mannigfaltigkeit bilden, in der die Voraussetzungen der Euklidischen Geometrie erfüllt sind— von einigen Ausnahmen und Ausai'tungen abgesehen. — Diese Sätze über die Kegelschnitt- und F²- Gebüsche sind verhältnismäßig leicht auch rein synthetisch zu gewinnen. Bezeichnet man nun die Kegelschnitte eines Gebüsches als Scheinpunkte, die Büschel und Bündel als Scheingeraden und Scheinebenen, so gelten alle Folgerungen der Axiome der Anordnung und Verknüpfung.

Im wesentlichen waren diese Sätze, allerdings nicht in diesem Zusammenhänge, schon den Analytikern zu Anfang des vorigen Jahrhunderts bekannt und wurden von Jakob Steiner rein synthetisch heiß umworben. In einem Briefe an Jacobi vom 31. Dezember 1833, den Jahnke im Archiv der Mathematik und Physik (3), Bd. 4, S. 274 mitgeteilt hat, gibt Steiner die Umdeutung eines Satzes über das vollkommene Vierseit in die Geometrie des Kegelschnittgebüsches an; aus dem Stolze, mit dem er von dieser doch ziemlich an der Oberfläche liegenden Entdeckung spricht, geht deutlich hervor, daß ihm die logischen Gründe dieser ihn überraschenden Übereinstimmung nicht bekannt waren, ein neuer Beweis dafür, daß es kein unfruchtbares Beginnen der kritisch gerichteten Mathematik ist, alle Sätze der Geometrie von vornherein so zu beweisen, daß sie auch in jeder anderen linearen Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen gelten. Das ist im wesentlichen ja auch das Ziel der Ausdehnungslehre von Graß mann, deren steigende Anerkennung im Gebiete der reinen und angewandten Mathematik besonders dafür spricht, daß es einen guten Sinn hat, auch die Eigenschaften des Maßes auf alle Mannigfaltigkeiten zu übertragen; hinsichtlich der aus den Axiomen der Anordnung und Verknüpfung folgenden (projektiven) Eigenschaften wird man ja ohnehin geneigt sein, die Möglichkeit und Zweckmäßigkeit ihrer Übertragung auf alle lineare Mannigfaltigkeiten zuzugeben.

9. Während wir bisher zu beweisen suchten, daß die logische Zergliederung und Präzisierung unserer Raumanschauung vom rein geometrischen Standpunkte aus notwendig und nützlich ist, wollen wir nun auch auf die rein erkenntnistheoretische Seite des Problems eingehen, soweit das mit einfachen mathematischen Methoden möglich ist. Es sei gleich vorausgeschickt, daß wir damit den Boden streng mathematischer Deduktion verlassen und uns auf ein Gebiet begeben, auf dem zwischen den Mathematikern ebensowenig Überein-

Stimmung herrscht als zwischen den Philosophen. Deshalb dürfen wir aber den Schwierigkeiten nicht aus dem Wege gehen, oder gar sie als mathematisch unfruchtbar lediglich den Philosophen überlassen. Denn allem Anschein nach wird das Erkenntnisproblem der exakten Wissenschaften die Philosophie in steigendem Maße beschäftigen. Da ist es Sache des Mathematikers, der ja in seiner Wissenschaft nach Plato⁴) die „Handhaben der Philosophie“ (A«/3dg cpiloGoyCag) besitzt, seine Interessen zu vertreten und das Material herbeizuschalfen, das ihm der Berücksichtigung besonders wert scheint. Es handelt sich hier um Fragen, die auch wir wesentlich fördern können, wenn wir unbefangen prüfen und zum Ausdruck bringen, was wir uns beim Betriebe unserer Wissenschaft eigentlich denken. Dazu kommt noch ein anderer Grund: die Anwendung der Mathematik auf die Naturwissenschaften kann nur dann im höchsten Sinne erfolgreich sein, wenn wir uns im voraus keiner Täuschung darüber hin-geben, was wir mit unserer Wissenschaft leisten können und was nicht. In dieser Beziehung wäre es sehr lehrreich, auf die Geschichte der Mathematik in den letzten zweihundert Jahren zurückblickend sich klar zu machen, wie es kommen konnte, daß die Mathematik als Hilfsmittel der Naturwissenschaften ebenso maßlos überschätzt als herabgesetzt und daß andererseits der Formelapparat der Physik von den großen Umwälzungen der physikalischen Anschauungen verhältnismäßig so wenig berührt worden ist.

10. Soviel dürfte aus unserer Untersuchung mit Bestimmtheit hervorgehen: daß man bei den Grundgebilden „Punkt“, „Gerade“, „Ebene“, „Raum“, und den Grundbegriffen „zwischen“, „Strecke“, „Winkel“, „Kongruenz“ streng zu scheiden hat zwischen den Eigenschaften, die sich vom gewöhnlichen Raume auf jede andere lineare dreidimensionale Mannigfaltigkeit übertragen lassen, und den Eigenschaften, die diesen Begriffen individuell zukommen Übertragbar sind die Eigenschaften der Verknüpfung und Anordnung, der Stetigkeit und Kongruenz, soweit sie in den (Hilbertschen) Axiomen zusammengestellt sind. Unübertragbar ist z. B. die Kleinheit des (materiellen) Punktes, die gefällige, gleichmäßige Rundung der Kugel, überhaupt alles, was sich auf das Aussehen der Raumgebilde bezieht, indem man dieselben an sich, nicht in Beziehung zu anderen betrachtet. Durch gewisse Ausfallserscheinungen macht sich die Unterdrückung der individuellen Eigenschaften besonders in der rein formal begründeten analytischen Geometrie des § 12 bemerkbar. Bei einem Zahlentripel (a, b, c), das dort den Punkt definiert, denkt man überhaupt nicht an etwas Großes oder Kleines, es müßte denn die Größe der drei Zahlen selbst sein, worauf es hier aber nicht ankommt; und das unendlich Ferne büßt in der „homogenen“ Geometrie § des § 12 die Sonderstellung, die es in unserer Raumanschauung hat, vollständig ein; eine geometrische Figur in unserer gewöhnlichen Raumanschauung hat stets ein Oben und Unten, hat näher und ferner liegende Teile: in der rein arithmetischen Geometrie ist das von unserem subjektiven Standpunkte Herrührende völlig eliminiert. Die übertragbaren Eigenschaften betreffen die Beziehungen der Grundbegriffe zueinander, die individuellen Eigenschaften die Beziehungen zu unserer Sinnlichkeit.

11. Wohl jeder Grundbegriff wird in eine übertragbare und in eine individuelle Komponente spaltbar sein, doch ist es im allgemeinen schwer, eine scharfe Grenze zu ziehen. Während noch Kant in seinen Prolegomena wiederholt darauf hin wies, daß der Gegensatz zwischen rechts und links, zwischen einem Körper und seinem Spiegelbilde durch begriffliche Definitionen gar nicht zu fassen sei, was Gauß durchaus anerkennt, wenn er auch die von Kant daraus gezogene Folgerung bestreitet (Selbstanzeige der „Theoria residuorum biquadraticorum“, Gauß’ Werke, Bd. 2, S. 117), ist es Pasch in seinen schon zitierten Vorlesungen über Neuere Geometrie gelungen, die Begriffe der Anordnung rein axiomatisch zu fixieren. Jener Gegensatz läßt sich nunmehr nicht nur begrifflich fassen, sondern sogar rein logisch deduzieren. Damit soll durchaus nicht gesagt sein, daß in den Axiomen der Anordnung der Begriff der Anordnung restlos untergebracht sei, es ist nur die Rede von der übertragbaren Komponente, für die allein die rein logische Geometrie Verwendung hat. Die Euklidischen Definitionen der Begriffe „Punkt“, „Gerade“,. „Ebene“ (der Begriff „zwischen“ wird überhaupt nicht erörtert) enthalten ausschließlich die individuelle, oder, wie man es auch auffassen kann, die materielle Seite dieser Begriffe, weshalb denn auch aus diesen Definitionen kein geometrischer Schluß gezogen werden kann. Die Axiome der Anordnung und Verknüpfung, der Kongruenz, des Parallelismus und der Stetigkeit (in der Hilbert sch en Fassung) legen ebenso ausschließlich nur die rein logischen Beziehungen zwischen diesen Begriffen fest, indem ja, wie Hilbert selbst zeigt, diese Axiome in der linearen dreidimensionalen Zahlenmenge sich erfüllen lassen. Es beruht daher auf vollständiger Verkennung der Absichten Hilberts, wenn man ihm vorgeworfen hat, auf Grund seiner Axiome könne man nicht entscheiden, ob eine Taschenuhr ein Punkt ist oder nicht. Das können und das wollen diese Axiome nicht. Denn obwohl die Geometrie zu dem Zwecke erfunden ist und weiter ausgebildet wird, die Eigenschaften der Gebilde unserer (sinnlichen)

Raumanschauung zu ergründen, sind doch ihre Wahrheiten, insofern sie sich auf die oben übertragbar genannten Eigenschaften beziehen, von der sinnlichen Form, in der uns die Raumgebilde erscheinen, logisch vollkommen unabhängig; unsere gewöhnliche Geometrie ist ja, wie wir an zahlreichen Beispielen dargetan haben, nur eine von unendlich vielen (angenäherten) Realisierungen ihres reinen Gedankengehaltes. Also beabsichtigt oder nicht, muß eine im Sinne der Hilbert sch en „Grundlagen“ aufgebaute Geometrie in jeder dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit gelten. Wenn man, wie wir es tun, diese Übertragbarkeit der geometrischen Sätze ausdrücklich anstrebt, so kann man auch nicht im Zweifel sein, was man von jenen Axiomen zu halten hat, die manchen als unnötig, als trivial erscheinen, weil sie unmittelbar einleuchten, wie z. B. die Axiome der Anordnung. Schon die Mathematiker des griechischen Altertums waren gegenüber derartigen Axiomen geteilter Ansicht. Für eine in allen dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeiten gültige Geometrie ist aber keiner dieser Sätze so unscheinbar, daß er nicht als Voraussetzung ausdrücklich anerkannt werden müßte. Das sieht man sofort, wenn diese Beziehungen in ungewohnter Weise verwirklicht werden; man versuche einmal, den Oktupeln assoziierter Punkte eines F²- Gebüsches, die wir in Artikel 7 als Scheinpunkte aufgefaßt haben, die Beziehung „zwischen“ aufzuprägen; ohne die Axiome der Anordnung würde man da ganz ratlos sein.

12. Die Geometrie kann ihre Gewißheit nicht den individuellen Eigenschaften der Grundgebilde und Grundbeziehungen verdanken, die ja von einer Mannigfaltigkeit zur anderen wechseln, sondern einzig und allein den Eigenschaften, die wir als übertragbare bezeichnet haben und die als solche in allen Mannigfaltigkeiten wiederkehren. Wie der Hilbert sehe Abriß der Grundlagen zeigt, bilden die Axiome die einzige unbeweisbare Voraussetzung und die einzige Erkenntnisquelle seines ganzen Systems. Auf die Grundbegriffe stützen sich die Definitionen der abgeleiteten Begriffe des Kreises, des Kegelschnittes u. s. w. Aber die Geometrie arbeitet nicht bloß mit den fundamentalen und den abgeleiteten Begriffen, deren Anzahl immerhin .eine begrenzte ist; denn sonst müßte sie sich schließlich erschöpfen, weil man aus jenen Begriffen nicht mehr herausziehen kann, als man durch die Definition in sie hineingesteckt hat. Das Charakteristische der geometrischen Forschungsmethode besteht vielmehr darin, daß man immer und immer wieder neue Voraussetzungen einführt, die sich aber von den Grundvoraussetzungen dadurch ganz wesentlich unterscheiden, daß ihre Verträglichkeit mit jenen stets im voraus beweisbar ist und daß sie mit jenen zugleich erfüllt sind. So setzt z. B. der Satz des Desargues zwei Dreiecke Ä, B', C' und A", B", C"

voraus, die so zueinander gelegen sind, daß sich die Geraden AB' und A"B", B'C’ und B"C", C'A' und C'A" in drei Punkten C, A, B einer Geraden u treffen. Um die Zulässigkeit dieser Annahme einzusehen, nehme man (vgl. Fig. 48) A, B, C auf einer Geraden u willkürlich an (Axiom II₂), füge dazu einen nicht auf u gelegenen Punkt A' und verbinde ihn mit B und C (Axiom I₁). Die drei Punkte Ä, B, C bestimmen eine Ebene 7] (I₄), der die Geraden AB, BC, CA' angehören (I₆). Man nehme jetzt etwa B' auf der Verlängerung der Strecke CA' an (II₂).

Dann muß die Gerade B'A, da sie nach I₆ in rj liegt, die Seite BA' des Dreiecks A'CB in einem Punkte C zwischen ^

Fig. 48.

A B treffen (II₄); damit ist der Hilfssatz bewiesen: Man kann ein Dreieck immer so annehmen, daß seine drei Seiten je durch einen gegebenen Punkt einer gegebenen Geraden gehen. Durch zweimalige Anwendung dieses Satzes erhält man die vom Des argues sehen Satze vorausgesetzte Figur.

Durch ähnliche Überlegungen beweist man die Zulässigkeit der Annahme, aus der wir in Art. 5. die Kf. (15₆ , 20₃) ableiteten. Man sieht schon aus diesen Beispielen, daß diese Möglichkeitsbeweise auf Grund der Axiome sehr schleppend sein können.

Der erste, der auf diese charakteristische Methode der Geometrie nachdrücklich aufmerksam gemacht hat, war Kant in seiner Kritik der reinen Vernunft. Doch stellt er mehr die Konstruktion, die durch diese Möglichkeitsbeweise und zugleich mit ihnen gegeben wird, in den Vordergrund. Die Konstruktion ist aber Nebensache, es muß auf alle Fälle die Erkenntnis vorangehen, daß sie überhaupt möglich ist.!)

Die Geometrie erscheint so als Inbegriff der logischen Folgen einer unbegrenzten Reihe von Voraussetzungen, die mit dem System der Axiome nicht nur vereinbar, sondern immer erfüllt sind, wenn jene gelten.

1) Siehe Kant, Kritik der reinen Vernunft, Transzendentale Methodenlehre; Kant denkt zu ausschließlich an die Hilfslinien, die konstruiert werden müssen, um die Lehrsätze anwenden zu können. Die alt überlieferte starre und unbeholfene Elementargeometrie gibt übrigens ein sehr einseitiges Bild von der Methode der Geometrie, was aber um so weniger als Vorwurf gegen Kant gedeutet werden kann, als zu seiner Zeit die Geometrie der Lage noch nicht erfunden war.

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

Nicht alle wissenschaftlichen Darstellungen der Geometrie werden in dieser streng logischen Form durchgeführt; besonders verläßt man sich hinsichtlich der Eigenschaften der Anordnung gern auf die Anschauung, weil eine exakte Beweisführung zu umständlich wäre. Überhaupt pflegt man sich in den geometrischen Beweisen häufig auf die Angabe der Momente und des allgemeinen Ganges der Beweisführung zu beschränken, es dem Leser überlassend, sich nach Neigung oder Bedürfnis einen strengen Syllogismus herzustellen. Doch gibt es Gebiete der Geometrie, wo man, von der Anschauung im Stiche gelassen, sich streng an die vorausgesetzten oder bewiesenen Tatsachen halten muß oder beinahe genötigt ist, die Beweise in die Form von Syllogismen zu bringen, damit kein Irrtum unterläuft. Dahin gehören die Sätze über den Zusammenhang und die Zerschneidung Riemannscher Flächen, worüber wir in § 7 Andeutungen gemacht haben, Sätze über die Struktur von Fachwerken, u. s. w.; aber auch in den Elementen der Geometrie stößt man auf derartige Schwierigkeiten, wenn man auf die Anschauung freiwillig verzichtet, um sicher zu sein, daß man wirklich nur aus den Axiomen und Begriffen logisch deduziert.

13. Die Möglichkeit, einem derartigen logischen Formalismus in der Anschauung ganz andere Objekte unterzuschieben, als die waren, für welche er ursprünglich geschaffen ist, beschränkt sich nicht auf die Geometrie allein, sie wird sich naturgemäß überall bieten, wo man in ähnlicher Weise in einem axiomatisch festgelegten Denkbereiche operiert. Es muß besonders betont werden, daß auch die Arithmetik durch ihre Rechenregeln und Axiome die Gebilde nicht festlegt, die ihnen gehorchen sollen; man kann in mannigfacher Weise mittels des Ga lois sehen Gruppenbegriffes Systeme von Symbolen bilden, die denselben Verknüpfungsgesetzen unterliegen wie die Zahlen.⁵) Die ganze aus der multiplikativen Verknüpfung der Zahlen entspringende Satzgruppe über Teilbarkeit gilt im wesentlichen auch von den algebraischen Zahlen, und die Theorie der algebraischen Zahlen läßt sich auf die algebraischen Funktionen übertragen. Die additive Komposition der komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene hat ein genaues Gegenbild in der Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften, die in einer Ebene an demselben Punkte wirken. Wie die geometrischen Grundgebilde hat auch die Zahl sowohl übertragbare als individuelle Eigenschaften. Die letzteren bedürfen noch sehr der Durchforschung.

In der Physik kennt und benutzt man die Übertragbarkeit mancher Theorien von einem Gebiete auf ein anderes schon seit langer Zeit. Man spricht da von mechanischen, hydrodynamischen und statischen „Bildern“. Manche diese Bilder sind bloße Analogien, manche aber entspringen aus gleichen logischen Voraussetzungen. Vollkommen axiomatisch hat z. B. Christoffel⁶) die Übertragbarkeit der Differentialgleichungen der Wärmeleitungstheorie auf die Theorie des Welthandels begründet und diese Gleichungen so abgeleitet, daß ihre Gültigkeit für beide Probleme unmittelbar einleuchtet. Reich an ganz eigenartigen Übertragungen ist die „Geometrie der Dynamen“ von Study.

In der Chemie war man an derartige „Bilder“ nicht gewöhnt. Daher erregte seinerzeit die Entdeckung von Sylvester und Clifford (1878) ein gewisses Aufsehen, daß die Konstitutionsformeln der organischen Verbindungen sich in den symbolischen Bildungsgesetzen der Invarianten binärer Formen spiegeln. Ein innerer Zusammenhang zwischen Chemie und Invariantentheorie liegt nicht vor, die Übereinstimmung ist nur eine Folge zufällig gleicher Verknüpfungsgesetze.⁷)

lé. Abgebildet werden in allen diesen Fällen nicht die zu erkennenden Objekte selber, sondern ihre übertragbaren Eigenschaften, oder besser gesagt: die zwischen diesen Objekten bestehenden Beziehungen. In diesem Zusammenhänge leuchtet nun ein, daß, was wir oben (am Anfang des Art. 13) einen logischen Formalismus nannten, doch eigentlich den Kern der wissenschaftlichen Geometrie ausmacht. Denn da unsere Erkenntnis nicht auf die Gegenstände selber, sondern auf Relationen zwischen ihnen geht, so ist einzig und allein in der rein logischen Geometrie der wertvolle, absolut gewisse Teil unserer Wissenschaft enthalten. Daher fängt für viele produktive Mathematiker die Geometrie erst da an, wo sie auf Axiome gebracht ist — bei der analytischen Geometrie ist das indirekt immer der Fall —, während für die Vorstufen der Geometrie der Historiker und der Philosoph aufzukommen hat. Aber wenn man auch dieser immerhin einseitigen Auffassung nicht beitreten mag, wird man dem Mathematiker das Recht einräumen müssen, wenn ihm einmal ein System von Axiomen vorliegt, diese zu den Grundpfeilern eines rein logischen Lehrgebäudes zu machen. Dabei vollzieht sich ein interessanter Wechsel des Gesichtspunktes: Waren die Axiome vorher durch die

Erfahrung gegebene oder eingegebene Sätze, die in der natürlichen Geometrie mehr oder minder genau erfüllt sind und daher bei allen Lehrsätzen lästige Einschränkungen nötig machen¹), so erheben wir sie jetzt zu strenger Gültigkeit, indem wir sie zu Definitionen machen. In dieser Weise definieren die Hilbert sehen Axiome die Begriffe der Inzidenz (d. h. „auf einer Geraden“ oder „Ebene liegen“, „durch einen Punkt gehen“, „bestimmen“, „gemeinsam haben“, „schneiden“), der Anordnung („zwischen“), des Parallelismus, der Kongruenz und der Stetigkeit. Was dagegen Punkte, Geraden, Ebenen sind, darüber wird nichts vereinbart, so daß die aufgezählten Beziehungen, wie wir wissen, auf jede lineare dreidimensionale Mannigfaltigkeit übertragbar sind; es genügt zu wissen, daß die Worte Punkt, Gerade, Ebene drei Systeme von Dingen bezeichnen, die den Anforderungen der Axiome genügen. Es empfiehlt sich, daraufhin die sehr sorgfältig und korrekt gefaßten „Erklärungen“ und „Definitionen“ in Hilberts „Grundlagen“ nochmals durchzulesen.

Da also im Hilbertschen Buche über die drei Grundgebilde selber nichts ausgesagt und auch der Aufbau der Geraden und Ebenen aus Punkten nicht versucht wird, so wird man die Hilbert sehe Geometrie am zutreffendsten eine reine Beziehungslehre nennen.

15. Es versteht sich von selbst, daß durch die Hilbertschen

wie wir die Definitionen seiner Beziehungsgeometrie

Axiome

wieder nennen wollen — auch zwischen den Punkten einer Geraden oder einer Ebene gewisse Beziehungen gesetzt werden, wenn dieselben auch nicht dazu ausreichen, die Gerade als Punktgebilde eindeutig zu definieren. Selbst wenn man — über die Axiome hinausgehend — bereits vereinbart hätte, das Wort Punkt solle den gewöhnlichen (sehr kleinen materiellen) Punkt bedeuten (und nicht etwa eine Kugel eines Kugelgebüsches), so könnten die Geraden und Ebenen entweder die gewöhnlichen sein, oder etwa Kreise und Kugeln eines parabolischen Gebüsches. Andere Beispiele lassen sich leicht analytisch konstruieren: Man lege etwa homogene Koordinaten xx> x₂, xs, x± zu Grunde und nehme die Transformation (1) xx = axy₂y₃yix »s = a₂y₃y±y t, x₃ = a₃yxyxy₂, x₄ = aLyxy₂y₃

des x-Raumes in einen ?/-Raum vor. Dadurch gehen die Ebenen uxxx -j- u₂x₂ -f- u₃xs + uxxx = 0 des ^-Raumes in Flächen dritter Ordnung

(2)

«i«*! y%y*y± + «*«*&&& + «»«»&&& +

1) Zwei Punkte bestimmen eine Gerade, wenn sie nicht zu nahe beieinander liegen; zwei Geraden einer Ebene, die nicht parallel sind, bestimmen einen Schnittpunkt, doch dürfen sie nicht einen gar zu spitzen Winkel einschließen u. s. w.

die Geraden in die Schnittkuryen je zweier dieser Flächen über. Diese Abbildung ordnet aber nicht nur jedem Punkte (x1} x₂, x₃, #₄) einen einzigen Punkt (yt, y₂, y₃, y₄), sondern auch umgekehrt jedem (y1} y2} ys, yA) einen bestimmten Punkt (xt, x₂, x₃, x±) zu, denn aus (1) folgt:

(3) Q y-y⁼⁼ x₂ Xg x^, Qy₂ — ci₂x₂x±xi, Qy§ — % Xy x₂, Qy^ — a^x₁x₂xS}

wo p einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet, der durch Einsetzen der Formeln (1) in (3) leicht bestimmt werden kann. Die Eindeutigkeit der Beziehung zwischen dem x- Raume und dem «/-Raume erleidet eine Ausnahme nur in den Punkten (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), den „Fundamentalpunkten“ dieser Abbildung. Auch bei der Inversion gibt es einen (reellen) Fundamentalpunkt, das Inversionszentrum. Diese Ausnahmestellung der Fundamentalpunkte hat zur Folge, daß alle den Ebenen des x-Raumes entsprechenden Flächen dritter Ordnung durch diese vier Punkte gehen, wie Gleichung (2) zeigt. Sollen diese Flächen also im «/-Raume die Rolle von Ebenen, ihre gegenseitigen Schnittkurven die Rolle von Geraden spielen, so müssen wir die Fundamentalpunkte in ähnlicher Weise vom «/-Raume ausschließen, wie wir im parabolischen Gebüsche zu dem gleichen Zwecke das Zentrum des Gebüsches ausgeschlossen hatten (§ 8). Man kann zeigen, allerdings nicht mit elementaren Mitteln, daß Euklidische Scheingeometrien, deren Scheinpunkte zugleich „wirkliche“ Punkte sind, ohne daß die Scheingeraden und Scheinebenen „wirkliche“ Geraden und Ebenen wären, nur auf die Weise möglich sind, daß vom Raume gewisse Punkte oder Linien ausgeschlossen werden.

16. Da muß nun die für die Erkenntnistheorie bedeutsame Frage aufgeworfen werden: Ist es möglich, die Axiome (der Gruppe V) so zu vervollständigen, daß eine vorgelegte Menge von Elementen nur auf eine einzige Weise sämtlichen Axiomen entsprechen kann? Oder, indem wir uns auf den gewöhnlichen (Punkt-)Raum beschränken: Lassen sich die eindeutigen und eindeutig umkehrbaren Transformationen der Euklidischen Geometrie, die jedem Punkte wieder einen Punkt zuordnen, durch geeignete Axiome von den Realisierungen der Hilbertschen Axiome ausschließen? Es gilt also, die Linearität einer Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen eindeutig festzulegen, so daß man, um mit Kant zu reden, die Gerade „vom Punkt aus“ erzeugen könnte.

Zur Beantwortung dieser Frage teilen wir die in Rede stehenden Transformationen ein in Kollineationen, die jede Ebene wieder in eine Ebene überführen, und in höhere Transformationen, die das nicht tun.

a) Die Eindeutigkeit der höheren Transformationen erleidet, wie unser Beispiel zeigt, in gewissen „Fundamentalpunkten“ eine Ausnahme, denen nicht ein einzelner Punkt, sondern unendlich viele entsprechen. Bei der Inversion ist das Inversionszentrum ein Fundamentalpunkt, dem alle unendlich fernen Punkte entsprechen. Es wird wohl möglich sein, die Existenz solcher Punkte durch geeignete Axiome auszuschließen, aber nicht durch Axiome, von deren Gültigkeit man sich an den Gebilden einer empirischen Geometrie überzeugen kann. Es genügt, das am Beispiele des parabolischen Kugelgebüsches zu beweisen, das ja, hei Ausschluß seines Zentrums 0, die Euklidische Geometrie realisiert, d. h. alle Axiome derselben erfüllt. Damit diese Geometrie auch empirisch mit der Euklidischen übereinstimmt (deren Geraden etwa durch den Weg der Lichtstrahlen oder durch gespannte Fäden realisiert seien), muß man 0 in großer Entfernung von der Erde, sagen wir etwa auf einem Fixsterne, annehmen. Ist diese Entfernung gleich n Erdbahnradien e, so hat die kleinste von der Erde aus zugängliche Kugel des Gebüsches den Radius r = ne/2. Nach Formel (1) des § 11 ist die tangentiale Abweichung einer solchen Kugel von der Ebene im Abstande a vom Berührungspunkte gleich 1/1000 mm, wenn man a = Yneh— lß, also angenähert a = 0,38 f/n km annimmt. Für den nächsten Fixstern (a Centauri) ist ungefähr n = 227 000, also rund a = 180 km. Diese Kugel realisiert also die Ebene mit ganz ungeheurer Genauigkeit. Verlegt man 0 in noch größere Ferne, so könnte diese Kugel in den genauesten astronomischen Berechnungen als Ebene betrachtet werden. Unter dieser Voraussetzung ist also die Scheingeometrie des § 8 axiomatisch und empirisch von der Euklidischen nicht zu unterscheiden: Oder besser gesagt, sie ist eine Euklidische, da eine solche ja nicht genauer realisiert werden könnte.

Selbst wenn wir die natürlichen Beobachtungsgrenzen erheblich erweiterten, könnten wir nie eine Abweichung dieser „Schein“-Geometrie von der „wirklichen“ konstatieren, und folglich nie feststellen, ob ein den Punkt 0 betreffendes Axiom erfüllt ist oder nicht; wir können es zwar nicht beweisen, glauben aber behaupten zu dürfen, daß durch Axiome, deren Gültigkeit im Endlichen schon konstatiert werden könnte, diese Scheingeometrie nicht von den Realisierungen der Euklidischen sich ausscheiden läßt.

Wir nahmen bis jetzt das Zentrum 0 des Gebüsches nur in sehr großer Entfernung an; aber mit demselben Recht, mit dem man in der Euklidischen Geometrie von unendlich fernen Punkten spricht, kann man sich auch 0 in unendlicher Ferne denken. Dann kann eine auf 0 bezügliche axiomatische Forderung überhaupt nicht auf ihre Gültigkeit geprüft werden.

Wenn es also auch gelingen mag, durch geeignete Axiome die höheren Transformationen der Euklidischen Geometrie als nicht zum Euklidischen Typus gehörig zu charakterisieren, so würden diese Axiome von ähnlicher Natur sein wie das Parallelenaxiom, das zwar begrifflich zulässig, aber praktisch nicht kontrollierbar ist. Wir haben diese Transformationen stillschweigend als algebraisch, ihre Fundamentalpunkte als reell vorausgesetzt, weil wir im allgemeinsten Falle mit unseren beschränkten Mitteln der Schwierigkeiten noch weniger Herr werden könnten.

b) Von den Kollineationen kommen für uns nur die in Betracht, die alle unendlich fernen Punkte wieder in solche, also die „unendlich ferne Ebene“ in sich selbst überführen. Man nennt sie Affinitäten (vgl. § 11). Sind (x, y, z) und (£, rj, £) entsprechende Punkte der Affinität in den Koordinaten des § 12, so bestehen für alle £, y, £ Beziehungen von der Form

x = <%£ -f \y + ct£ + d1}

¹

Ygl. weiter unten Art. 4.

²

H. Weber, Lehrb. der Algebra, 2. Auf!., Bd. II, § 153 (Braunschweig, Vieweg 1899).

³

Dabei wird allerdings auf Realitätsverhältnisse keine Rücksicht genommen !

⁴

Diogenes Laertius, IV, 10 (nach M. Cantor).

⁵

Überhaupt läßt sich der Operationsbereich der Arithmetik dem Gruppenbegriff unterordnen, und zwar sowohl dem Galoisschen als auch dem Lieschen. Ygl. einerseits Weber, Math. Ann. Bd. 43, S. 521, andererseits F. Schur, Math. Ann. Bd. 41, S. 509.

⁶

   In einer Vorlesung über partielle Differentialgleichungen im Wintersemester 1891/92.

⁷

   Diese Zufälligkeit hat Study in den Beiblättern zu den Annalen der Physik, 1901, Bd. 25, S. 87 überzeugend nachgewiesen. Die Arbeiten von Sylvester und Clifford stehen im Am. Joum. I.

y — s + \ v "ł" c2 £ -P d₂,

z = %£ + b₃y -f c₃£    d₃,

mit konstanten Koeffizienten, und es gibt drei ganz ähnlich gebaute Gleichungen, die §, rj, £ durch x, y, z ausdrücken, ebenfalls mit konstanten Koeffizienten. Ob man nun diese Transformation, wie hier, rein analytisch, oder wie in § 11 rein geometrisch begründet, auf alle Fälle ist leicht einzusehen, daß sie ausnahmslos jeden Punkt wieder in einen Punkt, jede Gerade in eine Gerade, jede Ebene wieder in eine Ebene verwandelt, wobei die unendlich ferne Ebene in sich übergeht. Aus dieser vollkommen ausnahmslosen Eindeutigkeit und eindeutigen Umkehrbarkeit der Abbildung folgt: Wenn man die Bilder kongruenter Figuren wieder kongruent nennt und auch die übrigen Beziehungsbegriffe vom Original auf das Bild überträgt, so sind im Bilde des Euklidischen Raumes alle Axiome der Euklidischen Geometrie ohne Ausnahme erfüllt. Es gibt also unbegrenzt viele vollkommene Realisierungen der Axiome der Euklidischen Geometrie mit gewöhnlichen Punkten, Geraden und Ebenen, ohne daß die kongruent zu nennenden Figuren wirklich im empirischen Sinne kongruent wären. Von diesen Geometrien läßt sich aber keine als die „wirkliche“ Euklidische Geometrie aussondern durch Axiome, die reine Beziehungseigenschaften verlangen.

17. Die Frage, von der wir in Artikel 16 ausgingen, ist also ablehnend zu beantworten. Selbst wenn man gewisse singuläre Stellen des Raumes durch Axiome verbietet, die, wie die Axiome von den Parallelen und von der Yollständigkeit, niemals als Kriterien der Anwendbarkeit der begrifflichen Geometrie auf die Gebilde der sinnlichen Anschauung gelten können, gibt es noch unendlich viele (angenäherte) Realisierungen der Axiome der Euklidischen Geometrie mit „wirklichen“ Punkten, Geraden und Ebenen. Aber die Schuld dieser Vieldeutigkeit liegt, wie wir nun sehen, zugleich auch an der Kongruenz. Die Kongruenz wird durch die Hilbertschen Kongruenzaxiome nicht eindeutig festgelegt. Wir werden den Satz alsbald noch schärfer formulieren. Vorerst sei gewissen philosophischen Illusionen gegenüber bemerkt: Die Axiome der Geometrie enthalten keine Erzeugungsgesetze der Grundgebilde. Daß zunächst die Hilbertschen Axiome nicht die Erzeugung der Geraden „vom Punkte aus“ ermöglichen, ist schon gesagt. Aber auch andere Axiome können das nicht; denn wenn man ein rein begriffliches Erzeugungsgesetz hätte (das also keinerlei physikalische Mittel benutzen darf), so brauchte man nur eine Inversion mit sehr fernem Inversionszentrum hinzuzunehmen, um sofort ein Gebilde zu erzeugen, das in jeder Beziehung als Gerade gelten kann und erst in großer Ferne sich begrifflich (nicht materiell, da eine materielle Gerade eo ipso begrenzt ist) von einer gewöhnlichen Geraden unterscheidet. Abgesehen von dieser Art der Unbestimmtheit des Problems gibt es noch eine zweite viel tiefer liegende. Wir haben soeben gesagt, daß durch die Hilbertschen Axiome die Kongruenz nicht auf eindeutige Weise als ein Verfahren festgelegt werde, zu gegebenen Strecken und Winkeln in beliebiger Lage gleiche zu konstruieren; es gäbe vielmehr unendlich viele Verfahren, die den Hilbertschen Axiomen genügen. Man darf aber daraus nicht etwa schließen, daß diese Vieldeutigkeit die Kongruenz allein betreffe und fortfalle, wenn man von der Kongruenz absieht. Vielmehr sind die Begriffe der Inzidenz und der Anordnung, der Kongruenz, des Parallelismus und der Stetigkeit in den Hilbertschen Axiomen so miteinander verflochten und verquickt, daß es absolut unmöglich ist, sie aus dieser innigen Verbindung zu isolieren und jeden dieser Begriffe unabhängig von den anderen zu definieren; an der erwähnten Unbestimmtheit haben also alle Begriffe teil, auch der Begriff der Linearität, falls man ihn durch ein die punktuelle Lückenlosigkeit¹) des Raumes sicherndes Axiom zu fassen suchte.

18. Die Axiome bewirken also nicht eine Synthesis, einen Aufbau der geometrischen Gebilde, sondern nur eine Auslese der geeigneten Mannigfaltigkeiten und Verknüpfungen aus der Gesamtheit aller denkbaren. Läßt man also das eine oder andere Axiom fallen, so wird die Auslese weniger streng, es werden dann Systeme als den übrigen Axiomen genügend durchschlüpfen, die bei Hinzunahme jenes fortgelassenen Axioms zurückgewiesen werden müßten. Das sieht man deutlich an den von Hilbert und seinen Nachfolgern konstruierten pathologischen Geometrien — wenn der Ausdruck erlaubt ist —, denen gewisse Axiome fehlen: Die anderen Axiome erfahren dann immer außer den herkömmlichen Realisierungen auch neue ungewöhnliche. Nur von der Inzidenz scheint eine von der gewöhnlichen Anschauung abweichende Verwirklichung nicht versucht worden zu sein. Eine Quasi-inzidenz kann man aber u. a. herstellen, indem man zunächst jedem Raumpunkte P durch eine allgemeine Kollineation (oder eine Affinität) einen „Bildpunkt“ P' zuordnet und von einer Geraden oder Ebene sagt, sie sei quasi-inzident mit einem Punkte P, wenn sie mit seinem Bildpunkte „wirklich“ inzident ist. Die mit einer Ebene quasiinzidenten Punkte gehören dann nicht der Ebene selbst an, sondern ihrem Bilde; eine Ebene ist durch drei Punkte bestimmt; diese liegen aber — im gewöhnlichen Sinne des Wortes — im Bilde dieser Ebene.

Angesichts dieser Sachlage ist es ein vollständig aussichtsloses Unternehmen, eine Gerade oder Ebene je für sich definieren zu wollen. Zudem sind die Eigenschaften der einzelnen geraden Linie als Trägerin von Punkten so wenig charakteristisch, daß sie jeder Kurve („vom Geschlecht Null“) zukommen, die sich auf eine Gerade eindeutig und eindeutig umkehrbar abbilden läßt. An die Spitze jedes Denkbereiches muß eben ein System von Sätzen treten, die Axiome, die eine Reihe von Beziehungen zwischen den Objekten dieses Denkbereiches aussagen. Auf diese Axiome stützt sich jede weitere Deduktion. Durch diese Axiome werden zwar die einzelnen Denkobjekte miteinander verbunden und sozusagen gegeneinander abgesteift, aber eine absolute Festlegung des ganzen Systems gegen die Außenwelt, oder unbildlich gesprochen, eine Definition der Objekte selber, ist nicht denkbar. Alle Definitionen sind relativ. Die absolute Festlegung eines Denkbereiches ist eine Idee, der wir uns anzunähern suchen, genau wie der Idee der absoluten Zeit und des absoluten Raumes.

19. Die kollineare' Abbildbarkeit des Raumes reicht allein schon aus, um von vornherein alle Versuche zu vereiteln, welche die Raumgebilde und die zwischen ihnen postulierten Beziehungen durch geeignete Axiome eindeutig definieren wollen, ohne physikalische Gesetze²) zu Hilfe zu nehmen. Die Kollineation (oder speziell die Affinität) ordnet vollkommen eindeutig und eindeutig umkehrbar jedem Punkte einen Punkt, jeder Geraden eine Gerade, jeder Ebene eine

Ebene als „Bild“ zu, und diese Zuordnung erleidet nicht die geringste Ausnahme, während bei den „höheren“ Transformationen, wie wir ausführten, Fundamentalpunkte auftreten. Gebraucht man nun von den Bildern der Punkte, Geraden und Ebenen die Ausdrücke „quasiinzident“, „quasiparallell“, „quasikongruent“ u. s. w., falls den Originalen die Inzidenz, der Parallelismus, die Kongruenz u. s. w. von rechts-wegen zugesprochen werden muß, so ist diese Sprechweise in sich folgerichtig durchführbar, selbst wenn z. B. das Bild vf der unendlich fernen Ebene im Endlichen liegt und zwei durch einen Punkt von t\ gehende Bilder a, b' von Geraden a, b als quasiparallel bezeichnet werden. Zur größeren Anschaulichkeit wollen wir aber nur eine affine Transformation des Raumes vornehmen, wobei die unendlich ferne Ebene in sich übergeht, und ihre Wirkung auf die Kongruenz untersuchen.

Wir erinnern vorerst an die St ein er sehen Linealkonstruktionen in § 5. Da der Quasiparallelismus, unserer Scheingeometrie jetzt zugleich wirklicher Parallelismus ist, so können wir ohne Hilfskreis mit dem Lineale allein zu einer gegebenen Strecke quasikongruente auf derselben oder jeder parallelen Geraden konstruieren; um dagegen auf zwei sich schneidenden Geraden quasikongruente Strecken zu konstruieren, reicht das Lineal nicht aus; im ursprünglichen Raume B ist dazu nach § 5 eine Kugel nötig; ihr entspricht im transformierten Raume B' ein Ellipsoid, das wir Quasikugel nennen und in B' zu den Linealkonstruktionen des § 5 benutzen, als wenn es eine wirkliche Kugel wäre. Diese Konstruktionen widersprechen sich nie, obwohl die „Kongruenz“, die sie vermitteln, nicht die empirische ist. Von einer wirklichen Kugel kann man beliebig viel Punkte mit dem Lineal allein (unter Benutzung von Ebenen) konstruieren, wenn drei aufeinander senkrechte Durchmesser gegeben sind; ihre Bilder nennt man zueinander konjugierte Durchmesser des Ellipsoids. Da alle Linealkonstruktionen sich durch Affinität von der Kugel auf das Ellipsoid übertragen lassen und andererseits ein Ellipsoid durch drei beliebig angenommene paarweise konjugierte Durchmesser festgelegt ist, so können wir die vorläufige Bemerkung über die Kongruenz in Art. 17 so ergänzen: Aus jeder Verwirklichung der Kongruenzaxiome entspringen durch affine Umformung des Raumes nnendlich viele andere; um von diesen eine bestimmte festzulegen, kann man drei beliebige Strecken x, y, z, die von demselben Punkte 0 ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen, als zueinander „senkrecht“ und „kongruent“ definieren; sie bestimmen dann eine „Kugel“, die im Sinne des § 5 die „Kongruenz“ vermittelt. Soll nun diese „Kongruenz“ die empirische sein, die wir allein so zu nennen gewohnt sind, so gibt es schlechterdings kein anderes Mittel, als jene drei Strecken x, y, z im empirischen Sinne (etwa mit dem Zirkel) möglichst genau zueinander senkrecht und kongruent anzunehmen.

denn ohne diese könnte man die empirische Kongruenz und

20. Damit soll nicht gesagt sein, daß man auf Grund dieser Annahmen praktisch konstruieren könne, sondern wir wollten nur das Minimum von Operationen mit Hilfe physikalischer Gesetze angeben

Orthogonalität der Strecken x, y, z nicht realisieren —, die nötig sind, um durch rein begriffliche Konstruktionen alle anderen Gebilde der Geometrie zu erzeugen und die axiomatisch geforderten Grundbeziehungen eindeutig bestimmt zu machen. Es zeigt sich hier auf das Nachdrücklichste, daß man in der geometrischen Geometrie gewisse Dinge von vornherein als gegeben annehmen muß, nämlich die Punkte, Geraden und Ebenen, und daß noch weitere empirische Data hinzukommen müssen, wie hier die „gleichen und aufeinander senkrechten“ Strecken x, y, z, wenn die rein begrifflich aufgeführte Geometrie mit der gewöhnlichen in der Anschauung übereinstimmen soll. Das ist schon wiederholt ausgesprochen worden, zuerst anscheinend von Gauß in einem denkwürdigen Briefe an Bessel (1829), worin er sein mathematisches Glaubensbekenntnis in die Worte kleidet: „Nach meiner innigsten Überzeugung hat die Raumlehre zu unserem Wissen der selbstverständlichen Wahrheiten eine ganz andere Stellung, als die reine Größenlehre; es geht unserer Kenntnis von jener durchaus diejenige vollständige Überzeugung von ihrer Notwendigkeit (also auch von ihrer absoluten Wahrheit) ab, welche der letzteren eigen ist; wir müssen in Demut zugeben, daß wenn die Zahl bloß unseres Geistes Produkt ist, der Raum auch außer unserem Geiste eine Realität hat, der wir a priori ihre Gesetze nicht vollständig vorschreiben können.“ Das Wort „vollständig“ ist hier zu betonen, das Wort „Raum“ wohl genauer durch „Raumordnung“ zu ersetzen. An der Richtigkeit des logischen Formalismus der Geometrie hat Gauß natürlich nicht gezweifelt, wohl aber mußte ihm die Notwendigkeit der Axiome fraglich erscheinen, auf die jener Formalismus sich stützt, da sich ihm neben der Euklidischen Geometrie auch die hyperbolische als logisch zulässig erwiesen hatte. Ob die höhere Einschätzung der Arithmetik noch aufrecht zu erhalten ist, mag dahingestellt bleiben.

21. Gauß tritt durch diese Aussage in einen bemerkenswerten Gegensatz zu Newton, der seine Mechanik in eine absolute Zeit und einen absoluten Raum hineinbauen will, indem er voraussetzt :

„Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgend einen Gegenstand.“

„Der absolute Raum bleibt, vermöge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand, stets gleich und unbeweglich.“ (Philosophiae naturalis principia mathematica. Deutsche Ausgabe von Wolfers.)

Die Absicht Newtons ist unverkennbar: Die elementare Mechanik orientiert ihre Bewegungsvorgänge stets auf die Erde als „ruhenden“ Beziehungskörper; aber indem man die Erde mit dem Sonnensystem vergleicht, ergibt sich, daß die Erde selber eine Drehung hat, oder daß wenigstens die mathematisch-mechanische Darstellung der Bewegungen des Sonnensystems überraschend einfach wird, wenn man die Sonne als den „ruhenden“ Körper betrachtet, auf den die anderen Bewegungen zu beziehen sind. Für die Mechanik des Sonnensystems muß also etwa die Ebene der Sonnenbahn zur Festlegung der Koordinaten dienen. In bezug auf den Fixsternhimmel erscheint aber auch die Sonne selber in fortschreitender Bewegung, und wir müssen zur Erforschung dieses Bewegungsvorganges unsere Koordinaten mit dem Fixsternhimmel verankern. Vergeblich! Denn die Spektralanalyse zeigt auch Bewegung der Fixsterne, und so bleibt die letzte Zuflucht für unseren nach festen Stützen suchenden Blick nur noch die Milchstraße. So verliert der praktische Astronom eine Stütze nach der anderen, während der Theoretiker, der sich über die Verwirklichung seiner Ansprüche keine Sorgen macht, vom absoluten Raume als einer der sichersten Tatsachen unseres Bewußtseins ausgeht. Der absolute Raum und die absolute Zeit sind für den Aufbau der Mechanik und der Physik unentbehrlich, aber sie sind nicht unser wohlgesicherter Besitz, sondern ein mit schwerer Mühe und in unendlicher Arbeit anzustrebendes und nie vollkommen erreichbares Endziel. Das entspricht auch, besonders bei der Zeit, dem gegenwärtigen Stande des empirischen Teils der Physik und Mechanik, wo die Fixierung der Zeit ganz eigenartige Schwierigkeiten bereitet.³)

§ 14. Die Anschauung.

1. Wie der Regreß des lückenlosen, streng deduktiven Gefüges der geometrischen Lehrsätze schließlich auf Sätze zurückführt, die nicht weiter beweisbar sind, sondern als „Axiome“ die Grundgesetze des geometrischen Denkbereiches bilden, so ist die gesetzmäßige Erzeugung der den geometrischen Begriffen in der (sinnlichen) Anschauung entsprechenden Raumgebilde nur möglich unter der Voraussetzung, daß die Grundgebilde gegeben sind; da die Ebene durch ein Strahlenbüschel erzeugt werden kann, dessen Strahlen eine gegebene Gerade schneiden, so brauchen in letzter Linie nur die Geraden erzeugt yorzuliegen, woraus jedoch nicht folgt, daß eine Gerade für sich definiert werden könne. Wohl aber läßt sich die axiomatische Definition der Ebene (Axiome I₄, I₅, I₆) vermeiden, wenn man die Ebene in der angegebenen Weise erzeugt und das Axiom aufnimmt, daß eine Gerade, die zwei Seiten eines Dreiecks trifft, auch die dritte schneiden muß, die Seiten als unbegrenzte Geraden genommen; doch erfordert in der Euklidischen Geometrie alsdann der Parallelismus eine andere Behandlung.

Außerdem muß noch angegeben sein, wie die in den Kongruenzaxiomen geforderten Beziehungen in eindeutiger Weise verwirklicht werden können. Bei der konstruktiven Vermittelung der Kongruenz durch die St ein er sehen Linealkonstruktionen, die wir zu diesem Zwecke in § 5 vorgeschlagen haben, muß in jeder Ebene noch ein Kreis mit Mittelpunkt als existent angenommen werden. Diese Kreise kann eine einzige Kugel liefern, die vermittelst der gegebenen Geraden nach § 13 aus dem Mittelpunkt und drei aufeinander senkrechten und kongruenten Durchmessern ohne Benutzung der Kongruenzsätze Punkt für Punkt konstruiert werden kann. Die Gleichheit und Orthogonalität dieser drei Durchmesser ist jedoch nur nötig, um eine Übereinstimmung der rein begrifflichen Kongruenz mit der empirischen zu erzielen; an sich düi-fen die drei Strecken, wie in § 13 bemerkt, ganz beliebig angenommen werden. Jene Punktkonstruktion liefert dann allerdings keine Kugel, sondern ein Ellipsoid, aber die durch dasselbe vermittelst der St einer sch en Konstruktionen erhaltene Quasikongruenz erfüllt alle Axiome (natürlich sind in diesem Falle die Schnittkurven Ellipsen, dieselben werden aber behandelt, als wären es Kreise). Wenn man solche Punkte als „unendlich fern“ definiert, die von keinem anderen Punkte aus durch eine endliche Zahl im Sinne der Kongruenzaxiome kongruenter Schritte erreicht werden können, so erhält man noch umfassendere Systeme von Geometrien, die allen Hilbert sehen Axiomen genügen, ohne mit der Geometrie unserer gewöhnlichen Anschauung identisch zu sein. Dann kann man nämlich nicht nur die drei „Durchmesser“ vollkommen willkürlich, ohne Rücksicht auf Gleichheit und Orthogonalität, annehmen, sondern sie brauchen auch durch den Mittelpunkt 0 nicht im empirischen Sinne halbiert zu werden. Führt man jetzt jene „Kugelkonstruktion“ aus, so entsteht ein Ellipsoid, das als (Schein-)Kugel bezeichnet eine Euklidische (Schein-)Geometrie mit Euklidischer Kongruenz vermittelt; eine vom

Standpunkte unserer gewöhnlichen Anschauung „im Endlichen gelegene" Ebene rj wird zur „unendlich fernen Ebene" jener Scheingeometrie im Sinne ihrer Kongruenz. In sich ist diese Euklidische Scheingeometrie vollkommen widerspruchsfrei. Nach Wahl des „Mittelpunktes" 0, einer Durchmessergeraden xx und einer durch sie gehenden Durchmesserebene xy kann die Durchmessergerade yy noch oo⁴, die dritte Durchmessergerade zz noch oo⁵ 6 Lagen annehmen; fixiert man auf xx einen Punkt der „Kugel" so bleiben für die fünf anderen Kugelpunkte auf den drei Durchmessergeraden noch oo⁵ Lagen zulässig. Es gibt somit oo⁸ verschiedene Geometrien, die gewöhnliche Punkte, Geraden und Ebenen voraussetzen und sämtliche Axiome der Euklidischen Geometrie erfüllen; keine dieser Geometrien kann durch rein geometrische Bestimmungen vor den anderen als die Euklidische Geometrie ausgezeichnet werden. Vielmehr ist dazu die empirische Bewegung eines im empirischen Sinne starren⁴) Körpers nötig.

2. Mit Hilfe der als gegeben vorauszusetzenden Gebilde kann man alle anderen erzeugen durch Verfahren, die um so genauer funktionieren, je besser die benutzten Grundgebilde den Anforderungen der Axiome genügen. Da dies aber immer nur mit mehr oder minder großer Annäherung möglich ist, so besteht die reine, von allem Makel freie Geometrie nur in der Idee; ihre Gebilde existieren nicht in der Anschauung, sondern im Erzeugungsgesetz.

Vom Standpunkte dieser idealen Geometrie aus muß man das System der sinnlichen Raumgebilde als eine äußerst anschauliche, aber immerhin unvollkommene Realisierung der reinen Ideen bezeichnen. Es ist überdies nicht die einzig mögliche. Denn da die Punkte, Geraden und Ebenen nur Vertreter von Gattungsbegriffen, nämlich der Raumgebilde nullter, erster und zweiter Stufe einer dreidimensionalen linearen Mannigfaltigkeit sind, und die Axiome der Geometrie auch von diesen allgemeinen Gebilden erfüllt werden, so versinnlichen die gewöhnlichen Raumgebilde die ideale Geometrie in der mannigfachsten Weise: jedes Raumgebilde kann die Rolle des idealen Punktes übernehmen. So erscheinen also die materiellen Punkte, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen Geometrie nur als eine von unendlich viel möglichen Versinnlichungen, als anschauliche Illustration, oder, um mit Plato zu reden, als naęddeiyyu (Beispiel) der idealen Geometrie. Diese verschiedenen Paradigmata der idealen Geometrie im voraus gewinnen.

begrifflich voneinander zu unterscheiden, nicht etwa relativ zu einem von ihnen, bedeutet ein neues, äußerst schwieriges Problem der Geometrie, zu dessen Lösung, wenn sie überhaupt möglich ist, jedenfalls neue Begriffe in die Geometrie aufgenommen werden müssen.

3. Alle Sorgen, die man sich in den landläufigen Darstellungen der Geometrie macht, durch Grenzprozesse in der empirischen Anschauung exakte, den Axiomen völlig entsprechende Punkte, Geraden und Ebenen zu erzielen, betreffen also immer nur das Paradigma, das lllustrationsmaterial der reinen Geometrie, und speziell die Euklidischen Definitionen der Grundgebilde können nur als Beschreibungen dieser Illustration gelten. Zur Sicherung der geometrischen Wahrheit wird dadurch nicht beigetragen. Eine exakte Wissenschaft ist die Geometrie, weil sie ihre Grundbegriffe selbst erzeugt, zwar anknüpfend an die Erfahrung und zum Zweck, diese zu bestimmen, aber nicht in dem Sinne auf dieselbe gestützt, daß die Erfahrung etwa als erster Erkenntnisgrund diente, wenigstens insoweit es sich um wissenschaftliche Geometrie handelt. Die Erfahrung hat für die im Ausbau begriffenen Systeme der Geometrie einzig und allein den Wert, daß sie zur Aufstellung des Problems der Geometrie führt, im Verein mit der Physik und Mechanik ein geordnetes Weltbild zu Ohne ein solches Endziel wäre der Geometrie der Zu

fluß neuer, befruchtender Gedanken von außen her abgeschnitten, sie hätte nicht mehr Erkenntniswert wie ein geistreiches Spiel, z. B. das Schachspiel, das ja seine Grundbegriffe und Axiome ebenfalls selbst erzeugt und als exakte Wissenschaft zu bezeichnen wäre, wenn der Begriff des richtigsten Zuges (eventuell unter weiterer Einengung der Spielaxiome) feststände. Soll aber ein Denkbereich zur begrifflichen Bestimmung der Raumgebilde geeignet sein, so muß er die in der empirischen Raumanschauung immer schon vorhandenen Ansätze ordnenden Denkens herausgreifen und zu freier Entfaltung bringen. Daher die Notwendigkeit, beim Unterricht von der Erfahrung auszugehen. Da aber die der empirischen Anschauung entnommenen Ansätze noch nicht allseitig miteinander verknüpft sein können, so ist man im voraus nicht sicher, ob sie, zu freier Entfaltung gebracht, miteinander überhaupt vereinbar sind. Ich finde z. B., schon ehe ich Geometrie treibe, den Begriff der Ähnlichkeit in mir ziemlich scharf ausgebildet,_ desgleichen die Anschauung, daß eine Gerade nach jeder ihrer beiden Richtungen ins Unendliche läuft. Es widerspricht der unbefangenen Anschauung, diese zwei unendlich fernen Punkte in einen zusammenfallen zu lassen, wie es die parabolische Geometrie annimmt; erst durch Scheinbeweise (mittels eines Strahlenbüschels) läßt man sich überzeugen, daß diese Punkte in Wirklichkeit miteinander identisch „sind“. Wenn ich nun in ein geometrisches System den Begriff der

Ähnlichkeit und der beiden unendlich fernen Punkte einer Geraden .aufnehme, darf ich da im voraus erwarten, daß diese Begriffe miteinander verträglich sind? Tatsächlich sind sie es nicht, in der hyperbolischen Geometrie gibt es keine Ähnlichkeit, wenigstens nicht auf Grund der Euklidischen Definition. Dieses Beispiel zeigt, daß die landläufigen Begriffe der Erfahrung nicht ihren Gegenstand völlig bestimmen, denn sonst wären Widersprüche zwischen den so gewonnenen Begriffen nicht möglich, wenn anders man die Möglichkeit der Erfahrung nicht in Frage stellen will. Die Erfahrung läßt sich eben nicht durch Gesetze bestimmen, die jeder sozusagen mit Händen greifen kann; was man an Gesetzen „der Anschauung zu entnehmen“ glaubt, sind im günstigsten Falle nur Annäherungen, die den ersten ordnenden Versuchen unseres Denkens entstammen. Daraus entspringt für die Geometrie die Pflicht, die gegenseitige Verträglichkeit ihrer Grundannahmen zu beweisen, wie das in den „Grundlagen der Geometrie“ von Hilbert zuerst geschehen ist.

4. So wird denn der berechtigte Stolz der idealen Geometrie auf die schöpferische Tätigkeit des menschlichen Geistes in Schranken gehalten durch die Erkenntnis, daß die ideale Geometrie, die sich mit den gegenwärtigen Mitteln der Wissenschaft aufbauen läßt, noch lange nicht die Geometrie ist. Wenn das Problem der Geometrie darin besteht, unter Mithilfe der Mechanik und Physik den Inhalt unserer Empfindungen zu einem einheitlichen Weltbilde zu ordnen, dann ist die Bestimmung unserer empirischen Raumanschauung sowohl der Ausgangspunkt, als auch das ferne, vielleicht nie erreichbare Ziel aller Geometrie. Das geometrische System von Pasch, das wir in § 7 als „natürliches“ zu skizzieren versucht haben, bedeutet in diesem Entwicklungsgänge der Geometrie also nicht das erreichte Ende, sondern erst den Anfang; auch diese Geometrie macht ja ihr Glück dadurch, daß sie schließlich mit reinen Begriffen arbeitet, die ihren Gegenstand nur an genähert bestimmen; aus diesem reinen Begriffe allein folgert sie ihre Lehrsätze, denen hinterher durch einschränkende Zusätze (auf Grund der Stetigkeit des Raumes), wie „ungefähr“, „im allgemeinen“, „wenn die Bestimmungsstücke nicht zu ungünstig liegen“ u. s. w. ihre Schärfe genommen wird. Wollte eine Geometrie die Eigenschaften von Geraden und anderen Kurven der Ebene bestimmen, die mit Bleistift und Lineal hingezeichnet sind, so müßte sie dem Umstand Rechnung tragen, daß wirkliche Punkte immer eine Ausdehnung, wirkliche Geraden immer eine Dicke haben. Um auf Gesetze zu kommen, könnte man den Punkt als kleinen Kreis, die Gerade als schmalen Parallelstreifen definieren. Läßt man den Streifen in einer Ebene sich so bewegen, daß er zwei kreisartige Punkte A, B derselben wenigstens teilweise bedeckt, im Grenzfalle berührt, so wird

er ein Gebiet cp (A, B) überstreichen, den „Spielraum“, in welchem die streifenartige Gerade durch A, B festgelegt ist. Zwei solcher Spielräume cp (H, B) und <p (C, B) haben dann ein Gebiet if> gemeinsam, den „Spielraum“ des Schnittpunktes der Geraden AB und CB. Die Aufgabe dieser Geometrie wäre, die Abhängigkeit des Spielraumes cp (A, B) von A und B, des Gebietes i/j von cp (M, B) und cp (C, B) zu untersuchen, indem man etwa, um einfache Gesetze zu erhalten, das Gebiet qp durch eine Hyperbel, das Gebiet durch eine geeignete Ellipse angenähert ersetzt. Dies ist aber eines der Hauptprobleme der „Approximationsgeometrie“, wovon wir in § 7 gesprochen haben.⁷) Es braucht kaum gesagt zu werden, daß auch diese Geometrie vereinfachende Annahmen machen muß, die zudem nicht möglich wären ohne eine vorausgehende reine Geometrie, die den Begriff völlig bestimmter Punkte, Geraden und Ebenen hat. Versucht man dieser Notwendigkeit dadurch zu entgehen, daß man sich darauf beruft, die Grenzen der Streifen seien selbst wieder Streifen, nur feinere, so muß man diesen feineren Streifen ihrerseits wieder Grenzen zuschreiben u.s.w. Damit wird die Approximationsgeometrie zur Grundlage für eine Näherungsgeometrie zweiter Ordnung, auf die sich eine von der dritten Ordnung stützt u. s. w. Aber keines dieser Systeme könnte Gegenstand einer Wissenschaft werden ohne Annahmen, die eine mit unseren jetzigen Begriffen faßbare Gesetzmäßigkeit hineinlegen, und das ist nur auf Grund einer Geometrie möglich, die den Begriff bestimmter Punkte, Geraden und Ebenen hat. Daraus ergibt sich mit zwingender Notwendigkeit, daß man im guten Recht ist, eine beabsichtigtermaßen ideale Geometrie zu entwerfen; ohne es zu wollen, ist ja jede Geometrie eine ideale, wenn es auch bei der Darstellung nicht klar zum Ausdruck kommt.⁸)

5. Wie ist aber diese ideale, aller sinnlichen Realität entbehrende Geometrie auf die empirische Wirklichkeit anwendbar, zu deren gesetzmäßiger Erklärung sie doch geschaffen ist? Diese Frage muß ersichtlich überall aufgeworfen werden, wo man die Erscheinungswelt durch reine Begriffe auf Gesetze bringen will. In zahlreichen Fällen wird die Anwendung der Idee auf die Wirklichkeit durch ein Verfahren erreicht, das, je mehr die Mathematik sich begrifflich vervollkommnet, immer deutlicher als eine ihrer fundamentalsten, fruchtbarsten Methoden hervortritt: wir meinen das Verfahren der Klassen-

bildung. Es bat uns im ersten Bande zur Verwirklichung der Irrationalzahlen mittels der Dedekindschen Schnitte gedient, wir gründen darauf im dritten Bande die Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Naturyorgänge; es führt in der Gruppentheorie zur Idee der abstrakten Gruppenelemente, in der Theorie der algebraischen Zahlen zu der von Dedekind gefundenen Realisierung der Idealzahlen. Auf diesem Wege hat denn auch der Herausgeber dieses Lehrbuches in einem Anhänge in der ersten Auflage des zweiten Bandes versucht, einen Zusammenhang zwischen der reinen begrifflichen Geometrie und unserer empirischen Raumanschauung herzustellen. Den wesentlichen Inhalt dieses Anhanges, der beträchtlich erweitert auch in der von E. Weber besorgten Übersetzung von Poincares „Wert der Wissenschaft“ S. 217 Aufnahme gefunden hat, wollen wir hier folgen lassen

Die urspüngliche Vorstellung vom Raume enthält nichts genaues, nichts scharfes in sich. Es gibt darin keinen Punkt, keine Linie, keine Fläche und also auch keine Maße und keine Geometrie.

Diese Begriffe sind Schöpfungen des denkenden Geistes, und zwar entspringen sie aus der allerallgemeinsten, fundamentalsten und fruchtbarsten Geistestätigkeit, der Bildung von Gattungsbegriffen, Klassen oder Ideen.⁹)

Diese Ideenbildung vollzieht sich in unserer Seele unbewußt, und ich will es dahingestellt sein lassen, ob unsere Raum- und Zeitanschauung selbst das Ergebnis einer Ideenbildung ist. Der Nachweis der einzelnen Schritte und ihres Zusammenhanges ist eine schwere und verwickelte Aufgabe, die noch kaum in Angriff genommen ist, von der aber eine tiefere Einsicht in die Grundlagen der Geometrie abhängt. Denn wie können Beweise befriedigend ausfallen, so lange man nicht weiß, was die Dinge sind, deren Eigenschaften man erkennen will?

Wir wollen hier versuchen, an dem einfachsten Fall, dem Begriff des Punktes, den Weg darzulegen, auf dem die Lösung der Aufgabe gesucht werden könnte.

Wie schon bemerkt, haben wir in unserer Raum Vorstellung keine scharfen Grenzen. Bei keinem physischen Körper können wir, wie sehr wir auch die Beobachtung verschärfen mögen, genau angeben, was zu ihm gehört, was nicht.

Ich gehe aber von folgenden, der Anschauung entnommenen Voraussetzungen aus:

1.    Ich unterscheide im Raume verschiedene Raumteile, die nicht scharf gegeneinander abgegrenzt sind.

2.    Jeder Raumteil hat selbst wieder Teile, die nicht mit ihm identisch sind (echte Teile).

3.    Ist A irgend ein Raumteil, so gibt es von A verschiedene Raumteile A', die unzweifelhaft in A enthalten sind, und andere Raumteile A", die mit A unzweifelhaft nichts gemein haben.

(Außerdem gibt es noch Raumteile, die mit A einen Teil gemein haben oder bei denen die Sache der unscharfen Grenzen wegen zweifelhaft ist.)

In diesen Voraussetzungen ist die Kontinuität der Raumanschauung enthalten.

Ein Raumteil A₁ heißt kleiner als A (At<^A oder ^4>A₁), wenn A₁ nicht mit A identisch, aber imzweifelhaft in A enthalten ist. Es heißt dann Ax ein Teil von A.

4. Ich gehe aus von einem beliebigen Raumteil A und nehme einen Teil A₁ von A, sodann einen Teil A₂ von A1} einen Teil A3 von A₂ u. s. f. unbegrenzt. Die so entstandene Reihe von Raumteilen

A, A1} A₂, . . ., Any . . . (o)

nenne ich (in Ermangelung eines besseren Wortes) eine Raumreihe und bezeichne sie mit a.

5. Sind

• •>

Qi A, A^, A₂, • • •} A,n, . b — B, B1} B₂, ■ • -, Bm, . - ■

zwei Raumreihen, so haben wir folgende Fälle zu unterscheiden:

a) Es läßt sich zu jedem noch so großen n ein v bestimmen von der Art, daß Bv und folglich auch Bv+1, . . Teile von An sind.

In diesem Falle nennen wir b in a enthalten.

Ist b in a und eine dritte Raumreihe c in b enthalten, so ist auch c in a enthalten.

ß) Enthalten a und b sich gegenseitig, so nennen wir a und b einander gleich oder äquivalent (a = b). Sind zwei Raumreihen a und b einer dritten c gleich, so sind sie auch untereinander gleich.

Alle untereinander gleichen Raumreihen a, b, c . . . fassen wir zu einer neuen Idee zusammen, die wir ein Raumelement Wir bezeichnen es mit einem griechischen Buchstaben und

nennen, setzen etwa

a = a, b, c,

Jede der Raumreihen a, b, c, ... oder jeder der Raumteile Ä JBn, C , ... ist ein Repräsentant des Raumelementes.

y) Wenn b in a, aber nicht a in b enthalten ist, so heißt b ein Teil von a oder b kleiner als a, oder a größer als b (a>b, b < a).

ist auch a größer

so

Wenn a größer ist als b, b größer als c,

als c.

Die Beziehung a^>b bleibt erhalten, wenn a und b je durch eine gleiche Raumreihe ersetzt werden und überträgt sich daher auf die Raumelemente.

Es gibt aber auch Raumreihen und Raumelemente, die keine Größenbeziehung (im Sinne von ß), ÿj) zueinander haben.

6.    Ein Raumelement a heißt ein (geometrischer) Körper, wenn es einen Raumteil K gibt, der in allen Raumteilen An einer repräsentierenden Raumreihe enthalten ist. Es folgt dann, daß K in allen zu a gehörigen Raumteilen enthalten ist.

7.    Ein Raumelement, das keinen Teil hat, heißt ein Punkt.

Diese Definition besagt nach y): Eine Raumreihe a repräsentiert

einen Punkt, wenn jede in a enthaltene Raumreihe b auch ihrerseits a enthält.¹⁰)

Hier würde nun der Satz folgen, daß es in jedem Raumteil Punkte gibt. Dieser Satz läßt sich vielleicht noch weiter reduzieren, muß aber einstweilen als Axiom angenommen werden.

Das weitere Ziel wäre dann eine entsprechende Definition für die Begriffe Linie und Fläche. Diese Aufgabe dürfte nicht so einfach sein, wie es auf den ersten Blick scheinen könnte, und müßte sich auf tiefer gehende Untersuchungen über die „analysis situs“ (in dem Sinne von § 7, 5.) stützen.

Schließlich sei noch die wohl selbstverständliche Bemerkung gemacht, daß die auf Anwendungen aller Art gerichtete Sprech- und Denkweise an Stelle der Ideen irgend einen passenden Repräsentanten setzt, genau so, wie der praktische Rechner an Stelle einer irrationalen Zahl eine genäherte rationale Zahl setzt.

6.    Es wäre wünschenswert, wenn diese Anregungen weiter verfolgt würden. Ein anderes Verfahren zur Verknüpfung der idealen Geometrie mit der empirischen Wirklichkeit besteht im Grenzprozeß; nur muß man es vermeiden, die empirische Anschauung künstlich mit den reinen Begriffen in Übereinstimmung bringen zu wollen. Es ist das offenbar eine Rückwirkung der begrifflichen Vollkommenheit der Geometrie auf ihren sinnlichen Gegenstand, soweit nicht einfach nur ein Übersehen der Abweichungen der sinnlichen Gebilde von den begrifflichen vorliegt. Künstlich glaubt man sie beseitigen zu können durch Grenzübergänge. Von der Einsicht ausgehend, daß die hingezeichneten Gebilde den Axiomen (im Endlichen) um so genauer entsprechen, je feiner und sorgfältiger man zeichnet, schließt man auf völlige Exaktheit der (sinnlichen) Figuren, falls man den Punkt zum vollständigen Nichts abnehmen läßt, der Geraden jede Breite und Tiefe nimmt und die Ebene nur Länge und Breite ohne Tiefe sein läßt. Auf das Unerlaubte dieses Schlusses haben wir schon im ersten Abschnitte hingewiesen. Der richtig geleitete Grenzprozeß kann vernünftigerweise nur den Zweck haben, durch die unendliche Vorstellungsreihe in fortwährender Verfeinerung begriffener Punkte, Geraden und Ebenen 1) die Idee vollkommen exakter Grundgebilde als möglich und notwendig nachzuweisen und 2) rückwärts ein Verfahren zu gewinnen, Avie diese Idee auf empirische Objekte angewandt werden kann. Der Grenzprozeß ist also der Schematismus dieser reinen Begriffe im Sinne Kants, d. h. das Verfahren, Avie dieselben auf sinnliche Objekte allein bezogen werden können. Mit den reinen Begriffen des Punktes, der Geraden und Ebene selber haben die Grenzprozesse nichts zu tun, denn auch Kugeln, Kreise, Zahlentripel u. s. w. können die Rolle von Punkten übernehmen.

7.    In ganz anderer Richtung sucht Kant die Anschauung mit den reinen Begriffen in Einklang zu bringen, indem er eine vom reinen Denken und der (sinnlichen) Anschauung verschiedene Erkenntnisquelle apodiktischer geometrischer Wahrheiten, die reine Anschauung a priori annimmt. Um zu dieser schwierigen Frage auf Grund mathematischer Betrachtungen Stellung zu nehmen, gehen wir von einer Bemerkung des Philosophen Natorp aus: „Den Mathematikern ist der allgemeine Begriff von Räumen beliebiger Dimensionszahl und verschiedener Charakteristik so in Fleisch und

Blut übergegangen, daß ihnen oft jedes Verständnis abgebt für den Euklidischen, Newtonschen und Kantschen Begriff des Raumes, welchem das Merkmal der Einzigkeit wesentlich ist. Das hat einen begreiflichen Grund: dies Merkmal der Einzigkeit ist in der Tat nicht mehr von rein mathematischer Begründung, sondern es ist gefordert durch den Begriff der Existenz, der überhaupt nichts weiter als Bestimmtheit in einziger Weise, im Unterschied von der unendlichen Vielheit offener Möglichkeiten, besagt. Dieser fordert sie aber in der Tat bedingungslos. Es ist kein Ort des Existierens eindeutig bestimmt, wenn nicht der Raum selbst, der ja nur das System der Bedingungen der Ortsbestimmung besagt, eindeutig bestimmt ist. Daraus entsteht aber, obwohl die Forderung selbst keine rein mathematische ist, doch die Aufgabe für die Mathematik, nachzuweisen, aus welchen Voraussetzungen diese verlangte Geschlossenheit und damit Einzigkeit des Systems der Ortsbestimmungen möglich ist.“ (Unterrichtsblätter für Math. u. Naturw., 1902, Heft 1.) Die Existenz des Raumes, d. h. in diesem Zusammenhänge: eines geometrischen Systems als des einzigen, absolut bestimmten, ist die fundamentale Voraussetzung der rein begrifflichen Mechanik, und zwar fordert letztere eine Geometrie, in der die Kongruenz unabhängig vom Begriffe der Bewegung definiert ist, um umgekehrt den Begriff der Bewegung und des starren Körpers auf die Kongruenz rein begrifflich gründen zu können. Man würde sich vollständig im Kreise bewegen, wollte man die Kongruenz auf die Bewegung und den Begriff des starren Körpers auf die Kongruenz stützen. Unter Voraussetzung der Kongruenz ist Bewegung zunächst ganz zeitlos die Erzeugung einer stetigen Reihe von gleich wendig kongruenten Figuren, so daß homologe Punkte gewisse Kurven, ihre „Bahnen“, stetig erfüllen. Die verschiedenen Figuren heißen „Lagen“ einer von ihnen, „der bewegten“; jede der kongruenten Figuren kann „die“ bewegte sein. Die Abstände eines bewegten Punktes von seinen verschiedenen Lagen, gemessen auf seiner Bahn, heißen seine Wegstrecken bis zu diesen Lagen oder die durchlaufenen Wege. Unter dem Begriff der Zeit nun verstehen wir eine Bestimmung mit Größencharakter, die hinzutreten muß, um die Lagen eines bewegten Punktes voneinander zu unterscheiden, und zwar sollen dieser Größe die Weglängen des Punktes eindeutig und stetig zugeordnet sein. Vermöge dieser Zuordnung hat die Zeit nur eine Dimension, kann also durch eine Veränderliche t gemessen und abgebildet werden. Die Bewegung eines Punktes auf gerader Bahn heißt „gleichförmig“, wenn die Zeit dem Weg proportional ist; hierauf gründet man in bekannter Weise die Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung. Die Punkte einer Geraden können auf unendlich viele Weisen durch eine Variable t festgelegt werden, d. h.

ein Punkt kann sich auf einer Geraden auf unendlich viele verschiedene Weisen bewegen.

Zur Charakterisierung eines materiellen Punktes reicht der geometrische Punktbegriff nicht aus, man muß dem Punkte noch einen Größenhegriff zuordnen, die Masse, der von der Zeit unabhängig ist. Zeit und Masse sind die Grundbegriffe der Mechanik. Die vorangehenden Definitionen wollen angesichts der großen Schwierigkeit des Gegenstandes nur als vorläufige Versuche gelten, Zeit und Masse soweit zu bestimmen, als diese Begriffe für die reine Mechanik nötig sind. Bei der Anwendung derselben auf die Wirklichkeit muß noch der Schematismus dieser Begriffe, die Einführungsbestimmung der in ihnen liegenden Gesetzgebung, angegeben werden. Der Schematismus der Zeitmessung bereitet außerordentliche Schwierigkeiten, die in der Eindiniensionalität der Zeit ihren Ursprung haben. Da man auf einer Geraden nicht ohne Benutzung anderer Raumgebilde gleiche Strecken konstruieren kann, so lassen sich gleiche Zeiten empirisch nicht konstruktiv, sondern nur durch einen rhythmischen Bewegungsvorgang, etwa den Pulsschlag oder die Pendelschwingung, geben. Von der Zeit haben wir nur die allgemeine Größenanschauung und das Gefühl für Rhythmus, wenn die einzelnen Taktschläge nicht zu rasch und nicht allzu langsam folgen.¹¹)

In unserer Darstellung der Grundbegriffe haben wir versucht, die Bewegung als den ursprünglicheren Begriff hinzustellen, auf den der Zeitbegriff sich stützt. Die Bewegung ist andererseits die Quelle des Kraftbegriffes. Als natürlicher, „unbeeinflußter“ Bewegungszustand eines materiellen Systems gilt nämlich das Fortschreiten seiner Punkte auf gerader Bahn. Anders verlaufende Bahnen werden in bekannter Weise durch Kräfte erklärt, die dem Körper Beschleunigungen nach verschiedenen Richtungen „erteilen“; diesen folgt er nach dem Parallelogram mgesetz. Wie innig hier die Mechanik mit der Geometrie verwachsen ist, kommt am schlagendsten zum Ausdruck in dem obersten Prinzip, aus welchem der große Physiker Heinrich Hertz die ganze Mechanik deduziert hat: Jedes freie System beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung in einer geradesten Bahn (Werke III, S. 162 u. S. 100).

8. Wenn auch Kant im einzelnen sich diese Dinge anders zurechtgelegt haben wird, so muß ihn doch das Studium von Newtons „Philosophiae naturalis Principia Mathematica“ (London 1687) auf ähnliche Gedankengänge gebracht haben, aus denen er die Überzeugung

von der Notwendigkeit einer auf einzige Art bestimmten Geometrie, gleichsam der Weltgeometrie, geschöpft hat. Daß das nur die Euklidische Geometrie sein könne, war für Kant eine der unumstößlichsten wissenschaftlichen Tatsachen. Wäre diese Ansicht begründet, so läge hier eine Erkenntnis von ungeheuerer Tiefe und gewaltiger Tragweite vor, eine Erkenntnis, die weder aus der Erfahrung stammen kann, weil ihre einzigartige Notwendigkeit für den Aufbau des geordneten Weltsystems feststände, noch aus der Zergliederung von Begriffen, weil die Grundbegriffe der Mathematik und Mechanik erst durch die Axiome erzeugt werden; denn als Weltgeometrie kann die Euklidische Geometrie nur in ihren Axiomen erkannt sein, die als solche aber den Grundbegriffen vorhergehen und ihre (formale) Definition erst möglich machen. In diesem grundlegenden, eine einheitliche rein begriffliche Wissenschaft erst ermöglichenden Charakter dieser ganzen Erkenntnis beruht das, was Kant mit dem Worte a priori¹²) ausdrücken will.

An diesem Punkte setzt Kants „Kritik der reinen Vernunft“ und ihre Erläuterung in den „Prolegomena“ ein. Es steht fest, daß Mathematik und Physik auf Erkenntnissen a priori beruhen. Wo kommen diese her, da sie nicht aus der Erfahrung, noch aus der Zergliederung von Begriffen gewonnen sein können? Die aparte Erkenntnisquelle, aus der diese Wahrheiten geflossen sein müssen, nennt Kant die reine Anschauung a priori. Wie ist diese aber möglich? Stellte die Anschauung die Dinge vor, so wie sie an sich sind, so wäre eine Anschauung a priori gar nicht denkbar, denn die Eigenschaften der Dinge, die diesen unabhängig von mir zukommen, kann ich nur wissen, wenn ich die Dinge vor Augen habe. „Freilich ist es auch dann unbegreiflich, wie die Anschauung einer gegemvärtigen Sache mir diese sollte zu erkennen geben, wie sie an sich ist, da ihre Eigenschaften nicht in meine Vorstellungskraft hinüberwandern können“.¹³) Jedenfalls aber könnte diese Anschauung nicht a priori sein. So lange überhaupt die Anschauung sich nach den Dingen richtet, kommt man über diese Schwierigkeit nicht hinaus; wie aber, wenn umgekehrt die Dinge sich nach unserer Anschauung richten, wenn Raum und Zeit die unserem Geiste eigentümlichen Ordnungsprinzipien sind, durch die er den Chaos unserer Empfindungen entwirrt und uns das Weltbild zusammensetzt? Nur auf diese eine Weise ist Erkenntnis anderes enthält als die Form der Sinnlichkeit, die in meinem Subjekt vor allen wirklichen Eindrücken vorhergeht, dadurch ich von den Gegenständen affiziert werde“.¹⁴) Folgerichtig müßte hier das Subjekt aus dem Spiele bleiben, da das Ich ja schließlich von diesem Gesichtspunkte aus ebenso sehr ein Ergebnis der Erkenntnis ist als die Gegenstände. Diese werden also nicht an sich erkannt, sondern so, wie sie uns, verarbeitet durch unsere Erkenntnisprinzipien, erscheinen.

priori denkbar, „wenn sie nämlich nichts

So ungefähr läßt sich Kants Lehre vom Raume, der transzendentale Idealismus, soweit es überhaupt in kurzen Worten möglich ist, wiedergeben. Absichtlich haben wir dieselbe nicht in der vollen Reinheit darzustellen versucht, zu der sie sich in ihrem mathematischen Teile ausbilden ließe¹⁵), weil Kant selber nur an einzelnen Stellen zum vollendeten Idealismus, der allen Sensualismus überwindet, vorgedrungen ist. Besonders die Beispiele, die Kant der Mathematik entnimmt, sind seinen eigenen Absichten häufig ungünstig und wissenschaftlich nicht einwandsfrei.¹⁶)

9. Angesichts der Tendenz der modernen Geometrie, sich zu einer reinen Begriffswissenschaft auszubilden, kann es uns nicht gleichgültig sein, ob außer dem Begriffsdenken noch eine andere Erkenntnisquelle geometrischer Wahrheiten in Betracht kommt, die nicht bloß Anregungen geben will, sondern auf absolute Glaubwürdigkeit Anspruch macht. Wir können daher nicht umhin, zu der Erkenntnislehre Kants Stellung zu nehmen, indem wir uns erlauben, das mathematische Beweismaterial Kants vom Standpunkte der seit Kant erheblich fortgeschrittenen mathematischen Kritik nachzuprüfen.

Das Bewußtsein von der einzigartigen Stellung der Euklidischen Geometrie als der durch die Einheit der exakten Naturwissenschaften geforderten, die wissenschaftliche Überzeugung von der inneren Notwendigkeit ihrer Axiome zur Erklärbarkeit des Weltganzen, wie sie Kant voraussetzt, haben wir nicht und können sie vorläufig auch gar nicht haben, weil unsere Kenntnisse über die Grundlagen der Mathematik, Mechanik und Physik viel zu lückenhaft sind, als daß man über ihre gegenseitige Verträglichkeit und ihre Notwendigkeit sich ein begründetes Urteil bilden könnte. Zwischen der Physik des Äthers und der der ponderabeln Materie klafft ein tiefer Spalt, der sich erweitert, je mehr man versucht, diese Wissenschaften rein begrifflich nach Art der Geometrie durch scharf formulierte Axiome zu begründen; es ist schon außerordentlich schwer, diese zwei Bereiche der Erscheinungswelt überhaupt begrifflich zu definieren. Da somit große Gebiete der Physik noch so gut wie vollständig ohne inneren Zusammenhang sind, so läßt sich weder von der Euklidischen Geometrie, noch von einer anderen absolut sicher entscheiden, ob sie sich ohne Widerspruch diesen Wissenschaften wird zugrunde legen lassen.

10. Es ist merkwürdig, daß Kant und seine Anhänger es für unstatthaft erklären, durch ein Experiment¹⁷) entscheiden zu wollen, ob die Euklidische Geometrie „die“ reale ist oder nicht. Zweck und Voraussetzung des Experimentes werden allerdings nicht immer scharf definiert. Man kann durch Nachmessen an Dreiecken natürlich nicht beweisen wollen, ob die Euklidische Geometrie (oder eine andere) als Begriffssystem richtig, d. h. in sich widerspruchsfrei ist oder nicht. Das kann man bei keiner Geometrie, weil wir die Grundgebilde keiner Geometrie auf Grund ihrer Axiome sinnlich darstellen können; das ist aber auch nicht nötig, weil die Richtigkeit der Euklidischen Geometrie (und der beiden Nichteuklidischen) sich aus den Axiomen begrifflich beweisen läßt. Wohl aber muß man sich fragen, ob die Gebilde mannigfachster Erzeugungsweise, die wir im täglichen Leben als Geraden bezeichnen, den Axiomen der Euklidischen Geometrie wirklich (angenähert) entsprechen. Wenn man mit Zirkel und Lineal ein „Dreieck“ konstruiert und die Winkel mit dem Transporteur mißt, kann man da schon wirklich a priori wissen, daß die Winkelsumme mit hinreichender Näherung zwei Rechte beträgt'? Wenn man in das Lineal (angenähert) die in den Axiomen geforderte Gesetzmäßigkeit hineinlegen könnte, dann gewiß. Aber das gibt es nicht; wir benutzen zur Herstellung des Lineals nicht die in den Axiomen verlangte Gesetzmäßigkeit, sondern die der Lichtbewegung, indem wir dafür sorgen, daß seine Kante beim Visieren zu einem Punkte zusammenschrumpft, vielleicht auch ist die Kante nur mit rein mechanischen Mitteln „gerade“ gemacht worden. Nun kann man ja allenfalls aus Erfahrung wissen, daß die durch das Lineal erzeugten Linien den Axiomen der Anordnung und Verknüpfung, Kongruenz und Stetigkeit hinreichend genügen; ob aber auch das Parallelenaxiom, also der Satz von der Winkelsumme gilt, kann man nicht mit Sicherheit sagen, da es von den anderen Axiomen unabhängig ist. Also nicht über die Richtigkeit der Lehrsätze dieser oder jener Geometrie soll das Experiment entscheiden, sondern über ihre Anwendbarkeit auf so oder so erzeugte empirische Raumgebilde. Die Erzeugungsart derselben muß freilich genau angegeben sein, sonst hätte das ganze Problem keinen Sinn. Je größer das Dreieck ist, desto mehr müßten Abweichungen der Winkelsumme zur Wirkung kommen; gleichzeitig kompliziert sich dann aber das Experiment. Konnte man bei kleinen Dreiecken noch ausschließlich mit den Mitteln der Mechanik aus-kommen, so muß man bei großen terrestrischen und astronomischen Dreiecken die Gesetze der Optik heranziehen. Denn da jetzt die Winkel mit dem Theodolit gemessen werden, so bestehen die Seiten des Dreiecks aus Lichtstrahlen. Der Teilkreis des Theodolits ist dagegen in der Drehbank hergestellt, also seine Kreisgestalt durch Rotation eines starren Körpers erzeugt. Hier wirken also zwei getrennte Welten, der Äther und die Materie, zusammen, um die Messung zustande kommen zu lassen. Nun sind ja die Lichtstrahlen, gespannte Fäden, Rotationsachsen u. s. w. gewiß im landläufigen Sinne gerade Linien, aber ob das nicht bloß Annäherungen sind, kann man nicht wissen, und daß speziell die Fortpflanzungsrichtung des Lichtes identisch ist mit den Trägheitsbahnen starrer Körper, die ja in der reinen Mechanik auf Grund der Definition (Euklidische) Geraden sind, ist theoretisch noch nicht bewiesen. Es wäre denkbar, daß die Lichtstrahlen eine Nichteuklidische, die Trägheitsbahnen die Euklidische Geometrie verwirklichen, d. h. zu ihrer Erklärbarkeit in einem einheitlichen Systeme der Wissenschaft voraussetzen. Selbst wenn ein Dreieck mit rein mechanischen Mitteln erzeugt und gemessen wird, ist ein Zweifel statthaft. Beim üblichen Aufbau der Mechanik setzt man nämlich ohne weitere Begründung die Euklidische Geometrie voraus und definiert die Trägheitsbahnen als Euklidische Geraden. Dann muß doch zum mindesten bewiesen werden, daß diese Geometrie mit den Axiomen der überlieferten Mechanik verträglich ist. Daß in dieser Hinsicht Kollisionen denkbar sind, beweist folgendes Beispiel. Die vierte Ecke B eines Parallelogramms A, B, C, T> kann man aus den drei anderen erhalten, indem man den Mittelpunkt M der nicht durch B gehenden Diagonale AG mit der Ecke B verbindet und MB = MB macht. Damit ist bewiesen, daß das sogenannte Parallelogrammgesetz der Mechanik den Parallelenhegriff ganz ohne Not benutzt, indem der Punkt B, auf den es ankommt, auf Grund der Kongruenzsätze allein definiert und konstruiert werden kann; dieses Gesetz soll ja nur die Resultante von BA und BC nach Größe und Richtung festlegen, alles andere ist Zutat von Seiten der Geometrie. Es könnte demnach scheinen, als ob auch in den beiden Nichteuklidischen Geometrien auf Grund dieser Konstruktion die Zusammensetzung von Kräften und Geschwindigkeiten möglich wäre. Dem ist aber nicht so! Konstruiert man nämlich auf diese Weise zu drei Kräften x, y, z der Ebene mit demselben Angriffspunkte 0 die Resultanten £, y, £ der Paare y, z\ z} x\ x, y, und dann die Resultanten a, b, c der Paare £, x\ y, y\ £, z, so müssen a, b, c zusammenfallen auf Grund des Resultantenbegriffes und des Axioms, daß Kräfte mit demselben Angriffspunkte eine bestimmte Resultante haben. Hier stellt also ein Axiom der Mechanik ganz erhebliche Ansprüche an die Geometrie; das Zusammenfällen von a, b, c findet nur statt in der Euklidischen Geometrie, und zwar ausdrücklich unter Voraussetzung des Parallelenaxioms, so daß also in den beiden Nichteuklidischen Geometrien die Geraden a, b, c voneinander verschieden sind. Nebenbei bemerkt folgt daraus nun nicht, daß die Euklidische Geometrie die in der Mechanik allein mögliche ist, sondern nur, daß obige Konstruktion der Resultante zweier Kräfte in den beiden Nichteuklidischen Geometrien nicht als Grundlage der Resultantenbildung dienen kann; man muß da also ein anderes Konstruktions verfahren¹⁸) annehmen, das der Forderung des Zusammenfallens von a, b, c genügt. Wenn dieses Verfahren dem Resultate nach mit der obigen Konstruktion in genügender Annäherung übereinstimmt — nachdem eine exakte Übereinstimmung ausgeschlossen ist —, hat man von dieser Seite her nicht mehr und nicht weniger Widersprüche mit den übrigen Axiomen der Mechanik zu besorgen als unter Zugrundlegung der Euklidischen Geometrie und des herkömmlichen Verfahrens der Resultantenbildung.

11. Man hört nicht selten die Meinung vertreten, daß Kant schon durch die Schöpfung der Nichteuklidischen Geometrien widerlegt sei. Kant konnte aber von seinem Standpunkte aus diese Geometrien, wie auch viele Mathematiker tun, als reine Denkbereiche ebensowohl gelten lassen als die mehrdimensionalen Geometrien. Nur

würde er ihnen die „Realität“ abgesprochen haben. Wir hoffen im vorangehenden gezeigt zu haben, daß die beiden Nichteuklidischen Geometrien gerade auf Grund der Euklidischen sich realisieren lassen, daß sie also nicht reine Hirngespinste sind, wie so häufig behauptet wurde. Hiergegen würde man vom Kant sehen Standpunkte wohl kaum einwenden, daß die Punkte bei diesen Realisierungen keine wirklichen Punkte seien. Die hiermit gestellte Aufgabe wird gelöst durch die Caylev-Kleinsche Darstellung der beiden Nichteuklidischen Geometrien, deren Wesen wir im dritten Abschnitt andeuten werden.¹⁹) Diese Versinnlichung der Nichteuklidischen verhält sich zur unsrigen etwa wie die gewöhnliche Euklidische Geometrie zum parabolischen Gebüsche; ihr liegen Punkte, Geraden und Ebenen der Euklidischen Geometrie in gleicher Benennung zugrunde. Dadurch kommt, wie uns scheinen will, in die Frage eine entscheidende Wendung. Denn wenn die durch die Euklidische Geometrie gesetzte Raumordnung es ermöglicht, die Nichteuklidischen Geometrien zu verwirklichen, dann kann man die Realität dieser Geometrien nicht länger bestreiten, wie dies viele Kantianer tun. Die Nichteuklidischen Geometrien sind schon auf Grund unserer elementaren Realisierung derselben einfach besondere Abschnitte der Euklidischen Geometrie, nur in einer eigenen Kunstsprache ausgedrückt. Wir zweifeln nicht daran, daß es umgekehrt möglich sein wird, die Euklidische Geometrie mit den Mitteln der Nichteuklidischen zu erzeugen; das unendlich ferne Gebiet der Euklidischen Geometrie kann ja im Endlichen abgebildet werden, denn unendlich fern heißt nur „durch eine endliche Anzahl von Schritten auf Grund der Bewegung im Sinne dieser Geometrie nicht erreichbar“, d. h. „nicht durch eine endliche Reihe äquidistanter Punkte im Sinne der Kongruenz dieser Geometrie meßbar“. Der Satz von der Einzigkeit der Euklidischen Geometrie, soweit ihn Kant braucht, würde durch die volle Anerkennung der Nichteuklidischen Geometrie unseres Erachtens nicht preisgegeben, müßte aber anders formuliert werden (vgl. Art. 12). — Von einer Geometrie A aus, etwa der Euklidischen, kann man zahllose Mannigfaltigkeiten erzeugen und ihre Yerknüpfungsgesetze erforschen. Wenn man dann auf Grund dieser Yerknüpfungsgesetze eine solche Mannigfaltigkeit B independent definiert, wobei also ein zur Erzeugung von B hinreichendes und notwendiges System jener Yerknüpfungsgesetze zu Axiomen gemacht wird, so entsteht eine „in A enthaltene Geometrie Bu, oder allgemeiner, ein im Denkbereich A enthaltener Denkbereich B. Zwei geometrische Denkbereiche, von denen jeder im anderen enthalten ist, nennen wir äquivalent. Dann besagt der Realitätssatz im Sinne Kants: Eine Geometrie hat nur dann Realität, wenn sie der Euklidischen äquivalent ist. Das hiermit gestellte Problem, Kriterien für die Äquivalenz zweier Denkbereiche anzugeben, ist sehr schwer: man bedenke, daß in der Euklidischen Geometrie Mannigfaltigkeiten von beliebig hoher Dimensionszahl enthalten sind, und zwar lineare und nicht lineare. Die Lösung dieses Problems wäre für die Geometrie nicht weniger wichtig als für die Beurteilung der Erkenntnislehre Kants. Denn jene Kriterien müßten die obersten Grundsätze frei von allen Besonderheiten eines zufällig gewählten Gesichtspunktes enthalten, die zur Ableitung des Euklidischen Denkbereichs notwendig und hinreichend sind; das wären aber nach Kant Erkenntnisse a priori. Das Parallelenaxiom würde nicht zu diesen Kriterien gehören, denn es gilt nicht in den beiden Nichteuklidischen Geometrien; wohl aber die Stetigkeit.

12. Nachdem die Realitätsfrage der beiden Nichteuklidischen Geometrien ausgeschieden ist, läßt sich das Problem von der Einzigkeit der Euklidischen Raumordnung schärfer fassen. Beim rein begrifflichen und rein geometrischen Aufbau der Euklidischen Geometrie wie der beiden Nichteuklidischen wird die Kongruenz nicht, wie üblich, durch Deckbarkeit mittels Bewegung definiert und bewiesen, sondern durch ein Konstruktionsverfahren, das begrifflich nur die nach Abzug des Parallelenaxioms und der Kongruenzaxiome verbleibenden Axiome, materiell nur die als existent angenommenen Grundgebilde benutzt. Auf diese Definition der Kongruenz gründen wir dann umgekehrt den Begriff der Bewegung, wie in Art. 7 angedeutet wurde, die zunächst ganz zeitlos ist und durch den abgeleiteten Begriff der Zeit näher bestimmt wird. Jeder der drei Geometrien entspricht daher eine eigene „Bewegung“ und eine eigene „Zeit“. Nunmehr ist die Kant sehe Ansicht von der einzigartigen Stellung der Euklidischen Geometrie dahin auszulegen, daß nur der „Bewegung“ und „Zeit“ der Euklidischen Geometrie Wirklichkeit zukommt. Also nicht die Realität der elliptischen und der hyperbolischen Geometrie, sondern die Wirklichkeit ihrer „Bewegung“ und „Zeit“ wird geleugnet; was man vom Standpunkte dieser zwei Geometrien auf Grund gewisser Analogien „Bewegung“, „Zeit“ und „starre Körper“ nennt, das kann nicht dazu dienen, in einem widerspruchsfreien Lehrsystem der Mechanik und Physik Bewegungsvorgänge zu bestimmen. Die Euklidische Bewegung ist die Bewegung, der Euklidische starre Körper ist der starre Körper, die Euklidische Zeit ist die Zeit — das sind kurz gefaßt jene großen Erkenntnisse a priori, wodurch die Euklidische Geometrie zur einzig möglichen Grundlage der Mechanik wird.

Es liegt uns fern, bestreiten zu wollen, daß die Euklidische

Geometrie sich in allen Anwendungen auf Mechanik, Physik und Astronomie bisher auf das Beste bewährt hat, wir glauben auch, daß sie sich ferner bewähren wird, aber die Notwendigkeit und einzige Möglichkeit dieser Geometrie als Grundlage der Naturerkenntnis ist nie und nimmer eine Erkenntnis a priori, die wir bereits haben, sondern höchstens eine Erkenntnis, die wir im Verlauf der fortschreitenden Entwicklung unserer Gesamterkenntnis einmal zu gewinnen hoffen dürfen. Bei Kant besteht die logische Substruktion unserer Erkenntnis sozusagen aus einigen mächtigen Säulen, die das ganze Gebäude der Wissenschaft tragen; richtiger wäre es, an ein Fach werk zu denken, dessen Stäbe sich mannigfach kreuzen und einander gegenseitig rückwirkende Festigkeit verleihen. So greifen auch die Axiome der Geometrie und der Mechanik ineinander über, und keines kann herausgenommen werden, ohne das Zusammenhalten der übrigen zu gefährden. Zu dem Beispiel in Art. 10 ließen sich noch viele andere fügen. Uber die ganze Frage wird man sich erst ein begründetes Urteil bilden können, wenn einmal ein streng begriffliches System einer reinen Mechanik vorliegen wird, dessen Durchführbarkeit in der Physik des Äthers sich einigermaßen übersehen läßt. Die Einzigkeit einer bestimmten Geometrie ist also nicht Grundlage, sondern ein Problem der Erkenntnis, und zwar ein sehr schwieriges. Denn ob ein in sich widerspruchfreies System der Mechanik zur Bestimmung wirklicher Naturvorgänge geeignet sein wird, kann mangels anderer Kriterien nur der Erfolg entscheiden. Unser gegenwärtiges Wissen läßt sich aber durch verschiedene Systeme der Mechanik gleich genau vereinheitlichen, deren Unterschiede erst in fernen Zeiten und Raumgebilden deutlich genug hervortreten würden, um das geeignetste System auswählen zu können. Alle Versuche, die „Nichteuklidischen Systeme der Mechanik“, d. h. Systeme der Mechanik auf Grund der Nichteuklidischen Geometrien als mit der Erfahrung nicht vereinbar hinzustellen, laufen darauf hinaus, gewisse Gesetze dieser Mechaniken nachzuweisen, die mit der bisherigen Erfahrung in Widerspruch stehen. Wenn man aber jene Raumkonstante der beiden Nichteuklidischen Geometrien, die bei unserer Versinnlichung derselben als Radius der Orthogonalkugel bezw. Diametralkugel erscheint²⁰), hinreichend groß annimmt, so lassen sich diese Widersprüche jenseits der Grenzen aller bisherigen Erfahrung verlegen. Damit verstößt man durchaus nicht gegen die Grundforderung der Naturwissenschaften, im Raume durchgängig dieselben Gesetze gelten zu lassen; es gibt ja

Naturgesetze, wie die Aberration des Lichtes, die erst bei großen Entfernungen der Beobachtung zugänglich werden, und so könnten auch jene „Widersprüche“ gegen die Erfahrung in Wirklichkeit Naturgesetze sein, die in den verhältnismäßig kleinen Räumen und Zeiten unserer Erfahrung sich der Beobachtung entziehen. Andererseits läge nur dann ein Grund zur Annahme einer der beiden Nichteuklidischen Geometrien als Fundament der Mechanik und Physik vor, wenn sich herausstellte, daß man auf dieser Grundlage zu einfacherer Gesetzmäßigkeit der empirischen Wirklichkeit gelangte als auf dem alten. Eine hierzu nötigende Erfahrung liegt aber nicht vor.

13. Dagegen wollen wir noch bemerken, daß alle Argumente zugunsten der Euklidischen Geometrie im Endlichen auch dem parabolischen Kugelgebüsche und allgemeiner allen Gebüschen von Flächen zweiter Ordnung zu statten kommen, die ähnliche Struktur haben wie das genannte Kugelgebüsch. Diese .F⁷²-Gebüsche lassen sich aber unabhängig vom Parallelenaxiom erzeugen. In der Graphischen Statik werden wir nun gerade das parabolische Kugelgebüsch als natürliche Grundlage der Lehre vom astatischen Gleichgewicht kennen lernen und darauf ein System von homogenen Punktkoordinaten auf der Kugel gründen, in denen die Gleichungen der Kreise des Gebüsches linear sind. Trotz der Ausführungen des § 13 wird es nicht überflüssig sein, mit Hinweis auf dieses Beispiel zu betonen, daß mit dem Formalismus der Cartesiusschen Punktkoordinaten noch lange nicht der Euklidische Raum, sondern höchstens der Euklidische Denkbereich gegeben ist. Eine andere, allerdings nur indirekte Hinüberspielung eines Problems der Mechanik in die Nichteuklidische Geometrie, speziell in die eines Kugelgebüsches, ist Klein und Sommerfeld geglückt. Sie fanden, daß die Bewegung eines schweren Kugelkreisels an der Bewegung eines Punktes unter dem Einfluß geeigneter Kräfte in einem „sphärischen“ Raume von drei Dimensionen studiert werden kann, der mit einem nicht parabolischen Kugelgebüsche identisch ist. Überhaupt gewinnt die Mechanik nichteuklidischer und mehrdimensionaler Räume immer mehr an Bedeutung. Wir können auf diesen hochinteressanten Gegenstand nicht eingehen und verweisen deshalb auf den (vorläufigen) „Bericht über die Mechanik mehrfacher Mannigfaltigkeiten“ von P. Stäckel²¹), sowie auf dessen oben zitierte Festschrift zur Erinnerung an Bolyai; mit Rücksicht auf den beabsichtigten elementaren Charakter unserer Untersuchung geben wir uns damit zufrieden, wenn es uns gelingt, den Leser an diese naturwissenschaftlich und philosophisch gleich interessanten Probleme heranzuführen und in ihm den Wunsch nach vertiefter Kenntnis dieser

Fragen zn wecken. Dazu ist aber das Studium der grundlegenden Arbeiten notwendig, die wir in dem bibliographischen Schlußparagraphen angeben werden.

14. Ehe wir aus unseren Ausführungen über die Frage der Apriorität des Raumes die Schlußfolgerungen ziehen, müssen wir noch eines Einwandes gedenken, der oft zu gunsten der Euklidischen Geometrie gemacht wird, daß nämlich die Möglichkeit der Translationsbewegung (Parallelverschiebung) nur an die Euklidische Geometrie geknüpft sei. Hier liegt es ähnlich wie mit dem Parallelogrammgesetz. Definiert man nämlich die Translationsbewegung als eine solche Bewegung eines starren Systems, bei der alle Punkte parallele oder wenigstens einem Strahlenbündel angehörige gerade Linien beschreiben, so ist diese Bewegung in der Euklidischen Geometrie exakt, in den beiden Nichteuklidischen Geometrien nur angenähert möglich; bei unbegrenzt fortschreitender Bewegung müßte da das System seine Form ändern. Dagegen wäre diese Bewegung im parabolischen Kugelgebüsche genau ausführbar. Das spricht aber nicht gegen die beiden Nichteuklidischen Geometrien. Denn absolut genaue Translationsbewegungen, in der Schärfe des Begriffes, wie sie der Idealismus voraussetzt, gibt es nicht, ebensowenig wie absolut starre Körper; das sind alles „nur“ Ideen, durch die wir in die Fülle der Naturerscheinungen Ordnung zu bringen suchen. Alle unsere Messungen bestimmen ihren Gegenstand nur ungenau, teils aus (noch zu beseitigenden) Ungenauigkeiten der Methode, teils weil wir kein Phänomen in der Reinheit isolieren können, die zur vollkommen exakten Beobachtung und Messung vorausgesetzt werden müßte. Der gleicharmige Hebel z. B., mit zwei gleichen Lasten rechts und links, auf den sonst nichts wirkt, ist absolut genommen „nur“ eine Idee. Der Erdmagnetismus, die mit der geographischen Breite sich ändernde Gravitation, die Anziehung der Himmelskörper, jeder Lichtstrahl, jeder Blick, die Millionen von feinsten Stäubchen, die sich darauf niederlassen, kurz, eine unübersehbare Fülle von Einflüssen, machen die Reinheit der Naturerscheinung unmöglich. Das Hebelgesetz ist also keine absolut exakt beobachtbare Tatsache, sondern eine von den zahlreichen exakten Annahmen, die man auf Grund der Beobachtung machen darf (wenn sie sich mit den übrigen exakten Annahmen verträgt), um physikalische Tatsachen überhaupt erst zu bestimmen. Eine ähnliche Hypothese ist der freie Fall. Außer der Erdanziehung, die streng genommen mit der Annäherung an den Erdmittelpunkt wächst, wirken auf den herabfallenden Körper der Widerstand der Luft, die Zentrifugalkraft der Erde, etwa in der Nähe befindliche Ge-birgsmassen, die Anziehung der Himmelskörper und viele andere Einflüsse, deren Aufzählung ermüden würde. Naturwissenschaft be-

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Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

obachtet demnach nicht reine Phänome, sondern nimmt sie an, um die Beobachtung auf Gesetze zu bringen; sie geht nicht von „exakten“ Tatsachen aus, sondern die Konstatierung des wahrhaft Tatsächlichen — immer im absolut strengen Sinne des Wortes — ist ihr fernes, nie zu erreichendes Endziel; ihre Formeln sind nicht kompen-diöse Beobachtungstabellen, so objektiv sind mathematische Formeln nicht, sondern Erzeugungsgesetze für die beobachteten und dazwischenliegenden Zahlen. Durch Beobachtung und Messung allein kann aber nie ein funktionaler Zusammenhang zwischen einem veränderlichen x und einem davon abhängigen y ermittelt werden, wenn wir nicht aus eigener Machtvollkommenheit über die Natur der gesuchten Funktion eine Verfügung tretfen. So werden also die reinen Phänomene, die exakten Gesetze immer Ideen bleiben. Natur erklären heißt, sie aus reinen Phänomenen vermittelst exakter Gesetze aufbauen, heißt, „den großen Gedanken der Schöpfung noch einmal denken“ (Klopstock). Nach alledem darf man also einer Nichteuklidischen Mechanik nicht vorwerfen, daß in ihr dieser oder jener Naturvorgang nicht exakt möglich ist, sondern man muß nur fragen: kann man ohne die Idee der exakten Translationsbewegung, des exakten Hebels u. s. w. Naturvorgänge gesetzmäßig bestimmen? Und man wird gewiß nicht mehr sagen, in der Nichteuklidischen Mechanik sei alles ungenau, nur angenähert, vielmehr sind ihre Ideen so rein und streng wie die der Euklidischen Mechanik. Nur sind es andere, und die Frage kann allein sein, ob sie sich in der Anwendung bewähren. Das ist aber bis jetzt immer der Fall und wird es auch bleiben, so lange wir unsere Erfahrungen nicht auf unendliche Zeiten und enorm ferne Räume ausdehnen können. Andererseits hat sich noch nie begründeter Anlaß gefunden, die historisch uns werte, wohlerprobte Euklidische Geometrie als Grundlage der Mechanik aufzugeben. Aber ihre prinzipielle Alleinherrschaft ist gebrochen, ihre Vorrechte sind nur historisch, psychologisch-physiologisch und durch die Ökonomie des Denkens zu rechtfertigen.

15. Damit fällt die Apriorität der Euklidischen Raumordnung in dem strengen Nebensinne, den das Wort bei Kant vielfach erkennen läßt; denn außer der begrifflichen gibt es bei ihm noch eine andere Art des Gegebenseins exakter Tatsachen, nämlich in der reinen Anschauung a priori. Diese Zwangsläufigkeit unseres Geistes, welche die Axiome der Geometrie schlechthin als gegeben hinnehmen muß, ist nur zu erklären aus jenem Erdenreste von Sensualismus, der dem Kant sehen Idealismus noch anhaftet: Kant nimmt bei seinen geometrischen Betrachtungen in so hohem Maße die (empirische) Anschauung zu Hilfe, daß unter dem Einfluß Schopenhauers sich die Auffassung bilden konnte, die Geometrie (und Arithmetik) gründe sich bei Kant auf die Anschauung. Nichts könnte aber verkehrter sein. Das ordnende Denken ist Kant immer die Hauptsache gewesen, der Verstand bestimmt geradezu die Sinnlichkeit. Wenn Kant trotzdem der Sinnlichkeit in der reinen Anschauung eine im einzelnen schwer zu verstehende Rolle zu weist, so lag das wohl an den Mängeln seiner geometrischen und physikalischen Kenntnisse. Er beurteilt die Geometrie ganz unter der Perspektive der Elementargeometrie, die vom Größenbegriff vollständig beherrscht wird. Die Begriffe „in" (allgemeiner der Inzidenz) und „zwischen" (allgemeiner der Anordnung) sucht er nirgends zu erfassen, sondern beruft sich dabei nur auf die Anschauung. Am schlimmsten tritt das hervor bei dem früher zitierten Beispiel aus den Prolegomena, wo ein Handschuh mit seinem Spiegelbild verglichen wird; in allen Bestimmungen seien sie einander gleich und ließen sich doch nicht zur Kongruenz bringen. In Wirklichkeit fehlt aber eine wesentliche Bestimmung, nämlich die des „Sinnes". In der projektiven Geometrie läßt sich der Gegensatz eines Körpers zu seinem Spiegelgebilde zurückführen auf die Alternative, ob ein Punkt einer Geraden zwischen zwei auf ihr gegebenen Punkten liegt oder nicht. Die Kongruenz scheint bei Kant bald durch Deck-barkeit mittels Bewegung, bald durch Gleichheit aller Bestimmungen definiert zu sein, also im einen Falle nicht rein geometrisch, im anderen ganz unzulänglich. Wie wenig Kant den inneren Zusammenhang der Geometrie übersah, ergibt sich daraus, daß das Ziehen einer Linie (= Geraden) mit dem Ziehen der Ellipse auf gleiche Stufe gestellt wird. Das Erzeugungsgesetz der Geraden sollte wohl die reine Anschauung liefern, die Erzeugung der Ellipse, wenn alle Geraden als konstruiert vorausgesetzt werden, ist streng begrifflich definierbar. Das Parallelenaxiom erkannte er durch die reine Anschauung mit dem Bewußtsein, daß es so ist und nicht anders sein könne. Alles das sind Mängel, die nicht seinem System zur Last fallen, sondern seinem Glauben an die Euklidische Geometrie; die Literatur über das Parallelenaxiom findet man in der Kritik der reinen Vernunft und in den Prolegomena nirgends erwähnt. Es liegt auf der Hand, daß so die freie Entfaltung des guten Grundgedankens seiner Erkenntnislehre verhindert wurde.

16. Mit der reinen Anschauung a priori möchten wir aber nicht alle Anschauung aus der Geometrie verweisen; läßt sich doch die (empirische) Anschauung in gewisser Hinsicht durch fortgesetzte Übung dem Ideal einer reinen Anschauung nähern. Ihre Reinigung von allen Zufälligkeiten der sinnlich vorgestellten Figur gelingt uns, indem wir die Raumgebilde bald aus gewöhnlichen Punkten, Geraden und Ebenen aufbauen, bald aus Kugeln, Kugelbüscheln und Kugel-

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bündeln eines Gebüsches, bald rein arithmetisch u. s. w., so daß im bunten Wechsel der sinnlichen Erscheinungsformen nur das reine Erzeugungsgesetz bestehen bleibt, nach dem wir die ursprüngliche Figur erzeugt hatten. Wenn wir an dieser Figur Eigenschaften entdecken, die bei diesen Transformationen bleiben, so dürfen wir hoffen, daß dieselben aus dem Erzeugungsgesetz folgen, aber nur ein Beweis aus den reinen Begriffen kann uns die geometrische Wahrheit verbürgen. Aus der Anschauung allein fließen immer nur isolierte und angenäherte Erkenntnisse; ob diese sich im Zusammenhänge mit anderen Anschauungen widerspruchslos zu streng exakter Gültigkeit erheben lassen, kann nur durch Denkarbeit entschieden werden.

Mit der Anschauung muß alle Geometrie anheben; denn begriffliche Verarbeitung des Empirischen ist ihr Problem. In die unendliche Fülle der Wahrnehmungen läßt sich nur Ordnung bringen durch unbegrenzt funktionierende Gesetze. Wir beobachten etwa, wie die Bewegung eines Geschosses beeinflußt werden kann, indem wir über drei Punkte seiner Bahn verfügen, wie Formen beweglicher Gebilde durch Festlegung einiger ihrer Punkte bestimmt werden können. Durch derartige und andere Erfahrungen, die wir in § 7 zu skizzieren gesucht haben, ergibt sich für den denkenden Geist die Notwendigkeit, versuchsweise einige Ordnungen vollzogen anzunehmen, um andere daraus ableiten zu können. Das geschieht durch Begriffe und Axiome. So beginnt die exakte Wissenschaft zwar mit der Erfahrung, und ihre Grundbegriffe mögen in geschichtlich weit zurückliegenden Zeiten wohl in dem Glauben gebildet worden sein, dem empirischen Objekte genau adäquat zu sein; im Grunde sind sie aber nicht Nachbildungen des Empirischen, sondern in Anlehnung an die Empirie erfaßte reine Ideen, die ungeheuer viel einfacher sind als der sinnliche Gegenstand. Wir befürchten nach diesen Ausführungen und denen des Art. 15 nicht mißverstanden zu werden, wenn wir kurzweg sagen: Die Axiome der Geometrie und der Mechanik sind empirischen Ursprungs. Wir leugnen damit durchaus nicht ihre freie Schöpfung durch unser Denken, das nur geleitet ist durch die Absicht, den Inhalt unserer Erfahrung durch Gesetze zu ordnen; wir treten damit aber andererseits den Ansprüchen eines die Erfahrung mißachtenden Idealismus entgegen, als hätte man durch bloßes Nachdenken auf Grund unserer Denkgesetze allein zu unserer Geometrie und Mechanik kommen müssen. Auf diesem Wege können wir nur zu der Einsicht gelangen, daß wir suchen müssen, Ordnungen zu vollziehen, die aus gewissen fundamentalen Ordnungen entspringen. In diesem Sinne ist Geometrie a priori, d. h. zur Erfahrung nötig. Aber ihre grundlegenden Sätze können nicht von Anfang an bereits gesicherte Erkenntnisse, sondern nur durch die Erfahrung nahegelegte Hypo-thesen sein, in dem Sinne, den das Wort bei Platon¹) bat, d. b. versuchsweise gemachte Ansätze, um überhaupt einen Anfang zu gewinnen und darauf relative Erkenntnisse zu gründen. Je mehr die Hypothese sich bewährt, desto höher steigt sie im Erkenntniswert; es kann aber auch, wie die Physik täglich lehrt, Vorkommen, daß die Hypothese sich nicht durchführen läßt. Dann ist aber die aufgewandte Arbeit im allgemeinen nicht vergebens gewesen, in der Regel sieht man, wo die Voraussetzungen verbessert werden müssen. Erst wenn die Grundannahmen als in sich widerspruchsfrei erkannt sind und zur Bestimmung des Wirklichen ausreichen, werden sie zu Erkenntnissen im echten Sinne des Wortes. Betrachtet man als Endziel unserer Geometrien ihre Einfügung in den Verband unserer gesamten Naturerkenntnis, dann sind ihre Axiome auch heute noch Hypothesen.

Wenn man den Streit um die Grundlagen unserer Wissenschaft, der von tiefdenkenden Gelehrten mit großer Erbitterung geführt wird, leidenschaftslos verfolgt und sich dabei von dem Gedanken leiten läßt, daß jeder von seinem Standpunkte aus etwas Vernünftiges gedacht haben müsse, dann kommt man zu der Überzeugung, nicht, daß die Wahrheit zwischen ihnen in der Mitte, sondern daß sie über ihnen liege. Von dem Standpunkte, den wir zu erreichen gesucht haben, glauben wir das Berechtigte aller philosophischen Systeme würdigen zu können, die mit wissenschaftlichem Ernst über die Grundlagen der Mathematik nachgeforscht haben. Speziell möchten wir noch in Kürze einen guten Gedanken in Kants Lehre von der reinen Anschauung a priori herausheben. Hilbert hat den Anstoß gegeben, die Tragweite der einzelnen Axiome unserer Wissenschaft genau zu bestimmen. Ähnliches geschieht zurzeit in der Mechanik; diese Untersuchungen gehen übrigens bis auf Lagrange zurück, wie man aus den zitierten Abhandlungen von Stäckel und dem Berichte von Voß ersehen kann. Auf Grund dieser Vorarbeiten wird man immer mehr imstande sein, zu beurteilen, welche Axiome der Geometrie und Mechanik man voraussetzen muß, um diesen oder jenen Naturvorgang so oder so exakt erklären zu können; solche Untersuchungen über die Vorzüge und Nachteile dieser oder jener Hypothese werden jetzt in steigendem Maße angestellt. Diese Betrachtungen aber bewegen sich wahrhaft im Bereiche der reinen Anschauung a priori in dem vertieften Sinne, daß sie Überlegungen über die Voraussetzungen der Möglichkeit unserer Erfahrung enthalten. Nur wäre statt des a priori ein unzweideutiger Kunstausdruck zu wählen.

burg 1879.

1) Vgl. H. Cohen, Platons Ideenlehre und die Mathematik.

Mar

17. Indem wir Übergriffe der Anschauung in den Machtbereich des reinen Denkens entschieden zurückweisen, lassen wir sie als anregende Stütze und Begleiterin unseres Denkens um so unbedenklicher herrschen. Ohne die individuellen Eigenschaften der sinnlichen Figuren, die in die Begriffe der Geometrie nicht aufgenommen sind, wären manche Begriffe der Geometrie ihrem Zwecke nach gar nicht zu verstehen. Wir erinnern nur an den Begriff der Krümmung. Mach Art. 1 kann man eine beliebige Ellipse als „Kreis“, einen Punkt in ihr als „Zentrum“ desselben bezeichnen und konsequent eine Euklidische Geometrie aufbauen, in der die sogenannten „Radien“ dieses „Kreises“ einander gleich sind. Wenn man aber in dieser oder der herkömmlichen Euklidischen Geometrie den Begriff der Krümmung zu einem exakten machen will und sich nach einer Kurve umsieht, die (im noch unklaren Sinne des Wortes) etwa als durchaus gleichmäßig gekrümmt zu bezeichnen wäre, so wird jedermann zu dem mittels des Zirkels konstruierten „wahren“ Kreise greifen. Vom Standpunkte jener „Pseudoeuklidischen Geometrie“ müßte man aber ihrem Pseudokreis gleichmäßige Krümmung zuschreiben und käme dabei zu genau denselben Gesetzen, die man in der „wahren“ Euklidischen Geometrie mit Zugrundelegung der „wahren“ Kreise erhält. So konsequent die Krümmungslehre jener Pseudogeometrie in sich wäre, so unbegreiflich bliebe die Wahl ihres Pseudokreises als Kurve gleichmäßiger Krümmung. Wollte aber diese Pseudogeometrie der Anschauung mehr gerecht werden, so müßte sie versuchen, unter den Ellipsen diejenige, welche wir wahren Kreis nennen, irgendwie zu definieren. Das ist aber, wie wir gesehen haben, durch rein geometrische Bestimmungen nicht möglich. Aber, wird man mit Recht einwenden, wenn jemandem ein wahrer Kreis vorgelegt würde, ohne daß man verriete, wie er (mittels des Zirkels) konstruiert ist, so würde er doch an dieser Kurve ganz entschieden eine Gesetzmäßigkeit herausfühlen, wenn er sie auch nicht beschreiben könnte, die sie vor allen Ellipsen auszeichnet. Gewiß! Die Bestimmung dieser Gesetzmäßigkeit ist aber kein geometrisches, sondern ein physiologisch-psychologisches und ästhetisches Problem von größter Schwierigkeit. Zu seiner Erklärung wird man wohl auf die physiologisch-psychologische Grundlage der Symmetrie zurückgreifen müssen. Auch der nicht mathematisch Denkende hat ein ausgesprochenes Gefühl für „wahre“ Symmetrie, das nicht aus der Bewegung allein erklärt werden kann. Wenn wir zwei kongruente Figuren rechts und links von einer Geraden nicht ganz symmetrisch anordnen, so empfinden wir geradezu ein physisches Unbehagen; wenn eine Gerade x senkrecht auf der Symmetrieebene unseres Körpers, eine andere mit dem Fußpunkte in dieser Ebene nicht vollkommen senkrecht auf x steht, so werden wir durch den fortwährenden

Anblick dieser Figur erregt und ermüden leichter, als wenn der Winkel vollkommen (d. h. mit unmerklichem Fehler) ein Rechter wäre. Offenbar kommt hier die Akkomodationsstellung der beiden Augen in Betracht. Gegenüber Figuren, die zu unserer eigenen Symmetrieebene symmetrisch liegen, werden beide Augen beim Sehen gleich eingestellt und gleich angestrengt. Rechte Winkel, die durch diese Symmetrie in sich übergehen, kann man „aus der Anschauung“ viel leichter zeichnen als anders liegende. Vielleicht ist dies in Verbindung mit der Erzeugung des Kreises durch Rotation eines starren Körpers ein Weg, die Bevorzugung einer bestimmten Euklidischen Geometrie vor allen anderen zu erklären.²²) Das ist Sache der Psychologie.

Dritter Abschnitt.

¹

Ob das überhaupt ein zulässiger Begriff ist, wollen wir hier dahingestellt sein lassen.

²

Wenn man z. B. eine Gerade durch Visieren konstruiert, benutzt man das Gesetz von der Geradheit der Lichtstrahlen.

³

Ygl. Poincaré, Wert der Wissenschaft, übersetzt von E. Weber. Leipzig 1905, Anm. 6, S. 217.

⁴

Unabhängig vom Kongruenzbegriff kann der Begriff des starren Körpers

⁵

nur sehr unbestimmt als der eines Körpers definiert werden, der unserer Muskel

⁶

kraft beim Zusammendrücken großen Widerstand entgegensetzt.

⁷

   Inzwischen ist u. a. eine Arbeit von K. Nitz über diesen Gegenstand erschienen : „Beiträge zu einer Fehlertheorie der geometrischen Konstruktionen“ (Ztschr. f. Math. u. Phys. 53, 1906) mit einer sehr interessanten historischen Einleitung und zahlreichen Literaturangaben.

⁸

   Eine Geometrie, die es ablehnte, ideal zu sein, müßte notwendig im Nominalismus eine Ergänzung suchen.

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

⁹

Diese Auffassung berührt sich mit den Ideenlehren Platons. Ich (EL Weber) habe schon vor siebenundzwanzig Jahren in einer Königsberger Rektoratsrede den Versuch gemacht, die Kausalität auf den Klassenbegriff zurückzuführen (Über Kausalität in den Naturwissenschaften. Im Druck erschienen bei Wilhelm Engelmann, Leipzig 1881). Diese kleine Schrift ist zwar ihrer Natur nach wenig bekannt geworden, hat aber doch hin und wieder Beachtung gefunden. Ich habe mich seitdem, ohne mich gerade systematisch damit weiter zu beschäftigen, durch die Erfahrung mehr und mehr von der Fruchtbarkeit dieses Gedankens überzeugt.

¹⁰

Hier werden wir also auf das Euklidische ,,Ur](isïôv ècnv, ov iitęog ov&évu geführt, wenn ich auch nicht behaupten will, daß es bei Euklid so zu verstehen ist. Im Gegenteil, ich kann mich trotz der Einwendungen, die von philologischer Seite dagegen gemacht werden, wenn ich die Euklidischen Definitionen I, H, IY, die in § 1, 2. dieses Bandes zusammengestellt sind, betrachte, nicht ganz der Vermutung entsclilagen, daß Euklid (in umgekehrter Reihenfolge) sagen wollte: „Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat. Eine Linie ist Länge ohne Breite. Ein Punkt ist, was weder Länge, noch Breite, noch Dicke hat.“

¹¹

Über den gegenwärtigen Stand der Kritik der Grundlagen der Mechanik vergleiche man den ausführlichen Bericht von A. Voß in der „Encyklopädie der Math. Wissenschaften“, Bd. IY 1.

¹²

   Die Erklärung des a priori von den analytischen und synthetischen Urteilen aus, wie sie Kant in der „Ästhetik“ zu geben versucht, ist nicht glücklich, weil das Wort „Urteil“ es nahe legt, den Standpunkt der alten formalen Logik einzunehmen, die durch das „Urteil“ ihre fertig vorliegenden Begriffe, um deren Genesis sie sich nicht kümmert, zueinander in Beziehung setzt. Dann sind natürlich alle „Urteile“ der Geometrie „analytisch“, auch die in den Axiomen ausgesprochenen, weil nach dieser Auffassung ja die Grundbegriffe durch die Axiome formal definiert werden. Synthetisch sind diese Sätze gewesen, als die Grundbegriffe durch sie erst gewonnen wurden, also auf jener Vorstufe der Erkenntnis, die die alte Logik als abgeschlossen ansieht (oder ignoriert), ehe sie ans Werk geht.

¹³

   Prolegomena, § 9.

¹⁴

   Prolegomena, § 0.

¹⁵

   In der Richtung von Cohen, Natorp; vgl. etwa Natorp, Sozialpädagogik, § 1—5. Was von philosophischer Seite über die Grundlagen der Mathematik geschrieben wird, bedarf durchgängig der Kritik; im ganzen hat man den Eindruck, daß die Schwierigkeit des Problems unterschätzt wird, eine unangenehme Wirkung des (Neu-)Kantschen Idealismus, der die Hoffnung nährt, die Grundgesetze der Mathematik und Mechanik aus allgemeinen logischen Prinzipien zu deduzieren. Die Bekämpfung des rohen Empirismus durfte nicht zur Verwerfung aller Erfahrung führen, der Idealismus (dem wir selbst nahe stehen) könnte unbedenklich der Empirie mehr Spielraum gewähren.

¹⁶

   Man beachte etwa Prolegomena, § 12 und § 13, die unzulässige Definition der Kongruenz.

¹⁷

Auf diesen Gedanken kam u. a. Job. Bolyai. Ygl. P. Stäckel, De ea Mechanicae analyticae parte, quae ad varietates complurium Dimensionum spectat.

¹⁸

Ein solches hat E. Davis (Die geometrische Addition der Stäbe in der hyperbolischen Geometrie, Diss. Greifswald 1904) angegeben; ob es das einzig mögliche ist, scheint nicht sicher.

¹⁹

Eine wirklich befriedigende Darstellung läßt sich nur mit den Hilfsmitteln der projektiven Geometrie und Invariantentheorie geben.

²⁰

Vom Standpunkte der betr. Nichteuklidischen Geometrie heißt diese Konstante das Krümmungsmaß des entsprechenden Raumes, ein Begriff, der sich der elementaren Darstellung entzieht.

²¹

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 12 (1903).

²²

Ygl. M. Simon, Zu den Grundlagen der Nichteuklidischen Geometrie, Straßburg 1891, woselbst weitere Literaturangaben.

Grundlegung der projektiven Geometrie.

§ 15. Die Axiome der Verknüpfung’ und der Anordnung."

1.    Indem wir die beiden Nichteuklidischen Geometrien mittels der Euklidischen darstellten, erlangten wir den Vorteil, die Schicksale dieser drei Geometrien miteinander solidarisch zu verketten: führte eine von ihnen zu inneren Widersprüchen, so müßten alle drei falsch sein. Andererseits erwuchs daraus der Nachteil, daß es scheinen könnte, als sei schließlich die Euklidische Raumordnung doch der Urquell aller anderen Raumgestaltungen. Daß jedoch die beiden Nichteuklidischen Geometrien eine selbständige Begründung zulassen, haben wir in § 18 und § 14 bereits bemerkt, und zwar kann man diese Geometrien entweder nach Art der Schulgeometrie aus ihren Axiomen aufbauen, oder, was einen rascheren Überblick gewährt, sie aus der Cayleyschen Maßbestimmung deduzieren. Wir entschließen uns zu letzterem, wenn wir uns auch auf Andeutungen beschränken müssen. Die Cayleysche Metrik gründet sich aber auf rdie projektive Geometrie, und so müssen wir erst diese herleiten.

2.    Die projektive Geometrie soll uns zugleich die Grundlage für das definitive Lehrgebäude der Euklidischen Geometrie abgeben. Wir hatten die Bewegung als Kriterium der Kongruenz verworfen (§ 14), weil dabei stillschweigend die bewegten Gebilde als starr vorausgesetzt werden, der Begrilf der Starrheit aber nur durch die Unveränderlichkeit der Maße bestimmt werden kann; die übliche Definition der Kongruenz begeht also einen circulus vitiosus, über den auch die „reine Anschauung“ nicht hinweghelfen kann, wie man wohl behauptet hat. Die Bewegung ist kein Prinzip der Geometrie, sondern ein Problem der Kinematik. Nach dem Vorgänge von Leibniz hat neuerdings Natorp¹) versucht, die Bewegung als Ortsveränderung oder Inbegriff aller Lagen zur Herleitung der Raumordnung zu benutzen. Der Begriff der Veränderung ist aber für diesen

Zweck zu allgemein; man könnte leicht „Veränderungen“ angeben, die eine stetige Umgestaltung der Raumordnung bewirken, ohne das zu leisten, was die Bewegung leisten ' soll. Man muß also die Eigenschaften hinzunehmen, welche jene Veränderungen oder Transformationen zur Bewegung machen. Das sind aber Gruppeneigenschaften, die sich ohne Benutzung der Axiome I, II, IV, V nicht bestimmen lassen. Da dies im wesentlichen die Axiome der projektiven Geometrie sind, so kann das Brauchbare des Natorpsehen Gedankens erst auf Grund der projektiven Geometrie Verwertung finden, etwa im Sinne von Lindemann.²) Dieser Weg ist aber nur mit den Mitteln der Analysis oder der ganzen Geometrie der Lage gangbar. Es liegt mehr im Geiste der Elementargeometrie, die Kongruenzaxiome durch geeignete Konstruktionen zu verwirklichen. Das sollten die St einer sehen Linealkonstruktionen leisten (§ 5). Diese setzen in jeder Ebene einen Hilfskreis voraus. Die geometrischen Eigenschaften des Kreises können aber ohne Maßbegriffe nicht definiert werden. So würden wir uns also mit unseren Absichten in einem falschen Zirkel bewegen, wenn die Geometrie ihre Gesetze wirklich, wie der naive Empirismus will, aus den Figuren herausläse, statt sie vielmehr hineinzulegen. Vom Standpunkte der rein begrifflichen Geometrie schließen wir dagegen umgekehrt: wenn der ideale Kreis nur metrisch von anderen Ellipsen unterschieden ist, so muß man jede Ellipse im reinen Begriffssystem der idealen Geometrie zum „Kreis“ machen können, nicht in dem Sinne, daß man auch an eine „ungenaue“ Figur exakte Folgerungen knüpfen könne, sondern so, daß die durch jenen Kreis vermittelten Konstruktionen vollkommen exakt sind, wenn auch die auf diesem Wege erzeugte Kongruenz nicht die empirische ist. Diese Möglichkeit wurde schon in § 14 behauptet. Es gilt nun, sie zu verwirklichen.

3. Da die parabolische und die hyperbolische Geometrie durch Einführung der uneigentlichen bezw. idealen Elemente rein begrifflich die Verknüpfungsgesetze der elliptischen Geometrie herbeiführen, so wird die projektive Geometrie, die jenen zur Grundlage dienen soll, die Verknüpfungsaxiome der elliptischen voraussetzen müssen.

In der projektiven Ebene werden also je zwei Geraden einander schneiden; erst hinterher werden wir gewisse Punkte und Geraden als uneigentliche oder ideale auszeichnen, um zu den drei verschiedenen Geometrien zu gelangen. Die Worte „Punkt, Gerade, Ebene“ könnten übrigens durch „Grundgebilde nullter, erster, zweiter Stufe“ ersetzt werden; die Ebene suchen wir durch ein Strahlenbüschel zu erzeugen.

Wir gehen demnach von zwei verschiedenen Systemen von Dingen aus, die Punkte und Geraden heißen mögen. Es sei festgesetzt, was man unter Inzidenz eines Punktes und einer Geraden zu verstehen hat. Von den mit einer Geraden inzidenten Punkten sagen wir, sie „liegen auf ihr“, sie „gehören ihr an“; nach einer in § 13 gemachten Bemerkung brauchen diese Punkte nicht im gewöhnlichen Sinne „auf“ der Geraden zu liegen; die mit einem Punkte inzidenten Geraden „gehen durch diesen Punkt“. Eine Gerade „verbindet“ je zwei „ihrer“, d. h. der ihr angehörigen Punkte. Zwei durch denselben Punkt gehende Geraden „schneiden sich in diesem Punkte“, sie „haben diesen Punkt gemein“. Alle diese Redewendungen dienen nur zur Erleichterung des Ausdruckes. Zwischen den Punkten und Geraden bestehe unter Benutzung des Begriffes der Inzidenz eine Verknüpfung folgender Art:

1₁.    Durch zwei voneinander verschiedene Punkte geht stets eine und nur eine Gerade.

1₂.    Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei Punkte.

1₃.    Es gibt mindestens zwei einander nicht schneidende Geraden.

Es gibt demnach mindestens drei nicht in einer Geraden liegende Punkte. Die drei Geraden, welche drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte paarweise verbinden, konstituieren ein „Dreiseit“ mit den drei Geraden als „Seiten“ und den drei Punkten als „Ecken“. Unter einem „StrahlenbüscheR (S, u) mit dem „Scheitel“ S und der „Leitlinie“ u verstehen wir die Gesamtheit der Geraden oder „Strahlen“, welche den Punkt S mit den Punkten der Geraden u verbinden. Ein Strahlenbüschel kann nur einen Scheitel haben, sonst müßten seine Strahlen nach Ix miteinander zusammenfallen. Wir fordern weiter:

1₄.    Zwei Strahlenbüschel mit gemeinsamem Scheitel haben mindestens einen gemeinsamen Strahl.

1₅.    Eine Gerade, die zwei Seiten eines Dreiseits schneidet, und zwar nicht in ihrem gemeinsamen Schnittpunkte, schneidet auch die dritte Seite.

4. Diese zwei Axiome bezwecken ersichtlich die Definition der Ebene. Aus I₅ folgen zunächst die Hilfssätze:

A.    Eine Gerade, die zwei Strahlen eines Strahlenbüschels schneidet, ohne durch den Scheitel zu gehen, schneidet 1) auch die Leitlinie und 2) die übrigen Strahlen des Büschels und kann daher als Leitlinie dienen.

B.    Je zwei Leitlinien desselben Büschels schneiden einander.

Die Allheit der Strahlen und Leitlinien eines Strahlenbüschels mit den ihnen angehörigen Punkten nennen wir eine „Ebene“, die

mit jenen Geraden und Punkten „inzident“ ist; diese Gebilde „liegen in dieser Ebene“, sie „gehören ihr an“, die Ebene „geht durch sie“. Der Ebene gehören an: die Verbindungsgerade von je zwei ihrer Punkte, der Schnittpunkt yon je zwei ihrer Geraden. Je zwei Geraden einer Ebene schneiden sich. Jeder Punkt einer Ebene kann Scheitel, jede nicht durch ihn gehende Gerade der Ebene kann Leitlinie eines die Ebene „erzeugenden“ Strahlenbüschels sein. Nach I3 liegen nicht alle Geraden in derselben Ebene. Eine Ebene wird yon jeder nicht in ihr liegenden Geraden in einem und nur einem Punkte geschnitten. Denn ist S der Scheitel, u eine Leitlinie eines Strahlenbüschels der Ebene, v jene Gerade, so haben die Büschel ($, u), (S, v) nach I₄ einen Strahl w gemeinsam, der die Gerade v in dem Punkte V schneidet; dieser ist der Geraden v und der Ebene gemeinsam. Gleichzeitig folgt hieraus, daß zwei Ebenen einander stets in einer Geraden schneiden. Drei Ebenen, die nicht eine Gerade gemeinsam haben, schneiden sich in einem Punkte. Durch drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, geht stets eine und nur eine Ebene; denn einer dieser Punkte kann als Scheitel, die Verbindungsgerade der beiden anderen als Leitlinie eines Strahlenbüschels dienen, das die Ebene erzeugt.

aus S auf ß. Eigen-

von a

5. Die Verbindungsstrahlen der Punkte einer Ebene a mit einem ihr nicht angehörigen Punkte G bilden einen „Schein“ dieser Ebene; der Schnitt dieser Strahlen mit einer nicht durch S gehenden Ebene ß heißt die „Projektion“ (der Punkte) schäften von Figuren der Ebene a, die durch Projektion erhalten bleiben, heißen „projektiv“. Die Geometrie, deren Begründung uns obliegt, befaßt sich nur mit projektiven Eigenschaften der geometrischen Gebilde. Die Eigenschaft des Mittelpunktes M einer Strecke AB der gewöhnlichen Geometrie, „zwischen“ ihren Endpunkten zu liegen, ist z. B. nicht    projektiv, da man leicht bewirken    kann, daß die

Projektion M'    von    M aus    einem Punkte S    auf    eine Gerade u

außerhalb der Verbindungsstrecke AB' der Projektionen A', B' von A, B fällt. Liegt der Punkt D auf der Geraden AB außerhalb der Strecke AB, und ist D' seine Projektion aus S auf u, so wird von den Punkten M', B' einer zwischen A', B' und einer nicht zwischen ihnen liegen. Die Eigenschaft der vier Punkte A, B, M, JD, daß A und B durch M und JD getrennt werden, überträgt sich also auf ihre Projektionen Ä, B',    M', JD',    sie ist projektiv.    Das    gibt uns einen

Fingerzeig, wie    wir    die Axiome der Anordnung    für    die Zwecke der

projektiven Geometrie zu modifizieren haben (vgl. § 10, 1.). Wir postulieren:

Je zwei verschiedene Punkte A, B einer Geraden u bewirken eine Einteilung aller übrigen Punkte der Geraden in zwei Klassen (A, B) 1 und (A, B)n mit folgenden Eigenschaften:

Up Die Klasseneinteilung ist von der Reihenfolge der Punkte A, B unabhängig.

11₂.    Jeder Punkt der Geraden außer A und B gehört einer und nur einer Klasse an.

11₃.    In jeder Klasse gibt es mindestens einen Punkt.

Bei der durch A, B bewirkten Klassenbildung heißen zwei Punkte Z, W „isothetisch“ oder „enantiothetisch“ bezüglich A, B, je nachdem sie derselben oder verschiedenen Klassen angehören.

11₄.    In jedem Quadrupel von Punkten einer Geraden gibt es zu jedem seiner Punkte nur einen von der Art, daß beide bezüglich der zwei übrigen enantiothetisch sind.

Sind also Z, W enantiothetisch bezüglich A, B, so sind

W,B, W,A, Z,B, Z,A;

a)    Z, A    isothetisch

c)

b)    Z, B W;A

d) W, B

aus a) und c) folgt auf Grund von II₄:

e)

A, B sind enantiothetisch bezüglich Z, W.

Dasselbe ergibt sich aus b) und d); aus a) und d) wie aus b) und c) erhellt, daß auch die isothetische Anordnung von vier Punkten wechselseitig ist. Wir haben also den Satz:

Wenn Z, W isothetisch (oder enantiothetisch) bezüglich A, B ist, so ist auch umgekehrt A, B isothetisch (oder enantiothetisch) bezüglich Z, W.

Um dieser Wechselseitigkeit Ausdruck zu geben, sagen wir im Palle der enantiothetischen Lage, die Paare Z, W und A, B „trennen“ einander, im Falle der isothetisehen Lage dagegen, sie „folgen“ einander. Zwischen den verschiedenen Punktanordnungen auf derselben oder auf verschiedenen Geraden vermittelt das „ebene“ Axiom der Anordnung:

II₅. Zwei Geraden u, u in der Ebene eines Dreiseits a, b, c, die durch keine der drei Ecken A, B, C gehen und sich auf keiner der drei Seiten schneiden, haben mit den drei Seiten a,b,c drei Punktepaare X, X'; Y} Y'] Z, Z' gemeinsam, die entweder kein Eckenpaar oder zwei Eckenpaare trennen,

also entweder allen drei Eckenpaaren folgen oder nur einem.

6. Wenn auf einer Geraden c die Punktepaare Z, W und A, B einander trennen, also Z, B und A, W einander folgen, und Z, Z' das Paar A, W trennt, so kann Z nicht, mit B identisch sein, und natürlich auch nicht mit A, W, Z. Auf einer Geraden c gibt es also mindestens fünf Punkte A, B, W, Z, Z', und es ist die Annahme erlaubt, daß Z, Z’ und A, W einander trennen; C sei ein nicht auf c gelegener Punkt, der von W durch S, S' getrennt werde (II₃). Die Verb in dungsgerade u von S, Z und u von S', Z' (siehe Fig. 49) schneiden BC und A G in X, X' und T, T.

Aus den Voraus-

Setzungen

1.    Z, Z trennt A, W,

2.    S, S' trennt W, C,

folgt vermöge XL aus dem Dreieck WCA:

Ys

Si

3. Y, Y' folgt A, C.

Fig. 49.

Mit Rücksicht auf 2. ergibt 'z> sich bei Dreieck WGB die Alternative :

a) entweder X, X' trennt B, C: Z, Z' folgt W, B;

b) oder

folgt „ ;    „ trennt „    .

Andererseits besteht bei Dreieck ABC wegen 3. die Alternative:

a) entweder X, X' trennt B, C: Z, Z' trennt A, B-

folgt „    .

ß) oder

folgt „ ;

Da der Fall a) nur mit cc), b) nur mit ß) vereinbar ist, so trennt Z, Z’ außer dem in der Voraussetzung angenommenen Paare immer noch ein zweites, aber kein drittes. Im ganzen haben wir aber auf C nur die aus A, B, W gebildeten drei Paare, die gegenüber Z, Z' in Betracht kommen. Wenn Z, Z' zwei dieser Paare nicht trennt, so kann Z, Z' auch das dritte nicht trennen, denn sonst müßte Z, Z' noch ein zweites der drei genannten Paare trennen. Es folgt:

Satz 1. Von fünf Punkten einer Geraden trennt jedes Paar entweder zwei oder keines der drei Paare, die sich aus den drei übrigen Punkten bilden lassen.

Jetzt können wir das Axiom II₅ von der Einschränkung frei machen, daß n, u sich auf keiner der drei Geraden a, b, c schneiden dürfen. Sei etwa Y' mit Y identisch, A, B trenne das Paar Z, Z"\ Y, Y" trenne A, C; ist X" der Schnittpunkt der Geraden u" = Y"Z" mit BC, und mit X nicht identisch, so muß X, X" nach II₅ dem

Paare B, C folgen (siehe Fig. 50). Wenn nun A, B das Paar Z, Z' nicht trennt, also nach Satz 1 das Paar Z', Z" trennt, muß X', X" dem Paare B, C nach II₅ folgen, da Y\ Y" das Paar AC trennt. Nach Satz 1. folgt daher auch X, X' dem Paare B, C. Ist zufällig X" mit X identisch und Z von Z', also X von X' verschieden, so kann X" nicht mit X' zusammenfallen. Daher ist auf die Geraden u, u" der Satz II₅ anwendbar und ergibt unmittelbar, daß X, X' das Paar B, C nicht trennt , wenn Z, Z' das Paar A, B nicht trennt. Diese Beziehung zwischen X, X' und Z, Zr ist wechselseitig, woraus folgt, daß, wenn X, X' das Paar B, C trennt, Z, Z' auch das Paar A, B trennt. Damit ist die erwähnte Einschränkung des Satzes II5 aufgehoben. Legt man durch Y noch weitere Geraden, die A, B (und B, G) treffen, so ergibt sich durch wiederholte Anwendung des gefundenen Resultates der

Satz 2. Die den Axiomen II entsprechende Anordnung der Punkte einer Geraden ist projektiv,

d. h. sie wird durch Projektion von einer Geraden auf die anderen übertragen.

Y,Y'

V'-

c,

io’

s'

tos

"s'

7/ A

Z'

Fig. 50.

7. Die in den Axiomen II geforderte Klasseneinteilung der Punkte einer Geraden ist einer wesentlichen Verallgemeinerung fähig. Wenn A, B, C, Z vier Punkte einer Geraden sind und (A, B)c diejenige durch A, B bestimmte Klasse bezeichnet, die C nicht enthält, so wird Z, je nachdem Z, C durch A, B getrennt wird oder nicht, der Klasse (A, B)c angehören oder nicht. Wenn man die Punkte A, B, C in irgend einer der sechs möglichen Reihenfolgen mit 1, 2, 3 bezeichnet, so muß Z nach II₄ einer und nur einer der Klassen (1, 2)₃, (2, 3)1? (3, 1)₂ angehören. Wir behaupten jetzt ganz allgemein:

Satz 3. n Punkte einer Geraden lassen sich stets so mit den Ziffern 1, 2, . . ., n bezeichnen, daß folgende Ordnung besteht:

1. Je zwei im Zyklus 1, 2, 3, . . ., n, 1 unmittelbar aufeinander folgende Punkte v, v -f- 1 (y — 1, 2, ..., n— 1) oder n, 1 bestimmen im Sinne der Axiome II eine Klasse [v, v -J- 1] oder \n, lj, die keinen der n — 2 übrigen Punkte enthält, so daß diese also der anderen Klasse, der „Ergänzungsklasse“, angehören.

2.    Jeder von diesen n Punkten verschiedene Punkt Z liegt in einer und nur einer dieser n Klassen [1, 2], [2,3], ..[n - 1, »], \n, 1],

3.    Diese Ordnung bleibt bestehen, nicht nur, wenn man die Ziffern 1, 2, . . n zyklisch permutiert, sondern auch, wenn man sie bezw. durch n, n — 1, . . ., 1 ersetzt, worauf man sie wieder zyklisch permutieren darf.

Für n = 3 haben wir den Satz vorweggenommen; um ihn durch den Schluß von n auf n -fl vollständig zu beweisen, denken wir n -f- 1 Punkte gegeben und auf n derselben den Satz angewandt. Die entsprechenden Klassen seien [1, 2]*, [2, 3]*, . . \n — 1, w]*, [w, 1]*. Der (n + l)te Punkt liegt nach Voraussetzung in einer und nur einer dieser n Klassen; wir dürfen annehmen, in [n, 1], da dieser Fall durch zyklische Permutation der Ziffern 1, 2, . . n sich leicht herbeiführen läßt. Dann trennt n -f- 1, v das Paar n, 1 für

n — 1.

• •)

v = 2, 3, 4, .

Nach II₄ folgt also n -f- 1, 1 dem Paare v, n, und n, n + 1 dem Paare v, 1, woraus sich ergibt, daß

(n + 1, l)r = (» 4-1, !)«; (n, n + l)i = (n, n + 1), für v = 2,3,..., n — 1,

wenn das Gleichheitszeichen zum Ausdruck der Identität benutzt wird. Die Symbole (n + 1, 1)₂ = (n + 1, 1)₃ = • • • = (n + 1, l)n_± = (n -f-1, l)n bezeichnen also dieselbe Klasse, die wir kurz [n + 1, 1] nennen wollen; ebenso bezeichne [n, n -j- 1] die Klasse

O, n + l)i = (n, n + 1)₂ = • • • — (w, n + l)n_!.

an

der Fall, daß Z in der letzten Klasse [w, 1]*

n— 1)

Ein von 1, 2, . . ., n -j- 1 verschiedener Punkt Z muß einer und nur einer der Klassen [1, 2]*, [2, 3]*, . . ., \n — 1, n]*, [n, 1]* gehören. Neues bietet nur

enthalten ist, in der auch n + 1 sich befindet; Z, v (y = 2, trennt dann n, 1, und durch Anwendung des Satzes 1. auf die fünf Punkte Z\ v, n, n -f- 1, 1 ergibt sich, daß Z, v eines und nur eines der Paare n, n -f- 1 oder n 1,1 trennt, d. h. daß Z entweder in (n, n -f l)v oder in (n -f 1, 1)„ sich befindet.

Sind also Z und n + 1 Punkte von [w, 1]*, so gehört Z entweder zu \n, n -fl] oder zu [n + 1, n\. Damit ist der Satz 3. bewiesen und zugleich gezeigt, daß jeder hinzukommende Punkt immer die Klasse in zwei neue Klassen spaltet, der er angehört. Die Sternchen, welche die durch n Punkte bewirkte Klasseneinteilung von der durch n-fl Punkte erzeugten unterscheiden sollten, erweisen sich demnach als überflüssig. Nach II₃ gibt es in jeder

Klasse mindestens einen Punkt. Auf jeder Geraden gibt es demnach mindestens vier Punkte, also ebensoviel Klassen, also vier weitere Punkte, also acht Klassen und mindestens acht weitere Punkte u. s. w. In jeder der beiden Klassen, die ein Punktepaar auf einer Geraden bestimmt, gibt es also unendlich viel Punkte.

aus

8. Die zwei verschiedenen zyklischen Anordnungen der Klassen, die durch n Punkte im Sinne des Satzes 3. gebildet werden, bestimmen zwei verschiedene „Sinne“, in denen man die Klassen „durchlaufen“, d. h. zunächst nur „aufzählen“ kann. Läßt man aber an der Klasseneinteilung einen (n + l)ten Punkt a teilnehmen, der etwa der Klasse [4, 5] angehört, so zerfällt diese, wie wir soeben bewiesen haben, in die Klassen [4, a] und \a, 5] ; ein zu [4, 5] gehöriger Punkt ß muß dann entweder in [4, a\ oder in [a, 5] Vorkommen. Nehmen wir das letzte an, so zerfällt [a, 5] in \cc, ß] und [ß, 5], so daß jeder Punkt y von [a, 5] in [a, ß] oder [ß, 5] liegen muß. Falls y zu [ß, 5] gehört, zerfällt [ß, 5] in \ß, y] und [y; 5]; daher setzt sich [4, 5]

[4, a], [a, ß], [ß, y\ \y, 5] zusammen, und es ist [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, «], [a, ß], [ß, y\ [y, 5], [o, 6], . . ., [w, 1] eine erweiterte Klassenteilung nach Satz 3. Eine Aufzählung dieser Klassen im einen oder anderen Sinne gibt dann zugleich eine Aufzählung der ursprünglichen Klassen in einem oder dem anderen Sinne; das setzt sich bei vermehrten Teilpunkten fort, und man nähert sich so der Vorstellung, daß die Punkte der Geraden selbst in eine bestimmte Ordnung gebracht werden können, indem eben alle Klassen und dann alle Unterabteilungen derselben u. s. f. sich in die zwei zyklisch verschiedenen Ordnungen bringen lassen. Zugleich prägt sich hier mit wachsender Schärfe die Vorstellung der Klasse als Strecke aus, zunächst als Strecke ohne Beimischung des Längenbegriffs. Wohl aber stehen wir bereits am Ursprung der Begriffe Größer und Kleiner. Es liegt nämlich nahe, die Zerlegung von [4, 5] in die Teilklassen [4, a], [a, 5] des obigen Beispiels symbolisch auszudrücken durch

[4, 5] = [4, «] + [«, 5]

und die „Teilklassen“ [4, a], \a, 5], die weniger umfassend als [4, 5] sind, „kleiner“ als [4, 5] zu nennen. Es ist dann

[«, ⁵J = K ß] + [ß, H [ß, 5] = [ß, y] + k 5],

und

[4, 5] = [4, a] + [«, ß] + [ß, y] 4- [y, 5].

Bezeichnet man die Beziehung zwischen einer Klasse Je und einer Teilklasse % durch k < Je, so ist z. B.

[y, 5] < [ft 5], [ßy 5] < [a, 5], [«,5] <[4,5]

und aus diesen „Ungleichungen“ folgt, wie in der Arithmetik,

Er, 5] < [4, 6].

Wir können also zwei Teilklassen kx, Ł, einer Gesamtklasse k auf das Größer- oder Kleinersein vergleichen, wenn eine dieser Teilklassen ihrerseits eine Teilklasse der anderen ist: Ist dagegen keine von beiden Teil der anderen, so fehlt es an einem Vergleichungsmodus. Dieser muß durch ein Gesetz gegeben sein, das es gestattet, allenthalben auf einer Geraden einer gegebenen Klasse andere Klassen eindeutig zuzuordnen, die als der gegebenen Klasse „gleich“ gelten sollen; kx heißt „kleiner“ als k₂, wenn k₂ eine Teilklasse xx enthält, die gleich kx ist. Die logische Genesis des Größenbegriffes geht also aus von der Erzeugung des Größer und Kleiner, setzt dann die Gleichheit und definiert zum Schlüsse das „Wie groß“. Für unsere Zwecke reicht die Vorstufe aus. Doch möchten wir hierdurch angeregt haben, diese Begriffsbildung einmal an einer Mannigfaltigkeit auszuführen, wo sie uns nicht infolge alltäglicher Gewohnheit so trivial vorkommt wie an den Punkten einer Geraden, z. B. an Temperaturdifferenzen.

§ 16. Das Dedekindsche Axiom und der Fundamentalsatz der. proj ektiven Geometrie.

1. Zur Begründung der Geometrie der Ebene müssen wir nach § 13, 4. die reichere Gesetzlichkeit des Raumes benutzen, um den Satz von Desargues abzuleiten; seine Voraussetzungen sind in § 13, 12. ausführlich besprochen, der Beweis ist in § 10, 1. erbracht worden. Diesen Satz wenden wir auf zwei Dreieckspaare AXBXCX und A₂B₂C₂, BXCXBX und B₂C₂D₂ einer Ebene rj an, die so zueinander gelegen sind, daß die Schnittpunkte

B von CXAX und C₂ A₂

€ von AXBX und A₂B₂, A von BXCX und B₂C\

der homologen Seiten des ersten Paares, und die Schnittpunkte

A von BXCX und B₂C₂, C'y on CXJDX und C₂D₂, B' von DXBX und JD₂B₂

der homologen Seiten des zweiten Paares einer Geraden u angehören. Dann gehen nach dem Satze von Desargues einerseits die Geraden

andererseits BXB₂, Cx C₂, DXI)₂

-A-iA₂, BxB₂, cxc₂,

durch einen Punkt. Dieser wird aber durch das Paar BXB₂ und CXC₂, das beiden Tripeln angehört, allein schon bestimmt, ist also für beide Dreiecke derselbe Punkt S. Jetzt sind die Dreiecke AXBXBX und A₂B₂D₂ so zueinander gelegen, daß die Verbindungslinien homologer Eckpunkte AXA₂, BXB₂, DXD₂ durch denselben Punkt S gehen,

also liegen nach der Umkehrung des Satzes von Desargues die Schnittpunkte

C von A₁B₁ und A₂B.₂,

B' von B₁D₁ und B₂B₂,

A' von D₁A₁ und D₂A

Das ist u (siehe Fig. 51). Der Beweis bleibt

in einer Geraden, bündig, wenn die Punkte eines oder zweier der drei Paare A, A'j B, B': C, C' je miteinander zusammenfallen, versagt aber, wenn einer

a.

A'

\W I

\>

;n\!

Fig. 51.

der vier Punkte A1? Biy Gx, JDl auf u liegt. Das System der drei Paar Verbindungsgeraden dieser Punkte heißt ein „vollständiges“ Viereck, je zwei Geraden oder „Seiten“ desselben, die zusammen die vier „Eckpunkte“ At, Bt, Gt, JD₁ enthalten, werden ein Paar „Gegenseiten“,, ihr Schnittpunkt eine „Nebenecke“ genannt. Wir haben also den

Satz 1. Wenn von zwei aufeinander bezogenen vollständigen;

Vierecken fünf Paar homologer Seiten sich in Punkten einer Geraden u schneiden, welche durch keinen Eckpunkt geht, so liegt auch der Schnittpunkt des sechsten Paares auf dieser Geraden.

2. Ein vollständiges Viereck OPQJR (Fig. 52) hat drei Nebenecken A, J, jB; von diesen gilt der

Satz 2. Die Nebenecken eines vollständigen Vierecks liegen nicht auf einer Geraden.

Den Beweis führt man am besten ohne Figur, um sicher zu sein, daß man nicht irgendwo die Anschauung benutzt. Die Ecken des Vierecks, von denen keine drei in gerader Linie liegen dürfen, mögen 1, 2, 3, 4 heißen. Es mögen einander schneiden

1    4 und 2 3 in der Nebenecke A,

B,

2    4    31 „    „

C,

34 „ 12 „    „

und es ist zu zeigen, daß A, B, G nicht auf einer Geraden liegen. Bezüglich des Dreiecks 12 3 sind 14, 2 4, 3 4 die Ecktransversalen des Punktes 4, und A, B, C ihre Schnittpunkte mit den Seiten.

Mittels der Axiome der Gruppe I zeigt man leicht, daß die Punkte A, B, C voneinander und von 1, 2, 3, 4 verschieden sind, indem jede gegenteilige Annahme immer zur Folge hätte, daß drei der Punkte 1, 2, 3, 4 in einer Geraden lägen. Der weitere Beweis des Satzes 2 gründet sich auf die Axiome der Anordnung und ihre Folgerungen.

Wir nehmen auf den Seiten 2 3 und 3 1 des Dreiecks 12 3 zwei

Punkte Ä und B' so an, daß A, A' durch 2, 3 und B, B' durch 3, 1 getrennt werden, und ziehen die Verbindungsgerade u der Punkte A Bsie möge 12 in C' treffen. Ließe sich nun beweisen, daß auch C, C' durch 1, 2 getrennt werden, so könnten A, B, C nicht auf einer Geraden u liegen, weil nach Axiom II₅ die Punktepaare A, A'-B,B'‘ C, C entweder kein oder nur zwei Eckenpaare des Dreiecks 12 3 trennen. Dieser Beweis kann in der Tat erbracht werden. Dazu ist eine kleine Vorbereitung nötig.

Werden nämlich vier Strahlen a, b, c, d eines Strahlenbüschels von zwei Geraden x, x', die dem Büschel nicht angehören, in vier Punkten A, B, C, I) und Ä, B\ C', D' geschnitten, so hat nach § 15, Satz 2. das Punktepaar A, B zu C, D dieselbe Lagebeziehung im Sinne der Axiomgruppe II wie A', B' zu C', B', was wir kurz durch

(A,B- C,D)-(A',B'5 C',B')

ausdrücken wollen. Das heißt also: Je nachdem die Paare A, B und C, JD einander trennen oder nicht, gilt das auch von A, B' und C', B'.

Sind nun X, Y, Z die Schnittpunkte von 14, 2 4, 3 4 mit u, so liefert der Schnitt der Strahlenbüschel 1, 2, 3, 4 mit den Seiten des Dreiecks 12 3 und mit u eine Reihe von derartigen „Gleichungen“,

die wir unter Angabe des Strahlenbüschels, das sie vermittelt, zusammenstellen wollen:

(1)

(!')

Büschel 1: (A, A'-, 2, 3) = (X, Ä- C, B'), „    4: (A, A'-, 2, 3) = (X, A'-, Y, Z)-,

(2)

(2')

„ 2: {B,B’- 3,1) = (7, IT; A',C') „ 4: (B,B'- 3,1) = (7,17; X, X);

(3)

(3')

CO TT

1, 2) - (X, C'; B', A') '? 1,2) = (X, C'; X, 7).

Vorausgesetzt ist:

(4)

(5)

A, Ä trennt 2, 3, 3,1.

B, Br

Aus (4) und (1') folgt:

X, Ä trennt Y, Z, und hieraus nach Axiom II₄: X, Y folgt A', Z,

(6)

(6')

Aus (5) und (2') folgt:

Y, B' trennt Z, X,

(7)

(7')

Y, X folgt X, B'. Nach § 15, Satz 1. schließt man aber aus (6') und (7'):

(8)

X, 7 folgt A', B'.

(6):

Vermöge des Axioms II₄ folgt aus

X, X folgt A', Y,

(9)

und (7) besagt auch:

X, X trennt B', Y.

Nach § 15, Satz 1. folgt einerseits aus (9) und (10):

(10)

(H)

X, X trennt A', B -

andererseits aus (11) und (8):

(12)

A', B' trennt Y, X.

Aus (5) und (2) folgt:

(13)

also nach IL:

7, B' trennt A', C',

oder umgestellt:

Y, <7 folgt A', B',

(14)

Ä, B' folgt 7, C'.

Endlich schließt man wiederum auf Grund des Satzes 1, § 15, aus (12) und (14):

Ä, B' trennt X, C', und hieraus mit Rücksicht auf (3):

(15)

(16)

w. z. b. w.

C, C trennt 1, 2

3. Dem vollständigen Viereck steht das „vollständige Vierseit“ gegenüber, der Inbegriff der sechs Schnittpunkte von vier Geraden der Ebene, von denen keine drei durch einen Punkt gehen. Zwei dieser Schnittpunkte oder „Ecken“ des Vierseits, durch die zusammengenommen alle vier Geraden gehen, heißen „Gegenecken“, ihre Verbindungslinie eine „Nebenseite“ des Vierseits. So bestimmen z. B. die Geraden OP, PQ, QB, RO der Figur 52 ein vollständiges Vierseit mit den Paaren von Gegenecken O, Q\ P, P; A, B und den Nebenseiten OQ, PR, AB. Diese gehen nicht durch einen Punkt, denn das müßte etwa der Punkt J sein, in dem sich OQ und PR treffen, und dieser liegt nicht auf AB, weil A, B, J die Nebenecken des durch O, P, Q, R bestimmten vollständigen Vierecks sind. Es folgt der zu Satz 2. analoge

Satz 3. Die Nebenseiten eines vollständigen Vierseits gehen nicht durch einen Punkt.

4. In Fig. 52 ist der spezielle Fall dargestellt, daß die Gerade u des Satzes 1. durch die Schnittpunkte A und B zweier Paare von Gegenseiten der Vierecke OPQB und O'P'Q'R' geht. Zu den so ausgezeichneten Punkten A, B und einem weiteren Punkte C von u bestimmt dieser Satz eindeutig vermöge der vollständigen Vierecke einen Punkt D der Geraden u, so daß man also beliebig viel Punkte von u konstruieren kann, wenn noch ein dritter Punkt C dieser Geraden gegeben ist. Geht man bei festgehaltenem A und B von B aus, so liefert die Konstruktion rückwärts den Punkt C.

Die Beziehung der Punkte C, D zu dem in bezug auf das Viereck ausgezeichneten Paare A, B ist also wechselseitig. Diese Auszeichnung von A, B ist übrigens nicht wesentlich.

(vgl. Fig. 53) H, K, L, M die Schnittpunkte der Geraden AJ, BJ mit den durch A

Sind nämlich

IC

\\A' /

Pig. 52.

!\

!\

.1

kr

Q;\

s'

und B gehenden Seiten des Vierecks, so senden die Vierecke HO KJ und JMQL je ein Paar Gegenseiten durch A und durch JB, während ihre gemeinsame Seite OJQ durch C geht; also müssen ihre sechsten

Hr

JPj

Mg. 53.

Seiten HK und ML durch I) gehen. Andererseits senden aber die Vierecke PHJM und JKRL je ein Paar Gegenseiten durch A und JB, und die gemein-£ same Seite PJB durch JD, folglich müssen die sechsten Seiten HM

und KL durch den Punkt C gehen. Jetzt ist aber HKLM ein Viereck, das zwei Paar Gegenseiten durch C und I) sendet, während das dritte Paar Seiten durch A und JB geht, also ist jetzt C, D so gegen A, B bevorzugt, wie ursprünglich A, B gegen C, B bevorzugt war. Man wird fragen, ob nicht etwa auch A und C zu Schnittpunkten von Gegenseitenpaaren gemacht werden können. Das ist aber unmöglich, weil, wie wir gleich zeigen werden, A, B durch C, B getrennt wird, also A, C und B, B nach II₄ (§ 15) einander folgen. Die Projektion von AB CB

PJBB.

aus Q auf PB ist nämlich: BJPB

» 0 „

Wenn nun AC und BB einander trennten, so gälte das auch von B, J und P, B, sowie von P, J und B, B (§ 15, Satz 2.), im Widerspruch mit Axiom II₄ (§ 15), wonach unter den Punkten B, P, B nur einer den Punkt J von den anderen trennen kann. Folglich trennen AC und BB einander nicht; dasselbe gilt auch von A, B und C, B, so daß also nach II₄ die Paare A, B und C, B einander trennen müssen. Das Ergebnis unserer Untersuchung fassen wir zusammen als

Satz 4. Ist ein vollständiges Viereck OPQB zu drei Punkten A, B, C einer Geraden u so gelegen, daß es durch A und B je ein Paar Gegenseiten sendet, während eine fünfte Seite durch C geht, so bestimmt die sechste Seite auf u in eindeutiger Weise einen Punkt Z); d. h. jedes andere ebenso zu A, B, C gelegene Viereck OPQB bestimmt denselben Punkt B. Die zwei

Ol

Punktepaare A, B und C, I) heißen zwei harmonische Punktepaare oder zwei Paar harmonischer Punkte. Sie haben folgende Eigenschaften: a) sie trennen einander; b) auch C und JD können zu Schnittpunkten von Gegenseitenpaaren eines vollständigen Vierecks gemacht werden, das dann durch A und B je eine Seite sendet; c) wenn C bei festgehaltenem A und B in die Lage von D fällt, so fällt I) in die von C.

Die Eigenschaft zweier Punktepaare A, B] G, D einander harmonisch zu trennen, d. h. zwei harmonische Paare zu bilden, ist offenbar projektiv, weil ein vollständiges Viereck immer wieder in ein vollständiges Viereck, zwei harmonische Paare also in zwei ebensolche Paare projiziert werden.

5. Die drei Seitenpaare XX' und YY', XF und X'Y', X'Y und XY' eines vollständigen Vierecks mögen durch zwei Geraden u und ux geschnitten werden in den drei Punktepaaren B, A; Z, Z'\ W, W und Bx, Ax\ Zx, Zx] Wx, Wx. Die Punktepaare X, X' und Y, Y' können bezüglich des Dreiecks ABC nach II₅ nur folgende Lagen haben:

a)    entweder sie trennen das Paar G, B bezw. das Paar C, A, wie in Fig. 54;

b)    oder sie trennen nicht;

c)    oder es findet eine Trennung, eine Folge statt, wie in Fig. 54 das Dreieck AXBXG zeigt. Wendet man auf das Dreieck AB C bzw. AXBXC und die Schnittgeraden XY und X'Y' oder X'Y und XY' das Axiom II- an (§ 15), so müssen Zf Z' und W, W die Punkte des Paares A, B im Falle c) trennen (illustriert in Fig. 54 z. an AX,BX- Zx, Zx\ Wx, Wx), im Falle a) und b) dagegen nicht. Jetzt wenden wir dasselbe Axiom auf das von u,

X'Y und XY' gebildete Drei- ^ eck SWW' und die Schnitt-

X'

w\3-

CS

z'

jZ

w'

7/

Fig. 54.

geraden an, die durch X', Y,

X, Y' gehen. Im Falle a) und b), wo das Paar A, B die Punkte

W,    W nicht trennt, wird das Paar X', Y zu S, TV und zugleich

X,    Y' zu S, W entweder isothetisch oder enantiothetisch liegen (II₅), also wird Z, Z' das Paar Wf W nicht trennen (II₅, § 15). Im Falle c), wo A, B die Punkte W, W trennt und daher die Geraden X'Y und XY' auf den Seiten des Dreiecks SWW' noch eine Tren-

nung hervorrufen müssen (II₅, § 15), wird ZZ' die Ecken W} W' trennen. Also ist bewiesen:

Satz 5. Wenn eine Gerade u von den Seiten eines vollständigen Vierecks in drei Paaren verschiedener Punkte geschnitten wird, so müssen diese drei Paare einander zu je zweien entweder sämtlich trennen oder nicht trennen.

X'

8'

c\>

72

IZ

//

Fig. 55.

6. In Artikel 4. wurde der besondere Fall erörtert, daß die schneidende Gerade u der Sätze 1. und 4. durch zwei Schnittpunkte von Gegenseitenpaaren geht. Es bleibt also noch der Fall zu untersuchen, daß auf u sich nur ein Paar Gegenseiten schneidet, also in Fig. 54 etwa Z' mit Z zusammenfällt. In der so entstehenden Fig. 55 werden alle Bezeichnungen der vorigen bei behalten und noch die Gerade SC eingefügt, die AB in Q und X'Y' in Q' schneidet. Vermöge des vollständigen Vierecks XCYS wird das Punktepaar X', Y' durch Q', Z harmonisch getrennt. Als Projektionen dieser Paare aus C und S auf u müssen dann auch , A,BundQ,Z- W,W'nndQ,Z ?>Z einander harmonisch trennen. Da die Punktepaare A, C und Y, YB, C und X, X' von ^ aus aufeinander projiziert werden, so müssen sie entweder beide einander trennen oder beide einander nicht trennen. Vermöge des Axioms II₅, § 15 in Anwendung auf Dreieck ABC werden A, B und W, W in beiden Fällen einander nicht trennen, daher

Satz 6. Wenn unter der Voraussetzung des Satzes 5. eines der dort genannten Punktepaare in einen Punkt Z zusammenfällt, so trennen die zwei übrigen Paare einander nicht und es gibt einen Punkt Q, der jedes dieser Paare von Z harmonisch trennt. Werden umgekehrt zwei Punktepaare durch ein Paar Z, Q harmonisch getrennt, so gibt es vollständige Vierecke, die durch Z (oder Q) zwei Gegenseiten, durch die zwei Punktepaare je ein Gegenseitenpaar senden.

Denn man kann Z, (/ und X', Y' auf einer durch Z gehenden Geraden willkürlich als harmonische Paare annehmen, AY' und BXr sowie X'W und Y'W' ziehen, wodurch in Fig. 55 die Punkte C und

S festgelegt werden, und die Schnittpunkte X, Y yon WX' mit AC sowie W, Y' mit BC konstruieren. Dann muß IT durch Z gehen, weil X', Y' und Q', Z harmonische Paare sind. Damit ist die Umkehrung bewiesen, aus der folgt, daß zwei einander trennende Punktepaare einer Geraden nicht durch ein drittes Paar harmonisch getrennt werden können.

Schnitt-

7. Aus den Hilbertschen Untersuchungen über die Stetigkeit in § 12 seiner „Grundlagen“ geht hervor, daß zu zwei einander nicht trennenden Punktepaaren A, B und M, N auf Grund unserer bisher eingeführten Axiome nicht notwendig ein drittes Paar U, V existiert, das A von B und M von N harmonisch trennt. Versucht man nach Satz 6. die Konstruktion eines vollständigen Vierecks PQBS, das durch M und X die Gegenseiten BQ und BS, durch A und B die Gegenseiten PB und QS sendet, und dessen drittes Gegenseitenpaar PS und QB die Gerade w, auf der A, B, M, N liegen (siehe Fig. 56), in demselben Punkte U schneiden, so erhält man im allgemeinen zwei verschiedene

7i

wZ /

v/ /

*-

"W-

y₂ u ^2 l/iB Pig. 56.

T)

punkte xt und yv Die ihnen entsprechenden Punkte P und Q auf den festgehaltenen Strecken AB und BS bezeichnen wir genauer als Plf Q₁. Indem wir B und S zugleich mit A, B, M, N fest- A halten und die Konstruktion für andere und andere Lagen P₂, P₃, ... des Punktes P auf AB wiederholen, erhalten wir die Quadrupel P₂ Q₂y₂, P₃ Q₃xsy₃, . . ., die jedem Punkte xn von w einen Punkt yn, jedem Punkte yn einen Punkt xn zuordnen. Der Schnittpunkt von AB und BS sei C. Wir beschränken die Lage von Pn auf die durch A, B bestimmte Klasse (A, C)R, die B nicht enthält. Da M, N durch A, B nicht getrennt werden, so müssen SN und PnM die Seite CB des Dreiecks ABC in einem Punkte Qn treffen, der von S durch B, C getrennt wird; also ist Qn auf (C, B)s beschränkt, und da die durch A, C getrennten Punkte Pn und B aus S auf xn und N projiziert werden, so gehören die Punkte xn infolge der Einschränkung der Punkte Pn sämtlich der Klasse (A, P),y

an, die wir kürzer mit [.A, B] bezeichnen wollen. Derselben Klasse gehören auch die Punkte yn an, weil die Punktepaare A, B; xn, yn; 31, N nach Satz 5. einander nicht trennen. Es wird nun unter Benutzung der ersten Stufe des Größenbegriffes nach § 15, 8. immer entweder

(17)

VA ff«] < [A Vn\ oder VA A VA Vn\

sein, wo der Fall der Gleichheit nur eintritt, wenn xn mit yn zusammenfällt, der uns gerade interessiert. In Fig. 56 erfüllt x₁,y₁ die erste, xs, y₂ die zweite Ungleichung, während U den axiomatisch noch zu fordernden Punkt x bezeichnet, der mit dem zugeordneten y zusammenfällt.

Ist umgekehrt U, V ein irgendwie nachgewiesenes Punktepaar, das A,B und M,N harmonisch trennt, und ist U derjenige Punkt des Paares, der zur Klasse [A, B] gehört, so ist Uein Punkt x, der mit dem zugehörigen y zusammenfällt; denn nach Satz 6. werden wir zeigen, daß die Gerade BQ, welche den Schnittpunkt P von US und AB mit dem Schnittpunkt Q von UB und BS verbindet, durch M geht. Bezeichnet man nämlich den Schnittpunkt von BQ und AB vorläufig mit 31', so gibt es nach Satz 6. zu U einen Punkt V von der Art, daß

a) A, B durch U, V harmonisch getrennt wird,

b )m',n„    u,r

Andererseits wird nach Voraussetzung

a) A, B durch U, V harmonisch getrennt, weshalb wegen a) der Punkt V mit V identisch ist, und ß) 31, N durch U, V harmonisch getrennt, so daß also wegen b) auch 31' mit M zusammenfällt, w. z. b. w.

8. Durch die Ungleichungen (17) wird unter den Punkten der Klasse [A,B\ ein Dedekindscher Schnitt U'jU" hervorgerufen, wie wir ihn in Bd. I, § 22, 4. (2. Aufl. § 24, 4.) zur Definition der irrationalen Zahlen benutzt haben, d. h.: Die Gesamtheit der Punkte der Klasse [A, B] zerfällt in zwei Gattungen¹) U' und U" von der Art, daß

1.    jeder Punkt von [A, B] einer und nur einer dieser Gattungen angehört;

2.    von den Endpunkten A, B der Klasse einer zur Gattung U', der andere zu U" zu zählen ist;

3.    zwischen jedem Punkte u der einen und u" der anderen Gattung in [A, B] die Beziehung [A, u] < [A, u"] besteht.

1) Wir vermeiden den 1. c. gebrauchten Ausdruck „Teil“, um jede Anspielung auf das räumliche Beieinanderliegen der Punkte eines „Teils“ zu vermeiden, das erst durch ein neues Axiom erzwungen werden muß.

¹

Siehe das Zitat S. 133; vgl. auch Natorp, Logik in Leitsätzen zu akad. Vorlesungen, Marburg 1904.

²

Vgl. A. Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, bearbeitet von Lindemann, Bd. II.

Um im vorliegenden Falle den durch die Zuordnung der y zu den x erzeugten Schnitt bequem beschreiben zu können, wollen wir sagen, ein Punkt y von [.A, U\ gehe in [A, B] einem Punkte v von [A, B] voran, wenn innerhalb [A, B] die Beziehung [A, y \ < [ A, v\ besteht. In Ergänzung dieser Ausdrucksweise wollen wir sagen, A gehe dem Punkte B voran. Nach F. Enriques¹) rechnen wir nun

1.    zur Gattung U' jeden Punkt x von [A, B], der dem zugeordneten Punkte y vorangeht; zu dieser Gattung gehört wenigstens der eine Punkt Am,

2.    zur Gattung U" alle anderen Punkte von\A, B] ; hierher gehört B.

Jeder Punkt von \A, B\, die Endpunkte A, B eingeschlossen, kann als Punkt x gelten und muß einer der beiden Gattungen angehören. Geht xn dem Punkte yn voran, so geht auch jeder Punkt x von [A, xn] dem entsprechenden Punkte y voran, da die Klasse [A, xn] als Inbegriff von Punkten x der Klasse [B\ yn\ als Inbegriff von Punkten y entspricht (Satz 2., § 15). Die Voraussetzungen eines Schnittes sind also erfüllt.

Den hiermit nachgewiesenen Schnitt U'/U" könnten wir, wie im ersten Bande, benutzen, um den in Frage stehenden Punkt V zu definieren. Man kommt aber rascher zum Ziel, wenn man diesen Punkt fordert durch das De de kind sehe Axiom:

III. Ein Schnitt U'/U" in einer Punktklasse [A, B] einer Geraden w wird immer durch einen Punkt U der Klasse in der

zu

Weise erzeugt, daß U' mit [A, 77], U" mit [77, B\ identisch ist. Dieser Punkt 77 muß, als Punkt x aufgefaßt, in der Tat mit dem gehörigen Punkte y zusammenfallen, da er ihm weder vorangehen, noch folgen kann. Nachdem 77 ermittelt ist, findet man V als Schnittpunkt der Geraden w mit der Geraden OC, die den Punkt C mit dem Schnittpunkte 0 der Geraden SB und BQ verbindet.

B auf AB. Also müßten

nun

A, 77₀ durch 77, B, oder A, 77 durch 77₀, B getrennt wird, so müßte im ersten Falle B, 77₀ durch 77, A, im zweiten B, 77 durch A, U₀ getrennt werden, beides im Widerspruch mit Axiom II₄, wonach zu 77 unter

In der Klasse [A, B\ gibt es keinen von 77 verschiedenen Punkt U₀, der zusammen mit einem ebenso wie V zu konstruierenden Punkte V0 die Punkte A und B, M und N harmonisch trennt; denn wäre AP₀PC die Projektion von AU₀UB aus S auf AC, ferner BQ₀QC die Projektion von AP₀PC aus M auf CB, so wäre BU₀UA die Projektion dieses letzten Quadrupels aus A 77₀ UB und B 77₀ UA gleiche Anordnung haben (Satz 2., § 15). Wenn die Punkte A, B durch 77, 77₀ nicht getrennt werden, also entweder

von

den Punkten U₀, A, B nur einer gefunden werden kann, der U von den beiden anderen trennt.

Da aber von zwei Punkten, die A von B harmonisch trennen, immer einer zur Klasse [A, B] gehören muß, so folgt:

Satz 7. Zu zwei einander nicht trennenden Punktepaaren A, B und M, N existiert immer ein und nur ein Punktepaar U, V, das A von B und M von N harmonisch trennt.

Aus diesem Existenzbeweise kann sich, da er die entscheidende Wendung durch eine Forderung, das Axiom III, herbeiführt, keine exakte Konstruktion von U, V ableiten lassen; dazu ist vielmehr die Adjunktion einer Kurve zweiter Ordnung nötig, eines Gebildes, dessen Erzeugung selber nur als durch unbegrenzte Wiederholung eines gewissen Konstruktionsverfahrens ausführbar gedacht werden kann.

9. Die Axiome I, II, III bilden die Grundlage der projektiven Geometrie. Schon an dieser Stelle können wir den Erfolg der Arbeit, der zum Aufbau dieser Geometrie nötig ist, verdoppeln, wenn wir bemerken, daß aus den Axiomen I, II, III und ihren Folgerungen durch Vertauschung der Worte „Punkt", „Ebene" mit „Ebene", „Punkt" richtige Sätze hervorgehen, z. B.:

Zwei Ebenen sind mit

ZweiPunkte sindmiteiner I

Schnittgeraden, inzident.

einzigen Geraden, ihrer Ver-1 einer einzigen Geraden, ihrer bindungsgeraden, inzident.

Drei Ebenen, die nicht

Drei Punkte, die nicht mit einer Geraden inzident sind, mit einer Geraden inzident sind mit einer Ebene inzident, sind, sind mit einem Punkte,

ihrem Schnittpunkte, inzident.

Aber auch in der Geometrie der Ebene, auf die wir uns im folgenden beschränken wollen, ordnen sich alle Lehrsätze immer zu zweien, die durch Vertauschung der Worte Punkt und Gerade nach sinngemäßer Änderung der übrigen Ausdrücke ineinander übergehen. Dem Dreieck als dem System der Verbindungsgeraden dreier Punkte entspricht so das Dreiseit als System der Schnittpunkte dreier Geraden der Ebene. Der Satz von Desargues ergibt z. B.:

Wenn zwei aufeinander bezogene Dreiecke einer Ebene so zu- zogene Dreiseite einer Ebene so zueinander gelegen sind, daß die einander liegen, daß die Schnitt-Verbindungsgeraden entsprechender punkte entsprechender Seiten auf Ecken durch einen Punkt gehen, einer Geraden liegen, so gehen die so liegen die Schnittpunkte ent- Verbindungsgeraden entsprechender sprechender Seiten in einer Geraden. Ecken durch einen Punkt.

Wenn zwei aufeinander be-

Zwei Geraden u, v in der Ebene eines Dreiecks trennen

Es wird nicht nötig sein, die Axiome der Verknüpfung in diesem Sinne einzeln durchzugehen. Der Begriff der Anordnung läßt sich leicht auf die Strahlen eines Strahlenbüschels S(a, b, c, . . .) übertragen, indem man von seinen Strahlen a, b, c, . . ., die durch S gehen, dieselben Eigenschaften der Anordnung aussagt, die von ihren Schnittpunkten A, B, C, . . . mit einer nicht durch S gehenden Geraden u gelten. Da nach Satz 2., § 15 die Anordnung von Punkten einer Geraden projektiv ist, d. h. auch von ihren Projektionen aus irgend einem Punkte S auf irgend eine Gerade gilt, so ist die Anordnung der Strahlen jenes Büschels von der Wahl der Hilfsgeraden u unabhängig und erfüllt die Axiome II, wenn man die Worte Punkt und Gerade miteinander vertauscht. Von den sich so ergebenden Sätzen führen wir nur das ebene Axiom der Anordnung II₅ und sein Gegenstück an:

Zwei Punkte TJ, V in der Ebene eines Dreiseits trennen entweder kein oder zwei Paar entweder kein oder zwei Paar

Seiten desselben.

Eckpunkte desselben.

Die hier neu eingeführten Bezeichnungen bedürfen wohl keiner Erläuterung; zum Beweise des Satzes rechts hat man die Verbindungsgerade von U und V mit den drei Seiten zum Schnitt zu bringen und den Satz 1., § 15 anzuwenden. Da auch der aus Axiom III entspringende Satz über Strahlen eines Büschels zutrifft, so stehen die Punkte einer Ebene zu ihren Geraden in derselben Beziehung wie die Geraden zu ihren Punkten. Damit ist das Dualitätsgesetz der Ebene bewiesen, daß alle Sätze der rein projektiven Geometrie der Ebene durch Vertauschung der Worte Punkt und Gerade und entsprechende Änderung der auf die Inzidenz bezüglichen Ausdrücke in richtige Sätze übergehen. Wir werden daher in Zukunft von zwei „dualen“, d. h. in der angegebenen Weise einander gegenüberstehenden Sätzen immer nur den einen zu beweisen brauchen, eine Ersparnis an Arbeit, wodurch die auf die axiomatisehe Begründung der projektiven Geometrie verwandte Mühe schon an dieser Stelle reichlich aufgewogen wird. Um das Machsche Prinzip von der Ökonomie des Denkens vollständig durchzuführen, werden wir von nun an alle Definitionen dual aussprechen, also z. B. vier harmonische Strahlen definieren als vier Strahlen eines

Büschels, zu denen ein vollständiges Vierseit sich in der Lage befindet, daß zwei jener Strahlen durch je ein Paar Gegenecken, der dritte und vierte je durch eine Gegenecke gehen. Diese Strahlen gehen immer durch vier harmonische Punkte eines der vollständigen Vierecke, die das vollständige Vierseit bestimmt, und es ist leicht einzusehen, daß vier Strahlen eines Büschels durch vier harmonische Punkte immer vier harmonische Strahlen sind.

10. Dem Strahlenbüschel, das wir bereits in § 15 definiert haben, steht in der Ebene die „Punktreihe“ dual gegenüber, d. h. die Gesamtheit der Punkte einer Geraden. Die Punktreihe und das Strahlenbüschel sind die Grundgebilde (erster Stufe) der projektiven Geometrie der Ebene. Aus ihnen werden die interessantesten Gebilde der Ebene, die Kegelschnitte, punkt- oder tangentenweise erzeugt. Um das Ziel unserer Untersuchung schon jetzt hervortreten zu lassen, wollen wir eine Zwischenbemerkung unter Voraussetzung der Euklidischen Geometrie vorausschicken. Wenn man die Punkte P1? P₂, P₃,... eines Kreisumfanges von zwei Punkten S und T des Umfanges aus projiziert, so sind die Winkel PhSPk und PhTPk (/?, k = 1, 2, 3, . . .) einander kongruent für alle Kombinationen der Indizes h, k. Ordnen wir die nach demselben Punkte Pn des Kreises gehenden Strahlen der Büschel S und T einander zu, so entsprechen je vier harmonischen Strahlen von S vier harmonische Strahlen von T, indem letztere Strahlen nach dem Peripheriewinkelsatze miteinander dieselben Winkel bilden, wie erstere. Die harmonischen Beziehungen zwischen den beiden Strahlenbüscheln wird aber durch Projektion nicht gestört, und wenn wir vorübergehend als bekannt voraussetzen dürfen, daß die Zentralpro-jektiön eines Kreises ein Kegelschnitt ist, so können wir sagen, daß die Punkte P1? P₂, . . . eines Kegelschnittes aus zwei Punkten S, T desselben durch Strahlen zweier Strahlenbüschel projiziert werden, die so aufeinander bezogen sind, daß je vier harmonischen Strahlen des einen Büschels vier harmonische Strahlen des anderen entsprechen. Man wird also erwarten dürfen, umgekehrt die Punkte eines Kegelschnittes als Schnittpunkte entsprechender Strahlen zweier Strahlenbüschel 8, T erzeugen zu können, die so aufeinander bezogen sind, daß je vier harmonischen Strahlen des einen vier harmonische Strahlen des anderen entsprechen.

Diese Überlegung, von der wir im folgenden natürlich keinen weiteren Gebrauch machen werden, führt uns dazu, Strahlenbüschel (und Punktreihen) umkehrbar eindeutig aufeinander zu „beziehen“, d. h. Gesetze anzugeben und zu untersuchen, die jedem Elemente (d. h. Punkte bei der Punktreihe, Strahlen beim Strahlenbüschel) des einen Gebildes ein bestimmtes Element des anderen Gebildes zuordnen und umgekehrt. Ein Strahlenbüschel S (a, b, c,. . .) mit dem Mittelpunkt S und den Strahlen a,b,c,... wird auf eine in derselben Ebene liegende Punktreihe u (A, P, C, . . .) mit den Punkten A, B, C, . . . auf der Geraden u am einfachsten bezogen, indem man jedem Strahle von S den Punkt von u zuordnet, durch den er geht; diese Zuordnung nennt man perspektiv. Sind zwei Punktreihen u und v einer Ebene zu einem Strahlenbüschel S derselben Ebene perspektiv, so sind sie dadurch auch aufeinander eindeutig bezogen und werden zueinander perspektiv genannt. Die Verbindungslinien homologer Punkte zweier perspektiver Punktreihen einer Ebene gehen also durch denselben Punkt S. Zwei Strahlenbüschel, die zu derselben Punktreihe perspektiv sind, mögen auch zueinander perspektiv heißen.

Man denke sich nun eine Punktreihe u mittels eines Strahlenbüschels St auf eine Punktreihe perspektiv bezogen, diese mittels eines Büschels S₂ auf eine Punktreihe u₂, diese mittels Sz auf u₃ u. s. w.^ dann wird auch die letzte Punktreihe un dieses Systems auf die erste u eindeutig bezogen sein, aber die Verbindungslinien homologer Punkte von u und un werden im allgemeinen nicht durch denselben Punkt gehen, die Punktreihen u und un also nicht perspektiv liegen. Aber die zwischen u und un bestehende Beziehung hat mit der Perspektiven die wichtige Eigenschaft gemein, daß je vier harmonischen Punkten von u je vier harmonische Punkte von un entsprechen. Eine eindeutige Beziehung zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe heißt projektiv, wenn je vier harmonischen Elementen des einen vier harmonische Elemente des anderen entsprechen. Zwei Grundgebilde erster Stufe, die zu einem dritten projektiv sind, sind auch zueinander projektiv. Ein Grundgebilde kann auch auf sich selbst projektiv bezogen sein, die Punktreihe u zum Beispiel, indem man etwa un mit u Zusammenfällen läßt. Jede Perspektive Beziehung ist zugleich projektiv; es wird sich umgekehrt zeigen, daß sich jede projektive Beziehung durch eine Reihe perspektiver Beziehungen hersteilen läßt.

11. Zu diesem Zwecke vermerken wir zunächst:

Satz 8. Die projektive Beziehung zweier Grundgeb ilde erster Stufe ist eine geordnete, d.h. je zwei einander trennenden Elementenpaaren des einen Gebildes entsprechen zwei ebensolche des anderen.

Denn wenn den einander trennenden Paaren A, B und C, B zwei einander nicht trennende A', B' und C', JD' entsprächen, und U', V wären nach Satz 5. die Elemente, die A' von B' und C' von Br harmonisch trennen, so müßten nach der Definition die zu U', V homologen Elemente U, V des ersten Gebildes die Elemente A und B wie C und D harmonisch trennen, im Widerspruch zum letzten Satze des Artikels 4. Also ist Satz 8. richtig, woraus folgt, daß einer zyklischen Folge von Punktklassen [1, 2], [2, 3], ... im Sinne des § 15, 7. wieder eine zyklische Folge [F, 2'], [2', 3'], ... entspricht.

Es fragt sich nun, wieviel Elementen eines Grundgebildes erster Stufe man je ein Element eines anderen Grundgebildes willkürlich zuordnen darf, um zwischen den Grundgebilden eine projektive Beziehung herzustellen, in der jene Elemente einander entsprechen. Zwei Elemente sind sicher zu wenig; denn handelte es sich etwa um zwei

Punktreihen u, u, und ordnete man zwei Punkten A, B der einen zwei beliebige Punkte Ä, B' der anderen zu, so könnte man beide Punktreihen auf das Strahlenbüschel perspektiv beziehen, das den Schnittpunkt S von AA' und BB' zum Mittelpunkte hat; dadurch wären dann u, u selber perspektiv aufeinander so bezogen, daß A und A', B und B' einander entsprächen. Man könnte aber auch erst u auf eine Punktreihe u" perspektiv beziehen, indem man den Punkten A, B auf u" willkürlich A", B" zuordnete, und dann u' auf u perspektiv beziehen, so daß A" und A', B" und B' einander entsprächen. Ein Versuch zeigt, daß je nach der Wahl von u", von A" und B" die Beziehung von u und u sich ändert, daß also zwei Punkte sie nicht eindeutig festlegen. Wir versuchen es daher mit drei Punkten, und zwar wollen wir zur Erhöhung der Anschaulichkeit annehmen, eine Punktreihe u sei auf sich selber projektiv so bezogen, daß von den Punkten A, B, C derselben jeder sich selbst entspricht.

12. Es ist vielleicht übersichtlicher, sich den Sachverhalt so zu denken, daß auf derselben Geraden zwei Punktreihen u, u einander projektiv in der Weise zugeordnet sind, daß die den Punkten A, B, C von u homologen Punkte A', B', C' von u' mit A, B, C zusammenfallen. Dann fällt auch der Punkt D, der B von A, C harmonisch trennt, mit dem entsprechenden Punkte D' zusammen, da dieser B' von Ä, C harmonisch trennt.

Wenn zwei Punktreihen auf derselben Geraden oder zwei Strahlenbüschel mit demselben Mittelpunkt aufeinander projektiv bezogen sind, so versteht man unter einem Doppelelement ein Element, das mit dem entsprechenden zusammenfällt; A, B, C, I) sind also Doppelelemente bei der in Rede stehenden projektiven Beziehung. Ein Doppelelement ist auch der Punkt B, der C von B, D harmonisch trennt, ferner der Punkt F} der D von C, E harmonisch trennt u. s. w. Es gibt also eine unbegrenzte Menge von Doppelelementen, da, wie man zeigen könnte,

jS

u l,A.

P \C

fc⁷

u'

TP

Fig. 57.

die Punkte A, B, C,B,E,F,... voneinander verschieden sind. Doch hat das hier keinen Wert. Jedenfalls wird aber die Vermutung nahegelegt, daß über-haupt alle Punkte der Geraden sich selbst entsprechen. Um dieser Frage auf den Grund zu gehen, nehmen wir an, P sei ein Punkt von u, dem ein davon verschiedener Punkt P' von u entspricht. Nach Satz 1, § 15 wird dann das Paar P, P' entweder zwei oder keines der Paare A, B; B, C; C, A trennen.

Ln ersten Falle möge P, P etwa C von A und von B trennen, siehe Fig. 57. Da also das Paar A, C die Punkte des einen Paares P, P' trennt, so muß es entweder noch P von B oder P' von B trennen (§ 15, 1.). Auf Grund des Satzes 8. wird dann A, C aber auch bezw. entweder P' von B oder P von B trennen; folglich müßte A, C alle drei aus P, P, B zu bildenden Paare trennen, im Widerspruch mit § 15, Satz 1. Mithin ist dieser Fall unmöglich.

Im zweiten Falle denken wir, was immer möglich ist, die Punkte A, B, C so mit X, Y, Z bezeichnet, daß P und P' der Klasse [X, F] angehören, die Z nicht enthält, und P' innerhalb [X, F] in die Klasse [P, F] fällt; die in [X, Y] enthaltenen Klassen können unzweideutig durch eckige Klammern um die Symbole der sie bestimmenden Punkte bezeichnet werden (siehe Bhg. 58). In [P, P'J

x T p

¹ a

liegt keiner der Punkte X,

Y, Z. Die projektive Bezieh- 2L. ung zwischen u und u läßt u nach Satz 6. den Punkten

X'

V'

P'

Fig. 58.

zr

zr'

Y' Z'

einer Klasse von u die Punkte

einer Klasse von u', also z. B. den Punkten der Klasse [X, F], die Z nicht enthält, die Punkte der Klasse [X', F'] entsprechen, die Z' nicht enthält. Das heißt aber, da X'f Y', Z' mit X, F, Z identisch sind: Jedem Punkte von [X, F] entspricht wieder ein Punkt von [X, F]. Jedem Punkte von [P, F] ist ein Punkt von \P', F] geordnet. Mittels dieser Zuordnung erzeugen wir, wie in Art. 5., unter den Punkten von [P, F] einen Dedekindschen Schnitt UxfU₂, indem wir zur Gattung 7j jeden Punkt Q von [P, F] zählen, der mit jedem ihm vorangehenden Punkte von [P, F] dem entsprechenden Punkte vorangeht; alle anderen Punkte verweisen wir in die Gattung U₂. Zu U₁ gehören alle Punkte von [P, P'], P eingeschlossen, P' vielleicht ausgenommen; zu U₂ sicher der Punkt F. Alle Voraussetzungen eines Schnittes sind erfüllt, also gibt es nach Axiom III in [P, F] einen Punkt U, der ll₁ als [X, 17] und U₂ als [U, F] erzeugt. Der dem Punkte U entsprechende Punkt U' kann weder in [P, £7], noch in [77, F] liegen. Läge er in [P, 27], so müßte U ihm vorangehen, also ein Widerspruch; läge er in [77, F], so entspräche nach Satz 6. jedem Punkte von [U, F] ein Punkt von [U', F], also ginge jeder Punkt von [77, 77'] dem entsprechenden voran und gehörte mithin zur Gattung Ux, d. h. zu [P, 77], also wiederum ein Widerspruch. Folglich fällt U' mit U zusammen, U ist also, wie X, F, Z, ein Doppelelement der projektiven Beziehung von u zu u. In [P, 77] existiert kein Doppelelement, da ja jeder Punkt von [P, 7⁷] dem entsprechenden vorangeht. Dieses vorläufige Resultat unserer Untersuchung wenden wir sofort auf die projektive Beziehung

Weber u. Wellstein, Eneyklopädie. II. 2. Aufl.

ZU-

von u zu n an, die den Punkten Y, P', X' umgekehrt die Punkte Y, P, X, also jedem Punkte von \ Y\ X] wieder einen Punkt von [Y, X] entsprechen läßt. Jedem Punkte von [P, X] zugeordnet. Also gibt es in [P, X] einen Punkt V', der mit dem zugeordneten Punkte V identisch ist und eine Klasse [P', V] in [P',X'\ bestimmt, die kein Doppelelement der Beziehung von u zu u enthält. Jedes Doppelelement dieser Zuordnung ist aber auch ein Doppelelement der Beziehung von u zu u'7 und so folgt, daß in der Klasse [77, V] von [X, F] kein Doppelelement der Beziehung von u zu u enthalten ist, während ihre Endpunkte 77, V Doppelelemente sind. Dann ist aber andererseits der Punkt Wf der Z von U und V harmonisch trennt, ein Punkt von [77, F], der mit dem zugeordneten Punkte W zusammenfällt, da auch U, V und Z je mit ihrem zugeordneten Punkte identisch sind. Also hätten wir im Widerspruch zu unserer soeben ausgesprochenen Behauptung nun doch ein Doppelelement in [77, F]; folglich ist die Voraussetzung des zweiten Falles ebenfalls unzulässig, und da, solange P' von P verschieden ist, immer einer der beiden Fälle eintreten muß, so muß P' mit P identisch sein. Damit dieser apagogische Schluß Beweiskraft hat, muß man sicher sein, daß der Denkbereich der Geometrie, also das System der Axiome I, II, III, in sich widerspruchsfrei ist. Das ließe sich aber mittels der arithmetischen Geometrie ^ des § 12 sehr leicht beweisen, worauf wir, um Raum zu ersparen, nicht eingehen dürfen.

[P', X'] ist ein Punkt

von

13. Das vorläufige Ergebnis dieser Untersuchung ist: Wenn auf einer Geraden eine projektive Beziehung besteht, die drei Punkte je sich selbst zuordnet, so ordnet sie jeden Punkt der Geraden sich selbst zu.

Der dual entsprechende Satz, daß eine projektive Beziehung in einem Strahlenbüschel jeden Strahl sich selbst zuordnet, wenn sie drei Strahlen je sich selbst zuweist, ist schon darum richtig, weil durch den Schnitt dieses Büschels mit einer Geraden u in dieser eine projektive Beziehung hergestellt wird, die drei Punkte, die Schnittpunkte von u mit jenen Strahlen, je sich selber zuordnet. Ferner sieht man ohne weiteres: Wenn eine Punktreihe auf ein Strahlenbüschel so bezogen ist, daß drei Punkte je auf dem entsprechenden Strahle liegen, so liegt jeder Punkt auf dem zugeordneten Strahle. Diese drei Sätze bilden zusammengenommen den

Fundamentalsatz der projektiven Geometrie:

Wenn zwei Grundgebilde erster Stufe projektiv aufeinander bezogen sind und drei Elemente je mit dem zu-

geordneten inzident sind, so ist jedes Element mit dem zugeordneten inzident.

Dabei sollen zwei Punkte oder zwei Geraden miteinander inzident

heißen, wenn sie zusammenfallen, ein Punkt und eine Gerade, wenn dieser in jener liegt. Wir behaupten jetzt:

Wenn zwei Punktreihen u, u projektiv aufeinander so bezogen sind, daß der Schnittpunkt A der Geraden u, u sich selber entspricht, so sind die Punktreihen zueinander perspektiv.

Wenn zwei Strahlenbüschel

U, U' projektiv aufeinander so bezogen sind, daß die Verbindungslinie UV' ihrer Mittelpunkte sich selbst entspricht, so sind die Strahlenbüschel zueinander (oder, wenn man will, zu derselben Punktreihe) perspektiv.

Denn sind unter der Voraussetzung des Satzes links B und C irgend zwei Punkte von n, abgesehen vom Punkte A, und B', C' die zugeordneten Punkte auf u, so wird das Strahlenbüschel S, dem die Geraden BB' und CC' angehören, auf sich selber projektiv bezogen sein, wenn wir jedem Strahl durch einen Punkt von u den Strahl durch den homologen Punkt von u zuordnen. Dann sind aber die Strahlen SA, SB, SC je sich selber zugeordnet, folglich auch alle anderen. Daraus ergibt sich zugleich, daß eine Perspektive Beziehung zwischen zwei Punktreihen oder zwei Strahlenbüscheln festgelegt ist, wenn man, abgesehen von ihrem gemeinschaftlichen Elemente, zwei beliebigen Elementen des einen Gebildes zwei beliebige Elemente des anderen zuordnet.

14. Von diesem Satze machen wir Gebrauch, um die allgemeinste projektive Beziehung zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe zu untersuchen.

Durch den Schnittpunkt von Punkt S an und beziehen u per- a und a legen wir eine Gerade s spektiv auf das Büschel S, dieses perspektiv auf die Punktreihe u", wodurch auch u" auf (ii und) u perspektiv bezogen ist, indem der Schnittpunkt A von u und u" sich selber entspricht. Nach dem Schluß- gerade a von

Seien A, B, C und Ä, B‘, C drei einander entsprechende Punkte zweier zueinander projektiver Punktreihen u, u, und sei u" eine durch A gehende Hilfsgerade (siehe Fig. 59).

Auf AÄ nehmen wir einen

Seien a, b, c und a' b', c drei einander entsprechende Strahlen zweier zueinander projektiver Strahlenbüschel U, U', und sei U" ein auf a liegender Hilfspunkt (siehe Fig. 60).

und beziehen U' perspektiv auf die Punktreihe s, diese perspektiv auf das Büschel U”, wodurch auch U" auf (U' und) U perspektiv bezogen ist, indem die Verbindungs-U und V" sich selber

satze von Art. 12 sind folglich u entspricht. Nach dem Schlußsätze und u" perspektiv zu dem Büschel von Art. 12 sind folglich U und T, dem BB" und CC" angehören. U" perspektiv zu der Punktreihe t, Die projektive Beziehung zwischen der die Schnittpunkte von b, b" und u und u wird also vermittelt durch von c, c" angehören. Die projek-die Perspektive Beziehung von u tive Beziehung zwischen U und I zu u" und von u" zu u.    \ wird also vermittelt durch die per-

! spektive Beziehung von U zu U" ! und von U" zu U'.

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Fig. 60.

Vig. 59.

Zu einem beliebigen Punkte X von u bestimmt TX auf u" den homologen Punkt X", und SX" auf u' den Punkt X', der in jener projektiven Beziehung dem Punkte X zugeordnet ist.

Zu einem beliebigen Strahle x von U bestimmt der Schnittpunkt von t und x, verbunden mit U", den homologen Strahl x" im Büschel U", der Schnittpunkt von s und x", verbunden mit U', den Strahl x\ der dem Strahle x entspricht.

Eine projektive Beziehung zwischen zwei Grrundgebilden erster Stufe ist also festgelegt, wenn man drei beliebigen Elementen des einen drei beliebige Elemente des anderen als entsprechende zuordnet. Handelt es sich um eine Punktreihe und ein Strahlenbüschei, so kann man diese erst auf ein Büschel, oder jenes auf eine Punktreihe perspektiv beziehen und die soeben angegebene Konstruktion anwenden, die zu jedem Element das entsprechende finden lehrt. Eine projektive Beziehung, die nicht perspektiv ist, kann stets, wie wir sehen, durch eine geringe Anzahl perspektiver Beziehungen erzeugt werden.

15. Nachdem wir hiermit alle tieferen Schwierigkeiten der projektiven Geometrie überwunden haben, können wir zur Verwirklichung der in Art. 10 ausgesprochenen Gedanken schreiten; nur sind wir inzwischen dahin belehrt, daß wir nicht zueinander Perspektive Strahlenbüschel nehmen dürfen. Wir beziehen daher nach Art. 14 zwei

höchstens zwei Strahlen £ gehen können.

Strahlenbüschel U, U' projektiv Punktreihen u, u projektiv so auf-so aufeinander, daß der Strahl einander, daß der Schnittpunkt U, U' nicht sich selbst entspricht, ; von u und u nicht sich selbst ent-und bringen jeden Strahl x von U spricht, und verbinden jeden Punkt mit dem homologen Strahle x von X von n mit dem homologen U' zum Schnitt. Der Inbegriff der j Punkte X' von u' durch eine Ge-Schnittpunkte & heißt eine Punkt- rade |. Der Inbegriff der Strahlen reihe (Kurve) zweiter Ordnung, 2; heißt ein Strahlenbüschel zweiter weil auf einer Geraden g höchstens Klasse, weil durch einen Punkt P zwei Punkte & liegen können.

Zum Beweise der letzten Behauptung links hat man g mit den Büscheln U, V zum Schnitt zu bringen und erhält so auf g zwei zueinander projektive Punktreihen; nach dem Fundamentalsatze können höchstens zwei Punkte je mit dem entsprechenden zusammenfallen, weil sonst, entgegen der Voraussetzung, U und U' perspektiv wären. — Von den Punktreihen und Strahlenbüscheln zweiter Ordnung unterscheiden wir die bisher so genannten Gebilde als Punktreihe erster Ordnung und Strahlenbüschel erster Klasse. Es sei schon hier bemerkt, daß die Punktreihe zweiter Ordnung ein Kegelschnitt, das Strahlenbüschel zweiter Klasse seine Tangentenhülle ist. Im nächsten Paragraphen werden wir diese Gebilde ausführlich zu betrachten haben.

§17. Die wesentlichsten projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte.

1. Die wesentlichsten projektiven Eigenschaften der Punktreihen

II. 0. (zweiter Ordnung) und der Strahlenbüschel II. Kl. (zweiter Klasse) folgen aus dem Erzeugungsgesetz dieser Gebilde mit der größten Leichtigkeit, und zwar im wesentlichen auf Grund von nur zwei einander dual gegenüberstehenden Figuren. Um das Dualitätsgesetz recht deutlich hervortreten zu lassen, werden wir einander dual entsprechende Punkte und Geraden mit demselben Buchstaben bezeichnen, Punkte mit denen des großen, Geraden mit denen des kleinen Alphabets.

Zwei Strahlenbüschel (siehe

beliebige Punkte A", B", C" der anderen als homologe zuordnen. Die Verbindungsgeraden a, b, c der einander entsprechenden Punkte gehören dann dem von s, t erzeugten

an-

Zwei Punktreihen s, t (siehe Pig. 61) beziehen wir aufeinander Fig. 62)L) beziehen wir aufeinander projektiv, indem wir drei beliebigen projektiv, indem wir drei beliebigen Strahlen a, b', c des einen drei be- Punkten A'. B'. C' der einen drei liebige Strahlen a", b", c” des deren als homologe zuordnen. Die Schnittpunkte A, B, C der einander entsprechenden Strahlen gehören dann der von S, T erzeugten Punkt-

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Fig. 62.

Fig. 61.

Auf c

Strahlenbüschel IL Kl. an. nehmen wir zwei Punkte <2>, *P' an und beziehen die Strahlen von O auf die mit ihnen inzidenten Punkte

von s, die Strahlen von W ebenso auf die Punkte von t. Den Punkten Ä, B',C' entsprechen dann in & die Strahlen a, b', c, den Punkten A", B", C" in W die Strahlen a", b", c". Da cP perspektiv zu s,

reihe II. 0. an. Durch C legen wir zwei Geraden cp, ip und beziehen die Punkte von cp auf die durch sie gehenden Strahlen von S, die Punkte von 4> ebenso auf die Strahlen von T. Den Strahlen a, V, c entsprechen dann auf cp die Punkte A, B', C'} den Strahlen o", b", c" auf ip die Punkte A", B ", C". Da cp perspektiv zu S, ip perspektiv

1) Wir veranschaulichen das Strahlenbüschel durch die von ihm eingehüllte Kurve, die, wie wir in Art. 4. sehen werden, eine Punktreihe II. 0. ist.

zu T und S projektiv zu T ist, so ⁷F perspektiv zu t und s projektiv ist auch cp projektiv zu pj da aber zu t ist, so ist auch 0 projektiv die homologen Punkte C und C" zu    da aber die homologen

żu einem beliebigen Strahle x von S den homologen Strahl x" von T, indem man den Schnittpunkt X' von x und cp mit Si, und den Schnittpunkt X" dieser Geraden und der Geraden p mit T verbindet; x und x" schneiden sich dann in einem Punkte X der Punktreihe II. 0. Ähnlich ergibt sich zu x' der Strahl x. So kann man also beliebig viel Punkte X der Punktreihe finden. Dem Strahle TS oder s" des Büschels T entspricht auf p der Punkt S", in welchem p von TS geschnitten wird, diesem auf cp der Schnittpunkt S' von cp mit S"Sij die Strahlen s und s" schneiden sich in S, also ist auch S ein Punkt der Punktreihe II. 0.; ebenso T. Durch die Konstruktion von X wird also zugleich die Aufgabe gelöst, auf einer Geraden x, die durch einen Punkt S der Punktreihe geht, den anderen eventuell auf ihr liegenden Punkt X der Punktreihe zu finden.

X mit S zusammenfällt, die Gerade x also außer S keinen Punkt der Punktreihe enthält, muß auch x" durch S gehen, also x mit SS' oder s' zusammenfallen. Eine Ge-

von cp und p in C zusammenfallen, | Strahlen c und c" von 0 und W so ist (p zu p perspektiv, d. h. die in c zusammenfallen, so ist 0 zu Verbindungsgeraden A'A", B'B",... W perspektiv, d. h. die Schnitthomologer Punkte gehen durch den- punkte da", Vb", ... homologer selben Punkt ii. Man findet also Strahlen liegen auf einer Geraden

So kann man

to. Man findet also zu einem beliebigen Punkte X von s den homologen Punkt X" von t, indem man die Verbindungsgerade x von X und 0 mit co, und die Verbindungsgerade x" dieses Schnittpunktes und des Punktes W mit t zum Schnitt bringt; die Gerade X'X" oder x ist dann ein Strahl des Büschels IL KÎ. Ähnlich ergibt sich zum Punkte X" der Punkt X'. also beliebig viele Strahlen x des Büschels finden. Dem Punkte ts oder S" der Punktreihe t entspricht in W der Strahl s", der W mit ts verbindet, diesem in 0 die Yerbin dungsgerade von 0 mit Y to; die Yerbindungsgerade von S' und S" ist s, also ist auch s ein Strahl des Büschels II. Kl.; ebenso t. Durch die Konstruktion von x wird zugleich die Aufgabe gelöst, durch einen Punkt X', der auf einem Strahle s des Büschels liegt, den anderen eventuell mit X' Damit inzidenten Strahl x des Büschels zu legen. — Damit x mit s zusammenfällt, durch X' also außer s kein Strahl des Büschels geht, muß auch X" auf s liegen, also X' mit ss' oder S' zusammenfallen, rade wie s', die mit der Punkt- Ein Punkt S', durch welchen ein reihe einen, aber nicht zwei Punkte Strahl des Büschels II. Kl., aber gemeinsam hat, heißt eine Tan- nicht zweie gehen, heißt ein Be

g en te derselben. Durch S geht rührungspunkt des Büschels, demnach nur eine Tangente s. Auf s liegt demnach nur ein Be-Ebenso ist t" die Tangente der rührungspunkt S'. Ebenso ist T" Punktreihe in T. Wie leicht ein- Berührungspunkt des Büschels auf Zusehen ist, trifft TSl die Gerade t. Wie leicht einzusehen ist, ge-(p, SSI die Gerade i\> je in einem hören die Geraden u und v, die Punkte U und V der Punktreihe tco mit CP, sœ mit F verbinden,

II. 0.

ebenfalls zum Büschel II. Kl.

Durch Angabe der Punkte A, B, C ist die projektive Beziehung der Strahlenbüschel S, T festgelegt, indem die Strahlen SA und TA, SB und TB, SC und TC einan-

im

an,

durch cn perspektiv aufeinander bezogene Strahlenbüschel x xxx₂, ... und x" xx x₂ ,. . . mit den Mittelpunkten X! und X"; zu diesen sind aber die Punktreihen u, v per

zu

Durch Angabe der Strahlen a, b, c ist die projektive Beziehung der Punktreihen s, t festgelegt, indem die Punkte sa und ta, sb und tb, sc und tc einander zuzuordnen der zuzuordnen sind. Die Punkt- sind. Das Strahlenbüschel II. Kl. reihe II. 0. ist also durch die fünf ist also durch die fünf Strahlen Punkte S, T, A, B, C vollkommen s, t, a, b, c vollkommen bestimmt, bestimmt, jedoch, wie es scheinen jedoch, wie es scheinen könnte, könnte, unter Auszeichnung von S unter Auszeichnung von s und t. und T. Nun sind aber <p und ip Nun sind aber und W beliebige beliebige Geraden durch C, also U Punkte auf c, also u und v zwei und V zwei beliebige Punkte der beliebige Strahlen des Büschels Punktreihe II. 0., die auch, wenn II. Kl., die auch, wenn man will, man will, mit A und B zusammen- mit a und b zusammenfallen dürfen, fallen dürfen. Ersetzt man C unter Ersetzt man nun c unter Fest-Festhaltung von A, B, U, V, S und haltung von a, b, u, v, s und t durch T durch andere Punkte Cx, C₂, ... andere Strahlen c1} c₂, ... des der Punktreihe II. 0., so nimmt Büschels II. Kl., so nimmt % i X' auf x die Lagen Xx, X₂, . . . Büschel X' die Lagen xx, x₂, . . . X" auf x" die Lagen Xx", an, x" im Büschel X" die Lagen . ., und es geht immer xx", x₂", . . ., und es liegt immer X'X", XxXx', X₂'X₂", . . . durch Si. der Punkt x'x", xxxx , x₂'x₂", . . . Es entstehen also zwei durch Sl auf co. Es entstehen also zwei perspektiv aufeinander bezogene Punktreihen X'XxX₂' . . . und X"Xx'X₂" ... auf x und x-diesen sind aber die Strahlenbüschel U und V perspektiv, also sind diese zueinander projektiv, und da Cn spektiv, also sind diese zueinander der Schnittpunkt der homologen projektiv, und da cn die Verbindungs-Strahlen UXn' und VXn" ist, gerade der homologen Punkte uxn' n = 0, 1, 2,..., so wird die Punkt- und vxn" ist, n = 0,1,2, ..., so wird reihe II. 0. auch durch die projek- das Büschel II. Kl. auch durch die tiven Strahlenbüschel U, V erzeugt, projektiven Punktreihen u,v erzeugt.

Satz 1'. Ein Strahlenbüschel II. Kl. enthält stets die Träger (Geraden) der sie erzeugenden projektiven Punktreihen.

2. Aus der Fülle der hiermit festgestellten Tatsachen heben wir nur die allerwichtigsten hervor:

Satz 1. Eine Punktreihe II. 0. enthält stets die Mittelpunkte der sie erzeugenden projektiven Strahlen-büschel.

Satz 2. Eine Punktreihe II. 0. wird aus je zwei ihrer Punkte durch projektive Strahlenbüschel projiziert.

Satz 2'. Ein Strahlenbüschel II. Kl. wird von je zwei seiner Strahlen in projektiven Punktreihen geschnitten.

Dieselbe Punktreihe II. 0. kann also auf oc² Arten projektiv erzeugt werden; ebenso ein Büschel II. Kl.

Satz 3. Eine Punktreihe II. 0. : Satz 3r. Ein Strahlenbüschel

ist bestimmt durch fünf Punkte, oder durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zwei derselben.

II. Kl. ist bestimmt durch fünf Strahlen, oder durch vier Strahlen und den Berührungspunkt auf einem derselben, oder durch drei Strahlen und die Berührungspunkte auf zwei derselben.

Der erste Fall wird illustriert

von

Der erste Fall wird illustriert durch S, T, A, B, <7; der zweite durch s, t, a, b, c; der zweite durch durch S, s, T, A, C, wo die Strahlen s, S, t, a, c, wo die Punkte S', A', C' s', a, c von S den Strahlen s", a", c" von s den Punkten S", A", C" von T zugeordnet sind; der dritte t zugeordnet sind; der dritte durch durch S, s', T, t", C, wo die Strahlen s, S', t, T", c, wo die Punkte S', T', C' s', t', c von S den Strahlen s", t", c" von s den Punkten S", T”, C" von von T entsprechen.    t entsprechen.

Auf Grund des Satzes 2. gewinnt auch die in Art. 1. gegebene Konstruktion von Tangenten und Berührungspunkten an Wert, weil sie nunmehr für alle Punkte der Punktreihe II. 0. bezw. des Strahlenbüschels II. Kl. gilt.

Es folgt:

Satz 4'. Ein Strahlenbüschel II. Kl. hat auf jedem seiner Strahlen einenBerührungs-punkt.

Satz 4. Eine Punktreihe II. 0. hat in jedem ihrer Punkte eine Tangente.

Weitaus das wichtigste Ergebnis des Art. 1. sind der Satz yon Pascal¹) und der Satz von

Brianchon.¹)

In jedem einfachen Sechsseit, dessen Seiten einem Strahlenbüschel II. Kl. angehören, gehen dieVerbindungs-geraden der drei Paar Gegenecken durch einen Punkt W, wie das Sechsseit sxtucv unmittelbar erkennen läßt:

In jedem einfachen Sechseck, dessenEcken einerPunkt-reihe II. 0. angehören, schneiden sich die drei Paar Gegenseiten in drei Punkten einer Geraden w, wie das Sechseck SXTUCV unmittelbar erkennen läßt:

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Seite: SX, XT, TU Gegenseite: UC, CV, VS Schnittpunkt: X',    X",

Ecke: sx, xt, tu Gegenecke: uc, cv, vs Yerb indungsgerade: x, x", o:

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Fig. 64.

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Fig. 63.

in der Tat liegen diese drei Punkte in der Tat gehen diese drei Strahlen in einer Geraden w. In Fig. 63 ist durch einen Punkt. In Fig. 64 ist das Sechseck in anderer Anordnung, das Sechsseit in anderer Anordnung, aber mit den Bezeichnungen der aber mit den Bezeichnungen der

Fig. 62 wiederholt.

Fig. 61 wiederholt.

1) Wir entnehmen der Geometrie der Lage von Th. Reye, 3. Aufl., 1. Abt., S. 77, die Angabe, daß Pascal den nach ihm benannten fundamentalen Satz 1639 im Alter von 16 Jahren entdeckte. Brianchon veröffentlichte seinen Satz im Jahre 1806.

Es lohnt sich, auch auf den Fall einzugehen, wo die Strahlenbüschel S, T perspektiv sind, also etwa G auf ST liegt (siehe Fig. 65); sie erzeugen dann eine Gerade, die durch U und V geht und X enthält. So ergibt sich der

Spezialfall des Satzes von Brianchon:

Spezialfall des Satzes von Pascal:

Wenn die Ecken eines

Wenn die Seiten eines Sechsecks SXTUVC abwech- Sechsseits sxtuvc ab wechselnd selnd auf zwei Geraden p und durch zwei Punkte P und Q q liegen, so schneiden sich die gehen, so gehen die Verbindrei Paar Gegenseiten in drei dungsgeraden der drei Paar Punkten einer Geraden iv (siehe Gegenecken durch einenPunkt

Fig. 65).

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Fig. 65.

Fig. 66.

Umkehrung des Satzes von Umkehrung des Satzes von

Brianchon.

Wenn die drei Verbindungsgeraden der drei Paar Gegenecken eines ebenen Sechsseits sxtuev durch einen Punkt W gehen, so gehören seine sechs Seiten entweder einem Strahlenbüschel II. Kl. an oder sie gehen zu je dreien durch zwei Punkte P, Q.

Pascal.

Wenn sich die drei Paar Gegenseiten eines ebenen Sechsecks SXTUCV in drei Punkten X', X", SÎ einer Geraden w schneiden, so gehören seine sechs Ecken entweder einer Punktreihe II. 0. an oder sie liegen zu je dreien auf zwei Geraden p, q.

Denn führt man die Bezeichnungen der Fig. 63—66 ein, so sind unter den Voraussetzungen des Satzes links die Punktreihen cp und ijj bei Zuordnung von U', G', V' zu U", C", V" perspektiv, und zwar wird diese Perspektivität vermittelt durch das Strahlenbüschel Sl

Also sind auch X', X" homologe Punkte. Die Ecken des Sechsecks sind daher die Schnittpunkte homologer Strahlen der projektiven Büschel S und T, gehören also einer Punktreihe II. 0. an, wenn die Büschel nicht zufällig perspektiv sind; in diesem Ausnahmefalle aber muß C auf ST liegen und dann gehören auch U, X, V einer Geraden an (§ 16, 10.). Damit ist, wegen des Dualitätsgesetzes, auch der Satz rechts bewiesen. Beide Sätze können dazu dienen, eine Punktreihe II. 0. oder ein Strahlenbüschel II. Kl. aus fünf Punkten bezw. fünf Tangenten zu konstruieren.

3. Wie wir in Art. 1. gesehen haben, entspricht dem gemeinsamen Strahle ST zweier projektiver Büschel S, T, die eine Punktreihe zweiter Ordnung x erzeugen, sowohl in S als in T die Tangente von x. Um diese Tatsache auszunützen, müssen wir uns noch einmal den Beweis des Satzes von Pascal ver

¹

Vgl. F. Enriques, Vorlesungen über projektive Geometrie. Deutsch H. Fleischer, Leipzig 1903, §§ 18 und 19.

gegenwärtigen, siehe Fig. 61 oder 63. Die projektiven Strahlenbüschel S und T bestimmen auf cp und ip zwei Perspektive Punktreihen; diese Perspektivität wird vermittelt durch das Strahlenbüschel &Î. Die projektive Beziehung zwischen S und T ist aber festgelegt, wenn man

die Strahlen SU und TU, SV und TV, SC und TG einander zuordnet; das bleibt richtig, wenn man T mit U zusammenfallen läßt und, nach dem soeben angeführten Satze über die Tangenten, unter TU die Tangente in- T versteht, da dieser Geraden in der Tat im Büschel S der mit ST identische Strahl SU entspricht. Gleichzeitig darf man S mit V zusammenfallen lassen, wo man dann unter SV die Tangente in S zu verstehen hat. So ergeben sich die Sätze 5. und 6.¹):

wenn man

und

läßt

Satz 5. Der Satz von Pascal bleibt richtig, zwei aufeinander folgende Ecken in einen Punkt zusammenfallen unter ihrer Verbindungsgeraden die Tangente dieses Punktes versteht (siehe Fig. 67); wenn also fünf Punkte einer Punktreihe II. 0. gegeben sind, und die Tangente in einem von ihnen bestimmt werden soll,

Satz 5'. Der Satz von Brianchon bleibt richtig, wenn man zwei aufeinander folgende Seiten in eine Gerade zusammenfallen läßt und unter ihrem Schnittpunkt den Berührungspunkt derGeraden versteht (siehe Fig. 68); wenn also fünf Strahlen eines Büschels II. Kl. gegeben sind und der Berührungspunkt auf einem von ihnen

so bezeichne man diesen Punkt etwa mit 5 und 6, die vier an-deren in irgend einer Reihen- j bestimmt werden soll, so bezeichne man diesen Strahl mit 5 und 6, die vier anderen in

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Fig. 67.

Fig, 68.

folge mit 1, 2, 3; 4 und konstruiere die Pascal sehe Gerade p nach dem Schema:

irgend einer Reihenfolge mit 1, 2, 3, 4 und konstruiere den Brianchon sehen Punkt P nach dem Schema:

Seite: 12, 23, 34 56, 61 Schnittpunkt: X, Y, Z.

Gegenseite: 45,

Ecke: 12, 23, 34 Gegenecke: 45, 56,    61

Verbindungsgerade: x, y, z.

Durch x und z ist P, durch 23 und p ist Y festgelegt, Y5 ist 23 und P ist y festgelegt; y5 ist dann die Tangente.

Durch X und Z ist p, durch

dann der Berührungspunkt.

Satz 6. Wenn die Ecken eines vollständigen Vierecks einer Punktreihe II. 0. angehören, so liegen je zwei Nebenecken mit dem Schnittpunkte der zwei Tangenten zweier Gegenecken auf einer Geraden.

Satz 6'. Wenn die Seiten eines vollständigen Vierseits einem S t r a h 1 e n b ü s c h e 1 II. Kl. angehören, so gehen je zwei Nebenseiten und die Verbindungsgerade der Berührungspunkte zweier Gegenseiten durch einen Punkt.

Hierzu gehört die Fig. 69, die

Hierzu gehört die Fig. 70, die in in den Bezeichnungen mit Fig. 67 den Bezeichnungen mit Fig. 68 über-übereinstimmt; auf p schneiden einstimmt; durch P geht nach

sich nach unserem Satze auch unserem Satze auch die Verdie Tangenten der zwei an- bindungsgerade der Berührungspunkte (die „Berührungs-I sehne“) der ZAvei anderen Gegenseiten,

deren Gegenecken,

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Fig. 70,

Fig. 69.

wie sich ergibt, wenn man die Bezeichnungen 1; 2, 3; 4; 5, 6 ersetzt durch 1, 2; 3; 4, 5 5 6.

4. Vier Punkte .4, B, G, D einer Punktreihe II. 0. bestimmen im ganzen drei Vierecke, nämlich ABCD, AC BID, ABBC, auf die sich der Satz 6. anwenden läßt; ähnlich liegt es mit vier Strahlen a, b, c, d eines Büschels II. Kl. Daraus ergeben sich zwei überaus fruchtbare Sätze:

Satz 7. Vier Punkte A, B, G, B Satz T. Vier Strahlen a, b, c, d

eines Büschels II. Kl. bestimmen ein vollständiges Vierseit, ihre Berührungspunkte A, B, G, D ein vollständiges Viereck von der Beschaffenheit, Nebenecken X, Y, Z des Vierecks und die Nebenseiten x, y, z des Vierseits dasselbe Dreiseit bilden.

Wir denken die Punktreihe II. 0. durch die Punkte B, G, I) und die Tangenten b, d in B, 1) gegeben; um sie zu konstruieren, hat man den Strahlen b, BC, BB des Büschels B die Strahlen BB, BC, d des Büschels B zuzuordnen. Die Punktreihe ist durch diese Angaben in der Tat festgelegt und damit auch die Tangente c in C. Ist jetzt A

einer Punktreihe II. 0. be

stimmen ein vollständiges Viereck, ihre Tangenten j a, b, c, d ein vollständiges Vierseit von der Beschaffenheit, daß die Nebenseitenj x, y, 2 des Vierseits und) die Nebenecken X, Y, Z des Vierecks dasselbe Dreieck bilden. .

daß

die

ein beliebiger Punkt der Punktreibe, so findet man seine Tangente a nacb Satz 7., indem man den Schnittpunkt X der Geraden AG und BD aus bc und cd auf d und b projiziert und die erhaltenen Punkte da und ab verbindet (siehe Fig. 72). Nimmt man statt A andere Punkte Alf A₂, A₃, . . . der Punktreihe²), so bestimmen die Strahlen CA, CA1} CA₂, CAS, ... auf BI) eine zum Büschel C Perspektive

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Fig. 71.

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so die fundamentalen Sätze:

Punktreihe X, Xly X₂, X₃, . . ., die aus &c und cd durch zwei zueinander projektive Strahlenbüschei projiziert wird. Diese bestimmen dann auf d und b zwei zueinander projektive Punktreihen, und die Tangenten a, at, a₂, as, ... der Punkte A, Alt A₂, Az, . . . verbinden immer zwei homologe Punkte dieser Punktreihen. Indem man noch das Dualitätsgesetz anwendet, erhält man Satz 8. Die Tangenten einer Satz 8'. Die Berührungspunkte

Punktreihe II. 0. bilden ein

eines

II. Kl. bilden eine Punktreihe II. 0.

Strahlenbüschels

Strahlenbüschel II. 0.

Jetzt leuchtet ein, warum die Sätze 7. und 7'. durch dieselbe Figur erläutert werden konnten. Man beachte die aus Fig. 72 fließenden Konstruktionen von Punktreihen II. 0. aus Punkten und Tangenten. Auch legt die vorangehende Betrachtung es nahe, die Punkte einer Punktreihe II. 0. auf die einer anderen Punktreihe II. 0. projektiv zu beziehen. Wir definieren zu diesem Zwecke:

Vier Punkte einer Punktreihe II. 0. heißen vier harmonische Punkte, wenn sie aus einem und dann nach Satz 2. aus jedem anderen Punkte der Punktreihe durch vier harmonische Strahlen projiziert werden.

Vier Strahlen eines Strahlenbüschels II.Kl. heißen vier harmonische Strahlen, wenn sie von einem und dann nach Satz 2'. von jedem anderen Strahle des Büschels in vier harmonischen Punkten getroffen werden.

Mit Hilfe der angeführten Sätze kann man auch die Eigenschaften der Anordnung, die in den Axiomen II definiert sind, mühelos auf die Punkte und Strahlen der Gebilde zweiter Ordnung übertragen. Definiert man nun die projektive Beziehung zweier Gebilde ganz allgemein als eine eindeutige Zuordnung, die je vier harmonischen Elementen des einen Gebildes vier harmonische Elemente des anderen entsprechen läßt, so können wir an Fig. 72 feststellen: Vier harmonischen Punkten A, A1} A₂, A₃ entsprechen vier harmonische Strahlen, die sie mit C verbinden, diesen vier harmonische Schnittpunkte X, Xlf X₂, Xs auf DB, diesen auf b und d je vier harmonische Punkte ab, at b, a₂b, a₃b und da, dalf da₂, da₃ als Projektionen aus cd und bc, diesen vier harmonische Tangenten a, alf a₂, a₃. So sind also die Punkte der Punktreihe zweiter Ordnung den Strahlen des sie berührenden Büschels II. Kl. projektiv zugeordnet, und es gilt der

Satz 9. Die Punkte einer Punktreihe II. 0. werden auf die Strahlen des sie berührenden Strahlenbüschels II. Kl. projektiv bezogen, wenn man jedem Punkte seine Tangente als entsprechenden Strahl zuordnet.

Vier harmonische Punkte haben also vier harmonische Tangenten, und umgekehrt gehören zu vier harmonischen Tangenten vier harmonische Berührungspunkte.

5. Aus Fig. 71 und den daran geknüpften Betrachtungen gewinnt man nach dem Vorgänge von Th. Reye³), dem wir auch bisher uns angeschlossen haben, die Polarentheorie der Punktreihen II. 0. und der Strahlenbüschel II. Kl. in großartiger Einfachheit. Wir behaupten zunächst, daß, wenn die Punktreihe zweiter Ordnung x und mit ihr das sie umhüllende Strahlenbüschel II. Kl. gegeben ist, der Punkt X und die Gerade x, ebenso Y und y, Z und z einander wechselseitig bestimmen.

Wegen ihrer Lage zu dem

durch die Punkte A, B, C, D be- durch die Strahlen a, b, c, d bestimmten vollständigen Vierecke j stimmten vollständigen Vierseite

werden nämlich

die Strahlen u und u", die X mit den Punkten bd und ac verbinden, von x harmonisch getrennt durch die Strahlen von

die Punkte U' und U", die x mit den Geraden BD und AC gemeinsam hat, von X harmonisch getrennt durch die Punkte von x,

womit wir ausdrücken wollen, daß

die Geraden TJ X und U"X mit x je zwei Punkte gemein haben, die X von U' bezw. von U" harmonisch trennen.

Nun ist aber x durch die zwei

durch die Punkte ux oder bd und u"x oder ac zwei Tangenten von x gehen, die x von u bezw. von u" harmonisch trennen.

I b und d durch X geht.

Nun ist aber X durch die zwei Punkte A, C von x, die mit X in Tangenten a, c, die durch denselben einer Geraden liegen, schon völlig Punkt von x gehen, schon völlig bestimmt als Verbindungsgerade bestimmt als Schnittpunkt der Verdes Schnittpunktes ac der Tangen- bindungsgeraden AC der Berüh-ten von A und C mit dem Punkte rungspunkte von a und c mit dem U", der von X durch A, C harmo- Strahle u", der von x durch a und nisch getrennt wird. Wir können c harmonisch getrennt wird. Wir daher BD als eine ganz beliebige können daher bd als einen ganz Gerade durch X ansehen, die mit beliebigen Punkt von x ansehen, x, zwei Punkte B und D gemein- von dem aus zwei Tangenten b und sam hat, und haben soeben fest- d an x gehen, und haben soeben gestellt, daß sowohl der Punkt ZJ', festgestellt, daß sowohl der Strahl der B und D von X harmonisch u, der b und d von x harmonisch trennt, als auch der Schnittpunkt trennt, als auch die Verbindungsweg der Tangenten von B und D gerade der Berührungspunkte von auf x liegt.

Damit ist bewiesen:

Satz 10. Eine Punktreihe zwei- Satz 10'. Ein Strahlenbüschel

ter Ordnung x bestimmt zu jedem ihr nicht angehö-rigen Punkte X ihrerEbene eine Gerade x, seine „Po-

Webęr u. Wellstein Encyklopädie. II. 2. Aofl.

zweiter Klasse x bestimmt zu jedem ihm nicht ange-hörigen Strahle x seiner Ebene einen Punkt X seinen

13

lare“, mit folgenden Eigenschaften:

„Pol“, mit folgenden Eigenschaften:

a) jeder Punkt auf x, von dem aus zwei Tangenten an x gehen, bestimmt mit X eine Gerade, die von x durch die Strahlen des Büschels x harmo

nisch getrennt wird; b) wenn die Tangenten Berührungs-

zweier punkte von x sich in einem Punkte von x

a) jede Gerade durch X, die mit x zwei Punkte gemeinsam hat, schneidet x in einem Punkte, der von X durch x harmonisch getrennt wird;

wenn die Berührungspunkte zweier Tangenten von x mit X in gerader Linie liegen, so schneiden sich diese Tangenten auf x\

"b)

schneiden, so geht die Verbindungsgerade der Berührungspunkte durch X;

c) wenn von X an x zwei Tangenten gehen, so liegen ihre Berührungspunkte auf x\

c) wenn auf x zwei Berührungspunkte des Büschels x liegen, so gehen ihre Tangenten durch X;

d) wenn das Büschel zweiter Klasse aus den Tangenten der Punktreihe zweiter Ordnung besteht, so ist jeder Punkt der Pol seiner Polare, jede Gerade die Polare ihres Pols.

Die Behauptungen c) bedürfen noch des Beweises. In Fig. 71 gehen von X keine Tangenten an x, wohl aber von Y und Z. Da aber Y von V und V" durch x harmonisch getrennt wird, so ist y die Polare von Y’ ebenso ist z die Polare von X; also ist in dem Dreieck XYZ jede Seite die Polare der gegenüberliegenden Ecke, ihres Pols. Es wird daher ein „Poldreieck“ und „Poldreiseit“ genannt. Wenn nun die Gerade ZZ'\ die von Z nach dem gemeinschaftlichen Punkte Z" von x und z geht, mit x noch einen Punkt P gemeinschaftlich hätte, so müßte der Punkt, der Z" und P von Z harmonisch trennt, ebenfalls auf z liegen, also mit Z" zusammenfallen, was nur dann keinen Widerspruch gibt, wenn P und Z" zusammenfallen. Daher gehen die Tangenten von Z' und Z" durch Z. — Die Sätze 10. und 10'. können auf mannigfache Weise benutzt werden, um zu einem Punkte die Polare, zu einer Geraden den Pol zu konstruieren; dabei braucht x nur durch die hinreichende Zahl von Punkten oder Tangenten gegeben zu sein, also durch fünf Punkte oder Tangenten, oder durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch vier Tangenten und den Berührungspunkt einer derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zwei von ihnen, oder durch drei Tangenten und die Berührungspunkte auf zwei von ihnen. In allen diesen Fällen ist die projektive Erzeugung von x unmittelbar in die Hand gegeben, und Pole und Polaren können mit alleiniger Hilfe des Lineals gefunden werden.

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6. Indem wir in Fig. 71 die Punkte A, B, Z und mit ihnen die Geraden a, b,z festhalten, lassen wir X auf z andere und andere Lagen X₁₎ X₂, X₃, ... annehmen.⁴) Da G und D durch AX und BX auf x festgelegt sind, so werden mit X zugleich die Tangenten c und d von C und D andere Lagen cx, c₂, e₃, . . . und du d₂, do., annehmen. Wir fassen nun die Lagen des Strahles c ins Auge; die Strahlen c, cx, c₂, c₃, . . . schneiden a und b nach Satz 2'. in zwei zueinander projektiven Punktreihen ac, acx, ac₂, ac₃, . . . und bc, bcx, bc₂, bc₃, . . ., die aus Z durch zwei zueinander projektive Strahlenbüschel x, x₁, x₂, x₃, . . . und y, yx, y₂, y₃, . . . projiziert werden; das letztere ist aber auch perspektiv zur Punktreihe X, Xx, X₂, X₃, . .

13*

also diese projektiv zum Strahlenbüschel x, xlt x.₂, x₃, .... Wenn Xn nicht auf y liegt, ist xn die Polare dieses Punktes, und wenn die Gerade xn nicht y berührt, ist Xn ihr Pol; wenn aber X mit einem der Punkte Z', Z" zusammenfällt, die z mit y gemein hat, so fallen auch B und B und damit auch Y in diesen Punkt und x wird zur Tangente, da, wie wir gesehen haben, ZZ' und ZZ" die Tangenten sind, die aus Z an y gehen. Will man also den Begriff der Polaren auch auf Punkte ausdehnen, die auf y liegen, so wird man definieren müssen: Die Polare eines Punktes von y ist seine Tangente, der Pol einer Tangente ihr Berührungspunkt. Auf Grund dieser Definition können wir ohne Einschränkung den Satz aussprechen:

Satz 11. Die Polaren der Punkte einer Punktreihe erster Ordnung z bilden ein zu dieser Punktreihe projektives Strahlenbüschel erster Klasse Z, dessen Mittelpunkt der Pol von z ist, und umgekehrt.

Der noch unerörterte Fall, daß z die Punktreihe y berührt, ist sehr leicht für sich zu erledigen. — Auf diesen Satz kann man einen neuen Beweis des Dualitätsgesetzes gründen, der weniger fundamental ist als der oben gegebene, dafür aber jeder ebenen Figur eine duale in vollkommen bestimmter Weise zuordnet. Man hat zu diesem Zwecke nur zu jedem Punkte der Figur seine Polare, zu jeder Geraden den Pol zu konstruieren bezüglich irgend einer Punktreihe II. 0.; vier harmonischen Punkten einer Geraden entsprechen dann vier harmonische Strahlen durch einen Punkt, zwei einander trennenden Punktepaaren zwei einander trennende Strahlenpaare u. s. w. Die Konstruktion und Untersuchung der zu einer Figur polaren ist sehr lehrreich. Zur Übung wollen wir in der Ebene einer Punktreihe zweiter Ordnung y noch eine andere Punktreihe zweiter Ordnung l annehmen und jedem Punkte P derselben seine Polare p bezüglich y zuordnen. Man erhält so unbegrenzt viele Strahlen p. Was läßt sich von diesen aussagen? Denken wir ŹI durch zwei projektive Strahlenbüschel S und T erzeugt, so sind diesen zwei projektive Punkti’eihen s und t zugeordnet, und die Geraden p verbinden je zwei homologe Punkte derselben. Die Strahlen p bilden also ein Büschel zweiter Klasse, die Tangentenhülle einer gewissen Punktreihe zweiter Ordnung.

7. Man sieht an diesem Beispiele und der ganzen vorangehenden Untersuchung, wie ungemein beweglich und leichtflüssig die moderne synthetische Geometrie ist im Gegensatz zur antiken Geometrie, deren Aufbau wir im .wesentlichen in der Schulgeometrie kennen lernen. Der auffälligste Gegensatz beider Geometrien besteht offenbar darin, daß die alte Geometrie vollkommen unter der Herrschaft des Maßbegriffes steht, während die neue sich vorwiegend auf die Eigen-

schäften der Anordnung und Lage (Inzidenz) gründet, weshalb sie auch Geometrie der Lage genannt wird. Die Eigenschaften des Maßes können immer nur durch Vergleichung auf Grund der Maßgesetze erkannt werden, springen also viel weniger in die Augen als die der Anordnung und Inzidenz. Daher die große Anschaulichkeit der Geometrie der Lage. Wenn man häufig liest, dieser oder jener Beweis im Bereiche der projektiven Geometrie sei rein aus der Anschauung geführt, so soll oder kann das immer nur bedeuten, daß der Beweis sich nur auf Eigenschaften der Raumgebilde beruft, die, wie die Anordnung und Inzidenz, unmittelbar an der Figur gesehen werden können, ohne messende Vergleiche. Wir erkennen z. B. die Eigenschaft zweier Punktepaare, einander harmonisch zu trennen, an ihrer Lage zu einem vollständigen Viereck. In der älteren Geometrie werden sie definiert durch eine gewisse Proportion, und die Erkenntnis der harmonischen Lage wird daher häufig nur auf dem Wege der Rechnung gewonnen. Die Punktreihen II. 0. wurden von den Griechen als ebene Schnitte von Kreiskegeln definiert, also mit Hilfe einer metrisch spezialisierten Punktreihe zweiter Ordnung, des Kreises, dessen Theorie natürlich vorausgegangen sein muß, während die neuere Geometrie bis zu den Quellen zurückgeht, aus denen die Eigenschaften aller Punktreihen zweiter Ordnung fließen. — Daß der Kreis zu den Punktreihen zweiter Ordnung zählt, haben wir bereits im vorigen Paragraphen gesehen. Dagegen haben wir zur Abrundung unseres Abrisses der Kegelschnittslehre noch zu zeigen, daß die Punktreihen zweiter Ordnung wirklich die Schnitte von Kreiskegeln, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Zentralprojektionen von Kreisen sind. In einer Ebene rj sei eine Punktreihe zweiter Ordnung x gegeben (siehe Fig. 73). Durch eine Tangente t derselben legen wir eine Ebene rj' und konstruieren in ihr einen Kreis x, der t berührt und mit x den Berührungspunkt T auf t gemeinschaftlich hat. Drei beliebige Tangenten a, b, c. von x mögen t in X, Y, Z treffen. Aus diesen Punkten legen wir an x die Tangenten a, b', c. Dann bestimmen die Geraden a und a'>

7'

■S

t j\:.

.c '

Fig. 73.

b und b', c und c drei Ebenen a₇ ß, y. Diese schneiden sich in einem Punkte S, da sie nicht durch eine Gerade gehen können. Von S aus projizieren wir x auf die Ebene Wir behaupten; daß x die Projektion von x ist. Jedenfalls ist nämlich die Projektion von x auf r] ein durch projektive Strahlenbüschel erzeugbares Gebilde; also eine Punktreihe zweiter Ordnung; die mit x die vier Tangenten a, b, c, t und den Berührungspunkt T auf t gemeinschaftlich hat und daher in der Tat mit x identisch ist. Von x hat dabei nur die Eigenschaft Anwendung gefunden; daß x eine Punktreihe zweiter Ordnung ist; die metrischen Sondereigenschaften des Kreises kamen gar nicht zur Wirkung. Wenn wir also den Satz aussprechen:

Satz 12. Die Punktreihen zweiter Ordnung sind Zentralprojektionen von Kreisen;

so gibt derselbe das Resultat unserer Untersuchung nur in beschränkter Form wieder. — Hiermit wollen wir die Lehre von den Kegelschnitten abschließen; die metrischen Eigenschaften dieser Gebilde sollen teils in der Planimetrie; teils in der analytischen und darstellenden Geometrie abgeleitet werden.

§ 18. Projektive Metrik.

1. In den drei vorangehenden Paragraphen zur Grundlegung der projektiven Geometrie haben wir uns auf die fundamentalen Sätze beschränkt; bei deren Beweis wirklich prinzipielle Schwierigkeiten zu überwinden sind; diesem Grundsätze entsprechend hätten auch die Stetigkeitseigenschaften der Punktreihen II. 0. und der Strahlenbüschel II. Kl. behandelt werden müssen; und zwar besonders die wichtigen Sätze, die Reye im achten Vortrage der ersten Abteilung seiner „Geometrie der Lage“, S. 100 und 101 der 4. Auflage anführt; diese Sätze sind aber an angeführter Stelle mit Hilfe der Stetigkeit der Geraden bewiesen, während wir von unserem erkenntniskritischen Standpunkte aus das Stetigkeitsaxiom III nicht ohne zwingenden Grund anwenden dürfen. Es handelt sich in erster Linie um den Satz, daß, wenn von zwei Punkten A und 13 einer Geraden u aus an eine Punktreihe zweiter Ordnung Tangenten gehen, Von zwei anderen Punkten C und Z) dieser Geraden aus aber nicht, die Punkte A und JB durch C und D nicht getrennt werden. Dieser Satz scheint weiter ausholende Vorbereitungen zu erfordern, weshalb wir nicht darauf eingehen wollen.⁵)

2. Wir wenden uns nun zur projektiven Metrik als der Grundlage alles Messens in der elliptischen, der hyperbolischen und der parabolischen Geometrie, speziell der Ahnlichkeitslehre und Flächenvergleichung in der Euklidischen Geometrie. Die projektive Metrik der Ebene ist, im Gegensatz zu der der Euklidischen Geometrie, vollkommen dual, d. h. jedem Satze über Größenbeziehungen von Strecken steht ein Satz über Größenbeziehungen von Winkeln gegenüber, der aus dem ersten im wesentlichen durch Vertauschung der Worte „Gerade“, „Strecke“, „Punkt“ mit den Worten „Punkt“, „Winkel“, „Strecke“ hervorgeht; wir werden von dual entsprechenden Sätzen immer nur den einen beweisen, empfehlen aber, immer den Beweis des entsprechenden Satzes mit den zugehörigen Konstruktionen als Übungsbeispiel durchzuführen.

Beim Beweise des Fundamentalsatzes ist uns die in § 15 ausgebildete Vorstufe des Begriffes der Streckengröße nützlich geworden, die zur Synthesis dieses Begriffes nur den Grundsatz verwendet, daß das Ganze größer heißen soll als seine Teile. Dem entsprechend konnten wir zwei Strecken miteinander vergleichen, wenn eine ein Teil der anderen war; nicht aber, wenn sie keine Teilstrecke gemeinschaftlich hatten, und wir haben bereits bemerkt, daß es zum vollständigen Aufbau des Größenbegriffes nötig sein wird, eine Konstruktion zu verabreden, die entscheidet, ob zwei gegebene Strecken einer Geraden gleich genannt werden sollen oder nicht. Dazu soll das projektiv verallgemeinerte St ein er sehe Verfahren der „Streckenverschiebung“ dienen, das wir in § 5, 2. zur Herstellung kongruenter Strecken AB und A B' verwendet haben, siehe Fig. 5. Indem wir die Geraden u, v, w dieser Figur durch einen beliebigen Punkt U gehen lassen, erhalten wir die in Fig. 74 angegebene Verschiebungskonstruktion einer Strecke AB auf ihrem Träger u unter Auszeichnung des Punktes U der Geraden u als ihres „ausgeschlossenen“ Punktes. Unter der Strecke AB excluso U verstehen wir die von A und B nach den Axiomen II bestimmte Punktklasse auf u, die den Punkt U nicht enthält. Die Strecken AB und A'B', die durch die Verschiebungs-konstruktion „ineinander übergeführt“ werden können, wollen wir excluso U einander gleich nennen; dabei soll es gestattet sein, die Buchstaben A! und B' in der Figur miteinander zu vertauschen. Es gilt nun, diese konstruktive Definition der Gleichheit in eine rein begriffliche, von den Hilfslinien und Hilfspunkten dieser Konstruktion unabhängige überzuführen. Ist P der Schnittpunkt von SA und S'B', Q der Schnittpunkt von SB und S'A', so schneiden sich die Geraden PQ und u nach dem Satze 6., § 16, angewandt auf das vollständige Viereck abSS', in einem Punkte M, der durch A und B' sowie durch B und A von U harmonisch getrennt wird; dabei wird vorausgesetzt, daß die Strecken AB und AB', entsprechend der Figur, excluso U gleichsinnig sind, d. h. daß die Tripel U, A, B und U, Ä, B' im Sinne des § 16 gleichsinnige Cyklen von Punktklassen bilden. Demnach können wir folgende Definition aufstellen:

Zwei excluso U gleichsinnige Strecken AB und A'B' einer Geraden u heißen excluso U einander gleich, wenn ein Punkt M existiert, der von U durch jedes der Punktepaare A, B' und B, Ä harmonisch getrennt wird, dessen Punkte nicht in einen Punkt zusammenfallen; zwei ungleichsinnige Strecken AB und A'B' sollen excluso U ein-

s.

Sy

ßA

'T-.. \

V.

jjk

\ß"

B’

AB

M ...

Fig. 74.

ander gleich heißen, wenn die gleichsinnigen Strecken, die dieselben Endpunkte haben, gleich sind.

Durch Angabe von U, A, B und Ä oder B' ist also A'B' eindeutig bestimmt, wenn noch festgesetzt wird, ob die Strecken AB und A'B' gleichsinnig sein sollen oder nicht. Jede Strecke ist sich selbst gleich, auch ist AB = BA- dagegen ist eine Strecke AB nie einem ihrer Teile A'B' gleich, es müßten denn beide Strecken TJ zum Endpunkte haben. Denn zwei Strecken TJA und TJA' sind sowohl nach der Verschiebungskonstruktion als auch nach der mit ihr gleichbedeutenden Definition immer als einander gleich anzusprechen, wobei es gleichgültig ist, welche der beiden Punktklassen, die U und A (sowie U und A') bestimmen, man als „Strecke“ TJA (bezw. Strecke TJA') auffaßt¹); wenn dagegen

1) Die obige Definition der Strecke excluso U versagt nämlich, wenn U selber Endpunkt der Strecke ist; man könnte es daher auch in diesem Falle ablehnen, von Streckenvergleichung zu reden.

keiner der Punkte A,B,Ä,B' mit U identisch und die Teilstrecke Ä, B von AB denselben Sinn hat wie AB, so wird A von S' durch A' und B getrennt, also existiert nach § 16,6.(Ende) kein Punktepaar UM, das beide Paare harmonisch trennt. Zwei Strecken AB und AB" (exclu so U), die derselben dritten Strecke AB' ex-cluso U gleich sind, sind auch einander gleich, da die Verschiebungskonstruktion, die AB und AB" mit A B' vergleicht, mit Hilfe desselben Punktepaares ab auf v ausgeführt werden kann (s. Fig. 74). Auf Grund dieser Sätze kann man von je zwei Strecken von u unterscheiden, ob sie gleich sind, oder welche von ihnen, falls sie nicht gleich sind, die größere ist.

3. Auch reicht die Verschiebungskonstruktion vollkommen aus, um einen in gleiche Teile eingeteilten projektiven Maßstab herzustellen. Ohne weiteres läßt sich zunächst die Maßeinheit m beliebig oft hintereinander abtragen, vgl. Fig. 75.¹) Man erhält so die Punkte 2, 3, 4, . . . der Figur, wenn 01 die Maßeinheit m ist. Nach der Definition der Gleichheit liegt

1) In der Figur ist zu u die Parallele QR gezogen, um zu zeigen, daß der im Sinne der Euklidischen Geometrie unendlich ferne Punkt von u in der projektiven Skala eine endliche Nummer hat, die in unserem Falle zwischen 4 und 5 liegt, was deutlich die Skala auf io für den Punkt R erkennen läßt.

+3

+2

2'

3'

6*

\ U v\

\\\

+1

-1

-2

-3

-6

+12

+IT

+iO

+9

Fig. 75

der Punkt n -f- 1 so zu den vorangehenden, daß er von n —- 1 durch U und n harmonisch getrennt wird. Ebenso wird man die Punkte — 1, —2, —3, ... bestimmen durch die Bedingung, daß —(w+1) von —(n—1) durch —n und CT harmonisch getrennt sind; die Verschiebungskonstruktion liefert auch diese Punkte unmittelbar. Es ist übrigens nicht nötig, zu dieser Konstruktion immer dieselben zwei Hilfspunkte auf v zu verwenden, das Resultat ist ja von denselben unabhängig. Man wird sie daher so annehmen, daß die Teilpunkte auf u bequem erhalten werden. Auf die hier denkaren Modifikationen der Verschiebungskonstruktion können wir nicht eingehen. Die Teilung verdichtet sich um den Punkt U immer mehr, ohne ihn je zu erreichen, und zwar liegen auf der einen Seite nur Punkte mit positiven, auf der anderen nur solche mit negativen Indizes. Von keinem Punkte der Geraden u aus ist U durch eine endliche Zahl excluso U gleicher Schritte zu erreichen, U ist also im Sinne der projektiven Gleichheit „der unendlich ferne Punkt von u“.

Faßt man die Definition der Punkte mit positivem und mit negativem Index in den Satz zusammen, daß drei excluso U äquidistante Punkte mit TJzusammen ein harmonisches Quadrupel bilden, so wird man sofort auch den nteu Teil einer Strecke p, p -f- 1 unserer Skala definieren können: Die Strecke p, p -f- 1 ist in n gleiche Teile mit den Teilpunkten

P’P + T’ p +    pJrVLjr> ^ + 1

geteilt, wenn je drei aufeinander folgende Punkte dieser Teilung zusammen mit U in der Weise ein harmonisches Quadrupel bilden, daß der mittlere Punkt von den beiden anderen durch U harmonisch getrennt wird. Bezieht man also die Punktreihe u projektiv auf sich selbst, so daß den Punkten

—-, p -f- 1 die Punkte 2, 3, ..., n — 1, n

TJ, p, p -- die Punkte U, 0, 1 entsprechen, so sind den Punkten P + —, P + —

zugeordnet. Diese Beziehung ist aber auch festgelegt, wenn man den Punkten U, p, p + 1 die Punkte U, 0, n zuordnet, da ja p -f- 1 und n, wie wir soeben festgestellt haben, einander entsprechen. Daraus folgt, daß durch unsere Definition die Teilung der Strecke p, p -f- 1 in n excluso U gleiche Teile eindeutig bestimmt ist; zugleich ergibt sich folgende Konstruktion (siehe Fig. 76): Man projiziert die Punkte 0, 1, .. ., n auf eine durch U gehende Gerade v als 0', 1', . . ., n, verbindet 0' mit p, n mit p -f- 1 und. projiziert aus dem Schnittpunkte Q beider Verbindungsgeraden die Punkte 0', 1', . . ., n zurück auf w; ihre Projektionen sind die gesuchten Teilpunkte. Es kommt übrigens nur darauf an, daß je drei aufeinander folgende Punkte der Reihe O', 1', . .., n mit U zusammen ein harmonisches Quadrupel bilden,

kann sie also auch direkt konstruieren, wobei 0' und 1'

man

willkürlich angenommen werden können.

Von den Punkten U, 0, 1 ausgehend können wir also mit Leichtigkeit jeder rationalen Zahl einen Punkt der Geraden u zuordnen, und zwar gelangt man zu jedem dieser Punkte durch eine Kette harmonischer Konstruktionen; zur Begründung dieser Konstruktionen wurde der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie nicht benutzt. Als wir daher bei der Herleitung dieses Satzes drei Punkte A, B, C einer Geraden je sich selbst zuordneten, um zu zeigen, daß, falls

¹

Wir sprechen den Satz vom Fünfeck und vom Fiinfseit in der Form aus, in der man ihn durch Grenzübergang aus dem Pascalschen bezw. Brianchon-schen Satze abzuleiten pflegt.

²

Man vergleiche die Detailfigur 72, in der zur Erleichterung des Zeichnens, wie öfters im vorangehenden, die Punktreihe II. 0. durch einen Kreis wiedergegeben ist.

³

Geometrie der Lage, 1. Abt., achter Vortrag.

⁴

In Fig. 71 der Übersichtlichkeit wegen weggelassen.

⁵

In der von C. Koehler, Arch. d. Math, und Phys., 3. Reihe, Bd. 6. p. 95 angegebenen Richtung.

Cy

n'

oV

't

• A'

V,

ITy

OÎ 2 p

Fig. 7G.

diese Zuordmmg projektiv sein soll, auch jeder andere Punkt sich selbst zugeordnet ist, hätten wir diese drei Punkte in irgend einer Reihenfolge mit U, 0, 1 bezeichnen und aus der Definition der projektiven Beziehung unmittelbar schließen können, daß jeder Punkt mit rationaler Nummer sich selbst entsprechen muß; die eigentliche Schwierigkeit des Fundamentalsatzes bestand alsdann in dem Nachweise, daß auch alle anderen Punkte je sich selbst entsprechen müssen.

4. Es liegt auf der Hand, daß die projektive Skala in ähnlicher Weise zur Streckenmessung benutzt werden kann, wie eine gewöhnliche Meterskala; breitet man auf einer Geraden eine projektive Skala aus, so ist ein beliebiger Punkt der Geraden entweder mit einem der Teilpunkte genau identisch, oder er kann durch einen Teilpunkt in beliebiger Annäherung ersetzt werden. Jede Strecke ist also in beliebiger Annäherung als ein rationales Vielfaches der Einheitstrecke der Skala darstellbar und hat dieses Vielfache der Maßeinheit zur Maßzahl. Auf den strengen Beweis dieses Satzes können wir nicht eingehen.

Wie man die Maßzahlen a und ß zweier Strecken a und b arithmetisch zu einer neuen Zahl, der Summe a -f- /?, verknüpfen kann, so kann man aus den entsprechenden Strecken geometrisch eine neue Strecke konstruieren, der jene Summe a -f ß als Maßzahl entspricht und die daher Summe der beiden Strecken a und b genannt wird. Es liegt nahe zu fragen, ob nicht auch das Produkt aß ein rein geometrisches Analogon hat, so daß man Strecken ohne Benutzung ihrer Maßzahlen rein geometrisch nach zwei verschiedenen Gesetzen miteinander verknüpfen könnte, die sich ähnlich verhielten wie die Addition und Multiplikation der Zahlen. Jene zwei Konstruktionsverfahren müßten also dieselben Verknüpfungsgesetze erfüllen wie die Addition und Multiplikation von Zahlen. Das sind in erster Linie:

A)    bei der Addition:

a)    das kommutative Gesetz: a + b = b -f a,

b)    das assoziative Gesetz: (a -)- b) -j- c = a -f- (b fi- c);

B)    bei der Multiplikation ebenso:

a)    das kommutative Gesetz: ab = ba,

b)    das assoziative Gesetz: (ab)c = a(bc);

C)    bei der Verknüpfung beider Operationen:

das distributive Gesetz: (a-\- b)c = ac -f bc.

Eine diesen Anforderungen genügende Konstruktionsweise oder Streckenrechnung, um mit Hilbert zu reden, wollen wir im folgenden ableiten.

Die Gleicheit von Strecken einer Geraden u unter Auszeichnung eines Punktes U denken wir nach Art. 2 definiert. Außer dem Punkte TJ nehmen wir auf u zwei beliebige von U verschiedene Punkte als „Nullpunkt“ N und als „Einheitspunkt“ JE an. Alle auf u miteinander zu vergleichenden Strecken denken wir durch die Verschiebungs-koustruktion so verschoben, daß sie sämtlich den Punkt N zw einem Endpunkt haben; im Sinne UNE sollen positive, im Sinne ENU negative Strecken liegen, ähnlich wie bei der projektiven Skala, die wir uns ebenfalls ausgeführt denken. Der Skalenpunkt mit der rationalen Nummer r möge Ar heißen, so daß U, N, E mit A₀, At zu bezeichnen wären, und r sei zugleich ein Symbol für die Strecke

Wenn der Punkt P nicht zu denen mit rationaler Nummer gehört, und wir die Strecke A₀P als solche mit dem Buchstaben x bezeichnen, so soll P auch durch Ax ausgedrückt werden; A₀ heiße Anfangspunkt, Ax Endpunkt dieser Strecke.

Aq Ar.

Endpunkt A

y’

5. Wir definieren zunächst die Addition. Man erhält den der Summe zweier Strecken A₀AX und A₀A indem man im Endpunkte der einen mittels der Versehie-bungskonstruktion die andere unter Wahrung ihres Sinnes anlagert. Zu diesem Zwecke legt man durch Ax noch zwei Hilfsgeraden v, w, projiziert aus einem Punkte CQ von w die Punkte A0} Ax, Ay auf v als B₀, Bx, By und fügt zur Strecke A₀AX die Strecke A₀Ay, indem man vom Schnittpunkte Cx der Geraden B₀AX und w den Punkt B auf u projiziert (siehe Fig. 77). Zur Strecke.

Fig. 77.

//

//

A₀Ay fügt man A₀AX, indem man vom Schnittpunkte Cy der Geraden jBqA)J und w den Punkt Bx auf u projiziert. Beide Projektionen sollen nach dem kommutativen Gesetze der Addition auf u denselben Punkt A

bestimmen. In der Tat ist B₀GxByC₀BxCy

x + y

ein spezielles Pascalsches Sechseck, und wenn man den in Frage stehenden Schnittpunkt von CyBx und CxBy mit S bezeichnet, so ergibt das Schema:

B, Cx, CxBy, By C₀,

C,Bo,

Seite:

Gegenseite: C₀BX, BxCy,

Schnittpunkt:

daß S auf u liegt, wie verlangt wurde. Also ist x -f y = y -f- x gültig für positive und negative Strecken. Die Konstruktion ergibt: Ä₀AX + A₀A₀ = A₀AX, d. h. die Strecke A₀A₀ verhält sich bei der Addition der Strecken wie die Zahl Null in der Arithmetik.

Yon der Addition der Strecken gilt der wichtige

Ax, S, A

y’

Hilfssatz I. Es ist

u(Axj4.qA^AxAyAz...) /\ u(AxAsA1+sAx+sAy+sAz+s. ..),

wo A das aus einem griechischen 7t entstandene Zeichen für die projektive Beziehung ist. Zur Konstruktion von Ax+Z hat man nämlich aus dem Punkte C₀ der vorigen Figur den Punkt As auf v, und den erhaltenen Punkt JBS aus Cx als Ax + S auf u zu projizieren. Indem man diese Konstruktion für x = <x>, 0, 1, x, y, z, . . . ausführt (siehe Fig. 78), erhält man auf w die Punktreihe w{CxCüCyGxCyCz...), die einerseits durch die Strahlen des Punktes P₀ auf

<2,

u-/

71

d—o—

■C

A₀

Pig. 78.

(( (Ax Aq A^ Ax A.y Az. • •),

andererseits durch die Strahlen des Punktes Bs auf

u(AxAsAi+sAx+sAy+sAz+s. . .)

perspektiv bezogen ist. Folglich sind die beiden letzten Punktreihen zueinander projektiv. — Aus Satz I. folgt einerseits

—z+y x + y•

îi(AxA₀A_zAx ...) A u(AxAyA

andererseits

A a(AccAy_t_zA^_z+y^+zA^x+y^+z...)

•0

u(A„A₀A_zAx .. .) A u(AxAzA₀A A M'( AccAz_i_yAyAçx+Z)_i_y .

Mit Rücksicht auf das soeben bewiesene kommutative Gesetz ist also:

M(AxAy+zA(_z+yj+zA(X+yy|_s. • •) A fi(AccAy+zAyA(X+zj+y ...).

Die Projektionen der Punkte A₀, A , A, aus einem Punkte P

der Ebene auf eine durch Ax gehende Hilfsgerade v seien B₀, By, Bz (siehe Fig. 79); der Schnittpunkt der Geraden A₀BZ mit tu sei Q. Die Geraden QB₀ und QBy schneiden u in A_z und A w die Gerade A Punkte A

Trifft

— 2 +y'

B₀ in B, so schneidet RBdie Gerade u in dem Dieser Punkt ist identisch mit A . wie aus

(— 2 + y) + z *

dem Pa sc al sehen Sechseck A₀PA RA nach von den projektiven Punktreihen u(AasA +gA und u ( An A

y’

Q hervorgeht. Da hier-

(~² + y) + ²    (*+y) + *

. .) die drei zuerst genannten Punkte je

A A

y + zjrt-yjrL{x+z) + y *

sich selbst zugeordnet sind, so ist nach dem Fundamentalsatze jeder Punkt sich selbst zugeordnet, also A d. h. es gilt das assoziative Gesetz der

{x + y) + z

und A

{x + z) + y

identisch,

Addition:

/A

{x-\-y) + z = {x+z) + y.

Die Summe dreier Strecken x, y, s wird demnach durch x-\-y-\-z eindeutig bezeichnet.

6. Von den Punk-

UA

ten A*, A A aus gelangt man zu A₂, Az, ..., An ^ durch die harmonischen ⁰⁰

Fig. 79.

Quadrupel

Açq AqAi A₂, ACCA^A₂A₃^ A0OA₂A₃A^^ ..., AcoAn_₂An_^An.

Ebenso erhält man mittels der Verschiebungskonstruktion aus AXA₀AX die Punkte A2x, ASx, . . ., A nischen Quadrupel AXA₀AXA

•A A»-2)aA»-i)*    _ t

dem dritten durch den zweiten und vierten harmonisch getrennt. Der Punkt Anx wird aus AooA₀A₁ auf dieselbe Weise durch eine Kette harmonischer Quadrupel konstruiert wie An aus AXA₀A₁; wenn man also auf der Geraden u eine projektive Beziehung herstellt, bei der den Punkten AX>A₀A₁ die Punkte AXA₀AX zugeordnet sind, so ist dem Punkte An der Punkt Anx zugeordnet, daher

w(AAAA) A u(AxA₀AxAnx).

durch die Konstruktion der harmo-

■d-x>A₀A3xA

AxA₀A2xA

ix’ • • • ?

Anx. In jedem Quadrupel wird der erste Punkt von

2x>

3x>

Diese Beziehung gilt zunächst nur für ganzzahliges positives w; wir benutzen sie nur, um uns die Anregung zu folgender allgemeinen Definition der multiplikativen Strecken Verknüpfung zu holen: Die Strecke xy entsteht aus x und y eindeutig durch die Forde-

Sind x und y rationale

rung w(AAAAy) A <-4«AAA)-

Zahlen, so heißt das: Die Strecke xy entsteht aus y ebenso, wie x aus 1.

In dieser Form findet man häufig die Multiplikationsregel der Brüche ausgedrückt, wie denn überhaupt die projektive Streckenrechnung einen interessanten Einblick in die Grundlagen der Arithmetik gewährt. Man übersieht zugleich den Vorteil der Geometrie gegenüber der Arithmetik: Wenn die Strecke x sich nicht als ein rationales Vielfaches der Einheitsstrecke darstellen läßt, so kann man den Punkt Ax von iæ, M₀, A₁ ausgehend nicht durch eine endliche Anzahl harmonischer Konstruktionen erreichen, und dann würde die arithmetische Definition von xy versagen. Unsere Definition der

U’

Il ' -    •

4    /

'Ay

,-•"4

4.

/;•

Y¥-

Fig. 80.

Strecke xy operiert dagegen mit den Strecken x, y selber, nicht mit ihren Maßzahlen, und umgeht die angedeutete Schwierigkeit.

denn es ist u(AxA₀A₁Ax) A v(Ba3B₀B₁Bx)? und

wenn man

xy’

Die Konstruktion des Produktes xy aus x und y ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Multiplikation. Aus einem Punkte C₀ der Ebene (siehe Fig. 80) projiziert man Ax, A₀, Ax, Ax auf eine durch Ax gehende Gerade v und erhält so Bx> B₀, Bx, Bx. Die Gerade BxAy bestimmt auf C₀A₀ einen Punkt Y, und YBX trifft u in A

diese Punkte aus Y auf u projiziert, v(BcaB₀B₁Bx J\ u(Ax, A₀AyAxy), also u(AaoA₀A₁Ax) A u(Ax,A₀AyAxy), wie es verlangt war. Wir vertauschen jetzt die Bestimmungsstücke Ax, Ay, indem wir durch Projektion von Ax, A₀, Ax, Ay aus C₀ auf v die Punkte Bx, B₀, Blf By konstruieren, den Schnittpunkt X von BtA mit C₀A₀ bestimmen und

XBy mit u zum Schnitt bringen. Der mit Ayx zu bezeichnende Schnittpunkt fällt mit Axy zusammen, da in dem Pascalschen Sechseck BxAxBxAxyByAy die Schnittpunkte der Gegenseiten Bx Ax und AxyBy, AXBX und ByAy,

BxAxy und AyBx in gerader Linie liegen müssen; die beiden letzten Schnittpunkte sind C₀ und Y₇ also muß der erste X sein. Damit ist das kommutative Gesetz der

Multiplikation bewiesen: yx = xy. Aus der Definition der Multiplikation folgt der

Hilfssatz II. Es ist

u(AxA₀AxAxAyA, • • •) A u(AxA₀AsAsxAsyAsz • • •)•

Daher ist einerseits

^(-A»AqAxAx~) 7\ m(AxAßAyAxy) A ^,(.AxA₀AygA^xy^₂')₇

andererseits

u{Ax,A₀A₁Xx) 7\ m(AxA₀AzAX2) A 'M(Ax>A₀Ay2AçX2jy)7 U(^AXA₀Ay2A(xy)Z) A m(AccA₀Ay2A^X2^y),

und nach dem Fundamentalsatze fällt A Das assoziative Gesetz der Multiplikation ist daher erfüllt. Nach den Hilfssätzen I. und II. ist ferner einerseits

'^'(^A-<x>A-QA-—yAx) 7\ ^CAooAf₎A_y2AX2') A l^(A^Ay2A(xA

andererseits

also

(xy)z

mit A

(■xz)y

zusammen

xz + yzj 7

u(Aœ A₀A_yAj A u(AccAyA₀Ax+y) A M(AVjAyzA₀A^x+^ e), u(AcoAyzA₀Axz+yz) A u(AccAyzA₀Açx+y)₂);

mit A

also

und nach dem Fundamentalsatze fällt A Somit ist schließlich auch die Gültigkeit des distributiven Gesetzes bewiesen.

xz + yz

(x + y)z

zusammen.

7. Läßt man in Fig. 80 den Punkt Ax mit A₀ oder Ax oder Aœ zusammenfallen, so rückt X auf A₀C₀ als Punkt von BXAX bezw. nach A₀, C₀, B₀ und Axy auf u als Punkt von XBy bezw. nach A₀, Ay, Ax. Also ist :

0 ■ y = 0,    1 -y = y, oo • ^ = oo,

wenn Ay nicht selber mit Ax zusammenfällt. Nehmen wir noch die früher bewiesene Tatsache hinzu, daß in unserer Streckenrechnung x + 0 = x ist, so ist nunmehr die Wahl der Indizes der Punkte A A₀, Ax vollständig gerechtfertigt.

Wie die Subtraktion sich als Addition negativer Strecken erklären ließ, so definieren wir die Division durch eine Strecke x als Multiplikation mit ihrem reziproken Werte 1/x. Da für y — 1/x der Punkt Axy mit Ax zusammenfallen muß, so ergibt

14

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

sich Axix in Fig. 80, indem man XAx mit v zum Schnitt bringt und den erhaltenen Schnittpunkt B1/x aus C₀ auf u projiziert. In der beistehenden Fig. 81 ist diese einfache Konstruktion der reziproken Strecken von x, y, z ausgeführt; zur Konstruktion von A₁/x bringt man BtAx zum Schnitt mit der Geraden C₀A₀, die wir mit s bezeichnen wollen, und projiziert den Schnittpunkt Bx/X von XAx mit v aus CQ auf u. Man wird bemerken, daß im Sinne unserer Streckenrechnung 1/0 = oo, 1/1 = 1, l/oo = 0 ist. Durch die Strahlenbüschel Bx und A₁

tü

Wz

3~

3/V AVy" 4fr

Ay ix

rig. 81.

werden A<xA₀A₁AxAyAz und A₁/àsAl/oA₁/₁A₁ /xA₁/yA₁/z auf dieselben Punkte B₀A₀C₀XYZ von s perspektiv bezogen; daraus folgt der Hilfssatz III. Es ist

u(AcoA₀A₁AxAyAz ■) A u(AqA<xiA₁A₁/xA₁/!/A₁/z • • •).

Aus den drei Hilfssätzen werden wir alsbald wichtige Folgerungen ziehen. Vorher wollen wir aber das Resultat unserer Untersuchung feststellen, daß unsere Streckenrechnung allen Gesetzen der vier Spezies gehorcht. Sämtliche zur Bildung von x -f- y, x — y, xyr xjy führenden Konstruktionen sind linear, d. h. mit alleiniger Hilfe gerader Linien ausführbar. Das Resultat dieser Konstruktionen hat sich aber als unabhängig von den Hilfslinien erwiesen, es hängt nur ab von den drei Punkten AXA₀AX und den Endpunkten der Strecken,

auf die sich gerade die Konstruktion bezieht. Denken wir uns die Ebene rj, in der diese Konstruktionen an den Strecken der Geraden u Yorgenommen werden, mitsamt dieser Geraden u auf eine andere Ebene r[ projiziert, und sind D^, D₀, Dx, Dx,, Dyt die Projektionen von A„, A₀, A1} Ax, Ay, so ist der von Ax, Ay in rj zu Ax±y, Axy, Ax/y führenden Konstruktionsfigur in r[ die von Dx>} Dy, zu Dx, + y<, Dx,y,, Dtf/yr führende Figur zugeordnet; projiziert man r[ auf eine zweite Hilfsebene rf, so wiederholen sich diese Schlüsse. Da aber, wie im Anschluß an Fig. 59 gezeigt worden ist, jede projektive Beziehung zwischen zwei Geraden u, u* durch zwei Projektionen vermittelt werden kann, so ist bewiesen:

Satz 1. Wenn zwei mit projektiver Skala versehene Geraden u, u* aufeinander projektiv bezogen sind, und den Fundamentalpunkten Ax, A₀, Ax von u die Fundamentalpunkte Cx, C₀, Cx von u*, den Strecken x, y, . . . (excl. iœ) von u die Strecken x*, if, ... (excl. Cf) von u* entsprechen, so ist:

1) (x + y)*= x*+ if, 2) (x -o- y)*= X*— if, 3) (x o y)*= x* • if,

⁴) (P$y)*=sf/y*,

$ die Operationszeichen der vier Grund-

WO -p, -o-,

rechnungsarten, bezogen auf Ax, A₀, Ax als Fundamentalpunkte, darstellen, während die Zeichen -(-, —, / sich auf Cx, C₀, Cx beziehen.

Mit anderen Worten: Die vier Grundoperationen sind projektive Operationen. Also sind z. B. Ax und Cx*oy* homologe Punkte. Da l² = 1, so ist auch l*² = 1*, also 1* = 1 und daher nach 1): 2* = 2, 3*= 3, . ..; nach 1), 2), 3), 4) ist also r* = r, wenn r eine rationale Zahl, was natürlich auch daraus folgt, daß von C^, C₀, Cx zu Cr* dieselbe Kette harmonischer Konstruktionen führt wie von Ax, A₀, Ax zu Ar. Da jede Strecke mit beliebiger Annäherung durch rationale Vielfache der Einheitsstrecke gemessen werden kann, so ist allgemein x* = x, wenn jetzt unter x, x* Maßzahlen verstanden werden. Trotzdem ist der Satz 1. nicht überflüssig. Abgesehen von seinem in der Fußnote x) angegebenen Zwecke gestattet er nämlich einen Beweis der

1) Der Satz 1. vermittelt einen innigen Zusammenhang zwischen den Grundlagen der projektiven Geometrie und denen der Zahlenlehre, speziell der algebraischen Zahlenkörper. Da wir im Texte auf diese Verhältnisse nicht ein-gehen können, so seien an dieser Stelle folgende Angaben gestattet. Durch die Formeln 1)—4) (des Satzes 1.) definiert B. Dedekind in der vierten Auflage (1894) von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie (Supplement XI) vollkommen abstrakt die „Permutationen“ eines Körpers A, die diesen in einen

14*

Formel x = x*, der von dem Stetigkeitsaxiome III. nur indirekt ab-hängt, insofern dieses nämlicb dem Fundamentalsatze zu Grunde liegt. Genügt x* einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten, so genügt x nach Satz 1. derselben Gleichung, und da Ax wegen der Projektivität der Eigenschaften der Anordnung excluso U zwischen den rationalen Punkten mit derselben Nummer liegt wie Cx*j so kann die Zahl x* keine andere Lösung jener Gleichung sein als x; daher ist die Zahl x* — x. Ist x* weder rational noch algebraisch, so gilt das Gleiche von x, und die Formeln 1), 2), 3), 4) des Satzes 1. ergeben dann, daß es wenigstens nicht zu Widersprüchen führen kann, auch in diesem Falle x* — x anzunehmen, was zu beweisen war.

,,konjugierten“ Körper A* überführen. In seiner Festschrift „Über die Permutationen des Körpers aller algebraischen Zahlen“ (1901) dehnt Dedekind diese Definition und die darauf sich stützenden Folgerungen auf den Körper aller algebraischen Zahlen und auf den Körper aller reellen sowie den aller komplexen Zahlen aus. Diese Permutationen sind nach Satz 1. projektive Be- . Ziehungen der Zahlenreihe des Körpers A auf sich selbst, falls A mit dem konjugierten Körper A* identisch ist; im entgegengesetzten Falle entsprechen zwar je vier harmonischen Punkten der Zahlenreihe A vier harmonische Punkte der Reihe A*, aber diese Anordnung ist trotzdem nicht projektiv, weil die Anordnungseigenschaften der Punktreihen A und A* sich nicht entsprechen. Unsere Formeln 1*= 1, 2* =2, ... zeigen zwar, daß die rationalen Punkte mit gleicher Nummer sich stets entsprechen, aber die irrationalen Punkte tun es im allgemeinen nicht. Als Beispiel diene der Körper der in der Form x — a-\- b}/2 ausdrückbaren Zahlen, wo ä, b rationale Zahlen sein sollen. Setzt man x*—a— &j/2, so entsprechen je vier harmonischen x vier harmonische x*, die rationalen Zahlen (6 = 0) entsprechen je sich selbst, aber zu a:=yr2 gehört x*=—J/2. Die Eigenschaften der Anordnung haben sich also nicht übertragen. Anders in der Geometrie. Das liegt daran, daß der Fundamentalsatz sich auf die axiomatisch erzwungene Tatsache gründet, daß zu je zwei einander nicht trennenden Punktepaaren ein drittes Paar u,v existiert, das die Punkte jedes derselben harmonisch trennt. Aus den vier gegebenen Punkten werden u und v durch Ziehen einer Quadratwurzel gefunden. Wenn diese nicht zufällig in A vorhanden ist, gilt in A der Fundamentalsatz nicht. Um die Möglichkeit anderer Permutationen als der identischen auszuschließen, müßte man in A alle reellen Quadratwurzeln und alle reellen Zahlen aufnehmen, die sich durch Neben- und Übereinanderstellen von Quadratwurzelzeichen aus Größen des sich fortwährend erweiternden Körpers darstellen lassen. Dieser Körper ist aber mit seinen konjugierten Körpern nicht identisch, da diese auch komplexe Zahlen enthalten werden, und so ist es kein Widerspruch gegen den Fundamentalsatz, wenn Dedekind für den Körper aller algebraischen Zahlen Permutationen nachweist, die von der Identität verschieden sind. Diese Körper sind zudem nicht reell. Dagegen können wir die zwei Hauptfragen der „Festschrift“ dahin beantworten, daß der Körper aller reellen Zahlen nach dem Fundamentalsatze nur die identische Permutation, der Körper aller komplexen Zahlen außerdem noch die aus der Vertauschung von ]/— 1 mit — ]/— 1 resultierende Permutation zuläßt.'

8. Mittels der Hilfssätze beweisen wir jetzt den für die gesamte Metrik grundlegenden

Satz 2. Das projektive Doppelverhältnis von vier Elementen einer Punktreihe erster oder zweiter Ordnung, eines Strahlenbüschels erster* oder zweiter Klasse ist von den drei Fundamentalelementen oo, 0, 1 unabhängig.

Den Begriff des Doppelverhältnisses haben wir in § 11, 8. kennen gelernt; projektiv heißt es hier, weil es auf Grund der projektiven Maßskala gebildet werden soll. Es wird ausreichen, den Satz für die gerade Punktreihe (erster Ordnung) zu beweisen, da er alsdann nach dem Dualitätsgesetz auch von dem Strahlenbüschel erster Klasse gilt und durch dieses auf die Punktreihe zweiter Ordnung, durch diese auf ihre Tangentenhülle, das Strahlenbüschel zweiter Klasse, übertragen wird, wie wir auch die Eigenschaften der Anordnung vom Strahlenbüschel erster Klasse auf die Punktreihe zweiter Ordnung übertragen haben.

Wir nehmen jetzt an, daß die aufeinander projektiv bezogenen Punktreihen u und u* des Satzes 1. auf derselben Geraden liegen. Den Punkten Ax, A₀, AXn von u seien zugeordnet die Punkte Cx, C₀, C1? CXn* von u* (n = 1, 2, ,..); die x seien auf Ax, A₀, Ax, die x* auf Cx, C₀, C\ als Fundamentalpunkte bezogen. Wie wir in Art. 7. festgestellt haben, ist dann

(1)

x*= x.

, Auf die Fundamentalpunkte Cx, C₀, Ct bezogen seien die Strecken C₀AX, C₀A₀, C₀A₁, C₀AXn gleich a, V, c, xn', also ihre Endpunkte identisch mit Ca,, Cb,, Cc,, CXn,. Es gilt, den Zusammenhang zwischen den xn und zu ermitteln.

zu

Nach den Hilfssätzen I., IL, III. erhält man aus der Punktreihe u(Cx, C₀, C1} CXn+) stets eine zu ihr projektive Punktreihe, wenn man den Indizes sämtlicher C dieselbe (positive oder negative) Größe addiert, wenn man diese Indizes mit derselben Zahl multipliziert oder sie durch die reziproken Werte ersetzt. Indem wir statt der Punkte C nur ihre Indizes anschreiben, erhalten wir auf diesem Wege der Reihe nach:

(oo, 0, 1, x*) 7\ (oo, 0, r, rx*) A (oo, s,r + s, rxn*+ ś)

-A-/01    ¹    ¹    \ (O ^ h h \

^ V ’ ~S} r -f s’ rx*-\r s) ^ \ ’ s ’ r -f s’ rx*-\- «/

A (a, 4 + a, j^-s + a', -fxï+₈ + a’),

oder nach Unterdrückung der Zwischenglieder:

(2)

0°,0, l,x*) A (V, 4 + Af*

r#n*+ s

f «')•

Der zu Ox homologe Punkt bei dieser projektiven Zuordnung Sollen den Punkten C₀ und Cx ebenso C₆, und Cc, zugeordnet

ist G sein, so muß man

a”

also

Tc i t    -ff    h    .    ,    f

— -f- Qj = b , —j— -f- a = c , s ¹    ’ r -f s    ’

h = ib'— a) (c — a)o, r = (6'— c')co, s = (c — a')co

nehmen, wo tx> einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet, nach (2):

Jetzt ist

(3) u(Cx, C₀, Gx, Cx*} Cx*,. • •) A u(Pa'> Cbr,    C^,,...)

wo

, _ h    , a{V— c)xn* + b'(c — a)

n rXn+s ‘    (b'— c)xn*-\- (c — a!)    ⁷

und endlich mit Rücksicht auf (1):

,    a(b'—c')xn+b'(c'—a')    -, «

xn -    c')xn+ (c — a) ⁷

Man sieht, daß die Formel (4) auch für xn*= oo, 0, 1 die richtigen Werte a, b', c liefert, daß also alle Indizes auf der rechten Seite von (3)

bildet sind. Setzt man x '== ^vj"

rxn ~r s

p — a'(b'—c)o3, q = b(c'—a)a,    r=(b'—c')co, s = (c'—a')co,

so können die vier Größen nicht vollkommen willkürlich vorgeschrieben werden, weil a, b', c der selbstverständlichen Bedingung unterworfen feind, voneinander verschieden sein zu müssen, die mit der Forderung gleichwertig ist, daß (a — b') (b'—c) (c — a) = (ps — qr)a~x nicht verschwinden darf. Indem wir jetzt von den Punkten A statt den Punkten C sprechen, erhalten wir den

Satz 3. Wenn man die projektiven Indizes einer Punktreihe u derselben Transformation erster Ordnung

x'=

unterwirft und den Punkten Ax die Punkte Ax, zuordnet, erhält man eine projektive Beziehung.

Die Formel (5) deckt den oben gesuchten Zusammenhang zwischen xn und x„ auf:

Satz 4. Der Übergang zu neuen Fundamentalpunkten einer projektiven Skala vollzieht sich durch eine und die-

(4)

(5)

aus

denen der linken nach demselben Gesetze (4) ge-

px q

rx -f- s

wo

ps — qr =4= 0

x'— a * c — a

selbe Transformation erster Ordnung der Indizes; sind Ax, A₀, At die alten Fundamentalpunkte, C*,, C₀, Cx die neuen, und ist auf sie bezogen

Gq Aao = ci, C₀ jA q = b, Cq A^ = c,

so besteht zwischen dem auf Ax, A₀, Al bezogenen Index x und dem auf C*,, C₀, C₁ bezogenen Index x desselben Punktes P die Beziehung

, a(b'—ć)x-{-b'{ć— a)    x— b' c — b’

00 '    /■» /    7\ i 7    7    «    00

(o — c)x-\- c — a 7 Bildet man jetzt von vier Punkten x,„ = (pxn+q)/(rxn-\-s)}

. rp    rp _ rp

-a_ . _s_—Li- s0 ergibt eine

— x₄ xs — x₄    °

Yi — 1, 2, 3, 4, das Doppelverhältnis % leichte    Rechnung    sofort,    daß    dasselbe    gleich    ———    : ———    ist.    Da-

O    /    O    /y» _ /y» _ ^y»

tvx    tV.l tl/J

mit ist der Satz 2. bewiesen.¹) Wie das Beispiel der einander harmonisch trennenden Punktepaare oo, 1 und 0, 2 zeigt, ist das Doppelverhältnis von vier harmonischen Elementen gleich — 1; die vier harmonischen Elemente können Punkte einer Punktreihe erster oder zweiter Ordnung, aber auch Strahlen eines Büschels erster oder zweiter Klasse sein. In (6) ist x selber als Doppelverhältnis dargestellt. Fur a = oo wird x = {% — b') : (c'— b'), also

Oi- a,) : Os xù — Ol“ O : Os“ );

d. h. das Verhältnis zweier Strecken einer Geraden ist nur vom    ausgeschlossenen    Punkte,    nicht    vom    Nullpunkt    und

Einheitspunkt der projektiven Maßbestimmung abhängig; die Indizes x und x beziehen sich nämlich beide auf Ax als ausgeschlossenen Punkt.

9. Die bis jetzt entwickelte Streckenrechnung gestattet nur, Strecken auf derselben Geraden miteinander zu vergleichen, und die ihr dual entsprechende Winkelmessung ermöglicht die Winkel Vergleichung nur in demselben Strahlenbüschel. Es wäre möglich, die hiermit angedeutete Lücke durch Einführung des projektiven Kreises auszufüllen, doch können wir darauf nicht eingehen. Unsere Strecken-und Winkelrechnung reicht vollkommen aus zur Begründung der Metrik in den beiden Nichteuklidischen Geometrien, doch müssen wir uns, weil wir die Theorie des Imaginären als der höheren synthetischen Geometrie angehörig in unser Buch nicht aufnehmen konnten, auf die hyperbolische Geometrie beschränken, und in dieser auf die

Streckenmessung. Die hyperbolische Geometrie gelangt, wenn man sie nach dem Yorbilde der (Euklidischen) Schulgeometrie ganz elementar aufbaut, zum Nachweise einer Punktreihe co zweiter Ordnung, auf der die beiden unendlich fernen Punkte aller Geraden der Ebene liegen. Rein geometrisch ist œ yon anderen Punktreihen nicht zu unterscheiden, es sei denn durch die Metrik, und man ist daher im stände, jede beliebige Punktreihe zweiter Ordnung ra zur „Absoluten" in der Ebene, d. h. zum Ort der unendlich fernen Punkte der Ebene zu machen. Das wollen wir jetzt tun. Wir beschränken uns auf das „Innere" von co, auf die Punkte, von denen aus an co keine Tangenten gehen. Jede Gerade u dieses Gebietes trifft co in zwei Punkten Ux, U₂, und wir definieren jetzt nach § 11, (17) die Länge einer Strecke AB auf u, deren Endpunkte A, B in co liegen, als

)’

(AB} = h log (

AUX m BU,

AU« : BUt

wo als „Strecke" AB die im Inneren von co liegende Punktklasse bezeichnet ist, die A und B auf u bestimmen. Das Doppelverhältnis ist hier im Sinne der projektiven Metrik zu bilden, die von unserem Standpunkte aus betrachtet der sogenannten absoluten Metrik der hyperbolischen Geometrie als primäre Metrik zu Grunde liegt. Im übrigen vergleiche man die Ausführungen über die hyperbolische Metrik in § 11, die dort von der Euklidischen Metrik abhängig erschien. Von den Konstruktionsverfahren der absoluten Streckenmessung wollen wir nur die unentbehrlichsten, die Verschiebungskonstruktionen, angeben, hauptsächlich, um von neuem zu zeigen, daß die Streckenlänge eine vom Maßstabe und der Definition der Gleichheit abhängige Größe ist. Nach der Definition der Länge von <AB} wird die Strecke (A By einer anderen Strecke (AB'} auf u gleich sein, wenn A, B und Ä, B' mit TJX, U₂ dasselbe Doppelverhältnis bilden, also

TT,

(o

\j

Ms

Fig. 82.

1 T

i'

ÜXABU₂ a UxA'B'ü₂

ist. Projiziert man AB aus einem Punkte S von œ auf co (siehe Fig. 82), und die erhaltenen Punkte A", B" aus einem Punkte T von co zurück auf u, so ist (AJA) = (A'B'), weil U^BTJ^ zum Büschel S, dieses zum Büschel T, dieses zu TJXA'B'U₂ projektiv ist. Man überzeugt sich leicht, daß TJX und TJ₂ von A aus durch eine endliche

Zahl von gleichen Schritten im Sinne dieser Maßbestimmung nicht erreichbar sind. Zwei Strecken (AB') und (A'B') auf zwei verschiedenen Geraden u und u mit den unzugänglichen Punkten Ut> U2 und Ui, TJ( sind gleich, wenn UXABU₂ J\ UX'ÄB'U( ist (siehe Fig. 83). Um, wenn A, B und A' gegeben sind, B' zu finden, projizieren wir A' aus dem Schnittpunkte S der Geraden UXU( und U₂U₂' auf UxU₂ als A", bestimmen den Schnittpunkt T von U₂U₂ mit A"A und den Schnittpunkt B" von TB mit UXU(. Dann wird u von SB" im gesuchten Punkte B' geschnitten. Offenbar ist

//!'

(AB) = (A"B"> = (A'B'}.

Man überzeugt sich leicht, daß der Ort eines Punktes B, der von einem festen Punkte A bestimmten Abstand a

LA'

\s

einen

hat, das Erzeugnis projektiver Strahlenbüschel ist. Der hyperbolische Kreis ist also eine

Punktreihe zweiter Ordnung.

ST

Fig. 83.

Eine ausführliche Darstellung der wichtigsten elementaren Konstruktionen der beiden Nichteuklidischen Geometrien vom Standpunkte der projektiven Geometrie aus hat M.

Großmann²) gegeben, allerdings mit Hilfe von Koordinaten, doch sind die meisten Figuren auch ohne Rechnung verständlich.

Wir möchten nicht unterlassen, auf den interessanten Unterschied dieses Systems der hyperbolischen Geometrie gegen unsere Versinn-lichung derselben im Kugelgebüsche aufmerksam zu machen, daß zwei Geraden, die sich innerhalb co nicht schneiden, außerhalb co stets einen Schnittpunkt haben, der vom Inneren der Punktreihe a aus nicht durch eine endliche Anzahl im Sinne der hyperbolischen Metrik gleicher Schritte erreicht werden kann. Während also hier die idealen Schnittpunkte reell sind, waren sie beim sphärischen Typus der hyperbolischen Geometrie imaginär.

10. Die Metrik der parabolischen Geometrie ist viel weniger einfach als die der hyperbolischen. Die parabolische (Euklidische)

Streckenskala auf einer Geraden u ist eine projektive, unter (vermeintlicher) Fixierung des unzugängliches Punktes U der Geraden u durch Bestimmungen, die rein empirischer Natur sind. Wir behaupten nämlich zunächst: Wenn auf einer Geraden u zwei Punktepaare A, B und A', B' gegeben sind, so läßt sich immer eine projektive Maßbestimmung auf u so einrichten, daß A, B und Ä, Br im Sinne dieser Metrik gleiche Strecken bestimmen Denn man kann immer die Bezeichnung der Punkte A', B' so eingerichtet denken, daß A, B' und Ä, B einander nicht trennen; dann kann jeder der beiden Punkte M, N, welche unter

A’

B'

■az

Y.

' Ie

yß

æ.

cc‘

Fig. 84.

dieser Yoraussetzung A von B' und B von A' harmonisch trennen, als unendlich ferner Fundamentalpunkt gewählt werden. Zur Konstruktion von M, N ist in einer durch u gehenden Ebene eine Punktreihe e zweiter Ordnung erforderlich. Seien a, a, ß, ß' die Projektionen von A, A', B, B' aus einem Punkte S von e auf £; dann sind M, N die Schnittpunkte von u mit den Verb indungsgeraden $g, Sv von S mit den beiden Punkten von £, die a von ß' und ß von a harmonisch trennen (siehe Fig. 84). Man findet g und v als Schnittpunkte von s mit der Geraden XZ, die den Schnittpunkt X von au und ßß' mit dem Schnittpunkte Z von aß und aß' verbindet. Auf XZ schneiden sich nämlich nach § 17, Satz 6. die Tangenten von a und ß, und dieser Schnittpunkt y ist der Pol von aß, wird also durch g und v harmonisch getrennt von c, dem Schnittpunkte von XZ mit a' ß. Die zwei Punktepaare a, ß und g, v werden aus a! durch zwei Paare ay, aß und au, uv von Strahlen projiziert, die bezw. durch y, c und g, v gehen, also einander harmonisch trennen. Also werden in der Tat a und ß durch g und v harmonisch getrennt, ebenso ß' und a. — Wenn A, B und A', B' einander nicht trennen, so gibt es

auch ein Punktepaar K, L, das A von B und Ä von B' harmonisch trennt. Ihm muß durch Projektion aus S auf der Punktreihe zweiter Ordnung ein Punktepaar x, X entsprechen, das a yon ß und a yon ß' harmonisch trennt und auf der Yerbindungsgeraden XY von X mit dem Schnittpunkte Y der Geraden a/3' und aß liegt. Wenn auch YZ mit der Punktreihe zwei Punkte n, q gemein hätte, so würden diese a von a und ß von ß' harmonisch trennen; es gäbe dann auf u zwei Punkte P, B, die A von A' und B von B' harmonisch trennten. Das ist aber unmöglich, denn zu A gibt es unter den Punkten A’, B, B' nur einen, etwa Ä, der von A durch die beiden anderen getrennt wird, und diese zwei Paare können nicht durch ein drittes harmonisch getrennt werden; dagegen zweimal zwei Paare aus A, B, A', B', die je einander nicht trennen, und folglich gibt es zweimal ein harmonisch trennendes Paar. Also müssen auf zwei der Geraden XY, YZ, ZX Punkte von e liegen, die dritte aber kann s nicht schneiden. Da XYZ ein Poldreieck ist, so haben wir nebenbei das Resultat gewonnen, daß immer eine Seite eines Poldreiecks einer Punktreihe zweiter Ordnung diese nicht schneidet. —• Zu den Strecken AB und A'B' zurückkehrend nehmen wir nun an, daß dieselben mit Hilfe des Zirkels im empirischen Sinne „gleich“ gemacht seien. Suchen wir jetzt das Punktepaar M, N zu bestimmen, das A von B' und B von A' harmonisch trennt, so werden zwar die nach M und N hinführenden Strahlen S[i und Sv immer existieren, aber einer dieser Strahlen wird die Gerade u in erreichbarer Nähe nicht schneiden. Dieser zunächst nur empirisch unzugängliche Punkt ist der „unendlich ferne“ Punkt der Geraden in der parabolischen Geometrie, und wenn man ihn zum Punkte i* einer projektiven Skala macht, so wird er auch im Sinne dieser Maßbestimmung unendlich fern liegen.³) Dabei ist zu beachten, daß es für unsere Konstruktionen in der projektiven Skala durchgängig genügt, zwei Geraden v und w zu haben, von denen feststeht, daß sie überhaupt durch Ax gehen, wenn dieser Punkt auch nicht auf der Zeichenebene liegt, denn anders als durch Vermittelung dieser Geraden v, w haben wir Ax beim Addieren und Multiplizieren nicht gebraucht. Einen nach Ax führenden Strahl v haben wir aber in Sv, und durch andere Annahme von S auf e bekommen wir leicht einen zweiten. Also sind alle Bedingungen zum praktischen Konstruieren erfüllt.

11. Die parabolische Streckenmessung ist als projektive an sich einfach, so lange es sich um Messung auf derselben Geraden handelt.

Dagegen bereitet die Übertragung der Maßeinheit von einer Geraden zur anderen, wie wir in § 5 gesehen haben, ziemlich viel Umstände. Eine beliebige Punktreihe e von der zweiten Ordnung kann, wie wir wiederholt betont haben, begrifflich zum Kreise gemacht werden; es sei etwa die des vorigen Artikels. Ein beliebiger Punkt 0 in der Ebene des Kreises, von dem aus an ihn keine Tangenten gehen, werde sein Mittelpunkt oder Zentrum genannt; die von 0 ausgehenden „Radien“ nennen wir einander gleich, nachdem dieselben vorher als „Strecken“ definiert sind durch Ausschluß des Punktes, der 0 jedesmal von s harmonisch trennt.

Geraden mit demselben unendlich fernen

Diese ausgeschlossenen Punkte liegen also auf einer Geraden, der Polare œ von 0 bezüglich £; sie heißt „die unendlich ferne“ Gerade der Ebene. Sie bestimmt auf jeder Geraden den Punkt, der auf ihr als unendlich ferner Fundamentalpunkt der (projektiven) Streckenmessung dienen soll.

Punkte heißen parallel. Man kann die Metrik genau unter den begrifflichen Voraussetzungen der parabolischen Geometrie so einrichten, daß irgend zwei Geraden der Ebene als parallel anzusprechen sind. Bei anderer Wahl der drei Fundamentalpunkte hat natürlich auch „der“ unendlich ferne Punkt einer Geraden der Euklidischen Geometrie endlichen Abstand vom Nullpunkt. Vor Einführung der Metrik gibt es eben kein Nah und Fern, denn das sind ja metrische Begriffe, und Nähe oder Ferne ist ja nichts absolutes, sondern hat immer nur Bedeutung relativ zur Maßeinheit und den Gesetzen der jeweils benutzten Metrik. Für die Geometrie des naiven Mannes aus dem praktischen Leben ist freilich mit der Strecke zugleich auch die Länge gesetzt. Daß auch in der wissenschaftlich betriebenen Geometrie die Empirie einen viel größeren Spielraum hat, als man sich zugestehen möchte, kann man alle Tage beobachten. — Auf zwei Parallelen u, v schneiden zwei andere Parallelen p, q derselben Ebene, wenn sie nicht zu u und v parallel sind, gleiche Strecken ab. Das hat als Definition zu gelten. Sind zwei parallele Strecken einer dritten zu ihnen parallelen Strecke gleich, so sind sie, wie eine einfache Überlegung zeigt, nach dem Satze von Desargues über die Perspektiven Dreiecke auch einander gleich. Zur Verschiebungskonstruktion und zur Übertragung der Strecken von einer Geraden auf die zu ihr parallelen kommt als dritte Fundamentalkonstruktion der Streckenmessung die Drehung mittels des Kreises s (vergl. § 5). Auch hier ergibt der Satz von Desargues unmittelbar die Gleichheit zweier Strecken, die einer dritten gleich sind, wenn sie auf drei verschiedenen Geraden durch den Mittelpunkt 0 des Kreises s liegen und durch das Verfahren der Fig. 6 die Drehung definiert wird.

¹

Einen anderen Beweis gab M. Pasch iy seinen Vorlesungen über neuere Geometrie, § 21.

²

M. Großmann, Die fundamentalen Konstruktionen der Nichteuklidi-Bchen Geometrie, Beilage zum Programm der Thurgauischen Kantonschule, 1903/04.

³

Die projektive Auffassung des Parallelismus läßt sich demnach so formulieren: Auch parallele Geraden haben einen Schnittpunkt, derselbe ist aber durch eine endliche Anzahl (im Sinne der parabolischen Metrik) endlicher Schritte nicht erreichbar.

12. Während die Streckenmessung der parabolischen Geometrie ihrem Wesen nach eine projektive ist, welche die ausgeschlossenen Punkte ein für allemal definiert, beruht die Euklidische Winkelmessung auf ganz anderen Grundsätzen, die ohne den lebhaften Anteil der sinnlichen Anschauung an der Entwicklung der Geometrie nicht zu verstehen wären. Daß Strecken größer sein können als unser Blick in die Weite reicht, ist eine der ältesten, natürlichsten Erfahrungen; die Erde erscheint dem naiven Menschen unmeßbar groß; die Maßeinheit ist etwa sein Schritt. Anders der Winkel. Das ganze Winkelfeld in der Umgebung eines Punktes 0 übersieht man mit einem Blick, seine Größe muß „also“ endlich sein, und wie der naive Sinn an absolute Länge glaubt, so glaubt er auch an absolute Winkelgröße. Eine natürliche Vierteilung des Winkelfeldes um 0 bewirken zwei aufeinander im empirischen Sinne senkrechte Geraden, das Auge entdeckt keinen Vorzug des einen Feldes vor den A anderen. Aber wie man das    /

Winkelfeld durch geeignete Wahl derWinkelmessung zu einer end- \ liehen Größe machte, könnte man

auch die Länge der Geraden durch ein entsprechend gewähltes Meßverfahren zu einer endlichen machen.

if

Fig. 85.

Die Winkelgleichheit haben wir in § 5 durch das aus Fig. 8 ersichtliche Verfahren definiert. Es ist noch zu zeigen, daß das Ergebnis dieses Verfahrens von der Wahl des Punktes C auf dem Kreise x unabhängig ist. Erteilt man also dem Punkte C auf x eine andere Lage Cx (Fig. 85), der die Lagen Ax, Bx von A, B entsprechen mögen (wo also AXCX\\AC, BXCX BC ist), und nimmt man noch Gx auf x so an, daß AXCX \\AG', so gilt es zu beweisen, daß auch BXGX BC ist.    Da die Pascalgerade des Pascalschen Sechsecks

AGBAXGXBX wegen des Parallelismus von AG und AXGX, CB und CXBX mit der unendlich fernen Geraden zusammenfällt, so ist BAX\BXA, und dies hat für das Sechseck AC'BAXGXBX die Folge, daß auch seine Pascalgerade die unendlich ferne Gerade ist. Also ist BXCX\ BC', w. z. b. w.

Um an die Figuren des § 5 anzuknüpfen, haben wir einen wirklichen Kreis mit seinem wirklichen Zentrum benutzt. Aber allein schon der Umstand, daß der Pascalsche Satz den Ausschlag gab, zeigt, daß man auch mit einer beliebigen Punktreibe zweiter Ordnung eine in sich widerspruchsfreie Winkelmessung nach den Grundsätzen der Euklidischen definieren könnte, nur mit dem Unterschiede, daß die im Sinne dieser Metrik „gleichen" Winkel nicht im empirischen Sinne gleich wären.

Wie wir sehen, ist die Euklidische Metrik nicht so leicht wissenschaftlich zu begründen wie die hyperbolische (und elliptische). Ihr Mangel an Symmetrie, der eine Folge der Preisgabe des Dualitätsgesetzes ist, wird aber reichlich ersetzt durch ihren hohen praktischen Wert. Die Teilung einer Strecke in beliebig viel gleiche Teile ist in der Euklidischen Geometrie infolge des projektiven Charakters ihrer Streckenmessung auf derselben Geraden eine mit Zirkel und Lineal exakt ausführbare Konstruktion, während dieselbe Aufgabe in den beiden Nichteuklidischen Geometrien ebenso kompliziert ist wie die ^-Teilung des Winkels in der Euklidischen Geometrie. Dafür ist in der Euklidischen Geometrie das Rechnen mit Winkeln eine besondere Wissenschaft, die Trigonometrie, während in der rein projektiven Metrik Strecke und Winkel vollkommen nach gleichen Gesetzen gemessen werden.

Damit müssen wir diese Untersuchung schließen und hinsichtlich weiterer sich hier aufdrängender Fragen auf die Literatur verweisen.

§19. Anhang: Literaturangaben.

Da der Bericht der großen Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften über die Literatur der Prinzipien der Elementargeometrie noch nicht erschienen ist, so werden folgende Angaben, die natürlich keinen Anspruch auf Vollständigkeit machen, nicht unwillkommen sein. Im vorangehenden bereits zitierte Werke sind nicht aufgenommen.

1. Bibliographische Werke.

Libellus post saec. quam Jo. Bolyai de Bolya anno 1802, a. D. Claudiopoli natus est ad eelebrandam memoriam eius immort. . . . editus, Claudiopoli, 1902. (Ein Verzeichnis aller Schriften über Nichteuklid. Geom.).

Bono la, Bibliografia sui fondamenti della geometria noneuclidea, im Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche, seit 1899.

E. Wölffing, Mathematischer Bücherschatz, I. Teil, Leipzig 1903. (Keine Zeitschriften !)

Siehe besonders: Abt. 2. Philosophie der Mathematik. Abt. 139. Prinzipien der Geometrie. Abt. 140. Parallelentheorie. Abt. 141. Nichteuklidische Geometrie. Abt. 132. n- dimensionale Geometrie.

2. Geschichte der Erforschung der Grundlagen.

Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik. 1902 u. 1903.

Simon, M., Euklid und die sechs planimetrischen Bücher. Leipzig 1901.

Reye, Th., Die synthetische Geometrie im Altertum u. in der Neuzeit. Straßburg 1899. (2. Aufl.)

Kewitsch, G., Zweifel an der astronomischen u. geometrischen Grundlage des 60-Systems. Zeitschr. f. Assyriologie, 18, (1904), S. 73ff.

Stäckel u. Engel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis Gauß. Leipzig 1895.

Stäckel u. Engel, Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidischen Geometrie. Leipzig 1899.

Schmidt u. Stäckel, Briefwechsel zwischen Gauß u. Bolyai. Leipzig 1899. Stäckel, P., Untersuchungen a. d. absoluten Geometrie. Aus Joh. Bolyais Nachlaß. Math. u. Nat. Ber. Ungarn, 18. Bd. 1902.

Baltzer, R., Die Elemente der Mathematik. Leipzig 1883.

Wertvolle historische Notizen.

3. Erkenntnislehre der Mathematik vom philosophischen

Standpunkte.

Wundt, W., Logik. 2. Aufl. Stuttgart 1893.

Cassirer, E., Leibniz’ System in seinen wissenschaftlichen Grundlagen. Marburg 1902.

Stumpf, Über den psychologischen Ursprung der Raumvorstellung. 1873.

Lipps, G. F., Untersuchungen über d. Grundlagen der Mathematik. Wundts Philos. Studien, Bd. 9.

Erdmann, Die Axiome der Geomotrie, eine philos. Untersuchung der Riemann-Helmholtzschen Raumtheorie. Leipzig 1877.

Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit u. Mathematik. 1868/69.

De Tilly, Sur divers points de la philosophie des Sciences mathématiques. Classe des sciences de l’Ac. R. de Belgique (1901).

De Tilly, Essai sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la mécanique. Mémoires de la Société des sciences phys. et nat. de Bordeaux, 2îème gérie, t. 3, 1878.

4. Erkenntnislehre der Mathematik vom mathematischen

Standpunkte.

Ricci, Greg., Anfänge und Entwickelung der neueren Auffassungen der Grundlagen der Geometrie. Jahresber. d. Deutschen Math.-Ver. 1902.

Rosanes, J., Charakteristische Züge in der Entwickelung der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Breslau 1903.

Wilson, E. B., The so-called Foundations of Geometry. Arch. d. Math. u. Phys. (3) 6, 104—123.

Klein, F., Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie; eine Revision der Prinzipien. Autograph. Vorlesung (1902).

Vergl. dazu die Rezension von Th. Vahlen, Arch. d. Math. u. Phys. (3), 7, 166—170.

Klein, F., Gutachten betreffend den dritten Band der Theorie der Transforma-tionsgrsppen von S. Lie. Phys.-math. Ges. Kasan 1897. Abgedruckt: Math. Ann. 50.

Klein, F., Über Arithmetisierung der Mathematik. Göttinger Nachr. 1895. Holder, Anschauung und Denken in der Mathematik. Leipzig 1900.

Hessenberg, G., Über die kritische Mathematik. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 7, Anhang, p. 21.

Poincaré, H., Wissenschaft u. Hypothese. Deutsch von F. und L. Lindemann. Leipzig 1904.

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Liebmann, H., Nichteuklidische Geometrie. Leipzig 1905. (Sammlung Schubert XLIX.)

Vahlen, K. Th., Abstrakte Geometrie. Leipzig 1905.

Couturat, E., Principes des mathématiques. Paris 1906.

5. Arbeiten in der Richtung von Bolyai und Lobatschefsky.

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Engel, Fr., N. I. Lobatschefsky, Zwei geometrische Abhandlungen, aus dem Russischen übersetzt, mit Anmerkungen u. einer Biographie des Verfassers. Leipzig 1898/99.

Lobatschefskys Theorie der Parallelen ist in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften erschienen.

Simon, M., Zu den Grundlagen der Nichteuklidischen Geometrie. Straßburg 1891.

Betont besonders die physiologische Seite des Problems und g-ehört auch in Nr. 6.

Simon, M., Die Elemente der Geometrie mit Rücksicht auf absolute Geometrie. Straßbürg 1890.

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Simon, M., Die Geometrie der Zwischenebene. Jahresber. d. Math.-Ver. VII, 1.

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Liebmann, H., Winkel- und Streckenteilung in der Lobatschefskyschen Geometrie. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 5, p. 213.

Liebmann, H., Verschiedene wichtige Artikel in den Leipziger Sitzungsberichten.

Stäckel, P., Zur Nichteuklidischen Geometrie. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 3, p. 187.

Engel, Fr., Zur Nichteuklidischen Geometrie. Leipzig 1898.

Gauß, Werke, Bd. 8.

G. Arbeiten in der Riemann-Helmboltzschen Richtung.

Riemann, B., Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.

Göttingen 1854 (Werke, 2. Aufl. XIII; siehe ferner XXH).

Helmholtz, Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen. Nachr.

Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Bd. 2. Braunschweig 1868.

Helmholtz, Über den Ursprung u. d. Bedeutung der geometrischen Axiome. V orträge u. Reden, Bd. 2. Braunschweig 1884.

Beltrami, Saggio di interpretazione della geometria noneuclidea. 1868.

Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante. Annali di Mat., ser. Il, 2. Bd. (1868).

Lie, S., Theorie der Transformationsgruppen. 3. Absch., V. Abt. Leipzig 1893.

Bussell, R. A.W., An Essay on the foundations of geometry, Cambridge 1897; vergl. die Besprechung der französischen, von A. Cadenat ausgeführten Übersetzung durch P. Stäckel. Arch. f. Math. u. Phys. (3), IY, S. 140 ff.

Brill, Bemerkungen über pseudosphärische Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen. Math. Ann. 26.

Schur, F., Über die Deformation der Räume konstanten Riemannschen Krümmungsmaßes. Math. Ann. 27, S. 163—176 u. 537—567.

Schur, F., Über den Zusammenhang der Räume konstanten Riemannschen Krümmungsmaßes mit den projektiven Räumen. Math. Ann. 27, S. 537 ff.

Yoss, Zur Theorie des Riemannschen Krümmungsmaßes. Math. Ann. 16.

Monro, S., On flexure of spaces. Proc. Lond. Math, Soc. 9, p. 171 ff.

Schwarzschild, Über das zulässige Krümmungsmaß des Raumes. Vortrag auf der Versammlung der Astr. Ges. Heidelberg 1900.

7. Systembildung der Euklidischen Geometrie (Lehrbücher).

Veronese, Elementi di Geometria. Padova 1897.

Veronese, Grundzüge der Geometrie, deutsch von Schepp.

Peano, Sui fondamenti della Geometria. Rivista di Matematica, vol. IV (1894).

Ingrami, Elementi di Geometria per le scuole secondarie superiori. Bologna 1899.

Pieri, Della geometria elementare come sistema ipotetica deduttivo. Mem. della Acc. di Torino 1899.

Enriques, Questioni riguardanti la geometria elementare. Bologna 1900.

Cr. Veronese, Nozioni elementari di Geometria intuitiva ad uso dei ginnasi inferiori. Verona-Padova 1901 Vergl. dazu

Thieme, Die Umgestaltung der Elementargeometrie. Progr.-Abh. Posen, 1900.

Zu Literaturangaben über Ähnlichkeit, Flächen- und Volumenbestimmung wird sich in der Planimetrie und Stereometrie Gelegenheit finden.

8. Projektive Geometrie und projektive Metrik.

Cayley, A sixth memoir upon quantics. Phil. Trans., vol. 149 (1859); Coll, pap. vol. 2.

Salmon-Fiedler, Analytische Geom. d. Kegelschnitte, II. Bd., Kap. XX. Klein, F., Arbeiten über Nichteuklidische Geometrie: Math. Ann. 4 (1871), S. 573—625; 5 (1873), S. 112—145; 6 (1873), S. 112; 7 (1874), S. 531—537; 37 (1890), S. 544—572.

Darboux, Math. Ann. 17.

Klein, Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie (autographiert).

Killing, Die Nichteuklidischen Raumformen in analytischer Behandlung. Leipzig 1885.

Die vollständigste Darstellung der drei Geometrien vom projektiven Standpunkte gibt

Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie, Bd. II, Teil 1. Leipzig 1891.

Weber u. Wellsteia, Encyklopädia. II. 2. Aufl.

Schor, D., Neuer Beweis eines Satzes aus den „Grundlagen der Geometrie11 von Hilbert. Math. Ann. 58, S. 427.

Wiener, H., Über die Grundlagen u. den Aufbau der Geometrie. Jahresber.

Deutsch. Math.-Ver. Bd. I, S. 45 ff. u. Bd. IH, S. 70 ff.

Schur, F., Über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie. Math. Ann. 51. Schur, F., Lehrbuch der analytischen Geometrie. Leipzig 1898.

Zeuthen, Sur le fondament de la Géométrie projective. Comptes rendus 1898, p. 213.

Hessenberg, G., Desarguesscher Satz u. Zentralkollineation. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 6, S. 123—128.

Hessenberg, G., Über die projektive Geometrie. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 5, Anhang, S. 35.

Hessenberg, G., Über Beweise von Schnittpunktsätzen. Arch. d. Math. u. Phys. (3), 3, S. 121 u. S. 316.

Vierter Abschnitt.

Planimetrie.

§ 20. Die grundlegenden Sätze.

1. Geometrie ist nach Platon¹) die „Erkenntnis des ewig Seienden“, d. h., im Gegensatz zur Mechanik, Astronomie und Physik, die Erkenntnis der ob allem Wechsel beharrenden Raumordnung. Diese Erkenntnis schöpfen wir mittels reiner Denkarbeit aus den wenigen Grundgesetzen und Axiomen, durch welche zwischen den Grundgebilden der Raumordnung, nämlich den Punkten, Geraden und Ebenen, geordnete Beziehungen hergestellt werden. Während aber die Grundgebilde vollkommen ausreichen, um die Formen der sinnlich wahrnehmbaren Gebilde durch reine Denkbestimmungen eindeutig zu beschreiben und mit Gesetzmäßigkeit auszustatten, so daß jemand, dem diese Formen unbekannt wären, sie auf Grund dieser Bestimmungen, unabhängig von der Erfahrung, erzeugen könnte, ist die sinnliche Form der Grundgebilde selber nicht durch Denksetzungen bestimmbar. Die Anschauung des Punktes, der Geraden und der Ebene kann nur empirisch an geeigneten Modellen geweckt und übermittelt werden und verwirklicht diese Ideen nur unvollkommen. — Die Anschauung ist nach Platon der Paraklet des Denkens, seine bewegliche, anregende, das Resultat oft vorwegnehmende Helferin. Sie verhält sich zum reinen Denken etwa wie die Kunst zur Wissenschaft, sie ist, wie die Anlage zur Kunst, der Steigerung und Vervollkommnung fähig und schon deshalb nicht letzte Instanz bei der Feststellung der geometrischen Wahrheit. Die Anschauung kann das Denken durch Begriffe nicht ersetzen, vielmehr soll das Begriffsdenken die Anschauung regeln und präzisieren. Durch fortgesetzte Übung läßt sich nicht nur eine geometrische, sondern auch eine arithmetische, eine graphostatische oder physikalische Anschauung ausbilden; ohne sie bliebe das Denken unbeholfen und unfruchtbar.

2. Der Aufbau des Lehrsystems der Euklidischen Geometrie hängt wesentlich davon ab, welche Stellung man zum Parallelenbegriffe nimmt. Der antiken Definition, daß Parallelen sich schlechterdings nicht schneiden, macht die moderne, projektive Auffassung immer mehr den Rang streitig, wonach ausnahmslos alle Geraden einer Ebene einander schneiden, nur, daß bei den Parallelen der Schnittpunkt durch eine endliche Zahl von Schritten endlicher Länge im Sinne der Euklidischen Metrik nicht erreichbar ist. Zwischen beiden Auffassungen sucht eine dritte, nominalistische zu vermitteln, die parallelen Geraden einen ,uneigentlichen“ Schnittpunkt zuschreibt und durch diese Sprechweise die vollendete Gesetzmäßigkeit des projektiven Standpunktes gewinnt, ohne an die (begriffliche) Existenz eines Schnittpunktes zu glauben. Dazu ist zu bemerken, daß nirgends in der ganzen Geometrie absolutes Nichtschneiden der Parallelen erforderlich ist und begrifflich benutzt wird, sondern immer nur die Unzugänglichkeit des Schnittpunktes auf Grund der Metrik. Rein wissenschaftlich betrachtet verdient die projektive Auffassung des Parallelismus ganz entschieden den Vorzug, weil sie einfacher ist als die antike und das Gesetz, daß je zwei Geraden einer Ebene einander schneiden, zur ausnahmslosen Gültigkeit erhebt. Gesetze ohne Ausnahme müssen doch wohl immer als das Ideal einer reinen Begriflfswissensehaft gelten. Vom projektiven Standpunkte aus verliert der Parallelismus jede Spur des Geheimnisvollen und Unbegreiflichen, er wird zu einer rein internen Angelegenheit der Metrik, in die die Erkenntniskritik nicht hineinzureden hat; das Parallelenaxiom sinkt herab zu der Vorschrift, die Metrik so einzurichten, daß eine gewisse Ebene von allen ihr nicht angehörigen Punkten aus in gerader Bahn nicht durch eine endliche Zahl von Schritten erreichbar wird, denen auf Grund dieser Metrik eine endliche „Länge“ zuzuschreiben ist. Begrifflich kann diese Auszeichnung jeder beliebigen Ebene zuteil werden, speziell kann auf jeder Geraden ein Punkt begrifflich zum „unendlich fernen Punkte“ gemacht werden, der auf Grund der durch die Sehweite unserer Augen, durch den Tastbereich unserer Hände gegebenen Metrik im Endlichen liegt (vergleiche Fig. 75 im dritten Abschnitte). Immer läßt sich die Metrik so einrichten, daß ein beliebiger von sechs Ebenen begrenzter Körper begrifflich zum „Würfel“ wird; durch Angabe eines solchen „Würfels“ ist die Metrik konstruktiv festgelegt, so daß man begrifflich vollständig exakte Konstruktionen metrischer Natur ausführen kann. Legt man denselben einen „wirklichen“ Würfel zugrunde, so vermittelt dieser die „wirkliche“ Euklidische Maßbestimmung.

3. Hiernach ist, das Parallelenaxiom eigentlich ein Eingriff in die Freiheit der projektiven Geometrie, der die parabolische Metrik

vor der hyperbolischen und elliptischen bevorzugt. Wie im dritten Abschnitte gezeigt worden ist, kann die projektive Geometrie aus eigenen Mitteln alle drei Maßbestimmungen erzeugen. So hätte denn die projektive Geometrie, vom rein wissenschaftlichen Standpunkte aus betrachtet, als die wahre Elementargeometrie zu gelten, und sie ließe sich auch unter Benutzung der Stetigkeit wahrhaft elementar darstellen. Aber bisher sind alle Versuche fehlgeschlagen, sie an Stelle der überlieferten Schulgeometrie zu setzen, und so müssen wilden streng wissenschaftlichen Standpunkt aufgeben. Insbesondere müssen wir darauf verzichten, Parallelismus und Kongruenz als Probleme zu betrachten, die die Geometrie mit eigenen Mitteln, durch Erschaffung einer geeigneten Metrik, zu lösen hat; wir wollen vielmehr alle diese Dinge mittels der Hilbert sehen Axiome postulieren; streng genommen sollte man ja nur das axiomatisch fordern, was man nicht durch reine Denksetzungen aufbauen kann. Durch die Kongruenzaxiome fordert man etwas, das mit Hilfe der Axiome der Verknüpfung, der Anordnung (in der projektiven Modifizierung) und der Stetigkeit sich leisten ließe; in den Kongruenzaxiomen steckt ganz besonders der Fundamentalsatz der Geometrie der Lage. Dem widerspricht durchaus nicht die von Hilbert in § 11 seiner „Grundlagen der Geometrie“ nachgewiesene „Unabhängigkeit“ der Kongruenzaxiome. Denn Hilbert zeigt a. a. 0. nur, daß man nach Einführung seiner Axiome I, II, IV und V in der Metrik noch beinahe vollkommen freie Hand hat; ließe man auch IV fort, so hätte man u. a. die Wahl zwischen der parabolischen, hyperbolischen und elliptischen Metrik. Die Hilbertsehen Axiome III und IV stellen eben an die projektive Geometrie die Forderung, von den zahlreichen Maßbestimmungen, die sich mittels der übrigen Axiome erzeugen ließen, eine bestimmte zu bevorzugen. Nur in diesem Sinne sind die Kongruenzaxiome von den anderen unabhängig.

4. In den Kongruenzaxiomen steckt ferner auch der Satz von Des argues, der einzige Satz der projektiven Geometrie der Ebene, der durch Betrachtungen im Raume bewiesen werden muß. Daher ist es möglich, die Planimetrie, der wir uns jetzt zuwenden, mittels der Hilbertschen Axiome zu begründen, ohne die Ebene zu verlassen. Durch diese Wahl der Axiome wird die Geometrie so ganz und gar dem Maßbegriffe untergeordnet, daß man häufig die Geometrie als Lehre von den Raumgrößen definiert. In Wahrheit ist aber die Geometrie des Maßes nur ein besonderer Fall der rein projektiven Geometrie. — In der „Geometrie der Lage“ von Reye erscheinen z. B. die auf den Maßbegriff sich gründenden Sätze der Euklidischen Geometrie nur anhangsweise und zwar als Spezialisierungen viel umfassenderer Sätze. Die synthetische Geometrie braucht in ihren nichtmetrischen Sätzen die Zahl nur als Anzahl, als multitude», nicht als Maßzahl oder magnitudo²), während sie in ihrer Metrik zur höchsten, reinsten Auffassung der „Zahl", der rein qualitativen, emporsteigt, der sich einerseits die gewöhnliche Zahl, andererseits die Streckengröße unterordnet; die projektive Metrik erzeugt „Summe" und „Differenz", „Produkt" und „Quotient" von Strecken rein konstruktiv, ohne Vermittelung der Maßzahl, wie wir in § 18 gesehen haben.

5. Die Hilbert sehen Axiome der Euklidischen Geometrie sind in den beiden ersten Abschnitten aufgezählt und ausführlich besprochen worden. Es würde zu weit führen, wenn wir hier ein den verschärften Ansprüchen der rein begrifflichen Geometrie genügendes Lehrsystem der Elementargeometrie entwickeln wollten, sowohl wegen der unvermeidlichen Widerholung von Sätzen der vorangehenden Paragraphen als auch deshalb, weil ein solches Lehrsystem viel ausführlicher sein müßte als die gewöhnlichen Lehr-\    bûcher der Elementargeometrie. Da

JB\ C\

jX    zudem die Untersuchung der Grund-

\    lagen in lebhaftem Fluß ist und die

\    vorhandenen Systembildungen noch

_\    nicht elementar genug sind, so wollen

%    wir die grundlegenden Sätze rein refe

Fig. 86.

rierend mitteilen und je nach Bedarf auf einzelne Fragen näher eingehen.

Weitaus die wichtigste Folge der Axiome der Anordnung ist der

Satz 1. Die Ebene wird durch jede in ihr liegende Gerade a in zwei Gebiete, die beiden „Seiten" der Geraden a, zerlegt, die folgende Beschaffenheit haben: jeder Punkt der Ebene, der nicht auf a liegt, gehört einem und nur einem dieser Gebiete an; je zwei Punkte desselben Gebietes begrenzen eine Strecke, die keinen Punkt von a enthält; dagegen begrenzt jeder Punkt des einen Gebietes mit jedem Punkte des anderen eine Strecke, der ein Punkt von a angehört.

Ist nämlich Px irgend ein nicht auf a liegender Punkt der Ebene und A ein Punkt von a, so enthält die Strecke APX nach Axiom II₂ von Hilbert einen Punkt Qx, so daß A nicht der Strecke PXQX angehört.

Wir behaupten, daß P₄ und Qx demselben Gebiete im Sinne des Satzes 1. angehören. Denn ist Bx ein Punkt, so daß Strecke PXBX keinen Punkt yon a enthält, so kann auch auf Strecke QXBX kein Punkt von a liegen (Axiom II₄ in Anwendung auf Dreieck PXQXBX). Ist jetzt B ein Punkt von a, der mit A identisch sein darf, so gibt es auf PXB nach 11₂ andererseits einen Punkt P₂, so daß B der Strecke Px P₂ angehört. P₂ ist dann ein Punkt des anderen Gebietes, denn z. B. die Strecke P₂P₄ muß mit a einen Punkt G gemeinsam haben auf Grund des Axioms II₄ in Anwendung auf Dreieck PXP₂B: und wenn Q₂ demselben Gebiete angehört wie P₂, also die Strecke PXQ₂ keinen Punkt von a enthält, so muß die Strecke BXQ₂ mit a einen Punkt gemeinsam haben (II₄ auf Dreieck P₂Q₂RX angewandt). Also gehören die Punkte Px, Qx, Rx, . . . zum einen, P₂, Q₂, ... zum anderen Gebiete.

Dieser Satz gilt nicht mehr in der elliptischen Geometrie; die elliptische Ebene ist eine in sich zurücklaufende Fläche, die durch eine Gerade nicht in getrennte Gebiete zerlegt werden kann.

6. Wie aus den Kongruenzaxiomen die Kongruenzsätze abgeleitet werden, wolle man bei Hilbert nachlesen. Sie lauten:

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie der Größe nach übereinstimmen:

I. entweder in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel;

II. oder in einer Seite und den anliegenden Winkeln;

HI. oder in den drei Seiten;

IV. oder in zwei Seiten und dem der größeren von ihnen jedesmal gegenüberliegenden Winkel.

Eine interessante Begründung der Geometrie ohne den Winkelbegriff hat neuerdings Mollerup³) gegeben, die verhältnismäßig einfach zu den Kongruenzsätzen führt. Am natürlichsten ist die Ableitung der Kongruenz aus der Symmetrie, da die Symmetrie ursprünglicher ist als die Kongruenz; sie findet sich als gestaltendes Prinzip in den Kunstversuchen der primitivsten Völker. Axiomatisch ist die Symmetrie u. a. von Peano, Sui fondamenti della Geometria, Rivista di Matematica, vol. IV, 55 (1894) begründet worden. Leibniz hat die Kongruenzsätze aus dem „Axiom“ gewonnen, daß Figuren kongruent sind, wenn ihre Bestimmungsstücke kongruent sind.⁴)

7. Der Parallelismus kann durch folgende Betrachtungsweise eingeführt werden. In zwei Punkten A und B einer Geraden u errichtet man die Lote a und b. Wenn diese sich in einem Punkte C schnitten, der auf a und b endliche Strecken CA und CB bestimmte, so könnte man in der Euklidischen und in der hyperbolischen Geometrie einen Punkt C auf a so annehmen, daß A der Strecke CG' angehörte und AC'^AC wäre. Die Dreiecke BAC und BAC' wären dann kongruent, weil C'A ^ CA, AB^AB, <C BA C^ <^C BA C', also wäre auch C'BA ~ CB A ^ einem Rechten, also Strecke CB auf

ze

to

Fig. 87.

der Geraden BC gelegen. Die Geraden a und b hätten dann zwei Schnittpunkte, im Widerspruch zum Hil-bertschen Axiom I₂. Dieser Widerst spruch fällt nur fort: entweder, wenn C mit C identisch ist, also u nicht im Sinne des Art. 6, Satz 1. die Ebene in zwei Gebiete teilt (elliptische Geometrie), oder I) wenn C unendlich fern liegt, oder II) wenn a und b sich überhaupt nicht schneiden. Wenn C unendlich fern liegt, also A und C auf a keine Strecke mehr bestimmen, mit der sich auf Grund der Kongruenzaxiome konstruieren läßt, so läßt sich der Punkt C' nicht einführen. Die Fälle I) und II) sind der parabolischen und der hyperbolischen Geometrie eigen. Je nachdem man der ersteren die projektive oder die antike Auffassung des Parallelismus zugrunde legt, wird der Fall I) oder II) eintreten, der andere ausgeschlossen sein. Wir haben also in der Euklidischen Ebene den

Satz 2. Zwei Geraden a, b, die auf einer dritten Geraden senkrecht stehen, sind parallel,

der sich sofort umkehren läßt:

Satz 3. Wenn von zwei parallelen Geraden a, b (einer Ebene) die eine, a, auf einer dritten Geraden u der Ebene senkrecht steht, so steht auch die andere, b, auf u senkrecht.

Da nämlich nach dem Parallelenaxiom durch den Schnittpunkt A von a und u nicht zwei Parallelen a und u zu b gezogen werden können, a aber zu b parallel ist, so muß u die Gerade b in einem metrisch zugänglichen Punkte B schneiden; das in B auf u errichtete Lot b’ ist dann nach Satz 2. zu a parallel, muß also nach dem Parallelenaxiom mit b zusammenfallen.

Satz 4. Zwei Geraden a, b, die einer dritten Geraden c der

selben Ebene parallel sind, sind auch zueinander parallel,

denn sie haben ein gemeinsames Lot u. Wenn also a und b in derselben Ebene liegen und parallel sind, und a von einer Geraden t dieser Ebene in einem Punkte A getroffen wird (siehe Fig. 88), so muß t auch mit b einen Schnittpunkt B haben. Fällt man vom Mittelpunkte 0 der Strecke AB auf a das Lot OX, so steht dieses nach Satz 3. auch auf b senkrecht; Y sei der Schnittpunkt von t und b. Dann sind die rechtwinkeligen Dreiecke OXA und OYB kongruent,

C/a

(K,

"O

fi

Fig. 89.

Fig. 88.

also XA0 oder u gleich YBO oder ß. Diese Winkel heißen wegen ihrer Lage zu a, b, t Wechselwinkel, und wir haben den

Satz 5. Wenn zwei Parallelen von einer Geraden t geschnitten werden, so sind die Wechselwinkel gleich,

und umgekehrt:

Satz 6. Wenn die Winkel a und ß gleich sind, so sind a und b parallel;

denn zieht man durch den Mittelpunkt 0 der Strecke AB eine Gerade, und sind X, Y ihre Schnittpunkte mit a, b, so ist

</XOA = ^YOB, a = ß, OA = OB,

also Dreieck OXA = OYB, OXA == OYB, und wenn OX auf a senkrecht steht, so ist OX auch auf b senkrecht, also a zu b parallel (Satz 2.).

Das sind die grundlegenden Sätze der Lehre von den Parallelen. Eine unmittelbare Folge daraus ist der für die Euklidische Geometrie charakteristische

Satz 7. Die Winkelsumme des Dreiecks beträgt zwei Rechte.

Denn zieht man (siehe Fig. 89) durch eine Ecke C die Parallele zur Grundlinie AB, so treten bei C die Winkel a und ß als Wechsel-winkel zu CAB und CB A auf, also ist die Winkelsumme, wie sich in C zeigt, in der Tat einem gestreckten Winkel gleich. Nimmt man statt des bei C liegenden Winkels a seinen ihm gleichen Scheitelwinkel XCY (siehe Fig, 89), so hat man den

Satz 8. Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der gegenüberliegenden Winkel, <^YCB=cc-\-ß.

8. Um geometrische Gebilde konstruieren zu können, muß die Euklidische Geometrie so rasch wie möglich zum Kreise zu gelangen suchen, während die rein projektive Geometrie ihre grundlegenden Konstruktionen mit dem Lineale, d. h. der Geraden allein ausführt. Der Kreis wird definiert als der Ort der Punkte, die von einem festen Punkte, dem „Mittelpunkte“ oder „Zentrum“ des Kreises, gleichen Abstand haben. Auf Grund dieser Definition allein ist es nicht möglich, einen Kreis zeichnerisch zu erzeugen, man muß vielmehr ein Instrument zur Hilfe nehmen, das gleiche Strecken zu übertragen gestattet, den Zirkel. Wir haben im vorangehenden gesehen, daß der Zirkel in der Ebene nur zur Konstruktion eines einzigen Kreises unbedingt erforderlich ist, durch den dann alle anderen Kreise unter Benutzung gerader Linien festgelegt sind; und selbst bei diesem einen Kreise ist der Zirkel nur nötig, um zwei aufeinander „senkrechte“ und „gleiche“ Durchmesser herzustellen. Aus diesen Stücken ist der Kreis mit Hilfe des Lineals allein konstruierbar, d. h. man kann beliebig viel Punkte und Tangenten der Kurve aus den gegebenen Durchmessern mit alleiniger Hilfe gerader Linien ableiten. Wollte man sich beim Aufbau der Geometrie diese

Jft

B \c

u -A

1)

Ms

Fig. 90.

Einschränkung auferlegen, so müßte man vom herkömmlichen Lehrgang ganz erheblich ab weichen. Wir wollen daher beim Euklidischen Verfahren bleiben, das überall in der Ebene Streckengleichheit setzt, statt sie begrifflich zu erzeugen. — Ein Kreis wird von jeder durch seinen Mittelpunkt gehenden Geraden in zwei Punkten „geschnitten“; d.h. die Gerade enthält zwei Punkte des Kreises (Axiom III,) ; die von ihnen begrenzte Strecke heißt „Durchmesser“ des Kreises, die Strecke vom Mittelpunkt bis zu einem Punkte des Kreises heißt „Radius“ oder Halbmesser.

Auch eine nicht durch den Mittelpunkt M gehende Gerade u kann mit dem Kreise nicht mehr als zwei Punkte gemeinsam haben. Denn liegt auf u ein Punkt A des Kreises (siehe Fig. 90), und ist D irgend ein anderer Punkt von w, so ziehen wir das Dreieck AM'D in Betracht, das mit AMD kongruent ist und dessen Ecke M ' nicht mit M auf derselben Seite von u liegt. Die begriffliche Existenz dieses Dreiecks kann auf Grund der Kongruenzaxiome leicht bewiesen werden; auch folgt leicht, daß MM' auf u senkrecht steht. Der Schnittpunkt von u und MM' sei B. Ist nun C auf u so gelegen, daß BC ^ AB und C von A verschieden ist (Axiom IIIj), so ist Dreieck MCB ^ MAB, also MC = MA, d. h. auch C ist ein Punkt des Kreises, der nur dann mit A identisch ist, wenn A mit B, dem Fußpunkte des von M auf u gehenden Lotes, zusammenfällt. Läge nun auf u ein weiterer Punkt des Kreises, etwa JD, so wäre MB s* MC, M'D^M'C, MM'^MM', also Dreieck MCM'^MDM' nach dem dritten Kongruenzsatze. Dann wäre <£ BMC ^ BMD, was dem Axiom III₄ widerspricht, falls nicht D mit A oder C zusammenfällt. Damit ist außer unserer Behauptung auch noch bewiesen, daß jede Gerade, die auf einem Radius im „Endpunkte“ 1? desselben, d. h. in seinem dem Kreise angehörigen Punkte B, senkrecht steht, mit dem Kreise keinen weiteren Punkt gemeinsam hat. Derartige Geraden nennt man „Tangenten“ oder „Berührungsgeraden“, jener Punkt heißt Berührungspunkt. Beim Kreise (und allgemein bei den Kurven zweiter Ordnung) kann man die Tangenten noch einfach als Geraden definieren, die mit der Kurve nur einen Punkt gemeinsam haben; die begrifflichen Schwierigkeiten des Tangentenbegriffes treten erst hei den Kurven höherer Ordnung hervor.

Wäre in unserer Figur MB größer als der Radius r des Kreises, so wäre für jeden von B verschiedenen Punkt A der Geraden u erst recht MA > r,¹) d. h.: Ist der Abstand — wie man das Lot MB nennt — einer Geraden u vom Zentrum eines Kreises größer als der Radius, so hat die Gerade mit dem Kreise keinen Punkt gemein, ist der Abstand gleich dem Radius, so berührt die Gerade den Kreis. Folglich kann der Fall des Schneidens nur eintreten, wenn der Abstand kleiner ist als der Radius; daß unter dieser Voraussetzung der Fall des Schneidens immer ein-tritt, ist nicht ganz einfach zu beweisen. Sei (siehe Fig. 91) M der Mittelpunkt des gegebenen Kreises, 0 der Fußpunkt des von M auf die gegebene Gerade u gefällten Lotes, und OM kleiner als der Radius r. Ist K₀ der Endpunkt des Radius MO, und auf u die Strecke OJ OK₀, so ist zwar M<T₀ >> MO, aber doch auch MJ < r nach dem im Anschluß an die Beweise der Kongruenzsätze sich ergebenden Hilfssatze, daß in einem Dreieck jede Seite größer als die Differenz, aber kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten ist. Ist ebenso Kx der Endpunkt des Radius MJ₀, und J₀JX

1) Auf Grund des Satzes, daß in einem Dreieck dem größten Winkel auch die größte Seite gegenüberliegt, der mit den Kongruenzsätzen als Hilfssatz gewonnen wird.

auf u gleich J₀KX, wobei Jx außerhalb der Strecke OJ₀ liegen soll, so ist nach demselben Hilfssatze MJX > MJ₀ > MO, aber immer noch MJ< r. Durch Wiederholung dieser Schlußweise ergeben sich auf dem Kreise die Punkte K₂, K₃, ..., auf u die Strecken JXJ₂ rv J\X₂, J₂J₃ J^X₃, . . ., und es ist

(a)

MO < MJ₀ < MJ{ < MJ₂ < MJ₃ <•••</*.

Auch für jeden anderen Punkt S der Strecken OJ₀, OJx, OJ₂, . . . gilt die Beziehung OS<ir. Andererseits können wir aber auf u auch Punkte nach weisen, deren Abstand von M größer als r ist. Denn die Parallele durch M zu u muß als Durchmesser mit dem Kreise zwei Punkte P, Q gemein haben, und wenn man von diesen auf u die Lote PP' und QQ' fällt, so ist nach dem oben benutzten Hilfssatze

P’ X/

<?

yig. öi.

MP' > r, MQ' > r. Wenn A₀ ein Pimkt von u und OA₀ > OQ ist, so ist um so mehr OA₀ > r. Es gibt also auf u zwei Gruppen von Punkten: „innere^ Punkte, deren Abstand von M kleiner als r ist, und „äußere“ Punkte, deren Abstand von M größer als r ist. Trägt man auf der Strecke OA₀ die Strecke A₀AX ^ A₀L₀ ab, wo L₀ der auf dem Radius MA₀ gelegene Kreispunkt ist, so ist zwar MAX > r, aber MAX < MA₀. Durch Wiederholung dieser Konstruktion erhält man so auf u die Punkte A₀, Ax, A₂, ... mit der Eigenschaft, daß

(b)

MA₀ > MAX > MA₂ > • • • > r

ist. So nähern sich die Punkte Jn und An mit wachsendem Index n demselben Grenzpunkt X, für den MX = r ist. Dieses Resultat kann sowohl auf Grund des Archimedischen Axioms, als auch des Derde-kindschen aus den Relationen (a) und (b) exakt erschlossen werden.

Da aber die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreise immer paarweise auftreten, falls nicht Berührung vorliegt, so folgt, daß jede Gerade in der Ebene eines Kreises, deren Abstand vom Zentrum kleiner als der Radius ist, mit dem Kreise genau zwei Punkte gemein hat.

9. Zwei Kreise können höchstens zwei gemeinschaftliche Punkte haben. Denn sind Ox, 0₂ ihre Mittelpunkte (siehe Fig. 92) und ist A ein gemeinschaftlicher Punkt beider Kreise, so kann man sofort einen zweiten gemeinschaftlichen Punkt A' angeben: Nach Axiom III₄ existiert auf der anderen Seite von 0X0₂ ein zu <)C 0₂0XA kongruenter Winkel, und auf seinem von 0X0₂ verschiedenen Schenkel liegt die Strecke OxA' ^ OxA. Dann ist nach dem ersten Kongruenzsatze Dreieck 0XÄ0₂ ^ 0XA0₂, also nicht nur OxA' ^ OxA, sondern auch 0₂Ä    0₂B', d. h. A' liegt auf beiden Kreisen. Der Schluß

versagt nur, wenn 0XA0₂ kein Dreieck ist, wenn also A auf 0X0₂ liegt. Ist umgekehrt Ä’ irgend ein Punkt, der beiden Kreisen (außer A und A') zugleich angehört, so sind nach dem dritten Kongruenzsatze die Dreiecke 0XA0₂, 0XA'0₂ und 0lAr'0₂ kongruent;

A'

r-

°À

Ym

Fig. 93.

Fig. 92.

A" muß entweder mit A oder mit A auf derselben Seite von 0X02 liegen (Satz 1.). Wir dürfen etwa das erste annehmen. Dann sind aber die Kongruenzen

0₂0±A" ^    0₂0XA und <£ 0X0₂A" ^ <£ 0X0₂A

nur in der Weise möglich, daß die Gerade OxA" mit 0XA, 0₂A" mit 0₂A der Lage nach zusammenfällt, w. z. b. w.

Wenn A auf 0X0₂ liegt, so steht das in A auf 0X0₂ errichtete Lot auf den Radien OxA und 0₂A senkrecht, ist also Tangente beider Kreise, und man sagt dann: beide Kreise berühren sich in A. Wenn umgekehrt zwei Kreise sich berühren, d. h. einen Punkt und in ihm die Tangente gemeinschaftlich haben, so liegt der Berührungspunkt auf der Verbindungsgeraden der Zentra, der „Zentralen“, und die Tangente steht in ihm auf der Zentralen senkrecht. Aus einem bekannten Dreieckssatze ergibt sich der Satz 9. Wenn zwei Kreise sich schneiden, so ist die Zentrale kleiner als die Summe und größer als der Unterschied der beiden Radien, und umgekehrt.

Nicht so leicht ist die Umkehrung dieses Satzes. Wenn nämlich die Zentrale CXC₂ kleiner als die Summe der Radien rx und r₂ zweier Kreise Cx, C₂, aber größer als ihre Differenz rx — r₂ ist (r₁>r₂), so liegen zwar auf c je ein Punkt J und A des zweiten Kreises, so daß CXJ< rx, CXA > rx ist, aber es läßt sich an dieser Stelle ohne Berufung auf ein Stetigkeitsaxiom nicht beweisen, daß beide Kreise sich schneiden müssen. Auf das Nähere dieses Beweises brauchen wir nicht einzugehen. Es ist aber von Interesse, daß die Fundamentalkonstruktionen der elementaren Geometrie, die sich auf das Abtragen von Strecken und Winkeln, das Halbieren derselben und auf das Fällen von Loten beziehen, unabhängig von der Umkehrung des Satzes 9. ausführbar sind. Es wird genügen, das an der Aufgabe zu zeigen, eine Strecke AS zu halbieren (Fig. 93). Sei C irgend ein nicht auf AS gelegener Punkt der Ebene. Nach den Kongruenzaxiomen existiert auf der Seite von AS, auf der C nicht liegt, ein Winkel C'AS^ASC und auf seinem von AS verschiedenen Schenkel eine Strecke AC' ^ CS. Dann ist Dreieck AC'S ^ ASC und also auch SC' AC. Folglich müssen die Kreise um A und S als Zentren mit den Radien SC bezw. AC durch den sicher existierenden Punkt C' gehen, d. h. sie müssen sich schneiden.

Von den zwei Schnittpunkten beider Kreise ist für unsere Zwecke nur der brauchbar, der mit C nicht auf derselben Seite von AS liegt. Nach Satz 1. hat die Strecke CC' mit AS einen Punkt M gemeinschaftlich. Dieses ist der Mittelpunkt von AS, d. h. es ist AMMS. Denn wäre nicht AM, sondern etwa AN ^ MS, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke ANC und SMC', SMC und ANC', daß CN ^ C'M, C'N^ CM ist; dann wäre also im Dreieck CNC' die Seite CC' gleich der Summe der beiden anderen, eine Tatsache, die nur dann keinen Widerspruch gegen bekannte Sätze enthält, wenn N mit M zusammenfällt. Damit ist die Existenz und Konstruktion der Mitte einer Strecke nachgewiesen.

Nachdem man weiß, daß AS eine Mitte hat, kann man in ihr auch an AS einen rechten Winkel liegend denken; es existiert also das Mittellot von AS. Beschreibt man jetzt um A und S zwei Kreise mit demselben Radius, der größer als die Hälfte von AS ist so muß jeder dieser Kreise das Mittellot schneiden, und zwar in demselben Punkte, da, wenn Z etwa der Schnittpunkt des ersten Kreises mit dem Mittellote wäre, nach den Kongruenzsätzen ZS ^ ZA wäre. Damit ist denn auch die übliche Konstruktion des Mittelpunktes gerechtfertigt, aber erst in zweiter Linie.

10. Indem wir die Umkehrung des Satzes 9. gelten lassen, wollen wir eine im wesentlichen von Euklid *) herrührende Lösung

1) Elemente III, 7.

der Aufgabe bringen, von einem Punkte S an einen Kreis 0 die Tangenten zu ziehen, eine Lösung, die deshalb bemerkenswert ist, weil sie auch in den beiden Nichteuklidischen Geometrien gilt. Ist nämlich (siehe Fig. 94) eine Tangente, also SA auf OA senkrecht, und erinnert man sich, daß beim Fällen des Lotes von 0 auf SA immer auch der Punkt 0' auftritt, der zu 0 bezüglich SA symmetrisch liegt, so liegt es nahe, 0' mit in die Figur zu bringen. Wegen des gleichschenkeligen Dreiecks OSO' ist SO = SO' und 00'=20A; also liegt ö sowohl auf dem Kreise um S mit dem Radius SO als auch auf dem Kreise um 0, dessen Radius gleich dem Durchmesser des gegebenen Kreises ist. Für 0' ergeben sich zwei Lagen 0' und O", denen zwei Berührungspunkte A und B, also zwei Tangenten SA und SB entsprechen.

Die andere verbreitete Lösung dieser Aufgabe geht unmittelbar

,0

Ml

Fig. 95.

Fig. 94.

Zentrum und MO zum Radius hat. In der Tat: ist Z irgend

auf einen geometrischen Ort für A und B (abgesehen vom gegebenen Kreise) aus. Nach einem Satze, der von Euklid auf Thaies von Milet (um 600 v. Chr.) zurückgeführt wird, ist der Ort für die Spitzen aller rechten Winkel, deren Schenkel durch zwei feste Punkte S, 0 gehen, der Kreis, der SO zum Durchmesser hat. Demnach liegt A auf dem Kreise, der die Mitte M von SO zum

ein Punkt dieses Kreises (siehe Fig. 95), so ist MS == MZ = MO, also sind die Dreiecke ZMS und ZMO gleichschenkelig; daher

^MSZ^^ZMZS, <!C M OZ ^ <£ MZ 0,

und wenn wir die Größe der ersten zwei Winkel mit x} die der beiden anderen mit y bezeichnen, so ist nach dem Satze vom Außenwinkel SMZ'c±2x, Z'MOs*2y, also 2x + 2y = 2 Rechten, x + y

= 1 Rechten; also SZO ein rechter Winkel, w. z. b. w. — Der gegebene Kreis und der Kreis M schneiden sich daher in A und B, wodurch die Aufgabe gelöst ist.

11. Der Satz des Thaies ist als Spezialfall in einem Satze enthalten, den man gewöhnlich den Peripheriewinkelsatz nennt und so ausspricht: Peripheriewinkel über derselben Sehne eines Kreises sind einander gleich. Auf die hier genannten Begriffe und auf den Beweis des Satzes, der dem Beweise des Satzes von Thaies ganz analog geführt werden kann, wollen wir nicht weiter eingehen, weil er an sich keine Schwierigkeiten bietet. Dagegen bereitet die Definition der „Gleichheit“ von Kreisbogen eine gewisse Schwierigkeit, wenn man die Kongruenz nicht durch die empirische Aufeinanderlegung der Figuren gesetzt sein läßt. Man sagt: Zu gleichen Zentriwinkeln eines Kreises gehören gleiche Bogen. Ist das ein Lehrsatz oder eine Definition? Die Empiristen „beweisen“ den Satz mit Berufung auf die Anschauung (Bewegung). Für die begriffliche Geometrie besteht aber das Wesen der Größe und der Größenmessung in der begrifflichen Setzung der Gleichheit, wie wir in § 15, 8. und § 18, 2. gesehen haben, wo wir die Gleichheit der Strecken durch ein Konstruktionsverfahren definiert haben. Der in Frage stehende Satz legt nun offenbar den Kreisbogen Größencharakter bei. Der kommt ihnen in der Tat zu, denn wir können die Betrachtungen des § 15, 8. über den Begriff „zwischen“ leicht auf Kreisbogen übertragen; aber es fehlt uns, um den Groß en charakter zu vollenden, das Gleichheit setzende Konstruktionsverfahren. Am natürlichsten wäre es nun offenbar, Gleichheit zu definieren durch den Satz, daß gleichen Zentriwinkeln gleiche Bogen entsprechen sollen. Man könnte ganz allgemein den S. 231 zitierten Satz von Leibniz zur Definition der Gleichheit erheben. Lehnt man diese zwei Vorschläge ab, so bleibt nur der Weg über die ganz allgemein zu definierende Bogenlänge von krummen Linien übrig, ein Begriff, der so schwierig ist, daß wir ihm die Aufnahme in die kritische Darstellung der Grundlagen versagen mußten, obwohl wir uns dort nicht immer auf das Elementare beschränkt haben. In einer elementaren Geometrie muß also der fragliche Satz als Definition gelten.

12. Auf die nächsten Folgerungen aus den genannten Lehrsätzen und ihre Anwendung auf Konstruktionsaufgaben wollen wir nicht weiter eingehen. Stoff und Anregungen bieten die geometrischen Lehrbücher and Aufgabensammlungen in unbegrenzter Fülle.

§ 14. Ähnlichkeit.

1.    Um aus der mehr oder minder klaren Anschauung, die wir mit dem Worte „ähnlich“ bei ebenen Figuren verbinden, einen exakten Begriff zu gewinnen, beachten wir zunächst, daß die Ähnlichkeit jedenfalls eine Abbildung ist: zwei einander ähnliche Figuren sind vermöge der Ähnlichkeit so aufeinander bezogen oder „abgebildet“, daß jedem Punkte der einen Figur ein Punkt der anderen entspricht und umgekehrt. Das reicht aber zur Definition der Ähnlichkeit nicht aus, denn auch zwei durch Kreisverwandtschaft (Inversion) ineinander über-führbare Figuren sind aufeinander abgebildet, aber sie haben nicht das, was man als Ähnlichkeit bezeichnet. Einer Geraden kann ein Kreis invers sein und umgekehrt. Ähnlichkeit ist also genauer eine kollineare Abbildung, d. h. den Punkten einer Geraden entsprechen in der ähnlichen Figur wiederum Punkte einer Geraden, und umgekehrt ist jedem Punkte der letzten Geraden ein Punkt der ersten zugeordnet. Durch das Beispiel der Affinität, das wir in der darstellenden Geometrie werden kennen lernen, ließe sich zeigen, daß auch die Forderung der Kollinearität nicht ausreicht, um den Begriff der Ähnlichkeit zu bestimmen: einem rechtwinkeligen Dreieck muß nicht notwendig ein rechtwinkeliges kollinear entsprechen. Die Ähnlichkeit schließt aber auch für die noch nicht mathematisch präzisierte Anschauung die Winkeltreue in sichr), und so wollen wir von vornherein die Definition aufstellen: Ähnlichkeit ist die kollineare, winkeltreue Abbildung einer Ebene auf eine andere.

■/

b

Cl

Fig. 96.

2.    Es ist nun vor allem zu beweisen, daß es Ähnlichkeit auf Grund dieser Definition überhaupt gibt. Wir versuchen die Zuordnung oder Abbildung in der Weise, daß die Verbindungsgerade je zweier ent- o sprechender Punkte durch denselben festen Punkt 0 geht, der sich selbst entspricht. Dieser sei willkürlich angenommen, ebenso ein Punktepaar A, Ax auf einer durch 0 gehenden Geraden. Ist nun B ein weiterer Punkt, der nicht auf der Geraden OA liegt, so muß also der zugeordnete Punkt Bx jedenfalls auf der Geraden OB liegen, jedoch so, daß BxAxO ^ BAO, also BXAX parallel BA ausfällt. Dadurch ist Bx bestimmt, und so sind in der Tat die Winkel des Dreiecks

1) Wenigstens für rechte Winkel.

16

Web e r u. Wa 1131 e in, Encyklopädio. II. 2. Aufl.

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IC

OAB den entsprechenden Winkeln des Dreiecks OA₁B₁ kongruent. Soweit ist daher unsere Definition erfüllbar. Aber noch ist es fraglich, ob, wenn ein weiterer Punkt C herangezogen wird, der nicht auf den Geraden OA, AB, BO liegt, der zugeordnete Punkt C₁ auf der Geraden OG widerspruchsfrei bestimmt ist; denn einerseits muß B₁C₁ j BC, andererseits A₁C₁\\AC sein, immer wegen der Winkelgleichheit. Diese zwei Forderungen sind aber auf Grund des Satzes von Desargues wirklich erfüllbar, der in § 10 ausgesprochen worden ist und einstweilen hier vorausgesetzt werden soll. Es gibt also Ähnlichkeit im Sinne unserer Definition, und zwar, wie wir sehen, in dem erweiterten Sinne, daß nicht nur zwei Figuren, sondern überhaupt die ganze Ebene auf sich oder eine andere Ebene ähnlich abgebildet werden kann; denn wie auch immer C in der Ebene des Dreiecks OAB liegen mag, immer ist Cx eindeutig bestimmt, und das wäre nachträglich auch noch leicht für den bisher noch ausgeschlossenen Fall nachzuweisen, daß C auf einer der Geraden OA, AB, BO liegt.

3. Die Kongruenz ist in der Ähnlichkeit als besonderer Fall enthalten, indem sich die Kongruenz allgemein als winkeltreue Kollineation, d. h. Ähnlichkeit, definieren läßt, zu der noch Streckentreue, d. h. Kongruenz der entsprechenden Strecken, kommt. Da aber kongruente Figuren nicht notwendig die im vorigen Artikel angegebene Lagebeziehung zueinander haben, so liegt dort ein besonderer Fall von Ähnlichkeit vor, nämlich Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage. Der sich selbst entsprechende Punkt 0 heißt Ähnlichkeitspunkt der Abbildung, und zwar innerer oder äußerer, je nachdem er zwei und damit je zwei (Axiom II₄) entsprechende Punkte trennt oder nicht. Die Ähnlichkeit bei ähnlicher Lage ist demnach eindeutig bestimmt, wenn gegeben sind: I. entweder der Ähnlichkeitspunkt und außerdem ein Paar entsprechender Punkte, oder II. zwei Paar entsprechender Punkte. Wenn im Falle II. etwa A und Ä, B und B' einander entsprechen sollen und diese Punkte nicht alle in einer Geraden liegen, so ist der Ähnlich-lichkeitspunkt 0 bestimmt als Schnittpunkt der Geraden AA' und BB'. Natürlich muß A'B' parallel AB angenommen sein. Diese Bedingung kann aber noch erfüllt sein, indem A, B, Ä, B' auf derselben Geraden u liegen. Konstruiert man dann irgend ein Dreieck ABC und ein dazu ähnliches A'B'C', so sind auch C und C in der ursprünglichen Ähnlichkeitsbeziehung einander zugeordnet; daher schneiden sich die Geraden AÄ und CC im Ähnlichkeitspunkt. Damit ist der Fall II. auf I. zurückgeführt. Aus der Definition der Ähnlichkeit folgt unmittelbar: Wenn zwei Figuren einer dritten ähnlich sind, so sind sie auch untereinander ähnlich. Sollen nun die

Figuren OABC . . . und O'A'B'C' ... einander ähnlich sein, und ist 0'AxBxCx ... zu O'A'B'C' . . . ähnlich und ähnlich gelegen (mit 0' als Ähnlichkeitspunkt), so muß auch 0'AxBxCx ... zu OABC ... ähnlich sein; diese Beziehung geht aber in Kongruenz über, wenn 0'AX ^ OA wird. Die zu OABC . . . kongruente Figur 0'AxBxCx . . . ist aber durch Angabe von 0' und Ax bestimmt bis auf eine Spiegelung an 0'AX, d. h. es gibt zwei zu OABC . . . kongruente Figuren 0'AxBxCx . . . und 0'AXB*Cx . . ., die bezüglich 0'AX symmetrisch sind. Aus jeder dieser Figuren geht aber O'A'B'C’ . . . eindeutig hervor, wenn O' und A' gegeben sind und noch feststeht, auf welcher Seite von O'A' der Punkt B' liegen soll. Daraus folgt: Eine zu BQ . . . ähnliche Figur B Q’ . . . ist durch Angabe zweier entsprechender Punktepaare B und B', Q und Q' bestimmt bis auf eine Spiegelung an B'Q', womit endlich bewiesen ist, 1) daß der 'durch unsere Definition geschaffene Begriff der Ähnlichkeit einen guten Sinn hat und sich mit der Euklidischen Geometrie wohl vereinbaren läßt; und 2) daß jede ähnliche Abbildung der Ebene auf sich selbst oder auf eine andere Ebene durch eine kongruente und eine ähnliche Abbildung bei ähnlicher Lage erzeugt werden kann. Daher kann die Ähnlichkeit im wesentlichen an diesem speziellen Falle studiert werden.

4. Sind zwei entsprechende Strecken ähnlicher Figuren kongruent, so sind alle entsprechende Strecken paarweise kongruent; ist eine Strecke das Dreifache der entsprechenden, so ist, wie man leicht beweisen kann, jede Strecke der einen Figur das Dreifache der entsprechenden Strecke der anderen. Überhaupt gilt der Satz: Ist eine Strecke einer Figur ein rationales Vielfache der entsprechenden Strecke einer ähnlichen Figur, so ist jede Strecke der ersten Figur demselben Vielfachen der entsprechenden Strecke der ähnlichen Figur kongruent; sind also a,b,c,... Strecken der einen, a, b', c,... die entsprechenden Strecken der anderen Figur, so ist a ^ coa, b'^ ab, c ^ coc, . . ., wo co eine rationale positive Zahl bedeutet. Alles das kann ohne (direkte) Benutzung des Stetigkeitsaxioms bewiesen werden. Andererseits ist aber beweisbar, daß die Diagonale eines Quadrates kein rationales Vielfache der Seite sein kann; macht man nun diese Seite und Diagonale zu entsprechenden Strecken zweier ähnlicher Figuren, so kann unser Lehrsatz auf diese Figuren nicht angewandt werden, es sei denn, daß man mit Berufung auf das Stetigkeitsaxiom zeigte, daß auch für die Seite und Diagonale a und a eines Quadrates sowie überhaupt für je zwei Strecken a, a mit beliebiger Annäherung eine rationale Zahl a gefunden werden kann, welche die Bedingung a ^ coa erfüllt. Aus dieser nur angenähert erfüllten Kongruenz schließt aber die Ähnlichkeitslehre auf

16

Sätze, die ganz exakt gelten. Darin liegt etwas logisch Unbefriedigendes, das inan erst in der letzten Zeit durch anderen Aufbau der Ähnlichkeitslekre aus der Elementargeometrie eliminiert hat. Wenn a'^coa, und a eine rationale Zahl, d h. der Quotient zweier ganzen Zahlen m, n ist, so ist a das wi-fache der auf Grund der Kongruenzsätze leicht konstruierbaren Strecke ajn, die wir g nennen wollen, und a ist das n- fache von g. Diese Strecke g, von welcher a und a ganze Vielfache sind, heißt das gemeinschaftliche Maß von a und a, die Strecken a und a heißen „kommensurabel“; existiert eo nur angenähert, so gibt es auch kein exaktes gemeinschaftliches Maß g, die Strecken a, a sind dann „inkommensurabel“. Die Schwierigkeiten des Begriffes der Kommensurabilität oder des gemeinschaftlichen Maßes gilt es also von der Geometrie fern zu halten. Das kann nur geschehen, indem man entweder die Rechnung mit Strecken als rein geometrisches Konstruktions verfahren darstellt, so wie wir es in *§ 18 der projektiven Geometrie skizziert haben, oder aber, man sucht den Sachverhalt rein geometrisch zu erfassen, was immer möglich sein muß, da die Zahl, soweit sie die Geometrie in der Metrik braucht, sich als System von Relationssetzungen, also rein qualitativ auffassen läßt.

5. Die Metrik der Ähnlichkeitslehre beruht auf der Ähnlichkeit der „geraden Streckensysteme“; wir verstehen darunter folgendes: auf zwei Geraden u und u seien Strecken x, y, z, ... bezw. x', y, in gleicher Anzahl (aber mindestens zwei) gegeben, die wir, wie es durch die Bezeichnung geschehen ist, einander zuordnen. Wir sagen nun, die Strekensysteme u(x, y, z, . . .) und u(x', y', z, . . .) seien einander „ähnlich“, in Zeichen

u{x, y,z, ...) ~ u{x, y, y', .. .),

wenn u

und u als entsprechende Geraden ähnlicher Figuren gedacht werden können, in denen jene einander zugeordnete Strecken x und x, y und y, z und z, . . . einander entsprechen. Hier liegt also eine Erweiterung der früheren Definition der Ähnlichkeit vor, die ja versagte, wenn die ähnlich zu nennenden Figuren aus Strecken zweier Geraden bestehen, da alsdann keine Winkel auftreten.

Ist S ein nicht auf u liegender Punkt (siehe Fig. 97), und sind A, B, C, B, ... die Punkte, welche die Strecken x, y, . . . auf u begrenzen, Ä, B', C', B', . . . die entsprechenden Punkte auf u, und macht man Dreieck S'A'B' ähnlich zu SAB, so müssen auch SA C und S'A'C', SBC und S'B'C', . . . einander ähnlich sein. Daraus folgt zweierlei: 1. Wenn etwa die Strecken auf u sämtlich gegeben sind, so kann auf u nur noch eine Strecke AB' willkürlich angenommen werden; denn die Ähnlichkeit der Dreiecke SAB und

S'A'JB' bestimmt dann S', und durch S' und die geforderte Ähnlichkeit von SAC und S'A'C' ist C' festgelegt u. s. w. 2. Wenn es ein Punktepaar S, S' gibt, so daß die Gesammtfiguren (S, A, B, C, . . .) und (S', Ä, B' C', . . .) einander ähnlich sind, so kann zu jedem Punkte S das entsprechende S' (auf zwei Weisen) gefunden werden, so daß diese Ähnlichkeit besteht; unsere Erweiterung des Ähnlichkeitsbegriffes ist also zulässig; die zwei Lagen von S' sind zueinander symmetrisch bezüglich u als Achse.

¹

Politeia VII, 527b; rov yàç âtl örrog T] yecofistQLKrj yv&oig ißtiv.

15*

²

Diese Unterscheidung rührt von Leibniz und Newton her; Leibniz kam sehr nahe an die qualitative Auffassung der Zahl, die Zahl als System von Relationssetzungen heran, die uns in § 18 entgegengetreten ist; vergl. Newton, Arithm. univ., Sect. I, cap. 2 und das in § 19 zitierte Werk von Cassirer.

³

   Mollerup, J., Studier over den plane Geometris Aksiomer (Dias.), Kjöbenhavn 1903 und Math. Ann. 58, 479.

⁴

   Si determinants sunt congrua, talia erunt etiam determinata posito scilicet eodem determinandi modo (C. J. Gerhardt, Leibnizens Math. Schriften, V, 172).

[s

A\

Ci

/

Sind also SABC . . .

Von den Strecken x, y und x, y auf u und u ist also vermöge der Ähnlichkeit dieser Streckensysteme immer eine durch die drei anderen bestimmt, und nach Lage und Größe unabhängig vom Hilfspunkte S, also abhängig nur von der gegenseitigen Lage der drei sie bestimmenden Strecken auf u und u. Wenn zwei Figuren zu einer dritten ähnlich und ähnlich gelegen sind, so sind sie auch zueinander ähnlich und ähnlich gelegen, wie der Satz von Desargues leicht ergibt.

und S'A'B'G' . . . sowie SABC . . . und

Fig. 97.

wenn

ist, so wird auch OQ zu SS₀, also zu u parallel. Zieht man noch

QB₀, OC₁ zu QC₀, ... parallel, und sind . . die Projektionen von Av Bv Ct_, ... aus 0 auf u, ist OA₁B₁C₁A₁'B₁'C₁'... zu QA₀B₀C₀ÄB'C' . . . kongruent, also

S₀A₀B₀C₀ . . . ähnlich bei ähnlicher Lage, und ist A₀B₀ ... zu AB . . . überdies kongruent, so ist SAB C ... zu S₀A₀B₀C₀ . . . kongruent, weil SS₀, AA₀, BB₀, CC₀, . . . parallel sind. Mithin ist die Größe der Strecken x, y, x, y vom gegenseitigen Abstande der Geraden u, u und vom Punkte 0 unabhängig. Aber noch mehr! Lassen wir u₀ mit u zusammenfallen (Fig. 98), ohne daß A₀ mit A identisch werden müßte, so wird nach dem vorher aufgestellten Satze¹) SS₀ zu u parallel, und Q der Ähnlichkeitspunkt von S'A'B'C' . . . und S₀A₀B₀C₀ . . .

zu

OA₁ zu QA₀, OBl

Ą} Q, • so

A.'B,'^ AB', b;c;<^b'c, ....

Damit ist erstens die in § 5, Fig. 5 gegebene „Verschiebungskonstruktion" bewiesen, die wir so aussprechen können: Jede Par

li Seine Gültigkeit in diesem Spezialfalle ergibt sich leicht mittels des Satzes von Desargues.

allele zu der Grundlinie eines Parallel trapezes trifft die zwei Seiten und die Diagonalen in den vier Endpunkten zweier gleicher Strecken (AB ^ A₀B₀ in Fig. 99); zweitens bemerken wir, daß auch die erweiterten Streckensysteme AA₁BB₁CC1 . . . und ÄAXB'BXC'CX . . . einander ähnlich sind; wenn nun etwa AB^x, CD^y, und AXBX wie oben zu AB kongruent, so ist auch AXBX zu A'B', also zu y' kongruent. Also wird von den vier Strecken x, y, x, y jede durch die drei anderen festgelegt nicht nur durch die Beziehung u(AB, CD) ^ u (A'B', C'JD'), sondern auch durch u(AtB1} CD) ~ u (AXBX, CD'), d. h.: Durch die Ähnlichkeit der Streckensysteme u(x,y) und u'(x',y) wird zwischen den vier Strecken x, y, x, y eine Größenbeziehung festgelegt, die von der Wahl der Geraden u, u und von der

W/Fo

a\\b) /<r

A'

B'

Fig. 99.

Fig. 98.

so

Lage der Strecken auf ihnen ganz unabhängig ist, die also einzig und allein bestimmt wird durch die Größe von irgend drei dieser Strecken. Diese alleinige Abhängigkeit der Größe der Strecken von der Größe dreier derselben wollen wir zum Ausdruck bringen, indem wir sagen: Das Streckenpaar x, y ist dem Streckenpaare x, y ähnlich, in Zeichen (x, y) ~ (x, y'), womit gleichbedeutend sein soll: (y, x) ~ (y, x). Das soll aber, um es nochmal hervorzuheben, nur heißen: Wenn man auf einer Geraden u die Strecken AB ^ x, CD ^ y, und auf einer dazu parallelen Geraden u die Strecke A'B' ^ x abträgt, den Schnittpunkt 0 der Strahlen AÄ und BB' aufsucht und OC, OD mit u in C'D' zum Schnitte bringt, ist C'D'^y, und zwar unabhängig 1) von dem Abstande der Geraden u, u und 2) unabhängig von der gegenseitigen Lage der drei bestimmenden Strecken auf u und u. Allgemein können wir definieren: Ein — „freies“ — Streckensystem (x, y, z, . . .) heißt einem — „freien“ — Streckensysteme (x, y,z,.. .) ähnlich,

wenn es im Sinne der früheren Definition zwei ähnliche „gebundene“ Streckensysteme u(x, y, z, . . .) und u {x, y, z, . . .) gibt; „gebunden“ sollen nunmehr unsere früheren Streckensysteme heißen, weil jedes einer Geraden angehören mußte und die gegenseitige Lage der Strecken auf dieser Geraden in Befracht kam.

6. Daß wir damit wirklich den Kern jener Sätze herausgeschält haben, die man sonst mit Hilfe von Proportionen oder metrischen Streckenverhältnissen auszusprechen pflegt, während wir einen qualitativen Ausdruck für diese Beziehungen suchten, ergibt sich jetzt einfach aus der Möglichkeit, die Ähnlichkeitssätze zu formulieren und die üblichen Konstruktionen auszuführen.

Die Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn eine der vier folgenden Annahmen erfüllt ist, und umgekehrt, wenn die Dreiecke ähnlich sind, gelten folgende vier Sätze:

I. Die Dreiecke stimmen in zwei Winkeln überein;

II. die Dreiecke stimmen in einem Winkel überein und die einschließenden Seiten des einen und die des anderen dieser zwei WÄnkel bilden zwei ähnliche Streckenpaare;

III.    zwei Seiten des einen Dreiecks und zwei Seiten des anderen bilden ähnliche Streckenpaare, und die Winkel, die der größeren Strecke des einen Paares bezw. der größeren des anderen gegenüberliegen, sind einander gleich;

IV.    die drei Seiten des einen Dreiecks und die des anderen bilden zwei ähnliche Streckentripel.

ij \a \

Zu I. Die Dreiecke stimmen, weil die Winkelsumme je zwei Rechte beträgt, auch im dritten WTinkel überein, sind also ähnlich nach Definition und umgekehrt.

/AB

a’

c'

in

Y'

Fig. 100.

Zum Beweise der übrigen Sätze konstruieren wir zwei zu den ähnlichen Dreiecken kon- / gruente, die sich in ahn- x licher Lage befindèn, und zwar soll eine Ecke C des einen Dreiecks ABC zugleich Ähnlichkeitspunkt sein, also mit der Ecke C des ähnlichen Dreiecks ÄB'C' zusammenfallen (s. Fig. 100). Dann liegen A', B' auf CA, CB und AB' ist parallel zu AB’, auf AB tragen wir AX^AC, BY^BC ab, und X', Y' seien die

Schnittpunkte von CX, CY mit A'B'. Dann sind die Dreiecke X'A'C und XAC ähnlich, ebenso Y'B'C und YBG; X'A'C und Y’B'C sind daher gleichschenkelig, also A'X'^A'C, B'Y'^B'C. Bezeichnen wir die den Ecken A, B, C gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks ABC mit a, b, c, die des Dreiecks A'B'C' ebenso mit a, b', c', so ist BYç^a, AXçab, AB^c und B'Y'^a, A'X' ^b', A'B' ę^ć, also sind (a, b, c) und (aï, b', c) ähnliche Streckentripel (Umkehrung von II, III und IV).

Zu II. Im Falle des direkten Satzes II. sei AGB ^    A'C'B'.

Wir tragen auf der Seite CA von C aus C'A' ab, der Endpunkt heiße wieder A', und nehmen auf CB den Punkt B* so an, daß A'B* zu AB parallel ist, ferner machen wir AX auf AB kongruent AC, BY kongruent BC und bezeichnen den Schnittpunkt von A B* und CX mit X', von A B* und CY mit Y’. Dann sind Dreieck X'A'C und XAC ähnlich (I), ebenso Y'B*C und YBC, also A'X'^A'C^b', B*Y'^B*C. Nun sind (a, b, c) und (B*Y, A'B*, A'X') ähnliche Streckentripel, oder, was hier nur interessiert, (fl, b) und (B*Y, A'X'), also (a, b)~(B*Y', b). Nach der Voraussetzung des direkten Satzes II. ist aber (a, b) ~ (a, b'), also ist B*Y' ^ a, und da B*Y' ççB*C war, auch B*C ça a. Folglich ist der Punkt B* mit B' identisch, wo B'C ^ a, und es ist tatsächlich Dreieck A'B'C dem Dreieck ABC ähnlich, da A'B*C zu ABC ähnlich bei ähnlicher Lage ist.

Zu III. Vorausgesetzt sei: c > b, c~Z>b', ACB ^ A'C'B' und (b, c) ~ (b', Ć). Wir dürfen annehmen, beide Dreiecke hätten die Ecke C gemeinsam, A' läge auf AC, B' auf BC. Zu beweisen ist, daß A'B' zu AB parallel ist. Die durch A' zu AB gezogene Parallele treffe CB in B*, dann ist zu zeigen, daß B* mit B' zusammenfällt. Macht man wie vorhin    und ist X' der Schnittpunkt

von Ä B* mit CX, so ist X'A' ç+A'Cççb. Also ist: (XA, AB) ~ (X'A', A'B*), oder (b, c) ~ (b', A'B*), und da nach Voraussetzung (b, c) ~ (b', c), so folgt A'B* ça c. Das Dreieck A'B*C stimmt dann mit A'B'C überein in zwei Seiten A'C^A'C, ÄB* ça A'B' und dem der größeren gegenüberliegenden Winkel y; die Dreiecke sind also kongruent, und B* fällt daher mit B' zusammen. Da aber A'B*C zu ABC ähnlich und ähnlich gelegen ist, so ist der direkte Satz III. bewiesen.

Zu IX⁷.. Vorausgesetzt ist: (a, b, c) ~ (a, b', c). Aus a, b, c konstruieren wir ein Dreieck ABC, machen, wie vorher, AXç^b, BYçia, CA' ^ b' und ziehen durch A' die Parallele zu XY] sie treffe CX in X', CB in B', CY in Y'. Wir müssen beweisen, daß CB' ^a, ÄB' ęś c ist. Aus dem Parallelismus von X'A' und XA -ergibt sich, daß Dreieck X'A'C wie XAC gleichschenkelig ist, daher

Also ist wegen der Ähnlichkeit (X'A', AB') einerseits: (b, c) ~ (b', A'B')] andererseits nach Voraussetzung (b, c) ~ ib', c), also AB' ^ c'. Ferner ist einerseits (AB, B Y) ~(ÄB', B'Y') oder (c, a) ~ (c', B'Y'), andererseits nach Voraussetzung (c, a)^(c', a), also B'Y'^a, und somit B'C^a, w. z. b. w. Aus dem Beweise ist zugleich zu ersehen, wie man in jedem der vier Fälle das Dreieck A'B'C' konstruiert.

X'A' ^ V.

(XA, AB) und

von

7. Wie fremdartig auch diese ganze Darstellungsweise sich ausnehmen mag, es läßt sich exakt beweisen, daß sie den Inhalt der gewöhnlich in metrischer Form aufgestellten Lehrsätze voll und ganz wiedergibt. Wir wollen nur noch die wichtigen Lehrsätze von Pythagoras und von Apollonius in die Sprache unserer qualitativen Metrik übersetzen. Sei (Fig. 101) ABC ein bei C rechtwinkliges Dreieck, a, ß, a, b, c mögen die übliche Bedeutung haben und auf

ar

i,

a.

cc

ŁJL

Fig. 101.

Fig. 102.

AB sei AX^AC und AZ^AC. Dann sind Oc CXA und ^fiZCB

gleich a/2, also Dreieck XCB ähnlich zu CZB nach dem ersten Aehnlichkeitssatze.

Also ist (XB, BC) ~ (CB, BZ), oder:

(c + b, a) ~ (a, c — b).

Wir fällen (Fig. 102) von C auf AB die Höhe h- ihr Fußpunkt F teilt AB in die Strecken AF und FB, die wir mit p und q bezeichnen. Dann ist Dreieck AFC^CFB, also

(1)

(2)

(h, p) ~ (q, h),

und AFC no ACB, also

(p, b) ~ (b, c).

Diese drei Relationen geben den Lehrsatz des Pythagoras mit seinen Zusätzen wieder und würden in der antiken Bezeichnungsweise lauten:

(3)

(i')

(20

(c -f b) : a — a : (c — b), oder c² = a² A b²,

oder h² = pq, oder b² = pc.

h : p = q:h, p: b = b : c,

Dabei ist nun wohl zu beachten: in (1), (2), (3) sind a, b, c, p, q, h lediglich Zeichen für Strecken, und die „Formeln“ (1), (2), (3) sagen von diesen Strecken Lagebeziehungen bei gewissen Kon-

(30

struktionen aus. In (1'), (2'), (3') dagegen bezeichnen a, b, c, p, q, h nicht Strecken, sondern ihre Maßzahlen, und die Formeln (l')₇ (2'), (3') machen nur über diese Maßzahlen gewisse Aussagen. _

Zum Zwecke einer anderen Anwendung der Ähnlichkeit von Streckensystemen konstruieren wir (Fig. 103) an einem Dreiecke ABC

>r'

a.

die zwei Halbierungsgeraden der Winkel an der Ecke C, bezeichnen mit W und W'

a.

Fig. 103.

nun aus (x, y) ~ (x, y') immer auch (x, y, x -j- y, x — y) ~ (x, y, x'-j- y, x' — y) folgt, wie sich leicht auf Grund der Verschiebungskonstruktion (Fig. 98) ergibt, so ist nach 1): (AW, AB—AW) ~ (AC, AY'—AC) oder (WA, WB) - (b, a)- nach 2): (AW, AW' - AB) ~ AC, AC - AY) oder ( W A, W'B) ~ (b, a), oder zusammengefaßt:

ihre Schnittpunkte mit der gegenüberliegenden Seite, und tragen auf CA die Strecken CY^ CY'^ CB ab. Dann ist CW±BY, CW' Y BY', also CW\\Y'B, CW'\\ YB und folglich sowohl ACW ~AY'B als auch ACW' ~ A YB, oder: 1) (AW, AB) ~ (AC, AY) und 2) (AW', AB) ~ (AC, AY). Da

(WA, WB) - (WA, W'B) - (b, d), d. h.:

Die Halbierungslinien der Winkel an der Ecke C eines Dreiecks ABC treffen die gegenüberliegende Seite AB in zwei Punkten W, W, so daß

(WA, WB) ~(W'A, W'B) - (CA, CB).

Da die Halbierungslinien CW, GW' der bei C liegenden zwei Hebenwinkel aufeinander senkrecht stehen, so geht durch die Punkte C, W, W ein Kreis, der WW zum Durchmesser hat. Hält man außer AB auch die Punkte W, W fest, so kann C nur noch auf diesem Kreise variieren, und man hat den Satz:

Besteht zwischen vier Punkten A, B, W, W' einer Geraden die Beziehung (WA, WB) ~ (W'A, W'B), so ist der Kreis, der WW zum Durchmesser hat, der geometrische Ort für die Punkte C, die der Bedingung

(CA, CB) ~ (WA, WB)

genügen.

Das ist der sogenannte Apollonische Kreis.

8. Der Begriff der Ähnlichkeit von Streckensystemen würde zwar, wie behauptet worden ist, durchgängig ausreichen, um die

sonst metrisch eingekleideten Eigenschaften der ebenen Figuren rein begrifflich-qualitativ zu bestimmen, doch würde diese Darstellungsweise eine zu große Abweichung von der herkömmlichen bedingen und zur Anwendung der Rechnung auf praktische Beispiele nicht eben bequem sein. Es ist aber leicht, die von uns benutzte Symbolik zunächst rein formal, also äußerlich, der gewöhnlichen Verhältnisrechnung anzugleichen, ohne aber in Wirklichkeit unter den Zeichen a, b, c, ... etwas anderes zu verstehen als Strecken. Zu diesem Zwecke hat man, wie in Art. 7 beim Pythagoräischen Lehrsätze offenbar wurde, die Relation

(1)

(x, y) ~ (x, y') nur durch x : y = x : y

wiederzugeben. Da die Ähnlichkeit eine wechselseitige Eigenschaft der Figuren ist, so werden wir, wenn (1) gilt, noch bestimmen dürfen:

x : y = x : y entsprechend (x, y) ~ (x, y).

Auf Grund des Artikels 5 folgt

{y, x) ~ (/, x), also y : x = y : x, und nach diesem Artikel ist ferner

(x, y, x + y, x — y) ~ (x', y, x + y, x- y), oder in der neuen Symbolik

x : (x + y) = x : ([x' ± y), (x zfc y) : (x + y) = (V ± «/') : (V + y), u. s. w.

Von dem leicht zu beweisenden Satze ausgehend, daß die Mittellote der drei Seiten eines Dreiecks durch einen Punkt gehen, erhält man, indem man durch die drei Ecken zu den gegenüberliegenden Seiten Parallelen zieht und auf das neu entstandene Dreieck achtet, den Satz: Die drei Höhen eines Dreiecks (d. h. die von den Ecken auf die gegenüberliegenden Seiten gefällten Lote) treffen sich in einem Punkte, dem „Höhenpunkte“ (Fig. 104). Dieser sei H, das Dreieck heiße ABC, die Fußpunkte der Höhen seien X, Y, Z. Dann ist:

AZC ~ HZB, also (ZC, ZA) ~ (ZB, ZH) ;

BZC ~ HZA, also (ZC, ZB) ~ (ZA, ZH).

Nun kann man aber ZA^x, ZB^y willkürlich annehmen, ZH_LAB und ZH^x machen, von A und B auf HB und HA die Lote AY und BX fällen und ihren Schnittpunkt C bestimmen; H ist dann

(2)

(3)

(4)

a)

b)

aus

(1)

Bi

x-z/' „xi

Z * B

Fig. 104.

der Höhenpunkt des Dreiecks ABC, und es ist also, wenn wir CZ mit y bezeichnen, nach

(y, x) ~ (y, x)\

Daraus folgt die wichtige Formel für das Vertauschungsgesetz:

(5) Wenn {x, y) ~ {x, y), so ist auch (x, x) ~ (y, y), oder: Wenn x:y = x:y, so ist x:x=y:y.

a):

b):

(y, y') ~ (x, x).

Der Vollständigkeit halber verzeichnen wir noch:

(6) Wenn x:y = x':y', y:z — y:z', so ist auch x : z = x : z'\

denn die Voraussetzung (x, y) ~ (x, y),    (y, z) ~ (y, z) besagt

{x, y, z) ~ (x, y, z) auf Grund des Art. 5 (Fig. 98).

9. Durch die Beziehung a :b = x : c ist x der Länge nach eindeutig bestimmt; wir wollen sie auffassen als eine „Umformung“ des „Bruches“ a : b oder a/b auf den „Nenner“ c. Da nun bei „gleichnamigen“ Brüchen a/c, b/c die Definition der Addition und Subtraktion nahe liegt:

(7)

ft ; a

a -f- b

so können wir jetzt allgemein Brüche addieren und subtrahieren. Nach (6) dürfen wir weiter die Multiplikation und Division definieren durch:

(8)

Um z. B. zu bilden a/b • c/d, setzen wir a = x, b = y, c/d — y/z, wodurch die Strecke z eindeutig bestimmt ist; dann ist a/b • c/d = xjz, so daß also die Hilfsstrecke y sich ganz ausschaltet.

Für unsere Zwecke reichen diese Angaben aus. Daß man dieser Streckensymbolik vollständig die Verknüpfungsgesetze der Zahlen aufprägen kann, ist schon hier deutlich zu erkennen, es fehlt ja nur noch die Definition der Vergleichung durch den fast selbstverständlichen Ansatz a/c<ibjc, wenn a<Cb, sowie die Beseitigung der Nenner durch Einführung einer „Einheitsstrecke“ e oder 1, die während derselben Untersuchung nicht wechseln darf und überall als selbstverständlicher Nenner nach Belieben bald gesetzt, bald fortgelassen wird. Aus a/b = c/d folgt so z. B.:

-T-fW

ft ÄJ

ft ■ a

a b

be de ’ oder auch ad=bc, wobei allerdings (die leicht zu beweisende) Verträglichkeit des kommutativen Gesetzes bei der „Multiplikation“ von Brüchen mit den übrigen Definitionen vorausgesetzt wird.

Auf den Beweis der Verknüpfungsgesetze wollen wir verzichten. Nur müssen wir noch auf den Satz von Desargues zurückkommen, der sich als das Fundament unseres konstruktiven Kalküls erwiesen hat. Derselbe ist nach § 10, 1. vermöge der Axiome I und II unter Berücksichtigung des Parallelenaxioms leicht zu beweisen, freilich unter Zuhilfenahme des Raumes. Wer die Planimetrie grundsätzlich auf ihre eigene Kraft angewiesen sehen will, wird einen Beweis dieses Satzes mit Hilfe der Axiome der Ebene erwarten. Es scheint aber keinen Beweis dieser Art zu geben, der nicht irgendwie mit der Streckenrechnung verquickt wäre, so daß bei Beschränkung auf die Axiome der Ebene die Ahnlichkeitslehre auf andere Grundlage zu stellen ist. Dazu ist eine kompliziertere Streckenrechnung nötig, etwa die Hilbert-sche, ein Problem, an dessen Vereinfachung eifrig gearbeitet wird.¹) — Auch die Trigonometrie kann nach ihrer formalen Seite unabhängig vom Begriffe des gemeinsamen Maßes, d. h. unabhängig vom Archimedischen Axiome, ausgebildet werden, wie das die Mollerupsche²) Streckenrechnung mit Hilfe des „Projektionsparameters“ zeigt. Eigentlich nur in den Anwendungen der Geometrie auf spezielle Beispiele des praktischen Lebens oder der Naturwissenschaften liegt ein Interesse vor, nach Maßzahlen zu fragen; in diesen Fällen wird aber immer das angenäherte gemeinschaftliche Maß p zweier Strecken, das auf Grund des Archimedischen Axioms existieren muß, ausreichen. Die Geometrie als reiner Denkbereich kann an dieser Stelle auf das Irrationale, was ja wörtlich „das des Verhältnisses (zur Einheit) Ermangelnde“ besagt, verzichten und damit begrifflich elementarer gestaltet werden als es bis jetzt der Fall war. Für die Anschauung ist allerdings oft das Irrationale natürlicher und klarer, und es soll durchaus nicht behauptet werden, daß etwa im Schulunterrichte die reine Begriffsgeometrie an Stelle der anschaulichen treten müßte. Im Gegenteil. Es wäre sehr bedauerlich, wenn man der rein abstrakten Geometrie in den Schulen Eingang verschaffen wollte; das wäre das beste Mittel, die unbefangene schöpferische Freude der anschauenden Phantasie, wie sie gerade der Jugend eignet, im Keime zu ersticken und gemütsarme Menschen zu erziehen. Höchstens wo in höheren Klassen an die Repetition der Elementargeometrie eine Einleitung in die Noetik geknüpft werden soll, wird der streng logische Aufbau der Geometrie am Platze sein; dann ist aber die rein begriffliche Arithmetik und Geometrie geradezu der Schlüssel für das Verständnis der Erkenntnislehre, besonders für die von Plato, Descartes, Leibniz, Kant.

§ 22. Flächenvergleichung.

1. Das Dreieck, das Quadrat, das Rechteck und der Kreis sind die einfachsten Beispiele von Linien oder Linienzügen, welche die Ebene in zwei „getrennte Gebiete“ zerlegen, dergestalt, daß jeder Punkt der Ebene, der nicht auf der betreffenden Linie X liegt, immer einem und nur einem dieser Gebiete angehört und mit keinem Punkte des anderen Gebietes durch eine Strecke oder einen Streckenzug verbunden werden kann, ohne daß dieser mit der gegebenen Linie X einen Punkt gemeinsam hätte. Wohl aber können je zwei Punkte desselben Gebietes durch eine Strecke oder einen Streckenzug verbunden werden, der keinen Punkt jener Linie X enthält. Diese Tatsache ist eine einfache Folge der Axiome der Verknüpfung und des deraus abgeleiteten Satzes 1. in § 20. Eine Linie X von der angegebenen Art nennen wir eine „einfach geschlossene“³); die beiden Gebiete unterscheiden sich dadurch, daß dem einen, dem „äußeren“, immer unbegrenzt viele Geraden in ihrer ganzen Erstreckung angehören, ohne mit der abgrenzenden Linie X einen Punkt gemeinsam zu haben, während das andere, „innere“ Gebiet keine vollständige Gerade enthält. Das „innere“ Gebiet wird von X „eingeschlossen“; es bildet eine „begrenzte Fläche“, ein „Flächenstück“.

2. Die Bedürfnisse des praktischen Lebens, wie Wertbestimmung eines Grundstücks, Bemalung oder Vergoldung einer Wand u. dergl. mehr haben dazu genötigt, einem begrenzten Flächenstück eine Größe beizulegen [die beim Acker durch die zu einer Bestellung nötige Zeit (Morgen) oder Zahl von Hilfskräften (Iugera, Joch (Ochsen)), bei Wandflächen etwa durch das Gewicht des verbrauchten Materials gemessen wurde], lange bevor diese Anschauung auf einen exakten Begriff gebracht war; erst der allerneusten Zeit, speziell den Untersuchungen von Schur und Hilbert ist es geglückt, die Idee der Flächengröße wenigstens so weit völlig zu erfassen, als in der Elementargeometrie notwendig ist.

Alle Größenbestimmung ist relativ, nämlich abhängig von dem Gesichtspunkte, unter dem man vergleichen will. Für die Messung der Flächengröße war die praktische Forderung maßgebend, daß zwei von kongruenten Figuren umschlossene Flächen als „flächengleich“

gelten sollen, während eine begrenzte Fläche A, die ganz einer begrenzten Fläche B angehört ohne B zu erschöpfen, „kleiner“ als A sein soll. Wenn B in einer dritten Fläche C enthalten ist, ohne damit identisch zu sein, so ist auch A in C enthalten, so daß also aus der Annahme A < B, B < C auch A < C folgt, wie es der allgemeine Größenbegriff verlangt. Man vergleiche nun die ganz ähnliche Sachlage, von der aus wir in der projektiven Geometrie zur Synthesis des Begriffes der Streckengröße gelangt sind: dort wie hier konnten wir A mit B nur vergleichen, wenn A in B enthalten war; und wie wir dort zwei Strecken, die keinen Punkt gemeinschaftlich haben, erst vergleichen konnten, nachdem wir ein Verfahren verabredet hatten, wodurch die Streckengleichheit dem Begriffe und der (reinen) Anschauung nach erzeugt werden sollte, so müssen wir auch, um den Flächen Größencharakter zu verleihen, erst ein Gesetz aufstellen, das Flächengleichheit setzt. Nach Hilbert („Grundlagen“, § 18) ist dazu der Hilfsbegriff der Zerlegungsgleichheit⁴) erforderlich. Zwei „Polygone“⁵), d. h. geradlinig begrenzte Flächenstücke, definieren wir als zerlegungsgleich, wenn sie in eine endliche Artr zahl von Dreiecksflächen zerlegt werden können, so daß jedem Dreieck des einen Polygons ein ihm kongruentes Dreieck des anderen Polygons entspricht. Dann lautet die Definition der Flächengleichheit, oder, wie wir jetzt mit Hilbert sagen wollen, der Inhaltsgleichheit: Zwei Polygone heißen inhaltsgleich, haben gleichen Inhalt, wenn es möglich ist, zu ihnen zerlegungsgleiche Polygone hinzuzufügen, so daß die beiden zusammengesetzten Polygone einander zerlegungsgleich sind. Die Schwierigkeit der Flächenvergleichung liegt in der Willkür, welche diese Definition läßt. Bei den projektiven Strecken war die gleichheitsetzende Konstruktion vollkommen bestimmt, während es im vorliegenden Falle ganz unmöglich ist, alle ausführbaren Zerlegungen zu übersehen. Es ist ohne weiteres nicht einmal sicher, ob die zwei Definitionen der Zerlegungsgleichheit und der Inhaltsgleichheit überhaupt einen vernünftigen Sinn haben, denn es wäre denkbar, daß auf Grund dieser Definitionen allen Polygonen gleicher Inhalt zukäme. Dieses Bedenken wird sich nicht ohne umständliche Vorbereitungen beseitigen lassen, wenn wir, wie in der

Ähnlichkeitslehre, ohne direkte Benutzung des Stetigkeitsaxiomes aus-kommen wollen, eine Forderung, die vom Standpunkte der idealen

so-

p'

11 12

lß

10

17

13

b;

19 y

Geometrie aus unbedingt erhoben werden muß, bald sie erfüllbar ist, weil anders durch dieBerufung auf die Stetigkeit die komplizierte Idee des Irrationalen ohne Not eingeführt würde.

15 \ 14

\ 28%

22

23

18

29

3. Aus den Hilbert-schen Definitionen folgt:

*\

27

25 \ 26

30

zerlegungs-z wei einem inh alts-

Satz 1. Sind zwei Polygone einem dritten zerlegungsgleich, so sind sie auch einander

JE

27

13

15\X

Il \12

/ 23 j 28%J^30

gleich; sind Polygone dritten

10

30

Lyp_...y

i/r5\ 27

22/ .N^NA y

gleich, so sind sie auch einander inhaltsgleich.

23    ! 23

18

17

20

Sind nämlich die Polygone P'und P''mit P zerlegungsgleich (Fig. 105), so zerfällt P einerseits in Dreiecke At', z/₂', A₃’,

13

'O !

19

j/j\ 14

! 16

19

Fig. 105.

. . ., A^, die⁶) in anderer Gruppierung das Polygon P' ausfüllen, andererseits in Dreiecke A”, A₂", . . ., Aq", die in einer gewissen Gruppierung das Polygon P" bilden. Denken wir uns an P diese beiden Zerlegungen gleichzeitig ausgeführt, so wird das i. a. keine Zerlegung in Dreiecke mehr sein, kann aber durch Zufügung weiterer Strecken in eine

solche verwandelt werden. Dadurch wird dann sowohl jedes Dreieck A' als auch jedes Dreieck A" des Netzes P in kleinere Dreiecke d zerlegt. Diese Zerlegung führen wir auch an den entsprechenden Dreiecken A' und A" von P' und P" aus. Dann erscheinen P' und P" je als Aggregate der Dreiecke d, aus denen auch P sich zu-sammensetzt. Damit ist die erste Aussage des Satzes 1. bewiesen.

In der Figur 105, die noch für einen anderen Zweck bestimmt ist, sind die Seiten der Dreiecke Ä kräftig ausgezogen, die der Dreiecke A" strichpunktiert, soweit sie nicht der Begrenzung von P' oder P" angehören; kongruente Dreiecke ô tragen dieselbe Nummer in arabischen Ziffern.

Der zweite Teil des Satzes 1. setzt zwei Polygone p, p" voraus, die einem dritten Polygone p inhaltsgleich sind, d. h. wenn man zu p und p zugleich gewisse Dreiecke Ax, A%, z/₃', . . ., z/A' fügt, so sind die so „erweiterten“ Polygone P' und Px zerlegungsgleich, also je durch dieselben Dreiecke Dx, D.₂', . . . ausfüllbar. Ebenso kann man zu p" und p gleichzeitig Dreiecke Ax", A₂", . . ., A^' fügen, so daß die erweiterten Polygone P" und P₂ zerlegungsgleich, d. h. durch dieselben Dreiecke Dx", P₂", . . . genau überdeckbar sind. Wir denken nun zu p zugleich die Dreiecke Ax, A₂, .

A ff

^2 ; •

. ., AjI und Ax',

. ., z/fc" gefügt, so wie dieselben in P' bezw. P" liegen. Es kann sein, daß keines der A' mit keinem der A" ein Flächenstück gemein hat, es kann aber auch das Gegenteil der Fall sein. Wenn nun gewisse Dreiecke A' und A" übereinander greifen, so fügen wir, wie in Fig. 105, Hilfsstrecken hinzu, so daß die aus p durch Superposition der Dreiecke A' und A" entstehende Figur 77 ein Dreiecksnetz bildet. Dann läßt sich II immer aus P' durch Hinzufügung gewisser Dreiecke dlf d₂, ... dieses Netzes ableiten, ebenso aus P" durch Hinzufügung gewisser Dreiecke dv, d Fügt man erstere Dreiecke zu Plf letztere zu P₂, so sind die erweiterten Figuren Ptx und IT₂ mit IT und daher auch miteinander zerlegungsgleich; folglich haben p, p" gleichen Inhalt, w. z. b. w.    c-

Haben zwei Parallelogramme ABCD und ABEF (Fig. 106) die Grundlinie AB \ gemein, und liegen die Seiten CD und EF auf derselben Geraden, so ergibt sich aus dem ersten durch Hinzufügung des Dreiecks BDF, aus dem zweiten durch Hinzufügung des zu BDF kongruenten Dreiecks A CE jedesmal das Trapez AB CF. Folglich sind beide Parallelogramme inhaltsgleich. Eine leichte Erweiterung dieses Resultates gibt dann den

v + 17 •

. . desselben Netzes.

Fig. 106.

7F

Satz 2. Parallelogramme von gleicher Grundlinie und Höhe sind einander inhaltsgleich.

Zieht man (Fig. 107) durch den Mittelpunkt E der Seite CB eines Dreiecks ABC die Parallele zu AB, so muß diese nach Axiom II₄

Mg. 107.

die Seite CA in einem Punkte D treffen, und zwar in ihrer Mitte, da die Dreiecke CED und CBA ähnlich sind und CB = 2 • CE ist. Liegt F so auf DE, daß E der Mittelpunkt von DP ist, so sind F die Dreiecke CDE und BEF kongruent (I. Kongruenzsatz) und AB DF ist ein Parallelogramm. Wenn man zu diesem das Dreieck DEC, oder zu ABC das zu DEC kongruente Dreieck FEB fügt, erhält man jedesmal das Polygon CAB F EC. Es folgt:

Satz 3. Jedes Dreieck ist einem gewissen Parallelogramm mit gleicher Grundlinie und halber Höhe zerlegungsgleich.

Daraus folgt:

Satz 4. Dreiecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Höhe sind inhaltsgleich, denn sie sind Parallelogrammen mit gleicher Grundlinie und Höhe inhaltsgleich.

Satz 0. Auf Grund des Archimedischen Axioms sind Parallelogramme mit gleicher Grundlinie und Höhe zerlegungsgleich.

darunter finden,

die Parallele zu BE, so

2n + l

Sind nämlich (s. Fig. 105) P und P' die gegebenen Parallelogramme, also A₀A₁ = CB und E, D, T, 8 auf derselben Geraden gelegen, so ziehe man AXA₂ BE, A₂A₃,A₀A₁, A₅AàBE, A₃A₅jjA₀A₁, . . . AvAv+illAA> Av + iAv+ÄBEy •••; auf AT entstehen so di kongruenten Strecken A₀A₂, A₂A₄, A₄A₆, . . und nach dem Archimedischen Axiom muß sich eine Strecke A2nA2n+2 auf der T liegt. Sei zunächst n > 1, also etwa, wie in Figur 105, gleich 2. Ziehen wir auch durch A trifft sie nun nicht mehr die Strecke A₀T, sondern die Strecke ST in einem Punkte, der P heißen möge. Ebenso konstruieren wir aus Parallelogramm P die Strecken CK, LM, NQ parallel zu A₀T] dann ist QM\BN, und die Parallelogramme P, P' erweisen sich als zerlegungsgleich, wenn die stark ausgezogenen Dreiecke als Teildreieck genommen werden, denn es ist A₀A₁A₂^ CBK, A₁A₂A^CKL, .... — Es wäre denkbar, daß das Archimedische Axiom nur infolge der

besonderen Anlage unserer Figur herangezogen werden muß und eine andere Figur vielleicht ohne dasselbe auskommt. Daß dem aber nicht so ist, hat Hilbert in § 18 seiner Grundlagen streng bewiesen. Aus den Sätzen 3 und 5 folgt nun leicht:

Satz 6. Auf Grund des Archimedischen Axioms sind Dreiecke mit gleicher Grundlinie und gleicher Höhe z e rlegun g s gleich.

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* \ i

Da wir das Archimedische Axiom zur Lehre von der Flächenvergleichung nicht benutzen wollen, so dürfen wir von den Sätzen 5 und 6 keinen weiteren Gebrauch machen. Von den zahlreichen Folgerungen, die sich aus den Sätzen 1 bis 4 ableiten lassen, erwähnen wir nur die allerwichtigste, den Lehrsatz des Pythagoras:

■YX

/P

3    /

cC

JfS\

,U

it

V\

Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist der Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich.

Zum Beweise konstruiert man (Fig. 108) außer dem Hypotenusenquadrate ABB₃A₃ und den Katheten quadra ten ACB₂A₂,

daß

an,

Fig. 108.

BCCXBX noch die Gerade B₂CX und trägt an A₃B₃ das Dreieck A₃B₃C₃^ABC so es außerhalb des Hypotenusenquadrates zu liegen kommt. Dreht man das Viereck A₂ABB1 um die Ecke A, bis A₂ mit C zusammenfällt, so fällt B auf A₃, Bx auf C₃. Ebenso läßt sich das Viereck A₂ABB₁ durch Drehung um B mit C₃B₃BC zur Deckung bringen. Da A₂ABBX ferner kongruent zu A₂B₂ClB₁ ist, so ist das Sechseck A₂ABBXCXB₂ dem Sechseck CAA₃C₃B₃B kongruent; jedes dieser Sechsecke enthält aber zweimal das gegebene rechtwinkelige Dreieck z/, denn es ist A ^ ABC ^ B₂CC± ^ A₃B₃C₃. Nach Abzug von je 2z/ gehen also aus beiden Sechsecken zwei inhaltsgleiche Figuren hervor, nämlich einerseits die Summe der Kathetenquadrate, andererseits das Hypotenusenquadrat. *)

1) Pythagoras lebte im 6. Jahrhundert v. Chr. Schon ungefähr 1200 Jahre vorher findet sich das spezielle rechtwinkelige Dreieck mit den Seitenlangen 3,

P. Epstein¹) hat bemerkt, daß dieser Beweis leicht in einen Zerlegungsbeweis umgeformt werden kann. Man hat nur die Geraden AA₃, BB₃ bis zum Schnitt mit der Geraden AiCBl zu verlängern und die Endlagen U, V der Ecke C bei jenen beiden Drehungen des Vierecks A₃ABBX in Betracht zu ziehen, die, wie aus den in der Figur eingetragenen Winkelbeziehungen folgt, auf der Geraden CC₃ liegen. Die punktierten Teile der Figur sind jetzt natürlich wegzulassen. Zieht man noch UX A₂CB₁ VY, so zerfällt das Hypotenusenquadrat in 8 paarweise kongruente Dreiecke, die in anderer Anordnung auch die Summe der Katheten quadrate ausmachen.

5. Wenn so auch die Hauptsätze der Flächen Vergleichung sich beweisen lassen, zumal wenn wir uns auf das Archimedische Axiom berufen, so kann das doch nicht darüber hinwegtäuschen, daß durch die bloße Definition des Größer- und Kleinerseins, der Gleichheit und der Addition (durch Aneinanderlagern) noch keine Größe geschaffen wird; vielmehr gehört dazu auch noch die Definierbarkeit der „Multiplikation“ sowie der Nachweis, daß die als Addition und Multiplikation bezeichneten Operationen denselben Verknüpfungsgesetzen gehorchen wie in der Arithmetik, und daß endlich ein und nur ein Analogon der Null und der Eins existiert. Bei der projektiven Streckenmessung haben wir diese Forderung streng durchgeführt. Im vorliegenden Falle würde der direkte Weg in zu große Schwierigkeiten führen. Hilbert hat in seinen Grundlagen (§ 20) ein viel einfacheres Verfahren angegeben, das allerdings auf den ersten Blick ein wenig befremdet: Sind a, b, c die Seiten eines Dreiecks A und ha, hb, hc die darauf senkrechten Höhen, so ist a : hb = b : ha, a : hc — c:h, also:

aha = bhb = cli

Das Produkt aus einer Seite und der zugehörigen Höhe eines Dreiecks A ist demnach unabhängig von der gewählten Seite, ebenso auch das halbe Produkt. Dieses heiße das Inhaltsmaß des Dreiecks A und werde mit J{A) bezeichnet: J(A) = \aha — \bhb = \ chc. Der Faktor 4- wird sich alsbald rechtfertigen. Wir werden nun den Polygonen dadurch Größencharakter verschaffen, daß wir ihnen, wie dem Dreieck, ein Inhaltsmaß beilegen. Der Nachweis des Größencharakters ist aber nötig, um die Zulässigkeit der Definition inhaltsgleicher Polygone zu beweisen, denn sonst wäre denkbar, daß alle

c-

4, 5 bei den alten Ägyptern, die dasselbe höchst wahrscheinlich zum Abstecken rechter Winkel benutzt haben. Ygl. M. Cantor, Über die älteste indische Mathematik (Archiv der Math. u. Phys. [3] 8, 63—72).

1) Zeitschr. f. math. u. naturw. Unterr. XXXVII (1906).

Polygone einander inhaltsgleieh wären, oder daß ein Polygon mit einem seiner Teile gleichen Inhalt hätte. Wenn Euklid zur Umkehrung der Sätze 2 und 4 den allgemeinen Größensatz: xccl rö oAov rov [isQovg gsïÇôv köri (das Ganze ist größer als der Teil) benutzt, so postuliert er damit eben, worauf Hilbert aufmerksam gemacht hat (1. c. § 19), die Größennatur des Flächeninhaltes.

6. Eine Strecke, die einen Eckpunkt S eines Dreiecks A mit einem Punkte der gegenüberliegenden Seite g verbindet, heißt eine Transversale des Dreiecks; sie bewirkt eine transversale Zerlegung des Dreiecks in zwei Teildreiecke Aly z/₂, welche jene Ecke als Spitze gemeinsam haben und deren Grundlinien gu g₂ auf der Geraden g liegen. Beide Teildreiecke haben also die von jener Ecke ausgehende Höhe h gemeinschaftlich, und es ist:

J(A) = Ug = ^h(g₁ +gs) = J(At) + J(A₂).

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel ergibt sich der

Hilfssatz: Wenn ein Dreieck A so in Teildreiecke zerlegt ist, daß alle Ecken der Teildreiecke auf zwei Seiten von A liegen, so ist das Inhaltsmaß von A gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke (s.Fig. 109).

Ist dagegen A in Teildreiecke a zerlegt, von denen die Eckpunkte Alf A₂, ..., An dem Inneren, nicht den Seiten von A angehören

Fi g. 110.

Fig. 109.

(während andere Eckpunkte auf den Seiten von A liegen), so verbinden wir die Spitze S von A mit A1} A₂, ..., An und bringen diese Geraden mit der Grundlinie von A zum Schnitt in B1} JB₂, ..., Bn. Dadurch zerfällt A in n + 1 Dreiecke d, d1} . . ., ön, mit derselben Spitze und derselben Höhe; das Inhaltsmaß von A ist daher nach dem Hilfssatze gleich der Summe der Inhaltsmaße dieser Teildreiecke. Wir dürfen die Bezeichnung der Ecken Alf A₂, ..., An so getroffen annehmen, daß in keinem der n -f- 1 Dreiecke Ô eine Ecke A liegt. Jedes <5 wird daher aus Dreiecken und Vierecken bestehen, deren Ecken auf den Seiten von d liegen (s. Fig. 110). Zerlegen wir die Vierecke durch je eine Diagonale in Dreiecke, so ist das Inhaltsmaß von d nach dem Hilfssatze gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke s von d; so erscheint also J{A) selbst als die

Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke s sämtlicher ä. Aus den s hauen sich aber auch die Dreiecke a der ursprünglichen Zerlegung je nach Art der Figur 105 auf, denn die a zerfallen durch die Strahlen SSlf SJB₂, . . . des Punktes S, der in keinem a liegt, nach Art der Figur 105. Folglich ist die Summe der Inhaltsmaße aller a gleich der Summe der Inhaltsmaße aller s, und es gilt daher endlich der

Satz 7: Wenn ein Dreieck in eine endliche Anzahl von Teildreiecken zerlegt ist, so ist das Inhaltsmaß aller Dreiecke gleich der Summe der Inhaltsmaße der Teildreiecke, P(z/) = XJ(a).

Wird ein Polygon einmal in Dreiecke z/t, . . ., z/^, ein andermal in Dreiecke z//, . . ., z/?' zerlegt, und führt man diese Zerlegungen gleichzeitig aus, so können die z/ und z/', wie in Fig. 105, je aus denselben Dreiecken d1} .. dn aufgebaut werden, und es ist

UJ(J) = 2JJ(d) = ZJ(zl').

nun:

Definiert man also das Inhaltsmaß eines Polygons P als Summe der Inhaltsmaße aller Dreiecke z/, in die dasselbe bei einer bestimmten Zerlegung zerfällt, so ist dieses Inhaltsmaß P(P) von der Art der Zerfällung unabhängig: J"(P) = XP(z/) = A,P(z/'), also durch das Polygon allein bestimmt. Für ein aus den Teilen X, Y zusammengesetztes Polygon X + Fist daher J(X + Y) = P(X) -f- J(Y). — Mit Rücksicht auf Satz 7 folgt

Satz 8: Zerlegungsgleiche Polygone haben gleiches Inhaltsmaß.

Sind ferner P und Q inhaltsgleiche Polygone, so gibt es nach der Definition der Inhaltsgleichheit zwei zerlegungsgleiche Polygone P' und Q', so daß das aus P und P' zusammengesetzte Polygon (P+P') dem aus Q und Q' zusammengesetzten Polygon (Q -f Q') zerlegungsgleich ist. Nach Satz 7 ist daher:

=    J(P+P') = J(Q+Q'),

und mit Rücksicht auf P(X + Z) = JÇK) + J(Y) folgt:

J{P) = P(P'), d. h.

Satz 9. Inhaltsgleiche Polygone haben gleiches Inhaltsmaß.

7. Jetzt lassen sich die Sätze 2 und 4 umkehren:

Satz 10. Inhaltsgleiche Parallelogramme mit gleichen Grundlinien haben gleiche Höhen.

Satz 11. Inhaltsgleiche Dreiecke mit gleichen Grundlinien haben gleiche Höhen.

Denn bezeichnet g die Größe der Grundlinien, h, 1% die der Höhen, so ist im Falle des Satzes 10: gh = gh', im Falle des Satzes 11: \gh = \gh', also jedesmal h = h'.

Zieht man (Fig. 111) durch eine Ecke B eines Polygons ABCDE... die Parallele p zur Yerbindungsgeraden AG der nicht benachbarten Ecken A, C, so ist das gegebene Polygon allen Polygonen ABCDE . . . inhaltsgleich, deren Ecke B auf p liegt (Satz 4). Liegt nun B' zugleich noch auf der Polygonseite DC oder ihrer Verlängerung, so hat das Polygon AB'CDB . . . oder AB'DE . . . eine Ecke (C) weniger als das ursprüngliche. Durch Wiederholung dieses Yer- JA fahrens erhält man schließlich ein Drei- / eck A, das dem Polygone inhaltsgleich / ist und daher mit ihm gleiches Inhaltsmaß hat (Satz 9.).

Mt

Fig. 111.

Zwei Polygonen P, P' mit gleichem Inhaltsmaß J entsprechen dann zwei Dreiecke A und A' mit demselben Inhaltsmaße J. Die Ecken dieser Dreiecke seien A, B, C und Ä, B’, C'. Mit einem Radius g, der größer als die größere der Seiten AC, A'C' ist, schlagen wir um A und A' als Mittelpunkt je einen Kreis. Jeder dieser Kreise trifft dann ganz sicher die durch die Spitze C bezw. C zur Grundlinie gezogene Parallele p bezw. p'; sind dann Z und Z' je einer dieser Schnittpunkte auf p bezw. p, so haben auch die Dreiecke AZB und A'Z'B' je das Inhaltmaß P; da sie aber überdies in der Größe g der Seiten AZ, ÄZ' übereinstimmen, so ist, wenn h, h' die zugehörigen Höhen sind, Ągh = \gh', also h = h', d. h. die Dreiecke AZB und A'Z'B' sind inhaltsgleich (Satz 4.), folglich auch A und A' (Satz 1.) und damit P und P' (Satz 1.). Es folgt die Umkehrung des Satzes 9:

Satz 12. Polygone mit gleichem Inhaltsmaß sind inhaltsgleich.

Die Produkte gh, \gh sind immer in der Symbolik des § 21 gemeint, die mit Strecken selbst, nicht mit ihren Maßzahlen operiert. Damit ist dann der wichtige Satz 9. mit seiner Umkehrung 12. be-dem die Identität der Inhaltsgleichheit mit der

wiesen, aus

Gleichheit des Inhaltsmaßes hervorgeht; dadurch ist der Größencharakter der Polygonfläche unmittelbar gesichert. Das von Hilbert eingeführte Wort Inhaltsmaß ist natürlich nicht als Maß im metrischen Sinne, als Maßzahl, zu verstehen, sondern als Produkt im Sinne der Streckenrechnung des § 21; \gh ist also gleichbedeutendtim ^ • g/e • hie, wo e die Einheitsstrecke. Der Faktor Ą ist dem Inhaltsmaße des Dreiecks offenbar gegeben, damit das Quadrat mit der Seitenlange e das Inhaltsmaß e² erhält. Die symbolischen Formeln der geometrischen Streckenverknüpfung stimmen dann mit den wirklichen Zahlenformeln der auf Maßzahlen gegründeten Streckenrechnung vollkommen überein. Wenn in einem Dreieck die Längen in irgend einem Verhältnis vergrößert werden, so wird der Flächeninhalt im quadratischen Verhältnis vergrößert. Durch Zerlegung der Polygone in Dreiecke folgt hieraus:

¹

   Die wichtigste Literatur ist:

Hilbert, Grundlagen § 13ff., § 22ff'.

J. Mollerup, Studien over den plane geometrie axiomer, Kopenhagen 1903, sowie Math. Ann. 56 und 58;

F. Schur, Math. Ann. 57;

A«* Kneser, Arch, für Math. u. Phys. (3. Reihe) Bd. 2.

²

   Siehe Zitat S. 231.

³

Im Gegensatz zu a-fach geschlossenen, die n -f-1 Gebiete abgrenzen.

⁴

   Der Begriff der Zerlegungsgleichheit ist von W. Bolyai in seinem Tentamen eingeführt worden. Das Problem der zerlegungsgleichen Figuren hat dann später Schönemann (Soest, Pr. 1884 und 1888) wieder aufgenommen. Grundlegend sind die in den Math. Ann. erschienenen Arbeiten von Réthy (1. c. 38, 42, 45), Rausenberger (1. c. 43) und Dobriner (I. c. 42); vergl. auch Dobriners „Leitfaden der Geometrie“, Leipzig 1898.

⁵

   Die Begrenzung eines „Polygons“ soll eine einfach geschlossene Linie X sein.

⁶

Yon kongruenten Dreiecken sagen wir, es seien dieselben Dreiecke.

Satz 13. Bei ähnlichen Polygonen stehen die Inhaltsmaße in dem Verhältnis der Quadrate entsprechender Längen.

§ 23. Regelmäßige Vielecke und der Kreis.

1. Von den vielen Anwendungen, die sich auf die Begriffe der Ähnlichkeit und der Flächengröße stützen lassen, wollen wir nur die allerwichtigsten mitteilen, die sich auf die Kreisteilung und Kreismessung beziehen.

Ein Vieleck oder Polygon heißt regelmäßig (regulär), wenn

Fig. 112.

seine Seiten einander gleich sind und auch gleiche Winkel einschließen; gemeint sind damit immer die Winkel zweier aufeinander folgender Seiten: <£ ABC = <£ BCD = <£ CDE =... (siehe Fig. 112). Ist 0 der Schnittpunkt der Halbierungsgeraden der Winkel bei A und B, so ist wegen der Gleichheit dieser Winkel auch OAB = ^ OBA, also OA = OB. Die Dreiecke COB und BOA stimmen dann überein in den Seiten OB und BC = BA und dem eingeschlossenen Winkel, sind also kongruent. Daher ist *0(7= OB und AZ OCB = AZ OBC. Jetzt ergibt sich ebenso die Kongruenz der Dreiecke BOC und COD, u. s. w., woraus folgt, daß 0 von den Ecken des Polygons gleichen Abstand hat. Aus der Kongruenz der Dreiecke A OB, BOC, ... folgt auch die Gleichheit ihrer von 0 auf die Seiten AB, BC, ... gefällten Höhen; diese Tatsachen können wir so aussprechen:

Satz 1. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen „Umkreis" (auf dem seine Ecken liegen) und einen „Inkreis" (den

seine Seiten berühren) mit gemeinschaftlichem Mittelpunkte 0;

dieser heißt auch Mittelpunkt des Vielecks. Die Verbindungsstrecken des Mittelpunktes mit den n Eckpunkten eines regelmäßigen w-Ecks teilen dasselbe in n kongruente gleichschenklige Dreiecke; aus irgend einem von ihnen läßt sich das ganze Polygon zurückgewinnen, man spricht daher von einem „Bestimmungsdreieck“. Der Winkel an der Spitze 0 eines Bestimmungsdreiecks des regelmäßigen «-Ecks beträgt den wten Teil von vier Rechten, also 422/w, wenn 22 den rechten Winkel bezeichnet; als Spitze soll dabei immer der Mittelpunkt des Vielecks gelten. Durch Hälftung der Winkel bei 0 entsteht aus dem regelmäßigen w-Eck das regelmäßige 2w-Eck, aus diesem das 4n-Eck u. s. w. Seit alters her kennt man folgende vier Reihen regelmäßiger Vielecke, die aus dem regelmäßigen 3-Eck, 4-Eck, 5-Eck und 15-Eck durch das Verfahren der Winkelhälftung hervorgehen:

der Spitze den Winkel 422/6 = 222/3 hat. Da 222/3 -f 222/3 + 222/3 = 222, so ist 2R/3 der Winkel des gleichseitigen Dreiecks. Die Seite des regelmäßigen Sechsecks ist also gleich dem Radius, und dieses Vieleck kann daher leicht konstruiert werden. Es war schon den alten Assyrern bekannt. Die erste, dritte und fünfte Ecke dieses Sechsecks bestimmen das regelmäßige Dreieck.

Quadratreihe. Der Spitzenwinkel des Bestimmungsdreiecks ist ein Rechter. Auf diese Reihe brauchen wir daher nicht näher ein-

Dreiecksreihe. Aus dem regelmäßigen Dreieck entspringt durch Winkelhälftung zunächst das regelmäßige Sechseck, dessen Bestimmungsdreieck an

zugehen. Das regelmäßige Viereck (Quadrat) und Achteck begegnen uns sehr häufig im Ornament und als Formen von Gehrauchsgegenständen bei den alten Agytern.

2. Fünfecks reihe. Wie bei der Dreiecksreihe geht man zur Konstruktion dieser Reihe nicht vom ersten, sondern vom zweiten Vieleck aus, was auch bei der algebraischen Behandlung der Kreisteilung (Band I, 2. Aufl., § 106) auffällt. Das Bestimmungsdreieck AOB eines regelmäßigen 10-Ecks (siehe Fig. 113) hat an der Spitze 0 den Winkel a = 422/10 = 222/5. Die Winkel bei A und 25 machen also zusammen 222 — 222/5 = 822/5, einzeln 422/5 = 2oo aus. Die Halbierende des Winkels BAO trifft daher die Seite OB in einem Punkte C, so daß Dreieck BAC wie Dreieck AOB die Winkel co, 2co, 2co haben, und mit dem Dreieck BAC ist überdies auch noch das Dreieck ACO gleichschenkelig. Daher ist OC = CA = AB = s₁₀, wenn sn allgemein die Seite des regelmäßigen w-Ecks bezeichnet. Der Radius des Umkreises heiße immer r. Aus der Ähnlichkeit von

BAC und AOB ergibt sich die Ähnlichkeit der Strecken Systeme (BC, AB) und (AB, OA) oder:

(r, «io) ~ (»io + r, r),

(1)

woraus

(r sioj ⁵io) ~ (⁵io> r) oder in der gewöhnlichen Schreibung

(2)

r : «io = Oio +r):r, r² = s₁₀ (s₁₀ + r)

folgt. Die zwei ähnlichen Streckenpaare erinnern sofort an den Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes in § 21 und legen es nahe, die dort benutzte Figur zur Konstruktion von s₁₀ zu verwenden.¹) Durch Anpassung dieser Figur an die Daten des vorliegenden Falles erhält man folgende Konstruktion von s₁₀ aus r (siehe Fig. 113): Auf OU — r errichtet man das Lot OV=r/2 und schlägt um V den Kreis mit dem Radius VO. Dieser trifft die Strecke UV in einem Punkt X [ihre Verlängerung in Y], Dann ist UX die gesuchte Seite des regelmäßigen Zehnecks. In der Tat sind die Dreiecke UXO und UOY wegen Übereinstimmung in den Winkeln ähnlich, und es ist daher: (UO, UX) ~ (UY, UO) oder (r, s₁₀) ~ (r -f s₁₀, r). Die Verknüpfung dieser Konstruktion mit der des regelmäßigen Zehnecks zeigt Figur 113.

Zu dieser Figur ist noch zu bemerken, daß C den Radius OB in zwei ungleiche Teile von folgender Eigenschaft zerlegt: Das aus dem kleineren und dem größeren Teil bestehende Streckenpaar ist ähnlich dem Streckenpaar, das sich aus dem größeren Teil und der ganzen Strecke OB zusammensetzt, oder nach (1) in Formeln:

(r s₁₀, s₁₀) ~ (s₁₀, r), (r s₁₀) : s₁₀ = s₁₀ : r.

Weil sich beim Lesen der letzten Formel das rechts stehende s₁₀ an das links stehende sofort (stetig) anschließt, spricht man von einer stetigen Proportion, deren allgemeine Form also x : y = y : z wäre; unter einer Proportion versteht man, wie in der Arithmetik, die Gleichheit zweier Brüche oder „Verhältnisse“, ein Begriff, der seine frühere Wichtigkeit eingebüßt hat, da die neuere Elementargeometrie ohne die Maßverhältnisse von Strecken auskommt. Man sagt auch, der Punkt C teile die Strecke OB stetig oder nach dem goldenen Schnitt (Sectio aurea). Golden hieß dieser Schnitt (== Streckenteilung) wegen seiner großen Bedeutung in der Geometrie und der Ästhetik: Man behauptet nämlich, eine Ellipse oder ein Rechteck mache den gefälligsten Eindruck, wenn die kleine und große Achse bezw. die kleine und die große Seite so gewählt wird, daß sie, auf einer Geraden aneinander gelegt, eine stetig geteilte Strecke ergeben.

Auch sonst sollen wohlgefällige Abmessungen mit der stetigen Teilung Zusammenhängen. (Vgl. Bd. I, 2. Auf!., p. 109.) — Wir wollen das Zahlenyerhältnis der Teile OC und CB in Figur 113 ausrechnen. Aus sl₀ = r(r — s₁₀) folgt:

$₁₀ = — 1/2 • r -f]/r²/4 + r² — 1/2 • r(]/5 — l) ;

(r-sj : s₁₀ = (3 -]/B) : (Vö -1) = (]/S-1) : 2.

Demnach ist angenähert

(r —Sio) : s₁₀ = 0,618 = 3/5.

Tr-

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co

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'2(o

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2(0 2(0

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CO \    1(0

CO

Fig. 113.

Durch Vergleichung der Winkel läßt Figur 113 zahlreiche schöne Eigenschaften des regelmäßigen Zehnecks erkennen, so z. B., daß AC durch eine Ecke U des Zehnecks gehen muß und daß die beim goldenen Schnitte von r neben UX= s₁₀ auftretende Strecke 77V= r -f s10 gleich TJA, also gleich der Seite des regelmäßigen Sternzehnecks ist. Dreiecke mit den Winkeln oo, 2co, 2 m und m, m, 3 m zeigt die Figur in fast unerschöpflicher Zahl. Dasselbe gilt vom regelmäßigen Fünfecke, dessen Bestimmungsdreiecke an der Spitze den Winkel 2co haben.

3.    Fünfzehneckreihe. Der Spitzenwinkel eines Bestimmungsdreiecks des regelmäßigen Fünfzehnecks beträgt 1/15 von vier Rechten, oder, da 1/15 = 1/6 — 1/10 ist, 2R,/3 — 2R/5. Das ist die Differenz der Spitzenwinkel, die dem regelmäßigen Sechseck und Zehneck entsprechen, woraus die Konstruktion unmittelbar zu entnehmen ist. Durch Winkelhälftung entspringen daraus das regelmäßige 30-Eck, 60-Eck u. s. w.

Es mußte den Scharfsinn der Mathematiker reizen, außer den Polygonen dieser vier Reihen auch noch andere, besonders zunächst das regelmäßige Siebeneck (mit Zirkel und Lineal) zu konstruieren; dabei lag es nahe, außer der Winkelhälftung auch die Dreiteilung als Hilfsmittel heranzuziehen. Erst seit der Begründung der modernen Algebra durch Gauß und Abel kann streng bewiesen werden, daß die Dreiteilung des Winkels und die Konstruktion der regelmäßigen Vielecke nur in gewissen ausgezeichneten Fällen mit Zirkel und Lineal exakt ausführbar ist. Speziell das 7-Eck und 11-Eck sind nicht konstruierbar, wohl aber, wie Gauß entdeckte, das regelmäßige 17-Eck; vergl. die Abschnitte 18. und 19. des ersten Bandes.

4.    Wie die theoretische Geometrie keines festen Streckenmaß

stabes bedarf, so braucht sie auch kein festes Winkelmaß, zumal da, wie die Trigonometrie oder die in § 21 zitierte Untersuchung von Mollerup zeigt, die Winkelmessung aus der Geometrie ganz eliminiert werden kann. Unsere von den Griechen übernommene Einteilung des Vollwinkels in 360, des rechten Winkels in 90 Grad ist babylonischer Herkunft; noch kurz vor Euklid war sie dem astronomischen Schriftsteller Autolykos unbekannt und ist anscheinend von dem Alexandriner Hypsikles (zwischen 200 und 100) zuerst eingeführt worden. Die Einteilung des Vollwinkels oder des Kreisumfanges in 360 = 6-60 Teile oder Grade, von denen jeder in 60 gleiche Unterabteilungen (Minuten) zu je 60 Sekunden zerfällt, ist jedenfalls künstlichen, und zwar, wie M. Cantor wahrscheinlich macht, astronomischen Ursprungs; es liegt nahe, an eine rohe Zählung der Tage des Sonnenjahres zu denken. Mit der 60-Teilung des Sextanten wird dann wohl auch das Sexagesimalsystem der Babylonier irgendwie Zusammenhängen; diese stellen nämlich die ganzen Zahlen in der Form a + ^60 -f a₂60² + • • • dar, wo a, %, a₂, • • • ganze Zahlen und zwar kleiner als 60 sind. Wie zur ganzen dezimal geschriebenen Zahl z = b -f- bx 10 -f- b₂10² Ą----(b,    b₂, • • • < 10) syste

matisch der Dezimalbruch gehört, so entspricht dem 60er-System folgerichtig die Bruchdarstellung £ = ••• + c₃60³ + c₂60² -(- ^60 + c

^6O⁻¹ -f- y₂60~² + • • • nach fallenden Potenzen von 60. Diese Darstellung der Zahlen ist schwerlich aus irgend einem Zählverfahren²) hervorgegangen, denn dann müßten doch auch die babylonischen Zahlwörter sexagesimal gebildet sein. Diese sind aber, wie bei allen Völkern der kaukasischen Rasse, dezimal, und man findet überdies sexagésimale Zahlschreibung mit dezimaler wechselnd; auch die Ägypter, die sich noch vor den Babyloniern von der semitischen Urgemeinschaft losgelöst haben und den Babyloniern in den ältesten Sprachformen sehr nahe stehen, besitzen dezimale Zahlwörter.

Die Konstruktion des Winkelgrades ist mit Zirkel und Lineal nicht exakt ausführbar, läßt sich aber von der Dreiteilung eine einzigen Winkels abhängig machen: Der Winkel an der Spitze des8 Bestimmungsdreiecks eines regelmäßigen Zehnecks beträgt 36°, der entsprechende Winkel des regelmäßigen Zwölfecks 30°, die Differenz ist 6°, die Hälftung gibt 3° und die Dreiteilung 1°.

5. Wir kommen nun zu einem der schwierigsten und berühmtesten Probleme der Elementargeometrie, zur Rektifikation und Quadratur des Kreises. — Ein Vieleck, dessen Ecken auf einem Kreise liegen, heißt dem Kreise eingeschrieben; ein Vieleck, dessen Seiten den Kreis berühren, heißt ihm umgeschrieben. Von diesen Vielecken gilt aber

Satz 2. Jedes einem Kreis umgeschriebene Vieleck hat größeren Umfang als jedes ihm eingeschriebene Vieleck.

Zum Beweise dieses wichtigen Satzes verbinden wir den Mittelpunkt 0 des Kreises mit allen O Ecken A, B, ... des eingeschriebenen w-Eeks © und fällen aus 0 auf alle Seiten desselben die Lote.

Fig. 114.

Durch diese 2n Gleraden zerfällt die Ebene in 2n Gebiete, von denen jedes auch ein Stück des Umfanges des umgeschriebenen Vielecks U enthalten wird. Dieses Stück ist ein Streckenzug, der in einem Punkte U des einen Grenz-

Strahles des Gebietes beginnt und in einem Punkte V des anderen Grenzstrahles endigt (siebe Fig. 114). Die Strecke UV ist dann kleiner als dieser Streckenzug oder höchstens von gleicher Länge; OV sei der auf einer Seite AU des eingeschriebenen Vielecks @ senkrechte Strahl; fällt man noch UW±_ OV, so ist UV als Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks UWV größer als UW, oder, wenn U, V, W in eine Gerade fallen, gleich UW, sicher ist also der zwischen den Strahlen OA, OF liegende Teil t des Umfanges von U größer als UW oder gleich UW. Nun liegt aber U als Punkt von U nicht innerhalb des Kreises, also ist OU^> OA und UW^> AF, t > AF; die Gleichheit von t und AF ist ausgeschlossen, da sie nur eintreten könnte, wenn t mit UW und dieses mit AF zusammenfiele, was unmöglich ist, weil F im Kreise liegt. Nunmehr ist auch die Summe der 2n Teile t größer als die Summe der zugehörigen AF, d. h. der Umfang von U größer als der von (£.

6. Satz 3. Die Differenz der Umfänge je eines eingeschriebenen und eines umgeschriebenen Vielecks ist nach Satz 2. eine positive Größe. Diese Differenzen können (durch geeignete Wahl der Vielecke) unter jede noch so kleine Strecke e hinabgedrückt werden,

Mittelpunkte 0 auf die Seiten Sn und sn beider Viel-

vom

d. h. sie haben Null zur unteren Grenze. Es genügt zu zeigen, daß der Unterschied Un — un der Umfänge Un und un des umgeschriebenen und des eingeschriebenen regelmäßigen w-Ecks mit wachsendem n unter jede Grenze e sinkt. Der Beweis kann so geführt werden: Zieht man zu den Seiten des eingeschriebenen regelmäßigen w-Ecks parallele Tangenten an den Kreis x, dem das n-Eck eingeschrieben ist, so ist das entstehende umgeschriebene regelmäßige w-Eck zu dem eingeschriebenen ähnlich und ähnlich gelegen. Fällt man noch (siehe Fig. 115)

ecke die Lote r und gn, so ist (JJn, r) ~ (un, pn) oder Un: r = un: gn, also Un = rujgn. Daher ist

Un-un = un(r-Çn)/Qn-

Wir vergrößern nun sicher die rechte Seite, wenn wir rechts

1.    statt un den Umfang 8 r des u m geschriebenen regelmäßigen Vierecks einsetzen, den ja kein un erreichen karm, und

2.    für gn im Nenner den kleinsten Wert r/2 nehmen, der überhaupt (im Falle n == 3) vorkommt. Also ist ün — un <8r(r — p„)/(r/2) oder

Un-un<16(r-Qn)-

Die Differenz Un — un wird kleiner als £ ausfallen, wenn wir

16 (r — pw) = s, also Qn = r — f/16 wählen. Zu dem Zwecke hat man nur eine Sehne zu konstruieren, deren Abstand vom Mittelpunkte 0 gleich r — f/16 ist, und diese auf dem Kreise herum abzutragen. Greht das m-mal, aber nicht m -f- 1-mal, und nimmt man w > m, so ist Un — un < E, wie verlangt war.

Wenn man auf einer durch einen Punkt 0 einseitig begrenzten („Halb“)-Geraden g die Umfänge der einem Kreise x eingeschriebenen und umgeschriebenen Vielecke von 0 aus ab trägt, und es sind E±, E₂, Es, ... Endpunkte der Umfänge der ersteren Art, Ut, U₂, U₃, ... Endpunkte der Umfänge der zweiten Art, so ist jede Strecke OE kleiner als jede Strecke OU, und die Differenz OU— OE kann unter jede noch so kleine (positive) Strecke s sinken. Nach Bd. I, § 25 gibt es also einen Punkt K, der zugleich obere Grenze aller Punkte E und untere Grenze aller Punkte U ist. Will man nun dem Kreise einen Umfang zuschreiben, der durch eine gerade Strecke meßbar ist, so kann dies nur die Strecke OK sein, der sich die eingeschriebenen und umgeschriebenen Vielecke mit wachsender Seitenzahl unbegrenzt annähern. Es folgt:

Satz 4. Der Umfang eines Kreises ist größer als der Umfang jedes ihm eingeschriebenen und kleiner als der Umfang jedes ihm umgeschriebenen Vielecks.

7. Jedem eingeschriebenen oder umgeschriebenen Vieleck des bis jetzt betrachteten Kreises % ordnen wir nun ein ähnliches Vieleck eines anderen Kreises x' zu und tragen die Umfänge der zu x gehörigen Vielecke auf einem Halbstrahl g ab, der von einem Punkte 0' begrenzt sei. Dann wird jedem Punkte E oder U von g ein Punkt E' oder U' von g eindeutig zugeordnet, und wegen der Ähnlichkeit verhalten sich entsprechende Strecken von g und g wie die Radien r und r von x und x. Insbesondere entspricht der Strecke OK von g eine Strecke O K von g, die den Umfang von x mißt, und es ist OK : O'K' = r : r.

zu

Dann ist A'C'B' = ACB, und da ACB als

Dazu stimmt nun sehr schön, daß man die Kreise selbst als ähnliche Linien auffassen muß. Die Verbindungsgerade c der Mittelpunkte 0, 0' der Kreise x, x treffe x in A, B, und x in Al, B ; ist nun C ein dritter Punkt von x, so ziehe man durch Ä die Parallele AC, durch B' die Parallele zu BC] der Schnittpunkt der Parallelen sei C.

Winkel im Halbkreis ein Rechter ist, so ist auch A'C'B' ein Rechter, also C auf dem Kreise x gelegen. Jedem Punkte C von x entspricht so ein bestimmter Punkt C von x, und immer ist Ä.Cr\AC, B C j BG. Aus dem Peripheriewinkelsatze folgt leicht, daß überhaupt je zwei entsprechende Sehnen beider Kreise parallel sind. Also sind die Kreise ähnlich und ähnlich gelegen.

Für r = 1 bezeichnen wir den Umfang des Kreises x mit 2jr. Dann ist OK = r ■ O'K'/r' — 2nr, also:

Satz 5. Der Umfang des Kreises vom Radius r ist 2rn, wo % den halben Umfang des Kreises vom Radius 1 oder den ganzen Umfang des Kreises vom Durchmesser 1 bezeichnet.

8. Wie die Umfänge, so haben auch die Inhalte der dem Kreise % eingeschriebenen Vielecke @ dieselbe obere Grenze, welche die Inhalte der umgeschriebenen Vielecke U nach unten abgrenzt. Verbindet man nämlich die Ecken dieser Polygone mit dem Mittelpunkte 0, so zerfallen sie in Dreiecke, und wenn man in jedem Dreieck von 0 auf die Gegenseite die Höhe fällt, so ergibt sich durch Summation der Dreiecksinhalte, daß U den Inhalt \r U hat, wenn U den Umfang von U bezeichnet; hingegen läßt sich von @ aussagen, daß der Inhalt jedenfalls größer ist als %qE, wenn E den Umfang von (5 und q das kleinste der Lote bezeichnet, das von 0 auf die Seiten von © sich fällen läßt. Da nun q die obere Grenze r hat und die U von den E durch die gemeinsame Grenze 2nr geschieden sind, so ist • 27tr = r²7t zugleich die obere Grenze der Inhalte der (S und die untere Grenze der Inhalte der U; der Grenzwert r^7t Avird von keinem dieser Inhalte erreicht und dem Kreise selbst als Inhalt beigelegt, der jene Scheidung in Vielecke kleineren und größeren Inhaltes bewirkt.

9. Zur Berechnung von tc hat schon Archimedes die Tatsache benutzt, daß bei wachsendem n der Unterschied Un — un der Umfänge Un und un des umgeschriebenen und des eingeschriebenen regelmäßigen Vielecks unter jede noch so kleine Grenze e sinkt.    >

Das Wachsen von n wird nach Archimedes am einfachsten durch fortgesetzte Verdoppelung der Seitenzahl bewirkt.

Aus der Seite sn des eingeschriebenen regelmäßigen w-Ecks berechnet sich s%n leicht mit Hilfe des Pythagoreischen Lehrsatzes. Nach Fig. 115 ist:

WO

also

SL - <r-9nf + 'X.'²)³,

»„‘ = r*-(.sJ2y = (4r*-sn*)/4

SŁ = 2r² - 2rŸr* — s//4,

(1)

S2n

= rV2 — j/4 — sn²/r².

Wegen der Ähnlichkeit der in Fig. 115 yorkommenden Dreiecke ist

Sn-r = sn-- Qn>

'S2n

oder

(2)    = rsj Qn = 2 sB/]/4 - s„7r².

Mit Hilfe der Formel (1) läßt sich ^ nunmehr aus irgend einem bekannten sn zuerst s.2n, daraus sin, daraus s8n berechnen u. s. w. ; mittels (2) findet man dazu Sn, S2n, S.

., und schließlich:

Um = mSm, um = msrn für m = 2»,

4«, 8n, .... Dann ist, indem man noch den Durchmesser d = 2r einführt, um < 7td < für m = n, 2n, 4n, Sn, ....

Yon w = 6 ausgehend, wo s₆ = r ist, erhält man angenähert:

4 n> • •

Mg. 115.

«₆    =    3,000006?

w₁₂ ⁼ 3,105836?

«₂₄ ⁼⁼ 3,132636?

= 3,139306?

W96 ⁼ 3,141036?

«₁₉₂ ⁼ 3,141456?

«384 = 3,141566?

m₇₆₈ = 3,141586?

M1536 ⁼ 3,141596?

Auf vier Dezimalstellen abgerundet ist daher jr = 3,1416.

10. Die Zahl 7t hat eine fast viertausendjährige Geschichte, die sich in drei Perioden einteilen läßt.

Erste Periode: Geometrische Berechnung von jc. Die älteste Annäherung von n dürfte % = 3 sein, die vielleicht noch der Urgemeinschaft der semitischen Völker angehört und damals wohl auch zu den Chinesen gekommen ist. Der Wert tc = 3 tritt uns zweimal in der Bibel entgegen. Im 1. Buch der Könige 7, 23 und im 2. Buche der Chronika 4, 2 heißt es von dem großen Wasserbecken, welches als „ehernes Meer“ den Vorhof des Salomonischen Tempels (erbaut um 1000 v. Chr.) zierte, daß es „10 Ellen weit von

Weber u. Wells tein, Enzyklopädie. II. 2. Aufl.

M48

Ue = 3,46410 6? U₁₂ = 3,215396? £7₂₄ = 3,159666? Ui8 = 3,146096? U₉₆ = 3,142716? Um = 3,141876? U₃₈₄ = 3,141666? U₁₆₈ =3,141616? U₁₅₃₆ = 3,14160 6?.

18

einem Rande zum anderen“ war, „und eine Schnur yon 30 Ellen Länge war das Maß ringsum“. Also 7t — 3. — Yon den ältesten Ansätzen der Geometrie bei den alten Ägyptern erhalten wir Kunde aus dem Papyrus Rhind des British Museum, den A. Eisenlohr als „Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter“ (Leipzig 1877) übersetzt und erklärt hat. „Verfaßt wurde das Buch“, wie es selbst am Eingänge berichtet, „unter dem Könige . . . Vwsr-r'³ 4) . . . nach dem Vorbild von Schriften aus den Zeiten des Königs . . . Nj-mjct-r'⁵) durch den Schreiber Lli-rnsw“.⁶) Hier finden wir nun zum ersten Male (in Nr. 41—43, 48, 50) im wahren Sinne des Wortes die Quadratur des Kreises, d. h. die Aufgabe, einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln; die Seite desselben wird gleich dem um 1/9 seiner Länge verminderten Durchmesser genommen, also (2r • 8/9)3 = r²7C, 7t = 3,16 .... Dieser offenbar durch die Erwartung eines rationalen Wertes für die Quadratseite s = r]/% beeinflußte Wert von 7t kann schwerlich rein empirisch sein, ist aber einstweilen vollkommen rätselhaft. Bei Heron von Alexandria (um 100 v. Chr.), der sonst vielfach aus altägyptischen Quellen schöpft, findet er sich nicht. — Nach langen vergeblichen Versuchen griechischer Mathematiker, die Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat, den Umfang in eine längengleiche Strecke zu verwandeln, war es Archimedes von Syrakus (287—112 v. Chr.), der in seiner berühmten Abhandlung über die Kreismessung (KvxAov {latęrjóLg) der Kreisberechnung im wesentlichen die Form gab, in der sie noch heute in den Schulen vorgetragen wird. Mittels des eingeschriebenen und umgeschriebenen regelmäßigen 96-Ecks fand er 3¹⁰/₇₁ < 7t < 3% oder

3,1408    <7t< 3,1428.-.,

eine Leistung, die man um so höher schätzen muß, wenn man die ungeheueren Schwierigkeiten bedenkt, die damals das numerische

zu

Rechnen (ohne Dezimalbrüche) bereitete. Der berühmte Verfasser des Almagest (fisydkrj (jvvra^Lg), Claudius Ptolemäus (etwa 87—165 n. Chr.) ermittelte in Form eines (babylonischen) Sexagesimalbruches 7t = 3°8'30", d. h. je = 3 + 8/60 + 30/60² = 3,14166 .... — Die Römer haben bekanntlich in der Mathematik nicht viel geleistet und auch zur Kreisberechnung nichts beigetragen. Wohl aber war es von den Indern mit ihrem ausgezeichneten Zahlensystem zu erwarten, daß sie auf dem von Archimedes betretenen Wege weiter arbeiten würden. In der Tat ist Aryabhatta (geb. 476 n. Chr.) von der Sechseckseite über das 96-Eck hinaus zum 384-Eck vorgedrungen und zu 7t = 31416/10000 gelangt. Fast gleichzeitig findet sich aber auch die rohere Annäherung 7t =]/10 = 3,162 .... Die Völkerwanderung bewirkt zunächst einen starken Rückgang der wissenschaftlichen Kultur. Im Mittelalter fördern zuerst die Araber wieder die Kreisberechnung durch Konstruktion umfangreicher trigonometrischer Tabellen. Der bedeutendste christliche Gelehrte dieser Zeit, Leonardo Pisano, war der erste, der über Archimedes hinausging, indem er in seiner Practica geometriae (1220) am 96-Eck, wie Archimedes, die Zahl 7t zwischen die engeren Grenzen 1440/458^ = 3,1408... und 1440/458|- = 3,1428... einschloß. — Die folgenden zwei Jahrhunderte brachten keinen Fortschritt in der Behandlung des Problems. In den Jahren 1450—1460 lenkte der Kardinal Nicolaus von Cues (an der Mosel) von neuem die Aufmerksamkeit weiterer Kreise auf die Kreisberechnung und bereicherte (nach arabisch-indischen Vorbildern?) dieselbe durch den Gedanken, umgekehrt von einer gegebenen Strecke ausgehend regelmäßige Dreiecke, Sechsecke, Zwölfecke, ... zu konstruieren, deren Umfang gleich jener Strecke ist, und sich so dem Kreise zu nähern (Arkufikation der Geraden). Seinen Konstruktionen entspricht 7t = 3,1423 .... Weniger Glück hatte er mit der direkten Berechnung und beging, wie einige seiner nächsten Vorgänger, den Fehler, den durch Eingrenzung von jt erhaltenen Wert für genau halten. Diesen Irrtum sehen wir in der Folgezeit immer wieder auftauchen. Die großen Männer der Renaissance erzielten keine besonderen Erfolge. Mit Adrianus Metius beginnt dann am Ausgang der Renaissance eine überaus rechenlustige Zeit, die ihren ganzen Ehrgeiz darein setzte, 7t auf möglichst viel Dezimalstellen zu bestimmen. Adrianus gab den nach dem Schema 113|355 leicht zu merkenden Wert % = 355/113 = 3,1415929 ..., der erst in der 7ten Dezimale unrichtig ist. Der gleichen Geistesrichtung huldigen Adrianus Romanus (gest. 1616), der bis zum 2³⁰-Eck(!) vordrang und so 15 Dezimalen sicherte, ferner Ludolf van Ceulen⁷), der ihn mit

zu

18*

Hilfe des 60 • 2²⁹-Ecks (!) um fünf Dezimalen überbot. Alle drei sind Rechner ohne neue Ideen. Anders der große französische Mathematiker Yieta (1540—1606). Dieser gab die erste exakte analytische Darstellung von % (durch ein unendliches Produkt), worauf wir noch zurückkommen werden. Er gehört schon zu den Mathematikern der nächsten großen Periode, die n durch analytische Ausdrücke zu bestimmen suchen. Die geometrische Periode in der Geschichte der Zahl n schließen Snellius (1580—1626) und Huygens (1629—1695), welche zum ersten Male seit Archimedes die Methode der Eingrenzung des Kreises zwischen eingeschriebene und umgeschriebene Vielecke wachsender Seitenzahl wesentlich verbesserten. Der Fortschritt bestand darin, daß sie die durch ein eingeschriebenes und ein umgeschriebenes w-Eck bewirkte Eingrenzung des Kreisumfanges schärfer ausbeuteten, ohne n zu verdoppeln, indem sie, modern gesprochen, die Anfangsglieder der Arcussinusreihe abschätzten. Der wissenschaftlich schärfer Denkende ist Huygens. Sein Werk: De circuli magnitudine inventa (1654) nennt Rudio⁸) eine der schönsten und bedeutendsten elementargeometrischen Arbeiten, die jemals geschrieben worden sind. Auf Huygens gehen verschiedene Näherungskonstruktionen der Rektifikation von Kreisbogen zurück, die seitdem wiederholt neu entdeckt worden und noch heute in der angewandten Mathematik gebräuchlich sind. Wir werden am Schluß dieses Paragraphen darauf zurückkommen.

11. Zweite Periode. Analytische Darstellung von n. (Vergl. den 24. Abschn. des Bd. I.) Der Formel von Vieta ist schon oben gedacht worden. Mit der Ausbildung der Analysis des Unendlichen erfolgt in der Methode der Kreisberechnung ein großer Umschwung. Mit Hilfe der unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche war man in der Lage, die unendlichen Grenzprozesse, die man nach Archimedes am geometrischen Gebilde vorzunehmen hatte, durch Formeln auszudrücken, die dann für sich weiter zu bearbeiten waren. Das ganze Verfahren des Archimedes selber konnte in eine Formel gebracht werden. Auf anderer Grundlage beruht die Formel von Wallis (1616—1703), die in Bd. I, 2. Aufl., § 137 mitgeteilt ist. Die von Gregory (1670) und Leibniz (1673) entdeckte Arcustangensreihe (Bd. I, § 121) gestattete eine vollständige Loslösung der Bestimmung der Zahl n von der Geometrie. Mittels des Additions-theorems des Arc tg gewinnt man nach dem in Bd. I, 2. Aufl., § 134 angegebenen Verfahren sehr stark konvergierende Reihen, die von verschiedenen Rechnern benutzt wurden, um tc auf mehrere hundert Dezimalen genau zu bestimmen. (Vergl. Bd. I, § 134.) Wichtiger als alle diese Reihenentwicklungen ist die Entdeckung des Zusammenhanges zwischen den trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion durch Leonhard Euler (1707—1783), dem die Trigonometrie ihre jetzige Form verdankt. In seiner Introductio in analjsin infinitorum, I, p. 104, bringt Euler die Funktionen sin x und cos x mit der Exponentialreihe in Verbindung durch die folgenreichen Formeln

e-ix = cos x — i sin x,

eix = cos x + i sin x,

(Bd. I, 2. Aufl., § 127), die zusammen mit e2ni = 1 die ganze Trigonometrie umfassen. Auf diese Formeln sollte sich später der Beweis der Transzendenz von n stützen.

12. Dritte Periode. Erforschung des Zahlencharakters von n. Wir können uns den Eindruck nicht groß genug vorstellen, den die überraschenden Entdeckungen der Analysis auf alle denkenden Geister machen mußten. Jahrhunderte hatte man der Mathematik

finden.⁹) Da veröffentlichte im Jahre 1766 J. H. Lambert (geb. 1728 zu Mülhausen im Elsaß, gest. 1777 in Berlin) gerade zur rechten Zeit seine Abhandlung: „Vorläufige Kennt-

nur in mühsamer Arbeit ihre Geheimnisse abgerungen, und nun spendete sie ihre Wahrheiten in überraschender Fülle. Und trotzdem wollte es nicht gelingen, die Quadratur des Zirkels im engeren Sinne des Wortes zu finden; man verstand darunter eine begrifflich exakte Konstruktion des dem Kreise flächengleichen Quadrates nach Art der gewöhnlichen Konstruktionen der Elementargeometrie, d. h. mit alleiniger Hilfe von Zirkel und Lineal in einer endlichen Zahl von Operationen. Während die bedeutenderen Mathematiker anfingen, an die Unlösbarkeit der Quadratur und die Transzendenz der Zahl 7t zu glauben, bemächtigten sich immer mehr Unberufene des Gegenstandes. Wohl kein Problem der Geometrie ist so populär geworden wie die Quadratur des Zirkels; schien doch sein Sinn jedem Laien ohne weiteres verständlich, und indem man die Bedeutung der numerischen Berechnung von tc für die Geometrie völlig überschätzte, machten sich Berufene wie Unberufene daran, „des Zirkels Viereck“ zu

nisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen“, worin er zeigte: Ist x eine von Null verschiedene rationale Zahl, so kann weder ex noch tg x rational sein. Wegen tg jt/4 = 1 folgt daraus die Irrationalität von n. Damit war die Unmöglichkeit der Quadratur im engeren Sinne natürlich noch nicht bewiesen, denn j£ konnte etwa den Charakter der Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl haben, die immer mit Zirkel und Lineal in einer endlichen Zahl von Operationen auf Grund des Pythagoreischen Lehrsatzes konstruierbar ist. Wohl aber war der Anstoß und die Grundlage gegeben, die Zahlennatur von % zu untersuchen, und Lambert hatte geradezu das Problem gestellt, zu beweisen, daß % nicht Wurzel einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein könne. Zahlen, die einer solchen Gleichung genügen, werden algebraische genannt; zu ihnen gehören die rationalen als Lösung einer Gleichung ersten Grades mit rationalen Koeffizienten; jt sollte also eine nichtalgebraische Zahl, d. h. eine transzendente Zahl sein. Im Jahre 1840 glückte es Liouville, die Existenz transzendenter Zahlen darzutun; 1873 bewies daun Hermit e die Transzendenz von e, der Basis der natürlichen Logarithmen, nachdem schon Liouville gefunden, daß Aveder e noch e² einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen kann. Auf Grund der Hermiteschen Arbeit brachte endlich F. Lindemann im

Jahre 1882 das uralte Problem der Quadratur zum durch den NachAveis der Transzendenz von n (siehe Bd. I, 26. Absehn.).

Abschluß

13. Aus der Transzendenz von % folgt die Unmöglichkeit, n mit Zirkel und Lineal allein begrifflich exakt in einer endlichen Zahl von Operationen zu konstruieren, denn alle durch Zirkel und Lineal exakt konstruierbaren Strecken lassen sich aus den schon gefundenen (im wesentlichen nach dem Pythagoreischen Lehrsatz) durch Ziehen von Quadratwurzeln berechnen; eine in diesem Sinne konstruierbare Strecke läßt sich also aus den gegebenen Strecken darstellen durch eine Kette neben- und übereinander gestellter Quadratwurzeln, genügt daher einer algebraischen Gleichung.

Wenn demnach eine exakte Konstruktion von tc im angegebenen Sinne unmöglich ist, so wird es in vielen Fällen der praktischen Geometrie darauf ankommen, hinreichend genaue Näherungsverfahren zur Rektifikation von Kreisen und Kreisbogen zu besitzen. In vielen Fällen wird n = 22/7 ausreichende Genauigkeit geben; auf die daraus folgende Rektifikation des Kreises brauchen wir Avohl nicht einzugehen; sie ist übrigens nur insofern einfach, als sie sich leicht begründen läßt. .Viel leichter und kürzer, aber schwerer zu

beweisen ist die Konstruktion, die Huygens in seinem oben zitierten W erke als Lehrsatz XIII aufführt: Um einen Bogen AB' zu rektifizieren (siehe Fig. 116), trägt man auf dem Radius OA die Strecke OC gleich dem Durchmesser so ab, daß 0 zwischen A und C liegt, und bringt die Gerade CB' mit der Tangente des Punktes A. zum Schnitt; ist B der Schnittpunkt, 1 so ist angenähert AB = arc AB'.

Den Beweis wollen wir analytisch führen.

B'

/ II

/<P

0 rcosfA '    4

Fällt man noch B'Ai _L CA, so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke CA B' und CAB, indem wir B'OA mit cp, die Strecke AB mit s bezeichnen:

Fig. 116.

s = 3r • sin <p/(2 + cos cp).

sjr sin cp = 3r/(2r + r cos cp),

Unter cp wollen wir jetzt genauer den Bogen verstehen, der im Kreise mit dem Radius 1 dem Zentriwinkel AOB' entspricht; man nennt diesen Bogen das absolute Maß des Winkels. Dann ist arc AB' — rep, und es wird zur Beurteilung der Genauigkeit der Konstruktion darauf ankommen, den Unterschied A = rcp — s der wahren und der angenäherten Bogenlänge rep und s zu bestimmen. Zu dem Zwecke entwickeln wir 3 sin cp/(2 -j- cos cp) in eine nach ganzen Potenzen von cp ansteigende Reihe, indem wir für sin cp, cos cp die in Band I, 2. Aufl., § 127 gefundenen Reihenentwicklungen ein-setzen und die Division ausführen.

Eine kurze Rechnung gibt:

cp⁵

3 sin cp 2 Ä cos cp

Der „Fehler“ A der Annäherung ist demnach positiv und ungefähr der fünften Potenz des Winkels cp, der ersten Potenz des Radius r proportional. Bei 60 Grad ist cp — 2a/6 = 1,05; bei 30 Grad ist cp = 0,52. Aus der letzten Gleichung entnimmt man aber

z/ = 2do (ungefähr)>

A — r

^ ~ 59ÖÖ ”

für cp = 1:

r (cp

180

1512

Bei Winkeln, die nicht über 30 Grad gehen, ist also die Genauigkeit der Annäherung ganz außerordentlich; man darf den Radius unbedenklich bis zu 100 cm annehmen, ohne auf dem Reißbrett einen merklichen Fehler zu erhalten. Das Zwölffache des rektifizierten Bogens von 30 Grad ist gleich dem Umfang. In den meisten Fällen der darstellenden Geometrie, wo r nicht über 5 cm ist, darf der Winkel des Bogens bis zu 60 Grad betragen.

Huygens gibt noch ein anderes, praktisch weniger brauchbares Verfahren zur Rektifikation des Bogens an (Aufgabe III 1. c.), dessen Fehler ebenfalls zu r und der fünften Potenz des Zentriwinkels proportional, aber kleiner ist wie in der oben angegeben Konstruktion.

Neuerdings haben sich Lampe (Mathesis (2) 7, 1897) und Stäckel (Arch. d. Math. u. Phys. (3), 11) mit der Verallgemeinerung der Formel s = 3r sin <p/(2 -f cos <p) beschäftigt, die übrigens von Nicolaus Cusanus herrührt.

14. Zum Schlüsse wollen wir noch ein Verfahren der Rektifikation besprechen, das geometrisch der Methode von Archimedes überlegen ist und wohl verdiente, der elementaren Kreisberechnung zugrunde gelegt zu werden, wenn nicht das Archimedische Verfahren mehr dem Begriffe der Bogenlänge angepaßt wäre; denn es wird doch immer das Natürlichste bleiben, die Bogenlänge als Grenzwert eines eingeschriebenen Vielecks von unbegrenzt viel Seiten aufzufassen. — Es sei der Bogen OA eines Kreises G vom Radius r zu „strecken“ (Fig. 117), d. h. in eine längengleiche Strecke zu ver-

T/2,

y/2

CZ

SL

's

Vig. 117.

wandeln. Der Durchmesser OC trifft den Kreis in einem Punkte Cx, so daß AC₁0 = ACO/2 = <p/2 ist, wo <p das absolute Maß von ^CACO sei. Dann ist arc AO = r(p, und wenn wir um Cx den Kreis mit dem Radius CxO schlagen, so wird derselbe vom Radius CXA in einem Punkte Ax getroffen, so daß arc OAx = 2r ■ qp/2 = r<p ist. Also ist arc OA = arc OAx Das Verfahren läßt sich nun be-liebig oft wiederholen: Man mache C[C₂ = Cx0, schlage um C₂ den Kreis mit dem Radius C₂0 und bringe denselben mit dem Radius C₂AX zum Schnitt. Ist A₂ der Schnittpunkt, so ist arc 0A₂ — arc 0A1 = arc OA- u. s.w. Die Kreise werden immer größer, 0C₃ = 2 0C₂, 0Ci = 2 0C₃ u. s. w., arc OA = arc 0AL = arc 0A.₂ — arc 0A₃ = arc 0A4 = ••■, die Bogen aber bleiben sich gleich, werden daher immer flacher und nähern sich unbegrenzt der Strecke 0An. Je größer n, um so mehr wird die Strecke 0An dem Bogen OA gleich. — Die Konstruktion wird aber in dieser Gestalt praktisch unausführbar, da die Punkte C über den verfügbaren Raum hinausgehen. Dem kann durch die Überlegung abgeholfen werden, daß AxA₂ _L 0At, A₂A₃ _L 0A₂, A₃A₄ _L 0A₃, . . ., und daß 0AX den Winkel AOT,¹) 0A₂ den Winkel A₂OT halbiert u. s. w. Daher die aus Fig. 118 unmittelbar ersichtliche Konstruktion, die im vorliegenden Falle schon bei 0A3 abgebrochen werden kann.

Zieht man noch AB _L CO, so ist

OA = BA : cos <p/2,

AB = r sin (p,

0AX = OA : cos cp/4,    0A₂= 0AX : cos (p/8, • • •.

Daher:

0An =

r sin qp

COS qp/2 • COS qp /4 • COS qp/8

cos cp/2n+¹ ’

gültig, wenn <jo unterhalb zwei Rechten liegt, also für qp < jr. Daß diese Formel für wachsendes n den Bogen OA — rep immer genauer darstellt, folgt aus der Eulerschen Formel

_    sin qp

^ cos qp/2 • cos qp/4 • cos qp/8 • • • • ad inf.

Fig. 118.

(Opuscula anal. I, pag. 346). Für cp — tc/2 folgt hieraus die Vieta-sche Darstellung von jt/2, deren wir oben gedachten. Es ist sehr anschaulich, sie aus 0An entstehen zu lassen.

Endlich sei noch bemerkt, daß im rechtwinkligen Dreieck OAnCn+1 (Fig. 117), die Hypotenuse 0Cn + 1 = 2n + 1r, die Kathete

Ąfiu+i == Y(2n + lrf — sM³, wo    = 0An, also

AnAn+1 — Cn+1An+1 Cn+1An Cn+10 Cn+1An

= 2n~¹r — ]/(2” + 1r)² — s„,

1) T sei ein Punkt der Tangente von 0, der mit A auf derselben Seite von AC liegt.

und im rechtwinkligen Dreieck OAnA

daher

= OA°+I - sn² + 4„4?+l = s,,⁸ + (2” + +-|/(2" ⁺ V)’-v>)s

ist. Mit alleiniger Hilfe des Pythagoreischen Lehrsatzes und des Satzes vom Peripheriewinkel lassen sich demnach die Strecken OAn — sn aus OA = s berechnen:

“ V + (ß" + lr—]/(2" + V)a — s„³)⁸,

auf OT

71 + 1

die mit wachsendem w sich dem Bogen OH nähern. Dieser umfassenden Bogenberechnung ließe sich leicht eine obere Grenze geben in den Strecken OZn, welche die Geraden C, abgrenzen. Auch gelingt es mittels des binomischen Lehrsatzes leicht, aus der letzten Formel die Differenz sn + 1 — sn abzuschätzen, die für die Beurteilung der Konvergenz des Verfahrens maßgebend ist.

§ 24. Sätze und Aufgaben über den Kreis.

1. Zur Anwendung der grundlegenden Lehrsätze und Herstellung des Zusammenhanges mit den in den „Grundlagen“ eingeflochtenen elementargeometrischen Betrachtungen wollen wir einige Aufgaben aus der Geometrie des Kreises folgen lassen.

Die Halbierungsgeraden der Winkel a, ß, y eines Dreiecks ABC und die der Nebenwinkel schneiden sich zu je dreien in vier Punkten I, Ia, Ib, Ic, den Mittelpunkten von vier Kreisen, die alle Seiten des Dreiecks oder ihre Verlängerungen berühren,- I sei das Zentrum des „Inkreises“, der die Seiten selbst berührt; la der Mittelpunkt des „Ankreises“, der die Seite a oder BC selber, die anderen Seiten in ihren Verlängerungen berührt (siehe Fig. 119). Wir bezeichnen den

Ib I *    X,,

y Ya Yb T„ Y Za Zb Zc.

Berührungspunkt des Kreises I Ia und der Geraden a mit 6 »

Die Strecken, in welche die Seiten durch diese Punkte zerlegt werden, seien aus den Seiten zu bestimmen. Wegen Kongruenz der Dreiecke AYI, AZI ist 17= 17; ebenso BZ=BX, CX=CY.

Setzt man die beiden von A ausgehenden gleichen Strecken gleich sa, die von B ausgehenden gleich sb, die von C ausgehenden gleich sc, so ist

a = Sb+Sc, b = S; + Sa, c = * + 5,

(1)

also

(2) sa = s — a, sb = s — b, sc = s — c, wo a H- b + c = 2s.

Ferner hat man:

a = CXc — 51

C?

b = CY'-AYe, c = AZc + BZ₍

i/Ç-X

/i

Fig. 119.

und da CYc = CXc, = AYC, BXC - ist,

a=GXc-BZc, b = CXc — AZC, c = AZ₀ + BZc,

daher

(3) CXc = CYc = s, AYC = AZC = s — b, BZc = BX₀ = s-a,

woraus u. a. folgt, daß AZ = BZa ist, d. h.:

Satz 1. Die im Innern einer Dreiecksseite gelegenen zwei Berührungspunkte sind symmetrisch zu den Endpunkten der Seite.

Da BXC = BZC = sa, CXb = CYb = AY = sa, so folgt analog:

Satz 2. Die auf der Verlängerung einer Dreieckseite gelegenen zwei Berührungspunkte sind ebenfalls symmetrisch zu den Endpunkten der Seite.

Bei Untersuchungen metrischer Natur ist es zweckmäßig, der von einem Punkte P an einen Kreis x gehenden Tangente PQ die Strecke PQ als Länge beizulegen, wenn Q der Berührungspunkt ist. Die erste Formel (3) ergibt dann:

Satz 3. Die Tangenten von einem Eckpunkte des Dreiecks an den die gegenüberliegende Seite berührenden Ankreis sind je gleich dem halben Umfang s.

Merkt man sich noch die Formeln (1) und (2), so kann man mit Hilfe dieser Sätze leicht die in Fig. 121 auf den Seiten vorkommenden Strecken durch a, b, c ausdrücken.

Auch löst man jetzt leicht die im vorigen Paragraphen gestellten Aufgaben, ein Dreieck aus c, a + b — c = 2sc und dem Radius r des Umkreises oder aus c, s und r zu konstruieren; da sc = s — c, so sind beide Aufgaben einander äquivalent. Durch r und c ist nach dem Peripheriewinkelsatz y als Peripheriewinkel im Kreise mit dem Radius r über c als Sehne bestimmt. Auf den Schenkeln des Winkels y trage man vom Scheitel, der C heißen möge, CYc = CXc = s ab (Fig. 119) und konstruiere den Kreis lc, der die Schenkel in Xc und Yc berührt; macht man noch auf CXc und CYc die Strecken CX und CY je gleich s — c, so schneiden sich die in X, Y auf den Schenkeln errichteten Lote im Zentrum I des Inkreises, und AB wird als Tangente der Kreise I, Ic gefunden. Damit die Lösung möglich ist, darf keiner der Kreise den anderen schneiden oder einschließen, also die Größe von 2sc eine gewisse Grenze ô nicht überschreiten.

2. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke GY1 und CYcIc der Fig. 119 folgt, wenn wir die Radien der Kreise I, Ia, Ib, I₀ mit q, ça, Qb, pc bezeichnen:

9 :    = Qc:

andererseits sind auch AZI und ICZCA ähnlich, da die Dreiecke rechtwinkelig sind und ICA auf Al senkrecht steht. Daher ist:

ç:sa^sb: Qe,

und aus beiden Formeln folgt durch Multiplikation: q²:sasc = sb: s oder Q² = sasbsc : 5, sowie durch Division : sa:sc = q² :    oder q² == ssasb : se.

Satz 4. Zwischen den Radien der vier Berührungskreise und den aus den Seiten a, b, c abgeleiteten Strecken s, sa, sb, sc bestehen die Relationen:

(4) q = Ysasbsc/s, Qa = Yssbsjsa, Qb = Vsscsjsb, Qc = VsSaSjSc .

Da die Fläche ABC sich aus den Dreiecken AIB, B1C, CIA zusammensetzt, so ist der Inhalt J von ABC gleich cp/2 -f- aç/2 + bq/2 = sp; aus ABC = AlcC + BIcC — AICB folgt ebenso: J= & pc/2 + «pc/2 - cpc/2 = s₀pc.

Satz 5. Aus den Größen des vorigen Satzes berechnet sich J nach den Formeln:

(5)

J=SQ = SaQa = SbQb = SCQC.

Aus Satz 4. und 5. folgt speziell die von Heron von Alexandria gefundene Inhaltsformel

(6)

jss asbsc.

Nach der Definition des Inhaltsmaßes ist

(7)    J = ahJ2 - U J2 - chJ2,

wo ha, hb, hc die Höhen bezeichnen; diese sind also vermöge (6) aus s, sa, sb, sc zu berechnen.

[I)

Fig. 120.

Auch mit dem Radius des Umkreises 0 stehen die Seiten in einer leicht angebbaren Größenbeziehung (siehe Fig. 120). Ist D der andere Endpunkt des Durchmessers OC, so ist BAC ein ^ rechter Winkel und JfiABC = ABC als Peripheriewinkel über der Sehne AC. Daher sind die Dreiecke CAB und CHcB ähnlich (Hc ist der Fußpunkt der Höhe hc), und es ist:

(8)

2r : b = a : ha, 2r = ab : hc = abc : chc = abc : 2 J oder 4r = abc[J.

3. Eine fruchtbare Umformung der Ähnlichkeitssätze ist der Sehnen- und Sekantensatz. Wenn zwei Sehnen AB' und BA' eines Kreises sich in einem Punkte V schneiden (Fig. 121), so heißen die Strecken VA, VB' die Abschnitte der Sehne AB ', ebenso sind TJA, TJA' die Abschnitte, die TJ auf der Sehne AÄ bewirkt, und zwar auch in dem Falle, daß TJ außerhalb des Kreises liegt. Dann lautet der

Satz 6. Wenn durch einen Punkt P zwei Sehnen oder Sekanten eines Kreises gehen, so ist das Produkt der Abschnitte, die der Punkt J* auf der einen Geraden bestimmt, gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen; findet umgekehrt die Gleichheit jener Produkte statt, so liegen die Endpunkte der vier Abschnitte (außer dem Punkte P) auf einem Kreise.

Beweis. Liegt der gegebene Punkt U außerhalb des Kreises auf den Sekanten AÄ und BB', so folgt aus der Ähnlichkeit der

Der Beweis

AA

Fig. 121.

Dreiecke AB' U und BA U (siehe Fig. 121): UA : FP' = UB : UÄ oder UA • UA' = UB ■ UB'. bleibt noch richtig, wenn A' und A in einem Punkte T zusammenfallen und UA zur Tangente in T wird: UT2 = UA ■ UA'. — Liegt der gegebene Punkt Finnerhalb^des Kreises (Fig. 121), so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AVA' und BVB' ebenso VA • VB' = VB • VA'. — Die Umkehrung des Satzes wird indirekt bewiesen.

¹

Der Sekanten- und Tangentensatz, dessen Anwendung hier am Platze wäre, wird erst im nächsten Paragraphen abgeleitet werden.

²

In der Zeitschrift für Assyriologie (Bezold), 12, pg. 73—95 macht G. Kewitsch darauf aufmerksam, wie unsicher unser Wissen über diesen Gegenstand immer noch ist und sucht umgekehrt das Sexagesimalsystem und die Teilung des Kreises in 360 Grad von einem künstlichen Zählverfahren ahzuleiten.

³

   Bei Eisenlohr: Ra-ä-us.

⁴

   Bei Eisenlohr: Ra-en-mat.

⁵

   Bei Eisenlohr: Ahmes. Die Eisenlohrschen Transkriptionen, die sich auch in der mathematisch-historischen Literatur festgesetzt haben, beruhen auf der seither als unrichtig erkannten Lesung einiger Hieroglyphen als Vokalzeichen oder als Silben mit inhärierendem Vokal sowie bei 1) und 2) auf Verkennung einer Regel des höflichen Schreibstils. — Die ägyptische Schrift ist, wie man jetzt weiß, eine reine Konsonantenschrift; die Vokale kann man nur mittels des Koptischen, sowie der assyrischen, hebräischen und griechischen Transkriptionen von Eigennamen einigermaßen rekonstruieren. Der Name 1) dürfte *(‘)A(3)-wüsi-rë(c)

⁶

lesen sein, 2) etwa *Na-ma(3cet)-rë(c), 3) *eJ(c)ah-möse(w) mit Abschleifung der ein geklammerten Laute; 2) ist der Aagapi? des Manetho, mit dem Rufnamen A(’)men-em-hët III, dem jfytpsvsg/s der Griechen (18. Jahrh. v. Chr.); 3) lautet bei den Griechen stark abgeschliffen kßcoGiq.

⁷

Vergl. die Anm. zu § 134 im ersten Band.

⁸

F. Rudio: „Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Deutsch herausgegeben und mit einer Übersicht über die Geschichte des Problems von der Quadratur des Zirkels . . . versehen. Leipzig 1892.“ Dieses schöne Buch ist bei der Abfassung der obigen historischen Skizze außer M. Cantor und Hankel vielfach benutzt worden.

⁹

Wie zahlreich diese Versuche waren, ist daraus zu entnehmen, daß die Pariser Akademie sich im Jahre 1775 zu der Erklärung veranlaßt sah, keine Lösung der Quadratur mehr der Durchsicht unterziehen zu wollen.

Auf diesen einen Satz gründet sich der ganze Inhalt des § 9, dessen planimetrischen Teil man nun herübernehmen kann; das ist also die Lehre von der Potenz, von der Inversion und von den Kreisbüscheln.

4.    Von den Sätzen über die Inversion heben wir noch einmal hervor, daß zu einem Kreise x stets wieder ein Kreis x invers ist, der auch in eine Gerade ausarten kann. Die Tangenten aus dem Inversionszentrum 0 an den Kreis x müssen auch x berühren; das Inversionszentrum ist daher ein Ähnlichkeitspunkt der beiden inversen Kreise.

Sind umgekehrt zwei Kreise x, x gegeben, und legt man aus einem der Ähnlichkeitspunkte 0 an beide Kreise die Tangenten a, b, die von x in A, B, von x in A', B' berührt werden mögen, so ist OA • OA' = OB • OB' die Potenz einer Inversion mit dem Mittelpunkte 0, die x in x verwandelt. Es folgt:

Satz 7. Zwei Kreise x und x bestimmen immer zwei Inversionen, durch welche sie ineinander übergeführt werden. Zentra der Inversion sind der innere und der äußere Ähnlichkeitspunkt. Invers sind immer zwei auf nicht parallelen Radien gelegene Punkte eines ^„Ähnlichkeitsstrahls“ (so heißt jede Gerade durch einen Ähnlichkeitspunkt).

5.    Satz 8. Zwei Kreise werden von einem dritten Kreise immer in zwei inversen Punkten (einer der in Satz 7 genannten Inversionen) berührt.

Seien x, x die gegebenen Kreise (siehe Fig. 122 und 123) und X (oder <3) der Berührungskreis; M, N, L (S) seien die Mittelpunkte von x, x, X (n) und A, A' die Berührungspunkte von X mit x, % (ebenso B, Bt die Berührungspunkte von 6 mit x, x). Die Berührungspunkte liegen immer auf der Zentrale, also A auf ML, Ä auf NL (.B auf MS, Bx auf NS). Nun ist ALA' (.BSBX) ein gleichschenkliges Dreieck, daher LAA' = LA'A- wir wollen diese Winkel mit a bezeichnen. Die Gerade AA treffe x noch in 51; dann ist auch M% = MA, also <£ M%A = MA% = a, daher M% NÄ, d. h. die Punkte 31, Ä sind entsprechende Punkte bei der Ahnlichkeitsbe-ziehung, welche die Punkte M und N einander zuordnet; AA' geht also durch einen der Ahnlichkeitspunkte von x

und x, und da 31, Ä

K’

CC.

CC,

N/

<L

\<r

Pa

23

t'S

Fig. 122.

zugeordnete Punkte sind, A der Beipunkt von 31 ist, so sind A und A' invers (ebenso B und B'). — In Fig. 122_ liegt Ähnlichkeit mit äußerem, in Fig. 123 Ähnlichkeit mit innerem Ähnlichkeitspunkte vor.

Nach Satz 2, § 8, ist jeder gemeinschaftliche Berührungspunkt zweier Kreise x, x zu sich selbst invers bei einer der zwei Inversionen, die x in x verwandeln.

6. Nach Satz 8. geht die Verbindungsgerade der Punkte, in denen zwei Kreise xL, x₂ von einem dritten X berührt werden, immer durch den inneren oder äußeren Ähnlichkeitspunkt von xx, x₂, .und die Berührungspunkte sind invers in einer Inversion, die den Ähnlichkeitspunkt zum Zentrum 0 hat, wie wir in Satz 7. gesehen haben. Alle Kreise aber, welche in 0 die für jene Inversion charakteristische Potenz haben, gehören einem Bündel an, durch dessen Angabe die Inversion mitgegeben ist. Dieses Bündel wollen wir das „Bündel des

Ahnlichkeitspunktes 0“ oder auch das „Ähnlichkeitsbündel 0“ nennen. Wir können dann sagen:

Satz 9. Die Kreise, welche zwei Kreise xx, x₂ berühren, gehören einem der beiden Ähnlichkeitsbündel von

xl7 x₂ an.

Satz 10. Jeder Kreis X eines der Ahnliehkeitsbündel zweier

Kreise

auch den anderen schneidet, schneidet sie unter

*i,

der einen dieser Kreise und dann

gleichen Winkeln.

Denn da X zu sich selbst invers ist (im Bündel) und xr in x₂

■vci

łc'

2t

Fig. 123.

übergeht, so ist der Winkel (x1} X) invers zu (x₂, X), also gleich dem Winkel (x₂, X).

Der Satz 10. ist umkehrbar und enthält dann den Satz 9. als besonderen Fall.

Satz 11. Jeder Kreis X, der zwei Kreise xx, x₂ unter gleichen Winkeln schneidet, gehört einem der Ähnlichkeitsbündel x±, x₂ an.

Der Satz kann direkt durch eine Figur bewiesen werden, welche Fig. 122 oder 123 als speziellen Fall mit dem Schnittwinkel cp = 0 enthält. Man kann auch folgendermaßen schließen: Durch jede Inversion J, deren Zentrum C auf X liegt, geht X in eine Gerade X' über, welche die zu x₁, x₂ inversen Kreise x/, x₂ gleichwinklig schneidet und daher durch einen Ähnlichkeitspunkt S' von xtr und x2 geht. Das Bündel der Inversion, die xt' in x₂ und X' in sich selbst verwandelt, gellt durch die Inversion J über in das Bündel einer Inversion, die xx in x₂ und X in sich selbst verwandelt, also in eine der zwei Inversionen, die den Ahnlichkeitsbündeln entsprechen, und X gehört einem Ahnlichkeitsbündel an.

7. Jetzt folgt:

Satz 12. Alle Kreise, die drei nicht einem Büschel angehörige Kreise xx, x₂, x₃ unter gleichen Winkeln schneiden, bilden zusammen vier Kreisbüschel.

zwei inneren Ahnliehkeitspunkten ge-

zu

Alle Kreise, die xt und x₂, sowie x₂ und x₃ gleichwinklig schneiden, treffen auch x₃ und xx unter gleichen Winkeln; daraus folgt, daß jeder Kreis, welcher einem Ahnlichkeitsbündel S₁₂ von x1 und x₂ sowie einem Ahnlichkeitsbündel S₂₃ von x₂ und x₃^ angehört und einen dieser Kreise schneidet, auch einem Ahnlichkeitsbündel S₃₁ von x₃ und xx angehört. Die gemeinsamen Kreise zweier Bündel S₁₂, S₂₃ bilden aber ein Büschel; dieses muß auch dem Bündel S3l angehören. Da alle Kreise des Büschels in den Zentren Sx, S₂, S₃ von S₂₃, S3i, S₁₂ gleiche Potenz haben, so liegen diese drei Punkte auf der Potenzlinie des Büschels. Die sechs Ahn-lichkeitspunkte von drei Kreisen liegen also zu dreien auf einer Geraden, einer „Ahnlichkeitsachse“. Jetzt wird jeder Kreis, der den Bündeln S₁₂ und S₂₃ angehört, auch zu S₃₁ gehören, selbst wenn er keinen der Kreise xt, x₂, x₃ schneidet, denn er gehört dem Büschel an, und alle Kreise des Büschels gehören auch zu S₃₁. Da es nun zwei Bündel S₁₂ und zwei Bündel S₂₃ gibt, so gibt es vier Büschel, deren Kreise (nach Satz 10.) die Kreise xlf x₂, x₃ gleichwinklig schneiden. — Den vier Büscheln entsprechen vier Ahn-lichkeitsachsen als Potenzlinien. Sind Kx, K₂, K₃ die Mittelpunkte von x1} x₂, x₃, so findet man die Ahnliehkeitspunkte am einfachsten, indem man parallele Radien K₁AX\K₂A₂ K₃A₃ zieht und die Verbindungsgeraden homologer Punktepaare mit der Zentrale zum Durchschnitt bringt. Haben die Strecken KXAX und K₂A₂ entgegengesetzten Sinn, ebenso K₂A₂ und K₃A₃, so haben KXAX und K₃A₃ gleichen Sinn, d. h. hört als dritter immer ein äußerer, der mit ihnen in gerader Linie liegt; das ist der Satz von Desargues, angewandt auf die Dreiecke Kx, K₂, K₃ und A1} A₂, A₃.¹) Ist also Jhk der innere, Ahk der äußere Ähnlichkeitspunkt von Kh, Kk, so liegen je auf einer Geraden:

19

Daß keine zwei äußere Ahnlichkeitspunkte mit einem inneren in gerader Linie liegen können, folgt daraus, daß, wenn K₁A₁ und K₂A sowie K₂A₂ und K₃A₃ gleichsinnig sind, auch K₁A₁ und K₃A gleichen Sinn haben.

8. Unter den Kreisen der vier Büschel, die der Satz 12. nennt, befinden sich auch die Berübrungskreise von xlf x₂, x₃, falls solche

e'

\P

7c

B"

ec

■y

Fig. 124.

existieren. Da man die vier Büschel leicht finden kann, so käme es zur Lösung des Apollonischen Berührungsproblems nur darauf an, in einem Kreisbüschel diejenigen Kreise zu finden, die einen gegebenen Kreis x₁ (oder x₂ oder x₃) berühren. Diese auch für die Kegelschnittlehre wichtige Aufgabe ist jetzt leicht zu lösen: Sind a, ß, y, . . . Kreise des gegebenen Büschels, h der Kreis, welcher von einem Kreise s des Büschels berührt werden soll, und konstruiert man die Potenzlinie pak von a und 1t, so trifft diese die Potenzlinie p des Büschels in einem Punkte S, in dem erstens die Kreise des Büschels und zweitens auch a und 1c gleiche Potenz haben; folglich haben auch ß und k, y und k, .. . in S diese Potenz, so daß also auch die Potenzlinien

pek, . . . durch S gehen. Die Potenz-

P(3k> Pyk> • •

linie p^k ist aber die gemeinschaftliche Tangente von s und k im Berührungspunkte, diese geht also durch S, und da man S leicht finden kann, so ist die Aufgabe im Prinzip gelöst. Die einfachste praktische Lösung wird nun die sein (siehe Fig. 124): Man sucht die Potenzlinie p des Büschels, wählt einen Kreis y desselben, der k schneidet, und zieht die gemeinsame Sehne, die zugleich die Potenzlinie pyk von y und k ist, bestimmt den Schnittpunkt S beider Potenzlinien, legt von S an einen der Kreise des Büschels*) (oder an k) die Tangente, wozu im Falle eines hyperbolischen Büschels einfach die von S zu einem der Punktkreise gehende Strecke dienen kann, und schlägt um S mit der zum Berührungspunkte reichenden Strecke den Kreis; dieser trifft k in den Berührungspunkten B', B". Die Geraden KB', KB", wo K das Zentrum von k, treffen dann die Zentrale des Büschels in den Mittelpunkten JE', E" der zwei gesuchten Berührungskreise s, e".² 3) — Damit S existiert, darf pyk nicht mit p identisch sein, d. h. k darf nicht dem Büschel angehören.

9. Die Lösung des Apollonischen Problems⁴) ist nach diesen Vorbereitungen sehr leicht. Die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise kx, k₂, k₃ seien Kx, K₂, K₃ (siehe Fig. 125). Mittels dreier paralleler Radien KXLX, K₂L₂, K₃L₃ konstruieren wir die vier Ahnlich-keitsachsen. Eine derselben sei p, die darauf liegenden Ahnlichkeits-punkte S₁₂, S₂₃, S₃₁. Es gilt nun, das zugehörige Büschel zu bestimmen. Ein beliebiger Strahl durch Sx2 treffe kx, k₂ in Cx, C₂, und der Strahl S₂₃C₂ treffe k₃ in 0₈; dann sind Gx, C₂ inverse Punkte in dem Ahnlichkeitsbündel (Sx2), das zu S₁₂ gehört, ebenso C₂, C₃ inverse Punkte im Bündel (S₂₃). Folglich gehört der Kreis y, der durch Cx, C₂, C₃ geht, zum Bündel Sx2 und S₂₃, also zum Büschel, das der Ahn-lichkeitsachse p entspricht; p ist die Potenzlinie dieses Büschels, und nun haben wir die Kreise e, e" des Büschels zu suchen, die etwa kx und damit k₂, k₃ berühren, Zu dem Zwecke hat man etwa kx mit dem Kreise k der Fig. 124, die Potenzlinie p mit der gleichbenannten dieser Figur, den Kreis y mit dem Kreis y der Figur zu identifizieren und erhält dann leicht die Berührungskreise e, e".

Den vier Ähnlichkeitsachsen entsprechen vier Paar Berührungskreise. Durch Grenzübergang der gegebenen Kreise in Punkte und

19*

Geraden entstehen zahlreiche Einzelfälle, in denen die obige Konstruktion im wesentlichen bestehen bleibt. Gehören die gegebenen Kreise einem Büschel an, so versagt die Konstruktion, wie oben am Schlüsse von Art. 8 bemerkt wurde. Dann gibt es aber auch keinen Berührungskreis s, weil ein Kreis y. nur von zwei Kreisen eines Büschels berührt wird.

SP

£l

s»

Fig. 125.

10. Auf die Lösung des Apollonischen Problems fällt ein überraschend helles Licht, wenn man zu den drei Kreisen lc₂, Jc₃ den Orthogonalkreis oder Diametralkreis 0 konstruiert und in dem zugehörigen Bündel 0 die in § 10 gegebene Umdeutung der inversen Punkte als Scheinpunkte, der Kreise des Bündels als Scheingeraden vornimmt. Die Kreise Je1} &₂, h₃ werden dann zu Scheingeraden einer hyperbolischen oder elliptischen Geometrie, je nachdem das Bündel 0 einen Orthogonalkreis oder einen Diametralkreis hat. In dieser Scheingeometrie bestehen aber die Scheinkreise aus zwei wirklichen Kreisen, die im Bündel 0 zueinander invers sind. Die Apollonische Aufgabe lautet jetzt: Die vier Scheinkreise zu konstruieren, die drei Scheingeraden li₂, lc₃ berühren. Das ist die Aufgabe des Art. 1, den Inkreis und die drei Ankreise eines Dreiecks zu finden. Nur müssen wir, wenn ein hyperbolisches Bündel vorliegt, in Aussicht nehmen, daß die Seiten Tc1} Jc₂, h₃ des Dreiecks keine reellen Schnittpunkte zu haben brauchen. Die Ecken sind dann ideal. Die in Art. 1 gegebene Konstruktion wird aber auch auf diesen Fall anwendbar, wenn man nicht von Winkelhalbierenden, sondern von Symmetrieachsen der drei Seitenpaare des Dreiecks spricht. Der Satz 8. dieses Paragraphen, wonach zu zwei Kreisen immer zwei Inversionen bestehen, die sie ineinander überführen, deutet sich in unserer Scheingeometrie um in den Satz, daß zwei Scheingeraden immer durch zwei Scheinsymmetrien ineinander übergeführt werden können, ganz wie in der Euklidischen Geometrie. Beschränken wir uns auf den anschaulichsten Fall, daß die Ähnlichkeitsbündel S₁₂, S₂₃, S₃₁ je einen reellen Orthogonalkreis öi₂, c>₂₃, <a₃₁ haben, so sind in unserer Scheingeometrie ra₁₂, co₂₃, co31 die scheinbaren Symmetrieachsen oder „Winkelhalbierenden“ der Geradenpaare klf lc₂, La und schneiden sich im Scheinzentrum eines Zc₂, Jc₃ berührenden Scheinkreises s, der sich aus den wirklichen Kreisen s', s" zusammensetzt. Von den „Abschnitten“, die die scheinbaren Berührungspunkte auf den „Seiten“ des Scheindreiecks TctJ lc₂, Jcs begrenzen, gelten dieselben Sätze wie in Art. 1. In der Sprache der gewöhnlichen Geometrie zurückübersetzt gibt das eine Reihe schöner trigonometrischer Formeln, deren Ableitung aber zu weit führen würde. Alle Akte der in Art. 9 gegebenen Konstruktion finden in unserer Scheingeometrie eine einfache Deutung. Hier zeigt sich von neuem der große denkökonomische Wert der begrifflichen Geometrie. Wer die vier Berührungskreise eines Dreiecks konstruieren kann und die wenigen Sätze weiß, die nötig sind, um die Geometrie des Kreisbündels als Nichteuklidische Geometrie umzudeuten, kann das Apollonische Problem ohne neue Denkarbeit lösen, und zwar in der einfachsten Weise. Auch das viel allgemeinere Problem, die Kreise zu finden, die drei Kreise kx, Jc₂, /r₃ unter gegebenen Winkeln ccx, a₂, cc3 schneiden, läßt sich als einfache Dreiecksaufgabe umdeuten und dann leicht lösen.

§ 25. Elementargeometrische Behandlung der Kegelschnitte.

einer

drei Ankreise eines Dreiecks zu konstruieren. Wir wollen nun zeigen, daß unser Problem auch mitten in die Kegelschnittslehre führt. Es liegt nämlich nahe, die Lösung der Apollonischen Aufgabe in der Weise zu versuchen, daß man zunächst nach dem Ort der Mittel-

1. Die Apollonische Berührungsaufgabe ist eines der fruchtbarsten Probleme der Elementargeometrie; ihre Lösung beruht einerseits auf der Lehre von den Potenzlinien und Ähnlichkeitspunkten der Kreise, den Kreisbüscheln und Kreisbündeln; sie hängt andererseits mit den beiden Nichteuklidischen Geometrien zusammen, indem es gelingt, das Apollonische Problem in das einfachere überzuleiten, in der beiden Nichteuklidischen Geometrien den Inkreis und die

punkte der Kreise x fragt, die zwei gegebene Kreise i^x, ^₂ berühren. Dieser Ort kann etwas einfacher definiert werden. Sind nämlich Fx, F2 die Mittelpunkte, rx, r₂ die Radien der gegebenen Kreise, P der Mittelpunkt, r der Radius von x, so wird P auch das Zentrum eines Kreises x sein, der durch Fx geht und einen mit ^₂ konzentrischen Kreis y2 berührt, dessen Radius je nach der Art der Berührung gleich rx -f r₂

3t'\

pyi

4P

Fig. 126.

Fig. 128.

ht

lif

k'/

Fig. 127.

Fig. 129.

oder rx—r₂ ist (siehe Fig. 126 und 127). Läßt man den Kreis i\)₂ in eine Gerade ausarten, so wird cp₂ eine dazu parallele Gerade im Abstande rx, die je nach der Art der Berührung auf der einen oder anderen Seite von ip₂ liegt (siehe Fig. 128 und 129). Es kommt also darauf an, den Ort der Mittelpunkte aller Kreise x zu untersuchen, die durch einen festen Punkt Fx gehen, und einen festen Kreis cp₂ berühren, der auch in eine Gerade ausarten kann. Diesen Ort bezeichnen wir definitions weise als Kegel-

schnitt, und zwar als Ellipse oder Hyperbel, je nachdem Fx innerhalb oder außerhalb des Kreises <p₂ liegt, und als Parabel, wenn <p2 eine Gerade ist. Wenn Fx auf <p₂ liegt, artet der Kegelschnitt in die Gerade aus, die in Fx auf <p₂ senkrecht steht. Es wird dann später

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F2

fr

fr

Fig. 181.

Fig. 130.

zu beweisen sein, daß die so definierten Kegelschnitte mit den ebenen Schnitten des Kreiskegels identisch sind.

2. Auf Grund unserer Definition ist es leicht, Punkte eines Kegelschnittes in beliebiger Menge zu konstruieren, wenn Fx und <p₂

/x*

■yjf

fr

Fig. 133.

Fig. 132.

gegeben sind; falls <p₂ ein Kreis, sei 2 a sein Radius, F₂ sein Zentrum. Schreibt man auf <p₂ den Berührungspunkt Q eines Kreises n vor, der durch Fx gehen und qp₂ berühren soll, so liegt sein Mittelpunkt P einerseits auf dem Mittellote von FXQ, andererseits, wenn <p₂ ein Kreis ist, auf dem Radius F₂Q (siehe Fig. 130 und 131), oder, falls qp₂ in eine Gerade ausgeartet ist, auf der Geraden, die in Q auf cp₂ senkrecht steht (siehe Fig. 132).

Legt man im Falle der Ellipse oder der Hyperbel um P als Zentrum einen Kreis X, der durch F₂ geht (Fig. 133 und 134), so trifft die Gerade FXP diesen Kreis immer in einem Punkte R von der Art, daß RFt = QF₂ gleich dem Radius 2a des Kreises cp₂ ist. Der Kreis X geht also durch F₂ und berührt einen festen Kreis <pi mit dem Mittelpunkte Fx und dem Radius 2a. Die Ellipse oder Hyperbel ist daher der Ort der Mittelpunkte sowohl der Kreise, die durch F₂ gehen und cpx berühren, als auch der Kreise, die durch Fx gehen und <p₂ berühren. Da die Bestimmungsstücke F± und cp₂ des Kegelschnittes durch Spiegelung an dem Mittellote von FxF₂ in die Bestimmungsstücke F₂ und <px übergehen, so liegen alle

ip

0/

\//

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CA,

•'v,

«%/

Fig. 134.

seine Punkte zn diesem Mittellote symmetrisch; und da diese Stücke durch Spiegelung an der Geraden FtF₂ in sich selbst übergehen, so teilt auch F₁F₂ den Kegelschnitt in zwei symmetrisch gleiche Teile: Die Ellipse und die Hyperbel haben also zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen; auf einer derselben liegen die Punkte F1} F₂, die „Brennpunkte“ des Kegelschnittes, von denen nach dem Vorangehenden keiner vor dem anderen bevorzugt ist, wie es nach der Definition hätte scheinen können. Auch übersieht man jetzt sofort eine andere Definition dieser zwei Arten von Kegelschnitten, die beide Brennpunkte gleichmäßig benutzt. Im Falle der Ellipse ist nämlich nach Fig. 130: PFX -f- PF₂ = F₂Q = 2a, und im Falle der Hyperbel nach Fig. 131 entweder PF₁ — PF₂ oder PF₂ — PF₁ = 2a. Es folgt: Die Ellipse bzw. Hyperbel ist der Ort eines Punktes, dessen Abstände von zwei festen Punkten Ft und F₂, den Brennpunkten, eine konstante Summe bzw. Differenz bilden. Hingegen ist die Parabel der Ort aller Punkte, die

von einem festen Punkte Fx, dem „Brennpunkte“, und einer festen Geraden, der „Leitlinie“, denselben Abstand haben, wie aus der Konstruktion des Parabelpunktes P in Fig. 132 unmittelbar zu ersehen ist. Es ist klar, daß diese Abstandseigenschaften zur Definition der Kegelschnitte dienen können, indem jedesmal die von der ursprünglichen Definition geforderte Linie cp₂ sofort angegeben werden kann. Auf Grund der neuen Definition ist aber unter Benutzung der Dandelinschen Kugeln, wie wir in der darstellenden Geometrie zeigen werden, leicht der Nachweis zu führen, daß die durch sie bestimmten Kegelschnitte als ebene Schnitte von Rotationskegeln, also als Kreisprojektionen und damit als Erzeugnisse projektiver Strahlenbüschel herstellbar sind.

eŸ0à^'~'T

F2 \R/

/j

3. Zu unserer ersten Definition in Art. 1 zurückkehrend wollen wir jetzt die Aufgabe lösen, einen Kegelschnitt, der durch Brennpunkt und Leitlinie Fx, cp₂ gegeben ist, mit einer Geraden u zum Schnitt zu bringen (Fig. 135, 136, 137); das heißt vermöge dieser Definition, man soll auf u die Mittelpunkte der Kreise

AS

%

Fig. 135.

was

y. finden, die durch Fx gehen und cp₂ berühren. Alle durch Fx gehenden Kreise aber, deren Mittelpunkte auf u liegen, gehen noch durch einen zweiten Punkt Gx, der zu Fx bezüglich u symmetrisch liegt, bilden also ein Kreisbüschel, und unsere Aufgabe ist damit auf die schon früher gelöste zurückgeführt, diejenigen Kreise eines Kreisbüschels zu konstruieren,, die einen gegebenen Kreis <p₂ berühren. Daher ergibt sich folgende Lösung für Ellipse und Hyperbel: Man legt durch Fx und Gx irgend, einen Hilfskreis ??, der <p₃ in zwei Punkten A und B trifft und legt vom Schnittpunkte S der Geraden FXGX und AB aus an cp₂ die Tangenten. Die nach den Berührungspunkten Tx und T₂ gehenden Radien F₂Tx und F₂ T₂ des Kreises cp₂ treffen dann u in den gesuchten Px und P2.⁵) Eine Gerade u hat also mit einer Ellipse oder Hyperbel höchstens zwei Punkte gemeinsam. Damit diese zwei Punkte PX) P₂ in einen zusammenfallen und die Gerade u zur Tangente des Kegelschnittes wird, muß Tx und T₂ zusammenfallen, nur möglich ist, wenn in denselben Punkt auch S fällt, also Gx auf cp₂ liegt. Eine Gerade u ist also Tangente einer Ellipse

von u

oder Hyperbel, wenn der bezüglich u zu einem Brennpunkte Ft symmetrisch gelegene Punkt Q auf dem Kreise <p₂ liegt.

In Fig. 130 und 131 sind also die Geraden

fr

fr

9L

2Ss

MF Tangenten, P ist jedesmal der Be-rüh rungspunkt. Ist 0 der Mittelpunkt von

Fx F₂ (siehe Fig. 130 und 131), M die Mitte yon Fx Q, so ist OM\F₂Q, also OM=lIF₂Q=a. Die Fußpunkte M der Lote, die aus den Brennpunkten einer Ellipse oder Hyperbel auf die Tangenten derselben gefällt werden können, liegen also auf dem Kreise, der den „Mittelpunkt“ 0 der Ellipse zum Zentrum and a zum Radius hat. Die Tangente der Hyperbel oder Ellipse in einem ihrer Punkte P halbiert den von den

Strahlen PFt und PP₂ gebildeten Winkel F₁PF₂, bzw. den Nebenwinkel.

F,

bL

frp/

fr

fr

Fig. 13G.

4. Mit geringen Änderungen gelten alle diese Sätze von der Parabel. i Modifiziert man die in Fig. 135 und 136 V gegebene Konstruktion so, daß von S aus nicht an <p₂, sondern an den Hilfskreis 7j die Tangenten gelegt werden, und ist C einer der Berührungspunkte, so liegt er mitsamt Tx, P₂ auf einem Kreise, der S zum Zentrum hat. In dieser Modifikation ist die in Fig. 135 und 136 gegebene Konstruktion auch auf die Parabel anwendbar (Fig. 137), bei der ja <p₂ in eine Gerade ausgeartet ist. Um eine Gerade u mit einer Parabel zum Schnitt zu bringen, die durch Brennpunkt und Leitlinie Fx und cp₂ festgelegt ist, fällt

XC"-

sfr

\\

fr

e,/

i\

fr

fr

Fig. 137.

man yon Fx auf u das Lot, bringt es (in S) mit der Leitlinie zum Schnitt, legt

einen Punkt von u als Zentrum den Kreis rj,⁶) der

um

durch Fx geht, und zieht an diesen Kreis yon S aus eine Tangente S Cx. Der Kreis um S als Zentrum, der durch Cx geht, schneidet dann cp2 in zwei Punkten Tx, T₂ derart, daß die Lote in Tx und T₂ auf cp2 die Gerade u in den Punkten Px, P₂ schneiden, die die Gerade u etwa mit der Parabel gemeinsam hat.

Die Gerade u wird zur Tangente der Parabel, wenn P₁ mit P₂, also Tx mit T₂ in einen Punkt Q auf cp₂ zusammenfällt (siehe Fig. 132). Der Ort des Fußpunktes M des votn Brennpunkt Fx auf eine Tangente der Parabel gefällten Lotes ist eine Parallele zur Leitlinie qp₂, die den Abstand derselben vom Brennpunkte halbiert. Diese Parallele ist selber eine Tangente, die Scheiteltangente, da sie die Parabel in ihrem Schnittpunkte mit der Symmetrieachse, dem Scheitel, berührt.

5. Wie ein Kegelschnitt mit einer Geraden höchstens zwei Punkte gemein hat, so gehen durch einen Punkt A höchstens zwei Tangenten des Kegelschnittes, wie wir jetzt zeigen können. Bezeichnet nämlich Q (Fig. 138) den bezüglich der Ge-

\æ

Fi

Fig. 138.

hx

Qz

Fig. 139.

raden u zu Fx symmetrisch gelegenen Punkt, der sich, wenn u Tangente ist, auf cp₂ befindet, so ist AQ = AFX. Daher liegt Q auf dem Kreise a um i als Zentrum, der durch Fx geht. Andererseits liegt Q auf cp₂. Folglich gibt es zwei Punkte Qx und Q₂ von der Art, daß die Mittellote von FXQX und FXQ₂ Tangenten sind, die, als Radien des Kreises a, durch A gehen. Die Konstruktion hält auch im Falle der Parabel Stich (Fig. 139).

Wenn F₁ mit F₂ zusammenfällt und cp₂ ein Kreis mit dem Radius 2a bleibt, ist der Kegelschnitt ein Kreis mit dem Radius a. Die obige Tangentenkonstruktion geht dann über in die alte, schon von Euklid angegebene Konstruktion der Kreistangente, die auch in den beiden Nichteuklidischen Geometrien gilt.

Auch die andere Konstruktion der Kreistangente, die darauf beruht, daß der Berührungsradius auf der Tangente senkrecht steht, läßt sich auf die Kegelschnitte übertragen (Fig. 140 und 141). Der Fuß-

t,

'Ck

er

Mg. 140.

Pig. 141.

punkt M des Lotes, das man yon F₁ auf die Kegelschnittstangente u fällen kann, liegt, wie wir gesehen haben, bei Ellipse und Hyperbel auf einem Kreise 6 mit dem Radius a, der den Mittelpunkt des Kegelschnitts zum Zentrum hat. Im Falle der Parabel geht dieser Kreis in die Scheiteltangente über. Ein zweiter Ort für M ist der Kreis, der AFX als Durchmesser faßt. Durch beide Kreise sind zwei Lagen von M bestimmt und damit ist die Aufgabe gelöst. — Fällt wiederum Fx mit F₂ in einem Punkte 0 zusammen, so daß der Kegelschnitt in einen Kreis übergeht, so fällt der erste Ort für M mit diesem Kreise zusammen, der zweite Ort wird zum Kreise, der AO zum Durchmesser hat.

Mit diesen metrischen Konstruktionen und Lehrsätzen möge es sein Bewenden haben; weitere Einzelheiten findet man in den Speziallehrbüchern, von denen wir das von Zeuthen⁷) deshalb empfehlen, weil es auf der auch von uns benutzten Definition der Kegelschnitte beruht.

ZWEITES BÜCH.

TRIGONOMETRIE.

' .

'

»

s

Fünfter Abschnitt.

¹

Die Gleichsinnigkeit von Streckeneinteilungen derselben Geraden kann nach § 15 definiert werden ; die Gleichsinnigkeit paralleler Geraden durch Orthogonalprojektion der einen auf die andere.

Weber u. Wellstein, Encyklopädie II. 2. Aufl.

²

   Bei dieser Modifikation bleibt die Lösung auch in dem Spezialfalle richtig, daß k eine Gerade ist.

³

   Die Fig. 124 ist dem hyperbolischen Büschel gewidmet, wo die Konstruktion am umständlichsten ist; beim elliptischen Büschel hat man p sofort.

⁴

   Nach Maßfeiler, Archiv d. Math. u. Phys. (3) 3, 189.

⁵

Wenn u durch F₂ geht, werden 1\ und T₂ einfach durch den Schnitt mit cp₂ bestimmt, indem AB\\F₁G₁ wird.

⁶

Hier braucht r\ die Linie qp₂ nicht zu treffen.

⁷

Grundriß einer elementargeometrischen Kegelschnittslehre.

Ebene Trigonometrie und Polygonometrie.

§ 26. Trigonometrische Funktionen. Rechtwinkliges Dreieck.

1. Die Planimetrie hat uns gelehrt, daß zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreiecks eine gewisse Abhängigkeit besteht.

Die Kongruenzsätze zeigen, daß ein Dreieck nach Gestalt und Größe vollständig bestimmt ist, wenn entweder die drei Seiten, oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, oder eine Seite und zwei Winkel gegeben sind.

Sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben, so ist das Dreieck, wenn auch nicht eindeutig, doch höchstens auf zwei Arten bestimmt.

Man kann also sagen, daß, wenn von den sechs Stücken des Dreiecks, den drei Seiten und den drei Winkeln, irgend drei gegeben sind, so sind die drei anderen dadurch mitbestimmt. Eine Ausnahme davon machen die drei Winkel, die nicht voneinander unabhängig sind, sondern eine konstante Summe von zwei Rechten haben müssen. Die drei Winkel vertreten also nur die Stelle von zwei Daten, und reichen nicht aus, das Dreieck zu bestimmen.

Allgemeiner könnte man auch sagen, wenn zwischen den sechs Stücken eines Dreiecks irgend drei Relationen gegeben sind, so ist das ganze Dreieck entweder eindeutig oder auf mehrere Arten bestimmt. Darauf beruhen die zahlreichen Konstruktionsaufgaben, die aus drei gegebenen Stücken, z. B. Höhen, Radien der ein- oder umgeschriebenen Kreise u. s. f., die Konstruktion des Dreiecks verlangen.

Will man diese Verhältnisse durch die Rechnung verfolgen, so ist zu beachten, daß Winkel und Strecken von Hause aus ganz verschiedene Dinge sind, die je durch eine besondere Einheit gemessen werden. Die Einheit ist ein an sich willkürlich gewähltes Ding der gleichen Art, also eine bestimmte Strecke und ein bestimmter Winkel. Darin können Winkel und Strecken zwar durch Zahlen ausgedrückt werden; die beiden Zahlenarten haben aber keinerlei Beziehung zueinander.

Für die Streckemnessung ist jetzt in der Wissenschaft allgemein das metrische System gebräuchlich, so daß als Einheit etwa das Meter oder das Zentimeter gebraucht wird. Die Winkel werden in praktischen Anwendungen ausschließlich nach Graden, Minuten, Sekunden gemessen, wobei der rechte Winkel in 90 gleiche Teile, Grade genannt, eingeteilt wird. Jeder Grad wird in 60 Minuten, jede Minute in 60 Sekunden geteilt. Der stumpfe Winkel hat mehr als 90 Grad und der gestreckte Winkel 180 Grad. Es sind in unserer Zeit Bestrebungen hervorgetreten, auch beim Winkel eine Dezimalteilung einzuführen, indem man den rechten Winkel in 100 Grade teilt, die dann weiter dezimal geteilt werden. Eine solche Dezimalteilung hätte für den praktischen Gebrauch große Vorteile. Bis jetzt aber sind die trigonometrischen Tafeln noch nicht auf diese Teilung «ingerichtet.

2. Will man die Abhängigkeit zwischen den Seiten und Winkeln des Dreiecks durch Gleichungen ausdrücken, so muß man nicht die Winkel selbst, sondern gewisse von ihnen abhängige Größen durch Zahlen ausdrücken, die zu den Längen in einer algebraischen Beziehung stehen. Diese Größen werden die trigonometrischen Funktionen genannt. Ihre Bedeutung läßt sich am einfachsten an einem rechtwinkligen Dreieck erläutern.

Es sei ABC ein bei C rechtwinkliges Dreieck, a, b die Katheten, c die Hypotenuse. Die beiden spitzen Winkel a, ß ergänzen einander zu einem rechten. Jeder von ihnen heißt das Komplement des anderen.

Man nennt nun das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete a zu der Hypotenuse c den Sinus des Winkels a und schreibt abgekürzt:

.    a

sin « = —

Der Sinus ist also eine positive Zahl, und da die Hypotenuse immer größer ist als jede der beiden Ka-■B theten, ein positiver echter Bruch.

Das Verhältnis der anliegenden Kathete b zu der Hypotenuse heißt der Kosinus des Winkels a. Man schreibt:

«i

~b

cos a = —

Fig. 142.

und der Kosinus ist also ebenfalls ein positiver echter Bruch.

Das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete a zu der anliegenden b heißt die Tangente des Winkels a, und das Ver-

hältnis der anliegenden zur gegenüberliegenden Kathete die Ko-t an gente. Geschrieben:

tg « =

« jrO

COtg a = —

Endlich werden bisweilen auch die beiden noch fehlenden Verhältnisse: Hypotenuse zu anliegender Kathete und Hypotenuse zu gegenüberliegender Kathete als Sekante und Kosekante des Winkels a bezeichnet:

sec a =

T’

cosec a = —

Da die sechs trigonometrischen Funktionen sin a, cos cc, tg cc, cotg cc, sec a y cosec a durch Verhältnisse von Dreiecksseiten definiert sind, so bleiben sie ungeändert, wenn das Dreieck ABC durch ein anderes, aber ähnliches, ersetzt wird. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind aber immer ähnlich, wenn sie in einem der beiden spitzen Winkel übereinstimmen. Die trigonometrischen Funktionen sind also nur von dem Winkel a abhängig, nicht von der Größe und Lage des rechtwinkligen Dreiecks, in dem dieser Winkel vorkommt.

Die vier Funktionen sin cc, cos cc, tg cc, cotg a sind in den gebräuchlichen Tabellen zu finden; die weit seltener gebrauchten Funktionen sec a, cosec cc pflegen nicht darin aufgeführt zu sein.

Die Tafeln geben meist nicht die Funktionen selbst, sondern deren Briggische Logarithmen, und zwar für alle Winkel zwischen 0° und 90°, von Minute zu Minute. Um die entsprechenden Zahlen für zwischenliegende Winkel zu finden, muß man Interpolationen anwenden, worüber mau in den Einleitungen zu den Tafeln die nötigen Anweisungen findet.¹)

3. Zwischen den triogonometrischen Funktionen bestehen mannigfaltige Relationen, die sich leicht aus der Definition ergeben. Zunächst ist nach dem Pythagoreischen Lehrsatz

a² + b² = c²,

1) Ursprung und Bedeutung des Wortes Sinus ist nicht ganz sicher. Die Sache ist uns durch Vermittelung der Araber zugekommen und seit dem 12. Jahrhundert im Abendlande bekannt. Das Wort „cosinus“ ist eine Abkürzung für „complementi sinus“, Sinus des Komplementes (cos cc = sin ß), und ist seit Anfang des 17. Jahrhunderts gebräuchlich; etwa aus derselben Zeit stammen auch die Namen Tangente, Sekante. Vgl. Cantor, Gesch. d. Mathematik, Bd. I, S. 693; Bd. II, S. 604. v. Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie.

Neuere Begründungen der Trigonometrie findet man Elementarmathematik. Erwähnt sei Hübner, Ebene und räumliche Geometrie des Maßes (Leipzig, Teubner 1895); Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie (Sammlung Göschen) und die Aufgabensammlungen von Reidt und Lieber und Lühmann. Haentzschel, Über die verschiedenen Grundlegungen in der Trigonometrie, Programm des Köllnischen Gymnasiums zu Berlin.

in den Lehrbüchern der

von und das ergibt vermöge der Definition von Sinus und Kosinus

(i)

sin a² + cos u² = 1.

Man kann daher jede der beiden Zahlen sin a und cos a durch die andere ausdrück en:

(2)

(3)

= Y1 — sin a²,

Ferner ergibt sich für die vier anderen Funktionen sin a

cos a

tg a

cos u

sin a = y 1 — cos a².

cotg a =

COS a

sin a ⁷

(4)

sec a =

cosec a =

sin a ⁷

die man in mannigfacher Weise miteinander kombinieren kann, und man kann so z. B., was eine gute Übung ist, jede der sechs Funktionen durch jede andere ausdrücken. Man erhält z. B.

1 -f- tg a² =    ¹    1 -f- cotg a² = s •

°    cos er⁷    '    °    sm er

Der Winkel ß im rechtwinkligen Dreieck (Fig. 142) ist, wie schon bemerkt, das Komplement von a. Es ist aber

cos cc⁷

(Ö)

also

(6)

und ebenso

cos cc = sin /5, sin a = cos ß

(7)

cotg a = tg ß, cotg ß = tg cc.

§ 27. Goniometrie.

1. Da in dem rechtwinkligen Dreieck außer dem rechten nur spitze Winkel Vorkommen können, so sind durch das Vorstehende die trigonometrischen Funktionen nur für spitze Winkel erklärt. Aber schon in einem Dreieck kann auch ein stumpfer Winkel Vorkommen. Im Viereck kann einer der Winkel größer als zwei rechte sein (Fig. 143), und beim Fünfeck können sogar Winkel Vorkommen, die größer als vier rechte sind, wenn man, wie es naturgemäß ist, den Winkel in einem Vieleck durch das Flächenstück erklärt, das zwischen zwei zusammenstoßenden Seiten im Inneren des Vielecks liegt. Freilich muß dann, wenn Winkel Vorkommen, die größer als vier rechte sind, angenommen werden, daß ein Teil der Vielecksfläche über einen anderen Teil gelagert ist, wie es z. B. in der Zeichnung des Fünfecks (Fig. 144) angedeutet ist. Hier ist' der Winkel bei A größer als vier Reckte.

Hiernach liegt das Bedürfnis vor, die trigonometrischen Funktionen nicht nur für stumpfe und üherstumpfe Winkel, sondern für

Fig. 143.

Fig. 144.

AT/

Winkel von beliebiger Größe zu definieren. Man erklärt zu diesem Zwecke den Winkel als Maß einer Drehung, die man einem durch einen festen Punkt gehenden Strahl, etwa wie dem Zeiger einer Uhr, erteilt hat. Man hat dann auch die Möglichkeit, den Sinn der Drehung, ob rechts oder links, durch das Vorzeichen zu unterscheiden, und dann kann man die ganze unbegrenzte Zahlenreihe zur Messung von Winkeln anwenden. Um das etwas genauer darzulegen, nehmen wir einen Kreis und einen um dessen Mittelpunkt G drehbaren Strahl CE, außerdem auf der Kreisperipherie einen Nullpunkt A (Fig. 145). Die Drehung des Strahles kann dann gemessen werden durch den Winkel a, den der drehbare Strahl von der Lage CA aus überstrichen hat, und dieser Winkel soll positiv gerechnet sein, wenn er durch eine Drehung von rechts nach links für den in C stehenden Be- / obachter (also dem Zeiger der Uhr entgegen- /A gesetzt) entstanden ist, im anderen Falle negativ. ^

Fig. 145.

Der Winkel a kann dann nach beiden Seiten hin ohne Grenzen wachsen.

Den Winkel messen wir entweder dadurch, daß wir die ganze Kreisperipherie in 360 Grade einteilen, und wenn der Punkt die ganze Peripherie durchlaufen hat, über 360 hinaus weiter zählen. Oder wir messen den Winkel durch das Verhältnis der Länge des Kreisbogens, den der Schnittpunkt X des Strahles auf ihm durchlaufen hat, zu der Länge des Radius, positiv im einen, negativ im anderen Sinne genommen (absolutes oder Bogenmaß).

Diese Verhältniszahl ist unabhängig von der Größe des Kreisradius und auch unabhängig von der gewählten Längeneinheit. Wählt man den Radius selbst als Längeneinheit, so ist die in derselben Längeneinheit gemessene Bogenlänge AX selbst das Maß des Winkels cc. Bei dieser Winkelmessung erhält der gestreckte Winkel (180°) die Maßzahl

7t = 3,14159265 . .

der rechte Winkel die Maßzahl

~ = 1,57079632 . .. und die ganze Peripherie die Maßzahl

= 6,28318530

Die Einheit des Winkels ist der Winkel, dessen Bogen dem Radius gleich ist. Man erhält die Gradzahl x für diesen Winkel aus der

Proportion x :• 180 = 1 : 7t, die einen Winkel von 57°17'44,8" ergibt.

tE

(X

Fig. 146.

Wir teilen durch zwei zueinander senkrechte Durchmesser die Kreisfläche (und durch Verlängerung die ganze Ebene) in vier Teile, I, II, III, IV, die wir die Quadranten I nennen, und als ltei, 2ten, 3ten, 4ten \A unterscheiden (Fig. 146). Wir können auch weiter zählen und vom 5ten, 6ten, ... und vom — lten, — 2ten Quadranten reden. Es decken sich dann

z. B. der 5te und lte oder der 4te und — lte Quadrant. Bei der Messung der Drehung aber sind sie unterschieden. *)

2. Die Winkel im ersten Quadranten entsprechen den spitzen Winkeln cc im rechtwinkligen Dreieck Fig. 142, und wenn wir also vom Punkte X ein Perpendikel XY auf die Kullage CA des Radius fällen, so ist die Länge a dieses Perpendikels gleich dem Sinus des Winkels cc, vorausgesetzt, daß wir wieder den Radius als Längeneinheit annehmen. Der Abschnitt YC = b ist der Kosinus des Winkels a (Fig. 147).

Wir wollen nun Übereinkommen, eine Senkrechte auf dem An-

1) Die Quadrantenzahlen, um 1 vermindert, würden die Ganzen bei einer Winkelmessung sein, bei der der rechte Winkel als Einheit gilt.

fangsdurchmesser AA' nach oben positiv, nach unten negativ zu rechnen, und eine Senkrechte auf dem Durchmesser BB' nach A (nach rechts) positiv, nach A' (nach links) negativ zu nennen, und die Maßzahlen mit den entsprechenden Vorzeichen zu versehen. Nach dieser Festsetzung wollen wir unter dem Sinus des Winkels die Länge des Perpendikels vom Punkte X auf den Anfangsdurchmesser, unter dem Kosinus den Abschnitt vom Mittelpunkt bis zum Fußpunkt dieses Perpendikels, oder was dasselbe ist, die Länge des Perpendikels von X auf BJB' verstehen.

Alan bemerke dabei, daß die trigonometrischen Funktionen eigentlich nicht Längen, sondern die Verhältnis zahlen dieser Längen zu der Länge des Radius sind, daß man sie aber, wenn man den Radius zur Längeneinheit nimmt, durch Längen darstellen kann, was zur Veranschaulichung sehr dienlich ist. Man spricht daher auch von den trigonometrischen Linien Sinus und Kosinus.

Nach dieser Festsetzung haben wir folgende Zeichenbestimmung:

I. Quadrant Sinus -f- Kosinus -f-,

)-H I—!

HH

r> +

IV.

wie man aus dem Anblick der Fig. 147 sofort erkennt.

3. Periodizität. Wenn der Winkel a um die ganze Kreisperipherie wächst oder abnimmt, so kehrt der Punkt X in seine Ausgangslage zurück. Daher erhalten auch Sinus und Kosinus ihre früheren Werte wieder. Das drückt sich, wenn wir für die Winkel das Bogenmaß anwenden, in den Formeln aus:

sin (a -f- 27t) = sin a, cos (a + 2jt) — cos cc,

B'

CC

-CC,

Fig. 147.

(1)

und allgemein:

(2)

sin (cc + 2k7t) = sin cc, cos (a -f 2kn) = cos cc,

wenn k eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist. Diese Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn der Winkel um eine bestimmte Größe wächst, heißt die Periodizität der trigonometrischen Funktionen, die Größe 2tc und jedes Vielfache von 2it heißt eine Periode. Man kann jeden Winkel durch Hinzufügung einer Periode in einen der vier ersten Quadranten bringen.

4. Wenn der Winkel um die halbe Kreisperipherie wächst oder abnimmt, so geht der Punkt X in die diametral gegenüberliegende Lage-X₂ über und sin« und cos a bleiben dem absoluten Werte nach ungeändert, ändern-aber beide ihr Vorzeichen (in der Fig. 147 sind die Dreiecke CXY und CX₂Y₂ kongruent). Wir haben also

(3)

sin (cc ± 7t) = — sin cc, cos (cc ± 7t) = — cos cc,

und diese Formeln gelten für jeden beliebigen Winkel cc.

Durch Subtraktion von 7t kann man die Winkel des dritten und vierten Quadranten in den ersten und zweiten hinein bringen.

5. Wenn wir die Drehung AX = cc im entgegengesetzten Sinne ausführen, so kommt, was auch a sein mag, X in eine Lage Xs, die zu X in bezug auf AÄ symmetrisch liegt. Es ändert also der Sinus sein Vorzeichen, der Kosinus bleibt unverändert, und es ist für jeden Winkel a

(4)

sin (— cc) = — sin cc, cos (— a) = cos a,

und wenn man a mit — a vertauscht, so folgt hiernach aus (3)

(5)

sin (n — cc) = sin cc, cos (tc — a) = — cos cc.

Der Sinus eines Winkels ist also gleich dem Sinus seines Supplementes und der Kosinus gleich dem negativen Kosinus des Supplementes.

6. Wir haben schon im vorigen Paragraphen gesehen und bestätigen es an der Fig. 147 unmittelbar, daß der Kosinus eines spitzen Winkels a gleich dem Sinus seines Komplementes ist, daß also, wenn a im ersten Quadranten liegt,

(6)

cos cc

in(f

1*

Wenn aber cc stumpf ist, so ist cc =tc —cc spitz, und es ist also dann nach (6) cos (tc— a) = sin(—7t j2 + cc) oder nach (4) und (5) wiederum cos a — sin (jt/2 — cc), und ebenso sin cc = cos (vt/2 — cc). Die Formeln (6) gelten also auch für stumpfe Winkel.

(6).

Wenn a im 3ten oder 4teu Quadranten liegt, so liegt a — 7t im lten oder 2ten, und folglich ist auch jetzt cos (cc — 7t) = sin (jz/2— a-f-jr), also folgt nach (3) auch hier die Gültigkeit von

Vermehrt oder vermindert man endlich a noch um beliebige Vielfache von 27t, so ergibt sich die ganz allgemeine Gültigkeit der Formeln (6).

Daß endlich allgemein die Formel gilt:

kann ebenso aus ihrer Gültigkeit für einen spitzen Winkel gefolgert werden, ist aber auch für den allgemeinen Fall nichts anderes als der Pythagoreische Lehrsatz.

7. Die Funktionen tg cc, cotg cc, sec cc, cosec cc erklären wir nun für den allgemeinen Fall einfach durch die Formeln

sin cc cos a ’

(8)

t g« =

cotg cc =

cos cc

sin cc t g cc⁷

sec oc = —

COS CC

cosec cc =

sin cc

(9)

Aus (3) ergibt sich dann tg (cc + 7t) — tg cc,

cotg (cc + 7t) = cotg CC ,

und diese beiden Funktionen haben also auch eine Periode, nämlich n und alle Vielfache von n. Sie sind positiv im ersten und dritten, negativ im zweiten und vierten Quadranten.

Aus (4) und (6) ergibt sich

(10)

tg (- cc) = - tg cc,

cotg (— cc) = — cotg cc, tg (y — «) = cotg cc.

Man kann die Tangente und die Sekante ebenfalls als Linien an dem Kreise mit dem Radius 1 darstellen, und es erklären sich aus dieser Darstellung die Namen.

Wir beschränken uns auf den ersten Quadranten. Man lege in A eine Tangente AE an den Kreis (Senkrechte auf AC). Dann geben die beiden ähnlichen Dreiecke CE A und CXY (Fig. 148) die Proportion

ÄE : XT = ÄC : CY,

(11)

CY = cos cc, 40=1 ist,

und da X Ÿ = sin cc so folgt, daß AE = tg cc ist.

Es ist ferner aus denselben Dreiecken CE : CX

oe\

= CÄ : CY, also ist CE = 1 : cos cc = sec cc.

8. Wenn die trigonometrischen Funktionen sin cc, cos cc eines Winkels gegeben sind, so ist damit der Winkel cc nicht vollständig bestimmt; dagegen ist cc vollständig bestimmt, wenn etwa noch die Forderung hinzukommt, daß der Winkel cc zwischen 0 und 2it liegen soll. Ist nur eine der beiden Funktionen, etwa sin cc, gegeben, so gibt es auch in diesem Intervall zwei Winkel, nämlich cc und % — cc, d. h. zwei Supplementwinkel, und ist cos cc gegeben, die beiden Winkel cc und'2# — cc. Um also den Winkel cc in dem Intervall zwischen 0

Fig. 148.

und 2n eindeutig zu bestimmen, muß cos a und sin a zugleich gegeben sein. Diese können aber nicht willkürlich sein, sondern sie müssen der Relation cos a² -j- sin a² = 1 genügen.

9. Für einzelne Winkel lassen sich die numerischen Werte der trigonometrischen Funktionen leicht bestimmen. Wenn der Winkel cc = 0 ist, so fällt der Punkt X nach A. Es wird a = 0 und b = 1. Also:

sin 0 = 0, cos 0=1, tg 0 = 0, und mit Rücksicht auf die Formel (5)

sin jt = 0, cos 7i = — 1.

Das können wir mit Hilfe der Periodizität verallgemeinern, wenn wir mit Je eine beliebige ganze Zahl bezeichnen:

(12)

sin lut = 0, cos 1t7t = (— 1)*, tg JtTt = 0,

d. h. es ist cos JtTt = -f 1, wenn Jt eine gerade, und gleich — 1, wenn Jt eine ungerade Zahl ist.

Für einen rechten Winkel a fällt X nach B (Fig. 147), und es ist a = 1, 6 = 0. Also

Tt    ₁

sm ? = 1,

(13)

COR y = 0,

to- — O 2

also allgemein, wenn Ji eine ungerade ganze Zahl ist,

cos h^r — 0,

•2 ⁷

sin Ji

£ l<N

h_-1

- (- O ²,

d. h. es ist sin Ä— gleich -f 1 oder gleich — 1, je nachdem h von der

Form 4w -}- 1 oder 4n -f- 3 ist. Die Formel tg jr/2 = oo erhält in der Fig. 148 eine anschauliche Bedeutung, indem die Strecke AE über alle Grenzen wächst, wenn sich der Strahl CE der zu CA senkrechten Lage nähert.

Für den Winkel u von 45° werden sin a und cos a einander gleich, und ihr gemeinsamer Wert ergibt sich aus der Formel (7) gleich 1 /]/2, also:

sin

cos — =

]/V

tg

= 1.

ci.

Fig. 149.

ÿy

Betrachten wir endlich noch den Winkel von 60 Grad, d. h. den Winkel im gleichseitigen Dreieck.

Ziehen wir in einem gleichseitigen Dreieck von der Seite 1 die Höhe, so teilt

diese die Grundlinie in zwei gleiche Teile, deren jeder also die Länge hat. Jeder dieser Abschnitte ist aber der Kosinus des Dreieckswinkels und wir haben also mit Rücksicht auf (7)

-VS-

Tt I/3

cos — =

sm — = -

Die Lehre von den Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen bei unbeschränktem Winkel, also ohne unmittelbare Beziehung zu der Dreiecksberechnung, heißt auch Goniometrie (Winkelmessung).

§ 28. Die Gruinlformeln der Trigonometrie.

1. Um ein Dreieck zu bestimmen, genügt es, daß drei Stücke gegeben sind, durch die dann die übrigen Stücke und überhaupt alles, wonach bei dem Dreieck gefragt werden kann, wie Höhen, Winkelhalbierende, Radius des umgeschriebenen und eingeschriebenen Kreises, zugleich mit bestimmt sind. Je nach der Auswahl der gegebenen Stücke werden aber diese Bestimmungen eindeutig oder mehrdeutig sein.

Algebraische Relationen zwischen den Seiten und Winkeln gibt es aber nicht, sondern nur zwischen den Seiten und den trigonometrischen Funktionen der Winkel, und es ist also unsere nächste Aufgabe, solche Relationen in genügender Zahl aufzustellen.

2. Sinussatz. Wir bezeichnen die Seiten eines Dreiecks ABC mit a, b, c, die gegenüberliegenden Winkel mit a, ß, y. Wenn wir von der Ecke A ein Perpendikel AD auf die Gegenseite fällen, so können wir das Perpendikel ha (die Dreieckshöhe) auf zwei Arten, nämlich aus jedem der beiden rechtwinkligen Dreiecke ABD und ACD, ausdrücken und erhalten

(1)

ha = b sin y = c sin ß,

an

und das bleibt richtig, auch wenn das Dreieck ABC stumpfwinklig ist (Fig. 151, 152 a. f. S.). Dieselbe Konstruktion läßt sich aber jeder der drei Ecken ausführen; man erhält also auch a sin ß = b sin a, a sin y = c sin a. Es ergibt sich daraus eine Doppelgleichung, die sieh so darstellen läßt:

(2)

sin a sin p sin y Man kann dies in Worten so ausdrücken:

In jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinus der gegenüberliegenden Winkel:

a : b : c = sin a : sin ß : sin y.

3. Um die geometrische Bedeutung des gemeinsamen Wertes der drei Verhältnisse (2) zu ermitteln, umschreiben wir dem Dreieck

L.Qk>

V.

Cr

ABC einen Kreis mit dem Mittelpunkt K und dem Halbmesser r. Dann ist der Winkel CKB als Zentriwinkel \ doppelt so groß als der zugehörige \ Peripheriewinkel a = CAB, und wenn \ wir von K ein Perpendikel KH auf I CB fällen, so sind die Dreiecke CHK, i BHK kongruent. Folglich ist HKC= cc / und a/2 = r sin a oder a/sin cc = 2r. / Fällt man die Perpendikel yon K aut B die anderen Seiten b, c, so ergeben sich für 2 r ebenso die Ausdrücke bjsin ß, c/sin y.

Mg. 150.

Der gemeinschaftliche Wert der Verhältnisse (2) ist also der Durchmesser des umgeschriebenen Kreises.

4. Kosinussatz. In den rechtwinkligen Dreiecken ABB und ACB der Fig. 151 ist DB = c cos ß, DC =b cos y, und da die Summe dieser beiden Strecken gleich a ist, so ist

a == b cos y -f c cos ß

und diese Formel gilt auch noch, wenn einer der Winkel, z. B. y, stumpf ist, weil dann cos y negativ und zugleich a = BD — DC ist (Fig. 152).

2>

,A

■.ÇX.J

fß :

CL

Ź\c

-7

CL

Fig. 152.

Fig. 151.

(3)

Solcher Formeln können wir wieder drei aufstellen: a = b cos y -f c cos ß, b — c cos cc -f- a cos y, c = a cos ß A b cos a.

Mit Hilfe dieser drei Gleichungen lassen sich cos cc, cos ß, cos y aus den Seiten a, b, c berechnen. Zu diesem Zwecke multipliziert man

die erste mit a und setzt aus der zweiten und dritten die Werte von a cos ß und a cos y ein; dadurch erhält man

a² = b (b — c cos a) -j- c(c — b cos a), und wenn man die entsprechenden Rechnungen für cos/3, cos y macht:

a² = b² + c² — 2bc cos a,    ■    ₀

(4)

b² = c² -f- a² — 2 ca cos ß} c² = a² -{-b² — 2ab cos y.

5. Hiermit sind die Fundamentalaufgaben der Trigonometrie im Prinzip gelöst:

b²-\-c² — a²

1. Sind die Seiten a, b, c gegeben, so findet man cos a, cos ß, cos y aus (4), z. B.

2 bc

cos a =

(4)

2. Sind zwei Seiten b, c und der eingeschlossene Winkel a gegeben, so erhält man aus

a = ]/b² + c² — 2bc cos a

durch eine Quadratwurzel.

3.    Sind aber zwei Seiten b, c und ein anliegender Winkel ß gegeben, so hat man, um a zu finden, eine quadratische Gleichung zu lösen, die man aus der zweiten Gleichung (4) erhält; zur Bestimmung der beiden anderen Winkel führt am einfachsten der Sinussatz.

4.    Sind zwei Winkel und eine Seite gegeben, so ist zugleich der dritte Winkel bestimmt, und man erhält die beiden anderen Seiten aus dem Sinussatz.

6. Additionstheoreme. Da einer von den drei Winkeln des Dreiecks durch die beiden anderen bestimmt ist, so sind auch die trigonometrischen Funktionen-des einen durch die der beiden anderen bestimmt, und es müssen also zwischen diesen trigonometrischen Funktionen Gleichungen bestehen. Eine erste hierher gehörige Relation ergibt sich aus den Gleichungen (3). Diese sind homogene lineare Gleichungen für a, b, c, und es muß also die Determinante dieses Systems gleich Null sein (vgl. Bd. 1, § 41, 2.):

cos a

cos y,

oder entwickelt:

cos y, cos ß cos ß, cos cc,

(5)

cos a² -f cos ß² + cos y² -f 2 cos a cos ß cos y = 1,

oder indem man y = % — « — ß setzt:

(6) cos² « -f- cos² ß -j- cos² (« -f- ß) — 2 cos « cos ß cos (« -f- ß) = 1.

Dies ist aber nicht die einfachste Relation zwischen diesen Größen. Man würde daraus z. B. cos « durch Auflösung einer quadratischen Gleichung erhalten, und es wäre dann noch zweifelhaft, welche der beiden Wurzeln die richtige ist. Einfachere Formeln erhält man auf folgende Weise.

Mach dem Sinussatze kann man in den Formeln (3) die Seiten a, b, c durch sin «,    sin ß, sin y ersetzen    und    erhält so:

sin    « = sin ß cos    y    sin    y cos ß,

(V

sin    ß = sin y cos    «    -f-    sin    « cos y,

sin    y = sin « cos    ß    -f    sin    ß cos «,

und hierdurch ist zunächst der sin y eindeutig durch die trigonometrischen Funktionen von « und ß ausgedrückt. Hat man aber sin y, so kann man cos y aus den Gleichungen (7) berechnen, nämlich

sin a cos y = sin ß — cos « (sin « cos /3 -j- sin /5 cos «)

— — sin « cos ß cos « + sin ß (1 — cos²«)

= — sin « cos ß cos « -j- sin ß sin a²,

und durch Division mit sin «:

(8)

cos y = sin « sin ß — cos « cos ß.

Hierdurch ist also auch cos y eindeutig bestimmt, und man kann zwei ähnliche Formeln ableiten einander vertauscht.

Daß die Relation (6) kleine Rechnung leicht nachweisen.

wenn man

a, ß, y zyklisch mit-

aus

(7) und (8) folgt, läßt sich durch eine

§ 29. Goniometrisclie Formeln.

1. Ehe wir in der Anwendung der trigonometrischen Formeln auf die Dreiecksberechnung weitergehen, leiten wir aus den zuletzt gefundenen Resultaten eine Ergänzung der goniometrischen Formeln her.

Wenn wir nämlich y = 7t — « — ß setzen und beachten, daß nach § 27 (5) sin (7t — « — ß) = sin (« -f- ß), cos [% — « — ß) = — cos (« -f ß) ist, so ergeben die Formeln (7) und (8) des vorigen Paragraphen:

(1)

sin (« -f ß) = sin « cos ß + cos a sin ß, cos (« -j- ß) = cos « cos ß — sin « sin ß,

und in diesen Formeln ist das sogenannte Additions theorem der Funktionen Sinus und Kosinus enthalten.

2. Diese Formeln sind zunächst nur unter der Voraussetzung erwiesen, daß cc, ß und a + ß zwischen 0 und st liegen; sie lassen sich aber mit Hilfe der Sätze des § 27 leicht verallgemeinern.

Sind nämlich zunächst noch cc, ß positiv und kleiner als st, dagegen cc -f ß größer als st, so setze man cc = st — cc, ß' — st — ß, a ß' = 2 st — cc — ß < st, und für a, ß' sind die Bedingungen, unter denen die Formeln (1) bewiesen sind, befriedigt. Demnach ist

sin (2st — cc — ß) = sin (st — cc) cos (st — ß) -j- cos (st — a) sin (st — ß),

was sich mit Hilfe der Formeln § 27, (5) auch so schreiben läßt

sin (cc + ß) = sin a cos ß -f- cos cc sin ß,

und ebenso ergibt sich die zweite der Formeln (1), die sonach allgemein gelten, so lange cc und ß kleiner als st sind.

Ist aber a ein beliebiger Winkel, so kann man die ganze Zahl 1c immer so bestimmen, daß a -)- list zwischen 0 und st liegt, und es ist also für jedes beliebige a

sin (cc -f ß + list) = sin (cc + kst) cos ß -f- cos (cc -f lest) sin ß,

woraus nach § 27 (2) und (3) wieder die erste Formel (1) folgt; und ebenso die zweite. Mit dem Winkel ß kann man dann ebenso verfahren, und damit sind also die Formeln (1) für je zwei beliebige (positive und negative) Winkel cc, ß nachgewiesen. Es ist daher nur eine andere Form dieser Gleichungen, die wir durch Vertauschung von ß mit — ß erhalten, wenn wir schreiben:

(2)

sin (cc — ß) = sin a cos ß — cos cc sin ß, cos (cc — ß) = cos a cos ß -f- sin a sin ß.

3. Wenn man die Formeln (1) durcheinander dividiert, so erhält man die Additionstheoreme für tangens und cotangens.

(3)

tg (cc + ß) =

sin a cos ß -j- cos cc sin ß

cos cc cos ß — sin cc sin ß

cotg (a + ß) =

tg « + tg ß

1 — tgcctgß’

cotg CC cot g ß — 1

cotg CC -f- cotg ß

Wir stellen noch einige der am häufigsten gebrauchten gonio-metrischen Formeln zusammen, die sich aus dem Additionstheorem ergeben.

Durch Addition und Subtraktion von (1) und (2) folgt:

(4)

cos (cc + ß)    — cos (cc    — ß)    =    — 2 sin a sin ß,

und wenn man hierin a -f- ß == a, a — ß = b setzt:

sin a + sin b = 2 sin

a -j- b

cos

sm a

(5)

. a — b sm—>

« -f- b

— cos —

cos a -j- cos b = 2 cos —₂

cos a — cos b = — 2 sin a ■■

4. Wenn man in den Additionsformeln a = ß setzt, so erhält man die Formeln für die Verdoppelung des Winkels:

sin 2a — 2sin a cos a, cos 2 a — cos a²— sin a²,

von denen man die letzte auch in jeder der Formen cos 2a = 2 cos a²— 1 = 1 — 2 sin a2 darstellen kann, und wenn man a durch a/2 ersetzt,

1 + cos a = 2 cos² - -,

(6)

(7)

(8)

1 — cos a = 2 sin² - -,

n . a    a

sm a = 2 sm — cos y •

Es folgt aus den beiden ersten Gleichungen (5) durch Multiplikation mit cos Ą (a -f b), sin % (a-\-b) nach (6):

d —|- &

(9)

(sin a + sin b) = sin (a -f- b) cos , in — ₂ — (sin a — sin &) = sin (a + F) sin a -- &,

cos

1+

und hieraus durch Division:

(10)

sin a — sin & sin a -f- sin b

Macht man noch von der Formel

cos a²

1 + tg

Gebrauch so erhält man aus (6) oder (7)

2 t g a

sin 2 a =

cos 2 a =

1 -Ptg a² ’ 1 — tg a.²

1 + tg a² ’

— tg a

Hiernach lassen sich alle trigonometrischen Funktionen ausdrücken durch die Tangente des halben Winkels. Wenn man nämlich a durch a/2 ersetzt, und zur Abkürzung

2t

setzt, so ergibt sich

sin a =

ï+T”

(ii)

cos a =

i— t²

r+T²'

, 21

Diese Relationen haben den Vorzug, daß sie frei von Wurzelzeichen, oder wie man sagt, rational sind, während bei den Darstellungen der trigonometrischen Funktionen durch eine unter ihnen ohne Benutzung der Funktionen des halben Winkels immer Wurzelzeichen Vorkommen.

§ 30. Multiplikation und Teilung des Winkels.

1. Durch die Formeln (6), (7) § 29 ist der Sinus und der Kosinus des Winkels 2 a ausgedrückt durch die gleichen Funktionen des einfachen Winkels a. Setzt man zur Abkürzung

(i)

x — 2 cos a, so kann man diese Formeln so darstellen:

(2)

2 cos 2a = x² — 2, sin 2a == sin a • x.

man in den

Man erhält ferner aus dem Additionstheorem, wenn Formeln § 29 (4) ß == 2a setzt:

(3)

cos 3 a = 2 cos a cos 2 a — cos a,

sin 3cc = 2 sin a cos 2 a + sin a, woraus mit Benutzung von (2):

(4)

2 cos 3a — xs— 3x, sin 3 a == sin a (x² — 1).

2. Diese Formeln lassen sich in die allgemeinen zusammenfassen: 2 cos na = An(x), sin na = sin aJBJx),

(5)

worin n = 2 und n = 3 und An(x) und Bn(x) ganze Funktionen von x von den Graden n und n — 1 sind mit ganzzahligen Koeffizienten. Daß dieses Gesetz allgemein gilt, läßt sich durch vollständige Induktion beweisen. Denn es folgt aus den Formeln § 29 (4), wenn man ß = na setzt:

cos (n + l)a = 2 cos a cos na — cos (n — l)a, sin (n -f- l)a = 2 cos a sin na — sin (n — 1 )a, oder durch die Substitution (5)

(6)

0) = xAn(x) - An_t(x),

Bn+i(x) = xBJx) - Bn_x(x).

Wird also als schon bewiesen angenommen, daß An(x), An_₁{x)J Bn(x), Bn_x(x) ganze Funktionen von x mit ganzzahligen Koeffizienten sind, so folgt aus diesen Formeln das Gleiche für An+1(x), Bn + 1(x)’ auch die Grade n und n — 1 für An und Bn ergeben sich allgemein, und wir schließen ferner daraus, daß bei geraden n An nur die geraden, Bn nur die ungeraden Potenzen von x enthält, und bei ungeradem n umgekehrt.

Die Formeln (6) gestatten die sukzessive Berechnung der Funktionen An7 Bn. Man erhält für die ersten Fälle:

A₂ = x² — 2 Ji₂ = x

A₃ = x³ — 3x, B₃ = x²- 1

A₄ = a;⁴ — 4a;² -f- 2, B₄ = x³ — 2x

A₅ = x⁵ — 5a;³ -f ox, B₅ = xé — 3x² + 1

A₆ = x⁶ — 6x⁴ -f 9a;² — 2, Bg = x⁵ — 4a;³ -f- 3a;

A₇ = x⁷ — 7 x⁵ -j- 14a;³ —7 a;, B₇ = x⁶ — 5a;⁴ -f 6a;² — 1.

Die Darstellung der trigonometrischen Funktionen der Vielfachen eines Winkels durch die gleichen Funktionen des einfachen Winkels heißt die Multiplikation des Winkels, und diese Aufgabe ist also durch die Formeln (4), (5), (6), (7) allgemein gelöst.¹)

sin cp

3. Die umgekehrte Aufgabe ist die Teilung des Winkels. Man versteht darunter die Bestimmung von cos cp/n, sin cp/n, wenn cos cp und sin cp gegeben sind. Diese Aufgabe ist aber nicht so einfach zu lösen, sondern erfordert die Auflösung einer algebraischen Gleichung. Setzt man cp = na, x = 2 cos a, so ergeben die Gleichungen (5)

(8)

2 cos cp — An(x), sin a =

und die erste dieser Formeln gibt uns eine Gleichung wten Grades zur Bestimmung von x. Nimmt man eine Wurzel dieser Gleichung, so gibt die zweite Formel den zugehörigen Wert von sina.

4. Die Gleichung wten Grades

An(x) = 2 cos cp

hat aber n Wurzeln.

Die folgende Überlegung zeigt, welche Bedeutung diese n Wurzeln haben: Es ist, wenn k eine beliebige ganze Zahl ist,

(cp + 2kit) = cos cp, sin (cp + 2kn) = sin cp

cos

und wenn also

S i-S

x₀ = 2 cos

- = 2 cos a

den Gleichungen (8) genügt, so genügt

xk = 2 cos (a + ²~)

denselben Gleichungen. Wenn aber k um ein Vielfaches von n wächst, so wächst 2nk/n um ein Vielfaches von 2n und xk bleibt ungeändert. Demnach gibt es nur die folgenden n verschiedenen Werte von xk:

beweisen:

V

B„(*)

(n — v — 1) !

v ! (n — 2 v — 1) ! Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

z-*-¹,

21

/y»    /y»    /y»    /y»

xo> -^2; • • • >

und diese sind auch alle voneinander verschieden, wenigstens solange (p nicht einen besonderen Wert hat.¹)

5. Die Gleichung wten Grades, von der die Teilung des Winkels abhängt, hat aber eine besondere Natur; sie gehört nämlich für jedes n zu den Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind, was wir für den Fall, daß es sich um die Teilung der ganzen Kreisperipherie handelt, schon im ersten Bande nachgewiesen haben. Ohne auf die allgemeine Theorie dieser Gleichungen einzugehen, erhält man das Resultat aus der Moivreschen Formel (Bd. I, § 47, 8. der ersten, § 51, 8. der zweiten Auflage), wonach

(cos a-\-i sin a)n = cos na -j- i sin na

ist. Daraus ergibt sich:

cos a + i sin a — Y cos qp -f- i sin cp, cos a — i sin a = ]/cos cp — i sin cp,

also

1 = Vcos cp -j- i sin cp )/eos cp — i sin cp,

(9)

x =ycos cp -f- i sin cp -f- ycos cp — i sin cp,

worin die beiden wten Wurzeln in der Weise voneinander abhängen, daß die eine der reziproke Wert der anderen ist; die n verschiedenen Werte von x ergeben sich, wenn man der ntea Wurzel ihre n verschiedenen Werte erteilt. Die Werte von x sind alle reell.

Im Falle n = 3 ist (9) nichts anderes als die Cardanische Formel für den irreduziblen Fall der kubischen Gleichung, und wir haben in der Tat im ersten Bande bereits einen Gewinn darin gesehen, daß wir diesen Fall auf die Dreiteilung des Winkels zurückgeführt haben. Ebensowenig wie dort läßt sich im allgemeinen Fall die Lösung auf reelle Radikale zurückführen. Dies ist nur möglich, wenn n eine Potenz von 2 ist, und es ergibt sich z. B. für n = 2 und n = 4:

. .f /l — COS qp

+ K—2— >

j/cos cp -j- i sin cp = j/-    |°² 3 4 ^

Y cos cp -f- i sin qp =

Vr+y

1 -f- COS Cp

Vi-V

1 -j- COS qp

§ 31. Dreiecksberechnungen.

1. Wir fahren nun fort mit der Anwendung der trigonometrischen Formeln auf die Dreiecksberechnung. Die Formeln des § 28 enthalten zwar alles, was prinzipiell dazu notwendig ist; es lassen sich aber daraus noch andere Formeln ableiten, die für gewisse besondere Zwecke geeigneter sind.

Wir wollen ausgehen yon der Aufgabe, die Winkel a, ß, y zu finden, wenn die drei Seiten a, b, c gegeben sind. Diese Aufgabe löst der Kosinussatz in der Form

(1)

cos a =

2 bc

1) Ist z. B. qp = 3i, n— 3, so erhält man nur die beiden verschiedenen Werte

„    7t

= 2 cos —

xx == — 2.

und da u zwischen 0 und jt liegt, so ist a dadurch eindeutig bestimmt. Für praktische Anwendung, besonders für die Rechnung mit Logarithmen ist aber die Formel weniger geeignet, da man zuerst die Quadrate und Produkte von a, b, c zu bilden, den Quotienten zu nehmen, und den Winkel a aus der Tafel zu suchen hätte. Die Tafeln enthalten nicht den Kosinus selbst, sondern seinen Briggischen Logarithmus. Man müßte also, wenn man auch die Quadrate und Produkte durch Logarithmen berechnen will, mehrmals Logarithmen und Numeri aufschlagen, was nicht nur beschwerlich ist, sondern auch die Gefahr einer Häufung der unvermeidlichen Ungenauigkeiten der Tafeln mit sich bringt. Dies würde vermieden, wenn wir eine Formel hätten, in der eine trigonometrische Funktion direkt als Produkt und Quotient oder Wurzel von gegebenen Größen dargestellt ist.

1 -f cos a ==

— a⁵ -f- (b -)- c)⁵ __ (a -f b -)- c) (— a-\-b -(- c)

(2)

2 bc

2 bc

1 — cos a =

a⁵ — (6 — c)⁵

{a-\-b — c) {a — b -f- c)

2 bc

2 bc

¹

Man kann leicht durch vollständige Induktion die allgemeinen Formeln

²

³

Auch der Fall, daß Bn{x) — 0 wird, wo die zweite der Gleichungen (8) ihren

⁴

Sinn verliert, kann nur bei besonderen Werten von qp Vorkommen, nämlich wenn sin qp — 0, also qp ein Vielfaches von n ist. Diese besonderen Fälle führen immer auf die Teilung der ganzen Kreisperipherie, die wir im ersten Bande behandelt haben.

⁵

Um das zu erreichen, leiten wir aus (1) die beiden Formeln ab

und da (nach § 29 (8)) 1 + cos a = 2 cos¹^-«, 1 — cos a = 2 sin¹^-« ist:

CO S

_ 1 /(a ~4~ b -f- c) (

“ K    4&e

— a -f- b -f- c)

-»T-y

4&c

und diese Formeln lassen sich mit Benutzung der Abkürzung

21*

auch so darstellen:

(4)

cos — =

's (s — a)

bc

, sin

~l/L_

V *;>' bc

V) (ß — c)

(5)

*t-V

s(s — a)

wo die Wurzeln alle positiv zu nehmen sind, da die Winkel alle kleiner als 90° sind.

3. Der Flächeninhalt A eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produktes einer Seite und des auf diese Seite von der Gregenecke gefällten Perpendikels, also gleich ^cha (Fig. 153). Es ist aber hc = b sin a und folglich

(6) A = \bc sin cc = bc sin y cos -, also nach den Formeln (4) q (7) A = ]/s(s — a){s — b)(s — c).

c,

J)

bL

Man kann den Flächeninhalt elegant ausdrücken durch den Umfang und durch die drei Winkel. Wenn man nämlich a durch ß und durch y ersetzt, so folgt aus (5)

Fig. 153.

— ć) (s — a)

s(s — 6)    ’

— a)(s— b)

s(s — c) ;

und daraus durch Multiplikation

(8)

woraus nach (7)

s — a = stg$ß tg$y, s— b = stgiytg$cc, s- c = stg^aig^ß,

A = s² tg tg -\-ß tg y.

3. Den Radius r des umgeschriehenen Kreises erhalten wir aus der schon früher abgeleiteten Formel (§ 28, 3.) gleich a/2 sin cc, also

a = 2r sin a = 4r sin cos ^cc, b = 2r sin ß = 4r sin {-ß cos £ß, c = 2r sin y = 4r sin \y cos ^y,

(9)

(10)

und nach (6) und (9)

2 ad sin cc

abc =

= 4rA = 4rs² tg tg \ß tg \y.

Daraus erhält man dann, wenn man die drei Gleichungen (10) miteinander multipliziert:

(H)

4 cos    cos \ ß cos\y

4. Um die Radien des eingeschriebenen und der drei angeschriebenen Kreise p, px, p₂, p₃ zu erhalten, bemerke man, daß, wie die Fig. 154 zeigt,

2 Al — p (et -|- b -f- c) = p^ (— cl -f- b -)- c) ist: also ist

?2

b’ ^³ s— c’

Q g y Qi und daraus: i- -j- — -f- — _

Pi ßi Ps A Man findet mit Hilfe der Formeln (7) und (8)

b/

b ! s c 1

” ⁺ ~Ä~ ⁼ ~q

<c

Q = stg^a tg$ß tg-i-7,

(12) Px^stg^a, p₂=stg^-0,

P₃= stg-i-y,

was auch leicht geometrisch geschlossen werden kann. Drückt man z/ nach (7) durch a,b, c aus, so findet man

Cy

IL

iB

ft

ft

Fig. 154.

4 2 ₌ (— a + & + e)(a — b + c){q + b — c) ₌ ^ (s — q) (s — b) (s — c)

(a -j- b + c) (a — b -j- c) (a -f b — c)

(13)

5. Wie wir vorhin von der Aufgabe ausgegangen waren, aus den drei Seiten des Dreiecks andere Stücke zu finden, so wollen wir jetzt annehmen, es seien aus zwei Seiten a, b und dem eingeschlossenen Winkel y die dritte Seite c und die Winkel a> ß zu bestimmen.

Eine unmittelbare Lösung gibt uns der Kosinussatz, und wenn c

gefunden ist, der Sinussatz. Will man die Winkel cc, ß zuerst berechnen, so erhält man aus § 28 (3)

c cos ß = a — b cos y,

und daraus nach dem Sinussatz (c sin ß = b sin y) b cotg ß sin y = a — b cos y,

also

(14)

tang/3--

b sin y

— b cos y

6. Diese Formeln leiden aber an dem früher schon besprochenen Ubelstande, daß sie für logarithmische Rechnung nicht geeignet sind. Bessere Resultate ergeben sich aus den goniometrischen Formeln § 29 (9), in denen wir jetzt cc, ß für a, b schreiben:

cos

(sin cc -f sin ß) = sin (cc + ß) cos --- -,

sin (sin cc — sin ß) = sin (cc + ß) sin - ---■

Hierin ist a -j- ß = n — y, also sin (cc + ß) = sin y. Dann kann man nach (10) sin cc, sin ß, siny durch die ihnen gleichen a/2r, 6/2r, c/2r ersetzen und erhält, wenn man 1/2 r heraushebt,

— = c COS

(a + 6) cos    ^

(15)

(a — 6) sin    ^

Diese Formeln werden die Mollweideschen Gleichungen genannt.¹) Durch Division erhält man daraus den Tangentensatz

-ß

fr"«

tg“±I “ +

ë 2

wofür man, wegen a -j- ß -f- y = n, auch setzen kann

Sind a, 6, y gegeben, so findet man hieraus cc — ß und dann a und ß einzeln aus

2cc = Jt -j- cc — ß — y, 2ß = it — cc-\-ß — y, und dann ergibt sich c aus jeder der Gleichungen (15).

1) Mollweide, geb. 1774 zu Wolfenbüttel, Mathematiker und Astronom in Leipzig, gest. 1825.

folglich nach dem Sinussatz, angewandt auf das Dreieck A DB:

. CC -ß

= c sin -    •

7. Die Mollweideschen Gleichungen lassen sich auch auf folgendem geometrischen Wege einfach ableiten.

Man mache in dem Dreieck ABC (Fig. 155)

CD = CE = CA,

dann ist

BD = a — b, BE => a -\-b.

Es ist ferner

fE

% —y-, ß

cc — ß

2-'■■■> y- 2 j

«4-ß

y 7E Z = — = —

<xTjf

tt/i H

cc — ß

~T~    2 >

Fig. 155.

(a — b) sin K ^ Ebenso ist für das Dreieck BAE

(a + b) cos a y -in Übereinstimmung mit den Gleichungen (15).

— C COS

CC -ß

§ 32. vierecksbereclmung.

1. Die Anwendung der trigonometrischen Formeln auf die Berechnung von Vielecken wird dadurch ermöglicht, daß man das Vieleck in Dreiecke zerlegt. Im Viereck z. B. ist die Winkelsumme vier Bechte, also gleich 2je, und das Viereck ist durch fünf Stücke bestimmt.

Denn nimmt man z. B. die vier Seiten und einen Winkel als gegeben an, so erhält man zunächst ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, dessen dritte Seite eine Diagonale des Vierecks ist. Aus dieser und den beiden noch nicht benutzten Viereckseiten erhält man dann ein zweites Dreieck, wodurch das erste Dreieck zum Viereck ergänzt wird.

Wir wollen hier die vier Seiten und die Summe zweier gegenüberliegender Winkel als die gegebenen Größen annehmen. Wir bezeichnen die Seiten des Vierecks AB CD (Fig. 156) mit a, b, c, d, die Winkel mit a, ß, y, d, so daß a, b den Winkel a und

und wenn man (2) und (3) ins Quadrat erhebt und addiert (§ 27 (7), § 29 (D):

4 ®² -j- \{a² -f b² — c² — d²)² = a²b² -f c²d² — 2abcd cos (a-\- y)-

Hierin setzen wir

a²b² + c²d² = (ab + cd)² — 2 abcd

und erhalten (§ 29 (8)):

16®² = 4(ab + cd)² — (a²-f b²— c² — d²)² — 1 Qabcd (cos —• Es ist aber

(a² + ¥ — c² — d²)² — 4 (ab + cd)

= ((« -j- &)² — ( c — d)²) (((a — b)² — (c + d)²)

= (a -(- b -f c — d) (a -j- b — c + d) (a — b -f- c + d) (a — b — c — d), und wenn wir also mit s den halben Umfang bezeichnen:

s = ^{a -\- b c A d),

so wird das Produkt gleich

— 16 (s — a) (s — b) (s — c) (s — d).

Es wird also schließlich das Quadrat des Inhalts des Vierecks

(4)

c, d den Winkel y einschließen. Bezeichnen wir mit B die Diagonale BB, so gibt uns der Kosinussatz, angewandt auf die beiden Dreiecke ABI) und BGB, die beiden Ausdrücke für B²

(1)    B² = a²-\-b²— 2ab cos a = c²-\-d²— 2cd cos y, und daraus die erste Relation:

(2)    %(a²-\- b²—c² — d²) = ab cos a — cd cos y.

Wenn man den Flächeninhalt & des Vierecks zusammensetzt aus den Flächeninhalten der beiden Dreiecke, so ergibt sich

2® = ab sin a + cd sin y,

R\

r )c

'C

Fig. 156.

(3)

®² == (s — a) (s—b) (s — c)(s — d) — abcd (cos ~-i.fj ?

und hierin kann a -f y durch ß + ô ersetzt werden.

Dieser Ausdruck für ®² nimmt bei gegebenen a, b, c, d seinen größten Wert an, wenn cos +y) == 0, also a -\-,y = n ist. Daß die Summe zweier gegenüberliegender Winkel zwei Rechte beträgt, ist aber das Kennzeichen, des Kreisvierecks (Sehnenvierecks).

Wir haben also den Satz:

Unter allen Vierecken mit den gleichen Seiten hat das Kreisviereck den größten Flächeninhalt.

2. Relationen zwischen den sechs Verbindungsstrecken von vier Punkten. . Ein Viereck ist auch vollständig bestimmt, wenn seine Seiten und eine Diagonale gegeben sind. Denn aus je zwei Seiten und der gegebenen Diagonale kann man zwei Dreiecke kon-

iß

Fig. 157.

struieren, die zusammen das Viereck ergeben. Das Viereck ist aber nur dann eindeutig bestimmt, wenn gleichzeitig bestimmt ist, welche Seiten sich auf der gegebenen Diagonale schneiden sollen, und auf welcher Seite der Diagonale jede Seite liegen soll. Da hierdurch zugleich die zweite Diagonale bestimmt ist, so ergibt sich, daß zwischen den sechs Strecken, die je zwei von vier gegebenen Punkten der Ebene miteinander verbinden, eine Relation bestehen muß. Diese Relation soll aufgestellt werden.

Es seien (Figl 157) 0, 1, 2, 3 die vier gegebenen Punkte und (01), (02), (03), (12), (13), (23) ihre Verbindungsstrecken. Durch Anwendung des Kosinussatzes auf die Dreiecke (023), (031), (012) ergibt sich

(23)² = (02)² + (03)² - 2(02) (03) cos «,

(31)² = (03)² + (Ol)² - 2(03) (01) cos (« + ß), (12)² = (Ol)² + (02)² - 2(01) (02) cos ß.

(6)

(23)²,

Setzt man zur Abkürzung a = (Ol)², b = (02)², c = (03)²,

A = (02)² + (03)2 B = (03)² + (Ol)² — (31)²,

C = (Ol)² -j- (02)² — (12)²,

so folgt aus (5)

2]/be cos a = A,

(7)

2 ]/ca cos (a -j- ß) = B,

2 }/ab cos ß = C,

8abc cos a cos ß cos(« + ß) = ABC.

Zwischen den drei Winkeln a, ß, (a -f ß) besteht aber nach § 28 (6) die Relation:

cos² 3 cc -f cos² ß -f- cos²(a ß) — 2 cos a cos ß cos (cc ß) = 1, und daraus durch Einsetzen der Ausdrücke (7)

(8)

aA⁸ + bBs + cCs - ABC + 4abc.

Das ist nach (6) die gesuchte Relation.¹) Bei dieser Ableitung und auch noch in der Endformel (8) ist dem Punkte 0 ein gewisser Vorzug vor den übrigen eingeräumt. Diese Unsymmetrie in der Formel fällt weg, wenn man in (8) die Ausdrücke (6) substituiert. Die Formel wird aber dann etwas lang. Nimmt man die vier Punkte im Raume, nicht in einer Ebene an, so besteht zwischen ihren Abständen keine solche Relation. Man kann aber den kubischen Inhalt des Tetraeders, dessen Ecken diese vier Punkte sind, durch die Abstände ausdriicken und erhält die Bedingung, daß die Punkte in einer Ebene liegen, wenn man dessen kubischen Inhalt gleich Null setzt.

3. Der Satz des Ptolemäus.³) Wenn die Lage der vier Punkte nicht ganz willkürlich ist, so treten zwischen den sechs Strecken noch weitere Beziehungen ein: Wenn zunächst die vier Punkte auf einem Kreise liegen, so gilt der Satz des Ptolemäus, den wir jetzt ableiten:

Es seien a, a und b, b' die zwei Paare gegenüberliegender Seiten eines dem Kreise eingeschriebenen Vierecks, c,c seine Diagonalen. Zwischen diesen Stücken besteht eine Abhängigkeit, die sich leicht aus dem Kosinussatz ableiten läßt.

Aus den beiden Dreiecken abc, a'b'c (Fig. 158) erhalten wir, wir den Winkel zwischen a und & mit (ab), den zwischen a und b' mit (a'b') bezeichnen,

cl.

\b’

b\

a’

wenn

Fig. 158.

c³ = a³ + b³ — 2ab cos (ab), c³ = a ³-f- b'³ — 2a'b' cos (a'b'),

und da nun (ab) und (ab') Supplementwinkel sind, so ist cos (ab) -f- cos (ab') = 0. Also ergibt sich aus vorstehenden Relationen:

c³(aba b') = (a³ -\-b³)a'b' + (a'2jr b'³)ab = (aa -f- bb') (ab' + ba),

und ebenso erhalten wir aus den Dreiecken ab'c, abc c²(abr -f ha) = (aa + bb') (ab + ab').

(10)

Multipliziert man diese beiden Relationen und hebt den Faktor (<ab-\-a'b')(ab'Jrba) beiderseits heraus, so erhält man c²c²=(aa'-\-bb')², oder indem man die Wurzel zieht:

cc = aa -f bb',

und dies ist der Satz des Ptolemäus, der sich in Worten so aus-driicken läßt:

In einem Kreisviereck ist das Rechteck aus den beiden Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke aus je zwei Gegenseiten.

Dividiert man die Gleichungen (9) und (10) und zieht die Wurzel, so erhält man

ab' -f- ba' c ab -j- a'b'

Durch die Seiten a, b, a, b' sind also die Diagonalen des Sehnenvierecks, und damit dieses selbst, eindeutig bestimmt.

4. Der Satz von Stewart.¹) Eine andere Spezialisierung der Lage der vier Punkte tritt dann ein, wenn drei von ihnen in einer Geraden liegen. Wir erhalten dann die Fig. 159, und es handelt sich um die sechs Strecken AB, AC, AD, BC, BD, CD, zwischen denen die Relation BC = BD -f- CD statt hat. Es besteht aber noch eine zweite Relation zwischen diesen Strecken, die wir gleichfalls aus dem Kosinussatz erhalten. Bezeichnen wir den Winkel ADC mit a, so haben wir nach dem Kosinussatz :

-.2

AB* = AD + BD + 2AD • BD cos «,

Fig. 159.

AC² = AD² + CD* - 2AD • CD cos «,

und daraus, wenn wir a eliminieren, indem wir die erste Gleichung mit CD, die zweite mit BD multiplizieren,

AB² • CD + ÄC² • BD = ÄD²(BD + CD) + BD² CD + CD² BD Setzen wir darin

BD + CD = BC,

BD² • CD -f CD² ■ BD = BD • CD(BD -f- CD) = BC • BD • CD,

1) Mathew Stewart, Theolog und Mathematiker, lebte 1717—1785 in

Schottland.

so ergibt sieb

AB² • CD + AC²BD- AD² • BC = BC • BD ■ CD

und dies ist der Stewartsche Satz.

§ 33. Die Brocardschen Punkte.

1. Wenn man von einem Punkt R im Innern eines Dreiecks ABC nach den drei Ecken gerade Linien zieht, so bilden diese mit den drei Seiten des Dreiecks im allgemeinen verschiedene Winkel. Es gibt aber eine besondere Lage des Punktes R, bei der diese Winkel einander gleich werden:

(1)

<C RAG = RCB = <C RBA = œ (Fig. 162).

Ebenso kann man aber auch nach der Lage des Punktes R' fragen, wenn

(2)

R!AB = <£ R'BC = ^ R'CA

werden soll. Diese Punkte R, R' heißen die Brocardschen Punkte.⁴) Die folgende Betrachtung gibt uns eine Konstruktion des Punktes R und lehrt uns zugleich die Größe œ der drei Winkel (1) kennen. Wir bezeichnen mit a, ß, y die Winkel des gegebenen Dreiecks.

In dem Dreieck ACR ist dann der Winkel bei A gleich co und der bei C gleich y — tu, folglich der bei R gleich Jt — y. Errichtet man in C eine Senkrechte CC₁ auf BC und konstruiert das gleichschenke-lige Dreieck ACC1} so hat dies bei A und C die Winkel jr/2 — y, und folglich ist der Winkel bei Cx >B gleich 2y. Es ist also C\ der Mittelpunkt

ARC, der bei R als Peripheriewinkel über A C als Sehne den Winkel tc — y faßt. Der Punkt R liegt also auf dem Kreise, der um Cx mit CCt als Radius beschrieben ist.

fl /'■

Gl Ar,

/X

AJA

c'léA'-

At-ß

eines

Kreisbogens

Fig. 160.

§ 34. Grundformen für das Vieleck.

cci

As

0*1

Macht man dieselbe Konstruktion für die beiden anderen Dreiecksseiten, so erhält man drei Kreise, die sich in dem gesuchten Punkte R schneiden.

2. Um den Winkel co zu finden, wenden wir auf die beiden Dreiecke CR A und CRR den Sinussatz an, und erhalten:

b sin co sin y

und wenn man, wieder nach dem Sinussatz, auf das gegebene Dreieck angewandt, a :b = sin cc : sin ß setzt:

sin ß sin co sin y

und da nach dem Additionstheorem:

sin (ß — cd) = sin ß cos cd — cos ß sin co

sin cc cos ß sin ß

ist:

sm co

RC =

,sin

a sin (j3 — co)

sin ß

sin cc sin (ß — co)

sin ß

daraus :

Ni |-Cö

cos cd sm cc,

sin ß

cotg CO = cotg ß -f

und endlich, da sin ß = sin a cos y + sin y cos a ist:

cotg co = cotg a -f cotg ß -f- cotg y.

Wenn man denselben Winkel co in den Punkten A, B, C an die Seiten c, a, b statt an b, c, a anträgt, so erhält man den zweiten Brocardschen Punkt.

sin y sin cc ⁷

(1)

1. Wir wollen einen gebrochenen Linienzug 0,1, 2n betrachten, der aus den Strecken ax, a₂, a₃, ..., an besteht. Jede Strecke soll gegen die vorangehende um einen gewissen Winkel in einem willkürlich festgesetzten, als positiv betrachteten Sinne gedreht sein, und diese Drehungswinkel, die wir mit (12), (23), . . ., (n — 1, n) bezeichnen, sollen as, alle kleiner als it sein und eine Summe haben, die kleiner als vier Rechte ist, so daß die Richtung der Strecken nicht völlig einen ganzen Umlauf gemacht hat (Fig. 161).

Verbinden wir den Endpunkt n mit dem Anfangspunkt 0 durch eine Strecke a, so erhalten wir ein Polygon (ein w-f-l-Eck) mit nur ausspringenden Winkeln, bei dem nicht angrenzende Seiten sieb, nirgends durchschneiden, und die Winkel dieses Polygons sind % — (12), % — (23), ....

Die Drehung (i, k) einer Seite ak gegen eine ai ist, wenn k > i ist, positiv, und es ist

(j, k) — (j, i + 1) + (j + 1 ? i + 2) + • • • -f- (k — 1, k).

Durch die Strecken at, a2} ..., an und die Drehungen (12), (13), . . ., (n— l,n) ist der Linienzug, und damit auch das Polygon, eindeutig bestimmt. Diese 2n — 1 Stücke aber können (innerhalb gewisser Grenzen) beliebig gegeben sein.

Wenn der Linienzug sich schließt, so bildet er ein n-Eck. Die Winkelsumme (12) + (23) + • • • + (n — 1, n) ist gleich 2n, und die Strecke a muß = 0 sein.

2. Es soll die Schlußstrecke a aus den gegebenen Stücken au a₂, . . ., an, (12), (23), .. ., (n— 1, n) bestimmt werden; wir beginnen mit dem Falle n = 3 (Fig. 162).

dem Dreieck (412)

Wir verlängern ax und a₃ bis zu ihrem Schnitt 4 und bezeichnen die Strecken 41, 42 mit und a₃, dann ist aus in dem der Winkel bei 4 gleich n — (13) ist:

,    sin (23)    ,    sin (12)

ai = % s[n (Ï3) ? a3 = °-2 sin (13) ?

und folglich nach dem Kosinussatz:

a,-(°₁+a>E^) + (°»+a>

+ ² («1 + “» SU) (<h + a* »lH) ⁰⁰⁸ (¹³)'

und dies gibt mit Benutzung der Formeln sin (13) = sin (12) cos (23) + cos (12) sin (23), cos (13) = cos (12) cos (23) — sin (12) sin (23)

sin (12)\ 2 sin (13)/

\al

Fig. 162.

nach einfacher Rechnung

a² = ak² -f a₂² + ß₃² + 2a₂n₃ cos (23)

+ 2azax cos (31) + 2aka₂ cos (12).

Dieselbe Formel gilt auch, wenn sich die beiden Linien ax, a3 unter der Linie a schneiden.

Mit Benutzung eines Summenzeichens läßt sich die Formel auch so schreiben:

(2)

a² = Ua? + 2Z,a{ak cos (i, k), und in dieser Gestalt gilt sie allgemein für ein beliebiges n, wenn man

in der ersten Summe i von 1 bis n gehen läßt, und in der zweiten für i, h alle Paare voneinander verschiedener Zahlen 1,2,.

n setzt.

Man erweist die Allgemeingültigkeit dieser Formel leicht durch den Schluß von n— 1 auf n, wenn man den Linienzug a1} a₂, a₃, ..., an

a3

aj

Fig. 164.

Fig. 163.

durch Überspringen einer Linie, etwa a₂, und Verlängerung der beiden angrenzenden ax und a₃ zu einem Zug von nur n — 1 Linien «/, a₃, a₄, • • -, an macht, für den die Formel als erwiesen gilt (Fig. 163). Man benutze dabei die erste der beiden Formeln:

(3)

sin (13) cos (24) = sin (23) cos (14) + sin (12) cos (34), sin (13) sin (24) = sin (23) sin (14) + sin (12) sin (34),

die sich leicht aus den Additionsformeln der trigonometrischen Funktionen ableiten lassen, wenn man setzt (Fig. 164):

(14) = (13) + (34), (24) = (23) + (34), (12) = (13) -(23).

3. Direkt kommt man auch auf folgendem Wege zu der Formel (2). Man nehme eine beliebige feste Richtung X in der Ebene des Polygons an, und bezeichne mit cct, cc₂, a₃, . . ., ccn die Winkel zwischen der Richtung X und den Richtungen a1} a₂₇ a₃, . . ., an, wobei diese Richtungen im Sinne des positiven Umkreisens der Polygonfläche verstanden sind. Es ist dann

(*, ß) ⁼ «k - ai>

und es ist ak cos cck die Projektion der Strecke ak auf der Richtung X, positiv oder negativ gerechnet, je nachdem der Winkel a spitz oder stumpf ist.

Da nun das Polygon geschlossen sein soll, so ist die Gesamtlänge der positiven Projektionen ebenso groß wie die der negativen, und die Gesamtsumme aller dieser Projektionen ist also Null. Dies gilt selbst dann noch, wenn an dem Polygon einspringende Winkel

Vorkommen, oder wenn sich die Polygonseiten gegenseitig durch-schneiden. Es ist also

— a cos a = at cos ax -j- a₂ cos a₂ -j- • • • -f- an cos an.

Ersetzt man aber die Richtung X durch eine auf ihr senkrechte Richtung Y, so hat man die Winkel a. sämtlich um ?r/2 zu vergrößern und man erhält:

— a sin a = ax sin ax -f- a₂ sin a₂ + • • • -f an sin an.

Wenn man diese beiden Formeln quadriert und addiert, so ergibt sich nach den Formeln

cos a² + sin cc² = 1,

cos ai cos ak -f sin ai sin ak = cos (cck — af)

die Formel (2).

4. Einfach läßt sich auch der Flächeninhalt des Polygons durch die Seiten ax, a₂, . . ., an und durch die Winkel (i, F) ausdrücken.

Wir wollen wieder mit dem Viereck 0, 1, 2, 3 (Fig. 165) beginnen, das wir zu einem Dreieck 0, 4, 3 ergänzen. Ist dann F der Flächeninhalt des Vierecks, so ist

F>-

sin (12) _ ² sin (13) '

a3 =

2F = — (axa₃ — (cq'-f ax)(a₃'-f %)) sin (13), und mit Benutzung der Formeln ,    sin (23)

⁼ ^ sin (13) >

Fig. 165.

2F = a₂a₃ sin (23) -j- axa₂ sin (12) axa₃ sin (13). Dieser Ausdruck läßt sich wieder so schreiben: 2 F = Xaiak sin (i, F),

und in dieser Form ist er allgemein gültig. Dies läßt sich durch vollständige Induktion (nach Fig. 165) leicht allgemein nachweisen.

§ 35. Umfang und Flächeninhalt regulärer Polygone.

1. Nehmen wir in einem Kreise mit dem Radius r einen Zentriwinkel 2a, der kleiner als tc ist, so ist, wenn wir a in Bogenmaß messen, die Länge des zugehörigen Kreisbogens gleich 2ra und der Flächeninhalt des Sektors gleich r²a. Die Sehne 2s hat die Länge 2r sin a und der Flächeninhalt AB'C' ist gleich r² tg a (Fig. 166). Da die Sehne kürzer ist als der Bogen und der Flächeninhalt des Dreiecks größer als der des Sektors, so ist

(i)

sin a < a < tg a.

2. Es seien nun cc und ß zwei Winkel des ersten Quadranten und es sei

a> ß.

B'

(2)

Es ergibt sieb dann

sin ß sin a a sin ß — ß sin a

CC

cc

und wenn man hierin

sin cc = sin (ß + cc — ß)

— sin ß cos (cc —ß) + cosß sin (cc—ß) setzt, so folgt: a sin ß — ß sin a

= (ß-\-cc — ß) sinß — ßsinß cos (cc — ß) — ß cos ß sin (cc — ß)

(X

cc

= ß sin ß (1 — cos (cc — ß)) -f ß(a — ß) cos ß ^

tgß sin (cc — ß)

)•

Fig. 166.

Dieser Ausdruck ist aber nach (1) immer positiv, weil

cos (cc — ß) < 1,

*%ß

>1,

sin (cc — ß)

<1

und es ist also die Differenz (2) gleichfalls positiv. Wir haben also:

So lange a zwischen 0 und n/2 liegt, nimmt der Bruch sin cc : cc ab, wenn cc wächst.

Differenz

3. Wir betrachten noch unter derselben Voraussetzung a>/3 die

tg cc tgß ß sin cc cos ß — a sin ß cos cc

aß cos a cos ß

wofür man auch schreiben kann:

(a -f- ß) sin (a — ß) — (a — ß) sin (a -f- ß)

a² — ß²

2aß cos a cos ß

2aß cos a cos ß

/sin (a — ß) sin (a -f- ß) \ cc

~ß

)'

und da a + ß größer ist als cc — ß, so ist diese Differenz nach (2) positiv. Wir haben damit den Satz:

So lange cc zwischen 0 und x/2 liegt, wächst der Bruch tg cc : a mit cc.

4. Nehmen wir jetzt den Winkel 2cc gleich dem nten Teil von vier Rechten, also = 2njn, an, so werden die Strecken BC und B'C' die Seiten von regelmäßigen w-Ecken und die Sektoren ABC, AB C' die nten Teile der Flächeninhalte dieser Polygone. Das erste von ihnen ist dem Kreise mit dem Radius r eingeschrieben, das zweite umgeschrieben.

22

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

Bezeichnen wir mit S, Sf die Umfänge, mit F, F' die Flächeninhalte der beiden Polygone, so ist

-w—j    9    • 7t    TC

= nrA sm — cos —

S = 2nr sin —

S'= 2nr tg ~,

F -= nr² tg — • ® n

Der Kreisumfang liegt zwischen S und S' und die Kreisfläche zwischen F und F'. Je mehr n wächst, um so näher kommen S und S' einerseits, F und F' andererseits einander, und man erhält als gemeinschaftliche Grenze von S und S' die Kreisperipherie 2rn und von F und F' die Kreisfläche r²jt.

5. Wir können den Flächeninhalt des w-Ecks auch durch seinen Umfang ausdrücken, wenn wir r aus S und F (oder aus S' und F') eliminieren. Man erhält so

4ntg — n

Bleibt der Umfang S unverändert und lassen wir n wachsen, so nimmt n tg (n/n) nach 3. ab und der Ausdruck für F nimmt zu. Daraus ergibt sich der wichtige Satz:

Ein einfaches reguläres w-Eck von gegebenem Umfang hat um so größeren Flächeninhalt, je größer die Anzahl n seiner Ecken ist.

Die obere Grenze der Werte F ist $²/4jt, d. h. gleich dem Inhalt eines Kreises vom Radius S : 2n (Bd. I, § 127).

Sechster Abschnitt.

¹

Um das zu erreichen, leiten wir aus (1) die beiden Formeln ab

²

   Gauß’ Werke Bd. IX, S. 248.

³

   Vgl. Franz Meyer, Archiv der Math. u. Physik (3) Bd. 7, S. 1.

⁴

Man sehe den Abschnitt über die moderne Geometrie des Dreiecks im „Repertorium der höheren Mathematik“ von Ernst Pascal, deutsch von Schepp, Bd. 2, § 7.

Sphärik und sphärische Trigonometrie.

A. Orientierung auf der Kugel.

§ 36. Einleitung. — Der Eulersche Dreiecksbegriff.

1.    In der ebenen Trigonometrie ist gelehrt worden, aus drei unabhängigen Stücken eines Dreiecks die übrigen zu berechnen. Die praktische Bedeutung solcher Berechnungen liegt in der Möglichkeit, auf der Erdoberfläche nach einmaliger Festlegung einer „Standlinie“ durch bloße Winkelaufnahmen Vermessungen auszuführen.

Es leuchtet aber ein, daß derartige Aufnahmen auf Genauigkeit nur Anspruch machen können, so lange wir uns auf kleine Teile der Erdoberfläche beschränken, genauer gesagt — so lange die Krümmung der Erdoberfläche vernachlässigt werden darf. Haben wir es dagegen mit der Vermessung größerer Gebiete zu tun, so sind die Flächen der Dreiecke nicht mehr eben, sondern gekrümmt: an Stelle der ebenen Dreiecke treten „sphärische Dreiecke“, an Stelle der ebenen die „sphärische Trigonometrie“.

Historisch verdankt die sphärische Trigonometrie ihren Ursprung nicht der Vermessung der Erde, sondern der des Himmels. Ja sie ist sogar zeitlich die ältere Schwester der ebenen Trigonometrie. Von alters her haben die Geheimnisse des gestirnten Himmels einen unwiderstehlichen Reiz auf die Menschen ausgeübt. Ihrer Erforschung galten die ältesten mathematischen Bemühungen. Aus diesen Bemühungen ist die sphärische Trigonometrie hervorgegangen.

Und bis heute ist sie dem Astronomen eine unentbehrliche und treue Helferin geblieben.

2.    Wie in der ebenen Trigonometrie die wichtigsten Lehren der ebenen Geometrie als bekannt vorausgesetzt werden müssen, so erfordert die sphärische Trigonometrie die Kenntnis der geometrischen Verhältnisse auf der Kugel. Man pflegt diesen Teil der Geometrie als Sphärik zu bezeichnen.

22

Es scheint aber nicht empfehlenswert, eine scharfe Trennung zwischen Sphärik und sphärischer Trigonometrie durchzuführen. Beide durchdringen und befruchten sich gegenseitig.

Wir werden uns im ersten Teil zwar ausschließlich mit reiner Sphärik beschäftigen, im zweiten mit reiner sphärischer Trigonometrie, aber im dritten werden uns gewisse merkwürdige Erscheinungen an Formeln der sphärischen Trigonometrie zu wesentlichen und weit-tragenden Erweiterungen im Gebiete der reinen Sphärik führen. Der vierte Teil beschäftigt sich mit praktischen Anwendungen der sphärischen Trigonometrie; endlich werden wir später, wenn uns auch die Lehren der analytischen Geometrie zur Verfügung stehen, eine Verbindung von Sphärik, sphärischer Trigonometrie und analytischer Geometrie kennen lernen: die „analytische Sphärik" (§ 83).

3.    Denkt man sich auf der Kugelfläche drei Punkte A, B, C angenommen, so können diese auf mannigfache Weise zu je zwei durch Kurven verbunden werden. Wie man nun in der Ebene unter einem Dreieck ein System von drei Punkten mit ihren kürzesten Verbindungslinien — Geraden — versteht, so definiert man auch ein sphärisches Dreieck als ein System von drei Punkten mit ihren kürzesten, auf der Kugel verlaufenden Verbindungslinien; diese sind, wie sich zeigen läßt, Stücke von Hauptkreisen, die die Länge eines Halbkreises nicht übersteigen.

Anschaulich lassen sich solche Dreiecke aus Stücken von Apfelsinenschalen herstellen.

4.    Das Nächstliegende wäre jetzt, unter einer „Seite" eines sphärischen Dreiecks die absolute Lauge s des betreffenden Hauptkreisbogens

ß(_

CC

Fig. 167.

zu verstehen. Denkt man sich aber zu der Kugel und dem sphärischen Dreieck eine Schar konzentrischer und ähnlicher Kugeln und Dreiecke hinzu, so unterscheiden sich alle diese nur durch den Maßstab, nicht aber ihrem Wesen nach. Man wird daher als Dreiecksseiten Größen einzuführen suchen, die von der Veränderung des Kugelradius r unabhängig sind; solche erhält man am einfachsten, wenn man als Seiten statt der Bogenlängen selbst ihr Verhältnis zum Kugelradius r einführt. Ist also sAB die Länge des zwischen A und B ver-

laufenden Hauptkreisbogens, und bezeichnet man wie in der Ebene die Seiten nach ihren gegenüberliegenden Ecken, so sind die Seiten durch folgende Gleichungen definiert (Fig. 167):

a = BC=—, b = CA = —

Die Größe Sbc/v ist aber nichts anderes als der in Bogenmaß gemessene Winkel BOC, wo 0 den Mittelpunkt der Kugel bezeichnet (§ 27, S. 307 f.). Wir können daher sagen:

Die Seiten eines sphärischen Dreiecks sind die Kantenwinkel des Dreikants, das das sphärische Dreieck aus dem Kugelmittelpunkt projiziert.

Es ist damit die Sphärik in engste Verbindung mit der Geometrie des „projizierenden Dreikants“ gebracht. Jedem Satz über das eine Gebilde entspricht ein solches über das andere.

5.    Als Winkel des sphärischen Dreiecks werden wir die zwischen 0 und 7t liegenden Winkel anzusehen haben, die die Hauptkreisbogen miteinander bilden. Da aber die Winkel zwischen krummen Linien durch die Winkel ihrer Tangenten gemessen werden, und diese Tangenten bei der Kugel auf den Radien nach den Berührungspunkten senkrecht stehen, so können wir sagen:

Die Winkel eines sphärischen Dreiecks sind die Flächenwinkel des projizierenden Dreikants.

Bezeichnet werden die Winkel durch griechische Buchstaben nach den Ecken, zu denen sie gehören.

6.    Der bisher entwickelte Dreiecksbegriff möge der Euler sehe heißen. Es soll damit in Erinnerung gebracht werden, daß Euler als der Vater der modernen sphärischen Trigonometrie anzusehen ist.¹)

Es ist dies der Dreiecksbegriff, der in der Wissenschaft bis zum Anfang des 19. Jahrhunderts, in den Schulen bis heute der allein herrschende war.

Die charakteristischen Eigenschaften der Eulerschen Dreiecke sind (vgl. § 38, 7.):

1) Principes de la Trigonometrie sphérique, tirés de la méthode des plus grands et plus petits. Mém. de l’Acad. de Berlin t. IY, 1753. — Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata. Act. Petrop. 1779. — Beide Abhandlungen (von denen die erste nicht elementar ist, indem sie von der Differentialgleichung der geodätischen Linien ausgeht) sind deutsch erschienen in Ostwalds Klassikern Kr. 75.

a)    Seiten und Winkel eines Eulerschen Dreiecks liegen zwischen 0 und it.

b)    Durch drei Punkte der Kugeloberfläche ist ein und nur ein Eulersches Dreieck bestimmt, wenn keine von den drei Punkten zueinander diametral sind.

7. Aus den geometrischen Eigenschaften des Dreikants folgen einige Sätze über das Eulersche Dreieck, die uns im vierten Teil häufig von Nutzen sein werden:

1.    Die Summe der Seiten eines Eulerschen Dreiecks liegt zwischen 0 und 2jt.

2.    Die Summe der Winkel eines Eulerschen Dreiecks liegt zwischen % und 3 7t.

3 Dem größeren Winkel eines Eulerschen Dreiecks liegt die größere Seite, gleichen Seiten liegen auch gleiche Winkel gegenüber.

§ 37. Die stenographische Projektion.

1. Um den Schwierigkeiten perspektivischer Zeichnungen, die sich für uns bei den Dreiecksformen der nächsten Paragraphen noch wesentlich steigern, zu entgehen, ist es wünschenswert, eine „Abbildung“ der sphärischen Figuren auf die Ebene zu besitzen, die gleichwohl die ursprünglichen räumlichen Verhältnisse klar erkennen läßt.

Dies leistet uns die Abbildung, die in der Kartographie unter dem Namen der „stereographischen Projektion“ bekannt ist.

Bei der stereographischen Projektion werden die Punkte der Kugel von einem auf der Kugel gelegenen Projektionszentrum auf eine Ebene projiziert, die den Durchmesser nach dem Projektionszentrum senkrecht schneidet.

Zur Vereinfachung des Ausdrucks deüken wir uns die Kugel als Erdkugel und reden demgemäß von Nord- und Südpol, Äquator usw.

Wir wählen als Projektionszentrum den Südpol, als Bildebene die Ebene s des Äquators.

Jedem Punkt P der Kugel entspricht dann ein Punkt P' von e. Die Punkte des Äquators entsprechen sich selbst. Die Punkte der nördlichen Halbkugel haben ihre Bilder innerhalb, die der südlichen Halbkugel außerhalb des Äquators. Dem Südpol entspricht als Bild jeder unendlich ferne Punkt der Ebene s. Der Eindeutigkeit wegen ist es zweckmäßig, als unendlich fernes Gebilde der Ebene nicht eine „unendlich ferne Gerade“, sondern einen „unendlich fernen Punkt“ anzunehmen, wie in der Inversionsgeometrie (§ 9).

Die Abbildung ist dann eine eindeutige.

2. Der weiteren Betrachtung legen wir vorübergehend ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt 0 zugrunde, dessen x- und y-Achse in der Aquatorebene liegen, während die positive z-Achse vom Anfangspunkt nach dem Nordpol geht.¹)

Irgend ein Punkt P der Kugel habe die Koordinaten x, Welches sind dann die Koordinaten x', y' des Bild-

V, e.

punktes P'?

Zur Beantwortung dieser Frage führen wir neben den rechtwinkligen Koordinaten noch Polarkoordinaten ein; P habe die Polarkoordinaten qp, p, z, wo qp den Winkel bezeichnet, den die durch P gelegte Meridianebene mit der Ebene des Null-

Q,

JP

meridians bildet, p aber den Abstand des Punktes P von der Erdachse angibt; P' habe die Koordinaten cp' und p'. Es ist offenbar:

qp'= cp.

Bei festgelegtem Kugelradius r ist P durch zwei Angaben, etwa cp und z, bestimmt. Wegen (1), und da p' nur von z, nicht aber von cp abhängig ist, bleibt nur noch die Aufgabe, p' durch z (und r) auszudrücken.

Zu dem Ende können wir wegen der Unabhängigkeit des z von cp den Punkt P in der Zeichenebene annehmen (Fig. 168). Es ist:

(1)

Daher:

ASOF ~ SQP~ PQN.

Z'

Q'

Fig. 168.

(2)

9'

(3)

9'

mithin:

(4)

'2 = r2 r_—_l v    r + 2

r* — <>'*

rr*+*'.V

Satz: Der Übergang von den Punkten P der Kugel zu den entsprechenden P der Ebene wird vermittelt durch die Gleichungen:

cp' ⁼⁼ cp,

r-\-z’

1) Vgl. den Abschnitt „Analytische Geometrie des Raumes“ (§ 98).

der Übergang von der Ebene zur Kugel aber durch:

cp = cp',

r² — £>'²

r V* '

3. Wir wollen nun untersuchen, wie Kreise in der Ebene sich auf der Kugel abbilden.

Ein beliebiger Kreis der Ebene hat in Polarkoordinaten die Gleichung:

(5)

p'² + ^.(/cosqp' + Ppsinç/ +(7=0.

= O — =X -7—,

s q r + z’

, y    r

s q u r + (j ’

Unter Benutzung von (2) und (1) ist aber: p'cosqp' = q

p'singp' = p'p

daher geht (5) über in:

(6)

Arx + Bry + (C — r²)z + r(C + r²) = 0.

Dies ist die Gleichung einer Ebene; eine solche hat mit der Kugel einen Kreis gemein. Da aber (6) eine ganz allgemeine Ebenengleichung ist, kann umgekehrt jeder Kreis auf der Kugel als Schnitt einer Ebene (6) mit der Kugel aufgefaßt werden, und wir haben den Satz:

Jeder Kreis auf der Kugel wird bei stereographischer Projektion als Kreis auf der Ebene abgebildet, und umgekehrt jeder Kreis auf der Ebene als Kreis auf der Kugel.

Nur wenn A, B und C unendlich werden, geht der Kreis (5) in eine Gerade über, wie man nach Division durch C sieht, während (6) als Bild nach wie vor einen Kreis (der durch den Südpol geht) liefert — was auch die unmittelbare geometrische Anschauung lehrt. Es ist daher wie in der Planimetrie zweckmäßig, die Gerade als ausgearteten Kreis aufzufassen.

4. Zwei durch den Südpol gehende Kreise mit dem zweiten Schnittpunkt P bilden sich auf s nach 3. als zwei Geraden mit dem Schnittpunkt P' ab. Der Winkel, den die Kreise bei P miteinander bilden, ist aus Symmetriegründen derselbe wie der bei S. Der letztere aber wird, wie leicht ersichtlich, erhalten, wenn man die Ebene der beiden Kreise mit der Tangentialebene in S zum Schnitt bringt. Da aber diese Tangentialebene der Aquatorebene e parallel ist, so folgt:

Zwei durch S gehende Kreise schneiden sich unter demselben Winkel wie die sie abbildenden Geraden.

Zwei unendlich benachbarten Punkten der Kugel entsprechen auch zwei unendlich benachbarte Punkte der Ebene. Daher folgt aus dem letzten Satz sofort:

Zwei beliebige Kurven der Kugel schneiden sich unter demselben Winkel wie ihre stereographischen Bilder.

Man nennt eine Abbildung, bei der die Winkel erhalten bleiben, eine konforme oder winkeltreue Abbildung.

Die stereographische Projektion ist also eine konforme Abbildung.

5. Für uns sind am wichtigsten die Abbildungen von Hauptkreisen. Da jeder Hauptkreis den Äquator halbiert, der Äquator aber sein eigenes Bild ist, folgt aus Art. 3:

Jeder Hauptkreis der Kugel und nur ein solcher wird durch einen Kreis abgebildet, der den Äquator halbiert, oder, wie wir uns in § 9 ausdrückten, das Bild eines Hauptkreises schneidet den Äquator diametral.

Ein sphärisches Dreieck hat also als Bild ein Kreisbogendreieck, dessen Seiten den Äquator halbieren. Beide Dreiecke stimmen in den Winkeln überein, nicht aber in den Seiten.

Indessen können auch die Seiten durch geometrische Konstruktion leicht gefunden werden (§ 39, 15.).

Umgekehrt kann man zu drei beliebigen Kreisen einer Ebene, zu denen ein Diametralkreis s existiert, sofort eine Kugel bestimmen, auf der dem von jenen Kreisen gebildeten Kreisbogendreieck ein sphärisches Dreieck stereographisch entspricht. Der Äquator dieser Kugel ist nämlich s.

6. Denken wir uns in N an die Kugel die Tangentialebene gelegt, und trifft SP diese in P", so ist nach dem Pythagoreischen Lehrsätze :

SP- SP" = 4r²:

da aber SP"=2SP' ist wegen Ähnlichkeit der Dreiecke SOP' und SNP", so folgt:

SP - SP' = 2r².

Mithin ergibt sich der Satz:

Die stereographische Projektion ist eine Inversion mit dem Zentrum S und der Potenz 2r² (vgl. §§ 9, 11, 24).

§ 38. Der Moebiussche Dreieeksbegriff.

1. Während in der Ebene zwischen zwei Punkten nur eine geradlinige Verbindungsstrecke existiert, können wir auf der Kugel zwei Verbindungen durch Hauptkreisbogen bersteilen, die sich zu 2n ergänzen. Von diesen ist freilich nur der eine, zwischen 0 und 7t liegende, zugleich kürzeste Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten. Läßt man aber diese Forderung fallen, so gelangt man zu allgemeineren sphärischen Dreiecken, deren Seiten nicht wie bisher zwischen 0 und 7t, sondern zwischen 0 und 27t liegen. Es liegt nahe, mit dieser Verallgemeinerung zugleich die weitere einzuführen, daß man auch überstumpfe Winkel zuläßt.

Diese Erweiterung des Dreiecksbegriffs verdanken wir Moebius, und wir werden ihn daher fortan als „Moebiusschen Dreiecks-begriff“ bezeichnen.¹)

2. Über die Notwendigkeit einer solchen Erweiterung spricht sich Moebius selbst folgendermaßen aus (Ges. Werke II, p. 74f.):

„In der Tat wird erst dadurch, daß man den Begriff eines sphärischen Dreiecks in möglichster Allgemeinheit auffaßt, eine vollkommene Übereinstimmung zwischen den Formeln einerseits und der Konstruktion andererseits zuwege gebracht. Denn wenn von den drei Seiten und den drei Winkeln eines Dreiecks irgend drei Stücke gegeben sind und ein viertes gesucht wird, so ergeben sich für das gesuchte mittels der zugehörigen Formel stets zwei im allgemeinen verschiedene Werte: und, übereinstimmend hiermit, kann man unter Zulassung auch überstumpfer Seiten und Winkel mit den drei gegebenen Stücken immer zwei verschiedene Dreiecke konstruieren, in deren einem der eine, im anderen der andere der zwei durch die Formel gefundenen Werte dem gesuchten Stücke zukommt, während, wenn noch die an sich willkürliche Bedingung hinzugefügt wird, daß keine Seite und kein Winkel tc überschreiten soll, in der Mehrzahl der Fälle nur der eine der zwei aus der Formel für das vierte Stück folgenden Werte statthaft ist.

Sind z. B. von einem sphärischen Dreieck ABC zwei Seiten a, b und der von ihnen eingeschlossene Winkel y gegeben, und soll die dritte Seite c gefunden werden, so ist diese von dem durch A zu legenden Hauptkreise entweder der eine oder der andere der zwei

Teile, in welche dieser Kreis durch A und B zerlegt wird, und hat daher zwei einander zu 2 7t ergänzende Werte. Andererseits wird c aus a, b und y durch die Formel:

cosc = cosa cosb + sina sin& cos y

gefunden, wonach dem durch seinen Kosinus gefundenen Bogen c ebenfalls zwei Werte zukommen, deren Summe gleich 2 7t ist.

Oder, soll aus denselben drei Stücken a, b, y der Winkel a gefunden werden, so ergeben sich, je nachdem man für die dritte Seite c, als den einen Schenkel des Winkels a, entweder den einen oder den anderen der zwei einen ganzen Kreis bildenden Bogen AB nimmt, zwei um % verschiedene Winkel, indem sie beide den Schenkel AC gemeinsam haben, der andere Schenkel des einen aber und der andere des anderen Winkels in dem durch A und B zu legenden Hauptkreise von A aus nach entgegengesetzten Richtungen fortgehen, und die zwei Winkel selbst von AC aus nach einerlei Sinn zu rechnen sind. — Übereinstimmend hiermit findet sich mittelst der Formel:

sin b cotga — sin7 cotga — cosb cosy

zwischen a, b, y und a, der Winkel a durch seine Tangente; und t man weiß, daß jeder Tangente zwei Winkel zukommen, deren Differenz gleich % ist.“

3.    So weit Moebius. Wir fügen als für uns späterhin besonders wichtig hinzu:

Läßt man Seiten und Winkel von beliebiger Größe zu, so bekommt man im wesentlichen den Moebiusschen Dreiecksbegriff, wenn man Seiten und Winkel, die sich um ganze Vielfache von 27t unterscheiden, die also „modulo 27t congruent“ sind, als gleich ansieht: es hat dies seinen berechtigten Grund darin, daß die trigonometrischen Funktionen solcher Seiten und Winkel, auf die es uns letzten Endes allein ankommt, tatsächlich gleich sind.

4.    Um bei unserer jetzigen Auffassung Bogen und Winkel eindeutig bestimmen zu können, müssen wir gewisse Festsetzungen treffen.

Auf jedem Hauptkreisbogen denken wir uns fortan einen bestimmten Richtungssinn festgelegt, den wir als positiven bezeichnen; der entgegengesetzte heißt dann negativ.

Dies vorausgesetzt, sollen die Seiten a, b, c eines Dreiecks so definiert sein, daß wir immer im positiven Sinn von B nach C, von C nach A, von A nach B gehen. (Tafel I.)²)

Tafel la.

Die Moebiusschen Dreiecke.

CL

ji(0)

00

rr (*) -*■ 10

rr (0) -*•11

rn (k) -*01

Tafel Ib.

Die Moebiusschen Dreiecke.

rp{k)

-*-00

rp (0) 'L10

rp(k)

11

rp(0)

-L0l

Liegen auf einem mit positiver Richtung versehenen Hauptkreise Punkte A, B, C, . . ., P, Q, so ist jederzeit, welches auch die Reihenfolge dieser Punkte sein mag:

AB + BC -f- • • • + PQ =* A Q (mod. 27t) AB + BA = 2tc.

Bei der Moebius sehen Auffassung können diese allgemeinen Gleichungen durch die spezielleren ersetzt werden:

AB + BC -\-----\- PQ = AQ,

AB = — BA.

5. Hat man zwei Hauptkreise a, 6 und will ihren Winkel definieren, so setze man zuerst fest, welchen ihrer beiden Schnittpunkte man als Scheitel ansehen will. (Der andere heißt dann „Gegenscheitel“.) Ferner setze man auf der Kugel einen Drehungssinn fest, den man als positiven bezeichne; der entgegengesetzte heißt dann negativ.

Dies vorausgesetzt, wollen wir unter dem Winkel (ab) den verstehen, um den man, unter Festhaltung des Scheitels und in ihm auf der Kugel stehend, die positive Richtung von a im positiven Drehungssinn drehen muß, bis sie mit der positiven Richtung von b zusammenfällt.

Der Drehungssinn heißt Rechtssinn, wenn dabei die positive Drehung im Sinne des Uhrzeigers erfolgt, im entgegengesetzten Falle Linkssinn.

Gehen die Hauptkreise a,b,c, ..., p, ą alle durch dieselben beiden Punkte, von denen man einen als Scheitelpunkt auffaßt, so ist jederzeit, wie auch die Kreise aufeinander folgen mögen:

(ab) -f- (bc) + • • • + (pq) = (aq) (mod. 2n),

(ab) + (ba) = 2jt.

Bei der Moebiusschen Auffassung können diese allgemeinen Gleichungen durch die spezielleren ersetzt werden:

(ab) + (bc)~1-----b (pq) = (aq),

(ab) = — (ba).

geht (ab) in tc + (ab) über.

so

Verwandelt man den Richtungssinn auf einem der beiden Hauptkreise in den entgegengesetzten,

Gleichzeitige Änderung beider Richtungssinne läßt daher den Winkel unverändert.

Dagegen verwandelt sich (ab) in 2% — (ab), wenn entweder der Drehungssinn in den entgegengesetzten verwandelt oder Scheitel und Gegenscheitel miteinander vertauscht werden.

a = (be), ß = (ca),

6. Die Winkel eines sphärischen Dreiecks ABC definieren wir durch die Scheitelpunkte A, B, C und die Gleichungen:

V = (ab).

Drei Punkte der Kugel bestimmen jetzt 16 verschiedene Moebiussche Dreiecke. Denn da auf jedem der drei Hauptkreisbogen die positive Richtung, und ferner der Drehungssinn auf der Kugel beliebig angenommen werden kann, ergeben sich 2 • 2 • 2 • 2 = 16 Möglichkeiten.

Von diesen 16 Dreiecken sind 8 auf Tafel I in stereographischer Projektion abgebildet. Die übrigen 8 entstehen dem „Typus“ nach (Art. 7) aus den vier mittleren Bildern durch zyklische Vertauschung der Ecken. Das zweite, dritte, vierte Dreieck jeder Horizontalreihe entsteht aus dem ersten, indem man an einer, zwei, drei Seiten den Richtungssinn umkehrt.

Die obere Reihe enthält die Dreiecke mit Linkssinn, die untere die mit Rechtssinn.

Das erste Dreieck der ersten Zeile ist ein Eulersches. Man bemerke aber, daß wir jetzt als Dreieckswinkel die Nebenwinkel der früher so bezeichneten Winkel anzusehen haben.

Wir unterscheiden zwischen Eulerschen Dreiecken und Eulerscher Bezeichnung. Jene sind Dreiecke, deren Seiten und Winkel 7t nicht übersteigen, gleichviel, ob die Bezeichnung nach Euler oder Moebius geschieht. Die Eulersche Bezeichnung, die nur in Verbindung mit Eulerschen Dreiecken auftritt, ist die in § 36 angegebene und für den ganzen vierten Teil maßgebend. Ein Eulersches Dreieck in Eulerscher Bezeichnung heiße „gewöhnliches“ Dreieck.

7. Um jede der 16 Dreiecksformen bequem bezeichnen zu können, führen wir gewisse Symbole ein. Es bedeute, wenn den Seiten a, b, c beziehungsweise der Index Jc=l, 2, 3 zugeordnet wird:

SqW ein Dreieck, dessen Seiten sämtlich zwischen 0 und 7t liegen;

77

77

77

7t ,,    2 7t „

bei dem nur die hte Seite zwischen 0 und tc liegt;

^    ;;    77    •

7?

77

77

77

77

77

77

'7-te

A/ „

77

Das Symbol Wfl (i = 0, 1, 2, 3; d = 0, 1) möge die entsprechenden Bedeutungen für die Winkel haben.

Der Anblick der Tafel I lehrt nun, daß nur solche Kombinationen (i, h = 0, 1, 2, 3; d, e = 0, 1) Vorkommen können, für die

i = h ist, daß dagegen den Fällen i + Ä keine Dreiecksformen entsprechen.

Sämtliche möglichen 16 Moebiusschen Dreiecksformen sind also in dem Symbol    (i = 0, 1, 2, 3- d, s — 0, 1)

enthalten.

Wir führen für dieses Symbol künftig das kürzere Tjfl ein und nennen dies den „Typus", die Marke i aber den „Index" eines Dreiecks.

Die folgende Tabelle, in der zu jedem Typus die Grenzen der Seiten und Winkel angegeben sind, wird uns häufig von Nutzen sein.

Typus:

rO

<3

TC)

-*00

0, 7t

TC) -* 01

TC)

-*■10

T®.

0, 7t

7t, 27t

7t, 27t.

0, 7t 0, 7t

7t, 27t 7t, 27t

0, 7t 0, 7t

7t, 27t 7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t 7t, 27t

0, n

7t, 2n 0, 7t 7t, 2 7t

TW

oo

TW

-Loi

0, 7t

0, TT

7t, 2n

7t, 2%

7t, 2tc 7t, 2 7t 0, 7t 0, 7t

7t, 27t 7t, 2tt 0, 7t 0, 7t

0, 7t

7t, 27t 0 , 7t 7t, 2tt.

7t, 2ti 0, 7t 7t, 27t 0, 7t

TT., 2 7t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t

T( 2) -*■ 00

7t, 27t 7t, 27t

0, 7t

0, 7t

0, 7t 0, 7t

7t, 2 7t 7t, 27t

7t, 27t 7t, 27t

0, 7t 0, 7t

7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t

0, 7t 7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

7t, 27t 0, 7t 7t, 27t

0, 7t

TW

TW

TW

10

ru³⁾

7t, 27t 7t, 27t 0, 7t 0, 7t

7t, 2tt 7t, 27t

0, 7t 0, 7t

0, 7t 0, 7t

7t, 27t

7t, 27t

7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t

7t, 27t

0, 7t 7t, 2ti 0, 7t

0₇ 7t

7t, 27t

0, 7t 7t, 27t

Die beiden charakteristischen Eigenschaften der Moebiusschen Dreiecke sind (vgl. § 36, 6.):

a)    Seiten und Winkel eines Moebiusschen Dreiecks liegen zwischen 0 und 2tt.

b)    Durch drei Punkte der Kugeloberfläche sind 16 Moe-biussche Dreiecke bestimmt, wenn keine von den drei Punkten diametral sind

8. Um auch für den Moebiusschen Dreiecksbegriff den Zusammenhang zwischen Dreieck und projizierendem Dreikant aufrecht zu erhalten, bedarf es weiterer Festsetzungen, die die Winkel zwischen Geraden und zwischen Ebenen betreffen.

Auf jeder Geraden denken wir uns eine bestimmte Richtung festgelegt, die wir als die positive bezeichnen; die entgegengesetzte heißt dann negativ. Liegen auf einer solchen Geraden Punkte A, B, C, . . ., P, Q, so ist jederzeit, welches auch die Reihenfolge dieser Punkte sein mag:

AB BC -f- • • • + P Q — AQ,

AB + BA = 0.

Es werde ferner jede Ebene mit einer positiven und einer negativen Seite versehen.

Unter dem Winkel (jgx, g₂) zweier sich schneidender Geraden g₁ und g₂ soll nun der verstanden werden, um den man, auf der positiven Seite der durch gx und g₂ bestimmten Ebene stehend, die positive Richtung von gx im entgegengesetzten Sinn des Uhrzeigers drehen muß, bis sie mit der positiven Richtung von g₂ zusammenfällt.

Gehen mehrere Geraden gx, . . ., gn durch denselben Punkt einer Ebene, so ist jederzeit:

Ülff») + (,929z) + • • • + (9n-l9n) = (9l9n) (mod-

(ffiffa) + (.9290 = 0 (mod. 2 ä),

wobei wieder für trigonometrische Funktionen der ganzen Winkel die Kongruenzen durch Gleichungen ersetzt werden können.

Liegen gx und g₂ nicht in derselben Ebene, so denken wir uns durch einen Punkt von g₂ eine Parallele gx zu gx gezogen und setzen

(9x92) = (&'&)•

Verwandelt man die Richtung auf einer der beiden Geraden in die entgegengesetzte, so geht (g₁g₂) in it + (gt 9₂) über.

Vertauscht man die positive und die negative Seite der durch gx und g₂ (bez. gx und g₂) bestimmten Ebene miteinander, so geht (9x92) in 2^ — (9x9a) über;

Um den Winkel zweier Ebenen und s₂ zu definieren, legen wir zunächst auf ihrer Schnittgeraden eine positive Richtung fest und bezeichnen die in einem Punkte der Schnittgeraden errichteten positiven Normalen der Ebenen mit nx und n₂.

Unter dem Winkel (£xe₂) der Ebenen ^ und e₂ soll dann der Winkel (%^₂) ihrer positiven Normalen verstanden werden. Dabei ist als positive Seite der durch nx und n₂ bestimmten Ebene die anzusehen, für die die auf der Schnittkante zuvor festgelegte Richtung positive Normale wird.

23

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

9. Die Zuordnung des Dreikants und Dreiecks erledigt sich nun in folgender Weise. Es bezeichne

ra, rb, rc die Radien OA, OB, 0C\ sa die durch rb und rc bestimmte Ebene,

**c ft ra    ft    ft

ry    ry

Dann wird

' a » 'b    »    V

« = <X£c)>

ß = i£c£a)>

7 =

a = (rbrc),

b = (rera)y c = (rarb),

unter folgenden Voraussetzungen:

Wenn auf der Kugel Linkssinn angenommen ist, sind als positive Richtungen von ra, rb, r₀ die Richtungen

OA, OB, OG

zu wählen; umgekehrt bei Rechtssinn.³)

Kennt man ferner die dem Inneren des Tetraeders OABC zugewandten Flächen der Ebenen ea, sb, sc „innere" Seiten dieser Ebenen, die anderen „äußere", so ist zu wählen als positive Seite von sa die innere, wenn 0 < a < jt; die äußere, wenn n < a < 2it ist, und entsprechend für sb und sc bez. & und c.

Bei einem Euler sehen Dreieck sind also bei allen drei Ebenen die inneren Seiten als positive zu wählen. Als positive Richtungen

VOn ra> rbJ rc sind

—y —y —y

OA, OB, OG

zu wählen, falls, von 0 aus gesehen, die Punkte A, B, C im Sinn des Uhrzeigers aufeinander folgen (wie bei unseren Figuren — vgl. insbesondere Fig. 175, S. 366); im anderen Falle die entgegengesetzten. Im ersten Falle sagen wir, die Punkte OABC bilden ein „Rechtssystem", im zweiten, sie bilden ein „Linkssystem" (vgl. § 84, 3.). Bei unseren Festsetzungen entspricht für ein Eulersches Dreieck dem Rechtssinn auf der Kugel ein Linkssystem OABC und umgekehrt.

10. Das Tetraeder OABC heiße das dem sphärischen Dreieck ABC konjugierte Tetraeder. Wir wollen 0 als seine Spitze, A, B, C als seine Ecken betrachten. Sein Inhalt gelte als positiv, wenn die positiven Richtungen der Kanten

—y —y —y

OA, OB, OC

sind und zugleich die Punkte O, A, _B, C ein Rechtssystem bilden, oder wenn bei umgekehrten Kantenrichtungen die Eckpunkte ein Linkssystem bilden. In den beiden übrigen Fällen gelte der Inhalt als negativ.

§ 39. Pol und Polare.

1. Die Hauptkreise, die einen gegebenen Hauptkreis senkrecht schneiden, gehen alle durch denselben Punkt und seinen Gegenpunkt. Diese Punkte heißen „Pole“ des gegebenen Hauptkreises.

Sobald auf dem Hauptkreise ein Richtungssinn nach § 38 festgelegt ist, erscheint einem auf dem Hauptkreise im positiven Sinne sich bewegenden Beobachter der eine Pol zur Linken, der andere zur Rechten.

Es soll nun „positiver Pol“ des Hauptkreises der Pol zur Linken oder der zur Rechten heißen, je nachdem auf der Kugel Linkssinn oder Rechtssinn festgelegt ist. Der andere Pol heiße „negativer Pol“ oder „Gegenpol“.

2.    Die Bogen, die die Punkte eines Hauptkreises mit seinem Pole verbinden, sind Quadranten. Man findet daher zu einem gegebenen Hauptkreise die Pole entweder, indem man zu den Hauptkreisen senkrecht Hauptkreise zieht und ihre Schnittpunkte bestimmt; oder indem man einen Hauptkreis zieht und auf ihm nach beiden Seiten einen Quadranten abträgt. Die Festsetzung des positiven und negativen Pols geschieht dann nach Art. 1.

3.    Die Quadranten, die von einem gegebenen Punkte der Kugel ausgehen, endigen alle auf einem und demselben Hauptkreise. Wird diesem Hauptkreise ein solcher Richtungssinn beigelegt, daß der gegebene Punkt als sein positiver Pol erscheint, so heiße er „Polare“ des gegebenen Punktes.

4.    Die durch den Pol gezogenen Hauptkreise schneiden die Polare senkrecht. Man findet daher zu einem gegebenen Punkte die Polare entweder, indem man von ihm aus zwei Quadranten zieht und deren Endpunkte durch einen Hauptkreis verbindet; oder indem man einen Quadranten zieht und durch dessen Endpunkt senkrecht zu ihm den Hauptkreis legt. Der Richtungssinn auf den Polaren ist nach Art. 3 festzusetzen.

5.    Seien (Fig. 169)Ł) a und b zwei mit positivem Richtungssinn versehene Hauptkreise, die den Winkel (ab) mit dem Scheitel C bilden (§ 38, 5.); trägt man auf a und b von C aus im positiven Sinne die

1) Die Figuren dieses Paragraphen sind schematisch gezeichnet.

23

Quadranten CM und CN ab und legt durch M und N einen neuen

Hauptkreis c, dessen Sinn so bestimmt wird, daß C sein positiver Pol ist, so ist

rC

und

(ab) = MN

(«O-y,

00-f-

Fig. 169.

6. Die letzten Gleichungen lassen sich auch so aussprechen: Ist C der positive Pol von c, a ein durch C und einen beliebigen Punkt M von c gelegter Hauptkreis, und wird

a)    die Richtung auf a so fixiert, daß CM = ?r/2 ist, so ist auch (ac') = ä/2 (Fig. 170a);

b)    die Richtung auf a so fixiert, daß CM = 3jt/2 ist, so ist auch <)c (ac) = 3jr/2 (Fig. 170b).

¹

Moebius, Über eine neue Behandlungsweise der analytischen Sphärik, 1846. — Entwicklung der Grundformeln der Trigonometrie in größtmöglicher Allgemeinheit, 1860. Ygl. Ges. Werke II.

²

Die Dreiecke der Tafeln I—III sind in stereographischer Projektion (§ 37) gezeichnet.

³

Unsere Festsetzungen sind den in der Mechanik üblichen — vgl. Bd. III, S. 77 f. — nicht genau analog. Wenn man nämlich die dort erwähnte „positive Drehachse“ mit unserer „positiven Richtung von rau identifizieren wollte, so würde sowohl das, was wir hier Rechtssinn, als auch das, was wir hier Linkssinn genannt haben, im Sinne der Mechanik als Rechtssinn anzusprechen sein.

OL

c'

-tr

c'

Fig. 170 a.

Fig. 170 b.

In beiden Fällen ist also (ac) = CM.

Satz: Ist C der positive Pol des Hauptkreises c, und M ein beliebiger Punkt von c, so ist, welches auch der Richtungssinn auf dem durch C und M gehenden Hauptkreise a

sein möge, jederzeit (ac) = CM.

1. Sind also C und Ä die positiven Pole zweier sich in M rechtwinklig schneidender Hauptkreise c und a, so ist (Fig. 171)

(ac) = CM, (ca) = AM, und folglich, da (ac) -f- (ca) = 2n, auch

CM+ AM = 2sr;

und da auch

so folgt:

A'M+ MA' = 2tc,

CM = MA'.

Satz: Sind C und Ä die positiven Pole zweier sich in M rechtwinklig schneidender Hauptkreise, so ist stets:

CM - MA'.

'Mt

IM

c'

c’

;A'

,b'

Fig. 171.

Fig. 172.

8. Der Satz 7. führt nun zu dem wichtigsten Satze der Polaren-theorie. Sind a, b zwei Hauptkreise, A' und I> die positiven Pole von a und b, C der positive Pol von c (s. Fig. 172), so ist

CM — MA',

CN = NM,

und da CM = ĆŃ — n/2 ist, so folgt:

MA' NB,

oder

MN + NA' = NA' + A'B, MN = MB'.

Wegen 5. folgt hieraus:

Damit haben wir den

(ab) = A'B'.

Hauptsatz der Polarentheorie:

Sind A' und B die positiven Pole zweier Hauptkreise a und b, und C einer ihrer Schnittpunkte, also zugleich einer der Pole des durch Ä und B gehenden Hauptkreises c,

und wird die Richtung auf c so gewählt, daß C der positive Pol von c ist, so ist jederzeit:

<£ (ab) = A'B.

9.    Aus 8. folgt der Doppelsatz:

Dreht sich ein Hauptkreis im positiven Drehungssinn um einen Punkt der Kugel, so bewegt sich sein positiver Pol im positiven Richtungssinn auf der Polare dieses Punktes.

Bewegt sich ein Punkt im positiven Richtungssinn auf einem Hauptkreise, so dreht sich seine Polare im positiven Drehungssinn um den positiven Pol dieses Hauptkreises.

Der Form nach decken sich diese Sätze mit den ganz anders abgeleiteten Sätzen über Pol und Polare der Kegelschnitte.

10.    Diese Analogie läßt sich noch weiter durchführen. Wie nämlich in der Planimetrie zwei aufeinander fallende Ebenen p und r/ polar zueinander heißen, wenn jedem Punkte P von rt eine Gerade p von r[ entspricht, und jeder durch P gehenden Geraden g von p ein in p liegender Punkt G von r[, so können wir uns auch die Kugel doppelt überdeckt denken und sagen:

Zwei (zusammenfallende) Kugeln K und K' heißen „polar aufeinander bezogen“, wenn jedem Punkte P von K ein Hauptkreis p in IC entspricht, und jedem durch P gehenden Hauptkreise h ein in p liegender Punkt H von K'.

Eine solche Beziehung ist also hergestellt, sobald man jedem Punkte der Kugel (aufgefaßt als zu K gehörig) seine Polare (aufgefaßt als zu K' gehörig) zuordnet.

Hiermit ist das in der Planimetrie so fruchtbare Prinzip der Dualität auf die Kugel übertragen.

Es ist zweckmäßig, auf der Kugel durch zwei Punkte zwei Hauptkreise als bestimmt anzusehen, die sich durch ihre Richtung unterscheiden. Dann stehen sich polar gegenüber die Sätze:

Zwei Punkte der Kugel be-

durch die sie gehen.

Zwei Hauptkreise der Kugel stimmen zwei Hauptkreise, auf bestimmen zwei Schnittpunkte, denen sie liegen.

Jeder der Hauptkreise links hat als reziprokes Gebilde rechts einen ganz bestimmten Punkt, nämlich seinen positiven Pol, und entsprechend umgekehrt.

Richtungsänderung auf einem Hauptkreise und Vertauschung von Pol und Gegenpol sind also zueinander polare Vorgänge. Da aber Vertauschung von Pol und Gegenpol dieselbe Wirkung hat, wie

Umkehrung des Drehungssinnes auf der Kugel (§ 38, 5.), so kann man, was später für uns von Bedeutung sein wird, sagen:

Umkehrung des Richtungssinnes und Umkehrung des Drehungssinnes sind zueinander polare Vorgänge.

11.    Sind K und K' zwei zusammenfallende polar aufeinander bezogene Kugeln, und läßt man einen Punkt P von K eine beliebige Kurve s auf der Kugelfläche durchlaufen, so beschreibt p auf K' eine stetige Folge von Hauptkreisen, die „eine zu s polare Kurve S umhüllen“. Bezeichnet Q einen festen Punkt von s und läßt man P unbegrenzt nahe an Q heranrücken, so wird der Hauptkreis PQ zur sphärischen Tangente von s in Q. Ihr entspricht ein bestimmter Punkt von S (Richtung!), der „Berührungspunkt“ des dem Punkte Q entsprechenden Hauptkreises q.

Hat ein Hauptkreis mit s n Punkte gemein, so entsprechen diesen n Tangenten von S. Dabei ist immer festzuhalten, daß zwei zusammenfallende Hauptkreise von entgegengesetzten Richtungen als voneinander verschieden gelten (10.).

Auf diese Weise kann jeder Figur auf der Kugel eine Polarfigur zugeordnet werden — jedem Satze auf der Kugel entspricht auch ein zweiter, der Polarfigur zugehöriger.

12.    Bezeichnet 1c irgend einen Kleinkreis der Kugel, m den zu ihm parallelen Hauptkreis, so heißt derjenige Pol M von m, der innerhalb der kleinen Kalotte liegt, „sphärisches Zentrum“ von P Verbindet man die Punkte von Je durch Hauptkreisbogen mit Af, so sind diese, wie leicht zu beweisen, einander gleich und heißen daher „sphärische Radien“ von 1c.

Dem Leser mag der Beweis folgender Sätze überlassen bleiben:

Jedem Kleinkreise auf der Kugel entspricht polar wieder ein Kleinkreis, dessen Ebene zu der des ursprünglichen parallel ist.

;r/2.

Die sphärischen Radien zweier zueinander polaren Kleinkreise ergänzen sich zu

13.    Besonderes Interesse verdienen die Figuren, die durch Bogen von Hauptkreisen begrenzt werden, die sogenannten sphärischen Polygone.

Man sieht leicht ein, daß den Ecken eines sphärischen Polygons in der Polarfigur die Polaren jener Ecken, den Seiten aber deren Pole entsprechen. Aus 8. folgt der wichtige Satz:

Die Seiten eines sphärischen Polygons sind gleich den Winkeln des Polarpolygons und die Winkel des Polygons gleich den Seiten des Polarpolygons.

Es ergibt sich hier also eine Eigenschaft der Dualität zwischen Seiten und Winkeln, die vor der aus der Planimetrie bekannten dadurch ausgezeichnet ist, daß sie metrischer Natur ist: jeder metrischen-Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines sphärischen Polygons tritt eine zweite zur Seite, in der Seiten und Winkel ihre Stelle getauscht haben.

Wir werden der Kürze halber in der Folge von zwei zueinander polaren Figuren oder Formeln sagen, sie seien durch „Polarisation“ auseinander hervorgegangen.

14. Für uns wird die Polarisation des sphärischen Dreiecks eine Hauptrolle spielen. Von zwei zueinander polaren Dreiecken heißt jedesmal das eine Polardreieck des anderen. Die Seiten und Winkel zweier solcher Dreiecke ABC und A'JB'C' stehen in den Beziehungen:

a = a,

ß-v,

y = c.

a = a, b = ß', c = y,

Aus 12. folgt leicht der Satz:

Der eingeschriebene (umgeschriebene) Kreis eines sphärischen Dreiecks geht durch Polarisation in den umgeschriebenen (eingeschriebenen) des Polardreiecks über. Die sphärischen Radien beider ergänzen sich zu n/2.

15. Denkt man sich die stereographische Projektion eines Hauptkreises gegeben, so kann man nach 2. und wegen § 37, 4. und 5. die Projektionen seiner Pole finden, indem man zwei Hilfskreise konstruiert, deren jeder den Äquator halbiert und den gegebenen Kreis rechtwinklig schneidet und deren Schnittpunkte aufsucht. Am besten nimmt man für den einen dieser Hilfskreise die Yerbindungsgerade der Mittelpunkte des Äquators und des gegebenen Kreises, und verlegt den Mittelpunkt des zweiten Hilfskreises auf diese Gerade.

Man kann mithin zu der stereographischen Projektion eines sphärischen Dreiecks die stereographische Projektion des Polardreiecks finden. Da dieses aber als Winkel die Seiten des ursprünglichen Dreiecks hat und die stereographische Projektion eine konforme Abbildung ist, so folgt:

Durch die angegebene geometrische Konstruktion kann man zu einem in stereographischer Projektion gezeichneten sphärischen Dreieck die wirkliche Größe seiner Seiten finden (vgl. § 37, 5.).

B. Die Formeln erster Ordnung.

§ 40. Einleitung. — Der Projektionssatz.

1.    Während unsere bisherigen Betrachtungen vorwiegend topographischer Natur waren und daher der Sphärik angehörten, betreten wir nun, indem wir uns der eigentlichen sphärischen Trigonometrie zu wenden, das Gebiet der Rechnung.

2.    Aus jeder trigonometrischen Formel lassen sich weitere durch zyklische Vertauschung und durch Polarisation ableiten.

Die zyklische Vertauschung besteht darin, daß man von den Seiten a, b, c und gleichzeitig von den Winkeln a, /3, y jedes Element mit dem folgenden, das letzte aber mit dem ersten vertauscht. Aus einer sphärisch-trigonometrischen Formel gehen im allgemeinen durch zyklische Vertauschung zwei weitere hervor. Es können aber auch alle drei in eine zusammenfallen.

Durch Polarisation (§ 39, 14.) tritt jeder sphärisch-trigonometrischen Formel eine zweite zur Seite, in der Seiten und Winkel miteinander vertauscht sind. Es kann aber auch eine Formel mit ihrer Polarformel zusammenfallen.

3.    Als Fundamentalsatz der sphärischen Trigonometrie ist der sogenannte sphärische Kosinussatz anzusehen, und zwar deshalb, weil aus ihm, abgesehen vom Vorzeichen, sämtliche Formeln der sphärischen Trigonometrie ohne geometrische Betrachtungen, also rein goniometrisch, abgeleitet werden können, eine Tatsache, die gewiß hervorgehoben zu werden verdient.

Bei den so abgeleiteten Formeln wird sich aber ein tiefgreifender Unterschied heraussteilen. Während nämlich für einen Teil dieser Formeln der bisher entwickelte Moebius sehe Dreiecksbegriff ausreicht, werden wir durch andere gezwungen werden, den Dreiecksbegriff nochmals wesentlich zu erweitern.

Wir unterscheiden daher Formeln erster Ordnung — das sind die, denen der Moebiussche Dreiecksbegriff zugrunde liegt; und Formeln zweiter Ordnung — das sind die, für die der Moebiussche Dreiecksbegriff nicht mehr ausreicht (vgl. §§ 44 ff).

Jene werden in dem gegenwärtigen zweiten, diese im dritten Teil behandelt.

4.    Wie in der ebenen Trigonometrie der Kosinussatz eine rationale Relation zwischen den drei Seiten und dem Kosinus eines Winkels darstellt, so ist der sphärische Kosinussatz eine rationale Relation zwischen trigonometrischen Funktionen der drei Seiten und dein Kosinus eines Winkels. Es handelt sich also darum, etwa cos y rational durch trigonometrische Funktionen von a, b, c darzustellen.

Es erscheint auf den ersten Blick unter Voraussetzung eines Eulerschen Dreiecks als das Ungezwungenste, dieses Problem dadurch auf eines der ebenen Trigonometrie zurückzuführen, daß man in C Tangenten an die Seiten a und b legt, die die Geraden O A und OF in T und JB schneiden mögen. Das so entstehende Tetraeder OCÄJB hat dann als Kantenwinkel die Seiten a, b, c, der Winkel ÄCB ist y, die Kante OC ist gleich r, und man wird so die gesuchte Relation leicht zu finden erwarten.

5.    In der Tat hat Euler 1. c. diesen Weg eingeschlagen. Aber man erkennt leicht, daß diese Ableitung nur für den Eulerschen Dreiecksbegriff Gültigkeit hat. Dagegen würde ihre Gültigkeit für den Moebius sehen Dreiecksbegriff eines besonderen und umständlichen Nachweises bedürfen.

Wir ziehen daher einen Beweis vor, der sofort in voller Allgemeinheit für den Moebiussehen Dreiecksbegriff gilt.¹)

Ein dritter, aber nur für Euler sehe Dreiecke gültiger Beweis wird sich als Nebenresultat in § 54, 2. unter Voraussetzung der Formeln des rechtwinkligen Dreiecks ergeben.

6.    Wir stellen nun zunächst einige Hilfssätze zusammen, wobei die Festsetzungen in § 38, 8. maßgebend sind.

a) Sind l und g₁ zwei mit positivem Richtungssinn versehene Geraden, und liegt auf gx eine Strecke AAt= s1} so soll nach Größe

undVorzeichen unter der Projektion der Strecke s₁ auf l das Produkt

1h = «i cos (lgt)

f4 verstanden werden (§ 34, 3.).

•Y

b) Denken wir uns von A und A₁ auf l Lote mit den Fußpunkten A' und A/ gefällt, so zeigt eine leichte geometrische Betrachtung:

Die Projektion von AAt ist nach Vorzeichen und Größe gleich A'At'‘ in Formel:

Pig. 173.

Pi == si = A A₁.

1) Moebius, Über eine neue Behandlungsweise der analytischen Sphärik. Ges. Werke II, p. 22 ff.

c)    Denken wir uns eine aus den Stücken slf s₂, sn bestehende gebrochene Linie A Ax • ■ • An, so ist die Projektion p dieser Linie gleich der Projektion s' der Strecke s = AAn.

Denn es ist mit Rücksicht auf § 38, 8.:

P = st cos Qgx) + s₂ cos (lg₂) H-----b cos (lgn)

= A'AX AxA₂ + • • • + An'_ ₁ An' = A'An' = s'.

d)    Läßt man A mit An zusammenfallen, so folgt (Pig. 173):

Der Projektionssatz: Die Projektion jedes geschlossenen Linienzuges ist gleich Null: Usn cos (lgn) = 0.

nes

e)    Insbesondere ist für ein ebe-Dreieck StSaSt (Fig. 174):

sx COS (ISj) + S₂ COS (ls.j)

+ s₃ COS (ls₃) = 0.

Nach dem Sinussatz der ebenen Trigonometrie ist aber

S3

s₁:s₂:sz = sin (s₂s₃) : sin (s₃ st)

: sin (st s₂).

I’ig. 174.

Daher geht für ein ebenes Dreieck die letzte Formel über in:

sin (s₂s₃) cos (lst) + sin (s₃^) cos (ls₂) + sin (sxs₂) cos (ls₃) = 0.

§ 41. Der sphärische Kosinussatz.

1. Das allgemeine Moebiussche Dreieck ABC sei nach den Festsetzungen und Bezeichnungen von § 38, 8. dem Dreikant zugeordnet.

Wir tragen¹) nun von C aus auf a und b im positiven Sinn die Quadranten CM und CN ab und legen durch M und N einen neuen Hauptkreis, dessen Sinn so bestimmt wird, daß C sein positiver Pol ist, dann ist nach § 39, 5.:

MN = y,

CM = CN = —

Es sei ferner OM = rm und ON = rn gesetzt und der positive Sinn auf diesen Strahlen wie bei ra, rb, rc bestimmt.

Wir ziehen nun erstens in seiner zur Ebene des Hauptkreises B CM parallelen Ebene irgend drei ein Dreieck bestimmende Parallelen

ZU rb, rc> rm- '

Identifizieren wir dieses Dreieck mit dem Dreieck

S₁S₂S₃ des vorigen Paragraphen, die Gerade l aber mit ra, so ist:

(i)

(Vs) = (rcrj = CM = -

n>, a

QsJ - (rarh) = AB = c, (Vi) = (rmrb) = MB = MC + CB (ls₂) = (rarc) -AC—b,

TT

fa«) = (f/J =

(«i«ï) = (rbrc) = BC = a,

Zweitens ziehen wir in einer zur Ebene des Hauptkreises CAN parallelen Ebene irgend drei ein Dreieck bestimmende Parallelen zu rcf ra7 rn■ Identifizieren wir dieses Dreieck mit dem Dreieck S₁S₂S₃, die Gerade l aber mit rm, so ist:

(2)

(V«) = (Tarn) = AN = AC + CN ^ ₌    = MC = |-

— » + T»

(hSl) = OVO = NC = — Y 7

(Js₂) = (vJ = Jfi

0i«₂) = (rcrj = CA =b Indem man nun (1) und (2) in die letzte Gleichung von § 40 einsetzt, erhält man die Gleichungen:

cos c — cos a cos b + sin a cos AM = 0,

— cos MA -f- sin b cos y = 0,

woraus unter Beachtung, daß cos AM = cos MA ist, die für jedes Moebius sehe Dreieck gültige Formel folgt:

cos c = cos a cos b — sin a sin b cos y.

Durch zyklische Vertauschung folgen hieraus zwei weitere Formeln. Alle drei zusammen bilden

den ersten sphärischen Kosinussatz:

cos a = cos b cos c — sin b sin c cos u,

■ cos b = cos c cos a — sin c sin a cos ß, cos c = cos a cos b — sin a sin b cos y.

2. Durch Polarisation folgt sofort der zweite sphärische Kosinussatz:

’ cos a = cos ß cos y — sin ß sin y cos a,

• cos ß — cos y cos a — sin y sin a cos b,

. cos y = cos a cos ß —- sin a sin ß cos c.

(i)

(io

Es ist aber von prinzipieller Wichtigkeit —vgl. §40,3. — daß aus (I) rein goniometrisch abgeleitet werden kann, wie dies in § 42 geschehen wird. Es ist damit umgekehrt rechnerisch erwiesen, daß zu jedem Dreieck ein „Polardreieck“ existiert, nämlich ein Dreieck, das aus dem ursprünglichen durch Vertauschung der Seiten und Winkel hervorgeht.

die Formel (F)

§ 42. Der sphärische Sinussatz und der v. Staudtsche Eckeusinus.

1. Der ersten Formel I kann man die Form geben:

cos b cos c — cos a

cos » =

sin b sin c

Indem man quadriert, die Sinusquadrate nach der Formel sin²# = 1 — cos²# durch Kosinusquadrate ausdrückt, und

D² = 1 — cos²» — cos²b — cos²c -f 2 cos » cos b cos c setzt, erhält man unter Anwendung der zyklischen Vertauschung:

sin² y =

(1)

sin²» =

z>²

sin²/3 =

X»²

Z>²

sin²csin²a?

sin² a sin² &

sin² b simc*

Hieraus folgt die Relation:

(2) sin² b sin² c sin² » = sin² c sin² » sin² ß = sin² » sin² b sin² y — D². Den Gleichungen (1) und (2) treten durch Polarisation die folgenden an die Seite:

(10

A² — 1 — cos²» — cos²/3 — cos²y -j- 2 cos » cos ß cos y;

(2') sin²ß sin²y sin²» = sin² y sin²» sin²5 = sin²» sin²/3 sin²c = z/².

Nach der Tabelle p. 352 haben die drei Produkte sin & sine sin», sine sin» sin/3, sin» sin?) siny einerseits und sin/3 siny sin», siny sin» sinb, sina sin/3 sine andererseits gleiche Vorzeichen. Man darf daher wegen (2) und (2') setzen:

D = sin b sine sin» = sine sin» sin ß = sin» sin & siny, z/ == sin/3 siny sin» = siny sin» sinb = sin» sin/3 sine, wodurch gleichzeitig die Vorzeichen von D und A definiert werden.

Hieraus erhält man:

und daraus:

D² = sin²» sinb sine sin ß siny,

DA == sin» sin& sine sin» sin/3 siny,

sin c

sin b

sin/l siny

Damit haben wir den zweiten Fundamentalsatz der sphä rischen Trigonometrie, den sphärischen Sinussatz:

T> sin» A sin»

und ebenso

sin a sin &    sin c    D

(II)

sin a sin ß    sin y    /I ’

D =    sin    b    sin c sin a = sin c    sin a sin    ß = sin    a    sin b    sin y,

z/ =    sin    ß    sin y sin a = sin y    sin a sin    b = sin    a    sin ß    sin c.

2. Die Analogie zum Sinussatze der ebenen Trigonometrie leuchtet em. An Stelle des dort auftretenden Durchmessers des Umkreises (§ 28, 3.) ist hier das Verhältnis D/A getreten.

Wir werden naturgemäß auch hier nach einer geometrischen Deutung fragen. Eine solche Deutung verdanken wir v. Staudt, der die Größen I) und A als „Eckensinusse“ bezeichnet.

Sei nämlich das Dreieck zunächst ein Eulersches. Wir wollen den

Inhalt des dem Dreieck konjugierten Tetraeders OABC (§ 38, 10.) be-

rechnen. Es ist

auch dem

Vorzeichen nach —

f,

k

OAB = \OA • OB • sin c = sin c.

Die Höhe ergibt sich aus Fig. 175

zu

CF sin (n — a) = r sin b sin u. Das Volumen ist also V = jfr³ sin b sin c sin ec,

oder

(3)

6V=r³jD.

Für ein allgemeines Moebius-sches Dreieck fragt es sich noch,

man

<A

Fig. 175.

ob (3) auch das Vorzeichen des Volumens richtig bestimmt. Indem aber die verschiedenen Vorzeichen von D aus (II) und der Tabelle p. 352 entnimmt und jedesmal mit dem Vorzeichen des Tetraedervolumens, wie es sich aus den Festsetzungen § 38, 9. und 10. ergibt, vergleicht, erkennt man:

Die Formel (3) liefert den Inhalt des einem Moebius-schen Dreieck konjugierten Tetraeders auch dem Vorzeichen nach richtig.

Als Inhalt Y des konjugierten Polartetraeders ergibt sich:

(3')

6F = rsA.

Damit haben wir den Satz:

Das im Sinussatz auftretende Verhältnis D : A ist, auch dem Vorzeichen nach, gleich dem Verhältnis der Volumina des dem Dreieck konjugierten Tetraeders und des konjugierten Polartetraeders.

3. Eine bemerkenswerte Umformung von D und A möge hier noch Platz finden.

Setzt man mit Study:²)

2ö'o — 2jt — (a ß y), 2ö₁ =

20₂    =

20₃    =

2s₀ = 2tz — (a + b + c)

— a + b -f- c, d⁻ Qj — b -f- c, ■p ci b — c}

— a + ß + y, + a — ß + y, + a + ß — y,

(4)

2s₁ =

2s₂ =

2s₃ =

so findet man aus (1):

D³ — 1 — cos³ a — cos³ b — cos³ c + 2 cos a cos b cos c

= (1 — cos³ a) (1 — cos³ b) — cos³ a cos³ b — cos³ c + 2 cos a cos b cos c = sin³ a sin³ b — cos³ a cos³ b — cos³ c -f- cos c • 2 cos a cos b

= — cos (a + b) cos (a — b) — cos³ c + cos c [cos (a — b) + cos (a + 6)] -j- [— cos (« + &) + cos c] • [cos (a — &) — cos c]

a-j- c — b .    c-\-b — a

= 4 sin

ci -j- & —j— c . ci —j— b —

sm

sm

(5)

Mit Benutzung von (4) haben wir damit die gesuchte Umformung: D³ == 4 sin s₀ sin s₁ sin s₂ sin s₃, z/³ == 4 sin o₀ sin 6X sin o₂ sin o₃.

4. Wir haben noch den in § 41, 2. angekündigten Beweis nachzutragen, daß der zweite sphärische Kosinussatz (P) sich aus dem ersten ohne Benutzung der Polarecke ableiten läßt. Zu dem Ende bemerke man zunächst, daß sich der Sinussatz auch aus den Formeln (2) allein, die ohne Benutzung von (U) abgeleitet sind, ergibt. Aus (2) und (1) folgt aber:

sin³ b sin³ c sin³ a = (cos b cos e — cos a) cos a

+ 1 — cos³ b — cos³ c + cos a cos b cos c.

Nach Multiplikation mit cos a ergibt sich: cos a sin³ b sin³ c sin³ a = — (cos b cos c — cos a) sin³ a

+ (cos a cos c — cos b) (cos a cos b — cos c).

Unter Anwendung von (I) folgt:

— — cos a -f cos ß cos y,

cos a sin b sin c

sin³ a sin³ a

woraus nach dem Sinussatz die erste Formel (I') und die übrigen dann durch zyklische Yertahschung folgen.

§ 43. Weitere Formeln erster Ordnung. — Anwendung auf das rechtwinklige Dreieck.

1. Es werden jetzt eine Reihe von Formeln abgeleitet, die teils an sich interessant sind, teils im Teil D. wichtige Anwendungen finden.

Nach dem sphärischen Kosinussatz ist:

und

cos b — cos c cos a -f- sin c sin a cos ß = 0 cos a = cos b cos c — sin b sin c cos cc; durch Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste findet man:

oder:

cos b(l — cos²c) -f- sin b sin c cos c cos cc -f- sin c sin a cos ß = 0 cos b sin c -f- sin b cos c cos a -f- sin ci cos ß = 0.

Man hat somit ein erstes Formelsystem:

r sin a cos ß -j- cos b sin c + sin b cos c cos a = , sin a cos y + cos c sin b + sin c cos b cos a =    ;

O)

sin b cos y + cos c sin a -f- sin c cos a cos ß = 0, sin b cos a -f cos a sin c + sin a cos c cos ß = 0; sin c cos a -f cos a sin b + sin a cos b cos y = ,

. sin c cos ß + cos b sin a + sin b cos a cos y =    .

Hieraus folgt unmittelbar durch Polarisation ein zweites:

(10

' sin a cos b -)- cos ß sin y -j- sin ß cos y cos a = 0, sin a cos c + cos y sin ß -f- sin y cos ß cos a = 0; sin ß cos c + cos y sin a -f sin y cos a cos b = 0, sin ß cos a + cos a sin y + sin a cos y cos b = 0; sin y cos a -f cos a sin ß + sin a cos ß cos c = , sin y cos b + cos ß sin a + sin ß cos a cos c =    .

Indem man in der ersten Gleichung von (1) nach dem Sinussatz sin a = sin b- sin a /sin ß setzt und durch sin b dividiert, und bei den anderen Gleichungen entsprechend verfährt, erhält man:

Hierzu ist polar:

sin a cotg b    + cotg ß    sin    y    +    cos y    cos a = 0,

sin a cotg c    + cotg y    sin    ß    +    cos ß    cos a = 0;

sin b cotg c    -j- cotg y    sin    cc    -f-    cos cc    cos b = 0,

sin b cotg a    -f cotg a    sin    y    -f-    cos y    cos b = 0;

sin c cotg a    + cotg a    sin    ß    -j-    cos ß    cos c = 0,

sin c cotg b    -f- cotg ß    sin    a    -j-    cos cc    cos c = 0.

2. Multipliziert man die dritten Gleichungen yon (I) und (F) mit cos y und cos c, so erhält man durch Gleichsetzung der beiden Ausdrücke für cos c cos y und unter Anwendung der Formel cos² x — 1 — sin² x:

cos a cos b cos y — sin a sin b + sin a sin b sin² y = cos cc cos ß cos c — sin a sin ß -4- sin a sin ß sin² c.

Die letzten Glieder sind aber auf beiden Seiten gleich, denn nach (II) ist:

I)²    z/²

J² ' D*

= 1;

sin a sin b ■ sin2 sin a sin ß ■ sin² c

mithin erhalten wir das Formelsystem:

cos a cos b cos y — sin a sin b = cos a cos ß cos c — sin a sin ß, (3) cos b cos c cos cc — sin & sin c = cos ß cos y cos a — sin ß sin yf cos c cos a cos ß — sin c sin a = cos y cos cc cos b — sin y sin cc.

Diese Formeln sind dadurch ausgezeichnet, daß sie zu sich selbst polar sind; bezeichnen also a, b', c, cc, ß', y die Seiten und Winkel des Polardreiecks, so ist:

(4)    cos d cos b' cos y — sin d sin b' = cos a cos b cos y — sin a sin b

(5)    cos d cos ß' cos c — sin cc sin ß' = cos a cos ß cos c — sin cc sin ß.

Man pflegt dies so auszudrücken: Die rechten und linken Seiten der Gleichungen (3) für sich genommen sind Invarianten für den Übergang von einem Dreieck zu seinem Polardreieck.

3. Die Neperschen Analogien. Zur Ableitung der folgenden Formeln benutzen wir die erst im nächsten Teil abgeleiteten Delambre-schen Formeln (§45,111). Während aber diese, wie sich zeigen wird, Formeln zweiter Ordnung sind, ergehen sich durch Division aus ihnen Formeln erster Ordnung. Es sind dies die sogenannten Neperschen⁴) Analogien (vgl. § 45, 5.):

24

(6

CTQ

aq

I <n e |<n

sin to

tg

ë 2

sin

sin to ?

. b + c> sin------------

tg»±i

ë 2

cos

tg

ö 2

cos

, a

tg Y

cos

ß + y’

tg ~cT

b 4- c

COS-r-

Die übrigen acht Neperschen Analogien folgen aus den angegebenen durch zyklische Vertauschung.

Zwei nebeneinander stehende gehen auch durch Polarisation auseinander hervor.

Zwei untereinander stehende gehen auch auseinander hervor durch Anwendung der in § 48 zu besprechenden Substitution JES.

Aus einer einzigen Neperschen Formel folgen also alle elf übrigen durch Anwendung der Polarisation, der Substitution E₃ und der zyklischen Vertauschung.

4. Der Tangentensatz ergibt sich aus zwei untereinander stehenden Neperschen Analogien durch Division:

(J)

6. Eine sehr bemerkenswerte Form hat Study¹) den Neperschen Analogien gegeben, die wir in etwas anderer Weise jetzt ableiten wollen. Wendet man auf die dritte Formel (6) die Additionstheoreme des Tangens und Kosinus an, und führt statt der Tangenten die Ko-tangenten ein, so erhält man:

cotg y 4- cotg y 1 — cotg y cotg y

. a

• COtg y =

cos — cos — 4- sin rr sin rr 2 2 ' 2 2

cos — cos X--sin - sin --

tOi-Cb

oder unter Vertauschung von rechter und linker Seite:

COtg ^ COtg y + 1 COtg y COtg y 4- cotg y cotg

COtg I COtg y - 1

— cotg y COtg y

Hieraus ergibt sich unmittelbar durch korrespondierende Addition und Subtraktion :

1) 1. c. p. 136f. — Die gewöhnliche direkte Ableitung der Neperschen Analogien (wie z. B. bei Euler 1. c.) gibt über die Vorzeichen keinen Aufschluß.

cotg cotg =

¹ — cotg y cotg y Y cotg y cotg Y + cotg y cotg Y

— i + cotg y cotg y + cotg Y cotg 2 + cotg Y cotg 2

Man hat also mittels zyklischer Vertauschung und Polarisation, wenn man noch mit Study

cotg y = l

cotgy = 2

setzt, folgendes Gleichungssystem:

hk =

i?

C0tg — = 4; cotg = A₂,

cotg y = ht cotg y = Y

i — hi Y Y Y h Y Y Y —    Y Y "P h hi ’

(8)

M2

— iYMî YMsY Y h

(80

4    4 4 Y 4 Y Y h h

-1Y^ YYY YYY’ i —J₃Ji_Y Y 4 Y 4 Y — ¹ Y Ui Y Y Y Y Y Y ’

6.    Aus (8) und (80 folgert Study den interessanten Satz:

„Die vier Quotienten

4 Y Y Y

Y    Y Y Y V

Y    Y Y Y Y i Y YY ’

und die acht übrigen, die aus ihnen durch zyklische Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 hervorgehen, haben alle denselben Wert.“

7.    Der Fall des rechtwinkligen Dreiecks. Wir wenden den sphärischen Sinus- und Kosinussatz auf das rechtwinklige Dreieck an.

Setzen wir y = icj2 voraus (Fig. 176), so unmittelbar die Formeln:

liefern (I), (F) und (II)

(9)

(10)

cos c = cos a cos &, cos c = cotg a cotg ß,

24

(ii)

cos a = —

cos cc

sin ß

cos b = —

cos ß sin cc⁷

(12)

sin a =

sin a sin c⁷

sin ß =

sin b sin c

Aus (11) und (12) folgt unter Benutzung von cos a sin b

(9):

cos a = —

daher:

sin c

cos c sin b cos b sin c ⁷

tg b

_ tg a tg c

Endlich durch Division von (12) und (13) und unter Benutzung von (9):

(14) tg a = — -ß a, tg ß = —    •

Die Formeln (12) bis (14) sind analog den entsprechenden in der ebenen Trigonometrie gebaut, nur daß an Stelle der Seiten a, b₇ c selbst hier trigonometrische Funktionen derselben treten. Die abweichenden Vorzeichen entspringen aus unserer Bezeichnung. Die Formeln (9) bis (11) haben kein Analogon in der ebenen Trigonometrie.

8. Die Formeln des Eulersehen rechtwinkligen Dreiecks in Eulerscher Bezeichnung folgen aus den angegebenen, indem man die Winkel durch ihre Supplemente ersetzt; man erhält so die in

der Praxis vielgebrauchten¹) Formeln für das gewöhnliche rechtwinklige Dreieck (Fig. 177):

cos c = cos a cos b cos c = cotg a cotg ß

cos CC sin ß sin a sin c tg b

cos a = "7“" > tg c’

t g«

sin b⁷

(13)

Aj

->

cos a = —

Fig. 176.

Fig. 177.

tg c

cos ß =

Tb

s.

(9*)

(10*)

iCU

\ (11*)

cos a =

Vb

(12*) sin a —

(13*)

cos/? sin cc’ sin b sin c ⁷

o    a

cos ß —    -

, cos b =

, sin ß ==

(14*) tg a =

lg ß

dg“ oq m

sin a

9. Diese Formeln werden zusammengefaßt durch die „Nepersche Regel“, deren tiefer liegende Begründung erst später (S. 406) gegeben

1) Ygl. § 52.

werden kann. Man schreibe, indem man den rechten Winkel wegläßt, die Katheten aber durch ihre Komplemente ersetzt, die fünf Dreieckstücke in unveränderter Reihenfolge an die Peripherie eines Kreises (Fig. 178). Dann heißt die Nepersehe Regel:

1.    Der Kosinus irgend eines Stückes ist gleich dem Produkte der Kotangenten der beiden benachbarten Stücke.

Ci

'ß

Vig. 178.

2.    Der Kosinus irgend eines Stückes ist gleich dem Produkte der Sinus der beiden nichtbenachbarten Stücke.

Die Anwendung dieser Formeln auf die praktische Auflösung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks s. § 52.

¹

Ygl. Fig. 169.

²

Study, Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen. Leipzig 1893. — Dieses Werk ist als durchaus grundlegend für die moderne sphärische Trigonometrie anzusehen. Der Einführung in die

³

Stud y sehe Anschauungsweise ist in der vorliegenden Darstellung namentlich Teil C. gewidmet.

⁴

John Neper oder Napier, Baron von Merchiston, ein Schotte, lebte von 1550 bis 1617.

W'eber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

C. Die Grundformeln zweiter Ordnung.

§ 44. Einleitendes.

1. Wir gehen jetzt zu Formelgruppen über, die ihrer innersten Natur nach von den bisher betrachteten verschieden sind. Während die Formeln des vorigen Abschnittes für alle 16 Dreieckstypen in gleicher Weise galten, tritt jetzt eine Scheidung ein. Die neuen Formeln enthalten nämlich eine Quadratwurzel, und damit die Wahl zwischen zwei Vorzeichen. Es erweist sich nun, daß die Wahl des einen Vorzeichens von den 16 Typen in bestimmter Weise 8 charakterisiert, während das andere Vorzeichen für die übrigen 8 gilt. Unsere Dreiecke zerfallen also jetzt in zwei Klassen, für deren jede ein bestimmtes Vorzeichen charakteristisch ist.

Aber noch mehr: fragt man nach der Gesamtheit aller Dreiecke, die zu einem bestimmten Vorzeichen gehören, so erweist sich der Moebiussche Dreiecksbegriff nicht mehr als ausreichend. Wir werden wiederum zu einer Erweiterung des Dreiecksbegriffs geführt, bei dem Seiten und Winkel, die sich um Vielfache von 2% unterscheiden, als verschieden angesehen werden.

Zu drei Punkten gehören dann nicht mehr, wie bei Moebius, 16, sondern unendlich viele Dreiecke, die sich aber durch 32 „Repräsentanten“ veranschaulichen lassen; von diesen Repräsentanten gehören dann 16 in die eine, 16 in die andere Klasse.

Diese Scheidung der Dreiecke in zwei Klassen und die damit verbundene Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffs stand schon Gauß vor Augen, in dessen Theoria motus sich in Nr. 54 folgende Stelle findet: „Quodsi quidem idea Trianguli sphaerici in maxima generalitate concipitur, ut nec latera nec anguli ullis limitibus restringantur, casus existere possunt, ubi in cunctis aequationibus praecedentibus signum mutare oportet.“

Indessen ist die ganze Tragweite dieser Verallgemeinerung erst von Study¹) erkannt und verarbeitet worden. Namentlich über die letzte Wurzel dieser Erscheinungen scheint sich bei Gauß keine Andeutung zu finden. So ist geometrischer Natur und findet ihren Ausdruck in dem „Studyschen Satz“ (§ 47).

§ 45. Die Delambresclieii Formeln.

1. Die für das Folgende fundamentalen Formeln sind die sogenannten Delambreschen Formeln.²) Sie bilden ein System von 3 • 4 = 12 Formeln, von denen wir nur die ersten vier ableiten, die übrigen aber durch zyklische Vertauschung erhalten.

Zu dem Ende schlagen wir genau denselben Weg ein, wie in der ebenen Trigonometrie (§31, 2.), indem wir in die goniometrischen Formeln

1 — cos a

g CC 1 -f- COS CC

, cos y= g

.    9 CC

sm’i-

für cos cc den Wert aus § 42, 1. einsetzen. Wir erhalten nach einfachen Umformungen:

sin!|-

sin s.₂ sin ss sin b sin c ’ sin ss sin s, sin c sin a ’ sin s₁ sin sa sin a sin b ’

worin die s{ dieselbe Bedeutung wie auf S. 367, (4) haben.

sin s₀ sin sin b sin c ’

cossf

(1)

sin s₀ sin s₂

sin c sin a

sin s₀ sin .S'₃

sin a sin &

Wir setzen, da sich dies hier am ungezwungensten macht, diesen Formeln gleich die polaren gegenüber, die wir zwar nicht für den Augenblick, wohl aber im Teil D. brauchen:

sin 6₀ sin a1 sin ß sin y 7 sin tf₀ sin g2 sin y sin cc ’ sin 6₀ sin Ga sin cc sin ß ’

Aus (1) und (1') folgt durch Division:

u. s. w.,

Beiläufig sei bemerkt, daß von den Formeln (1) und (1') aus auch leicht der Sinussatz gewonnen werden kann; die Multiplikation je zweier nebeneinander stehender Formeln ergibt:

4 sin s₀ sin    sin s₂ sin s₃ = sin² b sin² c sin² a

= sin² c sin² a sin² ß = sin² a sin² b sin² y,

4 sin 6₀ sin <5t sin tf₂ sin tf₃ = sin² ß sin² y sin² a

= sin² y sin² a sin² b = sin² cc sin² ß sin² c.

Die linken Seiten dieser Gleichungen sind nichts anderes als die früher — S. 367, (5) — gewonnenen Formen für D² und ^/². Das Andere folgt wie früher.

2. Wir kehren zur Ableitung der Delambreschen Formeln zurück. Aus (1) folgt:

(1')

(2)

(3)

sin² j -

.™*T-

sin s₀ sin s.

sin s₂ sin s„

sin A- cos 2

2 n /sin*s₂

“ ⁼ V sin* a ’

9 a

cos- T = cos² ! -cos²y =

‘g²!-

sin G., sin a3 sin ß sin y ’ sin g₃ sin G1 sin y sin cc ’

sin g₁ sin a₂

sin cc sin ß

sin <?₀ sin <?,

sin g₂ sin gs

cos sin A-2 2

u. s. w.

-V-

sin* ss

sin² a

. cc sin —

2

Wir beweisen nun, daß hier beide Wurzeln gleichzeitig entweder positiv oder negativ zu ziehen sind. Setzt man nämlich

, sin sa ^ sin gl ⁷

cc

sm —

V-

sin*s₂

sin* a

V-

^ sin a ⁷ V

sin* ss

sin* a

WO

Q, q' = + 1

so wird

sin ß sin y

= QQ

, sin s₂ sin ss

sin* a

4 sin* —

2

Unter Anwendung von (1), ferner § 42, (5) und (II) folgt:

oder

q q' ■ sin Sq sin Si sin s₂ sin s₃ = sin² a sin ß sin y sin b sin c

qq' ■ D²

sin b sin c

sin ß sin y

• sin² ß sin² y sin² a = (^j ■ z/² = D²,

also qq' = -f 1, was zu beweisen war. Die Relationen (3) heißen also jetzt

■ ß

sm 4- cos 2

7_

(3 a)

a

sin —

2 _ sin s.,

Q sin a

cos

toi

. cc sin —

? si

sin ss n a

wobei gleichzeitig entweder q = -f- 1 oder q = — 1 zu wählen ist.

Das Gleiche gilt für die hieraus durch Addition und Subtraktion folgenden beiden Del ambre sehen Formeln:

sin ÊjILÏ.

sin to

cos

. b — c

sm —:—

(4)

cc

sm¥

cos —

sin —

= -d

sin — 2

Die anderen beiden erhalten wir; indem wir den Sinussatz zunächst in die Form setzen:

sin ß -j- sin y sin b -f- sin c sin a

sin cc

die oberen Zeichen liefern dann nach S. 318, (5) und (8):

b -f- c

sin to

cos

ß±Y

. b — c sin

cos -

a

sin — 2

cos —

sin — 2

cos —

die unteren:

sin

ß + y ß — Y

-——- cos -----

b — cos--

c . b 4- c - sin — —

sin

cos —

cos :

sin

Hieraus folgt durch Vergleichung mit (4):

b + c

cos -

cos

cos

sin

(4a)

cos —

cos —

cos —

a P . a sin —

Indem wir nun (4) mit (4a) und den zyklisch sich daraus ergebenden Formeln zusammenstellen, erhalten wir folgende drei

(nii)

(in,)

(in₃)

a)

c)

a)

c)

a)

c)

Systeme der Delambreschen Formeln: sin^

u

sm —■

cos

cos —

•2

sin^i^

sin

cos

cos^—

sin

a+ß

sin —

cos

a-f/3

cos

cos

. b — c gm ——

s°

s°

b)

cos ——

sin —

sin

te a

b 4- c cos—Ź—

cos —

cos

cos

cos

c -J- a

cos

cos

cos

cos-

a -f- b

cos —

cos

. b -f- c sm

d)

b)

d)

b)

d)

cc

cos —

sin

Bin^

2

sin —

y — a cos —

. c — a sm -

⁹ ri ⁷

smi . c 4- a

sin^-

C0S-=r-

. ce — sin —-2

-ß

sin —

cos

cos

_y_

sin

. a sin —

Q . c 7 sm

. a 4- b

sm —¹—

e T7

sm —

0 - +1-)

3. Diese Systeme sind vollständig in sich abgeschlossen und können auch durch Polarisation nicht erweitert werden; denn die Formeln (b) und (c) sind jedesmal zu sich selbst polar, während (a) und (b) gegenseitig zueinander polar sind.

Innerhalb jeden Systems (III*) (i = 1, 2, 3) gehören die Werte p = -f- 1 und p = — 1 zusammen. Wir fragen:

1. Wann ist innerhalb eines Systems p positiv, wann negativ zu

wählen?

2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den p der verschiedenen Systeme (III*)?

Beide Fragen erledigen sich gleichzeitig.¹) Wir beginnen die Untersuchung an einem speziellen Beispiel, indem wir fragen: Welche Vorzeichen müssen wir in den Delambreschen Gleichungen z. B. dem Dreieckstypus geben? Aus der Tabelle S. 352 entnehmen wir für diesen Typus folgende Grenzwerte der Seiten und Winkel:

1) Eine andere und einfachere Darstellung siehe § 50, 4. Die hier gegebene ist umständlicher, aber natürlicher.

cc

7t, 2tc

Wollen wir nun für diesen Typus etwa das Vorzeichen der Formel (IIIj) (a) bestimmen, so finden wir folgende Grenzen:

0.7t

7t, 2 7t

7t, 27t

0.7t

7t, 2 7t

7C, 2 7t

°>Y

°’Y

Es ist also

sin ^    negativ,

. cc    ...

sm — positiv,

b — c    ...

cos —-— positiv,

a    ...

cos — positiv,

so daß in diesem Falle für g der Wert — 1 und auch nur dieser gewählt werden muß. Symbolisch schreiben wir jetzt, wo es sieb nur um die Vorzeichen handelt, die behandelte Delambresche Formel

(III,) (a) so:

“P+i

in unserem Falle ist also g = — 1.

Damit ist aber nach 2. schon bewiesen, daß für das ganze System (IIIj) der Typus die unteren Vorzeichen fordert. Um weiter zu einer Entscheidung über das System (III₂) zu gelangen, versagt der angegebene Weg, wenn man ihn auf die Formel (III₂) (a) anwendet; es ergeben sich nämlich die Grenzwerte:

c — a

<N

Tt

- . 7t

0,7t

Es ist also in bezug aufs Vorzeichen:

• V + «

sm —k—

oszillierend,

CO

positiv,

cos —;

oszillierend,

cos —

negativ.

Bezeichnen wir eine oszillierende Größe als „unbestimmt“ und deuten dies durch ein Fragezeichen (?) an, so nimmt die Delambre-sche Formel (Iü₂) (a) die Gestalt

an:

-j.    ? _ >

woraus wir keinen Schluß auf q ziehen können. Dagegen erhält die Formel (III₂) (b) symbolisch die Form:

+    4-

T“-»T-

also ist für (III₂) (b) ebenfalls q = — 1. Da aber, wie bewiesen, innerhalb eines Systems die Vorzeichen zusammengehören, so gilt für das ganze System (III₂): q = — 1. Ebenso kann man beweisen, daß für das ganze System (III₃) Q = — 1 zu nehmen ist. Damit hat man das Resultat gewonnen: Für den Dreieckstypus ist in den gesamten Delambreschen Formeln q = — 1. In dieser Weise fortfahrend kann man für alle 16 Typen die Vorzeichen ermitteln.

4. Schneller und übersichtlicher kommt man zum Ziele durch folgende Tabelle³), die mit Hilfe der Tabelle p. 352 leicht hergestellt ist, und zwar durch einige leichte Überlegungen rein mechanisch, sobald nur gewisse wenige Felder auf die bereits angegebene Weise ausgefüllt sind:

S3

rO

PI

Cu

TW

+ +

+=eT

-^ = 9^-

+1 +

•-o

Qr

T(9)    “

¹¹ +

p— ? ?

Q + \.T

p— ? ?

+1+

Or

•-o

"O

Q/

p— ? ? —

9~r

p_ ?    ?    _

9~r

0<

*—*■,—. °o

Qr

GV.

•o

Q-r

Qr

? ? — =p

4" I +

Qr

+11

•o

o.

jd a b

TW ⁰¹ +

»X » ?i±

*+l?

_+ -

p— ? ?

J( l)

io 4-

p— ? ?

p+- ? — =p

p— ? ? —

+ ! +

I Qr

IQ/

3g

11+

'O

4- I +

•-o

•-o

+ 1+1

Qr

O.

+1+

p— ?    ?

9— ?

TV)

¹¹ +

~r = 9 -

+ +

? ? — = p^|?

= ëTT = ë

? ? ± ₌ ö— — = p

Die zum Index 2 und 3 gehörigen Tabellen erhält man aus Tabelle (5) durch zyklische Vertauschung der Kolonnen (IIIJ, (III₂), (III₃).

Bezeichnen k, l, m die Zahlen 1, 2, 3 in irgend einer Reihenfolge, so ergeben sich die Formeln, deren Vorzeichen durch die Tabelle ohne weiteres bestimmt und die Formeln, die unbestimmt sind, aus dem Schema:

Typus

bestimmt

unbestimmt

(6)

(III*a) (EM)

(HI, a) (Hfid) (IE» (III»)

(III,b) (III,c) (H»)    (Ilhc)

(HIMb) (III»

(HI,b) (III,c) (Ilfia) (Ilfid)

(HI» (inm d)

(III,a)    (III,d)

HI/ b) (Hb c)

'11»)    (Hb» c)

Dies Schema zeigt, daß für jeden Dreieckstypus zur Bestimmung von Vorzeichen innerhalb eines Systems (III)i(i = 1, 2, 3) zwei Formeln der Tabelle (5) zur Verfügung stehen, womit dann das Vorzeichen des ganzen Systems bestimmt ist. Die beiden in Art. 3. aufgeworfenen Fragen finden jetzt ihre Erledigung in dem aus der Tabelle (5) und den Formeln (III,) abzuleitenden

Satz: In sämtlichen Delambreschen Formeln ist gleichzeitig entweder p = -f 1 oder p = — 1. Es ist p = -j- 1 für die Typen:

rP{0)    (T'O)    JH/c)    'T’(k)

■*- oo    11    01    10

Es ist p = — 1 für die Typen:

7U0)    T(0)    J>(k)    T(k)

01    10    00    11

Insbesondere ist also für die Eulerschen Dreiecke p = + 1.

(* = 1, 2, 3).

(* = b 2, 3).

5. Es mag nochmals • hervorgehoben werden, daß dieser Satz von fundamentaler Bedeutung ist. Er zeigt uns, daß man nicht vom „sphärischen Dreieck" schlechthin sprechen darf, sondern daß . es zwei Arten von sphärischen Dreiecken gibt, die derart voneinander verschieden sind, daß für sie ganz verschiedene Formelsysteme gelten.¹) Diese tiefgehende Verschiedenheit macht es wünschenswert, die beiden Klassen von Dreiecken durch besondere Namen zu kennzeichnen. Ein

1) Die Delambreschen Formeln sind je nach der Wahl von q als zwei Formelgruppen aufzufassen, die nichts miteinander zu tun haben. Wir werden aber noch Formeln zweiter Ordnung kennen lernen, bei denen der Unterschied zwischen eigentlichen und uneigentlichen Dreiecken noch schärfer hervortritt; sie enthalten für eigentliche und uneigentliche Dreiecke nicht nur verschiedene Vorzeichen, sondern ganz verschiedene Funktionen (§ 50, (H) und (IV)).

Dreieck lie ißt nach Study „ eigen tli che s“ Dreieck, wenn q = +1, dagegen „uneigentliches“ Dreieck, wenn q = — 1 ist.

Yon den 16 Moebiusschen Dreieckstypen repräsentieren die 8 Typen:

TW    TW    TW    TW

00    11    01    io

eigentliche, die 8 Typen:

TW TW TW    TW

01 10    00 11

uneigentliche Dreiecke.

In der Tafel I (p. 348f.) sind links die eigentlichen, rechts die uneigentlichen Typen verzeichnet. In der Tabelle (5) sind eigentliche und uneigentliche Typen durch Doppelstriche getrennt.

Formeln, die für eigentliche und uneigentliche Dreiecke gleichzeitig gelten, heißen Formeln erster Ordnung. Formeln, die sich entweder nur auf eigentliche oder nur auf uneigentliche beziehen, heißen Formeln zweiter Ordnung.

Diese Definition der Formeln 1. und 2. Ordnung weicht scheinbar von der in § 40, 3. gegebenen ab; da aber, wie sich im nächsten Paragraphen zeigen wird, die Einführung der eigentlichen und uneigentlichen Dreiecke notwendig über Moebius hinaus zu einem neuen Dreiecksbegriff führt, so sind in Wahrheit beide Definitionen identisch.

Bemerkenswert ist, daß durch Division der Delambreschen Formeln Formeln erster Ordnung entstehen; es sind dies die in § 43 mitgeteilten Neperschen Analogien.

Gauß glaubte in den Delambreschen Formeln gegenüber den Neperschen Analogien rechnerische Vorteile zu erblicken, Dela mb re bestritt diese Ansicht.⁴) Vom theoretischen Standpunkte aus stehen nach dem Yorgetragenen zweifellos die Delambreschen Formeln höher: sie zeigen uns die Existenz der zwei Dreiecksklassen, während jene für beide Klassen gelten.

§ 46. Der Gauß-Stiulysclie Dreiecksbegriff.

1. Irgend ein eigentliches und ein uneigentliches Dreieck vom selben Index (S. 352) mögen konträr zueinander heißen. Zu einem Dreieck (i = 0, 1, 2, 3) wird ein konträres erhalten, indem man entweder dem ô oder dem s den anderen möglichen Wert gibt. Geometrisch gesprochen: indem man entweder den Richtungssinn aller drei Seiten oder den Drehungssinn auf der Kugel in deu entgegengesetzten verwandelt — zwei Vorgänge, die nach § 39, 10. zueinander

polar sind. Mit diesen Vorgängen ist — was dasselbe in anderen Worten sagt — ein Vorzeicbenwechsel von p verbunden.

2. Es ist dies aber nicht die einzige Weise, auf die ein Vorzeichenwechsel hervorgerufen werden kann. Vermehren wir nämlich eine Seite oder einen Winkel um 2jr, so wird der halbe Winkel dadurch um it vermehrt, und man sieht leicht, daß hiermit ein Vorzeichen Wechsel in den Formeln verknüpft ist.

Dies zwingt uns dazu, auch solche Dreiecke als verschieden anzusehen, deren Seiten oder Winkel sich um Vielfache von 2x unterscheiden. Aus einem Moebiusschen Dreieck gehen also jetzt durch unbeschränkte Veränderlichkeit der Seiten und Winkel unendlich viele Dreiecke hervor. Der so gewonnene Dreiecksbegriff heiße der „Gauß-Studysche“.

C>

BU

BU

E21

00

Fig. 179.

77(1) u oo

Rechnerisch vollzieht sich der Übergang vom Moebiusschen zum Gauß-Studyschen Dreiecks begriff dadurch, daß man bei einem Moebiusschen Dreieck Seiten und Winkel durch neue ersetzt gemäß den Gleichungen:

a = a + 2va% ß' = ß + 2 Vp 7t ■ • y' = y -f 2vy7t,

a = a + 2na n, b' = b + 2nb n, c = c + 2wc jr,

In diesen „linearen Substitutionen“ bedeuten n, v positive oder negative ganze Zahlen oder Null.

Wir erweitern den Begriff des „Typus“ (S. 352) dahin, daß wir Dreiecken, die sich nur durch eine Substitution (9J£) unterscheiden, denselben Typus zuschreiben.

Geometrisch kann man sich eine gute Vorstellung von einem Gauß-Studyschen Dreieck machen, indem man sich die Seiten durch Fäden hergestellt, zwischen den Schenkeln der Winkel aber Federn ausgespannt denkt; der Faden kann dann die Kugel mehrfach umschlingen, die Feder mehrere Spiralwindungen haben. In den Figuren 179¹)

1) Die den Figuren beigedruekten Symbole finden weiter unten ihre Erläuterung.

sind zwei Gauß-Studysche Dreiecke des Typus gezeichnet, von denen das erste der Substitution

a = a, b' = b, c'= c, a = a -f- 2%, ß'= ß, y = y, das zweite aber der Substitution

a' = a, b'=b-\-2n, c = c

a = a + 2it, ß' = ß, y — y

entspricht.

3. Welche von den Gauß-Stud y sehen Dreiecken sind nun eigentlich, welche uneigentlich? Da die Vermehrung einer Seite oder eines Winkels um 2n den Wert von p in den entgegengesetzten verwandelt, müssen wir die Substitutionen (5)1) trennen, bei denen naĄ-nbĄ-nc + va -f -f- vy eine gerade oder eine ungerade Zahl ist; bei den ersteren behält p sein Zeichen, bei den letzteren nicht.

Lehrsatz: Die Substitionen (9JÎ), für die die Kongruenz Un -j- Uv = 0 (mod. 2)

erfüllt ist, führen ein eigentliches Dreieck in ein eigentliches, ein uneigentliches in ein uneigentliches über; dagegen wird beim Bestehen der Kongruenz

Un + Uv = 1 (mod. 2)

ein eigentliches Dreieck in ein uneigentliches übergeführt, und umgekehrt.

Kennen wir Dreiecke, die sich bei gleichem Typus nur durch eine Substitution (üß) unterscheiden, „äquivalent“, dagegen Dreiecke, die sich durch eine Substitution (DT) unterscheiden, „wesentlich verschieden“, so sind äquivalente Dreiecke stets gleichzeitig eigentlich oder uneigentlich, während von zwei wesentlich verschiedenen Dreiecken stets das eine ein eigentliches, das andere ein uneigentliches ist. Unser letzter Satz kann daher auch so ausgesprochen werden:

Lehrsatz: Ein sphärisches Dreieck wird durch eine Substitution (di) in ein äquivalentes, durch eine Substitution (9tr) aber in ein wesentlich verschiedenes übergeführt.

4. Wir ziehen hieraus die wichtige Folgerung, daß die Eigenschaft eines Dreiecks, eigentlich oder uneigentlich zu sein, nicht mehr wie bei Moebius an bestimmte Typen Tfs gebunden ist (siehe §45, 5.). Wir haben vielmehr von jedem Typus eine Schar eigentlicher und eine Schar uneigentlicher Dreiecke. So ist in Figur 179 das erste Dreieck ein eigentliches, das zweite ein uneigentliches des Typus T™. Aus den 8 Moebiusschen eigentlichen Typen gehen 8 Scharen eigentlicher Dreiecke durch Anwendung von (91), 8 Scharen uneigentlicher Dreiecke durch Anwendung von (9?') hervor. Das Entsprechende gilt für die 8 Moebiusschen uneigentlichen Typen. Wir haben also jetzt 16 Scharen eigentlicher und 16 Scharen uneigentlicher Dreiecke; jene bezeichnen wir durch das Symbol Ejfl, diese durch das Symbol Ufs (j”⁰^¹^³). Jede Schar kann durch irgend eines ihrer Dreiecke repräsentiert werden: alle übrigen der Schar sind dann zu diesem „Repräsentanten“ äquivalent und gehen durch Substitutionen 9Î aus ihm hervor. Als Repräsentanten eignen sich namentlich die Formen, die auf Tafel II und III verzeichnet sind Wir nennen sie „reduzierte“ Dreiecke. Ihre Zweckmäßigkeit wird sich erst später (S. 393) erweisen.

5. Wir stellen die gefundenen Resultate in folgender Weise einander gegenüber:

Gauß-Studyscher Dreiecksbegriff.

Moebiusscher Dreiecksbegriff.

a) Die Seiten und Winkel sind

a) Die Seiten und Winkel liegen zwischen 0 und 2 n. Modulo 2 ic unbeschränkt veränderlich. Modulo

kongruente Seiten oder Winkel gel- 2it kongruente Seiten oder Winkel

ten als identisch.

gelten als verschieden.

b) Zu gegebenen 3 Punkten auf der Kugeloberfläche gehören auf der Kugeloberfläche gehören

unendlich viele verschiedene Drei-

b) Zu gegebenen 3 Punkten

16 verschiedene Dreiecke.

ecke, die aber in 32 Scharen äquivalenter Dreiecke zerfallen.

c) Von diesen 32 Scharen ent-

c) Von diesen sind 8 eigentliche und 8 uneigentliche Dreiecke, halten 16 äquivalente eigentliche

und 16 äquivalente uneigentliche Dreiecke. Jede Schar kann durch einen Repräsentanten, z. B. ein „reduziertes“ Dreieck, vertreten ! werden.

6. Es könnte scheinen, als sei die Gauß-Studysche Verallgemeinerung des Moebiusschen Dreiecksbegriffs überflüssig weitgehend. Wir haben Seiten und Winkel, die sich modulo 2jr unterscheiden, als verschieden angesehen. Da aber ein .Hinzufügen von 4æ, 83t, • • • keine Zeichenänderung hervorruft, hätten wir anscheinend genügend durch folgende Festsetzung verallgemeinert: Dreiecke, deren Seiten (oder Winkel) sich modulo 4jt unterscheiden, gelten als identisch. Bei dieser Festsetzung würde man die Anzahl sämtlicher Dreiecke, die aus einem Moebiusschen hervorgehen, aus der Gleichung (91t) erhalten, wenn man die n und v nur die Werte 0 und 1 annehmen läßt: dies sind aber 2⁶=64 Dreiecke. Und da 3 Punkte zu 16 Moebius-scben Dreiecken Anlaß geben, würden wir von diesem Standpunkte sagen müssen:

Drei Punkte der Kugel bestimmen 16-64 = 1024 verschiedene Dreiecke, von denen die eine Hälfte eigentliche, die andere Hälfte uneigentliche Dreiecke sind.

In der Tat würde dieser Dreiecksbegriff für die Delambreschen Formeln allein ausreichen. Aber aus zwei Gründen haben wir gleich in weiter gehender Weise verallgemeinert.

Wie nämlich die Delambreschen Formeln halbe Winkel enthalten, so kann man auch Formeln ableiten, die drittel, viertel,-•-, Uel Winkel enthalten. Und dies würde jedesmal zur Einführung eines neuen Dreiecksbegriffs nötigen; wir würden dann offenbar Dreiecke, deren Seiten und Winkel sich modulo 6jt, 8sr, ■ • -, 2kn unterscheiden, als identisch anzusehen haben.

Von diesem Standpunkte aus würden wir also eine Reihe von Dreiecksbegriffen erhalten, indem wir nacheinander Seiten und Winkel, die sich

mod 2tc, mod 4jt, mod 6æ, • • -, mod 2hvt

unterscheiden, als identisch ansehen.⁵)

Die Gesamtheit aller Dreiecke gliederte sich dann in Dreiecke 1., 2., • • -, Uer „Stufe“. Drei Punkte bestimmten 16 • Ä:⁶ Dreiecke Jctei Stufe.

Der Gauß-Studysche Dreiecksbegriff hat also den praktischen Vorteil, alle diese Erweiterungen mit einem Schlage zu vollziehen und somit für die Gesamtheit aller denkbaren Formeln auszureichen.

Viel tiefer liegend ist aber der zweite Grund. Dieser ist geometrischer Natur und findet seinen Ausdruck in dem „Studyschen Satz“.

§ 47. Der Satz von Study.

1. Bezeichnet man die Gesamtheit aller Dreiecke, die aus irgend einem Dreieck durch stetige Deformation auf der Kugel (d. h. durch Verschiebung, Zerrung oder Dehnung) hervorgehen, als „Kontinuum“, so gilt folgender

Satz von Study: Die Gesamtheit aller eigentlichen Dreiecke und die Gesamtheit aller uneigentlichen Dreiecke bilden jedes für sich ein Kontinuum.

25

p ersetzt.

Tafel lia.

Die reduzierten eigentlichen Dreiecke.

Cl

77(0)

77t(*)

Aio

Tafel IIb.

Die reduzierten eigentlichen Dreiecke.

771(0)

-C'IO

77⁷'0

-E'oo

77>(0

Ali

771(0)

■Ttoi

25

Tafel Ilia.

Die reduzierten uneigentlichen Dreiecke.

JB

Ci

00

Tj(0)

Uqi

vS

Tafel IIIb.

Die reduzierten uneigentlichen Dreiecke.

pg

Po?

J''

pg

Pi?

Dagegen ist kein stetiger Übergang von einem eigentlichen zu einem uneigentlichen Dreieck möglich.⁶)

2. Dieser Satz zeigt, daß die in Nr. 6 des vorigen Paragraphen besprochene Einteilung in Dreiecke verschiedener „Stufen“ eine unnatürliche Schranke aufrichtet zwischen Dreiecken, die durch eine wichtige geometrische Eigenschaft verbunden sind, nämlich die, stetig ineinander deformierbar zu sein; sobald man irgend ein Dreieck, etwa erster Stufe hat, kann man durch stetige Deformation stets zu Dreiecken jeder beliebigen Stufe gelangen. Yon diesem Standpunkte aus erweist sich also eine Trennung der Dreiecke verschiedener Stufen als undurchführbar. Dagegen ist die Einteilung in eigentliche und uneigentliche Dreiecke eine natürliche Schranke. Sobald man sich also überhaupt von der Notwendigkeit überzeugt, Winkel, die sich um Vielfache von 2n unterscheiden, als verschieden anzusehen, wird man zweckmäßig den Gauß-Studyschen Dreiecksbegriff in seiner vollen Allgemeinheit zugrunde legen.⁷) Um jedem Mißverständnisse vorzubeugen, sei noch folgendes bemerkt: die Definition der Formeln 1. und 2. Ordnung bleibt auch unter Zugrundelegung des Gauß-Study sehen Dreiecksbegriffs wörtlich, wie § 45, 5. angegeben, bestehen.

Die Formeln der ersten Ordnung haben ihre Wurzel im Kosinus-und Sinussatze, die der zweiten in den Delambresehen Gleichungen.⁸)

3. Beweis des Satzes von Study. Daß zunächst Moebius-sche Dreiecke desselben Typus stetig ineinander überführbar sind, ist unmittelbar anschaulich und bedarf keines Beweises. ^

Des Weiteren verfahren wir beim Beweise für den ersten, positiven Teil des Satzes stufenweise. Wir zeigen:

1)    alle äquivalenten Dreiecke (§ 46, 3.) sind stetig ineinander deformierbar.

Damit können wir jedes Dreieck stetig in ein reduziertes (§46,4.) überführen, und haben daher nur noch zu zeigen:

2)    die 16 reduzierten eigentlichen und ebenso die 16 reduzierten uneigentlichen Typen sind stetig ineinander deformierbar.

ad 1) Wir führen das Dreieck — was immer möglich ist — in eine solche Gestalt über, daß etwa a = ot (mod. 2it) wird. Die Fig. 180 zeigt dies für ein Eulersches Dreieck: wir brauchen nur die Ecke C auf der positiven Richtung a bis zum Punkte C' wandern zu lassen. Das Dreieck hat dann die in Fig. 181 gezeichnete Gestalt. Lassen wir dann unter Festhaltung von B und C die Seite a Umai rotieren, ' so wachsen bei jeder vollen Umdrehung die Winkel ß und y um 2:t‘ endlich führen wir den Punkt C wieder in seine alte Lage zurück, wobei jene Änderungen der Winkel erhalten bleiben. Wir haben also durch stetige Deformation eine Substitution

7    \

ß-\-2kn    y-\-2Tcn)

erreicht; zu diesen treten analog die durch zyklische Vertauschung daraus heryorgehenden.

1/

OH

Fig. 180.

Fig. 181.

Lassen wir weiter bei dem Dreieck ABC die Ecke C den Bogen BC im positiven Sinne durchlaufen, so wird bei jedem vollen Umlauf a um 2 7t wachsen, a aber je nach dem festgesetzten Drehungssinn um 27t wachsen oder abnehmen. Bei k-maligem Umlauf erhalten wir also die Substitution:

55 <N

+1

"C5> -CÖ

und ebenso die beiden analogen. Endlich kann man, indem man die eben beschriebenen Vorgänge am Polardreieck verfolgt und bedenkt, daß einer stetigen Operation am ursprünglichen Dreieck eine ebensolche am Polardreieck entsprechen muß, noch die Substitutionen hersteilen, die aus den angegebenen durch Vertauschung der Seiten und Winkel hervorgehen. Aus den so erhaltenen 12 Substitutionen läßt sich aber, wie man sich leicht überzeugt, jede Substitution (9Î) hersteilen. Äquivalente Dreiecke können also stetig ineinander übergeführt werden.

ad 2) Wir teilen den Beweis in zwei Teile.

a)    Wir zeigen erstliek, daß solche eigentliche reduzierte Typen, die sich nur durch den Richtungssinn der Seiten, nicht aber durch den Drehungssinn auf der Kugel unterscheiden, stetig ineinander deformierbar sind. Damit sind einerseits die auf Tafel II in der oberen Horizontalreihe, andererseits die in der unteren Horizontalreihe stehenden Typen ineinander deformierbar. Genau entsprechendes gilt für die uneigentlichen Dreiecke der Tafel III.

b)    Zweitens zeigen wir dann, daß zwischen den Typen der oberen und den eu der unteren Horizontalreihen sowohl auf Tafel II als auf Tafel III ebenfalls ein stetiger Übergang möglich ist. Die oberen Horizontalreihen unserer Tafeln mögen mit (a), die unteren mit (ß) bezeichnet werden.

a) Wir gehen aus von dem reduzierten Dreieck I?₀⁽₀⁰⁾ und führen es, genau wie vorher, in eine solche Gestalt über, daß a = 7t wird (^Figg. 180, 181). Hierauf lassen wir a unter Festhaltung von JB und G eine halbe Umdrehung machen, wobei die Winkel ß und y je um

7t (bei richtig gewähltem Drehungssinn) wachsen; bei dem so erhaltenen Dreieck (Fig. 182) wird Seite a im entgegengesetzten Sinn wie vorher durchlaufen, oder a ist in 27t — a übergegangen. Endlich führen wir C wieder in seine alte Lage zurück, wodurch nun das Dreieck Ef$ in ein Dreieck E$ mit den Seiten und Winkeln 2tc — a, b, c; a, 7t + ß, 7t -f y übergeführt ist. Diesen ganzen Prozeß bezeichnen wir mit Ex, die durch zyklische Vertauschung daraus hervorgehenden mit E₂ und E₃.

Fig. 182.

Durch den Prozeß Ek wird ein Dreieck Ej$ stetig in ein Dreieck Effl übergeführt und umgekehrt (Je = 1, 2, 3).

Vom zweiten Teil der Behauptung kann man sich leicht überzeugen.

Wendet man ferner auf E$ den Prozeß E₂ an, so erhält man jFjo); übt man auf dieses Dreieck aber den Prozeß Es aus, so lehrt dieselbe Betrachtung, wie vorhin, daß man zu dem Dreieck E^ gelangt. Die Seiten und Winkel dieses Dreiecks sind a, 2 7t — b,

27t — c, 2tc -j- a, 7t -f- ß, 7t -f y. Man bemerke, daß durch die Hinzufügung des 2;t zu ß bewirkt wird, daß wir den eigentlichen Typus E$ erhalten. Wir sagen, wir hätten die Prozesse E.₂ und E₃ „komponiert“ und bezeichnen diese Komposition durch das symbolische Produkt E₂E₃. uns schon aus der Theorie der Permutationsgruppen (s. Bd. I, § 56) geläufig ist. Bezeichnen also i, Ti, l die Zahlen 1, 2, 3 in irgend einer Reihenfolge, so können wir sagen: Durch den Prozeß EiEk wird E$ stetig in E$ übergeführt.

Es ist dies dieselbe Ausdrucksweise, die

Ebenso läßt sich einsehen: Durch den Prozeß E₁E₂E₃ wird das Dreieck E$ stetig in das Dreieck Eff übergeführt. Die Seiten und Winkel dieses Dreiecks sind 2 7t — a, 2 7t — b, 27t — c, 27t a, 27t Ą- ß, 2 7t y, wobei die Hinzufügung der 2 7t zu den Winkeln bewirkt, daß das Dreieck ein eigentliches bleibt.

Damit ist die Behauptung a) für die Reihe (a) erwiesen. Analoges gilt aber für die Reihe (/3) und für die entsprechenden Reihen uneigentlicher Dreiecke.

Jetzt wird auch klar, warum wir die „reduzierten“ Dreiecke gerade in der auf unseren Tafeln verzeichneten Weise gewählt haben: die Wahl ist so getroffen, daß die Dreiecke einer Horizontalreihe unmittelbar durch AJ-Prozesse auseinander hervorgehen.

(«)

b) Der Beweis, daß nun auch die Reihen (a) und (ß) stetig ineinander überführbar sind, wird leicht durch Polarisation erbracht. Der Prozeß EXE₂E₃ bewirkt (außer der Hinzufügung von 27t zu den Winkeln, wodurch das Dreieck ein eigentliches bleibt) eine Umkehrung sämtlicher Seitenrichtungen. Nach § 39, 10. bewirkt dieser Prozeß also am Polardreieck die Umkehrung des Drehungssinnes, wobei gleichzeitig durch die Hinzufügung von 2 7t zu den drei Seiten des Polardreiecks erreicht wird, daß das Dreieck ein eigentliches bleibt. Dieses Dreieck ist noch kein reduziertes, aber durch eine Substitution (N) stetig in ein reduziertes überführbar. Damit ist aber der Übergang von zu (ß) bewirkt, und wir können sagen:

Durch den zu EXE₂E₃ polaren Prozeß wird die Reihe (a) stetig in die Reihe (ß) übergeführt.

Damit ist der positive Teil des Satzes bewiesen.

4. Zum Beweise des negativen Teils, daß nämlich kein stetiger Übergang von einem eigentlichen zu einem uneigentlichen Dreieck möglich ist, bemerke man, daß es wegen des ersten Teils genügt, auch nur einen Fall sphärischer Dreiecke nachzuweisen, die nicht ineinander deformierbar sind. Wir betrachten irgend ein eigentliches Dreieck, für das weder sin a noch cos \ a verschwinden, und das uneigentliche Dreieck, das durch Addition von 27t zu a daraus erhalten wird. Wären nun diese Dreiecke stetig ineinander deformierbar, so müßten die Gleichungen (Illj gleichzeitig für p = 1 und für q = — 1 bestehen

können, und daraus würde durch Addition der entsprechenden Gleichungen das gleichzeitige Bestehen der Gleichungen folgen:

sm

•ß — y

sm

cos

cos

dies ist aber ein offenbarer Widersinn.

Damit ist auch der negative Teil des Satzes bewiesen.

5. Der Studysche Satz führt zu einer neuen Definition der eigentlichen und uneigentlichen Dreiecke:

Eigentliche Dreiecke heißen alle Dreiecke, die sich aus einem Euler sch en Dreieck durch stetige Deformation ableiten lassen. Alle übrigen Dreiecke heißen uneigentliche Dreiecke.

§ 48. Analytische Darstellung. Stammverwandte Dreiecke.

Der Studysche Dreieckshegriff.

1. Es hat keine Schwierigkeit, die im vorigen Paragraphen benutzten Prozesse Ek (k = 1, 2, 3) analytisch darzustellen. Wie aus S. 392 f. unmittelbar hervorgeht, haben diese Prozesse die Wirkung der Substitutionen

_ / a ~ \2n —

7t

Va

y \

Tt-\- y J

'a b

«o. -4-

und sollen deshalb des weiteren mit diesen Substitutionen identifiziert werden. Übersichtlicher schreiben wir die Substitutionen in folgender Tabelle an, in der die neuen Seiten und Winkel durch Akzente bezeichnet sind:

CC

ß'

27t —a

7t -f- y

27t — b

7t + y

27t —c 7t + a 7t + ß I y

Die Wirkung einer Substitution Et besteht darin, irgend einen Typus der Reihe (a) und ebenso der Reihe (ß) in den nächstfolgenden überzuführen, vorausgesetzt, daß k von l verschieden ist. Für k = l wird jedes Dreieck in ein zu sich selbst äquivalentes übergeführt.

Bezeichnet man nämlich die Äquivalenz (§ 46, 3.) durch das Zeichen und die identische Substitution mit J (vgl. Bd. I, § 56), so folgt:

E?

also allgemein

-(

27t 4- ß 2st 4~ y)

(1)

EJ ~ J,

(k = l, 2, 3),

eine Formel, deren geometrische Bedeutung, ebenso wie die der folgenden, bereits dargelegt wurde. Ferner erhält man:

b'

cc

ß'

E₂E₃

2 7t — b    2 7t — c 2 je + « 7t 4-/3 7t y

JE₃E₁

2jt— a

27t —c

7t Ą- a 2jt + /3

Ti Ą- y

ElEi U 2jr — a 2ti — b

7t + CC

7t + ß 2ti -f- y

(3)

EkEt = EtEk,

(k, l — 1, 2, 3 ; k =|= l)j

ce

2 TC - &    2 7t - C

(4)

"CO TO 4"

<30. 4“

y \

2jt + y/

n.

y/

— b — c

2. Wir hatten ferner auf S. 393 den zu E₁E₂E₃ polaren Prozeß benutzt, um von der Reihe (a) zur Reihe (ß) zu gelangen. Unser allgemeiner Grundsatz, daß jede Operation auf der Kugel polarisierbar ist, verlangt aber, daß wir auch schon die polaren Prozesse der Ek (Je = 1, 2, 3) einführen. Dies ergibt, rein formell ausgeführt, folgende Formeln :

cc'

ß'

(E)

E,

Ti b

7t + C

27t — a

e₂

7t -f- a

7t -f C

27t —ß y

e₃

7t -f- a 7t + b

ß 27t — y

(10

E/ ~ eT (Je —

1, 2, 3).

b'

cc'

ß'

(2')

e₂e₃

27t 4- a

7t 4- b

7t 4r C

27t — ß

27t — y

EsE*

7t CI

27t 4- b

7t 4- C

2 3t — a

2 7t — y

Ei E₂

7t 4- a

7t 4- b

27t -\-c

27t — a

27t — ß

(3')

E*E2 = ĘE0

(k, l — 1, 2, 3 ; k =)= Z),

(4')

E>E>Es-La+a

O⁴ O⁴

■ Cd

— cc

~ß

⁷ )•

- y)

(5)

ĄE,

E,Ą-

(*, 2 = 1, 2, 3).

Daß in das Beispiel:

Ol

fl.

-I

CD

p->

S’

'S

PP

CD

Ct

it

Pj

CD

ts

'S

C»Q

-- V1 7-1

Kj    LU

r-A    r-

ui    fta

O⁴

CH

co

CO

r-C

⁽Vl_

es unterscheiden sich also beide Substitutionen durch eine Substitution (9Î).

3. Fragt man nach der geometrischen Bedeutung der E*, so erkennt man, daß sich unter den bisher betrachteten Dreiecken keines vorfindet, das einer Substitution E* entspricht. Dies leuchtet geometrisch ein. Der Prozeß E₁ bewirkte ja im wesentlichen eine Umkehrung des Richtungssinnes der Seite und nur der Seite a; der polare Prozeß wäre die Änderung des Drehungssinnes für den Winkel a und nur für diesen, oder, was dasselbe, der Übergang von a zu 2 % — a, während ß und y unverändert bleiben. Diese Änderung ergibt sich, wenn die Ecke A durch ihren Gegenpol Ä ersetzt wird. (§ 38, 5.). Die Substitution Eï führt also unser Dreieck ABC in

ATy

ein Dreieck A'BC über, dessen eine Ecke Ä nicht unter den bisher als festen Ausgangspunkten benutzten Ecken vorkommt (Fig. 183).

Fig. 183.

4. Es ist aber wichtig zu bemerken, daß damit zwar neue Dreiecke, aber keine neuen Dreieckstypen geschaffen sind. So wird z. B. ein Dreieck vom Typus E$ durch Ex in eines vom Typus E$ übergeführt (Fig. 183). Seinen allgemeinen Ausdruck findet dies Verhalten in dem leicht einzusehenden Satze: Bedeutet E irgend eine aus den Ek und E die entsprechende aus den E,. komponierte Substitution, und wird ein Typus Tfö A=0,1,2,3;

ô s = 0, 1) durch JE in T$s, übergeführt, so wird er durch E in T^d, übergeführt; eigentliche Typen gehen dabei stets wieder in eigentliche, uneigentliche Typen in uneigentliche über.

Es folgt daraus, daß wir, um zu allen möglichen Dreiecken zu gelangen, statt der Ek ebenso gut, wenn auch weniger anschaulich, die Ek als „Erzeugende“ hätten wählen können. Als reduzierte Dreieckstypen hätte man dann zweckmäßig andere, von der Art der zweiten Figur auf S. 382 eingeführt.

Es tritt damit in

5. Wie wir sehen, nötigt das Auftreten der Substitutionen E* zur Zuziehung der Gegenpole Ä, B', C. den Vordergrund nicht mehr, wie bisher, das Punktetripel A, B, C, sondern das projizierende Dreikant (farbrc).

Es ist für den Augenblick zweckmäßig, äquivalente Dreiecke geradezu als identisch zu betrachten; dann bestimmt ein Punktetripel auf der Kugeloberfläche 16 eigentliche und 16 uneigentliche Dreiecke (§ 46, 4.).

Sei nun ein Dreikant (rarbrc) gegeben, das auf der Kugeloberfläche die Punkte A, B, O; A', B', C' ausschneidet. Es lassen sich dann aus diesen Punkten 8 Punktetripel bilden, wenn, wie natürlich, Gegenpole wie A und Ä nicht in demselben Tripel Vorkommen dürfen.

Wir erhalten somit in dem eben angegebenen Sinne 8-16 = 128 eigentliche und 128 uneigentliche Dreiecke, die alle demselben Dreikant zugehören.

Wir wollen daher das Dreikant mit einem einleuchtenden Bilde als „Stamm“, die Dreiecke selbst aber als „stammverwandt“ bezeichnen.

Gehen wir andererseits auf die analytische Darstellung zurück, so erkennen wir, daß wegen der Gleichungen (1), (1'), (3), (3'), (5) und immer unter Beachtung, daß jetzt äquivalente Dreiecke als identisch gelten, die allgemeinste Substitution S darstellbar ist in der Form

(6)

S ~ EfEfE* Exfl E/² E.J*

(?X) ^2, 63 ; £17 ^27 £3 ~ O? 1)-

Es sind dies im Ganzen 64 verschiedene Substitutionen. Bei der analytischen Darstellung gehen also aus einem Dreieck des Stammes 64 eigentliche oder 64 uneigentliche Dreiecke hervor, je nachdem das Urdreieck eigentlich oder uneigentlich war.

Bei der geometrischen Betrachtung erhalten wir demnach von einem Stamm zunächst doppelt soviel Dreiecke als bei der analytischen. Dies hat seinen einfachen Grund darin, daß zwei symmetrisch gelegene Dreiecke, wie ABC und A'B'C', die dieselben Seiten und Winkel haben, wohl geometrisch, nicht aber analytisch verschieden sind; unsere analytischen Ausdrücke liefern uns ja lediglich die Größe der Seiten und Winkel.

6. Um hier Einheitlichkeit zu erreichen, führen wir eine letzte Erweiterung des Dreiecksbegriffs ein, und gelangen so zu dem „Study sehen Dreiecks begriff“:

Unter einem Dreieck verstehen wir den Inbegriff der Seiten a, b, c und der Winkel a, ß, y, unbekümmert um ihre zufällige Lage auf der Kugel.

Darnach sind also alle zu einem Dreieck kongruenten und symmetrischen Dreiecke, sofern sie nur dieselben Seiten und Winkel haben, als ein und dasselbe Dreieck aufzufassen.

7. Indem wir nun äquivalente Dreiecke wieder als verschieden ansehen, können wir unseren Resultaten folgende Fassung geben:

Die Gesamtheit aller zu einem Stamm gehöriger Dreiecke zerfällt in 64 Scharen eigentlicher und 64 Scharen uneigentlicher Dreiecke. Man kann diese Dreiecke sämtlich erhalten, indem man auf irgend ein Dreieck des Stammes zunächst die 64 in enthaltenen Substitutionen anwendet. Aus den so entstehenden 64 Dreiecken erhält man dann durch Anwendung der Substitutionen (ßl) und (dl') sämtliche stammverwandte Dreiecke, und zwar sind die durch (3Î) entstehenden Dreiecke zugleich mit dem Urdreieck eigentlich oder uneigentlich, während es sich mit den durch (ßl') entstehenden entgegengesetzt verhält.

Ist das Urdreieck ein Eulersches, und läßt man die Seiten zwischen 0 und it variieren, so liefert (Sdl) alle überhaupt existierenden eigentlichen, (SdV) alle überhaupt existierenden uneigentlichen Dreiecke.

Daß dabei dem Typus nach dasselbe Dreieck mehrfach auftritt, insofern die Ek nichts wesentlich neues liefern, wurde schon bemerkt.

8. Es möge hier noch eine Bemerkung über die Möglichkeit noch anderer Erweiterungen des Dreiecksbegriffs Platz finden. Bei dem Study sehen Dreiecksbegriff bildet immer noch das geometrische Gebilde den Ausgangspunkt, und es wird dann freilich als wesentlich etwas analytisches angesehen, nämlich die Größen der

Stücke a, b, c, a, ß, y. Von kier aus liegt ein Schritt sehr nahe, nämlich zunächst vom geometrischen Gebilde ganz abzusehen und rein analytisch zu definieren:

„Unter einem sphärischen Dreieck versteht man ein System von Größen a, b, c, a, ß, y, das den Gil. (I) (S. 364) des sphärischen Kosinussatzes genügt.“

Diese Erweiterung gibt die Möglichkeit, auch Dreiecke mit komplexen Seiten und Winkeln einzuführen. Es ist Schilling⁹ 10 11) gelungen, selbst für solche „komplexe Dreiecke“ durch Einführung einer Nichteuklidischen Maßbestimmung, deren absolute Fläche die Kugel ist (§ 11, 18.), eine geometrische Deutung zu finden. Die Kanten des projizierenden Dreikants gehen dabei nicht mehr durch den Mittelpunkt der Kugel, sondern kreuzen sich.

Ihren Wert gewinnen diese Betrachtungen aber erst in der Funktionentheorie, und sie werden deshalb hier, wo es sich um Elementarmathematik handelt, ausgeschlossen.

§ 49. Gruppentlieoretisclie Betrachtungen.

1. Die bisherigen Resultate gewinnen an Übersicht durch Zuziehung des Gruppenbegriffs — oder vielmehr, wir haben tatsächlich fortwährend von diesem fundamentalen Begriffe Gebrauch gemacht.

Wie wir im 1. Bande (S. 177ff.) Gruppen betrachtet haben, deren „Elemente“ Permutationen waren — Permutationsgruppen — so untersuchen wir hier noch Gruppen, deren Elemente lineare Substitutionen sind — „Substitutionsgruppen“. Permutationsgruppen sind offenbar ein spezieller Fall von Substitutionsgruppen.

2. Die von uns bisher betrachteten Substitutionen hatten die speziellen Formen:

a' — PaU + qa ß' = Pßß -t-y' = pYy + qY

a=Paa + 2« V =Ä⁶ + #6 C = Pc c + Qc

die wir zusammenfassen in

(1)

x' = px + q

¹

   Vgl. die Fußnote p. 367.

²

   Die Delambreschen Formeln sind 1807 von Delambre und bald darauf unabhängig von Gauß und Mollweide gefunden worden; sie werden daher auch häufig nach diesen beiden Mathematikern benannt. — Vgl. auch § 31, 6.

³

Des bequemeren Drucks wegen ist in der Tabelle (5) überall — p durch

⁴

v. Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, zweiter Band, p. 193.

⁵

Vgl. F. Klein, Autogr. Vorlesungslieft „Über die bypergeometrische Funktion“, 1894, p. 812 ff.

Weber u. Wellstein, Enzyklopädie. II. 2. Aufl.

⁶

   Beweis folgt unter Nr. 3.

⁷

   Damit soll nicht gesagt sein, daß nicht für gewisse algebraische Untersuchungen die Beibehaltung der „Stufen“ zweckmäßig sein könnte.

⁸

   Study 1. c. S. 130.

⁹

Schilling, Beiträge z. geom. Theorie der Schwarzschen s-Funktion,

¹⁰

Math. Ann. Bd. 44. — Vgl. übrigens auch Schoen flies, Über Kreisbogen

¹¹

dreiecke usw., ebenda.

und durch S, genauer durch [p, q] bezeichnen. Dabei sei p von Null verschieden vorausgesetzt; im übrigen seien zunächst p und q beliebige Zahlen.

folgt für die „Komposition^ zweier Substitutionen (vgl. Bd. I,

S. 153 ff.)

rr    rr ,    //

x =P x + q P" = PP',

q" = pq + q',

Aus

(2)

x = p x -f q x"=p x -1- q

(3)

was symbolisch durch

oder genauer

bezeichnet wird.

SS'^S'

. [p, g] • \p, g] = \p", gl

3. Die Substitution [1, 0] = t7 ist die identische Substitution; durch Zusammensetzung mit ihr wird keine Substitution geändert:

(5)

SJ = JS = s.

4. Zu jeder Substitution S gibt es eine und nur eine S~¹} die der Bedingung

S-XS = J

genügt. Man braucht in der Tat in (3) nur zu setzen, um dies einzusehen.

Die Substitution S~¹ heißt zu S entgegengesetzt oder reziprok.

Für die reziproken Substitutionen und für Substitutionen mit negativen Exponenten gilt jetzt das Gleiche wie in Band I, S. 173f.

Sind die p und q nicht beliebige Zahlen, sondern irgendwie auf bestimmte (z. B. ganze) Zahlen beschränkt, so braucht zu einer gegebenen Substitution, wie die letzten Gleichungen lehren, nicht notwendig die reziproke zu existieren.

5. Im allgemeinen gilt für zwei Substitutionen nicht das kommutative Gesetz, wie schon aus der Zugehörigkeit der Permutationen zu den Substitutionen hervorgeht; es kann also ShSk von SkSh verschieden sein.

Dagegen gilt jederzeit das assoziative Gesetz:

SMSj = (stsjst,

wovon man sich durch Rechnung leicht überzeugt.

6. Genau wie bei den Permutationsgruppen sagen wir nun: Ein System von Substitutionen

Sit S2>    • * *

bildet eine Substitutionsgruppe ©, wenn es den folgenden Bedingungen genügt:

1) Sind Sh) Sk irgend zwei Substitutionen des Systems, oder auch zweimal dieselbe, so gehört die durch Komposition gebildete

skst = s

ebenfalls zum System ©.

vor.

2) Zu jeder Substitution Sk kommt innerhalb des Systems © auch die reziproke Sa

Die Bedingung 2) ist nach 4. nicht selbstverständlich, sondern muß ausdrücklich gefordert werden.

Bei den von uns zu betrachtenden Substitutionen ist p = + 1, und zu jedem q kommt auch die entgegengesetzte Größe — q vor. Die Bedingung 2) wird daher für unsere Substitutionen erfüllt sein.

Aus der Bedingung 2) folgt mit Rücksicht auf die Definition der reziproken Substitutionen:

Jede Gruppe enthält die identische Substitution J.

Ein Teil der Substitutionen von © kann wieder für sich eine Gruppe bilden und heißt dann ein „Teiler" oder eine „Untergruppe" von ©.

7. Als fundamentaler Unterschied gegen die Permutationsgruppen sei hervorgehoben, daß eine Substitutionsgruppe aus unendlich vielen Substitutionen bestehen kann.

Wir unterscheiden daher unendliche Gruppen und endliche Gruppen, je nachdem die Anzahl der in ihnen enthaltenen Substitionen unendlich oder endlich ist.

Von beiden werden wir Beispiele kennen lernen.

Ist eine (endliche oder unendliche) Gruppe so beschaffen, daß für alle ihre Substitutionen das kommutative Gesetz gilt, daß also allgemein

SA - sa

ist, so heißt sie eine „Abelsche" oder „kommutative" Gruppe.

8. Ist die Gruppe © endlich, so heißt die Anzahl g ihrer Substitutionen ihr Grad.

Für endliche Substitutionsgruppen lassen sich alle Schlüsse aus § 56 des ersten Bandes wiederholen. Insbesondere:

Für jede Substitution S gibt es einen kleinsten Exponenten s, für den

(6)

Ss = J

ist; s heißt „Grad“ der Substitution S.

Die Gruppe heißt „involutorisch“, wenn jede ihrer Substitutionen vom zweiten Grade ist; sie ist dann zugleich kommutativ.

Wenn in einer endlichen Gruppe © vom Grade g eine andere Gruppe X vom Gerade h als Untergruppe enthalten ist, so ist h ein Teiler von g.

9. Wenn von drei Substitutionen Sh, Sk, St einer endlichen oder unendlichen Gruppe © beliebig zwei gegeben sind, so kann man die dritte auf eine und nur eine Weise so bestimmen, daß

(?)

wird.

Ist etwa Sk die gesuchte Substitution, so bilde man aus (7) durch Komposition mit Sh¹:

3t¹ 0%A) = s^st,

woraus

dann nach Nr. 5 folgt:

Sk-S;'Sr

Ähnlich findet man, wenn Sk gesucht wird:

sk - SA¹-

10. Wir gehen zu den Anwendungen auf die sphärische Trigonometrie über.

Zunächst betrachten wir einige Permutationsgruppen.

Als erstes Beispiel diene die Polarisation.

Wir können sie darstellen durch eine Gruppe $ß₂ vom Grade 2,. bestehend aus den Substitutionen

P² = J,

und sagen:

Die Gesamtheit der Formeln der sphärischen Trigonometrie ist gegenüber der Gruppe ^1₂ invariant, d. h. sie bleibt bestehen, wenn die Permutationen dieser Gruppe auf sie angewendet werden.

Eine Gruppe ß₃ vom Grade 3 bilden ferner die zyklischen Vertauschungen. Bezeichnet man den Doppelzyklus

) = (a, &, c) (a, ß, y)

■CC) R

mit (7, so ist die Gruppe (S₃ dargestellt durch

G, G², G⁸ = J.

Auch der Gruppe ©₃ gegenüber sind die Formeln der sphärischen Trigonometrie invariant.

Die Gruppe ©₃ ist aber nur ein Teiler der Gruppe aller Permutationen der Größenpaare a, cc; b, ßj c, y. Auch dieser Gruppe vom Grade 6 gegenüber ist unser Formelsystem invariant, wovon wir aber keinen Gebrauch gemacht haben.

11. Wir kommen nun zu den eigentlichen Substitutionsgruppen.

Von Substitutionen haben wir bisher betrachtet:

1.    Die Substitutionen M des Systems 3h (§ 46, 2);

2.    die Substitutionen N und N' der Systeme 91 und 31' (§ 46, 3);

3.    die Substitutionen, die aus den „Erzeugenden“ E₁, JE₂, Es, Et, E₂, E₃ durch beliebig wiederholte Komposition entstehen, und deren Gesamtheit wir jetzt mit © bezeichnen.

Wegen § 48, Nrr. 1. und 2. können wir die allgemeinste Substitution von © in die Form setzen:

EfEfEf E,h E/² E₃fs • N

(ei} e2> esi £2? E3 ~ ^7 !)•

Auf Grund der Definition 6. können wir nun sagen:

Die Systeme 3h, 91, © bilden je eine unendliche Gruppe.

Dagegen ist 91' keine Gruppe im Sinne der Definition Kr. 6. Bezeichnet N' eine feste Substitution von 91', so kann man das System 91' in der Form 91N' schreiben. Man nennt dann nach Weber¹) 91' eine „Nebengruppe“ zu 91, und schreibt:

9h = 31 + 91AT.

Auf ein bestimmtes „Ausgangsdreieck“ angewandt, liefert

die Gruppe 3h die Gesamtheit aller — eigentlichen und uneigentlichen — Dreiecke, die mit dem Ausgangsdreieck von gleichem Typus sind;

die Gruppe 97 die Gesamtheit aller zum Ausgangsdreieck äquivalenter Dreiecke:

die zu 97 gehörige Nebengruppe 97' die Gesamtheit aller der Dreiecke, die mit dem Ausgangsdreieck vom gleichen Typus, aber nicht zu ihm äquivalent sind;

die Gruppe © die Gesamtheit aller eigentlichen oder aller uneigentlichen stammverwandten Dreiecke, je nachdem das Ausgangsdreieck eigentlich oder uneigentlich ist.

Ist das Ausgangsdreieck ein eigentliches, und bezeichnet N' wieder eine feste Substitution aus 9F, so kann man sagen:

Die Gruppe © und die Nebengruppe ©W umfassen die Gesamtheit aller stammverwandten Dreiecke, und zwar umfaßt © die eigentlichen, &N' die uneigentlichen Dreiecke.

12. Weiterhin ergibt sich geometrisch wie analytisch einleuchtend: Es ist

iS iS

.9 .9

®N'

9t und 9t' in 997

enthalten.

Es haben also © und 99t als „gemeinschaftlichen Teiler“ die Gruppe 97, ©AT' und 997 aber 9Î'.

In mehr geometrischer Ausdrucksweise:

© und 99t „schneiden sich“ in 97, ©W' und 99t aber in 97'.

13. Die Resultate gewinnen an Eleganz, wenn man äquivalente Dreiecke als nicht verschieden ansieht, analytisch gesprochen, wenn man die Substitutionen N der Gruppe 9t der identischen Substitution als gleich betrachtet (vgl. § 48, 5.).

Die unendliche Gruppe © geht dann in eine endliche Gruppe ©₆₄ von 64 Substitutionen über, deren sämtliche Substitutionen in der Form

8 = EfEfE? E^¹ E/² E₃f'

(⁶1>    5 e3 ?    f3 ⁼⁼    1)

enthalten sind.

Auf ein Dreieck des Stammes angewandt, liefert ©₆₄ je nachdem das Ausgangsdreieck ein eigentliches oder uneigentliches ist, 64 eigentliche oder uneigentliche „Stammrepräsentanten“, aus denen dann wieder leicht durch 97 und 9T alle stammverwandten Dreiecke erhalten werden (vgl. § 48, 7.). Analytisch ausgedrückt:

(8)

© = ©₆₄ • 97,

©W' = ©₆₄ • 97'.

Es lassen sich leicht Untergruppen von ©₆₄ aufstellen, deren Grade nach 8. Teiler von 64 sein müssen.

Setzt man, wenn i, k, l die Zahlen 1, 2, 3 in irgend welcher Reihenfolge bezeichnen:

(9)

A A — A;

= T,

E*E* A;

e₁e₂e₃=t,

so erhält man folgende bemerkenswerte Untergruppen vom Grade 4:

A A

A A

T TT

(®₄),

(©4'),

(to

3’

AA, AA. AA

Die geometrische Bedeutung dieser Gruppen ist leicht ein

zusehen.

Bemerkenswert ist, daß sie sämtlich in volu tori sehe Gruppen sind (Nr. 8).

Die Substitutionen Ex, E₂, Ea, J selbst bilden ebensowenig wie die zu ihnen polaren eine Gruppe, was auch geometrisch einleuchtet.

14. Aus § 48, Nrr. 1. 2. folgt:

(10)

DkT~Ek, A.T-E,

(* - U 2, 3).

Da mithin die Substitutionen A, A ; A T ausreichen, um die Ek und E* herzustellen, kann man sie auch als Erzeugende benutzen; für die Gruppe © heißt dies:

Die Gruppe 05 ist die Gesamtheit aller der Substitutionen, die durch unbegrenzte Wiederholung der Substitutionen

A ; A ) A T

entstehen. Identifiziert man die Äquivalenz mit der Identität, so erhält man wieder die Gruppe 05₆₄.

Vom gruppentheoretischen Standpunkt aus ist diese Erzeugung der bisher benutzten vorzuziehen, da ihre Erzeugenden selbst Gruppen bilden. Des weiteren folgt leicht:

Die aus den Dk und Ak gebildeten Gruppen ©₄ und ©/ erzeugen eine Gruppe ©₁₆, die ebenfalls Untergruppe von ®₆₄ ist: durch Komposition von ©₁₆ mit A erhält man die gesamte Gruppe ©₆₄.

15. Als letzte Anwendung der Gruppentheorie diene die Begründung der Neperschen Regel (§ 43, 9).¹)

Wir haben diese Regel als rein empirische Zusammenfassung der Formeln für das rechtwinklige Dreieck kennen gelernt. Aber schon Neper (1614) selbst und deutlicher noch Lambert suchten nach einem tieferen Grunde für diese Regel; namentlich Lamberts²) (1765) Beweis „operiert unbewußt mit dem Begriffe der Gruppe“.³)

Konstruiert man zu der Ka-

"\C

B'

thete a und der Hypotenuse c eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks ABC die Pole A und P (Fig. 184), - und legt durch sie einen vierten Hauptkreis, so entsteht, wenn man A auch mit B' bezeichnet, ein eben-1 falls rechtwinkliges Dreieck AB C, j dessen Stücke mit denen des alten ' durch die Gleichungen verbunden sind:

toi a

-c,

, Tt

a = — —a,

^ = Y ~ ß> ß,==a>

Fig. 184.

/

y-y-y

r    7t    -j

c~Y~b’

Zu jedem rechtwinkligen sphärischen Dreieck mit dem rechten Winkel y existiert also ein anderes ÄB'C', das mit jenem durch die Substitution

cc

*-ß ±-b 2^2

7t

---C

verknüpft ist.

Diese Substitution läßt sich, indem man y durch seinen Wert jr/2 ersetzt, als Zyklus schreiben (vgl. Bd. I, § 55):

= («, y —a, c,

Dieser Zyklus ist vom Grade 5, so daß die Substitutionen

1) Ygl. Pund in den „Mitteilungen d. math. Gesellsch. in Hamburg. Bd. III, Nr. 4, 1897; auch Engel und Stäckel, Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. Leipzig 1899, Bd. I, p. 150 und 326, und Gauß, Werke II, p. 40 Iff.

2)    Johann Heinrich Lambert, hervorragender Mathematiker, aber auch als Philosoph bedeutend, war geboren zu Mülhausen im Elsaß 1728 und starb in Berlin als Oberbaurat und Mitglied der Akademie 1777.

3)    v. Braunmühl, Gesch. d. Trigonometrie II, p. 131.

A A² A³ A⁴ A⁵=J

eine Permutationsgruppe g₅ vom Grade 5 bilden Als „Erzeugende“ dieser Gruppe kann jede ihrer Substitutionen benutzt werden. Benutzt man A² und setzt A² = B, also

ł-»)

B=(a, c, ß, j — a,

so besteht g₃ aus den Substitutionen:

(»)

B W Bs Bl

Die in (39) vorkommenden Stücke — dieselben, die wir S. 373 auf der Peripherie eines Kreises angeordnet hatten — heißen „zirkuläre Stücke“.

Die geometrische Deutung unserer Gruppe g₃ führt jetzt zu dem

Satz:

Zu jedem rechtwinkligen sphärischen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel y existieren noch vier andere, die durch fortgesetzte zyklische Vertauschung der in (33) enthaltenen „zirkulären Stücke“ aus dem ursprünglichen hervorgehen.

Jede Relation zwischen zirkulären Stücken ist diesen zyklischen Vertauschungen gegenüber invariant.

Solcher Relationen folgen aber zwei unmittelbar aus den sphärischen Kosinussätzen, nämlich:

cos c = sin (y — aj ■ sin — bj cos c = cotg a • cotg ß.

Die Anwendung unseres Satzes auf diese beiden Formeln ergibt unmittelbar die Nep ersehe Regel.

§ 50. Die L’Hiiilier-Serretschen Formeln.

1. Aus der ersten Delambreschen Formel (S. 377, (Il^a)) folgt durch    korrespondierende    Subtraktion    und    Addition:

cos

— o COS — ^ 2

toi a

wobei

rH vH

für

eigentliche

uneigentliche

Dreiecke ist.

Die Anwendung der Additionstheoreme ergibt: sin to-““

cos

. a -\-b — sin ———

c -f- a — b \ q

tocsin

4

Indem man mit den übrigen Delambreschen Formeln entsprechend verfährt und zugleich die Bezeichnungen von § 42, Gleichungen (4) einführt, erhält man folgendes

Erstes System der L’Huilier-Serretschen Formeln.¹)

cos

cos

a-\-b — c

cos

e + a—b

*g ■y *g y = (tg y tg y) ⁹    T cotg Y ⁼ (cotg Î tg ł)

tg ^ cotg 6l- = (cotg y Igy-)? tg tg= (tg y tg e

tgytgy = (tgf tgf-)⁹    tg|cotg|= (cotg f-tg|)

tg ^ cotg y = (cotg y tg y^ ⁹    tgÖ|- tg I = (tg ! tg ⁹

tg Y % Y = (tg s’ tg ł)⁹ tg^-cotg^- = (cotg tg^) tg af cotg ⁶f = (cotg y tgy^⁹ tg \ tg^- = (tg tg ⁹

Es verdient hervorgehoben zu werden, daß in dem System (H) die Formeln für eigentliche und uneigentliche Dreiecke wesentlich verschiedene Struktur haben, insofern für die Tangenten der sv die Kotangenten und umgekehrt eintreten (vgl. Fußnote S. 380).

2. Die Formeln (H) lassen sich in eine einzige zusammenfassen. Man findet nämlich aus (Hx) oder (H₂) oder (H₃)

(Hi)

(Hs)

(Hs)

(1)

ù*î-(n*ï)

Dann ergibt sich weiter

(H)

(2)

ft * - 0, 1, 2, 3).

Man kann wegen (2), indem man i = Je wählt, das Vorzeichen der Wurzel dadurch definieren, daß man

1) Simon L’Huilier lebte 1750—1840 als Professor der Mathematik in (4enf. — Joseph Alfred Serret, 1819—1885, war Professer am Collège de France und Mitglied der Akademie zu Paris.

tgf(tgf)'°-M (»' = 0, 1, 2, 3)

(3)

setzt. Indem man in (3) den Wert von M ans (1) einsetzt, erhält man ein dem ersten äquivalentes

Zweites System der L’Huilier-Serretschen Formeln:

(IY)

tgy(tg-f) = ]/ fjtg °i~{Y fjtg y )

\ /    v = 0    ^ v = 0    '

Das Vorzeichen der Wurzel hat hier natürlich nichts mit der Einteilung in eigentliche und uneigentliche Dreiecke zu tun. Für Euler-sche Dreiecke ist die Wurzel in (IY) stets positiv zu ziehen.

Die Formeln (IY) gestatten, bei gegebenen Seiten die Winkel und bei gegebenen Winkeln die Seiten auf mehrere Arten zu berechnen; hierüber näheres in Teil D.

die Fälle p = + 1 behandelt hat.

Die vollkommen

3.    Zur Geschichte der L’Huilier-Serretschen Formeln²) sei bemerkt, daß von L’Huilier die aus (IY) für p = + l und i = 0 folgende Formel stammt, während die Fälle p = -f 1, i = 1, 2, 3 zuerst von Serret in seinem Traité de Trigonometrie gegeben wurden. Die außerordentlich elegante Zusammenfassung (IY) der L’Huilierschen und Serretschen Formeln rührt von Study (1. c. p. 130) her, der übrigens nur

symmetrische Gestalt der Formel (IV) in bezug auf die Indizes i = 0, 1, 2, 3 beruht auf dem Umstande, daß Study mit 2s₀ nicht wie üblich die Größe a + & + sondern die Größe 2tc — (a + b -f- c), und entsprechend mit 6₀ die Größe 2 % — (cc -f- ß -f- y) bezeichnet.

Die Ableitung der L’Huilierschen und Serretschen Formeln aus den Delambreschen durch korrespondierende Subtraktion und Addition stammt nach v. Braunmühl von Lobatto her.

4.    Die Formel (1) führt zu einem sehr einfachen Beweise für den uns aus § 45 schon bekannten Satz, daß in den drei Delambre-schen Systemen (HI*) (k = 1, 2, 3) gleichzeitig p = -j- 1 oder q — — 1 gewählt werden muß. Da nämlich einem System (III*) ein System (H*) entspricht, und da, wie schon erwähnt, aus jedem System (H*) die Formel (1) abgeleitet werden kann, so findet man, wenn man das zu (III*) gehörige p mit p* bezeichnet:

3    / 3    \ Qi

/T*sł-(JT^t)

r= O    \ v=0 J

/ ³ \

(m)

/ ³ \

(n»i).

\ r=0 /

woraus unmittelbar

folgt.

Pi

D. Angewandte sphärische Trigonometrie.

§ 51. Hilfssätze über die Schärfe trigonometrischer Rechnungen. —

„Übergangsformeln“.

1. Während für uns bisher theoretische Fragen im Vordergründe standen, handelt es sich in diesem Abschnitte um Fragen der Praxis. Wir wollen aus gegebenen Dreiecksstücken die fehlenden berechnen: dabei kommen für den Praktiker in erster Linie zwei Dinge in Betracht :

a)    bequemes logarithmisches Rechnen;

b)    möglichste Schärfe der Rechnung.

2. Um der Forderung a) zu genügen, werden wir in unseren Formeln Produkte und Quotienten den Summen und Differenzen vorziehen. Wo dies nicht angeht, werden wir uns durch Einführung von Hilfswinkeln zu helfen suchen.

3. Die zweite Forderung bedarf etwas genauerer Erörterung. Da wir mit begrenzter Stellenzahl zu rechnen gezwungen sind, so wird eine trigonometrische Funktion um so „schärfere“ Resultate liefern, je größer ihr „Grefälle“ ist, d. h. je größer der (positive oder negative)

1) Wer sich über die Praxis der Trigonometrie, über zweckmäßige Anlage der Rechnungen, Rechnungsvorteile nsw. näher unterrichten will, dem sei das inhaltreiche Werk: Hammer, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, Stuttgart 1897, empfohlen. —Yon älteren Lehrbüchern seiSerret, Traité de Trigonométrie hervorgehoben.

Zuwachs der Funktion im Verhältnis zu demselben kleinen Zuwachs d des Winkels ausfällt.

Um über die Brauchbarkeit der trigonometrischen Funktionen in dieser Beziehung zu entscheiden, knüpfen wir an § 127 des ersten Bandes an. Aus den dort stehenden Reihen (9) folgt in erster Annäherung

COS X = 1 —

(1)

Diese Formeln gelten um so genauer, je kleiner x ist. Man ersieht aus ihnen, daß für Werte von x, die nahe an Null liegen — bei denen also x² klein gegen x ist — der Kosinus nahezu konstant gleich 1, mithin unbrauchbar zur Rechnung wird, während dagegen der Sinus annähernd dem Winkel proportional, mithin sehr wohl geeignet zur Rechnung wird. Indem man bedenkt, daß sin x = cos (jt/2 — x) ist, findet man, daß in der Nähe von jr/2 umgekehrt der Sinus unbrauchbar, der Kosinus brauchbar ist.

Es sei ferner d eine so kleine Größe, daß d² gegen d vernachlässigt werden darf¹); wir können dann cos d = 1 und sin d = d setzen. Erteilen wir nun dem x den Zuwachs d, so ergibt sich für die entsprechenden Zuwächse von sin x nnd cos x, die wir mit A sin x und A cos x bezeichnen:

Asin:r = sin (#+d) — sin x = sina: cos d -f- cos x sin d — sin# = âcosx,

A cosæ = cos(Æ-f-d)—cos# = cosæcos d — sin# sin d — cos x — — d sin#.

Für das Gefälle G folgt daraus:

cos x,

(2)

in/. \ A sin x G (sin x) = —^—

,    \    A cos a?

G (cos x) =    ^    —    =    —    sm    x.

Indem wir uns zunächst auf den ersten Quadranten beschränken und beachten, daß uns nur der absolute Wert des Gefälles interessiert, finden wir:

Es ist

IG (sina;) | > [ G (cos x) |, so lange cos x > sin x, d. h. von x = 0 bis # = -^~, |G(cos#)| >|6r(sin#)|, so lange sin x > cos x, d. h. von #=-|-bis #=y-

1) Bei fünfstelligen Tafeln wäre das der Fall bis zu etwa 20 Sekunden. Übrigens muß d hier selbstverständlich in Bogenmaß, nicht nach Graden gemessen Averden.

Da sieli nun den absoluten Werten nacli diese Verhältnisse im zweiten Quadranten wiederholen, so können wir, indem wir gleichzeitig noch die Winkelmessung in Graden einführen (vgl. Art. 5.), zusammenfassend den Satz aussprechen:

Der Sinus übertrifft den Kosinus an Schärfe in den Intervallen von 0° bis 45° und von 135° bis 180°. Dagegen übertrifft umgekehrt der Kosinus den Sinus an Schärfe in dem Intervall von 45° bis 135°.

In der Nähe von 0° und 180° liefert der Kosinus, in der Nähe von 90° der Sinus praktisch unbrauchbare Resultate.

4. Was die Tangente und Ko tangente betrifft, so bemerke man fürs erste, daß sie als zueinander reziprok von gleicher Schärfe sind. Da ferner sowohl tg 0 = 0 als sin 0 = 0, im übrigen aber nach § 35, 1.:

(3)

sin a < tg a, cos a < ctg a

ist, muß das Gefälle der Tangente größer als das des Sinus, das der Kotangente größer als das des Kosinus sein. Es folgt:

Durch die Tangente oder Kotangente ist der Winkel jederzeit schärfer als durch Sinus und Kosinus bestimmt. Aus den Gleichungen (2) Band I § 127:

sin cc

lim

a = 0

(3)

ergibt sich:

fl,

In unmittelbarer Nähe von 0° und 180° wird der Winkel annähernd gleich gut durch Sinus und Tangente (oder Kotangente), in unmittelbarer * Nähe von 90° annähernd gleich gut durch Kosinus und Tangente (oder Kotangente) bestimmt.

Die angeführten Sätze lassen sich leicht durch einen Blick in eine trigonometrische Tafel bestätigen.

ß)B

Wie weit Messungsfehler Einfluß auf die Schärfe der Resultate haben, liegt außerhalb unserer Betrachtung.

Fig. 1S5.

o. Da der Praktiker nicht in die Lage kommt, mit Dreiecken zu arbeiten, deren Seiten und Winkel x übersteigen, und da ihm aus Gründ en der Anschauung die alte Eulersche Bezeichnung der Winkel bequemer ist (§ 38, 6.), so setzen wir fest:

Die von uns jetzt zu betrachtenden Dreiecke sind „gewöhnliche“, d. h. Eulersche Dreiecke in Eulerscher Bezeichnung (Fig. 185).

Ferner messen wir in diesem Abschnitt die Winkel und Seiten nicht in Bogenmaß, sondern nach Graden.

Da unsere Seiten und Winkel jetzt 180° nicht übersteigen, so

sind sie

eindeutig bestimmt durch Kosinus, Tangente, Kotangente; zweideutig bestimmt durch Sinus.

Aber auch der Sinus wird oft zur eindeutigen Bestimmung verwendbar durch die in § 36, 7. zusammengestellten Sätze über das Eulersche Dreieck, die uns in diesem Abschnitt häufig von Nutzen sein werden.

6. Unterscheiden wir für den Augenblick unsere bisherige (Moebiussche) Bezeichnung von der jetzt anzuwendenden „gewöhnlichen“, indem wir der letzteren einen Akzent geben, und führen die für diesen ganzen Abschnitt gültigen Abkürzungen ein (Winkel in Graden):

(4)

s = d -f ß' -f- y — 180°,

so bestehen für den Übergang von der Moebiusschen zur „gewöhnlichen“ Bezeichnungsweise folgende „Üb er gangs form ein“:

a = 180° — a , ß = 180° - ß'f y — 180° — y ,

a = a , b = b', c = c',

2 <?₀ = 2 <3₀' — 180° = «,

2<?x = 180°-2<?/ = 2 a' — e, 2 <?₂ = 180° — 2 ö₂ = 2 ß' — e,

2 ö’g = 180° — 2 <3S' = 2 / —

(5)    2 s₀ = 360° — 2 s₀',

2 sx = 2 st',

2 s₂ = 2 s₂, l 2 s₃ = 2 5g ,

Hat man mit Hilfe der Formeln (5) den Übergang zu einem „gewöhnlichen“ Formelsystem vollzogen, so läßt man nachträglich überall die Akzente weg.

§ 52. Die Auflösung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks.

1. Es sei y = 90° (Fig. 186). Es gelten dann die S. 372, (9*) bis (14*) bereits znsammengestellten und durch die Nepersehe Regel miteinander verbundenen Formeln:

(2)

cos c = cos a cos b, cos c = cotg a cotg ß,

~b

(3)

I Cb

(4)

cos a

cos a = -—o , sin ß ’

sin a sin c ’

sin a =

cos b =

sin ß =

cos ß sin a

sin b sin c

V£ ⁽⁵⁾

cos a =

tgb

t gc

o tg

cos ß = —

tg

(6)

,    tg a

tg a — . . ° sin o

tg/3-

(6)

(1)

Fig. 186.

2. Erster Fall: Gegeben a, &. Gesucht a, ß, c. cotg a = cotg a sin b, cotg ß = cotg b sin a; cos c = cos a cos b.

sin a

Liegen a, b, oder c nahe an 0°, so versagt Formel (1); man rechnet dann nach der Formel:

(Ö)

tg C =

t gb

cos a

tg«

cos ß

Die Lösung ist stets reell und eindeutig.

3. Zweiter Fall: Gegeben a, c. Gesucht b, a, ß.

cos c

(1)

cos b =

cos a

(4)

sin a

sin a = .------

sin c

(5)

cos ß =

tg«

tgc '

Die Lösung ist eindeutig; nachdem nämlich b gefunden, ergibt sich von den beiden Werten, die aus sin a folgen, der zu wählende dem Satze, daß dem größeren Winkel die größere Seite gegenüberliegt (§ 36, 7.).

Realitätsbedingung: cos c < cos a.

aus

(6)

4. Dritter Fall: Gegeben a, a. Gesucht b, c, ß. sin b = tg a ■ cotg cc.

(4)

sm c - -

sin a

sin u

(3)

sin ß =

cos cc

cos a

Realitätsbedingung:

1)    sin a < sin a.

2)    tg a und tg cc gleichzeitig positiv oder gleichzeitig negativ, weil sonst sin b negativ würde. Geometrisch gesprochen: a und a müssen gleichzeitig spitze, stumpfe (oder im Grenzfall rechte) Winkel sein.

Die Lösung ist im allgemeinen zweideutig, wenn nicht gerade a = cc. Ist a < cc, so erhalten wir als Lösungen zwei Nebendreiecke (siehe Fig. 187).

Die Gleichungen liefern zunächst für b, c, ß je zwei Werte. Sind b und 180 — b diese beiden Werte, so gehört wegen (6) und (1) zu b ein ganz bestimmtes ß und c; zu 180 — b gehören dann 180 — ß und 180 — c.

Im Fall a = cc erhalten wir ein zweirechtwinkliges Dreieck.

ö. Vierter Fall: Gegeben a, ß. Gesucht b, c, a. tg b == sin a tg ß. cotg c = cotg a cos ß. cos a = cos a sin ß.

Die Lösungen sind jederzeit reell und eindeutig.

Liegt cc in der Nähe von 0°, so rechne man nach Bestimmung von c nach der Formel:

(6)

(5)

(3)

(4)

sin a =

sin a sin c

180

Fig. 187.

(4)

(5)

6. Fünfter Fall: Gegeben c, cc. Gesucht a, b, ß. sin a == sin c sin cc. tg b = tg c cos cc. cotg ß = COS C tg CC.

Die Lösung ist eindeutig; von den beiden sich für a ergebenden Werten ist der zu wählen, der dem Satz § 36, 7. entspricht. Liegt a nahe an 90°, so berechne man zuerst b und ß und dann a nach der Formel

(5)

tg CC — tg c cos ß

oder auch

(1)

cos a =

cos c cos b

(3)

7. Sechster Fall: Gegeben a, ß. Gesucht a, b, c.

cos b =

cos a =

cos cc

(2)

sin ß ’

cos c = cotg cc • cotg ß.

cos ß

sin cc

Realitätsbedingung:

-1<

< + l.

cos cc

sin ß

Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Lösung eindeutig.

§ 53. Die „gewöhnlichen“ Formeln für das schiefwinklige Dreieck.

Es werden in diesem Paragraphen die für die Dreiecksberechnung wichtigen Formeln der früheren Abschnitte mittels der Ubergangs-formeln S. 413, (5) in der „gewöhnlichen“ Form dargestellt. Daß die auftretenden Wurzeln sämtlich positiv zu ziehen sind, ist leicht einzusehen, teilweise unter Benutzung der Sätze über die Winkelsummen in § 36, 7. Bei allen Formeln 2. Ordnung ist natürlich p = + 1 zu setzen.

Sinussatz (§ 42, II und (5)):

'    sin a sin b sin c I)

sin cc sin ß sin y A ’

D = sin b sin c sin cc == sin c sin a sin ß = sin a sin b sin y

(I)

,    == y 4 sin s₀ sin sin s₂ sin s₂,

+

z/ = sin ß sin y sin a = sin y sin a sin b = sin cc sin ß sin c = l/4 sin 6₀ sin 6₁ sin sin <?₃.

Kosinussätze (§ 41, I und F):

(III)

(IV)

(V)

(VI)

(VII)

cos a = — cos ß cos y + sin ß sin y cos a,

• cos ß = — cos y cos a + sin y sin a cos b, cos y = — cos a cos ß + sin a sin ß cos c.

Es folgen die Formeln (1), (l'), (2), (2') des § 43: '    sin a    cos ß = cos b sin c —    sin    b cos    c cos a,

sin a    cos y = cos c sin b —    sin    c cos    b cos

sin b cos y = cos c sin a — sin c cos a cos ß, sin b cos a = cos a sin c — sin a cos c cos sin c cos a = cos a sin b — sin a cos b cos y, v sin c cos ß = cos b sin a — sin b cos a cos y. sin a    cos b = cos ß sin y -f-    sin    ß cos    y cos a,

sin a    cos c = cos y sin ß -f    sin    y cos    ß cos a;

sin ß    cos c = cos y sin a +    sin    y cos    a cos b,

<

sin ß    cos a = cos a sin y +    sin    a cos    y cos

sin y    cos a = cos a sin ß -j-    sin    a cos    ß cos c,

.    sin y    cos b = cos ß sin a +    sin    ß cos    a cos c.

' sin a cotg ß = cotg b sin c — cos c cos a, sin a cotg y = cotg c sin b — cos b cos a; sin ß cotg y = cotg c sin a — cos a cos ß, sin ß cotg a = cotg a sin c — cos c cos ß ; sin y cotg a = cotg a sin b — cos b cos y,

■ sin y cotg ß = cotg b sin a — cos a cos y. sin a cotg b = cotg ß sin y + cos y cos a, sin a cotg c = cotg y sin ß + cos ß cos a; sin b cotg c = cotg y sin a -f cos a cos b, sin b cotg a = cotg a sin y + cos y cos 6; sin c cotg a = cotg a sin ß -f cos ß cos c, sin c cotg b = cotg ß sin a + cos a cos c.

Die Nepersehen Analogien (S. 370, (6)):

/ tg ł+£ ë 2

cos

t gb-=^ ë 2

tg —

ë 2

, c + a tg—-

cos

cos

y — cc

tg

C (M

ß + y’

tg

cos

tg*

ë 2

sin^iï’ 2

a -j- b

tg ° 2

cos

CL

~ß

*g

. a — ß sm----—

tg-ÏT

COS

tg-sr

₈m“+J

(VIII)

tg

⁶ 2

cos

sin

o_

a !<M

cos

cot g —

. Ö + C * sin-----

tg? + “ ë 2

cos

y — cl

tg —

. c sm -

COtg s

tgî±£

cos-

cos

o + a’

cotg

. e 4- a 7 sm —¹ —

dt

|-Cö

*œ

ti

y_

cotg ₂

cos

cotg-g

. a 4- b sm ——

Die Delambreschen Formeln (S. 377, III):

cos

sin

sint^

sin

to¹ a

•S3

t*i a

•£

ti

to a

cos

ti a

. c -j- a

sm ——

cos

y — cc

sin

. y — cc sin

sm

sin -V-

sin

cos

. a -f b

sm —-—

cos

HR)

sin

. a — Ô

sm-:—-

sin

sin —    ⁷

(IX)

cos

cos

. c Bin —

2

b — c

cos

cos

sin ft 4~ 7 2

cos —

'm

cos

tsj a

cos —

cos

C +«

cos

cos

cos

tn

cos—

•2

cos —

cos

a -f- &

CL

cos-

cos

cos —

sin -

cos

cos

Die Formeln (1), (1') und (2) des § 45 ergeben, wenn zur Abkürzung gesetzt wird:

-i / sin s\ sin s.₂ sin s₃ ,    n /

K sins₀ ⁼ V

cos g₁ cos r>₂ cos a„

— COS a₀

= X,

folgende Formelgruppen:

to- — ° 2

Jc

oin _ 1 /sinsa sinss _ 2 r sin b sin c ⁵

a i /sin sn sins,

C0SY = V sin ft'sine?

(X) sin

-i /sin ss sin st

V sin c sin a ’ +

•„ 7 _ l /sin.s-, sin ,S‘a _ 2 V sin a sin b ⁵

cos

₌ -I/sin g₀ sing, #    , Jt_ ₌ Æ

r sin c sin a ’    ® 2 sin ?

COS

y    "I /sin sn sin . y

Y ⁼ I/ sin a sin b 5 tg Y ⁼

sin

-V

— COS G₀ COS (Jj sin ß sin y

eos ¥ - V

COS 6₂ COS Gg sin ß sin y

cos g₁

X ’

(XI)

sin

b -1 /— COS a₀ COS Gt 2 r sin 7 sin a ⁵

cos

6    -| /cose₈ cosffj    &    cosffg

2    r sin y sin a ’ ° 2    x ’

sin T “ V

— COS a₀ COS (Tg sin K sin ß

cos

C _ T /COS ffj COS ff₂

2 V sin a sin ß

tel

COSffg

Die L’Huiliersche Formel ergibt sich aus § 50, (IY) für Q = + 1, i = 0 unter Benutzung des zweiten Produktes: (XII)

Die Serretschen Formeln (§ 50, (IV) für p = +l, i= 1,2,3):

“i ! tg — tg

-(i-D-yd,;.

(XIII)

‘8(1

tgytgy

tgftgf-

¹

H. Weber, Lehrbuch der Algebra, 2. Aufl. Braunschweig 1899. Zweiter Band § Iff. — In diesem Werke ist die Theorie der endlichen Gruppen in ihrer allgemeinsten Form behandelt.

²

v. Braunmühl, Geschichte der Trigonometrie II, p. 195 f.

tgytg |-

*g(“2 - 1) - I/

Benutzt man in § 50, (IV) das erste Produkt, so treten an Stelle von (XII) und (XIII) die ebenfalls von Serret stammenden Formeln:

27*

Die Formeln (XIV) vertreten die zu Formeln; um diese zu erhalten, wäre die zu s polare Größe

(XII) und (XIII) polaren

(XIV)

tgf“

tgy-

tgf-

‘gf =

CKä

»an»

^Y-i)

tgTtg(y-|)tg(¥

*(4

4)

%₄e ‘g(Ÿ-l)tg(4

*(W)

1)

4)

e = 360° — (a-\-b-\-c)

einzuführen. Man würde dann z. B. aus (XII) erhalten:

to— ° 2

— y—(«• + j”)tg (

45° —

y *g(

45° —

y) *8(“'-Ti

W'egen ihrer uneleganten Form sind diese Formeln nicht empfehlenswert.

Man nennt s den „sphärischen Exzeß“, e den „sphärischen Defekt“ des sphärischen Dreiecks.

§ 54. Die Auflösung des schiefwinkligen Dreiecks.

Wir haben sechs Fälle zu unterscheiden, von denen aber je zwei polar gegenüberstehen: je zwei Polarfälle werden daher gleichzeitig behandelt.

Erster und zweiter Fall.

Gegeben a, ß, c. Gesucht a, b, y.

1. Die vom mathematischen Standpunkte aus nächstliegende Methode: durch Spaltung des Dreiecks in zwei rechtwinklige die uns

Gegeben a, b, y. Gesucht a, ß, c.

bereits bekannten Formeln des rechtwinkligen Dreiecks anwendbar zu machen, führt zu einem rechnerisch sehr befriedigenden Resultate.

Wir fällen zu dem Ende die Höhe BI) = h (Fig. 188, schematisch) und finden aus den so entstehenden rechtwinkligen Dreiecken sofort unter Anwendung der Formeln § 52, (1),

Fig. 188.

(5), (3), (2):

(1) cos c = cos h cos (b — m).

Zur Bestimmung von m und h

dient:

(1) cos y = cos h sin (/3 — v).

Zur Bestimmung von v und li

dient:

(2)

(3)

tg m = tg a cos y,

₇ cos a

cos h =-- •

cos m

(2)

(3)

cotg v = tg a cos c,

COS CC

sin v

COS ll =

so

Setzt man (3) in (1) ein, findet man zur Berechnung von c die Regel:

Man berechne m aus der Glei-

Setzt man (3) in (1) ein, so findet man zur Berechnung von y die Regel:

Man berechne v aus der Glei-

chung:

chung:

tg m = tg a cos y

cotg v = tg cc cos c

und darauf c aus

und darauf y aus

cos cc sin (ß — v)

cos a cos (b — m) cos m

Die Berechnung von a und Die Berechnung von a und ß = (i + v aus den vorhandenen b = m + n aus den beiden rechtrechtwinkligen Dreiecken hat nach winkligen Dreiecken hat nach Kenntnis von c keine Schwierigkeit Kenntnis von y keine Schwierigkeit

mehr.

(4)

mehr.

cos c =

(4) cos y =

sin v

wmnen.

Formeln (2) an, so findet man:

2. Aus den Formeln (4) läßt sich ein interessantes Resultat ge-Wendet man nämlich das Additionstheorem und darauf die

= — cos a cos /3-f- sin «sin ß cos c.

cos c = cos a cos b -f- cos a sin b tg m cos y = cos a sin ß ctg v — cos « cos ß = cos a cos b + sin a sin b cos y.

Diese Formeln sind aber nichts anderes als die beiden sphärischen Kosinussätze. Setzt man, wie dies ja in den meisten elementaren Lehrbüchern geschieht, die Formeln des rechtwinkligen Dreiecks als die zuerst bekannten voraus, so kann man sagen:

Das erste Aufgabenpaar über das schiefwinklige Dreieck führt, wenn man vom rechtivinkligen ausgeht, von selbst und mit Notwendigkeit auf die sphärischen Kosinussätze. Selbstverständlich gilt dieser Beweis nur für Euler sehe Dreiecke.

(5)

3. Yon unserem Standpunkt erscheint der Kosinussatz:

(5) cos y = — cos cc cos ß

-\- sin cc sin a cos c

cos c = cos a cos b

+ sin a sin b cos y

als ursprüngliche Lösung unserer Aufgabe, und wir werden umgekehrt fragen: Wie kann man ihn in die Form ’(4) bringen, die sich ja durch ihre logarithmische Brauchbarkeit empfiehlt?

Dies geschieht durch Einführung eines Hilfswinkels (vgl. § 51, Art. 2). Wir setzen in (5), wenn p, m, v Hilfsgrößen bezeichnen:

cos a = p sin v, sin a cos c = p cos v.

Dann sind, falls man v 180° festsetzt, p und v eindeutig bestimmt aus:

(7) cotg v = tg a cos c,

cos Ci

p =    . — =

J sin v

cos a = p cos m, sin a cos y = p sin m.

Dann sind, falls man m < 180° festsetzt, p und m eindeutig bestimmt aus:

(6)

(6)

tg m = tg a cos y, cos a cos m

Unter Anwendung von (8) geht (5) über in

cos c = p cos (b — m) cos a cos (b — m) cos m

wobei m aus (7) zu entnehmen ist. wobei v aus (7) zu entnehmen ist. Es ist also, geometrisch gedeutet, p identisch mit dem früheren cos h.

(8)

(9)

sin a cos y

sin m

(8)

sin a cos c

cos v

(7) und

Unter Anwendung von (7) und (8) geht (5) über in

cos y — p sin (ß — v)

(9)

cos cc sin (ß — v)

sin v

4. Um die Seiten a, b zu be-

4. Um die Winkel a, ß zu berechnen, kann man, wenn man c rechnen, kann man, wenn man y als berechnet voraussetzt Sinussatz anwenden:

sin a .

-— sm y sin c '

und entsprechend für ß.

Setzt man c nicht als bekannt voraus, so kombiniere man den Sinussatz mit (IV):

den als berechnet voraussetzt, den Sinussatz anwenden:

sm a —

sin cc .

— sm c

sm y

und entsprechend für b.

Setzt man y nicht als bekannt voraus, so kombiniere man den Sinussatz mit (V):

sin a =

sin y sin a = sin a sin c,

(9) sin ß cos a = cos a sin ß

-j- sin a cos ß cos c, woraus durch Division eine Formel

sin c sin a = sin a sin y}

(9) sin c cos a = cos a sin b

-f sin a cos b cos y,

woraus durch Division eine Formel für tg a folgt.

Diese läßt sich zur logarith-mischen Rechnung geeignet machen wieder durch Einführung der Größen m und p. Man findet der Größen v und p. Man findet (6) und (9):

sin c sin a = sin a sin y, sin c cos a = p sin (b — m)

aus

also

tg a =

sin a sin y

p sin (b — ni)

Die Anwendung des zweiten Ausdrucks (8) liefert:

tg CC =

sin m tg y

sin (5—m)

wobei m aus (7) zu entnehmen ist. Entsprechendes gilt für ß.

5. Eine andere logarithmisch brauchbare Berechnung der Winkel liefern die Neperschen Analogieen

(VIII):

= COtg -| .

cos

et -j— b

cos

für tg a folgt.

Diese läßt sich zur logarithms s c h e n Rechnung geeignet machen wieder durch Einführung

aus

also

(6) und (9):

sin y sin a = sin a sm c, sin y cos a = p cos (ß — v),

sin a. sin c

p cos(ß — v)

Die Anwendung des zweiten Ausdrucks (8) liefert:

tga =

cos v tg c cos (ß — v) ’

wobei v aus (7) zu entnehmen ist. Entsprechendes gilt für b.

5. Eine andere logarithmisch brauchbare Berechnung der Seiten liefern die Nepersehen Analogieen (VIII) :

to-«+ h ° 2

*8 T*

cos

cc —

cos

"Cö

a-\-ß’

4- a -*8-2

-p

= COtg \ ■

. a sin —

. a-\-b

sm —-—

Will man c erst nach den Winkeln berechnen, so schieht dies zweckmäßig durch die Delambreschen Gleichungen, z.B.:

sin —

ge-

. a —

sln ÎT~

„in a ß 2

Will man y erst nach den Seiten berechnen, so geschieht dies zweckmäßig durch die Del ambr eschen Gleichungen, z. B.:

, a — b , c

ts-»—

COS-— = cos

a -f- b

• * + ß

cos = sm—V-

cos —-

cos

cos

oder

oder

c . a-\-b sm¥ = sm-=p-•

sin —

sm

COS

tx —— ß

cos —

Yon diesen Gleichungen wird man die wählen, die das schärfste Resultat liefern (§ 51).

Dritter und vierter Fall.

Gegeben a, b, c. Gesucht a, ß, y.

6. Erste Auflösung.

Nach (III) ist:

cos a

Gegeben a, ß, y. Gesucht a, b, c.

Erste Auflösung. Nach (III) ist:

cos a — cos & cos c

sin & sin c

cos a

cos a -f- cos ß cos y

sin ß sin y

usw.

usw.

Da diese Lösungen Jogarithmisch nicht bequem sind, wird man die folgenden vorziehen.

7. Zweite Auflösung:

Man rechnet nach den Formeln (X) und (XI). Yon diesen sind wegen der größten „Schärfe“ (§ 51) die Tangentenformeln am empfehlenswertesten. Also

usw.

, cc

fc-r

sin

usw.

. a cos (Jj ” 2 ⁼ x

cos 6j cos as cos 6S

— cos a₀

j -i /sin st sin s₂ sin s3 V sin s₀

*=y

8. Dritte Auflösung:

50):

Setzt man (Formel (1) des §

M=

! tg 2 tg^tg

so

tg-⁶ 2

liefern (XII), (XIII) und (XIY): tg~= M- tg^,

---) = J\I • cotg

tgf

tgT

M ’

tg-₂L“Jf-cotg (y

i)’

])= Jf-cotg-^,

t^y —y)=^-cotg y*

tg = M- cotg ( I

t)>

£» ₌

M- cotg    •

fcl

Hieraus folgen cc, ß, y, resp. a, b, c durch einfache Additionen. Diese Methode ist besonders wertvoll durch die Möglichkeit scharfer Rechnungsproben:

Fünfter und sechster Fall.

Gegeben c, a, y. Gesucht a, ß, b.    Gegeben y, a, c. Gesucht a, b, ß

9. Erste Auflösung.

Nach dem Sinussatz ist:

sin a . sin c

Nach Berechnung von cc liefern Formeln (VIII):

9. Erste Auflösung. Nach dem Sinussatz ist:

(10)

sm cc

sin y.

(10)

sin a =

sin a sin y

sin c.

Nach Berechnung von a liefern Formeln (VIII):

■Où

. c-\- a sin ——

cotg ₂ =

wb

° 2

sin

sin -—

(11)

, b

fc-2

sin —

(11)

. c a

sm —-—

. y — cc

sm -——

. c sm -

10. Zweite Auflösung.

Soll b allein oder zuerst berechnet

10. Zweite Auflösung.

Soll ß allein oder zuerst berechnet werden, so liefert der Kosinussatz: werden, so liefert der Kosinussatz: cos c = cos a cos b -j- sin a sin b cos y \ cos y = — cos cc cos ß sin a sin ß cos c eine quadratische Gleichung für eine quadratische Gleichung für sin b, nachdem man

cos b = Y1 — sin² b

sin ß, nachdem man

cos

ß = Y 1 - sin² ß

eingesetzt hat.

Weit einfacher rechnet man wieder unter Einführung von Hilfs- der unter Einführung von Hilfsgrößen. Setzt man nämlich nach (7) großen. Setzt man nämlich nach (7) tg m = tg a cos y, 0° < m < 180°, cotg v = tg cc cos c, 0°O<180°,

eingesetzt hat.

Weit einfacher rechnet man wie-

so liefert (9) unmittelbar:

cos c cos m

(12) cos (b — m)

so liefert (9) unmittelbar:

cos y sin v

cos a

(12) sin (ß — v)

cos o:

Soll b allein oder zuerst berechnet

Soll ß allein oder zuerst berechnet werden, so liefern der Sinussatz werden, so liefern der Sinussatz und die zweite Gleichung (V):

sin a sin c = sin y sin a, sin a cos c = cos y sin ß

+ sin y cos ß cos a,

woraus durch Division und vermittelst cos ß = yi — sin² ß eine quadratische Gleichung für sin ß folgt.

und die zweite Gleichung (IV):

sin a sin y = sin c sin a, sin a cos y = cos c sin b

— sin c cos b cos a,

woraus durch Division und vermittelst cos b = yi — sin²& eine quadratische Gleichung für sin b folgt.

Um hier zur bequemen Rechnung Hilfswinkel einzuführen, gehe man wieder auf die Figur 188, S. 421 zurück und setze (wobei p = cos h):

cos y = p sin a, sin y cos a = p cos p.

Dann sind p und p bestimmt aus (14) cotg p == cos a tg y,

sin y cos a

(13)

(15)

cos p

cos c = p cos n, sin c cos cc = p sin n.

Dann sind p und n bestimmt aus tg n = cos a tg c,

(13)

(14)

(15)

sin c cos cc

sin n

Man hat dann:

sin a sin c = sin y sin a, sin a cos c = p cos (/3 — p),

also durch Division und Anwen- also durch Division und Anwendung von (15):

tgy =

oder endlich:

(16) cos(/3 —iu) = tgacotgccos₁u, (16) sin (b — n) = tgcc cotg 7 sin n, wobei p aus (14) zu entnehmen ist. wobei n aus (14) zu entnehmen ist.

11. Diskussion der Lösungen. Die etwas verwickelte Diskussion führen wir nur für den fünften Fall, da sich das Resultat ohne weiteres auf den sechsten übertragen läßt.

Man hat dann:

sin a sin y = sin c sin a, sin a cos y = p sin (b — n),

dung von (15):

tgc =

cos g tg a

sin n tg cc

oder endlich:

cos (ß — p)

sin (b — n)

Aus (10) ergeben sieb drei Hauptfälle.

1.

sin a sin y

sin c

2.

sin a sin y sin c

o sin a sin y

O. -;--

sm c

> 1 keine reelle Lösung.

_ i eine reelle Lösung: das Dreieck wird rechtwinklig mit dem rechten Winkel cc.

Hier liefert (10) zwar zwei Werte von cc, es bedarf aber einer weiteren Überlegung, ob und welche Werte von a zulässig sind.

<1

Wir bezeichnen, um diese Untersuchung zu führen, von den sich aus (10) ergebenden Winkeln a den spitzen mit cc, den stumpfen mit cc", so daß

«" = 180° - cc

wird. Damit dann unsere Aufgabe entweder eine oder zwei Lösungen habe, ist erforderlich, daß entweder eine der beiden Größen cc und cc" oder beide in (11) eingese^t, positive Werte für cotg ß/2 und tg 6/2 liefern. Das heißt aber:

für jede reelle Lösung müssen y — cc und c — a von gleichem Vorzeichen sein.

Die Zusammenstellung der sich hieraus ergebenden Fälle geben wir in Tabellenform. Um das Zustandekommen der Tabelle zu erläutern, mag hier der erste in ihr aufgeführte Fall näher betrachtet werden. Es sei also vorausgesetzt:

c < 90°, a < 90°, c<a.

Da also c — a < 0 ist, muß auch y — a < 0 werden. Nun ist bei unseren Voraussetzungen sin c < sin a, also nach (10) sin cc > sin y. Da aber, wie gezeigt, y < a werden muß, haben wir keine Lösung, sobald y > 90°, zwei Lösungen, sobald y < 90°. Setzen wir:

c = 90° + T°

a = 90° + if⁰,

dann bedeutet

cp < ip: c liegt näher an 90° als cp > ifr. a liegt näher an 90° als c.

Nach diesen Vorbereitungen wird das Verständnis der nun folgenden Tabelle keine Schwierigkeit mehr haben.

c < 90°, a< 90°,

zwei Lösungen | keine Lösung )

je nachdem

y <90° y> 90°

s. unten

eine Lösung: cc = cc'.

e > 90°, a < 90°,

cp > ip

cp < ip

zwei Lösungen keine Lösung

eine Lösung: a = a ip

keine Lösung eine Lösung: a = a .

je nachdem

je nachdem

y >90° y < 90°

y > 90° y < 90°

c < 90°, a > 90°

cp> ip

cp =

cp < ip

zwei Lösungen keine Lösung

eine Lösung: a = a"

ip

keine Lösung eine Lösung: a — a .

je nachdem

je nachdem

y < 90° y > 90°

y <90° y > 90°

e > 90°, a > 90°,

zwei Lösungen keine Lösung s. unten

je nachdem

y > 90° y <90°

eine Lösung: a = a".

Besonders behandelt muß noch werden der Fall c = Ci. Dann ist auch a = y (§ 36₇ 7.); und aus

cotg -J = tg y cos c;

Damit also tg ß/2 und tgb/2 positiv seien, ist hinreichend und notwendig, daß c und y entweder beide spitz oder beide stumpf sind.

Es gibt nur eine Lösung — außer wenn a = c = y = 90°. In diesem Falle haben wir wie leicht ersichtlich unendlich viele Lösungen.

der Formel (VIII) folgt:

tg y tg C COS 7.

12. Die Diskussion der sechsten Aufgabe (7, a, c) fällt genau ebenso aus, nur sind überall Seiten und Winkel zu vertauschen. Unter Einführung folgender Bezeichnungen:

c = 90° y V0 a= 90° + cp°

7y= 90° + cp° a = 90° + iP°

-f- 1 wenn x, y gleichartige¹) Winkel sind,

d =

xy

0 wenn x, y ungleichartige Winkel sind,

5 = Anzahl der Lösungen

kommt man auf Grund unserer Tabelle zu dem abschließenden Resultate:

sin a sin y

sin c

>1:    5 = 0

(1)

sin a sin c

sin a sin y l*)

sin c

= 1: 5=1

(2)

sin y

sin a sin c

sin a sin y

sin c

<1:

(3)

sin y

sin a, sin c

= 1:

sin y

<1:

a)    (p<ą:

b)    (f = if’ :

c)    (p>\p:

cy

Ausnahmefall: a = y = c = 90°:

Ausnahmefall: a = c = y = 90°:

13. In den Fällen, in denen zwei Lösungen vorhanden sind, erhält man die beiden Werte von & und ß, indem man in (11) einmal

5 = °o.

ci

Uk

D

Fig. 189.

ri\j

Cz

Fig. 190.

a = a (bez. a = a), das andere Mal a = a" (bez. a = a") setzt.

Etwas anders verhält es sich bei der Anwendung der Hilfswinkel

(S. 426).

ß' = v +

V = m + n, b"= m — n.

Hier wird b — m durch seinen Kosinus bestimmt. Ist der eine Wert davon n, so ist der andere — n, und

Hier wird ß — v durch seinen Sinus bestimmt. Ist der eine Wert

davon [i, so ist der andere 180° und

ß' = v -f- 180° — ₍u.

ist.

Ebenso wird b — n durch seinen Sinus bestimmt’. Aus b — w = + m folgt dann

■3CC₁BD = [i, ^C₂BD=180⁰-^ I)C₂ = 180°—m,

Ebenso wird ß — u durch seinen Kosinus bestimmt. Aus ß—[i =+v folgt dann

ß' = ^ + v,

ß"= -

Dies wird durch Betrachtung der (schematischen) Figur 189 bestätigt, in der

DA₁ = DA₂ = n,

•3c AXJBD = <3' A₂BD = v, CD = m,

-3C CDD = p

V = n + m, b"= n + 180°— m.

Dies wird durch Betrachtung der Figur 190 bestätigt, in der

^CDCX = rn,

AxBD = <£A₂BD = V, DAX = DA₂ = n

ist.

§ 55. Berechnung anderer wichtiger Dreiecksstücke.

1. Radius q des Inkreises.

Der sphärische Radius des eingeschriebenen Kreises sei q, u sein Mittelpunkt, D, E, F seine Berührungspunkte (Fig. 191, schematisch). Man erkennt wie in der Ebene, daß

AE = AF = slf BF = BD = sa, CD = CE = s₃

Ml

<?

ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck A F ix ergibt sich

tor —

° 2

(1)

₌ t ge

sin s₁ ’

to- r ^ tg g n 2 sin s₂ ’

Pig. 191.

Der Vergleich mit § 53, (X) ergibt:

(2)

ö s r    sin s₀

Die Gleichungen (1) lassen sich auch schreiben:

sin s₂

sin Sj

cotg-J

hieraus folgt durch Addition:

tgç ⁷

cotg ^

tge

COtg y + COtg

CM

2sin^+S2

cos

oder

tg o

COtg Q

„ a — b . c . a 2 cos---sm — sin ■—-

sin

Die letzte Del ambr esche Gleichung (§ 53, IX) gestaltet dies;

um m

cos

JL

cotg £

4 cos — cos-v- cos „ 2 2 2

sin c sin a sin ß

u© rcb

~ e . c .

2 cos — sm — • sm 2 2

Unter Benutzung von § 53, (I) folgt hieraus:

sin

cotg ? = 4* ' cos Y cos Ÿ 2. Radien der Ankreise q1} q₂, q₃.

Ist der Radius des der Seite a angeschriebenen Ankreises,, so bedenke man, daß dieser Kreis zugleich Inkreis des an a anstoßenden Nebendreiecks mit den Seiten a, 180°.— b, 180°—c ist. Die Formeln (1) bis (3) liefern daher sofort:

^T-'sTnV

(3)

(4)

a mm

tg Ql sin s₀ ;

cos

n i /sin s₀ sin ss sin ą

to V sin s₂ >

(5)

(6)

„    1 /sin gp sing, sin s₂

ta Ps ⁼    |/    sin s₈

a    .    ß .    y

COS y Sin y Sin y ,

ß    .    y ,    cc

2 sm Y smy

sin 4r- sin Ą- ■

cotg = -cotg ^2 ⁼⁼ —~j~ C0S

> C0tg ?3=-4-cos

Aus (5) folgen durch Multiplikation die bemerkenswerten Rela-

tionen:

tgpi tgp₂ = sinso sins3>,

(?)

tg(>₂ *g9a = sins₀ siną, tg(>₃ tgpx = siną siną.

3. Jede der Formeln (1) bis (7) hat eine analoge in der Ebene (vgl. § 31 und § 24). Die zu (3) analoge und aus § 31, (11) und (12) abzuleitende Formel heißt

cos cos ~ cos

1 _ 4 r

¹

Zwei Winkel heißen „gleichartig“, wenn sie gleichzeitig spitz oder gleichzeitig stumpf sind, sonst „ungleichartig“.

7⁼ J

wo J der Inhalt und r der Radius des Umkreises des ebenen Dreiecks ist. An die Stelle von z/ ist also hier J:r getreten. Dasselbe gilt für Gfl. (6).

Es mag bemerkt werden, daß auch die Ableitung dieser Formeln in der Ebene genau analog geführt werden kann.

4. Radius B des Umkreises.

aus

Nach § 39, 14. ist der Radius B des Umkreises polar und komplementär zu q. Unter Beachtung, daß bei unserer jetzigen Bezeichnung die Seiten des Dreiecks die Supplemente der Winkel des Polardreiecks sind — nicht mehr gleich den Winkeln selbst — ergibt sich (1) bis (3):

(8)

, a

cot g --

_ cot g B cos a₁ ’

cotgl = “lg-Æ

° 2 COS 6a

COtgy =

cotg B

COS ff₃

(9)

(10)

cotg B=T/

, T. 4 a . b . c tg B = jj • sm - sm — sin — •

cos al cos e₂ cos e₃

— COS G₀

Hat man nun auf der Kugel ein sphärisches Dreieck ABC (in Eulerscher Bezeichnung), und sind A', B', C die Gegenpunkte von A, B, C (Fig. 193), so übertrifft die Summe der sphärischen Zweiecke

ABA'C, BAB'C, CB'C'A'

die in der Figur vordere Halbkugel um das Dreieck ABC und sein

Apr

NX«

Vs

Fig. 193.

Fig. 192.

Gegendreieck A'B'C'. Die Winkel der Zweiecke (in Bogenmaß) sind aber a, ß, y, und die Dreiecke ABC und ÄB' C' sind inhaltsgleich, wie leicht zu beweisen. Also ist:

2r²(a -J- ß -f- y) — 2i = 2r²n,

und daher, wenn man wieder

setzt:

(11)

s = a-\-ß-j-y — n

i = r² - s.

6. Man erkennt aus dieser Ableitung, daß stets s > 0, oder daß die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks stets größer als 180° ist (§ 36, 7.).

Der Inhalt eines sphärischen Dreiecks ist für einen bestimmten Kugelradius nach (11) nur abhängig von der Winkelsumme des Dreiecks. Da mit einem größeren Inhalt notwendig eine größere Winkelsumme verknüpft ist, folgt der Satz:

Ähnliche Dreiecke im Sinne der Planimetrie sind im Gebiete der Sphärik nicht möglich. Dagegen gibt es ähnliche sphärische Dreiecke auf Kugeln von verschiedenen Radien,

28

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

und ihre Inhalte verhalten sich dann wie die Quadrate dieser Radien.

7. Wie wir in § 36, 4. die Seiten unabhängig vom Kugelradius in reinen, dimensionslosen Zahlen gemessen haben, so ist es auch für den Inhalt zweckmäßig, eine dimensionslose Zahl zu haben. Wir bezeichnen daher als „rationellen Inhalt“ eines sphärischen Dreiecks die Größe:

(12)

Es gilt dann der Satz:

Der rationelle Inhalt eines sphärischen Dreiecks ist unabhängig vom Kugelradius, abhängig dagegen von den Winkeln, und zwar ist er gleich dem sphärischen Exzeß.

8. Zur Berechnung des Inhalts bei gegebenen Seiten dient die L’Huiliersehe Formel (§ 53, XII):

(13)

tg T ⁼ V tg"2° tgf tg 2 tg 2 in Verbindung mit (11).

Den „rationellen“ Inhalt liefert diese Formel direkt.

§ 56. Beziehungen zwischen sphärischer und ebener Trigonometrie.

„Kleine“ Dreiecke: Satz von Legendre.

I. Halten wir die Ecken A, B, C eines sphärischen Dreiecks fest und lassen den Kugelradius r unbegrenzt wachsen, so geht nach der gewöhnlichen Vorstellung der Euklidischen Geometrie die -Kugel in die durch A, B, C bestimmte Ebene, das sphärische Dreieck in ein ebenes über.

Die Seiten a, b, c konvergieren dabei gegen 0, nicht aber die Bogenlängen zwischen den Ecken. Wir setzen in Übereinstimmung mit § 36, 4.:

(1) wo ä, b, c die absoluten Bogenlängen bezeichnen.

Unsere Absicht ist, die Formeln der ebenen Trigonometrie durch Grenzübergang aus den sphärischen herzuleiten.

2. Aus Formel (12) von § 55:

i

V = TT = £

folgt £ = 0 für r = oo.

Der Satz von der Winkelsumme im Dreieck ist also in der Planimetrie das Analogon zu dem Satze des § 55, 7. über den rationellen Inhalt in der Sphärik.

Ferner ergibt jetzt Formel (11) des § 55 den Satz:

Für die Planimetrie erscheint der absolute Inhalt in der Form i = 0-oo; hieraus erklärt sich, daß bei einem ebenen Dreieck der Inhalt nicht durch die Winkel bestimmt wird, da ja 0 • oo unbestimmt ist.

3. Um für die eigentlichen trigonometrischen Formeln den Grenzübergang zu vollziehen, benutzen wir die für unendlich kleine Winkel, d. h. für unendlich großes r mit unendlich großer Genauigkeit geltenden Formeln (Bd. I, S. 440, (9)):

sm x = x

Xs

cos X

ar

£ Pt A**¹

xs

_ ₁__x⁴

— ¹ ~    + 24r⁴ '

Der sphärische Sinussatz geht dann ohne weiteres in den ebenen über.

4. Der Kosinussatz:

cos a = cos b cos c -j- sin b sin c cos a

nimmt die Form an:

ä⁴

24 r⁴

(⁴

24r⁴

)(⁴

c⁴

2 r²    24r⁴

Ir® I V.

cs

6r³

cos a.

Durch Ausmultiplizieren und Multiplizieren mit — 2r² erhält man unter Vernachlässigung höherer als vierter Potenzen von 1/r:

a* = b² -f c² — 2bc cos a

(2)

—    [&⁴ -f- 6&²c² -f c⁴ — a⁴ — 4&c (&² 4- c²) cos cc] .

Für r = oo folgt:

Auch der sphärische Kosinussatz geht in den ebenen über.

5. Es ist auf diese Weise möglich, zu jeder sphärischen Formel die analoge ebene aufzusuchen. Wir heben als besonders bemerkenswert noch Formel (13) des § 55 hervor. Da s gegen 0 geht, können wir tg f/4 durch s/4 ersetzen; ferner ist si = si/r. Daher liefert (13) für das ebene Dreieck

28

Vso ‘ si ' S2 ' s3 =    r%£ ⁼

die bekannte Inhaltsformel der ebenen Trigonometrie (§ 24, (6)j § 31, (7)).

6. Wir haben soeben das ebene Dreieck als Grenzfall des sphärischen aufgefaßt.

Für den praktischen Geodäten ungleich wichtiger ist die Frage: Kann man, und unter welchen Umständen, ein sphärisches Dreieck rechnerisch wie ein ebenes behandeln?

Hierüber existiert ein Satz von Legendre, der in der Praxis ausgedehnte Anwendung findet:

Hat ein sphärisches Dreieck kleine Seiten und infolge dessen kleinen Exzeß, so ist seine Fläche nahezu gleich der Fläche eines ebenen Dreiecks mit denselben absoluten Seitenlangen, während jeder Winkel des sphärischen Dreiecks um ein Drittel des Exzesses größer ist als der entsprechende des ebenen Dreiecks.

Der Begriff „kleines" Dreieck ist etwas unbestimmt. Die Geodäten haben praktische Regeln über die Gültigkeitsgrenzen des Satzes. Für uns genügt es zu sagen: Sind die Seiten des sphärischen Dreiecks gegeben durch

’S S5I

a ==

so sollen ä, b, c klein gegen r sein, und zwar sollen jedenfalls Glieder von der Größenordnung (ä/r)⁴ u. s. w. als Null gelten. Der Exzeß soll so klein sein, daß mit demselben Annäherungsgrad s = tg s — sin s und cos £ — 1 gesetzt werden darf. Das sphärische Dreieck ABC mit den in Längenmaß gemessenen Seiten ä, b, c und den Winkeln a, ß, y wird durch den Satz von Legendre in Beziehung gesetzt mit einem ebenen Dreieck AtBlC₁ von ebenfalls den Seiten ä, b, c, aber den Winkeln at = a — f/3, ßt = ß — g/3, y₁ = y — e/3.

Unter unseren Voraussetzungen folgt genau wie unter 5. für den

Inhalt

i = r² s = 4 r² •

Ul

Vs₀ ‘ S1 ' S2 ' S3 h )

womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist.

7. Zum Beweise des zweiten Teiles bilde man aus (2) unter Vernachlässigung vierter und höherer Potenzen von 1/r:

(A = (b² Ac² — 2bc cosa)² +

wobei K eine von r unabhängige Größe ist. Setzt man diesen Wert

von a⁴ in die eckige Klammer von (2) ein, so geht, wieder unter Vernachlässigung höherer als vierter Potenzen von 1 fr, (2) über in:

&²C² sin² cc

a² = b² + c² — 2bc cos a —

Hier kann, immer unter unseren Voraussetzungen, Ą-bc sin a = i

ä² = b² -f- c² — 2bc cos a —    sin a.

Da aber nach § 55, (12) ijr² = £ ist, so folgt:

gesetzt werden:

oder, da

3r²

a² = b² c² — 2bc (cos « + y sin aj ,

S .    .    8

cos a cos — -f- sm a sm —

o    6

ist und cos s/3 = 1, sin s/3 = sß gesetzt werden kann:

cos

(3)

a² = b² + c² — 2bc cos (a — y) •

Nimmt man die beiden durch zyklische Vertauschung folgenden Formeln noch hinzu, so ist der Legendresche. Satz auch in seinem zweiten Teile bewiesen.

8. Einen anderen sehr eleganten Beweis des Legendreschen Satzes, der im Gegensatz zu dem soeben angeführten vom Sinussatz ausgeht, hat Epstein gegeben.¹)

Wir schreiben den Sinussatz in der Form:

b    a ■ a

sm asm — = sm p sm — r    r

Hieraus folgt durch Reihenentwicklung:

sin a (

-) = sin ß (y

oder, wenn man beiderseits mit r multipliziert und in der Entwicklung nicht über r² hinausgeht:

b (sin a — -

6rT sin «) = « (sin ß ~ ^ sin /?) .

Aus

r² i

1) Epstein, Zeitschr. f. Vermessungswesen, Bd. 36, 1907.

folgt dann:

CHI

sin a

s &² sin a

) =«(sin/3-|

s ä² sin ß

)•

Man kann hier beide Seiten als erste Glieder von Reihenentwicklungen nach Potenzen von s betrachten; und da nur die erste Potenz beizubehalten ist; so kann man in den Koeffizienten von e ohne weiteres die Regeln der ebenen Trigonometrie zur Anwendung bringen. Wir setzen dementsprechend links:

und rechts:

und erhalten:

CHI

2i = bć sin

2i — ac sin ß,

(sin u — yy) = a (sin ß

s a

TY

oder, wenn wir links:

b

rechts:

setzen :

= c cos a -H# cos y, ä = c cos ß -J- b cos y

CH|

sm« —

I (cos aĄ---cos y\J = a |^sinß —| ('cos ß -j- y cos y)J.

Hier hebt sich auf beiden Seiten die Größe — — bleibt:

£ ab

3 TT

cos y und es

b (^sin a — cos a

oder:

j = a ^sin ß — y cos ßj

(ß-i)

b sin (a — y^ = a sin und dies ist der Satz von Legendre.

DRITTES BÜCH.

ANALYTISCHE GEOMETRIE UND STEREOMETRIE.

woraus

folgt.

8 : F = g : 2sr, 8 = 2r²£

Siebenter Abschnitt.

Analytische Geometrie der Ebene.

§ 57. Koordinaten.

1. Zur Auffindung neuer Wahrheiten und zur Führung von Beweisen bedient sich die Geometrie zweier verschiedener Methoden, von denen die erste, ältere, die synthetische, die andere die analytische genannt wird. Die synthetische Geometrie schöpft unmittelbar aus der Raumanschauung und ist eine Weiterbildung der Elemente des Euklid. Sie gewährt bei jedem Schritt einen unmittelbaren Einblick in die geometrische Natur des Beweisverfahrens, hat aber nicht so bestimmt vorgewiesene Wege wie die analytische Methode.

Die Kunst des Analytikers besteht darin, unschöne Rechnungen zurückzu drängen und die algebraischen Gedanken herauszuarbeiten, also an Stelle der Raumanschauung die Zahlenanschauung zu verwenden. *)

2c Das Hilfsmittel, dessen sich die analytische Geometrie vorzugsweise bedient, sind die Koordinaten, die wir schon im achten Abschnitt des ersten Bandes zur geometrischen Darstellung imaginärer Zahlen angewandt haben.

Man nimmt in der Ebene zwei zueinander rechtwinklige Achsen, die x-Achse und die y-Achse, willkürlich an, die sich in einem Punkte 0, dem Koordinatenanfangspunkte, schneiden. Auf jeder dieser Geraden wird eine der beiden Richtungen willkürlich die positive genannt.

Um die Lage eines Punktes P zu bestimmen, fälle man von ihm aus Perpendikel auf die beiden Achsen, deren Fußpunkte Q und P sein mögen. Die Maßzahlen x, y der Strecken OQ und OR, mit dem positiven oder negativen Zeichen behaftet, je nachdem Q und R

1) Man schreibt die Entdeckung der analytischen Geometrie Descartes zu, dessen „Geometrie“ im Jahre 1637 im Druck erschien. Gleichzeitig und unabhängig davon hat sich auch Fermat mit ähnlichen Gedanken getragen (Brief an Roberval von 1636), und seine späteren Publikationen gehen noch über Descartes hinaus. Schon bei Apollonius finden sich Spuren der analytischen Betrachtungsweise. Die höchste formale Vollendung der analytisch-geometrischen Methoden findet sich wohl bei Hesse (1811—1874).

von 0 aus gesehen in der positiven oder negativen Richtung der Achse liegen, heißen die Koordinaten des Punktes P. Sind diese gegeben, so ist die Lage des Punktes P eindeutig bestimmt. Zum Unterschied von anderen Koordinatenbestimmungen, von denen wir gleich ein Beispiel kennen lernen werden, heißen diese rechtwinklige oder auch Cartesisehe Koordinaten.

3. Jede gerade Linie bestimmt zwei entgegengesetzte Richtungen. Läßt man die Gerade aber von einem Punkte aus als „Strahl“ nur nach der einen Seite hin verlaufen, so erhält man eine einzige bestimmte Richtung. Durch jeden beliebigen Punkt der Ebene kann man zu einem solchen Strahl einen Parallelstrahl legen, und alle diese Parallelstrahlen haben die gleiche Richtung.

Um eine Richtung mittels des Koordinatensystems zu bestimmen, lege man einen Parallelstrahl s durch den Anfangspunkt, und denke sich einen beweglichen Strahl, etwa wie den Zeiger einer Uhr, aus der x-Richtung in die Richtung s gedreht.

Wir bezeichnen (willkürlich) eine Drehung als positiv, wenn sie in dem Sinne von der positiven #-Achse zur positiven «/-Achse hin

>-3C

Fig. 194.

erfolgt (in der Richtung des Pfeiles, bei der Annahme der Figur von rechts nach links), die entgegen-s gesetzte Drehung als negativ. Macht dann der Winkel & die kleinste positive Drehung, durch die man aus der Richtung x in die Richtung s gelangt, so liegt ft zwischen 0 und 2jt. Jeder Winkel & in diesem Intervall gibt uns eine und nur eine Richtung s; aber Drehungen, die sich um positive oder negative Vielfache von 2 n unterscheiden, geben dieselbe Richtung. Die Richtung ist also eindeutig bestimmt, wenn sin ft und cos ft gegeben sind.

4. Hiernach kann die Lage des Punktes P auch bestimmt werden durch Richtung und Länge des vom Anfangspunkt nach P gehenden Strahles r. Die Richtung bestimmt man durch den Winkel ft, dem man irgend ein Intervall von der Größe anweist, etwa das Intervall 0, 2?r oder —n, -j- n (wobei die eine der beiden Grenzen ausgeschlossen, die andere eingeschlossen ist). Die Länge r wird in irgend einer Längeneinheit gemessen, aber immer als positiv betrachtet. Da hiernach r und ft die Lage des Punktes P eindeutig bestimmen, so bezeichnet man sie gleichfalls als Koordinaten des Punktes P, und zwar, zum Unterschied von den rechtwinkligen, als Polarkoordi-naten. Der Anfangspunkt 0 heißt der Pol dieses Koordinatensystems.

5. Aufgabe: Es sind zwei Punkte 1 und 2 durch ihre Koordinaten xx, yx und x₂, y₂ gegeben. Es soll ihre Entfernung (12) und die Richtung von 1 nach 2 bestimmt werden.

vom

Die Lösung der Aufgabe ergibt sich einfach aus der Figur 195. Zieht man durch die Punkte 1, 2 Parallelen zu der x-Achse und zu der «/-Achse, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck (123), in dem die Hypotenuse (12) ist, während die Katheten (13) und (23), Vorzeichen abgesehen, gleich x₂ — xx und y.₂ — yx sind. Liegt der

AX

--2-A3

at

Fig. 196.

Fig. 195.

Winkel » im ersten Quadranten, so sind die beiden Differenzen positiv, und man erhält:

(1)

y*—yi = (!2) sin »,

(2)

X2 — Xx = (12) cos »,

(12) = Y(xa - xx)² + (y₂ - yxy..

Wenn aber der Punkt 2 im positiven Sinne um 1 rotiert, so ändert x₂ — Xx sein Zeichen beim Übergang aus dem ersten in den zweiten Quadranten, y₂ — yx beim Übergang in den dritten Quadranten. Es ändern also diese DijSFerenzen ebenso ihre Vorzeichen, wie cos » und sin », und folglich sind die Formeln (1) gültig für jede Lage der Punkte 1, 2.

Fig. 197.

6. Es seien drei Punkte 1, 2, 3, die ein Dreieck bilden, durch ihre Koordinaten xx, yx\ #₂, y₂\ x₃, y3 gegeben (Fig. 196). Wir wollen die Bezeichnung so wählen, daß ein Umlauf um das Dreieck in der Richtung 1, 2, 3 einer positiven Drehung entspricht (Fig. 197). Es sollen die Seiten ax, a₂, a₃ und die Winkel Ax, A₂, A₃ des Dreiecks aus den Koordinaten abgeleitet werden.

Die Lösung dieser Aufgabe ergibt sich unmittelbar aus (1) und (2). Darnach ist zunächst

«i = Vfa - xA + (y-s - îhf, <h = V(xi—x₃)² + (Vi—y₃y, «s = /(«a - xif + («/2 - 2/1 )²-

Sind ferner frlf 9g die Winkel der Richtungen 23, 31, 12 mit der æ-Achse, so ist

Ax = &₂ — A ± »,

A₂ = -^3 — ą ± TT, A₃ = -9y — #₂ ± 7t,

und folglich

sin Ax = sin &₃ cos &₂

— cos -9-3 sin at₂, — cos A₁ = cos tfg cos 9^

Fig. 198.

und folglich

+ sin -O’g sin 9₂. Es ist ferner nach (1) a₂ cos 9\₂ = xx — x₃, a₂ sin &₂ = y₁ — yst a₃ cos -O’g = x₂ — xx, a₃ sin 9₃ = y₂ — yx,

a₂a₃ sin Ax = (x₁ — x₃) (y₂ - yx) - (x₂ - xx) (yx - iy₃), — a₂a₃ cos Al = (x₂ - xx) (xx - x₃) + (y₂ - yx) {yx — y₃).

Die erste dieser Formeln gibt uns zugleich den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks. Und wenn wir diesen doppelten Flächeninhalt mit A bezeichnen, so folgt durch Ausmultiplizieren:

(3)

4 = (xtyt - x₃y₂) + (x₃yx - xxy₃) + (xx y₂ - x₂yx).

Beim Gebrauch dieses Ausdrucks ist aber darauf zu achten, daß

so gewählt ist, wie wir es festin an diese Reihenfolge, indem man z. B. 1

die Reihenfolge der Punkte 1, 2, 3 gesetzt haben. Ändert mit 2 vertauscht, so ändert der Ausdruck (3) sein Vorzeichen, stellt also dann den negativen Wert des Flächeninhaltes dar.

6. Auf einer geraden Linie g gibt es zwei einander entgegengesetzte Richtungen. Wir bezeichnen eine von diesen Richtungen nach Willkür als die positive und markieren sie in der Figur 198 durch einen Pfeil.

Jeder auf der Geraden angenommene Punkt teilt dann die Gerade in eine positive und eine negative Halbgerade.

Um aber die Linie g vollständig zu bestimmen , muß zu der Richtung noch eine weitere Angabe gemacht werden, z. B. die, daß die Linie g durch einen gegebenen Punkt gehen soll. Statt dessen kann auch ihr senkrechter Abstand vom Koordinatenanfangspunkt gegeben sein. Wenn aber dieser nicht gleich Null ist, die Linie also nicht durch den Anfangspunkt geht, dann ist die Linie dadurch nicht eindeutig, sondern zweideutig bestimmt.

8. Um diese Zweideutigkeit zu beseitigen, bezeichnen wir von den beiden Halbebenen, in die die Ebene durch die Gerade g geteilt wird, eine als die positive, nämlich die, in die der positive Halbstrahl g bei einer positiven Drehung um einen seiner Punkte hineingeführt wird, das ist bei der Annahme, die in der Figur festgehalten ist, die Seite'der Geraden g, die bei einem in der positiven Richtung von g fließenden Strom das linke Ufer bilden würde.

Wir nehmen dann den Abstand eines Punktes P von g positiv oder negativ, je nachdem P auf der positiven oder negativen Seite von P liegt.

Die Linie g ist dann eindeutig bestimmt, wenn ihre Richtung durch den Winkel A und der Abstand d des Koordinatenanfangspunktes von g, aber nicht bloß dem absoluten Werte nach, sondern mit seinem Vorzeichen, gegeben ist.

9. Wir stellen nun die folgende Aufgabe: Es ist die Gerade g durch A und d gegeben und außerdem ein Punkt P durch seine Koordinaten x,*y. Es soll der Abstand I) des Punktes P von der Linie g bestimmt werden.

Um sie zu lösen, fälle man von dem Punkte P (Fig. 198) ein Perpendikel PQ auf g, dessen Länge gleich D ist. Hierauf ziehe man durch 0 eine Parallele OP zu g und fälle das Perpendikel OS = d auf g.

Ist cp der Winkel, den die Richtung OP mit der Richtung x einschließt und r der Abstand OP, so ist nach Nr. 4.:

x — r cos cp, y = r sin cp,

und aus dem rechtwinkligen Dreieck OPP erhält man

PP = r sin (cp — A) = r (sin cp cos A — cos cp sin A).

(4)

Es ist aber D = PP + BQ und PQ = OS = d, mithin JD — — x sin A + y cos A -j- d.

Es ist in der Figur angenommen, daß 0 und P beide auf der positiven Seite von g liegen, und daß P weiter von g entfernt ist als 0, d. h. daß D > d sei. Ist aber D < d und d noch positiv, so ist sin (gp — fi) negativ, und dann ist PB = — r sin (<p — fi). Zugleich ist aber auch D = — PB -{-BQ, wenn PB und BQ in absolutem Sinne, D mit Rücksicht auf das Vorzeichen verstanden wird. Folglich bleibt (4) auch jetzt noch gültig. Und auf die gleiche Weise findet man diese Formel bestätigt, wenn 0 auf der positiven Seite von g liegt, also d negativ ist.

9. Nehmen wir für die Gerade g die #-Achse selbst, und als positive Richtung auf g die positive ^-Richtung, so ist â = 0, fi = 0 und es wird D = y. Nehmen wir aber die positive «/-Richtung für die Richtung der Geraden g, so wird ft = jt/2 und D = — x.

§ 58. Gleichung der Geraden.

1. Wenn wir analytisch ausdrücken wollen, daß der Punkt P auf der geraden Linie g liegen soll, so haben wir nur den senkrechten Abstand D des Punktes P von der Geraden g gleich Null zu setzen, und wir erhalten also nach § 57 (4) hierfür die Gleichung

(1)

— x sin ff -f- y cos fi -f- d = 0.

Diese Gleichung besagt, daß die Koordinaten x,y einem Punkte der durch fi und d bestimmten Geraden angehören.

Aus diesem Grunde nennt man diese Gleichung die Gleichung der Geraden.

Wird also eine der beiden Koordinaten x, y eines Punktes der Geraden willkürlich angenommen, so ist die andere dadurch bestimmt, und wenn wir der einen eine stetige Veränderung erteilen, so ändert sich die andere in bestimmte!⁻, davon abhängiger Weise.

Die Gleichung (1) erhält keinen anderen Inhalt, wenn man sie mit einem beliebigen von Null verschiedenen Zahlenfaktor h multipliziert, sie also in die Form setzt:

(2)

(3)

— hx sin fi -f hy cos fi + hd = 0.

Setzt man dann — h sin fi == a, h cos fi = b, hÖ = c, so nimmt sie die Form an:

(4)

ax + by + c = 0,

und das ist die Gleichung derselben Geraden wie (1). Die Gleichung (1) heißt (nach Hesse) die Normalform, (4) die allgemeine Form der Gleichung der Geraden.

2. Hat man eine Gleichung von der Form (4) mit beliebig gegebenen a, b, c (wenn nur nicht a und b beide = 0 sind), so kann man immer eine zugehörige Gerade finden, deren Gleichung sie ist.

und hierdurch sind zwei zueinander entgegengesetzte, also derselben Geraden angehörige Richtungen bestimmt. Gibt man der Quadratwurzel ein bestimmtes Zeichen, z. B. das positive, so ist unter diesen beiden Richtungen eine als die positive ausgewählt, z. B. wenn a positiv ist, die, deren Winkel gegen die #-Achse im dritten oder vierten Quadranten liegt. Hiermit ist also die Gerade g ihrer Richtung nach und zugleich ihre positive Seite bestimmt.

Denn aus (3) ergibt sich 7^ =]/a²+ 6², und daraus — a

j/a² + &²’

sin 9 =

cos 9 =

Wegen

d = —-—

ÿas + b²

hat man der Linie einen Abstand d von dem Koordinatenanfangspunkt 0 zu geben und zwar, je nachdem d positiv oder negativ ist, so, daß der Punkt 0 auf die positive oder negative Seite von g fällt.

Demnach ist jede Gleichung von der Form (4) die Gleichung einer geraden Linie und wird darum auch eine lineare Gleichung genannt.

3. Setzt man in der Gleichung (2)

¹    , d = — l cos

cos & ’    ’

so nimmt sie die Form an:

(5)

y = x tg» + l

wodurch y als lineare Funktion von x dargestellt ist. I ist dann der Wert von y, der der Abzisse x = 0 entspricht, also der Abschnitt auf der y- Achse.

Diese Form, in der die Gleichung der Geraden häufig verwendet wird, läßt sich nur dann nicht hersteilen, wenn ein rechter Winkel, also cos 9- = 0 ist. Dann ist die Gerade parallel der y-Achse, und es entspricht allen Punkten der Geraden ein und derselbe Wert von x.

Ist die Gleichung der Geraden in der allgemeinen Form (4) gegeben, so ist immer

(6)

tgfi- = —

und wenn v den Winkel bedeutet, den die Senkrechte auf der Geraden (die Normale der Geraden) mit der x-Achse einschließt, so ist, welche Richtung der Normalen man auch nehmen mag,

(?)

,    b

tg v = - •

°    a

Also sind

(8) welche Werte die Konstanten a, b, c, d auch haben mögen, die Gleichungen zweier aufeinander rechtwinkliger Geraden.

4. In der Folge wird von dem Begriff einer Gleichung in einem doppelten Sinne Gebrauch gemacht. Einmal kommen Gleichungen zwischen den Koordinaten x, y vor, die diesen Koordinaten eine Beschränkung auferlegen, wie die Gleichung einer Geraden, die nur richtig ist, wenn x und y die Koordinaten eines Punktes der Geraden sind. Dann aber benutzen wir auch Gleichungen zwischen x, y, die für alle Punkte der Ebene richtig sind, bei denen also beide Seiten gewissermaßen nur verschiedene Benennungen derselben Sache sind. Solche Gleichungen nennen wir Identitäten oder identische Gleichungen. Es ist bisweilen zweckmäßig, für diese beiden Arten von Gleichungen verschiedene Zeichen zu gebrauchen. In solchen Fällen soll für die Identität das Zeichen = (gesprochen „identisch“) angewandt werden.

5. Wir werden zur Vereinfachung oft kompliziertere algebraische Ausdrücke durch einen einzigen Buchstaben bezeichnen. Hier handelt es sich dann um Identitäten; also wenn wir setzen

A = — x sin ff -f y cos ff -j- d,

so ist A = 0 die Gleichung einer Geraden in der Normalform. Setzen wir

U = ax + by -f c,

so ist U = 0 die Gleichung derselben Geraden in der allgemeinen Form. Wir werden bisweilen auch A und U als Zeichen für die Gerade selbst gebrauchen. Es ergibt sich dann nach § 57 (4) der Satz:

Setzt man in den Ausdruck A, der den linken Teil der Gleichung der Geraden g in der Normalform darstellt, die Koordinaten x, y eines Punktes, der nicht auf der Geraden liegt, so erhält man den senkrechten Abstand dieses Punktes von der Geraden g, mit negativem oder positivem Zeichen, je nachdem der Punkt x, y auf der negativen oder positiven Seite der Geraden liegt.

Alle Punkte, die von zwei gegebenen Geraden gleichen Abstand haben, liegen auf den beiden Geraden, die die Winkel der beiden gegebenen Geraden halbieren.

Sind also Ax = 0, A₂ = 0 die Gleichungen der gegebenen Geraden in der Normalform, so sind

Ax — A₂ = 0, Ax -f- A₂ = 0

die Gleichungen der beiden Winkelhalbierenden (nicht in der Normalform), und zwar halbiert die erste dieser Geraden den Winkelraum, der für beide Geraden auf der positiven oder für beide auf der negativen Seite liegt, die zweite den Winkelraum, der für die eine Gerade auf der positiven, für die andere auf der negativen Seite liegt.

§ 59. Schnittpunkte von Geraden.

1. Wenn man den Schnittpunkt zweier Geraden finden soll, deren Gleichungen in der allgemeinen Form

Ux == axx -f bxy -f- cx = 0,

U₂ = a₂x + b₂y + c₂ = 0

sind, so hat man die x, y als Unbekannte zu betrachten, die aus diesen beiden linearen Gleichungen zu finden sind.

Es gibt nach Bd. I, § 43 immer einen und nur einen Schnittpunkt, außer wenn die Determinante axb₂ — bxa₂ verschwindet, und in diesem Falle sind die Geraden entweder nicht voneinander verschieden oder sie sind parallel (§ 58, (6)). Wir können immer annehmen, daß entweder ax und a₂ oder bx und b₂ beide von Null verschieden sind; denn wenn a2 und axb₂ — bxa₂ verschwinden, so muß, da a₂ und b₂ nicht zugleich verschwinden sollen, ax = 0 sein, und dann sind bx und b₂ von Null verschieden. Nehmen wir also an, daß ax und a₂ nicht verschwinden, so folgt, wenn axb₂ = bxa₂ ist:

axU₂ — a₂Ux — axc₂ -j- a₂cx = 0

und es tritt der erste oder der zweite Fall ein, je nachdem axc₂ — a₂cx verschwindet oder nicht verschwindet.

2. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Gleichungen Ux = 0, U₂ = 0 dieselbe Gerade darstellen, besteht darin, daß sich zwei von Null verschiedene Zahlenfaktoren mx, m< geben lassen, daß

so an-

(i)

mx Ux + m₂ U₂ = 0

ist. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Geraden TJX, U₂ parallel sind, ist die, daß sich drei von Null verschiedene Zahlenfaktoren mx, m₂, m₃ so bestimmen lassen, daß

(2)

mx Ux + m₂ U₂ + m₃ = 0 ist.

3. Wir betrachten jetzt drei gerade Linien und setzen TJX = axx + bxy + cx,

(3)

U₂ = a₂x + b₂y + ca, ü₃ = a₃x + \y + c₃.

Es lassen sich immer drei Koeffizienten mx, m₂, m₃ so bestimmen, daß

nxmx -f a₂m₂ -f a₃m₃ = 0, bx mx + b₂ m₂ + b₃ m₃ = 0 wird. Man hat nach Bd. I, § 45 nur

mx : m₂ : m₃ = (a₂ b₃ — a₃ b₂) : (a₃ bx — ax b₃) : (ax b₂ — bx a₂)

zu setzen; und wenn unter den drei Geraden Ux, U₂, U₃ nicht zwei parallel sind, so sind mx, m₂, m₃ von Null verschieden; dann aber ergibt sich aus (3):

mx Ux + m₂U₂ + m₃U₃ = mxcx + m₂ c₂ + m₃ c₃.

Wenn sich nun die drei Geraden in einem Punkte schneiden, so gibt es ein Wertepaar x, y, für das Ux, U₂, U₃ zugleich verschwinden, und es muß dann also mxcx + m₂c₂ -f- m₃c₃ = 0 sein, also die identische Gleichung bestehen:

(4)

mx Ux + m₂U₂ + m₃ U₃ = 0.

Wenn umgekehrt diese identische Gleichung erfüllt ist, so wird im Schnittpunkte von Ux und U₂ auch U₃ verschwinden, also die drei Geraden durch einen Punkt gehen. Wir haben also den Satz:

2?

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die drei Geraden Ux, U₂, U₃ durch einen Punkt gehen, ist die, daß es drei von Null verschiedene Faktoren mx, m gibt, die die Identität (4) erfüllen.

die drei Geraden parallel sind.

wenn

Der Satz bedarf aber einer Ergänzung, weil wir angenommen haben, daß nicht zwei von den Geraden TJX, U₂, U₃ parallel sind. Ist die Identität (4) erfüllt, und schneiden sich zwei der drei Geraden in einem Punkte, so geht die dritte durch denselben Punkt. Wenn also zwei von diesen Geraden parallel sind, so ist auch die dritte mit den beiden ersten parallel. Umgekehrt folgt auch aus 2., daß sich die Identität (4) befriedigen läßt,

Um diese Annahme zu beseitigen, sagt man wohl auch, daß sich parallele Gerade in einem unendlich fernen Punkte schneiden, und dann gilt der ausgesprochene Satz allgemein.

3. Es ist nur ein anderer Ausdruck dieses Satzes, wenn wir sagen :

Sind U1} U₂ zwei gegebene Geraden, so ist U^mUx + n 77₂ = 0

die Gleichung einer anderen Geraden, die durch den Schnitt von Ux und U₂ hindurchgeht, wenn m, n konstante Faktoren sind. Wenn m von Null verschieden, also U nicht die Linie U₂ ist, so können wir U durch m U ersetzen und n = Xm setzen. Dadurch erhält diese Gleichung die einfachere Form

ü=üx + kü%,

und wenn man A verändert, so erhält man alle Geraden, die durch den Schnittpunkt von U₁ und U₂ gehen, mit Ausnahme der Linie ?7₂; diese kann man dem Werte A = oo entsprechen lassen. Die Gesamtheit dieser Geraden heißt ein Strahlenbüschel, und A heißt der Parameter des Büschels.

§ 60. Anwendung auf die Geometrie der Dreiecke.

1. Aus den im vorigen Paragraphen gegebenen Sätzen lassen sich mit großer Leichtigkeit die Sätze über die Schnittpunkte der Ecktransversalen eines Dreiecks ableiten.

Wir nehmen die positiven Richtungen der drei Dreiecksseiten so an, daß man beim Fortschreiten in diesen Richtungen einen positiven Umlauf um das Dreieck macht (Fig. 197); dann liegt das Innere des Dreiecks für alle drei Geraden auf der positiven Seite.

Es seien At = 0, A₂ = 0, A₃ = 0 die Normalformen der Gleichungen der drei Geraden. Dann sind

A₂ Aß = 0, As Ax = 0, A₁ A₂ — 0 die Gleichungen der Winkelhalbierenden, und

A₂ -j- As = 0, Aß + Ax — 0, A^ -f- A₂ = 0

sind die Gleichungen der Halbierungslinien der Außenwinkel (§ 58, 5.). Es bestehen dann die Identitäten

(A₂ — Aß) + (Aa — Ax) -f (At — A₂) = 0,

(A₂ — Aß) + (Aß + At) — (Ax 4- A₂) = 0,

und diese besagen, daß sich die Halbierungslinien der Innenwinkel einerseits, und die Halbierungslinien zweier äußeren und des dritten Innenwinkels andererseits in je einem Punkte schneiden.

2. Bezeichnen wir mit alf <x₂, a₃ die drei Winkel unseres Dreiecks, so haben wir für einen Punkt der Höhe auf (2, 3), wie die Fig. 199 zeigt,

A₂ : Aß — cos a₃ : cos a₂,

und daher sind die Gleichungen der drei Höhen:

Wenn man hier die linken    Seiten addiert,    so erhält man identisch

0 und damit den Beweis des Satzes, daß sich die drei Dreieckshöhen in einem Punkte schneiden.

2'

Fig. 199.

Fig. 200.

3. Für die Linien, die von den Ecken nach den Mitten der Gegenseiten führen, erhalten wir ebenso leicht die Gleichungen:

A₂ sin a₂ — A₃ sin a₃ = 0,

A₃ sin cc₃ — Ax sin ax = 0,

Ax sin ax — A₂ sin cc₂ = 0,

und aus

(A₂ sin cc₂ — A₃ sin cc₃) + (A₃ sin a₃ — At sin o^)

+ (Ax sin ax — A₂ sin cc₂) = 0

folgt dann wieder, daß sich diese drei Geraden in einem Punkte schneiden.

4. Der Satz von Desargues. Es seien Ux, U₂, U₃ drei Geraden, die sich in einem Punkte schneiden. Wir können dann, indem wir geeignete konstante Faktoren in die Bezeichnung TJX, U₂, U₃ mit hineinnehmen,

(1)

ux + U₂ + U₃ = 0

setzen. Nun nehmen wir ein Dreieck, dessen Ecken auf den Geraden TJX, U₂, U₃ liegen, und die Seiten dieses Dreiecks mögen die Gleichungen ux = 0, u₂ = 0, u₃ = 0 haben.

Wenn sich u₂, u₃ auf Ux schneiden sollen, so müssen sich die Zahlenfaktoren mx, nx so bestimmen lassen, daß

Ux = mxu₂ — nxu₃,

und ebenso folgt

U₂ = m₂u₃ — n₃u1}

U₃ = m₃ux — n₃u₂.

Es ergibt sieh aber aus (1), weil sich ux, u₂, u₃ nicht in einem Punkte schneiden: n₂ = m₃, n₃ = mt, n₁ = m₂, und wenn man also wieder die m, n in die Bezeichnung der u mit aufnimmt, so kann man setzen:

Ui — u₂    u₃,

U₃ = ux — u₂.

JJ₂ — u₃ uX}

Ist also vx, v₂, v₃ ein zweites Dreieck, dessen Ecken gleichfalls auf U1} U₂, U₃ liegen, so erhalten wir

(2)

und daraus:

Ui =u₂ — n₃ = v₂ — v₃, U₂ s u₃ — Ui =v₃ — v1} U₃ = Ui u₂ = Vi v₂j

(3)

uL — vx = u₂ — v₂ = u₃ — v₃ = V.

Es ist also V — 0 die Gleichung einer Geraden, auf der sich die drei Linienpaare uu vx, u₂, v₂; u₃, v₃ schneiden, und dies ist der Satz von Desargues, den wir so formulieren können:

Wenn sich die Ecken zweier Dreiecke einander so zuordnen lassen, daß sich die drei Verbindungslinien je zweier entsprechender Ecken in einem Punkte schneiden, so liegen die drei Schnittpunkte entsprechender Seiten auf einer Geraden.

Der Satz gilt auch umgekehrt. Denn wenn sich entsprechende Seiten der beiden Dreiecke in drei Punkten einer Geraden schneiden, so kann man die Gleichungen der Dreiecksseiten in einer Form annehmen, daß die Identitäten (3) befriedigt sind, aus denen dann rückwärts (2) und (1) folgen.

§ 61. Die Sätze von Ceva und Menelaos.

1. Neben der Normalform wollen wir noch eine zweite besondere Form der Gleichung einer Geraden betrachten, die auf dem Ausdruck für den Flächeninhalt eines Dreiecks (§ 57, (3)) beruht. Es seien ax, bx] a₂, b₂ die Koordinaten zweier Punkte 1, 2 auf der Geraden g. Die Richtung von 1 nach 2 soll die positive Richtung dieser Geraden sein (Fig. 201). Es sei ferner p ein beliebiger Punkt der Ebene mit den Koordinaten x, y. Dann ist

z/ = x (bx — b₂) — y (ax — a₂) + ax b₂ — a₂ bx

der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks (12p), positiv gerechnet, wenn p auf der positiven Seite von g liegt, im anderen Falle negativ.

Wenn der Punkt p in die Gerade g hineinfällt, so wird z/ — 0, und dies ist also die Gleichung der Geraden.

'2

z-

C3

l3

Fig. 201.

Fig. 202.

2. Um hiervon eine Anwendung zu machen, nehmen wir ein Dreieck 123, dessen Ecken so numeriert seien, daß das Innere des Dreiecks auf der positiven Seite von 23, 31, 12 liegt. Die Gleichungen der Seiten dieses Dreiecks können in die Form gesetzt werden :

= x (b₂ — b₃) — y (a₂ — a₃) + a₂ b₃ — as b₂ = 0 A₂ = x (6S — bi) —y (a₃ — at) + a₃\ — atb₃ = 0 Az=x (bt — b₂) — y (at — a₂) + atb₂ — a₂\ = 0.

Es sind dann, wenn x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes p sind, z/1? z/₂, z/₈ die doppelten Flächeninhalte der Dreiecke (23p), (31p), (12p) (mit Rücksicht auf das Vorzeichen, also alle drei positiv, wenn der Punkt p im Innern des Dreiecks liegt).

3. Wir wollen nun die Seite 23 unseres Dreiecks durch zwei Punkte atf a) innerlich und äußerlich in dem Verhältnis zweier Strecken c₂ : c₃ teilen. Wenn dann p auf der Verbindungslinie leq liegt, so stehen die Dreiecksflächen (lp2) und (lp3) in dem Verhältnis c₂:c₃. Denn sie haben dieselbe Grundlinie lp, und ihre Höhen stehen in dem Verhältnis c₂ : c₃. Daraus ergibt sich, daß für einen solchen Punkt z/₂ : z/₃ = c₂ : c₃ ist.

Demnach haben Avir die Gleichung der Geraden (leq):

Ebenso ergibt sich für die Verbindungslinie 1 die Gleichung

= 0.

4 i 4

C2

^ C3

Jetzt teilen wir ebenso die Seiten 31 im Verhältnis c₃ : cx durch die Punkte cc₂, a₂ und 12 im Verhältnis c₁ :c₂ durch die Punkte a₃, a₃, und wir erhalten für die Gleichungen der sechs Geraden, die von den Ecken nach diesen Teilpunkten führen:

4    4

(1)

C2

(2)

vr +

CB

= 0,

= 0,

cP LP *P ji*

= 0,

= 0.

Man hat aber:

/ 4_

\Cg

CS

C3

Cl

)+

C1

C2

•)=0'

I«/, 2a₂, 3a₃'

1    ,    2 #₂, o (^3

in je einem Punkte schneiden (Fig. 203 a. f. S.). Dies ist der (erweiterte) Satz des Ceva.

4. Wir betrachten ferner die geraden Linien, die durch die zwei Gleichungen dargestellt sind:

(3)

cP ;> P |>

41 « 4l «

cPj> cP|>

= 0.

Die erste dieser Gleichungen ist erfüllt, wenn zugleich

4 i 4

c₂ cs

und

gleich Null sind, also für den Punkt «/, und auf gleiche Weise sieht man, daß sie in den Punkten a₂, ccä' erfüllt ist, daß also diese drei Punkte auf einer geraden Linie liegen. Die zweite Gleichung (3) ist ebenfalls in dem Punkte a/ erfüllt, außerdem aber in den Punkten a₂, a3 und daher liegen auch die drei Punkte cct', a₂, a₃ in gerader Linie;

§ 62. Der Kreis.

1. Sind a, b und x, y die Koordinaten zweier Punkte, so ist nach dem Pythagoreischen Lehrsatz

r¹ 2 = (x — a)² -f (y — b)²

das Quadrat der Entfernung dieser beiden Punkte. Sind also a, b, c gegebene Größen, so liegen alle Punkte x, y, deren Koordinaten der Gleichung

(i)

(2)

und ebenso findet man, daß die Punkte ux, cc₂, a₃ und ax, a₂, cc₃' je in einer geraden Linie liegen (Fig. 203). Das ist der Satz des Menelaos.

Wenn man in dem Dreieck (123) auf (23) den Punkt ctx und auf (31) den Punkt a2 beliebig annimmt, so kann man den Punkt a₃ eindeutig konstruieren, wenn man 1 mit ax und 2 mit a₂ verbindet und den Schnittpunkt dieser beiden Geraden mit 3. Die letzte'Verbindungslinie schneidet auf (12) den Punkt cc3 aus. Verbindet man dann cc2 mit as, so schneidet diese Verbindungslinie die verlängerte Seite (23) in dem Punkte ax' und so die übrigen. Die Punkte 2, 3 und ax, ccx sind harmonische Punktepaare.

2^-

VIR

i.

\N

's

Fig. 203.

Kreises (2) sind a = — afm, &=—ß/m und der Radins c=]/cfl-{-ß²—my/m. Damit also der Radius reell sei, muß my < cfl -(- ß² sein. Wenn my = a² + ß² ist, dann wird c = 0, und es gibt einen einzigen Punkt, der der Gleichung (2) genügt. Solche Kreise, die sich auf einen Punkt reduzieren, heißen Punktkreise.

2. Wenn ein Punkt P mit den Koordinaten x, y nicht auf dem Kreise K liegt, so wird für diesen Punkt der Ausdruck K nicht gleich Null. Bezeichnen wir den Abstand des Punktes xy vom Kreismittelpunkte mit r, so ist

und es wird

r² == (x — a)² -f (y — b)²,

(3)

K = r² — c² = (r — c) (r + c).

¹

(x — a)* -f {y — b)² — c² = 0

genügen, auf einem Kreise mit dem Mittelpunkte a, b und dem Radius c. Daher heißt K= 0 die Gleichung dieses Kreises in demselben Sinne, wie wir von der Gleichung einer Geraden gesprochen haben. Wir nennen (1) die Normalform der Kreisgleichung. Die allgemeine Form L — 0 erhalten wir, wenn wir K mit einem von Null verschiedenen Zahlenfaktor multiplizieren.

Jede Gleichung von der Form

²

x² -f y²) -f- 2ccx -f 2ßy -f y = 0,

in der m, a, ß, y gegebene Größen sind, ist eine Kreisgleichung. Denn setzen wir

— ma, ß = — mb, y = m(a² -)-&² — c²), so geht die Gleichung (2) in (1) über. Die Mittelpunktskoordinaten des

Diese Größe heißt die Potenz des Punktes xy in bezug auf den Kreis K. Die Potenz läßt sich in verschiedener Weise geometrisch deuten: Liegt der Punkt P außerhalb des Kreises, so ist r² — e2 positiv. Man kann von P aus zwei gleich lange Tangenten t an den Kreis legen, und aus dem rechtwinkligen Dreieck OTP (Fig- 204) ergibt sich

fl = r² — c².

Die Potenz ist also das Quadrat der Tangente, die man von dem Punkte P aus an die Kreisperipherie legen kann.

■P

v\

Ti

Fig. 205.

Fig. 204.

Nach dem zweiten Ausdruck (3) ist die Potenz auch gleich dem Produkt der beiden Abschnitte PQ • PP, die der Kreis auf der Verbindungslinie von P mit dem Mittelpunkte bildet. Diese letztere Erklärung der Potenz bleibt auch bestehen, wenn P ein innerer Punkt ist. Dann ist die Potenz zwar negativ, und es ist PQ = c — r, PR = c + r, die Potenz ist also gleich dem negativen Produkt dieser beiden Strecken, also auch gleich dem negativen Quadrat der kleinsten durch P gehenden Halbsehne.

3. Es sollen jetzt die Schnittpunkte des Kreises K mit einer geraden Linie g untersucht werden. Die Gerade g möge durch den Punkt P mit den Koordinaten x, y gehen und, in einer bestimmten Richtung positiv gerechnet, mit der positiven x- Achse den Winkel a einschließen. Es seien |, rj die Koordinaten eines veränderlichen Punktes jt auf der Geraden und q der Abstand Pnr, positiv gerechnet, wenn tc von P aus in der positiven Richtung der Geraden g liegt, sonst negativ. Dann ist (§ 57, 5.)

I — X = q cos cc, rj — y = q sin cc.

Soll nun der Punkt % auf dem Kreise K liegen, so müssen rj der Gleichung genügen

^-a)²+(rj-b)²-c² = 0;

daher ist

(p cos a-j-x — a)² + (p sin cc Ą- y — b)² — c² = 0 oder endlich durch Auflösung der Quadrate

(4) q² -f 2 g ((x — a) cos ccĄ- (y — b) sin cc) + ((x — ä)² + (y — b)² — c²) = 0.

Wir haben also eine quadratische Gleichung für q, deren beide Wurzeln wir mit p₁₇ bezeichnen, und es ist nach Bd. I, § 50, 3.

(5)

Q1Q2 = {x — a)² — (y — b)² — c²,

also von dem Winkel a unabhängig und gleich der Potenz des Punktes x, y in bezug auf den Kreis.

Es ist dies eine Verallgemeinerung der oben gegebenen Deutungen der Potenz.

Bezeichnen wir mit r den Ab-

stand des Punktes P vom Kreismittelpunkt 0, mit ß den Winkel, den die Richtung PO mit der positiven x-Achse bildet, und mit & den Winkel a — ß, so ist

a — x = r cos ß, b — y = r sin ß,

Fig. 206.

und folglich (x — a) cos a + (y — b) sin a = — r cos &.

Die Gleichung (4) erhält daher die Gestalt

(6)

q² — 2qt cos & + r² — c² = 0,

die sich auch nach dem Kosinussatz ableiten läßt, und man sieht so leicht, daß und q₂ die Abschnitte PQ und PR sind.

Die Diskriminante dieser Gleichung ist (Bd. I, § 47 (2))

4 (r² cos ©² — r² -f- c²) = 4 (c² — r² sin 0²).

Diese ist immer positiv, wenn r² < c², der Punkt P also innerhalb des Kreises liegt. Für einen inneren Punkt sind also beide Wurzeln p1; p₂ immer reell. Ist aber P ein äußerer Punkt, so sind qx, p₂ nur reell, wenn sin ©²<c²/r² ist. Die Werte sin & = + cjr entsprechen den beiden von P ausgehenden Tangenten an den Kreis.

§ 63. Schnittpunkte zweier Kreise.

1.    Aus der Geometrie ist bekannt, daß sich zwei Kreise in zwei Punkten schneiden können. Sollen die Schnittpunkte zweier Kreise Kx, K₂ analytisch bestimmt werden, so handelt es sich um die Bestimmung der Werte der Unbekannten x, y aus den zwei Gleichungen Kx = 0, K₂ = 0, die beide vom zweiten Grade sind. Es ist eine besondere Eigentümlichkeit dieser Gleichungen, daß sie auf eine Gleichung zweiten Grades zurückführbar sind, und dies beruht darauf, daß die Glieder zweiter Ordnung in beiden Gleichungen in derselben Verbindung, nämlich in der Verbindung x² + y² Vorkommen. Infolgedessen ist die Differenz Kx — K₂, die ja auch in den Schnittpunkten von Kx und K₂ verschwindet, nur vom ersten Grade, und Kx — K₂ = 0 ist daher die Gleichung einer Geraden. Man hat also nur die Schnittpunkte dieser Geraden mit einem der beiden Kreise aufzusuchen. Wir wollen hier die quadratische Gleichung, von der das Problem abhängt, direkt aus den gegebenen Gleichungen Kx = 0, K₂ = 0 ableiten.

2.    Es sei also

Kx = (x — ax)² (y    — c²,

Wenn wir

K₂ = (x- a₂)² + (y- d₂f — c².

x — ax = cx cos ff, y — bx = cx sin ff

setzen, so ist Kx für jeden Wert von ff gleich Null; es sind x, y die Koordinaten eines beliebigen Punktes des ersten Kreises, und ff ist der Winkel, den der nach diesem Punkt gezogene Radius dieses Kreises mit der x- Achse bildet. Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung des zweiten Kreises ein, so ergibt sich eine Gleichung für ff, die erfüllt sein muß, wenn der Punkt xy auf beiden Kreisen liegen soll. Diese Gleichung lautet

(ax — a₂-{-cx cos ff)² -f (bx — b₂Ą-cx sin ff)² — c₂² = 0.

Bezeichnen wir mit e die Entfernung der Mittelpunkte der beiden Kreise, so ist e² = («q — a₂)² -j- (bt — b₂)², und die vorige Gleichung erhält die Form

e² — c₂² -f c² + 2 cx [(% — a₂) cos fr + (bx — b₂) sin fr] = 0.

Hieraus läßt sich auf verschiedene Weise eine quadratische Gleichung ableiten, z. B. für sin fr oder für cos oder tang fr. Am einfachsten wird wohl die Rechnung, wenn wir nach § 29 (11)

tang y

—t²

setzen. Man kann dann x, y rational durch t ausdrücken in der Form

. l — *2 x <q -(- Cj i J ,

cos -O’ = ~

• a    2t

sm » = r+?

7    ,    2 t

y °i "F C1 i _j_ ^2 :

und es ist also der Punkt xy durch t eindeutig bestimmt. Für t ergibt sich dann die quadratische Gleichung

(e² — c₂² -F cx²) (1 + t²) + 2cx [(cq — a₂) (1 — t²) + 2 (Zq — &₂)tf] = 0 oder geordnet:

f [e² — c₂² + c² — 2ct (cq - a₂)] + 4cx (bx — b₂) t + (ß2 — c2² ~F G²) “F 2 cx (tq — a₂) = 0, die sich nach der allgemeinen Methode auflösen läßt.

3. Wir bilden noch die Diskriminante _D dieser Gleichung:

D = 16c₁²(6₁ - b₂)² — 4 [(e² - c₂² + q²)² - 4q²(<q — <q)²]

= 16 c² e² — 4 (e² — c₂ -f q²)2 die sich folgendermaßen in Faktoren zerlegen läßt:

D = — 4(e + c₁ + c₂) (e + q — c₂) (e — q + c₂) (e - q — c₂). Nehmen wir q c₂ an, so ist D positiv, wenn

Cx — C₂ 6 Cx -\- C₂

ist, und nur in diesem Fall haben also die beiden Kreise reelle Schnittpunkte, ein Resultat, das ja auch geometrisch evident ist.

Wird e = q -f- c₂ oder = q — c₂, so verschwindet D. Die beiden Schnittpunkte fallen in einen Berührungspunkt zusammen.

§ 64. Ähnliclikeitspunkte und Ähnliclikeitsachsen.

1. Zwei Kreise K1} K₂, die kein Gebiet der Ebene gemeinschaftlich einschließen, haben vier gemeinschaftliche Tangenten, von denen wir zwei als innere, zwei als äußere bezeichnen. Die Schnittpunkte cc, a

der gemeinsamen Tangenten mit der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte mx, m₂, die wir die Zentrale nennen, teilt den Mittelpunktsabstand innerlich und äußerlich im Verhältnis der Radien, wie sich aus den ähnlichen Dreiecken mxnxa, m₂n₂u und mxnx'a, m₂n₂'a ergibt (Fig. 207).

Die Punkte a, a heißen der innere und der äußere Ähnlich-keitspunkt der beiden Kreise.

Für den Fall, daß die beiden Kreise einander schneiden, existieren diese Punkte a, u ebenfalls.

Aber nur von dem äußeren

keitspunkte aus lau-gemeinschaftliche Tangenten an die beiden Kreise.

Wenn der eine Kreis von dem anderen umschlossen ist, so kann man auch dann noch die beiden Punkte finden, aber sie liegen beide in dem innern Kreise, und durch keinen von ihnen gehen Tangenten an die Kreise.

Man kann diese Punkte in allen Fällen dadurch finden, daß man in beiden Kreisen parallele Durchmesser zieht und die Endpunkte dieser Durchmesser verbindet.

Ähulich-

fen

ci!

L'.

Fig. 207.

2. Betrachten wir nun ein System von drei Kreisen Kx, K₂, K3 mit den Radien cx, c₂, c₃, den Mittelpunkten mx, m₂, m₃, die die Koordinaten axbx, a₂b₂, a₃b₃ haben und nicht in gerader Linie liegen, so haben wir für je zwei von ihnen zwei Ahnlichkeitspunkte ccxccX} cc₂a₂, a₃a₃, die die Seiten des Dreiecks mxm₂m₃ innerlich und äußerlich im Verhältnis c₂ : c₃, c₃ : cx, cx : c₂ teilen, und wir können auf dieses Dreieck den Satz des Menelaos (§ 61, 4.) anwenden. Danach liegen

die Punkte ax a₂ cc₃ auf einer Geraden Ä,

<xx cc₂    cc₃    ,,    ,,

ccx cc₂    cc₃    ,,    ,,

CC-^ CC2    CCg    jy

und diese vier Geraden heißen die Ähnlichkeitsachsen der drei Kreise, A die äußere, die drei anderen die inneren Ähnlichkeitsachsen.

ff

ff

ff

ff

ff

ff

Setzen wir wie in § 61, 2.:

ff

ff

ff

if

M₂,

d-3f

4x=x (b₂ — by —y (a₂ — a₃) + a₂b₃ — a₃b₂, 4₂ = x (b₃ — by — y (a₃ - ax) + a₃bx - axb₃, J₃==x (bx — b₂) — y (ax — a₂) + axb₂ — a₂bt, so ist die Gleichung der äußeren Ahnliehkeitsachse

■4

C1    C2    C3

und man erhält die drei inneren Ähnlichkeitsachsen daraus, wenn man c1} c₂ oder c₃ durch — cx, — c₂, — c₃ ersetzt.

60. Potenzachse und Potenzzeutrum.

1. Es seien

Kx = {x- ax)² + (y - bj - cx² = ,

K₂ = (x- a₂)² + (y — b₂)² — c₂² =

die Gleichungen zweier nicht konzentrischer Kreise in der Normal-form. Es ist dann

(1)

K₁ — K₂ = 2x (a₂ - Ojl) + 2y (b₂ - by

+    by — a₂² — b₂² -— cx² -f c₂²

ein Ausdruck ersten Grades in x, y und die Gleichung

(2)

K,-K₂ = 0

stellt also eine gerade Linie dar, die wir die Potenzachse der beiden Kreise nennen wollen. Sie ist der geometrische Ort aller der Punkte der Ebene, die für beide Kreise dieselbe Potenz haben.

Die Gleichung (2) ist erfüllt, wenn Kx und K₂ beide = 0 sind.

Wenn sich also die beiden Kreise schneiden, so geht ihre Potenzachse durch die Schnittpunkte. Daher heißt diese Linie auch die gemeinsame Sekante der beiden Kreise. Dieser Ausdruck ist, genau genommen, nur dann gerechtfertigt, wenn sich die beiden Kreise in zwei Punkten schneiden. Wenn sich die Kreise berühren, so ist die gemeinschaftliche Tangente Potenzachse.

Die Potenzachse steht senkrecht auf der Zentrale. Denn bezeichnen wir mit a den Winkel, den die Normale an die Potenzachse mit der Æ-Achse einschließt, so ergibt sich aus (1) nach § 58, (7):

tg a = hllK

und diese Normale hat also dieselbe Richtung wie die Verbindungslinie der Mittelpunkte.

2. In bezug auf die Lage der beiden Kreise haben wir drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Kreise sich schneiden, oder der kleinere in dem größeren liegt, oder endlich beide Kreise ganz auseinander liegen.

Bezeichnen wir mit e den Abstand der beiden Mittelpunkte und nehmen cx>c₂ an, so sind diese drei Fälle folgendermaßen gekennzeichnet

1)

2)

0 <C! cx Cg e < cx -(- Cg, c <C Cg,

3)

e > c-L H~ Cg.

Ist % der Abstand eines Punktes auf der Zentrale, vom Mittelpunkte mx des ersten Kreises gegen m.₂ hin positiv gerechnet, so ist für den Schnittpunkt der Potenzachse mit der Zentralen

also

2|e = e² -f- cx — c₂².

Hieraus ersieht man zunächst, daß £ immer positiv ist. Die Potenzachse liegt also, vom Mittelpunkte des großen Kreises aus gesehen, immer nach der Seite des Mittelpunktes des kleinen Kreises. Im Falle 1) ergibt sich aus

(3)

e² + cia— c2

(C1__cä) (cl ~T~ cä)

wenn man cx + c₂ durch das zu kleine oder cx — c₂ durch das zu große e ersetzt:

6 -j~ cx Cg < 2 è, <C c -j- cx -j- Cg,

und mit Rücksicht auf 1):

e < e + cx — Cg < 2| < e + cx -)- c₂ < 2e.

Es liegt also | zwischen \e und e, und die Potenzachse geht zwischen beiden Kreismittelpunkten durch, aber näher am zweiten. Im Falle 2) ist c₂ < cx — e und folglich

Ofc    . G²— e₂²    eH —    — e)²    ₀

2| = e + - e ²--> C + -¹---- = 2c1?

also liegt die Potenzachse außerhalb der beiden Kreise, nach der Seite des kleineren.

e ersetzt:

und folglich

Im Falle 3) folgt aus (3), wenn man cx + c₂ durch das zu große 2 £ < e -j- cx Cg,

Cj^C ^ Cg.

Es verläuft also die Potenzachse zwischen den beiden Kreisen, und zwar näher an dem großen als an dem kleinen Kreise.

3. Betrachten wir jetzt ein System von drei Kreisen Klf K₂, Ks, deren Mittelpunkte nicht in gerader Linie liegen, so haben je zwei von diesen eine Potenzachse:

k₂-k₃ = o, k₃-kx = 0, k,-k₂ = 0,

die wir mit plf p₂, pä bezeichnen wollen. Da aber

(K₂-K₃) + (Ą-KJ -f {Kx-K₂) = 0

ist, so schneiden sich diese drei Geraden in einem Punkte, der das Potenzzentrum heißt. Wir bezeichnen ihn mit P. Dieser Punkt hat für alle drei Kreise dieselbe Potenz, und es ist der einzige Punkt, der diese Eigenschaft hat.

(p

Vig. 209.

Fig. 208.

Liegt das Potenzzentrum außerhalb des einen Kreises, so liegt es auch außerhalb der beiden anderen, und es lassen sich von ihm aus sechs Tangenten an die drei Kreise legen, die alle von gleicher Länge sind.

Die sechs Berührungspunkte liegen also auf einem Kreise, der seinen Mittelpunkt in P hat. Dieser Kreis heißt der Orthogonalkreis der drei gegebenen Kreise, weil in seinen Schnittpunkten mit jedem der gegebenen Kreise die Tangenten beider Kreise aufeinander senkrecht stehen (Fig. 208).

Wenn aber das Potenzzentrum im Innern des einen der drei Kreise liegt, so liegt er auch im Innern der beiden anderen, weil die Potenz dann negativ ist, und es gibt keinen Orthogonalkreis (Fig. 209).

Der letzte Fall, daß kein Orthogonalkreis vorhanden ist, daß also die Potenz des Punktes P für alle drei Kreise negativ ist, kann nur dann eintreten, wenn sich je zwei der gegebenen Kreise in zwei Punkten schneiden und diese beiden Schnittpunkte durch den dritten Kreis voneinander getrennt sind.

Wenn sich nämlich zwei der Kreise, etwa Kt und K₂, nicht schneiden, so ist auf der ganzen Potenzachse p₃ und folglich auch in P die Potenz positiv. Schneiden sich die beiden Kreise aber in zwei Punkten a, ß, so ist die Potenz nur auf der Strecke aß negativ und wenn also die Potenz in P negativ sein soll, so muß P auf dieser Strecke liegen.

Lassen wir einen Punkt n auf der Linie p₂ wandern, so wird die Differenz Kä — nur einmal, nämlich in P, gleich Null, und sie wechselt beim Durchgang von jz durch den Punkt P das Vorzeichen. Wenn also P zwischen a und ß liegt, so muß K₃ — und folglich auch K₃ selbst in a und ß entgegengesetzte Vorzeichen haben, d. h. es muß von den beiden Punkten a, ß der eine innerhalb, der andere außerhalb des Kreises K₃ liegen.

§ 66. Die Ellipse.

1.    Die Kreislinie ist definiert als der Inbegriff (der geometrische Ort) aller Punkte, die von einem festen Punkte, dem Mittelpunkte, die gleiche Entfernung haben. W ir verallgemeinern nun diese Definition, indem wir statt des einen Punktes deren zwei nehmen, die wir die Brennpunkte nennen, und definieren als

Ellipse den Inbegriff aller der Punkte, für die die Summe der Entfernungen von den beiden Brennpunkten einen konstanten Wert hat.

2.    Aus dieser Definition läßt sich zunächst eine Erzeugungsweise der Ellipse ableiten, die fast ebenso einfach ist wie das Zeichnen eines Kreises mittels des Zirkels (Fig. 210).

Man befestige in den beiden Brennpunkten f und f zwei Stifte. Hierauf knüpfe man einen Faden zu einem geschlossenen Ring, dessen Umfang 2a-\-2c größer ist als die doppelte Entfernung 4 c der beiden Brennpunkte, und lege diese Schleife um die beiden Stifte in f und f. Dann spanne man die Schleife mittels eines Schreibstiftes p zum Dreieck (ff'p) und führe den Schreibstift auf der Zeichenfläche herum, indem man den Faden immer gespannt erhält. Der Stift p beschreibt dann eine Ellipse, da wir den Faden als undehnbar voraussetzen und daher der Umfang des Dreiecks (ff'p) und folglich auch die Summe der

30

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

Seiten fp -f- f'p eine unveränderliche Länge haben. Die Kurve wird dem Kreise um so ähnlicher, je näher bei gleichbleibender Fadenlänge die beiden Brennpunkte einander liegen.

p"

A]

-Ar

V,

,/A

B'

Fig. 2)0.

Fig. 2X1.

3. Will mau an Stelle der Fadenerzeugung eine exakte Konstruktion setzen, so verfahre man so (Fig. 211): Man ziehe von dem einen der Brennpunkte, etwa von f aus, einen Strahl fg von der Länge 2 a in beliebiger Richtung. Hierauf verbinde man g mit f und halbiere diese Strecke in h. Die Mittelsenkrechte hp auf fg schneidet auf der Strecke fg einen Punkt p der Ellipse aus, denn das Dreieck (fpg) ist gleichschenklig und folglich f'p -f- fp = fg = 2a. So kann man bei gegebenen Brennpunkten und gegebener Länge 2a auf jedem von f auslaufenden Strahl einen und nur einen Punkt der Ellipse finden; f'p ist immer kleiner als 2a. Die Kurve ist daher geschlossen und ist ganz in einen Kreis eingeschlossen, der um den Punkt f mit dem Radius 2 a beschrieben ist.

4. Einige andere Eigenschaften der Ellipse ergeben sich unmittelbar aus der Definition.

Wenn ein Punkt p der Ellipse angehört, so liegt der Punkt p\ der durch Spiegelung an der Verbindungslinie AÄ der Brennpunkte aus p entsteht, gleichfalls auf der Kurve, denn es ist

f'P + fP = f'P + fP,

und ebenso liegt der Punkt p"f der durch Spiegelung von p an der Mittelsenkrechten BB' zu ff entsteht, auf der Kurve., Die beiden zueinander rechtwinkligen Linien AÄ. und BB' teilen also die Ellipse in vier symmetrische und kongruente Teile (Fig. 210).

Der Punkt M, der in der Mitte zwischen f und f liegt, heißt der Mittelpunkt der Ellipse. Die Linien AÄ, BB' heißen die Hauptachsen, die Punkte A, A', B, B', in denen die Kurve von den Achsen geschnitten wird, die Scheitel. Die Strecke AÄ' hat die Länge 2 a, denn es ist, weil A ein Kurvenpunkt ist, f'A -f fA = 2a, und wegen der Symmetrie ist fA = f'A'. Folglich ist

fÄ+fÄ = ÄÄ=2a.

Die Strecke AÄ heißt die große Achse der Ellipse.

Die Strecke BB' wird die kleine Achse genannt und mit 2b bezeichnet. Die Längen MA = a, MB = b heißen auch die große und kleine Halbachse.

Es heißt ferner Mf = Mf' = c die lineare Exzentrizität der Ellipse. Das Verhältnis von c zu a, also den Bruch nennt man die numerische Exzentrizität. Während also die lineare Exzentrizität eine Strecke ist, die in irgend einem Längenmaß gemessen sein kann, ist die numerische Exzentrizität eine reine Zahl und zwar ein echter Bruch. Je kleiner dieser Bruch ist, um so mehr nähert sich die Ellipse der Kreisgestalt. Der Kreis ist eine Ellipse mit der Exzentrizität Null. Da f'B fB = 2a ist, so ist fB = a, und aus dem rechtwinkligen Dreieck BMf ergibt sich nach dem Pythagoreischen Lehrsatz die Relation:

(1)

a² = b² + c².

5. Ein Strahl, der vom Mittelpunkte ausläuft, trifft die Ellipse stets in einem und nur einem Punkte. Denn läßt man auf diesem Strahl einen veränderlichen Punkt P vom Nullpunkte aus stets in derselben Richtung wandern, so wächst die Summe Pf Pf' von 2c an über alle Grenzen, und wird also einmal jeden Wert, der größer ist als 2c, also auch den Wert 2a, annehmen.

Verlängert man den Strahl nach rückwärts, so wird er in der gleichen Entfernung auf der entgegengesetzten Seite die Kurve wieder treffen. Das zwischen diesen beiden Punkten gelegene Stück des Strahles heißt ein Durchmesser der Ellipse.

§ 67. Die Hyperbel.

1. Die Konstruktion, die wir in Nr. 3 des vorigen Paragraphen angegeben haben, läßt sich auch ausführen, wenn a kleiner als c ist. Sie führt aber dann zu einer Kurve, deren Punkte p der Bedingung

30*

genügen, daß die Differenz f'p— fp eine Konstante 2a ist. Diese Kurve heißt Hyperbel (Fig. 212).

Bei einer bestimmten Richtung des Strahles f'g (Fig. 213) kann der Fall eintreten, daß fg auf f'g senkrecht steht; dann werden fp und hp parallel und der Punkt p rückt in unendliche Entfernung.

Bezeichnen wir den Winkel gf'f mit ff, so tritt dieser Fall ein,

ff/

ff

fk

Fig. 212.

Fig. 213.

wenn cos ff = a/c ist. Die hierdurch bestimmte Richtung heißt die asymptotische Richtung.

Nimmt man den Winkel ff noch größer an, so trifft die Linie hp den Strahl f'g gar nicht mehr, wohl aber seine Verlängerung nach rückwärts in einem Punkte p, für den dann fp' — f'p' — 2a ist. Auf diese Weise entsteht ein zweiter Zweig, der das Spiegelbild des ersten ist, und dieser gibt mit dem ersten zusammen erst die vollständige Hyperbel (Fig. 212). Daß die beiden Zweige der Hyperbel zusammengehören, hat bereits Apollonius erkannt.

Die Punkte A, Ä, in denen die Kurve von der Verbindungslinie ff' getroffen wird, heißen die Scheitel der Hyperbel. Ihre Entfernung AA\ die gleich 2a ist, heißt die Hauptachse der Hyperbel. Ihr Mittelpunkt M ist auch der Mittelpunkt der Hyperbel, und die in ihm errichtete Senkrechte auf die Achse, die die Kurve in keinem Punkte trifft, heißt die Nebenachse.

§ 68. Gleichung der Ellipse und Hyperbel.

1. Um die Ellipse durch eine Gleichung im Sinne der analytischen Geometrie auszudrücken, brauchen wir nur die angegebene Konstruktion in Formeln zu übertragen.

Wir wollen ein Koordinatensystem annehmen, dessen Anfangspunkt im Brennpunkte f liegt, und dessen positive x- Achse mit der Richtung von f nach f zusammenfällt. Die y- Achse stehe darauf senkrecht und möge positiv nach oben gerechnet sein.

Wir bezeichnen mit x, y die Koordinaten eines Punktes p und mit r, r die Entfernungen pf, pf. Es ist dann

(1)

r² = x² + y²

und für die Ellipse

(2)

r + r = 2a.

Wenn nun & der Winkel ist, den f'p und die positive «-Achse einschließen, so ist

(3)

und nach dem Kosinussatz:

(4)

r ² = r² -f- 4c² — 4rc cos

Nach (2) ist und folglich nach (4)

r'² = 4a² — 4ar -|- r²,

r(a — c cos = a² — c², und nach § 66, (1) ist a² — c² = b², also

(5)

a — c cos &

Dies ist die Gleichung der Ellipse in Polarkoordinaten.

Sie wird noch etwas einfacher, wenn man b²:a=p, c:a=^e setzt:

<fi)

1 — e cos &

Die Zahl e haben wir schon früher als die numerische Exzentrizität bezeichnet. Die Strecke 2p heißt der Parameter der Ellipse. Es ist nämlich p der Wert, den r für -9, = jr/2 (cos-9, = 0) erhält, und folglich ist 2p die Sehne der Ellipse, die in f (oder in f) auf der großen Achse senkrecht steht.

Die Exzentrizität e ist immer ein echter Bruch, und folglich ist 1 — e cos tt immer positiv. Für e — 0 wird nach (6) r — p, d. h. r konstant, also die Kurve ein Kreis.

2. Um die Gleichung der Ellipse in rechtwinkligen Koordinaten zu erhalten, leiten wir aus (5) und (3) zunächst ab:

ar = b² + cx,

und durch Quadrieren mittels (1)

a²(x² -f y²) = &⁴ + 2cb²x + e²«²

oder

b²x² + a²y² — 2cb²x = &⁴. Dafür können Avir auch setzen

b²(x — c)² -f a²y² = &⁴ -f b²c²,

oder, da b² -f- c² = a² ist:

(7)

b²(x — c)² -f a²y² = a²b'\

Nehmen wir ein Koordinatensystem xl} yx, dessen Achsen dieselbe Richtung haben wie die von x, y, dessen Anfangspunkt aber im Mittelpunkte liegt, so ist xx = x — c, yx = y, und wir erhalten die Gleichung der Ellipse, bezogen auf das neue Koordinatensystem, dessen Achsen die Hauptachsen sind, in der Form:

oder auch

(8)

b²xx² -f a²y² = a²b²,

i hl — 1

a² ^ b²

3. Bei der Hyperbel hat man für die beiden Zweige verschiedene 'Bedingungen, für den einen, den wir den ersten nennen wollen, der den Brennpunkt f umschließt, ist

(9)

und für den anderen ist

r = r -f- 2a,

<10)

r = r — 2a.

Setzen wir in der Gleichung (4) nach (9) r² = r² + 4ar -f 4a², so ergibt sich für den ersten Zweig

(ii)

r (a -f c cos ft) = c² —■ a²,

und wenn wir hier

c² — a² — b², c = ea,

b²

setzen, so folgt

(12)

1 e cos ft

Diese Gleichung ist ganz ähnlich wie die Gleichung (6) der Ellipse gebaut. Man kann sie genau in dieselbe Form bringen, wenn man ft durch % — ft ersetzt. Die Zahl e, die hier größer als 1 ist, heißt gleichfalls die numerische Exzentrizität. Der Parameter p ist auch hier die in dem Brennpunkte auf der Hauptachse senkrechte Sehne.

Für den zweiten Zweig, der den Punkt f umschließt, erhält man, wenn man

r * = r² — Aar + 4a²

setzt:

(13)

oder

r (c cos & — a) = c² — a²,

«

(14)

Es wird r unendlich, wenn

cos fi = —

e

■ Q, h

sin fi = —

*8*-4

ist, und dieser Winkel bestimmt also die asymptotische Richtung. Die asymptotische Richtung für den ersten Zweig ergibt sich nach (12), wenn man cos fi = — l : e setzt.

4. Setzt man für den ersten Zweig nach (11)

ar = b² — cx,

und für den zweiten nach (13)

— ar — b² — cx,

so erhält man durch Quadrierung für beide Zweige die nämliche Gleichung :

a²(x² + %f) = 6⁴ — 2cb²x + c²x², woraus, wenn man c² — a² = b², b⁴ = b²c² — a²b² setzt:

oder endlich

b²x² — a²y² — 2cb²x + b²c² = a²b²,

b²(x — c)² — a²y² = a²b².

Setzt man auch hier x — c = xlf y = yx, so erhält man die Gleichung der Hyperbel auf die Hauptachsen als Koordinatenachsen bezogen, in der Form

(15)

yx _

&2 — a.

Diese Gleichung gilt für beide Zweige der Hyperbel, und es ist ohne Anwendung der Wurzelzeichen nicht möglich, eine Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten zu finden, die nur für den einen der beiden Zweige gilt. Es gehören also auch in der analytischen Geometrie die beiden Zweige als Teile einer Kurve zusammen.

§ 69. Die Parabel.

1. Wenn r und die Polarkoordinaten eines veränderlichen Punktes sind (§ 57, 4.), so werden durch die Gleichungen von der Form 1 -j- e cos &

(1)

sowohl die Ellipse als die Hyperbel dargestellt. Um die Ellipsen-gleichung § 68, (6) auf diese Form zu bringet, hat man nur O durch 7t — O zu ersetzen, d. h. man hat die ganze Figur um die y-Achse umzuklappen. Der Pol des Koordinatensystems ist der eine der Brennpunkte; e ist eine positive Zahl, die bei der Ellipse kleiner als 1 ist. Hält man p fest und denkt sich e veränderlich, so erhält man eine Schar von Kurven, die alle durch die beiden festen Punkte r — p, O = + jr/2 gehen, worunter sowohl Ellipsen als Hyperbeln sind. Dem Werte e = 0 entspricht ein Kreis mit dem Radius p (Fig. 214).

Fig. 214.

2. Wir stellen nun die naheliegende Frage nach der Bedeutung dieser Gleichung für e = 1.

Man erhält dann eine Kurve, die zwischen der Ellipse und der Hyperbel steht und die Parabel genannt wird (die stark gezogene Linie in Fig. 214).

Die Gleichung ergibt für e = 1

r (1 + cos O) = p,

und wenn man r cos O = x setzt:

(1)

r = p — x.

Diese Gleichung ist zunächst dazu geeignet, eine Erzeugungsweise dieser Kurve zu geben. Man trage auf der positiven #-Achse eine Strecke p ab und errichte in ihrem Endpunkte eine Senkrechte D. Diese Linie heißt die Leitlinie oder Direktrix der Parabel (Fig. 215).

Nimmt man einen beliebigen Punkt % mit der Abszisse «, so ist p — x der Abstand dieses Punktes von der Direktrix, und da r den Abstand des Punktes n von f bedeutet, so besagt die Gleichung (1), daß die Parabel der Inbegriff aller der Punkte ist, für die der senkrechte Abstand von der Direktrix ebenso groß ist, wie der Abstand vom Brennpunkte.

Ji.

Fig. 215.

3.    Um den Parabelpunkt zu konstruieren, der auf einem beliebig gegebenen Strahl r liegt, nehme man einen beliebigen Punkt g auf r an, ziehe gh parallel der «-Achse und mache gh = fg, so daß fgh ein gleichschenkliges Dreieck ist. Die Verbindungslinie hf schneidet D in einem Punkte Je, durch den man eine Parallele zur «-Achse legt. Diese schneidet dann fg in einem Kurvenpunkte %, weil das Dreieck fnJe mit fgh ähnlich, also gleich- f falls gleichschenklig ist. Auf diese Weise kann man eine beliebige Zahl von Kurvenpunkten finden, durch die man die Kurve mit freier Hand mit jeder gewünschten Genauigkeit ziehen kann. Die Kurve ist in bezug auf die «-Achse symmetrisch.

Der Punkt A, in dem sie von der Achse getroffen wird, heißt der Scheitel (Fig. 215).

4.    Will man die Parabelgleichung in rechtwinkligen Koordinaten ausdrücken, so braucht man nur (1) ins Quadrat zu erheben und r² = x² -f- y² zu setzen. Man erhält so

(2)

y² = p² — 2px,

also eine Gleichung, die nur die eine der beiden Koordinaten, y, in der zweiten Potenz enthält.

5.    Man kann die Gleichung auch so darstellen:

(3)

y² + 2p (x —    = 0,

oder, wenn man « —p/2 = xx, y = y± setzt,

(4)

y ² + 2px₁ = 0.

Es sind dann xx, yx die Koordinaten eines Punktes, bezogen auf ein Koordinatensystem, dessen Anfangspunkt im Scheitel liegt, und (4) heißt daher auch die Scheitelgleichung der Parabel. Die Gleichung

(5)

y ² — 2pxx = 0

stellt eine kongruente Parabel dar, die das Spiegelbild der ersten (gespiegelt

der yx-Achse) ist, die also ihre Öffnung nach der ent-

an

gegengesetzten Seite kehrt.

6. Nimmt man die Gleichung der Ellipse in der Form (§ 68, (7)): b²(x — c)² -f- a²y² = a²b²,

und setzt darin

b² = cp, a² = c² + b² = c(c-f p),

so erhält man, wenn man (x — c)² — x² — 2cx -f c² setzt und mit c2 dividiert:

(6)

px- + (i + f ) y² - ²PX=P²-

Wenn man hierin c unendlich wachsen läßt, so wird p : c gleich Null und man erhält die Gleichung

y² — 2px = p²,

die durch Vertauschung von x mit — x in die Gleichung (2) der Parabel übergeht.

Wenn man also bei einer Ellipse den einen Brennpunkt und den Parameter 2p festhält, den anderen Brennpunkt aber ins Unendliche rücken läßt, so geht die Ellipse in eine Parabel über.

Ebenso kann man auch die Parabel aus der Hyperbel ableiten. Die drei Kurvenarten: Ellipse, Hyperbel, Parabel werden unter dem Namen Kegelschnitte zusammengefaßt.

Der Kreis ist als Spezialfall darunter enthalten.

§ 70. Koordinatentransformation.

1. Die Formeln, die im Sinne der analytischen Geometrie dazu dienen, geometrische Beziehungen darzustellen, sind von zweierlei Umständen abhängig. Einmal hängen sie ab von der Natur und den Eigenschaften der darzustellenden Figuren; aber andererseits sind sie auch bedingt durch die Lage des Koordinatensystems, die mit den Eigenschaften der Figur an sich nichts zu tun hat. So stellt jede lineare Gleichung ax by c — 0 eine gerade Linie dar, während doch alle geraden Linien geometrisch ganz gleichartig sind, und die Gleichung, wenn man z. B. die x-Achse in die darzustellende Gerade verlegt, die viel einfachere Form y = 0 erhält.

Bei minder einfachen Relationen ist es also zunächst erforderlich, das was den Figuren selbst anhaftet, von dem zu trennen, was nur in der zufälligen Wahl des Koordinatensystems begründet ist, und dazu dient die Transformation der Koordinaten.

2. Unser Koordinatensystem besteht aus zwei einander rechtwinklig schneidenden Geraden x, y, deren jede eine bestimmte positive Richtung hat, und wir wollen beispielsweise annehmen, daß die positive ^/-Richtung für einen in der positiven ^-Richtung fortschreitenden Wanderer links liegt. Jede dieser Achsen teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Die Seite, nach der die positive Richtung der anderen Achse weist, möge als die positive Seite einer jeden der beiden Achsen bezeichnet werden.

Man beachte, daß diese Bestimmung mit der früheren Definition der positiven Seite einer Geraden (§ 57, 8.) nur für die eine der beiden Achsen übereinstimmt; für die andere sind beide entgegengesetzt.

3. Wir nehmen nun eine beliebige Gerade £ mit einer bestimmten positiven Richtung an. Dann ist, wie in § 57, 8. der zur Linken dieser Richtung liegende Teil der Ebene die positive Seite der Linie £.

Bezeichnen wir mit

Y den Abstand, den ein Punkt P mit den Koordinaten x, y von dieser Linie hat, mit Y₀ den Abstand des Koordinatenanfangspunktes und mit at den Winkel, den die positive £-Richtung mit der Æ-Richtung bildet, so ist nach § 57, (4)

?•

! tu

Fig. 216.

(2)

Y = — x sin tt -f- y cos ot + F₀,

wobei die Abstände der Punkte auf der positiven Seite der Linie £ positiv, die anderen negativ gerechnet sind.

Wir nehmen eine zweite Gerade r\, die gegen die Gerade £ im positiven Sinne um den Winkel œ gedreht ist und daher mit der Æ-Achse den Winkel tt -f- cj bildet. Von dieser habe der Punkt P die senkrechte Entfernung — X und der Koordinatenanfang die Entfernung — X₀; dann ist nach § 57, (4)

X — x sin (dt -f co) — y cos (ot -f co) -f- X₀.

Es sind dann X und Y die Entfernungen des Punktes P von den beiden Geraden rj, £, wenn man (wie bei den Koordinatenachsen) bei jeder dieser Geraden die Seite als die positive betrachtet, die die positive Richtung der anderen enthält. Setzt man noch

X = I sin co,

X₀= £₀sin co,

so sind %, rj die Seiten eines auf den Linien |, r\ gezeichneten Parallélogrammes, dessen diesen Seiten gegenüberliegende Ecke der Punkt P ist, und |₀, haben dieselbe Bedeutung für den Anfangspunkt. Man erhält

Y = rj sin co,

r₀= %sin

% sin co = x sin (ft -f- co) — y cos (ft -f co) -f- £₀ sin co, rj sin co = — x sin ft -f y cos ft -j- rj₀ sin co,

und man nennt, wenn sin co nicht gleich Null ist, wie wir annehmen wollen, £, rj die Koordinaten des Punktes P, bezogen auf das Koordinatensystem §, rj. Denn sie bestimmen ebenso die Lage des Punktes P, wie die Koordinaten x, y (Fig. 216).

Ist der Winkel co kein rechter, so heißt das Koordinatensystem |, y schiefwinklig.

4.    Will man die alten Koordinaten x, y durch die neuen £, rj ausdrücken, so hat man die Gleichungen (3) nach x, y aufzulösen. Man multipliziere zu diesem Zwecke die Gleichungen mit cos ft, cos(ft-f-co) nnd dann mit sin ft, sin (ft + ra) und addiere jedesmal. Beachtet man noch die Formel

cos ft sin (ft + oo) — sin ft cos (ft + co) == sin co,

—    x₀ = %₀ cos ft + 7]₀ cos (ft + co),

—    yQ = Io sin # + Vo sin (# + ®),

X = I COS ft + y COS (ft -f co) + x₀, y = g sin & -f- rj sin (& + cd) + y₀.

5.    Sind £₀, rj₀ und folglich x₀, y₀ gleich Null, so haben beide Koordinatensysteme den gleichen Anfangspunkt, und die Achsen haben veränderte Richtung. Man erhält für diesen Fall

x = £ cos ft -f- V cos (ft -f co), y = % sin ft -f rj sin (ft -f- co),

und hieraus erhält man wieder den allgemeinen Fall, wenn man x, y durch x — x₀, y — y₀ ersetzt.

Die Koordinatentransformation läßt sich so aus zwei nacheinander auszuführenden speziellen Transformationen zusammensetzen, von denen die eine in einer Drehung der Achsen, die andere in einer Parallelverschiebung besteht.

(3)

und setzt

so ergibt sich

(4)

(5)

6. Wenn der Winkel œ = jt/2 ist, so ist das neue Koordinatensystem gleichfalls rechtwinklig. In diesem Falle werden die Formeln (3)

(6)

I = £₀ + x cos ft -f y sin ot, y] = rj₀ — x sin ot -f- y cos ft,

und ihre Auflösungen:

(7)

x = x₀ -f- I cos ft — 7] sin ft, y = yo + £ sin ft + rj cos ft.

Setzt man o> = — jr/2, so wird das zweite Koordinatensystem gleichfalls rechtwinklig, aber die rj-Achse liegt entgegengesetzt zur Achse, wie die y-Achse zur x-Achse.

§ 71. Kurven zweiten Grades.

1.    In der Gleichung der geraden Linie:

ax -f- by + c = 0

kommen die Koordinaten x, y des veränderlichen Punktes nur in der ersten Potenz und nicht miteinander multipliziert vor, und diese Eigenschaft bleibt erhalten, wenn man nach § 70 x und y durch die Koordinaten in irgend einem schiefwinkligen System ausdrückt. Darum heißen die geraden Linien in der analytischen Geometrie Linien ersten Grades und die Gleichungen, durch die gerade Linien dargestellt werden, lineare Gleichungen.

zweiten Grades befriedigen, bildet eine Linie oder Kurve zweiter Ordnung oder zweiten Grades.

3. Nach der Definition hat die allgemeine Funktion zweiten Grades (Bd. I, § 90) die Form

(i)

fix, y) = ax² + by² -f- c -f 2a'y -f- 2b'x + 2c'xy.

Hierin sind a, b, c, 2a, 2b', 2c irgend welche konstante Koeffizienten (daß drei der Koeffizienten durch 2a, 2b', 2c statt durch a, b', c bezeichnet sind, ist ganz willkürlich und geschieht nur, um gewisse Formeln etwas einfacher darstellen zu können).

Wenn man will, kann man die Funktionen ersten Grades als spezielle Fälle der Funktionen zweiten Grades betrachten, wenn man a, b, c gleich Null setzt.

Man kann die Funktionen f(x, y) nach einer der beiden Veränderlichen ordnen und erhält, wenn man nach y ordnet,

(2)

f{x, y) = by² + 2Fxy + Fs,

worin

(3)

F₁ = c'x + a, F₂ = ax² + 2 b’x + c

zu setzen ist.

4. Wir verbinden jetzt eine Gleichung zweiten Grades

(4)

fix, y) = 0,

die wir die Gleichung der Kurve f nennen wollen, mit der Gleichung einer Geraden l.

Bezeichnen wir mit tt den Winkel, den die Gerade l mit der positiven x- Achse einschließt, und setzen p = tg tt, so hat die Gleichung der geraden Linie die Form (§ 58, (5))

(5)

y =px + q,

und darin ist g die Strecke (mit positivem oder negativem Zeichen), die die Gerade auf der Æ-Àchse (d. h. für x == 0) abschneidet.

Der besondere Fall, daß die Gerade der «/-Achse parallel, also & = ji/2 ist, ergibt sich, wenn man p unendlich groß werden läßt.

Wir fragen nun nach der Bedeutung des Zusammenbestehens der beiden Gleichungen (4) und (5).

Genügen x, y der Gleichung (4), so liegt der Punkt n, der die Koordinaten x, y hat, auf der Kurve f, und wenn die Gleichung (5) erfüllt ist, so liegt der Punkt ot auf der Geraden l. Das Zusammenbestehen beider Gleichungen besagt also, daß der Punkt jt auf beiden Linien zugleich liegt, also ein Schnittpunkt von f mit der Linie l ist. Die Auflösung der beiden Gleichungen (4), (5) in bezug auf die Unbekannten x, y gibt uns also den Schnittpunkt oder die Schnittpunkte dieser beiden Linien.

5. Wir werden hier also auf die algebraische Aufgabe geführt, zwei Unbekannte aus einer Gleichung ersten und zweiten Grades zu bestimmen. Um sie zu lösen, setzen wir y aus (5) in die Gleichung (4) ein, indem wir fix, y) in der Form (2) annehmen. Wir erhalten so:

b (px + q)² + 2Ft (px + q) + F₂ = 0

oder, wenn wir für Flf P₂ die Werte (3) einsetzen und in bezug auf x ordnen:

(6)

Px² + 2 Qx + B = 0

worin zur Abkürzung

P = bp² + 2 ćp -f- a,

(7)

Q = bpq-\- cq + a'p + b', R = bq² + 2aq Ą- c

gesetzt ist.

Wir haben also eine quadratische Gleichung für x erhalten. Nehmen wir eine Wurzel dieser Gleichung, so gibt uns die Gleichung (5) den zugehörigen Wert von y, und es entspricht also jeder Wurzel der Gleichung (6) ein und nur ein Schnittpunkt der Kurve f und der Geraden l.

§ 72. Die Tangenten.

1. Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei reelle oder zwei imaginäre Wurzeln oder endlich eine Doppelwurzel. Im ersten Falle schließen wir, daß die gerade Linie l und die Kurve f zwei Schnittpunkte haben. Imaginäre Wurzeln haben keine geometrische Bedeutung als Schnittpunkte, und wenn also die Gleichung (6), § 71, imaginäre Wurzeln hat, so schneiden sich die beiden Linien gar nicht. Der Übereinstimmung im Ausdruck wegen sagt man aber in diesem Falle, daß sie zwei imaginäre Schnittpunkte haben.

Wenn endlich die Gleichung (6) eine Doppelwurzel hat, so haben die Kurve f und die Gerade nur einen Punkt gemein, den man aber als durch die Vereinigung zweier Schnittpunkte entstanden ansieht. In diesem Falle heißt die gerade Linie Tangente oder berührende Gerade der Kurve zweiten Grades.

2. Löst man die Gleichung (6) nach x auf, so ergibt sich (Bd. I, § 47):

-Q±VQ*-PM

und wir erhalten zwei reelle Schnittpunkte, wenn

Q² — PR positiv, zwei imaginäre Schnittpunkte, wenn

Q² — PR negativ und zusammenfallende Schnittpunkte, wenn

(i)

Q² — PR = 0 ist.

3. Die Gleichung (1) lautet, ausführlicher geschrieben:

(2) (bpq + cq + dp + b')² — (bp² -\-2cp-\- a) (bq² 4- 2a q 4- c) = 0,

Ä = b' ć — ad, B' = ca — bb', V = ab' -cc\

und wenn man hier entwickelt, heben sich viele Glieder heraus. Um den Endausdruck einfacher zu schreiben, führen wir die Bezeichnungen ein:

A = b c — d², B = ca — b'², C = ab — c²,

(3)

Es sind dann A, B, C, Ä, B', C die Unterdeterminanten (Bd. I, § 44) der Determinante

a, c, y c, b, d , b’, d, c

und die Gleichung (2) nimmt die einfache Form an:

(4)

Ap² + Cq² + B — 2A'q — 2 C'p + 2B'pq = 0.

Diese Gleichung drückt die Bedingung aus, daß die Koeffizienten p, q genügen müssen, wenn die Gerade l Tangente an die Kurve f sein soll.

Nimmt man die Gleichung der Geraden l in der Form an ux + vy -j- w = 0,

so wird p = — u/v, q = — w/v und die Gleichung (4) erhält die noch elegantere Gestalt:

Au² + Bv² -(- Cw² 4- 2Ävw -f- 2B’wu -f 2C'uv = 0.

§73. Asymptoten.

1. In bezug auf den Schnitt einer Geraden mit einer Linie zweiten Grades können noch andere Besonderheiten eintreten, die wir jetzt diskutieren wollen.

Es kann für gewisse Werte von p, q eintreten, daß der Koeffizient P in der Gleichung (§ 71, (6)) verschwindet, daß also bp² -f 2c'p -f- a = 0

(i)

ist. Wenn dies eintritt, so reduziert sich die Gleichung (6) auf eine Gleichung ersten Grades, und die Linie l hat nur einen Punkt mit der Kurve f gemein, ohne jedoch Tangente zu sein.

Da die Gleichung (1) nur p enthält, so hängt das Eintreten dieses Umstandes nur von der Richtung der Geraden l ab, und man nennt eine solche Richtung eine asymptotische Richtung.

Die Linien asymptotischer Richtung bilden also Scharen untereinander paralleler Geraden.

2. Die Gleichung (1) ist eine quadratische Gleichung für p, und man kann also daraus schließen, daß es im allgemeinen zwei asymptotische Richtungen gibt. Man erhält die beiden Wurzeln:

— c + y&

—=v

(2)

— ab

oder wenn man

(3)

D = Ć² — ab

setzt:

(4)

bp + c = ± y D.

Die hier auftretende Größe D, die nichts anderes ist als das vorhin schon benutzte — G (§ 72, (3)), heißt die Diskriminante der Funktion f(x,y).

3.    Es können nun drei Fälle eintreten, nach denen wir drei Arten von Kurven zweiten Grades unterscheiden:

a)    _D ist negativ, die asymptotischen Richtungen sind imaginär: Ellipsen.

b)    D ist positiv, die asymptotischen Richtungen sind reell: Hyperbeln.

c)    D ist = 0. Es gibt nur eine asymptotische Richtung: Parabeln.

Die in den §§ 68, 69 definierten Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln, als Kurven zweiten Grades behandelt, geben Beispiele dieser drei Fälle. Wir werden später sehen, in wieweit die hier und die früher gebrauchten Benennungen überhaupt übereinstimmen.

4.    Wenn in der Gleichung § 71, (6) außer P auch noch Q verschwindet, während R von Null verschieden ist, dann kann diese Gleichung überhaupt nicht mehr befriedigt werden, und die gerade Linie l hat gar keinen Punkt mit der Kurve zweiten Grades gemein, weder einen reellen noch einen imaginären. Sie heißt in diesem Falle eine Asymptote. Da P — 0 ist, so hat die Asymptote jedenfalls asymptotische Richtung. Die Bedingung für eine Asymptote erhalten

31

Weber u. Well stein, Encyklopädi«. II. 2. Aufl.

wir, wenn wir, nachdem p aus P = 0 bestimmt ist, q ans der linearen Gleichung Q = 0 bestimmen. Diese ergibt nach (4)

-j- Y Bq = dp 4- b' =

(5)

— B' ±a ŸD

und man erhält also im Falle der Hyperbel zwei reelle Asymptoten.

Ist B = 0, so hat die Gleichung (5) keine Lösung und die Parabel hat also keine Asymptote.

Eine Ausnahme kann dann eintreten, wenn mit B zugleich dp -j- V verschwindet. Dann ist (5) für alle Werte von q erfüllt und jede Linie von asymptotischer Richtung ist zugleich Asymptote. Dies tritt aber nur bei den im folgenden Paragraphen zu erörternden uneigentlichen Kurven zweiten Grades ein.

5. Wenn 6 = 0 ist, so wird eine der Wurzeln (2) unendlich, d. h. die y- Achse hat asymptotische Richtung. Die Gleichung einer zur ?/-Aehse parallelen Linie hat die Form x = x₀, wenn x₀ der Abstand dieser Linie von der y- Achse ist. Den einzigen Schnittpunkt dieser Linie mit der Kurve erhält man aus

2 y (c'x₀ + d) -f + 2b'x₀ + e = 0,

und es wird also gar kein Schnittpunkt vorhanden und die Linie x = x₀ Asymptote sein, wenn c'x₀ + d — 0 ist. Diese Gleichung ergibt einen Wert für x₀ außer wenn c = 0 ist. Ist aber b und c = 0, so ist wieder B = 0.

§ 74. Uneigentliche oder zerfallende Kurven zweiten Grades.

1.    Es bleibt endlich noch die Möglichkeit zu erörtern, daß in der quadratischen Gleichung § 71, (6), von der die gemeinschaftlichen Punkte der Kurve f und der Geraden l abhängen, die drei Koeffizienten P, Q, R verschwinden. Wenn dies der Fall ist, dann ist jeder Punkt der Geraden l zugleich ein Punkt der Kurve f. Die Gerade ist also ein Teil dieser Kurve.

In diesem Falle läßt sich f(x,y) in zwei lineare Faktoren L, L' zerlegen und die Gleichung f(x, y) = 0 ist nur dann befriedigt, wenn entweder L oder L' verschwindet. Die Kurve artet also in zwei gerade Linien aus, deren Gleichungen L = 0 und L' = 0 sind. Wir nennen dann die Kurve f eine uneigentliche oder zerfallende Kur^e zweiten Grades.

2.    Um die Zerlegbarkeit nachzuweisen und zugleich die Faktoren L und L' zu bilden, bemerken wir, daß, wenn P, Q, R zugleich verschwinden, nach § 71, 5. die Gleichung

b (px + q)² + 2Ft(px + q) + P₂ = 0

(i)

identisch, d. h. für alle x befriedigt ist, denn diese Gleichung ist mit der Gleichung Px² -f- 2 Qx -f- B = 0 gleichbedeutend.

Nun ist nach § 71, (2)

(2)

f(x, y) = by”- + 2F₁y + F„ und wenn man also (1) von (2) subtrahiert und von der Zerlegung iß - (px + q)² = (y-px-q) (y +px + q)

Gebrauch macht und Fx = cx + d setzt (§ 71, (3)), so folgt:

f(x, y) = (y-px - q) [b(y +px + q) + 2(c'x + «')]•

Hierdurch ist f(x, y) in die beiden Faktoren

(3)

L = y—px — q, L' — by -j- (bp + 2c')x + bq + 2a

zerlegt.

3. Wir haben schon in § 99 des I. Bandes die Bedingung für das Zerfallen einer quadratischen Funktion f in der Form aufgestellt:

i? =

a, c, b' c, b, a b', a, c

die entwickelt auch so geschrieben werden kann:

abc — aa² — bb'² — cc ² -f 2db'c = 0.

Um diese Bedingung aus dem Verschwinden von P, Q, P abzuleiten, kann man so verfahren:

Wir suchen aus den drei Gleichungen P = 0, Q = 0, R = 0,

d. h. aus

= 0,

(5)

bp2jr 2c'p -f a bpq + cq + dp + b' = 0 bq2jr 2dq + c

die beiden Unbekannten zu eliminieren. Aus der zweiten von ihnen aber folgt:

ap -(- b' bp + c' ’

und wenn wir dies in die dritte einsetzen und mit (bp + c)² multiplizieren, so folgt:

b (dp -f b')² — 2 d (dp -f b') (bp -f- Ć) + c (bp -f c)² == 0.

Ordnet man diese Gleichungen nach p und benutzt die Bezeichnungen § 72, (3):

A = bc — d², B' = c'a — bb', C — ab' — cc,

31 *

(ibp² + 2cp) A - b'B' - c'C' = 0, und dies wird mit Benutzung der ersten Gleichung (5)

so folgt:

Aa + B'b' + C'c = 0,

was entwickelt auf (4) führt.

In dem hier ausgeschlossenen Falle, daß die Funktion fix, y) die Variable y gar nicht enthält, in dem also die Gleichung f=0 zwei zur y-Achse parallele Gerade darstellt, ist a = 0, b = 0, c = 0 und folglich die Bedingung (4) gleichfalls befriedigt.

4. Sind ft und ft' die Winkel, die die beiden Geraden L und L' einer zerfallenden Kurve /’mit der #-Ache einschließen, so ist nach (3) (wenn b von Null verschieden angenommen wird)

tg ft =P, tgft' = — p —

und die beiden Linien werden also miteinander parallel sein, wenn diese beiden Ausdrücke einander gleich sind, also p — — c/b ist. Aus der ersten Gleichung (5) folgt aber dann c'² — ab — 0. Damit also die Kurve f in zwei parallele Gerade zerfalle, sind die beiden Bedingungen

H=0, D = 0

notwendig.

5. Endlich können die beiden Faktoren L und L' auch dieselbe Gerade darstellen, die Kurve also in eine doppelt zu zählende Gerade ausarten.

In diesem Falle muß L mit L' bis auf den Faktor b identisch werden, woraus sich

«“-y

ergibt, und die Gleichungen (5) gehen dann über in:

(6)

ab — c'² = 0, bb' — a'c =0, cb — a² — 0,

ans denen leicht auch die anderen folgen:

(7)

cc — a'b'— 0, ac — b'² = 0, aa — c'b'= 0.

Damit also f das Quadrat einer linearen Funktion sei, ist notwendig und hinreichend, daß nicht bloß Ff, sondern die sämtlichen Unterdeterminanten A, JB, C, Ä, B', C gleich Null seien.

Der zuvor ausgeschlossene Fall b = 0 ist unter diesen allgemeinen Resultaten aber gleichfalls mit enthalten. Denn ist b = 0, so kann f — 0 nur dann zwei parallele Gerade darstellen, wenn diese parallel der y-Achse sind, d. h. wenn zugleich a und c und folglich auch H und D verschwinden, und diese beiden Geraden fallen zusammen, wenn auch ac — b'² = 0 ist. Damit sind denn auch die Gleichungen

(6), (7) befriedigt.

6. Haben

f(x, y) = ax² + by² + 2cxy + 2b'x + '2 a y -f- c, D == c ² — ab

die frühere Bedeutung, so hat eine durch den Koordinatenanfangspunkt gehende Gerade von asymptotischer Richtung die Gleichung (§ 71, (5),

§ 73, (4)):

by + c x + xYl) = 0,

und wenn man die beiden hierin enthaltenen Gleichungen multipliziert und b weghebt, so erhält man

(8)

ax² + by² + 2c xy = 0 als Gleichung eines Linienpaares von asymptotischer Richtung.

§ 75. Schnittpunkte zweier Kurven zweiten Grades.

1. Wenn die Gleichungen zweiten Grades

(1)

fix, y) = ax² + by² + c + 2ay -j- 2b'x + 2c'xy = 0,

<p(x, y) = ax² + ßy² -f- y + 2a y -f- 2ß'x + 2yxy = 0

gegeben sind, so sind die Werte, die beiden Gleichungen zugleich genügen, die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Kurven f und cp. Wir haben in § 99 des ersten Bandes schon gesehen, daß es vier Lösungen dieser Gleichungen gibt, deren Bestimmung von der Lösung einer Gleichung vierten Grades abhängt, und wir schließen daraus, daß sich zwei Kurven zweiten Grades im allgemeinen in vier Punkten schneiden.

2. Die Gleichung vierten Grades, von der diese Schnittpunkte abhängen, läßt sich auf folgende Art bilden. Wir setzen:

f{x, y) = by² + %Fxy + F₂ = 0 cp(oc,y) = ßy² + 20,2/+ <I>₂ = 0

(2)

;

; F2, wenn

(3)

Fx = c'a; + a, F₂ = aa;² -(- 2ô'a; -|- c,

<&i = y Tr +    ^2 = fö;X'² + 2/3'a; + y.

Es sind also Ft, vom ersten, F₂ und <Z>₂ vom zweiten Grade in bezug auf x. Multiplizieren wir die Gleichungen (2) mit den beigeschriebenen Faktoren und addieren jedesmal, so erhalten wir die beiden Gleichungen

2(F₁ß-&lb)ij + (F₂ß-0₂b) = 0, (F₉ß - &₉b)y + 2(Fa&₁ - Fx0₂) = 0,

1    F, ß -    ₌ _ o F* — Fi

2    I<\ ß b * F₂ß-$₂b

woraus sich ergibt:

(4)

y =

Daraus folgt:

(5)

{FJ- 0>₂&)² - 4(Fxß - Oxb) (F,QX - Fx0₂) = 0,

und das ist nach (3) eine Gleichung vierten Grades in bezug auf x. Zu jeder Wurzel x dieser Gleichung erhält man aus (4) den zugehörigen Wert von y.

das stattfindet,

3. Die Gleichung (5) kann sich in besonderen Fällen auf den dritten Grad reduzieren. Um zu erkennen, wann suchen wir den Koeffizienten von x⁴ in der Gleichung (5) auf. Verschwindet dieser, so ist die Gleichung vom dritten Grade, und die beiden Kurven haben nur drei Schnittpunkte. Nach (3) ist aber die Bedingung hierfür:

(6)

(aß — bcc)² — 4(cj3 — by') (ay — c'a) = 0.

Wir erinnern uns, daß nach § 73, (1) durch die Gleichung bp² -f- 2 cp -F a — 0

die asymptotischen Richtungen der Kurve f bestimmt sind, und ebenso sind durch

ßp² -)- 2y'p -f- a — 0

die asymptotischen Richtungen von cp bestimmt. Eliminiert man aber p aus diesen beiden Gleichungen, so wie vorher x aus den beiden Gleichungen (2) eliminiert wurde, so erhält man genau die Bedingung (6), und daraus folgt also:

Zwei Kurven zweiten Grades haben dann nur drei Schnittpunkte, wenn sie eine gemeinsame asymptotische Richtung haben.

4. Die Gleichung vierten Grades kann sich noch weiter reduzieren, und es kommen Kurvenpaare vor, die nur zwei, einen oder selbst gar keinen Schnittpunkt haben.

Wenn sich z. B. die Glieder zweiter Ordnung

ax² + 2cxy -f- by², ax² + 2y'xy -f- ßy2 nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, wenn also

(7)

a : c' : b = a : y' : ß ist, dann ist die Gleichung (5) nur vom zweiten Grade, und die Kurven

haben also nur zwei Schnittpunkte. Die Bedingungen (7) drücken aus, daß beide asymptotische Richtungen zusammenfallen. Dieser Fall trifft bei zwei Kreisen zu, die bekanntlich, obwohl es Kurven zweiten Grades sind, nur zwei Schnittpunkte haben. Indessen sind die asymptotischen Richtungen in diesem Falle imaginär.

Auch dann haben die Kurven nur zwei Schnittpunkte, wenn sie nicht bloß eine gemeinsame asymptotische Richtung, sondern eine gemeinsame Asymptote haben.

Es können endlich zwei Kurven zweiter Ordnung nur einen oder selbst gar keinen Schnittpunkt haben. Letzteres trifft z. B. dann zu, wenn die Funktionen f und cp nur im konstanten Gliede voneinander verschieden sind, wenn also a = a, b = ß, a = a, b' = ß', c = y und c von y verschieden ist.

Wie man von zwei parallelen Geraden sagt, daß sie sich im Unendlichen schneiden, so kann man in diesen Fällen den Satz von den vier Schnittpunkten zweier Kurven zweiter Ordnung dadurch allgemein aufrecht halten, daß man einen oder mehrere dieser Schnittpunkte im Unendlichen annimmt.

Man kann dieser Ausdrucksweise dadurch eine gewisse reale Bedeutung geben, daß man die Funktionen f, cp zunächst so annimmt, daß vier Schnittpunkte vorhanden sind und die Koeffizienten a, b, ..a, ß, ... sodann stetig in solche spezielle Werte übergehen läßt, die den besonderen Bedingungen genügen. Dadurch rücken die verlorenen Schnittpunkte ebenso ins Unendliche, wie der Schnittpunkt zweier sich schneidender Geraden, wenn die eine von ihnen durch stetige Drehung der anderen parallel gemacht wird.

§76. Konjugierte Richtungen und Hauptrichtungen.

1. Wir gehen nun dazu über, die allgemeine Gleichung zweiten Grades zu vereinfachen, indem wir sie auf ein Koordinatensystem beziehen, das der besonderen Funktion f angepaßt ist, um die Mannigfaltigkeit der Kurven zu übersehen, die darin enthalten sind.

Wir nehmen zunächst eine Drehung des Koordinatensystems mit Beibehaltung des Anfangspunktes vor. Wir setzen also nach den Formeln § 70, (5):

(i)

x = £ cos ff + 7] cos (ff -j- ra) y = £ sin ff -f- r\ sin (ff + a)

und dadurch geht die Funktion

(2)

f(x, y) = ax² + by² -J- 2cxy + 2dy + 2b'x -j- c in eine Funktion derselben Form über:

<p(Ź, rj) = at? + ßrj² + 2y%rj -f 2arj + 2/3'£ + y, worin, wie die Rechnung zeigt:

(3)

a = a cos² -O’ -f- b sin² & -f- 2c sin O cos O,

ß = a cos² (0 -f- co) + b sin² (O -j- co) + 2 c sin (O + co) cos (O -f- co), y = a cos 0 cos (tf -f co) -f & sin O sin (O + co)

(4)

a = a' sin O + &' cos O,

/3' = a sin (O + co) + V cos (O -f co)

-f c'(cos O sin (O + co) + sin O cos (O + co)),

y — c.

Winkel O, y = 0 wird. Wenn wir

2. Zur Vereinfachung des Ausdruckes gc (£,??) stehen uns die beiden co zur Verfügung, und wir wollen diese so bestimmen, daß

cos (O + co) = cos O cos co — sin O sin co, sin (O + co) = sin O cos co -f- cos O sin co setzen, so erhält die Gleichung y = 0 die Form:

(5)

cos co (a cos² ^ + & sin²O + 2c' sin O cos O)

4- sin co ((& — a) sin O cos O + ć (cos² O — sin² O)) = 0.

Nimmt man also zunächst O beliebig an, so ergibt sich für co der Ausdruck:

(6)

tg co =

a cos² & -f- b sin² tt -J- 2 c sin & cos O (6 — a) sin & cos & -f- c'(cos² — sin² &) ’

und man erhält also für jede beliebige Richtung der Achse eine (genauer zwei entgegengesetzte) Richtung der rj -Achse, von der Eigenschaft, daß in der auf das Achsensystem %r\ bezogenen Gleichung der Kurve das Glied mit nicht vorkommt. Zwei solche Richtungen heißen konjugierte Richtungen.

3. Es kann Vorkommen, daß die beiden konjugierten Richtungen in eine zusammenfallen, und dann sind diese Richtungen nicht als Koordinatenachsen zu brauchen, weil co = 0 wird.

Dies tritt dann ein, wenn O so bestimmt wird, daß

a cos² O + b sin² O + 2c sin O cos = 0 wird. Daraus ergibt sich eine quadratische Gleichung für tg th b tg² -f- 2c tg -f- a = 0,

mit den beiden Wurzeln:

tg 'fr —

— c' ±Vd_

D = Ć² — ab

worin wie früher

die Diskriminante der Funktion f ist.

Die Vergleichung mit § 73, (2) zeigt, daß die asymptotischen Richtungen und nur diese mit ihren konjugierten zusammenfallen.

4. Wir wollen nun & so zu bestimmen suchen, daß die beiden konjugierten Richtungen aufeinander senkrecht stehen. Solche Richtungen nennen wir Hauptrichtungen. Beziehen wir die Gleichung der Kurve auf ein System von Hauptrichtungen als Achsen, so ist das Koordinatensystem rechtwinklig, und in der Gleichung kommt das Produkt der beiden Veränderlichen nicht vor.

Hauptrichtungen sind immer vorhanden. Um sie zu erhalten, haben wir in der Formel (6) co — ^7t, folglich tg œ gleich unendlich, d. h. den Nenner gleich Null zu setzen. Dies gibt:

(b — a) sin -9 cos -f c'(cos² fr — sin² fr) = 0, oder nach den Formeln der Trigonometrie:

(?)

(b — a) sin 2fr + 2c' cos 2-9’ = 0,

woraus man

(8)

tg 2'9 = —

2 c'

erhält.

Da jedem positiven oder negativen Wert der Tangente ein Winkel zwischen — 7t/2 und -j- 7tj2 entspricht, so erhält man aus (8) für 9-einen bestimmten Winkel zwischen den Grenzen — 7r/4 und + 7tj4. Es genügen derselben Bedingung aber alle Winkel, die sich von diesem •9- um ein Vielfaches von jt/2 unterscheiden; diese geben alle nur zwei aufeinander senkrechte gerade Linien, von denen nach Willkür eine für die £ -Achse, eine für die r\-Achse genommen werden kann.

5. Ein Ausnahmefall ist hier hervorzuheben, in dem die Gleichung (7) für jeden beliebigen Winkel & erfüllt ist, nämlich dann, wenn

c' = 0

ist. In diesem Falle ist /'== 0 die Gleichung eines Kreises, und für diese sind je zwei aufeinander rechtwinklige Richtungen Hauptrichtungen.

Die Funktion fix, y) hat dann die Form

a (x² -\-y²) Ą- 2 a y + 2 b'x + c und kann auf die Form gebracht werden

a ²-J- F⁸ — ca

Es sind also — V : a, — a : a die Mittelpunktskoordinaten, und (a² -\-b'² — ac) : a ist das Quadrat des Radius des Kreises.

6. Ferner kann auch noch der Fall Vorkommen, daß für einen bestimmten Winkel fr Zähler und Nenner des Ausdruckes (6) verschwinden; dann ist für diesen Wert fr die Gleichung (5) für jedes co befriedigt und der Koeffizient y für jedes œ gleich Null. Es ist hierfür fr so zu bestimmen, daß die beiden Gleichungen

a cos² fr + sin²    2 c sin fr cos fr = 0,

(b — a) sin fr cos fr -j- c' (cos² fr — sin² tt) = 0

zugleich befriedigt werden. Diese beiden Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Relationen:

2 cos²-fi = 1 -)- cos 2fr, 2 sin² fr = 1 — cos 2fr, 2 shift cos# = sin2fi' auch so darstellen:

(a — b) cos 2fr -f 2c sin 2fr = — (a -J- b), (ia — b) sin 2 fr — 2 c cos 2 fr = 0, und wenn man diese quadriert und addiert, so folgt:

oder:

(a-&)² + 4c² = (a + &)2 c² — ab = 0.

Ist umgekehrt diese Bedingung erfüllt, so folgt von den beiden Gleichungen die eine aus der anderen.

Der Ausnahmefall also, daß y für ein bestimmtes fr und für jedes beliebige a> verschwindet, tritt immer dann ein, wenn die Dis-kriminante I) verschwindet, d. h. bei den Parabeln. Die Richtung der £-Achse ist in diesem Falle die einzig vorhandene asymptotische Richtung (§ 73, 3.).

7. Die Diskriminante D der Funktion zweiten Grades f(x, y) war definiert durch

D = c² — ab.

Ebenso ist die Diskriminante z/ der transformierten Funktion

<p(ë> v) (§ ⁷⁶> !•)

z/ = y'² — aß,

und zwischen diesen beiden Diskriminanten besteht eine Beziehung, die aus den Ausdrücken (4) für a, ß, y folgt. Wenn man nämlich diese Ausdrücke in z/ einsetzt, so ergibt eine leichte Rechnung, die wir dem Leser überlassen können:

A : sin² cd

Der Quotient

ist also eine von der Veränderung des Koordinatensystems ganz unabhängige Größe, die zur Charakterisierung der durch die Gleichung f = 0 oder cp = 0 dargestellten Kurve dient. Wir nennen sie die Diskriminante dieser Kurve.

Die Unterscheidung, die wir früher (§ 73, 3.) nach dem Vorzeichen der Diskriminante getroffen haben, ist also vom Koordinatensystem ganz unabhängig. Wir haben:

1)    Kurven zweiten Grades mit negativer Diskriminante oder Ellipsen-,

2)    Kurven zweiten Grades mit positiver Diskriminante oder Hyperbeln;

3)    Kurven zweiten Grades mit verschwindender Diskriminante oder Parabeln.

Da sin² cd immer positiv ist, weil der Winkel cd weder gleich Null noch gleich einem Vielfachen von % sein darf, so läßt sich aus der Funktion A = y ² — aß allein schon erkennen, zu welcher der drei Arten eine solche Kurve gehört.

Ehe wir auf die geometrischen Eigenschaften dieser drei Arten von Kurven eingehen, müssen wir in der Transformation der Koordinaten noch einen Schritt weiter gehen, indem wir zu der Drehung der Koordinaten noch eine Verlegung des Koordinatenanfangspunktes hinzufügen.

§ 77. Mittelpunkt.

1.    Wir nehmen jetzt an, die Gleichung einer Kurve zweiten Grades sei von vornherein auf ein System von konjugierten Richtungen als Koordinatenachsen bezogen. Dann fehlt in der Gleichung das Glied mit dem Produkt xy, und sie lautet also:

(i)

ax¹ + by² + 2ay -j- 2b'x + c = 0.

Die Diskriminante dieser Kurve ist hier = — ab, und wir haben also folgende Unterscheidungen:

Die Gleichung (1) stellt

eine Ellipse dar, wenn a, b gleiche Zeichen haben, eine Hyperbel, wenn a, b verschiedene Zeichen haben, eine Parabel, wenn a oder b gleich 0 ist.

(Sind a und b gleich 0, so ist (1) die Gleichung einer geraden Linie.)

2.    Wir führen nun wieder ein neues Koordinatensystem £, rj ein, das dem System x, y parallel ist, dessen Anfangspunkt die Koordinaten x₀, y₀ hat. Es ist dann

y = y — y₀-

Die Koeffizienten yon |², y² sind die gleichen wie die yon x², y²r nnd (1) geht also in die Form über:

(2)

a|² + by² + 2a y + 2/3'£ + y = 0,

worin

«' = by₀ + a, ß' = ax₀ + b',

y = ax₀² -f by₀² + 2ay₀ + 2b'x₀ + c.

Durch Verfügung über x₀, y₀ kann man nun weitere Vereinfachungen herbeiführen.

3. Wenn a und b beide von Null verschieden sind, so setze man — V

a > Vo

wodurch a und ß' gleich 0 werden, also die Gleichung (2) die Form erhält:

(4)

u|² + by² + y = 0.

4. Ist aber einer der beiden Koeffizienten a, b, etwa a, gleich 0, also bei der Parabel, so kann man ß' nicht mehr gleich Null machen. Man setze a = 0, also y₀ = — a : b.

Ist V von Null verschieden, so kann man x₀ aus der Gleichung y == 0 bestimmen, nämlich

x₀ =

a'² — bc 2bb' ’

und erhält aus (2):

bv² + 2ß'S-0.

(5)

Ist aber b' = 0, so ist auch ß' = 0 (für jedes x₀), und y wird unabhängig von x₀ gleich (bc — a ²) : b. Demnach erhält man die Gleichung

(6)

Damit sind die Fälle erschöpft, die sich bei der Gleichung (1) bieten können.

5. Die Gleichungen (4) und (6), in denen keine ersten Potenzen der Unbekannten Vorkommen, bleiben richtig, wenn | in — |, y in — y verwandelt werden. Jede durch den Anfangspunkt gehende Gerade schneidet die Kurve in zwei gleichweit vom Anfangspunkte abstehenden Punkten. Der Koordinatenanfangspunkt heißt der Mittelpunkt der Kurve.

Während aber in (4) der Mittelpunkt ein einziger, ganz bestimmter ist, kann in (6) jeder Punkt der £-Aehse als Mittelpunkt betrachtet werden.

In dem Falle (5) ist kein Mittelpunkt vorhanden.

In den Fällen (4), (5) und (6) wird jede Sehne, die der r\-Achse parallel ist, durch die Achse halbiert, und in dem Falle (4) wird auch jede zur Achse parallele Sehne von der «/-Achse halbiert.

Wir untersuchen jetzt die verschiedenen Möglichkeiten, die bei Kurven zweiter Ordnung Vorkommen können.

6. Wenn in (4) y von Null verschieden ist und a, b, y das gleiche Vorzeichen haben, so teilen wir durch y, schreiben a², b² für y : a, y :b und x, y für £, «j; dann erhalten wir

1)

+ 1=0.

+ F

Diese Gleichung ist aber für keinen reellen Punkt erfüllt, da die Summe von drei positiven Größen nicht gleich Null sein kann. Diese Gleichung hat keine geometrische Bedeutung:

Imaginäre Ellipse.

7. y ist von Null verschieden, a, b gleiches, y das entgegengesetzte Zeichen. Setzt man wieder a², b² für — y : a, — y :b, so erhält man die Gleichung:

te ui

2)

= 1.

Ellipse.

8. y von Null verschieden, b, y das gleiche, a das entgegengesetzte Zeichen:

3)

F b³

= 1.

Hyperbel.

Der Fall, daß a, y das gleiche, b das entgegengesetzte Zeichen haben, ist davon nicht wesentlich verschieden; er ergibt

x³

und geht aus 3) hervor, wenn man die Æ-Achse zur «/-Achse macht und umgehehrt.

1 : a², l:b²

9. y — 0, a und b gleiches Zeichen. Setzt man statt a, b, so folgt:

4)

= 0.

Die Gleichung ist nur für x = 0, y = 0, also für den Ivoordinaten-anfangspunkt erfüllt. Die linke Seite läßt sich aber in zwei imaginäre Faktoren ersten Grades zerlegen: und man spricht daher von einem imaginären Linienpaar.

10. y = 0, a und b verschiedenes Zeichen. Setzt man 1 : a², — 1 : b² für a, b, so erhält man

__y² -o

a*

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn entweder ----y = 0 oder

5)

+ f--°

ist, und stellt also zwei gerade Linien dar, die sich im Anfangspunkte schneiden und von den Koordinatenachsen harmonisch getrennt werden:

Linienpaar.

11. Wir gehen zur Betrachtung der Gleichung (5) über, in der b von Null verschieden ist. Ist ß' von Null verschieden und von entgegengesetztem Zeichen wie b, so setzen wir ßr :b = — p, schreiben wieder x und y für g und rj und erhalten:

6)

y² = 2px,

Parabel.

Der Fall, daß b und ß gleiche Zeichen haben, ist davon nicht wesentlich verschieden. Der eine geht in den anderen über, wenn man r mit — x vertauscht.

12.    Wenn in (5) ß' = 0 ist, so erhalten wir die Gleichung:

7)

y*«= 0,

der nur die Punkte der x-Achse genügen.

Doppelt gezälte Gerade.

13.    Wenn in (6) y von Null verschieden ist und b und y das gleiche Zeichen haben, so erhalten wir, wenn wir y :b = c² setzen:

8)

y² -f c} = 0.

Imaginäres Parallellinienpaar.

14. Wenn b und y in (6) verschiedene Zeichen haben, so setzen wir

9)

y² — c² == 0, y = ± c; wir erhalten also zwei der x-Achse parallele Gerade:

Reelles Parallellinienpaar.

Der Fall, daß in (6) y — 0 ist, führt wieder auf 7), und es sind hiermit also alle denkbaren Fälle erschöpft.

Die Gleichungen der eigentlichen Kurve zweiten Grades 2), 3), 6) stimmen mit den in §§ 68, 69 auf anderem Wege abgeleiteten Gleichungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel überein. In diesen Betrachtungen kann das Koordinatensystem ein beliebiges Paar konjugierter Richtungen sein. Man kann aber, und (abgesehen von dem speziellen Falle des Kreises) nur auf eine Weise, dabei auch ein rechtwinkliges Koordinatensystem (die Hauptachsen) annehmen, ohne die Allgemeinheit zu beschränken.

Wir haben also hier dieselben Fälle wieder erhalten, wie in §§ 68,69, dazu aber noch die uneigentlichen oder zerfallenden Kurven.

Fig. 217.

15. Bei der Hyperbel sind die Asymptoten die durch den Mittelpunkt gehenden Geraden von asymptotischer Richtung. Wählt man die Asymptoten selbst zu Koordinatenachsen, so erhält die Hyperbel die Gleichung

10)

xy = c.

Stehen die Asymptoten aufeinander senkrecht, so heißt die Hyperbel eine gleichseitige (Fig. 217).

§ 78. Tangenten der Ellipse.

1. Im folgenden betrachten wir einige Eigenschaften der Ellipse, bemerken aber, daß für die Hyperbel und Parabel ganz ähnliche Betrachtungen und Resultate gelten. Wir nehmen dabei die Gleichung der Ellipse auf die Hauptachsen bezogen, also, bei rechtwinkligen Koordinaten, in der Form an:

(1)

-1 = 0.

V, c

Die Koeffizienten, die wir in der allgemeinen Betrachtung des § 76 mit a, i, c, a,

bezeichnet haben, sind also hier

a*’    b²’

-1, o, o, o,

und die Unterdeterminanten der Determinante H sind

C — ¹

°    a²b²’

2. Damit also die gerade Linie l, deren Gleichung

y = px +■ q

ist, Tangente der Ellipse sei, müssen p und q der Bedingung (§ 72, (4)):

~V2 + a²¥ - U

~T²’

A' = B' = C" = 0.

(2)

~ b*

oder

(3)

a²p² A b² = q²

genügen. Soll nun die gerade Linie l durch einen Punkt x₀y₀ gehen, sc* muß

q = ?/o ~Pxo

sein, und wenn x₀y₀ ein Punkt der Kurve, also der Berührungspunkt selbst ist, so muß

(4)

V ,

a² ^ b²

sein. Die Gleichung (3) wird unter dieser Voraussetzung {a² — x²)p² -f 2px₀y₀ Ab² — y ² = 0,

und wenn man nach (4)

a² — x₀² =

“A,

₌ b*x₀

setzt,

+ 2pxoVo +

b²x₀²

= 0.

Die linke Seite ist aber das Quadrat von

bx₀

b²x₀

und es folgt also

a2y₀

P =

Es wird also die Gleichung (2)

{x — x₀)b²x₀

«s2/o

und wenn man mit y₀ : b² multipliziert und nochmals die Gleichung (4) benutzt:

Diese Gerade heißt die Normale der Ellipse im Punkte x₀y₀. Sie steht senkrecht auf der Tangente und geht durch den Berührungspunkt.

4.    Man versteht unter der Richtung einer krummen Linie in einem ihrer Punkte die Richtung der Tangente. Die krumme Linie ändert daher von Punkt zu Punkt ihre Richtung, während die Gerade in allen ihren Punkten dieselbe Richtung hat. Die Normale ist daher nicht nur zu der Tangente, sondern zu der Kurv e selbst senkrecht.

5.    Setzt man in (6) d = 0, so erhält man die Gleichung des Lotes auf die Tangente vom Mittelpunkte aus:

b²

a²

die Ellipse (1)

Dies ist also die Gleichung der Tangente an in dem Punkte x₀y₀, den wir mit n bezeichnen wollen.

3. Man erhält hieraus nach § 58, (8) die Gleichung einer Geraden, die auf der Tangente senkrecht steht:

xy₀ _

b²

(6)

9~d = ⁰’

worin d eine beliebige Konstante ist. Soll diese Senkrechte durch den Punkt x₀y₀ gehen, so muß d = x₀y₀(l/b² — 1/a²) sein, und man erhält:

(7)

(x — x₀)y₀ (y — y₀)xo

b-

a²

= 0.

xy₀ yx₀ = q

Yon größerem Interesse ist das Lot von einem Brennpunkte auf die Tangente. Die Brennpunkte f‘ f haben nämlich, wenn

c² = a² — b²

gesetzt ist, Jdie Koordinaten + c, 0 und — c, 0, und es ist also die Gleichung des Lotes vom Brennpunkte f aus:

(x — c) y₀    yxQ _ q

(8)

(9)

b²

Um die Koordinaten des Pußpunktes % dieses Perpendikels zu erhalten, hat man x und y aus den beiden Gleichungen (5) und (9) zu berechnen.

4

6. Lassen wir den Punkt it auf der Ellipse wandern, so wird der Punkt % gleichfalls wandern und dabei eine gewisse Kurve beschreiben, deren Gleichung wir bestimmen wollen. Zu dem Ende haben wir xQ, y₀ aus den drei Gleichungen

32

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

I1T

si- ä« śIł

+ I +

II vr«

h-¹

zu eliminieren. Um dies zu bewerkstelligen, verstehen wir unter X einen unbestimmten Faktor und setzen nach der zweiten Gleichung (10):

a²

Setzt man dies in die erste und dritte Gleichung (10) ein, so folgt

x(x-c)+y² = X, a²(x-c)²-f- b²y²= X²,

und wenn man die erste dieser Gleichungen quadriert und dann beide Werte von X² einander gleichsetzt:

a²{x — cf -f b²y² = (x(x — c) + t/f.

Fig. 218.

Diese Gleichung läßt sich aber noch sehr vereinfachen. Man erhält nämlich, wenn man

setzt:

x² Ą- y² = r²

r⁴ — 2r²cx + c²x2 = a²x² + b²y² — 2ca²x -f a²c²,

oder wenn man b² = a² — c² setzt:

r⁴ — a²r² — 2cx(r² — a²) + c²(r² — a²) = 0

oder

(r² — a²) (r² -2cx-\-c²) = 0.

Der zweite Faktor ist hier

r² — 2cx + c² = (x — c)² -f- y²

und kann daher nicht verschwinden. Es ist also r² = a², und damit der Satz bewiesen:

Die Fußpunkte des von einem Brennpunkte auf die Tangenten einer Ellipse gefällten Perpendikels liegen auf einem Kreise.

Dieser Kreis hat denselben Mittelpunkt wie die Ellipse, und sein Durchmesser ist die große Achse der Ellipse (Fig. 218).

7. Wir betrachten die beiden Geraden, die den Punkt jr der Ellipse mit den Brennpunkten f, f verbinden. Die Gleichungen dieser Geraden müssen erfüllt sein für x = x₀, y = y₀ und außerdem die eine für y = 0, x — — c, die andere für y = 0, x = + c. Demnach erhalten wir für diese Gleichungen

(11)

y₀(x - x₀) - (y - y₀) (c + x₀) = 0,    (%f),

y₀0 - x₀) + (y- y₀) (c - x₀) = 0,    (%f).

Nach § 58, 2. bringt man diese Gleichungen auf die Normalform, wenn man sie durch die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Koeffizienten von x und von y dividiert, also die erste durch

die andere durch

r =-j/(c + tf₀)² +

Es sind dann r und r die Vektoren f'% und fit (wie in § 66 und § 68, so daß r dem Brennpunkte f, und r dem Brennpunkte f gegenüber liegt) und nach der Grundeigenschaft der Ellipse ist

r 4- r = 2 a,

(12)

^•2 __ 2

___

r r

2 cx₀

Wir erhalten also die Normalform für die Gleichungen (11):

y₀ {x — x₀) — (y — y₀) (c 4~ A)

(13)

= 0,

A' =

Vo (x — xo) + (y — y₀) (c — xo)

= 0,

und nach § 58, 5. sind dann

(14)

Ä - A = 0, A' 4- A = 0

die Gleichungen der beiden Winkelhalbierenden zu fn und fit. Es ist aber

jr _    _ y₀O — xo) (r — r) 4- (y — y₀) l>(r + O — #₀(r — Q]

rr'    ?

^    _ y₀ (a — ^o) (»• + O 4- (y — yo) [<Ky — O — fr + Ol.

'    rr'

Dies ergibt nach (12) mit Berücksichtigung der Gleichung (4)

yjLo _

b‘À

Ä -A =    (

rr \

A' a a = 2b*a    _ (y —yo)^oj.

32

Die Gleichungen (14) sind also nichts anderes als die Gleichungen der Tangente und Normale an die Ellipse, und wir erhalten daher den Satz:

Tangente und Normale an die Ellipse halbieren die Winkel zwischen den Leitstrahlen von den Brennpunkten nach den Berührungspunkten.

§79. Geometrischer Beweis des Satzes von den Tangenten.

1. Der zuletzt aus der analytischen Geometrie bewiesene Satz läßt sich in einfacher Weise, ohne die Benutzung der Gleichungen, aus der Fundamentaleigenschaft der Ellipse ableiten.

Es seien p und 7t zwei Punkte der Ellipse mit den Brennpunkten f, f (Fig. 219). Die Verbindungslinie von p mit n ist eine Sekante der Ellipse, und die Strecke Ttp, die wir mit s bezeichnen, ist die Sehne.

Wir setzen

f'p = r, fp = r, p7t = s, f 7t = Q, f% = Q ,

(i)

und wegen der Grundeigenschaft der Ellipse ist r + / = (> + (/ = 2a.

In den beiden Dreiecken f'pTt, fp7t haben wir folgende Winkel:

in f'pTt: r gegenüber tt,

^7t-t,

in fpTt: q'

Fig. 219.

— oK,

Demnach ergibt sich aus dem Sinussatze

sin ft

sm t

q'

sin (t — -9¹) ’ sin &'

— sin    ’

sin (t — -S’) 1 sin t'

sin (&' — t'j ’

folglicłi nach (1):

sin &

sin &'

sin (t — -O')

sin t

sin GK — t') sin (t — &)

sin t'

sin (&' — t')

oder was dasselbe ist:

sin t — sin sin fr' — sin t’

sin (t — fr)

sin (fr' — t')

Hierin setzen wir nun nach den trigonometrischen Formeln (§ 29, (5), (6))

£ _ Q,

COS

fr’ + t'

sin t — sin fr = 2 sin —-— cos sin (t — fr) =2 sin * ---sin fr' — sin t' — 2 sin - ₂ - cos —-—,

cos

sin (fr' — t') = 2 sin

und erhalten, wenn wir die Faktoren 2 sin (t — fr), 2 sin Ą(fr' — t') im Zähler und Nenner wegheben:

t + fr

cos

cos

fr' + f

(2)

t — fr

COS-r-

COS

fr' — t’

Jetzt lassen wir die Punkte p und it auf der Ellipse in einen Punkt zusammenfallen. Dann geht die Sekante pit in die Tangente über. Der Winkel t wird = fr, t' — fr'. Es wird

t —    -

2™ ⁼

t -f- 'S¹    „

COS —2— = cos

und die Gleichung (2) geht über in

cos = cos fr',

und da die Winkel fr, fr' im ersten Quadranten liegen:

fr = fr'.

cos

cos

COS

fr -f-t    -,

-COS fr,

Das ist aber der Satz am Schlüsse des § 78.

4L--

2. Noch einfacher ist der folgende indirekte Beweis (Fig. 220) : Es seien f, f die Brennpunkte und p ein beliebiger Punkt der

[M

Ellipse, also fp-\-f'p = 2a.- Man verlängere fp um die Strecke

Fig. 220.

>f

f"p = f'p und halbiere den Winkel f'pf" durch die gerade Linie t. Wenn dann diese gerade Linie t noch einen zweiten Punkt p mit

der Ellipse gemein haben sollte, so müßte auch

fP + f'P = fP + f"p = fpf” = 2a

sein. Dies ist aber unmöglich, weil in dem Dreieck fpf” die Seite ff” kleiner ist als die Summe der beiden anderen. Es hat also t nur einen Punkt mit der Ellipse gemein und ist folglich, da die Ellipse keine asymptotische Richtung hat, Tangente.

so

Ist 0 der Mittelpunkt der Ellipse und M die Mitte von ff”, verbindet OM im Dreieck fff” die Mitten zweier Seiten, und es ist OM=\ff” = a, womit auch der Satz § 78, 6. von neuem bewiesen ist.

3. Der Satz 1. gibt uns eine Eigenschaft der Ellipsentangente, aus der sich der Name Brennpunkt erklärt.

Nach den Gesetzen der Optik wird ein Lichtstrahl von einer spiegelnden Fläche so reflektiert, daß die Senkrechte auf der spiegelnden Fläche im reflektierenden Punkte (das Einfallslot) mit dem einfallenden und dem reflektierenden Strahl in einer Ebene liegt und mit beiden gleiche Winkel bildet. Denkt man sich also die Innenseite der Peripherie der Ellipse spiegelnd, so wird jeder Strahl, der von dem einen Brennpunkte ausgeht und in der Ebene der Ellipse verläuft, nach dem anderen Brennpunkte reflektiert, und alle von dem einen Brennpunkte ausgehenden Strahlen werden in dem anderen vereinigt.

Dasselbe findet auch noch statt, wenn man eine spiegelnde Fläche erzeugt, indem man die Ellipse um ihre große Achse gedreht denkt. Man erhält so eine Fläche, die man ein Rotationsellipsoid nennt, die ebenfalls zwei Brennpunkte besitzt und in bezug auf diese dieselben Eigenschaften im Raume besitzt, wie die Ellipse in der Ebene, nämlich daß die Summe der Leitstrahlen nach den beiden Brenn

punkten über die ganze Fläche konstant ist.

Wenn der eine der beiden Brennpunkte ins Unendliche hinausrückt, so nähert sich die Ellipse der Parabel, und das Rotationsellipsoid geht in ein Rotationsparaboloid über. Auf diese Weise kommt man zu der Vorstellung der parabolischen Hohlspiegel, die die Eigenschaft haben, die Strahlen, die der Achse parallel einfallen, z. B. die Sonnenstrahlen, in einem Punkte, dem Brennpunkte, zu vereinigen und dort eine große Hitze zu erzeugen.

§ 80. Konjugierte Durchmesser.

1. Wenn man durch den Mittelpunkt einer Ellipse zwei Geraden in konjugierten Richtungen zieht, die miteinander den Winkel co einschließen, und diese zu Achsen eines schiefwinkligen Koordinaten-

systems nimmt, so erhält die Gleichung der Ellipse nach § 77 die Form

(1)

2/²

= 1.

Dem Werte y = 0 entsprechen die Werte x = + a, und dem

Werte x = 0 die Werte y = ± ß. Die Strecken ÄA', BB' werden konjugierte Durchmesser genannt. Ihre Längen sind 2a und 2ß. Ein spezieller Fall der konjugierten Durchmesser sind die Hauptachsen.

2. Legt man durch irgend einen Punkt P mit den Koordinaten x₀, y₀ Parallele zu den konjugierten Durchmessern, so erhält man konjugierte Sehnen. Jede dieser beiden Sehnen wird durch P in zwei Abschnitte PQi} P$₂;

PPX, PP₂ geteilt (Fig. 221).

Die Punkte Qlf Q.₂ haben dieselbe Abszisse x₀ und entgegengesetzte Ordinaten ± y, die aus der Gleichung    \

(2)

rp 2 ^0 I

o:² ^

bestimmt werden, und es ist

PQi=y—yo, PQi=y + yo

und folglich

PQi ■ PQ* = */² - y₀²-

Ebenso ergibt sich PPl ■ PP~₂ =    - x{a²,

wenn x aus der Gleichung:

A'

°/X\    \

A.

■+-OC

(3)

+ y*² = i

' ßa

Fig. 221.

bestimmt wird. Aus (2) und (3) ergibt sich aber durch Subtraktion:

y*— y₀²

ß*

oder

(4)

PQ, ■ PQ₂ : PP, ■ PP, = ß° : cĄ

also der Satz:

Konjugierte Sehnen schneiden sich so, daß die Produkte der Abschnitte sich zueinander verhalten wie die Quadrate der zu den Sehnen parallelen Durchmesser.

3. Für die beiden Schnittpunkte einer zur y- Achse parallelen Geraden erhält man nach (1)

y = ± 0]/l

(5)

a2 7

und diese fallen in eine zusammen, wenn x = ± a ist.

Daraus ergibt sich also der Satz:

Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers der Ellipse haben die zu dem Durchmesser konjugierte Richtung.

a²ß²’

und es folgt also nach § 76, 7., daß das Produkt

4. Die Diskriminante der Gleichung (1) ist A =

aß sin œ

eine von der speziellen Wahl der konjugierten Richtungen unabhängige Größe ist. Diese Größe ist aber gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms OACB, und wir haben den Satz:

Der Flächeninhalt eines der Ellipse umgeschriebenen Parallelogramms, dessen Seiten konjugierte Richtungen haben, ist konstant, und zwar gleich dem Flächeninhalt des aus den Achsen der Ellipse gebildeten Rechtecks.

5. Einem konstanten x entsprechen nach (5) zwei gleiche und entgegengesetzte Werte von y und darin ist der Satz enthalten, der den Satz 3. als besonderen Fall enthält:

Eine Sehne der Ellipse wird von dem zu seiner Richtung konjugierten Durchmesser halbiert.

Daraus ergeben sieb noeb weitere Folgerungen. Die Gleichung:

(6)

a;²

y*

stellt, wenn X eine Reihe verschiedener Werte durchläuft, eine Schar ähnlicher und ähnlich gelegener Ellipsen dar, und die konjugierten Richtungen sind für alle Kegelschnitte dieser Schar dieselben. Denn man erhält eine beliebige Kurve dieser Schar, indem man in einer von ihnen die Koordinaten x, y im Verhältnis ]/X : 1 vergrößert. Eine gerade Linie, die alle diese Kurven durch schneidet, bestimmt auf jeder von ihnen eine Sehne und diese werden sämtlich durch die nämliche gerade Linie halbiert.

Daraus folgt, daß der von zwei ähnlichen oder ähnlich gelegenen Ellipsen begrenzte Ring von jeder geraden

Linie, die ihn durchsetzt, zwei gleichgroße Stücke ausschneidet, und wenn im besonderen diese Gerade den inneren Rand des Ringes berührt, so sind die beiden durch den äußeren Rand gebildeten Abschnitte auf der Tangente einander gleich (Fig. 222, mn = m'ri, pą = pq).

ti>

■m)

rn

’P

sfnL

m'j

'TV-

Pig. 223.

Pig. 222.

6.    Entsprechendes gilt auch für die Hyperbel. Man hat nur in (6) ß² durch — ß² zu ersetzen. In diesem Falle erhält man aus (6) für l = 0 das Asymptotenpaar, das also mit zu der Schar gehört. Daraus ergibt sich der Satz:

Die beiden Asymptoten einer Hyperbel schneiden auf jeder Tangente gleiche Stücke ab (Fig. 223, pq=pq')-

7.    Die Gleichung einer Ellipse, auf die Hauptachsen bezogen, hat die Form:

= 1.

Diese Gleichung ist identisch befriedigt, wenn man setzt:

(8)

x — a cos cp, y = b sin cp,

worin cp ein veränderlicher Winkel ist, der die einzelnen Punkte der Ellipse voneinander unterscheidet.

Die geometrische Bedeutung dieses Winkels cp ist leicht einzusehen (Fig. 224). Ist nämlich P ein beliebiger Punkt der Ellipse, und & der Winkel, den der Radiusvektor OP oder p mit der x-Achse bildet, so ist

X = p cos ft, y = p sin #.

Fällen wir von P aus ein Lot auf die x- Achse und verlängern es bis zu seinem Durchschnitt Q mit dem der Ellipse um geschriebenen

Kreise vom Radius a, so ist, wenn cp den Winkel bedeutet, den der Radius OQ mit der x-Achse bildet, und

9'

ff

x = a cos cp, aus

y = b sin cp.

Punkt P durchläuft

(7) folgt dann Der

cc

die ganze Ellipse, wenn cp von 0 bis 2% geht.

8. Diese Darstellungsweise ist sehr zweckmäßig, wenn es sich um die Aufgabe handelt,konjugierte Durchmesser der Ellipse zu finden, von denen der eine die beliebige Richtung OP hat. Sind die konjugierten Halbmesser a, ß, so lautet die Gleichung der Ellipse, auf diese als Koordinatenachsen bezogen:

B'

Fig. 224.

(10)

nnd die Beziehung zwischen a, ß, a, b erhalten wir aus § 76, (4), wenn wir dort

durch

cc}

ß, y,

a,

a² ’    ß²~ ’

ersetzen und # + o = ^ setzen:

(u)

1    cos²-fr

«2 = a²

1    COS² 9,

as —

a²

sin² 9

sin² 9,

+    &2    7

cos ■9' cos <9,

sin 9 sin ^

+-6*

Führen wir für &, die Winkel cp, cpx ein, setzen also nach (8)

und (9)

a cos & =■ a cos cp, a sin & = b sin cp, ß cos 0’₁== a cos cpt, ß sin -9,₁= b sin cplf

(12)

so ergibt sieb aus der letzten Gleichung (11)

cos cp cos <p₁ + sin cp sin cpx = cos (cp — cp-ß) = 0,

woraus sieb cp₁ = cp -f ergibt. Die Linien OQ und OQ' stellen also aufeinander senkrecht. Die beiden ersten Gleichungen (11) sind identisch befriedigt, und aus (12) ergibt sich noch

a cos & = a cos cp, ß cos S-± = — a sin cp,

(13)

a sin & = b sin cp, ß sin d'₁=b cos cp-

(14)

aß sin oi = ab, aß cos oi = — -\(a² — b²) sin 2cp

b² . 9 sm 2cp,

cotg 01 =

a² —

2 ab

worin oi =    der Winkel zwischen den konjugierten Halbmessern

ist. Der Winkel oi ist also ein Rechter, wenn cp = 0 und cp = ist; im übrigen ist oi ein stumpfer Winkel, der seinen größten Wert erhält, wenn cp = jt/4 ist.

Wir haben ferner

a² = a² cos²cp -f b² sin² cp, ß'² = a² sin² cp + b'² cos² cp,

a² + ß² = «² + b².

Diese Formel enthält den Satz des Apollonius:

Die Summe der Quadrate konjugierter Halbmesser ist konstant.

9.    Aus (15) folgt noch

a.²    a² cos² qp -|- b² sin² cp b²

ß²    a² sin² cp -|- b² cos² cp    a²    a²(b² -(- a² tg² cp)

Lassen wir cp von 0 bis jr/2 gehen, so geht tg cp stets wachsend Null bis Unendlich, und das Verhältnis a²/ß² abnehmend yon a²jb² bis b²la².

10.    Aus (12) erhalten wir noch, da cos cp = sin cp1} sin cp = — cos cp₁ ist:

(15)

(16)

(17)

von

a⁴ — b'

(18)

(a + b) cos cp = a cos ü- + ß sin (a + b) sin cp = a sin & — ß cos 0'₁,

und daraus durch Quadrieren und Addieren:

(a + b)² = o? -f ß² -f- 2aß sin co

= (a -f- ß)² — 2aß (1 — sin co).

Da 1 — sin co stets positiv ist, so folgt hieraus:

Die Summe zweier konjugierter Durchmesser ist größer als die Summe der Achsen.

Und ebenso:

(a — b)² = (a — ß)² + 2ccß(l — sin co),

woraus folgt, daß (a — b)² größer ist als (a — ß)², und (a — ß)2 erreicht seinen kleinsten Wert Null, wenn cp = jr/4 ist.

Diese und ähnliche Sätze finden sich im 7ten Buche der „Kegelschnitte“ des Apollonius.

§ 81. Der Kriimmungskreis.

1. Zwei Kegelschnitte haben, wie wir früher gesehen haben, vier Schnittpunkte. Durch diese selben vier Punkte geht aber eine ganze Schar von Kegelschnitten, und eine solche Schar heißt ein Kegelschnittbüschel. Die vier Punkte, die allen Kurven des Büschels gemeinsam sind, heißen die Grundpunkte des Büschels. Sind f = 0, cp = 0 die Gleichungen von zweien dieser Kegelschnitte, und A eine Konstante, so ist

(1)

f -f Xcp — 0

die Gleichung eines Kegelschnittes des Büschels, denn sie ist erfüllt, wenn f und cp gleichzeitig verschwinden, also in den vier Schnittpunkten von f und cp.

Denken wir uns einen der beiden Kegelschnitte f und cp fest, den anderen veränderlich, so können wir annehmen, daß von ihren Schnittpunkten zwei in einen zusammenfallen. Dann haben beide Kegelschnitte in diesem Punkte eine gemeinsame Tangente, und man schreibt den beiden Kegelschnitten selbst eine Berührung in diesem Punkte zu. Alle Kegelschnitte des Büschels berühren einander in diesem Punkte.

2. Die beiden anderen Schnittpunkte können gleichfalls zusammenfallen; dann erhält man zwei Kegelschnitte, die einander in zwei verschiedenen Punkten berühren: Doppelt berührende Kegelschnitte.

3. Es können auch drei der Schnittpunkte in einen zusammenfallen, während der vierte davon getrennt ist. Man erhält dann eine innigere Berührung in dem dreifachen Punkte, die man als Berührung zweiter Ordnung, Oskulation oder dreipunktige Berührung bezeichnet.

Es können endlich auch alle vier Schnittpunkte zusammenfallen. Dann erhält man eine Berührung dritter Ordnung oder vier-punktige Berührung.

4.    Unter allen Kegelschnitten, die einen gegebenen Kegelschnitt in einem gegebenen Punkte tc dreipunktig berühren, ist ein und nur ein Kreis enthalten, weil durch drei Punkte ein Kreis vollständig bestimmt ist. Dieser Kreis schneidet den gegebenen Kegelschnitt noch in einem vierten Punkte. Man nennt diesen Kreis den Krümmungskreis des Kegelschnittes in dem Punkte tc und schreibt dem Kegelschnitte in dem Punkte % dieselbe Krümmung zu, wie diesem Kreise. Da eine Kreislinie offenbar um so stärker gekrümmt ist, je kleiner der Radius ist, so betrachtet man als Maß der Krümmung den reziproken Wert des Radius des Krümmungskreises. Dieser Radius heißt darum auch der Krümmungsradius, und der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Krümmungsmittelpunkt des Kegelschnittes im Punkte n.

In besonderen Punkten (den Scheiteln des Kegelschnittes) kann der Krümmungskreis mit dem Kegelschnitte eine vierpunktige Berührung eingehen.

\3

Fig. 225.

5.    In bezug auf die Lage des Krümmungskreises wollen wir noch folgendes bemerken: Nehmen wir zunächst drei getrennte Punkte 1, 2, 3 auf einem Kegelschnitte, etwa einer Ellipse. Durch diese drei Punkte läßt sich ein Kreis legen, und wenn dieser Kreiä bei 1 aus der Ellipse aus-tritt, so wird er bei 2 wieder eintreten und bei 3 zum zweitenmal austreten (Fig. 225). Wenn wir nun die drei Punkte in einen Punkt tc zusammenfallen lassen, so geht der Kreis in den Krümmungskreis über, der also in dem Punkte tc die Ellipse nicht nur berührt, sondern zugleich durchdringt. Er geht z. B. in tc vom Inneren nach dem Äußeren und tritt in dem vierten Schnittpunkte wieder in das Innere ein. Eine Ausnahme findet nur

an den Stellen vierpunktiger Berührung statt, wo der Krümmungskreis ganz innerhalb oder ganz außerhalb der Ellipse bleibt.

6. Bei der analytischen Bestimmung des Krümmungskreises beschränken wir uns auf den Pall der Ellipse, deren Gleichung wir auf die Hauptachsen beziehen, also in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in der Form

(2)

x²

ä²

~f~

-1=0

annehmen.

Wir nehmen auf dieser Ellipse zunächst drei getrennte Punkte 1,2,3 an, verbinden die Punkte 1, 3 durch eine Gerade t, und legen dann noch durch 2 eine zweite Gerade s, die die Ellipse in irgend einem vierten Punkte 4 trelfen möge. Diese beiden Geraden betrachten wir als ein Linienpaar, und wenn t = 0, s = 0 die Gleichungen dieser Geraden sind, so ist durch

(3)

E -f- Ist = 0

das Büschel dargestellt, das die Punkte 1, 2, 3, 4 zu Grundpunkten hat. In diesem Büschel ist aber nur dann ein Kreis enthalten, wenn 4 der vierte Schnittpunkt des durch 1, 2, 3 gehenden Kreises ist.

7. Wenn nun die drei Punkte 1, 2, 3 in einen Punkt tc zusammenfallen, dessen Koordinaten x₀, y₀ sein mögen, so wird t die Tangente in diesem Punkte, während s eine durch tc gehende Sekante wird. Wir können daher setzen:

,_xxQ yy₀ 1 t= a² + b² ~

S = a(x — Xo) + ß{y-yo),

worin a, ß unbestimmte Koeffizienten sind, deren Verhältnis erst durch den Punkt 4 bestimmt ist.

Da also, auch wenn der Punkt 4 gegeben ist, ein gemeinschaftlicher Faktor von a und ß unbestimmt bleibt, so können wir la, Iß durch a, ß ersetzen, und daher die Gleichung (3) in der Form annehmen :

æ²

(4)

a²

+ («(# — xQ) + ß (y — y₀)) r +

Wo

b²

l) = 0.

Lassen wir a und ß beide unbestimmt, so bleibt der Punkt 4 unbestimmt, und durch (4) ist eine Schar von Kegelschnitten dargestellt, die einander in dem Punkte tc oskulieren. Darunter ist der Krümmungskreis enthalten.

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt das Verhältnis a : ß oder, wenn X einen noch unbestimmten Faktor bedeutet:

(6)

a a² ’

und demnach läßt sich die Gleichung der Linie s in die Form bringen:

xx₀ _ yy₀ V _ %² .

a² b² a² b²

Fig. 226.

9.    Dies Resultat genügt bereits, um mit Hilfe der gegebenen Ellipse den zweiten Schnittpunkt 4 der Linie s mit der Ellipse und sodann den Krümmungskreis selbst zu konstruieren, wenn nicht x0 oder y₀ verschwindet, d. h. wenn der Punkt jt keiner der Scheitel ist. Denn in den Gleichungen von s und t unterscheiden sich die Koeffizienten von x und y nur durch das Vorzeichen, und demnach bildet die Linie s mit der x- Achse den entgegengesetzten Winkel wie t. Da diese Linie überdies durch den Punkt tc geht, so kann man sie sofort zeichnen und hat dann einen Kreis zu legen, der die Linie t in tc berührt und außerdem durch den Punkt 4 geht (Fig. 226).

10.    Um die Bestimmung des Krümmungskreises analytisch durchzuführen, setze man, um X zu bestimmen, die Ausdrücke (6) in die zweite Gleichung (5) ein und erhält, wenn man zur Abkürzung

(7)

8. Um ihn zu ermitteln, haben wir a und ß so zu bestimmen,, daß die Gleichung (4) in eine Kreisgleichung übergeht. Dazu ist notwendig und hinreichend, daß in (4) das Produkt xy nicht vorkommt und daß die Koeffizienten von x² und y² einander gleich sind (§ 62, (2)), und man erhält so die Bedingungen:

ßXo

«J/o

(5)

= 0,

1 -f- ax‘₀ _ 1 -f- ßy₀ '

b²

a²

a²

b-

V , 2/o ²

ö⁷ +

setzt:

c²

a²ft²c>>

(9)

und folglich wird

1 -f- ax₀

aWo’

c*y₀

a^b^a’

a²

“i*kD,(£+&) ⁺

a² — ö²

a⁴

woraus man mit Benutzung der Ellipsengleichung:

V , ^_i a² ^ b²

¹ ~i~

erhält:

i + «₀

ferner:

Ô²

a²b²6*

2/o ²\

&V“

c²

_/V_^o_V

a²&²<r\a²    &²/

Die Gleichung (4) des Krümmungskreises wird danach:

ä*b*a (^² + y²) ~ x [fö + ^(a#o M

— y \_ß + ^(aXo + ßVo)] + aXo +    — 1=0,

oder endlich mit nochmaliger Benutzung der Ellipsengleichung:

2c²xx₀³ , 2c*yy₀³ , c²V c²i/₀2 a² ö²

Bezeichnet man die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes mit §, 7j, den Krümmungsradius mit p, so kann man diese Gleichung nach Abwertung des Faktors 1 : a²b²ö in die Form setzen

0-£)² + (y—rif =

(11)

a*

a²b ²<?] = 0.

und die Vergleichung der Koeffizienten der ersten Potenzen von x und y in (10) und (11) ergibt:

C²£C₀

(12)

a⁴

6⁴

Da der Punkt #₀, ?/₀ auf dem Kreise (11) liegt, so ist

r = (^o—£)² + (yo—vY,

xo — £ =

y₀-v = a2yo<*,

und aus (12) folgt:

und daraus:

Die Gleichungen (12) zeigen durch ihr Vorzeichen, daß der Krümmungsmittelpunkt im vierten Quadranten liegt, wenn der Punkt 7t im ersten Quadranten liegt.

11.    Es ist jetzt leicht, die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel, die wir vorhin ausschließen mußten,

zu konstruieren (Fig.227). Nach (12) haben diese Punkte 2t, 23 die Koordinaten | = c²/«, rj== 0 ;

rj = — c*/b.

Man konstruiere also das Rechteck OACB mit den Seiten a, b, und fälle (72123 senkrecht auf AB] dann schneidet diese Senkrechte auf den Achsen die gesuchten Punkte 2123 ab. Denn es ist z. B. für den Punkt 2t, wenn 02t = ! gesetzt wird, aus den ähnlichen Dreiecken 2tGA und ABC: (a — :b = b : a, woraus | = (a²— b²)/a — c²/a, und auf gleiche Weise ergibt sich rj = 0 23.

12.    Aus den Gleichungen (12) kann man die folgenden ableiten:

l-o,

Vo (bri\k a~[c7 ’ T_~Vä) ⁷

und wenn man quadriert und addiert, so folgt, da x₀, y₀ der Ellipsengleichung genügen:

(14)

—0-

7a

JB'

Fig. 227.

7!

'n.

Diese Gleichung ist ^ unabhängig von x₀, y₀ und es genügen ihr also alle Krümmungsmittelpunkte der Ellipse; betrachtet man I, rj als Koordinaten eines veränderlichen Punktes, so stellt (14) die Gleichung einer Kurve dar, die die Evolute der Ellipse genannt wird. Die Fig. 228 zeigt ihre ungefähre Gestalt.

Weber a. Wellstein, Encyklopedie. H. 2. Aufl.

Fig. 228.

33

13. Die Gleichung (14) enthält, wie man sieht, Kubikwurzeln, ist also irrational; will man sie davon befreien, so muß man zunächst beide Seiten in die dritte Potenz erheben und erhält:

«²i:

c⁴

Es ist aber nach (14):

₌ ^abjrjjf-    ^    .

folglich wird unsere Gleichung:

3    == i _ a2Jl

&V

c4 7

und wenn man also nochmals in die dritte Potenz erhebt:

27a²&²£V

(15)

e⁸

= 0.

Diese Gleichung ist von Wurzelzeichen frei. Durch Entwicklung des Kubus kann man sie nach | und rj ordnen, was wir hier nicht ausführen wollen. Für | = 0, rj = 0 ist die linke Seite von (15) negativ, für hinlänglich große Werte von |, rj positiv. Wir schließen daraus, daß die linke Seite von (15) negativ ist, wenn £, rj im Innern der Evolute liegt, und positiv, wenn es außerhalb liegt.

§ 82. Tangenten nnd Normalen ans einem gegebenen Punkte.

1. Wenn eine Ellipse:

<z²

(1)

E = tf+V~¹ = 0

und ein beliebiger Punkt p mit den Koordinaten |, rj gegeben sind,

so kann man sich die Aufgabe stellen, eine Tangente an die Ellipse zu legen, die durch den Punkt p geht.

Ist x₀ y₀ der gesuchte Berührungspunkt, so muß die Gleichung der Tangente in ihm,

Mg. 229.

in dem Punkte p befriedigt sein, d. h. es muß

èx0 I Wo 1 A

«² 62    X

sein. Bezeichnen wir also wieder mit x, y veränderliche Koordinaten, so muß die Gleichung der Geraden:

(2)

P = — + ^ — 1 = 0

in dem Punkte x₀, y₀ befriedigt sein. Diese Gerade schneidet aber die Ellipse in zwei Punkten, und demnach gibt es zwei durch p gehende Tangenten.

2.    Die gerade Linie P wird die Polare des Punktes p, in bezug auf den Kegelschnitt E, genannt.

Man kann sie leicht konstruieren, ohne die Ellipse dabei zu benutzen. Denn wenn man P in die Form setzt:

E _i_    _1 — 0

« ^ ß x

so erkennt man, daß a = a² : ß = b² : rj die Abschnitte sind, die die Linie P auf den beiden Achsen macht. Um also z. B. a zu erhalten, hat man das gegebene Quadrat a² in ein Rechteck zu verwandeln, dessen eine Seite die gegebene Länge £ hat.

3.    Die beiden Schnittpunkte von P und E können reell oder imaginär sein. Im letzteren Falle wird es keine Tangenten durch den Punkt p geben, und die Anschauung schon zeigt, daß dies der Fall ist, wenn p im Innern der Ellipse liegt. Wenn der Punkt p auf der Ellipse selbst liegt, so wird die Polare zur Tangente, d. h. ihre beiden Schnittpunkte fallen zusammen.

Dieses anschauungsmäßig sofort einleuchtende Resultat läßt sich auch leicht analytisch gewinnen, wenn man die Diskriminante der quadratischen Gleichung berechnet, die sich durch Elimination der einen Unbekannten, x oder y, aus den beiden Gleichungen (1) und (2) ergibt. Hierauf wollen wir nicht eingehen.

4.    Um die Gleichungen der Tangenten zu erhalten, die man von dem Punkte p mit den Koordinaten |, rj an die Ellipse legen kann, verfahre man so: Man betrachte das Büschel:

(3)

P- AP² = 0,

dessen Kurven sich alle in den Schnittpunkten von E und P berühren. Bestimmt man A so, daß die Kurve (8) durch den Punkt p geht, so erhält man einen zerfallenden Kegelschnitt, nämlich das (durch p gehende) Tangentenpaar. Sind E₀ und P₀ die Werte, die E und P im Punkte p annehmen, so ist nach (2) E₀ — P₀, und die Gleichung des Tangentenpaares wird nach (3):

33*

Dies aber gibt entwickelt:

oder:

(xn — yg)

a²b*

a*

b*

((x — %)r\ — {y — rj)|)² [x — |)s a*bs

(2/ — ?])²

a²

&²

= 0.

Um daraus die Gleichungen der Tangente selbst zu erhalten, hat man noch eine quadratische Gleichung zu lösen. Um diese zu finden, setze man

(5)

y — rj = t(x—£),

so daß t die Tangente des Winkels ist, den die gesuchte Tangente mit der x-Achse bildet (§ 58, 3.). Dadurch ergibt sich für t die quadratische Gleichung:

(v-ur

a²bs

oder :

(^+f) = ⁰

- 2Hfj + W-V) - 0.

ist (Bd. I, § 50)

Sind tx und t₂ die beiden Wurzeln dieser Gleichung, so

v ® — b^

Die Bedingung, daß diese beiden Tangenten aufeinander senkrecht stehen, ist = — 1 oder

(6)

£² + rf = a² + b².

Betrachten wir |, rj als variable Koordinaten, so ist dies die Gleichung eines Kreises, und es ist damit der Satz bewiesen:

Bewegt sich ein rechter Winkel so, daß seine beiden Schenkel beständig eine Ellipse mit den Halbachsen a, b berühren, so beschreibt der Scheitel des Winkels einen mit der Ellipse konzentrischen Kreis vom Radius

y a² + b².

Ein entsprechender Satz gilt auch für die Hyperbel; nur wird dann der Radius des Kreises ]/a² — b² und ist also nur reell, wenn a > b ist, d. h. wenn die Asymptoten der Hyperbel einen spitzen Winkel miteinander bilden.

5. Normalenproblem. Es soll von einem gegebenen Punkte p mit den Koordinaten £, rj eine geradlinige Strecke nach einem gesuchten Punkte 7t der gegebenen Ellipse gezogen werden, die in ihrem Fußpunkte n auf der Ellipse senkrecht steht, also eine Normale ist.

Sind x, y die Koordinaten yon %, so müssen diese zunächst der Gleichung (1) der gegebenen Ellipse genügen:

b²

-1 = 0,

und nach der Gleichung der Normalen im Punkte xy (§ 78, (7)), die im Punkte |rj erfüllt sein muß, ist:

-pi_(£ x)y

&²    a²

Der gesuchte Punkt, oder, wenn es deren mehrere gibt, die gesuchten Punkte, sind also die Schnittpunkte der beiden Kurven E= 0, F= 0, und da diese beiden Kurven Kegelschnitte sind, so gibt es vier Normalen durch einen gebenen Punkt p (Fig.230)

6. Die Kurve E = 0 ist die gegebene Ellipse selbst.

Die Kurve F = 0 ist eine gleichseitige Hyperbel, die durch den Punkt x = 0, y = 0, d. h. durch den Mittelpunkt der Ellipse E, und durch den Punkt x = £, y = iq, d. h.

durch den gegebenen Punkt p geht. Die Koordinatenachsen haben asymptotische Richtung für diese Hyperbel.

Die Gleichung der Hyperbel F läßt sich in der Form schreiben:

(7)

ge-

(x — y)x

= 0.

Fig. 230.

(8)

f=xy₊Vp-^- = 0,

worin e² = o? — &² ist. Setzt man /’= 0 in die Form:

(x—a) (y — ß) — aß = 0,

so sind cc, ß die Koordinaten des Mittelpunktes der Hyperbel, für die sich die Werte ergeben:

b²r)

c² '

Wenn also p im ersten Quadranten liegt, so liegt der Punkt aß im vierten Quadranten, und a ist immer größer als %.

Der eine Zweig der Hyperbel H, der durch den Mittelpunkt der Ellipse geht, muß an zwei Stellen aus der Ellipse austreten, von

c²

denen die eine im ersten, die andere im dritten Quadranten liegt; der andere Zweig kann je nach der Lage des Punktes p die Ellipse in zwei Punkten treffen, in einem Punkte berühren, oder außerhalb verlaufen, ohne die Ellipse zu schneiden.

Durch den Punkt p (im ersten Quadranten) gibt es also immer zwei reelle Normalen, deren Fußpunkte im ersten und dritten Quadranten liegen.

Es gibt aber noch zwei andere Normalen, die, wenn sie reell sind, ihre Fußpunkte im vierten Quadranten haben. Sie können aber auch zusammenfallen oder imaginär sein.

7. Um zu entscheiden, welcher dieser drei Fälle eintritt, müssen wir die biquadratische Gleichung untersuchen, von der die Fußpunkte abhängen.

Diese biquadratische Gleichung hat immer zwei reelle Wurzeln. Die beiden anderen können reell oder imaginär sein.

Nehmen wir statt der biquadratischen Gleichung eine ihrer kubischen Resolventen (Bd. I, § 98 f.), so hat diese im ersten Falle drei reelle Wurzeln, im zweiten Falle eine reelle und zwei konjugiert imaginäre Wurzeln.

8. Wir nehmen hier naturgemäß als kubische Resolvente die Gleichung, von der die drei Linienpaare abhängen, die sich durch die vier Fußpunkte legen lassen. Diese sind reell, wenn die vier Fußpunkte reell sind. Wenn zwei von den Fußpunkten konjugiert imaginär sind, so ist eines dieser Linienpaare reell, die beiden anderen imaginär. Fallen aber zwei der Fußpunkte 1, 2, 3, 4, etwa 3 und 4, in einen zusammen, so fallen auch zwei von den Linienpaaren in eines zusammen, nämlich in das Linienpaar 31, 32. Das andere Linienpaar besteht aus der Linie 12 und der Tangente in 3.

Sind die beiden Punkte 3, 4 konjugiert imaginär, so ist die sie verbindende Gerade reell, schneidet aber die Ellipse in imaginären Punkten. Wir haben dann das reelle Linienpaar 12, 34. Die Linienpaare 13, 24 und 14, 23 sind konjugiert imaginär.

9. Wir haben also nun die Linienpaare aufzusuchen, die in dem Kegelschnittbüschel enthalten sind (Bd. I, § 99). Die Gleichung dieses Büschels lautet entwickelt

i^ + i^ + a^ + aiÿs-î^-i-o,

und sie wird nach § 74 ein Linienpaar, wenn die Determinante

gleich Null wird. Darnach ergibt sich für X die kubische Gleichung:

2a²&²|7]

a²|² . &V

c⁴

1,

b²r]

c²

1,

¥’

b*T\ —a²| “c²” ’    “c²⁻ >

an

c²

c⁴

und wenn man durch al dividiert und X : ab = u setzt:

a²!² , bs7]²    -\ 2ab£r}

c⁴    V ⁺ c⁴

(9)

c⁴

-0.

Es ist nun leicht, die Diskriminante dieser Gleichung zu bilden: Nach Bd. I, §§ 92, 94 gilt in bezug auf die Realität der Wurzeln dieser Gleichung folgende Unterscheidung:

Ist

e⁴

<0: drei reelle Wurzeln,

= 0: zwei Wurzeln einander gleich, >0: eine reelle Wurzel.

Die Größe, deren Vorzeichen hiernach entscheidet, ist aber genau die linke Seite der Evolutengleichung, die nach § 81, 13. im Innern der Evolute negativ und außerhalb positiv ist, und es ist also damit bewiesen:

Von einem Punkte im Innern der Evolute sind vier Normalen an die Ellipse möglich, von einem Punkte auf der Evolute drei und von einem Punkte außerhalb der Evolute nur zwei.

§ 83. Analytische Sphärik.

1. Die Untersuchungen des ersten und vierten Teiles der sphärischen Trigonometrie haben wiederholt die weitgehende Analogie zwischen Sphärik und Planimetrie hervortreten lassen. Die Frage liegt nahe, ob sich diese Analogie auch analytisch durchführen läßt.

Und da ergibt sich in der Tat bei geschickter Wahl des Koordinatensystems eine überraschende Übereinstimmung zwischen den Formeln der analytischen Geometrie der Ebene und denen der „analytischen Sphärik“, besonders wenn man je zwei diametral gegenüberliegende Kugelpunkte als einen „Punkt“ zusammenfaßt (vgl. § 10,2.).

Die analytische Sphärik ist dann ein treues Bild der analytischen Geometrie der Ebene.

Der Kugelradius sei im folgenden gleich Eins gesetzt Ein Hauptkreis werde auch als „Kugelgerade“ bezeichnet,

da er das sphärische Analogon der Geraden ist.

Die Winkel zwischen zwei Kugelradien bezeichnen wir hier in der allgemein üblichen Weise, also nicht nach den Festsetzungen von § 38,8. Wir brauchen uns daher auch nicht jeden i] {jx Hauptkreis als mit Richtungs-sinn versehen vorzustellen.

„Koordinatenachsen“ wählen wir zwei zueinander normale Kugelgeraden und bezeichnen einen ihrer Schnittpunkte als „Anfangspunkt“ 0. Yon 0 aus legen wir eine positive Abszissenrichtung OX und eine positive Ordinaten-richtung OY fest, wobei die Punkte X und Y um je einen Quadranten 0 entfernt seien (Fig. 231).

Sei nun P ein Punkt der Kugel. Wir fällen von P die sphärischen Lote PQ = rf und PR = f' auf die „Koordinatenachsen“ und setzen unter Beachtung der Vorzeichen die Bogen:

-x

-Y

von

's

ri

n'

9,

Als

Fig. 231.

OG-!

OR = rj.

Unter den „sphärischen Koordinaten“ x,y des Punktes P verstehen wir nun die trigonometrischen Tangenten der Bogen rj und |, so daß also

wird. Dann ist nach der Figur

% = ^oyq, y = OXR.

Damit die Beziehung zwischen Koordinaten und Punkten eindeutig werde, müssen wir uns wegen tg cp = tg(yr -f cp) auf das Intervall —    + beschränken, oder geometrisch gesprochen:

Wir treiben Geometrie der Halbkugel. In unserer Figur kommt für uns nur die vordere Halbkugel in Betracht.

— oo

Dann entspricht jedem Wertepaar x, y zwischen und -f- oo ein und nur ein Punkt der Halbkugel und umgekehrt.

Der Hauptkreis X, Y, —• X, — Y bildet die Grenze unseres Gebietes, und vertritt daher die Stelle der unendlich fernen Geraden. Der Zusammenhang zwischen | und £' einerseits, y und r/ andererseits wird vermittelt durch die Formeln (§ 52, (6)):

(1)

tg y = cos | tg rj.

2. Eine Kugelgerade möge mit der sphärischen x-Achse den Winkel cp bilden und auf den „Koordinatenachsen“ die Strecken a und ß abschneiden. Ist P{xy) ein Punkt der Kugelgeraden, so hat man:

tg 7] cos g

oder:

t gß ₌    tgrf ₌_

sin cc sin (cc — |) sin cc cos g — cos cc sin g

oder:

sin cc _ sin u_ cos cc tg g

tg ß    tg 7]    tg 7]

tg i

Setzt man:

tg «

CTC3 0Q

tg a = a,

tgß = b,

so hat man die Gleichung der Kugelgeraden:

(0)

- + f = 1.

a o

Geht die Kugelgerade durch einen festen Punkt Pi_{x₁y₁}^ so wird ihre Gleichung:

(Oi)

x~xi , y — yi ₌ o.

a ~ b

Die Gleichung (G) ist linear in x und y. Umgekehrt repräsentiert jede in x und y lineare Gleichung eine Kugelgerade. Denn aus der allgemeinen linearen Gleichung px -\- qy — r = 0 geht durch pjr = a und qjr = b sofort die Form (G) hervor.

Die Gleichung einer Kugelgeraden durch zwei Punkte Pt und P2 wird daher genau wie in der Ebene:

(0₂)

y-y i =|4r!r <>-*!)•

3. Die sphärische Ellipse (Hyperbel) ist der Ort der Punkte, deren sphärische Abstände p und p' von zwei festen Punkten f und f, den „Brennpunkten“ die konstante Summe (Differenz) 2a haben.

Um die Gleichung dieser Kurven aufzustellen, nehmen wir die Brennpunkte auf der sphärischen x-Achse äquidistant von 0 an. Es sei dann

Of = Of = E

a.

gesetzt. Wir betrachten zunächst die sphärische Ellipse. Einen ausgezeichneten Punkt S auf ihr erhalten wir sofort, indem wir über ff das sphärische gleichschenklige Dreieck mit den Schenkeln q = q' = a errichten. Seine Höhe SO soll mit ß bezeichnet werden. Man nennt 2 a die „große Achse“, 2ß die „kleine Achse“ der sphärischen Ellipse.

Nach § 52, (1) ist

Tig. 232.

(2)

cos ß =

COS cc COS s ’

also, wenn man quadriert und die Kosinusquadrate nach § 26, (5) durch die Tangenten ausdrückt:

(3)

tg² s =

tg² cc — tg²ß

1 + tg²/?

Ferner :

cos q = cos r/ cos (s — |), cos q = cos rf cos (f -f-1).

Unter Benutzung der Bezeichnungen:

(4)

p + (/ = 2a, o — f = 2d

folgt nun nach (4) und § 29, (5):

^ (cos p -f cos p') = cos a cos d,

cos s cos £

^ (cos p -f- cos p') = cos rf cos e cos | =

cos a cos d =

COS £ COS i

|/l -f tg² 7]' also nach (1) und (2):

cos ß cos d =

]/l -{- cos² I tg² r\ ⁷

cos² ß cos² d

= i -f tg²i + tg²v,

Wir drücken jetzt ö durch a und § aus. Zu dem Ende bilden

wir aus

(4) nach § 29, (5):

cos q — cos q = — 2 sin a sin d == — 2 cos sin s sin |,

COS p + COS p' =

Durch Division folgt:

2 cos cc cos d =

2 cos r[ cos s cos

(6)

tg d =

tg * tg ś

tga ⁷

und hieraus nach (3):

tg²J tg⁸ a — tg² ß _ tg² cc 1 + tg² ß

Daher wird die linke Seite von (5):

tg²d =

(1 + tg² ß) (1 + tg² d) = 1 + tg² ß + tg² £ -und es ergibt sich jetzt aus

tg²/?tg²|

tg²“ ⁷

(5)

tg² rj = tg² ß —

tg²/? tg⁸!

tg⁸ cc    ’

also endlich die Gleichung der sphärischen Ellipse

tg²i

tg² cc oder

(E)

wobei

tg cc = a,

gesetzt ist.

Auf analogem Wege erhält man als Gleichung der sphärischen Hyperbel

(H)

y²

= 1.

a² 6*

Hier läßt sich aber & (oder ß) nicht geometrisch deuten. Man nennt daher bei der sphärischen Hyperbel 2/3 nicht die kleine, sondern die „imaginäre Achse“.

4. Wir kommen nun zur Diskussion der Gleichung (E). Da x und y nur im Quadrat Vorkommen, ist die sphärische Ellipse symmetrisch in bezug auf die Koordinatenachsen, linke Seite von (E) wesentlich positiv ist, so ergibt sich die sphärische Ellipse als eine geschlossene Kurve, die ganz innerhalb des sphärischen Rechtecks mit den Eckpunkten (a, b), (—a, b), (a, —b), (— a, — b) liegt.

Ebenfalls folgt leicht, daß die Ellipse symmetrisch zu

Und da die

0 liegt.

Läßt man die Beschränkung — n/2 < |, ?? < -f- #/2 fallen, so erkennt man, daß der Gleichung (E) auch noch Punkte genügen, die den bisher untersuchten diametral gegenüberliegen. Die ganze Kurve (E) besteht dann aus zwei diametral gegenüberliegenden, übrigens geschlossenen und zu den Koordinatenachsen symmetrischen Stücken E und E₁.

0 heißt Mittelpunkt, die Endpunkte der Achsen Scheitel der Ellipse.

Dabei ist aber für den Teil Ex nicht mehr p -f- p' == 2a, sondern, wie geometrisch einleuchtet, qq'= 2Jt — 2a. Es liegt dies daran,

daß wir bei Aufstellung der Gleichung nicht 2a, sondern cos 2 a als konstant betrachtet haben. Eine

LA

r;

einheitliche Definition könnten wir auch jetzt noch erhalten, wenn wir cos (p -f p') = const, in die Definition aufnähmen.

5. Der Teil Ex kann auch als ursprünglich angesehen werden und hat dann seine Brennpunkte fx und fx und seinen Mittelpunkt Ox. Dabei soll fx diametral gegenüber f, und fx gegenüber f angenommen sein.

Es sei nun A ein Punkt auf Ex (Fig. 233). Wir ziehen nach A die Brennstrahlen fA = p' und fx'A = px. Da f und fx diametral gegenüberliegen, so geht jeder durch A und f gelegte Hauptkreis auch durch fx. Daher ist:

/E

'E

Fig. 233.

& = ffi ⁼⁼ fA + H/j — q + H./.,.

Aber Afx = 2 a — Afx = 2a — mithin

q' — pj —tc — 2 a = 2 a — const.

Dreht man also die Kugel der Figur 232 derart, daß fx und f auf die vordere Halbkugel kommen, und beschränkt sich wieder auf die neue vordere Halbkugel, so haben wir jetzt als Kurve zwei getrennte Äste, nämlich die Hälften der früheren E und Ex, als Brennpunkte f und fx. Und diese Kurve ist der Ort der Punkte, deren Abstände von f und fx die konstante Differenz 2 a haben.

Die sphärische Ellipse läßt sich also auch als sphärische Hyperbel mit den Brennpunkten f und fx auffassen. Die großen Achsen ergänzen sich zu 2%.

Da der die Halbkugel begrenzende Kreis nach dem Schlußsätze von 1. die unendlich ferne Gerade vertritt, so ist die sphärische Hyperbel auch darin der ebenen analog, daß sie sich gleichsam bis ins Unendliche erstreckt.

6. Die Tangente an eine sphärische Kurve ist eine Kugelgerade, die mit der Kurve zwei zusammenfallende Punkte gemein hat.

Um die Gleichung der Tangente an eine sphärische Ellipse oder Hyperbel aufzustellen, stellen wir zunächst die der Sekante auf und lassen dann deren Endpunkte zusammenfallen.

Die Gleichung einer Kugelgeraden durch die Punkte x₁y₁ und x₂y₂ ist nach 2.:

Vx —

(G.)

— ix — X^).

Da nun die beiden Punkte auf JE liegen sollen, ist

yi

7 0    «

-b - ^x₁,

ył = v-~x₂²,

woraus durch Subtraktion folgt:

b² xx -f- x₂

~~ Vx + y%

Als Gleichung der Sehne erhält man daher mit Hilfe von (Ga):

b² x. -j- x» ,    \

»-ft—+

Um zur Tangente überzugehen, setzen wir xt = X₂, y± = y₂ und

erhalten:

y y i ₌ V i 2/i³

a²

b² a² ^ b²

Unter Benutzung von (E) wird daher die Gleichung der sphärischen Ellipsentangente:

+ m = i

-r b²

Analog folgt für die Tangente der sphärischen Hyperbel:

xxi _ yyl = ^

xxx

b²

a²

In der Tat sind dieses Gleichungen von Kugelgeraden, die mit der Ellipse bez. Hyperbel nur den einen Punkt xtyt gemein haben, denn sie sind nur für diesen einen Punkt der betreffenden Kurve erfüllt.

7. Für e = 0 fallen f und f mit 0 zusammen und aus (6) folgt q = p', also ö = 0. Die Kurve (JE) geht in eine Kurve (K) über, deren Punkte sämtlich von 0 konstanten sphärischen Abstand haben. Die Kurve (K) ist also ein Kreis mit dem sphärischen Mittelpunkte 0 (§ 39, 12.) und dem sphärischen Radius a. Seine Gleichung wird:

5-1    |<M

H I e

h-¹

Die Gleichung (K) läßt sich übrigens leicht unmittelbar aus der definierenden Eigenschaft des Kreises ableiten, daß seine Punkte von 0 konstanten sphärischen Abstand haben. Man erhält sofort

cos² a — cos² rf cos² £,

woraus (K) unter Zuhilfenahme von (1) folgt.

8. Stellen wir die Gleichungen (E) und (K) zusammen:

a²

(E)

(K)

a²

a-

= 1,

so erkennen wir, daß die Ordinate ÿ eines Kreispunktes zu der eines „senkrecht“ unter ihm liegenden Ellipsenpunktes sich verhält wie a zu b.

Jedem Punkte des Kreises entspricht ein Punkt der Ellipse mit derselben Abszisse, dessen Ordinate aus der des Kreispunktes durch Verkürzung im Verhältnis b:a hervorgeht.

9. Wir denken uns nun die Kugelfläche doppelt bedeckt und bezeichnen die Flächen, in denen Ellipse und Kreis liegen, mit 6 und 6. Dann können wir in Verallgemeinerung des Vorhergehenden jedem Punkte Ä von 6 einen Punkt A von <? zuordnen, indem wir die Ordinate von Ä in der angegebenen Weise verkürzen.

Was entspricht nun bei dieser „Verwandtschaft“ einer Kugelgeraden T von 0 in 0?

Die Gleichung von T sei:

S I hi

1.

Setzen wir nun, um das entsprechende Gebilde in 6 zu erhalten:

x = x,

b

y-^y> so erhalten wir also wieder eine Kugelgerade.

Eine Kugelgerade geht also bei der angegebenen Verwandtschaft in eine Kugelgerade über. Wir bezeichnen sie daher in Anlehnung an die Planimetrie als eine kollineare Verwandtschaft oder Kollineation.

Jeder Punkt der x-„Achse“ entspricht sich selbst. Also gilt

der Satz:

Jede Kugelgerade von 6 schneidet die entsprechende von <3 auf der Æ-Achse.

10.    Man bemerkt leicht, daß die „unendlich fernen Gebilde“, nämlich die die Halbkugeln 6 und 6 begrenzenden Kreise in 6 und 6 einander entsprechen. In Anlehnung an die Planimetrie können wir daher sagen:

Die von uns betrachtete Kollineation charakterisiert sich des Näheren als „affine“ Verwandtschaft.¹)

tg I = £

11.    Für sehr kleine Werte von % und r\ kann man und tg rj = rj setzen und zugleich die Bogen £ und tj als geradlinige, in der Tangentialebene von 0 verlaufende Strecken ansehen. Wendet man dies auf die Gleichungen (E) und (H) an, so gelangt man zu dem Satze, daß sphärische Kegelschnitte, die im Verhältnis zur Kugeloberfläche sehr klein sind, als ebene Kegelschnitte aufgefaßt werden können. Dieser Fall ist insbesondere realisiert, wenn die Kugel einen unendlich großen Radius erhält, d. h. zur Ebene wird. Wir haben dann den Satz:

Die ebenen Kegelschnitte sind ein Grenzfall der sphärischen für unendlich großen Kugelradius.

Achter Abschnitt.

¹

Ausführlicheres über die analytische Sphärik findet man bei Hübner, Ebene und räumliche Geometrie des Maßes u. s. w. (Teubner 1895).

Punkte, Ebenen und Gerade im Raume.

§ 84. Die Grundgebilde der Geometrie des Raumes.

Wir setzen in der Geometrie des Raumes die Axiome der Planimetrie einschließlich des Parallelen axioms voraus, wollen aber zeigen, daß man ohne Zuziehung neuer axiomatischer Annahmen zu den Maßbestimmungen und den Kongruenzsätzen im Raume gelangen kann. Hierauf hat bereits Hilbert in seinen „Grundlagen der Geometrie“ (2. Aufl. S. 15) hingewiesen. In den neueren Lehrbüchern (unter anderen auch bei Baltzer) ist dies nicht streng durchgeführt, und die Schlüsse werden nur durch Zuziehung eines Axioms für den Raum verständlich.

Der Gegensatz zwischen rechts und links, der auf einer Geraden und in der Ebene durch Veränderung des Standpunktes aufgehoben werden kann, läßt sich im Raume nicht mehr ausgleichen, und er spielt darum im Raume eine viel wichtigere Rolle. Er läßt sich nur an Objekten der Erfahrung demonstrieren.

1. Die Grundgebilde der Geometrie des Raumes sind: der Punkt, die Gerade und die Ebene.

a)    Zwei Punkte bestimmen ausnahmslos eine Gerade, ihre Verbindungslinie.

b)    Eine Gerade und ein Punkt, der nicht in der Geraden liegt, bestimmen eine Gerade.

c)    Drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, bestimmen eine Ebene.

d)    Zwei Geraden, die einen Punkt gemein haben, bestimmen eine Ebene, in der beide Geraden enthalten sind.

e)    Zwei Geraden, die in einer Ebene liegen, haben entweder einen Punkt gemein, oder sie sind zueinander parallel.

Zwei Geraden, die weder einen Punkt gemein haben, noch zueinander parallel sind, also nicht in einer Ebene liegen, heißen „einander kreuzend“ oder „windschief“.

f)    Zwei Ebenen, die einen Punkt miteinander gemein haben, bestimmen eine Gerade, ihre Schnittlinie.

g)    Zwei Ebenen, die keinen Punkt miteinander gemein haben, heißen parallel.

h)    Eine Ebene hat mit einer Geraden, die nicht in ihr liegt, höchstens einen Punkt gemein. Haben die Ebene und die Gerade keinen Punkt gemein, so heißen sie parallel.

2. Sätze:

a)    Zwei parallele Ebenen cc, ß werden von einer Ebene y, die durch je einen Punkt von a und von ß geht, in zwei parallelen Geraden a, b geschnitten.

Denn wenn die in der Ebene y liegenden Geraden a, b nicht parallel wären, so müßten sie einen Schnittpunkt haben, und dieser müßte zugleich auf a und auf ß liegen.

b) . Durch einen Punkt A kann man zu einer diesen

Punkt nicht enthaltenden Ebene cc nicht mehr als eine parallele Ebene legen.

Denn hätte man zwei solche Ebenen ß, y, so könnte man durch A und einen beliebigen Punkt B von cc eine Ebene e legen. Sind a, b, c die Schnittlinien von e mit cc, ß, y, so wären a und b parallel mit c. Es gäbe also in der Ebene e durch den Punkt A zwei Parallelen zu einer Geraden c, was dem Axiom in der Ebene widerspricht.

Durch einen Punkt A kann man zu einer ihn nicht enthaltenden

Ebene a beliebig viele parallele Geraden ziehen. Denn verbindet man A mit einem beliebigen Punkte B von cc durch eine Ebene e, die die Ebene cc in der Geraden a schneidet, so kann man durch A in e eine Parallele zu a legen, die dann auch parallel zu cc ist.

c) Zwei durch A gehende, zu cc parallele Geraden a, b bestimmen eine zu cc parallele Ebene.

Denn angenommen, die Ebene (a, b) wäre nicht parallel zu a, so hätte sie mit a eine Schnittlinie e. Diese müßte wenigstens die eine der beiden Geraden a, b schneiden, und diese wäre nicht parallel zu a.

Ist dann c eine dritte Parallele zu cc durch den Punkt A, so muß diese in der Ebene (a, b) liegen, weil sonst mehr als eine parallele Ebene zu a durch A gehen würde.

34

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

Wir können also den Satz b) so ergänzen:

d)    Durch einen Punkt A kann man immer eine und nur eine parallele Ebene ß zu einer den Punkt A nicht enthaltenden Ebene cc legen. Jede in der Ebene ß gelegene Gerade ist parallel zu a, und jede durch irgend einen Punkt von ß gehende zu a parallele Gerade ist in ß enthalten.

e)    Sind a und b zwei parallele Geraden in der Ebene cc, un d ist A. ein nicht aufagelegenerPunkt, so schneiden sich die beiden Ebenen Aa, Ab in einer Linie c, die sowohl zu a als zu b parallel ist.

Denn wenn die Schnittlinie von Aa und Ab die Ebene a in einem Punkte träfe, so müßte dieser Punkt sowohl auf a als auf b liegen, während doch diese beiden Geraden keinen gemeinschaftlichen Punkt haben.

Etwas anders ausgedrückt besagt dieser Satz:

f)    Wenn zwei Geraden zu einer dritten parallel sind, so sind sie auch untereinander parallel.

Denn nach dem planimetrischen Axiom kann man durch einen Punkt A eine und nur eine Parallele zu a legen. Dann ist a b und a\c und nach e) auch b\\c.

g)    Wenn zwei Ebenen a und ß zu einer dritten y parallel sind, so ist auch a mit ß parallel.

Denn sollten sich a und ß in einer Geraden e schneiden, se lege man durch einen Punkt von e eine die Ebene y schneidende Ebene s. Die Ebenen cc, ß, y werden dann in drei Geraden a, b, c geschnitten, die nach a) miteinander parallel sein müssen, während sich doch a, b auf e schneiden.

Über den Schnitt von drei Ebenen können wir nun folgendes

aussagen:

cc) Die drei Ebenen gehen durch eine Gerade; sie haben unendlich viele Schnittpunkte.

ß) Die drei Ebenen sind parallel; sie haben keinen Schnittpunkt.

y) Zwei von ihnen sind parallel; sie werden von der dritten in parallelen Geraden geschnitten, und die drei Ebenen haben keinen Schnittpunkt.

d) Die dritte Ebene ist parallel zu der Schnittlinie der beiden ersten. In diesem Falle sind die drei Schnittlinien

je zweier der Ebenen parallel. Die drei Ebenen haben keinen Schnittpunkt.

s) Die dritte Ebene schneidet die Schnittlinie der beiden ersten in einem Punkte. Dieser Punkt gehört allen drei Ebenen an und ist ihr Schnittpunkt. Die drei Schnittlinien je zweier der Ebenen gehen durch diesen Punkt und liegen nicht in einer Ebene. Die drei Ebenen bilden ein Dr ei flach oder Trieder.

3. Denken wir uns drei von einem Punkte auslaufende geradlinige Strecken in bestimmter Reihenfolge mit den Ziffern 1, 2, 3 bezeichnet, und denken uns dieses „Dreibein“ beweglich, jedoch mit der Beschränkung, daß bei der stetigen Verschiebung niemals die eine Strecke durch die Ebene der beiden anderen hindurchgehen darf, so müssen wir zwei Arten dieser Dreibeine (oder der Numerierung) unterscheiden, so daß jedes dieser Systeme mit einem System derselben Art, niemals aber mit einem der anderen Art zur Deckung gebracht werden kann. Man unterscheidet demnach Rechtssysteme und Linkssysteme, die am besten durch die drei zwanglos ausgestreckten Finger, Daumen (1), Zeigefinger (2), Mittelfinger (3), der rechten und linken Hand veranschaulicht und erklärt werden.

Man kann die vier Seiten oder die vier Ecken eines regelmäßigen Tetraeders auf zwei Arten mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 bezeichnen, und zwei Bezeichnungen der gleichen Art können durch Drehung und Verschiebung des Tetraeders zur Deckung gebracht werden, zwei von verschiedener Art nicht.

Man kann die Ecken 1, 2, 3 mit den Ecken 1', 2', 3' eines kongruenten Tetraeders zur Deckung bringen, und dann kann die Ecke 4' entweder mit 4 zusammen fallen, oder es ist 4' das Spiegelbild von 4.

Die Chemie hat diese Vorstellungen benutzt (in der Stereochemie), um gewisse Erscheinungen, die einen Gegensatz zwischen rechts und links zeigen, wie die Drehung der Polarisationsebene des Lichtes im einen oder im anderen Sinne, zu erklären.

Eine Bewegung eines Körpers, die aus einer Fortbewegung in einer bestimmten Richtung und einer Drehung um eine zu dieser Richtung parallele Achse zusammengesetzt ist, heißt eine Schraubenbewegung oder Schraubung.

Der Raum, den irgend ein Teil des bewegten Körpers (z. B. ein nicht in der Achse liegender Punkt) überstreicht, heißt eine Schraube (im geometrischen Sinne). Man unterscheidet Rechtsschraubungen und Linksschraubungen. Eine Rechtsschraubung ist eine solche, bei der die Drehung für einen in der Richtung der Achse stehenden menschlichen Körper vor den Augen von rechts nach links geschieht.

34

Eine Rechtsschraubung ist jede ungezwungene Bewegung des rechten Armes, z. B. wenn ich einem Freunde die Hand entgegenstrecke; die entsprechende Bewegung der linken Hand wäre eine Linksschraubung. Rechts gewunden sind die meisten im täglichen Leben gebrauchten Schrauben, die Korkzieher, die meisten Schneckenhäuser (doch gibt es auch links gewundene Arten), die meisten Schlingpflanzen.

Ein linearer elektrischer Strom erzeugt in seiner Umgebung ein die Strombahn umkreisendes Magnetfeld, dessen Drehung in Verbindung mit der Stromrichtung eine Rechtsschraubung gibt (Amperesche Schwimmerregel) (Bd. III, § 40).

§ 85. Winkel.

1. Um den Winkel zweier windschiefer Geraden a, b zu erklären, ziehe man durch irgend einen Punkt C zwei Parallelen CA, CB zu

Daß

C"

a und b. Der (ebene) Winkel -èfcACB wird dann als der Winkel zwischen den beiden Geraden a, b bezeichnet, diese Definition von der Wahl des Punktes C unabhängig ist, ergibt die j folgende einfache Betrachtung (Fig. 234) : ^    Man nehme einen zweiten Punkt C'

Mg. 234.

an und verbinde ihn mit C durch eine gerade Linie. Dann mache man

C'A' parallel und gleich CA,

CB

CB'

und ziehe ÄÄ, BB'. Diese Linien sind dann parallel zu CC', und folglich (nach § 84, 2. f.) auch untereinander parallel. Da überdies beide gleich CC' sind, so sind sie auch untereinander gleich, und AA'B'B ist ein Parallelogramm. Folglich AB^Ä'B' und A ABC kongruent A A'B'C', also auch

^ACB~ A'C'B'.

2. Zwei Ebenen a, ß, die sich in einer Geraden c schneiden, teilen den Raum in vier Fächer ein, die man Flächenwinkel nennt.

Um ein Maß für die Flächenwinkel zu gewinnen, errichtet man in einem Punke C der Schnittlinie c von a und ß in diesen Ebenen Lote auf c (CA und CB in Fig. 235) und bezeichnet den ebenen Wiukel ACB als Maß für den Flächenwinkel der Ebenen a, ß.

Daß dieses Maß von der Wahl des Punktes C unabhängig ist, ergibt sich wie in 1. Ist AGB ein rechter, so sagt man, die beiden Ebenen a, ß stehen aufeinander senkrecht.

MX

3. Normale und Normalebene. Ziehen wir in der Ebene ABC (Fig. 235), die wir mit e bezeichnen wollen, eine beliebige Linie CD, so steht auch diese senkrecht auf c. Um dies einzusehen, nehme man in c zwei Punkte P und Q in gleicher Entfernung von C und verbinde A mit B. Dann ist

■e*

A ACP^ACQ, A BCP^BCQ,

Fig. 235.

weil die Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (dem rechten Winkel bei C) übereinstimmen (Iter Kongruenzsatz). Folglich ist AP = AQ BP = BQ, AB — AB, und mithin ist

A ABP ^ ABQ (IIIter Kongruenzsatz).

Folglich ist und folglich

also

PAB s* QAB, A PAD QAD,

PD ^ QD,

folglich

A PDG ^ QDC (IIIter Kongruenzsatz), ^DGP^DCQ,

und daher jeder dieser Winkel ein Rechter.

Aus diesem Grunde heißt die Ebene e rechtwinklig oder normal zu c. Jede in dieser Ebene gelegene Gerade, auch wenn sie nicht durch G geht, steht auf c senkrecht.

Da c jede beliebige Gerade sein kann, so haben wir den Satz:

a) Durch jeden Punkt einer gegebenen Geraden läßt sich eine und nur eine Normalebene legen.

Die Linie c heißt die Normale der Ebene e im Punkte C, und es gilt der Satz:

b)    In jedem Punkte C einer gegebenen Ebene e läßt sich eine und nur eine Normale errichten.

Daß es nicht zwei Normalen e, e in G geben kann, ist unmittelbar ersichtlich, denn sonst würden ja die beiden Geraden e, e auf der Schnittlinie ihrer Ebene mit s senkrecht stehen.

Um also die Normale e zu erhalten, ziehe man durch C zwei beliebige Geraden a, b in £ und nehme zu diesen in C (nach a)) die Normalebenen cc, ß. Die Schnittlinie dieser Ebenen ist dann die gesuchte Normale e, weil auf ihr zwei Linien a, b der Ebene e senkrecht stehen. Nach diesen Festsetzungen ergibt sich noch:

c)    Der Flächenwinkel zweier Ebenen ist auch gleich einem der Winkel, die die Normalen der Ebenen einschließen.

d)    Yon einem außerhalb der Ebene s gelegenen Punkte P kann man eine und nur eine Normale (Perpendikel) auf s fällen, und zu jeder Geraden e läßt sich durch einen gegebenen Punkt P eine und nur eine Normalebene legen.

Man hat nur zu einer beliebigen Normalen der Ebene s oder Normalebene zu e eine parallele Gerade oder Ebene durch P zu legen.

e)    Steht eine Gerade a senkrecht auf einer Ebene cc, so steht jede durch a gehende Ebene senkrecht auf cc. Ist aber a nicht normal zu cc, so kann man durch a eine und nur eine Ebene legen, die auf cc senkrecht steht.

Um diese Ebene zu erhalten, fälle man von einem beliebigen Punkte von a das Lot d auf cc. Die Ebene der beiden Geraden a und d ist dann die gesuchte Normalebene.

Das gilt auch noch, wenn a zu cc parallel ist oder wenn a in a liegt.

f)    Ein Maß für den Winkel, den eine Gerade a mit der Ebene a bildet, erhält man, wenn man durch a eine auf a senkrechte Ebene legt, die die Ebene a in einer Linie e schneidet. Der ebene Winkel zwischen a und e wird dann als der Winkel zwischen cc und a definiert.

Der Winkel zwischen einer Ebene und ihrer Normalen ist ein rechter.

§ 86. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden.

1. Sind a, b zwei gerade Linien, die nicht in einer Ebene liegen, so kann man einen Punkt A auf a und einen PunktB auf b von der Art finden, daß die Verbindungslinie AB auf a und auf b senkrecht steht (Fig. 236).

Um diese Punkte zu erhalten, lege man durch einen beliebigen Punkt X der Geraden a die Normalebenen zu a und b. Diese schneiden sich in einer Geraden x, die auf a und b senkrecht steht und die Linie a trifft, im allgemeinen aber die Linie b nicht treffen wird.

Da

Fy

By

Pig. 236.

Die Ebene ax kann aber auch nicht zu b parallel sein, weil sonst eine durch X gelegte parallele Gerade zu b auf x senkrecht stehen und folglich mit a zusammenfallen müßte; es wären also, gegen die Voraussetzung, a und b parallel. Die Ebene ax schneidet daher die Gerade b in einem Punkte B, und wenn man durch diesen eine Parallele d zu x zieht, so wird a von dieser in einem Punkte A geschnitten, und zugleich steht d auf a und b senkrecht.

2. Es gibt nur eine solche Linie d, und diese ist die kürzeste Entfernung, die irgend zwei Punkte der Geraden a und b haben können, also der kürzeste Abstand der beiden Geraden.

Daß es keine zweite solche Gerade geben kann, die durch einen der beiden Punkte A, B geht, ist unmittelbar daraus zu ersehen, daß es sonst von diesem Punkte, etwa von B, zwei Perpendikel auf a gäbe. Zugleich erhellt, daß jede Entfernung des Punktes B von einem von A verschiedenen Punkte der Geraden a größer als d ist.

Betrachten wir also eine Gerade, die durch zwei von A, B verschiedene Punkte C, B geht. Wir fällen von C aus ein Perpendikel CE auf die Ebene BAD. Fällt E nicht mit B zusammen, so steht dieses Perpendikel senkrecht auf BE und auf DE, und EBC ist die Normalebene zu d, weil d auf zwei Geraden dieser Ebene, nämlich auf b und auf CE, senkrecht steht. Aus dem rechtwinkligen Dreieck CED folgt

CD > ED

und wenn man durch E eine Parallele EF zu AB zieht, so folgt (da F auch mit D zusammenfallen könnte)

ED > EF = d,

mithin

CD > d

und dies gilt auch noch, wie die Figur unmittelbar zeigt, wenn E mit B zusammenfällt.

Damit ist die Minmumseigenschaft von d erwiesen. Sollte aber CD gleichfalls auf a und b senkrecht stehen, so würde ja ebenso d > CD folgen; es ist also auch dies unmöglich.

§ 87. Körperliche Ecken.

1. Wenn drei Ebenen a, b, c durch einen Punkt P gehen und keine Gerade gemein haben, so schneiden sie sich zu zweien in drei Geraden A = (be), B = (ca), C = (ab). Die drei Ebenen teilen den Raum in acht Teile, die man körperliche Ecken oder Trieder nennt. (Auf einer Kugelfläche, deren Mittelpunkt in P liegt, werden diese Trieder als sphärische Dreiecke projiziert, wie wir in der sphärischen Trigonometrie gesehen haben.) Je zwei dieser Trieder, die nur in dem Punkte P Zusammenstößen, heißen Scheitelecken.

Man hat bei einer solchen Ecke drei „Seiten“, nämlich Teile der Ebenen a, b, c und drei Kanten, nämlich die die Seiten begrenzenden Teile der Linien A, B, C.

Die körperliche Ecke hat drei Flächenwinkel und drei Kantenwinkel, die ersteren bezeichnen wir mit a, ß, y, die zweiten mit a, b, c (a, b, c sind die Seiten, a, ß, y die Winkel des entsprechenden sphärischen Dreiecks).

Zwei Trieder ABC und A'B'C' heißen kongruent, wenn sich ihre Seiten und Flächen so aufeinander beziehen lassen, daß entsprechende Seitenwinkel und entsprechende Flächenwinkel gleich sind, und wenn ABC und A'B'C' zwei gleichartige Systeme (beide Rechtssysteme oder beide Linkssysteme, § 84) bilden.

Bilden aber ABC und A'B'C' bei Gleichheit entsprechender Winkel entgegengesetzte Systeme, so sind beide Ecken spiegelbildlich gleich oder invers.

Zwei Scheitelecken sind invers.

Wenn man durch einen beliebigen Punkt Q parallele Ebenen zu a, b, c legt, so entstehen kongruente Ecken um Q.

2. Zwei Trieder sind kongruent, wenn sie bei gleichartiger Bezeichnung übereinstimmen

I. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel,

II. in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln,

III.    in drei Seiten.

Diese drei Kongruenzsätze sind ganz analog den drei ersten Kongruenzsätzen für ebene Dreiecke und werden ebenso bewiesen. Es kommt aber ein vierter hinzu:

IV.    Zwei Trieder sind kongruent, wenn sie bei gleichartiger Bezeichnung in den drei Winkeln übereinstimmen.

Diesen Satz leitet man aus dem dritten in folgender Weise her:

A'

Wenn man in drei Punkten A, B, C auf den Kanten eines Tri-eders P drei zu diesen Kanten normale Ebenen errichtet, so schneiden sich diese in einem Punkte Q, in dem sie wieder eine dreiseitige Ecke bilden, die wir die Gegenecke zu P nennen wollen (Fig. 237).

' Kongruente Ecken haben kongruente Gegenecken.

C’

Fig. 237.

Jede Kante der Gegenecke mündet in eine Seitenfläche der gegebenen Ecke. Bei entsprechender Zählung der Kanten der Ecke und Gegenecke sind diese beiden nicht gleichartig, sondern die eine ist ein Rechtssystem, die andere ein Linkssystem.

Die Kantenwinkel der Ecke P ergänzen die entsprechenden Flächenwinkel von Q zu zwei Rechten, z. B.:

CB'A + CPA = 2P (Fig. 237),

weil die beiden Winkel bei A und C in dem Viereck PAB'C Rechte sind; und die Flächenwinkel von P ergänzen die Kantenwinkel von Q zu zwei Rechten, z. B.:

A'CB' + A'QB' = 2P.

Die Gegenecke von der Gegenecke ist wieder die ursprüngliche

Ecke.

Wenn also zwei Ecken in den Winkeln übereinstimmen, so stimmen die Gegenecken in den Seiten überein und sind also, wenn

sie gleichartig sind, miteinander kongruent. Demnach sind auch die gegebenen Ecken kongruent.

Dem vierten Kongruenzsatze hei ebenen Dreiecken entsprechend würden noch zwei weitere Fragen entstehen, nämlich: Wann findet Kongruenz statt, wenn zwei Ecken in zwei Seiten und einem anliegenden Winkel oder in zwei Winkeln und einer anliegenden Seite üb er einstimm en ?

Eine deutliche räumliche Anschauung in diesen Fällen zu gewinnen, ist nicht so leicht. Indessen geben die Formeln der sphärischen Trigonometrie noch die beiden folgenden Theoreme:

V. Wenn zwei gleichartige Ecken in den Stücken ß,y,b übereinstimmen, so sind sie kongruent, wenn

ß-\-y<x, ß>y,

oder wenn

ß + y > X, ß<y-

VI. Wenn die beiden Ecken in den Stücken 6, c, ß übereinstimmen, so sind sie kongruent, wenn

b + c < 7t, b > c,

oder

b + c > 7t, b <c.x)

Wir beweisen noch folgende auf die körperliche Ecke bezüglichen Sätze:

3. Es sei ASB (Fig. 238) ein Dreieck, in dem die Winkel bei A und B spitz seien, und AS'B seine Projektion auf die Ebene

1) Setzt man im Falle V.

t — tg

im Falle VI.

crcf

so    erhält    man    aus den Formeln der    sphärischen Trigonometrie    (§    43,    (2),    (2 )),

wenn    man    sina und cos a, sina und    cos a nach § 29. (11)    durch    t    ausdrückt,

für t die quadratischen Gleichungen:

t² sin {ß -f- y) — 21 cotg    b sin ß — sin (ß — y) =    0,

t² sin(b — c) -f- 21 cotg    ß sin b — sin(ö -f- c) =    0.

Diese Gleichungen haben nur je eine positive Wurzel, wenn

oder

V.

VI.

sin (ß —j)

sin (b -f- c)

sin (ß -f- y)

sin (b — c)

positiv sind. Dann müssen also zwei körperliche Ecken, die in ß, y, b oder in b, c, ß übereinstimmen, auch in a oder a übereinstimmen, und mithin kongruent sein.

ABC (also SS' J_ ABC). Man lege die Ebene SS’L senkrecht AB, dann ist SL > S'L, weil das Dreieck LS'S bei S' rechtwinklig ist. Es ist aber

zu

tg(LS'B) = LB: LS',

t g(LSB) = LB:LS,

und folglich

<£ LSB < LS'B,

und ebenso

LS A < LS'A.

Darnach folgt durch Addition

(1) ' <£ASB<AS'B.

Aus der gleichen Betrachtung ergibt sich

tg LBS = LS : LB, t gLBS'=LS':LB, und folglich

(2)    LBS > LBS'.

y a?

'B

Fig. 238.

Rein anschaulich kann man (1) und (2) auch aus der in der Figur angedeuteten Umlegung ableiten.

4. Wenn wir eine körperliche Ecke SABC haben mit den Kantenwinkeln a, b, c, so lege man durch S eine beliebige Linie SS', die das sphärische Dreieck ABC im Innern trifft, und lege eine zu dieser Linie senkrechte Ebene ABC, dann erhält man durch dreimalige Anwendung von 3. (wie Fig. 238 zeigt):

0<a + & + c<a' Ab' + c' = 2 jr,

und wir haben damit den Satz:

Die Summe der Kantenwinkel eines Trieders ist immer kleiner als vier Rechte.

5. Sind cc, ß, y die Flächenwinkel unserer Ecke, so sind % — cc, n — ß, 7t — y die Kantenwinkel der Gregenecke, und die Anwendung von 4. auf diese gibt

0 <    — cc -(- 7t —    — y < 2 7t

also den Satz:

7t<cc-\-ß + y< 3 7t,

Die Summę der Flächenwinkel einer dreiseitigen Ecke (die Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks) liegt zwischen zwei Rechten und sechs Rechten.

6. Wenn wir in einer dreiseitigen Ecke SABC durch eine Kante SG eine Ebene SCC' senkrecht auf die Ebene SAB legen (Fig. 239), so ist nach (2)

<£ b = CA > C'A, <£ a = CB> CB.

Wenn SC zwischen SA und SB fällt, so ist

und folglich

<£ C'A -F CB = AB = c,

(3)

a + b > c.

Fällt aber C außerhalb AB, so ist schon der eine der beiden Winkel a, b, etwa a, größer als c. Wir haben also den Satz:

In einer dreiseitigen Ecke ist die Summe zweier Kantenwinkel größer als der dritte.

Durch Übergang zur Gegenecke folgt für die Flächenwinkel:

(4)

% + a> ß + y.

7. Wenn in einem Tri-eder zwei Kantenwinkel einander gleich sind, so sind auch die gegenüberliegenden einander gleich und umgekehrt.

Flächenwinkel

S'

Fig. 239.

Der Beweis ergibt sich, wie beim gleichschenkligen Dreieck, in der Ebene:

Es sei zunächst in dem Trieder SABC (Fig. 239)

a = b.

Man halbiere den Winkel c durch einen Strahl SC und lege die Ebene SCC'-, man erhält dann zwei Trieder, die in den Kantenwinkeln übereinstimmen, und die daher nach dem dritten Kongruenz-

Sie stimmen daher auch in den

satz spiegelbildlich gleich sind.

Winkeln überein, d. h. es ist a = ß.

Die Umkehrung folgt durch Übergang zur Gegenecke.

8. In einem Trieder liegt dem größeren Flächenwinkel der größere Kantenwinkel gegenüber.

Es sei (in Fig. 240) ß> a.

Man lege durch SB eine Ebene SBC' unter dem Winkel C'BA = a. Dann fällt der Strahl C zwischen A und C. Nach 7. ist BC = AC' und nach 6.:

Fig. 240.

kr

also:

<£ AC = BC' + C'C>BC

b > a.

Der entsprechende Satz für das ebene Dreieck findet sich bei Euklid Buch I, Nr. 18, von wo auch der hier gegebene Beweis übertragen ist.

Neunter Abschnitt.

Rauminhalt und Flächeninhalt.

§ 88. Inhaltsmaß.

1. Für die Bestimmung der Rauminhaltsgröße eines begrenzten Raum teils oder eines Volumens gelten zunächst dieselben Grundsätze wie für den Flächeninhalt ebener Figuren.

Man nennt zwei Körper zerlegungsgleich, wenn sie in wechselseitig kongruente Teile zerlegbar sind, und inhaltsgleich, wenn sie durch Hinzufügung kongruenter Körper in solche übergehen, die in kongruente Teile zerlegbar sind (vgl. § 22).

Hilbert hat in seiner Programmrede beim zweiten internationalen Mathematikerkongreß in Paris (Göttinger Nachrichten 1900) die Frage angeregt, ob sich dieser Begriff der Inhaltsgleichheit allgemein mit dem deckt, was die Stereometrie sonst immer unter inhaltsgleichen Polyedern verstand, und die analoge Frage für die Ebene ist, wie wir oben gesehen haben, zu bejahen.¹)

Um so merkwürdiger war es aber, daß dies, wie Dehn (Mathematische Annalen Bd. 55) nachgewiesen hat, für den Raum nicht mehr zutrifft; daß die Raumgleichheit von Polyedern im allgemeinen nur geschlossen werden kann aus der Übereinstimmung von Inhaltszahlen (Volumen, Kubikinhalt), die durch einen unendlichen Prozeß gewonnen werden müssen.

Es ist das eine Aufgabe der Integralrechnung, über deren allgemeine Hilfsmittel wir hier nicht verfügen. Indessen ist die Schlußweise der Integralrechnung, wenn auch unter anderem Namen, bereits im Altertum (Archimedes) bekannt gewesen und ist auch stets, wenn auch nur stillschweigend, von der Elementarmathematik angewandt worden.

Hier wollen wir uns die Aufgabe stellen, die Lehre vom Rauminhalt zunächst von Polyedern, dann aber auch von Körpern mit krummen Grenzflächen einfacher Art, wie Kegel, Zylinder, Kugel, unter Voraussetzung der Euklidischen Geometrie abzuleiten.

2. Wir wollen einem Körper, der sich nirgends ins Unendliche erstreckt, also z. B. ganz in eine Kugel von endlichem Radius eingeschlossen werden kann, eine bestimmte Zahl als Inhaltsmaß oder Rauminhalt zuordnen, wobei folgende Bedingungen ein geh alten werden sollen:

1) Wenn ein Körper B Teil eines Körpers A ist, so soll die Inhaltszahl a von A größer sein als die Inhaltszahl b von B.

zusammen

2) Ist ein Körper A aus mehreren, A1} A₂, .. gesetzt, so ist die Inhaltszahl von A die Summe der Inhaltszahlen von Aly A₂, . . ., also

öl —    —j- $2 -J— • • • .

3)    Wird von A ein Teil B weggenommen, so bleibt ein Körper C, und es ist die Inhaltszahl von G:

c = a — b.

4)    Kongruente Körper haben gleiche Inhaltszahlen, woraus folgt, daß auch zerlegungsgleiche und inhaltsgleiche Körper gleiche Inhaltszahlen haben. Ebenso sollen spiegelbildlich gleiche Körper dieselbe Inhaltszahl haben.

Inwieweit durch diese Forderungen die Inhaltszahlen bestimmt sind, werden wir später sehen. Einstweilen beschränken wir die Betrachtung auf Körper mit ebenen Grenzflächen, die wir allgemein als Polyeder bezeichnen.

Ganz dieselben Betrachtungen werden sich übrigens auf die Bestimmung der Flächenzahlen der Figuren in der Ebene anwenden lassen, was wir nicht ausführen.

3. Wir legen den Würfeln, deren Kante die Längeneinheit ist (z. B. dem Kubikdezimeter, Liter), die Zahl 1 als Inhaltsmaß bei.

Teilen wir die Kante des Würfels in eine beliebige Anzahl n gleicher Teile, so können wir durch drei Systeme paralleler Ebenen den EinheitsWürfel in ns kongruente Würfel teilen. Nach der Forderung 2) muß also jeder dieser Teilwürfel den Inhalt 1/w³ haben.

Nehmen wir ferner ein rechtwinkliges Prisma, dessen Seiten a, ß, y mit der Längeneinheit kommensurabel sind, also rationale Maßzahlen haben, so können wir das ganze Prisma in abc Würfel von der

Seite 1/n teilen, und folglich ist der Rauminhalt dieses Prismas nach 2) gleich dem Produkte aßy.

Sind nun a, ß, y alle oder zum Teil irrational, so kann doch der Rauminhalt des Prismas keinen anderen Wert haben als das Produkt aßy. Nehmen wir nämlich an, die Maßzahl sei tu, und etwa

aßy < p,.

Es gibt dann (vgl. Bd. I, der Art, daß

§ 24) rationale Zahlen ajn, b/n, c]n

von

’ r<n’

und daß doch noch

ab c

“ßr < —s < ^5

es würde dann das rationale Prisma ganz in dem Prisma aßy enthalten sein, und doch wäre die Maßzahl des letzteren größer als die des ersteren. Ebenso kann die Annahme ^ < aßy als unstatthaft nachgewiesen werden.

I. Wir sind also gezwungen, einem rechtwinkligen Prisma als Rauminhalt das Produkt aus den Maßzahlen seiner Seiten zuzuweisen.

Daß diese Bestimmung des Rauminhalts den Forderungen von Nr. 2 entspricht, ergibt sich dann aus den Rechenregeln mit Irrationalzahlen.

Man kann ein gerades Prisma mit rechteckiger Basis durch eine Ebene, die zwei parallele Diagonalen der Endflächen enthält, in zwei kongruente dreiseitige Säulen zerlegen, deren jede als Rauminhalt die Hälfte des vorigen, also das Produkt der Grundfläche und Höhe hat.

Da man Polygone in rechtwinklige Dreiecke zerlegen kann, so ergibt sich die Verallgemeinerung des vorigen Satzes:

II. Der Rauminhalt einer geraden Säule ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Diese Festsetzung der Inhaltszahlen gerader Säulen ist, nachdem der Einheitswürfel festgesetzt ist, nach den Forderungen 1) bis 4) notwendig, und sie genügt auch umgekehrt, wenn das Rechnen mit Irrationalzahlen erklärt ist, diesen Forderungen.

Von hier an greift ein neues Prinzip der Integralrechnung ein.

Wir werden nun zunächst voraussetzen, daß für die betrachteten Körper Inhaltszahlen existieren und unter dieser Voraussetzung die Zahlen bestimmen. Auf die Berechtigung zu dieser Voraussetzung kommen wir dann später (in § 92) zurück.

§ 89. Rauminhalt von Pyramiden.

1. Wir betrachten eine Pyramide von beliebiger polygonaler Basis, und nehmen zunächst an. daß die Projektion der Spitze (der Fußpunkt der Höhe) in das Innere oder an die Grenze des Basispolygons fällt, und daß dieses Polygon ein konvexes sei.

Wenn wir die Höhe der Pyramide mit h bezeichnen, und in dem Abstande x von der Spitze eine zur Grundfläche parallele Ebene legen, so schneidet diese die Oberfläche der Pyramide in einem Polygon, das dem Basispolygon ähnlich ist, und das Verhältnis entsprechender Längen ist x : h. Sind also zlx und zl die Flächeninhalte der beiden Polygone, so ist (§ 22, Satz 13)

<dx : Zl = x² : h².

Wir teilen die Höhe der Pyramide in eine beliebige Anzahl, n, gleicher Teile und legen durch die Teilpunkte parallele Ebenen zur Grundfläche, die die Pyramiden in den Flächen z/x, zf₂, . . ., Z/n = z/ schneiden. Es ist dann

«t    7,2

A : 4 - ^ : K ^■2 : 4 =

und folglich:

Fig. 241.

Wir errichten nun auf allen diesen Flächen als Grundflächen prismatische Körper von der Höhe h/n, und zwar sowohl nach oben solche, die aus der Pyramide hervorragen, als nach unten solche, die in der Pyramide enthalten sind. Wir bekommen so zwei staffelförmige Körper, von denen der eine die Pyramide enthält, der andere in ihr enthalten ist.

Kennen wir Slf S₂ das Volumen dieser beiden Körper, so muß die Zahl II für das Volumen der Pyramide, wenn sie existiert, der Bedingung genügen:

S₁>II>S.₂,

und nach § 88, 2) ist

St-

Jid

(1* + 2² + 3² + ■ • • + n²),

S₂ (l² +    + 3² + • • • + (n — l)²).

n³

Wir haben aber im § 62 des ersten Bandes für die Summe der n ersten Quadratzahlen die Formel erhalten:

n(n -f- 1) (2w -)- 1)

l² + 2² H----+ n² =

und hiernach ist

si-^n(n+¹)(2n+¹) = 'r-(¹ + i-)(¹ + é,)’

n(n - 1) (2n - 1) = ~ (l - |) (l -    •

s₂ =

h/i

6 ns

Diese beiden Ausdrücke unterscheiden sich, wenn man n groß genug annimmt, beliebig wenig von    und sie beweisen also

den Satz:

III. Das Yolumen einer Pyramide mit beliebiger polygonaler Basis ist gleich dem dritten Teile des Produktes aus Grundfläche und Höhe.

Die beschränkende Voraussetzung, die wir gemacht haben, daß das Basispolygon ein konvexes sei, und daß die Projektion der Spitze in das Innere falle, hat zur Folge, daß jeder Strahl, der von der Spitze nach einem Punkte des Basispolygons läuft, ganz in das Innere dieses Polygons oder in seine Grenze projiziert wird, und dadurch ist die Ungleichung (1) gesichert. Dies ist der Grund der gemachten Beschränkung, von der wir uns jetzt leicht befreien können. Betrachten wir zunächst eine dreieckige Basis; die Spitze soll aber senkrecht über einem Punkte außerhalb der Dreiecksfläche liegen. Dann kann man immer durch Hinzufügung von Pyramiden, die der beschränkenden Voraussetzung genügen, eine größere Pyramide hersteilen, die ebenfalls diesen Bedingungen genügt. Für beide gilt dann der Satz III. und folglich auch für ihre Differenz, die die gegebene Pyramide ist. Und da man jedes einfache Polygon in Dreiecke zerlegen kann, so ist damit der Satz allgemein erwiesen.

2. Es hängt also der Rauminhalt der Pyramide nur von dem Flächeninhalt der Grundfläche und von der Höhe, nicht von der Gestalt der Grundfläche ab.

Man kann danach auch leicht den Rauminhalt eines Pyramidenstumpfes berechnen. Schneidet man nämlich die Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene, so erhält man einen Stumpf, der

und für das Volumen des Stumpfes:

(2)

hV*i'_-vV 3 (Va - v^)

7    + ^2 + VÄ ^2

“ n    3

Es ist also S' gleich dem Volumen eines Prismas von der Höhe h und der Grundfläche \{Ax + A₂ +

Bezeichnet man mit Am den Flächeninhalt des Mittelschnittes,

m    /

so ist

J, :    : 4, - /»!³ : *(*, + /t₈)³ : V = 4 : t(V4 + W : 4

und folglich

4» - ł(y^i+- łU+-4+sa 4).

Eliminiert man aus (2) ]/z7jz/₂, so ergibt sich:

(3)

durch zwei ähnliche Polygone Ax, A₂ begrenzt ist und eine Höhe ht — h₂ = h hat, und es ist Ax: A₂ — hx : Ä₂². Danach ergibt sich:

h₂ =

hyjx

hVA

yjx-yj%*

(z/i + A₂ + 4z/m).

§ 90. Das Cavalierische Prinzip.

1.    Eine strenge Begründung der Inhaltsbestimmung von Körpern, bei denen auch gekrümmte Grenzflächen zugelassen werden, läßt sich mit elementaren Hilfsmitteln nicht geben, und sie macht selbst in der Integralrechnung noch Schwierigkeiten, die in der Übertragung des Zahlenreiches auf die Raumanschauung ihren Grund haben. Begnügen wir uns aber mit dem, was uns die naive Raumanschauung gibt, so haben wir ein reiches Material von einfach lösbaren Aufgaben der Inhaltsbestimmung.

2.    Unter einer Zylinderfläche versteht man die Fläche, die von allen Geraden, den Erzeugenden der Zylinderfläche, erfüllt wird, die man in allen Punkten einer ebenen Kurve senkrecht auf der Ebene der Kurve errichtet. Ist die ebene Kurve ein Kreis, so entsteht die Fläche, die im engeren Sinne Zylinderfläche genannt wird. Wenn man eine Zylinderfläche durch zwei auf den Erzeugenden senkrechte Ebenen schneidet, so erhält man eine Säule, und unter diesen Begriff fällt auch als spezieller Fall die im § 88 betrachtete prismatische Säule.

Wenn man den Flächeninhalt der Grundfläche der Säule angeben kann, so gilt auch hier noch der Satz: daß der Rauminhalt einer Säule gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe ist.

Denn man kann in der Grundfläche zwei Polygone annehmen, von denen das eine einen kleineren, das andere einen größeren Flächeninhalt hat als die Grundfläche, deren Maßzahlen einander beliebig nahe kommen. Errichtet man über diesen Polygonen prismatische Säulen von gleicher Höhe wie die gegebene Säule, so liegt der Rauminhalt dieser letzteren zwischen den Rauminhalten der beiden ersteren. Der Rauminhalt der gegebenen Säule kann also keinen anderen Wert haben als das Produkt aus Grundfläche und Höhe.

3. Wir betrachten jetzt einen Körper K, der zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossen ist und in diesen Ebenen mit zwei Flächen endigt, die wir die Endflächen nennen wollen. Die Endflächen können sich auch auf Punkte oder Linien zusammenziehen.

Die Fläche, die aus einer zwischen den Endflächen gelegenen, zu dieser parallelen Ebene ausgeschnitten wird, wollen wir einen Querschnitt nennen. Die Endflächen sollen als untere und als obere unterschieden werden. Die senkrechte Entfernung der Endflächen heißt die Höhe des Körpers; wir bezeichnen sie mit h.

Die Höhe eines beliebigen Querschnittes über der unteren Endfläche soll mit x bezeichnet werden, und wir nehmen an, daß der Flächeninhalt Q eines Querschnittes als eine stetige Funktion Q(x) von x bekannt sei. Die Flächeninhalte der Endflächen sind 0) und Q(Jt).

Wir teilen die Höhe h in n gleiche Teile, deren jeder also die Länge ô = h/n hat, und legen durch die Teilpunkte Querschnitte

; Q₀ und Qn bedeuten die Endflächen selbst.

Diese Querschnitte zerlegen den Körper K in n Scheiben Sn, und die Inhaltszahl K des Körpers ist gleich der

S dieser Scheiben:

Qi: $2; ■ • • ? Qn

S₁₇ S₂, ..

Summe der Inhaltszahlen Slf S₂, .

(i)

Diese S werden um so dünner, je mehr die Zahl n wächst, und zugleich werden sie sich, je größer n wird, um so weniger von säulenförmigen Tafeln unterscheiden, deren Grundfläche eine der Endflächen von S{ (etwa die obere) ist. Der Inhalt einer solchen Tafel ist aber gleich Q.d, und wir erhalten also

(2)

für ein unendlich großes n.

4. Dieser Schluß würde sich strenger begründen lassen bei der Annahme über den Körper K, daß jeder höhere Querschnitt, in die Ebene eines jeden tieferen projiziert, ganz in diesem enthalten ist oder ihn ganz umschließt.

Dann würden sich für K, ähnlich wie in § 89 für die Pyramide, die beiden Grenzen

(Ql + Qi + • • • + Qn)

n ($0 + Ql + ----1" Qn-l)>

angeben lassen, zwischen denen sein Yolumen liegt, und die einander unbegrenzt genähert werden können. Dies gilt auch dann noch, wenn K in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegt werden kann, die dieser Forderung genügen. Im allgemeinen ist es aber schwer, wenn nicht unmöglich, die genauen Bedingungen anzugeben, unter denen die Formel (2) gilt.

5. In der Formel (2) ist das sogenannte Cavalierische Prinzip¹) enthalten, das man auch in der Form aussprechen kann:

Wenn zwei Körper zwischen denselben parallelen Ebenen die Eigenschaft haben, daß je zwei in derselben Höhe liegende Querschnitte gleichen Flächeninhalt haben, so haben die beiden Körper gleiches Yolumen.

Grade, so setzen wir:

ten

6. Eine große Zahl von Anwendungen sind in der Voraussetzung enthalten, daß die Funktion Q(x), die den Flächeninhalt eines Querschnittes ausdrückt, eine ganze Funktion sei. Ist diese Funktion vom m

(3)

Q(x) — c„ + cxx + c,j:‘ +----h elnxm,

woraus

Ql = C0 + C1 — + C2

iha

(4)

hm

"h ' ' ' cm nm )

2 mhm

+ * • • + om^r-

^    , nh n^h*    nmhm

Qn “ co + ci + ca -^r H----+

also wenn wir zur Abkürzung

Sv(n) = lv + 2V H----+ nv

setzen, also mit Sv(n) die Summe der v natürlichen Zahlen bezeichnen, nach (2):

ten

Potenzen der n ersten

(5) K = c₀h + cx —Sy (n) + c₂ -, S₂(n) + • • • + cm Sm(n).

1) Cavalieri, Jesuit, Professor in Bologna 1591 (oder 1598)—1647.

Die vten Potenzen der aufeinander folgenden Zahlen 1, 2, 3, . . .

Grades, und ihre Summe kann also nach Bd. I, § 62 gefunden werden. Wir setzen, indem wir mit BVW die Binomialkoeffizienten bezeichnen,

«,.<*> = «0 + «1 Ą<”> +    + • ■ • +    ,

bilden eine arithmetische Reihe v

(6)

ten

worin die a₀, a1} . . ., ccv+1 aus der Annahme n — 0, 1, 2, . . ., v -(- 1 der Reihe nach gefunden werden.

Der Wert von

läßt sich leicht bestimmen. Denn es ist

Sv(n) — Sv(n— 1) = nv

=    + ^(ĄM-ĄC-U) + ... +

also nach Band I, § 57, (7):

w¹' =    -f cc₂B^n~^ H----+ ccv+1Bv⁽-n~¹\

Diese Gleichung muß für jedes n befriedigt sein, und da eine Gleichung vten Grades nicht mehr als v Wurzeln haben kann, so muß sie in bezug auf n identisch sein. Die Binomialkoeffizienten B^n ~ x\ Bl⁽'n~¹⁾, . . . sind aber alle in bezug auf n von niedrigerem als dem ?4en Grade, und nur

(7)

B («-¹) =

V

(n — 1) (n — 2) • • • (n — v)

erreicht den viea Grad, und nv hat den Koeffizienten 1/vl. Hiernach folgt aus (7):

(8)

= v\.

“r + l

Für die Bestimmung von K kommt es nach (5) nur an auf den Grenzwert des Verhältnisses Sv(n)lnv+X für ein unendliches n. Es ist aber

nv + 1(i!

nv~v + 1 [il

und dies wird gleich Null, wenn fi<Cv-\-l ist, und gleich l/(v +l)! für fi = v -j- 1.

Demnach ist nach (6) und (8):

ijS»__

(9)

(10)

Aus (5) ergibt sich demnach für K:

K - c„h + SĄ’ + V” + • ■• +

Cm*

rn +1

m -f- 1

Ist z. B. m = 2, also

(H)

so erhält man

Q{x) = cQ 4- cxx -f c₂x²,

(12)

K=o₀h + c‘-i- + ^-,

und man kann nun die c₀, cL, c₂ eliminieren, wenn man drei Querschnittsflächen kennt. Nimmt man die beiden Endquerschnitte und den mittleren, die man wie in § 89 mit dlf z/₂, z/m bezeichnet, so ist

= co?

— Cq -f- Cx h -f- c₂ h ,

.    ,    ■ Ä Ä*

C0 C1 2 4 ’

und man kann c₀, q/i, c₂A² aus (12) eliminieren und erhält:

(13)

wie in dem speziellen Falle § 89, (3).

Ebenso kann man aus der allgemeinen Formel (10) mittels der Ausdrücke für m fl- 1 spezielle, z. B. äquidistante, Querschnitte die Konstanten c₀, cx, . . ., cm eliminieren.²)

Die Formel (13) gilt auch noch, wenn Q(x) eine Funktion dritten Grades ist, wie sich aus (10) und (3) leicht ergibt.

§ 91. Beispiele.

1. Auf die Formel (11) nnd damit auf (12) und (13) des § 90 kommen viele spezielle Inhaltsbestimmungen zurück, von denen hier einige der wichtigsten angeführt werden sollen; zunächst das Pris-matoid.

Unter einem Prismatoid wollen wir allgemein einen Körper mit nur geradlinigen Kanten verstehen, dessen Ecken auf zwei parallelen Ebenen rj, r[ liegen und der von r], r[ und allen zu rj parallelen Ebenen zwischen rj, r[ in geradlinig begrenzten Vielecken geschnitten wird; gesucht wird das Volumen des zwischen y und liegenden Körpers. Je nachdem die Grenzflächen des Prismatoids ausschließlich eben sind oder nicht, möge es gerade oder windschief genannt werden.

Das windschiefe Prismatoid hat ebene Endflächen und neben

ebenen auch krumme Seitenflächen (Fig. 242), auf denen unbegrenzt viele gerade Linien liegen, sogenannte (windschiefe) Regelflächen,

wie sie bei Uferbauten und Dachkonstruktionen Vorkommen. Zu den geraden Pris-matoiden gehören u. a.:

a)    das Prisma und die Pyramide (eine der Grenzebenen geht durch die Spitze);

b)    das Tetraeder in der speziellen Lage, daß 7] und rf durch zwrei gegenüberliegende Kanten gehen:

c)    der sogenannte Körperstumpf, der mit r\, rf wirkliche Vielecke (nicht degenerierte) gemein hat.

'/

Fig. 242.

7'

Die Volumina aller Prismatoide

sind nach den Formeln (11), (12), (13) des § 90 zu berechnen.

Es läßt sich nämlich zeigen, daß der Querschnitt Q(x) in der Höhe x über der Grundfläche r\ eine quadratische Funktion von x

ist. Zu dem Zwecke projizieren wir Q(x) orthogonal auf die Ebene 7] und erhalten so ein Vieleck BxB₂...BhB

'h+1

.. (Fig. 243), das

lh*1

A + i •

aus dem in 7] selbst liegenden Vieleck Q(Q) oder A₁As...AhA

A+J•••

durch Hinzufügung der Vierecke

.. hervor-

A₁A₂B₂ B₁, A₂A₃BäB, geht. Ändert sich x, so bewegen sich die Punkte B1} B₂, ... auf gewissen durch A₁,A₂,... gehenden Geraden g1: g₂, ..., den Projektionen der Kanten des Prismatoids. Die

*2

Strecken A₁B₁, A₂B₂, . . ., AhBh ergeben sich in der Form c₂x, chx, wo die Faktoren

Cß y • •

clf c₂, . . ., ch nicht von x, sondern nur von der Neigung der Kanten zur Ebene r\ abhängen. Ist Sh der Schnittpunkt von gh und gA + 1, so ist die Fläche

Fig. 243.

fr

AĄĄ+iAłi

= BhShBh+1 AhbhAh + 1 — Ą(ShAh -j- xcf)(SAAh+1 -f- xch+f) sin (gAgh+j) - \ShAh • ShAh+1 sin (ghgh+1),

also eine quadratische Funktion von x, und diese Formel definiert auch den Inhalt, den man dem Viereck beilegen muß, wenn zwei seiner Seiten sich überschneiden; nun ist

e(*)-e(o) + >;MBl+14

a+1 >

also Q(x) eine quadratische Funktion von x, was zu beweisen war.

2.    Die Volumina von Zylindern und Kegeln können wir erhalten, wenn wir sie als Grenzfälle von Prismen und Pyramiden betrachten. Ist r der Radius der Basis und li die Höhe, so ist

Volumen des Zylinders = nr²liy

„ Kegels

= 4 -7tr²h,

und diese Formeln gelten auch für schiefe Zylinder und Kegel.

3.    Eine Kugel vom Radius r wird von einer Ebene, die vom Mittelpunkte den Abstand # hat, in einem Kreise vom Radius q =~|/V²—x2 geschnitten. Die Fläche dieses Kreises ist n{r²— x²) und folglich eine Funktion zweiten Grades von x. Demnach läßt sich die Formel (13), § 90, anwenden. Man erhält aus ihr:

x:

Volumen der Kugel = -y-r³, und das Volumen einer Kugelhaube von der Höhe z = r

*)■

TtZ'²

g-(3r

4. Zwei kongruente Zylinder mit kreisförmigem Querschnitt und dem Radius r sollen sich so durchdringen, daß sich ihre Achsen unter rechtem Winkel schneiden

il

(Fig. 244). Das gemeinschaftliche Stück dieser beiden Zylinder ist ein kissenförmiger Körper, der von vier aus den Zylinderflächen ausgeschnittenen Zweiecken begrenzt ist, dessen Kanten Ellipsen sind. Von einer Ebene, die in der Entfernung x mit der Ebene der beiden Achsen parallel läuft, wird aus diesem Körper ein Quadrat geschnitten, dessen Seite gleich 2]/r² — x² und dessen Fläche 4(r² — x²), also ebenfalls eine Funktion zweiten Grades ist. Wir können also auch hier die Formel § 90, (13) anwenden. Die Höhe des Körpers ist 2r und die Fläche des Mittelquerschnittes Am = 4r², während die Endquerschnitte verschwunden sind.

Demnach ist das Volumen dieses Körpers 16r³/3, also von dem Volumen des umgeschriebenen Würfels.

Es ist beachtenswert daß dieses Volumen, obwohl die Grenzflächen aus dem Kreise abgeleitete krumme Flächen sind, die Zahl n nicht enthält, sondern zum Würfelvolumen in rationalem Verhältnis steht.

§ 92. Existenz von Inhaltszahlen.

Die allgemeine Begründung der Existenz von Volumenzahlen gehört zu den schwierigsten Problemen der Infinitesimalrechnung und fällt daher aus dem Rahmen unserer Betrachtungen heraus. Immerhin müssen wir einiges darüber beibringen, was wenigstens in den einfachsten Fällen Licht verbreiten kann.

Wir denken uns, nachdem die Längeneinheit festgesetzt und eine beliebige ganze Zahl n angenommen ist, Würfel von der Kantenlänge 1 /n, also vom Volumen 1/w³; diese Würfel sollen Elementarwürfel heißen. Jeder Körper, der aus Elementarwürfeln aufgebaut ist, hat dann eine rationale Inhaltszahl, deren Nenner n³ und deren Zähler gleich der Anzahl der verwendeten Würfel ist.

Ist nun irgend ein Körper K gegeben, so können wir aus Elementarwürfeln zwei Körper Anf Bn auf bauen, von denen der erste ganz in K enthalten ist, der zweite K ganz enthält, und die Volumenzahl muß, wenn sie existiert, zwischen An und Bn liegen. Zugleich ist An <CBn. Können wir durch Vergrößerung von n den Unterschied zwischen An und Bn beliebig klein machen, so erzeugen die Volumenzahlen

A A A    • Ti Ti

A» + l) +    •• '5    ^k)

einen Dedekindschen Schnitt und damit eine (rationale oder irrationale) Zahl, und diese ist das Inhaltsmaß von K. Daß durch diese Definition die Forderungen des § 88, 2. erfüllt sind, ergibt sich aus den Rechenregeln mit Irrationalzahlen (Bd. I, § 26).

Alles weitere kommt also auf die Frage hinaus, ob es möglich ist, die Volumenzahlen An, Bn einander beliebig nahe zu bringen.

Denken wir uns zunächst, was immer möglich ist, einen Körper M aus Elementarwürfeln aufgebaut, der den Körper K ganz enthält. Dieser Körper M wird eine gewisse Anzahl von Würfeln enthalten, die ganz in K stecken; deren Gesamtheit und zugleich die Volumenzahl bezeichnen wir mit A. Dann wird es eine gewisse Anzahl von Würfeln in M geben, die nur zum Teil in K enthalten sind. Deren Gesamtheit und Volumenzahl sei a. Die übrigen in M enthaltenen

Würfel liegen ganz außerhalb K und können weggelassen werden. Wir können dann B = A -f- a setzen, und der Körper B enthält den Körper K ganz in seinem Innern.

EineVolumenzahl für K muß, wenn sie existiert, zwischen A und B liegen, und sie wird existieren, wenn die Zahl a für unendlich wachsendes n unendlich klein wird.

Daß diese Bedingung immer befriedigt ist, wenn der Körper K von ebenen Flächen begrenzt ist, sieht man leicht. Denn denkt man sich die Grenzflächen von K durch Wände von der Dicke der Diagonale des Elementarwürfels ersetzt, so sind alle Würfel a in diesen Wänden verborgen, das Volumen ist kleiner als das Volumen einer endlichen Anzahl von prismatischen Räumen von der Höhe der Würfeldiagonale.

Es ergibt sich daraus dann weiter, daß die Bedingung erfüllt ist bei allen Körpern, für die sich ein enthaltenes und ein enthaltendes Polyeder konstruieren läßt, die einander beliebig nahe gebracht werden können. Dies trifft für die Zylinder, Kegel und Kugeln zu.

Wenn die Körper A, K, B und der Einheitswürfel durch ähnliche Körper ersetzt werden, bei denen das Verhältnis s entsprechender Längen dasselbe ist, so werden die Zahlenverhältnisse nicht geändert, der Rauminhalt des Würfels aber im Verhältnis 1 : s³ vergrößert (§ 88, 3.). Daraus ergibt sich der Satz:

Die Inhaltszahlen ähnlicher Körper, bei denen sich entsprechende Längen wie 1 zu £ verhalten, verhalten sich wie 1 zu s³.

§ 93. Flächeninhalt gekrümmter Flächen.

1. Noch größere Schwierigkeiten als die Volumenzahl bietet die Bestimmung des Flächeninhaltes gekrümmter Flächen, weil sich eine gekrümmte Fläche nicht unmittelbar mit einer ebenen Fläche vergleichen läßt. Wir sind hier von vornherein auf einen Grenzübergang angewiesen.

Wenn in der niederen Geodäsie ein Grundstück auf der Erde gemessen und sein Flächeninhalt etwa in Quadratmetern ausgedrückt wird, so behandelt man diese Fläche, als ob sie in einer Ebene läge, und man begeht darin bei der schwachen Krümmung der Erdoberfläche keinen merklichen Fehler. Dehnt man dies Verfahren auf eine große Zahl von Grundstücken aus, die in ihrer Gesamtheit einen erheblichen Teil der Erdoberfläche bedecken, so erhält man eine Zahl von Quadratmetern, die man mit einer um so größeren Annäherung als ein Flächenmaß für den betreffenden Teil der Erdoberfläche betrachten wird, je kleiner die einzelnen gemessenen Grundstücke und je größer ihre Zahl ist. Anders aber wird sich schon die Sache verhalten, wenn unter den gemessenen Grundstücken solche Vorkommen, die an steilen Abhängen liegen, auch wenn die Höhe dieser Abhänge im Vergleich zur Gesamtfläche verschwindend klein ist. Man wird dann für den Flächeninhalt eine zu große Zahl erhalten. Schon hieraus ersieht man, welche Umstände bei einer exakten Definition der Flächenzahlen zu berücksichtigen sind und welche Schwierigkeiten daraus erwachsen können. Wir beschränken uns im folgenden auf die einfachsten Fälle und stützen uns dabei auf die Anschauung.

2. Zylinder.

Wie wir einen Kreis als ein Polygon mit unendlich vielen Seiten betrachten können, ebenso können wir einen Zylinder als ein Prisma mit unendlich vielen rechteckigen Seitenflächen auffassen. Wir bekommen dann für die Oberfläche des Zylindermantels (d. h. die Oberfläche des Zylinders ohne die Endflächen) das Produkt aus der Höhe und dem Umfange der Grundfläche, also, wenn Ji die Höhe, r der Radius der Grundfläche ist:

Zylindermantel = 2nrh.

3. Ebenso können die Flächen des geraden Kegels als Pyramidenflächen mit unendlich vielen dreieckigen Seitenflächen betrachtet werden. Die Gesamtgröße der Grundlinien dieser Dreiecke ist dann gleich dem Umfang der Grundfläche, und die Höhe ist gleich der Länge s der Erzeugenden, oder, wenn h die Höhe des Kegels und r der Radius der Basis ist, gleich ]//F + r².

Demnach ist die Oberfläche des Kegelmantels (ohne die Grundfläche) gleich

ars

= Jir]/h² -f- r².

4. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes, dessen beide Radien rx, r₂ sind, erhält man, wenn s1; s₂ die Seitenlangen der Kegel sind, deren Differenz der Kegelstumpf ist, gleich n:(r₁s₁—r₂s₂). Es ist aber rx : sx = r₂ : s₂ und daher ergibt sich hierfür auch %(r₁ + r₂) (sx -f s₂), oder wenn man mit r den mittleren Radius ^(rx -f r₂), mit s die Seitenlänge des Kegelmantels s₁—s₂ bezeichnet:

Mantelfläche des Kegelstumpfes = 2%rs,

also gleich einem Rechteck, dessen eine Seite die Seitenlänge des Kegelmantels, dessen andere der Umfang des Mittelkreises, 2nr ist.

5. Man kann diese Resultate der Anschauung noch näher bringen, wenn man sich die Mantelflächen von Zylinder, Kegel und Kegelstumpf etwa aus Papier hergestellt und dann in die Ebene aufgerollt denkt. Der Z}dindermantel gibt dann ein Rechteck, der Kegel einen Kreissektor und der Kegelstumpf ein Stück einer ringförmigen Fläche, die von zwei Radien begrenzt ist.

0. Diese Flächen, die zu den sogenannten abwickelbaren gehören, gestatten durch die Ausbreitung in die Ebene noch einen unmittelbar anschaulichen Vergleich mit ebenen Flächen. Anders aber verhält es sich bei der Kugel.

Die Bestimmung der Kugeloberfläche gehört zu den glänzendsten Errungenschaften des Altertums, und mit Recht hat in ihr Archimedes seinen größten Ruhmestitel erblickt, so daß er nach Ciceros Bericht verordnete, daß die Figur der Kugel mit dem Zylinder auf seinem Grabmale dargestellt werde.

Man bestimmt den Flächeninhalt der Kugeloberfläche dadurch, daß man sie durch Parallelkreise in unendlich viele Zonen zerlegt, und eine solche unendlich schmale Zone als Oberfläche eines Kegelstumpfes betrachtet.

7. Wir schneiden die Kugel durch zwei parallele Ebenen AG, BE (Fig. 245), und nehmen die in der Mitte zwischen beiden verlaufende Ebene BQ. In B legen wir eine Tangente AB = s an den Meridiankreis in der Ebene CAB. Wir haben dann die ähnlichen Dreiecke ABH, CBQ, und wenn also r den Kugelradius, q den des Parallelkreises BQ und h die Höhe der Zone bedeutet, so ist ç:r = h:s oder çs = hr, und es ergibt sich für die Mantelfläche des Kegelstumpfes, der zwischen den Parallelebenen der Kugel umgeschrieben ist, nach 4.:

2tcqs = 2itrh.

Es ist aber 2itrh eine Zylinderfläche, deren Höhe h und deren Basis ein Hauptkreis der Kugel ist.

ï'ig. 246.

Vig. 245.

8. Wir umschreiben nun dem Quadranten CBA (Fig. 246) ein Quadrat (CBBA) und ein Polygon A?P₁P₂P₃... A, dessen erste Seite BBl mit AC parallel ist. Denken wir uns diese Figur um die Achse

BC gedreht, so beschreibt der Kreisquadrant AB die Halbkugel, die Linie AB einen der Halbkugel umschriebenen Zylinder, und das Polygon P₁P₂P₃ . . . A eine Fläche, die aus abgestumpften Kegelflächen zusammengesetzt sind, und deren Gesamtinhalt nach 7. dem Inhalte des Zylindermantels AB gleich ist. Der Inhalt dieser Fläche ist also von der Anzahl der Punkte P1} P₂, P₃, ... nicht abhängig und bleibt derselbe, wenn die Zahl dieser Punkte unbegrenzt vermehrt wird. Dadurch nähert sich aber diese Fläche immer mehr der Halbkugelfläche an, und wenn wir dieselbe Betrachtung auf die andere Halbkugel anwenden, so folgt der Satz:

Die Oberfläche der Kugel ist gleich der Mantelfläche des umgeschriebenen Zylinders.

Die Kugelfläche hat also, da der umgeschriebene Zylinder die Höhe 2r hat, das Inhaltsmaß 4jrr², was wir auch so ausdrücken können, daß die Kugelfläche viermal so groß ist als ein Hauptkreis.

Die Fläche einer Kugelzone ist gleich dem von den Endflächen der Zone ausgeschnittenen Teile der Zylinderfläche.

9.    Wenn man das Volumen V der Kugel kennt, so kann man die Oberfläche S auch auf folgende Weise bestimmen: Man zerteile die Oberfläche in unendlich viele unendlich kleine Flächenteile, z. B. durch ein Netz von Parallelkreisen und Meridianen, und verbinde die Peripheriepunkte eines solchen Flächenelementes mit dem Kugelmittelpunkte; es entsteht dann eine Pyramide, deren Grundfläche zwar gekrümmt ist, aber um so mehr als eben betrachtet werden kann, je kleiner die Elemente sind. Die Höhe dieser Pyramiden ist gleich dem Radius r der Kugel, und folglich ist ihr Gesamtvolumen gleich ihrer gesamten Oberfläche, multipliziert mit \ r, d. h.

V = ĄrS.

Nach § 91, 3. ist aber V = 4jtr³/3 und folglich S = 4:tr'².

10.    Denkt man sich eine krumme Oberfläche, z. B. eine Kugel oder einen Zylinder von einem Netz von Punkten überzogen, und je drei dieser Punkte zu einem ebenen Dreieck verbunden, so erhält man ein der gegebenen Fläche eingeschriebenes Polyeder, und es könnte scheinen, daß die Oberfläche dieses Polyeders, wenn man die Punkte auf der Fläche unendlich dicht nimmt, die gegebene Oberfläche zur Grenze habe.

Daß dies aber nicht allgemein richtig ist, hat zuerst H. A. Schwarz bemerkt, und wird durch das folgende Beispiel bewiesen.

Wir wollen eine Zylinderfläche vom Radius r und der Höhe h betrachten (Fig. 247). Wir teilen die Höhe in n Teile, deren jeder

die Höhe h/n hat₇ und die Peripherie eines jeden Teilkreises in m Teile, deren jeder den Winkel 2n/m faßt; wir verschieben aber die Teilpunkte auf jedem folgenden Kreise um Tcfm, wie die Figur zeigt. So entstehen die Dreiecke (123), (234),

(345), .... Wir wollen den Flächeninhalt eines dieser (kongruenten) Dreiecke bestimmen.

Die Grundlinie 13 eines solchen Dreiecks ist gleich 2r sin %jm. Die Höhe ist aber nicht gleich h/n, sondern gleich der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks 2 AB, dessen eine Kathete h/n und dessen andere Kathete gleich dem „Pfeil“ AB ist. Dieser Pfeil ist aber gleich

r — r cos

und folglich ist der Flächeninhalt des besagten Dreiecks :

r sin

V% + 4r³ (sin «J*.

Fig. 247.

Da wir nun auf dem Zylinder 2mn solche Dreiecke haben, so ergibt sich für die Gesamtoberfläche des Polyeders

rwB8mwl/S+4r2(sinäD⁴>

oder, indem man für unendlich kleine Winkel den Sinus durch den Winkel ersetzt (Bd. I, § 127),

Jtr

n¹

4«i⁴

Lassen wir n und m unabhängig voneinander ins Unendliche wachsen, so ist dieser Ausdruck ganz unbestimmt. Er erhält aber den Grenzwert nrli, wenn n : m in einem endlichen Verhältnisse bleibt. Er kann auch ins Unendliche wachsen, z. B. wenn man n = mz setzt. Es ist aber immer die Fläche des Zylinders Ttrh die untere Grenze aller der Werte, deren der obige Ausdruck fähig ist.

Zehnter Abschnitt.

¹

Audi für sphärische Polygone, wie Dehn in einer neuen Arbeit gezeigt hat (Math. Ann. Bd. 60). Ygl. zu diesem Abschnitt ferner: Kagan, Über die Transformation der Polyeder; Minkowski, Yolumen und Oberfläche; Sehatu-novsky, Über den Rauminhalt der Polyeder; (alles Math. Ann. 57).

²

Ygl. die Mitteilung von Finsterbusch in den Verhandlungen des dritten internationalen Mathematikerkongresses (Leipzig, Teubner 1905), S. 687.

Drehungsgruppen und reguläre Körper.

§ 94. Drehungen und ihre Zusammensetzung.

1.    Wir wollen einen starren Körper K von beliebiger Gestalt betrachten, der einen im Raume festen Punkt 0 bat, um diesen Punkt aber frei beweglich ist. Der Körper kann hiernach noch unendlich viele Stellungen annehmen, und er kann aus jeder Stellung A in eine andere Stellung B auf unendlich viele Arten gebracht werden.

Unter den verschiedenen möglichen Bewegungen des Körpers sind besonders ausgezeichnet und verständlich die Drehungen um eine Achse. Die Größe einer solchen Drehung wird gemessen durch den Winkel, den eine mit dem Körper fest verbundene, durch die Achse gehende Ebene in ihrer anfänglichen Lage mit ihrer Endlage bildet, und man unterscheidet entgegengesetzte Drehungen durch das Vorzeichen dieses Winkels. Darnach ist das Maß des Drehungswinkels unbegrenzt, wenn auch zur Bestimmung der Stellungen ein Intervall von der Größe 2ot genügt. Wir bezeichnen die eine der beiden Richtungen der Achse als die positive, und rechnen die Drehungen positiv, wenn sie für den in der positiven Achse aufrecht Stehenden dem Uhrzeiger entgegengesetzt erfolgen.

2.    Satz. Der Körper K kann aus einer gegebenen Stellung A in eine beliebige gegebene Stellung JB immer durch Drehung um eine bestimmte Achse a gebracht werden.

Der Beweis ergibt sich, wenn man bedenkt, daß die Stellung des Körpers durch die Stellung von irgend zweien seiner durch 0 gehenden Geraden bestimmt ist. Sind alf a₂ diese Geraden in der Stellung A, und , b₂ dieselben Geraden in der Stellung B, so müssen die Winkel (aias), (&]A) einander gleich sein. Legt man zwei Ebenen, die auf den Ebenen a₁b₁ und a₂b₂ senkrecht stehen und die Winkel (aj)^ und (a₂b₂) halbieren, so schneiden sich diese in einer Geraden a, und die körperlichen Ecken aata₂, abvb₂ sind kongruent, weil sie in den drei Kantenwinkeln übereinstimmen. Dreht man also den Körper um die Achse a, bis nach bx kommt, so fällt auch a₂ nach b₂, und damit ist die Stellung A in die Stellung B übergeführt.

3.    Gehen wir von einer bestimmten Grundstellung A aus, so ist eine zweite Stellung B eindeutig bestimmt, wenn die Achse a und der zugehörige Drehungswinkel & gegeben sind. Den Inbegriff beider wollen wir eine Drehung nennen, die wir auch durch einen griechischen Buchstaben, etwa a, bezeichnen. Ist A und a gegeben, so ist dadurch die Stellung B eindeutig bestimmt.

Sind aber umgekehrt A und B gegeben, so ist zwar die Achse der entsprechenden Drehung eindeutig bestimmt, der Drehungswinkel aber nur bis auf Vielfache von 2 7t. Wir werden aber im folgenden Drehungen, die sich um Vielfache von 27t unterscheiden, als dieselbe Drehung betrachten, und danach können wir eine Drehung eindeutig durch die beiden Stellungen A und B, also etwa durch (A, B) bezeichnen.

Drehen wir um die gleiche Achse a die Stellung B nach A zurück, so nennen wir dies die zu a entgegengesetzte Drehung, und wir bezeichnen sie mit a~x oder auch mit (B, A).

Jede Drehung des Körpers hat also ihre entgegengesetzte, und die entgegengesetzte von der entgegengesetzten ist wieder die ursprüngliche Drehung.

4.    Wir denken uns die Drehungsachse in fester Verbindung mit dem Körper (etwa durch einen mit dem Körper fest verbundenen Stab gekennzeichnet). Dann können wir eine Drehung a bei jeder beliebigen Lage des Körpers vollziehen. Die Drehungen, wie wir sie hier verstehen, haften also dem Körper an, nicht seiner Stellung im Raume. Ist a = (A, B), und vollziehen wir eine zweite Drehung ß von B aus, so können wir ß = (B, C) bezeichnen, wenn C die Stellung ist, in die der Körper aus B durch ß übergeführt wird. Die Stellung C ist aber von A aus gleichfalls durch eine Drehung y erreichbar, und wir nennen diese Drehung (A, G) aus a und ß zusammengesetzt. Wir deuten dies durch eine symbolische Multiplikation an, und setzen

(1)

y = aß oder (A, C) = (A, B) (B, C).

Dabei sei aber von vornherein betont, daß aß im allgemeinen von ßa verschieden ist.

Es gilt also bei dieser Multiplikation nicht das kommutative Gesetz. Dagegen gilt das assoziative Gesetz, das sich in folgender evidenten Formel ausspricht:

(A, B) (B, C) (C, D) = (A, C) (C, D) - (A, B) (B, D) = (A, D).

5. Die Komposition der Drehungen wird erst dann allgemein erklärt sein, wenn wir die Nulldrehung a°, d. h. die unveränderte

36

Weber u. We 11 stein, Encyklopädie. U. 2. Auü.

Stellung (A, Ä) = (B, B), ... hinzunehmen. Denn nur dann erliält die Zusammensetzung entgegengesetzter Drehungen einen Sinn:

(2)

aa~x — a~ ¹a = a°.

Die Zusammensetzung einer Drehung mit a° ändert nichts, und diese spielt daher in der symbolischen Multiplikation die Rolle der Einheit.

6. Eine Drehung œ = (A, Ä), die von der Stellung A zu A' führt, kann auch von der Stellung B aus vollzogen werden und möge von B nach B' führen, und es ist

(3)

m =    A’) = (B, B'),

w-¹ = (A', A) = (B', B).

Es liegt jetzt B' zu B ebenso wie A' zu A, und wenn wir uns also Ä mit A zu einem starren System [AA'] verbunden denken, so geht dieses durch die Drehung «, von A aus vollzogen, in die Lage [BB'j über.

Ist nun a die Drehung (A, B), so ist

m-¹«« = (A', Ä) (A, B)(B, B') = (A', B')

und es ist also

(4)

a' = co ¹aco

die Drehung, die Ä in B' überführt.

Die Drehung a heißt mit a konjugiert (durch m). Es ist zu-

gleich

a = coaco~x,

also a mit a durch co⁻¹ konjugiei’t.

7. Ist ß' mit ß und y mit y konjugiert, so ist ß'y' mit ßy konjugiert.

Denn es ist

(5)

ß'y' = oo ¹ßoooo~¹yco = co~lßyco (nach 5.).

8. Die Wiederholung einer Drehung a, wobei also die Achse ungeändert bleibt, bezeichnen wir durch Potenzen cA, a³, . . ., und die Wiederholung der entgegengesetzten Drehung mit a⁻¹, er³, er³,

,-i

Ist & der Drehungswinkel von a, so sind 2&, 3&, ... die Drehungswinkel von u³, cA, ... und — ©, — 2©, — 3 ©, ... die von a~'², er³, .... Die Komposition dieser Potenzen geschieht, wie bei der Multiplikation von Zahlenpotenzen, durch Addition der Exponenten:

9.    Ist cc' = œ~¹ac3, so ist nach 7.:

cc~ ±= co~^cc~^ gj,

und für jeden positiven und negativen Exponenten v:

(7)

av = co~ ¹avm.

10.    Wenn der Drehungswinkel & zu 2 n in einem rationalen Verhältnis steht, so heißt die Drehung zyklisch. Es gibt dann gewisse Exponenten h, für die ah = cc⁰, d. h. gleich der Nulldrehung ist. Ist u der kleinste positive unter diesen Exponenten, so sind die Drehungen

(8)

cc°, a¹, a², . . ., «■“ ~¹

alle voneinander verschieden. Jede andere Potenz von a ist mit einer aus der Reihe (8) identisch, und es ist ah + = ah. Ein ah ist dann und nur dann gleich a°, wenn h durch a teilbar ist. Denn durch Division kann man jedes h in die Form bringen: h — + g', worin 0 < g' < g ist, und es ist cc'¹ = cou'. Soll nun ah — a° sein, so muß u', da es kleiner als g ist, gleich Null sein.

Der Exponent g heißt der Grrad der zyklischen Drehung a und die Reihe (8) die Periode von a.

Nach (7) gilt der Satz:

Konjugierte Drehungen haben denselben Grad.

11.    Ist cc nicht zyklisch, so kommt unter der Reihe der Potenzen

. . ., k~², «_1, ct⁰; a, cc², a³, ...

dasselbe Element nicht zweimal vor.

Denn ist ah = ak, so ist h@ — Tc & + 2tcm, also © = 2 nm/Qi — 7.)

§ 95. Endliche Drehungsgruppen.

1. Ein aus einer endlichen Anzahl n von Drehungen bestehendes System

(1)

S=a, ß,y, ...

heißt eine Gruppe von Drehungen, wenn jede aus zwei Elementen von S zusammengesetzte Drehung gleichfalls in S enthalten ist.

Die Anzahl n der in S enthaltenen Drehungen heißt der Grad der Gruppe.

Wir werden sehen, daß es nur eine sehr beschränkte Anzahl von Arten solcher Gruppen gibt.

2. Aus der Definition ergibt sich, daß, wenn a eine Drehung in S ist, alle Potenzen von a gleichfalls in S enthalten sind, und daraus folgt, daß u zyklisch sein muß. Denn wäre a nicht zyklisch,

36 *

so wäre die Anzahl der Drehungen nach § 94, 11. nicht endlich. Ist (i der Grad von a, so sind

a, a², a³, . . ., cc" ¹ = a ¹, cc¹¹ = a°

in S enthalten.

I. Es enthält also S immer die Nulldrehung und außerdem zu jeder ihrer Drehungen die entgegengesetzte.

3. Wir gehen von einer Grundstellung E aus und setzen die Drehungen yon S in die Form

(2)

*-(E,Ä), ß = (E, B), y = (E,C), ....

Es sind dann A, E, C, . . . Stellungen des Körpers K, und man kann durch Drehungen aus S jede dieser Stellungen, zu denen wir noch E hinzunehmen, in jede andere überführen, denn es ist z. B.

a~'ß = (A,B).

A, B, G, ..

4. Wir denken uns jetzt das ganze System der Stellungen E, . zu einem einzigen starren Körper M verbunden. Führen wir dann an dem Körper M eine der Drehungen d = (E, T) von S aus, indem A, B, C, ... dabei das E begleiten, so gehen durch diese Drehung die Stellungen A, B, C, . . . in bestimmte andere Stellungen A', B', C über, die nach § 94, 6. bestimmt sind durch

» = W, T) = (A, A') = (.B, B') = (C, £') = •••.

Daraus folgt:

ad' = {E, A'), ßd = (E, B'), yd — (E, C'), . .

und die Drehungen ad, ßd, yd, . . . stimmen in ihrer Gesamtheit (von der Reihenfolge abgesehen) mit S überein. Denn sie sind alle in S enthalten, es sind keine zwei von ihnen identisch, und ihre Anzahl ist n. Es stimmt also auch die Gesamtheit der Stellungen Ä, B', C', ... mit der Gesamtheit A, B, C, ... überein, und es folgt:

Der Körper M hat die Eigenschaft, daß er durch jede der Drehungen S mit sich selbst zur Deckung kommt.

5. Jede Drehung in S, mit Ausnahme der Nulldrehung, hat eine bestimmte Achse. Es können aber mehrere Drehungen dieselbe Achse haben. Durch jede Drehung in S geht das System dieser Achsen in sich selbst über, und auf der Betrachtung dieser Achsen beruht die Bestimmung aller möglichen endlichen Drehungsgruppen.

Eine Achse a heißt von der ersten Art, wenn es in S eine Drehung co gibt, die a umkehrt (holoedrische Achsen), von der zweiten Art, wenn es in S keine Drehung gibt, die a umkehrt (hemiëdrische Achsen).

Eine Achse a heißt v-zählig, wenn es, mit Einschluß der Nulldrehung, v Drehungen in S gibt, die a ungeändert lassen. Diese Drehungen

(3)

Q = ß°, a¹, ß², . . ., av 1

kann man als Potenzen von einer unter ihnen, die den kleinsten positiven Drehungswinkel hat, darstellen.

Ist a von der ersten Art, und sind w', co zwei Drehungen, die die Achse umkehren, so sind o/co⁻¹ und co⁻¹o/ Drehungen, die a ungeändert lassen, also co'co⁻¹ = ay, co' = ayco, und œ~¹co' = a~¹ayco läßt a ungeändert. Daraus folgt:

II. Die Gesamtheit der Drehungen von S, die eine Achse erster Art umkehren, ist in dem System

(4)

Qœ = œ, ßoo, ß²«, ..., av~xco enthalten, und das System œ~¹Qw ist mit Q identisch.

Wenn die Achse a durch zwei verschiedene Drehungen & und &x in dieselbe Lage ax übergeht, so bleibt a durch ¹ ungeändert, und es ist also ft = ay&x- demnach ist die Gesamtheit der Drehungen, die a in ax überführen, in der Form

= ftj, a&x, ß²^, ..., ßv-1'9,₁

enthalten; und wenn a von der ersten Art 'ist, geht a durch cof^ in die zu ax entgegengesetzte Richtung über, und ax ist also auch von der ersten Art, und wir erhalten den Satz:

III.    Die Anzahl der Drehungen in S, die a in ax oder (bei den Achsen der ersten Art) in die mit ax entgegengesetzte Richtung überführen, ist gleich 2v bei den Achsen erster Art, und gleich v bei den Achsen zweiter Art.

Die Drehung f^⁻¹ führt ax in a über, ay bedeutet eine Drehung um a, und ü’₁ führt wieder a in ax über; daher bedeutet Q'x~xay^'x eine Drehung um ax, und in dieser Form sind auch alle Drehungen um ax enthalten, weil, wenn ax eine Drehung um ax ist, f^ß^-1 eine Drehung um a, also ein ay und ax = d'₁~¹ayd'x ist.

IV.    Demnach ist ax ebenfalls v-zählig wie a, und die Anzahl der in S enthaltenen Drehungen um ax (ohne die Nulldrehung) ist gleich v — 1.

Durch die Gesamtheit der Drehungen S möge nun a in die verschiedenen Lagen

(5)

ü , (lx , Ü2 , ■■■ y    1

übergehen. Diese sind alle gleichzeitig v-zählig und alle von der ersten oder alle von der zweiten Art.

Wir nennen (5) ein System konjugierter Achsen, und [i soll der Grad dieses Systems heißen.

Da jede Drehung in S die Achse a in eine der Achsen des Systems (5) überführt, und n die Anzahl der Drehungen in S ist, so ist

= [IV,

n = 2[iv oder

je nachdem a von der ersten oder zweiten Art ist, und da v mindestens gleich 2 ist, so folgt:

Y. Ist ein System von [i konjugierten v-zähligen Achsen von der ersten Art, so ist

fiv = \n, n

und ist es von der zweiten Art, so ist

[iv = n,

iw < \n-

Aus IV. und Y. folgt noch, da hier die Nulldrehung nicht mitzählt:

VI. Die Anzahl der in S enthaltenen Drehungen um eine der Achsen eines Systems von [i konjugierten v-zähligen Achsen ist gleich p(i>— 1), also

=    — [i bei Systemen erster Art,

zweiter Art.

— n — [i

4.    Mit Hilfe dieser Sätze lassen sich jetzt alle Möglichkeiten für die Drehungsgruppen festsetzen.

Die Anzahl der in S enthaltenen Drehungen ist, wenn wir von der Nulldrehung absehen, gleich n — 1. Wenn also nur ein System konjugierter Achsen vorhanden ist, so ist nach VI.

n — 1 = -\n — [L oder n — 1 = n — [i.

Die erste Annahme ist aber unmöglich, da sich daraus ein negatives oder verschwindendes [i ergeben würde; die zweite Annahme gibt [i = l, während v beliebig bleibt. Wir erhalten daraus den ersten Fall:

I. Pyramidendrehung.

Es existiert eine einzige Achse zweiter Art. Es ist v = n, und für n ergibt sich keine Beschränkung.

5.    Es seien zwei Systeme konjugierter Achsen vorhanden. Es ergeben sich dann zunächst drei Möglichkeiten: entweder es sind beide Achsensysteme von der ersten Art, oder es sind beide von der zweiten Art oder es ist das eine von der ersten, das andere von der zweiten Art. Diese Fälle sind so charakterisiert, wenn v die Zählig-keit, [i den Grad der betreffenden Systeme bedeutet:

1)    n    —    1    = Ul(n — 1)    4-    /V« — 1)    = n-    il₁ — fix,

2)    «    —    1    = u₂(v₂ — 1)    +    ^₂'(v₂' — 1)    = 2w —    ^₂ — ^₂',

3)    w    —    1    —fłiK-l)    +    ^₂(^₂ — 1)    =³₂W —    Fi~ «2-

Der erste Fall ist unmöglich, weil dann ^ -j- /r/ = 1 sein müßte, während doch jede der Zahlen [ilf yix mindestens gleich 1 ist. Im zweiten Falle würde sich ergeben

Fa + Fa' = n + ¹ ;

was aber auch unmöglich ist, da fi₂ und [i₂' nach Y. <; w/2 sein müßten. Es bleibt also nur der dritte Fall übrig, in dem

Fi + F2 = Y ^

ist. In diesem Falle kann v₂ nicht größer als 3 sein, denn ist v₂ > 4, so ist nach Y. [i₂    m/4, und es ergibt sich aus 3):

Fi =

+ 1— F2 > y + 1 •

Dies ist aber nach V. unmöglich.

Ist v₂ = 2, fi₂ = so muß n₁ == 1, vx — \n sein. Dieser Fall ist möglich, wie wir sehen werden, und führt zur

II.    Doppelpyramidendrehung oder Diederdrehung (mit ungeradzähliger Basis).

n = Q — 1), Vl = ³⁽^„.......-

. i

Fi =

Ist aber v₂ = 3, also ja₂ = m/3, so ergibt sich - + 1

Da ((it — l)/^j ein echter Bruch ist, so muß v₁ < 3, also vx = 2 sein, und es folgt:

— 2; u₂ 4, m₂ 3; m 12.

Fi = 3

III.    Tetraederdrehung.

6. Wenn drei Systeme konjugierter Achsen vorhanden sind, so müssen alle von der ersten Art sein; denn wäre eine, zwei oder drei von der zweiten Art darunter, so würde wie in 5. folgen:

a -F u! + li" = n + 1 < n,

=¥+¹^

= 2m+1^,

was unmöglich ist.

Es seien also die drei Systeme von der ersten Art. Dann ist

n — 1 = [i (v — 1) +    — 1) + fi"(v" — 1 ),

Daraus folgt, daß von den drei Zahlen v, v, v" mindestens eine gleich 2 sein muß; denn sind sie alle >3, so sind (i, a, (i" < w/6 und ihre Summe gleich oder kleiner als \n, während sie doch nach (6) gleich \n -f 1 sein muß. Ist also v"=2, ia" = nJ4, so folgt:

(7)

a -f = y + 1.

Hiernach können wieder nicht v und v ;> 4, (i und fi' < w/8 sein, da sonst u + a w/4 wäre, und wir haben zwei Fälle:

Erstens: v=2, a' = w/4, (i = l, v = n/2:

IV. Doppelpyramidendrehung, Diederdrehung (mit geradzahliger Basis):

(i = l, v =    (i=\yi, v = 2;    (i" = \n,    v"=2,

w eine beliebige durch 4 teilbare Zahl.

Zweitens: Y = 3, a = w/6:

6n

und folglich:

(6)

u + u -j- u = y + 1.

n i 1

Ï8+¹’ " =

also ist v < 6, und da v = 2 durch IY. schon erledigt ist, bleibt v = 3, 4, 5.

Der Fall v = 3 kann aber nicht Vorkommen, denn es wäre in diesem Falle:

w = 12

'C

CO cM

CO CM

v" = 2,

(i"= 3.

Sind also a und % die beiden zu v = 3, (i = 2 gehörigen konjugierten Achsen, so müßte es eine Drehung -O' in >8 geben, durch die a in übergeht, und durch Wiederholung dieser Drehung würde at in die entgegengesetzte Richtung von a übergehen. Es müßte also & mindestens vierzählig sein. Eine vier- oder höherzählige Drehung kommt aber in S nicht vor.

Für v = 4 ergibt sich:

TP CO

, v = 3, > = ⁴>

n = 24,

(i =

Y. Oktaederdrehung oder Würfeldrehung, und für v = 5:

v"=2, fi' = 10, n" — 15:

w = 60, v = b, v' = 3

u = 6,

YI. Ikosaederdrehung oder Dodekaederdrehung.

7. Mehr als drei Systeme von konjugierten Achsen können überhaupt nicht Vorkommen. Denn es ist

für Systeme erster Art: fi(v— 1)=-^-—^

„    „ zweiter Art: u(v— 1) = w — fi ~}

also in jedem Falle a(y—1) > nJA. Wenn daher auf der rechten Seite der Formel

n — 1 = a(v — 1) -f- jA'iy' — 1) + (.i"(v" — 1) + • • •

mehr als drei Summanden vorkämen, so würde sich der Widerspruch n — 1 n ergeben.

Wir haben damit ein beschränktes System von Möglichkeiten für die Drehungsgruppen bestimmt. Daß diese Fälle alle Vorkommen, wird die folgende geometrische Betrachtung zeigen.

Schon die Namen, durch die wir die Drehungsgruppen bezeichnet haben, weisen darauf hin, auf welchem Gebiete ihre Realisierung zu suchen ist.

So erhalten wir die Gruppe der Pyramidendrehungen (I.), wenn wir uns über einem regulären m-Eck eine gerade Pyramide errichten. Es gibt dann nur eine Achse, nämlich das von der Spitze auf die Grundfläche gefällte Perpendikel, und es gibt m Drehungen, die diesen Körper mit sich selbst zur Deckung bringen.

Nehmen wir eine Doppelpyramide, d. h. über einem regulären w-Eck zwei symmetrisch gleiche Pyramiden, so kommen zu den m Drehungen um die Verbindungslinie der Spitze noch weitere Drehungen hinzu. Ist m eine ungerade Zahl, so sind die Verbindungslinien der Ecken des Grundpolygons mit den Mitten der gegenüberliegenden Seiten ein System konjugierter zweizähliger Achsen zweiter Art, und wir erhalten den Fall II. Ist m gerade, so erhalten wir in den Verbindungslinien gegenüberliegender Ecken und der Mitten gegenüberliegender Seiten zwei Systeme von je m konjugierten Achsen erster Art, und wir erhalten den Fall IV.

Statt der Doppelpyramide kann man auch ein Dieder nehmen, d. h. eine körperlich gedachte reguläre Polygonfläche, deren beide Seiten als unterschiedene Flächen angesehen werden.

§ 96. Der Eulersche Polyedersatz.

1. Unter einem Polyeder wollen wir hier einen Körper verstehen, der rings von ebenen Vielecken begrenzt ist, die einander nirgends durchdringen (Eulersches Polyeder). Die sogenannten Sternpolyeder, deren Seitenflächen sich gegenseitig durchdringen, schließen wir aus.

Für die Eulerschen Polyeder gilt die berühmte Eu 1er sehe Formel, die zwischen der Anzahl der Flächen F, der Kanten K und der Ecken E die Relation gibt:¹)

(i)

E + F-K-2.

Wir wollen den Beweis hier auf die folgende Betrachtung gründen.

2. Ein in der Ebene ausgebreitetes, die Ebene einfach bedeckendes Flächenstück (ein Blatt), das von einer in sich zurücklaufenden Linie begrenzt ist, zerfällt durch jeden Schnitt, der einen Begrenzungspunkt mit einem anderen verbindet, in zwei getrennte Stücke, und heißt darum einfach zusammenhängend; diese Eigenschaft bleibt erhalten, wenn das Flächenstück aus der Ebene herausgenommen und ohne Zerreißung beliebig verbogen wird.

Flächenstücke, bei denen es Schnitte gibt, die die Fläche nicht zerstücken, heißen mehrfach zusammenhängend. Dahin gehören z. B. die ringförmigen ebenen Flächen (Fig. 248), die zweifach zusammenhängend sind, weil man einen Schnitt legen kann, der die Fläche nicht zerstückt.

53*

Fig. 248.

Fig. 249.

Wir nehmen an, es sei eine solche (einfach oder mehrfach zusammenhängende) Fläche durch ein Netz von Linien irgend welcher Art in einfach zusammenhängende Flächenstücke (Maschen) zerlegt. Die Anzahl dieser Maschen sei /'.

Punkte, von denen drei oder mehr Schnitte auslaufen, heißen Knotenpunkte. Ihre Anzahl sei e, wobei jedoch solche, die etwa an der Grenze selbst liegen, nicht mitzählen.

Die Verbindungsstrecken zweier Knotenpunkte, die keinen dritten zwischen sich enthalten, oder eines Knotenpunktes mit einem Randpunkte oder zweier Randpunkte, heißen Fäden. Ihre Anzahl sei k. Wenn die Fäden zwei Punkte des Randes miteinander verbinden, so enthalten sie gar keinen Knoten.

In Fig. 249 ist (ohne die punktierten Linien) /*= 8, e = 5, 7c =12. Durch Hinzufügung eines Fadens zu den schon vorhandenen geht f in /*+ 1 über (weil die Flächen einfach zusammenhängend sind). Der neue Faden hat zwei Enden, und jedes dieser Enden kann entweder in einem schon vorhandenen Knoten liegen; er vermehrt dann die Anzahl der Knoten nicht und läßt auch die schon vorhandenen Fäden ungeändert, oder er liegt am Rande, und dann gilt dasselbe, oder er liegt im Innern eines schon vorhandenen Fadens und teilt diesen in zwei Fäden, während gleichzeitig die Zahl der Knoten um 1 vermehrt wird. In allen Fällen bleibt also durch einen solchen

Endpunkt die Differenz e — k ungeändert; es tritt aber noch der neu hinzugefügte Faden zu 7c hinzu, und es bleibt also e-\-f—k durch den neu hinzugefügten Schnitt ungeändert. Die punktierten Linien in der Fig. 249 veranschaulichen diese Möglichkeiten.

Nimmt man die ursprüngliche Fläche S schon einfach zusammenhängend an, so ist vor jeder Zerschneidung e = 0, f = 1, 7c = 0, folglich allgemein

(2)

e + f-Tc= l.i)

3. Daraus ergibt sich der Eulersche Polyedersatz auf folgende Weise: Wenn man aus der Polyederfläche von F Flächen, E Ecken und K Seiten eine m-eckige Polyederfläche herausnimmt, so bleibt eine Fläche S, die von der Peripherie des weggenommenen w-Ecks begrenzt wird, und die durch die übrigen Polyederkanten in einfach zusammenhängende Stücke (Polygone) zerlegt ist. In dieser Zerlegung ist:

f-F- 1,

e — E — m

(2).

und hiernach ergibt sich die Formel (1) aus

§ 97. Die regulären Polyeder.

1, Mit Hilfe der Eulerschen Formel können wir zunächst die Frage beantworten, ob es Polyeder gibt, in denen alle Seitenflächen gleichviel Ecken und alle Ecken gleichviel Kanten haben.

Es sei also ein Polyeder von lauter 2>Ecken begrenzt, und in jeder Ecke stoßen q Kanten zusammen.

1) Im allgemeinen ist k — e-f-j-2 die Ordnung des Zusammenhangs der

Fläche S.

Da in jeder Kante zwei Flächen Zusammenstößen und jede Fläche p Kanten enthält, so ist

(1)

pF = 2K,

und ebenso

(2)

qE = 2K,

mithin nach der Eulerschen Formel (§ 96, (1)):

l)-2.

(3)

*(

Hieraus folgt zunächst, daß

(4)

j ⁺ j>h

und weil p und q mindestens gleich 3 sein müssen, so ist

¹

Baltzer vermutet, daß die Formel schon dem Altertum bekannt gewesen sei und stellt fest, daß sie Descartes besaß. Wiedergefunden und publiziert wurde sie von Euler 1752.

}>¹-f>T« *<⁶

und ebenso q < 6. Es bleiben also für p und q nur die drei Zahlen 3, 4, 5 übrig, und es ergeben sich aus (1) bis (4) die folgenden Möglichkeiten:

12

00

Tetraeder

Oktaeder

30

Ikosaeder

12

00

05

Hexaeder

30

Dodekaeder

2. Nimmt man außerdem noch an, daß die Flächen und Ecken aller dieser Polyeder regulär und untereinander kongruent sind, so erhält man die fünf regulären (sogenannten Platonischen) Körper.

Die Ecken dieser Polyeder liegen auf einer Kugel, und wenn man durch den Mittelpunkt dieser Kugel und die Kanten Ebenen legt, so erhält man die regelmäßigen Kugelnetze, aus denen man umgekehrt wieder diese regelmäßigen Körper ableitet, indem man die regelmäßigen sphärischen Polygone durch ebene Polygone mit denselben Ecken ersetzt.¹)

1) Reiches Material hierüber findet man in den Werken von Edmund Heß: Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung, Leipzig, Teübner 1883, und Max Brückner: Vielecke und Vielflache, woselbst viele schöne Abbildungen (ebenda 1900); dazu Nachtrag in dem Berichte über den Heidelberger Kongreß, S. 707.

Der in räumlicher Anschauung noch Ungeübte wird den Gebrauch von Modellen nicht gut entbehren können.

3. Diese Körper geben uns Beispiele für die drei noch übrigen in § 95 abgeleiteten Drehungsgruppen und die Systeme konjugierter Achsen.

Das Tetraeder gibt uns die Gruppe III n = 12 mit den zwei Systemen konjugierter Achsen, nämlich den vier Höben (zweiter Art, ja = 4, v = 3) und den drei Verbindungslinien der Mitten gegenüberliegender Kanten (erster Art, ja = 3, v — 2).

Würfel und Oktaeder geben die Gruppe V (n = 24) mit den drei Systemen konjugierter Achsen erster Art ja = 3, v — 4 (Verbindungslinien der Mitten der Würfelflächen), ja = 6, v = 2 (Verbindungslinien der Mitten gegenüberliegender Kanten) ja = 4, v = 3 (Würfeldiagonalen). Für das Oktaeder erhält man dieselbe Drehungsgruppe.

Ikosaeder und Dodekaeder geben die Gruppe VI (n = 60), und die Systeme konjugierter Achsen sind für das Ikosaeder: ja = 15, v = 2 (Verbindung der Mitten gegenüberliegender Kanten), ja == 6, v = 5 (Hauptdiagonalen), ja = 10, v = 3 (Verbindungen der Mitten gegenüberliegender Flächen), und dasselbe erhält man beim Dodekaeder.

Selbstverständlich kann man dieselben Gruppen noch auf unendlich viele andere Arten realisieren.

So erhält man z. B. das Rhombendodekaeder (Granatoeder der Mineralogen) durch Abstumpfung der Würfelkanten, oder auch der Oktaederkanten, und dieser Körper hat daher dieselbe Drehungsgruppe wie Würfel nnd Oktaeder.

Durch Abstumpfung der Kanten des Ikosaeders oder Pentagondodekaeders erhält man einen Rho m be n dreißig fl ächner, der die Ikosaedergrüppe zeigt.

Elfter Abschnitt.

Analytische Geometrie des Raumes.

§ 98. Koordinaten.

1. Wie man in der Ebene einen Punkt durch zwei Koordinaten bestimmt, so braucht man zur Festlegung eines Punktes im Raume drei Abmessungen. Um diese zu erklären, denken wir uns von einem festen Punkte, dem Nullpunkte 0, drei gerade Linien auslaufen, die nicht in einer Ebene liegen und die drei durch je zwei dieser Geraden bestimmten Ebenen. Diese Ebenen bilden eine dreiseitige Ecke. Denken wir uns diese Geraden auch nach der entgegengesetzten Seite unbegrenzt fortgesetzt, so teilen die durch sie gelegten Ebenen den Raum in acht Fächer (Oktanten) ein.

Wir bezeichnen die drei Geraden mit x, y, z, und ihre Fortsetzungen nach der entgegengesetzten Seite mit — x, — y, — z- die drei Ebenen nennen wir die yz-, zx-, xy-Ebene.

Die acht Oktanten können dann durch die Vorzeichen so unterschieden werden:

1)

+    + y, + z,

—    æ, + y, -f- z,

+ x, - y, + 0,

~\r x, + y, — z,

x, y,    ~~■ zy

—    x, +y,

-x, -y,

-x, -y,

Sie mögen in dieser Reihenfolge als lter, 2ter, . . ., 8ter Oktant bezeichnet sein. Der erste soll auch der positive Oktant heißen. Zwei Oktanten, in denen die drei Zeichen entgegengesetzt sind, stoßen nur in einem Punkte, dem Nullpunkte zusammen und heißen entgegengesetzte Oktanten (Scheitelräume). Je zwei nicht entgegengesetzte stoßen entweder in einer Linie oder in einer Ebene zusammen.

2)

3)

5)

6)

8)

— z.

Das ganze System dieser Linien und Ebenen heißt ein Koordinatensystem. Die Kanten werden die Koordinatenachsen, die Ebenen die Koordinaten ebenen genannt.

Da drei Elemente sechs Permutationen zulassen, so kann man die drei Kanten des positiven Oktanten auf sechs verschiedene Arten mit x, y, z bezeichnen. Diese sechs Arten zerfallen aber in zwei Klassen, von denen die eine aus den Rechtssystemen, die andere aus den Linkssystemen besteht (§ 84, 3.). Bilden, wie wir in der Folge immer annehmen wollen, x, y, z ein Rechtssystem, so sind

x,    y, 8

y,    z, x\ Rechtssysteme, 8, x, y.

x,    z, y

y,    x, z Linkssysteme. y, x.

Stehen die drei Achsen aufeinander senkrecht, so heißt das Koordinatensystem ein rechtwinkliges. Dieses gibt die einfachsten Resultate und wird daher fast ausschließlich angewandt.

2. Um die Lage irgend eines Punktes P gegen das Koordinatensystem zu bestimmen, lege man durch P drei Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen. Diese bilden zusammen mit den Koordinatenebenen ein Parallelepipedon, dessen zwölf Kanten zu je vier den Koordinatenachsen parallel sind. Diese Kanten werden in irgend einer Maßeinheit gemessen und, je nach der Lage des Punktes P in einem der Oktanten, mit einem Vorzeichen versehen. Diese Maßzahlen heißen die Koordinaten des Punktes P. Um einzusehen, daß durch irgend drei Werte x, y, z der Koordinaten ein und nur ein Punkt bestimmt ist, trage man zunächst die Strecke x auf der x-Achse nach der durch das Vorzeichen bestimmten Seite ab, lege durch den Endpunkt dieser Strecke parallel der y- Achse eine Strecke y, wieder nach der durch das Vorzeichen bestimmten Seite, endlich durch den in der Æ«/-Ebene gelegenen Endpunkt dieser Strecke eine zur ^-Achse parallele Strecke z. Der Endpunkt dieser letzteren ist dann der Punkt P. Hätte man die Konstruktion in einer anderen Reihenfolge gemacht, so wäre man zu demselben Punkte gelangt. Man hat nämlich, vom Nullpunkte ausgehend, eine gebrochene Linie zu durchlaufen, die aus drei aufeinanderfolgenden, nicht in einer Ebene liegenden Kanten des erwähnten Parallelepipedons besteht.

Ist das Koordinatensystem ein rechtwinkliges, so kann man die Koordinaten auch als die vom Punkte P auf die Koordinatenebenen gefällten Perpendikel erklären.

Da jede Veränderung der Koordinaten auch den Punkt verändert, so heißen die drei Zahlenangaben, die den Punkt festlegen, voneinander unabhängig.

Da solcher voneinander unabhängiger Zahlenangaben drei nötig sind, so sagen wir: Die Gesamtheit der Punkte im Raume bildet eine dreifach ausgedehnte Menge, oder anders ausgedrückt: Es gibt co³ Punkte im Raume.

Dies ist der exakte Ausdruck für die Tatsache, daß der Raum drei Dimensionen hat.

3. Die bisher besprochene Art der Bestimmung eines Punktes durch Koordinaten heißt die Cartesische. Man kann aber auf unendlich viele andere Arten einen Punkt im Raume festlegen und erhält so andere Koordinatensysteme, unter denen wir, ihrer häufigen Anwendung wegen, noch die Polarkoordinaten besprechen wollen.

Wir nehmen zunächst einen festen Punkt an, den wir den Pol oder Nullpunkt des Koordinatensystems nennen. Um die Lage eines Punktes zu bestimmen, messen wir zunächst dessen Abstand vom Pol. Dieser Abstand ist eine Zahl, die jeden positiven Wert haben kann; negative Werte haben für diese Abmessung keine Bedeutung. Der Wert Null kommt nur dem Pole selbst zu. Wir bezeichnen den Pol mit 0, den veränderlichen Punkt mit P und den Abstand OP mit r. Dieser Abstand ist die erste der drei Polarkoordinaten. Alle Punkte, für die r denselben Wert hat, erfüllen eine Kugelfläche vom Radius r,

deren Mittelpunkt im Pole liegt.

Um die Punkte der Kugel voneinander zu unterscheiden, führen wir zunächst eine durch den Pol gehende feste Gerade ein, die wir die Polarachse nennen; auf dieser nehmen wir eine bestimmte Richtung als die positive an und messen als zweite Polarkoordinate den Winkel, den der nach dem Punkte P gezogene Strahl mit der positiven Polarachse einschließt. Diesen Winkel, den wir mit bezeichnen, nehmen wir zwischen 0° und 180°. Alle Punkte, die denselben Wert von haben, liegen auf einer Kegel-fläche, erfüllen aber nur den einen Mantel dieses Kegels, während dem anderen Mantel das Supplement von & entspricht. Die Werte = 0° und O¹ = 180° kommen der

i.

.......

'\P

‘ff*

ÛÆ-

Vf -, TT. "''"ÿ'-UPT

J Ci

Fig. 250.

positiven und der negativen Hälfte der Polarachse zu. Dem Winkel fl = 90° entspricht eine Ebene, die Aquatorialebene.

Diese Kegelflächen und die vorhin erwähnten Kugeln schneiden einander in Kreisen, die die Parallelkreise der Kugelfläche heißen (z. B. auf der Erdoberfläche oder an der Himmelskugel). Die Polarachse schneidet die Kugelfläche in zwei Punkten, dem Nordpol und dem Südpol. Die Aquatorialebene schneidet die Kugelfläche im Äquator. Der Winkel -fl heißt die Poldistanz. Sein Komplement ist auf der als Kugeloberfläche angenommenen Erdoberfläche die geographische Breite.

Um endlich die Lage des Punktes P auf seinem Parallelkreise zu bestimmen, nehmen wir eine feste, durch die Polarachse gelegte Halbebene an, die wir den Anfangsmeridian (Nullmeridian) nennen. Wir legen dann durch den Punkt P und die Polarachse gleichfalls eine Halbebene und nehmen als dritte Polarkoordinate den Winkel cp, den diese beiden Ebenen miteinander einschließen. Wir messen diesen Winkel in einem bestimmten Drehungssinne (z. B. nach Osten) als positiv und müssen ihn dann von 0° bis 360° gehen lassen; oder wir messen ihn nach der einen Seite positiv, nach der entgegengesetzten negativ, wobei dann das Intervall von 0° bis 180° genügt (östliche und westliche Länge). Alle Punkte, die demselben Winkel cp entsprechen, liegen auf einer Meridianebene, d. h. einer durch die Polarachse gehenden Halbebene. Diese Ebenen schneiden die Kugelfläche in größten Halbkreisen, die durch die beiden Pole gehen; in der Geographie heißen sie Meridiane.

4. Um die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes P durch seine Polarkoordinaten auszudrücken, nehme man die Polarachse zur ^-Achse, den Äquator zur #«/-Ebene, den Anfangsmeridian zur xz-Ebene und errichte die «/-Achse senkrecht, positiv gegen Osten (Fig. 250). Fällt man vom Punkte P ein Perpendikel auf die Äquatorebene, dessen Fußpunkt Q sei, so ist OQP ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse = r, dessen beide Katheten z und q sein mögen. Es ist z = r cos fl, q — r sin fl, und x, y sind zugleich die Koordinaten des Punktes Q in der xy-Ebene. Daraus folgt:

x = r sin fl cos cp, y = r sin fl sin cp, z — r cos fl.

§ 99. Richtungen im Raume.

1. Es seien zwei Punkte P, P₀ durch ihre rechtwinkligen Koordinaten x, y, z; x₀, y₀, z₀ gegeben. Die Entfernung PP₀ bezeichnen

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

wir mit r und geben der Verbindungslinie der beiden Punkte in der Richtung von P₀ nach P das positive Zeichen.

Legen wir durch beide Punkte Parallelebenen zu den Koordinatenebenen, so erhalten wir ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Kanten gleich den Projektionen von r auf die Koordinatenachsen sind, und mit Rücksicht auf das Vorzeichen die Länge haben x — x₀, y — y0> z — z₀. Es ergibt sich dann durch zweimalige Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes:

(i)

rs = (* -    + (y - % J + (2 - %.'².

Bezeichnen wir mit cc, ß, y die Winkel, die die Linie P₀P mit den positiven Koordinatenachsen bildet, so ist

x — Xq = y cos a,

(2)

y-y₀ = rGOS ß,

und aus (1) folgt:

z — z₀ = r cos y,

(3)

cos a² + cos ß² -f- cos y² = 1.

Diese Formel gilt, wenn a, ß, y die Winkel sind, die eine beliebige Gerade g mit den Koordinatenachsen bildet.

2. Die Größen

a = cos a, b = cos ß, c = cos y,

zwischen denen die Relation

(4)

a² -f- b² -f c² = 1

besteht, heißen die Richtungskosinusse der Geraden g.

Irgend drei Größen a, b, c, zwischen denen die Relation (4) besteht, bestimmen als Richtungskosinusse immer eine Richtung. Diese Richtung kann durch eine vom Koordinatenanfangspunkte auslaufende Gerade dargestellt werden.

Denn nimmt man diese Größen a, b, c als Koordinaten eines Punktes P, so hat dieser Punkt nach (1) vom Anfangspunkte 0 die Entfernung 1, und die Linie OP hat nach (2) die Richtungskosinusse a, b, c.

3. Es seien jetzt zwei Richtungen gegeben:

j G i ^2 * ^2 } G2 J

wir ziehen unter diesen Richtungen zwei Strahlen llf l₂ durch den Koordinatenanfangspunkt. Es soll der Winkel (l1} l₂), den diese beiden Richtungen bilden, bestimmt werden.

Wenn wir auf den Strahlen llt l₂ von 0 aus beliebige Längen r1} r2 abtragen, so erhalten wir zwei Punkte 1, 2, deren Koordinaten nach

(2) gleich. rxax, rxbx, rxcx\ r₂a₂, r₂b₂, r₂c₂ sind, und es ist daher, wenn (1, 2) die Entfernung der beiden Punkte bedeutet, nach (1):

(1, 2)² = (rx ax - r₂ a₂f + (rx bx - r₂ b₂f + (rx cx - r₂c₂)2 = rx² -f r₂² - 2rxr₂(ax a₂ + bxb₂-\- cxc₂).

Andererseits ist nach dem Kosinussatze der Trigonometrie (§ 28,4.):

(5)

(1, 2)² = V + r₂ - 2rxr₂ cos (lx, l₂), und die Vergleichung der beiden Formeln gibt das Resultat: cos (lx, l₂) = axa₂ + bxb₂ + cxc₂.

Die Bedingung dafür, daß die beiden Richtungen aufeinander senkrecht stehen, ist daher

(6)

^2 bx b₂ -j~ cxc₂ — 0.

4. Wir betrachten noch den Flächeninhalt A des Dreiecks (0, 1, 2) Wenn wir das Dreieck A auf die Koordinatenebenen projizieren, so erhalten wir die drei Projektionen AxX Ay, Az, und es ist nach § 57, 6.

2AX = rxr₂(bxc₂ cx b₂),

a)

2Ay = rxr₂(cxa₂-axc₂),

2AZ = rxr₂(axb₂ — bxa₂).

Diese Ausdrücke haben das positive oder negative Zeichen, je nachdem der Umlauf (0, 1, 2) in der Projektion ein positiver oder negativer ist.

Ax = A cos {n, x), Ay = A cos (n, y), Az = A cos (n, z),

Ziehen wir eine Normale n an die Ebene (0, 1, 2), und zwar in dem Sinne, daß 1, 2, n ein Rechtssystem bilden, falls das Koordinatensystem ein Rechtssystem ist, so ist, auch mit Rücksicht auf das Vorzeichen,

(8) wovon man sich überzeugen kann, wenn man das System 1, 2, n mit xyz oder mit yzx oder mit zxy zusammenfallen läßt. Daraus folgt aber:

(9)

a² = 4/ + 4² + 4²>

worin man eine Verallgemeinerung des Pythagoreischen Lehrsatzes erkennt. Bemerkenswert ist dabei, daß die Größen, von denen er handelt, nämlich die Quadrate von Flächen im dreidimensionalen Raume, keine anschauliche Bedeutung mehr haben, und daß also ein direkter geometrischer Beweis, nach Analogie des Pythagoreischen Satzes, nicht möglich ist.

Es ist aber nach der Trigonometrie (§ 31, (6)):

2z/ = rx r₂ sin (lx, l₂),

und wenn wir hier quadrieren und (7) und (9) benutzen, so folgt

(10) sin²^, l₂) = Q>x c2 ~~ ci h)² + (ci a2 — ai czf + (ai h ~ \ aä)²-

Da (lx, l₂) zwischen 0 und % liegt, so ist sin (lX} l₂) immer positiv. Durch Rechnung kann man diese Formel auch aus (5) ableiten.

5. Wir können hiernach die Aufgabe lösen, die Richtung n zu bestimmen, die auf den beiden Richtungen lx, l₂ senkrecht steht. Sind a, ß, y die Richtungskosinusse von n, so haben wir nach (6) und (4) die drei Bedingungen zu erfüllen:

(H)

ccax -f- ßbx -f- ycx = 0, aa₂ ßb₂ + yc₂ = 0, a² + ß² + y² = 1.

Aus den beiden ersten findet man die Verhältnisse a : ß : y (Bd. I, § 45)

[pxc₂ cxb₂) : (cx(i₂    (äxc₂j : (axb₂    bxd₂),

so

und wenn man einen Proportionalitätsfaktor nach (10) bestimmt ergibt sich aus der letzten Gleichung (11) mit Rücksicht auf (10):

(12)

a sin (lx, l₂) = bxc₂ — cxb₂, ß sin (l1} l₂) = cLa₂ — axc₂, y sin (l1} l₂) = axb₂ — bxa₂.

Das Vorzeichen in diesen Formeln ändert sich, wenn man lx mit l₂ vertauscht oder eine der drei Richtungen lx, l₂, n in die entgegengesetzte verwandelt. Um das Vorzeichen zu bestimmen, nehmen wir sin (lx, l₂) positiv. Lassen wir dann lx, l₂, n mit x, y, z zusammenfallen, so gibt die letzte der Formeln (12) die Identität 1 = 1, und es folgt also:

Die Formeln (12) sind richtig, wenn das System (lx,l.₂,n) mit (cc,y,s) gleichartig ist, also, bei unserer Annahme, wenn lx, l₂, n ein Rechtssystem ist.

6. Die Formeln, die wir hier abgeleitet haben, können unter anderem dazu verwandt werden, um die Grundformeln der sphärischen Trigonometrie auf analytischem Wege zu gewinnen. Wir wollen dies an dem Kosinussatze durchführen, aus dem, wie früher gezeigt, die übrigen Formeln abgeleitet werden können.

Wir betrachten eine dreiseitige körperliche Ecke mit den Kantenwinkeln a, b, c und den Flächenwinkeln cc, ß, y- alle diese Winkel seien kleiner als 7t. Die drei Kanten mögen mit lx, l₂, l₃ bezeichnet sein, und zwar so, daß (lX} l₂, l₃) ein Rechtssystem bilden. Wir errichten auf den drei Flächen die Normalen nx, n₂, «₃ in dem Sinne, daß auch (l₂, l₃, nx), (l₃, lx, n₂), (lx, l₂, n₃) Rechtssysteme bilden. Dann ist auch (nx, n₂, n₃) ein Rechtssystem.

Wir nehmen nun an:

lx habe die Richtungskosinusse ax, bx, cx,

b₂, c₂,

(l3> ^3? C3>

“x, ßi, 7x, /^2 : 72?

a3) ßä) 73 •

Aus den Formeln (12) ergibt    sich dann:

a₂ sin b = b₃c₁    — c₃bx,    a₃    sin c =    bxc₂ — cxb₂,

ß₂ sin b — c₃ax    — a₃cx,    ß₃    sin c =    cxa₂ — axc₂,

y₂ sin b = a₃bx    — b₃ax,    y₃    sin c ==    axb₂ — bxa₂,

und durch Multiplikation je zweier entsprechender dieser Formeln und Addition nach (5):

cos u sin b sin c = £(b₃cx — c₃bx)(bxc₂ — cxb₂),

worin das Summenzeichen auf der Rechten sich auf die drei Glieder

(axa₂ + bxb₂ + cxc₂) (axa₃ + bxb₃ + cxc₃) — (a₂% -j- b₂b₃ -f- ^2^3) (Pi +    + <u²),

und daher nach (4) und (5):

erstreckt, die man aus dem ersten durch zyklische Vertauschung der Buchstaben a, b, c erhält. Rechnet man diese Summe aus, so ergibt sich

cos u sin b sin c = cos b cos c — cos a.

Dies ist der sphärische Kosinussatz (§ 41).

§ 100. Gleichung der Ebene.

1. Eine Ebene ist vollständig und eindeutig bestimmt, wenn ihr senkrechter Abstand d vom Koordinatenanfangspunkte und die Winkel u, ß, y, die dieses Perpendikel mit den Achsen bildet, gegeben sind. Zwischen diesen Winkeln muß die Relation § 99, (4) bestehen.

Es sei nun außer dieser Ebene e ein Punkt P mit den Koordinaten x,y,z gegeben; es wird der senkrechte Abstand d dieses Punktes von der Ebene gesucht. Die Yerbindungslinie OP, deren Länge r sei, hat die Richtungskosinusse x/r, y fr, z/r (§ 99, (2)), und demnach ist nach § 99, (5):

(1)

r cos (ö, r) = x cos a -f y cos ß -f- z cos y.

Rechnen wir d positiv, wenn der Punkt P auf der entgegengesetzten Seite von e liegt, wie 0, so ist d + â = r cos (d, r), also:

(2)

d = x cos a -f y cos ß -f- z cos y — d.

Geht aber die Ebene e durch den Koordinatenanfangspunkt selbst, so setzen wir nach Willkür eine der beiden Seiten von e als die positive fest, und verstehen unter cos a, cos ß, cos y die Richtungskosinusse der nach der positiven Seite gerichteten Normale. Es ist dann d positiv, wenn P auf der positiven Seite von e liegt.

2. Wenn d = 0 ist, so liegt der Punkt P auf der Ebene e, und demnach ist

(3)

x cos a -f- y cos ß -f- z cos y — â = 0

die Gleichung der Ebene e, und zwar in der Normalform, und wir haben, ganz wie bei der Gleichung der Geraden in der Ebene, den Satz:

Setzt man in die Gleichung einer Ebene in der Normalform die Koordinaten eines Punktes P ein, so erhält man den senkrechten Abstand des Punktes P von der Ebene.

3. Durch Multiplikation der Gleichung (3) mit einem konstanten von Null verschiedenen Faktor erhält man die Gleichung der Ebene in der allgemeinen Form

(4)

ax -{- by + cz -f- d = 0,

und man zeigt ebenso wie in der Geometrie der Ebene (§ 58, 2.), daß jede Gleichung ersten Grades in x, y, z eine Ebene darstellt. Charakteristisch für die Normalform ist die Relation

a² + b² + c² = 1.

Eine andere besondere Form der Gleichung der Ebene, die sich nur dann nicht hersteilen läßt, wenn die Ebene durch den Koordinatenanfangspunkt geht, ist diese:

1 = 0.

Hier bedeuten a, b, c die Abschnitte, die die Ebene auf den Koordinatenachsen bestimmt

§ 101. Das Tetraedervolumen.

1. Es seien vier Punkte im Raume 0, 1, 2, 3 durch ihre Koordinaten gegeben. Es soll das Yolumen des Tetraeders ausgedrückt werden, dessen Ecken diese vier Punkte sind. Wir verlegen der Einfachheit halber den Punkt 0 in den Koordinatenanfgangspunkt und wählen die Bezeichnung so, daß 01, 02, 03 ein Rechtssjstem bilden. Ziehen wir dann die Normale n an die Ebene (012), so wie wir es im § 99, 4. vorausgesetzt haben, so liegt der Punkt 3 auf der positiven Seite dieser Ebene. Ist wie dort A die Oberfläche des Dreiecks

(1, 2, 3), und d das Perpendikel von 3 auf diese Ebene, so ist nach

§ 100, (2):

(1)

d — x₃ cos (nx) -f- y₃ cos (ny) -f- cos (nz),

und nach § 99, (7), (8):

2 A cos (nx) = y₁z₂ — y%zlf 2 A cos (ny) = zxx% — z₂xlf 2A cos (nz) = xxy₂ — x₂y₁ ;

nun ist das Tetraedervolumen T gleich -\dA, also nach (1) und (2): QT = x₂(yxz₂ — y₂z^) + y₃(ztx₂ -z₂xt) + zz(xxy₂ — x₂yx),

(2)

(3)

und dieser Ausdruck läßt sich nach Bd. I, § 44 als Determinante schreiben:

xi> y u

6T = I x₂, yt, z₂ ■

!    y 3 7 ^3

Das Vorzeichen ist hier richtig unter der Voraussetzung, daß (01), (02), (03) ein Rechtssystem bilden (wie das Koordinatensystem); andernfalls muß das Vorzeichen das entgegengesetzte sein.

(4)

2. Führt man statt der Koordinaten die Richtungskosinusse ein, setzt man also

und setzt

= rtaif iji =    = rfci}

I 7    ^17

I) =

t? I?

^2;

so folgt, wenn man den Satz über die Multiplikation der Determinanten voraussetzt, nach § 99, (4), (5):

1, cos (12), cos (13)

D² = cos (21),    1, cos (23)

j cos (31), cos (32),    1

= 1 — cos²(23) — cos²(31) — cos²(12) + 2 cos (23) cos (31) cos (12) und:

(5)

(6)

6T= r^r^r^D.

Hierin ist D dieselbe Größe, die wir in der sphärischen Trigonometrie als Eckensinus bezeichnet haben (§ 42).

3. Man kann das Tetraedervolumen, oder vielmehr sein Quadrat, durch die sechs Kanten des Tetraeders ausdrücken, und man erhält alle die Ausdrücke durch Anwendung einfacher Determinantensätze. Wir wollen die Kanten so bezeichnen:

ri = (01), r,-(02), r,-(03),

Qi = (²³),    = (³¹)> Ps = (12) •

Man hat dann nach dem Kosinussatze der ebenen Trigonometrie und nach § 99, (5)

9s² = ri + rł — %rir2 cos (12), xxx₂ + yxyt + "i= >\r₂ cos (12) =    + V— î»₃²);

und analog die übrigen Ausdrücke.

Also wenn man die Determinante (4) ins Quadrat erhebt und jede Reihe mit 2 multipliziert:

W,

(7)    288 T² = V + W’-Ps²,

Setzt man T — 0, so bekommt man die Beziehung zwischen den sechs Abständen von vier Punkten einer Ebene (§ 32, 2.).

Wenn man der Determinante (7) eine 4te und 5te Vertikalreihe

2r₂²,

>h² + *y-V

V + V-Pi² •

2r₃²

rx ²

rł 0

und eine 4te und 5te Horizontalreihe

fco

t-h O

hinzufügt, so ändert sich der Wert der Determinante nicht. Man kann ihn aber dann durch Anwendung des Satzes, nach dem man eine Reihe von einer anderen subtrahieren darf, ohne den Wert der Determinante zu ändern, die symmetrische Form geben:

Pl²

² P₂² H² 1

V 1

288P² = I

(8)

²    0    r₃²    1    •

² r² 0    1

1 1 10 ln dieser Form ist keine der Ecken vor den anderen bevorzugt.

§ 102. Flächen zweiten Grades.

1.    Sind a, b, c die Koordinaten eines festen Punktes P₀, und x, y, 2 die eines veränderlichen Punktes P, ist ferner r eine gegebene Länge, so drückt die Gleichung

(1)

Ji = (x — a)² + (y — b)² + (2 — c)² — r² = 0

die Bedingung aus, daß der Punkt P von P₀ die konstante Entfernung r haben soll, und ist also die Gleichung einer Kugelfläche mit dem Mittelpunkte P₀ und dem Radius r.

Entwickelt lautet die Gleichung so:

(2) x² -f- y² -f z² — 2ax — 2by — 2c2 -f a² -f b² + c² — r² = 0.

Sie ist also in bezug auf x, y, 2 vom zweiten Grade, und die Kugel gehört zu den Flächen zweiten Grades.

Umgekehrt stellt jede Gleichung zweiten Grades, in der die Glieder zweiter Ordnung nur in der Verbindung x² -f y¹ + 2² Vorkommen, eine Kugel dar. Diese Kugel kann allerdings auch imaginär sein, wenn r² in (1) einen negativen Wert haben sollte. Für r — 0 ergibt sich die „Punktkugel“.

2.    Setzen wir in Ji für x, y, 2 die Koordinaten eines Punktes P ein, der nicht auf der Kugelfläche liegt und vom Kugelmittelpunkte die Entfernung p hat, so ergibt sich

li = p² — r² == (p — r) (p fl- r),

und dies ist die Potenz des Punktes P in bezug auf die Kugel Ł Hieran knüpfen sich ähnliche Betrachtungen wie beim Kreise in der Ebene, worauf wir hier nicht näher eingehen.

3.    Jede Gleichung zweiten Grades von der Form

A (x² -f y- -f z²') -j- Bx -f Cy + Dz + E = 0

stellt eine Kugel dar, außer wenn A = 0 ist. In diesem Falle artet die Kugel in eine Ebene aus. Lage und Größe der Kugel hängen ab von den Verhältnissen der fünf Größen A, JB₇ C, D, E, und man kann also eine Kugel durch vier gegebene Punkte legen.

4. Sind Ti und Ti' zwei Ausdrücke von der Form (1), so ist Ti — Ti = 0 die Gleichung einer Ebene. Sie heißt die Potenzebene der beiden Kugeln. Ist l ein unbestimmter Parameter, so stellt die Gleichung

(3)

k - Mi = 0

ein Kugelbüschel dar. Alle Kugeln des Büschels haben dieselbe Potenzebene und gehen, wenn sie sich überhaupt in reellen Punkten schneiden, durch einen und denselben Kreis. Dieser Kreis kann in einen Punkt ausarten. Dann berühren sich die Kugeln des Büschels in diesem Punkte.

Nehmen wir einen dritten Ausdruck k" hinzu, der nicht dem Büschel (3) angehört, und bezeichnen mit y einen zweiten unbestimmten Parameter, so ist

k + Mi + yk" = 0

(4)

die Gleichung eines Kugelbündels. Die drei Kugeln k, k', Ti" schneiden sich in zwei Punkten, die reell oder imaginär oder zusammenfallend sein können. Alle Kugeln des Bündels gehen durch dieselben zwei Punkte. Ebenso ist

(5)

k + Mi + iil" + vTi" = 0

die Gleichung eines Kugelgebüsches. Ein spezieller Fall ist der, daß k, Ti, Ti", Ti" einen gemeinsamen Punkt haben. Durch diesen gehen dann alle Kugeln des Gebüsches.

Nimmt man einen fünften Ausdruck Ti"" und einen Parameter g hinzu, so ergibt sich eine Gleichung:

Ti + Mi + yk" + vTi" 4 gli"" = 0, in der jede beliebige Kugel enthalten ist.

5. Die Kugel ist ein spezieller Fall der Flächen zweiten Grades. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades F{x,y,z) = 0 enthält die zehn Glieder:

(6)

æ², y\ Z², yz, ZX, xy, x, y, s, 1,

jedes mit einem Koeffizienten multipliziert. Diese Koeffizienten lassen sich aus linearen Gleichungen so bestimmen, daß die Fläche durch neun gegebene Punkte geht, und diese Bestimmung ist, wenn die Punkte keine besondere Lage haben, eindeutig.

6.    Enthält die Gleichung F(x, y, z) = 0 nur die Glieder x², y², z², yz, zx, xy, so heißt sie homogen. Ist eine solche Gleichung für irgend einen Punkt x, y, z erfüllt, so bleibt sie richtig, wenn x, y, z durch hx, hy, hz ersetzt werden, wo h beliebig ist. Sie bleibt also richtig für alle Punkte einer Geraden, die durch den Nullpunkt und durch den Punkt x, y, z geht, d. h. diese Gerade liegt ihrer ganzen Ausdehnung nach auf der Fläche. Die Fläche ist eine Kegelfläche.

7.    Wir müssen uns hier darauf beschränken, die Normalformen der Gleichungen zweiten Grades anzugeben, auf die man geführt wird, wenn man dem Koordinatensystem eine besondere Lage gegen die Fläche gibt.

y-

x-

1)

Ellipsoid: —₂ + -f = 1.

Die Fläche wird durch die Koordinatenebenen in acht symmetrische und kongruente Teile geteilt. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt der Fläche, d. h. jede Sehne, die durch diesen Punkt geht, wird in ihm halbiert.

Die Koordinatenachsen heißen die Hauptachsen, die Koordinatenebenen die Hauptebenen der Fläche.

Jede Hauptehene schneidet die Fläche in einer Ellipse, und die halben Hauptachsen dieser Ellipsen sind b, c; c, a-, a, b.

Die Strecken a, b, c heißen auch die Halbachsen der Fläche (2 a, 2b, 2 c die Achsen).

2)

x²

ö²

y-

= 1.

b² c²

Einschaliges Hyperboloid. Die Fläche wird von den Ebenen x = 0, y = 0 in Hyperbeln, von z = 0 in einer Ellipse geschnitten.

z²

3)

= 1.

x-

a² b² "H c²

Zweischaliges Hyperboloid. Die Fläche wird von x == 0, y = 0 in Hyperbeln, von z = 0 aber gar nicht geschnitten. Diese drei Flächen sind die Mittelpunktsflächen zweiten Grades.

Als besondere Fälle, die geeignet sind, ein anschauliches Bild dieser Flächen zu gehen, bemerke man die Rotationsflächen, die der Annahme a — b entsprechen. Man kann zweierlei Rotationsellipsoide unterscheiden, von denen das eme, das abgeplattete, durch Umdrehung einer Ellipse um die kleine Achse, das andere, das verlängerte oder eiförmige, durch Umdrehung um die große Achse entsteht. Die beiden Rotationshyperboloide entstehen durch Umdrehung einer Hyperbel um jede der beiden Achsen. Das eine ist eine zusammenhängende kelchartige Fläche, das andere besteht aus zwei getrennten schalenartigen Teilen.

Modelle würden hier zur Ausbildung der Vorstellung gute Dienste

leisten.

8. Außer diesen Mittelpunktsflächen hat man noch zwei Arten von Flächen, die keinen Mittelpunkt haben, deren Gleichungen folgende Form gegeben werden kann:

4)

z x² y²

c    a² ' b²

erstes oder elliptisches Paraboloid,

X-a² b²

zweites oder windschiefes (hyperbolisches) Paraboloid.

Das erste geht in eine Rotationsfläche über, wenn a = b ist. Es entsteht durch Umdrehung einer Parabel um ihre Achse und hat eine schalenförmige Gestalt.

Die zweite Art enthält keine Rotationsflächen.

9. Die Fläche 5) ist eine Regelfläche, d. h. sie kann durch Bewegung einer Geraden erzeugt werden, und zwar auf zwei Arten. Setzen wir sie nämlich in die Form

(?)

£ = (X 1\(± _ Ä]

c \a ' b / \ a b)

und setzen, indem wir unter X einen Parameter verstehen,

(8)

7-*(T + łh

so ist die Gleichung (7) identisch befriedigt.

Es stellt aber jede der Gleichungen (8) für ein konstantes X eine Ebene dar, und ihr Zusammenbestehen bedeutet also die Schnittlinie dieser Ebenen. Jede dieser Geraden liegt also ihrer ganzen Ausdehnung nach auf der Fläche.

Die zweite Schar von Geraden, die auf der Fläche liegen, erhält man durch die Gleichungen

05

i-

Ebenso kann das einschalige Hyperboloid 2) auf zwei Arten durch gerade Linien erzeugt werden. Denn seine Gleichung ist bei jeder der beiden Annahmen

bei unbestimmten Werten des Parameters Â befriedigt.

Vertauscht man in diesen Gleichungen x und y, so erhält man eine neue Darstellung, aber keine anderen Geraden.

§ 103. Fläche der Ellipse und Volumen des Ellipsoids.

1. Es sei eine Ellipse mit der Gleichung

x-

(11)

ł + T-H¹

Cr-

(1)

gegeben. Wir umschreiben dieser Ellipse einen Kreis mit dem Radius a, dessen Gleichung, wenn Y die Ordinate des Kreises ist, die Form hat

(2)

ct-

= 1.

Konstruieren wir bei der Abszisse x zwei Rechtecke mit der gemeinschaftlichen Basis /J und mit den Höhen y und Y, so verhalten sich die Flächen dieser Rechtecke wie y : Y.

Fig. 251.

Es ergibt sich aber aus (1) und (2) :

y :Y=b : a

also ist das Verhältnis dieser Rechtecke von x unabhängig.

Teilt man also die Ellipse und den Kreis in unendlich viele Rechtecke dieser Art, so folgt, daß die Fläche der Ellipse zur Fläche des Kreises ebenfalls im Verhältnis b : a steht. Die Fläche dieses Kreises ist aber jra², und folglich ist die Fläche der Ellipse

(3)

7tab.

2. Hiernach können wir leicht durch Anwendung des Cavalieri-schen Prinzips den Rauminhalt des Ellipsoids finden, dessen Gleichung wir in der Form annehmen:

(4)

b-

= 1.

Schneiden wir diese Fläche durch eine Ebene parallel zur yz-Ebene, wo also x einen konstanten Wert hat, so ist die Schnittkurve eine Ellipse, deren Gleichung in einem ebenen Koordinatensystem yz diese ist:

(5)

und um den Inhalt dieser Fläche zu finden, haben wir also in (2) a, b zu ersetzen durch

tj/l

X²

cj/l

Xs

Der Inhalt ist daher

und ist also eine Funktion 2ten Grades von x. Da die Höhe des Körpers zwischen den beiden Werten x = + a gleich 2 a ist, so ergibt sich, wenn man in § 90, (13)

h = 2 a, == z/₂ = 0, ztm = 7tbc

setzt:

(5)

Volumen des Ellipsoids = ^7tc^c.

Für a = b = c gibt dieser Ausdruck das Volumen der Kugel.

Alphabetisches Eegister.

Die Zahlen geben die Seiten an.

Abbildung, siebe Inversion, Kollineation. ! Axiome —, konforme oder winkeltreue 64. 345. !

Abel 268.

Abelscbe Gruppe 401. absoluter Raum, abs. Zeit 123.

Abstand, kürzester, zweier Geraden 535.

Achsen, der Drehungen 560.

—, — Ellipse 467.

Additionstheoreme der trig. Funktionen 316 ff.

Adrianus Metius 275.

—    Romanus 275. affine Verwandtschaft 527.

Affinität 65. 119.

Ägypter 5.

Ähnlichkeit 127. 241 ff.

—    bei ähnlicher Lage 242.

Ähnlichkeitsachsen 289. 460 ff.

Ähnlichkeitspunkt 242.

—    zweier Kreise 286. 460 ff.

Ähnlichkeitssätze 247. algebraische Relationen der trig. Funktionen 313 ff.

Ampère 532.

Analysis situs 32. 570 f. analytische Geometrie der Ebene 441.

—    — des Raumes 574.

—    Sphärik 519.

—    Urteile 136.

Anordnung 35. 56. 87. 155. 531.

Anschauung 124 ff. 227. 253.

Apollonius 7. 250. 468.

—, Problem des 291.

—, Satz des 507.

Approximationsgeometrie 31 ff. 129. a priori 136 ff.

Äquatorialebene 577. äquivalente sphärische Dreiecke 383.

Araber 7.

Archimedes 7. 12. 63. 272. 274. 542.

Art einer Achse 564.

Aryabhatta 275.

assoziierte Punkte einer F² 108.

Asymptote 480 ff.

asymptotische Parallelen in der hyp. Geometrie 59.

—    Richtung 468. 471. 481 ff.

Auflösung des sphär. Dreiecks 414 ff.

Autolykos 268.

Axiome

d. Anordnung 35. 56. 152 ff. 230.

—    Archimedes 63. 78.

—    Euklid 6.

—    Kongruenz 14 ff. 229.

—    Leibniz 231.

d. Parallelen 6 ff. 57 ff. 94. 228. projekt. Geom. 154. Verknüpfung 34. 56. 152 ff.

Babylonier 268.

Beltrami 8. 61.

Bernoulli, Joh. 8.

Berührung von Kreisen 290 ff. 460.

—--zweiter, dritter Ordnung 509.

Berührungspunkt, projektiv definiert 183. Bessel 123.

Bewegung 14 ff. 135. 142.

Bibel 273.

Bogenmaß (des Winkels) 308.

Bolyai 8. 60. 138. v. Braunmühl 305. 381. 406.

J Brennpunkt 296. 465. 502.

I Brianchon, Satz des 186.

Brocardsche Punkte 332.

Brückner 572.

Cantor, M. 260. 268. 305.

Cardanische Formel 322.

Cartesische Koordinaten 442. 574. Cavalierisches Prinzip 547 ff. CayleyscheMaßbestimmung71.152.215ff. Ceva, Satz des 455.

Christoffel 115.

Clebsch, A. 153.

Clifford 115.

Cohen 137. 149.

Davis 140.

Dedekind 161. 170. 211.

Defekt, sphärischer 420.

Definitionen bei Euklid 6. 13. 22.

—    — Hilbert 116.

Dehn 63. 542.

Delambresche Formeln 374 ff. 418. Desargues, Satz von 55.103.113.161. 452. Descartes 254. 441.

diametrales Schneiden bei Kreisen 41. 46. Diametralkreis 52.

Dieder 569.

—    -Drehung 567.

Direktrix der Parabel 472. Diskriminante der Kegelschnittgleichung

481. 489.

—    des Kegelschnittes 491.

Dobriner 255.

Dodekaeder 572.

--Drehung 568.

doppelt berührende Kegelschnitte 508. Doppelpyramidendrehung 567. Doppelverhältnis 79. 213.

Flächenvergleichung 254 ff. Flächenwinkel 532.

Drehung eines Strahls 307. 442. Drehungen, Drehungsgruppen 560 ff. Dreibein 531.

— der körperlichen Ecke 536.

Dreieck, analytisch 451 ff.    — eines Dreikants 341.

erster Ordnung 361 ff. 381. zweiter Ordnung 373 ff. Fundamentalsatz d. projekt. Geom. 178.

211 (Anm.).

Funktionale 106.

Dreiecksbegriff in der sphär. Trig, nach Formeln, trigonometrische

—    Euler 341.

—    Möbius 346 ff. 384.

—    Gauß-Study 381 ff.

—    Study 398.

Funktionen, trigonom. 304.

—    Schilling 399.

Dreiecksberechnung

—    ebenes Dr. 282 ff. 323 ff.

Galoissche Gruppen 114.

Gauß 8. 123. 268. 330. 374. 406. Gegenecke 537.

Geminus 7.

Geometrie

—    analytische 83 ff. (formal). 441 ff. 574ff.

—    der Lage 197.

—    elliptische 57 ff. 60. 99.

—    Euklidische = parabolische 33 ff. 60.

—    hyperbolische 8. 57 ff. 60.

—    natürliche 22 ff. 28 ff.

—    Nichteuklidische 60.

—    projektive 152 ff. geordnete Beziehung 175.

Gerade

—    empirisch 11. 23. 26.

—    ihre Gleichung 446 ff.

—    Parameterdarstellung 86.

—    im Raume 528.

Geschichte der Geometrie 5—7.

--Zahl 7t 273 ff.

geschlossen 254.

gewöhnliche sphär. Dreiecke 351. Gleichheit s. Kongruenz.

Gleichung der Ebene 581 f.

—    — Ellipse u. Hyperbel 468.

—    — sphär. Ellipse u. Hyperbel 523. --Flächen II. Grades 585 ff.

—    — Geraden 446.

—    des Kreises 456.

—    der Kugelgeraden 521.

—    — Parabel 473. goldener Schnitt 266.

Goniometrie 306 ff. goniometrische Formeln 316 ff.

Grad einer Achse 566.

--Funktion 477.

Gradeinteilung des Winkels 268. Grenzprozeß 133.

Griechen 5.

Großmann 217.

Grundbegriffe :

—    Kritik des Empirismus § 2. § 3.

—    idealistisch § 14.

j — nominalistisch 28.

—    sphärisches Dr. 414 ff. 420 ff.

Dreikant, projizierendes 341. dreipunktige Berührung 509.

Dualität 172 ff.

Durchmesser der Ellipse 467.

Ebene

—    empirisch 12. 23.

—    projektiv 154.

—    im Raume 528.

--—, Gleichung der 581 f.

ebene Trigonometrie 303.

Ecken, körperliche 536.

Eckensinus 366. 584. eigentliche sphär. Dr. 381. 384. 394. einfach geschlossen 254.

—    und mehrfach zusammenhängend 570.

Ellipse 296 ff. 465 ff.

—, Fläche der 589.

—, Gleichung der 468.

—    sphärische 521.

—    , Tangenten der 495 ff.

Ellipsoid 587. 589.

Empirismus 9 ff. 124 ff. 221 ff. enantiothetisch 156.

„Enden“ einer hyperb. Geraden 72. 79. endliche Drehungsgruppen 563 ff.

Enriques 171.

Erkenntnistheorie 109 ff.

Euklid (s. auch Geometrie) 6. 132. 238.

Euklidausgaben 7.

Euler 277. 341.

Eulerscher Polyedersatz 569 ff.

Evolute der Ellipse 513. 519. existent 14.

Existenz von Inhaltszahlen 554.

Exzentrizität, lineare u. numer. 467. 470.

Fermat 441.

Fläche, empirisch 10 ff.

—    U. Ordnung (Grades) 107 ff. 585 ff.

Flächeninhalt, allgemein 254 ff. •

—    der Ellipse 589.

—    des ebenen Dreiecks 285. 324.

—    — sphär. Dr. 432.

—    — Vierecks 328.

13.

—    — Vielecks (trigonometrisch) 336.338. j— Zulässigkeit §

—- gekrümmter Flächen 555 ff.    j Grundformeln der Trigonometrie 313 ff.

Grundgebilde der Geom. d. Raumes 528. j Kegel, Gleichung des 587. Grundpunkte eines eil. Kreisbüschels 48. —, Inhalt des 553.

— — Kegelschnittbüschels 508.    Kegelschnitte 109.

Gruppentheorie in der sphär. Trig. 399 ff. —, analytisch 465 ff.

Halbachsen der Ellipse 467.

—    des Ellipsoids 587. harmonische Lage 167.

—    Punktepaare 167. 456.

Hauptachsen der Ellipse 467.

—    des Ellipsoids 587.

Hauptrichtungen der Kegelschnitte 489. Helmholtz 8. 224.

hemiedrische Achsen 564.

Hermite 278.

Heron 7. 274.

Heronische Inhaltsformel 285.

Hertz 135.

Hesse 441.

Hexaeder 572.

Hilbert 15. 72. 111. 116. 149. 229 ff. Höhenpunkt 251. 452. holoedrische Achsen 564.

Hübner 305. 527.

Huygens 276. 279.

Hyperbel 296. 467 ff.

—, gleichseitige 495.

—, sphärische 521. hyperbolische Geometrie 8. 57 ff. 60. Hyperboloid 587.

Hypothese 149.

Hypsikles 268.

Ideale Punkte in der hyp. Geom. 58. ideales Zentrum eines hyp. Kreises 70. Idealismus 16. 22. § 14.

Ikosaeder 572.

—    -Drehung 568.

Inder 275.

Index eines sphär. Dreiecks 352.

Inhalt s. Flächen-, Rauminhalt.

—    eines sphär. Dreiecks 432.

—, rationeller 434. inhaltsgleich 255. inhaltsgleiche Körper 542.

Inhaltsmaß 260. 542.

Inhaltszahlen, Existenz der 542. 554. Inkommensurabilität 244.

Invarianz d. Doppelverhältnisses 79. 213. Inversion 37 ff. 54. 64. 286. 345.

Inversor 66.

Inzidenz 116. 121. 154. isothetisch 156.

; —, elementar 293 ff.

—, projektiv 181 ff.

—, sphärische 521.

Kegelschnittbüschel 508.

Kewitsch, G. 269.

Klein, F. 8. 31. 33. 144. 385.

Kneser 253.

Köhler 198.

Kollineation 64. 119. 527.

—    auf der Kugel 527. Kommensurabilität 244.

! kommutative Gruppe 401.

Komplement 304.

Komposition s. Zusammensetzung Konfiguration 103.

Kongruenz

in der Ebene

—    analytisch (formal) 93.

—    empirisch 15 ff. 122 ff.

—    idealistisch 16. 36. 122 ff.

—    durch Symmetrie erzeugt 65

—    projektiv 198 ff.

—    im Raume 536 f.

—    von Kreisbogen 240. Kongruenzsätze 231. konjugierte Drehungen 562. 563.

— Durchmesser der Ellipse 503 ff.

— Halbmesser 507.

— Richtungen der Kegelschnitte 488. — Sehnen 503.

— Tetraeder 354.

Koordinaten,

—, polare, in der Ebene 443.

—, —, im Raume 576.

—, rechtwinklige, in der Ebene 441 ff. —, —, im Raume 575.

—, schiefwinklige 475 f. Koordinatentransformation 474 ff. Körper, von Zahlen 211. körperliche Ecke 536 ff.

Kosekante 305.

Kosinus 304. 305 (Anm.).

Kosinussatz, ebener 92 (formal). 314. —, sphärischer 363 ff.

Kotangente 305.

Kreis 37 ff. 150. 269 ff. 282 ff. 293 ff.

—, Gleichung des 456.

Jahnke 109.

Kagan 542.

Kant 111 ff. 133 ff. 146. 254.

Kantenwinkel eines Dreikants 341.

— einer körperlichen Ecke 536.

Kegel, Fläche des 556.

Weber u. Wellstein, Encyklopädie. II. 2. Aufl.

—    der nichteukl. Geom. 67 ff. Kreisbogenpolygone 63. 359. Kreisbündel 51.

Kreisbüschel 48.

Kreismessung 269.

Kreisviereck 328. 331.

Krümmung 508 ff.

Krümmungskreis 508.

38

Krümmungsmaß 143. 509. Krümmungsmittelpunkt 509. Krümmungsradius 509.

Kugel, Gleichung der 585. Kugelbündel 53. 586.

Kugelbüschel 53. 586.

Kugelfläche 558 Kugelgebüsch 42 ff. 586. Kugelinhalt 553.

Kurven zweiten Grades 477.

Lagrange 149.

Lambert 8. 277. 406.

Lampe 280.

Länge einer Strecke 82. 89. Legendre 63.

—, Satz von 436.

Leibniz 33. 152. 230. 240. 254. 276. Leitlinie 297. 472.

Leonardo Pisano 275.

L’Huiliersche Formeln 419. L’Huilier-Serretsche Formeln 408 ff. Lie 8.

Liesche Gruppen 71. 114. Lindemann 153. 278. Linealkonstruktionen 18 ff. lineare Gleichung 447.

— Zahlenmenge 83 ff.

Linearität 102.

Linie 10 ff.

Linienpaar 494.

Linkssinn 350.

Linkssystem 354. 531.

Liouville 278.

Lobatschefski 8. 60.

Ludolf van Ceulen 275.

Ludolfsche Zahl 273 ff.

Mach 102.

Magener 83.

Mannigfaltigkeit, lineare 100. 106 f. Maßbestimmung s. Metrik.

Maßfeller 291.

math. Handbuch d. Ägypter 5. 274. Menelaos, Satz des 89. 455. Meridianebene 577.

Metageometrie 8. 28 ff.

Metrik 62. 73.

—, hyperbolische 78 ff. 216 ff.

—, parabolische 217 ff.

—, projektive 198 ff.

—    der Ähnlichkeitslehre 241 ff. Meyer, Fr. 330.

Milinowski 54.

Minkowski 542.

Mitte, Definition der 73.

Mittelpunkt der Ellipse 466.

—    — Hyperbel 468.

—    — Kurven H. Ordn. 491 ff. Mittelpunktsflächen H. Grades 587.

Möbius 346. 362.

Möbiussche Fläche 10.

Moivresche Formel 322.

Mollerup 231. 253.

Mollweidesche Gleichungen 326. Multiplikation des Winkels 319 ff.

Näherungsmathematik 31 ff. 129 ff. Natorp 133. 137. 152.

Nebenachse der Hyperbel 468. Nebengruppen 403.

Nepersche Analogien 369 ff. 381. 417. — Regel 373. 406.

Newton 123. 135. 230. nichteukl. Geometrie 60.

— Mechanik 140. 144.

Nikolaus von Cues 275.

Nikomachus 7.

Nitz, K. 129.

Nominalismus 28 ff.

Normale der Ellipse 497. Normalenproblem der Eli. 514 ff. Normale u. Normalebene im Raume 533. Normalform d. Gleichung einer Ebene 582.

— --einer Geraden 446.

—    — — eines Kreises 456. Nulldrehung 561.

Ökonomie des Denkens 102.

Oktaeder 572.

—    -Drehung 568.

Oktanten 574.

Ordnung einer Funktion 477.

—    trigonom. Formeln 361. 368 ff. orthogonal. Schneiden b. Kreisen 41.46.49. Orthogonalkreis 51. 464.

Oskulation 509.

Pappus 7.

Parabel 295 ff. 471 ff.

Paraboloid 588.

Parallelen s. auch Parallelismus.

—, asymptotische 59.

--Axiom 6 ff. 57 ff. 94.

--Begriff 12. 13. 228 ff.

Paralleiismus 99. 219. 228. Parallelogramm 257.

—    konjug. Durchmesser der Ellipse 504. Parallelogrammgesetz 139.

Parameter der Kegelschnitte 469. 470 f.

—    eines Büschels 451.

Pascal, Satz des 186.

Pasch 25. 55. 111.

Peano 231.

Peripheriewinkel 240.

Periodizität der trig. Funktionen 309. perspektiv 174.

physiologische Seite d. Raumprobl. 150 f. j pi, Zahl 7t 273 ff.

Planimetrie: Vierter Abschnitt 227 ff.

Plato 11. 23. 110. 126. 149. 227. 254. Pol, Polare bei Kegelschnitten 193f. 515.

—    auf der Kugel 355 ff.

Polardreieck, sphär. 360.

Polarisation, sphärische 360. Polarkoordinaten, ebene 443.

—, räumliche 576.

Poldistanz 577.

Poldreieck 219.

Polyedersatz von Euler 569.

Polygon s. Vieleck.

Polygonometrie 333 ff.

Postulat s. Axiom.

Potenz einer Inversion 37.

—    eines Kreises 42. 457.

—    einer Kugel 43. 585.

Potenzachse 44. 46. 462 ff.

Potenzebene 45.

Potenzzentrum 45. 46. 464.

Prismatoid 551.

Projektion, stereographische 342 ff. Projektionssatz, sphärischer 363. projektiv 175.

projektive Auffassung des Parallelismus 98 ff. 219. 228.

—    Geometrie 152 ff.

—    Metrik 198 ff.

Proklus 7.

psychologische Seite des Raumproblems 150 f.

Ptolemäus 275.

—, Satz des 330.

Punkt 9 ff. 26. 1.0 f.

—    rationaler 203.

Punktepaare eines Kreisbündels 51.

—    — Kugelgebüsches 54.

Punktkreis 50. 457.

Punktkugel 47. 585.

Pyramiden, Rauminhalt der 545 ff.

—    -Drehung 566.

Pythagoras 259.

Pythagoreischer Lehrsatz 249. 259.

juadranten 309.

Juadratur 269 ff.

Querschnitt 32.

Radius des Ankreises u. Inkreises 284.325.

—    — Umkreises 285. 315.

—    — — beim sphär. Dr. 430 ff. Rauminhalt 542 ff.

—    des Ellipsoids 589.

—    des Kegels 553.

—    des Körpers vom Querschnitt Q(x) 549.

—    der Kugel 553.

—    des Prismas 544.

—    des Prismatoids 551 f.

—    der Pyramide 545 ff.

—    des Zylinders 553.

Realität 141 f.

Rechtssinn 350.

Rechtssystem 354.

—    im Raume 531. rechtwinkl. sphär. Dr. 371. 414 ff.

—    Schneiden bei Kreisen 41. 46. 49. Regelflächen 552. 588.

reguläre Körper 560 ff. 571 ff.

—    Vielecke (Polyeder) 264 ff. 336 ff. Rektifikation 269. 279 f.

Réthy 255.

Reye, Th. 54. 108. 186. 192. 198. Richtung der krummen Linie 497. Richtungen im Raume 577. Richtungskosinus 578.

Riemann 8. 33. 60. 114.

Rudio 276.

Saccheri 8.

Säule 544.

Schärfe triogonom. Rechnungen 410 ff. Schatunovsky 542.

Scheitelecken 536.

Scheitelgleichung der Parabel 473. Scheitelpunkt der Ellipse 467.

—    — Hyperbel 468.

—    — Parabel 473.

Schilling 399.

Schnitt, Dedekindscher 170.

—, goldener 266.

Schnittpunkte von Geraden 449.

—    — — mit Kreisen 458.

—    von Kegelschnitten 485 ff.

—    zweier Kreise 459.

Schnittwinkel zweier Kreise 40. Schönemann 255.

Schönflies 399.

Schopenhauer 146.

Schraubung 531.

Schur, Fr. 72. 253.

Scljweikart 8.

Sehnen- u. Sekantensatz 285. Seitenmessung in der sphär. Trigonom. nach Euler 342.

—    — nach Möbius 347.

Sekante 305. 311.

Serretsche Formeln 419. Sexagesimalsystem 268 f. 275.

Simon, M. 151.

Sinus 304 ff. 305 (Anm.).

Sinussatz der ebenen Trig. 92. 313.

—    — sphär. Trig. 365 ff. 417.

Skala, projektive 201 ff.

Snellius 276.

Sommerfeld 144.

Sphärik 340.

—, analytische 519. sphär. Ellipse, Hyperbel 521.

—    Koordinaten 520.

—    Mittelpunkt, Radius 359.

sphär. Trigonometrie 410 ff.

uneigentliche Elemente 95. 98.

—    Kegelschnitte 482 ff.

—    sphär. Dreiecke 381. 384. 394. unendlich fern 125. 202.

Untergruppen 401.

Verdoppelung des Winkels 319. Verknüpfung, Axiome der 34. 56. 152 ff. I Verknüpfungsgesetze der 4 Spezies 204. Versinnlichung der hyperb. u. ellipt. Geometrie 54 ff.

—    — parabol. Geometrie 53 ff.

Vieleck, Berechnung 333 ff. 336 ff.

—, Grundformeln 333 ff.

—, reguläres 264. 336.

; —, sphärisches 359. 363.

Viereck, Vierseit 56. 162 ff. Vierecksberechnung 327 ff. vierpunktige Berührung 509.

Vieta 276. 281.

Volumen s. Rauminhalt.

Voß 135. 149.

280.

Spiegelung 63. 64.

Stäckel 8. 138. 144. stammverwandt 397.

Steiner 18. 109. stereograph. Projektion 342 ff. Stereometrie 528.

Stewartscher Satz 331.

Strahlenbüschel 451.

Strecke 88. 160.

Streckenmessung, der Ähnlichkeitslehre 241 ff.

—, hyperbolische 78 ff.

—, projektive 198 ff.

Streckenrechnung s. Streckenmessung. Streckensysteme 244 ff.

Study 115. 367. 370.

—, Satz von 385.

Stufe 100.

Substitutionen, lineare 382. 394 ff. Substitutionsgruppen 399.

Supplement 310.

! Wallis 276.

Weber, H. 106. 130. 403.

Weierstraß 9.

wesentlich verschied, sphär. Dreiecke 385. Widerspruchslosigkeit d. Axiome 98.128. windschiefe Gerade 529.

—    —, kürzester Abstand von 535. Winkel 90 (formal). 221. 303 ff. 307.

—    in der sphär. Trig. 341. 347. 352. 384.

—    sich schneidender Kreise 40.

—    zwischen Ebenen u. Geraden 532 ff. Winkelmaß 307.

Sylvester 115. symbolische Multiplikation der Drehungen 561.

—    von Substitutionen 393.

Symmetrie 24. 64. 231. synthet. Geometrie 441.

—    Urteile 136.

Tangente, an Kegelschnitte 479 ff.

—, — sphär. Kurven 525.

—, der Ellipse 495 ff.

—, geometrische 183.

—, trigonometrische 305. 311. 319.

-—■ u. Normale an die Eil. aus gegebenem { Winkelmessung 268

Punkte 514 ff    Winkelsumme l. ebenen Dr. 60 ff. 93. 233.

Tangentensatz, ebener 326.    Winkelsumme im sphär. Dr. 433 f.

—, sphärischer 370.    Winkeltreue der Inversion 40.

Teiler einer Gruppe 401.    Würfeldrehung 568.

Teilung des Kremes 264 ff    ' Zahl * ₂₇₃ ff.

-    - ]Vmrkiÿ ³¹⁹    Zahlbegriff 230.

Tetraeder 572    Zahlenmenge 83.

-, konjugiertes 354.    Zahlensystem 268.

-    re ung ■    Zähligkeit einer Achse 565.

-    -VoWn 688 ff    : Zahlkörper 211.

Thaies von Milet 240.    Zahlwörter 269.

îeon .    Zentrale zweier Eireise 461.

Transzendenz von * 278.    zerfallende Kegelschnitte 482 ff.

trigonometrische Funktionen 304.    zerlegungsgleiche Körper    542.

—    — spezieller Winkel 312. 313.    Zerlegungsgleichheit der Flächen 255.

-Limen 31 i.    ; Zeuthen 300.

Tripelverhaltms 86.    Zusammenhang 33.    254.    570.

Typus eines sphär Dreiecks    Zusammensetzung von Drehungen 561.

nach Gauß-Study 382.    I--Substitutionen 393. 400

-    Möbius 352.    .    ; zwischen 26. 35. 87.

Übergangsformeln der sphär. Trig. 413. ! Zykliden 101.

Umfang des Dreiecks 323 ff.    ; zyklische Drehung 563.

—    regulärer Vielecke 336 ff.    Î Zylinderfläche 547. 556. 559.

Beye, Th., synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme. Richter, 0., die bizirkulare Kurve vierter Ordnung.

Schroeter,H., Theorie der Oberflächen 2. Ordn. u. Raumkurven 3. Ordn. - Theorie der ebenen Kurven 3. Ordnung.

- Grundzüge einer rein geometr. Theorie der Raumkurven 4. 0. 1. Sp.

Steiner, J., Vorlesungen über synthetische Geometrie, bearbeitet von Geiser und Schroeter.

Sturm, R., die Gebilde 1. und 2. Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlung.

- synthetische Untersuchungen über Flächen 3. Ordnung.

- die kubische Raumkurve.

Thomae, J., Untersuchungen über zwei zweideutige Verwandtschaften. Treutlein und Henrici, siehe: Henri ci und Treutlein.

Weyer, E., Einführung in die neuere konstruierende Geometrie.

Weyr,- E., Theorie der mehrdeutigen geometrischen Elementargebilde. — Geometrie der räumlichen Erzeugnisse 1—2deutiger Gebilde. Witzschel, B., Grundlinien der neueren Geometrie.

5. Topologie (Gestaltenlehre) und Kristallographie.

Brückner, M., Vielecke und Vielflache; Theorie und Geschichte. Dingeldey, F., topologische Studien usw.

Eberhard, V., die Grundgebilde der ebenen Geometrie.

- zur Morphologie der Polyeder.

Naumann, F., über die Rationalität der Tangentenverhältnisse. Schoenflies, A., Kristallsysteme und Kristallstruktur.

Sohncke, L., Entwickelung einer Theorie der Kristallstruktur. Wiener, C., Vielecke und Vielflache.

6. Abzählende Geometrie.

Schubert, H., Kalkül der abzählenden Geometrie.

Zeuthen, H., die abzählenden Methoden der Geometrie.

7. Geometrie der Bewegung.

(Kinematik.)

Abdank-Abakanowicz, B., die Integraphen, deutsch von Bitterli. Dingeldey, F., Erzeugung von Kurven 4. Ordnung durch Bewegungsmechanismen.

Schell, W., Theorie der Bewegung und der Kräfte. I. Band. Schoenflies, A., Geometrie der Bewegung.

Somoff, J., theoretische Mechanik, deutsch von Ziwet. I. Band.

II. Analytische Geometrie (Koordinatengeometrie) und Differentialgeometrie (Flächentheorie).

1. Analytische Geometrie der Ebene

(Kegelschnitte und höhere ebene Kurven.)

Benter,E., Untersuchungen über Tangentialkegel und die Kurven 2. Gr. Clebsch, A., Vorlesungen über Geometrie. I. Band, bearb. von Lindemann.

Kurven 4. 0. durch Bewegungsmechanismen.

Dingeldey, F., Erzeug, von

- topologische Studien usw.

Duré ge, H., die ebenen Kurven 3. Ordnung.

Ebner, A., Leitfaden der technisch wichtigen Kurven.

Fiedler, W., die Elemente der neueren Geometrie und die Algebra der binären Formen.

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F ort, O., u. O. Schlö milch, Lehrbuch der analytischen Geometrie. I. Teil. Ganter, H., u. F. Rudio, Elemente der analytischen Geometrie der Ebene. Graefe, F., Vorlesungen über die Theorie der Quaternionen.

-Aufgaben und Lehrsätze aus der analyschen Geometrie der Ebene.

- - Auflösungen und Beweise dazu.

Gundelfinger, S., analytische Geometrie der Kegelschnitte, v. Dinegeldy. Heffter, L., und C. Koehler, Einführendes Lehrbuch der analytischen Geometrie in systematischer Darstellung.

Hesse,0., 7 Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der Kegelschnitte.

-Vorlesgn. aus der anal. Geom. der Geraden, des Punktes u. d. Kreises.

—- 4 Vorlesungen aus der analytischen Geometrie.

Hochheim, A., Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene. Klein, F., Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie. Kohn, G., rationale Kurven.

Loria,'G., die hauptsächl. Theorien der Geometrie in ihrer Entwickelung.

--spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven; Theorie

und Geschichte.

Muth, P., geometrische Anwendungen der Invariantentheorie.

Reichel, 0., Vorstufen der höheren Analysis und analytischen Geometrie. Rudio und Ganter, siehe: Ganter und Rudio.

Runge, C., Lehrbuch der analytischen Geometrie.

Salmon, G., analytische Geometrie der Kegelschnitte, bearb. von Fiedler.

- analytische Geometrie der höheren ebenen Kurven, bearb. v. Fiedler.

Sau erb eck, P., Einleitung in die analytische Geometrie der höheren algebraischen Kurven.

Schlömilch und Fort, siehe: Fort und Schlömilch.

Schwering, K., Theorie und Anwendung der Linienkoordinaten. Servus, H., die analytische Geometrie der Ebene.

Staude, 0., analyt. Geometrie des Punktes, der geraden Linie u. der Ebene. Thaer, A., Bestimmung von Gestalt und Lage eines Kegelschnittes aus einer Gleichung zweiter Ordnung ohne Koordinaten-Transformation. Thomae, J., Grundriß der analytischen Geometrie.

Weber, H., und J. Wellstein, Enzyklopädie der Elementar-Geometrie. Weinnoldt, E., Leitfaden der analytischen Geometrie.

Weißenborn, H., Grundzüge der analytischen Geometrie der Ebene. Wilczyński, Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces.

2. Analytische Geometrie des Raumes.

(Flächen 2. und höheren Grades, algebi-aische Raumkurven und Flächen.)

Benter, C., Untersuchungen über Tangentialkegel und die Kurven 2. Gr. Castelnuovo,G., und F. Enriques, Theorie der algebraischer Flächen. Clebsch, A.,Vorlesungen über Geometrie. II. Band, bearb. v. Lindemann. Eseherich, G. v., Einleitung in die analytische Geometrie des Raumes. Fort,0.,undO. Schlömilch,Lehrbuch der analytischen Geometrie. II.TI. Graefe, F., Aufgaben u. Lehrsätze aus der analyt. Geometrie des Raumes. - - Auflösungen und Beweise dazu.

Heffter, L., und C. Koehler, Lehrbuch der analytischen Geometrie. Hesse, 0., Vorlesgn. üb. analyt. Geometrie d. Raumes, rev. v. Gundelfinger. Klein, F., höhere Geometrie I.

Möbius, F., über die Grundformen der Linien der dritten Ordnung.

- die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometr. Darstellung.

Reye, T., Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme.

Rohn, K., die Flächen vierter Ordnung.

Rudio, F., die Elemente der analytischen Geometrie des Raumes. Salmon, G., analytische Geometrie des Raumes, bearbeitet von Fiedler. Schlömilch und Fort, siehe: Fort und Schlömilch.

Segre, C., Vorlesungen über algebraische Geometrie.

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Staude, 0., die Fokaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung.

- Flächen erster Ordnung, ihre Systeme und Durchdringungskurven.

Thomae, J., Grundriß der analytischen Geometrie.

3. Liniengeometrie, analytisch behandelt.

(Strahlensysteme u. -komplexe.)

Clebsch, A., Vorlesgn über Geometrie. II. Bd., bearbeit, von Lindemann. Heffter, L., und C. Koehler, Lehrbuch der analytischen Geometrie. Hesse, 0., 4 Vorlesungen aus der analytischen Geometrie.

Lie, S., Geometrie der Berührungstransformationen, bearb. v. Scheffers. Plücker, J., neue Geometrie des Raumes, herausgegeben von Clebsch und Klein.

- mathematische Abhandlungen, herausgeg. v. Schoenflies.

Schwering, K., Theorie und Anwendung der Linienkoordinaten. Sturm, R., die Gebilde 1.' und 2. Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlung.

4. Differentialgeometrie (Flächentheorie und Kurventheorie).

Bianchi, L., Vorlesungen über Differentialgeometrie.

Bolke, G., die Komplementärflächen der pseudo-sphärischen Rotationsflächen.

C e s ar o, E., Vorlesungen über natürliche Geometrie, deutsch v. Kowalewski. Joachimsthal, F., Anwendung der Differential- und Integral-Rechnung auf Flächentheorie.

Klein, F., höhere Geometrie H.

Knoblauch, J., Einleit, in die allgemeine Theorie der krummen Flächen.

- Differentialgeometrie.

Lilienthal, R. v., Differentialgeometrie.

- Grundlagen einer Krümmungslehre der Kurvenscharen.

Schell, W., Kurven doppelter Krümmung.

Stäckel, P, Differentialgeometrie höherer Mannigfaltigkeiten.

Stahl, H., und V. Kommereil, Grundformeln der Flächentheorie.

Voß, A., Abbildung und Abwickelung der krummen Flächen. Wilczinski, E. J., Projective Differential Geometry of Curves.

5. Allgemeine Mannigfaltigkeitslehre.

Graßmann, H., gesammelte Werke. Band I.

Killing, W., die nicht-Euklidischen Raumformen.

Schlegel, V., System der Raumlehre.

Schoenflies, A., die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten.

6. Konforme Abbildung.

(Isogonale Verwandtschaft — siehe auch unter „Funktionentheorie“.)

Holzmüller, G., Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften.

- Durchführung einer isogonalen Verwandtschaft, repräsentiert

durch eine gebrochene Funktion 2. Grades.

- einige Aufgaben der darstellenden Geometrie und der Kartographie.

7. Kartenprojektionen.

Herz, N., Lehrbuch der Landkartenprojektionen.

Holzmüller, G., Aufgaben d. darstellenden Geometrie u. d. Kartographie. Schulze, B., das militärische Aufnehmen.

Stavenhagen, W., die geschichtliche Entwickelung des preußischen Militärkartenwesens.

Zondervan, H., allgemeine Kartenkunde.

Zöppritz, K., Leitfaden der Kartenentwurfslehre.

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